Bergmann • Schaefer
Lehrbuch der Experimentalphysik
Band 2 Elektromagnetismus
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DE
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Autor
Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Raith em. Fakultät für Physik Universität Bielefeld
Universitätsstr. 25
33615 Bielefeld raith@mailaps. org
Das Buch enthält 538 Abbildungen, 43 Tabellen und 461 Web-Links.
Auflage
1.	Auflage 1950
2.	Auflage 1955
3.	Auflage 1958
4.	Auflage 1961
5.	Auflage 1965
6.	Auflage 1971
7.	Auflage 1987
Buchtitel der Auflagen 1-7: Elektrizität und Magnetismus
8. Auflage 1999 Wilhelm Raith
9. Auflage 2006 Wilhelm Raith
Autoren) Bearbeiter
Ludwig Bergmann und Clemens Schaefer
Ludwig Bergmann und Clemens Schaefer
Ludwig Bergmann und Clemens Schaefer
Clemens Schaefer
Clemens Schaefer
Heinrich Gobrecht
Heinrich Gobrecht, Jens H. Gobrecht und Klaus H. Gobrecht
Erläuterungen zum Einband auf Seite XVI.
ISBN-13: 978-3-11-018898-1
ISBN-10: 3-11-018898-8
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de'> abrufbar.
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Vorwort
Das Buch hat folgenden Aufbau:
Kap. 1
Kap. 2-6
Kap. 7-14
Kap. 15-17
Einleitung
Elektromagnetische Wechselwirkung von Ladungen, Strömen und Feldern
Elektromagnetische Effekte in atomarer Materie
Anhänge
Der erste Hauptteil ist der klassische Elektromagnetismus, in dem die Materie als „kontinuierliches Medium, charkterisiert durch Materialkonstanten“ betrachtet wird. Dieses zu Beginn des 20. Jahrhunderts schon vorhandene Wissen war erforderlich für die Erschließung der Atomphysik (1900-1930). Der zweite Hauptteil ist der moderne Elektromagnetismus, der auf die atomare Struktur der Materie Bezug nimmt.
Das Lehrbuch ist im Niveau einer Einführungsvorlesung ähnlich, aber viel ausführlicher. Es enthält auch Bezüge zur Mess- und Experimentiertechnik, die für das Verstehen von Vorlesungsdemonstrationen, für Physikpraktika und experimentelle Abschlussarbeiten und für den Physikuntericht in Schulen nützlich sind. Das Buch ist zum Selbststudium geeignet. Mit dem ausführlichen Register, das auch die unverständlichen Akronyme enthält, kann es zum Nachschlagen verwendet werden. Die wichtigsten englischen Fachwörter sind (kursiv in Klammern) in den Text eingefügt und stehen auch im Register.
Wird das Buch parallel zu einer Einführungsvorlesung verwendet, dann kann sich der/die Dozent/in darauf konzentrieren, die Studierenden für die Physik zu begeistern und ihre Neugier zu wecken, ohne befürchten zu müssen, aus Zeitmangel den Vorlesungsstoff nur lückenhaft vermitteln zu können. Den Studierenden sollte gesagt werden, welche Buchabschnitte zum Prüfungsstoff gehören, von dem ein Teil in der Vorlesung behandelt wird und der andere Teil im Selbststudium zu erarbeiten ist. Die übrigen Abschnitte des Buches sollten die Studierenden erst einmal nur durchblättern, um zu erfahren, wo welcher Stoff bei Bedarf zu finden ist.
Die enge Verbindung von Experimentalphysik und Theorie wird ausführlich dargestellt. Wenn an einigen Stellen die Mathematik über das Bekannte hinausgeht, dann sollte der Anhang „Mathematische Hilfsmittel“ konsultiert werden. Die anspruchsvolle Mathematik wird hier nicht zum Rechnen benötigt, sondern zur päg-nanten Beschreibung der physikalischen Zusammenhänge und zur begrifflichen Annäherung an die Theorie.
Die Geschichte der Physik, die ein wichtiger Teil unserer Kulturgeschichte ist, kann in einem Lehrbuch, das primär das heutige Wissen vermitteln soll, nur angedeutet werden. Da sich die historischen Hinweise in Physikbüchern meist auf die Entwicklung des theoretischen Verständnisses konzentrieren, wurde hier versucht,
VI Vorwort
diesem Trend etwas entgegen zu wirken und auch die Beiträge der Experimentalphysiker und Erfinder gebührend zu würdigen.
Bezüge zum Stand der Forschung und zu neuen Anwendungen, die erfahrungsgemäß schnell an Aktualität verlieren, wurden gegenüber der 8. Auflage stark gekürzt und durch Hinweise auf Informationsquellen im Internet ersetzt. Am Ende jedes Kapitels werden „Web-Links“ angegeben und kommentiert; sie können auf einer dafür eingerichteten Webseite des Verlags angeklickt werden. Es gibt auch Web-Links zu relevanten Biographien.
Für die Durchsicht von Teilen des Manuskriptes, kritische Anmerkungen und viele nützliche Hinweise danke ich den Kollegen G. Baum, J. Ferch, W. Schepper und H. Steidl (U. Bielefeld), M. Lambeck, H. Niedrig und H.G. Wagemann (TU Berlin), K. Stierstadt (U. München), J. Jäckle (U. Konstanz), H. Nägerl (U. Göttingen) und R. Gerhard-Multhaupt (U. Potsdam). Die konstruktive Kritik von F.W Hehl (Theoretische Physik, U. Köln) an den Bezügen zur Maxwell’schen Theorie in der 8. Auflage war sehr hilfreich und hat zu substanziellen Überarbeitungen für die 9. Auflage geführt. - Für die hervorragend gute Zusammenarbeit mit der Herstellungsabteilung des Verlags bei dieser und früheren Bergmann-Schaefer-Auflagen möchte ich mich bei Frau Marie-Rose Döbler herzlich bedanken.
Berlin, Juni 2006	Wihelm Raith
Inhalt
1	Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus ............................. 1
1.1	Allgemeinbildung als Ausgangspunkt .................................... 1
1.2	Vorgriff auf die Atomphysik ........................................... 5
1.3	Verbindung von Elektrizität und Magnetismus ........................... 7
1.4	Nutzung des Internets ................................................. 9
1.4.1	Web-Adressen von allgemeiner Nützlichkeit ............................ 10
Kapitel 2-6 Elektromagnetische Wechselwirkung von Ladungen, Strömen und Feldern ............................................................. 13
2	Oberflächenladungen und elektrische Felder ............................. 17
2.1	Experimentieren mit Ladungen ........................................... 19
2.1.1	Reibungselektrizität ................................................... 19
2.1.2	Influenzerscheinungen .................................................. 25
2.1.3	Sitz der Ladungen auf einem Leiter ..................................... 27
2.1.4	Entladungen durch die Luft ............................................. 30
2.1.5	Elektrisiermaschinen ................................................... 33
2.2	Elektrische Kraft und Feldstärke ....................................... 36
2.2.1	Coulomb-Gesetz ......................................................... 36
2.2.2	Einheit der Ladung, elektrische Konstante .............................. 39
2.2.3	Elektrische Erregung und Feldstärke .................................... 41
2.2.4	Sichtbarmachung elektrischer Felder .................................... 44
2.2.5	Gauß’sche Formulierung des Coulomb-Gesetzes ............................ 47
2.2.6	Quantitative Erfassung der Influenz .................................... 50
2.3	Potential, Spannung .................................................... 54
2.3.1	Potential und Feldstärke ............................................... 54
2.3.2	Äquipotentialflächen ................................................... 59
2.3.3	Dipole und Dipolschichten, Multipole ................................... 65
2.4	Kapazität .............................................................. 73
2.4.1	Zweileiter-Systeme als Kondensatoren ................................... 73
2.4.2	Elektrische Feldenergie ................................................ 79
2.4.3	Permittivität .......................................................... 81
2.4.4	Kondensator-Bauformen .................................................. 83
2.5	Anwendungsbeispiele .................................................... 87
2.5.1	Vermeidung von Aufladungen ............................................. 87
2.5.2	Sprüh- und Trennverfahren .............................................. 89
2.5.3	Xerographie ............................................................ 90
VIII Inhalt
2.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 2 .......................................... 91
2.6.1	Sachthemen .............................................................. 91
2.6.2	Biographien ............................................................. 93
3	Leiterströme und magnetische Felder, Magnete ............................ 95
3.1	Von der Elektrostatik zum Galvanismus ................................... 97
3.2	Experimentieren mit Strömen ............................................ 101
3.2.1	Elektrischer Strom in Metalldrähten .................................... 101
3.2.2	Ohm’sches Gesetz, Widerstand ........................................... 105
3.2.3	Elektrische Arbeit, Stromwärme ......................................... 109
3.2.4	Strom und Spannung in elektrischen Netzwerken .......................... 112
3.2.5	Erde und Masse ......................................................... 118
3.3	Magnetisches Kraftgesetz ............................................... 119
3.3.1	Magnetfeld eines Leiterstroms .......................................... 120
3.3.2	Kraft zwischen zwei Leiterströmen ...................................... 123
3.3.3	Definition der magnetischen Feldstärke ................................. 126
3.3.4	Magnetisches Moment einer Stromschleife ................................ 129
3.3.5	Zur Deutung magnetischer Feldlinienbilder .............................. 131
3.4	Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder ..................... 132
3.4.1	Ampere-Gesetz .......................................................... 132
3.4.2	Biot-Savart-Gesetz ..................................................... 135
3.4.3	Magnetisches Vektorpotential, magnetischer Fluss ....................... 136
3.4.4	Spezielle Spulenformen ................................................. 139
3.4.5	Magnetische Dipole ..................................................... 144
3.5	Vergleich der Gesetze für statische elektrische und magnetische Felder . 146
3.6	Magnete ................................................................ 149
3.6.1	Permanentmagnete ....................................................... 149
3.6.2	Demonstrationsexperimente mit Permanentmagneten ........................ 152
3.6.3	Erregung und Feldstärke eines Ferromagneten ............................ 156
3.6.4	Hystereseschleife ...................................................... 158
3.6.5	Abschirmung von Magnetfeldern .......................................... 160
3.6.6	Magnetische Kreise ..................................................... 161
3.7	Drehspul-Messinstrumente ............................................... 171
3.8	Internet-Hinweise zu Kapitel 3 ......................................... 176
3.8.1	Leiterströme und magnetische Felder .................................... 176
3.8.2	Magnete ................................................................ 177
3.8.3	Biographien ............................................................ 177
4	Elektromagnetische Induktion ........................................... 179
4.1	Induktionsgesetz ....................................................... 181
4.1.1	Entdeckung durch Faraday ............................................... 181
4.1.2	Quantifizierung, Lenz’sehe Regel ....................................... 184
4.1.3	Induktionsexperimente mit bewegten Magneten ............................ 186
4.1.4	Induktionsexperimente mit bewegten Leitern ............................. 187
4.1.5	Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes ......................... 191
4.1.6	Didaktische Variante ................................................... 193
4.1.7	Erhaltung des magnetischen Flusses ..................................... 195
Inhalt IX
4.2	Induktivität ........................................................ 196
4.2.1	Selbstinduktion, Definition der Induktivität ........................ 196
4.2.2	Magnetische Feldenergie ............................................. 200
4.2.3	Induktive Kopplung .................................................. 201
4.2.4	Induktive Messung von Flüssen ....................................... 202
4.2.5	Wirbelströme ........................................................ 208
4.2.6	Spulen als Bauelemente .............................................. 211
4.3	Wechselstrom ........................................................ 214
4.3.1	Definitionen, Erzeugung, Messung .................................... 214
4.3.2	ÄLC-Stromkreise ..................................................... 219
4.3.3	Mehrphasenströme, magnetische Drehfelder ............................ 230
4.3.4	Transformatoren ..................................................... 234
4.3.5	Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom und umgekehrt ............ 242
4.4	Generatoren und Motoren ............................................. 246
4.4.1	Überblick ........................................................... 246
4.4.2	Gleichstrommaschinen ................................................ 247
4.4.3	Drehstrom-Synchronmaschinen ......................................... 251
4.4.4	Drehstrom-Asynchronmaschinen ........................................ 254
4.4.5	Einphasen-Wechselstrom-Maschinen .................................... 257
4.5	Stromversorgung ..................................................... 260
4.5.1	Technische Grundlagen ............................................... 260
4.5.2	Aufbau des öffentlichen Netzes ...................................... 263
4.5.3	Erzeugung und Verbrauch der Sekundärenergie „Strom“ ................. 266
4.5.4	Entwicklungsperspektiven ............................................ 268
4.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 4 ...................................... 270
4.6.1	Grundlagen der Elektrotechnik ....................................... 270
4.6.2	Stromversorgung ..................................................... 271
4.6.3	Elektrische Antriebe ................................................ 272
4.6.4	Energie ............................................................. 272
4.6.5	Biographien ......................................................... 273
5	Elektromagnetische Schwingungen und Wellen .......................... 275
5.1	Experimentieren mit Hochfrequenz .................................... 278
5.1.1	Schwingkreis, gedämpfte Schwingungen ................................ 278
5.1.2	Ungedämpfte Schwingungen ............................................ 284
5.1.3	Induktiver Widerstand, Skineffekt ................................... 291
5.1.4	Erzwungene Schwingungen, Resonanz ................................... 293
5.1.5	Gekoppelte Schwingkreise ............................................ 302
5.2	Elektromagnetische Drahtwellen ...................................... 306
5.2.1	Lecher-Leitung ...................................................... 306
5.2.2	Theorie der Drahtwellen ............................................. 309
5.2.3	Verschiedene Doppelleitungen ........................................ 313
5.3	Elektromagnetische Raumwellen ....................................... 316
5.3.1	Messung der kritischen Geschwindigkeit .............................. 316
5.3.2	Theorie von James Clerk Maxwell ..................................... 318
5.3.3	Experimente von Heinrich Hertz ...................................... 325
5.3.4	Strahlung des Hertz’schen Dipols .................................... 330
5.3.5	Elektromagnetisches Spektrum ........................................ 333
X Inhalt
5.4	Experimentieren mit Mikrowellen ....................................... 336
5.4.1	Antennen .............................................................. 336
5.4.2	Wellenausbreitung ..................................................... 342
5.4.3	Hohlleiter ............................................................ 347
5.5	Anwendungsbeispiele ................................................... 355
5.5.1	Rundfunk .............................................................. 355
5.5.2	Radioastronomie ....................................................... 366
5.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 5 ........................................ 370
5.6.1	Signalübertragung auf Leitungen ....................................... 370
5.6.2	Funk- und Radiotechnik ................................................ 371
5.6.3	Radar, Radioastronomie ................................................ 372
5.6.4	Satellitentechnik ..................................................... 373
5.6.5	Biographien ........................................................... 373
6	Licht ................................................................. 375
6.1	Experimentieren mit Licht ............................................. 378
6.1.1	Messgrößen, Standards ................................................. 378
6.1.2	Strahlenoptik ......................................................... 387
6.1.3	Wellenoptik ........................................................... 406
6.1.4	Polarisationsoptik .................................................... 424
6.2	Lichtgeschwindigkeit .................................................. 437
6.2.1	Messungen der Lichtgeschwindigkeit .................................... 437
6.2.2	Lichtgeschwindigkeit in bewegten Medien ............................... 440
6.2.3	Michelson-Morley-Experiment ........................................... 442
6.2.4	Lösung des Ätherproblems .............................................. 445
6.3	Relativistische Optik ................................................. 446
6.3.1	Lorentz-Transformation ................................................ 446
6.3.2	Aberration, Doppler-Effekt ............................................ 448
6.3.3	Transformation der elektromagnetischen Felder ......................... 450
6.3.4	Ladungen mit relativistischen Geschwindigkeiten ....................... 451
6.4	Internet-Hinweise zu Kapitel 6 ........................................ 456
6.4.1	Sachthemen ............................................................ 456
6.4.2	Biographien ........................................................... 456
Kapitel 7-14 Elektromagnetische Effekte in atomarer Materie .................... 459
7	Einführung in die Atomphysik .......................................... 461
7.1	Anschaulicher Atomismus ............................................... 463
7.1.1	Akzeptanz der Atomvorstellung.......................................... 463
7.1.2	Ionen, freie Elektronen ............................................... 464
7.1.3	Elektronen in Metallen ................................................ 467
7.1.4	Offene Fragen ......................................................... 469
7.2	Welle-Teilchen-Dualismus .............................................. 470
7.2.1	Teilchencharakter des Lichtes ......................................... 470
7.2.2	Wellencharakter der Elektronen ........................................ 472
7.2.3	Unbestimmtheitsrelation ............................................... 475
Inhalt XI
7.3	Struktur der Atome .................................................... 478
7.3.1	Rutherford-Bohr’sches Atommodell ...................................... 478
7.3.2	Drehimpuls, Richtungsquantelung, Gyromagnetismus ...................... 480
7.3.3	Quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms .................. 484
7.3.4	Aufbau der Mehrelektronen-Atome ....................................... 488
7.3.5	Orbitale, chemisches Verhalten ........................................ 492
7.4	Quantenstatistik ...................................................... 496
7.4.1	Statistische Behandlung identischer Elemente .......................... 497
7.4.2	Photonen der thermischen Strahlung .................................... 500
7.4.3	Bose-Einstein-Kondensation ............................................ 503
7.4.4	Leitungselektronen der Metalle ........................................ 504
7.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 7 ........................................ 506
7.5.1	Sachthemen ............................................................ 506
7.5.2	Biographien ........................................................... 506
8	Elektrische Effekte in Metallen ....................................... 509
8.1	Leitungselektronen .................................................... 511
8.1.1	Kinetische Theorie .................................................... 511
8.1.2	Hall-Effekt ........................................................... 514
8.1.3	Rauschen .............................................................. 517
8.2	Grenzfläche Metall/Vakuum ............................................. 519
8.2.1	Austrittsarbeit ....................................................... 520
8.2.2	Elektronen-Emissionsprozesse .......................................... 523
8.3	Grenzfläche Metall/Metall ............................................. 528
8.3.1	Kontaktspannung ....................................................... 528
8.3.2	Thermoelektrizität .................................................... 530
8.3.3	Übergangswiderstand ................................................... 538
8.4	Supraleitung .......................................................... 541
8.4.1	Grundlagen ............................................................ 541
8.4.2	Quanteneffekte ........................................................ 546
8.4.3	Anwendungen ........................................................... 551
8.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 8 ........................................ 553
8.5.1	Elektrische Ströme in Metallen ........................................ 553
8.5.2	Grenzflächen-Effekte .................................................. 554
8.5.3	Supraleitung .......................................................... 556
8.5.4	Biographien ........................................................... 556
9	Elektrische Effekte in Halbleitern .................................... 559
9.1	Ladungstransport-Prozesse, Hall-Effekt ................................ 560
9.2	Bändermodell .......................................................... 562
9.2.1	Grundbegriffe ......................................................... 562
9.2.2	Leitfähigkeit ......................................................... 565
9.2.3	Zustands- und Ladungsträgerdichten .................................... 569
9.2.4	Bänder im k-Raum und im Ortsraum ...................................... 571
9.2.5	pn-Übergang ........................................................... 574
9.2.6	Metall/Halbleiter-Übergang ............................................ 578
XII Inhalt
9.3	Halbleiter-Bauelemente ............................................... 579
9.3.1	Dioden, Thyristoren .................................................. 579
9.3.2	Transistoren ......................................................... 584
9.3.3	Operationsverstärker ................................................. 591
9.3.4	Bauelemente der Digitalelektronik .................................... 594
9.4	Photohalbleiter ...................................................... 597
9.4.1	Photowiderstände ..................................................... 597
9.4.2	Photodioden, Photoelemente ........................................... 598
9.4.3	Leuchtdioden ......................................................... 603
9.4.4	Halbleiter-Laser ..................................................... 604
9.4.5	Leuchtstoffe, Elektrolumineszenz ..................................... 605
9.5	Halbleiter-Technologie ............................................... 606
9.5.1	Präparation, Dotierung, Strukturierung ............................... 606
9.5.2	Integrierte Schaltungen, Mikroelektronik ............................. 609
9.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 9 ....................................... 609
9.6.1	Umfangreiche Sachthemen .............................................. 609
9.6.2	Halbleiter/Elektronik ................................................ 610
9.6.3	Photohalbleiter/Optoelektronik ....................................... 611
9.6.4	Biographien .......................................................... 612
10	Gasentladungen, Plasmen .............................................. 615
10.1	Ladungstransport ohne Gasverstärkung ................................. 617
10.1.1	Ionisation und Rekombination ......................................... 617
10.1.2	Strom-Spannungs-Charakteristik ....................................... 620
10.1.3	Anwendungen im Strahlenschutz ........................................ 621
10.1.4	Ionen als Kondensationskeime ......................................... 624
10.2	Ladungstransport mit Gasverstärkung .................................. 626
10.2.1	Townsend-Lawinen ..................................................... 626
10.2.2	Ionisationskammern mit Gasverstärkung ................................ 628
10.2.3	Proportionszähler, Drahtkammern ...................................... 628
10.3	Selbständige Entladungen ............................................. 631
10.3.1	Zündbedingung ........................................................ 631
10.3.2	Zünden und Löschen im Geiger-Zähler .................................. 633
10.3.3	Korona- und Funkenentladungen in Luft ................................ 634
10.3.4	Gewitter ............................................................. 639
10.3.5	Glimmentladungen ..................................................... 646
10.3.6	Lichtbögen ........................................................... 652
10.4	Plasmen .............................................................. 655
10.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 10 ...................................... 658
10.5.1	Strahlung, Detektoren, Strahlungsschutz .............................. 658
10.5.2	Gewitter ............................................................. 659
10.5.3	Plasmen .............................................................. 659
10.5.4	Biographien .......................................................... 660
11	Geladene Teilchen im Vakuum .......................................... 663
11.1	Techniken ............................................................ 664
11.1.1	Vakuum ............................................................... 664
Inhalt XIII
11.1.2	Spannungsversorgung ................................................... 666
11.1.3	Abschirmung ........................................................... 668
11.1.4	Elektronenquellen ..................................................... 669
11.1.5	lonenquellen .......................................................... 672
11.1.6	Elektronen- und lonennachweis ......................................... 675
11.1.7	Bewegung geladener Teilchen	in Feldern ................................ 682
11.1.8	Elektronenoptik ....................................................... 684
11.2	Elektronenröhren ...................................................... 693
11.2.1	Dioden, Röntgenröhren ................................................. 693
11.2.2	Verstärkerröhren ...................................................... 696
11.2.3	Elektronenstrahlröhren ................................................ 699
11.2.4	Lichtgesteuerte Röhren ................................................ 702
11.3	Geräte, Großgeräte .................................................... 704
11.3.1	Strahlsysteme zur Materialbearbeitung ................................. 704
11.3.2	Massenspektrometer .................................................... 706
11.3.3	Teilchenfallen ........................................................ 710
11.3.4	Elektronenmikroskope .................................................. 712
11.3.5	Teilchenbeschleuniger ................................................. 715
11.4	Internet-Hinweise zu Kapitel	11 ....................................... 721
11.4.1	Elektronenröhren ...................................................... 721
11.4.2	Elektronen-und lonenstrahlen .......................................... 722
11.4.3	Speicherung geladener Teilchen ........................................ 722
11.4.4	Mikroskope ............................................................ 723
11.4.5	Beschleuniger ......................................................... 723
11.4.6	Biographien ........................................................... 724
12	Elektrochemie ......................................................... 727
12.1	Elektrolyse ........................................................... 728
12.1.1	Grundbegriffe und Beispiele	........................................... 728
12.1.2	Faraday-Gesetz ........................................................ 736
12.1.3	Dissoziation, Leitfähigkeit ........................................... 737
12.1.4	Ladungstransport ...................................................... 741
12.1.5	Starke Elektrolyte .................................................... 746
12.2	Galvanische Elemente .................................................. 748
12.2.1	Überblick ............................................................. 748
12.2.2	Daniell-Element ....................................................... 749
12.2.3	Konzentrationselemente ................................................ 751
12.2.4	Spannungsreihe der Metalle	........................................... 752
12.3	Elektrodenprozesse .................................................... 755
12.3.1	Prinzip der Sekundärelemente .......................................... 755
12.3.2	Polarisations- und Überspannung ....................................... 757
12.4	Technische Anwendungen ................................................ 759
12.4.1	Einweg-Batterien und Akkumulatoren .................................... 759
12.4.2	Brennstoffzellen ...................................................... 763
12.4.3	Elektrolytische Verfahren ............................................. 765
12.4.4	Korrosionsschutz ...................................................... 767
12.5	Internet-Hinweise zu Kapitel	12 ....................................... 769
XIV Inhalt
12.5.1	Grundlagen ............................................................. 769
12.5.2	Anwendungen ............................................................ 770
12.5.3	Biographien ............................................................ 772
13	Elektrisches Verhalten von Isolatoren .................................. 775
13.1	Oberflächenladungen durch Transfer ..................................... 778
13.1.1	Reibungselektrizität ................................................... 778
13.1.2	Strömungselektrizität .................................................. 781
13.2	Oberflächenladungen durch Polarisation ................................. 783
13.2.1	Isolatoren im elektrischen Feld ........................................ 783
13.2.2	Polarisation, elektrische Erregung ..................................... 784
13.2.3	Demonstrationsexperimente .............................................. 786
13.2.4	Dielektrische Stoffe (im engeren Sinn) ................................. 789
13.2.5	Parelektrische Stoffe .................................................. 791
13.2.6	Elektrorheologische Flüssigkeiten ...................................... 794
13.3	Elektrische Kristalle .................................................. 794
13.3.1	Überblick .............................................................. 795
13.3.2	Piezoelektrizität ...................................................... 798
13.3.3	Ferroelektrizität ...................................................... 801
13.3.4	Technische Anwendungen ................................................. 804
13.4	Elektrete .............................................................. 808
13.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 13 ........................................ 810
13.5.1	Elektrostatik .......................................................... 810
13.5.2	Strömungselektrizität, ER-Flüssigkeiten ................................ 810
13.5.3	Piezoelektrizität ...................................................... 811
13.5.4	Ferroelektrika/Elektrete ............................................... 812
13.5.5	Biographien ............................................................ 813
14	Magnetismus ............................................................ 815
14.1	Dia- und Paramagnetismus ............................................... 817
14.1.1	Definitionen ........................................................... 817
14.1.2	Messung der Suszeptibilität ............................................ 818
14.1.3	Diamagnetische Stoffe .................................................. 821
14.1.4	Paramagnetische Stoffe ................................................. 822
14.2	Ferromagnetismus ....................................................... 824
14.2.1	Ferromagnetische Messgrößen ............................................ 825
14.2.2	Gyromagnetische Experimente ............................................ 828
14.2.3	Entstehung der spontanen Magnetisierung ................................ 831
14.2.4	Ummagnetisierungsprozesse .............................................. 834
14.2.5	Magnetostriktion ....................................................... 845
14.2.6	Antiferro- und Ferrimagnetismus ........................................ 846
14.2.7	Ferrite ................................................................ 849
14.2.8	Magnetowiderstand ...................................................... 851
14.2.9	Magneto-elektrische Effekte ............................................ 854
14.3	Magnetische Flüssigkeiten .............................................. 854
14.3.1	Ferrofluide ............................................................ 854
14.3.2	Magnetorheologische Flüssigkeiten ...................................... 857
Inhalt XV
14.4	Magnetfeld der Erde .................................................. 858
14.4.1	Feld auf der Erdoberfläche ........................................... 858
14.4.2	Magnetosphäre der Erde ............................................... 861
14.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 14 ...................................... 864
14.5.1	Dia-, Para-, Ferro-, Ferrimagnetismus ................................ 864
14.5.2	Magnetowiderstand .................................................... 865
14.5.3	Magneto-elektrische Effekte .......................................... 866
14.5.4	Magnetische Flüssigkeiten ............................................ 866
14.5.5	Erdmagnetismus ....................................................... 867
14.5.6	Biographien .......................................................... 867
Kapitel 15-17 Anhänge ........................................................ 869
15	Mathematische Hilfsmittel ............................................ 871
15.1	Vorbemerkungen ....................................................... 871
15.2	Algebra mit physikalischen Größen .................................... 873
15.3	Infinitesimalrechnung ................................................ 880
15.4	Vektoranalysis ....................................................... 883
15.5	Komplexe Zahlen ...................................................... 888
15.6	Schwingungsgleichung ................................................. 891
15.7	Fourier-Reihen und-Integrale ......................................... 896
15.8	Schaltalgebra ........................................................ 904
15.9	Internet-Hinweise zu Kapitel 15 ...................................... 906
16	Gefahren im Umgang mit Elektrizität .................................. 909
16.1	Wirkungen auf den menschlichen Körper ................................ 909
16.2	Schutzmaßnahmen ...................................................... 914
16.2.1	Netzanschluss und Erdung ............................................. 914
16.2.2	Sicherungen, Schutzschalter .......................................... 917
16.2.3	Erkennung von Defekten ............................................... 920
16.3	Verhaltensregeln ..................................................... 920
16.3.1	Umgang mit Haushaltselektrizität ..................................... 921
16.3.2	Zusätzliche Regeln für das Labor ..................................... 923
16.4	Erste Hilfe .......................................................... 924
16.4.1	Sofortmaßnahmen ...................................................... 924
16.4.2	Atemspende und Herz-Lungen-Wiederbelebung ............................ 925
16.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 16 ...................................... 927
16.5.1	Gefahren Vermeidung .................................................. 927
16.5.2	Erste Hilfe nach Stromschlag ......................................... 928
16.5.3	Umstritten: Gefährdung durch Elektrosmog ............................. 928
17	Hinweise und Tabellen ................................................ 929
17.1	Übungsaufgaben ....................................................... 929
17.2	Ergänzende Literatur ................................................. 929
17.3	Einheiten ............................................................ 930
XVI Inhalt
17.3.1	SI-Einheiten ........................................................ 930
17.3.2	Ergänzungseinheiten ................................................. 932
17.3.3	Anmerkungen zu einigen anderen Einheiten ............................ 933
17.4	Naturkonstanten ..................................................... 935
17.5	Chemische Elemente .................................................. 938
17.6	Schaltzeichen der Elektrotechnik .................................... 939
17.7	Internet-Hinweise zu Kapitel 17 ..................................... 941
17.7.1	Übungsaufgaben ...................................................... 941
17.7.2	Einheiten und Naturkonstanten ....................................... 942
17.7.3	Chemische Elemente .................................................. 942
17.7.4	Elektrische Schaltzeichen ........................................... 942
Register ................................................................... 943
Bild auf dem Einband
Der Transrapid verkehrt seit 2004 zwischen der Lang Yang Road Station im Finanzzentrum von Shanghai und dem 30 km entfernten Pudong International Airport mit einer maximalen Betriebsgeschwindigkeit von 430 km/h.
Berührungsfreies elektromagnetisches Trag-, Führ- und Antriebssystem: Die einzeln elektronisch regelbaren Trag- und Führmagnete sind auf beiden Seiten längs des Fahrzeugs in den die Fahrbahn umgreifenden „Klauen“ installiert (s. Abschn. 4.4.3, Abb. 4.64). Die Tragmagnete ziehen das Fahrzeug von unten an die ferromagnetischen Statorpakete im Fahrweg heran und mit schneller elektronischer Reglung wird der Schwebezustand in 1 cm Abstand eingehalten. Die Führmagnete halten das Fahrzeug seitlich in der Spur. Den Bordstrom erhält das Fahrzeug auf induktivem Weg von einem im Fahrweg untergebrachten Lineargenerator. Bordbatterien können das Fahrzeug im Stillstand bis zu einer Stunde in der Schwebe halten. Von einem auf die Tragmagnete im Fahrzeug wirkenden magnetischen Wanderfeld, erzeugt durch den fahrwegseitigen eisenbehafteten synchronen Langstator-Linearmotor, wird das Fahrzeug berührungsfrei mitgezogen. Eingeschaltet wird nur der Streckenabschnitt, in dem sich das Fahrzeug gerade befindet. Die Geschwindigkeit ist proportional zur Drehstrom-Frequenz und lässt sich mit dieser stufenlos regeln. Durch Umpolung des magnetischen Wanderfeldes wird der Motor zum Generator, der das Fahrzeug berührungsfrei bremst und dabei elektrische Energie zurückspeist.
Die Betriebszentrale steuert die Fahrzeuge und kommuniziert mit ihnen über Richtfunk-Datenübertragung. Die Ortung der Fahrzeuge auf der Strecke erfolgt durch ein fahrzeugseitiges Ortungssystem, das digital kodierte Ortsmarken am Fahrweg erfaßt.
(Foto freundlicherweise zur Verfügung gestellt von der Transrapid International GmbH & Co. KG, Berlin)
1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
Zu Beginn jedes Kapitels werden die im Kapitel verwendeten Symbole in einer Tabelle vorgestellt:
Tab. 1.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Größensymbol	Bedeutung
e F q z	Elementarladung Kraft (Betrag) Ladung eines Teilchens chemische Ordnungszahl, Kernladungszahl
Teilchensymbol	Bedeutung
e, e“ H n P, P+	Elektron Wasserstoff-Atom Neutron Proton
Ergänzende Information in Abschn. 15.2 (Algebra mit physikalischen Größen) und Abschn.
17.2 (Einheiten).
1.1 Allgemeinbildung als Ausgangspunkt
In unserer technisch hochentwickelten Gesellschaft werden mit der Allgemeinbildung auch naturwissenschaftlich-technische Kenntnisse vermittelt, die beim Studium des Elektromagnetismus als Bezugspunkte dienen können.
Volt, Ampere und Watt. Wir beginnen bei Grundbegriffen der Haushalt-Elektrizität:
-	Die Spannung der Haushalt-Steckdosen, allgemeiner: die Netzspannung, beträgt in Deutschland und fast überall in Europa 230 Volt (V), früher waren es 220 V; in den USA sind es 110 V.
-	Die Stromstärke in der Einheit „Ampere“ (A) tritt als Nenn-Stromstärke von Sicherungen (typisch 16 A für einen Teil des Hausnetzes) in Erscheinung.
-	Die elektrische Leistung, die einem an das Netz angeschlossenen Gerät zugeführt werden muss, ist am Gerät durch eine Zahl mit dem Zeichen W für „Watt“ angegeben; auf einer Glühbirne steht z. B. 40 W, auf dem Datenschild eines elektri-
2
1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
sehen Heizofens z. B. 2000 W. Ein mit dem Netz (z. B. über eine Steckdose) verbundenes Gerät wird in der Physik allgemein als „Netzgerät“ bezeichnet; die Elektrotechniker sprechen von einem „Verbraucher“ (von elektrischer Energie).
Mit etwas Physik lassen sich die angeführten Bildungsbruchstücke sinnvoll zusammensetzen: Die elektrische Leistung ist mit Spannung und Strom(stärke) wie folgt verknüpft:
Leistung (in W) = Spannung (in V) x Strom (in A).
Multipliziert man z. B. die 230 V der Netzspannung mit den 16 Ampere der Sicherung, dann erhält man 3680 W als maximal entnehmbare elektrische Leistung. Wird die Summe der Wattzahlen aller betriebenen Geräte größer als 3680, dann spricht die Sicherung an und schaltet den Strom ab.
Kilowattstunde. Die Wattzahl aller eingeschalteten Elektrogeräte ist die dem Netz momentan entnommene Leistung, die bestimmt, wie schnell sich das Rad am „Stromzähler“ dreht. Das Produkt aus elektrischer Leistung (in Watt) und der Zeit (in Sekunden), genauer: das Zeitintegral der elektrischen Leistung, ergibt die verbrauchte elektrische Energie in Joule (J = Ws). Verwendet man anstelle von Watt und Sekunde die größeren Einheiten Kilowatt (lkW= 1000W) und Stunde (1 h = 3600 s), dann erhält man die Energieeinheit Kilowattstunde (kWh).
Die Stromrechnung weist den „Stromverbrauch“ in Kilowattstunden aus. Der Preis einer Kilowattstunde hängt vom Tarif (Haushalt, Landwirtschaft, Gewerbe, Nachtstrom zu Sonderkonditionen) und dem Festkostenanteil ab. Der Preis einer Kilowattstunde für den privaten Verbrauch ist der Jahresabrechnung für „Strom“ zu entnehmen.
Hier noch einmal die bisher erwähnten Größen und Einheiten im Überblick:
Größe (englischer Name)	Einheit (Zeichen)
Strom (current)	Ampere (A)
Spannung (voltage)	Volt (V)
Leistung (power) — Strom  Spannung	Watt (W) = Volt  Ampere (VA)
Energie (energy) — Leistung  Zeit	Joule (J) = Watt  Sekunde (Ws) Kilowattstunde (1 kWh = 103  3600 Ws = 3.6 MJ)
Bedeutung von „Strom“ und „Spannung“. Oft wird der Begriff „Strom“ als Synonym für „elektrische Energie“ verwendet wie in Stromquelle, Stromverbrauch und Stromrechnung. Manchmal wird „Strom“ auch anstelle von „elektrisch“ benutzt; Beispiel: Stromspannung 230 Volt (Reisekatalog-Angabe zur elektrischen Spannung der Hotelsteckdosen).
Die meisten Leute verbinden mit dem Begriff „Strom“ die zwar vage aber richtige Vorstellung, dass „Strom in der elektrischen Leitung fließt“, so wie Gas in der Gasleitung und Wasser in der Wasserleitung fließt.
Um für die „Spannung“ eine einigermaßen richtige intuitive Vorstellung entwik-keln zu können, ist ein Vergleich von elektrischem Netz und Wasserleitung nützlich: Der Strom entspricht dem Wasserfluss (= Wasservolumen/Zeit) und die Spannung dem Druck in der Wasserleitung.
1.1 Allgemeinbildung als Ausgangspunkt 3
Die Spannung wird in den Steckdosen des elektrischen Netzes ständig angeboten, der Strom fließt dagegen nur bei Leistungsübertragung auf angeschlossene Netzgeräte („Verbraucher“). Selbst bei sehr hoher Strombelastung sinkt die Netzspannung (fast) nicht ab. Deshalb wird die Spannung oft als „Ursache“ betrachtet und der Strom als „Wirkung“. Diese Denkweise ist falsch, aber harmlos, solange man gedanklich flexibel bleibt. In manchen Fällen ist die umgekehrte Betrachtung angemessener. Tatsächlich treten Strom und Spannung immer gemeinsam auf, wie beim Ohm’schen Gesetz (Abschn. 3.2.2) gezeigt wird. Ein verschwindender Strom bei konstanter Spannung oder das Umgekehrte sind nur Grenzfälle, die einem unendlich großen oder verschwindend kleinen „elektrischen Widerstand“ entsprechen.
Leitungswasser als Analogie. Wie „Spannung x Strom“ ergibt auch „Wasserdruck x Wasserfluss“ eine Leistung. Mit dem Leitungswasser wird also auch Energie ins Haus geliefert: Das ausströmende Wasser besitzt kinetische Energie; potentielle Energie muss aufgebracht werden, um das Wasser in höhere Stockwerke zu befördern; in den Rohrleitungen sind Reibungsverluste zu überwinden; im Prinzip kann man mit dem Leitungswasserfluss auch mechanische Arbeit verrichten lassen, wie die Dreh- oder Schwenkbewegung von Rasensprengern. Bezahlt wird beim Wasser jedoch in erster Linie die Lieferung des sauberen Trinkwassers und die Wiederaufbereitung des Abwassers. Die mitgelieferte Energie ist vergleichsweise unbedeutend.
Für Batterien gilt das Analogiebeispiel in vereinfachter Form: Jede neue Batterie ist vergleichbar mit einem gefüllten Wasserturm; bei Gebrauch wird das Reservoir geleert. Das Aufladen eines Akkus ist vergleichbar mit dem Hochpumpen von Wasser in den Behälter des Wasserturms.
Die hydrodynamische Analogie versagt dagegen in folgendem Punkt:
-	Der Wasserkreislauf verteilt sich auf zwei Systeme: das saubere Wasser wird in Druckleitungen angeliefert, das Abwasser wird größtenteils mithilfe der Schwerkraft zur Aufbereitung geführt. Im Haus ist der Kreislauf offen: Wasser-Abzweigungen (z. B. für Rasensprengen) und Zwischenspeicherungen (z. B. in der Badewanne) sind möglich.
-	Das elektrische Netz ist dagegen ein geschlossenes System. Die zwei Löcher der Steckdose sind für die Hin- und Rückführung des Stroms bestimmt. Wenn ein Strom fließt, dann ist der Stromkreis immer geschlossen. Es gibt keine Zwischenspeicherung von Elektrizität, die eine unmittelbare Rückführung des Stroms unterbrechen könnte. Auch bei der Entladung einer Batterie fließt der Strom in einem geschlossenen Stromkreis durch die Batterie hindurch; bei der Wiederaufladung, die nur bei bestimmten Batterietypen möglich ist, wird ein Strom in umgekehrter Richtung erzwungen.
Gleichstrom und Wechselstrom. Weil der elektrische Strom stets in geschlossenen Stromkreisen fließt, ist nicht nur Gleichstrom (direct current, dc), der immer in dieselbe Richtung fließt, möglich, sondern auch Wechselstrom (alternating current, ac), der seine Richtung periodisch umkehrt. Die technischen Vorteile des Wechselstroms liegen hauptsächlich in der verlustarmen Übertragung elektrischer Leistung (Hochspannungs-Fernleitungen, Transformatoren, Niederspannungs-Verteilernetz, Kap. 4). Wechselstrom lässt sich leicht in Gleichstrom umwandeln, der für viele An
4
1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
Wendungen, z. B. für alle elektronischen Geräte, notwendig ist. Für manche Anwendungen (Heizöfen, Glühlampen) kann wahlweise Wechsel- oder Gleichstrom verwendet werden.
Das elektrische Verbundnetz wird in Europa mit sinusförmiger Wechselspannung und einer Frequenz von 50 Hertz (Hz) betrieben, in den USA sind es 60 Hz. Der Strom ist durch eine Sinusfunktion derselben Frequenz gegeben, die allerdings gegen die Spannung phasenverschoben sein kann. Angegeben werden nicht die Scheitelwerte von Spannung und Strom, sondern Effektivwerte. Für sinusförmige Zeitabhängigkeiten gilt:
Effektivwert = Scheitelwert / ]/2.
Elektrische Ladung. Der Begriff der elektrischen Ladung (charge) kommt in der Haushalt-Starkstrom-Elektrizität nicht vor.
Doch neben der Elektrizität aus dem öffentlichen Netz gibt es im täglichen Leben auch das Phänomen der elektrostatischen Aufladung (charging), die bei Entladung einen irritierenden, aber harmlosen elektrischen Mini-Schlag verursachen kann: Zieht man bei trockener Luft im Dunkeln ein Hemd oder einen Pullover aus synthetischen Fasern über den Kopf, dann beobachtet man Funken und hört sie auch knistern. Bei Licht ist zu beobachten, dass Haare vom Kleidungsstück angezogen werden. Streichelt man eine Katze in trockener Luft mit einem Kunststoffstab oder -kämm, dann sträuben sich deren Haare. Mit dem Kamm, dem Kunststoffstab oder dem Hemd kann man also Haare, Fasern, Papierschnitzel, aber auch schwebende Luftballons und Seifenblasen anziehen. Durch innige Berührung (Reibung) hat sich der Zustand der Stoffe derart verändert, dass von ihren Oberflächen Kraftwirkungen ausgehen.
Ohne erkennbaren Bezug zu solchen Aufladungen steht die Naturgewalt der Gewitter. Die elektrische Natur der Blitze wird deutlich, wenn bei einem nahen Einschlag im Haus der Strom ausfällt.
Mithilfe einiger physikalischer Begriffe lässt sich die Bedeutung der elektrischen Ladung für die verschiedenen Erfahrungsbereiche erläutern: Wie in einer Wasserleitung bei geschlossenem Hahn das Wasser „steht“, befinden sich in einer elektrischen Leitung, in der gerade kein Strom fließt, bewegliche, z.Z. aber ruhende „Ladungsträger“ (charge carriers). Die elektrische Ladung ist das, was in der Leitung transportiert wird, wenn ein Strom fließt. Die Ladung, die in einer bestimmten Zeit durch einen betrachteten Leitungsquerschnitt geflossen ist, ergibt sich aus dem Produkt von Strom (in A) und Zeit (in s), genauer: aus dem Zeitintegral des Stromes. Die Einheit der Ladung hat den speziellen Namen „Coulomb“ (C = As).
Die Ladungen, die durch den Leitungsdraht fließen, bemerkt man gar nicht. Die typischen elektrostatischen Aufladungen werden dagegen durch Ladungen hervorgerufen, die auf Oberflächen sitzen und „spürbar“ sind, z. B. dadurch, dass sich die Härchen auf der Haut aufrichten. Im Prinzip ist die Entladung einer elektrostatischen Aufladung dem Blitz sehr ähnlich. Nur die dabei auftretenden Spannungen und Ladungen unterscheiden sich um viele Größenordnungen. Bei einer typischen elektrostatischen Aufladung liegt die Spannung in der Größenordnung von 104V, die Ladung in der Größenordnung von 10 6 C; bei einer Gewitterwolke sind es etwa 108V und 10 C.
1.2 Vorgriff auf die Atomphysik
5
Magnetismus. Der Magnetismus hat keinen prominenten Platz in der Allgemeinbildung: Man kennt das magnetische Erdfeld, das auf die Kompassnadel wirkt, verschiedene Spielzeug- und Haftmagnete und vielleicht auch noch aus der modernen Medizin die starken Magnetfelder der Kernspin-Tomographen.
Elektromagnetische Wellen. Die Wellen kennt man als Überbringer von Radio- und Fernsehprogrammen, die von Sendetürmen oder Satelliten ausgestrahlt werden, und als Gesprächsübermittler beim Funktelefon. Im Mikrowellen-Herd heizen sie das Kochgut auf. Ob elektromagnetische Wellen für den Menschen gefährlich sind („Elektrosmog“), wird heiß diskutiert.
Elektronik. Vielfältige elektronische Geräte haben unser Leben verändert. Der Transistor, dessen Erfindung den Beginn der modernen Halbleiter-Elektronik markiert, ist vor allem durch das Transistorradio in die Allgemeinbildung gelangt: Plötzlich gab es, zuerst in den USA, ein ganz kleines Radio, das mit einer kleinen Batterie betrieben werden konnte. Die Leistungsfähigkeit der hochintegrierten Digitalelektronik wird gut durch den Taschenrechner veranschaulicht: Das „Hirn“ des Rechners ist ein kleiner Chip.
1.2	Vorgriff auf die Atomphysik
Schon in Band 1 wurde an verschiedenen Stellen der Aufbau der Materie aus Atomen und Molekülen erwähnt. Ein ähnlicher Vorgriff wird uns auch den Zugang zum Elektromagnetismus erleichtern.
Vergleich von elektrischer Kraft und Gravitation. Es gibt eine formale Ähnlichkeit: Wie die Gravitation zwischen schweren Massen wirkt, so wirkt die elektrische Kraft zwischen elektrischen Ladungen. Beide Kräfte sind für punktförmige Massen oder Ladungen dem Produkt der Massen oder Ladungen direkt und dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional.
Es gibt aber einen ganz entscheidenden Unterschied: Anders als bei der Gravitation, die zwischen allen Massen immer nur anziehend wirkt, gibt es bei der Elektrizität zwei Arten von elektrischer Ladung, denen willkürlich die Vorzeichen Plus und Minus zugeordnet wurden.
• Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit ungleichem Vorzeichen ziehen sich an.
Gleiche Ladungsmengen von beiden Vorzeichen können sich also in ihrer elektrischen Wirkung auf andere Ladungen neutralisieren. Dazu ist es nicht erforderlich, dass sie sich gegenseitig vernichten, sondern sie können gebundene Systeme bilden, die von außen betrachtet elektrisch neutral wirken. Solche Systeme sind die Atome und Moleküle, aus denen die uns umgebende Materie besteht. Die elektrische Neutralität der Materie erklärt, warum die Elektrizität in der Natur - vom Gewitter mal abgesehen - nicht bemerkbar ist und warum die Evolution uns kein Sinnesorgan für Elektrizität beschert hat.
6	1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
Elektrischer Aufbau der Atome. Elektrische Kräfte halten die Bestandteile der Atome zusammen: Die Atomkerne (atomic nuclei) tragen positive Ladungen, die sie umgebenden Elektronen haben zusammen genau die entsprechende negative Ladung. (Die willkürliche Vorzeichenfestlegung erfolgte lange vor Aufklärung der atomaren Struktur.)
Das einfachste Atom ist das vom Wasserstoff (hydrogeri) mit dem chemischen Symbol H. Das H-Atom besteht aus einem positiv geladenen Proton (p+) als Atomkern und einem durch die elektrische Kraft daran gebundenen negativ geladenen Elektron (e_). Obwohl Proton und Elektron grundverschiedene Teilchen mit einem Massenverhältnis von etwa 1836:1 sind, unterscheiden sie sich elektrisch nur durch das Vorzeichen ihrer Ladungen qp und qe:
?P = = ~e- (L1)
Die Beträge sind exakt gleich der Elementarladung e:
e = 1.602176 53(14)- 10~19C.	(1.2)
Wie üblich im Bergmann-Schaefer verwenden wir den englischen Dezimalpunkt anstelle des im Deutschen vorgeschriebenen Kommas, um Verwechslungen bei Zahlenvergleichen mit der durchweg englischen Fachliteratur vorzubeugen.
Bei Gl. (1.2) gibt die Zahl in Klammern den ( + )-Messfehler der letzten Dezimalstellen an.
Die Gleichheit von Protonen- und Elektronenladung wurde experimentell mit einer noch sehr viel größeren Genauigkeit bestimmt:
lgp + gel < 5-IO-21.	(1.3)
e
Proton und Elektron unterliegen auch der zwischen ihren schweren Massen wirkenden Gravitationsanziehung. Da das Abstandsgesetz für beide Kräfte gleich ist, kann das Verhältnis von elektrischer Kraft zu Gravitationskraft genau angegeben werden. Bei Proton und Elektron ist das Kräfteverhältnis gegeben durch
FJF&r x 2-IO39.	(1.4)
Die Gravitation ist also in der Atomphysik völlig vernachlässigbar.
Bei den schwereren Atomen bestehen die Atomkerne aus eng benachbarten Protonen (p+) und elektrisch neutralen Neutronen (n); beide Teilchenarten werden unter dem Begriff Nukleonen zusammengefasst. Zusammengehalten wird der Atomkern durch die zwischen den Nukleonen wirkenden Kernkräfte (nuclear forces) (Bd. 4, Bestandteile der Materie, Kap. 4, Atomkerne), die eine sehr kurze Reichweite haben und für dicht gepackte Nukleonen stärker sind als die gegenseitige elektrische Abstoßung der Protonen. Die Kernkräfte sind eine Manifestation der so genannten starken Wechselwirkung (strong interactiori) (Bd. 4 Kap. 5, Elementarteilchen). Solange kernphysikalische Prozesse keine Rolle spielen, können alle Atomkerne wie stabile „Elementarteilchen“ betrachtet werden, die mit Elektronen und anderen Atomkernen nur elektrisch wechselwirken.
Die Kernladungszahl (proton number) Z gibt die Protonenzahl des Kerns an. Der Atomkern wird von Z negativ geladenen Elektronen umgeben, die das chemische
1.3 Verbindung von Elektrizität und Magnetismus
7
Verhalten bestimmen, und deshalb wird Z auch als chemische Ordnungszahl (atomic number) bezeichnet. Atomkerne, die weniger Elektronen an sich gebunden haben als es ihrer Kernladungszahl entspricht, werden als (positive) Ionen bezeichnet; das Ablösen eines oder mehrerer Elektronen von einem Atom oder Molekül wird Ionisation genannt und der umgekehrte Vorgang Rekombination.
Elektrische Effekte sind beobachtbar, wenn freie Ladungen auftreten, das heißt, wenn aus irgendeinem Grund Elektronen von ihren Atomen abgetrennt werden. Das geschieht zum Beispiel durch Reibung (frictional charging) zweier verschiedener Körper, von denen der eine nachher an seiner Oberfläche durch Elektronenüberschuss negativ aufgeladen ist, der andere durch entsprechenden Elektronenmangel positiv. Solche Ladungstrennung geschieht bei den elektrischen Aufladungen des täglichen Lebens und - viel stärker - in Gewitterwolken (Abschn. 10.3.4), wo in entgegengesetzten vertikalen Strömungen Luft mit Wassertröpfchen und Eiskristallen und trockene Luft aufeinandertreffen.
Leiterströme. Eine Besonderheit ist die elektrische Leitfähigkeit (conductivity) der Metalle. Im Kupferdraht zum Beispiel liegen die Atome so dicht beieinander, dass das äußerste Elektron jedes Kupferatoms nicht mehr an seinen Atomkern gebunden ist, sondern sich im Kupferdraht nahezu frei bewegen kann. Die ortsfesten Atomrümpfe sind positiv geladene Ionen; sie bilden ein lonengitter (ion lattice), das die negative Ladung der Leitungselektronen (conduction electrons) kompensiert. Gelingt es nun, die Elektronen gezielt entlang des Drahtes in Bewegung zu setzen, dann entsteht ein elektrischer Strom, ohne dass die Ladungsneutralisation im Draht aufgehoben wird.
Um einen Strom durch den Draht zu treiben, muss ein Stromkreis gebildet werden (Abschn. 3.2), in dem eine „Stromquelle“ enthalten ist, z. B. eine elektrochemische Batterie (Abschn. 12.2).
Die in einem Metalldraht wandernden Elektronen sind ein Strom von negativen Ladungsträgern; bei elektrischen Strömen wird aber die Stromrichtung immer so angegeben, als ob positive Ladungsträger in Bewegung wären, im Metalldraht ist also der Elektronenfluss der Stromrichtung entgegengesetzt.
1.3	Verbindung von Elektrizität und Magnetismus
Wie die physikalischen Zusammenhänge von Elektrizität und Magnetismus aufgeklärt wurden, ist eine abenteuerliche Geschichte, die in diesem Buch ausführlich geschildert wird. Die drei wichtigsten Stufen der Erkenntnis waren folgende:
-	Nachdem man gelernt hatte, große Ströme durch Metalldraht-Leitungen zu treiben, wurde mithilfe von Kompassnadeln entdeckt, dass elektrische Ströme magnetische Felder erzeugen (Abschn. 3.3-4) und dass sich diese Felder erheblich verstärken lassen, wenn man Eisen hinzunimmt (Abschn. 3.6).
-	Mit Eisenkern und Leiterwicklung wurde dann das Phänomen der elektromagnetischen Induktion entdeckt (Abschn. 4.1); das ist die Erzeugung eines elektrischen Feldes durch ein veränderliches magnetisches Feld.
8
1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
-	Die vermutete Existenz des umgekehrten Effektes, nämlich die Erzeugung eines magnetischen Feldes durch ein veränderliches elektrisches Feld, führte zur Vorhersage und Entdeckung elektromagnetischer Wellen (Abschn. 5.3).
Grundgrößen. Wieviele Grundgrößen zur Beschreibung der physikalischen Gesetze optimal sind, ist intensiv diskutiert worden. Lange wurde versucht, den Elektromagnetismus ohne eine neue Grundgröße, allein mit Länge, Masse und Zeit zu beschreiben. Nachdem sich das als ungeeignet erwiesen hatte, wurde erwogen, zwei neue Grundgrößen einzuführen, eine für die Elektrizität und eine für den Magnetismus. Durchgesetzt hat sich die Einführung von nur einer neuen Grundgröße. In Anlehnung an die Elektrotechnik wurde der Strom als Grundgröße gewählt; die Einheit der Stromstärke, das „Ampere“ (A), ist die neue Basiseinheit neben Meter, Kilogramm, Sekunde, Kelvin und Mol (Abschn. 17.2.1). Die Ladungseinheit „Coulomb“ (C) ist eine abgeleitete Einheit: C = As.
Weil bei den meisten elektromagnetischen Größen kaum eine physikalische Beziehung zur (trägen) Masse erkennbar ist, wird im Elektromagnetismus meist so verfahren, als ob das Volt auch eine Basiseinheit wäre. Definiert ist das Volt über die Gleichheit von mechanischer und elektrischer Energie: J = N m = Ws = V As. Das führt zu der Gleichheit
V = kg m2 s ' A 1 oder kg = V A s3 m 2,	(1.5)
mit deren Hilfe das Kilogramm bei Bedarf aus den Einheiten elektromagnetischer Größen eliminiert werden kann.
Sonderstellung des Ferromagnetismus. Wie wir jetzt wissen ist der Ferromagnetismus ein sehr kompliziertes quantenmechanisches Kollektiv-Phänomen der Festkörperphysik und noch immer Gegenstand intensiver Forschung (Abschn. 14.2). Im Rahmen des klassischen Elektromagnetismus ist er überhaupt nicht zu verstehen.
Vom Altertum bis in die Neuzeit kannte man nur den natürlich vorkommenden Magneteisenstein als Material für Permanentmagnete, wie sie für Kompassnadeln notwendig sind, und das Metall Eisen als magnetisierbares Material. Bis 1820 bestand die einzige Verbindung zur Elektrizität in der vagen Ähnlichkeit der magnetischen Anziehungskraft mit der elektrischen Kraft, die z. B. von geriebenen Bernstein auf Spreu-Teilchen ausgeübt wird.
Nachdem man erkannt hatte, dass stromdurchflossene Spulen im Prinzip genau wie Permanentmagnete wirken, konnte die Theorie des Elektromagnetismus ohne Bezug auf den Ferromagnetismus formuliert werden. In experimentell ausgerichteten Darstellungen des Elektromagnetismus muss dagegen der Ferromagnetismus immer einbezogen werden, denn nur er liefert die starken Magnetfelder, die zur Beobachtung der wichtigsten elektromagnetischen Phänomene notwendig sind.
Bei Bestrebungen, den Ferromagnetismus in den Elektromagnetismus einzuordnen, ließ man sich lange Zeit leiten von der suggestiven Ähnlichkeit der ferromagnetischen und elektrostatischen Kraft. Die magnetischen Pole wurden formal wie „magnetische Ladungen“ behandelt, die allerdings immer nur paarweise auftreten. Diese statische Betrachtungsweise - Magnetostatik analog zur Elektrostatik - wurde später abgelöst durch die dynamische Interpretation magnetischer Phänomene (felderzeugende Ströme, Elektrodynamik).
1.4 Nutzung des Internets 9
1.4	Nutzung des Internets
Im letzten Abschnitt jedes Buchkapitels werden Internet-Hinweise zu speziellen Themen gegeben, die die folgende Form haben:
Spezielles Thema. Kurzbeschreibung des Anbieters, Anklickpfad von der Homepage bis zum Link
Link x-yz (x = Kapitelnummer, yz = laufende Nummer im Kapitel), ggf. Kommentar, Empfehlung weiterer Webseiten des Anbieters.
Diese Links können bequem auf der dafür eingerichteten Webseite des Verlags angeklickt werden. Dazu muss man nur einmal dorthin finden. Da auch die Webpräsentation des Verlags gelegentlich umgearbeitet wird, kann hier nur ein derzeit funktionierender Anklickpfad beschrieben werden: http://www.deGruyter.de/ ^Naturwissenschaften ^Mehrbändige Werke Bergmann, Ludwig / Schaefer, Clemens: Lehrbuch der Experimentalphysik => Bd 2: Raith, Wilhelm: Elektromagnetismus => (rechte Spalte) Links. - Diese Seite sollte als „Bookmark“ (Mozilla) bzw. „Favorit“ (Internet Explorer) gespeichert werden.
Die Kurzbeschreibung des Anbieters ist notwendig, um die Zuverlässigkeit der angebotenen Information einschätzen zu können. Bei den Webseiten der bekannten wissenschaftlichen und technischen Institutionen kann Zuverlässigkeit vorausgesetzt werden. Aber viele der informativen und didaktisch gut gestalteten Webseiten kommen von weniger ausgewiesenen Anbietern. Oft sind sie das Werk eines Autors, eingebettet in die Webseiten einer Universität oder Sponsor-Firma; solche Anbindung ist ein Qualitätsindikator und lässt hoffen, dass Bestand und Pflege dieser Präsentation über das Wirken des ersten Autors hinaus langfristig gesichert werden kann. Von den Firmen-Webseiten wurden hier nur solche genannt, bei denen die sachliche Information nicht durch Werbung überdeckt wird. Bei Webseiten von Privatpersonen muss sich der Surfer bewusst sein, dass Angaben zur Kompetenz und Motivation des Autors nicht nachprüfbar sind. Selbstverständlich wurden Webseiten von offensichtlich unseriösen Autoren - Verfechtern von Perpetua mobilia, Weltverbesserern, Esoterikern, Spaßvögeln - hier gar nicht aufgenommen.
Für die Beschreibung des Anklickpfades bis zum Link gibt es zwei Gründe: (1) Der Link kann versagen, weil der Anbieter seine Web-Präsentation überarbeitet und den Zugang verändert hat. Mit Kenntnis des früher funktionierenden Anklickpfades ist es oft möglich, die gesuchte Information doch noch irgendwie zu finden. (2) Beim Durchlaufen des Anklickpfades wird meist ersichtlich, dass auch noch andere interessante Information angeboten wird. Das soll zum „Browsing“ verführen.
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Die am Ende der folgenden Kapitel angegebenen Internet-Hinweise beziehen sich auf die behandelte Physik und deren technische Anwendungen, sowie auf Biogra
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1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
phien, geordnet nach Geburtsjahr, die die historische Entwicklung dieses Fachgebiets exemplarisch beschreiben. Für Leserinnen und Leser, die sich noch mehr Information über Elektromagnetismus, Elektrotechnik, allgemeine Physik, Wissenschaftgeschichte u. a. beschaffen möchten, werden die im folgenden genannten Web-Adressen empfohlen, die auch hier für viele Links zu speziellen Themen herangezogen worden sind.
1.4.1 Web-Adressen von allgemeiner Nützlichkeit
Internet Dictionary German <-> English. LEO - Link Everything Online. Ein Online-Service der Informatik der Technischen Universität München: http://www.leo.org/ => Deutsch - Englisches Wörterbuch =>
Link 1-1 Eingabe eines deutschen oder englischen Suchbegriffs.
Wikipedia. The Free Encyclopedia Wikipedia - managed and operated by the nonprofit Wikimedia Foundation - is a multilingual open-content online encyclopedia, continually evolving through collaborative development:
Wikipedia - Englisch: Die englische Version ist umfangreicher und enthält mehr Querverweise als die deutsche; sie ist deshalb - bei hinreichenden Sprachkenntnissen - der deutschen im Allgemeinen vorzuziehen: http://en.wikipedia.org ^Science =>Physics =
Link 1-2
Wikipedia- Deutsch: Die vorhandenen deutschen Beiträge sind den englischen meist gleichwertig, manchmal auch umfassender: => in other languages „Deutsch“ =
Link 1-3
World History. Sponsored by lOx Marketing, leader in Affiliate Marketing, World History is one of the most populär history sites in the world: http://www.worldhis-tory.com =
Link 1-4 Weiter z. B. mit => History of Science and Technology
1.4.2 Web-Adressen zu Wissenschaft und Technik (in alphabetischer Reihenfolge)
AIP History of Physics. American Institute of Physics (AIP): http://www.aip.org => Resources „History“ => Resources „Links“ =
Link 1-5 Weiter z. B. mit => Timeline of Electricity and Magnetism
Corrosion Doctors. The Corrosion Doctors Laboratories are an integral part of RMC (= Royal Military College of Canada, http://www.rmc.ca) and a Canadian Government Laboratory. The Corrosion Doctors brings in focus new tools, events and concepts to quantify corrosion damage and the benefits of proposed Solutions: http://www.corrosion-doctors.org/ => site map => Information Modules => Electro-chemical Systems and Processes => History of Electrochemistry => Klick here to enter =
1.4 Nutzung des Internets
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Link 1-6 Gute historische Darstellung, aufgeteilt in Module für verschiedene Zeitabschnitte, ergänzt durch einige anklickbare Biographien. Alphabetische Liste der aufrufbaren Biographien: => (links) Wissenschaftler-Kopf =
Link 1-7
Deutsches Museum. Auf Initiative Oskar von Millers (technischer Direktor der AEG) erfolgte 1903 die Gründung des Deutschen Museums auf der Jahreshauptversammlung des Vereins deutscher Ingenieure (VDI): http://www.deutsches-museum.de ^Austeilungen =
Link 1-8
Famous Scientists. Umfangreiche Biographien-Sammlung, erarbeitet von Prof. Eu-genii Katz, Senior Research Associate at the Department of Chemistry, The Hebrew University of Jerusalem, Givat Ram, Jerusalem 91904, Israel.
Homepage: http://www.geocities.com/neveyaakov/
oder http://chem.ch.huji.ac.il/~eugeniik/
Weiter mit => The history of electrochemistry, electricity and electronics =
Link 1-9 Die Biographien sind nach Geburtsjahr sortiert. Index-Seiten für größere Zeitabschnitte ermöglichen schnelle Orientierung.
Alternativ-Pfad zu dieser wichtigen Sammlung: AIP History of Physics (s. oben) People - Short profiles „Famous scientists relatet to electricity“
Hyperphysics. Hosted by the Department of Physics and Astronomy (phy-astr) of Georgia State University (gsu). The intent is to maintain the entire HyperPhysics project on the Web with stable locations so that links to it may be established with confidence that they will be there for an extended period of time: http://www.phy-astr.gsu.edu => (in linker Spalte) Hyperphysics => click on ’HyperPhysics’ logo = Link 1-10 Weiter z. B. mit => Electricity and Magnetism
Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). The IEEE, pronounced „EYE triple E“, is a global technical Professional society serving the public interest and members in electrical, electronics, Computer, Information & other technologies: http://www.IEEE.org
Virtual Museum: => Education => IEEE Virtual Museum =
Link 1-11 Weiter z.B mit => Powering the Electrical Revolution: Women and Technology
History Center: => About IEEE => IEEE History Center = Link 1-12 Weiter z. B. mit => Online Resources => Lagacies führt zu Biographien von führenden elektrischen Ingenieuren.
MacTutor History of Mathematics. University of St Andrews, St Andrews, Fife, Scotland: http://www.st-andrews.ac.uk/ ^>The University => University Research => Research Centres and Institutes => (weit unten) Mathematics and Statistics => MacTutor History of Mathematics =
Link 1-13 Weiter mit => Historie Topic Index, oder mit => Biographies Index
12	1 Einleitung: Zugang zum Elektromagnetismus
National Institute of Standards and Technology (NIST), http://www.nist.gov =>
Visit the Laboratory’s web sites: „Physics“ GO =
Link 1-14 Weiter z. B. mit => Products and Services „Constants, Units & Uncer-tainty“ => International System of Units (SI)
Nobelpreise, http://nobelprize.org Physics (or => Chemistry) Laureates = Link 1-15 => Find a Laureate - Insert Name GO. Weiter z. B. mit => Biography oder => Nobel Lecture
Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB). http://www.ptb.de =
Link 1-16 Weiter z. B. mit => Themen-Rundgänge => Fragen zur Zeit
Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik (VDE). http:// www.vde.com =
Link 1-17 Weiter z. B. mit => Fachgesellschaften => ETG Energietechnische Gesellschaft, oder mit => Ausschüsse => Blitzschutz und Blitzforschung
Welt der Physik. Angeboten von der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, gefördert vom Bundesministerium für Bildung und Forschung, Projektträger DESY.
Link 1-18 Weiter z. B. mit => Services „Suche“
Kapitel 2-6 Elektromagnetische Wechselwirkung von Ladungen, Strömen und Feldern
Der klassische Elektromagnetismus ist das Paradebeispiel für erfolgreiche physikalische Forschung: Die drei anfangs voneinander unabhängigen Gebiete Elektrizität, Magnetismus und Optik lassen sich nun gemeinsam mit den gefundenen Grundgesetzen beschreiben. Außerdem wurde durch diese Grundlagenforschung eine technische Entwicklung eingeleitet, die unsere Zivilisation wesentlich geprägt hat.
Als Beginn der Forschung auf diesem Gebiet kann man das 1600 erschienene Buch von William Gilbert („De magnete etc.“) betrachten, als Abschluss die etwa 300 Jahre später erschienenen Arbeiten von Heinrich Hertz („Über die Grundgleichungen der Elektrodynamik für ruhende Körper“, 1890) und Albert Einstein („Zur Elektrodynamik bewegter Körper“, 1905). Die Zeit dazwischen erlebte ein exponentielles Wachstum der wissenschaftlichen Aktivitäten in Europa und ab Mitte des 18. Jahrhunderts auch in Nordamerika.
Der klassische Elektromagnetismus beschreibt die Gesetze als Verknüpfung von Ladungen und Strömen mit Feldern:
-	Es gibt zwei Arten von Ladungen, die willkürlich als „positiv“ und „negativ“ bezeichnet werden. Ladungen erzeugen elektrische Felder. Elektrische Felder üben auf Ladungen Kräfte aus (Kap. 2).
-	Ströme bestehen aus bewegten Ladungen und erzeugen magnetische Felder. Magnetische Felder üben auf Ströme Kräfte aus. Die Beschreibung der magnetischen Effekte ist komplizierter als die der elektrostatischen (Kap. 3).
-	Veränderliche magnetische Felder erzeugen elektrische Felder (Kap. 4) und umgekehrt (Kap. 5).
-	Elektromagnetische Wellen bestehen aus orts- und zeitabhängigen gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern. Sie werden durch beschleunigte Ladungen erzeugt. Diese Wellen können sich auch im Vakuum ausbreiten (Kap. 5).
-	Elektromagnetische Wellen mit Wellenlängen von etwa 0.4 bis 0.8 jrm werden vom menschlichen Auge als sichtbares Licht wahrgenommen. Die Optik ist ein Teil des Elektromagnetismus (Kap. 6).
Die Ladungen und Ströme (bewegte Ladungen), auf die in elektrischen und magnetischen Felder messbare Kräfte ausgeübt werden, sind andere als die felderzeugenden. Das von einer zur Feldmessung verwendeten „Probeladung“ erzeugte Feld wirkt nicht auf diese selbst und braucht deshalb nicht betrachtet zu werden.
Es ist sehr sinnvoll, bei der theoretischen Behandlung deutlich zu machen, ob sich eine Beziehung auf „aktive“ felderzeugende Ladungen und Ströme oder auf „passive“ ruhende und bewegte Probeladungen bezieht. Die von den vorgegebenen Ladungen und Strömen erzeugten Felder heißen elektrische und magnetische Erre
14 Kapitel 2-6 Elektromagnetische Wechselwirkung
gung (electric and magnetic excitatiori) und werden durch die Vektorfelder D und H beschrieben. Die Kraft F, die an einem Ort des elektromagnetischen Feldes auf die mit der Geschwindigkeit c bewegte Probeladung q ausgeübt wird, definiert die elektrische und die magnetische Feldstärke (field strength) E und B:
F=q(E+vxB).	(Vorgriff auf Gl.(3.35))
Die vier Maxwell’schen Gleichungen (Kap. 5.3.2), die die Krönung der Theorie des klassischen Elektromagnetismus sind, enthalten zwei Gleichungen für die Erregungen und deren Verknüpfungen mit den felderzeugenden Ladungen und Strömen, bzw. - in differentieller Schreibung - mit den Ladungs- und Stromdichten. Das sind Quantitätsgrößen (Antworten auf die Frage „Wie viel?“). Zwei weitere Gleichungen beziehen sich auf die Feldstärken, die Intensitätsgrößen sind (Antworten auf die Frage „Wie stark?“). In dieser Darstellungsweise sind die Maxwell’schen Gleichungen nicht nur besonders elegant, sondern auch optimal geeignet für theoretische Verallgemeinerungen, wie die Erweiterung auf krummlinige Koordinatensysteme, Einfügung in die Allgemeine Relativitätstheorie etc.
Zur Lösung von Problemen, bei denen elektromagnetische Kräfte vorkommen, müssen die Feldstärken aus den durch Ladungs- und Stromverteilung bestimmten Erregungen berechnet werden können. Die Verknüpfungen von D mit E einerseits und H mit B andererseits sind abhängig vom Medium, in dem sich die Felder befinden. Das einfachste Medium ist das Vakuum; dafür gelten die linearen Verknüpfungen
E = (1 /e0) D	(Vorgriff auf Gl. (2.13))
und
B = fi0H.	(Vorgriff auf Gl. (3.24)).
Dass hier die elektrische Konstante (electric constant) ;;0 im Nenner, die magnetische Konstante (magnetic constant) p0 aber im Zähler steht, ist das Relikt eines historischen Umwegs im Verständnis des Elektromagnetismus.
Für andere Medien gelten andere Verknüpfungen. Eine sehr pauschale Beschreibung für andere Medien besteht in den Substitutionen
e0 -» £0£r und p0 -> p./i,,	(Vorgriff auf Abschn. 5.3.2)
wobei die (relative) Permittivität (permitivity) ;;r und die (relative) Permeabilität (per-meability) ii. im einfachsten Fall Materialkonstanen sind. In komplizierteren Fällen sind diese Faktoren jedoch keine Konstanten, sondern Funktionen der Erregungen und der Temperatur, bei oszillierenden Feldern auch Funktionen der Frequenz. Zur Beschreibung von Richtungsabhängigkeiten (Anisotropien) müssen diese Faktoren durch Tensoren ersetzt werden.
Für die uns umgebende atomare Materie in ihren drei Aggregatzuständen wird die Wirkung des Mediums in physikalisch besonders einsichtiger Weise beschrieben durch die Einführung der Polarisation (polarizatiori) P und der Magnetisierung (mag-netizatiori) M, die additiv in die Verknüpfungen der Feldstärken mit den Erregungen eingefügt werden:
E = (l/£0) (D — P)	(Vorgriff auf Abschn. 13.2.2)
und
B = /y, (H + M).	(Vorgriff auf Abschn. 3.6).
Kapitel 2-6 Elektromagnetische Wechselwirkung
15
Die unterschiedlichen Vorzeichen sind physikalisch sinnvoll: Die Polarisation hat eine abschirmende Wirkung, die das elektrische Feld im Medium schwächt (mehr in Kap. 13), während die Magnetisierung bei Para- und Ferromagnetika verstärkend wirkt; die abschirmende Magnetisierung in rein-diamagnetischen Medien und in Supraleitern wird durch negative Werte für M beschrieben (mehr in Abschn. 3.6.1 und 8.4 und Kap.14).
Die obigen Gleichungen könnten dazu benutzt werden, D und H aus den Max-well’schen Gleichungen durch Substitution zu eliminieren. Das hätte aber eine Verschleierung der physikalischen Zusammenhänge zur Folge und wird deshalb in dieser Auflage (anders als in der vorhergehenden) vermieden.
Für die Feldgrößen D, H und B sind auch noch andere Namen als die hier benutzten in Gebrauch; besonders verwirrend ist die veraltete (aber leider immer noch anzutreffende) Benennung von H als „magnetische Feldstärke“ (magnetic field strength). Zur Vermeidung von Missverständnissen ist es wichtig, dass nur die von Maxwell eingeführten Symbole verwendet werden. In der folgenden Tabelle werden die elektromagnetischen Feldgrößen nochmal zusammen vorgestellt.
Symbol	Name	SI-Einheit	Bedeutung
E	elektrische Feldstärke	V/m	q E = elektrische Kraft auf eine Ladung q
D	elektrische Erregung	As/m2	felderzeugende Ladungen sind die Quellen dieses Feldes
P	Polarisation	As/m2	Dipolmoment/Volumen
B	magnetische Feldstärke	T (Tesla) = Vs/m2	q(v x B) — magnetische Kraft auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Ladung q
H	magnetische Erregung	A/m	felderzeugende Ströme sind die Wirbel dieses Feldes*
M	Magnetisierung	A/m	magnetisches Moment/Volumen
* Die Streufelder von Ferromagneten sind wirbelfreie /Z-Felder, deren Quellen (Senken) die Senken (Quellen) der spontanen Magnetisierung sind (Abschn. 14.2.1).
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Tab. 2.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Größensymbol	Bedeutung
A a C c D d E F 9 I K £ £ m N nCu P Q q R r r s s T U V w x, y, z a Eo £r 9 Po P <7	Flächenvektor (Differential d/4) Fläche (Betrag) Abstand Kapazität Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) elektrische Erregung Distanz, Abstand elektrische Feldstärke Kraft Gravitationsbeschleunigung Strom(stärke) Proportionalitätskonstante gerichtete Länge (Vektor) Länge Masse Anzahl Dichte der Cu-Atome Dipolmoment (große) Ladung (kleine) Ladung, „Probeladung“ elektrischer Widerstand Ortsvektor, Radiusvektor Radius, radialer Abstand gerichtete Strecke, Weg (Differential d.s) Strecke, Funken-Schlagweite Drehmoment Spannung Volumen (Differenital d K) Arbeit, Energie elektrische Feldenergiedichte kartesische Längenkoordinaten Polarisierbarkeit elektrische Konstante (relative) Permittivität Winkel magnetische Konstante (Raum-)Ladungsdichte Flächen-Ladungsdichte
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2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Größensymbol	Bedeutung
T V V Q	Zeitkonstante elektrisches Potential elektrischer Fluss Raumwinkel (Differential dß)
Mathematisches Symbol	Bedeutung
A, a ... Q, a>	skalare physikalische Größen (Produkt von Maßzahl und Einheit), Beträge vektorieller Größen, mit Indizes auch Vektorkomponenten
A, a ... (2, <o A^\A\ Az, Ay, Az AB A x B 7t e exp() In A lim( ) Ax-0	vektorielle physikalische Größen Betrag (Länge) des Vektors Komponenten des Vektors A Skalarprodukt Vektorprodukt = 3.14159... = 2.71828..., Basis des natürlichen Logarithmus _ e() natürlicher Logarithmus Differenz-Symbol Limes, Grenzwert von ( ) für den Übergang Ax -> 0 proportional ungefähr gleich
d d/d() a/ao V V f(r) V  E(r) V x E(r) V2 = v-v di d.v S j E(r)  d.v £ E(r)  d.v dA dA H E(r)-dA <$> E(r)- dA	Differential-Symbol Operator: Ableitung nach ( ) Operator: partielle Ableitung nach ( ) Nabla, Vektoroperator mit den Komponenten d/dx, d/dy, d/dz Gradient des skalaren Feldes f(r) Divergenz des Vektorfeldes E(r) Rotation des Vektorfeldes E(r) Laplace-Operator (veraltet: A) skalares Linienelement vektorielles Linienelement Summation Linienintegral im Vektorfeld E geschlossenes Randkurven-Integral skalares Flächenelement vektorielles Flächenelement Flächenintegral im Vektorfeld E (geschlossenes) Hüllflächen-Integral
Ergänzende Information in Abschn. 15.3 (Infinitesimalrechnung) und Abschn. 15.4 (Vektoranalysis); Schaltzeichen der Elektrotechnik auf den inneren Einbandseiten.
In diesem auch als Elektrostatik bezeichneten Gebiet werden ruhende Ladungen auf Oberflächen behandelt. Wie die Ladungen auf die Oberflächen gelangen und wie sie wieder verschwinden, wird uns aus experimentiertechnischen Gründen interessieren, ist aber nicht das Hauptthema dieses Kapitels.
2.1 Experimentieren mit Ladungen
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2.1 Experimentieren mit Ladungen
Die Existenz elektrostatischer Aufladungen ist jedem Menschen bekannt durch die unangenehmen, aber harmlosen elektrischen Schläge, die oft damit verbunden sind. Wie mit recht einfachen Versuchen wichtige Erkenntnisse über die statische Elektrizität gewonnen werden können, soll im Folgenden gezeigt werden.
Obwohl sehr hohe Spannungen auftreten können, sind alle hier beschriebenen Experimente ungefährlich, solange zur Erzeugung der Aufladungen nur Reibungselektrizität und Elektrisiermaschinen verwendet werden. Bei Einsatz eines Hochspannungs-Netzgeräts ist darauf zu achten, dass eine Strombegrenzung auf 10 mA (oder weniger) eingebaut ist. Für die meisten Demonstrationsexperimente genügen Gleichspannungen bis 25 kV. Die Benutzung von Netzgeräten, deren Wirkungsweise hier noch nicht erklärt werden kann, ist zwar didaktisch unschön, erleichtert aber das Experimentieren wesentlich, insbesondere bei quantitativen Versuchen, die genau dosierte Ladungsmengen benötigen.
2.1.1 Reibungselektrizität
Historische Entwicklung. Bereits im Altertum wurden elektrostatische Effekte mit geriebenem Bernstein beobachtet. Der Name einer in Kleinasien (Sardes) gefundenen goldhaltigen Legierung war Elektron; wegen der ähnlich goldgelben Farbe erhielt der Bernstein den gleichen Namen. Der merkwürdige Zustand, in dem sich ein Stück Bernstein nach Reibung mit Wolle o. ä. befindet, wurde nach dem Bernstein als „elektrisch“ bezeichnet.
Das allererste wissenschaftliche Buch über Elektrizität und Magnetismus wurde von William Gilbert (1544-1603) mit dem Titel „De magnete, magneticisque cor-poribus, et de magno magnete tellure; Physiologia nova, plurimis argumentis, ex-perimentis demonstrata.“ 1600 in London veröffentlicht. Gilbert war Leibarzt von Königin Elisabeth und Naturforscher. Die wissenschaftliche Arbeit finanzierte er mit seinem Privatvermögen. Nach 18-jahrigem Studium von Elektrizität und Magnetismus veröffentlichte er die Ergebnisse im genannten Buch, in dem er auch seine Einstellung zur Naturforschung beschreibt: „Bei der Entdeckung unbekannter Dinge und in der Untersuchung verborgener Ursachen werden durch gesicherte Experimente und demonstrierbare Argumente überzeugendere Resultate erhalten als durch wahrscheinliche Vermutungen und die Meinung philosophischer Spekulanten.“ Und einem nachfolgenden Forscher, der vielleicht glaubt, er könne die Gilbert’schen Ergebnisse mühelos reproduzieren, sagt er: ,, Wenn ein Experiment versagt, dann soll er nicht in seiner Unwissenheit unsere Entdeckungen verwerfen, denn es ist nichts in diesem Buch, was nicht immer wieder untersucht und unter unseren eigenen Augen wiederholt wurde. “ Zusammen mit Galileo Galilei (1564-1642) hat Gilbert die neuzeitliche Experimentalphysik begründet.
Gilbert stellte fest, dass die Anziehungskräfte von Magneten und Bernstein deutlich verschiedene Phänomene sind und dass die von ihm so benannte elektrische Kraft (vis electrica), zwar schwächer als die magnetische, aber von allgemeinerer Bedeutung ist.
20	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Er fand eine große Anzahl von Stoffen, die - wie Bernstein - durch Reiben „elektrisch“ werden: Diamant, Saphir, Amethyst, Beryll, Opal, Bergkristall, Glas, Schwefel, Flussspat, Steinsalz, Mastix, Gummilack, Kolophonium.... Auch den schädlichen Einfluss von Feuchtigkeit auf elektrostatische Experimente beobachtete er.
Es dauerte noch über 100 Jahre bis klar erkannt war, dass der „elektrische Zustand“ durch einen neuartigen „Stoff“ bewirkt wird: die elektrische Ladung. Ladung kann von einem Körper auf einen anderen durch Oberflächenkontakt übertragen werden; damit ist keine messbare Massenübertragung verbunden.
Isolatoren und Leiter. Ladung kann durch manche Stoffe „hindurchfließen“, wie 1729 von Stephen Gray erkannt wurde. Man unterscheidet Isolatoren (insulators) und Leiter (conductors). Während bei einem Isolator die Ladungen an den Stellen der Oberfläche, wo sie aufgebracht wurden, haften bleiben, verteilen sie sich bei einem Leiter auf der ganzen Oberfläche. Auch die Erde ist mit ihren Ozeanen und feuchten Gesteinsschichten wie eine sehr große leitende Kugel zu betrachten, über die sich alle „zur Erde abgeleiteten“ Ladungen verteilen und durch diese Verdünnung praktisch verschwinden. Die Ausbreitung von Ladung auf einem Leiter unterstützt die Vorstellung, dass elektrische Ladung ein beliebig teilbares „kontinuierliches Medium“ ist. Das ist einstweilen eine sinnvolle Annahme, denn die atomistische Struktur der Elektrizität ergibt eine Grenze der Teilbarkeit von Ladung, die weit unterhalb der Nachweisempfindlichkeit der in diesem Kapitel besprochenen Experimente liegt.
Zwischen Leitern und Isolatoren gibt es in Wirklichkeit keine strenge Grenze; es gibt viele Abstufungen von den besten zu den schlechtesten Leitern. Gute Leiter sind Metalle, Kohle, wässrige Säure- oder Salzlösungen. Aber auch schlechte Leiter wie Regen- und Leitungswasser und der menschliche Körper sind für elektrostatische Experimente als „hinreichend gute“ Leiter zu betrachten, weil die auftretenden Spannungen so hoch und die gespeicherten Ladungsmengen so gering sind, dass die Ladungen auch über schlechte Leiter sehr schnell abfließen.
Elektrostatische Experimente erfordern deshalb zur Speicherung von Ladungen sehr gute Isolatoren. Aber selbst diese versagen bei hoher Luftfeuchtigkeit, weil sich auf Isolatoren dünne, leitende Wasserfilme bilden. Im Winter ist in beheizten Räumen die Luftfeuchtigkeit gering; dann gelingen die Experimente besser als im Sommer.
Ebenfalls zu beachten ist, dass auch scheinbar trockene Hände beim Anfassen von Isolatoren auf deren Oberflächen Schweißspuren hinterlassen, wodurch die guten Isolatoren zu schlechten Leitern werden können. Deshalb ist das Berühren von Isolatoroberflächen zu vermeiden. Bei der Reinigung von Isolatoren mit fettlösenden Mitteln ist Vorsicht geboten, weil die meisten Lösungsmittel gesundheitsgefährdend sind. Das harmloseste ist Ethylalkohol (Ethanol); der billige Brennspiritus genügt.
Gute Isolatoren sind Glas, Quarz, Porzellan, die meisten Kunststoffe, Bernstein, Seide, Öle, Luft und andere Gase. Nur weil Luft die Elektrizität nicht leitet, ist es überhaupt möglich, einen durch Aneinanderreiben verschiedener Stoffe erzeugten elektrischen Zustand zu beobachten. Wäre die Luft nämlich ein Leiter, dann würden die erzeugten elektrischen Ladungen sich wieder neutralisieren.
Aufladung und Entladung. Der Begriff „Reibungselektrizität“ trifft nicht das Wesentliche, weil es bei der Ladungstrennung nur auf den guten Kontakt der Stoffe an
2.1 Experimentieren mit Ladungen 21
kommt. Dieser Kontakt kann bei zwei festen Stoffen am leichtesten durch kräftiges Zusammendrücken und Reiben erzielt werden, weil die Oberflächen immer mikroskopische Rauhigkeit besitzen. Durch Kontakt und anschließende Trennung zweier Stoffe werden beide in einen elektrisch geladenen Zustand versetzt. Sofern verhindert wird, dass die Ladungen abfließen, können fast alle Stoffe, Leiter genauso wie Bernstein und Wolle, elektrisch aufgeladen werden.
Versuch: Man setzt einen metallischen Kochtopf auf eine Glasplatte oder Plastikfolie. Von einem durch Reiben aufgeladenen Stab kann man die Ladung am Topfrand „abstreifen“. Wegen der Leitfähigkeit des Metalls wird der ganze Topf in den elektrischen Zustand versetzt, aber die Ladung kann nicht zur Erde abfließen.
Der elektrisch geladene Zustand einer Oberfläche lässt sich rasch wieder beseitigen, wenn man mit der Hand oder einem feuchten Lappen über die Oberfläche streicht. Hoch erhitzte Luft oder Flammengase sind gute Leiter, was sich z. B. dadurch zeigen lässt, dass man einen geriebenen Kunststoffstab kurz über eine Bunsenbrenner-Flamme oder in einen sehr heißen Luftstrom bringt: seine Aufladung wird sofort beseitigt. Durch hohe Temperatur, aber auch durch energiereiche Strahlung (ultraviolettes Licht, Röntgenstrahlung, Gammastrahlung, Elektronenstrahlen) werden im Gas positive und negative Ladungsträger (Ionen und Elektronen) erzeugt, die das Gas „leitfähig“ machen. Man kann die Leitfähigkeit ionisierter Gase ausnutzen, um unerwünschte Aufladungen von Isolatoren zu beseitigen.
Anziehung und Abstoßung. Um die Kraftwirkung genauer untersuchen zu können, hängen wir einen mit Wolle geriebenen Hartgummistab waagrecht auf (Abb. 2.1) und nähern einem seiner Enden einen auf gleiche Weise geriebenen zweiten Hartgummistab. Beide Stäbe befinden sich also im gleichen „elektrischen Zustand“, und wir beobachten eine kräftige Abstoßung der einander genäherten Stabenden.
Abb. 2.1 Drehbar aufgehängter Hartgummistab, der durch Reiben elektrisch aufgeladen wurde.
Nähern wir aber dem aufgehängten Hartgummistab einen mit Seide geriebenen Glasstab, so findet eine starke Anziehung statt, während schließlich zwei auf gleiche Weise geriebene Glasstäbe, von denen wir den einen frei beweglich aufhängen, sich gegenseitig ebenso abstoßen, wie die beiden geriebenen Hartgummistäbe. Das führt zu folgendem Schluss:
• Es gibt zwei verschiedene elektrische Zustände. Gleichartige Zustände wirken aufeinander mit Abstoßung, ungleichartige Zustände mit Anziehung. Die beiden Arten elektrischer Aufladung werden als positive und negative elektrische Ladung bezeichnet.
In den 1730er Jahren erkannte Charles Du Fay (1698-1739) nach umfangreichem explorativen Experimentieren, dass sich die elektrostatischen Phänomene nur verstehen lassen, wenn man zwei Arten von Elektrizität annimmt, wobei sich gleichartige Aufladungen abstoßen und ungleichartige anziehen. Du Fay nannte die Elekt
22	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
rizitäten mit Bezug auf ihre Erzeugung durch Reibung „glasartig“ und „harzartig“. In den 1750er Jahren deutete Benjamin Franklin die Verschiedenartigkeit als Überund Unterschuss von nur einem „elektrischen Fluidum“ und verwendete die Begriffe plus und minus zur Beschreibung der Bipolarität.
Die Zuordnung des Vorzeichens zu den beiden Arten elektrischer Ladung ist willkürlich und wurde 1778 durch G. C. Lichtenberg endgültig festgelegt. Danach ergeben sich für die folgenden Stab/Reibzeug-Beispiele die angegebenen Polaritäten:
Stab	Reibzeug	Stab-Polarität
Hartgummi	Pelz, Wolle	—
Glas, Plexiglas	Seide	+
Es genügt, wenn zum Experimentieren eine der angegebenen Stab/Reibzeug-Kom-binationen vorhanden ist, weil sich die beim Reiben anderer Stoffe ergebenden Polaritäten dann leicht empirisch feststellen lassen. Kunststoffstäbe eignen sich auch gut zur Erzeugung von Reibungselektrizität; ihre Ladungspolarität hängt vom chemischen Aufbau (und dem Reibzeug) ab.
Da der Vorgang der Reibung ein wechselseitiger ist, wird nicht nur der geriebene Körper, sondern auch das Reibzeug elektrisch: Nähert man einem aufgehängten geriebenen Glasstab (Abb. 2.1) das zum Reiben benutzte Stück Seide, so wird der Glasstab angezogen, während von dem gleichen Stück Seide ein mit einem Wollappen geriebener Hartgummistab abgestoßen wird.
Seit dem 18. Jahrhundert gibt es viele Ansätze zur Aufstellung von Stoff-Reihenfolgen, etwa derart, dass ein bestimmter Stoff sich negativ auflädt, wenn er mit einem der vorgenannten Stoffe gerieben wird, aber positiv auflädt beim Reiben mit einem nachgenannten Stoff (Abschn. 13.1.1). Die Ergebnisse sind jedoch unbefriedigend, weil es nicht nur auf die stoffliche Natur des Körpers ankommt, sondern auch auf seine Oberflächenbeschaffenheit. Beispiel: Schleift man die Hälfte eines polierten Glasstabs matt, so wird dieses Ende beim Reiben mit Wolle negativ elektrisch, während die polierte Hälfte mit dem gleichen Reibzeug positiv elektrisch wird.
Das Doppelpendel-Elektroskop besteht aus zwei kleinen, möglichst leichten Kugeln mit leitenden Oberflächen, die mit dünnen, leitenden Fäden an einem Metallbügel
Abb. 2.2 (a) Elektrisches Doppelpendel, (b) Blättchen-Elektroskop.
2.1 Experimentieren mit Ladungen 23
aufgehängt sind (Abb. 2.2a); der Metallbügel ist an einem isolierenden Stativ befestigt. Ungeladen berühren sich die herabhängenden Kugeln; werden die Kugeln aufgeladen, z. B. durch „Abstreifen der Ladung“ eines geriebenen Stabes am Drahtbügel und Ladungsausbreitung über die leitenden Fäden zu den Kugeln, dann stoßen sie sich gegenseitig ab, wobei ihr Abstand mit der Aufladung größer wird. So ein Doppelpendel ist leicht herzustellen: Als leichtes Material wurde früher Holundermark verwendet; heute gibt es Styropor und Schaumgummi, beides ist als Verpackungsmaterial verfügbar. Es brauchen keine Kugeln zu sein; dünne Stäbchen genügen auch. Die leitende Oberfläche erhält man durch Umwickeln mit einer dünnen Metallfolie oder durch Bepinseln mit Aquadag (kolloidaler Graphit in Wasser). Zum Aufhängen nimmt man Nähgarn, mit Graphitstaub vom Bleistift oder durch Feuchtigkeit leitfähig gemacht. Über diesen leitenden Faden können auch die Ladungen zugeführt werden.
Eine empfindlichere Anordnung mit Skala ist das Blättchen-Elektroskop von Abb. 2.2 b. Im Inneren eines zylindrischen, auf beiden Seiten durch Glasscheiben abgedeckten Metallgehäuses hängen an einer oben isoliert eingeführten Metallstange zwei schmale Blättchen aus Aluminium- oder Goldfolie. Diese sehr dünnen Folien spreizen sich, wenn das kugelförmige Ende der Metallstange oben mit einem elektrisch geladenen Körper berührt wird, weil sich die Ladung auf Kugel, Stange und Blättchen verteilt.
Anstelle von zwei beweglichen Kugeln oder Metallblättchen benutzt man vielfach nur einen beweglichen Leiter, der von einem festen abgestoßen wird. Dadurch wird die Skalenablesung zur quantitativen Erfassung des Effektes erleichtert; das Elekt-roskop wird zum Elektrometer. Heute verwendet man elektronische Messgeräte, die zur Messung sehr kleiner Ladungen geeignet sind und deshalb auch „Elektrometer-Verstärker“ genannt werden.
Versuche zur Ladungstrennung. Dass Reibung gar nicht nötigt ist, sondern schon der innige Kontakt zur Ladungstrennung (charge Separation) genügt, beweist der Versuch von Abb. 2.3, bei dem von einem Teller, verbunden mit einem anfangs ungeladenen Elektroskop, ein Klebeband abgerissen wird: Das Elektroskop zeigt die verbleibende Ladung an.
Auch pulverförmige Stoffe können durch innige Berührung elektrisch werden, wie folgende Versuche zeigen:
Abb. 2.3 Ladungstrennung durch Abreissen einer Klebefolie. Die Folie soll mit einem Stück zum Anfassen über den Teller des Elektroskops hinausragen. Teller nicht mit den Händen berühren!
24	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
-	Man zerstäubt ein Gemisch aus gleichen Teilen Mennige (rotes Farbpulver, Pb3O4) und Schwefelpulver durch ein Stück Gaze hindurch. Dadurch wird Schwefel negativ, Mennige positiv elektrisch. Lässt man das Gemisch auf zwei nebeneinander liegende geriebenen Stäbe aus Glas und Hartgummi fallen, so bleibt der gelbe Schwefel am Glas, die rote Mennige am Hartgummi haften.
-	Man lässt ein Gemisch aus zwei Teilen Bleipulver und einem Teil Schwefelpulver wie in Abb. 2.4 gezeigt durch einen Trichter fallen. Unterhalb des Trichters wird der leichte Schwefel mit einem Gebläse weggeblasen, während das schwere Blei in einen Metallbecher fällt und bei dem anfangs ungeladenen Elektroskop eine Ladungsanzeige bewirkt.
Gebläse
Abb. 2.4 Nachweis der Ladungstrennung beim Pulvergemisch Schwefel/Blei. Der Schwefel wird weggeblasen, Blei fällt in den Metallbecher auf dem Teller des Elektro-skops.
Mit den Vorstellungen des atomaren Elektromagnetismus lässt sich die Ladungstrennung qualitativ leicht verstehen: Atome sind quasineutrale Systeme aus negativ geladenen Elektronen und positiv geladenen Atomkernen. In verschiedenen Atomen sind die Elektronen unterschiedlich stark gebunden. Werden zwei verschiedene Stoffe in Kontakt gebracht, dann berühren sich die unterschiedlichen Atome der beiden Stoffe, und von den Atomen, die ihre Elektronen weniger stark an sich binden, gehen einige Elektronen über an Atome des anderen Stoffes, deren Elektronen stärker gebunden sind. Eine quantitative Beschreibung scheitert schon an dem Problem, die Güte des Kontaktes zu quantifizieren. Selbst ebene, glatt polierte Oberflächen sind mikroskopisch uneben, und nur an einigen Erhebungen können die Atome wirklich in Kontakt mit den Atomen eines anderen Körpers kommen.
Gleichheit der getrennten Ladungsmengen, Erhaltung der Ladung. Nach der atomphysikalischen Vorstellung ist es leicht einzusehen, dass die auf das andere Material übergehenden und dort eine negative Aufladung bewirkenden Elektronen auf dem Material, das sie abgegeben hat, eine gleichgroße positive Aufladung hinterlassen.
2.1 Experimentieren mit Ladungen 25
In der Frühzeit der elektrostatischen Forschung war jedoch die Gleichheit der getrennten Ladungsmengen keineswegs selbstverständlich.
Folgender Versuch demonstriert diesen Sachverhalt: Setzt man auf ein Elektrometer eine waagrechte ebene Metallplatte und legt man darauf eine ebenfalls ebene Kunststoff-, Paraffin- oder Gummiplatte, dann zeigt das Elektrometer keinen Ausschlag, wenn man die obere Platte dreht, also beide Platten durch Reibung elektrisiert. Hebt man aber die obere Platte ab, so erhält man sofort einen kräftigen Ausschlag des Elektrometers, der verschwindet, wenn man die bewegliche Platte wieder auf die feste Platte des Elektrometers aufsetzt.
Die hier demonstrierte Gleichheit der getrennten Ladungsmengen kann verallgemeinert werden zu einem Erhaltungssatz für die elektrische Ladung. Schon 1747 wurde von Benjamin Franklin (1706-1790), Philadelphia, der Erhaltungssatz in folgender Weise formuliert:
„Elektrisches Feuer ist ein richtiges Element oder eine Art der Materie, die durch Reibung nicht erzeugt, sondern nur gesammelt werden kann.“
2.1.2 Influenzerscheinungen
Phänomen der Influenz (electric inductiori). Bei dem allerersten, 1600 von Gilbert in seinem Buch dargestellten Elektroskop (Abb. 2.5) war die Anzeigenadel wie eine Kompassnadel spitzengelagert. Diese unmagnetische Metallnadel zeigt zum elektrisch aufgeladenen Körper hin, ohne dass eine Berührung mit Ladungstransfer stattgefunden hat. Phänomenologisch ist das Verhalten ähnlich wie das einer Kompassnadel in der Nähe eines Magnetpols, nur dass bei der Kompassnadel ein bestimmtes Ende angezogen und das andere abgestoßen wird, während bei der Nadel von Abb. 2.6 immer das der Aufladung nähere Ende angezogen wird, ungeachtet der unterschiedlichen Form der Nadelenden.
Abb. 2.5 Das erste Elektroskop (aus W. Gilbert, „De magnete etc.“, London 1600). Die Drahtnadel ist mittels eines Hütchens frei auf einer Spitze schwebend aufgehängt.
Influenzphänomene sind lange Zeit falsch gedeutet worden. Erst 1754 wurde die Influenz von John Canton und 1757 von Johan Carl Wilcke richtig interpretiert.
Influenz-Experimente. Dazu benutzen wir einen isolierten, zylindrischen Metallkörper (Abb. 2.6a), der in der Mitte geteilt ist und an beiden Enden kleine Doppelpendel nach Abb. 2.2a trägt. Nähert man diesem Leiter - ohne ihn zu berühren - von der einen Seite einen geriebenen Hartgummistab, so zeigen die Pendel an beiden Seiten das Vorhandensein elektrischer Ladungen an.
26	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Das Vorzeichen der Ladungen an den Zylinderenden lässt sich wie folgt bestimmen: Man streift etwas Ladung von dem geriebenen Hartgummistab auf eine leichte, isoliert an einem Faden aufgehängte Kugel. Dann nimmt man mit einer „Probekugel“ (einer kleinen Metallkugel an einem Isoliergriff) Ladung von einem Ende des Metallkörpers ab und stellt fest, ob die vorher aufgeladene, beweglich aufgehängte Kugel abgestoßen oder angezogen wird. Das Resultat: Das dem Hartgummistab benachbarte Ende hat positive Ladung, das entfernte Ende negative.
Der elektrische Zustand auf dem Leiter verschwindet wieder, sobald der Hartgummistab entfernt wird. Die auf dem Leiter aufgetretenen Ladungen werden als Influenzladungen (charging by inductiori) bezeichnet. Ganz allgemein gilt:
• In einem elektrisch leitenden Körper treten örtlich getrennt positive und negative Ladungen auf, wenn sich ein elektrisch geladener Körper in der Nähe befindet. Die dem geladenen Körper zugewandte Seite trägt die Influenzladung mit entgegengesetztem Vorzeichen. Nach Entfernung des geladenen Körpers verschwinden die Infiuenzladungen durch gegenseitige Neutralisation.
Abb. 2.6 Versuch zur Influenz: (a) Ladungstrennung über beide Körperhälften, (b) Trennung der Körperhälften zum Nachweis der getrennten Ladungen.
In einem zweiten Versuch werden die beiden Leiterhälften getrennt (Abb. 2.6b), indem die linke Hälfte nach links geschoben wird, während der Hartgummistab sich weiterhin in der Nähe der rechten Hälfte befindet. Erst nach der Trennung der Leiterhälften wird der Hartgummistab weggenommen. In diesem Fall behalten die beiden Doppelpendel ihren Ausschlag, weil sich die entgegengesetzten Infiuenzladungen nicht mehr neutralisieren können.
Infiuenzladungen üben auf den in der Nähe befindlichen geladenen Körper, der die Influenz hervorgerufen hat, elektrische Kräfte aus, wobei immer die Anziehungskraft überwiegt, weil die nahe Influenzladung das andere Vorzeichen hat. Beim Gilbertschen Elektroskop (Abb. 2.5), dessen Nadel durch eine in der Nähe befindliche Ladung „influenziert“ wurde, entsteht ein auf die Nadel wirkendes Drehmoment.
Es ist möglich, mit Influenzladung eine Elektroskop-Anzeige zu erhalten, ohne dass Ladung auf das Instrument übertragen wird (Abb. 2.7); die Anzeige verschwindet wieder, wenn der Stab entfernt wird. Das ist ein sehr einfacher Versuch zur Demonstration der Influenz. Er kann aber leicht scheitern, weil es - insbesondere
2.1 Experimentieren mit Ladungen 27
Abb. 2.7 Elektroskopanzeige bewirkt durch Influenz.
bei starker Aufladung des Stabes - möglich ist, dass unbemerkt Ladung durch die Luft vom Stab auf das Elektrometer gelangt (Sprühentladung, Abschn. 2.1.4). Dann wird auch nach der Wegnahme des Stabes noch eine Aufladung angezeigt!
2.1.3 Sitz der Ladungen auf einem Leiter
Wenn wir einen isoliert aufgestellten Leiter mit Elektrizität aufladen, wird die Ladung, die auf und auch in dem Leiter beweglich ist, eine ganz bestimmte räumliche Gleichgewichtsverteilung annehmen. Da sich die Untermengen der Ladung gegenseitig abstoßen, wird sich eine Verteilung mit größtmöglicher Verdünnung ergeben. Aber was ist das für eine Verteilung? Führt die elektrische Abstoßung zur maximalen Expansion, nur begrenzt durch den äußeren Rand des leitenden Bereichs? Oder zu einer kontinuierlichen Verteilung der Ladung über das gesamte leitfähige Volumen? Welche Verteilung ist tatsächlich zu beobachten?
Die im Folgenden beschriebenen Beobachtungen zeigen, dass sich die auf einen Metallkörper aufgebrachte Ladung im Gleichgewicht nur auf der Oberfläche befindet, bei hohl geformten Metallkörpern nur auf der äußeren Oberfläche.
Faraday-Käfig. Umgibt man eine geladene Metallkugel mit zwei ungeladenen, leitenden Halbkugelschalen, die man an isolierenden Handgriffen anfasst, so erweist sich die innere Kugel nach Berührung mit den umschließenden Halbkugelschalen und nach deren Entfernung als völlig ungeladen (Abb. 2.8a): Die Elektrizität hat sich nicht auf alle Leiter verteilt, sondern ist völlig auf die beiden Halbkugelschalen übergegangen.
Setzt man, wie es in Abb. 2.8b gezeigt ist, auf einen isoliert aufgestellten Metallteller A ein empfindliches Elektroskop E und stülpt darüber eine Glocke G aus
28
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.8 (a) Anordnung für den Nachweis, dass sich die Ladung einer aufgeladenen Hohlkugel auf der äußeren Oberfläche befindet, (b) Versuch zur Wirkung des Faraday-Käfigs.
Metallgaze, die durch einen Draht D in leitender Verbindung mit dem Knopf des Elektroskops steht, so kann man die ganze Anordnung beliebig stark aufladen, sodass z. B. ein auf der Gazeglocke angebrachtes Doppelpendel einen kräftigen Ausschlag zeigt, ohne dass das im Inneren befindliche Elektroskop eine Ladung anzeigt.
M. Faraday hat 1836 den Versuch im großen Maßstab angestellt und sich persönlich mit einem Elektroskop in solch einen Käfig begeben; selbst bei den kräftigsten Aufladungen des isoliert aufgestellten Käfigs zeigte sein Elektroskop keine elektrische Wirkung an.
Selbstverständlich kann im Inneren eines metallischen Hohlkörpers eine Ladung existieren, wenn sie in keiner leitenden Verbindung mit dem umschließenden Hohlkörper steht. Dies kann man mit der Versuchsanordnung von Abb. 2.8b zeigen: Wenn man die leitende Verbindung D zwischen Gazeglocke G und Elektroskop E entfernt und letzteres vor dem Aufsetzen der Glocke auflädt, dann behält es seine Ladung auch unter der Glocke bei. Es ist auch möglich, Ladungen von außen über eine isolierte Zuleitung in das Innere eines Faraday-Käfigs zu bringen, wie das bei Elektrometern mit geerdeten Metallgehäusen geschieht.
Abschirmung. Das Innere einer geschlossenen metallischen Umhüllung ist vollkommen gegen äußere elektrische Einflüsse geschützt (electric shielding). Es brauchen keine massiven Metallwände zu sein; feinmaschige Metallgaze genügt. Diese elektrische Abschirmung (die Elektrotechniker sagen „Schirmung“) ist in vielen Fällen wichtig, z. B. um empfindliche elektrische Apparate vor elektrischen Störungen zu sichern. Bei einem Gewitter sind die in einem Auto sitzenden Personen deshalb geschützt, weil sie sich in einem Faraday-Käfig befinden. Das gilt natürlich nicht für Kabrioletts und auch nicht für Autos mit Plastik-Karosserie!
Für Experimente innerhalb eines Faraday-Käfigs wirkt die leitende Verbindung mit der Käfigwand wie eine Erdung (Abschn. 3.2.5). Ob die abgeleitete Ladung außen auf der Käfigwand sitzen bleibt oder sich wirklich über die ganze Erde verteilt, ist für das Experiment im Inneren belanglos.
2.1 Experimentieren mit Ladungen 29
Überführung von Ladung. Die oben beschriebene Erscheinung, dass die ins Innere eines metallischen Hohlkörpers gebrachte Ladung bei Berührung vollständig auf die äußere Oberfläche des Körpers übergeht, benutzt man beim Gebrauch des Be-cher-Elektroskops zur vollständigen Überführung der Ladung. Der mit der Ladung behaftete Probekörper wird in das Innere des auf dem Elektroskop sitzenden Bechers gebracht und, nachdem er tief im Inneren des Bechers die Wand berührt hat, ungeladen wieder herausgezogen.
Die Wirkung des Bechers zeigt folgender Versuch (Abb. 2.9): Von zwei gleichen Becherelektroskopen A und B sei A anfangs geladen, B ungeladen. Versucht man, die Ladung von A nach B mit einer Probekugel in einzelnen Teilbeträgen zu überführen, so hängt das Endergebnis davon ab, an welcher Stelle im Augenblick der Ablösung der letzte Kontakt zwischen Becher und Probekugel stattfindet. Im Fall (a) wird die Probekugel abwechselnd an die Außenseite des Bechers angelegt. Im Fall (b) erfolgt der letzte Kontakt mit dem Becher von Elektroskop A am äußeren Rand, aber mit B am inneren Boden des Bechers. In beiden Fällen wird Ladung von A nach B übertragen und in beiden Fällen sinkt die von der Probekugel auf einmal transportierte Ladungsmenge ab, sie geht asymptotisch gegen null. Nach (unendlich) vielen abwechselnden Kontakten der Probekugel mit den beiden Elekt-roskopen ist der erreichte Endzustand im Fall (a) eine gleichgroße Aufladung von A und B, im Fall (b) dagegen eine vollständige Ladungsüberführung von A nach B.
Abb. 2.9 Ladungstransfer mit Probekugel von A nach B: Die Fälle (a) und (b) führen nach (unendlich) vielen wechselseitigen Kontakten zu unterschiedlichen Ladungsaufteilungen.
Ladungsverteilung auf der Oberfläche. Abb. 2.10a zeigt den Querschnitt eines Leiters A mit daran angelegter Probekugel K und Probescheibe S. Die Ladung (im Bild positiv) verteilt sich auf Kugel und Scheibe und wird beim Wegnehmen derselben mit abgenommen. Mit einer metallischen Probekugel oder einer Probescheibe an einem isolierenden Griff („Ladungslöffel“) kann man also die Ladungsverteilung an der Oberfläche eines Leiters abtasten und die abgenommenen Ladungsmengen durch Elektrometer-Ausschläge miteinander vergleichen.
Bei einem kugelförmigen Metallkörper findet man, wie aus Symmetriegründen zu erwarten ist, eine gleichmäßige Verteilung der Ladung an der Oberfläche. Anders ist das Ergebnis bei dem Leiter mit der in Abb. 2.10b dargestellten Form: Das Elektroskop gibt den größten Ausschlag, wenn die Ladung an der Stelle A abgenommen wird; die Ausschläge nehmen ab, wenn die Ladungen von den mit B, C, D und E
30	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.10 (a) Zur Messung der Oberflächenverteilung der elektrischen Ladung, (b) Besonders geformter Metallkörper zur Untersuchung der Oberflächenverteilung der Ladung.
bezeichneten Stellen abgenommen werden. Diese Stellen unterscheiden sich durch die Verschiedenartigkeit der lokalen Oberfläche. Der beobachtete Elektrometerausschlag lässt sich mit der makroskopischen Krümmung der Oberfläche in Beziehung setzen. Die „Dichte der elektrischen Ladung“ ist am größten an der Spitze A, dann folgen die rechtwinklige Kante B, die stumpfwinklige Kante C, die Zylinderoberfläche D und die ebene Oberfläche E.
Flächenladungsdichte. Die beschriebenen Beobachtungen legen es nahe, neben der Ladungsmenge Q (Einheit Coulomb, C = As) auch die Flächenladungsdichte er einzuführen: Ist die auf einem (skalaren) Flächenelement dA sitzende Ladungsmenge gegeben durch dQ, dann ist die Flächenladungsdichte (surface charge density)
<j = dQfdA	(2.1)
und wird in C m 2 gemessen.
Die Gesamtladung eines Leiters ergibt sich aus der Integration der Flächenladungsdichte über die gesamte Oberfläche. Für die Kugel mit Radius r gilt:
Q — 4n r2 g .	(2.2)
2.1.4 Entladungen durch die Luft
Ladung kann auf einem isoliert aufgestellten Leiter (conductor) gesammelt werden. Dieser bei allen Elektrisiermaschinen vorhandene Metallkörper, meist in Form einer großen Kugel, wird Konduktor genannt. Bisher haben wir die Laborluft als isolierendes Medium betrachtet. Das gilt aber nur für geringe Aufladungen. Bei hohen Flächenladungsdichten kommt es zu Entladungen durch die umgebende Luft.
Spannung. Für die Behandlung der Entladungen ist es sinnvoll, den in der Einleitung schon erläuterten Begriff der Spannung zu verwenden, der erst in Abschn. 2.3 richtig definiert wird. Hier genügt die Vorstellung, dass die Spannung mit der Ladungsmenge wächst, weil die gegenseitige Abstoßung der Ladungsuntermengen sich verstärkt und dadurch der „Druck“ größer wird. Bei vorgegebener Form von Elektrode
2.1 Experimentieren mit Ladungen
31
Abb. 2.11 Zum Nachweis der Spannungsbegrenzung durch eine Sprühentladung zwischen geerdeter Spitze und aufgeladener Kugel.
und geerdeter Umgebung ist die Spannung zwischen aufgeladener Elektrode und Erde proportional zur Ladung auf der Elektrode und damit auch zu der Ladung, die bei einmaligem Kontakt mit einem Probekörper abgenommen werden kann. Im Prinzip sind deshalb Instrumente zur Ladungsmessung (Elektrometer) auch für Spannungsmessungen geeignet.
Nähert man einer aufgeladenen und mit einem Elektroskop verbundenen Kugel (Abb. 2.11) eine geerdete Spitze, dann setzt bei einem bestimmten, von der Stärke der Kugelaufladung abhängigen Abstand eine Sprühentladung durch die Luft hindurch ein. Entscheidend für das Zustandekommen der Sprühentladung ist die Flächenladungsdichte an der Spitze, die im Beispiel von Abb. 2.11 geerdet ist und ihre Ladung durch die Influenzwirkung der Kugelladung erhält. Das Absprühen von Ladung hört auf, wenn die Ladung der Kugel und damit auch die Ladungsdichte an der Spitze zu weit absinkt. Je kleiner der Abstand zwischen geerdeter Spitze und geladener Kugel, desto kleiner ist auch die Schwellenspannung für die Sprühentladung.
Die Fähigkeit einer (geerdeten) Spitze, ohne elektrischen Kontakt Ladung von einem Konduktor zu entfernen, bezeichnete man früher als „Saugwirkung der Spitze“. Heute spricht man eher von „Absprühen von Ladung“. Bei den im nächsten Abschnitt besprochenen Elektrisiermaschinen werden aus vielen Nadeln bestehende „Saug-oder Sprühkämme“ zur kontaktlosen Überführung von Ladungen eingesetzt. Genausogut können dafür Messer oder dünne Drähte verwendet werden, z. B. Klaviersaitendraht von 0.1 mm Durchmesser.
Um bei Hochspannungsanlagen Verluste durch Absprühen zu vermeiden, rundet man alle Kanten und Ecken ab und vermeidet so jegliche Art von Spitzen auf der Hochspannungsseite und auch auf der Erdseite. Bei zunehmender Spannung treten dann sogenannte Büschelentladungen (Abschn. 10.3.3) an den Stellen auf, wo die Flächenladungsdichte am größten ist; das sind die Stellen größter Krümmung auf Hochspannungs- und Erdseite. Diese Entladungen sind mit typischen Leuchterscheinungen dicht an der gekrümmten Oberfläche und mit starken Spannungsschwan
32	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
kungen verbunden. Wird aber Büschelentladung durch sorgfältige Formgebung vermieden, dann treten zwischen schwach gekrümmten Elektroden bei hinreichend hoher Spannung Funkenentladungen auf.
Anders als die Sprühentladung, die die Spannung begrenzt, wirkt die Funkenentladung wie eine kurzzeitig vorhandene leitende Verbindung (wie ein „momentaner Kurzschluss“ in der Sprache der Elektriker) zwischen aufgeladener und geerdeter Elektrode; die Spannung sinkt ab auf null. Aber schon 1 ms nach der Funkenentladung hat die Luft wieder Isolierwirkung; die Aufladung kann neu beginnen.
Kugelfunkenstrecke. Misst man die maximale Schlagweite s der Funken zwischen zwei Kugeln vom Radius rK, dann erhält man einen Messwert für die Hochspannung U. Werte für U(rK, s) sind tabelliert (z. B. F. Kohlrausch, Praktische Physik, Bd. 3). Hier genügt folgender Richtwert: Für s < rK und trockene Luft gilt
U x 30 kV • (s/cm);	(2.3)
für feuchte Luft liegt der Faktor zwischen 30 und 24. Ein kleinerer Faktor gilt auch für Kugeln, deren Radius nicht wesentlich größer als die Schlagweite ist.
Unterschiede zwischen den Ladungsarten. Die bisher beschriebenen Versuche zur Elektrostatik lassen keinen prinzipiellen Unterschied zwischen den positiven und negativen Ladungen erkennen. Es gab jedoch schon im 18. Jahrhundert Beobachtungen, die auf prinzipielle Unterschiede hinwiesen; so z. B. das von Lichtenberg studierte positive und negative „Büschellicht“ (Abschn. 10.3.3). Das waren erste Andeutungen der atomaren Struktur der Gase: Die bei Gasentladungen wirksamen Ladungsträger sind positive Ionen und negative Elektronen, die ein Massenverhältnis von etwa 104:1 haben und dementsprechend sehr unterschiedlich an der Entladung mitwirken.
Es folgen zwei Beispiele von polaritätsabhängigen Entladungen, mit deren Hilfe eine unbekannte Polarität experimentell bestimmt werden kann:
1.	Doppelfunkenstrecke. Wenn sich eine Spitze und eine flache Elektrode gegenüberstehen, dann hängt es von der Polarität ab, bei welchen Spannungen eine Funkenentladung (Abschn. 10.3.3) einsetzt. Die Spannung ist deutlich niedriger, wenn die Spitze die positive Polarität besitzt. Das lässt sich sehr schön mit der in Abb. 2.12a gezeigten Doppelfunkenstrecke demonstrieren; bei angelegter Gleichspannung tritt der Funke immer nur in der Strecke auf, deren Spitze der Pluspol ist.
Abb. 2.12 Polaritätsbestimmung: (a) Bei der Doppelfunkenstrecke tritt der Überschlag auf, wo die Spitze positiv ist. (b) Die Glimmlampe zeigt Glimmlicht an der negativen Elektrode.
2.1 Experimentieren mit Ladungen
33
2.	Glimmlampe. Hier handelt es sich um eine Niederdruck-Glimmentladung (Abschn. 10.3.5), bei der die negative Elektrode vom Glimmlicht umgeben ist. Gut geeignet ist eine Glimmlampe für Soffittenfassung (Abb. 2.12b), die von Spitze zu Spitze 50 mm misst. Hält man die Glimmlampe mit den Fingerspitzen an der einen Metallkappe fest und bringt das andere Ende in die Nähe der Hochspannungselektrode, bis eine Sprühentladung zur Glimmlampe einsetzt, dann zeigt das gut sichtbare Glimmlicht, auf welcher Seite die negative Polarität liegt.
2.1.5 Elektrisiermaschinen
Prinzip der Maschinen. Elektrisiermaschinen bewirken Ladungstrennung durch Reibung oder Influenz. Die Ladungen verschiedenen Vorzeichens werden mechanisch voneinander entfernt und zu zwei Konduktoren transportiert, wobei einer davon die Erde sein kann. Bei kontinuierlichem Antrieb durch Muskelkraft oder Elektromotor wird ein Strom erzeugt, durch den die Aufladung des Konduktors ansteigt bis Entladungen einsetzen. Der Strom ist durch die erzeugbaren Flächenladungsdichten und die Geschwindigkeit des Ladungstransports begrenzt und liegt in der Größenordnung von Mikroampere. Die Maximalspannung ist durch die Bauform von Maschine und Konduktor und das umgebende Gas (Art und Druck) festgelegt. Schon mit kleinen Maschinen können in trockener Laborluft Spannungen in der Größenordnung von 100 Kilovolt erzielt werden.
Reibungsmaschinen. Otto von Guericke (1602-1686), der mit Evakuierungsversuchen berühmt gewordene Bürgermeister von Magdeburg und erste deutsche Experimentalphysiker, baute die erste Elektrisiermaschine: In eine Glaskugel schmolz er Schwefel. Nach Erkalten zerstörte er das Glas und steckte eine eiserne Achse durch die Schwefelkugel, die er in einem Gestell drehbar lagerte. Als Reibzeug benutzte er seine Hand. Seine Maschine erzeugte deutlich hörbares Knistern. Er beobachtete auch die elektrische Abstoßung und sah, dass eine aufgeladene Kugel im Dunkeln leuchtet (erste Erwähnung der Elektrolumineszenz, Abschn. 9.4.4). In späteren Reibungsmaschinen wurde die Kugel durch rotierende Zylinder oder Scheiben ersetzt. Um 1740 erfand Georg Matthias Bose, Wittenberg, den „Konduktor“ zur Speicherung der Ladung.
Influenzmaschine. Ohne auf Vorläufer wie den von Lichtenberg u. a. verwendeten „Elektrophor“ einzugehen, beschreiben wir gleich die hochentwickelte Form, die diese Maschine durch wesentliche Beiträge von W. Holz (1865), A. Töpler (1866) und J. Wimshurst (1883) erhalten hat. Die für Demonstrationen gut geeignete Maschine (Abb. 2.13a) ist in vielen Vorlesungssammlungen zu finden, oft kombiniert mit Leidener Flaschen zur Ladungsspeicherung.
Die Funktionsweise wird anhand von Abb. 2.13b beschrieben: Zwei gleich große Hartgummi- oder Kunststoffscheiben sind so angeordnet, dass sie in geringem Abstand voneinander und auf der gleichen Achse sitzend gegenläufig rotieren, angetrieben durch ein Handrad. Auf den äußeren Flächen beider Scheiben sind Aluminiumstreifen geklebt. Um die Wirkungsweise besser verstehen zu können, sind die dünnen Streifen in Abb. 2.13b durch dicke Kästen ersetzt, die auf gegenläufig ro-
2.1 Experimentieren mit Ladungen
35
um in Tätigkeit zu gelangen, gar nicht elektrisiert zu werden braucht. Wenn er auch wochenlang nicht gebraucht wurde, so beginnt er doch von selbst wieder zu arbeiten, wenn man nur 4 bis 5 Minuten anhaltend gedreht hat.“ Dieses Prinzip der Selbsterregung war das elektrostatische Vorbild für das 1866 entdeckte elektromagnetische Dynamoprinzip (Abschn. 4.4), das die elektrische Energietechnik eröffnete.
Bandgenerator. Sowohl bei den Reibungsmaschinen mit rotierenden Kugeln, Zylindern oder Scheiben als auch bei der oben beschriebenen Influenzmaschine erfolgt der Ladungstransport vom Ort der Ladungstrennung zum Konduktor über den rotierenden Körper. Eine neue Idee ist der Bandgenerator, bei dem der mechanische Ladungstransport auf einem isolierenden endlosen Band (z. B. aus Gummi oder Seide) erfolgt, das zwischen Erde und Hochspannungselektrode umläuft und so lang sein kann, wie es hochspannungstechnisch notwendig ist. Nach seinem Erfinder R. J. Van de Graaff (1901 1967) wird diese Maschine auch Van-de-Graaff-Generator genannt. Abb. 2.14 zeigt zwei verschiedene Möglichkeiten für die Be- und Entladung des Bandes: Die Anordnung (a) zeigt Fremderregung: Zwischen der Sprühvorrichtung Sj und der unteren Walze liegt die Gleichspannung des Generators G. Die aufgesprühte positive Ladung wird vom Band B ins Innere des Konduktors K transportiert, der als Faraday-Käfig wirkt, sodass die von der Sprühvorrichtung S2 abgenommene Ladung sofort nach außen fließt. Die Fremderregung wird bei großen Maschinen bevorzugt, weil mit der angelegten Gleichspannung der Bandstrom gesteuert und so die Hochspannung stabilisiert werden kann.
Die Anordnung Abb. 2.14b zeigt die technisch einfachere Selbsterregung, bewirkt durch eine aus Kunststoff oder hochisoliertem Metall bestehende Erregerwalze E in Kontakt mit dem laufenden Band. Die durch elektrostatische Ladungstrennung auf das Band gebrachten Ladungen sind für den eigentlichen Transport zu vernachlässigen. Aber schon nach einigen Bandumläufen ist die Erregerwalze so stark (z. B. negativ) aufgeladen, dass an dem geerdeten Sprühdraht Sj Entladung einsetzt und dadurch das aufwärtslaufende Band mit (positiver) Ladung besprüht wird. Bei der Anordnung (b) soll die enge Bandführung schleifende Bandhälften andeuten: Damit lassen sich hohe Flächenladungsdichten erreichen, weil keine ladungskompensierenden Sprühentladungen zwischen den Bandhälften auftreten. Diese Bauart empfiehlt sich für Demonstrationsgeräte mit geringen Betriebszeiten, bei denen der Bandabrieb
Abb. 2.14 Aufladung des Transportbandes beim Bandgenerator: (a) Fremderregung, (b) Selbsterregung, schleifende Bandhälften. Die Walze E ist aus Kunststoff und lädt sich durch den Bandkontakt auf.
36	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
kein Problem ist. Die einfache Bauweise und das klare Prinzip der Hochspannungserzeugung hat den Bandgenerator zum beliebten Eigenbau-Projekt für Schüler und Studenten werden lassen. Es gibt auch kleine kommerzielle Bandgeneratoren, die für Vorlesungsdemonstrationen sehr gut geeignet sind.
Der Bandgenerator ist ein anschauliches Beispiel für eine Quelle elektrischer Energie mit (näherungsweise) konstantem Strom. Solange die Spannung zwischen Konduktor und Erdseite nicht so hoch ist, dass Entladungen entlang des Bandes („Abrutschen der Bandladung“) auftreten, ist die vom Band transportierte Ladung unabhängig von der Spannung. Der „Verbraucher“ wählt die gewünschte Spannung, z. B. durch Einstellen des Abstandes der spannungsbegrenzenden Sprühspitze.
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke
2.2.1 Coulomb-Gesetz
Messung der elektrischen Kraft. Wir kennen schon die Merkmale des elektrischen Zustandes: Gleichnamige elektrische Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Diese Kraftwirkung soll jetzt genauer untersucht werden. Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) hat mit der in Abb. 2.15 skizzierten Torsionswaage 1785 die Kraft zwischen zwei Ladungen in Abhängigkeit vom Abstand der Ladungen gemessen.
An einem sehr dünnen Metallfaden F hängt waagerecht ein dünner Isolatorstab. Dieser trägt an einem Ende eine kleine Metallkugel Kp am anderen Ende ein gleich schweres Gegengewicht. Eine zweite, gleich große Metallkugel K2 wird elektrisch geladen und dicht neben die erste Kugel gestellt. Durch eine kleine Drehung am Torsionskopf T (oben) kann man leicht erreichen, dass die Kugel K, gerade eben die Kugel K2 berührt. Diese gibt nun die Hälfte ihrer Ladung an die Kugel K, ab, weil beide Kugeln gleich groß sind. Aus der Vergrößerung des Abstandes von K, und K2, messbar durch einen am Spiegel Sp reflektierten Lichtstrahl, kann man nun die Kräfte ermitteln, mit welchen die beiden Kugeln gegenseitig abgestoßen werden. Die Größe der Kraft hängt von der Ladung ab, die man zu Beginn des Versuchs der Kugel K2 gegeben hat. Die Abnahme der Ladung während der Messung aufgrund von Ableitung über die Aufhängung wurde von Coulomb durch Kontrollmessungen zu verschiedenen Zeiten erfasst und korrigiert.
Abb. 2.15 Prinzipskizze der Coulomb’schen Torsionswaage. Der Glaszylinder, der die Anordnung umgibt und vor Luftzug schützt, wurde weggelassen.
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke
37
Bezeichnet man mit F den Betrag der Kraft zwischen den beiden Ladungen Q und Q2 und mit r deren Abstand, dann lautet das Coulomb-Gesetz:
ß, ß,
F ~	(2.4)
r
In Analogie zu dem in der Astronomie so erfolgreichen Gravitationsgesetz war diese Form des elektrischen Kraftgesetzes von Coulomb und seinen Zeitgenossen erwartet worden. Die Gravitationskraft zwischen zwei kugelförmigen Massen ist gleich der Kraft zwischen zwei entsprechenden „Punktmassen“ im Abstand der Kugelmittelpunkte; weil das so ist, lag es nahe anzunehmen, dass die elektrische Kraft zwischen zwei aufgeladenen leitenden Kugeln gleich der Kraft zwischen den ent-spechenden „Punktladungen“ ist. Das gilt aber nicht exakt, weil die Ladungsverteilung auf den Kugeln durch Influenz verändert wird. Coulomb hat Versuche mit Kugeln verschiedener Größe (wie auch Rechnungen dazu) durchgeführt, um den Schritt vom Experiment mit kleinen Kugeln zum Kraftgesetz für Punktladungen zu rechtfertigen.
Coulombs Messungen waren darauf ausgerichtet zu zeigen, dass der Exponent im Nenner von Gl. (2.4) gleich zwei ist, wie beim Gravitationsgesetz, - nicht eins oder drei. Ein nicht-ganzzahliger Exponent in der Nähe von zwei wurde durch diese Messungen jedoch nicht ausgeschlossen. Die Proportionalitätskonstante, die die elektrische Kraft quantitativ mit Qv Q2 und r verbindet, konnte Coulomb noch nicht bestimmen, weil es damals für die Ladung noch keine Maßeinheit gab.
Für ein Demonstrationsexperiment zum Coulomb-Gesetz ist die in Abb. 2.16 skizzierte Pendel-Anordnung geeigneter. Eine leichte, metallisierte Kugel hängt an einem isolierenden Doppelfaden aus Kunstfasern. Direkt daneben befindet sich eine gleich große zweite Kugel, die auf einem isolierten und verschiebbaren Stativ befestigt ist. Werden die beiden Kugeln gleichnamig geladen, so stoßen sie sich ab, und die frei aufgehängte Kugel bewegt sich um die Strecke a aus ihrer Ruhelage; es sei dann r ihre Entfernung von der festen Kugel, wenn unter r der Abstand der Mittelpunkte beider Kugeln verstanden wird. Der abstoßenden Kraft wird das Gleichgewicht von einer Komponente F der Schwerkraft gehalten. Ist m die Masse der Kugel, g die Gravitationsbeschleunigung und 9 der Ablenkungswinkel des Pendels aus der Ruhelage, so ist
Abb. 2.16 Pendel-Anordnung zum Nachweis der Entfernungsabhängigkeit der elektrischen Kraft.
38
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
und wenn die Pendellänge t hinreichend groß ist, gilt sin 3 « (a — Sehne des Bogenstückes). Damit wird die abstoßende Kraft F proportional zur Ablenkung a. Verschiebt man die feste Kugel nach links um solche Beträge, dass die Entfernung zwischen ihr und der beweglichen Kugel 2r, 3r, 4r usw. wird, so geht die Entfernung der beweglichen Kugel von ihrer Ruhelage, gegeben durch die Größe a, und damit auch die Kraftwirkung auf 1/4, 1/9, 1/16 usw. des ursprünglichen Wertes zurück.
Messung der Ladungsverteilung auf einem Leiter. Mit viel größerer Strenge lässt sich das Entfernungsgesetz aus der experimentell gefundenen Tatsache herleiten, dass im Inneren eines elektrisch geladenen Hohlleiters keinerlei elektrische Kraftwirkungen nachzuweisen sind.
Nachdem Benjamin Franklin 1755 beobachtet hatte, dass Ladungen immer an der äußeren Oberfläche von Metallkörpern sitzen, regte er Joseph Priestley (1733— 1804, hauptsächlich berühmt durch seine Entdeckung des Elementes Sauerstoff) zu theoretischen Überlegungen an. 1766 erkannte Priestley den Zusammenhang zwischen Franklins Beobachtung und der quadratischen Entfernungsabhängigkeit der elektrischen Kraft. Daraus folgt auch, dass ein elektrisch leitender Körper, der von einer Metallhülle umschlossen ist und zu ihr eine leitende Verbindung hat, im Gleichgewicht keine elektrische Ladung tragen kann. Wird auf den Körper im Inneren irgendwie eine Ladung platziert, dann fließt diese nach außen ab. Anders formuliert: Die im Inneren eingebrachte positive (negative) Ladung zieht die im Metall beweglichen Ladungsträger, die negativen Elektronen, an (stößt sie ab) bis lokale Neutralität erreicht ist; dadurch verlagert sich die im Inneren eingebrachte Ladungsmenge auf die Außenfläche der Metallhülle. Den theoretischen Beweis für dieses Verhalten werden wir in Abschn. 2.2.6 mithilfe einer Verallgemeinerung des Coulomb-Gesetzes führen.
Als J.C. Maxwell 1879 unter dem Titel „Electrical Research of the Honourable Henry Cavendish“ die hinterlassenen Manuskripte von H. Cavendish (1731-1810) veröffentlichte, erfuhr die erstaunte Fachwelt, dass Cavendish schon 1773, also 12 Jahre vor Coulombs Messungen ein den Priestleyschen Überlegungen entsprechendes geniales Experiment durchgeführt hatte.
Die Abb. 2.17 zeigt Cavendish’s Tagebuch-Skizze des Experiments. Eine Metallkugel G ist isoliert auf dem Glasstab sS montiert und umgeben von einem zuklappbaren Rahmen ABCD/AbcD, an dem zwei leitende „Halbkugeln“ (H und h) aus (feuchter, leitender) Pappe befestigt sind. Zugeklappt umschließen diese Gebilde die Kugel G mit einem Abstand von etwa einem halben Zoll ringsherum. Tt ist das improvisierte Doppelpendel-Elektroskop: ein Glasstab, der bei x mit Staniol umwickelt ist, wo zwei Fäden herunterhängen. Zur Durchführung des Versuchs wird zuerst der Rahmen geschlossen, hH und G werden mit einem (in der Skizze nicht gezeigten) Draht kurzgeschlossen und zusammen elektrisch aufgeladen. Dann wird schnell hintereinander die Drahtverbindung zwischen hH und G entfernt und der Rahmen mit den Halbkugeln aufgeklappt. Resultat: das Elektroskop zeigt keine Ladung, genau der Befund, der für eine quadratische Entfernungsabhängigkeit der Kraft erwartet wird.
Cavendish führte für sein Experiment auch eine kritische Fehler betrach tung durch und zeigte, dass nur dann keine beobachtbare Ladungsanzeige auftritt, wenn die Abweichung des Exponenten von 2 im Betrag kleiner als der Grenzwert von 2 • 10 2
40	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Heute wird in Wissenschaft und Technik das Internationale Einheitensystem (Systeme International d’Unites, abgekürzt SI) benutzt, das als elektrische Grundgröße die Stromstärke I mit der Basiseinheit Ampere (A) besitzt. Damit ergibt sich für die Ladung die Maßeinheit Ampere-Sekunde (As) mit dem Eigennamen Coulomb (C). Die Ladungseinheit Coulomb ist also das Produkt der unabhängig vom Coulomb-Gesetz definierten Einheiten Ampere und Sekunde. Damit wurde K eine messbare Naturkonstante.
Spätestens jetzt erhebt sich die Frage, ob die Konstante, die für die Kraft zwischen zwei Ladungen im Vakuum definiert ist, durch Messungen in Luft bestimmt werden kann. Wie in Abschn. 2.4.3 ersichtlich wird, ist eine kleine Korrektur erforderlich: Für Vakuum ist die Konstante K um den Faktor 1.000 594 größer als für trockene Laborluft.
Behält man im Coulomb-Gesetz den Faktor K, ähnlich wie die Gravitationskonstante im Newtonschen Gesetz, dann ergibt sich später in den Formeln für ebene Ladungsverteilungen durch Integration zwangsläufig ein Faktor 4n, der dort, z. B. beim Plattenkondensator, zu Recht als störend empfunden wird. Ausgehend von der Überlegung, dass das Coulomb-Gesetz einen physikalischen Sachverhalt mit sphärischer Symmetrie beschreibt, bei dem das Auftreten von 4n als Raumwinkel der Vollkugel verständlich ist, wurde K substituiert durch
mit e0 als elektrische Konstante (electric constant).
Zum Schluss ist noch anzumerken, dass die elektrische Konstante ihre Messbarkeit schon wieder verloren hat. Das ereignete sich wie folgt: In dem Bestreben, messtechnisch von den makroskopischen Primärstandards, wie dem in Paris sorgfältig bewahrten Urkilogramm, unabhängig zu werden, wurde dazu übergegangen, die Basiseinheiten auf atomphysikalische Messgrößen zu beziehen, die Sekunde z. B. auf die Periode einer Schwingung aus der Spektroskopie des 133Cs-Atoms. Genausogut kann man aber auch den Zahlen wert einer atomphysikalischen Naturkonstante festlegen und damit implizit eine Basiseinheit definieren: So ist z. B. die Basiseinheit Meter neuerdings durch die oben erwähnte Definition der Sekunde und durch Festlegung des Zahlenwertes für die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c definiert. Die elektrische Konstante £0 ist davon betroffen, weil - wie in Abschnitt 3.3.2 erläutert wird -die magnetische Konstante festgelegt wurde, um die Basiseinheit Ampere zu definieren und weil ;;0 und ty zusammen die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum und damit auch die Lichtgeschwindigkeit c bestimmen. Das bedeutet auch die folgende Festlegung von £0:
e0 ee [(299 7924S8)2 - 4rr -10-7]-1 A2 s4 kg-1 m~3
= 8.854187817 ... • 10-12 AsV-1m-1.	(2.9)
Mit dem definierten Wert für (4tt e0) 1 sind wir fast wieder bei der Gauß’schen Betrachtungsweise des Coulomb-Gesetzes angelangt, jetzt allerdings mit einer von eins verschiedenen, einheiten-behafteten Proportionalitätskonstante und mit einer völlig anderen Einheit für die Ladung.
Die aus der Elektrotechnik stammende Ladungseinheit Coulomb ist für die Elektrostatik sehr groß: Nach dem Coulomb-Gesetz üben zwei Ladungen von je 1 C im
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke 41
Abstand von 1 m aufeinander die ungeheuer große Kraft von 1010N aus; das entspricht dem Gewicht einer Megatonne! Andererseits ist diese Ladungseinheit für die Physik der Leiterströme (Kap. 3) keineswegs besonders groß: Sie entspricht ungefähr der frei beweglichen Ladung in einem Kupfer-Kügelchen von 0.5 mm Durchmesser.
2.2.3 Elektrische Erregung und Feldstärke
Das Coulomb-Gesetz in der Form von Gl.(2.4) beschreibt die Fernwirkung (action at a distance) zwischen zwei Ladungen, so wie das Newton’sche Gravitationsgesetz die Fernwirkung zwischen zwei Massen beschreibt. Eine völlig andere Auffassung von elektrischer Kraft (Gravitation) ist die einer schon von C. F. Gauß postulierten „raumzeitlichen Fortpflanzung“, die „Nahewirkung“ (H.Weyl) oder Feldwirkung (A. Sommerfeld) genannt wird. Die letztere Bezeichnung weist darauf hin, wodurch die Wirkung übertragen wird, nämlich durch das von einer Ladung (Masse) erzeugte, den gesamten Raum erfüllende Feld, das lokal auf eine andere Ladung (Masse) eine Kraft ausübt.
Für statische Wechselwirkungen sind Fern- und Feldwirkungsbeschreibung im Prinzip gleichwertig. Die Einführung des elektrischen Feldes ermöglicht jedoch schon für die Phänomene der Elektrostatik sehr viel elegantere Beschreibungen. Die Notwendigkeit der Feldvorstellung ergibt sich in der Elektrodynamik bei der Behandlung schnell veränderlicher Vorgänge (Kap. 5).
Wie im Vorspann zu den Kapiteln 2-6 schon kurz erwähnt, ist es sinnvoll, zwischen den felderzeugenden Ladungen und den Probeladungen zu unterscheiden. Dazu folgen wir Maxwell und führen zwei verschiedene elektrische Vektorfelder ein, die elektrische Erregung D für die Beschreibung des erzeugten Feldes, und die elektrische Feldstärke E für lokal mögliche Kraftwirkungen auf Probeladungen. Der einfache Fall der Coulomb-Kraft zwischen zwei elektrischen Punktladungen soll hier benutzt werden, um den Unterschied zwischen Fern- und Feldwirkungsbeschreibung zu verdeutlichen.
Fernwirkungsbeschreibung. Nach Gl. (2.6) und (2.8) ist die Kraft F zwischen den beiden Ladungen QY und Q2 im Abstand r gegeben durch
ß, ß,
(2.10) 4n e0 r
wobei die Kraft bei vorzeichengleichen Ladungen abstoßend ist.
Feldwirkungsbeschreibung. Wir interpretieren eine der beiden Ladungen als die „felderzeugende Ladung“ Q und die andere als die „Probeladung“ q . Die Punktladung Q, der Einfachheit halber hier im Ursprung des Koordinatensystems lokalisiert, erzeugt eine elektrische Erregung D, deren Stärke mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt:
D=	(2.11)
4n r
42	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
wobei der Einheitsvektor (r/r) und damit auch der Feldvektor D bei einer positiven Ladung von dieser weggerichtet ist. Der Faktor 4n im Nenner steht hier wegen der Kugelsymmetrie des Feldes (vgl. Erläuterungen zu Gl. (2.8)).
Die elektrische Kraft F, mit der sich die beiden Ladungen anziehen oder abstoßen, wird jetzt der lokalen Wirkung der elektrischen Feldstärke E (r) auf die Probeladung q am Ort mit Ortsvektor r zugeschrieben:
F=qE(r).	(2.12)
Diese Beziehung ist die Definition der elektrischen Feldstärke und gilt allgemein, auch wenn Leiter in der Umgebung vorhanden sind. Um sicher zu stellen, dass die Probeladung q nicht die Verteilung der felderzeugenden Ladungen durch Influenz (Abschn. 2.2.6) verändert, muss sie hinreichend klein sein. Im Prinzip ist der Grenzübergang q -> 0 zu vollziehen; das ist jedoch kein praktisches Problem, weil die konzeptionell und didaktisch sehr wichtigen Probeladungen in der Messtechnik keine Bedeutung haben.
Die Erregung D und die Feldstärke E sind in Vakuum (und in sehr guter Näherung auch in Luft und in anderen Gasen) miteinander verknüft durch
E=(^D.	(2.13)
Das folgt aus dem Vergleich der Feldwirkungsbeschreibung der elektrischen Kraft zwischen zwei Punktladungen (Gl. (2.11)—(2.13)) mit dem Coulomb-Gesetz (Gl. (2.10)).
Dass die Erregung nach Gl. (2.11) und damit auch die Feldstärke für r -> 0, also am Ort der felderzeugenden Punktladung, unendlich groß wird, ist ein prinzipielles Problem, mit dem wie folgt umgegangen wird:
•	Im klassischen Elektromagnetismus existiert das Problem eigentlich gar nicht. Es gibt nur kontinuierlich verteilte, immer endlich große Ladungsdichten. Die „Punktladung“ ist nur eine Näherung für den Fall, dass eine auf einen kleinen Raum konzentrierte Ladung aus großer Entfernung betrachtet wird.
•	Im atomaren Elektromagnetismus gibt es die Elektronen, die nach heutigem Wissen tatsächlich punktförmige geladene Elementarteilchen sind. Deren Beschreibung ist Aufgabe der Quantenelektrodynamik (QED), aber die Frage, warum die zwischen den „Untermenge der Elementarladung“ denkbaren ungeheuer großen elektrischen Abstoßungskräfte das Teilchen nicht zerplatzen lassen, kann nicht plausibel beantwortet werden. Man umgeht das Problem durch die Feststellung: „Das von der Ladung eines Elementarteilchens erzeugte elektrische Feld wirkt nicht auf die felderzeugende Ladung zurück.“
Elektrische Feldlinien. Die positiven elektrischen Ladungen sind die Quellen (sources) der elektrischen Erregung und die negativen Ladungen sind deren Senken (drains). Der elektrische Fluss (mehr darüber in Abschn. 2.2.5), ist gegeben durch das Flächenintegral über D und „fließt“ von den positiven Ladungen zu den negativen. Im ladungsfreien Raum dazwischen bleibt der elektrische Fluss erhalten.
Dieser Sachverhalt erlaubt Vergleiche mit laminaren Strömungen in inkompres-siblen Flüssigkeiten. In der Hydromechanik kann man der strömenden Flüssigkeit durch Düsen Farbstoff zufügen, um die Strömung beobachtbar zu machen (Abb. 2.18).



44	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.19 Feldlinienbild für zwei betragsgleiche Punktladungen: (a) mit gleichem Vorzeichen, (b) mit entgegengesetztem Vorzeichen.
Zur Verallgemeinerung soll jetzt eine Punktladung betrachtet werden, die sich nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sondern an einem beliebigen Ort, gegeben durch den Ortsvektor rQ, befindet. Die Feldstärke an dem durch den Ortsvektor r bezeichneten Punkt wird dann beschrieben durch
£(ü =
411 e0
Q
lr —rQl3
(2-15)

Das Feld zweier gleichgroßer Ladungen zeigt Abb. 2.19a für gleiches und Abb. 2.19b für ungleiches Vorzeichen der beiden Ladungen. Die Feldlinien-Darstellungen sind Schnitte durch dreidimensionale Felder; die Felder von Abb. 2.19 haben die Verbindungslinie der beiden Ladungen als Symmetrieachse. In Abb. 2.19b beginnen alle Feldlinien am Ort der positiven und enden am Ort der negativen Ladung. Diese Aussage gilt allgemein, wenn man sich bei der Betrachtung von Ladungen eines Vorzeichens, wie z. B. in Abb. 2.19a, die dazugehörigen Ladungen des anderen Vorzeichens in unendlich großer Entfernung (mit entsprechend unendlich kleiner Ladungsdichte) gleichmäßig über alle Richtungen des Raumes verteilt vorstellt. Auf einer leitenden Umhüllung würden solche Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens durch Influenz tatsächlich auftreten.
2.2.4 Sichtbarmachung elektrischer Felder
Die im Folgenden beschriebene Methode, mit der es möglich ist, „Feldlinien zu sehen“, hat viel zur Popularisierung des Feldbegriffs und des Konzepts der Feldlinien beigetragen.
Kleine Teilchen aus nichtleitendem Material werden im elektrischen Feld „polarisiert“, sie werden zu elektrischen Dipolen (Abschn. 13.2). Auf der Stirnseite in Feldrichtung tritt bei ihnen positive Ladung, entgegen Feldrichtung negative Ladung auf. Die Überlagerung von dem angelegten elektrischen Feld und den Teilchen-
46	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
erkennen; aber die Flächendichte der Teilchen ist nicht proportional zur lokalen Feldstärke, weil in Bereichen hoher Feldstärke, wie hier zwischen den Polen, auch Ladungstransport von den Polen zu den Teilchen möglich ist, wodurch die Teilchen dann eine Netto-Aufladung erhalten und wegfliegen.
Abb. 2.21 „Trockene" Erzeugung elektrischer Feldlinien-Bilder: Bei angelegter Spannung werden Kunststoff-Teilchen (Faser-Schnittstücke von 0.02 mm Durchmesser und 0.5 mm Länge) aufgestreut.
Abb. 2.22 Ein mit dem obigen Verfahren erzeugtes Feldlinienbild für entgegengesetzt geladene Pole.
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke 47
Faradays Interpretation der Feldlinienbilder. Bilder, wie sie für zwei gleiche und zwei entgegengesetzt gleiche (Punkt-)Ladungen in Abb. 2.20b,c gezeigt sind, waren für Faraday Manifestationen der Kräfte zwischen den beiden Ladungen. Er nannte die Linien „Kraftlinien“ (lines of force) und konstatierte, dass längs der Linien ein Zug und quer zu den Linien ein Druck wirksam wird, der die Anziehung der ungleichen und die Abstoßung der gleichen Ladungen bewirkt. Mit dieser Interpretation lassen sich aus den Bildern Erkenntnisse über elektrische Kräfte gewinnen, die richtig sind. Das gilt genauso für die im nächsten Kapitel zu besprechenden magnetischen Kräfte und „Kraftlinienbilder“. In dieser Sprache hat Faraday seine vielfältigen Beobachtungen genau beschrieben, sodass Maxwell seine Theorie des Elektromagnetismus darauf aufbauen konnte.
Andererseits ist die Faraday’sche Kraftlinien-Interpretation nicht verträglich mit dem heutigen Feldstärkebegriff: Um die Anziehung oder Abstoßung zwischen zwei Ladungen zu verstehen, betrachtet man die Kraft, die vom Feld der einen Ladung auf die andere ausgeübt wird, oder umgekehrt. Aber man betrachtet nicht das resultierende Feld beider Ladungen; letzteres beschreibt nach heutiger Auffassung die kombinierte Wirkung beider Ladungen auf eine dritte (Probe-)Ladung.
2.2.5 Gauß’sche Formulierung des Coulomb-Gesetzes
Definition des elektrischen Flusses. Schon in Abschn. 2.2.3 war die Analogie von Feldlinien und Stromlinien erwähnt worden: Jeder elektrischen Feldlinie kann ein sie umgebendes röhrenartiges Volumen zugeordnet werden, dessen Querschnitt durch den Abstand der benachbarten Feldlinien festgelegt ist. Das elektrische Feld in diesem röhrenartigen Volumen ist der durch die Feldlinie repräsentierte elektrische Fluss.
Der Ausdruck „Fluss“ ist der Hydrodynamik entnommen. Wie bei einer Flüssigkeitsströmung aus der Wand keine Flüssigkeit kommt, also die Quelle und Senke nur am Anfang und Ende eines Rohres vorhanden sind, so treten die elektrischen Feldlinien nur bei den Ladungen ein bzw. aus. Im ladungsfreien Raum, den die Feldlinien durchsetzen, gibt es keine Quellen oder Senken.
Im Einklang mit der hydrodynamischen Analogie definieren wir den durch das Flächenelement dA hindurchgehenden elektrischen Fluss als
dW = DdA.	(2.16)
Anmerkung: In manchen Lehrbüchern wird die mit ;;0 1 multiplizierte Größe als elektrischer Fluss definiert.
Das vektorielle Flächenelement von Gl. (2.16) hat die Richtung der Flächennormalen; liegt es schief zur Erregung D, dann sorgt der im Skalarprodukt enthaltene Faktor cos(D, dA) dafür, dass der (skalare) elektrische Fluss durch das Produkt (Betrag der Erregung) x (Fläche senkrecht zu D) gegeben ist. Durch Integration von Gl. (2.16) ergibt sich der Fluss durch eine gegebene Fläche A:
•P = ff D dA.	(2.17)
Flächet
Da dA das zweidimensionale Flächenelement ist, schreiben wir in Gl. (2.17) und auch später in entsprechenden Fällen ein Doppel-Integrsd, weil dadurch die intuitive
48	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Erfassung der Zusammenhänge erleichtert wird; und aus dem gleichen Grund werden wir bei Integration über das r/reidimensionale Volumenelement d V ein Dreifach-Integral hinschreiben.
Gesamter elektrischer Fluss. Der von einer (positiven) Punktladung Q ausgehende Gesamtfluss kann sofort hingeschrieben werden, wenn man als Integrationsfläche die Oberfläche einer zur Ladung konzentrischen Kugel mit Radius r verwendet:
•P = $ D dA Kugel
= Q.	(2.18)
Dasselbe Ergebnis ergibt sich aber auch bei Integration über eine beliebig geformte, geschlossene Hüllfläche um die Ladung Q. Das ist leicht einzusehen, wenn man einen vom Ort der Punktladung ausgehenden kleinen Raumwinkel dß betrachtet (Abb. 2.23).
Abb. 2.23 Das Raumwinkelelement dß und das Flächenelement dA im Abstand r vom Ursprung.
Das nicht radial ausgerichtete Flächenelement dA, das sich im Abstand r der Ladung befindet und das Raumwinkelelement dß ausfüllt wie es in Abb. 2.23 gezeigt ist, führt zu einem elektrischen Fluss, der von der Flächenorientierung und vom Radialabstand unabhängig ist:
dW = D dA
= |Z)|cos(r,d/4)|d/4|
= |D|r2dß
= (£/47t)dß.	(2.19)
Die Integration von Gl. (2.19) über die Vollkugel [Raumwinkel = 4k sterad (sr)] führt deshalb zum selben Ergebnis wie Gl. (2.18).
$ DdA = Q.	(2.20)
Hüllfläche
Da die Wahl der Hüllfläche für die betrachtete Punktladung Q beliebig ist, gilt nun auch umgekehrt Gl. (2.20) mit einer bestimmten, vorgegebenen Hüllfläche für eine beliebige Position der Punktladung Q innerhalb der Hüllfläche.
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke 49
Bei Hüllflächen-Integralen wird die Richtung des Flächenelements nach außen angenommen; mit dem nach außen gerichteten elektrischen Feld einer positiven Ladung ergibt sich also ein positiver Wert für den gesamten elektrischen Fluss.
Befinden sich mehrere Punktladungen im Inneren, dann gilt Gl. (2.20) ebenfalls: D ist dann die resultierende Erregung, gegeben durch die Vektoraddition der Erregungen der einzelnen Punktladungen, und Q ist dann die Summe aller Ladungen im Inneren, in die negative Ladungen mit Minuszeichen eingehen.
T= & DdA^^Q^Q.	(2.21)
Hüllfläche	i
^usammenge f asst —
• 'er gesamte elektrische /lass durch eine geschlossene fläche ist gleich der Qtimme der eingeschlossenen	[adungen.
’as ist die |~aw - oosc/te formulierung	des ±oulomb x ^esetzes.	-»mschlie-t die j üll x
äche gar keine [adung, so ist der gesamte fluss gleich null, d. h. es treten ebensoviel 'eldlinien in das umschlossene rebiet ein wie aus.
Differentialform. Nur in Spezialfällen mit hoher Symmetrie der Ladungsverteilung kann man die elektrische Feldstärke direkt aus der Gauß’schen Integralform (Gl. (2.21)) berechnen. Die vielseitiger verwendbare Differentialform erhält man aus Gl. (2.21) mithilfe des Gauß’schen Satzes der Vektoranalysis (Abschn. 15.4):
# DäA=^\-DäV=Q.	(2.22)
Hülinäche
Das Skalarprodukt des Nabla-Operators V mit einem Vektor heißt „Divergenz“.
Nun muss man das Konzept der „Punktladungen“ aufgeben und statt dessen die stetig veränderliche Raumladungsdichte p (SI-Einheit Cm’i einführen, die wie folgt mit der im Volumen V befindlichen Gesamtladung Q zusammenhängt:
HI P<W=Q.	(2.23)
Volumen
Dann erhält man aus Gl. (2.22) und Gl. (2.23) die Beziehung
nfV-Z)dK= JJJpdK.	(2.24)
Die Volumenintegrale auf beiden Seiten der Gleichung gelten für gleiche, aber beliebig wählbare Integrationsvolumina. Deshalb impliziert die Gleichheit der Integrale auch die Gleichheit der Integranden. So folgt die Differentialform zu Gl. (2.24) als
V D = p.	(2.25)
Wenn, wie es in der Elektrostatik gegeben ist, die Ladung nicht kontinuierlich im Raum verteilt ist, sondern auf Oberflächen sitzt, dann muss statt der räumlichen Ladungsdichte p die Flächen-Ladungsdichte n zur Beschreibung herangezogen werden. Um für diese „entartete“ Ladungsverteilung eine zu Gl. (2.25) analoge Differentialgleichung formulieren zu können, muss eine „Flächendivergenz“ definiert werden. Wir verweisen dafür auf theoretische Lehrbücher.
50	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Wirbelfreiheit des statischen elektrischen Feldes. In den bisher erörterten Fällen entsprangen und endeten die Feldlinien in den positiven und negativen Ladungen. Es liegt aber die Frage nahe, ob es nicht auch in sich zurücklaufende Feldlinien gibt. Im elektrostatischen Feld gibt es das nicht. Wenn es auch nur eine in sich geschlossene Feldlinie gäbe, so würde eine Ladung q längs dieser Feldlinie eine Kraft erfahren, deren Weg-Integral über einen vollen Umlauf eine endlich große Arbeit W ergibt. Durch fortgesetzte Wiederholung dieses Vorganges ließe sich also aus dem Feld dauernd Arbeit gewinnen. Dies ist erfahrungsgemäß nicht der Fall. Diese Eigenschaft des elektrostatischen Feldes nennt man Wirbelfreiheit; die Bedingung dafür wird mathematisch folgendermaßen formuliert:
$ E-ds^O.	(2.26)
Umlauf
Mithilfe des Stokes’schen Satzes der Vektoranalysis (Abschn. 15.4) lässt sich auch eine differentielle Bedingung für die Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes angeben:
V x E = 0.	(2.27)
Diese Gleichung wird „Rotation E gleich null“ gelesen.
2.2.6 Quantitative Erfassung der Influenz
Nach Einführung des Feldkonzepts lassen sich die schon früher beschriebenen Influenzerscheinungen genauer diskutieren. Ladungstrennung erfolgt, wenn ein leitender Körper in ein elektrisches Feld eingebracht wird. Ist der leitende Körper elektrisch isoliert, können sich Ladungen verschiedenen Vorzeichens auf verschiedenen Seiten des Körpers ansiedeln, - immer an der Oberfläche. Ist der Körper geerdet, dann kann die Ladung eines Vorzeichens abfließen.
Mit dem Körper im Feld stellt sich ein neues elektrostatisches Gleichgewicht ein. Das ursprüngliche Feld wird verändert durch das hinzukommende Feld der Influenzladung; das resultierende Feld ergibt sich aus der vektoriellen Addition beider. Im Folgenden betrachten wir immer die Feldstärke E, weil Kräfte auf bewegliche Ladungen zur Influenz führen.
Befindet sich die elektrische Ladung auf einem Leiter, so verlaufen die von ihr ausgehenden Feldlinien stets senkrecht zur Leiteroberfläche (Abb. 2.24). Wäre dies
$£ ds= 0
Ef=0
f n (= a/e0)
E (hypothetisch)
ft(=0)
---r0SÖ^-M = O
Abb. 2.24 Zur elektrischen Feldstärke an Leiteroberflächen.
52	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Ladung im Inneren eines einhüllenden Hohlleiters. Eine Ladung, die im Inneren so festgehalten wird, dass sie nicht nach außen abfließen kann, bewirkt auf der Innenseite des Hohlleiters eine entsprechende Influenzladung entgegengesetzten Vorzeichens. Eine Integration gemäß Gl. (2.21) mit einer in der Metallwand des Hohlleiters liegenden Hüllfläche ergibt wegen £'Melall = 0 auch CHohlleiler = 0, im Einklang mit dem Sachverhalt, dass die Ladung im Inneren durch die Influenzladung auf der Innenseite des Hohlleiters kompensiert wird. Der hier betrachtete Fall gilt z. B. für ein Elektrometer mit geerdetem Metallgehäuse, in das Ladung über eine gegen das Gehäuse isolierte Zuführung eingebracht wurde.
Bildkraft. Als Beispiel betrachten wir eine positive Punktladung im Abstand d vor einer geerdeten Platte (Abb. 2.26). Die negativen Influenzladungen auf der der Ladung zugewandten Seite verteilen sich so, dass das resultierende Feld an der Platte senkrecht auf der Platte steht. Das resultierende Feld ist identisch mit der (linken) Hälfte von dem Feld zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen (Abb. 2.19b) im Abstand 2d. Da die positiven Influenzladungen zur Erde abgeflossen sind, existiert rechts in der Platte kein elektrisches Feld. Aber durch die negative Influenzladung auf der linken Seite der Platte wird die positive Ladung so angezogen, als ob sich (in Abwesenheit der Platte) eine entgegengesetzt gleiche Ladung im Abstand 2d befände. Diese „virtuelle“ Ladung wird Bildladung (image charge) genannt; die Kraft, mit der die echte Ladung zur Platte hingezogen wird, heißt Bildkraft (image force).
Besonders schön erkennt man den Vorgang der elektrischen Influenz bei folgendem Versuch mit dem Becher-Elektroskop: Führt man in den Becher des Elektro-skops eine positiv geladene Kugel ein, ohne die Wand des Bechers zu berühren, so entsteht auf der Innenwand des Bechers eine der Ladung der eingeführten Kugel entgegengesetzte, aber gleich große Menge Influenzladung. Gleichzeitig wird auf der Außenseite des Bechers eine entsprechende Menge positiver Influenzladung frei, die sich auch dem Elektroskop mitteilt (Abb. 2.27). Führt man die Kugel aus dem Becher heraus, so vereinigen sich die beiden influenzierten Elektrizitätsmengen wieder, und der Ausschlag des Elektroskops geht auf null zurück. Berührt man aber mit der Kugel die Innenseite des Bechers, so gleichen sich die positive Ladung der Kugel und die auf der Innenseite des Bechers sitzende negative Elektrizität aus, und
Abb. 2.26 Links: Feld zwischen einer positiv geladenen Kugel und einer geerdeten Platte. Rechts: Die virtuelle „Bildladung“, eine Hilfsvorstellung zur Beschreibung des elektrischen Feldes auf der linken Seite.
2.2 Elektrische Kraft und Feldstärke
53
Abb. 2.27 Zum Nachweis der Influenz mit dem Becher-Elektroskop.
man zieht die Kugel völlig ungeladen aus dem Becher heraus. Die auf der Außenseite des Bechers sitzende positive Influenzladung bleibt dann zurück und erzeugt am Elektroskop einen Ausschlag, der von derselben Größe ist wie vorher, als sich die Kugel frei im Innenraum des Bechers befand. Es lässt sich also mit einem Becher-elektroskop eine Ladung messen, ohne dass man diese auf das Elektroskop selbst überträgt. Dies ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn die Ladung nicht auf einem Leiter, sondern auf einem Isolator sitzt, von dem sie sich nur sehr schwer quantitativ abstreifen lässt.
Zur Ergiebigkeit der Ladungstrennung. Mit den technisch zugänglichen Feldern lässt sich noch keine Begrenzung der Ladungstrennung in metallischen Leitern beobachten. Wie ist das mit dem atomaren Aufbau der metallischen Festkörper und der endlichen Zahl der Leitungselektronen im Metall vereinbar? Die folgende numerische Abschätzung soll darüber aufklären.
Wir betrachten eine ungeladene Metallplatte, die in ein starkes elektrisches Feld, das senkrecht zur Plattenoberfläche orientiert ist, eingebracht wird. Die Influenz führt auf beiden Seiten der Platte zu Oberflächenladungsdichten mit entgegengesetzten Vorzeichen, die das Innere des Metalls gegen das äußere Feld abschirmen. Die Flächenladungsdichte er ergibt sich aus
<7 = ^-	(2.29)
Für die große Feldstärke En = 106 V/m erhalten wir z. B. er « 9-10 '’C/m2 oder - umgerechnet auf Elementarladungen er « 6 • 1013e/m2.
Für Kupfer ist die Dichte der Leitungselektronen etwa gleich der Atomdichte und beträgt
„Cuä 1 1029m~3.	(2.30)
Die Oberflächen-Dichte der Cu-Atome kann durch
(nCu)2'3 «e2-1019m 2	(2.31)
approximiert werden. Setzt man die Oberflächendichte der im Feld En = 106 V/m influenzierten Elementarladungen ins Verhältnis zur Oberflächendichte der Cu-Ato-me, ergibt sich 3  10 6. Dieses Ergebnis lässt sich auf verschiedene Weise interpretieren:
- Es zeigt, dass selbst in einem so starken E-Feld die Ladungsneutralisation der Oberflächenatome noch nahezu perfekt ist, denn durch die Influenz wird nur be
54	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
wirkt, dass jedes Cu+-Ion an der Oberfläche im Mittel nicht exakt die eine Elementarladung zur perfekten Neutralisation hat, sondern 1.000003 bzw. 0.999997 e.
- Es zeigt aber auch, dass es zur Erzeugung der Influenzladungen auf den Oberflächen nur notwendig ist, alle Leitungselektronen im Kupfer gegen die positiven Ladungen der Kupferionen (entgegengesetzt zur Feldrichtung) um 0.000003 des Abstandes benachbarter Atome zu verschieben.
Durch diese Zahlen wird verständlich, warum keine Erschöpfung der Ladungstrennung zu beobachten ist.
2.3 Potential, Spannung
2.3.1 Potential und Feldstärke
Wenn man in der Mechanik nur die so genannten konservativen Kräfte betrachtet und die nicht-konservativen Kräfte wie die Reibung vernachlässigt, dann ergibt sich, dass die in einem Schwerefeld zu verrichtende Arbeit unabhängig von dem gewählten Weg ist.
Analog hierzu ist im statischen elektrischen Feld die Arbeit W, die verrichtet werden muss, um eine Ladung q von einer Stelle des Feldes zu einer anderen zu bringen, unabhängig vom Weg, auf dem dies geschieht. Die Kraft, die auf die Ladung q ausgeübt werden muss, wenn man sie langsam (d. h. mit verschwindender kinetischer Energie) im Feld bewegen will, ist entgegengesetzt gleich der elektrischen Kraft q  E. Die differentielle Arbeit d W ist „Kraft mal differentiellem Weg“, also
das Skalarprodukt
dtF= F-ds = — qE-As.	(2.32)
Die zwischen den Punkten 1 und 2 verrichtete Arbeit
ff/12 = -q^E-äs	(2.33)
ist unabhängig vom gewählten (Integrations-)Weg.
0 = *E • d.v = (ß E • dS)WegA + (ß E • dS)WegB,	(2.34)
oder
(ß £Ms)WegA = (ß £• ds)WegB.	(2.35)
Die Arbeit nach Gl. (2.33) ist positiv, wenn bei der Bewegung einer Ladung im F-Feld Arbeit verrichtet werden muss. Diese Arbeit entspricht der Zunahme der potentiellen Energie der Ladung im elektrischen Feld. Dividiert man die Änderung der potentiellen Energie durch die bewegte Ladung, erhält man eine nur vom Feld E (x, y, z) und den Anfangs- und Endpunkten der Bewegung abhängige Größe, die Potentialdifferenz (cp2 — qy), die auch als Spannung U bezeichnet wird:
U = Wfq = (p2-(p1
= -fiE-ds.	(2.36)
2.3 Potential, Spannung
55
Die Potentialdifferenz ist positiv, wenn das Integral negativ ist, also wenn der Integrationsweg vorwiegend entgegen der Richtung von E verläuft.
Die elektrische Spannung darf nicht mit der mechanischen Spannung, die in einem deformierbaren Körper mit einer Dehnung verknüpft ist, verwechselt werden. Oft ist es nützlich, sich darunter eine „Arbeit pro Ladung“ vorzustellen.
Um nicht nur von Pontentialdifferenzen, sondern von Potentialen sprechen zu können, muss - wie beim Gravitationspotential - der Nullpunkt festgelegt werden. Identifiziert man den Punkt (1) in Gl. (2.36) mit einem willkürlich wählbaren Nullpunkt und den Punkt (2) mit dem, der durch den Ortsvektor r beschrieben wird, dann ergibt sich das elektrische Potential als Funktion des Raumes:
cp(r) = -f Eds.	(2.37)
ro
Man ordnet also jedem Punkt des elektrischen Feldes einen bestimmten Potential-wert zu. Als Nullpunkt wird vereinbarungsgemäß ein im Unendlichen liegender Punkt gewählt, an dessen Stelle für alle praktischen Zwecke das Potential der Erde tritt.
• Das Potential im Unendlichen bzw. auf der Erdoberfläche ist definitionsgemäß null.
Das Potential in einem Punkt des elektrischen Feldes, multipliziert mit der Ladung q ergibt die Arbeit W, die beim Transport dieser Ladung vom Unendlichen bzw. von „Erde“ zu diesem Punkt aufgewendet werden muss (falls W > 0) oder freigesetzt wird (falls W < 0). Anders formuliert: Befindet sich eine Ladung q an einem Ort im .E-Feld mit dem Potential </>(r), dann ist q-q>(r) die potentielle Energie dieser Ladung im Feld.
Wenn man das elektrische Potential mit dem Gravitationspotential (Bd. 1) vergleicht, dann fällt auf, dass das Potential einer Punktmasse für endliche Entfernungen negativ ist, weil sich alle Massen anziehen; das elektrische Potential ist positiv, weil sich zwei vorzeichengleiche Ladungen abstoßen.
Das einen Raum erfüllende elektrische Feld E(x,y, z) ist ein Vektorfeld. Das Potential ist - mit willkürlich gewähltem Nullpunkt bei r0 - gegeben durch die Integralbeziehung von Gl. (2.37). Um die umgekehrte mathematische Verknüpfung zu erhalten, betrachten wir die differentielle Potentialänderung
dcp — — Eds = —1£"| cos(£’, ds)|ds|.	(2.38)
Wenn der Winkel zwischen E und d.v gleich 0 (oder n) wird, d. h„ wenn der Schritt d.v parallel oder antiparallel zu E erfolgt, dann ist der Betrag der Potentialänderung dcp maximal. Im Allgemeinen ist die Richtung maximaler Potentialänderung nicht parallel zu einer der Koordinaten x, y oder z, und es ist sinnvoll, für das Skalarprodukt von Gl. (2.38) die Komponenten auszuschreiben:
dcp = — [Exdx + Eydy + Ezdz].	(2.39)
Man kann den Sachverhalt auch umgekehrt betrachten. Die Änderung von cp(x,y,z), die sich ergibt, wenn man in differentiellen Schritten dx, dr oder dz vom Punkt (x, y,z~) weggeht, bestimmt die lokale elektrische Feldstärke. Diese Änderung
56	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
wird beschrieben durch das vollständige Differential dcp, das mit seinen partiellen Ableitungen wie folgt verknüpft ist:
dm	dm	dm
dcp = dx+ dr+ dz.	(2.40)
dx	dy	dz
Ein Vergleich von Gl. (2.40) mit Gl. (2.39) ergibt die gesuchte Beziehung, die vom Potential cp zur Feldstärke E führt. Die Komponente Ex ergibt sich zu
dm
E = — —	(2.41)
x	dx	v ’
mit analogen Beziehungen für die beiden anderen Komponenten der Feldstärke.
• Die Vektorkomponenten des .E-Feldes sind gegeben durch die negativen partiellen Ableitungen der Potentialfunktion. Anders formuliert: Die Feldstärke E ist gegeben durch den negativen Gradienten des Potentials.
Mithilfe des Nabla-Operators kann das elegant wie folgt geschrieben werden:
E=-N(p.	(2.42)
Kugelkonduktor. Für eine isoliert aufgestellte Leiterkugel mit Radius rK und der Ladung Q ist die Feldstärke gegeben durch
E(r) = Q 3r, für r > rK	(2.43)
4n e0 r und
= 0 für r < rK.
Da es, wie schon erwähnt, im klassischen Elektromagnetismus eigentlich gar keine Punktladungen gibt, sollte man sich, wenn von Punktladungen gesprochen wird, immer sehr kleine geladene (Leiter)-Kugeln vorstellen. Die Ladung verteilt sich gleichmäßig auf der Kugeloberfläche, solange keine Störung dieser Verteilung durch die Influenzwirkung anderer Ladungen auftritt. Die Flächenladungsdichte ist also umso geringer, je größer der Kugelradius ist. Für einen Punkt außerhalb der Kugeloberfläche ist es aber gleich, ob die Kugel klein oder groß ist. Potential und Feldstärke hängen nur von der Gesamtladung und dem Abstand vom Kugelmittelpunkt ab, genauso wie Potential und Feldstärke der Gravitation bei sphärischsymmetrischer Massenverteilung außerhalb eines solchen Körpers nur von der Gesamtmasse und dem Abstand vom Schwerpunkt (= Mittelpunkt) abhängen. Die allgemeine Beziehung (Gl. (2.28)) zwischen Flächenladungsdichte er und der Feldstärke E an der Leiteroberfläche ergibt erwartungsgemäß für den geladenen Kugel-Konduktor dasselbe Resultat wie Gl. (2.43) für r — rK.
Die Potentialfunktion tp des Kugel-Konduktors wird nach Gl. (2.35) durch Integration erhalten. Für diesen hoch-symmetrischen Spezialfall mit Wahl des Nullpunkts im Unendlichen ergibt sich mit d.v = dr folgendes einfach zu lösendes Integral:
q>(r) — — i E(r) dr —----f r 2dr.	(2.44)
OO	4n£0 oo
2.3 Potential, Spannung
57
Abb. 2.28 (a) Potential, (b) Feldstärke in der Umgebung einer leitenden Kugel von 1 m Radius, die eine Ladung von 1 nC trägt, als Funktion des Radialabstands r.
Das Endergebnis lautet:
und
<p(r>rK) = -------
4n eor
<p(r< rK) = ------
4ti £n r
(2-45)
(2-46)
Potential und Feldstärke sind dargestellt in Abb. 2.28. Beide Funktionen gelten gleichermaßen für Voll- und Hohlkugel.
Erdpotential. Sobald nicht mehr nur Punktladungen im Raum, sondern aufgebrachte und influenzierte Ladungen auf Elektrodenoberflächen betrachtet werden, ist es sinnvoll, den Nullpunkt des elektrischen Potentials auf die „Erde“ zu beziehen. Damit ist nicht notwendigerweise die physikalische Erdoberfläche gemeint; jede mit der Erde durch einen guten Leiter verbundene Elektrode hat Potential null.
Der Planet „Erde“ einschließlich seiner Atmosphäre ist elektrisch neutral. Von der Sonne wird ständig ein Strom von positiv und negativ geladenen Teilchen ausgesandt („Sonnenwind“, Bd. 7, Kap. 6); eine Aufladung der Erde würde deshalb sehr schnell durch Abstoßung der gleichnamig geladenen und Anziehung der ungleichnamig geladenen Teilchen abgebaut werden. Aber in der Erdatmosphäre existiert ein vertikales elektrisches Feld: Der Erdkörper ist gegenüber der äußeren Atmosphäre negativ aufgeladen; die Ursache der Aufladung sind die Gewitter (Abschn. 10.3.4). Diese Aufladung steht der Wahl des Erdkörpers als Bezugspotential null jedoch nicht im Wege.
Allgemein ist die elektrische Spannung als Potentialdifferenz definiert:
U12 = q>1 — <p2.	(2.47)
58
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Danach bezieht sich die Spannung immer auf zwei Punkte des elektrischen Feldes, und die Reihenfolge, in der die Punkte genannt werden, ist entscheidend für das Vorzeichen.
Um diese Komplikation zu umgehen, sind in der Praxis die folgenden Sprechweisen üblich:
-	Man spricht von der Spannung zwischen zwei Punkten, wobei die Punkte meist elektrische Kontakte (Pole) sind, aber nennt nur positive Werte der Spannung:
U = un= t/2i _ i^-.	(2.48)
-	Man spricht von der Spannung eines Punktes, z. B. einer Elektrode, die positiv oder negativ sein kann, meint aber eigentlich die Potentialdifferenz zwischen diesem Punkt und dem Nullpunkt „Erde“:
ü^.-^Brde (^Brde-0).	(2.49)
Erdung. Auf die Wichtigkeit der Erdung bei jedem elektrischen Experiment sei hier nachdrücklich hingewiesen. Die oben erwähnte Möglichkeit, den Nullpunkt im Unendlichen anzunehmen, gilt wirklich nur für theoretische Betrachtungen! Erdung bedeutet die Herstellung einer gut leitenden Verbindung mit der Erde, vorzugsweise über die Erdleitung der Labor-Schalttafel, ersatzweise über eine geerdete Metall-Installation wie Zentralheizung oder Wasserleitung.
Bei einem nicht-geerdeten Experiment stellt sich das Potential in unkontrollierter Weise von selbst ein. Irgendwo in der Nähe ist immer eine echte Erde, und die Verbindung dahin, z. B. über Fußboden und Körper des Experimentators, hat eine gewisse, wenn auch sehr kleine Leitfähigkeit, die zeitlich stark variieren kann, z. B. wenn der Körper des Experimentators einbezogen ist. Es hängt von der Art des Experimentes ab, wie stark sich die Störungen durch Nicht-Erdung auswirken.
Bei den in diesem Kapitel besprochenen elektrostatischen Experimenten ist die bewusst hergestellte Erdverbindung oft nicht so wichtig, weil bei den hohen Spannungen und sehr kleinen Ladungsmengen fast alle Stoffe als Leiter zu betrachten sind, - ausgenommen nur die für das Experiment ausgewählten besonders guten Isolatoren. Die sich von selbst einstellende Verbindung zur Erde ist meist hinreichend gut leitend. Trotzdem sollte man sich als Experimentator darauf nicht verlassen und lieber bewusst für eine gute Erdung sorgen.
Spannungseinheit Volt. Die SI-Einheit von Potential und Spannung ist das schon früher besprochene Volt (V), das als sekundäre Basisgröße verwendet wird. Für den praktischen Gebrauch gibt es heute Spannungsnormale in Form von Mikrochips, die Quanteneffekte der Supraleitung (Abschn. 8.4.2) ausnutzen. Diese sekundären Spannungsnormale sind so festgelegt worden, dass sie die derzeit bestmögliche Übereinstimmung mit dem Sl-Volt ergeben.
Das Volt lässt sich zur Zeit messtechnisch besser beherrschen als das Ampere, könnte also im Prinzip das Ampere als primäre elektromagnetische Basiseinheit ablösen. Aber eine Änderung des Systeme International d’Unites, allein aus diesem Grund, ist nicht zu erwarten.
2.3 Potential, Spannung
59
2.3.2 Äquipotentialflächen
Verbindet man in einem elektrischen Feld die Punkte gleichen Potentials miteinander, so erhält man eine Äquipotentialfläche (Niveaufläche). Bei der Verschiebung einer Ladung auf einer solchen Fläche wird keine Arbeit geleistet. Die Äquipotentialflächen müssen daher senkrecht zur Richtung der elektrischen Feldlinien verlaufen. Mathematisch sind die Feldlinien orthogonale Trajektorien zu den Äquipotentialflächen.
Für eine punktförmige Ladung sind die Äquipotentialflächen also Kugelflächen um die Ladung als Mittelpunkt. In Abb. 2.29a sind für eine solche Ladung die Schnitte einiger Äquipotentialflächen mit der Zeichenebene, die die Äquipotentiallinien ergeben, durch die ausgezogenen Kreise angedeutet, während die gestrichelten Geraden die Feldlinien darstellen.
Abb. 2.29b,c zeigt die Feldlinien (dünn) und die Äquipotentiallinien (dick) für zwei betragsgleiche Punktladungen. In Abb. 2.29b sind es positive Ladungen: Vom Schnittpunkt der oo-förmigen Potentiallinie, dem so genannten Sattelpunkt, steigt das Potential bei Annäherung an eine der Ladungen (im Bild entlang der Horizontalen); senkrecht dazu (im Bild entlang der Vertikalen) sinkt es. In Abb. 2.29c sind es zwei vorzeichenverschiedene Ladungen. - Man erkennt in allen drei Darstellungen, dass beide Kurvenarten senkrecht zueinander stehen.
Der Vorteil des Potentialbegriffs macht sich besonders bei der Berechnung des Feldverlaufs bei mehreren Ladungen bemerkbar. Da die elektrische Feldstärke ein
Abb. 2.29 Äquipotentiallinien und Feldlinien von Punktladungen: (a) einzelne Ladung, (b) zwei gleiche Ladungen, (c) zwei entgegengesetzt gleiche Ladungen.
60	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Vektor ist, muss man zur Konstruktion der elektrischen Feldlinien in einem solchen Feld in jedem Punkt die von den verschiedenen Ladungen hervorgerufenen Feldstärken vektoriell addieren. Im Gegensatz dazu ist das Potential (Arbeit/Ladung) eine skalare Größe; daher ist das resultierende Potential für einen Raumpunkt durch einfache Addition der einzelnen von den verschiedenen Ladungen herrührenden Potentialwerte zu gewinnen. So ist das Potential an dem durch den Ortsvektor r beschriebenen Punkt, verursacht durch die Ladungen QY, Q2, ... Qr an den Orten rp r2, ... rn, gegeben durch
(P(r) = E i
g, 4n e01 r — Fj |
(2.50)
’ie ^beräche eines Reiters ist immer eine ^quipotentialäche,	weil
gewichtsverteilung	der Rodungen an der ^beräche die \^ngentialkomponente
'eldstärke verschwindet, und deshalb zwischen zwei unkten derselben
keine crnnung existieren kann-
je grö - er
an der betre enden
enger sich
die ^quipotentiallinien
or der ^beräche
teile das otentialgefälle
zusammendrängen.
durch
die ^quipotentialächen
um eine geladene
ist die 'eldstärke um
ist, mit anderen
-j-n ->bb.	2.30 a ist
~\pitze gezeichnet, die
bei gleich x der
^beräche so grö-er,
y orten, je
ein ^chnitt
einer ent x
Abb. 2.30 (a) Äquipotential- und Feldlinien zwischen positiv geladener Platte und negativ geladener Spitze, (b) Ungeladene Metallkugel im homogenen elektrischen Feld, ohne Berücksichtigung der Influenzladungen, (c) mit Berücksichtigung der Influenzladung für das elektrostatische Gleichgewicht.
62	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.32 (a) Elektrische Doppelplatte, (b) Doppelplatte in einem elektrischen Feld, dessen Feldlinien die Platte senkrecht treffen.
Feldvermessung mit der Doppelplatte. Die Doppelplatte besteht aus zwei gleichgroßen, dünnen Metallscheiben, die an isolierten Handgriffen befestigt sind (siehe Abb. 2.32a). Die beiden Scheiben werden aufeinander gelegt und an die zu untersuchende Stelle des elektrischen Feldes gebracht. Das elektrische Feld verschiebt Ladungen im Metall solange, bis die elektrische Feldstärke im Metall überall gleich null ist; das wird durch den Aufbau von Influenzladungen an der Metalloberfläche erreicht. In Abb. 2.32b ist der Fall skizziert, wo die Feldlinien die dünnen, aufeinandergelegten Platten senkrecht treffen und die größtmöglichen Influenzladungen entstehen, auf der einen Seite eine positive Ladung Q, auf der anderen Seite eine gleich große negative — Q. Trennt man die Platten noch im Feld, so kann man die Größe der Influenzladung außerhalb des Feldes mit einem Elektrometer messen und damit auf die Stärke des Feldes schließen. Die Influenzladung Q und die Fläche der Messplatte A ergeben die elektrische Erregung des Feldes an der betreffenden Stelle:
|D| = 2M.	(2.51)
Bestimmung des Feldes im Raum zwischen Elektroden. Sind für irgendeine Elektro-den-Konfiguration nicht die Elektroden-Potentiale, sondern nur die auf die Elektroden Nr. 1, 2... i... aufgebrachten Ladungsmengen bekannt, dann ist es im allgemeinen sehr schwierig, das sich einstellende elektrische Feld zwischen den Elektroden zu berechnen. Dazu benötigt man die Verteilung der Flächenladungsdichte auf den Elektroden, an der auch die Influenzladungen beteiligt sind.
Glücklicherweise kommt dieser Fall der bekannten Elektroden-Netto-Ladungen und unbekannten Elektroden-Potentiale in der Praxis kaum vor. Es ist experimentell viel leichter, den Elektroden genau bekannte Potentiale zu geben, als ihnen genau gemessene Ladungsmengen zuzuführen. Allerdings benötigt man dazu Batterien oder Netzgeräte, die wählbare, stabile Spannungen liefern; Reibungs- oder Influenz-Maschinen sind dafür nicht geeignet.
Mit vorgegebenen Elektroden-Potentialen kann das Potential <p(.v, r,z) im Raum zwischen den Elektroden berechnet werden und dann daraus nach Gl. (2.42) das
2.3 Potential, Spannung
63
Feld E(x,y, z). Das Potential ergibt sich als Lösung einer Differentialgleichung mit den Elektroden-Potentialen als Randbedingungen. Die Differentialgleichung heißt Laplace-Gleichung und ergibt sich aus Gl. (2.25) und Gl. (2.42) für den raumladungsfreien Raum zwischen den Elektroden wie folgt:
e0V •(-¥</>) = p = 0
v2<p = 0	(2.52)
Der quadrierte Nabla-Operator (V2) wird Laplace-Operator genannt und in älteren Texten durch das Symbol A repräsentiert.
Vollständige Randbedingungen für eine interessierende Elektroden-Konfiguration erhält man dadurch, dass für eine das betrachtete Volumen umschließende Hüllfläche das Potential festgelegt wird. Teile dieser Hüllfläche sind durch Elektrodenoberflächen gegeben, für die das Potential vorgegeben wird. Für die „Lücken“ zwischen den Elektroden muss auf der Hüllfläche ein möglichst plausibler (z. B. linearer) Übergang von einem Potential zum anderen verfügt werden.
Sobald die Randbedingungen vollständig festliegen, kann das Potential nach Gl. (2.52) berechnet werden. Zur Lösung der Laplace-Gleichung gibt es iterative digitale Verfahren, die für Computerprogramme gut geeignet sind. Das Maschenverfahren besteht im einfachen Fall eines nur in zwei Dimensionen (z. B. in x und y) veränderlichen Feldes darin, dass über die .vr-Ebene ein hinreichend feinmaschiges quadratisches Netz gelegt wird. Betrachtet werden die Kreuzungspunkte des Netzes. Allen auf Elektroden liegenden Punkten wird das vorgegebene Elektrodenpotential, allen Randpunkten in den Lücken werden die als Randbedingung gewählten Potentiale unveränderlich zugeordnet. Allen anderen Punkten zwischen dem Rand und den Elektroden werden irgendwelche „geratenen“ Anfangswerte zugeordnet; je besser diese Werte sind, umso schneller konvergiert das Verfahren. Dann geht man Punkt für Punkt durch das Netz und berechnet für jeden Punkt den „neuen“ Potential wert als arithmetischen Mittelwert der Potentiale seiner vier Nachbarpunkte im Netz. Das wird solange wiederholt, bis sich die Potentialwerte nur noch unerheblich verändern.
Dass das Maschenverfahren funktioniert, ist physikalisch leicht einzusehen: Im raumladungsfreien Raum zwischen den Elektroden darf es keinen Punkt geben, dessen Potential ein Extremum darstellt. Ein Punkt mit einem Potential, das größer (kleiner) ist als das aller Nachbarpunkte, wäre eine Quelle (Senke) des elektrischen Feldes, also der Sitz positiver (negativer) Ladung. Mit einer Modifikation des zweidimensionalen Maschenverfahrens kann die radiale und axiale Abhängigkeit dreidimensionaler rotationssymmetrischer Felder berechnet werden.
Analoge Verfahren (z. B. der elektrolytische Trog, ein beliebter Praktikumsversuch) ermöglichen eine physikalische Simulierung des Problems, bei der eine zur Potentialfunktion analoge Größe gemessen werden kann.
Aus der Potentialverteilung cp(x,y, z) folgt die Feldstärke nach Gl. (2.42). Falls gewünscht, lässt sich aus der Feldstärke an den Elektrodenoberflächen nach
u = EJz0	(2.53)
die Oberflächen-Ladungsdichte er berechnen. Und eine Integration von er über die gesamte Oberfläche einer Elektrode ergibt die aufgebrachte Netto-Ladung Q, die selten von Interesse ist.
64	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Es sei hier nochmals betont, dass auch eine geerdete Elektrode - als Folge der Influenz - Ladungen an ihrer Oberfläche tragen kann. Anders herum: Es kann auch ein isoliert aufgestellter Leiter in einem elektrischen Feld ein von null verschiedenes Potential haben, obwohl sich darauf nur Influenzladungen mit der Summe null befinden.
Sind Feldlinien oder Äquipotentiallinien nützlicher? Mathematisch betrachtet sind sie als zueinander orthogonale Trajektorien gleichermaßen zur grafischen Darstellung elektrischer Felder geeignet. Man benötigt nicht beide.
Physikalisch sind die Äquipotentiallinien nützlicher, weil ihnen ein Zahlenwert, das Potential, zugeordnet werden kann, der für viele Anwendungen wichtig ist. Außerdem sind, wie oben beschrieben wurde, meist die Elektroden-Potentiale vorgegeben, aus denen sich die Äquipotentiallinien leicht berechnen lassen. Die Richtung der lokalen Feldstärke liegt senkrecht zu den Äquipotentiallinien, tangential zu den Feldlinien. Der Betrag der Feldstärke ergibt sich bei den Feldlinien aus der „Liniendichte“ in willkürlichen Einheiten; bei einem Äquipotentiallinien-Bild mit bekanntem Abbildungsmaßstab genügt die Differenz der Potentialwerte benachbarter Linien für die Ermittlung der Feldstärke in Volt/Meter. Potentiallinien, die durch Potentialzahlen gekennzeichnet sind, brauchen nicht mit konstanter Potentialdiffe-renz zwischen benachbarten Linien gezeichnet zu werden; das kann in vielen Fällen günstig sein. Wegen dieser Vorteile ist die Darstellung von Äquipotentiallinien nützlicher als die von Feldlinien. Letztere sind eigentlich nur durch ihre „Sichtbarmachung“ so populär geworden.
Zum Abschluss dieser Diskussion wird in Abb. 2.33 ein instruktives Äquipoten-tiallinien-Bild gezeigt, in dem absichtlich die Potentialdifferenzen zwischen benachbarten Linien variiert wurden: Beginnend mit dem Nullpotential der Lochblende betragen die Potentialdifferenzen zuerst je einmal 0.1 und 0.9 V, danach mehrmals 1, 6 oder 30 V. Das Feld unterhalb der Lochblende ist so schwach, dass es durch Feldlinien kaum darstellbar ist.
I
150
120 -t-90 ~I-60
I
Abb. 2.33 Feld einer geerdeten Lochblende vor einer ebenen aufgeladenen Platte. Man sieht, wie die Potentialflächen durch das Loch in den Raum hineinquellen, der ohne das Loch feldfrei wäre.
2.3 Potential, Spannung
65
2.3.3 Dipole und Dipolschichten, Multipole
Wie schon in diesem Abschnitt angedeutet und später (Kap. 13) ausführlicher dargestellt wird, sind Dipole im gesamten Elektromagnetismus äußerst wichtig. Wir behandeln zuerst den permanenten Dipol und danach den induzierten Dipol, sowie die Wechselwirkung zwischen Ladungen und Dipolen beider Arten. Zwei dicht beieinanderliegende plan-parallele Ebenen, von denen die eine positiv und die andere negativ aufgeladen ist, ergeben eine Dipolschicht, die ebenfalls ein wichtiges Modell für tatsächlich vorkommende Ladungsverteilungen ist (Abschn. 8.2).
Permanenter Dipol. Darunter versteht man zwei gleichgroße Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens (QY — Q,Q2 — — Q) im festen Abstand f. Das Dipolmoment ist definiert als das Produkt von Ladung und Abstand, wobei der Abstand ein von der negativen zur positiven Ladung gerichteter Längenvektor ist:
P=Qt-	(2.54)
Wenn man von den Punktladungen zu kontinuierlich verteilten Ladungen mit den Raumladungsdichten p + (r) und /•> (r) zur Beschreibung von positiv und negativ geladenen „Wolken“ übergeht, dann kann man sich die positive und die negative Gesamtladung in den Ladungsschwerpunkten der positiven und negativen Wolke lokalisiert vorstellen und dann wie mit Punktladungsdipolen verfahren.
Die resultierende elektrische Kraft, die so ein Dipol in einem elektrischen Feld E erfährt, ergibt sich aus der Summe der an Qx und Q2 angreifenden Kräfte. Im homogenen Feld ist die resultierende Kraft null. Liegt der Dipol aber nicht schon in Feldrichtung, dann sind die Kräfte F1 — Q1E und F2 — Q2 E zwar entgegengesetzt gleich, aber sie liegen nicht mehr auf einer Geraden, sondern sind seitlich versetzt mit dem Abstand f  sin9 (9 = Winkel zwischenp und E). Sie ergeben ein Kräftepaar, das dem Drehmoment (torque)
T = p/E	(2.55)
entspricht und das einen beweglichen Dipol in die Feldrichtung dreht, falls die Drehbewegung durch Reibung gedämpft wird; im ungedämpften Fall schwingt der Dipol um die Lage 9 — 0.
Die potentielle Energie eines permanenten Dipols im homogenen .E-Feld ergibt sich aus der Winkelintegration über den Betrag des Drehmomentes pE sin9:
IF = J®/?.Esin9d9
= pE(\ — cos9).	(2.56)
Diese Gleichung entspricht einem willkürlich gewählten Nullpunkt der potentiellen Energie bei 9 — 0; da immer nur Differenzen der potentiellen Energie physikalisch bedeutsam sind, kann der Nullpunkt ebenso gut z. B. bei 9 = 90° angenommen werden, was dann zu einer potentiellen Energie von —pE für 9 — 0 führt.
Im inhomogenen Feld erfährt der Dipol eine resultierende Kraft: Angenommen, der Dipol zeigt in + x-Richtung und das Feld am Ort der positiven Ladung weicht
66	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
um (d£/dx) t vom Feld am Ort der negativen Ladung ab. Dann sind die auf die beiden Dipolladungen wirkenden Kräfte F und F antiparallel zueinander und die resultierende Kraft ist gegeben durch
F = F+ +F- = ß(d£7dxX,
und mit Qi = p ergibt sich
F = p(d£’/dx).	(2.57)
Mit dem Trick, die Richtung des Dipolmoments p zur + x-Richtung zu machen, haben wir die Mathematik wesentlich vereinfacht. Eleganter ist es allerdings, die Formel für die Kraft ohne diese Hilfskoordinate zu formulieren, und statt dessen die Richtung des Vektors p selbst zu nutzen. Das führt zu dem Vektorgradienten mit dem die Kraft auf einen Dipol im inhomogenen Feld wie folgt ausgedrückt wird:
F = (pV)E.	(2.58)
Der Operatoren-Faktor in Klammern, mit dem jede Komponente des Vektors E zu multiplizieren ist, lautet ausgeschrieben
a	a	a
P v =p—+p— + P—,	(2.59)
ox	oy	oz
und für py — pz — 0 reduziert sich dieser Ausdruck auf den ersten Term, womit Gl. (2.58) in Gl. (2.57) übergeht.
Als nächstes soll das eigene Feld eines Dipols betrachtet werden, das sich aus der Vektorsumme der Felder beider Dipol-Ladungen ergibt. Abb. 2.19b zeigt das Feld zweier entgegengesetzt gleicher Ladungen; das ist das Nahfeld eines Dipols. Weil wir aber später atomaren und molekularen Dipolen begegnen werden, die über größere Entfernung miteinander in Wechselwirkung treten, interessiert uns besonders das Fernfeld eines Dipols, also das Feld in Abständen r |> f.
Zur Berechnung des Dipol-Fernfeldes führen wir nicht die Vektoraddition der Feldstärken beider Dipol-Ladungen durch, sondern - mathematisch einfacher, aber dazu völlig äquivalent - die skalare Addition der elektrischen Potentiale beider Ladungen und die anschließende Gradientenbildung.
Potential eines Dipols. Es wird ein in + z-Richtung ausgerichteter Dipol mit seiner Mitte im Koordinaten-Ursprung angenommen (Abb. 2.34).
Der Abstand r zum Punkt P sei groß gegenüber der Dipollänge f. Die zwei entgegengesetzt gleichen punktförmigen Ladungen Q und — Q bewirken im Punkt P das Potential
ß /1	1 \ ß r, — r,
- 577 17 - -1 - 577 Ty2 •	»“)
lll Oq \ l	l	l/L Oq l l q
Hier sind rY und r2 die Abstände der beiden Ladungen vom Punkt P. Für r |> f gelten die Näherungen
j-j r2 ä r2 und r2 — r1 x f cos3,	(2.61)
2.3 Potential, Spannung
67
Abb. 2.34 Zur Berechnung des Potentials eines Dipols.
wobei 3 der Winkel zwischen Dipolmomentp und Radiusvektor r ist. Somit erhalten wir das Resultat
C'62)
Feldstärke eines Dipols. Wenn wir die Richtung des Dipols als z-Achse nehmen, benötigen wir zur Beschreibung der Feldstärke wegen der Symmetrie des Feldes nur noch eine zu z senkrechte Koordinate, z. B. x. Statt der Darstellung E(x, z) verwenden wir hier die mathematisch etwas einfachere Darstellung mit Feldstärke-Komponenten in radialer Richtung und senkrecht dazu (vgl. auch Abschn. 3.4.5).
Für den Punkt P erhalten wir Er, die Komponente der Feldstärke E in radialer Richtung, durch die Beziehung
DipOi = 2pcos9
8r 4n£0r3
(2.63)
Die Feldstärkenkomponente in der dazu senkrechten Richtung mit zunehmendem Polarwinkel 9 ergibt sich durch Differenzieren nach dem Längendifferential r89 (differentielle Veränderung des Polarwinkels 9 bei konstantem r) und wird als E3 bezeichnet:
^Dipoi = Psin'9 r 89 4n £0 r3
(2-64)
Der Betrag der resultierenden Feldstärke ergibt sich zu
£d,Po1 = |A2 + £S2
-------- ]/4 cos23 + sirr/i
4ne0r3 v
P 4n£0r3
]/3 cos23 + 1.
(2.65)
Das Fernfeld eines Dipols ist in Abb. 2.35 dargestellt. Die vertikale Orientierung des Dipols entspricht der von Abb. 2.34 während die Abb. 2.19b das Nahfeld eines horizontalen, nach links gerichteten Dipols zeigt.
68
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.35 Fernfeld eines elektrischen Dipols. Der Vektor p stellt das Dipolmoment dar.
Induzierter Dipol. Das Dipolmoment eines induzierten Dipols liegt immer in der Richtung des lokalen elektrischen Feldes und ist der Feldstärke proportional:
p = tx.E.	(2.66)
Die Konstante a ist die Polarisierbarkeit (polarizability). Die Feldstärke E ist die, die ohne den induzierten Dipol an seinem Ort existieren würde. Das eigene Feld des induzierten Dipols geht in Gl. (2.66) nicht ein.
Ein einfaches Beispiel für einen induzierten Dipol ist ein Metallstab, der parallel zu einem elektrischen Feld liegt. Durch Influenz erhält der Stab an seinen Stirnflächen Influenzladungen, die ihn zu einem Dipol machen. Diese Ladungen erzeugen ein Feld, das das angelegte Feld im Inneren des Stabes kompensiert. Deshalb ist sein Dipolmoment proportional zur angelegten Feldstärke, die ohne Anwesenheit des Stabes existieren würde.
Die zur Sichtbarmachung elektrischer Felder benutzten Grießkörner sind zwar keine Leiter, sie sind aber wegen ihrer Permittivitätszahl er > 1 im elektrischen Feld polarisierbar (Abschn. 13.2). So entstehen in den Körnern kleine induzierte Dipole, die parallel zum .E-Feld ausgerichtet sind. In der Nähe der Dipol-Ladungen wird das lokale .E-Feld durch die Überlagerung des vom Dipol (Grießkorn) selbst erzeugten Feldes verstärkt (vgl. dazu Abb. 2.32 mit der Metallkugel, die durch Influenz zum Dipol wurde). Sind viele solche Dipole in der Flüssigkeit, dann siedeln sie sich bevorzugt so an, dass ihre vorzeichen-ungleichen Dipol-Enden nahe beieinander liegen. Das führt zu Grießkorn-Ketten, die den Eindruck von „Feldlinien“ hervorrufen.
Kraft zwischen Ladung und Dipol. Ein permanenter Dipol, der in der Richtung des von einer (punktförmigen) Ladung erzeugten Feldes liegt, erfährt nach Gl. (2.57) die Kraft
5 Q r	IQ r
<2-67) er 4ti e0 r r 4k e0 r r
2.3 Potential, Spannung
69
Das Minuszeichen bedeutet eine zum Einheitsvektor r/r antiparallele Kraft, also die erwartete „Anziehung“. [Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man die Kraft auf die Ladung Q im Feld des permanenten Dipols p betrachtet und dieselbe Orientierung des Dipols zur Ladung annimmt, also das Dipol-Feld für 9 — n zugrunde legt, sodass die Feldrichtung antiparallel zum Ortsvektor der Ladung ist.]
Das Wichtigste beim Resultat von Gl. (2.67) ist die Abstandsabhängigkeit: Während die Kraft zwischen zwei Ladungen proportional zu c 2 ist, ist die zwischen Ladung und permanentem Dipol ~ r 3.
Um die Kraft zwischen einer Ladung und einem durch diese induzierten Dipol zu erhalten, braucht man in Gl. (2.67) nur das Dipolmoment p gemäß Gl. (2.56) durch v.E zu ersetzen. Mit der 1/r2-Abhängigkeit der von der Ladung erzeugten Feldstärke folgt für die Kraft eine Proportionalität zu r
Kraft zwischen Dipolen. Zuerst betrachten wir einen felderzeugenden permanenten Dipolp und seine Wirkung auf andere permanente Dipole im Abstand r (Abb. 2.36).
Statt eine allgemeine Beziehung für beliebige Werte des Winkels 9 herzuleiten, beschränken wir uns auf die Fälle 9 = 0 (Dipol p] und rt/2 (Dipol />,). Beide Dipole sind parallel zum lokalen Feld ausgerichtet, und um die resultierende Kraft im inhomogenen Feld zu berechnen, muss nach Gl. (2.57) entlang des Dipols differenziert werden. Im Fall (1) ist leicht einzusehen, dass nur Er differenziert werden muss, weil die Ableitung von E3 wegen sin9 = 0 verschwindet. Der Fall (2) ist komplizierter: Da nach <39 differenziert werden muss, tritt in der Ableitung von Er der Sinus auf, der für 9 = rt/2 gleich eins wird, während die Ableitung von Ea mit dem Cosinus verschwindet.
Dipol 1
\F,\ = Q (<E ü).\r mit Ar = t
Dipol 2
|F2I = Q2(dEr!dS)\3 mit A9 = £2)r.
(2.66)
Abb. 2.36 Im Feld des permanenten Dipols p befinden sich die Dipole 1 und 2, beide im Abstand r; der Polarwinkel 9 ist 0 für Dipol 1 und it/2 für Dipol 2.
70	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.37 Zur Verdeutlichung der Anziehung zweier Dipole, deren Dipolmomente zueinander antiparallel und zur Verbindungslinie senkrecht stehen. Fres ist die resultierende Kraft.
In beiden Fällen (wie auch für beliebige Werte des Winkels 3) ergibt sich eine Proportionalität zu / 4. Für induzierte Dipole im Feld eines permanenten Dipols, das proportional zue’ ist, wird die Kraft proportional zur = r \
Wie es möglich ist, dass im Fall (2) eine Kraft in radialer Richtung zustande kommt, obwohl Er am Ort von p2 den Wert null hat, ist in Abb. 2.37 zur Veranschaulichung an einem extrem großen Dipol dargestellt.
Abschließend sind die verschiedenen Abstandsabhängigkeiten in Tab. 2.2 zusammengefasst.
Tab. 2.2 Kräfte zwischen Ladungen, permanenten und induzierten Dipolen.
Wechselwirkung zwischen A und B		Exponent des Radius in Formel für	
A	B	Kraft	Potential
Ladung	Ladung	— 2	-1
Ladung	permanenter Dipol	-3	— 2
Ladung	induzierter Dipol	-5	— 4
permanenter Dipol	permanenter Dipol	— 4	-3
permanenter Dipol	induzierter Dipol	— 7	-6
In der letzten Spalte der Tabelle ist auch die r-Abhängigkeit des Potentials angegeben. Potential und Wechselwirkungsenergie ergeben sich aus dem Wegintegral über die Kraft, erstreckt von „unendlich“ bis zum Abstand r. Deshalb ergibt sich für das Potential ein im Vergleich zur Kraft um 1 erhöhter Exponent des Radius r.
2.3 Potential, Spannung
71
Abb. 2.38 Ladungs-Doppelschicht mit Schichtabstand <7; senkrecht zur x-Achse.
Dipolschicht. Darunter muss man sich eine Ebene vorstellen, die mit zueinander parallelen, senkrecht zur Ebene orientierten Dipolen dicht belegt ist. Die Dipolmoment-Dichte der Ebene hat die Dimension
(Ladung • Abstand) Fläche
Ladung^ ------- • Abstand.
Fläche )
Deshalb lässt sich die Dipolschicht auch als eine Ladungs-Doppelschicht mit dem Abstand d zwischen den beiden entgegengesetzt geladenen Schichten (Abb. 2.38) auffassen. Zwei plan-parallele Metallplatten im Abstand d, aufgeladen mit gleich großen Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens bilden an ihren gegenüberstehenden Oberflächen eine solche Ladungs-Doppelschicht aus.
Wenn die Abmessungen der Platten viel größer sind als der Abstand d, dann kann man näherungsweise annehmen, dass sich zwischen den Platten ein homogenes Feld ausbildet und dass außerhalb der Platten das Feld null ist (Randstörungen vernachlässigt). Das heißt, dass sich die gesamte Ladung der Platten auf den inneren Oberflächen befindet und eine homogene Flächenladungsdichte er = QA (mit Q — Ladung, A — Fläche) ausbildet. Zwischen den Platten liegt das homogene elektrische Feld
E = g/s0 .	(2-69)
Außerhalb der Ladungs-Doppelschicht existiert kein elektrisches Feld. Entlang der senkrecht auf der Doppelschicht stehenden x-Achse ändert sich das Potential nur innerhalb der Doppelschicht, wo es linear von ( —) nach ( + ) ansteigt. Die Poten-tialdifferenz ist gegeben durch:
(/’( + )-Seite “ ^(-J-Seile =	=	'	(2.70)
Bei den Dipolschichten ist meist eine verschwindend geringe Schichtdicke gegeben. Deshalb interessiert nicht, was innerhalb der Schicht passiert, sondern was vor und hinter der Schicht anders ist. Allgemein gilt:
• Beim Durchgang durch eine Dipolschicht tritt ein Potentialsprung auf. Die Spannung der Dipolschicht ist gegeben durch
U = (<r/e0) d
= (Nd/A)p/Eo,	(2.71)
72	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
wobei (7Vd/^4) die Flächendichte der Dipole ist. Dipolschichten treten z. B. an Grenzflächen von Metallen auf (Abschn. 8.2).
Es gibt auch induzierte Dipolschichten bzw. Ladungs-Doppelschichten: Jede Metallplatte, die in ein senkrecht zu ihrer Oberfläche stehendes .E-Feld gebracht wird, bildet durch Influenz an ihren Oberflächen eine Ladungs-Doppelschicht aus; das Feld der Ladungs-Doppelschicht ist dem äußeren Feld entgegengesetzt gleich, sodass im Inneren der Metallplatte das .E-Feld verschwindet.
Multipole. Zwei entgegengesetzt gleiche Ladungen, die räumlich benachbart sind, aber nicht zusammenfallen, bilden einen Dipol. Was bilden zwei entgegengesetzt gleiche, benachbarte Dipole? Einen Quadrupol! Das Schema lässt sich auf Oktopole, Hexadekapole, u.s.w. erweitern. Hier genügen die Quadrupole (Abb. 2.39). Einzelne Ladungen nennt man in diesem Zusammenhang Monopole.
Wenn man eine beliebige, räumlich auf ein begrenztes Volumen konzentrierte Ladungsverteilung betrachtet, die auf ein Kugelvolumen mit Radius rK beschränkt ist, dann lassen sich über die Abstandsabhängigkeit des Potentials dieser Ladungsverteilung in großer Entfernung r |> rK einige interessante Aussagen machen:
- Wenn die vorzeichengerechte Summe der Ladungsverteilung (das Volumenintegral über die Ladungsdichte) nicht null ist, dann liegt ein Monopol vor. Für hinreichend große Abstände (r > rK) wird das Potential der Ladungsverteilung durch den Monopol dominiert und deshalb proportional zu r '. Die Größe des isotropen Potentials wird durch das skalare „Monopolmoment“ (= Ladung) beschrieben.
- Ist die Summe der Ladungen null, aber fallen die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladung nicht zusammen, dann liegt ein Dipol vor. Bei Abwesenheit eines Monopols wird das Potential der Ladungsverteilung in hinreichend großen Abständen vom Dipol dominiert und deshalb proportional zur 2. Das vektorielle Dipolmoment beschreibt Größe und Richtungsabhängigkeit des Potentials.
- Wenn die Gesamtladung null ist und die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladung zusammenfallen, aber die Verteilungen der positiven und negativen Ladung sich z. B. wie in Abb. 2.39 skizziert unterscheiden, dann liegt ein Quadrupol vor. Bei Abwesenheit von Monopol und Dipol dominiert er das Potential der Ladungsverteilung in hinreichend großen Abständen mit der Proportionalität /'. Die Beschreibung von Größe und Richtungsabhängigkeit des Potentials ist hier noch komplizierter als beim Dipol; das Quadrupolmoment ist mathematisch ein Tensor (vgl. Quadrupolmoment des Atomkerns: Bd. 4, Kap. 1 und 4).
© $ ©
(a)
©
© ©
©
(b)
Abb. 2.39 Schematisch skizzierte Quadrupole aus Punktladungen (a,b) oder Raumladungswolken (c,d).
2.4 Kapazität
73
Wie in Lehrbüchern der theoretischen Elektrodynamik bewiesen wird, lässt sich ganz allgemein das Potential einer beliebigen, räumlich begrenzten Ladungsverteilung darstellen als Summe von Monopol-Potential + Dipol-Potential + Quadrupol-Potential + .... Man spricht von Multipol-Entwicklung oder von „Entwicklung nach Momenten“.
2.4 Kapazität
2.4.1 Zweileiter-Systeme als Kondensatoren
Kugelkonduktor im freien Raum. Beim Kugelkonduktor gehen die Feldlinien bis ins Unendliche; im Prinzip muss man sich die negativen Ladungen, auf denen die Feldlinien eigentlich zu enden haben, im Unendlichen angesiedelt denken, isotrop (d. h. gleichmäßig über alle Richtungen) verteilt.
Der betrachtete Konduktor sei eine Metallkugel mit dem Radius rK und der (positiven) Ladung Q. Potential und Feldstärke sind als Funktion des Radialabstands r in Abb. 2.28 für Q = 1 nC und rK = 1 m dargestellt.
Kugelförmige Konduktoren wurden schon seit etwa 1740 in Verbindung mit Elektrisiermaschinen zur Ansammlung der Ladung verwendet. Die „Stärke“ von Funkenentladungen wächst mit dem Kugelradius. Das liegt einmal an der durch Sprüh-und Korona-Entladung begrenzten Spitzenspannung, die mit zunehmendem Krümmungsradius ansteigt und höhere Funken-Schlagweiten ermöglicht, aber es liegt auch an den größeren gespeicherten Ladungsmengen, die den Knall der Funken verstärken und bei Entladungen über den Körper des Experimentators entsprechend spürbarer werden.
Die gespeicherte Ladungsmenge ergibt sich für den Kugelkonduktor durch Umformung von Gl. (2.46) zu
Q = 4ne0rKU,	(2.72)
wobei hier die Spannung U für die Potentialdifferenz zwischen Konduktor und dem Nullpotential bei r — v steht. Die Proportionalität der gespeicherten Ladung zur angelegten Spannung lässt sich allgemein für alle Leiter-Konfigurationen feststellen (siehe unten). Deshalb ist es sinnvoll, eine Größe für die Ladungs-Speicherfähigkeit „pro Volt“ zu definieren; das ist die Kapazität (capacitance),
C = Q/U,	(2.73)
die für den freistehenden Kugelkonduktor mit Radius rK gegeben ist durch
CKugei = 47teorK-	(2-74)
Die Kapazität wird in der zu Ehren Faradays benannten SI-Einheit „Farad“, F = As/V, gemessen. Diese Einheit ist enorm groß. Die in der Elektrotechnik praktisch vorkommenden Kapazitäten liegen im Bereich pF bis mF.
Nützlich zu merken: Für eine Kugel mit 1 cm Radius ergibt sich die Kapazität von 1.11 pF (« 1 pF); ebenfalls manchmal nützlich ist die Beziehung 4tt£0 = 111 pF/m.
74	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Abb. 2.40 Seifenblasen-Anordnung zum Nachweis, dass die Kapazität einer Kugel mit dem Radius zunimmt.
Dass die Kapazität einer Kugel mit dem Radius zunimmt, kann man qualitativ mit einer geladenen Seifenblase zeigen, die man am unteren Ende eines an einem Kunststoffrohr isoliert gehaltenen Metallröhrchens erzeugt (Abb. 2.40). An dem Metallrohr sind zwei Elektrometerblättchen aus Seidenpapier befestigt, deren Ausschlag dem Potential proportional ist. Man lädt zunächst eine möglichst kleine Seifenblase so stark auf, dass die Blättchen stark divergieren; vergrößert man dann durch Hineinblasen von Luft die Seifenblase, so sinken die Blättchen mit zunehmendem Blasendurchmesser immer weiter zusammen. Das Potential der geladenen Blase sinkt also ab, und da die Ladung auf ihr unverändert bleibt, bedeutet dies nach Gl. (2.74) eine Zunahme der Kapazität. Gibt man die Einblaseöffnung frei, sodass sich die Seifenblase infolge der Oberflächenspannung zusammenziehen kann, so steigt mit abnehmendem Radius, also kleiner werdender Kapazität, das Potential und damit der Ausschlag der Elektrometerblättchen wieder an.
Die Ladungsspeicherung mithilfe eines Konduktors ist nicht sehr effektiv. Die Spannung kann nicht beliebig erhöht werden, ohne dass Entladung in das umgebende Gas (Luft) einsetzt. Einer Vergrößerung des Radius zur Steigerung von Kapazität und Spannungsfestigkeit sind konstruktive und ökonomische Grenzen gesetzt. Selbst für die Erdkugel (Radius « 6400 km) ergibt sich „nur“ eine Kapazität von 700 pF.
Erhöhung der Kapazität mithilfe der Influenz. Viel größere Kapazitäten sind erzielbar, wenn man nicht nur Ladungen eines Vorzeichens speichert, sondern immer gleiche Mengen positiver und negativer Ladung auf zwei Leitern dicht beieinander, aber gut isoliert voneinander, sodass die Ladungen sich nicht neutralisieren können. Für den Experimentator wäre es sehr mühsam, dafür sorgen zu müssen, dass Speicherung und Entnahme immer in gleichen Mengen positiver und negativer Ladung erfolgen. Das geschieht aber automatisch, wenn einer der Leiter geerdet wird. Dann sorgt die Influenz für die gleiche Menge Ladung des anderen Vorzeichens!
Das führt zum Kondensator (capacitor) als eine Zwei-Leiter-Anordnung zur Ladungsspeicherung. Die beiden Leiter seien gut isoliert und so geformt, dass das beim Anlegen einer Spannung U entstehende elektrische Feld vollständig zwischen den Leitern liegt, nicht zwischen den Leitern des Kondensators und der „Umgebung“. Bildlich gesprochen müssen alle Feldlinien auf dem positiv geladenen Leiter beginnen und auf dem negativ geladenen enden; es dürfen also keine Feldlinien ins Unendliche gehen! Das bedeutet, die auf den beiden Leitern befindlichen Ladungen
2.4 Kapazität
75
sind entgegengesetzt gleich. Dabei ist es unwesentlich, ob diese Ladungen nacheinander auf die Leiter aufgebracht wurden, oder ob nur eine Elektrode aufgeladen wurde und die andere, geerdete Elektrode eine entsprechende Influenzladung erhielt.
Kugelkondensator. Das ist die in Abb. 2.41a gezeigte Anordnung. Umgibt man einen mit der Ladung Q aufgeladenen Kugelkonduktor vom Radius ri mit einer konzentrischen geerdeten Kugelschale mit Innenradius r2, dann ist die elektrische Feldstärke im Radialbereich r, < r < r2 immer noch dieselbe wie bei dem freistehenden Kugelkonduktor; geändert hat sich aber das Potential der Kugel, weil das Erdpotential jetzt nicht mehr bei r = oo, sondern bei r — r2 liegt und die Spannung U sich jetzt durch das Feldstärke-Integral über einen kleineren Radialbereich ergibt:
Q /i 1\
U=-£-dr= —----------------.	(2.75)
4n£0\r1 rj
Die Kapazität des Kugelkondensators ist deutlich größer als die des freistehenden Kugelkonduktors, nämlich
r
'	= 4jt £ —-——
Kugelkond.	0
(2-76)
Zylinderkondensator. Diese in der Technik häufig vorkommende Anordnung besteht aus zwei konzentrischen Kreiszylindern; ein Stück davon ist in Abb. 2.41b gezeichnet. Bei hinreichend großer Höhe h |> rx, r2 können die Randfelder vernachlässigt werden und es ergibt sich für die Kapazität der Ausdruck:
= (2-77)
Hier sind rY und r2 die Radien des inneren und äußeren Zylinders und h ist die Höhe desselben.
Ein sehr wichtiger Spezialfall des Zylinderkondensators ist das koaxiale Kabel: Für r2/r1 = 10 und Luft zwischen den Leitern ergibt sich z. B. CZylinderk /h x 24 pF/m.
Abb. 2.41 (a) Schnitt durch einen Kugelkondensator, (b) Stück eines Zylinderkondensators.
76	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Plattenkondensator. Noch leichter zu überblicken sind die Verhältnisse bei planparallelen Platten, deren Abstand leicht variiert werden kann (Abb. 2.42a). Die beiden isolierten Metallplatten, die auf einer horizontalen Schiene gegeneinander verschiebbar sind, werden zunächst möglichst weit voneinander entfernt, eine von ihnen mit einem Elektrometer verbunden und aufgeladen. Die andere Platte und das Elektrometer-Gehäuse sind geerdet. Nähert man nun die andere ungeladene Platte der geladenen bis auf einige Millimeter, so geht der Elektrometerausschlag stark zurück, um bei Entfernung der Platten voneinander wieder den alten Wert anzunehmen. Das heißt, durch die Influenzladung auf der geerdeten Platte (und konstanter Ladung der anderen Platte) wird die Spannung zwischen den Platten verringert, also die Kapazität der Anordnung erhöht und zwar umso mehr, je näher sich die Platten kommen.
Abb. 2.42 (a) Demonstrations-Plattenkondensator mit leicht veränderbarem Plattenabstand, (b) Feldlinienbild eines aufgeladenen Plattenkondensators mit großem Plattenabstand (markantes Streufeld).
Wichtig für die Kapazitätserhöhung ist das entgegengesetzte Vorzeichen der Ladung auf der anfangs ungeladenen Platte, nicht sein Zustandekommen durch Influenz. Das kann man zeigen, indem man die zweite Platte nicht erdet, sondern mit entgegengesetztem Vorzeichen auflädt; auch dann sinkt der Elektrometer-Ausschlag entsprechend einer erhöhten Kapazität. Sehr instruktiv ist folgender Gegenversuch: Lädt man die verschiebbare zweite Platte mit gleichnamiger Ladung wie die erste auf, so tritt beim Zusammenschieben der beiden Platten eine Erhöhung des Elektrometer-Ausschlags ein; hier wird, umgekehrt wie vorher, die Kapazität verkleinert.
Für die Deutung des beschriebenen Demonstrationsversuchs ist begriffliche Klarheit wichtig. Statt vom „Potential“ der einen Platte (und des Elektrometers) reden wir jetzt von der Spannung zwischen den Platten (bzw. zwischen Elektrometer und geerdetem Gehäuse). Der Elektrometer-Ausschlag wird durch die im Elektrometer
2.4 Kapazität
77
befindliche Ladung ßE bewirkt; aber diese ist zur angelegten Spannung proportional, weil die Kapazität des Elektrometers CE eine konstante Größe ist:
u-cb.	(2.78)
Die aufgebrachte Ladung Q verteilt sich auf Platte und Elektrometer, die entsprechende Influenzladung auf die andere Platte und das Elektrometergehäuse. Bei dieser „Parallelschaltung“ addieren sich die Kapazitäten. Das heißt, in der Beziehung C = Q/U ist C die gesamte Kapazität der Anordnung, und die Spannung ergibt sich als
C/=e/(Cp + CE).	(2.79)
Nur solange wie die Elektrometer-Kapazität CE hinreichend klein ist gegenüber der des Plattenkondensators Cp, kann man bei Veränderung des Plattenabstands eine deutliche Änderung des Elektrometer-Ausschlags erwarten.
Wie groß ist nun die Kapazität des Plattenkondensators? Das in Abb. 2.42b sichtbare inhomogene Randfeld wird für Abstände d, die klein gegen den Plattendurchmesser sind, vernachlässigbar. Dann gelten die gleichen Beziehungen wie für die Ladungs-Doppelschicht:
= Q)A = e0 E,
Ed — U.	(2.80)
Daraus folgt sofort die Kapazität der Anordnung zu
Cp = Q/U = s0A/d.	(2.81)
Diese Formel gilt auch für alle anderen Leiter-Formen, bei denen der Abstand d hinreichend klein ist. Setzt man beim Kugelkondensator r2 — = d <	= r, dann
ergibt sich die Kapazität aus Gl. (2.81) mit A — 4n r2.
Paralleldraht-Anordnung. Schließlich stellen auch zwei im Abstand 2d parallel zueinander geführte Drähte (der Länge f~) vom Durchmesser 2r einen Kondensator dar. Ist r klein gegen d, so ergibt sich für die Kapazität angenähert der Wert:
CparaneMraht = *	(^) •	(2.82)
Für d/r — 10 erhält man beispielsweise CParalleldraht/V « 12pF/m.
Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren. Um größere oder kleinere Kapazitäten zu erhalten, kann man mehrere Kondensatoren in geeigneter Weise zusammenschalten; die in der Abb. 2.43 a gezeigte Verbindung wird als Parallelschaltung bezeichnet. Die einzelnen Kondensatoren mögen die Kapazitäten Cp C2, ..., Cn haben; da sie alle die gleiche Spannung U besitzen, sind die auf den Einzelkondensatoren sitzenden Elektrizitätsmengen:
Qi = Q U, Q2 = C2U, ... Qa = CaU.	(2.83)
78
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
(b)
Abb. 2.43 (a) Parallelschaltung, (b) Reihenschaltung von Kondensatoren. Einführung des Schaltzeichens für „Kondensator“.
Auf dem Gesamtkondensator, dessen Kapazität C gesucht wird, befindet sich also die Elektrizitätsmenge
e^ej + ea + .-. + en
= (C1 + C2 + ... + Cn) u
= CU.	(2.84)
Also gilt die Gleichung:
C= Q + Q + .-. + Q.	(2.85)
Bei Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten.
Eine zweite Schaltungsart von Kondensatoren ist die Reihen- oder Hintereinanderschaltung (Abb. 2.43b). Hier ergibt sich die resultierende Kapazität aus folgender Überlegung: Am ganzen Kondensator liegt die Spannung t/; sie verteilt sich also je nach den Teilkapazitäten C1; C2 ..., Cn auf die Einzelkondensatoren; die Gesamtladung des Kondensators ist Q. Bezeichnen wir die gesuchte Gesamtkapazität wieder mit C, so ist also
Q = c U = C(Ul + U2+... Ua).	(2.86)
Denn nach den Gesetzen der Influenz trägt jeder Teilkondensator die gleiche Elektrizitätsmenge Q. Die Spannungen, die an den einzelnen Kondensatoren liegen, sind durch folgende Gleichungen gegeben:
U^Q/C,, U2 = Q/C2, ... Ua = Q/Ca.	(2.87)
Setzt man diese Werte in die vorhergehende Gleichung ein, so folgt
(2.88)
und nach Kürzung von Q ergibt sich 111 1
(2.89)
2.4 Kapazität
79
Bei Reihenschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten. Das bedeutet, dass die resultierende Kapazität C stets kleiner ist als die kleinste der in Reihe geschalteten Teilkapazitäten.
Der Vorteil der Reihenschaltung von Kondensatoren besteht darin, dass an jedem einzelnen Kondensator nur ein Bruchteil derjenigen Spannung liegt, mit der die ganze Anordnung aufgeladen ist.
Anmerkung zur Verwendung von Schaltzeichen der Elektrotechnik. Wie in der Abb. 2.43 für Kondensatoren werden später auch für andere Bauelemente die Schaltzeichen nicht explizit erklärt, sondern beim ersten Mal so verwendet, dass ihre Bedeutung aus dem Textzusammenhang klar zu erkennen ist. Auf den inneren Einbandseiten ist eine Auswahl der Schaltzeichen zusammengestellt.
Messung von Kapazitäten. Oben wurde gezeigt, wie man die Kapazität eines einfachen Plattenkondensators berechnen kann. Hierbei wurden die Randfelder vernachlässigt, was bedenkenlos geschehen kann, wenn der Abstand der Kondensatorplatten klein gegen die Fläche ist. Um die Kapazität eines Kondensators zu messen, muss man die Ladungsmenge und die Spannung messen. Dies ist aber nicht einfach, weil sich die Ladungsmenge bei der Messung auch auf das Messinstrument und die Zuleitungen verteilt. Leichter ist es, die Kapazität zweier Kondensatoren miteinander zu vergleichen. Wechselstrom-Methoden zur genauen Bestimmung von Kapazitäten werden später (Abschn.4.3) behandelt.
2.4.2 Elektrische Feldenergie
Am einfachsten ist es, wenn wir zunächst die Verhältnisse für das homogene Feld des Plattenkondensators betrachten und dann angeben, welche Ergebnisse allgemein gültig sind. Der Prozess der Aufladung eines Plattenkondensators kann formal in folgende Schritte zerlegt werden:
-	Ladungstrennung (d(? + dQ) an der geerdeten Platte. Die positive Ladung wird von der Platte abgelöst. (Eine Ablösearbeit wird bei dieser Betrachtung nicht berücksichtigt, ebenso nicht die Arbeit, die gewonnen wird, wenn die Ladung in die gegenüberliegende Platte eintritt.)
-	Die negative Ladung verbleibt auf der geerdeten Platte als die zu dQ + gehörende Influenzladung.
-	Transport der kleinen Ladung dQ + zur anderen Platte im Abstand d. Wenn sich dort schon positive Ladungen befinden, existiert eine E-Feld, das auf die zu transportierende Ladung die abstoßende Kraft dF — E dQ ausübt.
-	Um die Ladung dQ auf die andere Platte zu bringen, muss die Arbeit
dW= f (dF)-ds
x = 0
= dg j E-ds
x = 0
= UdQ	(2.90)
80	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
verrichtet werden, wobei die Spannung U durch die schon auf der anderen Platte befindliche Ladung Q bestimmt wird gemäß U = QIC.
- Die gesamte Arbeit W, die zu verrichten ist, um den Plattenkondensator mit der Ladung Q aufzuladen, ergibt sich durch Integration:
ö Q	Iß2
™ = J ^dß=-^.	(2.91)
2=0^	zu
Die Energie kann auch auf Spannung und Kapazität oder auf Spannung und Ladung bezogen werden:
1 9 1
W=-U2C= -UQ.	(2.92)
Die bei der Aufladung aufgewendete Energie steckt nun als elektrische Energie „im Plattenkondensator“. Aber wo? Außen und im Metall der Platten hat sich durch die Aufladung nichts verändert. Durch die Aufladung ist zwischen den Platten das .E-Feld entstanden, und deshalb ist es naheliegend, dort auch den Sitz der elektrischen Energie zu vermuten. Durch einfache Umformung erhält man aus Gl. (2.92) mit U = Ed und C = s0Ajd die Energiedichte des elektrischen Feldes:
W 1	„	1
w = --- = -snE2 = -ED.	(2.93)
e Ad 2 0	2	’
Gl. (2.93) gilt allgemein, auch für inhomogene elektrische Felder.
Ladungstrennung beim Bandgenerator. Als Beispiel für eine Quelle elektrischer Energie sei hier der Bandgenerator (Abschn. 2.1.5) betrachtet. Mit einem Strom von IOjiA und einer Spannung von 100 kV beträgt die elektrische Leistung 1 W. Das Ladungstransportband muss die durch Reibung getrennten Ladungen verschiedenen Vorzeichens voneinander entfernen bzw. aufgesprühte Ladungen von den Influenzladungen auf der hinter dem Band sitzenden Elektrode wegführen. Die dazu je Sekunde notwendige Arbeit beträgt für dieses Beispiel 1 J. Das ist nur die elektrische Arbeit der Ladungstrennung; die mechanischen Reibungsverluste kommen noch hinzu.
Jetzt kann auch verdeutlicht werden, wie die bei Reibungsversuchen ausgenutzte Kontaktelektrizität, die Spannungen von nur etwa 1 V zwischen verschiedenen Stoffen entstehen lässt, zu Hochspannung führen kann: Die beiden aufgeladenen Isolator-Oberflächen, zwischen denen ja nur an wenigen Punkten echter Berührungskontakt besteht, verhalten sich wie ein Plattenkondensator mit sehr kleinem Plattenabstand, also sehr hoher Kapazität, der auf etwa 1 V aufgeladen ist. Beim Abheben der Oberflächen voneinander wird unter Aufwendung mechanischer Arbeit die Kapazität des Kondensators um mehrere Größenordnungen verkleinert. Da die Ladung konstant bleibt, erhöht sich die Spannung entsprechend.
Auch bei der innigen Berührung von zwei verschiedenen Metallkörpern bildet sich durch Ladungsübertragung eine Kontaktspannung. Wegen der Leitfähigkeit beider Teile findet aber stets über den letzten Berührungspunkt vor der Trennung noch ein Zurückfließen der Ladung statt. Dadurch ist es nicht möglich, mit Stoffen, die beide leitend sind, Ladungstrennung zu bewirken.
2.4 Kapazität
81
Abb. 2.44 Spannungswaage (schematisch). Die zwischen den beiden Kondensatorplatten wirkende Kraft wird mit einem Gewicht gemessen.
Spannungswaage. Die zwischen den Kondensatorplatten mit der Fläche A wirkende Kraft Fkann (nach William Thomson, dem späteren Lord Kelvin, 1824-1907) mit einem Gewicht auf einer empfindlichen Waage gemessen werden. Die Kraft ergibt sich aus der bei der Abstandsänderung da zu leistenden Arbeit d IV, die gleich der Änderung der Feldenergie sein muss:
dfF = Fda = weAda.	(2.94)
Daraus folgt nach Kürzen von da
1
F = weA = -e0E2A.	(2.95)
Die Abb. 2.44 zeigt eine modifizierte Balkenwaage. Die rechte Waagschale ist die über die Waage geerdete obere Kondensatorplatte; auf die linke Waagschale werden die kleinen Gewichtsstücke gelegt. Die dem Kondensator rechts zugeführte Spannung ergibt bei einem bestimmten Plattenabstand d eine Feldstärke, deren Kraftwirkung mit dem Gewicht auf der anderen Seite der Waage verglichen wird. Um Randfelder auszuschließen, wird die obere Kondensatorplatte mit einem festen Schutzring versehen, der ebenfalls geerdet ist. Die untere Kondensatorplatte ist entsprechend größer. Die angelegte Spannung muss mehrere Tausend Volt betragen, damit die Kraft ausreichend groß wird, um genau gemessen zu werden. Man misst den Abstand der Kondensatorplatten d und die Kraft F (als Gewicht). Man kennt die Fläche der oberen Kondensatorplatte und die elektrische Konstante e0. Daraus kann man die Spannung U berechnen. Diese Wägung ist eine Möglichkeit, die elektrische Größe „Spannung“ direkt an die mechanisch messbare Kraft anzuschließen. Solche „absoluten“ Messungen hatten in der Mitte des 19. Jahrhunderts große Bedeutung für das Verständnis des Elektromagnetismus.
2.4.3 Permittivität
Füllt man den Raum zwischen den Leitern eines Kondensators mit einem elektrisch isolierenden Stoff, einem so genannten Dielektrikum oder dielektrischen Medium, dann erhöht sich die Kapazität. Das lässt sich leicht mit einem aufgeladenen Plattenkondensator und angeschlossenem Elektrometer demonstrieren: Wird z. B. eine Kunststoffplatte in den Zwischenraum hineingeschoben, dann sinkt die Spannungsanzeige des Elektrometers.
Dieser Effekt dient zur Definition der Materialkonstanten er, die als Faktor in die Kapazität des Plattenkondensators mit Dielektrikum eingeht:
C = sr80A/d= 8rC0.	(2.96)
82	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Die von der chemischen Natur des Stoffes abhängige Materialkonstante £r wird Permittivitätszahl oder (relative) Permittivität (relative permittivity) genannt (früher auch: Dielektrizitätskonstante, dielectric constant, DK); der Index „r“ bedeutet „relativ zu Vakuum“. Zur Schreibvereinfachung werden die beiden Konstanten oft zusammengefasst zu s — e0£r. Aber die Faktorisierung in die Natur konstante £0 und die Materialkonstante sr ist so sinnvoll, dass wir sie in diesem Buch beibehalten.
In einem „dielektrischen Medium“ gelten die Gesetze der Elektrostatik in abgeänderter Form: Die elektrische Konstante e0 ist zu ersetzen durch das Produkt £0£r; die Materialkonstante sr ist immer größer als eins. Die atomistische Deutung für £r > 1, wie auch die Gründe für Temperatur- und Frequenzabhängigkeit von sr werden in Kap. 13 ausführlich diskutiert. Für trockene Luft von 1 atm ist sr x 1.0006; deshalb macht es wenig Unterschied, ob elektrostatische Messungen im Vakuum oder in Luft vorgenommen werden.
Es gibt drei Gründe für die Einbringung von isolierendem Material zwischen die Kondensator-Platten:
1.	Einhaltung des Abstands. Bei möglichst kleinem Abstand soll elektrischer Kontakt (Kurzschluss) vermieden werden.
2.	Erhöhung der Spannungsfestigkeit. Die Durchschlag-Feldstärke von Luft beträgt je nach Feuchtigkeitsgehalt 2.4-3.0kV/mm; für technische Isolierstoffe gelten etwa 10 bis 20-mal höhere Werte.
3.	Erhöhung der Kapazität. Für das Dielektrikum mit der Permittivitätszahl sr gilt C = £rC0, wenn Co die Kapazität in Vakuum (oder Luft) ist. Für die meisten festen Isolierstoffe liegt sr im Bereich von 2 bis 7.
Für ein dielektrisches Medium ergibt sich nach dem mit dem Faktor sr im Nenner modifizierten Coulomb-Gesetz, dass die Kraft zwischen zwei Ladungen um den Faktor l/fir kleiner ist als im Vakuum. Damit wird auch die Feldstärke um l/fir kleiner. Die Energiedichte we des elektrischen Feldes zwischen den Kondensatorplatten ist proportional zu £r E2; ob sie beim Übergang vom Vakuum zum Dielektrikum kleiner oder größer wird, hängt davon ab, ob Ladung oder Spannung konstant gehalten werden. Bei konstant gehaltener Ladung steigt die Kapazität der Anordnung und damit sinken Spannung und Feldstärke proportional zu l/fir; weil die Feldstärke quadratisch in die Energiedichte eingeht, verringert sich die zu i:.E2 proportionale Energiedichte um den Faktor l/fir. Anders ist es bei konstant gehaltener Spannung: Die Feldstärke bleibt konstant und we wächst mit dem Faktor £r.
Die grundsätzliche Frage, wie man die Feldstärke in einem festen Medium messen kann, lässt sich im Rahmen des klassischen Elektromagnetismus wie folgt beantworten: Aus der Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes (Gl. (2.26)) folgt, dass die Tangentialkomponente von E auf beiden Seiten einer Grenzfläche gleich sein muss (siehe dazu auch Abb. 2.24), oder, mathematisch ausgedrückt, „die Tangentialkomponente geht stetig durch die Grenzfläche“. Also muss man zur Messung von E mit einer Probeladung einen langen Schlitz parallel zu E in das Medium schneiden und dann die Kraft auf die im Schlitz befindliche Probeladung messen. Da diese Betrachtung überhaupt nicht von der atomaren Struktur der Materie Notiz nimmt, kann die so gemessene Feldstärke nur ein makroskopischer Mittelwert sein.
Solange man nur ein den ganzen Raum erfüllendes Medium betrachtet, entweder Vakuum mit £r = 1 oder ein Dielektrikum mit £r > 1, ist die Beschreibung formal
2.4 Kapazität
83
die gleiche. Komplizierter wird es, wenn im Raum zwischen den Ladungen verschiedene Medien existieren. Wie verhält sich das .E-Feld an einer Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika mit erl + er2? Aus der Wirbelfreiheit des elektrostatischen E-Feldes (Gl. (2.26)) folgt, dass die Tangentialkomponente Ev stetig durch die Grenzfläche geht. Aus der Gauß’schen Formulierung des Coulomb-Gesetzes (Gl. (2.21)) folgt für eine ladungsfreie Grenzfläche, dass die Normalkomponenten auf den beiden Seiten der Grenzfläche in folgender Beziehung stehen:
e0 erl -^nl ~ -^nl ~ ^n2 ~ £0 fir2 ^n2
oder
^1 = ^-	(2-97)
Daraus ergibt sich eine „Brechung“ der .E-Feldlinien an der Grenzfläche.
2.4.4 Kondensator-Bauformen
Die im 18. Jahrhundert existierenden Vorstellungen über Elektrizität genügten noch nicht für eine gezielte Erfindung des Kondensators. Seine Zufallsentdeckung kam zustande durch die anschaulich-naive Vorstellung, dass man vielleicht Elektrizität in eine Flasche einfüllen könnte, und durch die (damals unbekannten) förderlichen Tatsachen, dass Flaschenglas ein brauchbares Dielektrikum ist, der Flaschenhals eine gute Isolierung der Hochspannung ermöglicht und dass für die hohen Spannungen der Elektrostatik auch schlechte Leiter zur Kontaktherstellung genügen, auf der Innenseite irgendeine Flüssigkeit und ein durch den Hals gesteckter Nagel oder Draht, auf der Außenseite eine die Flasche umfassende menschliche Hand und über die Person eine Verbindung zur Erde.
Die Erfindung der „Verstärkerflasche“ geschah zweifach, kurz hintereinander: Am 11. Oktober 1745 erhielt der pommersche Prälat und Gutsbesitzer Ewald Jürgen von Kleist einen Schlag von einer Medizinflasche, die er über einen hineingesteckten Nagel aufgeladen hatte. Einige Monate später geschah ähnliches dem Privatmannn Cunaeus, der zufällig zu Besuch bei dem Leidener Mathematik- und Physikprofessor Pieter von Musschenbroek war. Musschenbroek berichtete darüber Anfang 1746; der französische Physiker Nollet bezeichnete diese (Nach-)Erfindung als „Bouteille de Leyde“, Leidener Flasche. Die Weiterentwicklung dieser Zufallsentdeckung geschah dann sehr schnell im internationalen Wettbewerb: Der englische Arzt John Bevis erkannte die Wichtigkeit der äußeren Ableitung und umkleidete die Flasche mit Zinnfolie. Später verwendete William Watson, Direktor des Britischen Museums, bei den dann schon zu zylindrischen Standgläsern aufgeweiteten „Flaschen“ auch innen Zinnfolie. Daniel Gralath, der Bürgermeister von Danzig, verband die „Knöpfe“ (Hochspannungskontakte) mehrerer Flaschen zu einer Batterie.
Wenn auch die gespeicherte Ladung meist noch unterhalb der Gefahrenschwelle für den gesunden Menschen (Abschn. 16.1) lag, wurden vielfältige körperliche Beschwerden nach elektrischen Schlägen festgestellt. 1750, nur fünf Jahre nach der Erfindung der Verstärkerflasche, starb der Physiker Johann Gabriel Doppelmayr in Nürnberg an den Folgen eines heftigen Schlages aus einer Batterie Leidener Flaschen. Weil die historisch wichtige Leidener Flasche ein für Demonstrationszwecke brauchbarer Hochspannungskondensator mit einer Kapazität von einigen nF ist,
84	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
wird sie auch heute noch verwendet, vor allem in Verbindung mit Elektrisiermaschinen (Abb. 2.13a).
Eine Frühform des Plattenkondensators mit Dielektrikum ist die Franklin’sche Tafel. Sie besteht aus einer Glasplatte, die auf beiden Seiten mit Metallfolie beklebt ist, die den Rand der Platte aus Isolationsgründen etwas frei lässt.
Der Plattenkondensator mit Luft zwischen den Platten wurde erstmalig 1756 von Johan Carl Wilcke und Franz Aepinus verwirklicht. Nach vergeblichen Versuchen mit kleineren Anordnungen stellten sie schließlich riesige, mit Metall verkleidete Bretter in kleinem Abstand auf und erhielten damit elektrische Schläge vergleichbar mit denen aus einer Leidener Flasche. Wichtig war diese Erfindung vor allem für die Entwicklung der Vorstellungen über Elektrizität: Franklin hatte geglaubt, die Elektrizität der Leidener Flasche läge im Glas. Beim Plattenkondensator ohne Dielektrikum musste man zwangsläufig zur richtigen Erkenntnis kommen.
Die Parallelschaltung plattenförmiger Einzelkondensatoren führt zum Bau eines sehr einfachen Kondensators, der als Blockkondensator bezeichnet wird. Wie ein Schnitt durch einen solchen Blockkondensator (Abb. 2.45a) zeigt, sind die unter Zwischenlage eines Isolators übereinandergeschichteten Metallplatten (in der Praxis benutzt man dünne Aluminiumfolien mit Zwischenlagen von Folien aus Kunststoff oder paraffiniertem Papier) abwechselnd nach den beiden Kondensatorzuleitungen herausgeführt.
Ein nach dem Prinzip des Blockkondensators aufgebauter veränderlicher Kondensator ist der besonders in der Rundfunktechnik viel benutzte Drehkondensator (Abb. 2.45b,c). In die Zwischenräume eines feststehenden halbkreisförmigen Plattenpakets A lässt sich ein zweites, ebenfalls halbkreisförmiges Plattenpaket B hineindrehen. Dadurch ist eine stetige Veränderung der Kapazität möglich; sie erreicht ihr Maximum, wenn die drehbaren Platten vollkommen zwischen den festen Platten liegen. Als Isolator dient meistens Luft oder Glimmer; für hohe Spannungen Öl, in das der ganze Kondensator eingetaucht wird.
Energiespeicherung. Im Kondensator kann man elektrische Energie speichern, allerdings nicht viel. Berücksichtigt man, dass auch die Elektroden und die äußere Hülle des Kondensators Platz beanspruchen, liegt die mit Kondensatoren erreichbare
(a)	(b)
Abb. 2.45 (a) Blockkondensator (Querschnitt, schematisch). (b),(c) Drehkondensator: (b) Querschnitt, (c) Aufsicht.
2.4 Kapazität
85
Trimmer
Drehkondensatoren
Luft-Kondensatoren
Glimmer-Kondensatoren
Styroflex-Kondensatoren
Papier- und Kunststoffolien-Kondensatoren
Elektrolyt-Kondensatoren
Tantal-Trocken-Elkos
i"pF lÖpF 100 pF i"nF lÖnF 100 nF i"pF iÖpF 100 pF l"mF 10 mF
Kapazität ----
Abb. 2.46 Die Kapazitätsbereiche einiger Kondensatortypen zum Einbau.
Brutto-Energiedichte meist im Bereich von 10 ' bis 1 mJ/cm3. Um zu zeigen, wie gering diese Energiedichte ist, sei vergleichsweise erwähnt, dass man 4mJ benötigt, um die Temperatur von 1 cm3 Wasser um 1/1000 Grad zu erhöhen. Aber trotz der geringen Energiedichte können Kondensatoren bedeutungsvolle technische Aufgaben erfüllen, z. B. bei der Erzeugung und Verstärkung elektromagnetischer Schwingungen in der Nachrichtentechnik.
Kondensatoren zum Einbau. Der Kapazitätsbereich technischer Kondensatoren und die Teilbereiche der wichtigsten Bautypen sind in Abb. 2.46 dargestellt. Wenn sehr kleine Kapazitäten wichtig sind, dann sind auch die Streukapazität zwischen spannungsführenden Teilen und der geerdeten Abschirmung und die Kapazität der Leitungen in Rechnung zu stellen. Abgeschirmte Kabel der Nieder- und Hochfrequenztechnik haben je Zentimeter Länge eine Kapazität von 0.3 bis 1.2 pF.
Bei den meisten Kondensatoren wird zwischen den Elektroden ein Dielektrikum verwendet, das die Metallplatten oder -folien gegeneinander isoliert, sowie die Kapazität und die Spannungsfestigkeit des Kondensators erhöht. Bei der Herstellung von Kondensatoren muss das Dielektrikum je nach den Erfordernissen ausgewählt werden. Im Handel gibt es mehr als Tausend verschiedene Kondensatortypen. Jeder einzelne Kondensator ist durch die Kapazität und durch die maximal zulässige Spannung gekennzeichnet.
Trimmer sind Abgleichkondensatoren, die mit einem Schraubenzieher oder Spezialschlüssel eingestellt werden. Bei Folien-Kondensatoren ist die Kunststoff-Folie das Dielektrikum. Die leitenden Metallflächen sind entweder Metallfolien oder Alu-minium-Aufdampfschichten. Diese Kondensatoren sind nach einem elektrischen Durchschlag selbstheilend; an der Durchschlagstelle verdampft das Metall und stellt die Isolation wieder her. Das gilt auch für die Papier-Kondensatoren (Abb. 2.47a).
Elektrolyt-Kondensatoren („Elkos“) bieten größte Kapazität bei geringem Raumbedarf und kleinem Gewicht; sie sind für viele Anwendungszwecke unentbehrlich. Man unterscheidet Aluminium-Wickel-Kondensatoren und Tantal-Sinter-Konden-satoren, beide Typen entweder mit nassem oder trockenem Elektrolyten. Bei allen Typen ist das Dielektrikum eine Oxidschicht, die in einem elektrolytischen Formie-
86	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Aluminiumfolie Dielektrikum
T— Fließpapier ~ mit Elektrolyt
Aluminiumfolie
Abb. 2.47 (a) Wickel eines Papierkondensators, (b) Anordnung von Folien, Oxidschicht und Dielektrikum in einem Elektrolytkondensator.
rungsprozess auf die aufgerauhte Aluminiumfolie oder den Tantal-Sinterkörper aufgebracht wird (anodische Oxidation, Abschn. 12.4.3). Da die erreichbare Oxid-schichtdicke der angelegten Spannung proportional ist, lässt sich der Prozess gut steuern. Die Schichtdicken liegen zwischen 4 und 500 nm. Die Permittivitätszahl der Schicht ist hoch (7 bis 8); die elektrische Durchschlagsfestigkeit beträgt etwa 107 V/cm. Durch die Aufrauhung des Aluminiums bzw. das Sintern von Tantalpulver wird die Anodenoberfläche stark vergrößert und damit erhält man höhere Kapazitäten bei gleichem Raumbedarf.
Als Kathode dient bei den „nassen“ Aluminium-Elkos eine mit flüssigem Elektrolyt getränkte und gleichzeitig als Abstandshalter wirkende Papierschicht (Abb. 2.47b); als Stromzuführung dient eine weitere, ebenfalls aufgerauhte Aluminiumfolie (oft fälschlich als Kathode bezeichnet). Leider hat die Aluminiumoxid-schicht Halbleitereigenschaften und wirkt nur in einer Spannungsrichtung als Dielektrikum. Solche Elkos sind gepolte Kondensatoren; sie dürfen nur mit Spannungen der vorgeschriebenen Polarität betrieben werden. Aber es gibt auch ungepolte (bipolare) Elkos, bei denen auch die zweite Folie eine Oxidschicht trägt.
Zunehmend wird an Stelle des „nassen Elektrolyten“ halbleitendes Mangandioxid verwendet. Dieses bildet sich aus kristallwasserhaltigem Mangannitrat während der Bildung der Al2O3-Schicht durch die Elektrolyse. Ein solcher Kondensator hat nach Fertigstellung z. B. den folgenden Aufbau:
Al-Anode |A12O3| Mangandioxid |A12O3| Al-Kathode.
Eine Weiterentwicklung der Elektrolytkondensatoren sind die trockenen Tantal-Elkos. Das sind gepolte Kondensatoren mit Anoden aus gesintertem Tantal-Pulver und einer elektrolytisch formierten Tantaloxidschicht (er « 30); Mangan-Dioxid wirkt als trockener Elektrolyt. Der Reststrom ist 1/10 bis 1/100 kleiner als beim Aluminium-Elko. Außerdem zeichnen sich diese Kondensatoren durch lange Lebensdauer und hohe spezifische Kapazität (kleine Abmessungen) aus.
2.5 Anwendungsbeispiele
87
2.5	Anwendungsbeispiele
2.5.1 Vermeidung von Aufladungen
Elektrostatische Aufladungen gehören zum täglichen Leben. Sie haben stark zugenommen, seitdem überall hervorragend isolierende Kunststoffe eingesetzt werden. In zentralgeheizten Räumen verhindert die meist zu trockene Luft die Ausbildung von leitenden Wasserfilmen auf Isolatoroberflächen.
Elektrostatische Aufladungen führen zu Entladungen, die für den Menschen zwar nicht gesundheitsgefährdend sind, aber doch zu Schreckreaktionen führen können. Abb. 2.48 zeigt in einem Beispiel, dass hohe Feldstärken auftreten können, wenn ein aufgeladener Mensch in die Nähe einer geerdeten Anlage kommt. Ein überraschender elektrischer Schlag kann eine unkontrollierte Körperbewegung auslösen und so einen Unfall herbeiführen.
Die bei elektrostatischen Entladungen auftretenden kleinen Funken enthalten genügend Energie, um in hochintegrierten elektronischen Schaltungen zerstörend zu wirken; diese müssen deshalb durch Abschirmung geschützt werden.
Explosionsgefahr. Die größte Gefahr statischer Elektrizität ist die Zündung explosiver Gasgemische. Eine technisch sehr wichtige Aufgabe ist deshalb die Vermeidung von Explosionen durch Unterdrückung jeder Funkenbildung in explosionsgefährdeten Umgebungen.
Abb. 2.48 Äquipotentialflächen zwischen einem aufgeladenen Menschen und einer geerdeten Anlage. Je enger die Äquipotentiallinien beieinander liegen, desto höher ist die lokale Feldstärke.
88
2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Eine Explosion ist eine sehr schnell ablaufende chemische Verbrennungsreaktion in einem Gemisch von staub- oder gasförmigem Brennstoff mit Sauerstoff, meist mit dem Sauerstoff der Luft. Die Reaktion ist exotherm (energie-liefernd), hat aber eine Energieschwelle, die wesentlich größer ist als die thermische Energie der Moleküle, sodass die Reaktion „gezündet“ werden muss. Explosibilität und Inflamma-bilität hängen vom Mischungsverhältnis des Brennstoffs mit der Luft ab. Bei „zu mageren“ Mischungen fehlt es an Brennstoff, bei „zu fetten“ Mischungen an Sauerstoff. So ist zum Beispiel Methan (Erdgas) in Luft nur entflammbar, wenn sein Anteil zwischen 5 und 15 Vol. % liegt. Für Wasserstoff-Luft-Mischungen liegt der Entflammbarkeitsbereich zwischen 4 und 74 Vol. % Wasserstoff.
Es ist ein allgemeines Problem der chemischen Industrie, dass beim Übergang von fetten zu mageren Gas-Luft-Gemischen explosive Mischungen auftreten, deren Zündung vermieden werden muss! Einer der Gründe für die Zunahme von Explosionen ist die Steigerung der Geschwindigkeit von Transportvorgängen, bei denen Aufladungen durch Reibung entstehen können.
Maßnahmen zur Vermeidung von Aufladungen. Die bei Berührung von zwei verschiedenen Stoffen auftretende Ladungstrennung lässt sich nicht vermeiden. Man kann nur dafür sorgen, dass die angesammelten Ladungen direkt neutralisiert werden oder, ggf. auf Umwegen, zur Erde abfließen. Bewährte Maßnahmen sind folgende:
-	Kunststoffteppiche enthalten eingewebte Metalldrähte.
-	Autoreifen werden durch Beimengung von Graphit leitfähig gemacht.
-	Isolatoroberflächen (Schallplatten) werden mit einem Spezialtuch abgewischt, das einen hauchdünnen leitenden Flüssigkeitsfilm hinterlässt.
-	Geerdete Spitzenkämme, Pinsel oder Drähte in 1-2 cm Entfernung von aufladungsgefährdeten Flächen sorgen für Ableitung durch Sprühentladungen bei noch relativ geringer Aufladung.
-	Die Erhöhung der relativen Luftfeuchtigkeit auf über 70 % vermeidet Aufladungen durch Ausbildung leitender Wasserfilme.
-	Zur direkten Neutralisation von statischer Elektrizität kann man Ionen in die Luft blasen, die zu Aufladungen entgegengesetzten Vorzeichens hinwandern. Dafür gibt es im Handel eine Vielzahl von lonen-Sprühgeräten, die die Ionen in einer elektrischen Entladung erzeugen und dann mit einem ventilator-getriebenen Luftstrom fortblasen.
Ableitwiderstände. Im Allgemeinen gilt ein Fußboden als hinreichend leitfähig zum Ableiten elektrischer Aufladungen, wenn der Widerstand (Abschn. 3.2.2) zwischen einer Elektrode, die über angefeuchtetem Fließpapier auf den vorher gereinigten Fußboden aufgesetzt wird, und Erde nicht größer als 106 Ohm (Q) ist.
Wenn keine Explosionsgefahr besteht, darf der Widerstand durch allmähliche Bildung isolierender Fremdschichten ansteigen, aber 108 Q nicht überschreiten. Eine Fußbekleidung gilt als elektrisch leitfähig, wenn der Widerstand zwischen einer Elektrode im Inneren und einer äußeren Elektrode kleiner als 108Q ist.
Die Kapazitäten aufladbarer Körper liegen i. A. bei C < 10'F; mit einem Ab-leitwiderstand von /U ULQ ist die Zeitkonstante für die Ladungsableitung (r = RC, Abschn. 3.2.4) kleiner als 0.1 s.
2.5 Anwendungsbeispiele 89
2.5.2 Sprüh- und Trennverfahren
Demonstration. In einem Glasgefäß mit trichterförmigem Boden (Abb. 2.49) befindet sich eine Flüssigkeit, in der sehr kleine Partikel aufgeschwemmt (oder gelöst) sind. Die Metallnadel, die in den Trichterhals hineinragt, dient als Hochspannungselektrode und zur Regulierung der Ausflussmenge. Es treten sehr viele kleine geladene Tröpfchen aus. Der Abstand zwischen Öffnung und Bodenplatte soll so groß sein, dass die Flüssigkeit unterwegs verdampft. Die übrigbleibenden geladenen Teilchen (im Fall einer gelösten Substanz: die Kriställchen) stoßen sich gegenseitig ab, so dass Klumpenbildung verhindert wird. Auf der geerdeten Platte geben sie ihre Ladung ab und sitzen sehr fest. Auf diese Weise lassen sich gleichmäßig dünne Schichten erzeugen. Bei schwer verdampfbaren Substanzen kann das Elektrosprühverfahren günster sein als das Aufdampfen.
Bei elektrostatischen Farbspritzverfahren werden die Spritzdüsen (oder Hand-Spritzpistolen) auf Hochspannung gelegt. Auf dem Weg zum geerdeten Metalltarget werden die aufgeladenen Farbpartikel durch das elektrische Feld abgelenkt: Bei einem Gitter, durch das das elektrische Feld hindurchgreift, gelangen auch Farbteilchen auf die Rückseite. Andererseits werden Bohrlöcher in einem Metallblock nicht mit Farbe „zugeklebt“.
Zur elektrostatischen Abscheidung von Staub- und Rußteilchen in der Luft kann man die Teilchen aufladen und mit einem elektrischen Feld aus dem Luftstrom herausziehen: Die Teilchen in der durch das Filtrer stömenden Luft werden mithilfe von sägeblattförmigen, auf Hochspannung liegenden „Sprühkämmen“ mit Ladungen besprüht; danach strömt die Luft zwischen längs zur Strömung stehenden, abwechselnd gepolten Kollektorplatten hindurch und die geladenen Teilchen lagern sich an Platten entgegengesetzter Polung an.
Oder man kann die Teilchen in einem elektrischen Feld polarisieren und die Kraft eines inhomogenen Feldes auf einen Dipol zur Abscheidung nutzen: Beim Durchblasen der Luft durch eine Filtermatte aus einem Geflecht verschiedener Kunststofffasern (z. B. Polypropylen und Polyurethan) werden elektrostatische Aufladungen erzeugt; in dem inhomogenen elektrischen Feld zwischen den Fasern werden die im Luftstrom enthaltenen Teilchen polarisiert, zu den nächstliegenden Fasern hingezogen und dort angelagert. Für die Erzeugung elektrischer Felder in Luftfilter werden auch Elektrete (s. Abschn. 13.4) eingesezt.
Abb. 2.49 Elektrosprühverfahren.
90	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
Die Trennung von Salzgemischen, wie sie im Salzbergbau anfallen, kann elektrostatisch erfolgen, weil sich die Kristalle zweier verschiedener Salze bei Berührung entgegengesetzt aufladen. Das gemahlene, feinkörnige, trockene Salzgemenge fällt durch einen Plattenkondensator mit vertikal stehenden Platten. So kann z. B. MgSO4 (neutralisiert an der negativ gepolten Platte) von NaCl und KCl (neutralisiert an der positiv gepolten Platte) abgetrennt werden. NaCl und KCl können in einem zweiten Durchgang elektrostatisch getrennt werden.
2.5.3 Xerographie
Chester F. Carlson begründete 1938 die Xerographie (= Trockenkopieren, im Gegensatz zu den „nassen“ Entwicklungs- und Fixiermethoden der Photographie). Er verwies auf Lichtenbergs Staubfiguren als Vorläufer elektrostatischer Kopien.
G. C. Lichtenberg (1742-1799) experimentierte viel mit Reibungselektrizität. Beim Abschleifen einer Isolierplatte aus Harz beobachtete er 1777, dass sich der Staub bevorzugt dort ansammelte, wo vorher ein elektrischer Funken eingeschlagen hatte. Zur Fixierung übertrug er die Staubfiguren auf klebriges schwarzes Papier. Er beobachtete auch, dass sich das Staub-Kopierverfahren an den alten Funken-Einschlagstellen mehrfach wiederholen ließ.
Die modernen elektrostatischen Kopierverfahren benutzen elektrostatische Aufladungen in einigen wesentlichen Schritten. Der wichtigste Teil des Kopiergerätes ist eine dünne Photohalbleiter-Schicht, die unbelichtet ein guter Isolator ist, aber unter Lichteinfluss leitend wird. In der stark vereinfachenden Skizze von Abb. 2.50 ist das Verfahren in den folgenden Schritten beschrieben:
1.	Säubern der Oberfläche. Die photohalbleitende Trommeloberfläche wird von Tonerresten aus dem vorhergegangenen Kopierzyklus befreit. Dazu wird die Oberfläche in einer Entladung elektrisch neutralisiert; außerdem werden Bürsten oder Schaber eingesetzt.
Säubern der Oberfläche
Entwickeln mit Toner (4)
(3) Belichtung mit Bild der Kopiervorlage
(2) Aufladen des Photohalbleiters
(6) Fixierung des Toners
(5) Aufladen des Papiers und Tonerübertragung
Abb. 2.50 Die verschiedenen Schritte des Kopierverfahrens (schematisch): Die Trommeloberfläche trägt den Photohalbleiter, das Papier wird hier als Endlos-Band unten an der Trommel vorbeigeführt.
2.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 2	91
2.	Aufladen des Photohalbleiters (Sensibilisierung). Die Trommeloberfläche wird in einer Entladung gleichmäßig mit positiven Ionen besprüht. Dazu werden Sprühdrähte, die an eine positive Hochspannungsquelle angeschlossen sind, in geringem Abstand über die Schicht geführt; auf der metallischen Unterlage befinden sich die entsprechenden negativen Influenzladungen.
3.	Belichtung mit Bild der Kopiervorlage. Auf die Trommeloberfläche wird ein Bild der Vorlage projiziert. An den hellen Bildpunkten wird der Photohalbleiter leitend, und dadurch fließt die positive Ladung zur geerdeten Trommel ab. An den dunklen Bildpunkten bleibt die Aufladung dagegen bestehen. Das Bild existiert jetzt als ein noch unsichtbares elektrostatisches Ladungsrelief auf der Photohalbleiterschicht (latentes Bild der Vorlage).
4.	Entwickeln mit Toner. Als nächstes wird ein schwarzer Kunstharzpuder, der Toner, auf die Schicht aufgebracht. Um zu erreichen, dass sich der Toner dort anlagert, wo die Schichtoberfläche noch positiv aufgeladen ist, werden die feinen, nur etwa 1-10 jrm großen Körner vorher negativ elektrisch aufgeladen. Dazu wird der Toner mit Trägerperlen gemischt. Bei Bewegung des Gemischs bewirkt der Kontakt der verschiedenen Teilchen die gewünschte entgegengesetzte Aufladung. Die Tonerkörner setzen sich an den positiv aufgeladenen Stellen ab und transformieren das latente Bild in ein reelles Bild. Wichtig: Die negativ geladenen Tonerkörner werden von den positiven Oberflächenladungen angezogen und festgehalten, aber nicht neutralisiert, denn der Kontakt kommt nur an einigen Punkten zustande, sodass sich nur wenige Ladungen von Toner und Schicht neutralisieren können.
5.	Aufladen des Papiers und Tonerübertragung. Zur Übertragung des Tonerbildes auf das Papier werden wieder elektrostatische Kräfte eingesetzt. Das Papier wird dort an die Trommel angelegt, wo sich die das Tonerbild tragende Schicht befindet, und auf der Rückseite, genauso wie zuerst die Photohalbleiterschicht, mit positiven Ladungen besprüht. Dadurch haften die Tonerpartikel nun am Papier und werden mit dem Papier von der Schicht abgenommen. Das reelle Bild wird so von der Trommel auf das Papier übertragen.
6.	Fixierung des Toners. Zur Fixierung des Tonerbildes wird das Papier einer Wärmestrahlung ausgesetzt, die das Tonerpulver in das Papier einschmilzt und so permanent mit dem Papier vereinigt; gleichzeitig wird die Aufladung des Papiers beseitigt. Das elektrostatische Ladungsrelief-Bild auf der Schicht besteht noch und kann - bei Auslassung des Säuberungsprozesses (1) - zur Herstellung weiterer Kopien ausgenutzt werden.
2.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 2
2.6.1 Sachthemen
Elektrophor: s. Abschn. 13.5.1, Link 13-2
Demonstrationen zur Elektrostatik. Department of Electric and Computer Engineering (ece) of the University of Rochester: http://www.ece.rochester.edu => People => Faculty J => Thomas B. Jones => Homepage => (unten) Other research and
92	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
educational activities: „Lecture Demonstrations on Electrostatics“ => (im Text) electrostatics demonstrations =
Link 2-1
Elektrostatik in der Industrie. Eltex GmbH, D-79576 Weil am Rhein: http://in-fo.eltex.de => deutsch =
Link 2-2 => Elektrostatik - „Eltex-Handbuch der Elektrostatischen Systeme (linke Spalte: Kapitel anklicken). Elektrostatik, wie sie in der Industrie vorkommt und die Möglichkeiten ihrer Kontrolle und Nutzanwendung.
Elektrostatische Zündung von Explosionen auf Öl-Tankern. “Purgit“ is a registered trademark owned by Hilliard Emission Controls, Inc., Houston, Texas: http:// www.purgit.com => The Shipyard page and flies => Static Electric Discharge Hazard on Bulk Oil Tank Vessels... =
Link 2-3 This report examines the problem of electrostatic ignition as the cause of explosions on tank vessels, recounts recent accident history, and surveys the safety guidance now available to industry.
Van-de-Graaff-Generatoren: s. Van de Graaffs Biographie (unten), Link 2-24
Elektrostatische Luftfilter. Lindner Industrieprodukte GmbH, 09573 Schellenberg: http://www.lindner-industrie.de => (unten) Elektrostatische Filter (Show Only This Frame) =
Link 2-4
Ergänzung: D&H Climate Control™, Trabuco Canyon, CA 92679-1501, USA: http://www.dhclimatecontrol.com/ => Choose your destination „AIR FILTERS“, Go there =
Link 2-5 Beschreibung des Filters weiter unten, nach „Why Filter Your Air? Weiter z. B. mit => (oben) A breath of fresh air in the sea of dust => (Bild links) Clean Air for You and Your Home
Elektrostatische Sprühbeschichtung. LU-C0N Beschichtungstechnologien, Dipl.-Ing. Jürgen Luttermöller, 33605 Bielefeld: http://www.lu-con.de => Elektrostatische Sprühbeschichtung für die Elektronik-Industrie => Elektrostatik =
Link 2-6
Ergänzung: DETE Spritz- u. Lackiersysteme, Dr. Tettenborn GmbH, D-90425 Nürnberg: http://www.dete.de => Produkte => Produktpalette => Elektrostatische Geräte (Show Only This Frame) => Mehr Info =
Link 2-7 „die elektrostatische Handpistole“
Elektrostatische Trennung von Salzgemischen. This website of K + S KALI GmbH (www.kali-gmbh.com) has been created to give an insight to the mineral compound kieserite, its features and uses as a fertilizer in agriculture: http://www.kieserite.com => ESTA Kieserit =
Link 2-8 => Production
Ergänzung: Institut für Festkörperphysik (fkp) der Universität Hannover: http://www.fkp.uni-hannover.de/ => Festkörperphysik - Abteilung Oberflächen =>
2.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 2	93
deutsch => AG Pfnür => Molekulare Elektronik => (im Text) Pänomen der Kontaktaufladung =
Link 2-9
Xerographie. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Elektrofotografie:
Link 2-10
Ergänzung: Institut für Technische Elektronik (ite) der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule (rwth) Aachen: http://www.ite.rwth-aachen.de => „weiter“ => Forschung => Neue Drucktechnologien „Elektronischer Tonertransport“ (Show Only This Frame) => (im Text) „xerographische Druckprozesse“ =
Link 2-11 „Grundlagen der Xerographie“
2.6.2 Biographien
William Gilbert (1544-1603). The „www.phy6.org“ sites were written by Dr. David
P. Stern (Biographie Information => http://www.phy6.org/Education/wstern.html): http://www.phy6.org / => earthmag/demagint.htm => German translation „Der Grosse Magnet, die Erde“ =
Link 2-12 „In Erinnerung an das 400-jährige Jubiläum von „De Magnete“ von William Gilbert of Colchester“. Siehe „Inhaltsverzeichnis“ (unten). Weiter mit => „De Magnete“ - eine Buchbesprechung => „De Magnete“ - noch eine Buchbespe-chung => Mehr über Gilberts Werk => Selbst experimentieren wie Gilbert => Was wusste man vor Gilberts Zeit => London im Jahre 1600
Galileo Galilei (1564-1642). The Galileo Project is currently supported by the Office of the Vice President of Computing of Rice University. Albert Van Helden, the Lynette Autrey Professor of History at Rice University, is responsible for the written text in the Project (except where otherwise noted): http://www.rice.edu => Search the Rice Web: „galileo“ => The Galileo Project => Site Map =
Link 2-13
Otto von Guericke (1602-1686). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-14
Stephen Gray (1666-1736). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-15
Pieter van Musschenbroek (1692-1761). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-16
Charles Du Fay (1698-1739). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-17
Benjamin Franklin (1707-1790): s. Abschn. 3.8.2, Links 3 8, 3 9
94	2 Oberflächenladungen und elektrische Felder
John Canton (1718-1772). Institut für Geophysik der TU Braunschweig: http:// www.geophys.tu-bs.de => Geschichte der Geophysik => (ganz unten) Web-Lexikon
C => Canton (Show Only This Frame) =
Link 2-18
Henry Cavendish (1731-1810). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-19
Johan Carl Wilcke (1732-1796). Institut für Geophysik der TU Braunschweig: http:
//www.geophys.tu-bs.de => Geschichte der Geophysik => (ganz unten) Web-Lexikon W => Wilcke (Show Only This Frame) =
Link 2-20
Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). Aus Corrosion Doctors Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 2-21
Georg Christoph Lichtenberg (1742-1799). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-22
Ergänzung: Lichtenberg-Gesellschaft e.V.: http://www.lichtenberg-gesellschaft.de/ => G.C. Lichtenberg =
Link 2-23 Weiter mit => Leben, => Wirken => Physik
Carl Friedrich Gauß (1777-1855). Aus Corrosion Doctors Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 2-24
Robert Jemison Van de Graaff (1901-1967). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 2-25
Chester F. Carlson (1906-1968). Site developed and maintained by Vaunt Design
Group, an Internet Consulting Company: http://www.ideafinder.com => Enter =>
Idea History => inventor profile C => Carlson, Chester =
Link 2-26
Ergänzung: Xerox Corporation, Deutschland: http://www.xerox.de => (unten) Über
Xerox => (links) Chester F. Carlson und seine Erfindung der Xerographie =
Link 2-27
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Tab. 3.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A A = \A\	(gerichtete) Fläche, Differential dA Fläche (Betrag) magnetisches Vektorpotential (in Literatur A, hier Am) Windungsfläche einer Spule (die Windungszahl N ist als Faktor enthalten)
a B b C c d E e F H I j £ M N P Q q R F r s s Tt	Abstand, Länge magnetische Feldstärke (magnetische Induktion) Länge, Breite Kapazität Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (Betrag) Distanz, Abstand elektrische Feldstärke Elementarladung Kraft Hilfsfunktionen zur Beschreibung des Dipolfeldes magnetische Erregung (früher: „magnetische Feldstärke“) Strom(stärke) Stromdichte gerichtete Länge, Dipol-Länge, Differential d/' Länge Magnetisierung Anzahl, Windungszahl Entmagnetisierungsfaktor elektrisches Dipolmoment Ladung (kleine) Ladung, Teilchenladung, Probeladung elektrischer Widerstand magnetischer Widerstand Ortsvektor, Radiusvektor Radius, radialer Abstand gerichtete Strecke, Weg, Differential d.v Strecke, Funken-Schlagweite Drehmoment (thermodynamische) Temperatur
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3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Größensymbol	Bedeutung
U	Spannung
	magnetische Spannung
V	Volumen
V	Geschwindigkeit
11'	Arbeit, Energie, Wärme
	elektrische Feldenergiedichte
	magnetische Feldenergiedichte
x, y, z	kartesische Längenkoordinaten
► a	Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstandes
<5	kleine Dicke, Breite
	elektrische Konstante
£r	(relative) Permittivitätszahl
9	(Polar-)Winkel
Mo	magnetische Konstante
Mr’ P* > ZAäiff	verschiedene Permeabilitätszahlen
IL„,	magnetisches (Dipol-)Moment
Q	spezifischer Widerstand
p	Ladungsdichte
► (7	Leitfähigkeit
CT	Flächenladungsdichte
T	Zeitkonstante
	magnetischer Fluss
	Azimutwinkel
V	elektrisches Potential
V	elektrischer Fluss
Q	Raumwinkel, Differential dQ
Chemische Symbole	Bedeutung
Ag	Silber
Al	Aluminium
Au	Gold
Bi	Bismut (Wismut)
Co	Kobalt
Cr	Chrom
Cu	Kupfer
Fe	Eisen
Hg	Quecksilber
Mo	Molybdän
Ni	Nickel
0	Sauerstoff
Pt	Platin
w	Wolfram
Mathematische Symbole	siehe Tab. 2.1
Ergänzende Information in Abschn. 15.3 (Infinitesimalrechnung) und Abschn. 15.4 (Vektoranalysis);
Schaltzeichen der Elektrotechnik auf den inneren Einbandseiten.
3.1 Von der Elektrostatik zum Galvanismus 97
3.1 Von der Elektrostatik zum Galvanismus
Die mit den Elektrisiermaschinen des 18. Jahrhunderts erzielbaren elektrischen Leistungen liegen in der Größenordnung von 1 W, wie sich ergibt, wenn man als typische Werte für Strom und Spannung 10“5 A und 105V ansetzt. Mit Leiterströmen, getrieben von elektrochemischen Stromquellen (galvanischen Elementen, Abschn. 12.2), lassen sich auch Leistungen von ungefähr 1W erzielen, allerdings mit ganz anderen typischen Werten für Strom und Spannung, nämlich etwa 1 A und 1 V. Weil es jedoch von der Elektrostatik der hohen Spannungen und winzigen Ströme zum Galvanismus der großen Ströme und kleinen Spannungen experimentell keinen kontinuierlichen Übergang gab, verlief hier die historische Entwicklung auf Umwegen.
Experimente mit Gewitter-Elektrizität. Die phänomenologische Ähnlichkeit von Funken und Blitz wurden durch die Leistungssteigerungen bei den Elektrisiermaschinen immer deutlicher. Aber lange Zeit fehlte der Beweis dafür, dass es sich hier um dasselbe physikalische Phänomen handelt, wie auch später, als andere Erzeugungsmethoden für Elektrizität bekannt wurden, immer wieder die Frage gestellt wurde, ob es sich um grundsätzlich verschiedene Elektrizitäten handelt. Ein wichtiges Indiz für die Gleichheit von Funken und Blitz war der Beweis, dass Funken auch Feuer entzünden können. Das demonstrierte der Arzt Christian Friedrich Ludolf 1744 zur Eröffnung der Berliner Akademie der Wissenschaften, indem er Schwefeläther durch einen elektrischen Funken entzündete.
Der endgültige Beweis erfolgte in einem Experiment, das von Benjamin Franklin 1751 vorgeschlagen worden war und kurz darauf von Thomas Franqois Dalibard in Marly-la-Ville verwirklicht wurde (Abb. 3.1).
Eine 13m hohe Eisenstange, am unteren Ende mehrfach gebogen, steht auf einem Isolierschemel in einer Hütte. Die Stange wird durch Pfähle und Seidenfäden senkrecht gehalten. Die Hütte soll das für elektrische Experimente schädliche Wasser vom Experimentiertisch fernhalten; außerdem sollen die Biegungen in der Stange ein Abtropfen des Wassers neben dem Tisch ermöglichen. Zwischen der Stange und einem geerdeten Draht sollen bei Gewitter Funken gezogen werden. Am Draht ist als isolierender Griff eine Flasche angebracht. Als am 10. Mai 1752 in Marly ein Gewitter naht, werden bis zu 4 cm lange Funken von „himmlischer Elektrizität“ gezogen; der mitwirkende Pfarrer von Marly erhält dabei einen elektrischen Schlag und eine Brandwunde.
Das Experiment wurde in der ganzen wissenschaftlichen Welt stark beachtet. Es bewies die elektrische Natur des Blitzes und legte nahe, dass geerdete Stangen tatsächlich als Blitzableiter dienen können, wie Franklin 1750 vorgeschlagen hatte. Franklin selbst war vom Erfolg des Experimentes überrascht, weil die Stange nicht bis in die Gewitterwolke gereicht hatte.
Im Juni 1752 begann Franklin mit Drachen, die in die Wolken hineinreichen, zu experimentieren. Mit einer durch Regen nass gewordenen Drachenschnur als Leiter gelingt es Franklin, eine Leidener Flasche mit himmlischer Elektrizität zu füllen. Danach leitet er Gewitter-Elektrizität mit einer Stange direkt in sein Haus, um bequemer experimentieren zu können, und fand 1753, dass - entgegen seiner Erwartung - die Wolken vorwiegend negativ geladen sind, zuweilen aber auch positiv. Außer-
3.1 Von der Elektrostatik zum Galvanismus 99
Diese Ergebnisse stießen bei den Physikern zuerst auf Skepsis, weil sie sich nicht vorstellen konnten, wie Elektrizität mit Wasser vereinbar ist, und weil sie bei dem Fisch die Funken und die elektrostatische Anziehung kleiner Partikel vermissten. Cavendish war der erste Physiker, der sich ab 1773 mit dem „Torpedo“ beschäftigte. Er erkannte die Bedeutung der elektrischen Leitung des Seewassers für die Übertragung der Schläge des Fisches. Und er fand heraus, dass es sich - im Gegensatz zu den bisher bekannten Experimenten der Elektrostatik - hier um ein Phänomen von kleiner Spannung, aber vergleichsweise großer transportierter Ladungsmengen (Ströme) handelt. Er baute eine Torpedo-Attrappe aus Holz und Leder, setzte sie in ein Seewasser-Bad und verband Rücken und Bauch mit einer Batterie von 49 Leidener Flaschen, die er so schwach aufgeladen hatte, dass er die Funken nur unter dem Mikroskop erkennen konnte. Alle, die die Fisch-Attrappe anfassten, wurden von der Demonstration überzeugt.
Mit den Erkenntnissen über elektrische Fische entstanden viele Hypothesen über die elektrische Natur von Muskelkräften und über das Wesen der „Lebenskraft“. Diese Entwicklung und auch der Einsatz der Elektrizität zu „Heilzwecken“ führten dazu, dass in vielen medizinischen Instituten eine Elektrisiermaschine zu finden war, so auch am Institut für Anatomie und Gynäkologie in Bologna, wo Luigi Galvani (1737 — 1798) ab 1775 Professor für Anatomie war. Am Anfang seiner berühmten Arbeit stand 1780 die Zufallsentdeckung, dass ein sezierter Frosch zuckte, als gleichzeitig an einer im selben Raum befindlichen Elektrisiermaschine ein Funken gezogen wurde. Damit begannen umfangreiche Versuchsreihen auf der Suche nach der tierischen Elektrizität als Lebenskraft. Später stellte sich Galvani die Frage, ob die atmosphärische Elektrizität wohl ähnliche Nervenzuckungen bei Fröschen hervorrufen würde. Er fand 1786, dass Zuckungen nicht nur bei Gewitter, sondern auch schon beim Aufzug von Gewitterwolken auftraten.
Die präparierten Frösche hingen mit Messinghaken im Rückenmark am Eisengitter des Gartenzauns. Galvani beobachtete, dass auch bei heiterem Himmel Kontraktionen auftraten, wenn er die Haken gegen das eiserne Gitter drückte. Daraufhin setzte Galvani diese Versuche im Labor fort und variierte die Anordnungen. Er benutzte eine isolierende Glasplatte und berührte mit den beiden Enden eines leitenden Drahtbogens den in das Rückenmark gesteckten Haken und einen Muskel am Fuße des Froschpräparats. Bei Anwendung des Bogens traten starke Kontraktionen ein, wenn Haken und Draht aus verschiedenen Metallen bestanden, z. B. Eisen und Messing. Bei der Verwendung von isolierenden Stoffen traten keine Kontraktionen ein. Galvani veröffentlichte die Resultate seiner elfjährigen Untersuchungen 1791 und glaubte, die „tierische Elektrizität“ entdeckt zu haben.
Tierversuche hatten früher auch in Physikvorlesungen ihren Platz, wie beispielsweise die Katze, die beim Fallen immer auf ihren Pfoten landet. Heute werden Tierversuche abgelehnt. Weil aber gegen das Lesen einer realistischen Versuchsbeschreibung wohl nichts einzuwenden ist, wiederholen wir hier, was in frühen Auflagen dieses Buches zur Demonstration empfohlen worden war.
„Auf einem Grundbrett (Abb. 3.2) liegt eine Zinkplatte Z; ferner ist eine Kupferstange S in diese eingeschraubt, die oben einen gleichfalls aus Kupfer bestehenden Haken H trägt, der durch das Rückenmark des Frosches hindurchgesteckt wird. Der Haken wird in solcher Höhe an der Stange befestigt, dass die Zehen breit auf der Zinkplatte aufliegen. Stellt man dann durch Drücken der Taste T den Kontakt
100	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Abb. 3.2 Anordnung zur Vorführung des Galvanischen Froschschenkelversuchs.
zwischen Kupfer und Zink her, so zuckt der Froschschenkel lebhaft und geht in die gestrichelte Lage der Abb. 3.2 über. Durch das Abheben der Zehen von der Grundplatte ist der Kreis nicht mehr geschlossen, die Schenkel sinken wieder herab bis zur Berührung der Zinkplatte, und das Spiel beginnt von neuem.“
Physikalisch betrachtet hatte Galvani mit den Froschnerven einen Spannungssensor entdeckt, der wesentlich empfindlicher war als alle bis dahin bekannten. Die Spannungen bei den typischen elektrostatischen Experimenten lagen in der Größenordnung von 10000 Volt, beim Torpedo waren es ca. 80 Volt; die elektrochemischen Potentiale, die für Galvanis Beobachtungen verantwortlich waren, liegen in der Größenordnung von 1V und konnten damals überhaupt nur mit dem Frosch-Elektro-skop nachgewiesen werden.
Entdeckung der chemischen Elektrizität. Alessandro Volta (1745 — 1827) war Physikprofessor in Pavia und benutzte Galvanis Froschpräparate als sehr empfindliche Biosensoren für Spannung, denn sein empfindlichstes mechanisches Elektrometer benötigte 40 Volt für einen Ausschlag von 1°, konnte also die bei nur etwa 1 Volt liegenden elektrochemischen Spannungen nicht nachweisen.
Volta löste Konvulsionen bei einem unsezierten lebenden Frosch aus, indem er dessen Beine und Rücken mit einem aus zwei verschiedenen Metallstücken zusammengesetzten Leiter berührte. Daraus schloss er, dass der elektrische Effekt den Metallen zuzuschreiben ist, nicht irgendwelcher tierischen Elektrizität. Er begründete die „metallische Elektrizität“.
Nach Volta sind für ein Galvanisches Element zwei verschiedene Metalle und eine Flüssigkeit oder ein feuchter Leiter notwendig, in Voltas Notation hieß das rABr, wobei große Buchstaben trockene, kleine Buchstaben feuchte Leiter symbolisieren; r ist der Elektroskop-Frosch als feuchter Leiter. Auf der Suche nach Möglichkeiten, die Spannung eines Galvanischen Elements zu vergrößern, probierte er Anordnungen mit Metallscheiben-Säulen vom Typ aABABa... a aus, die keine Spannungserhöhung erbrachten, aber zu der wichtigen Erkenntnis führten, dass die mit aufeinander getürmten Metallscheiben erzielbare Spannung nur so groß ist wie die bei
102	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Weder beim Begriff „Strom“ noch bei der Verwendung der Einheit „Ampere“ wird zwischen dem offenen Ladungstransport in den genannten Beispielen und ladungsneutralen Leiterströmen unterschieden.
In diesem Kapitel geht es um den Ladungstransport in Metallen. Erst die Atomphysik brachte die Erkenntnis, dass die Atome aus positiv geladenen Atomkernen, umgeben von negativ geladenen Elektronen, bestehen. Im Metall sind ein Teil der Atomelektronen, die Leitungselektronen, (fast) frei beweglich; die Atomkerne mit den übrigen Elektronen bilden ein ortsfestes lonengitter. Anders als beim Ladungstransport in einer elektrolytischen Flüssigkeit (Abschn. 12.1), der durch lonenwan-derung zustande kommt und mit Materialtransport und Stoffabscheidung an den Elektroden verbunden ist, wird bei Strom in Metallen keinerlei Stofftransport beobachtet. Beim Stromdurchgang durch einen Metalldraht fließen an einem Ende Elektronen ab, am anderen Ende aber gleichviele zu; die Ladungsneutralität des Drahtes bleibt während des Stromdurchgangs erhalten. Formal wird der Strom immer auf den Transport positiver Ladungen bezogen; die Stromrichtung ist also dem Fluss der Leitungselektronen entgegengesetzt.
Im Folgenden werden wir uns hauptsächlich mit linearen Strömen beschäftigen, d. h. mit Strömen, die in dünnen Metalldrähten fließen. Die Durchmesser der Leiter sind sehr klein im Vergleich zu deren Länge. Ferner werden wir in diesem Kapitel voraussetzen, dass die Ströme „stationär“ sind, d. h. zeitlich konstante Stärke besitzen.
Atomistische Deutung des Ladungstransport-Mechanismus. Die Leitungselektronen sind im Metall nicht völlig frei beweglich; sie stehen in Wechselwirkung mit dem Kristallgitter. Die normale thermische Bewegung der Leitungselektronen ist ungeordnet wie die eines „Leitungselektronen-Gases“. Wenn aber im Draht ein elektrisches Feld existiert, dann werden die Elektronen (entgegengesetzt zur Feldrichtung) beschleunigt. Sie gewinnen kinetische Energie, die sie aber in zahlreichen „Stoßprozessen“ an das Gitter abgeben; es ist deshalb berechtigt, pauschal von einer „Reibungskraft“ zu sprechen, der die Elektronen des Leiterstroms ausgesetzt sind. Die durch die Beschleunigung im .E-Feld gewonnene Energie wird schließlich im Draht als Wärme freigesetzt. Die wirkliche Bewegung der Leiterstrom-Elektronen ist eine ungeordnete thermische Bewegung, der eine Driftgeschwindigkeit antiparallel zur Feldrichtung überlagert ist.
Es ist falsch anzunehmen, die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Metalldraht sei sehr hoch, weil beim Einschalten einer entfernten Glühlampe diese sofort aufleuchtet. Tatsächlich ist die Driftbewegung der Elektronen überraschend langsam.
Beispiel: Im Kupfer beträgt die Ladungsdichte der Leitungselektronen 13.5As/mm3; wenn also in einem Kupferdraht von 1mm2 Querschnitt ein Strom von 1.35 A fließt, dann beträgt die Driftgeschwindigkeit der Elektronen 0.1 mm/s.
Das sofortige Leuchten beim Einschalten einer Glühlampe kann man durch eine hydrodynamische Analogiebetrachtung verdeutlichen: Ein langer Gartenschlauch verbinde einen Rasensprenger mit dem Wasserhahn. Wenn der Rasensprenger schon vorher mal betrieben worden war, dann ist der Schlauch mit Wasser gefüllt. Wird jetzt der Hahn geöffnet, dann sprüht sofort Wasser aus dem Rasensprenger, weil der Schlauch (wie der Kupferdraht) seinen Querschnitt beibehält und das Wasser
3.2 Experimentieren mit Strömen
105
3.2.2 Ohm’sches Gesetz, Widerstand
Leiter und Widerstände. In der Elektrostatik ist es kaum notwendig, zwischen guten und schlechten Leitern zu unterscheiden. Wegen der geringen Ladungsmengen und der sehr hohen Spannungen wird praktisch sofort ein Potentialausgleich über die gesamte Ausdehnung des leitenden Materials hergestellt. Wenn dagegen bei Einsatz von geringen Spannungen möglichst starke Leiterströme fließen sollen, ist es wichtig zu wissen, welche Leiter wirklich gut leiten.
Empirisch wurde festgestellt, dass das Verhältnis von angelegter Spannung U zum Strom 1 für einen gegebenen Leiter über weite Variationsbereiche von U und 1 konstant ist. Deshalb war es sinnvoll, dieses Verhältnis zur Definition einer neuen physikalischen Größe zu verwenden. Das ist der (elektrische) Widerstand des Leiters gegen Ladungstransport, der generell mit R symbolisiert wird:
R = U/I.	(3.1)
Die dazugehörige SI-Einheit ist das Ohm (Q = V/A), benannt zu Ehren von Georg Simon Ohm (1789-1854). Die Größe 1/R ist der Leitwert; die dazugehörende SI-Einheit Q ~1 wird Siemens (S) genannt.
Mit dem Wort „Widerstand“ wird nicht nur der in Ohm messbare Widerstandswert (resistance) bezeichnet, sondern auch der Leiter selbst (resistor). Letzterer ist also ein elektrotechnisches Bauelement, dessen wesentlichstes Charakteristikum sein ohmscher Widerstand ist. Der Begriff „Leiter“ wird heute eher für „Leitungen“ verwendet, mit denen man verschiedene elektrische Bauelemente verbindet und deren Widerstände in der Regel vernachlässigbar klein sind im Vergleich zu den Widerständen der Bauelemente.
Ohms Experimente. Das Ohm’sche Gesetz (1826/27) wird meist in der Form
U = RI	(3.2)
geschrieben, weil es so besonders leicht zu merken ist (Eselsbrücke: Schweizer Kanton mit Silbentrennung: U-RI). Heute erscheint uns Ohms Gesetz fast als trivial. Aber das ist eine grobe Fehleinschätzung! Erst durch Ohms Arbeiten wurden die Konzepte „Strom“ und „Spannung“ überhaupt klar; vorher hatte man nur vage Vorstellungen und dachte, diese Größen seien von einander unabhängig. Das Studium der Elektrizität bestand damals aus qualitativen Beobachtungen; mathematische Formulierungen waren nicht üblich. Ohms Arbeiten wurden von sehr wenigen seiner Zeitgenossen verstanden und erst viel später anerkannt. Die Selbstverständlichkeit, mit der wir heute das Ohm’sche Gesetz handhaben, zeigt, wie stark die Ohm’schen Ergebnisse unsere Vorstellungen über Elektrizität geprägt haben.
Ohm fand, dass die Volta’sche Säule wegen starker Schwankungen für seine Präzisionsmessungen ungeeignet war. Auf Anraten von J. C. Poggendorff verwendete er die kurz vorher (1821) von T.J. Seebeck erfundenen Thermoelemente (Abschn. 8.3.2), deren Spannung er durch stabile Temperaturen der Lötstellen konstant hielt; er benutzte ein Wasser-Eis-Gemisch von 0°C und kochendes Wasser von 100°C. Den Strom maß er mit einer magnetischen Drehwaage, deren Ausschlag er durch eine mit der Lupe abgelesenen Drehung des Torsionsfaden-Kopfes wieder auf null brachte. Ohm erkannte auch, dass der Widerstand eines Drahtes nicht nur der Länge
106
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
t proportional, sondern auch seinem Querschnitt A umgekehrt proportional ist, und dass zu jedem Metall als Materialkonstante ein spezifischer Widerstand (resis-tivity)
q = RA/^	(3.3)
gehört. Er bestätigte auch die Beobachtung von H. Davy, dass der Widerstand von Metallen mit der Temperatur ansteigt. Der reziproke spezifische Widerstand
<7 = 1/Q	(3.4)
wird als Leitfähigkeit (conductivity) bezeichnet und darf nicht mit dem Leitwert (= R1, conductance) verwechselt werden. [Die Symbole q und er sind üblich für spezifischen Widerstand und Leitfähigkeit, aber ebenfalls für Ladungsdichte und Flächen-Ladungsdichte (Kap. 2). Der begleitende Text muss Verwechslungen vorbeugen.]
Der spezifische Widerstand wird in SI-Einheiten von Qm angegeben; oft wird er aber auf einen Querschnitt von 1 mm2 und eine Länge von 1 m bezogen, weil das für Drähte praxisnäher ist (1 Qmnrm 1 = 1 jrQm). Typische o-Werte (in jrQm bei 20°C) für technisch wichtige metallische Leiter sind 0.016 (Ag), 0.017 (Cu), 0.027 (Al), 0.055 (W), 0.10 (Fe) und 1.17 (Bi). Schlechter leitet Graphit (ß/jiQm = 8).
Die Abhängigkeit des Widerstands von der Temperatur T ist näherungsweise linear und deshalb mit den Temperaturen T und To und dem Temperaturkoeffizienten a (in K 1) nach
R(T) = R(T0) [1 + a (T—To)]	(3.5)
beschreibbar. Die a-Werte der reinen Metalle liegen etwa im Bereich von 0.004 bis 0.006 KW Legierungen wie „Konstantan“, die speziell für gute Temperaturkonstanz entwickelt wurden, haben a-Werte von 0.00003 K 1 und kleiner. Der Widerstand von Graphit sinkt bei steigender Temperatur (a = — 0.0002 K
Versuche zum Ohm’schen Gesetz. Die Richtigkeit des Ohm’schen Gesetzes lässt sich leicht demonstrieren:
1.	Man stellt sich einen Widerstand her, z. B. zwei Meter von einem dünnem Widerstandsdraht, wie er für Heizöfen verwendet wird, so aufgewickelt, dass sich die Windungen nicht berühren. Man kann auch einfach ein Bügeleisen oder einen Heizofen verwenden. Dann bildet man damit einen „Stromkreis“, d. h. man schaltet den Akku bzw. eine Zelle in Reihe mit dem Draht und einem Strommesser. Man benutzt nacheinander verschiedene Spannungen des Akkus, eine Zelle hat zwei Volt, zwei Zellen haben 4 Volt usw. Ergebnis: der Strom / ist genau proportional zur anliegenden Spannung U des Akkus. Der Widerstand R im Stromkreis wurde ja nicht geändert. Durch Division der Spannung U durch den Strom 1 erhält man stets den gleichen Wert des Widerstandes R.
2.	Man stellt sich aus dünnem Widerstandsdraht von einer Rolle Widerstände verschiedener Länge, aber von gleichem Querschnitt her, z. B. 1 m, 2 m usw., wickelt die einzelnen Längen auf und nimmt sie wieder ab, aber so, dass sich die einzelnen Windungen nicht berühren. Dann benutzt man eine bestimmte Spannung U des Akkus. Man findet sofort, dass der Strom 1 umgekehrt proportional zur Länge
3.2 Experimentieren mit Strömen
107
des Widerstandes ist, bzw. dass der Widerstand R genau proportional zur Länge des Drahtes ist.
3.	Man verändert den Querschnitt des Widerstandsdrahtes dadurch, dass man zwei oder drei gleiche Längen des gleichen Drahtes parallel spannt. Der Widerstand ist bei doppeltem Querschnitt halb so groß. Der Widerstand ist bei gleichem Material und bei gleicher Länge dem Querschnitt umgekehrt proportional.
Die Potentialänderung längs eines Widerstandes, die sich bei Stromfluss einstellt, wird als Spannungsabfall (yoltage drop] bezeichnet. Der als „positiv“ angenommene Strom fließt in Richtung des .E-Feldes, das von „plus“ nach „minus“ zeigt; deshalb „fällt“ die Spannung längs des Stromes ab. Auch für den Spannungsabfall gilt U — RI.
Hydrodynamischer Analogieversuch. Den Potentialabfall längs eines durchströmten Leiters können wir an einer Wasserströmung durch ein Rohr veranschaulichen, indem wir an dem Rohr in gleichen Abständen eine Anzahl Manometerrohre zur Druckmessung anbringen. Lassen wir das Wasser, wie in Abb. 3.6a gezeigt, aus dem rechten Ende des Rohres frei ausströmen, so erhalten wir die dargestellte Druckverteilung längs des Rohres. Im Teilbild (b) wird der Querschnitt des Abflussrohres durch Einschieben eines Drahtes am rechten Ende verkleinert, der Druckabfall (Analogie: Spannungsabfall) wird größer.
Abb. 3.6 Hydrodynamischer Analogieversuch zum Ohm’schen Gesetz: (a) konstanter Querschnitt - linearer Druckabfall, (b) Querschnittsverkleinerung - verstärkter Druckabfall.
Temperaturabhängigkeit. In einem einfachen Demonstrationsversuch wird ein Platindraht zu einer Wendel mit sich nicht berührenden Wicklungen aufgewickelt und so aufgespannt, dass er - während ein Strom hindurchfließt - mit einer Flamme erhitzt oder mit flüssigem Stickstoff gekühlt werden kann (Abb. 3.7). Eine in Reihe geschaltete Glühlampe dient als qualitativer Stromanzeiger. Wird an Platindraht und Glühlampe eine konstant gehaltene Spannung angelegt, dann ändert sich der Strom mit der Temperatur des Platindrahtes: Bei Erwärmung steigt der Pt-Wider-stand, der Strom sinkt, und die Glühlampe wird dunkel; bei Abkühlung sinkt der Pt-Widerstand, der Strom steigt, und die Glühlampe leuchtet hell auf.
Zum bequemen Einregulieren von Stromstärken dienen Schiebewiderstände oder Drehwiderstände. Ein unter Federdruck stehender Gleitkontakt längs eines den Widerstand bildenden spulenförmig aufgewickelten Drahtes kann verstellt und dadurch ein mehr oder weniger großer Teil des Drahtes in den betreffenden Stromkreis eingeschaltet werden. Wird eine Spannung an die beiden Endkontakte gelegt, dann liegt zwischen dem Gleitkontakt und einem der Endkontakte eine Teilspannung;
a)	(b)
3.2 Experimentieren mit Strömen
109
Festwiderstände zum Einbau. Kohleschichtwiderstände mit Widerständen von Q bis MQ (in Sonderanfertigung auch bis GQ) werden durch thermischen Zerfall von Kohlenwasserstoffen hergestellt. Für höchste Widerstandswerte im Bereich von 3 • 109 bis 1014Q gibt es in Glas gekapselte Kohleschichtwiderstände. Metallschichtwiderstände (CrNi) werden durch Aufdampfen im Hochvakuum hergestellt; sie haben kleine Temperaturkoeffizienten von etwa 10 "/K. Niederohmige Edelmetallschichtwiderstände (Au/Pt) erhält man durch Reduktion von Edelmetallsalzen beim Einbrennen; sie werden z. B. als Hochlastwiderstände eingesetzt. Besonders hoch belastbar sind die auf Keramikkörper gewickelten Drahtwiderstände (0.1 Q bis etwa 10 MO), die es mit Nennleistungen von 0.25 bis 200 W gibt. Der Widerstandswert ist üblicherweise durch Farbringe codiert oder als Zahlenwert aufgedruckt.
Bei der Auswahl von Widerständen ist neben dem Widerstandswert (in Ohm) vor allem die Belastbarkeit (in Watt) wichtig, denn - wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird - steigt die in Wärme umgewandelte elektrische Leistung quadratisch mit dem Strom an. Sie muss durch Wärmeleitung abgeführt werden, ohne dass der Widerstand dabei zu heiß wird.
Bei Hochspannungswiderständen ist die Baulänge durch die erforderliche Spannungsfestigkeit bestimmt.
Widerstände werden mit verschiedenen Fertigungstoleranzen hergestellt, typischerweise von + 1 % bis +10%. Bei Drahtwiderständen lassen sich mit individuellen Korrekturen Toleranzen bis zu + 0.001 % erreichen. Kohleschichtwiderstände auf Hartporzellan, bei denen eine Wendel in die Kohleschicht eingeschliffen wird, lassen sich bis auf + 0.1 % abgleichen. Langzeitdrifts in den Widerstandswerten werden verursacht durch Oxidation (nicht bei Edelmetall) und Rekristallisation.
3.2.3 Elektrische Arbeit, Stromwärme
Bei einer Kondensatorentladung über einen Widerstand R fließt die gespeicherte elektrische Ladung von einer Kondensatorplatte durch den Widerstand zur anderen Platte; die Spannung am Kondensator verschwindet; die Ladung auf den Platten ist verschwunden. Aber die im Kondensator vorher gespeicherte Energie kann nicht verloren gehen. Sie wird durch die Energieverluste der Elektronen im Widerstand („Reibung“ beim Ladungstransport) in Wärme umgewandelt, die durch Wärmeleitung, Konvektion oder Wärmestrahlung abgeführt werden muss.
Anders formuliert: Die Spannung, die am Widerstand liegt, verursacht im Widerstand ein E-Feld, das die Leitungselektronen beschleunigt. Die gewonnene kinetische Energie wird durch Stöße an das lonengitter abgegeben. Dadurch wird die Energie als Wärme frei. Sie wird Joule’sche Wärme (Joule heating) genannt. J.P Joule hat 1840 experimentell gezeigt, dass die in einem Leiter erzeugte Stromwärme dem Quadrat der Stromstärke Z, dem Widerstand R und der Zeit t proportional ist. Die als Stromwärme freiwerdende Energie (work) IV ist nach dem Joule’schen Gesetz
IV = Ult
= Z2 R t;	(3.6)
die Spannung U wurde hier nach dem Ohm’schen Gesetz durch R  I ersetzt.
110	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Bevor es möglich war, die Einheit Volt über die Beziehung N • m = V • A • s festzulegen, musste experimentell gezeigt werden, dass die Energie bei Umwandlung von einer Form in die andere nicht vermindert wird. Solche Experimente wurden als „Messungen der Wärmeäquivalente“ bezeichnet. Um das elektrische Wärmeäquivalent zu messen, steckt man einen Tauchsieder bekannter Leistung in eine mit Wasser gefüllte Thermosflasche, misst die Zeit des Stromdurchflusses, die Temperaturerhöhung des Wassers und die Wassermenge. Man vergleicht somit die geleistete elektrische Arbeit mit der vom Tauchsieder an das Wasser abgegebenen Wärmemenge. Selbstverständlich muss man bei einer Messung jedes Entweichen von Wärme vermeiden. Dies kann weitgehend verwirklicht werden, wenn sich ein Tauchsieder in einer mit Wasser gefüllten Thermosflasche befindet.
Nach dem Joule’schen Gesetz hängt unter sonst gleichen Bedingungen (gleiche Stromstärke, gleicher Drahtdurchmesser, gleiche Drahtlänge) die entwickelte Wärme nur noch vom spezifischen Widerstand des Drahtmaterials ab. Dies lässt sich zeigen, indem man einen starken Strom durch eine Kette hindurchschickt, die abwechselnd aus gleich dicken und gleich langen Eisen- und Kupferdrähten besteht. Man beobachtet dann, dass bei einer bestimmten Stromstärke nur die Eisendrähte glühen, während die Kupferdrähte infolge ihres sechsmal kleineren spezifischen Widerstandes dunkel bleiben. Allerdings tritt dabei noch ein anderer Effekt auf, der in dieselbe Richtung geht: Mit der Temperatur des Eisens erhöht sich auch der Widerstand des Eisens, und dadurch wird noch mehr Stromwärme freigesetzt.
Strommessung mittels Stromwärme. Abb. 3.9 zeigt das Prinzip des historisch und didaktisch interessanten Hitzdrahtinstruments, das heute nicht mehr verwendet wird. Zwischen den beiden Punkten A und B, den Anschlussklemmen des Instruments, ist ein dünner Platindraht H gespannt. In der Mitte des Drahtes bei C ist ein Faden befestigt, der über eine Rolle R führt und von einer Feder F gespannt wird. An der Achse der Rolle ist der Zeiger Z befestigt. Dehnt sich nun infolge der Erwärmung durch einen elektrischen Strom der Draht aus, so zieht die Feder an dem Faden und dreht damit die Rolle und den Zeiger im Uhrzeigersinn.
Abb. 3.9 Schema eines Hitzdrahtinstruments.
Da die Erwärmung des Drahtes proportional zu I2 ist, hängt die Längenänderung des Drahtes nicht von der Stromrichtung ab. Daher konnten Hitzdrahtinstrumente auch für Wechselstrom verwendet werden.
Schmelzsicherungen. Sie sollen verhüten, dass eine elektrische Leitung im Falle einer Überlastung zu stark erwärmt wird und das Gebäude in Brand setzt. Die Sicherung
3.2 Experimentieren mit Strömen
111
(fuse) besteht aus einem in einer Porzellanpatrone mit Sandfüllung eingebetteten Blei- oder Silberdraht, der nur für die zulässige Stromstärke ausreicht. Bei höherer Stromstärke schmilzt der Draht durch und unterbricht den Stromkreis. Die Sicherung stellt also eine künstlich hergestellte schwächste Stelle, eine Sollbruchstelle (pre-determined breaking point), an einem bequem zugänglichen Punkt der Leitung dar.
Heiz- und Kochgeräte. Bei den im Haushalt verwendeten Geräten wird ein Widerstandsmaterial (z. B. Chromstahl) verwendet, das bei Temperaturen bis ca. 1000 °C zwar eine dünne Oxidschicht an der Oberfläche bildet, aber nicht durchoxidiert wird.
Wegen des hohen Schmelzpunktes des Platins (1768 °C) und seiner relativ guten chemischen Beständigkeit wird im Labor oft Platindraht oder -band, aufgewickelt auf Keramikrohr, als elektrischer Heizer eingesetzt. Vermeidet man jede Art von Oxidation, z. B. durch Hochvakuum oder durch ein umgebendes Schutzgas (Wasserstoff-Atmosphäre), so kann man auch Wolfram (timgsteri) oder Molybdän (mo-lybdenum) als Heizwiderstände verwenden; diese Metalle haben sehr hohe Schmelzpunkte (W 3422°C; Mo 2623 °C).
Glühlampen. Die ersten Glühlampen (light bulbs) wurden 1854 von Heinrich Goebel hergestellt und 1879 von Thomas A. Edison verbessert; man verwendete Kohlefäden (carbon filaments), die durch Verkohlung von Bambusfasern unter Luftabschluss hergestellt wurden.
Mit modernen Wolfram-Glühlampen erreicht man Temperaturen von etwa 2600 K. Um die Verdampfung des Wolframfadens zu verringern, wird der Glaskolben nicht mehr evakuiert, sondern mit einem Gas (meist Krypton) gefüllt. Hierbei gibt der Glühfaden auch Wärme an das Füllgas ab. Dieser Anteil hängt wesentlich von der Länge des Glühfadens, aber kaum vom Durchmesser ab. Deshalb werden die Wolframfäden in Form von Wendeln, meist sogar von Doppelwendeln, verwendet. Die mittlere Lebensdauer der Glühlampen beträgt etwa 1000 Stunden. Sie könnte wesentlich erhöht werden, wenn die Temperatur T des Glühfadens etwas gesenkt würde. Das hätte aber eine beträchtliche Senkung der Lichtausbeute zur Folge, weil die Gesamtstrahlung ungefähr mit 7’4 absinkt und das Maximum der spektralen Verteilungskurve sich mit sinkender Temperatur zu längeren Infrarot-Wellenlängen verschiebt, wodurch der Anteil an sichtbarem Licht geringer wird.
Halogenlampen wurden wegen des technologischen Aufwandes (Quarzkolben) erst spät eingeführt, zuerst für Speziallampen wie Autoscheinwerfer. Inzwischen haben die Halogenlampen sich auch im Wohnbereich durchgesetzt. Als Füllgas wird überwiegend lod und Brom benutzt. Das verdampfte Wolfram verbindet sich bei niedriger Temperatur, z. B. an der Wand, mit dem Halogen zu einer Wolfram-Halogen-Verbindung, die gasförmig ist. Durch Diffusion gelangen Moleküle dieser Verbindung auf die heiße Wolframwendel. Bei hoher Temperatur dissoziiert aber die Wolf-ram-Halogen-Verbindung, d. h. auf der heißen Wendel wird die Verbindung in ihre Bestandteile zerlegt. Das Wolfram bleibt auf dem Wolframdraht und ist somit zurückgeführt; das Halogen diffundiert fort und steht an der kälteren Wand wieder zur Verfügung, um sich mit dem verdampften Wolfram zu verbinden. Durch diesen Rücktransport des verdampften Wolframs wird (bei gleicher Temperatur) die Lebensdauer der Wendel erhöht; umgekehrt ist es aber auch möglich, damit (bei gleicher Lebensdauer) die Temperatur zu erhöhen, wodurch das Spektrum des ausgesandten
112	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Lichtes weiter in den sichtbaren Bereich geschoben wird. Das Licht sieht „weißer“ aus; der Wirkungsgrad steigt.
3.2.4 Strom und Spannung in elektrischen Netzwerken
Der Ausdruck „elektrisches Netz“ wird für Versorgungsnetze (z. B. öffentliches Drehstromnetz, Netz der Bundesbahn) verwendet. Für Schaltungen hat sich der Begriff Netzwerk (network) durchgesetzt.
Aktive und passive Zweipole. Netzwerke sind Leitersysteme, in denen Bauelemente eingefügt sind. An dieser Stelle betrachten wir nur die einfachsten Netzwerke, nämlich die Verbindungen von Widerständen und Stromquellen; die Verbindungsleitungen werden als widerstandslos angenommen. Jedes dieser Bauelemente hat zwei Anschlussklemmen (Kontakte, Pole); deshalb werden sie in der Netzwerktheorie allgemein als Zweipole bezeichnet. Widerstände sind passive Zweipole, Stromquellen sind aktive Zweipole.
Strom- und Spannungspfeile. In der Elektrotechnik werden Strom und Spannung Pfeile zugeordnet. Die Pfeile sind nicht als Vektordarstellung zu betrachten, sondern nur als Hilfsmittel für die Vorzeichenfestlegung (Abb. 3.10a, b).
-	Strompfeile werden parallel zu den Leiterstrom-Pfaden gezeichnet und geben formal die Richtung des Stroms der positiven Ladungsträger an, auch wenn (wie in Metallen) die positiven Ladungsträger ortsfest sind und der Strom durch Wanderung von negativen Ladungsträgern in die andere Richtung bewirkt wird. Strompfeile zeigen bei passiven Zweipolen von ( + ) nach ( —), aber bei aktiven Zweipolen von ( —) nach ( + ).
-	Spannungspfeile beschreiben die Spannung zwischen jeweils zwei Punkten des Netzwerks. Für die Richtung der Spannungspfeile gibt es zwei verschiedene Konventionen: In diesem Buch wird ausschließlich das Verbraucher-Zählpfeilsystem verwendet, so genannt, weil sich damit die elektrische Leistung U  I für Verbraucher positiv, für Erzeuger negativ ergibt. Danach sind für passive Zweipole Strom-und Spannungspfeil gleichgerichtet, für aktive Zweipole entgegengesetzt. Spannungspfeile zeigen in diesem Zählsystem immer von ( + ) nach ( —).
Merkhilfe: Der Spannungspfeil hat dieselbe Richtung wie die auf positive Ladungsträger ausgeübte elektrische Kraft. Die Gleichsinnigkeit von Strom- und Spannungspfeil beim Widerstand entspricht im hydrodynamischen Analogon einem Wasserfluss bergab, also in Richtung der Schwerkraft. Innerhalb der Spannungsquelle fließt der Strom dem Spannungspfeil entgegen, ähnlich wie mit einer Wasserpumpe ein Wasserfluss entgegen der Schwerkraft erzwungen werden kann.
Knoten und Maschen. Eine Kette von Zweipolen, die alle vom selben Strom durchflossen werden, stellen einen Zweig (brauch} im Netzwerk dar. Der Verbindungspunkt mehrerer Zweige wird Knoten (node, junctiori) genannt. Eine in sich geschlossene Kette von Zweigen wird als Masche (closed loop) des Netzwerks bezeichnet (Abb. 3.10c).
3.2 Experimentieren mit Strömen
113
Abb. 3.10 Netzwerke mit aktiven und passiven Zweipolen: (a) Festlegung von Spannungsund Strompfeilen, (b) einfaches Netzwerk mit Zählpfeilen, (c) Erläuterung von „Zweig“, „Knoten“ und „Masche“.
Kirchhoff’sche Sätze. Die Berechnung aller Ströme und Spannungen in einem komplizierten Netzwerk (multiloop circuit) kann sehr schwierig sein. Ein elegantes Verfahren, das eine Verallgemeinerung des Ohm’schen Gesetzes darstellt und immer zu einem Gleichungssystem führt, mit dem alle unbekannten Ströme und Spannungen berechnet werden können, wurde von G. R. Kirchhoff (1824-1887) angegeben im Anschluss an eine Seminaraufgabe, die er 1845 als Student in Königsberg zu bearbeiten hatte. Obwohl die folgenden zwei Beziehungen üblicherweise als „Regeln“ bezeichnet werden, sind es Gesetze („Sätze“), die ausnahmslos gelten.
1. Knotenregel (junction rule). Im Knoten eines Netzwerkes kann die Ladung nicht gespeichert werden. Deshalb ist die Summe der auf den Knotenpunkt zufließenden Ströme gleich der Summe der von ihm abfließenden Ströme. Zählt man die einen vereinbarungsgemäß positiv und die anderen negativ, dann gilt für den Knoten-Gesamtstrom
Z /j = 0 (j = 1, 2...).	(3.7)
Knoten
Am Anfang der Rechnung wird jedem unbekannten Strom im Netzwerk ein Pfeil mit willkürlich gewählter Richtung zugeordnet. Diese Pfeilrichtung bestimmt das Vorzeichen, mit dem der Strom in Gl. (3.7) eingeht. Ergibt die Lösung des mithilfe der Knoten- und Maschenregel aufgestellten Gleichungssystems für einige Ströme negative Werte, dann werden deren Pfeile am Schluss umgekehrt.
2. Maschenregel (loop rule). Spannungen sind Potentialdifferenzen. Bei einem Umlauf in einer Masche müssen sich die Spannungen zu null addieren, wenn man die Spannungen mit Pfeilen in Umlaufrichtung als positiv und die mit Pfeilen entgegengesetzt der Umlaufrichtung als negativ betrachtet. Für die Umlaufspan-nung gilt
X t/j = O (j = l, 2...).	(3.8)
Masche
114	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Der Umlaufsinn wird willkürlich festgelegt. Die zu addierenden Spannungen bestehen aus den von den „aktiven Zweipolen“ (Stromquellen) gelieferten Klemmenspannungen (Klemme = Kontakt, Pol) und den Spannungsabfällen der Widerstände. Den Stromquellen werden Spannungspfeile von (+) nach (—) zugeordnet; die Spannungsabfälle haben Pfeile in derselben Richtung wie die dazugehörigen Strompfeile.
Die Anwendung der Knoten- und Maschenregel ergibt für das einfache Beispiel von Abb. 3.10b, c folgende Gleichungen:
oberer Knoten:	/, — /2	— I3 =	0
unterer Knoten:	— I +	/2 + I3	— 0
linke Masche:	/?, /, +	R3I3 —	Ui	=	0
rechte Masche:	R212 +	U2 — R3I3	—	0
große Masche:	RJ. +	R212 —	Ui	+	U2 = 0.
(3-9)
Die zweite Knotengleichung ist nicht unabhängig von der ersten (der Unterschied besteht in einem Faktor — 1); ebenso ist die dritte Maschengleichung nicht unabhängig von den anderen beiden (sie ist deren Summe). Es verbleibt also ein System von drei Gleichungen für die Bestimmung der drei unbekannten Ströme. Wie aus der Schaltung (Abb. 3.10b) zu sehen ist, wird der Strom I2 für eine hinreichend große Spannung U2 entgegen der angegebenen Pfleilrichtung fließen; in solch einem Fall liefert die Rechnung einen negativen Strom.
Allgemein gilt, dass bei Anwendung der Kirchhoff’sehen Sätze leicht mehr Gleichungen erhalten werden als unbekannte Größen zu bestimmen sind. Diese überzähligen Gleichungen sind von den anderen nicht linear unabhängig und deshalb überflüssig. Um sie von vornherein zu vermeiden, ist folgendes zu beachten:
-	Da alle Ströme im Netzwerk zu geschlossenen Stromkreisen gehören, liefern von N vorhandenen Knoten nur (N — 1) Knoten linear unabhängige Gleichungen.
-	Die Maschenregel sollte auf alle „elementaren“ Maschen angewendet werden. Maschen, deren Fläche die Flächensumme von schon behandelten elementaren Maschen ist, liefern dann keine linear unabhängigen Gleichungen mehr.
Zusammenschaltung von Zweipolen. Es gilt:
-	Zweipole sind in Reihe (hintereinander) geschaltet, wenn über sie derselbe Strom fließt.
-	Zweipole sind parallel geschaltet, wenn an ihren Klemmen dieselbe Spannung liegt.
Zusammenschalten von Widerständen. Die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen ist in Abb. 3.11 dargestellt.
Der resultierende Gesamtwiderstand ist für Reihenschaltung
0 = 1,2...)	(3.10)
j
und für Parallelschaltung
=	(3.11)
\ j /
Für das Zusammenschalten von Widerständen ergeben sich also Beziehungen, die gerade umgekehrt sind wie die für Kondensatoren. Das liegt an den unterschiedlichen
3.2 Experimentieren mit Strömen
115
Abb. 3.11 (a) Reihenschaltung, (b) Parallelschaltung von Widerständen.
Definitionen dieser Größen: Bei der C-Definition (C = Q]U) steht U im Nenner, bei der R-Definition (R — U/T) dagegen im Zähler.
Innenwiderstand von Amperemeter und Stromquelle. Bei dem oben behandelten Hitzdrahtinstrument (Abb. 3.9) kommt die Erwärmung zustande, weil der Platindraht, durch den der zu messende Strom fließt, einen hinreichend hohen Widerstand besitzt. Wenn auf den Widerstand des Instruments hingewiesen werden soll, bevorzugt man im Schaltungsdiagramm die Darstellung durch ein Ersatzschaltbild, in dem das reale Amperemeter als Reihenschaltung eines idealen (d. h. widerstandslosen) Amperemeters und eines Innenwiderstands Rt erscheint (Abb. 3.12a).
Abb. 3.12 Innenwiderstand: (a) eines Amperemeters, (b) einer Stromquelle.
Ideale Stromquellen liefern eine von der Strombelastung unabhängige Klemmenspannung Uo. Reale Stromquellen reagieren bei Belastung mit einem Abfall der Klemmenspannung, der bei normalem Betrieb meist in guter Näherung zum Strom proportional ist. Das Ersatzschaltbild für eine reale Stromquelle ist die Reihenschaltung einer idealen Quelle mit einem Innenwiderstand (Abb. 3.12b). Die Leistung
(Ril)l=I2Ri	(3.12)
wird innerhalb der Stromquelle in Wärme umgewandelt.
Vergrößerung des Messbereichs eines Amperemeters. Gegeben sei ein Amperemeter, dessen Messbereich bis zum Vollausschlag bei 1 A geht. Um mit diesem Instrument Ströme bis 10 A messen zu können, müssen wir parallel zu diesem Instrument einen Nebenschluss-Widerstand (shimt) Rs legen, der genau 9/10 des Stroms am Instrument
116
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
vorbei führt. Dazu muss zum Innenwiderstand Rt des Instruments folgendes Verhältnis bestehen:
/?s : R = 1/10 : 9/10,
Rs = RJ9.	(3.13)
Allgemein gilt: Um den Messbereich des Amperemeters um den Faktor x zu erhöhen, muss parallel zum Instrument mit dem Widerstand Rt der Nebenschluss-Widerstand
Rs = RJ(x — l)	(3.14)
geschaltet werden. In umschaltbaren Mehrbereich-Amperemetern sind diese Widerstände schon eingebaut.
Spannungsteilung. Wenn durch den Widerstand R der Strom / fließt, entsteht am Widerstand der Spannungsabfall U = RI. Durch Aufteilung des Widerstands R in mehrere Widerstände in Reihenschaltung, erhält man eine zu den Teil widerständen proportionale Aufteilung der Gesamtspannung (Abb. 3.13). Bei einem Potentiometer wird mit einem variablen Schleifkontakt an einem Widerstand R die Aufteilung dieses Widerstands in die Teile R  x und R • (1 — x) mit 0 < x < 1 erzeugt; liegt an den Endklemmen des Potentiometers die Spannung U, dann erhält man zwischen den Endklemmen und dem Schleifkontakt die kontinuierlich variablen Spannungen U • x und U • (1 - x).
A
(a) B C	(b) B C
Abb. 3.13 Spannungsteiler/Potentiometer: (a) Widerstandskette mit Schalter, (b) variabler Widerstand.
Nullmethoden. Von J.C. Poggendorff wurde 1841 die Kompensationsschaltung (Abb. 3.14a) zur „leistungslosen“ Spannungsmessung erfunden. Die Kompensation ist eine Nullmethode, bei der auf Stromlosigkeit des anzeigenden Messinstruments eingestellt wird, - wie stark auch im übrigen die Ströme in den anderen Teilen des Netzwerks sein mögen. Die Abgleichung ist daher mit großer Empfindlichkeit möglich.
3.2 Experimentieren mit Strömen
117
Als Spannungsteiler dient ein in Material und Querschnitt gleichmäßiger Metalldraht AB, durch den mithilfe einer Stromquelle ein konstanter Strom hindurchgeschickt wird. Zwischen A und B liegt also die Spannung U der Hilfsstromquelle. Zwischen A und einem auf dem Draht verschiebbaren Schleifkontakt C liegt eine Teilspannung, die dem abgegriffenen Teil des Widerstandsdrahts proportional ist. Die zu messende Spannung t/x muss kleiner sein als U. Bei der in Abb. 3.14a gezeigten Schaltung wird von dem empfindlichen Strommessgerät kein Strom angezeigt, wenn das Spannungsverhältnis UJU gerade dem Drahtlängen-Verhältnis AC/AB entspricht. Ersetzt man nun t/x durch eine bekannte Spannung, z. B. die Spannung t/n von einem „Spannungsnormal“, so muss man eine neue Abgleichung herbeiführen. Entscheidend ist, dass das Verhältnis UJ U„ sehr genau aus den beim Strom „null“ abgegriffenen Drahtlängen bestimmt werden kann, ohne dass die Spannung U der Hilfsquelle genau bekannt sein muss. Der Vorteil der Kompensationsmethode liegt vor allem darin, dass nach Beendigung des Abgleichvorgangs kein Strom entnommen wird. Man vergleicht also wirklich die Klemmen-Spannungen ohne Leistungsabgabe (bei „Leerlauf“). Um das Nullinstrument nicht zu zerstören, muss vor jeder Messung sichergestellt sein, dass der Strom für das Instrument nicht zu groß ist. Man schaltet stufenweise vom unempfindlichsten auf den empfindlichsten Messbereich.
Die von C. Wheatstone 1843 angegebene Brückenschaltung (Abb. 3.14b) wird gern zur Messung von Widerständen benutzt und ist ein typischer Versuch des Physik-Praktikums. Angenommen, R ist der unbekannte Widerstand und Ro ein genau bekannter Widerstand ähnlicher Größe. Außerdem wird - genau wie bei der Kompensationsmethode von Abb. 3.14a - ein homogener Widerstandsdraht, ausgespannt auf einem Längenmaßstab, mit Schleifkontakt verwendet. Der Wert für 7?x wird aus Ro und den in Nullabgleich gefundenen Draht-Teillängen a und b erhalten nach
7?x = Ro a/b.	(3.15)
Brückenschaltungen werden in der Messtechnik in vielfältiger Form eingesetzt. Mithilfe der Kirchhoff’schen Sätze kann auch der Brückenstrom in einer nicht-ab-geglichenen Brücke (mit Widerstand Rt des Messinstrumentes im Brückenzweig) leicht berechnet werden. Als eine Anwendung der Brückenschaltung sei hier die Temperaturmessung mit temperaturabhängigen Widerständen genannt: Ist z. B. die Brücke bei Zimmertemperatur abgeglichen, dann ruft jede kleine Temperaturände-
Abb. 3.14 Nullmethoden: (a) Kompensationsschaltung nach Poggendorff zur leistungslosen Spannungsmessung, (b) Wheatstone’sche Brücke zum genauen Vergleich von Widerständen.
118
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
rung des Widerstandsthermometers einen kleinen Brückenstrom hervor, der als Maß für die Temperaturdifferenz dienen kann (Prinzip des Bolometers).
Kondensatorentladung. Überbrückt man die Klemmen eines bis zur Spannung Uo aufgeladenen Kondensators der Kapazität C mit einem Widerstand R, dann fließt ein zeitabhängiger Strom I(t) bis die Spannung U gleich null ist. Es gilt
U = QIC, (Q = Ladung)
dU = dQ/C = -1 dt/C = - (U/R) dt/C, dU/U=—dt/i: mit r = RC, [/(/)= t/0 exp(—t/r).	(3.16)
Die Spannung am Kondensator fällt exponentiell mit der Zeit ab. Die Größe r = RC wird Zeitkonstante (time constant) genannt. Die Messung der Zeitkonstante in Verbindung mit bekannter Kapazität und Anfangsspannung kann zur Bestimmung sehr hoher Widerstände dienen.
Beim Aufladen eines Kondensators über einen Widerstand nähert sich die Kondensatorspannung U asymptotisch der Quellenspannung Uo nach
U= t/0[l — exp(—t/r)];	(3.17)
auch hierbei bestimmt die Zeitkonstante r den Vorgang.
3.2.5 Erde und Masse
Ein Stromkreis (electric circuit) braucht überhaupt keine Verbindung mit Erde! In aktiven Zweipolen werden Ladungen verschiedenen Vorzeichens gegeneinander verschoben; anschaulicher ausgedrückt, aus dem ( —)-Pol einer Batterie werden die beweglichen Leitungselektronen in den angeschlossenen Leiter hineingedrückt, und am ( + )-Pol werden Leitungselektronen aus dem Leiter heraus in die Batterie hineingesaugt. Stromfluss findet überhaupt nur statt, wenn die Elektronen-Rückführung durch einen geschlossenen Stromkreis gesichert ist. Weil die enorm großen elektrostatischen Kräfte eine (fast) perfekte Ladungsneutralisation im gesamten Netzwerk erzwingen, können keine beweglichen Ladungsträger verloren gehen. Erdung ist überflüssig und bei mobilem Einsatz von Geräten meist gar nicht möglich.
Bezugsleiter. Oft sind es massive Metallteile, die als Bezugspotential gewählt und Masse genannt werden; in der Auto-Elektrik ist die „Masse“ gegeben durch Fahrgestell, Motorblock und Karosserie. Bei elektronischen Geräten mit Kunststoff-Gehäuse reduziert sich die „Masse“ auf den metallischen Montagerahmen und die Abschirmbleche. Bezugsleiter führen im Normalbetrieb Strom und sind häufig für mehrere Stromkreise die Rückleiter zur Quelle.
Schutzerdung bei Verwendung von Netzgeräten. Erdleiter sind Schutzleiter (Symbol: PE, protective eartli) zum Schutz von Menschen und Sachwerten; sie sollen nur im Fehlerfall Strom führen. Erdung (grounding) ist aus Sicherheitsgründen erforderlich bei allen Netzgeräten (power supplies), die an das 230-Volt-Netz angeschlossen und von einem Metall-Gehäuse umschlossen sind. Die Erdung erfolgt über die Erdleitung
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
119
des Netzkabels. Damit wird verhindert, dass durch einen Isolationsdefekt Spannung an das Gehäuse gelangt und Personen bei Kontakt mit dem Gehäuse zu Schaden kommen. Wenn nämlich so ein Defekt eintritt, dann bewirkt die Erdung, dass diese Spannung kurzgeschlossen wird. Durch den hohen Kurzschlussstrom spricht die Überstrom-Sicherung an und unterbricht die Verbindung zum Netz.
Ein Netzwerk, dessen Stromquelle (aktiver Zweipol) durch den „Ausgang“ eines Netzgerätes gebildet wird, ist oft über das Netzgerät geerdet; eine der beiden Ausgangsklemmen ist innerhalb des Netzgerätes mit der Erdleitung verbunden. Es gibt aber auch Netzgeräte, die eine Spannung zwischen den beiden Ausgangsklemmen liefern, ohne dass ein definiertes Potential bezüglich „Erde“ festgelegt ist. Dann kann man wählen, welche Seite der Ausgangsspannung geerdet werden soll. Mithilfe eines Spannungsteilers kann z. B. auch das Ausgangs-Mittelpotential auf Erde gelegt werden. Man sollte aber auf die Erdung nicht völlig verzichten; andernfalls würde sich über die hochohmigen Isolationswiderstände im Inneren des Netzgerätes ein „wildes“ Potential einstellen und bei einem Defekt im Netzgerät könnten u.U. auch plötzlich 230 V Wechselspannung am Ausgang liegen.
Mehrfach-Erdungen vermeiden. Wird ein Netzwerk an mehr als einem Punkt geerdet, dann ist sozusagen die „Erde“ parallel zu einem Betriebsleiter geschaltet. In niederohmigen Erdschleifen können, verursacht z. B. durch Thermospannungen (Abschn. 8.3.2), sehr große Ströme fließen und störende Magnetfelder erzeugen.
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
Kompass. Die erste technische Nutzung des Magnetismus war der Kompass (com-pass). Wir wissen nicht, ob er nur einmal erfunden wurde. Verlässliche Quellen belegen die Benutzung des Kompasses für die Navigation bei den Chinesen um 1100, bei den Arabern um 1220 und bei den Skandinaviern um 1250. Die Kompassnadel war auf einem schwimmenden Stück Holz oder Kork befestigt. Die Spitzenlagerung und die umgebende Skala, die viel bessere Richtungsangaben ermöglichte, wurde von Pierre de Maricourt (geboren um 1240), genannt Petrus Peregrinus, erfunden. Er war einer der ganz wenigen mittelalterlichen Experimentatoren. In einem Brief vom 8.8.1269 beschreibt er, dass sich gleichnamige magnetische Pole abstoßen und dass durch das Zerbrechen eines Magneten zwei kleinere Magnete (nicht einzelne Pole) erhalten werden. William Gilbert erkannte, dass die Erde selbst ein riesiger Magnet ist, und dass die allgemein akzeptierte Konvention, das nach Norden zeigende Ende der Kompassnadel als deren „Nordpol“ zu bezeichnen, zu der widersinnigen Konsequenz führt, den in der Nähe des geographischen Nordpols befindlichen Magnetpol der Erde als „magnetischen Südpol“ (und umgekehrt) definieren zu müssen.
120
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
3.3.1 Magnetfeld eines Leiterstroms
Nach Erscheinen von Gilberts Buch (1600) gab es lange Zeit keine wesentlichen neuen Erkenntnisse über den Magnetismus. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts legten naturphilosophische Spekulationen eine Verbindung von Elektrizität und Magnetismus nahe. Dadurch angeregt, versuchten Hans Christian Oersted (1777 — 1851) und andere erfolglos, magnetische Wirkungen an einer Volta’schen Säule ohne geschlossenen Stromkreis nachzuweisen.
Oersteds Entdeckung. Im Frühjahr 1820 begann Oersted in Kopenhagen mit Versuchen, bei denen eine Volta’sche Säule durch einen Widerstandsdraht zum Stromkreis geschlossen wurde. Er hoffte, dass neben der Wärme vielleicht auch magnetische Wirkungen auftreten könnten. Er wurde allerdings sehr überrascht durch die Stärke und die Art der dabei auftretenden magnetischen Phänomene.
Er beobachtete folgendes: Ein gerader von Süden nach Norden stromdurchflossener Leiter wird dicht über eine Kompassnadel hingeführt; dabei wird der Nordpol der Nadel nach Westen abgelenkt. Verläuft der Leiterstrom unterhalb der Nadel, wird diese nach Osten abgelenkt (Abb. 3.15a). Untersucht man mit einer vollkommen frei beweglichen, etwa an einem Faden aufgehängten Magnetnadel die Umgebung eines vertikalen, geradlinigen Stromleiters (Abb. 3.15b), dann stellt sich die Nadel so ein, dass sie tangential zu einem um den Draht als Mittelpunkt beschriebenen Kreis gerichtet ist.
Voraussetzung ist bei dem Versuch von Abb. 3.15b, dass das Magnetfeld des Stromleiters das Erdfeld stark überwiegt. Bei den möglichen Störungen durch das magnetische Erdfeld ist auch zu bedenken, dass in Mitteleuropa das lokale Erdfeld schräg nach unten zeigt mit einer Vertikalkomponente, die sogar etwas größer ist als die Horizontalkomponente (Abschn. 14.4.1).
Mit der konventionellen Richtung des Magnetfeldes, die vom felderzeugenden magnetischen Nordpol zum magnetischen Südpol zeigt, in der feldanzeigenden Kompassnadel aber von S nach N verläuft, konnte auch der Umlaufsinn (die Zirkularität) des Strom-Magnetfeldes spezifiziert werden: Die Zirkularität des Magnetfeldes und die Richtung des (positiven) Stromes bilden eine Rechtsschraube.
Abb. 3.15 (a) Strom fließt nach Norden, die Kompassnadel unter dem Draht wird nach Westen, die über dem Draht nach Osten abgelenkt, (b) Strom fließt vertikal aufwärts, Kompassnadeln hängen an Fäden.
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
121
Oersted benutzte 20 hintereinander geschaltete Volta’sche Zellen mit Kupfer- und Zink-Elektroden von je einem Quadratfuß (« 30 cm x 30 cm) Fläche. Da der Draht dabei glühte, muss der Strom schon einige Ampere betragen haben. Durch Versuche mit weniger Zellen und kleineren Platten erkannte Oerstedt, dass das magnetische Feld von der „Quantität des Stroms“ (dem Strom) abhängt und nicht von der „Intensität“ (Spannung). Dass eine größere Zahl hintereinander geschalteter Zellen keinen entsprechenden Zuwachs des Feldes verursachten, führte er - einige Jahre vor der Formulierung des Ohm’schen Gesetzes - richtig auf eine „Verminderung der leitenden Kraft durch Vermehrung der Elemente“ (Einfluss des Innenwiderstandes der Zellen) zurück.
Vergleich von magnetischen Feldstärken. Für die magnetische Feldstärke verwenden wir das Symbol B, Definition und Maßeinheit werden im nächsten Abschnitt beschrieben.
Die Feldstärke des Leiterstrom-Magnetfelds kann leicht mit der des lokalen Erdfelds verglichen werden. So kann z. B. ein dem Erdfeld entgegengesetztes Feld erzeugt, und der Strom solange erhöht oder der Abstand verringert werden, bis die Einstellung der Kompassnadel unbestimmt wird und mit großer Amplitude hin-und herschwingt (Abb. 3.16a). Dann ist am Ort der Nadel das vom Strom erzeugte Magnetfeld gerade gleich und entgegengesetzt der Horizontalkomponente des Erdfeldes. Man kann den Leiter auch parallel zum Erdfeld legen, oberhalb oder unterhalb der Magnetnadel, sodass das vom Strom erzeugte Magnetfeld BT senkrecht zum Erdfeld B, gerichtet ist. Aus dem Ablenkwinkel der Magnetnadel 9 (Abb. 3.16b) ergibt sich das Verhältnis der Feldstärken zu
tan3 = ^/5E.	(3.18)
Mit linear anzeigenden Strom-Messgeräten, die Oersted noch nicht hatte, lässt sich zeigen, dass das Magnetfeld Bt proportional zum Strom und umgekehrt proportional zum Radialabstand vom Draht ist.
Abb. 3.16 Vergleich des vom Stromleiter erzeugten Magnetfeldes mit der Horizontalkomponente des Erdfeldes: Stromfeld und Erdfeld (a) antiparallel, (b) im rechten Winkel zueinander.
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
123
3.3.2 Kraft zwischen zwei Leiterströmen
Die Entdeckung Oerstedts war eine wissenschaftliche Sensation allerersten Ranges. Da man nun wusste, dass Ströme Magnetfelder besitzen, lag der Gedanke nahe, dass zwischen Strömen auch magnetische Kräfte wirken würden; aber diese Kräfte experimentell nachzuweisen, war keine einfache Aufgabe. Am 11. 9.1820 kam die Nachricht von Oerstedts Experimenten nach Paris; bereits am 18.9. kündigte Andre Marie Ampere (1775-1836) seine Hauptentdeckung über die Art der Kraft zwischen zwei parallelen Leiterströmen an. Amperes wichtigstes Resultat:
• Bei gleicher Stromrichtung ziehen sich parallele Leiterströme an, bei entgegengesetzter Stromrichtung stoßen sie sich ab.
Im folgenden Jahr fand Ampere auch, dass senkrecht zueinander stehende Leiterströme versuchen, sich parallel zu stellen.
Während es schwierig ist, die zwischen Leiterströmen wirkenden Kräfte quantitativ zu bestimmen, ist es leicht, qualitativ die Kraft zwischen Leiterströmen zu demonstrieren (Abb. 3.18a,b). Ein Demonstrationsexperiment ähnlich dem mit dem sezierten Frosch (Abb. 3.2) zeigt Abb. 3.18c: Eine schraubenförmige Feder aus elastischem Draht, die mit ihrem unteren Ende in einem Napf mit leitender Salzlösung hängt, zieht sich bei Stromdurchgang zusammen, und der Strom wird unterbrochen; danach dehnt sich die Feder wieder aus und taucht wieder in die Salzlösung ein usw.
Abb. 3.18 (a) und (b) - Kraft zwischen parallelen Leiterströmen bei (a) gleichgerichteten und (b) entgegengerichteten Strömen, (c) Feder zieht sich bei Stromfluss zusammen und unterbricht den Kreis.
Die Versuche von Oerstedt und Ampere konzentrierten sich auf gerade Leiterströme, die aus technischen Gründen eine begrenzte Länge hatten, aber prinzipiell „unendlich lang“ sein sollten. Um dieser Idealisierung nahezukommen, müssen die Abstände zwischen den aufeinander wirkenden Leiterstücken klein sein im Vergleich zu den Leiterstück-Längen. Der fest montierte Leiter ist (unendlich) lang, der dazu parallel angeordnete bewegliche hat die endliche Länge f. Gemessen wird die auf den beweglichen Leiter ausgeübte Kraft F, geteilt durch die Leiterlänge f. Quanti-

3.3 Magnetisches Kraftgesetz 125
Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die Kraft von 2 • 10 7 Newton hervorrufen würde.“ (9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht, 1948).
Ähnlich wie es möglich ist, die Einheit Volt in der Spannungswaage mit einer Wägung zu verbinden, ist das beim Ampere möglich mit der Stromwaage (Abb. 3.20); allerdings sind die dort dargestellten Stromleiter kreisförmig. Dafür werden Formeln benötigt, die erst noch hergeleitet werden müssen (Abschn. 3.4.4). Für einen direkten Vergleich von elektrischer und magnetischer Kraft können Spannungs- und Stromwaage auch als linker und rechter Teil einer Balkenwaage kombiniert werden.
Abb. 3.20 Stromwaage.
Vergleich elektrischer und magnetischer Kräfte. Anfangs gab es verschiedene Strommaße, definiert durch Messvorschriften, die ganz unterschiedliche Effekte ausnutzten. Bevor sich der Elektromagnetismus zu einem quantitativ beherrschten Teilgebiet der Physik entwickeln konnte, mussten diese verschiedenen Strommaße aneinander angeschlossen werden. Und es musste auch eine Verbindung zwischen dem elektrostatisch festgelegten Maß für die Ladung und den Maßen für
Strom = Ladung/Zeit
hergestellt werden. Diese Aufgabe bewältigte Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) in Göttingen: 1841 verglich er das galvanische Strommaß (elektrolytische Zersetzung des Wassers) mit dem magnetischen; den wesentlich schwierigeren Vergleich von elektrostatischem Ladungsmaß (basierend auf dem Coulomb-Gesetz) mit magnetischem Strommaß führte er 1856 in Zusammenarbeit mit R. Kohlrausch durch.
126
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Mit der messtechnischen Verknüpfung elektrischer und magnetischer Maßeinheiten ergab sich auch die Möglichkeit zum quantitativen Vergleich der elektrischen und magnetischen Kräfte. Wegen der unterschiedlichen Einführung der Feldkonstanten (ß0 im Zähler, ;;0 im Nenner) ist die interessante Vergleichsgröße nicht das Verhältnis, sondern das Produkt von ;;0 und p0, das eine sehr kleine Zahl mit der Einheit s2m 2 ergibt. Nimmt man davon die Wurzel und den Kehrwert, dann erhält man
(e0 //,,) 12 ~ 3-IO8 m/s
= c,	(3.21)
und das ist die Lichtgeschwindigkeit, worauf G. Kirchhoff zuerst hingewiesen hat. Das war das erste Indiz dafür, dass das Licht ein elektromagnetisches Phänomen ist. Inzwischen hat sich bestätigt, dass Gl. (3.21) tatsächlich exakt die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beschreibt, die heute keine messbare Naturkonstante mehr ist, sondern - ganz ähnlich wie - einen festgelegten Wert hat, der zusammen mit der Basiseinheit Sekunde die Basiseinheit Meter definiert:
c =der 299 792 458 m/s.	(3.22)
Und so ergibt sich auch für ;;0 ein festgelegter Wert, wie in Abschn. 2.2.2 beschrieben wurde. Von den drei festgelegten Konstanten, verknüpft durch Gl. (3.21) ist eine überflüssig. Deshalb findet man immer häufiger die Eliminierung von ;;0 gemäß
£o (ß0 c2)-1.	(3.23)
3.3.3 Magnetische Erregung und Feldstärke
Ähnlich wie beim elektrischen Feld (Abschn. 2.2.3) verwenden wir zwei Feldvektoren, die magnetische Erregung H, die das von Strömen erzeugte Feld beschreibt, und die magnetische Feldstärke B, die die magnetische Kraft auf Ströme (bewegte Ladungen) beschreibt. Im Vakuum (und in sehr guter Näherung auch in Luft und anderen Gasen) sind die beiden Feldvektoren verknüpft durch
B=uH,	(3.24)
wobei ß0 die magnetische Konstante ist.
Wir betrachten zuerst die von A.M. Ampere erkannten magnetischen Kräfte zwischen stromdurchflossenen Leitern. Abb. 3.21 zeigt die beiden geraden parallelen Leiterströme senkrecht zur Papierebene. Wie bei Vektor- und Strompfeilen üblich, wird die Richtung senkrecht zur Papierebene wie folgt dargestellt: Ein Punkt (= Pfeilspitze) symbolisiert die Richtung „aus der Papierebene heraus“; ein Kreuz (= gefiedertes Pfeilende) bedeutet „in die Papierebene hinein“. Für die Abbildung sind antiparallele Ströme angenommen worden, die sich abstoßen. Wahlweise kann der rechte oder der linke Leiterstrom als felderzeugend angenommen werden. In Übereinstimmung mit den Resultaten der Oerstedt’schen Versuche wird das magnetische Feld senkrecht zum Leiter und senkrecht zum Radialabstand r angenommen, derart, dass die Zirkularität der kreisförmigen Feldlinie mit der Richtung des felderzeugenden Stroms eine Rechtsschraube ergibt. Für den in Abb. 3.21a skizzierten
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
127
Abb. 3.21 Zur Definition der magnetischen Feldstärke.
Fall ist der felderzeugende Strom, der im Abstand r12 die magnetische Erregung H hervorruft; die nach Gl. (3.24) dazu proportionale magnetische Feldstärke B bewirkt eine Kraft F12, die an einem Leiterstück der Länge /2 des vom Strom I2 durchflossenen Leiters angreift. Die Beträge dieser drei Vektoren sind gegeben durch
1
FL =—IJr.2, B} — unH} und F„ — LL2B}.	(3.25)
1	_ 1 I 12 ‘	1 r (J 1	12	221	V Z
1 71
Für den Fall von Abb. 3.21b sind die Rollen der beiden Leiterströme und dementsprechend auch Indizes 1 und 2 vertauscht. Die Aussage von Gl. (3.25) - und der entsprechenden Gleichung mit den vertauschten Indizes - kann folgendermaßen verallgemeinert werden:
1.	Für die magnetische Erregung H, die durch einen unendlich langen, geraden Leiterstrom I im Radialabstand r erzeugt wird, gilt
1 I
H = —~	(3.26)
2n r
mit der Richtungsvereinbarung, dass die Richtung des (positiven) Stromflusses, beschrieben durch die gerichtete Leiterlänge Z, und die Zirkulär! tät des B-Feldes zusammen eine Rechtsschraube bilden.
2.	Befindet sich ein gerader Leiterstrom I in dem (homogenen) Magnetfeld B, das senkrecht zum Stromleiter gerichtet ist, dann erfährt der Leiter eine Kraft, gegeben durch
F=IIB für Z 1 ß	(3.27)
mit der Richtungsvereinbarung, dass Z, B und F ein Rechtsdreibein bilden.
Anmerkung zur Länge des Leiterstückes f: Anders als bei Gl. (3.26), die exakt nur für das Feld eines unendlich langen Leiterstroms gilt, braucht der Leiterstrom, auf den das Feld nach Gl. (3.27) eine Kraft ausübt, nicht unendlich lang zu sein. Zur Messung der Kraft kann das zum felderzeugenden Strom parallele, endlich lange
128	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Leiterstück £ durch senkrecht dazu verlaufende biegsame Kabel beweglich in einen Stromkreis eingebunden sein.
Die Ampere’schen Versuche ergaben auch, dass Leiterströme, die senkrecht zueinander verlaufen, keine Kräfte aufeinander ausüben. Liegt also B nicht senkrecht zu Z, dann ist nur die senkrechte F-Komponente wirksam. Deshalb muss zur Verallgemeinerung von Gl. (3.27) diese Winkelabhängigkeit durch einen Faktor sin(Z, B) eingebaut werden. Aber jetzt bietet sich an, diese Beziehung viel eleganter mithilfe des Vektorproduktes zu formulieren:
/ I£ x B.	(3.28)
Die Kraft F und die Leiterlänge Z sind polare Vektoren. Die magnetische Feldstärke B ist dagegen ein axialer Vektor, dessen Richtung unter Einbeziehung der Rechtsschraubensinn-Konvention vereinbart worden ist. Dieselbe Konvention bestimmt aber auch die Bildung des Vektorproduktes von Gl. (3.28); hier müssen Z, B und F ein rechtshändiges Dreibein ergeben. Deshalb ist die Richtung von F unabhängig davon, ob Rechts- oder Linksschraubensinn vereinbart wird.
Die Gl. (3.28) ist die Definitionsgleichung für die magnetische Feldstärke B. Da der Quotient zweier Vektoren mathematisch nicht definiert ist, kann diese Gleichung nicht nach B aufgelöst werden.
Weil im Allgemeinen nicht davon ausgegangen werden kann, dass das F-Feld über die Länge des Leiters homogen ist, empfiehlt sich eine differentielle Schreibung:
dF = I dZ x B.	(3.29)
Für dF = dFmax stehen die drei in Gl. (3.29) verknüpften Vektoren senkrecht zueinander, und daraus ergibt sich eindeutig die Richtung des Magnetfeldes B.
Die SI-Einheit für die magnetische Feldstärke ergibt sich als NA 'm 1 = Vsm 2 und trägt den Namen „Tesla“ (T), benannt nach Nikola Tesla (1856-1943), dem Erfinder des Asynchronmotors und anderer elektrischer Geräte. Eine alte, noch in der Geophysik verwendete Einheit ist das „Gauß“ (G): 1 G = 100 jrT; in der Geophysik wird auch das „Gamma“ (y) benutzt: 1 y = 1 nT.
Lorentz-Kraft. Das in Gl. (3.29) enthaltene Produkt I  d£ ist das differentielle Stück eines Leiterstroms, das in dieser Form nicht allein existieren kann, weil Leiterströme nur in geschlossenen Stromkreisen fließen:
$ Idi = 0.	(3.30)
Stromkreis
Ein freies geladenes Teilchen, das mit der Geschwindigkeit r durch Vakuum fliegt, kann als ein differentielles Stück von einem Strom aufgefasst werden. Mit dq als kleiner Ladung des Teilchens und der Teilchen-Geschwindigkeit
v = d//dt	(3.31)
ist folgende Umformung möglich:
dq v = dq d/fdt
— (dqjdt) d/
= Id£.	(3.32)
3.3 Magnetisches Kraftgesetz
129
Mit Gl. (3.29) ergibt das die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung:
äF=äqvxB.	(3.33)
Jetzt kann man bei Kraft und Ladung vom Differential zur integralen Größe übergehen und erhält
F=qvxB.	(3.34)
Das ist die Lorentz-Kraft, 1892 eingeführt von Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), dem Begründer der Elektronentheorie der Materie. In Verbindung mit der elektrischen Kraft auf eine Ladung (Gl. (2.12)) ergibt sich daraus die noch allgemeinere Gleichung für die Kraft auf eine ruhende oder bewegte Probeladung im elektrischen und magnetischen Feld
F=q(E+v x B).	(3.35)
3.3.4 Magnetisches Moment einer Stromschleife
Wir betrachten zunächst eine rechteckige Leiterstromschleife mit den Seitenlängen a und b im homogenen Magnetfeld B; die Leiterstücke mit der Länge a liegen senkrecht zum 2?-Feld, die mit der Länge b parallel dazu. Die resultierende Kraft des Feldes auf die stromdurchflossene Leiterschleife ist immer null, weil sich die Kräfte auf gegenüberliegende Leiterstücke gerade aufheben. Die entgegengesetzt gleichen Kräfte F und F' (Abb. 3.22), die um die Länge b versetzt an der Schleife angreifen, üben ein Drehmoment aus, das in der abgebildeten Stellung der Schleife maximal ist:
T =bF=baIB.	(3.36)
max	k x
Man definiert nun das magnetische Moment /zm der Stromschleife als Produkt von Strom I und der gerichteten Windungsfläche /fw:
= mit A^ = ab.	(3.37)
Abb. 3.22 Magnetisches Moment einer Stromschleife, dargestellt in Bezug zu Stromrichtung, Feldrichtung, Kräftepaar und Drehmoment. In dieser Lage ist das Drehmoment maximal.
130	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Die Richtung der Vektoren /zm und Aw ergibt sich aus dem Umlaufsinn des Stromes und der Rechtsschrauben-Konvention.
In Abb. 3.22 ist der Winkel 9 zwischen /zm und B 90°. Bei Drehung der Schleife um die Mittellinie verringert sich das Drehmoment mit sin 9, weil der senkrechte Abstand der Wirkungslinien der beiden Kräfte F und F' durch b • sin 9 gegeben ist. Die allgemeine Formel für das Drehmoment ist
(3.38)
Eine ebene, aber nicht rechteckige Stromschleife lässt sich formal immer in (unendlich) viele kleine Rechtecke zerlegen (Abb. 3.23), wobei entlang der inneren Grenzlinien gleichgroße entgegengesetzte Ströme fließen, die sich zu null addieren. Das gesamte magnetische Moment ist die Summe der Momente der kleinen Rechtecke. So ist einzusehen, dass das magnetische Moment einer ebenen Stromschleife immer durch das Produkt aus Strom und umschlossener Fläche gegeben ist. Besteht die Stromschleife aus einer Spule mit N Windungen, durch die der Strom / fließt, dann entspricht das einer Vergrößerung der Spulenfläche um den Faktor TV, der in die Windungsfläche eingeht.
Abb. 3.23 Zusammensetzung einer beliebig geformten ebenen Leiterfläche aus (infinitesimal) kleinen Rechtecken.
Die in Abb. 3.24 skizzierte Schleife ist um die Vertikalachse drehbar gelagert. Das auf die stromdurchflossene Schleife ausgeübte Drehmoment versucht diese so zu drehen, dass das magnetische Moment /zm in die Richtung der Horizontalkomponente des Erdfeldes B:[ zeigt. Da die Drehbewegung durch die Lagerreibung gedämpft ist, stellt sich die Spule mit /zm parallel zu B:[ ein. [Bei hinreichend kleiner Dämpfung der Drehbewegung würde die Schleife Schwingungen um diese Ruhelage ausführen.] Die Leiterstromschleife wirkt also wie eine Magnetnadel! Dieser Nachweis gelang zuerst Ampere mit der skizzierten Anordnung. Oerstedt hatte Ähnliches versucht, aber die Bedeutung der Größe der umschlossenen Fläche noch nicht erkannt.
Für Experimente mit Leiterstromschleifen müssen diese drehbar aufgehängt werden. Als Stromzuführung sind biegsame Leitungen (Litzen) geeignet. Um Störungen
3.3 Magnetisches Kraftgesetz 131
Abb. 3.24 Drehbar aufgehängte Leiterstromschleife als Kompass. Fließt ein (positiver) Strom im Uhrzeigersinn, dann zeigt das magnetische Moment vom Bildbetrachter weg und wird vom Erdfeld nach Norden gedreht.
durch das Magnetfeld der Zuleitungsströme zu vermeiden, sollten die Zuleitungen gut verdrillt sein oder ganz eng beieinander liegen.
3.3.5 Zur Deutung magnetischer Feldlinienbilder
Wir hatten schon im Fall des elektrischen Feldes darauf hingewiesen, dass die Feldlinienbilder von Faraday als „Kraftlinien“ (lines of force) in einer Weise interpretiert
Abb. 3.25 Feldlinienbilder: parallele Leiterströme (a) gleich, (b) entgegen gerichtet; stromdurchflossener Leiter (c) und Leiterschleife (d) im homogenen ß-l eld (im Bild waagerecht).
132	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
wurden, die nicht dem heutigen, auf Maxwell zurückgehenden Feldstärke-Begriff entspricht. Das gilt auch für die magnetischen Felder.
Die Faraday’sche Betrachtungsweise hatte den großen Vorteil, dass elektrische und magnetische Phänomene mit den gleichen Begriffen beschrieben werden konnten, nämlich mit den Vorstellungen, dass elektrische und magnetische „Kraftlinien“ die Tendenz haben, sich verkürzen zu wollen (also eine Zugkraft längs des Linienverlaufs bewirken) und ihren Abstand voneinander vergrößern zu wollen (also eine Druckkraft quer zum Linienverlauf bewirken). Die Bilder der Abb. 3.25 zeigen die Suggestivkraft der Faraday’schen Vorstellung.
Nach heutiger Auffassung beschreibt ein solches Feldlinienbild nicht die magnetische Wechselwirkung zwischen den felderzeugenden Strömen oder Magneten, sondern die Kraft, die auf einen irgendwo in das Feld eingebrachten feldsondierenden Strom oder Magneten ausgeübt wird.
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder
Im elektrischen Fall war die mathematische Formulierung der Wechselwirkung einfacher: Durch Aufteilung des Coulomb-Gesetzes in zwei Faktoren erhielten wir sowohl die Definition der elektrischen Feldstärke als auch eine Formel für die Felderzeugung durch eine Punktladung, die sich leicht für kompliziertere Ladungskonfigurationen verallgemeinern lässt.
Aus dem magnetischen Kraftgesetz erhielten wir die Definition der magnetischen Feldstärke, die die Kraft auf das Leiterstrom-Stück FdZ beschreibt (Gl. (3.29)); daraus kann die resultierende Kraft auf einen beliebigen Leiterstrom durch Integration gewonnen werden. Aber für die Erzeugung magnetischer Felder erhielten wir bisher nur die Formel für das Ff-Feld eines unendlich langen, geraden Leiterstroms (Gl. (3.26)). Was uns noch fehlt, ist eine Formel, die sich zur Feldberechnung von beliebigen Leiterstrom-Konfigurationen eignet.
3.4.1 Ampere-Gesetz
Wir erinnern an die Gauß’sche Form des Coulomb-Gesetzes, wo wir die Integration von D  dA zuerst über eine zur Punktladung konzentrische Kugel durchführten, dann auf eine beliebige, die Punktladung umschließende Hüllfläche und schließlich auf die Summe aller eingeschlossenen Ladungen verallgemeinerten. Hier verfahren wir ähnlich, nur dass wir nicht eine zweidimensionale Hüllfläche um ein Volumen mit Ladungen betrachten, sondern eine eindimensionale Randkurve um eine Fläche, die von Leiterströmen durchsetzt wird.
Zuerst betrachten wir einen linearen, geraden und unendlich langen Leiterstrom I, der senkrecht zur Papierebene von Abb. 3.26a durch den Koordinaten-Ursprung fließt. Um diesen Strom legen wir eine in der Papierebene verlaufende geschlossene Kurve von beliebiger Form. Ziel ist es, das Randkurven-Integral • d.v zu berechnen.
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder 133
Abb. 3.26 Zum Ampere-Gesetz: (a) Randkurven-Integration um einen Leiterstrom /, (b) Randkurven-Integration, die den Leiterstrom nicht umschließt.
Statt über die Länge der Kurve kann auch über den Azimutwinkel q> von 0 bis 2k integriert werden. Der Abstand vom Strom zum Streckenelement ds ist gegeben durch den Radius r. Das Feld H am Ort von ds liegt in der Papierebene senkrecht zum Radius. Betrachtet man nun das Skalarprodukt H  ds nicht als Projektion von //auf ds, sondern umgekehrt von ds auf H, ist unmittelbar einzusehen, dass folgendes gilt:
H ds = H r dtp
= /(2k/)1 r dtp = /(2k)-1 dtp	(3.39)
und
&H ds = —6dtp
2k
= /.	(3.40)
Da wir aus den Ampereschen Versuchen wissen, dass das //-Feld des unendlich langen, geraden Leiterstroms keine Komponente parallel zum Leiter besitzt, braucht die Integrationskurve nicht in der Papierebene von Abb. 3.26a zu liegen; das Ergebnis von Gl. (3.40) gilt also für beliebige Form und Lage der den Strom umschließenden Kurve.
Wenn die Integrationskurve den Strom aber nicht umschließt, dann ergibt die Integration den Wert null. In solch einem Fall müsste die Winkelintegration den Bereich <pmin < <p < <pmax zweimal durchlaufen mit entgegengesetzten Richtungen (Abb. 3.26b).
Die Richtung von H ist in Gl. (3.40) auch festgelegt: Die Integration ist so vorzunehmen, dass der Umlaufsinn des Integrationsweges und die Richtung des Stromflusses eine Rechtsschraube bilden; da auch der Umlaufsinn der //-Feldlinien mit der Richtung des Stroms eine Rechtsschraube bildet, bilden H und ds entlang des geschlossenen Integrationsweges überwiegend einen Winkel, der kleiner als k/2 ist, und deshalb ergibt Gl. (3.39) einen positiven Wert.
Nun wollen wir das Ergebnis auf mehrere gerade Leiterströme mit beliebiger Lage im Raum erweitern: An jedem Ort ist das lokale //-Feld gegeben durch die Vektor
134	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
addition der Felder aller Leiterströme. Aus der Beliebigkeit des Integrationsweges für einen Leiterstrom folgt, dass Gl. (3.40) auch für mehrere Leiterströme gilt, wenn I als die vorzeichengerechte Summe der umschlossenen Ströme betrachtet wird.
Ohne mathematischen Beweis sei hier eine noch weitergehende Verallgemeinerung angegeben: Die Integralbeziehung von Gl. (3.40) gilt auch für beliebige Leiterformen, nicht nur für lineare, gerade, unendlich lange. Diese Verallgemeinerung lässt sich experimentell verifizieren mit dem später behandelten magnetischen Spannungsmesser (Abschn. 4.2.4). In dieser allgemeinen Form wird die Integralgleichung
^dS = Zgesaml	(3.41)
als Ampere-Gesetz bezeichnet. Diese Gleichung gilt für ein beliebiges Randkurvenintegral und beliebige Formen der Leiterströme, die den umschlossenen Gesamtstrom Zgesamt ergeben.
Findet die Umschließung eines Leiterstroms I nicht nur einmal, sondern V-fach statt, dann ist TV • Z der umschlossene Strom. Nun wird man nicht unnötigerweise den Integrationsweg mehrmals um einen geraden Leiter herumführen; aber in der Praxis kommen häufig Leiterstromschleifen mit N Windungen vor, durch die der Integrationsweg einmal hindurch und außen herum zurückgeführt wird.
Die Multiplikator-Wirkung der Windungszahl wurde schon im September 1820, kurz nach Bekanntwerden der Oerstedtschen Entdeckung, von Johann Salomo Christoph Schweigger gefunden und zur Erhöhung der Wirkung des Stroms auf die Magnetnadel genutzt; im folgenden Jahr baute J.C. Poggendorff nach diesem Prinzip einen empfindlichen Messapparat, aus dem sich das Galvanometer (Abschn. 3.7) entwickelte.
Anwendung des Ampere-Gesetzes. Wir betrachten das //-Feld innerhalb eines Stromleiters. Der bisher angenommene lineare (d. h. unendlich dünne) Leiter ist in der Praxis nicht gegeben. Für den Fall des zylindrischen Leiters ist auch das Magnetfeld zylindersymmetrisch und kann mithilfe von Gl. (3.40) auch im Inneren des Leiters berechnet werden. Wir nehmen an, dass sich der Gesamtstrom I homogen auf den Leiterquerschnitt A — (rL = Leiter-Radius) verteilt; die hier als skalare Größe verwendete Stromdichte
J =	(3.42)
ist also konstant im Radialbereich 0 < r < rL. Für einen konzentrischen Kreis mit Radius r als Integrationskurve ergibt das Ampere-Gesetz
1
H(r) = -—nr2j
2" r
= ----- für r > rL.	(3.42)
2n r
Innerhalb des Leiters nimmt die Erregung linear mit dem Radialabstand vom Zentrum zu, außerhalb des Leiters nimmt sie mit zunehmender Entfernung vom Leiter proportional zu 1/r ab; beides ist in Abb. 3.27a dargestellt.
136
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Uns fehlt noch eine Formel für die Felderzeugung eines Leiterstrom-Elementes, die zur Integration über beliebig geformte Leiterströme geeignet ist. Diese theoretische Aufgabe wurde 1820 - schon einen Monat nach der Ampere’schen Entdeckung der Kräfte zwischen Leiterströmen - von Jean-Baptiste Biot (1774-1862) und Felix Savart (1791-1841) gelöst.
Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das von einem differentiellen Leiterstrom I  dZ (lokalisiert bei r — 0) im Abstand r erzeugte Ff-Feld:
1 dZ x r = ------—
4n r
(3.47)
Die das Feld dH beschreibenden Feldlinien sind konzentrische Kreise um dZ als Achse mit Rechtsschraubensinn. Während das Feld beim zylindersymmetrischen unendlich langen, geraden Leiterstrom mit 1/r abnimmt, gilt hier für das „punktförmige aber gerichtete“ differentielle Leiterstromstück eine 1/r2-Abhängigkeit, genauso wie für das /)-Feld einer Punktladung. Außerdem kommt hier über das Kreuzprodukt noch der Faktor sin(dZ, r) hinzu, der die Feldstärke in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung verringert.
Genauso wie beim Z>-Feld der Punktladung wird hier angenommen, dass das vom Leiterstrom-Element erzeugte Ff-Feld nicht auf das Element zurück wirkt, sodass der Grenzfall H -> oo für r -> 0 belanglos ist. Aber das von einem Leiterstrom-Element erzeugte Ff-Feld kann sehr wohl auf die anderen Elemente desselben Stromkreises magnetische Kräfte ausüben. Ein Beispiel ist der spiralförmige Leiter von Abb. 3.18c, der sich beim Stromfluss zusammenzieht. Der (unendlich) lange gerade Leiterstrom ist eine Ausnahme, weil in diesem Fall alle Elemente so zueinander liegen, dass der Sinus vom Kreuzprodukt der Gl. (3.47) gleich null ist.
Die Form von Gl. (3.47) ist gut geeignet für das Verständnis des von einem differentiellen Leiterstromstück erzeugten Magnetfeldes. Will man dagegen das Feld berechnen, das in einem Punkt, gegeben durch den Ortsvektor r, vom gesamten Leiterstrom erzeugt wird, dann muss man über f • dZ entlang des gesamten Leiters integrieren. Dafür ist Gl. (3.47) wie folgt umzuschreiben:
= f
4ti J
Leiter
dZx(r-rJ I»” - G/
(3.48)
3.4.3 Magnetisches Vektorpotential, magnetischer Fluss
Für ein gegebenes Zf-Feld definieren wir das magnetische Vektorpotential als ein Vektorfeld Am, dessen Rotation das Z?-Feld liefert:
B = V x Am.	(3.49)
So wie das skalare elektrische Potential, das als seinen negativen Gradienten die elektrische Feldstärke ergibt (Gl. (2.42)), eine unbestimmte Integrationskonstante enthält, über die durch Festsetzung eines Nullpunkts verfügt werden muss, gibt es für ein gegebenes Ff-Feld nicht nur ein Vektorfeld Am, das der Gl. (3.49) genügt. Jedes beliebige Vektorfeld, das sich als Gradient eines skalaren Potentials darstellen lässt, könnte hinzuaddiert werden, weil die Rotation des Gradienten eines Skalar
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder
137
feldes verschwindet. Solche Additionen zum Vektorpotential können durch Zusatzbedingungen ausgeschlossen werden.
Das Biot-Savart-Gesetz kann auch mithilfe des Vektorpotentials formuliert werden. Das Feld dB(r), erzeugt von einem Leiterstromelement /dZ bei r = 0, ergibt sich mit B — H als
mit
dB = V x d/fm
dA
m 4n r
(3.50)
(3-51)
Dass Gl. (3.50) und Gl. (3.51) zusammen das Biot-Savart-Gesetz in der Form von Gl. (3.47) ergeben, lässt sich mithilfe der folgenden Identität erkennen:
dZ d( x r Vx- = —— r r
(3.52)
Zum Beweis dieser Identität muss man die einzelnen Komponenten des Vektorproduktes V x dZ/r ausrechnen, wobei vor Ausführung der partiellen Ableitungen der Radius r im Nenner durch
r = (x2 + y2 + z2f2	(3.53)
zu substituieren ist. So erhält man für die x-Komponente (und entsprechende Ausdrücke für die y- und z-Komponente)
d4(-l/2)2j:/r3-d^(-l/2)2z/r3 = d^z/r3 - d/zyfr2,	(3.54)
in Übereinstimmung mit der rechten Seite der Gl. (3.52).
Zur Berechnung des Vektorpotentials eines Leiterstromes im Punkt P, symbolisiert durch ^m(rp), muss über den ganzen Leiter integriert werden, wie die folgende Gleichung angibt:
. dZ
— I $	— mit r= kp-Lul-	(3-55)
Leiterstrom ?
Hier benutzen wir das Symbol für ein geschlossenes Randkurven-Integral, weil Leiterströme immer geschlossen sind; aber es gibt auch Anwendungen dieser Gleichung, bei denen entlang einer geraden Achse von — oo bis + oo integriert wird und der Rückfluss des Stroms „irgendwo in unendlicher Entfernung“ unberücksichtigt bleibt.
In der theoretischen Physik hat das magnetische Vektorpotential eine viel größere Bedeutung als hier dargestellt werden kann. Dazu nur ein kleiner Hinweis: Die Einheit des Vektorpotentials (Vs/m) kann nach Gl. (1.5) umgerechnet werden in kg(m/s)(As) interpretierbar als die Einheit für „Impuls pro Ladung“. Der in der Theorie wichtige „kanonische Impuls“ eines Teilchens mit Masse m, Ladung q und Geschwindigkeit c in einem elektromagnetischen Feld ist gegeben durch nn + qA.
Magnetischer Fluss. Ganz analog zum elektrischen Fluss T wird der magnetische Fluss $ definiert durch
<Z> = ffB-dÄ	(3.56)
138	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Die SI-Einheit des magnetischen Flusses ist das „Weber“ (Wb) = Tm2 = Vs. Der magnetische Fluss ist eine technisch viel wichtigere Größe als der elektrische Fluss; das wird schon im nächsten Kapitel ersichtlich werden.
Für den magnetischen Fluss durch eine geschlossene Hüllfläche gilt
§BdA=Q.	(3.57)
Das ist die mathematische Formulierung der in allen bisher gezeigten magnetischen Feldlinienbildern erkennbaren Tatsache, dass die .ß-Feldlinien geschlossene Kurven sind, die nirgendwo anfangen oder enden; das magnetische Feld hat also weder Quellen noch Senken. Anders ausgedrückt: Gl. (3.57) besagt, dass es im Rahmen dieser Theorie keine magnetischen Ladungen (Monopole) gibt!
Mithilfe des Gauß’schen Satzes lässt sich zu Gl. (3.57) sofort eine Differentialbeziehung hinschreiben, nämlich das Verschwinden der Divergenz des magnetischen Feldes,
V  B = 0.	(3.58)
Veranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials. Zum Schluss sei noch auf eine formale Ähnlichkeit hingewiesen, die in den folgenden Formeln zum Ausdruck kommt:
<Z> =	mit B = V x Am
ergibt
<P=$zlmds.	(3.59)
Und
/ = Jjj • dA mit j — V x H
ergibt
I = §Hds.	(3.60)
Daraus ist zu erkennen:
• Die magnetischen Flüsse sind die Wirbel des ^4m-Feldes, so wie die Ströme die Wirbel des //-Feldes sind.
Das ist eine kleine Hilfe zur Veranschaulichung des Vektorpotentials. Stellt man sich z. B. den „fadenförmigen“ magnetischen Fluss einer langen, dünnen Zylinderspule vor, dann besagt Gl. (3.59), dass die ^4m-Feldlinien Kreise um den Flussfaden bilden, deren Dichte mit 1/r abnimmt, genauso wie die //-Linien um einen geraden Leiterstrom.
Wenn man etwas Übung hat, sich das //-Feld für irgendwelche Stromverteilungen vorzustellen, dann ist es auch nicht schwer, sich über die beschriebene Analogie eine Vorstellung von dem zu einer Flussverteilung gehörenden ^4m-Feld zu machen.
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder
139
3.4.4 Spezielle Spulenformen
Eine Reihenschaltung mehrerer benachbarter koaxialer Leiterschleifen, meist mit kreisförmigem oder rechteckigem Querschnitt, wird als Spule (coil) bezeichnet. Fließt durch eine Spule der Leiterstrom /, dann existiert ein zu I proportionales Ff-Feld, dessen räumliche Verteilung durch die Spulenform bestimmt wird. Hier sollen einige Spulenformen betrachtet werden, die zu leicht berechenbaren Feldverteilungen führen und deshalb für Anwendungen wichtig sind. Weil in der Praxis vor allem die Wirkung der Spulenfelder auf bewegte Ladungen und Ströme interessiert, werden im Folgenden die .ß-Felder angegeben.
Kreisförmige Stromschleife. Als erste Anwendung des Biot-Savart-Gesetzes betrachten wir eine kreisförmige Stromschleife mit Radius rs (Abb. 3.28a) und berechnen das 2?-Feld entlang der Symmetrieachse. Die Achsenkoordinate sei z mit z — 0 im Schleifenmittelpunkt.
Für den in Abb. 3.28a eingezeichneten Winkel 9 gilt
cos 9 —rjr mit r — (r2 + z2)1/2.	(3.61)
Zuerst betrachten wir das differentielle Stromschleifen-Stück F dZ, das sich in der Abbildung ganz oben am Ring befindet und am Punkt P das in der Zeichenebene liegende Feld dB erzeugt. Dieses Feld kann in Komponenten parallel und senkrecht zur Achse zerlegt werden, für deren Beträge gilt:
d2?n = dB cos 9,
dB± = dB sin 9.	(3.62)
Die Feldbeiträge zu d2?± von gegenüberliegenden Stücken der Stromschleife haben entgegengesetzte Richtung und kompensieren sich; die Integration über die Stromschleife liefert also den Wert null. Die Integration der Parallel-Komponente liefert das Feld entlang der Achse: B(z)= $ d^(z) Schleife M COSÜ = —-—— 2nrs 47r r2
H0Irs cos 3
2H“
9a1 rl
(3.63)
(3.64)
2(r2 + z2)3/2'
Und damit erhalten wir für das Feld in der Schleifenmitte (z = 0) = —• ° 2rs
Das 2?-Feld in der .vr-Ebene ist nicht homogen; es steigt von der Mitte zum Leiter hin an. Wichtig ist, dass mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes (und entsprechendem mathematischen Aufwand) das Feld für alle Punkte außerhalb der Achse berechnet werden kann. Hier begnügen wir uns mit einer Skizze und einem Eisenpulver-Bild (Abb. 3.28b,c).
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder
141
Helmholtz-Spulen. Oft wird ein möglichst homogenes Magnetfeld benötigt. Das Erdfeld ist lokal sehr homogen, wenn es nicht durch magnetische Störungen in der Umgebung (Ströme, Eisen) überlagert wird. Die Möglichkeit zur experimentellen Ausnutzung des Erdfeldes wird eingeschränkt durch dessen vorgegebenen Größe und Richtung (in Deutschland ca. 50 jrT, 65° gegen die Horizontalebene nach unten). Mit einer geeigneten Spule lässt sich ein homogenes Magnetfeld erzeugen, das die gewünschte Richtung hat und dessen Feldstärke mit dem Strom variiert werden kann. Solche Spulen werden auch benötigt, wenn man im Experiment gar kein Magnetfeld haben möchte und deshalb für eine gute Erdfeld-Kompensation sorgen muss.
Helmholtz-Spulen bestehen aus zwei gleichen kreisförmigen Spulen mit Radius rH, die auf derselben Achse im Abstand rH montiert sind und vom gleichen Strom /mit gleichem Umlaufsinn durchflossen werden. Jede der Spulen hat N Windungen; der Durchmesser der Wicklung ist klein im Vergleich zum Radius. In Achsennähe addieren sich die Felder beider Spulen. Wie sich aus der Formel für die kreisförmige Stromschleife (Gl. (3.63)) leicht berechnen lässt, ist das Feld im Mittelpunkt des Helmholtz-Spulenpaares gegeben durch
= (4/5)2 2NI/rH.	(3.65)
Hermann von Helmholtz (1821-1894) fand mathematisch, dass mit dieser Anordnung im Mittelvolumen eine besonders große Homogenität zu erreichen ist. Er betrachtete zwei Kreisspulen in variablem Abstand a und entwickelte die Formel für das Feld im Mittelpunkt als MacLaurin’sche Potenzreihe. Der Spezialfall a — rH zeichnet sich dadurch aus, dass die 2. Ableitung d2/?m(a)/da2 verschwindet. Weil aber alle ungeraden Ableitungen aus Symmetriegründen sowieso null sind, hat die Helmholtz-Anordnung auf der Achse in der Nähe des Mittelpunktes nur Abweichungen 4. und höherer Ordnung. Für Mittelpunktabstände bis zu 0.1 • rH ist das /?-Feld auf 10 4 konstant!
(Unendlich) lange Zylinderspule. Wir betrachten eine sehr lange Spule der Länge f mit einer sehr großen Windungszahl A; die Länge f ist sehr groß gegen den Wickelradius r, die Dicke Ar der Wicklung ist viel kleiner als r. Das Feld im Inneren der (unendlich) langen Spule Bm, (unendlich) weit weg von den Enden, kann mithilfe des Ampere-Gesetzes berechnet werden. Dazu wird die Integration einmal entlang der Spulenachse geführt, von — oo bis + oo; der für das geschlossene Randkurvenintegral erforderliche Rückweg der Integration außerhalb der Spule wird in einen so großen Abstand verlegt, dass er keinen Beitrag zum Integral leistet, also ganz weggelassen werden kann.
^•d/=	|
innen, — co
= Bm i = nolN
oder
Bx = ß0Iy.	(3-66)
V
142	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Innerhalb der langen Zylinderspule ist das Z?-Feld homogen. Der wichtige Spulen-Parameter ist I- Njf, die Ampere-Windungszahl pro Länge, angegeben in A/m.
Solenoid. Das Solenoid (solenoid) ist eine endlich lange Zylinderspule mit Länge t, Wicklungsradius rSo und Windungszahl N. Die Dicke der Wicklung Ar sei auch hier als sehr klein gegen rSo angenommen. Zur Berechnung nimmt man an, dass auf der Zylinder-Mantelfläche ein kreisförmiger Strom fließt, der sich homogen auf die Zylinderlänge verteilt gemäß
dZ = (TV ///) dA	(3.67)
Wenn man das differentielle Stück einer Zylinderspule mit der Länge d/ als eine kreisförmige Stromschleife betrachtet, Gl. (3.63) dafür umschreibt und entlang der Achse über die gesamte Länge des Solenoids integriert, dann erhält man schließlich eine Formel für das Feld auf der Achse innerhalb der Spule im Abstand a vom Spulenende:
Für einen Achsenpunkt außerhalb der Spule ist mit a < 0 zu rechnen.
Daraus ergibt sich, wie das Feld in der Mitte einer endlich langen Spule vom Feld B. der unendlich langen Spule mit gleichem (A//)-Verhältnis abweicht:
B^lle = Bm [1 +(2rSo/02]--1/2.	(3.69)
Für Spulen, deren Länge größer ist als 2 Spulen-Durchmesser, weicht das Mittelfeld weniger als 10 % von B, ab; für Längen größer als 7 Durchmesser ist die Abweichung kleiner als 1 %.
Am Ende einer einseitig (fast) unendlich langen Spule nimmt das Feld auf der Achse von innen (z < 0) nach außen (z > 0) wie folgt ab:
B (z) = | Bm {1 - (z/rSo) / [1 + (z/rSo)2]1/2} .	(3.70)
Dieser Formel entsprechen die folgenden Tabellen werte:
z/rSo	-5	— 2	-1	0	+1	+2	+5
B(z)/Bx	0.99	0.95	0.85	0.50	0.15	0.05	0.01
Selbstverständlich ist das Feld im Inneren nur soweit homogen, wie man von der durch die einzelnen Windungen gegebenen „Feinstruktur“ (Abb. 3.29a) absehen kann. Überraschend ist vielleicht die Tatsache, dass das Außenfeld einer endlich langen Spule im Feldlinienbild kaum noch wahrnehmbar ist.
Torusspule. Die Form ist aus Abb. 3.29b zu ersehen. Die Torusspule entspricht einem zu einem Ring (shape of a doughnut) zusammengebogenen Solenoid und wird deshalb auch als Toroid (toroid) bezeichnet. Hier soll der mittlere Torusradius rT sehr groß sein gegen den Spulendurchmesser 2r. Aus Symmetriegründen kann das Magnetfeld nur aus kreisförmigen Feldlinien, konzentrisch zur Torusachse bestehen. Aber nach
la)
(b)
144	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
lungskörper. Bei größeren Spulen, z. B. für grobe Erdfeldkompensation im gesamten Labor, ist die Kreisform meist nicht wichtig, sodass quadratische oder rechteckige Holz- oder Alurahmen verwendet werden können.
Bei der Spulenkonstruktion ist auch zu bedenken, dass die elektrische Leistung in der Spule in Wärme umgewandelt wird, die abgeführt werden muss. Die Gleichgewichtstemperatur, die sich im Inneren der Spule einstellt, muss deutlich unter den Schmelzpunkten von Draht und Isolation bleiben. Für Spulen mit besonders hoher Leistungsaufnahme werden Kupferhohlleiter mit innen hindurchfließendem Kühlwasser verwendet.
Felder von ca. 100 jrT über Volumina in der Größenordnung von 1 m3 und Felder bis etwa 1 mT über Volumina von mehreren Litern sind leicht zu erzeugen. Beim Spulenbau sind Windungszahl, Strom und Spannung und die Verfügbarkeit dazu passender Netzgeräte zu beachten. Für die Abführung der ohmschen Wärme genügt meist die Konvektionskühlung durch die Laborluft.
Bei der Erzeugung von stärkeren Feldern wird die Wärmeableitung problematisch, wie leicht zu erkennen ist, wenn man die aus Gl. (3.66) mit x 10 6 zu gewinnende Merkregel in Betracht zieht: „Zur Erzeugung eines .ß-Feldes von X Millitesla im Inneren einer langen Spule sind etwa X Amperewindungen pro Millimeter Spulenlänge erforderlich.“ Bei lOA/mm ist schon zu bedenken, ob innenliegende Wicklungen zu heiß werden können; ggf. sind Metall-Kühlrippen und Ventilatorkühlung vorzusehen. Im Bereich von lOOA/mm wird Wasserkühlung notwendig.
Größere Felder werden nicht mit „normalen“ Spulen erzeugt, sondern mithilfe von ferromagnetischem Material in Elektromagneten (Abschn. 3.6) oder supraleitenden Spulen (Abschn. 8.4.3). Felder von 10T und mehr sind nur in Labors, die sich auf starke Magnetfelder spezialisiert haben, verfügbar.
Sehr hohe Windungszahlen und sehr dünner Draht haben den Nachteil, dass der Querschnittsanteil der Isolation größer und damit der Füllfaktor (= Summe der Leiterquerschnitte/Wicklungsquerschnitt) kleiner wird. Außerdem muss darauf geachtet werden, dass die damit verbundene hohe Betriebsspannung der Spule nicht zu Durchschlägen zwischen benachbarten Windungen oder zwischen Windungen und Spulenkörper führt.
Andererseits haben sehr kleine Windungszahlen und sehr dicker Draht den Nachteil, dass der Strom sehr groß wird und die Felder der Anschlussleitungen vielleicht nicht mehr vernachlässigbar sind. Deshalb müssen die beiden Leitungen zwischen Stromquelle und Spule eng beieinander liegen oder koaxial geführt werden.
3.4.5 Magnetische Dipole
Die Fernfelder von elektrischem Dipol und magnetischer Stromschleife haben genau dieselbe Form, obwohl die Nahfelder völlig unterschiedlich sind (Abb. 3.30). Deshalb ist die Bezeichnung „magnetischer Dipol“ naheliegend. In das Fernfeld geht nur das magnetische Moment ein, nicht die spezielle Form der Stromschleife.
Wir hatten beim elektrischen Dipol schon darauf hingewiesen, dass das Konzept permanenter und induzierter Dipole sehr wichtig ist für die Beschreibung von Materie in elektrischen Feldern (Kap. 13). Ähnlich wichtig sind permanente und induzierte magnetische Dipole für Materie in magnetischen Feldern (Kap. 14).
3.4 Durch beliebige Ströme erzeugte magnetische Felder
145
Abb. 3.30 Vergleich der Nahfelder von elektrischem Dipol (linke Hälfte) und magnetischer Stromschleife (rechte Hälfte).
Die Herleitung der allgemeinen Formeln liefen beim elektrischen Dipol über das Potential. Beim Ringstrom kann das magnetische Vektorpotential genutzt werden. Wir geben hier die Resultate für das Fernfeld von magnetischem und elektrischem Dipol an. Die Komponentenbezeichnung ist in Abb. 3.31 für den magnetischen Fall angegeben: Der magnetische Dipol liegt im Koordinatenursprung und zeigt in Richtung der z-Achse.
Zuerst beschreiben wir das Dipol-Feld in Abhängigkeit vom Radius r und dem Polarwinkel 9 zur z-Achse. Wir betrachten die Komponenten parallel und senkrecht zum Radius r, wobei B, und B:i positiv sind, wenn sie in Richtung zunehmender r-
Abb. 3.31 Zur Komponentenzerlegung der Feldstärke im Fernfeld eines Dipols. Beispiel: Z?- leid eines magnetischen Dipols (einer Stromschleife).
146	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
bzw. 3-Werte zeigen. Zum besseren Vergleich von elektrischem und magnetischem Dipol führen wird die Funktionen fr und	ein:
2cos3
sin 7
Ä = -----5“
r
VfF+fi =
Er Br
1	~ /'o	'
4rt e/	4t/”
Z?9 B.t
1 “ ’ 4716/	4t/”
]/3 cos23 + 1 E
7	= ~
~A--P
47t£0
Fo
4tc
(3.72)
Der Feldstärke-Vektor kann auch in Komponenten parallel zu den Koordinaten zerlegt werden (Abb. 3.31). Dafür verwenden wir die Funktionen fx und fz, deren Bedeutung und Beziehung zu den Komponenten von magnetischer bzw. elektrischer Feldstärke analog ist zu der von f. und in Bezug auf die radialen und polaren Feldstärkekomponenten. Die Koordinaten-Transformation liefert:
3sin3 cos3
fx =fr smS +/& cosS = ----~3---
3 cos33 — 1
fz =fr cosS-/9 sinS = ---------,
mit
cos3 = z/r und
sin/i = x/r.
(3.73)
(3.74)
3.5 Vergleich der Gesetze für statische elektrische und magnetische Felder
Kräfte auf Ladungen und Ströme. Das elektrische Feld E übt auf die Probeladung q die elektrische Kraft Fe aus:
Fe = qE.	(3.75)
Das magnetische Feld B übt auf das Leiterstrom-Element ZdZ die differentielle magnetische Kraft dFm aus:
dFm = I dZ x B.	(3.76)
Um die messbare magnetische Kraft Fm zu berechnen, muss man über die Länge des mit dem Kraftmesser verbundenen beweglichen Leiterstückes integrieren. Ein Leiterstrom-Element ist immer Teil eines geschlossenen Stromkreises; es gilt also
$ ZdZ = 0.	(3.77)
Stromkreis
3.5 Vergleich der Gesetze für statische elektrische und magnetische Felder 147
Felderzeugung durch Ladungen und Ströme. Das Coulomb-Gesetz beschreibt das
von der (infinitesimalen) Punktladung dQ erzeugte elektrische Feld:
dZ)(r) = (4k) 'd(?!•//' und dE(r) = i:,.1 dD(r);	(3.78)
das Biot-Savart-Gesetz beschreibt die vom Leiterstrom Id/ erzeugte magnetische Feld:
dH(r) = (4tt) 1 Id/ x r/r3 und dB(r) — fiodH(r).	(3.79)
Potentiale. Statt mit Feldstärken kann auch mit Potentialen gerechnet werden. Das elektrische Potential einer Punktladung bei r = 0 ist
dcp — — (4ttx0) 1 dQ/r;	(3.80)
das magnetische Vektorpotential eines Leiterstrom-Elementes bei r = 0 ist
dAm = ^(^IdZ/r.	(3.81)
Die Integration über alle vorhandenen infinitesimalen Ladungen und Leiterstromstücke liefert die Gesamtpotentiale. Von den Potentialen zu den Feldstärken führen die Beziehungen
E=-V(p(r)	(3.82)
und
B = V x <(r).	(3.83)
Integralbeziehungen zwischen Ladungen und Strömen und den von ihnen erzeugten Feldern. Allgemein gilt für statische Felder
§DdA = Q, $Hds = I
§BdA = O, $Eds = d	(3.84)
mit B — /;0// und E — l/e0D für das Vakuum.
Die positiven und negativen elektrischen Ladungen sind die Quellen und Senken des D-Feldes. In der Elektrostatik sind nur die Ströme die Wirbel des //-Feldes. In der Magnetostatik ist das Zf-Feld wirbelfrei.
Übergang zu den entsprechenden Differentialbeziehungen. Dazu definiert man die räumliche Ladungsdichte q und die Stromdichte
j = Q v;	(3.85)
die Stromdichte ist eine Ladungsdichte, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegt. Diese differentiellen Größen sind mit den integralen Größen Ladung Q (im Volumen K) und Strom / (durch die Fläche A) wie folgt verknüpft:
ß = nfedK, Z=nj-d^.	(3.86)
Mithilfe des Gauß’schen und des Stokes’schen Satzes der Vektoranalysis erhält man aus Gl. (3.84) die folgenden Differentialbeziehungen:
V D = q, V x H = j,
V B = d, VxE=Q.	(3.87)
148	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Die Erhaltung der elektrischen Ladung (conservation of electric charge], Nach dem schon von Franklin um 1750 erkannten Erhaltungssatz können sich zwar Ladungen ungleichen Vorzeichens ganz oder teilweise kompensieren, aber die vorzeichengerechte Summe über alle Ladungen in einem abgeschlossenen Volumen ist konstant.
Nun soll der Satz unter Verwendung der oben in Gl. (3.85) definierten Stromdichte verallgemeinert werden für ein begrenztes, aber nicht abgeschlossenes Volumen. Wir betrachten ein mit einer Hüllfläche umschlossenes Volumen V, in dem sich die Gesamtladung Q befindet. Wenn sich trotz des Erhaltungssatzes die Ladung in einem betrachteten Volumen zeitlich ändert, dann muss ein Strom durch die Hüllfläche fließen. Dieser Strom ist gegeben durch das Oberflächenintegral der Stromdichte über die gesamte Hüllfläche. Wenn die Ladung im Volumen zunimmt, dann muss ein Strom durch die Hüllfläche nach innnen fließen. Da aber nach der Vorzeichenkonvention ein nach innen fließender Strom (von positiven Ladungen) negativ ist, ergibt sich die folgende neue Fassung vom „Erhaltungssatz der Ladung“: dß ,,
-^ + #./-d/l = 0	(3.88)
oder in differentieller Form
dp
-^ + Vj = 0.	(3.89)
d/
Flächen-Ladungsdichten und lineare Ströme. Die Ladungsdichte q und die Stromdichte j werden hier als stetig verteilt angenommen, weil Divergenz und Rotation nur für stetige Funktionen definiert sind.
In der bisher behandelten Physik sind jedoch echte Raumladungen überhaupt noch nicht aufgetreten. Weil Ladungen auf Isolator-Oberflächen schwer quantitativ zu erfassen sind, wurden nur Ladungen auf Leiter-Oberflächen betrachtet und beschrieben durch eine Flächen-Ladungsdichte er. Die mathematisch korrekte Darstellung solcher „entarteten“ zweidimensionalen Ladungsverteilungen erfordert die Einführung einer „Flächendivergenz“, wie in Lehrbücher der theoretischen Physik beschrieben wird.
Für die Flächen-Ladungsdichte er, die sich im elektrostatischen Gleichgewicht auf Leiteroberflächen einstellt, gilt
En — g/e0 und Et — 0.	(3.90)
Die Normalfeldstärke En ist proportional zur lokalen Flächen-Ladungsdichte er; die Tangentialfeldstärke Et ist gleich null.
In der bisher behandelten Physik gab es noch keine freien bewegten Raumladungen, sondern nur ladungskompensierte Leiterströme mit einer Stromdichte j + 0, aber der (Netto-)Ladungsdichte q = 0 im Inneren. Die bisher hauptsächlich betrachteten linearen Ströme entsprechen einem idealisierten Grenzfall: Die Querschnittsfläche A des Leiters geht nach null und die Stromdichte j nach unendlich, während das Produkt von beiden, der Strom I — j- A konstant bleibt.
Das Leiterstrom-Element I  di ist oft nützlicher als die Stromdichte; beide Größen sind durch das infinitesimale Leitervolumen (Fläche A) (Länge d/) verknüpft, und beide zeigen in Richtung des (positiven) Stromflusses:
lim [j(A-df)] = 1-dt.	(3.91)
A -> 0, j  A = konsf.
3.6 Magnete
149
3.6 Magnete
In diesem Abschnitt beziehen sich die Begriffe „magnetisch“ und „Magnetismus“ immer auf den Ferromagnetismus; die anderen, viel schwächeren Arten des Magnetismus (Kap. 14) spielen bei der hier besprochenen Physik überhaupt keine Rolle.
Jeder ferromagnetische Stoff besitzt eine charakteristische Curie-Temperatur 7<; oberhalb von Tc ist der Stoff nicht-ferromagnetisch. Hier interessieren nur Stoffe, deren Curie-Temperatur weit oberhalb Zimmertemperatur liegt; für Eisen ist Tc = 770°C, für Magnetit 575 °C.
Eine grobe Unterteilung der ferromagnetischen Stoffe unterscheidet magnetisch harte und weiche Stoffe. Erstere sind permanent magnetisiert, letztere werden erst durch den Einfluss eines äußeren Magnetfeldes magnetisiert. Die Abb. 3.32 zeigt Beispiele vom weichmagnetischen Verhalten eines Eisenstückes und einiger Eisen-Nägel.
Abb. 3.32 Weichmagnetisches Verhalten: (a) das weichmagnetische Eisen links wird durch den Magneten magnetisiert und zieht Nägel an; (b) nebeneinander hängende Nägel werden gleichsinnig magnetisiert und stoßen sich ab.
Zur Magnetisierung einer weichmagnetischen Probe kann auch ein Spulenfeld benutzt werden (Abb. 3.33). Der an einer Feder über einer Spule hängende Eisenstab wird in die Spule hineingezogen; je größer der Spulenstrom ist, desto stärker wird die Feder gedehnt. Nach Ausschalten der Spule verliert der Stab seine magnetische Wirkung und wird von der Feder wieder nach oben gezogen. Solche Bewegungen lassen sich für stromgesteuerte Schaltvorgänge ausnutzen und wurden, da die Stabbewegung eine Funktion der Stromstärke ist, auch zur Strommessung verwendet, wie in Abb. 3.33 angedeutet ist.
3.6.1 Permanentmagnete
Zuerst betrachten wir Stabmagnete, wie sie in jeder Vorlesungssammlung vorhanden sind. Heute bestehen diese Magnete aus speziellen Metall-Legierungen mit optimalen magnetischen Eigenschaften. Für die historische Entwicklung des Magnetismus war der natürlich vorkommende Permanentmagnet Magnet(eisen)stein (Magnetit,
150
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Abb. 3.33 Prinzip des Weicheisen-Amperemeter nach R. Kohlrausch (etwa 1850).
FeO • Fe3O3) sehr wichtig. Die Griechen des Altertums fanden den Magneten bei der Stadt Magnesia in einer thessalischen Kolonie auf dem Gebiet der heutigen Türkei. Weder die frühen Kompassnadeln noch die ersten wissenschaftlichen Experimente zum Magnetismus wären ohne den Magnetstein möglich gewesen.
Wir betrachten einen Stabmagneten der Länge f und der Querschnittsfläche A — w2 (r = Radius) und vergleichen ihn mit einem Solenoid gleicher Länge und gleichen Querschnitts. [Hier wird ein runder Querschnitt des Stabmagneten angenommen; der Vergleich gilt aber auch für Stabmagnete und formgleiche stromdurchflossene Spulen mit anderen (z. B. rechteckigen) Querschnitten.] In guter Übereinstimmung mit den Eigenschaften permanenter Stabmagnete können wir hier auch annehmen, dass der Stabmagnet über seine ganze Länge homogen magnetisiert ist.
Wie schon Ampere erkannte, hat das 2?-Feld eines homogen magnetisierten Permanentmagneten dieselbe Form wie das eines formgleichen Solenoids (Abb. 3.34). Die Formgleichheit des äußeren .ß-Feldes kann durch Messungen bestätigt werden. Das 2?-Feld im Inneren eines Solenoids ist für Messzwecke axial zugänglich durch die Endöffhungen und vielleicht auch radial durch Lücken zwischen den Windungen. Wie aber misst man das 2?-Feld im Inneren eines Stabmagneten? Eine Messvorschrift kann von der Quellenfreiheit des .ß-Feldes hergeleitet werden: Danach muss die Normalkomponente von B stetig durch eine Grenzfläche gehen. Deshalb muss man in einen längs magnetisierten Stabmagneten quer, also senkrecht („normal“) zu B, einen dünnen Schlitz hineinfräsen und darin die .ß-Messung vornehmen.
Ampere’sche Molekularströme. Auf der Ähnlichkeit von Stabmagnet und Solenoid beruht die Ampere’sche Vorstellung über den Ferromagnetismus. Er nahm an, dass im Inneren von Permanentmagneten permanent molekulare Ringströme fließen, die so ausgerichtet sind, dass sich ihre magnetischen Momente addieren und eine spontane Magnetisierung ergeben. Diese Hypothese kommt dem Ferromagnetismus sehr nahe. In den Atomen treten tatsächlich magnetische Momente auf, die sich in bestimmten Festkörpern (z. B. Eisen) spontan parallel zueinander ausrichten können.
Messungen ergeben für das Innere von Permanentmagneten B-Werte in der Größenordnung von 1 T. Um innerhalb eines Solenoids ein ähnlich starkes Feld zu erzeugen, sind etwa 106 A/m erforderlich; das sind 1000 Ampere-Windungen für jeden
3.6 Magnete
151
(a)
homogene Magnetisierung M--------------►
30339303303933^^
äguivalentes Solenoid

Abb. 3.34 (a) Homogen magnetisierter Permanentmagnet, (b) sein ß-l 'eld innen und außen, (c) äquivalentes Solenoid.
Millimeter Spulenlänge! Felder dieser Größenordnung sind mit „normalen“ Spulen nicht erzeugbar. Aber im Prinzip gibt es zu jedem homogen magnetisierten Stabmagneten (bar magnet) eine formgleiche Spule (coil of equal shape), die mit dem äquivalenten Spulenstrom genau dasselbe Feld erzeugt.
Definition der Magnetisierung. Das elektromagnetische Verhalten der formgleichen Äquivalenz-Spule wird durch die Größe 1- N/t3 beschrieben:
„Stromstärke • Windungszahl/Länge“.
Wir definieren die Magnetisierung Meines Stabmagneten mithilfe dieser Kenngröße des äquivalenten Solenoids:
M = (INI^ol.-	(3-92)
Die Richtung von Mist die gleiche wie die des .ß-Feldes im Inneren des Stabmagneten und des Solenoids; diese Richtungszuordnung folgt auch aus dem Umlaufsinn des (positiven) Solenoid-Stroms und der Rechtsschrauben-Konvention. Die Magnetisierung ist (wie das 2?-Feld) ein axialer Vektor. Die Richtung von M zeigt (wie B im Inneren des Magneten) von Süd nach Nord.
152	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Erweitert man Gl. (3.92) mit dem Volumen des Stabmagneten
(3.93)
dann lässt sich die Magnetisierung schreiben als
M=(NIvr\^JV,	(3.94)
dabei ist Iw2 das magnetische Moment einer Stromschleife des äquivalenten Solenoids und das TV-fache davon ist sein gesamtes magnetisches Moment.
Damit ergibt sich für M die folgende Interpretation: Magnetisierung = magnetisches Moment/Volumen. Die SI-Einheit der Magnetisierung ist Am . Diese Einheit gibt sehr anschaulich an, wieviele „Ampere-Windungen pro Meter (Spulenlänge)“ erforderlich sind, um das gleiche B-Feld mithilfe einer Spule gleicher Größe und Form zu erzeugen.
Die Magnetisierung M beschreibt den magnetischen Zustand im Inneren des ferromagnetischen Materials. Mathematisch betrachtet sind M und B (axiale) Vektorfelder; das TW-Feld ist scharf begrenzt auf das Volumen des Permanentmagneten, das B-Feld erstreckt sich über Innen- und Außenraum.
3.6.2 Demonstrationsexperimente mit Permanentmagneten
Wirkung eines B-Feldes auf einen Leiterstrom. Die Kraft, die das B-Feld des einen Leiterstroms auf den anderen ausübt (Gl. (3.24)), ist gegeben durch
/ Z Z x B.	(3.95)
Mit schwachen B-Feldern ist es nicht leicht zu zeigen, dass wirklich nur die B-Kom-ponente senkrecht zur Stromrichtung eine Kraft bewirkt, die dann senkrecht zu beiden steht. Mit einem Permanentmagneten ist das leichter.
In Abb. 3.35 ist eine Versuchsanordnung skizziert, bei der eine rechteckige Leiterschleife drehbar gelagert ist. Für guten Kontakt in den Näpfen sorgt ein Tropfen Salzwasser. Der vertikale Teil des Leiters lässt sich um eine Achse drehen, welche durch die beiden Drehpunkte geht. Wir betrachten nur diesen vertikalen Teil des Stromleiters. Bringt man einen kräftigen Stabmagneten in die gezeichnete Stellung, so übt sein Feld B auf den Leiter eine Kraft F aus, die senkrecht zu beiden ausgerichtet ist. In der Abbildung ist die Kraft so gezeichnet, dass der vertikale Stromleiter vom Betrachter weg in die Papierebene gedrückt wird. Bringt man den Stabmagneten
Abb. 3.35 Wirkung eines Magnetfeldes auf einen Leiterstrom, demonstriert mit einem Stabmagneten. In den gestrichelten Positionen des Magneten tritt keine Ablenkung auf.
3.6 Magnete
153
in eine der gestrichelt gezeichneten Stellungen, dann bewegt sich der Stromleiter nicht. In der Stellung „horizontal von vorn“ wird zwar eine Kraft ausgeübt, aber der Stromleiter kann sich nicht in Richtung auf den Haltestab bewegen. Man kann die Stromrichtung und den Stabmagneten umkehren und findet jedesmal Gl. (3.95) bestätigt.
Magnetpole. Bei einem langen Stabmagneten mit kleiner Querschnittsfläche kann man sich vorstellen, dass die magnetischen Feldlinien näherungsweise von einer „magnetischen Ladung“ an der Stirnfläche ausgehen. Abb. 3.36 zeigt Eisenpulver-Bilder von einem „einzelnen“ magnetischen Pol und von Pol-Paaren, deren Feldlinien-Bilder den E'-Feldlinien-Bildern elektrischer Punktladungen (Abb. 2.20) entsprechen. Rechts unten ist skizziert, wie das Pulverbild gewonnen wurde. Man darf auch nicht vergessen, dass die Bilder nur eine Ebene zeigen.
Die Abb. 3.37a zeigt einen „schwimmenden Magnetpol“ im Feld eines Leiterstroms: Der Boden einer Flasche ist abgesprengt; die Flasche steht mit dem Gummistopfen nach unten und ist mit Wasser gefüllt. Durch den Gummistopfen ist ein dicker Kupferdraht gesteckt, der oben rechtwinklig abgebogen ist. Eine magnetisierte Stricknadel ist durch einen Korken gesteckt und schwimmt senkrecht im Wasser. Wird ein starker elektrischer Strom (z. B. von einem Kfz-Akku) durch den Kupferdraht geschickt, dann bewegt sich die Magnetnadel im Kreis. Der Südpol der Nadel hat hier keine Wirkung, weil die Nadel weit aus dem Korken herausragt, der Stromleiter dagegen schon dicht über der Wasseroberfläche abgewinkelt ist. Ein
Abb. 3.36 Eisenpulver-Bilder, gewonnen wie rechts skizziert mit vertikal gestellten Stabmagneten; (a) einzelner Pol, (b) und (c) zwei gleichnamige und zwei ungleichnamige Pole.
154	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Abb. 3.37 Demonstrationen zur Wirkung des ß-l eldes auf einen schwimmenden Magnetpol N: (a) Bewegung im Feld eines vertikalen Leiterstroms; (b) Bewegung im Streufeld eines horizontalen Stabmagneten.
Nachteil dieser einfachen Anordnung ist, dass die Kreisbewegung der Magnetnadel durch den abgebogenen Kupferdraht begrenzt wird. Man kann dann aber die Stromrichtung umkehren und die Magnetnadel sich zurück bewegen lassen.
Die Abb. 3.37b zeigt einen anderen Versuch mit einem beweglichen Magnetpol. Hier schwimmt der Nordpol der durch den Korken gebohrten Nadel auf dem Wasser entlang einer Feldlinie vom Feld eines Stabmagneten. Nur weil er langsam schwimmt, folgt er immer der Kraft; andernfalls läge nur die Änderung der Geschwindigkeit in Richtung der Kraft, und die Bewegung verliefe nicht entlang der Feldlinie. Der störende Südpol der Nadel liegt hier tief im Wasser.
Barlow’sches Rad. Will man mit starken Magnetfeldern experimentieren, die annähernd homogen sind, dann empfiehlt sich der Hufeisenmagnet, dessen Feld in Abb. 3.38 durch Pulverbilder sichtbar gemacht wurde. Hier sieht man auch deutlich, dass die Feldlinien keineswegs bevorzugt von den Polen ausgehen.
Abb. 3.38 Durch Eisenpulver sichtbar gemachtes Feldlinienbild eines Hufeisenmagneten: (a) Feld in der Ebene dicht oberhalb der beiden Pole (vgl. Skizze); (b) Feld in der Hufeisen-Ebene.
3.6 Magnete
155
Abb. 3.39 Barlow’sches Rad, die erste Maschine, in der ein Rad mithilfe des Elektromagnetismus in Drehbewegung versetzt wurde (Peter Barlow 1822).
Als Anwendungsbeispiel für den Hufeisenmagneten behandeln wir das Bar-low’sche Rad (Abb. 3.39). Ein elektrischer Strom fließt über das Lager und die Achse einer drehbaren Scheibe S und über die Scheibe zu einer Rinne R, die mit Salzwasser gefüllt ist. Die Scheibe taucht in das Salzwasser. Der (positive) elektrische Strom fließt (formal) entlang einem Radius der Scheibe von der Achse zur Rinne und wird durch das Magnetfeld des Hufeisenmagneten gemäß Gl. (3.95) abgelenkt. Für den in Wirklichkeit entgegengesetzt fließenden Strom negativ geladener Elektronen ergibt sich dieselbe Ablenkung. Die Ablenkung wird auf das Rad übertragen, das sich in der angegebenen Drehrichtung bewegt. Beim Ausschalten des Stroms hört die Scheibe auf, sich zu drehen.
Eine etwas ausführlichere Beschreibung des Phänomens ist folgende: Im Metall werden die Elektronen durch das .E-Feld beschleunigt, häufig durch Wechselwirkung mit dem lonengitter abgebremst und danach wieder erneut beschleunigt (das ist die „Reibung“, die den ohmschen Widerstand verursacht). Bei den hohen Geschwindigkeiten, die die Elektronen vor dem Abbremsen erreichen, werden sie durch die geschwindigkeits-proportionale Lorentz-Kraft (Gl. (3.34)) senkrecht zum Scheibenradius abgelenkt und übertragen deshalb beim Abbremsen auf das Gitter einen Impuls, der eine Komponente senkrecht zum Radius besitzt und die Scheibe zur Drehbewegung antreibt.
Warnung vor der Verwendung von Quecksilber. Bei den Spitzenlagern von Abb. 3.35 und bei der Rinne vom Barlow’schen Rad (Abb. 3.39) war Salzlösung als Kontaktflüssigkeit genannt worden. Das ist meistens hinreichend. Quecksilber ist ein viel besserer Leiter, aber eine gefährliche Substanz! Als einziges bei Zimmertemperatur flüssiges Metall hat Quecksilber in vielen historischen Experimenten nützliche Funktionen gehabt. Die Personengefährdung durch Quecksilber-Vergiftung ist den Experimentalphysikern erst spät bewusst geworden.
Selbst wenn man dafür sorgt, dass keine Hg-Spuren in den Magen gelangen, und auch jeden Hautkontakt wegen der Hg-Absorption durch die Haut strickt vermeidet, besteht Gefahr einer chronischen Erkrankung durch die Einatmung von Hg-Dampf über lange Zeiten. In Hg-verseuchten Räumen ist die Luft auf Jahre hinaus mit Hg-Dampf vermischt. Deshalb sollte man heute das Experimentieren mit offenem Quecksilber vermeiden. Falls aber trotzdem mit offenem Quecksilber gearbeitet wird, dann muss der experimentelle Aufbau in einer großen Plastikwanne stehen, die verschüttetes Quecksilber auffängt und so eine quantitative Entsorgung ermöglicht.
156
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
3.6.3 Erregung und Feldstärke eines Ferromagneten
Um das Wesentliche bei der Beschreibung des Ferromagnetismus klar herauszuarbeiten, betrachten wir wieder den einfachen Fall eines zylinderförmigen, in axialer Richtung homogen magnetisierten Stabmagneten, den wir in Abb. 3.34 verglichen hatten mit einem formgleichen Solenoid, das bei entsprechend hohem Windungsstrom das gleiche /?-Feld erzeugt. Die magnetische Feldstärke B(r) ist in der Mitte des Stabmagneten (Solenoids) am stärksten, zu den Enden hin wird sie schwächer. Der Rückfluss des quellenfreien .ß-Feldes erstreckt sich über den gesamten Raum.
Es gilt allgemein die Verknüpfungsgleichung
B = li0(H + My	(3.96)
In der Umgebung des betrachteten Stabmagneten sollen keine Leiterströme, die ein //-Feld erzeugen könnten, vorhanden sein. Für den Stabmagneten ist B leicht zu berechnen (wie für das entsprechende Soldenoid) und M ist bekannt (konstant in-
Abb. 3.40 Magnetische Erregung (a), Magnetisierung (b) und magnetische Feldstärke (c) für einen axial homogen magnetisierten Stabmagneten. Die Verknüpfung der drei Vektorfelder ist für den Punkt P graphisch dargestellt (nach R. Skomski and J.M.D. Coey „Permanent Magnetism“, Institute of Physics Publishing, Ltd, 1999).
3.6 Magnete
157
nerhalb des Magneten, gleich null außerhalb). Das Feld der magnetischen Erregung ergibt sich nach (Gl. (3.96)) als
(3.97)
Die Felder H, M und B sind in Abb. 3.40 dargestellt.
Das Af-Feld beginnt und endet abrupt an den Stirnflächen; mathematisch ist das zu beschreiben mithilfe des Konzeptes der „Flächendivergenz“. Wo das .Vf-Feld endet, beginnt das //-Feld und umgekehrt. Anders ausgedrückt: Die am „nördlichen“ Stabende flächenhaft verteilten Senken des ^/-Feldes sind die Quellen des //-Feldes und umgekehrt am „südlichen“ Stabende. Das //-Feld eines Permanentmagneten ist wirbelfrei. Es wird als Streufeld des Stabmagneten bezeichnet und oft mit Hs symbolisiert.
Aber kein Permanentmagnet ist wirklich permanent, d. h. immerwährend magnetisiert, sondern er ist nur besonders resistent gegen Ummagnetisierung. Im Allgemeinen ist die lokale Magnetisierung M (r) eine auch von der Vorbehandlung abhängige Funktion der lokalen Erregung H(r) - dargestellt durch die Hysterese-Schleife - wie im folgenden Abschnitt behandelt wird. Zur Magnetisierung wird die Probe meist in ein Spulenfeld eingebracht, dessen Erregung oft (zur Unterscheidung von Hs) mit H, symbolisiert wird. Um quantitativ das gewünschte Resultat zu erhalten, muss man dafür sorgen, dass das Streufeld Hs hinreichend klein ist oder - als Korrekturgröße ermittelt - mit Ho zusammengefasst werden kann. Weil das Streufeld im Inneren des Magneten der Magnetisierung entgegengesetzt gerichtet
Tab. 3.2 Entmagnetisierungsfaktoren N, für homogen magnetisierte Rotationsellipsoide (nach E. C. Stoner)
a/b	Ae
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 50.0 100 1000	1.000 0.861 0.750 0.661 0.588 0.527 0.432 0.333 0.174 0.056 0.020 0.0067 0.0014 0.00043 0.000007
a = polare Halbachse, Rotationsachse (parallel zur Magnetisierungsrichtung) b = äquatoriale Halbachse
158
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
ist (Abb. 3.40a), wird es auch als entmagnetisiertendes Feld bezeichnet. Dafür wird der folgende Ansatz
Hs——NEM	(3.98)
gemacht, wobei 7VE der so genannte Entmagnetisierungsfaktor für eine vorgegebene Magnetisierungsrichtung ist. Er ist von der Form des magnetisierten Körpers abhängig. Im Allgemeinen wird er über das Körpervolumen unterschiedlich groß sein. Nur für den Spezialfall des Ellipsoids, das längs der Rotationsachse homogen magnetisiert ist, ergibt die Theorie für jedes Achsenverhältnis einen für das ganze Körpervolumen geltenden 7VE-Wert (Tab. 3.2).
Für einen sehr langen axial magnetisierten Stab ist ajb |> 1 und, erwartungsgemäß, Ne -» 0. Das andere Extrem ist eine dünne Platte, die senkrecht zur Plattenebene magnetisiert ist; dafür gilt ajb < 1 und 7VE -> 1. Interessant ist auch die Kugelform mit ajb = 1, für die sich 7VE = 1/3 ergibt.
Wegen dieser „Entmagnetisierung“ sind die magnetischen Eigenschaften von weichmagnetischem Material formabhängig: Eine Stange lässt sich leichter in Längsrichtung magnetisieren als quer dazu, eine Platte leichter tangential als senkrecht zur Plattenebene. Der Entmagnetisierungsfaktor beschreibt die magnetische Formanisotropie. Würde man die Gl. (3.97) für beliebige Magnetisierungsrichtungen verallgemeinern und vektoriell hinschreiben, dann wäre N, ein Tensor, der die Vektoren M und H miteinander verknüpft. Hier genügen die für Rotationsellipsoide tabellierten Werte.
3.6.4 Hystereseschleife
Das Magnetisierungsverhalten eines ferromagnetischen Stoffes wird durch seine Hystereseschleife (Abb. 3.41) beschrieben. Üblicherweise wird [i0M (auch magnetische Polarisation genannt), gemessen in Tesla (T), aufgetragen über H, gemessen in A/m, und vorausgesetzt, dass H (nahezu) gleich dem Spulen-Feld Ho ist, dass also das „entmagnetisierende“ Streufeld Hs vernachlässigt werden kann. [Statt p0M wird manchmal auch B aufgetragen, wodurch sich die Kurve kaum ändert, weil ^i0H < B ist.] Bei sehr hohen Werten des //-Feldes erreicht die Magnetisierung einen Sättigungswert. Verringert man das //-Feld über H — 0 hinaus bis Sättigung in entgegengesetzter Richtung ereicht ist, und erhöht dann das //-Feld wieder, verändert sich die Magnetisierung gemäß der in Abb. 3.41 skizzierten geschlossenen Kurve, die nicht durch den Ursprung geht. Nur die Neukurve, die man mit einer vorher „entmagnetisierten“ Materialprobe messen kann, beginnt bei null.
"0/W
Neukurve
Remanenz, /J.0Mr
L- Koerzitiv-Feldstärke, H,
Sättigung, /J.OMS
Abb. 3.41 Typische Hystereseschleife.
H
3.6 Magnete
159
Abb. 3.42 Hysterese aufeinanderfolgender Magnetisierungszyklen bei abnehmender Amplitude.
Zur Abmagnetisierung wird die Spule, die das //-Feld erzeugt, mit Wechselstrom betrieben und der Strom langsam vom Sättigungswert bis auf null verringert (Abb. 3.42). Alternativ kann man die Probe in das Feld einer mit konstantem Wechselstrom betriebenen Spule einbringen und langsam daraus entfernen; die Abnahme der Streufeldamplitude mit der Entfernung tritt hier an die Stelle der Stromabnahme. Eine andere Möglichkeit ist das Erwärmen über die Curie-Temperatur und Abkühlen im feldfreien Raum.
Nach der von Pierre Weiss (1865-1940) schon 1907 formulierten Hypothese, die später voll bestätigt wurde, ist ein entmagnetisierter Körper in viele kleine Bereiche (Weiss-Bezirke) unterteilt, die alle bis zur Sättigung spontan magnetisiert sind, aber verschiedene Magnetisierungsrichtungen besitzen, sodass nach außen hin keine pauschale Magnetisierung gemessen wird. Offensichtlich ist bei Abwesenheit eines äußeren Feldes die Unterteilung in Weiss-Bezirke unterschiedlicher Richtung energetisch günstiger als eine homogene Magnetisierung. Dass eine endliche remanente Magnetisierung bei H — 0 übrig bleibt, lässt vermuten, dass zur Unterteilung eines großen Weiss-Bezirks in kleinere Bezirke mit unterschiedlichen Magnetisierungsrichtungen Energie aufgebracht werden muss und deshalb die Unterteilung nicht bis zur völligen Entmagnetisierung stattfindet. Bei der Ummagnetisierung in Wechselfeldern wird Energie verbraucht; die Fläche der Hystereseschleife gibt die Energiedichte (in J/m3) der pro Zyklus als Wärme freigesetzten Ummagnetisierungsenergie.
Die verschiedenen ferromagnetischen Stoffe unterscheiden sich in der Form der Hystereseschleife (umschlossene Fläche groß oder klein, die Flanken flach oder steil) und in den Werten für Sättigungsmagnetisierung Ms, remanente Magnetisierung Mr und Koerzitiv-Feldstärke Hc.
Magnetisch harte Stoffe sind gute Permanentmagnete. Sie haben eine großflächige, nahezu rechteckige Hystereseschleife mit hoher Koerzitiv-Feldstärke Hc(x 50kA/m); Remanenz u,.Mr und Sättigung u,.M; liegen etwa bei 0.5 bis IT. Unterhalb der Curie-Temperatur Tc behalten Permanentmagnete ihre Magnetisierung in Betrag und Richtung im allgemeinen bei, auch wenn sich das /?-Feld in ihrer Umgebung verändert. Durch Anlegen eines hinreichend starken, zu M entgegengesetzten /f-Feldes kann jedoch auch ein Permanentmagnet umgepolt werden.
Magnetisch weiche Stoffe sind charakterisiert durch einen steilen Anstieg der Hystereseschleife im Bereich kleiner //-Felder (Z/c « 1 bis 10 A/m) und eine hohe Sät
160	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
tigungsmagnetisierung (/t0A/s « 2T). Sie werden für magnetische Abschirmung und für Elektromagnete verwendet. Die aus Spulen mit ferromagnetischen Spulenkernen bestehenden Elektromagnete haben gegenüber Permanentmagneten den Vorteil einer variablen und umpolbaren Magnetisierung. Außerdem können wegen der höheren Sättigungsmagnetisierung auch höhere Feldstärken an den Magnetpolen erzielt werden.
Eine wichtige magnetische Kenngröße ist die (relative) Permeabilität (relativeper-meability) pr, definiert durch
B = pv (H + M) = pr p0 H	(3.99)
oder
/tr=l+A////.	(3.100)
Wegen der Form der Hystereseschleife ist pt bei ferromagnetischen Stoffen keine Materialkonstante, sondern ein von H und der Vorgeschichte abhängiger Wert. Man benutzt deshalb eine Reihe von verschieden definierten Permeabilitätszahlen (Abschn. 3.6.6 und 14.2.4).
3.6.5 Abschirmung von Magnetfeldern
Wenn es sich nur um das homogene und zeitlich konstante Erdfeld handelt, dann dürfte in den meisten Fällen die Kompensation durch hinreichend große Spulen günstiger sein als die Abschirmung. Ist dagegen das lokale magnetische Feld durch Störungen inhomogen (z. B. in Gebäuden mit Stahlträgern) oder überlagert von zeitlich veränderlichen Magnetfeldern (z. B. verursacht durch Positionsveränderung des Gebäudefahrstuhls oder 50-Hz-Streufelder von Elektromotoren), dann hilft meist nur die Abschirmung (inagnetic shielding).
Als praktisches Beispiel diskutieren wir die Abschirmung durch einen langen Hohlzylinder aus hochpermeablem Material, der mit der Zylinderachse senkrecht zum äußeren Feld, das abgeschirmt werden soll, orientiert ist. Im äußeren Feld werden Wandbereiche des Rohres magnetisiert. Der Rückfluss dieser Magnetisie-
Abb.3.43 Abschirmrohr mit Rohrachse senkrecht zum abzuschirmenden äußeren Feld; (a) gute magnetische Abschirmung, (b) perfekte elektrische Abschirmung.
3.6 Magnete
161
rung, addiert zu dem (homogenen) äußeren Feld ergibt ein resultierendes Feld wie in Abb. 3.43a gezeigt ist. Die Feldstärke innerhalb des Rohres ist wesentlich kleiner als außerhalb; im Außenbereich scheint es so, als ob das ferromagnetische Material die Feldlinien aus der Umgebung „in sich hineingezogen“ hätte.
Die Abb. 3.43b zeigt den ähnlichen Fall der Abschirmung eines elektrischen Feldes durch ein Metallrohr. Folgende Unterschiede sind festzustellen:
-	Die elektrische Abschirmung durch leitendes Material ist perfekt, selbst für kleinste Wandstärken. Die magnetische Abschirmung erreicht nur Bt < B.: für gute Abschirmung muss die Wandstärke hinreichend groß sein.
-	Das elektrische Feld E tritt nicht in das Abschirmmaterial ein, sondern wird durch die Influenzladungen an der Oberfläche vom Inneren ferngehalten. Das magnetische Feld B geht durch das Abschirmmaterial hindurch.
Trotz der genannten Unterschiede ist die Ähnlichkeit der Phänomene bestechend. Das hat dazu geführt, dass für das Verhalten weichmagnetischen Materials unter dem Einfluss eines äußeren Magnetfelds oft auch der Begriff magnetische Influenz verwendet wird.
Das richtige Analogon zur perfekten Abschirmung eines .E-Feldes durch Influenz-Ladungen ist die perfekte magnetische Abschirmung durch Ströme in Supraleitern, die beim Einschalten eines E-Feldes „influenziert“ werden und ungedämpft nahe der Supraleiter-Oberfläche fließen, solange das E-Feld erhalten bleibt (Meißner-Och-senfeld-Effekt der Supraleitung, Abschn. 8.4.1).
Technische Anmerkungen. Für sehr gute magnetische Abschirmung werden oft mehrere konzentrische Rohre verwendet. Bei der Abschirmung starker Felder ist darauf zu achten, dass das äußere Rohr hinreichend große Sättigungsmagnetisierung und Wandstärke hat, um den vom Innenvolumen ferngehaltenen magnetischen Fluss aufnehmen zu können, ohne in Sättigung zu geraten.
Bei der Verwendung speziell geformter Abschirmungen ist zu beachten, dass mechanische Bearbeitung des Materials seine magnetischen Eigenschaften stark beeinträchtigen kann. Deshalb ist das Material nach der Bearbeitung einer speziellen Wärmebehandlung zu unterziehen. Es empfiehlt sich, solche Teile bei der Herstellerfirma des Abschirm-Materials anfertigen oder Eigenbauteile dort nachbehandeln zu lassen. Für optimale Abschirmwirkung kann es notwendig sein, das Material am Einsatzort (lat. in situ) durch ein Wechselfeld abnehmender Amplitude zu entmagnetisieren.
3.6.6 Magnetische Kreise
Wie in Abschn. 4.2.2 gezeigt wird, ist die magnetische Feldenergiedichte innerhalb eines ferromagnetischen Körpers gegeben durch
1
= '-B2/^),	(3.101)
162	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
also umgekehrt proportional zu ^r! Deshalb ist es energetisch viel günstiger, wenn sich ein magnetischer Fluss in Eisen statt in Luft ausbreitet. Magnetische Flüsse sind geschlossen, weil das 2?-Feld quellenfreien ist.
Theorie magnetischer Kreise. Die Theorie magnetischer Kreise wurde vornehmlich von John Hopkinson (1849 — 1898) und seinem Bruder Edward (1859 — 1922) entwickelt und war eine wichtige Grundlage für den Bau elektrischer Maschinen. Die damals entwickelten Vorstellungen werden auch heute noch zum Verständnis von magnetischen Systemen herangezogen.
Wir betrachten den magnetischen Kreis als Analogon eines elektrischen Stromkreises:
Elektrischer Kreis	Magnetischer Kreis
Strom	magnetischer Fluss
Z = Jjj 'd/i mit ^j d/i = O.	ß d/1 mit (jüß d/l=O.
(dA = vektorielles Flächenelement)	(3.102)
Spannung	magnetische Spannung
U — \Eds mit iJ>£'ds = O. UM — \H-ds mit §Hds = NI.
(ds = vektorielles Streckenelement, / = Spulenstrom, TV = Windungszahl) (3.103)
Ohm’sches Gesetz (1827)	Hopkinson’sches Gesetz (1886)
U = RI	UM = V-
Rm = magnetischer Widerstand
(Reluktanz)	(3.104)
Magnetischer Widerstand (Reluktanz). Die Formel für den magnetischen Widerstand wird durch Betrachtung der Torus-Spule (Strom = I, Windungszahl TV, Umfang der kreisförmigen Torus-Ringachse = mit Eisenkern (Permeabilitätszahl Querschnitt A) erhalten:
<I> = B  A — fi0 HA
= (H /ir /i0 Af/ Um kt ko Aft
= Um/Rm.	(3.105)
Das ergibt also
Rm = //(pr	A).	(3.106)
Wie der ohmsche Widerstand ist auch der magnetische Widerstand proportional zur Länge des Leiters und umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche. Das Produkt Jur • [i0 ist die magnetische Leitfähigkeit. Die Gl. (3.106) gilt allgemein. Der magnetische Fluss ist immer geschlossen. In einem unverzweigten Kreis ist der Fluss überall gleich groß. Die verschiedenen Stücke des Kreises können als Reihenschaltung magnetischer Widerstände betrachtet werden mit
Um = 1uMj = Zi¥3
= $1^ (j = l,2...).	(3.107)
3.6 Magnete
163
Bei verzweigten Kreisen gilt für den Fluss an Verzweigungsstellen sinngemäß das 1. Kirchhoff sehe Gesetz (Knotenregel). Für die magnetische Ringspannung in einer Masche des verzweigten Kreises gilt sinngemäß das 2. Kirchhoff sehe Gesetz (Maschenregel). Allerdings ist im magnetischen Fall die umlaufgerechte Summe aller magnetischen Spannungen in einer Fluss-Masche nicht null, sondern gleich der Summe aller umschlossenen Ströme (siehe „magnetische Spannung“, Gl. (3.103)). Für Maschen mit weich- und hartmagnetischen Bestandteilen ohne Spulenfelder ergibt die Maschenregel null, genau wie im elektrischen Fall. Im Permanentmagneten sind magnetische Spannung und Fluss entgegengerichtet, genau wie Spannung und Strom in aktiven Zweipolen.
Torus-Spule mit Eisenkern und Luftspalt. An diesem Beispiel soll gezeigt werden, wie ein Luftspalt sich auf die messbare Hysterese auswirkt. Die in Abb. 3.44a gezeigte Anordnung werde durch folgende Parameter beschrieben: N = Windungszahl, I — Strom, A — Querschnittsfläche des Ringkerns, /T = Umfang der kreisförmigen Torusachse, /Fe = mittlere Länge des Fe-Kerns, /L = /T — /Fe mittlere „Länge“ (anschaulicher: „Breite“) des Luftspaltes.
Ohne und mit Luftspalt ist die magnetische Umlaufspannung gegeben durch
UM = H /T = N I.	(3.108)
Ohne Luftspalt ist der magnetische Widerstand gegeben durch
ÄM(/L = 0) = /T/(pr Po A),	(3.109)
mit Luftspalt aber durch die Reihenschaltung zweier Widerstände, nämlich
Po + 4/(P0 A).	ß.HO)
Mit Luftspalt ist also der magnetische Widerstand größer und der Fluss nach dem Hopkinson’schen Gesetz entsprechend kleiner. Diese Flussverkleinerung bei gleichem Spulenfeld kann auch durch eine scheinbare Permeabilitätszahl /t* < beschrieben werden:
<p = <J>üP*/pr.	(3.111)
Abb. 3.44 (a) Torusspule mit Ringkern und Luftspalt, (b) gescherte Hystereseschleifen für verschieden große Luftspalte.
164	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Aus den Gleichungen (3.109), (3.110), (3.111) und der für kleine Luftspalte angemessenen Näherung /T « /I c folgt
^* = ^r/(l+^4/O	(3.112)
Will man mit Luftspalt im Ringkern den gleichen Fluss erzielen wie ohne Luftspalt, dann muss man also das Spulenfeld um den Faktor (1 + Jur ^L/^Fe) = Ht/n* erhöhen.
Dieser Effekt kann auch als luftspalt-bedingte Scherung der Hysterese beschrieben werden. Mit der Scherung verändert sich nicht nur die Hysterese-Schleife, wie in Abb. 3.44b dargestellt ist, sondern auch die Neukurve, sowie alle Permeabilitätszahlen (sie werden zu „scheinbaren“ Permeabilitätszahlen) und die Remanenz. Unabhängig von der Scherung sind Koerzitivfeldstärke und Sättigungsmagnetisierung.
Elektromagnete. Wichtig ist, dass wir bei der Gestaltung magnetischer Kreise nicht auf die für theoretische Betrachtungen bisher bevorzugte Torus-Form angewiesen sind. Weil die „magnetische Leitfähigkeit“ des Eisens, gegeben durch soviel größer ist als die der Luft (ß0), wird der magnetische Fluss durch das Eisen „geleitet“; die umgebende Luft wirkt wie ein „magnetischer Isolator“, ein kleiner Luftspalt wie ein „schlechter magnetischer Leiter“.
Aus dem weichmagnetischen Ringkern mit Luftspalt, magnetisiert durch einen Spulenstrom, wird durch andere Formgebung ein Elektromagnet (Abb. 3.45): Aus dem Ringkern werden weichmagnetische „Flussleitstücke“, die spezielle Namen haben wie „Anker“ (für ein bewegliches Teil) und „Joch“ mit spulen-tragenden „Schenkeln“. Aus dem Luftspalt der Breite /, im Ringkern werden im Beispiel von Abb. 3.45a zwei Spalte zwischen Anker und Joch, die jeder die Breite <5 haben. Im Ersatzschaltbild (Abb. 3.45b) können die beiden Spulen wie auch die beiden Spalte zusammengefasst werden. Wenn der magnetische Widerstand der Luftspalte viel größer ist als der des weichmagnetischen Materials, dann fällt die gesamte magnetische Spannung an den Luftspalten ab. Das ergibt, wenn man das Feld als annähernd homogen betrachtet,
H 2d = N1 und B = jz0 H = jz0 N1 f (2d).	(3.113)
Wie das Ergebnis überraschenderweise zeigt, ist - in dieser Näherung - die Feldstärke in den Luftspalten unabhängig von der Permeabilitätszahl des magnetischen Werkstoffs! Neben der Gesamtbreite der Luftspalte 2<5, die im Nenner von Gl. (3.113)
Abb. 3.45 Elektromagnet mit Luftspalt: (a) Bauform (schematisch); die von den Spulen erzeugten magnetischen Spannungen addieren sich, (b) Ersatzschaltbild.
3.6 Magnete
165
steht, bestimmen nur der Strom I und die Gesamtwindungszahl N der Spulen das Feld im Spalt. Das Feld ist so groß wie in einer langen eisenfreien Spule mit 7V/(2<5) als „Windungszahl pro Länge“. Der Vorteil des Eisens im magnetischen Kreis besteht in diesem Beispiel also darin, dass man auf den Schenkeln viel mehr Windungen unterbringen kann als auf dem Längenstück 2<5 einer eisenfreien Spule.
Der Betrag F der magnetischen Anziehungskraft zwischen Anker und Joch kann aus der Verringerung der Feldenergie dfF , die mit einer Verkleinerung des Luftspaltes um dx verbunden ist, berechnet werden:
Fdx = dlFmag = 2vvmAdx,	(3.114)
wobei irni die magnetische Feldenergiedichte (vgl. Gl. (3.101)), A — a-b die Querschnittsfläche und 2A  dx die mit der Abstandsänderung dx an beiden Spalten verbundene Volumenänderung ist. Damit ergibt sich die Anziehungskraft zwischen Anker und beiden Schenkeln zu
F=2wm A = 2^^ = B2A)n0 = *7(A>^)-	(3.115)
Bei der Konstruktion eines Elektromagneten ist zu beachten, dass die weichmagnetischen Teile im Kreis nur solange einen kleinen magnetischen Widerstand haben, wie sie noch Fluss aufnehmen könnnen, also noch nicht gesättigt sind. Die relevante Kennzahl ist die differentielle Permeabilität
^rr = dB/d(p0H).	(3.116)
Bei genaueren Rechnungen muss auch die Feldabhängigkeit berücksichtigt werden. Die Gestaltung der Polschuhe richtet sich nach den Anforderungen an das Feld im Spalt. Zur Feldkonzentration verwendet man Kegelstumpf-Pole aus Material mit möglichst hoher Sättigungsmagnetisierung. Zur Erzielung eines möglichst homogenen Feldes werden Flachpole etwas konkav ausgebildet oder mit einem Randwulst (bzw. aufgesetzten Weicheisenringen) versehen.
Dauermagnet-Systeme. Wenn ein konstantes und nicht allzu starkes magnetisches Feld benötigt wird, dann ist ein Dauermagnet-System, bestehend aus permanentmagnetischen Treibern sowie weichmagnetischen Polschuhen und Flussleitstücken, eine kostengünstige Alternative zum Elektromagnet. Dauermagnet-Systeme erfordern weder Zufuhr elektrischer Leistung noch Kühlung.
Die magnetisch harten Stoffe sind in der Regel auch mechanisch hart und deshalb schwer zu bearbeiten. Hartmagnetische Werkstoffe - Spezial-Legierungen, teilweise mit anisotroper Kristallstruktur, wärme-behandelt im starken Magnetfeld - sind auch teurer als weichmagnetische. Deshalb ist beim Entwurf eines Dauermagnet-Systems festzustellen, wie groß die Treiberstücke mindestens sein müssen. Hier treten Unsicherheiten durch den Streufhiss auf, die pauschal durch einen Streufiussfak-tor = Gesamtfluss/Nutzfluss berücksichtigt werden, den wir hier aber einfachheitshalber als nahe bei eins annehmen. Die Längen von Treiber und Luftspalt seien /T und /L, die i. A. unterschiedlichen Querschnitte seien AT und ffL. Wenn man gegen
166	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
über dem Luftspalt alle anderen magnetischen Widerstände vernachlässigt, dann liegt die vom Treiber erzeugte magnetische Spannung am Luftspalt, denn wegen
<$>H • ds = 0 (keine Spulenströme),
gilt
7/T/T = - 7/L/L.	(3.117)
Der Fluss ist im Kreis konstant:
</>, = Bt — Bl Al mit Bl — /i0 Hl.	(3.118)
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich zwei wichtige Ergebnisse herleiten:
1. Lage des Treiber-Arbeitspunktes auf der Hystereseschleife:
Bt = $/AT = BL Al/At
= P-0 ^lMt
=-/z0 (/t/At) (AJ/J 7/t.	(3.119)
Die Scherungsgerade, die vom Nullpunkt der Hysterese zum Arbeitspunkt P führt (Abb. 3.46), hat einen vom Treiber-Werkstoff unabhängigen negativen Anstieg. Durch geeignete Dimensionierung, d. h. Wahl der Längen und Querschnitte, kann der Arbeitspunkt P im 2. Quadranten der Hysterese (Abb. 3.46) ausgewählt werden.
2. Erforderliche magnetische Energie des Treibers. Die im Treiber gespeicherte Energie muss die Feldenergie für den Luftspalt liefern. Wegen H J,f B im Treiber, jedoch Hff Bim Luftspalt, kann man für gespeicherte und aufzubringende magnetische Energie unterschiedliche Vorzeichen ansetzen; wir betrachten jedoch hier nur die Beträge. Die Multiplikation von //, /T aus Gl. (3.117) mit BTAT aus Gl. (3.118) ergibt
T, BTHT = Al /l BHh0.	(3.120)
Weil der Faktor 1/2 von Gl. (3.101) nicht mit hingeschrieben wurde, gibt Gl.(3.120) das Doppelte der magnetischen Energie, die im Luftspalt benötigt wird und im Treiber gespeichert sein muss; letztere ist das Produkt aus Treibervolumen und Bt • //T. Deshalb ist es günstig, wenn der Arbeitspunkt P möglichst dort liegt, wo die Hysterese des Treiber-Werkstoffs den maximalen |B//|-Wert besitzt (schraffierte Fläche in Abb. 3.46). Da in Gl. (3.119) das Verhältnis von /T und eingeht, in Gl. (3.120) aber deren Produkt, kann das System so ausgelegt werden, dass der Arbeitspunkt nahe beim Punkt mit maximalem |B//|-Wert liegt.
Abb. 3.46 Der Zustand eines stabförmigen Permanentmagneten (ohne äußeres Feld) entspricht dem Punkt P der Hysterese-Schleife. Das entmagnetisierende //-Feld ist negativ.
Der Wert | B  H | max wird als maximales Energieprodukt bezeichnet.
3.6 Magnete
167
Die angeführten Gleichungen geben nur die Grundlagen für einen Entwurf des Dauermagnet-Systems. Zur Bestimmung des oben erwähnten Streuflussfaktors sind analytische Berechnungen erforderlich. Dabei können nur die weichmagnetischen Teile des Kreises als flussleitend angenommen werden. Das permanentmagnetische Treibermaterial ist praktisch in Sättigungsmagnetisierung und kann keinen zusätzlichen Fluss aufnehmen; es muss bei Flussberechnungen wie Luft (Jur = 1) behandelt werden.
Magnetische Schalter. Elektromagnete haben den großen Vorteil, dass der magnetische Fluss gesteuert werden kann. Durch Ein- oder Ausschalten des elektrischen Stroms kann man das Magnetfeld ein- oder ausschalten. Das ergibt ein breites Spektrum von Verwendungsmöglichkeiten, - von der Türklingel bis zur Magnetkupplung.
Bevor sinusförmige Wechselströme erzeugt werden konnten, gab es schon „zerhackte Gleichströme“. Der Hammer-Unterbrecher (A. Wagner 1839) für einen Stromkreis besteht aus einem Elektromagneten mit beweglichem Anker, der an einer Blattfeder befestigt ist und in der Ruhestellung (Elektromagnet ausgeschaltet) durch einen Luftspalt vom Magneten getrennt ist, in der Arbeitsstellung (Elektromagnet eingeschaltet) aber von den Schenkeln des Magneten angezogen wird. Der bewegliche Anker betätigt außerdem einen elektrischen Schalter, der in der Ruhestellung geschlossen, in der Arbeitsstellung geöffnet ist. Fügt man nun die Spulen des Elektromagneten und den vom Anker betätigten Schalter hintereinander in einen Stromkreis, dann wird beim ersten Stromfluss der Elektromagnet betätigt und dadurch über den Schalter der Stromkreis unterbrochen; der ausgeschaltete Magnet gibt den Anker frei, der den Schalter wieder schließt und damit den Elektromagneten wieder einschaltet; usw. Eine noch heute weitverbreitete Anwendung des Hammer-Unterbrechers ist die elektrische Klingel.
Relais sind ferngesteuerte Schalter, die mit einem kleinen Strom (mit kleiner Schaltleistung) im Magnetkreis viel größere Ströme (Leistungen) im Schaltkreis schalten können. Relais-Stationen dienten bei der vorindustriellen Post zum Pferdewechsel. In der Telegrafie wurden dann die Stationen zur Signal-Verstärkung von Morse-Zeichen so benannt: Ein aus der Ferne ankommendes schwaches elektrisches Signal betätigt ein „Relais“, das einen von einer lokalen Stromquelle gespeisten Stromkreis schaltet, der das Signal bis zur nächsten Station transportiert.
Etwa zur selben Zeit, in der das Telefon entwickelt wurde, entstand auch die mathematische Logik (George Boole, 1815-1864; Augustus De Morgan, 1806-1871). Sie wurde als „Kontakt-Algebra“ zuerst auf die Schaltung der Telefon-Relais angewendet; heute ist die Schaltalgebra (Abschn. 15.8) die theoretische Grundlage für elektronische Steuer- und Rechenanlagen.
Die elektromagnetischen Relais gestatteten erstmals eine elektrische Umsetzung logischer Verknüpfungen.
Grundverknüpfungen	Umsetzung z. B. durch
Negation (NICHT)	Öffner
Konjunktion (UND)	Reihenschaltung zweier	Schließer
Disjunktion (ODER)	Parallelschaltung zweier	Schließer
168
3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Abb. 3.47 Logische Schaltungen: (a) NOT( = NICHT) mit einem Wechsel-Kontakt (b) NOR (= NICHT ODER) mit zwei Öffner-Kontakten in Reihenschaltung und einem Wechselkontakt. Die Windungen symbolisieren die Relaisspulen.
Ein Relais mit Öffner-Kontakten hat keinen Stromfluss im Kontaktkreis, wenn im Magnetkreis Strom fließt. Bei einer Reihenschaltung von Schließer-Kontakten der Relais A und B kann durch den Kreis nur Strom fließen, wenn Relais A und Relais B arbeiten, bei Parallelschaltung dagegen dann, wenn Relais A oder Relais B arbeitet. Zwei einfache logische Verknüpfungen durch Schalter zeigt Abb. 3.47.
Relais, für deren Wirkungsweise die Stromrichtung keine Rolle spielt, heißen ungepolte Relais.
Gepolte (oder „polarisierte“) Relais haben zwei verschiedene Ruhestellungen (1) und (2), die durch einen positiven Strom z. B. von (1) nach (2) befördert werden und dort nach Abschalten des Stroms „selbsthaltend“ verbleiben bis ein negativer Strom sie nach (1) zurückbefördert, wo sie verbleiben bis wieder ein positiver Strom fließt. Ein gepoltes Relais kann auch als Informationsspeicher von 1 Bit (= 1 Ja/ Nein-Aussage) aufgefasst werden.
Elektromechanische Relais (Abb. 3.48), meist bestückt mit mehreren, auch verschiedenartigen Kontakten, wurden in riesigen Stückzahlen in der Telefontechnik verwendet, bis sie durch elektronische Relais verdrängt wurden.
In der Starkstromtechnik wird das Relais als Schütz bezeichnet. Da zur Aktivierung ein minimaler Ansprechstrom erreicht werden muss, kann man das Schütz so auslegen, dass es auf Überstrom oder fehlerhaften Kurzschluss zur Erde (Erdschluss) anspricht und den betroffenen Netzteil abschaltet. „Selbsthaltende“ Relais bleiben in Arbeitsstellung, auch wenn der minimale Ansprechstrom nicht mehr zugeführt
Abb. 3.48 Skizze eines Relais, wie es früher in vielen Varianten zur Schaltung von Telefonverbindungen eingesetzt wurde.
3.6 Magnete
169
wird; das ist z. B. möglich durch einen Permanentmagneten im magnetischen Kreis, der dafür sorgt, dass der Arbeitskontakt nach Schließung „kleben bleibt“, aber zu schwach ist, um das Relais aus der offenen Ruhestellung zu bringen.
Sicherungsautomaten sind selbsthaltende Schütze, die bei Überstrom einen Stromkreis unterbrechen und durch manuelle Betätigung eines Schalters wieder in die Ausgangsstellung zurückgebracht werden können.
Schrittmotoren. Im Bau ähneln viele Schrittmotoren (stepping motors) den später in Abschn. 4.4.3 behandelten Drehstrom-Synchronmotoren. Der Unterschied liegt vor allem in der Bestromung der Stator-Magnetpole: Beim Synchronmotor wird durch Bestromung mit 3-Phasen-Wechselstrom („Drehstrom“) im Stator ein magnetisches Drehfeld erzeugt, das magnetische Kräfte auf den Rotor ausübt und ihn bei der Drehung „mitnimmt“. Beim Schrittmotor erfolgt die Bestromung von einem Polpaar (oder zwei Paaren) mithilfe geeigneter elektronischer Steuerung in Form von Einzelpulsen, die den Rotor um einen „Schrittwinkel“ drehen und ihn so von einer Halteposition in die nächste positionieren. Mit einer Folge von Eingabe-Pulsen und einer entsprechenden elektronischen Schaltung kann der Schrittmotor auch als umlaufender Motor mit elektronisch steuerbarer Drehzahl eingesetzt werden.
Der zuerst entwickelte Reluktanz-Schrittmotor ist schematisch in Abb. 3.49a dargestellt. In diesem Beispiel hat der Motor drei „Phasen“, wie die bestrombaren Polpaare, markiert 1, 2 und 3, genannt werden, und der weichmagnetische Rotor hat vier „Zähne“. Bei Bestromung einer Phase ziehen die magnetisierten Statorpole die ihnen am nächsten liegenden Rotorzähne an, weil damit der magnetische Widerstand des Kreises (die Reluktanz) minimiert wird. Die Richtung des magnetischen Flusses und die Stromrichtung in der Statorwicklung sind beim Reluktanzmotor belanglos. Abb. 3.49a zeigt die Rotorstellung nach Bestromung der Phase 1; wird als nächstes die Phase 2 bestromt, erfolgt ein Schritt im Uhrzeigersinn. Die Zahl der Schritte pro Umlauf ergibt sich aus dem Produkt von Phasenzahl (hier 3) und Zähnezahl (hier 4). Der weichmagnetische Rotor hat den Vorteil, dass er mit vielen Zähnen gebaut werden kann, aber den Nachteil, dass im stromlosen Zustand kein Selbsthaltemoment existiert. Dieser Nachteil wird bei permanent magnetisierten Rotoren vermieden.
Der Permanentmagnet-Schrittmotor ist schematisch in Abb. 3.49b gezeigt mit zwei Phasen (1 — 1' und 2 — 2') und sechs Rotor-Magnetpole, die die Rolle der Zähne übernehmen; auch in diesem Beispiel ist die Schrittzahl pro Umlauf gleich 12. Für Schritte im Uhrzeigersinn sind die Statorphasen so zu bestromen, dass Nord/Süd
Abb. 3.49 Prinzip des Schrittmotors: (a) Reluktanz-Schrittmotor, (b) Permanentmagnet-Schrittmotor. Für beide Beispiele ist die Schrittzahl pro Umlauf gleich 12.
170	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
nacheinander durch die folgenden Statorpole realisiert wird: 1' — 1 (gezeigt in Abb. 3.49b), 2- 2', 1 - 1', 2' - 2.
Der Vorteil einer hohen Zähnezahl, wie sie beim Reluktanzmotor möglich ist, und der Vorteil eines Selbsthaltemomentes, wie es der Permanentmagnetmotor besitzt, werden beim Hybrid-Schrittmotor kombiniert. Der hartmagnetische Rotor (Ferrit) hat in der Mitte Zylinderform und ist axial magnetisiert; an beiden Enden sind gezahnte Kappen (wie Zahnräder) befestigt, die an einem Ende alle Nordpole, am anderen Ende alle Südpole sind. Die Pole des Stators haben eine gleichartig gezahnte Frontfläche. Die Rotorzähne richten sich nach den gegenüberliegenden, durch Bestromung magnetisierten Statorzähnen aus. Mit Hybridmotoren sind bis zu 1000 Schritte pro Umlauf und 100000 Schritte pro Sekunde möglich.
In den 1960er Jahren fanden Quarzuhren große Verbreitung; für deren Zeigerantrieb wurde ein miniaturisierter Schrittmotor benötigt. Die etwa gleichzeitig entwickelten ferromagnetischen Legierungen mit Lanthanoiden [in der Magnet-Werk-stofftechnik immer noch als Seltene Erden (SE) bezeichnet] haben ein besonders hohes „Energieprodukt“ (Abb. 3.46, — H • B im Punkt P), wodurch es möglich wurde, vertikal magnetisierte Dünnschicht-Magnete herzustellen, bei denen die Länge des Permanentmagneten nicht viel größer als der Luftspalt im Kreis zu sein braucht. Das Prinzip eines zweiphasigen Scheibenmagnet-Schrittmotors ist in Abb. 3.50 dargestellt. Der dünne Scheibenrotor besteht z. B. aus einer Samarium-Cobalt-Legie-rung. Durch ein besonderes Magnetisierungsverfahren werden am Scheibenrand eine große Anzahl vertikal magnetisierter Permanentmagnete wechselnder Polarität erzeugt. Die Scheibe dreht sich im Luftspalt zwischen den beiden Statorhälften. Abgebildet ist nur je ein Statorsegment pro Phase und ein kleiner Ausschnitt aus der Rotorscheibe. Mit einer Statorbestromung, die nacheinander die in Abb. 3.50a-d gezeigten Statorpol-Magnetisierungen hervorruft, bewegt sich die Scheibe im Bild nach rechts.
Abb. 3.50 Prinzip eines zweiphasigen Scheibenmagnet-Schrittmotors. Gezeigt ist je ein Statorelement pro Phase und ein kleiner Ausschnitt aus der Rotorscheibe.
3.7 Drehspul-Messinstrumente
173
ständnis aller Messungen aus der vorelektronischen Zeit. Galvanometer sind im Prinzip wie die Drehspul-Zeigerinstrumente aufgebaut (Abb. 3.52). Die höchstempfindlichen Galvanometer mit Torsionsfadenaufhängung der Drehspule und Drehspiegelablesung mit Lichtzeiger standen am Ende einer langen technischen Entwicklung: Am Anfang stand die Oerstedt’sche Entdeckung der Ablenkung einer Magnetnadel im Magnetfeld eines Leiterstroms. Die „Multiplikatorwirkung“ der Windungszahl einer Spule wurde 1820 von J.S. Schweigger entdeckt, fast gleichzeitig mit J. C. Poggendorffund A.M. Ampere. Die Messung des Ablenkwinkels der Nadel mithilfe einer in Grade eingeteilten Skala (A. C. Becquerel 1826) machte die Anordnung zum Messinstrument. Die Drehspule wurde 1841 von Wilhelm Weber eingeführt, die Spiegelablesung 1853 durch Gustav Wiedemann.
Optimierung des Innenwiderstandes. Bei den Galvanometern ist die optimale Größe des Innenwiderstandes von anderen Überlegungen bestimmt als bei den typischen Verwendungen von Zeigerinstrumenten. Das soll kurz erläutert werden: Alle magnetomechanischen Strommessgeräte nehmen elektrische Leistung auf, weil die Spulen einen unvermeidlichen ohmschen Widerstand haben. Solange dieser Leistungsbedarf des Instruments vernachlässigbar klein ist gegenüber der sonst im Netzwerk umgesetzten Leistung, kann man das Instrument für eine minimale Verfälschung der Strom- und Spannungsverteilung im Netzwerk auslegen. Das heißt, man baut Amperemeter mit wenigen Windungen aus dickem Draht, um den Innenwiderstand und damit den Spannungsabfall am Instrument klein zu halten; Voltmeter baut man mit vielen Windungen aus dünnem Draht, um den Innenwiderstand möglichst groß und damit die Stromaufnahme des Instruments klein zu machen.
Ganz anders waren die Überlegungen beim Galvanometer. Hier wollte man die größtmögliche Empfindlichkeit des Instruments erreichen, und dazu musste man dafür sorgen, dass die vom Instrument benötigte Leistung überhaupt hinein gelangen konnte. Weil das ein Anpassungsproblem von genereller Bedeutung ist, soll es hier vorgerechnet werden: Eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand /?Q und der Leerlaufspannung Uo liefert eine vom Strom / abhängige Klemmenspannung U, die den Strom durch das Galvanometer mit dem Innenwiderstand Rr. treibt:
oder
LP = (/{,. +KJ/.	(3.120)
Damit lässt sich die vom Galvanometer aufgenommene Leistung wie folgt schreiben:
ü,/2
= U20Rg(Rq + Rg)-2.	(3.121)
Mit von Null zunehmendem Ra wächst PG zunächst linear an, solange Ra < RQ ist. Für Ra |> Rq wird PG proportional zu l/l?o und geht nach null. Um das Maximum für PG zu finden, bilden wir aus Gl. (3.121) die Ableitung dPa/<iRa und bestimmen deren Nullstelle. Damit ergibt sich
PG — Maximum für Ra — RQ.	(3.122)
174	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Man musste also bei der Auswahl des Galvanometers soweit wie möglich auf Widerstandsanpassung an die Quelle achten. War der sehr kleine Strom von einer Quelle mit sehr hohem Innenwiderstand zu messen (Beispiel: Strom eines Elektronenstrahls), dann wählte man als „stromempfindliches Galvanometer“ das Instrument mit den meisten Windungen und dem höchstmöglichen Innenwiderstand. War dagegen die sehr kleine Spannung einer Quelle mit ganz geringem Innenwiderstand zu messen (Beispiel: Thermospannungen von Metallen), dann musste das „spannungsempfindliche Galvanometer“ den kleinstmöglichen Innenwiderstand, d. h. wenig Windungen eines relativ dicken Drahtes haben.
Leistungsaufnahme der Galvanometer. Die Leistungsaufnahme für eine Galvanometer-Messung an der Nachweisgrenze berechnet sich wie folgt:
P = J- R
rG,min -/min-A'G
- Og-	(3-123)
Bezogen auf den Minimalausschlag eines 1 m langen Lichtzeigers von 1 mm, lag die Nachweisgrenze für Strom bei etwa 10 10 A (Ra = 800 Q) und für Spannung bei 10 7 V (Ra = 12 Q). Daraus ergeben sich minimale Leistungsaufnahmen von ca. 10 n bzw. 10 17 W bei Strom- und Spannungsmessungen. Diese höchstempfindlichen Galvanometer benötigten gute magnetische Abschirmung und erschütterungsfreie Aufstellung. Robustere, weniger empfindliche Spiegelgalvanometer hatten Leistungsaufnahmen im Bereich von 10 10 bis 10 13 W.
Galvanometer waren zwar sehr empfindliche aber nicht besonders genaue Instrumente (Ablesefehler von 1 bis 2%). Für sehr genaue Messungen wurden sie daher möglichst als Nullinstrumente, z. B. in Brückenschaltungen, eingesetzt.
Dynamisches Verhalten des Galvanometers. Das Galvanometer ist ein schwingungsfähiges System. Das über die Torsionsfadenaufhängung gegebene Rückstell-Dreh-moment ist proportional zur Abweichung von der Ruheposition 30. Mit dem Einschalten eines Gleichstroms / erhält das System ein zusätzliches Drehmoment, das einer plötzlichen Verlagerung der Ruheposition entspricht. Das System führt eine freie gedämpfte Schwingung aus, bis es in der Winkelposition 30 + zur Ruhe kommt. Beim Ausschalten des Stroms geschieht das Entsprechende: Mit der Anfangsposition 30 + Sj und der Anfangs-Winkelgeschwindigkeit null beginnt eine freie gedämpfte Schwingung; die Ruheposition ist der Nullpunkt 30.
Die Dämpfung des schwingungsfähigen Systems wird beim Galvanometer nur zu einem sehr kleinen Teil durch die (Luft-)Reibung bestimmt. Die im nächsten Kapitel erläuterte elektromagnetische Induktion verursacht in der Drehspule eine zur Winkelgeschwindigkeit proportionale Induktionsspannung, die im Spulenstromkreis mit dem Widerstand RK nach dem Ohm’schen Gesetz einen Induktionsstrom treibt. Die magnetische Wechselwirkung des Induktionsstroms mit dem Magnetfeld, in dem sich die Spule dreht, übt auf die Drehspule ein der Drehung entgegengerichtetes (dämpfendes) Drehmoment aus. Mithilfe von Vor- oder Nebenwiderständen zum Galvanometer-Innenwiderstand Ra lässt sich der Widerstand des Spulenstromkreises Rk und damit auch die Dämpfung des Systems variieren. Optimal ist der aperiodische Grenzfall, in dem die Ruhelage am schnellsten erreicht wird
3.7 Drehspul-Messinstrumente
175
Abb. 3.53 Galvanometer-Ausschlag als Funktion der Zeit nach dem Ausschalten eines Stroms für kleine, kritische und große Dämpfung (Schwingfall, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall).
(Abb. 3.53). Maximale Dämpfung (RK — RG), erwünscht für den Instrumenten-Transport, erhält man mit dem Kurzschluss der Galvanometer-Klemmen.
Ballistisches Galvanometer. In dieser Funktion wurde das Instrument zur Messung von kleinen Ladungsmengen (Stromstößen) verwendet. Wenn die Zeit des Stromflusses klein ist gegen die Ansprechzeit (Zeitkonstante) des Messinstrumentes, dann ist die „Reaktion“ des Instrumentes ein Maß für das Zeitintegral über den Strom, also für die insgesamt geflossene Ladung. Zur Messung solcher Stromstöße benutzte man vorzugsweise ein kritisch gedämpftes Galvanometer und beobachtet den Umkehrpunkt der aperiodischen Schwingung. Zur Eichung benutzte man Stromstöße von Kondensator-Entladungen.
Kriechgalvanometer. Das ist ein Instrument ohne Rückstell-Drehmoment (Richtmoment). Statt Torsionsfaden-Aufhängung der Drehspule besitzt ein solches Instrument Spitzenlagerung; Goldstreifen dienen als nicht-federnde Stromzuführung. Ohne Richtmoment gibt es keinen definierten Nullpunkt. Übertragener Drehimpuls und Dämpfung bestimmen, wie weit die Instrumenten-Anzeige auf der Skala durch den Stromstoß vorzeichengerecht nach rechts oder links versetzt wird. Durch gezielte Hilfsstromstöße kann die Anzeige vor der nächsten Stromstoß-Messung zu einem beliebig wählbaren Ausgangspunkt gebracht werden. Das Instrument ließ sich nicht nur zur Messung von Stromstößen verwenden, sondern genausogut zur Messung von Spannungsstößen, wie sie infolge der elektromagnetischen Induktion bei Änderungen magnetischer Flüsse auftreten (Kap. 4). Deshalb wurde das Kriechgalvanometer auch Flussmesser genannt.
Messung schnell veränderlicher Vorgänge. Um zu zeigen, wie vor der Einführung des Elektronenstrahl-Oszillographen schnell veränderliche Vorgänge untersucht wurden, wird kurz auch der Schleifenoszillograph vorgestellt, ein Instrument, das früher in der Elektrotechnik eine sehr große Rolle spielte.
Zwei dünne Drähte befinden sich im Feld des Permanentmagneten (Abb. 3.54). Der Strom fließt in beiden Drähten in entgegengesetzter Richtung. Dadurch wird ein kleiner Spiegel, der zwischen beiden Drähten angeklebt ist, entsprechend der Stromstärke gekippt, weil die Bewegungsrichtung der Drähte wegen der entgegen-
3.8 Internet-Hinweise zu Kapitel 3
177
3.8.2 Magnete
Permanentmagnete. Webshop „Supermagnete“: http://www.supermagnete.de = Link 3-4 Weiter z. B. mit => Produkte „Kugeln“, „Scheiben“, „Stäbe“ ..., => Info „FAQ“, => Info „Links“ => Neodymium Supermagnets - Some Demonstrations
Hysterese. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Hysteresis:
Link 3-5
Magnetische Abschirmung. The MuShield Company, Londonderry, NH, USA: http://www.mushield.com => FAQs =
Link 3-6
Schrittmotore. Minebea Co„ Ltd., Karuizawa Manufacturing Unit, Nagano 389-0293, Japan: http://www.minebea.co.jp => English => Products => Electric Devices and Components - „PM stepping motors“ =
Link 3-7 Weiter z. B. mit => Hybrid type stepping motor
3.8.3 Biographien
Benjamin Franklin (1706-1790). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 3-8
Ergänzung: The Franklin Institute: http://www.fi.edu => Explore => (weiter unten) Online Learning Resources: „Pieces of Science“ => Index => The Lightning Rod Story (by Terry Hongell) =
Link 3-9
Henry Cavendish (1731-1810): s. Aschn. 2.7.2, Link 2—18
Luigi Galvani (1737-1798). Aus Corrosion Doctors Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 3-10
Alessandro Volta (1745-1827). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 3-11
Andre Marie Ampere (1775-1836). Aus Corrosion Doctors Biographies (s. Abschn.
1.4)	:
Link 3-12
Hans Christian Oersted (1777-1851). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 3-13
Georg Simon Ohm (1789-1854). Georg-Simon-Ohm-Fachhochschule Nürnberg: http://www.fh-nuernberg.de/seitenbaum/hochschule/ => Georg Simon Ohm Biografie =
Link 3-14
178	3 Leiterströme und magnetische Felder, Magnete
Johann Christian Poggendorff (1796-1877). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4): Link 3-15
Ergänzung: „J. C. Poggendorff- Biographisch-literarisches Handwörterbuch der exakten Naturwissenschaften“ umfasst biographische und bibliographische Angaben zu etwa 29.000 Naturwissenschaftlern auf der Basis des 2004 abgeschlossenen Gesamtwerks von Johann Christian Poggendorff: http://www.poggendorff.com
Link 3-16 Weiter mit => (weitere Informationen)
Sir Charles Wheatstone (1802-1875). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 3-17
Wilhelm Eduard Weber (1804-1891). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 3-18
Rudolf Hermann Arndt Kohlrausch (1809-1858). Aus Wikipedia Deutsch:
Link 3-19
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). Aus MacTutor Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 3-20
4 Elektromagnetische Induktion
Tab. 4.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol
Bedeutung
A A = \A\	(gerichtete) Fläche, Differential dA Fläche (Betrag) Induktionsfaktor von Spulen magnetisches Vektorpotential (in Literatur A, hier Am) Windungsfläche einer Spule (die Wicklungszahl N ist als Faktor enthalten)
c D d E F f f-'Oll G H I	magnetische Feldstärke Blindleitwert Kapazität (großer) Durchmesser (kleiner) Durchmesser, Distanz, Abstand elektrische Feldstärke Kraft Frequenz Korrekturfunktion Wirkleitwert magnetische Erregung Strom(stärke), allgemein; Strom-Effektivwert, wenn keine Verwechslung mit Gleichstrom zu befürchten ist.
4rr i i	Strom-Effektivwert Strom-Zeiger in der komplexen Ebene Wechselstrom-Augenblickswert
t	Wechselstrom-Scheitelwert
j K L £ M N n P Q q R r	Stromdichte Proportionalitätsfaktor Induktivität (gerichtete) Länge, Differential d/' Länge Magnetisierung Anzahl, Windungszahl Drehzahl (pro Minute) Leistung Ladung (kleine) Ladung, Teilchenladung, Probeladung (Wirk-)Widerstand Ortsvektor, Radiusvektor
180	4 Elektromagnetische Induktion
Größensymbol	Bedeutung
r s — T t U	Radius, radialer Abstand (gerichtete) Strecke, Differential d.v Periode (einer Schwingung) Zeit Spannung, allgemein; Spannungs-Effektivwert, wenn keine Verwechslung mit Gleichspannung zu befürchten ist.
u u ü V V w	Spannungs-Effektivwert magnetische Spannung Spannungs-Zeiger in der komplexen Ebene Wechselspannungs-Augenblickswert Wechselspannungs-Scheitelwert Volumen Geschwindigkeit Arbeit, Energie elektrische Feldenergiedichte magnetische Feldenergiedichte Blindwiderstand
Y Y Z z x, y, z a — <5 £0 £r »7 K T 0 $ CO	komplexer Leitwert (Admittanz) Scheinleitwert komplexer Widerstand (Impedanz) Scheinwiderstand kartesische Längenkoordinaten Drehwinkel Verlustwinkel (beim Kondensator) elektrische Konstante (relative) Permittivitätszahl, Permittivität Wirkungsgrad Kopplungsgrad magnetische Konstante (relative) Permeabilitätszahl, Permeabilität Zeitkonstante Winkel in der komplexen Ebene, Phasenwinkel magnetischer Fluss-Zeiger in der komplexen Ebene magnetischer Fluss Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit
Mathematisches Symbol	Bedeutung
Re() Im() c = q (cos <p + i sin <p) c - p e' <x>	— ( —l)’/2; imaginäre Einheit Realteil von ( ) Imaginärteil von ( ) komplexe Zahl in trigonometrischer Form komplexe Zahl in Euler’scher Form Mittelwert von x
Hier wurden nur die neu hinzukommenden Symbole aufgeführt; die schon in vorhergenden Kapiteln verwendeten Symbole sind in Tab. 2.1 zusammengestellt.
Ergänzende Information in Abschn. 15.4 (Vektoranalysis) und Abschn. 14.5 (Komplexe Zahlen); Schaltzeichen der Elektrotechnik auf den inneren Einbandseiten.
182	4 Elektromagnetische Induktion
Faraday zwei parallele Drähte auf, schickte durch den einen Draht einen starken Strom und verband den anderen Draht mit einem Galvanometer. Seine Arbeitshypothese orientierte sich an der elektrischen Influenz: Wenn eine geladene Platte des Plattenkondensators auf der dazu parallelen Platte eine Influenzladung hervorruft, warum soll nicht auch ein Leiterstrom einen Strom im Paralleldraht hervorrufen? Er erwartete einen Dauerstrom, der wie wir heute wissen dabei nicht auftritt. Dass zeitlich veränderliche Magnetfelder zu elektrischen Phänomenen führen könnten, vermutete damals niemand.
Die epochale Entdeckung der elektromagnetischen Induktion durch Michael Faraday (Abb. 4.1) geschah am 29. August 1831 als er einen weiteren Versuch unternahm, eine elektrische Wirkung des Magnetismus zu finden. Faraday verwendete einen Ring aus weichem Eisen (6 Zoll Außendurchmesser, 7/8 Zoll Dicke) und umwickelte ihn mit zwei elektrisch getrennten Wicklungen A und B. Die Wicklung B verband er mit einem Galvanometer, die Wicklung A mit einer Batterie. Beim Einschalten des Batteriestroms beobachtete er, dass die Galvanometernadel oszillierte bevor sie wieder in die Ruhestellung zurück ging. Auch beim Ausschalten sah er eine „Beunruhigung der Nadel“. Die Anordnung, mit der Faraday die Induktion entdeckte, bezeichnen wir heute als Transformator (Abschn. 4.3.4).
Abb. 4.2 Induktionsversuch: Aus Bauteilen zusammengesetzter magnetischer Kreis mit Spule um einen Schenkel. Das Messinstrument zeigt beim Ein- und Ausschalten des Spulenstroms entgegengerichtete Spannungsstöße an.
Die Abb. 4.2 zeigt einen Demonstrationsversuch, der im Prinzip genau dem Fa-raday’schen Experiment entspricht, aber übersichtlicher und technisch bequemer ist:
-	Anstelle des Ringkerns kann ein aus geraden Stücken mit quadratischen Querschnitten zusammengesetzter magnetischer Kreis verwendet werden. Solche Stücke gibt es in Experimentier-Bausätzen.
-	Die Wicklung A, durch die der magnetisierende Strom geschickt wird, braucht nicht gleichmäßig über den magnetischen Kreis verteilt zu sein. Es genügt, dass vor dem Zusammenbau des Kreises in einen Schenkel eine passende Spule aus dem Bausatz eingefügt wird. Das erspart das Umwickeln eines Ringkerns per Hand.
-	Wenn die Messschleife (test loop) N Windungen besitzt, also A'-mal mit dem magnetischen Kreis verschlungen ist, dann ist die Größe des Effektes zu N propor
tional. Für die folgenden Demonstrationen ist es jedoch vorteilhafter, nur eine Windung zu benutzen und zur Signalverstärkung lieber ein stärkeres magnetisierendes Spulenfeld zu erzeugen oder ein empfindlicheres Messgerät einzusetzen.
Mit einem empfindlichen Drehspulinstrument (Galvanometer), das den Nullpunkt in der Skalenmitte hat, lässt sich demonstrieren, dass beim Ein- und Ausschalten des magnetisierenden Gleichstroms in der Messschleife Spannungsstöße mit unterschiedlichem Vorzeichen induziert werden. Für weitergehende Demonstrationen empfiehlt sich die Verwendung von Wechselstrom:
-	Statt einen Gleichstrom ein-, aus- oder umzuschalten, kann man die magnetisierende Spule mit 50-Hz-Wechselstrom betreiben. Dann wird in der Messschleife eine 50-Hz-Wechselspannung induziert.
-	Statt des Drehspulinstruments wird ein elektronischer Messverstärker mit eingebautem Gleichrichter für Wechselstrommessungen verwendet.
Mit der in Abb. 4.2 gezeigten Anordnung lassen sich leicht folgende Erkenntnisse gewinnen:
-	Mit einem langen Kabel als Messschleife wird demonstriert, dass Größe und Lage der Messschleife überhaupt keinen Einfluss auf die Anzeige des Messinstrumentes haben. Mit erst nur einer, dann zwei oder drei „Umschlingungen des magnetischen Kreises“ wird ersichtlich, dass die Zahl der Umschlingungen N als Faktor eingeht.
-	Mit einem abgeschirmten Koaxialkabel wird gezeigt, dass die elektrische Abschirmung der Messschleife (geerdet oder auch nicht) keinen Einfluss auf den Induktionseffekt hat.
-	Durch Umwickeln der Messschleife mit magnetischer Abschirmfolie (so gut wie das möglich ist) wird gezeigt, dass auch die magnetische Abschirmung der Messschleife den Effekt nicht beeinflusst.
Mit Wechselstrom-Magnetisierung und einem Zweikanal-Oszilloskop (Abschn. 11.2.3) als Messinstrument kann studiert werden, wie die Induktionsspannung Uind in der Messschleife und der magnetisierende Spulenstrom / zeitlich korreliert sind. Dazu muss auch der Windungssinn von Spule und Messschleife festgestellt werden: Für die in Abb. 4.2 markierte Spulenstrom-Richtung ist der magnetische Fluss im linken Schenkel nach oben, im rechten nach unten gerichtet. Bei der Messschleife wird der Drehsinn dadurch definiert, dass der (positive) Signalstrom durch das Messinstrument hindurch von der Plus-Klemme zur Minus-Klemme fließt. In der Abb. 4.2 haben Spule und Messschleife bezüglich der Flussrichtung denselben Schraubensinn, wenn sich der Pluspol des Messinstruments links befindet. Für diesen Fall zeigt das Oszilloskop folgendes an: Wenn der Strom durch
l(t) = Io sinmt, cd = 2nf (Kreisfrequenz)
(4-1)
gegeben ist und der magnetische Kreis nicht bis zur Sättigung ausgesteuert wird, dann ergibt sich
^indCO-----cosot.
(4.2)
184	4 Elektromagnetische Induktion
Weil der magnetische Fluss $ dem Strom I proportional ist und der Kosinus die Ableitung des Sinus ist, lässt sich diese Korrelation auch so formulieren:
C7ind(Z) ~ - d^ (0/dZ.	(4.3)
Das Vorzeichen gilt für positiven Schraubensinn der Messschleife in Bezug auf die Flussrichtung.
4.1.2 Quantifizierung, Lenz’sche Regel
Spannung und Feldstärke. Das Auftreten einer (zeitlich veränderlichen) induzierten Spannung (induced voltage) ist gleichbedeutend mit der Existenz eines (zeitlich veränderlichen) elektrischen Feldes entlang der Messschleife. Die in Kap. 2 eingeführten Definitionen der Spannung als Potentialdifferenz in einem statischen elektrischen Feld und die Definition der Feldstärke als negativer Gradient der Potentialfunktion müssen nun revidiert werden. Denn bei dem Induktionsversuch von Abb. 4.2 ist die Spannung abhängig vom Weg, zwar nicht von der Lage der Messschleife außerhalb des magnetischen Flusses, wohl aber von der Anzahl der Fluss-Umschlingungen! Das bedeutet: Die Induktionsfeldstärke kann nicht als negativer Gradient einer skalaren Potentialfunktion beschrieben werden. Die Spannung zwischen zwei Punkten ist zwar immer noch das Wegintegral über die Feldstärke, aber der Wert ist nicht mehr unabhängig vom Integrationsweg! Deshalb muss nun der Integrationsweg angegeben werden; bei Messschleifen ist es immer die durch den Kabeldraht gegebene Kurve im Raum. Für die Induktionsspannung schreiben wir
$ E'ds
Messschleife
(ds = Wegelement).	(4.4)
Das Vorzeichen hängt vom Umlaufsinn bei der Integration ab. Bei mehreren Umschlingungen des Flusses vergrößert sich der Integrationsweg entsprechend; liegen die Windungen der Messschleife außerhalb des Flusses, genügt es, die Windungszahl TV als Faktor hinzuzufügen.
Die damals eher philosophische Frage, ob das durch Induktion hervorgerufene dynamische .E-Feld „wirklich“ existiert, auch wenn keine Leiterschleife für den Induktionsstrom vorhanden ist, wurde schon von Faraday bejaht. Heute kann das auch demonstriert werden: Mit solchen .E-Feldern werden freie Elektronen in Betatrons (Abschn. 11.3.5) beschleunigt.
Größe der Induktionsspannung. Mit Maßeinheiten und Messmethoden, die zur Zeit der Faraday’schen Entdeckung noch nicht verfügbar waren, konnte später die Induktionsspannung quantitativ mit der zeitlichen Änderung des Flusses verglichen werden. Daraus ergab sich, formuliert mit heutigen Begriffen, dass der Proportionalitätsfaktor, der in Gl. (4.3) noch eingefügt werden muss, gleich „1“ ist:
d<P
(4’5)
Die Einheiten stimmen auch: links Volt und rechts T m2/s = V s/s = Volt.
Das ist ein erstaunliches Ergebnis! Die im magnetischen Fluss enthaltene Feldstärke B war über die Kraft auf einen Leiterstrom eingeführt worden. Für ein völlig neues Naturphänomen, wie es die elektromagnetische Induktion offensichtlich ist, hätte man als neue Beziehung zwischen zwei schon in anderem Zusammenhang definierten physikalischen Größen ein Naturgesetz mit einer von eins verschiedenen und einheiten-behafteten Naturkonstante erwartet. An dieser Stelle können wir den Sachverhalt nur als ein Indiz werten, dass die neue Physik der elektromagnetischen Induktion vielleicht in einer hier noch nicht ersichtlichen Weise mit bekannter Physik in Verbindung steht. Wir kommen in den Abschnitten 4.1.4 und 4.1.6 darauf zurück.
Wir verknüpfen die obigen Gleichungen zu folgender Formulierung des Induktionsphänomens:
r	d<Z> „ dB
eß Eds —------— — f f---dA
y	dt dt
(dA = vektorielles Flächenelement).	(4.6)
Bei dieser Schreibweise wird impliziert, dass der Umlaufsinn beim linken Integral und die Richtung des Flächenelementes dA vom rechten Integral zusammen eine Rechtsschraube definieren.
Der Stokes’sche Satz liefert die Differentialform von Gl. (4.6):
dB
Vx£=-—.	(4.7)
dt
Mit dem magnetischen Vektorpotential Am, implizit definiert als
B=Vx<,	(4.8)
ergibt sich für die Induktionsfeldstärke
dA
(4.9)
dt
Lenz’sche Regel. Das Minuszeichen in Gl. (4.6) bedeutet z. B. für den Versuch von Abb. 4.2, dass ein von der Induktionsspannung getriebener Strom in der Messschleife einen Drehsinn bezüglich des Flusses besitzt, der dem Drehsinn des magnetisierenden Spulenstroms bezüglich des Flusses entgegengesetzt ist, falls d$/dt positiv ist; dementsprechend sind die Drehsinne gleich, falls d$/dt negativ ist. Der Induktionsstrom in der Messschleife produziert ein eigenes Magnetfeld, über dessen Richtung man Folgendes sagen kann:
-	Wird der Induktionsstrom durch einen ansteigenden Fluss bewirkt, dann versucht das vom ihm produzierte Feld, diesen Fluss zu schwächen, d. h. den Anstieg zu verringern.
-	Wird der Induktionsstrom durch einen abfallenden Fluss bewirkt, dann versucht das vom ihm produzierte Feld, diesen Fluss zu stärken, d. h. den Abfall zu verringern.
Die Lenz’sche Regel (Lenz’s law) gilt ausnahmslos. Wir werden bei der Besprechung anderer Induktionsphänomene noch häufig darauf Bezug nehmen. Hermann Fried-
186	4 Elektromagnetische Induktion
rieh Emil Lenz (1804-1865) erkannte dieses Prinzip 1833. Weil es so wichtig ist, sagen wir es nochmal in einer allgemeineren Form:
•	Die durch Veränderung magnetischer Flüsse erzeugten Induktionsströme fließen derart, dass ihre eigenen Magnetfelder der Induktionsursache entgegenwirken.
4.1.3 Induktionsexperimente mit bewegten Magneten
Das Induktionsgesetz von Gl. (4.6) gilt unabhängig davon, wie die Flussänderung bewirkt wird. Statt die Magnetisierung und damit den magnetischen Fluss in einem von der Messschleife umschlungenen magnetischen Kreis zu ändern, könnte man genausogut einen permanent magnetisierten Stabmagneten in die Messschleife hineinschieben oder aus ihr entfernen (Abb. 4.3).
Abb. 4.3 Ein Teil des vom Stabmagneten ausgehenden magnetischen Flusses durchsetzt die Messschleife. Mit dem axialen Abstand ändert sich der von der Schleife umschlossene Fluss.
Mit der Anordnung von Abb. 4.3 lässt sich leicht demonstrieren, dass sich das Vorzeichen der Induktionsspannung umkehrt, wenn man die Bewegungsrichtung des Stabmagneten umkehrt oder wenn man (bei gleicher Bewegungsrichtung) den Stabmagneten umkehrt, also Nord- und Südpol vertauscht.
Ein leicht erkennbarer Unterschied des bewegten Stabmagneten von Abb. 4.3 zum magnetischen Kreis von Abb. 4.2 ist, dass sich nun die Messschleife im Magnetfeld befindet. Das ist offenbar belanglos, denn Gl. (4.6) bzw. Gl. (4.7) gilt in beiden Fällen.
Demonstration zur Lenz’schen Regel. Die Abb. 4.4 zeigt einen sehr eindrucksvollen Versuch: Der im Metallring induzierte Strom ist so gerichtet, dass der nun zur Magnetspule gewordene Ring die Bewegung des Stabmagneten behindert: Bei Annäherung des Stabmagneten stößt der Ring diesen ab und wird dabei selbst weggeschoben (im Bild nach rechts ausgelenkt). Zieht man den Stabmagneten aus dem Ring heraus (im Bild nach links), dann versucht der Ring, die Bewegung des Stabmagneten durch
Abb. 4.4 Zur Lenz’schen Regel: Bei Annäherung des Stabmagneten an den Metallring wird in diesem ein Induktionsstrom induziert, der dem Ring ein magnetisches Moment gibt, das Abstoßung zur Folge hat.
magnetische Anziehung zu bremsen; als Folge davon wird der Ring hinterhergezogen (im Bild nach links ausgelenkt).
4.1.4 Induktionsexperimente mit bewegten Leitern
Man kann den Versuch von Abb. 4.3 umkehren, nämlich den Stabmagneten festhalten und die Messschleife bewegen. Das auf den ersten Blick vielleicht nicht überraschende Resultat ist folgendes:
• Vorzeichen und Größe des Effektes verändern sich nicht, wenn man die Messschleife anstelle des Stabmagneten bewegt, aber die Richtung der Relativbewegung - Annäherung bzw. Entfernung - beibehält.
Diese Äquivalenz bereitet intuitiv keine Probleme, weil ja schon in der Newton’schen Kinematik gezeigt wird, dass physikalisch nur Relativbewegungen relevant sind und die Wahl des „ruhenden“ Systems willkürlich ist.
Theoretisch gibt es allerdings ein Problem: Gl. (4.6) und Gl. (4.7) gelten nicht für den Fall, dass das 2?-Feld zeitlich konstant ist und statt dessen die Lage der Messschleife zeitlich verändert wird. Im Folgenden wird gezeigt, wie man für die bewegte Messschleife die richtige Formel erhält und wie diese die beobachtete Äquivalenz erklärt.
Ein übersichtliches Gedankenexperiment mit bewegter Messschleife. Für eine quantitative Analyse eines Induktionsexperimentes mit bewegter Messschleife ist das inhomogene Magnetfeld von Abb. 4.3 ungünstig. Viel geeigneter ist die Anordung von Abb. 4.5 mit einem beweglichen Stück einer Leiterschleife in einem homogenen Feld. Das ist ein „Gedankenversuch“ für die theoretische Betrachtung; zur Demonstration oder Messung des Effektes sind andere Anordnungen, z. B. eine rotierende Spule mit vielen Windungen, geeigneter.
Das homogene 2?-Feld steht senkrecht auf der Schleifenebene. Die Längsseiten der rechteckigen Schleife sind zwei Metallschienen. An der linken Querseite ist das Messinstrument in den Stromkreis eingefügt. Die rechte Querseite der Schleife wird durch einen Metallstab gebildet, der auf den Schienen parallel verschoben werden kann. Im Anfangszustand besteht die Leiterschleife aus dem Rechteck ABCD und dem zwischen C und D eingefügten Instrument; der Stab berührt die Schienen im
Abb. 4.5 Anordnung eines Gedankenexperimentes: Induktion durch Verschiebung eines Teils AB einer Leiterschleife, die sich in einem zu ihr senkrechten homogenen und zeitlich konstanten ß-l'eld befindet, zur neuen Position A'B'.
188
4 Elektromagnetische Induktion
Abstand t in den Punkten A und B. Dann erfolgt eine Parallelverschiebung des Stabes um die Strecke dx zu den neuen Kontaktpunkten A' und B'. Man bemerke, dass hier Zf-Feld, Stabrichtung und Stab-Bewegungsrichtung drei zueinander senkrechte Größen sind. Zur weiteren Idealisierung kann man sich vorstellen, dass die Parallelverschiebung des Stabes im Magnetfeld mit konstanter Geschwindigkeit
fstab = dx/dZ	(4d0)
stattfindet. Jetzt haben wir eine gleichförmige Bewegung des Leiterschleifenstückes in einem dazu senkrechten homogenen Magnetfeld.
Die vom Instrument in Abb. 4.5 gemessene Spannung t/ind ergibt sich aus dem über die Leiterschleife erstreckten Wegintegral der induzierten elektrischen Feldstärke:
t4„d= I Emd-ds.	(4.11)
Schleife
Für die idealisierte Anordnung des Gedankenexperiments von Abb. 4.5 können wir vermuten, dass die Induktionsfeldstärke Eind in dem beweglichen Teil der Schleife auf der Länge / zwischen den Auflagepunkten des parallelverschobenen Stabes auftritt, weil nur dort physikalisch etwas geschieht. Diese Vermutung führt gemäß Gl. (4.11) für die Induktionsspannung zu dem Ausdruck
m„di = i£.„d-n	(4-i2)
wobei jetzt nur die Beträge betrachtet werden; über die Vorzeichen wird weiter unten entschieden.
Aus dem in Abschn. 4.1.2 behandelten Induktionsgesetz und der Tatsache, dass es bei Bewegungsexperimenten zur Induktion nur auf die Relativbewegung (Annäherung bzw. Entfernung) ankommt, muss das Gedankenexperiment folgendes Ergebnis liefern:
mndi = i<w<hi
= |^rstJ.	(4.13)
Ein Vergleich von Gl. (4.12) und Gl. (4.13) ergibt
|£.„dl = l^sJ-	(4-14)
Im Gedankenversuch von Abb. 4.5 stehen Eind, B und cSl.lh zueinander senkrecht. Bilden rstab und B einen Winkel 4= 90°, dann ist, wie man leicht aus Abb. 4.5 ersehen kann, die Änderung des umschlossenen magnetischen Flusses proportional zu sin(rstab, B). Will man Gl. (4.14) als Vektorprodukt von rstab und B formulieren, dann kann man sich das richtige Vorzeichen mithilfe der Lenz’schen Regel beschaffen: Der vom Induktionsstrom durchflossene Stab erfährt im Magnetfeld eine Kraft
F = I/' z B.	(4.15)
wobei Z hier die Richtung des Stromflusses angibt. Diese Kraft wirkt entsprechend der Lenz’schen Regel der Stabbewegung entgegen, also im Bild nach rechts. Da B nach unten zeigt, ergibt sich ein Stromfluss wie in Abb. 4.5 eingezeichnet. Die Induktionsfeldstärke zeigt also von Punkt B nach Punkt A. Somit liefert die Lenz’sche Regel, dass Gl. (4.14) als Vektorprodukt wie folgt geschrieben werden muss:
Emd = vsiab x B.	(4.16)
Diese Formel beschreibt also die Physik der Induktionsexperimente, bei denen die Messschleife oder ein Teil derselben durch ein zeitlich konstantes Magnetfeld bewegt wird.
Wegen des Fehlens einer Naturkonstanten in Gl. (4.5) hatten wir schon über eine Verbindung des neuen Naturphänomens „Induktion“ mit bekannter Physik spekuliert. Diese Verbindung wird nun allmählich erkennbar: Die Gl. (4.16) kann mit der „Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter“ in Beziehung gesetzt werden, wenn man- wie es von H. A. Lorentz 1892, also lange nach der Faraday’schen Entdeckung, gezeigt wurde - vom Leiterstrom auf eine mit konstanter Geschwindigkeit r im Leiter bewegte Ladung q übergeht. Die Lorentz-Kraft auf die Ladung q (vgl. Gl. (3.34)) ist gegeben durch
Fq = q vq x B,	(4.17)
multipliziert man Gl. (4.16) mit q, dann ergibt sich
QEmd^qvs^xB.	(4.18)
Die Ähnlichkeit ist deutlich! Offenbar gibt es eine physikalische Verwandtschaft mit der Lorentz-Kraft.
Zwei Aspekte der Lorentz-Kraft auf Leitungselektronen. Die Bewegung eines Leitungselektrons mit der Ladung q kann entweder elektrisch, d. h. bewirkt durch ein .E-Feld, entlang des Leiters erfolgen oder mechanisch, z. B. wie in Abb. 4.5 senkrecht zum Leiter durch dessen Parallelverschiebung. Die (elektrische) Bewegung mit der Ladungstransport-Geschwindigkeit vq im Feld B führt zu einer (mechanischen) Kraft Ft auf den Leiter (Abb. 4.6a); die mechanische Bewegung des Leiterstückes, senkrecht zu seiner Länge, mit der Geschwindigkeit ve führt zu einer Kraft F auf die Ladungsträger (Abb. 4.6b), die gleichbedeutend mit dem Auftreten einer induzierten elektrischen Feldstärke EmA ist:
Fq = qEmä.	(4.19)
Abb. 4.6 Zwei verschiedene Wirkungen der Lorentz-Kraft auf Leitungselektronen: (a) Kraft Fe auf einen stromdurchflossenen Leiter, (b) Induktionsfeldstärke EitiA — F /q in einem mit der Geschwindigkeit ve bewegten Leiter.
190	4 Elektromagnetische Induktion
Bewegung des Leiters
Magnetfeld (von vorn nach hinten)
Abb. 4.7 Zur Entstehung der Induktionsspannung in einem Metallstück. Durch die Schattierung ist rechts eine Elektronenanhäufung dargestellt.
Die Existenz einer Induktionsfeldstärke längs eines bewegten Leiterstückes, das nicht Teil eines Stromkreises ist, führt zu Ladungsverschiebungen (Influenz) bis zur Kompensation der Induktionsfeldstärke. In einem Metallstück resultiert daraus ein „Elektronenüberschuss“ auf der einen und ein „Elektronenmangel“ auf der anderen Seite. Das ist in Abb. 4.7 bildlich dargestellt.
In Abb. 4.8 ist eine rechteck-förmige geschlossene Leiterschleife dargestellt. Bei einer linearen Bewegung der Schleife senkrecht zum E-Feld würden die induzierten .E-Felder bei der Integration über die Schleife die Induktionsspannung null ergeben. Bei der Drehung einer Schleife um eine zum E-Feld senkrechten Achse tritt jedoch eine Induktionsspannung auf, weil sich bei der Drehung die gegenüberliegenden Schleifenstücke mit entgegengesetzter Geschwindigkeit senkrecht zum E-Feld bewegen und dadurch entgegengesetzte Induktionsfeldstärken aufweisen, die sich beim Wegintegral über die Schleife zu einer von null verschiedenen Spannung addieren. Im geschlossenen Leiter-Rechteck von Abb. 4.8 würde also ein Induktionsstrom fließen und die Abweichungen von der Ladungsneutralität abbauen.
Abb. 4.8 Drehen einer Drahtschleife im magnetischen Feld. Hier wirken die Induktionsfeldstärken auf den gegenüberliegenden Seiten im gleichen Sinn und treiben einen Strom.
4.1.5 Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes
Die Physik für zeitlich veränderliche magnetische Flüsse, umschlossen von räumlich fixierten Leiterschleifen, wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:
dB	dAm
Vx£“=“d7 bzw-	(4’20)
Diese Gleichung gilt immer. Es ist belanglos, ob die Flussänderung durch Ummagnetisierung wie in Abb. 4.2 oder durch Bewegung eines Magneten zustande kommt.
Bei mit der Geschwindigkeit r bewegten Leiterschleifen oder Stücke derselben kann man die (kinematisch-magnetische) Lorentz-Kraft auf die Ladungsträger im Leiter als Produkt von Ladung und induzierter elektrischer Feldstärke interpretieren; letztere ist gegeben durch
Bmd = v x B.	(4.21)
Gl. (4.20) und Gl. (4.21) beschreiben zusammen die Gesamtheit aller Induktionsphänomene.
In der Integralform kann man mit einer einzigen Formel auskommen, wenn man bei der Integralbeziehung von Gl. (4.6) den Operator der zeitlichen Ableitung vor das Integral zieht und nun auch zeitliche Änderungen der Integrationsgrenzen mit einbezieht:
r	dd>
&E . • ds =-----
y ,nd	dz
=	(4-22)
Weil aber Integrale mit veränderlichen Integrationsgrenzen mathematisch schwerfällig sind, bevorzugt man für technische Zwecke eine Formel, in der nur die zeitliche Änderung des umschlossenen Flusses steht, die durch Feldänderung oder durch Bewegung der Leiterschleife (oder beides) zustande kommt:
d
^"''uul	^umschlossen*	(4.23)
Das Vorzeichen bezieht sich auf den konventionellen Rechtsschraubensinn für Messschleife und Flussrichtung. Das ist die Beziehung für eine Umschließung; selbstverständlich kommt bei mehrfacher Umschließung die Windungszahl N als Faktor hinzu.
Integralform des Induktionsgesetzes gilt nicht immer. Die elegante Gl. (4.23) hat ihre Tücken, weil sie auf dem Integral von Gl. (4.22) beruht und nur dann das richtige Ergebnis liefert, wenn der zeitabhängige Integrationsweg so eindeutig (mathematisch: einfach-zusammenhängend) ist wie z. B. ein zu einer Leiterschleife gebogener Draht. Zur Verdeutlichung des Problems sollen hier einige Induktionsexperimente angegeben werden, für die Gl. (4.23) nicht gilt, während die differentiellen Gl. (4.20) und Gl. (4.21) immer richtig sind.
192	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.9 Magnetorotationsapparate: (a) Metallbügel wird quer zum ß-I 'eld gedreht (Variante des Barlow’schen Rades), (b) axial magnetisierter Eisenzylinder wird axial gedreht (Unipolarmaschine).
In der Anordnung von Abb. 4.9a wird ein Metallbügel, der auf einem Metallring schleift, wie ein Uhrzeiger quer zum Magnetfeld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit a> bewegt. Nach Gl. (4.21) entsteht im Bügel eine mit der Tangentialgeschwindigkeit (also radial) zunehmende Induktionsfeldstärke. Zwischen Drehachse und Schleifring kann eine zeitlich konstante Induktionsspannung gemessen werden, obwohl sich nach einem vollen Umlauf an dem vom Stromkreis umschlossenen Fluss überhaupt nichts geändert hat. Die Gl. (4.23) gilt hier nicht, weil die Leiterschleife mit Ringkontakt und umlaufenden Metallbügel keinen einfach zusammenhängenden Integrationsweg definiert. - Mehrere umlaufende Metallbügel, die alle die gleiche Spannung liefern und parallel geschaltet sind, kann man als Speichen eines Rades auffassen und schließlich gedanklich zu einem massiven Rad zusammenfassen. Für den elektrischen Kontakt an der Radperipherie benötigt man dann nicht mehr den Ring, sondern nur noch eine Kontaktstelle: Beim Barlow’schen Rad (Abb. 3.39) ist es die Rinne mit der Salzlösung. Bei einem mechanisch angetriebenen Barlow’schen Rad entsteht also zwischen Radachse und Kontaktrinne eine Spannung! Integriert man über die radial zunehmende Induktionsfeldstärke von der Mitte bis zum Außenradius r dann ergibt sich für die induzierte Spannung die Beziehung
=	(4-24)
Die so gennante Unipolarmaschine von Abb. 4.9b besitzt eine unbewegliche Leiteranordnung mit Schleifkontakten an den Stellen A und B und einem axial remanent magnetisierten Eisenzylinder, der mit der Winkelgeschwindigkeit a> um seine Achse rotiert. Zur Erklärung, warum hier überhaupt eine induzierte Spannung auftritt, betrachten wir eine Leiterschleife, die auf dem Zylinderumfang über die Punkte B und C verläuft und keinen magnetischen Fluss umschließt. Die Rotation des magnetisierten Zylinders zerlegen wir gedanklich in zwei Schritte: (1) In der Zeit dt dreht sich der Zylinder um den Winkel dtp — ojdt und nimmt die auf dem Zylinder verlaufende Leiterbahn mit, so dass die Leiterschleife nun über die Punkte B—B' —C'—A geschlossen wird und dabei den magnetischen Fluss umschließt, der an
der Zylinder-Stirnfläche aus tritt und durch das Produkt von magnetischer Feldstärke B und Sektorfläche (r2/2) dcp gegeben ist. (2) Nun gehen wir gedanklich zurück zu der ursprünglichen, über B—C—A verlaufenden Leiterschleife und dabei wird der umschlossene Fluss wieder gleich null. Wie eine einfache Rechnung zeigt, wird die induzierte Spannung ebenfalls von der für Abb. 4.9a geltenden Gl. (4.24) beschrieben.
Beide Anordnungen sind äquivalent, trotz ihrer augenscheinlichen Unterschiede. Wie man sich durch Einsetzen plausibler Werte überzeugen kann, liegen die mit solcher Anordnung erzeugbaren Spannungen im Bereich von Millivolt, können also leicht nachgewiesen werden.
Abb. 4.10 Versuchsanordnung, mit der demonstriert werden kann, dass die Änderung eines umschlossenen magnetischen Flusses nicht immer zu einer Induktionsspannung führt (schematisch).
Sehr instruktiv ist auch der in Abb. 4.10 skizzierte Versuch, für den nach Gl. (4.23) eine Induktionsspannung zu erwarten wäre, die jedoch nicht auftritt: Die Messschleife umschließt den magnetischen Fluss eines magnetisierten Eisenringes. Die Schleife kann an einem Ende (im Bild oben) geöffnet und so aus dem Ring herausgezogen werden. Auch wenn man dafür sorgt, dass während des ganzen Vorgangs der Stromkreis durch Berührungskontakt geschlossen bleibt, wird keine Spannung induziert, obwohl der anfänglich umschlossene Fluss am Ende nicht mehr umschlossen wird.
Die Gl. (4.23) - bzw. Gl. (4.22) - versagt in diesem Fall, weil kein einfach-zusammenhängender Integrationsweg gegeben ist. Die immer gültigen Gl. (4.20) und Gl. (4.21) ergeben hier keinen Induktionseffekt, weil sich weder ein Fluss zeitlich ändert noch die Bewegung eines Leiterstücks quer zu einem Magnetfeld stattfindet.
Abgesehen von diesen und ähnlichen Ausnahmen, vor denen nur einmal gewarnt werden sollte, ist Gl. (4.23) eine für die allermeisten Fälle sehr brauchbare und elegante Zusammenfassung der Induktionsphänomene.
4.1.6 Didaktische Variante
Die Vermittlung physikalischer Kenntnisse muss nicht in historischer Reihenfolge erfolgen. Gerade im Fall des Induktionsgesetzes, bei dem die nicht hingeschriebene Proportionalitätskonstante „1“ in Gl. (4.5) eine Verbindung mit schon bekannter Physik anzeigt, ist zu prüfen, ob eine andere, nicht-historische Art der Darstellung didaktische Vorteile bringt.
194	4 Elektromagnetische Induktion
Vom Ampere’schen Gesetz zu Induktionsexperimenten mit bewegten Leitern. Mit der Gl. (3.28)
/	/ Z x B	(4.25)
und der richtigen Modellvorstellung über die metallische Leitfähigkeit (bewegte „Ladungsträger“ in einer ladungsneutralisierten Umgebung) ergibt sich die Lorentz-Kraft (Gl. (3.34)):
F = q v x B.	(4.26)
Die Vorstellung von Trägern der Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit c quer zum Feld B bewegen, lässt sich - wie in Abb. 4.6 skizziert wurde - nicht nur auf die elektrisch bewegten Ladungsträger anwenden, die quer zur Stromrichtung eine Kraft erfahren, sondern auch auf solche, die mechanisch mit dem Leiterstück quer zum B-Feld bewegt werden: Im letzteren Fall zeigt die Lorentz-Kraft in die Richtung des Leiterstückes und kann als die Wirkung einer „induzierten“ elektrischen Feldstärke Eind auf die Ladung q interpretiert werden (Gl. (4.21)):
Emd = v x B.	(4.27)
Das bedeutet: Im Prinzip hätten die Ergebnisse der Induktionsexperimente mit bewegten Leitern vorhergesagt werden können als eine sehr plausible Erweiterung des Ampere’schen Gesetzes nach den Ideen von H. A. Lorentz. Wenn das Wissen so vermittelt wird, dann ist der durch Gl. (4.27) beschriebene Teil des Induktionsgesetzes keine grundsätzlich neue Erkenntnis, sondern „nur“ eine neue Interpretation eines schon bekannten Gesetzes.
Von bewegten Leitern in B-Feldern ruhender Magnete zu ruhenden Leitern in B-Feldern bewegter Magnete. Bei der in Abb. 4.3 gezeigten Anordnung kommt es nur auf die Relativbewegung von Stabmagnet und Messschleife an. Dieses Resultat ist leicht experimentell zu verifizieren. Es ist auch leicht zu akzeptieren, entspricht es doch der von der Newton’schen Mechanik geprägten Erwartung, dass nur Relativgeschwindigkeiten physikalisch relevant sind.
Viel schwieriger ist es, eine für beide Bewegungsfälle geltende quantitative theoretische Beschreibung zu finden. Erst mithilfe der Relativitätstheorie (Abschn. 6.3.3) wird das möglich: In beiden Fällen ist der Ladungsträger (das Elektron) in seinem Ruhesystem zu betrachten, in dem definitionsgemäß — 0 ist. Im Ruhesystem gibt es keine Lorentz-Kraft nach Gl. (4.26), sondern nur die elektrische Kraft q  Eind. Die Relativitätstheorie liefert Transformationsgleichungen für elektromagnetische Felder, in denen E- und B-Felder miteinander verknüpft sind. Ein reines B-Feld, ruhend im System S, wirkt auf eine Ladung im dazu bewegten System S' wie die Überlagerung eines B-Feldes und eines B-Feldes. Die „induzierte“ elektrische Feldstärke £llld tritt also im Ladungsträger-Ruhesystem S' als Folge der Transformationseigenschaften eines im System S verankerten B-Feldes auf. Bei Experimenten mit ruhendem Stabmagneten und bewegtem Leiter ist S das Laborsystem; bei Experimenten mit bewegtem Stabmagneten und ruhendem Leiter ist S' das Laborsystem.
Die relativistische Betrachtungsweise ist für eine elementare Einführung in den Elektromagnetismus viel zu abstrakt. Als Notbehelf wurde in der Schulphysik die
Vorstellung vom „Schneiden der Feldlinien durch die Messschleife“ eingeführt, die den Feldlinien mehr Realität zubilligt als ihnen gebührt.
Von der Relativbewegung des E-Feldes bezüglich des Leiters zur Änderung des von der Messschleife umschlossenen Flusses. Wie es am leichtesten für das Gedankenexperiment von Abb. 4.5 zu zeigen ist, kann man Eind als die im Ruhesystem der Ladungsträger auftretende .E-Feldstärke berechnen und die induzierte Spannung durch Wegintegration über die Messschleife erhalten. Man kann aber auch die zeitliche Änderung des von der Messschleife umschlossenen magnetischen Flusses berechnen und erhält auf diese Weise das gleiche Ergebnis!
Von der Berechnung der Induktionsspannung aus der Flussänderung zum Transformator. In der hier verfolgten didaktischen Variante gab es bisher nur Induktionsexperimente mit einer Relativbewegung der Messschleife (oder eines Teils derselben) bezüglich des örtlichen Magnetfeldes. Wenn nun diese Experimente durch eine Formel beschrieben werden, in der nicht mehr das örtliche E-Feld, sondern der von der Messschleife umschlossene Fluss steht (Gl. (4.5)),

(4.28)
dann ist das erst einmal nur eine alternative Berechnungsmöglichkeit. Hätte bei einem solchen Gang der Entwicklung jemand vorhergesagt, dass Gl. (4.28) auch gilt, wenn sich zwar der umschlossene Fluss ändert, aber nirgendwo entlang der Messschleife ein sich veränderndes E-Feld existiert, dessen Feldlinien von der Messschleife „geschnitten“ werden könnten, dann wäre das als eine außerordentlich kühne, sehr spekulative Hypothese bewertet worden! Es sei daran erinnert, dass E-und E-Feld eingeführt wurden, um die elektromagnetischen Phänomene als „Nahewirkung“ eines lokalen Feldes auf eine Ladung oder einen Strom zu erklären. Wie soll man sich das Zustandekommen der Induktionsspannung vorstellen, wenn entlang der Messschleife überhaupt kein Feld existiert? Es ist dieser letzte Schritt zum Transformator, der das eigentlich Sensationelle am Induktionsgesetz aufzeigt. In der Formulierung von Gl. (4.28) ist es eine grandiose Verallgemeinerung einer physikalischen Beziehung, weit über das hinaus, was intuitiv nahegelegen hätte. Auch in dieser didaktischen Variante ist also die Bedeutung der Faraday’schen Entdeckung klar zu erkennen.
4.1.7 Erhaltung des magnetischen Flusses
Das Konzept von der Erhaltung des magnetischen Flusses (conservation of magnetic flux) ist am leichtesten zu verstehen, wenn es in Analogie zu dem sehr anschaulichen Konzept von der Erhaltung der elektrischen Ladung (conservation of electric charge) diskutiert wird.
Ladungserhaltungssatz. Wir betrachten die Integralform (Gl. (3.88)):
dß/dt + fyj • dA = 0
(4.29)
196	4 Elektromagnetische Induktion
Die Ladung Q befindet sich in einem endlichen dreidimensionalen Volumen V, umschlossen von einer Hüllfläche mit dem Flächenelement dA. Die zeitliche Änderung der Ladung Q wird kompensiert durch einen entsprechenden Strom, gegeben durch das Hüllfiächen-Integral über die Stromdichte j.
Um den Erhaltungssatz noch klarer herauszuarbeiten, betrachten wir nun auch das Ergänzungsvolumen K', gegeben durch den bis ins Unendliche erstreckten Raum, in dem K liegt, minus dem Volumen K. Der aus K abfiießende Strom fließt in K' hinein, hat also auf K' bezogen das andere Vorzeichen, und verursacht dort eine entgegegesetzte Ladungsänderung zu der in K. Für den Gesamtraum (K+ K') bleibt die Ladung konstant; enthält der Gesamtraum nur atomare Materie und durch Ladungstrennung (charge Separation) entstandene freie Ladungen, dann ist die Summe der Ladungen gleich null.
Flusserhaltungssatz. Wir betrachten die Integralform des Induktionsgesetzes, die umgeschriebene Gl. (4.22):
d^/df + ^£’ind-ds = 0.	(4.30)
Der Fluss tritt durch eine endliche zweidimensionale Fläche A, umschlossen von einer Randlinie mit dem Linienelement d.v. Die zeitliche Änderung des Flusses wird kompensiert durch eine entsprechende Spannung, gegeben durch das Randli-nien-Integtral über die elektrische Feldstärke Eind.
Nun erweitern wir die Betrachtung auf die Ergänzungsfläche A', gegeben durch eine bis ins Unendliche erstreckte (nicht notwendigerweise ebene) Fläche, in der A liegt, minus der Fläche A. Die als Randlinien-Integral über die elektrische Feldstärke auftretende Spannung hat bezogen auf die Fläche A' das andere Vorzeichen. Gleichzeitig erfährt die Fläche A' die entgegengesetzte Flussänderung. Das ergibt sich aus der Quellenfreiheit der magnetischen Feldstärke. Das bedeutet: dem Fluss durch A entspricht ein „Rückfluss“ durch A'. Bezogen auf die Gesamtfläche (A + A') ist also der Fluss konstant und immer gleich null.
Durch den Vergleich der beiden Erhaltungssätze wird ersichtlich, dass Induktionsspannung (= Randlinieninteral über die Induktionsfeldstärke) und magnetischer Fluss in einer ähnlichen Beziehung zueinander stehen wie Strom (= Hüllflächenintegral über die Stromdichte) und elektrische Ladung.
4.2 Induktivität
4.2.1 Selbstinduktion, Definition der Induktivität
Stromdurchflossene Spulen in magnetischen Kreisen sind nicht nur die Erzeuger von magnetischen Feldern, sondern gleichzeitig auch Leiterschleifen, in denen bei Änderungen der umschlossenen Flüsse Induktionsspannungen auftreten. Die Rückwirkung der Induktion auf die magnetisierende Spule wird Selbstinduktion (self-inductance) genannt.
Qualitativ lässt sich mithilfe der Lenz’schen Regel sofort sagen, wie die Selbstinduktion wirkt. Wenn der Strom in der Spule (mit oder ohne Eisenkern) ansteigt,
4.2 Induktivität
197
also ein Fluss aufgebaut wird, dann wirkt die Selbstinduktion dem Anstieg des Stromes entgegen; der Anstieg wird verlangsamt. Wenn der Strom in der Spule sinkt, also ein Fluss abgebaut wird, dann wirkt die Selbstinduktion dem Absinken des Stromes entgegen; das Absinken wird verlangsamt.
Mit einer windungsreichen Spule um einen Eisenkern in einem geschlossenen magnetischen Kreis (Abb. 4.11) lässt sich das Phänomen der Selbstinduktion leicht demonstrieren. Bei eingeschaltetem Schalter S liegt an der Glühlampe G die Spannung der Batterie B, die die Glühlampe nur zu einem schwachen dunkelroten Leuchten bringt. Wird nach einiger Zeit der Schalter geöffnet, dann blitzt die Glühlampe hell auf, weil der durch Selbstinduktion verursachte Spannungsstoß einen Stromstoß durch die Lampe treibt.
Abb. 4.11 Anordnung zur Demonstration der Selbstinduktion. Beim Ausschalten entsteht eine Spannung, die die Glühlampe G aufleuchten lässt.
Die Beobachtung eines Funkens beim Brechen eines stromdurchflossenen Drahtes in der Wicklung eines Elektromagneten veranlasste Joseph Henry (1797-1878) in den Vereinigten Staaten zur Untersuchung dieses Effektes, unabhängig von der Arbeit Faradays in England, die 1831 zur Entdeckung der Induktion führte. Im folgenden Jahr publizierte Henry seine Arbeit über die Selbstinduktion.
Die durch Selbstinduktion verursachte Spannung ist für eine gegebene Leiteranordnung (Draht, Schleife, Spule) proportional zur zeitlichen Änderung des Stromes. Beim Einschalten (also: dZ/dt > 0) wirkt die Induktion nach der Lenz’schen Regel dem Stromanstieg entgegen. Deshalb wird der Induktionsspannung ein Pfeil zugeordnet, der entgegengesetzt zum Strompfeil gerichtet ist, d. h. Uind und d//dt haben entgegengesetztes Vorzeichen. Es gilt:
Umd = - L dl/dt.	(4.31)
Die Proportionalitätskonstante L wird Selbstinduktionskoefflzient (self-inductance coefficient) oder kurz Induktivität (inductance) genannt. Für Leiteranordnungen ohne ferromagnetisches Material ist L eine nur von der Leitergeometrie abhängige Konstante. Bei Anwesenheit von ferromagnetischem Material ist L proportional zur relativen Permeabilität Jur und wie diese (wegen Hysterese und Sättigung) nur näherungsweise konstant. Die SI-Einheit der Induktivität ist das „Henry“ (H); H = Vs/A.
198	4 Elektromagnetische Induktion
Für das Toroid kann die Induktivität leicht berechnet werden: Nach dem Ampere-Gesetz (Gl.(3.40)) ist
B = n0 N Z//	(4.32)
(B = magnetische Feldstärke, ii,, = magnetische Konstante, N = Windungszahl, / = Strom und / = 2nrT = Kreisumfang der Torus-Achse mit rT als mittleren To-rusradius). Daraus ergibt sich der magnetische Fluss als Produkt von Feldstärke B und Torus-Querschnittsfläche A ( = nr2 mit r — Windungsradius):
d> = A B = n0A N Itf.	(4.33)
Mit Gl. (4.23) folgt dann
^ind = - N d<P/dr
= - (ß0 A N2ff)  dl/dt
= ~ ^TOroid-dW	(4-34)
Die Induktivität
^Toroid = !lt> A	(4-35)
ist dem Quadrat der Windungszahl N proportional! Für das Toroid mit ferromagnetischem Ringkern tritt neben noch der Faktor Jur auf, der sehr große Werte annehmen kann.
Das physikalisch Wesentliche am Toroid ist die vollständige magnetische Verkettung aller seiner Windungen, die auch ohne ferromagnetischen Ringkern gegeben ist.
Vollständige Verkettung ist aber ebenfalls für Windungen gegeben, die durch einen beliebig geformten weich-magnetischen Kreis aus Material mit Jur |> 1 miteinander gekoppelt sind. Die Gl. (4.35) mit dem hinzugefügten Faktor Jur gilt deshalb allgemein in der Form
(4.36)
wobei ^Kreis nun die (mittlere) Länge eines Umlaufs im magnetischen Kreis ist.
Eine Spule (mit oder ohne Kern) wird manchmal als „Induktivität“ (inductor) bezeichnet, nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen physikalischen Größe (in-ductance).
Einschaltvorgang. Abb. 4.12 zeigt eine Reihenschaltung von der Induktivität L und einem Widerstand R. Der ohmsche Widerstand der Spule wird als vernachlässigbar klein im Vergleich zu R angenommen. Eine Quelle liefert die Gleichspannung U,
Abb. 4.12 Stromkreis mit Quelle, Induktivität und Widerstand. Die Induktivität wird als passiver Zweipol aufgefasst; die daran „abfallende“ Spannung kompensiert die Induktionsspannung.
4.2 Induktivität
199
die zur Zeit t0 durch Schließen des Schalters an die Reihenschaltung von L und R angelegt wird. Wäre nur der Widerstand vorhanden, dann würde sich sofort der Strom /= U/R einstellen. Durch die Selbstinduktion wird aber der Stromanstieg verzögert. In der Einschaltphase teilt sich die angelegte Spannung U auf gemäß
U=UL+UR,	(4.37)
wobei
U, = - ü„d = L dl/dt,	(4.38)
die „zur Überwindung der Selbstinduktion erforderliche“ Spannung ist und deshalb entgegengesetzt gleich t/ind ist; UR ist der Spannungsabfall am Widerstand. Aus Gl. (4.37) und (4.38) und UR — RI ergibt sich die Differentialgleichung
L dl/dt + RI = U = konst.,	(4.39)
deren Lösung - wie durch Differenzieren und Einsetzen leicht bestätigt werden kann - gegeben ist durch
I(t) = (U/R) {1 - exp[—(t- Z0)/r]}, r = L/R.	(4.40)
Nach dem Einschalten steigt der Strom anfangs mit der Steigung dZ/dt = U/L, um sich dann exponentiell dem Gleichstromwert I — U/R anzunähern (Abb. 4.13). Für die Annäherung gilt die Zeitkonstante (auch Abkling- oder Relaxationszeit) r.
Abb. 4.13 Zeitlicher Verlauf von Spannung und Strom einer ÄL-Reihenschaltung nach dem Einschalten zur Zeit t0.
Der Ausschaltvorgang wird ebenfalls durch die Selbstinduktion verändert: Nach der Lenz’schen Regel wird dem Abschalten entgegengewirkt, d. h„ die Induktionsspannung versucht auch nach dem Abschalten der Quellen-Spannung noch den Strom durch die Induktivität zu treiben.
Wenn man eine sehr große Induktivität (geschlossener ferromagnetischer Kreis, sehr viele Windungen) mit der Schaltung von Abb. 4.12 abschalten wollte, müsste man beim Öffnen des Schalters mit einer sehr hohen Selbstinduktionsspannung rechnen, weil der Schaltvorgang eine sehr schnelle Stromänderung von I = U/R auf I = Q bewirkt. Diese hohe Induktionsspannung kann zwischen den Schalterkontakten einen Funkenüberschlag oder gar einen Lichtbogen (Gasentladung mit Materialverdampfung, Abschn. 10.3.6) hervorrufen. Außerdem ist es möglich, dass ein Durchschlag zwischen Windungen verschiedener Wicklungslagen erfolgt. Um Zerstörungen zu vermeiden, empfiehlt es sich, bei großen Induktivitäten einen Weg für den Abschalt-Induktionsstrom vorzusehen, z. B. wie in Abb. 4.14 gezeigt, durch ei-
200	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.14 Für den Strom von der Quelle ist der Gleichrichter (Gl) gesperrt, für den Ab-schalt-Induktionsstrom ist er geöffnet. Der ohmsche Widerstand der Spule ist in R enthalten.
nen parallel geschalteten Gleichrichter. Nach Abschalten zur Zeit t = 0 fließt durch Widerstand und Gleichrichter der exponentiell abklingende Abschaltstrom:
7(0 = üax exP (“AÜ mit t: = L!R und /max = U/R.	(4.41)
Weil eine Spule im Stromkreis schnellen Stromänderungen entgegenwirkt (hohe Frequenzen dämpft), wird sie in der Elektrotechnik auch Drossel (choke) genannt.
4.2.2 Magnetische Feldenergie
Aus der zum Aufbau des magnetischen Feldes notwendigen Energie, die beim Abbau des Feldes wieder freigesetzt wird, kann die magnetische Feldenergie berechnet werden.
Felderzeugende Spulen im Gleichstrom-Dauerbetrieb verbrauchen zwar elektrische Leistung wegen der ohmschen Verluste, aber das ist kein prinzipieller Leistungsbedarf! Durch Verwendung dickerer Kupferdrähte kann der ohmsche Widerstand einer Spule (im Prinzip) beliebig verkleinert werden; supraleitende Spulen haben überhaupt keine ohmschen Verluste. Zur Berechnung der magnetischen Feldenergie ist also das Ein- und Ausschaltverhalten einer idealen Spule mit der Induktivität L und einem vernachlässigbar kleinen ohmschen Widerstand zu betrachten. Beim Einschalten wird Leistung von der Spule aufgenommen, solange der Strom I ansteigt und eine endliche Spannung UL zur Überwindung der Induktionsspannung [Tind an der Spule liegt. Die im Zeitinterval dt aufgenommene Energie dlfz ist
d W = UL 1 dt = (L dl/dt) 1 dt = L 1 dl,	(4.42)
und die Integration über dl liefert
1
If'=-L/2.	(4.43)
Für die Verknüpfung dieser Energie mit der magnetischen Feldstärke betrachten wir hier nur den Spezialfall des Toroids (erst einmal ohne Ringkern): Dessen Induktivität LToroid, Feldvolumen KToroid und inneres Ä-Feld 2?Toroid sind gegeben durch
^Toroid = T'o A/f	(4.44)
(TV = Windungszahl, A — Torus-Querschnittsfläche, f = „Länge“ der Torusspule = Kreisumfang der Torusachse),
4.2 Induktivität 201
(4-45) und
^ToroM = A	(4.46)
Die magnetische Feldenergie ergibt sich, wenn man Gl. (4.44) in Gl. (4.43) einsetzt, mit	erweitert und umformt und schließlich die Substitutionen nach
Gl. (4.45) und Gl. (4.46) vornimmt:
= |(rt> N2 AA)/2
= |(^ N2 12/^)(1/^A^
- |(^W
= |(^)K.	(4.47)
Die Feldenergiedichte ist
"m= WJV
(4.48)
Diese für den Spezialfall des Toroids hergeleiteten Gl. (4.47) und Gl. (4.48) gelten allgemein. Für Felder in Ferromagnetika tritt in den Formeln mit B2 im Nenner statt jUo das Produkt • Jur auf; die Formeln mit H B ändern sich nicht.
4.2.3 Induktive Kopplung
Hat man zwei Spulen (1) und (2), die dicht nebeneinander stehen oder übereinander gewickelt sind oder durch flussleitendes weichmagnetisches Material miteinander verbunden sind (Abb. 4.15), dann wird der von Spule (1) erzeugte magnetische Fluss beim Ein- oder Ausschalten auch in Spule (2) Induktion hervorrufen und umgekehrt. Man spricht von wechselseitiger oder gegenseitiger Induktion. Die maßgebliche Grö-
Abb. 4.15 Zur Erklärung der gegenseitigen Induktion zweier Spulen: (a) Kopplung durch Streufelder, (b) Kopplung durch Flussverkettung.
202	4 Elektromagnetische Induktion
ße ist die gegenseitige Induktivität oder Gegeninduktivität (mutual inductance) L,2 bzw. L21, definiert durch
^ind,2 = — ^21 d^l/dt,
= - L12	(4.49)
Die (Selbst-)Induktivität ist dem Quadrat der Windungszahl proportional (vgl. Gl. (4.33)), weil N einmal bei der Flusserzeugung und einmal bei dem Wegintegral über die Induktionsfeldstärke eingeht. Aus den gleichen Gründen ist die gegenseitige Induktivität proportional zu Vertauscht man die beiden Spulen ohne Veränderung ihrer Lage zueinander, dann ändern sich die Spannungen nach Gl. (4.48) nicht. Daher ist stets L21 = L12.
Die Größe von L12 ist abhängig von der Anordnung der beiden Spulen. Man spricht von fester Kopplung (close or tight coupling), wenn die beiden Spulen dicht benachbart oder übereinander gewickelt sind oder zum selben magnetischen Kreis gehören. Das Gegenteil davon ist die lose Kopplung (loose or weak coupling). Der Kopplungsgrad oder Kopplungskoeffizient (coupling factor or coefficient)
(4.50)
ist ein Maß für die Stärke der Kopplung (coupling strength).
Transformatorprinzip (transformer principle). Ein weichmagnetischer Kreis, der den gesamten magnetischen Fluss im Eisen führt, ist die technisch einfachste Realisierung einer vollständigen Kopplung (k = 1) zweier Spulen. Wenn beide Spulen vom selben Fluss durchsetzt werden, ist es belanglos, wieweit die Spulen voneinander entfernt sind. Auch ist es gleichgültig, ob Form und Querschnitt des Eisenkerns rund oder quadratisch sind.
Die Spule (1) sei die flusserzeugende Primärspule, in der eine Spannung durch Selbstinduktion erzeugt wird; die Spule (2) sei die Sekundärspule, in der eine Spannung infolge der gegenseitigen Induktion auftritt. Mit der nur näherungsweise gültigen Annahme einer von Feldstärke und Vorgeschichte unabhängigen relativen Permeabilitätszahl Jur für das Eisen, einer mittleren Umlauflänge / des magnetischen Kreises (in Abb. 4.15b gestrichelt) und der Fluss-Querschnittsfläche A ergeben sich mit der Induktivität nach Gl. (4.34) folgende Induktionsspannungen
U1 — — L1 dljdt mit L1 — p.. pr N^Af^, und
U2 — — L21 dljdt mit L2l — ii,, ii. N1 N2 Aff.	(4.51)
Daraus folgt die Beziehung für die Primär- und Sekundärspannung des Transformators:
= A2/Ar	(4.52)
4.2.4 Induktive Messung von Flüssen
Die Induktion erlaubt es, mit einer Induktionsspule („Probespule“) Änderungen des umschlossenen Flusses (I> zu bestimmen. Die Spule habe N Windungen, jede
4.2 Induktivität 203
mit der Fläche A\ die Fläche liege senkrecht zum Feld B. Die induzierte Spannung ist der zeitlichen Änderung des durch die Spulenfläche hindurchgehenden Flusses proportional:
| Uind| = TV d<Ml/.	(4.53)
Wir betrachten schnelle Flussänderungen, hervorgerufen durch Ein-, Aus- oder Umschalten des magnetisierenden Stromes, und das klassische Messverfahren mit dem ballistischen Galvanometer: Das Zeitintegral über die kurzzeitig auftretende Induktionsspannung, der Spannungsstoß (yoltage surge), ist über das Ohm’sche Gesetz mit der Ladung Q verknüpft, die durch das ballistische Galvanometer fließt:
fUmddt=ß(Rs + RG),	(4.54)
wobei der Widerstand des Stromkreises durch die Summe von Spulenwiderstand /?s und Galvanometerwiderstand Ra gegeben ist.
Der Spannungsstoß gibt die Gesamtänderung des umschlossenen Flusses A</> bzw. des über die Fläche A gemittelten 2?-Feldes,
fUinddt = N A<J> = NA kB.	(4.55)
Für Ein- oder Ausschalten ist | kB | = B, für Umpolen ist | kB | = 1B.
In der modernen Messtechnik werden oft sinusförmige Wechselströme (Abschn. 4.3) zur Felderzeugung und empfindliche Messverstärker für die induzierten Wechselspannungen verwendet. Mit
B(t) — B coscot k z max ergibt sich
^indW ~	-0)Bm^ sinmt.	(4.56)
Flussmessung mit kleiner Probespule. Zur Messung eines räumlich begrenzten Feldes, wie das Feld zwischen den Polschuhen eines Magneten, kann man eine kleine Probespule bekannter Windungsfläche in das Feld einbringen und dann schnell herausziehen. Hier ist | kB | = B, es fehlt also der bei Umpolung auftretende Faktor zwei.
Die kleine Probespule ist eng gewickelt, und ihre Windungen haben unterschiedlich große Flächen. Die in die Windungsfläche N  A eingehende Fläche ist ein Mittelwert, der schwer geometrisch zu bestimmen ist. Am besten wird die Windungsfläche N  A durch eine Eichung in einem bekannten homogenen A-Feld bestimmt. Die mit einer solchen Spule gemessene Feldstärke B ist ein Mittelwert über die Spulenfläche mit einer von außen nach innen zunehmenden Gewichtung.
„Messung“ der magnetischen Konstante. Wie in Abschn. 3.3.2 beschrieben, hat die magnetische Konstante jetzt den definierten Wert von
//0 =der 4^-10 ' VsA-1m_1.
Damit wird eine „Messung“ von zu einer Reproduktion des Ampere-Normals. Es ist aber verständlicher, wenn man diese Ampere-Reproduktion als Messung von beschreibt. Hier soll gezeigt werden, dass es experimentell leichter ist, dafür die Induktion auszunutzen, als die magnetische Kraft zwischen zwei parallelen Leiterströmen zu bestimmen.
204	4 Elektromagnetische Induktion
Ein Solenoid mit Länge tp Windungsradius r1 < tx und Windungszahl Ap durchflossen vom Strom Fp erzeugt in seiner Mittelregion (weit weg von den Enden) das //-Feld
H = li	(4.57)
Legt man außen um die Solenoidmitte eine kurze Spule mit der Windungszahl N2 und einem größeren Wicklungsradius, der immer noch viel kleiner als ist, dann ergibt sich die induzierte Spannung zu
U2 — N2 7t r} [ig dHfdt
= (N2 tt rj /i0 dljdt.	(4.58)
Ist der Strom ein Wechselstrom (Abschn. 4.3) der Form fsinctü (f = Scheitelwert, cd = Kreisfrequenz, t — Zeit), dann ist die zeitliche Ableitung gegeben durch wf-cosffli. Ersetzt man I2 und U2 durch die entsprechenden Effektivwerte, verschwindet der Unterschied zwischen sinus- und kosinus-förmiger Zeitabhängigkeit, und dann ergibt sich aus Gl. (4.58) folgende Messvorschrift:
^0 - (t/2,err/A,err)/("	*riKi)-	(4-59)
Messung der relativen Permeabilität. Zuerst betrachten wir eine „ideale“ Anordnung für die Messung der Permeabilität bestehend aus einer Torusspule (Windungszahl N1, Torus-Querschnittsfläche Av Länge der Torusachse /T) mit einem das Innere der Spule füllenden Ringkern aus dem zu untersuchenden ferromagnetischen Material. Das Toroid erzeugt ein näherungsweise homogenes Ff-Feld, das vollständig im Inneren der Spule liegt und gegeben ist durch
H = A,	(4.60)
Eine zweite, ebenfalls den Ringkern umschließende Spule mit N2 Windungen dient zur Messung der induzierten Spannung (Abb. 4.16): Es gilt
U2 — N2 d / = N2 At p.T p.g dH/dt oder
= U2/(N2 At h0 dH/dt)
mit
dH/dt = (A^) dljdt.	(4.61)
Man verwendet zur Erzeugung des Feldes H(t) meist ein sinusförmiges Wechselfeld der Amplitude Aw, das einem Gleichfeld Ha überlagert ist,
H(t) = Ho + Aw sin ojt,	(4.62)
Abb. 4.16 Anordnung zur Messung der relativen Permeabilität des Ringkernmaterials.
4.2 Induktivität 205
sodass H zwischen den Extremwerten Hr. + H„, variiert. Die Wahl der Werte für Hr. und H... richtet sich danach, welche der unterschiedlich definierten relativen Permeabilitätszahlen (Abschn. 14.2.4) gemessen werden soll.
Das „ideale“ //-Feld des Toroids wäre zur Erzielung einer homogenen Ringkern-Magnetisierung sehr wichtig, wenn Jur nahe bei eins läge. Weil aber für alle ferromagnetischen Stoffe Jur |> 1 gilt, stellt der Ringkern einen magnetischen Kreis mit sehr kleinem magnetischen Widerstand dar, in dem (praktisch) der gesamte magnetische Fluss geführt wird. Es ist deshalb nicht erforderlich, dass die magnetisierende Spule ein Toroid ist; die N1 Windungen könnten genauso gut auf einem kleinen Stück des Ringkerns eng beieinander liegen, wie die Primärspule eines Transformators.
Da es unbequem und auch nicht immer möglich ist, die zu untersuchenden Stoffe in Ringform herzustellen und außerdem die Bewicklung des Ringes mühsam ist, wurde die Ringmethode schon 1885 von J. Hopkinson durch die Jochmethode ersetzt (Abb. 4.17). Der zu untersuchende Körper wird in Form eines Stabes S in ein Joch A aus weichem Eisen eingeschoben und durch Anziehen von Klemmbacken möglichst innig mit dem Joch verbunden. Innerhalb des Joches befindet sich die Magnetisierungsspule Sp und in dieser die Sekundärspule Sp'. Bei hinreichendem Querschnitt des Joches und großer Permeabilität des Jochmaterials kann man annehmen, dass die aus den Enden des Probestabes austretenden Feldlinien durch das Joch völlig geschlossen werden. Dadurch ist die magnetische Wirkung der freien Stabenden beseitigt. Das magnetische Feld im Mittelbereich des Probestabes hat in guter Näherung den gleichen Wert, wie wenn Spule und Stab unendlich lang oder ringförmig geschlossen wären.
Abb. 4.17 Jochmethode nach Hopkinson zur Messung der relativen Permeabilität ferromagnetischer Stoffe (Erläuterung im Text).
Magnetischer Spannungsmesser. Die von W. Rogowski und W. Steinhaus 1913 angegebene Messanordnung ist didaktisch wertvoll zum Verständnis des Konzeptes der magnetischen Spannung
(4.63)
Der magnetische Spannungsmesser besteht aus einer langgestreckten, flachen und biegsamen Spule, die z. B. auf einen Lederriemen gewickelt ist. Um die Leitungen
4.2 Induktivität 207
Änderung von $ nach 0, also | A<7>| = (l>. Der Fluss ist die Summe der von den einzelnen Windungen umschlossenen Flüsse:
N
® = Z
i = J
= Z Vr	(4.64)
i = 1
Jetzt definieren wir einen Vektor Asj; der dieselbe Richtung wie Ai hat, aber die Länge As = //TV besitzt. Damit lässt sich Gl. (4.64) wie folgt umschreiben und die Summe durch ein Integral ablösen:
4> = (A N/f) f Bi ’ Asi
i = 1
(A N/f) f^'ds.	(4.65)
Nimmt man noch den Faktor /t0 aus dem Integral heraus, dann wird ersichtlich, dass der Gesamtfluss $ proportional zur magnetischen Spannung zwischen den Spu-len-Enden EJ und E2 ist:
^an/^h^
= A TV//) (/,l!lgJ2
und
= rProbe A(/„i!igJ2.	(4.66)
Der Proportionalitätsfaktor cProbe, der auch die nicht sehr genau messbare Fläche A enthält, wird am besten durch Eichung bestimmt, indem man den magnetischen Spannungsmesser um einen Leiterstrom herum zu einem Kreis schließt (Abb. 4.20). Die Stromänderung AZ entspricht einer Änderung der (ebenfalls in Ampere gemessenen) magnetischen Spannung von
^g=NM,	(4.67)
wobei hier N die Zahl der Windungen des Leiterstroms um den Spannungsmesser (N = 6 in Abb. 4.20a) oder die des Spannungsmessers um den Leiterstrom (N = 2 in Abb. 4.20b) ist.
Abb. 4.20 Eichung des magnetischen Spannungsmessers. Umschlingungsfaktor N — 6 im Fall (a), N = 2 im Fall (b).
208
4 Elektromagnetische Induktion
Um die magnetische Spannung an Dauermagneten, z. B. an Treibern für magnetische Kreise zu messen, braucht man die Enden Ej und E2 der Spule nur an Nord-und Südpol zu legen und dann den magnetischen Spannungsmesser schnell zu entfernen, damit ein Spannungsstoß entsteht, der deutlich kürzer ist als der Stoßausschlag des ballistischen Galvanometers. Man kann genauso gut den Spannungsmesser fest montiert liegen lassen und den Dauermagneten schnell entfernen.
In Abschn. 3.4.1 hatten wir das Ampere-Gesetz nur für gerade Leiter diskutiert und den Beweis für beliebig geformte Leiteranordnungen offengelassen. Der magnetische Spannungsmesser ist die geeignete Anordnung, um zu demonstrieren, dass nur die Summe der umschlossenen Ströme, nicht aber die Form der Leitungsführung in das Randkurven-Integral
^•ds = n0^H-ds	(4.68)
eingeht. Wenn man den um einen Leiterstrom / herumgelegten geschlossenen Spannungsmesser (verbunden mit einem empfindlichen Instrument) in seiner Position belässt, aber den Stromleiter bei konstantem Strom beliebig in Form und Lage ändert, wird in der Spule keine Spannung induziert. Das heißt, die magnetische Spannung, die dem Integral von Gl. (4.68) proportional ist, bleibt konstant.
4.2.5 Wirbelströme
Bisher wurden nur Stromkreise mit drahtförmigen („linearen“) Leitern betrachtet. Die im Kreis (oder in einem Teil davon) induzierte Spannung verursachte einen messbaren Stromfluss durch den Kreis. Meist war dabei die magnetische Rückwirkung des Induktionsstromes auf die Ursache der Induktion verschwindend klein.
Anders ist es, wenn sich ein großflächiger massiver Metallkörper dort befindet, wo elektrische Induktionsfelder erzeugt werden. Es können dabei im Metallkörper hohe Kurzschlussströme mit merklichen magnetischen Rückwirkungen auftreten. Das sind die Wirbelströme (eddy currents). Sie erzeugen auch Joule’sche Wärme. Diese Wärmewirkung hat zuerst L. Foucault (1855) nachgewiesen, weshalb in der frühen Literatur die Wirbelströme häufig als Foucault-Ströme bezeichnet wurden.
Wie bei den verschiedenen Induktionsphänomenen ist auch hier zwischen bewegten Metallen in einem statischen Magnetfeld (oder umgekehrt) und Metallen in zeitlich veränderlichen Magnetfeldern zu unterscheiden. Abb. 4.21 zeigt eine rotierende Kupferscheibe, die zum Teil von einem magnetischen Feld durchsetzt wird. Die durch die Scheibenrotation mitbewegten Leitungselektronen des Kupfers erfahren im Mag-
Abb. 4.21 Wirbelstrombahnen in einer rotierenden Kupferscheibe S, die partiell von einem Magnetfeld B durchsetzt wird.
4.2 Induktivität 209
netfeld eine Lorentz-Kraft in radialer Richtung. Die elektrische Induktionsfeldstärke ist nur im schraffierten Bereich der Abb. 4.21 verschieden von null und dort proportional zur Entfernung von der Drehachse. Der nicht schraffierte Bereich der Kupferscheibe ist der Kurzschluss dieser Spannungsquelle. Einige Strombahnen sind in der Abbildung eingezeichnet. Nach der Lenz’sehen Regel ist zu erwarten, dass die magnetische Rückwirkung die Scheibenrotation hemmt.
Der gleiche Effekt ist beim Waltenhofen’schen Pendel wirksam (Abb. 4.22). Der aus massivem Kupferblech bestehende Pendelkörper kann zwischen den Polen eines nicht eingeschalteten Elektromagneten hindurch pendeln. Lässt man das Pendel aus großer Höhe herabschwingen, sodass es ohne Magnetfeld durch die Ruhelage mit großer Geschwindigkeit durchgehen würde, kommt es bei eingeschaltetem Magnetfeld in diesem fast augenblicklich zur Ruhe. Bewegt man bei eingeschaltetem Feld das Pendel hin und her, so spürt man einen Widerstand, als ob es sich in einer zähen Flüssigkeit bewegte. Das ist die häufig benutzte Technik der Wirbelstrom-bremse (eddy-current damping), die z. B. auch bei Zeigerinstrumenten angewendet wird (Abb. 4.22c). Ersetzt man das Kupferblech des Pendels durch ein gleich großes mit Sägeschlitzen versehenes Blech (Abb. 4.22b), dann ist die bremsende Wirkung stark reduziert.
Abb. 4.22 Zur Wirbelstrombremse: (a) Waltenhofen’sches Pendel, (b) Pendelkörper mit Sägeschlitzen zur Reduzierung der Wirbelströme, (c) Dämpfung eines Zeigerinstrumentes (schematisch).
Die zwischen Wirbelströmen und den erzeugenden Magnetfeldern wirkenden Kräfte wurden von D.F. Arago schon 1825, also einige Jahre vor Entdeckung der Induktion (!) gefunden. Arago deutete sie als Wirkung eines „Rotationsmagnetismus“; die richtige Erklärung gab später Faraday. Aragos Anordnung bestand aus einer um eine vertikale Achse rotierenden Kupferscheibe und einer dicht darüberliegenden Glasscheibe, die eine spitzen gelagerte Magnetnadel trug. Die Glasscheibe schützte die Nadel vor der Luftströmung, aber behinderte nicht die magnetische
210	4 Elektromagnetische Induktion
Kopplung. Das Feld der Magnetnadel induzierte Wirbelströme in der rotierenden Kupferscheibe, die bei festgehaltener Magnetnadel die Kupferscheibe bremsen würden. Da die Nadel beweglich gelagert war, wurde sie in eine gleichsinnige Drehbewegung versetzt.
Die induzierte Spannung und damit auch die Wirbelströme sind umso größer, je größer die relative Geschwindigkeit von Metallscheibe und Magnet ist; das Drehmoment wächst mit der Winkelgeschwindigkeit. Wählt man eine Anordnung mit rotierendem Magneten und montiert nun die benachbarte Scheibe nicht frei rotierbar, sondern gegen das rückstellende Drehmoment einer Spiralfeder nur verdrehbar, und versieht die Scheibe mit einem Zeiger, der den Drehwinkel angibt, hat man im Prinzip ein Wirbelstrom-Tachometer (drag-type tachometer) zur Messung von Drehzahlen (Revolution counting). Je schneller der Magnet rotiert, desto größer wird die Verdrehung der Scheibe und damit der Zeigerausschlag. Eine technische Ausführung des Tachometers zeigt Abb. 4.23 im Längsschnitt. Mit der Welle W, deren Drehzahl gemessen werden soll, rotiert der rechteckig geformte Magnet M. Der zwischen den Polen des Magneten befindliche koaxiale Eisenzylinder K ist mit dem Magneten verbunden, dreht sich also mit. In den schmalen, ringförmigen Schlitz zwischen den Polen N und S des Magneten M und dem Zylinder K ragt eine leicht drehbare Glocke G aus Kupfer hinein; auf ihrer Achse sitzt ein Zeiger Z und eine Spiralfeder F, die die Glocke in eine bestimmte Nullage zieht. Rotiert der Magnet M, so wird in der Glocke Wirbelstrom erzeugt und dadurch die Glocke G und der Zeiger Z um so mehr verdreht, je rascher die Drehung erfolgt. Die Skala des Instrumentes wird empirisch geeicht.
Die von den Wirbelströmen erzeugte Joule’sche Wärme lässt sich leicht nachweisen, wenn man 50-Hz-Wechselstrom aus dem elektrischen Netz zur Felderzeugung verwendet und die resultierende Temperaturerhöhung z. B. mithilfe eines Thermoelementes nachweist.
Eine viel anschaulichere Demonstration mit sichtbarer Ursache und deutlicher Wirkung ist folgende: Eine mit zwei Korkstopfen verschlossene Kupferröhre, in der sich etwas Wasser befindet, wird in einem starken Magnetfeld mittels eines Motors in schnelle Rotation versetzt, mit der Rotationsachse senkrecht zur Rohrachse. Die bremsende Wirkung des Wirbelstrom-Magnetfeldes ist dadurch erkennbar, dass der antreibende Asynchron-Motor (Abschn. 4.4.4) sofort langsamer (schneller) läuft, wenn das Magnetfeld eingeschaltet (ausgeschaltet) wird. Der eigentliche Demons-
Abb. 4.23 Schnitt durch ein Wirbelstrom-Tachometer.
4.2 Induktivität 211
trationseffekt tritt nach wenigen Minuten der Rotation im Magnetfeld auf, wenn die Erwärmung des Rohres so stark ist, dass der Druck des gebildeten Wasserdampfes einen Korken herausschleudert.
In der Wechselstromtechnik werden viele Metallteile von Maschinen und Geräten ständiger Ummagnetisierung ausgesetzt. Die Unterteilung des massiven Leiters, die sich schon bei dem Waltenhofen’schen Pendelkörper mit Sägeschlitzen (siehe Abb. 4.22b) bewährt hat, wird benutzt, um die Ausbildung großflächiger Wirbelströme einzuschränken und so die Wirbelstromverluste klein zu halten. So werden z. B. die Eisenkerne von Transformatoren lamelliert (lamellated), d. h. aus einzelnen Blechen zusammengesetzt, die man durch Lacküberzüge, dünne Oxidschichten oder durch Zwischenlagen dünner Papierschichten gegeneinander isoliert. Achtung: Die Lamellierung (lamellatiori) erfüllt nur dann ihren Zweck, wenn die Lamellenflächen (planes of lamellae) senkrecht zu den erwarteten Wirbelströmen liegen.
Da die Ummagnetisierungsverluste mit der Frequenz des Wechselstroms ansteigen, werden für Hochfrequenz-Spulen hochpermeable Kerne aus nichtleitender Ferrit-Keramik (Abschn. 14.2.7) verwendet.
4.2.6 Spulen als Bauelemente
Das Toroid, auch die Torus- oder Ringspule (toroid; toroidal or ,,doughnut-shaped“ coil), wird geometrisch durch den „großen Durchmesser“ D und den „kleinen Durchmesser“ d beschrieben (Abb. 4.24).
Für Spulen ohne Kern ergibt sich die Induktivität aus der Windungsgeometrie. Oben war die Induktivität eines einlagigen Toroids mit Torusquerschnitt A, mittlerer Toruslänge f und Windungszahl N hergeleitet worden (Gl. (4.35)):
^Toroid = d0A N2;/.	(4.69)
Mit f = nD, A = nd2/4 und der magnetischen Feldkonstante ii,, = 47C-10“7 VsA 'm 1 kann Gl. (4.69) auf folgende „praktische“ Form gebracht werden:
^Toroid/nH « K [(tf2/D)/cm] N2.	(4.70)
Draht
Isolierschicht
Wickel körper
Abb. 4.24 Ringspule oder Toroid: (a) Großer Durchmesser (Aufsicht), (b) kleiner Durchmesser (Schnitt an einer Stelle des Ringes, vergrößert im Vergleich zu (a)).
212	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.25 Gestreckte Leitungsstücke der Länge £: (a) Einzelleitung, (b) Doppelleitung im Abstand a.
Ohne Herleitung geben wir noch die technischen Näherungsformeln für die Induktivitäten von Leitungsstücken an (Abb. 4.25).
Für ein gerades Leitungsstück mit Durchmesser d und der Länge f |> d (Abb. 4.25a) gilt für alle d-Werte als grobe Näherung
^Binzeiieitung/nH « (6 - 10)//cm.	(4.71)
Für ein gerades Doppelleitungsstück der Länge f im Abstand a (Abb. 4.25b) gilt
^Doppeiieitung/nH « 4(//cm) • ln(2flM)	(4.72)
als Näherung für f |> d.
Für ein Solenoid mit dem Wicklungsdurchmesser D und der Länge f (Abb. 4.26) gilt
- 10.3/korr TV2 [(/)A)/cm],	(4.73)
wobei f^orr eine vom Verhältnis abhängige Korrekturfunktion ist, für die die folgende Tabelle einige Werte gibt (nach Nührmann):
D\t-.	0.1 | 0.3 | 0.5 | 1	| 3	| 5	|	10
/korr:	1	| 0.9 | 0.83 | 0.7 | 0.37 | 0.27 | 0.16
Abb. 4.26 Solenoid mit Wicklungsdurchmesser D und Windungslänge £.
Für viele technische Anwendungen ist es wünschenswert, wenn die Bauelemente dem Ideal nahe kommen. Deshalb sollte bei einer Spule der unerwünschte aber unvermeidliche ohmsche Widerstand des Leiters möglichst klein sein. Umgekehrt sollte das Bauelement „Widerstand“ (Abschn. 3.2.2) nur geringe Induktivität (und geringe Kapazität) besitzen. Die Induktivität von Widerständen ist besonders prob-
4.2 Induktivität 213
Abb. 4.27 Induktionsarme Wicklungsformen: (a) bifilar, (b) gegenläufig.
lematisch bei den Drahtwiderständen, die wie Spulen auf Keramikröhrchen gewickelt sind. Zur Herabsetzung der Induktivität werden besondere Wicklungsformen benutzt wie die „bifilare“ oder die „gegenläufige“ Wicklung (Abb. 4.27).
Bei den bisher behandelten Spulen ohne ferromagnetischen Kern ergaben sich die Induktivitäten aus speziellen Formeln, die alle den Faktor N2 enthalten. Die anderen Faktoren in diesen Formeln werden durch die Leiterformbestimmt oder, anders ausgedrückt, durch den Grad der magnetischen Kopplung der Leitungsstücke.
Abgleichschraube
Abb. 4.28 Bauform-Beispiel für eine Spule mit Ferrit-Schalenkern (nach D. Nührmann).
214	4 Elektromagnetische Induktion
Im Folgenden werden Induktivitäten mit ferromagnetischem Kern behandelt. Dabei beschränken wir uns auf Konfigurationen, bei denen die (nahezu) vollständige magnetische Kopplung aller Windungen gewährleistet ist, weil der Kern entweder ein im Vergleich zur Spule sehr langer Stab oder ein durch die Spule hindurchgehender, geschlossener magnetischer Kreis ohne oder mit einem kleinen Luftspalt ist. Mit der Annahme vollständiger Kopplung durch den ferromagnetischen Kern gilt für alle Spulen die Induktivitätsformel, die für die Torusspule, der einzigen Luftspule mit vollständiger Kopplung aller Windungen, hergeleitet worden war (Gl. (4.69)). Der ferromagnetische Kern wird durch die relative Permeabilitätszahl Jur als zusätzlicher Faktor berücksichtigt:
L = [ß0 /ir A/f] N2
= .4, • N2.	(4.74)
Alle Faktoren außer N2 werden in dem (spezifischen) Induktivitätsfaktor zusammengefasst, der durch die folgende „praktische“ Formel beschrieben werden kann:
AL/nH = 4n (A/ZJ/cm.	(4.75)
Manche Spulen haben magnetische Kreise mit Luftspalt. Dieser ist entweder konstruktiv unvermeidlich (Klebespalt) oder absichtlich gewählt (Scherung der Hysteresekurve). Die Induktivitätsfaktoren A^ — L/N2 werden von den Herstellern der verschiedenen Kerne angegeben; der Techniker wählt nur noch die Windungszahl, die auf den Spulenkörper aufgebracht werden soll (Abb. 4.28).
Abschätzung der Größenordnung der Induktivitäten. Die Induktivitäten von Spulen ohne Kern liegen in der Größenordnung von ungefähr „10 nH mal N2“, kommen also mit Windungszahlen von N x 10— 100 in den Bereich von 1 bis 100 pH. Größere Induktivitäten erhält man mit ferromagnetischen Kernen. Die Induktivität von 1 H liegt am oberen Rand des von serienmäßigen Bauelementen überdeckten Bereichs.
4.3 Wechselstrom
4.3.1 Definitionen, Erzeugung, Messung
In diesem Abschnitt geht es um niederfrequente Wechselströme im Frequenzbereich rotierender Maschinen, insbesondere um Wechselstrom von 50 Hz, wie er im öffentlichen elektrischen Netz angeboten wird. Hochfrequente Wechselströme werden am Anfang des nächsten Kapitels behandelt.
Symbole für Strom und Spannung. Zur Kennzeichnung der verschiedenen Arten von Strom und Spannung werden von nun an die Größen symbolisch unterschieden wie hier am Beispiel der Spannung dargestellt ist:
u:	Augenblickswert,
ü:	Scheitelwert,
Ue[[: Effektivwert,
4.3 Wechselstrom 215
U:	Effektivwert, wenn keine Verwechslung mit Gleichspannung zu befürchten ist.
U(t): zeitabhängige Spannung, allgemein.
Für sinusförmigen Wechselstrom der Kreisfrequenz cd gilt
i = i s i n Go/ + cp), cp — Phasenwinkel,
/err = i)]ß.	(4.76)
Nicht-sinusförmige Wechselströme. Der Begriff „Wechselstrom“ beinhaltet nur, dass der Strom im zeitlichen Mittel gleich null ist. Darüber hinaus sind Wechselströme im allgemeinen zeitlich periodisch, d.h. die Zeit-Kurve z(t) wiederholt sich nach jeder Periode T (Abb. 4.29a).
Der Kehrwert der Periode T ist die Grundfrequenz f des nicht-sinusförmigen Wechselstroms. Mithilfe der Fourier-Analyse (Abschn. 15.7) lässt sich jeder nicht-sinusförmige Wechselstrom mit der Periode T als eine Summe von Sinus- und Kosinus-Strömen mit den Perioden T/n (n = 1,2, 3 ... oo) darstellen. Deshalb können wir uns hier auf sinusförmige Wechselströme mit Phasenwinkel beschränken.
Abb. 4.29 Zeitlicher Verlauf von Wechselströmen: (a) nicht-sinusförmig, (b) sinusförmig.
Sinusförmige Wechselströme. Darunter versteht man alle Kurvenformen i (/), die bei geeigneter Wahl des Zeitachsen-Nullpunktes eine Sinuskurve ergeben würden, deren Nulldurchgang von ( —) nach ( + ) aber i. A. nicht bei t — 0 sondern bei t — —\T liegt (Abb. 4.29b).
Statt der Frequenz f — 1/T und dem Zeitinterval AZ, um das die Sinuskurve auf der Zeitachse versetzt ist, wird fast ausschließlich die Kreisfrequenz (angular frequen-cy) cd und der Phasenwinkel (phase angle) cp verwendet:
cd = 2n/, cp = 2n • &T/T.	(4.77)
Im Zusammenhang mit der komplexen Schreibweise von Wechselstrom-Größen wird die Kosinusfunktion bevorzugt.
Erzeugung von Wechselspannung. Bei der Drehung einer Leiterschleife oder Spule im Magnetfeld B um eine in der Schleifenebene liegende und zum Magnetfeld senkrechte Achse (Abb. 4.30a) mit der Winkelgeschwindigkeit cd wird eine Wechselspannung induziert, die über Schleifring-Kontakte abgenommen werden kann.
Der Drehwinkel a gibt die Lage der Leiterschleife AB bezüglich der horizontalen Lage CD (Abb. 4.30b). Der von der Schleife umschlossene magnetische Fluss $ ist für a = 0 maximal und null für a = 90° sowie 270°. Mit der Windungsfläche A, der
216	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.30 (a) Anordnung zur Erzeugung einer Wechselspannung durch Drehen einer Drahtschleife im homogenen magnetischen Feld; (b) Schnitt durch die Schleife senkrecht zur Drehachse.
magnetischen Feldstärke B und a = a>t lassen sich Fluss und Flussänderung darstellen als
$ = A B cos cot,
d<Z>/d/ = — io A B sin cot.	(4.78)
Die induzierte Spannung ist also eine Sinusfunktion von a>t.
Im Prinzip muss zur Erzeugung der Spannung keine Arbeit geleistet werden, denn die Verluste durch Reibung der Schleifkontakte und der Achsenlager sind keine prinzipiellen Verluste und könnten durch technische Verbesserungen immer weiter verringert werden. Erst wenn die Induktionsschleife über die Schleifring-Kontakte Teil eines geschlossenen Stromkreises ist und ein Wechselstrom i fließt, muss zur Drehung der Schleife im magnetischen Feld im zeitlichen Mittel (dargestellt durch Symbole in spitzen Klammern) die Leistung
P = <z w>	(4.79)
aufgebracht werden, denn die Schleife, durch die der Strom i fließt, erfährt im magnetischen Feld ein Drehmoment, das der Drehung entgegenwirkt (Lenz’sche Regel).
Mithilfe der Induktion ist es nun möglich, im Rahmen des klassischen Elektromagnetismus Strom zu erzeugen und mechanische Arbeit in elektrische Energie („Strom“) umzuwandeln. Die bisher erwähnten Stromquellen (elektrochemische Batterien, Thermoelektrizität), deren Wirkungsweisen erst im Rahmen des atomaren Elektromagnetismus richtig zu verstehen sind, können nun durch Induktionsstromquellen ersetzt werden, die schon im Rahmen des klassischen Elektromagnetismus vermittelbar sind.
Messung von Wechselstrom. Ein mechanisches Messinstrument mit einem zum Strom proportionalen Ausschlag ist zu träge, um den schnellen Umkehrungen des Wechselstroms folgen zu können; dem zeitlichen Mittelwert „null“ entsprechend bleibt der Zeiger (mit kleinen Erzitterungen) in der Nullage stehen.
Aber ein mechanisches Messinstrument, dessen Ausschlag proportional zum Quadrat des Stromes ist, stellt sich auf den von null verschiedenen zeitlichen Mittelwert vom Quadrat des Stromes ein. Ein Messinstrument, dessen Anzeige vom Quadrat des Stromes abhängt, ist das Hitzdraht-Amperemeter (Abb. 3.9). Wurde die Skala zuvor mit Gleichstrom geeicht, dann zeigt das Instrument den so genannten
4.3 Wechselstrom 217
A/\
T ' ' ----—'-
x t \ >
x t X ✓
Abb. 4.31 Zum Effektivwert: Der Strom variiert zwischen + z und — i, das Strom-Quadrat zwischen z'2 und 0 mit dem Mittelwert z'2/2.
Effektivwert (Abb. 4.31) des Stromes, definiert als die Wurzel vom zeitlichen Mittelwert des Strom-Quadrats. Es gilt
/err=<r>1/2 generell,
= z/]/2 für sinusförmigen Strom.	(4.80)
Der Faktor l/]/z ergibt sich, weil der Mittelwert von sin2o>/ über eine Periode gleich 1/2 ist.
Das Verhältnis von Scheitelwert und Effektivwert heißt Scheitelfaktor; für sinusförmigen Strom ist dieser also ]/z = 1.414. Zur Berechnung des Scheitelwertes aus dem Effektivwert muss man die Kurvenform des Wechselstromes kennen.
Schaltet man in eine Wechselstromleitung einen Gleichrichter, also eine Vorrichtung, die den Strom nur in eine Richtung hindurchfließen lässt, dann kann man gewöhnliche Drehspulinstrumente und auch hochempfindliche Gleichstrom-Messinstrumente (Spiegelgalvanometer) benutzen. Im Prinzip wirkt ein Gleichrichter wie ein Schalter, der solange geschlossen bleibt, wie der von (+) nach ( —) fließende Strom den Gleichrichter in Durchlassrichtung (Spitze im Gleichrichtersymbol als Strompfeil, Abb. 4.32) passiert. Sobald die angelegte Spannung ihre Polarität ändert und den Strom in Sperrichtung durch den Gleichrichter treiben will, wirkt er wie ein geöffneter Schalter.
Bei Verwendung eines einzelnen Gleichrichters in der Einwegschaltung (siehe Abb. 4.32a) fließt nur in jeder zweiten Halbperiode ein Stromstoß durch das Ins-
Abb. 4.32 Einweg-Gleichrichterschaltung: (a) Schaltung, (b) Kurvenform.
218	4 Elektromagnetische Induktion
trument (Abb. 4.32b). Dieses zeigt dann den Mittelwert Zm, der für sinusförmige Wechselströme mit Scheitel- und Effektivwert wie folgt verknüpft ist:
4,Hinweg -	- 4r |/2/* = 0.450 Zerr.	(4.81)
(Die Fläche unter einer Halbwelle von i  sina>t ist gleich 2f; geteilt durch die Periode 2n ergibt sich der Mittelwert i/n.)
Durch Verwendung von vier Gleichrichtern in der so genannten Graetz’schen Vollwegschaltung (Abb. 4.33a) kann man erreichen, dass jede Halbschwingung des Wechselstroms in der gleichen Richtung durch das Instrument fließt (Abb. 4.33b). In diesem Fall ist der gemessene Mittelwert doppelt so groß wie bei der Einwegschaltung:
4,voU»eg = 2 ?/k = Ie[[ 2]/2/k = 0.900 Ie[,	(4.82)
Das Verhältnis von Effektiv- und Vollweg-Mittelwert wird Formfaktor genannt. Für Sinusstrom beträgt er n/2]/2 x 1.11. In der Praxis sind die mit Gleichrichtern versehenen Messinstrumente so geeicht, dass sie für sinusförmige Ströme den Effektivwert anzeigen. Vielfach-Messinstrumente mit Umschalter für Gleich- und Wechselstrommessungen haben zwei verschiedene Skalen.
Abb. 4.33 Vollweg-Gleichrichterschaltung nach Graetz: (a) Schaltung, (b) Kurvenform.
Messung der Wechselstromfrequenz. Für niederfrequente Wechselströme verwendet man den Zungenfrequenzmesser, z. B. wenn man Abweichungen von der Nennfrequenz beobachten möchte. Das Messwerk eines solchen Gerätes (Abb. 4.34) besteht aus einer Anzahl abgestimmter Stahlzungen, die je nach Umfang des Messbereichs in einer oder mehreren Reihen vor dem Pol eines Elektromagneten angeordnet sind. Fließt Wechselstrom durch die Magnetspule, so wird nur diejenige Zunge in kräftige Resonanzschwingungen versetzt, deren Eigenschwingungszahl gleich der Polwechselzahl (also der doppelten Frequenz des Wechselstromes) ist. Die Zungen tragen am vorderen Ende eine quadratische weiße Platte, die beim Schwingen der Zunge verbreitert erscheint, sodass man an einer über den Zungen befindlichen Skala die Frequenz ablesen kann (Abb. 4.34b). Im Labor werden Frequenzen mithilfe des Oszilloskops bestimmt; für sehr genaue Frequenzmessungen können die positiven Halbwellen über eine hinreichend lange Messzeit elektronisch gezählt werden.
48 49 50 51
49,25
48 49 50	51
49,50
48	49 50	51
49,75
48 49	50	51
50,00
220	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.35 Phasenbeziehung zwischen Wechselspannung und Wechselstrom an den verschiedenen Bauelementen: (a) Widerstand, (b) Spule, (c) Kondensator.
Man sieht sofort, dass uR und iR nach Gl. (4.84) gleichphasig sind (Abb. 4.35a). Mit iL nach Gl. (4.83) eingesetzt in Gl. 4.85) ergibt sich
uL = —a>L iL sin ojt
= a>L iL cos (ctü + rt/2).
(4.87)
Das heißt, bei der Spule eilt die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode (90°) voraus (Abb. 4.35b).
Setzt man in Gl. (4.86) die Ableitung einer kosinusförmigen Spannung ein, erhält man einen zu — sinmt • (coC) proportionalen Strom. Beim Kondensator eilt also der Strom der Spannung um eine Viertelperiode voraus (Abb. 4.35c) oder, anders formuliert, die Spannung eilt dem Strom um eine Viertelperiode hinterher. Das führt dann zu der auf einen kosinusförmigen Strom bezogene Beziehung
uc = (coC) 1 tc cos (tot - k/2).
(4.88)
Das Ohm’sche Gesetz für Wechselstrom. Quadriert man die Strom-Spannungs-Beziehungen (Gl. (4.84), (4.87), (4.88)) und bildet deren zeitlichen Mittelwert, dann erhält man Verknüpfungen von Effektivspannung und Effektivstrom an Widerstand, Kondensator und Spule wie folgt:
Uett,R ~
Uett.C ~ (C^C) All.-
(4.89)
Noch ähnlicher werden diese Beziehungen dem Ohm’schen Gesetz, wenn man den Index „eff“ weglässt, wie es in der Wechselstrom-Technik oft geschieht, solange keine Verwechslung mit Gleichspannung und Gleichstrom zu befürchten ist, und Wechselstrom-Widerstände einführt:
und
UR = R IR,
UL — Rl 1l mit Rl = ioL,
Uc — Rc Ic mit Rc = (coC) 1
(4.90)
Zur Demonstration der Frequenzabhängigkeit der Wechselstromwiderstände verwenden wir drei Quellen für Gleichstrom und für Wechselstrom von 50 Hz und 500 Hz, die wir auf gleiche (Effektiv-)Spannung einstellen und nacheinander mit
4.3 Wechselstrom 221
dem Versuchs-Stromkreis verbinden. Dieser enthält ein für Gleich- und Wechselstrom geeignetes Amperemeter, eine Glühlampe und eines der drei Bauelemente R (z. B. R — 100 Q), L (möglichst groß, mit Eisenkern L x 1 H), und C (z. B. C x 4 pF), mit einem Dreifachschalter wahlweise zuschaltbar. Man beachte bei dieser Demonstration, dass keines der Bauelemente ideal ist; dabei ist insbesondere an den ohmschen Widerstand der Spule RL zu denken. Hier nehmen wir an, dass RL kleiner als R ist, und dass mithilfe eines Vorwiderstandes dafür gesorgt wird, dass der Widerstand gleich R ist, wenn sich die Spule im Stromkreis befindet.
Nun können folgende Demonstrationen durchgeführt werden:
1.	Wir schalten R in den Stromkreis und legen nacheinander die Gleichspannung und die Wechselspannungen der beiden Frequenzen an. Mit gleichen (effektiven) Spannungen und einem induktivitätsarmen (bifilar gewickelten) Widerstand zeigt das Amperemeter in allen drei Fällen denselben Strom an, und die Glühlampe brennt gleich hell. (Eine Abnahme des Stromes und der Lampenhelligkeit mit zunehmender Frequenz wäre auf einen erheblichen Wert von LR zurückzuführen.)
2.	Wir schalten die Spule, zuerst ohne Eisenkern, in den Stromkreis. Bei Gleichspannung erhalten wir denselben Strom wie für den Widerstand R, wenn Rr + Vorwiderstand gleich R ist. Bei Wechselspannung aber sinkt die Stromstärke und die Lampe glüht dunkler, dies umso mehr, je höher die Frequenz ist. Erhöhen wir die Induktivität der Spule durch Einschieben des Eisenkerns, so sinkt der Strom weiter; bei 500 Hz geht praktisch kein Strom mehr durch die Spule, die Lampe erlischt. Da mit dem Eisenkern nur die Induktivität erhöht wird, der Gleichstromwiderstand aber unverändert bleibt, zeigt dieser Versuch, dass die Spule in einem Wechselstromkreis wie ein Widerstand wirkt, der umso höher ist, je größer Induktivität und Frequenz sind.
3.	Wir schalten schließlich den Kondensator C in den Stromkreis. Beim Anlegen der Gleichspannung schlägt das Amperemeter für einen Augenblick aus, und die Lampe blitzt kurzzeitig auf. Beides rührt von dem auf den Kondensator fließenden Ladestrom her. Nachdem der Kondensator auf die Gleichspannung aufgeladen ist, ist der Kreis stromlos. Der Kondensator wirkt wie eine Unterbrechung des Stromkreises. Legen wir aber Wechselstrom an, so zeigt das Amperemeter einen Dauerausschlag und die Lampe leuchtet. Der Übergang von 50 zu 500 Hz lassen Strom und Lampenhelligkeit ansteigen. Das zeigt, dass der Kondensator einen Wechselstromleitwert besitzt, der mit der Frequenz zunimmt.
Bestimmung von Induktivität und Kapazität. Legt man eine sinusförmige Wechselspannung an das Bauelement, dann lassen sich die Wechselstromwiderstände (Gl. (4.90)) und damit L und C aus einer Strommessung bestimmen, wenn das Bauelement (näherungsweise) als ideal betrachtet werden kann.
Wenn eine genügend hohe Frequenz gewählt wird, kann der ohmsche Widerstand einer Spule vernachlässigt werden; anderenfalls muss er in einer Gleichstromschaltung (z. B. der Wheatstone’schen Brücke) bestimmt und entsprechend in Abzug gebracht werden. Die weiter unten hergeleiteten Beziehungen ergeben für die experimentelle Bestimmung der Induktivität die Gleichung
W = (U2/I2)msl -(U2/I2)ale^.
(4.91)
222	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.36 Wheatstone’sche Brückenschaltung zum Vergleich von Kapazitäten.
Die Wheatstone’sche Brücke erlaubt auch einen Vergleich von Wechselstromwiderständen, z. B. Kondensatoren (Abb. 4.36). Man vergleicht dabei die unbekannte Kapazität Cx mit einer bekannten Kapazität C. Der Schleifkontakt K auf dem Widerstandsdraht AB muss so eingestellt werden, dass in dem in der Brücke eingeschalteten Telephon kein Ton mehr hörbar, die Brücke also stromlos ist. [Anstelle des Telephons kann auch ein empfindliches Galvanometer mit Gleichrichter verwendet werden.] Ist der Brückenzweig stromlos, dann ergibt sich Cx aus C und dem Verhältnis der Drahtlängen AK und KB:
C = C	(4.92)
Für Gleichstrom wirkt ein Kondensator wie eine Unterbrechung des Stromkreises und eine Spule wirkt wie ein Kurzschluss; für Wechselstrom besitzt dagegen eine Spule mit hohem wL einen hohen Widerstand und ein Kondensator mit hohem mC einen hohen Leitwert. Diese Tatsachen kann man ausnutzen, um Gleich- oder Wechselspannung durch Kurzschließen einer Masche von Teilen eines Netzwerkes fernzuhalten oder um Stromzweige für Gleich- oder Wechselstrom zu sperren. Die Bezeichnung „Drosselspule“ bezieht sich auf die Eigenschaft der Spule, hochfrequenten Strom fernzuhalten. „Kopplungskondensatoren“ werden verwendet, um hochfrequente Ströme aus einem Gleichstrom-Netzwerk „auszukoppeln“.
Schein-, Wirk- und Blindleistung. Die Definition der elektrischen Leistung als Produkt von Strom und Spannung wird auch für Wechselstrom beibehalten, hier aber nicht auf das Produkt der Augenblickswerte von Strom und Spannung bezogen, sondern auf den zeitlichen Mittelwert über die Periode T. Da aber i. A. Strom und Spannung nicht gleichphasig sind, ist mit einem Phasenunterschied von cp zu rechnen:
P — <iu)
= T! i(t) -u(t) dt
= (iue/T) j'cosicU) • cos(mt + cp) dt
1
— iü - cos<p
= 1 U coscp,	(4.93)
wobei jetzt bei / und U die Indizes „eff“ weggelassen werden. Diese Leistung wird als Wirkleistung (effektive (real) power) bezeichnet, das Produkt I • U als Scheinleistung (apparent power). Die Größe cos cp wird Leistungsfaktor genannt. Abb. 4.37
4.3 Wechselstrom 223
Abb. 4.37 Leistungskurve i  u für verschiedene Phasenwinkel: (a) <p = 0, (b) <p = n/2 = 90c, (c) <p = 7t/4 = 45c mit Nulldurchgängen bei A, B, C, D.
224	4 Elektromagnetische Induktion
zeigt den momentanen Wert des Produktes z(t) • u(t) als Funktion der Zeit für verschiedene Phasenwinkel zwischen i und u. Die Größe I • U  sin cp wird Blindleistung (idle or waltless power) genannt. Wegen sin2 cp + cos2 cp = 1 folgt
(^WiJ2 + (^B1i„d)2= (Schein)2-	(4-94)
Die Aufspaltung des um den Winkel cp phasenversetzten Stroms in zwei Komponenten proportional zu cos cp bzw. sin cp wird im Zeigerdiagramm (unten) leicht verständlich.
Wichtig ist, dass die idealen Wechselstrom-Bauelemente L und C keine Wirkleistung aufnehmen. Reale Spulen haben einen bei kleinen Frequenzen nicht vernachlässigbaren ohmschen Widerstand. Reale Kondensatoren haben bei hohen Frequenzen Umpolungsverluste im Dielektrikum, die zur Erwärmung des Kondensators führen. Trotzdem ist die Wirkleistung bei Kondensatoren viel kleiner als die Blindleistung, d. h. der Leistungsfaktor ist dicht bei null und cp ist fast n/2. Zur besseren quantitativen Beschreibung der kleinen dielektrischen Verluste eines Kondensators verwendet man deshalb statt des Phasenwinkels cp zwischen Strom und Spannung den Verlustwinkel
<5 = rt/2 - cp « 1.	(4.95)
Die im Kondensator auftretende Verlust-(Wirk-)Leistung ist dann gegeben durch
/Jw„k = 1 u cos (p
— I U sin <5
xl U 5.	(4.96)
Der Verlustwinkel ist das Verhältnis der Wirkleistung im Kondensator zur Scheinleistung, und dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kondensators. Für gute Kondensatoren liegt <5 in der Größenordnung von 10 4, für die meisten technischen Isolierstoffe zwischen 10' und 10 2. Der Verlustwinkel ist, wie die Zahl der Umpolvorgänge in einem Zeitintervall, frequenzabhängig.
Darstellungen von Strömen und Spannungen im Zeigerdiagramm (pointer diagram). Die hier beschriebene Darstellungsweise gilt nur für (ko)sinusförmige Wechselströme und Wechselspannungen derselben Frequenz und für stationäre Zustände, d. h. für zeitlich konstante Scheitelwerte und Phasenwinkel (steady-state alternating currents).
In einem Stromkreis mit nur einer Wechselstromquelle haben alle auftretenden Spannungen und Ströme dieselbe Frequenz, aber i. A. unterschiedliche Phasenwinkel. Das Zeigerdiagramm erlaubt eine einfache und sehr anschauliche Betrachtung der Phasenlagen, weil die Zeitabhängigkeit aller Größen dabei ignoriert wird.
Statt der Kosinus-Funktion verwenden wir die komplexe Schreibweise mithilfe der Euler’schen Beziehung (Abschn. 15.5),
cosmt = Re [exp (i ctü)], Re = Realteil, i = (—1)1/2	(4.97)
aber lassen die Erwähnung des „Realteils“ in Zukunft weg. [Die Elektrotechniker symbolisieren die imaginäre Einheit (—1)1/2 nicht wie in der Mathematik und der Physik üblich mit „i“, sondern mit „j“, um Verwechslungen mit Symbolen für Ströme zu vermeiden.]
4.3 Wechselstrom 225
Wir separieren die zu betrachtende Größe - z. B. die Wechselspannung u (t) - in einen Zeitfaktor und einen Amplituden-und-Phasen-Faktor
u (t) = ü exp [i (ctü + (/?)]
= exp[icot] • ü exp [i cp]	(4.98)
und definieren den zweiten Faktor als Spannungszeiger:
u(cp) = ü exp(i cp).	(4.99)
Die so definierten Zeiger für Spannungen und Ströme „zeigen“ in der Gauß’schen Zahlenebene vom Ursprung zu einem bestimmten, eine komplexe Zahl repräsentierenden Punkt. Die Zeiger haben eine gewisse Ähnlichkeit mit zweidimensionalen Vektoren; es sind aber keine Vektoren! Die Verwendung der kursiv-fetten Symbole soll nur dazu dienen, die Zeiger von den explizit zeitabhängigen Spannungen und Strömen zu unterscheiden.
Die Spannungs- und Strom-Zeiger (phasors)
ir — ü{ exp(i</?j), ik = fk exp(i<pk)	(4.100)
werden in Zeigerdiagrammen (phasor diagrams) graphisch dargestellt. Zum Beispiel gibt Abb. 4.38 die Zeiger der Wechselspannungen und Wechselströme an den drei Bauelementen R, L und C.
Bei Mitbetrachtung des in Gl. (4.98) ausgeklammerten Zeitfaktors muss man sich vorstellen, dass alle im Zeigerdiagramm enthaltenen Zeiger synchron mit der Winkelgeschwindigkeit a> gegen den Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt rotieren, während die reelle Achse festgehalten wird. Diese Vorstellung verdeutlicht, dass im Zeigerdiagramm wirklich nur die Phasendifferenzen der betrachteten Zeiger bedeutsam sind, aber nicht der Phasen-Nullpunkt, der irgendeinem Zeitpunkt der Rotationsperiode entspricht und beliebig festgelegt werden kann. So ist es z. B. bei der Be-
Abb. 4.38 Zeiger zu den Wechselspannungen und Wechselströmen an den verschiedenen Bauelementen: (a) Widerstand, (b) Spule, (c) Kondensator.
226	4 Elektromagnetische Induktion
trachtung einer Reihenschaltung naheliegend, dem Strom, der für alle Bauelemente gleich ist, die Phase null zuzuordnen; dasselbe gilt für die Spannung bei der Betrachtung einer Parallelschaltung.
Ein Zeiger im Zeigerdiagramm zeigt mit seiner Spitze auf eine komplexe Zahl in der Gauß’schen Zahlenebene. Die Addition von komplexen Zahlen, bei der die reellen Komponenten und die imaginären Komponenten getrennt addiert werden,
U = Z/, + U2
= (ü1 cos <pt + ü2 cos <p2)
+ i (üj sin (p1 + ü2 sin cp2),
(4.101)
entspricht formal der Addition zweidimensionaler Vektoren. Die Zeiger in der Gauß’schen Ebene können wie Ortsvektoren in der .vr-Ebene durch Konstruktion von Parallelogrammen addiert werden (Abb. 4.39), vorausgesetzt, die Zeiger stellen physikalisch gleiche Größen dar.
Abb. 4.39 Graphische Addition zweier Spannungszeiger.
Für die Addition der beiden Spannungen nach Gl. (4.101) sind die Phasen winkel wichtig, während die Phase der resultierenden Spannung nicht mehr interessant ist. Auch der Realteil von u ist nicht besonders bedeutsam, weil er ja nur für einen Augenblick jeder Rotationsperiode gilt. Viel wichtiger ist der Scheitelwert ü der aus der Addition von Gl. (4.101) resultierenden Spannung, bzw. deren Effektivwert U; beide Werte folgen aus dem Betrag des Zeigers u:
ü = |h|
t/=|H|/]/2.
(4.102)
Für sinusförmige Größen besteht der zahlenmäßige Unterschied zwischen Scheitel- und Effektivwert nur in dem trivialen Faktor ]/2. Wenn, wie es oft der Fall ist, die Scheitelwerte der zu addierenden Spannungen erst aus Effektivwert-Messungen berechnet werden müssen und am Schluss wieder nur der Effektivwert von Interesse ist, dann kann man auch gleich mit „Effektivwert-Zeigerlängen“ im Zeigerdiagramm arbeiten. [Wir nehmen hier davon Abstand, um den konzeptionellen Unterschied von Scheitel- und Effektivwert nicht zu verwischen.]
Der eigentliche Vorteil des Rechnens mit komplexen Zeigern - statt mit zweidimensionalen Vektoren - wird ersichtlich beim Multiplizieren und Dividieren: Durch Multiplikation mit einer komplexen Zahl kann ein Zeiger in der Gauß’schen Zahlenebene gedreht werden. (Zur Drehung eines Vektors ist die Multiplikation mit einer Matrix erforderlich.) Durch Multiplikation mit dem Kehrwert der komplexen Zahl wird die Drehung umgekehrt. (Der Kehrwert eines Vektors ist nicht definiert; zur Rückdrehung des Vektors muss mit der inversen Matrix multipliziert werden.)
4.3 Wechselstrom 227
Zur phasengerechten Beschreibung der Beziehung zwischen Strom und Spannung werden das Ohm’sche Gesetz und analog auch die Kirchhoff ’sehen Sätze auf komplexe Zeiger erweitert:
u — Z i oder i — Y u
mit | F| = |Z|-1 und <py=— <pz',	(4.103)
Zist der komplexe Widerstand; Z = \ Z\ heißt Scheinwiderstand oder Impedanz (im-pedance); Y ist der komplexe Leitwert; Y — | F| heißt Scheinleitwert oder Admittanz (admittance).
Außerdem sind die folgenden Aufspaltungen und Bezeichnungen üblich:
Z=R + iX	(4.104)
und
Y=G + iB-	(4.105)
R ist der (ohmsche) Wirkwiderstand (die Resistanz, resistance), X ist der Blindwiderstand (die Reaktanz, reactance); G ist der Wirkleitwert (die Konduktanz, conduct-ance), B ist der Blindleitwert (die Suszeptanz, susceptance).
Impedanz Z und Admittanz Y sind komplexe Zahlen wie u und i und werden wie diese durch Zeiger in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt. Physikalisch repräsentieren sie Eigenschaften des betrachteten Stromkreises, mathematisch sind es Operatoren, die bei Multiplikation mit dem Zeiger i bzw. u diesen in einen anderen Zeiger (u bzw. i) mit anderer Länge, anderem Phasenwinkel und anderer Maßeinheit überführen (Abb. 4.40).
Abb. 4.40 Zeigerdiagramm: (a) Strom- und Spannungszeiger, die „eigentlich“ rotieren; (b) Impedanzzeiger, der die Beziehung zwischen Strom und Spannung beschreibt und nicht rotiert.
Impedanz und Admittanz für Kombinationen der Bauelemente R,L und C. Beim Widerstand sind Strom und Spannung immer phasengleich:
Zr = R, Yr=1IR.	(4.106)
Es gilt also dieselbe Form des Ohm’schen Gesetzes wie für Gleichstrom. Bei der Spule eilt die Spannung dem Strom um rt/2 ( = 90) voraus:
ZL — i a>L = a>L exp(i n/2),
YL = (i <uL) 1 = —i (<uL) 1 = (<uL) 1 exp( —i rt/2).	(4.107)
228
4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.41 Schaltzeichen für Widerstand R, Spule L und Kondensator C und Vektorbilder für deren Scheinwiderstand Z und Scheinleitwert Y.
Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um rt/2 ( = 90) voraus:
Zc — (i <')(’)' = —i (<uC) 1 = (<uC) 1 exp( —i Jt/2),
Yc = i a>C = a>C exp(i rt/2).	(4.108)
In der praxis-orientierten elektrotechnischen Literatur wird die Benutzung komplexer Zahlen vermieden; statt dessen werden „Vektorbilder“ (Abb. 4.41) verwendet, die den komplexen Impedanz- und Admittanz-Zeigern, losgelöst vom (Re/Im)-Ko-ordinatensystem der Gauß’schen Zahlenebene entsprechen und wie diese zweidimensional-vektoriell addiert werden. Man verwendet „reelle“ Pfeile für den Scheinwiderstand Z und den Scheinleitwert Y, trägt die Pfeile aber mit den in Abb. 4.41 angegebenen Richtungen in das Vektorbild ein.
Als Anwendungsbeispiele für diese Vektorbilder betrachten wir Reihen- und Parallelschaltungen von zwei der Bauelemente R, L und C in Abb. 4.42. Die Kombination von L mit R wird auch verwendet, wenn bei realen Spulen deren ohmscher Widerstand in einem Ersatzschaltbild berücksichtigt werden soll. Weil sich bei Reihenschaltungen die Spannungen addieren, werden die Vektorbilder für Z benutzt; weil sich bei Parallelschaltungen die Ströme addieren, verwendet man Vektorbilder für Y. Aber statt Z„, Z,, Zr und Y„, Y,, Yr schreibt man lieber gleich R, a>L, 1/cdC und 1/R, 1/coL, mC in die Vektorbilder.
Die Formeln für den resultierenden Schein widerstand oder Scheinleitwert und für den Tangens des Winkels cpz oder cpY können dann aus dem Vektorbild „abgelesen“ werden.
Bei Schaltungen mit Spule und Kondensator (Abb. 4.42 unten) tritt der Resonanzfall auf, wenn induktiver und kapazitiver Scheinwiderstand (bzw. Scheinleitwert) gleich groß werden:
mr = (LC)-112.	(4.109)
Im Resonanzfall wird der Scheinwiderstand einer LC-Reihenschaltung gleich null und der einer LC-Parallelschaltung unendlich groß. Wenn neben L und C auch
4.3 Wechselstrom 229
Abb. 4.42 Reihen- und Parallelschaltung von R, L und C und die dazugehörenden Vektorbilder.
230	4 Elektromagnetische Induktion
ohmsche Widerstände in der Schaltung enthalten sind, wird durch die in R verbrauchte Wirkleistung das Resonanzverhalten „gedämpft“; anstelle von Scheinwiderständen von null bzw. unendlich ergeben sich dann im Resonanzfall nur „sehr kleine“ bzw. „sehr große“ Extremwerte für Z (und umgekehrt für Y).
Für den hier besprochenen Frequenzbereich von Wechselstrom-Netzen und rotierenden Maschinen ist a> meist deutlich kleiner als die Resonanzkreisfrequenz <•), des Stromkreises. Deshalb wird die ausführliche Diskussion von „Resonanzkreisen“ auf das nächste Kapitel (Abschn. 5.1.4) verschoben.
4.3.3 Mehrphasenströme, magnetische Drehfelder
Zweiphasen-Wechselstrom. Lässt man in einem Magnetfeld zwei gegeneinander um 90° verdrehte Drahtschleifen oder Spulen rotieren, deren Enden zu je zwei voneinander isolierten Schleifringen führen wie in Abb. 4.43 gezeigt ist, so erhält man zwei gegeneinander um rt/2 (= 90°) phasenverschobene Wechselspannungen
u1 — ü coscot
und
w2 = wsinmt.	(4.110)
Leitet man diese beiden Spannungen zu zwei gleichen Spulen, die rechtwinklig zueinander angeordnet sind (Abb. 4.44a), so fließen durch beide gleichstarke Ströme, die ebenfalls eine Phasendifferenz von 90° haben und zwei sich rechtwinklig überlagernde Magnetfelder B und B mit der gleichen Phasendifferenz erzeugen.
Im Zentrum der mit ihren Achsen in x- und r-R.ichtung angeordneten Spulen überlagern sich die beiden Felder wie folgt:
B, — Bo cos a>t,
By = Bo sinoU,
B = (B2 + ß2)1 2 = Bo.	(4.111)
Das resultierende Feld hat den Betrag Bo und seine Richtung rotiert in der .vr-Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit a>, mit der sich auch das Spulensystem der Maschine
Abb. 4.43 Erzeugung von zwei gegeneinander um 90° phasenverschobenen Wechselspannungen durch Drehung von zwei gegeneinander um 90° versetzter Drahtschleifen in einem Magnetfeld. Das Abnehmen der Spannung erfolgt über Schleifringe.
4.3 Wechselstrom 231
dreht, die den „Zweiphasenstrom“ erzeugt (Abb. 4.43). Ein solches Feld wird ein magnetisches Drehfeld genannt (G. Ferraris, 1888). Kehrt man den Drehsinn der Induktionsspulen um oder polt die Zuleitungen von einer der beiden Feldspulen um, dann rotiert das Feld mit entgegengesetztem Drehsinn.
Das Drehfeld lässt sich auf verschiedene Art nachweisen: Eine Magnetnadel im Inneren der Feldspulen (Abb. 4.44a) rotiert synchron mit dem Feld. Ein spitzengelagerter Metall-Hohlzylinder im Drehfeld wird durch die in ihm induzierten Wirbelströme in eine gleichsinnige, aber asynchrone Rotation mit geringerer Winkelgeschwindigkeit versetzt (Abb. 4.43b). Die Rotation des Drehkörpers muss hinter der des Drehfeldes Zurückbleiben, damit sich im Drehkörper die Feld Verteilung zeitlich verändert und somit ständig Wirbelströme induziert werden. Das Prinzip ist das gleiche wie bei der Mitbewegung der drehbaren Kupferscheibe über einem rotierenden Magneten.
Mit diesen einfachen Anordnungen lassen sich schon die prinzipiellen Arbeitsweisen einiger elektrischer Maschinen erläutern: Die drehbare Induktionsspulen-Anordnung von Abb. 4.43 ist im Prinzip ein Wechselstrom-Generator (a.c. generator). Die Magnetnadel im Drehfeld von Abb. 4.44a ist im Prinzip der Läufer (das „Polrad“, pole wheel) eines Synchronmotors (synchronous moiory während der Metallzylinder von Abb. 4.44b, der als Ersatz der Magnetnadel von Abb. 4.44a durch Wirbelströme in Drehbewegung versetzt werden kann, dem Kurzschlussläufer („Käfig“, cage] eines Asynchronmotors (induction motor) entspricht.
Zur Fortleitung eines zweiphasigen Wechselstromes benötigt man an sich zwei Doppelleitungen, also vier einzelne Drahtleitungen (Abb. 4.43, Abb. 4.44a). Man kann jedoch zwei Leitungen vereinigen und dadurch eine der vier Leitungen sparen. In der gemeinsamen Leitung fließen dann zwei um 90° verschobene Wechselströme, die sich bei gleichen Effektivwerten zu einem Strom addieren, der um den Faktor ]/2 größer ist und eine um +45° gegen die zwei Ströme versetzte Phasenlage hat. Man spricht in diesem Fall von einem verketteten Zweiphasenstrom. Es ist üblich, dem gemeinsamen Leiter das Potential null und damit den Ursprung im Spannungs-Zeigerdiagramm zuzuordnen.
Drehfeld-Erzeugung mit einphasigem Wechselstrom. Steht nur einphasiger Wechselstrom zur Verfügung, so kann man die gewünschte Phasenschiebung von etwa 90°
Abb. 4.44 (a) Erzeugung eines magnetischen Drehfeldes; Nachweis durch Rotation der Magnetnadel. (b) Spitzengelagerter Metallzylinder, der anstelle der Magnetnadel verwendet werden kann.
232	4 Elektromagnetische Induktion
z. B. dadurch erreichen, dass man die eine Feldspule in Reihe mit einem Widerstand R, die andere in Reihe mit einer Kapazität C (oder einer Induktivität L) schaltet und beide Schaltungen dann zueinander parallel an die Wechselstromquelle legt. Wenn ohmscher und induktiver Widerstand der Feldspulen vergleichsweise klein sind und hier unberücksichtigt bleiben können, ergeben sich gleichgroße Ströme, wenn
R = (coC)~1 (bzw.R = coL)	(4.112)
gewählt wird. Als technisch einfachste Lösung wird meist ein Kondensator zur „Phasenschiebung“ verwendet.
Dreiphasenstrom oder Drehstrom (three-phase current). Dieser Strom hat in der Technik eine viel größere Bedeutung als der Zweiphasenstrom. Drehstrom besteht aus drei in der Phase um je 120° (= 2n/3) gegeneinander verschobenen Wechselströmen. Ein Drehstrom-Generator hat drei um 120° gegeneinander verdrehte Induktionsspulen, anstelle der zwei um 90° gegeneinander gedrehten Induktionsspulen des Zweiphasengenerators (Abb. 4.45a, b), und erzeugt drei um 120° gegeneinander versetzte Wechselspannungen (Abb. 4.46).
Es gibt zwei Möglichkeiten für symmetrische Schaltung der Induktionsspulen eines Drehstromgenerators. Abb. 4.47a zeigt die so genannte Dreieckschaltung (delta connection). Die Pfeile an den Spulen sind die Spannungspfeile des Netzwerks; diese Zeichnung ist aber so angelegt, dass sie gleichzeitig als Spannungszeiger in einem der Schaltung überlagerten Zeigerdiagramm aufgefasst werden können. Die drei
Abb. 4.45 Spulenanordnung und Feldstärke-Vektoren: (a) Zweiphasendrehfeld, (b) Dreiphasendrehfeld.
Abb. 4.46 Dreiphasen-Spannungen für Drehstrom.
4.3 Wechselstrom 233
Abb. 4.47 Generator-Schaltungen für Drehstrom: (a) Dreieckschaltung, (b) und (c) Sternschaltung mit Nulleiter.
Generatorspulen sind hintereinander geschaltet und bilden eine „Masche“ des Netzwerks. Das ist möglich, weil die Summe der drei Spannungen immer null ist. Von den Verbindungspunkten der Spulen führen die Leitungen zum Verbraucher. Zwischen je zwei Leitungen der Dreieckschaltung ist die Spannung dieselbe wie in einer der drei Spulen. In jeder Leitung überlagern sich zwei („verkettete“) Ströme, die sich in der Phase um 120° unterscheiden. Der Potential-Nullpunkt des Drehstromgenerators kann beliebig gewählt werden. Aber ganz gleich, welche der drei Klemmen der Dreieckschaltung man erden würde, es entstünde immer eine unsymmetrische Spannungsverteilung, weil zwei der drei Spulen an einer Seite, die dritte aber an keiner Seite geerdet wäre.
Wie die Induktionsspulen bei unveränderter Lage auf dem Rotor des Generators anders geschaltet werden können, zeigt Abb. 4.47b mit einer der Abb. 4.47a entsprechenden Lage der Spulensymbole. Wie leicht zu erkennen ist, kann man durch Parallelverschiebung der Spulensymbole samt ihrer Spannungspfeile ohne Veränderung der Schaltung die Abb. 4.47b in Abb. 4.47c überführen. Letztere entspricht der üblichen Darstellung der so genannten Sternschaltung (star or Y connection). Charakteristisch dafür ist, dass alle drei Spulen mit einem Ende verbunden sind und dass dieser Punkt der Schaltung als Nullpunkt dient.
In den drei Phasen-Leitungen (1), (2) und (3) - die in der Elektrotechnik mit Lp L2 und L3 oder R, S und T gekennzeichnet werden - fließen die Ströme, die auch durch die drei Generatorspulen fließen. Wenn diese drei Ströme gleich groß und wie die Spulenspannungen 120° gegeneinander phasenverschoben sind, dann addieren sich die Ströme der Sternschaltung zu null (wie die Spannungen der Dreieckschaltung). Der bei der Sternschaltung zusätzlich vorhandene Nullleiter (neutral conduc-tor) hat das Null-Potential des Mittelpunktes und führt einen Ausgleichsstrom, wenn die drei Spulenströme wegen unterschiedlicher Impedanzen im Verbraucherteil des Netzwerkes nicht gleich groß sind oder von 120° verschiedene Phasenunterschiede haben.
Ein Vorteil der Sternschaltung besteht darin, dass die drei Generatorspulen wie drei voneinander unabhängige Spannungsquellen (1), (2) und (3) mit einem gemeinsamen „Rückleiter“ (0) betrachtet werden können. Das geschieht z. B. bei der „Stromverteilung“ in einem Haus: Vom Elektrizitätswerk wird Drehstrom mit den
234	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.48 Zeigerdiagramm der Spannungen beim Drehstrom. Die vom Ursprung ausgehenden Spannungspfeile sind die Sternspannungen, die Differenzen von je zwei Sternspannungen ergeben die um ]/3 größeren Dreieckspannungen.
drei Phasen und dem Nulleiter und einer Stern-Effektivspannung von 230 V ins Haus geliefert. Im Haus gibt es verschiedene Einphasen-Verbraucher-Stromkreise, die einzeln mit Überstrom-Sicherungen gegen Kabelbrand „abgesichert“ sind. Diese verschiedenen Verbraucher werden möglichst gleichmäßig auf die drei Phasen verteilt, sodass sich im statistischen Mittel die drei Phasenströme fast zu null addieren und deshalb im Nulleiter kaum Spannungsabfall und ohmsche Verluste auftreten.
Die Spannungen zwischen zwei der drei Phasenleitungen entsprechen den phasengerechten Differenzen der Einzelspannungen. Diese verketteten Spannungen (in-terlinked voltages) (wk — sind um den Faktor ]/3 größer als die sie bildenden Einzelspannungen wk und u. und gegen diese phasen-versetzt.
Das deutsche Drehstromnetz liefert 230 V Sternspannung mit geerdetem Mittelpunkt und 230V-]/3 ä 400 V Dreieck-Spannung. Abb. 4.48 zeigt das Zeigerdiagramm der Spannungen für Stern- und Dreieckschaltung. Um die Vorzüge des Drehstroms zur Erzeugung eines starken magnetischen Drehfeldes nutzen zu können, benötigt man alle drei Phasen gleichzeitig. Dafür muss ein dreiphasiger Anschluss („Kraftsteckdose“) installiert werden; dazu gehören 5 unvertauschbare Kontakte für die drei Phasen (Kabelisolation meist „schwarz“ oder „braun“), den Nulleiter (immer „hellblau“) und die Schutzerde (immer „grün-gelb“). Die Dreiphasen-Nut-zung des Drehstroms auf der Verbraucherseite kann wahlweise in Stern- oder Dreieckschaltung erfolgen.
4.3.4 Transformatoren
Wechselströme haben gegenüber Gleichströmen den Vorteil, dass sie sich unter Ausnutzung des in Abschn. 4.2.3 erläuterten Transformator-Prinzips sehr leicht auf andere Spannungen transformieren lassen. Das geschieht mithilfe der Transformatoren (kurz „Trafos“), die in der Starkstromtechnik als Umspanner bezeichnet werden und den elektrischen Maschinen zugerechnet werden. Obwohl das Prinzip seit Fa-raday’s Entdeckung von 1831 bekannt war, ist der Tranformator als Maschine für
4.3 Wechselstrom 235
die Wechselstromtechnik noch mehrfach als Neuheit vorgestellt und patentiert worden. William Stanley, ein Ingenieur der Westinghouse Corporation, baute 1885 die erste technisch nützliche Version, die ab 1886 kommerziell eingesetzt wurde.
Ein Transformator (transformer) besteht aus Primär- und Sekundärspule, die zur Erzielung eines möglichst kräftigen gemeinsamen magnetischen Flusses auf einem in sich geschlossenen Eisenkern aufgebracht sind. Die beiden Spulen werden häufig übereinander gewickelt.
Durch den geschlossenen Eisenkern wird der „magnetische Widerstand“ des Kreises minimal. Die Wirkung des magnetischen Flusses lässt sich mit dem in Abb. 4.49 skizzierten dreischenkeligen Transformatormodell zeigen: Die drei Schenkel sind durch ein verschiebbares Joch überbrückbar. Die Primärspule befindet sich auf dem mittleren Schenkel (2), die Sekundärspule mit gleicher Windungszahl auf dem äußeren Schenkel (3). Bei unveränderter Primärspannung Uo bringen wir das Joch in verschiedene Stellungen und messen die Sekundärspannung. Wenn das Joch über allen drei Schenkeln liegt, messen wir U0/2, weil sich der Rückfluss des mit der angelegten Spannung im Schenkel (2) erzeugten Flusses je zur Hälfte auf die Schenkel (1) und (3) verteilt. Wenn nur die Schenkel (2) und (3) überbrückt werden, messen wir Uo, weil der volle Rückfluss durch Schenkel (3) geht; wenn nur (1) und (2) überbrückt werden, geht der Rückfluss durch den Schenkel (1) und die Spannung ist null.
Abb. 4.49 Dreischenkel-Transformatormodell zum Nachweis des magnetischen Flusses in geschlossenen magnetischen Kreisen.
Zur Unterdrückung von Wirbelströmen sind die Eisenkörper lamelliert, d. h. aus dünnen aufeinandergelegten Blechen gebildet, die durch Lack oder Papier gegeneinander isoliert sind (laminated magnet). Um die Hystereseverluste klein zu halten, verwendet man weich-magnetisches Eisen mit möglichst schmaler Hystereseschleife, d. h. mit kleinem Flächeninhalt der Schleife. Die noch verbleibenden Verluste führen zu einer schwachen Erwärmung des Transformators. Bei höheren Frequenzen verwendet man Ferritkerne und zunehmend auch Kerne aus amorphen (d. h. nichtkristallinen) Legierungen. Sie werden durch außerordentlich schnelle Abkühlung des flüssigen Metalls hergestellt (Abschn. 14.2.4).
Die wichtigsten Eigenschaften des Transformators. Die Spannungen an der Primärspule U1 und an der Sekundärspule U2 verhalten sich wie die Windungszahlen der Spulen. Das ist das Übersetzungsverhältnis (transformation ratidy.
uju2 = njn2.
(4.113)
236	4 Elektromagnetische Induktion
So kann man leicht durch Wahl der Windungszahlen jedes gewünschte Spannungsverhältnis herstellen. Die zulässigen Spannungen sind durch die elektrische Isolation der Spulen bestimmt. Die auf der Primärseite hineingesteckte Wirkleistung wird auf der Sekundärseite bis auf geringfügige Verluste (je nach Leistungsgröße 0.2-2%) wiedererhalten.
Primär- und Sekundärkreis sind durch den Transformator magnetisch gekoppelt, aber galvanisch (d.h. „Gleichstrom betreffend“) voneinander getrennt. Der Sekun-där-Stromkreis kann also geerdet werden oder auch ein anderes elektrisches Potential erhalten.
Die Ausgangs-Klemmenspannung eines Transformators ist vom Laststrom und der Lastart abhängig. Die Ersatzschaltung eines Transformators besteht aus einem idealen Wechselspannungsgenerator, der die induzierte Spannung Uo liefert, und einem dazu in Reihe geschalteten ohmschen Innenwiderstand RTr und der Spuleninduktivität LTr (Abb. 4.50 oben), wobei meist RTr < a>LTr angenommen werden kann.
Für induktive, ohmsche oder kapazitive Last mit gleichem Scheinwiderstand ist die Abhängigkeit unterschiedlich (Diagramm von Abb. 4.50): Die Belastung mit einer Spule bewirkt einen deutlichen Spannungsabfall At/ = Uo - U, weil sich die Blindwiderstände von Lastspule und Transformatorspule addieren. - Ein ohmscher Lastwiderstand verursacht einen vergleichsweise geringen Spannungsabfall, weil Wirkwiderstand (R + RLast) und Blindwiderstand i'rafi quadratisch addiert werden. - Bei Belastung mit einem Kondensator steigt die Klemmenspannung, da die Blindwiderstände von Transformator-Spule und Last-Kondensator „im Vektorbild“ durch entgegengesetzte Pfeile dargestellt werden (anders formuliert: ihre imaginären Impedanzen haben entgegengesetztes Vorzeichen). Weil C und L zusammen einen Schwingkreis bilden, dessen Scheinwiderstand in der Nähe der Resonanz sehr klein werden kann, dürfen große Kondensatoren nicht allein ans Netz geschaltet werden!
Wenn man von den sehr kleinen Ummagnetisierungsverlusten absieht, sowie vollständige magnetische Kopplung und vernachlässigbar kleine ohmsche Widerstände der Wicklungen annimmt, dann ist die sekundärseitig vom Transformator abgegebene (Wirk-)Leistung gleich der primärseitig aufgenommenen. Diese Leistungstransformation ist schwieriger zu verstehen als die Spannungstransformation gemäß dem
I
Abb. 4.50 Oben: Ersatzschaltbild für einen Transformator. Unten: Stromabhängigkeit der Klemmenspannung für kapazitive, ohmsche und induktive Last.
4.3 Wechselstrom 237
Abb. 4.51 Zeigerdiagramme für den Transformator: (a) unbelastet, (b) belastet mit Widerstand und Induktivität. Spannung: ausgezogener Pfeil, Strom: gestrichelter Pfeil, magnetischer Fluss: Doppellinien-Pfeil.
Verhältnis der Windungszahlen. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion eines Beispiels anhand der Zeigerdiagramme von Abb. 4.51.
Bei einem zunächst sekundärseitig offenen (unbelasteten, „wattlosen“) Transformator wird primärseitig die Netzspannung angelegt, die in Abb. 4.51a durch den nach oben zeigenden Zeiger u° dargestellt ist. Diese Spannung treibt den 90° zurückversetzten („nacheilenden“) Primärstrom (Zeiger nach rechts), der den phasengleichen magnetischen Fluss (Zeiger 0O) erzeugt. Die relativen Längen der drei Pfeile, die physikalisch verschiedenen Größen zugeordnet sind, wurden willkürlich gewählt. Für den beispielhaft diskutierten Transformator wählen wir das Windungszahlenverhältnis
A1:A2 = 2:1.	(4.114)
Die durch Flussänderung primär- und sekundärseitig induzierten Spannungen ui und w2 liegen 90° hinter dem Fluss, sind also um 180° phasenversetzt zur angelegten Netzspannung w/. Die primärseitig induzierte Spannung ist, wie bei jeder Spule, entgegengesetzt gleich der angelegten Spannung und hier nicht eingezeichnet. Die sekundärseitig induzierte Spannung wurde dem Untersetzungsverhältnis entsprechend mit dem Zeiger u2, der halb so lang ist wie bJ, nach unten aufgetragen.
Zur quantitativen Diskussion des belasteten Transformators (Abb. 4.51b) benötigen wir noch folgende Beziehungen: Für die Induktivitäten gilt in unserem Beispiel
LJL2 = N2/N22 = 4
und
L12 = (Lj L2)1/2 = 1/2 Ly = 2 L2.	(4.115)
Für die äußere Belastung des Transformators wählen wir als leicht rechenbares Beispiel einen ohmschen Widerstand R2, der betragsgleich mit dem induktiven
238	4 Elektromagnetische Induktion
Widerstand der Sekundärspule wL2 ist. Damit ergeben sich folgende Scheinwiderstände:
= coZvj und
Z2 = [(mL2)2 + /Q]1 2
= ]/2 a>L2 = ]/2/4 coLj.	(4.116)
Aus Gl. (4.114) und Gl. (4.116) folgt u2 = uJlwi&Z2 = Zj/^j/Z), und daraus ergibt sich i2 —	i°. Die Phasendifferenz von 45° zur Spannung u2 (Strom folgt der Span-
nung) ergibt sich aus der Gleichheit von ohmschem und induktivem Anteil von Z2; der Zeiger i2 wurde schräg nach links unten eingetragen.
Der Strom i2 erzeugt einen phasengleichen Fluss $2; die Änderung dieses Flusses induziert primär- und sekundärseitig die Spannungen u'x und ü2, die 90° zurückversetzt sind (vgl. Zeiger u\, schräg nach links oben; Zeiger z/j ist nicht eingetragen). Die Rechnung ergibt u\ = |/2 u2 = u0J]/2 und für den von u\ primärseitig getriebenen, um weitere 90° zurück versetzten Strom den Zeiger i' mit dem Betrag zj = zf/j/z. Die Addition der Zeiger z-' und i° ergibt den resultierenden Primärstrom mit Zeiger i1.
Wie mit den obigen Angaben und Beziehungen leicht nachgerechnet werden kann, erzeugen der Sekundärstrom i2 und der induzierte Primärstrom zj entgegengesetzt gleiche Flüsse <P1 und <P2 vom Betrag $0/]/2 die sich kompensieren, sodass der Fluss des belasteten Transformators in Betrag und Phase gleich dem Fluss des unbelasteten Transformators (Zeiger 0O) ist. Geändert hat sich nur, wie das magnetisierende Feld erzeugt wird: Anstelle des Stroms i° im Primärkreis wirken nun die Ströme i1 und i2, die auf Primär- und Sekundärkreis verteilt und phasenversetzt sind. Man kann sich auch überzeugen, dass mit den Spannungen alles in Ordnung geht: Die Änderung des Flusses <P1 induziert primärseitig eine Spannung, die - wie bei jeder Spule - der treibenden Spannung, hier z/j, entgegengesetzt gleich ist; sekundärseitig induziert die Änderung von <P1 eine Spannung, die die oben einmal erwähnte, aber nicht eingetragene Spannung u'2 kompensiert.
Jetzt kann die Leistungstransformation beschrieben werden: Zwischen der Netzspannung (Zeiger «f, Effektivwert t/J und dem resultierenden Primärstrom (Zeiger zj, Effektivwert /,) liegt der Phasen winkel cpv Zwischen der Ausgangsspannung (Zeiger u2, Effektivwert Lj) und dem Sekundärstrom (Zeiger i2, Effektivwert Z2) liegt der Phasenwinkel cp2. Wie leicht algebraisch nachgerechnet werden kann, aber in Abb. 4.51b auch qualitativ zu erkennen ist, gilt die Transformatorgleichung von der Gleichheit der Wirkleistung in beiden Stromkreisen:
Lj Zj costpj = U212 cos<p2.	(4.117)
Trafo als Impedanzwandler. Durch das Verhältnis der Windungszahlen von Primär -und Sekundärseite wird nicht nur das Spannungsverhältnis festgelegt, sondern auch das Verhältnis der Impedanzen. Wenn die ohmschen Widerstände klein sind gegenüber den induktiven Widerständen, verhalten sich die Impedanzen wie die Quadrate der Windungszahlen. Diese Eigenschaft des Trafos wird zur Optimierung von Leistungsübertragungen ausgenutzt.
4.3 Wechselstrom 239
Demonstrationsversuch. Benutzt man als Primärspule S eine Spule aus 150 bis 200 Windungen eines Drahtes mit 1 mm2 Querschnitt, in der vertikal ein stabförmiger Kern K aus Eisendrähten steckt (Abb. 4.52) und legt auf die Primärspule einen leichten Aluminiumring R als Sekundärspule mit nur einer kurzgeschlossenen Windung, dann wird dieser Ring beim Einschalten des Wechselstroms mehrere Meter hoch in die Luft geschleudert. Die Erklärung dieses eindrucksvollen Versuchs ist wie folgt: Da ohmscher und induktiver Widerstand des Rings sehr klein sind, erreicht der in ihm fließende Sekundärstrom sehr hohe Werte in der Größenordnung von 1000 A. Damit wird in Abb. 4.51b der Flusszeiger <P2 (phasengleich mit i2) und der ihm entgegengesetzt gleiche Flusszeiger <l> t (phasengleich mit ij) sehr groß, viel größer als der vom Leerlauf-Primärstrom erzeugte Fluss </)0. Das bedeutet aber, dass der vom resultierenden Primärstrom erregte Fluss, beschrieben durch die Zeigersumme + 0O, sich in Größe und Phasenlage <l> t angleicht, weil <P0 konstant bleibt. Weil dann zwischen Sekundär- und Primärstrom eine Phasendifferenz von nahezu 180° besteht, sind beide Ströme also in jedem Augenblick einander entgegengesetzt gerichtet und ihre Magnetfelder stoßen sich ab.
Abb. 4.52 Transformatorversuch nach Elihu Thomson (englischer Elektrotechniker, Erfinder des Widerstandspunktschweißens, 1853-1937).
Da nach der Transformatorgleichung Primär- und Sekundärleistung gleich groß sind (Gl. (4.117)), kann man durch Heruntertransformieren einer Wechselspannung sehr hohe Wechselströme erzielen. Hält man über den Eisenkern der Thomson’schen Anordnung (Abb. 4.52) eine aus 6-8 mm starkem Kupferdraht gewickelte Spule mit vier Windungen, deren Enden durch einen mehrere Zentimeter langen Eisenstift (Nagel) kurzgeschlossen sind (Abb. 4.53a), so kommt der Eisenstift schnell in helle Weißglut und schmilzt schließlich durch. - Verbindet man die Enden der dickdrahtigen Spule mit einer weiteren Spule, so erzeugt der in der ersten Spule induzierte starke Wechselstrom in der zweiten Spule ein derartig kräftiges Magnetfeld, dass
Abb. 4.53 Demonstrationsversuche mit starken Wechselströmen: (a) Schmelzen eines Eisennagels, (b) Schweben eines Eisenstabes im starken Magnetfeld.
240	4 Elektromagnetische Induktion
ein Eisenstab von beträchtlichem Gewicht in die Spule hineingezogen und in ihr schwebend gehalten wird (Abb. 4.53b).
Die sehr hohen Stromstärken, die durch Herabtransformieren leicht herstellbar sind, finden vielfältige technische Anwendungen. Abb. 4.54 zeigt einen Demonstrationsversuch zum Schmelzen von Metall, wie es in Induktionsöfen geschieht. Das zu schmelzende Metall ist dabei Teil der Sekundärwicklung des Transformators. Befindet sich z. B. Zinn in einer geschlossenen Rinne aus Kupferblech, so wird es nach Einschalten des Stromes in wenigen Minuten geschmolzen. Der Vorteil dieses Schmelzverfahrens besteht darin, dass die Wärme im Metall selbst erzeugt wird und Verunreinigungen durch eingeführte Elektroden oder Heizgase vermieden werden.
Schweißtransformator. Beim elektrischen Punktschweißen bringt man die zusammenzuschweißenden Bleche oder Drähte zwischen zwei bewegliche Kupferkontakte des niedergespannten Sekundärkreises vom Schweißtransformator (welding trans-former). Drückt man nun die Kontakte zusammen, so kommen die dazwischen befindlichen Teile durch die in ihnen entwickelte Joule’sche Wärme schnell zur Weißglut und verschmelzen miteinander. Da die Stromstärke auf der Sekundärseite sehr hoch ist, typisch 1-100kA bei nur 1-15V, erfolgt die Abschaltung des Schweißstroms auf der Primärseite (z. B. durch Thyristoren, Abschn. 9.3.1). Um einerseits hinreichende Erwärmung und damit gute Verschweißung zu erreichen, aber andererseits Zerstörung des Schweißgutes zu vermeiden, muss die Stromstärke des Schweißstroms (u. U. mithilfe von Tests) richtig eingestellt werden. Dazu kann die wirksame Windungszahl der Primärspule mithilfe eines Schalters stufenweise gewählt oder der Luftspalt im Magnetkreis einer Drosselspule per Handrad kontinuierlich verändert werden.
Spartransformator. Der Einspulen-Transformator (autotransformer) ist eine sehr kostengünstige Ausführung, die jedoch keine galvanische Trennung von Primär -und Sekundärkreis bietet. Der Nutzer muss sich bewusst sein, dass eine Seite der Ausgangsspannung geerdet ist; andernfalls sind gefährliche Schaltfehler denkbar. Der Spartransformator (Abb. 4.55) hat zwei Wicklungsteile, die „Parallelwicklung“ (Teil von Primär- und Sekundärkreis) und „Reihenwicklung“ (Teil von nur einem Kreis) genannt werden, aber beide hintereinandergeschaltet sind. Die Parallelwicklung ist die Unterspannungswicklung; die Hintereinanderschaltung beider Wicklungen ist die Oberspannungswicklung. Wird ein Spartransformator zum Herab-Trans-formieren benutzt (Abb. 4.55), dann arbeitet er genau wie ein induktiver Spannungs-
4.3 Wechselstrom 241
Abb. 4.55 Schaltung eines Spartransformators für Spannungs-Untersetzung (= induktiver Spannungsteiler).
teiler. Beim Herauftransformieren (Vertauschung von Primär- und Sekundärseite in Abb. 4.55) gilt jedoch die Analogie zum Spannungsteiler nicht, weil die in dem Fall nur zum Verbraucherkreis gehörende Reihen Wicklung wegen der vollständigen magnetischen Kopplung auch induzierte Spannung liefert.
Betrachtet man nun einen Spartransformator zum Herab-Transformieren, der nur eine einzige Spule enthält, die durch einen variablen Spannungsabgriff in Parallelund Reihenwicklung aufgeteilt wird, dann erhält man einen Regel-(Spar-)Transfor-mator. Konstruktiv hat der Regeltrafo Ähnlichkeit mit einem Drehpotentiometer (Abb. 3.8b). Beiden gemeinsam ist der ringförmige Wicklungskörper und der drehbare Schleifkontakt. Unterschiede bestehen beim spezifischen Widerstand des Drahtes, der beim Drehpotentiometer größer ist als beim Regeltrafo, und beim Wicklungskern, der beim Drehpotentiometer aus Keramik, beim Regeltrafo aber aus ferromagnetischem Material besteht.
Drehstromtransformator (ihree-phase transformer). Zum Transformieren von Drei-phasen-Spannung wird ein Transformator mit Drei-Schenkel-Kern verwendet, den man sich entstanden denken kann aus drei sternförmig zusammengefügten Einpha-sen-Transformatorkernen nach Weglassung des gemeinsamen Schenkels. Da sich die drei Flüsse genauso zu null addieren wie die Spannungen im Mittelpunkt einer Sternschaltung, kann man diesen Teil des Kerns weglassen.
Anlegewandler (split-core-type current iransformer}. Zum Abschluss sei noch ein Spezialtransformator für Messzwecke erwähnt (Abb. 4.56). Der ringförmige Eisenkern
Leiter aufklappbarer Eisenkern
Abb. 4.56 Anlegewandler.
242	4 Elektromagnetische Induktion
K lässt sich mittels der an ihn angebrachten Handgriffe aufklappen, sodass man ihn um den Stromleiter legen kann, um den in ihm fließenden Wechselstrom zu messen. Das den Leiter umgebende Magnetfeld durchflutet den nun wieder geschlossenen Eisenkern und induziert in der auf dem Kern aufgebrachten Spule eine Spannung, die einen Strom durch das Messinstrument treibt. Die Anzeige des Instrumentes ist ein Maß für die Wechselstromstärke im Leiter.
4.3.5 Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom und umgekehrt
Der Hauptvorteil des Wechselstroms im Vergleich zum Gleichstrom besteht in der gerade besprochenen Möglichkeit, fast verlustlos Spannungen zu transformieren. Diese bequeme Art der Spannungswandlung erlaubt den Einsatz von Hochspannungsleitungen, die verlustarme Leistungsübertragung bieten (Abschn. 4.5.1). Auch die einfache und robuste Bauweise von Generatoren und Motoren für Wechselstrom ist ein wichtiger Vorteil. Deshalb liegt es nahe, soweit wie möglich Wechselstrom zu verwenden. Für die Anwendungszwecke, die unbedingt Gleichstrom erfordern, ist zu überlegen, ob die Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom nicht günstiger ist als die Verwendung einer Batterie. Heute haben sich die Gleichstrom-Netzgeräte (d.c. power supplies) überall dort, wo Netzanschluss verfügbar ist, durchgesetzt.
Batterien werden verwendet, wenn eine vom Netz unabhängige Mobilität gewünschtwird (Beispiele: Elektro-Auto, Laptop-Computer); nach ihrem Einsatz werden diese „Sekundärbatterien“ mithilfe eines Netzanschluss-Ladegerätes wieder aufgeladen. „Primärbatterien“ (Einweg-Batterien) werden für minimale Gleichstrom-Leistungen eingesetzt, bei denen nur selten Batteriewechsel erforderlich sind (Beispiele: Quarzuhren, Herzschrittmacher).
Mit der Umwandlung von induktiv erzeugtem Wechselstrom in Gleichstrom wurden viel größere Gleichstrom-Leistungen verfügbar als durch andere Gleichstromquellen je zur Verfügung standen. Das eröffnete ganz neue Gleichstrom-Anwendungen, z. B. für den Betrieb von Hochleistungs-Gleichstrommotoren oder für die elektrochemische Produktion im großen Maßstab.
Umwandlung auf der Erzeugerseite. Ein Ein-und-Aus-Schalter, der bei jedem Nulldurchgang des Wechselstromes abwechselnd geöffnet und geschlossen wird, unterdrückt z. B. alle negativen Halbwellen; ein Umpol-Schalter, der bei jedem Nulldurchgang betätigt wird, bewirkt, dass alle Halbwellen mit gleichem Vorzeichen zum Gleichstrom beitragen. Eine sehr einfache Weise, den Umpol-Schalter zu steuern, besteht darin, ihn direkt auf der Welle des Wechselstrom-Generators zu montieren. Das führt zum Generator mit unterteiltem Schleifring, dem Kollektor („Sammler“) oder Kommutator („Stromwender“). Wie in Abb. 4.57 am Beispiel eines Generators mit einer Induktionsschleife gezeigt ist, wird durch die zwei gegeneinander isolierten Halbringe mit den zwei Schleifkontakten die Umpolung genau zum Zeitpunkt des Nulldurchgangs der induzierten Wechselspannung bewirkt; daraus resultiert eine Gleichspannung die in jedem Augenblick dem Betrag der induzierten Wechselspannung entspricht (Abb. 4.57b). Anfangs wurden Stahlfedern oder Drahtbürsten zur Abnahme der Spannung vom Kommutator verwendet. Die sind dann bald durch
4.3 Wechselstrom 243
Abb. 4.57 Prinzip eines Gleichstromgenerators: (a) Drehspulen-Anordnung mit zweiteiligem Kommutator, (b) Verlauf der abgenommenen Spannung.
an den Kommutator gedrückte Kohle- oder Graphitstücke ersetzt worden, werden aber auch heute noch als „Bürsten“ (brushes) bezeichnet.
Um die von der Maschine gelieferte Spannung zu erhöhen, verwendet man viele Windungen und macht das Magnetfeld möglichst kräftig. Außerdem verwendet man mehrere winkelmäßig gegeneinander versetzte Spulen, die zu einem Kreis zusammengeschlossen sind; der Kommutator wird entsprechend unterteilt. Jede Isolierung zwischen zwei benachbarten Kommutator-Segmenten wird durch eine Drahtschleife überbrückt. Die induzierten Spannungen addieren sich und durch die Gleichrichterwirkung des Kommutators erhält die von den Bürsten abgenommene Spannung die in Abb. 4.58c für den Fall von vier Spulen (zwei Spulenpaaren) gezeigte Form. Die Glättung wird umso besser, je mehr „Spulen“ (auch einfache Drahtschleifen nennt man so) mit entsprechend unterteiltem Kommutator auf dem Anker angebracht sind. Weil bei einem stark unterteilten Kommutator die Kontakt-Segmente sehr klein sind, bezeichnet man sie als Kommutator-Lamellen (nicht zu verwechseln mit der Lamellierung von Eisenkörpern zur Unterdrückung von Ummagnetisie-rungs-Wirbeiströmen). Die ersten auf Induktion basierenden rotierenden Maschinen zur Stromerzeugung waren Generatoren mit Kommutatoren als Gleichrichter auf der Erzeugerseite. Bald darauf erkannte man die Nützlichkeit des Wechselstroms und begann, Generatoren ohne Kommutatoren zu bauen (mehr in Abschn. 4.4.1).
Zeit -------►
Abb. 4.58 (a) und (b) gleichgerichtete Induktionsspannungen von zwei 90° gegeneinander versetzten Spulenpaaren; (c) die am vierteiligen Kommutator abgegriffene Spannung.
244	4 Elektromagnetische Induktion
Umwandlung auf der Verbraucherseite. Die Kombination eines Gleichstrom-Generators mit einem ihn antreibenden Wechselstrom-Motor ist ein rotierender Wech-selstrom-Gleichstrom-Umformer.
Mit den Elektronenröhren (Abschn. 11.2) entstand eine neue Methode der Gleichrichtung (rectificatiori). Die Röhren wurden nach der Anzahl der in die Glaskolben eingeschmolzenen 2, 3 oder 5 Metallelektroden als Dioden, Trioden oder Pentoden bezeichnet. Die Dioden, die eine geheizte Kathode und eine nicht-geheizte Anode besitzen, gestatten nur Elektronenfluss von Kathode zu Anode und sind deshalb sehr gute Gleichrichter. Der Name „Diode“ hat sich zum Synonym für „Gleichrichter“ (rectifier) entwickelt. Auch moderne Halbleiter-Gleichrichter werden als Dioden bezeichnet.
Eine einfache Einweg-Gleichrichter-Schaltung mit einer Diode zeigt Abb. 4.59a. Die Netz-Wechselspannung U wird gleichgerichtet und der „Ladekondensator“ C aufgeladen. Ohne Laststrom (R = oo) würde sich der Kondensator auf den Scheitelwert der Wechselspannung wmax = |/2 Ue(( aufladen und diese auch während der negativen Halbwelle, in der kein Ladestrom fließt, beibehalten. Wenn aber bei endlichem Widerstand R ein Laststrom fließt, dann fällt die Kondensatorspannung ab, sobald die Wechselspannung wieder kleiner als wmax wird. Wenn man näherungsweise von dem auch dann noch (bis zum Nulldurchgang) nachgelieferten Ladestrom absieht, erfolgt der Abfall der Gleichspannung exponentiell:
u(t) — wmaxexp( — t/r) mit r = R C.	(4.118)
Das gilt bis die Wechselspannung wieder größer wird als u(t). Wie Abb. 4.59b illustriert, erstreckt sich der exponentielle Abfall näherungsweise über die ganze Wechselstrom-Periode T — Frequenz). Damit ergibt sich der Spannungshub Aw zu
= “max - “min ~ “max	(4.119)
und wenn man wissen will, wie groß der Ladekondensator sein muss, damit bei einem Laststrom i der Spannungshub nicht größer als Aw ist, dann nützt die folgende Umschreibung von Gl. (4.119) mit C = t/R und wmax/7? x i:
C * umJ(AufR) = i/(Auf).	(4.120)
Abb. 4.59 Einweg-Gleichrichtung: (a) Schaltung, (b) Spannungsverlauf.
4.3 Wechselstrom 245
(b) Entladen
Abb. 4.60 Zweiweg- oder Vollweg-Gleichrichtung: (a) Schaltung nach Graetz (mit Elektrolytkondensator); (b) Zeitabhängigkeit von Spannung und Strom am Kondensator (gestrichelt: Spannungsverlauf ohne Glättung).
Eine Wechselspannung, die einer Gleichspannung überlagert ist und eine Netz-frequenz-Grundwelle besitzt, wird als „Brummspannung“ (hum voltage) bezeichnet, weil sie u.U. durch Ummagnetisierung Vibrationen hervorrufen kann, die als Brummen (humming) hörbar sind. Der Ladekondensator C und der Lastwiderstand R werden zusammen als /?C-Glied bezeichnet. Die Zeit r = RC ist die Zeitkonstante der Anordnung.
Ein Nachteil der Einweg-Gleichrichtung (half-wave rectificatiori) von Abb. 4.59 ist der Gleichstromfluss durch den Wechselspannungs-Generator, der nicht allen Generatoren zuzumuten ist. Dieser Nachteil wird bei Zweiweg-Gleichrichtung (full-wave rectificatiori) nach Abb. 4.60a vermieden; die Zweiweg-Gleichrichtung liefert auch eine geringere Welligkeit (ripple). Für die Berechnung der Brummspannung nach (4.120) ist bei allen Zweiweg-Schaltungen für f die doppelte Netzfrequenz einzusetzen.
Umwandlung von Gleichstrom in Wechselstrom. Mit einem periodisch arbeitenden mechanischen Schalter lässt sich Gleichstrom „zerhacken“ in eine Folge von nahezu rechteckförmigen „Gleichstrom-Stücken“. So ein Strom ist als Überlagerung einer Gleichstrom-Komponente, einer Wechselstrom-Grundwelle und vieler Oberwellen zu betrachten; die Grundwelle kann durch geeignete Schaltungen „herausgefiltert“ werden. - Einen kurzen Strompuls erhält man durch plötzliche Entladung eines Kondensators über eine Funkenstrecke (oder Glimmlampe), die bei einer bestimmten Spannung zündet und nach Entladung des Kondensators wieder erlischt; durch ständiges Wiederaufladen des Kondensators über einen Widerstand lässt sich so eine Folge von Strompulsen erzeugen. Mit einem Hochspannungstrafo wurden so die ersten Hochspannungspulse erzeugt (Funkeninduktor).
In der modernen Leistungselektronik (high-power electronics) gibt es auch Starkstrom-Stromrichter; das sind Halbleiterbauelemente (Thyristoren, Abschn. 9.3.1), die wie elektronisch steuerbare Schalter wirken und es ermöglichen, aus einem Gleichstrom einen nahezu rechteckförmigen Wechselstrom, oder auch - nach entsprechender Filterung - einen sinusförmigen Wechselstrom mit wählbarer Frequenz
246	4 Elektromagnetische Induktion
zu erzeugen. Es ist z. B. auch möglich, 50-Hz-Wechselstrom über geglätteten Gleichstrom in Drehstrom einer anderen, auch variablen (!) Frequenz umzuwandeln.
4.4 Generatoren und Motoren
4.4.1 Überblick
Generatoren und Motoren sind die umlaufenden elektrischen Maschinen. Sie verwandeln elektrische (Wirk-)Leistung in mechanische oder umgekehrt, beides mit sehr gutem Wirkungsgrad. Große Maschinen, für die die Verlustminimierung ein besonders wichtiges Entwicklungskriterium ist, haben Wirkungsgrade bei 99 %. Diese Maschinen sind - zusammen mit den in Abschn. 4.3.4 besprochenen Transformatoren - die wichtigsten Apparate der Elektrotechnik. Die Elektrotechnik (elect-rical engineering) ist hauptsächlich für die Bereitstellung, Verteilung und Umsetzung von elektrischer Leistung zuständig, die Elektronik (electronics) für Signalverstärkung und Übertragung, sowie für Verarbeitung und Speicherung von Information aller Art. Die Elektronik ist sozusagen der Hardware-Teil der Informationstechnik. Ein Überlappungsgebiet ist die Leistungselektronik, die in der 2. Hälfte des 20. Jahrhunderts entstand, als durch Fortschritte in der Silicium-Technologie auch Halbleiter-Bauelemente für Starkstrom verfügbar wurden.
Noch vor dem Ende des 19. Jahrhunderts waren die klassischen, als Generator und Motor einsetzbaren Maschinentypen - die Gleichstrommaschinen, sowie die Drehstrom-Synchron- und Asynchronmaschinen - soweit entwickelt, dass sie vielfältige Anwendungen fanden. Heute haben sich bei den Generatoren die Synchronmaschinen durchgesetzt; Gleichstromgeneratoren sind nahezu ausgestorben, und Asynchrongeneratoren haben nie eine Rolle gespielt.
Bei den Motoren konkurrieren die universell einsetzbaren, aber konstruktiv aufwendigen und wartungsbedürftigen Gleichstrommotoren mit den Drehstrommotoren, die weniger flexibel im Betrieb, aber dafür konstruktiv einfacher, robuster und weniger wartungsbedürftig sind.
Die großen Drehstrommotoren, für die der Einsatz von Leistungselektronik ökonomisch sinnvoll ist, werden heute mit variabler Drehstrom-Frequenz betrieben; dadurch haben sie viel an Flexibilität gewonnen und können nun in vielen Anwendungsbereichen die Gleichstrommotoren ersetzen. Für die Kleinmotoren, die größtenteils mit dem Einphasen-Wechselstrom der 230-V-Steckdosen betrieben werden, ist die Leistungselektronik i. A. zu teuer; auf diesem Markt konkurrieren Einphasen-Modifikationen der drei klassischen Motortypen.
Alle rotierenden Maschinen haben einen Ständer (Stator, Stator) und einen Läufer (Rotor, rotor). Bei den Gleichstrommaschinen ist der felderzeugende Magnet im Ständer untergebracht; der zwischen den Magnetpolen rotierende Läufer, der hier „Anker“ genannt wird, besteht aus einem weichmagnetischen Zylinder (Trommelanker) mit Nuten in der Mantelfläche, in denen die Wicklungen („Spulen“) untergebracht sind. Auf der Ankerwelle sitzt auch der Kommutator.
Gleichstrommaschinen und Drehstrom-Synchronmaschinen haben beide konstante Magnetpole, die bei den Gleichstrommaschinen im Ständer liegen (Außen
4.4 Generatoren und Motoren 247
polmaschinen), bei den Synchronmaschinen dagegen im Läufer (Innenpolmaschinen). Das hat folgenden Grund: Bei allen Maschinen ist die umgesetzte elektrische Leistung im Normalbetrieb viel größer als die zur Erregung der Magnetpole erforderliche. Es ist deshalb für Synchronmaschinen günstig, über die Schleifringe (slip rings) nur die kleine Erregerleistung dem Läufer zuführen zu müssen und die große Maschinenleistung „bürstenlos“ im Ständer umsetzen zu können. Für Gleichstrommaschinen besteht diese günstige Alternative nicht, denn der für die Umpolung benötigte Kommutator muss auf der Welle sitzen, weil die Kontakte zwischen Bürsten und Lamellen durch die Drehbewegung des Ankers gesteuert werden.
Die Drehstrom-Synchron- und Asynchronmaschinen haben die gleichen Ständer, in denen das magnetische Drehfeld umläuft. Der Läufer der Synchronmaschine wird „Polrad“ (pole wheel) genannt, weil er Magnetpole trägt; der Läufer der Asynchronmaschine heißt bei einem Kurzschlussläufer „Käfig“ (squirrel-cage rotor, cage), weil er etwa so aussieht.
Bei Drehstrommotoren müssen die drei Phasen des Drehstroms (Klemmen R, S und T) mit den Ständerspulen (Anschlussklemmen U, V und W) unter Beachtung der alphabetischen Reihenfolge verbunden werden. Bei Vertauschung zweier Anschlüsse kehrt sich die Drehrichtung des Motors um! Die drei Ständerspulen haben Stern- oder Dreieckschaltung. Bei umschaltbaren Maschinen sind die Wicklungsanfänge mit den Klemmen U, V und W verbunden und die Wicklungsenden mit den Klemmen X, Y und Z. Sternschaltung: X = Y = Z; Dreieckschaltung: X = V, Y = W, Z = U.
4.4.2 Gleichstrommaschinen
Dynamomaschine (dynamo-electrical machine). Im Abschn. 4.3 wurde besprochen, wie durch Drehung einer Spule im konstanten Magnetfeld eine Spannung induziert wird. Dabei haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass das statische Magnetfeld im Generator „irgendwie“ erzeugt wird. Abb. 4.61 zeigt schematisch verschiedene Möglichkeiten zur Felderzeugung, z. B. mithilfe eines Permanentmagneten (Abb. 4.61a) oder eines Elektromagneten (Abb. 4.62b).
Ganz am Anfang der Elektrotechnik gab es jedoch weder Permanentmagnete hinreichender Größe, Stärke und Permanenz noch geeignete Gleichstromquellen zur Speisung entsprechender Elektromagnete. Der technische Durchbruch, der allgemein als Beginn der Elektrotechnik gewertet wird, kam 1866 mit der Erfindung der Dynamomaschine durch Werner Siemens (1816-1892, geadelt 1888). An einem 30-Watt-Gleichstromgenerator demonstrierte er die magnetische Selbsterregung: Der Generator wird mit dem vorhandenen Restmagnetismus angefahren; mit der anfangs
Abb. 4.61 Schaltzeichen für Gleichstrom-Generatoren: (a) permanentmagneterregt, (b) fremderregt; (c)-(e) selbsterregt: (c) im Hauptschluss, (d) im Nebenschluss, (e) im Doppelschluss.
248	4 Elektromagnetische Induktion
geringen induzierten Spannung wird ein kleiner Strom durch die Feldspulen geschickt, der die Magnetisierung und damit die induzierte Spannung erhöht, wodurch wiederum der Strom durch die Feldspule ansteigt. Nach diesem Prinzip erreicht der Magnet die Sättigung und der Generator seine Betriebsspannung. Kurz nach der Siemens’schen Entdeckung wurden Parallelentwicklungen in England bekannt (Charles Wheatstone; Alfred Varley; Henry Wilde); alle Erfinder waren von der elektrischen Selbsterregung der Holtz’schen Influenzmaschine (Abschn. 2.1.5) inspiriert worden.
Das Betriebsverhalten des selbsterregten Generators hängt davon ab, wie die Feldspulen mit dem Generator verbunden sind.
Bei der Hauptschluss- oder Reihenschluss-Dynamomaschine (series machine) nach Siemens (Abb. 4.61c) sind Feldspulen und Verbraucher in Reihe geschaltet. Da der gesamte Strom durch die Wicklungen der Feldspulen führt, müssen diese niederohmig sein. Solange der Magnet noch nicht in Sättigung ist, hängt die Spannung des Generators von der Belastung ab. Die Leerlaufspannung ist wegen der geringen remanenten Magnetisierung sehr klein.
-	Bei der Nebenschluss-Dynamomaschine (shunt machine) nach Wheatstone (Abb. 4.61d) liegen die hochohmigen Wicklungen der Feldspulen parallel zum Verbraucher. Deshalb erregt sich diese Maschine auch im Leerlauf, d. h. bei offenem Außenkreis. Bei großer Belastung sinkt wegen des endlichen Anker-Innen-widerstandes die Klemmenspannung des Generators und damit auch der Strom durch die Feldspulen. Im Extremfall kann die Spannung ganz zusammenbrechen.
-	Bei der Doppelschluss-Dynamomaschine (compound machine) gelingt es durch Kombination von Hauptschluss- und Nebenschlussschaltung (Abb. 4.öle), eine von der Belastung nahezu unabhängige Betriebsspannung zu erhalten. Die Feldmagnete tragen zwei übereinanderliegende Wicklungen, von denen die eine mit wenigen Windungen eines dicken Drahtes im Hauptschluss, die andere mit vielen Windungen eines dünnen Drahtes im Nebenschluss liegt.
Betriebseigenschaften des Gleichstrommotors. Die senkrecht zum Magnetfeld verlaufenden Leiterteile des Ankers erfahren im Motor bei Stromfluss ein Drehmoment, wodurch eine Drehung des Ankers zustande kommt. Gleichzeitig wirkt der sich drehende Motor auch wie ein Generator, in dessen Ankerwicklungen eine Spannung induziert wird, die dem Fluss des Motor-Ankerstroms entgegen wirkt (Lenz’sche Regel).
Um das Lastverhalten eines Gleichstrom-Motors zu verstehen, betrachten wir die angelegte Spannung U. In dem mit der Winkelgeschwindigkeit co rotierenden Anker wird die Spannung U', induziert; der Anker-Innenwiderstand sei R, der Ankerstrom I. Für die Spannung gilt
U=U' + R1,	(4.121)
und für die aufgenommene Leistung P ergibt sich
P = U 1= U'I + RI2,	(4.122)
wobei RI2 die im Anker freiwerdende Joule’sche Wärme ist. Die verbleibende elektrische Leistung ist gleich der mechanischen Leistung
4.4 Generatoren und Motoren 249
U'I=<oT^	(4.123)
7, ist der Betrag des Last-Drehmomentes (load torque, in der Elektrotechnik mit ,,M“ symbolisiert). Die induzierte Spannung ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zum magnetischen Fluss der den Anker durchsetzt:
U' = K(o$;	(4.124)
hier ist K eine Proportionalitätskonstante, die die Zahl der Anker-Wicklungen und der Ständer-Polpaare als Faktoren enthält.
Aus Gl. (4.123) und Gl. (4.124) ergibt sich
(4.125)
und besagt, dass der Ankerstrom proportional zum Verhältnis Drehmoment/Fluss ist, aber unabhängig von der Winkelgeschwindigkeit a>. Die Drehzahl n gibt die „Umdrehungen pro Minute“ und ist gleich 30m/n. Die Baugröße der Maschine, die hauptsächlich durch die Größe des magnetischen Flusses und die Amperewin-dungen bedingt ist, wird also durch das erforderliche Drehmoment /, bestimmt, nicht durch die mechanische Leistung coTL.
Die Kombination von Gl. (4.124) und Gl. (4.121) ergibt
oj = U’/(K <p) = (U-R I)/(K	(4.126)
und mit Gl. (4.125) wird daraus
a> = [U- RTJ(K<P)]/(K<P).	(4.127)
Die auf die Zeiteinheit „Minute“ bezogene Drehzahl n — 60 (m i n 1 / s 1) • <y/(2n) als Funktion des Drehmomentes /, bei konstanter Betriebsspannung U ergibt eine Belastungskennlinie, wie in Abb. 4.62 für einen fremderregten Gleichstrommotor dargestellt ist.
Abb. 4.62 Betriebskennlinien eines fremderregten Gleichstrommotors. Die vier Quadranten (römische Zahlen) entsprechen den verschiedenen Betriebsarten.
Die römischen Zahlen weisen auf die Quadranten hin, die zu den verschiedenen Betriebsarten (treibend, bremsend für Vorwärts- oder Rückwärtslauf) gehören. Der erste Quadrant entspricht dem Motorbetrieb in „Vorwärtsrichtung“ mit positiven Strom- und Spannungswerten. Der dritte Quadrant entspricht dem Motorbetrieb
250	4 Elektromagnetische Induktion
in „Rückwärtsrichtung“; dort haben Strom und Spannung negative Werte. Im zweiten Diagramm wirkt durch den negativen Strom auf den vorwärtsbewegten Motor ein negatives, also bremsendes Drehmoment; der Motor wird zum Generator, der bei „Nutzbremsung“ Gleichstrom abgibt. Der vierte Quadrant entspricht der elektrischen Bremsung des rückwärtsbewegten Motors.
Motorenbetriebe immer mit nur einer Drehrichtung und einer Drehmomentrichtung bezeichnet man als Einquadrantenbetriebe mit Bezug auf den Quadranten I (bzw. III). Beispiele dafür sind Pumpen- und Lüfterantriebe. Motoren, von denen auch generatorischer Betrieb für Nutzbremsung verlangt wird, arbeiten meist im Zweiquadrantenbetriebe. Bei verschiedenen Drehrichtungen für Treiben (Motorbetrieb) und Bremsen (Generatorbetrieb), wie es beispielsweise bei Antrieben für Aufzüge der Fall ist, bleiben die Richtungen von Drehmoment und Strom stets gleich, und die Betriebsquadranten sind I und IV (bzw. II und III). Falls aber die Drehrichtung beim Treiben und Bremsen gleich bleibt, wie etwa bei Antrieben für Druckmaschinen und Bandwalzstraßen, liegt der Betriebsbereich in den Quadranten I und II (bzw. III und IV). Bei Vierquadrantenbetrieb wird Treiben und Bremsen für beide Drehrichtungen gefordert, z. B. für große Fördermaschinen. Wird der Gleichstrommotor über Stromrichter vom Drehstromnetz gespeist, dann steigt der Aufwand an Leistungselektronik mit der Anzahl der Betriebsquadranten.
Gl. (4.126) bzw. Gl. (4.127) zeigt, dass im Leerlauf, wenn das minimale Last-Drehmoment nur durch Reibung (Bürsten, Lager, Luft) und Ummagnetisierungsverluste gegeben und der Ankerstrom entsprechend klein ist, der Spannungsabfall R I gegenüber U vernachlässigt werden kann. Daraus folgt für die Leerlauf-Kreisfrequenz m0
m0 = U/(K $),	(4.128)
sowie
co/co0 = U'/U.	(4.129)
Und weil RI selbst im normalen Betrieb noch klein gegen U ist, gelten die Näherungen
U' ~ U und a> x a>0.	(4.130)
Die Betriebsdrehzahl unter Last liegt also immer dicht bei der Leerlauf-Drehzahl, und diese lässt sich bequem über den magnetischen Fluss $ steuern. Aber wenn man bei konstanter Last die Drehzahl durch Flussverminderung erhöht, dann erhöht sich nach Gl.(4.125) auch der Ankerstrom und damit die elektrische Leistung. Beim Hauptschluss-Betrieb entfällt diese unabhängige Drehzahl-Steuerung; solange der Magnet noch nicht gesättigt ist, gilt ungefähr ~ I, I ~ Tj2 und cd ~ 1/1.
Der Wirkungsgrad eines Motors ist umso besser, je kleiner sein ohmscher Widerstand ist. Ein sehr kleiner Widerstand hätte aber zur Folge, dass beim Einschalten des noch stillstehenden Motors ein sehr großer Strom durch die Wicklung fließen würde. Um die Wicklung nicht zu beschädigen, muss man deshalb in den Stromkreis eines Motors größerer Leistung einen Anlasswiderstand legen, der allmählich bei schneller laufendem Motor ausgeschaltet wird.
Die großen industriellen Gleichstrom-Motoren sind vorwiegend fremderregt. Die meisten Kleinmotoren unterhalb 10 kW, aber auch einige größere bis 200 kW sind permanentmagneterregt.
4.4 Generatoren und Motoren 251
Überall dort, wo die Drehzahl in einem weiten Bereich verlustarm gesteuert und geregelt werden muss und eine schnelle Umkehr der Umlaufrichtung wichtig ist, werden Gleichstrom-Motoren verwendet, so z. B. in Elektrofahrzeugen, Werkzeug-und Fördermaschinen, Walzwerkantrieben, Straßenbahnen und Seilbahnen. Kleine Motoren bis etwa 10 kW werden in Kraftfahrzeugen (Anlasser, Scheibenwischer, Gebläse) eingesetzt.
Der Gleichstrom zur Speisung der Gleichstrommotoren wird auf verschiedene Weise erhalten:
-	Gleichrichtung von Wechselstrom unmittelbar vor dem Gleichstrom-Motor durch Silicium-Gleichrichter.
-	Gleichstromnetze: Die gibt es in Deutschland für den Betrieb von Straßen- und Stadtbahnen, in anderen Ländern auch für Eisenbahnen.
-	Wiederaufladbare Batterien (Akkus): z. B. für Elektrofahrzeuge und Spielzeug.
4.4.3 Drehstrom-Synchronmaschinen
Der Läufer (das Polrad, pole wheef) trägt die permanent- oder gleichstrom-erregten Magnetpole; der Ständer trägt die Drehstromwicklungen und hat in magnetischer Hinsicht die gleiche Polzahl wie der Läufer. Die Ständerwicklungen sind in Blechpakete eingebettet (Abb. 4.63). Vom synchron drehenden Läufer aus betrachtet sind das Polradfeld wie auch das Ständer-Drehfeld (zumindest dessen Fo urier-Grund-welle) ortsfest und somit Gleichfelder, was die Verwendung von massivem (nichtlamellierten) Eisen im Läufer erlaubt.
Die Rotationsfrequenz des Läufers /L ist mit der Umlaufsfrequenz des Ständer-Drehfeldes (50 Hz im europäischen öffentlichen Netz) und der Polpaarzahl APolpaar starr verbunden:
/l “ 50 Hz/APolpaar.	(4.131)
Schleifringe dienen zur Zuführung des Gleichstroms für magnetische Fremderregung des Polrades. Nur sehr kleine und sehr große Maschinen benötigen keine Schleif-
Abb. 4.63 (a) Pole am Ständer und Läufer eines Innenpol-Generators; (b) Wicklungsführung im Ständer für Drehstrom, (c) Wicklungsführung im Ständer für Einphasen-Wechselstrom.
252	4 Elektromagnetische Induktion
ringe: Die sehr kleinen Motoren sind permanentmagneterregt, und die sehr großen Generatoren haben als Erreger-Stromquelle einen angekoppelten Außenpol-Dreh-stromgenerator und mitrotierende Gleichrichter. Synchrongeneratoren werden in Kraftwerken mit zum Teil sehr hohen Leistungen im Bereich von 1 GW eingesetzt.
Im Leerlauf der Synchronmaschine sind (abgesehen von der Überwindung der Reibung) die Pole des Läufer-Magnetfeldes und die des Ständer-Drehfeldes aufeinander ausgerichtet. Beim belasteten Generator sind die Läuferpole um den Lastwinkel (Polradwinkel) in Drehrichtung verschoben, beim belasteten Motor entgegen der Drehrichtung. Das übertragene Drehmoment ist am größten, wenn sich jeder Läuferpol in der Mitte zwischen zwei Drehfeldpolen befindet. Das heißt, dass z. B. der N-Läuferpol von dem vorlaufenden S-Drehfeldpol angezogen und von dem nachlaufenden N-Drehfeldpol abgestoßen wird. Wird das maximale Drehmoment überschritten, dann „kippt“ die Maschine aus dem Synchronismus, der Läufer „fällt aus dem Tritt“. Das Kippmoment wächst mit der magnetischen Erregung des Polrades.
Wird die Synchronmaschine mit nahezu maximalem Drehmoment betrieben, dann besteht die elektrische Leistung fast nur aus Wirkleistung. Da das Kippmoment mit der magnetischen Erregung des Polrades variiert werden kann, lässt sich so der Leistungsfaktor cos cp maximieren. Man spricht dagegen von magnetischer Übererregung des Polrades, wenn das Kippmoment deutlich größer ist als das tatsächlich aufgewendete; dann ist die Phasenlage des Polradfeldes bezüglich des Ständer-Dreh-feldes wesentlich kleiner als der halbe Winkelabstand zwischen benachbarten Polen und die elektrische Leistung hat einen merklichen Anteil an Blindleistung. - Wird ein an das Netz angeschlossener Synchronmotor mit Übererregung betrieben, so liefert er induktive Blindleistung an das Netz, d. h. er wirkt wie ein vom Netz gespeister Kondensator. Leerlaufende Synchronmotoren werden als Phasenschieber eingesetzt. Über die Polraderregung kann die erzeugte Blindleistung stufenlos gesteuert werden.
Die mit Netzspannung betriebenen Synchronmotoren benötigen eine Anlaufhilfe. Beim Asynchronanlauf wirkt das Eisen in Massivläufern oder eine kurzgeschlossene Wicklung in lamellierten Läufern als „Anlaufkäfig“ für die Bildung des asynchronen Drehmoments (vgl. Asynchronmotor weiter unten). Damit fährt der untererregte Synchronmotor von Stillstand bis in Synchronismusnähe hoch und wird dann mit dem Einschalten der Erregung synchronisiert.
Die Leistungselektronik ermöglicht den Synchronbetrieb mit variabler Drehzahl. Stromrichter-Synchronmotoren eignen sich z. B. für den Antrieb von Pumpen und Kompressoren mit besonderem Regelbedarf und zum „sanften“ Anfahren von großen Synchronmaschinen.
Elektrische Bremsung von Synchronmotoren ist möglich: Dazu kann z. B. die Ständerwicklung vom Netz abgetrennt und über einen Widerstand kurzgeschlossen werden. Durch den Erregerstrom kann die Bremszeit beeinflusst werden. Die kinetische Energie der Drehmassen wird beim Bremsen in Stromwärme umgesetzt. Das ist eine verschleißfreie Bremsung, aber keine „Nutzbremsung“ mit Abgabe von elektrischer Leistung ans Netz. Letzteres ist nur im Synchronbetrieb mit variabler Frequenz möglich.
Synchroner Langstator-Linearmotor. Die moderne Leistungselektronik macht den Linearmotor technisch möglich; mit der Magnetschwebebahn Transrapid (siehe Einband-Bild und Erläuterung dazu) ist diese Antriebsform populär geworden.
4.4 Generatoren und Motoren 253
Gleitschiene
Spurführungsmagnet
Fahrbahnmagnet (Langstator)
Fahrzeugmagnet
Abb. 4.64 Transrapid: Am Fahrzeug befinden sich die Spurführungsmagnete und die Fahrzeugmagnete, die als Tragemagnete den Zug von der Gleitschiene abheben und als Pole des Linearmotors vom Wanderfeld im Langstator gezogen werden.
Denkt man sich die Feldspulen vom Stator eines Drehstrommotors aufgeschnitten, in eine Gerade gestreckt und durch Weiterführung der Wicklungen verlängert, dann erhält man den Langstator eines Linearmotors, der bei Stromspeisung (anstelle des Drehfeldes im Drehstrom-Stator) ein Wanderfeld erzeugt. Der Langstator liegt zwischen den Führungsschienen. Die Magnetpole, die beim Synchronmotor im Rotor (Polrad) sitzen, sind am Fahrzeug angebracht.
Beim Transrapid ist der synchrone Langstator-Linearmotor mit der davon eigentlich unabhängigen Magnet-Schwebetechnik kombiniert worden (Abb. 4.64). Die Trage- und Spurführungsmagnete sind über die gesamte Länge des Fahrzeuges in den „Klauen“, die die Fahrbahn umgreifen, untergebracht. Es sind einzeln regelbare Elektromagnete. Die zwischen den Tragemagneten und den Eisenbändern auf der Unterseite des Fahrweges wirkenden Anziehungskräfte heben das Fahrzeug ab. Da die magnetischen Kräfte mit kleiner werdendem Abstand zunehmen, ist der Schwebezustand mit 1 cm Luftspalt zwischen Fahrzeug- und Fahrbahnmagneten instabil; mit einer schnellen elektronischen Reglung wird der Strom der Elektromagnete den Signalen der Abstandssensoren entsprechend 30000 Mal pro Sekunde korrigiert. Die Spurführungsmagnete halten den Luftspalt an beiden Seiten der Fahrbahn. Seinen Bordstrom bekommt der Transrapid berührungsfrei auf induktivem Weg, wenn er durch das Magnetfeld eines Lineargenerators fährt, der ebenfalls im Fahrweg untergebracht ist. Auch bei Stillstand kann der Transrapid schweben, weil dann Bordbatterien den Strom liefern.
Der Langstator auf der Fahrwegunterseite ist in einzelne Streckenabschnitte unterteilt, von denen immer nur der eingeschaltet ist, in dem sich das Fahrzeug gerade befindet. An Streckensteigungen, wo größere Leistungen benötigt werden, ist der Motorteil des Fahrweges entsprechend stärker ausgelegt, und die Stärke des Drehstroms wird daran angepasst. Durch Veränderung der Drehstrom-Frequenz (0-270 Hz) kann die Geschwindigkeit des Fahrzeugs stufenlos geregelt werden. Durch Umpolen der Richtung des Wanderfeldes wirkt es bremsend; die Bremsenergie kann zu 90% in das Netz wieder eingespeist werden. Gesteuert werden die Fahrzeuge von externen Leitwarten.
254	4 Elektromagnetische Induktion
4.4.4 Drehstrom-Asynchronmaschinen
Diese Maschinenart wird fast ausschließlich als Motor (induction motor) verwendet. Durch Induktionsströme wird im Läufer ein zeitlich veränderliches magnetisches Moment erzeugt. Der Läufer ist entweder in sich kurzgeschlossen (Kurzschlussläufer) oder über Schleifringe mit einem Lastwiderstand verbunden (Schleifringläufer).
Das magnetische Drehfeld des Ständers erzeugt im Läufer Induktionsströme, die eine Kraftwirkung vom Magnetfeld erfahren und den Läufer im Sinne des Drehfeldes mitnehmen. Die Drehzahl n des Ankers ist dabei immer kleiner als die des Drehfeldes n0, denn nur so werden Induktionsströme und Drehmoment erzeugt. Das Zurückbleiben hinter dem Drehfeld wird Schlupf (slip) genannt. Die Differenz (n0 — n) heißt Schlupfdrehzahl (slip speed). Der Schlupf wird meist in Prozenten der Drehzahl n0 angegeben. Im Leerlauf ist der Schlupf gering, während er bei Belastung des Motors einige Prozent beträgt.
Ist U die im Käfig durch den magnetischen Fluss $ induzierte Spannung, so gilt
[/= X <Z> (n0 - n)	(4.132)
mit K als einer von der Bauform abhängigen Konstanten. Das Last-Drehmoment vom Betrag TL ist proportional zum Fluss des Ständerfeldes $ und zum Käfig-Induktionsstrom I. Wenn R der ohmsche Widerstand des Käfigs ist, so ergibt sich der Strom / aus der induzierten Spannung (Gl. (4.132)) nach / = U/R:
Tl - d> I = K <Z>2 (n0 - ri)/R,	(4.133)
wobei K eine weitere Konstante ist.
• Das Drehmoment des Motors ist der Schlupfdrehzahl und dem Quadrat des magnetischen Flusses proportional.
Wenn Asynchronmotoren unter Last anlaufen sollen, entstehen in den Läuferwicklungen und - wie beim sekundärseitig kurzgeschlossenen Transformator - auch in den Ständer Wicklungen sehr hohe Ströme. Trotzdem ist das Anzugsdrehmoment sehr klein, denn der im Läufer induzierte Strom besitzt bei vernachlässigbar kleinem ohmschen Widerstand eine Phasennacheilung von 90°. Da das Maximum der Spannung aber auftritt, wenn das Magnetfeld parallel zur Windungsfläche verläuft, tritt das Maximum des Stromes erst ein, wenn sich das Feld um 90° weitergedreht hat, also senkrecht zur Windungsebene steht und deshalb keinerlei Kraftwirkung auf die stromführenden Stäbe des Käfigs ausübt. Aus diesem Grunde läuft ein kurzgeschlossener Läufer trotz großer in ihm fließender Ströme nur sehr schwer an. Die Möglichkeit, das Anzugsmoment zu vergrößern und gleichzeitig den Anlaufstrom zu reduzieren, besteht darin, den Wirkwiderstand des Läufers während des Anlaufens zu vergrößern.
Für größere Motoren und insbesondere bei schweren Anlaufbedingungen werden Schleifringläufer verwendet. Sie haben Läuferwicklungen in Sternschaltung, die über drei Schleifringe mit einem dreiteiligen Anlasswiderstand verbunden sind (Abb. 4.65a). Dadurch wird zwar der Ankerstrom kleiner, aber auch die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung, und damit das Drehmoment größer (Abb. 4.65b). Schleifringläufer größerer Leistung werden manchmal nach erfolgtem Hochlaufen durch Einspeisung von Gleichstrom in die Läuferwicklung mit dem
4.4 Generatoren und Motoren 255
Abb. 4.65 (a) Schleifringläufer mit Anlasswiderstand im Läuferkreis, (b) Drehmomentkennlinien eines Schleifringläufers für verschiedene Werte der Anlasswiderstände (Schaltstufe 5 = Kurzschluss).
Netz synchronisiert. So wird der Asynchronmotor zum Synchronmotor und kann mit cos cp = 1 (oder sogar übererregt mit Blindleistungsabgabe an das Netz) betrieben werden.
Den „Käfig“ (cage) eines Kurzschlussläufers zeigt (Abb. 4.66a) im Längs- und Querschnitt: Eine Anzahl von Kupferstäben K sind in die Längsnuten des aus Blechscheiben S zusammengesetzten zylindrischen Eisenkörpers eingelassen und seitlich durch hart angelötete Kupferringe R untereinander kurzgeschlossen. Die Verbesserung der Anlauf-Eigenschaften wird beim Kurzschlussläufer durch Stromverdrän-gung erreicht: Während sich der größte Teil der durch den Käfigstrom erzeugten Feldlinien über das Blechpaket des Läufers schließt, umgibt ein geringerer Teil die einzelnen Käfigstäbe als Streufeldlinien. Wegen des verschwindenden magnetischen Widerstandes im Läufereisen und hohem magnetischen Widerstand in der Nut und im Luftspalt nimmt bei entsprechender Käfigbauweise die Streufeldstärke zum Rande hin ab. Das Streufeld erzeugt im Stab Wirbelströme, wodurch der Stabstrom mit zunehmender Ummagnetisierungs-Frequenz (d. h. mit zunehmendem Schlupfi) mehr und mehr zur Staboberkante hin abgedrängt wird und somit in einem immer kleineren Stabquerschnitt fließt. Besonders deutlich wird der Effekt beim Doppelkäfig (Abb. 4.66b, ganz rechts). Durch die Stromverdrängung fließt der Anlaufstrom
Abb. 4.66 (a) Längs- und Querschnitt vom Käfig eines Rundstab-Kurzschlussläufers (Erläuterungen im Text), (b) Stabquerschnitte: Rundstab, Hochstab, Stäbe eines Doppelkäfigs.
256	4 Elektromagnetische Induktion
praktisch nur im äußeren Käfig (Anlaufkäfig), der einen kleineren Querschnitt und dementsprechend höheren ohmschen Widerstand besitzt, während im Betrieb bei kleinem Schlupf die Stromverdrängung keine Rolle mehr spielt, sodass der Strom hauptsächlich im inneren Käfig (Betriebskäfig) mit großem Querschnitt und kleinem ohmschen Widerstand fließt. Bei den größeren Kurzschlussläufern wird ein in Dreieckschaltung betriebener Motor während des Anfahrens vorübergehend in Stern geschaltet (Stern-Dreieck-Schaltung, Y-delta connection). Hierdurch verringert sich der Anzugsstrom, aber auch das Anzugsmoment auf etwa ein Drittel des Wertes bei direkter Einschaltung.
Die Bremsung des Asynchronmotors ist auf verschiedene Weise möglich: Nutzbremsung setzt ein, wenn die Maschine übersynchron angetrieben wird und dadurch als Generator wirkt. Gegenstrombremsung erhält man durch Vertauschen zweier Phasen des Motors. Dadurch kehrt sich der Drehsinn des Drehfeldes um, und die Schlupfdrehzahl springt von dem kleinen Wert n0 — n auf den großen Wert | — n0 — n | « 2n0. Der Antrieb wird bis zum Stillstand abgebremst; dann muss der Motor abgeschaltet werden, weil er sonst in entgegengesetzter Drehrichtung hochlaufen würde. Bei Gleichstrombremsung wird die Ständerwicklung mit Gleichstrom gespeist. Dadurch wird der Motor bis zum Stillstand abgebremst, ohne dass er danach im entgegengesetzten Drehsinn hochläuft.
Der Asynchron-Kurzschlussläufer ist der am häufigsten verwendete Elektromotor. Der erste wurde 1891 von Michail v. Dolivo-Dobrowolsky (AEG) vorgestellt; er hatte schon 1889 für den Dreiphasen-Wechselstrom den anschaulichen Begriff „Drehstrom“ (rotary current, viel weniger gebräuchlich als three-phase current) geprägt. Der Asynchronmotor eignet sich besonders für Antriebe mit konstanter Drehzahl, z. B. für Pumpen, Kompressoren, Ventilatoren, Mühlen und viele andere Maschinen. Er wird entweder direkt oder über ein Über- oder Untersetzungsgetriebe mit der anzutreibenden Maschine gekoppelt. Im Bereich kleiner Leistungen (von 0.1 W bis 500 W) ist der weiter unten beschriebene Einphasen-Asynchronmotor vorherrschend.
Die modernen Bahnantriebe nutzen die robusten Drehstrom-Asynchronmotoren mithilfe der Leistungselektronik: So wird z. B. im Intercity-Express (ICE) aus der zugeführten Einphasen-Wechselspannung von 15 kV und 162/3 Hz eine in Spannung und Frequenz veränderliche Dreiphasen-Spannung erzeugt, die den Vierquadranten-Betrieb von Drehstrom-Asynchronmotoren ohne Umschaltung zwischen Antrieb und Nutzbremsung ermöglicht.
Asynchroner Kurzstator-Linearmotor. Eine interessante Abwandlung des weiter oben erläuterten „synchronen Langstator-Linearmotors“, wie er beim Transrapid verwendet wird, ist der von K. Hofer für nicht-spurgebundene Elektrofahrzeuge auf Rädern entwickelte asynchrone Kurzstator-Linearmotor. Zum Vergleich dieses Motors mit dem des Transrapids ist es ratsam, das Rollen der Räder und die Fahrzeugbewegung bezüglich der Straße völlig zu ignorieren. Am besten stellt man sich vor, wie der Rand einer Fahrradfelge an einer Backe der (nicht betätigten) Felgenbremse vorbeigleitet, nur durch einen dünnen Luftspalt von ihr getrennt. Die bewegte Felge (elektrotechnisch gestaltet wie der Käfig eines Asynchronmotors) entspricht dem bewegten Fahrzeug des Transrapids (an der Unterseite gestaltet wie das Polrad eines Synchronmotors); die fest mit dem Rahmen verbundene Bremsbacke (gestaltet als „Kurzstator“) entspricht der fest mit der Erde verbundenen Fahrbahn des Trans-
4.4 Generatoren und Motoren 257
rapids (gestaltet als „Langstator“). Nun darf man sich den Kurzstator nicht so kurz wie eine Bremsbacke vorstellen, sondern zur besseren Kraftübertragung verlängert, der Felgenkrümmung folgend.
4.4.5 Einphasen-Wechselstrom-Maschinen
Einphasen-Reihenschlussmotor. Der Einphasen-Reihenschlussmotor wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts speziell für den Eisenbahn-Betrieb entwickelt, lange bevor Hochstrom-Gleichrichter für den Betrieb von Gleichstrommotoren in Wechselstromnetzen verfügbar wurden.
Für die großen Verkehrsnetze gilt: Zur Reduzierung von Übertragungsverlusten ist Hochspannungsübertragung wünschenswert und das erfordert transformierbaren Wechselstrom. Drehstrom-Einspeisung hat sich im Bahnbetrieb nicht bewährt, weil dafür zweipolige Oberleitungen (und die geerdeten Schienen als dritte Leitung) benötigt werden, die schwieriger anzulegen und im Bereich von Kreuzungen und Abzweigungen problematisch sind.
Der „Bahnmotor“ ist im Prinzip ein mit Wechselstrom gespeister Gleichstrommotor im Reihenschluss (= Hauptschluss) und hat auch dessen Betriebseigenschaften, wie das für Lokomotiven wichtige hohe Anzugsmoment. Ein selbsterregter Gleichstrommotor ändert bei Vertauschung der Zuleitungen seine Drehrichtung nicht, weil Ankerstrom und Ständerfeld zusammen umgepolt werden; er sollte deshalb auch mit Wechselstrom zu betreiben sein. Für den praktischen Einsatz als Einphasenmotor muss aber der Gleichstrommotor in einigen Punkten abgewandelt werden: Es kann nur die Reihenschluss-Schaltung verwendet werden, weil die hochohmige Nebenschluss-Feldwicklung eine zu große Induktivität hat. Der Ständer, der ständig ummagnetisiert wird, muss nun auch lamelliert werden, während bei Gleichstrommaschinen nur der Anker lamelliert ist. Der Auf- und Abbau des Erregerfeldes führt zu zusätzlichen Induktionsspannungen, die die Kommutierung erschweren. Deshalb müssen Erreger- und Ankerwicklungen möglichst geringe Induktivität haben. Trotz eingebauter Kommutierungshilfen wie Wendepole und Kompensationswicklungen war die Kommutierung bei 50 Hz zu schwierig. Deshalb wählte man eine niedrigere Frequenz. Die 162/3 Hz (und 15 kV) der Deutschen Bundesbahn gehen zurück auf eine preußisch-badisch-bayrische Vereinbarung der Staatsbahnen von 1912, die bald auch von anderen Bahnen in Mitteleuropa übernommen wurde und dem „Einphasen-Reihenschlussmotor“ ein großes Einsatzgebiet gab.
Allstrommotor. Der Allstrom- oder Universalmotor (plain series or universal motor) ist die Kleinversion des Einphasen-Reihenschlussmotors für Leistungen bis etwa 500 W. Wendepole und Kompensationswicklungen fehlen. Die Feldwicklungen sind zweigeteilt und liegen auf beiden Seiten des Kommutators; sie wirken als Drosselspulen, um die durch das Bürstenfeuer entstehenden Hochfrequenzspannungen von der Leitung fernzuhalten. Der Universalmotor wird zum Antrieb von Elektrowerkzeugen und Haushaltsgeräten verwendet.
Synchronmaschinen für Einphasen-Wechselstrom. Ein Generator für Drehstrom, dessen Wicklungsführung in Abb. 4.63b dargestellt wurde, wird mit einer anderen Wick-
258
4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.67 Zur Wirkungsweise eines Synchronmotors (Erläuterung im Text).
lungsführung (Abb. 4.63c) zum Einphasen-Synchrongenerator. In Deutschland hat die Bundesbahn ein Einphasen-Netz, das sich in Spannung und Frequenz vom öffentlichen Netz unterscheidet und größtenteils durch eigene Generatoren gespeist wird.
Jede Einphasen-Synchronmaschine lässt sich als Motor benutzen, wenn man Wechselstrom durch die Wicklung des Ständers schickt. In Abb. 4.67 ist ein Ausschnitt aus Ständer und Läufer (Polrad) eines mehrpoligen Wechselstrom-Synchron-motors für drei um je eine Viertelperiode auseinanderliegende Phasen gezeichnet: Für Bild (a) hat der Ständer-Wechselstrom gerade ein Maximum. Durch die magnetische Wechselwirkung der Ständerpole mit den gleichstrom-magnetisierten Läuferpolen erfährt der Läufer ein Drehmoment, das ihn in Pfeilrichtung bewegt. In Bild (b) geht der Ständerstrom gerade durch null; auf den Läufer wird kein Drehmoment ausgeübt. Aber er bewegt sich infolge der Trägheit weiter in Pfeilrichtung, sodass er nach Richtungswechsel der Polmagnetisierung im Ständer (Bild c) wieder in Pfeilrichtung angetrieben wird. Bevor dieser Synchronantrieb wirksam werden kann, muss der Einphasen-Synchronmotor erst irgendwie auf die richtige Drehfrequenz (= Netzfrequenz/Polpaarzahl) nach einer der oben beim Drehstrom-Synchronmotor beschriebenen Methoden hochgefahren werden.
Für kleine Einphasen-Synchronmotoren, die meist ein permanentmagnetisiertes Polrad haben und asynchron anlaufen, wird ein Zweiphasen-Drehfeld mittels einer Hilfsphase erzeugt. Nach dem Anlaufen können Synchronmotoren bei mäßiger Belastung auch ohne Hilfsphase weiterlaufen. Das liegt daran, dass ein oszillierendes Feld als Überlagerung zweier gleichgroßer Drehfelder mit entgegengesetztem Drehsinn aufgefasst werden kann. Bei Mitbewegung mit dem einen Drehfeld, ist dessen Wirkung antreibend, während die Wirkung des entgegengesetzt drehenden Feldes abwechselnd antreibend und abbremsend ist und sich zu null mittelt.
Spaltpol-Motor. Das ist ein vom Prinzip her sehr interessanter asynchron anlaufender Einphasen-Kleinmotor, der zum Antrieb von elektrischen Uhren und zum Vorschub des Registrierpapiers bei schreibenden Messinstrumenten viel verwendet wird. Die beiden Pole des Ständers sind durch Schlitze in Feldrichtung in je zwei Hälften mit den Polen Pj und P2 bzw. Pj und P2 geteilt (Abb. 4.68a). Über die beiden Polhälften P2 und P2 sind Kupferringe K geschoben. Diese Ringe sind Kurzschlusswindungen, die beim Wechselstrombetrieb des Motors sehr hohe Induktionsströme führen und dadurch dem Fluss durch die umschlossenen Polhälften (Magnetfeld BJ eine Phasenverzögerung um fast 90° gegenüber dem Fluss durch die unbelasteten Pole (B2) geben. Das resultierende Magnetfeld B, + B2 ist ein Drehfeld. Als Rotor
260	4 Elektromagnetische Induktion
Abb. 4.69 Drehstrom-Asynchronmotor (hier in Dreieckschaltung) als Einphasenmotor mit Hilfsphase betrieben.
des sich drehenden Läufers zusammen mit dem oszillierenden Ständerfeld ein Drehfeld, das die Motordrehung aufrecht erhält.
Durch Hinzuschalten eines Kondensators (Abb. 4.69) kann man die Ströme in den zwei Strängen gegeneinander in der Phase verschieben und so ein Drehfeld erzeugen. Um in dieser Schaltung etwa 80% der Drehstromleistung zu erhalten, ist ein hinreichend großer Kondensator mit ca. 70 pF je kW erforderlich. So geschaltet läuft der Motor von selbst an. Durch Verbinden des Kondensators mit der einen oder der anderen Zuleitung kann die Laufrichtung gewählt werden.
Die meisten Kleinmotoren werden gleich für Einphasenbetrieb mit Hilfsphasen-Wicklung im Ständer gebaut. Zur Phasenschiebung dient ein ständig angeschlossener Betriebskondensator, der in manchen Fällen noch durch einen abschaltbaren Anlaufkondensator unterstützt wird.
4.5 Stromversorgung
Heute wird eine ausreichende Stromversorgung als Selbstverständlichkeit angesehen. Wie stark aber alle Lebensbereiche davon abhängig sind, ist den wenigsten Menschen bewusst. Ein Zusammenbruch der Stromversorgung für mehrere Stunden - ein Blackout - wird von den Betroffenen fast als Katastrophe empfunden.
4.5.1 Technische Grundlagen
Keine Speicherung elektrischer Energie. Für elektrische Energie - umgangssprachlich „Strom“ genannt - gibt es auf dem Leistungsniveau der Energietechnik keine nennenswerten Speichermöglichkeiten. Deshalb muss der Strom gleichzeitig erzeugt, verteilt und verbraucht werden! Das Leistungsangebot muss also schnell der Ab
4.5 Stromversorgung 261
nähme angepasst werden können. Das elektrische Netz verbindet dazu nicht nur alle Verbraucher mit den nächstgelegenen Elektrizitätsversorgungsunternehmen (EVU), sondern auch die EVUs untereinander, damit Engpässe und Ausfälle leicht ausgeglichen werden können.
Drehstrom. Mit dem Transformator, der in technisch nutzbarer Form ab 1885 verfügbar war, kam der Durchbruch für Wechselstromnetze, und fast gleichzeitig wurden auch die Vorteile des Drehstroms erkannt. Die Allgemeine Elektrizitäts-Gesellschaft (AEG) mit Michail von Dolivo-Dobrowolsky als Chefingenieur verhalf der Drehstromtechnik zur praktischen Anwendung: Eine überzeugende Demonstration erfolgte auf der Elektrotechnischen Ausstellung in Frankfurt im August 1891: Vom 175 km entfernten Wasserkraftwerk in Lauffen am Neckar wurde erstmalig Drehstrom, hochtransformiert auf 16 kV in großem Stil übertragen. Auf der Ausstellung speiste der Strom 1000 Glühlampen und einen AEG-Drehstrom-Asynchronmotor von 100 PS, der die Pumpe für einen Wasserfall antrieb.
In den USA wurde die Mehrphasen-Wechselstromtechnik (anfangs 2-Phasen-Strom, später Drehstrom) von dem Erfinder Nikola Tesla und dem Unternehmer George Westinghouse vorangetrieben. Der Erfolg kam 1893: die Chicago World’s Fair wurde mit Wechselstrom der Westinghouse Corporation beleuchtet; kurz danach entschied sich die Niagara Falls Power Company für die Produktion und Transmission von Wechselstrom und beauftragte Westinghouse mit der Anlagenerstellung.
Hochspannungsleitungen. Dass die Übertragung elektrischer Leistung über große Entfernungen nur mit Hochspannung wirtschaftlich sinnvoll sein kann, ergibt sich aus den Grundgleichungen für die übertragene Leistung P und die Verlustleistung Pv:
P = U 1 und PN = Rl I2
führt zu
PN)P = R^IfU
= Rl P/U2.	(4.134)
Bei gegebenem Leitungswiderstand RL und einer bestimmten zu übertragenden Leistung P, ist der Anteil der Verlustleistung proportional zu 1/ U2.
Die Übertragungsspannungen wurden im Laufe der Zeit immer höher. Die Inbetriebnahmen der ersten Leitungen mit der nächsthöheren Spannung erfolgte in Deutschland 1905 für 50 kV, 1910 für 110 kV, 1922 für 220 kV und 1957 für 380 kV. In dünner besiedelten Großflächenländern (USA, Russland) gibt es schon Übertragungsnetze mit Spannungen von mehr als 1000 kV.
Mit der Übertragungsspannung steigen auch die Sprühverluste (Korona, Abschn. 10.3.3) entlang der Leitungen. Um das Sprühen herabzusetzen, verwendet man Hohlseile, die eine größere Oberfläche bei gleichem Gewicht haben. Da die Seile flexibel bleiben sollen, kann man den Durchmesser nicht beliebig steigern. Deshalb ersetzt man ein Seil durch mehrere zentralsymmetrisch angeordnete Seile, deren gegenseitige Lage durch leitende Kreuze oder Ringe erhalten bleibt. Eine Drehstrom-Hochspannungsfreileitung besteht aus drei solcher Leitungen, über denen der dünne Nulleiter liegt, der gleichzeitig als Blitzschutz dient.
262	4 Elektromagnetische Induktion
Ein großer Nachteil aller Wechselstromleitungen ist die kapazitive Blindleistung, die für die ständige Umladung der Leiter erforderlich ist und mit der Kapazität zwischen den Leitern (bzw. zwischen den Leitern und Erde) und dem Quadrat der Spannung zunimmt. Bei Erd- und Seekabeln ist die Blindleistung viel größer als für Freileitungen gleicher Länge, und dazu kommen noch die dielektrischen Verluste im Isolationsmaterial zwischen Leiter und geerdetem Mantel. Für die Übertragung großer Leistungen über weite Strecken wird deshalb die Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung (HGÜ) interessant, seitdem die Umwandlung von Drehstrom in Gleichstrom und zurück mithilfe der Stromrichter-Leistungselektronik möglich ist. Die HGÜ wird bevorzugt für die Übertragung großer Leistung über 500-1000 km Freileitung, für Hochspannungs-Kabelverbindungen über 30 km, für die asynchrone Verbindung von Netzen gleicher Frequenz oder die Verbindung von 50- und 60-Hz-Netzen, sowie für die kurzschlussstrom-begrenzende Kopplung von Netzteilen, durch die keine Blindleistung übertragen wird. Findet die doppelte Stromwandlung am selben Ort statt, also ohne längere Gleichstrom-Hochspannungsleitung zwischen Gleich- und Wechselrichtern, dann spricht man von einer Gleichstrom-Kurzkupplung.
Während bei der Drehstromübertragung drei Leitungen notwendig sind und Isolation und Abstände der Leitungen durch den Scheitelwert der Spannung (= ]/2 x Effektivwert) bestimmt werden, kommt man bei der HGÜ mit zwei Leitungen aus. Deshalb sind die Leitungsmaste einfacher und billiger zu erstellen und die benötigten Trassen schmaler (Abb. 4.70).
Abb. 4.70 Leitungsmaste (a) einer 800-kV-Drehstromübertragung, (b) + 500-kV-Gleich-stromübertragung gleicher Leistung (aus „Elektrische Energietechnik“, TÜV Rheinland, 1987).
Wahl der Netzfrequenz. Die Wahl der Netzfrequenz von 50 Hz (oder 60 Hz wie in USA, Brasilien und Japan) war ein technischer Kompromiss, der sich bewährt hat: Bei einer kleineren Netzfrequenz wären, um die gleichen Induktionsspannungen für Transformatoren und Generatoren zu erzielen, mehr Windungen und/oder größere Flussquerschnitte erforderlich. Bei einer größeren Netzfrequenz lägen die Maschi-nen-Drehzahlen entsprechend höher und wären technisch schwerer beherrschbar; außerdem hätten die Leitungen höhere induktive Widerstände, und es flössen größere kapazitive Ladeströme zwischen den Leitern.
4.5 Stromversorgung 263
Wahl der Netzspannung. Die verbraucherseitig gegebene Einphasen-Spannung der öffentlichen Netze (230 V in Europa) ist ebenfalls ein Kompromiss: Kleinere Spannungen erfordern größere Leitungsquerschnitte (bei gleichen Übertragungsverlusten), höhere Spannungen verlangen bessere Isolation und aufwendigere Sicherheitsmaßnahmen zur Vermeidung von Personenschäden.
Kriterien für Verkehrsnetze. Die Wahl der Stromart erfolgte bei den meisten Verkehrsnetzen in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts, als es noch keine Hochstrom-Gleichrichter gab. Wegen des für den Bahnbetrieb hervorragend geeigneten Gleichstrommotors wurde Gleichstrom bevorzugt. Andererseits bietet Wechselstrom die verlustarme Leistungsübertragung mit Hochspannung, ein Aspekt, der besonders bei ausgedehnten Netzen zu beachten war. (Drehstrom hätte eine Doppel-Oberleitung erfordert und schied deshalb aus.) Wegen des Einphasen-Reihenschlussmotors, der sich bei 50 Hz nicht kommutieren ließ, wurde die Frequenz von 16 2/3 Hz ( = 50 Hz /3) gewählt. Nur Verkehrsnetze, die erst nach der Entwicklung von Hochstrom-Gleichrichtern von Gleich- auf Wechselstrom umstellten, wählten die 50 Hz des öffentlichen Netzes zur bequemen Abnahme von Strom.
In Europa gibt es vier große Bahnbetriebssysteme: Gleichstrom 1.5 kV in Holland, überwiegend in Frankreich und Großbritannien; Gleichstrom 3 kV in Italien, Belgien, Polen, Spanien, Tschechien und der Slowakei; Wechselstrom 16 2/3 Hz, 15 kV in Deutschland, Österreich, der Schweiz, Schweden und Norwegen; Wechselstrom 50 Hz, 25 kV in Teilen von Frankreich und Großbritannien. Eine Umrüstung von 16 2/3 auf 50 Hz ist nicht zu erwarten, weil heute Leistungsübertragung zwischen frequenz-verschiedenen Netzen technisch möglich und wirtschaftlich tragbar ist. Ökonomischer als alle europäischen Bahnbetriebssysteme zu vereinheitlichen ist es, für grenzüberfahrende Züge Lokomotiven einzusetzen, die mit verschiedenen Stromsystemen kompatibel sind und die Systemgrenzen mit voller Geschwindigkeit durchfahren können.
4.5.2 Aufbau des öffentlichen Netzes
Die ersten öffentlichen Netze entstanden Ende des 19. Jahrhunderts wegen der großen Nachfrage nach elektrischem Licht in den Abendstunden. Zur Verbesserung der Anlagenauslastung und damit der Rentabilität bemühten sich die Elektrizitätserzeuger bald um „Auffüllung der Belastungstäler“. Mit Reklame für die vielfältigen Einsatzmöglichkeiten von Elektromotoren versuchten sie, die damals vorherrschenden Gasmotoren vom Markt zu verdrängen. Mit Stromlieferung für elektrische Straßenbahnen wurde die Tagesauslastung weiter verbessert. Ein neuer Markt erschloss sich mit elektrischen Haushaltsgeräten, die viel mehr Srom verbrauchen als die Glühlampen, wie der elektrische Herd, die Waschmaschine und der Kühl- und Gefrierschrank. Zur Erhöhung der Stromabnahme in den Nachtstunden wurde die elektrische Speicherheizung mit günstigen Nachttarifen gefördert. Damit sind Licht, Kraft, Verkehr und Wärme die Hauptnutzungsformen des Stroms aus dem öffentlichen Netz. Die Lastverteilung über einen 24-Stunden-Tag ist heute besser, aber immer noch ungleichförmig.
264	4 Elektromagnetische Induktion
1983 beschloss die Internationale Elektrische Kommission (IEC) die Nennspannung möglichst weltweit auf 230 V für Wechselstrom und 400 V für Drehstrom in Dreieckschaltung zu vereinheitlichen. Stichtag war der 1.1.1993. Von den großen Industrieländern weichen nur noch Japan und die USA mit 110-Volt-Netzen davon ab. Je nach dem Netzabstand zwischen Stromerzeuger und Verbraucher darf die tatsächliche Spannung +10% vom Nennwert abweichen; der untere und obere Grenzwert ist also 207 V und 253 V.
Das europäische Verbundnetz. Der Zusammenschluss der öffentlichen Netze mehrerer Staaten kam erst nach dem 2. Weltkrieg und wurde notwendig, weil die steigenden Anforderungen an Störungsfreiheit und Frequenzstabilität nur durch ein hinreichend großes Angebot an elektrischer Leistung und die Verteilung der Lastspitzen auf einen großen Verbund zu erfüllen waren. Neben einer besseren Auslastung der Großkraftwerke und Ausnutzung der für Kern-, Kohle-, Öl/Gas- und Wasserkraftwerke unterschiedlichen Betriebseigenschaften bietet ein solcher Zusammenschluss auch eine Mittelung über den unterschiedlichen, von Sonnenstand und Lebensgewohnheiten abhängigen Stromverbrauch. Kontinentaleuropa ist vernetzt durch die „Union for the Co-ordination of Transmission of Electricity“ (UCTE).
Die Mitgliedstaaten der UCTE sind durch leistungsstarke Drehstromkupplungen verbunden. Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung (HGÜ) verbindet das UCTE-Netz mit Großbritannien und den benachbarten Verbundnetzen für Nord-und Osteuropa. Durch das UCTE-Netz werden rund 450 Mio. Menschen mit Strom versorgt.
Im UCTE-Netz wird die 50-Hz-Frequenz bis auf Abweichungen von +0.05 Hz genau eingehalten. Das ist notwendig für das einwandfreie Funktionieren frequenzgesteuerter Uhren und vieler elektronischer Bauteile und Computer.
Die Unterschiede in der Frequenz- und Spannungsstabilität der Netze waren ein besonderes Problem der deutschen Wiedervereinigung, die politisch am 3.10.1990
Abb. 4.71 Schema eines Tagesbelastungsdiagramms mit Grundlast, Mittellast und Spitzenlastausgleich.
4.5 Stromversorgung 265
erfolgte, elektrisch aber erst am 28.9.1995 vollzogen werden konnte. Vor dem Zusammenschluss der Netze waren umfangreiche Arbeiten zur Modernisierung der Anlagen in den neuen Bundesländern erforderlich.
Das UCTE-Netz erhöht die Sicherheit und Wirtschaftlichkeit der Stromversorgung durch schnelle gegenseitige Störungshilfe und Reservebereitstellung und durch Energieaustausch zur Optimierung der Stromversorgung aller Beteiligten. Jedes EVU des Verbundnetzes muss Reserveleistung verfügbar halten, sodass es seine Einspeiseleistung in 5 Sekunden um 1.25% und innerhalb von 30 Sekunden um insgesamt 2.5% erhöhen kann. Kernkraftwerke, die nur im Dauerbetrieb ökonomisch arbeiten, werden (wie auch Laufwasser-Kraftwerke) zur Bereitstellung der Grundlast eingesetzt (Abb. 4.71), ergänzt durch Kohlekraftwerke. Die Mittellast wird durch die leichter an- und abschaltbaren Öl- oder Gaskraftwerke erbracht. Zum Spitzenlastausgleich dienen Pumpspeicherwerke: das sind Talsperren, in die Wasser unter Verwendung von Überschussstrom hinaufgepumpt wird, um es bei Strom-Spitzenbedarf über einen Turbinen-Generator wieder abzulassen. Der Speicher-Wirkungsgrad beträgt allerdings nur etwa 0.7.
Deutsches Drehstrom-Verbundnetz. Zwischen dem Höchstspannungsnetz von 380 und 220 kV und dem Niederspannungsnetz von 400/230 V, dem eigentlichen Verteilernetz mit der größten Leitungslänge, liegen in Deutschland Hochspannungsnetze mit 110 kV und Mittelspannungsnetze mit 30, 20 oder 10 kV.
Zur Minimierung der Übertragungsverluste sollten nicht nur zwischen den Phasen gleich große Scheinwiderstände liegen, sondern die Blindwiderstände sollten null sein, damit sich der Stromfluss in den Leitungen auf den nützlichen Wirkstrom beschränkt. Dazu bemüht man sich um Blindleistungskompensation möglichst dicht am Verbraucher. Die Netzverluste, die in der Bundesrepublik vor 1950 noch etwa 15% der elektrischen Gesamtleistung betragen hatten, konnten bis 2000 auf 4.3% gesenkt werden.
Im Zuge der Liberalisierung des Strommarktes wurde 2002 der Verbund der Netzbetreiber (VDN) gegründet.
Das Verbundnetz als Speicher. Das große Netz, das sich schnell Laständerungen anpasst, kann von kleineren Verbrauchern durchaus auch als Zwischenspeicher von Energie genutzt werden. Beispiel: Die Kosten für ein „energieautarkes Solarhaus“ werden wesentlich kleiner, wenn neben den Sonnenkollektoren nicht auch noch ein System zur Energiespeicherung für den Tag/Nacht- und den Sommer/Winter-Aus-gleich installiert werden muss. Auf das teure Speichersystem kann man verzichten, wenn die überschüssige Energie ins öffentliche Netz eingespeist, gutgeschrieben und bei Bedarf wieder aus dem Netz entnommen wird.
Das es überhaupt möglich ist, den unregelmäßig anfallenden Strom von Solarzellen oder Windmühlen-Generatoren in das äußerst stabil betriebene öffentliche Netz einzuspeisen, verdanken wir auch der Leistungselektronik.
266	4 Elektromagnetische Induktion
4.5.3 Erzeugung und Nutzung der Sekundärenergie „Strom“
Die Abb. 4.72 gibt eine schematische Übersicht über die verschiedenen Arten von Energie. Die Anteile der verschiedenen Energieträger an der in Deutschland genutzten („verbrauchten“) Primärenergie zeigt die folgende Tabelle für 2003:
Primärenergie
Anteil am deutschen Verbrauch
36.4%
22.5%
13.7%
12.6%
Mineralöl Erdgas Steinkohle Kernenergie
Die Energie-, Leistungs- oder Anteilsangaben für die verschiedenen Energieformen beziehen sich immer auf deren Heizwert. Bei Primärenergie-Formen, die nie direkt „verheizt“, sondern immer „verstromt“ werden, wie z. B. Kernenergie, Wasser- und Windkraft, wird ein fiktiver Heizwert berechnet, indem man die gewonnene Strom-Energie durch den mittleren Wirkungsgrad für die Umwandlung von Wärme in Strom, rj = 0.383, dividiert.
Die regenerative Primärenergie „Wasserkraft“ wird oft mit „Sonstiges“ zusammengefasst. Damit sind die anderen regenerativen Energiequellen, wie Windkraft, Brennholz, Sonnenenergie u.a.m., gemeint.
Die beim Verbraucher ankommenden Endenergien bestehen zum Teil aus unveränderten Primärenergien, z. B. Erdgas; zum Teil erfolgt vor der Lieferung an den Verbraucher eine Umwandlung in Sekundärenergie wie „Strom“. Die Summe der Endenergien ist kleiner als die Summe der Primärenergien, weil die Umwandlungsund Verteilungsverluste, der Eigenbedarf der Energiewirtschaft und der nicht-ener
4.5 Stromversorgung 267
getische Verbrauch (z. B. von Erdöl als Grundstoff der chemischen Industrie) abzuziehen sind. Strom ist die wertvollste Endenergie: Strom ist vielfältig verwendbar, für viele Anwendungen sogar unverzichtbar, umweit- und nutzerfreundlich. Strom kann gut transportiert und verteilt werden.
Stromerzeugung. Welche Primärenergien zur Erzeugung der Sekundärenergie Strom vorwiegend eingesetzt werden, ist von Land zu Land verschieden.
Erdöl dominiert in den arabischen Ländern, Erdgas in den Niederlanden, Steinkohle in Südafrika, Dänemark, Großbritannien und den USA, Braunkohle in den neuen Bundesländern und Griechenland, Stein- und Braunkohle zusammen in China und Deutschland, Kernenergie in Frankreich, Litauen, Belgien und Schweden, Wasserkraft in Norwegen, Österreich, Kanada, Schweiz, sowie in Südamerika, Ghana und Kenia. - In Deutschland waren 2002 die verschiedenen Primärenergieträger wie folgt beteiligt: Stein- und Braunkohle 50.6%, Kernenergie 28.4%, Erdgas und sonstige Gase 9.3%, Wasserkraft 4.5%, Wind 2.9%, Mineralöl 1 %, Sonstige (Sonne, Biomasse, Müll u. a.) 3.3%.
Stromverteilung. Der Fluss der Sekundärenergie „Strom“ ist in Abb. 4.73 schematisch dargestellt. Dieses für die alten Bundesländer 1989 erstellte Diagramm dürfte auch für das vereinigte Deutschland und andere Industriestaaten noch ungefähr
Bundesbahn	Öffentliche Versorgung Industrie
Bundesbahn
Bergbau und verarbeitende Betriebe (Industrie)
Abb. 4.73 Schematische Darstellung des Stromflusses in Deutschland.
268
4 Elektromagnetische Induktion
richtig sein. - Die Abgabe an die Verbraucher war 2002 in Deutschland wie folgt auf Nutzergruppen verteilt: Industrie 46.8%, private Haushalte 25.6%, sonstige Kleinverbraucher (Gewerbe, Landwirtschaft, öffentliche Einrichtungen) 24.5%, Verkehr 3.1 %. - Der deutsche Haushaltstromverbrauch in den letzten Jahren verteilte sich folgendermaßen: Raumheizung 23%, Kühlschränke und Gefriergeräte 21 %, Warmwasserbereitung (Küche, Bad) 13%, elektronische Geräte 12%, Elektroherde 8%, Waschmaschinen und Trockner 7%, Beleuchtung 5% und Sonstiges 11%.
Stromverbrauch. Der Netto-Stromverbrauch betrug 2002 in Deutschland 515 Mrd. KWh; das entspricht einer über das Jahr gemittelten elektrischen Leistung von rund 60 GW.
In Deutschland nimmt der Stromverbrauch kaum noch zu: Der jährliche Zuwachs, der in den 50er Jahren noch über 10% pro Jahr lag, ist nach 1980 auf unter 2% pro Jahr gefallen und liegt jetzt nahe bei null. Die wichtigsten Wachstumsgründe waren in den letzten Jahrzehnten
-	die Zunahme von strombetriebenen Haushaltsgeräten, gefördert durch größere Wohnungen, die Stellflächen für große Geräte boten, und größeren Wohlstand, der die Anschaffungen möglich machte, aber auch durch die zunehmende Berufstätigkeit der Frauen, die durch Geräte im Haushalt entlastet werden mussten;
-	Anschaffung von Nachtspeicher-Heizungen und anderer elektrischer Heizgeräte als Folge der „Ölpreisschocks“ 1974 und 1979;
-	Einführung neuer, Strom benötigender Produktionsverfahren;
-	zunehmende Elektrifizierung der öffentlichen Verkehrsmittel.
Gründe für die Verringerung der Zuwachsrate in den letzten Jahren sind
-	Sättigungserscheinungen beim Elektrogeräte-Komfort;
-	Abbau der Bevorzugung von Strom-Großabnehmern durch Umgestaltung der Stromtarife und allgemeine Strompreiserhöhungen.
-	technische Neuerungen zur Verbesserung der Geräte-Effizienz, insbesondere Einsatz von Prozessrechnern zur Optimierung der Betriebseigenschaften;
-	wachsende Einsicht in die Notwendigkeit von Energieeinsparung, sowie Verbraucherberatung über Sparmaßnahmen. Geringer Energieverbrauch eines Elektrogerätes wird in Tests positiv bewertet und in der Werbung betont.
4.5.4 Entwicklungsperspektiven
Die Perspektiven für die Sekundärenergie „Strom“ werden nur im Zusammenhang mit einer globalen Energiebetrachtung erkennbar. Die Entwicklung des Weltenergieverbrauchs, aufgeteilt nach Primärenergieträgern, ist in Abb. 4.74 graphisch dargestellt.
Die Umrechnung der Einheit „1 Tonne Steinkohleneinheit pro Jahr“ auf die SI-Leistungseinheit Kilowatt ist einfach:
11 SKE/a = 0.929 kW « 1 kW;
4.5 Stromversorgung 269
Abb. 4.74 Welt-Energieverbrauch pro Jahr zwischen 1900 und 2000, aufgeteilt nach Primärenergieträgern. Einschneidende Ereignisse sind markiert. Die abnehmende weltwirtschaftliche Bedeutung der energieintensiven Schwerindustrie ist vermutlich der Grund für das geringere Anwachsen des Welt-Energieverbrauchs in den letzten Jahren.
der Unterschied von 7 % spielt überhaupt keine Rolle, weil Energieverbrauchsdaten i. Allg. viel ungenauer sind. Besorgniserregend sind vor allem zwei Punkte:
1. Der steile Anstieg des Energieverbrauchs.
2. Der sehr große Anteil der fossilen Brennstoffe.
Der Anstieg ist bedingt durch den mit der Industrialisierung wachsenden Pro-Kopf-Verbrauch und durch das Wachstum der Erdbevölkerung. Die schon ergriffenen Sparmaßnahmen in Ländern mit sehr hohem Pro-Kopf-Verbrauch können diesen Anstieg offensichtlich nicht nachhaltig kompensieren.
Der Anteil der fossilen Brennstoffe (Kohle, Erdöl, Erdgas) beträgt global 90%. Die Verbrennung fossiler Brennstoffe wird als ernstes Problem betrachtet, weil be
270	4 Elektromagnetische Induktion
fürchtet wird, dass die CO2-Emission (zusammen mit anderen Belastungen der Atmosphäre) zur Vergrößerung des Treibhauseffektes (Bd. 7, Kap. 3) mit katastrophalen globalen Auswirkungen führt. Kohlendioxid fällt bei der Verbrennung in ungeheuer großen Mengen an: 3.71 CO2 für jede Tonne verbrannten Kohlenstoff. Alle denkbaren Verfahren, das in Verbrennungskraftwerken anfallende CO2 aufzufangen und dauerhaft zu lagern (carbon dioxide Sequestration) sind (noch) viel zu teuer. Der natürliche Abbau des atmosphärischen CO2 durch Absorption im Wasser der Ozeane und chemische Bindung in Karbonaten erfolgt viel langsamer als der energietechnisch bedingte Anstieg und ist deshalb in den nächsten Jahrhunderten keine Hilfe bei der Lösung des Treibhauseffekt-Problems.
Längerfristig wird auch die Begrenztheit der Brennstoff-Vorräte zum Problem, bei Erdöl/Erdgas schon in etwa 100 Jahren, bei Kohle in einigen Jahrhunderten: nach Erschöpfung der leicht erschließbaren Quellen wird die Brennstoffgewinnung immer schwieriger und teurer werden.
Es ist gegenwärtig nicht zu erkennen, wie die Verbrennung fossiler Brennstoffe in Zukunft drastisch eingeschränkt werden kann: Die Ausweitung der Kernenergie stößt in vielen Ländern auf politische Widerstände (Kernspaltung) oder ist technisch noch nicht möglich (Kernfusion). Wasserkraft ist schon weitgehend ausgenutzt; die anderen regenerativen Primärenergien sind noch nicht wettbewerbsfähig.
Sicher ist jedoch, dass alle Primärenergieträger, die für den Ersatz fossiler Brennstoffe überhaupt in Betracht kommen könnten, vor ihrer Nutzung verstromt werden müssen. Das heißt, der Anteil der Sekundärenergie „Strom“ wird zunehmen, und die Elektrotechnik wird noch wichtiger werden.
4.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 4
4.6.1 Grundlagen der Elektrotechnik
Wechselstromtechnik. Elektrotechnik-Fachwissen, Dipl.-Ing. (FH) Mario Noss, 84476 Taufkirchen: http://www.elektrotechnik-fachwissen.de => Wechselstromtechnik (Show Only This Frame) =
Link 4-1
Ergänzung: Hyperphysics (s. Abschn. 1.4) => Electricity and Magnetism => AC Cir-cuits =
Link 4-2 Weiter z. B. mit => ELI the ICE man (nützliche Merkregel über Phasenbeziehungen), oder => Resonance, oder => Applications
Zeigerdiagramme in der Schwingungslehre. Aus Wikipedia- Deutsch (s. Abschn. 1.4), Zeigerdiagramm:
Link 4-3
Ergänzung: Gymnasium Korschenbroich (GyKo), 41352 Korschenbroich, Fachbereich Physik: http://users.aol.com/gykophys/index.htm => Ein Java Applet für das Zeigerdiagramm einer LRC-Serienschaltung =
Link 4-4
4.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 4	271
Transformator/Induktion. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Transformator: Link 4-5 Weiter z. B. mit => (unten) Siehe auch „Induktion (Elektrotechnik)“ => Anwendungen => Induktionsherd
Ergänzung: Die Domäne www.energie.ch ist eine unabhängige Plattform für Energie-Informationen in der Schweiz: http://www.energie.ch/ => Antriebstechnik: „Tranformator“ =
Link 4-6 Weiter z. B. mit => Induktion - Wirbelströme
Durchsetzung der Wechselstromtechnik. Public Broadcasting System (PBS), head-quartered in Alexandria, Virginia, is a private, non-profit media enterprise owned and operated by the nation’s 349 public television stations: http://www.pbs.org/ => Search „Tesla“ Go => PBS: Tesla - Master of Lightning: Tesla for Teachers => Life and Legacy => War of the Currents =
Link 4-7 Weiter mit => Life and Legacy Index => Harnessing Niagara
Starkstromtechnik. Deutsches Museum (s. Abschn. 1.4) => Ständige Ausstellungen: „Starkstromtechnik“ =
Link 4-8 Technikgeschichte der Starkstromtechnik. Siehe auch => Die Ausstellung und dann z. B. => Entwicklung der Wechsel- und Drehstromtechnik
Leistungselektronik. University of Technology Sydney: http://www.uts.edu.au => About UTS => Faculties => Faculty of Engineering => Staff & Alumni => Faculty Groups => Information and Communication Technologies =
Link 4-9 Weiter mit => Search „Ramaswamy“ => POWER ELECTRONICS Ergänzung: Link 4—6: http://www.energie.ch/ => Antriebstechnik => Leistungselektronik =
Link 4-10
4.6.2 Stromversorgung
Elektrifizierung. IEEE Virtual Museum (s. Abschn. 1.4): http://www.ieee-virtual-museum.org => Socket to Me: How Electricity Came to Be =
Link 4-11
Stromverbund Deutschland. VDEW - Verband der Elektrizitätswirtschaft: http:// www.strom.de => Fakten => Energielexikon (http://www.energiewelten.de) => Zum Lexikon im Internet S => Stromverbund-Deutschland (Show Only This Frame) = Link 4-12
Europäisches Verbundnetz (UCTE). The „Union for the Co-ordination of Transmission of Electricity“ (UCTE) is the association of transmission System operators in Continental Europe, providing a reliable market base by efficient and secure electric „power highways“ http://www.ucte.org:
Link 4-13 Weiter z. B. mit => About us - members, oder => Our world - Why UTCE, oder => Statistics - Frequently asked question
272	4 Elektromagnetische Induktion
Bahnstrom. Dipl.-Ing. Jens Schulze, Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Technischen Universität Berlin, Fakultät V (Verkehrs- und Maschinensysteme), Institut für Land-und Seeverkehr, Fachgebiet Betriebssysteme elektrischer Bahnen http://www.bahnstrom.de:
Link 4-14 Weiter z. B. mit => Systeme => Statistik
Blackout von 2003. Kennedy School of Government (ksg), Harvard: http://www. ksg.harvard.edu => Research Programs => Harvard Electricity Policy Group => Fea-tured Link: „2003 American Blackout“ =
Link 4-15
4.6.3 Elektrische Antriebe
Elektromotoren. Institut für Technik und ihre Didaktik (TD), Westfälische Wilhelms Universität Münster: http://www.uni-muenster.de/Physik.TD/ => Forschung und Projekte => Lexikon der Technik => Energie-Umwandlungssysteme =
Link 4-16 Weiter z. B. mit => Drehfeldmotoren, => Gleichstrommotor
Ergänzung: Link 4 6: http://www.energie.ch => Themen => Industrietechnik => Elektroantriebe =
Link 4-17 Weiter z. B. mit den Abschnitten => Gleichstrommotor, => Synchronmotor, => Asynchronmotor, => Reluktanzmotor. Oder mit => zurück zu „Themen“ => Industrietechnik => Frequenzumrichter
Synchroner Langstator-Linearmotor - Transrapid. Transrapid International ein Gemeinschaftsunternehmen von Siemens und ThyssenKrupp: http://www.transrapid.de => Deutsch =
Link 4-18 Weiter mit => Infoservice => Präsentation => Start der Transrapid Online-Präsentation
Ergänzung: Vom Autor der Bahnstrom-Webseite (s. Link 4 14): http://www.magnet-bahnen.de/ =
Link 4-19 Weiter mit => Linearmotor, => Transrapid
Asynchroner Kurzstator-Linearmotor - LineCar. FH Bielefeld: http://www.fh-biele-feld.de => Schnellzugriff: Personen => Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik => Hofer, Klaus => Aktuelle Forschungs- und Entwicklungsarbeiten/Pro-jekte - LineCar =
Link 4-20 Weiter mit => Informationsbroschüre zum LINECAR - PDF-Dokumen-te
4.6.4 Energie
Energie-Fragen. Energy Quest is the award-winning energy education website of the California Energy Commission: http://www.energyquest.ca.gov => Text-Only Page => Search =
Link 4-21 Weiter z. B. mit => Transportation Energy
4.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 4	273
Energieversorgung im Jahr 2050. Shell in Deutschland: http://www.shell.de => Energie in Zahlen => Weltenergieverbrauch bis 2060
Link 4-22 Weiter z. B. mit => Weitere Informationsquellen
Globale Klimaveränderung. The Pew Center on Global Climate Change (named in honor of Joseph N. Pew and his wife) was established in 1998 as a non-profit, non-partisan and independent Organization. The Center’s mission is to provide cre-dible Information, Straight answers, and innovative Solutions in the effort to address global climate change: http://www.pewclimate.org/ => Global Warming Basics = Link 4-23 Weiter z. B. mit => Global Warming in Depth => Fact Sheets => Hurri-canes - Are they more frequent? => Was Hurricane Katrina a product of global warming?
Kohlendioxid-Speicherung. The International Energy Agency (IEA) is an autono-mous body within the framework of the Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD) to implement an international energy Programme. The IEA Greenhouse Gas R&D Programme (IEA GHG) is an international collabo-rative research Programme, http://www.ieagreen.org.uk/
=> More Information about CO2 Capture and Storage can be found on the IEA GHG’s other site by clicking „here“ =
Link 4-24 Weiter z. B. mit => R&D Project Database „Visit Website“ => „more“
4.6.5 Biographien
Dominique Francois Jean Arago (1786-1853). Aus Famous Scientists
(s. Abschn. 1.4):
Link 4-25
Michael Faraday (1791-1867). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 4-26
Joseph Henry (1797-1878). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 4-27
Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865). Aus Famous Scientists: (s. Abschn. 1.4):
Link 4-28
Werner von Siemens (1816-1892). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 4-29
Ergänzung: Im Jahre 1888 hat Wilhelm Foerster zusammen mit Werner von Siemens und Max Wilhelm Meyer in Berlin die URANIA gegründet:
http://www.urania-potsdam.de => Geschichte => Klick auf Siemens-Kopf in der Mitte =
Link 4-30
274	4 Elektromagnetische Induktion
Thomas Alva Edison (1847-1931). The Thomas A. Edison Papers, © Rutgers, The StateUniversityof New Jersey: http://edison.rutgers.edu/ => Thomas Alva Edison = Link 4-31
Ergänzung: IEEE Virtual Museum (s. Abschn. 1.4): => Exhibits => Thomas Edison: A Lifetime of Invention =
Link 4-32
Nikola Tesla (1856-1943). Aus Corrosion Doctors Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 4-33 Weiter mit => Other pages on Tesla „Biography Part Two“
Ergänzung :Tes\a Memorial Society of N.Y.: http://www.teslasociety.com => Tesla AC =
Link 4-34 Weiter z. B. mit => Tesla coil
Michail von Dolivo-Dobrowolsky (1862-1919). Aus Wikipedia Deutsch
(s. Abschn. 1.4):
Link 4-35
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Tab. 5.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A A = \A\ a B b C c c D D d E F f fa G' H I	(gerichtete) Fläche, Differential dA Fläche (Betrag) Antennen-Wirkfläche Abstand, Länge magnetische Feldstärke Länge Kapazität Kapazitätsbelag einer Leitung Lichtgeschwindigkeit elektrische Erregung Durchmesser Distanz, Abstand, Eindringtiefe elektrische Feldstärke Kraft Frequenz Resonanzfrequenz Leitwert-, Ableitungsbelag einer Leitung magnetische Erregung Strom(stärke), allgemein; auch Effektivwert, wenn keine Verwechslung mit Gleichstrom zu befürchten ist.
— / Aff i i	Intensität (einer Welle) Strom-Effektivwert Strom-Zeiger in der komplexen Ebene Wechselstrom-Augenblickswert
i	Wechselstrom-Scheitelwert
j K k L L' t £ — M m m	Stromdichte Proportionalitätsfaktor Kreiswellenzahl Induktivität Induktivitätsbelag einer Leitung (gerichtete) Länge, Differential d/' Länge Modulationsindex (FM) Masse Modulationsgrad (AM)
276
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Größensymbol	Bedeutung
N n P Püipol Q - Q R R' /ß r r S s s T t U	Anzahl, Windungszahl Brechzahl Leistung elektrisches Dipolmomnet Ladung Güte(faktor) (Wirk-)Widerstand Widerstandsbelag einer Leitung Rückkopplungsfaktor bezogen auf die Spannung U Ortsvektor, Radiusvektor Radius, radialer Abstand Poyntingscher Vektor Leistungsdichte (gerichtete) Strecke, Differential d.v Periode (einer Schwingung) Zeit Spannung, allgemein; auch Effektivwert, wenn keine Verwechslung mit Gleichspannung zu befürchten ist.
^orr u u ü V Vu, VP V IV Wc, "V.	Spannungs-Effektivwert Spannungs-Zeiger in der komplexen Ebene Wechselspannungs-Augenblickswert Wechselspannungs-Scheitelwert Volumen Verstärkungsfaktor für Spannung U, Strom I oder Leistung P Geschwindigkeit Arbeit, Energie elektrische, magnetische Energie elektrische Feldenergiedichte magnetische Feldenergiedichte Blindwiderstand
Y Y Z z Zo x, y, z a, a' - ß 7 — <5 £0 £r »7 e — e — s 9 2 K	komplexer Leitwert (Admittanz) Scheinleitwert komplexer Widerstand (Impedanz) Scheinwiderstand Wellenwiderstand des Vakuums kartesische Längenkoordinaten Dämpfungskoeffizient Phasenkoeffizient (komplexer) Ausbreitungskoeffizient Dämpfungskonstante elektrische Konstante (relative) Permittivität Wirkungsgrad Winkel Verzögerungszeit logarithmisches Dekrement Polarwinkel Wellenlänge Kopplungsgrad
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen 277
Größensymbol	Bedeutung
^0 CT T	magnetische Konstante (relative) Permeabilität Ladungsdichte spezifischer Widerstand Leitfähigkeit Zeit, Zeitkonstante, Ausbreitungszeit magnetischer Fluss (Azimut-)Winkel, Winkel in der komplexen Ebene, Phasenwinkel
<Pe y — Q CO co0 V	elektrisches Potential Wellenamplitude Trägerkreisfrequenz Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Resonanzkreisfrequenz elektrischer Fluss
Im vorigen Kapitel wurden Wechselspannungen durch Drehung von Induktionsspulen in konstanten Magnetfeldern erzeugt, und die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung bestimmte die Frequenz der Wechselspannung. Im Niederfrequenzbereich der Elektrotechnik - typisch 50 Hz - waren die induktiven Widerstände (mL) und die kapazitiven Leitwerte (<bC) so klein, dass die Resonanzbedingung
coL-coC = 1 oder <’>2 = <’>;, = (LC)'	(5.1)
fast nie erreicht wurde und die Resonanz(kreis)frequenz f0 (a>0) meist weit größer war als die (Kreis-)Frequenz der Wechselspannung.
Im Folgenden geht es hauptsächlich um Stromkreise, in denen resonante oder fast resonante Hochfrequenz-Ströme fließen. In diesen Schwingkreisen (oscillating circuits) sind die mit den Kapazitäten verknüpften elektrischen Felder genauso wichtig wie die mit den Induktivitäten verknüpften magnetischen Felder.
Ab 1746 wurden in Frankreich und England Entladungsversuche über lange Leitungen durchgeführt, um die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Ladung entlang einer Leitung zu bestimmen. Damals konnte man nur feststellen, dass dieser Vorgang „unmessbar schnell“ erfolgt. Wie nach der Messung der „kritischen Geschwindigkeit“ (W.E. Weberund R. Kohlrausch, 1854-56, vgl. Abschn. 5.3.1) geschlossen werden konnte, ist die Lichtgeschwindigkeit für die Ausbreitung von Aufladungen anzusetzen.
Mit der Hochfrequenztechnik werden nun sehr schnelle Vorgänge experimentell zugänglich: Effekte der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit werden beobachtbar, wenn die Schwingungsperiode T — l//(z. B. T — 10 ns für f — 100 MHz) vergleichbar wird mit der Zeit r, die für die Ausbreitung einer Aufladung entlang einer Strecke f von Laborgröße benötigt wird: r =	(z. B. r « 10 ns für f « 3 m).
Die wirklich ganz neue Physik dieses Kapitels steckt in der Erkenntnis, dass schnell veränderliche elektrische Flüsse magnetische Wirbelfelder hervorrufen. Dadurch werden elektromagnetische Raumwellen überhaupt erst möglich.
278	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Dieser neue Effekt ist das Gegenstück zur elektromagnetischen Induktion, bei der veränderliche magnetische Flüsse elektrische Wirbelfelder erzeugen. Wegen der magnetfeld-verstärkenden Wirkung des Eisens und der leichten Messbarkeit von induzierten elektrischen Spannungen konnte die Induktion schon bei langsam veränderlichen magnetischen Flüssen beobachtet werden.
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz
Als Hochfrequenz (HF) bezeichnet man i. Allg. Schwingungen im Frequenzbereich von 30 kHz bis 300 GHz, zwischen der Niederfrequenz und dem Infraroten. Der obere HF-Bereich von 300 MHz bis 300 GHz enthält die Mikrowellen.
Zahlenangaben in Hertz (Hz) beziehen sich immer auf die Frequenz f, nie auf die Kreisfrequenz a> = 2nf; für letztere wird die Einheit s 1 (bzw. rad/s) verwendet. Aus Bequemlichkeit wird bei der Kreisfrequenz die Vorsilbe „Kreis“ oft weggelassen; das kann zu Missverständnissen über den Faktor 2tt führen.
5.1.1 Schwingkreis, gedämpfte Schwingungen
Elektrischer Schwingkreis. Wird ein aufgeladener Kondensator über einen Widerstand und eine Spule entladen (Abb. 5.1), dann verhält sich dieser Stromkreis wie ein schwingungsfähiges Gebilde: Der Strom I(t), der in dieser Reihenschaltung für alle Komponenten gleich groß ist, und die Spannungen Uc(t), UR(t) und UL(t) haben die Zeitabhängigkeit einer gedämpften harmonischen Schwingung.
Abb. 5.1 Entladung eines Kondensators über einen Widerstand und eine Spule.
Zur Berechnung dieser Funktionen gehen wir aus von der Summe der Spannungen im Stromkreis. Kapazität, Widerstand und Induktivität sind gegeben durch C, R und L, die Ladung auf dem Kondensator bei Beginn der Entladung zur Zeit t — 0 sei gegeben durch Qo — C Uco. Es gilt
t4+t4+t/c = 0	(5.2)
oder
L d//dt + R/ + C"1 Q = 0.	(5.3)
Mit I — AQI&t und dZ/dt = d2(?/dt2 ergibt sich eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, die Schwingungsgleichung (Abschn. 15.6) für die Kondensatorladung Q\
L d2Q/d/2 +/? dQ/d/+ C 1 g = 0.	(5.4)
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 279
Dass nicht nur die Kondensatorladung Q(t) der Schwingungsgleichung gehorcht, ist leicht zu zeigen:
-	Substituiert man Q — C Uc (und entsprechend auch die Ableitungen: dQ/dt = C dUc/dt, d2Q/dt2 — Cd2C/c/dt2) und dividiert durch C, erhält man die Differentialgleichung für Uc(t).
-	Durch Differenzieren von Gl. (5.4) nach dt wird daraus eine Gleichung für den Strom I(t).
-	Substituiert man I — Ur/R und multipliziert mit R, erhält man die Differentialgleichung für UR(t).
-	Eine nochmalige Ableitung nach der Zeit, die Substitutionen dl/dt = Ul/L und Multiplikation mit L führen schließlich zur Differentialgleichung für UL(t).
Hier interessiert die Lösung der Gl. (5.4) für den Fall der schwachen Dämpfung, charakterisiert durch
0<R « 2(L/C)1/2.	(5.5)
Die Lösung (vgl. Abschn. 15.6) hat die Form
Q(t) = (A1 cosa>gt + A2 sinct^t) exp(— dt)	(5.6)
mit der Dämpfungskonstanten (damping exponent or factor)
d=X-R/L	(5.7)
und der Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung
= H - <52)1/2>	(5-8)
die bei schwacher Dämpfung nur geringfügig kleiner ist als <o0. Die Konstanten A1 und A2 in Gl. (5.6) werden durch die Anfangsbedingungen für ßt = 0 und [d(?/dt]t = 0 bestimmt.
Vergleich von elektrischer und mechanischer Schwingung. Wir wollen die Differentialgleichung für die Kondensatorladung Q(t) von Gl. (5.4) betrachten und ihre freie gedämpfte Schwingung im Schwingkreis vergleichen mit der mechanischen Schwingung einer elastisch an ihre Ruhelage gebundenen Masse m. Wie Tab. 5.2 sehr anschaulich zeigt, entspricht die Lagekoordinate x der Masse m im zeitlichen Verhalten der Ladung Q auf dem Kondensator, potentielle und kinetische Energie der Masse entsprechen der elektrischen und magnetischen Energie im Schwingkreis.
Formal folgt das Schwingungsverhalten aus der Differentialgleichung. Aber wie kann man sich das anschaulich vorstellen? In Abb. 5.2 sind die einzelnen Phasen der elektrischen Schwingung für eine ganze Periode aufgezeichnet; im Vergleich dazu sind daneben die entsprechenden Phasen einer mechanischen Schwingung - am Beispiel einer zwischen zwei Schraubenfedern aufgehängten Masse - dargestellt. Dem geladenen Kondensator entspricht die gespannte Feder, dem elektrischen Strom durch die Spule die Bewegung der Masse. Wird der geladene Kondensator an die Spule geschaltet, so fließt durch diese ein Entladestrom und erzeugt in ihr ein magnetisches Feld. Die im Kondensator (in der Feder) gespeicherte elektrische (potentielle) Energie setzt sich in magnetische (kinetische) um. Wenn sich der Kondensator
280
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Tab. 5.2 Vergleich von mechanischer und elektrischer Schwingung.
Korrespondierende Größen
Masse m Richtgröße k Reibungszahl / Elongation x Geschwindigkeit v = d.vd/	Induktivität L reziproke Kapazität C1 ohmscher Widerstand R elektrische Ladung Q Stromstärke l — dQfdt
potentielle Energie - kx2	elektrische Energie - Q2)C
1 kinetische Energie - mv2	1 magnetische Energie - LI2
1 Dämpfungsfaktor <5 = - itmi	1 <5 = - RjL 2
Schwingungsgleichung m d2x/dt2 + p dx/dz + k x — 0	L d2Q!dt2 + R dQjdt + C~' Q = 0
Lösung der Schwingungsgleichung x — C-4 sin co. / + ß cosco/)	Q — (A sin co./ + B cosco/) A, B bestimmt durch Anfangsbedingungen	
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
coä = (co2 — <52)1/2 « co0 für <5 < co0
mit co0 = (k/m)'12	co0 = 1/V') 1 2
völlig entladen hat, fließt infolge der Induktivität bei abfallendem Magnetfeld der Strom noch in der ursprünglichen Richtung weiter und lädt den Kondensator mit umgekehrtem Vorzeichen solange wieder auf, bis infolge seiner zunehmenden Spannung der Strom null wird. Dieses Schwingungsverhalten setzt sich solange fort, bis im ohmschen Widerstand die gesamte Energie in Joule’sche Wärme umgewandelt worden ist.
Demonstrationsversuch. Wir wollen nun zeigen, dass ein LRC-Kreis nach Abb. 5.1, gebildet aus einer Induktivität L, dem unvermeidlichen ohmschen Wicklungswiderstand R und einer Kapazität C genauso elektrische Schwingungen ausführen kann, wie eine an einer Feder aufgehängte Masse mechanische Schwingungen, wenn sie einmal dazu angestoßen wird. Wir schalten zu diesem Zweck eine Spule mit sehr großer Induktivität (ca. 5000 Windungen, geschlossener Eisenkern), ersatzweise die windungsreiche Spule eines Elektromagneten mit magnetischem Kurzschluss der Pole, in Reihe mit einem sehr großen Kondensator oder einer Kondensatorbatterie und einem Drehspul-Amperemeter für Gleichstrom (1), dessen Nullpunkt in der Mitte der Skala liegt. Mithilfe eines Umschalters wird der Kondensator zuerst mit einer Gleichspannungsquelle (Netzgerät oder Batterie, z. B. 100 V) auf die Spannung Uc aufgeladen und dann über Induktivität und Instrument entladen. Bei dieser Entladung beobachtet man, dass das Amperemeter mit abnehmender Amplitude ab-
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 281
Abb. 5.2 Bildlicher Vergleich einer mechanischen und einer elektrischen Schwingung. Die Dämpfung ist im Bild nicht berücksichtigt.
wechselnd nach links und nach rechts ausschlägt. Für die Werte L « 180 H und C « 140 jrF liegt die Frequenz f0 — m0/2n dicht bei 1 Hz; mit den größten Induktivitäten und Kapazitäten, die noch relativ leicht beschaffbar sind, lassen sich Schwingungsdauern von einigen Sekunden erreichen. Der Maximalstrom, für den das Amperemeter eingerichtet sein muss, wird durch Aufladespannung und Spulenwiderstand bestimmt.
Beschreibung der gedämpften Schwingung. Misst man in der LRC-Reihenschaltung die Zeitabhängigkeit von Strom und Spannung mit Registriergeräten, so ergeben sich die in Abb. 5.3 dargestellten gedämpften Schwingungen. Für die Summe von elektrischer und magnetischer Feldenergie im Schwingkreis gilt für jeden Zeitpunkt t
W(f) = WJf) + We(f)
= W(t = 0) exp(- 2<5t).	(5.9)
Neben dem Dämpfungsfaktor <5 = \RfL werden auch noch andere Maße für die Dämpfung verwendet: Die Halbwertszeit einer mit exp(— <)/) gedämpften
Abb. 5.3 Freie gedämpfte elektrische Schwingung: Die IZ-Kurve entspricht der Kondensatorspannung, die /-Kurve dem vom Kondensator abfließenden Strom.
282	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
harmonischen Schwingung ist gegeben durch t1/2 = O.7/<5, wie leicht zu zeigen ist:
exp(— <5t1/2) = exp(— 0.7) « 1/2.	(5.10)
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden, die um die Zeit einer Schwingungsperiode To auseinander liegen, ist gegeben durch exp(— öT0) oder exp(— 9), und 9 wird als logarithmisches Dekrement (decrement of damping, damping raiio] bezeichnet:
9 = 3T0 = | To R/L
(5.11)
Das in der zweiten Zeile von Gl. (5.11) angegebene Verhältnis gibt eine anschauliche Deutung für das logarithmische Dekrement: Im Zähler steht die während einer halben Schwingungsperiode verbrauchte Energie und im Nenner die zu Beginn dieser Periode vorhandene Gesamtenergie. Für die Kurven in Abb. 5.3 wurde 9 = 0.4 gewählt. In Fällen stärkerer Dämpfung kann a>s nach Gl. (5.8) nicht mehr durch a>0 angenähert werden. Wird die Dämpfung so groß, dass mit <5 > a>0 die Periode To = 2ifa>s imaginär wird, dann ist der Vorgang aperiodisch (wie der „Kriechfall“ beim Galvanometer, Abschn. 3.7). Für <5 = a>0 ergibt sich der „aperiodische Grenzfall“, wie bei den mechanischen Schwingungen.
Schnell aufeinander folgende gedämpfte Schwingungen. Wegen des unvermeidlichen ohmschen Widerstands in Spule und Leitungen sind alle freien elektrischen Schwingungen gedämpft. Mit aufeinander folgenden gedämpften Schwingungen hat man experimentiert, bevor es technisch möglich war, ungedämpfte Schwingungen zu erzeugen. Zur schnellen (Wieder-)Aufladung des Schwingkreis-Kondensators C benutzte man einen Induktor (inductoriuni); das war ein Hochspannungstransformator, der mit mechanisch zerhacktem Primärstrom arbeitete und beim Öffnen des Unterbrechers einen hohen Sekundärspannungspuls lieferte (Abb. 5.4). Beim Öffnen geht der Primärstrom nicht sofort auf null, sondern bei kleinem Kontaktabstand findet noch Stromtransport durch die Luft statt (Funken, Lichtbogen, Abschn. 10.3).
Wird zur Unterdrückung von Öffnungsfunken parallel zum Unterbrecher ein Kondensator geschaltet, dann bildet dieser mit der Primärspule einen Schwingkreis und bewirkt gedämpftes Ausschwingen von Primärstrom und Sekundärspannungspuls, abweichend von der in Abb. 5.4b dargestellten Kurvenform.
Zum Entladen des mit der Sekundärseite des Induktors verbundenen Kondensators C über die Spule L wurde eine Kugelfunkenstrecke (Abschn. 2.1.4) in den Schwingkreis eingefügt (Abb. 5.4c). Wenn beim Aufiaden des Kondensators die Durchschlagspannung (breakdown voltage) der Funkenstrecke F (spark gap) erreicht wird, durchbricht ein Funken den Raum zwischen den beiden Kugeln und erzeugt dazwischen einen „lonisationsschlauch“, in dem sich Ionen der Luftmoleküle und Elektronen befinden und der wie eine leitende Verbindung wirkt, über die sich die im Kondensator gespeicherte Energie durch die Spule des Schwingkreises entladen kann. Wegen des verhältnismäßig hohen Widerstandes der Funkenstrecke sind die Schwingungen stark gedämpft; jeder Schwingungszug besteht nur aus wenigen
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 283
B
(a)
Unterbrecher
Abb. 5.4 Induktor: (a) Schaltung. Batterie B und Unterbrecher U im Primärkreis eines Hochspannungstrafos. (b) Verlauf von Primärstrom (langsames Ansteigen wegen Selbstinduktion) und Sekundärspannung, (c) Sekundärspule lädt Kondensator auf bis zum Zünden der Funkenstrecke F; danach gedämpfte Schwingung im LC-Kreis.
Schwingungen. Danach wird die Luft zwischen den Kugeln wieder zum Isolator, und mit dem nächsten Anstieg der Hochspannung am Kondensator startet der nächste Funken eine neue gedämpfte Schwingung des Funkeninduktors (H. G. Ruhmkorff, 1850). Durch Betrachtung eines solchen Funkens über einen rotierenden Spiegel hat B. W. Feddersen 1862 zum ersten Mal die oszillatorische Entladung einer Leidener Flasche mit Schwingungsfrequenzen von etwa 1 MHz nachgewiesen.
Der Funkeninduktor dient heute nur noch zu historisch inspirierten Demonstrationsversuchen. Aber noch zu Beginn des 20. Jahrhunderts hatten diese Geräte große Bedeutung. 1897 gelang Guglielmo Marconi (1874-1937, Nobelpreis 1909) die Übertragung von Morsezeichen über größere Entfernungen mithilfe elektromagnetischer Raumwellen. So entstand die drahtlose Telegraphie (wireless telegraphy). Wegen der Funkenstrecke im Schwingkreis der Sendeantenne sprach man von Funkentelegraphie; man „funkte“ in die Welt. In Deutschland wurde 1903 auf Weisung des Kaisers, der die Bedeutung der Funktechnik für die Seefahrt erkannt hatte, von den Elektrotechnik-Konzernen Siemens & Halske und AEG der Streit um Patente beigelegt und die Firma Telefunken gegründet. Der erste technische Direktor, Georg Graf von Arco, initiierte 1906 die firmeneigene Großfunkstelle Nauen, die sich zu einer der wichtigsten Großstationen im Weltfunkverkehr entwickelte. - Um 1920 wurde die Elektronenröhre eingeführt, mit deren Hilfe man viel leichter die elektromagnetischen Wellen zur Übertragung von Sprache und Musik einsetzen konnte. Es entstand der Rundfunk (radio). Die Silbe ,funk' erinnert an die Funken in den ersten Schwingkreisen.
284
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
5.1.2 Ungedämpfte Schwingungen
Die im Schwingkreis immer vorhandenen ohmschen Verluste entziehen einer einmal angeregten elektrischen Schwingung Energie; die Schwingung wird „gedämpft“. Kompensiert man aber den Energieverlust einer jeden einzelnen Schwingung sofort durch eine gleich große Energiezufuhr zum Schwingkreis, dann erhält man eine „ungedämpfte“ Schwingung.
Um im Prinzip zu verstehen, wie ungedämpfte elektrische Schwingungen erzeugt werden, sind drei Begriffe nötig, die im Folgenden erläutert werden, nämlich Verstärkung (amplificatiori), Rückkopplung (feedback] und Selbsterregung (self-excita-tion).
Prinzip eines Verstärkers. Ein Verstärker (amplifier) nimmt ein Eingangssignal geringer Leistung auf und gibt ein dazu proportionales, aber viel leistungsstärkeres Ausgangssignal ab. Dazu muss dem Verstärker eine Energiequelle zugänglich sein, deren Energieabgabe mit dem Eingangssignal gesteuert wird (Abb. 5.5a). Als Energiequelle dient eine Gleichstromquelle, z. B. in Form einer Batterie oder eines Gleichrichter-Netzgerätes. Aber diese Energiequelle ist für Verstärker so selbstverständlich, dass sie in schematischen Darstellungen des Verstärkers nicht zu sehen ist.
(c)
Abb. 5.5 Verschiedene Darstellungen eines Verstärkers: (a) mit Energiequelle, (b) als Vierpol, (c) und (d) Symbol in Signalleitung (Dreiecksspitze in Übertragungsrichtung!).
Formal kann der Verstärker als Vierpol (four-terminal network) mit je zwei Eingängen und Ausgängen behandelt werden (Abb. 5.5b). Jedes beliebige Eingangssignal kann mithilfe des Fourier-Formalismus als eine Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen dagestellt werden. Wir können uns deshalb hier auf den einfachen Fall einer sinusförmigen Eingangsspannung u1 (Effektivwert Uefri) beschränken. Zwischen den Eingangspolen liegt der Eingangswiderstand der bei Anlegen der Eingangsspannung u1 die Leistungsaufnahme bestimmt:
P, = U^JR,.	(5.12)
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 285
Der Verstärker produziert das Ausgangssignal, das in der Kurvenform dem Eingangssignal entspricht:
^(0=^(0;	(5.13)
V, ist der Verstärkungsfaktor für die Spannungsverstärkung. Die verschiedenen Verstärkungsfaktoren unterscheiden wir dadurch, dass wir das Symbol der verstärkten Größe als Index hinzufügen: V, ist die Stromverstärkung und VP ist die Leistungsverstärkung,
EP=IVi:.	(5.14)
Der Ausgangswiderstand R2 bestimmt den Ausgangsstrom i2 und die Ausgangsleistung
i2 — u2)R2
(5-15)
Je nachdem, welcher Faktor in Gl. (5.14) im speziellen Fall besonders groß ist, spricht man von Spannungsverstärkung oder Stromverstärkung, aber immer mit dem Verständnis, dass der andere Faktor wenigstens so groß ist, dass eine echte Leistungsverstärkung zustande kommt.
Wenn es mit dem inneren Aufbau des Verstärkers verträglich ist, kann je ein Pol von Eingang und Ausgang geerdet werden; bei Verwendung abgeschirmter Kabel sind Abschirmung und Verstärkergehäuse immer geerdet. Bei manchen elektronischen Komponenten (z. B. beim Transistor) ist die Zusammenfassung der beiden Pole strukturell vorgegeben. Doch auch für solche „Dreipole“ wird formal die Vierpol-Beschreibung bevorzugt.
Weil die Erdung von Verstärkergehäuse, Eingangs- und Ausgangsnetzwerk trivial ist, kann das alles weggelassen werden. Symbolisch wird der Verstärker durch ein offenes Dreieck dargestellt, das mit seiner Spitze in Richtung der Signalübertragung zeigt. Oft wird das Verstärkersymbol mit einem viereckigen Kasten umgeben (Abb. 5.5c), meist aber direkt in die Signalleitung eingefügt (Abb. 5.5d). [In älteren Schaltungen findet man auch das Symbol „ < “, das in der Bedeutung ui < u2 verwendet wird, also mit seiner Spitze in die andere Richtung als das moderne Verstärkersymbol zeigt.]
Das Prinzip der Rückkopplung. Steht eine leistungsschwache sinusförmige Wechselspannung einer bestimmten Frequenz f zur Verfügung dann liefert ein Verstärker die leistungsstarke Ausgangsspannung
u2 = Vuu1>u1.	(5.16)
In dieser Schaltung ist der Verstärker ein Hochfrequenzgenerator („Sinusgenerator“) mit Fremderregung (external excitatiori). Wenn man nun den Bruchteil K, von der Ausgangsspannung abzweigt und diesen Rückkopplungsfaktor (feedback coefficient) Ru gerade so groß wählt, dass die Bedingung
Ru-u2 = u1 bzw. • lz( = 1	(5-17)
erfüllt wird, dann ist dieser Teil der Ausgangswechselspannung genauso groß wie die Eingangswechselspannung und könnte sie ersetzen (Abb. 5.6). Aber braucht man
286
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Abb. 5.6 Prinzipschaltung des rückgekoppelten Verstärkers (HF-Generator mit Selbsterregung).
die anfangs an den Verstärkereingang gelegte Wechselspannung überhaupt? Oder wäre es möglich, dass sich der Verstärker „von selbst“ zu ungedämpften Eigenschwingungen anregt? Das klingt fast so unglaublich wie die Geschichte des Baron v. Münchhausen vom „sich selbst an den Stiefelbändern (bootstraps) aus dem Sumpf ziehen“ (bootstrapping, booting), ist aber tatsächlich möglich!
Damit der selbsterregte Hochfrequenzgenerator funktioniert, müssen einige spezielle Bedingungen erfüllt sein:
1.	Das Einschwingen des Generators darf nur mit einer bestimmten, durch Wahl der Bauelemente-Parameter festgelegten Frequenz f erfolgen.
2.	Die rückgekoppelte Wechselspannung muss die „richtige“ Phasenlage haben.
3.	Damit Selbsterregung schon durch minimale Fluktuationen ausgelöst werden kann, muss das Produkt aus Verstärkungs- und Rückkopplungsfaktor anfangs größer als eins sein und nach „Aufschaukeln“ der Schwingung gleich eins werden.
Die Bedingung (1) wird dadurch erfüllt, dass das rückgekoppelte System frequenzselektive Komponenten enthält, die dafür sorgen, dass die Ungleichung
^•^>1	(5.18)
nur für einen schmalen Frequenzbereich erfüllt ist und dass das Maximum von Ry- Vy bei der gewünschten Frequenz /liegt. - Die Bedingung (2) bedeutet, dass das Produkt Ry  Vy eine reelle Zahl sein muss. Eine Phasenverschiebung, die durch einen komplexen Wert von Ry  Vy zu beschreiben wäre, könnte durch Kapazitäten und Induktivitäten in Verstärker und Rückkopplungsschaltung zustande kommen. Auch eine endliche Laufzeit r des Signals durch den Verstärker, die nicht vernachlässigbar klein ist im Vergleich zur Schwingungsperiode T — 1/f, würde die Sinuskurven der beiden Spannungen zeitlich gegeneinander versetzen, also eine Phasenverschiebung verursachen. - Für die Bedingung (3) ist es erforderlich, dass während der Anlaufphase die Selbsterregungsbedingung (Gl. (5.18)) gilt, sodass sich ein kleines Signal schnell „aufschaukeln“ kann. Unter diesen Umständen genügt schon eine thermische Spannungsschwankung am Verstärkereingang, um die Selbsterregung in Gang zu setzen. Allerdings würde ein ungebremstes Aufschaukeln auch bald zur Erwärmung und schließlich zur Zerstörung des Verstärkers führen. Deshalb muss durch den inneren Aufbau des Verstärkers dafür gesorgt sein, dass beim Ansteigen des Ausgangssignals w2 der Verstärkungsfaktor (oder der Rückkopplungs
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 287
faktor) durch nichtlineare Effekte soweit reduziert wird, dass sich der normale Betriebszustand des Generators mit
^•^=1	(5.19)
einstellt.
Mit den allgemeinen Ausführungen über Verstärker, Rückkopplung und Selbsterregung könnten wir hier die „Erzeugung ungedämpfter Schwingungen“ beenden und im Folgenden jeden Hochfrequenzgenerator als ein „auf unbekannte Weise funktionierendes Gerät“ (black box) betrachten. Dass man mit Geräten arbeiten muss, deren Wirkungsweise man nicht versteht, kommt auch in der Experimentalphysik immer häufiger vor, ist aber unbefriedigend. Es ist jedoch leichter, eine „Black Box“ zu akzeptieren, wenn man wenigstens einmal an einem einfachen Beispiel erfahren hat, wie das Innere derselben beschaffen sein könnte. Deshalb soll hier wenigstens der leicht zu verstehende und historisch eminent wichtige Röhrenverstärker mit einer Triode behandelt werden.
Der Röhrenverstärker. Die schnelle Entwicklung der Nachrichtentechnik in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts beruht ganz wesentlich auf der Entwicklung der Verstärkerröhre (Abb. 5.7a), die aus einem evakuierten Glaskörper mit eingeschmolzenen elektrischen Durchführungen und - im einfachsten Fall - aus drei Elektroden besteht:
-	der elektrisch geheizten Kathode (cathode) K, aus der durch Glühemission (Abschn. 8.2.2) negativ geladene Elektronen austreten können,
-	der bezüglich der Kathode auf positivem Potential liegenden Anode (anode) A - und dem dazwischen liegenden Gitter (gate) G.
Der Fuß des Glaskolbens enthält die elektrischen Durchführungen. In Schaltungen wird die Triode symbolisch dargestellt wie in Abb. 5.7b gezeigt ist.
Alle Spannungen werden auf die Kathode bezogen. Die positive Anodenspannung t/a liegt bei 100 — 200 V, die negative Gitterspannung U bei einigen Volt. Solange U etwa — 1 V beträgt oder noch negativer ist, können die aus der Kathode austretenden Elektronen (Emissionsstrom mit ihrer thermischen Energie nicht gegen das Gitterpotential anlaufen (I = 0), aber bei nicht zu großen negativen Werten von U doch durch die Gitterlücken hindurch zur Anode gelangen, weil das Potential in den Gitterlücken positiver ist als U.
A
F F
A
Abb. 5.7 Triode: (a) Innerer Aufbau, (b) Symbole, oben - direkt geheizt, unten - indirekt geheizt. K = Kathode, A = Anode, G = Gitter, F = (Heiz-)Faden (filament).
288	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Die Wirkung der Gitterspannung auf die Potentialverteilung lässt sich an einem zweidimensionalen Gummimembran-Modell demonstrieren. Die Potentialverteilung cpe(x,y) zwischen den in der .vr-Ebene liegenden Elektroden mit vorgegebenen Potentialen lässt sich folgendermaßen verdeutlichen: Man baut ein (vergrößertes) Modell der Elektroden und gibt ihnen Höhen (in z-Richtung), die ihren negativen Potentialen entsprechen; die Kathode ist also höher als die Anode. Dann wird eine Gummimembran straff über (oder unter) die Elektroden gespannt (Abb. 5.8). Die Steigung der Membran entspricht der lokalen elektrischen Feldstärke. Eine kleine Stahlkugel, deren Gewicht die Membran nicht verbeult, wird an der Kathode mit der Geschwindigkeit null freigesetzt. Die Rollbahn der Kugel auf der Membran entspricht der Elektronentrajektorie in der modellierten Elektrodenanordnung bei vernachlässigbaren Raumladungen.
Gummi-Membran
Kathode Gitter
Abb. 5.8 Gummimembran-Modell einer planaren Triode für drei verschiedene Gitterpotentiale: (a) deutlich negativer, (b) etwas negativer, (c) positiver als das Potential an der Stelle ohne das Gitter.
Die für den Verstärkerbetrieb interessante Potentialverteilung im Gitterbereich entspricht der in Abb. 5.8a gezeigten: Die Gitterstäbe sind etwas negativer als die Kathode, sodass die mit thermischen Energien von weniger als 0.5 eV (= Elektronenvolt, Abschn. 17.2.2) aus der Kathode austretenden Elektronen das Gitter nicht erreichen können. Andererseits ist das Potential zwischen den Gitterstäben positiver als die Kathode, sodass ein Teil der Elektronen hindurchtreten und zur Anode fließen kann, während der andere Teil zur Kathode zurückgedrängt wird. Durch Variation des Gitterpotentials lässt sich der zur Anode gelangende Elektronenstrom steuern. Wird U negativer, dann verkleinern sich die Gitterlücken-Bereiche, durch die Elektronen zur Anode gelangen können; ein großer Teil der Elektronen wird zurückgehalten und formt eine negative Raumladung vor der Kathode, die das Austreten von Elektronen reduziert. Der Anodenstrom Za sinkt, aber ist immer gleich dem Emissionsstrom Ie. Nur bei positivem U fließt ein merklicher Teil der Elektronen über das Gitter ab (Abb. 5.9).
Wenn der negativen Gitter-Gleichspannung eine kleine Wechselspannung überlagert wird, tritt mit (nahezu) gleicher Kurvenform eine große Änderung des Anodenstroms auf (Abb. 5.9). Für eine möglichst unverzerrte Verstärkung arbeitet man im linearen Teil der Kennlinie bei negativen Gitterspannungen unterhalb — 1 V. Das ist der so genannte Raumladungsbereich, in dem die negative Raumladung vor der Kathode den Emissionsstrom begrenzt. Bei positiven Gitterspannungen erreicht der Emissionsstrom Ze schnell den Sättigungsbereich, in dem der Strom nur noch von Größe und Temperatur der Kathode abhängt.
Wegen
4-4 + 4	(+20)
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 289
Ia/niA
Abb. 5.9 Anodenstromänderung (oben, Zeit nach rechts) als Funktion einer Gitterspannungsänderung (links, Zeit nach unten), erhalten durch Spiegelung an der Trioden-Kennlinie.
und wegen des bei großen positiven Gitterspannungen ansteigenden Gitterstroms I sinkt Za etwas ab.
Eine einfache Schaltung für den Trioden-Verstärker zeigt Abb. 5.10a. Da im linearen Steuerungsbereich der Röhre die Gitterspannung immer kleiner als —IV bleibt, fließt kein Strom von der Kathode zum Gitter. Man spricht von einer leistungslosen Steuerung der Röhre, was nicht ganz richtig ist, weil der Eingangswiderstand /?, benötigt wird, um dem Gitter die Gleichspannung zuzuführen, denn i. A. kann nicht angenommen werden, dass die Quelle der Wechselspannung u1 gleichstromdurchlässig ist. [Außerdem wirken Gitter und Kathode zusammen wie ein Kondensator mit einer „Streukapazität“ im pF-Bereich, sodass ein endlicher Blindleitwert existiert und somit Blindleistung verbraucht wird.] Der Eingangswiderstand /?, kann allerdings sehr hochohmig und der durch R1 fließende Wechselstrom i1
Abb. 5.10 Einfache Verstärkerschaltungen mit einer Triode: (a) Breitbandverstärker, (b) Schmalbandverstärker mit Gleichstrom-Entkopplung von Ein- und Ausgang.
290
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
entsprechend klein sein. Auf der Ausgangsseite ist die Wechselspannung u2 gegeben durch das Produkt von Anoden-Wechselstrom (Abb. 5.9) und Widerstand R2. Weil aber diese Wechselspannung auch auf den Durchgriff der Anodenspannung durch das Gitter einwirkt und damit die Trioden-Kennlinie verändert, kann R2 nicht zu groß gewählt werden. Typisch ist eine etwa 10-fache Spannungsverstärkung, verbunden mit einer großen Leistungsverstärkung: Pi < 1 mW, P2 > W. Die Ausgangswechselspannung kann mithilfe eines Transformators weiter erhöht werden. Durch Kopplung über einen Transformator (vgl. Abb. 5.10b) oder einen Kondensator können Ein- und Ausgang von den Gleichspannungen getrennt werden.
Abb. 5.10a zeigt einen für einen sehr weiten Frequenzbereich geeigneten Breitbandverstärker (wide-band amplifier), Abb. 5.10b einen Schmalbandverstärker (nar-row-band amplifier). Bei letzterem wurde der Ausgangswiderstand R2 ersetzt durch einen Schwingkreis, dessen Widerstand für die Resonanzfrequenz
einen sehr großen Wert erhält (vgl. Abschn. 5.1.4). Mit dem Drehkondensator C kann die Resonanzfrequenz variiert werden; der Widerstand R, der auch den unvermeidlichen Eigenwiderstand der Induktivität L mit enthält, bestimmt die Breite der Resonanzkurve.
Der entscheidende Schritt von der Gleichrichter-Diode, die es schon 1904 gab, zur Verstärker-Triode war die Einführung des Gitters. Erste Versuche dazu wurden fast gleichzeitig 1906 von Robert von Lieben (1878-1913) in Österreich und Lee de Forest (1873-1961) in den USA durchgeführt. Die Verstärkung von Hochfrequenz mit der Elektronenröhre gelang 1911 Otto von Bronk (1872-1951) bei Telefunken. A. Meissner (1883-1958), ebenfalls bei Telefunken, verwirklichte 1913 Rückkopplung und Selbsterregung; ähnliche, davon unabhängige Entwicklungen gab es auch in England und den USA.
Die oben aufgeführten drei Bedingungen für einen rückgekoppelten Verstärker mit Selbsterregung werden vom Röhrenverstärker folgendermaßen erfüllt:
1.	Das Einschwingen mit einer vorgegebenen Frequenz f wird durch die Resonanz eines Schwingkreises in Verstärker-Ausgang oder Rückkopplungsschaltung erzwungen.
2.	Die „richtige“ Phasenlage der rückgekoppelten Spannung ergibt sich wie folgt: Im Resonanzfall ist der Scheinwiderstand Z eines Schwingkreises reell (Abschn. 5.1.4). Ein Verstärker mit rein ohmschem Ausgangswiderstand produziert ein Ausgangssignal u2, das gegenüber dem Eingangssignal ui um 180° phasenverscho-ben ist, weil eine Zunahme der Gitterspannung den Anodenstrom anwachsen lässt, der im Ausgangswiderstand einen Abfall der Anodenspannung hervorruft. Bei der Rückkopplungsschaltung ist also eine Vorzeichenumkehr mit vorzusehen. (Sehr einfach ist das bei der frei wählbaren Polung einer transformatorischen Kopplung).
3.	Der Übergang von Rö- ü > 1, wie es zum Aufschaukeln der Selbsterregung erforderlich ist, zu R, • V, — 1 für den normalen Betriebszustand wird technisch gelöst durch Ausnutzung der Anodenstrombegrenzung im Sättigungsbereich. Man arbeitet also nicht mehr im linearen Kennlinienbereich für negative Git
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 291
terspannungen, sondern nimmt Verzerrungen der Kurvenform (die leicht durch elektronische Filter beseitigt werden können) und eine größere Eingangsleistung (die durch die Rückkopplung leicht aufgebracht werden kann) in Kauf.
Mit Röhrengeneratoren lassen sich ungedämpfte Schwingungen bis zu etwa 100 MHz erzeugen. Die obere Grenze ist durch die Laufzeit der Elektronen bestimmt, die durch möglichst geringe Abstände zwischen den Elektroden klein gehalten wird. Zahlenbeispiel: Die Flugzeit von 100-eV-Elektronen über eine Strecke von 6 mm beträgt Ins; das ist nur 1% von der 10-MHz-Periode, aber schon 10% von der 100-MHz-Periode. [Spezielle Röhren für noch höhere Frequenzen, in denen die endliche Laufzeit der Elektronen nicht stört, sondern gezielt ausgenutzt wird, sind z. B. Klystron und Wanderfeldröhre (Abschn. 11.2.2).]
In der zweiten Hälfte dieses Jahrhunderts haben Halbleiter mit steuerbarer Leitfähigkeit (Transistoren, Abschn. 9.3.2) die Röhren fast völlig verdrängt. Hauptvorteile der Transistoren sind Wegfall der Kathodenheizung und der entsprechenden Kühlung (1), Bruchsicherheit, Kleinheit und preiswerte Massenfertigung. Nur bei sehr hohen Leistungen werden heute noch Röhren eingesetzt.
5.1.3 Induktiver Widerstand, Skineffekt
Mit zunehmender Frequenz verändern sich mehrere Schaltungsparameter:
-	Die kapazitiven Leitwerte (wC) wachsen an, und die über „Streukapazitäten“ fließenden Blindströme müssen verstärkt beachtet werden.
-	Die induktiven Widerstände (mL) wachsen an, auch die gerader Leiter, die bei kleinen Frequenzen vernachlässigt werden.
-	Aber auch die ohmschen Widerstände von Leitern nehmen mit steigender Frequenz zu, weil im Draht eine Stromverdrängung stattfindet, die einer Verminderung des stromleitenden Querschnitts entspricht, wie im Folgenden beschrieben wird.
Skineffekt. Der so genannte „Hauteffekt“, bekannter unter seinem englischen Namen, beruht auf der Wirkung des induktiven Widerstandes. Während in einem von Gleichstrom durchflossenen linearen Leiter die Stromdichte an allen Stellen des Querschnittes den gleichen Wert hat, ist dies nicht mehr der Fall, wenn der Leiter von Wechselstrom durchflossen wird. Es findet vielmehr eine Verdrängung des Stroms nach außen statt, und bei sehr hochfrequenten Wechselströmen ist der Strom praktisch auf eine dünne Haut an der Oberfläche beschränkt; das Innere des Leiters ist stromlos. Diese Erscheinung wurde schon 1873 von J.C. Maxwell theoretisch behandelt und 1885 von D.E. Hughes erstmalig beobachtet.
Zum Verstehen des Skineffektes stellt man sich vor, dass der Leiter aus einem Bündel sehr dünner Fäden, jeder Faden mit ohmschem Widerstand und Induktivität, besteht. Fließt nun durch den Leiter ein Wechselstrom, der sich auf die dünnen Fäden verteilt, so besteht eine bestimmte gegenseitige Induktion zwischen den einzelnen Leiterfäden. Die Summe der eignen und der gegenseitigen Induktivitäten bestimmt die Gesamtinduktivität des Leiters. Nun ist aber die gegenseitige Induktion zwischen einem Leiterfaden in der Mitte und seinen Nachbarfäden viel größer als
292
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
für einen Faden an der Oberfläche des Leiters, der nur nach innen hin Nachbarfäden hat. Infolgedessen sind die Scheinwiderstände der Leiterfäden an der Oberfläche kleiner als in der Leitermitte. Ein den Leiter durchfließender Wechselstrom wird daher nach der Oberfläche, der Stelle kleineren Wechselstromwiderstandes, verdrängt, sodass die Stromdichte im Leiterquerschnitt nicht mehr gleichförmig ist. Die Folge davon ist, dass der ohmsche Widerstand des Leiters vergrößert wird, da dem Wechselstrom praktisch nur noch der geringe Querschnitt in unmittelbarer Nähe zur Oberfläche zur Verfügung steht. Andererseits wird durch den Skineffekt die Induktivität des Leiters mit wachsender Frequenz kleiner, da die Stromfäden nahe der Oberfläche eine kleinere Induktivität haben als die in der Leitermitte.
Die Theorie des Skineffektes liefert für hohe Frequenzen, für die der Widerstand schon beträchtlich größer ist als der Gleichstromwiderstand, folgende Formel für den wirksamen ohmschen Widerstand eines frei ausgespannten Drahtes:
^HF ~ lAo/7//71'	(5-22)
Darin sind f die Länge und r < f der Radius des Drahtes; p ist der spezifische Widerstand des Drahtmaterials, und pü ist die magnetische Feldkonstante (bei ferromagnetischen Drähten käme pr als Faktor hinzu). Für hohe Frequenzen ist der Wechselstromleitwert 1/RHF nicht mehr dem Drahtquerschnitt (nr2), sondern dem Drahtumfang (2nr) proportional (vgl. Gl. (5.22)). Das ist ein Zeichen dafür, dass der Strom nur noch in einer dünnen Haut an der Oberfläche des Drahtes fließt. Der Wechselstromwiderstand ist proportional zur Wurzel der Frequenz und umgekehrt proportional zum Drahtdurchmesser (2r).
Nach der Theorie nimmt die Stromdichte von der Oberfläche nach innen exponentiell ab. Die Schichtdicke d, innerhalb der die Stromdichte in einem Leiter auf den e-ten Teil absinkt, wird als Eindringtiefe bezeichnet und ist durch folgende Formel gegeben:
/ p \1/2
d =	.	(5.23)
Für Kupfer (p x 0,017 jrQm) ist die Eindringtiefe ca. 2mm bei 1kHz, aber nur 2 jrm bei 1 GHz.
Wegen der geringen Eindringtiefe benutzt man in der Hochfrequenztechnik nicht massive Drähte, sondern dünnwandige Rohre, deren Oberfläche man häufig noch mit einer besonders gut leitenden Schicht (z. B. Silber) überzieht. Der Skineffekt lässt sich stark unterdrücken, wenn man anstelle eines massiven Drahtes ein Bündel feiner durch Emaillelack gegeneinander isolierter Drähte benutzt, die man miteinander verdrillt oder verflechtet. Dadurch erreicht man, dass jeder Draht streckenweise ebensooft innen und außen verläuft wie die anderen Drähte des Bündels.
Der experimentelle Nachweis des Skineffektes gelingt mit der in Abb. 5.11 dargestellten Anordnung. Ein Leiter A trägt im Abstand von etwa 10 cm zwei Blechscheiben B und C, an deren Umfang sechs weitere Drähte parallel zum Mittelleiter angebracht sind. Alle sieben Drähte tragen in ihrer Mitte kleine Glühlampen als Stromanzeiger. Schaltet man das System in einen elektrischen Schwingkreis ein, so
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 293
Abb. 5.11 Anordnung zum Nachweis des Skineffektes.
leuchten nur die Lampen in den Außenleitern, während der Mittelleiter stromlos bleibt. Schickt man dagegen einen Gleichstrom durch die Anordnung, so leuchten sämtliche Lampen gleich hell und zeigen so die gleichmäßige Stromverteilung an.
Man kann die Stromverdrängung auch direkt sichtbar machen: Heizt man ein Nickelband von 0.02 mm Stärke und 6 mm Breite mit einem hochfrequenten Wechselstrom von etwa 10 MHz, so glühen die Ränder des Bandes bereits sehr stark, während die Bandmitte noch nicht einmal Rotglut erreicht hat.
5.1.4 Erzwungene Schwingungen, Resonanz
Mit dem selbsterregten Verstärker steht ein Hochfrequenzgenerator zur Verfügung, dessen Frequenz- z. B. mithilfe eines Drehkondensators im Schwingkreis - verändert werden kann. In der Praxis muss davon ausgegangen werden, dass die Generatorspannung von Frequenz und Stromstärke abhängig ist. Generatoren, die unabhängig von der Strombelastung über einen weiten Frequenzbereich eine „konstante Spannung“ liefern, sind idealisierte Grenzfälle, deren Betrachtung für das allgemeine Verständnis nützlich ist. Das gleiche gilt für Generatoren, die unabhängig von der Frequenz und der Impedanz des Kreises einen „konstanten Strom“ liefern. Mit entsprechendem Aufwand an Elektronik lassen sich Generatoren bauen, die diesen Idealisierungen sehr nahe kommen.
Wird ein elektrischer Schwingkreis mit Wechselspannung der Frequenz f 4= f0 angeregt, dann führt er erzwungene Schwingungen aus; bei /->/0 tritt Resonanz auf. Schon in Abschn. 4.3.2 waren Wechselstromkreise mit Reihen- und Parallelschaltung von L und C mit ihrem Resonanzverhalten kurz behandelt worden; aber für diese LC-Kreise ergab sich, dass bei der Resonanz(kreis)frequenz
co = m0 = (LC)-1/2,	(5.24)
die Schwingungsamplitude unendlich groß wird. Erst durch Hinzunahme eines ohmschen Widerstandes R kann man die in der Praxis immer vorhandene Dämpfung theoretisch erfassen und damit unendlich große Amplituden vermeiden.
294
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Abb. 5.12 ÄLC-Schwingkreise, angeschlossen an einen Hochfrequenzgenerator variabler Frequenz: (a) Reihenschwingkreis, (b) Parallelschwingkreis.
Hier behandeln wir zuerst ausführlich den RLC-Reihenkreis (siehe Abb. 5.12a) und vergleichen damit das unterschiedliche Verhalten des RLC-Parallelkreises (Abb. 5.12b).
Die mathematische Behandlung des Reihenschwingkreises. Würde man den Hochfrequenzgenerator aus dem Kreis von Abb. 5.12a herausnehmen und die Lücke kurzschließen, dann entspräche der Kreis dem von Abb. 5.1 für die Entladung des anfänglich geladenen Kondensators über Spule und Widerstand in Reihenschaltung. Für diese Kondensatorentladung gilt nach der Kirchhoff’schen Maschenregel (Gl. (5.2)), dass die Summe der Spannungen gleich null ist. Daraus ergibt sich mit t/L = L dl/dt, UR = RI, Uc — QIC, I — dQ/dt = Q' und dl/dt — Q" die Differentialgleichung für die Kondensatorladung Q (Gl. (5.4)).
Differenzieren nach der Zeit und umschreiben
dQ/dt = I, d2Q/dt2 = I', d3Q/dt3 = I",	(5.25)
liefert die Differentialgleichung für den durch alle drei Bauelemente fließenden Strom:
L I" + RT+C-1 1=0.
(5.26)
Gl. (5.4) und (5.26) sind Formen der homogenen Schwingungsgleichung, die freie gedämpfte Schwingungen beschreibt und deren Lösung mithilfe der Parameter
1
<5 = - R/L = Dämpfungskonstante
(5-27)
und
io0 = (LC) 1 = Eigen(kreis)frequenz für <5=0	(5.28)
dargestellt werden. Wie in der Tab. 5.2 gezeigt wird, gibt es bei der freien gedämpften Schwingung eine strenge Analogie von „elektrischer Schwingung der Kondensatorladung Q im RLC-Kreis“ und „mechanischer Schwingung einer elastisch gebundenen Masse m". Die Ausgangsgleichung im elektrischen Fall hat die Bedeutung „Summe aller Spannungen gleich null“ (Gl. (5.2)); die entsprechende Gleichung im me
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 295
chanischen Fall hat die Bedeutung „Summe aller Kräfte (einschließlich der Trägheitskraft) gleich null“.
Die erzwungenen Schwingungen werden durch die inhomogene Schwingungsgleichung (Abschn. 15.6) beschrieben, und es wird oft gesagt, dass auch in diesem Fall elektrische und mechanische Schwingungen völlig analog sind. Das ist nicht ganz richtig. Richtig ist, dass im elektrischen Fall eine zusätzliche, dem Kreis von außen aufgeprägte Generator-Wechselspannung u hinzukommt,
T U f,: T Uc = u(t)
= ü eiojt,	(5.29)
genauso wie bei der erzwungenen mechanischen Schwingung eine periodische „äußere Kraft“ hinzukommt. Aber während im mechanischen Fall x(t) - die Lagekoordinate der Masse als Funktion der Zeit - interessiert, ist im elektrischen Fall das analoge Q(t) viel weniger interessant. Gewünscht wird hier die Lösung für den Strom I(t). Um die inhomogene Differentialgleichung für den Strom zu erhalten, wird Gl. (5.29) umgeformt und differenziert: Für die linke Seite ist die Berechnung die gleiche wie bei der Herleitung von Gl. (5.26). Auf der rechten Seite ergibt die Differenzierung einen Faktor im, wobei i = (—1)1/2 als Phasenfaktor i = e1’-2 zu interpretieren ist. Das Ergebnis ist
LI" + RL + C1! = i cd ü e'm‘ oder
I" + 2 <5 I' + m2 I = (cd/L) ü +	(5.30)
Weil die Ableitung der aufgeprägten Spannung eingeht, nicht die Spannung selbst, ergeben sich Resultate, die vom mechanischen Analogiebeispiel abweichen: So ist z. B. die Resonanzkreisfrequenz gleich m0, unabhängig vom Wert der Dämpfungskonstanten <5, während im mechanischen Fall m5 = (m2 — 2<5 2)1/2 gilt. Darüber hinaus ergeben sich andere Phasenbeziehungen; im mechanischen Resonanzfall eilt die äußere Kraft der Funktion x(t) um rt/2 voraus, während im elektrischen Resonanzfall der Strom /(/) mit der aufgeprägten Wechselspannung in Phase ist [wie im mechanischen Fall die Geschwindigkeit x'(t) mit der äußeren Kraft]. Aber abgesehen von diesen Besonderheiten gibt es viele Entsprechungen von elektrischen und mechanischen erzwungenen Schwingungen.
Die vollständige Lösung der inhomogenen Gleichung enthält additiv auch die vollständige Lösung der homogenen Gleichung; letztere hat zwei Integrationskonstanten, die an die Anfangsbedingungen anzupassen sind. Damit wird der Übergang vom „Einschalten“ bis zum Erreichen eines stationären Zustandes vollständig beschrieben. Der Beitrag der homogenen Lösung klingt exponentiell ab. Die dafür charakteristische Zeit ist der Kehrwert der Dämpfungskonstante <5.
Physikalisch interessant ist besonders die stationäre Lösung für Zeiten t |> l/<5 nach dem Schließen des Stromkreises. Es fließt nun ein stationärer Wechselstrom, dessen Scheitelwert i eine Funktion der Generatorspannung ü, der Frequenz f (bzw. Kreisfrequenz cd = 2nf) und der Werte R, L und C des Schwingkreises ist.
Solange die dem Stromkreis aufgeprägte Spannung eine streng periodische, sinusförmige Wechselspannung ist und allein die stationäre Lösung gewünscht wird, kann diese mit dem in Abschn. 4.3.2 entwickelten Zeiger-Formalismus gewonnen werden.
296
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Für den Zeiger der Generatorspannung u und den Zeiger des Stroms i im Kreis von Abb. 5.12a gilt das Ohm’sche Gesetz in der Form
u — Z i mit Z = Z e1’’.	(5-31)
Die (komplexe) Impedanz Z ist aufgespalten in den (reellen) Scheinwiderstand Z und den komplexen Phasenfaktor mit dem Phasenwinkel cp. Interessiert aber der Strom in Bezug auf eine vorgegebene Spannung, dann schreibt man meist
i = (1/Z) e-’’’ u,	(5.32)
ohne explizit die Admittanz Y = Y exp(i<pY) mit
Y = 1/Z und cpY = — <pz	(5.33)
einzuführen.
Für den RLC-Reihenschwingkreis gilt
Z = R + icoL+ (imC) 1 oder
Z = [R2 + (mL-l/mC)2]1/2
und
tancp = (coL—l/coC)/R.	(5-34)
1
Bei Verwendung der Dämpfungskonstante <5 = - R\L und der Resonanzkreisfrequenz m0 = (LC) 1 wird daraus
Z = (Lfw) [4<52m2 + (m2 — m/)2]1 2 und
tan <p = (m2 — m2)/(2<5m).	(5.35)
Bei vorgegebener konstanter Spannung ü ist der Strom durch den Reihenkreis proportional zu Z
f(co) = (ü m/L)/[(m2 — o/2}2 + 4<52m2]1/2.	(5.36)
Diese Funktion beschreibt, genauso wie 1/Z, eine Resonanzkurve, die das Maximum (wie schon erwähnt) bei <•),, hat. Das zeigt sich sofort, wenn man Zähler und Nenner von Gl. (5.36) durch a> teilt. Im Resonanzfall ist nach Gl. (5.35) tan cp = 0 und damit cp = 0; d. h. der Strom ist mit der Generatorspannung in Phase. Das Maximum der Stromresonanz ist gegeben durch
i0 = ü/(2öL) = ü/R.	(5-37)
Beschreibung der Resonanzkurve. Wir betrachten weiterhin den Reihenschwingkreis von Abb. 5.12a. Die dem Kreis für die Aufrechterhaltung der erzwungenen Schwingung zugeführte Wirkleistung ist gegeben durch
^irk = Wr
~ 1/Z für ü = konst.	(5.38)
Die Frequenzbreite der Resonanz A/(bzw. Am) wird auf die Halbwertsbreite der Leistungsresonanz r(/) [bzw. r(m)] bezogen. Für die Stromresonanz-Kurve ist die
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 297
Abb. 5.13 Strom des Reihenschwingkreises t(f) bei konstanter Spannung. Bei fx 2 ist der Strom um den Faktor l/]/2 kleiner als im Maximum.
Frequenzbreite das Intervall zwischen den Frequenzen f 2 (ct^ 2), für die der Strom den um den Faktor 1 /1/2 verminderten Wert hat (Abb. 5.13).
Wenn man mit dem Ansatz f(m12)/?0 = 1 /]/2 beginnt, für f(m12) die Gl. (5.36) mit a> = m12 verwendet und für i0 den Ausdruck von Gl. (5.37) substituiert, dann erhält man nach Umformungen
co2 2 — CJo ~ i 2 co/ 2 = ct»o(l + 2<5 co1 2/a>g), co1 2 ~ co0(l + <5 <jj1 2/ct>o) ~ co0 + <5.	(5-39)
Daraus folgen die Frequenzbreiten
Am = 2<5 = R/L und A/ = Am/2n.	(5.40)
Die relative Frequenzbreite lässt sich durch R, L und C darstellen. Für den Reihenkreis ergibt sich
Aö)/ö)0 = 2<5/m0 = (R/L) (LC)1/2
= R/(L/C)1/2.	(5.41)
Das ist das Verhältnis von ohmschem Widerstand zum geometrischen Mittel von induktivem und kapazitivem Widerstand (coL- m 'C 2.
Der Kehrwert der relativen Frequenzbreite ist definiert als Güte Q (auch Gütefaktor, sharpness of resonance) des Resonanzkreises:
2 =/o/A/.	(5.42)
Der Kehrwert l/ß, also die relative Frequenzbreite, wird auch als Verlustfaktor bezeichnet.
Für den Reihenkreis gilt nach obiger Rechnung
eR = (L/erfR.	(5.43)
298
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Abb. 5.14 Resonanzkurven verschiedener Güte Q.
Diskussion der Reihenresonanz. Das „Durchfahren“ einer Resonanzkurve (siehe Abb. 5.14) darf nicht zu schnell erfolgen, denn nach jeder Frequenzänderung gibt es erneut Einschwingvorgänge, die bei der Annäherung cd -> cd0, für die ein Anwachsen der stationären Schwingung erwartet wird, u.U. erst einmal eine Abnahme der Amplitude bewirken können.
Bisher wurde stillschweigend angenommen, dass es Hochfrequenz-Generatoren gibt, die über einen weiten Frequenzbereich eine konstante Ausgangsspannung liefern. In der Praxis sieht das oft anders aus, insbesondere im Bereich sehr hoher Frequenzen. Wenn man aber bedenkt, dass bei schwacher Dämpfung der Verlauf der Resonanzkurve in der Umgebung des Maximums ganz überwiegend durch den Term (cd2 — cd2)2 bestimmt wird, in dem cd und cd0 gleichberechtigt auftreten, dann erscheint eine Variation von cd0 ebenfalls geeignet für die Ausmessung der Resonanzkurve. Letzteres ist möglich durch Variation von ]/c mithilfe eines Drehkondensators (aber auch die Variation von ]/E durch Änderung des Wicklungsabgriffes ist denkbar). Bei konstanter Generatorfrequenz f wird eine Kurve f(]/C) aufgenommen, die wie die Kurve ;(/) bei konstantem C von Abb. 5.13 aussieht. Durch Bestimmung der Kapazitäten C12, für die i = f0/]/2 gemessen wird, erhält man die relative Frequenzbreite (den Kehrwert der Güte) aus
Am/m0 « (]/q - ]/c;/]/Q^ i (C2 - Q/Q;	(5.44)
für die letzte Umformung wurde mit der Näherung j(]/Q + ]/cj / ]/Q x multipliziert.
Im Reihenresonanzkreis sind die Spannungen an Kondensator und Spule immer 180° phasenversetzt; im Resonanzfall addieren sie sich zu null. Aber die Effektivwerte dieser Spannungen Uc und UL sind deutlich höher als die Effektivspannung am Widerstand UR. Deshalb spricht man in diesem Fall von einer Spannungsresonanz, obwohl eigentlich der Effektivstrom I(cd) (bzw. der Scheinleitwert 1/Z) bei cd0 das markante Resonanzmaximum besitzt (Abb. 5.14). Die Spannungsüberhöhung bei cd0 ist gegeben durch
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 299
Uc/Ur = uL/uR -	1)1 (RI)
= (L/C)ll2/R = QR;	(5.45)
das ist eine weitere Interpretation der Güte des Reihenkreises.
Für den Betrieb des RLC-Reihenkreises mit konstantem Strom ergibt sich die Spannung nach Gl. (5.31); ü(a>) durchläuft ein Resonanzminimum. Bei Entfernung von der Resonanzfrequenz steigt die Spannung an, solange es technisch möglich ist, den Strom durch den Reihenkreis konstant zu halten. Die Frequenzbreite Am beschreibt hier den Bereich, in dem ü kleiner als |/2 • ü0 ist.
Bei konstanter Spannung geht der Strom durch ein Resonanzmaximum. Man kann diese Schaltung dazu benutzen, um den Stromanteil einer bestimmten Frequenz auszuwählen und die Anteile anderer Frequenzen zu unterdrücken. Deshalb wird eine /?LC-Reihenschaltung auch als Siebkette (filter chairi) bezeichnet.
Der Phasenwinkel cp ist im Resonanzfall null, d. h. der Scheinwiderstand des Resonanzkreises Z ist ein reiner Wirkwiderstand (R). Für cd < cd0 ist cp negativ; für cd -> 0 gilt cp -> — rt/2. Der Phasen winkel des Stromes bezüglich der Spannung ist — cp (Gl. (5.32)) und deshalb positiv. Das bedeutet für den Reihenkreis, dass unterhalb der Resonanz der Strom der Spannung vorauseilt, wie es typisch ist für einen kapazitiven Blindwiderstand. Oberhalb cd0 überwiegt im Reihenkreis der induktive Blindwiderstand, und der Strom eilt der Spannung nach; cp wird dementsprechend positiv und wird +n/2 für cd -> oo.
Demonstrationsversuch. Ein Tongenerator, der eine annähernd konstante Spannung über den akustischen Frequenzbereich liefert, wird in Reihe geschaltet mit einem Kondensator (C = 1 pF), einer großen Induktivität (L x 0.2 H, R « 10 Q) und einem Lautsprecher (R = 4Q). Stromstärke und Frequenz werden durch Lautstärke und Tonhöhe des vom Lautsprecher erzeugten Tons wiedergegeben. Die Induktivität besteht aus einer Spule mit 1000 Windungen und einem stabförmigen lamellierten Eisenkern von 4 cm x 4 cm Querschnitt. Zuerst kann man mit dem Drehknopf des Generators die Frequenz variieren und die Resonanz nahe bei 350 Hz durchfahren. Bei einer hohen Frequenz von z. B. 500 Hz, die weit außerhalb der Resonanzkurve liegt und deshalb nur einen leisen Lautsprecherton bietet, kann man halten und nun langsam den Eisenstab aus der Spule ziehen. Durch dieses manuelle Verringern der Induktivität wird die Resonanzfrequenz des Reihenkreises über die am Generator eingestellten 500 Hz hinaus erhöht; so kann man auch die Resonanz durchfahren.
Der RLC-Parallelschwingkreis. Eine Gegenüberstellung von RLC-Reihen- und Parallelschaltung gibt Tab. 5.3.
Für die Schaltung von Abb. 5.12b gilt die Addition der Ströme:
Ir + ö, + Q — ;(0-	(5.46)
An allen drei Bauelementen liegt dieselbe Spannung u(t). Im Resonanzfall sind die Ströme durch L und C entgegengesetzt gleich, addieren sich also zu null, und der Gesamtstrom ist gleich iR. Die typische Resonanzkurve beschreibt der Scheinwiderstand Z(m) und nach Gl. (5.31) auch die Spannung ü(m) bei konstantem Strom.
300
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Tab. 5.3 Vergleich.
	RLC-Reihen-Schaltung	RLC-Parallel-Schaltung
Strom i	~ lR ~ lL ~ lC	~ Ir +	+ lC
Spannung u	— uR + uL + uc	— ^R —
Impedanz Z	— .R -|-	-|- (kdC)	[ R’’ + (wiL)' + izot'l 1
oder in der Form Z — Ze'r		
mit Z	= [R2 + (coL- l/coC)2]1/2	[(1/R)2 + (1/coL-coC)2]-1/2
und tan<p	= (coL- l/coC)/Ä	R (l/coL — coC)
Resonanz bei co = co0:	Maximum von |Z(co)| 1	Maximum von Z(co)
	Maximum von	Maximum von
	z'(co) für ü — konst.	zi(co) für i — konst.
	(Siebkette)	
	Minimum von Z(co)	Minimum von |Z(<o)| 1
	Minimum von	Minimum von
	zi(co) für i — konst.	z'(co) für ü — konst.
		(Sperrkreis)
Wirkleistung Pwirk(co)	= I2R ~ z2	= U2/R ~ ü2
Halbwertsbreite Aco	= R/L	= (.RC)-'
relative Halbwertsbreite Aco/co0	= RKL/cy	= (L/Cy2IR
Güte Q — co0/Aco	qr = (.L/cy/R	QP = RKL/cy2
Spannungsüberhöhung	uLyayuR	
	= ucyyuR = qr	
Stromüberhöhung		
		~	~ Qp
War beim Reihenkreis für kleine Dämpfung ein möglichst kleiner ohmscher Widerstand gewünscht, ist es beim Parallelkreis ein möglichst kleiner ohmscher Leitwert, also ein möglichst großer Wert für R. Dementsprechend ist die Güte des Parallelkreises gegeben durch das Verhältnis vom geometrischen Mittel von induktivem und kapazitivem Leitwert zum ohmschen Leitwert 1/R,
(2p = [(coL)-1 • coC]/./?-1
= R/(L/C)112,	(5.47)
reziprok zur Güte (?R des Reihenkreises (Gl. (5.43)).
Für a> = a>0 sind die Effektivströme von Spule (U/a>0L) und Kondensator (Ua>0C) gleich groß, und ihr Verhältnis zum Effektivstrom des Widerstands (U/R) wird Stromüberhöhung genannt und auch durch Qp beschrieben:
(o^Ly^R-1 = R/co0L = R/(L/C)112 = QP,
o^C/R-1 = Roj0C = RKLICy2 = QP.	(5.48)
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 301
Deshalb spricht man hier auch von Stromresonanz. Bei der Reihenresonanz ergab sich die Frequenzbreite zu Am « 2<5 = R/L (Gl. (5.39)), also als Kehrwert der Zeit L/R, die uns schon in Abschn. 4.2.1 beim Ein- und Ausschalten eines Spulenstromes begegnet war. Eine ganz ähnliche Rechnung liefert für die Parallelresonanz die Frequenzbreite als Kehrwert der Zeit RC, die schon beim Auf- und Entladen eines Kondensators auftrat. Mit
Am = (RC)-1	(5.49)
ergibt sich für den Parallelkreis die relative Frequenzbreite zu
Aö)/ö)0 = (LC)1I2/RC = (L/C)ll2/R
= 1/ßp-	(5-50)
Bei konstanter Spannung an der RLC-Parallelschaltung wird im Resonanzfall der Strom minimal (= U/R); Wechselstrom der Frequenz a>0 wird besonders stark unterdrückt. Deshalb wird diese Schaltung auch Sperrkreis (rejector circuit) genannt.
Ein RLC-Parallelkreis mit der Schaltung von Abb. 5.12b ist in der Praxis schwerer zu approximieren als ein RLC-Reihenkreis nach Abb. 5.12a mit der gleichen Güte. Das liegt daran, dass die unvermeidlichen Verluste (Joule’sche Wärme) von realen Spulen und realen Kondensatoren sich im Ersatzschaltbild hinreichend gut durch Innenwiderstände in Reihe mit dem Bauelement beschreiben lassen, also im R des Reihenkreises zusammengefasst werden können, aber allein durch den (1/R)-Leit-wert des Parallelkreises nicht befriedigend beschrieben werden. Kompliziertere Ersatzschaltbilder müssen herangezogen werden.
Die Berechnung von komplizierten Schaltungen ist jedoch meist so aufwendig, dass für einen ersten Überblick über das Frequenzverhalten alle ohmschen Widerstände und Leitwerte, die nicht absichtlich in die Schaltung eingefügt wurden, sondern nur das nicht-ideale Verhalten von Spulen und Kondensatoren beschreiben, einfach weggelassen werden. Einige LC-Filterschaltungen (ohne ohmsche Widerstände) zeigt Abb. 5.15.
Abb. 5.15 LC-Kombinationen für Frequenzfilter und Block-Schaltzeichen: (a) Tiefpass, (b) Hochpass, (c) Bandpass, (d) Sperrbandpass.
302
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
5.1.5 Gekoppelte Schwingkreise
Zwei miteinander verbundene („gekoppelte“) schwingungsfähige Systeme beeinflussen sich gegenseitig. Bei ungleichen Systemen sind auch die Auswirkungen der Kopplung ungleich. Oft sind die Gegebenheiten so, dass ein mit großer Energie schwingendes System A auf ein System B einwirkt und dieses zu energiearmen Schwingungen anregt, dass aber die Rückwirkung von B auf A zu vernachlässigen ist, weil die ausgetauschte Energie viel kleiner ist als die im System A vorhandene Energie. So ist z. B. im vorhergehenden Abschnitt stillschweigend angenommen worden, dass der Schwingkreis, der vom Wechselstromgenerator zu einer erzwungenen Schwingung angeregt wird, nicht merklich auf den Generator zurückwirkt.
Besonders deutliche Effekte treten bei der Kopplung identischer Systeme auf; nur diese werden hier behandelt. Weil die zugrunde liegenden Differentialgleichungen dieselben sind, empfiehlt sich eine parallele Betrachtung von (identischen) gekoppelten Pendeln der Mechanik (Bd. 1).
Ein Beispiel für gekoppelte Schwingkreise zeigt Abb. 5.16a. Der Kopplungskondensator Ck ist beiden Schwingkreisen gemeinsam. Die Schwingkreise (1) und (2) haben die Kapazitäten (C^2 + Q ') ' Der Kopplungsgrad k ist für die Stromkopplung durch einen gemeinsamen kapazitiven Widerstand gegeben durch das Verhältnis von Kopplungs(schein)widerstand zum geometrischen Mittel der entsprechenden Scheinwiderstände in den beiden Kreisen, also hier
K = ck w, 1 + c-1) • (c-1 + ck')]'2
= (Q C2)1/2 / [(Q + Ck) (C2 + Ck)]'2.	(5.51)
oder für identische Schwingkreise (C1 — C2 — C)
K=C/(C+Ck).	(5.52)
Wird das System der beiden gekoppelten Schwingkreise nach Aufladung von C1 einer freien gedämpften Schwingung überlassen, dann haben die Ströme Ix und I2
Abb. 5.16 Zwei kapazitiv gekoppelte LC-Schwingkreise: (a) Schaltung (ohne Dämpfungswiderstände), (b) Ströme in den beiden Kreisen als Funktion der Zeit. Das Phänomen der „Schwebung“ ist gut zu erkennen.
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 303
den in Abb. 5.16b gezeigten zeitlichen Verlauf. Die gedämpften Schwingungen zeigen eine gegenläufige Amplitudenmodulation, die in der Wellenlehre (Bd. 1) als Schwebung (beat Vibration, beats) bekannt ist.
Den Kurvenverlauf von Abb. 5.16b erhält man, wenn am Anfang nur das Primärsystem angeregt wird, also z. B. nur der Kondensator im Schwingkreis (1) eine Anfangsladung oder nur das Pendel (1) eine Anfangsauslenkung erhält. Der gegenläufige Verlauf der Kurven zeigt, dass die Anregungsenergie vom Primärsystem vollständig auf das Sekundärsystem übertragen wird, dann aber im ständigen Wechsel von einem Kreis (Pendel) zum anderen wandert, wobei die im System steckende elektrische und magnetische Energie durch die Dämpfung allmählich abnimmt.
Formal kann man das Zustandekommen der Schwebung als Überlagerung zweier Wellenzüge gleicher Amplitude und fast gleicher Frequenz erklären: Ohne Dämpfung ergibt sich
A sinctV+zl sin <'.),/ = 2A cos-/-sin-t.
12	2	2
(5.53)
Auf den ersten Blick scheint die beschriebene Schwebung keine physikalische Beziehung zu zwei wenig verschiedenen Frequenzen zu haben. Um zu zeigen, dass die identischen gekoppelten Schwingkreise tatsächlich mit zwei unterschiedlichen Frequenzen schwingen können, muss man das gekoppelte System mit anderen Anfangsbedingungen betreiben: Im Fall der gekoppelten Pendel muss man beide anfangs gleichweit nach derselben Seite oder nach entgegengesetzten Seiten auslenken; im Fall der gekoppelten Schwingkreise muss man die beiden Kondensatoren symmetrisch oder antisymmetrisch zueinander aufladen (Abb. 5.17). Für diese beiden Hauptschwingungen (Fundamentalschwingungen oder Moden) erhält man gedämpfte Schwingungen ohne Schwebung mit zwei verschiedenen Frequenzen, die sich wie folgt berechnen lassen: In Abb. 5.17 sind die Stromverteilungen für beide Moden durch Pfeile gekennzeichnet. Weil im Fall (a) überhaupt kein Strom durch den Kopplungskondensator fließt, kann dieser Zweig im Ersatzschaltbild weggelassen werden; und weil im Fall (b) die Stromverteilung zum Kopplungskondensator-Zweig spiegelsymmetrisch ist, kann im Ersatzschaltbild die rechte Hälfte auf die linke geklappt werden. Jetzt lassen sich die beiden Hauptfrequenzen leicht berechnen; man braucht dazu nur die vereinfachten Schwingkreise der Ersatzschaltbilder zu betrachten, die sich durch Reihen- bzw. Parallelschaltung von Kondensatoren und Spulen unterscheiden.
Für die 1. Hauptschwingung nach Abb. 5.17a ergibt sich
1
Lj = 2L, C, = - C und io1 = (LC)~1/2,	(5.54)
für die 2. Hauptschwingung nach Abb. 5.17b
= C2 = 2C-Ck/(2C+Ck)
und
m2 = (LC)1'- [(2C + Ck)/Ck]1/2.	(5.55)
Die Frequenz der ungestörten Schwingung eines der beiden Kreise (Pendel), wenn der zweite Kreis unterbrochen ist (das zweite Pendel festgehalten wird), ergibt sich zu
304
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Fundamentalmoden
Abb. 5.17 Gekoppelte Schwingkreise (ohne Dämpfungswiderstände) mit Strompfeilen für die beiden Fundamentalmoden (a) und (b). Rechts dazu die Ersatzschaltbilder.
L0 = L, Co = C-Ck/(C+C0 und
cn0 = (£C)-1/2[(C+Ck)/Ckr.	(5.56)
Wie leicht nachzurechnen ist, kann das Verhältnis der Frequenzen durch den Kopplungsgrad k von Gl. (5.52) beschrieben werden:
/2//0 = (i+Kr,
(5.57)
Allgemein gilt: Zwei identische schwingungsfähige Systeme, die ungekoppelt freie Schwingungen mit der Eigenfrequenz f0 ausführen und für erzwungene Schwingungen die typische Resonanzkurve mit dem Maximum bei f0 zeigen, haben als gekoppeltes System eine Resonanzkurve mit zwei Resonanzmaxima, die mit zunehmendem Kopplungsgrad frequenzmäßig weiter auseinander rücken; gleichzeitig wird die Dop-pelpeak-Resonanzkurve flacher (Abb. 5.18). Für die Schwebung, die auftritt, wenn am Anfang alle Energie in einem der Kreise steckt, bedeutet zunehmender Kopplungsgrad auch eine Zunahme der Schwebungsfrequenz, also einen schnelleren Transfer der Energie von einem Kreis zum anderen. Die Aufspaltung einer Eigenfrequenz in zwei Hauptfrequenzen mit kopplungsabhängigem Frequenzabstand ist ein sehr bedeutsames physikalisches Phänomen, das auch in der Molekülspektroskopie auftritt.
Neben der diskutierten kapazitiven Stromkopplung gibt es auch ohmsche und induktive Stromkopplungen über einen beiden Kreisen gemeinsamen ohmschen Widerstand R oder induktiven Scheinwiderstand a>L. Außerdem gibt es die Kopplung
5.1 Experimentieren mit Hochfrequenz 305
Abb. 5.18 Resonanzkurven bei verschieden großem Kopplungsgrad k.
über ein magnetisches Feld, wie sie z. B. durch die Spulen eines Transformators gegeben ist; diese transformatorische Kopplung wird oft auch „induktive“ Kopplung genannt.
Das Mitschwingen eines angekoppelten Schwingkreises mit ausgeprägtem Resonanzverhalten wurde schon 1890 von O. J. Lodge untersucht (Abb. 5.19). Seine zwei Schwingkreise bestanden aus je einer Leidener Flasche als Kapazität und je einem rechteckigen Drahtbügel als Induktivität. Der Kreis I enthält eine Funkenstrecke, an die ein Induktor (Abb. 5.4) angeschlossen wird; lässt man Funken überschlagen, dann werden im Kreis I gedämpfte Schwingungen angeregt. Der im Bügel von Kreis I fließende hochfrequente Wechselstrom erzeugt ein magnetisches Wechselfeld, das induzierend auf Kreis II einwirkt und in ihm eine Wechselspannung erzeugt. Die Schwingung im Kreis II kann man qualitativ nachweisen durch eine kleine, parallel zur Leidener Flasche geschaltete Funkenstrecke. Durch den verschiebbaren vertikalen Teil des Drahtbügels kann die Induktivität von Kreis II verändert werden. Wenn die beiden Kreise in ihrer Eigenfrequenz übereinstimmen, wird im Kreis II ein besonders lebhafter Funkenstrom wahrgenommen; verschiebt man den Bügel
Abb. 5.19 Resonanzversuch von O.J. Lodge (1851-1940).
306
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
nach links oder rechts, so erlischt der Funkenstrom allmählich. Bei diesem Versuch ist die magnetische Kopplung der beiden Kreise so schwach, dass nur ein Resonanzmaximum auftritt.
Im Versuch von Lodge ist schon das Prinzip der Messungen hoher Frequenzen mithilfe eines abgestimmten Schwingkreises zu erkennen: Der schwach gedämpfte Kreis II kann als ein „Frequenzmesser“ betrachtet werden, der lose angekoppelt wird, um eine Veränderung des Resonanzverhaltens von Kreis I durch Rückwirkung zu vermeiden. Durch Veränderung der Induktivität Ln (oder auch der Kapazität Cn) von Kreis II wird dessen Eigenfrequenz in definierter Weise verändert, bis das Resonanzmaximum bei = (Ln Cn) 12 festgestellt ist.
Geht man von der Hochspannung des Lodge’schen Versuchs zu kleineren Spannungen, für die Drehkondensatoren mit variabler, bekannter Kapazität verwendet werden können, und zu kleineren Frequenzen, für die Induktivitäten durch Spulen (nicht schon durch die Eigeninduktivität der Leitungsdrähte) gegeben sind, dann erhält man einen leicht hantierbaren Frequenzmesser, bei dem der Frequenzbereich in Stufen durch Wechsel des Spulenabgriffs und kontinuierlich durch Verstellen des Drehkondensators verändert werden kann. Zur Feststellung des Resonanzmaximums schaltet man in den Kreis einen Strom- oder Spannungsindikator; mit Hochfrequenz-Gleichrichtern (Halbleiterdioden) und empfindlichen Gleichstromdetektoren (elektronische Messverstärker) benötigen solche Frequenzmesser nur eine geringe Leistungsübertragung.
5.2	Elektromagnetische Drahtwellen
Die bisher diskutierten elektrischen und magnetischen Phänomene sind verträglich mit der Annahme, dass sich elektrische Signale mit (fast unendlich) großer Geschwindigkeit ausbreiten und Effekte der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit zu vernachlässigen sind. Wir haben deshalb bisher stillschweigend angenommen, dass beim Schließen eines Stromkreises der Stromfluss im gesamten Kreis sofort einsetzt. Wir haben zwar „Einschwing- und Abklingvorgänge“ betrachtet, die mit den Zeitkonstanten RC und L/R verknüpft sind, aber die Länge der Leitungen zwischen den Bauelementen spielte bisher keine Rolle. Erst wenn beim Experimentieren mit sehr hohen Frequenzen die räumliche Periodizität einer elektrischen Schwingung, die durch die Wellenlänge 2 beschrieben wird, auf die Lineardimension eines Labors schrumpft, kann man erwarten, Effekte der endlichen Signalausbreitung zu beobachten. Für Ausbreitungsgeschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit c(x 3 x 108 m/s) und Frequenzen f > 100 MHz wird die Wellenlänge z. kleiner als 3 m und gerät damit in die Größenordnung eines Labors.
5.2.1 Lecher-Leitung
Der österreichische Physiker E. Lecher (1856-1926) erfand 1890 die nach ihm benannte symmetrische Doppelleitung (Lecher wires), bestehend aus zwei geraden Drähten mit kreisförmigem Querschnitt und der Länge f, parallel zueinander angeordnet
5.2 Elektromagnetische Drahtwellen
307
d Ä/4
Abb. 5.20 Aufbau einer Lecher-Leitung (schematisch): K = Kopplungsschleife für Ankopplung an den HF-Generator. G = Glühlampe, die, quer über die Leitung gelegt, an den Stellen a, b, c, d hell aufleuchtet.
im Abstand d < t. Der Vorteil dieser Anordnung liegt darin, dass das elektromagnetische Feld auf den Raum zwischen den Drähten konzentriert ist und mit wachsendem Abstand von der Doppelleitung viel schneller abnimmt als beim Einzeldraht. Experimentelle Störungen durch die Umgebung (z. B. Laborwände, Körper des Experimentators) treten deshalb praktisch nicht auf. Die symmetrische Anordnung der Leiter erleichtert die theoretische Behandlung, die 1902 von Gustav Mie vollständig geliefert wurde. In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst nur eine „verlustlose“ Lecher-Leitung.
Die Ausrichtung der Drähte sei parallel zur z-Achse. An einem Ende der Lecher-Leitung (links in Abb. 5.20) wird die Lecher-Leitung über die Kopplungsschleife K induktiv (transformatorisch) an den Schwingkreis eines Hochfrequenzgenerators angekoppelt.
Wir verwenden die Funktion w(t, z), um die Spannung als Funktion der Zeit t und des Ortes z entlang der Lecher-Leitung zu beschreiben. Ganz analog zu anderen eindimensionalen Wellen gilt
u(t, z) = u0 sin 2tt/'(/ — z/u).
(5.58)
Für eine in Ausbreitungsrichtung nicht begrenzte sinusförmige Welle kann nur die Fortschreitung eines Wellenpunktes bestimmter Phase, z. B. eines Maximums, angegeben werden; das ist die Phasengeschwindigkeit c. So wie T — 1/f die zeitliche Periode der Schwingung ist, lässt sich die Wellenlänge

(5.59)
als deren räumliche Periode auffassen. [Es gibt sogar die Bezeichnung „Raumfrequenz für /. 1.] Eine Messung der Wellenlänge kann also die Ausbreitungsgeschwindigkeit v liefern, wenn sich die Frequenz f aus den Daten des Generator-Schwingkreises (Induktivität und Kapazität) ergibt oder irgendwie gemessen werden kann.
Die Gl. (5.58) beschreibt die einfallende, von links nach rechts laufende Welle. Am rechten Ende der Lecher-Leitung wird die Welle reflektiert. Die Reflexion einer Spannungswelle am offenen oder geschlossenen Ende einer Paralleldrahtleitung stellt das elektrische Analogon zur Reflexion einer Seilwelle am offenen (beweglichen) oder geschlossenen (festgehaltenen) Ende des Seiles dar (vgl. Bd. 1). Ist die Leitung am Ende offen, dann erfolgt die Reflexion ohne Phasensprung; einfallende und reflektierte Welle addieren sich zu einem Spannungsbauch (potential loop or antinode). Ist die Leitung dort durch eine leitende Brücke kurzgeschlossen, erfolgt die Reflexion der Spannungswelle mit einem Phasensprung von 180°, sodass sich beide Wellen an diesem Ende jederzeit zu null addieren und einen Spannungsknoten (potential node] ergeben.
308
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
											
t=3I
4
Abb. 5.21 Strom- und Spannungsverteilung auf einer linksseitig kurzgeschlossenen Lecher-Leitung zu vier verschiedenen Zeiten, die eine Viertelperiode auseinander liegen.
Beide Wellen addieren sich zu einer stehenden Welle, deren Amplitude den Maximalwert von 2w0 erreicht, wenn bei gleichem Abschluss beider Enden (z. B. Spannungsknoten links und rechts) die Länge f ein geradzahliges Vielfaches von z/4 ist, bei ungleichem Abschluss (z. B. Spannungsbauch rechts und -knoten links) dagegen ein ungeradzahliges Vielfaches (Abb. 5.21).
Die räumlich „stehende“ Welle oszilliert, und dabei wechseln die Spannungsbäuche ständig ihr Vorzeichen. Das heißt aber, es müssen längs der Drähte Ladungen bewegt werden, es fließen also Ströme. Bei der stehenden Welle fallen die Orte der Spannungsknoten zusammen mit denen der Strombäuche, und umgekehrt (Abb. 5.21). Oder anders formuliert: In der Mitte zwischen den in Abständen von 2/2 auftretenden Spannungsbäuchen liegen die Strombäuche, letztere sind also um eine Viertelwellenlänge gegen erstere versetzt (dasselbe gilt für die Knoten). Aber auch zeitlich liegen die Strombäuche zwischen den Spannungsbäuchen; die Maximalwerte treten um eine Viertelperiode verschoben auf.
Für eine Demonstration verwenden wir eine Lecher-Leitung, deren Länge wenigstens zwei bis drei 2/2 entspricht, sodass einige Strom- und Spannungsbäuche auftreten. Die Länge sollte also mit Blick auf die Frequenz des verfügbaren Hochfrequenz-Generators gewählt werden. Für Vorlesungsdemonstrationen empfiehlt sich f x 200 MHz mit 2/2 « 0.75 m; für Schulversuche sind eine höhere Frequenz und eine entsprechend kürzere Leitung bequemer. Ein kommerzielles Demonstrationssystem (Fa. Leybold) arbeitet mit ca. 430 MHz; das entspricht einer halben Wellenlänge von ca. 35 cm. Mittels der Kopplungsschleife K am Anfang der Leitung koppeln wir Hochfrequenz zur Anregung von Schwingungen in das Lecher-System. Zuerst ist die Leitung am rechten Ende offen und die Amplitude der sich einstellenden stehenden Welle nicht unbedingt maximal.
5.2 Elektromagnetische Drahtwellen
309
Wenn wir eine Drahtbrücke quer über die Doppelleitung legen, schließen wir die Leitung an dieser Stelle kurz. Das heißt, wir verkleinern die effektive Länge der Lecher-Leitung von f auf den Abstand zwischen Kopplungsschleife und Drahtbrücke. Damit wird am Ort der Drahtbrücke ein Strombauch (Spannungsknoten) erzwungen. Um diejenigen Drahtbrücken-Abstände zu finden, die zur Ausbildung einer stehenden Welle mit maximaler Amplitude führen, verwenden wir eine Drahtbrücke mit eingebauter Glühlampe G. Die Orte, an denen die Glühlampe hell aufleuchtet, haben voneinander den Abstand 2/2.
Wir ersetzen an dem rechts außen liegenden Strombauch die Glühlampe durch eine über die Lecher-Leitung gehängte Metall-Brücke, dann wird die Welle wegen des verschwindenden ohmschen Widerstandes der Platte noch besser reflektiert als durch die Drähte der Glühlampenbrücke. Bei kommerziellen Systemen hat die Leitung schon die der Frequenz des Senders entsprechende Länge; die rechts offene Leitung zeigt am Ende einen optimalen Spannungsbauch, und zum Abschließen wird die Leitung mit einem Kurzschlussbügel der Länge 2/4 verlängert. Zum Nachweis der .E-Feldstärke in den Spannungsbäuchen verwenden wir eine Neonröhre, die quer über die Doppelleitung gelegt wird.
Ein sehr empfindlicher Spannungsbauch-Indikator besteht aus einer kleinen Glimmlampe, die am Ende eines Stabes mit Netzanschluss-Kabel eingebaut ist und über einen Spannungsteiler nur soviel Wechselspannung erhält, dass sie gerade noch zündet. Im .E-Feld des Spannungsbauches leuchtet die Glimmlampe hell auf. - Ein sehr empfindlicher Strombauch-Indikator besteht aus einer 2/2-Lecher-Leitung, die am Tast-Ende mit einem Bügel kurzgeschlossen und am anderen Ende an eine Hochfrequenz-Diode (als Gleichrichter) mit einem empfindlichen Strom-Messinstrument angeschlossen ist.
Die Bestimmung der Wellenlänge aus den Abständen der Strom- oder Spannungsbäuche liefert bei Kenntnis der Frequenz der angeregten elektrischen Schwingung die Ausbreitungsgeschwindigkeit v. Bis auf sehr kleine Korrekturen wegen der Permittivi-tätszahl der Luft (er« 1.0006) und der endlichen Skineffekt-Eindringtiefe (vgl. Abschn. 5.1.3), ist diese Geschwindigkeit gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Heute gibt es Lecher-Systeme für Versuche im Physik-Praktikum und in der Schule. Da die verwendete Frequenz durch Zählung sehr genau gemessen werden kann, wird die Messgenauigkeit durch den Messfehler der Abstandsmessung zwischen den Stromoder Spannungsknoten bestimmt. Durch Vielfachmessungen kann auf diese Weise die Geschwindigkeit der Drahtwellen mit Promille-Genauigkeit bestimmt werden.
5.2.2 Theorie der Drahtwellen
Zur Fortleitung hochfrequenter elektrischer Schwingungen vom Generator zum Verbraucher werden bis zu Frequenzen im unteren GHz-Bereich Doppelleitungen benutzt. Dazu gehören die schon behandelte Lecher-Leitung und das in der Hochfrequenztechnik viel verwendete Koaxialkabel.
Eine homogene Doppelleitung wird durch die folgenden, auf die Länge bezogenen Größen beschrieben:
-	längenspezifischer ohmscher Widerstand („Widerstandsbelag“, resistanceper unit length) R' (SI-Einheit: Q/m),
310	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
-	längenspezifische Induktivität („Induktivitätsbelag“, inductance per unit lengili} L' (H/m),
-	längenspezifische Kapazität („Kapazitätsbelag“, capacitance per unit length) C (F/m),
-	längenspezifischer Querleitwert („Leitwertsbelag“ oder „Ableitungsbelag“, con-ductance per unit length) G' (S/m).
Die Größen L' und C sind abhängig von der Geometrie der Doppelleitung. Die Größe R' ist eine Eigenschaft der Drahtes, während G' vom Isolationsmaterial zwischen den Drähten bestimmt wird. Das Ersatzschaltbild eines infinitesimalen Leitungselementes zeigt Abb. 5.22.
Abb. 5.22 Ersatzschaltbild eines Leitungselementes der Länge dz.
Aus der Schaltung können die Beziehungen für die Änderung von Spannung und Strom längs eines Längenelementes dz direkt „abgelesen“ werden:
du	/	di\
— dz = — R’i + L! — dz,
dz	\	dt]
di	/	du\
— dz=- G'u+C— dz.	(5.60)
dz	y	dtj
Hieraus erhält man durch differenzieren nach z bzw. t und zweckmäßig zusammenfassen je eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung für u und i, die in allgemeiner Form die elektrischen Vorgänge längs einer Doppelleitung beschreiben. Die Gleichung für die Spannung ist
d2u	du	d2u
— =R'G'u + (R' C + L' G') —+L'C—.	(5.61)
dz	dt	dt
Die Gleichung für den Strom enthält dieselben Koeffizienten und ergibt sich aus Gl. (5.61) durch die Substitution u -> i. Diese Telegraphengleichung wurde wahrscheinlich erstmals von William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907) schon vor der Maxwell’schen Theorie aufgestellt. Seit 1851 waren England und der Kontinent durch ein Seekabel zwischen Dover und Calais verbunden, und die Behandlung der Signal-Fortpflanzung in Seekabeln war deshalb von praktischem Interesse.
Sieht man von Einschwingvorgängen ab und beschränkt sich auf den stationären Betriebszustand für eine harmonische Schwingung mit dem komplexen Phasenfaktor exp(imt), dann vereinfachen sich die beiden Gl. (5.60) durch die Substitutionen
dijdt=ia)i, du/dt — ioju	(5.62)
5.2 Elektromagnetische Drahtwellen
311
zu
du
— = — (R' + icoL') i,
dz
di
— = — (<7 + imC') u.	(5.63)
dz
Wie in Kap. 4 verwenden wir hier den steilen Buchstaben „i“ als mathematisches Symbol für die imaginäre Einheit
i = (-l)V2;	(5.64)
nicht zu verwechseln mit dem kursiven Symbol ,,i“ für den Strom.
Die Division der einen Gl. (5.63) durch die andere und die Einführung des komplexen Wellenwiderstandes der Leitung ZL führt zu
ZL = uji = (du/dz)/(di/dz)
= [(7?' + i m£')/(G' + i <bC')] • (1/ZL)	(5.65)
und Auflösung nach ZL ergibt
ZL = [(7?' + i m£')/(G' + i mC')]1/2.	(5.66)
Durch weitere Differentiation der Gl. (5.63) nach dz und Einsetzen von Gl. (5.63) anstelle der 1. Ableitung ergibt sich für u (und analog i) folgende Gleichung:
d2u/dz2 = y2 u	(5.67)
mit
y = [(7?' + i m£')(G' + i mC')]1/2.	(5.68)
Die Gl. (5.67) gilt auch für den Effektivwert der Spannung U als Funktion von z und liefert die Lösung
U(z) = [/li2 e+A	(5.69)
Die beiden Teillösungen von Gl. (5.69) stellen eine sich vom Generator zum Leitungsende hin ausbreitende und eine vom Leitungsende reflektierte elektrische Welle dar.
Der komplexe Faktor y in dem Exponenten von Gl. (5.69) kann in einen reellen und einen imaginären Teil aufgespalten werden,
y = a + i>5;	(5.70)
hier ist y der Ausbreitungskoeffizient, a der Dämpfungskoefiizient und ß der Phasenkoeffizient. In den meisten Fällen haben die Doppelleitungen geringe Leitungswi-derstände und kleine Isolationsleitwerte, sodass die Näherungen R' < a>L' und G' < a>C gerechtfertigt sind und mithilfe von Gl. (5.68) und Gl. (5.66) brauchbare Formeln für a,ß und ZL als Funktionen von R', G', L!, C und a> angegeben werden können.
Die Dämpfungskonstante a beschreibt die Spannungs- oder Stromschwächung entlang der Leitung, bezogen auf die Länge der Leitung. Mit z2 > z1 und U2 > U1 ergibt sich für a als Spannungsschwächung
a = In [C/1(z1)/G2(z2)]/(z2-z1).	(5.71)
312
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Heute werden Dämpfungen in Dezibel (Abschn. 17.2.3) pro Meter angegeben, und dafür gilt
a'/(dB m ') = (20 löge) z/m 1
= 8.6859 a/m-1.	(5.72)
Der Phasenkoeffizient ß gibt für einen bestimmten Zeitpunkt die Änderung des Phasenwinkels cp der Schwingung entlang der Leitung:
ß=[<p(zß-<p(zß-\ßz2-zß.	(5.73)
Die Wellenlänge ÄL der Schwingung auf der Leitung mit der Frequenz /ist die Länge, über die sich die Phase tp um 2k ändert:
4 = v)f = 2k//.	(5.74)
Und damit bestimmt ß auch die Phasengeschwindigkeit der Leitungswelle
V = co/ß.	(5.75)
Der Kehrwert der Phasengeschwindigkeit wird als „längenspezifische Verzögerungszeit“ (angegeben in s/m) bezeichnet.
An jedem Punkt z der Doppelleitung ist das Verhältnis von Spannung und Strom gegeben durch den komplexen Wellenwiderstand von Gl. (5.66). Auf einer einseitig unendlich langen Leitung würde sich die vom Generator ausgehende Welle in z-Richtung ausbreiten, ohne eine reflektierte Welle zu verursachen. Wird die Leitung mit einer Verbraucher-Impedanz Zv abgeschlossen, die in Betrag und Phase gleich ZL ist, dann wird die Welle am Ende der Leitung vollständig absorbiert. Das heißt, es existiert nur eine vom Generator zum belasteten Leitungsende sich fortpflanzende Welle, die rückläufige reflektierte Welle verschwindet. Ist die Verbraucherimpedanz verschieden vom komplexen Wellenwiderstand, dann wird ein Teil der Welle am Ende der Leitung reflektiert. Das andere Extrem ist eine endliche Leitung ohne angeschlossenen Verbraucher, die an ihrem Ende entweder offen oder kurzgeschlossen ist; von solch einer „verbraucherlosen“ Leitung wird die Welle vollständig reflektiert.
Die verlustfreie Doppelleitung. Besonders einfache Beziehungen erhält man für diesen idealen Grenzfall. Mit R' — 0 und G' — Q wird a = 0 und ß = io (L'C')1/2. Aus Gl. (5.75) folgt die Phasengeschwindigkeit der Welle auf der Doppelleitung:
v = (L'C)-112.	(5.76)
Der Wellenwiderstand der Leitung ist
ZL = (L'/C)112.	(5.77)
Die Werte für v und ZL für den Grenzfall verschwindender Verluste sind für viele Betrachtungen ausreichend. Weil berechnete L'-Werte immer den Faktor ii,, und berechnete C'-Werte den Faktor ;;0 enthalten, treten die folgenden fundamentalen Größen als Faktoren auf:
— Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
c =	12 x 3 • 108 m/s	(5.78)
5.2 Elektromagnetische Drahtwellen
313
— Wellenwiderstand des Vakuums
Zo = (^o/£or^ 377Q.	(5.79)
Mit der Promille-Genauigkeit, mit der c = 3 x 108 m/s gesetzt werden kann, ist Zo = (1207t) Q.
Neben den bisher betrachteten stationären Zuständen von Drahtwellen sind in der Praxis auch die Einschaltvorgänge von Bedeutung, die zu Spannungsstößen und Wanderwellen führen (Abb. 5.23). Schlägt z. B. ein Blitz in eine Leitung, dann läuft ein Spannungsstoß in der Leitung nach beiden Seiten. Auch für die Wanderwellen gilt, dass jede Inhomogenität in der Leitung die Welle in eine durchlaufende und eine reflektierte aufspaltet.
Abb. 5.23 Beispiele von Wanderwellen: (a) Einschalten einer Gleichspannung, (b) Spannungsstoß, (c) Einschalten einer Wechselspannung.
Ein Spannungsstoß muss nach Fourier als Überlagerung eines breiten Frequenzspektrums behandelt werden. Durch die Frequenzabhängigkeit von Phasengeschwindigkeit und Absorptionskoeffizient ändert sich die Wellenform entlang der Leitung. Die Beläge sind i. Allg. frequenzabhängig: der Skineffekt verdrängt den Strom im Inneren des Leiters und erhöht R\ durch die Veränderung des Stromdichteprofils der Leitung wird auch L' beeinflusst; befindet sich ein Dielektrikum zwischen den Leitungen, dann steigen mit der Frequenz die dielektrischen Verluste und erhöhen (7; außerdem kann bei Leitungen, die in ein Dielektrikum eingebettet sind, eine Frequenzabhängigkeit von er und damit von C gegeben sein.
5.2.3 Verschiedene Doppelleitungen
Für alle verlustfreien Doppelleitungen - unabhängig von ihrer Bauform - gilt, dass die Phasengeschwindigkeit der Drahtwelle im Medium mit er > 1 und Jur = 1 gegeben ist durch
v x (L’C’)-lp = (ere0Ju0)~1/2
= c
(5.80)
314
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Die längenspezifische Verzögerungszeit ist
l/i> « 3.3 ns/m • ]/e^.	(5.81)
Für Doppelleitungen, die in Dielektrika eingebettet sind, liegen die typischen 1/u-Werte bei 5 ns/m.
Symmetrische Doppelleitung (Paralleldrahtleitung). Die zur Demonstration stehender Wellen und Messung der Wellenlänge verwendete Lecher-Leitung ist eine un-(ab)geschirmte symmetrische Doppelleitung (Abb. 5.24a) in Luft. Als Hochfrequenz-Verbindungen gibt es ungeschirmte und geschirmte, in dielektrisches Material eingebettete Paralleldrahtleitungen. Geschirmte Leitungen sind von einem Außenleiter (Mantel) mit kreisförmigem Querschnitt umgeben.
Für die ungeschirmte Paralleldrahtleitung mit dem Drahtdurchmesser d und dem Drahtabstand a |> d (Länge f |> d) in einem dielektrischen Medium (er > 1,	= 1)
ist
C « 7t er e0/ln(2a/d)	(5.82)
und
L' x (ßg/u:) ln(2a/d).	(5.83)
Letztere Formel gilt für hohe Frequenzen mit Skineffekt-Eindringtiefen <5 < d. Man beachte, dass mit zunehmendem Verhältnis a/d (= Abstand/Durchmesser) C, abnimmt, während L' zunimmt, und dass das Produkt C  L' von a/d unabhängig ist!
Der Wellenwiderstand der verlustfreien Leitung ist
ZL « Zg (n ;;r) 1 ln(2a/d).	(5.84)
Mit a/d geht die Bauform der Doppelleitung ein. Beispielsweise ergibt sich für eine Lecher-Leitung in Luft mit a/d — 5 nach Gl. (5.84) ein Wellen widerstand von 276 Q.
Demonstration: Zuerst zeigt man die Spannungsbäuche einer in ihrer Länge gut abgestimmten, rechtsseitig offenen Lecher-Leitung. Wenn dann das offene Ende mit einem Widerstand der Größe ZL überbrückt wird, verschwinden die Spannungsund Strombäuche entlang der ganzen Leitung, weil die vom Generator ausgehende Welle im Widerstand reflexionsfrei absorbiert wird.
Abb. 5.24 Querschnitte durch Doppelleitungen: (a) Paralleldrahtleitung, (b) Koaxialleitung, beides in isolierendem Medium mit er > 1, /zr = 1.
5.2 Elektromagnetische Drahtwellen
315
Abb. 5.25 Elektrisches und magnetisches Feld für eine aus der Papierebene heraustretenden Welle mit negativer Ladung auf dem linken und positiver auf dem rechten Draht der Doppelleitung.
Auf der mit ZL abgeschlossenen Paralleldraht-Leitung existiert nur die vom Generator zum Verbraucher fortschreitende Welle. Das elektrische und das magnetische Feld solcher Wellen ist in Abb. 5.25 dargestellt. Es wurde angenommen, dass der Stromtransport nur dicht an der Leiteroberfläche stattfindet. Die elektrischen und magnetischen Feldlinien stehen senkrecht aufeinander; beide Felder sind transversal, also orthogonal zur Fortpflanzungsrichtung der Welle. Die gesamte Energie steckt in dem elektromagnetischen Feld der Drahtwelle.
Die Energieflussdichte des elektromagnetischen Feldes wird durch den Poyn-ting’schen Vektor
S—ExH (SI-Einheit: V A m~2)	(5.85)
beschrieben, der in die Fortpflanzungsrichtung zeigt.
Koaxialleitung. Das ist die im MHz- und unteren GHz-Bereich am häufigsten verwendete Leitungsform. Der Hauptvorteil ist die gute Abschirmung des spannungsführenden Innenleiters durch den auf Erdpotential liegenden Außenleiter. Bei flexiblen Kabeln besteht der Innenleiter meist aus Kupferdraht oder Kupferlitze mit versilberter Oberfläche. Das dielektrische Material (Vollmaterial, Schaumstoff, Scheiben oder Wendel) hält den Innenleiter in seiner Lage. Der Außenleiter besteht aus einem Geflecht von Kupferdrähten oder Bändern und ist von einem äußeren Mantel aus Kunststoff umgeben. Feste koaxiale Rohrleitungen haben meist vergoldete innere Oberflächen als Korrosionsschutz. Halbflexible Rohrleitungen können gebogen werden und behalten dann ihre Form.
Die kommerziell verfügbaren Koaxialkabel werden unterschieden nach Wellenwiderstand und der Strom- und Spannungsbelastung (Übertragungsleistung). Koaxiale Steckverbindungen sind so ausgeführt, dass ein weitgehend reflexionsfreier Übergang gewährleistet ist. Typische Werte für den Induktivitäts- und Kapazitätsbelag eines Koaxialkabels sind 1 jrH/m bzw. lOOpF/m.
Der Wellenwiderstand ist gegeben durch
zl ~ tzo/(2* |Ä)] 1 n(djd)
= (60 ß/0Q \n(djd).	(5.86)
316	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Für den Wellenwiderstand von Koaxialleitungen gibt es Normwerte. Besonders gebräuchlich für die HF-Messtechnik ZL = 50 Q. Zahlenbeispiel: er = 2.1 (Teflon), tfa = 4 mm und ^ = 1.2 mm ergibt ZL = 50 Q.
Die Dämpfung ist sowohl vom Durchmesser tfa wie vom Verhältnis djd> abhängig und auch frequenzabhängig wegen der mit |/f zunehmenden Leitungsverluste durch den Skineffekt und der ab ca. 10 MHz einsetzenden dielektrischen Verluste. Große Kabeldurchmesser entsprechen geringer Dämpfung.
Wie bei der Paralleldrahtleitung sind auch bei der Koaxialleitung beide Feldstärken transversal. Bei sehr hohen Frequenzen können sich andere Feldformen ausbilden, die im Koaxialleiter zu rapide ansteigenden Verlusten führen. Diese anderen Moden entsprechen denen eines kreisförmigen Hohlleiters (Abschn. 5.4.3) ohne Mittelleiter.
Streifenleitungen. Für die Technologie der gedruckten Schaltungen wurde die integrierte Schaltungstechnik entwickelt, die die elektrischen Verbindungen zwischen den Bauteilgruppen liefert (microstrips). Streifenleitungen bestehen aus flächenhaften Leitungen auf verlustarmen dielektrischen Substraten mit ;;r zwischen 2.1 (Teflon) und 90 (TiO2). Häufig verwendete Bauformen sind in Abb. 5.26 gezeigt. Technische Microstrip-Leitungen haben Wellenwiderstände zwischen 10 und 150 Q; die Dämpfung liegt im Bereich von 1 dB/m für den unteren GHz-Bereich.
Abb. 5.26 Streifenleitungen: (a) asymmetrische, (b) symmetrische, (c) Schlitzleitung.
5.3	Elektromagnetische Raum wellen
5.3.1 Messung der kritischen Geschwindigkeit
Wie schon mehrfach erwähnt, lassen sich die elektrische und die magnetische Konstante so miteinander verknüpfen, dass sich eine Geschwindigkeit c ergibt:
=	(5.87)
Das ist die „kritische Geschwindigkeit“, deren Messwert im Rahmen der Messgenauigkeit mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zusammenfällt.
Mitte des 19. Jahrhunderts war die Wellennatur des Lichtes durch Beugungs- und Interferenzexperimente bewiesen, aber die physikalische Natur der Lichtwellen war noch unbekannt und ihre Ausbreitung im luftleeren Raum (Vakuum) völlig unverstanden. Nun wurde durch die Übereinstimmung von kritischer und Licht-Geschwindigkeit suggeriert, dass Licht ein elektromagnetisches Phänomen sein könnte.
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 317
Historisch stellte sich das Messproblem wie folgt: Man hatte zwei verschiedene cgs-Maßsysteme, das elektrostatische und das elektromagnetische System, und für jede elektrische oder magnetische Größe gab es eine „elektrostatische“ und eine „elektromagnetische“ Einheit. Die zu den beiden Einheiten gehörenden Umrechnungsfaktoren waren c oder c2 oder die Kehrwerte davon. Deshalb bestand ein großes Interesse an der genauen Bestimmung dieser Geschwindigkeit c. Das experimentelle Problem bestand in der messtechnischen Verknüpfung der sehr kleinen Oberflächenladungen der Elektrostatik mit den sehr großen bewegten Ladungen in den magnetisch wirksamen Leiterströmen.
Ohne auf das heute glücklicherweise obsolete cgs-System einzugehen, wird im Folgenden die Messung der kritischen Geschwindigkeit in der modernen Terminologie beschrieben. Das fundamentale Experiment (Abb. 5.27) wurde 1854-56 von Wilhelm E. Weber und Rudolf Kohlrausch in Göttingen durchgeführt. Eine (elektromagnetisch) zu ungedämpften Schwingungen der Frequenz f angeregte Stimmgabel S trägt am Ende einer ihrer Zinken eine Kontaktfeder Z, die bei der Bewegung nach links den Kontakt K, berührt und damit einen Plattenkondensator C auf die Spannung U einer Batterie auflädt, um bei der darauf folgenden Bewegung nach rechts den Kontakt K2 zu berühren und damit diesen Kondensator über ein Amperemeter zu entladen. Unabhängig von der Beschaffenheit des Strommessgerätes und seiner Eichung lässt sich pauschal sagen, dass die Strommessung auf die magnetische Kraft zurückgeführt werden kann, die in einem Magnetfeld auf einen stromdurchflossenen Leiter ausgeübt wird. Der in der Anordnung erzeugte Strom (Mittelwert T) wird irgendwie mit einem Referenzstrom (z. B. von 1 A) verglichen. Die magnetische Kraft ist proportional zu p0I und der durch Be- und Entladung eines Plattenkondensators erzeugte Strom ist über dessen Kapazität proportional zu e0. Damit wird deutlich, dass die „elektromagnetische Messung“ eines gemäß Abb. 5.27 „elektrostatisch erzeugten“ Stromes das Produkt £0Ju0 und damit c liefert.
Weber und Kohlrausch erhielten mit der Anordnung von Abb. 5.27 den Wert c — 3.11 • 10 s m/s, der von der Lichtgeschwindigkeit nur etwa 4% abwich, sodass eine zufällige Übereinstimmung von kritischer Geschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit von Anfang an als sehr unwahrscheinlich betrachtet wurde. Durch dieses Messergebnis wurde J.C. Maxwell angeregt, die theoretischen Möglichkeiten für elektromagnetische Wellen zu analysieren.
Die kritische Geschwindigkeit wurde danach mehrfach auf verschiedene Weise mitzunehmender Genauigkeit gemessen, ab 1891 wurde sie auch mithilfe der Lecher-Leitung über die Wellenlänge stehender Drahtwellen bekannter Frequenz bestimmt; die Frequenz ergab sich aus den L- und C-Werten des verwendeten Schwingkreises.
Abb. 5.27 Prinzip der Anordnung zur Messung der kritischen Geschwindigkeit. Erläuterungen im Text.
318	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Heute sind die Basiseinheiten Meter und Ampere so definiert, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c und die magnetische Konstante p0 messfehlerfreie, vereinbarte Werte haben. Das ändert aber nichts an der fundamentalen Bedeutung der kritischen Geschwindigkeit.
5.3.2 Theorie von James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell (1831-1879) ist in der physikalischen Literatur unter dem Nachnamen seiner Mutter (Maxwell) bekannt, der ohne Bindestrich davorgestellte Nachname seines Vaters (Clerk) wird meist wie ein zweiter Vorname behandelt. Maxwell entwickelte die mathematische Formulierung für den von Faraday intuitiv eingeführten Feldbegriff und ging mit der Einführung des Verschiebungsstromes, mit dem die elektromagnetischen Raumwellen überhaupt erst möglich werden, über Faraday hinaus. Die vollständigen Maxwell’schen Gleichungen wurden 1862 veröffentlicht und bildeten die Grundlage für Maxwell’s 1873 erschienenes zweibändiges Buch „A treatise on electricity and magnetism“.
Die Gewinnung der Wellengleichung. Wenn man die in den Kap. 2 bis 4 behandelten elektromagnetischen Grundgleichungen für den leeren Raum (Vakuum) hinschreibt, ergeben sich in der Differentialform die folgenden Beziehungen:
E-Feld
V	• E — 0 (wegen Ladungsdichte p — 0)
V	x E = - dE/dt;	(5.88)
E-Feld
V B = 0
V x B = 0 (wegen Stromdichte j — 0).	(5.89)
Wellenausbreitung ist aus vielen Teilgebieten der Physik bekannt. Die (ungedämpfte) „Wellengleichung“ ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung für die Wellenamplitude ip(r, t), die die Form
V2V = v2 d2ip/dt2	(5.90)
besitzt und als einfachste Lösung eine eindimensionale ebene harmonische Welle mit der Phasengeschwindigkeit v liefert.
Maxwell erkannte, dass sich mit den Beziehungen von Gl. (5.88) und Gl. (5.89) keine Wellengleichung gewinnen lässt. Er suchte nach einer Möglichkeit, wie sich die obigen Gleichungen - ohne in Widerspruch zur Erfahrung zu geraten - erweitern lassen, sodass sich eine Wellengleichung für das Vakuum ergibt. Da die Wellengleichung partielle Ableitungen nach Ort und Zeit enthält, weist eigentlich nur die Beziehung, die die elektromagnetische Induktion beschreibt,
V x E = - dE/dt, in die „richtige“ Richtung.
(5.91)
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 319
Zu einer ähnlichen Beziehung, die die räumlichen Ableitungen von B mit der zeitlichen Ableitung von E verknüpft, kommt man über die Betrachtung des Satzes von der Erhaltung der elektrischen Ladung (Gl. (3.89)):
d/?/dt+Vj = 0.	(5.92)
Nun lässt sich p über das Coulomb-Gesetz (Abschn. 2.2.5) mit D in Verbindung bringen:
HI P dK = #ö'd^ oder
p = N D.	(5.93)
Wird diese Gleichung nach der Zeit differenziert und in Gl. (5.92) eingesetzt, ergibt sich
V-[dZ>/dt+j] = 0.	(5.94)
Den Ausdruck in eckigen Klammern betrachtete Maxwell als eine „verallgemeinerte Stromdichte“. Der Maxwell’sche „Verschiebungsstrom“ (displacement current)
^eu-n(dö/d0-d^	(5.95)
geht in einem Wechselstromkreis durch einen Kondensator hindurch, weil zwischen den Platten die zeitliche Änderung des D-Feldes die Rolle des Ladungstransport-Stromes übernimmt. Maxwell prüfte, ob es möglich ist, dass nicht nur die „richtigen“ Ladungstransport-Ströme .ß-Felder erzeugen, sondern auch die zeitlich veränderlichen //-Felder, dass also die verallgemeinerten Ströme die Wirbel des //-Feldes sind. Er fand, dass diese Annahme nicht im Widerspruch zur Erfahrung stand, weil der neu hinzukommende Teil in Wechselstromkreisen unmessbar klein ist, wie sich leicht einsehen lässt, wenn man das von einem Wechselstrom in einem Stromkreis mit Kondensator erzeugte magnetische Wechselfeld nach Biot-Savart berechnet und nun den Anteil vom zeitlich veränderlichen //-Feld innerhalb des Kondensators hinzufügt.
Mit der Maxwell’schen Annahme ergibt sich eine Verallgemeinerung des Ampere-Gesetzes:
H (^7 +/jdd = §Hds
oder
dD
— +j=VxH.	(5.96)
dt
Für das ladungs- und stromfreie Vakuum mit p — 0 und j = 0 gelten nun zwei Gleichungen, die ZT-und /J-Felder miteinander verbinden, nämlich
V x E = - dBfdt
und nach Gl. (5.96) mit Substitutionen nach Gl. (2.13) und (3.24)
V x B — poeo dE/dt;	(5-97)
daneben gilt weiterhin
V • E = 0 und V B = 0.	(5.98)
320
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Mit Gl. (5.97) und (5.99) lässt sich nun eine Wellengleichung herleiten. Die Anwendung des Operators V x auf die obere Gl. (5.97) und Einsetzen der unteren liefert
V x (V x E) = — d(V x B)/dt
= —/i0e0d2E/dt2.	(5-99)
Eine Identität der Vektoranalysis (Abschn. 15.4), angewandt auf das im Vakuum quellenfreie .E-Feld (V • E = 0), ergibt
V x (V x E) = V(y-E)-V2E= -N2E.	(5.100)
Die Kombination mit Gl. (5.99) und die Verwendung des Symbols für partielle Ableitungen auch für die zeitliche Ableitung führt zur Wellengleichung für E
V2E = yji,, d2E/dt2
mit
v = (e0 Ad 12 = c-	(5.101)
Ganz ähnlich lässt sich auch eine entsprechende Wellengleichung für B herleiten.
Wie die im nächsten Abschnitt beschriebenen Hertz’schen Versuche erstmalig zeigten, heute aber jedem durch die moderne Telekommunikation geläufig ist, gibt es tatsächlich diese elektromagnetischen Wellen. Damit ist bewiesen, dass die Maxwell’sche Ergänzung des Ampere-Gesetzes erforderlich ist.
Die Anwendung der Maxwell’schen Gleichungen auf spezielle Anordnungen zur Wellenerzeugung und die Berechnung der ausgesandten Wellen ist mathematisch aufwendig. Aber wie man sich - im Prinzip - eine elektromagnetische Welle vorzustellen hat, insbesondere wie die Feldvektoren zueinander und zur Ausbreitungsrichtung orientiert sind, das lässt sich mathematisch sehr einfach für eine ebene Welle herausfinden: In Entfernungen, die sehr groß sind im Vergleich zu Wellenlänge und Sender, sind die „Flächen konstanter Phase“ konzentrische Kugelflächen; Ausschnitte davon gehen asymptotisch in ebene Flächen über. Das sind dann die ebenen Wellen, die nur in einer Richtung (z. B. in z-Richtung) räumlich und zeitlich veränderlich sind, im einfachsten Fall „harmonisch“ veränderlich mit der Periode T — 1/f = 2n/a> und der Wellenlänge 2 = 2n/k; k ist die Kreiswellenzahl.
Um herauszufinden, welche Form einer elektromagnetischen ebenen Welle mit den Maxwell’schen Gleichungen verträglich ist, kann man z. B. ausgehen von dem Ansatz
Ex(t) = Eo sin(mt — kz),
Ey = E^ = 0, mit
io = 27t/, k = 2n/2 und A •/ — co/k — c.	(5.102)
Wenn man diese Gleichungen für die Komponenten des .E-Feldes räumlich und zeitlich differenziert und in die Maxwell’schen Gleichungen (Gl. (5.97), (5.98)) - ausgeschrieben für die x-, y- und z-Komponenten - einsetzt, kann man schnell beweisen, dass die ebene Welle in der angegebenen Form mit dem E-Vektor in x-Richtung und der Ausbreitung entlang der z-Achse den Maxwell’schen Gleichungen genügt. Und das E-Feld der ebenen Welle ergibt sich als
Ey(t) = (E0/c) sin(mt — kz),
B — By — 0,	(5.103)
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 321
also phasengleich zu mit E x B in Ausbreitungsrichtung. - Genauso kann man sich davon überzeugen, dass eine longitudinale Welle mit E-Vektor in Ausbreitungsrichtung durch die Maxwell’schen Gleichungen ausgeschlossen wird.
Die vollständigen Maxwell’schen Gleichungen. Aus den vereinfachten Gleichungen für das Vakuum (keine Ladungen, keine Ströme) ergab sich die Wellengleichung (Gl. (5.101)). Hier besprechen wir die Maxwell’schen Gleichungen ohne diese Vereinfachungen. Zuerst schreiben wir die Gleichungen in differentieller Form, wobei - wie bei Differentialgleichungen üblich - die räumlichen und zeitlichen Ableitungen auf die linke Seite gesetzt werden. Die partiellen räumlichen Ableitungen sind in den Nabla-Operatoren enthalten, und zur Integration werden die Sätze von Gauß und Stokes verwendet. Nur die zeitlichen Ableitungen, für die wir hier nicht die partielle Schreibung verwenden, stehen explizit in den Maxwell’schen Gleichungen.
Coulomb-Gauß-Gesetz
V D = p	(5.104)
Ampere-Maxwell-Gesetz
d
Vx/f-------D=j	(5.105)
dt
Nichtexistenz magnetischer Ladungen
V B = 0	(5.106)
Induktionsgesetz
d
Vx£+- ß = 0	(5.107)
dt
Die beiden ersten Gleichungen verknüpfen die Erregungen D und //mit den räumlichen Verteilungen von Ladungsdichte p und Stromdichte j . Sie sind dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung äquivalent. Das ist leicht zu sehen, wenn die Divergenz von beiden Seiten der Gl. (5.105) betrachtet wird: Die Divergenz einer Rotation ist gleich null, und V • D kann mithilfe von Gl. (5.104) substituiert werden, sodass sich der Erhaltungssatz nach Gl. (3.89) ergibt.
Die beiden letzten Gleichungen gelten für die Feldstärken E und B, die durch die Lorentz-Gleichung (Gl. (3.34)) über die Kräfte auf eine mit der Geschwindigkeit r bewegten Probeladung q definiert werden,
F = q(E+vx B),	(5.108)
und für das Medium „Vakuum“ mit den Erregungen verknüpft sind durch
E=(1/8o)D und B=uH	(5.109)
Das Faraday’sche Induktionsgesetz (Gl. (5.107)) ist auch als Satz von der Erhaltung des magnetischen Flusses (Abschn. 4.1.7) zu interpretieren.
Die unterschiedlichen Vorzeichen der zeitlichen Ableitungen in Gl. (5.105) und Gl. (5.107) sind am besten zu verstehen, wenn man sich diese Terme (mit umgekehrten Vorzeichen) auf der rechten Gleichungsseite vorstellt. Die Ableitung der
322	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
elektrischen Erregung, dZ)/dt, ist die Maxwell’sche Verschiebungsstromdichte, die additiv zur Stromdichte j hinzukommt, - deshalb (auf der rechten Seite) das Pluszeichen. Die durch die Änderung der magnetischen Feldstärke B bewirkte Rotation der elektrischen Feldstärke ist nach der Lenz’schen Regel (Abschn. 4.1.2) so ausgerichtet, dass die resultierenden Ströme der Änderung von B entgegen wirken; deshalb hat dB/dt (auf der rechten Seite) ein Minuszeichen.
Abschließend geben wir die integrale Form der Maxwell’schen Gleichungen unter Verwendung der integralen Größen Ladung Q und Strom / ,
e-njpdK, Z = tt/d/l,	(5.110)
sowie elektrischer Fluss ¥ und magnetischer Fluss !F = jjPd/4, <Z> = ffB-dzl.	(5.111)
Coulomb-Gauß-Gesetz
$DdA = Q	(5.112)
Ampere - M ax well - Gese tz . d §Hds — — ¥ = I	(5.113)
Nichtexistenz magnetischer Ladungen $>ß-d/l=0	(5.114)
Induktionsgesetz . d $£ds + — <Z> = 0.	(5.115)
Bei Integralgleichungen sind die Integrationsvorschriften aufeinander bezogen; hier bedeutet das Folgendes:
•	Die Ladung Q in Gl. (5.112) ergibt sich aus der Integration der Ladungsdichte p über das Volumen V (Gl. (5.110 links)), und über die Hüllfläche A dieses Volumens erfolgt die Integration von D in Gl. (5.112); der Vektor dA zeigt nach außen.
•	Die in Gl. (5.113) enthaltenen Intregralgrößen '/' und I ergeben sich aus der Integration von D (Gl. (5.111 links)) bzw.j (Gl.(5.110 rechts)) über die selbe Fläche A, und über die Randkurve S dieser Fläche erfolgt die Integration von H in Gl. (5.113); der Vektor ds ist so gerichtet, dass der Umlaufssinn der Integration und die Richtung des Flächenvektors A zusammen einen Rechts-Schraubensinn ergeben.
•	Entsprechendes gilt für die Randkurven-Integration von E in Gl. (5115) und die Berechnung von durch Integration von B über die umrandete Fläche A (Gl. (5.111 rechts)).
Gemeinsamkeiten von Paaren der vier elektromagnetischen Feldgrößen. Zum vertieften Verständnis kann Abb. 5.28 dienen. Diese Gemeinsamkeiten beziehen sich auf mathematische Aspekte:
•	Die Erregungen D und EI sind die Variablen der beiden inhomogenen Maxwell’schen Gleichungen (Gl. (5.104-105)).
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 323
Abb. 5.28 Das Tetraeder des elektromagnetischen Feldes (nach EW. Hehl und Y.N. Obukhov). Die vier Feldgrößen bilden die Ecken des Tetraeders und die sechs Paarbeziehungen die Kanten.
•	Die Feldstärken E und B sind die Variablen der beiden homogenen Maxwell’schen Gleichungen (Gl. (5.106-107)).
•	Die elektrischen Feldgrößen D und E sind polare Vektoren.
•	Die magnetischen Feldgrößen H und B sind axiale Vektoren, die (wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren) einen Schraubensinn beinhalten und deshalb bei Spiegelung ihr Vorzeichen ändern.
•	Die Linien-Integranden E und H treten in (räumlich-eindimensionalen) Linienintegralen auf Gl. (5.115, 5.113)). In Analogie zur elektrischen Spannung, dem Linienintegral über E, wird das Linienintegral über H als „magnetische Spannung“ bezeichnet; das ist eine wichtige Größe für die Berechnung von Dauermagnet-Systemen (Abschn. 3.6.6). Diese formale Ähnlichkeit war mit dafür verantwortlich, dass anfangs H anstelle von B als „magnetische Feldstärke“ interpretiert wurde.
•	Die Flächen-Integranden D undB treten in (räumlich-zweidimensionalen) Flächenintegralen auf als elektrischer Fluss T, dessen zeitliche Ableitung den Maxwell’schen Verschiebungsstrom ergibt, und als magnetischer Fluss d>, dessen (negative) zeitliche Ableitung die Induktionsspannung ergibt (Gl. (5.111, 5.113, 5.115)).
Zur Messbarkeit der vier Feldgrößen. In der Diskussion über die Bedeutung der Feldgrößen spielt auch die „direkte Messbarkeit“ eine Rolle. Eine Feldgröße ist direkt messbar, wenn sie sich aus dem Messergebnis berechnen lässt, ohne dass dabei die elektrische oder die magnetische Konstante verwendet wird.
•	Beispiele für die Feldstärken: Offensichtlich ergeben sich die Feldstärken direkt aus der Kraft auf eine (bewegte) Probeladung. Aber eine direkte Messung der elektrischen Feldstärke (V/m) ist auch die Bestimmung einer Spannung (V) zwischen Elektroden in einem bekannten Abstand (m); eine direkte Messung der magnetischen Feldstärke (T = Vs/m2) ist auch die Messung des Spannungsstoßes
324
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
(Vs), gemessem mit einer im Feld bewegten Testspule bekannter Windungsfläche (m2), so wie beim „Erdinduktor“ (Abschn. 14.4.1).
•	Beispiele für die Erregungen: Die elektrische Erregung (As/m2) ergibt sich direkt aus der Messung von Ladungen (As) auf planparallelen Elektroden mit bekannter Fläche (m2), z. B. mithilfe einer Doppelplatte (Abb. 2.33). Die magnetische Erregung (A/m) in einem langen Solenoid ergibt sich aus der Messung des Stroms (A) und der Windungszahldichte (m Da sich magnetische Felder leicht überlagern lassen, kann man eine über Strom und Windungsgeometrie bekannte und variierbare magnetische Erregung mit der eines unbekannten Feldes vergleichen und dabei eine drehbar aufgehängte Magnetnadel als Monitor verwenden: Bei zueinander rechtwinkligen Feldern ergibt sich das Verhältnis der Erregungen aus dem Tangens des Winkels der Nadel-Einstellung; bei antiparallelen Feldern wird Kompensation durch eine „richtungslos“ gewordenen Magnetnadel angezeigt.
In der praktischen Messtechnik ist es belanglos, ob die Erregung oder die Feldstärke die „eigentliche“ Messgröße ist.
Die Materialkonstanten in der Maxwell’schen Theorie. Wie schon in Kap. 2 und 3 dargelegt wurde, werden im klassischen Elektromagnetismus primär nur die idealen Konzepte von (freien) Ladungen und (ladungskompensierten) Strömen im Vakuum verwendet; die experimentellen Näherungen dafür sind Oberflächenladungen auf isoliert aufgestellten Metallkörpern und Leiterströme in Metalldrähten, umgeben von (trockener) Luft.
Sekundär wird das Verhalten von Materie in Feldern durch die Einführung der Materialkonstanten ;;r (Permittivität), Jur (Permeabilität) und er (elektrische Leitfähigkeit) beschrieben.
Am einfachsten ist die Berücksichtigung für Isolatoren (er = 0) mit richtungsunabhängigen (isotropen) physikalischen Eigenschaften; dazu gehören alle Gase, alle nicht-leitenden Flüssigkeiten und viele polykristalline Festkörper bei pauschaler makroskopischer Betrachtung. Innerhalb solcher „Medien“ gelten die modifizierten Gleichungen des Elektromagnetismus, die sich wie folgt aus den Vakuum-Gleichungen ergeben:
•	Nach jedem ;;0 ist der Faktor er, nach jedem der Faktor Jur einzufügen.
Das ist ein Grund für die Beibehaltung von ;;0 und p0, also gegen die Eliminierung einer dieser Konstanten mithilfe von ;;0	= c 2 .
Bei der Wechselwirkung von Medien mit schnell veränderlichen elektromagnetischen Feldern (Strahlung) ist zu beachten, dass für manche Substanzen die „Konstanten“ er oder Jur Funktionen der Frequenz sind. Die Brechzahl n der Optik ist das Verhältnis von Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zu Phasengeschwindigkeit des Lichtes im betreffenden Medium. Für ein Medium mit Jur = 1 gilt die Maxwell-Beziehung
n « ]/e^,	(5.116)
wobei allerdings der er-Wert für die optischen Frequenzen gemeint ist, dieser Wert kann viel kleiner als der Gleichstromwert sein. Beispiel Wasser: n — 1.33; nach dem Gleichstromwert ;;r = 81 wäre dagegen n — 9 zu erwarten.
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 325
Die elektrische Leitfähigkeit g verknüpft Stromdichte j und elektrische Feldstärke E in einem leitenden Medium; die Beziehung
j = oE	(5.117)
mit der Leitfähigkeit g ist eine Form des Ohm’schen Gesetzes. Die Stromdichte kann als das Produkt von Ladungsdichte p und Transportgeschwindigkeit r aufgefasst werden:
j = pv.	(5.118)
Im Vakuum würden Ladungen durch ein elektrisches Feld aber beschleunigt, nicht mit konstanter Geschwindigkeit transportiert werden. Im Leiter resultiert die zu E proportionale Geschwindigkeit aus einem Gleichgewicht zwischen der Ladungsbeschleunigung im .E-Feld und Ladungsabbremsung durch dissipative (energieverzehrende) Effekte. Die beim Stromfluss entwickelte Joule’sche Wärme pro Zeit und Volumen ist gegeben durch
j-E=G\E\2.	(5.119)
Die klassische Theorie vermittelt keine Einsichten über die Natur des elektrischen Widerstands und die Prozesse, die zur Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme führen. Anisotropes physikalisches Verhalten zeigen die Kristalle. Für diese müssen die skalaren Materialkonstanten durch entsprechende Tensoren (Abschn. 15.2) ersetzt werden.
Der Ferromagnetismus (und die phänomenologisch ähnliche Ferroelektrizität) gehört überhaupt nicht in die klassische Theorie. Weichmagnetische Substanzen lassen sich nur durch ein von Feldstärke und Vorgeschichte abhängiges pr beschreiben; hartmagnetische Substanzen (Permanentmagnete) müssen wie stromdurchflossene Spulen, die das gleiche Feld erzeugen, behandelt werden.
5.3.3 Experimente von Heinrich Hertz
Die mathematisch anspruchsvolle Maxwell’sche Theorie wurde keineswegs von allen zeitgenössischen Physikern verstanden und akzeptiert. In Deutschland förderte besonders Hermann v. Helmholtz die Suche nach experimentellen Tests für diese elegante Theorie, die eine gemeinsame Beschreibung von Elektromagnetismus und Optik ermöglicht. Sein Schüler Heinrich Hertz (Abb. 5.29) löste diese Aufgabe mit brillanten Experimenten. Da der Maxwell’sche Zusatz zum Ampere’schen Gesetz erst bei sehr hohen Frequenzen wesentlich wird, beschäftigte er sich zuerst mit der Erzeugung von „sehr schnellen elektrischen Schwingungen“ und beobachtete dabei, dass sich diese vom Schwingkreis ablösen. 1886 konnte er die Übertragung von elektromagnetischen Raum wellen über einen Abstand von 1.5 m nach weisen; es gelang ihm auch, Sender- und Empfänger-Schwingkreis aufeinander abzustimmen. Mit nachfolgenden Experimenten zur Reflexion, Brechung und Polarisation konnte er zeigen, dass diese Wellen sich nur durch die viel längere Wellenlänge von Licht unterscheiden. Damit siegte die Maxwell’sche Theorie über konkurrierende Vorstellungen, und die klassische Physik erreichte ihren Höhepunkt.
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 327
Abb. 5.30 Hertz’scher Oszillator (Dipol mit Funkenstrecke). Aufladung mithilfe eines Induktors über Spulen als HF-Filter. Ebenfalls gezeigt ist das elektrische Feld für positive Ladung auf der linken Kugel.
Schwingkreises, der eine kleine Funkenstrecke enthielt, gelang Hertz der Nachweis, dass die elektromagnetischen Wellen tatsächlich durch den Raum gehen.
Wellenstrahlung des Hertz’schen Dipols. Die von H. Hertz durchgeführte Berechnung des Dipol-Wellenfeldes nach der Maxwell’schen Theorie wird in theoretischen Vorlesungen und Lehrbüchern über Elektrodynamik behandelt. Hier soll nur das Ergebnis beschrieben werden. Zur Vereinfachung des theoretischen Problems wird angenommen, dass die Dipollänge f klein im Vergleich zur Wellenlänge 2 ist. Wie der oszillierende Dipol mit dem Dipolmoment
P(O=Poei“' und /’o^Öo'/	(5.121)
zu Schwingungen angeregt wird, ist für die Behandlung des Wellenfeldes belanglos. (Beim Hertz’schen Oszillator sind es freie gedämpfte Schwingungen mit /. ^ 2/; es können aber auch erzwungene Schwingungen mit f < A sein.) Nach dem Radialabstand r unterscheiden wir
-	das Nahfeld mit f « r< A,
-	das Mittelfeld mit t	<r x A,
-	das Fernfeld mit	/	< A < r.
Zur theoretischen Beschreibung werden retardierte Potentiale eingeführt, die dem Momentanwert des Dipolmomentes zur Zeit
t' = t-rlc	(5.122)
entsprechen. Weil im Nahfeld-Bereich die verschiedenen Teile des Dipols deutlich verschiedene Abstände vom betrachteten Feldpunkt haben, gilt die der Näherungsannahme einer „mittleren Laufzeit“ r/c entsprechende Zeitdifferenz erst in einiger Entfernung vom Dipol; deshalb wurde bei der Felddarstellung in Abb. 5.31 die Dipolumgebung innerhalb des ausgezogenen Kreises weggelassen. Zur Maßstabbeurteilung ist entlang der Dipolachse nach unten die Wellenlänge aufgetragen.
328
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 329
Abb. 5.31 Elektrisches Feld um einen Flertz’schen Dipol: Bilder fa)-(h) entsprechen t = r/8. r/4, 3T/8, r/2, 5T/8, 3F/4, 77/8 und T.
(b)
Abb. 5.32 Feldlinien um einen Hertz’schen Dipol: (a) Elektrische Feldlinien in der Dipolebene oberhalb der Äquatorebene, (b) perspektivische Sicht auf die magnetischen Feldlinien in der Äquatorebene.
330
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Zur Zeit t = 0 seien beide Kugeln ungeladen. Zur Zeit t = T/4 haben dann beide Kugeln maximale Aufladung, die obere Kugel positiv, die untere negativ. Vergleicht man die ersten beiden Feldlinienbilder, dann sieht es so aus, als ob das elektrische Feld „aus dem Dipol herausgewandert“ wäre. Naiv könnte man vermuten, dass sich das .E-Feld wieder „in den Dipol zurückzieht“, wenn die Ladung der Kugeln abnimmt. Das ist falsch. Statt dessen „schnürt sich das .E-Feld vom Dipol ab“ und wandert mit in sich geschlossenen .E-Feldlinien in den Raum hinaus. In der nächsten halben Periode (T/2 < t < T) kommt ein neues .E-Feld mit umgekehrter Feldrichtung „aus dem Dipol heraus“ und „schnürt sich ebenfalls zu einem ringförmigen Wulst ab“.
Die Abb. 5.32 zeigt eine Momentaufnahme von den elektrischen und magnetischen Feldlinien in einem größeren Bereich. Alle magnetischen Feldlinien sind geschlossene Kreise konzentrisch zur Dipolachse; die elektrischen Feldlinien haben eine kompliziertere Form, aber auch sie sind geschlossen. Beide Felder sind quellenfreie Wirbelfelder, die sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Sender aus ausbreiten. .E-Feld und E-Feld stehen im Raum überall senkrecht aufeinander. Im Fernfeld sind E- und E-Feld phasengleich; im hier nicht dargestellten Nahfeld, in unmittelbarer Nähe des Dipols, sind die beiden Felder gegeneinander um 90° phasenverschoben, so wie elektrisches Kondensatorfeld und magnetisches Spulenfeld in einem Schwingkreis.
5.3.4 Strahlung des Hertz’schen Dipols
Von praktischem Interesse ist allein das Fernfeld, d. h. der Bereich r |> 2. Dort ist das elektromagnetische Feld nur abhängig von der Größe des Dipolmomentes, aber unabhängig von der Form des Hertz’schen Dipols, d. h. unabhängig von den Verhältnissen Dipollänge/Kugelradius/Drahtradius. Beide Feldstärken sind proportional zu 1/r und gleichphasig. Der Vektor E liegt immer senkrecht zu r in einer Ebene, die auch die Dipolachse enthält, und wird deshalb durch eine auf den Polarwinkel 9 bezogene Komponente beschrieben:
£s = |£|
= (4tt£0c2)-1 (oj2p0/r) sinS	(5.123)
Der Vektor B liegt immer auf einem Kreis in einer Ebene senkrecht zur Dipolachse und wird deshalb durch eine auf den Azimutwinkel cp bezogene Komponente beschrieben:
= (p0/4n) c 1 (m2p0/r) sin/i	(5.124)
Da ein ähnliches Koordinatensystem auch in der Geographie verwendet wird, kann man bildlich die Dipolachse mit der Erdachse identifizieren: Das E-Feld liegt in diesem Bild in Richtung der Längenkreise (Meridiane), das E-Feld in Richtung der Breitenkreise; zu den Polen hin nehmen die Feldstärken ab.
Der Faktor sinS in beiden Gleichungen bedeutet, dass der Hertz’sche Dipol am stärksten in der „Äquatorebene“ senkrecht zur Dipolachse strahlt und überhaupt nicht entlang der Dipolachse.
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 331
Wegen £0Ju0 = 1/c2 ist der erste Klammer-Faktor in Gl. (5.123) und Gl. (5.124) gleich groß. Damit reduziert sich der Unterschied beider Gleichungen auf die Beziehung
c^lFI/IBI,	(5.125)
die generell für alle elektromagnetischen Raumwellen (in großem Abstand vom Sender) gilt. Die beiden Feldvektoren stehen senkrecht aufeinander; beide sind transversal zum Ortsvektor r, der auch die Ausbreitungsrichtung der Welle angibt:
E x B H r.	(5.126)
Der Poynting’sche Vektor
S = E x B)n0
= Ex H	(5.127)
zeigt in die Richtung des Energieflusses und beschreibt die „Leistung pro (Welles-Fläche“ oder die Energieflussdichte des Strahlungsfeldes in Einheiten von W/m2:
Wie die Dimensionsbetrachtung
Leistung/Fläche = Energie/(Fläche x Zeit)
= (Energie/Volumen) x (Weg/Zeit)
= Energiedichte x Geschwindigkeit
nahelegt, lässt sich der Betrag des Poynting’schen Vektors auch als Produkt der Energiedichte des Strahlungsfeldes und der Lichtgeschwindigkeit ausdrücken:
c • wem = |E|\H\ = |V|.	(5.128)
Die Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes ist die Summe von elektrischer und magnetischer Energiedichte, und diese beiden Anteile sind für |B| = \E\/c gleich groß:
w = w + w em e ' m
= ^\E\2/(c2^0)+ ^\B\2/^i0
= \E\\B\/(ji0 c)
= \E\\H\/c.	(5.129)
Zur Berechnung der Energiedichte im zeitlichen Mittel sind die Effektivwerte der Feldstärken einzusetzen.
Die Energiedichte ist auch zahlen- und einheitengleich mit dem Strahlungsdruck der elektromagnetischen Welle, wie die Dimensionsbetrachtung
Energiedichte = Kraft x Weg/Volumen
= Kraft/Fläche
= Druck
verständlich macht. Unabhängig davon, wieviel von der einfallenden Strahlung absorbiert, reflektiert oder transmittiert wird, gilt, dass im zeitlichen Mittel der Strahlungsdruck gleich der Energiedichte an der Oberfläche ist. Bei vollständiger Reflexion verdoppeln sich Druck und Energiedichte; bei Transmission durch eine Platte liefert
332
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
die Differenz der Energiedichten vor und hinter der Platte die auf die Platte wirkende Druckdifferenz.
In der Technik wird der Betrag der Energieflussdichte des Strahlungsfeldes S meist durch den Betrag der elektrischen Feldstärke E und den Wellenwiderstand des Vakuums Zo = l/(0/;;0)' 2 (Gl. (5.79)) ausgedrückt:
S=EH
= E2Kc p0)
= E2fZ0.	(5.130)
Falls der zeitliche Mittelwert von S interessiert, ist der zeitliche Mittelwert von E2 (= | E^ — E2ß einzusetzen.
Strahlungsleistung. Setzt man E2 gemäß Gl. (5.123) in Gl. (5.130) ein - mitpe[[ anstelle von p für das zeitliche Mittel - und integriert S über eine umhüllende Kugelfläche, dann erhält man die gesamte mittlere Strahlungsleistung des Hertz’schen Dipols als Funktion von Kreisfrequenz co und effektivem Dipolmoment pe[[
^Hertz = "4 P2e[[K^ £0 C7
= pocß p2J(6vc).	(5.131)
Die Einführung des zwischen den Kugeln des Hertz’schen Dipols fließenden Stromes z(t) als Variable liefert
i £ = dß/dt £ = dp/dt und
Ie[[ £ = (dpidt\s = co pe[^	(5.132)
damit ergibt sich
^Hertz =	4V7(6^0 C3)	(5.133)
und mit
co = 2n cß	(5.134)
schließlich die Strahlungsleistung
2n ££\2 ~
=	7 4r-	(5-135)
3;;0 c\ß)
Wenn die ohmschen Verluste im Hertz’schen Oszillator vernachlässigt werden, dann ist die Leistungsaufnahme gleich der abgestrahlten Leistung. Das führt zum Begriff des Strahlungswiderstandes Rs, der für den Hertz’schen Dipol gegeben ist durch
p _____ D	/2
*Hertz	^s,Hertz -*611
mit
[2^37,0] l//z)2
= (2k/3) Zo (ßß')2
= 789 Q • (//A)2.	(5.136)
(In technischen Büchern wird statt 789 Q oft 800 Q geschrieben.)
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 333
Strahlungsfeld einer beschleunigten Ladung. Die im Dipol oszillierenden Ladungen sind die technisch einfachste Form beschleunigter Ladungen. Für die Abstrahlung ist jedoch die harmonische Oszillation nicht notwendig.
Jede Ladung in der Entfernung r vom Beobachtungsort emittiert Strahlung in diese Richtung, wenn ihre Beschleunigung eine Komponente senkrecht zur Beobachtungsrichtung besitzt. Das .E-Feld besitzt die Richtung dieser Beschleunigungskomponente, das E-Feld steht senkrecht dazu, E x B zeigt in Emissionsrichtung. Die in der Entfernung r beobachteten Feldstärken entsprechen der Beschleunigung der Ladung zum Zeitpunkt 0 = r/c vor der Beobachtung. Die Strahlungsfeldstärken E und B am Beobachtungsort sind proportional zu 1/r, während das statische E-Feld (Coulomb-Gesetz) und das durch Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit erzeugte E-Feld (Biot-Savart-Gesetz) beide porportional zu 1/r2 sind. Das heißt, in großen Entfernungen von einer beschleunigten Ladung dominiert deren Strahlungsfeld!
5.3.5 Elektromagnetisches Spektrum
Die Experimente von Heinrich Hertz bezogen sich auf Raumwellen in der Größenordnung von 1 m. Das sichtbare Licht hat Wellenlängen unterhalb von 1 jrm. Die Verknüpfung der Hertz’schen Wellen mit den Lichtwellen durch die Maxwell’sche Theorie war also eine Extrapolation mit einem Wellenlängen- bzw. Frequenzfaktor von mehr als einer Million! Verständnisschwierigkeiten ergaben sich aus der damals noch nicht verstandenen Frequenzabhängigkeit der Permittivität (bzw. der Brechzahl): Dass auch die für Licht undurchlässigen Isolatoren (z. B. Hartgummi, Porzellan, Paraffin, Pech) für die Hertz’schen Wellen durchlässig sind, sprach nicht für die physikalische Ähnlichkeit beider Wellenphänomene. Deshalb hat es auch einige Zeit gedauert, bis sich die Maxwell’schen Vorstellungen allgemein durchsetzten. Heute ist die Maxwell’sche Verknüpfung viel einleuchtender, weil wir inzwischen das gesamte elektromagnetische Spektrum kennen.
Eine erste Übersicht mit den wichtigsten Teilbereichen zeigt Abb. 5.33. Die spektrale Variable ist entweder die Wellenlänge oder die dazu reziproke Frequenz; beide
Abb. 5.33 Das Spektrum elektromagnetischer Schwingungen und Wellen. (Die Terminologie für die Unterteilung des Hochfrequenzspektrums ist in Tab. 5.4 beschrieben.)
334	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
sind in Abb. 5.33 mit logarithmischen Skalen angegeben. Die Frequenz ist eindeutig die wichtigere Variable, hauptsächlich aus den folgenden Gründen:
1. Die „technische Nützlichkeit“ kann z. B. an der Menge der übertragbaren Information gemessen werden. Diese ist direkt proportional zu dem verfügbaren Frequenzband A/, unabhängig davon, wo auf der Frequenzskala dieses Band liegt. Von links nach rechts auf der logarithmischen Frequenzskala steigt also die Nützlichkeit wie die Frequenz exponentiell an, während die Wellenlänge exponentiell abnimmt.
2. Mit zunehmender Frequenz tritt der Teilchencharakter der elektromagnetischen Wellen (Abschn. 7.2.1) immer stärker hervor. Die Energie dieser „Wellenpakete“ (Photonen) ist proportional zur Frequenz.
Die Bereiche für „Tonfrequenzen“ und „sichtbares Licht“ beziehen sich auf die menschlichen Sinnesorgane Ohr und Auge. „Infrarot“ und „Ultraviolett“ heißen die Bereiche, die sich links und rechts an das sichtbare Licht anschließen und mit abgewandelten Methoden der Lichtoptik erforscht wurden.
Willkürlich definiert wurden die Grenzen Niederfrequenz/Hochfrequenz bei 30 kHz (2=10 km) und Hochfrequenz/Infrarot bei 300 GHz (2=1 mm), sowie die Unterteilungen des Hochfrequenzbereichs bei 300 kHz, 3 MHz, 30 MHz, 300 MHz, 3GHz, 30GHz (2 = 1km, 100m, 10m, Im, 10cm, 1cm). Die drei oberen Hochfrequenzbereiche werden als Mikrowellen zusammengefasst.
Der Niederfrequenzbereich ist nach unten nicht begrenzt. Technisch besonders wichtig sind die Tonfrequenzen von etwa 20 Hz bis 20 kHz. Zwischen 20 kHz und 30 kHz liegen die Ultraschallfrequenzen, deren elektrische Erzeugung für technische Anwendungen des Ultraschalls (Bd. 1) benötigt wird. Im oberen Niederfrequenzbereich wird Abstrahlung und Empfang von Raumwellen technisch möglich. Das sind die „Längstwellen“ mit Wellenlängen von 100 km bis 10 km (engl.: very low frequencies, VLF, von 3 kHz bis 30 kHz), die für verschiedene Funkdienste, Navigation und Funkortung, Weltraumforschung sowie für Zeitzeichen-Funkdienst (bei 20 kHz „Normalfrequenz“) verwendet werden.
Informationsträchtige Nachrichtenübertragung in Form von Sprache/Musik und Fernsehbildern auf verschiedenen „Kanälen“ ist erst möglich, wenn die Trägerwellen-Frequenz groß ist im Vergleich zur Bandbreite, die zur Übertragung der Nachricht benötigt wird (Abschn. 5.5.1). Der Kanalabstand (die Bandbreite) beträgt beispielsweise für Mittelwellen-Radio 9 kHz, für UKW (Stereo) 300 kHz und für Fernsehübertragung 7 bzw. 8 MHz.
Die Unterteilung des Hochfrequenzbereichs ist in Tab. 5.4 gezeigt. Die deutschen Bereichsnamen beziehen sich auf die Wellenlänge: Lang-, Mittel-, Kurz- und Ultrakurzwellen sind durch das Radio bekannt. Die englischen Namen beziehen sich auf die Frequenz, und ihre Abkürzungen (abbreviations) werden, weil die Frequenz viel wichtiger ist als die Wellenlänge, auch in der deutschen Fachliteratur verwendet. Beim englischen Radio wird die Mittelwelle mit AM und die Ultrakurzwelle mit FM bezeichnet; diese Abkürzungen beziehen sich auf die elektronische Methode der Nachrichtenübertragung, nämlich Amplituden- oder Frequenzmodulation (am-plitude oder frequency modulation).
Mit den kompaktesten konventionellen Elektronenröhren (Abschn. 5.1.2) konnten ungedämpfte Schwingungen bis etwa 100 MHz erzeugt werden. Bei noch höheren
5.3 Elektromagnetische Raumwellen 335
Tab. 5.4 Deutsche und englische Aufteilung des Hochfrequenzspektrums.
Bezeichnung	Abk.	Wellenlängen-Bereich	Frequency Range	Name	Abbr.
Hochfrequenz (HF)			Radio Frequencies (rf)		
Langwellen	LW	10-1 km	30-300 kHz	low frequencies	LF
Mittelwellen	MW	1-0.1 km	0.3-3 MHz	medium f.	MF
Kurzwellen	KW	100-10 m	3-30 MHz	high frequencies	HF
Ultrakurzwellen	UKW	10-1 m	30-300 MHz	very high f.	VHF
Hochfrequenz/Mikrowellen			Microwaves		
Dezimeterwellen	dmW	10-1 dm	0.3-3 GHz	ultra high f.	UHF
Zentimeterwellen	cmW	10-1 cm	3-30 GHz	super high f.	SHF
Millimeterwellen	mmW	10-1 mm	30-300 GHz	extremely high f.	EHF
Frequenzen machten sich Elektronen-Laufzeiteffekte störend bemerkbar. Erst als man lernte, die Laufzeiteffekte gezielt zur Schwingungserzeugung auszunutzen, begann die Mikrowellentechnik mit ihren vielfältigen technischen Anwendungen. An der oberen Grenze des Hochfrequenz- und Mikrowellenbereichs beträgt die Wellenlänge nur noch 1 mm.
Hochfrequenztechnik und technische Optik unterscheiden sich durch die benutzten Methoden. Die für die Hochfrequenztechnik essentiellen, auf Verstärkung und Rückkopplung basierenden Generatoren zur Erzeugung ungedämpfter harmonischer Schwingungen einer bestimmten Frequenz gab es im optischen Bereich nicht. Das hat sich grundsätzlich geändert durch den in den 60er Jahren entwickelten Laser. Inzwischen gibt es die Optoelektronik mit Lichtleitern in Form von dünnen Glasfasern (fiber optics) (Bd. 6, Kap. 8), sodass man von einer Ausdehnung der Hochfrequenztechnik in den infraroten und sichtbaren Bereich hinein sprechen kann.
Die in Abb. 5.33 angegebenen Bereiche beziehen sich auf ganz unterschiedliche Strahlungsarten; Kontinuierliche Spektren liefern die Wärmestrahlung (Bd. 3, Kap. 5), die Synchrotronstrahlung (Bd. 4, Kap. 5) und die kontinuierliche Röntgenstrahlung (Bd.4, Kap. 1); Linienspektren liefern charakteristische Röntgenstrahlung und Gammastrahlung (Bd. 4, Kap. 4). Die Grenzen der angegebenen Strahlungsbereiche sind fließend. Durch Fortschritte in der Experimentiertechnik können sich diese Bereiche ausdehnen.
Die Ausstrahlung elektromagnetischer Wellen ist generell mit beschleunigten Ladungen verknüpft. So lässt sich die Wärmestrahlung mit thermisch oszillierenden Atom-Elektronen in Verbindung bringen; die kontinuierliche Röntgenstrahlung wird emittiert, wenn freie Elektronen hoher Energie beim Auftreffen auf Metall plötzlich abgebremst werden; die Synchrotronstrahlung kommt durch freie hochenergetische Elektronen zustande, die auf einer magnetisch erzwungenen Kreisbahn radial nach innen beschleunigt werden.
Nach den Gesetzen des atomaren Elektromagnetismus werden Wellen bestimmter Frequenz emittiert, wenn ein System gebundener, elektrisch geladener Teilchen (Elektronen, Protonen) von einem Zustand hoher Energie in einen mit niedrigerer
336	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Energie übergeht. Energie freisetzende Konfigurationsänderungen in der Elektronenhülle von Atomen führen zu den für jedes Element typischen Spektrallinien im Sichtbaren und Ultravioletten und zu den charakteristischen Röntgenstrahlen; ähnliche Konfigurationsänderungen in Atomkernen führen zur Emission von Gammastrahlung.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen
5.4.1 Antennen
Die meisten Antennen sind zum Senden und Empfangen von elektromagnetischer Strahlung gleichermaßen geeignet. Der Begriff „Strahler“ wird auch für Empfangsantennen verwendet!
Die folgende, von der Lecher-Leitung ausgehende Betrachtung führt direkt zum linearen Halbwellendipol, der als Sende- und Empfangsantenne große technische Bedeutung besitzt. Hier konzentrieren wir uns auf die Erzeugung und den Nachweis von Raum wellen mit Frequenzen von einigen 100 MHz, weil dieser Bereich für Demonstrationsexperimente, die trotz Verwendung moderner Elektronik noch Ähnlichkeit mit den Hertz’schen Versuchen haben, am günstigsten ist.
Der offene Schwingkreis. Man stelle sich eine stehende Drahtwelle der Frequenz f auf einer links abgeschlossenen und rechts offenen Lecher-Leitung der Länge 2/4 vor: Das Leuchten einer Glühlampe im Abschlussbügel links (in dem auch die Welle eingekoppelt wird) veranschaulicht den Strombauch; am rechten Ende liegt ein Spannungsbauch. Wenn man die Paralleldrahtleitung wie in Abb. 5.34a gezeigt aufbiegt
(d)
Abb. 5.34 Halbwellen-Dipol: (a) Aufbiegen einer Viertelwellen-Lecher-Leitung, (b) Verteilung von Strom und Spannung, (c) Glühlampen zum Stromnachweis, (d) Gasentladung zum Spannungsnachweis.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 337
und weiterhin in der Mitte die Hochfrequenz einspeist, dann haben die stehenden Wellen die in Abb. 5.34b gezeigte Strom- und Spannungsverteilung.
Die Stromverteilung im linearen Oszillator, der zu seiner Grundschwingung angeregt ist, lässt sich demonstrieren, wenn man in den Stab der Länge 2/2 etwa sieben Glühlämpchen einfügt: Deren Leuchtkraft nimmt zu den Enden hin deutlich ab (Abb. 5.34c). Die Spannungsverteilung lässt sich durch den Einbau des Oszillators in ein mit verdünntem Neongas gefülltes Glasrohr besonders schön zeigen (Abb. 5.34d); wird der Oszillator zu Grundschwingungen angeregt, dann bildet sich auf den Enden eine Glimmentladung aus, die zur Mitte hin abnimmt. In der Praxis erfolgt die Einspeisung der Hochfrequenz in die Sendeantenne (oder die Signalabnahme von einer Empfangsantenne) meist über ein Koaxialkabel.
Die Eigenschaften des Halbwellendipols. Der oszillierende Halbwellendipol hat eine über die Stablänge verteilte Ladungsbelegung, während beim Hertz’schen Dipol die Ladungen nur auf den Kugeln an beiden Enden sitzen. Deshalb hat der Strom beim Halbwellendipol das in Abb. 5.34b gezeigte Profil mit einem Bauch in der Mitte und Knoten an den Enden, während beim Hertz’schen Dipol der Strom auf der leitenden Verbindung beider Kugeln überall den gleichen Wert hat. Es ist üblich, für Stabantennen eine effektive Länge /cll anzugeben, die diese Stromvariation entlang des Stabes der Länge f berücksichtigt:
(5-137)
Für den Halbwellendipol entspricht das Stromprofil einer Sinuskurve zwischen 0 und 7t; der mittlere Wert ergibt sich aus dem Flächenintegral, das den Wert 2 hat, geteilt durch die Integrationslänge n. Ein Halbwellendipol mit der geometrischen Länge 2 = 2/2 hat also eine effektive Länge von
= (2/k)(2/2)
= 2/tt.	(5.138)
Zur Berechnung des Fernfeldes einer Sendeantenne kann man den Halbwellendipol als eine Zusammensetzung von vielen kleinen Hertz’schen Elementardipolen mit entsprechenden Schwingungsamplituden betrachten. Quer zur Dipolachse überlagern sich die Beiträge der Elementardipole phasengerecht; für Polarwinkel 9 4= 90° ergeben sich aber geometrische Phasenunterschiede zwischen den Wellen von der Dipolmitte und den vor- bzw. nacheilenden Wellen von den Endbereichen. Allerdings sind die Abweichungen von der Winkelabhängigkeit des Hertz’schen Dipols klein, weil der Strom zu den Dipol-Enden hin gegen null geht und weil für polnahe Emissionsrichtungen der Faktor sin/i in Gl. (5.123) sehr klein ist.
Die Strahlungscharakteristik einer Sendeantenne beschreibt die Richtungsabhängigkeit der Fernfeldstärke in einem bestimmten Radialabstand r. Als Maß für die E-Feldstärke wird die Spannung U angegeben, die mit einer zur lokalen Feldrichtung optimal ausgerichteten Empfangsantenne im Abstand r gemessen werden kann. Zur Beschreibung der dreidimensionalen Strahlungscharakteristik auf Papier benutzt man Richtdiagramme. Das sind Schnitte durch die Strahlungscharakteristik, die die Richtung maximaler Emission enthalten. Der Meridianschnitt, der die Dipolachse enthält und in dem der elektrische Feldvektor liegt, wird als E-Diagramm bezeichnet,
338
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Halbwertsbreite
(b)
Abb. 5.35 ^-Diagramme: (a) Halbwellen-Dipol (ausgezogen) und Hertz’scher Dipol (gestrichelt), die Dipole liegen auf der Waagrechten; (b) Lang-Yagi-Antenne (nach K. Rothammel, Antennenbuch, Franckh-Kosmos, Stuttgart).
der Äquatorialschnitt senkrecht zum Dipol, der den magnetischen Feldvektor enthält, als //-Diagramm. Diese Terminologie vermeidet monströse Wortbildungen wie z. B. „Horizontaldiagramm des Vertikaldipols“ für das //-Diagramm. Die maximale Spannung wird gleich eins gesetzt. Die Abb. 5.35a zeigt .E-Diagramme für den Halbwellendipol und den Hertz’schen Dipol. Die dazugehörenden //-Diagramme sind konzentrische Kreise um die Dipolachse. Die Abb. 5.35b zeigt das .E-Diagramm einer Antenne mit größerer Richtwirkung.
Der Öffnungswinkel bezieht sich auf die Richtungen, für die die Spannung und damit die .E-Feldstärke auf 0.71 (= 1 / ]/2) abgefallen ist. Die Leistungsdichte S des Strahlungsfeldes, die proportional zu E2 ist, hat dort nur noch den halben Maximalwert; das entspricht einer Dämpfung von —3dB (wegen lOlog 1/2 = —3.01...).
Für den Strahlungswiderstand des Halbwellen-Dipols wird oft eine Formel angegeben, die aus dem Ausdruck für den Strahlungswiderstand des Hertz’schen Dipols (Gl. (5.136)) und dem Übergang nach Gl. (5.138)
(5.139)
gewonnen werden kann. Danach ergibt sich der Wert (789/rr2) = 80 Q, der zwar zur richtigen Leistungsdichte S in der Äquatorebene führt, aber nicht exakt ist, weil die durch Interferenz verminderte Ausstrahlung außerhalb der Äquatorebene nicht berücksichtigt wird. Eine genauere Betrachtung liefert den kleineren Wert von 73.2 Q, der ein theoretischer Ideal wert ist und nur für eine dünne Antenne im freien Raum gilt. In der Praxis berücksichtigt man Abweichungen vom Idealfall, z. B. infolge von Stabdicke, Befestigungselementen, endlichem Abstand zur Erdoberfläche und zu anderen Objekten, durch eine „mechanische Dipollänge“ A, die kleiner als
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 339
die „elektrische Dipollänge“ t = 2/2 ist. Dadurch wird auch der Strahlungswiderstand des realen Halbwellendipols kleiner; er liegt meist in der Nähe von 60 Q.
Schlitzantenne. Ein Schlitz der Länge 2/2 in einer Metallplatte, erregt in der Mitte seiner Längsseiten, hat dieselben Strahlungseigenschaften wie ein Halbwellendipol, nur die elektrischen und magnetischen Felder sind hier umgekehrt verteilt: Die E-Ebene liegt senkrecht zum Schlitz. Der Schlitzstrahler eignet sich gut für aerodynamische Körper (Flugzeuge, Raketen), an denen hervorstehende Antennen stören würden. Verkleinert man die den Schlitz enthaltende Metallfläche, bis nur noch eine schmale Umrandung des Schlitzes übrig ist, dann erhält man den Skelettschlitz, der in seinen Strahlungseigenschaften dem ebenen Schlitzstrahler immer noch ähnlich ist.
Schleifendipol. Aus der Parallelschaltung zweier Halbwellen-Leiterstücke in kleinem Abstand zueinander entsteht der Schleifendipol (gefalteter Dipol, Faltdipol, folded dipole antenna). Durch die Verteilung des Antennenstroms auf zwei Dipoläste ist der Strom im Fußpunkt nur noch halb so groß wie beim gestreckten Dipol. Da die Strahlungsleistung dieselbe wie beim gestreckten Dipol ist, folgt aus
Ps = RsI2ea,	(5-140)
dass zu dem halbierten Strom ein vervierfachter Strahlungswiderstand gehört. Man kann deshalb mit einem Fußpunktwiderstand von 240 bis 280 Q rechnen. Der Schleifendipol wird oft wegen seiner mechanischen Stabilität, die die Antennenmontage erleichtert, gegenüber dem gestreckten Halbwellendipol bevorzugt.
Abb. 5.36 (a) Schleifendipol, (b) Yagi-Empfangsantenne mit 4 Elementen (nach D.Nühr-mann).
Sekundärstrahler (secondary radiator). Bringt man einen isolierten Metallstab von ungefähr der Länge 2/2 in das Strahlungsfeld eines Senders und orientiert ihn so, dass die Stabrichtung parallel zum .E-Feld liegt, dann wirkt der Stab als Resonator, d. h. er nimmt wie eine Empfangsantenne Strahlungsleistung auf und strahlt diese wie eine Sendeantenne wieder ab. Die Felder von Sender und Resonator überlagern sich und, je nach dem Abstand zwischen beiden und der betrachteten Richtung, ergibt sich dadurch eine Verstärkung oder Abschwächung der Strahlung. Ungespeiste Elemente, die nur durch das Strahlungsfeld mit dem gespeisten Element verkoppelt sind, werden auch „Parasitärelemente“, oder auch nach ihrer Funktion „Direkte
340	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
ren“ oder „Reflektoren“ genannt. Antennen mit mehreren Sekundärstrahlern wurden 1926 erstmalig von S. Uda (in japanischer Sprache) und kurz darauf von H. Yagi und S. Uda (auf englisch) beschrieben. Die Sekundärstrahler wirken auf den gespeisten Halbwellendipol zurück und verringern dessen Fußpunktwiderstand; deshalb haben Yagi-Antennen meist einen Schleifendipol als gespeistes Element (Abb. 5.36b). Besonders für den Amateurfunk wurden so genannte Lang-Yagi-Antennen mit 20 und mehr Elementen entwickelt, die sich durch hohe Richtwirkung auszeichnen (Abb. 5.35b).
Rahmen- und Ferritantenne. Eine ganz andere Art von Antenne ist die Rahmenantenne (Abb. 5.37a), die wegen ihrer guten Richtwirkung oft als Peilantenne eingesetzt wird. Die Rahmenantenne spricht auf das magnetische Strahlungsfeld an. Das oszillierende E-Feld, senkrecht zur Spulenebene, induziert in der Spule eine Wechselspannung. Die mit der Rahmenantenne physikalisch verwandte Ferritantenne (Abb. 5.37b) kommt wegen der flussverstärkenden Wirkung des Ferritstabes (Abschn. 14.2.7) mit einer kleineren Windungsfläche aus; sie ist oft in Radios eingebaut.
Abb. 5.37 (a) Rahmenantenne - Signal proportional zum umschlossenen magnetischen Fluss; (b) Ferrit-Antenne. Die Schwingungsebene des E-Feldes der vom Sender kommenden Welle ist markiert.
Halbwellen-Dipol als Empfangsantenne. Die Strahlungscharakteristik ist die gleiche wie für die Sendeantenne. Wirksam ist nur die E-Feld-Komponente in Dipolrichtung. Eine optimal im Strahlungsfeld ausgerichtete Empfangsantenne muss also parallel zum E-Feld liegen. Die aufgenommene elektrische Leistung wird angegeben in der Form
P& = S Aw,	(5.141)
dem Produkt von Leistungsdichte S und der Antennen-Wirkfläche Aw. Für optimale Leistungsanpassung ergibt sich die Wirkfläche angenähert zu
4w^7MW(W	(5.142)
Das entspricht einem Rechteck, das so lang wie der Halbwellendipol und halb so breit ist.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 341
Abb. 5.38 434-MHz-Generator (Leybold-Heraeus) mit Halbwellen-Dipolen als Sender und Empfänger, letzterer mit HF-Diode zum Anschluss an Mikroamperemeter. Demonstration der Wirkung eines Reflektors.
Demonstrationen. Für Versuche zur Erzeugung und zum Nachweis von Raum wellen kann der gleiche Sender verwendet werden, mit dem schon das in Abschn. 5.2.1 beschriebene Lecher-System gespeist wurde. Mit einer Glühlampe in der Mitte des Empfänger-Halbwellendipols lässt sich die Raumwelle nur in unmittelbarer Umgebung des Senders nach weisen. Eine viel empfindlichere Empfangsanordnung erhält man mit einem in der Mitte unterbrochenen Dipol in Verbindung mit einer HF-Diode (Halbleiter-Diode für Gleichrichtung von Hochfrequenzströmen) und einem empfindlichen Strommessinstrument. So lässt sich auch die signalverändernde Wirkung parasitärer Elemente demonstrieren (Abb. 5.38). Der Resonator sollte aber nicht, wie im Bild gezeigt, mit der Hand in das Strahlungsfeld gehalten, sondern besser mit Klebeband an einen nichtleitenden Haltestab befestigt und mit etwas Abstand des Experimentators in das Feld gebracht werden, weil der menschliche Körper das Strahlungsfeld beeinflusst.
Wenn ein empfindlicher Stromnachweis verwendet wird, dann ist es nicht unbedingt erforderlich, dass der Empfängerdipol die Länge 2/2 hat und sich „in Resonanz“ befindet; mit einem wesentlich kürzeren Dipol erhält man zwar eine entsprechend kleinere Spannung, aber der Empfängerdipol strahlt auch weniger. So kann man Rückwirkungen auf das auszumessende Wellenfeld vermeiden und z. B. die Richtcharakteristik des Sender-Halbwellendipols ausmessen. Allerdings ist darauf zu achten, dass keine Störungen durch nahe Gegenstände oder die Person des Experimentators auftreten.
342	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
5.4.2 Wellenausbreitung
Reflexion an Metallflächen. Elektromagnetische Wellen werden von einer Metallfläche ebenso reflektiert wie Lichtwellen von einem Spiegel. Das veranlasste bereits Heinrich Hertz zum Bau von einfach-gekrümmten Parabolspiegeln aus Metallblechen. Damit ließen sich die von einem Senderdipol ausgehenden Wellen in der Ebene senkrecht zum Dipol fokussieren bzw. ankommende Wellen in einer Brennlinie konzentrieren. In der Ebene senkrecht zum Dipol ist die Quelle nahezu „punktförmig“, sodass der Parabolspiegel die von der Quelle ausgehenden Strahlen (in Ausbreitungsrichtung, senkrecht zur Wellenfront) zu einem annähernd parallelen Bündel umformt. In der Ebene des Halbwellendipols ist die Quelle ausgedehnt; deshalb würde der Parabolspiegel in dieser Ebene kein paralleles Strahlenbündel ergeben. - Fokussierung in zwei Ebenen mithilfe eines doppelt gekrümmten Parabolspiegels (mit der Fläche einer Rotationsparabel) lohnt sich dann, wenn Spiegel-Durchmesser und -Brennweite viel größer sind als Sender- und Empfängerdipol.
Stellt man die beiden Parabolspiegel nach Abb. 5.39a mit ihrer Strahlrichtung schräg zu einer ebenen Metallwand, so kann man die Spiegelung der Wellen an der Wand und die Gültigkeit des Reflexionsgesetzes (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) zeigen.
Zur Erläuterung der perfekten Reflexion an der Oberfläche eines Leiters mit unendlich hoher Leitfähigkeit betrachten wir senkrechten Einfall: Durch das elektrische Wechselfeld der Welle werden im Leiter, dicht an der Oberfläche, Wechselströme hervorgerufen. In den Leiter kann die Welle aber nicht eindringen, weil im Inneren das .E-Feld „kurzgeschlossen“ wird; das heißt, es treten Ladungsverschiebungen auf, die ein entgegengesetzt gleiches E-Feld produzieren und so im Inneren E — 0 erzwingen. Man kann auch das Huygens’sche Prinzip der Wellenlehre auf die Reflexion an der Leiterwand anwenden, indem man die vom .E-Feld der einfallenden Welle erzeugten Oberflächenströme als Ausgangspunkte neuer Elementarwellen betrachtet. Diese setzen sich zu einer ebenen reflektierten Welle zusammen, die sich der einfallenden Welle überlagert.
Die Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle ergibt eine stehende Welle mit einem Knoten der .E-Feldstärke an der Oberfläche. Die Bäuche der E-Feldstärke lassen sich mit einem empfindlichen Dipol-Empfänger nachweisen; so lässt sich auch zeigen, dass zur Oberfläche hin die elektrische Feldstärke gegen null geht.
Abb. 5.39 Versuchsanordnungen von H. Hertz mit Parabolspiegel am Sender (S) und am Empfänger (E): (a) Reflexion an Metallwand, (b) Brechung durch ein Prisma aus Paraffin oder Pech.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 343
Abb. 5.40 Verlauf der elektrischen und magnetischen Welle vor einer Metallwand. Bei der stehenden Welle sind elektrische und magnetische Feldstärke nicht phasengleich.
Da praktisch alle Wechselwirkungen elektromagnetischer Wellen mit Materie durch das .E-Feld bewirkt werden, wird die Polarisationsebene auf die Schwingungsebene des E-Vektors bezogen; die magnetische Feldstärke und ihre Schwingungsebene werden viel seltener erwähnt. Es ist aber trotzdem bemerkenswert, dass die Gleichphasigkeit von E und B nur für fortschreitende Wellen gilt. Bei einer stehenden Welle, wie sie durch Reflexion an einer Metallwand entsteht (Abb. 5.40), ist die magnetische Welle bezüglich der elektrischen um 90° phasenverschoben und hat an der reflektierenden Oberfläche einen Bauch. Das ist wie folgt zu verstehen: Für einfallende und reflektierte Welle gilt, dass E x B in die Ausbreitungsrichtung zeigt. Da sich jedoch bei der Reflexion sowohl E als auch die Ausbreitungsrichtung umkehren, bleibt B unverändert, und das heißt, die Reflexion erfolgt ohne Phasensprung der magnetischen Feldstärke (Abb. 5.40).
Polarisation. Die Transversal!tät der elektromagnetischen Welle hat Hertz mit einem Gitter nachgewiesen, das aus dünnen, in kleinem Abstand voneinander gespannten Metalldrähten bestand. Wird das Gitter so in den Strahlengang gebracht, dass seine Ebene senkrecht zur Verbindungslinie Sender-Empfänger ist, und so orientiert, dass die Gitterdrähte parallel zum Sender- und Empfänger-Dipol liegen, so erweist es sich als undurchlässig, genau wie eine massive Metallwand. Wird dagegen das Gitter in seiner Ebene gedreht, dass die Drähte senkrecht zu Sender- und Empfängerdipol stehen, so ist es völlig durchlässig für die Strahlung. Der Versuch zeigt also die Transversalität („Seitlichkeit“) der Wellen und ihre Polarisation. Heute wird die Ebene, in der der elektrische Feldvektor liegt, als Polarisationsebene bezeichnet. Das Hertz’sche Gitter ist also durchlässig für Strahlung, deren Polarisationsebene senkrecht zu den Gitterdrähten liegt!
Wenn die Polarisationsebene der Welle und die Durchlassebene des Gitters um den Winkel cp gegeneinander verdreht sind, dann wird die einfallende Welle teilweise durchgelassen. Die Intensität (= Strahlungsleistung/Fläche) hinter dem Gitter ist proportional zu cos2<p. Aber die Polarisation der durchgelassenen Welle ist nicht mehr die der einfallenden, sondern die Polarisationsebene ist nun gleich der Durchlassebene des Gitters. Die Abb. 5.41 zeigt einen instruktiven Versuch: Ohne das Gitter
344
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Empfänger
Sender
Abb. 5.41 Polarisation der Welle vor und hinter einem Metalldrahtgitter. Obwohl Senderund Empfänger-Dipol gekreuzt sind, wird mit dem Gitter in Schrägstellung ein Signal erhalten.
zeigt der Empfänger-Dipol kein Signal, weil er senkrecht zur Polarisationsebene der einfallenden Welle steht; nach Einfügen des Gitters mit 0 < cp < 90° wird ein Signal empfangen.
Die Wirkung des Hertz’schen Gitters auf die elektromagnetische Welle ist wie folgt zu verstehen: Der E-Vektor der einfallenden Welle kann in zwei Komponenten zerlegt werden, Ä parallel und Es senkrecht zu den Gitterdrähten. Die Komponente E induziert in den Metalldrähten Ströme, die - genau wie bei der Reflexion an einer Metallebene - dafür sorgen, dass die Welle hinter dem Gitter zu null wird. Die Komponente Es kann dagegen keine Wirbelströme induzieren, weil das Drahtgitter in dieser Richtung nicht leitend ist. Diese Komponente wird deshalb durchgelassen. Da die Intensität der Welle / proportional zu E2 ist, ergibt sich
und
Es = Eo cos cp
4 = 4 C0SV
(5.143)
Da die durchgelassene Welle nun eine Komponente des .E-Feldes parallel zum Empfänger-Dipol besitzt, wird ein Signal erhalten. Manchmal wird (irreführend) von einer „Drehung der Polarisationsebene durch das Gitter“ gesprochen. Es handelt sich aber um keine echte Drehung, sondern um eine Folge der richtungsabhängigen Durchlässigkeit des Gitters; diese Art der „Drehung“ ist immer mit Intensitätsverlust verbunden. Durch zwei hintereinander angeordnete Gitter, deren Verdrehungswinkel (p1 und cp2 zusammen 90° ergeben, lässt sich sogar erreichen, dass die Welle hinter dem zweiten Gitter senkrecht zu der am ersten Gitter einfallenden Welle polarisiert ist.
Ein Drahtnetz mit einer im Vergleich zur Wellenlänge sehr kleinen Maschenweite entspricht der Überlagerung zweier gekreuzter Hertz’scher Gitter. So ein Netz reflektiert Wellen jeder Polarisation. Deshalb können auch Spiegel für elektromagnetische Wellen eine Netzstruktur haben (vgl. Radioteleskope, Abschn. 5.5.2). Zur Abschirmung eines Volumens gegen elektromagnetische Wellen genügt eine Umschließung durch Metallnetze.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 345
Neben der besprochenen linearen Polarisation elektromagnetischer Wellen, mit der sie von Dipolantennen emittiert werden, gibt es - wie bei Licht (vgl. Abschn. 6.1.4) - auch zirkulare (allgemein: elliptische) Polarisation.
Brechung. Die Brechzahl n, oft noch missverständlich als „Brechungsindex“ bezeichnet, wird in der Optik beim Snellius’schen Brechungsgesetz eingeführt und beschreibt das Verhältnis von der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c zur Phasengeschwindigkeit des Lichtes uph in einem betrachteten „Medium“; im Normalfall ist n > 1 und uph < c.
Die Maxwell’sche Theorie liefert für die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen in einem Medium mit den Materialkonstanten ;;r und Jur die Formel
fph = (£o er ÄL /'r> ' 2
= c/(er jzr)1/2.	(5.144)
Führt man nun auch für elektromagnetische Wellen die Brechzahl n ein und bedenkt, dass für alle nicht-ferromagnetischen Medien Jur sehr wenig von eins verschieden ist, dann genügt die Betrachtung von Dielektrika mit ;;r > 1 und « 1. Es ergibt sich die als Maxwell’sche Relation wichtige Verknüpfung
n = c/vPh = |/W	(5.145)
Wenn man zuerst an das Medium „Wasser“ denkt, für das aus der Lichtoptik die Brechzahl n„,	= 1.33 und aus der Elektrostatik die Permittivitätszahl
Wasser
£r wasser — 80.8 ä: 92 bekannt ist, dann muss man an der Richtigkeit der Maxwell’schen Theorie zweifeln. Der Widerspruch löst sich auf, wenn man die starke Frequenzabhängigkeit von er, die für Wasser besonders ausgeprägt ist, in Rechnung stellt. Diese Frequenzabhängigkeit ist erst im Rahmen des atomaren Elektromagnetismus (Kap. 13) zu verstehen. Für die elektromagnetischen Raum wellen unserer Demonstrationsversuche erwarten wir eine Brechzahl zwischen 9 (elektrostatisch) und 1.33 (Licht).
Beim Übergang von Vakuum (näherungsweise auch Luft) in ein Medium mit der Brechzahl n > 1 verkleinert sich die Phasengeschwindigkeit der Welle von c auf den Wert c/n, aber die Frequenz bleibt unverändert. Deshalb muss sich auch die Wei-
Abb. 5.42 Versuch zur Demonstration, dass Wasser für elektromagnetische Wellen eine Brechzahl von ungefähr 5 besitzt (Fa. Ley-bold).
346
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
lenlänge von dem Vakuum-Wert z0 auf den Wert 2 = 20/n verkleinern. Die Abb. 5.42 zeigt dazu einen Demonstrationsversuch mit zwei verschieden langen Empfänger-Dipolen in einem durchsichtigen Tank; der ca. 31 cm lange Dipol hat dieselbe Länge wie der Sender-Dipol, der kleine Dipol ist nur ca. 6 cm lang. Zuerst leuchtet die Glühlampe des langen Empfänger-Dipols auf. Füllt man destilliertes Wasser in den Tank, dann erlischt die Glühlampe des langen Dipols und die des kurzen leuchtet auf.
Die Gültigkeit des Brechungsgesetzes für elektromagnetische Wellen ermöglicht den Bau von Linsen und Prismen. Geeignete Isolatoren mit deutlich von eins verschiedener Brechzahl gibt es in fester wie flüssiger Form. Hertz benutzte ein großes Pechprisma (Abb. 5.39b); heute wird für Demonstrationszwecke ein Paraffin- oder Kunststoffprisma oder eine mit Quarzsand gefüllte Form verwendet.
Absorption. Ohne Absorption nimmt die Intensität einer Kugelwelle proportional zu r1 (r = Entfernung von der Quelle) ab, die Intensität einer ebenen Welle bleibt konstant. Mit Absorption tritt zusätzlich eine exponentielle Intensitätsverminderung auf.
Wenn die Welle elektrische Ströme induziert, die ihrerseits Joule’sche Wärme erzeugen, dann wird der Welle Leistung entzogen. Die Joule’sche Leistung P pro Volumen K ist gegeben durch die ohmsche Stromdichte j und die elektrische Feldstärke E.
dP/dK =j E= g |£]2.	(5.146)
Bei einem unendlich guten Leiter muss zur Ladungsverschiebung keine Arbeit geleistet werden. Aber wenn Wellen an der Oberfläche eines Leiters mit endlicher Leitfähigkeit reflektiert werden, dann dringt die Welle etwas in den Leiter ein und erzeugt auch Joule’sche Wärme. Nach der Maxwell’schen Theorie lassen sich Eindringtiefe der Welle und die Flächenimpedanz der reflektierenden Grenzschicht berechnen.
Für Isolatoren wäre wegen der fehlenden elektrischen Leitfähigkeit nach dem oben gesagten keine Absorption zu erwarten. Aber für hohe Frequenzen ist neben der ohmschen Stromdichte j auch noch die Maxwell’sche Verschiebungsstromdichte z^SE/St zu betrachten, die zu Absorption führen kann, wenn die „dielektrische Polarisation des Mediums“ (das ist die stoffliche Veränderung, die zu er > 1 führt, vgl. Kap. 13) dem schnell wechselnden .E-Feld nicht trägheitslos folgt. Bei flüssigem Wasser z. B. wird die sehr hohe Niederfrequenz-Permittivität durch Ausrichtung der permanenten elektrischen Dipole der Moleküle bewirkt. Infolge deren Trägheit bleibt die Polarisation mit zunehmender Frequenz hinter der Feldstärke zurück; es tritt Absorption auf, und die Permittivität (bzw. Brechzahl) nimmt mit wachsender Frequenz ab. Für die formale Beschreibung von Wellenabsorption, z. B. durch eine frequenzabhängige komplexe Permittivität, verweisen wir auf theoretische Lehrbücher.
Beugung und Interferenz. Für solche Versuche sind Zentimeterwellen besser geeignet als Dezimeterwellen, weil die Schirmstrukturen (Spaltbreite, Spaltabstände, Lochdurchmesser) größer sein müssen als die Wellenlänge. Es gibt kommerzielle Sender (Hornstrahler mit 9.35 GHz, 3.2 cm Wellenlänge) und Diodenempfänger mit Messverstärkern, die speziell für Demonstrationsexperimente entwickelt wurden. Damit lässt sich bequem das erste Nebenmaximum bei der Beugung am Doppelspalt nach
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 347
weisen. Bei der Beugung an einer Kante kann die von null verschiedene Intensität im Schattenraum beobachtet werden, aber nicht die schwache Interferenz im Lichtraum.
5.4.3 Hohlleiter
Die in Hohlleitern (waveguides) transportierten Wellen sind „geführte Raumwellen“; sie unterscheiden sich deutlich von den in Abschn. 5.2 besprochenen Drahtwellen.
Wellentransport ist für jede Querschnittsform möglich. Technische Bedeutung haben nur Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt (Abb. 5.43). Sie haben glatte Innenflächen aus Kupfer oder Messing. Für Frequenzen oberhalb 20 GHz sind sie meist innen versilbert oder (weil Silber zur Sulfidbildung neigt und schwarz wird) vergoldet; wegen des Skineffektes genügt eine dünne, gut leitende Schicht.
Abb. 5.43 Rechteckiger Wellenleiter mit Innenmaßen a und b, a > b, und das übliche Koordinatensystem.
Wie weiter unten ausgeführt wird, muss die Breite a größer als 2/2 sein. Technisch gebräuchlich sind Hohlleiter mit a zwischen 165 und 2 mm für Frequenzen von etwa 1 bis 170 GHz. Für diesen Frequenzbereich sind die Hohlleiter ein sehr nützlicher Ersatz für die Koaxialkabel, die nur hinauf bis zu einigen GHz verwendet werden können, weil dann die Verluste in den zur Stützung des Zentralleiters und zur Erhöhung der Durchschlagspannung verwendeten Dielektrika zu groß werden. Bei Überschreitung einer kabeltyp-abhängigen Grenzfrequenz können sich auch die für zirkulare Hohlleiter typischen Moden ausbilden und zu rapide mit der Frequenz ansteigenden Verlusten führen.
Nomenklatur der Hohlleiter-Moden. Je nachdem, welches Feld nicht in longitudinaler, also nur in transversaler Richtung auftritt, werden die Wellen als transversalelektrisch (TE) oder transversal-magnetisch (TM) bezeichnet. Das ist sinnvoll, weil die zu den Wellentypen gehörenden Moden mithilfe von Indizes unterschieden werden, die sich auf die Form des benannten Nur-Transversalfelds beziehen. [Weniger sinnvoll ist deswegen eine andere, auf das Longitudinalfeld bezogene Benennung: „E-Wellen“ statt TM-Wellen und „H-Wellen“ statt TE-Wellen.]
Es ist auch eine TEM-Welle vorstellbar: Sie hat beide Felder nur in transversaler Richtung, d. h. Ez = 0 und Bz = 0. Das ist aber nach den Maxwell’schen Gleichungen innerhalb der abschirmenden Umhüllung eines Hohlleiters nicht möglich. TEM-Wellen treten nur bei Doppelleitungen (Lecher-Leitung, Koaxialkabel) auf.
348
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Für alle Hohlleiter gilt, dass an den inneren Oberflächen das elektrische Feld nur eine senkrechte Komponente haben darf; an der Oberfläche ist e0E± gleich der Oberflächen-Ladungsdichte. Die sehr hohe Leitfähigkeit des Wandmaterials ermöglicht unverzögerte Ladungsverschiebungen, die bewirken, dass das resultierende .E-Feld in der Wand verschwindet und die Feldkomponente parallel (tangential) zur Oberfläche, Ev direkt an der Oberfläche gleich null ist. Um die Wirkungsweise eines Hohlleiters zu verstehen, genügt es, das .E-Feld zu betrachten.
Im Folgenden behandeln wir nur rechteckige Hohlleiter. Zuerst soll das Zustandekommen einer TE10-Welle erläutert werden. Dafür betrachten wir die Überlagerung zweier fortschreitender ebener Wellen gleicher Wellenlänge und Amplitude, aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung. Die Ausbreitungsvektoren, die senkrecht zu den Wellenfronten stehen, bilden den Winkel 20. In Abb. 5.44 sind die Wellenberge mit dicken Linien, die Wellentäler mit dünnen Linien gekennzeichnet. Durch die Überlagerung der zueinander geneigten Wellen entsteht ein Interferenzmuster. Entlang der Linien AA' und CC' in Abb. 5.44 sind die beiden Wellen an jedem Punkt gleichphasig. Entlang dieser Linie ergibt die Addition Berge und Täler, die doppelt so groß sind wie die der Einzelwellen. Wenn sich die Einzelwellen im Bild schräg nach rechts bewegen, dann bewegen sich die durch Addition entstandenen Berge und Täler entlang der Linien nach rechts. Entlang der Linien BB' und DD' sind dagegen die beiden Einzelwellen immer gegenphasig, d. h. sie addieren sich an jedem Punkt zu null. Diese Linien sind Projektionen von Knotenebenen der Wellenüberlagerung.
Um nun von den unbegrenzten ebenen Wellen der Abb. 5.44 auf die begrenzte Welle im Hohlleiter überzugehen, nutzen wir die Knotenebenen, die senkrecht zur Papierebene auf den Linien BB' und DD' stehen, um dort gedanklich zwei leitende
Abb. 5.44 Überlagerung von zwei schräg zueinander laufenden ebenen Wellen gleicher Frequenz und Amplitude. Die Linien BB' und DD' markieren Knotenebenen der Wellenüberlagerung.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 349
Wände aufzustellen. Da in der Knotenebene das resultierende .E-Feld sowieso null ist, ändert die Anwesenheit der leitenden Wand nichts am Feld. Geändert hat sich nur der „Nachschub“ der Wellen: In dem Raum zwischen den Wänden BB' und DD' werden die beiden jetzt seitlich begrenzten Wellen an den Wänden reflektiert. Die (hier als perfekt angenommenen) Reflexionen ändern nichts an dem resultierenden Wellenfeld zwischen den Wänden. Wie schon oben bei der senkrechten Reflexion an einem Metallspiegel besprochen, erfährt der E-Vektor bei der Reflexion einen 180°-Phasensprung. Bei der graphischen Darstellung von Abb. 5.44 wird an der Wand aus dem Wellenberg der einfallenden Welle ein Tal der reflektierten Welle und umgekehrt.
Jetzt nehmen wir noch an, dass die .E-Felder der beiden Wellen von Abb. 5.44 senkrecht zur Papierebene gerichtet sind. Damit hat auch die resultierende Welle zwischen den gedanklich schon aufgestellten Wänden ein zur Papierebene senkrechtes .E-Feld, das entlang BB' und DD' verschwindet und entlang CC' mit maximaler Amplitude periodisch die Richtung wechselt. Den Abstand der Wandlinien BB' und DD' nennen wir a. Zum Übergang von den beiden planparallelen Wänden zum rechteckigen Hohlleiter benötigen wir noch zwei Wände, die parallel zur Papierebene liegen und den Abstand b haben. Die Aufstellung dieser Wände ist aber physikalisch problemlos, weil sie senkrecht zum .E-Feld stehen, wie es theoretisch erlaubt ist. Das Resultat ist die TE10-Welle von Abb. 5.45; der erste Index des Wellensymbols besagt, dass entlang der x-Richtung (parallel zu d) eine Halb welle des .E-Feldes liegt und dass entlang der r-R.ichtung (parallel zu b) das .E-Feld nicht variiert.
Abb. 5.45 TE10-Welle: Die örtliche Veränderung der Feldkomponente E ist durch Kurven dargestellt. Gestrichelte Linien zeigen das .ß-Feld.
350
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Abb. 5.46 Wellenleiter mit TE10-Welle: (a) Seitenansicht mit Ti-Feld, (b) Aufsicht mit ZT-l eid, (c) Querschnitt mit Zi-Feld.
Eine etwas andere Art, eine TE10-Welle darzustellen, gibt Abb. 5.46: Die Bilder zeigen drei verschiedene Ansichten mit Blickrichtungen parallel zu den Hohlleiter-Kanten.
Hier wird immer nur ein Feld dargestellt. Mit etwas Übung kann man den Verlauf des nicht dargestellten Feldes sich qualitativ wie folgt vergegenwärtigen: Man stellt sich vor, dass eine für die xz- oder j^z-Ebene gezeichnete Feldlinien-Konfiguration sich beim Wellentransport in z-Richtung verschiebt. Das Bild bleibt dabei erhalten. Aber wenn man einen festen Punkt des Hohlleiters fixiert, dann kann man abschätzen, wie stark sich bei der Verschiebung des Feldlinienbildes die lokale Feldstärke verändert. Dort, wo die lokalen Feldstärkeänderungen des gezeichneten Feldes am größten sind, liegen die Wirbel des anderen Feldes. Das folgt aus den Maxwell’schen Gleichungen für das Vakuum, die auch innerhalb des Hohlleiters gelten.
Aus den in Abb. 5.44 eingezeichneten Dreiecken mit dem spitzen Winkel 0 lässt sich eine wichtige Beziehung gewinnen: Aus oberem und unterem Dreieck ergibt sich mit der Hilfsgröße x ( = Abstand zweier Wellentäler entlang der Linie CC')
COS0 = X/x
und
tan0 = (x/4)/(a/2)
und somit
2
sin0 = —<1.	(5.147)
2a
Danach gibt es für die in den Hohlleiter eingespeisten Wellen einen oberen Grenzwert der Wellenlänge und einen unteren Grenzwert der Frequenz, die beide mit dem Index „c“ (für cutoff) gekennzeichnet werden:
2 < 2C = 2a,
f>fc = c/(2a).	(5.148)
Für eine vorgegebene Hohlleiter-Breite a und Neigungswinkel der Einzelwellen gegen die Hohlleiter-Achse im Bereich von 0° < 0 < 90° ist Wellentransport im Hohlleiter mit Frequenzen f >fc möglich. Allerdings wird der Frequenzbereich nach oben
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 351
hin meist dadurch begrenzt, dass man die Anregung höherer Wellenmoden vermeiden möchte.
Die resultierende Welle im Hohlleiter bewegt sich entlang der z-Richtung. Die Frequenz f dieser Welle, also die Zahl der .E-Perioden, die an einem betrachteten Punkt im Hohlleiter pro Sekunde vorüberziehen, ist dieselbe wie die der schräglaufenden Einzelwellen. Aber die Wellenlänge (= räumliche Periode) der resultierenden Hohlleiter-Welle ÄH ist größer als die der eingangs betrachteten schräglaufenden Einzelwellen der Wellenlänge A. Für letztere gilt im Vakuum (und näherungsweise auch in Luft)
Äf= c.	(5.149)
Wenn jedoch /.H größer ist als 2, die Frequenz sich aber nicht ändert, dann muss die Phasengeschwindigkeit der Welle im Wellenleiter größer als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c sein! Das ist kein Verstoß gegen die spezielle Relativitätstheorie, da c nur für Signalübertragung eine obere Grenzgeschwindigkeit ist. Für Signale ist nur die Gruppengeschwindigkeit maßgebend, wie in der Wellenlehre (Bd. 1) dargelegt wird.
Um zu zeigen, wie eine große Phasengeschwindigkeit zustande kommt, betrachten wir einen Stab, der senkrecht zur seiner Achse mit der Geschwindigkeit v bewegt wird; in Abb. 5.47a geschieht die Bewegung von links oben nach rechts unten. Die Stabpunkte 1 und 2 bewegen sich dabei entlang der gestrichelten Linien nach 1' bzw. 2'. Wenn aber die Stabbewegung durch eine zu Stabachse und v geneigte Schlitzblende, in Abb. 5.47b horizontal gelegen, beobachtet wird, dann ist zur Zeit t gerade der Stabpunkt 1 und zur Zeit t' der Stabpunkt 2' zu sehen; der Abstand zwischen 1 und 2' ist größer als der zwischen 1 und 1' oder 2 und 2'. Durch die Schlitzblende sieht man also eine scheinbar schnellere Bewegung, weil man nicht einen bestimmten Stabpunkt in seiner physikalischen Bewegung verfolgt, sondern den Bezugspunkt am Stab entlang wandern lässt. Die echte Bewegungsstrecke aller Stabpunkte \s und die dazu senkrechte Bezugspunktverlagerung (l->2 = 1'—>2') ergeben zusammen die scheinbare Bewegungsstrecke \s*, die größer als \s ist.
Abb. 5.47 Zur Phasengeschwindigkeit: (a) Ein Stab wird mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht zur Stabachse bewegt; (b) Beobachtung der Bewegung durch eine Schlitzblende, die schräg zur Stabbewegung angeordnet ist.
352	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Beim Hohlleiter ist es ähnlich. Die für den Stab geschilderten Verhältnisse gelten für jede der beiden schräg zum Hohlleiter laufenden Einzelwellen. Die Überlagerung beider Wellen ergibt die Knotenlinien BB' und DD' in Abb. 5.44 und die Linie CC' dazwischen, wo die Wellenberge und -täler Extremwerte haben und sich mit der Phasengeschwindigkeit rpl. entlang dieser Linie bewegen; wenn, wie oben beschrieben, die Linien BB' und DD' den Hohlleiterwänden entsprechen, dann entspricht CC' der Hohlleiterachse. Eine Beobachtung entlang der Linie CC' lässt nur Wellenphasen (z. B. Berge) erkennen, die sich mit rpl. > c fortpflanzen.
Zur quantitativen Betrachtung greifen wir zurück auf Gl. (5.138): Die dort als 2 bezeichnete Größe ist die Wellenlänge der Hohlleiter-Welle, wie aus Abb. 5.44 zu ersehen ist. Aus den Beziehungen für sin 0 und cos0, der Identität sin20 + cos20 = 1 und Auflösung nach AH folgt
AH = A/[l - Ü/(2a)2]1/2.	(5.150)
Die Phasengeschwindigkeit im Wellenleiter ist
fph = 2h/ = ÜhM) c
= c/[l - Ü/(2a)2]1/2 > c.	(5.151)
Für A — 2a wird die Phasengeschwindigkeit unendlich groß. Für den Betrieb eines Wellenleiters im TE10-Modus gilt also die Bedingung von Gl. (5.148):
2<2c(TE10) = 2a oder
/>/c(TE10) =	(5.152)
2a
Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf die TE10-Welle (Grundwelle); das ist der dominierende Mode, weil er von allen Moden die niedrigste Grenzfrequenz besitzt. Die beiden Indizes beziehen sich auf die Zahl der Halbwellen des (nur) transversalen Feldes in x- und Richtung über die Längen a \yzw. b. Die höheren Moden der Hohlleiter dürfen nicht mit den Oberwellen von Schwingungen verwechselt werden. Letztere haben Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. Die Hohlleiter-Moden haben dagegen alle dieselbe Frequenz und unterscheiden sich nur in den räumlichen Perioden der Feldkonfiguration.
Die zu den höheren Moden gehörenden Grenzfrequenzen sind gegeben durch
£mn = | c(m2/«2 +rr/02)12 mit m = 0, 1,2 ...	(5.153)
und n = 0, 1,2 ...
Für einige Moden, die in einem rechteckigen Wellenleiter möglich sind, zeigt Abb. 5.48 beide Felder im Querschnitt. Wichtig ist, dass es keine TM-Wellen mit einem Null-Index (TMn0 oder TMOn, n = 1,2...) gibt; denn das quellenfreie 2?-Feld darf an den Wänden keine senkrechte Komponente haben, und das bedingt Variationen in x- und r-R.ichtung.
Für rechteckige Hohlleiter mit dem bevorzugten Seitenverhältnis bja = 1/2 können oberhalb von 2-/c die Moden TE20 und TE01 auftreten, oberhalb 2.24 •£ die Moden TEn und TMir Der technisch bevorzugt genutzte Bereich eines Hohlleiters liegt deshalb deutlich oberhalb f. und unterhalb 2/c.
5.4 Experimentieren mit Mikrowellen 353
TM„
Abb. 5.48 Querschnitte mit Ti-Feldern (ausgezogen) und ß-I 'eldern (gestrichelt) für verschiedene Moden von TE- und TM-Wellen.
Für die speziellen Bauteile oder Hohlleitertechnik (Leiterstücke, Weichen, Detektoren, Hohlraum-Resonatoren etc.) verweisen wir auf die elektrotechnische Literatur. Bei der Behandlung von Elektronenröhren in Abschn. 11.2 werden auch Generatoren für den GHz-Bereich vorgestellt.
Die Hohlleiter-Bauteile sind genormt und werden mit Flanschen, die guten elektrischen Kontakt gewährleisten, aneinandergesetzt. Die drei Beispiele in der Tabelle sollen den Größenbereich der Hohlleiter andeuten. Die „krummen“ Werte der Abmessungen resultieren aus Zoll-Normen. Die Grenzwellenlänge 2c(TE10) ist in der Tabelle nicht angegeben, weil diese Größe gleich la ist.
TE10-Bereich (GHz)	/e(TE10)/GHz	a/mm	Ä/mm
1.14-1.73	0.91	165.1	82.5
9.84-15.0	7.87	19.05	9.53
92.20-140.0	75.0	2.0	1.0
Der schon eingangs betonte Unterschied zwischen Hochfrequenz-Leitungen und geführten elektromagnetischen Wellen wird besonders deutlich bei der Hornantenne
354	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
(Abb. 5.49), die ein am Ende aufgeweiteter Hohlleiter ist. Die im Hohlleiter geführte Welle wird in den freien Raum entlassen. Hornantennen werden oft mit Parabolspiegeln (Rotationsparaboloid-Flächen) zu Parabolantennen kombiniert (Abb. 5.50).
Feldstärke
Abb. 5.49 Öffnung einer Hornantenne mit Ti-Feldlinien. Darüber ist die Variation der Ti-Feldstärke über der Hornbreite dargestellt.
Abb. 5.50 Parabolantennen: (a) Hornantenne sitzt im Brennpunkt des Parabolspiegels; (b) Hornantenne sitzt im Scheitelpunkt, in der Nähe des Brennpunktes sitzt ein Reflektor (Rotationshyperboloid).
5.5 Anwendungsbeispiele 355
5.5 Anwendungsbeispiele
Elektromagnetische Schwingungen und Wellen haben unser Leben grundlegend verändert. Die von Schallwellen bewirkten Luftdruckschwankungen lassen sich durch elektroakustische Wandler (Mikrophone) in niederfrequente elektrische Schwingungen umwandeln; mit im Prinzip gleichen Wandlern (Lautsprechern) erfolgt die Umwandlung in umgekehrter Richtung. Erst durch diese technische Verknüpfung von Schall mit elektrischen Schwingungen wird Sprache und Musik
-	verstärkbar (Megaphon, Elektroguitarre),
-	Speicher- und kopierbar (Tonband, CD),
-	manipulierbar (Studio-Effekte)
und vor allem
-	übertragbar (Telefon, Rundfunk).
Nachrichten von allen Teilen der Welt erreichen uns prompt. Das über Satelliten live übertragene Fernsehen gibt uns das Gefühl, überall „dabei zu sein“. Die Kommunikationsmedien haben das Bewusstsein des modernen Menschen entscheidend geprägt. Als erstes Anwendungsbeispiel wird deshalb die Rundfunk-Technik beschrieben.
Die Radioastronomie, unser zweites Anwendungsbeispiel, entstand aus der Radar-Entwicklung im 2. Weltkrieg. In den Dekaden danach bescherte uns dieser Zweig der Astronomie viele sensationelle Entdeckungen. Auch die Radioastronomie hat unser Bewusstsein verändert: Unsere heutigen, ziemlich detaillierten Vorstellungen von der Entwicklung des Universums (Kosmologie, Bd. 8, Kap. 6) basieren ganz wesentlich auf radioastronomischen Beobachtungen (Quasare, Hintergrundstrahlung).
5.5.1 Rundfunk
Die Tonfrequenzen. Der Hörbereich des menschlichen Ohres erstreckt sich ungefähr von 20 Hz bis 20 kHz. Die obere Grenzfrequenz sinkt mit zunehmendem Alter. Die Orgel ist das Instrument mit dem größten Tonumfang. Die Grundschwingungen der Orgeltöne umfassen den Frequenzbereich von 16.352 Hz (C2) bis 4086 Hz (c5). Höhere Frequenzen treten bei den Obertönen auf und sind - soweit sie vom Ohr des Hörers überhaupt wahrgenommen werden können - wichtig für eine gute Wiedergabe der natürlichen Klangfarbe.
Wie sehr die Güte der Wiedergabe vom verfügbaren Frequenzbereich abhängt, lässt sich leicht erkennen, wenn man z. B. Musik, die über Telefon (300-3400 Hz) mitgehört wird, vergleicht mit Musik einer UKW-Übertragung (30-15000 Hz), wiedergegeben durch ein hinreichend gutes Verstärker-Lautsprecher-System, das zum fairen Vergleich auf „Mono“ geschaltet ist.
Der Frequenzumfang der menschlichen Sprache reicht etwa von 100 Hz bis 10 kHz. Wenn die Frequenzen bis 5 kHz erfasst werden, dann ist die Sprache immer noch „sehr gut verständlich“. Beim Telefon sind es 3.4 kHz, und das ist ausreichend für die Kommunikation. Bei Beschränkung auf 2 kHz wird Sprache schwer verständlich.
356	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Elektroakustische Wandler. Mikrophon und Lautsprecher sind Wandler, die Schall in elektrische Schwingungen bzw. elektrische Schwingungen in Schall umwandeln. Jeder Effekt, der den Schall-Wechseldruck (bzw. die dadurch verursachte Schwingung einer Membran) mit einer elektrischen Größe (Widerstand, Kapazität, Spannung, Strom u.a.) verknüpft, kann zum Bau von Mikrophonen, Lautsprechern und elektrischen Schall-Messgeräten ausgenutzt werden. Die verschiedenen Wandlertypen unterscheiden sich in Größe und Frequenzabhängigkeit des Wirkungsgrades, sowie in Empfindlichkeit und Belastbarkeit.
Mikrophone. Beim Kohlemikrophon wird Kohlegrieß durch Schalldruck komprimiert und sein Widerstand dadurch vermindert. Beim Kondensatormikrophon ist die schwingende Membran eine Kondensatorplatte und verursacht entsprechende Kapazitätsschwankungen. Beim Elektretmikrophon, einer Abwandlung des Kondensatormikrophons, ist meist die Membran, selten die Gegenelektrode als Elektret (Abschn. 13.4) ausgebildet. Beim magnetischen Mikrophon wird durch die schwingende Membran, an der ein ferromagnetisches Teil befestigt ist, der Fluss in einem magnetischen Kreis verändert und damit in einer den Fluss umschließenden Spule ein Strom induziert. Beim elektrodynamischen Mikrophon trägt die Membran eine Tauchspule, die sich im 2?-Feld eines Permanentmagneten bewegt und so eine Induktionsspannung erhält. Eine sehr empfindliche Variante ist das Bändchenmikrophon, in dem ein als Membran wirkendes, elektrisch isoliertes Metall-Bändchen im Feld eines Permanentmagneten schwingt und eine Induktionsspannung liefert. Beim Kristallmikrophon drückt die Membran auf einen piezoelektrischen Kristall (Abschn. 13.3.2), wodurch an dessen Seiten Polarisationsladungen auftreten, die als elektrische Spannung erfasst werden.
Kohle- und Kondensatormikrophon benötigen eine Hilfsspannung. Das Tauchspulmikrophon hat eine kleine Impedanz, das piezoelektrische eine sehr große. Kondensator- und Elektretmikrophon haben einen sehr guten „Frequenzgang“, d. h. ihre Empfindlichkeit (= Wechselspannung/Schallwechseldruck) ist über einen großen Frequenzbereich annähernd konstant.
Lautsprecher. Die am meisten verwendeten Typen sind elektrodynamische Lautsprecher (Abb. 5.51a). Sie haben einen guten Wirkungsgrad (= Schalleistung/elektrische Leistung) und können für Nennleistungen bis 100 W gebaut werden. Ihre Impedanz liegt normalerweise zwischen 4 und 8Q. Der piezoelektrische Lautsprecher
Abb. 5.51 Beispiel von Lautsprecher-Bauformen: (a) elektrodynamisch mit Schwingspule, (b) piezoelektrisch mit schwingendem Kristall- oder Keramik-Körper.
5.5 Anwendungsbeispiele 357
(Abb. 5.51b) wird hauptsächlich zur Abstrahlung höherer Frequenzen verwendet; seine Impedanz liegt bei mehreren kQ.
Da jedes schwingende System Eigenfrequenzen besitzt und in der Nähe dieser Frequenzen Resonanzverhalten zeigt, also für elektrische Signale konstanter Amplitude mit einer stark frequenzabhängigen mechanischen Amplitude reagiert, muss durch zusätzliche Maßnahmen - wie Einsatz elektrischer oder mechanischer Filter - für einen „guten“ Frequenzgang gesorgt werden. Für anspruchsvolle Wiedergaben werden für die verschiedenen Tonfrequenz-Bereiche zwei oder drei Lautsprecher verschiedener Bauart verwendet: Tiefton-, Mittelton- und Hochton-Lautsprecher.
Breitbandverstärkung. Bei der Beschreibung von Hochfrequenzgeneratoren, die Verstärkung und Rückkopplung ausnutzen (Abschn. 5.1.2), war eine starke Frequenzabhängigkeit gewünscht, und dafür wurden LC-Resonanzkreise in die Generator-Schaltung eingebaut. Hier kommt es dagegen auf eine möglichst konstante Verstärkung über einen sehr großen Frequenzbereich an. Dafür enthalten die Schaltungen vorzugsweise ohmsche Widerstände. Aber jede Schaltung enthält Streukapazitäten und Leitungsinduktivitäten. Außerdem kann man auf Kondensatoren und Drosseln nicht völlig verzichten (sie werden z. B. zur Trennung von Gleichstrom und Tonfrequenz-Wechselströmen benötigt). Das heißt, den idealen Breitbandverstärker ohne Frequenzgang gibt es gar nicht.
Die Abhängigkeit der Verstärkung von der Frequenz, die die Breitbandverstärkung beeinträchtigt, lässt sich stark verringern durch das Prinzip der negativen Rückkopplung oder Gegenkopplung (negative, reverse or inverse feedback), das 1927 von Harold S. Black erfunden und danach von Harry Nyquist theoretisch behandelt wurde. Ein Teil der Ausgangsspannung wird an den Eingang mit Vorzeichenumkehr zurückgeführt. Fourier-Komponenten der Eingangsspannung, die aufgrund ihrer Frequenz eine hohe Verstärkung erfahren haben, werden durch die Gegenkopplung am Eingang entsprechend stark reduziert. Das Resultat ist eine enorme Verbesserung des Frequenzganges.
Ein anderes Problem ist die lineare Verstärkung aller Amplituden, der sehr kleinen wie der sehr großen, damit die Dynamik der Lautstärke richtig wiedergegeben wird.
Abb. 5.52 Prinzip eines Verstärkers: Spannungsverstärkung (a) bei linearer Kennlinie, (b) bei nicht-linearer Kennlinie.
358	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Alle Verstärker arbeiten nach dem gleichen Prinzip (Abb. 5.52): Schaltungstechnisch wird ein Arbeitspunkt auf einer Kennlinie festgelegt. Die Ausgangswechselspannung ergibt sich als Spiegelung der Eingangswechselspannung an der Kennlinie in der Nachbarschaft des Arbeitspunktes. Reale Verstärker haben Kennlinien, die nur in einem begrenzten Bereich der Eingangswechselspannung linear sind. Amplituden, die darüber hinausgehen, erfahren bei der Verstärkung eine Verzerrung; aus einer Sinusschwingung am Eingang wird eine Ausgangsschwingung, die zwar dieselbe Grundfrequenz besitzt, aber auch Fourier-Komponenten mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz enthält. Hohe verzerrungsfreie Verstärkung ist nur mehrstufig zu erreichen.
Die steigenden Ansprüche an die Qualität der Tonwiedergabe bei immer höheren Lautsprecher-Leistungen konnten nur durch Aufteilung der Tonfrequenzen in drei Bereiche und Einsatz spezieller Lautsprecher für tiefe, mittlere und hohe Töne erfüllt werden. Die Übergangsfrequenz von Tiefton- und Mittelton-Bereich liegt zwischen 120 und 300 Hz; die Übergangsfrequenz von Mittelton- und Hochton-Bereich in der Nähe von 3 kHz. Die Abb. 5.53a zeigt den Unterschied zwischen einer idealen, scharf begrenzten Bereichsaufteilung und der realen Aufteilung, die Überlappungen aufweist. In Abb. 5.53b ist mit Schaltungssymbolen dargestellt, wie die Lautsprecher über Filter gespeist werden. Frequenzfilter, die aus passiven Bauelementen (R, L, C) bestehen, werden als (passive) Frequenzweichen bezeichnet. Aktive Frequenzweichen sind spezielle elektronische Verstärker, die die gewünschte Frequenzabhängigkeit besitzen, aber auch Netzanschluss benötigen.
o-
Abb. 5.53 (a) Ideale und reale Aufteilung der Tonfrequenzen in drei Bereiche; (b) Speisung der drei verschiedenen Lautsprecher über die entsprechenden Frequenzfilter.
Nachrichten-Übertragung. Dass man in eine aus Mikrophon, Verstärker und Lautsprecher bestehende elektro-akustische Übertragungskette auch eine lange Doppelleitung und bei Bedarf mehrere Verstärker dazwischenschalten kann, ist trivial. Viel interessanter ist die Frage, wie man mit einer (Doppel-)Leitung mehrere Sprache/ Musik-Programme gleichzeitig übertragen und auf der Empfängerseite selektieren kann (Trägerstromtechnik). Damit verwandt ist die Frage, wie man in einem Sendebereich gleichzeitig mehrere Rundfunkprogramme ausstrahlen kann, ohne dass sie sich auf der Empfängerseite gegenseitig stören (Trägerwellentechnik). Das Verfahren, mit dem der Absender seine Nachricht auf den Träger aufbringt, wird Modulation genannt; das Verfahren, mit dem der Empfänger die Nachricht vom Träger abnimmt, heißt Demodulation.
5.5 Anwendungsbeispiele 359
Tonfrequenz
Tonfrequenz
Hochfrequenz
Eingangs-
Ausgangs-
Störungen
Abb. 5.54 Schema einer Ton-Übertragung mithilfe einer hochfrequenten elektromagnetischen Trägerwelle.
Wir wollen uns hier auf die Übertragung von Tonfrequenzen konzentrieren und Übertragungssysteme nach dem Schema von Abb. 5.54 betrachten. Die entscheidende Idee ist die Verwendung einer Trägerfrequenz (carrier frequency) f, die weit oberhalb des elektro akustischen Frequenzbereichs liegt. Jeder Kanal erhält eine andere Trägerfrequenz. Der Frequenzabstand der zugeteilten Trägerfrequenzen fi+1 —f{ (Kanalabstand, Kanalraster) muss mindestens so groß sein wie die Bandbreite A/ der übertragenen Programme. Sie bestimmt die akustische Qualität (Tonfrequenzbreite, Störungsfreiheit) der Übertragung.
Amplitudenmodulation. Das ist die am leichtesten zu verstehende und zuerst angewandte Methode. Sie wird für LW-, MW- und KW-Übertragungen verwendet.
Eine hochfrequente Trägerschwingung mit der Amplitude A und der Kreisfrequenz ß, moduliert im Takt einer niederfrequenten Schwingung mit der Amplitude a und der Kreisfrequenz a>, ergibt folgendes HF-Signal, hier z. B. als Strom I(t) dargestellt:
l(t) = (A+a sinmt) sin TI/
= A [1 + m sin <ot) sin Qt, m = a)A
(5.154)
mit m < 1 als Modulationsgrad. Trigonometrische Umformung von Gl. (5.154) liefert
1
I(t) = A sin Clt + - mA cos (ß — m) t
1
— - mA cos (ß + m) t.
(5.155)
Diese Gleichung sagt aus, dass außer der Trägerfrequenz noch zwei Seitenfrequenzen auftreten, die durch die Summe und Differenz von Träger- und Modulationsfrequenz gegeben sind.
Die angestrebte Modulation in der Form von Gl. (5.155) wird nicht durch eine additive Überlagerung von Ton-und Trägerschwingung erreicht; es genügt nicht, beide Wechselspannungen an den Eingang eines Verstärkers zu legen, wenn der Verstärker im linearen Bereich seiner Kennlinie arbeitet (Abb. 5.55). Nur durch nichtlineare Verstärkung entstehen auch Signalanteile, die proportional zu [m  sin a>t + sinß/]2 sind und (wie Ausmultiplizieren ergibt) auch Terme mit sin sin ß/ enthalten, die sich durch Summanden mit den Seitenfrequenzen
360
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Abb. 5.55 Schematische Darstellung zur Amplitudenmodulation: oben - lineare Kennlinie genügt nicht; unten - nicht-lineare Dioden-Kennlinie genügt.
(Q + m) darstellen lassen. Die gewünschten Seitenfrequenzen liegen beide nahe bei Q; die anderen, an der nicht-linearen Kennlinie auch entstehenden Frequenzen liegen bei 2ß oder höher, also weit oberhalb Q, oder bei a>, 2a> weit unterhalb Q. Deshalb genügt ein Bandfilter für einen schmalen Durchlassbereich bei der Trägerfrequenz Q (Abb. 5.55, unten), um die modulierte Trägerschwingung herauszufiltern.
Abb. 5.56 Zur Amplituden-Demodulation: (a) amplitudenmodulierte Trägerschwingung mit Hüllkurven; (b) Ergebnis der Einweg-Gleichrichtung. Die gestrichelte Linie stellt den Mittelwert des pulsierenden Gleichstroms dar.
5.5 Anwendungsbeispiele 361
Bei der Übertragung von Sprache und Musik entsteht für jede Komponente des Ton-Frequenzspektrums eine untere und eine obere Seitenfrequenz. Alle erfassten Tonfrequenzen zusammen ergeben zwei Seitenbänder. Die obere Grenzfrequenz für das niederfrequente Modulationssignal wurde für die AM-Sender auf 4.5 kHz festgelegt. Damit ergeben die beiden symmetrisch zur Trägerfrequenz liegenden Seitenbänder eine Kanalbreite von 9 kHz; so groß ist auch der Kanalabstand (das Kanalraster) der AM-Sender auf der Frequenzskala.
Die Demodulation geschieht durch Gleichrichtung (Abb. 5.56), Glättung der hochfrequenten Struktur und Abtrennung der Gleichstromkomponente. Bei der Glättung muss die /?C-Zeitkonstante größer sein als die Periode der Trägerschwingung, aber viel kleiner als die der höchsten übertragenen Tonschwingung.
Heterodyn-Verstärker. Vor der Demodulation muss von den auf verschiedenen Trägerfrequenzen ankommenden Programmen ein Programm ausgewählt werden. Dazu dient ein auf die dazugehörige Trägerfrequenz eingestellter Schmalband-Verstärker. Es ist aber schwierig, die Arbeitsfrequenz eines Schmalband-Verstärkers über einen größeren Frequenz-Wahlbereich zu variieren und dabei überall gute Verstärkung zu erhalten.
Das Problem wurde sehr elegant gelöst durch die Erfindung des Heterodyn-Verstärkers, der nach einem Überlagerungsprinzip arbeitet: Die von der Antenne empfangenen hochfrequenten Signale werden mit einer im Empfänger produzierten variablen Oszillatorfrequenz überlagert („gemischt“). Dabei entstehen viele Differenz-und Summenfrequenzen, von denen aber nur eine bestimmte, nicht-variable Zwischenfrequenz (die bei Amplitudenmodulation im Bereich von 450-470 kHz liegt) im nachfolgenden Schmalbandverstärker verstärkt wird. Anstelle der Arbeitsfrequenz des Schmalband-Verstärkers wird die Oszillatorfrequenz verändert. Damit wird der Empfänger auf die Trägerfrequenz eingestellt, die gleich der Summe von Oszillator- und Zwischenfrequenz ist. Zwischen Antenne und Mischstufe wird schon eine Vorselektion vorgenommen, praktischerweise so, dass derselbe Bedienungsknopf sowohl die Oszillatorfrequenz als auch die Selektionsfrequenz der Abstimmeinrichtung variiert (Abb. 5.57).
Hochfrequenzsignal	konstante
verschiedener des gewünschten	Zwischen-
Sender	Senders	frequenz
Modulationssignal des gewünschten Senders
Abb. 5.57 Prinzip eines Heterodyn-Empfängers (nach U. Freyer, Nachrichten-Übertragungstechnik, Hanser, München).
362	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Das Heterodyn-Verfahren war zuerst 1913 von R. A. Fessenden in der Radiotelegraphie angewendet worden, um hochfrequente Morse-Signale in hörbare Töne umzusetzen (sonic heterodyne). Das während des 1. Weltkriegs von E.H. Armstrong für den Rundfunk genutzte Verfahren arbeitete mit einer Differenzfrequenz von 50 kHz (supersonic heterodyne, daraus entstand „Superheterodyn“, „Superhet“, „Super“).
Frequenzmodulation. Obwohl das Mittelwellen-Band für mehr Kanäle Platz bietet als das Langwellen-Band, ist es in Europa überbesetzt, und wegen überlappender Ausstrahlungsbereiche ist störungsfreier Empfang nicht möglich. Erst als die Ultrakurzwellen-Technik ausgereift war, konnte ein Ton-Rundfunk-Band mit dem sehr großen Kanalabstand von 300 kHz (!) für anspruchsvolle Übertragungstechnik eingerichtet werden. Das führte zu Tonübertragungen mit hoher „Originaltreue“ (high fidelity, hifi), charakterisiert durch das breite Tonfrequenzband von 15 kHz und durch die sehr geringe Störanfälligkeit, sowie durch die nun auch mögliche Stereophonie.
Der entscheidende Fortschritt bestand im Übergang von der Amplitudenmodulation (AM) zur Frequenzmodulation (FM). Es ist leicht einzusehen, dass atmosphärische Störungen sich in erster Linie auf die Intensität (bzw. Amplitude) der elektromagnetischen Strahlung auswirken. Atmosphärische Effekte, die die Frequenz der Strahlung verändern könnten, sind dagegen nicht bekannt.
Bei der Frequenzmodulation wird das niederfrequente Signal zur Veränderung der Kapazität eines Schwingkreises verwendet, und dadurch ändert sich die Frequenz des Oszillators, der die Trägerschwingung erzeugt. [Halbleiter-Bauelemente, die als steuerbare Kapazitäten eingesetzt werden können, sind die in Abschn. 9.3.1 behandelten Kapazitätsdioden (Varaktoren).]
Die Amplitude des Modulationssignals AM wird in den Frequenzhub A/T der Trägerfrequenz umgesetzt: Für eine einzelne modulierende Niederfrequenz fM hat das HF-Signal die Form
I(t) = At sin [2nf(t)  /] mit
f(t) = fy + A/t • sin (2k/mZ).	(5.156)
Die Größe M —	ist der Modulationsindex. Eine Fourier-Analyse der frequenz-
modulierten Schwingung von Gl. (5.156) führt zu einem theoretisch unbegrenzten Spektrum von Seitenfrequenzen. Die Zahl der nicht vernachlässigbaren Seitenfrequenzen ist vom Modulationsindex abhängig. Die Praxis zeigt, dass mindestens M + 1 Seitenfrequenzen berücksichtigt werden müssen, um eine Übertragung mit hoher Qualität zu erreichen.
In der Praxis ist das Modulationssignal eine Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenz und Amplitude. Der Frequenzhub A/T, der der Maximalamplitude entspricht, und die größte im Modulationssignal enthaltene Frequenz^ bestimmen zusammen die erforderliche FM-Bandbreite:
A/fm^2(A/t+/m).	(5.157)
Bei der UKW-Stereo-Übertragung bestand von Anfang an die Forderung nach Kompatibilität mit Mono-Empfängern. Deshalb werden nicht die beiden Stereo
5.5 Anwendungsbeispiele 363
Kanäle L (= links) und R (= rechts) übertragen, sondern deren Summe und Differenz, und zwar so, dass Mono-Empfänger ohne Zusatzgerät das (L + R)-Signal verarbeiten können. Für die Stereo-Übertragung wird aus dem niederfrequenten (L + R)-Signal und dem mit 38 kHz amplitudenmodulierten (L —R)-Signal ein Mul-tiplex-Signal erzeugt, das zur Frequenzmodulation der Trägerwelle verwendet wird.
Auf der Empfängerseite wird das FM-Signal verstärkt, wobei eine Zwischenfrequenz von 10.7 MHz Standard ist. Danach erfolgt eine Amplitudenbegrenzung (Abb. 5.58), weil die Amplitude des empfangenen FM-Signals störungsbedingte Schwankungen aufweist.
U 1	Ul	Ul
> iit m
ungestörtes FM-Signal
gestörtes FM-Signal
FM-Signal nach
Amplitudenbegrenzung
Abb. 5.58 Übertragung mit Frequenzmodulation. Amplitudenbegrenzung des empfangenen FM-Signals.
Die Frequenz-Demodulation geschieht z. B. mithilfe eines Flankendiskriminators: Das ist ein Resonanzkreis, für den der durch die FM-Trägerfrequenz festgelegte Arbeitspunkt in einem linearen Teil der Resonanzkurven-Flanke liegt. Im Stereoempfänger werden aus den im Muitiplex-Verfahren übertragenen (L + R)- und (L — R)-Signalen die Stereokänale L und R elektronisch regeneriert.
Sendetechnik und Wellenausbreitung. Erste Versuche zur drahtlosen Übertragung von Sprache und Musik wurden schon mithilfe der HF-Funkentechnik durchgeführt. Die rapide Entwicklung des Rundfunks begann aber erst um 1920 mit dem Einsatz von Elektronenröhren in Verstärkern und HF-Generatoren (vgl. Abschn. 5.1.2).
Lange Wellen pflanzen sich vom Sender aus hauptsächlich als Bodenwellen fort. Sie werden an der leitenden Erdoberfläche in ähnlicher Weise geführt wie die Drahtwellen an einem Draht. Die endliche Leitfähigkeit des Erdbodens und Seewassers bedingt, dass die elektrischen Feldlinien nicht senkrecht zur Oberfläche stehen, sondern leicht geneigt sind. Die Feldkomponente parallel zur Oberfläche dringt etwas in die Erde ein und führt zu Absorption, die mit abnehmender Wellenlänge größer wird. Die Reichweite einer Sendestation ist also umso größer, je größer die Wellenlänge 2 ist. Deshalb wählte man anfangs für den Überseeverkehr sehr große Wellenlängen, z. B. A = 18 km für die Verbindung zwischen Nauen (bei Berlin) und Buenos Aires und steigerte die Sendeleistung auf einige 100 kW.
Eine für Lang- und Mittelwellen geeignete Sendeantenne ist die Marconi-Antenne (der „Monopol“). Das ist ein vertikaler Stab der Länge 1/4, der - in Verbindung mit einer gut leitenden Erdoberfläche - wie die obere Hälfte eines vertikalen Halb
364
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
wellen-Dipols wirkt. Um die Antenne gut mit der leitenden Erde zu verbinden, wird ein Oberflächen-Erdnetz verlegt; möglichst viele und lange Metalldrähte werden, vom Antennenfußpunkt ausgehend, stahlenförmig nach außen verlegt (Radialleiter, radials). Bei Empfangsantennen für Lang- und Mittelwellen, sowie bei Sendeantennen für Lang- und Längstwellen ist es technisch meist nicht möglich, Antennen der Länge 2/4 zu errichten. Man benutzt deshalb Vertikalstäbe, die wesentlich kleiner sind und entsprechend weniger Leistung abstrahlen oder empfangen. Eine kürzere Antenne wirkt nicht wie ein abgestimmter Resonator (Ersatzschaltbild: Reihenresonanzkreis), sondern kapazitiv. Das ist in der Schaltung des Antennenkreises zu berücksichtigen.
1924 machten amerikanische Amateure die aufsehenerregende Entdeckung, dass man mit Wellenlängen kleiner als 100 m (Kurzwellen) die gleichen Entfernungen mit um Größenordnungen kleineren Sendeleistungen (10 bis 100 W unter günstigen Verhältnissen) überbrücken kann. Die Kurzwellen sind keine Bodenwellen, sondern Raumwellen, die in der oberen Erdatmosphäre an ionisierten Schichten zum Erdboden hin abgelenkt werden. Mit mehreren Reflexionen können diese Wellen um die ganze Erde gelangen. E. Kennelly und O.Heaviside hatten schon 1902 unabhängig voneinander darauf hingewiesen, dass sich in der oberen Atmosphäre eine Schicht befindet, in der sich unter dem Einfluss der kurzwelligen und korpuskularen Sonnenstrahlung freie Ionen und Elektronen bilden. Die Kennelly-Heaviside-Schicht, die heute als Ionosphäre bezeichnet und in mehrere Schichten (D, E, Fp F2) zwischen 80 und 500 km Höhe unterteilt wird, hat für die Kurzwellen eine kleinere Brechzahl als die nichtionisierte Atmosphäre. Die Wellen werden deshalb zum optisch-dichteren Medium hin gebrochen. Abb. 5.59 zeigt die Abhängigkeit der Krümmung vom Ausstrahlungswinkel. In der Umgebung des Senders existiert eine tote Zone (zwischen den Strahlen 1 und 6); und Strahlen mit verschiedener Weglänge können u.U. auch miteinander interferieren (Strahlen 8 und 4 sowie 9 und 2) und Schwundeffekte (fading) hervorrufen. Die größte Reichweite mit einer Reflexion wird bei fast hori-
Abb. 5.59 Zur Ausbreitung kurzer Wellen um die Erde.
5.5 Anwendungsbeispiele 365
zontaler Ausstrahlung (Strahl 1) erreicht. Wenn sich Boden- und Raumwellengebiete überschneiden, was zwischen 50 und 150 km vorkommen kann, gibt es besonders unangenehme Schwunderscheinungen. Die ionisierenden Schichten sind in Höhe, Dicke und lonisationsgrad von der Tageszeit und auch von der Sonnenaktivität (Sonnenflecken, Eruptionen an der Sonnenoberfläche) abhängig. Neben der Brechung findet auch Absorption der Wellen statt. Die unterste D-Schicht ist am geringsten ionisiert und wirkt hauptsächlich absorbierend.
Brechung bzw. Reflexion und Absorption in der Ionosphäre sind stark abhängig von der Wellenlänge. Die drei Ausbreitungsmoden sind in Abb. 5.60 schematisch zusammengefasst. Langwellen mit Wellenlängen von 1 km und größer werden nur durch Bodenwellen ausgebreitet. - Mittelwellen werden tagsüber nur als Bodenwellen mit geringer Reichweite, die aber noch deutlich größer als die Sichtweite ist, ausgebreitet; die Raumwellen werden in der D-Schicht absorbiert. Die D-Schicht wird nach Sonnenuntergang rasch abgebaut, sodass die Mittelwellen nachts zu den höheren Schichten gelangen und dort reflektiert werden können; das führt zu Überreichweiten und u.U. auch zu Überlappung von Sendebereichen verschiedener Sender, die dieselbe Trägerfrequenz benutzen. - Kurzwellen von etwa 10 bis 100 m Wellenlänge sind die typischen Raumwellen. Die Empfangsbereiche und die Empfangsqualität sind sehr stark von Tageszeit und atmosphärischen, sonnenbedingten Störungen abhängig. Wellenlängen von einigen Metern und weniger werden von den ionisierten atmosphärischen Schichten nicht mehr reflektiert; ihr Empfangsbereich ist gleich der Sichtweite vom Sender.
Die Polarisation der Strahlung von Lang- und Mittelwellensendern ist vertikal, die der Kurzwellensender horizontal, die der UKW-Sender überwiegend horizontal. Die Ausrichtung der Empfangsantennen muss der Polarisation angepasst sein. Die stabförmigen Autoantennen empfangen vertikale Polarisation viel besser als horizontale. Es gibt auch UKW-Sender, die zirkular polarisierte Wellen ausstrahlen, um von vertikalen und horizontalen Empfangsantennen gleich gut, allerdings mit nur 70 % des Spannungssignals (halbierter Leistung, — 3 dB), empfangen zu werden.
Die Kombinations-Empfangsantennen für alle Radio- und Fernseh-Bereiche verschwinden nach und nach von den Hausdächern. Immer mehr Haushalte erhalten
Abb. 5.60 Die drei Ausbreitungsarten der elektromagnetischen Wellen (schematisch).
366	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
einen Kabelanschluss. Wer aber in einer dünnbesiedelten Gegend lebt und deshalb in absehbarer Zeit nicht mit Verkabelung rechnen kann, oder Sender empfangen möchte, die nicht ins Kabel eingespeist werden, der weicht aus auf Satellitenempfang. Der geostationäre Satellit empfängt die Aufwärtsstrahlung (uplink) von der Bodenstation und nutzt die mit Solarzellen gewonnene elektrische Leistung zur Verstärkung und zur scharf gebündelten Abstrahlung auf die Erdoberfläche (downlink)-, ein Übertragungskanal am Satelliten, bestehend aus Empfänger, Umsetzer und Sender, wird Transponder genannt. Heute gibt es viele Satelliten mittlerer Leistung (etwa 50 W pro Transponder, wie die Astra-Satelliten), die für den privaten Empfang geeignet sind.
5.5.2 Radioastronomie
1931 entdeckte der Elektroingenieur Karl G. Jansky von der Bell Telephone Company die erste extraterrestrische Radiostrahlung, ein Rauschen aus der Richtung des Zentrums der Milchstraße. Das weckte aber nicht das Interesse der Astrophysiker. Niemand dachte damals darüber nach, ob die Beobachtung astronomischer Objekte mithilfe von anderer Strahlung als sichtbarem Licht vielleicht zu neuen Erkenntnissen führen könnte.
Die Radioastronomie begann nach 1945 exploratorisch, ohne spezifische Erwartungen, als eine friedliche Anwendung der während des 2. Weltkriegs entwickelten Radartechnik. Beim Radar sind Sender und Empfänger identisch. Entweder wird die Laufzeit eines an einem Objekt reflektierten Mikrowellen-Pulses gemessen und daraus die Entfernung des Objektes bestimmt (Navigation); oder es wird die Dopplerverschiebung einer an einem bewegten Objekt reflektierten Mikrowelle gemessen und daraus die Geschwindigkeit des Objektes bestimmt (Verkehrskontrolle). Die Radartechnik ist auch für die Erforschung von Mond und Planeten genutzt worden. Beispielsweise wurde durch Doppler-Radar festgestellt, dass die Venus, deren Oberfläche unter einer dicken Wolkendecke verborgen ist, langsamer um ihre Achse rotiert als sie um die Sonne umläuft.
Die Radioastronomie benutzt von der Radartechnik nur die Empfangsantennen für Wellen aus dem Weltall (passiver Funkdienst). Das Radiofenster der Erdatmosphäre beginnt mit Wellenlängen von kleiner als 20 m (/> 15 MHz), für die die Ionosphäre durchlässig ist, und endet bei Wellenlängen von etwa 6 mm (f = 50 GHz), weil zu kürzeren Wellenlängen die Absorption durch Sauerstoff und Wasserdampf stark zunimmt. Nur auf hohen Bergen und in wasserdampffreier Luft ist terrestrische Submillimeter-Radioastronomie bis 0.35 mm (f = 857 GHz) möglich. Im Submillimeterbereich überlappt die Radioastronomie mit der Infrarotastronomie.
Radioteleskope. Die Installation von Radioteleskopen erfolgt bevorzugt in abgelegenen Gegenden, möglichst abgeschirmt gegen den Funkverkehr. Aber die Störungen durch den terrestrischen Funk und den Satellitenfunk nehmen zu. Nur eine Anzahl kleiner Frequenzbereiche - beginnend bei 25.50-25.67 MHz und endend bei 250-252 GHz - sind allein für passive Funkdienste reserviert.
Alle Radioteleskope bestehen aus einem fokussierenden Spiegel und einer Empfangsantenne im Brennpunkt. Das Richtdiagramm besitzt eine große Hauptkeule
5.5 Anwendungsbeispiele 367
und unbedeutende Nebenkeulen. Das Auflösungsvermögen des Radioteleskops wird durch die Keulenbreite 01/2 beschrieben; das ist der Winkel zwischen den Richtungen, für die die Leistung des empfangenen Signals nur noch halb so groß ist wie im Maximum. Der Durchmesser des Teleskops D und die Wellenlänge z. bestimmen die Keulenbreite nach
01/2ä2/Z>.	(5.158)
Diese Formel gilt für alle Teleskope, nur dass der Begriff der Keulenbreite, der aus der Radartechnik kommt, in der Lichtoptik nicht verwendet wird. Astronomische Teleskope im sichtbaren Spektralbereich haben Durchmesser von einigen Metern und Wellenlängen von einigen 100 nm, d. h. 1/D liegt bei 10 ?. Typische Werte für die Radioastronomie sind z. B. D — 30m und 2 = 0.03 ... 3m, also liegt 1/D etwa bei 10 ' ... 10 1. Das Auflösungsvermögen ist also für Radioteleskope im Meterwellen-Bereich etwa um 6 Größenordnungen, im Zentimeterwellen-Bereich etwa um 4 Größenordnungen schlechter als das für optische Teleskope.
Ein optisches Teleskop erzeugt ein Bild von einem Himmelsausschnitt, dessen Inhalt auf einer Photoplatte festgehalten (oder mithilfe elektronischer Komponenten registriert) werden kann. Das Auflösungsvermögen bestimmt die Größe eines Bildpunktes, genauer den Abstand zwischen zwei getrennt wahrnehmbaren Bildpunkten. Beim Radioteleskop ist wegen der wesentlich schlechteren Auflösung praktisch immer nur ein Bildpunkt wahrnehmbar. Der Spiegel des Radioteleskops fokussiert die aufgenommene Strahlungsleistung auf den Radiowellen-Empfänger (Detektor); die Intensität des Empfängersignals entspricht der Bildhelligkeit des einen Bildpunktes. Ein schwenkbares Radioteleskop hat meist einen fest im Brennpunkt montierten Empfänger und einen parabolischen Spiegel, der ein achsenparallel einfallendes Strahlenbündel ohne Öffnungsfehler im Brennpunkt fokussiert. Ein nichtschwenkbares Radioteleskop hat meist einen in der Umgebung des Brennpunktes bewegbaren Empfänger, mit dem die Zielrichtung variiert werden kann; dafür sind Parabolspiegel nicht so gut geeignet wie Kugelspiegel, weil letztere für schräg einfallende Bündel geringere Abbildungsfehler haben.
Das bis heute größte Radioteleskop wurde 1963 von der Cornell University in einem Talkessel bei Arecibo (Puerto Rico) errichtet. Dieses Teleskop hat einen unbeweglichen, horizontal liegenden Kugelspiegel mit 305 m Durchmesser, geeignet für Wellenlängen 2 > 30 cm. In der Brennebene darüber, gehalten durch Tragseile, befindet sich ein seitlich beweglicher Empfänger. Mit variabler Empfängerposition kann die Antennenkeule bis zu 25° gegen die Vertikale geneigt und so ein Himmelsausschnitt in der Umgebung des Zenits von 50° Winkeldurchmesser erfasst werden. Die südliche Lage von Arecibo (18° n.B.) und die Erdrotation sorgen dafür, dass der zugängliche Himmelsausschnitt im Laufe eines Tages einen großen Bereich der Himmelskugel überstreicht.
Die Nachkriegs-Radioastronomie entwickelte sich zuerst in den USA und in England, wo hochentwickelte Radartechnik und erfahrene Mikrowellen-Physiker verfügbar waren und die Grundlagenforschung bald wieder aufgenommen werden konnte. - Mit der Gründung des Max-Planck-Instituts für Radioastronomie in Bonn 1966 und seinem 1972 in Betrieb genommenen Radioteleskop in Effelsberg/Eifel (Abb. 5.61) erreichte die deutsche Radioastronomie den Anschluss an die interna-
5.5 Anwendungsbeispiele 369
tionale Forschung. Das Effelsberger Radioteleskop ist bis heute das größte voll bewegliche. Der Parabolspiegel hat 100 m Durchmesser und 30 m Brennweite.
Radiointerferometrie. Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen Radioastronomie und optischer Astronomie: Licht kann nur als Intensität (Leistung), Radio Strahlung dagegen als hochfrequente Wechselspannung mit Amplitude und Phasenlage nachgewiesen werden. Für die Interferometrie bedeutet das: Zwei Lichtstrahlen kann man nur als Wellenfelder zur Interferenz bringen, und vom Resultat ihrer Überlagerung kann man mit Auge, Photoplatte oder CCD (charge-coupled device, Abschn. 9.4.2) nur die Intensitäten (Amplitudenquadrate) registrieren. Zwei Radiosignale kann man dagegen mit zwei verschiedenen Empfängern erfassen und danach zur Interferenz bringen, indem man sie elektronisch phasengerecht addiert (Abb. 5.62). Durch diese Interferenz verbessert sich die Winkelauflösung in der Ebene, in der die beiden Antennen liegen.
Abb. 5.62 Schwenkbares Zwei-Antennen-Interferometer (schematisch): Oben - verschiedene geometrische Phasenunterschiede, unten - Intensität des Radiosignals als Funktion des Positionswinkels.
Führt man beide an der Erdrotation teilnehmenden Spiegel so, dass sie einer Radioquelle in ihrer scheinbaren Bahn quer über den Himmel folgen, dann erhält man das in Abb. 5.62 unten gezeigte Interferenz-Signal als Funktion des Positionswinkels bzw. der Zeit. Nimmt man als Maß für die durch Interferenz verbesserte Winkelauflösung den Winkelabstand zwischen den beiden Null-Minima links und rechts vom Hauptmaximum (= Winkelabstand zwischen zwei benachbarten Ma-xima), dann erhält man
AÜ - 2 (z 2) </-z </.	(5.159)
wobei d der Abstand der beiden Antennen ist. An Stelle des Spiegeldurchmessers D, der nach Gl. (5.149) den auflösbaren Winkel für das einzelne Teleskop bestimmt, tritt nun die interferometrische Basislänge d.
370	5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Genau wie in der Optik die Interferenzmuster schärfer werden, wenn man vom Doppelspalt zum Strichgitter übergeht, erhält man mit mehreren äquidistanten Antennen entlang einer Linie (array) eine entsprechend höhere Winkelauflösung. Der Winkelabstand zwischen zwei großen Maxima ist gleich 1/d wie in Gl. (5.159), aber die Peaks sind nun viel schmaler. Mit gekreuzten „Arrays“ kann man erhöhte Winkelauflösung in zueinander senkrechten Ebenen erhalten. - Mit einem aus vielen Elementen bestehenden Interferometer lassen sich aus längeren Beobachtungen einer Radioquelle entlang ihrer durch die Erdrotation zustande kommenden Umlaufbahn mithilfe von Computern hochaufgelöste Bilder der Radioquelle konstruieren; das Verfahren heißt Apertursynthese und wurde maßgeblich von Sir Martin Ryle, Cambridge, entwickelt (Nobelpreis 1974).
Die VLBI (yery lang baseline interferometry) verzichtet auf die Kabel verbindungen zwischen den Antennen. Stattdessen wird jedes Signal phasengerecht aufgezeichnet und mithilfe von global synchronisierten Uhren zeitlich festgelegt. Die verschiedenen Aufzeichnungen werden später miteinander korreliert. Auf diese Weise sind inter-ferometrische Messungen mit Antennenabständen von mehr als 1000 km möglich. Sogar im Raum stationierte Antennen können einbezogen werden. Es gibt VLBI-Netze in Europa (Effelsberg, zusammen mit Teleskopen in Großbritannien, Italien, den Niederlanden, Schweden, Frankreich, Polen und Russland) und in den USA (zehn 25-m-Spiegel, verteilt von Hawaii über Neu England bis zu den Virgin Islands in der Karibik), die auch schon für besondere Messungen zusammengeschaltet wurden. Mit Zentimeterwellen lassen sich so Winkelauflösungen erreichen, die die optischer Teleskope übertreffen.
5.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 5
5.6.1 Signalübertragung auf Leitungen
Wellenleiter. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 5-1
Wanderwellen. Universität Erlangen-Nürnberg: http://www.uni-erlangen.de/ => Einrichtungen => Technische Fakultät => Institut für Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik => Lehrstuhl für Elektrische Energieversorgung (Prof. Dr. Herold) => Forschung am Lehrstuhl „Arbeitsgebiete“ => Wanderwellenschutz auf Basis der Wavelet-Transformation =
Link 5-2
Koaxialkabel. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Coaxial cable:
Link 5-3
Hohlleiter. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Waveguide:
Link 5-4
5.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 5
371
Elektrische Telegrafie. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Telegrafie => 2. Elektrische Telegrafie =
Link 5-5
Elektroakustik. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Kategorie: Elektroakustik:
Link 5-6 Alphabetische Liste von 200 Unterkategorien.
Ergänzung: Institut für Signal- und Informationsverarbeitung (ISI) der ETH Zürich, Departement für Informationstechnologie und Elektrotechnik: http:// www.isi.ee.ethz.ch/ => Für Studenten => Vorlesungen => Akustik II => Autographie / Buch: Skript „Div“ => Ergänzungen zum Skript: „ Geschichte der Elektroakustik, Hypertext, K. Heutschi“ =
Link 5-7 mit Links zu Meilensteinen der Entwicklung
Telefon. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Telefon:
Link 5-8
5.6.2 Funk- und Radiotechnik
Auswirkung der Titanic-Tragödie auf die Funktechnik. U.S. Marconi Museum „.. .from spark to space“: http://www.marconiusa.org => TITANIC Tragedy Spawns Wireless Advancements =
Link 5-9
Drahtlose Telegraphie mit gedämpften Wellen. Am 1. Februar 1999 endete die Ära der drahtlosen Telegrafie im Seefunk durch die endgültige Einführung des neuen weltweiten Seenot- und Sicherheitsfunksystems GMDSS. Erinnerung an 100 Jahre Seefunk, - eine Dokumentation von H. Busch, einem ehemaligen Funkoffizier auf See: http://www.seefunknetz.de/ => Seefunk-Geschichte => Drahtl. Telegrafie mit ged. Wellen (Teil 1) (Show Only This Frame) =
Link 5-10 Aufsatz von H.-J. Ellissen, weiter mit Teil 2, 3 und 4
Geschichte des Radios. Informative Hobby-Homepage von „bchris“: http:// www.northwinds.net/bchis => Home =
Link 5-11 Unten auf der Homepage unter dem Titel „A Brief History of Radio“ eine Klick-Liste der einzelnen Kapitel => Theory and First Experiments - Pre-1900, => Early Inventions - 1900’s, => Technical Advances -1910, usw.
Wirkungsweise von Radio und Fernsehen. Radio Design Group is a full Service elect-ronics design Company specializing in RF and wireless technologies for commercial and military customers. Every day we use radio and wireless products. Most of us take their Operation for granted, but increasingly many want to know „How It Works.“ http://www.radiodesign.com/hwitwrks.htm =
Link 5-12 Weiter z. B. mit => Radios, oder => Television, oder => Radio Spectrum Designations
372
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Telefunken. Im Aufstieg und Fall des einstigen Weltunternehmens Telefunken spiegeln sich Technik- und Weltgeschichte gleichermaßen wider. Heise Zeitschriften Verlag GmbH & Co. KG, 30625 Hannover: (http://www.heise.de) - c’t magazin für Computer technik, c’t 8/2004, S. 56: Technikgeschichte. Richard Sietmann „Synergien zerbröselt - Das Lehrstück Telefunken“: http://www.heise.de/ct/04/08/056/ = Link 5-13
5.6.3 Radar, Radioastronomie
Mikrowellen. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Microwave:
Link 5-14
Ergänzung: Aus IEEE - Virtual Museum (s. Abschn. 1.4):
=> Exhibits => Microwaves: From Your Kitchen to the Edges of the Universe = Link 5-15
Grundlagen der Radartechnik. Dipl.-Ing. (FH) Christian Wolff, 17036 Neubrandenburg. Allgemeinverständliche Darstellung der physikalischen Grundlagen der Radartechnik, wie sie an der Technischen Schule der Luftwaffe gelehrt werden: http:// www.itnu.de/radargrundlagen =
Link 5-16 Weiter z. B. mit => Radargeräte
Doppler-Radar. Christian Doppler Forschungs- und Gedenkstätte, A-5020 Salzburg: http://www.christian-doppler.de =
Link 5-17 Weiter z. B. mit => Verkehrsradar, oder => Luftfahrt
Geschichte des Radar. Website designed by Martin Hollmann, Aircraft Designs, Inc., S. Monterey, CA 93940, son of the radar pioneer Dr. Hans Erich Hollmann: http://www.radarworld.org =
Link 5-18 Weiter z. B. mit => How Radar Works, oder mit Radar-Development in => Germany, => England, => America
Arecibo Radio/Radar Telescope. The website for the space industy: http://www.spa-ce-technology.com => Industry Projects => Ground Stations „Arecibo Radio/Radar Telescope ...“ =
Link 5-19
Radioastronomie. Max-Planck-Institut für Radioastronomie, Bonn: http://www.mpifr-bonn.mpg.de => Forschung (Show Only This Frame) ergibt Link 5-20 Weiter mit Themen, aufgeführt unter „Teleskope“ und „Technologie“
Very Long Baseline Interferometry (VLBI). The European VLBI Network: http:// www.evlbi.org/ => VLBI Links =
Link 5-21 Weiter z. B. mit => Very Long Baseline Array (VLBA) Home Page Ergänzung: University of Calgary (ucalgary), Canada (ca) - Radio Astronomy La-boratory (ras): http://www.ras.ucalgary.ca => (unten) Other Information „Space Very Long Baseline Interferometry (SVLBI)“ =
Link 5-22
5.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 5
373
5.6.4 Satellitentechnik
Satelliten-Typen. Canada’s Digital Collections is one of the largest sources of Ca-nadian content on the Internet: http://collections.ic.gc.ca => English => Alphabetical Listing S => Satellites => Types and Uses =
Link 5-23 Siehe auch (Leiste, oben) => Anatomy of a Satellite
Global Positioning System (GPS). Department of Geography, University of Colorado, Boulder: http://www.colorado.edu/geography/ => Projekts and Related Research „ Geographer’s Craft“ => Lecture and Discussion Notes => The Global Positioning System (GPS) (Show Only This Frame) =
Link 5-24 => Full Table of Contents
Ergänzung: „Explorer“ Das Outdoor-Magazin: http://www.explorermagazin.de/ => Links Outdoor/Offroad => GPS-Navigation =
Link 5-25 Weiter z. B. mit => „Verfahren“ der GPS-Navigation
5.6.5 Biographien
Kurzbiographien. University of Maryland, Dept. Of Electrical and Computer Engineering (http://www.ee.umd.edu) => Faculty & Staff => Taylor (Website) => A Thumbnail History of Electronics! =
Link 5-26 Weiter mit den Kapiteln
II.	WIRELESS TELEGRAPHY:
H.R. Hertz, E.E.D.Branly, O.J.Lodge, G.Marconi
III.	VACUUM TUBES:
T.A. Edison, J.A. Fleming, L. de Forest, W.D. Coolidge, W. Schottky, I. Langmuir
IV.	RADIO: R.A.Fessenden, E.H. Armstrong, L.A.Hazeltine, H.S.Black
V.	TELEVISION: J.L.Baird, P.T.Farnesworth, V.K.Zworykin
VI.	RADAR:
R.A.Watson-Watt, A.L.Loomis, LI.Rabi, L.A.Alvarez, E.M.Purcell, R.H.Dicke
Wilhelm Eduard Weber (1804-1891). s. Abschn. 3.8.3, Link 3 18
Rudolf Hermann Arndt Kohlrausch (1809-1858). s. Abschn. 3.8.3, Link 3—19
Hermann von Helmholtz (1821-1894). Helmholtz-Gemeinschaft Deutscher Forschungszentren: http://www.helmholtz.de => Deutsch => Wir über uns => Hermann von Helmholtz =
Link 5-27
Ergänzung: Aus MacTutor Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 5-28
William Thomson / Lord Kelvin (1824-1907). Aus MacTutor Biographies
(s. Abschn. 1.4), Kelvin:
Link 5-29
374
5 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
Ergänzung: Physics and Astronomy Dept., University of Glasgow: http://www.phy-sics.gla.ac.uk/ => Search „Lord Kelvin“ => Lord Kelvin Online => Kelvin: Lord Kelvin’s Atlantic Cable =
Link 5-30
James Clark Maxwell (1831-1879). Aus MacTutor Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 5-31
Alexander Graham Bell (1847-1922). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4): Link 5-32 Weiter mit => (unten) Erfindung des Telefons
Ernst Lecher (1856-1926). Physik-Department, TU München:
http://www.physik.tu-muenchen.de/ => Mitarbeiter => Kressierer, Sepp => Links => einige Biographien bedeutender Forscher => Lecher, Ernst (Show Only This Frame) =
Link 5-33
Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 5-34
Ergänzung: Aus Deutsches Museum (s. Abschn. 1.4): => Ständige Ausstellungen „Physik“ => Versuche in der Abteilung Physik => (unten) Experimente-Übersicht „Elektromagnetische Wellen“ =
Link 5-35 Die hier gezeigten Versuche wurden 1888/89 von Heinrich Hertz zuerst durchgeführt. Sie bilden einen wesentlichen Beitrag zu dem Beweis, dass Licht und elektromagnetische Wellen wesensgleich sind.
Georg Graf von Arco (1869-1940). Dr.-Georg-Graf-von-Arco-Gesamtschule, 14641
Nauen: http://www.grafvonarco-schule.de/ => Graf von Arco =
Link 5-36
Lee de Forest (1873-1961). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 5-37
Ergänzung: After Lee de Forest’s death in 1961, his wife Marie donated his papers, many photos, his OSCAR and much of his technology. In 2003, the de Forest Collection was transferred to History San Jose, the major museum of Silicon Valley History: http://www.leedeforest.org => The Life of Lee =
Link 5-38 Weiter mit => Return to the complete Lee de Forest => Lee’s Audion
Guglielmo Marconi (1874-1937). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 5-39
Ergänzung: U.S. Marconi Museum: http://www.marconiusa.org => Who was Guglielmo Marconi =
Link 5-40
Harry Nyquist (1889-1976). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 5-41
Edwin Howard Armstrong (1890-1954). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 5-42
6 Licht
Tab. 6.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
a a a B B — B b — b c Cl,2 D d E E — E E Epb F — F — G — g — h — I k k £ — M	Fläche (Betrag) Amplitude, Erregung Beschleunigung Beschleunigung (Betrag) Abstand, Länge, Gitterkonstante magnetische Feldstärke = l«l Bildgröße Länge, Breite Bildweite Lichtgeschwindigkeit 1., 2. Strahlungskonstante Durchmesser Distanz, Abstand elektrische Feldstärke elektrische Feldstärke (Betrag) Bestrahlungstärke Teilchenenergie, relativistische Gesamtenergie Photonenenergie Kraft Mitführungskoeffizient Brennweite Schallfrequenz Gegenstandsgröße Gegenstandsweite Planck-Konstante Intensität (einer Welle) Wellen-Ausbreitungsvektor = |Ä|, Kreiswellenzahl Boltzmann-Konstante (in Literatur meist k) Strahldichte Länge, Strecke (gerichtete) Länge, Differential d/' Länge spezifische Ausstrahlung
376
6 Licht
Größensymbol	Bedeutung
► m N n — P — P q r c 0,1,2,3 5 1 T t, Az V, V' ^Länge ’ ^Winkel " " " U V ► w	Masse Anzahl, Strichzahl Brechzahl Poincare-Vektor Polarisationsgrad Ladung Radius, radialer Abstand Stokes-Parameter (gerichtete) Strecke, Differential d.v Periode einer Schwingung Temperatur Zeit, Zeitdifferenz Hellempfindlichkeiten für Tag und Nacht verschiedene Vergrößerungen Erregung in Beugungsebene Geschwindigkeit Geschwindigkeit frequenz- oder wellenlängenabhängige Größe
x, y,z 1 ► a | ► ot - ß 1- ß 1- ß 7 E £0 £r e 9 2 ^0 Pr V p °SB — $ (p — Q CO	kartesische Längenkoordinaten Absorptionsvermögen erster Poincare-Parameter normalisierte Geschwindigkeit = \ß\ = v/c zweiter Poincare-Parameter Lorentz-Parameter, = (1 — ß2)~'12 Emissionsgrad elektrische Feldkonstante (relative) Permittivitätszahl, Permittivität Polarwinkel, Beugungswinkel, halber Öffnungswinkel Winkel, Polarwinkel Wellenlänge magnetische Konstante (relative) Permeabilitätszahl, Permeabilität Lichtfrequenz Längenkoordinate in Beugungsebene Reflexionsvermögen Stefan-Boltzmann-Konstante (in Literatur meist <y) Transmissionsvermögen geometrisierte Zeit (= z/c) Strahlungsleistung Winkel, Winkel in der komplexen Ebene, Phasenwinkel Raumwinkel Kreisfrequenz
Ergänzende Information in Abschn. 15.5 (Komplexe Zahlen) und Abschn. 15.7 (Fourier-Reihen und -Integrale). Die verwendeten mathematischen Symbole sind in Tab. 15.1 zusammengestellt.
6 Licht 377
Die Optik (= Lehre vom Licht) ist ein altes und hochentwickeltes Forschungsgebiet. Jahrhundertelang gehörte die Optik wie die Mechanik zu den Grundpfeilern der Physik. Dass vor Maxwell niemand wusste, was Licht eigentlich ist, hat die Bedeutung dieses Gebietes nicht geschmälert. Die technische Optik, kombiniert mit der Feinmechanik, ermöglichte den Bau von Fernrohren und Mikroskopen. Diese Instrumente erweiterten den Erfassungsbereich des Auges um viele Größenordnungen. Unter Ausnutzung der Interferenz gelang es, Längenmessungen mit Sub-Mikrome-ter-Genauigkeit durchzuführen. Die spektroskopische Indentifizierung der Elemente bereicherte Chemie und Astrophysik, und die Spektroskopie des Wasserstoffatoms war der Schlüssel zur modernen Atomphysik, die schließlich auch die Prozesse der Lichtemission und -absorption erklären konnte.
Die Optik gehörte noch in den 1950er Jahren zur experimentalphysikalischen Grundausbildung, denn viele Experimente hatten optische Komponenten; die optischen Systeme wurden meist von den Physikern selbst entworfen und zusammengebaut. Das ist heute anders: In der Experimentalphysik sind die optischen Präzisionsmessmethoden weitgehend durch elektronische verdrängt worden. Die heute noch benutzten optischen Komponenten (Teleskope, Kameras, Pyrometer ...) sind kommerzielle Geräte. Nur die experimentellen Laser-Physiker (Quanten-Optiker) entwerfen noch ihre eigenen Strahlengänge und bauen die Systeme aus einzelnen Komponenten selber auf.
Unter dem Zwang zu Kürzungen im Lehrstoff wurde an vielen Universitäten die Optik aus dem Grundstudium ausgegliedert. Die wichtigsten Wellenphänomene werden schon im ersten Semester im Zusammenhang mit Seil-, Wasser- und Schallwellen behandelt; zu diesen schon in Band 1 behandelten Phänomenen gehören:
-	Spiegelung und Brechung,
-	Longitudinal- und Transversalwellen,
-	stehende Wellen,
-	Huygens’sches Prinzip,
-	Beugung und Interferenz,
-	Phasen- und Gruppengeschwindigkeit,
-	Doppler-Effekt,
-	Mach’scher Kegel.
Beim Elektromagnetismus wird zwar erwähnt, dass die Maxwell’schen Gleichungen für das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen - also auch für Licht - gelten, aber welche großen Forschungsgebiete durch Maxwells Theorie vereinigt wurden, kann heute kaum noch vermittelt werden. Das ist schade, denn die physikalische Erklärung von Spiegelung, Brechung und Streuung des polarisierten Lichts waren großartige Erfolge der Maxwell’schen Theorie. Unbefriedigend ist auch, dass die relativistischen Aspekte des Elektromagnetismus, die durch Experimente und Theorien zur Lichtausbreitung erkannt wurden, nicht mehr zusammen mit dem Elektromagnetismus gelehrt werden.
Die veränderte Stellung der Optik im Lehrprogramm hat auch den Bergmann-Schaefer geprägt: Der Band 3 (Optik) war von Ludwig Bergmann und Clemens Schaefer als Lehrbuch der klassischen Optik für Anfänger geschrieben worden. Die ersten Auflagen von 1955/59/62 hatten ca. 400 Seiten. Die 10. Auflage von 2004 hat
378
6 Licht
1430 Seiten, wurde von 18 Autoren geschrieben und ist ein Lehrbuch für das Physik-Hauptstudium, sowie ein Handbuch der modernen Wellen- und Teilchenoptik.
Dieses Kapitel soll die oben skizzierten Lehrprobleme mit der Optik wenigstens teilweise beheben:
-	Optische Grundkenntnisse, die zu einer guten physikalischen Allgemeinbildung gehören sollten, werden kurz dargestellt.
-	Durch spezifische Verweise auf den Band 3 soll die Hemmschwelle für die Konsultierung dieses Standardwerkes reduziert werden.
-	Über die Behandlung der Lichtgeschwindigkeitsmessungen wird ein Zugang zur Relativitätstheorie ermöglicht. Die Spezielle Relativitätstheorie, die aus theoretischen Überlegungen „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ (A. Einstein, 1905) entstand, ist die Krönung des klassischen Elektromagnetismus.
6.1 Experimentieren mit Licht
6.1.1 Messgrößen, Standards
Größen und Einheiten. Obwohl die Sichtbarkeit des Lichtes der Grund für die frühzeitige Entwicklung der Optik war und die Bilderfassung mit dem Auge auch heute noch für das Experimentieren äußerst wichtig ist, wird in der physikalischen Optik jeder Bezug auf die Eigenschaften des menschlichen Auges vermieden.
Betrachtet man nicht die Sichtbarkeit, sondern die Verfügbarkeit von strahlungsdurchlässigen Gläsern für Linsen, Prismen und Fenster als das typische Merkmal der technischen Optik, dann erweitert sich der optische Wellenlängenbereich unter Einbeziehung eines Teils des Ultravioletten (UV) und Infraroten (IR) wie folgt:
0.4 jrm-0.7 jrm Strahlung sichtbar
0.35 jrm-2.7 jrm verschiedene Gläser nutzbar
0.19 jrm-3.5 jrm Quarzglas nutzbar.
Bis ins 20. Jahrhundert waren die atomaren Prozesse, die für die Emission und Absorption von Licht verantwortlich sind, völlig unbekannt. Deshalb mussten die Standards auf die Thermodynamik bezogen werden, deren allgemeine Gültigkeit zum Fundament der Physik gehört. Die Strahlungsleistung von absorbiertem Licht aller Wellenlängen wurde als Wärmezufuhr gemessen.
Es gibt weder punktförmige Lichtquellen noch parallele Strahlenbündel. Deshalb ist es sinnvoll, die von einer Lichtquelle emittierte Strahlungsleistung $ auf die Fläche A der Quelle und auf den Raumwinkel Q des Strahlenbündels zu beziehen; das führt zu dem wichtigen Konzept der Strahldichte (radiance) L, gemessen in W m 2 sr 1.
d2<7>
L =-------
dA dß
Für Gl. (6.1) wird angenommen, dass die emittierende Fläche A senkrecht zur Emissionsrichtung liegt (Abb. 6.1a); wird die Emission nicht senkrecht zur Fläche be-
(6-1)
6.1 Experimentieren mit Licht 379
Abb. 6.1 Zur Strahldichte: (a) Raumwinkel senkrecht zur emittierenden Fläche, (b) Bezug auf Projektion der Fläche in die Ebene senkrecht zur Emissionsrichtung, (c) Charakteristik eines Kosinus-Strahlers.
obachtet, dann ist A durch die Projektion der emittierenden Fläche auf die Ebene senkrecht zur Beobachtungsrichtung zu ersetzen. Die Projektion von A, die scheinbare Emitterfläche (Abb. 6.1b), ist um den Faktor cos0 kleiner als A, wenn die Emissionsrichtung um den Winkel 0 gegen die Flächennormale geneigt ist. Deshalb kann man das Abstrahlungsverhalten auch durch ein (cos 0)-Polardiagramm beschreiben (Abb. 6.1c). Solche „normalen“ Quellen werden Kosinus-Strahler oder Lambert’sche Strahler (Lambert sources) genannt.
Integriert man die Strahldichte über alle Richtungen des Halbraums, in den die Fläche A emittiert, dann erhält man die spezifische Ausstrahlung M (flux density), gemessen in Wm 2.
d<7>
M= f LdQ =—.	(6.2)
Halbraum	dA
Für einen Lambert’schen Strahler ergibt die Integration über Azimutwinkel cp und Polarwinkel 0
2k -k/2
J cos 0 dß = J dcp j sin 0 cos 0 d0
Halbraum	0	0
= 2n [1 sin20](j2
= 7t(sr);	(6.3)
dieser Mittelwert ist genau die Hälfte des Halbraum-Raumwinkels 2k. Der Faktor k (sr) gibt die Verknüpfung von Strahldichte und spezifischer Ausstrahlung:
M = n • L.	(6.4)
Wird die Fläche A bestrahlt, dann wird die „Strahlungsleistung pro Fläche“, gemessen in W m 2, durch die Bestrahlungsstärke E (irradiance) beschrieben, unabhängig davon, aus welcher Richtung die Strahlung einfällt.
Alle oben definierten Größen beziehen sich auf Strahlung beliebiger Wellenlänge. Bei der Darstellung der spektralen Verteilung einer Strahlung wird in der Optik die
380
6 Licht
Wellenlänge /. als Spektralvariable bevorzugt, weil die Wellenlänge interferometrisch direkt gemessen werden kann (siehe Abschn. 6.1.3). Die Wellenlänge blieb die bevorzugte Spektralvariable auch nachdem klar war, dass die Frequenz physikalisch bedeutsamer ist als die Wellenlänge. Nur wenn es für die Betrachtung erforderlich ist, wird die Frequenz - in der Optik immer mit v (nicht f) symbolisiert - oder eine zu ihr proportionale Größe wie die Wellenzahl /. 1 = v/c, die Kreiswellenzahl k — 27t/. 1 — 2m>/c oder die Photonenenergie £"ph — h-v — lic-(Abschn. 7.2.1) als Spektralvariable verwendet (c = Lichtgeschwindigkeit, h — Planck-Konstante).
Spektrale Verteilungen sind Ableitungen einer Strahlungsgröße (hier allgemein als X symbolisiert) nach einer Spektralvariablen und werden i.A. durch dieselbe Größe, ergänzt durch die Spektralvariable als Index, repräsentiert:
XA = dXjdA und Xv = dA/dv.	(6.5)
Solche Verteilungen dürfen nicht mit simplen Abhängigkeiten von der Spektralvariablen verwechselt werden; letztere können bei Bedarf durch ein Argument in Klammern, z. B. X(A) (+ Xjl), ausgedrückt werden.
Bei der Umrechnung spektraler Verteilungsfunktionen von einer Variablen auf die andere darf man das Variabien-Differential nicht vergessen! Aus Gl. (6.5) folgt
dX = XxdA = Xv dv.	(6.6)
Dementsprechend ist bei dem Variablenwechsel A -> v nicht nur A = c/v, sondern auch
dA = (-)(c/v2) dv	(6.7)
zu substituieren. Das Minuszeichen in Gl. (6.7) wird meist ignoriert. Es ist üblich, sowohl A wie auch v graphisch als von links nach rechts ansteigend darzustellen und vorauszusetzen, dass dem Betrachter die Gegenläufigkeit der beiden Variablen bewusst ist.
Weil der sichtbare Spektralbereich nur knapp eine Oktave umfasst, werden Diagramme in der Optik vorwiegend linear über A oder v aufgetragen. Aber bei Betrachtungen eines größeren Spektralbereichs, wie er sich bei Einbeziehung des Infraroten und Ultravioletten ergibt, kann es nützlich sein, für die spektrale Variable eine logarithmische Skala zu verwenden. Dabei werden meist Zahlenwerte einer Größe JQ über den entsprechenden A-Werten der logarithmisch unterteilten Abszissenskala aufgetragen. Die Skalenzahlen beziehen sich auf A. Als Spektralvariable wird die Wellenlänge A angegeben. In einem solchen Diagramm sind die Flächen unter Kurvenstücken nicht mehr (wie von linearen Darstellungen gewohnt) miteinander vergleichbar, weil zwei gleich große Intervalle Az. an verschiedenen Stellen der logarithmischen Skala verschiedene Länge haben.
Helligkeit und Farbe. Die Bestrahlungsstärke E einer von der Sonne senkrecht bestrahlten Fläche oberhalb der Erdatmosphäre wird Solarkonstante genannt und hat den Wert 1.37 kW/m2. Die dazu gehörende spektrale Bestrahlungsstärke ist die obere
Kurve in Abb. 6.2; E. NTNT zeigt, was bei senkrechtem Einfall und durchschnittlichen atmosphärischen Bedingungen auf der Erdoberfläche in Meeresspiegelhöhe (NN = Normal Null) gemessen wird. Am Rand der Kurve sind die Moleküle angegeben, die für die Absorption in den einzelnen Spektralbereichen hauptsächlich
6.1 Experimentieren mit Licht 381
Abb. 6.2 Solare spektrale Bestrahlungsstärke bei senkrechtem Einfall über der Erdatmosphäre und auf Meeresspiegelhöhe (NN), sowie (schraffiert) die vom Auge wahrgenommene spektrale Helligkeit. Absorbierende Moleküle: Sauerstoff (Oj), Ozon (O3), Wasser (H2O), Kohlendioxid (CO2).
verantwortlich sind. Die schraffierte schmale Kurve repräsentiert £;nn • K(A); darin ist K(A) die Hellempfindlichkeit (Standard visibdity functiori) des menschlichen Auges für das Tagessehen, eine Funktion, die die mit vielen Testpersonen gewonnenen Mittelwerte am besten beschreibt und nun als Norm festgelegt ist (Bd. 3, Abschn. 1.8).
Der sichtbare Spektralbereich hat keine scharfen Grenzen. Außerdem ist die Kurve K'(/l) für das Nachtsehen etwas zu kürzeren Wellenlängen verschoben. Setzt man die Grenzen ganz weit nach außen, wo Licht gerade noch wahrnehmbar ist, dann liegt der sichtbare Bereich zwischen 380 und 780 nm. Ausgedrückt durch die Helligkeitsempfindlichkeiten bedeutet das Folgendes:
Wellenlänge	V (Tagessehen)	V' (Nachtsehen)
380 nm	0.0000	0.0006
400 nm	0.0004	0.009
505 nm	0.45	1
555 nm	1	0.42
700 nm	0.004	0.00002
780 nm	0.00002	0.0000001
Das Auge hat zwei anatomisch unterscheidbare Typen von Sehzellen, „Zapfen“ und „Stäbchen“; letztere sind lichtempfindlicher und verantwortlich für das Nachtsehen, bei dem keine Farben unterschieden werden. („Nachts sind alle Katzen grau.“) Dass die Lichtempfindlichkeit des Auges in dem Bereich liegt, in dem viel Licht von der Sonne auf die Erdoberfläche gelangt (Abb. 6.2), ist das Ergebnis der Evolution.
382	6 Licht
Ä/nm
Abb. 6.3 Zum Farbsehen: Oben - Namen der Spektralfarben, unten - Kurven für die drei Grundspektralwerte, die Grundlage der Trichromasie.
Das Sonnenlicht, das ohne spektrale Zerlegung hell und „weiß“ erscheint, lässt sich mithilfe eines Prismas in ein buntes Band von Spektralfarben (Regenbogenfarben) zerlegen. In der Abb. 6.3 sind oben die Namen der Farben angegeben, die mit Licht in den verschiedenen Spektralbereichen assoziiert werden.
Das farbige Tagessehen wird durch drei verschiedene Arten zapfenförmiger Sehzellen ermöglicht (Trichromasie), die unterschiedliche spektrale Empfindlichkeitskurven besitzen (Abb. 6.3). Diese drei Grundspektralwert-Kurven konnten durch Untersuchungen an Farbfehlsichtigen, denen eine dieser Zapfen-Arten fehlt (Dichro-masie), ermittelt werden. Für jede Wellenlänge (für jeden Farbreiz) gibt es eine typische Kombination der Signale von den drei Zapfen-Arten, die schon hinter der Netzhaut in komplizierter, nichtlinearer Weise miteinander verknüpft werden; an das Gehirn wird nur eine typische Farberregung weitergeleitet (Bd. 3, Kap. 6). Das Farbsehen ist ein physiologisches Phänomen, kein physikalisches.
Wie schon Newton experimentell festgestellt hat, ergibt die Überlagerung der Regenbogenfarben wieder den Eindruck „weiß“. Mithilfe der Kurven von Abb. 6.3 ist qualitativ zu verstehen, dass man „weiß“ auch erhalten kann, wenn man drei deutlich verschiedene Farben wie rot, grün und blau in einem bestimmten Intensitätsverhältnis überlagert. Diese additive Farbmischung lässt sich gut demonstrieren mit drei Farblichtstrahlen, die aus dem weißen Licht eines Projektors mit Farbfiltern erhalten wurden und die über drei justierbare Spiegel an einer weißen Projektionswand überlagert werden. Eine schnell rotierende „Farbscheibe“, die in mehrere einfarbige Sektoren unterteilt ist, liefert nur bei sehr guter Scheinwerfer-Beleuchtung den Eindruck „weiß“; im normalen Zimmerlicht erscheint die Scheibe „dunkelgrau“, weil jeder Sektor nur seine Farbe reflektiert und mehr als 90% des einfallenden weißen Lichtes absorbiert.
Es ist auch möglich, Kombinationen von Signalen der drei Zapfen-Arten zu erzeugen, die keiner Spektralfarbe entsprechen. So kann z. B. durch Überlagerung
6.1 Experimentieren mit Licht 383
von rot und violett die Farbe „purpur“ erzeugt werden, die im Regenbogen nicht enthalten ist.
Thermische Detektoren. Für Absolutmessungen und für Eichungen anderer Detektoren und Strahler benötigt man Primärstandards. Die Strahlungsleistung von absorbiertem Licht lässt sich mit einem thermischen Detektor als Wärmezufuhr absolut (in Watt) messen. Der ideale Detektor besteht aus einem schwarzen Absorber, in dem Licht aller Wellenlängen vollständig in Wärme umgewandelt wird. Bei konstanter Einstrahlung erwärmt sich der Absorber bis die Wärmeabgabe durch Leitung, Konvektion und Strahlung gleich der Wärmezufuhr wird. Die gemessene Temperaturerhöhung ist ein Maß für die Strahlungsleistung. Um eine kurze Ansprechzeit zu erzielen, müssen Absorber und Temperaturmessanordnung zusammen eine möglichst kleine Wärmekapazität besitzen. Die durch Einstrahlung bewirkte Temperaturänderung kann auf verschiedene Weise gemessen werden. Im Bolometer-Detektor wird die Widerstandsänderung eines Metalls oder Halbleiters (Thermistors), meist in einer Brückenschaltung mit einem gleichen unbestrahlten Bolometer, gemessen. Ein Thermoelement-Detektor liefert eine Thermospannung (Abschn. 8.3.2), die der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Kontakten der Metalle A und B proportional ist. Die aus einer Hintereinanderschaltung mehrerer Thermoelemente bestehende Thermosäule (Abb. 6.4) lässt sich gut an den Ausgangsspalt eines Spektrometers anpassen.
Abb. 6.4 Thermosäule als Strahlungsdetektor. Bestrahlt werden die geschwärzten Kontaktstellen in der Mitte. Die auf der rechten Seite sind abgedeckt und (elektrisch isoliert) mit einer Wärmesenke verbunden.
Für die Messung sehr kleiner Strahlungsleistungen ist nicht nur die Größe des Detektorsignals, sondern auch das Signal-zu-Rausch-Verhältnis wichtig. Besonders empfindlich und rauscharm ist z. B. ein mit flüssigem Helium gekühltes Kohlenstoff-Bolometer, weil Kohlenstoff bei diesen Temperaturen eine starke Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes besitzt. Thermoelektrische Effekte sind dagegen bei tiefen Temperaturen verschwindend klein.
Nichtthermische Detektoren, wie Photohalbleiter (Abschn. 9.4.2) für langwellige und Photomultiplier (Abschn. 11.2.4) für kurzwellige Strahlung, haben stark wellenlängenabhängige Empfindlichkeiten. Sie sind für viele Anwendungen günstiger als thermische Detektoren, müssen aber geeicht werden.
Absorber. Die auf die Oberfläche eines undurchsichtigen Körpers fallende Strahlung wird entweder reflektiert oder absorbiert. Für die wellenlängenabhängigen Größen Absorptionsgrad (ahsorpiiviiy } a(A) und Reflexionsgrad (reflectivity) p(X) gilt
384	6 Licht
p(2) + a(2) = 1.	(6.8)
Für einen idealen Absorber gilt a = 1 (und p — 0) für alle Wellenlängen. Wenn die eigene Licht-Ausstrahlung des idealen Absorbers zu vernachlässigen ist, dann sieht er „schwarz“ aus. In der Praxis werden schwarze Oberflächen am besten durch Bedeckung mit porösem Material hergestellt. Selbst wenn der Absorptionsgrad deutlich unterhalb von eins liegt, wird durch Mehrfachstreuung in den Poren eine nahezu komplette Absorption erreicht. Viel verwendet wird Graphit (Kerzenruß, a « 93-95% im Sichtbaren). Aber noch besser sind clusterförmige Niederschläge von Metall, insbesondere Gold (gold black, ot s 99 % im Sichtbaren), auch weil sie eine geringere Wärmekapazität besitzen als eine äquivalente Graphitschicht. Beim Verdampfen von Gold in einem inerten Puffergas wird durch geeignete Kombination von Puffergasdruck, Verdampfungsgeschwindigkeit und Abstand zur Substrat-Oberfläche erreicht, dass die Goldatome während der Diffusion im Puffergas kondensieren und sich als etwa 10 nm große Cluster niederschlagen. Schon bei Temperaturen von 70 °C sintern solche Schichten und verlieren dabei den hohen Absorptionsgrad.
Mit abnehmender Wellenlänge nimmt der spektrale Absorptionsgrad zu; ein guter Absorber im Sichtbaren ist also mindestens ebensogut im UV; im fernen IR sind dagegen „schwarze“ Oberflächen keine guten Absorber mehr.
Hohlraum (cavity) als perfekter Absorber. Eine überzeugende Demonstration im Hörsaal erfordert nur einen weißen Schuhkarton, dessen Deckel in der Mitte ein fingerdickes Loch hat. Selbst wenn der Karton hell beleuchtet wird, ist das Loch tiefschwarz! Offensichtlich wird das ins Loch einfallende Licht innen praktisch vollständig absorbiert, auch wenn der Karton innen nicht geschwärzt ist. Der Grund dafür ist die Mehrfachreflexion. Je kleiner der Raumwinkel ist, unter dem das Loch an der reflektierenden Innenwand erscheint, desto größer ist die mittlere Zahl der Wandreflexionen zwischen Ein- und Wiederaustritt des Lichtes und desto dichter liegt der effektive Absorptionsgrad bei eins. Durch Verwendung eines möglichst leicht gebauten Hohlraum-Absorbers in Verbindung mit einem thermischen Detektor lässt sich auch im fernen IR die für Absolutmessungen erforderliche nahezu vollständige Absorption erreichen.
Schwarzer Strahler. Das ist der einzige Strahler, dessen Betriebseigenschaften so genau bekannt sind, dass er als ein auf fundamentale Theorie und Naturkonstanten bezogener Primärstandard betrachtet werden kann. Er ist realisierbar als Hohlraum-strahler (cavity radialer) für Temperaturen, bei denen das Baumaterial noch nicht schmilzt.
Aus dem Verhalten zweier strahlender Körper im thermischen Gleichgewicht folgt, dass der stärker absorbierende Körper auch stärker strahlen muss. Anderenfalls würde Wärme auf ihn übertragen und dadurch seine Temperatur erhöht werden, d.h. es würde in Verletzung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik Wärme von selbst „von kalt nach heiß“ fließen! Daraus folgt, dass ein perfekt schwarzer Körper (a = 1, realisiert durch die Öffnung eines Hohlraums) stärker strahlen muss als alle nicht-schwarzen Körper derselben Temperatur. Die auf Fläche und Raumwinkel bezogene spektrale Strahldichte LX(T) ist für den Schwarzen Körper (black body) maximal.
6.1 Experimentieren mit Licht 385
Man definiert den (wellenlängen-abhängigen) Emissionsgrad (emissivity) einer Oberfläche als Verhältnis von spektraler Strahldichte dieser Oberfläche zu der des Schwarzen Körpers (S) auf gleicher Temperatur:
e (2) =
= a(2)/as(2) = a(2).	(6.9)
Weil as definitionsgemäß gleich eins ist, haben Emissions- und Absorptionsgrad für alle Wellenlängen den gleichen Wert.
Anmerkung zur Demonstration mit dem Schuhkarton: Das im Sonnenlicht schwarz erscheinende Loch ist nicht im thermischen Gleichgewicht. Der Karton hat Zimmertemperatur (300 K) und die Sonne ist näherungsweise ein Schwarzer Körper von 6000 K. (Leuchtröhren emittieren ein sonnenähnliches Spektrum, sind aber keine Wärmestrahler.) Würde man den Karton durch einen bis zum Glühen aufgeheizten Hohlraum mit Loch ersetzen und im dunklen Zimmer betrachten, dann wäre festzustellen, dass das Loch heller leuchtet als die Hohlraum-Außenwand! Ein Schwarzer Körper, der heißer ist als seine Umgebung, ist also nicht „schwarz“, sondern heller als alle nicht-schwarzen Körper auf der gleichen Temperatur.
Mit dem genialen Konzept des Schwarzen Körpers als idealer thermischer Strahler und dem Hohlraum als dessen Verwirklichung war eine Strahlungsquelle von fundamentaler Bedeutung - direkt verknüpft mit der Thermodynamik - gefunden worden. Dieser Strahler wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts im Sichtbaren und Infraroten genau vermessen. Lange gab es weder eine für alle Temperaturen und Wellenlängen gültige Interpolationsformel, noch eine überzeugende Theorie der Schwarzen Strahlung. Die sehr präzisen Messungen von O. Lummer und E. Prings-heim an der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin (1899) erregten das Interesse von Max Planck, der 1900 eine Formel angeben konnte, die die Strahlung des Schwarzen Körpers als Funktion von Wellenlänge und Temperatur in Übereinstimmung mit allen experimentellen Daten beschreibt. Bei der theoretischen Begründung dieser für die Datenbeschreibung höchst erfolgreichen Formel musste er jedoch die ihm sehr unnatürlich erscheinende Annahme machen, dass im Schwarzen Körper die emittierenden und absorbierenden „Oszillatoren“ der Frequenz v Strahlungsenergie nur in „Quanten“ h  v abgeben und aufnehmen können, wobei h eine universelle Konstante, die Planck-Konstante, ist.
Strahlungsgesetze. Das fundamentale Planck’sche Strahlungsgesetz beschreibt die spektrale Strahldichte des Schwarzen Körpers:
2/zc2	1
Lsn, r) = —--------------------------.	(6.10)
z ’ Ü exp[(/?c/kB)/(2T)]-l	v ’
Als phänomenologische Interpolationsformel beinhaltete das Planck’sche Gesetz zwei empirisch zu bestimmende Konstanten, die später theoretisch mit fundamentalen Naturkonstanten verknüpft werden konnten: Die 1. Strahlungskonstante
— 2n h (?	(6-11)
entspricht dem mit n multiplizierten Proportionalitätsfaktor von Gl. (6.10). Sie ist schwierig zu bestimmen, weil dafür Absolutmessungen erforderlich sind. Der kleine
386
6 Licht
Fehler des heutigen Bestwertes von +0.6 ppm basiert auf Bestimmungen von h und c auf andere Weise. Die 2. Strahlungskonstante
c2 = h c/kB	(6-12)
steht als Faktor vor (/.T)' im Exponenten der e-Funktion. Sie kann aus relativen Messungen mit variabler Wellenlänge und/oder Temperatur viel genauer als c1 bestimmt werden.
Die Planck-Funktion hat ein Maximum bei 2 ., das sich mit zunehmender Tem-peak’
peratur zu kürzeren Wellenlängen verschiebt (Wien’sches Verschiebungsgesetz):
2peak • T = konst. = 2.8976- 10~3mK.	(6.13)
Mit zunehmender Temperatur nimmt die spektrale Strahldichte für alle Wellenlängen so stark zu, dass die Kurve 7^(7/) bei allen Wellenlängen oberhalb der Kurven 7/(7)) mit T2 < Tx liegt (Abb. 6.5).
Ä/[rm
Abb. 6.5 Spektrale Strahldichte des Schwarzen Körpers als Funktion der Wellenlänge für verschiedene Temperaturen.
Die Strahldichte des Schwarzen Körpers ergibt sich aus Gl. (6.10) durch Integration über dz:
L\T) = (<7sb/k) T\	(6.14)
Das ist eine Form des Stefan-Boltzmann-Gesetzes mit der Stefan-Boltzmann-Kon-stante crSB = 5.6705 • 10 2 W m 2 K 4. Dieses wichtige Strahlungsgesetz wurde zuerst für die spezifische Ausstrahlung Ms eines Schwarzen Körpers mit der Winkelverteilung eines Lambert’schen Strahlers formuliert. Aus Gl. (6.14) folgt nach Multiplikation mit dem Raum winkel n sr
MS(T) = uSB T4.	(6.15)
Da ein Schwarzer Körper im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung netto keine Leistung abgibt, ist im Nicht-Gleichgewichtsfall die auf die Fläche bezogene Netto-Abstrahlung gegeben durch die Differenz von spezifischer Ausstrahlung Ms des Schwarzen Körpers auf der Temperatur T und der aus der Umgebung
6.1 Experimentieren mit Licht 387
auf der Temperatur To erhaltenen Bestrahlungsstärke E, die der Schwarze Körper vollständig absorbiert (as = 1):
MS(T) — E(T0) = uSB (T4 — T4).	(6.16)
Weil die Temperatur der Hohlraumstrahler durch den Schmelzpunkt des Baumaterials begrenzt ist, sind sie als Primärstandards nur für das IR und langwellige Sichtbare geeignet.
Strahler mit einem annähernd wellenlängen-unabhängigen spektralen Emissionsgrad von e < 1 werden graue Strahler genannt. Beispielsweise hat Wolfram bei 2800 K einen Emissionsgrad, der im Sichtbaren zwischen 0.42 und 0.46 liegt und durch Vergleichsmessungen mit einem Hohlraumstrahler für einen großen Temperaturund Wellenlängenbereich genau bekannt ist. Eine geeichte Wolframband-Lampe kann als bequemer Sekundärstandard verwendet werden. Strahler für kürzere Wellenlängen müssen auf andere Weise, z. B. mithilfe eines thermischen Detektors, geeicht werden. Weiterführende Darstellungen: Band 3 (Optik), Kapitel 5 (Optische Strahlung und ihre Messung) und Kapitel 6 (Farmetrik).
6.1.2 Strahlenoptik
Wenn die Abmessungen der strahlbegrenzenden Blenden groß sind gegen die Wellenlänge, kann die Lichtausbreitung wie bei freifliegenden Teilchen durch geradlinige Trajektorien (Strahlen) beschrieben werden. Wegen der Kleinheit der Lichtwellenlängen (ca. 0.5 jrm) beschreibt die Strahlenoptik sehr gut die Licht-und-Schatten-Erfahrungen des täglichen Lebens.
Strahlen sind Denkhilfsmittel der Strahlenoptik und haben ebensowenig physikalische Realität wie die Feldlinien des Elektromagnetismus. Aber ganz ähnlich wie man glauben kann, echte Feldlinien in den so genannten Feldlinienbildern „gesehen“ zu haben, geben schmale Bündel von Sonnen- oder Laserlicht, die durch Lichtstreuung an Staubteilchen in der Luft zu sehen sind und allgemein als Lichtstrahlen bezeichnet werden, den Strahlen der Strahlenoptik den Anschein der Realität.
Ein typischer Strahl beginnt in einem Punkt der Lichtquelle, erfährt an Spiegel-und Linsen-Oberflächen Richtungsänderungen und endet entweder an einer begrenzenden Blende oder in der Nachweisebene des optischen Systems, gegeben z. B. durch eine Photoplatte oder einen diffus reflektierenden Projektionsschirm.
Für die Strahlenkonstruktionen der geometrischen Optik kann es nützlich sein, Punktquellen, die Strahlen in verschiedene Richtungen senden, sowie parallele Strahlenbündel, wie sie von unendlich weit entfernten Punktquellen erhalten werden, zu betrachten. Man muss nur daran denken, dass jede reale Lichtquelle, die eine von null verschiedene Leistung abstrahlt, immer eine endliche Ausdehnung besitzt und in einen endlichen Raumwinkel emittiert.
Reflexion (Spiegelung) und Refraktion (Brechung). Das auf die Oberfläche eines lichtundurchlässigen Körpers fallende Licht kann absorbiert oder reflektiert werden. Hier betrachten wir den Fall, dass der Absorptionsgrad a verschwindend klein ist (Reflexionsgrad p x 1). Wenn die Oberfläche eben und glatt ist, wobei die Rauhigkeiten deutlich kleiner als die Wellenlänge sein müssen, dann wird das Licht spekular re
388
6 Licht
flektiert, d. h. der reflektierte Strahl verläuft in der durch einfallenden Strahl und Oberflächennormale gebildeten Einfallsebene und die Winkel beider Strahlen zur Flächennormalen sind gleich: Einfallswinkel 0 = Reflexionswinkel 0' (Abb. 6.6a). Das Reflexionsgesetz erklärt die Entstehung des „Spiegelbildes“, ein virtuelles Bild, das sich hinter dem Spiegel zu befinden scheint, im gleichen Abstand wie das Objekt vor dem Spiegel (Abb. 6.7).
An einer rauhen Oberfläche (Abb. 6.6b) wird das Licht diffus in alle Richtungen reflektiert. Das wird z. B. bei einem Projektionsschirm ausgenutzt: ein senkrecht auf den Schirm projiziertes Bild kann auch schräg von der Seite betrachtet werden.
(b)	diffuse Reflexion
Abb. 6.6 Reflexion: (a) spekular, an einer glatten und ebenen Oberfläche, (b) diffus, an einer rauhen Oberfläche.
Abb. 6.7 Bildentstehung bei der Spiegelung. Das virtuelle Bild hinter dem Spiegel hat von der Oberfläche den gleichen Abstand wie der Gegenstand vor dem Spiegel.
Brechung. Im Folgenden betrachten wir die ebene Grenzfläche zwischen zwei lichtdurchlässigen „Medien“ (z. B. Luft und Glas) und vernachlässigen dabei die Absorption und die diffuse Reflexion. Der von der Luftseite her schräg unter dem Einfallswinkel 01 zur Senkrechten einfallende Strahl wird teilweise reflektiert und teilweise transmittiert. Der in das Glas hineingehende Strahl erfährt eine Richtungsänderung: er bleibt in der Einfallsebene, aber sein Winkel mit der Senkrechten wird kleiner. Man sagt, der Strahl wird „zum dichteren Medium gebrochen“ (Abb. 6.8).
Die Winkeländerung (01 -> 02) beschreibt das Brechungsgesetz [W. Snell(ius) van Roigen, 1621]:
sin01/sin02 = n > 1.	(6-17)
6.1 Experimentieren mit Licht 389
Abb. 6.8 Brechung an der Grenzfläche Luft/ Glas.
Hier ist n die Brechzahl des Glases, wenn für das dünnere Medium „Vakuum“ angenommen wird. Beim Übergang Luft -> Glas müsste, genau betrachtet, auf der rechten Seite von Gl. (6.17) das Brechzahl-Verhältnis n(Glas)/n(Liift) stehen, aber die Brechzahl von Luft (1 atm.) ist sehr nahe bei eins (« 1.0003).
Das Brechungsgesetz gilt auch, wenn umgekehrt das Licht vom dichten Medium her unter dem Winkel 02 zur Senkrechten auf die ebene Grenzfläche fällt. In dem Fall erfolgt die Brechung des Strahls von der Senkrechten weg; der Winkel 61 im dünneren Medium wird größer, kann aber nicht größer werden als 90c. Der Winkel 02, für den sich 61 = 90 ergibt, heißt Grenzwinkel der Totalreflexion (critical angle of total reflection) 0 Es gilt
sin 0g = 1 jn.	(6.18)
Wenn 02 > 0 dann wird das Licht vollständig reflektiert (Abb. 6.9). Zum Demonstrieren ist am besten ein Glastank mit Wasser und versenkter Lichtquelle geeignet. Für Wasser ist n — 1.33 und 0g = 48.8'. Genauso wie Licht durch Totalreflexion innerhalb eines Wasserstrahles geführt werden kann (Demonstrationsversuch, Abb. 6.10), funktioniert auch ein aus Glasfasern bestehender Lichtleiter (fiber optics).
Abb. 6.9 Zur Totalreflexion. Hier wird angenommen, dass sich die Lichtquelle L im dichten Medium „Glas“ (oder Wasser) befindet.
390	6 Licht
Abb. 6.10 Totalreflexion von Licht innerhalb eines Wasserstrahls.
Das Brechungsgesetz (Gl. (6.17)) gibt nur die Winkeländerung an, nicht die Anteile der einfallenden Strahlungsleistung, die reflektiert bzw. transmittiert werden. Der Reflexionsgrad p und der Transmissionsgrad (transmissivity) t können für alle Einfallswinkel mithilfe der Maxwell’schen Gleichungen berechnet werden (Bd. 3, Einführung). Die richtigen Formeln waren schon 1821 von A. Fresnel auf der Basis seiner (auf einem falschen Modell beruhenden) „elastischen“ Lichttheorie hergeleitet worden. Wir geben die entsprechenden Kurven für den Luft/Glas-Übergang (Annahme: 7tGlas = 1.5) in Abb. 6.11 und für den Glas/Luft-Übergang in Abb. 6.12.
Für senkrechten Einfall ergeben die Fresnel’schen Formeln den Reflexionsgrad an der Grenze zum dünneren wie dichteren Medium
(n —1\2
p(0~) = —7 	(6-19)
\” + V
An dem Glas/Luft- und dem Luft/Glas-Übergang mit 77Glas =1.5 werden 4% der einfallenden Strahlungsleistung reflektiert.
Bei der Diskussion von optischen Systemen mit Linsen, Fenstern oder Prismen interessiert primär das transmittierte Licht; bei der Konstruktion von Strahlengängen
Abb. 6.11 Reflexionsgrad p und Transmissionsgrad t als Funktion des Einfallswinkels 6 für Einfall von der Luftseite.
6.1 Experimentieren mit Licht 391
Abb. 6.12 Reflexionsgrad p und Transmissionsgrad r als Funktion des Einfallswinkels ö für Einfall von der Glasseite.
Abb. 6.13 Zweifache Brechung eines Lichtstrahls beim Durchtritt durch einen Glaskörper. Links: planparallele Platte; rechts: Prisma.
werden die reflektierten Strahlen deshalb oft weggelassen. Abb. 6.13 zeigt den schrägen Durchgang eines Strahls durch eine planparallele Platte und durch ein Prisma. Die Platte bewirkt nur eine seitliche Versetzung des Strahls; die Strahlen vor und hinter der Platte sind parallel, weil sich die Wirkung der beiden Brechungen gegenseitig aufhebt. Beim Durchgang durch ein Prisma können sich die Winkeländerungen durch die Brechung beim Eintritt und Austritt addieren, sodass der durchgehende Strahl eine Richtungsänderung - weg von der Schneide des Prismas erfährt.
Wenn man jeden Strahl eines Bündels achsenparalleler Strahlen durch ein entsprechend geformtes Prisma schickt, dann kann man erreichen, dass sich alle Strahlen in einem Brennpunkt (Fokus F) treffen (Abb. 6.14). So funktioniert eine Sammellinse.
Abb. 6.14 Eine Anordnung von Glasprismen, die ein Bündel achsenparalleler Strahlen in den Brennpunkt F „fokussieren“. Das ist ein Modell für die Wirkung einer Glaslinse.
392	6 Licht
Dispersion (dispersicm). Die Brechzahl ist eine Materialkonstante, die eine Funktion der Lichtwellenlänge ist; diese Abhängigkeit heißt Dispersion. Für lichtdurchlässige Gläser und die meisten Flüssigkeiten nimmt die Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge zu: das wird als normale Dispersion bezeichnet (Abb. 6.15).
Abb. 6.15 Brechzahl von Quarzglas als Funktion der Lichtwellenlänge (Beispiel für „normale“ Dispersion).
Abb. 6.16 Die Aufspaltung des weißen Lichtes in ein Band von Spektralfarben (schematisch).
Als Konsequenz davon wird kurzwelliges Licht im Prisma stärker gebrochen als langwelliges. Ist das einfallende Licht weißes Sonnenlicht, dann entsteht hinter dem Prisma ein Band mit den Spektralfarben (I. Newton, 1666) wie in Abb. 6.16 dargestellt ist. Der Regenbogen entsteht durch die Brechung und Reflexion des Sonnenlichtes in Regentropfen (Abb. 6.17a). Wird die Regenwolke von der im Rücken des Betrachters stehenden Sonne bestrahlt, dann erscheint der Hauptregenbogen dem Betrachter unter einem Horizontwinkel von etwa 42c, wenn der Strahl von Sonne zu Wolke wie in Abb. 6.17 angenommen waagrecht verläuft. Für die Farbe „rot“ ist der Winkel größer, für „blau“ kleiner, „rot“ liegt also im Hauptbogen außen, „blau“ innen. Aber Sonnenlicht kann zum selben Betrachter auch durch zweimalige Reflexion in den Regentropfen gelangen, allerdings nur „andersherum“ mit Strahlablenkungen von insgesamt mehr als 180'. Der Nebenregenbogen (Abb. 6.17b) liegt oberhalb des Hauptbogens und ist lichtschwächer; seine Farbfolge ist umgekehrt.
In vielen Fällen ist die Dispersion unerwünscht. Bei der Diskussion optischer Strahlengänge wird meist stillschweigend vorausgesetzt, dass das benutzte Licht auf ein sehr schmales Wellenlängenintervall konzentriert ist; solches Licht wird als monochromatisch (einfarbig) bezeichnet. Die Dispersion, die bei der Verwendung von nicht-monochromatischem Licht zu „Farbfehlern“ führt, wird bei Bedarf gesondert
6.1 Experimentieren mit Licht 393
Abb. 6.17 (a) Hauptregenbogen - einmalige Reflexion, Gesamtablenkung (180 —42)°; (b) Nebenregenbogen - zweimalige Reflexion, Gesamtablenkung (180 + 52)°.
betrachtet. Um monochromatisches Licht zu erhalten, kann man aus dem kontinuierlichen Spektrum einer starken Lichtquelle mithilfe eines „Monochromators“ ein kleines Wellenlängenintervall auswählen, oder man kann aus dem Linienspektrum einer Spektrallampe mithilfe von Filtern alle Linien bis auf eine unterdrücken. Am bequemsten ist die Verwendung eines Lasers; für Demonstrationsversuche empfiehlt sich ein handlicher Helium-Neon-Laser.
Abbildung mit Linsen. Die Kugelfläche ist die einfachste Form einer gekrümmten Fläche. Durchsichtige sphärisch gekrümmte Glaslinsen lassen sich schon mit einfachen Werkzeugen durch Schleifen und nachfolgendem Polieren herstellen; diese Technik war schon im 16. Jahrhundert bekannt.
Abb. 6.18 Zwei rotierende Körper mit gegeneinander geneigten Rotationsachsen, die sich im Punkt M schneiden, schleifen sich gegenseitig ab. (a) Form der Körper vor dem Schleifen, (b) nach dem Schleifen.
Zum Schleifen von Kugelflächen ist es nicht notwendig, dass das Schleifwerkzeug schon exakt die gewünschte Form besitzt. Das ist schematisch in Abb. 6.18 erklärt: Zwei beliebig geformte (hier zylindrisch dargestellte) rotierende Körper, deren Rotationsachsen sich im Punkt M schneiden, werden zum gegenseitigen Abschleifen aneinander gedrückt. Dabei entsteht zwangsläufig eine sphärisch gekrümmte Kontaktfläche mit dem Schnittpunkt der Rotationsachsen M als Krümmungsmittelpunkt, weil das die einzige mit beiden Rotationen kompatible Fläche ist.
In der Praxis verwendet man diamantenbesetzte ringförmige Schleifwerkzeuge, die sich viel weniger abschleifen als das bearbeitete Glas (Abb. 6.19). Weil ein kreisförmiger Ring mit Radius r auf jeder Kugelfläche mit Krümmungsradius rK > r eng
394	6 Licht
Abb. 6.19 Schema einer Linsenschleifmaschine (a) für Konvexlinsen, (b) für Konkavlinsen. Das Schleifwerkzeug muss Rand und Mitte der Linse überdecken.
anliegt, lassen sich mit einem „Krümmungsgenerator“ nach Abb. 6.19 Kugelflächen verschiedener Krümmung herstellen; der Krümmungsradius ist gegeben durch den Abstand des Schleifringes vom Schnittpunkt der Rotationsachsen.
Eine konvex geformte Linse „sammelt“ achsenparallel einfallende Strahlen in einem Punkt F (Abb. 6.20a) hinter der Linse; mit Bezug auf die Wirkung eines „Brennglases“ heißt dieser Punkt Brennpunkt. Eine konkav geformte Linse „zerstreut“ achsenparallel einfallende Strahlen so, als ob sie von einem vor der Linse liegenden Brennpunkt F kämen (Abb. 6.20b).
Abb. 6.20 Zur Definition des Brennpunktes (Fokus) F: (a) Sammellinse, (b) Zerstreuungslinse.
Besonders einfach ist die Beschreibung dünner Linsen, deren Dicke sehr klein ist gegen die Krümmungsradien beider Oberflächen. Zum prinzipiellen Verständnis aller optischen Strahlengänge genügt diese Dünne-Linsen-Näherung. Um vorerst auch die Linsenfehler vernachlässigen zu können, setzen wir monochromatisches Licht voraus und betrachten nur wenig gegen die optische Achse geneigte Strahlen, für deren Neigungswinkel 0 die Kleine-Winkel-Näherung
sin 0 x tan 0x0	(6.20)
gilt (Gauß-Optik, Gaussian optics).
Der Abstand des Brennpunktes F vom Mittelpunkt der Linse (= „Hauptpunkt“ H) ist die Brennweite (focal length) f der Kehrwert 1 // ist die Brechkraft (refractive index) der Linse (lens power) [Einheit: Dioptrie (diopters), dpt = m -1]. Die Brechkraft einer dünnen Linse wird durch die Brechzahl n und die Krümmungsradien i\ und r2 der beiden Linsenoberflächen bestimmt. Zur Herleitung betrachtet man den Linsenbereich, durch den der Strahl hindurchtritt, wie ein Prisma (ähnlich wie in Abb. 6.14 gezeichnet). In der Kleine-Winkel-Näherung wird für dünne Linsen folgende Beziehung erhalten:
1	/I 1\
(„-l)	_ + _	(6.21)
f	Vi r2/
6.1 Experimentieren mit Licht 395
In diese Form der Linsenmachergleichung (lens maker’s equatiori) werden die Radien konvexer Linsenflächen als positive Werte, die konkaver Linsenflächen als negative Werte eingesetzt; bei Zerstreuungslinsen sind also die „defokussierende“ Brechkraft und die „auf der falschen Seite der Linse liegende“ Brennweite negative Größen. [Es gibt auch eine andere Vorzeichenkonvention, nach der vor dem Term l/r2 in Gl. (6.21) ein Minuszeichen steht und der Radius r2 einer Sammellinse als negative Größe behandelt wird, weil der Krümmungsmittelpunkt links von der Linse liegt.]
Erwähnt sei noch, dass die Kombination zweier Linsen mit den Brennweiten — f und/2 = —f ein Linsensystem mit der Brennweite/1+2 > 0 ergibt. Das ist qualitativ leicht einzusehen: Durch die Sammellinse werden die Strahlen zur Achse hin gebrochen, durch die Zerstreuungslinse von der Achse weg. Ganz gleich in welcher Reihenfolge die Linsen angeordnet sind, ergibt sich, dass die Strahlen die Sammellinse bei größerem Achsenabstand durchqueren als die Zerstreuungslinse. Weil aber die Prismenwirkung der Linsen mit dem Achsenabstand zunimmt (vgl. Abb. 6.14), überwiegt die fokussierende Wirkung.
Weil Sammellinsen viel häufiger eingesetzt werden als Zerstreuungslinsen, konzentrieren wir uns im Folgenden auf erstere. Die Wirkung einer (dünnen) Linse ist durch die Position der Linse (Hauptpunkt H) und ihre beiden symmetrisch zu H liegenden Brennpunkte F bestimmt. In der geometrischen Optik werden die tatsächlichen Brechungen an beiden Grenzflächen nicht betrachtet; statt dessen werden die Strahlen geradlinig bis zur Hauptebene geführt und dort nur einmal gebrochen (Abb. 6.21). Die Wirkung der Linse auf Strahlen ist umkehrbar: Alle vom linksseitigen Brennpunkt ausgehenden und die Linse durchsetzenden Strahlen werden rechts von der Linse zu einem Bündel achsenparalleler Strahlen.
Abb. 6.21 Grundbegriffe der geometrischen Optik. H = Hauptpunkt, F = Brennpunkt, f = Brennweite. Der Strahl wird formal nur einmal in der Hauptebene gebrochen.
Wichtig für Strahlengangskonstruktionen: Ein schräg einfallender Strahl, der durch den Linsenmittelpunkt (Hauptpunkt H) geht, wird überhaupt nicht gebrochen; für ihn wirkt die Linse wie eine planparallele Platte, die nur eine vernachlässigbar kleine Strahl Versetzung hervorruft.
Mit den drei Hauptstrahlen der geometrischen Optik, dem vor der Hauptebene durch den Brennpunkt gehenden Brennpunktstrahl, dem zur Achse parallelen Pa
396	6 Licht
rallelstrahl und dem durch den Punkt H gehenden Mittelpunktstrahl lassen sich nun alle Strahlengänge behandeln. Meist genügen zwei der drei Hauptstrahlen.
Strahlverlauf: vor der Hauptebene	hinter der Hauptebene
Brennpunktstrahl Parallelstrahl Mittelpunktstrahl	Parallelstrahl Brennpunktstrahl Mittelpunktstrahl (ohne Knick in der Hauptebene)
Wenn alle Strahlen, die von einem im Gegenstandsraum gelegenen Gegenstandspunkt G zur Linse gehen, durch die Linsenwirkung in einem im Bildraum gelegenen Bildpunkt B vereinigt werden, dann spricht man von einer Abbildung (image formatiori). Die Abstände von Gegenstand und Bild zur Hauptebene werden als Gegenstandsweite g und Bildweite b bezeichnet.
Vier qualitativ unterschiedliche Abbildungsfälle sind in Abb. 6.22 dargestellt: Ein weit vor der Linse (g > 2f) liegender Gegenstand G3 wird im Bildraum zwischen f und 2f verkleinert abgebildet. Der Gegenstand G2 in der Gegenstandsweite g — 2f wird 1:1 in b — 2f abgebildet. Der im Gegenstandsraum zwischen 2/tind/liegende Gegenstand G3 wird weit hinter der Linse (b > 2f) vergrößert abgebildet. Nicht eingezeichnet wurde ein in der Brennebene liegender Gegenstand. Dessen Bild liegt unendlich weit hinter der Linse; die von einem Gegenstandspunkt in der linken Brennebene ausgehenden Strahlen verlaufen hinter der Linse zueinander parallel und haben dieselbe Neigung wie der Mittelpunktstrahl.
Abb. 6.22 Abbildungen mit einer Sammellinse: 1. Verkleinerung, 2. Abbildung 1:1, 3. Vergrößerung, 4. Erzeugung eines vergrößerten virtuellen Bildes.
6.1 Experimentieren mit Licht 397
Die Abbildung der Gegenstände G3 bis G3 führt zu den Bildern B3 bis B3, die „auf dem Kopf stehen“! Diese markante Veränderung wird oft als „Seitenverkehrung“ bezeichnet, ist aber etwas grundsätzlich anderes als die Rechts/Links-Seiten-verkehrung beim aufrecht stehenden Spiegelbild. Die Bilder B3 bis B3 werden als reelle Bilder {real Images) bezeichnet, weil man sie sehen kann, wenn man in die Bildebene einen diffus lichtstreuenden Schirm bringt.
Der innerhalb der einfachen Brennweite liegende Gegenstand G4, für den Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl hinter der Linse divergieren, besitzt kein reelles Bild im Bildraum. Die rückwärtige Verlängerung der beiden Hauptstrahlen ergibt das „aufrecht stehende“ vergrößerte virtuelle Bild (virtual image) B4 im Gegenstandsraum, das man nicht durch Einbringen eines Schirms an dieser Stelle sichtbar machen kann.
Wie leicht aus Abb. 6.22 abgelesen werden kann, ist das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G, das als Längenvergrößerung (auch transversale oder laterale Vergrößerung, lateral magnification) bezeichnet wird, gegeben durch
^Länge = BIG = big.	(6.22)
Die Längenvergrößerung ergibt quadriert die Flächenvergrößerung ffFläche = AJA . Statt Strahlengänge grafisch zu konstruieren, kann man auch mit der Lin-senformel (Abbildungsgleichung, lens equation) rechnen:
111 g + b
Diese Gleichung folgt unmittelbar aus den verschiedenen ähnlichen Dreiecken, die von den drei Hauptstrahlen, der optischen Achse, dem Gegenstand G und dem Bild B gebildet werden und zu den folgenden Relationen führen:
(6.23)
£/G = b/g =fKg-fi = (b-f)lf	(6.24)
Eliminierung von BfG in Gl. (6.24) ergibt nach einfacher Umformung die Linsenformel.
In vielen Fällen definiert die Öffnung der Linsenfassung auch den Winkelbereich für von der Linse erfassbare Strahlen, die vom betrachteten Gegenstandspunkt aus
Abb. 6.23 Betrachtung der Winkel, unter dem die Aperturblende (hier Linsenfassung) erscheint, wenn sie vom Gegenstands- bzw. Bildort aus betrachtet wird.
398
6 Licht
gehen. Die Fassung ist gleichzeitig Aperturblende (aperture stop). Für den Achsenpunkt des Gegenstandes G, ist der halbe Öffnungswinkel des Strahlenkegels gegeben durch 0G, auf der Bildseite durch 0B (Abb. 6.23). Wie man direkt sehen kann, ist mit der verkleinerten Abbildung G, -> B, eine Strahlenkegel-Winkelvergrößerung 0G -> 0B verbunden. In der Kleine-Winkel-Näherung gilt für die Winkelvergrößerung
- gib =	(6-25)
Der von der Linse erfasste Raumwinkel ß ist in der Kleine-Winkel-Näherung mit dem Winkel 0 durch
Q = 7t 02	(6.26)
verknüpft. Deshalb ergibt das Quadrat der Winkelvergrößerung die Raumwinkelvergrößerung JA • v, = QJQ .
»	® Raumwinkel b/ g
Aus V,.. • K„r . . = 1 folgt K... . • K . . . = 1, und daraus ergibt sich die Be-Lange Winkel	f Flache Raumwinkel 5	f
Ziehung
L ßg = Ab ßb,	(6.27)
die allgemein (nicht nur im Rahmen der hier verwendeten Kleine-Winkel-Näherung) gilt und eine fundamentale Bedeutung hat.
Um das zu zeigen, führen wir einen Gedankenversuch durch: Der Gegenstand G, sei ein Schwarzer Strahler, thermisch isoliert montiert in einem perfekt spiegelnden Gehäuse, das sich bis zur Hauptebene der Linse erstreckt und nur für die Linse eine Öffnung besitzt. An der Stelle des Bildes B, befindet sich als Gegenstand G2 ein zweiter Schwarzer Körper, ebenfalls thermisch isoliert montiert in einem spiegelnden Gehäuse, das sich ebenfalls bis zur Linsenöffnung erstreckt. Die beiden Körper sind nur über die Strahlung durch die Linse miteinander in thermischem Kontakt und befinden sich anfangs auf der gleichen Temperatur, sodass für beide die (spektrale) Strahldichte gleich groß ist. Die von G, nach G2 gehende Strahlungsleistung ist proportional zur Fläche des emittierenden Körpers und zum Raumwinkel, unter dem die Linsenöffnung am Ort von G, erscheint. Die von G2 nach G, gehende Strahlungsleistung ist proportional zu der für G2 kleineren strahlenden Fläche und dem für G2 größeren Raumwinkel. Würde das Produkt von Flächen- und Raumwinkelvergrößerung nicht gleich eins sein, dann fände keine Kompensation der Strahlungsleistungen statt. Der Körper, der netto Leistung gewönne, würde wärmer werden. Schließlich flösse Wärme von kalt nach heiß im Widerspruch zum 2. Hauptsatz.
Das Ergebnis dieses Gedankenversuches lässt sich, wie schon E.Abbe und H. v. Helmholtz erkannt hatten, folgendermaßen formulieren: Die Strahldichte kann durch optische Abbildungen nicht erhöht werden, solange die Brechzahl des Mediums sich nicht erhöht. Ohne Beweis sei erwähnt, dass sich beim Übergang in ein Medium mit der Brechzahl n die Strahldichte um den Faktor n2 erhöht. Gründe für mögliche Verkleinerungen der Strahldichte sind Abbildungsfehler, Reflexions- und Absorptionsverluste.
Dicke Linsen. Um auch für dicke Linsen die Konstruktion mit den Hauptstrahlen und Berechnungen nach der Linsenformel beibehalten zu können, werden zwei Hauptebenen mit den Hauptpunkten H und H' eingeführt. Die Brennweiten auf
6.1 Experimentieren mit Licht 399
beiden Seiten sind gleich groß (/ = /') und beschreiben die Abstände der Brennpunkte F und F' von den dazugehörenden Hauptpunkten H und H'. Die Strahlenkonstruktion wird wie folgt durchgeführt: Der vom Gegenstandspunkt G kommende Parallelstrahl wird an der durch H' gehenden Hauptebene zum Brennpunkt F' gebrochen. Der Brennpunktstrahl links geht durch F und wird an der durch H gehenden Hauptebene zum Parallelstrahl umgeformt. Der Mittelpunktstrahl geht vom Gegenstandspunkt G zum Hauptpunkt H und wird dann von H nach H' parallel versetzt.
Die geometrische Optik liefert Formeln, die für vorgegebene Linsendicke und Krümmungen beider Flächen die Kardinalelemente (Hauptpunkte, Brennpunkte) zu berechnen gestatten (Bd. 3, Kap. 1); die einfache Formel für die Brechkraft dünner Linsen (Gl. (6.21)) gilt nicht mehr.
Linsen in anderen Medien als Luft. Alles bisher Gesagte gilt für Linsen in Luft. Wenn sich aber Gegenstands- und Bildraum in lichtdurchlässigen Medien mit den Brechzahlen ni und n2 befinden, gelten modifizierte Beziehungen. Wichtige Spezialfälle sind:
1. Größere Brechzahl im Gegenstandsraum beim Immersionsmikroskop: Zwischen Objektträger und Linse befindet sich ein Tropfen einer stark brechenden Flüssigkeit, in der das Objekt „eingetaucht“ ist.
2. Größere Brechzahl im Bildraum beim menschlichen Auge (siehe unten).
Allgemein gilt nicht „Brechkraft = Kehrwert der Brennweite“, sondern die Brechkraft cp ist gegeben durch n/ f, wobei n die Brechzahl des Mediums ist, in dem die Brennweite /liegt:
n1 n2
<P= T = W
(6.28)
Die Brechkraft ist also für die Linse eine Konstante. Statt der Linsenformel von Gl. (6.23) gilt die allgemeine Abbildungsgleichung
g b
die sich für / = f2 auf die einfache Linsenformel reduziert.
(6-29)
Abbildungsfehler. Die durch Schleifen und Polieren leicht herstellbaren sphärischen Linsen führen im Allgemeinen nicht zu perfekten Abbildungen. Verschiedene Abbildungsfehler (Linsenfehler, lens aberrations) treten auf. Die beiden wichtigsten Fehler sind in Abb. 6.24 dargestellt. Der Öffnungsfehler oder die sphärische Aberration (spherical aberratiori) ist dadurch begründet, dass Paraxialstrahlen eine vom Achsenabstand abhängige Brennweite besitzen; achsenferne Strahlen werden stärker gebrochen als achsennahe (Abb. 6.24a). Linsen gleicher Brennweite, aber verschiedener Form haben unterschiedlichen Öffnungsfehler: Bei einer plankonvexen Linse ist der Fehler wesentlich kleiner, wenn die konvexe Seite dem annähernd parallelen Licht zugekehrt ist; allgemeiner formuliert: optimal ist es, wenn die Randstrahlen auf beiden Seiten an der Linsenoberfläche etwa den gleichen Winkel haben. Schwache Krümmungen sind vorteilhaft; d.h., die zwei schwach gekrümmten Flächen einer
400	6 Licht
Abb. 6.24 Die wichtigsten Abbildungsfehler: (a) Öffnungsfehler, (b) Farbfehler.
Bikonvexlinse sind günstiger als die stärker gekrümmte Fläche einer Plankonvexlinse; die Kombination von hoher Brechzahl mit schwacher Krümmung ist günstiger als die umgekehrte.
Der Farbfehler (die chromatische Aberration, chromatic aberration Abb. 6.24b) ist dadurch bedingt, dass alle Gläser eine mit abnehmender Wellenlänge zunehmende Brechzahl besitzen (normale Dispersion), wodurch violettes Licht stärker gebrochen wird als rotes.
Für die Diskussion der anderen Abbildungsfehler (Koma, Astigmatismus, Bildfeldwölbung) verweisen wir auf Bd. 3, Kap. 1. Durch die Verwendung von Gläsern mit verschiedenen Werten für Brechzahl n und Brechzahl-Änderung dn/dZ in zusammengesetzten dicken Linsensystemen lassen sich alle Linsenfehler wenigstens teilweise korrigieren. Es ist eine Aufgabe der technischen Optik herauszufinden, wie die für eine gegebene Anwendung erforderlichen Fehlerkorrekturen mit möglichst geringem Aufwand zu erzielen sind.
Optische Instrumente. Im Folgenden betrachten wir die Optik des menschlichen Auges, die Lupe, das Mikroskop und das Fernrohr.
Das Auge ist optisch einer Kamera ähnlich (Abb. 6.25). Beide haben als wesentliche optische Komponente eine Bikonvex-Sammellinse. Die Pupille in der Iris des Auges
Abb. 6.25 Vergleich von menschlichem Auge (stark vereinfacht) und Kamera. Nicht eingezeichnet wurden das Augenlid und der Kameraverschluss.
6.1 Experimentieren mit Licht 401
entspricht der Iris-Blende der Kamera. Das Verhältnis von Blendendurchmesser zu Brennweite wird Öffnungsverhältnis (relative aperture) genannt; der Reziprokwert wird bei der Kamera als Blendenzahl (f-number, focal ratid) bezeichnet oder kurz „Blende“ [,,speed“ (of camera lens)] genannt. Die Netzhaut mit ihren Sehzellen entspricht dem lichtempfindlichen Film. Auge und Kamera können auf verschiedene Gegenstandsentfernungen eingestellt werden; der Entfernungsbereich des normalsichtigen Auges (emmetropic eye) erstreckt sich vom Nahpunkt (near point), der für junge Menschen bei etwa 10 cm liegt, bis unendlich; der Bereich der Kamera reicht von typischerweise 60 cm bis unendlich. Im Auge (in der Kamera) entsteht ein reelles umgekehrtes Bild auf der Netzhaut (dem Film). Bei der Kamera ist die Umkehrung unwichtig, beim Auge erfolgt die Aufrechtstellung des Bildes durch die richtige Interpretation der Wahrnehmung im Gehirn.
Die Abb. 6.25 soll nicht darüber hinweg täuschen, dass sich das Auge in sehr wesentlichen Punkten von der Kamera unterscheidet:
•	Die Signal-Akkumulationszeit (Belichtungszeit) kann mit Platte oder Film bis auf Stunden ausgedehnt werden, bei der Netzhaut des Auges beträgt sie dagegen nur Bruchteile einer Sekunde.
•	Bei der Kamera liegt der Bildraum in Luft; beim Auge befindet sich zwischen Linse und Netzhaut der Glaskörper (vitreous body) mit einer mittleren Brechzahl von 1.34.
•	Bei der Kamera ist die Brechkraft konstant und die Scharfstellung geschieht durch Veränderung der Bildweite (der Abstand der Linse zum Film wird verändert). Beim Auge ist die Bildweite konstant und die Scharfstellung geschieht über die Änderung der Brechkraft. Die Brechkraft des Auges ist also eine Funktion der Gegenstandsweite.
Den wesentlichen Beitrag zur Abbildung im Auge macht nicht die Linse, sondern die vorn liegende gekrümmte Hornhaut. Deren Brechkraft wird verändert durch Formänderung der Linse. Die Scharfstellung des Auges auf eine bestimmte endliche Gegenstandsentfernung wird Akkommodation (accommodation) genannt. Beim normalsichtigen Auge liegt der Fernpunkt im Unendlichen, d. h. ohne Akkommdation durch die Linse werden unendlich weit entfernt liegende Gegenstände auf der Netzhaut scharf abgebildet. Zur Scharfeinstellung näher liegender Gegenstände muss die Brechkraft des Auges erhöht werden, was dadurch geschieht, dass die Linse dicker wird. Der Nahpunkt ergibt sich aus der maximalen Akkommodation. Die Akkommodationsfähigkeit verschwindet mit zunehmenden Alter. Wenn der Nahpunkt weiter weg rückt als die deutliche Sehweite (distance of distinct visiori) von 25 cm, beginnt die Alterssichtigkeit (presbyopidy, ein typisches Kennzeichen dafür ist das Zeitungslesen mit ausgestreckten Armen. Bei totaler Alterssichtigkeit sind Fernpunkt und Nahpunkt identisch! Abhilfe schafft hier eine bi- oder trifokale Brille mit Teilbereichen unterschiedlicher Brechkraft für verschiedene Gegenstandsentfernungen; es gibt auch Gleitsichtgläser mit von oben nach unten kontinuierlich zunehmender Brechkraft.
Auch einige altersunabhängige Fehlsichtigkeiten können durch Brillen oder Kontaktlinsen korrigiert werden; die bekanntesten sind Kurzsichtigkeit (myopid) und Übersichtigkeit (hyperopid). Bei Kurzsichtigkeit besitzt bereits das entspannte Auge eine zu hohe Brechkraft; der Fernpunkt liegt im Endlichen und der Nahpunkt ist
402	6 Licht
näher an die Nase gerückt. Die Korrektur erfolgt durch eine entsprechende Zerstreuungslinse. Bei Übersichtigkeit hat das Auge im entspannten Zustand eine zu geringe Brechkraft, um unendlich weit entfernte Gegenstände scharf abzubilden; das kann durch eine entsprechende Sammellinse kompensiert werden. Kinder können Übersichtigkeit auch ohne Brille durch Akkomodation kompensieren, aber beim Älterwerden erreichen sie dann den Beginn der Altersichtigkeit früher als Normalsichtige.
Die Vergrößerung eines Gegenstandes bei der Wahrnehmung mit dem Auge, unterstützt durch ein optisches Instrument, wird durch die Sehwinkel-Vergrößerung beschrieben, die als das Verhältnis von „Sehwinkel cpB mit Instrument“ (Bild B in Abb. 6.26b) und „Sehwinkel cpa ohne Instrument“ (Gegenstand G, in Abb. 6.26a) definiert ist. Diese Sehwinkel-Vergrößerung ist konzeptionell verschieden von der oben erwähnten Strahlenkegel-Winkelvergrößerung bei einer lateral verkleinernden optischen Abbildung.
Die Lupe (magnifying glass) ist eine Sammellinse, die dicht an das Auge gehalten wird. Der zu betrachtende kleine Gegenstand G2 (Abb. 6.26b) wird so gehalten,
Abb. 6.26 Zur Lupe: Gegenstand (a) in deutlicher Sehweite, (b) dicht hinter der Brennebene der Lupe, (c) in der Brennebene der Lupe. Das Auge ist in (a) und (b) auf die deutliche Sehweite, in (c) auf co eingestellt.
6.1 Experimentieren mit Licht 403
dass seine Liegenstandsentfernungg von der Lupe etwas kleiner als deren Brennweite f ist, sodass die in das Auge gelangenden Strahlen von einem mithilfe der Lupe erzeugten virtuellen Bild B in deutlicher Sehweite zu kommen scheinen. Für die Sehwinkel-Vergrößerung der Lupe ergibt sich
^Sehw., Lupe = %/^G
~ sjg
~ solf	(6.30)
Von den beiden Näherungen der Gl. (6.30) ist die erste die Kleine-Winkel-Näherung (tan cp x cp) und die zweite ist die Annahme, dass g nur geringfügig kleiner als f ist. Die Gegenstandsentfernung g wird exakt gleich der Brennweite f, wenn man beim Betrachten des Gegenstandes durch die Lupe das Auge auf „unendlich“ akkomo-diert (Abb. 6.26c), was für Normalsichtige ohne Anstrengung möglich ist. Die Annahme eines auf unendlich eingestellten Auges vereinfacht die Diskussion aller bis zum Auge führenden Strahlengänge.
In den vielen optischen Instrumenten wird ein reelles „Zwischenbild“ erzeugt und durch eine Lupe betrachtet. Statt einer Einzellinsen-Lupe wird meist ein Okular (eye piece) verwendet, das aus zwei Sammellinsen im Abstand von einigen Zentimetern besteht; das Zwischenbild liegt dazwischen. Die dem Auge abgewandte Linse heißt Feldlinse (field lens,fieldflattener) oder Kollektivlinse. Die Vorteile des Okulars sind folgende: Es kann leichter als eine Einzellinse für sphärische und chromatische Aberration korrigiert werden. Mit der Feldlinse können divergent einfallende Strahlen konvergent gemacht werden, wodurch das mit dem Auge wahrnehmbare Gesichtsfeld vergrößert wird. Im Okular kann am Ort des Zwischenbildes eine Skala oder ein Fadenkreuz angebracht werden.
Das Mikroskop erzeugt ein vergrößertes Bild eines sehr kleinen Gegenstandes in einer zweistufigen Abbildung:
-	Stufe 1: Der Gegenstand liegt dicht vor der Brennebene des kurzbrennweitigen Objektivs, das ein um den Faktor VY linear vergrößertes reelles Bild erzeugt (Abb. 6.22, Fall 3). Damit verbunden ist eine Strahlenbündel-Winkelverkleinerung; aber das bildseitige Strahlenbündel ist noch groß genug, um das nachgeschaltete optische System Lupe/Auge voll auszuleuchten.
-	Stufe 2: Das reelle „Zwischenbild“ wird mit dem Okular als Lupe betrachtet, wobei eine Lupen-Vergrößerung um den Faktor K2 erreicht wird. Die mit dem Mikroskop erreichbare Gesamtvergrößerung ist das Produkt VY  V2.
Das Fernrohr dient zur Betrachtung von großen Gegenständen, die nur deshalb schwer zu erkennen sind, weil sie sich in sehr großer Entfernung befinden. Die Vergrößerung eines Fernrohrs wird als das Verhältnis der Sehwinkel mit und ohne Instrument bei gleicher Gegenstandsentfernung (und einem auf unendlich eingestellten Auge) definiert. Hier diskutieren wir nur den Grenzfall des astronomischen Fernrohrs für die Betrachtung von (fast) unendlich weit entfernten Fixsternen. Da diese Sterne trotz ihrer wirklichen Größe als (nahezu) punktförmige Objekte behandelt werden können, die auch nach Vergrößerung noch punktförmig wirken, bezieht man den Sehwinkel auf den Winkelabstand zweier benachbarter Sterne. In Abb. 6.T1 wird angenommen, dass der eine Stern auf der optischen Achse liegt; eingezeichnet sind nur die Strahlen von dem schräg zur Achse liegenden zweiten Stern.
404	6 Licht
Abb. 6.27 Oben: Betrachtung zweier Sterne im astronomischen Fernrohr (hier nur die Strahlen vom schräg zur Achse liegenden Stern). Unten: Mit Zerstreuungslinse als Okular ergibt sich ein aufrechtes Bild.
Das Objektiv des Fernrohrs ist eine Sammellinse mit der möglichst großen Brennweite /j, die von den beiden Sternen ein Bild in der hinteren Brennebene erzeugt. Die zweite Sammellinse (das Okular) hat eine möglichst kleine Brennweite f2 und ist so angeordnet, dass hintere Brennebene der Linse 1 und vordere Brennebene der Linse 2 zusammenfallen. Der Beobachter benutzt die zweite Linse als Lupe (Abb. 6.27 oben). Die beiden Sterne erscheinen im Fernrohr unter dem Sehwinkel <pB =	’ (pa- Die Winkel Vergrößerung des Fernrohres ist also gleich dem Ver-
hältnis der Brennweiten fjf2. Während das Kepler’sche Fernrohr ein „auf dem Kopf stehendes“ Bild liefert (Abb. 6.27 oben), was die Astronomen meist nicht stört, wird im Gallilei’schen Fernrohr mit einer Zerstreuungslinse (Abb. 6.27 unten) ein aufrechtes Bild erzeugt, wie es für terrestrische Zwecke benötigt wird. Ein anderer, sehr wichtiger Vorteil des astronomischen Fernrohres ist die Lichtstrom-Erhöhung um den Faktor (DJD,)2, wenn der Durchmesser D2 der zweiten Linse gleich dem Durchmesser der weit geöffneten Pupille (oder der Kamerablende) ist. Das Öffnungsverhältnis D/f ist für beide Linsen gleich.
Fernrohr und Mikroskop unterscheiden sich auch in der Art der erfassten Lichtstrahlung: Astronomische Objekte sind selbstleuchtend, terrestrische Fernrohr-Objekte reflektieren das Tageslicht. Mikroskop-Objekte müssen beleuchtet werden; meist sind Lampe und Beleuchtungsoptik („Kondensorlinse“) in das Mikroskop integriert.
6.1 Experimentieren mit Licht 405
Abb. 6.28 Öffnungsfehler eines Kugelspiegels. Für die achsenfernen Parallelstrahlen liegt der Brennpunkt näher am Scheitelpunkt als für die achsennahen.
Spiegeloptik. Eine konkave spiegelnde Kugelfläche, rotationssymmetrisch zur optischen Achse gelegen, fokussiert im Rahmen der Kleine-Winkel-Näherung ein achsenparalleles Strahlenbündel in einen Brennpunkt, der in der Mitte zwischen Krümmungsmittelpunkt und Scheitelpunkt des Spiegels liegt. Die Spiegeloptik hat den großen Vorteil, dass sie frei von Farbfehlern ist, leidet aber auch unter Öffhungs-fehlern (Abb. 6.28).
Die ideale färb- und öffhungsfehlerfreie Fokussierung achsenparalleler Strahlen wird mit einer Spiegelfläche in Form einer Rotationsparabel erreicht. Aber für die Fokussierung schräg einfallender Parallelstrahlenbündel sind die Fehler des Parabolspiegels (Astigmatismus u. a.) größer als die des Kugelspiegels; deshalb sind Parabolspiegel nur für Abbildungen mit sehr kleinem Gesichtsfeld geeignet.
Die Hintereinanderschaltung mehrerer optischer Elemente ist mit Spiegeloptik viel schwieriger als mit Linsenoptik, und deshalb haben sich Spiegel nur für einige Spezialanwendungen durchgesetzt. Zum Beispiel werden in der Astronomie für maximale Bildhelligkeit Spiegelteleskope mit Durchmessern bis zu 6 m eingesetzt. [Glaslinsen lassen sich nur bis etwa 1 m Durchmesser herstellen, weil es mit zunehmender Größe immer schwieriger wird, den Glasblock aus der Schmelze spannungsfrei abzukühlen.] Das Okular kann auf verschiedene Weisen mit dem Spiegel optisch verbunden werden, z. B. über einen 45‘ -Spiegel (Abb. 6.29).
Weiterführende Darstellungen: Band 3 (Optik), E Einführung (Von den Maxwell’schen Gleichungen zur Geometrischen Optik), Kapitel 1 (Optische Abbildungen) und Kapitel 2 (Dispersion und Absorption des Lichtes).
Abb. 6.29 Strahlengang im Newton’schen Spiegelteleskop. S,: sphärischer Spiegel, S2: Planspiegel.
406
6 Licht
6.1.3 Wellenoptik
Isaac Newton (1642-1727, Hauptwerk über „Optik“ 1704) deutete das Licht als Teilchenstrahlung, und seine Ansicht dominierte mehr als ein Jahrhundert lang über die Wellenvorstellungen von Robert Hooke, Christiaan Huygens, Leonard Euler und anderen. Die Entdecker der nur mit der Wellentheorie des Lichtes erklärbaren Interferenzen, Thomas Young (1773-1829) in England und Augustin-Jean Fresnel (1788-1827) in Frankreich, hatten zu Anfang des 19. Jahrhunderts Mühe, sich gegen die Vertreter der Korpuskulartheorie durchzusetzen.
Die beiden Theorien führten zu unterschiedlichen Vorhersagen über die Geschwindigkeit des Lichtes in Medien mit Brechzahl n > 1 (Abb. 6.30).
Abb. 6.30 Verschiedene Vorstellungen über die Brechung: (a) Erhöhung der senkrechten Geschwindigkeitskomponente, (b) Verminderung der Phasengeschwindigkeit der Welle beim Eintritt in das dichtere Medium.
Nach der Korpuskulartheorie wurde die Brechung dadurch erklärt, dass die Teilchen zum dichteren Medium hin beschleunigt werden, nach der Wellentheorie dadurch, dass sich die Wellenfronten im dichteren Medium langsamer ausbreiten. Die Foucault’sche Methode der Lichtgeschwindigkeitsmessung (1862) war die erste, die sich auch für Messungen in Wasser eignete; dieser Test bestätigte die Wellentheorie, die sich aber in der Zwischenzeit schon durchgesetzt hatte.
Die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in einem Medium mit der Brechzahl n ist gegeben durch
c(n) = c/n	(6.31)
mit c — Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Als optische Weglänge (optical path lengtli) bezeichnet man das Wegintegral
^opt = fw-dA	(6.32)
Weil die Wellen-Ausbreitungszeit proportional zu n zunimmt, entsprechen gleiche optische Weglängen auch gleichen Ausbreitungszeiten.
6.1 Experimentieren mit Licht 407
Abb. 6.31 Durch die zur Brechzahl proportionale optische Weglänge wird die Wellenausbreitung in der Linsenmitte verzögert; dadurch kommt die Krümmung der Wellenfronten zum Brennpunkt hin zustande.
Wellenflächen. Das sind Flächen gleicher Phase. Meist betrachtet man Flächen maximaler Amplitude, die dann in der Zeichenebene zu Linien entarten. Die Strahlen der Strahlenoptik stehen senkrecht auf den Wellenflächen. Wird in einem optischen Strahlengang der Strahl gebrochen, dann ändert sich die Wellenfläche entsprechend. Ein Beispiel zeigt Abb. 6.31.
Die ideale Welle ist eine zeitlich und örtlich unbegrenzte harmonische Welle, z. B. in der Form, einer in z-Richtung laufenden ebenen Welle mit der Amplitude
A (z, t) = Ao exp(cot — kz),	(6.33)
der Kreisfrequenz co — 2kv, der Kreiswellenzahl k und der Phasengeschwindigkeit c = co/k = A  v.
Intensität. Alle in Abschn. 6.1.1 definierten leistungsbezogenen Strahlungsmessgrößen sind proportional zum Quadrat der Amplitude A, gemittelt über eine volle Schwingungsperiode. Es ist in der Lichtoptik weitverbreitet, für alle diese Größen undifferenziert die Bezeichnung „Intensität“ zu verwenden und I — A2 zu schreiben.
Kohärenz. Überlagert man Wellen, zwischen denen eine feste Phasenbeziehung besteht, dann addieren sich deren Amplituden vorzeichengerecht und für die resultierende Intensität / ergibt sich
üohärent =	= A2 + 2 A, /12 + A2.	(6.34)
Das nennt man eine kohärente Überlagerung (coherent superpositiori). Dabei gibt es die typischen Welleneffekte (Beugung, Interferenz). Der mittlere Term rechts in Gl. (6.34), 2AiAv ist der Interferenzterm, der positive und negative Werte annehmen und bei gleich großen Amplituden A.t und A2 zu I — 0 führen kann. Ohne eine feste Phasenbeziehung zwischen den beiden Wellen mittelt sich der Interferenzterm zu null, und aus Gl. (6.34) wird eine inkohärente Überlagerung:
A„kohärenl = ^ + 4 = A + 4	(6.35.)
Meist ist die Kohärenz nur partiell oder gar nicht vorhanden. Erst mit dem Laser wurde eine Lichtquelle hoher Kohärenz verfügbar. Alle anderen Lichtquellen emittieren Strahlung mit sehr geringer Kohärenz. Anders als bei mechanischen und akustischen Wellen sind bei Licht spezielle experimentelle Maßnahmen erforderlich, be
408
6 Licht
vor überhaupt Wellenphänomene beobachtet werden können. Das ist der Grund, warum sich die Korpuskulartheorie so lange halten konnte.
Alle Lichtquellen sind räumlich ausgedehnt. Wenn die Wege von verschiedenen Punkten der Lichtquelle zum betrachteten Raumpunkt P Unterschiede von einigen Wellenlängen aufweisen, dann treten alle möglichen Phasendifferenzen von 0 bis 2n auf, und es findet keine kohärente Überlagerung statt. Örtliche Kohärenz verlangt, dass die geometrischen Wegunterschiede vom Beobachter zu den Punkten der Lichtquelle sehr klein sind im Vergleich zur Wellenlänge 2.
Die zur Lichtemission führenden atomaren Prozesse sind von kurzer Dauer. Deshalb haben Lichtwellen, die zu verschiedenen Zeiten vom selben Punkt der Lichtquelle ausgehen, meist keine feste Phasenbeziehung (Laser ausgenommen). Die zeitliche Kohärenz erstreckt sich nur über die kurze Kohärenzzeit (coherence time) tk. Die während dieser Zeit emittierte Welle ist ein Wellenzug der Länge = c tk, und wird als Kohärenzlänge (coherence length) bezeichnet.
Die ideale Welle hat eine exakt definierte Wellenlänge (Frequenz), während alle realen Lichtquellen eine spektrale Verteilung haben. Selbst bei Verwendung von „Monochromatoren“ hat das Licht noch eine endliche Spektralbreite AA. Damit die typischen Wellenphänomene nicht durch Mittelung über verschiedene Wellenlängen zerstört werden, muss entweder AA/A < 1 gelten, oder der Versuch muss die Dispersion derart einbeziehen, dass die Wellenphänomene für die verschiedenen Spektralfarben räumlich getrennt, also „nebeneinander“ zu sehen sind.
Wellenpaket (wavepacket). Monochromasie (Farbreinheit) und Kohärenzlänge bzw. Kohärenzzeit sind miteinander verknüpft: Ein zeitlich auf das Intervall Af begrenzter Wellenzug der Frequenz v ist keine monochromatische Welle, sondern ein Wellenpaket mit einem Frequenzspektrum der Breite Av. Der mathematische Zusammenhang wird durch die Fourier-Transformation mit
Av M x 1	(6.36)
gegeben.
Ähnlich führt auch die Superposition von Wellen verschiedener Wellenlängen innerhalb des Intervalls Az. zu einem Wellenpaket der Länge A/. Formal rechnet man nicht mit der Wellenlängenbreite AA, sondern mit der Wellenzahlbreite A(z 1) = AA/ z2, denn dann ergibt die Fourier-Transformation die zu Gl. (6.36) analoge Beziehung
A(z ') A/ « 1;	(6.37)
A/ ist die Kohärenzlänge, At = die Kohärenzzeit (Abb. 6.32).
Ob in Gl. (6.36) und Gl. (6.37) rechts die Zahl eins oder eine andere Zahl derselben Größenordnung steht, hängt davon ab, nach welcher Vorschrift die Breiten At und Av bzw. M und A(z ') bei vorgegebenen Funktionen bestimmt werden. Deshalb steht in den Gleichungen nur ein Ungefähr-Zeichen. Wenn die Einhüllende des Wellenzuges eine Gauß’sche Glockenkurve ist, dann ist auch die Fourier-Transformierte eine Glockenkurve. Nimmt man die doppelten Gauß-Breiten wie in Abb. 6.32, dann erhält man für die rechte Seite von Gl. (6.37) den Wert 4/2n. Der Faktor 2n tritt auf weil die Fourier-Transformation Länge und Kreiswellenzahl, bzw. Zeit und Kreisfrequenz miteinander verknüpft.
6.1 Experimentieren mit Licht 409
Abb. 6.32 (a) Wellenpaket mit der Hauptwellenlänge 2 und der Paketlänge 2cr; (b) die Fourier-Transformation des Wellenpaketes liefert die Fourier-Transformierte der paket-einhüllenden Gauß-Kurve der ,.Breite“ 2<r zentriert auf der Kreiswellenzahl-Skala bei kB.
Bei Wellen-Experimenten mit Licht von „normalen“ Lichtquellen (Laser ausgenommen) muss man davon ausgehen, dass jeder atomare Emissionsakt zur Aussendung eines Wellenpaketes führt, das mit anderen Wellenpaketen nicht kohärent ist. Um überhaupt Wellenphänomene beobachten zu können, muss man jedes von der Lichtquelle kommende Wellenpaket z. B. mithilfe eines abgewinkelten Planspiegels oder eines Biprismas in kohärente Teilwellen zerlegen (Abb. 6.33); möglich ist auch eine Strahlteilung durch Verwendung einer dünn mit Metall bedampften Glasplatte als „halbdurchlässigen“ Spiegel. Und man muss darauf achten, dass die optischen Weglängen der Teilwellen zwischen der Teilung des Wellenpaketes und der Überlagerung der Teilwellen etwa gleich groß sind; die Unterschiede müssen klein sein im Vergleich zur Kohärenzlänge des Wellenpaketes.
Die Vorstellung, dass eigentlich jedes Wellenpaket nur mit seinen eigenen Teilwellen sozusagen „nur mit sich selbst“ kohärent ist, wird gestützt durch die Feststellung, dass photographisch registrierte Beugungs- und Interferenzeffekte, bei denen eine kleinere Bestrahlungsstärke durch eine entsprechend längere Belichtungszeit ausgeglichen werden kann, völlig unabhängig sind von der Bestrahlungsstärke. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Wellenpakete aufeinander treffen, ist dagegen proportional zum Quadrat der Lichtintensität.
Abb. 6.33 Virtuelle kohärente Lichtquellen: (a) beim Young’schen Spiegelversuch, (b) beim Fresnel’schen Biprisma.
410	6 Licht
Af/X
2
3/2
1
1/2
0
-1/2
-1
-3/2
-2
Abb. 6.34 Die von den beiden Lichtquellen ausgehenden Wellen (Abstand der durchgezogenen Kreisbögen = Wellenlänge) überlagern sich entlang der geraden Linien mit dem angegebenen Gangunterschied.
Interferenz. Die Überlagerung von zwei kohärenten Wellen (Abb. 6.34) führt zu einem „stehenden Wellenfeld“: Entlang der Linien mit dem ganzzahligen Gangunterschied — 0, ±A, ±2A ... ist der Interferenzterm von Gl. (6.34) immer positiv und deshalb / maximal; beim halbzahligen Gangunterschied ist der Interferenzterm immer negativ und / minimal, für gleichgroße Amplituden der beiden Wellen sogar null.
In der Beobachtungsebene (senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 6.34) ergeben die Orte maximaler Intensität ein System von Interferenzstreifen (interference frin-ges). Sollte sich der Gangunterschied irgendwie ändern, dann müssten sich die Interferenzstreifen seitlich verschieben. Wenn Xj der Abstand zweier Streifen in der Beobachtungsebene ist, dann bedeutet eine Verschiebung des Streifensystems um x, dass sich bei den optischen Weglängen der beiden Wellen ein Unterschied von
Aüpt^Ü/w)-^	(6.38)
ergeben hat. Damit ist die Interferenz ein empfindlicher Indikator für sehr kleine Änderungen der Brechzahl oder der Weglänge. Im Rayleigh-Refraktometer
Abb. 6.35 Refraktometer nach Lord Rayleigh zur Messung kleiner Brechzahl-Unterschiede der Substanzen in den beiden Röhren (R). In evakuierbaren Zylindern kann „Luft“ mit „Vakuum“ verglichen werden.
6.1 Experimentieren mit Licht 411
(Abb. 6.35) dienen die Schlitze (S) als sekundäre kohärente Lichtquellen, die nur durch ihre Mittelstrahlen angedeuteten Wellen werden mithilfe der Linsen getrennt durch die Röhren (R) geführt und danach vereinigt. Durch das Okular ist ein Interferenzstreifen-System zu sehen, dessen Bild durch Neigen einer Korrekturplatte (P) optimiert werden kann. Für die Bestimmung der Brechzahl von Luft beginnt man die Beobachtung, wenn beide Röhren evakuiert sind; dann wird in eine Röhre langsam Luft eingelassen und dabei gezählt, wieviel Streifen an einer Strichmarke im Okular vorbeilaufen bis Atmosphärendruck erreicht ist.
Im Michelson-Interferometer von Abb. 6.36 geht der waagrecht gezeichnete Strahl durch den halbdurchlässigen Spiegel (H), wird vom Spiegel Sj reflektiert und dann auf der Innenseite des halbdurchlässigen Spiegels H um 90c zum Auge hin (in Abb. 6.36 nach unten) abgelenkt, der andere Strahl wird durch H um 90c in entgegengesetzte Richtung abgelenkt und vom Spiegel S2 in Richtung Auge reflektiert. Der senkrecht gezeichnete Strahl durchsetzt zwei Platten P und P', um den optischen Weg an den des waagrecht gezeichneten Strahles anzugleichen. Je nach Art und Anordnung der optischen Komponenten können die Interferenzstreifen gerade oder gekrümmt sein. Mit dem Michelson-Interferometer ist es möglich, Veränderungen der Position eines Spiegels in Strahlrichtung um Bruchteile einer Wellenlänge nachzuweisen.
Abb. 6.36 Interferometer nach Michelson (schematisch): Der halbdurchlässige Spiegel H dient zur Strahlteilung und Wiedervereinigung der Teilstrahlen.
Beugung (diffraction). Wie in der allgemeinen Wellenlehre (Bd. 1) gezeigt wird, lassen sich Wellenflächen nach dem Huygens’schen Prinzip konstruieren:
• Jeder Punkt einer Wellenfläche sendet kohärent Elementarwellen in den Raum hinaus, deren Amplituden sich überlagern. Die äußere Einhüllende dieser Elementarwellen ergibt die tatsächlich beobachtbare Welle. Wenn die Abmessungen der bestrahlten Objekte nicht mehr groß sind im Vergleich zur Lichtwellenlänge, dann ergibt die Wellenflächen-Konstruktion nach dem Huygens’schen Prinzip Abweichungen von der Licht-und-Schatten-Verteilung der Strahlenoptik, die Beugung genannt werden.
412	6 Licht
Im Folgenden wird angenommen, dass die Lichtquelle hinreichend klein und das Licht hinreichend monochromatisch für die erforderliche Kohärenz ist. Wir betrachten ein Objekt, im einfachsten Fall einen lichtundurchlässigen „Schirm“ mit einer engen Öffnung, der von links mit kohärentem Licht bestrahlt wird (Abb. 6.37a). Für einen Punkt P im Schattenraum rechts vom Schirm kann die „Lichterregung“, d. h. die Amplitude Ap(t) näherungsweise berechnet werden, ohne die Maxwell’schen Gleichungen für dieses Randwertproblem lösen zu müssen: G. Kirchhoff (1824 1887) entwickelte seine Beugungstheorie auf der Basis des Huygens’schen Prinzips und zeigte, wie man Ap(t) bestimmen kann, wenn die Lichterregung auf einer den Punkt P umschließenden Hüllfläche bekannt ist. In dem Fall von Abb. 6.37a genügt die Kenntnis der Erregung in der (bis ins Unendliche ausgedehnten) Objektebene. Auf der dem Schattenraum zugekehrten Schirmoberfläche nahm Kirchhoff überall A — 0 an, und in der Schirmöffnung benutzte er die Erregung der Lichtwelle, die ohne Vorhandensein des Schirms dort existieren würde.
Wie aus der Skizze zu sehen ist, wird die phasengerechte Überlagerung aller Huygens’schen Elementarwellen im Fall der Fresnel’schen Beugung (Abb. 6.37a) dadurch kompliziert, dass die Schirmöffnung keine Wellenfläche der Kugelwelle ist, die von der (nahezu) punktförmigen Lichtquelle L ausgeht, und dass die Weglängen zwischen dem Punkt P und den Punkten der Schirmöffnung durch eine nicht-triviale trigonometrische Beziehung beschrieben werden.
Viel einfacher sind dagegen die Verhältnisse im Fall der Fraunhofer’schen Beugung (Abb. 6.37b): Die Linse vor dem Schirm macht aus der Licht-Kugelwelle eine ebene Welle; anders formuliert: durch die Linse wird die im Brennpunkt befindliche Lichtquelle nach links ins Unendliche verlegt. Die Linse hinter dem Schirm fokussiert alle Parallelstrahlbündel in Punkte der Brennebene; anders formuliert: die in einer unendlich fernen Beugungsebene beobachtbare Beugungsfigur wird durch die rechte Linse in deren hintere Brennebene verlegt. Beides vereinfacht die Theorie. Im Folgenden betrachten wir nur die elegant beschreibbare Fraunhofer’sche Beugung.
Zur Beschreibung der Fraunhofer’schen Beugung am Spalt nehmen wir an, dass die einfallende ebene Welle sich in z-Richtung ausbreitet und dass der in der xr-Ebene liegende Schirm durch eine nur von x abhängige „Objektfunktion“ dargestellt wird, nämlich durch
f(x)=l für |x|<h/2
gung.
6.1 Experimentieren mit Licht 413
mit b als Breite des Spaltes. In der Schirmöffnung ist die Erregung an allen Punkten gleich ff s. Eine geeignete Variable zur Beschreibung des Fraunhofer’schen Beugungsbildes ist der Beugungswinkel 0.
Die einfallende Welle wird durch den Ausbreitungsvektor k beschrieben, dessen Betrag die Kreiswellenzahl k ist. Für die um den Winkel 0 gebeugte Welle führen wir den Ausbreitungsvektor ke mit |Ae| = k ein. Die x-Komponente von ke dient auch als Beugungsvariable:
kx — k sin 0 « k 0.	(6.40)
Der Abstand des Fokussierungspunktes der gebeugten Welle vom Brennpunkt in der Brennebene (Abb. 6.38a),
c — ftanOxfö,	(6-41)
wird ebenfalls als Beugungsvariable verwendet.
Wir verwenden im Folgenden kx, weil die Objektfunktion fobjekl(x) und das Fraun-hofer’sche Beugungsbild, beschrieben durch die Erregung (Lichtamplitude) u(kx), über eine Fourier-Transformation (Abschn. 15.7) miteinander verknüpft sind, wie für dieses einfache Beispiel leicht gezeigt werden kann (Abb. 6.38b): Die Schirmebene (ohne Schirm) ist eine Wellenfläche der von links einfallenden Welle. Um die Erregung im Beugungsbild zu berechnen, wird die zur rechten Seite im Winkel 0 emittierte Strahlung nach Kirchhoff über die Schirmfläche summiert (bzw. integriert). Für den hier betrachteten eindimensionalen Fall ergibt sich folgendes Integral:
u(kx)= f fobjekt(x) e-^ dx.	(6.42)
Im Integrand stehen die Objektfunktion fobjekl(x) und der Phasenfaktor mit A/ = x-sin0 (Abb. 6.38b). Mit /< sin 0 = kx wird die Beugungsfunktion u(kx) von Gl. (6.42) proportional zur Fourier-Transformation der Objektfunktion fobjekt(x):
«(K) ~ T fobjekt(x) exp(-i kx x) dx
- ^Objekt«	(6-43)
Abb. 6.38 (a) Zur Definition der Variablen, verwendet bei der Beschreibung der Fraunhofer’schen Beugung, (b) Zur Berechnung der Fraunhofer’schen Beugung.
414	6 Licht
Abb. 6.39 Fraunhofer’sches Beugungsbild eines Spaltes der Breite b: (a) Erregung (Amplitude), (b) Intensität als Funktion von kx b/2.
Die bei der Fourier-Transformation auftretenden Zahlenfaktoren werden bei der Beschreibung des Beugungsbildes weggelassen. Meist wird die Funktion so normiert, dass das Hauptmaximum gleich eins ist.
Die Fourier-Transformation der Objektfunktion des Spaltes (Gl. (6.39)), normiert auf das Erregungsmaximum bei kx — 0, liefert also die Erregung (Amplitude) des Fraunhofer’schen Beugungsbildes (Abb. 6.39a):
+ b/2
MSnalt(^) ~	dx
Dpd.lL -	J
-b/2
Die Intensitätsverteilung im Beugungsbild ist proportional zum Quadrat von (Abb. 6.39b).
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Spaltmitte auf der optischen Achse bei x — 0 liegt. Nun betrachten wir einen exzentrischen Spalt mit der Spaltmitte bei x0 beschrieben durch die Objektfunktion fSpalt(x — x0):
u , Q (k) ~ f f. „(x — x„) expl — i k xl dx.	(6.45)
exzentr.SpA x-7 J Spalt''- O-7 x l x j	v /
Die Substitution x', — x — x0, dx' = dx ergibt
“exzentr.Sp(^) ~ J f'sp;111(.v') CXp[ — i /<,(w'+ .V,/)] Hx'
= exp(-iAx0) f fSpalt(x') exp( —i kx x') dx'
= exp(-i kx x0) wSpalt(kJ.	(6.46)
Die Erregungsfunktion des exzentrischen Spaltes unterscheidet sich von der des zentrierten Spaltes nur durch den hinzukommenden Phasenfaktor exp( —i /v,x0), dessen Absolutquadrat gleich eins ist. Allgemein gilt für die Intensitätsverteilung:
• Das Fraunhofer’sche Beugungsbild eines Objektes ist unabhängig vom Ort des Objektes.
6.1 Experimentieren mit Licht 415
Das ist leicht einzusehen, weil alle unter dem Winkel 0 emittierten Strahlen, unabhängig vom Emissionsort, im selben Punkt fokussiert werden, solange die Linse groß genug ist, um sie zu erfassen.
Lochblende (circular aperture). Der Fourier-Formalismus kann auch auf zweidimensionale Beugungsobjekte erweitert werden. Besonders wichtig ist die Beugung an einer Lochblende, weil sie die prinzipielle Begrenzung für die Auflösung optischer Instrumente liefert. Bei der Rechnung für eine runde Lochblende mit Radius r ergibt sich ein zentrales Maximum und konzentrische Nebenmaxima nach einer Formel, die statt dem Sinus die Bessel-Funktion 1. Ordnung enthält. Die Erregungsverteilung und die Intensitätsverteilung zeigt Abb. 6.40. Das breite Intensitätsmaximum wird auch Airy-Scheibchen (Airy disk) genannt; Sir George Airy entwickelte die Theorie der Lochblendenbeugung 1835.
Abb. 6.40 Erregungs- und Intensitätsverteilung der Fraunhofer-Beugung von Licht mit der Wellenlänge 2 = 2n[k an einer Lochblende mit Radius r.
Ebenfalls eingezeichnet in Abb. 6.40 sind zwei charakteristische Winkelbreiten, der Rayleigh-Winkel 0R und die Hälfte der Winkel-Halbwertsbreite 01/2. Der Ray-leigh-Winkel ist der Winkelabstand zwischen Hauptmaximum und erstem Intensitätsminimum, das bei rk sin0 = 3.83 liegt. Mit k — 2n/2, r — D/2 (D = Durchmesser) und sin 0 « 0 ergibt sich der Rayleigh-Winkel zu
0R = 1.22 A/D.	(6.47)
Auflösungsvermögen des Fernrohres. Für das Fernrohr ist D gegeben durch den Durchmesser der ersten Teleskoplinse (angenommen, alle weiteren kleineren Linsen sind hinreichend groß). Zwei punktförmige Sterne gleicher Helligkeit sind gerade noch getrennt wahrnehmbar, wenn das Beugungsmaximum des einen Sterns mit dem ersten Minimum des anderen zusammenfällt, wenn also ihr Winkelabstand gleich 0R ist (Rayleigh’sches Kriterium, Abb. 6.41b).
416
6 Licht
Abb. 6.41 Zum Rayleigh’schen Kriterium: (a) nicht trennbar, (b) gerade trennbar (0 = 0R), (c) gut trennbar.
Die Intensitätsverteilung von Abb. 6.40 erreicht den halben Maximalwert bei rk sinö = 1.62. Daraus ergibt sich die volle Halbwertsbreite des Hauptmaximums zu
01/2 -2-1.62 /(rk)
= 3.24/[(Z>/2)(2n/2)]
= 1.03 A/D
x A/D.	(6.48)
Diese leicht merkbare, nur etwa 20 % vom Rayleigh-Kriterium abweichende Beziehung wird häufig für die Beschreibung der Auflösung von Teleskopen verwendet. In der Radioastronomie bevorzugt man die Darstellung im Polardiagramm, in dem das Hauptmaximum der Intensität bei 0 = 0 zur „Hauptkeule“ und 01/2 zur Keulenbreite wird.
Gl. (6.48) angewandt auf das menschliche Auge ergibt mit der mittleren Lichtwellenlänge z. « 0.6 jrm und dem typischen Pupillendurchmeser D x 2 mm einen auflösbaren Winkel von 01/2 « 3 • 10 4 rad « T. Das ist etwa die gleiche Winkelauflösung, wie sie sich aus dem Abstand der Sehzellen auf der Netzhaut ergibt. Das heißt, die Sehzellen-Flächendichte ist so groß, dass die durch Beugung an der Pupille begrenzte Auflösung ausgenutzt werden kann, aber nicht größer.
Auflösungsvermögen des Mikroskops. Für das Mikroskop wird der Winkel 01/2 umgerechnet in den gerade noch auflösbaren Abstand zweier Objektpunkte dmia. Weil das Objekt nahe am Brennpunkt des Objektivs liegt, genügt es, wenn man den Winkel mit der Brennweite f multipliziert:
fö^xfA/D.	(6.49)
Weil für das Lichtmikroskop das maximale Öffnungsverhältnis D/f ungefähr gleich eins ist, ergibt sich, dass der gerade noch auflösbare Abstand zweier Punkte bei einer Lichtwellenlänge liegt:
4in A.	(6.50)
Anzumerken ist aber, dass das Rayleigh-Kriterium von einer inkohärenten Überlagerung der Beugungsscheibchen-Bilder ausgeht, wie sie für die Bilder zweier Sterne im Fernrohr gegeben ist. Diese liefert in der Mitte zwischen den beiden Intensitäts-
6.1 Experimentieren mit Licht 417
maxima der Größe I ein Intensitätsminimum von 0.7-1 . Beim Mikroskop ist jedoch davon auszugehen, dass die Beleuchtung zweier dicht benachbarter Objektpunkte kohärent erfolgt. Dadurch wird die Intensität in der Mitte größer. Um zwei getrennte Maxima zu erhalten, muss der Winkelabstand der Beugungsbilder deshalb etwas größer sein als das Rayleigh-Kriterium fordert.
Andererseits kann man mit dem Kunstgriff der Immersion (des Eintauchens) die Auflösung des Mikroskops etwas verbessern: Dazu wird zwischen Objektträger und Objektiv ein Flüssigkeitstropfen gebracht, das Objekt wird dadurch sozusagen in die Flüssigkeit mit der Brechzahl n eingetaucht. In der Flüssigkeit ist die Lichtwellenlänge und damit auch die noch auflösbare Entfernung zweier Punkte um den Faktor n 1 kleiner.
Beugung und Interferenz. Das Paradebeispiel ist der Doppelspalt, z. B. gegeben durch zwei Spalte der Breite b im Mittenabstand a>b voneinander. Zur Berechnung der Erregung im Beugungsbild des Doppelspaltes kann man die für zwei exzentrische Spalte mit x0 = + a/2 berechneten Erregungsfunktionen überlagern:
“Doppelspalt= [eXPC a/2) + 6XP(-i kx a/2)] ’ WSpa#J
~ cos (kx a/2) • wSpalt(kJ	(6.51)
oder
sini/c b/2)
un i „(^ ) ~ cos(k a/2)--------------.	(6.52)
Doppelspalt ' x'	V x i Z	V
Die Intensitätsverteilung | MDoppeispaii(^JI2 ist in Abb. 6.42 dargestellt. Das Beugungsbild des Doppelspaltes wird üblicherweise als Interferenz zweier spaltförmiger kohärenter Lichtquellen interpretiert (two-slit interference). Die Interferenz bewirkt die cosMntensitätsmodulation im Einzelspalt-Beugungsbild. Die Maximalintensität ist viermal so groß wie beim Beugungsbild des Einzelspaltes (Addition zweier gleichgroßer Amplituden, Quadrierung der resultierenden Amplitude). Durch die cos2-Modulation wird die Gesamtintensität um die Hälfte reduziert, sodass sie für den Doppelspalt, bestehend aus zwei Spalten der Breite b, doppelt so groß ist wie für einen Einzelspalt der Breite b. Selbstverständlich gilt auch für den Doppelspalt, dass die Intensitätsverteilung im Fraunhofer-Beugungsbild unabhängig von der Lage des Doppelspaltes in der Objektebene ist, solange die Linse das gebeugte Licht annähernd vollständig erfassen kann.
Abb. 6.42 Intensitätsverteilung für die Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt: Spaltbreite b, Spaltabstand a — 5b.
418
6 Licht
Beugungsgitter. Die besprochenen Beugungsbilder haben Wellenlängenabhängigkeiten, die die Messung der Lichtwellenlänge mit der Genauigkeit von einigen Prozent gestatten. Viel bessere Beobachtungsbedingungen erhält man mit vielen äquidistant angeordneten sehr schmalen („strichförmigen“) Spalten, die als „Strichgitter“ (Beugungsgitter, diffraction gratings) bezeichnet werden. Die Erfindung des Strichgitters durch Joseph Fraunhofer 1821 war der Beginn der hochauflösenden optischen Spektroskopie mit absoluten Wellenlängen-Messungen hoher Präzision. Nach Vorversuchen mit Drahtgittern stellte er auf Glas geritzte Gitter her, schon damals mit 300 Linien pro Millimeter!
Um zu zeigen, wie ein Beugungsgitter wirkt, betrachten wir N Spalte der Breite b mit dem Abstand a zwischen benachbarten Spalten (a = Gitterkonstante), wobei der erste Spalt bei x — 0, der letzte bei x — a(N — 1) liegen soll. Die Beugungsfunktionen (Erregung) des Einzelspaltes (Gl. (6.44)), multipliziert mit der Summe der Phasenfaktoren für alle TV Spalte, ergibt die Erregung des Gitters:
MOitter(^x) = WSp;il/^ J
mit
fInt(K) = E exP(-iMu)-	(6.53)
j=0
Die Interferenzfunktion fInt ist eine endliche geometrische Reihe, deren Glieder mit dem Faktor exp( — i kxa) zunehmen. Die Summationsformel für solche Reihen liefert
fint<K) = [1 -exp(-i£JVa)]/[l -exp(-iUa)].	(6.54)
Durch Abtrennung des Faktors exp( — ikxNajl) im Zähler und des Faktors exp( — ikxajl) im Nenner lässt sich die Interferenzfunktion wie folgt schreiben:
fint(K) = exp[-ikxa(N - l)/2] si n(/cxNa)2)/sin(<«/2).	(6.55)
Damit ergibt sich für die Intensitätsverteilung des Gitter-Beugungsbildes nach Gl. (6.53) und Gl. (6.55)
l“Gitter(^)|2 ~ l«Spalt(^)|2 Sin2^«/2)/^^/2)-	(6-56)
Wählt man nun sehr kleine Spaltbreiten b < 2, dann liegt praktisch die gesamte Interferenz des „Strichgitters“ im Hauptmaximum des Spalt-Beugungsbildes, d. h. die Interferenzlinien haben alle etwa die gleiche Intensität:
l%Ä)|2 ~ IUM = sirrU V«/2)/sin2(kx«/2).	(6-57)
Diese Funktion ist für TV = 6 in Abb. 6.43 dargestellt. Die Nebenmaxima liegen dort, wo die schnell oszillierende Funktion im Zähler Maxima hat und die Funktion im Nenner größer null ist. Die Bedingung für Interferenz-Hauptmaxima lautet
sin0 = nT/fl (n = 1, 2, 3 ...),	(6.58)
oder, unter Verwendung von kx — (2n/2) sin 0,
kxa)2 — nn (n = 1, 2, 3 ...).	(6.59)
Die Interferenzlinien sind die Hauptmaxima. Sie liegen dort, wo die Funktionen im Zähler und Nenner von Gl. (6.57) Nullstellen haben und die Funktion |flnt(kj|2 den Grenzwert TV2 besitzt. In den Flanken der Interferenzlinie liegen zwei Maxima
6.1 Experimentieren mit Licht 419
/rxa/2
Abb. 6.43 Das Quadrat der Interferenzfunktion für N — 6. Bei den Hauptmaxima sind Zähler und Nenner gleich null; der Grenzwert ist N2.
der Zählerfunktion. Die Halbwertsbreite der Interferenzlinien ist etwa die Hälfte vom Abstand der Nullstellen auf beiden Seiten, und das entspricht dem Abstand der Interferenzlinien geteilt durch N, wie für TV = 6 in Abb. 6.43 leicht zu erkennen ist. Weil benachbarte Interferenzlinien einem „Gangunterschied“ von 2 entsprechen (Gl. (6.58)) und die Linienbreite den noch auflösbaren Wellenunterschied Az bestimmt, gilt für das dazu reziproke Auflösungsvermögen (resolving power) eines Beugungsgitters
2/A2 = N,	(6.60)
wenn die Interferenz in 1. Ordnung beobachtet wird. Da jedoch bei Beobachtung in n-ter Ordnung ein kleiner Wellenlängenunterschied n-fach in den Gangunterschied eingeht, ergibt sich für das Auflösungsvermögen des in n-ter Ordnung verwendeten Gitters
2/A2 = 7V-n (n = Ordnungszahl).	(6.61)
Die Beugung am Gitter und die Brechung am Prisma sind beide abhängig von der Wellenlänge. Es bestehen aber wesentliche Unterschiede:
	Gitter	Prisma
Winkeländerung	^rol > ^blau	^rol < ^blau
Ordnungen	1., 2. ... Ordnung	keine höheren Ordnungen
2-Messungen	absolut	nur relativ
Auflösung	sehr hoch	geringer
Für ein Gitterspektrometer mit 100000 interferierenden Strichen in 3. Ordnung ergibt sich also ein Auflösungsvermögen von 3 • 105. Beim Prismenspektrometer ergibt sich das Auflösungsvermögen aus dem Produkt von Dispersion (dn/dA, n — Brechzahl) und Prismen-Basislänge (Bd. 3, Kap. 2) und ist wesentlich kleiner; für Prismen von einigen Zentimetern Basislänge liegt es etwa bei 104.
Der wichtigste Punkt bei der Gitterherstellung ist die Verbindung von Feinmechanik und Optik: Mit einem Diamanten werden Striche in eine Glasplatte geritzt, und die seitliche Versetzung des Diamanten wird durch eine Präzisionsspindel kontrolliert. Beim Einritzen von Linien in spiegelnde Flächen lassen sich mehr als 1000 Striche pro Millimeter und eine Gesamtstrichzahl von über 100000 erreichen. Nicht jedes in der Praxis verwendete Gitter muss so aufwendig hergestellt werden. Von
420	6 Licht
einem mechanisch hergestellten Gitter lassen sich mit Kollodiumfilmen Abdrücke herstellen, die gehalten zwischen zwei Glasplatten für Gitter-Spektrometer (Diffraktometer) eingesetzt werden können.
Ergänzt sei noch, dass auch „Phasengitter“ für die Spektroskopie geeignet sind. Phasengitter haben Objektfunktionen, in denen nicht der Transmissionsgrad, sondern die optische Dicke des Gitters periodisch variiert. Ein Kollodium-Gitterabdruck ist in erster Linie ein Phasengitter (Bd. 3, Kap. 3).
Mehrstrahl-Interferenzen. Solange sich nur die Wellenfelder von zwei kohärenten Lichtquellen überlagern, ist das entstehende Interferenzmuster für optische Präzisionsmessungen wenig geeignet. Wie die Linienschärfe und damit das Auflösungsvermögen mit der Zahl der interferierenden Quellen gesteigert werden kann, ist oben für das Strichgitter - mit den Strichen als sekundäre kohärente Quellen - gezeigt worden. Schon beim Gitter haben wir nicht mehr die eigentlich interferierenden Wellenfelder, sondern nur noch die von den Strichen ausgehenden wesentlichen Strahlen und deren Phasendifferenzen (Gangunterschiede) betrachtet. Diese Betrachtungsweise wird im Folgenden beibehalten.
Das Prinzip der Mehrstrahl-Interferenz ist in Abb. 6.44 dargestellt. Bei den auf beiden Seiten der dünnen Platte austretenden parallelen Strahlen a, b, c... bzw. a', b', c'... haben benachbarte Strahlen Gangunterschiede, die wie folgt zustande kommen (Abb. 6.44a): Am Punkt A werden die Strahlen getrennt. Die Vergleichspunkte C und D liegen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Der eine Strahl läuft von A nach D durch Luft, während der andere in der Platte mit Brechzahl n ( = sin 0o/sin 0) den Weg AB + BC durchläuft. Der Gangunterschied beider Strahlen berechnet sich wie folgt:
AZ = n (AB + BC) - AD = In AB - AD:
AB = AE/sin0,
AD = AC sin 0O = 2 AE sin 0O
= 2 AB sin 0 sin 0O
— 2 n AB sin20;
AZ — 2 n AB (1 — sin20) — 2 n (AB cos 6) cos 6
— 2ndcos6.	(6.62)
Abb. 6.44 Zur Mehrstrahl-Interferenz an einer dünnen Platte: (a) Differenz der optischen Weglängen benachbarter Strahlen, (b) nach beiden Seiten austretende mehrfach reflektierte Strahlen.
6.1 Experimentieren mit Licht 421
Der für die Interferenz entscheidende Phasenunterschied A<p ergibt sich nach
2n
A<p =------- + 7t,
A
(6.63)
wobei der Phasensprung von n bei der Reflexion am optisch dichteren Medium zustande kommt, also für eine Platte mit n > 1 in Luft bei der Reflexion im Punkt A (Abb. 6.44a); hat das äußere Medium die höhere Brechzahl, tritt der Phasensprung im Punkt B auf. Wegen der Periodizität von 2n ist das Vorzeichen des zweiten Terms von Gl. (6.63) belanglos, deshalb wird meist nur + n geschrieben. Will man nur den Abstand der Interferenzstreifen berechnen, d. h. die Einfallswinkel-Änderung A0O, die eine Änderung des Gangunterschiedes von 2 bewirkt, dann geht der Phasensprung nicht ein; das ist vermutlich der Grund, weshalb der n-Term in Gl. (6.63) oft weggelassen wird.
Die Mehrstrahl-Interferenz nach Abb. 6.44b erklärt zum Beispiel das Auftreten farbiger Streifen an dünnen, seitlich beleuchteten Ölfilmen.
Handelt es sich bei Abb. 6.44b um einen lichtdurchlässigen Film oder eine unverspiegelte Glasplatte und um nicht zu schrägen Einfall, dann ist der Reflexionsgrad klein, typischerweise p x 0.05 für äußere wie innere Reflexionen. Das bedeutet, im reflektierten Licht tragen nur die etwa gleich intensiven Strahlen a und b, die beide nur einmal (Strahl c dagegen dreimal) reflektiert wurden, zur Interferenz bei. Im transmittierten Licht sind die Interferenzen dagegen kaum zu beobachten, weil die Strahlen große Intensitätsunterschiede aufweisen: Der Strahl a' wurde gar nicht, der Strahl b' zweimal und der Strahl c' viermal reflektiert.
Eine Anwendung der Zweistrahl-Interferenz des reflektierten Lichtes ist die „Entspiegelung“ von Gläsern: Während die parallele Platte (oder dünne Schicht) von Abb. 6.44 oben und unten an Luft grenzt, betrachten wir nun eine dünne Schicht mit Brechzahl ns, die oben an Luft und unten an Glas mit Brechzahl n > ns grenzt (Abb. 6.45, die reflektierten Strahlen sind die Strahlen a und b von Abb. 6.44b).
Abb. 6.45 Prinzip der Entspiegelung von Glas durch Aufbringen einer dielektrischen Schicht mit der optischen Dicke einer Viertelwellenlänge. Der Einfallswinkel 0 ist hier stark vergrößert.
422	6 Licht
In diesem Fall werden beide Strahlen a und b am dichteren Medium reflektiert, und beide erleiden den Phasensprung 7t. Für nahezu senkrechten Einfall (also 0 viel kleiner als in Abb. 6.45 dargestellt werden konnte) muss die Schicht die optische Dicke 2/4 haben, damit die Strahlen a und b den Gangunterschied 2/2 aufweisen und destruktiv interferieren. Um für beide Reflexionen gleichgroße Reflexionsgrade zu erhalten, müsste ns = ]/n sein, also für 77Glas = 1.5.. 1.6 ungefähr ns = 1.25. Aus anderen technischen Gründen (Härte, Stabilität, Haftung auf Glas) muss man Substanzen mit höheren Brechzahlen wie Magnesiumfluorid (?7S = 1.38) verwenden. Trotz dieses Kompromisses und der Tatsache, dass Auslöschung nur für eine mittlere Wellenlänge erreicht werden kann, ist die für Tageslicht resultierende Reflexionsverminderung beachtlich.
Echte Mehrstrahl-Interferenzen nach diesem Prinzip erhält man, wenn man beide Oberflächen durch Bedampfen mit Silber in gerade noch lichtdurchlässige Spiegel mit hohem Reflexionsgrad von typischerweise p x 0.9-0.95 verwandelt (Abb. 6.46). Die quantitative Rechnung wird schwierig, weil auch Absorption auftritt und der Phasensprung nicht mehr genau 0 oder 7t ist. Hier beschränken wir uns auf das qualitative Verständnis von Interferometern.
Abb. 6.46 Mehrstrahl-Interferenz an einer beidseitig verspiegelten planparallelen Platte. Die Linie AB liegt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Bei der Zeichnung von Abb. 6.46 wurden die Winkeländerungen durch Brechung vernachlässigt. Wenn die Strahlen entlang der Linie AB gleiche Phase haben, dann wird am Ort Q in der Brennebene der Linse L ein scharfer Interferenzstreifen abgebildet. Statt der Linse kann auch das auf unendlich eingestellte Auge verwendet werden. Wird konvergentes monochromatisches Licht eingestrahlt, dann treten kreisförmige Interferenzstreifen auf.
Statt einer beidseitig verspiegelten planparallelen Glasplatte können auch zwei einseitig verspiegelte, zueinander parallel ausgerichtete Glasplatten verwendet werden, deren verspiegelte Seiten einander zugekehrt sind. Die Mehrfachreflexionen finden dann im Luftraum zwischen den Platten statt. Um Störungen durch Reflexion an den unverspiegelten äußeren Oberflächen auszuschalten, können auch leicht keilförmige Platten verwendet werden. In solchen Anordnungen ist eine Platte festmontiert, die andere justierbar (Abb. 6.47). Das ist das Prinzip des von A. Fabry und C.Perot 1897 vorgestellten Interferometers (Bd. 3, Kap. 3).
6.1 Experimentieren mit Licht 423
Abb. 6.47 Mehrstrahl-Interferenzen zwischen zwei parallelen Platten, deren einander zugekehrte Seiten verspiegelt sind. Die Brechung in den Platten wurde vernachlässigt.
Zum Interferenzfilter gelangt man, wenn der Abstand zwischen den parallelen Spiegelflächen von der Größenordnung einer Wellenlänge wird. Dann lautet die Bedingung für konstruktive Interferenz im Fall von n — 1 (Luft) und senkrechtem Einfall
2rf = jAj (j = 1, 2, ...).	(6.64)
Einige Fälle sind in der Tabelle angegeben; nur die fettgedruckten Wellenlängen liegen im Sichtbaren.
Dicke d	2,	Z2		A	Z
250 nm	500 nm	250 nm	189 nm		
500 nm	1000 nm	500 nm	333 nm	250 nm	
750 nm	1500 nm	750 nm	500 nm	375 nm	
1000 nm	2000 nm	1000 nm	667 nm	500 nm	400 nm
Bei schrägem Einfall wird die zu cos 0 proportionale Gangdifferenz (Gl. (6.62)) kleiner, entsprechend kürzer werden auch die durchgelassenen Wellenlängen.
Statt der Vielfach-Reflexionen zwischen zwei Planspiegeln kann man auch die Reflexionen in dielektrischen Vielfach-Schichten zur Erzeugung scharfer Interferenzstreifen ausnutzen, wie es schematisch in Abb. 6.48a dargestellt ist. Die Bezeichnung „dielektrisch“ soll anzeigen, dass hier die Brechzahl der entscheidende Parameter ist. Diese Vielfach-Schichten werden durch abwechselndes Aufdampfen zweier Substanzen mit deutlich verschiedener Brechzahl hergestellt, wobei die übereinanderliegenden Schichten alle die gleiche optische Dicke von 2/4, also unterschiedliche Schichtdicken von di 2 = (iii 2) 1 2/4 haben (Abb. 6.48b).
Man verwendet z. B. abwechselnd Kryolith (Na3AlF6, n — 1.33) und Zinksulfid (ZnS, n — 2.3). Der Vorteil der dielektrischen Schichten ist ihre vernachlässigbar kleine Lichtabsorption. Weil (fast) alles nichtreflektierte Licht transmittiert wird, eignen sie sich auch gut als Strahlteiler für Laserexperimente oder Farbfernseh-Kameras.
424	6 Licht
(b)
Abb. 6.48 Reflexionen in Vielfachschichten: (a) schematische Darstellung (ohne Brechung), (b) tatsächliche Dickenverhältnisse bei alternierenden Schichten verschiedener Brechzahl und gleicher optischer Dicke.
Zur Erläuterung des Prinzips eines dielektrischen Spiegels betrachten wir Abb. 6.48a und nehmen an, dass der tatsächliche Einfallswinkel 6 viel kleiner ist als der gezeichnete, also cosö se 1. Strahl a wird an dem dichteren Medium 2 mit einem Phasensprung von n reflektiert und durchläuft zweimal die oberste Z/4-Schicht, sodass sich insgesamt ein Phasenunterschied von 2k = 360c ergibt. Der Strahl b durchläuft zweimal zwei Z/4-Schichten und erleidet keinen Phasensprung, wodurch sich ebenfalls eine Phasendifferenz von 2k ergibt. Analog ergeben sich für die Strahlen c und d Phasendifferenzen von 4k. Alle an den inneren Grenzflächen reflektierten Strahlen haben innerhalb der Vielfach-Schicht Phasenänderungen erfahren, die ein ganzzahliges Vielfaches von 360 sind; sie interferieren also alle konstruktiv. Das gilt auch für Strahlen, die in der Vielfach-Schicht mehrfach reflektiert werden. (Nur der an der allerobersten Schicht reflektierte Strahl in Abb. 6.48a gestrichelt gezeichnet erleidet einen Phasensprung von k und interferiert mit den anderen Strahlen destruktiv.) Mit etwa 20 solcher Schichten übereinander lassen sich Spiegel mit einem Reflexionsgrad von 99.9% (Absorptionsgrad 0.01%) herstellen.
Weiterführende Darstellung: Band 3 (Optik), Kapitel 3 (Interferenz, Beugung und Wellenleitung).
6.1.4 Polarisationsoptik
Die Polarisationsoptik ist eng verknüpft mit optisch anisotropen Kristallen, die die Komponenten zur Erzeugung und Analyse von Lichtpolarisation liefern. Weil jedoch die Kristalloptik phänomenologisch sehr kompliziert ist und für das prinzipielle Verständnis der Polarisationsoptik nicht unbedingt benötigt wird, werden wir in dieser knappen Einführung die Kristalloptik weitgehend ausklammern und dafür auf Band 3 (Optik), Kapitel 4 (Polarisation und Doppelbrechung des Lichtes) und Band 5 (Gase, Nanosysteme, Flüssigkeiten), Kapitel 7 (Flüssigkristalle) verweisen.
Licht als Transversalwelle. Mit der Entdeckung der typischen Wellenphänomene „Beugung“ und „Interferenz“ war der Streit über die Teilchen- oder Wellennatur
6.1 Experimentieren mit Licht 425
des Lichtes zugunsten der Wellen entschieden worden. Alle bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts bekannten Eigenschaften des Lichtes waren verträglich mit der Annahme von Longitudinalwellen, die man sich damals für Licht auch leichter vorstellen konnte als Transversalwellen. Denn man war davon überzeugt, dass jede Art von Wellen zur Ausbreitung ein „Medium“ benötigt, so wie der Schall sich in Luft ausbreitet, aber nicht im Vakuum. Für das Licht, das sich auch im Vakuum ausbreitet, wurde der den ganzen Raum ausfüllende „Äther“ als Medium konzipiert. Weil aber dieser Äther sonst nicht in Erscheinung trat, musste er sehr ungewöhnliche physikalische Eigenschaften haben. Die Ausbreitung von longitudinalen Lichtwellen im Äther ist leichter vorstellbar als die Ausbreitung transversaler Lichtwellen, für die dem Äther auch noch Elastizität zugeschrieben werden muss. Deshalb wurde nicht bewusst nach transversalen Effekten gesucht und die Polarisation des Lichtes zufällig entdeckt.
Grundbegriffe. Wir betrachten zwei (hier zuerst als ideal angenommene) polarisationsoptische Komponenten: Polarisationsfilter und Lambda-Viertel-Plättchen (A/4-Plättchen, quarter-waveplate). Beide Komponenten haben eine transversale Vorzugsebene, die oft „Vorzugsrichtung“ genannt wird, was jedoch irreführend ist, weil zwischen Richtung und Gegenrichtung kein Unterschied besteht.
Das aus einem Polarisationsfilter austretende Licht ist linear polarisiert. Die Polarisationsebene, in der der E-Vektor des austretenden Lichtes schwingt, ist die Vorzugsebene des Filters. Einfallendes linear polarisiertes Licht mit dem E-Vektor Eo und der Intensität Io ~ Ef dessen Polarisationsebene mit der Vorzugsebene des Filters den Winkel cp bildet, wird in zwei kohärente Teilstrahlen mit E-Vektoren parallel und senkrecht zur Vorzugsebene zerlegt:
E^ — Eo cos cp, El — Eo sincp	(6.65)
und der parallel polarisierte Teilstrahl mit der Intensität
I — Io cos2<p	(6.66)
durchgelassen; der andere Teilstrahl wird absorbiert. Deshalb wird die Vorzugsebene des Filters auch „Durchlassebene“ und die dazu senkrechte Ebene „Sperrebene“ genannt.
Das Lambda-Viertel-Plättchen ist lichtdurchlässig. Einfallendes linear polarisiertes Licht hat in dem Plättchen eine von der Lage der Polarisationsebene abhängige Phasengeschwindigkeit. Die Vorzugsebene des Plättchens ist die Polarisationsebene für maximale Phasengeschwindigkeit und wird deshalb mit „schnell“ (f = fast) bezeichnet; die dazu senkrechte Ebene ist die Polarisationsebene für minimale Phasengeschwindigkeit und wird mit „langsam“ (s = slow) bezeichnet. Einfallendes linear polarisiertes Licht, dessen Polarisationsebene mit der f-Ebene den Winkel ß bildet, wird in zwei kohärente Teilstrahlen mit Polarisation in f- bzw. s-Ebene und den Intensitäten
f = Io cos2/l und f = Io sin2/l	(6.67)
zerlegt. Die Dicke des Lambda-Viertel-Plättchens ist so gewählt, dass beim Lichtaustritt zwischen den beiden Teilstrahlen ein Phasenunterschied von genau 90° be
426
6 Licht
steht; das entspricht einer Lichtwegdifferenz von 2/4. Bei der kohärenten Überlagerung der austretenden Teilstrahlen ergibt sich eine Welle, deren E-Vektor nun nicht mehr entlang einer Linie oszilliert, sondern eine Ellipse beschreibt. Man spricht allgemein von elliptischer Polarisation.
Für Winkel —45° < ß < 45° liegen große und kleine Halbachse der Ellipse a bzw. b parallel zur f- bzw. s-Ebene; das Halbachsenverhältnis entspricht dem Verhältnis der E-Vektoren der Teilwellen:
bfa — EJE( = sin | /? |/cos yS = tan|/?|.	(6.68)
Im Spezialfall b — a (ß — + 45°) spricht man von zirkularer Polarisation. Positive Winkel ß entsprechen einem im Gegenuhrzeigersinn umlaufenden E-Vektor. [Winkel | ß | >45° werden nicht betrachtet, weil sie keine neuen Polarisationsformen ergeben.]
Um die Lage der großen Halbachse in der Ebene senkrecht zum Lichtstrahl zu beschreiben, führen wir den Winkel a zwischen der f-Ebene des Lambda-Viertel-Plättchens und der Horizontalebene ein. Mit dem Variationsbereich 0 < a < 180° werden alle physikalisch verschiedenen Möglichkeiten erfasst.
Formale Beschreibung der Polarisation. Zur vollständigen Charakterisierung elliptischer Polarisation benötigt man drei Angaben:
1.	Die Lage der großen Halbachse (der f-Ebene des Lambda-Viertel-Plättchens), gegeben durch den Winkel a bezüglich der horizontalen x-Achse mit 0° < a < 180°.
2.	Das Verhältnis von kleiner und großer Halbachse, beschrieben durch den Winkel ß mit tan \ß\ = bfa und 0 < \ß \ < 45°.
3.	Die Zirkularität des E-Vektor-Umlaufs, beschrieben durch das Vorzeichen von ß: Der Umlauf wird in der Lichtoptik auf einen Betrachter bezogen, der dem Licht entgegenblickt; Umlauf im Gegenuhrzeigersinn wird als linkszirkular bezeichnet und mit ß > 0 beschrieben. Der Drehsinn von linkszirkular polarisiertem Licht bildet mit der Ausbreitungsrichtung eine Rechtsschraube. Nach der „Schraubensinn-Konvention“ wird Rechtsschrauben positiver Schraubensinn (positive Helizität) zugeordnet.
Die eleganteste Darstellung der verschiedenen Polarisationszustände wurde von H.Poincare (1892) gegeben: Jeder Punkt auf der Oberfläche einer Kugel wird mit einem Polarisationszustand identifiziert und durch die Winkelkoordinaten 2a und Iß beschrieben, wobei a und ß die oben erläuterten Bedeutungen haben.
Besonders anschaulich ist diese Darstellung, wenn man die Poincare-Kugel (Abb. 6.49a) mit der Erdkugel assoziiert.
- Der Winkel 2a entspricht der geographischen Länge und nimmt „nach Osten“ zu.
- Der Winkel Iß entspricht der geographischen Breite, wobei linkszirkulare Polarisationen auf der Nordhalbkugel liegen, rechtszirkulare auf der Südhalbkugel.
- Alle linearen Polarisationen liegen auf dem Äquator. Der Nullmeridian entspricht horizontaler Polarisation (H); diametral gegenüber liegt die vertikale Polarisation (V). Dazwischen, mit einem Längenunterschied von A (2a) = + 90° liegen die linearen Polarisationszustände, die um a = 45° bzw. 135° gegen die Horizontale verdreht sind.
6.1 Experimentieren mit Licht 427
Abb. 6.49 (a) Darstellung eines Polarisationszustandes auf der Poincare-Kugel. (b) Erläuterung der Stokes-Parameter mithilfe einer Poincare-Kugel.
- Wenn die Schwingungsellipse zu einem Kreis entartet, dann wird 2a unbestimmt, genau wie die geographische Länge an den Erdpolen. Der Nordpol entspricht linkszirkularer Polarisation (L), der Südpol rechtszirkularer (R).
Ein Polarisationszustand entspricht einem Punkt auf der Kugeloberfläche. Für weitere Betrachtungen führen wir den Poincare-Vektor P (im Poincare-Raum) ein, der vom Kugel-Mittelpunkt radial zu diesem Oberflächen-Punkt zeigt und für vollständige Polarisation den Betrag | P | = 1 hat. Entgegengesetzte Polarisationszustände werden durch entgegengesetzte Poincare-Vektoren repräsentiert. Die Poincare-Kugel verdeutlicht, dass es beliebig viele „entgegengesetzte Polarisationszustände“ gibt, nicht nur lineare Polarisationen mit zueinander senkrechten Schwingungsebenen und rechts/links-zirkulare Polarisation, sondern auch jede elliptische Polarisation hat einen „Antipoden-Zustand“ mit 2a' = 2a+180° und Iß' — —Iß bzw. P = -P.
Unpolarisiertes Licht. Wie wir heute wissen, gibt es nur transversale Lichtwellen. Aber nicht jedes Licht ist polarisiert. Das so genannte „natürliche“ Licht, wie es von thermischen Strahlern emittiert wird, ist unpolarisiert. Es besteht aus vielen inkohärent überlagerten Wellenpaketen, von denen jedes einzelne irgendwie polarisiert ist. Aber im Mittel ergibt sich eine Rotationssymmetrie der physikalischen Eigenschaften bezüglich der Ausbreitungsrichtung. Ein Polarisationsfilter zerlegt jedes einfallende Wellenpaket in zwei Teile, die parallel und senkrecht zur Vorzugsrichtung polarisiert sind. Im Mittel wird 50% des einfallenden unpolarisierten Lichtes durchgelassen und ist nach dem Durchgang linear polarisiert. Die Rotation des Polarisationsfilters in der Scheibenebene führt bei unpolarisiertem einfallenden Licht nicht zu Intensitätsvariationen. Das gilt auch für den Fall, dass das einfallende Licht
428
6 Licht
zirkular polarisiert ist. Der Unterschied zwischen unpolarisiertem und zirkular polarisiertem Licht besteht darin, dass letzteres (mithilfe eines Lambda-Viertel-Plättchens) vollständig, ersteres aber prinzipiell nur zu 50 % in linear polarisiertes Licht umgewandelt werden kann.
Partiell polarisiertes Licht. Poincare-Vektoren für vollständige Polarisation sind Einheitsvektoren. Partiell (teilweise) polarisiertes Licht kann analog durch einen Poincare-Vektor mit |P| = P < 1 beschrieben werden; P ist der Polarisationsgrad. Ein teilweise polarisierter Strahl der Intensität I und der Polarisation P < 1 ist aufzufassen als eine inkohärente Überlagerung eines vollständig polarisierten Strahls der Intensität IP und eines unpolarisierten Strahls der Intensität Z(1 — 7’).
Eine andere, besonders für die Beschreibung partieller Polarisation nützliche Darstellung wurde von C.G. Stokes (1852) eingeführt. Die Stokes-Parameter sind mit der Poincare-Kugel wie folgt verknüpft: Für Licht der Intensität I und der Polarisation P mit P — | P | < 1 wird eine Poincare-Kugel mit dem Radius P gezeichnet (Abb. 6.49b). Außerdem wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit Ursprung im Kugelmittelpunkt definiert, dessen Koordinaten die folgenden Richtungen im Poincare-Raum haben:
1.	in Richtung H = horizontale lineare Polarisation,
2.	in Richtung 2a = 90°, Iß = 0°,
3.	in Richtung L = linkszirkulare Polarisation.
Die Komponenten des Polarisationsvektors P entlang der drei Koordinaten sind die Polarisationskomponenten P1, P2 und P3. Der Polarisationsgrad ist definiert als
p = (p2 + pi + Pf)1/2.	(6.69)
Die vier von Stokes eingeführten Parameter sind wie folgt mit Intensität und Polarisationskomponenten und den Winkeln a und ß verknüpft:
S0 = ß
St = I Pt = IP cos 2a cos Iß,
S2 — I P2 = I P sin2a cos Iß,
S3 = I P3 = I P sin2ß.	(6.70)
Umgekehrt gilt
I = S,, und Pi = SJS0 (i = 1,2,3).	(6.71)
Die Nützlichkeit der Stokes-Parameter ist darin begründet, dass sie sich bei der inkohärenten Überlagerung von unterschiedlich polarisiertem Licht additiv verhalten.
Wenn der Polarisationszustand eines Lichtstrahls empirisch bestimmt werden soll, dann sind dazu 6 Intensitätsmessungen mit verschiedenen Analysatorstellungen erforderlich. Die Intensitäten 7(0°), 7(45°), 7(180°) und 7(135°) werden gemessen mit einem Analysator, dessen Vorzugsebene (= Schwingungsebene des durchgelassenen linear polarisierten Lichtes) mit der Horizontalen den in Klammern angegebenen Winkel a einschließt; die Intensitäten 7(L) und 7(R) werden gemessen, wenn sich vor dem Analysator ein z/4-Plättchen befindet, dessen f-Ebene parallel zur Vorzugsebene des Analysators liegt. Wenn Analysator und z/4-Plättchen ideale (absorp
6.1 Experimentieren mit Licht 429
tionsfreie) polarisationsoptische Komponenten sind, ergeben sich die Stokes-Parameter aus den Messungen wie folgt:
So = 7(0°)+ 7(90°)
= 7(45°)+ 7(135°)
= 7(L) + 7(R).
S) = 7(0°)-7(90°),
S2 = 7(45°)-7(135°),
S3 = 7(L)-7(R).	(6.72)
In der Poincare’schen Darstellung haben „entgegengesetzte“ Polarisationszustände diametral entgegengesetzte Punkte auf der Kugel. Die Aufspaltung von polarisiertem Licht in zwei Teilstrahlen entgegengesetzter Polarisation, wofür orthogonale Ebenen linearer Polarisation nur ein Spezialbeispiel sind, kann jetzt mithilfe der Poincare-Kugel verallgemeinert werden.
Licht der Intensität 7, vollständig polarisiert in einem beliebigen Polarisationszustand P kann formal in zwei kohärente, entgegengesetzt polarisierte Strahlen zerlegt werden, deren Zustände P1 und P2 — —P1 diametral entgegengesetzten Punkten irgendwo auf der Poincare-Kugel entsprechen (Abb. 6.50). Die Intensität 7 verteilt sich wie folgt auf die beiden Teilstrahlen:
A/7 = | (i + cos cpj = cos2(<p1/2)	(6.73)
und
1
A/7 = 2 C1 + cos ^2)
= | (1 - cos cpj = sin2^^).	(6.74)
Auch ein Analysator, bestehend aus Lambda-Viertel-Plättchen und nachfolgendem Polarisationsfilter, der für gegebene Azimutwinkel der beiden Komponenten nur Licht einer bestimmten (i. A. elliptischen) Polarisation durchlässt, kann durch einen Poincare-Vektor beschrieben werden. Angenommen, Licht im Polarisationszustand P fällt auf einen Analysator, der den Zustand P1 (vgl. Abb. 6.50) durchlässt: dann
Abb. 6.50 Poincare-Kugel: Ein Strahl mit dem Polarisationszustand P kann aufgespalten werden in zwei kohärente Teilstrahlen mit entgegengesetzten Polarisationszuständen.
430
6 Licht
beschreibt Gl. (6.73) die durchgelassene Intensität /, als Funktion des Winkels cp1 zwischen den beiden Poincare-Vektoren, in Übereinstimmung mit Gl. (6.66.).
Nur wenn eine Zerlegung in zwei Teilstrahlen gleicher Intensität gefordert ist, müssen deren Zustände auf dem Großkreis senkrecht zu P liegen; ein Beispiel ist die Aufspaltung von linear polarisiertem Licht mit um 45° geneigter Schwingungsebene (2a = 90°, Iß = 0) in die linear polarisierten Komponenten H (2a = 0, Iß = 0) und V (2a = 180°, Iß = 0) oder in die zirkular polarisierten Komponenten L (2ß — + 90°) und R (2ß — — 90°), die alle vier auf dem Großkreis senkrecht zu P liegen.
Die Poincare-Kugel gestattet auch eine elegante Darstellung der Wirkung eines Lambda-Viertel-Plättchens als Polarisationswandler: Die Umwandlung von linear polarisiertem Licht in zirkular polarisiertes entspricht einer 90°-Drehung des Poincare-Vektors, ausgehend von einem Punkt auf dem Äquator entlang einem Meridian bis zu einem Pol der Poincare-Kugel. Die Drehachse ist der Vektor, der senkrecht auf dem Meridiankreis steht. Im übersichtlichsten Fall liegt die f-Ebene des Lambda-Viertel-Plättchens in der Horizontalen, der Drehvektor zeigt zum Punkt H, und das einfallende linear polarisierte Licht entpricht den Poincare-Winkeln 2a = 90° oder 270° und Iß = 0. Ist das einfallende Licht linear polarisiert mit 2a 4= 90° oder 270°, dann erzeugt das Lambda-Viertel-Plättchen elliptisches Licht, und auch dafür ergibt sich der neue Polarisationszustand aus einer 90°-Drehung des Poincare-Vektors um die Vorzugsachse des Wandlers (hier Richtung H). Die Drehung erfolgt in der zu H senkrechten Ebene, in der die Spitze des Vektors P liegt, die aber in diesem Fall kein Großkreis ist.
Ein Lambda-Halbe-Plättchen wirkt wie zwei hintereinander geschaltete, gleich orientierte Lambda-Viertel-Plättchen, kann also durch eine 180°-Drehung des P-Vektors auf der Poincare-Kugel beschrieben werden.
Spiegelung und Brechung. Wir betrachten hier nur linear polarisiertes Licht. Die Ausbreitung des Lichtes in einem durchsichtigen Medium (Glas, Wasser,...) wird im Rahmen der Maxwell’schen Theorie und des anschaulichen Atomismus dadurch erklärt, dass das elektrische Feld der einfallenden Lichtwelle die in Atomen gebundenen Elektronen zu erzwungenen Schwingungen anregt, dass die oszillierenden Ladungen strahlen wie Hertz’sche Dipole und dass die Überlagerung der vielen Elementarwellen nach dem Huygens’schen Prinzip die resultierende Welle ergibt. Überträgt man die Strahlungscharakteristik des Hertzschen Dipols auf die Elementarwellen, dann folgt daraus, dass parallel zur Dipolachse keine Strahlung emittiert wird. Damit versteht man das von D. Brewster 1813 formulierte Gesetz (Abb. 6.51): Wenn der reflektierte Strahl senkrecht auf dem gebrochenen steht, dann wird nur Licht reflektiert, dessen Schwingungsebene senkrecht auf der Einfallsebene steht. Der Brewster-Winkel 0B ist der Einfallswinkel, für den diese Bedingung erfüllt ist: Aus 180° — 01 — 02 = 90° und sin öj/sin 02 = n folgt
tan 0B = n.	(6.75)
Während der Reflexionsgrad für Licht, das parallel zur Einfallsrichtung schwingt, mit dem Einfallswinkel 01 monoton von ca. 4% für senkrechten Einfall (01 = 0) bis 100% für streifenden Einfall (01 = 90°) zunimmt, ist der Reflexionsgrad für das dazu senkrecht schwingende Licht bei 01 = Cß, gleich null, er ist sehr klein
6.1 Experimentieren mit Licht 431
Abb. 6.51 Gebrochener und reflektierter Strahl bilden einen Winkel von 90 Grad, (a) Schwingungsebene = Einfallsebene, (b) Schwingungsebene 1 Einfallsebene. Die Dipol-Charakteristik bestimmt die Emission.
in der Nachbarschaft von 0B und liegt für alle Einfallswinkel ()<((< 90° unterhalb Nur bei 01 = 0° und 90° sind beide Reflexionsgrade gleich groß.
Eine praktische Anwendung des Brewster’schen Gesetzes ist das Brewster-Fenster, das so gegen die optische Achse geneigt ist, dass ein axial einfallender, parallel zur Einfallsebene linear polarisierter Strahl überhaupt keine Reflexion erfährt.
Als Polarisator ist die Reflexion an einer Glasplatte kaum geeignet, weil das reflektierte Licht zwar vollständig polarisiert ist, aber nur einen geringen Teil der gesamten Lichtintensität beinhaltet; das gebrochene Licht ist zwar intensiv, aber nur gering polarisiert. Bessere Resultate erzielt man mit einem Glasplattensatz (Abb. 6.52). Dieses Prinzip kann auch auf dielektrische Vielfachschichten übertragen und in Spektralbereichen angewendet werden, in denen keine strahlungsdurchlässige Polarisationsfilter verfügbar sind.
Für die Polarisationseffekte bei der Reflexion an Metallen und anderen absorbierenden Medien verweisen wir auf Bd. 3, Abschn. 4.4. Im Allgemeinen treten bei der Reflexion für die beiden parallel und senkrecht zur Einfallsebene schwingenden Komponenten Phasensprünge auf, die von 0 und 180° verschieden sind. Um zu
Abb. 6.52 Glasplatten-Polarisator: Wenn unpolarisiertes Licht unter dem Brewster-Winkel einfällt, dann ist das reflektierte Licht vollständig, das gebrochene Licht nur teilweise polarisiert.
432	6 Licht
verhindern, dass bei der Reflexion eines linear polarisierten Strahls an einem Metallspiegel die Polarisation elliptisch wird, sollte man die Schwingungsebene senkrecht (oder, mit geringerem Reflexionsgrad, parallel) zur Einfallsebene legen.
Polarisationseffekte in der Lichtstreuung. Die Überlegung, die von der Strahlungscharakteristik eines Hertz’schen Dipols zum Brewster’schen Gesetz führte, vermag auch die Polarisation des in der Atmosphäre gestreuten Sonnenlichtes zu erklären. Die schwingenden Elektronen der Luftmoleküle strahlen nicht parallel zur Dipolachse. Wenn also unpolarisiertes Sonnenlicht über 90°-Streuung zum Beobachter gelangt, dann muss die Schwingungsebene senkrecht zur Streuebene liegen (vgl. Abb. 6.53).
Abb. 6.53 Erläuterung zur Polarisation des in der Atmosphäre gestreuten Sonnenlichtes.
Doppelbrechung und Dichroismus. Unter Doppelbrechung (double refraction) versteht man in der Kristalloptik ein anisotropes Verhalten bezüglich linear polarisiertem Licht: Die Brechzahl ist abhängig vom Azimutwinkel der Polarisationsebene bezüglich einer Vorzugsebene des Kristalls. Einfallendes unpolarisiertes Licht wird vom Kristall in zwei entgegengesetzt polarisierte Komponenten mit Polarisationsebenen parallel und senkrecht zur Vorzugsebene zerlegt; bei schrägem Einfall führen die unterschiedlichen Brechzahlen zu unterschiedlichen Brechungswinkeln und ggf. auch zu zwei getrennt austretenden Strahlen.
Die Dispersionstheorie (Bd. 3, Kap. 2) gibt einen Zusammenhang von Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl (= Dispersion) und Absorption des Lichtes. Die lichtdurchlässigen Stoffe absorbieren Licht im Infraroten und Ultravioletten. Ein doppelbrechender lichtdurchlässiger Kristall hat für die beiden ausgezeichneten Polarisationsebenen unterschiedliche Wellenlängenabhängigkeiten der Brechzahl und verschiedene Absorptionsbereiche außerhalb des Sichtbaren. Es gibt aber auch doppelbrechende Kristalle, die ihre Absorptionsstellen im Sichtbaren haben. Das führt zu polarisationsabhängigen Farbeffekten, die als Dichroismus (dichroism) bezeichnet werden und immer mit dem allgemeineren Phänomen der Doppelbrechung verknüpft sind.
Lineare Doppelbrechung. Ohne andere Spezifizierung wird Doppelbrechung immer als „lineare“ Doppelbrechung verstanden, die mit linearen Polarisationszuständen
6.1 Experimentieren mit Licht 433
des Lichtes in Zusammenhang steht. Der Kalkspat-Kristall (Calcit, CaCO3) ist lichtdurchlässig und stark doppelbrechend. Von den beiden senkrecht zueinander polarisierten Teilstrahlen im Kristall kann einer durch Totalreflexion eliminiert werden. Auf diese Weise lassen sich aus Kalkspat hochwertige Polarisatoren herstellen, die unpolarisiertes Licht zu nahezu 50 % in vollständig linear polarisiertes umwandeln (z. B. Glan-Thompson-Prisma, Bd. 3, Kap. 4). Turmalin (ein Borsilicat) kann als ein auf Dichroismus beruhender Polarisator verwendet werden; das linear polarisierte austretende Licht ist grün gefärbt.
Die bei geringen Ansprüchen viel verwendeten preiswerten Polarisationsfolien sind z. B. Kunststoff-Folien, in denen kristallographisch ausgerichtete Kriställchen eingebettet sind, die Licht einer Schwingungsebene absorbieren. Mit diesen Folien lassen sich Polarisationsgrade von 99% erreichen; mit zwei gekreuzten Folien wird die Intensität bis auf 1 % reduziert. Der Hauptnachteil der Folien besteht darin, dass sie auch Licht mit der bevorzugt durchgelassenen Schwingungsebene merklich absorbieren.
Eine andere Anwendung der linearen Doppelbrechung besteht in der Herstellung von Phasenverzögerungs-Platten (retardation plates). Von praktischer Bedeutung sind nur Platten, die Phasendifferenzen von 90° oder 180° erzeugen. Dafür nimmt man leicht spaltbare Kristalle wie Glimmer, der in einer Dicke von 65 jrm als 2/2-Plättchen für Licht mittlerer Wellenlänge (550 nm) wirkt.
Die Eigenschaften aller polarisationsoptischen Komponenten sind mehr oder weniger wellenlängenabhängig, weil sich die Brechzahlen mit der Wellenlänge verändern; die Phasenverzögerungs-Platten haben aber dazu noch eine direkte Wellenlängenabhängigkeit, weil die Phasendifferenz dem Verhältnis von optischer Dicke zu Wellenlänge proportional ist.
Die Doppelbrechung wurde schon 1669 von Erasmus Bartholinius am isländischen Kalkspat entdeckt, konnte aber lange nicht gedeutet werden. An einem sonnigen Tag von 1808 blickte Etienne-Louis Malus aus seiner Pariser Wohnung durch einen Kalkspat-Kristall hindurch auf ein das Sonnenlicht reflektierendes Fenster des gegenüberliegenden Gebäudes und drehte dabei den Kristall. Er stellte fest, dass sich dieses Licht beim Durchgang durch den Kristall nicht rotationssymmetrisch verhielt: eine Drehung des Kristalls um den Lichtstrahl als Achse ergab wechselnde Intensitäten für die beiden durch Doppelbrechung entstandenen Strahlen. Die von Malus im Anschluss an diese Zufallsbeobachtung durchgeführten Experimente ergaben auch, dass natürliches Licht nach Reflexion an der Oberfläche eines durchsichtigen Mediums (Glas, Wasser ...) polarisiert ist.
Induzierte lineare Doppelbrechung. Doppelbrechung ist eine Eigenschaft anisotroper Kristalle. Durch transversale Einwirkung von außen können jedoch auch nichtdoppelbrechende Substanzen doppelbrechend werden; die wichtigsten Einwirkungen sind
-	mechanischer Zug oder Druck,
-	elektrische Feldstärke (elektrooptischer Kerr-Effekt).
Die durch mechanische Spannungen induzierte Doppelbrechung in lichtdurchlässigem Material ist polarisationsoptisch sehr empfindlich nachzuweisen. Der für diesen Effekt übliche Begriff „Spannungsdoppelbrechung“ kann missverständlich mit
434	6 Licht
elektrischer Spannung assoziiert werden, eindeutiger aber weniger gebräuchlich sind die Namen „Photoelastizität“ und „Elastooptik“. Das untersuchte Objekt befindet sich zwischen gekreuzten Polarisationsfiltern, mit Vorzugsebenen etwa +45° zur induzierten optischen Achse, sodass die Doppelbrechung zu elliptischer Polarisation und damit zu beobachtbarer Aufhellung führt. Untersuchungsergebnisse an Plexi-glasmodellen unter Belastung können u.U. auf undurchsichtige Werkstoffe übertragen werden.
1875 entdeckte J. Kerr, dass durch ein angelegtes tranversales elektrisches Feld lineare Doppelbrechung induziert wird. Der Brechzahlunterschied ist proportional zur Schichtdicke der durchstrahlten Substanz, zur Lichtwellenlänge und zum Quadrat der elektrischen Feldstärke. Dieser elektrooptische Kerr-Effekt ist bei einigen Flüssigkeiten sehr groß, besonders bei Nitrobenzol. Der Effekt beruht auf einer Ausrichtung der Moleküle im elektrischen Feld, die fast trägheitslos (bei Nitrobenzol mit einer Zeitkonstante von 40 ps) erfolgt. Dadurch eignet sich der Effekt für die schnelle Schaltung von Lichtstrahlen: Die Kerr-Zelle liegt zwischen gekreuzten Polarisationsfiltern mit dem elektrischen Feld in Diagonalstellung und sperrt den Lichtstrahl, solange keine Spannung angelegt wird.
Zirkulare Doppelbrechung. Angenommen, eine lichtdurchlässige Substanz besitzt aus noch unbekannten Gründen unterschiedliche Brechzahlen für links- und rechtszirkular polarisiertes Licht. Das hat folgende Konsequenz: Ein linear polarisierter Strahl, der die Substanz geradlinig durchsetzt, kann als eine kohärente Überlagerung einer L- und einer R-Komponente gleicher Intensität aufgefasst werden, die sich in dieser Substanz mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit ausbreiten. Nach dem Durchgang entsteht durch die kohärente Überlagerung beider Komponenten wieder linear polarisiertes Licht, aber die entstandene Phasendifferenz Acp führt dazu, dass das austretende Licht eine gegenüber dem einfallenden Licht um den Winkel \(pj1 gedrehte Schwingungsebene besitzt.
Eine solche Substanz ist formal ein Polarisationswandler, dessen Vorzugsrichtung auf der Poincare-Kugel durch den Radius zum Punkt L (für nL < nR) oder R (für nL > nR) respräsentiert wird. Die Phasendifferenz \cp ist gleich dem Winkel, um den der Poincare-Vektor des Lichtes um die Vorzugsrichtung gedreht wird.
Die zirkulare Doppelbrechung wurde 1811 von F. Arago am Quarz (SiO2) entdeckt. Beim Quarz ist die lineare Doppelbrechung ca. 100-mal größer als die zirkulare, beide sind wellenlängenabhängig. Deshalb kann die zirkulare Doppelbrechung nur entlang der optischen Achse beobachtet werden, wo die lineare Doppelbrechung verschwindet. Kristalliner Quarz tritt in zwei Formen auf, rechts- oder linksdrehend. Die Drehung beträgt +21.7°/mm. Positive Drehwinkel gelten für Rechtsdrehung, die sich ergibt, wenn nL > nR ist, also die R-Komponente die höhere Phasengeschwindigkeit besitzt. Geschmolzener Quarz (Quarzglas) besitzt kein Drehvermögen.
Der Grund für die zirkulare Doppelbrechung ist beim Quarz der „schraubenförmige“ Kristallbau. In Abb. 6.54 wurden die Si-Atome im Gegenuhrzeigersinn („links herum“) numeriert, das Atom 2 liegt hinter dem Atom 1, Atom 3 hinter 2. Im abgebildeten linksdrehenden Quarz bilden die Si-Atome eine Linksschraube. Die Linksdrehung bedeutet, dass das linkszirkulare L-Licht die größere Phasengeschwindigkeit besitzt. Wegen der historisch bedingten unglücklichen Definition der Zirkularität besitzt L-Licht positive Helizität, entspricht also einer Rechtsschraube
6.1 Experimentieren mit Licht 435
Abb. 6.54 Strukturzelle des linksdrehenden Quarzes (Blick senkrecht zur optischen Achse). Die mit 1, 2 und 3 gekennzeichneten Si-Atome bilden eine Linksschraube.
des E- Vektors. Die größere Phasengeschwindigkeit (kleinere Brechzahl) gilt offenbar für den Fall, dass Kristall und Lichtwelle verschiedene Schraubensinne besitzen. Oder anders formuliert: Wenn Licht und Kristallbau gleichen Schraubensinn haben, dann ist die Wechselwirkung stärker und als Folge davon ist die Brechzahl größer bei ungleichem Schraubensinn.
Für die Beobachtung der zirkularen Doppelbrechung muss beim Quarz der Kristall zum Lichtstrahl eine bestimmte Ausrichtung haben, damit die viel stärkere lineare Doppelbrechung vermieden wird. Im Prinzip tritt zirkulare Doppelbrechung aber auch auf, wenn die „Schrauben“, die für die Wechselwirkung verantwortlich sind, statistisch isotrop verteilte Achsenrichtungen haben. Viele Flüssigkeiten (z. B. Terpentin) und wässrige Lösungen (von Rohrzucker, Weinsäure etc.) zeigen Drehvermögen, verursacht durch Schraubensinn im Molekülbau, der hier Chiralität (chir-ality) genannt wird. Zu jedem aus wenigstens vier verschiedenen, nicht koplanaren Atomen oder Atomgruppen bestehenden Molekül gibt es zwei verschiedene Bauformen, die zueinander spiegelbildlich sind (Stereoisomerie) und entgegengesetztes Drehvermögen besitzen. Die beiden Bauformen werden Enantiomere genannt. Ein Gemisch von gleichen Anteilen beider Enantiomere heißt Racemat und besitzt kein Drehvermögen, ist also „optisch nicht aktiv“. Aus dieser Sprechweise entstand der Begriff „optische Aktivität“, der auch als Synonym von „zirkularer Doppelbrechung“ verwendet wird.
Die optische Aktivität ist ein Kennzeichen von Naturprodukten; synthetisch hergestellte Verbindungen sind Racemate. In der modernen Chemie gibt es aber neuerdings auch Verfahren zur „asymmetrischen Synthese“, in denen preiswerte Naturstoffe (wie Weinsäure) als enantiomeren-reine Hilfsreagentien (chiral pools) verwendet werden (Bd. 4, Kap. 2).
Induzierte zirkulare Doppelbrechung kann durch ein longitudinales Magnetfeld bewirkt werden (Faraday-Effekt, Magnetorotation). Der 1846 von M. Faraday entdeckte (und u. a. von E. Verdet genauer untersuchte) Effekt steht in physikalischem Zusammenhang mit dem Zeeman-Effekt der Atomphysik (Bd. 3, Kap. 4; Bd. 4, Kap. 1). Der Drehwinkel ist proportional zur Probenlänge (gemessen in cm) und zum angelegten //-Feld (gemessen in A/cm). Durchsichtige Substanzen mit großem Faraday-Effekt (wie Bleisilikatglas) haben ein Drehvermögen (genannt Verdet-Kon-stante) von etwa 10 ' Grad/Ampere; der Effekt ist klein aber messbar.
20 pm
6.2 Lichtgeschwindigkeit 437
6.2 Lichtgeschwindigkeit
6.2.1 Messungen der Lichtgeschwindigkeit
Es ist für uns heute schwer nachzuvollziehen, dass frühere Naturphilosophen eine unendlich schnelle (instantane) Lichtausbreitung als „natürlich“ empfinden konnten. Galilei ist vermutlich der erste gewesen, der über die Messung der Lichtgeschwindigkeit ernsthaft nachgedacht hat. 1607 unternahm er den Versuch, die Geschwindigkeit eines Lichtsignals von einer Bergkuppe zur anderen und zurück zu messen. Sein Assistent sollte die Abdeckung seiner Laterne sofort entfernen, wenn er sah, dass Galileis Laterne aufleuchtete. Anfangs war der Assistent ungeschickt, und dadurch ergab sich ein endlicher Messwert. Mit zunehmender Übung wurde die Zeit immer kürzer, nur begrenzt durch die menschliche Reaktionszeit. Galilei konnte als Ergebnis nur angeben, dass sich Licht für die damaligen experimentellen Möglichkeiten „unmessbar schnell“ ausbreitet. In seinem 1638 in den Niederlanden publizierten Spätwerk lässt er Sagredo (für ihn selbst sprechend) den Simplicio darüber belehren, dass das Sehen des Mündungsfeuers einer entfernten Kanone, lange bevor der Knall das Ohr erreicht, nur zeigt, dass sich der Schall viel langsamer ausbreitet als das Licht, aber nicht entscheidet, ob das Licht unendlich schnell das Auge erreicht oder dafür eine kurze, aber endliche Zeit benötigt.
Die ersten erfolgreichen Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit waren astronomische Methoden; sie benutzten die Kenntnis von Erdbahn-Durchmesser (moderner Wert ca. 300 Mio. km « c -103s) bzw. Erdbahn-Geschwindigkeit (ca. 30km/s x 10 4 c).
Die erste Bestimmung eines endlichen Wertes für die Lichtgeschwindigkeit gelang Ole Roemer 1676. Er arbeitete an der Pariser Academie Royale des Sciences, die sich zu jener Zeit mit der genaueren Bestimmung der geographischen Längen befasste. Weil es noch keine seefesten Chronometer gab, sollten die Umläufe der Jupi-termonde als Zeitmaß genutzt werden. Besonders dafür geeignet ist der am schnellsten umlaufende innerste der von Galilei entdeckten Monde, lo, der eine Umlaufszeit von 42 h, 28 min, 36 s besitzt. Das Eintauchen von lo in den Schatten des Jupiters war mit den damals schon verfügbaren Fernrohren gut zu beobachten. Innerhalb der lo-Periode von knapp zwei Tagen bleibt der Abstand zwischen Jupiter und Erde nahezu konstant. Da Jupiter für einen Umlauf um die Sonne 11.86-mal längere Zeit benötigt als die Erde, ist die Zeit zwischen aufeinander folgenden größten Annäherungen beider Planeten (astronomisch: synodische Umlaufszeit des Jupiter) nicht viel länger als ein Jahr, nämlich 1 a, 34 d. Nach der halben Zeit hat die Entfernung zwischen den beiden Planeten ihren Maximalwert erreicht, der um den Erdbahndurchmesser größer ist als der Minimalwert. Roemer erkannte aus den vorliegenden Beobachtungen, dass die beobachteten Verfinsterungen des Io mit den vorausberechneten nicht übereinstimmten, wenn sich die Entfernung Jupiter-Erde in der überbrückten Zeit wesentlich änderte. Aus den Abweichungen und dem aus astronomischen Messungen bekannten Erdbahndurchmesser bestimmte er die Lichtgeschwindigkeit zu 214000km/s.
Erst als es James Bradley 1729 gelang, einen vergleichbar großen Wert für c mit einer völlig anderen Methode zu bestimmen, wurde die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit allmählich akzeptiert. - Bradley suchte nach Positionsänderungen von
438
6 Licht
Sternenlicht
Sternenlicht
scheinbare Winkeländerung
der Sternposition 
Beobachter
(b)	auf der Erde
Abb. 6.56 Zur astronomischen Aberration: (a) Beobachtung eines Sterns, der senkrecht auf der Erdbahnebene (Ekliptik) steht; (b) Maximale Positionsveränderung innerhalb eines Jahres.
Sternen, die als Parallaxen zu erwarten sind, wenn sich die Sterne in Entfernungen befinden, die im Vergleich zum Erdbahndurchmesser nicht unendlich groß sind. Bradley fand ähnliche Ergebnisse für alle untersuchten Fixsterne, nämlich eine jährliche Positionsschwankung von + 20" (Winkelsekunden). Die Abweichung ist maximal, wenn die Erdbahn-Geschwindigkeit r senkrecht zur Beobachtungsrichtung, also senkrecht zur Lichtgeschwindigkeit c des Sternenlichtes steht. Bradley erklärte diesen astronomische Aberration genannten Effekt durch die endliche Lichtgeschwindigkeit und ermittelte daraus einen Wert für c von ca. 300000km/s. [Wie wir heute
Abb. 6.57 Analogiebeispiel zur Aberration: fa) horizontale Bewegung und senkrecht fallender Regen, (b) optimale Neigung des Schirmes, (c) Regen-Aberration (nach E. M. Rogers, „Physics for the inquiring mind“).
6.2 Lichtgeschwindigkeit 439
Regenschirm-
neigung
\/ Fallgeschwindigkeit der Tropfen in der Luft
Wind-
geschwindigkeit
Abb. 6.58 Ergänzung zur Regen-Aberration von Abb. 6.57: Für den Winkel ist die Relativgeschwindigkeit entscheidend. Hier bläst der Wind den Regen in die Richtung des stehenden Schirm trägers.
wissen, konnte Bradley die wahren Parallaxen der Fixsterne damals noch gar nicht messen, weil sie alle kleiner als 1" sind.]
Zu Bradleys Zeiten dominierte die korpuskulare Lichttheorie. So benutzte auch Bradley in einem Brief an Edmond Hailey den Begriff „particles of light“. Die Analogie mit der Sinkgeschwindigkeit der fallenden Regentropfen (Abb. 6.57) ist naheliegend.
Dass es nur auf die Relativgeschwindigkeit ankommt, zeigt die Betrachtung eines stehenden Regenschirmträgers, der von windgetriebenem Regen schräg getroffen wird (Abb. 6.58).
Diese Analogiebetrachtung kann aber zu dem Schluss führen, dass sich der Aberrationswinkel vergrößern muss, wenn die Lichtgeschwindigkeit im Fernrohr (analog: Sinkgeschwindigkeit der Regentropfen) verkleinert wird, beispielsweise dadurch, dass man das Fernrohr mit Wasser füllt. Genau diesen Versuch machten G.B. Airy und M. Hoek 1871 und fanden keine Winkeländerung!
Man braucht gar nicht die Relativitätstheorie zu bemühen, um das Resultat von Airy und Hoek richtig zu deuten: Der mit der Erdbahn-Geschwindigkeit bewegte Beobachter befindet sich in dem bewegten Bezugssystem S', das räumlich nicht nur auf das Fernrohr oder die Erde beschränkt ist, sondern sich genauso über das ganze Universum erstreckt wie das „ruhende System der Fixsterne“ S. Behandelt man die Geschwindigkeiten nach den Regeln der klassischen Mechanik, dann ergibt sich die resultierende Lichtgeschwindigkeit c', aus der Vektoraddition von c und der dazu senkrechten Erdbahn-Geschwindigkeit r. Der Winkel a zwischen c' und c ist
a ä tana = vjc x 10 4 rad ss 20".	(6.76)
Nach dem klassischen Additionstheorem für Geschwindigkeiten kommt im bewegten Bezugssystem S' das Sternenlicht aus einer leicht veränderten Richtung zum Fernrohr, so wie die vom Wind in Richtung des Schirmträgers geblasenen Regentropfen (Abb. 6.58). Für die Beobachtung des schräg einfallenden Sternenlichtes muss das Teleskop den richtigen Neigungswinkel haben, aber es ist belanglos, wie groß die Phasengeschwindigkeit im Fernrohr ist.
Die ersten terrestrischen Bestimmungsmethoden für c waren die Zahnrad-Methode von A.H. Fizeau(1849) und die Drehspiegel-Methode von L. Foucault (1862). Beide benutzen eine Anordnung, in der das Licht eine bestimmte Strecke L hin- und zurückläuft, genau wie im Versuch von Galilei. Weil nun bessere Lichtstrahlen zur
440
6 Licht
Abb. 6.59 Terrestrische Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: (a) Zahnrad-Methode, (b) Drehspiegel-Methode. Im Abstand L links vom Strahlunterbrecher (nicht gezeigt) wird der Strahl reflektiert.
Verfügung standen, konnte der Assistent mit seiner zweiten Laterne durch einen reflektierenden Spiegel ersetzt werden. Zur Zeitmessung wurden rotierende Strahlunterbrecher eingesetzt (Abb. 6.59).
In der Lichtlaufzeit t — IL/c muss sich bei der Fizeau’schen Methode das Zahnrad von einer den Strahl durchlassenden Zahnlücke zur nächsten bewegt haben, bei der Foucault’schen Methode muss sich ein Drehspiegel mit 8 Spiegelflächen um 360°/8 = 45° gedreht haben.
In die erreichbare Messgenauigkeit geht nicht nur die Länge L und die Genauigkeit ihrer Vermessung ein, sondern vor allem auch die Rotationsgeschwindigkeit des Strahlunterbrechers, sowie ihre Konstanthaltung und Messung. Die Fizeau’sche Methode (zuerst mit L — 8.6 km) ermöglichte die allererste terrestrische Bestimmung von c; in Präzisionsmessungen 80-100 Jahre später wurde das Zahnrad durch eine mit hochfrequenter Hochspannung gesteuerte Kerr-Zelle ersetzt.
Die Foucault’sche Methode (im ersten Experiment mit L — 20 m) war der Fizeau’schen überlegen. Mit einem kleinen L von einigen Metern lieferte diese Methode genügend Genauigkeit für die Beantwortung der Frage, ob Licht sich in Medien mit n > 1 langsamer oder schneller als in Vakuum (Luft) ausbreitet. Mit vielen Verbesserungen der Technik und einem sehr großen L von 35 km erzielte A. Michelson 1928 die phantastische Genauigkeit von Ac = +4km/s. Der Michelson’sche Messwert wurde später glänzend bestätigt: Innerhalb des kleinen Fehlerintervalls liegt auch der moderne Bestwert von 299 792 458km/s, der im Zusammenhang mit der Neudefinition des Meters zur Festlegung von c benutzt wurde.
6.2.2 Lichtgeschwindigkeit in bewegten Medien
Hier geht es nicht darum, in einem Medium „x“ die Lichtgeschwindigkeit
cx = c)nx	(ß-77)
zu messen, sondern um die Klärung der Frage, ob sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Medium ändert, wenn das Medium mit einer Geschwindigkeit v < c parallel oder antiparallel zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes bewegt wird.
6.2 Lichtgeschwindigkeit 441
Selbst kleine Geschwindigkeitsänderungen, die zu kleinen Veränderungen der Lichtlaufzeit führen, lassen sich sehr genau interferometrisch bestimmen: Zwei kohärente Teilstrahlen, deren Laufzeitdifferenz eine noch innerhalb der Kohärenzzeit liegende Änderung erfährt, werden überlagert und bilden ein Interferenz-Streifenmuster. Die Laufzeitänderung entspricht einer Änderung der Phasendifferenz, die sich als eine Verlagerung der Interferenzstreifen auswirkt. Weil die beiden Teilstrahlen zwischen Strahlteilung und Überlagerung nie exakt die gleiche optische Weglänge besitzen, lässt sich eine einmalige Verlagerung nicht messen. Verschiebungen der Interferenzfigur, die mit Veränderungen der Geschwindigkeit v (Ein- und Ausschalten, Umkehren) verknüpft sind, lassen sich sehr genau bestimmen; der relative Messfehler Ac/c ist dabei kleiner als das Verhältnis A// mit / = Weglänge im Medium.
Das Ätherproblem. Die wissenschaftliche Bedeutung solcher Messungen ergab sich aus dem Ätherproblem des 19. Jahrhunderts: Der als Medium für die Lichtausbreitung angenommene Äther musste den ganzen Raum erfüllen, nicht nur Vakuum und Luft, sondern auch licht-durchlässige Flüssigkeiten und Festkörper. Ein den ganzen Raum erfüllender ruhender Äther würde ein physikalisch ausgezeichnetes Bezugssystem darstellen, das als Basis für „absolute“ Geschwindigkeitsmessungen dienen könnte.
Zuerst musste aber die Frage geklärt werden, was denn geschieht, wenn durchsichtige Körper mit n > 1 gegen den ruhenden Äther mit der Geschwindigkeit v bewegt werden. Bläst der ruhende Äther mit der Relativgeschwindigkeit — v durch den bewegten Körper? Oder ist das Medium, in dem die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes von c auf c/n herabgesetzt ist, auch in der Lage, dem durchblasenden Äther einen Widerstand entgegenzusetzen, der ihn verlangsamt? Letzteres kann z. B. durch einen Mitführungskoeffizienten ^beschrieben werden: F — 0 heißt „keine Mitführung“, der Äther bläst mit der Relativgeschwindigkeit — v durch das bewegte Medium („Ätherwind“). F — 1 heißt „volle Mitführung“, der mitgeführte Äther ruht im bewegten Medium.
Schon 1818 hatte A.J. Fresnel auf der Basis seiner (im Modellansatz falschen) „elastischen“ Lichttheorie für die Mitführung die Formel
P—l — l/w2	(6.78)
hergeleitet. Für Wasser mit n — 1.33 folgt daraus F — 0.43.
Der Wert des Mitführungskoeffizienten kann direkt gemessen werden, z. B. für strömendes Wasser. Dazu dienten Anordnungen nach dem Schema von Abb. 6.60 (H.Fizeau, 1851, 1853; A.A. Michelson und E.W Morley, 1886).
Die Gleichungen für die Lichtlaufzeiten bei Lichtumlauf entgegen und mit der Strömungsgeschwindigkeit sind
Üb + üc = 2 Üb =	/ tÜ« - Fv\,
Üd + Üa = 2 Üd =	/ CÜ« + Fv\.	(6.79)
Setzt man für F den Fresnel’schen Wert von Gl. (6.78) ein und vernachlässigt Summanden der Größenordnung u2/c2 gegenüber 1, dann ergibt sich eine endliche, zu v proportionale Laufzeitdifferenz von
= tAB - tcD = (2/re ) (n2 - 1).	(6.80)
442	6 Licht
Abb. 6.60 Experiment zur Messung der Lichtausbreitung in bewegten Medien. L = Lichtquelle, P = halbverspiegelte Platte, S = Spiegel T = Teleskop, v = Strömungsgeschwindigkeit.
Die Messungen lieferten Ergebnisse in Übereinstimmung mit Gl. (6.80). Die Erklärung dafür wird in Abschn. 6.3.1 gegeben.
6.2.3 Michelson-Morley-Experiment
Experimente in denen die Translationsgeschwindigkeit der Erde ausgenutzt wurde, ergaben keine Mitführung des Äthers für Vakuum (/i = 1) oder Luft (/i x 1), in Übereinstimmung mit der Bradley’schen Deutung der Aberration (siehe Bd. 3, Abschn. 2.1.2). Daraus wurde geschlossen, dass der im Universum ruhende Äther ein ausgezeichnetes Bezugssystem ist, auf das „absolute“ Geschwindigkeiten bezogen werden können. Mit welcher absoluten Geschwindigkeit zieht die Erde durch den Äther? Ist es die Vektorsumme von Erdbahngeschwindigkeit um die Sonne und Eigengeschwindigkeit der Sonne bezüglich der Galaxis, unserem Sternsystem, das auch „Milchstraße“ genannt wird? Oder bewegt sich sogar die Galaxis bezüglich des ruhenden Äthers? Wie kann man diese absolute Geschwindigkeit messen?
Abb. 6.61 Zum Michelson-Morley-Experiment: (a) Prinzip des Strahlengangs, (b) Bewegung der Komponenten A und C vom Ruhesystem des Äthers aus betrachtet, (c) Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit entlang der Strecke AC.
6.2 Lichtgeschwindigkeit 443
Wenn man bedenkt, dass die Absolutgeschwindigkeit der Erde v vielleicht nicht viel größer ist als die bekannte Erdbahngeschwindigkeit, dann muss man die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen bezüglich r mit einer Genauigkeit von besser als 10 4 messen. Derartig genaue Absolutmessungen der Lichtgeschwindigkeit waren damals noch nicht möglich. Es kam also nur eine Messung der Geschwindigkeitsunterschiede für verschiedene Richtungen in Betracht. Welche Genauigkeit dazu erforderlich ist, ergibt die folgende Betrachtung.
Der in Abb. 6.61a gezeigte prinzipielle Strahlengang des Experiments entspricht dem des 1880 von A. A. Michelson in Paris entwickelten Interferometers (siehe Abb. 6.36). Verglichen werden die Lichtlaufzeiten auf den Hin- und Rückwegen A->B->A und A->C->A. Die nur annähernd gleichen Abstände seien LAB x L und LAC x L. Zuerst wird angenommen, dass r in Richtung AB zeigt. Nach dem klassischen Additionstheorem für Geschwindigkeiten sind die resultierenden Lichtgeschwindigkeiten für Hin-und Rückweg (c — v) und (c + v), die Gesamtlaufzeit auf dieser Strecke ist
ZABA = LAB KC - f)”1 + (C +	']
= (2/c)LAB/(l-/F)
= (2/c)Lab (1 + ß2) mit
ß — v/c < 1.	(6.81)
Nach den Gesetzen der klassischen Mechanik sind die Lichtlaufzeiten unabhängig davon, ob man das Experiment im mit der Erde bewegten Laborsystem oder im Ruhesystem des Äthers betrachtet, weil für beide Systeme die gleiche „absolute Zeit“ gilt. Im Laborsystem sind die Strecken des Hin- und Rückweges, AB und BA, gleich lang, aber die Lichtgeschwindigkeiten verschieden. Im ruhenden System des Äthers ist die Geschwindigkeit immer gleich c, aber die Strecken sind verschieden lang: Der Hinweg ist größer, weil der reflektierende Spiegel B sich in Richtung des Hinstrahls bewegt; der Rückweg ist kürzer, weil A sich gegen die Richtung des Rückstrahls bewegt.
Für den Teilstrahl, der sich senkrecht zur Erdgeschwindigkeit ausbreitet, zeigt die Abb. 6.61b die Bewegung der Komponenten A und C bezüglich des Äthers. Im Äther-Ruhesystem erfolgt die Lichtausbreitung A-»C'-»A' mit der Geschwindigkeit c für Hin- und Rückweg. Im Laborsystem ist die Strecke A->C->A = 2 LAC kleiner, und die Geschwindigkeit ist dementsprechend auch kleiner; die Geschwindigkeit im Laborsystem ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck von Abb. 6.61c zu (c2 — r2)12 und führt zu der Laufzeit
tACA =(2/C)Lac/(1-/JT2
= (2/C)Lac(1+/F/2)
mit
ß= v/c 4:1.	(6.82)
Die Differenz der beiden Laufzeiten ist
A/	ACA
= (2/c) [Lab (1 + ß2) - Lac (1 + ß2/2)].	(6.83)
444	6 Licht
Nun wird die Apparatur so gedreht, dass v entlang AC zeigt. Die dadurch bewirkte Änderung der Zeitdifferenz ist
8t = At(u|| AB) — At(u||AC)
= (2/c)(Lab + Lac) ß2/2)
= 2 ß2 L/c
mit
Lab + Lac « 2L.	(6.84)
Die Zahl der Streifen n, um die sich das Interferenzbild verschiebt, wenn sich die Laufzeitdifferenz um 8t ändert, ist gegeben durch
n = 8t cß = 2 ß2 Lß.	(6.85)
Typische Zahlen werte für das Michelson-Morley-Experiment sind L — Ilm, 2 = 0.59 jrm (Natrium-Spektrallampe) und ß2 — 10 s für die Erdbahngeschwindigkeit. Daraus ergab sich ein Erwartungswert von n « 0.4, der etwa 20-mal größer war als die Nachweisgrenze im Experiment.
Die erste Bestimmung der absoluten Geschwindigkeit der Erde wollte A. A. Michelson (1852— 1931) bei H.v. Helmholtz in Berlin vornehmen; wegen zu starker Störungen im Institutsgebäude musste er mit der Apparatur nach Potsdam ausweichen. Dort erhielt er schon 1881 ein klares Null-Resultat. Wesentlich genauere Messungen wurden 1887 zusammen mit E. W. Morley in Cleveland durchgeführt.
Um auf die Weglänge von 11 m zu kommen, wurden die Strahlen mehrfach hin und her reflektiert (Abb. 6.62). Um Unsicherheiten durch unterschiedlich lange Wege in Materie auszuschalten, wurde eine Korrekturplatte eingefügt. Die zur Messung erforderliche Drehung des Experimentes um 90° musste bei der angestrebten inter-ferometrischen Genauigkeit sehr sanft erfolgen: Dazu wurde das auf einer quadratischen Steinplatte (Diagonallänge 2 m) aufgebaute Experiment, das auf einem hölzernen „Floß“ in einem Quecksilber-Becken schwamm und um einen Stift in der Mitte leicht drehbar war, langsam und gleichmäßig über Stunden rotiert. Der Beobachter lief daneben im Kreis umher.
Das Michelson-Morley-Experiment bestätigte mit hervorragender Präzision das schon 1881 in Potsdam erhaltene Null-Resultat. Um auszuschließen, dass zur Zeit
Abb. 6.62 Strahlengang des Experimentes, der die Mehrfachreflexionen zeigt (nach A. A. Michelson).
6.2 Lichtgeschwindigkeit 445
der Messung die Absolutgeschwindigkeit der Erde gerade zufällig dicht bei null lag, wurden die Messungen in Abständen von einigen Monaten wiederholt. Nie konnte eine richtungsabhängige Versetzung der Interferenzstreifen festgestellt werden.
Hätte das Michelson-Morley-Experiment ein endliches Ergebnis für die „absolute“ Geschwindigkeit der Erde erbracht, dann wäre das sicher von sehr großem astrophysikalischen Interesse und von kosmologischer Bedeutung gewesen.
• Das völlig überraschende und im Rahmen der bekannten Physik nicht zu verstehende Null-Resultat machte das Michelson-Morley-Experiment zu einem der wichtigsten des 19. Jahrhunderts!
6.2.4 Lösung des Ätherproblems
Die Maxwell’schen Gleichungen (1862), die 1886 durch die Hertz’schen Wellen glänzend bestätigt wurden, erklärten das Licht als elektromagnetische Welle, die sich im Vakuum ausbreiten kann. Ein Medium mit besonderen physikalischen Eigenschaften ist dafür nicht erforderlich. Als sich diese Erkenntnis durchsetzte, verschwand das Ätherproblem, das die Physiker so lange beschäftigt hatte.
Doch das Verschwinden des Äthers brachte noch keine Erklärung für das Null-Resultat des Michelson-Morley-Experimentes. Selbst wenn man in damaligen Diskussionen immer von „Vakuum“ statt „Äther“ gesprochen hätte, wäre damit der Widerspruch zur klassischen Physik nicht aufgelöst worden.
Um die Jahrhundertwende begann man nach Wegen zu suchen, wie die klassische Physik zu ergänzen ist, damit man das Michelson-Morley-Resultat erklären kann, ohne in Widerspruch zu anderen gesicherten Erkenntnissen zu geraten. Wesentliche Beiträge dazu kamen von H. A. Lorentz und H. Poincare. Eine elegante Lösung des Problems wurde 1905 von A. Einstein (1879 — 1955) in einer tiefschürfenden Analyse von Raum und Zeit geliefert, die bald als Relativitätstheorie bekannt wurde und heute „Spezielle Relativitätstheorie“ genannt wird. (Einsteins umfassendere „Allgemeine Relativitätstheorie“ von 1915 ist eine Theorie der Gravitation.)
Einstein betrachtete zwei Inertialsysteme, zwischen denen eine konstante Relativgeschwindigkeit v besteht. Für den Fall kleiner Geschwindigkeiten gab es gesicherte Erkenntnisse im Rahmen der klassischen Physik. Die Transformation von dem System S zu dem bezüglich S bewegten System S' wird Galilei-Transformation genannt. Beispiel: Die Bewegung eines Körpers, der im System S' die Geschwindigkeit w' besitzt, wird im System S durch die Geschwindigkeit
w = w' + v	(6.86)
beschrieben, wenn sich S' bezüglich S mit der Geschwindigkeit c bewegt. Es gilt die vektorielle Addition der Geschwindigkeiten. Für die beiden Systeme gilt dieselbe „universale“ Zeit.
Für den Fall, dass v in die Nähe der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit kommt, gab es im Rahmen der klassischen Physik keine gesicherten Erkenntnisse. Das Michel-son-Morley-Resultat ist mit der kühnen Annahme verträglich, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen den gleichen Wert c besitzt. Mit dieser Annahme gewann Einstein Formeln für die Verknüpfung zweier mit hoher Ge
446
6 Licht
schwindigkeit gegeneinander bewegten Inertialsysteme. Das ist die so genannte Lorentz-Transformation, die für den Grenzfall vjc -> 0 in die Galilei-Transformation übergeht.
6.3 Relativistische Optik
Mit der Speziellen Relativitätstheorie sind einige ungewöhnliche Neuerungen verbunden, die zu heftigen Kontroversen führten, bevor die Theorie sich allgemein durchsetzen konnte:
-	Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c ist der obere Grenzwert für alle Signalgeschwindigkeiten.
-	Es gibt keine absolute Zeit.
-	Durch die Abhängigkeit der Zeit vom Bewegungszustand des Bezugssystems wird auch der Begriff „Gleichzeitigkeit“ relativiert. Sogar Umkehrung der zeitlichen Reihenfolge ist möglich, allerdings nur für Ereignisse, zwischen denen kein Kausalzusammenhang bestehen kann, weil ihr zeitlicher Abstand größer ist als die Lichtlaufzeit über ihre räumliche Entfernung.
Im Bergmann-Schaefer wird die Relativitätstheorie im Band 1 als Ergänzung zur klassischen Mechanik gebracht; die relativistische Kinematik wird in Band 4 (Bestandteile der Materie), Kapitel 5 (Elementarteilchen) im Anhang behandelt. In Band 3 (Optik), Kapitel 15 (Strahlungsprozesse und Optik in der Relativitätstheorie) ist der erste Abschnitt der Speziellen Relativitätstheorie gewidmet. Hier soll nur das erwähnt werden, was zum Verständnis der elektromagnetischen Strahlung unbedingt erforderlich ist.
6.3.1 Lorentz-Transformation
Wir betrachten zwei Bezugssysteme S und S', die zur Zeit t — t' — 0 deckungsgleich sind. Das System S' bewegt sich bezüglich S mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung. Zurzeit t — t' — 0 wird im momentan gemeinsamen Koordinaten-Ursprung ein Lichtblitz ausgelöst, der sich isotrop mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Im System S wird die Signalausbreitung durch die Zeitkoordinate t und die Ortskoordinaten x, y und z beschrieben. Für das System S' werden nicht nur die anderen Ortskoordinaten x', y' und z' eingeführt, sondern auch die andere Zeitkoordinate t'.
Für die Signalausbreitung wird in beiden Systemen als Ausbreitungsgeschwindigkeit die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c angesetzt:
(x2+/+z2)-c2F = 0,
(x'2 + y'2 + z'2) - c2t'2 = 0.	(6.87)
Die gesuchten Transformationsgleichungen, die die Koordinaten des Systems S mit denen des Systems S' verbinden, lassen sich am elegantesten darstellen, wenn folgende Schreibweisen eingeführt werden:
-	Statt der Zeitkoordinaten t und t' werden die „geometrisierten“ Koordinaten r = ct und r' = ct' verwendet.
6.3 Relativistische Optik 447
-	Soweit wie möglich werden die nützlichen Abkürzungen
ß = v/c und y = (1 - ß2)-112	(6.88)
benutzt.
Die Lorentz-Transformation berührt nicht die Ortskoordinaten senkrecht zur Bewegungsrichtung:
y' — y und z' — z.	(6.89)
Deshalb genügt es, nur die Transformationen für r und x anzugeben:
r' = y(y — ß x) und x' — y(x — ß r).	(6.90)
Die umgekehrte Transformation lautet:
r = y (t' + ß x') und x = y(x' + ß ?').	(6-91)
Dass die Transformationsformeln tatsächlich dem Ansatz von Gl. (6.87) entsprechen, kann durch Einsetzen bestätigt werden.
Bei der Lorentz-Transformation verändern sich Zeitintervalle und räumliche Abstände. Dass es prinzipiell möglich ist, Uhren und Maßstäbe in zwei gegeneinander bewegten Bezugssystemen miteinander zu vergleichen, wurde schon von Einstein durch Gedankenversuche mit Lichtsignalen gezeigt.
Vom ruhenden System S aus betrachtet scheint die Zeit im bewegten System S' langsamer zu verstreichen; das ist die so genannte Zeitdilatation [time dila(ta)tion]. Ein im System S' ruhender Längenmaßstab erscheint im System S verkürzt; das ist die so genannte Längenkontraktion (length or Lorentz contractiori). Bei der Zeitdilatation tritt der Faktor y > 1 auf, bei der Längenkontraktion der Faktor 7 1 < 1.
Für den Grenzfall ß -> 0 (d. h. 7 -> 1) geht die Lorentz-Transformation (Gl. (6.90)) in die klassische Galilei-Transformation mit identischer Zeit in S und S' über:
t' = t, x’ — x — (v/c) ct,
— x — v t.	(6-92)
Addition von Geschwindigkeiten. Wenn sich im System S' irgendetwas mit der Geschwindigkeit w' bewegt, dann wird diese Bewegung vom System S aus betrachtet durch die Geschwindigkeit w beschrieben:
w' — (dx'/df, dy'/df, dz’/df),
w — (dx/dt, dr/d/, dz/dt).	(6.93)
Durch die Anwendung der Lorentz-Transformation auf die Differentialquotienten und algebraische Umformung lässt sich folgende Transformationsgleichung gewinnen:
(6.94)
(6.95)
448
6 Licht
Der Nenner auf der rechten Seite beider Gleichungen sorgt dafür, dass die Addition zweier Geschwindigkeiten nie mehr als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ergibt. Ungewöhnlich ist der Faktor 1/y für wyz, der die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Bewegung des Systems S' verkleinert. Zwar werden die Längen senkrecht zur Relativbewegung beider Systeme nicht verändert, wohl aber die Zeit, die über den Operator d/dt in die Geschwindigkeit eingeht.
Für den nicht-relativistischen Grenzfall ergibt sich die klassische Vektoraddition der Geschwindigkeiten:
Wnieht-relat. = «’' + »•	(6.96)
Erklärung des Mitführungskoeffizienten. Für die Lichtgeschwindigkeit in dem mit der Geschwindigkeit v strömenden Wasser wurde folgender Ansatz gemacht:
clab = cjn ± F v.	(6.97)
Hier ist n die Brechzahl des Wassers und F der Mitführungskoeffizient; das Pluszeichen vor dem Term F- v gilt für Lichtausbreitung in Strömungsrichtung.
Jetzt können wir das strömende Wasser als das bewegte System S' bezeichnen und die Geschwindigkeit des Lichtes im Wasser (betrachtet im System S')
c' = c/n < c	(6.98)
mithilfe der Lorentz-Transformation für das Laborsystem S angeben:
Clab = Kc/«) + f;]/[1 + (c/n) v/c2]
= [(c/n) + c] [1 — v/(nc~) ...]
= (c/n) + v — c/n2 — ...
= (c/n) + (1 — 1/n2) v.	(6.99)
Der Vergleich von Gl. (6.97) und Gl. (6.99) führt zu der von Fresnel angegebenen und experimentell gut bestätigten Formel für den Mitführungskoeffizienten (Gl. (6.78)). Was bei den klassischen Experimenten mit bewegten Medien als „partielle Mitführung des Äthers“ interpretiert wurde, erklärt sich nun als die Änderung der Lichtgeschwindigkeit gemäß der Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten.
6.3.2 Aberration, Doppler-Effekt
Die Lorentz-Transformation, angewendet auf eine Licht-Kugelwelle der Frequenz v, die unter dem Winkel 0 zur x-Achse (= Richtung der Relativbewegung beider Systeme) beobachtet wird, ergibt Transformationsformeln für Beobachtungswinkel und Kreisfrequenz.
Astronomische Aberration. Für Licht, das nahezu senkrecht zur Erdbahn-Geschwindigkeit einfällt, wird eine Winkeländerung von A0 = ß — v/c erhalten, in Übereinstimmung mit der Bradley’schen Deutung der astronomischen Aberration. Das ist eine Richtungsänderung, die durch den Übergang vom ruhenden auf das bewegte System zustande kommt und sich auf den gesamten Raum bezieht. Unter dem ver
6.3 Relativistische Optik 449
änderten Winkel tritt das Licht in das Teleskop ein; die Lichtgeschwindigkeit im Teleskop (im Test von Airy und Hoek reduziert durch Wasserfüllung) hat darauf keinen Einfluss.
Doppler-Effekt. Um das Wesentliche des optischen Doppler-Effektes besser zeigen zu können, wiederholen wir die Formeln für den akustischen Doppler-Effekt: Für die Ausbreitung des Schalls in der ruhenden Luft ergeben sich verschiedene Formeln, je nachdem ob Quelle oder Empfänger bewegt werden (Bd. 1). Für ruhende Quelle und bewegten Empfänger gilt für die Schallfrequenz
/'=/(l± tschau)’	(6-100)
wobei f die vom Beobachter wahrgenommene und f die von der Quelle emittierte Schallfrequenz ist; cSchall ist die Schallgeschwindigkeit und v die Geschwindigkeit, mit der sich die Quelle in Richtung des Beobachters bewegt (oberes Vorzeichen für Annäherung). Bei ruhendem Beobachter und bewegter Quelle gilt
/'=//(l+QCschall)
= /[l ± tschau + (tschau)2 ±-L	(6-101)
wobei jetzt v die Geschwindigkeit des Beobachters in Richtung Quelle ist (oberes Vorzeichen für Annäherung). Beide Formeln unterscheiden sich nur in zweiter (und höherer) Ordnung von (f/cSchall). Beide Versionen des akustischen Doppler-Effektes sind longitudinale Effekte, weil die Relativbewegung von Quelle und Beobachter entlang ihrer Verbindungslinie stattfindet.
Longitudinaler optischer Doppler-Effekt. Da es für Licht kein ausgezeichnetes „ruhendes“ Medium gibt, muss man für den longitudinalen Doppler-Effekt erwarten, dass nur die Relativgeschwindigkeit von Quelle und Beobachter eingeht, ohne die in der Akustik notwendige Unterscheidung der beiden Bewegungsvarianten. Die Relativitätstheorie liefert für die Lichtfrequenz
]/l-(r/C)2 v = v  ---=— ----
1 + vjc
= v [1 + vfc + | (u/c)2 + ...].	(6.102)
Hier ist c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und v die Relativgeschwindigkeit von Quelle und Beobachter (oberes Vorzeichen für Annäherung). Wie die Reihenentwicklung verdeutlicht, liegt die Größe des optischen Doppler-Effektes, ausgedrückt durch das Geschwindigkeitsverhältnis v/c, zwischen den Werten für die beiden Varianten des akustischen Doppler-Effektes nach Gl. (6.100) und Gl. (6.101).
Transversaler optischer Doppler-Effekt. Neben dem für viele Anwendungen wichtigen longitudinalen Doppler-Effekt gibt es auch noch den wesentlich kleineren transversalen, der zu beobachten ist, wenn die Relativbewegung von Quelle und Beobachter senkrecht zu ihrer Verbindungslinie stattfindet. Die beobachtete Frequenz ist immer kleiner als die emittierte. Es gilt
v' = V]/1 — (r/c)2.	(6.103)
450
6 Licht
Schreibt man diese Beziehung um für die Periodenlängen T und T, dann ergibt sich mit v/c = ß
V = T/ [1 - /F]1/2
= •’ T.	(6.104)
Das ist aber auch die Formel für die relativistische Zeitdilatation, die aus der Lorentz-Transformation folgt. Für den (ruhenden) Beobachter scheint die Zeit im Ruhesystem der (bewegten) Quelle langsamer zu vergehen, und langsamere Schwingungen führen zu Wellen mit kleinerer Frequenz. Dieser Zeitdilatationseffekt tritt immer auf und ist auch in Gl. (6.102) als Faktor enthalten, wird aber bei nichttransversaler Bewegungsrichtung von dem viel größeren „normalen“ longitudinalen Doppler-Effekt, also durch Veränderung des Nenners von Gl. (6.102), maskiert.
6.3.3 Transformation der elektromagnetischen Felder
Unterzieht man die Maxwell’schen Gleichungen der Lorentz-Transformation, dann erhält man nach längerer Rechnung (Bd. 3, Abschn. 15.1.3) die Transformationsgleichungen für die elektromagnetischen Felder. Wir verwenden wieder die üblichen Abkürzungen
ß = v/c und y = (\-ß1 2 3yv2	(6.105)
mit v — Betrag der Relativgeschwindigkeit des bewegten Systems S' bezüglich des ruhenden Systems S; der Vektor r zeigt in Richtung + x. Die Ergebnisse lassen sich in drei Punkten zusammenfassen:
1. Feldstärkekomponenten in x-Richtung (also parallel zur Relativgeschwindigkeit) ändern sich nicht.
E'x = Ex, B'x = Bx.	(6.106)
2. Die Feldstärkekomponenten in y- und z-Richtung (also senkrecht zur Relativgeschwindigkeit) enthalten den Faktor y, der für relativistische Geschwindigkeiten größer als eins ist und für v -> c unendlich groß wird.
3. Außerdem kommt ein Term mit der Relativgeschwindigkeit und der anderen Feldstärke hinzu.
E'y = 7 [Ey + (r x B)y], B'y = y [£, - C-2(v x £)J,
E'z = y [Ez + (® x B\], B'z=y[Bz-c-2(vxE)z].	(6.107)
Weil die beiden Systeme S und S' gleichberechtigt sind, erhält man die Transformationsformeln für den umgekehrten Übergang (von S' nach S) aus Gl. (6.107) einfach durch Vertauschen der gestrichenen mit den entsprechenden ungestrichenen Größen. Die in Gl. (6.107) als Vektor enthaltene Relativgeschwindigkeit beschreibt dann aber die Geschwindigkeit, mit der sich S von S' aus betrachtet in die Richtung — x' bewegt, c hat also dann die umgekehrte Richtung.
In der nicht-relativistischen Näherung y « 1 (aber immer noch ß > 0) können Gl. (6.106) und Gl. (6.107) vektoriell wie folgt zusammengefasst werden,
E' — [E+vxB], B' = [B-c-2(vxE)\,	(6.108)
6.3 Relativistische Optik 451
da die x-Komponenten der v enthaltenden Kreuzprodukte verschwinden. Die beiden Gleichungen werden völlig symmetrisch, wenn man die mit c multiplizierte ^-Feldstärke (in V/m) mit der E-Feldstärke vergleicht und den normierten Geschwindigkeitsvektor ß = v/c benutzt:
E’= [E + ß x (cB)\, cB' = \cB —ßxE].	(6.109)
Die linke Gleichung, multipliziert mit der Ladung q, beschreibt die Kraft F — qE', die im Ruhesystem der Ladung q (System S') wirkt und die im Laborsystem S als Summe von elektrischer Kraft qE und Lorentz-Kraft q (v x B) interpretiert wird. Die rechte Gleichung enthält das elektrische Analog der Lorentzkraft, das - anders als die Lorentz-Kraft - bei den kleinen Geschwindigkeiten der klassischen Physik noch nicht in Erscheinung trat. Der Grund für die zeitige Entdeckung der Lorentz-Kraft ist der Ferromagnetismus des Eisens, durch den schon früh sehr starke B-Felder verfügbar wurden, und die relativ leichte Messbarkeit von .E-Feldern.
6.3.4 Ladungen mit relativistischen Geschwindigkeiten
Eine ruhende Ladung besitzt ein isotropes, zu 1/r2 proportionales .E-Feld, dessen .E-Feldlinien den in Abb. 6.63 a gezeigten Verlauf haben. Eine mit der Geschwindigkeit v < c bewegte Ladung hat ein E-Feld, das nach der Transformation in das Laborsystem S ein anisotropes Feldlinienbild ergibt wie es in Abb. 6.63 b skizziert ist. Die Feldliniendichte, die ein Maß der Feldstärke darstellt, ist senkrecht zur Bewegungsrichtung höher als parallel dazu.
Aber die Feldlinien sind immer noch radial gerichtete gerade Linien. Das lässt sich wie folgt verstehen: Im Ruhesystem der Ladung (S') wird die Feldstärke im Abstand (x', y') von der Ladung betrachtet. Die Feldstärke ist radial ausgerichtet, d. h. es gilt E'Jx' — E'/y'. Bei der Transformation in das Laborsystem S erhält man eine zur Bewegungsrichtung ( + x) senkrechte Feldstärke E , die um den Faktor y größer ist als E', während die Feldstärke parallel zur Bewegungsrichtung unverändert bleibt (Ex = E'x). Bei der Transformation der Abstände bleibt der zu r senkrechte Abstand unverändert, während x wegen der Längenkontraktion um den Faktor 7 1 kleiner als x' ist. Deshalb gilt im Laborsystem S die Relation EJx = E /y, d. h.
Abb. 6.63 Elektrisches Feldlinienbild: (a) ruhende Ladung, (b) mit der Geschwindigkeit v = 0.943 c bewegte Ladung (nach J.D. Jackson).
452	6 Licht
auch bei dem anisotropen E-Feld von Abb. 6.63b haben die Feldlinien einen radialen Verlauf.
Die Lorentz-Transformation des .E-Feldes der bewegten Ladung ergibt für das Laborsystem S auch ein magnetisches Feld (Gl. (6.107)), das im nicht-relativistischen Grenzfall durch das Biot-Savart-Gesetz beschrieben wird.
Bremsstrahlung. Eine Ladung, die sich mit konstanter Geschwindigkeit im Vakuum bewegt, strahlt nicht. Beim Durchgang eines geladenen Teilchens durch Materie erfährt das Teilchen verschiedene Beschleunigungen: Im starken elektrischen Feld der Atomkerne wird seine Richtung geändert und durch inelastische Prozesse (vorwiegend Stoßionisation) wird es abgebremst. Die mit diesen Prozessen verbundene Strahlung wird pauschal als Bremsstrahlung bezeichnet.
Tscherenkow-Strahlung. Diese Strahlung tritt auf, wenn sich ein geladenes Teilchen mit einer Geschwindigkeit v < c durch ein durchsichtiges Medium bewegt, in dem die Phasengeschwindigkeit c(n) = c/n kleiner als v ist.
Das Phänomen ist ähnlich dem der Druckwellen, ausgelöst durch Überschall-Geschosse, oder dem der Bugwellen, erzeugt von Schiffen, deren Geschwindigkeit größer ist als die Phasengeschwindigkeit der Oberflächen-Wasserwellen (vgl. Bd. 1). Es bildet sich eine Kopfwelle mit dem typischen Mach’schen Kegel aus. Die Ausbreitungsrichtung der Tscherenkow-Strahlung bildet mit der Teilchenrichtung den Winkel 0. Es gilt
cos0 = (cjnßjv — (n ß) '-	(6.110)
Das schnelle geladene Teilchen verursacht entlang seiner Bahn eine schnelle Veränderung des elektrischen Potentials. Das verursacht eine elektromagnetische
Abb. 6.64 Zur Ausbreitung der Tscherenkow-Strahlung: Wellenerzeuger bewegt sich (a) langsamer, (b) schneller als sich die Wellen im Medium ausbreiten.
6.3 Relativistische Optik 453
Schockwelle, die sich von jedem Bahnpunkt nach allen Seiten mit der Phasengeschwindigkeit c/n ausbreitet. Nach dem Huygens’schen Prinzip ergibt sich auf dem Kegelmantel eine Wellenfront (Abb. 6.64b).
Da die Brechzahl eines Mediums i. A. frequenzabhängig ist, wird nur in bestimmten Frequenzbereichen die durch Gl. (6.110) gegebene Bedingung
n > c/v = ß '	(6.111)
erfüllt; nur bei diesen Frequenzen wird Strahlung emittiert. Anders herum ergibt sich aus einer für den erfassten Spektralbereich gegebenen Brechzahl n ein Schwellenwert für die Teilchengeschwindigkeit v oder die Teilchenenergie E.
Nach der Relativitätstheorie ist die Gesamtenergie eines Teilchens der Masse m gegeben durch E — ymc2. Außerdem gehört zu jeder Masse m die so genannte Ruheenergie Eo = mc2. Beispiel: Eo — 0.511 MeV für Elektronen, 0.938 GeV für Protonen. Der Lorentz-Faktor y gibt also das Verhältnis von Gesamtenergie zur Ruheenergie eines Teilchens; die kinetische Energie ist relativistisch gleich der Differenz von Gesamt- und Ruheenergie (und wird nur für den Grenzfall ß -> 0 durch ßnr beschrieben).1
Aus Gl. (6.110) folgt die Schwellenbedingung
y = E/Eo > (1 - 1//r) 1 2.	(6.112)
Zahlenbeispiele: y = 1.52 für H2O (n = 1.33); y = 123 für Helium von 1 atm (n = 1.OOOO33).
Der Effekt wurde 1934 von P Tscherenkow und S.I. Wawilow entdeckt und 1937 von LJ. Tamm und I.N. Frank theoretisch erklärt. Die Strahlung ist linear polarisiert; der E-Vektor liegt in der Ebene, die die Beobachtungsrichtung und den Teilchenstrahl enthält. Für Wasser als Radiator und einfach geladene hochenergetische Teilchen werden im sichtbaren Teil des elektromagnetischen Spektrums einige hundert Photonen auf jeden Zentimeter Bahnlänge emittiert. Die Energieverluste durch Emission von Tscherenkow-Strahlung sind sehr klein im Vergleich zu anderen mit dem Durchgang durch das Medium verbundenen Energieverlusten.
In der Hochenergiephysik haben Tscherenkow-Detektoren für den energiespezifischen Nachweis geladener Teilchen große Bedeutung erlangt (Abb. 6.65). Der Emissionswinkel 0 ist nur von n und der Geschwindigkeit der Ladung abhängig; bei mehrfach geladenen Teilchen wächst die Lichtausbeute proportional zum Quadrat der Ladung. Für Hochenergie-Experimente werden Radiatoren mit unterschiedlichen Brechzahlen benötigt; der Bereich 1.3 <n< X.l kann mit Flüssigkeiten und Gläsern erfasst werden, für kleinere n werden Aerogels und Gase unter verschiedenem Druck verwendet.
Beschleunigte Ladungen. Nach der Maxwell’schen Theorie ist die von einer beschleunigten Ladung emittierte Strahlungsleistung dem Quadrat der Beschleunigung pro-
1 In vielen einführenden Büchern und in populärwissenschaftlichen Darstellungen wird statt der hier verwendeten konstanten Masse m eine geschwindigkeitsabhängige „kinetische Masse“ m = ymQ eingeführt und m0 als „Ruhemasse“ bezeichnet. So ist auch die berühmte Formel E = mc2 zu verstehen. Relativitätstheoretiker bevorzugen die konstante Masse m und schreiben E = ymc2 und Eo = mc2.
454	6 Licht
Teilchenstrahl
Abb. 6.65 Schematische Darstellung eines Tscherenkow-Detektors. Die eingezeichneten Lichtstrahlen stehen senkrecht auf der Wellenfront von Abb. 6.64b.
portional. Für eine mit der Kreisfrequenz a> oszillierende Dipol-Ladung ist die Geschwindigkeit ~ a>, die Beschleunigung ~ cd2 und deren Quadrat ~ co4 (vgl. Gl. (5.131)). Die Winkelverteilung der Strahlungsleistung ist proportional zu sin2T wobei 9 der Winkel zwischen Beobachtungsrichtung und Beschleunigung a ist. Da die Ausstrahlung nicht vom Vorzeichen der Beschleunigung abhängt, ist das Ergebnis für eine gleichförmig beschleunigte Ladung und für eine oszillierende Ladung mit demselben zeitlichen Mittelwert von \a\2 gleich. Weil aber der Hochfrequenz-Dipol der technisch wichtigste Fall von Strahlungsemission ist, wird die Strahlung einer beschleunigten Ladung meist unter dem Namen Dipolstrahlung diskutiert. - Nun betrachten wir Ladungen, die beschleunigt werden und sich dabei mit sehr großen Geschwindigkeiten bewegen. Die aus Maxwell’scher Theorie und spezieller Relativitätstheorie folgenden Ergebnisse werden hier nur kurz beschrieben. Auch hierbei ist die Strahlungsleistung proportional zu \a\2, aber Strahlungsleistung und Winkelverteilung sind nun sehr stark abhängig von Betrag und Richtung der Ladungsgeschwindigkeit v. Es ist hier üblich, die Winkelverteilung der Strahlungsleistung als „Richt- oder Strahlungscharakteristik“ zu bezeichnen, im Gegensatz zur Antennentheorie, in der die Winkelverteilung der Fernfeldstärke so bezeichnet wird (Abschn. 5.4.1). Letztere ist proportional zur Wurzel aus der Strahlungsleistung.
Synchrotronstrahlung. Wir betrachten den wichtigen Fall a J_ v, der z. B. für ein radial beschleunigtes, magnetisch geführtes geladenes Teilchen in einem Speicherring gilt. Wir beschränken uns hier auf die Ebene, in der a und c liegen. Die Richtung der momentanen Geschwindigkeit c sei die x-Richtung, auf die auch der Winkel cp zur Beobachtungsrichtung bezogen wird. Für den nicht-relativistischen Grenzfall ergibt sich ein Winkelfaktor von sin2!) = sin2(90° — cp) — cos2<p, der im linken Diagramm von Abb. 6.66 dargestellt ist. Die Charakteristik ist rotationssymmetrisch zu a, hier also zur r-Achse. Man beachte die unterschiedlichen Unterteilungen auf den beiden Achsen und die Skalenunterschiede bei den beiden Diagrammen. Das Maximum der Verteilung für ß — 0 wurde zu eins normiert.
Das rechte Diagramm für ß — 0.5 zeigt eine enorm gesteigerte Emission in Vorwärtsrichtung bei fast völlig verschwindender Rückwärtsemission; die r-Achse ist nun keine Symmetrieachse mehr. Für größere /J-Werte wird immer mehr in Vor-
6.3 Relativistische Optik 455
Abb. 6.66 Strahlung einer in a-Rich tu ng bewegten und in y-Rich tu ng beschleunigten Ladung für v < c (links) und v = c/2 (rechts).
wärtsrichtung emittiert. Im Grenzfall extrem hoher Geschwindigkeiten wird die Winkelbreite der Emissionkeule etwa gleich 2/y.
Die spektrale Verteilung der Synchrotronstrahlung ist ein breites Kontinuum. Für ein Elektron der Energie E, das magnetisch auf einer Kreisbahn mit dem Radius r geführt (und dadurch radial beschleunigt) wird, ist der Strahlungsenergie-Verlust pro Umlauf \E gegeben durch
AE'/keV = 88.5 (£'/GeV)4/(r/m).	(6.113)
Die in der Umlaufebene emittierte Strahlung ist linear polarisiert, wobei der E-Vektor in Umlaufebene liegt. Geht man mit der Beobachtungsrichtung nach oben oder unten von der Umlaufebene weg, dann erhält man elliptisch polarisierte Strahlung mit zunehmendem zirkularen Anteil. Die vorwärts gerichtete Emissionskeule für die typischen GeV-Synchrotronenergien ist sehr schlank; schon bei Neigungswinkeln von einigen mrad ist die Strahlung nahezu zirkular polarisiert.
Die Synchrotronstrahlung liefert ein weit in das Gebiet der Röntgenstrahlung hineinreichendes kontinuierliches Spektrum (Bd. 4, Abschn. 1.7.4.6). Speziell als Strahlungsquellen gebaute Synchrotrons wie das Berliner BESSY sind wertvolle Instrumente für Grundlagenforschung und technische Entwicklung. - Die mit der vierten Potenz der Teilchenenergie ansteigenden Strahlungsverluste der Zirkularbeschleuniger, die durch Vergrößerung des Bahnradiuses nur linear reduziert werden können (Gl. (6.113)), ergeben eine technische Grenze für diese Maschinen, die mit heutigen Elektronenbeschleunigern (Abschn. 11.3.5) schon erreicht ist.
Die Strahlung eines Pulsars ist natürliche Synchrotronstrahlung von freien Elektronen, die mit dem schnell rotierenden Magnetfeld des Sterns bewegt werden (Band 8, Abschn. 4.2.6.3).
456
6 Licht
6.4 Internet-Hinweise zu Kapitel 6
6.4.1 Sachthemen
Licht und Sehen. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4) => Light and Vision =
Link 6-1
Strahlung Schwarzer Körper. Electro Optical Industies, Inc., Santa Barbara, CA: http://www.electro-optical.com => (links) Education/Ref => What is black-body ra-diation? =
Link 6-2 Weiter z. B. mit => (links) Education/Ref => What is Emissivity?
Höhepunkte in der Geschichte der Optik. Aus AIP History of Physics (s. Abschn. 1.4) => History of Physics - Gerneral => History of Optics Highlights =
Link 6-3 „An Anecdotal History of Optics from Aristophanes to Zernike“
Zeiss-Mikroskope. Das virtuelle Museum der Wissenschaft, © K. Paulus: http:// www.amuseum.de => Physik => 150 Jahre Zeiss-Mikroskope - Ausstellung 1996 = Link 6-4 Weiter z. B. mit => Exponate, oder mit => Die Carl-Zeiss-Stiftung
Michelson-Morley-Experiment. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 6-5 Weiter z. B. mit => (unten) Weblinks „Virginia University Michelson-Morley Experiment“
Spezielle Relativitätstheorie. Einstein-Online, ein Angebot des Max-Planck-Insituts für Gravitationsphysik: http://www.einstein-online.info/de => Einstein für Einsteiger => Spezielle Relativitätstheorie =
Link 6-6
Ergänzung: Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Relativity =
Link 6-7 Weiter mit => Experiments of Special Relativity
Lichtquellen, lightsources.org is the result of a collaboration among communicators from light-source facilities around the world: http://www.lightsources.org => Edu-cational Material => Primers => What is a Light Source? =
Link 6-8
6.4.2 Biographien
James Bradley (1693-1762). BBC, Company (co), United Kingdom (uk): http:// www.bbc.co.uk/ => Browse „History“ => Historie Figures B - Bradley =
Link 6-9
Thomas Young (1773-1829). Florida Atlantic University (http://wise.fau.edu/), Dr.
Robin G. Jordan, Professor of Physics: http://wise.fau.edu/~jordanrg/ => Bios =>
Young =
Link 6-10
6.4 Internet-Hinweise zu Kapitel 6
457
Joseph von Fraunhofer (1787-1826). Aus Wikipedia - Deutsch (vgl. Abschn. 1.4):
Link 6-11
Augustin Jean Fresnel (1788-1827). Aus MacTutor Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 6-12
Ergänzung: Fachstelle für Verkehrstechniken (fvt) der Wasser- und Schifffahrtsver-waltung (wsv): http://www.wsv.de/fvt/index.html => Leuchtfeuertechnik => Historische Aspekte => Augustin Jean Fresnel =
Link 6-13
Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896). Aus Wikipedia Deutsch (vgl.
Abschn. 1.4):
Link 6-14
Ernst Abbe (1840-1905). Aus MacTutor Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 6-15
Albert Abraham Michelson (1852-1931). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biogra-phy:
Link 6-16
Ergänzung: US Naval Academy: http://www.usna.edu => Library => Special Col-lections & Archives => Virtual Exhibition => Albert A. Michaelson =
Link 6-17
Max Planck (1858-1947). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Presentation Speech:
Link 6-18 siehe auch => Biography
Ergänzung: Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 6-19
Albert Einstein (1879-1955). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 6-20
Ergänzung: Albert Einstein Archives, The Hebrew University of Jerusalem: http:// www.albert-einstein.org =
Link 6-21 Weiter z. B. mit => (Bild) Albert Einstein
Pavel Alekseyevich Cherenkov (— Tscherenkow) (1904-1990). Aus World History
(s. Abschn. 1.4): => Pavel Alekseyevich Cherenkov =
Link 6-22
Kapitel 7-14 Elektromagnetische Effekte in atomarer Materie
Etwa zur Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert fand der Übergang von der „klassischen Physik“ zur „modernen Physik“ statt. Für das Verständnis der atomaren Struktur der Materie erwies sich die klassische Physik als unzureichend. Die Entdeckung des Elektrons (J. J. Thomson 1897) und die Einführung quantisierter Energien für Oszillatoren (M. Planck 1900) und Licht (A. Einstein 1905) markieren den Beginn der physikalischen Neuzeit.
Die in Band 1 und den Kapiteln 1-6 dieses Bandes behandelte klassische Physik genügt zum Einstieg in die Atomphysik und die Quantenmechanik (Bd. 4, Kap. 1), notwendig zum Verständnis der Struktur der Materie (Bände 4-6). Das sind Gebiete, die normalerweise in verschiedenen Veranstaltungen des Hauptstudiums behandelt werden. Es gibt aber Gründe, warum eine kurze Darstellung des atomaren Elektromagnetismus schon in diesem, für das Grundstudium konzipierten Lehrbuch sinnvoll ist:
•	Diese Kenntnisse werden teilweise schon früher in den Physik-Praktika benötigt.
•	Der Überblick über den atomaren Elektromagnetismus kann als Orientierungshilfe für das weitere Studium dienen.
•	Für Teilgebiete, die im Studium nicht durch Spezialvorlesungen abgedeckt werden können, ist es eine Einführung zum Selbststudium.
Während in den Kapiteln 1-6 die klassische Physik ausführlich und im Experimentellen auch einigermaßen vollständig behandelt werden konnte, muss für den Elektromagnetismus der atomaren Materie aus Platzgründen eine knappere Darstellung genügen. Da die Quantentheorie hier weder vorausgesetzt noch vermittelt werden kann, lassen sich die experimentellen Ergebnisse nur andeutungsweise mit der Theorie in Verbindung bringen.
7 Einführung in die Atomphysik
Tab. 7.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
^12 A a a0 B By - C(CV) c d E u Ea eb ef Et E, Epb e F u - f 9 g gi	Einstein-Koeffizient für spontane Emission Cunningham-Konstante (zur Viskosität) Abstand, Länge Bohr-Radius magnetische Feldstärke Einstein-Koeffizienten für Absorption und induzierte Emission molare spezifische Wärme (bei konstantem Volumen) Lichtgeschwindigkeit radiale Dichtefunktion Distanz, Abstand elektrische Feldstärke elektrische Feldstärke (Betrag) Teilchenenergie mit/ohne Ruheenergie Ruheenergie Bindungsenergie Fermi-Energie lonisationsenergie kinetische Energie Photonenenergie Elementarladung Kraft Kraft (Betrag) F araday-Konstante Zahl der Spin- oder Polarisationszustände Erdbeschleunigung g-Faktor, gyromagnetisches Verhältnis Zahl der zur Energie E{ gehörenden Zustände
I h — 2n h A k — L	Strom Planck-Konstante Lorenz-Koeffizient (Wiedemann-Franz-Gesetz) (Kreis-) Wellenvektor = \k\, Kreiswellenzahl B oltzmann-Konstante Drehimpuls Länge Bahndrehimpuls-Quantenzahl
462	7 Einführung in die Atomphysik
Größensymbol	Bedeutung
<o I	m |	in,	mä N — T P Q — R r r s T t U V V z x, y, z a 7 <5 £ £0 »7 1	6 1	eF u p V p PM’ Pq <7 1	v 1	V — v Q CO	mittlere freie Weglänge Masse magnetische Quantenzahlen Anzahl, Teilchenzahl Avogadro-Konstante Hauptquantenzahl Teilchenzahldichte Elektronen-Anzahldichte Impuls Ladung universelle Gaskonstante Ortsvektor Radius, radialer Abstand Elektronenspin Temperatur Zeit Spannung Volumen Geschwindigkeit chemische Ordnungszahl, Kernladungszahl kartesische Längenkoordinaten Konstante in statistischem Verteilungsgesetz Lorentz-Parameter, = [1 — (r c)2\ ' 2 — 0, + 1 (statistisches Verteilungsgesetz) Energiedichte elektrische Konstante Viskosität Polarwinkel, Beugungswinkel F ermi-Temperatur Winkel, Polarwinkel Wellenlänge, de-Broglie-Wellenlänge Wärmeleitfähigkeit magnetisches Moment eines Teilchens Lichtfrequenz Dichte Massen-, Ladungsdichte elektrische Leitfähigkeit Winkel, Azimutwinkel Austrittsarbeit Wellenamplitude Raumwinkel Kreisfrequenz
Spektroskopisches Symbol	Bedeutung
Is, 3d...	Zahl = Hauptquantenzahl n, Buchstabe = Symbol für Nebenquantenzahl £
Is2	Is-Unterschale besetzt mit 2 Elektronen
7.1 Anschaulicher Atomismus 463
Spektroskopisches Symbol	Bedeutung
ls22s2p	Is- und 2s-Unterschale besetzt mit je 2 Elektronen; 2p-Unter-schale besetzt mit einem Elektron [auch: p1]
[Ar] s P d f K L M N 0 CT n	Argon entspr. besetzte innere Schalen, [Ar] = ls22s2p63s2p6 Symbol für £ — 1 Symbol für £ — 2 Symbol für £ — 3 Symbol für £ — 4 Symbol für n — 1 Symbol für n — 2 Symbol für n — 3 Symbol für n — 4 Symbol für n — 5 Molekülbindung symmetrisch zur Kernverbindungsachse Molekülbindung nicht-symmetrisch zur Kernverbindungsachse
Die mathematischen Symbole sind in Tab. 15.1, die chemischen Symbole in Tab. 17.10 erklärt.
7.1	Anschaulicher Atomismus
7.1.1 Akzeptanz der Atomvorstellung
Atome in der Chemie. Den Chemikern genügte schon die Idee von der Existenz vieler unsichtbar kleiner Atome als sehr nützliche Arbeitshypothese für das Verständnis der Mengenverhältnisse der an Reaktionen beteiligten Substanzen. Die Zahl der Moleküle in einem Mol, die heute Avogadro-Konstante genannt wird, braucht für die Berechnung der Mengenverhältnisse nicht bekannt zu sein; sie kann aus chemischen Experimenten nicht ermittelt werden.
Atome in der Physik. Noch gegen Ende des 19. Jahrhunderts hielten manche Physiker einen Bezug auf die damals unbeobachtbaren Atome für „unwissenschaftlich“. Zur allmählichen Anerkennung des Atomismus in der Physik führten vor allem die Erfolge der kinetischen Gastheorie und die übereinstimmenden Resultate ganz unterschiedlicher physikalischer Methoden zur Bestimmung der Avogadro-Konstante NA.
Das erste physikalisch plausible Atommodell stammt von E. Rutherford und Mitarbeitern, die gefunden hatten, dass Atome in der Lage sind, hochenergetische oc-Teilchen (= He2+-Ionen) in große Winkel zu streuen. Die dazu erforderlichen sehr großen Kräfte konnten nur als Coulomb-Kräfte zwischen Ladungen in außerordentlich kleinem Abstand erklärt werden. Das führte 1910/11 zu dem Bild eines „punktförmigen“ Atomkerns, der fast die gesamte Masse des Atoms und die positive Ladung Z • e (Z = Zahl der Atomelektronen, e = Elementarladung) in sich vereinigt. Weil das Massenverhältnis von Atomkern und Elektronen etwa dem von Sonne und Planeten entspricht, sprach man vom Rutherford’schen Planetenmodell des Atoms.
464	7 Einführung in die Atomphysik
7.1.2 Ionen, freie Elektronen
So wie der anschauliche Atomismus schon in Band 1 verschiedentlich zum besseren Verständnis herangezogen wird, haben wir in den vorangegangen Kapiteln mehrfach auf das Elektron als „Atom der Elektrizität“ und auf die Elementarladung Bezug genommen. Dieses Konzept beinhaltet eine Teilung der früher als „unteilbar“ angenommenen, elektrisch neutralen Atome: Atome können ein oder mehrere Elektronen abgeben, die dem Atom je eine negative Elementarladung entziehen; der verbleibende „Atomrumpf“ trägt eine oder mehrere positive Elementarladungen und wird (positives) Ion genannt.
Das freie Elektron wurde zum Ende des 19. Jahrhunderts entdeckt. In Gasentladungsexperimenten traten „Kathodenstrahlen“ auf, über deren Natur es zunächst unterschiedliche Auffassungen gab. Durch Vergleich ihrer Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern mit der von lonenstrahlen („Kanalstrahlen“), zeigte J. J. Thomson 1897, dass die Kathodenstrahlen aus negativ geladenen Teilchen bestehen, die etwa 1000-mal leichter als Wasserstoffionen sind (der genaue Wert für mii+jme ist 1836.15); 1899 bewies er, dass die spezifische Ladung ejm der Kathodenstrahl-Teilchen auch für die durch Glühemission und Photoemission erzeugten Teilchen gilt, die bald alle zusammen Elektronen genannt wurden. Der 1896 entdeckte Zee-man-Effekt (Bd. 4, Kap. 1), der sich auf die Aufspaltung atomarer Spektrallinien in einem magnetischen Feld bezieht, konnte von H. A. Lorentz 1897 mithilfe von atomaren Oszillatoren mit derselben spezifischen Ladung ejm erklärt werden. Damit wurde erkennbar, dass die Elektronen universelle Bausteine der Materie sind.
Die Beziehung zwischen der am Elektron geleisteten Beschleunigungsarbeit e  U (U = Beschleunigungsspannung) und der kinetischen Energie Ek
gestattet eine Bestimmung der spezifischen Ladung e/m, wenn die Geschwindigkeit v der Elektronen direkt gemessen werden kann. Dies gelang zuerst E. Wiechert (1899), indem er die Zeit, die die Teilchen zum Durchlaufen einer Strecke benötigen, mit der Schwingungsdauer eines Hertz’schen Oszillators verglich. Bei genaueren Messungen, die W. Kaufmann 1901 bis 1906 durchführte, ergab sich, dass mit steigenden Beschleunigungsspannungen (etwa ab 6'> 1000 V) die gemessenen Geschwindigkeiten der Elektronen immer mehr hinter den nach Gl. (7.1) berechneten Werten Zurückbleiben. Der Grund dafür ist die Relativitätstheorie, nach der für Teilchen mit der Masse m und der Geschwindigkeit v der relativistische Energiesatz gilt, der Gesamtenergie E, Impuls p und Ruheenergie Eo wie folgt miteinander verknüpft:
E2 = (pc)2 + E2-,	(7.2)
c ist die Lichtgeschwindigkeit. Außerdem gilt
E — ymc2, p — ymc, und
Eo = mc2.	(7.3)
n i
466	7 Einführung in die Atomphysik
wird der „Fadenstrahl“ sichtbar. Mithilfe von Spulen oder Permanentmagneten kann der Elektronenstrahl gemäß der auf die Elektronen wirkenden Lorentz-Kraft abgelenkt werden (Abb. 7.1).
Mit dem Fadenstrahlrohr im Magnetfeld kann die spezifische Elektronenladung e/m bestimmt werden: Für eine Elektronen-Kreisbahn mit Radius r im Magnetfeld B ist die Zentrifugalkraft entgegengesetzt gleich der nach innen wirkenden Lorentz-Kraft (— e) v x B :
m v2/r — e v B.	(7-6)
Die Elektronengeschwindigkeit v hängt über die kinetische Energie mit der Beschleunigungsspannung U zusammen. Aus Gl. (7.6) und Gl. (7.1) folgt nicht-relativistisch die Bestimmungsgleichung
e/m = 2 U/(B r)2.	(7.7)
Millikan-Experiment. Die Bestimmung der Elektronenladung e geschieht besonders anschaulich und direkt im Millikan’schen Öltröpfchenversuch (1910), der in vereinfachter Form heute in jedem Physik-Praktikum durchgeführt wird. In die Luft zwischen den horizontal angeordneten Platten eines Plattenkondensators werden winzige Öltröpfchen eingebracht, seitlich beleuchtet und vor dunklem Hintergrund durch ein Mikroskop betrachtet (Abb. 7.2).
Abb. 7.2 Anordnung zur Bestimmung der Elementarladung nach R.A. Millikan (schematisch). Die Beobachtung der Öltröpfchen mit dem Mikroskop erfolgt senkrecht zur Zeichenebene.
Die Öltröpfchen erscheinen als Punkte, die langsam nach unten sinken und bei hinreichend kleiner Masse auch Brown’sche Molekularbewegung erkennen lassen. Die Tröpfchen werden durch Zerstäuben aus einer winzigen Düse hergestellt; einige laden sich dabei elektrisch auf. Millikan verwendete Röntgen-Strahlen oder die '/-Strahlung eines radioaktiven Präparates, um die Tröpfchen zu ionisieren, und manchmal konnte er bei einem gerade beobachteten Tröpfchen eine plötzliche Ladungsänderung feststellen. Eine im Praktikum bewährte Methode zur verstärkten elektrischen Aufladung der Tröpfchen besteht darin, die Tröpfchen aus dem Zerstäuber durch eine Flamme in den Kondensator zu blasen.
Auf das Öltröpfchen wirkt die um den Auftrieb verminderte Gravitationskraft
Fgr = (4rc/3)r3(pöl-pLuri)0	(7.8)
(r = Tröpfchenradius, p — Dichte, g = Erdbeschleunigung). Durch Einschalten eines elektrischen Feldes zwischen den Kondensatorplatten wirkt auf ein Tröpfchen, das die Ladung Q trägt, außerdem die elektrische Kraft
Fel=Q-E mit \E\=U/d	(7.9)
7.1 Anschaulicher Atomismus 467
(U — Kondensatorspannung, d — Plattenabstand). Mit der richtigen Plattenspannung kann ein geladenes Öltröpfchen in der Schwebe gehalten werden. Aus der Kompensation der beiden Kräfte im statischen Fall lässt sich die Ladung Q jedoch noch nicht bestimmen, weil die Tröpfchengröße nicht bekannt ist. Die Tröpfchen sind zu klein für eine Messung des Radius r im Mikroskop. Millikan löste das Problem durch Beobachtung der Tröpfchen in gleichförmiger Aufwärts- und Abwärtsbewegung. Wegen der Viskosität der Luft (?;) wird eine anfangs beschleunigte Bewegung schnell zu einer gleichförmigen, weil die Reibungskraft nach dem Sto-kes’schen Gesetz (Bd. 1)
(7.11)
Fr = — 6n r t] v	(7.10)
proportional zur Geschwindigkeit v ansteigt bis alle drei Kräfte sich zu null addieren. Aus den mit konstanter Spannung U aber verschiedener Polung gemessenen Fall-und Steiggeschwindigkeiten uj und ul' lässt sich nun bei bekannter Luftviskosität rj die Ladung Q ermitteln:
9ndt]3l2(vl + ul') (uj, — uf)1/2 2C/g1/2(/?öl —pLufl)1/2
Im Laufe dieses Experimentes wurde erkannt, dass der in Gl. (7.10) eingehende Wert der Luftviskosität durch einen korrigierten Wert rjc ersetzt werden muss, weil der Durchmesser der Tröpfchen von derselben Größenordnung wie die mittlere freie Weglänge <0 in Luft ist. Nach Cunningham (1910) ist die Korrektur gegeben durch ^^^(1+A^O/r)-1,	(7.12)
wobei für die Konstante Ac empirisch der Wert 0.864 gefunden wurde.
Das signifikante Ergebnis des Millikan’schen Experimentes war die Beobachtung, dass die beobachteten Tröpfchenladungen alle ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung e waren, die auf diese Weise genau bestimmt werden konnte.
Das Faraday-Gesetz der Elektrolyse (vgl. Abschn. 12.1.2) besagt, dass zur Abscheidung von einem Mol eines einwertigen Ions (z. B. Ag+) durch den Elektrolyten eine bestimmte Ladung (= Strom x Zeit) fließen muss: diese Ladung ist F — 96485.383(83) As/mol (Faraday-Konstante). Es gilt
F=eNA.	(7.13)
Aus dem Faraday-Gesetz und dem Millikan’schen Experiment erhält man einen Wert für die Avogadro-Konstante. Das ist die anschaulichste aller NA-Bestimmungsmethoden.
7.1.3 Elektronen in Metallen
Dass nicht Ionen, sondern (quasi)freie Elektronen für die elektrische Leitfähigkeit der Metalle verantwortlich sind, wurde vermutet, weil bei der Stromleitung in Metallen - anders als bei der Elektrolyse - kein messbarer Materialtransport auftritt. Die Elektronenmasse ist viel zu klein, als dass man z. B. bei negativer Aufladung eines Körpers eine Gewichtszunahme feststellen könnte.
468	7 Einführung in die Atomphysik
Tolman-Stewart-Experiment. Der experimentelle Beweis, dass die beweglichen Ladungen in Metallen tatsächlich negative Ladungen besitzen und an Teilchen mit sehr kleiner aber endlicher Masse gebunden sind, wurde von C.R. Tolman und T. D. Stewart 1916 geliefert. Sie gingen von dem Gedanken aus, dass die im Metall beweglichen Ladungsträger sich bei einer beschleunigten Bewegung infolge ihrer Trägheit verschieben müssen. Wird z. B. ein Metallstab in seiner Längsrichtung beschleunigt, dann muss es am vorderen Ende des Stabes zu einer Verarmung, am hinteren Ende zu einer Anreicherung von Elektronen kommen. Das heißt, die Enden des Metallstabes laden sich mit entgegengesetzten Vorzeichen auf, bis das dabei im Inneren entstehende elektrische Feld eine weitere Verschiebung der Ladungen im Leiter verhindert. Bei Abbremsung des Stabes erfolgt eine umgekehrte Aufladung. Bei der Ausführung des Versuches wurde eine Spule mit vielen Windungen eines dünnen Drahtes um ihre vertikale Mittelachse in schnelle Drehung versetzt und dann plötzlich angehalten. Um Probleme mit Schleifringen zu vermeiden, wurden die Spulenenden über eine lange verdrillte Leitung mit einem ballistischen Galvanometer verbunden. Die vertikale Erdfeldkomponente wurde kompensiert, um störende Induktionsspannungen klein zu halten. Das Vorzeichen der Induktionsspannung ändert sich mit der Drehrichtung, der gesuchte Effekt ist davon unabhängig.
Ist v die (mittlere) Umlaufgeschwindigkeit der Elektronen im Spulendraht und t die Zeit, die die Abbremsung zum Stillstand benötigt, dann ist v]t die auf die Elektronen wirkende (mittlere) Beschleunigung. Das im Inneren des Drahtes entstehende elektrische Feld ist gegeben durch U//, wobei U die Spannung zwischen den Spulenenden und f die Länge des Spulendrahtes ist. Im Gleichgewicht von Trägheitskraft und elektrischer Kraft gilt
e = m v/t oder ejm — v ^/(U t).	(7.14)
Mit bekannter Geschwindigkeit v und Drahtlänge / und dem ballistisch gemessenen Spannungsstoß U  t ergibt sich die spezifische Ladung der für die metallische Leitfähigkeit verantwortlichen Ladungsträger. Typische Werte des Experimentes waren: v x 50 m/s, ä 500 m, t< 1 s. Mit Kupfer, Silber und Aluminium wurden für ejm Werte erhalten, die nur etwa 10-20% kleiner als der für freie Elektronen gemessene Wert waren; in Anbetracht des schwierigen Experimentes ist das eine befriedigende Übereinstimmung.
Kinetische Elektronentheorie der metallischen Leitung. E. Riecke (1898) und P Drude (1900) gingen davon aus, dass sich die Leitungselektronen in Metallen frei bewegen können und mit den Metall-Ionen des Kristallgitters im thermischen Gleichgewicht stehen. Danach sollten die Elektronen den Gesetzen für ideale Gase gehorchen.
Diese Anwendung der kinetischen Gastheorie auf die Leitungselektronen lieferte die richtige Temperaturabhängigkeit der metallischen Leitfähigkeit (Widerstand nimmt mit der Temperatur zu!) und einen Zusammenhang zwischen elektrischer Leitfähigkeit er und Wärmeleitfähigkeit der die empirisch gefundene Beziehung, bekannt als Wiedemann-Franz-Gesetz, gut erklärt. In der Formulierung von L.V Lorenz (1872) lautet das Gesetz
2/u = K'T
(7-15)
7.1 Anschaulicher Atomismus 469
(T — Temperatur), wobei der Lorenz-Koeffizient KL über einen Temperaturbereich von mehreren hundert Grad annähernd konstant ist und für verschiedene Metalle weniger als einen Faktor zwei differiert.
Thermisches Rauschen (thermal noise). Geladene Elektronen können durch ihre thermische Bewegung mechanische Energie in elektrische umsetzen. A. Einstein übertrug 1907 den Gleichverteilungssatz auf den Energieinhalt eines elektrischen Kondensators, der an einen Widerstand im thermodynamischen Gleichgewicht angekoppelt ist. Das ist gleichbedeutend mit der Hinzufügung eines neuen Freiheitsgrades „Kondensatorspannung“ zu den Freiheitsgraden der Elektronen im Widerstand, die durch Wechselwirkungen mit Gitter und Umgebung gegeben sind. Im Gleichgewichtsfall ist der Mittelwert der Kondensatorspannung <UC) gleich null, die quadratisch gemittelte Spannung < U^,)1/2 dagegen größer als null. Einstein erkannte die Ähnlichkeit dieses elektrischen Phänomens mit der Brown’schen Bewegung und hielt es trotz seiner Kleinheit für prinzipiell messbar.
Heute hat dieses Rauschen in der Elektroakustik und der Nachrichtenübertragung große Bedeutung. Ganz allgemein gesprochen folgt das elektrische Rauschen aus der statistischen Gleichverteilung der thermischen Energie auf alle Freiheitsgrade. Jeder ohmsche Widerstand auf einer Temperatur T > 0 ist ein Rauschgenerator.
Stromrauschen. Der Signalstrom selbst ist die Quelle dieses Rauschens, weil der Strom nicht kontinuierlich fließt, sondern durch transportierte Elementarladungen der Größe ex 1.6• 10 l<J As zustande kommt. Durch die Ladungsquantisierung muss der Strom um seinen Mittelwert / statistisch schwanken. W. Schottky (1918) nannte dieses Rauschen Schrot-Rauschen (shot noise) in Analogie zu dem gequantelten Massentransport in Form von Schrotkugeln. (Mehr über Rauschen in Abschn. 8.1.3.)
7.1.4 Offene Fragen
Schon bei der Frage, wie die Ladungen verschiedenen Vorzeichens im neutralen Atom gebunden sind, hört der anschauliche Atomismus auf: Das sehr anschauliche Rutherford’sche „Planetenmodell“ (1911) mit einem Z-mal positiv geladenen Atomkern als „Sonne“ und Z negativ geladenen Elektronen als „Planeten“, das die beobachtete Weitwinkelstreuung von a-Teilchen an Goldatomen (E. Marsden, H. Geiger 1909) gut erklären konnte, widerspricht den Gesetzen des klassischen Elektromagnetismus! Die Elektronen würden auf ihren Kreis- oder Ellipsenbahnen radial beschleunigt und müssten deshalb elektromagnetische Strahlung aussenden, dabei Energie verlieren und bald in den Atomkern stürzen.
Darüberhinaus enthält die Konzeption von „Elementarteilchen“ - hier Elektronen und Atomkerne - eine grundsätzliche Problematik, die sofort erkennbar wird, wenn man die Frage nach der „Struktur“ dieser Teilchen stellt: Entweder, die Teilchen haben eine Struktur (endliches Volumen, räumliche Massen- und Ladungsverteilung), dann kann man vermuten, dass ihre Struktur-Elemente noch elementarer sind. Oder die Teilchen sind punktförmig, dann haben sie unendlich große Massen-und Ladungsdichte, was im Rahmen der klassischen Physik nicht vorstellbar ist.
470
7 Einführung in die Atomphysik
Weitere Fragen: Wodurch erhalten die verschiedenen Atome ihr spezifisches chemisches Verhalten? Welche Kräfte binden die Atome im Molekül? Warum besteht das Licht, das von Niederdruck-Gasentladungen ausgesandt wird, nicht aus einem kontinuierlichen Spektrum, sondern einem für die Gasatome charakteristischen Linienspektrum? Wodurch werden die Wellenlängen dieser Spektrallinien festgelegt?
Wie kommt der in Abschn. 3.6 beschriebene Ferromagnetismus zustande, der beim Eisen nahezu temperaturunabhängig bis etwa 1000 K erhalten bleibt? Wo fließen die von Ampere hypothetisch eingeführten „Molekularströme“, die den Ferromagnetismus gut beschreiben? Durch welche Wechselwirkung werden sie so ausgerichtet, dass sich die spontane Magnetisierung der Weiss-Bezirke ergibt?
Neben den oben genannten Phänomenen sind Abweichungen von der klassischen Physik um einen Faktor 1.5, wie sie bei den spezifischen Wärmen der Metalle auftreten, nahezu belanglos: Nach der Dulong-Petit’schen Regel haben Festkörper eine 1
molare spezifische Wärme von C — 3R — 6  - R, im Einklang mit der Annahme
von 6 Freiheitsgraden für die Oszillationen der Kristallatome (in x-, y- und z-Rich-tung; kinetische und potentielle Energie). Die zusätzlichen drei Translationsfreiheitsgrade der Leitungselektronen gehen erstaunlicherweise nicht in die spezifische Wärme der Metalle ein!
7.2	Welle-Teilchen-Dualismus
7.2.1 Teilchencharakter des Lichtes
Photoelektrischer Effekt (Photoeffekt). Die Auslösung von Elektronen aus einer mit ultraviolettem Licht bestrahlten Metalloberfläche wurde 1887 von H. Hertz für verstärkte Funkenbildung verantwortlich gemacht; in den folgenden Jahren wurde dieser Effekt von W. Hallwachs (1988/89) und P Lenard (1902) näher untersucht (Abb. 7.3).
Die wichtigsten experimentellen Fakten zum Photoeffekt sind folgende:
-	Nur wenn die Frequenz des benutzten Lichtes einen Schwellenwert vmin überschreitet, werden überhaupt Elektronen ausgelöst.
ultraviolettes Licht
Abb. 7.3 Untersuchung des photoelektrischen Effektes. Zur Bestimmung ihrer kinetischen Energie werden die Photoelektronen in einem Gegenfeld zwischen Kathode K und Anode A abgebremst; dazu wird eine variable Spannung entgegengesetzter Polarität angelegt.
7.2 Welle-Teilchen-Dualismus 471
(7-16)
-	Für v > vmin ist der ausgelöste Elektronenstrom proportional zur Lichtintensität.
-	Die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen steigt mit steigender Frequenz.
Diese Charakteristiken des Photoeffektes führten A. Einstein 1905 zu dem Schluss, dass die Energie der elektromagnetischen Strahlung gebündelt ist in Lichtquanten vom Betrag h  v, wobei v die Frequenz der Strahlung und h die Planck-Konstante ist, die Planck 1900 schon bei seinem Strahlungsgesetz in Zusammenhang mit der Quantelung der Energie, die Oszillatoren abgeben oder aufnehmen können, eingeführt hatte. Diese Deutung wurde zunächst als „zu radikal“ abgelehnt; die Anerkennung kam erst später im Zusammenhang mit dem ebenfalls quantisierten Bohr’schen Atommodell und den Welleneigenschaften der Elektronen.
Als Energiebilanz für die Auslösung eines Elektrons durch ein Lichtquant ergibt sich die Beziehung
, 1
h-v = — mv+cp 2
mit m — Elektronenmasse, v = Elektronengeschwindigkeit und der als Austrittsarbeit (work fimctiori) bezeichneten Energie cp, die einem Metallelektron zugeführt werden muss, damit es das Metall überhaupt verlassen kann. Der Wert der Austrittsarbeit ist abhängig vom Metall und der Kristalloberfläche. (Bei polykristallinen Oberflächen bestimmt die kleinste Austrittsarbeit die Schwelle des Photoeffekts.) Die maximale kinetische Energie der Photoelektronen lässt sich am leichtesten dadurch bestimmen, dass man die Elektronen in einem elektrischen Gegenfeld abbremst und feststellt, bei welcher Spannungsdifferenz U die Elektronen gerade nicht mehr zur Auffangelektrode gelangen können. Mit eU gleich der Energie der Elektronen und hvmia gleich der Austrittsarbeit cp wird aus Gl. (7.16)
^(v-vmin) = e C.	(7.17)
So lässt sich bei bekannter Frequenz des eingestrahlten Lichtes aus einer Gegenspannungsmessung das Naturkonstanten-Verhältnis h/e bestimmen (Abb. 7.4).
Die Einstein’schen Lichtquanten wurden später Photonen genannt. Die Energie eines Photons ist gegeben durch
£pl. = h v = h cd,	(7.18)
wobei h (gesprochen: „ha-quer“) = h/(2n) ebenfalls als Planck-Konstante bezeichnet wird. Beide Konstanten - h und h - werden in der Quantenphysik benutzt und
4 5 6 7 8 9 10 11-1014
Lichtfrequenz v/Hz
Abb. 7.4 Energie der Photoelektronen als Funktion der Lichtfrequenz (nach Millikan, 1916).
472	7 Einführung in die Atomphysik
treten in sehr vielen verschiedenen Gleichungen auf. Man wählt diejenige Konstante, die im betrachteten Fall den leidigen Faktor 2n vermeiden lässt. Da sich bei Wellendarstellungen die Kreisfrequenz a> gegenüber Frequenz v durchgesetzt hat, wird der Ausdruck ha> für die Photonenenergie häufiger verwendet als der historische Ausdruck hv.
7.2.2 Wellencharakter der Elektronen
L. V. de Broglie verfolgte in seiner Doktorarbeit (Paris 1924) den kühnen Gedanken, in umgekehrter Analogie zur Einstein’schen Idee vom Teilchencharakter der Lichtwellen, den Elektronen Wellencharakter zuzuordnen. Zunächst war die formale Frage zu klären, wie die für Photonen offenbar gültige Beziehung E — hv auf Teilchen mit Masse m auszudehnen ist. Er kam zu dem Schluss, dass die Relativitätstheorie dazu zwingt, dem Teilchen nicht nur eine der Gesamtenergie proportionale Frequenz v, sondern auch eine der Ruheenergie proportionale „Ruhefrequenz“ v0 zuzuordnen:
E = y mc2 — hv — hat
mit
y = [1 — (t>/c)2] ~1/2 und Eo — mc2 — hv0 — hio0.	(7.19)
Er betrachtete ein ruhendes Teilchen und die ihm zugeordnete Welle mit Ruhefrequenz und führte für das Wellenfeld eine Lorentz-Transformation in ein bewegtes System durch. Er fand, dass die dem Elektron zugeordnete Welle im (Labor-)System, in dem sich das Teilchen mit der Geschwindigkeit v bewegt, Dispersion aufweist. Die Phasen- und die Gruppengeschwindigkeit der Welle ergaben sich zu
fph = c2/V UIld Vgr = V-	(7.20)
Mit diesem Ergebnis und der allgemeinen Definition dieser Wellengeschwindigkeiten
(Bd. 3, Abschn. 2.2) nämlich
Uph = oj/k und ugr = doj/dk,	(7.21)
folgt dann
io dm = kc2 dk,	(7.22)
wobei k die Kreiswellenzahl 2n/2 ist. Die Integration von Gl. (7.22) ergibt
m2 = k2 c2 + cOq,	(7.23)
wenn man m2 als Integrationskonstante hinzufügt.
Multiplikation von Gl. (7.23) mit h2 ergibt
h2 m2 = h2 k2 c2 + h2 m2,	(7.24)
eine Gleichung, die dem relativistischen Energiesatz
E2 =p2 c2 + E20 (7.25)
7.2 Welle-Teilchen-Dualismus 473
entspricht. Die Beziehung
p2 c2 = h2 k2 c2, oder
p = h k = hß	(7.26)
ergibt sich aus dem Gleichsetzen der ersten Terme auf der rechten Seite von Gl. (7.24) und Gl. (7.25). Auflösung nach der Wellenlänge 2 führt zu
2 = h/(ymv)
oder für
v < c zu
2 = h/(mv).	(7.27)
Das ist die berühmte Formel für die de-Broglie-Wellenlänge (de Broglie wavelength). Die Formel gilt auch für andere Teilchen mit Masse; deshalb spricht man allgemein von „Materiewellen“. Nur weil das Elektron die mit Abstand kleinste Masse besitzt, sind Materiewellen-Phänomene zuerst beim Elektron gesucht und gefunden worden.
In der Atomphysik sind Bindungsenergien und kinetische Energien der Elektronen meist klein gegen die Ruheenergie des Elektrons Eo = 511 keV, sodass eine nichtrelativistische Beschreibung genügt. (1 keV ist die kinetische Energie, die ein Elektron besitzt, das über eine Potentialdifferenz von 1 kV beschleunigt wurde.) Statt der relativistischen Gesamtenergie E und der zur de-Broglie-Welle gehörenden Kreisfrequenz a> = E/h, werden die Differenzen AE — E— Eo und Am = cd — m0 mit folgender Schreibung verwendet:
AE = E-E0 E
und
Am = (E — E0)/h -> E/h.	(7.28)
Die de-Broglie-Frequenz m/2n, die für kleine kinetische Energien sehr dicht bei der Ruhefrequenz m0/2n liegt, und die unanschauliche Differenzfrequenz (m — m0)/2n werden selten erwähnt.
Für Elektronen mit einer kinetischen Energie E, die wesentlich kleiner ist als die Ruheenergie von 511 keV, sind Geschwindigkeit v und de-Broglie-Wellenlänge z. gegeben durch die nicht-relativistischen Beziehungen
v/cx 2.0 -10 WeV)12 und
zil.2nm(EeVi l2.	(7.29)
Für Elektronenstrahlen mit Energien in der Größenordnung von 100 eV und mehr erhält man Wellenlängen, die kleiner sind als die typischen Atomabstände in Kristallgittern von einigen Zehntel Nanometer. Beugung an kristalliner Materie war deshalb eine naheliegende Möglichkeit, die Wellennatur der Elektronen nachzuweisen.
Das schwierige Experiment, Elektronen von 50-400 V am Atomgitter einer Einkristalloberfläche zu beugen, gelang C. J. Davisson und L. Germer 1927; kurz darauf (1927/28) durchstrahlte G.P Thomson (der Sohn von J. J.) ein polykristallines Ma-
7.2 Welle-Teilchen-Dualismus 475
was für den idealen Grenzfall einer unendlich ausgedehnten ebenen Welle allerdings nicht möglich ist, dann beschreibt ipp* die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens (SI-Einheit: m '). Multipliziert mit der Elektronenmasse m ergibt ipp* den Erwartungswert für die Massendichte pM, multipliziert mit der Elektronenladung — e ergibt ipp* den Erwartungswert für die Ladungsdichte pQ.
Es ist vor allem diese statistische Deutung, durch die sich die moderne Quantentheorie von der deterministischen klassischen Physik unterscheidet. Das hat zu heftigen physikalischen und naturphilosophischen Debatten geführt; als Beispiel sei die Infragestellung des Kausalitätsprinzips angeführt. Für die so genannten „makroskopischen“ Phänomene ändert sich nichts: Bei der Beobachtung vieler Elementarprozesse, für die die Theorie den gleichen Erwartungswert liefert, wird dieser zum messbaren quantenmechanischen Mittelwert, für den die Erhaltungssätze der klassischen Physik gelten.
7.2.3 Unbestimmtheitsrelation
Diese Relation, auch „Unschärfebeziehung“ (imcertainty principle) genannt, wurde 1927 von Werner Heisenberg im Rahmen der modernen Quantenmechanik formuliert; sie macht den Welle-Teilchen-Dualismus zwar nicht verständlich, aber befreit ihn von Widersprüchen.
Der Welle-Teilchen-Dualismus ist mit unserem Vorstellungsvermögen, das sich aus Alltagserfahrungen und der dafür gültigen klassischen Physik entwickelt hat, nicht zu begreifen. Der Teilchencharakter des Lichtes ist genauso unverständlich wie der Wellencharakter der Elektronen. Dabei ist der Welle-Teilchen-Dualismus nicht so zu verstehen, dass die wesentlichen Unterschiede zwischen Licht (Welle) und Elektronen (Teilchen) verschwinden würden. Die Photonen sind keine „richtigen“ klassischen Teilchen, weil sie sich immer mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und in beliebigen Mengen erzeugt oder vernichtet (absorbiert) werden können. Und die Materiewellen sind keine „richtigen“ klassischen Wellen, weil deren Amplitude keine physikalisch messbare Größe ist; außerdem haben Materiewellen die ungewöhnliche Eigenschaft, auch im Vakuum Dispersion zu zeigen.
Das Verständnisproblem des Welle-Teilchen-Dualismus wird z. B. deutlich bei der Beugung am Doppelspalt: Die Intensitätsverteilung im Beugungsbild 7(0) ist unabhängig von der Intensität der einfallenden Welle. Mit akkumulierenden Detektoren (z. B. Photoplatten) ist es möglich, Beugungsbilder mit so schwachen Intensitäten zu erhalten, dass praktisch nie mehr als ein Photon oder Elektron unterwegs ist. Für ein einzelnes Teilchen beschreibt 7(0) die Verteilung der Nachweiswahrschein-lichkeit in der Beugungsebene. Andererseits kann das Teilchen nur durch den einen oder den anderen der beiden Spalte hindurchgehen. Im Beugungsbild des Einzelspaltes fehlen die Interferenzminima. Wie kann der zweite Spalt, durch den das Photon (Elektron) nicht hindurchgeht, mitbestimmen, wo das Photon (Elektron) in der Beugungsebene auftreffen bzw. nicht auftreffen darf?
Der Welle-Teilchen-Dualismus führt zu beliebig vielen Denkproblemen dieser Art. Eine Hilfsvorstellung, die zu richtigen Ergebnissen führt, ist die Annahme, dass das Photon oder Elektron eine „Führungswelle“ besitzt, die sich nach den Gesetzen der Wellenoptik ausbreitet und ggf. auch, aufgespalten in kohärenten Teilwellen,
476
7 Einführung in die Atomphysik
„mit sich selbst“ interferiert. An jeder Stelle des Strahlenganges ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen auf dem betrachteten Flächenelement zu finden, zur Intensität der Führungswelle proportional. Wenn in einem Experiment sehr viele Teilchen mit gleichen Führungswellen nachgewiesen wurden, dann entspricht die gemessene Teilchendichte der Intensitätsverteilung der Welle.
Etwas anschaulicher wird der Welle-Teilchen-Dualismus, wenn man statt der beiden Grenzfälle „lokalisiertes Teilchen“ und „unendlich ausgedehnte monochromatische Welle“ nur den dazwischenliegenden Fall des Wellenpaketes (Abschn. 6.1.3) betrachtet: Das Wellenpaket ist kein perfektes Teilchen, weil es nur „ungefähr“ räumlich und zeitlich lokalisiert ist; das Wellenpaket ist aber auch keine perfekte monochromatische Welle, weil es keine wohldefinierte Frequenz und Wellenzahl besitzt.
Wie schon in Abschn. 6.1.3 erwähnt wurde, sind die räumliche Verteilung eines Wellenpaketes entlang der Ausbreitungsrichtung z und seine spektrale Verteilung als Funktion der Wellenzahl /. 1 (bzw. Kreiswellenzahl k) durch die Fourier-Transformation miteinander verknüpft; eine entsprechende Verknüpfung gibt es für die Abhängigkeit von der Zeit t und die spektrale Verteilung als Funktion der Frequenz v (bzw. Kreisfrequenz m). Es gilt:
Az • A(z ') x 1 bzw. Az-Akzx2n	(7-31)
und
Af-Av«l bzw. At  Aco x 2n.	(7.32)
Zur Gewinnung einer entsprechenden Beziehung für die anderen Raumkoordinaten verweisen wir auf die für die Fraunhofer’sche Beugung hergeleitete Beziehung zwischen dem Objekt in der .vr-Ebene und dem Wellenfeld in der Beugungsebene, die ebenfalls durch die Fourier-Transformation vermittelt wird. Damit kann man darstellen, dass die Lokalisierung einer seitlich unendlich ausgedehnten einfallenden Welle durch eine Blende in der .vr-Ebene zu Unbestimmtheiten in kx und ky führt, ausgedrückt durch
Ax • Akx x 2n und Ar • Aky x 2tl	(7.33)
Bei Benutzung vektorieller Schreibweise für den Ortsvektor r und den in Ausbreitungsrichtung zeigenden (Kreis-)Wellenvektor k lassen sich Gl. (7.31) und Gl. (7.33) zusammenfassen:
Ar-Akx2n, At-Acox2n.	(7.34)
In der Konzeption des Wellenpaketes liegt also eine „Unschärfe“: Entweder man weiß ziemlich genau, wo sich das Paket zeitlich und räumlich befindet, dann sind (Kreis-)Frequenz und (Kreis-)Wellenvektor über einen weiten Bereich Aa> bzw. Ak „verschmiert“, - oder Frequenz und Wellenvektor haben ziemlich scharf eingegrenzte Werte, dann sind die „Unschärfen“ von Zeit und Ort, At bzw. Ar entsprechend groß, im Grenzfall der zeitlich und räumlich unbegrenzten „monochromatischen“ Welle sogar unendlich groß.
Jetzt kann man die Wellenpaket-Unschärfe kombinieren mit den Verknüpfungen von Wellen- und Teilchengrößen nach de Broglie und Einstein:
p = h k und E — h <jj.	(7-35)
7.2 Welle-Teilchen-Dualismus 477
Aus Gl. (7.34) und Gl. (7.35) ergibt sich nun die „Unschärfe“ für die Variabienpaare Ort und Impuls sowie Zeit und Energie:
Ar • A/? x h, \t-\Exh.	(7.36)
Wenn man in Rechnung stellt, dass die Unschärfebereiche noch durch sonstige Störeinflüsse vergrößert werden können, dann ist es bei der Betrachtung von Messungenauigkeiten gerechtfertigt, statt des „ungefähr gleich“ in Gl. (7.36) die Relation „größer als“ zu verwenden. Damit erhält die Unschärferelation die Form
Ar-Ap>/z, AuAä>/z.	(7.37)
Wenn man allerdings bei gegebenen Teilchenparametern abschätzen möchte, wie nahe man den Bedingungen ist, für die nach dem Welle-Teilchen-Dualismus Abweichungen vom „normalen“ Teilchenverhalten zu erwarten sind, dann ist die Relation „ungefähr gleich“ zu verwenden.
In Lehrbüchern der Quantenmechanik findet man auf der rechten Seite der Relation meist nicht die Konstante h, sondern, bedingt durch eine andere Definition der Breite von Verteilungen, h/2 (Bd. 4, Kap. 1).
Beispiele zur Unbestimmtheitsrelation. Das Paradebeispiel für die Orts-Impuls-Un-bestimmtheit ist die Beugung am Spalt, die schon oben diskutiert wurde: Die Lokalisierung einer einfallenden ebenen Welle auf die Spaltbreite Ax führt für Photonen wie Elektronen zur Unbestimmtheit in der ImpulskomponentepK, die durch Beugung im Winkelbereich A0 zustande kommt. Aus Unbestimmtheitsrelation und de-Brog-lie-Wellenlänge ergibt sich
A0 x \p)p x h/(Ax p) — A/Ax.
(7.38)
Das ist der Winkel des ersten Beugungsminimums.
Für die Zeit-Energie-Unbestimmtheit soll hier der Tunneleffekt angeführt werden: Abb. 7.6 zeigt ein Elektron mit der Ladung — e und der Masse m, das mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung fliegt. Es trifft auf eine als rechteckig angenommene 1
Potentialbarriere (Potential — U) der Dicke Ax. Für den Fall -mv2 < eU tritt nach
der klassischen Teilchenvorstellung eine Reflexion an der Vorderseite der Barriere auf. Tatsächlich kann das Elektron jedoch die Barriere mit einer gewissen Wahr
Abb. 7.6 Zum Tunneleffekt: Ein Elektron „durchtunnelt“ eine Potentialbarriere, zu deren Überwindung die kinetische Energie nicht ausreichen würde.
478	7 Einführung in die Atomphysik
scheinlichkeit durchdringen. Hier wird angenommen, dass dem Elektron die Energie AE zur Überwindung der Barriere fehlt, sodass die Überwindung der Barriere eine, wenn auch kurzzeitige, Verletzung des Energiesatzes um AE wäre. Diese nicht-vorhandene Energie wird nur während der Zeit At = Ax/u, der Flugzeit des Elektrons beim „Durchtunneln“ der Barriere, benötigt. Diese Verletzung des Energiesatzes ist im Rahmen der Unbestimmtheitsrelation möglich. Eine merkliche Wahrscheinlichkeit für das Durchtunneln ist aber nur dann zu erwarten, wenn das Produkt AE in der Größenordnung von h liegt oder kleiner ist.
7.3	Struktur der Atome
7.3.1 Rutherford-Bohr’sches Atommodell
Den wichtigsten Zugang zur Atomphysik bot die optische Spektroskopie: Das Licht aus Niederdruck-Gasentladungslampen („Spektrallampen“) hat eine spektrale Intensitätsverteilung, die aus einer Zahl von „Linien“ (lines, peaks) mit kleinen, aber endlichen Linienbreiten bestehen. Die Atome der verschiedenen chemischen Elemente emittieren unterschiedliche Spektrallinien (Spektralanalyse der Chemiker). Bemühungen, die Linienspektren der Elemente zu ordnen, zu vergleichen und zu verstehen, waren zuerst beim Wasserstoff erfolgreich. Das leichteste Element (Ordnungszahl Z = 1) hat auch das einfachste Linienspektrum, das in Abb. 7.7 in Abhängigkeit von der Wellenlänge dargestellt ist. Zu erkennen sind verschiedene Spektralserien, von denen anfangs nur die im Sichtbaren liegenden ersten Linien der Balmer-Serie bekannt waren (J. Balmer 1885). Die Messungen von T. Lyman (1906) im Ultravioletten und von F. Paschen (1908) im Infraroten bildeten eine wesentliche Ergänzung der Datenbasis.
Für das Verständnis der Linienspektren erwies sich die zu 1/2 proportionale Spektralvariable „Frequenz“ geeigneter als die Wellenlänge 2. Um die Jahrhundertwende wurde ein Ordnungsprinzip erkannt, das W. Ritz 1908 exakt formulierte. Geschrieben für entsprechende Photonenenergien, hat es die Form
= Amax (n 2 - m
n, m = 1, 2, 3... mit m>n,	(7.39)
wobei n = 2 und m = 3,4,5,6 die sichtbaren Balmer-Linien beschreibt. Die maximale Photonenenergie ergibt sich nach Gl. (7.39) für n = 1 und m = oo (Grenze der
Lyman-Serie Balmer-Serie	Paschen-Serie
0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
Wellenlänge Ä/gm
Abb. 7.7 Das Linienspektrum des Wasserstoffs in Abhängigkeit von der Wellenlänge.
7.3 Struktur der Atome 479
Lyman-Serie) und beträgt Ävmax = 13.6 eV. [Die von nun an sehr häufig verwendete Einheit „Elektronenvolt (eV)“ ist in Abschn. 17.2.2 definiert.]
Die Bohr’schen Postulate. Niels Bohr erkannte 1913/14, dass die Strahlungsemission und -absorption der Atome mit der klassischen Physik nicht zu erklären ist. Für sein Modell des H-Atoms machte er Annahmen, die deutlich von der klassischen Physik abwichen. Er postulierte, dass das H-Atom verschiedene „Zustände“ - beschrieben durch verschiedene Quantenzahlen n - besitzt, die durch unterschiedliche Bindungsenergien für die Bindung des Elektrons an den Atomkern charakterisiert werden. Statt der (positiven) Bindungsenergie des n-ten Zustandes £"B(n) wird meist die zum gebundenen Zustand gehörende negative Energie E(n) = — EB(ri) angegeben. Für das H-Atom ergibt sich
E(n) = — EJn2 mit ET = EB(n = 1) = 13.6eV.	(7.40)
Wenn sich das Atom in einem dieser Zustände befindet, dann - so postulierte Bohr - strahlt es nicht; Strahlung wird dagegen emittiert oder absorbiert, wenn das Atom seinen Zustand ändert. Der Übergang von einem Zustand hoher zu einem niedriger Energie ist mit der Emission eines Photons mit der durch Gl. (7.39) beschriebenen Energie verbunden, der umgekehrte Übergang mit der Absorption eines entsprechenden Photons. ET ist die lonisierungsenergie, die notwendig ist, um ein Elektron aus dem Grundzustand (n = 1) vom Atom abzulösen (n -> oo). Nach Gl. (7.40) erhält man ein „diskretes“ Spektrum von Zustandsenergien. Zu kleinen Energien (großen n-Werten) wird das Zustandsspektrum immer dichter und bei E — 0 (n = oo) schließt sich daran ein Kontinuum für E > 0 an. Die positiven Energien des Kontinuums entsprechen den kinetischen Energien, die ein vom Atom abgelöstes Elektron haben kann, wenn die Photonenenergie größer ist als die lonisierungsenergie.
In der graphischen Darstellung, dem Termschema (energy-level scheme or dia-gram), wird die Energie nach oben aufgetragen und jedem Zustand wird eine horizontale Linie zugeordnet. Die Grobstruktur des Wasserstoffspektrums ist in Abb. 7.8 dargestellt. Seine Fein- und Hyperfeinstruktur wird in Bd. 4, Kap. 1 beschrieben.
Das bisher Gesagte ist eine - zuerst von Bohr klar formulierte - phänomenologische Beschreibung des Verhaltens von Wasserstoffatomen, die auch heute noch gültig ist. Überholt sind die damit verbundenen halb-klassischen Vorstellungen vom Atombau, die einige Jahre vorherrschten, weil die Bohr’schen Formeln für Bahndrehimpuls und Bahnradius des Atomelektrons sehr überzeugende Werte lieferten: Mit der Quantenbedingung für den Bahndrehimpuls
L = n hfln — n h,	(7.41)
und dem Coulomb-Gesetz erhielt Bohr für E1 die Formel 1
£) = - me4/(4ne0h)2,	(7.42)
die einen Zahlenwert liefert, der mit dem beobachteten Wert von 13.6eV sehr gut übereinstimmt. Berücksichtigt man die Bewegung des H-Atomkerns um den gemeinsamen Schwerpunkt von Kern und Elektron, dann erhält die Gl. (7.42) noch den Korrekturfaktor wKem/(wKem + m)-
480	7 Einführung in die Atomphysik
Kontinuum
Abb. 7.8 Das Termschema des H-Atoms (Grobstruktur). Links sind die Quantenzahlen n aufgetragen, rechts die Zustandsenergie E(n).
Zum Grundzustand des H-Atoms (n — 1) gehört nach dem Bohr’schen Modell ein Radius, der ebenfalls durch Verknüpfung von Naturkonstanten gegeben ist; er wird generell mit a0 symbolisiert und Bohr-Radius genannt:
a0 — 4k e0 h2l(in e2) % 53 pm.	(7.43)
Dieser Radius liegt in der „richtigen“ Größenordnung, wie sie sich aus der Atomdichte kondensierter Materie abschätzen lässt.
Die Bohr’schen Quantenvorstellungen erfuhren noch 1914 eine Bestätigung durch das Experiment von James Franck und Gustav Hertz: Die Energieanalyse eines Elektronenstrahls nach Durchgang durch Quecksilberdampf zeigte diskrete Elektronen-Energieverluste von 4.9 eV, die energetisch der 254-nm-Linie des Hg-Spekt-rums entsprachen und als Elektronenstoß-Anregung des Hg-Atoms vom Grundzustand in einen diskreten, energetisch höheren Zustand interpretiert werden konnten.
7.3.2 Drehimpuls, Richtungsquantelung, Gyromagnetismus
Der Drehimpuls (angular momentuni) ist in der Quantentheorie eine sehr wichtige physikalische Größe, ähnlich wie die Geschwindigkeit in der Relativitätstheorie: Wenn die Geschwindigkeiten so groß werden, dass sie in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit c kommen, dann muss man relativistisch rechnen. Wenn die Drehimpulse so klein werden, dass sie in die Nähe von h kommen, dann muss man quantenmechanisch rechnen.
7.3 Struktur der Atome 481
Richtungsquantelung. Zur Erklärung des Zeeman-Effektes (= Aufspaltung von Spektrallinien bei Anlegen eines magnetischen Feldes) wurde angenommen, dass nicht nur die Größe des Bahndrehimpulses in Einheiten von h quantisiert ist, sondern auch nur bestimmte räumliche Lagen der Elektronenbahnen bezüglich eines äußeren Magnetfeldes B erlaubt sind. Die Vorschrift für diese Richtungsquantelung (space, spatial or directional quantization) besagten, dass die Projektionen der erlaubten Orientierungen des Bahndrehimpulses L auf die durch B gegebene Quantisierungsachse (axis of quantization) um h differieren sollten. Für einen Bahndrehimpuls mit Betrag kh (k = 1,2,3...) sollten also die Projektionswerte + kh, +(k— l)h, ... — (k — l)h, — kh erlaubt sein.
Die räumliche Orientierung von atomaren Drehimpulsen ist im Prinzip beobachtbar, weil mit den Drehimpulsen magnetische Momente verknüpft sind, auf die durch äußere (inhomogene) Magnetfelder Drehmomente (und Kräfte) ausgeübt werden können. Diese Verbindung von mechanischen Drehimpulsen (Kreisel, Gyroskopen) mit magnetischen Momenten wird als Gyromagnetismus bezeichnet.
Gyromagnetisches Verhältnis (gyromagnetic ratio). Das magnetische Moment, das ein auf einer Kreisbahn umlaufendes Teilchen durch die Bewegung seiner Ladung erzeugt, ist gekoppelt mit dem Bahndrehimpuls, den es wegen seiner Masse besitzt.
Abb. 7.9 Ein geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn entspricht einem Kreisstrom und erzeugt ein entsprechendes magnetisches Moment, das (anti)parallel zum Bahndrehimpuls ausgerichtet ist.
Das magnetische Moment des Elektrons mit der Ladung — e auf der Kreisbahn mit Radius r (Abb. 7.9) und der Bahngeschwindigkeit v ist gegeben durch
p = nr2 ( — e) (y/2w) —---e v r,
(7.44)
der Bahndrehimpuls des Elektrons mit Masse m durch
L — m v r.	(7-45)
Wegen der negativen Elektronenladung sind die Vektoren des Bahnmomentes p und des Bahndrehimpulses £ antiparallel; das Verhältnis der Beträge ist
H£|=|e/m.	(7.46)
482	7 Einführung in die Atomphysik
(7.47)
Das gyromagnetische Verhältnis oder der g-Faktor (gfactor) ist definiert als l^/LI — i---------------•
- elm 2
Danach ergibt sich für umlaufende Elektronen g — 1. Das ist sozusagen der „gyromagnetische Normalfall“.
Das durch das 2?-Feld auf das magnetische Moment ausgeübte Drehmoment verursacht eine Präzession des Drehimpulses um die Feldrichtung mit dem Kegel-Öff-nungswinkel 0. Die Präzessionsfrequenz ist vom Winkel 0 unabhängig (vgl. Bd. 1, Kreiselbewegung); sie wird in der Atomphysik Larmor-Frequenz genannt:
vL = col/2tt, 1 = g 2 B-
Für die erste Bohr’sche Bahn ist L — h, und das damit verbundene magnetische Bahnmoment n ergibt sich als ein Produkt von Naturkonstanten, das Bohr-Magne-ton ii[t genannt wird:
0B = | (e/w) h-
Mit dieser Definition kann Gl. (7.47) für das Bahnelektron auch wie folgt geschrieben werden:
g = |/z/7ib| / |£/h| = 1.
(7.48)
(7.49)
(7.50)
Stern-Gerlach-Experiment. Ein geniales Experiment, das die Richtungsquantelung des Drehimpulses zu messen gestattet, wurde von O. Stern und W. Gerlach 1922 durchgeführt. Aus technischen Gründen verwendeten Stern und Gerlach einen Silber-Atomstrahl. Wie man damals schon vermutete, haben chemisch einwertige Atome wie Silber (Ag) „innere Elektronen“, deren Drehimpulse und magnetische Momente sich gegenseitig kompensieren, und ein „äußeres“ Valenzelektron, das sich wie das Elektron vom Wasserstoff verhält. Heute kann das Stern-Gerlach-Experi-ment auch mit H-Atomen durchgeführt werden; für die Diskussion können wir uns deshalb hier auf das H-Atom beschränken.
Abb. 7.10 zeigt schematisch die Versuchsanordnung. Der Elektromagnet mit den zwei ungleich geformten Polschuhen erzeugt ein stark inhomogenes Magnetfeld, bei dem in der Mitte - unterhalb der Schneide des oberen Polschuhs - das 2?-Feld und der Feldgradient in z-Richtung zeigen.
Klassisch wirkt die Bohr’sche Elektronenbahn im H-Atom wie ein Kreisel mit dem Drehimpuls h und dem magnetischen Moment — ii[t. Den Winkel 0 zur Richtung des .ß-Feldes, den der Drehimpuls beim Eintritt in das Magnetfeld zufällig hat, wird beibehalten. Die z-Komponente des magnetischen Momentes ist
0Z = -g 0BCOS0	(7-51)
und die durch das inhomogene Magnetfeld auf /l ausgeübte Kraft ist
F = [iz-8B/8z ~ cos0.	(7-52)
7.3 Struktur der Atome 483
Abb. 7.10 Schema des Stern-Gerlach-Experimentes. Die Tafeln rechts oben zeigen verschiedene Erwartungen für die Strahlaufspaltung im inhomogenen Magnetfeld.
Bei ausgeschaltetem Magneten hat das magnetische Moment keinen Einfluss und deshalb ist eine Strahlspur in Form einer Schattenprojektion der Schlitzblende zu erwarten, idealisiert also ein horizontaler „Balken“. Die mit dem Atomstrahl transportierte Menge von Silberatomen ist so gering, dass selbst nach acht Stunden Strahlbetrieb der Silber-Niederschlag auf dem Aufhänger noch unsichtbar ist. Erst photographische Entwicklungsprozesse, die aus den unsichtbaren Keimen durch Anlagerung weiterer Ag-Atome sichtbare Schwärzungen erzeugten, führten beim Experiment von Stern und Gerlach zu auswertbaren Bildern der Strahlspur.
Bei eingeschaltetem Magneten ist die Strahlablenkung proportional zu cos 6. Da der Eintrittswinkel 6 für die Atome des Strahls im Bereich von 0 — 0 und 180' statistisch verteilt ist, wäre nach der klassischen Physik eine vertikale „Verschmierung“ des „Balkens“ zu erwarten. Aus technischen Gründen erfolgt die stärkste Aufspaltung in der Mitte der Strahlspur, weil dort der Feldgradient am größten ist. Die Quantisierung des Drehimpulses erlaubt aber nur gewisse Werte von Lz; diese Richtungsquantelung sollte zu einer entsprechenden Strahlaufspaltung führen. Beobachtet wurde eine Aufspaltung in zwei Komponenten. Eigentlich hätte man nach der Bohr’schen Theorie wegen L — h für das H-Atom im Grundzustand eine dreifache Aufspaltung erwarten sollen, wie in Abb. 7.10 oben rechts angemerkt ist. Weil aber Nils Bohr die Ansicht geäußert hatte, dass die Richtungsquantelung mit Lz = 0 ausgeschlossen sei, erwarteten Stern und Gerlach wirklich nur eine zweifache Aufspaltung. Sie werteten die Aufspaltung auch quantitativ aus und zeigten, dass sie mit der Annahme von /tz = +/tB übereinstimmt.
484	7 Einführung in die Atomphysik
Nach der 1925/26 entwickelten Quantenmechanik (nächster Abschnitt) besitzt der Grundzustand des H-Atoms weder einen Bahndrehimpuls noch ein magnetisches Moment! Danach hätte das Stern-Gerlach-Experiment bei eingeschaltetem Magneten eigentlich dasselbe Bild wie bei ausgeschaltetem Magneten ergeben müssen. Woher kommt die beobachtete Aufspaltung in zwei Komponenten? Als Ursache dafür
1
wurde schließlich der Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons von - h und ein damit
verknüpftes magnetisches Moment von — identifiziert. Nach Gl. (7.50) hat das „spinnende Elektron“, im Unterschied zum „umlaufenden Elektron“, das gyromag-netische Verhältnis g — 2.
Die Einführung des „halbzahligen“ Elektronenspins in die Atomphysik erfolgte 1925 durch S.Goudsmit und G.E. Uhlenbeck; sie waren zu dieser Annahme gekommen, weil sich damit spektroskopische Anomalien („anomaler“ Zeeman-Effekt) und das weiter unten beschriebene Pauli-Prinzip besser verstehen ließen. So mussten Spin und magnetisches Moment des Elektrons in die nicht-relativistische Quantenmechanik nachträglich eingebaut werden. Die darüber hinausgehende relativistische Quantentheorie von PA.M. Dirac (1930) liefert beides als Ergebnis.
Die Projektionen des Spins auf die Magnetfeldrichtung werden durch die magnetische Spinquantenzahl ms beschrieben:
Lz,Spin = mS
mit
ms= +1/2.	(7.53)
Die für Bahndrehimpulse gültige Regel, dass sich die Projektionen auf die Quantisierungsachse um h unterscheiden, gilt auch für den halbzahligen Elektronenspin.
Spin und magnetisches Moment des Elektrons können überhaupt nicht anschaulich beschrieben werden, denn es gibt keine Hinweise auf eine räumliche Ausdehnung des Elektrons; es verhält sich immer wie ein punktförmiges Teilchen. Der so genannte „klassische Elektronenradius“ re x 2.8  10 '’m hat keine physikalische Bedeutung; re wird heute nur noch als Abkürzung für ein Produkt von Naturkonstanten (siehe Tab. 17.9) mit der Dimension „Länge“ in Formeln zur Elektronenstreuung verwendet.
7.3.3 Quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms
Quantenmechanik (quantum mechanics). Diese bahnbrechende und außerordentlich erfolgreiche Theorie, das Kernstück der modernen Physik, begann mit den Arbeiten von Heisenberg, Born und Jordan (1925, Matrizenmechanik) und Schrödinger (1926, Wellenmechanik), die sich in den verwendeten Begriffen und mathematischen Methoden unterschieden, aber - wie Schrödinger zeigen konnte - zur selben Theorie führten. Alle weiterführenden modernen Theorien bauen auf der Quantenmechanik auf.
Schrödingers Ansatz bestand darin, die diskreten Energiezustände des H-Atoms in Verbindung zu bringen mit den diskreten Eigenwert-Spektren von Operatorgleichungen der Algebra. „Quantisierung als Eigenwertproblem“ ist der Titel der ersten Schrödinger’schen Arbeit zu diesem Thema.
7.3 Struktur der Atome 485
Zur mathematischen Terminologie folgende Anmerkungen: A sei ein algebraischer Operator, der auf die Funktion f(x) einwirkt. Gesucht werden alle Funktionen fn(x), die so beschaffen sind, dass der Operator A, angewendet auf eine solche Funktion eine neue Funktion erzeugt, die sich nur durch einen konstanten Faktor An von der Ausgangsfunktion fn(x) unterscheidet. Die Gleichung
Afn(x) = Anfn(x)	(7.54)
heißt charakteristische Gleichung des Operators A; fn (n = 1,2 ...) sind die Eigenfunktionen und An (n = 1, 2 ...) die zu den entsprechenden Eigenfunktionen gehörenden Eigenwerte (eigen values) des Operators. Falls mehrere Eigenfunktionen denselben Eigenwert haben, spricht man von Entartung (degeneracy). Es werden nur lineare Operatoren mit reellen Eigenwerten verwendet. Linearität bedeutet:
(A + B)f= Af+Bf.	(7.55)
Außerdem müssen die dazugehörenden Eigenfunktionen normalisierbar sein. Das heißt, das Integral über das Absolutquadrat, erstreckt über den gesamten Raum, muss einen endlichen Wert ergeben.
Es gelang Schrödinger, eine Operatorengleichung zu finden (und mit erheblichem mathematischen Aufwand zu lösen!), die ein Eigenwertspektrum besitzt, das dem Wasserstoff-Energiespektrum E(ri) von Gl. (7.40) entspricht. Ausgehend von der Gleichung, die dieses fundamentale Ergebnis liefert, wurden nun alle möglichen Methoden zur Berechnung anderer Eigenschaften des H-Atoms ausprobiert und mit spektroskopischen Messergebnissen verglichen; aus den erfolgreichen Methoden entstanden neue theoretische Konzepte und neuartige physikalische Sichtweisen. Schließlich erwuchs daraus eine abgerundete elegante Theorie, die heute oft „historisch rückwärts“ (deduktiv) als axiomatische Quantenmechanik gelehrt wird. Für die mathematische Form der Schrödinger-Gleichung, ihre Lösungen für das H-Atom und eine Einführung in Terminologie und Methoden der Quantenmechanik verweisen wir auf Bd. 4, Kap. 1.
Nach heutiger Auffassung kann für jedes physikalische System eine Schrödinger-Gleichung aufgestellt werden. Es ist die charakteristische Gleichung des Hamilton-Operators H, der nach den Regeln der (nicht-relativistischen) Quantenmechnik der Gesamtenergie des Systems zugeordnet ist. Leider ist in den allermeisten Fällen diese Gleichung nicht analytisch lösbar. Rückblickend ist es für die Entwicklung der Quantenmechanik als Glücksfall zu bewerten, dass die historische Schrödinger-Gleichung, die die potentielle und kinetische Energie eines geladenen Teilchens der Ladung — e und der Masse m (ohne Spin) im Coulomb-Feld einer ortsfesten Punktladung + e beschreibt, analytisch gelöst werden konnte. Andernfalls wäre die Fruchtbarkeit dieses Ansatzes viel schwerer zu erkennen gewesen.
Die Quantenzahlen n, f und m. Die Zustände des H-Atoms, zu denen unterschiedliche Wellenfunktionen gehören, lassen sich mithilfe von drei Quantenzahlen ordnen und klassifizieren:
n = 1, 2, 3, ... oo
t = 0, 1, ... (n-1)
m = —f, ... +A
486
7 Einführung in die Atomphysik
Für das ungestörte H-Atom sind die zu verschiedenen /-und /(/-Werten gehörenden Zustände entartet, d. h. die Zustandsenergie hängt allein von der so genannten Hauptquantenzahl (principal quantum number) n ab. Die Zahl der zu einem //-Wert gehörenden Zustände ergibt sich nach folgendem Schema:
n	£	m	Zahl der Zustände
1	0	0	1
2	0	0	
	1	-1, 0, +1	4
3	0	0	
	1	-1, 0, +1	
	2	— 2, -1, 0, +1, +2	9
n	0	0	
	n — 1	- (n - 1)... + (n - 1)	n2
Erwähnt sei schon hier, dass die /-Entartung aufgehoben wird, wenn das atomare elektrische Feld, in dem sich das betrachtete Elektron befindet, vom Coulomb-Feld abweicht, was bei Mehrelektronen-Atomen durch den Einfluss der anderen Elektronen gegeben ist. Die ///-Entartung wird durch ein äußeres Magnetfeld aufgehoben.
Die Bedeutung der Quantenzahlen / und m. Die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation gilt nicht nur für die Größenpaare Ort/Impuls und Zeit/Energie. Eine ähnliche Relation liefert die Quantenmechanik auch für die Komponenten des Drehimpulses Lx, Ly und Lz. Gleichzeitig exakt messbar ist nur eine dieser Komponenten, die üblicherweise Lz genannt wird, sowie das Quadrat des Drehimpulses, L2. Dieser Sachverhalt ist noch weniger anschaulich als die oben behandelten Unbestimmtheiten von Impuls und Energie, die wenigstens mit dem Konzept des zum Teilchen gehörenden Wellenpaketes plausibel gemacht werden können.
Die Nebenquantenzahl / bezieht sich auf die Quantisierung von L2, dem Quadrat des Bahndrehimpulses, und wird deshalb auch Drehimpuls-Quantenzahl (angular-momentum quantum number) genannt. Man spricht vom „Drehimpuls der Größe / • h“, obwohl sich nach den Vorschriften der Quantenmechanik der Betrag des Drehimpulses zu [/(/ +1)]1/2 • h ergibt.
Wenn die z-Richtung physikalisch ausgezeichnet ist und so zur Quantisierungsachse wird, dann beschreibt m die Quantisierung der Bahndrehimpulskomponenten in z-Richtung gemäß
Lz = mh, m = 0, +1, +2, ... + / ;	(7.56)
m wird magnetische Quantenzahl (magnetic quantum number) genannt, weil die physikalische Auszeichnung der z-Achsenrichtung in der Regel durch ein Magnetfeld gegeben ist.
Die Quantisierung von Lz bedeutet, dass bei einer Messung dieser Größe an einem einzelnen Atom tatsächlich nur einer der nach Gl. (7.56) möglichen Werte festgestellt werden kann, kein dazwischenliegender Wert.
7.3 Struktur der Atome 487
Berücksichtigung des Elektronenspins. Der „halbzahlige“ Elektronenspin s stellt sich bezüglich einer Quantisierungsachse mit den halbzahligen Spin-Projektionswerten + l/2h ein. Das wird durch die magnetische Spinquantenzahl (spin magnetic quantum number) ms — +1/2 beschrieben. Nun wird die magnetische Bahndrehimpuls-Quantenzahl (orbital magnetic quantum number) nicht mehr mit m, sondern mit me symbolisiert.
Wechselwirkung zwischen H-Atom und Photonen. Der energetisch tiefste Zustand (n = 1) ist der Grundzustand des H-Atoms. Das Atom kann sich aber auch in einem der energetisch höheren Zustände befinden. Der spontane Übergang in einen energetisch tieferen Zustand erfolgt unter Aussendung eines Photons. Diese spontane Emission (spontaneous emissioriy, die zum Linienspektrum einer „Spektrallampe“ führt, ist im Rahmen der Quantenmechanik nicht beschreibbar (mehr dazu in Abschn. 7.4.2). Beschreibar sind die Zustandsänderungen unter dem Einfluss eines elektromagnetischen HF-Feldes (induced transitions), wenn die Frequenz v der Resonanzbedingung
h v = A£ = | E(nj) — E(n2) |	(7.57)
genügt. Solange das HF-Feld auf das Atom als „Störung“ einwirkt, befindet es sich in einem „gemischten“ Zustand, dessen Wellenfunktion eine Linearkombination der Funktionen für Anfangs- und Endzustand ist. Die quantenmechanische Störungsrechnung liefert eine Übergangswahrscheinlichkeit (transition probability) für den Übergang n1 -> n2, der für n2 > n1 mit der Absorption (absorptiori) eines Photons und für n2 < ni mit der Emission eines Photons verbunden ist. Diese induzierte Emission (stimulated emissiori) liefert ein Photon, das in Frequenz, Richtung und Polarisation genau zu den Photonen der einwirkenden Welle passt.
Die Wellenfunktionen des H-Atoms. Diese Wellenfunktionen gelten für ein einzelnes Elektron in dem Coulomb-Feld eines punktförmigen, einfach positiv geladenen H-Atomkerns. Mit anderen Werten für die felderzeugende Ladung gelten sie auch für die wasserstoff-ähnlichen Systeme der (Z — l)-fach ionisierten Atome (He+, Li2 + ... U91+). Sie werden für die Berechnung aller physikalischen Eigenschaften dieser Systeme benötigt.
Für Mehrelektronen-Systeme, bei denen das wirksame elektrische Feld vom Coulomb-Feld abweicht, ist die Berechnung der Wellenfunktionen jedoch selbst mit großem Aufwand nur näherungsweise möglich. Deshalb werden die Wellenfunktionen des H-Atoms als erste Näherung herangezogen und gegebenenfalls durch Korrekturen, die den Einfluss der anderen Elektronen berücksichtigen sollen, ergänzt. Qualitative Überlegungen zum chemischen Verhalten der Atome gehen immer von den Wellenfunktionen des H-Atoms aus.
Für jeden Energie-Eigenwert E(n) liefert die Schrödinger-Gleichung für das ungestörte H-Atom mehrere (energetisch entartete) Zustände, charakterisiert durch die Quantenzahlen n, f und die dazugehörenden Wellenfunktionen beschreiben stehende de-Broglie-Wellen des Atomelektrons. Bei einer stehenden Welle kann die Wellenfunktion in einen nur zeitabhängigen und einen nur ortsabhängigen Faktor
488	7 Einführung in die Atomphysik
zerlegt werden. Hier interessiert allein der ortsabhängige Teil, der sich wiederum in zwei Faktoren, eine Radialfunktion und eine Winkelfunktion, zerlegen lässt:
V(r,3, (?) = Rn/(r) Y,m(3, (?) .	(7.58)
Die Winkelfunktion ¥^(3, cp) ist so normiert, dass das Integral von | Y^J2 über alle Richtungen der Vollkugel gleich eins ist. Das Quadrat der (reellen) Radialfunktion, [Rn/,(r)]2, ist proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Atomelektrons im Volumenelement (d.vdrd") im Abstand r vom Ursprung. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Radialintervall dr im Abstand r zu finden, ist gegeben durch die radiale Dichtefunktion
D(r) = r2 [R/r)]2.	(7.59)
Der Faktor 4n, den man in Gl. (7.59) erwarten würde, steckt implizit in der üblichen Normierung der Radialfunktionen gemäß
fr2R2zdr=l.	(7.60)
o
Um beispielhaft zu zeigen, wie für wasserstoff-ähnliche Systeme die Kernladungszahl Z eingeht, sei die Formel für R10 angegeben:
R10 = (Z/a^2 2 exp(— Zr/«0).	(7.61)
Der erste Faktor nimmt mit Z zu, d. h. die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte steigt; aber der exponentielle Abfall mit wachsendem r wird auch stärker, und das heißt, die räumliche Verteilung des Elektrons um den Atomkern schrumpft auf ein kleineres Volumen.
Die Richtungsabhängigkeit (Anisotropie) der (Aufenthalts-)Wahrscheinlichkeitsdichte des Wasserstoff-Elektrons wird - immer bezogen auf eine mit z bezeichnete Quantisierungsrichtung - durch das Absolutquadrat der Winkelfunktion YZ/jJ2 beschrieben. Die räumliche Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt multipliziert mit der Elektronenladung — e den Erwartungswert der Ladungsdichte pQ, der für Messungen an vielen Teilchen in identischen Zuständen den Mittelwert ergibt. Deshalb identifiziert man diese Verteilung mit einer „räumlich verschmierten“ Elektronenladung und spricht von „Ladungs- oder Elektronenwolken“. Mit zunehmenden Quantenzahlen werden die Radial- und die Winkelfunktionen immer komplizierter; die Strukturen der Zustände des H-Atoms, die Formen ihrer „Elektronenwolken“ werden immer bizarrer.
7.3.4 Aufbau der Mehrelektronen-Atome
Pauli-Prinzip. Die Erfolge beim H-Atom führten bald zu Bemühungen, Mehrelektronen-Atome auf ähnliche Weise wenigstens qualitativ richtig zu beschreiben. Nimmt man an, dass die diskreten Zustände eines Atoms mit Z Elektronen denen des H-Atoms ungefähr ähnlich und durch die gleichen Quantenzahlen beschreibbar sind, dann erhebt sich die folgende Frage: Können alle Elektronen eines Atoms sich gleichzeitig im energetisch tiefsten Zustand (n = 1, f = 0) befinden? Wenn ja, wie lässt sich damit die Vielfalt im chemischen Verhalten der Atome und in ihren Linien
7.3 Struktur der Atome 489
Spektren erklären? Wenn nein, wieviele Elektronen können sich im selben Zustand befinden? Die theoretischen Bemühungen zum Verständnis des Periodensystems der Elemente führten zur richtigen Antwort: Wie Wolfgang Pauli 1924 erkannte und in seinem Ausschließungsprinzip (exclusion principle) formulierte, können nicht mehr als zwei Elektronen denselben, durch Hauptquantenzahl, Drehimpulsquantenzahl und magnetische Quantenzahl charakterisierten Zustand besetzen.
Existiert neben den drei verwendeten Quantenzahlen noch eine vierte, die nur zwei verschiedene Werte annehmen kann, dann verdoppelt sich die Zahl der durch Quantenzahlen unterscheidbaren Zustände; nach dem Pauli-Prinzip können diese Zustände dann maxmial mit nur einem Elektron besetzt werden. Nach Einführung des Elektronenspins konnte die vierte Quantenzahl zwanglos als die magnetische Quantenzahl des Spins (spin magnetic quantum number) ms gedeutet werden.
Periodensystem der Elemente. Das von den Chemikern erstellte System, das das unterschiedliche chemische Verhalten der Elemente repräsentiert, ist in Abb. 7.11 dargestellt. Die stabilen Elemente erstrecken sich vom Wasserstoff (Ordnungszahl
IA	Gruppe	0
Abb. 7.11 Periodensystem (periodic table) der Elemente (nach Abb. 4.2 in Bd. 4). Die Namen der Elemente und ihre relativen Atommassen sind in Tab. 17.10 angegeben. Die Elemente mit Z> 110 sind noch nicht benannt.
490	7 Einführung in die Atomphysik
Z = 1) bis zum Bismut (Z = 83); die auf der 4.5 • 109 Jahre alten Erde noch natürlich vorkommenden radioaktiven Elemente gehen bis zum Uran (Z = 92). Die Transurane werden künstlich erzeugt. Nur vom Plutonium (Z = 94) gibt es größere, in Brutreaktoren für Kernwaffen hergestellte Mengen von Plutonium-239, die mit einer Halbwertszeit von 24000 Jahren zerfallen. Mit steigender Ordnungszahl werden die herstellbaren Mengen der neuen Elemente kleiner und die Halbwertszeiten kürzer. Die Elemente mit Z = 107-112 wurden von der Gruppe um P. Armbruster, G. Münzenberg und S. Hoffmann am Schwerionenbeschleuniger der Gesellschaft für Schwerionenforschung (GSI) in Darmstadt entdeckt. Der Anfang 1996 identifizierte Atomkern mit Z = 112 (Atommasse T1T) hat eine Halbwertszeit von 280 jrs. Der Beweis für die gelungene Herstellung beruht auf dem Nachweis einer elementspezifischen a-Zerfallskette für zwei (!) (Z = 112)-Kerne.
Im Periodensystem sind die Elemente zeilenweise nach ihrer Ordnungszahl Z (= Zahl der Elektronen) geordnet. Entlang einer Zeile verändern sich die chemischen Eigenschaften, besonders stark bei den Hauptgruppenelementen, weniger stark bei den Übergangsmetallen und kaum bei den inneren Übergangsmetallen. Die unter-einanderstehenden Elemente verschiedener Zeilen sind im chemischen Verhalten ähnlich. Beispiele: Die chemisch aggressiven Alkalimetalle und Wasserstoff in der ersten Spalte (Gruppe IA in Abb. 7.11) und die chemisch inerten Edelgase in der letzten Spalte (Gruppe 0).
Ein Atom mit Z Elektronen müsste eigentlich als ein quantenmechanisches Gesamtsystem betrachtet werden, für den eine Wellenfunktion den Zustand aller Z Elektronen beschreibt. Solche Berechnungen sind nur näherungsweise numerisch
Tab. 7.2 Zur Terminologie von Schalen und Unterschalen der Elektronenhülle.
n	£	Maximalzahl der Elektronen	Bezeichnung der Schale	Unterschale
1	0	2	K	Is
2	0	2	L	2s
	1	6		2p
3	0	2	M	3s
	1	6		3p
	2	10		3d
4	0	2	N	4s
	1	6		4p
	2	10		4d
	3	14		4f
5	0	2	O	5s
	1	6		5p
	2	10		5d
	3	14		5f
	4	18		5g
7.3 Struktur der Atome 491
möglich, sehr aufwendig und wenig anschaulich. Eine Näherung, die die Wechselwirkung zwischen den Z Elektronen anfangs vernachlässigt, liefert wenigstens ein qualitatives Verständnis; sie wird als Unabhängige-Teilchen-Näherung (independent-particle approximation) bezeichnet.
Es ist üblich, die Zustände mit gleichem n zu „Schalen“ der Elektronenhülle zusammenzufassen und sie dann entsprechend der /-Werte in „Unterschalen“ zu unterteilen. Zur Kennzeichnung der Schalen mit n — 1, 2, 3, 4, 5 ... sind die Symbole K, L, M, N, O ... gebräuchlich. Die Symbolik für die Unterschalen besteht aus einer Zahl für den n-Wert und der (historisch bedingten) Buchstabenfolge s, p, d, f, g für / = 0, 1, 2, 3, 4. Die Tab. 7.2 gibt eine Übersicht.
Bei der Angabe der Elektronenkonfiguration eines Atoms verwendet man die Unterschalensymbole mit einer Hochzahl hinter dem Buchstaben, die die Zahl der Elektronen in dieser Unterschale angibt (die Hochzahl 1 wird oft weggelassen). Beispiel: ls22s2p63s für Natrium (Na) mit Z = 11. Bei Angabe der Elektronenkonfigurationen von Vielelektronen-Atomen fasst man die voll besetzten inneren Schalen in dem entsprechenden Edelgas-Symbol zusammen: [Xe]4P45d106s1 für Gold (Au).
Der Aufbau des Periodensystems lässt sich deuten, wenn man annimmt, dass die d- und f-Unterschalen später gefüllt werden, nämlich in der Reihenfolge von Tab. 7.3.
Tab. 7.3 Aufbau der Elektronenhüllen der Atome des Periodensystems der Elemente.
Zeile	aufgefüllte Unterschalen	Zahl der	Zeilen-
Elemente	Abschluss
1	Is2				2	He(Z = 2)
2	2s2			2p6	8	Ne(Z = 10)
3	3s2			3p6	8	AriZ- 18)
4	4s2		3d10	4p6	18	Kr(Z -36)
5	5s2		4d10	5p6	18	Xe(Z = 54)
6	6s2	4f14	5d10	6p6	32	Rn(Z -86)
7	7s2	5f14	6d10		26 +	(Z= 112) ...
Das späte Auffüllen der d- und f-Unterschalen ist gleichbedeutend mit der Feststellung, dass die d-Elektronen schwächer gebunden sind als die vor ihnen eingebauten s-Elektronen der nächsthöheren Schalen, die f-Elektronen schwächer gebunden sind als die s- und p-Elektronen der nächsten und die s-Elektronen der übernächsten Schalen. Offensichtlich werden die Energieunterschiede der Zustände mit gleichem n und verschiedenem / größer mit zunehmenden n-Werten, während die Energieabstände der Hauptschalen, wie nach Gl. (7.40) zu erwarten ist, kleiner werden.
Bedeutung der nicht-abgeschlossenen Schalen. Während die vollbesetzten („abgeschlossenen“) Schalen und Unterschalen, für die sich Bahn- und Spin-Drehimpulse und magnetische Momente zu null addieren, praktisch keinen Einfluss auf die Wechselwirkung mit benachbarten Atomen haben, ist die nicht-abgeschlossene äußere Schale von entscheidender Bedeutung. Nicht-abgeschlossene d- und f-Unterschalen
492	7 Einführung in die Atomphysik
haben geringeren Einfluss, weil die radialen Dichtefunktionen der d- und f-Zustände sich nicht so weit nach außen erstrecken wie die der s- und p-Zustände mit kleinerer Hauptquantenzahl.
Die Elektronen in der äußeren Schale befinden sich in s- oder p-Zuständen. In dem einen s-Zustand und den drei p-Zuständen können sich nach dem Pauli-Prinzip höchstens zwei Elektronen pro Zustand, also bis zu 8 Elektronen befinden. Die Elektronen in einfach besetzten Zuständen der äußeren Schale sind die Valenzelektronen, die für die deutlich unterschiedliche Chemie der acht Hauptgruppen (IA bis VIIA und 0 der Abb. 7.11) verantwortlich sind. - Die Auffüllung der d-Unterschalen liefert die chemisch weniger unterschiedlichen Nebengruppen der Übergangsmetalle (transition metals)-, die Auffüllung der f-Unterschalen liefert die chemisch kaum voneinander zu unterscheidenden inneren Übergangsmetalle: die nach dem Lanthan kommenden Lanthanoide [früher „Seltene Erden“ (rare-earth metals) genannt] und die nach dem Aktinium kommenden Aktinoide, zu denen auch Uran und die Transurane bis Z = 102 gehören.
Betrachtet man die physikalischen und chemischen Eigenschaften der Atome (lo-nisierungsenergie, chemische Valenzen) im Detail, dann folgt daraus, dass es beim Aufbau des Periodensystems auch Abweichungen vom Grobschema der Tab. 7.3 gibt. Hier ein Beispiel: Beim Kupfer Cu(Z=29) wäre zu erwarten, dass das neu hinzukommende Elektron in die 3d-Unterschale als deren vorletztes Elektron eingebaut wird; statt dessen tritt eine Umgruppierung (3d94s2 -> 3d104s) auf. Offensichtlich ist an dieser Stelle die vollständige Komplettierung der 3d-Unterschale mit Rückfall auf einen einfach besetzten 4s-Zustand energetisch günstiger als der doppelt besetzte 4s-Zustand mit einer Vakanz in der 3d-Unterschale. Solche Umgruppierungen treten an mehreren Stellen des Periodensystems auf, auch beim Silber Ag(Z = 47), das im Periodensystem direkt unter Kupfer steht. - Andererseits kann bei der Bildung einer chemischen Bindung die Umgruppierung wieder rückgängig gemacht werden, wenn das energetisch vorteilhaft ist; so tritt Kupfer z. B. nicht nur einwertig auf (wie in Cu2O), sondern auch zweiwertig (wie in CuSO4).
7.3.5 Orbitale, chemisches Verhalten
Atom-Orbitale. Das Orbital-Konzept wird in der Molekülphysik und der Chemie viel verwendet und ist für die Intuition sehr förderlich. Das Wort erinnert an die Elektronenbahnen des Planetenmodells. Der Begriff Atom-Orbital (AO, atomic orbital) bezieht sich auf die (Aufenthalts-)Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung des Atomelektrons in einem einfach besetzten Zustand. Aus der Überlagerung der Amplituden von zwei Atomorbitalen benachbarter Atome kann ein „bindendes“ Molekül-Orbital (MO, molecular orbital) für zwei Elektronen mit antiparallelen Spins entstehen, das eine chemische Bindung (chemical bond) darstellt.
Beim AO interessiert nicht die mit wachsender Hauptquantenzahl n immer komplizierter werdende radiale Verteilung, sondern allein die von n unabhängige Anisotropie. Man verwendet dreidimensionale Diagramme der Funktion | Y^, m|2 (oder Schnitte durch deren Symmetrieebenen), die graphisch für jede Richtung des Raumes den Zahlenwert repräsentieren, mit dem man die über alle Richtungen gemittelte radiale Dichtefunktion D(r) multiplizieren muss, um die radiale Dichtefunktion für
7.3 Struktur der Atome 493
diese Richtung zu erhalten. Oft werden diese Diagramme „stilisiert“ (oder auch freihändig gezeichnet), sodass sie nur qualitativ den Typ der Anisotropie angeben.
Die Störung durch die gegenseitige Coulomb-Abstoßung der Elektronen führt im Mehrelektronen-Atom dazu, dass zur Minimierung der Energie Zustände gebildet werden, in denen die Elektronen räumlich soweit wie möglich voneinander getrennt sind. Formal können die unter dem Einfluss dieser Störungen bevorzugten Zustände als (normierte) Linearkombination von Wellenfunktionen des ungestörten H-Atoms betrachtet werden, die ebenfalls Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, aber nun nicht mehr wohldefinierte diskrete Werte für die Quantenzahl m besitzen.
Die Isotropie des s-Zustandes wird weiterhin durch eine Kugelfläche beschrieben. Die drei p-Orbitale von Mehrelektronen-Atomen werden aus der Überlagerung von Zuständen mit verschiedenem m gebildet und haben die Form von Sanduhr-Gläsern, die zueinander senkrecht orientiert sind. Manchmal werden in die Orbitale Vorzeichen eingetragen. Sie sollen die Vorzeichenunterschiede der Amplituden in den verschiedenen Bereichen des Orbitals markieren, weil das für die Bildung von Molekülorbitalen wichtig ist.
Hund’sche Regel (Hund’s rule). In partiell besetzten Schalen werden nach dieser Regel zuerst alle energetisch gleichwertigen Zustände mit nur einem Elektronen besetzt, bevor ein Zustand mit zwei Elektronen gefüllt wird. Auf diese Weise haben die sich gegenseitig elektrostatisch abstoßenden Elektronen die größtmögliche räumliche Trennung.
Hybridisierung von Atomorbitalen. Manche Anisotropien, die beim chemischen Verhalten der verschiedenen Atome deutlich werden, lassen sich verstehen, wenn für die Zustände der Elektronen in der äußeren Schale nicht nur s- und p-Zustände, sondern auch Linearkombinationen davon betrachtet werden. Wie oben beschrieben ist die Aufgabe von m als „gute Quantenzahl“ notwendig, um für die sich gegenseitig abstoßenden Elektronen in den p-Unterschalen Orbitale mit optimaler räumlicher Trennung zu gewinnen. Noch größere Störungen, wie sie durch die Nachbaratome bei der Molekülbildung hinzukommen, erzwingen die Aufgabe von f als „gute Quantenzahl“, wenn die Energie, die zur Bildung der neuen atomaren Zustände aufgebracht werden muss, kleiner ist als der dadurch bewirkte Gewinn an chemischer Bindungsenergie. Die Kombination von Wellenfunktionen mit unterschiedlichen f-Werten heißt Hybridisierung (hybridization of wave functions).
Kohlenstoffatom als Beispiel. Im Grundzustand des C-Atoms befinden sich von den vier Elektronen in der äußeren Schale zwei Elektronen gepaart in dem energetisch etwas tiefer liegenden 2s-Zustand und zwei Elektronen ungepaart in zwei der energetisch höher liegenden 2p-Zustände. Mit diesen beiden ungepaarten 2p-Elektronen ist das C-Atom zweiwertig wie im Kohlenmonoxid (CO). Das um die kleine Energiedifferenz zwischen 2s-und 2p-Zustand angeregte C-Atom hat in dem einen s-Zustand und den drei p-Zuständen je ein ungepaartes Elektron und ist damit vierwertig. Die s- und p-Orbitale sind für die Bildung chemischer Bindungen nicht gleichwertig; das isotrope s-Orbital hat keine Vorzugsrichtungen und reicht weniger weit nach außen als die p-Orbitale entlang ihrer Vorzugsrichtung. Um für die Bildung verschiedener Moleküle die Bindungsform zu haben, die dem Energieminimum ent
494	7 Einführung in die Atomphysik
spricht, bildet das C-Atom Hybridorbitale aus Linearkombinationen des s-Orbitals mit einem, zwei oder allen drei p-Orbitalen. Mit den vier gleichwertigen sp3-Orbitalen wird das tetraedrische CH4-Molekül gebildet.
Molekül-Orbitale. Bei der Bildung der MOs überlagern sich die Amplituden der AOs. Nur bei Vorzeichengleichheit der beiden Atom-Orbitale im Überlappungsbereich kommt im Molekül-Orbital die für die Bindung erforderliche hohe Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zustande. Wenn die beiden Amplituden unterschiedliches Vorzeichen besitzen, dann ergibt sich im Überlappungsbereich eine bindungsverhindernde (antibindende) Knotenlinie. Auch bei Molekülorbitalen interessiert i. A. nur die Form der Anisotropie. Die Achsen haben keine Skalen. Oft sind die Diagramme stilisiert und stellen nur den Typ der Anisotropie dar. Die Abb. 7.12 zeigt Diagramme für die aus Überlagerung von s- und p-Atomorbitalen entstehenden bindenden Molekülorbitale. Wenn die MOs symmetrisch zur Kernverbindungslinie sind, spricht man von <7-Bindungen, andernfalls (Abb. 7.12d) von n-Bindungen. Letztere behindern die Drehung von nur einem der gebundenen Atome um die Verbindungslinie.
Mit den oben erwähnten Hybridorbitalen (und den hier nicht diskutierten Hybridisierungen mit d-Orbitalen) ergibt sich eine große Vielfalt möglicher MOs.
s s
Abb. 7.12 Verschiedene Möglichkeiten zur Bildung von bindenden Molekülorbitalen aus s-und p-Atomorbitalen. Die MOs der Fälle (a)-(c) sind symmetrisch zur Kernverbindungslinie (nach Bd. 4, Abb. 4.9).
Molekülbildung. Die Bindungsenergie für eine chemische Bindung zweier Atome liegen in der Größenordnung von einigen eV. Je nachdem, ob die Summe der Bindungsenergien der Ausgangsmoleküle (Edukte) kleiner oder größer ist als die der Endmoleküle (Produkte), verläuft die Reaktion exo- oder endotherm. Die thermi-
7.3 Struktur der Atome 495
sehe Bewegung der Stoßpartner liefert die Energie zum Aufbrechen von Bindungen der Edukte und übernimmt die bei Bildung der Produktmoleküle freiwerdende Energie.
Offensichtlich werden durch chemische Bindungen nur die äußeren Schalen der beteiligten Atome modifiziert, aber die Atome selbst nicht wesentlich verändert. Dieser Sachverhalt gestattet es, die Unabhängige-Teilchen-Näherung auch auf Moleküle anzuwenden und sie als Summe aneinander gebundener, aber voneinander unabhängiger Atome zu betrachten (IAM = independent atom model).
Es gibt zwei Haupttypen von Bindungen,
-	die kovalente Bindung (covalent bond), früher „homöopolare“ Bindung genannt, und
-	die ionische (elektrovalente) Bindung (ionic bond), früher „heteropolare“ Bindung genannt.
Diese Typen sind als Extremfälle zu betrachten. Die meisten Bindungen sind als Mischung beider Typen irgendwo dazwischen einzuordnen.
Daneben gibt es noch zwei Bindungsformen, die zu sehr großen Verbunden führen,
-	die metallische Bindung (metallic bond), die das Metall wie ein Riesenmolekül erscheinen lässt,
-	die Wasserstoffbrücken (hydrogen bridge bond, H-bridge), die über Kräfte zwischen elektrischen Dipolen den Zusammenhalt von Molekülclustern ermöglichen (mehr in Band 5, Kapitel 10 „Aufbau und Funktion biogener Moleküle“).
Valenz. Die Valenz (yalency), auch „Wertigkeit“, ist die Zahl der Einfachbindungen, die ein Atom mit anderen Atomen eingehen kann. Im einfachsten Fall ist die Wertigkeit gleich der Zahl der Valenzelektronen, d. h. der Zahl der s- und p-Elektronen in der äußeren Schale, oder - bei mehr als halber Besetzung der maximal 8 Plätze für Valenzelektronen - gleich der Zahl der Vakanzen.
In der Chemie wird eine Einfachbindung zwischen zwei Atomen durch ein Elektronenpaar, das zu beiden Atomen gehört, beschrieben (oft in Strukturformeln durch einen Doppelpunkt zwischen den beiden Atomen gekennzeichnet). Die chemisch aktiven Valenzelektronen des Atoms befinden sich ungepaart in s-, p- oder Hybrid-Orbitalen der äußeren Schale. Durch Überlagerung der beiden Atomorbitale (mit gleichen Vorzeichen der Amplituden) entsteht ein bindendes Molekülorbital, das von beiden Elektronen (mit entgegengesetzten Spins) besetzt wird. Das bindende MO (bzw. die „Wolke“ des bindenden Elektronenpaares) liegt bei identischen Atomen symmetrisch zur Mittelebene; das ist der Prototyp der kovalenten Bindung: Beispiel H2.
Bei Bindung zwischen ungleichen Atomen kann das Molekülorbital durch elektrische Kräfte so verformt werden, dass es mehr zu einem der beiden Atome gehört. Dadurch erhält das eine Atom Ähnlichkeit mit einem negativen Ion, das andere mit einem positiven Ion, und die elektrostatische Anziehung wird ein Teil der Bindungskraft. Das ist der Übergang zur ionischen Bindung: Beispiel NaCl. In Wirklichkeit ist auch die ionische Bindung des NaCl nicht der reine Extremfall (Na+)(C1~), denn das Elektron des Natriumatoms geht nicht vollständig auf das Chloratom über. Die Schwerpunkte von positiver und negativer lonenladung sind
496
7 Einführung in die Atomphysik
nur um etwa 75% des Kernabstandes voneinander entfernt; das belegen Messungen des Dipolmomentes von NaCl.
Bei Molekülen mit mehreren kovalent-ionischen Bindungen treten elektrostatische Wechselwirkungen zwischen den Bindungen auf, die den Molekülbau verändern können: Die Atome Sauerstoff (O) und Stickstoff (N) haben zwei bzw. drei ungepaarte Elektronen in p-Zuständen. Bei Verbindungen mit Wasserstoff (H), das ein Elektron im s-Zustand besitzt, tritt in den bindenden sp-Orbitalen Ladungsverschiebung auf; die Elektronenpaare verlagern sich hin zu dem O- bzw. N-Atom. Dadurch erhalten die H-Atome positive Ladung und stoßen sich gegenseitig ab. Ohne elektrostatische Wechselwirkung wäre der Winkel zwischen den (H-O)-Kernverbindungs-achsen im H2O wie auch die Winkel zwischen den (H-N)-Kernverbindungsachsen im NH3 gleich 90°, weil die beteiligten p-Orbitale zueinander senkrecht orientiert sind. Durch Abstoßung der positiven Ladungen werden die Winkel aufgeweitet: im H2O-Molekül von 90 auf 104.5°, im NH3-Molekül von 90 auf 107.3°.
Intermolekulare Wechselwirkungen. Auch wenn alle Valenzen „abgesättigt“ sind, können Atome und Moleküle noch Kräfte aufeinander ausüben. Diese intermolekularen Kräfte sind in großen Abständen vernachlässigbar klein, mit kleiner werdenden Abständen werden die anziehenden Kräfte größer, bei Kontakt werden starke Abstoßungskräfte wirksam, die eine Komprimierung des Eigenvolumens verhindern. Die Abstoßungskräfte resultieren aus dem Pauli-Verbot, das ein Überlappen von voll besetzten Orbitalen verbietet. Die Anziehungskräfte (van-der-Waals-Kräfte, vdW forces) können als Wechselwirkung zwischen einem momentan existierenden elektrischen Dipolmoment in dem einem Molekül und einem induzierten Dipolmoment im anderen Molekül gedeutet und durch ein (l/r6)-Potential beschrieben werden (vgl. Abschn. 2.3.3).
Weiterführende Darstellungen: Band 4 (Bestandteile der Materie), Kapitel 1 (Atome) und 2 (Moleküle - Bindungen und Reaktionen).
7.4 Quantenstatistik
Die Quantenstatistik (quantum statistics) heißt so, weil sie ein Teil der Quantentheorie ist. Sie bezieht sich nicht nur auf Strahlungsquanten (quanta of radiatiori), sondern auch auf Teilchen (particles).
Der wichtigste Unterschied zwischen Teilchen und Quanten ist die Erhaltung der Teilchenzahl; im Gegensatz hierzu ist die Zahl der Quanten in einem abgeschlossenen System keine Erhaltungsgröße. Im atomaren Elektromagnetismus spielen die folgenden Teilchen und Quanten eine Rolle:
-	Die Elektronen sind echte Elementarteilchen.
-	Die Atomkerne sind zusammengesetzte Teilchen, die im Rahmen der Atomphysik als stabile „Quasi-Elementarteilchen“ betrachtet werden können. Im Rahmen der Kernphysik sind die Atomkerne Verbindungen von Protonen und Neutronen, die wiederum nach Erkenntnissen der Teilchenphysik als Verbindungen von Quarks
7.4 Quantenstatistik 497
(Bd. 4, Kap. 5) aufzufassen sind. Letztere sind vermutlich echte Elementarteilchen, obgleich sie einzeln nicht auftreten.
-	Die Photonen sind die Quanten der elektromagnetischen Wechselwirkung.
Die Tatsache, dass Photonen keine Masse besitzen und sich deshalb immer mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, während Elektronen und Atomkerne Masse besitzen, ist für die Unterscheidung von Teilchen und Quanten nicht nützlich, denn in der Kern-und Teilchenphysik gibt es auch Elementarteilchen (drei Sorten von Neutrinos), die lange als masselos angenommen wurden, aber wahrscheinlich doch Masse besitzen, sowie massebehaftete Wechselwirkungsquanten (z. B. die Pionen).
1
Alle echten Elementarteilchen haben den Spin - h, aber zusammengesetzte Teil-
chen können auch andere, ganz- oder halbzahlige Spins besitzen. Alle Wechselwirkungsquanten haben ganzzahlige Spins. Das Pauli-Prinzip, das die Statistik wesentlich verändert, gilt nur für Teilchen mit halbzahligen Spins; dieser zuerst empirisch gefundene Sachverhalt wird in der Dirac-Theorie begründet.
7.4.1 Statistische Behandlung identischer Elemente
Teilchen oder Quanten einer Sorte sind prinzipiell voneinander nicht zu unterscheiden.
Die klassische Maxwell-Boltzmann-Statistik wurde zu einer Zeit entwickelt, in der die Bedeutung der prinzipiellen Nichtunterscheidbarkeit noch nicht erkannt worden war. Man verwendete Abzählverfahren für N „nummerierbare“ Elemente und korrigierte die so implizierte Unterscheidbarkeit, indem man die ermittelte Zahl möglicher Anordnungen der Elemente durch N\ (= Zahl der Permutationen der N Elemente) teilte.
Ein zur Herleitung des statistischen Verteilungsgesetzes geeignetes Abzählverfahren, das die Nichtunterscheidbarkeit von vornherein berücksichtigt, wurde erst 1924 von S.N. Bose gefunden. Es gibt zwei Quantenstatistiken:
1. Die Bose-Einstein-Statistik gilt für Teilchen und Quanten mit ganzzahligem Spin (Bosonen), die dem Pauli-Prinzip nicht unterliegen. Die Erhaltung der Teilchenzahl ist bei den Teilchen zu berücksichtigen, aber entfällt bei den Quanten.
2. Die Fermi-Dirac-Statistik gilt für Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen), die dem Pauli-Prinzip unterliegen.
Der wesentliche Unterschied zwischen der klassischen und den beiden Quantenstatistiken lässt sich an einem ganz einfachen Beispiel demonstrieren: der Aufteilung von zwei Teilchen auf drei „Zellen“, die Zustände gleicher Energie repräsentieren und bei Anwendung des Pauli-Verbots mit höchstens einem Teilchen besetzt werden können. Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeit einer Zustandsbesetzung gegeben durch die Zahl der verschiedenen Realisierungsmöglichkeiten. Für das gewählte Beispiel lautet die Frage, auf wie viele verschiedene Weisen lassen sich zwei Teilchen auf drei Zellen verteilen?
Bei unterscheidbaren Teilchen ergeben sich nach Tab. 7.4 neun verschiedene Möglichkeiten, bei nicht-unterscheidbaren Teilchen sechs oder nur drei, je nachdem, ob
498
7 Einführung in die Atomphysik
Tab. 7.4 Verteilung von zwei Teilchen auf drei Zellen.
Teilchen unterscheidbar			Teilchen nicht-unterscheidbar ohne Pauli-Verbot			mit Pauli-Verbot	
Zelle: 1	2	3	1	2	3	1	2	3
V*			O O			Doppelbesetzung	
	V*			O O		verboten	
		V*			o o		
V	4		O	o		* *	
4	V						
V		4	O		o	*	*
4		V					
	V	*		o	o	*	*
	4	V					
die Teilchenzahl pro Zelle unbegrenzt (Bose-Statistik) oder nach dem Pauli-Verbot auf 1 begrenzt (Fermi-Statistik) ist. Die in der ersten Spalte gezeigten neun Möglichkeiten sind aber noch nicht beispielhaft für die klassische Statistik, denn es fehlt noch die Korrektur, die darin besteht, dass man die Zahl der Möglichkeiten durch die Zahl der Teilchen-Permutationen (TV! für TV Teilchen) teilt. Für unser einfaches Beispiel ist TV = 2 und die Zahl der Permutationen gleich 2! = 2. Als korrigierten Wert für die Zahl der Möglichkeiten ergibt sich für die klassische Behandlung nichtunterscheidbarer Teilchen (Boltzmann-Statistik) also der Wert 9/2 = 4.5. Das liegt genau zwischen den Werten für Bose- und Fermi-Statistik. Die „falsche“ Boltzmann-Statistik erweist sich als gute Näherung, wenn der Unterschied der beiden „richtigen“ Quantenstatistiken verschwindend klein wird.
Wie in Lehrbüchern der statistischen Mechanik hergeleitet wird, ergeben sich für die drei Statistiken Verteilungsfunktionen, die sich zusammen darstellen lassen durch
N, = --------------------;	(7.62)
exp[a + EJ(kT)\ + ö
TVj ist die Zahl der Teilchen/Quanten mit Energie E>, ist die Zahl der zur Energie E{ gehörenden (entarteten) Zustände. Für Quanten ist a = 0, für Teilchen ergibt sich der Wert von a durch die Normierung auf die Gesamtteilchenzahl TV:
£. At = TV = konstant.	(7.63)
Es gilt
ö = — 1 für die Bose-(Einstein-)Statistik,
ö = +1 für die Fermi-(Dirac-)Statistik,
ö = 0 für die (Maxwell-)Boltzmann-Statistik.
7.4 Quantenstatistik 499
Wenn die Resultate der Quantenstatistik von denen der klassischen Statistik abweichen, spricht man von Entartung (degeneracy), obwohl es sich um quantentheoretische „Normalfälle“ handelt. Die Abweichungen werden klein in „verdünnten Systemen“, die sich dadurch auszeichnen, dass N-Jg-, für alle Energien E. viel kleiner als eins ist. Im Grenzfall „stark verdünnter Systeme“ gehen die Quantenstatistiken in die klassische Statistik über, weil dann der Summand ö = +1 im Nenner von Gl. (7.62) vernachlässigt werden kann.
Quantenstatistik für Gase. Zur Beschreibung der Kinematik von Gasteilchen verwendet man den sechsdimensionalen Phasenraum mit den Ortskoordinaten x, y, z und den Impulskoordinaten px, p pz. Der Augenblickswert von Ort und Impuls eines Gasteilchens wird durch einen Punkt im Phasenraum repräsentiert. Zwei Gasteilchen sind voneinander zu unterscheiden, wenn es möglich ist, ihre Wege im Phasenraum eindeutig zu verfolgen. Solange sie sich nicht „zu nahe“ kommen, sind auch nicht-unterscheidbare Teilchen identifizierbar, genauso wie zwei getrennt lebende eineiige Zwillinge. Nur wenn zwei identische Gasteilchen sich so nahe kommen, dass ihre Unterscheidung aufgrund der Unbestimmtheitsrelation prinzipiell unmöglich wird, muss die Quantenstatistik das entsprechend berücksichtigen. Die Unbestimmtheiten
Ax \px x h,
\y &p x h,
\z Apz x h	(7-64)
führen zum Volumen h3 für eine Phasenraumzelle; innerhalb dieses Volumens sind die Gasteilchen tatsächlich nicht mehr unterscheidbar. Dieses Zellenvolumen ist die entscheidende Größe für die Zahl der Zustände in der Quantenstatistik der Gase.
Das für diskrete Zustände formulierte Verteilungsgesetz (Gl. (7.62)) wird durch folgende Umformungen an die kontinuierlich verteilten Zustände der Gasteilchen im Phasenraum angepasst. Für Gase im freien Raum genügt es, die Verteilung im Impulsraum zu betrachten. Dazu werden folgende Umformungen vorgenommen:
Ni -> dV,
gi -> gP dp, 1
E. -> E = - p2!m für m > 0, v < c,
— c p für m — 0.
(7.65)
Die Zahl der Zustände im Impulsintervall d/? ist gegeben durch
gp dp — 4n p2 dp V f/h3.	(7.66)
Das differentielle Volumen im Impulsraum, 4n p2 dp, entspricht einer Kugelschale mit dem Radius p und der Dicke d/?; V ist das dem Gas zur Verfügung stehende Volumen im Ortsraum, f ist ein Faktor für die Berücksichtigung von Spin oder Polarisation. Das führt zum Verteilungsgesetz für Gase in folgender Form:
4n Vfp2dp dN =
h3 {exp[a + E/(kT)] + ö}

500	7 Einführung in die Atomphysik
7.4.2 Photonen der thermischen Strahlung
Mit einer Quantenstatistik, die die prinzipielle Nichtunterscheidbarkeit der Quanten berücksichtigt, konnte Bose 1924 zeigen, dass das Planck’sche Strahlungsgesetz aus der Statistik für die Hohlraum-Photonen folgt.
Wir betrachten die Photonen der Schwarzen Strahlung (black-body radiatiori) in einem Hohlraum als ein Bosonengas: Uns interessiert im Augenblick nicht die aus der Öffnung des Hohlraums entweichende elektromagnetische Strahlung, sondern die Energieverteilung der Photonen im Hohlraum, wie sie sich im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden auf der Temperatur T einstellt.
In Gl. (7.67) nehmen wir folgende Spezifizierungen vor:
a = 0, weil die Zahl der Photonen keine Erhaltungsgröße ist;
ö = — 1, weil Photonen den Spin 1 haben und damit der Bose-Statistik gehorchen; f — 2, weil das Photon zwei orthogonale Polarisationszustände besitzt.
Für das masselose Photon gilt
p — E/c — hv/c mit
dp = dE/c = (h/c) dv.	(7.68)
Das ergibt
8n Kv2dv
dN = —-------------------7.	(7.69)
c3 {exp [Äv/(kZ)] — 1}
Von der differentiellen Photonenzahl dTV, verknüpft nach Gl. (7.69) mit dem Frequenzdifferential dv, gehen wir über auf die differentielle Photonenzahldichte dn — dN/ V. Multipliziert mit der Photonenenergie hv wird daraus die differentielle Energiedichte de (in J m2). Die spektrale Verteilung der Energiedichte de/dv ergibt sich aus der rechten Seite von Gl. (7.69), wenn man diese durch V teilt, mit hv multipliziert und durch dv teilt:
de	8m A v3
— =----------------------.	(7.70)
dv c3 {exp [Äv/(kZ)] — 1}
Um von dieser Gleichung auf das Planck’sche Strahlungsgesetz für die spektrale Strahldichte des Schwarzen Körpers in der Form von Gl. (6.10) zu kommen, muss man durch 4n teilen und mit c multiplizieren, - ersteres, um vom Vollraum (4n sr) auf den Raumwinkel 1 sr überzugehen, - letzteres, um von der Frequenzverteilung der räumlichen Energiedichte l'Jm 3 Hz ') auf die Frequenzverteilung der Strah-lungsleistung/Fläche (Wm2 Hz ') zu kommen. Schließlich muss man mit v = c/A und dv = ( —)(c/22)d2 die Spektralvariable wechseln.
Atome und Photonen im thermischen Gleichgewicht. Wir betrachten ein atomares Gas, dessen Energieverteilung durch die Boltzmann-Statistik beschrieben wird, weil es selbst bei hohen Gasdichten ein hinreichend verdünntes System ist. Die Besetzungszahlen N1 und 7V2 zweier Energieniveaus mit den Energien E1 und E2 > E1 und
7.4 Quantenstatistik
501
den statistischen Gewichten (= Zahl der entarteten Zustände) g1 und g2 stehen nach Gl. (7.62) (mit 8 = 0) im Verhältnis
N2/N1 = (g2/gj) exp[-&E/(kT)]
mit
A£ = E2 - Ei > 0.	(7.71)
Im thermischen Gleichgewicht müssen sich Absorptions- und Emissionsvorgänge kompensieren. Die Absorptionsrate ist proportional zu (d£/dv)7Vr Setzt man für die Emission nur die spontane Emission mit einer Emissionsrate proportional zu N2 an, dann ergibt sich ein Widerspruch zum Strahlungsgesetz von Gl. (7.70)1
1917 zeigte A. Einstein, dass erst durch die Hinzunahme der damals noch unbekannten induzierten Emission (Abb. 7.13) Übereinstimmung mit dem Strahlungsgesetz erhalten wird. Für die zur spektralen Energiedichte proportionalen Übergänge führte er die Koeffizienten Bl2 (Absorption) und B2l (induzierte Emission) ein, für die spontane Emission den Koeffizienten ^421. Damit ergibt sich für das Gleichgewicht der Übergangsraten die Beziehung
Bi2 (de/dv) TVj = ^421 N2 + B2i (de/dv) N2,	(7.72)
und mit dem Boltzmann-Faktor für das Verhältnis der Besetzungszahlen im thermischen Gleichgewicht folgt
de/dv = A21/[B12 (gjg2) e^-ß21].	(7.73)
Ein Vergleich mit Gl. (7.70) ergibt schließlich
gi ß12 = g2 ß21	(7.74)
und
t421/^21 = (8rt h/c3) v3.	(7.75)
Die Koeffizienten B21 und B12 sind unabhängig von der Frequenz. Der Koeffizient d2| ist proportional zur dritten Potenz der Frequenz v bzw. der Energiedifferenz AE.
Auf diese Weise wies Einstein schon 1917 nach, dass es den Prozess der induzierten Emission geben muss. Für seine Arbeiten zur Quantentheorie des Lichtes wurde
spontane	Absorption	induzierte
Emission
Emission
Abb. 7.13 Übergänge zwischen zwei Energieniveaus (schematisch). Die spontane Emission erfolgt in alle Richtungen; bei der induzierten Emission haben induzierendes und emittiertes Photon dieselbe Richtung.
502	7 Einführung in die Atomphysik
A. Einstein 1921 der Nobelpreis verliehen. Als erkannt wurde, dass die Quantenmechanik zwar die Ratenberechnung von Absorption und induzierter Emission gestattet, aber keine Information über die spontane Emissionsrate liefert, ermöglichte Gl. (7.75) die Berechnung von zl21.
Nach heutigem Verständnis ist die spontane Emission eigentlich auch eine „induzierte“ Emission, verursacht durch Fluktuationen des Vakuums, die zwar für die elektrische Feldstärke den Mittelwert null ergeben, aber quadratisch gemittelt einen endlichen Wert liefern. Diese Eigenschaft des Vakuums ist in der Quantenmechanik noch nicht berücksichtigt; das geschieht erst in der Quanten-Elektrodynamik (QED), die in den 1940er Jahren entwickelt wurde, steckt aber schon implizit im Planck’sehen Strahlungsgesetz von 1900.
MASER, LASER. Der Prozess der induzierten Emission verstärkt die einfallende elektromagnetische Welle kohärent (vgl. Abschn. 6.1.3): die Welle des emittierten Photons hat die gleiche Ausbreitungsrichtung, Phase und Polarisation wie die einfallende. Aber nur für den Fall, dass induzierte Emission häufiger ist als Absorption, findet netto eine Strahlungsverstärkung statt. Die Bedingung dafür lautet:
B2l N2 > B12 N, = B21 fe/gj N1 oder
N2/g2>N1/g1.	(7.76)
Solch eine Besetzungsinversion (population Inversion) ist aber niemals im thermischen Gleichgewicht zu erhalten. Nach Gl. (7.71) ist Nfg2 — 0 für T — 0 und steigt mit der Temperatur an, um für T -> oo dem Grenzwert Nfg2 — NJgi zuzustreben. Besetzungsinversionen lassen sich nur mithilfe technischer Tricks und Umgehung des thermischen Strahlungsgleichgewichtes erreichen. Das ist die Grundidee von Maser (= microwave amplification by stimulated emission of radiatiori) und Laser (= light
Energieniveaus
Abb. 7.14 He-Ne-Laser: Stoßanregung des He in einen langlebigen („metastabilen“) Zustand und Energie-Transfer in Atomstößen ergeben Besetzungsinversion im oberen Laser-Niveau. Spontane Emission und Wandstöße entleeren das untere Laser-Niveau.
7.4 Quantenstatistik
503
amplification by stimulated emission of radiatiori). Die Abb. 7.14 beschreibt schematisch die Prozesse, die im bekannten Helium-Neon-Laser (rotes Licht, 2 = 632.8 nm) mitwirken. Für Pionierarbeiten zum Maser und Laser erhielt C.H. Townes 1964 den Nobelpreis; für wesentliche Beiträge zur Laser-Spektroskopie wurden Nobelpreise 1981 an A.L. Schawlow und N. Bloembergen und 2005 an J.L. Hall und T. W. Hänsch verliehen.
Wie Gl. (7.75) zeigt, steigt die spontane Emission, die der Herstellung von Besetzungsinversionen entgegenwirkt, mit v3 an. Deshalb begann die technische Entwicklung der kohärenten Strahlungsverstärker und Strahlungsquellen beim Maser. Die Laserentwicklung begann im Infraroten und erschloss dann allmählich den sichtbaren Spektralbereich. Zu noch höheren Frequenzen gelangt man über Frequenz-Verdopplung bzw. Vervielfachung mithilfe von nichtlinearen optischen Komponenten.
Weiterführende Darstellungen: Band 3 (Optik), Kapitel 8 (Erzeugung von kohärentem Licht - LASER) und Kapitel 9 (Nichtlineare Optik).
7.4.3 Bose-Einstein-Kondensation
Nachdem S.N. Bose 1924 die Quantenstatistik ohne Teilchenzahl-Erhaltung erfolgreich auf die Photonen der thermischen Strahlung angewendet hatte, erweiterte Einstein 1924/25 die Statistik auf ein Bosonengas mit Teilchenzahl-Erhaltung. Er fand eine markante Abweichung vom Verhalten eines idealen Gases nach der klassischen Boltzmann-Statistik: Mit zunehmender Teilchendichte und abnehmender Temperatur besetzen immer mehr Teilchen den energetisch tiefsten Zustand. Das ist der Zustand mit der Energie E — p2/(2ni) = 0. Für die Beschreibung des Gases im Phasenraum bedeutet diese Entartung, dass sich immer mehr Teilchen bei px— py — pz — 0 versammeln. Deshalb spricht man auch von einer Kondensation im Impulsraum.
Man kann vermuten, dass ein Ensemble von vielen Gasteilchen, die sich alle im selben Quantenzustand mit der Energie null befinden, ein deutlich anderes physikalisches Verhalten zeigt als der Rest der Gasteilchen, die sich mit endlicher Energie über viele verschiedene Zustände verteilen. Als Kandidaten für Bose-Einstein-Kon-densation kommen Teilchen mit ganzzahligem Spin in Betracht, die sich auch bei sehr hohen Dichten und sehr tiefen Temperaturen noch wie ein ideales Bosonengas verhalten. Leider tritt bei allen realen Gasen wegen der interatomaren Wechselwirkung schon vorher Kondensation auf. Das gilt auch für Helium, das als leichtestes Edelgas ein „fast ideales“ Gas darstellt: Für ein ideales Bosonengas der Masse des Heliums sollte theoretisch die Bose-Einstein-Kondensation bei 3.2 K ein treten, nicht weit entfernt vom Siedepunkt des realen Heliums bei 4.2 K.
Die Superfluidität des Heliums (Bd. 5, Kap. 5), die 1913 entdeckt und besonders intensiv zwischen 1936 und 1939 erforscht wurde, ist ein ungewöhnliches Phänomen: Flüssiges Helium oberhalb 2.18 K (genannt He I) verhält sich wie eine „normale“ Flüssigkeit, unterhalb 2.18 K (genannt He II) wie eine Mischung aus einer normalen und einer superfluiden Komponente (Zweiflüssigkeiten-Modell, L. Tisza 1938). F. London erkannte 1938, dass die Superfluidität ein Quantenphänomen ist und als Bose-Einstein-Kondensation - überlagert, aber nicht unterdrückt von interatomaren Wechselwirkungen in der Flüssigkeit - betrachtet werden kann.
504	7 Einführung in die Atomphysik
Seit Jahrzehnten wird versucht, Bose-Einstein-Kondensation in der Gasphase zu erreichen. Um die „normale“ Kondensation zu verhindern, verwendet man Ein-Elektronen-Atome mit ausgerichteten („polarisierten“) Spins der Valenzelektronen, die wegen des Pauli-Prinzips keine bindenden Orbitale bilden können. Die Valenzelektronen (Spin = 1/2) sind Fermionen; zusammen mit einem Atomkern, der einen halbzahligen Kernspin besitzt, sind die Atome jedoch Bosonen mit ganzzahligem Spin. Mit raffinierten technischen Methoden zur Lokalisierung der spin-polarisierten Gasatome in einem kleinen Volumen (atom trapping) und zur Erzielung immer größerer Dichten und immer kleinerer Temperaturen wurde schließlich 1995 das Ziel erreicht: Eric Cornell und Carl Wieman (University of Colorado) gelang erstmalig die Bose-Einstein-Kondensation in der Gasphase mit Rubidium-87 (Kernspin 3/2); vier Monate später konnte W. Ketterle am MIT mit zwei Natrium-BE-Kondensaten Interferenz erzeugen und BE-kondensierte Materie extrahieren.
7.4.4 Leitungselektronen der Metalle
Metalle sind Festkörper aus Atomen eines Elementes von der linken Seite des Periodensystems. Typisch sind z. B. Natrium, Kupfer und Silber mit einem s-Elektron in der äußeren Schale. Die Atome sind im Festkörper so dicht gepackt, dass sich die Orbitale der Valenzelektronen benachbarter Atome überlappen. Die Valenzelektronen können sich im Metall (fast) frei bewegen. Die elektrische Kraft zwischen den positiven Ladungen der im Kristall fest eingebauten Ionen und den negativen Ladungen der beweglichen Elektronen erzwingt überall Ladungsneutralität und hindert die Elektronen am Austritt an der Metalloberfläche.
Hier soll nur der Idealfall, dass die Leitungselektronen im Metall völlig frei beweglich sind, betrachtet werden. Wir behandeln die Elektronen wie ein Fermionengas in einem durch das Metallvolumen V gegebenen Behälter. Ausgehend von Gl. (7.62) nehmen wir folgende Umformungen vor:
1 Fermi-Statistik wegen Spin -
a—— Ep/(kT) (Ep — Fermi-Energie).
Das ergibt die Verteilungsfunktion
ö= +1
gi exp[(£'i-£'F)/(kT)]+1’
die für EP |> kT fast eine Treppenfunktion ist; im Bereich 0 < E{ < EP ist sie gleich eins und für Ei > EP gleich null. Die Fermi-Energie übernimmt die Rolle der Teilchenzahl-Normierungskonstante a, erhält aber darüber hinaus eine sehr anschauliche Bedeutung als Grenze der besetzten Zustände (Abb. 7.15). Wenn man statt der Fermi-Energie die Fermi-Temperatur 0F = EP/k betrachtet, erkennt man, dass diese Temperatur für alle Metalle bei einigen 10000 K liegt. Das heißt, unterhalb der Schmelztemperatur gilt für jedes Metall T < 0F, und die Abweichungen von der Fermi-Verteilung für T — 0 sind gering. Nun schließen wir an die Funktion für Gasteilchen (Gl. (7.67)) an und substituieren Folgendes:
7.4 Quantenstatistik
505
Abb. 7.15 Besetzungswahrscheinlichkeit der zur Energie Ei gehörenden Zustände nach der Fermi-Statistik für verschiedene Verhältnisse von Temperatur zu Fermi-Temperatur.
f = 2 zur Berücksichtigung der beiden Spinrichtungen,
p — (2m E)1'2 (m — Elektronenmasse, E — Elektronenenergie), dp = m (2m E)-1/2 dE.
Der Übergang von der Teilchenzahl TV zur Elektronenzahl-Dichte ne erfordert die Umformung dnc = dTV/ V.
Als Energieverteilung der Elektronenzahl-Dichte wird die Funktion dnJdE definiert, die sich aus Gl. (7.67) und den obigen Umformungen wie folgt ergibt:
d?7„	81/2 7t m3'2	E1'2
— =	—-----------------------------.	(7.78)
dE h3 exp[(£ — EF)/(kT)] +1
Diese Funktion unterscheidet sich von der Verteilungsfunktion (Gl. (7.77)) vor allem durch die zusätzliche Energieabhängigkeit, die durch den Faktor Elr2 hinzukommt.
Für den Fall T — 0 lässt sich Gl. (7.78) leicht integrieren und damit die Fermi-Energie in Beziehung setzen zur Elektronenzahl-Dichte ne. Es ergibt sich
EF(T = 0) = (A/Sm) (3» ./tt)2'3.	(7.79)
Die Fermi-Energie wird üblicherweise in eV angegeben. Für das einwertige Kupfer, das pro Atom ein Elektron an das Leitungselektronengas abgibt, ist EF — 7.0 eV; die Fermi-Temperatur 0F = EJk ist für Kupfer 82 000 K.
Eine genauere Rechnung zeigt, dass die explizite Temperaturabhängigkeit der Fermi-Energie für T < 0F vernachlässigbar klein ist. Tatsächlich wird eine viel größere Änderung von EP dadurch bewirkt, dass sich die Elektronendichte ne wegen der thermischen Ausdehung des Metallgitters verringert.
Solange T < 0F ist, erhöht sich die Energiedichte der Leitungselektronen nur ganz wenig mit steigender Temperatur. Das ist der Grund, weshalb die Leitungselektronen einen vernachlässigbar kleinen Beitrag zur spezifischen Wärme der Metalle leisten. Statt einer Molwärme von Cv = 3 /T/2 (R — Gaskonstante), wie es einem klassischen idealen Gas bei konstantem Volumen entspricht, ergibt die Fermi-Statistik für die Kupfer-Leitungselektronen bei Zimmertemperatur nur etwa 1 % des klassischen Wertes.
506	7 Einführung in die Atomphysik
7.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 7
7.5.1 Sachthemen
Chemische Elemente - Periodensystem. Chemicool was created by David D. Hsu. of the Massachusetts Institute of Technology in 1996. Chemicool went online in 1996 and since then has been trying to help out anyone involved in chemistry: http:// www.chemicool.com/ =
Link 7-1 Anklicken eines Elementes im Periodensystem führt zu umfangreicher Information darüber.
Ergänzung: Los Alamos National Laboratory: http://www.lanl.gov => About LAN - Organization => Directorates, Divisions, Programs => Chemistry => (links unten) C Division Website => Periodic Table =
Link 7-2 Anklicken der neun kreisförmigen Bilder führt zu Abschnitten (1) What is the Periodic Table of the Elements? (2) Chemistry in a Nutshell, (3) How to Use the Periodic Table, (4) Elements with their Symbol and Atomic Number in alpha-betical order, ... Siehe auch unten => Downloads (of Periodic Table)
Atomspektroskopie. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 7-3
Atomphysik. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 7-4
Franck-Hertz-Experiment. Aus HyperPhysics (s. Abschn. 1.4) => Quantum Physics => Applications => Pivotal experiments in quantum physics => Franck-Hertz expe-riment =
Link 7-5 Hier sind mehrere Seiten übereinander angeordnet (scroll down).
Quantenmechanik. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 7-6
Ergänzung: Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Quantum Physics (Show Only This Frame) =
Link 7-7
Ergänzung: Stanford Linear Accelerator Center (SLAC): http://www.slac.stan-ford.edu => SLAC Periodical „Beam Line“ (retiered): http://www.slac.edu/pubs/ beamline => Index of Issues => C Carson, Cathryn 30-2 =
Link 7-8 „The Origins of the Quantum Theory“
Stern-Gerlach-Experiment. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4) => Quantum Physics => Applications in quantum physics => Stern-Gerlach-Experiment =
Link 7-9 (scroll down)
Davisson-Germer-Experiment. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4) => Quantum Physics => Wave-Particle Duality => Davisson and Germer (Show This Frame Only) = Link 7-10 Weiter mit => More detail on Davisson-Germer Experiment
7.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 7
507
Chemische Bindungen. Info-Zentrum Chemie/Biologie der ETH Zürich, Schweiz: http://www.infochembio.ethz.ch/ => Links => Chemie und Biologie im WWW => Physikalische Chemie => Chemische Bindungen =
Link 7-11 Weiter z. B. mit => Atombindung oder => (unten) Types of Weak Non-covalent Bonds
Atom- und Molekül-Orbitale. The University of Sheffield, UK: ttp://www.shef.ac.uk/ => Departments => Pure Science „Chemistry“ => (rechts unten) See also „Orbit-ron“ =
Link 7-12 „The Orbitron: a gallery of atomic Orbitals and molecular Orbitals on the WWW“
Quanten-Statistik. Physics Department, University of Texas: http://www.ph.ute-xas.edu/ => People - Faculty List F - Richard Fritzpatrick => Homepage: http:// farside.ph.utexas.edu/ => Teaching => Thermodynamics and Statistical Mechanics => [HTML] => (weit unten) Quantum Statistics =
Link 7-13
Laser. Laser Optics - USA and Laser Optics - UK. Links to the WWW pages of research groups in the Held of lasers and optics: http://members.aol.com/WSRNet/ laser.htm mit => Laser Tutorial =
Link 7-14 eine allgemeinverständliche Einführung
Ergänzung: Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), List of laser types:
Link 7-15 Weiter z. B. mit => Helium-neon gas laser
Bose-Einstein-Kondensation. Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) => Laureates 2001 => Information for the Public =
Link 7-16 „New state of matter revealed: Bose-Einstein Condensate“
Ergänzung: Department of Physics at the University of Colorado: http://www.co-lorado.edu/physics => Outreach => Physics 2000 => (links) Table of Contents => The Atomic Lab => Bose-Einstein Condensate =
Link 7-17 Weiter z. B. mit => What is it? oder mit => What it’s good for?
7.5.2 Biographien
Biographien von Theoretikern: M. Planck (1858-1947), A. Einstein (1879-1955), M. Born (1882-1970), N.Bohr (1885-1962), E. Schrödinger (1887-1961), L.deBroglie (1892-1987), S.Bose (1894-1974), W. Pauli (1900-1958), W. Heisenberg (1901-1976), P. Dirac (1902-1984). Aus MacTutor History of Mathematics (s. Abschn. 1.4) => History Topes Index => Mathematical physics => History of Quantum mechanics = Link 7-18 Artikel mit Links zu Biographien der genannten Theoretiker
Joseph John Thomson (1856-1940). Aus AIP History of Physics (s. Abschn. 1.4): => The discovery of the electron => Enter the Exhibit =
Link 7-19 Weiter z. B. mit => (im Text) J. J. Thomson
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-20
508
7 Einführung in die Atomphysik
Pieter Zeeman (1865-1943). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-21
Robert Andrews Millikan (1868-1953). Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4):
Link 7-22
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-23
Ernest Rutherford (1871-1937). The New Zealand Edge is a new way of thinking about our identity, people, stories, achievements and place in the world: http:// www.nzedge.com => Heroes (weit unten) „Scientists“ => Ernest Rutherford = Link 7-24
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Chemistry, Biography:
Link 7-25
Clinton Joseph Davisson (1881-1958). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-26
James Franck (1882-1964). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-27
Gustav Hertz (1887-1975). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 7-28
Otto Stern (1888-1969). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 7-29
Charles Hard Townes (geb. 1915) Aus IEEE History Center (s. Abschn. 1.4):
Link 7-30
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 7-31
Carl E. Wieman (geb. 1951). Link 7-16 => BACK => Wieman, Autobiography
Wolfgang Ketterle (geb. 1957). Link 7-16 => BACK => Ketterle, Autobiography
Eric A. Cornell (geb. 1961). Link 7-16 => BACK => Cornell, Autobiography
8 Elektrische Effekte in Metallen
Der Ladungstransport in Metallen wurde schon kurz in den Abschnitten 3.2.2 und 7.1.3 behandelt; diese Information wird im Folgenden vorausgesetzt.
Tab. 8.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A ao B b C c ^RD c D d E !b- Eu EP e F lA - f G Go H H — H h — 2n h I j	Fläche, Auflagefläche Hall-Koeffizient Kontaktfläche magnetisches Vektorpotential Bohr-Radius magnetische Feldstärke Breite Kapazität Konstante in Richardson-Dushman-Gleichung Lichtgeschwindigkeit Durchmesser Dicke, Abstand elektrische Feldstärke Elektronenenergie, kinetische und/oder potentielle charakteristische Energien für Sekundärelektronen-Ausbeute Fermi-Energie lonisationsenergie Elementarladung Kraft Normalkraft Frequenz Leitwert Quanten-Leitwert magnetische Erregung = \H\ Härte kritische magnetische Erregung Planck-Konstante Strom Stromdichte
510
8 Elektrische Effekte in Metallen
Größensymbol	Bedeutung
k — L £ M M m — N AN n P Q R Ra RtlO r S s T t U V «dr Lh w x, y, z <5 £o eD ", 2 P k0 V n p T T <7 <[> J0	Boltzmann-Konstante Induktivität Länge, mittlere freie Weglänge Magnetisierung relative Isotopenmasse Elektronenmasse Teilchenzahl Standardabweichung von N Avogadro-Konstante Elektronendichte Leistung Ladung elektrischer Widerstand Hall-Widerstand Quanten-Hall-Widerstand Radius, radialer Abstand Seebeck-Koeffizient gerichtete Strecke (Differential d.s) Temperatur Zeit Spannung Volumen Driftgeschwindigkeit mittlere thermische Geschwindigkeit Arbeit kartesische Längenkoordinaten Ausbeute (Sekundärelektronen-Emission) elektrische Konstante Debye-Temperatur F ermi-Temperatur Eindringtiefe Beweglichkeit magnetische Konstante Lichtfrequenz Peltier-Koeffizient spezifischer Widerstand mittlere Stoßzeit Messzeit elektrische Leitfähigkeit magnetischer Fluss magnetisches Flussquantum Austrittsarbeit
Ergänzende Information: Die Einbandseiten zeigen eine Auswahl von Schaltzeichen der Elektrotechnik. Die mathematischen Symbole sind in Tab. 15.1, die chemischen Symbole in Tab. 17.10 erklärt.
8.1 Leitungselektronen
511
8.1 Leitungselektronen
8.1.1 Kinetische Theorie
Definition der Beweglichkeit. Die im Metall (nahezu) frei beweglichen Leitungselektronen (conduction electrons) haben im thermischen Gleichgewicht mit dem Kristallgitter (crystal lattice) eine thermische Geschwindigkeitsverteilung. Durch die Wirkung eines angelegten elektrischen Feldes überlagert sich der ungeordneten thermischen Bewegung eine Drift mit der mittleren Geschwindigkeit cdr. Die Beweglichkeit (mo-bility) jU der Ladungsträger (hier der Elektronen) ist definiert als Verhältnis von Driftgeschwindigkeit und Feldstärke,
d=\»dr\/\E\.	(8.1)
Die Ladungsträger-Beweglichkeit wird immer als positive Größe angegeben. Bei negativen Ladungsträgern wie den Elektronen ist die Driftgeschwindigkeit cdr antiparallel zur Feldstärke E. Das wird kompensiert durch den mit der Elektronenbewegung verbundenen Transport negativer Ladung, der formal dem Transport von positiver Ladung in Feldrichtung entspricht.
Die Stromdichte j ist proportional zur elektrischen Feldstärke E~.
j = oE.	(8.2)
Diese Gleichung definiert die elektrische Leitfähigkeit (conductivity) n 1/p, p — spezifischer Widerstand, resistivity).
Die Stromdichte kann auch als eine mit der Geschwindigkeit rdr bewegte Ladungsdichte betrachtet werden, wobei die Ladungsdichte das Produkt von Elektronenladung ( — e) und Elektronendichte n ist:
j = (-e)nrdr.	(8.3)
Da die drei Vektoren j, E und cdr kolinear sind, können auch die skalaren Größen verwendet werden. Aus den beiden Gleichungen folgt
ff E= (-e) n i>dr.	(8.4)
Mit der Beweglichkeit p = —vdJE> 0 ergibt sich die sehr wichtige Beziehung
er = e n p.	(8-5)
Die Leitfähigkeit er kann direkt aus Strom- und Spannungsmessungen bestimmt werden. Der in Abschn. 8.1.2 beschriebene Hall-Effekt liefert Messwerte für die Ladungsträgerdichte n, die für Kupfer praktisch gleich der Atomdichte ist. Aus Leit-fähigkeits- und Hall-Effekt-Messungen ergibt sich die Beweglichkeit der Leitungselektronen p.
Die Beweglichkeit für gut leitende Metalle wie Kupfer und Silber liegt in der Größenordnung von 5 • 10 ' m2/(Vs) = 50 (cm/s)/(V/cm).
Elektronenleitung. Wir betrachten die sich im ladungsneutralisierenden lonengitter frei beweglichen Elektronen wie Gas-Partikel, die statistisch ungeordnete Bewegung mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit uth ausführen und dabei häufig mit dem Gitter Zusammenstößen. Aus der Wechselwirkung mit dem Gitter ergibt sich
512	8 Elektrische Effekte in Metallen
eine mittlere freie Weglänge t, aus der mit uth eine mittlere Stoßzeit r = //ulh folgt. Das Rechnen mit diesen „mittleren“ Größen ist eine sehr nützliche Näherung; aus Bequemlichkeit wird die Kennzeichnung der Mittelwerte durch spitze Klammern <> weggelassen.
Wenn ein elektrisches Feld angelegt wird, dann werden die Elektronen durch die elektrische Kraft beschleunigt. Mit der Annahme, dass jedes Elektron nach jedem Stoß wieder eine ungeordnete thermische Geschwindigkeit besitzt, ist die effektive Beschleunigungszeit im .E-Feld gleich der Stoßzeit r. Die Kraft — eE beschleunigt das Elektron von v = 0 bis zur Endgeschwindigkeit — (e/mjE" - r. Die mittlere Driftgeschwindigkeit der Elektronen im elektrischen Feld hat den halben Wert:
1
Gr = 2	1^1 T
= |(e/m)|rEK/rth.	(8.6)
Für die Beweglichkeit ergeben sich die analogen Beziehungen
1
E = 2	• T
= | (e/m) ÜLh-	(8.7)
Bei der Drift im elektrischen Feld müssen sich die Leitungselektronen durch das im Raum festliegende Gitter der positiven Metall-Ionen hindurchbewegen, wobei sie durch die Feldkräfte der Ionen von ihrer Richtung mehr oder weniger stark abgelenkt werden. Auch kann ein Elektron von einem Metall-Ion eingefangen werden, während an seiner Stelle ein anderes Elektron den Weg fortsetzt. Weil bei lokaler Verletzung der Ladungsneutralität sehr starke rücktreibende elektrische Kräfte wirksam werden, ist die Elektronendichte im Metall sehr homogen.
Durch die immer wieder erfolgende Abbremsung bzw. Ablenkung der Elektronen durch andere Elektronen oder durch die im Gitter gebundenen Ionen wird die im Feld aufgenommene kinetische Energie in ungeordnete Bewegung, d. h. in Wärme verwandelt. So kommt der elektrische Widerstand zustande. Einen direkten Beweis für die Reibung der in einem Metall bewegten Elektronen stellt das Barlow’sche Rad (Abschn. 3.6.2) dar. Die von der Mitte der drehbaren Scheibe nach der Stromableitung am Rande fließenden Elektronen erfahren in einem Magnetfeld eine Querablenkung; dabei nehmen sie infolge der Reibung die Metallscheibe mit, sodass diese in drehende Bewegung versetzt wird.
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit. Da die Elektronendichte praktisch von der Temperatur unabhängig ist, gilt für die Leitfähigkeit er, genau wie für die Beweglichkeit jti und die Driftgeschwindigkeit udr, eine Proportionalität zur mittleren freien Weglänge / und zur reziproken thermischen Geschwindigkeit uth.
Nimmt man nach der klassischen Boltzmann-Statistik die mittlere thermische Geschwindigkeit propotional zu 7’12 an, dann ergibt sich aus der obigen Betrachtung der elektrischer Leitfähigkeit er ~ 7’ 12. Ähnliche gaskinetische Überlegungen zur Wärmeleitfähigkeit 2 geben eine direkte Proporitionalität zur thermischen Ge
8.1 Leitungselektronen
513
schwindigkeit, also 2 ~ T1/2. Daraus folgt A/<r ~ T . Das war längere Zeit die akzeptierte Deutung des Wiedemann-Franz-Gesetzes (Abschn. 7.1.3). Da sowohl 2 wie auch er zur mittleren freien Weglänge proportional sind, geht diese in das Verhältnis 2/cr nicht ein.
Nachdem erkannt worden war, dass für Leitungselektronen in Metallen die Fermi-Statistik gilt, musste das Wiedemann-Franz-Gesetz neu interpretiert werden: Die thermische Geschwindigkeit der Metallelektronen ist in guter Näherung gleich der Fermi-Geschwindigkeit, also nicht temperaturabhängig. Aber von den Metallelektronen kann aus Energie- und Impulsgründen nur ein sehr kleiner Anteil mit dem Gitter in Wechselwirkung treten und thermische Energie transportieren. Die Wärmekapazität, als Faktor in der Wärmeleitfähigkeit enthalten und bei der klassischen Betrachtung als konstant angenommen, musste nun für den Anteil der Leitungselektronen, die thermische Energie transportieren können, berechnet werden und ergab sich als proportional zu T im Einklang mit dem Wiedemann-Franz-Gesetz. Die Proportionalitätskonstante, der Lorenz-Koeffizient, ist nach der quantenmechanischen Berechnung gleich (nk/e)2/3.
Für die Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit er ist die mittlere freie Weglänge verantwortlich, die durch die thermischen Schwingungen der Gitter-Ionen begrenzt wird (abgesehen vom Bereich sehr tiefer Temperaturen, in dem Gitterfehler begrenzend wirken). Für den bei metallischen Leitern technisch wichtigen
Abb. 8.1 Abhängigkeit des reduzierten Widerstandes R/RD von der reduzierten Temperatur T/0d; öd ist die Debye-Temperatur.
514	8 Elektrische Effekte in Metallen
Temperaturbereich ist g in guter Näherung proportional zu 1/T, das heißt, der (spezifische) elektrische Widerstand nimmt linear mit der Temperatur zu.
Da der spezifische Widerstand im Metall durch die Wechselwirkung mit dem Kristallgitter zustande kommt, besteht eine physikalische Verbindung zur spezifischen Wärme von Festkörpern, für deren Beschreibung Debye 1912 eine charakteristische Temperatur eingeführt hat. Die Debye-Temperatur 0D liegt für die meisten Festkörper im Bereich von einigen hundert Kelvin und ist umso höher, je kleiner die Masse der Atome im Kristall ist und je stärker sie an das Gitter gebunden sind; 0D wird aus den elastischen Eigenschaften (Gitterschwingungen) eines Kristalls unter Verwendung der gemessenen Schallgeschwindigkeit berechnet. (Die von den Kristalleigenschaften abhängige Debye-Temperatur 0D darf nicht mit der Fermi-Temperatur 0F = EP/k verwechselt werden; letztere ist proportional zu n2/3 (n = Dichte der Leitungselektronen) und liegt i. A. bei einigen 10000 Kelvin.)
Die Abhängigkeit des Widerstandes R von der Temperatur wird durch Angabe der Temperaturkoeffizienten beschrieben, die für reine Metalle positiv, aber von verschiedener Größe sind. Eine übereinstimmende Temperaturabhängigkeit erhält man nach E. Grüneisen (1918) durch Aufträgen des reduzierten Widerstandes R/Ro über der reduzierten Temperatur T/0D; RD ist der bei der Debye-Temperatur gemessene Widerstand. Wie Abb. 8.1 zeigt, sind in dieser Darstellung alle Metalle entlang einer Geraden angeordnet.
Der oben beschriebene Einfluss der Temperatur gilt auch für flüssige Metalle. Der Übergang in einen anderen Aggregatzustand verursacht einen Sprung in der Leitfähigkeit, und zwar gilt als Faustregel, dass sich der spezifische Widerstand beim Erstarren des Metalls halbiert.
8.1.2 Hall-Effekt
Dieser von E.H. Hall 1879 entdeckte Effekt ist besonders wichtig in der Halbleiterphysik; er liefert aber auch die Beweglichkeit der Leitungselektronen der Metalle. Wird entsprechend Abb. 8.2 eine dünne Metallplatte P von einem gleichmäßig über ihren Querschnitt verteilten Strom / durchflossen, so ist zwischen zwei Punkten A und B, die am Rande der Platte zu beiden Seiten gleich weit von der Stromzuleitung entfernt liegen, keine Potentialdifferenz vorhanden. Wirkt aber senkrecht zur Platte
Abb. 8.2 Zur Erläuterung des Hall-Effektes. Die Skizze zeigt den negativen Hall-Effekt, wie er bei Metallen auftritt.
8.1 Leitungselektronen
515
Tab. 8.2 Ergebnisse einiger Hall-Messungen an Metallen.
	Kupfer	Silber	Gold	Bismut
Hall-Koeffizient Aa in cm3/As	— 6.09-IQ-5	-9.44-10-5	7.36-10'	-9.08-10-'
spez.Widerstand p in £1 cm	1.55  10-6	1.49-IO-6	2.04-IO-6	1.2-10-4
Beweglichkeit p in cm2/Vs	39	64	36	7600
Elektronendichte wel in cm 1	10.3-IO22	6.6-IO22	8.5-IO22	6.9-IO18
Atomdichte «aiom in cm-3	8.4-IO22	5.8  1022	5.9-IO22	2.8  1022
ein Magnetfeld vom Betrag B, so tritt zwischen A und B eine Spannung, die Hall-Spannung, auf. Die Ursache hierfür liegt in einer Verbiegung der ursprünglich parallelen Elektronenbahnen in der Platte P durch das Magnetfeld: Die Äquipotentiallinien erfahren dadurch eine Drehung gegen ihre ursprüngliche Lage.
Für die Hall-Spannung UH zwischen den Punkten A und B, die ursprünglich gleiches Potential hatten, ergibt sich experimentell folgende Beziehung:
UH = I
= A-aBI)d',	(8.8)
Rn ist der Hall-Widerstand, d ist die Dicke der Platte. Der Proportionalitätsfaktor AH wird Hall-Koeffizient (Hall constant) genannt. Er hat die Dimension „Volumen/ Ladung“ und wird üblicherweise in der Einheit cm3/As gemessen. Der Hall-Koeffizient Ah kann positiv oder negativ sein. Experimentell wird das Vorzeichen des Hall-Effektes nach einer Vorschrift bestimmt, nach der sich für die in Abb. 8.2 eingetragenen Richtungen und Vorzeichen ein negativer Hall-Effekt ergibt, so wie ihn die klassische Theorie für die negativ geladenen Leitungselektronen liefert.
Die Messungen des Hall-Koeffizienten hängen sehr stark von der Reinheit der Stoffe ab; geringe Beimengungen können die Werte verändern. In der Tab. 8.2 sind die Werte für einige Stoffe aufgeführt. Sehr groß ist der Hall-Koeffizient für Bismut, nämlich AH = — O.9cm3/As, ferner für die (nicht in der Tabelle aufgeführten) Halbleiter Indiumantimonid und Indiumarsenid. Diese Stoffe werden daher für die Herstellung von Hall-Generatoren für die Ausmessung von Magnetfeldern bevorzugt (Hall effect magnetometer).
Theorie des Hall-Effektes. Zu Gl. (8.8), mit der der Hall-Koeffizient AH implizit definiert wird, führt folgende theoretische Überlegung: Der Betrag der Stromdichte j in der Längsrichtung der Platte ist gegeben durch
j = I!(b d) = n (-e) t>dr,	(8.9)
wenn b die Breite der Leiterplatte, n die Teilchendichte der Elektronen, — e die Elektronenladung und udr die feldinduzierte Driftgeschwindigkeit der Elektronen (anti
516
8 Elektrische Effekte in Metallen
parallel zum Feld E) bedeuten. Das Magnetfeld B übt auf die Elektronen quer zu ihrer Bewegungsrichtung, also quer zur Platte, eine ablenkende Kraft von der Größe ( —e) rdr B aus. Sie bewirkt solange eine Querverschiebung der Elektronen, bis ihr die Kraft — e U^b das Gleichgewicht hält. Diese Kraft rührt von der quer zur Platte wirkenden Transversalfeldstärke Ev her. Dann gilt also
( —e) UH/b = (-e) vdiß
Un = vdlBb,	(8.10)
woraus unter Benutzung von Gl. (8.9)
Un = [j/( —e n)] B b	(8.11)
folgt. Für den Hall-Koeffizienten ergibt sich mithilfe von Gl. (8.8) und (8.9) die gesuchte Beziehung
4=1/H4	(8.12)
Gl. (8.12) zeigt deutlich, dass wegen der negativen Elektronenladung — cauch	< 0
sein muss.
Setzt man Gl. (8.12) in Gl. (8.8) ein und benutzt Gl. (8.9) zur Substitution von Z, dann kürzt sich die in / direkt und in AH reziprok enthaltene Ladungsträgerdichte n heraus, und es ergibt sich, dass die Größe der Hall-Spannung proportional zur feldinduzierten Elektronen-Driftgeschwindigkeit udr und damit auch zur Beweglichkeit /i ist: Aus Gl. (8.12) und Gl. (8.5) folgt
Mh|<7 = ^.	(8.13)
Aus Messungen des Hall-Effektes kann man gemäß Gl. (8.12) die Elektronendichte n bestimmen, und aus Messwerten für die Leitfähigkeit er ergibt sich mit Gl. (8.13) die Beweglichkeit Aus den in Tab. 8.2 angegebenen Werten ersieht man, dass die Leitungselektronendichte (außer bei Bismut) tatsächlich dicht bei der Atomdichte liegt. Man erkennt ferner, dass die Beweglichkeiten der Elektronen außerordentlich klein sind (Bismut ist auch hierbei eine Ausnahme). Bei Feldern in der Größenordnung von 0.001 V/cm, die bei Kupfer bereits die sehr hohe Strombelastung von 6 A/mm2 ergeben, erreichen die Elektronen nur Driftgeschwindigkeiten von einigen Zehntelmillimetern pro Sekunde.
Quanten-Hall-Effekt. 1980 entdeckte Klaus von Klitzing einen Quanteneffekt beim Studium des Hall-Effektes an MOSFETs (= Metal-Oxide-Semiconductor Field-Ef-fect Transistor, s. Abschn. 9.3.2) bei tiefen Temperaturen in hohen Magnetfeldern. Die Leitungselektronen in der Inversionsschicht eines MOSFET können als zweidimensionales Elektronengas aufgefasst werden. Bei tiefen Temperaturen sind Störungen durch Elektron-Elektron-Stöße weitgehend unterdrückt. In hohen Magnetfeldern werden dann Quanteneffekte (Landau-Quantisierung der Bewegung parallel zur Oberfläche) beobachtbar: Der Leitwert, gegeben durch den Quotienten von Probenstrom und Hall-Spannung, tritt als ganzzahliges Vielfaches des Quanten-Hall-Leitwerts auf, der durch e2jh gegeben ist. Der Kehrwert wird als von-Klitzing-Kon-stante /Q bezeichnet. Dieser Effekt wird von der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt und den metrologischen Instituten anderer Länder als Referenz bei Kalibrierungen benutzt.
8.1 Leitungselektronen
517
Galvanomagnetische Effekte. Bei einem elektrischen Strom im transversalen Magnetfeld tritt neben der transversalen Spannung (Hall-Effekt, E.H. Hall 1879) auch ein longitudinaler Spannungsabfall auf (galvanomagnetischer Thomson-Effekt, W. Thomson 1856), der proportional zu B2 ist. Für Bismuth, das den stärksten Hall-Effekt aller Metalle besitzt, ist auch dieser Effekt besonders groß. Außerdem treten noch eine transversale und eine longitudinale Temperaturdifferenz auf. Das sind zusammen vier galvanomagnetische Effekte. [Am Rande sei angemerkt, dass es vier analoge thermomagnetische Effekte gibt, die auftreten, wenn im transversalen Magnetfeld durch den metallischen Leiter ein Wärmestrom anstelle des elektrischen Stroms fließt.]
Und es gibt einen thermogalvanischen Effekt (W. Thomson 1854): Wenn sich in einem Metalldraht ein elektrischer Strom und ein Wärmestrom überlagern, dann ist die sich einstellende Temperaturverteilung für gleich- und entgegengerichtete Ströme verschieden.
8.1.3 Rauschen
Allgemein ist die der Gleichspannung U überlagerte Rauschspannung (noise voltage) definiert als
UR= <.[U(t)-U]2>112;
(8.14)
t ist die Zeit, über die hinreichend lange zu mitteln ist.
Der akustische Begriff „Rauschen“ (z. B. in Meeresrauschen) bezieht sich auf ein ständig vorhandenes Untergrund-Geräusch, das kleine Signale maskieren kann, falls das Signal-zu-Rausch-Verhältnis (signal-to-noise ratio) nicht hinreichend groß ist. Rauschen hört man im Radio, wenn der eingestellte Sender Sendepause hat und die Verstärkung voll aufgedreht ist; auch eine nichtbespielte Kassette rauscht beim Abhören. Der Begriff „Rauschen“ lässt sich auf elektrische Spannungen im Tonfrequenzbereich direkt übertragen und auf alle anderen Frequenzbereiche sinngemäß erweitern.
Eine allgemeine thermodynamische Theorie des thermischen Rauschens wurde 1928 von H. Nyquist im Anschluss an Messungen von J. B. Johnson (1927) entwickelt (Nyquist-Rauschen, Johnson noise). Danach ist die Rauschspannung UR eines Widerstandes R, der die Temperatur T besitzt, abhängig vom erfassten Frequenzintervall A/. Das Ersatzschaltbild eines „rauschenden“ Widerstandes ist eine Rauschspannungsquelle mit einem „rauschlosen“ (d. h. auf der Temperatur T — 0 befindlichen) Innenwiderstand R (Abb. 8.3a) oder eine Rauschstromquelle mit einem rauschlosen Innenleitwert G — ifR (Abb. 8.3b).
Die wichtige Nyquist-Formel (Nyquist’s theorem) gibt das Quadrat der Leerlauf-Rauschspannung
(U^)2 = 4 k T R \f,
(8.15)
bzw. das Quadrat des Kurzschluss-Rauschstromes
\f.
(8.16)
518
8 Elektrische Effekte in Metallen
(b)
(d)
Abb. 8.3 Ersatzschaltbilder: (a) Rauschspannungsquelle mit Innenwiderstand im Leerlauf, (b) Rauschstromquelle mit Innenleitwert im Kurzschluss; (c) und (d) - optimale Anpassung.
In diesen Formeln ist R der über den erfassten Frequenzbereich gemittelte Realteil des komplexen Widerstandes.
Oft wird die Rauschspannung nicht für Leerlauf, sondern für optimale Leistungsanpassung (P = Pmax) angegeben, die halb so groß ist. Das ergibt für das Quadrat der Rauschspannung eine Formel ohne den Faktor 4:
[ W = ^maJ]2 = (^r,l/2)2 = k T R \f.	(8.17)
Für Zimmertemperatur gilt die handliche Formel
U^P = P^ 300K)/jrV « 2(k/M(F (A//kHz)1/2.	(8.18)
Die übertragbare Rauschleistung wird maximal bei optimaler Anpassung (Innenwiderstand = Außenwiderstand), d. h. der „rauschende Widerstand“ R wird an einen (rauschlosen) „Verbraucher-Widerstand“ gleicher Größe angeschlossen. Die am Verbraucher-Widerstand abfallende Spannung ist halb so groß wie die Leerlaufspannung nach Gl. (8.15) (Abb. 8.3c); der durch ihn fließende Strom ist halb so groß wie der Kurzschlussstrom nach Gl. (8.16) (Abb. 8.3d). Damit ergibt sich für die maximal übertragbare Rauschleistung
= kT \f.	(8.19)
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
519
Bei unendlich großer Bandbreite A/wird die Rauschleistung nicht unendlich groß, denn in Gl. (8.17) müsste eigentlich anstelle von kT der folgende Ausdruck stehen:
hfl[etnp(hflkT) — 1] x kT für hfjkT <1	(8.20)
(h — Planck-Konstante); für Zimmertemperatur bedeutet das eine Beschränkung auf 6 THz. In dieser Näherung ist die Rauschleistung pro Frequenzintervall über die gesamte Bandbreite A/unabhängig von der Frequenz f. In Analogie zur Intensitätsverteilung des „weißen Lichtes“ über alle Spektralfarben (Lichtfrequenzen) spricht man von „weißem Rauschen“.
Stromrauschen (Schottky-Rauschen, Schrot-Rauschen, shot noise). Jedes Strommessinstrument hat eine charakteristische Zeitkonstante r, die das Zeitintervall angibt, über das der zu messende Strom gemittelt wird. An einer Messung des Stromes / sind demnach
N = It/e	(8.21)
Elektronen beteiligt. Die Quantisierung der Ladung in der Form von Elektronen (die Quantisierung der Masse in der Form von Schrotkugeln) führt zu Fluktuationen im Ladungstransport (Massetransport). Die quadratisch gemittelte Fluktuation von N ist nach der Poisson-Statistik die Standardabweichung
AA = A1/2.	(8.22)
Damit ergibt sich ein (quadratisch gemittelter) relativer Rauschstrom von
A//Z = AA/A = A~1/2
= [e/(/ t)]1 2.	(8.23)
Diese Gleichung besagt z. B„ dass mehr als A = 104 Elektronen an der Strommessung beteiligt sein müssen, wenn der Rauschstrom weniger als 1 % von / betragen soll; mit einer Zeitkonstante von beispielsweise r = 1 ms ist das für Ströme / > 1.6 pA gegeben.
Auflösung der Gl. (8.23) nach (A/)2 und näherungsweises Gleichsetzen von r mit dem Kehrwert der doppelten Bandbreite (2A/) 1 ergibt die Schottky-Beziehung:
(A/)2 = 2 e I A/.	(8.24)
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
Zur Terminologie. Zwischen Elektronenenergien (stets in eV angegeben) und den maßzahl-gleichen Potentialen bzw. Spannungen (in Volt) wird nicht immer klar unterschieden. Beispiel für unpräzise Ausdrucksweise: „Das Kontaktpotential ist gleich der Differenz der Austrittsarbeiten.“
In graphischen Darstellungen zur Ortsabhängigkeit wird die Elektronenenergie (in eV) meist nach oben aufgetragen; Potentialkurven (in Volt) werden meist vorzeichengleich mit der potentiellen Energie der Elektronen gezeichnet, so als ob die Elektronen eine positive Ladung hätten.
520
8 Elektrische Effekte in Metallen
8.2.1 Austritts arbeit
Theorie der Austrittsarbeit. Mit der Vorstellung, dass sich die Leitungselektronen im Metall wie ein freies Gas bewegen können, sind idealisierende Annahmen verknüpft: Wie in Abb. 8.4 schematisch dargestellt ist, werden die tiefliegenden Energiezustände der Kristallatome durch lokalisierte Energieniveaus beschrieben; die höherliegenden Zustände werden durch die Nachbaratome gestört und dadurch zu „Bändern“ energetisch verbreitert. Nur der Zustand, in dem sich beim Kupferatom das am schwächsten gebundene 4s-Elektron befindet, ist im Kupferkristall zu einem energetisch breiten, nicht-lokalisierten Band geworden. Der Boden dieses Leitungsbandes wird als Nullpunkt der Energieskala gewählt.
Abb. 8.4 Energiediagramm für die Leitungselektronen an der Grenzfläche Metall/Vakuum (schematisch). Erläuterungen im Text.
An der Grenzfläche Metall/Vakuum befindet sich eine Potentialschwelle, die verhindert, dass die Leitungselektronen das Metall verlassen. Das Gas der Leitungselektronen befindet sich also in einer Potentialwanne mit einem näherungsweise als eben angenommenen Boden (dort ist die kinetische Energie der Leitungselektronen E — 0), umrandet von einer Potentialschwelle, die nur mit E > Ev (= Vakuumenergie) überwunden werden kann.
Für die Temperatur T — 0 liefert die Fermi-Statistik (Abschn. 7.4.4) eine Besetzung aller Energiezustände im Bereich 0 < E < EP; EP ist die Fermi-Energie. Die Differenz Ev — EP = cp wird Austrittsarbeit (work fimktiori) genannt; das ist die Energie, die einem Elektron „an der Fermi-Kante“ (d. h. mit E — EP) mindestens zugeführt werden muss, damit es das Metall verlassen kann. Werte dieser drei Energien für einige Metalle gibt die folgende Tabelle. Die Werte für EP können aus der mittels Hall-Effekt messbaren Dichte der Leitungselektronen n berechnet werden. Die Austrittsarbeit cp ist abhängig von der Kristallstruktur der Oberfläche; die in Tab. 8.3 angegebenen Werte sind Messwerte für polykristallines Material.
Die Elektronen haben eine Fermi-Verteilung der kinetischen Energie (Gl. 7.78), die in Abb. 8.5 graphisch dargestellt ist. Die Kurve für T — 0 steigt proportional zu £'2 und springt auf null bei der dadurch definierten Fermi-Energie EP. Die bei E — EP leicht abgerundete Kurve ist die Verteilung für die Temperatur T — 300 K,
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
521
Tab. 8.3 Vakuumenergie Ev, Fermi-Energie EF und Austrittsarbeit <p für einige Metalle.
Metall	Av/eV	A/cV	<p/eV
Cs	3.4	1.5	1.9
K	4.4	2.1	2.3
Ba	4.9	2.4	2.5
Th	7.0	3.5	3.5
Al	9.8	5.6	4.2
Ag	10.2	5.5	4.7
W	10.2	5.7	4.5
Cu	11.4	6.9	4.5
Fe	11.7	7.1	4.6
Ni	12.1	7.2	4.9
Abb. 8.5 Verteilung der Elektronendichte n über der kinetischen Energie E, dargestellt mit senkrechter Energieachse (wie in Abb. 8.4). Erläuterungen im Text.
für die kT, die mittlere thermische Energie nach der klassischen Statistik, viel kleiner ist als Ep. Das ist der Normalfall, denn für Zimmertemperatur ist kT x 25meV, -für 3000 K gerade zehnmal so groß, also 0.25 eV. Alternativ kann man auch Temperaturen vergleichen: die Fermi-Temperaturen 0F = Ep/k sind sehr hoch, sie liegen im Bereich von 104 bis 105K.
Da die Fermi-Verteilung oberhalb EP schnell abfällt und, wie die obige Tabelle zeigt, die Austrittsarbeiten einige eV betragen, also auch viel größer als kT sind, gibt es bei Zimmertemperatur praktisch keine Elektronen, die das Metall aufgrund ihrer thermischen Energie verlassen können.
Die Potentialschwelle, die nur Elektronen mit E> Ev das Metall verlassen lässt, hat im Wesentlichen zwei physikalische Ursachen, die nun qualitativ beschrieben werden.
522	8 Elektrische Effekte in Metallen
1. Dipolschicht an der Grenzfläche. Die Ladungsneutralisation, die im Inneren des Kristalls sehr gut verwirklicht ist, versagt an der Oberfläche. Die ortsfeste positive Ladungsverteilung der Ionen geht sprunghaft nach null. Die freie Weglänge der Elektronen ist viel zu groß, um den Ladungsdichte-Sprung genau kompensieren zu können. Die von innen auf die Grenzfläche zufliegenden Elektronen werden zwar durch elektrostatische Kräfte daran gehindert, den Kristall zu verlassen, sie gelangen aber vor ihrer Richtungsumkehr etwas über die äußersten Ionen hinaus. Die herausfliegenden Elektronen fehlen zur Ladungsneutralisation auf der Innenseite der Grenzfläche. Der Überschuss positiver Ladungen an der Innenseite der Grenzfläche und die negativen Ladungen an der Außenseite bilden zusammen eine elektrische Doppelschicht mit ungefähr der Dicke eines Gitterabstandes. Das elektrische Feld innerhalb der Dipolschicht ist so gerichtet (von innen nach außen), dass die negativ geladenen Elektronen beim Heraustreten aus dem Metall abgebremst werden; es muss die Arbeit U/Dipol geleistet werden.
2. Arbeit gegen die Bildkraft. Für den Idealfall einer perfekt ebenen Grenzfläche Metall/Vakuum und eines perfekt leitenden Metalls gilt nach den Gesetzen der Elektrostatik, dass eine Ladung Q, die sich im Abstand x auf der Vakuumseite der Oberfläche befindet, durch Influenz Ladungsverschiebungen auf der Leiteroberfläche bewirkt. Dies hat zur Folge, dass das resultierende .E-Feld zwischen der Ladung Q und der Oberfläche genau die Form hat wie ein Feld zwischen der Ladung Q am Ort x vor der Oberfläche und einer Bildladung — Q am Ort — x hinter der Oberfläche. Zwischen Ladung und Bildladung wirkt also eine Anziehungskraft, die Bildkraft (mirror-image force). Für das Elektron mit Q — — e, das von der leitenden Oberfläche entfernt werden soll, ergibt sich daraus eine zu leistende Arbeit von
CO
! 4tt£0(2x)2 dX
e2
= --------,	(8.25)
16n eod
die unendlich groß wird, wenn man die Integration direkt an der Oberfläche, d. h. mit d — 0, beginnt. Wegen der kristallinen Struktur kann aber eine Metalloberfläche nicht bis in kleinste Entfernungen als perfekt eben betrachtet werden. Es erscheint deshalb sinnvoll, die Integration mit einem endlich großen d, das etwa einem Gitterabstand entspricht, durchzuführen. Für d — 100 pm « 2 a0 (a0 = Bohr-Radius) ergibt sich IFBild = 3.6 eV, also eine Arbeit von der „richtigen“ Größenordnung.
Beide Effekte, die in die Austrittsarbeit eingehen, sind von der Beschaffenheit der Oberfläche abhängig. Deshalb hat jedes Metall und jede Kristallfläche eines Metalls eine andere Austrittsarbeit. Beispiel: Wolfram (W)
Fläche	cp/eV
W(100) W(110) W(lll) W(113) W(116)	4.63 5.25 4.47 4.18 4.30
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
523
Die Kennziffern für die verschiedenen Flächen des Wolfram-Kristalls sind die so genannten Miller-Indizes (Bd. 6, Kap. 2). Für kubische Gitter ist (100) die Ebene senkrecht zur Würfelkante, (110) die senkrecht zur Flächendiagonalen und (111) die senkrecht zur Raumdiagonalen. Allgemein gilt: Der Vektor, der die Projektionen (1, m, n) auf drei zueinander senkrechte Würfelkanten besitzt, steht senkrecht auf der charakterisierten Ebene.
Oberflächenbelegungen mit Fremdatomen, gewollt oder ungewollt, können die Austrittsarbeit stark verändern. So kann insbesondere Caesium, das selbst eine sehr kleine Austrittsarbeit hat, als dünner Film auf einem anderen Metall die Austrittsarbeit stark verringern:
W:	<p = 4.5eV
Th auf W: cp = 2.6 eV
Cs auf W: cp = 1.36eV
Das Gesagte lässt sich zusammenfassen in der Beziehung
Ev = EP+cp = H/,ip.il+ lkl!lld:	(8.26)
die Summanden, EP und cp sowie H/riip,1| und lUBild, sind alle positiv und von derselben Größenordnung (einige eV).
Messungen von Austrittsarbeiten. Am genauesten, allerdings nicht absolut, sondern als Differenz zur Austrittsarbeit eines Referenz-Metalls, ist das mit der Schwing-kondensator-Methode (Abschn. 8.3.1) möglich. Diese Methode liefert für polykristalline Proben einen Mittelwert, bei dem die verschiedenen Kristallflächen mit ihrem Anteil an der Probenoberfläche gewichtet werden.
Die im nächsten Abschnitt dargestellten Elektronen-Emissionsprozesse hängen alle stark von der Austrittsarbeit ab und lassen sich im Prinzip ebenfalls zur Messung von cp verwenden, allerdings gehen bei polykristallinen Proben die Kristallflächen mit kleiner Austrittsarbeit mit einem höheren Gewicht ein als es ihrem Anteil an der Probenoberfläche entspricht.
8.2.2 Elektronen-Emissionsprozesse
Photoemission (photoelectric emission, photoeffect). Der „Photoeffekt“ wurde schon in Abschn. 7.2.1 wegen seiner Bedeutung für die Entwicklung der modernen Physik behandelt. Um ein Elektron auszulösen, muss die Photonenenergie hv größer sein als die Austrittsarbeit cp (Abb. 8.6).
Photonen, deren Energie größer ist als die Austrittsarbeit, können einige Atomlagen tief in den Kristall eindringen und Elektronen auslösen, die auf dem Weg zur Oberfläche einen Teil ihrer Energie verlieren. Daraus resultiert eine Energieverteilung der Photoelektronen, die am hochenergetischen Ende steil abfällt. Durch Bestimmung der maximalen Photoelektronen-Energie kann die Austrittsarbeit gemessen werden.
524	8 Elektrische Effekte in Metallen
Photoelektron
i-----------»-x
Metall Vakuum
Abb. 8.6 Potentialverlauf an der Grenzfläche Metall/Vakuum. Schematische Darstellung der Photoemission.
Thermoemission (Glühemission, thermionic emissiori). Erforderlich sind so hohe Metalltemperaturen, dass die Elektronen mit Energien von E> Ev nach der Fermi-Verteilung hinreichend zahlreich werden (Abb. 8.7a).
Wenn man nicht dafür sorgt, dass die ausgetretenen Elektronen durch ein elektrisches Feld „abgesaugt“ werden, dann bildet sich vor der Metalloberfläche eine „Elektronenwolke“, eine negative Raumladung, die austretende Elektronen in das Metall zurücktreibt. Mit einem genügend starken Absaugfeld lässt sich der für Austrittsarbeit cp und Metalltemperatur T charakteristische Emissionsstrom messen, der auch als „Sättigungsstrom“ bezeichnet wird, weil er bei weiterer Erhöhung der Ab-saug-Feldstärke nicht weiter ansteigt. Für die Stromdichte /ergibt sich mit der Fermi-
Statistik die Richardson-Dushman-Gleichung:
J= Crd T2 exp(-(p/kT).
(S.27)
Die zuerst von O. W. Richardson (1912) auf der Grundlage der Boltzmann-Statistik hergeleitete Gleichung hatte eine empirisch zu bestimmende Proportionalitätskonstante und den Temperaturfaktor T1/2; erst die Fermi-Statistik führt zu dem Faktor T2. S. Dushman zeigte 1923 die Verbindung der Konstanten CRD mit Naturkonstanten:
CRD = 4n e m k2)h3 x 120 Acm 2 K 2.
(8.28)
Messungen liefern für die Konstante CRD allerdings kleinere Werte im Bereich 20-60Acm 2K 2. Der für Boltzmann- und Fermi-Statistik unterschiedliche Temperaturfaktor in Gl. (8.27) ist nicht gut geeignet, um experimentell zu testen, welche Statistik hier die angemessene ist, denn die Abhängigkeit des Sättigungsstroms von der Temperatur wird vom Exponentialglied dominiert. Über Messungen von j(T) kann ebenfalls die Austrittsarbeit bestimmt werden, allerdings nur für hochschmelzende Metalle.
Erhöht man das beschleunigende .E-Feld wesentlich mehr als es zur Messung des Sättigungsstromes notwendig ist, wird bei Feldstärken oberhalb von 105V/m der Schottky-Effekt merkbar, der die Austrittsarbeit herabsetzt und dadurch die Thermoemission erhöht. Weil die Potentialschwelle an der Grenzfläche Metall/Vakuum durch die Ortsabhängigkeit der gegen die Bildkraft verrichteten Arbeit abgerundet
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
525
Abb. 8.7 Potentialverlauf an der Grenzfläche Metall/Vakuum. Schematische Darstellung von (a) Thermoemission, (b) Schottky-Effekt.
ist, führt die angelegte Feldstärke zu einer Potentialabsenkung (Abb. 8.7 b), die einer Verringerung der Austrittsarbeit um A<p entspricht (W. Schottky, 1914).
Für den Fall, dass die Änderungen A<p klein sind im Vergleich zur gesamten gegen die Bildkraft geleisteten Arbeit lPBild, ergibt eine einfache Abschätzung
A<p/e % [cE/(4k e0)]1/2 oder
A<p / eV ~ 3.8  10~5 (T/Vm-1)1'2.	(8.29)
Bei einer Feldstärke von 106 V/m = 1 kV/mm, beispielsweise, ist A<p « 0.038 eV.
Bei noch höheren Feldstärken von etwa 109 V/m tritt ein neuer Emissionsprozess auf: die im Folgenden behandelte Feldemission.
Feldemission (field emission). Wie Abb. 8.8 zeigt, wird bei sehr starker Feldstärke aus der Potentialschwelle eine Potentialbarriere. Um das Metall zu verlassen, benötigen Elektronen an der Fermi-Kante nach der klassischen Physik (Energieerhaltung!) eine zusätzliche Energie AE, um die Barriere, die an der Fermi-Kante die Dicke A.v hat, zu überwinden. Der quantenmechanische Tunneleffekt (Abschn. 7.2.3)
Abb. 8.8 Potentialverlauf an der Grenzfläche Metall/Vakuum. Schematische Darstellung der Feldemission.
526
8 Elektrische Effekte in Metallen
liefert eine merkliche Wahrscheinlichkeit für das Durchtunneln dieser Barriere, wenn die Flugzeit At, die die Elektronen für die Strecke Ax benötigen, und die fehlende Energie AE beide so klein werden, dass ihr Produkt nicht mehr groß ist im Vergleich zur Planck-Konstante h.
Nach der Theorie ergibt sich für j(E) eine Beziehung (Fowler-Nordheim-Glei-chung), die die gleiche funktionelle Abhängigkeit zeigt wie j(T) für die Thermoemission (Gl. 8.27): E? tritt als Faktor auf, und E steht im Nenner eines negativen Exponenten.
Sekundärelektronenemission (secondary electron emissiori). Durch Beschuss einer Metalloberfläche mit energiereichen Elektronen oder anderen Teilchen können ebenfalls Leitungselektronen ausgelöst werden. Obwohl die Primärteilchen mit Energien von typischerweise 100 eV bis lOkeV auf das Metall auftreffen, werden von einem Primärelektron kaum mehr als ein Sekundärelektron ausgelöst. Der Grund dafür ist der komplizierte Prozess der Impulsübertragung auf die auszulösenden Elektronen, insbesondere bei nahezu senkrechtem Einfall. Für die Sekundärelektronenemission gibt es keine elegante Theorie. Die „eigentlichen“ Sekundärelektronen haben Energien zwischen 0 und etwa 30 eV mit einem Maximum in der Nähe von 5eV. Bei der Primärenergie Eo wird ein schmaler Peak von elastisch reflektierten Primärelektronen beobachtet. Dazwischen liegt ein flacher Untergrund von Primärelektronen, die im Target abgebremst und zurückgestreut wurden. Der Anteil der Rückstreuung steigt mit der Ordnungszahl des Targetmaterials. Die Aufteilung des Spektrums in „Sekundärelektronen“ und „rückgestreute Primärelektronen“ ist willkürlich. Der Sekundärelektronen-Emissionskoefflzient (die Ausbeute, yield) ist definiert als
<5 = Zahl der austretenden Elektronen/Zahl der Primärteilchen.
Bei Elektronenbeschuss werden gestreute Primärelektronen wie Sekundärelektronen behandelt.
Die Ausbeute <5 als Funktion der Primärenergie Eo hat die in Abb. 8.9 gezeigte Form mit einem steilen Anstieg bei kleinen Energien, einem Peak im Bereich von einigen lOOeV und einem graduellen Abfall zu höheren Energien. Dieser Verlauf
E| E" £/keV ------------>-
Abb. 8.9 Typische Abhängigkeit des Koeffizienten der Sekundärelektronen-Emission von der Energie der Primärelektronen, hier für ein Germanium-Target.
8.2 Grenzfläche Metall/Vakuum
527
ist zu erwarten, weil mit steigender Energie das Primärelektron tiefer in das Targetmaterial eindringt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Elektron mit hinreichender Energie an die Oberfläche gelangt und austreten kann, dadurch kleiner wird. Neben Emia, der Energie des Maximums, sind die Energien Ex und E1L (> ET) von Bedeutung, bei denen <5 gleich eins ist (Abb. 8.9). Ein von Primärelektronen der Energie Eo beschossenes Metallstück, das elektrisch isoliert ist, lädt sich negativ oder positiv auf, je nachdem ob <5 kleiner oder größer als eins ist. Im ersteren Fall (<5 < 1) werden die ankommenden Primärelektronen vor der Oberfläche abgebremst, im letzteren Fall (<5 > 1) beschleunigt. Im stationären Gleichgewicht ist die effektive Primärenergie EOe[P mit der sie auf der Oberfläche auftreffen, nahezu null, wenn Eo < Et ist. Der Fall Eo = ET stellt ein labiles Gleichgewicht dar. Für ET < Eo < oo liegt das Gleichgewicht bei Eo efr = E1V Bei schrägem Einfall der Primärelektronen erhöht sich <5; für einen Einfallswinkel von 60° gegen die Normale ist <5 etwa doppelt so groß wie bei 0°.
Für viele praktische Anwendungen ist es wichtig zu wissen, welche Oberflächen besonders kleine oder besonders große <5-Werte haben.
Zur Erzielung von kleinen Ausbeuten eignen sich besonders rauhe oder poröse Oberflächen, die auch Licht kaum reflektieren und deshalb schwarz erscheinen. Solche Strukturen ermöglichen es, die in größerer Tiefe ausgelösten Sekundärelektronen wieder einzufangen. Für Ruß liegt <5max bei 0.45. Metalle haben i. Allg. kleine Ausbeuten; die Metalloxide geben viel mehr Sekundärelektronen ab. Deshalb sollten Metallflächen sauber und oxidfrei gehalten und ggf. „berußt“ werden.
Zur Erzielung von großen Ausbeuten eignen sich besonders die Metalloxide; eine besonders hohe Ausbeute hat MgO mit <5max « 25. Um einerseits die hohe Ausbeute zu nutzen, andererseits aber elektrische Aufladungen auf der Metalloxid-Oberfläche zu vermeiden, verwendet man sehr dünne Oxidschichten, die eine hinreichend große Leitfähigkeit besitzen, damit das Potential der Oberfläche nicht viel von dem der Metallunterlage differiert.
Häufig verwendet man Silber-Magnesium- oder Kupfer-Beryllium-Legierungen mit nur einigen Prozent Mg bzw. Be, die dann in einer oxidierenden Atmosphäre erhitzt werden, bis sich ein dünner Film von MgO bzw. BeO gebildet hat. Auf diese Weise werden <5 -Werte von etwa 15 erreicht, max
Für senkrecht auffallende Ionen werden Ausbeuten größer eins nur bei höheren Energien von einigen keV erreicht; für schwerere Ionen mit der gleichen Ladung sind die Ausbeuten kleiner. Das ist verständlich, weil Ionen mit größerer Masse kleinere Geschwindigkeiten haben und die Energieübertragung auf Metallelektronen dadurch schwieriger wird.
Schickt man Ionen hoher Energie durch ein Gas oder eine dünne Folie, dann finden Umladungsstöße statt. Einige Ionen verlieren dabei weitere Elektronen, andere nehmen ein Elektron auf und werden zu neutralen Atomen, die weiterhin eine hohe kinetische Energie besitzen. Solche Atome lösen Sekundärelektronen aus mit ungefähr den Ausbeuten wie die art- und energiegleichen Ionen.
Die Sekundärelektronen-Emission wird genutzt in Sekundärelektronenvervielfachern (SEV, multiplier, s. Abschn. 11.2.4) und im Rasterelektronenmikroskop (scan-ning electron microscope, SEM, s. Abschn. 11.3.4).
528
8 Elektrische Effekte in Metallen
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
8.3.1 Kontaktspannung
Wenn zwei Metalle A und B mit verschiedenen Austrittsarbeiten in Kontakt kommen, dann stellen sich ihre Fermi-Kanten auf gleiche energetische Höhe ein. Das geschieht durch Elektronenübergang vom Metall A mit der kleineren Austrittsarbeit zum Metall B mit der größeren Austrittsarbeit. Dadurch lädt sich A positiv und B negativ auf. Es entsteht die in Abb. 8.11 dargestellte Energiedifferenz e[/K; t/K ist die Kontaktspannung, auch „Kontaktpotential“ (contact potential) oder „Volta-Spannung“ genannt.
Abb. 8.10 Energiediagramm für den Kontakt zweier Metalle mit verschiedenen Austrittsarbeiten. Durch Ladungsübergang entsteht ein Potentialsprung, durch den sich die Fermi-Energien energetisch angleichen.
Die Kontaktspannung ist charakteristisch für die beiden in „Kontakt“ befindlichen Metalle. Zur Ausbildung der Dipolschicht muss nur eine sehr geringe Ladungsmenge von einem zum anderen Metall übertreten; wie gut der elektrische Kontakt ist, spielt für die Einstellung des Gleichgewichtes keine Rolle. Wenn jedoch ein stationärer Strom fließt und der Kontakt einen endlichen Übergangswiderstand (Abschn. 8.3.3) besitzt, entsteht am Kontakt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall, der sich der hier diskutierten Kontaktspannung überlagert.
Deutung der Kontaktspannung. Zwei Metallstücke aus verschiedenem Material, die keinen elektrischen Kontakt haben und beide nicht aufgeladen sind, haben „Vakuumniveaus“ auf gleicher Höhe; im Vakuum zwischen den Metallen existiert kein elektrisches Feld.
Für die meisten Betrachtungen genügt es, die Elektronenzustände bis zur Fermi-Kante als besetzt und die höherliegenden als unbesetzt anzunehmen, wie es für T — 0 der Fall ist. Die bei Zimmertemperatur sehr kleinen thermischen Veränderungen der Energieverteilung sind für das Auftreten der Kontaktspannung unerheblich.
Wenn die beiden Metalle in elektrischen Kontakt gebracht werden, stellt sich ein thermodynamisches Gleichgewicht ein, in dem die Fermi-Potentiale angeglichen sind. (Die Fermi-Potentiale sind für Metalle und Halbleiter gleich den in der Gleichgewichtsthermodynamik wichtigen „chemischen Potentialen“.) Die Raumladungen rechts und links von der Grenzfläche bilden eine Dipolschicht und bewirken damit
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
529
einen Potentialsprung. Die Vakuumniveaus der beiden Metalle liegen nun auf verschiedener Höhe. Der Potentialsprung an der Grenzfläche - die Kontaktspannung -ist gleich der Differenz der durch e dividierten Austrittsarbeiten.
Messung der Kontaktspannung. In einem Leiterkreis mit Spannungsmessinstrument lassen sich Kontaktspannungen einzelner Kontakte überhaupt nicht messen, weil sich beispielsweise bei einem Kreis aus den hintereinander geschalteten Metallen A, B und C die Potentialdifferenzen an den Kontakten AB, BC und CA zu null addieren. Das muss so sein, denn anderenfalls würde in einem Stromkreis mit dem Gesamtwiderstand R permanent der Strom S UK/R fließen und ein Perpetuum Mobile 1. Art ergeben!
Die Kontaktspannung führt beim Kontakt zweier verschiedener Metalle zu entgegengesetzter Aufladung, z. B. A positiv, B negativ. Werden die beiden Metallkörper voneinander getrennt, dann fließen die Überschusselektronen größtenteils von B wieder zurück nach A. Das ist leicht zu verstehen, wenn die Metallplatten unter Beibehaltung eines letzten elektrischen Kontaktes an einem Rand durch Aufklappen getrennt werden. Durch das Aufklappen wird die Kapazität dieses „Plattenkondensators“ kleiner, aber die Spannung steigt nicht an, sondern der noch verbleibende elektrische Kontakt sorgt dafür, dass durch Ladungsausgleich die charakteristische Kontaktspannung t/K erhalten bleibt.
Generell ist nach der vollständigen Trennung der beiden Metalle eine restliche Aufladung von
2=C,<C	(8.30)
zu erwarten, wobei Cx die unbekannte Kapazität der Anordnung beim Abreißen des Kontaktes ist. Messungen mit sehr glatten Chromkugeln, die mit Kugeln aus anderen Metallen in Kontakt gebracht worden waren, ergaben Ladungen, die zwar der Kontaktspannung ungefähr proportional waren, aber auch zeigten, dass der Abstand, bei dem der Kontakt abbricht, deutlich größer als 1 nm ist. Das lässt sich durch die unvermeidlichen mikroskopischen Unebenheiten von makroskopisch glatten Flächen erklären: Der Feldemissionsstrom von der letzten Erhebung auf dem Elektronenüberschuss-Metall bricht erst ab, wenn der mittlere Abstand schon größer als 1 nm und die Kapazität Cx entsprechend klein ist. Bei der Trennung zweier Metalle kann auch ein Nanodraht gezogen werden, der dann abreißt (vgl. Abschn. 8.3.3, Abb. 8.16).
Die genaueste und zugleich einfachste Methode zur Messung der Kontaktspannung besteht in folgender Versuchsanordnung: Zwei Platten aus verschiedenem Ma-
Abb. 8.11 Schwingkondensator-Methode: Durch Kontaktspannung und schwingende Platte entsteht eine Wechselspannung, die zu null wird, wenn die Gleichspannung das Kontaktpotential kompensiert.
530
8 Elektrische Effekte in Metallen
terial mit glatt geschliffenen Oberflächen stehen sich dicht gegenüber und sind über eine variable Gleichspannungsquelle und ein Wechselspannungsmessgerät miteinander verbunden (Abb. 8.11). Die eine Platte führt hochfrequente Schwingungen aus, z. B. mit 500 Hz, die den Plattenabstand und damit die Kapazität des Plattenkondensators periodisch verändern. Es entsteht eine hochfrequente Wechselspannung, die verschwindet, wenn Gleich- und Kontaktspannung sich kompensieren. Für diese Nullmethode genügt eine empfindliche relative Messung der Wechselspannung, z. B. mithilfe eines Verstärkers und Kopfhörers. Bei der nach diesem Prinzip arbeitenden Kelvin-Sonde übernimmt die zu untersuchende Metalloberfläche die Rolle der feststehenden Kondensatorplatte; die schwingende Platte ist eine kleine „Sonde“ aus dem Referenzmetall.
8.3.2 Thermoelektrizität
Seebeck-Effekt. Im Sommer 1821, ein Jahr nach der Entdeckung der magnetischen Wirkung von Strömen durch H.C. Oersted, beobachtete der Privatgelehrte Johann Thomas Seebeck (1770 — 1831) bei seinen Untersuchungen zum „Magnetismus der galvanischen Kette“ Stromfluss in Stromkreisen aus zwei Metallen, der ohne Mitwirkung eines feuchten Leiters zustande kam! Bald fand er heraus, dass für diesen Effekt die Erwärmung einer Kontaktstelle durch seine Finger verantwortlich war. Die Nachricht von der überraschenden Entdeckung des „Thermomagnetismus“ wurde durch Oersted und andere schnell verbreitet.
Bildet man einen elektrischen Stromkreis aus Drähten zweier verschiedener Metalle A und B, dann fließt ein elektrischer Strom, wenn sich die zwei Berührungsstellen der Metalle, AB und BA, auf unterschiedlicher Temperatur befinden. Heute nennt man einen solchen, nur durch Wärmewirkung hervorgerufenen Strom einen thermoelektrischen Strom oder kurz Thermostrom. Das den Strom liefernde Metallpaar heißt Thermoelement.
Der Effekt lässt sich demonstrieren, indem man zwischen zwei mit den Klemmen eines empfindlichen Messinstrumentes (Galvanometers) verbundene Kupferdrähte einen Konstantandraht oder besser noch ein Bismutstäbchen lötet und eine der beiden Lötstellen mit der Hand oder einer Flamme erwärmt (Abb. 8.12). Dann zeigt das Galvanometer einen Strom an, dessen Richtung sich umkehrt, wenn man die betreffende Lötstelle abkühlt oder wenn man an ihrer Stelle die andere Lötstelle erwärmt. Für die Entstehung des Thermostromes sind also nicht die Absolutwerte
Abb. 8.12 Kupfer-Konstantan-Thermoele-ment und Strommessgerät (Galvanometer) G. Der Thermostrom wächst mit der Temperaturdifferenz zwischen den Verbindungsstellen („Lötstellen“) 1 und 2.
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
531
der Temperaturen an den beiden Lötstellen, sondern die Differenz zwischen diesen beiden Temperaturen verantwortlich. Die Energie, die für den Stromfluss im Kreis mit ohmschen Widerstand R > 0 benötigt wird, stammt aus der an der heißen Lötstelle zugeführten Wärme.
Thermospannungen und Thermoströme. Die Thermospannung, historisch als „Thermokraft“ (thermoelectricpower) bezeichnet, ist charakteristisch für die Kombination der Metalle A und B und die zwischen den zwei Lötstellen bestehende Temperaturdifferenz AT:
C/T = SAB AT.	(8.31)
Die Größe
SAB = dt/K/dT	(8.32)
wird differentielle Thermospannung („differentielle Thermokraft“) oder Seebeck-Koeffizient genannt.
Der Thermostrom ergibt sich aus dem Widerstand des Stromkreises R nach dem Ohm’schen Gesetz als UT/R. Die von Thermoelementen gelieferten Spannungen sind sehr klein; sie liegen in der Größenordnung von meV für Temperaturdifferenzen von 100 Grad. Historisch wurden solche kleinen Spannungen mit „spannungsempfindlichen Galvanometern“ gemessen, die einen kleinen Innenwiderstand hatten und relativ große Ströme für die Anzeige benötigten. Thermoelemente wurden auch als besonders konstante Stromquellen verwendet; G. S. Ohm hat damit das Ohm’sche Gesetz entdeckt.
Wenn größere Ströme fließen ist es wichtig, dafür zu sorgen, dass der Übergangswiderstand (Abschn. 8.3.3) an allen Verbindungsstellen vernachlässigbar ist. Andernfalls tritt der stromproportionale Spannungsabfall störend in Erscheinung.
Lötstellen. In der Literatur über Thermoelektrizität liest man immer von „Lötstellen“, gemeint sind aber nur gut-leitende Verbindungen beider Metalle, die weich-oder hartgelötet oder auch punktgeschweißt sein können. Wenn man Thermospannungen mit modernen elektronischen Messgeräten praktisch „stromlos“ misst, spielt der Übergangswiderstand keine Rolle, und Klemmkontakte zur Verbindung beider Metalle genügen.
Demonstration großer Thermoströme. Obwohl ein einzelnes Thermoelement nur eine sehr kleine Thermospannung liefert, kann man mit seiner Hilfe doch verhältnismäßig starke Ströme erzeugen, wenn man den Widerstand des ganzen Kreises nur klein genug macht. Biegt man z. B. einen 10mm starken Kupferdraht A (Abb. 8.13) zu einer Schleife und schließt sie durch zwei kurze eingelötete Konstantan-Stücke B, so fließt in diesem Kreis ein Strom von etwa 40 Ampere, wenn man durch Eintauchen des rechtwinklig umgebogenen Drahtendes in ein Glas mit Eiswasser die eine Lötstelle auf etwa 0°C abkühlt und gleichzeitig die andere Lötstelle auf etwa 100°C erhitzt, indem man das freie andere Ende des Kupferdrahtes in eine Bunsenflamme bringt. Die Thermospannung beträgt einige mV, der Widerstand des ganzen Kreises liegt in der Größenordnung von 10 4Q. Der Thermostrom lässt sich durch seine magnetische Wirkung nachweisen. Zu diesem Zweck legt man die Kupferschleife
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
533
Manganin (Mn), Iridium (Ir) und Rhodium (Rh), Zink (Zn) und Silber (Ag), Gold (Au), Kupfer (Cu), Wolfram (W), Cadmium (Cd), Molybdän (Mo), Eisen (Fe), Antimon (Sb), Silicium (Si), Tellur (Te) (Auswahl).
Geringe Verunreinigungen oder verschiedenartige Vorbehandlungen können die Werte sehr verändern. Verbindet man z. B. einen zur Hälfte hartgezogenen, zur Hälfte ausgeglühten Messingdraht mit einem empfindlichen Galvanometer, so entsteht bei Erwärmung der Grenze zwischen ausgeglühtem und noch hartem Metall ein Thermostrom, da sich diese beiden Drahtteile wie verschiedenartige Metalle verhalten. Auch ein elastisch auf Spannung beanspruchter Draht zeigt gegen einen unbeanspruchten Draht einen Thermoeffekt. Kristalle desselben Metalles ergeben an der Berührungsstelle verschieden orientierter Flächen oft beträchtliche thermoelektrische Wirkungen.
Thermoelektrische Messgeräte. Für Temperaturmessungen im Labor und in der Industrie eignen sich die Thermoelemente vorzüglich. Man beachte jedoch, dass die Thermospannungen nicht genau proportional zur Temperaturdifferenz sind. Deshalb braucht man zu jedem Thermoelement bei genauen Messungen eine Eichtabelle. Die folgenden Kombinationen haben sich bewährt; sie sind auch im Handel erhältlich. Die angegebene Spannung bezieht sich auf die Lötstellentemperaturen von 0 und 100°C:
-	Kupfer/Konstantan (55% Cu, 45% Ni) 4.25 mV
-	Eisen/Konstantan	5.37	mV
-	Nickel-Chrom (10%)/Nickel	4.04	mV
-	Platin-Rhodium (10%)/Platin	0.64	mV
Die hier angegebenen Thermospannungen sollen nur Anhaltswerte sein. Das Hand-book of Chemistry and Physics und das Internet geben umfangreiche Tabellen für standardisierte Thermoelemente.
Bauformen von Thermoelementen. Für die meisten Temperaturmessungen genügt ein aus Drähten zweier verschiedener Metalle gebildetes Element, dessen eine Lötstelle man an den Ort der zu bestimmenden Temperatur bringt, während man die andere Lötstelle auf einer konstanten Temperatur, etwa der des schmelzenden Eises hält. Für Temperaturen von — 200°C bis +400°C verwendet man Kupfer-Konstantan, bis 800°C Eisen-Konstantan-Elemente; für Temperaturen bis 1300°C ist eine Kombination aus Platin und einer Legierung von Platin mit 10% Rhodium gebräuchlich. Um eine Berührung beider Drähte zu vermeiden, führt man den einen Draht durch ein dünnes Quarz- oder Porzellanrohr. Der Vorteil der Thermoelemente liegt in ihrer Kleinheit und der dadurch bedingten geringen Wärmekapazität, sowie in der Möglichkeit, das Anzeigeinstrument an einem anderen Ort aufzustellen. Dadurch ist z. B. eine Überwachung von Temperaturen an schwer zugänglichen Stellen möglich. Für medizinische und biologische Zwecke werden Thermoelemente als nadelförmige Sonden hergestellt, die den Temperaturverlauf im lebenden Organismus zu verfolgen gestatten. Zur Strahlungsmessung benutzte man früher gern eine größere Anzahl hintereinander geschalteter Thermoelemente, eine sog. Thermosäule (vgl. Abb. 6.4). Statt dessen wird heute meist ein einzelnes, sehr kleines Thermoelement wegen seiner geringeren Wärmekapazität bevorzugt. Die auffallende Strahlung wird
534	8 Elektrische Effekte in Metallen
durch eine rotierende Blende periodisch etwa 10 mal pro Sekunde unterbrochen; der thermoelektrische Wechselstrom wird elektronisch verstärkt.
Thermokreuz. Kleine, insbesondere auch hochfrequente Wechselströme können über die Joule’sche Stromwärme als lokale Temperaturerhöhung nachgewiesen werden: Dazu genügt z. B. ein an einen stromdurchflossenen dünnen Platindraht angelötetes Thermoelement. Beim Thermokreuz sind ein dünner Eisen- und ein Konstantandraht kreuzweise umeinander geschlungen und verlötet; ihre Enden sind zu vier Anschlüssen geführt. Man führt den zu messenden Strom über ein Eisen- und ein Konstantan-Drahtende zu. Der Strom fließt über die Lötstelle und erwärmt sie. Die dadurch auftretende Thermospannung lässt sich an den anderen beiden Drahtenden abnehmen.
Thermoelektrische Generatoren. Während Raumfahrzeuge für das innere Planetensystem zum Betrieb der Bordelektronik mit Solarzellen ausgerüstet werden, benötigen Raumfahrzeuge für das sonnenferne äußere Planetensystem eine andere Stromquelle. Die dafür eingesetzten Atombatterien (Radionuklidbatterien, nuclear batte-ries) sind thermoelektrische Generatoren, die an den warmen „Lötstellen“ geheizt werden. Die Wärmeenergie wird durch Absorption der a-Strahlen einer radioaktiven Quelle geliefert.
Peltier-Eflekt. 13 Jahre nach der Entdeckung des Seebeck-Effekts wurde 1834 von dem französischen Uhrmacher und Physiker Jean Charles Athanase Peltier (1785— 1845) der umgekehrte Effekt gefunden. Er beobachtete, dass an den zwei Lötstellen eines aus den Metallen A und B bestehenden Stromkreises Erwärmung bzw. Abkühlung auftritt, wenn ein elektrischer Strom / fließt. Es gilt
d W/At = //Al! I,	(8.33)
wobei W die an den Lötstellen reversibel freigesetzte bzw. aufgenommene Wärme und nAB der Peltier-Koeffizient ist. Die linke Seite der Gleichung beschreibt eine thermische Leistung, die rechte Seite eine elektrische Leistung; //AB ist deshalb eine Spannung oder eine „Energie pro Ladung“.
Die Vorzeichenkonvention ist folgende: Wenn der Strom von A nach B fließt, ist nAB positiv bei Erwärmung der Lötstelle.
Beim Seebeck-Effekt kann man im Prinzip die Thermospannung „stromlos“ messen; beim Peltier-Eflekt wird dagegen immer ein Strom benötigt. Deshalb muss der Übergangswiderstand (Abschn. 8.3.3) an den Verbindungsstellen hinreichend klein sein.
Auch der ohmsche Widerstand der Leiterstücke erschwert den Nachweis des Pel-tier-Effektes, weil durch den elektrischen Strom, der durch das Thermopaar fließt, Joule’sche Wärme erzeugt wird. Letztere ist proportional zu I2, der Peltier-Effekt dagegen proportional zu I; für genaue Messungen muss deshalb die Extrapolation I -> 0 vorgenommen werden.
Demonstration des Peltier-Eflektes. Gewünscht wird eine Methode, die nur die Erwärmung und Abkühlung durch den Peltier-Effekt zeigt, nicht aber die Aufheizung durch die Joule’sche Wärme. Bei der Anordnung der Abb. 8.14 ist ein Antimon-
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
535
Abb. 8.14 Anordnung zum Nachweis des Peltier-Effektes.
Stäbchen A zwischen zwei Bismutstäbchen B, und B2 gelötet. Die beiden Lötstellen sind luftdicht in zwei Thermoskop-Gefäßen Th3 und Th2 eingeschlossen, die durch eine U-förmige Glasröhre miteinander verbunden sind. Im unteren horizontalen Teil dieser Verbindung befindet sich ein Flüssigkeitstropfen F. Schickt man einen Strom von B3 über A nach B2, so verschiebt sich der Tropfen von rechts nach links, da an der Lötstelle in Th3 eine Abkühlung und an der Lötstelle in Th2 eine Erwärmung auftritt. Bei Stromumkehr kehrt sich der beobachtete Effekt um. Die im Stromkreis gleichzeitig erzeugte Joulesche Wärme stört nicht, da sie einerseits in beiden Glaskugeln gleich groß ist, und sie andererseits durch die Wahl dicker Antimon-und Bismutstäbe minimiert werden kann.
Peltier-Elemente. Aus mehreren Elementen zusammengefügte Peltier-Blocks werden in der Kälte-Messtechnik verwendet. Mit Heiz-Thermostaten können nur Temperaturen deutlich oberhalb der Labortemperatur stabilisiert werden. Peltier-Thermos-tate erlauben z. B. die Stabilisierung auf den Eispunkt. Mit elektronischer Regelung und geeichten Temperaturfühlern benötigt so ein Eis-Punkt-Thermostat weder Eis noch Wasseranschluss; Luftkühlung genügt. Für Peltier-Kühlung bei Zimmertemperatur haben sich vor allem Bi2Te3/Sb2Te3-Legierungen bewährt.
Um bei gegebenem Peltier-Koeffizienten an der wärmeabsorbierenden Lötstelle eine möglichst starke Temperatursenkung zu erreichen, sollten sowohl die Heizung durch Joule’sche Wärme und als auch die Wärmezufuhr durch Wärmeleitung in den Leitern möglichst klein sein. Weil das Verhältnis von elektrischer Leitfähigkeit (hier möglichst groß) und Wärmeleitfähigkeit (hier möglichst klein) nach dem Wie-demann-Franz-Gesetz nur von der Temperatur abhängt (Abschn. 7.1.3), sind der Optimierung Grenzen gesetzt.
Absolute Peltier- und Seebeck-Koeffizienten. Der Peltier-Koeffizient 17 AB wird als Differenz zweier „absoluter Peltier-Koeffizienten“ der Metalle A und B aufgefasst:
d JJ/clz = (77 A - 77 B) 7.	(8.34)
Eine grobe Vorstellung von der Größe des absoluten Peltier-Koeffizienten gibt die typische thermische Energie eines Leitungselektrons kT, geteilt durch die Elektronenladung e und multipliziert mit dem Anteil der thermisch angeregten Leitungselektronen von etwa T/0F (0F = E^k — Fermi-Temperatur):
77A « (Ä'T/e) (T/0F>A).	(8.35)
536
8 Elektrische Effekte in Metallen
Analog werden absolute Seebeck-Koeffizienten eingeführt:
t/T = (SA-SB)AT.	(8.36)
Vorzeichenkonvention: Falls SA > SB, dann fließt der Strom an der kalten Lötstelle von A nach B.
Schon Lord Kelvin erkannte die Beziehung
77Ä = SA T,	(8.37)
die erst später mithilfe der irreversiblen Thermodynamik begründet werden konnte. Für die Größenordnung des Seebeck-Koeffizienten ergibt sich nach Gl. (8.35) und (8.37)
SA « (k/e) (T/0fa) ~ T.	(8.38)
Bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt gehen die differentiellen Thermokräfte nach null.
Der Peltier-Koeffizient //A ist eine für das Metall A charakteristische Spannung; multipliziert mit der transportierten Ladung Q ergibt sich QIJA = IV, wobei IV die reversibel freigesetzte (oder absorbierte) Wärme ist. Nun kann Gl. (8.37) wie folgt geschrieben werden:
W=QIIA = QSAT.	(8.39)
Die mit dem Transport der Ladung Q reversibel umgesetzte Peltierwärme IV ergibt sich als Produkt der Temperatur T und der Größe (Q SA), die thermodynamisch als Entropie (vgl. Bd. 1) identifiziert werden kann; SA ist also die auf die transportierte Ladung bezogene Transport-Entropie.
Theoretische Deutung des Peltier-Effektes. Wir beschränken uns hier auf eine qualitative Beschreibung und beginnen mit dem Peltier-Effekt, der zwar später als der Seebeck-Effekt entdeckt wurde, aber leichter zu verstehen ist.
Wenn alle Leitungselektronen gleichermaßen am Stromtransport teilnehmen, dann werden die abwandernden Elektronen durch energetisch gleichwertige nachfließende Elektronen ersetzt und thermisch verändert sich nichts. Wenn jedoch die Leitungselektronen eine von der Energie abhängige Leitfähigkeit (nach der kinetischen Theorie verknüpft mit der mittleren freien Weglänge) besitzen, dann nehmen nicht alle Elektronen in gleicher Weise am Stromtranport teil. Wenn beispielsweise Elektronen mit einer über EP liegenden Energie E eine höhere Strömungsgeschwindigkeit erhalten als die mit E < EP, dann ist mit dem elektrischen Stromfluss ein wegen der negativen Elektronenladung entgegengesetzter Wärmestrom verbunden.
Wenn in den Metallen A und B bei gleichem elektrischen Stromfluss unterschiedlich große Wärmeströme fließen, dann entsteht an der einen Kontaktstelle eine Wärmequelle, an der anderen eine Wärmesenke.
Theoretische Deutung des Seebeck-Effektes. Nun betrachten wir den Stromkreis A-B-A für den Fall, dass die Lötstellen AB und BA auf unterschiedlicher Temperatur liegen, aber keine sonstige Stromquelle im Kreis vorhanden ist. Die an der heißen Lötstelle AB zugeführte Wärme wird durch Wärmeleitung in den Drähten A und B abgeführt. In Metallen nehmen auch die Leitungselektronen an der Wärmeleitung
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
537
teil und können dafür wie Gas-Moleküle in der kinetischen Theorie betrachtet werden: Die entgegen dem Temperaturgradienten fliegenden Elektronen transportieren mehr kinetische Energie als die in Richtung des Gradienten fliegenden. Wenn aber z. B. die Elektronen hoher Energie eine größere mittlere freie Weglänge besitzen als die mit kleiner Energie, dann resultiert daraus eine von null verschiedene mittlere Strömungsgeschwindigkeit entgegengesetzt zum Temperaturgradienten. Das ist die Thermodiffusion!
Die Thermodiffusion transportiert Elektronen, soweit das bei Einhaltung der Ladungsneutralität in den Leitern möglich ist. Je nachdem, in welchem der beiden Drähte (A oder B) die von der heißen Lötstelle weggerichtete Thermodiffusion stärker ist, fließt ein elektrischer Strom (Thermostrom) durch die Lötstelle von A nach B oder umgekehrt.
Unterbricht man den Thermostrom durch ein in den Stromkreis eingefügtes „stromlos“ messendes Voltmeter, dann geschieht physikalisch folgendes: An den Grenzflächen und Leiteroberflächen treten (sehr geringe) elektrische Ladungen auf, die im Leiter ein elektrisches Feld erzeugen. Dieses .E-Feld verursacht eine Elektronen-Driftbewegung, die den Thermostrom gerade kompensiert.
Manche Lehrbücher deuten die Thermospannung als eine Folge der unterschiedlichen Temperaturabhängigkeit der Austrittsarbeit verschiedener Metalle, die zu temperaturabhängigen Kontaktspannungen führt. Das ist falsch! Zur Widerlegung dieser Auffassung betrachten wir den einfachen Fall zweier scharf-begrenzter Temperaturbereiche „heiß“ und „kalt“ und nehmen an, dass der heiße Bereich die Lötstelle AB und je ein Stück der beiden Drähte A und B umfasst. Der Stromkreis mit Galvanometer hat dann die folgende Material- und Temperaturverteilung:
Galv. A-A I A AB B I B - BA - A Galv.
kalt kalt I heiß heiß heiß I kalt kalt kalt
Neben den eigentlichen Lötstellen AB und BA befinden sich im Kreis noch zwei andere Übergänge, nämlich die durch senkrechte Striche gekennzeichneten Temperaturgrenzen, wo gleiche Metalle auf verschiedener Temperatur Zusammentreffen. Durch temperaturabhängige Austrittsarbeiten entstehen an diesen Stellen Kontaktspannungen. Die Summe der entlang des Thermoelementes auftretenden Kontakt-spannugen ist - multipliziert mit der Elektronenladung - gegeben durch die Summe folgender Austrittsarbeits-Differenzen:
(^A.kalt “' ^A.heiß) + (^A.heiß ^B.heiß)
+ (^B.heiß “ ‘/’ß,kalt) + (^B.kalt “ ^A.kalt) =	(8.40)
Alle Austrittsarbeiten treten zweimal mit unterschiedlichen Vorzeichen auf; die Summe ist null. Bei weniger scharf begrenzten Temperaturbereichen müssten die Drähte in sehr viele Stücke mit sehr kleinen Temperaturunterschieden aufgeteilt werden; am Resulat „null“ würde sich nichts ändern. Das zeigt: Allein durch temperaturabhängige Austrittsarbeiten - ohne die Mitwirkung der Thermodiffusion - kann keine Thermospannung entstehen.
538
8 Elektrische Effekte in Metallen
8.3.3 Übergangswiderstand
Nicht jede Verbindung metallischer Leiter in einem Stromkreis kann als gut leitende „Lötstelle“ ausgeführt werden. Das gilt vor allem für Schaltkontakte aller Art, aber auch für die vielen schnell erstellten Klemm- und Steckverbindungen in physikalischen Experimenten.
Saubere Kontaktflächen. Die Physik des Kontaktwiderstandes (contact resistance) ist eng verwandt mit der Physik von Haft- und Gleitreibung fester Körper. In beiden Fällen berühren sich die beiden makroskopischen Flächen nur in einigen Punkten, die erst durch Materialverformung (Fließen) zu echten Kontaktflächen werden, wo sich die Oberflächenatome der beiden Festkörper bis auf die für Kristalle typischen Atomabstände nahe kommen. Die gesamte Kontaktfläche AK ist immer viel kleiner als die makroskopische Auflagefläche A und ist proportional zur „Normalkraft“ Fn (elektrotechnisch „Last“), die die beiden Körper aufeinander presst, aber unabhängig von der Größe der Auflagefläche A.
Bei elektrischen Schalterkontakten ist das eine Metallstück fest montiert und das andere ist Teil einer Biege- oder Kippvorrichtung, wird also in seiner Bewegung geführt, bis es in einem Punkt zur Berührung kommt. Entsprechend der wirksamen Normalkraft FN verformen sich beide Metallstücke am Berührungspunkt. Die Größe der Kontaktfläche nimmt zu und der wirksame Druck F^/A^ verkleinert sich, bis das Material dem verbleibenden Druck ohne weitere Verformung standhalten kann.
Der Übergangswiderstand kommt dadurch zustande, dass der Stromfluss auf die kleine Fläche (contact region) „verengt“ ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von „Strom-Enge“ und „Enge-Spannung“. Angenommen, zwei Stücke des gleichen Metalls (mit spezifischem Widerstand p) sind in einer kleinen kreisförmigen Kontaktfläche mit Durchmesser D so gut wie „verschweißt“, aber außerhalb dieser Kontaktfläche ist der Abstand so groß, dass dort kein Ladungstransport stattfinden kann. Vor und hinter dem Kontakt sollen die Leiterquerschnitte sehr groß im Vergleich zu AK sein.
Der Verlauf der Stromfäden ist in Abb. 8.15 schematisch für den Fall zweier zylindrischer Metallstücke mit Berührungsstelle in der Mitte dargestellt. Wichtig ist, dass sich die Stromfäden vor dem Kontakt allmählich einander nähern und nach dem Kontakt allmählich auseinander streben. In einer Näherungsberechnung des Übergangswiderstandes (R. Holm 1957) wurden die zu den Stromfäden senkrecht stehenden Äquipotentialflächen modellhaft angenähert und daraus der Spannungsabfall in der Umgebung des Kontaktes abgeschätzt. Für den Übergangswiderstand ergab sich die Näherungsformel
Rü p/D.	(8.41)
Beispiel: Silber hat den spezifischen Widerstand pAg = 1.5 • 10 s Qm. Für eine kreisförmige Kontaktfläche mit Durchmesser D x 0.01mm = 10" m folgt F(- x 1.5mQ.
Wie groß ist nun die Kontaktfläche wirklich? Das hängt von der wirkenden Normalkraft Fn und der Härte (hardness) des Kontaktmaterials ab. Es gibt verschiedene Härtemaße, die in Messvorschriften und Maßeinheiten voneinander abweichen. Sie basieren aber alle auf dem Verhältnis von Kraft FN und echter, durch messbare
8.3 Grenzfläche Metall/Metall
539
Abb. 8.15 Stromfäden (ausgezogene Kurven) und Äquipotentiallinien (gestrichelt) in der Nähe einer Kontaktstelle zwischen zwei zylindrischen Metallstücken.
Deformation erhaltene Kontaktfläche AK. Ohne auf Einzelheiten einzugehen, verwenden wir hier für die irgendwie gemessene Härte H nur die Proportionalität
H - 4/4	(8-42)
Wir nehmen also hier an, dass die Deformationsfläche, die bei der Härtemessung z. B. durch Einpressen einer pyramidenförmigen Diamantspitze entsteht, proportional ist zu der Kontaktfläche, die bei gleich kräftigem Zusammenpressen zweier Stücke des gleichen Materials entsteht. Aus Gl. (8.41) und Gl. (8.42) folgt
/Wü—WJ12.	(8-43)
Messungen von Rv für reine Metalle, die durch Erhitzen bis dicht unterhalb des Schmelzpunktes im Hochvakuum gesäubert worden waren, mit Kontakten in Form von Platten oder gekreuzten Stäben, ergeben ungefähr die Proportionalität zu F“1/2; auch Kontakte aus amorpher Kohle, wie sie in Kohlemikrophonen verwendet wird, verhalten sich so. Wegen der größeren Härte ist der Übergangswiderstand von Kohlekontakten etwa tausend mal größer als der für Kupferkontakte bei gleicher Normalkraft.
Kontaktflächen mit Fremdschichten. Bringt man saubere Oberflächen an Luft, so bilden sich schon nach wenigen Sekunden fest haftende „monomolekulare“ Fremdschichten von adsorbierten Molekülen, vor allem O2. Durch eine monomolekulare Schicht isolierender Moleküle können die Leitungselektronen hindurchtunneln. Dazu ist eine Potentialdifferenz an der Berührungsstelle erforderlich: Die Fermi-Kanten der beiden Metallstücke müssen unterschiedliche Höhe haben, damit Elektronen aus besetzten Zuständen des einen Metallstücks in unbesetzte Zustände des anderen gelangen können.
Viel problematischer für elektrische Kontakte sind die meist schon sichtbaren Oxid- oder Sulfidschichten, die den Kontakt ganz bedecken, typische Dicken von ca. 10 6 cm besitzen und damit zu dick für den Tunneleffekt sind. Falls diese iso
540
8 Elektrische Effekte in Metallen
lierenden Schichten nicht schon durch Reibung im Kontakt oder durch Metallverformung bei der Kontaktbildung verletzt werden, kommt es schließlich zu einem elektrischen Durchschlag, der als „Frittung“ bezeichnet wird. Schon kleine Übergangsspannungen von einigen Volt führen zu Feldstärken an der Fremdschicht von einigen 106 V/cm und damit zum Durchbruch. Dabei werden durch Stoßionisation lawinenartig viele Elektronen freigesetzt. Die damit verbundene Wärmeentwicklung führt zu lokalem Schmelzen des Metalls, das in den Durchschlagkanal hineingezogen wird und eine leitende Brücke bildet. An dieser Brücke wird Joule’sche Wärme frei, die zu weiterem Schmelzen und Verdicken der Brücke führt. Das setzt sich fort, bis die Brücke so groß ist, dass sie im festen Zustand den Strom tragen kann.
Aufheben eines metallischen Kontaktes. Bei der Aufhebung von stromführenden Kontakten treten Sekundäreffekte auf: Hervorgerufen durch den Wegfall eines ohmschen Spannungsabfalles oder durch Induktion liegt plötzlich eine Spannung am geöffneten Kontakt, die eine Fortsetzung des Stromflusses bewirken kann. Feldemission ist möglich; der Strom geht aber mit zunehmendem Kontaktabstand sehr schnell nach null. In Gasen (Luft) kann sich ein Abrissfunken oder gar ein Lichtbogen (Abschn. 10.3.6) bilden.
Bei der Aufhebung eines nahezu stromlosen Kontaktes ist die Physik viel übersichtlicher: Der Mikrokontakt zweier Metalle, wie er mit dem Raster-Tunnel-Mik-roskop (Abschn. 11.3.4) simuliert und studiert werden kann, führt beim Trennen der Metalle zunächst zu einer lokalen Verformung. Die beiden Metalle „kleben“ aneinander; es kommt zur Ausbildung eines Nanodrahtes (so genannt wegen des Nanometer-Größenbereichs), der sich dann einschnürt und schließlich abreißt. So muss man sich auch den letzten Kontakt bei der makroskopischen Trennung zweier Metalle vorstellen.
Abb. 8.16 Zur Quantisierung des Leitwertes: Strom als Funktion der Zeit beim Lösen eines Kontaktes (J.L. Costa-Krämer, 1995).
8.4 Supraleitung
541
1993 wurde von N. Garcia und Mitarbeitern (Madrid) erkannt, dass die Leitfähigkeit dieser Nanodrähte nur ganzzahlige Vielfache des Quantenleitwertes
G„ = 2 e2fh = (12 906.403 725(43) Q) 1	(8.44)
annehmen kann. Der Faktor zwei in Gl. (8.44) wird theoretisch durch die Entartung der beiden Elektronen-Spinzustände erklärt. Bei Experimenten im Magnetfeld, wo die Elektronenspin-Entartung aufgehogen ist, z. B. dem Quanten-Hall-Effekt (Abschn. 8.1.3) tritt der Leitwert e2/Ä als fundamentale Größe auf.
Die Abb. 8.16 zeigt das Abklingen des Stroms beim Lösen eines Kontaktes: Zwei übereinanderliegende Golddrähte wurden mit einer Batterie und einem 10-kQ-Widerstand zu einem Stromkreis verbunden und der strom-proportionale Spannungsabfall am Widerstand mit einem Speicheroszilloskop gemessen. Bei sanfter Trennung der Drähte ging der Strom im Verlauf von etwa einer Millisekunde in kleinen Quantensprüngen nach null.
8.4	Supraleitung
8.4.1 Grundlagen
Im Jahre 1911 machte H. Kamerlingh-Onnes in Leiden (Holland) die überraschende Entdeckung, dass der elektrische Widerstand von Quecksilber bei Temperaturen unter 4.15 K plötzlich einen unmessbar kleinen Wert annimmt. Diesen Effekt, den er später auch bei anderen Metallen fand, nannte er „Supraleitung“ (superconduc-tivity); kurz darauf (1913) erhielt er den Nobelpreis für seine Tieftemperaturforschung, die auch zur Helium Verflüssigung geführt hatte.
Inzwischen ist bei vielen metallischen Elementen des Periodensystems, die bei tiefen Temperaturen weder ferromagnetisch noch antiferromagnetisch ordnen (vgl. Kap. 14), Supraleitung gefunden worden. Manche Elemente werden nur in bestimmten kristallographischen Modifikationen oder unter bestimmten Bedingungen (z. B. unter hohem Druck oder in der Form dünner Schichten) supraleitend. Viele elektrisch leitende Verbindungen oder Legierungen werden auch supraleitend, manche sogar, obwohl ihre elementaren Konstituenten selbst, jedenfalls bei den bisher zugänglichen Temperaturen, nicht supraleitend werden (z. B. CuS). Allgemein gilt, dass gute Leiter (wie Cu und Ag) gar keine oder schlechte Supraleiter sind, während gute Supraleiter (wie Pb und Nb) schlechte Leiter sind.
Die Temperatur, unterhalb derer der elektrische Widerstand verschwindet, heißt Sprungtemperatur (transition or critical lemperaiure] Tc. Oberhalb eines kritischen Magnetfeldes (critical field, threshold fteld] bricht die Supraleitung zusammen. Die kritische Feldstärke ist abhängig von Material und Temperatur (Abb. 8.18). Bei Tc ist Bc — 0; bei T — 0 ist Bc am größten. Für die meisten Element-Supraleiter gilt: Je kleiner Tc desto kleiner ist auch Bc für T -> 0. Diese Tatsache erschwert die Suche nach neuen Elementsupraleitern, da nicht nur extrem tiefe Temperaturen erreicht, sondern auch kleinste Magnetfelder abgeschirmt werden müssen.
Da jeder stromdurchflossene Leiter von einem Magnetfeld umgeben ist, kann man leicht einsehen, dass es im Supraleiter eine kritische Stromstärke Ic gibt, de
542	8 Elektrische Effekte in Metallen
ren begleitendes Magnetfeld an der Oberfläche des Leiters gerade den Wert Hc erreicht.
In der Umgebung eines geraden Drahtes mit kreisförmigem Querschnitt nR2 beträgt das vom Strom / erzeugte 2?-Feld im Abstand r von der Drahtachse
B = l/2nr.	(8.45)
Der kritische Strom in diesem Draht ist erreicht, wenn das Feld am Rand r — R den kritischen Wert annimmt:
(8.46)
Wie klein der elektrische Widerstand im Supraleiter wirklich ist, kann nicht gemessen werden. Folgendes Experiment ergibt eine obere Abschätzung: In einem Kryostat befinde sich unterhalb der Sprungtemperatur eine Spule aus supraleitendem Draht. Die Drahtenden seien miteinander supraleitend verbunden. Durch Induktion kann in der Spule ein Dauerstrom erzeugt werden; dessen zeitlicher Abfall ein Maß ist für den elektrischen Widerstand des Drahtes. An Stelle des Dauerstroms selbst wird das in der Spule herrschende Magnetfeld gemessen. Das Experiment dauert mehrere Monate. Hat die Spule z. B. eine Induktivität von L — 1 pH, und das induzierte Magnetfeld beträgt BJ^i0 — 80A/cm, so kann man mit modernen Messmethoden eine Feldänderung von 10" nachweisen. Da solch eine Änderung auch nach 90 Tagen noch nicht beobachtet wird, muss der Spulenwiderstand R weniger als 10 lsQ betragen. In einer normalleitenden Kupferspule würde die nachweisbare Magnetfeldänderung schon nach etwa 10 jrs ein treten.
Über viele Jahrzehnte der Suche nach neuen Supraleitern stieg die höchste bekannte Sprungtemperatur Tc nur sehr langsam in kleinen Sprüngen an (Abb. 8.17). 1986 gelang G. Bednorz und K. A. Müller (Nobelpreis schon 1987!) der Durchbruch
Abb. 8.17 Zeitliche Entwicklung der Sprungtemperatur. HTSL: Lanthan-Barium-Kupfer-oxid (LBCO), Yttrium-Barium-Kupferoxid (YBCO), sowie Bismut-Strontium-, Thallium-Ba-rium- und Quecksilber-Barium-Calcium-Kupferoxid (BSCCO, TBCCO, HBCCO).
8.4 Supraleitung
543
zu den Hochtemperatur-Supraleitern (HTSL). Ihre Überlegungen führten sie zu einer bestimmten Sorte von Metalloxid-Keramiken (Kupraten), die mineralogisch zu den Perowskiten (Bd. 6, Kap. 2) gehören. Nach sehr stürmischen Forschungsaktivitäten weltweit wurde schon sieben Jahre später mit Tl-Ca-Ba-Cu-0 die kritische Temperatur von Tc — 125 K erreicht. Die Sprungtemperaturen der interessanten HTSL liegen im Bereich von 90 bis 135 K, also deutlich oberhalb der technisch leicht zugänglichen Siedetemperatur von flüssigem Stickstoff (77 K), aber noch weit unterhalb des Traumziels „Zimmertemperatur“ (300 K).
Meissner-Ochsenfeld-Effekt. Charakteristisch für Supraleiter ist nicht nur das Verschwinden des elektrischen Widerstands, sondern auch, dass in seinem Inneren die magnetische Feldstärke B gleich null ist. Der Supraleiter ist unterhalb der Sprungtemperatur und unterhalb der kritischen Feldstärke ideal diamagnetisch (Abschn. 14.1). Wird eine supraleitende Probe in ein Magnetfeld B< Bc gebracht, kann der Magnetfluss nicht eindringen, die Feldlinien laufen um die Probe herum (siehe Abb. 8.18). Wird die Probe über die Sprungtemperatur erwärmt, dringt der Fluss wie in jedes normal leitende Material ein. Beim erneutem Abkühlen unter die Sprungtemperatur wird der Fluss aus der Probe herausgetrieben. (W. Meissner und R. Ochsenfeld, 1933).
B<BC
B>BC
Abb. 8.18 Meissner-Ochsenfeld-Effekt: oben normal leitende Probe, unten - supraleitende Probe; links kein Feld, Mitte unterkritisches Feld, rechts - überkritisches Feld.
Seit es Hochtemperatur-Supraleiter gibt, kann der Meissner-Ochsenfeld-Effekt auch sehr leicht in der Vorlesung demonstriert werden (Abb. 8.19). Dazu benötigt man nur ein kleines Stück Y-Ba-Cu-O-Keramik, flüssigen Stickstoff und einen Permanentmagneten, der ein vertikales, nach oben abnehmendes Magnetfeld erzeugt. In diesem divergierenden Magnetfeld schwebt der Supraleiter, weil der Meissner-Ochsenfeld-Effekt das umgebende Magnetfeld nicht eindringen lässt.
Die kritische Feldstärke Bc hängt für einen gegebenen Supraleiter von der Probengeometrie ab: Der ideale Meissner-Ochsenfeld-Effekt mit maximalem Bc gilt nur für Probengeometrien, die das äußere Feld nicht verändern, z. B. für einen langge-
8.4 Supraleitung
545
Abb. 8.20 Magnetisches Verhalten von Supraleitern: oben - Typ I, unten - Typ II
Der Typ-II-Supraleiter verhält sich bis zu einem Feld BC1 < Bc wie ein Typ-I-Sup-raleiter (vollkommener Meissner-Ochsenfeld-Effekt). Oberhalb Bcl dringt Magnetfluss in die Probe ein, und die Magnetflussdichte steigt stark an, um bei Bc2 den Wert des normalen Metalls zu erreichen (Abb. 8.20d). Zwischen Bcl und Bc2 befindet sich die Probe in dem so genannten gemischten Zustand (mixedstate), ist aber immer noch elektrisch supraleitend. Oberhalb Bc2 ist sie normal leitend. Bc ist dadurch festgelegt, dass die schraffierten Flächen in (Abb. 8.20c) einander gleich sein müssen; BC1 und Bc2 liegen umso weiter auseinander, je größer die unten definierte Eindringtiefe 2 ist. Das obere kritische Feld kann sehr hohe Werte erreichen. Da der Widerstand R = 0 bis zum Feld Bc2 gegeben ist, haben besonders die Typ-II-Supraleiter technische Bedeutung erlangt.
Das Eindringen des Flusses in den Supraleiter, also der gemischte Zustand, ist kein Widerspruch zum Meissner-Ochsenfeld-Effekt, weil Normalbereiche (mit Fluss) neben supraleitenden Bereichen (ohne Fluss) koexistieren.
Eindringtiefe. An sehr dünnen supraleitenden Schichten ist erkannt worden, dass das Magnetfeld doch ein wenig in die Oberfläche des Supraleiters eindringt. Die Eindringtiefe (penetration depth) 2 hängt vom Material und von der Temperatur ab. Das Magnetfeld dringt etwas in die Oberfläche des Supraleiters ein, um hier die feldkompensierenden, stationären Supraleitungsströme zu induzieren. Der Abfall des magnetischen Feldes erfolgt in ähnlicher Weise wie die Dämpfung eines elektromagnetischen Hochfrequenzfeldes im Normalleiter (Skineffekt, Abschn. 5.1.3), d. h. exponentiell. Die Eindringtiefe 2 ist dabei die Tiefe, bei der die Fluss
546
8 Elektrische Effekte in Metallen
dichte um 1/e abgenommen hat. In der Nähe der Sprungtemperatur Tc ist die Eindringtiefe 2 stark temperaturabhängig; wenige millionstel Grad unterhalb der Sprungtemperatur wird 2 so groß, dass man keinen perfekten Diamagnetismus mehr hat. Bei 0 K beträgt 2 typischerweise 30 —60 nm und steigt mit der Temperatur nach der Beziehung
1(T) = A(0)/[l - (77 7/)4]1 2.	(8.47)
Bei Tc ist der ganze Supraleiter von Fluss durchdrungen: MTJ -» oo.
8.4.2 Quanteneffekte
Zweiflüssigkeiten-Modell (two-fluid model). Die phänomenologische Beschreibung der Supraleitung mithilfe des Zweiflüssigkeiten-Modells (C.J. Gorter, H.B.G. Casimir, 1934; F. und H. London, 1935) geht davon aus, dass es zwei „Sorten“ von Leitungselektronen gibt, die normalleitenden (n) und die supraleitenden (s). Ihre Anteile nn und ns an der Gesamtelektronendichte n — ur + ns sind temperaturabhängig: ns -> n für T -> 0 und ns -> 0 für T -> Tc. Bei Ladungstransport fließen Normalstrom und Suprastrom zusammen wie die beiden Komponenten einer Mischung von zwei Flüssigkeiten.
Ein analoges Zweiflüssigkeiten-Modell bewährte sich zur Beschreibung der Superflüssigkeit (L. Tisza, 1938) des flüssigen Heliums (Bd. 5, Kap. 4). Da 4He den Spin 0 besitzt und somit ein Boson ist, wurde das Phänomen der Superflüssigkeit mit der aus der Quantenstatistik bekannten Bose-Einstein-Kondensation eines stark entarteten Bose-Gases in Verbindung gebracht (Abschn. 7.4.3).
Nun entstand folgender Widerspruch: Einerseits hatte sich das Zweiflüssigkeiten-Modell sowohl für die Supraleitung als auch für die Superflüssigkeit sehr bewährt. Andererseits haben Elektronen den Spin 1/2 und sind deshalb Fermionen, und die Fermi-Statistik kennt keine entsprechende „Kondensation“. Die Auflösung dieses Widerspruchs ergab sich durch die Erkenntnis, dass sich supraleitende Elektronen zu Paaren verbinden. Die so genannten Cooper-Paare haben Spin 0 und gehorchen der Bose-Statistik.
BCS-Theorie. Die 1957 entwickelte Quantentheorie der Supraleitung wird nach ihren Vätern J. Bardeen, L.N. Cooper und J. R. Schrieffer (Nobelpreis 1972) mit dem Kürzel BCS gekennzeichnet. Die Theorie baut auf der Beobachtung auf, dass die Schwingungen des Kristallgitters, denen man formal Energiequanten, genannt Phononen, zuordnen kann, einen starken Einfluss auf die Sprungtemperatur haben. Dies kann man schon daran erkennen, dass die Sprungtemperatur bei dem selben Metall für verschiedene Kristallgitter (Modifikationen) unterschiedlich ist. Ferner ergibt sich für ein gegebenes Element eine Abhängigkeit der Sprungtemperatur von der relativen Isotopenmasse M: Tc ~ ]/~M. Das deutet auf den Einfluss schwingender Massen hin und schließt elektrische oder magnetische Wechselwirkungen aus. Die Theorie hat gezeigt, dass die quantenhaften Gitterschwingungen, also die Phononen, eine anziehende Wechselwirkung zwischen Leitungselektronen vermitteln, die ent
8.4 Supraleitung
547
gegengesetzte Spins und Impulse haben, aber nicht örtlich eng beieinander sein müssen, sondern deren mittlere Abstände typischerweise bei 0.1 — 1 jrm liegen.
Elektronen, die durch die Wechselwirkung mit den Photonen zu so genannten Cooper-Paaren „gebunden“ sind, gehorchen der Bose-Statistik, für die das Pauli-Prinzip nicht gilt, sodass eine unbegrenzte Zahl solcher Paare in den Grundzustand (E = 0) gelangen und trotzdem am Ladungstransport teilnehmen kann. Im Grundzustand transportieren die Elektronen keine Entropie; sie interferieren nicht mit Phononen oder Kristalldefekten. Daher sind bei Supraleitern der elektrische Widerstand und die Thermokraft null. Man spricht bei dem Übergang von Normalleitung zur Supraleitung auch von einer (paarweisen) Kondensation des Elektronengases (Bose-Kondensation im Impulsraum) analog zur Kondensation eines Gases zu einer Flüssigkeit mit höherer Ordnung. Die BCS-Theorie zeigt, dass dieser Grundzustand vom „normalen“ ersten angeregten Zustand durch eine Energielücke, eine verbotene Zone (gap) getrennt ist, die bei T — 0 nur wenige meV beträgt und in der Nähe der Sprungtemperatur Tc steil auf null abfällt.
Das Modell der durch Phononenwechselwirkung gekoppelten Cooper-Paare schließt die Supraleitung in Flüssigkeiten, Gasen, Halbleitern und Isolatoren aus. Stoffe können auch nicht gleichzeitig ferromagnetisch und supraleitend sein; denn Ferromagnetismus beruht auf der Wechselwirkung von Elektronen mit parallelen Spins (Abschn. 14.2). Außerdem wird durch die hohe permanente Magnetisierung der Ferromagnetika die Supraleitung verhindert.
Die Supraleitung ist (wie die Superflüssigkeit) ein makroskopisches Quantenphänomen. Alle Cooper-Paare befinden sich im selben Grundzustand und können durch eine einzige Wellenfunktion, deren Amplitude proportional zu ]/n^ ist, beschrieben werden. Der Kohärenzbereich dieser Wellenfunktion erstreckt sich über den ganzen Supraleiter, ist also im Vergleich zu den räumlichen Ausdehnungen atomphysikalischer Wellenfunktionen wirklich makroskopisch.
Flussquantisierung. Bei einem stationären supraleitenden Ringstrom, der als makroskopisches Quantensystem durch eine Wellenfunktion beschrieben wird, darf sich nach einem Umlauf der Phasenwinkel nicht geändert haben. Daraus folgt, dass nur Phasenänderungen von n • 2n (n = ganze Zahl) pro Umlauf möglich sind. Nach der Quantentheorie geht auch das magnetische Vektorpotential Am, multipliziert mit der Ladung, in die Formel für den Phasenwinkel ein. Für den hier betrachteten
Kreisstrom liefert die Theorie die Beziehung
n 2n = (2e/h) Am • ds, n = 0, 1, 2....	(8.48)
Hier ist (2e) die Ladung des Cooper-Paares. Das Umlauf-Integral ist gleich dem umschlossenen magnetischen Fluss (Abschn. 3.4.2):
$/4mds = <I>.	(8.49)
Aus Gl. (8.48) und Gl. (8.49) und
<Z> = n <Z>0	(8.50)
folgt das (elementare) Flussquant (magnetic flux quantum)
<7>0 = (Ä/2e) = 2.067 833 72(18) • 10 'UVb	(8.51)
548
8 Elektrische Effekte in Metallen
Abb. 8.21 Messdaten zur Flussquantisierung: links - nach B. S. Deaver and W.M. Fairbank, rechts - nach R. Doll und M. Nähbauer.
[1 Weber (Wb) = 1 Vs = 1 Tm2]. Die Existenz des Flussquants wurde 1950 von F. London postuliert, allerdings noch ohne den Faktor 2 vor der Elementarladung für die Cooper-Paar-Bildung und 1961 experimentell nachgewiesen (Abb. 8.21).
Wird ein Ring oder ein Hohlzylinder aus supraleitendem Material in einem schwachen Magnetfeld unter die kritische Temperatur abgekühlt, so wird in ihm Magnetfluss eingefroren. Die Messpunkte in den Diagrammen von Abb. 8.21 stellen die nach dem Abkühlen in einem bestimmten Feld erhaltenen Magnetflüsse dar. Die stufenförmige Kurve zeigt das quantenhafte Eindringen des Magnetflusses in den Ring. Der Fluss bleibt zeitlich konstant, weil sich beim Abkühlen unter Tc im widerstandslosen Ring ein quantisierter Dauerstrom gebildet hat. Die Streuung der Messpunkte und die Abweichung von dem genauen Wert reflektieren die experimentellen Schwierigkeiten, so kleine Magnetflüsse zu messen. Ein Fluss von entspricht einem Feld von 2.5 x 10" Ts (das ist weniger als das Erdfeld) im Inneren eines Ringes von lOjrm Durchmesser.
Der magnetische Fluss ist nicht generell quantisiert. Die Flussquantisierung bezieht sich allein darauf, dass innerhalb eines supraleitenden Stromkreises der „eingefangene“ magnetische Fluss zeitlich konstant ist und ein ganzzahliges Vielfaches des Flussquants beträgt.
In Typ-II-Supraleitern spielt das Flussquant eine wichtige Rolle: die oberhalb von Hcl in den zusammenhängenden supraleitenden Bereichen eingebetteten normalleitenden Bereiche enthalten den Magnetfluss, der die ganze Probe magnetisiert erscheinen lässt. Sie enthalten im Allgemeinen gerade je ein Flussquant und werden Flusslinien, -fäden oder -Schläuche genannt. Sie reichen von einem Ende der Probe zum anderen. In einer homogenen Probe ordnen sie sich meistens in einem regelmäßigen Dreiecksgitter an, das an der Oberfläche der Probe sichtbar gemacht werden kann (Abb. 8.22a).
Das perfekte Dreiecksgitter magnetischer Flusslinien von Abb. 8.22 wurde in einer supraleitenden Pb-In-Legierung bei 1.2 K erhalten (H. Träuble, U. Essmann, 1968). Die Durchstoßpunkte der Flusslinien durch die Oberfläche sind mittels feiner ferromagnetischer Partikel und elektronenoptischer Vergrößerung sichtbar gemacht worden. Die Flusslinien (oder Flussschläuche) entstehen dadurch, dass wirbelartige Kreisströme (gebogene Pfeile in Abb. 8.22b) gerade ein elementares Flussquant um-
550	8 Elektrische Effekte in Metallen
Abb. 8.23 (a) Schaltung eines SIS-Kontaktes. Bauformen: (b) Tunnelkontakt, (c) Mikrobrücke.
Josephson-Effekte. Wenn die beiden durch eine Isolierschicht getrennten Metalle aus demselben Supraleiter bestehen, die Temperatur T unterhalb Tc liegt und die Isolierschicht dünn genug ist (< 1 nm), dann ist das ein SIS-Kontakt, durch den auch Cooper-Paare hindurchtunneln können (Abb. 8.23a). In einem solchen Josephson-Element können die beiden Supraleiter „S“ (aus demselben Material) entweder durch die sehr dünne Isolierschicht „I“ von einander getrennt sein (Abb. 8.23b), oder sich in einem Punktkontakt oder über eine Mikrobrücke (weak link} mit einem Querschnitt kleiner als 10 scm2 berühren (Abb. 8.23c).
In dieser Anordnung treten ganz neue, mithilfe der Quantenmechanik berechenbare Effekte auf, die 1962 von B.D. Josephson (Nobelpreis 1973) vorausgesagt und bald danach beobachtet wurden: Der Gleichstrom-Josephson-Effekt (dc Josephson effect} entsteht, wenn dem Josephson-Element (SIS-Kontakt) ein schwacher Gleichstrom aufgeprägt wird. Unterhalb einer kritischen Stromstärke Ic erzeugt der Supraleitungsstrom Is im Josephson-Element keine Potentialdifferenz, d. h. es tunneln Cooper-Paare ohne die Hilfe eines elektrischen Feldes durch die Isolierschicht. Erst oberhalb /c brechen die Cooper-Paare in der Isolierschicht zu Einzelelektronen auf, und es entsteht ein Spannungsabfall.
Der Tunnelstrom von Cooper-Paaren durch den SIS-Kontakt ist stark magnetfeldabhängig: Weil das Feld nicht durch die S-Schichten hindurchgeht, kann angenommen werden, dass B in der Isolierschicht liegt. Immer wenn der Fluss durch die Isolierschicht ein ganzzahliges Vielfaches des Flussquantums beträgt, geht der Tunnelstrom durch null.
Noch frappierender ist der Wechselstrom-Josephson-Effekt (ac Josephson effect}. Als Ergebnis einer quantenmechanischen Interferenz ergibt sich, dass beim Anlegen einer Gleichspannung If an den SIS-Kontakt ein zu einer dieser Spannung proportionaler hochfrequenter Wechselstrom auftritt, dessen Frequenz f ebenfalls proportional zu Lf ist. Es gilt
I = I sin (2k f t) s s,max v J > mit
/=(2e//j) Us.	(8.52)
Der Effekt funktioniert auch umgekehrt: Wird ein hochfrequenter Wechselstrom I der Frequenz f dem SIS-Kontakt aufgeprägt, dann treten in der [/(/(-Kennlinie Stufen konstanter Spannung der Größe n[/ (n = ganze Zahl) auf.
8.4 Supraleitung
551
8.4.3 Anwendungen
Die quasi-industriellen Anwendungen der Supraleiter fallen in zwei Gruppen:
-	die Starkstromeffekte, d. h. die Fähigkeit der Supraleiter, hohe Ströme, auch in Gegenwart hoher Magnetfelder, praktisch verlustfrei zu transportieren,
-	die Schwachstromeffekte, insbesondere die messtechnische Ausnutzung der Quantenphänomene.
Kälteerzeugung. Die vor 1986 bekannten „konventionellen“ Supraleiter mit Tc < 23 K verlangten flüssiges Helium als Kühlmittel. Ohne die Entwicklung der Tieftemperaturtechnik bei Flüssig-Helium-Temperaturen wäre die Entwicklung der Supraleitungstechnik nicht möglich gewesen.
Bei jeder Anwendung muss der Vorteil des verlustarmen Stromtransports dem Nachteil der komplizierten und verlustreichen Kälteerzeugung gegenübergestellt werden: Für jedes bei 4.2 K - dem Siedepunkt von Helium - benötigte Watt Kälteleistung muss aufgrund unumgänglicher thermodynamischer Prinzipien eine Gesamtleistung von rund 500 W bei Raumtemperatur aufgebracht werden.
Für die Hochtemperatur-Supraleiter (HTSL) wird nur flüssiger Stickstoff benötigt, wodurch die Kühlkosten etwa eine Größenordnung kleiner werden. Die großen Hoffnungen, die sich mit den HTSL verbinden, werden aber erst mittel- oder langfristig zu erfüllen sein, weil die Verarbeitung der Metalloxid-Keramiken äußerst schwierig ist.
Supraleitende Magnete. Wenn hohe Magnetfelder in einem großen Volumen gebraucht werden, lohnt sich der Einsatz supraleitender Magnete. Führend sind heute noch die Anwendungen in Forschungslaboratorien (für Labormagnete, Blasenkammern, Teilchenbeschleuniger und Speicherringe); aber auch in der angewandten Forschung, in Medizin und Industrie kommen Hochfeldsupraleiter mehr und mehr zum Einsatz (Kernfusion, Kernspintomographie, Starkstromkabel usw.).
Die bisher größten Magnete wurden für Blasenkammern (Detektoren für Teilchenbeschleuniger, vgl. Bd. 4, Kap. 5) und für Fusionsexperimente gebaut. Die mittleren Magnetfelder sind bei solchen Magneten nicht extrem hoch (B < 6 T), aber die Ströme und die gespeicherten Energien sind beachtlich. Die höchsten Felder (« 18 T) werden mit Labormagneten in kleinen Volumen (« 100 cm3) erreicht. Solche Magnete werden zur Untersuchung des Verhaltens von Materie, auch z. B. der Supraleiter selbst, in hohen Magnetfeldern eingesetzt. Während bei Labormagneten meist eine hohe Homogenität des Magnetfeldes über den gesamten Probenraum verlangt wird, kommt es bei den Magneten für Teilchenbeschleuniger auf hohe Feldgradienten (> 1 T/cm) zum Bündeln des Teilchenstrahls an. Ein supraleitender Speicherring (z. B. der 820 GeV-Protonenspeicherring HERA) enthält über tausend solcher mehrere Meter langen Magnete.
Kernspintomographie. Eine der wichtigsten Anwendungen der Supraleitung außerhalb von Forschung und Energietechnik ist eine neuere medizinische Untersuchungsmethode: Die Kernspintomographie. Es handelt sich um ein bilderzeugendes Verfahren auf der Basis der Kernspinresonanz (NMR, nuclear magnetic resonance, Bd. 4,
552	8 Elektrische Effekte in Metallen
Kap. 3), das Schnittbilder des menschlichen Körpers ohne Verwendung ionisierender Strahlung erzeugt. In das Signal gehen die Dichte der Protonen (H-Atomkerne) und Einflüsse ihrer Umgebung auf ihr Resonanzverhalten ein. Die auf diese Weise zugängliche biochemische Information zeigt einen guten Kontrast zwischen verschiedenen Weichteilgeweben. Beispielsweise sind kleine Ödeme und Tumore gut erkennbar. Die Tomographie bildet von dem zu untersuchenden Körper nur eine dünne Scheibe ab, und zwar dadurch, dass dem homogenen statischen Magnetfeld mittels einer Reihe von Hilfsspulen ein Feldgradient überlagert wird. Die Resonanzbedingung herrscht dann nur in der schmalen Zone der entsprechenden Feldstärke. Durch zeitliche Variation des Feldgradienten und Umformen der zahlreichen Signale mithilfe eines leistungsfähigen Computers entsteht das gewünschte Schnittbild.
Kernspintomographen werden mit supraleitenden Spulen ausgestattet, obwohl die Magnetfelder „nur“ zwischen 0.35 und 1 T liegen. Das Spulenvolumen ist, vor allem für eine Ganzkörpertomographie, schon recht groß; entsprechend hoch wären die Leistung und der Energieverbrauch eines konventionellen Elektromagneten (« 100 kW). Außerdem bietet die supraleitende Spule im Dauerstrombetrieb zeitlich extrem konstante Felder.
Hochfrequenzresonatoren. Während Gleichstrom bis zu beachtlichen Stromdichten (über 50 kA/mm2) im Supraleiter verlustfrei transportiert werden kann, ist dies bei Wechselstrom nicht möglich. Folgende Gründe führen zu endlichen Verlusten im Hochfrequenzbetrieb:
-	Bei hohen Stromdichten befindet sich der Supraleiter im gemischten Zustand: alle Flussschläuche müssen im Rhythmus der angelegten Frequenz bewegt werden und verbrauchen dabei Energie.
-	Aber auch in Typ-I-Supraleitern (bzw. in Typ-II-Supraleitern unterhalb Hcl) ist der Wechselstromtransport dissipativ, da oberhalb 0 K neben den Cooper-Paaren freie Elektronen existieren, die immer wieder beschleunigt werden müssen und ihre Energie in Stößen verlieren.
-	Bei Hochfrequenz findet der Stromtransport in einer mit steigender Frequenz immer dünner werdenden Oberflächenschicht statt (Skineffekt). Dies gilt auch für den Supraleiter. Bei Frequenzen über 100 MHz beträgt die Schichtdicke weniger als lOjrm. Kleinste Unebenheiten und vor allem Verunreinigungen in der Oberfläche führen zu einem temperaturunabhängigen Restwiderstand.
Der Einsatz von Supraleitern in der Hochfrequenztechnik ist nur dort interessant, wo der Aufwand an Kältetechnik geringer bleibt, als die Leistungsersparnis gegenüber der normalleitenden Technik. Dies ist z. B. der Fall bei den Hochfrequenzresonatoren für Linearbeschleuniger.
Magnetische Abschirmungen. In einem Supraleiter unterhalb HC1 ist die magnetische Feldstärke gleich null (Meissner-Ochsenfeld-Effekt). In einem supraleitenden Hohlzylinder (oder Ring) ist der Fluss „eingefroren“ und zeitlich konstant. In einer supraleitenden Hohlkugel (oder anders geformten vollständigen Umhüllung) können nur magnetische Flüsse existieren, die im Inneren geschlossen sind. Änderungen des äußeren Feldes haben keinen Einfluss.
8.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 8
553
Thermometrie. Die Sprungtemperaturen reiner Supraleiter liegen in so engen Temperaturspannen und sind so gut reproduzierbar, dass sie als thermometrische Fixpunkte benutzt werden. Diese Anwendung ist besonders in den beiden Temperaturbereichen von 10-500 mK und von 4.2 bis 14 K interessant, denn hier mangelt es an anderen Fixpunkten.
Josephson-Kontakte, SQUIDS. Der Gleichstrom-Effekt eignet sich für die Präzisionsmessung aller magnetischen Größen und der damit verknüpften Ströme und Spannungen. Flüsse von 10 n Wb, .ß-Feldstärken von 10 l4T und Spannungen von 10 14 bis 10 14 V sind messbar. Die auf diese Weise mögliche präzise Bestimmung des Flussquants liefert einen sehr genauen Wert der Naturkonstanten-Kombination h/e.
Die Anwendungen des Wechselstromeffektes liegen in der Hoch- und Höchstfrequenztechnik (Sender, Empfänger, Oszillatoren, Mischer, parametrische Verstärker) und in der Präzisionsmesstechnik (7;/c-Bestimmung, Tiefsttemperatur-Thermometer, Spannungsnormale). Mit dem Wechselstrom-Josephson-Effekt kann die Spannungseinheit „Volt“ mit der hohen Genauigkeit von Frequenzmessungen reproduziert werden: Das CCE (Comite Consultatif d’Electricite) empfahl, ab 1.1.1990 den Wert f/Us = 483 597.9 GHz/V zu verwenden. Um mit niedrigeren, technisch leichter zugänglichen Frequenzen arbeiten zu können und trotzdem hohe Gleichspannungen bis zu 1 Volt zu erhalten, werden in Mikrochips viele Josephson-Elemente (z. B. 1440) hintereinander geschaltet.
Das SQUID (= superconducting quantum interference device) besteht im einfachsten Fall aus einem supraleitenden Ring mit einem oder mit zwei SIS-Kontakten. In dem Ring wird ein Supraleitungsstrom induziert. Mit dem SQUID lassen sich auch schwache biomagnetische Felder von Herz- und Gehirnströmen messen. Weiterführende Darstellung: Bd. 6 (Festkörper), Kap. 6 (Supraleitung).
8.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 8
8.5.1 Elektrische Ströme in Metallen
Metalle: Klassifikation, Bindungen, Gitterstrukturen. Universität Bayreuth: http:// www.uni-bayreuth.de => Fakultäten => Fakultät für Biologie, Chemie und Geowissenschaften => Chemie => Lehrstühle (unten) => Abteilung für Didaktik der Chemie => Übersicht => Unterichtsmaterialien => Anorganische Chemie => Metalle = Link 8-1 (Klick auf Abbildung ergibt Vergrößerung.)
Thermische Leitfähigkeit. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Heat and Thermo-dynamics => Conduction => Discussion of thermal conductivity =
Link 8-2 Weiter mit => Wiedeman-Franz Law
Debye-Temperatur. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Heat and Thermodyna-mics => Specific Heat => Einstein-Debye model => Debye =
Link 8-3 Weiter mit => Einstein-Debye specific heat expression
554	8 Elektrische Effekte in Metallen
Fermi-Energie, Fermi-Temperatur und Fermi-Geschwindigkeit. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Condensed Matter => Fermi Energy (unten) => Fermi energies for metals =
Link 8-4 Weiter mit => Table for pure metals
Elektrische Leitfähigkeit. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Condensed Matter => Metalls => electrical conductivity =
Link 8-5 Weiter (a) mit => resistance => temperature coefficient, darunter: „Low Temperature Resistivity“; und (b) mit => Microscopic view of resistivity, darunter: „Microscopic View of Copper Wire“, „Free Electron Density in a Metal“, - hier weiter mit => Fermi level => ripples on the Fermi sea
Hall-Effekt-Messungen. Aus NIST (s. Abschn. 1.4) Visit the Laboratories’ web sites „Electronics & electrical engineering => Search EEEL Webspace for „Hall effect“ => Hall Effect Measurements =
Link 8-6
Quanten-Hall-Effekt. Aus Physikalisch-Technische Bundesanstalt (s. Abschn. 1.4): => Suche => www.ptb.de durchsuchen nach „Quanten-Hall-Effekt“ => Quanten-Hall-Effekt (Show Only This Frame) =
Link 8-7
Ergänzung: University of Warwick, Coventry CV47AL, UK: http://www2.warwick. ac.uk/ => Departments & Services => Academic Departments => Faculty of Science „Physics“ => Staff Directory => Academic Staff => Dr. David R. Leadley => My Homepage => research => Fractional Quantum Hall Effect => integer quantum Hall effect =
Link 8-8
Rauschen. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4) Rauschen (Physik):
Link 8-9 Weiter z. B. mit => Schrotrauschen, oder mit => Thermisches Rauschen Ergänzung: Physik-Department, TU München: http://www.physik.tu-muenchen.de/ => Mitarbeiter => Kressierer, Sepp => Versuche => Quantenphysik und Thermodynamik => 4145 Thermisches Rauschen =
Link 8-10
8.5.2 Grenzflächen-Effekte
Elektronen-Emissionsprozesse. John Venables at Arizona State University: http:// venables.asu.edu/ => Graduate Courses and Web-based Talks => Surfaces and Thin Films => Lecture notes => section A2 =
Link 8-11
Ergänzung: Sekundärelektronen-Emission. Physics Division, Oak Ridge National Laboratory: http://www.phys.ornl.gov/ => Controlled-Fusion Atomic Data Center => Redbooks => Volume 3 =
Link 8-12 Weiter mit => B. Secondary Electron Emission by Electron Impact (Diagramme auf den ungeraden Seiten => B3, B5 .... B13) und mit => C.Secondary Electron Emission by Heavy Particle Impact
8.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 8
555
Kelvin-Sonde - Messung von Kontaktpotentialen. KP Technology, Wick, Caithness, KW15EH, UK: http://www.kptechnology.ltd.uk/ => www.kelvinprobe.info = Link 8-13 Weiter mit => The Technique (Principles, Theory, Actuator, PC Control)
Ursache der Thermospannung. Universität Konstanz: http://www.uni-konstanz.de => Sektionen Fachbereiche => Mathematisch-Naturwiss. Sektion => Physik => Zur Homepage des Fachbereichs => Professoren / Forschung => (unten) Emeritierte und ehemalige Professoren - Prof.em. Dr. Josef Jäckle: „Nicht-kristalline Festkörper“ => (unten) Über die Ursache der Thermospannung =
Link 8-14
Thermoelemente. Pentronic ist einer der größten Hersteller Europas für Temperaturgeber: http://www.pentronic.se/ => Deutsch (Fahne) => Theorie (Show Only This Frame) =
Link 8-15 Weiter mit => Naturgesetze, => Thermoelemente, => Eigenschaften und Fehlerquellen, => Verschiedene Bauweisen
Ergänzung: ISE, Inc., Cleveland, OH 44133. ISE provides completely engineered process control Solutions to industry: http://iseinc.com/ => Search „Thermocouple Technical Reference Data“ =
Link 8-16 Enthält (unten) „Thermocouple Color Codes:.... German DIN“, weiter z. B. mit => Thermocouple Reference Table (mV vs. Temperature)
Atombatterien (radioisotope thermoelectric generators). Office of Nuclear Energy (ne), Science & Technology, U.S. Department of Energy (doe): http:// www.ne.doe.gov/ => Program Offices => (unten) Space and Defense Power Systems „Program Description“ (Show Only This Frame) =
Link 8-17 Weiter z. B. mit => History, oder mit => Publications and Fact Sheets => Spacecraft Power for Cassini
Peltier-Elemente. QUICK-OHM Küpper & Co. GmbH, 42349 Wuppertal: http:// www.quick-ohm.de/ => News => Peltierelemente => Technische Erläuterungen =
Link 8-18
Ergänzung: THE HEATSINK GUIDE - your source for cooling Information since 1997, Tillmann Steinbrecher: http://www.heatsink-guide.com/ => Advanced cooling. „Peltier cooling“ (Show Only This Frame) =
Link 8-19 Weiter (unten) mit => part 2 of Peltier Guide
Elektrische Kontakte. Die Mallory Alloys Gruppe fertigt und liefert eine ausgedehnte Produktreihe von Silber-, Kupfer- und Wolframlegierungen. Sie finden in einer Vielfalt von industriellen Anwendungen Einsatz: http://www.mallory.com => German Version => Produkte => Elektrische Kontakte =
Link 8-20
Ergänzung: Sandia National Laboratories: http://www.sandia.gov/ => Index
A - Aging and Reliablility =
Link 8-21 „Aging and Degradation in Electrical Contacts“
556
8 Elektrische Effekte in Metallen
8.5.3 Supraleitung
Supraleitung - Übersichtsartikel. Aus Welt der Physik (s. Abschn. 1.4) => Themen - Geheimnisse der Stoffe => Phänomene => Supraleitung =
Link 8-22 Weiter z. B. mit => Physik eiskalt serviert, oder mit => Hochtemperatursupraleiter (1) und (2)
Ergänzung: Präsentation von Joe Eck, einem Elektronik-Ingenieur. Biographische Information: http://superconductors.org/author.htm => (I)ndex =
Link 8-23 Weiter z. B. mit => The History of Superconductors, => Uses of Superconductors
Supraleitung - kurze, quantitative Erläuterungen. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4): => Condensed Matter => Superconductivity => Superconductivity concepts = Link 8-24 Weiter z. B. mit => Quantum Effects => flux quantization, oder => BCS Theory => Experimental evidence, oder => SQUID Magnetometer
Magnetfeld-Messungen mit SQUIDs. The Los Alamos Research Quarterly is pub-lished to communicate the Laboratory’s achievements. Reasearch Quarterly Spring 2003: http://www.lanl.gov/quarterly/q_spring03/ => SQUID Magnetometry =
Link 8- 25
8.5.4 Biographien
Thomas Johann Seebeck (1770-1831). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 8-26
Jean Charles Athanase Peltier (1785-1845). Physik-Department, TU München: http://www.physik.tu-muenchen.de/ => Mitarbeiter => Kressierer, Sepp => Links => einige Biographien bedeutender Forscher => Peltier, Jean Charles Athanase (Show Only This Frame) =
Link 8-27
William Thomson / Lord Kelvin (1824-1907). s. Abschn. 5.6.4, Links 5-29, 5-30
Heike Kamerlingh-Onnes (1853-1926). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4)
Link 8-28
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography
Link 8-29
Edwin Herbert Hall (1855-1938). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4)
Link 8-30
Walther Meißner (1882-1974). Walther-Meißner-Institut (wmi), Bayrische Akademie der Wissenschaften (badw): http://www.wmi.badw.de/ => Über uns => Geschichte =
Link 8-31
8.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 8
557
Walter Schottky (1886-1976). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 8-32
Harry Nyquist (1889-1976). s. Abschn. 5.6.5, Link 5-41
John Bardeen (1908-1991). s. Abschn. 9.6.4, Link 9-31
K. Alex Müller (geb. 1927). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Autobiography:
Link 8-33
Ivar Giaever (geb. 1929). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 8-34
Brian D. Josephson (geb. 1940). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), curriculum vitae:
Link 8-35
Klaus von Klitzing (geb. 1943). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4)
Link 8-36
J. Georg Bednorz (geb. 1950). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Autobiography:
Link 8-37
9 Elektrische Effekte in Halbleitern
Tab. 9.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
<ijk> B — D E E E, Ekm ef Eq Ei e — G h — 2n h I i	kristallographische Richtung; i, j, k = Miller-Indizes Hall-Koeffizient magnetische Feldstärke Zustandsdichte im Halbleiter elektrische Feldstärke Elektronenenergie Fermi-Energie Bandlücke Inversionsenergie Elementarladung Generationsrate Planck-Konstante Strom Wechselstrom
j K k k = |fc| k m TV n n n+, n++ nx	Stromdichte Konstante Wellenvektor Kreiswellenzahl B oltzmann-Konstante Elektronenmasse effektive Masse Teilchenzahl Akzeptor-, Donator-Atomdichte Hauptquantenzahl Elektronendichte Elektronendichte bei hoher, höchster Dotierung intrinsische Ladungsträger-Dichte
p p p+,p+ + T t	Impuls Löcherdichte Löcherdichte bei hoher, höchster Dotierung Widerstand Rekombionationsrate Temperatur Zeit
560	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Größensymbol	Bedeutung
U u Ve Ar x, y, z ^err £o £r — e h V <7	Spannung Hall-Spannung Wechselspannung Spannungs-Verstärkungsfaktor Driftgeschwindigkeit kartesische Längenkoordinaten effektive Kernladungszahl elektrische Konstante (relative) Permittivitätszahl Stromflusswinkel Beweglichkeit Lichtfrequenz elektrische Leitfähigkeit
Ergänzende Information: Mathematische Symbole in Tab. 15.1, Schaltalgebra in Abschn. 15.8, chemische Symbole in Tab. 17.10, Schaltzeichen der Elektrotechnik auf den Einbandseiten.
9.1 Ladungstransport-Prozesse, Hall-Effekt
Der Begriff „Halbleiter“ (semiconductor) bezieht sich auf eine große Gruppe von Substanzen, die mit ihrem elektrischen Verhalten zwischen den Leitern und den Isolatoren liegen und etwa neun Größenordnungen der Leitfähigkeit [10 6 (Dem)-1 < er < 103 (Dem)-1] umfassen.
Eine besondere Gruppe daraus sind die technisch wichtigen Halbleiter, denen dieses Kapitel gewidmet ist. Diese Halbleiter im engeren Sinne sind gezielt verunreinigte kovalente (homöopolare) Kristalle, in denen Ladungstransport durch Überschusselektronen und Defektelektronen bewirkt wird. Bekannte Halbleiter sind Elemente der Gruppe IV des Periodensystems: Germanium, Silicium; ferner auch Verbindungen der Gruppen III/V wie GaAs, InAs, InSb und der Gruppen II/VI wie CdS, CdSe; auch andere Elemente wie Se und TI und Verbindungen wie Cu2O und PbS oder PbSe haben technische Bedeutung erlangt. Neuere Entwicklungen, auf die hier nicht eingegangen werden kann, betreffen polykristalline und amorphe Halbleiter (Bd. 6, Kap. 7), sowie organische Halbleiter (Bd. 6, Kap. 8), die viele interessante Anwendungsmöglichkeiten bieten.
Erst nachdem Verfahren entwickelt worden waren zur Herstellung hinreichend reiner Kristalle, mit viel höherem Reinheitsgrad als z. B. in der analytischen Chemie erforderlich, konnten in der Festkörperphysik reproduzierbare Ergebnisse erhalten werden. Ab 1950 haben die durch gezielte Dotierung (doping) „maßgeschneiderten“ Halbleiter zu einer stürmischen Entwicklung von technischen Anwendungen geführt (Gleichrichter, Transistoren, integrierte Schaltungen, Computer, Optoelektronik).
Neben der bei den Metallen allein vorhandenen Elektronen-Überschussleitung oder n-Leitung („n“ steht für die negativen Ladungsträger) kann es in Kristallen auch eine Elektronen-Mangelleitung geben. Diese besteht darin, dass eine Elektronenlücke (vacancy), auch Defektelektron (defect electrori) oder Loch (hole) genannt, dadurch wandert, dass ein Elektron in diese Lücke geht, wodurch die Lücke selbst
9.1 Ladungstransport-Prozesse, Hall-Effekt
561
in entgegengesetzter Richtung weiterrückt. Falls in einer Reihe nur eine Lücke vorhanden ist, wandert jedes Elektron dieser Reihe nur um einen Platz in Richtung zur Anode weiter, während die Lücke durch den ganzen Kristall bis zur Kathode wandert. Die Lücke oder das Defektelektron verhält sich also wie ein freies, positives Teilchen. Deshalb wird die Defektelektronenleitung auch p-Leitung (p-type conduc-tiori) genannt.
Zur Veranschaulichung dieser „Löcherleitung“ stellt man sich eine lange Autoschlange vor, in der nahe dem Anfang ein Auto ausschert, also eine Lücke entsteht. Dann rückt jedes folgende Auto um einen Platz nach vorn, während die Lücke durch die ganze Reihe zum hinteren Ende wandert. Betrachtet man nun den ganzen Transportprozess mit einem gewissen Abstand, dann sieht man nicht die kleinen Einzelschritte der Autos (Elektronen), wohl aber die Bewegung der Lücke in der Autoschlange (im Kristall).
Der Typ der elektronischen Leitung (n- oder p-Leitung) kann durch Wahl der Art der Störatome und ihren gezielten Einbau in den Kristall (Dotierung) bestimmt werden. Eine Entscheidung darüber, welcher Leitungstyp dominiert, liefert der bereits in Abschn. 8.1.2 beschriebene Hall-Effekt: n-Leitung ergibt einen negativen, p-Leitung einen positiven Wert für die Hall-Konstante.
Wie schon bei der elektrischen Leitung der Metalle eingeführt, wird auch bei Halbleitern das Verhältnis von Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger (Index n für die negativen Elektronen, p für die positiven Löcher) und elektrischer Feldstärke als Beweglichkeit (mobility) bezeichnet:
- vdJE,	(9.1)
Die Driftgeschwindigkeit cdrn der negativ geladenen Elektronen ist dem Feld E entgegengerichtet, aber formal erfolgt positiver Ladungstransport in Feldrichtung. Das rechtfertigt die Definition der Beweglichkeit als eine positive Größe, nur muss man dann auch für die Ladungsdichte der Elektronen das Produkt aus (positiver) Elementarladung e und Elektronen-Anzahldichte n verwenden. Das führt zu folgendem Ausdruck für die Leitfähigkeit (conductivity) des Halbleiters:
ff = e(pnv + n^'	(9.2)
wie in der Halbleiterphysik üblich, werden die Anzahldichten der positiven und negativen Ladungsträger mit p bzw. n symbolisiert.
Der zur Hall-Spannung vorzeichengleiche Hall-Koeffizient ist im Fall von dominierender Löcher- bzw. Elektronenleitung gegeben durch
^H.p = (e bzW' ^H.n = (“e E)-1-	(9.3)
Für „gemischte Halbleiter“, bei denen die beiden Ladungsträgerdichten n und p und die zu diesen Ladungsträgern gehörenden Beweglichkeiten Jun und up größenordnungsmäßig vergleichbar sind, ist die quantitative Beziehung für den Hall-Effekt komplizierter. Das hängt damit zusammen, dass der Effekt nicht nur von der Ladungsträgerdichte abhängt wie man aus Gl. (9.3) entnehmen könnte, sondern dass die messbare Hall-Spannung UH proportional zum Hall-Koeffizienten und zum Strom / ist, wobei die Ladungsträgerdichte im Nenner von AH steht, aber über die Leitfähigkeit er auch als Faktor in / enthalten ist. Das heißt, die Hall-Spannung hat zwar das Vorzeichen der dominierenden Ladungsträger, ist aber vorrangig von
562	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
der Beweglichkeit p der dominierenden Ladungsträger abhängig. Das ist qualitativ verständlich, wenn man bedenkt, dass p die Driftgeschwindigkeit und damit die Größe der Lorentz-Kraft bestimmt. Die Theorie liefert für den Hall-Koeffizienten die Beziehung
Ah = (T^p-«^)/[e(T^p + «^„)2]-	(9-4)
Für den störstellenfreien Eigenhalbleiter ist p — n — n{ (Index i für intrinsic semi-conductor), und AH ist nur wegen der unterschiedlichen Beweglichkeiten verschieden von null:
^H(« = P) = (Pp “ ^n)/[e«i(^n + Pp)]-	(9-5)
Zum qualitativen Verständnis des Hall-Effekts kann folgende Überlegung dienen: Bei Blick in Richtung des (positiven) Stromflusses und einem nach oben gerichteten 2?-Feld, ist die Lorentz-Kraft auf die bewegten Ladungsträger nach rechts gerichtet, sowohl für die negativ geladenen (und dem Stromfluss entgegen bewegten) Elektronen, wie auch für die Löcher, - unabhängig davon, ob man die Löcher als positive, mit dem Stromfluss bewegte Ladungsträger behandelt oder dabei an die entgegengesetzt zum Stromfluss bewegte „Elektronenkette mit Lücken“ denkt. Die Ladungsträger, die den Stromfluss bewirken, werden im betrachteten Fall durch die Lorentz-Kraft an den rechten Rand gedrückt, am linken Rand entsteht ein Mangel dieser Ladungsträger. Die quer zu Stromrichtung und 2?-Feld gemessene Hall-Spannung ist so definiert, dass sie positive (negative) Werte annimmt, wenn am rechten Rand ein Überschuss von Löchern (Elektronen) existiert.
9.2 Bändermodell
9.2.1 Grundbegriffe
Die physikalischen Verhältnisse im Kristall sind kompliziert durch dessen Anisotropie. Für viele qualitative Betrachtungen genügt es aber, wenn man über alle Kristallrichtungen mittelt. Das Bändermodell (energy band model) ist eine stark vereinfachte Beschreibung des Kristalls, liefert aber trotzdem qualitativ richtige Erkenntnisse und ermöglicht ein intuitives Erfassen der meisten Halbleiter-Phänomene.
Die Elektronen nehmen in jedem Atom bestimmte, scharfe Energieniveaus ein, wie man an den Linienspektren der Gase erkennen kann. In festen Körpern sind die Energieniveaus der inneren Elektronen der Atome zwar auch scharf, wie die charakteristischen Röntgenlinien zeigen; aber die Niveaus der äußeren Elektronen und die der darüber liegenden unbesetzten Zustände sind infolge der Einwirkung der anderen Atome des Kristalls zu Bändern verbreitert.
Ein qualitatives Verständnis für die Bandstruktur lässt sich gewinnen aus der Betrachtung von Systemen bestehend aus einer wachsenden Anzahl identischer Atome: Wenn sich zwei gleiche Atome zu einem Molekül verbinden, spaltet jedes Energieniveau in zwei eng beieinander liegende auf (Dublettaufspaltung); das ist ganz ähnlich wie die Moden-Aufspaltung bei zwei identischen gekoppelten Resonanzkreisen (Abschn. 5.1.5). Mit wachsender Zahl N der im System gekoppelten Atome wächst die Zahl der Energieniveaus im Multiplett und ihr energetischer Abstand
9.2 Bändermodell 563
leeres
/ Leitungsband
lonisierungsenergie des Atoms
Energie
Bandlücke
besetztes / Valenzband
/V=1
Atom
Molekül
104	105
Cluster
IO20
Festkörper (Isolator)
Abb. 9.1 Übergang von den scharfen Energieniveaus eines Atoms über die Multipletts von Molekülen und Clustern zu den Energiebändern des Festkörpers (schematisch, n. Bd. 5, Abb. 8.17).
wird kleiner. Im Grenzfall N -> co, wie er für den Festkörper gegeben ist, entstehen Energiebänder, getrennt durch Bandlücken (Abb. 9.1).
Ist das oberste besetzte Band, genannt Valenzband (VB, valence band), nur halb besetzt, wie dies z. B. bei den Alkalimetallen und bei Cu, Ag und Au der Fall ist, dann können sich die Elektronen in dem Energieband frei bewegen, d. h. der Kristall hat eine gute Leitfähigkeit. Ist das Valenzband dagegen voll besetzt, dann ist eine Bewegung nicht möglich. D. h. eine elektrische Leitfähigkeit kann nur dadurch auftreten, dass Elektronen aus dem vollen Valenzband in das darüber liegende Leitungsband (LB, conduction band) ausweichen. Hierzu ist aber Energie erforderlich. Diese ist bei den Kristallen verschieden groß und ist gegeben vom Bandabstand, der überwunden werden muss. Man nennt den Energiebereich zwischen der Oberkante des VB und der Unterkante des LB verbotene Zone (Bandabstand, Bandlücke, band gap). Der englische Ausdruck gap ist verantwortlich für das Symbol Ea für die Energie, die zur Überwindung der verbotenen Zone erforderlich ist.
Der Bandabstand ist eine charakteristische Eigenschaft des Grundgitters. Bei einem Isolator ist er so groß (einige eV), dass bei Raumtemperatur kein nennenswerter Anteil der Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband gelangen kann, während er bei Halbleitern deutlich kleiner ist. Hier einige Beispiele:
Kristall	Bandabstand EG
InSb InAs Germanium Silicium GaAs GaP Diamant	0.16eV 0.33 eV 0.67 eV 1.12eV 1.42eV 2.24 eV 5.33 eV
564	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Silicium (wie auch Germanium) steht in der Gruppe IV des Periodensystems der Elemente. Das Si-Atom hat vier Valenzelektronen, die im Kristallgitter zur gegenseitigen Bindung mit einem anderen Si-Atom verbraucht werden; jedes Si-Atom hat vier nächste Nachbarn, deren Positionen die Ecken eines gleichmäßigen Tetraeders bilden. Verunreinigt man nun den Si-Kristall vor der Kristallisation mit etwas Phosphor oder Arsen, also einem fünfwertigen Element aus der Gruppe V des Periodensystems, dann nimmt ein solches Element im Kristall den Platz eines Si-Atoms ein; es kann aber nur vier seiner fünf Elektronen für die tetraedrische Bindung nutzen. So bleibt ein Elektron übrig, das vom Phosphor- oder Arsen-Atom nun mit sehr wenig Energie abgespalten werden kann. Ein solches Atom heißt daher Donator (donor). Es nimmt im Bändermodell einen Sonderplatz ein, und zwar innerhalb der verbotenen Zone, dicht unterhalb des Leitungsbandes (Abb. 9.2, linke Seite). Wegen der geringen energetischen Tiefe der Donator-Störstelle (ED x kT) ist bei Raumtemperatur ein sehr großer Teil dieser Störstellen (impurity sites) ionisiert (D -> D+ + e ). Die Störleitung ist deshalb bei Raumtemperatur kaum temperaturabhängig. Der Donator selbst ist fest an den Ort gebunden. Zur Leitfähigkeit kann nur das abgegebene Elektron beitragen. Der Donator verursacht somit n-Leitung. Die Leitfähigkeit wächst mit der Donatorendichte 7VD.
Donatoren

EG
Energie
Akzeptoren
Abb. 9.2 Bändermodell mit Donator- und Akzeptor-Niveaus.
Verunreinigt man andererseits Silicium mit einem Element der Gruppe III des Periodensystems, das also dreiwertig ist, z. B. Gallium, dann nimmt das Ga-Atom den Platz eines Si-Atoms ein, hat aber nur drei statt vier Elektronen. Die vierte tetraedrische Bindung kann nur unter Einbeziehung eines Elektrons aus dem Valenzband gebildet werden. Ein solches Atom, das zu einem Defektelektron im VB führt, wird Akzeptor (acceptor) genannt, weil es ein Elektron annimmt und so zu einem negativen Ion wird: A + e -> A . Ein Akzeptoratom bzw. -ion ist ebenfalls fest an den Ort gebunden; im Bändermodell liegt seine Energiestufe auch innerhalb der verbotenen Zone, und zwar dicht oberhalb des Valenzbandes (Abb. 9.2, rechte Seite). Akzeptoren verursachen p-Leitung; die Leitfähigkeit wächst mit der Akzeptorendichte Na.
Typische Werte für die Energieabstände ED und EA in Silicium gibt die folgende Tabelle:
9.2 Bändermodell
565
Si-Dotierung	£D/eV	£Ä/eV
Donator P	0.044	
As	0.049	
Sb	0.039	
Bi	0.069	
Akzeptor B		0.045
Al		0.057
Ga		0.065
In		0.160
Die tabellierten Werte liegen alle in der Größenordnung von nur „einigen“ (^^Ozimmertemp ~ 25 meV; das bedeutet: bei Raumtemperatur können viele thermische Gitterschwingungen (Phononen) Energien übertragen, die größer als E^ bzw. EA sind, und so einen hohen Anteil der Störstellen-Atome ionisieren.
Warum die Donatoratome schon mit Energien um 50 meV ionisiert werden können, lässt sich wie folgt verstehen: Für das H-Atom mit Z = 1 und n — 1 ergab sich eine lonisierungsenergie von 13.6eV. Wenn man die Theorie näherungsweise auf Mehrelektronenatome erweitert, dann muss man die 13.6eV mit Z2rr/n2 multiplizieren; für die erste Ionisierung eines Atoms ist die effektive Kernladungszahl Zefr nicht viel größer als eins; n ist die Hauptquantenzahl der äußeren Elektronen. Damit lassen sich die ersten lonisierungsenergien der Mehrelektronenatome, die fast alle zwischen 5 und 15eV liegen, erklären. Nun steht aber in Gl. (7.42) im Nenner auch e2, und das bedeutet, dass dort für das Medium „Halbleiter“ das Quadrat von ;;r eingefügt werden muss. Miter(Si) = 11.8 ergeben sich Störstellen-Ionisierungsener-gien im Bereich von 36 bis 108 meV.
9.2.2 Leitfähigkeit
Die Beweglichkeiten der Elektronen und Löcher in einer Substanz sind nicht gleich; sie sind von Substanz zu Substanz sehr verschieden und hängen stark von der Temperatur, vom Reinheitsgrad und von der Zahl der Kristallbaufehler ab. Typische Werte gibt die folgende Tabelle:
üp, in (cm/s)/(V/cm)
Halbleiter:	Si	Ge	GaAs
."p	450	1900	400
ZL	1450	3900	8500
Eigenleitung. Die Physik der Eigenleitung ist die Grundlage für das Verständnis aller Halbleiter. Bei dotierten Halbleitern ist die immer vorhandene Eigenleitung allerdings meist zu vernachlässigen; nur bei sehr schwacher Dotierung und bei sehr hohen Temperaturen muss sie quantitativ berücksichtigt werden.
566	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Bei T = 0 ist jeder Halbleiter ein perfekter Isolator. Temperaturerhöhung bewirkt, dass ein Teil der Elektronen des Valenzbandes genügend Energie erhält, um in das Leitungsband zu gelangen. Nach der Boltzmann-Statistik steigt dieser Anteil exponentiell mit zunehmender Temperatur (vgl. Gl. (7.71)). Wenn die Störstellenleitung vernachlässigbar klein im Vergleich zur Eigenleitung ist, gilt
n = p =	(9-6)
(„i“ für intrinsic). Für die Leitfähigkeit als Funktion der Temperatur erhält man in logarithmischer Darstellung über der reziproken Temperatur die Gerade der Eigenleitung, aus deren Anstieg der Bandabstand wie folgt berechnet werden kann:
Die Generationsrate G, die Zahl der Anregungen von Elektronen-Loch-Paaren pro Zeit, ist bei vorgegebenem Kristall mit dem Bandabstand Ea eine Funktion der Temperatur, gegeben durch den „Boltzmann-Faktor“ mit dem Verhältnis von Energieabstand Ea zu kT im negativen Exponenten der e-Funktion. Also gilt für den Zuwachs der Elektronendichte im Leitungsband
G - exp(- EJkT).	(9.7)
Die so erzeugten Elektronen und Löcher können miteinander rekombinieren: Ein Elektron aus dem LB geht über in einen unbesetzten Zustand (ein Loch) des VB. Damit verschwindet ein Elektron-Loch-Paar, und die Energie, die kaum größer als Ea ist, wird als Photon abgestrahlt oder an das Kristallgitter (über ein Phonon) abgegeben.
Im thermischen Gleichgewicht (ohne Einwirkung von außen) muss die Zahl der Elektron-Loch-Rekombinationen pro Volumen und Zeit, die Rekombinationsrate R gleich der durch thermische Anregung bewirkten Generationsrate G sein. Die Rekombination ist im chemischen Sinn eine bi-molekulare Reaktion; die Rate R ist proportional zum Produkt der Dichten beider Ausgangsstoffe (Edukte), hier Elektronen und Löcher. Es gilt also
R ~ n p
~ »i2,	(9.8)
und für das thermische Gleichgewicht (R = G) folgt analog zum Massenwirkungsgesetz (law of mass actiori) für chemische Gleichgewichte bi-molekularer Reaktionen
exp( — Ea)kT) ~ n2 oder
nt = n = p ~ exp[ — Eo/(2kT)].	(9.9)
In Anlehnung an den chemischen Sprachgebrauch werden die Ladungsträgerdichten auch oft als „Konzentrationen“ bezeichnet (aber immer incm \ nicht in mol/L angegeben).
Die Energie Ea kann aus der Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit bestimmt werden: Die Leitfähigkeit o(T) ist proportional zu und deshalb nach Gl. (9.9) auch proportional zur Wurzel aus dem Boltzmann-Faktor (das führt zur 2 im Nenner des Exponenten!). Mit der Konstanten K und <r0 als Maßeinheit der Leitfähigkeit ergibt sich die Gleichung
o(T)/o0 = K exp[-£G/(2kT)].	(9.10)
9.2 Bändermodell
567
Logarithmieren und Differenzieren nach (1 / T) führt zu
In [cr(T)/<70] = Ink' — Ea/(2kT),
dlnkCn/uJMl/T) = — Ea/(2k).	(9.11)
Das heißt, trägt man In [cr(T)/cr0] über 1/T auf, dann erhält man eine Gerade mit der Steigung —Eal2k, aus der sich Ea ergibt.
Störstellenleitung. Man unterscheidet zwischen Majoritätsträgern (majority charge carriers), also denen mit der größeren (Anzahl-)Dichte, und den Minoritätsträgern (minority carriers) mit der geringeren Dichte. Normalerweise wird immer eine Sorte Ladungsträger stark überwiegen, sodass die beiden Terme in Gl. (9.2) sehr verschiedene Größe haben. Dichte und Beweglichkeit des dominierenden Ladungsträgers können aus dem Hall-Koeffizienten und der Leitfähigkeit bestimmt werden.
Die Dotierung beeinflusst jedoch weder die Elektron-Loch-Generationsrate noch die kristalltypischen Faktoren, die neben den beiden Dichten in die Rekombinationsrate eingehen. Also gilt auch hier
«-p = n? = konst. für T = konst.	(9.12)
Das ist das Massenwirkungsgesetz (MWG) für die Ladungsträgerdichten. Wird durch Dotierung die Dichte einer Ladungsträgerart erhöht, dann wird dadurch auch die Verringerung der anderen Dichte erzwungen. Die Produktform des Massenwirkungsgesetzes führt dazu, dass die Leitfähigkeit eines Halbleiters (Gl. (9.2))
<r = e(/^p + n/in)	(9.13)
am kleinsten ist, wenn die beiden Ladungsträgerdichten etwa gleiche Größe haben. Das „etwa“ bezieht sich darauf, dass auch die Beweglichkeiten eingehen, die für Elektronen und Löcher verschieden sind. Die in der Halbleitertechnik verwendeten Dotierungen führen zu Leitfähigkeiten, die normalerweise die Eigen-Leitfähigkeit um Zehnerpotenzen übersteigen. Die hohen Leitfähigkeiten kommen zustande, wenn eine Ladungsträgerart die andere stark überwiegt; bestimmend dafür ist der Dotierungsüberschuss | Aj, — 7VJ.
Für einen dotierten Halbleiter sind verschiedene Temperaturbereiche mit charakteristischem Leitungsverhalten zu unterscheiden, die hier am Beispiel eines «-dotierten Halbleiters diskutiert werden:
- (a) Störstellenreserve. Bei ganz tiefen Temperaturen ist die thermische Energie kTso klein, dass nicht alle Donatoren ihr Elektron in das Leitungsband abgegeben haben. Die Elektronendichte n ist kleiner als die Donatorendichte No, aber viel größer als die Löcherkonzentration p, weil der energetische Abstand der Donatorniveaus (Äj,) von der Unterkante des Leitungsbandes (£"L) wesentlich kleiner ist als Ea. Mit wachsender Temperatur steigen Leitfähigkeit und Elektronendichte exponentiell an:
n~exp[-(ÄL-ÄD)/(2W	(9.14)
- (b) Störstellenerschöpfung. Im mittleren Temperaturbereich haben alle Donatoren ihre Elektronen in das Leitungsband abgegeben. Die Leitfähigkeit ist proportional zur Majoritätsladungsträgerdichte n und temperaturunabhängig:
n — Nd > p.	(9-15)
568
9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Die Minoritätsladungsträgerdichte p steigt exponentiell an:
p = n2/AD~exp[-Äo/(Ä;T)].	(9-16)
- (c) Eigenleitung. Bei hohen Temperaturen ist die oben beschriebene Eigenleitung vorherrschend. Elektronen- und Löcherdichten sind gleich und steigen exponentiell mit der Temperatur gemäß Gl. (9.9).
In Abb. 9.3 ist die Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichten graphisch dargestellt; die drei Bereiche sind klar zu erkennen. Die allermeisten technischen Halbleiter arbeiten bei Zimmertemperatur im Bereich der Störstellenerschöpfung (Bereich b in Abb. 9.3).
Abb. 9.3 Ladungsträgerdichten, logarithmisch über die reziproke Temperatur aufgetragen für den Fall eines n-dotierten Halbleiters (schematisch). Zu unterscheiden sind die Bereiche a, b und c, erläutert im Text.
Anwendungen von Halbleitern. Die bei weitem wichtigsten Anwendungen ergeben sich nicht aus den Eigenschaften eines Halbleiters, sondern aus den Grenzflächenphänomenen, die im Übergangsbereich zwischen verschiedenen Halbleitern auftreten; diese werden in den folgenden Abschnitten behandelt. Hier sei nur auf einige Anwendungen einzelner Halbleiter hingewiesen.
Da die meisten Halbleiter einen negativen Temperaturkoeffizienten haben, werden einige als so genannte Heißleiter oder NTC-Widerstände (NTC = negative tempe-rature coefficient) verwendet. Ihr Widerstand ist im kalten Zustand groß, im heißen klein. Der Temperaturkoeffizient beträgt — 3 bis — 5 % pro Grad Temperaturerhöhung. Sie werden häufig eingesetzt, z. B. für die Zündung von Gasentladungslampen (Leuchtröhren, Abschn. 10.3.5).
Der für Ausmessungen schwacher Magnetfelder verwendete Hall-Generator ist ein Halbleiter mit großer Hall-Konstante. 1952 fand H. Welker neue halbleitende Verbindungen vom Typ AmBv, in deren Einkristallen die Elektronen eine sehr hohe Beweglichkeit besitzen. Sie beträgt beim InSb 65000 und beim InAs 23 000cm2V 's 1 (zum Vergleich: 27cm2V 's ' für Kupfer). Die Hall-Generatoren haben wirksame Flächen von 1 mm x 2 mm bis 6 mm x 12 mm und sind auch zur Messung magnetischer Felder in engen Luftspalten geeignet.
Verwandt mit den Hall-Generatoren sind die magnetisch steuerbaren Widerstände („Feldplatten“) aus InSb/NiSb. Durch ein transversales Magnetfeld werden die Ladungsträger im InSb stark seitlich abgelenkt, aber die in den InSb-Kristall legierten Nadeln aus NiSb sorgen für eine Gleichverteilung der Ladungsträger über den Querschnitt des Halbleiters. Mit zunehmendem 2?-Feld ergibt sich eine zu B2 proportionale Widerstandserhöhung der Feldplatte.
9.2 Bändermodell
569
9.2.3 Zustands- und Ladungsträgerdichten
Wir betrachten zuerst einen idealen Eigenhalbleiter ohne Störstellen. Bei T = 0 ist sein Valenzband (VB) voll und sein Leitungsband (LB) leer. In erster Näherung kann die Bewegung von Elektronen im Leitungsband, wie wir es bei den Metallen mit teilweise besetztem Leitungsband getan haben, als freie Bewegung des „Elektronengases“ im ladungsneutralen Kristallgitter behandelt werden. Das ist eine gute Näherung für den meist vorliegenden Fall, dass sich alle betrachteten Elektronen energetisch nahe an der Unterkante des LB befinden, sodass die obere Begrenzung des LB nicht berücksichtigt zu werden braucht.
Wählen wir die Unterkante des LB als Nullpunkt der kinetischen Energie der Leitungselektronen, dann gilt nach den Phasenraum-Überlegungen für ein ideales Gas (Abschn. 7.4.1), dass die Energieverteilung der Zustandsdichte 1)(E] proportional zu EpP ist. Das ergibt die in Abb. 9.4b dargestellte Funktion. Da bei einem Eigenhalbleiter für T > 0 jedes in das LB beförderte Elektron eine Lücke (Loch) im VB hinterlässt, muss für die Löcher eine entsprechend gespiegelte Zustandsdichteverteilung gelten.
Die Fermi-Energie der Festkörperelektronen, bezogen auf die Unterkante des VB als Nullpunkt, ist bei T — 0 die Grenze zwischen den besetzten und leeren Zuständen. Für T > 0 ist es definitionsgemäß die Energie, für die die Besetzungswahrscheinlichkeit einer Zelle den Wert 0.5 besitzt. Da die Fermi-Verteilung in guter Näherung zu E — EP antisymmetrisch ist (wenn man vom dem ganz dünnen Hochenergieschwanz, der nur asymptotisch nach null geht, absieht), muss aus Symmetriegründen die Fermi-Energie des Eigenhalbleiters in der Mitte der verbotenen Zone liegen (Abb. 9.4a).
Die Abb. 9.4c gibt die Fermi-Verteilung f(E). Diese Funktion ist bei T — 0 eine Stufenfunktion; bei Zimmertemperatur ist f(E) an der Unterkante des LB schon sehr viel kleiner als 1 und geht mit zunehmender Energie proportional zu exp[ — (£"— EP)/(k7)] schnell noch näher gegen null. Das in Abb. 9.4d (oben) stark überhöht dargestellte Produkt 1)(E]  f(E) gibt die energetische Verteilung der Elektronendichte im LB. Im VB interessiert weniger die Elektronenverteilung 1)(E]  f(£"), als die Differenz zur Vollbesetzung, nämlich 1)(E]  [1 — f(£")]; das ist die energetische Verteilung der Löcherdichte im VB (Abb. 9.4c unten, ebenfalls stark überhöht dargestellt).
n
E $_D(E)f(E)
ELf----
Ev^ D(£b [!-/(£)]
Abb. 9.4 Eigenhalbleiter: (a) Fermi-Niveau in der Mitte der verbotenen Zone, (b) Zustandsdichteverteilung, (c) Fermi-Verteilung (nicht maßstäblich), (d) Ladungsträgerdichte-Verteilung (überhöht).
570	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Im Eigenleiter ist die Dichte beider Ladungsträger gleich. Weil die Verteilung der Löcher im VB der „invertierten“ Verteilung der Elektronen im LB entspricht, wird die gleichgroße Dichte beider Ladungsträger als Inversionsdichte (intrinsic density) «i bezeichnet. Die Mitte der verbotenen Zone wird als Inversionsenergie (intrinsic energy level) Et bezeichnet.
Für alle folgenden Betrachtungen ist es wichtig, sich die unterschiedliche Größe der verschiedenen Dichten zu vergegenwärtigen.
- Atomdichte im Halbleiter (Si, Ge):
»AM,,- 5'1022“!	
Dichte der Leitungselektronen (= Dichte der Löcher) im Eigenhalbleiter bei Raumtemperatur:
nt x 10l0cm ' (Si) « 1012cm~3 (Ge).
Die Inversionsdichte n{ steigt exponentiell mit zunehmender Temperatur an (Gl. (9.9)); das entspricht etwa einer Verdopplung für 10 Grad Temperaturerhöhung).
Typische Störsteilen-Dichten:
V„ bzw. VA « (IO-10 bis 10-1)-nAlom.
Meistens ist die Dichte der Störstellen viel kleiner als die Atomdichte des Halbleitermaterials; andererseits werden von diesen Störstellen Ladungsträger freigesetzt, deren Dichte um einige Größenordnungen höher ist als die der Leitungselektronen und Löcher bei Eigenleitung und Raumtemperatur. Besonders hohe Dotierung wird durch p+ bzw. n+ symbolisiert, extrem hohe durch p++ bzw. n + +.
Selbst wenn alle Donatoratome ionisiert sind, können die Leitungselektronen der typischen dotierten Halbleiter immer noch in guter Näherung als ein nicht-entartetes Elektronengas behandelt werden. Zum Vergleich sei an die Leitungselektronen der Metalle erinnert, deren Dichte gleich der Atomdichte ist: Die Metallelektronen sind energetisch um einige eV bis zu ihrer Fermi-Kante „aufgestapelt“: Aber bei Elektronendichten, die meist nur 10 4 bis 10 6 der Atomdichte betragen, ist der Stapeleffekt zu vernachlässigen. Man kann also in sehr guter Näherung annehmen, dass sich im thermischen Gleichgewicht die Leitungselektronen nahe an der Unterkante des LB und die Löcher nahe an der Oberkante des VB befinden.
Bei Eigenhalbleitern fällt die Fermi-Energie EP mit Ei zusammen. Bei dotierten Halbleitern ist die Fermi-Energie temperaturabhängig: Die Donator-Atome eines n-Leiters sind bei T — 0 noch nicht ionisiert, d. h. sie sind besetzte Elektronen-Zustände; deshalb liegt EP(T = 0) zwischen den besetzten Donator-Zuständen und dem völlig unbesetzten LB. Mit zunehmender Temperatur wächst der Einfluss der Eigenleitung und EP sinkt ab, um sich asymptotisch der Mitte der verbotenen Zone, der Energie Ep zu nähern. Bei höheren Temperaturen liegt also EP zwischen den Donator-Niveaus und EP Diese Absenkung von EP mit der Temperatur findet bei schwacher Dotierung früher statt als bei starker. - Für p-Leiter gilt das Entsprechende: EP(T = 0) liegt zwischen Oberkante des VB und den Akzeptor-Niveaus und steigt mit zunehmender Temperatur, bei geringer Dotierung früher als bei starker,
9.2 Bändermodell
571
um sich von unten asymptotisch der Mitte der verbotenen Zone (E) zu nähern. -Bei den extrem hoch dotierten Entartungshalbleitern kann die Fermi-Energie von n-Leitern sogar etwas oberhalb EL, bei p-Leitern etwas unterhalb Ev liegen.
Wir haben oben nur qualitativ beschrieben, wie sich die Fermi-Energie als Funktion der Temperatur verändert. Für die quantitative Berechnung der Ladungsträgerdichten im thermischen Gleichgewicht verweisen wir auf Bd. 6, Kap. 7 und geben hier nur einige anschauliche Resultate. Wir betrachten einen hinreichend stark dotierten Halbleiter, für den
n,«|7VD-7VA|	(9.17)
gilt, und eine hinreichend hohe Temperatur, für die eine vollständige Ionisation aller Störstellen (Störstellenerschöpfung) angenommen werden kann:
n x Nd bzw. p x Na.
(9.18)
Dafür gelten die folgenden Formeln:
n-Leiter
7Vd ss n |> «j
Ei>Ei
n = exp[(^ — E^/kT]
p = n{ exp [ — (Tip — E^jkT]
p-Leiter
7Va « p >
Et>Ep
p — exp [iE — E-^jkT]
n = n{ exp[ — (Ei — Ep)/kT]
(9.19)
9.2.4 Bänder im k-Raum und im Ortsraum
Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist die kinetische Energie eines Elektrons durch
Ekm=p2/(2m)	(9.20)
mit dem Betrag des Impulses p verknüpft (m ist die Elektronenmasse). Statt des Elektronenimpulses wird in der Festkörperphysik der Wellenvektor k verwendet, der der de-Broglie-Welle zugeordnet ist:
k = p/h
und
\k\=2nß	(9.21)
(A = de-Broglie-Wellenlänge, h = h/2n). Der k-Raum unterscheidet sich also nur durch den Skalierungsfaktor fr 1 vom Impulsraum.
Setzt man für die Gesamtenergie eines Elektrons im LB
E = Ep +
= E, + k2 fr2/(2m)	(9.22)
an, dann ergibt sich für die Energie E als Funktion der Wellenzahl k die in Abb. 9.5 dargestellte Parabel.
Das ist eine Näherung, die auf der Annahme beruht, dass sich die Elektronen im LB wie freie Teilchen eines idealen Elektronengases bewegen können. Die parabolisch ansteigende Funktion ist sicher im oberen Teil des LB nicht mehr gültig,
572	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Abb. 9.5 Energie eines Elektrons im LB (nahe der Unterkante) als Funktion des Wellenvektors.
weil dort die erlaubten Energien durch die Oberkante des LB begrenzt werden. Doch auch im unteren Teil des LB machen sich die Einflüsse des Kristallgitters bemerkbar und verändern die Kinematik der Leitungselektronen. Die erste Korrektur der oben beschriebenen Näherung ist die Einführung der effektiven Masse me[[ in Gl. (9.22):
m ~* mett + m-	(9.23)
Je größer die effektive Masse ist, desto kleiner ist die Krümmung der Funktion E(k) von Abb. 9.5. Allgemein ist die effektive Masse von Leitungselektronen definiert als
(F'/f LA2) '.	(9.24)
Für die Bewegung der Löcher im Valenzband gilt: Die kinetische Energie der positiv geladenen Löcher wird in der graphischen Darstellung nach unten aufgetragen; an der Oberkante des VB liegt das Minimum ihrer kinetischen Energie. Die effektive Masse der Löcher ergibt sich ebenfalls aus der Krümmung der Funktion £"(£) für die Löcher [wie Gl. (9.24), jedoch mit einem Minuszeichen].
Im oberen Bereich des LB (und im unteren des VB) können die Funktionen E(k) auch waagrecht verlaufen oder mit steigendem k abfallen (im VB ansteigen). Dementsprechend wird die effektive Masse bei diesen Wellenzahlen unendlich groß oder gar negativ. Das bedeutet: eine elektrische Kraft, die durch ein .E-Feld auf das LB-Elektron (bzw. VB-Loch) ausgeübt wird, kann im Kristall u.U. gar keine oder sogar eine der Kraft entgegengesetzte Beschleunigung bewirken. Die effektive Masse ist eine elegante Art, die Kristalleinflüsse auf die Bewegung der Ladungsträger formal zu beschreiben. Doch man muss beachten, dass die Überschuss- oder Mangelelektronen im Kristall die „normale“ Elektronenmasse m besitzen und dass Elektronen (und Löcher) mit davon abweichenden effektiven Massen fiktive Teilchen sind.
Man verwendet die effektive Masse vor allem für eine parabolische Näherung der Funktionen E(k) in der Nähe des LB-Minimums bzw. des VB-Maximums (Abb. 9.6); für diese Bereiche liegen die effektiven Massen typischerweise im Bereich von 0.1 bis 3 m.
In der k-Raum-Darstellung heißen die Funktionen E(k) Energiebänder. Wegen der Anisotropie der Kristalle sind diese Bänder richtungsabhängig. Es ist üblich, die Funktionen E(k) für die wichtigsten Kristallrichtungen in einem Diagramm zu-
9.2 Bändermodell
573
Abb. 9.6 Effektive-Masse-Näherung: Die gestrichelten Kurven sind angepasste Parabeln, aus deren Krümmung sich die effektive Masse ergibt.
sammenzufassen. Mehr darüber in Bd. 6 (Festkörper), Kap. 1 (Grundlagen der Festkörperphysik).
Ohne Berücksichtigung der Kristall-Anisotropie vereinfacht sich das Bändermodell in der Ortsraum-Darstellung zu dem einfachen Schema von Abb. 9.7a. Das Maximum der Löcher-Bänder wird zur „Oberkante VB“ bei der Energie Ev, das Minimum der Elektronenbänder wird zur „Unterkante LB“ bei der Energie EL. Diese beiden Kanten werden durch zwei horizontale Linien im vertikalen Energieabstand Ea dargestellt. Unterhalb Ev liegen die besetzten Elektronenzustände. Andere besetzte Bänder unter dem VB interessieren genauso wenig wie andere unbesetzte Bänder über dem LB.
Die Kristall-Anisotropie wird nicht berücksichtigt. Die x-Koordinate stellt immer eine für die Betrachtung sinnvolle Ortskoordinate dar. Bei Übergängen zwischen zwei physikalisch verschiedenen Volumenbereichen wird x senkrecht zur Grenzfläche gewählt. Ein vorhandenes elektrisches Feld wird entlang der x-Achse angenommen. Der resultierende Potentialgradient führt zu einer Neigung der Bänder (Abb. 9.7b). Da die Elektronenenergie im Bändermodell positiv dargestellt wird, führt ein .E-Feld in + x-Richtung (das auf die negativ geladenen Elektronen eine nach — x gerichtete Kraft ausübt) zum Ansteigen der Bänder mit zunehmendem x. Die Leitungselektronen streben im Bändermodell „nach unten“ zum Energieminimum. Die Löcher im VB streben „nach oben“ zum Energiemaximum, damit die echten Elektronen auch im VB die unteren Plätze einnehmen können.
LB
ES
I \ E-Feld ---------->- x
Abb. 9.7 Vereinfachtes Bändermodell in Ortsraum-Darstellung: (a) ohne elektrisches Feld, (b) mit elektrischem Feld entlang der x-Achse.
574	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
9.2.5 pn-Übergang
Mit wenigen Ausnahmen bestehen alle Halbleiter-Bauelemente aus Kombinationen von p-leitendem und n-leitendem Halbleitermaterial. Im Grenzgebiet, dem pn-Über-gang, treten interessante Phänomene auf, deren physikalische Grundlagen von W. Shockley (1947) erkannt wurden.
Es ist technisch möglich, zwei Hälften eines Halbleiters (z. B. Silicium) unterschiedlich zu dotieren, z. B. p-Leitung auf der linken Seite mit der Akzeptorendichte 7VA und n-Leitung auf der rechten Seite mit der Donatorendichte Aj, (Abb. 9.9a). Der Übergang zwischen den beiden Bereichen soll sich auf eine schmale Übergangszone in der Mitte beschränken.
Während die Atome im Kristall an ihren Platz gebunden sind, diffundieren die frei beweglichen Ladungsträger ähnlich wie die Moleküle eines Gases. Läßt man einen p-Halbleiter und einen n-Halbleiter sich so innig berühren, dass Ladungsträger vom einen in den anderen fließen können, so entsteht ein Übergangsbereich, in dem die beiden Ladungsträger-Arten durch Diffusion vermischt sind. Defektelektronen (Löcher) wandern vom p- zum n-leitenden Gebiet, Elektronen in umgekehrter Richtung unter Zurücklassung der ionisierten ortsfesten Störstellen, denen sie entstammen. Im angrenzenden anderen Gebiet sind die eindiffundierenden Ladungen Minoritätsladungsträger. Mit den dortigen Majoritätsladungsträgern findet Rekombination statt, wodurch sich ein Ladungsträgerpaar jeweils neutralisiert und seine Energie, dem energetischen Abstand von Leitungs- und Valenzband entsprechend, meist in Phononen (Wärme), seltener in Photonen (Strahlung) umsetzt. Die ionisierten Störstellen sind nun nicht mehr kompensiert und bauen daher im Zuge der Rekombinationen nach Abdiffusion allmählich eine Raumladung auf, innerhalb des p-lei-tenden Bereichs gegeben durch die negative Ladung der Akzeptoren, innerhalb des n-leitenden Bereichs durch die positiven Ladungen der Donatoren. Das den Raumladungen zugeordnete elektrische Feld erschwert zunehmend die Abdiffusion weiterer Ladungsträger. Im thermodynamischen Gleichgewicht halten sich schließlich Diffusions- und Feldströme der beiden Ladungsträgerarten die Waage. Diese aneinandergrenzenden Raumladungsbereiche, die eine Dipolschicht bilden, sind ein Charakteristikum des pn-Übergangs. Die Position der Raumladungen im pn-Halbleiter ist in Abb. 9.8a angedeutet, die Ladungsdichteverteilung entlang der x-Achse in Abb. 9.8b.
Das Diffundieren der beweglichen Ladungsträger wird im stationären thermischen Gleichgewicht begrenzt durch das elektrische Feld zwischen den Raumladungen, das dem Diffusionsstrom entgegenwirkt. Die Energie- bzw. Potentialstufe, die sich aus dem Wegintegral über die Feldstärke zwischen den Raumladungen ergibt, ist gerade so groß, dass sie die Fermi-Niveaus der beiden Halbleiter-Hälften aneinander angleicht (Abb. 9.8c).
Die Potentialstufe, die sich im pn-Übergangsbereich einstellt (AE von Abb. 9.8c, geteilt durch e), ist weniger steil als der Potentialsprung an der Kontaktstelle zweier verschiedener Metalle (Abschn. 8.3.1). Das hat folgenden Grund: In Metallen ist die Dichte der Leitungselektronen so groß, dass es nur ganz geringer lokaler Unterschiede zur ladungsneutralisierten Dichte bedarf, um die für den Potentialsprung notwendigen Raumladungen zu erzeugen. Diese Raumladungen sitzen dicht an der Metalloberfläche der beiden Kontaktmetalle und bilden zusammen eine Dipolschicht
9.2 Bändermodell
575
Abb. 9.8 Zum pn-Übergang: (a) p- und n-dotierte Bereiche, Raumladungen angedeutet; (b) Ladungsdichteverteilung, (c) Bändermodell, (d) Logarithmus der Ladungsträger-Dichten.
(dipole layer), deren Dicke kaum größer ist als der Abstand benachbarter Atome im Kristallgitter. In Halbleitern kann dagegen die Dichte der Raumladungen nur so groß werden wie die Dichte der (ionisierten) Majoritäts-Störstellen. Um eine Angleichung der Fermi-Niveaus am pn-Übergang zu erreichen, muss der Halbleiter in einer größeren Tiefe beiderseits der Grenzfläche an beweglichen Ladungsträgern verarmen und so die erforderlichen Raumladungen ausbilden. Statt des Potential-sprungs entsteht ein endlich dicker Übergangsbereich (Sperrschicht, barrier layer), in dem die Bänder „verbogen“ sind. Diese Bandverbiegung (bandbending) ist typisch für Halbleiter-Grenzflächen.
Im Gleichgewicht muss an jeder Stelle das Massenwirkungsgesetz für die Ladungsdichten erfüllt sein. Das bedeutet für die logarithmische Darstellung folgendes:
[1g 1/rcm 1 + 1g (n/cm~3)]p.Leitung
= [1g 1/rcm 1 + 1g (n/cm~3)]n.Leitung.	(9.25)
Bei dem in Abb. 9.8d dargestellten Beispiel wurde angenommen, dass 7VD etwas größer als 7Va ist. Oft werden die Ladungsträgerdichten p und n (gemessen in cm 3) wie reine Zahlen behandelt:
Igp + 1g n = konst.
576	9 Elektrische Effekte in Halbleitern
Ooo O o O o°o<?oo.° O O o	° °°o°o5cL ° O O O °o On	— — —
ouooooo°oooooo O xx o o O q o o On° n°O ° o °o°„oo„oo o°q-O°o° o° o oo°o	7 11 1111 1 1 l'l
P	n
o o o o Oo 0o° o o o O °O° OO O°° O °O O o o	1 \ V? 1 1 1 I1 1 1 1
Abb. 9.9 Majoritätsträger in der Nähe eines pn-Übergangs (schematisch): (a) ohne angelegte Spannung, (b) mit Durchlassspannung, (c) mit Sperrspannung.
Da nach dem MWG das Produkt der Ladungsträgerdichten konstant ist, die Leitfähigkeit aber aus der Summe der Ladungsträgerdichten, multipliziert mit ihren Beweglichkeiten, gebildet wird, muss im Bereich des pn-Übergangs eine an Ladungsträgern verarmte Zone geringerer Leitfähigkeit entstehen (Abb. 9.9a).
Beim Anlegen eines elektrischen Feldes erhält die Diffusion eine Vorzugsrichtung; im Fall der Abb. 9.9b werden von beiden Seiten Ladungsträger in die Grenzschicht nachgeliefert; die Grenzschicht wird mit Ladungsträgern überschwemmt, also leitfähiger. Im anderen Fall (Abb. 9.9c) dehnt sich die Sperrschicht aus.
Die ideale Kennlinie des pn-Übergangs hat die exponentielle Form
I = Io [exp(eU/kT) - 1],	(9.26)
Im Bändermodell von Abb. 9.8c ergibt sich durch das Anlegen einer Spannung folgende Veränderung: Die Spannung fällt hauptsächlich entlang der Übergangszone ab, wo der spezifische Widerstand am größten ist; dort entsteht also eine Feldstärke, durch die die Bänder in der Übergangszone schräg gestellt werden, wie schematisch in Abb. 9.7b gezeigt wurde. Im Durchlassbetrieb bewirkt die „Anschrägung“ durch den Spannungsabfall eine Verringerung der Potentialstufe am pn-Übergang. Im Sperrbetrieb wird die Potentialstufe vergrößert.
Im Durchlassbetrieb fließt von beiden Seiten ein Majoritätsträger-Strom zum pn-Übergang. Weitab von der Sperrschicht ist der dort ebenfalls fließende Minoritätsträger-Strom vernachlässigbar klein. In der Nähe der Sperrschicht, wo die Minoritätsträgerdichte infolge der Zuwanderung von der anderen Seite erhöht ist, nimmt der Majoritätsträger-Strom durch Rekombination stark ab; nach Durch tritt durch den pn-Übergang zum Minoritätsträger-Strom geworden, nimmt der Strom durch Rekombination weiter ab, bis das aus dem MWG (Gl. (9.12)) für vollständige Stör-stellen-Ionisation folgende Verhältnis der Ladungsträger-Dichten erreicht ist:
«Min/PMaj = (W bzw.
PM.n/«MaJ - («./^D)2-	(9-27)
9.2 Bändermodell
577
Abb. 9.10 (a) Schaltbild einer Halbleiter-Diode, (b) Kennlinie einer Hochleistungsdiode aus Si (Durchmesser 50 mm). Unterschiedliche Maßstäbe für positive und negative Strom- und Spannungswerte!
Im Sperrbetrieb werden die Majoritätsträger durch die ausgeprägte Potentialschwelle von der Sperrschicht ferngehalten. Die wenigen Minoritätsträger werden dagegen durch das elektrische Feld in diesen Bereich hineingezogen und ihre weiterhin unterhalb des MWG-Wertes liegende Dichte wird durch thermische Generation vergrößert. Der Generationsstrom und der Feldstrom bilden zusammen den Sperrstrom.
Beim Anlegen einer Wechselspannung treten je nach Phasenlage die beschriebenen Fälle abwechselnd auf. Der pn-Übergang wirkt als Gleichrichter. Die Kennlinie eines Starkstrom-Gleichrichters ist in Abb. 9.10b dargestellt; man beachte, dass sich in Fluss- bzw. Sperrichtung die Spannungsachsen um 3 und die Stromachsen sogar um 6 Größenordnungen unterscheiden.
Man sieht, dass eine Mindestspannung in Flussrichtung erforderlich ist und dass in Sperrichtung auch ein Strom fließt. Ferner sieht man, dass in Sperrichtung bei einer bestimmten oberen Grenze der Spannung plötzlich der Strom sehr stark steigt. Die elektrische Feldstärke im dünnen pn-Übergang ist so groß geworden, dass eine Ionisierung der Gitteratome durch das elektrische Feld und damit ein Lawinendurchbruch (avalanche breakdowri) erfolgt. Ein anderer, vor allem bei dünnen Sperrschichten auftretender Durchbruchmechanismus ist der Tunneleffekt (tunneling).
Neben der Gleichrichterwirkung ist auch die Kapazität des pn-Übergangs von Bedeutung. In Sperrichtung stellt jeder pn-Übergang einen Kondensator dar, weil die entgegengesetzt gleichen Ladungen beiderseits der Grenzfläche durch eine isolierende Zone getrennt sind.
pin-Übergang. Durch Gestaltung des pn-Übergangs (Stärke der Dotierung auf beiden Seiten, schroffer oder gradueller Übergang von p- zu n-Dotierung) lassen sich die Betriebseigenschaften verändern. So kann z. B. der Stromanstieg in Sperrichtung zu höheren Sperrspannungen verschoben werden, wenn man den pn-Übergang nicht schroff verlaufen lässt, sondern zwischen dem p- und dem n-leitenden Teil ein Gebiet mit geringer Ladungsträgerkonzentration einfügt. Im Extremfall wird zwischen p-und n-leitendem Bereich eine Zone ohne (oder mit sehr geringer) Dotierung eingeschoben. So entsteht eine pin-Diode (auch PIN- oder p-i-n-Diode); das Symbol „i“
578
9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
bezieht sich wieder auf intrinsic conductivity (Eigenleitung). In Durchlassrichtung steigt der Strom exponentiell an. In Sperrichtung ist die Feldstärke im ausgedehnten i-Gebiet konstant; bei gegebener Durchbruchfeldstärke für das Material (ca. 2 • 105 V/cm für Si) ist die Durchbruchspannung, gegeben durch das Wegintegral über die Durchbruchfeldstärke im i-Gebiet, entsprechend groß.
9.2.6 Metall/Halbleiter-Übergang
Wie oben dargelegt wurde, besteht kein prinzipieller Unterschied zwischen der Po-tentialstufe am pn-Übergang und dem Potentialsprung an der Kontaktstelle zweier verschiedener Metalle. Beides sind Kontaktspannungen.
Kontaktspannungen kann man nicht einfach dadurch messen, dass man die äußeren Enden der Verbindung an ein Spannungsmessgerät anschließt. Wie bei den Metallen (Abschn. 8.3.1) erläutert wurde, ist bei einer im Stromkreis geschlossenen Kette von verschiedenen Metallen, z. B. C-A-B-C, die Summe aller Kontaktspannungen gleich null. Aufgrund von ähnlichen Überlegungen muss man eigentlich befürchten, dass die Eigenschaften des pn-Übergangs im Stromkreis verloren gehen (oder zumindest stark verändert werden), weil an den unvermeidlichen Metall/p-Halbleiter- und n-Halbleiter/Metall-Übergängen entgegengesetzte Phänomene auftreten. Zu fragen ist:
-	Wirkt ein Metall/Halbleiter-Kontakt ähnlich wie ein pn-Übergang?
-	Kann man den Kontakt als Gleichrichter technisch nutzen?
- Wie kann man den Gleichrichter-Effekt vermeiden und einen rein ohmschen
Metall/Halbleiter-Kontakt herstellen?
f |	E
Abb. 9.11 Metallkontakt (a) mit n-Halbleiter, (b) mit p-Halbleiter. Oben - schematische Darstellung der Raumladungen, unten - Bändermodell. Die mit Elektronen besetzten Zustände sind hier schraffiert.
9.3 Halbleiter-Bauelemente
579
Der Verlauf der Bänder in der Nähe des Kontaktes ergibt sich qualitativ aus der Angleichung der Fermi-Niveaus, die eine Potentialstufe zur Folge hat. Die Gleichgewichts-Raumladungen sind in Abb. 9.11 oben angedeutet. Auf der Metallseite sitzen die Raumladungen dicht an der Oberfläche, im Halbleiter erstrecken sie sich über eine größere Tiefe. Letzteres bewirkt die gezeigte Bandverbiegung (band bend-ing). In beiden Fällen (Abb. 9.1 la,b) entsteht eine Potentialbarriere für die Majoritätsladungsträger des Halbleiters, die verstärkt wird, wenn die Polarität einer angelegten Spannung so ist, dass die Majoritätsladungsträger von der Grenzfläche zum Halbleiter getrieben werden. Im umgekehrten Fall, also Minuspol am n-Halb-leiter oder Pluspol am p-Halbleiter, wird die Barriere abgebaut. Der Übergang vom Metall zum Halbleiter hat also tatsächlich Gleichrichter-Wirkung.
Dieser Gleichrichter-Effekt wurde schon 1876 von F. Braun (Nobelpreis 1909) entdeckt. In der Kinderzeit des Rundfunks wurden mit großem Erfolg, wenn auch ohne Kenntnis der Wirkungsweise, so genannte „Detektoren“ verwendet, bei denen eine Metallspitze federnd auf einem natürlichen Kristall (PbS, PbSe) saß. Der Detektor-Empfänger war ein einfaches Radio, in dem der Detektor als Gleichrichter für die Demodulation der amplitudenmodulierten Trägerwelle (Abschn. 5.5.1) eingesetzt wurde. 1938 konnte W. Schottky die physikalischen Vorgänge am Metall/ Halbleiter-Kontakt erklären.
Heute haben Metall/Halbleiter-Kontakte in verbesserter Ausführung wegen ihrer sehr geringen Kapazität in der Höchstfrequenztechnik als Spitzen-Dioden oder Schottky-Dioden (Schottky-barrier diodes) Bedeutung erlangt.
Bei den meisten Metall-Halbleiter-Verbindungen möchte man einen ohmschen Kontakt ohne unfreiwillige Gleichrichterwirkung haben. Um das zu erreichen, muss man an der Kontaktstelle für eine hohe Störstellendichte sorgen, weil dadurch die Barriere schmal wird und leicht in beiden Richtungen (ohne Gleichrichtereffekt!) zu durchtunneln ist. Bei geeigneter Materialpaarung können bei der Herstellung der Verbindung Metallatome in den Halbleiter diffundieren und dort als zusätzliche Störstellen wirken.
Bei den folgenden Diskussionen von Halbleiter-Schaltungen wird stillschweigend angenommen, dass die Halbleiter-Metall-Verbindungen rein ohmsche Kontakte sind.
9.3 Halbleiter-Bauelemente
9.3.1 Dioden, Thyristoren
Der Begriff „Diode“ wird sehr oft synonym mit „Gleichrichter“ verwendet. Obwohl das Wort „Diode“ sprachlich nichts anderes bedeutet als „Zweipol“, wird bei ersterem eine Abhängigkeit der Leitfähigkeit von der Stromrichtung impliziert.
Hochleistungs-Gleichrichter. Eine Hochleistungs-Silicium-Diode wurde in Abschn. 9.2.5 schon vorgestellt (Kennlinie in Abb. 9.10b). In der Starkstromtechnik haben die Silicium-Dioden die Quecksilberdampf-Gleichrichter und auch andere Halbleiter-Dioden völlig ersetzt. Sie werden von kleinsten Leistungen (etwa für Rundfunk-
580	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
gerate) bis hin zu Bauelementen gefertigt, die über 4000 V Sperrspannung aufweisen und in Flussrichtung 1000 A Strom tragen können.
Kapazitätsdiode. Von großer technischer Bedeutung sind Dioden, die im Sperrbereich betrieben und wegen ihrer elektrisch steuerbaren Kapazität eingesetzt werden (Varaktor, Varikap, varactor diode, variable-capacitance diode). Die Kapazität im Sperrbereich ist spannungsabhängig, weil die Verarmungszone beim Anlegen einer Sperrspannung verbreitert wird. Ebenso wie beim Auseinanderziehen der Platten eines Plattenkondensators die Kapazität verkleinert wird, nimmt bei der Diode die Kapazität durch die Vergrößerung des Abstandes zwischen den Ladungsträgern ab. Solche Kapazitätsdioden werden z. B. bei der parametrischen Verstärkung verwendet, bei der ein Parameter eines Schwingungskreises, hier also die Kapazität, im Rhythmus der Schwingung verändert und dabei dem Kondensator Energie zugeführt wird (parametric diode). Als Schaltbild der Kapazitätsdiode wird das einer Gleichrichter-Diode, ergänzt durch das Schaltbild eines Kondensators, verwendet.
Zener- oder Z-Diode (Zener diode stabilizer, stabilitron). Durch Herstellung eines schmalen Übergangsbereichs kann der Durchbruch der Diode absichtlich in den Bereich kleiner Sperrspannungen verlegt und technisch ausgenutzt werden. Als Ze-ner-Effekt versteht man das Tunneln von Elektronen aus besetzten Zuständen im VB des p-Halbleiters in unbesetzte Zustände im LB des n-Halbleiters, was bei schmalen Übergangsbereichen schon bei relativ kleinen Zener-Spannungen von einigen Volt möglich ist und in beiden Bändern zusätzliche Ladungsträger erzeugt. Man verwendet Z-Dioden in Schaltungen, in denen eine bestimmte Spannung nicht überschritten werden darf. Zwei entgegengesetzt in Reihe (back-to-back) geschaltete Z-Dioden ergeben einen spannungsabhängigen Widerstand, der unabhängig von der Polung zur Spannungsstabilisierung und zum Überspannungsschutz eingesetzt werden kann. Si-Lawinendioden mit großflächigem pn-Übergang für hohe Sperrstromtragfähigkeit (suppressor diodes, transient Zener absorbers) wurden speziell für die EMV-Technik (EMV = Elektromagnetische Verträglichkeit, electromagnetic com-patibility) entwickelt.
Tunneldiode (tunnel or Esaki diode). Bei der Tunneldiode (L. Esaki, 1958; Nobelpreis 1973) handelt es sich um einen p+n+-Übergang; das hochgestellte Pluszeichen markiert eine besonders hohe Dotierung. Hier sind beide Bereiche so hoch dotiert (7VAD> W'cmT dass der Entartungsfall vorliegt: Die Fermi-Niveaus liegen innerhalb der Bänder der Majoritätsträger in der Nähe der Bandkante und die Majoritätsträger sind so zahlreich, dass das VB des p-Gebietes unterhalb der Bandkante „voll mit Löchern“ (also leer) ist und das LB des n-Gebietes oberhalb der Kante mit Leitungselektronen angefüllt ist.
In der Strom-Spannungskennlinie (Abb. 9.12b) überlagert sich der normale Diodenstrom (Rekombinationsstrom im Durchlassbereich, Generationsstrom im Sperrbereich) mit dem Esaki-Strom, der in der von der angelegten Spannung erzwungenen Richtung fließt, wenn der Übergangsbereich schmal ist und im Bändermodell den Löchern auf der einen Seite in gleicher (energetischer) Höhe Leitungselektronen auf der anderen Seite gegenüberstehen. Dieser Esaki-Strom ist maximal, wenn die Überlappung von VB des p-Gebietes und LB des n-Gebietes gerade deren Besetzung
9.3 Halbleiter-Bauelemente
581
Abb. 9.12 Tunnel-Diode: (a) Schaltbild (b) Kennlinie (schematisch). Die Vorgänge an den mit A, B und C markierten Punkten werden in der folgenden Abbildung im Bändermodell dargestellt.
Abb. 9.13 Vorgänge in der Tunnel-Diode an den Punkten A, B und C der vorangegangenen Abbildung: (A) Zener-Tunnelstrom, (B) Esaki-Tunnelstrom, (C) Diffusionsstrom.
mit Löchern bzw. Leitungselektronen entspricht (Abb. 9.13, Fall B). Jenseits des Strommaximums mit zunehmender (positiver) Spannung fällt der Esaki-Strom auf null, wenn die LB-Unterkante des n-Gebietes die Höhe der VB-Oberkante des p-Gebietes erreicht hat. Für den weiteren Stromanstieg sorgt der normale Diodenstrom, der von der Rekombination der Ladungsträger getragen wird (Fall C). Im Bereich negativer Spannungen geht der Esaki-Strom in einen Zener-Strom über, sobald die Löcher im VB des p-Gebietes höher liegen als die Leitungselektronen im LB des n-Gebietes, denn dann können die Elektronen im VB des p-Gebietes in die unbesetzten Zustände im LB des n-Gebietes übergehen (FallA). Die Summe von Esaki- und Zener-Strom ergibt für die Kennlinie eine steile Gerade durch den Nullpunkt.
Besonders interessant ist der fallende Teil der Kennlinie, rechts vom Maximum: Aus dZ/dt/ < 0 folgt, dass differentieller Strom und differentielle Spannung an der Tunneldiode entgegengesetztes Vorzeichen haben. Damit wird die in diesem Kennlinienbereich betriebene Tunneldiode ein aktiver Zweipol. Solche Bauelemente sind zur Schwingungserregung geeignet. Die Tunneldiode wird zur Erzeugung höchstfrequenter Schwingungen (bis 100 GHz) verwendet und ist sehr rauscharm.
582	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Steuerbare Silicium-Gleichrichter oder Thyristoren. Im Englischen wird das 1956 von W. Shockley und J. J. Ebers erfundene Bauelement meist als Silicon (or semi-conductor) controlled rectifier, kurz SCR, bezeichnet. Die im Deutschen gebräuchliche Bezeichnung ist zusammengesetzt aus Thyr(atron) und (Trans)istor.
Das Thyristor-Schaltbild (Abb. 9.14a) zeigt eine Diode mit Steuerelektrode G („Gate“). Der Thyristor besteht aus einer Siliciumscheibe mit zwei p- und zwei n-leitenden Zonen. Die Scheibe enthält also drei pn-Übergänge, die in Abb. 9.14b mit 1,2 und 3 gekennzeichnet sind. Die mit der Steuerelektrode verbundene p-Zone ist sehr dünn. In Sperrbetrieb (Polung an Anode und Kathode entgegengesetzt zu der in Abb. 9.14b) sind die pn-Übergänge 1 und 3 an Ladungsträgern verarmt; es kann somit kein Strom fließen. Bei der Polung von Abb. 9.14b sperrt zunächst der pn-Übergang 2, während die beiden anderen den Strom durchlassen. Wird in diesem Zustand ein kurzer positiver Zündimpuls (z. B. von 100 jrs Dauer) an die p-leitende Steuerzone gegeben, so werden Elektronen aus der n-leitenden Kathodenzone gesaugt, und weil die Steuerzone sehr dünn ist, gelangen die meisten Elektronen -ohne in dieser p-Zone zu rekombinieren - in die mittlere Sperrschicht, die nun durchlässig wird. Der einsetzende Stromfluss bringt Leitungselektronen in die Steuerzone und verstärkt die Wirkung des ursprünglichen Gate-Pulses. Durch diesen Rückkopplungsmechanismus steigt der Anodenstrom lawinenartig an, bis er durch den Außenwiderstand begrenzt wird. Der mittlere (eigentlich sperrende) pn-Übergang wird mit Ladungsträgern zugeschwemmt. Nach dem Zündspannungspuls bleibt der Thyristor weiter im durchlässigen Zustand. Erst nach einer Freiwerdezeit, wenn von außen die am Thyristor liegende Spannung für 10 bis 100 jrs abgeschaltet wird und im mittleren pn-Übergang die Ladungsträger verschwunden sind, sperrt der Thyristor wieder.
Der Thyristor ist also ein Gleichrichter, der nicht schon durch den Polaritätswechsel auf „Durchlass“ leitend wird, sondern erst durch einen Puls an der Steuerelektrode (gestrichelte Linie in Abb. 9.14c). Einmal „gezündet“, bleiben solche Gleichrichter auch nach Abklingen des Zündimpulses stromdurchlässig, bis die anliegende Spannung durch null geht und den Strom unterbricht. Die Phasenlage des Zündimpulses bestimmt die Dauer der gleichgerichteten Stromkuppen. Durch Verschieben des Zündimpulses lässt sich also der Mittelwert des Stromes steuern. Die
Abb. 9.14 Thyristor: (a) Schaltbild, (b) npnp-Schichtenfolge mit Übergängen 1, 2 und 3 (K = Kathode, G = Gate, A = Anode), (c) Kennlinie (nicht maßstäblich).
9.3 Halbleiter-Bauelemente
583
wichtigsten Anwendungsgebiete sind die Steuer- und Regeltechnik und neuerdings auch die Hochspannungs-Gleichstromübertragung.
Für viele Anwendungen ist es ein Nachteil des Thyristors, dass er nur durch Abschalten des Laststromes - also z. B. beim Nulldurchgang eines sinusförmigen Wechselstromes - wieder in den blockierenden Zustand gebracht werden kann. Dieses Problem wird gelöst, indem auf einer Silicium-Scheibe viele kleine Thyristoren, deren laterale Ausdehnung auf der Silicium-Scheibe etwa gleich der Dicke des Siliciums ist, monolithisch integriert und parallel schaltet. Der Steuerpuls zum Abschalten muss allerdings viel größer sein als der zum Einschalten; der Abschaltstrom muss aber nur für eine sehr kurze Zeit aufrecht erhalten werden (< 1 ms), sodass dieser Steuerimpuls z. B. einem Kondensator entnommen werden kann. Diese Abschalt-Thyristoren werden international gate-turn-off thyristors oder kurz GTO genannt.
Triac (= triode alternating current switch'). Zwei antiparallel geschaltete Thyristoren ergeben einen Triac. Dieses Bauelement erlaubt Stromfluss in beiden Richtungen. Bei Wechselstrom kann der Zündzeitpunkt, der den Stromflusswinkel (phase-lag angle) 0 bestimmt, für beide Richtungen unterschiedlich groß gewählt werden.
Diac (diode alternating current switch). Dieses Bauelement ist eine integrierte Schaltung von zwei antiparallelen Thyristoren ohne Gate-Anschlüsse und wird auch als „bidirektionale Thyristordiode“ bezeichnet. Stromfluss ist in jeder Richtung möglich, allerdings nur nach Überschreiten einer Zündspannung und dann auch nur mit einer endlichen Restspannung am Diac.
Der Diac wird auch als Trigger-Diode bezeichnet, weil nach dem Durchbruch die Spannung um typischerweise 5 — 9 Volt absinkt und diese Spannungsdifferenz zum „Triggern“ (= Anstoßen, hier im Sinne von Zünden oder Schalten) eines anderen Elementes verfügbar ist.
Phasenanschnitt-Steuerung (phase-lag controI). Thyristoren und Triacs werden zur Phasenanschnitt-Steuerung von Wechsel- und Drehstrom eingesetzt. Eine bekannte Anwendung sind die „Dimmer“-Schaltungen zur stufenlosen Einstellung der Helligkeit von Glühlampen. Die Phasenanschnitt-Steuerung reduziert die der Lampe zugeführte Leistung (fast) ohne Leistungsverlust.
Ein Nachteil der Phasenanschnitt-Steuerung liegt darin, dass beim Schalten von Thyristoren große Spannungssprünge auftreten, maximal 325 V beim Schalten von 230 V Effektivspannung. Die dadurch entstehenden elektromagnetischen Störungen können bei empfindlichen elektronischen Geräten zu Fehlfunktionen führen.
Stromrichten. Thyristoren und die im Folgenden Abschnitt besprochenen Transistoren sind die wichtigsten Komponenten der Leistungselektronik (high-power elect-ronics). Sie ermöglichen vielfältiges Stromrichten. Man spricht von Gleichrichten (rectificatiori) bei der Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom, von Wechselrichten (dc to ac conversion) bei der umgekehrten Umwandlung. Bei Wechselstrom-Umrichten (ac conversion) wird die Frequenz verändert (Spannungstransformation ist immer leicht möglich). Bei Gleichstrom-Umrichten (dc conversion) geht es um Änderung der Spannung und ggf. auch um Polaritätswechsel.
584	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
9.3.2 Transistoren
Schon zehn Jahre vor der Erfindung des Transistors gelang es den Göttinger Physikern R. Hilsch und R. W. Pohl, den elektrischen Strom in einem Alkalihalogenid-Kristall zu beeinflussen; 1938 erhielten sie mit einem n-leitenden KBr-Kristall eine Verstärkung, allerdings nur bei niedrigen Frequenzen. Es wurde aber schon damals prinzipiell gezeigt, dass elektrische Ströme im Kristall gesteuert werden können.
Der erste Transistor, der Spitzentransistor (point-contact transistor), wurde im Jahre 1948 von J. Bardeen und W.H. Brattain in den USA erfunden. Kurz danach hat W. Shockley die Eigenschaften der für die Funktion wesentlichen Grenzschichten (pn-Übergänge) quantitativ erfasst und beschrieben. Diese drei Physiker erhielten im Jahre 1956 den Nobelpreis für ihre grundlegenden Arbeiten über den Transistoreffekt.
Seitdem verlief die Entwicklung stürmisch und außerordentlich erfolgreich. Auf den meisten Gebieten haben Transistoren die Vakuumröhren völlig ersetzt. Nur dort, wo hochfrequente Wechselströme mit hoher Leistung erzeugt werden müssen, gibt es bisher keine den Röhren äquivalenten Halbleiter-Schaltelemente. Nicht bessere elektronische Eigenschaften, sondern Robustheit, Kleinheit, die fehlende Heizleistung und schließlich der um ein Vielfaches geringere Preis haben den Erfolg des Transistors bestimmt. Doch war bei vielen Schaltungen der kleine Eingangswiderstand des Transistors und die zum Steuern erforderliche Leistung anfangs noch von Nachteil. Später hat dann der Feldeffekt-Transistor (FET) den sehr hohen Eingangswiderstand - bis dahin ein Vorteil der Elektronenröhren - ebenfalls bieten können.
Die ersten Transistoren wurden als einzelne Bauelemente im eigenen Gehäuse auf Leiterplatten montiert und mit passiven Schaltelementen wie Widerständen und Kondensatoren mittels aufgedruckter Kupferbahnen verbunden. Germanium, leichter zu verarbeiten als Silicium, war das bevorzugte Halbleiter-Material.
Heute werden Transistoren am häufigsten in integrierten Schaltungen verwendet, wo sie auf kleinstem Raum, zusammen mit den passiven Bauelementen, auf einem Siliciumplättchen untergebracht sind. Silicium ist das wichtigste Halbleitermaterial. Seine hervorragende Temperaturfestigkeit gestattet Betriebstemperaturen bis zu 200°C und entsprechend hohe Leistungsdichten. Mit Siliciumkarbid (SiC) hofft man, zukünftig noch höhere Betriebstemperaturen erreichen zu können.
Das Wort „Transistor“ ist aus trans(fer) (res) istor entstanden. Von verschiedenen Typen haben sich der Flächentransistor und der Feldeffekttransistor durchgesetzt. Der Flächentransistor gehört, zusammen mit dem veralteten Spitzentransistor, zur Gruppe der bipolaren Bauelemente, da sowohl Elektronen als auch Löcher zum Stromtransport beitragen. Im Gegensatz dazu ist der FET unipolar, weil er im einfachsten Fall nur einen n-leitenden Kanal besitzt, der mithilfe eines elektrischen Feldes praktisch leistungslos enger oder breiter gemacht wird. Die Funktionsweise beider Typen soll im Folgenden behandelt werden.
Flächentransistor (junction transistor). In einem Einkristall, der in den meisten Fällen aus dem Halbleitermaterial Silicium besteht, befinden sich zwei Übergänge (junc-tions). Zwischen beiden Übergängen liegt eine dünne Schicht geringer Dotierung, die etwa nur 0.01 mm dick ist, sodass die beiden Übergänge sehr eng benachbart sind. Diese schmale Schicht, Basis (base) genannt, kann entweder p- oder n-leitend
9.3 Halbleiter-Bauelemente
585
Abb. 9.15 Bauformen des Flächentransistors: E = Emitter, B = Basis, C = Kollektor. Der Gang der technischen Entwicklung entspricht etwa der Folge von links nach rechts.
sein. Es gibt somit zwei mögliche Arten, den pnp- und den npn-Transistor; beide werden verwendet. Verschiedene Bauformen sind in Abb. 9.15 skizziert. In der Frühzeit dominierten die Spitzen- und Legierungstransistoren aus Germanium. Die Planartechnologie wurde 1960 eingeführt. Eine weitere wesentliche Verbesserung wurde erreicht durch das kristallographisch orientierte Aufwachsen auf einer einkristallinen Unterlage (Epitaxie, epitaxy). Eine epitaxiale Schicht (epitactic layer), die auf einem Einkristall mit bestimmter Leitfähigkeit abgeschieden wurde, ist eine monokristalline Schicht einer anderen Leitfähigkeit, die atomar mit der Unterlage verbunden ist. Heute dominieren die Epitaxial-Planar-Transistoren (epitaxialplanar transistor) aus Silicium.
Die Namen Emitter und Kollektor (Abb. 9.15) lassen sich aus der Funktionsweise des Transistors erklären: Der Emitter entspricht der Kathode, der Kollektor der Anode einer Verstärkerröhre. Die Bezeichnung Basis ist dagegen historisch begründet. Die ersten Transistoren waren Spitzentransistoren, bei denen zwei feine Metallspitzen auf einen Kristall, eben auf die Basis, gedrückt waren. An diese Spitzentransistoren erinnert auch noch das Schaltzeichen für einen Transistor (vgl. Abb. 9.16), das in der Emitterzuführung eine Pfeilspitze hat, die in Flussrichtung des pn-Übergangs zwischen Emitter und Basis zeigt, beim pnp-Transistor also vom Emitter zur Basis, beim npn-Transistor entgegengesetzt.
Die Wirkungsweise des Transistors besteht darin, den gesperrten pn-Übergang (zwischen Basis und Kollektor) durch „Injektion“ von Ladungsträgern leitfähig zu machen. In dem Beispiel eines pnp-Transistors sind es Löcher, die vom Emitter her in die dünne Basisschicht gelangen, von hier durch Diffusion in das Gebiet des gesperrten pn-Übergangs kommen und dort durch das elektrische Feld zum Kollektor abgesaugt werden. Ein Teil von ihnen geht durch Rekombination mit den Elektronen verloren, vor allem in der Basis, die ja (im Beispiel des pnp-Transistors) n-leitend ist, wo also die Elektronen Majoritätsträger sind. Um den Verlust möglichst klein zu machen, ist die Basis sehr dünn und außerdem schwach dotiert. Dadurch enthält die Basis wenig freie Elektronen und die Rekombinationsrate ist verhältnismäßig klein. Die Basisschicht ist auch deshalb dünn, damit die Defektelektronen leicht von einer Seite zur anderen diffundieren können. Man erreicht so, dass der Kollektorstrom etwa 99 % des Emitterstroms beträgt. Man nennt diese Schaltung, in welcher die Basis die gemeinsame Elektrode für Eingang und Ausgang ist, die Basisschaltung (Abb. 9.16a). Weil eine geringe Schwächung des Stroms erfolgt, ist die Stromverstärkung in dieser Schaltung kleiner als eins. Die Spannungsverstärkung ist aber erheblich: Der innere Widerstand des Emitter-Basis-Stromkreises ist sehr klein, weil der pn-Übergang in Flussrichtung gepolt ist. Der Widerstand des Basis-
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Abb. 9.16 pnp-Si-Flächentransistor, Grundschaltungen und Kennlinienfelder: (a) Basisschaltung, (b) Emitterschaltung (nach Bd. 6, Abb. 6.63).
Kollektor-Kreises ist groß. Eine Erhöhung des Kollektorstroms durch Injektion von Ladungsträgern verursacht am Arbeitswiderstand dieses Stromkreises eine viel größere Spannung, als sie am Eingang des Emitter-Basis-Kreises für den gleichen Strom erforderlich ist. Da die Ströme im Emitterkreis und im Kollektorkreis nahezu gleich sind, ist die Spannungsverstärkung ungefähr gleich dem Verhältnis der Widerstände beider Kreise. Eine Erhöhung der Spannung zwischen Basis und Kollektor bringt keine Erhöhung des Kollektorstroms. Die Kennlinien lc = f(UCB) zeigen nach steilem Anstieg bei UCB = 0 (infolge der Diffusion der Ladungsträger schon bei null!) einen horizontalen Verlauf. Wählt man den Emitterstrom ZE als Parameter, so ergeben sich übereinander liegende, parallele Geraden (Abb. 9.16a).
Weil der Emitter- und der Kollektorstrom fast gleich sind, ist es möglich, die Steuerung statt am Emitter auch an der Basis vorzunehmen. Der Emitter ist dann gemeinsame Elektrode für Eingangs- und Ausgangskreis (Emitterschaltung, Abb. 9.16b). Die Eingangsspannung liegt zwischen Basis und Emitter. Der Eingangswiderstand (= Eingangsspannung/Eingangsstrom) ist größer als bei der Basisschaltung und beträgt etwa 1 kQ. Die Stromverstärkung beträgt hier etwa 10 bis 100, im Gegensatz zur fehlenden Stromverstärkung bei der Basisschaltung. - Die dritte Betriebsart ist die Kollektorschaltung (hier nicht diskutiert), bei welcher der Kollektor die gemeinsame Elektrode für Eingangs- und Ausgangskreis ist.
Die Basisschaltung hat den Vorteil einer hohen Grenzfrequenz bei guter Spannungsverstärkung; der Ausgangswiderstand ist allerdings groß. Diese Schaltung wird für die Gatter der Digitalelektronik (Abschn. 9.3.4) verwendet. Die Emitterschaltung empfiehlt sich wegen ihrer hohen Strom- und Spannungsverstärkung; die niedrige
9.3 Halbleiter-Bauelemente
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Grenzfrequenz ist ein Nachteil. Die Kollektorschaltung besitzt gute Stromverstärkung und einen kleinen Ausgangswiderstand. Die Herstellerfirmen zeigen in ihren Datenblättern die Kennlinien der Transistoren und geben an, welche der drei Schaltungsarten für den jeweiligen Verwendungszweck günstig ist.
Die bipolaren Transistoren haben trotz ihrer Vorzüge einen großen Nachteil: Sie arbeiten mit Ladungsträger-Injektion, d. h. sie sind stromgesteuert, und die Steuerung ist nicht leistungslos. Der Eingangswiderstand ist klein. Bei vielen Anwendungen kommt es aber vor, dass nur sehr wenige Ladungsträger zur Steuerung eines Verstärkerelementes vorhanden sind. Die wenigen Elektronen sollten möglichst alle für eine leistungslose Verstärkung zur Verfügung stehen. Heute ist das mit dem unten behandelten Feldeffekt-Transistor (FET) möglich. Sein Name bezieht sich auf die Art der Steuerung, die, genau wie bei der Elektronen-Verstärkerröhre, durch das mit der Steuerspannung produzierte elektrische Feld bewirkt wird.
Sperrschicht-Feldeffekt-Transistor. Der Sperrschicht-FET mitn-Kanal besteht in seiner einfachsten Form aus einem n-leitenden Halbleiterstäbchen, in welches von beiden Seiten p-leitende Zonen eindiffundiert sind, sodass zwischen ihnen nur ein schmaler n-leitender Kanal verbleibt. Die Enden des Halbleiterstäbchens sind mit sperrschichtfreien Metallkontakten versehen und heißen Source (Quelle) und Drain (Senke); sie entsprechen der Kathode und Anode der Verstärkerröhre. Die seitlichen p-Zonen sind elektrisch verbunden und bilden die Steuerelektrode des FET, das Gate (Tor, auch „Gitter“, wegen der Funktionsähnlichkeit mit dem Gitter der Triode).
Mit der Gate-Spannung kann der zwischen Source und Drain fließende Strom beeinflusst werden. Der pn-Übergang wird immer in Sperrung, also mit Ua < 0 betrieben. Deshalb ist der über das Gate fließende Sperrstrom sehr klein, und die Steuerung erfolgt praktisch leistungslos.
Im Vergleich zum stromgesteuerten Flächentransistor hat der spannungsgesteuerte Sperrschicht-FET vor allem den Vorteil eines hohen Eingangswiderstandes, der eine (praktisch) leistungslose Steuerung ermöglicht. Ein weiterer Vorteil ist die geringere Temperaturabhängigkeit.
MOSFET. Statt durch einen sperrenden pn-Übergang kann die Steuerelektrode (Gate) auch durch eine Isolierschicht vom Kanal getrennt werden (insulated gate field-effect transistor, IGFET). Bei der technisch wichtigsten Bauform ist die Metall-Steuerelektrode durch eine Oxidschicht (metaloxide) vom Halbleiter (semiconductor) getrennt; dieser field-effect transistor wird deshalb mit dem Akronym MOSFET bezeichnet.
Die Oxidschicht ist nur etwa 50 nm dick, weil aber die Durchbruchfeldstärke des SiO2 größer als 5 • 106 V/cm ist, sind bei dieser Schichtdicke Gate-Spannungen bis zu + 25 V möglich. Die Herstellung der SiO2-Oxidschicht erfolgt z. B. durch thermische Oxidation des sorgfältig gereinigten Si-Substrats bei 1000°C in reinem Sauerstoff; danach wird die Schicht zum Schutz vor Verunreinigungen durch Metallisierung (Al) verschlossen.
Wir erläutern qualitativ die Physik am Beispiel eines n-Kanal-MOSFET vom Anreicherungstyp (Abb. 9.17): Das Substrat (B für bidk] besteht aus p-leitendem Si, das an zwei Stellen durch Eindiffusion von Fremdatomen stark n-leitende Bereiche
588
9 Elektrische Effekte in Eialbleitern

üs 11—|------------------
Ugs'H ----------------?G
Aluminium
Aluminium
iß
O Elektronen im Inversionskanal B unkompensierte Akzeptor-Störstellen
Abb. 9.17 Zur Wirkungsweise eines n-Kanal-MOSFET vom Anreicherungstyp. Erläuterungen im Text. (Zeichnung nach Bd. 6, Abb. 6.64).
hat. Diese sind mit den sperrschichtfreien Elektroden eines Stromkreises verbunden und werden als Source S und Drain D bezeichnet. Zwischen S und D ist die Si-Oberfläche mit einer (in Abb. 9.17 übertrieben dick gezeichneten) SiO2-Schicht bedeckt, auf der sich die Steuerelektrode (G) befindet. Üblicherweise werden Substrat (B) und Source (S) elektrisch verbunden. Die Drain-Spannung ist positiv bezüglich S und B, d. h. der pn-Übergang von B nach D sperrt und unterhalb des n-leitenden D-Bereichs bildet sich im p-Si eine Verarmungszone, in der die ortsfesten unkompensierten Akzeptor-Ionen eine negative Raumladung erzeugen. Die Spannung am Gate (G) ist ebenfalls positiv bezüglich S und B. Die positive Ladung auf der Gate-Elektrode influenziert entsprechende negative Ladungen auf der Halbleiteroberfläche unterhalb der SiO2-Schicht; diese bestehen zum Teil aus den ortsfesten Akzeptor-Ionen, aber zum Teil auch aus beweglichen Elektronen, den Minoritätsträgern des p-Si, die sich an der von Majoritätsträgern verarmten Oberfläche anreichern. Anders formuliert: Durch das elektrische Feld zwischen der positiven Steuerelektrode G und dem negativen Substrat (B) erfolgt eine Verbiegung der Energiebänder im p-leitenden Silicium derart, dass an der Oberfläche eine Inversion der Ladungsträger auftreten kann. Die Leitungselektronen an der Oberfläche des p-Si bilden einen n-Inversionskanal. Wegen der gleichen Polarität von G und D lässt die Influenzwirkung in Drain-Nähe nach; deswegen wird der Inversionskanal von S nach D flacher und verschwindet am Abschnürpunkt (pinch-off point). Der von der Spannung UDS getriebene Drain-Strom ZD ist beim n-Kanal-MOSFET ein Elektronenstrom, der vom n-Bereich unterhalb S in den Inversionskanal injiziert wird, im Kanal als Feld-strom fließt, in der Umgebung des Abschnürpunktes in einen Diffusionsstrom übergeht und vom pn-Übergang (p-Substrat/n-Drain) in Sperrung extrahiert wird.
9.3 Halbleiter-Bauelemente
589
Anreicherung (Enhancement)
Verarmung (Depletion)
T max
7D
Ü3S------►
Üs
Abb. 9.18 n-Kanal-MOSFETs: Schaltbild, Querschnitt und Kennlinienfeld (schematisch), (a) Anreicherungstyp, (b) Verarmungstyp.
Die Abb. 9.18a zeigt den mithilfe von Abb. 9.17 erläuterten n-MOSFET vom Anreicherungstyp. Dieser Transistor leitet bei Uas = 0 nicht; die Leitfähigkeit entsteht erst durch die Ausbildung des Inversionskanals mit zunehmender (positiver) Gate-Spannung. Im Gegensatz dazu ist beim Verarmungstyp (Abb. 9.18b) schon ein flacher n-Kanal vorhanden, sodass bei Uas = 0 schon ein Strom fließt. Mit negativer Gate-Spannung verarmt der n-Kanal an Leitungselektronen (die Donator-Ionen bilden eine ortsfeste positive Raumladung) und wird schließlich gesperrt; mit positiver Gate-Spannung kann er aber auch erweitert (angereichert) werden. Die Schaltzeichen dieser beiden Typen unterscheiden sich durch die Linie von S nach D, die beim Anreicherungstyp gestrichelt und beim Verarmungstyp durchgezogen ist, weil im Fall (a) der Kanal erst durch den Feldeffekt gebildet werden muss, im Fall (b) aber schon vorhanden ist. Der Pfeil im Schaltbild zeigt in Durchlassrichtung des pn-Übergangs zwischen Substrat (B) und Kanal (S-D), bei n-MOSFETs also von Kontakt B zum Kanal hin. Bei p-MOSFETs zeigt der Pfeil im Schaltbild in entgegengesetzte Richtung, alle Spannungen kehren sich um, die Kennlinienfelder liegen nicht mehr im 1. sondern im 3. Quadranten.
Die Vorteile der MOSFETs gegenüber den Sperrschicht-FETs bestehen u. a. in den höheren Eingangswiderständen zwischen Steuerelektrode und Kanal (1013 bis 1015Q) und den höheren Grenzfrequenzen. Die Schaltgeschwindigkeit von MOSFETs hängt verständlicherweise ganz wesentlich von der Länge des Kanals ab. Je kürzer der Kanal ist, desto schneller sind die in ihm befindlichen Ladungsträger in das Drain-Gebiet abgeflossen. Die Schaltleistung aller Feldeffekttransistoren ist dadurch begrenzt, dass der Kanal sehr dünn ist (< 100 nm) und deshalb nur eine geringe Stromtragfähigkeit besitzt.
Die MOSFETs werden heute fast ausschließlich in Form von integrierten Schaltungen (Chips) hergestellt und vor allem in der digitalen Elektronik eingesetzt.
Ein Nachteil der MOSFETs und der MOS-Chips ist ihre große Empfindlichkeit gegen Überspannungen am Gate. Die dünne SiO2-Isolierschicht kann schon durch
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Spannungen über 10 V beschädigt werden. Daraus ergeben sich einige strenge Handhabungsvorschriften: MOS-Bauelemente sollen bis zum Gebrauch in der elektrisch leitenden Lieferverpackung verbleiben. Sie dürfen grundsätzlich nicht an den Anschlüssen berührt werden und nicht mit elektrostatisch aufladbaren Materialien (Kunststoff-Folien, Styropor) in Berührung kommen. Alle Geräte, Werkzeuge, Arbeitsplatte und Arbeitskraft müssen das gleiche Potential haben. Vor der Entnahme aus der leitenden Verpackung muss diese die leitende Arbeitsplatte berühren.
Integrierte Schaltungen. Sie bestehen aus Silicium (seltener GaAs) in Form von Plättchen (chips) von einigen Millimetern Kantenlänge, auf denen eine Vielzahl von Bauelementen eingebettet sind. Nur die Stellen auf dem Si, wo sich tatsächlich z. B. Transistoren oder Dioden befinden, erhalten die zur Erzeugung der pn-Übergänge notwendige Dotierung. Das Gebiet dazwischen bleibt schwach dotiert und daher relativ gut isolierend. Auf diese Weise findet kein Kurzschluss zwischen den einzelnen Bauelementen auf dem Siliciumkristall statt. Die „Verbindungsdrähte“ zwischen den Bauelementen bestehen aus aufgedampften und selektiv wieder entfernten Metallschichten. Da die Herstellung vollautomatisch in großen Stückzahlen geschieht und der Materialpreis bei den kleinen Abmessungen kaum eine Rolle spielt, sind ICs heute sehr preiswert.
Integrierte Schaltungen (integrated circuits, ICs) gibt es etwa seit 1960. Zwei herausragende Pioniere der IC-Entwicklung, mit wesentlichen Beiträgen zu Erfindungen, Patenten und Firmen-Management, waren Jack St.Clair Kilby (1923-2005, Nobelpreis 2000) von Texas Instruments und Robert N. Noyce (1927-1990) von Fairchild Semiconductor und später Intel. Anfangs enthielten die ICs nur einige bipolare Transistoren und Widerstände und waren teuer. Aber die schnell erkannten Vorteile der neuen Technologie führten zu einer rasanten technischen Entwickung. Rückblickend spricht man von den schnell aufeinander folgenden Epochen der Small-Scale Integration, gefolgt von Medium-Scale und Large-Scale Integration. Der in den 60er Jahren vorherrschenden Meinung, dass ein Transistor nicht kleiner als 10 Mikrometer sein könnte, widersprach 1969 Carver Mead, ein junger Professor am California Institute of Technology. Mit einfachen Computern und Plottern gelang es ihm und seinen Studenten, das Chipdesign drastisch zu vereinfachen und zu zeigen, dass nach dem neuen Verfahren (..siruciured custom design" } ein Transistor nicht größer als 0.15 Mikrometer zu sein braucht. Damit wurde die Epoche der Very-Large Scale Integration (VLSI) eingeleitet. Die von Gordon Moore, einem Mitbegründer von Intel, 1965 geäußerte Erwartung, dass die Zahl der Transistoren pro Chip exponentiell mit der Zeit zunehmen würde („Moore’s law“), verstärkte den Optimismus in der Computer-Industrie nachhaltig und hat sich über Jahrzehnte als eine „selffulfilling prophecy“ erwiesen.
Analoge ICs werden hauptsächlich für alle Arten von Verstärkern verwendet. So gibt es GaAs-Schaltkreise, die im Höchstfrequenz-Bereich von einigen GHz eingesetzt werden oder Si-Leistungs-ICs, die beispielsweise mit 20 Watt Ausgangsleistung als Endstufen in Radiogeräten Verwendung finden. Ein sehr breites Anwendungsfeld analoger ICs sind die im nächsten Abschnitt behandelten Operationsverstärker für die Mess- und Regeltechnik.
Digitale ICs sind dadurch charakterisiert, dass die enthaltenen Transistoren nur zwei Betriebszustände haben, nämlich ausgeschaltet oder voll eingeschaltet. Diese
9.3 Halbleiter-Bauelemente
591
beiden Zustände werden den beiden Zahlen 0 und 1 zugeordnet. Solche ICs finden in der Computer- und Datentechnik breiteste Anwendung.
Koppelglieder zwischen analogen und digitalen ICs spielen eine wichtige Rolle: die Analog-Digital-Wandler (ADC = analog-to-digital Converter) ordnen einer gegebenen Spannung eine entsprechende Binärzahl zu und die Digital-Analog-Wandler (DAC) wandeln umgekehrt eine Binärzahl in die entsprechende Spannung um.
9.3.3 Operationsverstärker
Die prinzipielle Schaltung eines Verstärkers zeigt Abb. 9.19. Klemme 1 ist der Verstärkereingang, Klemme 2 ist der Verstärkerausgang, und die geerdete Klemme 3 gibt das Bezugspotential für Eingang und Ausgang. Formal wird der Verstärker als aktiver Vierpol (four-terminal network) mit den Eingangspolen 1 und 3 und den Ausgangspolen 2 und 3 behandelt. Die physikalisch verschiedenen Pole 1, 2 und 3 haben bei der Entwicklung der verschiedenen Verstärker-Bausteine unterschiedliche Namen erhalten:
Verstärker-Baustein	Klemme 1	Klemme 2	Klemme 3
Elektronenröhre	Gitter	Anode	Kathode
Bipolar-Transistor	Basis	Kollektor	Emitter
FET	Gate	Drain	Source
Abb. 9.19 Grundschaltung eines Verstärkers. Die Versorgungsspannung ist nicht eingetragen.
Die Eingangsspannung liegt zwischen der Klemme 1 und der Klemme 3 (= Erde bzw. Masse). Die Ausgangsspannung liegt zwischen Klemme 2 und 3 und ist gleich dem Spannungsabfall, den der Ausgangsstrom i2 am Lastwiderstand /?, bewirkt.
Der Begriff „Operationsverstärker“ (OV, operational amplifier, op amp) wird auf eine bestimmte Gruppe von Bauelementen in der IC-Technik bezogen. Der Name „Operationsverstärker“ kommt aus der Anfangszeit der Elektronik, als für die ersten Analogrechner Verstärker benötigt wurden, die mathematische Operationen exakt simulieren konnten.
Die Idee des Operationsverstärkers ist ein revolutionäres Konzept der Verstärkertechnik und lässt sich folgendermaßen beschreiben: Zuerst wird ein idealer Gleichspannungsverstärker definiert. Zu den idealen Eigenschaften gehören die unendlich große Spannungsverstärkung im Leerlauf, das Fehlen von Fehlerspannungen und Spannungsdrifts und der unendlich hohe Eingangswiderstand. Dann wird mit beträchtlichem Aufwand an Elektronik, alles enthalten in einem IC, ein Ver
592	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
stärker gebaut, der dem idealen Verstärker außerordentlich nahe kommt. Die Eigenschaften des idealen OV und die von typischen realen OVs erreichten Werte sind in Tab. 9.2 zusammengestellt:
Tab. 9.2 Parameter eines Operationsverstärkers.
Parameter	Idealwert	reale Werte
Differenzspannungsverstärkung im Leerlauf (open loop)	GO	105 (100 dB)
Gleich takt-U nterdrückung	GO	104
untere Grenzfrequenz	0	0
obere Grenzfrequenz	GO	100 Hz
Eingangsimpedanz	GO	106 Q (FET 1012 fi)
Ausgangsimpedanz	0	100 Q
Offset-Spannungsdrift	0	lOpV/K
Eingangsruhestrom	0	80 nA (FET 30 pA)
Das Schaltbild eines Operationsverstärkers zeigt zwei Eingänge, die durch Plus-und Minuszeichen unterschieden werden, und einen Ausgang (Abb. 9.20). Außerdem sind die beiden Zuführungen für die Betriebsspannung angegeben, die in Schaltbildern meist weggelassen werden. Die Eingangs- und Ausgangs-Spannungspegel dürfen zwischen der negativen und der positiven Betriebsspannung liegen. Die OV arbeiten normalerweise mit zwei betragsmäßig gleichen Betriebsspannungen, meist + (4-20)V gegen Masse (= OV-Gehäuse).
Maßgebend für das Ausgangssignal gegen Masse ist die Spannungsdifferenz zwischen den beiden Eingängen, unabhängig von deren Pegel zwischen negativer und positiver Betriebsspannung. Die Spannungsverstärkung des offenen (ohne Gegenkopplung betriebenen) OV ist sehr hoch, etwa 105; bei Betriebsspannungen von etwa +10 V liegt der aktive Bereich bei etwa +0.1 mV. Die Sättigungsspannungen t/a max und Ua min lie8en etwa 1 — 2 V unter(ober)halb der Betriebsspannungen + (—)t/b (Abb. 9.21). Die einfachste Weise, den OV zu schalten, ist die Erdung von einem der beiden Eingänge. Legt man die negative Eingangsklemme auf Masse,
(b)
Abb. 9.20 Schaltzeichen für Operationsverstärker: (a) mit Erläuterungen, (b) Norm EN 13-09-01.
9.3 Halbleiter-Bauelemente
593
Abb. 9.21 Übertragungskennlinie des idealen O V. Lineare Kennlinie im aktiven Bereich. Sättigungswerte vorgegeben durch die Betriebsspannungen.
dann haben t/a und Ue — Uel das gleiche Vorzeichen; der OV invertiert nicht. Legt man dagegen die positive Eingangsklemme auf Masse, dann haben t/a und Ue = Ue2 entgegengesetztes Vorzeichen; der OV invertiert, d. h. das Ausgangssignal ist in der Phase um 180° gedreht. So werden auch die üblichen Bezeichnungen der beiden Eingangsklemmen (Abb. 9.20) verständlich.
Der OV als Verstärker. Für die meisten Anwendungen wird der OV mit Gegenkopplung (negative feedback) verwendet. Für das Verstehen der Schaltungen ist das „Prinzip der verschwindenden Eingangsgrößen“ sehr nützlich; es bringt zum Ausdruck, dass der gegengekoppelte OV die Differenzspannung t/D = Uel — Ue2 immer auf den Wert null hält und dass (wegen des unendlich hohen Eingangswiderstandes) über die Eingangsklemmen kein Strom fließt.
Als wichtiges Beispiel behandeln wir den invertierenden Verstärker (Abb. 9.22). Aus C/D = 0 folgt, dass nicht nur der direkt mit Masse verbundene, nicht-invertie-rende Eingang des OV, sondern auch der invertierende Eingang auf Masse-Potential 0 liegt; er wird deshalb auch als virtueller Nullpunkt bezeichnet. Damit ergibt sich nach dem Ohm’schen Gesetz
(9.28)
Weil aber auch I — I+ — 0 gilt, kann der Eingangsstrom ZE nicht über den OV zur Masse abfließen, sondern muss über R2 weiterfließen. Dadurch entsteht ein Spannungsabfall vom (virtuellen) Nullpunkt zu negativer Spannung:
4 = -	(9.29)
Abb. 9.22 Schaltung des invertierenden Verstärkers. Erläuterung des „Prinzips der verschwindenden Eingangsgrößen“ im Text.
594	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Abb. 9.23 Grundschaltung und Übertragungsfunktion eines Spannungskomparators. Der Übergangsbereich zwischen den beiden Ausgangssignal-Niveaus liegt in der Größenordnung von 0.1 mV.
Die Spannungsverstärkung ergibt sich zu
= ÜA/ÜE = - RJR,.	(9.30)
Zu beachten ist, dass hier die Eingangsspannung UE nicht mehr am OV-Eingang liegt, aber die Ausgangsspannung UA immer noch die Spannung der Ausgangsklemme gegen Masse ist.
OV in Sättigung. Die (fast) unendlich große Spannungsverstärkung bedeutet für den nicht-rückgekoppelten OV (open-loop op amp], dass der Ausgang t/a die maximal oder minimal zulässige Spannung < + t/b oder > — Ub annimmt, sobald Uel auch nur geringfügig größer oder kleiner als Ue2 ist. In dieser Betriebsart arbeitet der OV als hochverstärkender Zwei-Niveau-Komparator (Abb. 9.23).
Bei einem FET-OV mit sehr hochohmigem Eingang sind die Vorwiderstände und R^, mit denen die Innenwiderstände der beiden Spannungsquellen angeglichen werden können, nicht erforderlich. Eine wichtige Anwendung ist der Nullabgleich einer Brückenschaltung.
9.3.4 Bauelemente der Digitalelektronik
Die zweiwertige Logik kennt nur die beiden gegensätzlichen definitiven Aussagen „wahr“ und „falsch“, keine Zwischenwerte wie „vielleicht wahr“ oder „teilweise falsch“. Auf die Frage „Ist das wahr?“ gibt es nur eine der beiden gegensätzlich definitiven Antworten: „ja“ oder „nein“ (nicht „jein“). Diese Logik lässt sich auf alle entsprechenden Fälle an wenden. In der Schaltalgebra sind es die Schalter-Zustände „geschlossen“ und „offen“; im numerischen Dualsystem sind es die Zahlen „1“ und „0“ (binary notatiori).
In der elektronischen Logik arbeitet man mit zwei deutlich verschiedenen Spannungspegeln (logic levels), genauer gesagt: zwei deutlich getrennten Spannungspegel-Bereichen, die als „hoch“ (H) und „tief“ (T) gekennzeichnet werden. Größe und Polarität der Spannungen hängen von den Eigenschaften der verwendeten Bauteile und Schaltungen ab. Wenn den Pegeln + U und 0 Volt die Dualzahlen 1 und 0 zugeordnet werden, nennt man das positive Logik; umgekehrt ist es negative Logik.
9.3 Halbleiter-Bauelemente
595
Funktion	Schaltzeichen
IEC, EN	DIN ASA
gültige	veraltete Formen
Negation
eines Eingangs
eines Ausgangs
nicht not
Abb. 9.24 Schaltzeichen für Gatter nach drei Konventionen.
Wie in der Boole’schen Algebra üblich, werden die zweiwertigen logischen Variablen mit großen Buchstaben (A, B ...) und ihre Negationen durch Überstreichen dargestellt. Die wichtigsten logischen Verknüpfungsrelationen sind „und“, „oder“ und „nicht“.
In der elektronischen Logik treten die Variablen als Signale mit zwei möglichen Spannungswerten an den Eingangs- und Ausgangsklemmen elektronischer Bauteile auf. Ein elektronisches Bauteil, das zwei (oder mehr) Signale nach logischen Verknüpfungsrelationen verarbeiten kann, wird Gatter (gate) genannt. Für die verschiedenen Gatter-Typen werden die englischen Begriffe verwendet: AND, OR, NOT und die Zusammenziehungen NAND (= NOT AND), NOR (= NOT OR).
Für die Schaltzeichen der Gattertypen kann man in der Literatur auch heute noch drei verschiedene Konventionen finden: die ASA-Konvention (American Standards Association), die alte DIN-Norm von 1963 und die neue von 1976. In Abb. 9.24 sind die Schaltbilder zusammengestellt. Das exklusive „oder“ (EXOR) ist die Antivalenz A B; dessen Negation ist die Äquivalenz A = B.
Für die elektronische Realisierung logischer Verknüpfungen bei integrierten Schaltungen werden die Typen NAND und NOR, die mit nur einem belegten Eingang die Verknüpfung NOT ergeben, verwendet. Sie sind die Verknüpfungen mit dem geringsten Bauelement-Aufwand. Denn die Transistoren liefern invertierte Ausgangssignale, die in AND- und OR-Gattern mithilfe einer weiteren Transistorstufe nochmal invertiert werden müssen. Alle logischen Verknüpfungen lassen sich mithilfe von NAND-Gattern (Abb. 9.25a) oder NOR-Gattern (Abb. 9.25b) darstellen.
Technische Ausführung der Gatter. Im Gegensatz zu den bisher besprochenen prinzipiell möglichen logischen Verknüpfungen, die ihre Gültigkeit behalten, unterliegen die technischen Ausführungsformen einem ständigen fortschrittsbedingten Wandel:
596	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Abb. 9.25 Darstellung der logischen Verknüpfungen „nicht“, „und“ und „oder“ (a) mithilfe von NAND-Gattern, (b) mithilfe von NOR-Gattern. Die an den Ausgängen der unteren Schaltungen angegebenen Gleichungen folgen aus den DeMorgan’schen Theoremen (Abschn. 15.8).
Die ersten logischen Schaltungen wurden mit den magnetisch gesteuerten mechanischen Schaltern der Relais verwirklicht, danach kamen Schaltungen mit Elektronenröhren.
Die digitale Halbleiterelektronik begann mit der Dioden-Logik (DL). Die Hintereinanderschaltung von passiven Schaltelementen erforderte die Einfügung von Spannungsregenerationsstufen und Impedanzwandlern. Aus diesem Grunde wurden Bausteine entwickelt, bei denen jedes Element eine Verstärkerstufe enthielt; das führte zur Widerstands-Transistor-Logik (RTL), zur Dioden-Transistor-Logik (DTL) und schließlich zur Transistor-Transistor-Logik (TTL).
Für integrierte Schaltungen (ICs) gelten andere Bedingungen als für elektronische Logik-Bausteine aus individuellen Komponenten: Widerstände und Kondensatoren benötigen viel Kristallfläche und sollten deswegen vermieden werden. Für den Preis eines Chips ist nicht so sehr die Gesamtzahl der Komponenten entscheidend wie die Anzahl der unterschiedlichen Elemente. Viele gleichartige Elemente können in einem Arbeitsgang erzeugt werden, während unterschiedliche Elemente verschiedene Arbeitsgänge erforderlich machen. Andererseits gibt die IC-Technik auch neue Möglichkeiten: es lassen sich Elemente verwirklichen, die als einzelne Komponenten kaum hergestellt werden, z. B. Transistoren mit mehreren Emittern.
9.4 Photohalbleiter
597
9.4 Photohalbleiter
Die Bauelemente der Optoelektronik lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
1. Bauelemente, die durch Lichteinfall elektrische Effekte im Halbleiter erzeugen. Dazu gehören Photowiderstände, Photodioden, Photoelemente und Phototransistoren.
2. Bauelemente, die aufgrund elektrischer Vorgänge im Halbleiter Licht emittieren. Dazu gehören Leuchtdioden, Halbleiterlaser und elektrisch anregbare Leuchtstoffe.
9.4.1 Photowiderstände
Lichtelektrische Leitung oder „Photoleitung“ wird durch den inneren Photoeffekt (internal or intrinsic photoeffect, photoconductive effect) bewirkt. Im Gegensatz zum lange vorher entdeckten äußeren Photoeffekt, bei dem Metallelektronen durch Photonen ins Vakuum befördert werden, wird beim inneren Photoeffekt durch das im Halbleiter absorbierte Photon ein Elektron vom Valenzband ins Leitungsband befördert (Abb. 9.26).
Strahlt man auf einen sehr reinen Kristall Licht von einer Energie, die geringer ist als der Bandabstand, dann geht das Licht ungehindert durch den Kristall hindurch, und es entsteht keine Leitfähigkeit. Entspricht die Lichtenergie gerade dem Bandabstand oder ist sie etwas größer, dann ist die Lichtabsorption so stark, dass das Licht nur in eine dünne Oberflächenschicht des Kristalls eindringt und hier eine große Leitfähigkeit hervorruft. Wünscht man dagegen das Eindringen des Lichts in den ganzen Kristall, dann muss die Absorption hinreichend klein sein, aber andererseits nicht zu klein, damit genügend Licht im Inneren des Kristalls absorbiert wird. Man erreicht dies bei synthetischen Kristallen leicht durch Dotierung mit Fremdatomen, die Donatoren und Akzeptoren bilden, deren energetische Lage sich innerhalb der verbotenen Zone befindet. Dann können durch die Absorption von Photonen entweder VB-Elektronen auf Akzeptor-Niveaus angehoben oder Donator-Elektronen in das Leitungsband befördert werden. Die Löcher im Valenzband und die Elektronen im Leitungsband verursachen die Photoleitfähigkeit. Die zur Anregung erforderliche Lichtenergie, bestimmt durch die energetischen Abstände
Elektron
Elektron-Loch-Paare
Halbleiterkristall
Abb. 9.26 Prinzip des Photoeffektes: (a) äußerer, (b) innerer.
598
9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
der Akzeptoren vom VB und der Donatoren vom LB, erstreckt sich über einen weiten Spektralbereich.
Selen ist der am längsten bekannte Photoleiter (W. Smith, 1873), den W. Siemens schon 1875 für einen Belichtungsmesser ausnutzte. Amorphes Selen, das man leicht durch Schmelzen und rasches Abkühlen erhält, ist im Dunkeln ein guter Isolator. Einzelne belichtete Stellen einer dünnen aufgedampften Selenschicht erhalten eine hinreichend gute Leitfähigkeit, um Potentialunterschiede zwischen Vorder- und Rückseite der Selenschicht auszugleichen. Wegen der geringen Dunkelleitfähigkeit sind belichtete Punkte, die dicht nebeneinander liegen, ausreichend gegeneinander isoliert. Man verwendet solche amorphen Selenschichten in der Elektrophotographie zur Herstellung von Photokopien (vgl. Abschn. 2.5.3).
Im infraroten Spektralgebiet für Wellenlängen größer als 1.2 jrm haben Photoleiter deshalb große Bedeutung, weil in diesem Spektralgebiet das Auge, die photographische Platte und die Photozelle vollkommen unempfindlich sind. Für den Strahlungsnachweis in diesem Spektralgebiet gibt es die thermischen Detektoren (Abschn. 6.1.3), die Absolutmessungen ermöglichen, aber geringe Empfindlichkeit besitzen. Andererseits stehen Photoleiter zur Verfügung, die in verschiedenen, begrenzten Spektralgebieten wesentlich empfindlicher sind, zumal wenn sie gekühlt werden: PbS (2.8 jrm), PbSe (4.8 jrm), InSb (5.3 jrm), Ge (mit Cu dotiert 20jrm, mit In dotiert 80 jrm). Die angegebenen Wellenlängen geben die Gebiete maximaler Empfindlichkeit an.
Man darf nicht vergessen, dass mit zunehmender Wellenlänge die Energie der Photonen abnimmt und schließlich vergleichbar mit der Energie der thermischen Strahlung bei Raumtemperatur wird, die dann ebenso Ladungsträger im Kristall befreien kann. Deshalb müssen Photoleiter abgeschirmt werden. Für Strahlung, die längerwellig als 8 jrm ist, wird außerdem Kühlung mit flüssigem Stickstoff (Siedetemperatur 77 K) erforderlich. Wenn die Strahlung längerwellig als 20 jrm ist, muss mit flüssigem Helium gekühlt werden (Siedetemperatur 4.2 K). Auf diese Weise wird das Rauschen so weit herabgedrückt, dass die Signale sich ausreichend abheben.
9.4.2 Photodioden, Photoelemente
Eine unbeleuchtete Photodiode verhält sich wie eine normale Halbleiterdiode. Photodioden werden prinzipiell in Sperrichtung betrieben und liefern einen Sperrstrom, der zur Beleuchtungsstärke proportional ist (Abb. 9.27).
Photodioden sind pn-Übergänge, bei denen entweder die p- oder die n-Schicht sehr dünn ist und die darauf befindliche Metallelektrode gitter- oder kreisringförmig angelegt ist, damit das einfallende Licht bis in das Gebiet des pn-Übergangs vordringen kann und nicht schon vorher absorbiert wird. Ebenso eignen sich gleichrichtende Metall-Halbleiterübergänge für Photodioden, bei denen entsprechend das Metall sehr dünn oder gitterförmig ausgebildet sein muss, damit das Licht in den Halbleiter eindringen kann.
Werden nun im Gebiet des pn-Übergangs durch Photonenabsorption Elektronen aus dem Valenz- in das Leitungsband angeregt, dann werden sie sofort durch das dort herrschende elektrische Feld in Richtung n-Halbleiter, die gleichzeitig im Valenzband entstandenen Defektelektronen in Richtung p-Halbleiter abgesaugt. Da-
9.4 Photohalbleiter
599
Abb. 9.27 Photodiode: (a) Schaltzeichen, (b) Kennlinienfeld. Als Parameter ist die Beleuchtungsstärke in der photometrischen Einheit „Lux (Ix)“ eingetragen.
Abb. 9.28 Schematischer Aufbau einer PIN-Photodiode.
durch fließt durch die gesperrte Diode ein zur Beleuchtungsstärke proportionaler Sperrstrom. Photodioden haben viel kürzere Zeitkonstanten als Photowiderstände. Mit zunehmender Sperrspannung wird die Kapazität des pn-Übergangsbereichs kleiner. Die Grenzfrequenz liegt bei etwa 10 MHz. Besonders schnell sind PIN-Photo-dioden (Abb. 9.28), die eine Grenzfrequenz von etwa 1 GHz haben. Sie haben außerdem den Vorteil eines extrem kleinen Dunkelstroms.
Die Wahl des Halbleiters bestimmt die spektrale Empfindlichkeit der Photodioden. Selen (Ea = 1.7 eV), Gallium-Arsenid (Ea — 1.4 eV) und Silicium (Ea =1.1 eV) eignen sich für sichtbares Licht, aber die spektrale Empfindlichkeit erstreckt sich weit in das Infrarote. Indium-Antimonid (InSb, Ea — Q.leN) ist ein Photohalbleiter für das langwellige Infrarot. Infrarot-empfindliche Photodioden müssen ebenso wie die entsprechenden Photowiderstände gekühlt betrieben werden.
CCD-Bildwandler. Eine wichtige Anwendung von Photodioden besteht in der Integration vieler dieser Bauelemente in Form einer Matrix auf einem Si-Plättchen. Jede einzelne Photodiode (picture cell -> pixel) produziert ein der einfallenden Lichtmenge proportionales elektrisches Signal, das einige Zeit gespeichert und dann über integrierte Leitungen und Bauelemente abgefragt wird. Diese Systeme sind unter der englischen Bezeichnung charge-coupled devices (CCD) bekannt geworden.
600	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Jeder Photosensor eines CCDs besteht aus einem MOSFET, bei dem der gesperrte pn-Übergang zwischen Source (S) und Substrat (hidk B) zur Ladungsspeicherung und der FET selbst als Schalter der in der Sperrschicht gespeicherten Ladung verwendet wird. Die Sperrschichtkapazität wird zuerst über den FET als Schalter durch den kurzen hohen Impuls eines Abtastsignals auf die Spannung U aufgeladen. In der folgenden längeren Phase der Lichtsignal-Integration ist der FET offen, und es erfolgt die Entladung des Sperrschicht-Kondensators durch den Photostrom des pn-Übergangs. Das nächste Ab tastsignal, das den Kondensator wieder auf die Spannung U auflädt, erzeugt einen Stromimpuls, der zum Ladungsverlust des Kondensators, also zum integrierten Lichtsignal proportional ist.
Zur flächenhaften Bildaufnahme haben sich verschiedene Organisationsformen von Sensoren und Abtastelektronik herausgebildet. Um Verschmierungseffekte durch Überlagerung von Bildaufnahme und Signalauslesung zu vermeiden, trennt man die Photosensoren von den Speicherzellen und schützt letztere vor dem Licht. Während der Lichtintegrationsphase wird das Bildmuster erzeugt und anschließend in die Speicherfläche übertragen. Während der nächsten Integrationsphase werden die Speicher seriell ausgelesen. Die elektronische Abfragung der gespeicherten Signale erfolgt so, dass die einzelnen Zeilen der Diodenmatrix nacheinander abgerastert werden.
Projiziert man mithilfe eines Objektives ein reelles Bild auf den CCD-Bildwandler, liefert dieser mithilfe der Zusatzelektronik ein Videosignal, das sofort auf einem Schirm das entsprechende Bild erzeugt.
Phototransistoren unterscheiden sich von normalen Transistoren in der Art der Steuerung. Sie werden nicht durch Ladungsträgerinjektion über einen metallischen Basisanschluss eingeschaltet, sondern dadurch, dass in der Basis die notwendigen Ladungsträger optisch angeregt werden. So ergibt sich ein gewisser Verstärkungseffekt, denn der Strom im Emitter-Kollektor-Kreis kann durch vergleichsweise wenige Lichtquanten gesteuert werden.
Photoelemente. Photoelemente sind wie Photodioden gebaut, werden aber ohne externe Spannungsquelle betrieben und durch ein völlig anderes Schaltzeichen dargestellt (Abb. 9.29a). Sie liefern einen von der Beleuchtungsstärke abhängigen Kurzschlussstrom /K, der mit zunehmender Belastung absinkt und bei einer Leerlaufspannung UL von etwa 0.5 V durch null geht.
Um den Vergleich mit den Photodioden-Kennlinien von Abb. 9.27 zu erleichtern, wird in der Kennlinie von Abb. 9.29 der Photostrom wie ein Sperrstrom als negative Größe dargestellt. Damit liegt der Arbeitsbereich des Photoelementes im 4. Quadranten des /([/(-Diagramms. Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines unbeleuchteten Photoelementes (gestrichelte Kurve) ist eine typische Dioden-Kennlinie. Bei Beleuchtung verschiebt sich die Kennlinie durch den Photostrom nach unten (ausgezogene Kurve). Im dritten Quadranten, dem Arbeitsbereich der Photodiode, ist der Sperrstrom in sehr weiten Grenzen proportional zur Bestrahlungsstärke. Aus dem Verlauf der Kennlinie im 4. Quadranten ist zu ersehen, dass ein Photostrom auch dann fließt, wenn man einen kleinen Spannungsabfall an einem externen Widerstand zulässt. Dieser Spannungsabfall ergibt, multipliziert mit dem Photostrom, die von der Photozelle abgegebene Leistung. Lässt man durch Vergrößerung des Widerstandes
9.4 Photohalbleiter 601
Abb. 9.29 Photodiode: (a) Schaltbild; (b) Strom-Spannungs-Kennlinie im Dunkeln (gestrichelt) und unter Bestrahlung (ausgezogene Kurve). Die schraffierte Fläche entspricht der maximalen Leistung.
den Spannungsabfall langsam größer werden, durchläuft die abgegebene Leistung ein Maximum am Arbeitspunkt Pmax (schraffiertes Rechteck in Abb. 9.29b), um dann wieder bei Erreichen der maximalen Photospannung auf null zu sinken, weil der Strom durch null geht.
Solarzellen. Das sind großflächige, speziell für die Nutzung des Sonnenlichtes entwickelte Photoelemente. Damit Solarzellen mit hohem Wirkungsgrad arbeiten, muss der Widerstand des Lastkreises der Charakteristik der Solarzelle genau angepasst sein. Die Photospannung hängt eng mit dem bei der Bildung des pn-Überganges entstehenden internen elektrischen Feld zusammen, welches selbst wiederum eine Funktion des Bandabstandes des Halbleiters ist. Hohe Bandabstände bedeuten hohe Photospannungen. Andererseits gilt, wie schon erwähnt, dass ein Lichtquant nur dann ein Elektron in das Leitungsband bringen kann, wenn die Beziehung hv > Ea erfüllt ist. Kleine Bandabstände bedeuten also bei einer breiten spektralen Verteilung des einfallenden Lichtes hohe Photoströme. Aus diesen beiden gegenläufigen Forderungen ergibt sich, dass es für jede bestimmte spektrale Verteilung einen optimalen Wert für Ea gibt. Für das Sonnenspektrum beträgt dieser Wert etwa 1.4 eV. GaAs besitzt gerade diesen Bandabstand, weshalb Solarzellen aus GaAs auch die höchsten Wirkungsgrade besitzen, und zwar bis etwas über 20%. Allerdings ist GaAs ein teures Halbleitermaterial, weshalb die meisten Solarzellen heute aus Si hergestellt werden. Diese haben typische Wirkungsgrade von etwa 15% (Wirkungsgrad = abgegebene elektrische Energie/einfallende Lichtenergie).
Die theoretische Obergrenze des Wirkungsgrades für Silicium-Solarzellen liegt bei etwa 30%, wenn man davon ausgeht, dass jedes Photon höchstens ein Elektro-nen-Loch-Paar erzeugen kann und dass die Überschussenergie hv — Ea über Phononen an das Kristallgitter abgegeben wird.
Der Einsatz von Solarzellen zur Energieversorgung ist gegenwärtig aus Kostengründen nur in Spezialfällen lohnend, insbesondere dann, wenn der Anschluss an das öffentliche elektrische Netz nicht möglich ist oder noch teurer wäre. Aber wegen der in Abschn. 4.5.4 beschriebenen Probleme der zukünftigen Welt-Energieversor
602	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
gung gilt die umweltfreundliche Umwandlung von Sonnenlicht in Strom (photovol-taics) als Zukunftstechnologie, die stark subventioniert wird.
Die Leistung von Solaranlagen wird gern auf eine angenommene solare Bestrahlungsstärke (solar irradiance) von 1 kW/m2 bezogen. Dieser beliebte runde Zahlenwert (Peak Watt) entspricht der solaren Bestrahlungsstärke für Verhältnisse, wie sie etwa in der Sahara bei Sonnenhöchststand gegeben sind. Gemittelt über alle Tagesund Jahreszeiten ergeben sich folgende Werte für die mittlere Strahlungsleistung pro Fläche an den angeführten Orten:
Sahara 268 W/m2
Rom	192	W/m2
Freiburg 134 W/m2
Hamburg 112 W/m2
London 108 W/m2
Diese Größe heißt „horizontale Globalstrahlung“ und ist die Summe von direkter und diffuser Sonnenstrahlung, bezogen auf eine horizontale Messfläche. Die in der Sonnenenergie-Literatur übliche Einheit ist kWh/(m2 • Jahr); zur Umrechnung: 1000 kWh/(m2 • Jahr) = 114 W/m2.
Weil bei den deutschen Witterungsverhältnissen der Anteil der diffusen Strahlung im Mittel etwa 50% beträgt, lässt sich durch Neigen der bestrahlten Fläche weniger an Globalstrahlung gewinnen, als man vermuten würde: Die Ausrichtung nach Süden mit einem Anstellwinkel gleich der geographischen Breite bringt nur einen Gewinn von 15%, die sehr teure zweiachsige Nachführung nach dem Sonnenstand bringt nicht mehr als 50%.
Bei Überlegungen zur Nutzung der Solarenergie ist auch das Problem der Energiespeicherung für Zeiten geringerer oder fehlender Sonneneinstrahlung zu bedenken. Für den Tag/Nacht-Ausgleich ist Kurzzeitspeicherung vorzusehen. Daneben muss der große jahreszeitliche Einstrahlungsunterschied zwischen Juni und Dezember, der für Freiburg 6:1 und für Hamburg 14:1 beträgt, berücksichtigt werden. Ohne Speicherung ist eine entsprechende Überdimensionierung der Anlage erforderlich.
Solarenergie-Speicherung im Netz. Die einfachste und billigste Möglichkeit zur Speicherung des „Sonnenstroms“ ist seine Einspeisung in das öffentliche Netz und eine entsprechende Stromentnahme bei Bedarf. (Das gilt auch für andere, dem Bedarf nicht angepasste Stromerzeugungsarten.) Solaranlagen, die mit dem öffentlichen Netz verbunden sind, stehen aber in direkter Konkurrenz zu den anderen Methoden der Stromerzeugung, die zwar weniger umweltfreundlich (CO21), aber z. Z. noch wesentlich billiger sind.
Der Einsatz von Solaranlagen weit ab vom öffentlichen elektrischen Netz kann schon heute rentabel sein. Doch dafür steht die bequeme und billige Netz-Speiche-rung nicht zur Verfügung.
9.4 Photohalbleiter 603
9.4.3 Leuchtdioden
Leuchtdioden (Lumineszenzdioden, light-emitting diodes, LEDs) bestehen aus einem pn-Übergang, der in Durchlassrichtung betrieben wird. Die Löcher diffundieren aus dem p-Gebiet und Elektronen aus dem n-Gebiet ineinander und rekombinieren größtenteils im Bereich des Übergangs unter Aussendung eines Photons. Die Leuchtdiode muss so aufgebaut sein, dass das im Übergangsbereich generierte Licht leicht austreten kann (Abb. 9.30a); das Schaltzeichen (Abb. 9.30b) unterscheidet sich nur durch die Richtung der Lichtpfeile von dem der Photodiode.
Beim Silicium erfolgt die Rekombination im pn-Übergang im allgemeinen strahlungslos, d. h. die frei werdende Energie wird durch die Schwingungen des Kristallgitters (Phononen) aufgezehrt. Für die in Leuchtdioden gewünschte radiative Rekombination kommen Halbleitermaterialien in Betracht, bei denen der Übergang vom Valenz- zum Leitungsband mit der niedrigsten Energie ein so genannter „direkter“ Übergang ist. Das ist der Fall, wenn in der k-Raum-Darstellung das LB-Minimum direkt über dem VB-Maximum liegt (Bd. 6, Kap. 8). Der III/V-Halbleiter GaAs und verwandte Materialien sind hierfür besonders geeignet, wie Heinrich Welker (Siemens-Forschungslabor) schon 1952 erkannte. Das von Leuchtdioden bei Stromfluss ausgesandte Licht ist monochromatisch; seine Wellenlänge hängt von der energetischen Breite der verbotenen Zone, also dem Wert Ea ab. Eine reine GaAs-Diode (Ea = 1.4 eV) würde bei 2 = 890 nm, d.h. im nahen Infrarot emittieren. Um die bekannten, besonders rot, aber auch gelb und grün leuchtenden LEDs herzustellen (z. B. für Zifferanzeigen in Taschenrechnern, Messinstrumenten oder Radiogeräten), werden im Kristall beim Wachstum einige Arsenatome durch Phosphoratome im Gitter ersetzt. Oder es werden statt Gallium-Atome teilweise Aluminium-Atome eingebaut. Solches Material wird durch die Formel GaAsJ^ _x oder AlxGa1 _xAs beschrieben, wobei x einen Wert zwischen 0 und 1 hat.
Durch den Einbau von P oder Al im GaAs-Gitter wird Ea vergrößert und es lassen sich rote, orange, gelbe und grüne LEDs herstellen. Wird aber zuviel Arsen durch Phosphor ersetzt, geht die Eigenschaft des „direkten Überganges“ verloren, weshalb mit diesem Material keine blau leuchtenden LEDs hergestellt werden können. Seit 1995 gibt es blaue LEDs auf Galliumnitrid-Basis (S.Nakamura, Nichia Chemical Industries).
Abb. 9.30 (a) Schnitt durch eine Leuchtdiode (schematisch), (b) Schaltzeichen.
604	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
9.4.4 Halbleiter-Laser
Im Zuge der Miniaturisierung gelangten die Lineardimensionen der Bauelement-Strukturen schließlich deutlich unter 1 Mikrometer; seit dem spricht man nicht mehr von Mikrostruktur-, sondern von Nanostruktur-Technologie. Um in dieser Größenordnung wohldefinierte Übergänge zwischen Bereichen mit unterschiedlichen Halbleitereigenschaften zu erhalten, genügten die konventionellen Dotierungstechniken nicht mehr. Statt dessen mussten neue Verfahren entwickelt werden, wie die Erzeugung hochreiner (dotierter) Kristalle, Schicht für Schicht, durch Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE) oder metall-organische Dampfphasen-Epi-taxie (Metalorganic vapour phase epitaxy, MOVPE).
Heterostrukturen. Ein viel verwendetes Material ist AlxGaj _xAs. Weil sich die Gitterkonstante mit der Zusammensetzungsvariable x nur geringfügig ändert, sind solche ternären Verbindungen in jeder Zusammensetzung kristallographisch miteinander kombiniertbar. Ausgenutzt wird die große Variationsbreite der Bandlücke (Ea = 1.4 eV für x = 0, = 2.2 eV für x = 1) zur Herstellung von Heterostrukturen mit stark unterschiedlichen elektrischen und optischen Eigenschaften, sowie für periodische Strukturen (Übergitter, super lattices). Für Pionierarbeiten auf dem Gebiet der Halbleiter-Heterostrukturen erhielten Schores Alforow (Zhores Alferov) und Herbert Kroemer den Nobelpreis 2000.
Fügt man zu einer dünnen GaAs-Schicht auf beiden Seiten eine Schicht aus Al/Taj-^As (0 < x < 1) mit größerem Bandabstand hinzu, und zwar einmal p-lei-tenden und einmal n-leitendes Material, so sind die Elektronen im Leitungsband und die Defektelektronen im Valenzband des GaAs in einem Potentialtopf „gefangen“ und können diese Zone nicht verlassen (Abb. 9.31). Injiziert man nun von der einen Seite Elektronen, von der anderen Defektelektronen in die GaAs-Schicht, so stellt sich bei hinreichender Injektionsrate eine Besetzungsinversion ein, was Voraussetzung für einen Laser ist. Versieht man die Schichtstruktur an zwei Seiten mit Spiegeln, von denen einer teildurchlässig ist, so erhält man einen Halbleiter-Laser.
E
Abb. 9.31 Bändermodell eines Doppel-He-terostruktur-Lasers (schematisch).
Aus der oben erwähnten blauen Leuchtdiode auf GaN-Basis ist ein blauer Halbleiter-Laser hervorgegangen, dessen aktiver Teil aus einem Übergitter von n- bzw. p-dotiertem Alni.Ga„„,N und undotiertem GaN besteht. U	U.14 U.öo
9.4 Photohalbleiter 605
Quanteneffekte. Mit der Nanotechnologie können Strukturen hergestellt werden, die in 1, 2 oder gar 3 Dimensionen sehr klein sind. Weil die de-Broglie-Wellenlängen der Ladungsträger nicht mehr vernachlässigbar klein sind gegenüber den Abmessungen, treten quantenmechanische Efffekte auf, z. B. Aufspaltung der Bänder in Subbänder oder diskrete Energieniveaus.
Wird eine Dimension beschränkt, spricht man von einem Quantentopf oder -trog (quantum well), bei zwei beschränkten Dimensionen vom Quantendraht (quantum wire) und bei dreien vom Quantenpunkt (quantum dot). Kommerzielle Quantentopf-Laser gibt es seit den 1990er Jahren; die Weiterentwicklung der Quantenpunkt-Laser wird intensiv betrieben.
9.4.5 Leuchtstoffe, Elektrolumineszenz
Emission von sichtbarem Licht aus Kristallen. Die Energie, die zur Erzeugung eines Elektron-Loch-Paares aufgewendet wurde, wird bei der Rekombination (= Band-Band-Übergang vom LB ins VB) wieder frei. Die Energie kann entweder dem Kristallgitter als Schwingungsenergie übertragen werden (strahlungsloser Übergang), oder sie kann als Strahlung emittiert werden. Die Strahlung eines Band-Band-Über-gangs, die sehr stark absorbiert wird, kann allenfalls von Bereichen nahe der Kristalloberfläche emittiert werden. Der Bandabstand beträgt beim Ge 0.7 eV, beim Si 1.1 eV. Daraus folgt, dass diese Kristalle nur für infrarotes Licht durchlässig sind, für das die Photonenenergie kleiner ist, als dem Bandabstand entspricht. Für das Auge sichtbares Licht kann also nur aus dem Innern eines Kristalls kommen, dessen Bandabstand wenigstens etwa 2 eV beträgt, entsprechend der Energie roten Lichtes. Dieser Bandabstand ist aber zu groß für das Auftreten einer Eigenleitung bei Raumtemperatur. Deshalb sind Kristalle, die sichtbares Licht aussenden können, keine Halbleiter, sondern Isolatoren (Beispiele: ZnS, Diamant).
Lumineszenz (luminescence). Darunter versteht man Lichtemission, die angeregte Zustände voraussetzt und deshalb um wenigstens 10 “9 s (der minimalen Lebensdauer angeregter Zustände) zeitlich verzögert dem Anregungsprozess folgt. Lichtemission, die so schnell nach der Anregung erfolgt, dass die Zeitverzögerung vor 50 Jahren noch nicht messbar war, wird oft Fluoreszenz genannt; dazu gehört die spontane Lichtemission von Atomen und Ionen mit den typischen Verweilzeiten im angeregten Zustand von 10 Ss. Nicht zur Lumineszenz gehören z. B. Wärmestrahlung, Streulicht, Synchrotronstrahlung, Tscherenkow-Strahlung.
Nach den Prozessen, die für die Anregung verantwortlich sind, spricht man von Radiolumineszenz (angeregt durch a-, ß-, '/-Strahlung), Photolumineszenz (Licht, auch UV), Kathodolumineszenz (Elektronenstrahlen), Chemi- bzw. Chemolumines-zenz (chemische Reaktionen), Biolumineszenz (chemische Reaktionen in Organismen) und Elektrolumineszenz (Strom, Spannung).
Lichtemittierende Kristalle, die durch ultraviolettes Licht, Röntgenstrahlen, schnelle Elektronen oder Ionen zum Leuchten angeregt werden, sind seit langem bekannt. Durch die Anregung werden Elektron-Loch-Paare gebildet. Die Rekombination erfolgt an eingebauten Fremdatomen (Aktivatoratomen), die im Kristall
606	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
gitter sog. Leuchtzentren (luminescent centers) bilden und die Lichtemission übernehmen. Zu den bekannten Leuchtstoffen gehören: Cu-aktiviertes ZnS (grün), Ag-aktiviertes ZnS (blau), Ag-aktiviertes CdS (rot), Mn-aktiviertes ZnSiO4 (grün).
Elektrolumineszenz im weitesten Sinn ist die Lichtemission nach Anregung durch Elektrizität, also z. B. durch ein elektrisches Feld oder einen elektrischen Strom. Dazu gehört auch die Injektionslumineszenz, also das durch Ladungsträgerinjektion erzeugte Rekombinationsleuchten, das in Lumineszenzdioden (Leuchtdioden) und Halbleiterlasern ausgenutzt wird.
Elektrolumineszenz im engeren Sinn ist die Hochfeldlumineszenz, die Lichtemission durch Einwirkung eines starken elektrischen Gleich- oder Wechselfeldes. Im Jahre 1936 fand G. Destriau an mit viel Kupfer dotiertem ZnS eine Lumineszenz unter der Einwirkung eines elektrischen Wechselfeldes. Die Lichtemission tritt bei Wechselspannung auch dann auf, wenn der Kristall gegen die Elektroden (z. B. durch Glimmer) vollkommen isoliert ist, sodass keine Injektion von Ladungsträgern stattfinden kann. Im Kristall werden offenbar Elektronen an Stellen besonders hoher Feldstärke befreit und im Wechselfeld hin- und herbewegt. Dabei nehmen sie Energie auf, können durch Stoß weitere Elektronen befreien und regen Leuchtzentren zur Lichtemission an.
9.5	Haiblei ter-Technologie
9.5.1 Präparation, Dotierung, Strukturierung
Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf Silicium-Bauelemente und integrierte Schaltkreise, da sie die überwiegende Mehrheit der zur Zeit verwendeten elektronischen Komponenten darstellen.
Rohherstellung. Silicium kommt in der Natur als Quarz (SiO2) vor. Die Reduktion mit Kohle erfolgt bei 1460°C nach der Gleichung SiO2 + 2C -> Si + 2CO. Das so gewonnene Silicium ist nur zu 97 % rein. Es wird anschließend in gasförmiges Silan (SiH4) oder Chlorsilan (SiHCl3) überführt und zusammen mit Wasserstoff in einen chemischen Reaktor eingeleitet, in dem sich durch Stromfluss zum Glühen gebrachte dünne Si-Stäbe („Seelen“) befinden, an denen sich das Si bei 1100°C polykristallin abscheidet. So werden Stäbe bis zu 8 Zoll Durchmesser hergestellt.
Herstellung von Einkristallen. Ausgangsmaterial für praktisch alle Si-Bauelemente ist hochreines, einkristallines Silicium. Die Kristalle werden aus bereits extrem sauberem, polykristallinem Si gezogen, und zwar entweder aus dem Quarztiegel oder durch Zonenschmelzen. Beim preiswerten Tiegelverfahren werden Si-Brocken im Tiegel durch Hochfrequenzheizung induktiv aufgeschmolzen, dann wird ein kleiner Kristallkeim (Samenkristall) in die Schmelze getaucht und langsam unter Drehung wieder herausgezogen. Am Kristallkeim hängt dann der aus der Schmelze gezogene
9.5 Halbleiter-Technologie
607
Einkristall. Die aus dem Tiegel gezogenen Si-Einkristalle enthalten eine gewisse Menge Sauerstoff als Verunreinigung, der während des Wachstums aus dem Quarz des Tiegels gelöst wurde. Dieses ist jedoch für viele Anwendungen tolerierbar. Beim Zonenschmelzverfahren lässt man eine induktiv aufgeheizte flüssige Zone durch einen zunächst polykristallinen Si-Stab wandern. Wegen der besonders hohen Oberflächenspannung von flüssigem Si bleibt die geschmolzene Zone zwischen den beiden festen Si-Säulen gefangen. Das flüssige Si erstarrt auf der abkühlenden Seite des Stabes in einkristalliner Form, dabei reichern sich Verunreinigungen in der Schmelze an. Der Zonenschmelzvorgang kann an einem Stab mehrmals wiederholt werden; man erhält so besonders reine Einkristalle.
Die Stäbe werden immer so gezogen, dass die Achse einer kristallographischen <100)- oder <111)-Richtung entspricht. Der üblichste Stab-Durchmesser ist 100 mm. Die Länge variiert und liegt in der Größenordnung von einem Meter.
Nirgendwo auf der Erde findet man eine natürliche Substanz, die eine auch nur entfernt vergleichbare Reinheit hätte wie Halbleiter-Silicium haben muss: Mittlere Dotierungen entsprechen einem Atomanteil des Dotierstoffes von etwa 10 6. Unerwünschte Verunreinigungen wie z. B. Übergangsmetalle dürfen höchstens noch in 1000-mal geringerer Konzentration vorliegen als der Dotierstoff. Daraus ergibt sich eine Obergrenze für Verunreinigungen in Si von etwa 10'.
Ähnliche Anforderungen wie für die Reinheit gelten auch für die Defektfreiheit des Kristallgitters. Man ist seit einigen Jahren in der Lage, Si-Einkristalle völlig ohne Versetzungen zu ziehen. Die einkristallinen Stäbe werden in Scheiben von ca. 0.5 mm Dicke mit Diamant-Innenlochsägeblättern zersägt. Danach erfolgt eine Ätzung in einer Mischung aus Salpetersäure, Flusssäure und Essigsäure, um die durch das Sägen entstandenen Kristalldefekte in der Oberfläche zu entfernen. Für Hochleistungsdioden und -thyristoren werden die Si-Scheiben (wafer) in dieser Form weiterverwendet. Für Feldeffekt-Transistoren und integrierte Schaltkreise wird eine Seite der Scheibe poliert. Häufig wird danach auf der polierten Seite epitaktisch (d. h. in einkristalliner Form) eine Schicht aus Si von einigen jrm Dicke abgeschieden, die sich durch besondere Reinheit und Homogenität in der Dotierung auszeichnet. Dieses geschieht in einem chemischen Reaktor unter extrem sauberen Bedingungen durch thermische Zersetzung von SiHCl3 bei etwa 1000°C. Nun können diese Scheiben für die Herstellung von Bauelementen verwendet werden.
Bei der Bauelement-Herstellung werden die Si-Scheiben wiederholt und in unterschiedlicher Reihenfolge folgenden Vorgängen unterzogen: Dotierung, photolithographische Strukturierung, Beschichtung und Ätzung. Dotierstoffe können bereits während des Kristallziehens zugegeben werden. Weitere Möglichkeiten sind die folgenden:
Diffusions-Dotierung. Die für Si wichtigsten Dotierungsmaterialien sind Bor (Akzeptor, 45meV) und Phosphor (Donator, 44meV). Ein Trägergas (O2, N2) perlt durch ein Sättigungsgefäß mit POC13 oder BC13 und setzt die Si-Scheiben bei 1100-1250°C dem Diffusionsprozess aus. Die Diffusions-Dotierung kann „maskiert“ erfolgen: die Si-Scheibe wird vor der Diffusion oberflächlich oxidiert und das entstandene SiO2 wird an bestimmten Stellen wieder abgeätzt; dann können die Dotieratome nur dort in das Si eindringen, wo sich kein diffusionshemmender SiO2-Film befindet.
608
9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
lonen-Implantation. Hierbei werden Ionen des Dotierstoffes durch einen Beschleuniger auf 10-100 keV Energie beschleunigt und dann auf die Si-Scheibe geschossen. Die Ionen dringen ca. 1 jun in das Si ein. Die Maskierung kann hier auf besonders einfache Weise geschehen, und zwar durch eine dünne Photolack-Schicht. Nur dort, wo kein Lack ist, können die Ionen eindringen und das Si dotieren. Die Konzentrationsverteilung der implantierten Ionen lässt sich angenähert durch eine Gauß-Verteilung beschreiben mit einer mittleren Reichweite, die proportional zur lonen-energie ist. Nach der Implantation müssen die Si-Scheiben kurz auf etwa 900 °C aufgeheizt werden, um entstandene Kristallgitterdefekte wieder auszuheilen. Der Vorteil dieses Verfahrens liegt in der Produktion oberflächennaher (0.3 jrm) pn-Über-gänge.
Neutronen-Transmutation. Das im Si vorhandene natürliche Isotop 30Si wird durch Bestrahlung mit Neutronen im Reaktor in 31Si umgewandelt, das seinerseits durch einen ß-Zerfall mit einer Halbwertszeit von 2.62 h in 31P umgewandelt wird. Nach wenigen Wochen Auslagerung ist das Material praktisch nicht mehr radioaktiv. Der Vorteil des Verfahrens, das vor allem zur Herstellung von Hochspannungsbauelementen in der Leistungselektronik eingesetzt wird, besteht in einer sehr homogenen Verteilung des Dotierstoffes im Si-Stab; die Nachteile sind, dass die Dotierung nicht maskiert erfolgen kann und dass nur n-Dotierung möglich ist.
Lithographie. Für die Photolithographie werden die Si-Scheiben mit einer dünnen Schicht (1-2 jrm) eines lichtempfindlichen Lackes beschichtet und dann durch spezielle Masken, die die gewünschte Struktur tragen, belichtet. Nach der Belichtung lösen sich die belichteten Lackflächen im Entwickler. Die Masken selbst bestehen meistens aus dünnen Chromschichten auf Glas- oder Quarzplatten. Ihre Herstellung ist sehr aufwendig. Die erreichbare Auflösung (Linienbreite) liegt bei 0.3 jrm. Bei der Elektronenstrahl-Lithographie (vgl. Abschn. 11.3.1) wird ein sehr fein fokussierter Elektronenstrahl von einer Ablenkeinheit gesteuert über das Belichtungsfeld geführt und außerhalb der Belichtungspunkte „ausgetastet“ (auch beim Zeilenrücklauf). Weil das Verfahren den Nachteil eines geringen Durchsatzes hat, wird es (noch) nicht für die Massenproduktion, aber vielfach für die Erzeugung der Masken für die optische Lithographie, für spezielle Verfahrensschritte bei der Chip-Herstellung und für wissenschaftliche Untersuchungen eingesetzt.
Beschichtung. Zur Aufbringung von SiO2, Silicium-Nitrid (Si3N4) und polykristallinen Si-Schichten auf die einkristallinen Si-Scheiben ist das so genannte CVD-Ver-fahren (CVD = Chemical vapor depositiori) das gebräuchlichste. Hierbei setzt man die Si-Scheiben in einem chemischen Reaktor bei hoher Temperatur (ca. 1000°C) bestimmten Gasen aus, die stark in Argon verdünnt sind. Für eine SiO2-Schicht lässt man z. B. SiH4 und O2 in den Reaktor; auf den Scheiben scheidet sich dann eine SiO2-Schicht ab, das Nebenprodukt Wasser wird abgeführt. Für eine Si3N4-Schicht kann man entsprechend SiH4 und Ammoniak reagieren lassen. Für die Oxidation bei der relativ niedrigen Temperatur von 700°C eignet sich die pyrolytische Zersetzung des Tetraethylorthosilikats (TEOS-Verfahren) nach der Reaktionsgleichung Si(C2H5O)4 -> SiO2 + 4C2H4 + 2H2O. - Metall-Schichten werden gewöhnlich durch Vakuum-Aufdampfverfahren oder Kathodenzerstäubung aufgebracht.
9.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 9
609
Ätzung (etching). Um die feinen Strukturen in integrierten Schaltungen zu erzeugen, müssen die aufgebrachten Schichten immer wieder teilweise entfernt werden. Dieses geschieht durch Ätzen, nachdem die Stellen, die erhalten bleiben sollen, vorher mit Photolack maskiert wurden. Dafür haben sich Plasma-Ätzverfahren durchgesetzt. Die Si-Scheiben werden dabei in einer Vakuum-Kammer einer Gasentladung bei sehr niedrigem Druck (< 1 mbar) ausgesetzt. Das Gas variiert je nach dem zu ätzenden Material. Für Si, SiO2 oder Si3N4 eignet sich CF4, für Aluminium BF3 als Ätzgas. Plasma-Ätzverfahren haben den Vorteil, dass sie praktisch völlig frei von Verunreinigungen arbeiten.
9.5.2 Integrierte Schaltungen, Mikroelektronik
Beim Entwurf elektronischer Schaltungen, die in IC-Form realisiert werden, bemüht man sich, möglichst nur Transistoren als Schaltelemente zu verwenden, auch wenn die Schaltung dadurch aufwendiger wird. Als Kondensatoren stehen die Sperrschicht-Kapazitäten zur Verfügung. Induktivitäten lassen sich auf einem IC nicht realisieren; sie werden durch Kunstschaltungen mit Kondensatoren ersetzt.
Grenzen der Miniaturisierung. Die Miniaturisierung der Mikroelektronik kann nicht ad infinitum weitergehen. Wie schon R. Landauer und J. Swanson in den 60er Jahren erkannt haben, gibt es prinzipielle Grenzen, denen wir schon nahe sind. Diese Grenzen sind in der atomistischen Struktur der Materie und dem thermischen Rauschen begründet: Bei Raumtemperatur benötigt man eine Mindestmenge an Teilchen, um ein Bit sicher zu speichern. Eine andere Grenze ergibt sich durch die allgegenwärtige Höhenstrahlung, deren Teilchen gelegentlich eine lonisationsspur im Silicium erzeugen. Aber im Grenzbereich der Miniaturisierung, in der Nanoelektronik, charakterisiert durch Lineardimensionen unterhalb von 1 Mikrometer, treten interessante Quanteneffekte auf, deren technische Nutzung erst begonnen hat.
Für weitergehende Darstellungen wird auf Bd. 6, Kap. 7 (Halbleiter) und Kap. 8 (Materialien der Optoelektronik) verwiesen.
9.6	Internet-Hinweise zu Kapitel 9
9.6.1 Umfangreiche Sachthemen
Halbleiter-Physik und Festkörper-Elektronik. Aus Hyperphysics (s. Abschn. 1.4) =>
Condensed Matter => Semioconductor Properties =
Link 9-1 und weiter mit => Solid State Electronics
Leistungselektronik. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4) Kategorie: Leistungselektronik:
Link 9-2 Zahlreiche Artikel in dieser Kategorie
Ergänzung: s. Abschn. 4.6.1, Links 4 9 und 4 10
610	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Bauelemente und Schaltungstechnik. Universität Ulm: http://www.uni-ulm.de/ => Struktur und Organisation => Fakultät für Naturwissenschaften => Fachrichtungen => Physik => Einrichtungen: „Abteilung Experimentelle Physik“ => Lehre => Physikalische Elektronik und Messtechnik (© Othmar Marti und Alfred Plettl) => Bauelemente und Schaltungstechnik =
Link 9-3 Kapitel: => Halbleiter-Grundlagen, => Phänomene elektrischer Kontakte, => Wichtige Halbleiter-Bauelemente (Aufbau, Funktion, Technologie), Grundschaltungen, => Operationsverstärker
Elektronik-Kompendium. Verantw. Patrick Schnabel, D-71636 Ludwigsburg. Das ELKO ist die Website rund um die Themen Elektronik, Computertechnik, Kommunikationstechnik und Sicherheitstechnik: http://www.elektronik-kompendium.de =
Link 9-4 Relevante Kapitel: => Digitaltechnik, => Bauelemente, => Schaltungstechnik, => Computertechnik
Praktische Elektronik. Kelsey Park School Electronics Club (kpsec) mit Webseite in „Free UK broadband internet access“ (http://www.freeuk.com/ ): http:// www.kpsec.freeuk.com/ => Map =
Link 9-5 Weiter z. B. mit Themen aus „Studying Electronics“ oder „Components“
Organische Halbleiter. Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Chemistry, Laureates 2000, Information for the Public =
Link 9-6
Ergänzung: http://www.orgworld.de/ (This web page informs about a novel dass of materials: Organic semiconductors! It is the aim of this webpage to give an OverView about the Held of organic semiconductors, both for a basic Science and for an application-orientied audience.) => Basics (Show Only This Frame) =
Link 9-7 Weiter mit => Devices based on organic semiconductors
9.6.2 Halbleiter/Elektronik
Hall-Effekt. Aus Wikipedia (s. Aschn. 1.4):
Link 9-8 Siehe insbesondere „Applications“
Ergänzung: s. Abschn. 8.5.1, Hall-Effekt-Messungen, Link 8-6
Transistor. PBS (Public Broadcasting Stations), headquartered in Alexandria, Virginia: http://www.pbs.org => Explore „Science & Nature“ GO => Search „transis-torized“ (Go) => Transistorized! The History of the Invention of the Transistor = Link 9-9 Weiter mit Anklicken der Radioknöpfe => Electron (A Selective Timeline of 20th Century Events, 7 pages), => PN Junction, => Invention, => The IC, => Future
Integrated Circuits (IC). IC Knowledge, Georgetown, MA 01833, is a Company providing knowledge resources to the semiconductor industry. We specialize in cost, economics and making state-of-the-art technology easy to understand: http:// www.icknowledge.com/ => Free Content: „History of the IC“ =
9.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 9
611
Link 9-10 Siehe auch => Free Content „Glossary of Terms“, oder „Mise. Technology“, oder „Technology Trends“
Ergänzung: About, Inc. Is a part of The New York Times Company: http://inventors. about.com => Find A to Z Inventions => Integrated Circuits => Invention of Inte-grated Circuit of The Chip =
Link 9-11 Weiter z. B. mit => Texas Instruments => The History of the Fairchild Semiconductor Corporation => How Chips Are Made => The History of Microprocessor Chips
Ergänzung: Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4) - Moore’s Law:
Link 9-12
Operationsverstärker. CCInfo, Christoph Caspari, Dipl.-Ing. Elektrotechnik: http:// www.ccinfo.de/ => Technik/Elektrotechnik => Elektrischer Strom => Elektronische Bauelemente: „Operationsverstärker“ =
Link 9-13 Weiter z. B. mit => Aufbau und Funktion eines Operationsverstärkers Ergänzung: Mikrocontroller - Teil der Wikimedia Foundation, die auch Wikipedia betreibt: http://www.mikrocontroller.net/ => Artikel „Operationsverstärker“ =
Link 9-14
Nanostruktur-Bausteine. World Technology Evaluation Center (WTEC): http:// www.wtec.org/ => Reports Online => Study reports completed by Loyola/WTEC „Nanostructure Science and Technology: R&D Status and Trends in Nanoparticles, Nanostructured Materials, and Nanodevices (1998)“ => Table of Contents => 5. Functional Nanoscale Devices =
Link 9-15
9.6.3 Photohalbleiter/Optoelektronik
Photodioden. Aus Wikipedia - Deutsch, Photodiode:
Link 9-16
Charge-Coupled Devises (CCDs). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Charge-coupled device:
Link 9-17 http://de.wikipedia.org/wiki/Charge-coupled_Device
Ergänzung: Physics Dept., Univ, of Oregon: http://physics.uoregon.edu/ =>
The Electronic Universe Project, a Science Outreach Server => Space Science => (unten) Web Talks: „About CCD detectors“ =
Link 9-18 „Evolving Towards The Perfect CCD“
Photovoltaik / Solarzellen. Solarverein Marbach am Neckar e.V. Redaktion: Werner
Westhauser:
http://www.solarverein-marbach.de => Photovoltaik (Show Only This Frame) =
Link 9-19
Ergänzung: Heindl Server GmbH (Geschäftsführer Rudolf Hug), D-72070 Tübingen: http://www.solarserver.de/ => Wissen => Technik: Photovoltaik =
Link 9-20
612	9 Elektrische Effekte in Eialbleitern
Leuchtdioden (LED). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), LED:
Link 9-21
Ergänzung: LED-Info. Diese Seiten geben Informationen über die LED-Technik und deren Möglichkeiten (© Hauke Haller): http://www.led-info.de => Grundlagen => LED =
Link 9-22 Weiter mit den einzelnen Abschnitten (Spalte links)
Halbleiter-(Heterostruktur-)Laser. Beyond Discovery. The web site is being main-tained by the National Academies’ Office of News and Public Information: http:// www.beyonddiscovery.org/ => Site Map => Articles: „Modern Communication“ => Inside this article „Semiconductor Lasers“ =
Link 9-23
Ergänzung: Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4) Laserdiode =
Link 9-24 Unten (in „Double heterostructure lasers“) weiter mit => heterostruc-ture, und dort weiter mit => molecular beam epitaxy, => MOCVD
Nanostrukturen in der Optoelektronik. Competence Centre for the Application of Nanostructures in Optoelectronics (BMBF): http://www.nanop.de/ => Projects VCSEL (Show Only This Frame), => Projects Gallium-Nitrid Lasers (Show Only This Frame), => Projects Quantum Dots Lasers (Show Only This Frame), => Projects MOCSD (Show Only This Frame):
Link 9-25 „Vertical Cavity Surface Emitting Quantum-Dot Laser (QD-VCSEL)“ Link 9-26 „NanOp - GaN based blue emitters“
Link 9-27 „NanOp - Quantum Dot Edge Emitting Lasers“
Link 9-28 „NanOp - Metal-Organic Vapour Phase Deposition of Quantum Dots“
9.6.4 Biographien
Ferdinand Braun (1850-1918). Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik, Berlin: http://www.fbh-berlin.de => Über uns => Vita Ferdinand Braun = Link 9-29 Ergänzung (unten) => http://www.hars.de/braun/index.html
Walter Schottky (1886-1976). S. Abschn. 8.5.4, Link 8-32
Walter Houser Brattain (1902-1987). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 9-30
John Bardeen (1908-1991). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 9-31
William B. Shockley (1910-1989). Aus World History (s. Abschn. 1.4):
Link 9-32
Jack St. Clair Kilby (1923-2005). Aus IEEE History Center (s. Abschn. 1.4):
Link 9-33
9.6 Internet-Hinweise zu Kapitel 9
613
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Autobiography:
Link 9-34
Leo Esaki (geb. 1925). Aus IEEE History Center (s. Abschn. 1.4):
Link 9-35
Robert N. Noyce (1927 - 1990). Aus IEEE History Center (s. Abschn. 1.4):
Link 9-36
Ergänzung: Link 9-11 => Robert Noyce
Herbert Kroemer (geb. 1928). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Autobiography:
Link 9-37
Zhores I. Alferov (— Schores I. Alforow) (geb. 1930). Aus Nobelpreise (s. Ab-
schn. 1.4), Autobiography:
Link 9-38
Carver Mead (geb. 1934). Massachusetts Institute of Technology (MIT): http:// web.mit.edu/ => Search „Lemelson-MIT Prize“ => Lemelson-MIT Prize
=> More about the Lemelson-MIT Program => Winners’ Circle => 1999 Award Winners „Carver Mead“ =
Link 9-39 Weiter z. B. mit => Press Release
10 Gasentladungen
Tab. 10.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A C d E e h — 2n h I k L rn_ N n+, n_ n+ ^ion’ ^alom — P Q R r T t u V x, y, z a - ß	Fläche Kapazität Abstand elektrische Feldstärke Teilchenenergie lonisationsenergie Elementarladung Planck-Konstante Strom Maximalwert des photometrischen Strahlungsäquivalentes B oltzmann-Konstante Induktivität Elektronenmasse lonenmasse Teilchenzahl Zahl der (durch Ionisation freigesetzten) Elektronen Dichten der Ladungsträger Dichte der Ladungsträger-Paare (lonenpaare) Elektronendichte (im Plasma) Ionen-, Atomdichte (im Plasma) Druck Ladung Widerstand volumenspezifische lonisierungsstärke volumenspezifische Rekombinationsgeschwindigkeit Radius Temperatur Schwingungsperiode Zeit Spannung Volumen kartesische Längenkoordinaten volumenspezifischer Rekombinationskoeffizient längenspezifischer Stoßionisierungskoeffizient
616
10 Gasentladungen
Größensymbol	Bedeutung
7 £o ü V	Townsend-Koeffizient elektrische Konstante Debye-Länge mittlerer Abstand der Elektronen im Plasma Lichtfrequenz
vk ► T	fonisationszustand des k-ten Ions mittlere Lebensdauer eines Ions
V %	elektrisches Potential Plasmakreisfrequenz
Teilchensymbol	Bedeutung
e, e“ e+	Elektron Positron = Antielektron
ot ß Y 4He2+ (O2)* X	Teilchen bestehend aus 2 Protonen und 2 Neutronen ß = Elektronen, ß+ = Positronen hochenergetische Photonen doppelt ionisiertes Helium-Atom der Masse 4 (= a-Teilchen) angeregtes O2-Molekül unbekannter Stoßpartner
Gase sind gute Isolatoren, selbst Wasserdampf. Dass elektrostatische Versuche in Luft hoher Feuchtigkeit häufig nicht gelingen, liegt nur daran, dass sich durch Kondensation des Dampfes auf den Apparateteilen eine dünne Wasserhaut niederschlägt, die elektrolytisch leitet.
Die elektrische Leitfähigkeit der Gase bei Raumtemperatur und bei normalem Druck ist zwar sehr klein, aber noch messbar. Deshalb verliert jeder isoliert aufge-stellte, elektrisch geladene Körper, z. B. ein „Konduktor“, in trockener Luft oder in anderen Gasen allmählich seine Ladung. Das Entladen eines Konduktors durch das ihn umgebende Gas war eine für die elektrostatischen Pionierexperimente des 18. Jahrhunderts sehr wichtige Beobachtung. Der Begriff „Gasentladung“ (gaseous discharge) hat überlebt und steht heute für alle Formen des Ladungstransportes in Gasen. Im Englischen wird dieses Fachgebiet Gaseous Electronics genannt. - Der Übergang zur Plasmaphysik ist fließend.
Die im Gas vorhandenen Ladungsträger (charge carriers) sind Elektronen und Ionen. Sie entstehen primär durch äußere Einflüsse, z. B. durch energiereiche Teilchen oder Photonen. Durch ein angelegtes elektrisches Feld erfahren diese primären Ladungsträger eine gerichtete Bewegung. Wenn keine zusätzlichen Ladungsträger durch Sekundärprozesse erzeugt werden, bezeichnet man die unselbständige Gasentladung (non-self-maintained discharge) als „Ladungstransport ohne Gasverstärkung“ (charge transport without gas amplification).
Wenn die primär erzeugten freien Elektronen durch Stoßionisation im Gas weitere Ladungsträger erzeugen, dann kann der Strom um einige Zehnerpotenzen ansteigen. Solange dieser Strom mit der Zahl der primär erzeugten Ladungsträger ansteigt und abbricht, wenn die Primärionisation aufhört, nennt man die unselbständige Gasentladung „Ladungstransport mit Gasverstärkung“.
10.1 Ladungstransport ohne Gasverstärkung 617
Wenn aber Gasverstärkung zu Prozessen führt, die den Strom aufrecht erhalten, auch wenn die primär ionisierten Teilchen abgeflossen sind, dann hat man eine „selbständige Entladung“ (self-sustaining discharge).
10.1 Ladungstransport ohne GasverStärkung
10.1.1 Ionisation und Rekombination
Ladungsträger. In Gasentladungen sind die Ladungsträger freie Elektronen und Ionen. Die positiven Ionen bestehen aus Atomen oder Atomkomplexen, denen ein oder mehrere Elektronen fehlen, die u.U. ebenfalls vorhandenen negativen Ionen bestehen aus Atomkomplexen, die ein zusätzliches Elektron an sich gebunden haben.
Stoßionisation (impact ionizatiori) und Photoionisation von Atomen oder Molekülen des Gases führen primär zu positiven Ionen und freien Elektronen. Es ist immer noch üblich, die beiden Ladungsträger verschiedenen Vorzeichens, die durch Ionisation entstehen oder durch Rekombination verschwinden, als ein lonenpaar (ion pair, ion twins) zu bezeichnen, obwohl wir jetzt wissen, dass es sich bei den negativen Ladungsträgern in Gasen meist um freie Elektronen handelt.
Nur wenn im Gas so genannte elektronegative Moleküle vorhanden sind, die ein freies Elektron binden können, kommt es sekundär zur Bildung von negativen Ionen, verbunden meist mit der Dissoziation dieser Moleküle [dissociative (electron) at-tachment\.
Die zwar kleine, aber messbare elektrische Leitfähigkeit der Gase zeigt, dass immer einige Ladungsträger im Gas vorhanden sind. Für deren Erzeugung ist die Radioaktivität der Umgebung und die kosmische Strahlung verantwortlich. Um die radioaktive Gamma-Strahlung von einigen MeV Photonenenergie völlig abzuschirmen, sind dicke Bleiwände erforderlich. Zum wirkungsvollen Schutz vor den sehr energiereichen Teilchen der kosmischen Strahlung, z. B. Protonen mit Energien von 100 GeV und mehr, muss man in tiefe Bergwerkstollen ausweichen.
Wenn die ständig irgendwie erzeugten Ladungsträger nicht durch ein elektrisches Feld abgesaugt werden, müssen sie auf andere Weise verschwinden; nur so kann sich ein stationärer Zustand einstellen. Der Prozess, bei dem Ladungsträger entgegengesetzten Vorzeichens sich gegenseitig neutralisieren, ist die Rekombination, die zu elektrisch neutralen Molekülen, Radikalen oder Atomen führt.
Ionisatoren. Die Zahl der durch Umgebungsradioaktivität und kosmische Strahlung erzeugten lonenpaare kann durch zusätzliche Einwirkungen von außen erhöht werden. Dabei ist zwischen Volumenionisatoren und Oberflächenionisatoren zu unterscheiden; erstere ionisieren die Gasmoleküle im Volumen, letztere lösen geladene Teilchen aus Wänden aus (z. B. Photo- oder Glühelektronen) oder wirken auf wandnahe Gasmoleküle (z. B. thermische Ionisation an heißen Wänden).
Lässt man durch ein Gas (Luft) ein Bündel Röntgen-Strahlen hindurchgehen, so entstehen durch Photoionisation der Gasmoleküle positive Ionen und Elektronen. Ebenso erzeugen die von radioaktiven Substanzen ausgehenden energiereichen a-, ß- oder y-Strahlen Ionisation. Befindet sich das Gas zwischen den Platten eines
618	10 Gasentladungen
spannungsführenden Kondensators, die durch Blenden vor direkter Bestrahlung geschützt sind, dann werden die durch Ionisation entstandenen geladenen Teilchen zu den Platten entgegengesetzten Vorzeichens hingezogen; die Elektronen werden von der positiven Platte aufgenommen, die Ionen an der negativen Platte durch Metallelektronen neutralisiert. Die abfließenden Ladungen bilden einen Strom, der mit einem in die Spannungszuführung des Kondensators geschalteten empfindlichen Messinstrument (Galvanometer) nachweisbar ist.
Ein anderer, sehr einfacher Nachweis der Ionisation besteht darin, dass man ein radioaktives Präparat in die Nähe eines geladenen Elektroskops bringt, das dann schnell seine Ladung verliert, weil es von den gebildeten Paaren die entgegengesetzt geladene Ladungsträgerart an sich heranzieht. Dabei ist es gleichgültig, ob das Elekt-roskop positiv oder negativ geladen ist.
Eine Spaltung von Gasmolekülen in Ladungsträgerpaare findet auch durch Erhitzen von Gasen statt. Infolge der hohen Temperatur wird die thermische Bewegung der Moleküle so groß, dass einige bei Zusammenstößen Elektronen abspalten. Bringt man z. B. unter eine isoliert aufgehängte geladene Metallplatte A, die mit einem Elektrometer verbunden und aufgeladen ist, ein brennendes Streichholz, eine rotglühende elektrisch geheizte Drahtspirale oder die Flamme eines Bunsenbrenners (Abb. 10.1a), so verschwindet in kurzer Zeit die Ladung des Elektrometers. Die Entladung hört aber auf, wenn man die ionisierte Luft, bevor sie die Platte erreicht, mit einem Ventilator (Fön) zur Seite bläst. Dass sich in der erhitzten Luft tatsächlich Ionen befinden, lässt sich zeigen, wenn man die erhitzte Luft zwischen den Platten eines Kondensators aufsteigen lässt (Abb. 10.1b). Legt man mittels des Schalters in Stellung 1 eine Spannung von etwa 200 Volt an, so bleibt der Elektrometerausschlag konstant, da alle Ionen an die Platten abgeführt werden. Schaltet man dagegen (durch Umschalten auf Stellung 2) die Spannung der Batterie B ab, wodurch gleichzeitig der Kondensator kurzgeschlossen wird, so beginnt sofort wieder die Entladung des Elektrometers.
Auf der Temperaturionisation beruht die Leitfähigkeit von Flammen. Bringt man z. B. in eine nichtleuchtende Bunsenflamme zwei Platinelektroden im Abstand von einigen Millimetern an und legt an diese über ein Galvanometer eine Spannung von
Abb. 10.1 Volumenionisation durch Temperaturerhöhung mit dem Bunsenbrenner, (a) Entladung der aufgeladenen Metallplatte A, (b) Abfangen der Ladungsträger im Feld des Plattenkondensators.
10.1 Ladungstransport ohne Gasverstärkung 619
etwa 100 Volt (unter Vorschaltung eines geeigneten Schutzwiderstandes), so erhält man einen schwachen Strom durch die Flamme hindurch. Dieser wächst erheblich an, wenn man eine Natrium- oder Kaliumsalzperle so in die Flamme einführt, dass der leuchtende Metalldampf die Elektroden umspült; die Leitfähigkeit der Flamme wird durch die entstehenden Metallionen erheblich vergrößert.
In Funken (Abschn. 10.3.3) entsteht ebenfalls eine starke Ionisation. Kommerzielle Ionisatoren zur Vernichtung elektrostatischer Aufladungen bestehen meist aus zahlreichen Funkenstrecken, durch die Luft geblasen wird.
Rekombination. Ladungsträger verschiedenen Vorzeichens rekombinieren im Gas meist im Zweierstoß, weil Dreierstöße erst bei sehr hohen Drucken wahrscheinlich werden. Wegen Energie- und Impulserhaltung muss die Zweierstoß-Rekombination zur Dissoziation des gebildeten neutralen Atom-Komplexes führen (dissociative re-combination)-, die dabei frei werdende Energie wird überführt in kinetische Energie der Teilchen; diese können dabei auch angeregt werden und nachfolgend Strahlung emittieren.
Abb. 10.2 Anordnung zum Nachweis der Rekombination von Ladungsträgern.
Dass eine einmal erzeugte Ionisation nicht dauernd bestehen bleibt, sondern im Laufe der Zeit gesetzmäßig abnimmt, wird durch den Versuch von Abb. 10.2 demonstriert: In einem vertikalen, geerdeten Messingrohr R befinden sich in gleichen Abständen übereinander isoliert eingeführte Innenelektroden, die einzeln mit einem Elektrometer E verbunden werden können. Lädt man dieses und die gerade mit ihm verbundene Innenelektrode auf ein bestimmtes Potential auf und lässt dann von unten in das Rohr ionisierte Luft mit mäßiger Geschwindigkeit einströmen (z. B. Flammengase), so beobachtet man, dass die Aufladung der untersten Elektrode etwa in einer Sekunde, die der mittleren nach einigen Sekunden und die der oberen Elektrode erst nach längerer Zeit verschwindet. Dies zeigt, dass ein erheblicher Teil der Ionen auf dem Wege durch das Rohr rekombiniert. Das Zueinanderfinden der entgegengesetzt geladenen Teilchen kommt vor allem durch die „zufällige“ thermische Bewegung zustande. Da der mittlere Abstand zweier entgegengesetzt geladener Ladungsträger relativ groß ist, spielt die elektrische Anziehung nur beim letzten Teil der Annäherung eine Rolle.
620
10 Gasentladungen
Die Stoßhäufigkeit (Stoßfrequenz, Stöße pro Zeit, collision rate), bezogen auf das Volumen, ist proportional zu den (Anzahl-)Dichten n+ der positiven Ionen und n der negativen Ionen. Betrachten wir der Einfachheit halber nur einfach-geladene Ionen, dann ist n — n — n { — Dichte der lonenpaare).
Für die (volumenspezifische) Rekombinationsgeschwindigkeit (recombination ra-
te) kann man deshalb
= - (dn±/dt)Rekomb = a n+ = a n2±	(10.1)
ansetzen. Der Rekombinationskoeffizient a hat die Dimension Volumen/Zeit. Definiert man die (volumenspezifische) lonisierungsstärke (ionization rate) als die Zahl der pro Zeit und Volumen vom Ionisator neu erzeugten lonenpaare,
R, = (dn±/dt)Ionis	(10.2)
so beträgt die zeitliche Zunahme der lonenpaare pro Volumen
dn+/dr = R, — Rr = R, — a n2+.	(10.3)
Schließlich bildet sich ein stationärer Zustand heraus, für den
dn+/dt = 0 und R, = a n2+	(10.4)
gilt. Das führt zu der Beziehung
n± = (Rj/a)1/2.	(10.5)
Man erkennt daraus, dass auch bei kleiner lonisierungsstärke R, eine große Zahl von lonenpaaren pro Volumen vorhanden sein kann, wenn nur a hinreichend klein ist. In trockener Luft von Atmosphärendruck ist a = 1.6-10 ficm’ s in Wasserstoff = 1.4• 10 4cm’ s
Mittlere Lebensdauer der Ionen. Im stationären Gleichgewicht ist die lonenpaar-Dichte n+ gleich dem Produkt aus (volumenspezifischer) lonisierungsstärke R, und mittlerer Lebensdauer des Ions r. Daraus folgt mit Gl. (10.5)
r = n+IR1 = (a /?) 1.	(10.6)
Für Luft von Atmosphärendruck mit dem oben angegebenen Wert für a und eine lonisierungsstärke von R, — 1, 102 oder 104cm ' s 1 berechnet man beispielsweise nach Gl. (10.5) für die Gleichgewichts-Ionenpaar-Dichten n+ Werte von etwa 800, 8000 oder 80000 cm ' und nach Gl. (10.6) mittlere Lebensdauern r von etwa 800, 80 oder 8 s.
10.1.2 Strom-Spannungs-Charakteristik
Um die Eigenschaften einer leitenden Gasstrecke zu untersuchen, legen wir an die Platten eines Kondensators eine variable Spannung U; als Ionisator für den Raum zwischen den Platten dient ein zeitlich konstanter Röntgenstrahl (Abb. 10.3a). Der durch den Kondensator fließende Strom I wird gemessen.
Trägt man die zusammengehörigen Werte von U und 1 auf, so erhält man die Kennlinie von Abb. 10.3b. Sie steigt im Bereich kleiner Spannungen zunächst ge-
10.1 Ladungstransport ohne Gasverstärkung 621
Abb. 10.3 (a) Anordnung zur Messung von Strom und Spannung an einer ionisierten Gasstrecke, (b) Strom-Spannungs-Kennlinie.
radlinig an; die lineare Zunahme des Stromes mit der Spannung ergibt sich daraus, dass immer mehr der gebildeten Ionen auf die Kondensatorplatten gelangen anstatt im Gas zu rekombinieren. Anders formuliert: Mit der Spannung steigt die Driftgeschwindigkeit, und damit verringert sich die Zeit zwischen Ionisation und Auftreffen auf der Platte, in der eine Rekombination stattfinden könnte. Steigert man die Spannung aber über einen gewissen Wert U', so wächst der Strom weniger an, weil schon fast alle Ionen erfasst sind, und mündet bei Us in den spannungsunabhängigen Sättigungsstrom Zs, der nur von der lonisationsstärke des Röntgenstrahls bestimmt wird.
Bei konstanter lonisierungsstärke im ganzen Volumen zwischen den Kondensatorplatten gilt für den Sättigungsstrom
1 = dQ/dt = A d RT e.	(10.7)
Hier ist A = Kondensator-Oberfläche, d = Abstand der Kondensatorplatten, Rj = (volumenspezifische) lonisierungsstärke = Zahl aller pro Volumen und Zeit erzeugten lonenpaare mit den Ladungen +e; A • ist das Volumen V und V- R, ist die gesamte lonenpaar-Zuwachsrate durch die Ionisation im Messvolumen.
Im Bereich hoher Spannungen steigt der Strom wieder an, weil dann Gasverstärkung einsetzt.
10.1.3 Anwendungen im Strahlenschutz
Grundbegriffe des Strahlenschutzes. Auch heute noch werden die alten Begriffe oc-, ß- und "/-Strahlung verwendet.
-	a-Strahlung (oc rays, a-particle radiatiori) besteht aus den oc-Teilchen (2 Protonen, 2 Neutronen), die mit den 4He2+-Ionen identisch sind. Die kinetische Energie dieser von oc-aktiven Radionukliden emittierten Teilchen liegt bei einigen MeV.
-	ß-Strahlung (ß rays, fi-particle radiatiori) besteht aus Elektronen mit Energien bis etwa 1 MeV. Die natürliche ß-Strahlung ist ß -Strahlung. Einige künstlich erzeugten Radionuklide sind ß+-aktiv; sie emittieren Positronen (e+), die dann zusammen mit je einem Elektron der absorbierenden Materie zerstrahlen, wobei Photonen emittiert werden.
622	10 Gasentladungen
-	"/-Strahlung (y radiatiori) besteht aus hochenergetischen Photonen (maximal mehrere MeV); im Bereich kleinerer Photonenenergien (100 keV und weniger) schließt sich die Röntgenstrahlung (X rays) an.
Radionuklide sind oc- oder ß-Strahler (oder beides); bei manchen Radionukliden wird kurzzeitig nach der oc- oder ß-Strahlung auch noch y-Strahlung emittiert.
Die biologische Wirksamkeit (Gefährlichkeit) von Strahlung ist vorwiegend ak-kumulativ. Die entscheidende Größe ist das Dosisäquivalent (dose equivalenty, die dazugehörende Einheit ist das „Sievert“ (Sv).
Das Dosisäquivalent ist gleich dem Produkt von Energiedosis (absorbed dose), gemessen in der Einheit „Gray“ (Gy) und dem Qualitätsfaktor (QF, quality factor) der ein wirkenden Strahlung, akkumuliert über einen spezifizierten Zeitraum (Stunde, Jahr, Lebensalter). Die Energiedosis ist gegeben durch die absorbierte Strahlungsenergie (in Joule), bezogen auf die Masse (in Kilogramm) des absorbierenden Gewebes. Die verschiedenen Strahlungsarten haben unterschiedliche, nur ungenau bekannte Qualitätsfaktoren: QF « 1 für Röntgenstrahlen und y-Strahlung, 1.5 für ß-Strahlen, 20 für oc-Strahlen. Der Begriff „Strahlungswichtungsfaktor“ wäre treffender als „Qualitätsfaktor“, hat sich aber (noch) nicht durchgesetzt.
Das auf ein Zeitintervall bezogene Dosisäquivalent heißt Dosis(äquivalent)leistung (dose equivalent rate) und wird meist in jrSv/h oder mSv/a gemessen. Die natürliche Strahlenbelastung, die örtlich stark schwankt, liegt in Deutschland bei etwa 1 mSv/a (« 0.1 jrSv/h); dazu kommen noch etwa 0.5mS/a an zivilisationsbedingter Strahlenbelastung. Zusammen ergibt das eine Lebensalter-Dosis in der Größenordnung von 100 mSv; diesen Wert sollte man sich merken. Die gesetzlich verordneten Grenzwerte orientieren sich an dieser „normalen“ Strahlenbelastung und an der Auswertung von Strahlenunfällen. Schon wenige Sievert Ganzkörperbestrahlung sind tödlich.
Die zur Strahlenüberwachung eingesetzten Messinstrumente messen im Allgemeinen weder die äquivalente Dosisleistung noch die Energie-Dosisleistung für Gewebe, sondern meist die lonenerzeugungsrate in anderen Substanzen als Gewebe, z. B. in Luft. Über Eichmessungen und Umrechnungen werden diese lonen-Messinstrumen-te kalibriert und erhalten dann eine Dosisleistungsskala in der Einheit jrS/h oder mS/a „für y-Strahlen“ (QF = 1).
Der Sättigungsstrom, wie er in einer Anordnung nach Abb. 10.3 a gemessen werden kann, ist ein Maß für das Produkt von „Strom der einfallenden Teilchen oder Photonen“ und deren „fonisierungsvermögen“. Beispielsweise erzeugt ein ß-Teilchen von 100 keV in Luft von Atmosphärendruck pro Zentimeter Weglänge etwa 140 lonenpaare; oc-Teilchen gleicher Energie ionisieren etwa 100-mal mehr. Die Zahl der im Gasvolumen erzeugten Ionen ist ein Maß für die deponierte Energie; in Luft von Atmosphärendruck sind im Mittel 32.5 eV zur Erzeugung eines Ladungsträger-Paares erforderlich; das ist mehr als die lonisierungsenergie, weil auch Anregungen der Luftmoleküle stattfinden und auf die ausgelösten Elektronen kinetische Energie übertragen wird.
Ionisationskammer ohne Gasverstärkung. Die Ionisationskammer besteht z. B. aus einer zylindrischen Metallkammer mit isolierter Sammelelektrode in der Mitte. Bei Spannungen von einigen 100 V werden alle in der Kammer erzeugten Ladungsträger
10.1 Ladungstransport ohne Gasverstärkung 623
abgesaugt. Der mit einem Gleichstromverstärker gemessene Sättigungsstrom ist ein Maß für die Stärke der einfallenden Strahlung. Um auch schwache Röntgen- und '/-Strahlung erfassen zu können, verwendet man Kammern mit dünnen Metallwänden. Für den Nachweis von a- und ß-Strahlen können entsprechend dünne (aber auch fragile) Fenster eingebaut werden.
Jede Kammer muss geeicht werden. Als Richtwert sei erwähnt, dass für Röntgen-und '/-Strahlung mit einer Dosisleistung von 1 Sv/h in 1 cm3 Luft von Atmosphärendruck ein Sättigungsstrom von 1.25 pA erzeugt wird. Geht man davon aus, dass 50 pA ein mit modernen Verstärkern noch gut messbarer Gleichstrom ist und dass 0.4 Liter Kammervolumen noch nicht zu groß ist, dann hat eine handliche Ionisationskammer ohne Gasverstärkung im empfindlichsten Messbereich einen Vollausschlag von 100 mSv/h. Das ist eine sehr hohe Dosisleistung, der strahlungsüberwachte Personen nur in Ausnahmefällen für Minuten ausgesetzt werden dürfen. Für die allgemeine Strahlungsüberwachung werden wesentlich empfindlichere Instrumente benötigt, z. B. Ionisationskammern mit Gasverstärkung, beschrieben in Abschn. 10.2.2.
Historisch waren Ionisationskammern in Verbindung mit empfindlichen Galvanometern die allerersten Strahlenschutz-Messinstrumente; vorher orientierte man sich an der durch Strahlung verursachten Rötung der Haut!
Kondensatorkammer. Statt den Strom der ständig produzierten Ionen zu messen, kann man mit dem Strom einen Kondensator entladen und dessen Spannnungsabfall verfolgen. So funktioniert die Kondensatorkammer zur Messung der Tages- und Wochendosis mit einem Skalenbereich von 2 mSv. Taschendosimeter haben die Form von Füllfederhaltern. Weil a- und ß-Strahlen in der Wand absorbiert werden, sprechen sie nur auf Röntgen- und y-Strahlung an. In einem eingebauten Mikroskop (Abb. 10.4: Nr. 1 Okular, 2 - Objektiv, 3 - Skala) mit etwa 75facher Vergrößerung ist gegen eine Lampe oder Tageslicht ein Fadenzeiger (5) über einer Skala (3) zu sehen, der mit einem Zusatzgerät über den in einem transparenten Isolator (6) gehaltenen Ladestift (8) „auf null gestellt“ wird. Dieses Nullstellen ist in Wirklichkeit die Aufladung eines eingebauten Kondensators (7) auf ca. 200 V, und der Zeiger ist ein Fadenelektrometer (5), das die allmähliche Entladung des Kondensators durch die in der Ionisationskammer (4) erzeugten Ionen anzeigt.
Da sich das geladene Taschendosimeter auch ohne Bestrahlung langsam entlädt, sollte es jede Woche abgelesen und neu aufgeladen (auf null gestellt) werden. Damit
1	3
2	4 5
6	8
Abb. 10.4 Querschnitt durch ein selbstablesbares Taschendosimeter (vereinfacht). Blickrichtung zur Ablesung von links nach rechts, Lichteinfall von rechts (Bendix Corp.).
624	10 Gasentladungen
auch Personendosen erfasst werden können, die größer sind als zur völligen Entladung der Kondensatorkammer erforderlich ist, müssen strahlungsüberwachte Personen zusätzlich Filmdosimeter tragen.
10.1.4 Ionen als Kondensationskeime
Für die Beweglichkeit der Ionen im Gas ist ihr Durchmesser maßgebend. Nach Messungen der Wanderungsgeschwindigkeit und der Theorie der Stokes’schen Reibung können die effektiven lonendurchmesser 3- bis 5-mal größer als der Moleküldurchmesser sein. Im Coulombfeld des Ions werden neutrale Moleküle mit permanentem oder induziertem Dipolmoment angezogen und angelagert. Besonders leicht ist die Anlagerung von Wassermolekülen, die ein sehr großes permanentes Dipolmoment besitzen. Diese kondensationsfördernde Eigenschaft der Ionen zeigt folgender Versuch (Abb. 10.5): Ein Glasballon mit Hähnen, von denen der eine mit einer Säugpumpe, der andere über einen vorgelagerten Watte-Pfropfen mit der Zimmerluft in Verbindung steht, enthält eine Platinspirale, die elektrisch zum Glühen gebracht werden kann. Der Ballon enthält etwas Wasser, sodass die darin enthaltene Luft mit Wasserdampf gesättigt ist. Öffnet man für kurze Zeit den Hahn zur Säugpumpe, sodass die Luft im Ballon rasch, d. h. adiabatisch ausgedehnt wird, so tritt eine Abkühlung ein, und es findet eine Kondensation des Wasserdampfes an vorhandenen Trägern (Staubteilchen, Rauch usw.) statt, die als Nebelbildung deutlich erkennbar ist. Lässt man den Nebel sich absetzen, sodass dadurch die Träger aus dem Gasvolumen verschwinden, und wiederholt den Versuch mehrere Male, so tritt schließlich infolge des Fehlens von „Kondensationskernen“ keine Nebelbildung mehr ein; denn der Wattepfropf in dem zweiten Rohransatz verhindert, dass mit der einströmenden Luft neue Träger in das Innere des Glasballons einströmen. Lässt man aber durch kurzzeitiges Aufglühen der Drahtspirale Ionen entstehen, so erhält man nach erneuter Expansion wieder eine dichte Nebelbildung, da jetzt die Ionen die Kondensationskerne zur Anlagerung der Wassermoleküle bilden.
Abb. 10.5 Versuch zum Nachweis der kondensationsbildenden Eigenschaft von Ionen.
Hinter Flugzeugen in großer Höhe sieht man oft weiße Kondensationsstreifen, die sich nach einiger Zeit wieder auflösen. Die Flugzeugtriebwerke hinterlassen Kondensationskerne, an denen übersättigter Wasserdampf kondensiert.
Eine sehr wichtige Anwendung hat der lonennachweis durch Nebelbildung in der Wilson’schen Nebelkammer gefunden (C.T.R. Wilson, 1911; Nobelpreis 1927). Das Bau-Prinzip zeigt Abb. 10.6a: In einem Metallzylinder Z, dessen obere Öffnung
626	10 Gasentladungen
10.2	Ladungstransport mit Gasverstärkung
10.2.1 Townsend-Lawinen
J.S.Townsend hat in den ersten Jahren dieses Jahrhunderts umfangreiche quantitative Messungen zum Ladungstransport in Gasen durchgeführt und die Lawinenbildung (avalanche formatiori) weitgehend aufgeklärt.
Wenn man in einer Ionisationskammer die Spannung (das elektrische Feld) über den Sättigungsbereich von Abb. 10.3b hinaus erhöht, dann steigt der Strom rapide an. Die Voraussetzung dafür ist, dass einige der freien Elektronen zwischen den Stößen mit Gasmolekülen bis zur lonisationsenergie beschleunigt werden. Dann kommt es in einer Kettenreaktion (chain reactiori) zur Lawinenbildung mit einem exponentiellen Anstieg der Elektronenzahl Ne entlang der Flugrichtung x im elektrischen Feld:
Ae(x) = Ae(0) exp(jßx).	(10.8)
Der längenspezifische Stoßionisierungskoeffizient ß beschreibt die Stoßionisierungs-Wahrscheinlichkeit pro Weglänge; 1/ß hat die Bedeutung der mittleren Weglänge der Elektronen bis zur Stoßionisierung.
Ionen werden im elektrischen Feld ebenfalls beschleunigt, erreichen aber dabei nur Geschwindigkeiten, die um den Massen-Faktor (mjmioa)1/2 kleiner als die der Elektronen sind. Deswegen können sie im Stoß mit Atomelektronen auf diese nicht die Energie übertragen, die zur Stoßionisation notwendig wäre (vgl. Mechanik der Stoßprozesse, Bd. 1).
Da die Driftgeschwindigkeit der Elektronen viel größer ist als die der positiven Ionen, besitzt eine Townsend-Lawine die in Abb. 10.7 gezeigte typische Tropfenform. Die neu entstehenden Elektronen fliegen zusammen mit den schon vorher entstandenen zur Anode und lassen dabei eine ständig dichter werdende Spur positiver Ionen hinter sich zurück.
Der Gasverstärkungsfaktor (muliplier, gas gairi) M ergibt sich nach Gl. (10.8) aus Ne(x)/Ne(0), wenn man für x den mittleren Abstand vom Ort der Primärionisation bis zur Anode einsetzt. Das Lawinenwachstum wird begrenzt, wenn das elektrische Feld, das die Raumladungen der Lawine erzeugen, groß genug wird, um das angelegte Feld zu kompensieren. Diese Grenze liegt unterhalb von M — 108, also bei weniger als 20 „Lawinengenerationen“ ß  x.
Alle durch Stoßionisation im Gas erzeugten sekundären Elektronen entstehen im Raum zwischen dem lawinenauslösenden Primärelektron und der Anode. Sobald die Elektronen im Kopf der Townsend-Lawine (Abb. 10.7) die Anode erreicht haben, ist die Lawinenbildung zu Ende, nur die positiven Ionen müssen noch zur Kathode wandern.
Was weiter geschieht, hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der die in der ersten Townsend-Lawine stattfindenden Prozesse eine nächste auslösen können. Setzt man diese Wahrscheinlichkeit gleich y • M, dann lässt sich die Zündbedingung für eine selbständige Entladung (condition for breakdowri) mit
y-M>l	(10.9)
beschreiben; y wird Townsend-Koefflzient genannt.
10.2 Ladungstransport mit Gasverstärkung 627
Anode
Abb. 10.7 Form einer Townsend-Lawine: Die langsamen positiven Ionen sind noch nahe dem Ort ihrer Entstehung, die schnellen Elektronen befinden sich alle zusammen am vorderen (stumpfen) Ende des Tropfens.
Für die ««selbständige Gasentladung mit Gasverstärkung soll Gl. (10.9) gerade nicht erfüllt sein. Gewünscht ist ein großer .17-Wert, aber außerdem ein umso kleinerer y-Wert, damit y • M < 1 gültig bleibt.
Neben der Elektronenstoß-Ionisation des Gases gibt es noch weitere Prozesse, die die Lawinenbildung und insbesondere die Werte für M und 7 wesentlich mit-bestimmen. Wichtig für große M-Werte ist die Vermeidung von negativen Ionen, weil dadurch die freien Elektronen dezimiert werden. Zur Erzielung einer hohen Gasverstärkung, darf das Gas keine elektronegativen Anteile enthalten. Elektronegativ ist auch der Sauerstoff der Luft.
Gamma-Prozesse. Die folgenden zwei „7-Prozesse“, benannt nach dem Townsend-Koeffizienten 7, sorgen für nachfolgende Lawinen (Gl. (10.9)) und müssen unterdrückt werden, wenn man keine selbständige Entladung haben will.
1.	Auslösung von Photoelektronen aus der Kathode. Wenn die Elektronenstoß-Anregung von Atomen (wie Ar) zur Emission von Fluoreszenz-Photonen führt, deren Energien größer als die Kathodenaustrittsarbeit sind, dann können an der Kathode Photoelektronen ausgelöst werden, die nachfolgende Lawinen in Gang setzen. Um diese Photonen zu beseitigen, werden polyatomare Gase (quenchers) zugesetzt (CH4, CH3COOH, BF3 ...), die die Photonen absorbieren und deren Energie über Dissoziation oder Stoßabregung dissipieren.
2.	Sekundärelektronen-Emission an der Kathode durch Auftreffen positiver Ionen. Auch bei einer kleinen kinetischen Energie des auftreffenden Ions kann bei der Neutralisierung auch ein freies Elektron ausgelöst werden, wenn das Ion eine lonisationsenergie besitzt, die mehr als doppelt so groß ist wie die Kathoden-Austrittsarbeit. Um das zu verhindern, verwendet man Gaszusätze, deren lonisationsenergie niedriger ist und die in Ladungstransfer-Stößen mit den Ionen hoher lonisationsenergie deren Ladung übernehmen, bevor jene die Kathode erreichen.
628
10 Gasentladungen
Sekundärelektronen-Emission mithilfe der kinetischen Energie der auftreffenden Ionen ist im Prinzip möglich, wird aber erst bei hohen lonenenergien merklich, wenn die lonengeschwindigkeit vergleichbar wird mit der Geschwindigkeit, die die Elektronen zum Verlassen des Metalls benötigen.
Townsend-Entladung. Eine durch viele voneinander unabhängige Townsend-Lawi-nen zustande kommende unselbständige Entladung wird auch „stille Entladung“ (dark discharge) genannt, weil sie sich nicht wie Funken oder Blitze akustisch und optisch bemerkbar macht.
10.2.2 Ionisationskammern mit Gasverstärkung
Das Sättigungsgebiet einer Ionisationskammer ohne Gasverstärkung liegt bei Spannungen von typischerweise einigen 100 V. Erhöht man die angelegte Spannung so weit (auf einige keV), dass in der Kammer sekundäre Stoßionisation einsetzen kann, dann steigt der Kammerstrom durch die Gasverstärkung exponentiell an.
Bei Kammern mit Gasverstärkung ist die Wahl des Gases viel wichtiger als bei Kammern ohne Gasverstärkung. Luft ist ungünstig wegen der Bildung negativer Sauerstoffionen, wodurch die Zahl der freien Elektronen verringert wird. Gern wird Argon benutzt, weil es einen großen Stoßionisierungskoeffizienten hat und billig ist. Mit reinem Argon lassen sich aber höchstens M-Werte von 103 bis 104 erreichen; bei höheren Werten tritt Zündung (Durchschlag, breakdowri) auf, weil die 1. Anregungsenergie des Ar (ll.öeV) und die lonisierungsenergie (15.8eV) relativ groß sind und dadurch y-Prozesse begünstigt werden: Die von den angeregten Ar-Atomen emittierten Fluoreszenzphotonen sind so energiereich, dass sie an der Kathode leicht Photoelektronen auslösen können, und die bei der Neutralisierung des Ar+ an der Kathode freiwerdende lonisierungsenergie ist größer als die doppelte Austrittsarbeit und kann deshalb zur Sekundärelektronenemission führen. Beide y-Prozesse müssen durch Gaszusätze unterdrückt werden. Das Füllgas „P10“ besteht aus 90% Argon und 10% Methan. Damit werden M-Werte bis 106 erreicht.
Dünnwandige Kammern sprechen auf Röntgen- und "/-Photonen mit Energien ab etwa 8keV und auf ß-Strahlen ab 160 keV an. Ist bei einer typischen Ionisationskammer ohne Gasverstärkung (Abschn. 10.1.3) der empfindlichste Messbereich z. B. lOOmSv/h (Vollausschlag), so wird er 1 jrSv/h (Vollausschlag), wenn der Verstärkungsfaktor M — 105 beträgt. Das ist hinreichend empfindlich, um den natürlichen Strahlungsuntergrund («0.1 jrSv/h) zu erfassen.
10.2.3 Proportionalzähler, Drahtkammern
Der Proportionalzähler (proportional coimter) ist eine Ionisationskammer mit Gasverstärkung im Pulsbetrieb zum Nachweis einzelner ionisierender Teilchen, die von außen in die Kammer (das Zählrohr) gelangen. Die Proportionalität von Pulshöhe und Primärionisation wird ausgenutzt, um die Primärteilchen nach ihrem lonisie-rungsvermögen zu unterscheiden und insbesondere oc- und ß-Teilchen getrennt nachzuweisen.
10.2 Ladungstransport mit Gasverstärkung 629
Abb. 10.8 Prinzipieller Aufbau eines einfachen Proportionalzählers.
Bei zylindrischer Bauform (Abb. 10.8) ist die Feldstärke am größten in der Nähe des Mitteldrahtes. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für Stoßionisation nimmt zur Mitte hin stark zu. Der Draht ist als Anode geschaltet, damit alle im Kammervolumen vom einfallenden Teilchen erzeugten Elektronen in den Bereich hoher Feldstärke hineingezogen werden.
Die Anode ist mit der positiven Hochspannung und über einen Koppelkondensator mit der Pulselektronik verbunden. Ein dünnes Endfenster aus Nylon oder Mylar mit einer Massenbelegung von etwa 0.3 mg/cm2 erlaubt den Eintritt von oc-und ß-Teilchen.
Der Proportionalzähler arbeitet mit einer Spannung im Gasverstärkungsbereich (Abb. 10.9). Beispielhaft sind die Primärionen-Zahlen 7Va und 7Vp für je ein typisches
Spannung
Abb. 10.9 Zahl der lonenpaare als Funktion der Spannung eines Proportionalzählers für ein a- und ein ß-Teilchen. Der horizontale Kurventeil entspricht den von den Primärteilchen erzeugten lonenpaaren.
630
10 Gasentladungen
oc- und ß-Teilchen eingetragen. Die Zahl der erfassten Ionen bestimmt die Pulshöhe. Bei jeder Spannung im Proportionalbereich liegen die zu ß-Teilchen gehörenden Pulshöhen immer deutlich unter denen für a-Teilchen. Man braucht also nur in die Nachweiselektronik eine Pulshöhenschwelle einzubauen (in Abb. 10.9 bei 105 lonen-paaren), die bewirkt, dass zwischen den Betriebsspannungen U1 und U2 nur a-Teil-chen-Pulse registriert werden, oberhalb der Betriebsspannung U2 jedoch oc- und ß-Teilchen (Abb. 10.9). Sobald alle Teilchen einer Sorte Pulse erzeugen, die über der Schwelle liegen, steigt die Zählrate mit zunehmender Spannung nicht weiter an.
Ein wichtiger Anwendungsbereich des Proportionalzählers bei der Strahlungsüberwachung ist die Kontaminationskontrolle. Da es a- wie auch ß-Strahler gibt, die keine y-Strahlen aussenden, muss ein Detektor zum Nachweis von a- und ß-Teilchen mit sehr dünnen Fenstern ausgestattet sein. Weil bei dünnen Fenstern kleine Löcher nicht zu vermeiden sind, werden solche Zähler mit Gasdurchfluss bei Atmosphärendruck betrieben, z. B. mit einer Butan-Propan-Mischung. Die mit dem Proportionalzähler mögliche Unterscheidung von a- und ß-Teilchen ist sehr wichtig wegen der viel größeren biologischen Wirksamkeit der oc-Strahlen (Qualitätsfaktor QF x 20 für oc, x 1.5 für ß).
Aktivitätsmessungen. Neben Dosisleistungsmessungen zur Überwachung von Personen und Arbeitsbereichen und den oben erwähnten Kontaminationskontrollen im Labor gehören zum Strahlenschutz auch Messungen zur radioaktiven Verseuchung von Lebensmitteln und Bodenflächen. Die zulässigen Grenzwerte für Lebensmittel werden in der Regel als massenspezifische Aktivitäten in Einheiten von Bq/kg, für Bodenflächen in Bq/m2 angegeben. Die Einheit „Becquerel“ (Bq) entspricht einem radioaktiven Zerfall pro Sekunde. Aus der Zählrate eines Proportionalzählers oder Geiger-Zählers (Absch. 10.3.2) können diese Größen bestimmt werden, wenn der vom Zähler erfasste Raumwinkel der Warenprobe (bzw. die erfasste Bodenfläche), seine Ansprechwahrscheinlichkeit für die vorliegende Strahlungsart und die Selbstabsorption in der Probe bekannt sind.
Drahtfunkenkammer. Wie beim vorher besprochenen Proportionalzähler wird auch hier die hohe Gasverstärkung ausgenutzt. Aber hier geht es nicht um die Identifikation der Art des einfallenden Teilchens, sondern um die Lokalisation der Teilchenspur. Die englische Bezeichnung multiwire proportional chamber (MWPC) ist noch aussagekräftiger als „Drahtfunkenkammer“. Es handelt sich um eine Anordnung von vielen, dicht beieinander in einer Ebene liegenden Anodendrähten mit gegenüberliegenden Kathodenflächen, alles in einer gasgefüllten Kammer, wobei jeder Draht wie ein unabhängiger Proportionalzähler arbeitet. Mit übereinander liegenden, gekreuzten Drahtebenen lässt sich so ein großes Stück der Teilchenbahn erfassen.
Abb. 10.10 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Drahtfunkenkammer. Die Anodendrähte, z. B. W-Drähte mit 20-40 jim Durchmesser, sind mit Abständen von 1-10 mm in einem Fieberglasrahmen eingespannt und außen mit der Elektronik verbunden. Die Drahtebenen werden abwechselnd mit Kathodenebenen übereinandergeschichtet und die Rahmen abgedichtet. Die Kathoden bestehen aus dünnen Metallfolien oder Metallnetzen. Mit Mylarfolien wird die Kammer abgeschlosssen. Die Anforderungen an das Gas sind ganz ähnlich wie bei den Proportionalzählern.
10.3 Selbständige Entladungen 631
Abb. 10.10 (a) Drahtfunkenkammer-Ebene senkrecht zur Bahn des einfallenden Teilchens (schematisch), (b) Feld- und Äquipotentiallinien zwischen Anodendrähten und Kathodenplat-ten, schematisch (nach G. Charpak).
Ein viel verwendetes „magisches Gas“ besteht aus 75% Argon, 24.5% Isobutan und 0.5% Freon CCl3Br.
Die Standard-Auslesemethode besteht darin, jeden Anodendraht in der Kammer als einen unabhängigen Detektor zu behandeln und ihm einen eigenen elektronischen Kanal zuzuordnen. Es gibt aber auch elektronisch raffiniertere Auslesemethoden, die die Information über die Lokalisierung der Entladung längs des Anodendrahtes mit erfassen können.
Seit der ersten Drahtfunkenkammer von 1968, für die Georges Charpak den Nobelpreis 1992 erhielt, hat sich dieser Hochenergie-Teilchendetektor stürmisch weiterentwickelt. Heute gibt es gigantische Kammern mit Ausdehnungen von mehreren Quadratmetern Fläche für Teilchenspuren von einigen Metern Länge. Ermöglicht wurde diese Entwicklung durch die Fortschritte in der Elektronik und der Computertechnik, die es erlauben, 105 Kanäle hinreichend schnell auszulesen und auszuwerten.
10.3	Selbständige Entladungen
10.3.1 Zündbedingung
Die Zündung einer Gasentladung (yoltage breakdowri) tritt ein, wenn die Bedingung yM>l	(10.10)
erfüllt wird; M ist der Gasverstärkungsfaktor. Der Townsend-Koeffizient 7 beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein betrachtetes Elektron über 7-Prozesse eine nachfolgende Lawine (avalanche) auslöst. Da an den Townsend-Lawinen endlich viele Teilchen beteiligt sind, gibt es statistische Fluktuationen; die Größen M und 7 sind deshalb als Mittelwerte zu verstehen.
632	10 Gasentladungen
Wenn die Bedingung von Gl. (10.10) längere Zeit erfüllt wäre, würde der Strom über alle Grenzen wachsen und irgendwelche Zerstörungen hervorrufen. Also muss die Entladung bald nach der Zündung wieder „gelöscht“ werden (quenching), oder es muss sich irgendwie ein stationärer Zustand mit yM=l einstellen. Wie groß dann der stationäre Entladungsstrom ist, hängt davon ab, wie viele parallel laufende Lawinen sich unter den gegebenen Versuchsbedingungen überlagern.
Der elektrische Durchbruch des Isolators „Gas“ tritt nicht immer unmittelbar nach Erfüllung der Zündbedingung (Gl. (10.10)) auf, sondern erst dann, wenn ein primärer lonisationsakt eine Townsend-Lawine auslöst. Die Verzögerungszeit, bedingt durch das Warten auf die erste Primärionisation, kann in der Größenordnung von 10 ms liegen.
Für ein vorgegebenes Gas ist die Durchbruchspannung UD (breakdown voltage) nur eine Funktion vom Produkt p  d, wobei p der Gasdruck und d der Elektrodenabstand ist (Abb. 10.11). Diese von F. Paschen (1889) gefundene Beziehung ist zu verstehen, wenn man bedenkt, dass für die Elektronenstoß-Ionisation der Gasatome (Ausbildung einer Townsend-Lawine) entscheidend ist, ob die Elektronen im Feld auf der Weglänge zwischen zwei Stößen auf die zur Ionisation notwendige Energie beschleunigt werden. Die im Feld aufgenommene Energie ist das Produkt von Weglänge und Feldstärke. Da die mittlere freie Weglänge zum Kehrwert des Druckes und die Feldstärke (bei gegebener Spannung) zum Kehrwert des Elektrodenabstandes proportional sind, ergibt sich daraus die Abhängigkeit vom Produkt p • d, je kleiner dieses Produkt ist, desto größer wird (bei konstanter Spannung) die im Feld aufgenommene Energie, oder - anders formuliert - desto kleiner ist (bei konstantem Elektrodenabstand) die zum Durchbruch erforderliche Spannung. Die Abnahme der Durchbruchspannung mit p  d gilt solange, wie die freie Weglänge kleiner als d ist. Für den Bereich links vom Minimum gelten andere Überlegungen: Die Lawinenbildung wird behindert, weil nun viele Elektronen ohne Stöße mit Gasatomen die Anode erreichen können. Um diesen Verlust auszugleichen, muss die Spannung erhöht werden; dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit für die Sekundärelektronenemission beim Aufprall der positiven Ionen auf der Kathode.
Abb. 10.11 Die Paschen-Kurve für die Durchbruchspannung als Funktion des Produktes von Druck p und Elektrodenabstand d für Luft zwischen parallelen Platten.
10.3 Selbständige Entladungen 633
10.3.2 Zünden und Löschen im Geiger-Zähler
Im Unterschied zum Proportionalzähler, bei dem nur die Gasverstärkung der primären Ionisation ausgenutzt wird, besteht jeder Teilchennachweis mit dem Geiger-Zähler im Auslösen einer selbständigen Entladung; erst wenn die Entladung gelöscht ist, kann der Zähler erneut auf ein Teilchen ansprechen. Deshalb spricht man auch vom Auslöse-Zählrohr (breakdown coimter).
Der erste Detektor dieser Art war der Spitzenzähler von H. Geiger (1913), dessen durch Teilchen verursachte Spannungspulse als Zuckungen eines Elektrometerfadens gesehen oder (über Röhrenverstärker) als Knacken im Lautsprecher gehört werden konnten. H. Geiger und W. Müller entwickelten daraus 1928 den Geiger-Müller-Zähler (GM-Zähler, Geiger-Zähler, Geiger-Müller coimter), der wegen seiner Einfachheit in Aufbau und Betrieb auch heute noch viel verwendet wird.
Abb. 10.12 Geiger-Müller-Zählrohre: (a) Zylinderrohr mit Draht-Anode zum Nachweis von y-Strahlung, Schaltung; (b) Endfensterrohr, auch zum Nachweis von (a- und) ß-Strahlen geeignet.
Der Geiger-Zähler hat meist zylindrische Bauform. In der Achse eines Metallrohres ist ein dünner Draht von etwa 0.2 mm Durchmesser ausgespannt (Abb. 10.12a). Der Draht ist mit dem positiven, das Metallrohr mit dem negativen Pol der Gleichspannung verbunden. Man erdet das Zylinderrohr und legt den Anodendraht auf positive Hochspannung; das Signal wird über einen Kondensator ausgekoppelt und über einen Verstärker dem elektronischen Zähler zugeführt.
Gammastrahlung kann durch die Rohrwand hindurchdringen. Zum Nachweis von ß-Strahlen und weicher Röntgenstrahlung dienen Zähler mit Fenster, z. B. aus dünner Aluminiumfolie (Abb. 10.12b). Photonen der y- und Röntgen-Strahlung werden mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit von nur einigen Prozent dadurch nachgewiesen, dass sie an der Kathode ein Photoelektron auslösen.
Zur leichten Zündung muss das Füllgas des Geiger-Zählers folgenden Anforderungen genügen:
-	Der Füllgasdruck im Zählrohr soll kleiner als der Atmosphärendruck sein, damit die Zündspannung möglichst niedrig ist.
-	Das Füllgas darf keine elektronegativen Anteile enthalten, die zur Bildung negativer Ionen führen könnten, damit die Bildung der Townsend-Lawine nicht behindert wird.
634	10 Gasentladungen
-	Die Fluoreszenzphotonen müssen genügend Energie haben, um Photoelektronen an der Kathode auslösen zu können und dürfen nicht im Gas absorbiert werden, weil sich die Entladung schnell auf das gesamte Zählrohrvolumen ausbreiten soll.
Als Zählgas für Geiger-Zähler werden Edelgase, vor allem Argon, bevorzugt.
Damit viele Teilchen nacheinander gemessen werden können, muss die Entladung nach möglichst kurzer Zeit „gelöscht“ werden. Nachdem sich die Entladung mithilfe der Photonen über das ganze Zählrohrvolumen ausgebreitet hat und schon viele Elektronen am Anodendraht abgeflossen sind, sorgt die nahezu stationäre Raumladung der vielen positiven Ionen in Anodennähe dafür, dass die Feldstärke nicht mehr zur Lawinenbildung ausreicht. Das ist aber noch keine endgültige Löschung der Entladung, weil die positiven Ionen, wenn sie nach ihrer Wanderung die Kathode erreichen, Sekundärelektronen auslösen können. Das muss verhindert werden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Betriebsspannung hinreichend lange abzusenken, z. B. durch einen Widerstand R zwischen Anode und Spannungsquelle, an dem der Zählrohrpuls einen hinreichend großen Spannungsabfall hervorruft und der zusammen mit der Kapazität C zwischen Anode und Erde für die Wiederaufladung die Zeitkonstante RC ergibt. Nachteilig ist bei dieser Vorgehensweise die lange „Totzeit“ des Zählers, die bei einigen Millisekunden liegt.
Günstiger ist der Zusatz eines Löschgases (quenching gas) mit niedrigerer loni-sationsenergie; die Zählgasionen geben auf dem Weg zur Kathode ihre Ladung durch Ladungstransferstöße an die Löschgas-Moleküle ab. Die Kathode erreichen dann nur noch Löschgasionen, deren lonisationsenergie geringer ist als zweimal die Austrittsarbeit. Somit kann durch die bei der Neutralisation freiwerdende Überschussenergie kein weiteres Elektron ausgelöst werden. Allerdings kann die Überschussenergie zur Zersetzung des Löschgasmoleküls führen, wodurch die Lebensdauer des Zählrohrs auf 109 bis IO10 Pulse beschränkt wird. Geeignete Löschgase sind organische Dämpfe (Ethylalkohol) und Halogene (Chlor).
Die Betriebsspannung des Geiger-Zählers (meist einige 100 V) muss hinreichend hoch sein, um die Zündbedingung zu erfüllen. Für darüberliegende Spannungen ist die Zählrate nur von der Einstrahlung abhängig („Spannungsplateau“). Bei noch höheren Betriebsspannungen besteht die Gefahr einer zerstörenden Dauerentladung.
In vielen Lehrbüchern werden Ionisationskammer, Proportionalzähler und Geiger-Zähler anhand eines einzigen Strom-Spannungsdiagrammes erklärt, als ob ein Proportionalzähler bei hinreichend hoher Betriebsspannung wie ein Geiger-Zähler arbeiten würde. Das ist in der Realität ganz anders! Da ein Proportionalzähler kein Löschgas enthält, wird er bei Spannungserhöhung wahrscheinlich zerstört werden. Außerdem liegt die Spannung eines Geiger-Zählers, weil bei vermindertem Druck betrieben, i. Allg. unter der eines meist bei 1 atm betriebenen Proportionalzählers.
10.3.3 Korona- und Funkenentladungen in Luft
Statt Gasentladungen bei hohem Gasdruck allgemein zu diskutieren, beschränken wir uns hier auf die Behandlung der technisch wichtigen Entladungen in Luft von Atmosphärendruck.
10.3 Selbständige Entladungen 635
Dabei sind zwei Besonderheiten der Luft hervorzuheben:
-	Der Sauerstoff ist ein elektronegatives Gas, das freie Elektronen über die Zweierstoß-Reaktion
e + O2 -> O + O
oder die Dreierstoß-Reaktion mit dem Teilchen X
e + C)2 + X O2 + X
in negative Ionen überführt. Für den Zweierstoß (dissociative attachment) muss das Elektron eine Energie von mindestens 3.6 eV besitzen, weil die Elektronen-Anlagerungsenergie (Elektronegativität, electronegativity) des O von 1.5 eV geringer ist als die Dissoziationsenergie des O2 von 5.1 eV. Beim weniger wahrscheinlichen Dreierstoß (three-particle collisiori) wird das Molekül nicht ionisiert; es gibt also keine Energieschwelle. Die freiwerdende Anlagerungsenergie (Elektronegativität) wird zuerst auf Freiheitsgrade des gebildeten (O“)* verteilt und muss größtenteils vom dritten Stoßpartner X abgeführt werden, um einer Wiederfreisetzung des Elektrons nach der Reaktion
(O2-)* - f)2 + e
zuvorzukommen.
-	Die Luft ist ein Mischgas mit den Hauptbestandteilen N2 (78 %) und O2 (21 %). Wichtig: Das N2-Molekül besitzt fluoreszierende Zustände, die energetisch über der lonisationsenergie des O2 (12.07 eV) liegen; diese N2-Fluoreszenzphotonen besitzen also genügend Energie für die Photoionisation des O2.
Koronaentladungen (corona discharge). Die so in der Technik bezeichneten Entladungen werden nach der Form der Elektroden auch Spitzenentladungen (point dis-charges), nach der Form der Leuchterscheinungen auch Büschelentladungen (hrush discharges) und als Naturphänomen auch Elmsfeuer (Saint Elmo’s light) genannt.
Elmsfeuer tritt auf, wenn sich infolge elektrisch geladener Wolken ein genügend starkes elektrisches Feld ausbildet. An Dachfirsten, Kirchturmspitzen, Blitzableitern, Spitzen von Schiffsmasten, ja selbst an den Fingern der hochgestreckten Hand (besonders im Hochgebirge) werden diese Leuchterscheinungen beobachtet. An Hochspannungsleitungen verursacht die Koronaentladung unerwünschte Energieverluste. Deshalb benutzt man als Hochspannungsleiter keine gewöhnlichen Drähte, sondern Hohlleitungen mit weniger gekrümmten Oberflächen oder Mehrfachleitungen (vgl. Abb. 4.71).
Bei diesem Phänomen handelt es sich um eine selbständige elektrische Entladung,
-	aufgebaut durch Primärionisation und Gasverstärkung im hohen elektrischen Feld vor einer stark gekrümmten Elektrode,
-	erhalten durch y-Prozesse an der Elektrodenoberfläche oder im Gas,
-	begrenzt durch die Raumladung vor der Elektrode.
Besonders deutlich lassen sich die Erscheinungen studieren, wenn eine Elektrode als die entladungsbestimmende Spitze und die andere als für die Entladung unwesentliche Platte ausgebildet ist. Stellt man in Luft von Atmosphärendruck zwei Elekt-
10.3 Selbständige Entladungen 637
stoßangeregten Gasatome. Die Leuchterscheinung beschränkt sich auf die Umgebung der Spitze, wo die Elektronen zwischen den Stößen noch genügend Energie für Stoßanregungen aufnehmen können. Die Lawinenelektronen (bzw. negative Ionen) werden zur Plattenanode abgesaugt. Die positiven Ionen wandern langsam zur Spitzenkathode und bilden davor eine Raumladung, die das Feld vor der Spitze verringert und so die Koronaentladung auf yM — 1 stabilisiert. Bei positiver Spitze liegt die Plattenkathode, an deren Oberfläche die ' -Prozesse stattfinden, weit weg im Bereich geringerer Feldstärke. Dort ausgelöste Sekundär- und Photoelektronen werden größtenteils zu negativen Ionen gebunden, bevor sie in die Nähe der Spitzenanode gelangen. Bei kleinen Spannungen, die bei negativ gepolten Spitzen schon zu Leuchterscheinungen und „Ausströmen“ von Elektrizität führen, ist bei positiv gepolten Spitzen noch nichts zu beobachten. Die erst bei höheren Spannungen auftretenden andersartigen Leuchterscheinungen beruhen auf einem anderen Entladungsmechanismus: Nicht Elektronen von der weit entfernten Plattenkathode, sondern Photoelektronen von den O2-Molekülen „im Rücken“ der Elektronenlawine, ausgelöst von den hochenergetischen Fluoreszenzphotonen der stoßangeregten N2-Moleküle, sorgen dafür, dass Folgelawinen „von hinten“ nachkommen. Die Raumladung der positiven Ionen, die das Feld in der Spitzenumgebung schwächt, verstärkt das Feld auf der anderen Seite, wodurch die von hinten kommenden Gas-Photo-elektronen nun schon in größerer Entfernung von der Spitze soweit beschleunigt werden, dass Stoßionisation auftritt. Mithilfe der Gas-Photoionisation und der Raumladungsfelder kann sich die Entladung von der positiven Spitze zur negativen Platte hin ausbreiten. Diese Entladungskanäle (streamer) unterliegen statistischer Fluktuation. Daher verläuft die Entladung in Form einzelner abwechselnd auftretender Äste von der Spitze aus, wie es beim positiven Büschellicht erkennbar wird.
Funkenentladungen (spark discharge). Erhöht man die Spannung zwischen zwei Elektroden über den zur Erzeugung der Büschelentladung erforderlichen Wert, so findet bei der Durchbruchspannung UD eine schlagartige Entladung durch die Luft zwischen den Elektroden hindurch statt. Handelt es sich bei der Spannungsquelle um einen aufgeladenen Kondensator (Leidener Flasche) oder einen Gleichspannungsgenerator mit hohem Innenwiderstand (Influenzmaschine, Bandgenerator, Funkeninduktor), dann kommt es nur zur Bildung eines kurzdauernden elektrischen Funkens. Liegen die Elektroden jedoch an einer Spannungsquelle mit kleinem Innenwiderstand, dann kommt es zur Zündung eines Lichtbogens (Abschn. 10.3.6).
Die Abb. 10.14 zeigt die photographische Aufnahme eines elektrischen Funkens auf einer quer dazu schnell bewegten Platte. Man kann deutlich erkennen, dass der Funken stufenweise aus einer Büschelentladung entsteht, die sich in einzelnen Phasen durch Stoßionisationsvorgänge immer weiter ausbildet, bis es schließlich zu einer Überbrückung des Zwischenraumes zwischen den Elektroden kommt. Der Funken ist von einem lauten Knall begleitet; dieser hat seine Ursache darin, dass durch die Joule’sche Wärme des momentan sehr starken Funkenstromes eine heftige Erhitzung und dadurch eine Ausdehnung der Luft längs der Funkenbahn stattfindet, die sich in Form einer als Knall wahrnehmbaren Druckwelle ausgleicht. Beim Funkenüberschlag in Luft treten auch chemische Wirkungen auf. Neben der Bildung von Ozon (O3) aus dem Luftsauerstoff kommt es zur Bildung von Verbindungen von Sauerstoff und Stickstoff (Stickoxide).
10.3 Selbständige Entladungen 639
10.3.4 Gewitter
Blitze (lightning flashes) sind natürliche Funken-Entladungen von einigen Kilometern Länge zwischen elektrisch geladenen Wolken oder zwischen Wolken und Erdboden. Der voll ausgebildete leitende Plasmaschlauch hat etwa 10 — 20 cm Durchmesser. Die Größenordnung der in Blitzen zur Entladung kommenden Spannungen beträgt 109 Volt; die dabei auftretenden Stromstärken lassen sich aus den magnetischen und thermischen Wirkungen auf etwa 20 kA schätzen. Bei einer Blitzdauer von 10 3 s entladen sich also in einem Blitz 20 Coulomb; die dabei umgesetzte Energie beträgt 2  IO10 Joule oder rund 5000kWh.
Das elektrische Feld der Erde. Um die Physik der Gewitter wenigstens qualitativ verstehen zu können, sind auch einige Bemerkungen zum atmosphärischen elektrischen Feld bei schönem Wetter erforderlich: Wenn man bei schönem Wetter, d. h. an einem wolkenlosen Tag die elektrische Feldstärke E oberhalb des Erdbodens misst, dann findet man auf freiem Feld eine Feldstärke von etwa 100 bis 300 V/m. Die Niveauflächen liegen horizontal, die Feldlinien verlaufen also senkrecht zur Erdoberfläche; der Feldstärke-Vektor zeigt nach unten. Die tiefer liegenden Niveauflächen sind also stets negativ gegenüber den höher liegenden. Als Mittel langjähriger Beobachtungen hat man in der Nähe des Erdbodens über Land 135 V/m und über See 126 V/m gemessen. Messungen in einem Freiballon lieferten in 20 km Höhe nur noch 1/100 des am Boden gemessenen Wertes. Abb. 10.15a zeigt den Verlauf der Feldstärke in Abhängigkeit von der Höhe. Wenn irgend ein Gegenstand auf der Erdoberfläche, z. B. ein Baum oder ein Haus, das elektrische Feld stört, dann verlaufen die Äquipotentialflächen, und dementsprechend auch die Feldlinien anders (Abb. 10.15b).
Abb. 10.15 (a) Abnahme der Feldstärke des elektrischen Erdfeldes E mit der Höhe h über dem Boden; (b) Deformation der Äquipotentialflächen der Erde durch Hindernisse.
Messung des elektrischen Potentials in Luft. Um in der Erdatmosphäre das Potential eines Punktes bezüglich Nullpotential zu messen, benutzt man ein Elektrometer in Verbindung mit einer Potentialsonde. Das Elektrometergehäuse wird leitend mit einem Metallstab, den man in den Erdboden gesteckt hat, oder mit einem geerdeten Leiter (z. B. Wasserhahn) verbunden. Der isolierte Pol des Elektrometers wird mit
640
10 Gasentladungen
der Sonde am Messort verbunden. Wichtig ist, dass überschüssige Influenzladungen abgeführt werden, damit diese die Messung nicht verfälschen. Die Tropfsonde ist ein kleines, mit Wasser gefülltes Metallgefäß, aus dem unten Wassertropfen fallen und etwas Ladung mitnehmen, bis schließlich die überschüssige Ladung entfernt ist. Die Flammensonde besteht aus einem gut isolierten Draht, der in einer Kerzenflamme endet. Die aufsteigenden heißen Gase sind elektrisch leitend und entfernen die Influenzladung vom Draht.
Die Aufladung der Erde. Die Erdkugel ist also, wie oben beschrieben wurde, von einem elektrischen Feld umgeben, dessen Äquipotentialflächen - von Störungen unmittelbar an der Erdoberfläche abgesehen - konzentrische Kugelflächen sind. Wenn man die Feldstärke kennt, die in der Nähe der Kugeloberfläche herrscht, dann kann man die Ladung der Kugel ausrechnen. Mit der Oberfläche der Erdkugel von^4 = 5- 1014m2 und einem mittleren Wert der Feldstärke von E — 130V/m erhält man für die Ladung der Erde etwa — 6 • 105 As.
Von außen aus dem Weltraum betrachtet ist die Erde elektrisch neutral. Sie ist dem Sonnenwind (solar wind) ausgesetzt, einem Strom von Elektronen, Protonen und a-Teilchen, der dafür sorgt, dass die Erde insgesamt elektrisch neutral ist. Der negativen Aufladung des Erdkörpers steht eine entsprechende positive Aufladung der oberen Atmosphäre (Ionosphäre) gegenüber. Die leitenden Kugelflächen „Erdboden“ und „Ionosphäre“ bilden einen Kugelkondensator, an dem eine Spannung von 200-250 kV liegt, der Erdboden ist der negative, die Ionosphäre der positive Pol.
Die Luft wird durch kurzwelliges Sonnenlicht, Radioaktivität und kosmische Strahlung ständig ionisiert. Die gebildeten Ladungsträger lagern sich an größere Cluster wie Wassertröpfchen, Staubteilchen, Aerosole, Pollen etc. an und werden vom elektrischen Feld der Atmosphäre in Driftbewegung versetzt. Die vertikale lonenwanderung würde die Aufladungen von Erdkörper und Ionosphäre bald abbauen, wenn es keinen Generator gäbe, der die Erde wieder auflädt. Der elektrische Generator, der die Aufladung von Erdkörper und lonospäre ständig erneuert, ist gegeben durch die globale Gewittertätigkeit! Die ereignet sich vorwiegend in den tropischen Landgebieten. Es finden zu jeder Zeit auf der Erde etwa 2000 Gewitter (thunderstorms) gleichzeitig statt.
1752 sammelte Benjamin Franklin Gewitterelektrizität in einer Leidener Flasche, indem er sie mit einem isolierten, nach oben zu einer Gewitterwolke zeigenden Metallstab verband. Er stellte fest, dass die Wolke bezüglich der Erde negativ aufgeladen ist; später wurde erkannt, dass das für alle Gewitterwolken gilt. Mit dem Blitz zur Erde wird also dem schon negativ geladenen Erdkörper noch mehr negative Ladung zugeführt. Offenbar erfolgt die Ladungstrennung in der Gewitterwolke. Obwohl viele Einzelheiten der Gewitterphysik noch nicht völlig verstanden sind, lässt sich stark vereinfacht sagen, dass die für die Ladungstrennung verantwortlichen Prozesse der Reibungselektrizität (Abschn. 13.1.1) ähnlich sind und dass die thermodynamische „Wettermaschine“, die letztlich durch Sonnenenergie angetrieben wird, auch den elektrischen Generator antreibt.
Die Voraussetzung für das Entstehen eines Gewitters ist das Vorhandensein wenigstens einer Wolke; es gibt keinen „Blitz aus heiterem Himmel“! Meist ist es eine hoch aufgetürmte Haufenwolke. Während bei wolkenlosem Himmel die elektrische Feldstärke in der Nähe des Erdbodens im Mittel 130 V/m beträgt und nach unten
10.3 Selbständige Entladungen 641
gerichtet ist, ändert sich das, wenn sich eine Gewitterwolke nähert. Bei einer Annäherung auf etwa 7 km steigt die elektrische Feldstärke in Bodennähe schon auf 5kV/m und ist nun nach oben gerichtet! Beim Durchzug der Wolke kann der Wert bis auf 200kV/m ansteigen.
Aus größerer Entfernung kann man eine Gewitterwolke an der hohen, pilzartigen Form erkennen. Jeder Flugzeugpilot weiß, dass man eine Gewitterwolke besser umfliegt als dass man versucht, über sie hinweg zu fliegen. Die vertikalen Luftbewegungen in der Wolke sind gewaltig, auch dann, wenn das Gewitter noch nicht begonnen hat. Im Zentrum befindet sich ein schmaler Schlauch von aufsteigender Luft hoher Geschwindigkeit (unten 5 m/s, oben bis zu 40 m/s), während ringsherum die Luft kräftig abwärts strömt. Flugzeugpassagiere erleben beim Flug durch eine Gewitterwolke sowohl ein starkes, plötzliches Fallen, um 100 m und mehr, als auch danach ein kräftiges Steigen, falls der Flug durch das Zentrum erfolgt. Die feuchtwarme Luft, die in dem 8 bis 10 km hohen Schlot emporsteigt, kühlt sich zunehmend ab, und zwar so stark, dass oben die Wassertröpfchen der Wolke zu größeren Graupel- und Hagelkörnern und der Wasserdampf der Luft zu Eiskriställchen geworden sind. Oben fließt der Strom radial auseinander; die Graupel- und Hagelkörner fallen mit dem abwärts gerichteten Luftstrom nach unten, erwärmen sich und sind meist zu dicken Wassertropfen geschmolzen, wenn sie den Erdboden erreicht haben. Der starke gegenläufige Aufwärts- und Abwärtsstrom ist für die Trennung der Ladungen, sowie für die Ansammlung der positiven Ladungen im oberen Teil der Wolke und der negativen im unteren Teil verantwortlich: Die Zahl der Ionen in der Luft steigt mit der Höhe und hat in 10 km Höhe etwa den 30fachen Wert gegenüber dem Wert in der Nähe der Erdoberfläche. Aus der mit Ionen beiderlei Vorzeichens durchsetzten Luft binden die größeren Wassertröpfchen und Eiskriställchen auf dem Weg von oben nach unten in der Gewitterwolke vorzugsweise negative Ladungen und bewirken so eine Ladungstrennung, während der nach oben gehende Luftstrom die positiven Überschussladungen in Richtung der Ionosphäre transportiert.
Man beobachtet leicht, dass ein großer Teil (ca. 80%) der Blitze nicht zwischen einer Wolke und der Erdoberfläche, sondern innerhalb einer Wolke vertikal und
Zeit-------»-
Abb. 10.16 (a) Skizze eines Blitzes; (b) Skizze nach Aufnahmen mit einer „Streak Camera“, deren Film bei geöffnetem Verschluss horizontal bewegt wird, mit nichtlinearer Zeitskala (nach M. A. Uman).
642
10 Gasentladungen
horizontal und auch zwischen zwei Wolken stattfindet. Offensichtlich gibt es hohe elektrische Felder zwischen dem oberen Teil einer Wolke und dem unteren Teil einer benachbarten oder der gleichen Wolke.
Mithilfe ultraschneller Filmaufnahmen hat man gefunden, dass etwa die Hälfte aller Blitze aus zwei oder mehr (bis zu 20) rasch aufeinander folgenden Teilblitzen besteht. Der folgende Blitz benutzt den dann noch vorhandenen leitfähigen Kanal. Die Entwicklung der Entladung hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Funkendurchschlag zwischen einer Spitzenkathode und einer Plattenanode. Die „Leitern“, die von der negativen Wolke ausgehen und die Entladungskanäle stufenweise vorbereiten, ähneln den „Federn“ des negativen Büschellichtes. Wenn eine Leiter dem Erdboden nahekommt, setzt die Hauptentladung von der Erde zur Wolke (return stroke, return Streamer) ein, so wie der Hauptentladungskanal beim Funkendurchschlag immer von der positiven Elektrode ausgeht (Abb. 10.16).
Die Hauptentladung hat die Richtung „vom Boden zur Wolke“, weil die Lumi-nosität so voranschreitet. Es handelt sich aber auch dabei um einen Strom, der -genauso wie die vorangegangenen Entladungen „von der Wolke zur Erde“ - negative Ladungen zur Erde transportiert. In beiden Fällen sind hohe lokale Feldstärken die Voraussetzung für lawinenförmige Elektronen-Stoßionisation. Von der Wolke zur Erde werden die Elektronen, die die Ionisation für den Entladungsschlauch erzeugen, von der dahinterstehenden negativen Raumladung „zur Erde geschoben“; von der Erde zur Wolke sind es aufwärtsstrebende positive Ladungen, die die frisch erzeugten freien Elektronen in sich hineinziehen und mit ihrer Raumladung die Stoßionisationszone weiter in Richtung Wolke verschieben.
Blitzschutz für Freileitungen. Die elektrischen Freileitungen haben über den stromführenden Metallseilen eine geerdete Leitung (Erdseil). Diese ist nicht nur der Nullleiter, sondern sie dient zugleich als Blitzschutz. Wenn sich eine Gewitterwolke über den Freileitungen befindet, dann ist die elektrische Feldstärke unterhalb der geerdeten Leitung wesentlich herabgesetzt, weil die Feldlinien von der negativen Ladung der Wolke überwiegend zum höher gelegenen Erdseil verlaufen.
Wenn in einer stromführenden Leitung (auch Telephonleitung) durch einen Blitz oder einen Starkstrom-Schaltvorgang kurzzeitig eine gefährliche Überspannung (overvoltage) entstanden ist, die sich in Form einer Wanderwelle (travelling wave, voltage surge) im Leitungsnetz fortpflanzen kann, dann muss diese Spannungsspitze möglichst sofort vernichtet werden. Anderenfalls können Transformatoren und elektrische Geräte, vor allem sehr empfindliche elektronische Geräte, großen Schaden erleiden. Schon Werner Siemens baute um 1850 zur Verhütung größerer Schäden Funkenstrecken zwischen spannungsführenden und geerdeten Leitungen als Überspannungsableiter ein.
Bei Starkstromanlagen tritt die Schwierigkeit auf, dass der im Überspannungsableiter gezündete Funken in einen Lichtbogen übergeht, durch den nicht nur viel elektrische Energie zur Erde abfließt, sondern der wegen der Wärmeentwicklung auch eine Brandgefahr darstellt. Durch Benutzung eines Hörnerblitzableiters (Abb. 10.17, horn lightning arrester) lässt sich die Bildung eines dauernd brennenden Lichtbogens vermeiden. Dieser Blitzableiter besteht aus zwei hörnerartig geformten Kupferbügeln, von denen der eine mit der Starkstromleitung, der andere mit der Erde verbunden ist. Wenn nun an dem unteren Ende der Bügel auf der geringsten
644	10 Gasentladungen
Abb. 10.18 Der Aufbau der Blitzschutzanlage eines Wohnhauses (nach VDE, Ausschuss Blitzschutz und Blitzforschung).
gen aus dem Energienetz als auch bei Potentialanhebung infolge eines nahen Blitzschlages ansprechen.
Die klassischen Ventilableiter bestehen aus Reihenschaltungen von Funkenstrecken, die unterhalb der Zündspannung gute Isolatoren sind, und spannungsabhängigen Widerständen (Varistoren) aus Metalloxiden, vorzugsweise ZnO.Das Oxid wird mit einem keramischen Binder zu Scheiben oder Stäben gepresst, bei hoher Temperatur gesintert und dann mit metallischen Kontaktflächen versehen. Die Spannungsabhängigkeit beruht auf einem veränderlichen Kontaktwiderstand zwischen den einzelnen Kristallen des Materials. Bei Normalspannung ist der Widerstand sehr hoch. Übersteigt aber die Spannung einen mit dem Varistor-Typ wählbaren Wert, dann sinkt der Widerstand stark ab.
Im inneren Blitzschutz kommen auch Ventile mit Parallelschaltung von Funkenstrecke und Varistor zum Einsatz: Der Varistor begrenzt die relativ häufig auftretenden Überspannungen infolge ferner Blitzeinschläge, die durch das Energienetz übertragen werden; die Funkenstrecke spricht bei direktem Blitzeinschlag an und überbrückt den Varistor, da anderenfalls der abfließende große Strom einen zu hohen Spannungsabfall am Varistor hervorrufen würde. Durch nachgeschaltete, über Leitungsinduktivitäten entkoppelte Varistoren können die Überspannungen noch weiter reduziert werden.
10.3 Selbständige Entladungen 645
Blitzschutz für Personen. Nicht jeder direkte Blitzschlag ist tödlich, weil ein Teil des Blitzstromes als Gleitüberschlag entlang der Körperoberfläche fließen kann. Neben Verbrennungen ersten bis dritten Grades an den Ein- und Austrittsstellen des Blitzstromes können Bewusstlosigkeit, Atemstillstand, Herzbeschwerden und andere Schädigungen auftreten.
• Es ist gefahrlos, einer durch Blitzschlag verunglückten Person sofort zu helfen, denn es ist äußerst unwahrscheinlich, dass am selben Ort ein zweiter Blitz einschlägt, unmitelbar nachdem der erste Blitz einen Potentialausgleich herbeigeführt hat. Zur Ersten Hilfe (Abschn. 16.4) gehören insbesondere die Atemspende bei Atemstillstand und die äußere Herzmassage bei Herz-Kreislauf-Stillstand.
Personengefährdung besteht auch durch die indirekte Wirkung eines nahen Blitzschlages. Der Blitzstrom breitet sich an der Einschlagstelle nach allen Richtungen im Boden aus. An der Erdoberfläche kann dann u.U. eine hohe Schrittspannung auftreten (Abb. 10.19a). Wird man im Freien vom Gewitter überrascht, dann sollte man besonders blitzgefährdete Strukturen (einzelne Bäume oder Baumgruppen, Leitungsmasten, Antennen, Metallzäune und andere Metallkonstruktionen) meiden. Zum Schutz vor hohen Schrittspannungen wird die in Abb. 10.19b gezeigte Hockstellung empfohlen, wobei auf 3 m Mindestabstand von Baumstämmen und überhängenden Ästen zu achten ist.
Schwimmen und Radfahren bei Gewitter ist lebensgefährlich! Ein Auto mit Ganzmetall-Karosserie (Faraday-Käfig) bietet Schutz; aber Autofahren bei Gewitter ist trotzdem gefährlich wegen möglicher gewitter-bedingter Fehlfunktion von Auto-Elektronik und Ampelanlagen und der Blendwirkung von Blitzen. Für Aktivitäten im Freien, bei denen man vom Gewitter überrascht werden kann (Camping, Segeln,
Abb. 10.19 (a) Entstehung der Schrittspannung; (b) Empfohlen bei Gewitter im Freien: Hockstellung mit Füßen eng nebeneinander, Abstand von Bäumen (nach VDE, Ausschuss Blitzschutz und Blitzforschung).
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10 Gasentladungen
Gebirgswanderungen usw.), gibt es spezielle Verhaltensempfehlungen, nach denen man sich vorsorglich erkundigen sollte.
Bei Aufenthalt in einem älteren Gebäude mit fragwürdigem Potentialausgleich sollte man während eines Gewitters Kontakte mit metallenen Leitungen meiden und die Netz- und Antennenstecker hochwertiger elektronischer Geräte aus den Steckdosen ziehen.
Kugelblitze (ball lightnings). Die Beweise für die Existenz von Kugelblitzen sind etwa so „überzeugend“ wie die für die Existenz von UFOs (imidentified flying objects, „fliegende Untertassen“). Manche Berichte und Dokumente wurden als optische Täuschungen identifiziert oder gar als Fälschungen entlarvt, viele sind umstritten. Gesicherte Erkenntnisse von Wetter-Beobachtungsstationen gibt es dazu nicht.
Nach den Berichten sind Kugelblitze leuchtende Bälle, meist rund, mit bis zu 1 m, vorwiegen 0.1-0.2 m Durchmesser. Sie treten bei Gewitter auf, oft kurz nach einem Blitzschlag zum Erdboden. Wenige Kugelblitze werden zuerst gesehen wie sie aus einiger Höhe niederfallen, die meisten erscheinen einige Meter über dem Erdboden, nur selten steigt ein Kugelblitz auf. Typisch ist eine vorwiegend horizontale Bewegung in Bodennähe mit Geschwindigkeiten von einigen m/s und unregelmäßigen Richtungs- und Geschwindigkeitsänderungen, auch Verweilen am Ort. Einige rollen auf dem Erdboden. Die Kugeln verschwinden nach 1 bis 5 s (selten 1 Minute) entweder lautlos zerfallend oder explosionsartig mit einem Knall.
Es gibt viele Kugelblitz-Theorien, dazu auch Beiträge von berühmten Theoretikern wie P. Kapitza (1955), aber keine Theorie ist befriedigend. Besonders schwierig zu erklärende Phänomene sind die lange Lebensdauer der Kugelblitze, ihre eigenartige Mobilität und die Tatsache, dass die allermeisten nicht aufsteigen.
Plasmabälle. Es gibt Berichte über kleinere kugelblitz-ähnliche Phänomene in Verbindung mit Starkstrom-Entladungen in U-Booten. Auch bei Störfällen in Hochspannungsanlagen wurden solche Beobachtungen gemacht. 1991 gelang es Y. H. Otsuki und H. Ofuruton in Tokio, mit Mikrowellen (2.45 GHz, 1-5 kW) relativ langlebige Plasmabälle im Labor zu erzeugen und zu filmen.
Ob das Studium dieser Phänomene zum Verständnis der „echten“ Kugelblitze beitragen kann, bleibt abzuwarten.
10.3.5 Glimmentladungen
Die seltsamen Leuchterscheinungen (Abb. 10.20a), die beim Auspumpen einer unter Gleichspannung stehenden Entladungsrohre auftreten und mit weiter abnehmenden Druck wieder verschwinden, werden in der Anfängervorlesung gern vorgeführt, aber wegen ihrer Komplexität heute meist nicht mehr im einzelnen erklärt.
Ein sehr wichtiges Ergebnis der Glimmentladungsforschung des 19. Jahrhunderts war die Entdeckung und die anschließende Erforschung der Kathodenstrahlen (H. Hertz, 1892; P Lenard, 1894): Wird ein Entladungsgefäß mit seitlicher Anode (Abb. 10.20b) bei so kleinem Druck betrieben, dass das als „positive Säule“ bezeichnete Licht verschwindet, dann verläuft das „negative Glimmlicht“ geradlinig im zylindrischen Hauptgefäß und bei noch kleinerem Druck beginnt die Glaswand ge-
10.3 Selbständige Entladungen 647
K
A
Abb. 10.20 Entladung in Luft bei vermindertem Druck und einigen kV Gleichspannung: (a) Gerades Entladungsrohr mit eingeschmolzenen Elektroden (K - Kathode, A Anode), (b) Gefäß mit seitlicher Anode (oben 50 hPa, Mitte 0.6 hPa, unten 0.03 hPa).
genüber der Kathode zu fluoreszieren. Die für die Fluoreszenz verantwortlichen Kathodenstrahlen wurden als Korpuskularstrahlen erkannt, die die gleiche spezifische Ladung e/m besitzen wie die durch Glühemission oder Photoeffekt aus Metallen ausgelösten Teilchen, die später alle zusammen den Namen „Elektronen“ erhielten.
Ein anderes sehr wichtiges Ergebnis war die Entdeckung der Kanalstrahlen (E. Goldstein, 1886): Durchbohrt man die Kathode eines Entladungsgefäßes, dann beobachtet man, dass leuchtende Strahlen durch die Löcher (Kanäle) in den Raum hinter der Kathode eintreten. Verwendet man eine zentrale Bohrung, dann kann man den Kanalstrahl in ein gepumptes Hochvakuumgefäß ein treten lassen und darin unter sauberen Bedingungen mit dem Strahl experimentieren (W. Wien, 1889). Die Kanalstrahlen wurden als positiv geladene Ionen der Gasatome identifiziert; die Messung der Strahlablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern führte zur Massenspektrometrie, mit deren Hilfe die chemischen Isotope entdeckt wurden.
Leuchterscheinungen. Heute sind Glimmentladungen vor allem für die darauf beruhenden Lampen wichtig. Wir beschränken uns auf eine kurze Beschreibung der wichtigsten Glimmentladungsbegriffe und beziehen uns auf den in Abb. 10.21 dar-
648
10 Gasentladungen
Abb. 10.21 Spannung und Feldstärke in einer Glimmentladung. Schraffierte Leuchtzonen: GH = Glimmhaut, GS = Glimmsaum, nG = negatives Glimmlicht, pS = positive Säule, aG = anodisches Glimmlicht.
gestellten Verlauf von Spannung U und Feldstärke E, wie er sich in einer „typischen“ Entladungsrohre im stationären Betrieb einstellt; unter dem Diagramm sind die verschiedenen, von Dunkelräumen getrennten Leuchtzonen skizziert, deren Ausdehnung, Abgrenzung, Helligkeit und Färbung stark vom Druck abhängen: In Entladungsrohren, deren Durchmesser groß ist gegen Größe und Abstand der Elektroden, sodass die Glaswand keinen Einfluss auf die Entladung hat, dominiert das negative Glimmlicht; das ist in Glimmlampen der Fall. In länglichen Glasgefäßen, wie sie für Leuchtröhren verwendet werden, nimmt dagegen die positive Säule fast die ganze Rohrlänge ein und zeigt bei bestimmten Versuchsbedingungen eine periodische Struktur („Schichtung“).
Von der Kathode zur Anode erfährt die Spannung in der Nähe der Kathode einen sehr starken Anstieg (genannt „Kathodenfall“), im mittleren Teil der Röhre einen schwachen Anstieg und nahe der Anode noch einmal einen etwas stärkeren Anstieg („Anodenfall“). Die selbständige Entladung wird getragen durch die ständige Elektronenauslösung aus der Kathode, bewirkt entweder durch Fluoreszenz-Photonen von stoßangeregten Atomen oder durch Neutralisation von Ionen mit einer lonisierungsenergie von mindestens der doppelten Austrittsarbeit oder durch Aufprall von Ionen hoher kinetischer Energie.
Die einzelnen Leuchtzonen kommen wie folgt zustande:
-	die Glimmhaut (GH) an der Kathode durch Ionen, die beim Aufprall angeregt werden,
-	der Glimmsaum (GS) durch Elektronen, die im Kathodenfall-Dunkelraum beschleunigt wurden und die für Anregung erforderliche Energie erlangt haben,
-	das negative Glimmlicht (nG) durch Elektronen, die nun genügend Energie besitzen, um Atome zu ionisieren oder hoch anzuregen, sodass Lichtemission in Fluoreszenz-Kaskaden möglich wird,
10.3 Selbständige Entladungen 649
-	die positive Säule (pS) durch Anregungen in Verbindung mit Stoßionisation, die erforderlich ist, um den Verlust an Elektronen und Ionen durch Rekombination an der Glaswand zu kompensieren (Raumladung und Wandrekombination führen u.U. zu verstärkten Leuchterscheinungen in periodischen Abständen),
-	das anodische Glimmlicht (aG) durch Elektronenstoßanregung der an der Anode adsorbierten Moleküle.
Ähnlichkeitsgesetze. Als eine Erweiterung der von Paschen und Townsend gefundenen Gesetzmäßigkeiten hat R. Holm 1914 für Glimmentladungen Ähnlichkeitsgesetze (scaling laws) formuliert, die sich wie folgt zusammenfassen lassen:
•	Ähnliche Gasentladungen haben gleiche Strom-Spannungs-Charakteristiken (und gleiche Zündspannungen!). Ähnlichkeit besteht, wenn sich die Lineardimensionen der Elektrodenanordnung und die mittlere freie Weglänge im Gas nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden.
Es lässt sich zeigen, dass die Ähnlichkeitsgesetze gut erfüllt sind, wenn im Gasraum und an den Oberflächen nur folgende Prozesse wirksam sind: Stoß- und Photoionisation, Photoelektronenemission, Diffusion der Ladungsträger, Adsorption an Elektroden und Wänden, Bildung negativer Ionen, Zweierstoß-Rekombination. Dagegen führen vor allem Temperatureinflüsse (Aufheizen einer größeren Entladung) und mehrstufige Prozesse zu Abweichungen.
Glimmlampen. Das negative Glimmlicht findet zu Beleuchtungszwecken in den Glimmlampen (glow lamps) eine praktische Anwendung. Die Farbe des negativen Glimmlichtes ist blau für Luft und Stickstoff, bläulich für Argon, bläulich rosa für Wasserstoff, blassgrün für Helium, orange für Neon und gelblich weiß für Quecksilber. Mit steigender Stromstärke breitet sich das negative Glimmlicht immer mehr über die Kathode aus und bedeckt schließlich ebenso wie die Glimmhaut auch die Rückseite der Elektrode, indem es diese wie ein leuchtender Pelz umhüllt. Es gelingt in Edelgasen bei Elektroden aus Aluminium oder Eisen mit einem Überzug von metallischem Barium (kleine Austrittsarbeit!) den Kathodenfall auf Spannungen von 100 Volt und weniger herabzudrücken, sodass derartige Entladungsrohren bereits bei den normalen Netzspannungen von 110 oder 230 Volt gezündet und betrieben werden können. Bei Wechselstrom überziehen sich beide Elektroden abwechselnd mit dem leuchtenden Glimmlicht, während bei Gleichstrom nur die als Kathode geschaltete Elektrode leuchtet. Man kann daher eine solche Glimmlampe auch als Polsucher benutzen.
Da die Glimmlampen an ein Lichtnetz, also an eine beliebig ergiebige Stromquelle angeschaltet werden, ist die Vorschaltung eines Widerstandes (etwa 5000 Q) erforderlich, um zu verhüten, dass die Glimmentladung in eine Bogenentladung umschlägt, wodurch die Lampe zerstört würde. Der Betriebsstrom normaler Glimmlampen beträgt 15 bis 20 mA.
Kippschwingungs-Generator. Die Glimmlampe zündet ohne vorherigen Stromdurchgang erst bei einer Zündspannung Uz, und der Strom steigt sofort auf den Wert /z, um mit zunehmender Spannung weiter zu steigen. Verkleinert man aber die Spannung, so erlischt die Entladung erst bei einer Löschspannung t/L, die bei den han
650	10 Gasentladungen
delsüblichen Lampen 20 bis 30 Volt unter der Zündspannung liegt. Ist die Entladung einmal gezündet, sind genügend Ionen vorhanden, um die Entladung auch noch bei kleineren Spannungen aufrecht zu erhalten. Infolge des Unterschiedes zwischen Zünd- und Löschspannung lassen sich durch Glimmlampen elektrische Schwingungen erzeugen.
Schaltet man an eine Batterie B parallel zur Glimmlampe G einen Kondensator (Abb. 10.22a) von der Kapazität C und legt vor die Glimmlampe einen hohen Widerstand R (einige MO), so steigt die Spannung Uc am Kondensator nach der Gleichung
Uc = UB[l-exp(-t/7?C)]	(10.11)
allmählich mit der Zeit t auf den Wert der Batteriespannung UB an, und zwar um so langsamer, je größer C und R sind (gestrichelte Kurve in Abb. 10.22b). Sobald die Spannung am Kondensator den Wert der Zündspannung Uz der Glimmlampe erreicht, zündet diese, und die auf dem Kondensator gespeicherte Ladung entlädt sich über den gegenüber R kleinen Glimmlampen-Widerstand fast momentan, und zwar so lange, bis die Spannung Uc auf den Wert der Löschspannung (/, abgesunken ist. Danach beginnt der Kondensator sich erneut aufzuladen, bis die Zündspannung erreicht ist und sich alles wiederholt. Die Spannung am Kondensator hat also den in Abb. 10.22b dargestellten sägezahnartigen Verlauf (sawtooth oscillatiori).
Aus Gl. (10.11) ergeben sich für die in Abb. 10.22b markierten Zeiten, die Uc = Uz bzw. = (/, entsprechen, folgende Ausdrücke:
Za = RC ln(l -	(10.12)
t1 = RC ln(l - UJU^T1	(10.13)
und für die bei der Kippschwingung auftretende Kippzeit T erhält man, weil die Entladezeit te im Vergleich zur Aufladezeit ta sehr kurz ist,
T t — t
= RC\n[(U3 -	- Uz)].	(10.14)
Auf diese Weise lassen sich sowohl Schwingungen von sehr großer Schwingungsdauer (einige Minuten) wie auch solche mit Frequenzen von einigen zehntausend Hertz erzeugen.
CT
(a)	(b)	Zeit
Abb. 10.22 (a) Schaltung zur Erzeugung von Kippschwingungen mittels einer Glimmlampe, (b) Spannungsverlauf einer mittels einer Glimmlampe erzeugten Kippschwingung.
10.3 Selbständige Entladungen 651
Leuchtröhren (fluorescent tubes). Das Licht der positiven Säule wird zu Beleuchtungszwecken und für Leuchtreklamen ausgenutzt. Je nach der Gasfüllung leuchten die Röhren in verschiedener Farbe; Neon liefert leuchtend rotes, Helium gelbes und Quecksilberdampf bläulichweißes Licht. Die im Quecksilberlicht vorhandenen ultravioletten Strahlen können durch Leuchtstoffe, aufgebracht als dünne Schicht auf der Innenwand, in sichtbares Licht verschiedener Farben umgewandelt werden. Auf diese Weise gelingt es, die Lichtausbeute erheblich zu steigern und dabei insbesondere auch ein weißes, tagesähnliches Licht zu erzeugen. Ein besonderer Vorteil derartiger Leuchtröhren ist größere Wirtschaftlichkeit gegenüber den Glühlampen mit Wolframfäden.
Die zur Beleuchtung in Fabriken und Geschäftsräumen verwendeten Leuchtröhren sind fast ausschließlich Quecksilber-Niederdrucklampen in Glasröhren, die auf der Innenseite eine Leuchtstoffschicht tragen. Da vor der Zündung das Quecksilber sich noch nicht im Dampfzustand befindet, sondern als flüssige Tröpfchen an der Glaswand hängt, enthalten die Lampen zur Einleitung der Zündung etwas Neon und Argon. Außerdem befinden sich zur Erleichterung der Zündung an den Enden der Leuchtröhre keramische Körper aus Erdalkalioxiden, welche bei Erwärmung durch eingebaute Heizwendeln Elektronen emittieren.
Die Leuchtröhren werden mit Wechselstrom betrieben. Sie haben eine Vorschaltdrossel (series reactor or choke) und einen Starter. Der Starter ist parallel zur Lampe geschaltet und steckt (auswechselbar) an einem Ende der Röhre in der Fassung. Im Starter befinden sich zwei Elektroden; eine ist durch einen Bimetallstreifen beweglich. Beim Einschalten brennt zwischen diesen Elektroden im Starter eine kleine Glimmentladung. Den Vorschaltwiderstand dafür bilden die Heizwendeln an den Enden der Leuchtröhre. Durch die Glimmentladung erwärmen sich die Elektroden im Starter; der Bimetallstreifen krümmt sich und bewegt die eine Elektrode auf die andere zu, bis sich beide berühren. Dann erlischt die Glimmentladung und kurze Zeit später trennen sich die Elektroden wieder. Dadurch entsteht infolge der Selbstinduktion der Vorschaltdrossel ein Spannungsstoß, der die Leuchtröhre zündet. Die Gasentladung in der Leuchtröhre lässt die Spannung an den Enden der Leuchtröhre zusammenbrechen, sodass die Glimmentladung im Starter nicht wieder zünden kann, solange der Strom durch die Leuchtröhre fließt. Mit dem Erlöschen der Starter-Glimmentladung werden die Heizwendeln stromlos und erkalten.
Anmerkungen zu Helligkeit und Wirkungsgrad von Lampen. Die photometrische Einheit für den Lichtstrom (die Lichtleistung) ist das „Lumen (Im)“ (Abschn. 6.1). Wenn es gelänge, elektrische Leistung vollständig umzuwandeln in Lichtstrom der Wellenlänge 555 jrm, für die die Hellempfindlichkeit des menschlichen Auges maximal ist, dann müssten für 683 Lumen an Lichtstrom nur 1W aufgebracht werden. Der Wert
Xm = 6831rn/W	(10.15)
ist der Maximalwert des photometrischen Strahlungsäquivalentes für das Tagessehen. Die „Lichtausbeute“ (light yield) einer Lampe sollte also sinnvollerweise in Lumen/Watt und der Wirkungsgrad (efficiency) als Verhältnis von Ausbeute zum Bestwert Km angegeben werden.
652	10 Gasentladungen
Während Glühlampen Lichtausbeuten von etwa lOlm/W (Wirkungsgrade von ca. 1.5%) und Halogen-Glühlampen 15-25 Im/W haben, erreichen normale Leuchtröhren Lichtausbeuten bis zu 90 Lumen pro Watt (Wirkungsgrade über 10%).
Lampenhersteller vermeiden Zahlenangaben für Ausbeute und Wirkungsgrad; statt dessen vergleichen sie die kleine Wattzahl einer Leuchtröhre mit der viel größeren Wattzahl einer normalen Glühlampe, die den gleichen Lichtstrom liefert.
Energiesparlampen. Das ist der übliche Name für Kompakt-Leuchtstofflampen, die in einen normalen Gewindesockel (E27) eingeschraubt werden können. Der Name suggeriert einen besonders hohen Wirkungsgrad; tatsächlich erreichen diese „Sparlampen“ nur etwa 50-80 Im/W, also eher weniger als die normalen Leuchtstofflampen mit 60-90 Im/W. Energie wird gespart im Vergleich zur lichtstromgleichen Glühlampe.
Kathodenzerstäubung (caihode sputtering). In jeder Glimmentladung findet durch den Aufprall der positiven Ionen auf die Kathode eine allmähliche Zerstäubung dieser Elektrode statt. Dabei hängt der Grad der Kathodenzerstäubung in erster Linie von dem Kathodenmetall ab; nach W. Crookes ergibt sich folgende nach wachsender Zerstäubung geordnete Reihe: Aluminium, Eisen, Iridium, Nickel, Cadmium, Kupfer, Platin, Zinn, Blei, Silber, Gold, Palladium. Ferner ist die Zerstäubung noch abhängig von der Betriebsspannung sowie der Art und dem Druck des Gases. Das zerstäubte Metall schlägt sich als metallischer Spiegel auf der inneren Glaswand der Entladungsrohre nieder. Technisch wird die Kathodenzerstäubung dazu benutzt, um Gegenstände, insbesondere Glasplatten, mit einem spiegelnden dünnen Überzug aus Silber, Gold oder Platin zu überziehen. Auch Hochohmwiderstände werden vielfach durch Kathodenzerstäubung hergestellt, indem man auf ein gut isolierendes Stäbchen (keramische Masse) ein schlecht leitendes Metall in sehr dünner Schicht aufstäubt. Da Aluminium praktisch kaum zerstäubt, macht man in den Entladungsrohren die Elektroden meistens aus diesem Metall.
10.3.6 Lichtbögen
Während der elektrische Funken eine schlagartige, kurzdauernde elektrische Entladung zwischen zwei Elektroden darstellt, bildet der elektrische Lichtbogen (electric arc) einen kontinuierlich fließenden Strom durch die Gasstrecke zwischen den Elektroden. Bereits 1812 fand S.H. Davy, dass zwischen zwei Kohlestäben, an denen eine Spannung von etwa 100 Volt liegt, ein elektrischer Lichtbogen entsteht, wenn man die beiden Stäbe kurzzeitig zur Berührung bringt und dann auf eine Entfernung von 1 bis 2 cm auseinanderzieht. Zur Vermeidung eines Kurzschlusses bei Berührung der Kohlen und zur Strombegrenzung im stationären Betrieb ist die Vorschaltung eines ohmschen Widerstandes R erforderlich.
Wie die photographische Aufnahme eines Kohlelichtbogens (Abb. 10.23a) zeigt, geraten die Enden der beiden Kohlen in helle Weißglut, während der Bogen selbst verhältnismäßig wenig Licht aussendet. Wie man besonders nach dem Ausschalten des Bogens beobachten kann, wird die positive Kohle wesentlich heißer als die negative. Man kann weiter erkennen, dass sich an der positiven Kohle ein Krater
654	10 Gasentladungen
Hochdrucklampen sind quecksilber- oder xenon-gefüllte Bogenlampen. Sie dienen zur Beleuchtung von Straßen und Innenräumen, senden viel Licht aus, sind wirtschaftlicher als Glühlampen und Kohlebogenlampen und haben eine höhere Lebensdauer. Bei der für Projektions- und Laboratiumszwecke gebauten Quecksilber-Hochdrucklampe werden die Elektroden aus zwei kleinen Wolframkegeln gebildet. Der aus Quarz bestehende Lampenkörper enthält eine so abgewogene Quecksilbermenge, dass nach ihrer vollständigen Verdampfung die Dampfdichte einen bestimmten Höchstwert nicht überschreitet, und außerdem zur Zündung etwas Argon von einigen hPa Druck. Wegen des kleinen Quecksilber-Dampfdruckes in der kalten Lampe findet beim Anlegen der Spannung die Zündung in Form einer Glimmentladung durch das Edelgas statt, die dann nach allmählicher Verdampfung des Quecksilbers in eine Bogenentladung übergeht.
Löschung von Schaltlichtbögen. In Stromkreisen, die in ihren Induktivitäten magnetische Energie gespeichert haben, tritt beim Öffnen eines Schalters eine Induktionsspannung gemäß
t/ind = L dl/dt	(10.16)
auf. Mit dieser Spannung wird die Durchschlagfestigkeit der entstehenden Öffnung zwischen den Schaltkontakten überschritten und eine Entladung gezündet, die bei hinreichender magnetischer Energie im Stromkreis schnell in einen Lichtbogen übergeht, der den Schalter zerstören kann. Nur beim synchronen Abschalten eines Wechselstroms im Nulldurchgang wird das Problem vermieden.
Die Beherrschung des Lichtbogens ist Voraussetzung für den Einsatz mechanischer Schaltgeräte. Bei den Maßnahmen zur Löschung des Schaltlichtbogens ist zu bedenken, dass die magnetische Energie abgebaut, d. h. in Wärme umgewandelt werden muss. Eine zu schnelle Unterdrückung des Lichtbogens bei noch beträchtlicher Stromstärke hat eine erneute induktive Spannungserhöhung und Wiederzündung des Lichtbogens zur Folge.
In Magnetblasschaltern wird der Lichtbogen in Luft unter Atmosphärendruck durch Einsatz eines Magnetfeldes verlängert und ggf. gegen isolierende Stege getrieben. In Ölschaltern (Abb. 10.24a) entsteht im Lichtbogenkanal eine Gasblase aus zersetztem Öl, dabei entzieht die chemische Zersetzungsarbeit dem Lichtbogen Energie; nachteilig ist die Verrußung des Öls und die Brandgefahr. In Hartgasschaltern brennt der Lichtbogen in einer engen Bohrung aus einem Material, das dabei
Abb. 10.24 Löschung von Schaltlichtbögen: (a) Ölschalter, (b) Druckluftschalter.
10.4 Plasmen 655
ein entionisierend wirkendes Gas abgibt. In Druckluftschaltern (Abb. 10.24b) wird der Lichtbogen einer starken Strömung ausgesetzt, wenn der Schaltstift die Düse freigibt; benötigt wird eine leistungsstarke Druckluftanlage (z. B. für 300 bar Speicherdruck, 30 bar im Luftstrom). In SF6-Schaltern ist das Löschsystem ähnlich wie bei den Druckluftschaltern aufgebaut, wegen der günstigen Eigenschaften des SF6 werden aber nur wesentlich kleinere Drücke und Strömungsgeschwindigkeiten benötigt.
Als isolierendes Gas, das wesentlich besser als Luft ist, wird heute Schwefelhexafluorid (SF6) verwendet. Das elektronegative Schwergas weist hervorragende Isolier- und Löscheigenschaften auf. Es bindet freie Elektronen durch dissoziative Anlagerung (dissociative attachment). Die Dissoziationsprodukte und die im Lichtbogen entstehenden Zersetzungsprodukte rekombinieren zum größten Teil zu SF6 oder verbinden sich zu unschädlichen Metallfluoriden an den Kontakten. SF6 ist ungiftig und nicht brennbar. Die Durchschlagspannung ist für SF6 etwa dreimal höher als für N2 (oder Luft). Die Durchschlagspannung ist nicht nur von der Elektroden-Konfiguration und dem Druck, sondern auch von der Gastemperatur abhängig. Viele Gase, insbesondere Fluorkohlenwasserstoffe, sind auf ihre Eignung als Isoliergas in der Hochspannungstechnik untersucht worden. Es gibt kein Gas, das über den gesamten, technisch relevanten Temperaturbereich von — 30°C bis 100°C unter den Betriebsbedingungen der Hochspannungstechnik als Isoliergas besser geeignet ist als SF,. o
Hochspannungsanlagen werden in Metallbehältern eingekapselt, die SF6 bei einem kleinen Überdruck (etwas mehr als 1 bar) enthalten. Die Leckrate kann so niedrig gehalten werden, dass die Prüfspannungswerte auch nach mehr als zehn Jahren Betriebszeit noch gehalten werden können. Wegen der besseren Isolierfähigkeit des SF6 können die Abstände zwischen den spannungsführenden Teilen kleiner gemacht werden; d. h. die Schaltanlage ist wesentlich kleiner als eine entsprechende Anlage mit Luftisolation.
10.4 Plasmen
Ein stark ionisiertes Gas, das wegen der gleichen Anzahl positiver und negativer Ladungen nach außen neutral ist, aber eine hohe elektrische Leitfähigkeit besitzt, wird Plasma genannt. Weil sich Plasmen grundlegend von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen unterscheiden, wird der Plasmazustand auch als „vierter Aggregatzustand“ bezeichnet. Da alle Fixsterne heiße, stark ionisierte Gasbälle sind, kann man sagen, dass sich die uns bekannte Materie des Universums größtenteils im Plasmazustand befindet.
In den vorangegangenen Abschnitten über Gasentladungen traten verschiedentlich schon Plasmen auf, aber das Hauptinteresse galt bisher dem Ladungstransport in gegebenen Gas/Elektroden-Systemen. Hier soll kurz das Plasma im thermischen Gleichgewicht als Zustand der Materie mit besonderen Eigenschaften, weitgehend unabhängig von der Erzeugungsmethode behandelt werden. Für eine viel ausführlichere Behandlung wird auf Bd. 5, Kap. 2 verwiesen.
656	10 Gasentladungen
Für die quantitative Beschreibung eines Plasmas im thermischen Gleichgewicht sind vor allem folgende Größen wichtig:
-	Elektronendichte ne,
-	Temperatur T,
-	Debye-Länge ÄD,
-	(Elektronen-)Plasma(kreis)frequenz co
Wegen der Neutralitätsbedingung ist die Elektronendichte gleich der Gesamtionen-dichte nion, die sich aus der gewichteten Summe der Dichten aller lonenarten ergibt:
n = n- = y v. n..	(10.17)
e ton L-i k k	k /
k
Hier ist vk die lonisierungsstufe (= Zahl der positiven Ladungen) der k-ten lonenart mit der Dichte nk.
Für hochionisierte Plasmen ist die Dichte der nicht-ionisierten Atome natom verschwindend klein im Vergleich zu ne. Die Temperatur ist mit den Teilchendichten über das Dalton’sche Partialdruck-Gesetz verknüpft. Der Druck p des Plasmas ist
P = («e + «ion + «atom) kT
^2nekT für natom « nion.	(10.18)
Die Debye-Länge ist nach der Plasmatheorie gegeben durch
4 = [(£o kT)/(e2 n^2.	(10.19)
Zur Veranschaulichung kann gesagt werden, dass Plasmen wie ideale Gase behandelt werden können, wenn der mittlere Abstand der Elektronen, approximiert durch
4 =	(10.20)
größer als die Debye-Länge ÄD ist.
Wenn innerhalb eines Plasmas irgendwo eine Raumladung Q existiert, dann werden die Ladungsträger des Plasmas im Feld dieser Raumladung so verschoben, dass eine Abschirmung resultiert. Während das Coulomb-Potential einer Punktladung im Vakuum nach
<PCW = 2/(4* e0 2	(10-21)
abfällt, liefert die Plasma-Theorie das schneller abfallende Debye-Potential:
<Pd = (Pc exp[-r/(AD/]/2)].	(10.22)
Hier ist Äo die Debye-Länge, und der Faktor |/2 tritt auf, weil bei der Herleitung angenommen wurde, dass positive und negative Ladungsträger gleich stark zur Abschirmung beitragen; manchmal wird auch die durch |/2 geteilte Länge als Debye-Länge bezeichnet. Die Reichweite der Felder einzelner Ladungsträger ist im wesentlichen auf den Radialbereich r < ÄD beschränkt.
Betrachtet man schnell veränderliche Vorgänge in einem Plasma, dann sind es hauptsächlich die leichten Elektronen, die Abschirmung und Ladungsausgleich herstellen. Betrachtet man, wie schnell ein Elektron unter dem Einfluss des Raumla-
10.4 Plasmen 657
dungsfeldes vom Radius R in das Zentrum gelangt, dann erhält man eine Zeit, die größenordnungsmäßig der Kehrwert der Elektronen-Plasma-(Kreis-)Frequenz
% = tÜ" «e)/(£0 We)]1/2	(10.23)
ist. Mit dieser Eigen(kreis)frequenz können die Elektronen gemeinsam bezüglich der schweren, nahezu ortsfesten Ionen oszillieren.
Die Theorie liefert einen einfachen Zusammenhang von Debye-Länge und Plasmafrequenz:
4 mp = (kT/m^3.	(10.24)
Das ist die durch |/2 geteilte thermische Geschwindigkeit der Elektronen.
Das Verhältnis der verschiedenen Teilchendichten zueinander wird durch die Saha-Eggert-Gleichung bestimmt, die eine Anwendung des chemischen Massenwirkungsgesetzes auf das lonisationsgleichgewicht darstellt. Für den einfachen Fall von nur einfacher Ionisation (Atom <-> Ion + e ) ist die Temperaturabhängigkeit bestimmt durch die Expontentialfunktion
«e «lo>alom - F(D exp[-(Eion- AEion)/m	(10.25)
Die schwächer temperaturabhängige Funktion F(T) enthält den Faktor 7'2 und die temperaturabhängigen „Zustandssummen“ (Bd. 5, Kap. 2) für die Atome und Ionen. In den Exponentialterm geht neben der lonisationsenergie Eioa noch der Korrekturterm A£hin ein, der die Erniedrigung der lonisierungsenergie im Plasma beschreibt und näherungsweise durch die Coulomb-Energie zweier Elementarladungen im Abstand 2D/|/2 gegeben ist:
AEion « e2/(4K804/]/2).	(10.26)
Für einen Überblick über die vielfältigen Anwendungen der Plasmatechnik ist es am besten, das Plasma als ein Medium für Energieumwandlungen zu verstehen (Abb. 10.25). Beispiele: In Kernfusionsplasmen wird Kernenergie in thermische Energie, in Gasentladungslampen elektrische Energie in Licht umgewandelt.
Der Begriff „Plasmaphysik“ wird im Zusammenhang mit den weitverbreiteten Leuchtröhren (Abschn. 10.3.5) kaum verwendet. Aber ein auf demselben Prinzip beruhender Flachbildschirm wird Plasmabildschirm (plasma display panel, PDP) genannt. Jedes Subpixel dieses Bildschirms ist eine kleine, mit einer Edelgasmischung gefüllte Kammer, in der eine Gasentladung ultravioletes Licht erzeugt, das von dem
Licht,
thermische elektromagnetische
Energie	Strahlung
mechanische
Energie
Plasma
chemische
Energie
elektrische
Energie
Kernenergie
Abb. 10.25 Schema zu möglichen Energieumwandlungen mithilfe eines Plasmas.
658
10 Gasentladungen
auf den Innenwänden aufgetragenen Leuchtstoff in Licht einer der Grundfarben umgewandelt wird. Um die bei Leuchtröhren offensichtlichen Startprobleme zu umgehen, wird in allen Kammern ständig eine schwache Gasentladung aufrecht erhalten. Die Steuerung der Helligkeit erfolgt über die Länge der Zündpulse. Da der Plasmabildschirm selbstleuchtend ist, kann sein Bild auch unter großen Sichtwinkeln gut wahrgenommen werden. Ein Nachteil ist (neben hohen Herstellungskosten und begrenzter Lebensdauer der Leuchtstoffe) die Minimalgröße der Kammern, die bei etwa 0.3 mm liegt. Deshalb liegt der Haupteinsatzbereich bei den representativen, aus größerem Abstand betrachteten Großbildschirmen, wofür die Auflösung ausreicht und der Preis akzeptiert wird. Der kommerzielle Durchbruch der Plasmabildschirme kam bei den olympischen Winterspielen in Nagano 1998, als ein japanischer Fernsehsender das eigene HDTV-Programm mit großen Bildschirmen präsentierte.
10.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 10
10.5.1 Strahlung, Detektoren, Strahlungsschutz
Ionisierende Strahlung. Bundesamt für Strahlenschutz: http://www.bfs.de => Inhaltsübersicht „Ionisierende Strahlung“ =
Link 10-1 Weiter z. B. mit => natürliche Radioaktivität oder => Strahlenwirkungen. Nützlich ist auch => BfS Home => Glossar
Dosimetrie und Strahlenschutz. Veterinärmedizinischen Universität Wien: http:// www.vu-wien.ac.at/ => Organisation => Department für Naturwissenschaften => Departments „Institut für Medizinische Physik und Biostatistik“ (http://www-med-physik.vu-wien.ac.at) => Lehre => Physikmanager => Inhaltsverzeichnis => Biologische Wirkung ionisierender Strahlung => Dosimetrie und Strahlenschutz = Link 10-2
Ergänzung: Bayerisches Staatsministerium für Umwelt, Gesundheit und Verbraucherschutz: http://www.stmugv.bayern.de/ => Reaktorsicherheit =
Link 10-3 Im Abschnitt „Grundlagen zu Kernphysik und Strahlenschutz“ z. B. weiter mit => Wirkung ionisierender Strahlen, => Strahlungsmessung, => Maßeinheiten im Strahlenschutz, => Überwachung der Umweltradioaktivität
Geiger-Müller-Zähler. Oak Ridge Associated Universities: http://www.orau.org => Oak Ridge Institute for Science and Education => Site Map => Expertize and Ca-pabilities „Professional Training Programs“ => Historical Collections => Geiger Mueller detectors =
Link 10-4 Weiter mit => Info Button, dann Klick auf einige der Zähler-Abbildungen
Nachweis von Spuren hochenergetischer Teilchen. Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) => Physics => Educational => Observing the World of Particles =
Link 10-5 Weiter mit => The Cloud Chamber oder => The Bubble Chamber oder => The Multiwire Chamber
10.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 10
659
Ergänzung: Brookhaven National Laboratory: http://www.bnl.gov/ => Research Facilities => Relativistic Heavy Ion Collider => Experiment Home Pages „Phenix“ => Intro => Detectors => Drift Chamber „Learn it All“ => DC General Info: „DC for Dummies“ (Show Only This Frame) =
Link 10-6
6.5.2 Gewitter
Gewitter. NASA: http://www.nasa.gov/ => Skip to NASA home page => About NASA => NASA Sites => Marshall Space Flight Center => Find it at NASA „GHCC“
=> Lightning & Atmospheric Electricity Research at the GHCC => A Lightning Primer =
Link 10-7
Ergänzung: Vereinigung der Sternfreunde e.V.: => http://www.vds-astro.de/ => Fachgruppen => Meteore => Internetseite der Fachgruppe Meteore => Weitere atmosphärische Erscheinungen => Selbstleuchtende Erscheinungen „Blitze“ =
Link 10-8
Kugelblitz. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 10-9 Ergänzung: => Andere Sprachen „English“, dort insbesondere See also und External Links
Blitzschutz. Aus VDE (s. Abschn. 1.4): Ausschüsse „Blitzschutz + Blitzforschung“ = Link 10-10 Weiter z. B. mit Aktuelles: FAQs oder => Publikationen, dort z. B. => Blitz- und Überspannungsschutz des Telekommunikationsanschlusses.
Hörnerblitzableiter. Universität Graz: http://www.uni-graz.at/ => Fakultäten & Institute: Naturwissenschaften „Institute“ => Experimentalphysik => (unten) Physik-Box- Fachdidaktik der Physik => Unterichtsmaterial => Demonstrationsexperimente => Hörnerblitzableiter =
Link 10-11
6.5.3 Plasmen
Gasentladungslampen. Westfälische Wilhelms Universität Münster: http://www.uni-muenster.de/ => Organisation => Fachbereiche/Fakultäten => Physik => Institute „Institut für Technik und ihre Didaktik“ => Forschung und Projekte => Lexikon der Technik => Energie-Umwandlungssysteme => Gasentladungslampen =
Link 10-12
Ergänzung: Webseite von Stefan P Neudeck, D -56575 Weißenthurm: http://www.filmtechnik-online.de => Datenblattsammlung Film/Fernsehen/Video => Lichttechnik (Linke Spalte: Show Only This Frame) =
Link 10-13 Weiter mit z. B. => Glüh-/Halogenlampen, => HMI-Lampen (H für Hg, Qucksilber - M für mittlere Bogenlänge - I für Jod-Zusatz), => Leuchtstoff
660
10 Gasentladungen
lampen, => Natriumdampflampen, => Quecksilberdampflampen, => Xenon-Hoch-drucklampen
Lichtbogen. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 10-14
Plasmaphysik. Institut für experimentelle und angewandte Physik, Universität Kiel: http://www.ieap.uni-kiel.de => Plasmadynamik (AG Prof. Piehl) (Show Only This Frame) =
Link 10-15 Weiter mit Plasmaphysik: => Was ist Plasmaphysik?, => Kurze Geschichte der Plasmaphysik, => Kleines Lexikon zur Plasmaphysik, => Plasmaphysik im Beruf, => Plasma-Links
Plasma-Flachbildschirme. Plasma TV Science.org, your premier guide to the Science behind Plasma TV Technology: http://www.plasmatvscience.org/ => Plasma TV Technology =
Link 10-16 Weiter z. B. mit => Background on How Plasma Televisions work, => Background on How Plasma Televisions work - Version 2
Ergänzung: Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4) Plasmabildschirm:
Link 10-17 http://de.wikipedia.org/wiki/Plasmabildschirm
10.5.4 Biographien
Benjamin Franklin (1707-1790): s. Abschn. 3.8.2, Links 3-8, 3-9
Eugen Goldstein (1850-1930). Deutsche Gesellschaft für Post- und Telekommunikationsgeschichte e.V., 60596 Frankfurt/Main: http://www.dgpt.org/de/home.php => Biographien => 2005 Biographien => Wir denken an „Eigen Goldstein“ =
Link 10-18
Philipp Lenard (1862-1947). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 10-19
Ergänzung: Deutsches historisches Museum: http://www.dhm.de => LeMO => LeMO: Lebendiges virtuelles Museum Online => Wissenschaft & Forschung => 1905 => Philipp Lenard =
Link 10-20
Wilhelm Wien (1864-1928). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 10-21
Friedrich Paschen (1865-1947). Physik, TU München: http://www.physik.tu-muen-chen.de/ => Mitarbeiter => Kressierer, Sepp => Links => einige Biographien bedeutender Forscher => Paschen =
Link 10-22
10.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 10
661
Sir John Sealy Edward Townsend (1868-1957). Fachgremien der Deutschen Physikalischen Gesellschaft: http://www.dpg-fachgremien.de/ => Fachverbände => Plasmaphysik => Webseite des Fachverbands => Informationen zur Plasmaphysik => Bedeutende Plasmaphysiker => Sir John Sealy Edward Townsend =
Link 10-23
Charles Thomson Rees Wilson (1869-1959). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Bio-graphy:
Link 10-24
Hans Geiger (1882-1945). Aus der Festschrift „125 Jahre Technische Universität Berlin“: http://www.tu-berlin.de/presse/125jahre/festschrift/geiger.htm
Link 10-25
Georges Charpak (geb. 1924). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Presentation
Speech:
Link 10-26 Weiter mit => Curriculum Vitae
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Tab. 11.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
B c D d Eb Ea e ff h I 4 4 — K k L L — L £ m mc 8m N ^.2 n P P' Q q	Fläche (Betrag) Massenzahl relative Atommasse magnetische Feldstärke Lichtgeschwindigkeit Durchmesser Strecke nichtrelativistische Teilchenenergie = kinetische Energie relativistische Teilchenenergie (mit Ruheenergie) Bindungsenergie Ruheenergie (= mc2) Elementarladung Frequenz, Umlaufsfrequenz Brennweite = 2nh, Planck-Konstante Strom Anodenstrom Sättigungsstrom Perveanz B oltzmann-Konstante optische Strahldichte Bahndrehimpuls (Betrag) Luminosität (eines Speicherrings mit kollidierenden Strahlen) Länge (Betrag), Teilchenbahnlänge Teilchenmasse Elektronenmasse Massendefekt Neutronenzahl Avogadro-Konstante Zahl der Teilchen pro Bündel (biinch) in Strahl 1 oder 2 Brechzahl Impuls Radialimpuls Ladungsmenge, allgemein Teilchenladung
664
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Größensymbol	Bedeutung
n r T U V 11' x, y z z a ß 7 h e 7. V <7 T V Q CO	Richtstrahlwert Widerstand Radius Temperatur Spannung Anodenspannung Geschwindigkeit Schwerpunktsenergie Koordinaten senkrecht zur Strahl-Achse chemische Ordnungszahl, Kernladungszahl Achsenkoordinate Winkel Winkel Lorentz-Parameter [= (1 — f c2) ’f Wirkungsgrad Winkel Wellenlänge, de-Broglie-Wellenlänge magnetisches Moment (Betrag) Lichtfrequenz Reaktionsquerschnitt Flugzeit, Laufzeit, Umlaufzeit Azimutwinkel Raumwinkel Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Zyklotron-Kreisfrequenz
Teilchensymbol	Bedeutung
CQ.CQ.	|| II II H H H + S '—''—' + + + 1 + — CI rc T	öS	Elektron (ß-Teilchen, genauer ß ) Positron (ß+-Teilchen) ionisiertes H-Atom der Masse 1, Proton ionisiertes H-Atom der Masse 2, Deuteron ionisiertes H-Atom der Masse 3, Triton doppelt ionisiertes He-Atom der Masse 4, a-Teilchen Th-Atom (Kernladungszahl Z — 90), 80 fach ionisiert hochenergetisches Photon
11.1 Techniken
11.1.1 Vakuum
Hochvakuum (high vacuum). Mit modernen Vakuumpumpen lassen sich leicht Drucke von 10 4 Pa (= 10 <J bar « 10 'Torr) erreichen. Das bedeutet, dass von den 3 • 1019 Molekülen pro cm3 der Luft bei Atmosphärendruck nur noch etwa 3 • IO10 Moleküle pro cm3 übrig sind. Die mittlere freie Weglänge (mean free patli) der Luftmoleküle ist dann von der Größenordnung 100 m, sodass es in der Apparatur prak
11.1 Techniken 665
tisch zu keinen Molekülzusammenstößen mehr kommt. Ähnlich unwahrscheinlich ist die Stoß- oder Photoionisation der Moleküle durch Einflüsse von außen wie Umgebungsradioaktivität und kosmische Strahlung. Weil die durch „natürliche Primärionisation“ erzeugten Elektrizitätsträger fehlen, ist das Hochvakuum ein hervorragender Isolator.
Um im Hochvakuum Ladungstransport zu erzielen, muss man die Ladungsträger hineinbringen. Das sind meist Elektronen, weil sie am bequemsten zu erzeugen und zu hantieren sind. Für viele Experimente mit Elektronen- oder lonenstrahlen ist es nur wichtig, dass die Strahlteilchen keine Stöße mit Restgas-Molekülen erleiden, und dafür genügt Hochvakuum.
Wenn dagegen die Wechselwirkung von Strahlteilchen mit Oberflächen von Bedeutung ist und extrem saubere Oberflächen gefordert werden, dann genügt Hochvakuum nicht. Bei einem Druck von 10 4 Pa dauert es nur ca. 1 s, bis eine ursprünglich saubere Oberfläche mit einer Monolage von Fremdatomen bedeckt ist, wenn man annimmt, dass alle auftreffenden Restgas-Moleküle haften bleiben. Will man ereichen, dass Oberflächen nach ihrer Präparation noch nach Stunden mit weniger als einer Fremdatom-Monolage kontaminiert sind, muss man bei entsprechend kleineren Drucken arbeiten (Bd. 6, Kap. 4). Wenn die Wege der Strahlteilchen in der Vakuumapparatur sehr lang werden, wie das in Speicherringen (Abschn. 11.3.5) der Fall ist, in denen die gespeicherten Teilchen 109m und mehr auf ihrer Kreisbahn zurücklegen, dann wird ebenfalls ein viel besseres Vakuum benötigt.
Ultrahochvakuum (UHV, ultra-high vacuum). Das sind Drucke kleiner als 10 7 Pa (= 10 12 bar « 10 ' Torr). Die Herstellung von UHV erfordert nicht nur geeignete Pumpen, sondern auch langes Ausheizen der Apparatur zur Entfernung schwerflüchtiger Adsorbatschichten, extreme Sauberkeit (keine Fingerabdrücke!) und Beschränkung auf geeignete Werkstoffe wie Edelstahl (für Kammern), Kupfer (für Dichtungen und elektrische Verbindungen), Keramik oder Glas (für Isolatoren), Edelstahl oder Molybdän (für Elektroden) und Wolfram (für Glühkathoden, Verdampfer).
lonisationsmanometer. Dieses häufig eingesetzte Messgerät misst den sehr kleinen Strom von Ionen, die mithilfe eines Elektronenstrahls durch Stoßionisation von Restgas-Molekülen erzeugt werden, und liefert so bei konstantem Elektronenstrom eine von der Gasart abhängige Messgröße, die dem Gasdruck proportional ist (io-nization gauge). Unterhalb von 10 2Pa muss man besondere Messröhren (nach R.T. Bayard und D. Alpert, 1950) verwenden, die Ionenauffänger mit minimaler Oberfläche besitzen, weil andernfalls durch Röntgenstrahlung von der Anode am Ionenauffänger ein Strom von negativ geladenen Photoelektronen ausgelöst wird, der einen auftreffenden Strom positiver Ionen vortäuscht.
Abgeschmolzene Röhren. Die in Abschn. 11.2 behandelten Elektronenröhren sind hermetisch abgeschlossene Glas-Vakuumgefäße mit Glas/Metall-Durchführungen für die Zuleitungen zu den Elektroden im Inneren (sealed-off lubes}. Die Röhren werden im Herstellungsprozess durch einen Pumpstutzen evakuiert und dann abgeschmolzen. Das durch Ausgasen der Metalle während des Röhrenbetriebs entstehende Restgas muss durch Gettern (gettering) beseitigt werden. Dazu nutzt man
666
11 Geladene Teilchen im Vakuum
entweder frisch aufgedampfte Metallflächen, die Gasmoleküle adsorbieren, oder geeignete Legierungen, die - wenn bei höherer Temperatur die Diffusionsgeschwindigkeit genügend groß ist - Gasmolküle in ihrem Volumen absorbieren.
Kontinuierlich gepumpte Apparaturen. Die meisten Experimente mit Elektronen und Ionen, sowie die in Abschn. 11.3 vorgestellten Geräte und Großgeräte befinden sich in Metallkammern, die ständig gepumpt werden. Bei Nichtbenutzung dieser Geräte laufen die Pumpen entweder weiter oder die Kammern werden durch Hochvakuum-Ventile von den Pumpen getrennt. Belüftung der Kammern wird möglichst vermieden, weil das Eindringen von Luftfeuchtigkeit unerwünscht ist; statt dessen werden stillgelegte Vakuumsysteme mit trockenem Stickstoff bis zu leichtem Atmosphärenüberdruck gefüllt.
11.1.2 SpannungsVersorgung
Anordnungen für Elektronen- oder lonenstrahlen enthalten mehrere Metallelektroden, die wohldefinierte Potentiale haben müssen. Der Erdungspunkt wird nach technischen Gesichtspunkten ausgewählt. Bei Niederspannungsanordnungen mit Glühkathode ist diese in der Regel geerdet, weil dadurch die Kathodenheizung vereinfacht wird. Bei Hochspanungsanordnungen wie dem Elektronenmikroskop legt man dagegen die Glühkathode „hoch“ und verwendet einen Hochspannungs-Trenntrafo für die Kathodenheizung, weil man andernfalls Objekt und Bildschirm auf Hochspannung legen müsste, was noch schwieriger wäre.
Die benötigten Gleichspannungen liegen zwischen einigen Volt für kathodennahe Steuerelektroden der Elektronenröhren und etwa 100 kV für die Betriebsspannungen von Röntgenröhren und Elektronenmikroskopen. Die in Form von freien Ladungsträgern zwischen den Elektroden fließenden Ströme sind meist klein, typischerweise einige jrA bis mA, können aber - wie bei Verstärkerröhren für Radarsender - auch viele Ampere betragen.
Mit zunehmenden Spannungen treten Isolationsprobleme auf. Die Volumen-Leitfähigkeit der Isolatoren ist meist vernachlässigbar klein, die Oberflächen-Leitfähig-keit ist wesentlich größer und stark abhängig von Verunreinigungen (Wasserfilm!). Kriechströme auf Isolatoroberflächen sind besonders störend, wenn bei hohen angelegten Spannungen sehr kleine Ströme gemessen werden sollen (mehr dazu in Abschn. 11.1.6).
Funkenüberschläge im Hochvakuum. Wenn man bei einer vorgegebenen Elektrodenanordnung die Spannung langsam erhöht, dann tritt irgendwann ein Funkenüberschlag (spark discharge) auf, der zum Kurzschluss führt. Wenn die Hochspannung an der Elektrode völlig zusammengebrochen ist, erlischt die Entladung und die Spannung steigt wieder auf den ursprünglichen Wert. Nach Funkenüberschlägen sind an den Elektroden Verdampfungsspuren zu erkennen.
Der Auslöser der Funkenüberschläge sind Feldemissionselektronen von einem Punkt der negativen Elektrode, an dem die lokale Feldstärke besonders groß ist. Sind es z. B. irgendwelche länglichen Partikel (whiskers), die sich im Feld aufrichten, dann werden sie durch den Funkenüberschlag „weggebrannt“.
11.1 Techniken 667
Bei konstanter angelegter Spannung geht die Häufigkeit der Funkenüberschläge mit der Zeit auf null. Die Spannungsfestigkeit der Anordnung wird also durch die Überschläge verbessert (high-voltage conditioning). Ab einer für die gegebene Anordnung charakteristischen kritischen Spannung Uc hören die Funkenüberschläge jedoch nicht mehr auf; Conditioning hilft nicht weiter.
Die kritische Spannung Uc ergibt sich aus den Konstruktionsmerkmalen. Um eine gewünschte Betriebsspannung zu erreichen, dürfen vor allem die Abstände zwischen den spannungsführenden Elekroden nicht zu klein sein. (Abstandsrichtwert für Spannungen bis zu 100 kV: 0.15mm/kV). Den höchsten bei vorgegebenem Abstand erreichbaren Uc-Wert erhält man, wenn die negative Elektrode nur schwach gekrümmt ist, aus Material mit hoher Austrittsarbeit besteht und geringe Oberflächenrauhigkeit besitzt.
Malter-Effekt. Schädlich für die Spannungsfestigkeit sind dünne isolierende Schichten auf der negativen Elektrode, wie Metalloxide (z. B. A12O3 auf Aluminium) oder Ölfilme von 10-100 nm Dicke, weil sie sich an ihrer Außenseite durch Anlagerung positiver Restgas-Ionen leicht auf Spannungen von 10-100 V aufladen können; dadurch entstehen Dipolschichten mit inneren Feldstärken in der Größenordnung von 107V/cm, die zu Feldemissions-Durchbrüchen führen können (L. Malter 1936).
Überschläge entlang Isolatoroberflächen. Die Isolatoren, die im Vakuumsystem die mechanische Verbindung zwischen Hochspannungselektroden und geerdeter Innenwand herstellen, sind die Schwachstellen der Spannungsfestigkeit. Bei geeignetem Feldstärkeverlauf im Bereich des Isolators können an der negativen Elektrode ausgelöste Elektronen den Isolator irgendwo treffen und dort Sekundärelektronen auslösen. Im stationären Gleichgewicht lädt sich die Isolatoroberfläche so auf, dass die ankommenden Elektronen gerade die Energie besitzen, für die die Sekundär-elektronen-Ausbeute gleich eins ist (Abschn. 8.2.2). Mit zunehmender Spannung führt eine Oberflächen-Entladung zum Funkenüberschlag. Kunststoff-Isolatoren können durch Funkenüberschläge chemische Veränderungen (Ausscheidung von Kohlenstoff) erfahren, die die Spannungsfestigkeit herabsetzen. Zur Unterdrückung solcher Entladungen sollte der Abstand zwischen spannungsführenden Elektroden entlang einer Isolatorenoberfläche wesentlich größer sein als der freie Abstand. Außerdem sollten die Isolator/Metall-Verbindungen möglichst so gestaltet werden, dass über größere Bereiche der Isolatoroberfläche die Tangentialfeldstärke null ist; ein Beispiel gibt Abb. 11.1.
Elektrode
ü Isolator
Elektrode
Abb. 11.1 Ringisolator zwischen zwei Scheibenelektroden (nach M. v. Ardenne).
668
11 Geladene Teilchen im Vakuum
11.1.3 Abschirmung
Elektrische Störfelder. Die nützlichen elektrischen Feldstärken, die auf den Strahl geladener Teilchen einwirken sollen, ergeben sich aus der Elektrodenkonfiguration und den angelegten Spannungen. Alle zusätzlichen Felder sind störend. Dazu gehören vor allem die Felder, die durch Oberflächenladungen auf den Isolatoren zustande kommen. Zeitlich veränderliche lokale Aufladungen durch auftreffende Strahlteilchen, gefolgt von Entladungen entlang des Isolators, führen zu Strahlinstabilitäten. Zur Abschirmung des Strahls gegen solche Felder sollten die Elektroden so gestaltet werden, dass von keinem Punkt entlang des Strahls ein Stück Isolatoroberfläche zu sehen ist. Eine solche Anordnung hat auch den Vorteil, dass Strahlteilchen nicht schon durch eine einzige Streuung an Blendenrand oder Restgas-Molekül zu einer Isolatoroberfläche gelangen können.
Hochfrequente Störfelder können über nicht-abgeschirmte Zuleitungen an die Elektroden gelangen. Wird an eine Elektrode eine hochfrequente Wechselspannung angelegt, dann ist zu beachten, dass benachbarte Elektroden und benachbarte, nicht gegeneinander abgeschirmte Zuleitungen kapazitiv gekoppelt sind.
Eine gute elektrische Abschirmung (electric shielding) der ganzen Apparatur und Hochfrequenz-Filter in den Zuleitungen verhindern auch, dass Störpulse, die im Inneren entstehen, nach außen gelangen. Das ist wichtig, denn Hochspannungsüberschläge erzeugen hochfrequente Pulse (Wanderwellen), die sich auf elektrischen Leitungen ausbreiten und dort, wo zwischen zwei benachbarten unisolierten Leitern 230 V Netzspannung liegt (wie z. B. in jeder Steckdose), Lichtbögen zünden können.
Magnetische Störfelder. Ein Strahl von Elektronen mit der kinetischen Energie eU — mev2j1 (e = Elementarladung, U — Beschleunigungsspannung, me = Elektronenmasse, v = Geschwindigkeit) erfährt in einem Magnetfeld B. das senkrecht zum Strahl steht, durch die Lorentz-Kraft eine Krümmung mit dem Krümmungsradius
/ 2U\lp 1
r =------ - 3.4-10 6m (L/V)12/(Ä/T).	(11.1)
\elmj B
lonenstrahlen sind wegen ihrer größeren Masse viel unempfindlicher gegen magnetische Störfelder.
Im Erdfeld, das in mittleren Breiten etwa 50 jrT beträgt, wird für Elektronen mit mehr als 1 keV Energie der Krümmungsradius r größer als 2 m. Deshalb ist Kompensation oder Abschirmung des Erdfeldes vor allem für Elektronenstrahlen mit kleiner Energie und langen Strahlwegen wichtig.
Zu bedenken ist auch der Einfluss des magnetischen Feldes, das durch den Ka-thoden-Heizstrom erzeugt wird. Ein Vorteil der indirekt geheizten Kathoden ist die Möglichkeit, die Heizwicklung hochohmig und bifilar zu gestalten.
Die magnetischen Streufelder ferromagnetischer Körper können störend wirken. Bei der Herstellung von Bauteilen ist zu beachten, dass nicht jeder Edelstahl „unmagnetisch“, d. h. „nicht ferromagnetisch“ ist und dass selbst ein unmagnetischer Edelstahl durch Bearbeitung (Schweißen!) magnetisch werden kann. Mithilfe eines empfindlichen Magnetometers muss jedes Teil, selbst jede Madenschraube, vor dem Einbau in die Apparatur auf unerwünschten Ferromagnetismus getestet werden.
11.1 Techniken 669
Gegen magnetische Wechselfelder, wie sie in der Nähe von Transformatoren und Motoren auftreten, hilft eine Vergrößerung des Abstandes, soweit das möglich ist. Andernfalls muss der empfindliche Teil der Anordnung durch eine magnetische Abschirmung (magnetic shielding) aus hochpermeablem Material („Mü-Metall“) geschützt werden (vgl. Abschn. 3.6.5). Die Abschirmung muss nach der Bearbeitung in der Regel eine thermische Behandlung erfahren und eventuell auch am Einsatzort (lat.: in situ) entmagnetisiert werden.
Röntgenstrahlung (X rays). Bei allen Anordnungen, die Elektronenstrahlen mit hohen Strömen und Spannungen enthalten, muss die Arbeitsplatzbelastung durch Röntgenstrahlung geprüft und, wenn nötig, durch Abschirmmaßnahmen reduziert werden.
11.1.4 Elektronenquellen
Die verschiedenen Elektronen-Emissionsprozesse wurden schon in Abschn. 8.2.2 behandelt. Zur Erzeugung von Elektronenstrahlen wird mit Abstand am häufigsten die im Folgenden ausführlicher dargestellte Glühemission (thermionic emission) genutzt.
Strom-Spannungs-Charakteristik. Die einfachste Anordnung zur Untersuchung der Elektronenemission besteht aus nur zwei Elektroden, einem direkt geheizten Wolframdraht als Kathode und einer Anode (Abb. 11.2).
Abb. 11.2 Einfache Anordnung von direkt geheizter Kathode (K) und Anode (A) in einer Diodenröhre, (a) Anordnung im Glaskolben mit Schaltung (schematisch), (b) Schaltbild.
Nach ihrem Austritt aus der Glühkathode werden die Elektronen vom elektrischen Feld zur Anode herübergezogen. Bereits bei verhältnismäßig kleinen Anodenspannungen Ua werden alle Elektronen erfasst und es tritt ein Sättigungsstrom /s auf (Abb. 11.3). Dieser kann nur gesteigert werden, wenn die Temperatur der Glühkathode erhöht wird, sodass mehr Leitungselektronen die zum Verlassen des Metalls nötige Energie erhalten (Kurve 2 in Abb. 11.3a).
Beim Betrachten der Strom-Spannungs-Kurve fällt auf, dass der Anodenstrom Za nicht, wie es die gestrichelte Kurve andeutet, sofort nach Anlegen der Anodenspannung Ua auf den Wert des Sättigungsstromes ansteigt, sondern zunächst langsam anwächst, um dann schneller zu steigen und nach Durchlaufen eines fast geradlinigen Kurvenstückes allmählich in den Wert des Sättigungsstromes einzumünden. Das liegt daran, dass die aus der Glühkathode austretenden Elektronen die Kathode
670
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Wa/V (a)
7/K
(b)
Abb. 11.3 Kennlinien: (a) Anodenstrom als Funktion der Anodenspannung. Die Kurve 2 gilt für eine höhere Kathodentemperatur. (b) Abhängigkeit des Sättigungsstromes von der Kathodentemperatur (Beispiel).
wie eine Wolke umgeben und somit eine negative Raumladung erzeugen, die die mit thermischen Geschwindigkeiten aus der Kathode austretenden Elektronen abbremst und zur Kathode zurücktreibt. Das von der Anode herrührende elektrische Feld wird von der Kathode abgeschirmt, weil - bildlich gesprochen - bei kleinen Spannungen die von der Anode ausgehenden Feldlinien alle auf der Raumladungswolke enden und nicht bis zur Kathodenoberfläche hinreichen.
Genau genommen setzt der Anodenstrom schon bei einer kleinen negativen Anodenspannung ein (nicht erkennbar in Abb. 11.3), weil die Elektronen mit einer endlichen kinetischen Energie (< 1 eV) aus der Kathode austreten und damit gegen eine leicht negativ vorgespannte Anode anlaufen können.
Für den ansteigenden Teil der /a(6';i (-Kurve liefert die Theorie die Beziehung
4 = KGa3/2,	(11.2)
die als Langmuir-Schottky’sches Raumladungsgesetz (Child-Langmuir 3/2power law) bekannt ist. Die Konstante K ist die Perveanz (perveance); die dazugehörende SI-Einheit A V '2 wird in der technischen Literatur oft als „perv“ abgekürzt. Die Perveanz ist nur von der Geometrie der Anordnung abhängig. Allerdings geht auch der Faktor (e/m)lp ein, weil die Raumladungsdichte von der Teilchengeschwindigkeit abhängt; für Protonen beträgt die Perveanz bei gleicher Geometrie nur 1/43 des Elektronen wertes.
Dass in Gl. (11.2) die Temperatur der Glühkathode gar nicht vorkommt, entspricht der Tatsache, dass die /a(C/a)-Kurven bei verschiedenen Kathodentempera-turen zunächst denselben Verlauf zeigen (vgl. Abb. 11.3a). Erst wenn Za nahezu den Wert des Sättigungsstromes erreicht, biegt die Kurve um und verläuft horizontal. Von diesem Punkte an gilt das Langmuir-Schottky’sche Gesetz nicht mehr; das Umbiegen erfolgt bei um so höheren Anodenspannungen, je größer die Kathodentemperatur ist.
Der Verlauf der ZS(T)-Kurve (Abb. 11.3b) erfolgt bei hohen Temperaturen nahezu nach einer Exponentialfunktion. Mit steigender Kathodentemperatur erhöht sich die erforderliche Heiz- und Kühlleistung, und die durch Materialverdampfung begrenzte Lebensdauer der Kathode wird kleiner.
Durch Aufdampfen von metallischem Barium auf einen oberflächlich oxidierten Wolframdraht lässt sich die Austrittsarbeit wesentlich herabsetzen, sodass bei glei-
11.1 Techniken 671
eher Emissionsstromdichte die Temperatur niedriger sein kann. Leider verdampft das Barium während des Kathodenbetriebs. Deshalb verwendet man Dispenserkathoden, die das Barium aus einem inneren Reservoir kontinuierlich ergänzen. Dazu wird poröses Wolfram mit Substanzen imprägniert, die bei hohen Temperaturen Barium chemisch freisetzen; die Ba-Atome diffundieren dann allmählich durch das Kathodenmaterial an die Oberfläche.
Dispenserkathoden benötigen ein gutes, öldampf-freies Hochvakuum, während Kathoden aus reinem Wolfram unempfindlich gegen auftreffende Fremdatome sind und selbst in schlechtem Hochvakuum (« 10' Pa), auch bei Anwesenheit von Dif-fusionspumpen-Öldampf, eingesetzt werden können.
Elektronen-Richtstrahler. Die für Richtstrahler wichtigste Kenngröße ist der Richtstrahlwert (electron-beam brightness), definiert als
R = //(ffß),	(11.3)
wobei I der Strom, A die Größe der emittierenden Fläche und ß der vom Strahl gefüllte Raumwinkel ist. Wie in Abschn. 11.1.8 erläutert wird, wächst der Richtstrahlwert proportional zur Beschleunigungsspannung {/; deshalb muss bei Zahlenwerten für R auch U spezifiziert oder aber das Verhältnis R/U (brightness per voll) angegeben werden.
Ein einfacher, häufig verwendeter Richtstrahler ist die Haarnadelkathode (hair-pin cathode), kombiniert mit einer zylindrischen Steuerelektrode (Wehnelt-Zylinder, nach A. Wehnelt, 1909) und einer Anoden-Lochblende (Abb. 11.4a). Die Potential-festlegung für die heißeste Stelle des Wolframdrahtes, von der die Elektronen emittiert werden, erfolgt meist über den Mittelabgriff eines parallel zu den Heizstrom-Zuleitungen geschalteten Spannungsteilers. Die Wehnelt-Elektrode ist gegen die Kathode negativ vorgespannt; je nachdem, ob ihre Öffnung klein oder groß ist und ob die Haarnadelspitze dahinter oder davor liegt, beträgt die Wehnelt-Spannung einige Volt oder einige 100 V. Durch die stark positive Anodenspannung wird das Potential im Loch der Steuerelektrode soweit angehoben, dass die Elektronen hindurchtreten können. Die Anode ist hier nicht die Elektrode, die den Strahlstrom auffängt, sondern eine Lochblende, durch die der Strahl in die eigentliche Versuchsanordnung eintritt. Für die Formierung eines wenig divergierenden Fernfokus-Strahls ist eine Wehnelt-Spannung dicht bei der Sperrspannung am günstigsten. Der Punkt zwischen Wehnelt-Zylinder und Anode, an dem der Strahlquerschnitt am kleinsten ist, heißt Cross-over und hat einen typischen Durchmesser von 30 — 50 jrm. Für Anwendungen, die eine möglichst kleine Elektronenquelle erfordern, wird die Elektronenoptik auf den Cross-over eingestellt.
Die Haarnadelkathode wird mit hohen Anodenspannungen und kleinen Strahlströmen für Elektronenmikroskopie und Elektronenbeugung verwendet. Dieser Richtstrahler zeichnet sich aus durch eine kleine emittierende Kathodenfläche, mit der Stromdichten bis zu 105 A/m2 erreichbar sind. Überschlägig kann man ansetzen, dass die Glühelektronen in einen Raumwinkel von 1 sr emittiert werden und dass sie Energien in der Größenordnung von 1 eV besitzen. Daraus ergibt sich ein Richt-strahlwert-Spannungs-Verhältnis von ungefähr
R/U x 105A m 2 sr-1 V-1.
(11.4)
672	11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.4 Zwei Elektronenstrahler (schematisch): (a) direkt geheizte Haarnadelkathode, (b) indirekt geheizte Hochstrom-Elektronenquelle. K = Kathode, A = Anode, W = Wehnelt-Zy-linder, P = Pierce-Elektrode.
Mit Feldemissions-Richtstrahlern lassen sich etwa lOOOfach größere Richtstrahlwerte erzielen, allerdings bei viel kleineren Strömen, weil die scharfe Spitze bei hohen Strömen durch Joule’sche Wärme rundgeschmolzen wird.
Die systematische Entwicklung von Hochstrom-Systemen mit großflächigen Kathoden, bei denen der Raumladungseinfluss berücksichtigt werden muss, geht zurück auf die Pionierarbeit von J.R. Pierce (1940). Im Pierce’schen Strahlsystem (Pierce guri) wird der Elektronenstrahl als laminarer Fluss geladener Teilchen behandelt. Für zylindersymmetrische Elektrodenanordnungen mit Aperturen (Lochblenden) ist die Perveanz begrenzt, weil störende „Appertureffekte“ auftreten. Die Raumladungsdichte ist in Kathodennähe besonders groß, weil dort die Elektronen sich sehr langsam bewegen. Dadurch wird die Emissionsstromdichte begrenzt. Für einen großen Elektronenstrom benötigt man deshalb eine großflächig emittierende Kathode. Nach ihrer Beschleunigung sollen die Elektronen durch das Loch in der Anode, das wesentlich kleiner als die Kathodenoberfläche ist, hindurchtreten. Um ein elektrisches Feld zu erzielen, das auf der Kathode senkrecht steht und zur Anodenmitte hin konvergiert, empfiehlt sich eine sphärisch gekrümmte Kathodenfläche mit Krümmungsmittelpunkt in Anodennähe (Abb. 11.4b). Die Steuerelektrode, thermisch getrennt von der geheizten Kathode, aber auf gleichem Potential, soll dafür sorgen, dass die Äquipotentiallinien im Randbereich nicht von den Kugelflächen abweichen, obwohl außerhalb des Elektronenstrahls die Raumladung fehlt. Rechnungen unter Einbeziehung der Raumladungseffekte und empirische Untersuchungen führten zu Strahlsystemen, die sich bis zu Perveanzen (d.h. Werten für die Konstante K in Gl. (11.2)) von etwa 1 pperv ( = 10 6A V 3/2) gut bewährt haben.
11.1.5 lonenquellen
lonenstrahlen sind schwieriger zu erzeugen als Elektronenstrahlen. lonenquellen emittieren meist eine Mischung von atomaren und molekularen Ionen verschiedener Elemente bzw. deren Isotope in verschiedenen Ladungszuständen. Ein der Quelle nachgeschaltetes Spektrometer (Abschn. 11.3.2) selektiert die gewünschte lonensor-te.
11.1 Techniken 673
Die Notation für Ionen besteht aus dem chemischen Symbol (z. B. H, H2, H2O) und verschiedenen Zusätzen:
-	links oben die Massenzahl A (optional),
-	links unten die Kernladungszahl Z (optional),
-	rechts oben der Ladungszustand, beschrieben durch das Vorzeichen; bei Mehrfach-Ladungen wird die Zahl n der Elementarladungen dem Vorzeichen vorangestellt.
Der Platz rechts unten ist für einen ggf. vorhandenen Index des Molekülsymbols reserviert.
Für die Kernphysik (Bd. 4, Kap. 4) sind vor allem 1H+ (= p, Proton), 2H+ (= d, Deuteron), 3H+ (= t, Triton) und 4He2+ (= a, Alphateilchen) als Projektile wichtig. Für die Elementarteilchenphysik (Bd. 4, Kap. 5) werden vor allem Protonen ^ED) benötigt, neuerdings aber auch hochgeladene schwere Ionen mit Kernladungen von Z > 80 und Ladungszahlen n nahe bei Z.
Die meisten Quellen nutzen die lonenextraktion aus einem Plasma, das durch Elektronenstoß-Ionisation von Atomen des gewünschten Elementes erzeugt wird. Wichtige Kenngrößen sind die Konversionsefflzienz, definiert als das Verhältnis von extrahiertem lonenstrom zu injiziertem Elektronenstrom, und die lonisationseffi-zienz, definiert als Wahrscheinlichkeit, mit der ein in die Quelle eingebrachtes Atom vom Elektronenstrahl ionisiert wird. Letztere Größe ist wichtig für Quellen mit Gaseinlass, weil sich daraus die Gasbelastung des Vakuumsystems und die Anforderungen an das differentielle Pumpen ergeben.
Als Beispiel für einen hochgezüchteten lonen-Richtstrahler beschreiben wir das von M. v. Ardenne und Mitarbeitern in den 1950er Jahren entwickelte Duoplasma-tron, dessen Entladungsgebiet in Abb. 11.5 skizziert ist. Die Entladung brennt mit einem Gasdruck von 2-5 Pa, einem Strom von 100-300 A und einer Spannung von 70-180 V zwischen der Glühkathode und dem Wolfram-Einsatz der wassergekühlten Anode. Weil das Gas nur durch die Anodenapertur von 1.2 mm Durchmesser austreten kann, sind die Anforderungen an das differentielle Pumpen gering; die loni-sationseffizienz ist sehr hoch, nahezu 90%. Die Fokussierungselektrode zwischen Kathode und Anode besitzt ein zwischen Kathode und Anode liegendes Potential, so gewählt, dass ein großer Teil der Elektronen in das axiale Magnetfeld fokussiert wird. Mit Beschleunigungsspannungen von 50-70 kV können lonenströme von 30-1000 mA extrahiert werden.
Eine Quelle für sehr hochgeladene Ionen ist EBIS bzw. EBIT (= Electron Beam Ion Source or Trap), 1988 in Livermore verwirklicht (Abb. 11.6). Ein stromstarker Elektronenstrahl mit einer Energie, die für die Stoßionisation der inneren Elektronen ausreicht (Z2 • 13.6eV für das letzte Elektron), wird im starken Magnetfeld des supraleitenden Solenoiden komprimiert und nach Austritt aus dem Magnetfeld vom Kollektor abgeführt. Das Potential der negativen Raumladung des Elektronenstrahls und schaltbare Potentialstufen an den Enden der Driftröhre bilden eine lo-nenfalle (Penning-Falle, Abschn. 11.3.3). Die Anordnung arbeitet in Zyklen: Ein Puls schwach geladener Ionen wird in die Falle injiziert. Während die Ionen im Käfig gespeichert sind, werden sie durch Elektronenstöße weiter ionisiert und schließlich aus dem Käfig extrahiert. Produziert wurden mit dieser Technik z. B. die lonenarten 55Cs54+ und 90Th80 + . Mit Kühlung von gespeicherten, hochgeladenen
674	11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.5 Detail einer Duoplasmatron-Ionenquelle. Zwischen den Polschuhen wird die Entladung verdichtet. Das Gas kann nur durch die kleine Öffnung im Wolfram-Einsatz der Anode entweichen (M. v. Ardenne, 1961).
Uran-Ionen durch Stöße mit zugeführten Neon-Atomen, in denen letztere hoch ionisiert werden und schließlich axial aus dem Käfig „verdampfen“, gelang es 1994 in Livermore, neben vielen 92U91+-Ionen auch einige nackte 92U92+-Atomkerne zu produzieren.
Lichtbogen-Plasmen liefern Metall-Ionen. Anderes schwer verdampfbares Material kann durch lonenstrahl-Bombardement oder Laserpulse verdampft und ionisiert werden. Von technischer Bedeutung sind auch Umladungsverfahren: Einfach positiv geladene Ionen wie z. B. H+ können beim Durchgang durch eine Cs-Dampfzelle oder durch eine dünne Folie zwei Elektronen aufnehmen und so zu H werden. Negative Ionen, beschleunigt auf Energien von einigen MeV können dann beim Durchgang durch dickere „Stripper-Folien“ ihre Elektronen wieder verlieren. Das geschieht z. B. im Hochspannungsteil eines Tandem-Beschleunigers (Abschn. 11.3.5).
Abb. 11.6 Anordnung, genannt EBIS oder EBIT, zur Produktion von sehr hochgeladenen Ionen (schematisch).
11.1 Techniken 675
Da neutrale Atome viel schwieriger nachzuweisen sind als deren Ionen, werden sie vor dem Nachweis ionisiert. Für die Alkalimetallatome Cs, Rb und K, deren lonisierungsenergien unterhalb der Austrittsarbeit von Wolfram (4.54 eV) liegt, empfiehlt sich die Oberflächen-Ionisation auf Wolfram bei einer Temperatur von ca. 1400 K. Die verdampfenden Ionen werden durch ein elektrisches Feld abgesaugt und der lonenstrom gemessen (Langmuir-Taylor-Detektor); möglich ist es auch, die Ionen zu beschleunigen und mit einem Teilchendetektor einzeln nachzuweisen und zu zählen. Für die Oberflächen-Ionisation von Na und Li muss das Wolfram zur Erhöhung der Austrittsarbeit auf 6.24 eV an der Oberfläche oxidiert und auf ca. 1800 K gehalten werden.
Die so genannten Universal-Detektoren, mit denen alle Atome, allerdings mit unterschiedlicher Effizienz, nachgewiesen werden können, arbeiten mit Elektronenstoß-Ionisierung. Der stromstarke Elektronenstrahl wird magnetisch geführt.
11.1.6 Elektronen- und lonennachweis
Wir betrachten in diesem Abschnitt in erster Linie den Nachweis von Elektronen; auf Unterschiede beim Nachweis von Ionen wird hingewiesen.
Leuchtschirm-Bild. Wenn Energie und Stromdichte des Elektronenstrahls hinreichend groß sind (typischerweise: einige jrA und einige 10 kV), kann die Stromdichte-Verteilung auf der bestrahlten Fläche als Bild auf dem Leuchtschirm (screen Image) betrachtet werden. Ein für Kathodohimineszenz viel verwendeter Leuchtstoff ist ZnS, aktiviert mit Ag oder Cu. Das polykristalline Leuchtstoff-Pulver wird als dünner, haftender Belag auf die Leuchtschirm-Unterlage aufgebracht. Leuchtschirme auf Metall müssen schräg von der Seite durch ein Fenster betrachtet werden; Leuchtschirme auf Glas erlauben die Betrachtung in Durchsicht, wenn der Leuchtstoffbelag genügend dünn ist. Um Aufladungen des Leuchtschirms und dadurch bedingte Bildstörungen zu vermeiden und gleichzeitig die Lichtausbeute zu erhöhen, kann man auf den Leuchtstoffbelag eine für die Strahlelektronen durchlässige, aber das Licht spiegelnde Aluminiumschicht (Dicke <0.1 jrm) aufdampfen. Will man nur die Aufladungen vermeiden, empfiehlt sich die Verwendung von „leitendem Glas“; das ist Glas, überzogen mit einer transparenten Halbleiterschicht, die für die Ableitung kleiner Strahlströme (« IOjiA) durchaus hochohmig (« 100 kQ) sein kann.
Auch lonenstrahlen können auf Leuchtschirmen sichtbar gemacht werden, führen aber wegen der höheren Teilchenimpulse eher als Elektronenstrahlen zur Zerstörung des Leuchtstoffs.
Strommessung mit dem Faraday-Becher (Faraday cup). Wenn der durch eine kleine Öffnung hindurchtretende Strahlstrom gemessen werden soll, dann ist es am einfachsten, den Strahl in einem Metallbecher „aufzufangen“. Die Ladungen fließen nach außen ab und können in der angeschlossenen elektrischen Leitung als Strom von Leitungselektronen gemessen werden. Mithilfe moderner Elektrometer sind Strommessungen bis hinab zu 10 10 A problemlos möglich; mit sehr empfindlichen Instrumenten sind noch Ströme bis zu etwa 10 14 A messbar.
676
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Die kinetische Energie der auftreffenden Teilchen ist bei Strommessungen unwichtig, solange die Beschleunigungsspannung U groß ist gegen den Spannungsabfall am Eingangswiderstand des Elektrometers. Die Messung des Elektronenstroms erfolgt meist hinter einer Anoden-Lochblende, nachdem die Elektronen auf wenigstens 100 V beschleunigt wurden. Spannungsänderungen am Faraday-Becher haben deshalb keine Rückwirkung auf den Emissionsstrom. Dadurch wird die Strommessung im Prinzip sehr einfach: Der Elektronenstrahl ist eine ideale Stromquelle mit unendlich hohem Innen wider stand. Dieser Strom (z. B. 10 1,1 A) kann durch einen sehr hohen Messwiderstand (z. B. 10wQ) geleitet werden, an dem ein für die Messung hinreichend hoher Spannungsabfall entsteht (im Beispiel hier, ohne Gegenkopplung, 1 V). Die Größe des Messwiderstandes R (hier 1010 Q) und die Kapazität der Messanordnung C (z. B. 10 1,1 F) bestimmen die Zeitkonstante RC (hier 1 s); etwa der dreifache Wert der Zeitkonstante ist die Messzeit, über die der Strom gemittelt wird. Eine prinzipielle Grenze der Strommessung ist durch das thermische Rauschen des Elektrometer-Eingangswiderstandes gegeben. Für Zimmertemperatur und R = 10,<)Q liegt diese Grenze unterhalb 10 14 A; Elektrometer sind umso störungsempfindlicher und teurer, je näher sie an diese prinzipielle Grenze herankommen.
Der Zweck des Faraday-Bechers ist eine möglichst vollständige Sammlung aller durch die Eintrittsblende tretenden Elektronen. Die kleine Öffnung und der große Innenraum des Bechers sorgen dafür, dass die rückgestreuten Elektronen wie auch an der Rückwand ausgelöste Sekundärelektronen mit nur geringer Wahrscheinlichkeit wieder nach außen treten. Zusätzlich wird häufig die Innenwand des Bechers berußt, weil Kohlenstoff für alle Elektronenenergien eine Sekundärelektronen-Ausbeute kleiner als eins besitzt.
Die Abb. 11.7a und b zeigen Messanordnungen, für die angenommen wurde, dass die Kathode auf — [/liegt, sodass der Faraday-Becher über das Elektrometer geerdet werden kann. Auf die Stirnfläche des Bechers, die die Eintrittsöffnung enthält, dürfen keine Elektronen auftreffen, weil Sekundärelektronen-Emission die Messung verfälschen könnte (Abb. 11.7a). Deshalb ist eine Abschirmblende erforderlich
Abb. 11.7 Faraday-Becher (schematische Darstellung): (a) unabgeschirmt, (b) abgeschirmt, (c) Becher und Abschirmung auf positivem Potential mit triaxialer Verbindung zum Elektrometer.
11.1 Techniken 677
(Abb. 11.7b), die leitend mit der geerdeten Metallwand des Vakuumsystems und der Abschirmung des koaxialen Elektrometerkabels verbunden ist.
Die Messung kleiner Ströme kann durch Kriechströme über Isolatoroberflächen verfälscht werden. Das ist besonders kritisch, wenn der Faraday-Becher aus experimentellen Gründen auf erdfernem Potential liegen muss, wie für die Abb. 11.7c angenommen wurde. In solchen Fällen empfiehlt sich die doppelte Abschirmung einer triaxialen Leitung: Die Messleitung, die vom Faraday-Becher zum Elektrometer führt, ist umgeben von einer potentialgleichen inneren Abschirmung (guard) und einer geerdeten äußeren Abschirmung. Zwischen Messleitung und innerer Abschirmung liegt nur der kleine Spannungsabfall, der durch den Messstrom am Elektrometereingang entsteht. Die zwischen Hochspannung und Erde fließenden Kriechströme werden durch die innere Abschirmung vom Elektrometer fern gehalten. Kommerzielle Elektrometer mit triaxialen Leitungen erlauben für Messleitung und innere Abschirmung Potentiale von einigen hundert Volt gegen Erde.
Für die Strommessung mit lonenstrahlen gilt dasselbe. Physikalisch unterschiedlich ist nur die Ladungsübertragung an der Auffangelektrode. Die Ionen werden dort neutralisiert und entweder abgeschieden oder an das Restgas des Vakuumsystems abgegeben; die dabei umgesetzten Substanzmengen sind winzig klein, wie man leicht ausrechnen kann. Die Wahrscheinlichkeit der Sekundärelektronenemission ist für Ionen viel kleiner als für Elektronen gleicher Energie.
Einzelnachweis mit dem Kanal-SEV. Die Abkürzung SEV steht für das Wort-Ungetüm „Sekundärelektronenvervielfacher“; meist wird die englische Kurzbezeichnung „Multiplier“ benutzt. Der hier vorgestellte Kanal-SEV heißt auf Englisch chan-nel electron multiplier (CEM); Channeltron ist ein Markenname (Electron-Optics Div. of Bendix Corporation, jetzt BURLE Technologies, Inc.).
Der CEM besteht im Wesentlichen aus einer langen Glasröhre, die auf der Innenwand mit einem hochohmigen Halbleiter hoher Sekundärelektronen-Ausbeute belegt ist. An den Enden der Röhre befinden sich elektrische Kontakte, über die an den inneren Halbleiter eine Spannung von 2-3 kV angelegt wird. Tritt am negativen Ende ein Elektron in die Röhre ein, dann löst es eine zum positiven Ende
(a)
Abb. 11.8 Kanal-SEV (CEM): (a) Darstellung des Vervielfachungsprozesses, (b) CEM-Bau-form. Die angegebene Schaltung ist für den Nachweis einzelner Elektronen und die Zählung der durch sie ausgelösten Pulse geeignet.
678
11 Geladene Teilchen im Vakuum
der Röhre fortschreitende Elektronenlawine aus (Abb. 11.8a). An den Anfang der Röhre wird ein Trichter gesetzt, dessen innere Oberfläche ebenfalls eine gute Se-kundärelektronen-Ausbeute besitzt, damit der Detektor eine größere Auffangfläche für die nachzuweisenden Elektronen erhält. Hinter dem Ende der Röhre wird ein Anodenblech angebracht, das die aus der Röhre tretende Elektronenlawine auffängt. Außerdem wird die Röhre gekrümmt oder zu einer Spirale aufgewickelt (siehe Abb. 11.8b).
Der Widerstand des inneren Röhrenbelags liegt im Bereich von 108-109Q; die angelegte Betriebsspannung von 2-3 kV verursacht also einen Leitungsstrom in der Größenordnung von 10 jrA und erzeugt den Spannungsabfall in der Röhre, der die Sekundärelektronen beschleunigt. Das Trichterpotential gegen Erde ist in der Schaltung von Abb. 11.8b mit +200V angegeben; Elektronen, die von einer erdnahen Quelle austreten, werden dadurch zum Trichter hin auf eine für Sekundärelektronen-Auslösung günstige Energie beschleunigt. Der Widerstand R2, durch den der Leitungsstrom (ca. IOjiA) fließt, wird so gewählt (etwa 10 MQ), dass das Röhrenende ungefähr 100 V negativer als der positive Pol der Betriebsspannung ist, sodass die austretenden Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden. Durch den Widerstand /Q der zwischen 1 kQ und 1 MQ liegt, fließt nur der Strom der Elektronenlawinen, der selbst bei hoher Primärelektronen-Rate und hoher Verstärkung im Mittel noch kleiner als der Leitungsstrom durch R2 ist. Wenn die Lawine auf der Anode ankommt, entsteht kurzzeitig am Widerstand R1 ein Spannungsabfall, der als Puls über den Kondensator C (typischerweise 6 nF) an die Elektronik weitergegeben wird.
Die Krümmung der Röhre soll nicht nur Platz sparen, sondern soll die lonen-Rückkopplung unterdrücken: Selbst bei gutem Hochvakuum besteht die Möglichkeit, dass ein Restgasatom am hinteren Ende der Röhre, wo der Sekundärelektronenstrom sehr groß ist, ionisiert wird. In einer geraden Röhre kann so ein positives Ion bis an den Anfang der Röhre beschleunigt werden und dort ein Sekundärelektron auslösen, was dann - verzögert um die Laufzeit des Ions - eine nachfolgende Lawine auslöst, die einen Nachpuls hervorruft, der von dem eines Primärelektrons nicht zu unterscheiden ist. Durch die Krümmung wird sichergestellt, dass solche Ionen nur im hinteren Teil der Röhre Sekundärelektronen auslösen, die über die kleinere Strecke bis zum Röhrenende eine entsprechend geringere Verstärkung erfahren, sodass diese Ereignisse durch elektronische Pulshöhen-Diskriminierung unterdrückt werden können.
Die Verstärkung (etwa 106 bis 108) steigt mit der Betriebsspannung. Bei sehr hohen Pulsraten (> 105 s ') sinkt die Verstärkung, weil durch den hohen Sekundärelektronenstrom im hinteren Teil der Röhre die Spannung abgesenkt und dadurch dort die Sekundärelektronen-Ausbeute reduziert wird. Die Nachweiswahrscheinlichkeit hängt dagegen nicht von der Verstärkung ab, sondern nur von der Wahrscheinlichkeit, dass ein auftreffendes Primärteilchen mindestens ein Elektron auslöst. Für Elektronen liegt das Maximum der Nachweiswahrscheinlichkeit von 95 % bei einigen lOOeV Energie. Der Einzelnachweis empfiehlt sich bis zu Zählraten von etwa 105 s bei noch höheren Zählraten (bis zu 107 s 1 mit schneller Zählelektronik möglich) werden Totzeit-Korrekturen notwendig, und die Verstärkung sinkt stark ab.
Bei hohen Primärelektronen-Raten kann das CEM mit kleinerer Betriebsspannung und entsprechend geringerer Verstärkung als Stromverstärker verwendet werden. Gemessen wird der über R. fließende Anodenstrom.
680
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Ortsabhängiger Teilchennachweis. Die Vielkanalplatte erlaubt den ortsabhängigen Nachweis der Primärelektronen. Wie in Abb. 11.10a deutlich erkennbar ist, treffen die austretenden Sekundärelektronen je nach Auftreffort des Primärelektrons unterschiedliche Teile der Anode. Wenn auch die austretende Elektronenlawine einen größeren Durchmesser besitzt als ein Kanal, so kann doch die Lage des Mittelpunktes dieser Lawine mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die prinzipiell nur durch den Kanaldurchmesser begrenzt ist.
MCP1
MCP 2
—austretende
Sekundärelektronen
Primärelektron
Kanäle
Anode
Ausgangs-----o puls
Abb. 11.10 (a) Schnitt durch ein Chevron-Doppel-MCP und Skizzierung der Wirkungsweise; (b) Anodenunterteilung für die Bestimmung von x- und r-Position des auftreffenden Primärelektrons.
Eine sinnreiche Anodenunterteilung für zweidimensionale Ortsauflösung zeigt Abb. 11.10b. Die Anode ist dreifach unterteilt. Zwei Teilanoden (A3 und A2) sind nicht-überlappende Masken, die eine mit Längsstreifen, deren Breite in x-Richtung zunimmt, die andere mit spitzwinkligen Dreiecken, die in j’-Richtung breiter werden (Backgammon-Konfiguration). Die dritte Teilanode (A3) liegt dahinter und fängt auf, was die erstgenannten durchlassen. Die auftreffende Lawine hat einen Durchmesser, der groß genug ist, um mehrere Streifen und Spitzen der Teilanoden A3 und A, zu überdecken. Die Gesamtladung Q verteilt sich auf die drei Teilanoden nach Q = Qt + Q2 + Qy Die Verhältnisse QJQ und QJQ sind Maße für die Positionen entlang der x- und r-Achse. Es gibt auch noch andere, sehr raffinierte Verfahren zur Ortsbestimmung, die mit anders gestalteten Anoden arbeiten. So werden z. B. Pulse, abgeleitet von verschiedenen Punkten der Anode, getrennt verstärkt, und aus ihren Laufzeitdifferenzen wird der Ort bestimmt.
Wird statt des Chevron-Doppel-MCPs ein einzelnes mit geraden Kanälen verwendet, dann ist der Durchmesser der austretenden Lawine kaum größer als der Kanaldurchmesser. Ersetzt man nun die Anode durch einen Leuchtschirm auf transparenter Unterlage, dann hat man einen Elektronen-Leuchtschirm mit Bildverstärkung. Bringt man auf dem MCP ein Fenster mit Photokathode an, dann ist die Anordnung ein optischer Bildverstärker (image intensifier).
11.1 Techniken 681
Halbleiter-Detektor. Der Halbleiter-Detektor ist eine große scheibenförmige pn-oder pin-Diode mit planparallelen Elektroden auf den Stirnflächen. Der Detektor wird mit Sperrspannung betrieben; mit der angelegten Spannung wächst die Tiefe der Verarmungszone, bis sie die Dicke der Diode erreicht.
Elektronen und Ionen (oder auch Photonen), die im Detektor absorbiert werden, verlieren ihre Energie zum Teil durch die Anregung von Elektron-Loch-Paaren. Die Bandlücke in Si beträgt 1.1 eV; weil aber auch Energie durch andere Prozesse verloren geht, sind im Mittel 3.62 eV erforderlich, um ein Elektron-Loch-Paar in Si zu erzeugen. Erstaunlicherweise ist dieser Wert praktisch unabhängig von der Art oder Energie des ionisierenden Teilchens. (Die mittlere Energie für die Erzeugung eines Elektron-Ion-Paares in einem Gas ist deutlich höher, sie liegt bei 15-30eV.)
Die durch das ionisierende Teilchen erzeugten Ladungsträger werden durch das Sperrfeld abgesaugt. Der Strom-Puls wird mit einem strom-integrierenden („ladungsempfindlichen“) Verstärker elektronisch verarbeitet, sodass für die Datenerfassung ein Spannungspuls entsteht, dessen Höhe der im Detektor erzeugten Ladungsmenge proportional ist. Diese Größe ist ein Maß für die kinetische Energie E eines im Detektor absorbierten Teilchens.
Ein häufig verwendeter Halbleiter-Detektor ist der Oberflächen-Sperrschicht-De-tektor (surface barrier detector). Die Goldschicht auf der Stirnfläche bildet mit dem n-Si einen pn-Schottky-Übergang; auf der Rückseite bildet n-Si mit einer Aluminiumschicht einen ohmschen Kontakt. Mit dieser Technik können Detektoren mit Dicken von lOjrm bis zu einigen Millimetern und empfindliche Flächen von etwa 10 bis 1000 mm2 hergestellt werden. Die Oberflächen-Sperrschicht-Detektoren sind im Betrieb lichtempfindlich, weil die Si-Bandlücke kleiner ist als die Photonenenergie des sichtbaren Lichtes; die dünne Goldbedampfung auf der Vorderseite genügt nicht als Lichtschutz.
Eine andere Technik nutzt Ionenimplantation anstelle der Metallbedampfung: Die Sperrschicht auf der Vorderseite wird bei n-Silicium durch Bor-Implantation erzeugt, der ohmsche Kontakt auf der Rückseite durch Arsen-Implantation. So lassen sich Detektoren mit noch dünneren und robusteren Elektroden herstellen, die das vakuumtechnisch oft erforderliche Ausheizen auf 200 °C vertragen, aber teurer sind.
Die auflösbare Energie ist ungefähr gleich der energetischen Halbwertsbreite \E der mit monoenergetischen Primärteilchen erhaltenen Linien im Pulshöhenspektrum. In diesen Wert geht der Untergrund-Sperrstrom des Detektors, die Teilchenstreuung in der Eintrittselektrode (Fenster) und das Rauschen der Elektronik ein. Typische Werte für Zimmertemperatur sind \E x 10-15 keV; Kühlung von Detektor und Vorverstärker verkleinert \E.
Zur vollständigen Absorption von Elektronenstrahlen in der Verarmungszone eines Si-Detektors genügt eine Verarmungstiefe von 80jrm für lOOkeV, 2000 jrm für 1 MeV. lonenstrahlen gleicher Energie werden stärker absorbiert, weil die Streuquerschnitte mit fallender Geschwindigkeit größer werden. Für sehr hohe Teilchenenergien und dünne Detektoren wird die Reichweite der Teilchen größer als die Detektordicke. Dann können Halbleiter-Detektoren in Transmission zur Messung des längenspezifischen Energieverlustes dE/dz eines in z-Richtung durch den Detektor hindurchgegangenen Teilchens eingesetzt werden.
11.1 Techniken 683
positiven Raumladungen erzielt. Der Weg des Strahles wird durch das Aufleuchten der von den Teilchen getroffenen Gasmoleküle deutlich sichtbar (Abb. 11.11).
Ähnlichkeitsgesetze. Die Bahnen (Trajektorien) geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern erfüllen einige Ähnlichkeitsgesetze (scaling laws), die unter folgenden Näherungsannahmen gelten: Wie eingangs erwähnt, werden nichtrelativistische Geschwindigkeiten und verschwindend kleine Austrittsenergien angenommen; außerdem müssen Raumladungseinflüsse und Laufzeiteffekte zu vernachlässigen sein.
Wir betrachten die Abhängigkeit von der Teilchenladung q, der Teilchenmasse m und den charakteristischen Größen der Anordnung f, U und B. Alle Längenmaße - die der Elektrodenkonfiguration und die der Trajektorien - sind proportional zu der charakteristischen Länge f zu skalieren. Das gleiche Skalierungsprinzip gilt für die charakteristische Spannung U, und das charakteristische Magnetfeld B. (Wenn es keine ferromagnetischen Hysterese- und Sättigungserscheinungen gäbe, könnte statt B auch ein charakteristischer Spulenstrom eingeführt werden.) Die Ähnlichkeitsgesetze lauten:
1.	Für rein elektrische Anordnungen gilt: Die Trajektorien sind unabhängig von U, f, q und m.
Die Trajektorien werden also nur durch die Spannungs- und Längenverhältnisse der Anordnung bestimmt; Ladung und Masse gehen nicht ein. Wenn bei einem Vorzeichenwechsel der Ladung auch alle Spannungen umgepolt werden, ändern sich die Trajektorien nicht.
2.	Die Flugzeit r, die das Teilchen entlang der betrachteten Trajektorie benötigt, verändert sich bei Skalierungen. Es gilt:
r - f U-112 (q/m)-112.	(11.8)
3.	Für Anordnungen mit magnetischen Feldern gilt: Die Trajektorien bleiben bei Skalierungen unverändert, solange folgende Bedingung erfüllt ist:
(q/m)1/2 f B U-112 = konst.	(11.9)
Dieses Ähnlichkeitsgesetz ist leicht zu verifizieren, wenn man ein Teilchen mit der Geschwindigkeit r senkrecht zu B betrachtet: Gleichsetzen von Lorentz-Kraft qvB und Zentrifugalkraft niv r. sowie r — f und qU = mv2j1 führen zu Gl. (11.9). Die Relation für die Flugzeit (Gl. (11.8)) gilt weiterhin.
Aus Gl. (11.9) folgt:
-	Bei Spannungsskalierungen müssen die Magnetfelder proportional zu ]/[/ mitskaliert werden.
-	Ladung und Masse gehen nicht getrennt ein, sondern nur als (massen-)spezifische Ladung q/m.
-	Teilchen mit verschiedenen spezifischen Ladungen können in Magnetfeldern durch ihre unterschiedlichen Trajektorien getrennt werden; in rein elektrischen Anordnungen ist das dagegen nur durch Ausnutzung der unterschiedlichen Flugzeiten möglich.
684
11 Geladene Teilchen im Vakuum
11.1.8 Elektronenoptik
Weil Elektronen die ersten geladenen Teilchen waren, die als intensive Strahlen für Experimente zur Verfügung standen, entstand zuerst die Elektronenoptik in Analogie zur geometrischen Lichtoptik. Selbstverständlich gelten die Ergebnisse der Elektronenoptik im Rahmen der oben dargelegten Ähnlichkeitsgesetze auch für alle anderen Sorten geladener Teilchen. Weil Teilchenstrahlen auch Welleneigenschaften besitzen (vgl. Welle-Teilchen-Dualismus, Abschn. 7.2), gibt es auch Elektronenbeugung und Elektronenstrahl-Interferenzen (Bd. 3, Kap. 10).
Elektronenoptische Brechzahl. Die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen optischen Medien mit den Brechzahlen nY und n2, an der ein Lichtstrahl nach dem Brechungsgesetz zum dichteren Medium hin gebrochen wird, lässt sich elektronenoptisch durch zwei (in Abb. 11.12a horizontale) dünne, dicht beieinander liegende planparallele Netze auf unterschiedlichem elektrischen Potential darstellen. Oberhalb der beiden Netze sei das Potential, bezogen auf die geerdete Kathode, gleich Ux, unterhalb gleich U2. Für U2 > U1 wird der schräg von oben einfallende Elektronenstrahl zum Einfallslot hin „gebrochen“, weil die Beschleunigung zwischen den Netzen nur die lotrechte Geschwindigkeitskomponente uz erhöht (Abb. 11.12b).
Nach Abb. 11.12b erhält man
sinai = IM / [t?i + t?i]1/2	(11.10)
und eine analoge Formel für sin a2. Da vxl = vx2 ist und die Gesamtgeschwindigkeit proportional zur Wurzel aus der Beschleunigungsspannung U angesetzt werden kann, ergibt sich
sin 7,/sin z2 = |/7Ä/(11.11)
Von der Lichtoptik wird das Brechungsgesetz in der Form
sin 2,/sin z2 = «2/G	(11.12)
Abb. 11.12 Zum Brechungsgesetz für Elektronenstrahlen: (a) Zwischen den Netzwänden der Potentialbereiche 1 und 2 werden die Elektronen beschleunigt; (b) Geschwindigkeitskomponenten in 1 und 2.
11.1 Techniken 685
übernommen. Aus dem Vergleich von Gl. (11.11) und Gl. (11.12) ergibt sich schließlich die elektronenoptische Brechzahl (electron-optical index of refactiori) zu
n~]/Ü.	(11.13)
Richtstrahlwert. In Abschn. 6.1.1 war die Strahldichte (radiance) L (SI-Einheit: W m 2 sr 1) eingeführt worden, eine Größe, die sich durch optische Hilfsmittel wie Linsen und Spiegel i.Allg. nicht erhöhen lässt. Nur beim Übergang von Vakuum (Luft) in ein dichteres Medium mit n > 1 erhöht sich die Strahldichte um den Faktor n2. Für die photometrische Leuchtdichte (brightness) gilt dasselbe.
Der schon in Abschn. 11.1.4 eingeführte Richtstrahlwert R ist eine zu Strahl- und Leuchtdichte analoge Größe, die dem Quadrat der elektronenoptischen Brechzahl und damit der Beschleunigungsspannung U proportional ist. Die Strahlelektronen können wie die Moleküle eines Gases behandelt werden: Sie besetzen ein bestimmtes Volumen im Phasenraum, der sich für einen axialsymmetrischen Gleichstrom-Strahl auf den zweidimensionalen Phasenraum mit der Lagekoordinate r und der Impulskoordinate pr reduziert. Die Konstanz von R/ U folgt dann aus dem Liouville’schen Satz der statistischen Thermodynamik.
Die wichtige, mit elektronenoptischen Mitteln nicht zu erhöhende Größe R/U hat im Deutschen keinen eigenen Namen, im Englischen wird sie brightness per voll genannt.
(11.14)
Magnetische Linsen. Im homogenen axialen Magnetfeld erfahren achsenparallele Elektronenstrahlen keine Ablenkung. Haben aber die Strahlen einen zur Feldrichtung schiefen Verlauf, so ergibt die Überlagerung einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit parallel zum 2?-Feld und einer Kreisbewegung senkrecht zum 2?-Feld eine die magnetischen Feldlinien spiralförmig umschlingende Bahn.
Je schiefer der Strahl in das Feld eintritt, desto kleiner ist seine Geschwindigkeitskomponente in der Feldrichtung, und desto größer ist der Kreis, der senkrecht zum Feld durchlaufen wird. Bezeichnen wir mit 0 den Neigungswinkel des Strahles gegen die Feldrichtung und mit v seine Geschwindigkeit, so ist v sin0 die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Feldrichtung. Der Radius der Kreisbahn ist
v sinö
(efm) B
Die Zeit für einen vollständigen Umlauf ist
r = 2nr/(u sin0) = 2n/[(e/m) B\,	(11.15)
also unabhängig vom Kreisradius. Das heißt aber, dass alle unter verschiedenen Winkeln schief gegen die Achse des Feldes eintretenden Teilchen nach Ablauf der gleichen Zeit wieder die Achse schneiden. Alle Teilchen, die mit gleicher Geschwindigkeit in einem Punkt des Feldes unter verschiedenen Winkeln eintreten, müssen also auch wieder durch einen Punkt hindurchgehen, der in der Feldrichtung um eine Strecke d vom Eintrittspunkt entfernt ist. Für d ergibt sich die Beziehung
d — v cos0 • 2n/[(e/m) ß]	(11.16)
(H. Busch 1922); ist die Neigung 0 des Strahles klein, so kann cos0 = 1 gesetzt werden. In dieser Näherung erzeugt das axiale homogene Magnetfeld von irgend einem
686
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.13 Abbildung durch eine kurze magnetische Linse. Bild und Objekt sind nicht entgegengesetzt orientiert, sondern zu der normalen „Bildumkehr“ kommt eine Bilddrehung um den Azimutwinkel <p.
Strahlquerschnitt am Achsenpunkt z0 eine Serie von (l:l)-Abbildungen an den Stellen z0 + nd (n = 1, 2 ...).
Die typische magnetische Linse ist die kurze Linse (Abb. 11.13), deren inhomogenes Feld sich nur über einen kleinen Axialbereich erstreckt. Die Arbeit von H. Busch „Über die Wirkungsweise der Konzentrierspule in Braunschen Röhren“ (1926) wird als Geburtsstunde der Elektronenoptik betrachtet: Busch bewies, dass ein kurzes, axial symmetrisches Magnetfeld auf einen Elektronenstrahl wie eine Sammellinse wirkt. Die Brechkraft (= Brennweite) der „kurzen Linse“ ist für achsennahe Strahlen gegeben durch
l//= (e/W) (8[/)~1/2 f £2 dz.	(11.17)
Die Brechkraft ist proportional zum Quadrat der Feldstärke, also unabhängig von der Feldrichtung.
Zu den verschiedenen Linsenfehlern, die von der Lichtoptik schon bekannt sind, kommt die Bilddrehung der magnetischen Linse (Abb. 11.13) hinzu. Der Drehsinn kehrt sich mit der Feldrichtung um.
Zum qualitativen Verständnis der Wirkung einer magnetischen Linse ist zuerst daran zu erinnern, dass das Feld nur Axial- und Radialkomponenten besitzt. Ein achsenparallel einfallendes Elektron erhält erst einmal durch die radiale Feldkomponente eine azimutale Geschwindigkeitskomponente; die Bahn wird aus der Einfallsebene herausgedreht. Danach ergeben azimutale Geschwindigkeit und axiale Feldstärke eine Lorentz-Kraft, die radial nach innen gerichtet ist und fokussierend wirkt. Eine kurze magnetische Linse besteht meist aus einer axialen Spule, die mit einer innen nicht völlig geschlossenen Eisenkapselung umhüllt ist, weil deren Streufeld auf einen kleineren Achsenbereich konzentriert ist als bei einer ungekapselten Spule; die Brechkraft wird dadurch größer.
Die magnetische Linse (gekapselte Spule oder entsprechender Permanentmagnet) befindet sich außerhalb des Vakuumsystems, wie z. B. bei allen Fernseh-Bildröhren. Für hohe Qualität der Abbildung müssen Spulenstrom und Beschleunigungsspannung hinreichend konstant gehalten werden.
Elektrische Linsen. 1931/32 erkannten C.J. Davisson und C.J. Calbrick und unabhängig davon E. Brüche und H. Johannson, dass rotationssymmetrische elektrosta-
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Abb. 11.14 Elektronenoptische Rohrlinse (mit Äquipotentiallinien und zwei Trajekto-rien) und licht-optisches Analogon (mit zwei Strahlen).
tische Felder ebenfalls als Elektronenlinsen genutzt werden können. Der einfachste Fall ist die Rohrlinse (two-tube lens) von Abb. 11.14, in deren elektrischem Feld die Elektronen beschleunigt werden. Links von der Mittelebene ist die elektrische Kraft auf ein achsenparallel einfallendes Elektron radial nach innen gerichtet, wirkt also fokussierend; rechts von der Mittelebene ist die Kraft nach außen gerichtet, wirkt also defokussierend. Weil aber die Elektronen in der linken Linsenhälfte langsamer sind als in der rechten, überwiegt die fokussierende Wirkung. Die Rohrlinse wirkt wie eine Sammellinse.
Wenn in den an die Linse angrenzenden Bereichen die Beschleunigunsspannungen unterschiedlich sind (wie in Abb. 11.14), dann bildet die Linse den Übergang zwischen zwei elektronenoptischen Medien mit verschiedenen Brechzahlen, entsprechend den Wurzeln der Beschleunigungsspannungen U1 und U2. Etwas Ähnliches gibt es in der Lichtmikroskopie, wenn man zur Erhöhung des Auflösungsvermögens zwischen Objektträger und Objektiv einen Tropfen Flüssigkeit mit hoher Brechzahl bringt. Das mikroskopische Objekt wird in die Flüssigkeit „eingetaucht“, weshalb das objektseitig feuchte Objektiv den Namen „Immersionslinse“ erhielt. Weil die Pioniere der Elektronenoptik sehr gern die Beziehungen zur klassischen Optik herausstellten, erhielten diese Elektronenlinsen den Namen Immersionslinsen (Immersion lenses), der heute mangels optischer Allgemeinbildung kaum noch verstanden wird. Linsensysteme mit mehreren Elektroden sind ebenfalls Immersionslinsen, wenn sie auf beiden Seiten an Bereiche mit unterschiedlichem Potential anschließen; das gilt auch für das System Kathode/Wehnelt-Elektrode/Anodenlochblende.
Neben den Immersionslinsen gibt es auch die so genannten Einzellinsen (einzel lenses), die beidseitig an Bereiche mit derselben elektronenoptischen Brechzahl anschließen. Eine Einzellinse hat eine Mittelelektrode auf abweichendem, meist negativem Potential, und ihr elektrisches Feld erstreckt sich nur über einen kurzen Axialbereich. Bei negativem Mittelelektroden-Potential wirkt das elektrische Feld in beiden Außenbereichen defokussierend, das im Mittelbereich fokussierend (Abb. 11.15). Die fokussierende Wirkung überwiegt, weil die Elektronen im fokussierenden Bereich langsamer sind als in den defokussierenden Außenbereichen. Die Einzellinse wirkt wie eine Sammellinse; das gilt auch für positives Mittelelektroden-Potential, wie man sich mit einer ähnlichen Argumentation verständlich machen kann.
Die Einzellinse hat den Vorteil, dass sich die Brechkraft durch Veränderung der Spannung an der Mittelelektrode variieren lässt, ohne dass dabei die Energie des
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11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.15 Potentialverlauf in einer Einzellinse gebildet aus drei Lochblenden, mit der Mittelelektrode auf negativem Potential. Unten: lichtoptische Analogie.
Elektronenstrahles vor oder hinter der Linse verändert wird. Wenn nur eine bestimmte Brechkraft der Linse verlangt wird, dann ist es bei geeigneter Konstruktion möglich, die Mittelelektrode auf Kathodenpotential zu legen, denn das Sattelpunkt-Potential im Mittelpunkt der Linse ist positiver als das Elektrodenpotential.
Elektrostatische Linsen mit axialsymmetrischen Elektroden wirken auf Elektronenstrahlen wie sphärisch gekrümmte Glaslinsen auf Lichtstrahlen. Ersetzt man aber die Lochblenden (Öffnungsdurchmesser 2r) durch Schlitzblenden (Schlitzbreite Ax « 2r, Schlitzlänge Ar |> Ax), dann beschränkt sich die Linsenwirkung auf die xz-Ebene. In Analogie zu zylindrisch gekrümmten Glaslinsen, die auch nur in einer Ebene fokussieren, werden solche elektronenoptischen Schlitzblenden-Linsen als Zylinderlinsen bezeichnet.
Eine elektrostatische Linse besteht aus mehreren Metallröhren oder -scheiben, die sich auf verschiedenem Potential innerhalb der Vakuumröhre befinden. Die notwendigen Vakuumdurchführungen für die Zuleitungen und die eventuell auftretenden Hochspannungsprobleme sind technische Nachteile im Vergleich zu magnetischen Linsen. Ein Vorteil der elektrostatischen Linsen ist der mögliche Einsatz eines Spannungsteilers für alle Spannungen des Systems, betrieben mit einer einzigen Spannungsquelle, die bei Abwesenheit von Magnetfeldern nicht besonders konstant zu sein braucht, weil dann die Trajektorien nur von den Spannungsverhältnissen abhängen (Ähnlichkeitsgesetz).
Energieanalysatoren (energy analyzers). Anordnungen, die Teilchengemische nach ihren spezifischen Massen q/m trennen können, werden im Abschn. 11.3.2 über „Massenspektrometer“ besprochen. Hier betrachten wir am Beispiel der Elektronen nur Strahlen von Teilchen gleicher Ladung und Masse.
Ein ursprünglich monoenergetischer Elektronenstrahl kann nach Wechselwirkung mit Materie auch Elektronen enthalten, die Energieverluste erlitten haben. Zur Messung der Energieverlust-Spektren verwendet man Energieanalysatoren. Das Auflösungsvermögen solcher Analysatoren kann prinzipiell nicht besser sein als die Breite der Energieverteilung AE des Primärstrahls, die bei Elektronenstrahlen von Glühkathoden einige Zehntel eV beträgt. Energieanalysatoren, die zur Einengung der primären Energieverteilung, also als energetische Schmalband-Filter eingesetzt werden, nennt man (in der beliebten Analogie zur Lichtoptik) Monochromatoren.
Bisher hatten wir angenommen, dass alle Strahlteilchen die durch die Beschleunigungsspannung U bestimmte Energie eU besitzen. Jetzt müssen auch Teilchen
11.1 Techniken 689
betrachtet werden, deren Energie um e-AC/ davon abweicht, weil entweder eine von null verschiedene Austrittsenergie hinzukommt, oder ein erlittener Energieverlust abzuziehen ist; für solche Teilchen ergeben sich i.Allg. andere Trajektorien. Auch die elektronenoptischen Eigenschaften eines Linsensystems sind von A[/ abhängig. Dieser sogenannte „chromatische Linsenfehler“ beeinflusst aber nur die achsenfernen Bahnen und ist deshalb für die Energieanalyse ungeeignet. Geeignet ist eine den ganzen Strahl erfassende Ablenkung in einem transversalen elektrischen oder magnetischen Feld.
Für alle mit statischen Ablenkfeldern arbeitenden Analysatoren gilt, dass die Energieabweichungen e  A U umso leichter zu erfassen sind, je kleiner die Soll-Energie eU ist, mit der der Strahl durch den Analysator geschickt wird. Für die Energieanalyse niederenergetischer Elektronen werden elektrische Ablenkfelder aus technischen Gründen bevorzugt, weil sie leicht in der gewünschten Form erzeugt werden können, fast ohne störende Streufelder. Magnetische Felder, erzeugt mit Spulen, lassen sich schwer örtlich begrenzen; bei der Verwendung von magnetisch weichen Ferromagnetika treten lästige Hysterese-Effekte auf.
Da die Strahlteilchen nicht alle mit der genau gleichen Richtung in das Ablenkfeld ein treten, überlagern sich zwei Effekte: (1) die erwünschte energieabhängige Ablenkung (Energiedispersion), (2) die unvermeidliche richtungsbedingte Strahlaufspaltung (Divergenz). Bevorzugt werden deshalb Ablenkfelder, die neben der Energiedispersion auch noch näherungsweise (d. h. in 1. Ordnung) Richtungsfokussierung liefern. Dabei ist zwischen der Ebene, in der die Strahlablenkung erfolgt, und der dazu senkrechten Ebene zu unterscheiden. Optimal ist ein energie-dispersives System mit Richtungs-Doppelfokussierung, das alle Teilchen einer Energie, die von einem Punkt vor dem Analysator ausgehen, in einen Punkt hinter dem Analysator fokussiert. Richtungs-Doppelfokussierung zeigen alle Kugelkondensator-Sektorfelder. Der viel verwendete 180' -Kugelkondensator (Abb. 11.16) bildet einen Punkt in der Eintrittsöffnung 1:1 in die Austrittsöffnung ab. Die Elektronen, die die ideale Halbkreisbahn (gestrichelt in Abb. 11.16) durchlaufen, haben vor, in und hinter dem Analysator die Energie eU0. Die mit diesem Analysator auflösbare Energie liegt etwa bei 1 % von eU0.
Abb. 11.16 180c-Kugelkondensator als Energieanalysator für Elektronen (CHA = concen-tric hemispherical analyzer).
Elektronenoptische Computerprogramme. Die zunehmende Verfügbarkeit von leistungsstarken Computern wird auch in der Elektronenoptik genutzt: Statt die Hauptstrahlen der geometrischen Optik graphisch zu verfolgen, werden (2 x 2)-Matrizen
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11 Geladene Teilchen im Vakuum
-je eine für ein optisches Element oder eine Driftstrecke - miteinander multipliziert und so die beiden Parameter eines Strahls, Achsenabstand und Neigung, schnell berechnet.
Wenn die Näherungen der geometrischen Optik, die die Vernachlässigung aller Linsenfehler beinhalten, nicht mehr gerechtfertigt sind, dann werden heute mit dem Computer viele Trajektorien für unterschiedliche Ausgangsbedingungen (Achsenabstand, Richtung, Geschwindigkeit) berechnet und graphisch dargestellt. Es gibt verschiedene Programme, die sich in Leistungsfähigkeit und Benutzerfreundlichkeit unterscheiden. Vor der eigentlichen Trajektorienberechnung wird das elektrische Feld für die gegebene Elektrodenkonfiguration und die gewählten Elektrodenpotentiale durch Lösung der Laplace-Gleichung (Abschn. 2.3.2) berechnet.
Magnetische Felder ohne Ferromagnetika werden als axial-symmetrische Spulenströme eingegeben; für kompliziertere .ß-Felder kann alternativ die ß-Feldstärke entlang der Achse eingegeben werden. Iterativ ist auch die Erfassung von Raumladungseinflüssen möglich: Nachdem genügend viele, für den Strahl repräsentative Trajektorien ohne Raumladung berechnet worden sind, wird daraus für einen vorgegebenen Strahlstrom die Raumladung im Strahl berechnet. Abschließend berechnet der Computer das elektrische Feld mit Raumladung, das dann bei den Trajektorien der nächsten Iterationsstufe zugrunde gelegt wird. - Es gibt auch Programme für nicht-rotationssymmetrische Fälle, z. B. für die Ablenkung eines Strahls in einem transversalen elektrischen oder magnetischen Feld, wo die Bahnen in der xz- und r"-Ebene getrennt berechnet werden müssen.
Strahltransport-Systeme. Die Elektronenoptik wurde hauptsächlich für die Punkt-zu-Punkt-Abbildungen, die in der Elektronenmikroskopie wichtig sind, entwickelt. Oftmals möchte man aber gar keine fehlerarme Abbildung erzeugen, sondern nur einen Strahl möglichst verlustarm mit minimalem Aufwand über z. T. lange Strecken transportieren. Ein abbildendes System benötigt wenige Linsen mit spezifischen Eigenschaften an ganz bestimmten Stellen. Ein Strahltransportsystem besteht dagegen meist aus einer langen Kette von eng hintereinander plazierten optischen Elementen gleichen Typs.
Schwache Fokussierung. Die bisher besprochenen kurzen Linsen nutzen, genau betrachtet, nur die relativ schwachen Streufelder aus: Das starke Magnetfeld bei der kurzen magnetischen Linse herrscht im Spalt der Eisenkapselung, weit weg von der Achse; das starke elektrische Feld der Rohrlinse oder der Einzellinse herrscht direkt zwischen den Elektroden, nicht in Achsennähe. Weil die elektronenoptisch genutzten Radialkomponenten der Streufelder in Achsennähe so viel schwächer sind als die Maximalfeldstärken, wird diese Technik als „schwache Fokussierung“ bezeichnet. Mit zunehmender Elektronenenergie wird es immer schwieriger, hinreichend starke Streufelder zu erzeugen, weil im magnetischen Fall die Sättigungsmagnetisierung des Eisens und im elektrischen Fall Hochspannungsprobleme technische Grenzen setzen.
Starke Fokussierung. Wenn anstelle der schwachen Streufelder die maximalen Felder einer Anordnung direkt zur Beeinflussung der Elektronenbahnen ausgenutzt werden, nennt man das „starke Fokussierung“ (strong focussing'). Ein Beispiel dafür sind die im Folgenden besprochenen Quadrupole.
11.1 Techniken 691
Abb. 11.17 Lichtoptisches Analogon zur starken Fokussierung.
Stark fokussierende Felder sind nicht rotationssymmetrisch zur optischen Achse (z-Achse). Sie fokussieren in der xz-Ebene und defokussieren in der rz-Ebene oder umgekehrt. Durch Hintereinanderschaltung von Elementen, die abwechselnd fokussieren und defokussieren, wird dennoch insgesamt Fokussierung erreicht. Das gilt auch in der Lichtoptik. Qualitativ verständlich ist dieses Verhalten, wenn man bedenkt, dass bei Linsen die Prismenwirkung mit dem Radius zunimmt. Wie die Abb. 11.17 zeigt, treffen die Strahlen die Sammellinsen in größerem Achsenabstand als die Zerstreuungslinsen; deshalb überwiegt die Fokussierung.
Quadrupole. Das ideale Quadrupolfeld hat hyperbolische Feldlinien. Die dazugehörenden Äquipotentiallinien sind ebenfalls Hyperbeln. Mit vier achsenparallelen Elektroden der Länge l, deren Form sich den Äquipotentialflächen anpasst, lässt sich ein elektrisches Quadrupolfeld erzeugen. In der Ebene, in der die negativen Pole liegen, wirkt der Quadrupol auf Elektronen fokussierend, in der Ebene der positiven Pole defokussierend. Für positiv geladene Teilchen ist das umgekehrt. Ein Quadrupol-Dublett besteht aus zwei gekreuzten Quadrupolen (Abb. 11.18a), die insgesamt in beiden Ebenen fokussierend wirken. Näherungsweise können Quadrupole als dünne Linsen mit einer Hauptebene in ihrer Mitte und mit betragsgleichen Brennweiten für die Fokussierungs- und Defokussierungsebene behandelt werden (Abb. 11.18b,c).
Für die praktische Gestaltung elektrischer Quadrupole genügt es, die Querschnitts-Hyperbeln durch Kreisbögen anzunähern: Für die Elektroden werden zylindrische Stäbe verwendet mit dem Radius
r= 1.147 r0	(11.18)
(r0 = Abstand des Hyperbelscheitels von der Achse).
Es gibt auch magnetische Quadrupole. Deren Wirkung beruht auf der Lorentz-Kraft, die senkrecht zum .ß-Feld, also entlang der magnetischen Äquipotentiallinien, gerichtet ist; bei gleicher Fokussierung müssen in magnetischen Quadrupolen die B-
Abb. 11.18 (a) Zwei gekreuzte elektrische Quadrupole. (b,c) Optische Analogbilder: (b) für die .vs-Ebene, (c) für die rs-Ebene im Fall positiv geladener Teilchen.
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11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.19 Abbildung eines Achsenpunktes ins Unendliche: (a) mit einem Quadrupol-Dublett, (b) mit einem Quadrupol-Triplett.
Felder anders liegen als die .E-Felder in einem gleich fokussierenden elektrischen Quadrupol, nämlich 45° azimutal dagegen verdreht.
Die vielfältigen Einsatzmöglichkeiten der Quadrupole sollen durch zwei Beispiele veranschaulicht werden. Abb. 11.19a zeigt, wie ein Quadrupol-Dublett die von einem Punkt auf der Achse ausgehenden Stahlen in ein achsenparalleles Strahlenbündel umformt, allerdings ist die Breite des resultierenden Stahlenbündels in den beiden Ebenen unterschiedlich groß. Mithilfe eines Tripletts (Abb. 11.19b) lässt sich ein runder achsenparalleler Strahl erhalten. Es sind auch völlig unterschiedliche Strahlengänge in den beiden Ebenen möglich, z. B. Punkt-zu-Punkt-Abbildung in der einen Ebene und Punkt-zu-Parallelstrahlenbündel in der anderen.
Raumladungseinflüsse. Zu unterscheiden ist die Abstoßung durch die negative Raumladung des Elektronenstrahls und die Auswirkung einer eventuell vorhandenen positiven Raumladung durch Ionen der Restgasmoleküle. Erstere ist bei Elektronenquellen hoher Perveanz wichtig, letztere war schon beim „gaskonzentrierten Fadenstrahlrohr“ erwähnt worden.
Aus Abschätzungen und Beobachtungen ergeben sich für ungepulste Elektronenstrahl-Anordnungen folgende Gasdruck-Richtwerte für den Einfluss positiver Ionen: - Bei 10 2 Pa (« 10 4 Torr) wird die Raumladung des Elektronenstrahls durch die positiven Restgas-Ionen vollständig neutralisiert.
-	Bei 10 6 Pa (10 2 Torr) ist der Einfluss der Restgas-Ionisierung völlig vernachlässigbar.
-	Im Übergangsbereich ist mit einer Abhängigkeit der Elektronenoptik vom Restgasdruck zu rechnen.
Die eigene Raumladung des Elektronenstrahls begrenzt den Strahlstrom, der durch ein zylindrisches Metallrohr mit der Länge f und dem Innendurchmesser D geschickt werden kann. Für optimale Transmission muss die Elektronenoptik vor dem Rohr so eingestellt werden, dass der Strahl konvergent in das Rohr eintritt, in der Rohrmitte den von der Raumladung bestimmten minimalen Strahldurchmesser („Taille“) besitzt und divergent aus dem Rohr austritt (Abb. 11.20a).
Nach J.R. Pierce ist der maximale Strahlstrom I nur eine Funktion von der max
Beschleunigungsspannung U und dem Verhältnis D/^:
Im^M^U/V)3l2(JW)2-	(11.19)
11.2 Elektronenröhren 693
(b)
Abb. 11.20 (a) Zur raumladungsbegrenzten der Strahltransmission durch ein langes Metallrohr. (b) Periodische Fokussierung eines Elektronenstrahls hoher Perveanz durch eine Kette von Einzellinsen.
Beispiel: Für (J = 100 V und /)// = 1/10 ergibt sich /max x 0.4 mA. Wie Abb. 11.20a verdeutlicht, wirkt die eigene Raumladung des Strahls defokussierend. Zum effektiven Strahltransport werden fokussierende Elemente in kurzen Abständen benötigt. Das können beispielsweise eine Kette von Einzellinsen sein (Abb. 11.20b) oder auch eine Kette kurzer magnetischer Linsen.
11.2	Elektronenröhren
Die Urform der Elektronenröhre war die Hochvakuum-Diode, bestehend aus einem direkt geheizten Wolframdraht als Glühkathode in der Mitte und einem ihn umgebenden Anodenzylinder. Der Ausdruck „Röhre“ bezog sich ursprünglich auf die Gestalt der Anode, wurde aber später ausgedehnt auf alle Elektronenstrahl-Anordnungen in evakuierten Glaskolben, bis hin zur Fernseh-BildröV/re.
11.2.1 Dioden, Röntgenröhren
Dioden (diodes). Dioden sind Hochvakuumröhren mit zwei Elektroden, Kathode und Anode. Da ein Elektronenstrom nur dann zustande kommt, wenn die Glühelektrode der Minuspol ist, lässt sich eine solche Röhre zur Gleichrichtung von Wechselströmen benutzen. Diese Diode hat als Gleichrichterröhre in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts eine enorme technische Bedeutung gehabt. Der Begriff „Diode“ wurde zum Synonym für „Gleichrichter“ (rectifier). Heute werden praktisch nur noch Halbleiter-Dioden aus Silicium verwendet, weil sie keine Heizung benötigen und bei gleicher Leistung kleiner sind.
Röntgenröhren. Im Jahre 1895 entdeckte WC. Röntgen, dass schnelle Elektronen, die auf Materie treffen, eine „unbekannte Art von Strahlen“ auslösen; dafür erhielt er 1901 den allerersten Physik-Nobelpreis. Röntgen wählte die Bezeichnung X-Strah-len (noch heute im Englischen verwendet: X rays); im Deutschen hat sich der Name Röntgen als ein Sachwort der Umgangssprache durchgesetzt, das in zusammengesetzten Substantiven ohne Bindestrich verwendet wird.
694	11 Geladene Teilchen im Vakuum
Die Intensitäl der Röntgenstrahlung ist proportional zum Elektronenstrom. Die Photonenenergie ist höchstens gleich der Elektronenenergie
^max = M2min = eU	(11.20)
(h = Planck-Konstante, v = Frequenz, c = Lichtgeschwindigkeit, Z = Wellenlänge). Durch Einsetzen der Naturkonstanten und Umformung von Gl. (11.20) erhält man die Formel für die minimale Grenzwellenlänge
Xinm = 1.24nrn/(l//kV).	(11.21)
Das Spektrum besteht aus einem Kontinuum, das durch die Ablenkung der Elektronen im elektrischen Feld der Atomkerne dicht an der Anodenoberfläche entsteht. Weil mit der Photonenemission eine Energieabgabe (Abbremsung) verbunden ist, spricht man von Bremsstrahlung (bremsstrahlung, deceleration radiation). Daneben tritt eine weitere elektromagnetische Strahlung auf, die aus wenigen monochromatischen Linien besteht. Diese Strahlung wird von Targetatomen nach Innerschalen-lonisation emittiert; deshalb sind ihre Photonenenergien (Wellenlängen) spezifisch für das Element. Diese charakteristische Röntgenstrahlung (characteristic X rays) trägt viel weniger als die Bremsstrahlung zur Gesamtintensität bei.
Als Richtwert für den Wirkungsgrad der Energieumwandlung in Strahlung kann man i] » 1 % für Wolfram (Z = 74) und eine Beschleunigungsspannung von U = 100 kV ansetzen und zur Umrechnung auf andere Targetmaterial-Ordnungszahlen und Beschleunigungsspannung näherungsweise Proportionalität zu Z  U annehmen. Das für eine gegebene Anwendung nutzbare Strahlenbündel enthält nur einen Teil der insgesamt erzeugten Strahlung, typischerweise 1/10 oder weniger.
Das Haupteinsatzgebiet der Röntgenröhren ist die medizinische Diagnostik. Die Röntgenaufnahme ist eine Schattenprojektion, für die eine annähernd punktförmige Strahlenquelle benötigt wird, um die geometrische Unschärfe durch Halbschatten-Gebiete klein zu halten. Außerdem möchte man die zur Aufnahme erforderliche Strahlendosis in möglichst kurzer Zeit verfügbar haben, um Bewegungsunschärfe durch den Patienten zu vermeiden.
Die Elektronenquelle ist eine direkt geheizte Wolframwendel, die in eine Fokussierungselektrode auf gleichem Potential eingebettet ist. Die Form der Quelle führt zu einem länglichen elektronischen Brennfleck, der durch die Anoden-Abschrägung von « 10 13J (schräger dargestellt in Abb. 11.21) zu einem annähernd runden, optisch wirksamen Brennfleck schrumpft (Durchmesser 0.1 -3 mm).
Nutzstrahlen
Abb. 11.21 Röntgenröhre (schematisch, Anodenabschrägung übertrieben).
11.2 Elektronenröhren 695
Abb. 11.22 Aufbau einer Drehanodenröhre. Der Anodenteller ist über eine Welle mit dem kugelgelagerten Rotor eines Asynchronmotors verbunden.
Für die Röntgendiagnose werden die Geräte typischerweise mit Hochspannung zwischen 40 und 150 kV und Strömen bis zu 1 A betrieben. Die Anode ist während der kurzzeitigen Aufnahme einer hohen thermischen Belastung ausgesetzt. Sie wird an der Oberfläche bis zum Glühen erhitzt, darf aber nicht schmelzen. Die tieferen Schichten der Anode dienen als Wärmespeicher. Um hohe Kurzzeitbelastungen an einem kleinen Brennfleck für relativ kurze Aufnahmezeiten zu ermöglichen, werden Drehanoden eingesetzt (Abb. 11.22).
Die Energie des Elektronenstrahls verteilt sich auf einer äußeren abgeschrägten Bahn der Anode, der Brennfleckbahn. Die Drehanode wird bis zu 1000 C erhitzt, und die Wärme abgestrahlt. Drehanoden bestehen aus einer Molybdänlegierung, die auf der vom Elektronenstrahl getroffenen Fläche mit einer Rhenium-Wolfram-Legierung beschichtet ist; auf der Unterseite besteht der Teller aus Graphit wegen dessen guter Wärmeabstrahlung (hoher Emissivität) und guter Wärmespeicherfähigkeit (hoher spezifischer Wärme). Außerhalb der Glasröhre wird die Temperatur der Drehanode mit einer Photozelle überwacht und bei Schmelzgefahr die Anlage abgeschaltet.
Die Drehanode wird durch einen Drehstrommotor angetrieben. Nach der Aufnahme wird die Anode mithilfe von Wirbelstrom (hervorgerufen durch Gleichstrom im Stator) abgebremst, um unnötigen Kugellager-Verschleiß zu vermeiden. Bei Betrieb des Asynchronmotors mit Wechselspannung von 50 Hz bzw. 150 Hz sind Tourenzahlen von 2800U/min bzw. 8500U/min typisch.
Die Nennleistung einer Röhre typischer Wert 50 kW - bezieht sich auf eine Aufnahmezeit von 0.1 s, eine Zeit, in der der Anodenteller bei 50-Hz-Betrieb fast fünfmal umläuft. Für Dauerbetrieb wirkt das Wärmeaustausch vermögen des Röhrenschutzgehäuses begrenzend: mit Luftkühlung können nur etwa 0.4 kW, mit Flüssigkeitskühlung aber auch mehr abgeführt werden.
Die Einschaltung der Röntgenröhre erfolgt in zwei Stufen; in der ersten Stufe wird der Kathodenheizstrom und der Drehanodenantrieb eingeschaltet, nach etwa 1 s wird in der zweiten Stufe die Hochspannung eingeschaltet.
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11.2.2 Verstärkerröhren
Klassische Elektronenröhre. Die schnelle Entwicklung der Nachrichtentechnik in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts beruhte ganz wesentlich auf der Erfindung der Verstärkerröhre. Heute ist die Elektronenröhre bei kleinen Leistungen (1 Watt) durch den Transistor verdrängt worden, während sie bei größeren Leistungen (z. B. bei allen Sendern) der wichtigste Bestandteil der Anlage geblieben ist. Bei der Einführung des Verstärker-Prinzips in Abschn. 5.1.2 wurde die Elektronenröhre schon vorgestellt.
Für die Verstärkung und Erzeugung von Schwingungen oberhalb 100 MHz sind diese Art Röhren nicht geeignet, weil die Laufzeiten der Elektronen nicht mehr vernachlässigbar klein zur Schwingungsperiode sind. Die Elektronen kommen nicht mehr „phasenrichtig“ an der Anode an. Abschätzung: Die zur Frequenz von 100 MHz gehörende Schwingungsperiode beträgt 10 ns; die Laufzeit von 100-eV-Elektronen für eine Strecke von 1 cm beträgt etwa 2 ns, ist also nicht mehr sehr viel kleiner. In sehr kleinen Röhren sind die Laufzeiten entsprechend geringer. Mit der Miniaturisierung der Röhren sinken aber auch die erreichbaren Verstärker-Leistungen, weil kleinere Glühkathoden weniger Strom liefern und kleinere Anoden weniger Wärme abführen können. Außerdem werden die unerwünschten Streukapazitäten zwischen den Elektronen mit verringerten Abständen größer, und die unerwünschten kapazitiven Leitwerte (wQ steigen mit der Frequenz.
Für den Mikrowellen-Bereich (0.3 —300GHz; Wellenlängen zwischen Im und 1 mm) wurden Verstärkerröhren nach neuen Prinzipien entwickelt, bei denen die Laufzeit nicht stört, sondern ausgenutzt wird.
Laufzeitröhren (transit-time luhes}. Die erste Verstärkerröhre für den Mikrowellen-Bereich wurde 1937 von William Hansen und den Brüdern R.H. und S.F. Varian in Kalifornien entwickelt. In dieser als Klystron (klystrori) bezeichneten Röhre befindet sich ein stromstarker Elektronenstrahl in Wechselwirkung mit den elektrischen Wechselfeldern zweier Hohlraum-Resonatoren (cavities), deren Aufbau in Abb. 11.23 skizziert ist.
Während bei einer laufenden elektromagnetischen Welle in einem Hohlleiter (Abschn. 5.4.3) an jedem Ort das elektrische und magnetische Wechselfeld phasengleich sind, existiert im Hohlraum-Resonator eine stehende elektromagnetische Welle, deren E- und E-Felder um 90° phasenverschoben sind: Das elektrische Feld am Spalt in der Mitte ist am größten, wenn der an der Innenwand fließende Strom gerade durch null geht.
Schickt man einen Gleichstrom-Elektronenstrahl axial durch den Mittelkanal, dann werden die Strahlelektronen durch das longitudinale E-Feld auf der Achse beeinflusst, je nach der Schwingungsphase beschleunigt oder verzögert. So entsteht eine Geschwindigkeitsmodulation der vorher geschwindigkeitsgleichen (monoenergetischen) Elektronen. In einer Driftstrecke hinter dem Resonator bleiben die abgebremsten Elektronen hinter den unbeeinflussten zurück, die beschleunigten eilen ihnen voraus. Wenn die vorauseilenden Elektronen mit den zurückbleibenden von der vorangegangenen Abbremsphase Zusammentreffen, dann bilden sie im Strahl ein mit dem Strahl fortschreitendes Maximum der Ladungsdichte; zwischen den so entstehenden Maxima liegen Dichteminima, in denen nur noch die Elektronen ver-
11.2 Elektronenröhren 697
Abb. 11.23 Schematische Darstellung eines Hohlraum-Resonators, wie er in Klystrons verwendet wird. Der ringförmige Resonator ist an einen Hohlleiter (im Bild unten) angekoppelt (nach J.R. Pierce).
weilen, die beim Durchgang durch den Resonator keine Nettobeeinflussung erfahren haben. Aus dem Gleichstrom-Elektronenstrahl ist durch Geschwindigkeitsmodulation und Driftstrecke ein dichtemodulierter Strahl geworden (bunching by velocity modulatiori). Wichtig ist: Die im Strahl steckende kinetische Energie (Leistung) kommt aus dem Hochspannungsgerät, mit dessen Hilfe der Gleichstromstrahl beschleunigt wurde. In der Wechselwirkung des Elektronenstrahls mit dem Resonator wird bei der Beschleunigung oder Abbremsung der Strahlelektronen sehr viel weniger Energie (Leistung) umgesetzt; gemittelt über eine Schwingungsperiode ist die Leistungsübertragung (fast) null. Das Wesentliche ist hier, dass dem Elektronenstrahl die Mikrowellen-Frequenz des Hohlraum-Resonators als Dichtemodulation aufgeprägt wird.
Im Klystron (Abb. 11.24) koppelt man den Elektronenstrahl mit zwei Resonatoren. In dem über einen Hohlleiter erregten Eingangsresonator wird, wie oben erläutert, der Elektronenstrahl geschwindigkeitsmoduliert. Der nach Durchlaufen der Driftstrecke nun dichtemodulierte Elektronenstrahl regt den Ausgangsresonator zu
Abb. 11.24 Schematische Darstellung eines Klystrons (nach J.R.Pierce). Zur Elektronenstrahlführung wird oft ein starkes longitudinales Magnetfeld verwendet.
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11 Geladene Teilchen im Vakuum
Schwingungen an; über einen Hohlleiter kann dem Ausgangsresonator viel mehr Mikrowellen-Leistung entnommen werden, als im Eingangsresonator zur Modulation des Elektronenstrahls benötigt wurde (Leistungsverstärkung). Bessere Modulation und als Folge davon höhere Verstärkungen und Wirkungsgrade werden mit mehr als zwei Resonatoren erreicht (multicavity klystrons).
Mit Rückkopplung kann diese Anordnung auch als Oszillator zur Erzeugung ungedämpfter Schwingungen (Mikrowellen-Generator) verwendet werden. Statt einer Rückkopplung des Mikrowellen-Signals wird im Reflexklystron, das nur einen Resonator besitzt, der modulierte Elektronenstrahl auf halbem Weg elektrostatisch reflektiert und in den Resonator zurückgeschickt und so eine ungedämpfte Schwingung erzeugt.
Der Hauptvorteil des Klystrons im Vergleich zu einer für die gleiche Frequenz miniaturisierten Verstärkerröhre (Triode) liegt darin, dass das Klystron sehr viel größer ist und deshalb viel mehr Leistung umsetzen kann. In der Triode werden Elektronen sehr kleiner Energie (s 1 eV) am Steuergitter durchgelassen oder reflektiert. Die durchgelassenen werden auf etwa 100 eV beschleunigt; ihre Geschwindigkeit beträgt dann ungefähr 2% der Lichtgeschwindigkeit. Die Anode muss nahe beim Gitter liegen, damit die Elektronen in einem Bruchteil der Schwingungsperiode die Röhre durchlaufen. Im Klystron muss nur die Flugzeit der Elektronen im Feldspalt des Resonators klein gegen die Schwingungsdauer sein. Die Geschwindigkeitsmodulation im Klystron ist auch bei Elektronen hoher Energie möglich. Mit einer Beschleunigungsspannung von 10-100 kV haben die Elektronen 19-55 % der Lichtgeschwindigkeit. Deshalb kann der Spalt im Resonator, an dem das elektrische Feld für die Strahl-Resonator-Wechselwirkung liegt, viel größer sein als der Kathoden-Gitter-Abstand in einer Triode.
Klystrons sind die am meisten verwendeten Mikrowellen-Generatoren für Hochenergie-Teilchenbeschleuniger.
Ein Nachteil des Klystrons ist sein kleiner Frequenzbereich, vorgegeben durch die schmalbandige Resonanzkurve der Resonatoren, die durch Abstimmung nur wenig verschoben werden kann. Ein Mikrowellen-Breitbandverstärker wurde 1946 von R. Kompfner in Oxford erfunden; das ist die in Abb. 11.25 skizzierte Wanderfeldröhre (travelling-wave tube).
Statt einer stehenden Mikrowelle in einem schmalbandigen Resonator wird in der Wanderfeldröhre eine laufende Mikrowelle in einem breitbandigen Wellenleiter ausgenutzt. Die Grundidee der Wanderfeldröhre besteht darin, die elektromagnetische Welle, die sich mit Lichtgeschwindigkeit entlang eines Drahtes ausbreitet, in
Abb. 11.25 Schematische Darstellung einer Wanderfeldröhre (nach J.R. Pierce). Das axiale magnetische Führungsfeld für den Elektronenstrahl ist nicht gezeigt.
11.2 Elektronenröhren 699
einen Spiraldraht-Wellenleiter zu führen, sodass sich entlang der Spiralachse eine Wellen-Fortschreitgeschwindigkeit ergibt, die im Verhältnis Spirallänge zu Spiral -drahtlänge kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist und somit leicht an die Geschwindigkeit eines axialen Elektronenstrahls angepasst werden kann. Beispiel: v = c/13 entspricht der Geschwindigkeit von 1500-Volt-Elektronen. Wie theoretisch gezeigt werden kann und in Wanderfeldröhren erfolgreich ausgenutzt wird, existiert ein axiales Wechselwirkungsfeld, durch das der eingeschlossene Gleichstrom-Elektronenstrahl geschwindigkeitsmoduliert wird. Als Folge davon tritt Dichtemodulation auf, die auf die elektromagnetische Welle zurückwirkt und deren Amplitude verstärkt. Wanderfeldröhren können über große Frequenzbereiche von mehr als zwei Oktaven eingesetzt werden und liefern hohe Leistungsverstärkung.
Das Magnetron ist eine andere Art Wanderwellenröhre, in der durch ein starkes transversales Magnetfeld kreisförmige Elektronenbahnen erzeugt werden. Als erster leistungsstarker Mikrowellen-Generator war das Anfang 1940 in England erfundene Magnetron ein wichtiger Beitrag zur Überlegenheit der alliierten Radarsysteme im 2. Weltkrieg. Mit Magnetrons werden sehr hohe Wirkungsgrade für die Energieumwandlung von 50-80 % erreicht. Mittlere Leistungen von einigen Kilowatt und Pulsleistungen über ein Megawatt sind möglich. Magnetrons werden beim Radar, für industrielle Prozesse und in Mikrowellen-Öfen eingesetzt.
11.2.3 Elektronenstrahlröhren
Charakteristisch für Elektronenstrahlröhren (cathode ray tubes, CRT), wie Oszilloskop- und Bildröhren gemeinsam bezeichnet werden, ist die elektronenoptische Abbildung des Cross-over auf einen Leuchtschirm, der sich auf der leitenden flachen Glas-Innenwand der Röhre befindet und von außen betrachtet werden kann, sowie die seitliche Ablenkung des Elektronenstrahls.
F. Braun hat schon im Jahre 1897 die nach ihm genannte Braun’sche Röhre ohne Kenntnis der Elektronenoptik gebaut. Hierbei half ihm der glückliche Umstand, dass ein Elektronenstrahl auch durch ein Gas konzentriert werden kann, indem die vom Elektronenstrahl gebildeten positiven Ionen die negative Raumladung des Elektronenstrahls neutralisieren und so die Verbreiterung des Strahls verhindern. Die gasfokussierten ersten Elektronenstrahlröhren hatten den Nachteil, dass die Ionen einer allzu schnellen Seitwärtsbewegung nicht folgen konnten.
Die moderne Elektronenstrahl-Vakuumröhre erlaubt sehr schnelle Strahlablenkungen durch elektrische oder magnetische Felder. Durch elektronenoptische Fokussierung lässt sich ein kleiner Elektronen- bzw. Lichtpunkt auf dem Leuchtschirm erreichen. Erdalkali-Oxidkathode, Steuer-Elektrode (Wehnelt-Zylinder), elektronenoptische Fokussierungs- und Ablenksysteme und Leuchtschirm sind die wesentlichen Bestandteile. Die von der Raumladung vor der Kathode abgesaugten Elektronen bilden einen Strahl, dessen Durchmesser im Überkreuzungspunkt (cross-over) minimal ist; dieser minimale Querschnitt wird etwa lOOfach vergrößert auf dem Leuchtschirm abgebildet. Die Steuerelektrode ermöglicht die Intensitätsregelung des Elektronenstrahls, also die Hell-Dunkelsteuerung. Bei der Oszilloskopröhre können regelmäßige negative Spannungsimpulse an der Steuerelektrode den Strahl kurz unterdrücken, wodurch man z. B. Zeitmarken auf dem Leuchtschirm als dunkle Punkte
700
11 Geladene Teilchen im Vakuum
erhalten kann. Heute werden Elektronenstrahlröhren vor allem in Oszilloskopen eingesetzt. Aber historisch betrachtet hatte die Elektronenstrahlröhre ihre größte Bedeutung für die Entwicklung des Fernsehens mit Bildröhren zur Aufnahme und Wiedergabe.
Oszilloskop. Elektronenstrahlröhre und aufwendige Elektronik ergeben zusammen ein universell einsetzbares Präzisionsmessgerät für schnell veränderliche Größen. Die Strahlablenkung erfolgt elektrostatisch innerhalb der Vakuumröhre (Abb. 11.26). Vor den Ablenkelektroden darf die Beschleunigungsspannung nicht zu hoch sein, damit man mit niedrigen Ablenkspannungen auskommt. Um andererseits eine ausreichende Bildhelligkeit zu erreichen, werden die Elektronen zwischen den Ablenkplatten und dem Bildschirm nachbeschleunigt.
Meistens erfolgt die horizontale x-Ablenkung des Elektronenstrahls mit einer Sägezahn-Spannung: Der Strahl bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Schirm von links nach rechts; während des schnellen Rückgangs zur linken Ausgangsposition wird der Strahl kurz unterdrückt. Die Frequenz der Sägezahn-Ablenkspannung ist stufenweise, und zwischen den Stufen auch kontinuierlich verstellbar. An die vertikalen j^-Ablenkplatten wird die zu untersuchende periodisch-veränderliche Spannung angelegt. Bei gleichen Frequenzen für x- und r-Ablenkung (Synchronismus) ergibt sich auf dem Schirm ein stehender Kurvenzug, der am Raster des Leuchtschirms ausgemessen werden kann. Da die zu untersuchenden Spannungen oft nur im mV- oder jrV-Bereich liegen, werden Verstärker benötigt, die im Oszilloskop schon eingebaut sind oder als Einschübe eingefügt werden können. In Zweistrahl-Oszilloskopen (dual-beam oscilloscope, double-trace oscilloscope) können zwei verschiedene Signale gleichzeitig beobachtet werden. Es gibt spezielle Bildröhren mit zwei Strahlen und zwei Sätzen von Ablenkplatten. Die technisch einfachste Lösung ist jedoch ein Einstrahl-Oszilloskop mit mehreren Signal-Eingängen (mul-tiple-input oscilloscope) und elektronisch gesteuertem schnellen Wechsel zwischen den Verstärkerausgängen.
Eine andere Methode, die Zeitablenkung mit dem Signal zu synchronisieren, ist die Verwendung des elektronischen Triggers (trigger = mechanischer Auslöser beim Gewehr): Der Sägezahn der x-Ablenkung wird gestartet, wenn das ansteigende y-
Abb. 11.26 Aufbau einer Oszilloskopröhre (schematisch).
11.2 Elektronenröhren 701
Signal eine vorgewählte Spannung überschreitet. Diese Methode empfiehlt sich besonders für Spannungskurven, die sich nicht periodisch wiederholen, z. B. für die Signalkurven eines Teilchendetektors. Wenn einmalige Vorgänge beobachtet werden sollen oder wenn die Wiederholungsfrequenz sehr klein ist, dann werden nachleuchtende Schirme verwendet. Wenn sehr schnelle Signale gemessen werden sollen, verwendet man Speicheroszilloskope (storage oscilloscopes), die das Signal digital speichern und damit dann eine stehende Leuchtschirm-Anzeige steuern.
Hochfrequente Vorgänge oberhalb von 100 MHz liegenjenseits der Frequenzgrenze normaler Oszilloskope. Bei periodischen Vorgängen hilft ein Abtastoszilloskop (sampling oscilloscopey. Die Messspannung wird punktweise abgetastet, wobei der Zeitpunkt der Abtastung von Periode zu Periode etwas verschoben wird. Nach vielen Perioden wird durch Darstellung aller Abtastpunkte der Signalverlauf sichtbar.
Man kann den x-Ablenkplatten auch eine Wechselspannung zuführen, die eine ähnliche Frequenz hat wie das Signal an den r-Platten. Damit lassen sich die Frequenz- und Phasenbeziehung zwischen den beiden Signalen studieren. Bei sinusförmigen Signalen an beiden Ablenksystemen und rationalen Frequenzverhältnissen entstehen geschlossene Kurvenzüge (Lissajous-Figuren); sind die Frequenzen gleich, dann ist die Kurve eine Ellipse, die bei Phasengleichheit zu einer Geraden entartet. Beim Abgleich von Hochfrequenz-Brückenschaltungen kann so die Brückenspannung in Größe und Phase mit der angelegten Spannung verglichen werden.
Bildröhren. Die bald nur noch historisch interessanten Kathodenstrahl-Röhren zur Farbbild-Aufnahme und -Wiedergabe werden hier nicht behandelt.
Durch CCD-Bildwandler (Abschn. 9.4.2) wurde die Bildaufnahmeröhre inzwischen abgelöst. Der batteriebetriebenen handlichen Digital-Videorecorder (Camcorder) für private Video-Farbaufnahmen wäre ohne CCDs (charge-coupled devises) gar nicht vorstellbar. Der Camcorder benutzt einen speziellen Farb-CCD-Chip, dessen lichtempfendliche Fläche mit einer Rot/Grün/Blau-Farbfilter-Marix überzogen ist. Die einzelne CCD-Zelle erhält nur Licht einer dieser Farben für einen Bildpunkt. Für den professionellen Einsatz gibt es aufwendigere, höheren Ansprüchen genügende 3-Chip-Kameras, in denen das optische Bild in drei Grundfarbenbilder zerlegt und drei getrennten Chips zugeführt wird; die spektrale Empfindlichkeit jedes dieser nur für eine Farbe eingesetzten Chips kann optimal justiert werden.
Die Bildröhre, die für ein 3/4 Jahrhundert die Fernsehbilder geliefert hat, wird nun durch den Flachbildschirm verdrängt, der auf LCD- oder Plasma-Technik beruht. Vorherrschend für kleine und miteigroße Bildschirme ist die LCD-Technik: Liquid-Crystal Display (LCD) nutzt die elektro-optischen Eigenschaften bestimmter flüssiger Kristalle (s. Bd. 5, Kap. 7), deren Transparenz für polarisiertes Licht elektronisch gesteuert werden kann. In einer rasanten technischen Entwicklung sind Farb-Flachbildschirme entstanden, die sehr hohen Ansprüchen genügen. Notwendig dazu waren Miniaturisierung der LCD-Zellen, Fertigungstechniken für immer größere und dünnere Bildschirme, schnelle elektronische Ansteuerung mithilfe von Dünnschicht-Transistoren (TFT = thin-film-transistors), Aufteilung jedes Pixels auf 3 oder 4 Subpixels für die Grundfarben, sowie Beleuchtung des LCD-Schirms von hinten mit diffusem Licht einer Leuchtstofflampe. - Die sehr großen Bildschirme sind Plasmabildschirme (plasma display panel, PDP) (Abschn. 10.4).
702
11 Geladene Teilchen im Vakuum
11.2.4 Lichtgesteuerte Röhren
Photozellen. Eine Photozelle besteht aus einer evakuierten Röhre, in die durch ein Fenster Photonen eintreten können, die dann an einer Photokathode Photoelektronen auslösen; eine positiv vorgespannte Anode fängt den Elektronenstrom auf. Photozellen für ultraviolettes Licht müssen mit Quarzfenstern versehen sein; ihre optische Durchlässigkeitsgrenze liegt bei 185 nm Wellenlänge (für Glas bei 275 nm). Technisch schwerer herstellbar, aber vorteilhafter für viele Anwendungen sind sehr dünne Photokathoden, die auf der Innenseite des Fensters aufgebracht sind.
Photonen im Spektralbereich, für den das Fenster der Röhre transparent ist, können aus der Photokathode Elektronen herauslösen, wenn deren Austrittsarbeit kleiner als hv ist (h — Planck-Konstante, v = Frequenz). Da die Quantenausbeute (= Zahl der Elektronen durch Zahl der Photonen) kleiner als eins ist, ist der zu messende Elektronenstrom immer kleiner als der Strom der in das Fenster einfallenden Photonen. Die Messung kleiner Ströme wird begrenzt durch das thermische Rauschen des Verstärker-Eingangswiderstandes. Photozellen mit Gasfüllung liefern eine „Gasverstärkung“ durch Elektronenstoßionisierung, ganz ähnlich wie bei den Ionisationskammern (Abschn. 10.2.2).
Photomultiplier. In einer evakuierten Röhre befinden sich eine Photokathode und ein Sekundärelektronenvervielfacher (SEV, multiplier). Die hintereinander geschalteten Vervielfacher-Elektroden (Dynoden) bestehen aus einem Material mit hohem Sekundäremissionsfaktor. So kann man die Elektronen von einer Photokathode leicht um den Faktor 106 vervielfachen. Die erforderlichen Spannungen werden einem Netzgerät entnommen.
Die Photokathoden bestehen aus kunstvoll hergestellten Schichten, z. B. aus einer Mischschicht von Sb-Cs mit dem Empfindlichkeitsmaximum im Grünen, oder aus einer Kalium-Legierung mit dem Empfindlichkeitsmaximum im Blau-Violetten, oder aus einer Schicht Ag-Cs2O-Cs mit dem Maximum im Roten bis zur Grenze von 1200 nm im nahen Infraroten. Längerwellig gibt es keinen äußeren lichtelektrischen Effekt mehr. Die Elektronenaustrittsarbeit kann nicht weiter herabgesetzt werden. Die Quantenausbeute (quantum yield), das ist die Zahl der ausgelösten Elektronen, dividiert durch die Zahl der eingestrahlten Photonen, liegt im Empfindlichkeitsmaximum bei etwa 15 bis 30%. Das thermische Rauschen von Photokathoden führt zu einem Dunkelstrom (dark current ]: das macht sich bei hoher Verstärkung bemerkbar und kann die eigentliche Messung stören. Man kann den Dunkelstrom wesentlich herabsetzen, indem man die Photokathode kühlt, z. B. mit flüssigem Stickstoff.
Szintillationszähler (scintillation counter). Der aus Szintillator und Multiplier bestehende Szintillationsdetektor wird in der Kern- und Teilchenphysik, z. B. mit einem Nal-Kristall als Szintillator, zum Nachweis hochenergetischer Photonen eingesetzt; zum Nachweis von hochenergetischen geladenen Teilchen werden spezielle Plastik-Szintillatoren verwendet. Im Szintillator werden Lichtblitze erzeugt, die von der Photokathode des Multipliers in Photoelektronen-Pulse umgewandelt und auf dem Weg von der Kathode zur Anode durch Sekundärelektronen-Vervielfachung an den Dynoden verstärkt werden (Abb. 11.27).
11.2 Elektronenröhren 703
Kristall Fenster
einfallendes Photon Photokathode
Teilchen	D, - D5: Dynoden
Abb. 11.27 Aufbau eines Szintillationszählers (schematisch).
Eine Photokathode, die (anders als in Abb. 11.27 gezeigt) auf der Innenseite eines planaren Lichteintrittsfensters liegt, erlaubt unmittelbaren optischen Kontakt mit dem Szintillator, der mit einer geschliffenen Fläche außen auf das Fenster gesetzt oder geklebt werden kann.
Bildverstärker und Bildwandler (image intensifiers and Converters). Diese Systeme arbeiten nach dem gleichen Prinzip: Elektronen werden an der Photokathode ausgelöst und im elektrischen Feld auf hinreichend hohe Energie gebracht, sodass sie am Leuchtschirm ein helles Bild erzeugen können. Beim Bildverstärker wird ein sichtbares Bild auf die Photokathode abgebildet und auf dem Leuchtschirm ein ähnliches, aber wesentlich helleres Bild erzeugt. Beim Bildwandler wird eine für Infrarotstrahlung empfindliche Photokathode eingesetzt und so ein unsichtbares in ein helles sichtbares Bild umgewandelt. (Für Strahlung, deren Photonen energiereicher sind als die des sichtbaren Lichtes, kann die Umwandlung direkt im Leuchtstoff erfolgen; man benötigt dafür keine Bildwandlerröhren.)
Bildverstärkerröhren, bestehend aus Photokathode, Elektronenoptik und Leuchtschirm, entsprechen im Aufbau den Bildwandlern. Durch die elektronenoptische Abbildung, entsteht Bildumkehr. Es gibt auch Bildverstärkerröhren ohne Elektronenoptik; in denen sind Photokathode und Leuchtschirm dicht hintereinander, parallel angeordnet. Die in der (durchsichtigen) Photokathode vom Licht ausgelösten Elektronen werden auf einem kurzen Weg zum Leuchtschirm beschleunigt. Das Bild ist aufrecht und frei von Abbildungsfehlern. Es kann auch zwischen Photokathode und Leuchtschirm eine Vielkanalplatte angeordnet werden, in welcher die Zahl der Elektronen beträchtlich erhöht wird. Zwischen dem Eintrittsfenster und der Photokathode, sowie zwischen dem Leuchtschirm und dem Austrittsfenster wird Faseroptik verwendet, also dünne Glasfasern, die das Licht parallel und praktisch verlustfrei leiten. Die Lichtverstärkung kann über 104 betragen. Bei Verwendung einer infrarotempfindlichen Photokathode wird diese Bildverstärkerröhre zu einem höchstempfindlichen Bildwandler.
Bildverstärker werden auch zur Verstärkung des Lichtes der Röntgenleuchtschirme verwendet, um die Intensität der Röntgenstrahlung und damit die Strahlenbelastung der Patienten entsprechend reduzieren zu können. In diesem Fall liegt der Röntgenleuchtschirm unmittelbar an der Photokathode des Bildverstärkers.
704
11 Geladene Teilchen im Vakuum
11.3	Geräte, Großgeräte
11.3.1 Strahlsysteme zur Materialbearbeitung
Elektronen- und lonenstrahlen mit gleichem Strahlstrom und gleicher Beschleunigungsspannung übertragen beim Aufprall auf das Target die gleiche Energie, aber die Ionen haben einen um den Massen-Faktor (/77i(iii//?7e)12 größeren Impuls. Für Anwendungen, bei denen nur die Energiezufuhr wichtig ist, werden die viel leichter verfüg- und hantierbaren Elektronenstrahlen verwendet.
Zerstäubung von Festkörpern durch lonenbeschuss (sputtering). Der Impulsübertrag ist wichtig, wenn die Atome des Targets nicht verdampft, sondern „kalt“ herausgeschlagen werden sollen. In Niederdruck-Gasentladungen (« 0.1 Pa) tritt beim Auftreffen der positiven Ionen Kathodenzerstäubung auf. Dieses Verfahren wurde zur Ätzung von Metall- und Halbleiteroberflächen und zur Herstellung dünner Schichten aus schwer verdampfbarem Material genutzt. Heute bevorzugt man die wohldefinierten und sauberen Bedingungen, die sich mit lonenstrahl-Beschuss im Hochvakuum erreichen lassen. Dazu werden vorzugsweise Ar+-Ionen mit Energien von 1 bis lOkeV eingesetzt. Typische Ablöseraten für Argon-Ionen-Beschuss von Cu bei senkrechtem Einfall sind 10 6 bis 10" kg A 's 1. Sputtern wird zur Säuberung von Kristalloberflächen verwendet (mit nachfolgendem Tempern zur Ausheilung der entstandenen Kristallschäden) und zur Erzeugung von Atom-, lonen-und Clusterstrahlen aus schwer verdampfbarem Material.
Ionenimplantation (ion implantatiori). Für die Dotierung von Silicium durch lonenbeschuss kommen vorwiegend Elemente der 3. oder 5. Spalte des Periodensystems in Betracht (ein Beispiel sind die Halbleiter-Teilchendetektoren, Abschn. 11.1.6).
Für das Studium der elektrischen und magnetischen Felder im Inneren von Festkörpern werden verschiedene radioaktive Ionen als „Sonden“ implantiert und die bei deren Zerfall emittierte y- oder ß-Strahlung zeit- und winkelaufgelöst gemessen.
Elektronenstrahl-Schweißen (electron-beam welding). Mithilfe eines stromstarken hochenergetischen Elektronenstrahls lässt sich viel Leistung auf eine kleine Fläche übertragen. Typische Parameter für industrielle Anlagen sind Leistungen von 1 bis 100 kW in Brennflecken mit Durchmessern von 0.1 bis zu einigen Millimetern; die typischen Leistungsdichten liegen im Bereich von 109 bis 1011 W/m2. Damit lässt sich praktisch jedes Material schmelzen und auch verdampfen und eine große Vielfalt von unterschiedlichen Werkstoffen durch Schweißen miteinander verbinden. Je nach gefordertem Reinheitsgrad erfolgt das Schweißen im Feinvakuum (« 1 Pa) oder Hochvakuum (« 10 2 Pa).
Mit zunehmender Leistungsdichte dringt der Elektronenstrahl tiefer in das Werkstück ein, weil sich in der Schmelze eine Dampfkapillare bildet (Abb. 11.28). Verglichen mit anderen Schmelzschweißverfahren bietet das Elektronenstrahl-Schweißen besonders folgende Vorteile: Es ermöglicht Schweißverbindungen, deren Tiefe viel größer ist als die Breite der Schweißnaht. Die Erwärmung der an die Schmelze angrenzenden Nachbargebiete ist gering. Die Schweißgeschwindigkeit ist sehr groß. Hochschmelzende Werkstoffe lassen sich miteinander verschweißen, auch in Werk-
11.3 Geräte, Großgeräte
705
Erhöhung der Leistungsdichte durch Fokussierung
T-1900K
Abb. 11.28 Veränderungen in einem Stahl-Werkstück durch Elektronenbeschuss: (a) Schmelzsumpf, (b) Deformation durch Dampfdruck, (c) Dampfkapillare mit Schmelzmantel, (d) Bohrung nach Auswurf des Schmelzmantels.
Stoff- oder Werkstück-Kombinationen, die mit anderen Verfahren nicht verbunden werden können, wie verschiedene Metall-Keramik-Kombinationen, sogar Molybdän und Graphit. Nachteilig sind die relativ hohen Anlagekosten.
Wegen der hohen Reinheit und Güte der Schweißverbindung wird Elektronenstrahlschweißen im großen Umfang in der Luft- und Raumfahrtindustrie, in der Kerntechnik und beim Verlegen von Pipelines eingesetzt. Eine konkurrierende Technik ist das Schweißen mit Hochleistungslasern.
Elektronenstrahl-Lithographie. Lithographie bedeutet im Griechischen „Schreiben in Stein“. Die Elektronenstrahl-Lithographie benutzt als Werkzeug (tool) einen sehr feinen steuerbaren Elektronenstrahl. Das Medium (resist) muss auf den schreibenden Elektronenstrahl so reagieren, dass entweder der vom Elektronenstrahl getroffene Teil in der Entwicklung (development) entfernt werden kann, während der andere verbleibt (positive resist), oder umgekehrt (negative resist). Außerdem benötigt man noch ein Übertragungsverfahren (transfer process), mit dem das Geschriebene auf die Unterlage (substrate) übertragen werden kann.
Im Folgenden wird das klassische Verfahren beschrieben, mit dem die Elektronenstrahl-Lithographie in den 1960er Jahren ihren Anfang nahm: Leicht steuerbare Elektronenstrahlen mit Durchmessern kleiner als 10 nm waren für das Raster-Elektronenmikroskop (SEM = scanning electron microscope) entwickelt worden. Als ein für Elektronenstrahlen geeignetes Schreibmedium mit hoher Auflösung wurde Po-lymethylmetacrylat (PMMA) gefunden. Die Polymerlösung wird mit einem Schleuderverfahren auf der Unterlage ausgebreitet und dann zu einem dünnen Film getrocknet. Die Elektronen des schreibenden Strahls werden im Film so gestreut und absorbiert, dass das Energieabsorptionsprofil in der Schicht von oben nach unten breiter wird, also etwa „birnenförmig“ ist. Für das hier beschriebene Verfahren wird mit 20-keV-Elektronen eine Dosis von etwa 100 jrC/cm2 benötigt. Bei der anschließenden Entwicklung werden die vom Elektronenstrahl getroffenen Teile des Mediums durch ein geeignetes Lösungsmittel (aromatische Verbindung) herausgelöst, wobei das birnenförmige Absorptionsprofil dazu führt, dass die Wände des Mediums einen Überhang (undercut) haben. Am Ort der Strahlspur ist im PMMA eine Schneise mit „Schwalbenschwanz-Profil“ entstanden (Abb. 11.29).
706
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Abb. 11.29 Erläuterung der Elektronenstrahl-Lithographie. Der Überhang der PMMA-Wände sorgt dafür, dass das direkt auf die Unterlage gedampfte Metall die Wände nicht berührt (nach M.Hatzakis).
Nachdem die nun exponierten Teile der Unterlage gründlich gereinigt wurden (z. B. durch chemisches Ätzen), wird Metall aufgedampft. Wichtig ist, dass das auf der gereinigten Unterlage gut haftende Metall nicht mit der PMMA-Wand oder dem Metallfilm auf dem PMMA in Kontakt steht; dazu muss der Überhangwinkel (Winkel y in Abb. 11.29) größer sein als der Divergenzwinkel (/I) des Metall-Atomstrahls und die Dicke der Metallschicht geringer als die des PMMA-Films. Nach gutem Einweichen in einem PMMA-Lösungsmittel kann das auf dem PMMA liegende Metall abgelöst werden; evtl, muss der Vorgang durch Ultraschall unterstützt werden. Wesentlich ist, dass die auf die Unterlage aufgebrachte Metallstruktur noch etwa die gleiche hohe Auflösung besitzt wie die Schreibspur des Elektronenstrahls auf der Oberfläche des PMMA-Films. Inzwischen gibt es noch raffiniertere und leistungsfähigere Verfahren der Elektronenstrahl-Lithographie. Mit Elektronenstrahlen ist die Erzeugung von Nanostrukturen möglich; das sind Strukturen von 100 nm und kleiner.
11.3.2 Massenspektrometer
Das Ziel ist die Bestimmung von Atom- und Molekülmassen. Eigentlich wird nur das Masse/Ladungs-Verhältnis in/q der entsprechenden positiven Ionen bestimmt. Die Versuchsbedingungen werden so gewählt, dass vorwiegend einfach positiv geladene Ionen entstehen. Aber doppelt geladene Ionen sind von einfach geladenen mit halber Masse nicht zu unterscheiden! Die Atom- oder Molekülmasse ergibt sich aus der lonenmasse, wenn man die sehr kleine Masse des fehlenden Elektrons addiert.
Bei der Untersuchung von Molekülen ist zu beachten, dass das Molekül u.U. während des lonisierungsprozesses fragmentiert. Aus der Massenverteilung der Fragmente kann nur bedingt auf die vorhandenen Moleküle geschlossen werden. Für die Massenspektroskopie großer Biomoleküle wurde von John B. Fenn (No
11.3 Geräte, Großgeräte
707
beipreis für Chemie 2002) die sanfte Elektrospray-Ionisation (ESI) entwickelt. Das Verfahren beruht auf demselben Prinzip wie das in Abschn. 2.5.2 behandelte Elektrosprühverfahren: Die zu analysierenden Biomoleküle werden in einem leicht-flüchtigen Lösungsmittel gelöst. Beim Austritt aus einer auf positiver Hochspannung liegenden Düse wird die Lösung in kleine geladene, sich elektrostatisch abstoßende Tröpfchen versprüht. Auf dem Flug des Tröpfchens durch die Vakuumkammer wird Lösungsmittel verdampft; dadurch werden die Tröpfchen kleiner und die gegenseitige Abstoßung der darauf befindlichen positiven Ladungen größer. Das führt schließlich zur Coulomb-Spaltung in mehrere kleinere, geringer geladene Tröpfchen. Nach weiterer Lösungsmittel-Verdampfung und wiederholter Spaltung bleiben einzelne, ein- oder mehrfach geladene Biomoleküle übrig für die Analyse im Massenspektrometer.
In der Massenspektroskopie wird die atomare Masseneinheit „u“ verwendet, gegeben durch 1/12 der Masse eines 12C-Atoms. Da 1 Mol 12C definitionsgemäß die Masse von 12 • 10 ' kg besitzt, folgt mit dem Bestwert für die Avogadro-Konstante Na die Beziehung
1 u = 10 ' kg mol '/VA
= 1.660538 86(28)  10 27 kg.	(11.22)
In der Einheit „u“ sind die Massen aller Atome nahezu ganzzahlig; diese ganze Zahl ist die Massenzahl A des Atoms. Die Abweichungen von der Ganzzahligkeit betragen nur einige Zehntel Prozent. In der Biochemie wird statt der atomaren Masseneinheit „u“ die identische Einheit Dalton (Da) benutzt.
Wie in Abschn. 11.1.7 dargelegt wurde, lässt sich mit rein elektrischen Feldern nur eine massen-unabhängige Energiedispersion des lonenstrahls erzielen. In magnetischen Ablenkfeldern werden Ionen mit gleicher kinetischer Energie (mv2/2) umso stärker abgelenkt, je kleiner ihr Impuls (mv) ist; so wird ein Massenspektrum erhalten.
Die vor 100 Jahren in Pionierexperimenten verwendeten „Kanalstrahlen“ bestanden aus meist einfach, höchstens zweifach geladenen Ionen verschiedener Masse, die alle eine breite Energieverteilung und damit auch eine entsprechend breite Geschwindigkeitsverteilung hatten. Die von J. J. Thomson (1907) entwickelte „Parabelmethode“, bei der der lonenstrahl eine Feldregion mit transversalem elektrischem und gleichgerichtetem magnetischem Feld durchläuft, ermöglichte eine Sortierung der Ionen nach ihrer spezifischen Ladung q/m, die nicht durch die Geschwindigkeitsverteilung maskiert wurde. So wurde erstmalig direkt messbar, dass die Atome der verschiedenen Elemente unterschiedliche Massen besitzen, wie die Chemiker mithilfe der Atomhypothese und den Gewichten der Reaktanden schon längst geschlossen hatten. Mit diesem Verfahren wurde 1913 von J.J. Thomson und F.W. Aston am Beispiel des 20Ne und 22Ne erkannt, dass die chemischen Elemente, deren „Atomgewichte“ (heute: relative Atommassen) deutlich von ganzen Zahlen abweichen, aus einer Mischung natürlich vorkommender Isotope bestehen. Atome verschiedener Isotope desselben Elementes haben die gleiche Ordnungszahl Z (= Zahl der Protonen = Zahl der Elektronen), aber unterschiedliche Massenzahlen A — Z + N (N = Zahl der Neutronen). Nach dem 1. Weltkrieg wurde die Massenspektroskopie von F. W. Aston weiterentwickelt und zur weiteren Aufklärung der Isotopenvertei-lung der chemischen Elemente eingesetzt (Nobelpreis für Chemie 1922).
708
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Das Auflösungsvermögen eines Massenspektrometers wird als Verhältnis von Masse m zur auflösbaren Massendifferenz Am definiert. Um die Isotope eines Elementes mit der relativen Atommasse Ar aufzulösen, genügt Am x 1. Eine Massenauflösung von etwa 250 ist also auch für die schwersten Atome hinreichend. Eine moderne Anwendung der Massenspektrometrie ist die genaue Messung der Isotopenvertei-lungen in den Fällen, wo Abweichungen von der „natürlichen Isotopenverteilung auf der Erde“ zu erwarten sind, z. B. bei Mondproben und Meteoriten.
Die für die Massenspektroskopie benötigten Ionen werden heute nicht mehr aus Entladungsplasmen extrahiert, sondern in der Regel durch Stoßionisation von Atom- oder Molekülstrahlen mithilfe eines transversalen Elektronenstrahls gewonnen. Damit lässt sich die Energieverteilung relativ klein halten. Um mit schwachen Neutralstrahlen (geringen Substanzmengen) möglichst intensitätsstarke Massenspektren zu erhalten, ist vor allem eine gute Richtungsfokussierung der Ionen in beiden Ebenen (Doppelfokussierung) erforderlich; zusätzlich ist auch Energiefokussierung wünschenswert.
Magnetisches Sektorfeld. Ein Massenspektrometer mit einfacher Richtungsfokussierung in der Ablenkebene (xz-Ebene) ist das homogene magnetische Sektorfeld, dessen scharfe seitliche Begrenzung nur mithilfe eines Ferromagneten zu verwirklichen ist. Wenn der Sollstrahl senkrecht auf der Feldbegrenzungsebene steht, ist der Einfluss der unvermeidlichen Streufeld-Inhomogenitäten zu vernachlässigen. Beim magnetischen Sektorfeld mit senkrechtem Ein- und Austritt des Sollstrahls liegen Objektpunkt, Sollkreismittelpunkt und Bildpunkt auf einer Geraden (siehe Abb. 11.30).
Ohne Erläuterung sei erwähnt, dass zusätzliche Fokussierung in der rz-Ebene (also Richtungs-Doppelfokussierung) durch schrägen Ein- und Austritt des Strahls oder durch ein radial abnehmendes Ablenkfeld erreicht werden kann.
Abb. 11.30 Magnetisches Sektorfeld: Bei senkrechtem Ein- und Austritt fällt die Spitze des Feldsektors mit dem Mittelpunkt des Sollkreises zusammen. Dieser liegt auf der Geraden, die Quelle und Bildpunkt verbindet (N.F. Barber, 1953).
Massenspekrometer höchster Auflösung. Zusätzliche Energiefokussierung wird in aufwendigeren Spektrometern erreicht, die aus der Kombination von räumlich getrennten elektrischen und magnetischen Ablenksystemen bestehen, wie sie zuerst von F. W. Aston (1919) ausgenutzt und später von J. Mattauch und R. Herzog (1934) weiterentwickelt wurden.
Mit einem Auflösungsvermögen, das 1000-mal größer als A ist, kann man die Abweichungen der Atom- oder Molekülmassen vom ganzzahligen Wert A (in Ein
11.3 Geräte, Großgeräte
709
heiten von „u“) studieren, die in der Größenordnung von \mjm «10 3 liegen. Diese Abweichungen kommen durch zwei Effekte zustande:
1. Die Neutronenmasse ist um 0.8 • 10 ' u größer als die Summe von Protonen -und Elektronenmasse («r + me). Im 12C-Atom sind Neutronen, Protonen und Elektronen je sechsmal enthalten, aber in Atomen mit ungleichen Neutronen-und Protonenzahlen ergeben sich dadurch Abweichungen von der Ganzzahligkeit, die für Neutronenüberschuss positiv sind.
2. Die Kernbindungsenergie EB entspricht nach der Relativitätstheorie einem Massendefekt 8m = —Eb/c2, der für die Kernphysik eine hochinteressante Messgröße ist. Für Kerne, deren Bindungsenergie pro Nukleon größer ist als die von 12C, folgt daraus eine negative Abweichung von der Ganzzahligkeit.
Die höchstauflösenden Massenspektrometer (Auflösungsvermögen bis 400 000) sind große und sehr aufwendige Geräte.
Quadrupol-Massenspektrometer (quadrupole mass analyzer, QMA). Für die chemische Identifikation von Gasgemischen benötigt man kleine, benutzerfreundliche Geräte mit geringerer Massenauflösung. Für diesen Zweck hat sich das von W. Paul und Mitarbeitern in den 1950er Jahren in Bonn entwickelte Quadrupol-Massenspektrometer (Abb. 11.31) durchgesetzt. Der durch Stoßionisation von Neutralteilchen mithilfe eines Elektronenstrahls erzeugte lonenstrahl wird axial in einen elektrischen Quadrupol eingeschossen. Der Quadrupol besteht aus Stäben von typischerweise 6 bis 12 mm Durchmesser und 100 bis 250 mm Länge. An den Elektroden liegt eine Wechselspannung fester Frequenz im Bereich von 1 bis 2 MHz; dieser ist eine Gleichspannung überlagert. Die Teilchenbahnen im hochfrequenten Quadrupolfeld sind (im Gegensatz zu Teilchenbahnen in statischen elektrischen Feldern) massenabhängig; nur Ionen bestimmter Massen laufen auf stabilen Bahnen und erreichen den hinter der Ausgangsblende sitzenden Detektor (Faraday-Becher oder
Abb. 11.31 Schematische Darstellung des Quadrupol-Massenspektrometers (Nobelvortrag, W.Paul, 1989).
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11 Geladene Teilchen im Vakuum
Kanal-SEV). Durch Variation des Verhältnisses von Gleich- und Wechselspannung lässt sich der Massen-Durchlassbereich verändern. Das Massenspektrum ergibt sich aus der Messung des lonenstroms als Funktion der durchgelassenen Masse. Quadrupol-Massenspektrometer werden für verschiedene Massenbereiche angeboten, z. B. bis A — 50, 300 und 1000. Die QMAs können leicht umgepolt und damit auch zur Erfassung negativer Ionen eingesetzt werden.
11.3.3 Teilchenfallen
Die Anordnungen zur Speicherung von Teilchen werden als „Fallen“ (traps) bezeichnet, manchmal auch als „Teilchen-Käfige“.
Magnetische Flasche. In einem inhomogenen Magnetfeld vom Betrag B bewege sich ein Teilchen mit der Ladung q, der Masse m und der Geschwindigkeit v auf einer spiralförmigen Bahn in Richtung zunehmender Feldstärke. Der Umlaufradius r in der Ebene senkrecht zum Feld wird kleiner und der Vorschub parallel zum Feld geht nach null, um danach in umgekehrter Richtung wieder zuzunehmen; das Teilchen wird reflektiert; dabei bleibt der Umlaufsinn erhalten, aber der Schraubensinn der Spiralbahn kehrt sich um. Das ist der magnetische Spiegel (Abb. 11.32a). Ein axiales Magnetfeld, das an beiden Seiten durch magnetische Spiegel begrenzt wird, ist eine magnetische Flasche (Abb. 11.32b).
Die magnetische Spiegelung ist leicht zu verstehen, wenn ein hinreichend kleiner Feldgradient angenommen wird, sodass die Krümmung der Spiral-Mittellinie (z-Achse in Abb. 11.32a) vernachlässigt und zirkulare Symmetrie der Bahnbewegung angenommen werden kann. In dieser Näherung wird auf das Teilchen kein Drehimpuls übertragen; der Bahnd reh impuIsL und das zu ihm proportionale magnetische Bahnmoment pm sind adiabatische Invarianten, also Konstanten der Bahnbewegung. Ebenfalls konstant ist die kinetische Energie des Teilchens, die sich über die Quadrate der Geschwindigkeitskomponenten in einen longitudinalen und einen transversalen Anteil zerlegen lässt:
Abb. 11.32 (a) Magnetischer Spiegel: ein geladenes Teilchen wird in einem zunehmenden magnetischen Feld reflektiert, (b) Magnetische Flasche mit magnetischen Spiegeln an beiden Enden (schematisch).
11.3 Geräte, Großgeräte
711
Das magnetische Bahnmoment Jum ergibt sich aus dem Produkt von Fläche (nr2), Ladung (<?) und Umlaufsfrequenz [= vj(2w) = a>J2n = Zyklotronfrequenz]:
= ?[ft/(2nr)] ~r
= q vL r/2 = konst.	(11.24)
Mit der Zyklotronkreisfrequenz
a>c = (q/ni) B,	(11.25)
die sich aus der Bedingung „Lorentz-Kraft = Zentrifugalkraft“ ergibt, folgt
= ?("c/2K)
— q[(q/m) B/2ti] nr2 = konst.	(11.26)
und als der hier wesentliche Teil
B nr2 = konst.	(11.27)
Das bedeutet, die Spiralbahn liegt auf der Mantelfläche einer „Flussröhre“, und der Bahnradius nimmt mit l/]/ß ab. Aus Gl. (11.24) folgt
r = konst.,	(11.28)
und das bedeutet, dass v2 mit 1/r2 bzw. mit B zunimmt und v2 gemäß Gl. (11.23) entsprechend abnimmt. Wenn die gesamte kinetische Energie in die transversale Bewegung transferiert worden ist, tritt Spiegelung ein. Dieses mithilfe nicht-relativistischer Formeln gewonnene Resultat lässt sich auch relativistisch verallgemeinern.
Ein Vorteil der magnetischen Flasche ist die mögliche gleichzeitige Speicherung von geladenen Teilchen beider Vorzeichen. Dieses Prinzip wird ausgenutzt für die magnetische Speicherung von Plasmen zur thermonuklearen Fusion.
Penning-Falle. Diese zuerst von F. M. Penning (1936) verwendete Falle nutzt ein axiales Magnetfeld, um über die Lorentz-Kraft geladene Teilchen am Entweichen in radialer Richtung zu hindern. Das Entweichen in axialer Richtung wird durch abstoßende elektrische Potentialschwellen an beiden Enden verhindert. Diese Falle speichert nur Teilchen eines Vorzeichens; für eine gegebene Tiefe der Potentialmulde zwischen den Endelektroden ist die Zahl der speicherbaren Teilchen nach oben hin durch die abstoßende Wirkung der Raumladung begrenzt.
Penning-Fallen sind für viele Präzisionsmessungen an Elektronen, Positronen, Protonen, Antiprotonen und verschiedenen Ionen verwendet worden. Um die Teilchenbahnen quantitativ berechnen zu können, bevorzugt man für die Spektroskopie Käfige mit hyperbolischen Elektroden wie die der Paul-Falle (Abb. 11.33a), mit Gleichspannung und einem zusätzlichen homogenen axialen Magnetfeld. Zur Injektion der Teilchen in die Falle kann die Eingangspotentialschwelle gepulst erniedrigt werden; Elektronen können auch durch Photoionisation von Restgasatomen innerhalb der Falle „erzeugt“ werden. Zum Kühlen der eingefangenen Teilchen, kann man die Elektroden an einen (gekühlten) Schwingkreis anschließen; die Teilchen, die in der Falle oszillieren, treiben einen Bildladungs-Wechselstrom durch den Schwingkreis, und dessen Dämpfung durch einem (gekühlten) ohmschen Widerstand dämpft auch die Bewegung der gespeicherten Teilchen.
11.3 Geräte, Großgeräte
713
Transmissions-Elektronenmikroskop (TEM = transmission electron microscope). Das Elektronenmikroskop wurde in Berlin entwickelt: 1930/31 bauten E. Ruska und M. Knoll das erste Elektronenmikroskop mit magnetischen Linsen, gleichzeitig bauten E. Brüche und H. Johannson das erste mit elektrischen Linsen. Das magnetische Elektronenmikroskop führte unter der Leitung von B. v. Borries und E. Ruska zum ersten kommerziellen Gerät von Siemens & Halske (1938), das elektrische unter der Leitung von H. Mahl zum ersten kommerziellen Gerät der AEG (1939).
Im Transmissionsmikroskop wird ein dünnes, für die Elektronen durchdringbares Objekt oder ein dünner Abdruck einer zu untersuchenden Oberfläche mit Elektronen von einer Glühkathode bestrahlt. Eine als Kondensor bezeichnete Linse sorgt für die optimale Bestrahlung („Ausleuchtung“) des Objektes. Die aus dem Objekt austretenden Elektronen erfahren im kurzbrennweitigen Objektiv - bestehend aus einer magnetischen oder elektrostatischen Linse - solche Bahnänderungen, dass eine stark vergrößerte Abbildung des Objektes zustande kommt. In einer zweiten Abbildungsstufe wird dieses Bild mit einer als Projektiv bezeichneten Linse auf den Leuchtschirm oder auf eine Photoplatte projiziert.
Beim Durchstrahlungsmikroskop haben sich die magnetischen Linsen durchgesetzt, weil mit ihnen kleinere Brennweiten erreichbar sind. Bei den elektrischen Linsen sind die für kleine Brennweiten erforderlichen kleinen Elektrodenabstände aus hochspannungstechnischen Gründen nicht realisierbar. Weil sich dünne Schichten z. T. erheblich vom Festkörper unterscheiden, möchte man möglichst dicke Schichten durchstrahlen; dazu sind spezielle Elektronenmikroskope für Energien bis zu 3 MeV gebaut worden.
In die Formel für den kleinsten noch auflösbaren Abstand zweier Objektpunkte geht nicht nur die Wellenlänge ein, sondern auch reziprok das Öffhungsverhältnis (= Linsendurchmesser/Brennweite). Bei den öffhungsfehler-korrigierten Glaslinsen sind Öffhungsverhältnisse nahe eins möglich; weil jedoch der Öffhungsfehler von Elektronenlinsen nicht korrigiert werden kann, müssen sehr kleine Öffhungsverhältnisse (« 10 2) verwendet werden, sodass der noch auflösbare Abstand längst nicht so klein ist wie die de-Broglie-Wellenlänge. Erst mit Energien von mehreren lOOkeV (2 « 1 pm) ist es gelungen, einzelne Atome mit mittlerer oder hoher Kernladungszahl im Elektronenmikroskop zu erkennen. (Mehr über Elektronenmikroskope in Bd. 3, Kap. 11.)
Rasterelektronenmikroskop (SEM = scanning electron microscope). Zur Abbildung von Festkörperoberflächen wird das Objekt mit einem feinen Elektronenstrahl abgetastet, zeilenweise wie beim Fernsehbild, und auf einem Fernsehbildschirm reproduziert.
Ein gut gebündelter Elektronenstrahl von etwa 10 nm Durchmesser, erzeugt durch zweistufige Verkleinerung des Cross-overs, wird zeilenweise über die Oberfläche geführt. Die rückgestreuten Elektronen oder Sekundärelektronen werden gesammelt (mit einem elektrischen Feld „abgesaugt“) und der Elektronenstrom verstärkt. Dieses Signal wird zur Helligkeitssteuerung einer Bildröhre verwendet. So entsteht ein vergrößertes Bild der Oberfläche ohne Abbildungsfehler! Die laterale Auflösung liegt mit 10-20 nm in der Größenordnung des Strahldurchmessers. Bemerkenswert ist die große Tiefenschärfe, die einen plastischen Eindruck vermittelt (Abb. 11.34). Die Bildinformation lässt sich leicht digitalisieren, sodass mithilfe eines Computers
716
11 Geladene Teilchen im Vakuum
der Erdseite wird ein Strahl negativer Ionen der gewünschten lonenart erzeugt und zum positiven Hochspannungskonduktor beschleunigt. Dort wird mit einer simplen Gaszelle oder in einer dünnen Folie der lonenstrahl umgeladen, d. h., bei Stößen im Umlader werden zwei Elektronen herausgeschlagen, aber dabei Energie und Richtung des Ions kaum verändert. Das danach positiv geladene hochenergetische Ion fliegt weiter und wird auf dem Weg vom positiven Konduktor zum geerdeten Target auf der anderen Seite ein zweites Mal beschleunigt. Zur Erhöhung der Spannungsfestigkeit wird der gesamte Tandembeschleuniger in einem mit SF6 gefüllten Druckbehälter betrieben. Der Tandembeschleuniger liefert einen kontinuierlichen Strahlstrom bei sehr konstanter lonenenergie; große Tandembeschleuniger erreichen für einfach geladene Ionen Energien bis zu 30 MeV.
Linearbeschleuniger. Der erste Hochfrequenz-Linearbeschleuniger wurde 1927 von R. Wideröe in Aachen gebaut. Im Prinzip besteht ein Linearbeschleuniger aus zahlreichen Metallröhren gleichen Durchmessers, die auf einer Achse liegen, durch kurze Zwischenräume voneinander getrennt und abwechselnd mit dem einen oder dem anderen Pol eines Hochfrequenzsenders verbunden sind (Abb. 11.36). Die Teilchen werden jeweils zwischen den Röhren beschleunigt, wo sich das elektrische Feld ausbildet, das gleichzeitig auch als elektrostatische Linse wirkt. Man muss die Länge der Röhren so wählen, dass die Teilchen im Zwischenraum immer beschleunigt werden. Während ihres Fluges durch den feldfreien Innenraum der Röhren werden sie nicht beeinflusst; in dieser Zeit erfolgt die Phasenumkehr des elektrischen Wechselfeldes. Falls sich während dieser Zeit Teilchen im Feld befinden, werden sie rückwärts beschleunigt. Aus diesem Grunde pulst man den Strahl durch Gittersteuerung vor der Injektion in den Beschleuniger. Die Teilchen fliegen also nicht in einem kontinuierlichen Strom, sondern in Gruppen (bimches). Wegen der (im nicht-relativistischen Bereich) steigenden Geschwindigkeit werden die aufeinanderfolgenden Röhren immer länger. Die erzeugbare Hochfrequenz und HF-Feldstärke und die Länge des Beschleunigers bestimmen die Endenergie.
Die mit der Geschwindigkeit länger werdenden Driftröhren (Abb. 11.36) führen bei Elektronen-Linearbeschleunigern zu sehr großen Baulängen. Günstigere Verhältnisse ergeben sich, wenn man das Prinzip der Wanderfeldröhre auf den Linearbeschleuniger überträgt. In den Wanderfeldröhren werden Elektronen von einer Welle „getragen“, etwa so wie ein Wellenreiter auf einer Wasserwelle. Ersetzt man die langen Röhren des Linearbeschleunigers durch viele schwingende Hohlraumresonatoren oder auch durch einen Hohlleiter, so kann die darin laufende Welle die geladenen Teilchen als „Wellenreiter“ mitnehmen. Elektronen, die zwischen den Wel-
□ (T~) 0 J II	) J—
Hochfrequenz-Einkopplung
Abb. 11.36 Prinzip eines Linearbeschleunigers. Die Länge der Zylinder zwischen den Beschleunigungsstrecken nimmt zu, solange die Geschwindigkeit noch mit der Energie merklich wächst.
11.3 Geräte, Großgeräte 717
lenbergen liegen, fliegen langsamer und werden von der nächsten Welle erfasst. So entsteht eine Bündelung zu Paketen, auch Phasenfokussierung genannt. Den größten Elektronen-Linearbeschleuniger mit einer Länge von 2 Meilen besitzt das Stanford Linear Accelerator Center (SLAC) in Kalifornien: Dieser Beschleuniger wurde 1966 für 20 GeV erstellt und später mit HF-technischen Verbesserungen auf 50 GeV umgerüstet. Linearbeschleuniger werden auch als Vorbeschleuniger für große Zirkularbeschleuniger (Synchrotrons) benutzt.
Zyklotron. Das erste Zyklotron wurde 1932 von E.O. Lawrence und M.S. Livingstone in Berkeley gebaut. Das Prinzip ist folgendes: Die auf Kreisbahnen senkrecht zu einem nahezu homogenen Magnetfeld vom Betrag B umlaufenden Protonen haben einen Bahnradius r, der mit der Energie zunimmt. Die Zyklotron-Kreisfrequenz ist gegeben durch
£,jc = e B/(y in).
(11.29)
Im Nenner steht der durch die Relativitätstheorie hineinkommende Lorentz-Parameter
y = (1 - tfc2) = E/E0
(11.30)
(£’ = Gesamtenergie, Eo — Ruheenergie, E — Eo — kinetische Energie). Weil die Ruheenergie des Protons etwa 1 GeV beträgt, hat für die typische (kinetische) Zyklotron-Energie von 10 MeV der Faktor y den Wert 1.01, liegt also nur geringfügig über eins.
Die zu beschleunigenden Ionen werden im Zentrum dadurch gebildet, dass ein feiner Strahl des betreffenden Gases mit Elektronen der Glühkathode G konzentriert beschossen wird. Die Ionen werden im elektrischen Feld zwischen zwei halbkreisförmigen Metalldosen Dj und D2 beschleunigt (Abb. 11.37a). Das Magnetfeld zwingt sie in eine Kreisbahn. An den Elektroden Dj und D2 liegt über der Kopplungsschleife K eine Wechselspannung solcher Frequenz, dass die Ionen jedesmal beim Eintritt in den Raum zwischen den Elektroden erneut beschleunigt werden. Während des
Abb. 11.37 (a) Aufbau eines Zyklotrons (schematisch), K = Kopplung, G = Glühelektronen, F = Fenster, D = Dose; (b) Aufbau eines Betatrons - Vakuumring mit elliptischem Querschnitt.
718
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Flugs im Innern der Metalldosen kehrt das elektrische Wechselfeld seine Phase um und beeinflusst die Ionen nicht. Die Geschwindigkeit der Ionen steigt mit der Zahl der Beschleunigungen. Da die magnetische Feldstärke B auf dem ganzen Weg fast gleich bleibt, muss der Kreisdurchmesser proportional zur Geschwindigkeit an wachsen. So entsteht die Spirale. Am Ende lenkt man den Strahl durch einen Ablenkkondensator ab und lässt ihn durch ein Fenster F austreten.
Das Zyklotron ist charakterisiert durch eine konstante Frequenz und ein zeitlich konstantes, zur axialen Fokussierung der Teilchen radial leicht abfallendes Magnetfeld. Daraus ergibt sich eine mit wachsendem Bahnradius leicht abfallende Zyklotronfrequenz, selbst bei End-Energien, für die der Faktor 7 noch nicht merklich größer als eins ist. Dass ein mit konstanter Frequenz betriebenes Zyklotron trotzdem funktioniert, liegt an dem so genannten „Phasenschlupf“ der beschleunigten Teilchen, der als Teil einer Phasenschwingung um den Punkt mc = mHF aufgefasst werden kann. Mit Zyklotrons können Protonen und Deuteronen bis auf etwa 22 MeV und die doppelt geladenen a-Teilchen auf 44 MeV beschleunigt werden.
Betatron. Das erste Betatron, auch „Elektronenschleuder“ genannt, wurde nach einer Idee von R. Wideröe 1940 von D.W Kerst in Urbana, Illinois, gebaut. Im Prinzip handelt es sich beim Betatron um einen Transformator ohne Sekundärwicklung. Das elektrische Feld, welches den Strom in der Sekundärwicklung eines normalen Transformators treibt, also die Elektronen im Draht bewegt, beschleunigt im Betatron Elektronen (von einer Glühkathode) in einer Vakuumkammer. Wird das Magnetfeld des Transformators in der ersten Viertelperiode der Wechselspannung aufgebaut, dann erzeugt das anwachsende Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld mit kreisförmig geschlossenen Feldlinien, durch welche die Elektronen beschleunigt werden. Die Elektronen kommen dabei auf eine sehr hohe Geschwindigkeit; das ist ganz anders als im Leiterdraht mit endlichem elektrischen Widerstand. Wichtig ist, dass die Elektronen auf ihrer Kreisbahn, d. h. im Vakuumrohr bleiben, was durch ein besonderes magnetisches Führungsfeld erreicht wird. Die Elektronen werden also in einer Viertelperiode auf ihre Höchstgeschwindigkeit gebracht. Die Zahl der Umläufe während dieser Zeit ist rund 106. Der Energiegewinn pro Umlauf liegt bei 30 eV. Am Ende einer Viertelperiode lässt man die Elektronen nach Ablenkung in einem elektrischen Feld tangential austreten. Die Abb. 11.37b gibt eine schematische Darstellung. Zum Austritt der Elektronen- oder Röntgenstrahlung hat das Eisen rechts eine Öffnung. Bei Herstellung harter Röntgenstrahlen prallen die schnellen Elektronen nach Ablenkung auf ein Wolframblech. Das angewendete Wechselfeld hat meist eine Frequenz von 50 Hz. Betatrons, wie sie als Quellen für y-Strahlung in der Medizin und zur Materialprüfung verwendet werden, haben Energien bis zu 50 MeV.
Synchrotron. In der Hochenergiephysik liegen heute die erreichbaren Endenergien weit über der Ruheenergie der Teilchen:	1 TeV |> 1 GeV « mpc2 |> m^c1. Da-
durch werden Protonen- und Elektronenbeschleuniger technisch einander ähnlich; allerdings muss bei Elektronen noch der Energieverlust durch Synchrotronstrahlung berücksichtigt werden.
Das Synchrotron entwickelte sich aus dem Zyklotron in mehreren (hier nicht behandelten) Stufen. Die 2. Generation der Synchrotrons, charakterisiert durch star
11.3 Geräte, Großgeräte
719
ke Fokussierung, begann 1959 mit dem Protonen-Synchrotron am CERN (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire, nahe bei Genf, gegründet 1954) und dem AGS (Alternating Gradient Synchrotron) von Brookhaven (1960).
Das Synchrotron ist charakterisiert durch einen konstanten Sollbahnradius:
r = ymv!(eB) = konst.	(11.31)
Mit zunehmendem Impuls ynw wird das Magnetfeld B hochgefahren; deshalb erfolgt die Beschleunigung in Zyklen. Die Umlaufbahn ist kein perfekter Kreis, sondern besteht abwechselnd aus geraden Stücken, wo die Beschleuniger und die stark fokussierenden Quadrupol-Magnete angeordnet sind, und aus Kreisbogen-Stücken, die die ablenkenden Dipol-Magnete enthalten.
Die Teilchen werden in Vorbeschleunigern schon auf hohe Energie gebracht und dann tangential injiziert. Bei Elektronen liegt die Geschwindigkeit schon sehr dicht an der Lichtgeschwindigkeit, sodass die Umlaufzeit sich mit der Energie-Erhöhung kaum noch verringert. Elektronen-Synchrotrons arbeiten deshalb mit konstanter (oder sehr gering veränderlicher) Beschleuniger-Frequenz. Bei Protonen-Synchro-trons muss die Beschleuniger-Frequenz mit zunehmender Umlaufgeschwindigkeit hochgefahren werden.
Die Verwendung eines Synchrotrons als Speicherring (storage ring) stellt hohe Anforderungen an die Stabilisierung der Teilchenbahnen und setzt exzellentes Vakuum voraus. Bei Elektronen-Speicherringen müssen die erheblichen Energieverluste infolge Emission von Synchrotronstrahlung ständig durch Nachbeschleunigung kompensiert werden. Die abgestrahlte Leistung P ist proportional zu y4 = (E/Egf. Da die Umlaufzeit mit dem Bahnradius r wächst, ist der Energieverlust pro Umlauf AE proportional zu y4/r. Für Elektronen ergibt sich quantitativ ein Energieverlust pro Umlauf von
AE'/keV = 88.5 (£'/GeV)4/(r/m).	(11.32)
Für Protonen ist die Strahlungsleistung um den Faktor (mp/me)~4 x 10 13 kleiner, also vernachlässigbar!
Elektronen-Synchrotrons sind wichtige Quellen kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung für Forschung und Materialbearbeitung. Das Berliner Synchrotron BESSY wurde speziell für diesen Zweck gebaut.
Kollidierende Strahlen. Beim Stoß von Hochenergie-Teilchen mit ruhenden Kernen erhalten die Kerne auch Bewegungsenergie, sodass die im Schwerpunktsystem verfügbare Reaktionsenergie W wesentlich kleiner ist als die Energie E des Projektils. Nach der relativistischen Kinematik ergibt sich für den Stoß des Projektil-Teilchens P mit dem Target-Teilchen T die Schwerpunktenergie
ifMC + 2££ot + £'o2t]1/2
^[2££ot]1/2
für
£>£oT,£op.	(11.33)
Bei einer Protonenenergie von 400 GeV bleibt im pp-Stoß nur eine Reaktionsenergie von W = 27.4 GeV.
720
11 Geladene Teilchen im Vakuum
Energetisch viel vorteilhafter ist es, wenn man zwei Hochenergie-Teilchen (nahezu) frontal kollidieren lässt. Im günstigsten Fall, wenn der Schwerpunkt beider Teilchen im Laborsystem ruht, steht als Reaktionsenergie IV die Summe der beiden Teilchenenergien zur Verfügung.
Zwei in einem Speicherring entgegengesetzt umlaufende Teilchenstrahlen können in Überkreuzungspunkten zur Kollision gebracht werden. Mit solchen kollidierenden Strahlen werden die höchsten im Stoß verfügbaren Energien erreicht. Teilchen gleicher Masse und entgegengesetzter Ladung können im selben Synchrotron entgegengesetzt umlaufen. Für kollidierende Strahlen mit Teilchen ungleicher Masse werden zwei ineinander oder übereinander liegende Speicherringe verwendet.
Speicherringe mit kollidierenden Strahlen (circular colliders) liefern heute die höchsten nutzbaren Energien. Allerdings sind die bei solchen Experimenten auftretenden Ereignisraten um viele Größenordnungen kleiner als man es von Experimenten mit festen Targets gewöhnt ist, obwohl sich die Strahlenbündel (bunches) nicht nur einmal durchsetzen, sondern ständig rezirkulieren, bei einem Bahnumfang von 3 km beispielsweise 100 000-mal pro Sekunde. Für maximale Ereignisraten müssen die Strahlen in der Wechselwirkungszone sehr kleine Querschnitte haben; verwendet werden „flache Strahlen“ mit Breiten in der Größenordnung von 1 mm und Höhen von 0.1 mm oder weniger. Die Querschnitte können nicht beliebig verkleinert werden, weil dabei die gegenseitige Störung der Strahlen stärker wird.
Ein Maß für die mit kollidierenden Strahlen erreichbaren Ereignisraten ist das Produkt von dem Reaktionsquerschnitt a und der Luminosität
L — n N1 N2f/A12,	(11.34)
mit n = Zahl der im Ring umlaufenden Bündel (bunches), NY — Zahl der Teilchen pro Bündel im Strahl 1, N2 — Zahl der Teilchen pro Bündel im Strahl 2, f — Umlaufsfrequenz, T,2 = Fläche der überlappenden Strahlquerschnitte. Die Luminosität wird incm 2s 1 angegeben und liegt bei den heutigen Anlagen in der Größenordnung von IO30 bis 1033.
Hochenergie-Forschungszentren. Die erfolgreichsten Forschungsanlagen der Hochenergiephysik haben im Lauf der Zeit neue größere Beschleuniger an alte kleinere angeschlossen, die sie nun als Vorbeschleuniger benutzen für die Synchrotrons und Speicherringe mit kollidierenden Strahlen. Ein gutes Beispiel ist das 1959 gegründete DESY in Hamburg, eine Forschungsanlage, die ursprünglich nur aus dem namengebenden Deutschen Elektronen-Synchrotron bestand, mit dem 7 GeV erreicht wurden. Die jüngste Ergänzung von DESY ist HERA (= Hadron-Elektron-Ring-Anlage) mit einem Umfang von 6.3 km. Die Endenergien von HERA sind 30 GeV für Elektronen/Positronen, begrenzt durch die Strahlungsverluste, und 820 GeV für Protonen, begrenzt durch die erzeugbaren magnetischen Feldstärken.
Der Speicherring LEP (= Large Electron Positron Collider) am CERN ist ein Ring mit 27 km Umfang. Durch Verwendung supraleitender Beschleunigungssysteme sind 90GeV erreichbar. Für 90GeV ergibt Gl.(11.32) einen Strahlungsverlust von 1.35 GeV pro Umlauf. Weil die Strahlungsverluste pro Umlauf nach Gl. (11.32) mit der 4. Potenz der Energie zunehmen, aber nur mit der 1. Potenz des Radius abnehmen, wird LEP vermutlich der größte e /e -Ring bleiben.
11.4 Internet-Hinweise zu Kapitel 11
721
Für noch höhere Energien in ee-Stößen wird man in Zukunft lineare kollidierende Strahlen mit entgegengesetzten Linearbeschleunigern (linear colliders) erzeugen müssen. Diese neue Technik wird schon seit einigen Jahren am SLAC (Stanford, Kalifornien) entwickelt. Weil für Strahlen, die nur einmal Zusammentreffen, die Lu-minosität außerordentlich klein ist, muss man mit noch viel kleineren Strahlquerschnitten arbeiten. Die dadurch verstärkte gegenseitige Störung der Strahlen aufgrund ihrer Raumladungen ist bei nicht-rezirkulierenden Strahlen weniger kritisch.
Da die Strahlungsverluste für Protonen vernachlässigbar klein sind, kommt man in Speicherringen mit kollidierenden Protonen/Antiprotonen-Strahlen zu sehr hohen Energien. Da CERN beim Bau vom LEP im Tunnel schon den Platz für einen zweiten Ring vorgesehen hatte, kann dort nun relativ preiswert der LHC (= Large Hadron Collider) gebaut werden, der ab 2007 kollidierende Strahlen von 7-TeV-Protonen liefern soll.
Hochenergieexperimente mit Schwerionen sind von großem aktuellen Interesse für die Erforschung von Zuständen besonders dichter und heißer Materie, dem so genannten Quark-Gluon-Plasma. Am CERN-SPS wurden schon vollständig ionisierte Bleikerne (82Pb82+) beschleunigt. Für den LHC sind Pb/Pb-Experimente mit kollidierenden Blei-Ionenstrahlen in der Diskussion; bei Strahlenergien von je (7 TeV) • 82 = 574TeV entfallen 2.76 TeV aufjedesder208Nukleonenim208Pb-Kern.
11.4 Internet-Hinweise zu Kapitel 11
11.4.1 Elektronenröhren
Röntgenstrahler. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 11-1 Auch => Röntgenstrahlen => (im Text „Anwendungen“) => Röntgen
Klystron. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4):
Link 11-2 Weiter mit => See also: „Travelling wave tube“, sowie => Magnetron (dort weiter mit => Applications - Heating „microwave ovens“)
Moderne Oszilloskope. Elektronik 25/2003: http://www.elektroniknet.de/ => topics => messen&testen => Fachwissen (weit unten) => Tipps zur Oszilloskopauswahl = Link 11-3
Flachbildschirme, die die Elektronenstrahl-Bildröhren ablösen:
(a)	LCD-Bildschirme. TU Berlin: http://www.tu-berlin.de/ => Fakultäten => Mathematik und Naturwissenschaften => Physikalisches Institut => Arbeitsgruppen „Optisches Institut“ => Flüssigkristalle => LC Displays (Show This Frame Only) = Link 11-4
(b)	Plasmabildschirme, s. 10.5.1, Links 10-16, 10-17
722
11 Geladene Teilchen im Vakuum
11.4.2 Elektronen- und lonenstrahlen
Ionen- und Elektronenquellen. CERN Linac 2: http://linac2.home.cern.ch/ => ion sources => Also, there is a paper on ion sources in general either as in „HTML“ ... = Link 11-5
Elektronenstrahl-Schweißen. Institut für Schweißtechnik und Fügetechnik der RWTH Aachen: http://www.isf-aachen.de/ => Arbeitsgebiete => Forschungsbereiche „Strahlschweißen“ =
Link 11-6
Ergänzung: Ellinger GmbH, Schweißtechnik und Maschinenbau, 71554 Weissach im Tal: http://www.ellinger-schweisstechnik.de/ => Elektronenstrahlschweißen = Link 11-7
Elektronenstrahl-Lithographie. One of the world’s most comprihensive online refe-rences on semiconductor manufacturing: http://www.semiconfareast.com/ => Wafer Fabrication „Lithogrphy/Etch“ => See also „Electron Lithography“ =
Link 11-8
Ergänzung: Raith is an innovative attachment and System supplier for Nanolitho-graphy using electrons or ions. Tools and Systems are used for R&D and small batch production: http://www.raith.com/ => Nanolithography Products = Link 11-9 Weiter z. B. mit => FAQ’s
Massen-Spektrometrie. Scripps Center for Mass Spectrometry, La Jolla, CA 92037: http://masspec.scripps.edu/ => MS History =
Link 11-10 Weiter z. B. mit (links) => Timelines oder (rechts) => Services Ergänzung: The American Society for Mass Spectrometry (ASMS) was formed in 1969 to promote and disseminate knowledge of mass spectrometry and allied topics: http://www.asms.org/ => Publications => What is Mass Sepctrometry? => visit the ASMS „What is Mass Spectrometry“ tutorial => Index =
Link 11-11
Elektrospray-Ionisation. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4) electrospray ionization: Link 11-12
Ergänzung: Founded in 1997, New Objective has remained on the cutting edge of nanobore chromatography and nanospray-based mass spectrometry: http:// www.newobjective.com/ => Electrospray =
Link 11-13
11.4.3 Speicherung geladener Teilchen
Magnetische Flasche. LeiFi-Physik: Unterrichtsmittel von Ernst Leitner und Uli Finckh, Studiendirektoren am Rupprecht Gymnasium München; Präsentation angegliedert an die Webseiten der Physik der Uni München: http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/ => Jahrgangsstufe 12 => Magnetisches Feld => Magnetische Flasche =
11.4 Internet-Hinweise zu Kapitel 11
723
Link 11-14 Weiter mit Bewegung der Maus über das Bild, dann z. B. => Bahnen im B-Feld, => Zur Polarlichtseite
Teilchen-Fallen. Mass Spectrometry and Biotechnology Resource, created and edited by Andrew Guzzetta: http://ionsource.com/ => (rechts unten) Ion Trap Links => The Whys and Wherefores of Quadrupole Ion Trap Mass Spectrometry =
Link 11-15
Ergänzung: Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Nobel Lectures 1989:
Dehmelt: „Experiments with an Isolated Subatomic Particle at Rest“ => The Lecture in pdf-format =
Link 11-16
sowie Paul: „Electromagnetic Traps for Charged and Neutral Particles“ => The Lecture in pdf-format =
Link 11-17
11.4.4 Mikroskope
Transmissions- und Raster-Elektronenmikroskopie. Aus Wikipedia Deutsch (s. Abschn. 1.4) Elektronenmikroskop:
Link 11-18 Weiter z. B. mit => Transmissionselektronenmikroskop, => Rasterelektronenmikroskop
Ergänzung: Physik, Universität Münster: http://www.uni-muenster.de/Physik => Forschungsgruppen „Prof. Dr. H. Kohl“ => Forschung => Eine allgemeinverständliche Einführung (Show Only This Frame) =
Link 11-19
Rastertunnelmikroskop. Aus Deutsches Museum (s. Abschn. 1.4) => Ausstellungen => Meisterwerke => Rastertunnelmikroskop =
Link 11-20
Rasterkraftmikroskop. Aus Wikipedia - Deutsch:
Link 11-21
Ergänzung: University of Hannover, Institute for Solid State Physics, Nanostruc-tures Group: http://www.nano.uni-hannover.de/ => Helds of work => nanolithogra-phy using a scanning force microscope =
Link 11-22 Nanolithographie mit dem Rasterkraftmikroskop
Feldemissionmikroskopie. Department of Physics, University of Pune, India: http:// physics.unipune.ernet.in/ => Groups => Field Emission / Ion Microscopy =
Link 11-23
11.4.5 Beschleuniger
Physik der Teilchenbeschleuniger. Didaktik der Physik, Universität Erlangen: http:// www.didaktik.physik.uni-erlangen.de => Download: Grundlagen der Teilchenphy
724
11 Geladene Teilchen im Vakuum
sik (Das multimediale Lernprogramm) => (unten) Zum Programm => Experimente => Beschleuniger und Speicherringe =
Link 11-24 Weiter mit => Die zwei prinzipiellen Beschleunigerstrukturen: „Linearbeschleuniger“ und „Kreisbeschleuniger“, sowie => Die einzelnen Baugruppen von Beschleunigern: „Teilchenquellen“, „Beschleunigung“ und „Ablenkung und Fokus“.
• Surfer, die das hervorragend gestaltete Lernprogramm genutzt haben, sollten der Bitte des Anbieters nachkommen und einen Fragebogen ausfüllen: => (links oben) Titelseite => (unten) Feedback =
Link 11-25
Die Teilchenbeschleuniger aller Kontinente. Physik, Uni Bonn: http://www.phy-sik.uni-bonn.de => Institute => Physikalisches Institut => Gruppen & Bereiche: ELSA“ => (unten links) ELSA Beschleunigergruppe => (unten links) Weitere Links => Beschleunigerphysik: „Liste anderer Teilchenbeschleuniger“ (Show Only This Frame) =
Link 11-26 Weiter z. B. mit => Europe: BESSY, CERN, DESY, oder MAMI, => North America: BNL, FNAL odr SLAC
11.4.6 Biographien
Wilhelm Conrad Röntgen (1845-1923). Deutsches Historisches Museum: http:// www.dhm.de => LeMO => LeMO: Lebendiges virtuelles Museum Online => Kaiserreich => Wissenschaft & Forschung => Röntgen, Wilhelm =
Link 11-27
Ferdinand Braun (1850-1918). s. Abschn. 9.6.4, Link 9-29
Joseph John Thomson (1856-1940). s. Abschn. 7.5.2, Links 7 19, 7 20
Francis William Aston (1877-1945). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Biography:
Link 11-28
Ernest O. Lawrence (1901-1958). Aus AIP History of Physics (s. Abschn. 1.4):
Link 11-29
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725
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John B. Fenn (geb. 1917). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Chemistry 2002, Autobiography:
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Hans G. Dehmelt (geb. 1922). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Autobiography:
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Heinrich Rohrer (geb. 1933). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Autobiography:
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Gerd Binnig (geb. 1947). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Autobiography:
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12 Elektrochemie
Tab. 12.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A ► a aQ ► c	relative Atommasse Aktivität (einer lonensorte) Bohr-Radius molare Konzentration
d e — F G — H I m Wmol wäq p Q n Ri r S T L u V «A.K z a	äquivalente Konzentration Abstand, Gitterkonstante Elementarladung F araday-Konstante freie Enthalpie Enthalpie Strom(stärke) Dissoziationskonstante, thermodynamische Dissoziationskonstante, stöchiometrische lonenprodukt des Wassers relative Molekülmasse, molare Masse Teilchenmasse Avogadro-Konstante Stoffmenge (Zahl der Mole) äquivalente Stoffmenge elektrisches Dipolmoment Ladung universelle Gaskonstante Widerstand innerer Widerstand radiale Koordinate, Abstand zweier Ladungen Entropie thermodynamische Temperatur Zeit Anionen-, Kationen-Überführungszahl Spannung Volumen Anionen-, Kationen-Geschwindigkeit (Betrag) elektrochemische Wertigkeit Dissoziationsgrad
728
12 Elektrochemie
Größensymbol	Bedeutung
7i £o £r 1	»7 1	»7 A €) <p°	Aktivitätskoeffizient elektrische Konstante (relative) Permittivitätszahl Wirkungsgrad Viskosität Äquivalentleitfähigkeit Grenzleitfähigkeit Anionen-, Kationen-Beweglichkeit Leitfähigkeit Standard-Reduktionspotential
Ergänzende Information: Erläuterung der chemischen Symbole in Tab. 17.10
Die auf Pionierarbeiten von A. Volta (1745-1827), J.W. Ritter (1776-1810) und M. Faraday (1791-1867) aufbauende Elektrochemie ist ein Teilgebiet der physikalischen Chemie und zugleich ein wichtiges Kapitel der Elektrizitätslehre. Die Entwicklung, die zu den ersten elektrochemischen Stromquellen führte, wurde schon in Abschnitt 3.1 beschrieben. Für weitergehende Darstellungen wird auf Bd. 5 (Gas, Nanosysteme, Flüssigkeiten), Kap. 6 (Elektrochemie, Elektroden und Elektrodenprozesse) verwiesen.
12.1 Elektrolyse
Aus didaktischen Gründen wird die Elektrolyse vor der Galvanik behandelt; die historische Entwicklung verlief umgekehrt.
12.1.1 Grundbegriffe und Beispiele
Eine Lösung (solution, solute) ist eine vollständige Mischung von flüssigem Lösungsmittel (solvent) und gelöstem Stoff (dissolved substance). Die elektrischen Zuführungen, die in die Lösung eintauchen, werden Elektroden (electrodes) genannt. Wenn die Lösung den elektrischen Strom leitet und beim Stromdurchgang eine chemische Zersetzung (chemical decompositiori) des gelösten Stoffes oder des Lösungsmittels eintritt, dann spricht man von Elektrolyse (electrolysis). Solche Lösungen werden als Elektrolyte (electrolytes) und geeignete Lösungsmittel als elektrolytische Flüssigkeiten (electrolytic liquids) bezeichnet.
Ladungsträger (charge carriers). Das Vorhandensein beweglicher elektrischer Ladungsträger ist die Grundvoraussetzung für Stromdurchgang. Bei Elektrolyten sind die Ladungsträger ausschließlich Ionen, und zwar sowohl positive wie negative Ionen, beide meist einfach, oft zweifach, manchmal auch dreifach geladen. Sie ent
12.1 Elektrolyse
729
stehen durch Aufspaltung der Moleküle des gelösten Stoffes; dieser Prozess wird elektrolytische Dissoziation (electrolytic dissociatiori) genannt. Die Trennung erfolgt an der Stelle einer ionischen Bindung (ionic bond) durch Eindringen von Lösungsmittelmolekülen, die sich an die Ladungen der ionischen Bindung mit den entgegengesetzten Ladungen ihrer permanenten elektrischen Dipole anlagern. Der Elektrolyt ist überall elektrisch neutral.
Weil die elektrolytische Ionisation ganz anders zustande kommt als die Stoßoder Photoionisation in Gasentladungen, treten bei der Elektrolyse andere Ladungsträger auf. Die in Gasentladungen so wichtigen freien Elektronen fehlen hier völlig. Ein anderer wesentlicher Unterschied zum Stromtransport in selbständigen Gasentladungen ist folgender: Im Elektrolyten sind die Ionen schon vorhanden, bevor eine Spannung angelegt wird; das elektrische Feld zieht die Ionen zu den Elektroden, aber es wird nicht für nachfolgende lonisationsprozesse benötigt.
Chemische Begriffe. Stromfluss durch Elektrolyte wird immer von chemischen Reaktionen begleitet. Dafür sind einige Begriffe der anorganischen Chemie nützlich: Säuren (acids) sind Wasserstoffverbindungen, in denen der Wasserstoff ganz oder teilweise durch ein Metall ersetzt werden kann. Hier ein Beispiel: In H2SO4 (Schwefelsäure) kann der Wasserstoff z. B. durch Cu oder Na ersetzt werden; es entstehen dann CuSO4 (Kupfersulfat) oder Na2SO4 (Natriumsulfat). Laugen (Basen, bases) enthalten ein Metallatom und die Hydroxylgruppe OH, z. B. NaOH (Natronlauge), KOH (Kalilauge). Bringt man Säuren und Laugen in geeigneten Mengen zusammen, so bildet sich neben Wasser ein Salz (salt). Beispiel: Schwefelsäure und Kalilauge reagieren nach folgendem Schema miteinander:
H2SO4 + 2KOH -> K2SO4 + 2H2O.
Eine solche Säure-Base-Reaktion wird als (chemische) Neutralisation bezeichnet. Säuren, Laugen und vor allem Salze sind die gelösten Stoffe in Elektrolyten.
Wertigkeit (yalency). Die Adjektive „einwertig“, „zweiwertig“, „dreiwertig“ ... nennen die Zahl der chemischen Bindungen (Valenzen), die ein Atom gleichzeitig haben kann. Wie in Abschn. 7.3.4 beschrieben, wird die Zahl der Bindungen durch die Zahl der Valenzelektronen bzw. die Zahl der Vakanzen in der äußeren Elektronenschale bestimmt. Wasserstoff, Natrium und Kalium sind beispielsweise einwertig (ebenso wie CI, Ag usw.). Zu beachten ist aber, dass manche Elemente, wie z. B. Kupfer, in mehreren Wertigkeiten auftreten können. Nach der Elektronenkonfiguration des Cu-Grundzustandes mit nur einem 4s-Elektron (vgl. Abschn. 7.3.4) ist Cu einwertig. So bildet es das Molekül CuCl und stellt im Cu-Metall nur ein Leitungselektron pro Atom zur Verfügung. Durch geringen Energieaufwand kann jedoch ein Elektron der vollen 3d-Unterschale in die 4s-Unterschale gebracht werden, wodurch Cu zweiwertig wird (CuSO4). Ähnlich ist Eisen in FeCl2 (Eisen(II)-chlorid) zweiwertig, in FeCl3 (Eisen(III)-chlorid) dagegen dreiwertig.
Für die Wertigkeit der elektrochemisch relevanten lonenbindung wird die Größe z eingeführt, die eine positive ganze Zahl ist. Die relative Atommasse Ar und die relative Molekülmasse Mt („molare Masse“ in der Chemie), beides bezogen auf /lr(l2C) s 12, ergeben, geteilt durch die Wertigkeit z der lonenbindung, die relative (elektrochemische) Äquivalentmasse.
730
12 Elektrochemie
Die Mengeneinheit „Mol“ (Symbol mol), dividiert durch die Wertigkeit z, wird äquivalentes Mol genannt. Dafür wurde früher die Einheit „Val“ (1 val = 1 mol/z) verwendet. Weil die Einheit „äquivalentes Mol“ um den Faktor 1/z kleiner ist als die Einheit Mol, ist die äquivalente Stoffmenge (Zahl der äquivalenten Mole) näq um den Faktor z größer als die Stoffmenge (Zahl der Mole) nmol; es gilt also
«äq = Z ' «mol-	C12-1)
Bei der Anwendung des Begriffs der äquivalenten Mole auf Gasreaktionen ist zu beachten, dass die gasförmigen Elemente (mit Ausnahme der Edelgase und Metalldämpfe) als zweiatomige Moleküle existieren. Ein elektrochemisch äquivalentes Mol des einwertigen Wasserstoffatoms (ImolH) entspricht ^mol H2. Ein äquivalentes Mol des zweiwertigen Sauerstoffs entspricht |mol O und /mol O2.
Die (molare) Konzentration (= Molarität) c einer Lösung wird in der Chemie in der Einheit Mol/Liter (mol/L) angegeben, wobei sich die Molangabe auf den gelösten Stoff und das Flüssigkeitsvolumen V auf das Lösungsmittel bezieht. Die (molare) Äquivalentkonzentration ist definiert als
cäq = Z • c = z • (nmol/ D = näq/ V.	(12.2)
Zu unterscheiden sind Molarität (= Konzentration, concentratiori), angegeben in Mol pro Liter des Lösungsmittels, und Molalität (molality), angegeben in Mol pro Kilogramm des Lösungsmittels. Da sich das Volumen des Lösungsmittels mit der Temperatur ändert, seine Masse dagegen nicht, wird sich die Molalität als die sinnvollere Größe vielleicht durchsetzen.
Elektrolytische Flüssigkeiten. Diese Flüssigkeiten sind durch ein hohes elektrisches Dipolmoment ihrer Moleküle und einer entsprechend hohen (relativen) Permittivi-tätszahl er (vgl. Kap. 13) ausgezeichnet. Das Dipolmoment des H2O-Moleküls von p — 6.17 • 10 '° A s m = 0.73 e a0 (e — Elementarladung, a0 — Bohr-Radius) liegt parallel zur Winkelhalbierenden des 104.5°-Bindungswinkels mit dem Schwerpunkt der positiven Ladung zwischen den H-Atomen und dem der negativen Ladung in der Nähe des O-Atoms (Abb. 12.1).
Die Permittivitätszahl ;;r des Wassers beträgt 81. Andere Lösungsmittel mit hoher Permittivität sind Ethanol (er = 25), Ameisensäure (er = 62) und Blausäure (er = 96). Neben den flüssigen Elektrolyten werden auch feuchte elektrolytische Pasten (Pulver vermengt mit wenig Flüssigkeit) verwendet.
Andere Elektrolytarten. Stoffe, die bei hinreichend hoher Temperatur elektrolytisches Verhalten zeigen, sind Schmelz- und Festelektrolyte. Diese bieten interessante Aspekte für technische Anwendungen, worauf in Abschn. 12.4.2 noch eingegangen
0
/-Aq_____p
P>"..NL4---X _s
s । x r
.104.5'
Abb. 12.1 Das Wassermolekül in Orbitaldarstellung.
12.1 Elektrolyse
731
wird. Schmelzelektrolyte sind Schmelzen von lonenkristallen, in denen die Ionen beweglich sind. Festelektrolyte bestehen aus keramischen Materialien, Gläsern oder Salzen, in denen bestimmte Ionen, besonders bei erhöhter Temperatur, relativ frei beweglich sind.
Oxidation und Reduktion. Das Sauerstoffatom hat zwei Vakanzen in der äußeren 2p-Unterschale und ist damit zweiwertig. Bei der Verbrennung (= Oxidation) gehen Atome anderer Elemente ionische Bindungen mit Sauerstoff ein. Dabei werden Elektronen vom anderen Atom auf das Sauerstoffatom verlagert, wodurch sich dieses negativ und das andere Atom positiv auflädt. Das führt zu folgender vom Sauerstoff (Oxygen) völlig unabhängigen Verallgemeinerung:
Oxidation = Entzug von Elektronen
(Ladung wird positiver) und
Reduktion = Zuführung von Elektronen (Ladung wird negativer).
Danach ist die chemische Verbrennung eine Oxidation der Brennstoffatome, gekoppelt mit einer Reduktion der Sauerstoffatome.
Anode und Kathode. Diejenige Elektrode, die bei der Elektrolyse mit dem negativen Pol der Spannungsquelle verbunden ist, nannte Faraday Kathode, die mit dem positiven Pol verbundene nannte er Anode. Bei der Elektrolyse wandern die negativen Ionen zur Anode und heißen deshalb Anionen; an der Anode werden sie durch den Entzug von Elektronen oxidiert. Die positiven Ionen wandern zur Kathode und heißen deshalb Kationen; an der Kathode werden sie durch Aufnahme von Elektronen reduziert.
Achtung: Die Begriffe Anode und Kathode werden mit den dort ablaufenden elektrochemischen Reaktionen verknüpft, nicht mit der Elektrodenpolarität! Es gilt
Anode = Oxidationselektrode und
Kathode = Reduktionselektrode.
Bei stromliefernden galvanischen Elementen (Abschn. 12.2) ist die Anode der Minuspol, die Kathode der Pluspol. Bei wiederaufladbaren Akkus liegt die Polarität der Elektroden fest, ihre Funktion (Oxidation/Reduktion) und Benennung (Anode/ Kathode) ist bei Beladen und Entladen verschieden.
Wasserzersetzung. Zuerst ein einfacher Demonstrationsversuch: Taucht man zwei Elektroden, die nicht von Säure angegriffen werden (Platinbleche oder Kohlestäbe), in ein Glasgefäß, das mit reinem, zweimal destilliertem Wasser gefüllt ist, und legt eine Spannung zwischen 100 und 200 V an, so findet praktisch kein Stromdurchgang statt. Eine in den Kreis eingeschaltete Glühlampe bleibt dunkel, ein Amperemeter gibt keinen Ausschlag. Reines Wasser leitet den Strom also praktisch nicht! Fügt man dem Wasser jedoch einige Tropfen Schwefelsäure hinzu, so fließt sofort ein erheblicher Strom durch die Leitung. Die Lampe leuchtet hell auf, der Strommesser gibt einen Ausschlag: die hier benutzte wässrige Lösung der Schwefelsäure ist also
12.1 Elektrolyse
733
An der Anode wird das negative SO2 -Ion entladen, es bildet sich als chemisch aktiver Zwischenzustand das Radikal SO4, das sofort mit dem wässrigen Lösungsmittel reagiert. An der Anode laufen folgende Reaktionen ab:
(1)	SO2~ [SO4] + 2e~
(2)	[soj + h2o h2so4 + |o2t
(3)	H2SO4 -► 2H++SO"-
Addiert man die drei Gleichungen und streicht die auf beiden Seiten vorkommenden Terme, dann erhält man die Summen-Reaktionsgleichung
(1) + (2) + (3) H2O 2H+ + 2e- +1 O2f.
Erstens bildet sich das Säure-Ion wieder zurück, sodass die H2SO4-Menge der Lösung unverändert bleibt. Zweitens werden die H+-Ionen nachgebildet, die durch die Wasserstoff-Gasentwicklung an der Kathode verloren gehen, sowie (an der Anode) die Leitungselektronen gewonnen, die (an der Kathode) zur Neutralisation der H +-Ionen aufgebracht werden müssen. Drittens wird an der Anode Sauerstoff entwickelt. Da durch die Gasentwicklungen die Wassermenge abnimmt, steigt die Konzentration der Lösung. Es macht also in der Tat den Eindruck, als ob eine Elektrolyse des Wassers vorläge; aber das ist nur eine Folge der sekundären Reaktion der SO4-Gruppe mit dem Lösungsmittel. Solche sekundären Reaktionen komplizieren die elektrolytischen Phänomene.
Weitere Beispiele für Elektrolytzersetzung. Im Hofmann’schen Zersetzungsapparat mit chemisch nicht angreifbaren Elektroden ergeben sich bei der Elektrolyse wässriger Lösungen von HCl, NaCl, HNO3 und KNO3 folgende Gasentwicklungen:
gelöster Stoff	Gasbildung an	
	Kathode	Anode
HCl	1 - H2, primär	1 - Cl2, primär
NaCl	1 - H,, sekundär 2 2	1 - Cl2, primär
hno3	1 - H2, primär	1 - 0,, sekundär 2 2
kno3	1 - H,, sekundär 2 2	1 - 0,, sekundär 2 2
Bei der Elektrolyse von verdünnter Salzsäure (HCl) stellt man an der Kathode die Entwicklung von Wasserstoff fest, während sich an der Anode das gleiche Volumen Chlor entwickelt, entsprechend der Neutralisierung der H + - und CD-Ionen und der Bildung der diatomaren Moleküle H2 und Cl2. In diesem Fall werden also die primär entstandenen Dissoziationsprodukte ohne sekundäre Reaktion an den
734
12 Elektrochemie
Elektroden frei. Da Chlor sich leicht in Wasser löst, muss man, bevor man die Gasvolumenmessung beginnt, den Versuch so lange laufen lassen, bis das Wasser mit Chlor gesättigt ist; erst danach erweisen sich die abgeschiedenen Mengen von H2 und Cl2 als volumengleich.
Ersetzt man das HCl durch NaCl (Kochsalz), so wird an der Anode wieder Chlorgas freigesetzt, während an der Kathode nicht Natrium, sondern Wasserstoff, und zwar volumengleich mit dem entwickelten Chlorgas, frei wird. Das primär abgeschiedene Natrium reagiert nach Abgabe seiner Ladung mit dem Wasser nach der Gleichung
1
Na + H,0	NaOH + - H„
2	2 2’
d.h. an der Kathode entsteht sekundär Natronlauge, und Wasserstoff wird frei. Das Auftreten der Natronlauge kann man nach weisen, indem man Phenolphthalein als Indikator für Laugen zusetzt; es färbt die Lösung an der Kathode blutrot.
Es schien der Erfahrung der Chemiker zu widersprechen, dass in einer Kochsalz-Lösung Na+-Ionen im Wasser vorhanden sein könnten, ohne dass die oben angegebene sehr heftige Reaktion vor sich geht, die zur Entstehung von Natronlauge und Wasserstoff führt. In der Tat ist seinerzeit dieser Einwand gegen die Dissoziationstheorie gerade von den Vertretern der anorganischen Chemie gemacht worden. Erst durch die Atomphysik wurde klar, dass die chemischen Eigenschaften eines Atoms oder Moleküles durch die Konstitution seiner äußeren Elektronenschale bestimmt werden. Weil das Na+-Ion Edelgaskonfiguration besitzt, reagiert es nicht mit dem Wasser.
Bei der Elektrolyse der Salpetersäure (HNO3) wird an der Kathode primär Wasserstoff freigesetzt (wie bei HCl), aber an der Anode wird durch Neutralisation das Radikal [NO3] gebildet, das (wie das Schwefelsäure-Radikal bei der anfangs besprochenen Wasserzersetzung) nach
1 1
NO3 + - H,0	HNO3 + - O,T
3 2	3 4 21
mit Wasser unter Sauerstoffentwicklung zu Salpetersäure reagiert.
Bei der Elektrolyse des Kaliumnitrats (KNO3) treten an beiden Elektroden sekundäre Reaktionen auf: Es entstehen an der Kathode wieder Wasserstoff, an der Anode Sauerstoff, und zwar im Volumenverhältnis 2:1. Durch Sekundärprozesse entstehen an der Kathode die Lauge KOH, an der Anode die Säure HNO3. Diese Abweichungen von der chemischen Neutralität sind aber nur lokaler Art. Die entstandenen Mengen von Säure und Lauge sind chemisch äquivalent. Nach Abschalten des Stromes und Umrühren reagiert die Kalilauge mit der äquivalenten Menge Salpetersäure und bildet wieder das Salz KNO3 und Wasser. Setzt man der Lösung etwas Phenolphthalein zu, so tritt bei der Elektrolyse intensive Rotfärbung an der Kathode auf (Indikation für eine Lauge), die nach Stromabschalten und Umrühren wieder verschwindet.
Beispiele für Elektrodenveränderung. Kationen, die nach Neutralisation weder Gasmoleküle bilden, noch mit Wasser reagieren, werden an der Kathode abgeschieden. Das geschieht mit allen Nichtalkali-Metallen und ist die Grundlage der galvanischen Oberflächenbeschichtung.
UJ
736
12 Elektrochemie
12.1.2 Faraday-Gesetz
Faraday hat 1833 als erster die Zusammenhänge zwischen der bei der Elektrolyse durch den Elektrolyten hindurchgeflossenen Ladungsmenge und der dabei entstehenden Masse der Elektrolyseprodukte untersucht. In drei Schritten konnte Faraday die quantitativen Zusammenhänge erschließen und zu dem Grundgesetz der Elektrolyse zusammenfassen.
1.	Die an einer Elektrode abgeschiedene Stoffmenge nmol ist der durch den Elektrolyten hindurchgegangenen Ladung Q, d. h. dem Produkt aus Stromstärke I und Zeit t, proportional.
Das lässt sich leicht mit dem Hofmann’schen Zersetzungsapparat demonstrieren, indem man einmal den Strom I und einmal die Dauer der Elektrolyse t variiert: Die Volumina der freigesetzten Gase sind proportional zur geflossenen Ladung ß = D.
2.	Die durch die gleiche Elektrizitätsmenge in verschiedenen Elektrolyten abgeschiedenen Massen von Stoffen m sind den äquivalenten molaren Massen MJz (z = Wertigkeit) proportional.
Das lässt sich durch folgenden Versuch zeigen: In einen Stromkreis schaltet man hintereinander zwei Hofmann’sche Zersetzungsapparate (Abb. 12.2) mit chemisch nicht angreifbaren Elektroden, von denen der erste eine verdünnte wässrige Lösung von HCl, der andere eine Lösung von H2SO4 enthält. Nach Anlegen einer Spannung fließt durch beide Apparate der gleiche Strom. Nach einiger Zeit stellt man fest, dass an beiden Kathoden das gleiche Wasserstoffvolumen abgeschieden ist, während sich die an den Anoden abgeschiedenen Gasvolumina von Chlor und Sauerstoff unterscheiden. Nachdem das Wasser mit Chlorgas gesättigt ist, wird volumenmäßig doppelt so viel einwertiges Chlor produziert wie zweiwertiger Sauerstoff. Da nach der Avogadro-Hypothese (Bd. 1) gleiche Volumina bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl von Molekülen enthalten, werden also in diesem Versuch mit 1 Mol H2 gleichzeitig 1 Mol Cl2 und | Mol O2 abgeschieden.
Das vollständige Gesetz lautet:
3.	Zur Abscheidung eines äquivalenten Mols ist eine Elektrizitätsmenge von 96485 Coulomb erforderlich.
Diese Ladung wird heute Faraday-Konstante genannt und mit dem Buchstaben F bezeichnet.
Zur Demonstration dieses Sachverhaltes muss sowohl die geflossene Ladung wie auch die abgeschiedene Stoffmenge gemessen werden, letztere ist am einfachsten über das Volumen des gebildeten Gases zu bestimmen. Der genaueste Wert für F ist 96485.338 3(83) AsmoD1.
Früher hat das Faraday-Gesetz der Elektrolyse zur Messung von Ladungsmengen und Strömen Anwendung gefunden. Lange Zeit war das Ampere durch eine auf die Elektrolyse von Silbernitrat (AgNO3) bezogene Messvorschrift definiert: „Ein Strom hat die Stärke von 1 Ampere, wenn er, in gleichmäßiger Stärke fließend, in der Sekunde 1.118 mg Silber abzuscheiden vermag.“
12.1 Elektrolyse
737
Atomistische Interpretation. Die Feststellung der Universalität der zur Abscheidung einer äquivalenten molaren Masse erforderlichen Elektrizitätsmenge ist ein rein experimentelles Ergebnis. Die für uns heute sehr naheliegende „atomistische“ Interpretation des Faraday-Gesetzes entwickelte sich im vorigen Jahrhundert nur langsam. Die Hypothese, dass die Gesamtladung F sich gleichmäßig auf alle einzelnen Ionen verteilt, wurde 1881 von H. v. Helmholtz in seiner Faraday Lecture diskutiert. Damit übertrug er die Atomvorstellung der Chemiker auf elektrische Phänomene. Die Ladungen der Ionen wurden zu „Atomen der Elektrizität“. Die Ladung eines einwertigen Ions, e — F/NA, ist danach die kleinste vorkommende elektrische Ladung. Diese positive oder negative kleinste Ladung nannte G. Johnstone Stoney electron (1891); der Name „Elektron“ wurde später auf das 1897 von J. J. Thomson identifizierte Elementarteilchen übertragen.
Der mit dem Faraday-Gesetz und der Avogadro-Konstanten bestimmte Wert der Elementarladung stimmt hervorragend gut mit Werten von e überein, die aus ganz andersartigen Messungen - z. B. dem Millikan-Versuch (Abschn. 7.1.2) - erhalten wurden.
12.1.3 Dissoziation, Leitfähigkeit
Auflösung eines lonenkristalls. Als Beispiel betrachten wir NaCl, Natriumchlorid (sodium chloride) oder Kochsalz (connrion sah }. Salze in kristalliner Form sind bereits aus positiv und negativ geladenen Ionen aufgebaut. Die elektrostatischen Kräfte zwischen den Ionen, die auf eine auch in kleinen Bereichen möglichst gute Ladungsneutralisation hinwirken, und die im Pauli-Prinzip begründeten Abstoßungskräfte, die bei Kompression der lonen-Eigenvolumina wirksam werden, führen zur Ausbildung eines festen Körpers mit regelmäßiger Struktur, einem so genannten lonen-kristall.
In Abb. 12.4a ist das Kristallgitter des NaCl dargestellt: Sieht man von der Verschiedenheit der Ionen ab, dann ergeben beide lonenarten zusammen ein primitives kubisches Gitter mit einer Würfelkantenlänge d — 0.281 nm. Das richtige Größenverhältnis der unterschiedlich großen Ionen zum Gitter ist in Abb. 12.4b gezeigt. [Primitive kubische Gitter von Teilchen einer Größe gibt es in der Natur nicht, weil diese Struktur keine „dichte Kugelpackung“ ist.]
Abb. 12.4 Die Kristallstruktur des Natriumchlorids, (a) Die beiden lonenarten bilden zwei ineinander geschobene kubisch-flächenzentrierte Gitter, (b) Die unterschiedliche Größe der Ionen ergibt diese Kugelpackung.
738
12 Elektrochemie
Ionisation (Na) - Affinität (CI)
Negast. + Clgasf.
Sublimation (Na) + Dissoziation (|CI2)
Nafest + ^^bgasf.
~7\------
(5.1-3.7) eV| I
\	I
(1.1 +1.3) eV	|
I I
-8.0 eV
Na gasf. + CI gasf.
Bildung des Na+Cl~-lonengitters aus freien Ionen
NaCI-Kri Stallbildung
-4.2 eV I
[Na+Crjfest
Abb. 12.5 Born-Haber-Kreisprozess zur Bestimmung der Energie für die Bildung des NaCl-lonengitters aus freien Ionen. Die eV-Werte entsprechen den molaren Standardenthalpien: 1 eV/Molekül = 96.5kJ/mol.
Die Gitterenergie lässt sich nicht direkt messen, aber nach M. Born und F. Haber (1919) aus der Betrachtung eines Kreisprozesses bestimmen (Abb. 12.5). Bei der Bildung des Na CI -Gitters aus freien Ionen werden 8.0eV/Molekül frei. Das ist, andersherum betrachtet, die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um die Ionen voneinander zu trennen. Die Berechnung der Trennungsarbeit ist kompliziert, weil nicht nur die nächsten Gitternachbarn, sondern auch die zweitnächsten, drittnächsten, usw. zu berücksichtigen sind. Die Arbeit, die notwendig ist, um zwei Elementarladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen vom Na /Cl -Gitterabstand d = 0.281 nm bis ins Unendliche zu trennen, ergibt sich zu 5.12eV. Das ist ein Wert von derselben Größenordnung wie der aus dem Kreisprozess (Abb. 12.5) pro Molekül erhaltene Wert von 8.0 eV. Dadurch wird wenigstens qualitativ verständlich, dass die Gitterenergie des lonengitters vorwiegend elektrostatischer Natur ist.
Für die elektrolytische Dissoziation im Wasser gilt die aus dem Kreisprozess ermittelte Trennungsarbeit von 8.0 eV pro Molekül aber nicht! Im Nenner des Coulomb-Gesetzes steht neben ;;0 als Faktor auch die Permittivitätszahl er, die für Wasser den hohen Wert 81 besitzt. Damit ergibt sich die wesentlich kleinere Trennungsarbeit von 8.0eV/81 « 0.1 eV. Diese Energie ist nur das Vierfache der thermischen Energie bei Zimmertemperatur, (kZ)300K « 25meV. Nach der Maxwell-Verteilung besitzen noch einige Prozent der Moleküle kinetische Energien, die größer als 4k T sind, sodass die leichte Auflösung des NaCl-Kristalls in Wasser verständlich wird.
Die hier als Ursache für die Dissoziation genannte hohe Permittivitätszahl des Lösungsmittels ist eine makroskopische Materialkonstante, d. h. ein Molekül eines gelösten Stoffes „sieht“ nur so lange eine Umgebung mit einer Permittivitätszahl er um sich herum, wie die Umgebung auch wirklich nur aus Lösungsmittel besteht. Dieses ist aber nur bei stark verdünnten Lösungen der Fall; denn liegt z. B. die
12.1 Elektrolyse
739
Konzentration des gelösten Stoffes in der gleichen Größenordnung wie die des Lösungsmittels, besteht die Umgebung jedes gelösten Moleküls ja nur noch zur Hälfte aus Lösungsmittelmolekülen.
Dissoziationsgrad schwacher Elektrolyte. Der Dissoziationsgrad a < 1 ist der Bruchteil, der angibt, wieviele der insgesamt gelösten Moleküle in Ionen dissoziiert sind. Eine Lösung wird als schwacher Elektrolyt bezeichnet, wenn sie i.A. einen kleinen Dissoziationsgrad besitzt, der erst bei sehr großer Verdünnung nach eins geht. Weil ein Stoff um so besser leitet, je mehr bewegliche Ladungsträger in ihm vorhanden sind, hängt die Leitfähigkeit eines schwachen Elektrolyten außer von der Beweglichkeit der Ionen, auf die wir später eingehen werden, von der Konzentration des gelösten Stoffes und dessen Dissoziationsgrad ab.
Die von S. A. Arrhenius (1859-1927) entwickelte Dissoziationstheorie erklärt die Vorgänge der Elektrolyse einwandfrei, solange es sich um schwache Elektrolyte handelt, bei denen die langreichweitige elektrostatische Wechselwirkung zwischen den Ionen vernachlässigt werden kann. Das Gleichgewicht zwischen den undissoziierten Molekülen und den Ionen gehorcht dem chemischen Massenwirkungsgesetz (MWG). Für das Gleichgewicht eines binären Elektrolyten, AB <-> A+ + B , ergibt sich nach dem MWG
CA+ ' CB-/CAB =	(12.3)
Hier ist cAB die Konzentration des undisssozierten Anteils des gelösten Stoffes, nicht zu verwechseln mit der Konzentration c, die sich auf die gesamte gelöste Stoffmenge bezieht. Die MWG-Gleichgewichtskonstante Kc von Gl. (12.3) heißt Dissoziationskonstante.
Nach Einführung des Dissoziationsgrades
a = cA+/c = cB_/c	(12.4)
konnte W. Ostwald in Gl. (12.3) die Substitutionen cA+ = cB_ = acundcAB = (1 — a)c vornehmen und so die Beziehung
ca2/(l-a) = Kc	(12.5)
herleiten. Dieses Ostwald’sche Verdünnungsgesetz hat sich für schwache Elektrolyte vorzüglich bewährt. Als schwache Elektrolyte gelten solche, für die die Dissoziationskonstante Kc kleiner als 10 4mol/L ist oder, anders ausgedrückt, der Dissoziationsgrad einer 1-molaren Lösung kleiner als 0.01 ist.
Wenn die Konzentration des gelösten Stoffes c > cAB nach null geht, gilt ot«l; wenn c sehr groß oder Kc sehr klein ist, muss a < 1 gelten. Für die beiden Grenzfälle ergeben sich aus Gl. (12.5) folgende nützlichen Grenzgesetze:
a = 1 — c/Kc für ot« 1,
a = (Xc/c)1/2 für a < 1.	(12.6)
Leitfähigkeit und Äquivalentleitfähigkeit. Der elektrische Widerstand R zwischen zwei Elektroden, die in einen Elektrolyten eintauchen, hängt vom Elektrolyten und der Elektroden-Konfiguration ab. Die Leitfähigkeit (conductivity) a des flüssigen Mediums, meist angegeben in der Einheit Q 'cm ist dagegen nur von den elektrochemischen Eigenschaften des Elektrolyten abhängig.
740
12 Elektrochemie
(b) < [cA / (mol/L)]-1 -------------------►
Abb. 12.6 Für verschiedene wässrige Lösungen (a) Leitfähigkeit als Funktion der Äquivalentkonzentration, (b) Äquivalentleitfähigkeit als Funktion der inversen Äquivalentkonzentration.
In Abb. 12.6a ist für eine Reihe wässriger Lösungen die Leitfähigkeit in Abhängigkeit von der Äquivalentkonzentration cäq, dem Produkt von Konzentration c und Wertigkeit z, wiedergegeben. Man erkennt anfangs ein Ansteigen der Leitfähigkeit mit wachsender Konzentration, die bei den Substanzen, die sich in genügender Menge lösen lassen, durch ein Maximum geht, um schließlich wieder auf kleinere Werte abzufallen. Im Extremfall besteht der Elektrolyt zu 100 % aus dem „gelösten“ Stoff: Zum Beispiel ist hundertprozentige Schwefelsäure ein Nichtleiter, da sie nicht dissoziiert ist.
Im Hinblick auf die enge Verknüpfung von Elektrizitäts- und Massentransport bei der elektrolytischen Leitung ist es üblich, nach einem Vorschlag von F. Kohlrausch (1876) eine auf die elektrochemisch wirksame gelöste Stoffmenge bezogene Größe zu definieren. Die Äquivalentleitfähigkeit (equivalent conductivity) A ist der Quotient von Leitfähigkeit und Äquivalentkonzentration:
Ä =	' c)-	(12.7)
Die Äquivalentkonzentration unterscheidet sich von der Konzentration nur durch den Faktor der Wertigkeit z; beide Größen werden in der Einheit mol/L angegeben; mit der Umrechnung 1L = 103cm3 kommt man zu der für A üblichen Einheit cm2moF1 Q '.
Grenzleitfähigkeit. Kohlrausch fand, dass die Äquivalentleitfähigkeit mit steigender Verdünnung (= l/cäq) einer für jeden Elektrolyten typischen Grenzleitfähigkeit (äquivalent conductivity at infinite dilutiori) Am zustrebt (Abb. 12.6b). Je besser der Elektrolyt leitet, umso eher wird dieser Grenzwert erreicht.
Das Verhalten von A mit steigender Verdünnung lässt sich als Zunahme des Dissoziationsgrades a gemäß
A = a Am	(12.8)
erklären. Mit a -> 1 wird asymptotisch der Grenzwert Ax erreicht.
12.1 Elektrolyse
741
12.1.4 Ladungstransport
lonenwanderung. Der Stromtransport im Elektrolyten geht so vor sich, dass die Ionen unter dem Einfluss des elektrischen Feldes auf die Elektroden entgegengesetzter Polarität zuwandern. Das lässt sich mit farbigen Ionen wie denen des Kaliumpermanganats (MnO4 ) gut demonstrieren.
Wegen der Reibung, die die Flüssigkeit auf sie ausübt, bewegen sich die Ionen mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Nach dem Stokes’schen Gesetz (Bd. 1) ist die Reibungskraft von dem Radius des Ions, bzw. des aus Ion und assoziierten Wassermolekülen gebildeten Clusters abhängig.
Abb. 12.7 Nachweis der Reibung zwischen Ionen und Flüssigkeit. A = Anode, K = Kathode. Der Versuch ist eine Abwandlung des Barlow’schen Rades.
Man kann die Reibung zwischen den Ionen und der Flüssigkeit in folgendem Versuch zeigen (Abb. 12.7): Auf dem Pol eines kräftigen Magneten befindet sich ein ringförmiger Trog mit isolierendem Boden; die beiden metallischen zylindrischen Trogberandungen bilden die Elektroden A und K; der Trog ist mit einer Salzlösung gefüllt. Schickt man einen Strom durch den Elektrolyten, so wandern die Ionen radial durch die Flüssigkeit, solange kein Magnetfeld wirkt; sie werden aber von dem durch die Flüssigkeit hindurchtretenden magnetischen Feld seitlich abgelenkt, und zwar für beide lonenarten nach der gleichen Richtung! Wegen der Reibung überträgt sich diese seitliche Bewegung auf die Flüssigkeit, die infolgedessen lebhaft in der Rinne zu kreisen beginnt; durch kleine Korkschwimmer mit Fähnchen lässt sich dies weithin sichtbar machen. Bei Umpolung der Stromrichtung kehrt sich der Bewegungssinn der Flüssigkeit um.
Konzentrationsänderungen bei Stromfluss. J.W Hittorf hat 1853 diese Vorgänge zuerst eingehend untersucht. Im Allgemeinen sind Ionen beiderlei Vorzeichens am Elektrizitätstransport beteiligt, allerdings meist mit unterschiedlichen Wanderungsgeschwindigkeiten. Die gesamte Stromstärke ist die Summe beider lonenströme.
lonenbeweglichkeit (ion mobility). Für den einfachsten Fall eines binären Elektrolyten mit Ionen gleicher Ladungszahl gilt folgende Beziehung:
er = a.Fz c(nA + /rK) mit z c = cäq.	(12.9)
742
12 Elektrochemie
Hier werden für Anionen und Kationen die Beweglichkeiten [iA und eingeführt. Die Ladungsdichte a.Fzc ist für beide gleich, wie sich aus der Dissoziation elektrisch neutraler Moleküle und der Ladungsneutralität der Elektrolyte ergibt. Mit der Definition der Äquivalentleitfähigkeit A (Gl. (12.7)) erhalten wir
/1 = zF(/7a + /7i<)	(12.10)
und
Am — F(ßA + ^k) für a -> 1.	(12.11)
Man kann sich also die Äquivalentleitfähigkeit eines Elektrolyten bei unendlicher Verdünnung additiv zusammengesetzt denken aus den beiden lonen-Grenzleitfähig-keiten
zlAco = und AKm = F/iK,	(12.12)
die die Anteile der betreffenden Ionen darstellen. Das ist, wie F. Kohlrausch es formulierte, das „Gesetz von der unabhängigen Wanderung der Ionen“.
Die Summe von Anionen- und Kationenbeweglichkeit ergibt sich aus der experimentell bestimmbaren Grenzleitfähigkeit (Gl. (12.12)). Die Differenz zweier Anionen- oder Kationen-Beweglichkeiten kann aus der Differenz der Grenzleitfähigkeit zweier geeigneter Salze bestimmt werden, z. B. folgendermaßen:
- //(Na) = [zf„(KCl) - zf„(NaCl)]/F
jz(C1-)-jz(NO-) = [zf„(KCl) — zf„(KNO3)]/F.	(12.13)
In der Tab. 12.2 sind für häufig vorkommende Ionen die Beweglichkeiten angegeben. Aus der Betragsgleichheit von elektrischer Kraft zeE (E = Betrag der elektrischen Feldstärke) und Stokes’scher Reibungskraft ßnrrjv (r = Radius, rj = Viskosität) folgt
H = v/E — z e/(ßit r tf).	(12.14)
Um auch für mehrfach geladene Ionen leicht von den Beweglichkeiten auf die Reibungskräfte und damit die lonenradien schließen zu können, werden die Beweglichkeiten bei allen Ionen auf z = 1 bezogen. Für diese Größe wird nicht die naheliegende Bezeichnung p/z benutzt, sondern n wird für „Bruchteile von Ionen“ angegeben: der Bruch 1/z wird dem lonensymbol vorangestellt (vgl. Tab. 12.2).
Bemerkenswert sind die großen Beweglichkeiten der H+- und OH -Ionen; //H ist fast doppelt so groß wie	und vier- bis neunmal größer als die Beweglichkeiten
der Alkalimetall- und Halogenionen, die erstaunlicherweise in derselben Größenordnung liegen wie die ///"-Werte aller übrigen Ionen, obwohl die lonenradien sicher sehr verschieden sind. Die Ursache dafür ist, dass die Ionen einige Wassermoleküle an sich anlagern (Hydratation der Ionen), die ihr Volumen vergrößern und die Größenunterschiede zwischen den verschiedenen Ionen mehr oder weniger verwischen.
Die hohe Beweglichkeit der H+- und OH -Ionen resultiert aus dem Umstand, dass diese beiden lonenarten eigentlich selbst Bestandteile von Wassermolekülen sind. Im flüssigen Wasser ist eine gewisse Nahordnung (Clusterbildung) zwischen den Molekülen vorhanden, die sich beispielsweise durch Röntgenbeugungsexperimente nachweisen lässt und die von der elektrostatischen Wechselwirkung der molekularen Dipole des H2O (Wasserstoffbrücken) herrührt. Ungeachtet der üblichen
12.1 Elektrolyse
743
Tab. 12.2 Beweglichkeiten einiger häufig vorkommender Ionen in wässrigen Lösungen, extrapoliert auf unendliche Verdünnung, für 25°C in cm2/Vs = (cm/s)/(V/cm).
Ion	Beweglichkeit	Ion	Beweglichkeit
H+ Pb+ Cs+ K+ - Pb2+ 2 - Fe3+ 3 1 - Ba2+ 2 Ag+ 1 - AP+ 3 - Ca2+ 2 1 - Co2+ 2 - Fe2+ 2 -Cu2+ 2 ^Mg2+ 1 - Mn2+ 2 Na+ 1 - Ni2+ 2 Li+	0.00362	OH-	0.00205 0-00081	£	n 0.00080	2 S°4	0.00083 0.00076	OH-	0.00082 0 00074	CX	°-°0081 I-	0.00080 CH	0.00079 0.00070	NO;	0.00074 1 - PO3-	0.00072 0.00066	3 0.00064	| CO2’	0,00072 0.00063	IIS	0.00067 F"	0.00057 HCO;	0.00046 °-00060	CH3COO-	0.00042 0.00057 0.00056 0.00056 0.00055 0.00055 0.00052 0.00051 0.00040
Aus tabellierten Werten der lonen-Grenzleitfähigkeiten (equivalent ionic conductivities) ergeben sich die Beweglichkeiten, wenn man durch die Faraday-Konstante dividiert (Gl. (12.12)).
Notation H+, liegt das Wasserstoff-Ion in Wirklichkeit im Wasser nicht als einzelnes Proton vor. Die lonendissoziation des Wassers ist vielmehr nach
2H2O -> H3O+ + OH-	(12.15)
als eine Aufspaltung von zwei Wassermolekülen in das positive Hydroniumion und das negative Hydoxylion zu betrachten, wobei das Wassermolekül einmal als Pro
744
12 Elektrochemie
tonenakzeptor und einmal als Protonendonator wirkt. Nach dieser Auffassung geben Säuremoleküle bei der Dissoziation Protonen an Wassermoleküle ab, z. B.
HC1-H+ -► Cl-und
H+H2O^H,O,	(12.16)
und Laugen nehmen Protonen von Wassermolekülen auf, z. B.
H2O-H+ OH
und
NaOH + H+ Na+ + H2O.	(12.17)
Durch Clusterbildung entstehen noch größere Komplexe. Mit drei zusätzlichen H2O-Molekülen, beispielsweise, wird aus dem Hydroniumion ein H9O + -Ion. Wandert ein H+-Ion scheinbar in Richtung Kathode, so werden innerhalb des H9O + -Ions die Wasserstoffbrücken zwischen den einzelnen H2O-Molekülen getauscht, wie es in Abb. 12.8 dargestellt ist. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass das HgO^ auf der Anodenseite ein Proton aufnimmt, die positive Ladung durch seine innere Struktur transportiert und ein anderes Proton auf der der Kathode zugewandten Seite wieder abgibt. Die H+-Ionen müssen also nicht wie die anderen Ionen eine Solvathülle aus Wassermolekülen durch den Elektrolyten mitschleppen und können sich deshalb wesentlich schneller bewegen. Analoges gilt für die OH ~ -Ionen, wie Abb. 12.8 zeigt.
PH-Wert des Wassers. Eingangs war erwähnt worden, dass reinstes Wasser den elektrischen Strom nicht leitet. Dies ist jedoch nicht streng richtig. Sorgfältige Messungen
(a)	H+ -------->-
Abb. 12.8 Mechanismus der Wanderung von H+-Ionen und OH -Ionen durch einen wässrigen Elektrolyten (nach W. J. Moore und D.O. Hummel).
12.1 Elektrolyse
745
haben gezeigt, dass auch chemisch reinstes Wasser eine allerdings sehr kleine elektrische Leitfähigkeit zeigt, d.h. dass auch Wasser zu einem kleinen Teil in Ionen zerfällt. Im Folgenden benutzen wir wieder die übliche Kurz-Notation H+ für das positive Ion, mit der die lonendissoziation des Wassers durch
H2O «- H+ +0H~
beschrieben wird. Das lonenprodukt des Wassers ist als
kw = Xc(H2O)c(H2O)
= cH+-cOH_	(12.18)
definiert und hat die Einheit mol2/L2.
Xc(H2O) ist die Dissoziationskonstante des Wassers und c(H2O) die Zahl der Wasser-Mole pro Liter. Mit cH+ = cOH_ = a c(H2O) wird
= a2[c(H2O)]2.	(12.19)
Der Dissoziationsgrad des reinen Lösungsmittels „Wasser“ kann nicht wie der von wässrigen Lösungen durch Extrapolation der Äquivalentleitfähigkeit auf unendliche Verdünnung bestimmt werden. Zum Ziel führt dagegen folgender Weg: Die aus Messungen mit Säuren und Laugen gewonnenen einzelnen Beweglichkeiten von H+ und OH ~ ergeben, zusammen mit der Leitfähigkeit <r, den Dissoziationsgrad des Wassers gemäß
a = u/[F c(H2O) (pH+ + jrOH_)].	(12.20)
Die Substitution von a2 in Gl. (12.19) führt zum lonenprodukt
kw = cr2/[F(/iH++/rOH_)]2.	(12.21)
Aus Messwerten der Leitfähigkeit er des reinen Wassers und der Wasserionen-Be-weglichkeiten ergibt sich das lonenprodukt des Wassers für 25°C zu 10~13 997 mol2/L2 (für 20°C ist der Exponent gleich —14.167).
Der wichtigen pH-Wert-Skala (pH scale) wird der Wert 10 14 mol2/L2 zugrunde gelegt. Der pH-Wert ist definiert als der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration in mol/L. Für Neutralität gilt c„+ — c„„_ = 10 7mol/L, also pH = 7; kleinere pH-Werte beschreiben saure Lösungen (wie sie durch Zusatz von Säuren erhalten werden), größere pH-Werte beschreiben alkalische Lösungen (benannt nach den stärksten Laugen, den Hydroxiden der Alkalimetalle). Da in wässrigen Lösungen die höchsten H+- bzw. OH -Konzentrationen etwa mit 1 mol/L anzusetzen sind, liegen die praktisch vorkommenden pH-Werte im Bereich von 0 bis 14.
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit. Im Gegensatz zu den Metallen besitzen die Elektrolyte i.A. einen negativen Temperaturkoeffizienten des elektrischen Widerstandes; die Leitfähigkeit nimmt also mit steigender Temperatur zu. Die Ursache für diese Zunahme liegt in erster Linie darin begründet, dass mit steigender Temperatur die lonenbeweglichkeit wächst, weil die Viskosität des Lösungsmittels abnimmt. Zwischen 0 und 100°C steigt z. B. die Beweglichkeit von H+ um den Faktor 1
2.6, die von - SO/ um den Faktor 15.
2	4
746
12 Elektrochemie
In diesem Zusammenhang ist auch die elektrolytische Leitung der Gläser zu erwähnen. Glas ist vom physikalischen Standpunkt nicht eigentlich als fester Körper, sondern als unterkühlte Flüssigkeit von großer Zähigkeit zu betrachten. So leitet Glas den elektrischen Strom wie eine Flüssigkeit mit steigender Temperatur besser.
Demonstrationsversuch: Ein Glasstab wird zwischen Metallelektroden eingeklemmt und über einen Vorschaltwiderstand und ein Amperemeter an eine Spannung von 230 V gelegt. Erhitzt man den Glasstab mit einem Bunsenbrenner, so beginnt bereits vor Erreichen der Rotglut ein Strom durch das Glas zu fließen, der dann mit steigender Temperatur immer stärker wird. Auch nach Entfernung des Bunsenbrenners steigt der Strom weiter, da das Glas durch Joule’sche Wärme weiter aufgeheizt wird, bis es schließlich durchschmilzt.
12.1.5 Starke Elektrolyte
Stark dissoziierte Elektrolyte zeigen erhebliche Abweichungen von der Arrhe-nius’schen Theorie, in der die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Ionen vollkommen vernachlässigt ist. Als starke Elektrolyte bezeichnet man solche, die auch bei höherer Konzentration vollständig dissoziiert sind. Obwohl sich der Dissoziationsgrad mit der Konzentration praktisch nicht ändert, zeigen auch diese Elektrolyte - anders als Gl. (12.8) vermuten lassen würde - eine Änderung der Äquivalentleitfähigkeit A mit der Konzentration, weil die in A eingehenden lonenbeweg-lichkeiten (Gl. (12.10)) von den konzentrationsabhängigen Coulomb-Wechselwirkungen beeinflusst werden.
Elektrolyte, die nicht vollständig dissoziiert sind, deren Dissoziationskonstante Kc aber größer als 10 4mol/L ist, werden „mittelstark“ genannt. Das Massenwirkungsgesetz, auf dem das Ostwald’sche Verdünnungsgesetz beruht, kann nicht mehr angewendet werden, wenn bei schwachen Elektrolyten die Konzentration 0.1 mol/L und bei starken Elektrolyten 0.001 mol/L übersteigt, weil die bei der Herleitung des MWG angenommene ungestörte regellose Bewegung der Moleküle wegen der Coulomb-Wechselwirkung der Ionen nicht mehr gegeben ist. Diese Wechselwirkung wirkt sich nach außen hin so aus, als wäre die Konzentration der Ionen geringer als sie in Wirklichkeit ist.
Will man zur Beschreibung von starken Elektrolyten und von konzentrierten Lösungen schwacher Elektrolyte die Form des MWG beibehalten, dann muss man die tatsächlich gegebenen lonenkonzentrationen q mit Korrekturfaktoren, den so genannten Aktivitätskoeffizienten y; multiplizieren; die Produkte ciyi = a{ werden als Aktivitäten bezeichnet. Die y; sind normalerweise kleiner als eins und so normiert, dass sie für unendliche Verdünnung gegen eins gehen. Für die Konzentration der undissoziierten Moleküle wird kein Korrekturfaktor angesetzt (aAB = cAB). Anstelle des MWG von Gl. (12.3) gilt nun
aA+ ' aB-/aAB ~	(12.22)
Die Konstante Ä';i wird „thermodynamische“ Dissoziationskonstante genannt zur Unterscheidung von Kc, der „stöchiometrischen“ Dissoziationskonstante.
Für verdünnte Lösungen starker Elektrolyte lassen sich die Aktivitätskoeffizienten berechnen; im Allgemeinen müssen sie empirisch bestimmt werden.
12.1 Elektrolyse
747
Hydrolyse des Wassers. Darunter versteht man die Reaktion eines gelösten Salzes XY mit dem Lösungsmittel Wasser H20; verallgemeinert für alle elektrolytischen Flüssigkeiten spricht man von „Solvolyse“. Neben der Erhaltung des Dissoziationsgleichgewichtes für das gelöste Salz XY in der Form von Gl. (12.3) oder Gl. (12.22) muss nicht nur das lonenprodukt des Wassers (Gl. (12.18)) konstant bleiben, sondern es müssen auch die Gleichgewichte für die aus Salzanion Y und H+ zu bildende Säure HY und die aus Salzkation X+ und OH zu bildende Lauge XOH erfüllt sein.
Bei einem Salz, das aus der Verbindung einer starken Säure mit einer starken Lauge gebildet wurde, ist das kein Problem; die Ionen des praktisch vollständig dissoziierten Salzes X+ und Y und die in viel geringerer Zahl vorhandenen Was-serionen H+ und OH können die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen, ohne miteinander zu reagieren. Eine solche Lösung ist chemisch neutral und hat den pH-Wert 7.
Unterscheiden sich aber die Stärken der Säure HY und der Lauge XOH, dann erzwingt die Gleichgewichtsbedingung für die schwach dissoziierende Komponente, dass ein Teil der Ionen in das undissoziierte Molekül der schwachen Säure bzw. Lauge überführt wird. Damit verändern sich die Faktoren im lonenprodukt des Wassers. Besteht das gelöste Salz z. B. aus der Verbindung der schwachen Essigsäure (CH3COOH) mit der starken Natronlauge (NaOH), wird mit H + -Ionen des Wassers undissoziierte Essigsäure gebildet, wodurch sich wegen der Konstanz des Wasser-lonenproduktes die Konzentration der OH -Ionen erhöht. Diese Salzlösung ist alkalisch und hat einen pH-Wert > 7. Im umgekehrten Fall der Verbindung einer starken Säure mit einer schwachen Lauge ist die Salzlösung sauer und hat einen pH-Wert < 7.
Ladungstransport in starken Elektrolyten. Die Theorie starker Elektrolyte, die interionische Kräfte berücksichtigt, wurde von P Debye und E. Hückel (1923) begründet.
Um jedes Ion bildet sich eine Wolke entgegengesetzt geladener Ionen, deren wirksamer Durchmesser um so größer ist, je kleiner die Konzentration der Lösung ist. Die Wolke benötigt zu ihrem Auf- und Abbau eine gewisse Relaxationszeit, die bei Äquivalentkonzentrationen von 0.001 mol/L etwa bei 10 Ss liegt.
Im Gleichgewicht wird die das Zentralion umgebende lonenwolke einen zentralsymmetrischen Aufbau haben (Abb. 12.9a). Bei einer Bewegung des Ions dagegen bewirkt die Relaxationszeit, dass die lonenwolke vor dem Zentralion nicht sofort aufgebaut und hinter ihm nicht sogleich wieder abgebaut wird. Dadurch entsteht
+
(a)	(b)
Abb. 12.9 lonenwolke um das positiv geladene Zentralion: (a) ohne elektrisches Feld, (b) mit elektrischem Feld.
748
12 Elektrochemie
eine unsymmetrische Ladungsverteilung (Abb. 12.9b), die auf die Bewegung des hier als positiv angenommenen Zentralions hemmend einwirkt (Relaxationseffekt).
Eine Bestätigung der von P. Debye und H. Falkenhagen geforderten Relaxationszeit findet man in der Abhängigkeit der Leitfähigkeit von der Frequenz des zur Messung benutzten Wechselstromes. Wird die Frequenz des Wechselfeldes so hoch, dass sich die Unsymmetrie der lonenwolke nicht mehr ausbilden kann, so muss dies eine Änderung der Leitfähigkeit ergeben, und zwar aufgrund der vorangehenden Überlegungen ein Anwachsen.
Die an die lonenwolke angreifende elektrische Feldstärke verursacht eine zur Bewegung des Zentralions entgegengerichtete Bewegung des umgebenden Lösungsmittels. Dadurch wird die lonenbeweglichkeit zusätzlich herabgesetzt. Dieser elektrophoretische Effekt (Abschn. 13.1.2) und der oben beschriebene Relaxationseffekt bedingen also beide eine Verlangsamung der lonenbewegung im elektrischen Feld.
12.2	Galvanische Elemente
12.2.1 Überblick
Die bei der Elektrolyse ablaufenden elektrochemischen Reaktionen werden durch das Anlegen der Spannung „erzwungen“. So wird bei der elektrolytischen Zersetzung des Wassers elektrische Energie in chemische Energie umgewandelt; letztere wird wieder frei bei der Verbrennungsreaktion des erzeugten Wasserstoffs mit dem ebenfalls erzeugten Sauerstoff (Knallgas-Reaktion).
In diesem Abschnitt sollen die „freiwillig“ ablaufenden elektrochemischen Reaktionen untersucht werden. Das sind Reaktionen, bei denen chemische Energie in elektrische Energie umgewandelt wird. Die Anordnung geeigneter elektrochemischer Substanzen in einer Zelle, bestehend aus einem Elektrolyten und zwei Elektroden, führt zu einer Spannung zwischen den Elektroden. Bei Stromfluss läuft eine elektrochemische Reaktion ab, und die dabei entstehende elektrische Energie wird im ohmschen Widerstand des Stromkreises „verbraucht“.
Demonstration: Eine Kupferelektrode und eine Zinkelektrode tauchen in einen zuerst leeren Becher ein. Sie sind mit einem Spannungsmesser verbunden. Bei Zugabe verdünnter Schwefelsäure (H2SO4, etwa 1 mol/L) wird eine Spannnung von ca. 1 Volt angezeigt.
Der Sprachgebrauch ist etwas verworren: Eine elektrochemische Zelle wird auch als galvanisches Element (yoltaic celF) bezeichnet. Eine Primärzelle ist ein Element, dessen Spannung durch die Kombination der elektrochemisch wirksamen Substanzen entsteht und bei Stromentnahme allmählich absinkt. Solche Elemente sind i. A. nicht regenerierbar. Bei einer Sekundärzelle wird dagegen die Spannung erst durch erzwungenen Stromfluss (Elektrolyse) aufgebaut. Als noch keine Lade-Netzgeräte verfügbar waren, mussten Sekundärzellen mithilfe von Primärzellen aufgeladen werden; so entstanden diese Bezeichnungen. Heute werden Sekundärzellen i.A. Akkus (Akkumulatoren) genannt; sie sind vielmals, aber nicht unbegrenzt regenerierbar.
Eine einzelne Zelle heißt Monozelle; mehrere Zellen in Reihenschaltung nennt man Kette oder Batterie. Der Begriff „Batterie“ ist mehrdeutig. Aus dem Vokabular der Artillerie (= Verbund mehrerer Geschütze) kommend wurde er anfangs sinn
12.2 Galvanische Elemente 749
entsprechend auf den Verbund mehrerer Zellen meist in Reihenschaltungen (Ketten) zur Spannungserhöhung - angewendet. Allmählich wurde „Batterie“ zum Synonym für elektrochemische Stromquelle unter Einbeziehung der Monozellen. [Im Englischen wird battery noch weitergehend auch für nicht-elektrochemische Gleichstromquellen verwendet: solar battery, nuclear battery...] Gegenwärtig bahnt sich ein zweiter Bedeutungswandel an: Da regenerierbare Batterien praktisch nur noch als Akkus bezeichnet werden, wird mit dem Begriff „Batterie“ immer mehr die Bedeutung Einweg-Batterie verbunden.
EMK ist das Akronym für „elektromotorische Kraft“, ein historischer Name für die Leerlaufspannung eines Elementes. Die Abkürzung wird immer noch gern benutzt.
Die Benennung der Elektroden ist, wie schon erwähnt, gekoppelt mit der Art der dort ablaufenden chemischen Prozesse, nicht mit dem Vorzeichen des Elektrodenpotentials:
-	Kathode = Reduktionselektrode.
In der Elektrolyse ist das die negative, beim Element die positive Elektrode.
-	Anode = Oxidationselektrode.
In der Elektrolyse ist das die positive, beim Element die negative Elektrode.
12.2.2 Daniell-Element
Das 1836 von John F. Daniell erfundene Kupfer/Zink-Element (Abb. 12.10) war vorübergehend für einige Jahrzehnte die am zuverlässigsten arbeitende Stromquelle. Der Fortschritt gegenüber dem Volta-Element bestand darin, dass an den Elektroden kein Gas abgeschieden wurde und deshalb keine die Klemmenspannung reduzierende Polarisationsspannung (Abschn. 12.3.2) entstand. Aber das Daniell-Element litt unter hohem Innenwiderstand und Korrosion der Zinkelektrode. Heute ist das Daniell-Element nur noch von didaktischem Interesse, denn kein anderes ist so übersichtlich und so leicht zu verstehen.
Betrachten wir zuerst die an den beiden Elektroden möglichen elektrochemischen Umsetzungen:
Zinkelektrode: Zn <-> Zn2+ + 2e , Kupferelektrode: Cu <-> Cu2++ 2e .
Abb. 12.10 Schnitt durch ein Daniell-Element (schematisch): Zinkelektrode taucht in Zinksulfat-Lösung, Kupferelektrode taucht in Kupfersulfat-Lösung; Lösungen durch Membran abgetrennt.
750
12 Elektrochemie
Hier bedeutet e ~ eine negative Elementarladung. Weil es sich um verschiedene Metalle handelt, werden beim Ablauf der beiden Reaktionen unterschiedliche Energiemengen umgesetzt. In diesem Fall ist es so, dass die Oxidation von Zn zu Zn2 + mehr Energie liefert, als für die Reduktion von Cu2+ zu Cu gebraucht wird. Deshalb läuft nach der elektrischen Verbindung der beiden Elektroden des Daniell-Elementes spontan die Reaktion
Zn+Cu2+ -► Zn2++ Cu
ab. Die Zinkelektrode ist also beim Daniell-Element Anode und negativer Pol, weil dort Zn-Atome zu Zn2+ oxidiert werden und in Lösung gehen und dabei Elektronen an die Elektrode abgeben.
Es soll nun die Entstehung der EMK beim Daniell-Element (Abb. 12.11) genauer betrachtet werden: Die Zelle wird symbolisiert durch Zn|Zn2+|Cu2 + |Cu. Die vorhandenen Sulfat-Ionen (SO/ ) nehmen an der Reaktion nicht teil und können deshalb in der symbolischen Darstellung fehlen.
Eine poröse Membran (manchmal auch „Diaphragma“ genannt) trennt die CuSO4-Lösung von der ZnSO4-Lösung. Die Membran soll die Vermischung der Lösungen durch Diffusion stark hemmen, aber die lonenwanderung unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes nur wenig behindern. Beim Daniell-Element muss zur Wahrung der Elektroneutralität ein Ladungsausgleich durch Wanderung von SO2 -Ionen von der Kupfer- zur Zinkseite erfolgen. An der Membran bildet sich eine kleine Potentialdifferenz (Zinkseite positiv), die dafür sorgt, dass genügend Sul-fationen durch die Membran hindurchwandern. Je kleiner die Poren der Membran sind, desto besser wird die Diffusionsvermischung der Elektrolyte unterdrückt, desto größer ist aber auch die Membranspannung und die damit verbundene Verlustleistung bei Stromfluss. Wenn durch die Membran auch Zn2 +-Ionen zur Kupferseite wandern, so ist das unschädlich, weil sie in Lösung bleiben. Schädlich für die Funktion des Elementes wäre die Wanderung von Cu2+-Ionen durch die Membran hindurch zur Zn-Elektrode und die dortige Abscheidung eines Kupferbelags; diese lonenwanderung müsste aber gegen die elektrische Kraft in der Membran erfolgen und ist deshalb zu vernachlässigen.
Die Zinkelektrode (Anode) sendet positive Ionen in die Zinksulfatlösung und lädt sich dadurch negativ auf; bei der Kupferelektrode (Kathode) ist der Lösungsdruck so klein, dass positive Ionen aus der Kupfersulfatlösung auf die Elektrode übergehen und diese positiv aufladen. Die Leerlaufspannung (EMK) des Elementes ergibt sich, wie im Folgenden Abschnitt, ausgeführt wird, aus der Differenz der Standardpotentiale in der „Spannungsreihe“, hier cp°Za — cp°Cu = 1.1 V für die Standardkonzentrationen von 1 mol/L und einer Temperatur von 25°C. Bei dieser Angabe ist noch nicht berücksichtigt, dass sich an der Membran zwischen den beiden Lösungen ein kleiner Potentialsprung einstellt, der die Zellenspannung verringert. Eine Erhöhung der Konzentration der Zinksulfatlösung wirkt der Auflösung der Zinkelektrode entgegen, wodurch das Potential der Zn-Elektrode und damit auch die EMK des Elementes sinkt. Eine Erhöhung der Konzentration der Kupfersulfatlösung verstärkt die Abscheidung von positiven Kupferionen auf der Kupferelektrode, wodurch das Potential der Cu-Elektrode und damit die EMK des Elementes steigt.
Schließt man das Element durch eine die Elektroden verbindende Leitung, so gleichen sich die auf ihnen befindlichen Ladungen aus, und es fließt außen im me
12.2 Galvanische Elemente
751
tallischen Leiter ein Elektronenstrom vom Zink zum Kupfer. Die Folge ist, dass nunmehr neue Ionen vom Zink in seine Lösung und aus der Kupfersulfatlösung auf das Kupfer übertreten, d. h. es läuft die oben beschriebene Reaktion ab. Dieser Vorgang spielt sich so lange ab, bis die Kupfersulfatlösung oder die Zinkelektrode aufgebraucht worden sind. Die von dem Daniell-Element in Form elektrischer Energie gelieferte Arbeit stammt also aus der chemischen Energie, die bei der Auflösung des Zinks und dem Niederschlag von Kupfer frei wird.
Die bei einer chemischen Reaktion freiwerdende Energie tritt häufig als Wärme in Erscheinung („Wärmetönung“). Da viele chemische Reaktionen bei konstantem Atmosphärendruck ablaufen, verwenden die Chemiker die Reaktionsenthalpie AH, das ist die molare Reaktionsenergie, schon korrigiert für die dabei eventuell zu leistende Volumenarbeit bei 1 atm. und 25 °C; nach Übereinkunft ist AH negativ, wenn bei der Reaktion Energie (Wärme) freigesetzt wird. Tabelliert sind die Werte der Bildungsenthalpie H{ (enthalpy of formatiori) von Verbindungen; es gilt die gleiche Vorzeichenkonvention. Die Bildungsenthalpien der beteiligten Verbindungen, addiert für die linke und die rechte Seite der Reaktionsgleichung, ergeben die Reaktionsenthalpie als Differenz ,,//rder (End-)Produkte minus f/rder Edukte (Ausgangsstoffe)“.
Wie zuerst H. v. Helmholtz und J.W. Gibbs (1882) erkannten, ist die maximale geleistete Arbeit nicht gleich der Reaktionsenthalpie AH, sondern - vollkommene Reversibilität des Prozesses vorausgesetzt - gleich der Abnahme der Gibbs’schen oder freien Enthalpie G = H — TS, AG = AH — TAS — SAT (5 = Entropie, vgl. Bd. 1).
Die meisten Elemente ändern bei Stromfluss ihre Temperatur. Nur in Ausnahmefällen, wozu allerdings gerade das Daniell-Element gehört, ist das nicht der Fall, und die geleistete elektrische Arbeit ist nahezu gleich der negativen Reaktionsenthalpie. Die meisten Elemente von praktischer Bedeutung sind viel komplizierter als das Daniell-Element und können hier nicht behandelt werden. Im folgenden Abschnitt werden nur noch die prinzipiell unterschiedlichen Konzentrationselemente erwähnt.
12.2.3 Konzentrationselemente
Bei einem Element ist die Größe der EMK auch von der Konzentration des Elektrolyten abhängig. Schichtet man z. B. eine konzentrierte und eine stark verdünnte Kupfersulfatlösung übereinander und führt in beide Lösungen Kupferelektroden ein, so hat man zwischen diesen Elektroden nach der Nernst’schen Gleichung eine Potentialdifferenz von
RT c,
U =-----In -	(12.23)
z F c2
zu erwarten. Für T = 300 K, z = 2 und cjc2 = 100 ergibt das U — 0.06 V. Verbindet man die Elektroden durch einen Draht, so fließt durch diesen ein Strom von der Kupferelektrode in der konzentrierten Lösung zu derjenigen in der verdünnten Lösung. Da der Strom auch im Innern des Elementes fließt, findet eine Elektrolyse statt, wobei sich an der in der konzentrierten Lösung befindlichen Elektrode Kup-ferionen abscheiden, während an der anderen Elektrode sich SO^-Ionen mit dem
752
12 Elektrochemie
Kupfer zu Kupfersulfat verbindet. So findet allmählich eine Zunahme der Konzentration der verdünnten und eine Abnahme der Konzentration der dichteren Lösung statt, und der Strom fließt so lange, bis der Konzentrationsunterschied ausgeglichen ist. Die Ursache für die Potentialdifferenz besteht ausschließlich in dem Konzentrationsunterschied der beiden Lösungen. Die gelieferte Energie ist nicht wie bei den anderen galvanischen Elementen chemischer Natur, sondern wird freigesetzt durch den physikalischen Prozess des Konzentrationsausgleichs beider Lösungen. Bei der Ableitung der EMK des Konzentrationselementes ist außer acht gelassen, dass sich an der Grenze zwischen den beiden Lösungen ein so genanntes Diffusionspotential ausbildet; dieses ist bedingt durch die verschiedene Beweglichkeit der Kupfer- und Sulfationen.
12.2.4 Spannungsreihe der Metalle
In welche Richtung eine elektrochemische Reaktion abläuft, d. h. welches Metall die Anode und welches die Kathode ist, wird durch die thermodynamischen Reaktionsdaten und die Elektrolyteigenschaften (Konzentration, Temperatur) bestimmt. Die Triebkraft der elektrochemischen Reaktion kann bei offenem Stromkreis als Leerlauf-Spannung (EMK) zwischen Anode und Kathode gemessen werden. Dass die Metalle nach ihrem elektrochemischen Verhalten in eine Reihenfolge gebracht werden könnten (Volta’sches Spannungsgesetz), wurde zuerst von J. W. Ritter (1802) erkannt.
Anschaulich kann die Entstehung einer EMK mithilfe der Vorstellungen von W. Nernst (1889) erklärt werden: Ähnlich wie jede Flüssigkeit einen bestimmten Dampfdruck besitzt, der den Austritt der Flüssigkeitsmoleküle in den Dampfraum regelt, soll jedes Metall einen elekrolytischen Lösungsdruck („Lösungstension“) besitzen, der beim Eintauchen des Metalls in eine Flüssigkeit die Metallionen in diese hinein treibt. Diesem elektrolytischen Lösungsdruck wirkt der osmotische Druck der bereits in Lösung befindlichen Ionen entgegen in genau derselben Weise, wie der Auflösung eines im Wasser löslichen Stoffes der osmotische Druck des bereits gelösten Stoffes entgegenwirkt und zu einem Gleichgewichtszustand führt. Hier sind es positive Ionen, nicht elektrisch neutrale Moleküle, die aus dem Metall in die Flüssigkeit eintreten. Das führt zu einer entgegengesetzten Aufladung von Metall und Flüssigkeit; zwischen beiden herrscht ein elektrisches Feld.
Der Potentialsprung zwischen Metall und Flüssigkeit wird Galvani-Potential genannt. Taucht das Metall in eine Lösung, die bereits Ionen des betreffenden Metalls enthält, z. B. Zink in eine Lösung von Zinksulfat, dann behindert der osmotische Druck den lonenaustritt. Mit zunehmender Konzentration der Lösung wird schließlich der Lösungsdruck des Metalls durch den osmotischen Druck der gelösten Ionen gerade kompensiert, sodass sich überhaupt kein Potentialsprung ausbilden kann. Schließlich kann sogar der Fall ein treten, dass bei sehr starker Konzentration der Lösung das Elektrodenpotential sein Vorzeichen gegenüber der Flüssigkeit umdreht, indem jetzt umgekehrt die Lösung durch ihren osmotischen Druck Ionen in das Metall hineintreibt. Dies ist z. B. bei Kupfer und in noch stärkerem Maße bei Silber und Gold der Fall, wenn diese Metalle in Lösungen ihrer Salze tauchen, z. B. in Kupfersulfat-, Silbernitrat- oder Goldchloridlösungen. Die genannten Metalle haben
12.2 Galvanische Elemente
753
also positives Potential gegenüber ihren Lösungen. Auch hier tritt natürlich infolge des (in diesem Falle umgekehrten) Potentialsprunges sehr bald ein Gleichgewichtszustand ein, ehe noch wägbare Mengen von Ionen von dem Metall aufgenommen sind.
Eine absolute Messung des Galvani-Potentials ist nicht möglich, weil man dazu eine zweite Elektrode in die Flüssigkeit eintauchen muss und somit stets nur den Potential unterschied zwischen beiden konstatieren kann. Zur Bestimmung relativer Werte benutzt man nach Nernst die so genannte Standard-Wasserstoffelektrode. (Jede andere „Standardelektrode“ würde im Prinzip dasselbe leisten.) Sie besteht aus einer platinierten Platinelektrode, über die ein Wasserstoffstrom perlt und die in eine Säure von der Wasserstoffionenkonzentration von 1 Mol pro Liter eintaucht, wie sie z. B. 0.5 mol/L Schwefelsäure aufweist. Platiniertes Platin ist Platin, das durch ein bestimmtes Verfahren („Platinieren“) eine sehr poröse, schwammige Oberfläche bekommen hat. Wie noch gezeigt wird, ist es zur Vermeidung von Polarisationseffekten wichtig, dass die Elektrode dem Elektrolyten eine große Oberfläche aussetzt. Durch die Porosität wird die effektive Platin-Elektrodenoberfläche erheblich vergrößert. Übrigens sieht platiniertes Platin nicht metallisch glänzend, sondern schwarz aus (Platinmohr), da die poröse Oberfläche das Licht nicht reflektiert. Die auf die Standard-Wasserstoffelektrode als Nullpunkt bezogenen elektrolytischen Potentiale verschiedener Metalle in der wässrigen Lösung eines ihrer Salze, dessen lonenkonzentration 1 Mol pro Liter beträgt, gemessen bei einem Druck von 1.013 bar und einer Temperatur von 25°C, werden als Standard-Reduktionspotentiale (Standard redox potential) cp° bezeichnet. Ihre Anordnung nach zu- oder abnehmenden Potentialwerten heißt (elektrochemische) Spannungsreihe (electrochemical series).
Eine sehr umfangreiche Tabelle, die auch die Standard-Reduktionspotentiale von Metalloxiden und Säuren enthält, ist als Electrochemical Series (Standard Reduction Potentials) im Handbook of Chemistry and Physics zu finden. Ein Auszug mit den wichtigsten Metallen ist in Tab. 12.3 wiedergegeben. Die in der Tabelle notierten Potentiale beziehen sich auf die Reduktion von Metallatomen, z. B. bezieht sich die Notierung Cu/Cu2+ auf den Prozess Cu2+ + 2e -> Cu mit dem Standard-Reduktionspotential <p° = + 0.342 V.
Für den umgekehrten Prozess gilt der Potentialwert mit anderem Vorzeichen als Standard-Oxidationspotential. In diese elektrochemische Serie können alle elektrochemischen Prozesse eingeordnet werden, so auch die Reduktion von H+-Ionen zu gasförmigem (g) Wasserstoff,
2H++2e~	H2(g),
die als Bezugspotential cp° — 0.0000 V gewählt wurde.
Für die Reduktion von gasförmigem Sauerstoff zu OH -Ionen,
O2(g) + 2H2O + 4e- -> 4OH-,
beträgt das Standard-Reduktionspotential cp° — +0.401 V. Dieser Wert erklärt, dass die „unedlen“ Metalle mit kleinerem oder gar negativem Reduktionspotential leicht eine Oxidschicht bilden, während die „edlen“ Metalle mit größerem Reduktionspotential, wie Ag, Hg, Pt und Au, nicht oxidieren.
Die EMK galvanischer Elemente setzt sich substraktiv aus zwei der so gemessenen Standardpotentiale zusammen und ist folglich unabhängig vom willkürlich gewähl-
754
12 Elektrochemie
Tab. 12.3 Spannungsreihe der Metalle.
(Standard-Reduktionspotentiale für 1.013 bar und 25 °C)
Metall	<p°/v	Metall	<p°/v
Li/Li+	-3.040	Cd/Cd2+	-0.403
Rb/Rb+	-2.98	Co/Co2+	-0.28
K/K+	-2.931	Ni/Ni2+	-0.257
Cs/Cs+	-2.92	Mo/Mo3+	-0.200
Ba/Ba2+	-2.912	Sn/Sn2+	-0.138
Sr/Sr2+	-2.89	Pb/Pb2+	-0.127
Ca/Ca2+	-2.868	Fe/Fe3+	-0.037
Na/Na+	-2.71	(Pt)H2(g)/2H+	0.000
Mg/Mg2+	-2.372	Ge/Ge2+	+ 0.24
u/u3+	-1.798	In/In3+	+ 0.338
Ti/Ti2+	-1.630	Cu/Cu2+	+ 0.342
A1/AP+	-1.462	Cu/Cu+	+ 0.521
Mn/Mn2+	-1.185	Ag/Ag+	+ 0.800
Cr/Cr2+	-0.913	Hg/Hg2+	+ 0.851
Zn/Zn2+	-0.762	Pt/Pt2+	+ 1.118
Cr/Cr3+	-0.744	Au/Au3+	+ 1.498
Fe/Fe2+	-0.447	Au/Au+	+ 1.692
ten Nullpunkt der Spannungsreihe. Zum Beispiel ist die EMK des Daniell-Elementes nach dieser Tabelle gleich dem Normalpotential von Cu/Cu2+ (cp° = + 0.342 V), vermindert um das von Zn/Zn2+ (<p° = —0.762V), d.h. gleich 1.104V; dabei wurde die minimale Potentialdifferenz an der Membran, die die ZnSO4- und CuSO4-Lö-sungen trennt, vernachlässigt.
In der oben angegebenen Spannungsreihe, die, wie gezeigt, die Berechnung der EMK galvanischer Elemente ermöglicht, ist die Reihenfolge der Metalle die gleiche, die man erhält, wenn man feststellt, welches Element ein anderes aus seiner Lösung verdrängt. Das ist die historische Entstehung der Spannungsreihe.
Taucht man z. B. einen Zinkstab in eine Kupfersulfatlösung, so geht das Zink in Lösung, und es scheidet sich Kupfer am Zinkstab ab. Die bereits bei der Kurzschließung des Daniell-Elementes beschriebene, spontan ablaufende Reaktion kann also auch an einer einzelnen Zn -Elektrode ablaufen. Die Reaktion läuft nur so lange ab, bis die gesamte Zn-Oberfläche mit einer ausreichend dicken Cu-Schicht bedeckt ist, durch die dann keine Zn2 +-Ionen mehr hindurch treten können. Man kann auch blankes Eisen durch Eintauchen in eine Kupfersulfatlösung mit einem Kupferüberzug versehen. Solche als Metallfällungen bekannten Erscheinungen beruhen also auf elektrolytischen Vorgängen.
Lokalelemente. So nennt man unerwünschte elektrochemische Spannungen zwischen verschiedenen Punkten einer Metallelektrode. Man kann sich dies qualitativ so vorstellen, dass an einer Metalloberfläche immer eine gewisse Zahl von Kristallgitter-Unregelmäßigkeiten vorliegen, wie z. B. Versetzungen oder Korngrenzen. Die an solchen Defekten lokalisierten Metallatome sind im Gitter schwächer gebunden als
12.3 Elektrodenprozesse
755
die im homogenen Gitter befindlichen Atome. Das bedeutet, dass diese quasi gelockerten Atome auch noch gegen einen bestimmten Lösungsdruck in Lösung gehen können, der aber schon zu groß ist, um regelmäßig gebundene Atome aus dem Gitter zu lösen. Die Stellen mit Gitterdefekten wirken dann als mikroskopische Anoden, der Rest der Oberfläche als Kathode; diese Lokalelemente führen zu unerwünschten Lokalströmen.
Ebenso wie Kristallgitterdefekte können auch Verunreinigungen und mikroskopische Einschlüsse in Metallen zu Lokalelementen führen. So lösen sich stark verunreinigte Metalle (z. B. Eisen oder Zink) viel leichter in Säuren als sehr reine Metalle. Bringt man beispielsweise handelsübliches Zink, das Spuren von Kohlenstoff enthält, in verdünnte Schwefelsäure, so gehen, da sich das Zink und der Kohlenstoff in leitender Verbindung befinden, Zn2 + -Ionen in Lösung, während am edleren Kohlenstoff H + -Ionen entladen werden. Dies führt im Daniell-Element auch ohne Stromfluss durch einen äußeren Stromkreis zur Korrosion der Zinkelektrode.
Lokalströme treten auch überall da auf, wo sich verschiedene, einander berührende Metalle in einer Säure- oder Salzlösung befinden. Um mit reinem Zink in verdünnter Schwefelsäure die Wasserstoffentwicklung einzuleiten oder zu beschleunigen, genügt es, eine sehr geringe Menge von Kupfersulfatlösung oder Platinchloridlösung hinzuzufügen. Dadurch scheiden sich Spuren von Kupfer oder Platin auf dem Zink ab, und durch die dann einsetzenden Lokalströme kommt es sofort zu einer lebhaften Wasserstoffentwicklung.
12.3	Elektrodenprozesse
12.3.1 Prinzip der Sekundärelemente
Primärelemente haben begrenzte Mengen galvanisch wirksamer Substanzen und sind praktisch nicht regenerierbar (Einweg-Batterien). Bei Sekundärelementen (Akkus) müssen die Substanzen, die schließlich die EMK an den Elektroden bewirken, erst durch Stromfluss (Elektrolyse) erzeugt werden. Sie haben im Gegensatz zu den primären den Vorteil, dass sie als Speicher (Sammler, Akkumulatoren) für elektrische Energie verwendet werden können. Es entsteht dabei zunächst aus elektrischer Energie chemische Energie, die dann zu einem späteren Zeitpunkt elektrochemisch wieder zurückverwandelt werden kann. Nach der Entladung können Sekundärelemente durch erzwungene Umkehrung des Stromflusses elektrolytisch regeneriert („wiederaufgeladen“) werden.
Diese Unterscheidung von Primär- und Sekundärelementen ist nicht absolut: Die in Primärelementen ablaufenden elektrochemischen Vorgänge sind oft nicht völlig irreversibel; in manchen Fällen ist eine geringfügige Regeneration von Batterien durch Elektrolyse möglich.
Und die in Sekundärelementen ablaufenden Vorgänge sind nicht völlig reversibel; mit jedem Aufladungs-Entladungszyklus wird der Akku etwas schlechter und schließlich unbrauchbar.
Eine elektrochemische Zelle, bei der zwei gleiche Elektroden in denselben Elektrolyten tauchen, liefert keine EMK; diese Zelle ist kein Primärelement, aber mög
756
12 Elektrochemie
licherweise ein Sekundärelement, das nur noch „aufgeladen“ werden muss. Damit durch Stromfluss eine Zelle ohne EMK in ein galvanisches Sekundärelement mit einer definierten Klemmenspannung umgewandelt wird, müssen sich Anode oder Kathode in verschiedener Weise verändern oder die Lösung in der Umgebung der Elektroden muss sich in Zusammensetzung oder Konzentration ändern oder es geschehen mehrere der genannten Prozesse gleichzeitig.
Das erste Sekundärelement wurde 1803 von J. W. Ritter angegeben: Ritters Säule bestand aus Kupferplatten, dazwischen Pappe-Platten getränkt mit Kochsalzlösung, und wurde mithilfe einer Volta-Säule (Kupfer-Zink-Element mit wässrigem Elektrolyten) aufgeladen.
Dieses Phänomen kann mithilfe von zwei in verdünnte Schwefelsäure eintauchenden Platinelektroden demonstriert werden: Die eine Elektrode ist mit dem einen Pol einer Batterie (z. B. 4 Volt) und mit dem Pol eines „stromlos anzeigenden“ Voltmeters (Elektrometerverstärker mit sehr hohem Eingangswiderstand) verbunden, während die andere Elektrode wahlweise über einen Umschalter an den anderen Pol der Batterie oder des Voltmeters gelegt werden kann. Ist die Zelle zunächst mit der Batterie verbunden, so fließt ein Strom; durch Elektrolyse wird an der Anode Sauerstoff und an der Kathode Wasserstoff entwickelt. Diese Gase entweichen nur zum Teil in Blasenform, zum Teil werden sie im Metall der Elektroden absorbiert oder an den Elektrodenoberflächen adsorbiert, zum Teil werden sich die Gase auch in den die Elektroden umgebenden Elektrolyten lösen. Jetzt haben wir eine Wasserstoff- und eine Sauerstoffelektrode, die mit dem Elektrolyten zusammen ein galvanisches Element bilden. Durch Umlegen des Schalters können wir mit dem Voltmeter die Spannung Up dieses Elementes messen, die als Polarisationsspannung bezeichnet wird; bei der beschriebenen Anordnung hat sie die Größe von 1.9 Volt. Verbindet man die beiden Elektroden, nachdem sie durch einen Strom „polarisiert“ worden sind, über ein Amperemeter, so zeigt dieses einen Strom (Polarisationsstrom) an, der dem ursprünglichen entgegengesetzt gerichtet ist. Dieser Strom dauert nur so lange, wie die Elektroden eine Gasbeladung tragen. Es gehen nämlich bei der mit Wasserstoff beladenen Elektrode die Wasserstoffmoleküle wieder als Wasserstoff-
Abb. 12.11 Gaselement nach Grove. Die Platinelektroden sind zur Erhöhung der wirksamen Oberfläche mit Platinmohr überzogen.
12.3 Elektrodenprozesse
757
kationen in die Lösung und lassen die Elektrode negativ geladen zurück, während an der anderen Elektrode die Sauerstoffmoleküle als negative Sauerstoffanionen ebenfalls in Lösung gehen und die Elektrode positiv aufladen.
Bei dem von Sir William R. Grove (1839) angegebenen Gaselement (Abb. 12.11) befinden sich in den beiden Hälsen einer mit verdünnter Schwefelsäure gefüllten „Woulf sehen Flasche“ zwei am oberen Ende geschlossene Glasröhren, die im Innern zwei längliche, mit Platinmohr überzogene Platinelektroden tragen. Werden die beiden Röhren durch den mittleren Hals der Flasche mit Sauerstoff bzw. Wasserstoff gefüllt, so zeigt ein angeschlossenes Galvanometer einen Strom an, der von der Sauerstoffelektrode zur Wasserstoffelektrode fließt und so lange andauert, wie die Elektroden mit Gas umgeben sind.
Das Gaselement von Grove demonstriert einen Effekt, der von grundlegender Bedeutung ist: Wir können mit dieser Methode Wasserstoff und Sauerstoff langsam und bei konstanter Temperatur, d. h. im thermodynamischen Sinne reversibel in das Reaktionsprodukt Wasser überführen. Das Gaselement ist ein Vorläufer der heutigen Brennstoffzelle (fuel cell), auf die in Abschn. 12.4.2 noch eingegangen wird. Brennstoffzellen gestatten die direkte Überführung der chemischen Energie von Brennstoffen in elektrische Energie.
12.3.2 Polarisations- und Überspannung
Polarisationsspannungen müssen stets dann auftreten, wenn so genannte „unangreifbare“ Elektroden verwendet werden, da dann entweder Gasbeladung oder Metallniederschlag auftritt. Die Polarisationsspannung einer elektrolytischen Zelle ist der sie erzeugenden Spannung stets entgegengesetzt gerichtet; daher muss man, um z. B. eine Elektrolyse von verdünnter Schwefelsäure in Gang zu bringen, an die Elektroden des Zersetzungsgefäßes eine Spannung U legen, die größer als die Polarisationsspannung UP, in unserem Beispiel von einer Wasserstoff- und einer Sauerstoffelektrode also größer als 1.9 Volt ist. Bedeutet Rt den inneren Widerstand des Elektrolyten, so ist nach dem Ohm’schen Gesetz der durch ihn fließende Strom / durch
I=(U- UJ/Ri	(12.24)
bestimmt. Nimmt man also den durch das Zersetzungsgefäß fließenden Strom / in Abhängigkeit von der an den Elektroden gemessenen Spannung U auf, so erhält man eine Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, sondern die Abszisse in einem Punkt Up schneidet, der die Polarisationsspannung angibt.
Durch das Auftreten einer Polarisationsspannung wird beim Stromdurchgang der Widerstand des Elektrolyten scheinbar vergrößert, da die sekundäre Polarisationsspannung die primäre Spannung vermindert und den Strom herabsetzt. Der für die sekundären Elemente entscheidende Vorgang des Auftretens einer Polarisationsspannung macht sich bei den primären Elementen in einer Veränderung der Klemmenspannung bei Stromentnahme störend bemerkbar. Wenn z. B. aus dem Volta-Element (Kupfer und Zink in verdünnter Schwefelsäure) Strom entnommen wird, der im Innern des Elementes vom Zink zum Kupfer fließt, so geht Zink in Lösung und an der Kupferplatte setzt eine Wasserstoffentwicklung ein, die diese Elektrode mit einer Wasserstoffhaut bedeckt und polarisiert. Durch die dabei auftretende Po
758
12 Elektrochemie
larisationsspannung wird die ursprüngliche EMK des Elementes herabgesetzt. Man kann dies leicht zeigen, indem man an zwei in Reihe geschaltete Volta-Elemente ein kleines Glühlämpchen anschließt; dieses leuchtet im ersten Augenblick hell auf, um dann nur noch schwach zu glühen, sobald die Wasserstoffentwicklung an der Kupferelektrode einsetzt. War dagegen die Kupferplatte durch Glühen etwas oxidiert, so bleibt die Spannung des Elementes längere Zeit konstant, da sich jetzt der Wasserstoff mit dem Sauerstoff auf der Kupferplatte sofort zu Wasser verbindet, wodurch die Polarisation verhindert wird. Beim Daniell-Element, bei dem sich die Kupferanode in einer Kupfersulfatlösung befindet, tritt bei Stromentnahme keinerlei Gasentwicklung und somit auch keine Polarisation auf, sodass wir es hier mit einem „konstanten“ Element zu tun haben; das Daniell-Element besitzt also unpolarisierbare Elektroden.
Wie eingangs schon erwähnt, lässt sich die Grenze zwischen primären und sekundären Elementen nicht immer exakt ziehen: Es gibt auch Primärelemente, bei denen die Entladereaktion durch Stromfluss in der entgegengesetzten Richtung teilweise wieder rückgängig gemacht werden - aber eben nur zu einem kleinen Bruchteil, da die Elektrodenreaktionen weitgehend irreversibel sind. Elektrochemische Reaktionen, bei denen Gas entwickelt wird, sind völlig irreversibel, wenn - wie in solchen Fällen üblich - so genannte Depolarisatoren eingesetzt werden; das sind Substanzen, die mit dem an der Elektrode entstehenden Gas sofort chemisch reagieren und es auf diese Weise binden.
Bei genügender Stromdichte zeigen praktisch alle Elektroden gewisse Polarisationseffekte, wenn sich z. B. die an der Elektrode reagierende lonenart in der Umgebung der Elektrode verbraucht und durch Diffusion aus dem Elektrolytvolumen nicht genügend Ionen nachgeliefert werden können. Diese Polarisationseffekte sind dann häufig mit dem Auftreten von Überspannungen verbunden, die als nächstes behandelt werden.
Damit eine gewünschte elektrochemische Reaktion abläuft, muss häufig eine größere Spannung als die Polarisationsspannung angelegt werden. So tritt die Metallabscheidung beispielsweise oft noch nicht ein, wenn die Elektrodenspannung nur geringfügig größer ist, als sich aus der Spannungsreihe (Tab. 12.3) ergibt, sondern erst dann, wenn sie größer als die jeweilige Überspannung ist. Die Überspannung Uv ist definiert als die Differenz zwischen dem Standardpotential cp° und dem Potential, bei dem die betreffende Reaktion tatsächlich abläuft. Man unterscheidet verschiedene Arten von Überspannung; wichtig ist z. B. die Diffusionsüberspannung, die auftritt, wenn der An- oder Abtransport der an der Elektrode gebildeten oder verbrauchten Stoffe gehemmt ist. Diese Diffusionsüberspannung ist abhängig von der Stromdichte an der Elektrodenoberfläche. Für viele elektrochemische Experimente werden Elektroden aus platiniertem Platin verwendet, da das poröse Platin eine stark vergrößerte Oberfläche besitzt. Außerdem hat Platin - wie einige andere Edelmetalle auch - gute katalytische Eigenschaften, was im Falle von Elektroden bedeutet, dass die Durchtrittsüberspannung (Hemmung des Durchtritts der Ladungsträger durch die Elektrodenoberfläche) oder die Reaktionsüberspannung (Hemmung einer dem Durchtritt vor- oder nachgelagerten chemischen Reaktion) sehr klein werden können. In Bezug auf die H2-Entwicklung zeigen platinierte Platinelektroden praktisch keine messbare Überspannung. Blei weist dagegen für H2-Entwicklung eine sehr hohe Überspannung auf, was im Bleiakkumulator ausgenutzt wird.
12.4 Technische Anwendungen 759
Schließlich kann auch eine Kristallisationsüberspannung auftreten, wenn der Einbau oder die Herauslösung von Atomen aus dem Kristallgitter gehemmt ist. Die bei der Elektrolyse auftretenden Überspannungen bewirken einen irreversiblen Energieverbrauch und führen z. B. bei der großtechnischen Chlorerzeugung und anderen Elektrolyseverfahren zu erheblichen Verlusten.
12.4	Technische Anwendungen
12.4.1 Einweg-Batterien und Akkumulatoren
Batterien haben in der Entwicklung der Physik eine wichtige Rolle gespielt: Sie ermöglichten die frühe experimentelle Erforschung des Elektromagnetismus (Oer-stedt, Faraday) und die Anfänge der Nachrichtentechnik (magnetomechanische Relais).
Mit der Einrichtung des allgemeinen elektrischen Drehstrom-Netzes und den Möglichkeiten zur Umwandlung von Wechselstrom in Gleichstrom verloren die Batterien ihre Bedeutung als Stromquellen für stationäre Anwendungen im Bereich des Netzes, gewannen aber später erneut Bedeutung als netz-unabhängige, mobile und miniaturisierbare Stromquellen.
Die Anforderungen sind sehr unterschiedlich. So soll beispielsweise die Batterie einer elektrischen Armbanduhr über möglichst lange Zeit eine sehr geringe elektrische Leistung abgeben können. Sie soll bei kleinen Abmessungen also eine möglichst große Energiedichte besitzen:
Energiedichte = gespeicherte elektrische Energie bezogen auf die Masse (oder das Volumen) der Batterie in W • h/kg (oder W • h/L = mW • h/cm3).
Statt der Energiedichte wird oft die Ladungsdichte in A h/kg, bezogen auf die Nennspannung der Batterie, angegeben.
Andererseits muss die Starterbatterie eines Autos selbst im kalten Winter in der Lage sein, beim Anlassvorgang kurzzeitig eine elektrische Leistung von über 1000 Watt abzugeben. Hier ist eine hohe Leistungsdichte gefordert:
Leistungsdichte = maximal entnehmbare elektrische Leistung bezogen auf die Masse (oder das Volumen) der Batterie in W/kg (oder W/L = mW/cm3).
Bei Fahrzeugen mit Elektroantrieb ist eine kleine Masse der Batterie wichtiger als ein kleines Volumen; bei miniaturisierten Geräten interessiert besonders das kleine Batterievolumen. Die extremen Unterschiede in den Anforderungen haben dazu geführt, dass in den letzten Jahren eine kaum noch überschaubare Zahl von Batterietypen entstanden ist; hier können nur einige erwähnt werden.
Die Einweg-Batterie hat im Vergleich zum Akku gleicher Größe den Vorteil einer höheren Energiedichte; der Unterschied beträgt bei den größeren Batterien (Standardgrößen „Mono“, „Baby“ und „Mignon“) einen Faktor 2-3, bei den Knopfzellen 6-10. Bei der Akku-Herstellung wird vor allem eine große Zahl von Ladungs/
760
12 Elektrochemie
Entladungs-Zyklen angestrebt. Wegen seiner vielfachen Wiederverwendung wird der Akku gegenüber der Einweg-Batterie aus Gründen der Abfall Vermeidung favorisiert. Die Anschaffungskosten von Akku und Ladegerät rentieren sich aber erst bei häufigem Wiederaufladen.
Die Beachtung der Umweltverträglichkeit hat dazu geführt, dass Einweg-Batterien, die Quecksilber enthalten, immer seltener verwendet werden. Die ebenfalls umweltgefährdenden Metalle Blei und Cadmium in den Akkus werden im Hinblick auf die hohe Zahl möglicher Wiederaufladungen (1000 und mehr) toleriert. Unbrauchbar gewordene Akkus, die Blei oder Cadmium enthalten und nicht wieder aufgearbeitet werden können, sind unbedingt als Sondermüll zu entsorgen.
Trockenbatterie. Die Entwicklung der Einweg-Batterien führte von der Volta-Säule, die unter Polarisationsspannungen litt, über das nicht-polarisierbare Daniell-Element, das noch einen flüssigen Elektrolyten hatte, schließlich zur Trockenbatterie. Letztere ist nicht völlig trocken, sondern enthält einen zu einer feuchten Paste angedickten Elektrolyten, der nicht mehr verschüttet werden kann. Ein Vorläufer der Trockenbatterie war die von J. W. Ritter schon 1802 verwendete Säule mit elektrolytgetränkten Pappen zwischen Metallscheiben.
Trockenbatterien funktionieren in jeder Lage und sind mehr oder weniger fest abgeschlossen, aber nicht alle sind garantiert auslaufsicher. Gasentwicklung in der Trockenbatterie wird durch Beimischung von Depolarisatoren unterdrückt. Bei Falschbehandlung einer Trockenbatterie, z. B. bei „Entsorgung“ durch Verbrennung, besteht Explosionsgefahr.
Eines der wichtigsten Primärelemente wurde 1866/67 von Georges Leclanche erfunden und 1896 von P Schmidt durch Beimischung von Mehl oder Stärke zur Trockenbatterie weiterentwickelt. Diese Leclanche-Elemente werden auch heute noch in vielen Varianten und großen Stückzahlen hergestellt, am bekanntesten sind die preiswerten Taschenlampenbatterien. Das Leclanche-Element besteht aus einem Zinkbecher als Anode, einer wässrigen NH4C1-Paste als Elektrolyt und einem Graphitstab als Kathode, der von Braunstein (MnO2) als Depolarisator umgeben ist, um die Bildung von Wasserstoff-Gas und das Auftreten einer Polarisationsspannung zu verhindern. Die Depolarisator-Reaktion ist
2 H + 2MnO2 Mn2O3 + H2O.
Andere Varianten der Trockenbatterie sind die Zinkchlorid-Zelle, die höhere Auslaufsicherheit bietet und gern für wertvolle Geräte (Uhren, Radios) verwendet wird, und die etwas aufwendiger verkapselte Alkali-Mangan-Zelle, die eine etwa zweifach höhere Energiedichte besitzt und z. B. für Blitzgeräte und Kassettengeräte verwendet wird.
Eine neuere Entwicklung sind die Lithiumbatterien. Sie haben eine sehr hohe Energiedichte von 400-1000 mWh/cm3. Dieses wird hauptsächlich dadurch erreicht, dass die Standardpotentiale der Anoden- und der Kathodenreaktion sich sehr stark unterscheiden. Lithium steht am extrem negativen Ende der Spannungsreihe; es dient als negative Elektrode und wird mit verschiedenen Substanzen als positive Elektrode und als Elektrolyt verwendet. Eine Lithiumbatterie von wenigen Millimetern Durchmesser („Knopfzelle“) kann für mehrere Jahre den Strom für eine elektronische Armbanduhr liefern. Andere Anwendungsgebiete sind z. B. Herzschrittmacher, Datenspeicher-Schutz gegen Netzausfall, Fotogeräte.
12.4 Technische Anwendungen 761
Bei Akkumulatoren vermeidet man möglichst die Begriffe Anode und Kathode und spricht statt dessen zweckmäßigerweise von positiver und negativer Elektrode, da die Polarität der Elektroden bei Ladung und Entladung dieselbe ist, während sich die Elektroden in der Anoden- und Kathodenfunktion abwechseln. Unter den Akkumulatoren ist nach wie vor der Bleiakkumulator (G. Plante, 1859) der wichtigste Vertreter. Er ist als Starterbatterie in Autos und auch als Energiequelle kleiner elektrisch betriebener Transportfahrzeuge (z. B. Hubstapler) weit verbreitet.
Bleiakku. Stellt man zwei Bleiplatten in verdünnte Schwefelsäure, so überziehen sie sich mit einer Schicht Bleisulfat (PbSO^. Schickt man einen Strom durch die Zelle, so wird an der positiven Elektrode das Bleisulfat zu braunem Bleidioxid oxidiert, während es sich an der negativen Elektrode zu metallischem Blei reduziert; gleichzeitig gibt das SO ~-Ion seine zwei negativen Ladungen an die positive Elektrode ab, während die negative Elektrode zwei positive Ladungen empfängt. Nach dem Stromdurchgang zur Ladung des Akkus befindet sich also in verdünnter Schwefelsäure eine reine Bleiplatte einer Bleidioxidplatte gegenüber; wir haben jetzt ein galvanisches Element. Wird das Element durch eine leitende Verbindung geschlossen, so spielen sich in dem Element, in dem der Strom jetzt in umgekehrter Richtung fließt, die umgekehrten elektrochemischen Prozesse ab. Formelmäßige Zusammenfassung:
Ladevorgang -> | «- Entladevorgang
an der positiven Elektrode PbSO4 + 2H2O	<->	PbO, + SOj + 4 H +2e ,
an der negativen Elektrode PbSO4 + 2e	<->	Pb + SO4~ .
Die durch den äußeren Kreis gehenden elektrischen Ladungen sind hier fett gedruckt. Die relevanten Reduktionsprozesse und ihre Standard-Reduktionspotentiale sind folgende:
PbO2 + SQ2- + 4H+ + 2e- PbSO4 + 2H2O mit
(p° = +1.691 V und
PbSO4 + 2e~ Pb + SO4~ mit
cp° = -0.359 V.
Die Differenz der Standard-Potentiale ergibt 2.05 V; für die praktisch vorkommenden Konzentrationen und Temperaturen ist die EMK dieser Zelle etwa 2 V.
Der Wirkungsgrad des Bleiakkumulators, d.h. Entladeenergie dividiert durch Aufladeenergie, beträgt 70 bis 75 %. Der so genannte Amperestunden-Wirkungs-grad, d. h. die Zahl der Amperestunden bei der Entladung, dividiert durch die Zahl der Amperestunden bei der Aufladung, beträgt etwa 90 %. Die Zahl der erreichbaren Ladezyklen liegt in der Größenordnung von 500 bis 1500. Energie- und Leistungsdichte sind von der Entladungszeit abhängig. Typische Werte sind 20Wh/kg und 20W/kg bei einer Entladungszeit von 1 h. Bei Entnahme hoher Leistungen ist die insgesamt nutzbare Energie kleiner als bei geringen Leistungen. Deshalb sind die Auto-Starterbatterien, die bis zu 1000 W liefern müssen, so schwer und schon nach einigen Minuten vergeblicher Startversuche entladen.
762
12 Elektrochemie
t/h
Abb. 12.12 Verlauf der Klemmenspannung U eines Bleiakkumulators mit der Zeit t beim Laden und Entladen.
In Abb. 12.12 ist der zeitliche Verlauf von Lade- und Entladespannung aufgetragen. Die Unterschiede der Spannung bei Ladung und Entladung sind durch das Auftreten von Konzentrationsänderungen in der Zelle bedingt. Die Entladung soll nicht weiter fortgesetzt werden, wenn die Spannung auf 1.8 Volt gesunken ist. Die Ladung ist zu beenden, wenn die Spannung auf 2.3 Volt gestiegen ist, denn schon bei einer Ladespannung von 2.4 V tritt heftige Gasentwicklung ein, die zu Verlust von Wasser führt. Früher mussten deshalb bei Auto-Akkus alle Zellen regelmäßig auf ihren Flüssigkeitsstand geprüft und ggf. mit destilliertem Wasser aufgefüllt werden. Bei den heutigen wartungsfreien „gekapselten“ Akkus kann zwar gebildetes Gas durch ein Ventil entweichen, aber Auffüllung ist nicht mehr möglich. Die Elektronik im Ladegerät sorgt dafür, dass unzulässig hohe Ladespannungen nicht auftreten.
Ni/Cd-Akku. Eine 10jährige systematische Untersuchung elektrochemisch wirksamer Substanzen führte T.A. Edison 1901 zum Nickel-Eisen-Akkumulator; parallel dazu entwickelten W. Junger und K. L. Berg den elektrochemisch völlig entsprechenden Nickel-Cadmium-Akkumulator, der neben dem Bleiakku heute der wichtigste Typ ist.
Der Ni/Cd-Akku ist in allen Größenklassen, von den großen Fahrzeug-Batterien bis zu den Knopfzellen, zu finden. Er hat im ungeladenen Zustand eine negative Elektrode aus Cadmiumoxid/Cadmiumhydroxid CdO/Cd(OH)2 und eine positive Elektrode aus Nickeloxid/Nickelhydroxid NiO/Ni(OH)2 mit Kalilauge (KOH) als Elektrolyt. Beim Laden geht die negative Elektrode in reines Cadmium, die positive in Nickeltrioxid über.
Gegenüber dem Bleiakku hat der Ni/Cd-Akkumulator den Vorteil einer längeren Lagerfähigkeit im geladenen oder ungeladenen Zustand; im Vergleich zum Ni/Fe-Akku ist er höher belastbar und hat geringere Selbstentladung. Der Ni/Cd-Akku ist am besten geeignet für den Einsatz bei tiefen Temperaturen (bis — 45°C); außerdem kann er hermetisch abgeschlossen werden. Die Zellen-Nennspannung ist 1.2 V. Die Energiedichte liegt bei 25-35 mWh/g bzw. 50-80 mWh/cm3.
12.4 Technische Anwendungen 763
12.4.2 Brennstoffzellen
Brennstoffzellen (fuel cells) sind elektrochemische Elemente, in denen die Oxidation der benutzten Brennstoffe weitgehend reversibel, d. h. unter möglichst vollständiger Ausnutzung der freien Enthalpieänderung AG stattfinden kann. Dafür eignet sich prinzipiell jede freiwillig ablaufende Reaktion, in der Elektronen von einem Reduktionsmittel, dem „Brennstoff“, auf ein Oxidationsmittel, z. B. Sauerstoff, übertragen werden. Dabei gibt das Reduktionsmittel Elektronen an das Material der Anode ab, die dann unter Arbeitsleistung durch den äußeren Stromkreis zur Kathode fließen und dort vom Oxidationsmittel aufgenommen werden.
Der Wirkungsgrad i] einer Brennstoffzelle ist definiert als das Verhältnis von erzeugter elektrischer Energie (pro Mol) zum Betrag der (molaren) Reaktionsenthalpie. Der maximale theoretische Wirkungsgrad ist gegeben durch
?7th = AG) AH =1-T AS) AH'	(12.25)
hier ist T die Temperatur und AS die Reaktionsentropie. Nach der Vorzeichenkonvention sind AH, AG und AS in Gl. (12.25) negative Größen.
Von besonderem Interesse ist die von großer Energiefreisetzung begleitete Knallgas-Reaktion (Wasserstoff-Verbrennung), für die die Reaktionsenthalpie AH (bei 1 atm und 25°C) den Wert — 286.02kJ/mol hat. Der theoretische Wirkungsgrad beträgt 82.9 %, und die reversible Zellenspannung, das ist der theoretische Höchstwert für die Leerlauf-Spannung, ergibt sich zu 1.229 V.
Die erste Brennstoffzelle, die Groves’sche Gaszelle (Abschn. 12.3.1), beruhte auf der Knallgas-Reaktion, lieferte jedoch nur eine geringe elektrische Leistung. Heute gibt es Elektrolyte und Werkstoffe, mit denen der Bau von effizienten Brennstoffzellen möglich ist. Wir erläutern das Prinzip der Brennstoffzelle (BZ) am Beispiel der Knallgas-Reaktion in einer oxidkeramischen Hochtemperaturzelle: Die elektrochemische Verbrennung von H2 und O2 zu Wasser in der BZ mit Festelektrolyt ist schematisch in Abb. 12.13 dargestellt. Sauerstoffgas wird der porösen Kathode zugeführt, die aus dem Material La, xSrxMnO3 (LSM) besteht. In der Kathode nimmt das Molekül O2 Elektronen auf und dissoziiert dabei in zwei O2 -Ionen. Der feste Elektrolyt besteht aus Zirkonoxid (ZrO2) und ist für die Sauerstoffionen leitend. Das Wasserstoffgas wird von außen an die poröse Anode aus Nickeloxid (NiO) geführt; beim Durch tritt durch die Anode dissoziiert das H2 und jedes H-Atom gibt ein Elektron ab. Die in der Anode entstandenen H +-Ionen und die in der Kathode entstandenen und durch den Elektrolyten gewanderten O2 -Ionen kombinieren an der Grenzfläche Elektrolyt/Anode (ZrO2/NiO) zu Wasser und die H2O-Moleküle diffundieren durch die poröse Anode nach außen. Die von den Wasserstoffatomen in der Anode abgegebenen Elektronen fließen als Nutzstrom durch den äußeren Stromkreis zur Anode, wo sie sich an die Sauerstoffatome anlagern.
Zurzeit sind die BZs wegen ihrer hohen Kosten noch nicht konkurrenzfähig. Doch das forschungs- und wirtschaftspolitische Interesse ist groß. Die BZs im Betrieb gehören zu Testserien oder zu Anwendungen für die der Preis unerheblich ist (Rüstung, Raumfahrt).
Beispiel'. Die deutschen U-Boote der Klasse 212A (Prototyp U31, Stapellauf 2002, in Dienst gestellt 2005) sind weltweit die ersten, die mit einer Wasserstoff-BZ-Anlage ausgerüstet sind; das O2 wird mitgeführt. Durch diese außenluft-unabhängige Strom-
764	12 Elektrochemie
Grenzfläche
D2" I 2H+
H2D
Diffusion
Abb. 12.13 Prinzip einer Festkeramik-Hochtemperatur-Knallgas-Brennstoffzelle (nach W. Gajewski). Erläuterungen im Text.
erzeugung können die U-Boote bis zu drei Wochen unter Wasser bleiben. Der Dieselgenerator kann zum Aufladen der Bordbatterie nur bei Überwasser- oder Schnorchelfahrt betrieben werden und hinterlässt verräterische Spuren (Geräusche, Wärme, Abgase). Bei Atom-U-Booten verursacht die Reaktorkühlung starke Geräuschabstrahlung.
Der ideale Brennstoff für eine BZ ist Wasserstoff, ein leicht Speicher- und transportierbarer Träger chemischer Energie, der jedoch erst unter Energieaufwendung hergestellt werden muss. Wasserstoff kann chemisch-thermisch durch Reduktion von Wasserdampf über heißer Kohle (C + H2O -> CO + H,) als „Kohlegas“ gewonnen werden. Die elektrolytische Erzeugung von reinem Wasserstoff aus Wasser ist zur Zeit nur dort lohnend, wo billiger Strom zur Verfügung steht. Langfristiges Interesse an BZs für Wasserstoff liefert die Zukunftsvision der Wasserstoff-Technologie: In einer zukünftigen Energiewirtschaft mit Solarstrom als wesentliche Primärenergie müssen Probleme der Energiespeicherung (Tag/Nacht- und Sommer/Winter-Ausgleich) und des Energietransportes (Sahara -> Europa) gelöst werden. Die elektrolytische Erzeugung von Wasserstoff ist besonders attraktiv, wenn der Wasserstoff nach Speicherung und Transport mit einem Wirkungsgrad von über 60 % wieder in Strom verwandelt werden kann. BZs könnten für die dezentrale Stromerzeugung aus Wasserstoff gut geeignet sein.
12.4 Technische Anwendungen 765
Für die BZ-Technik der näheren Zukunft gibt es Marktchancen vor allem für solche Zellen, die billigere Brennstoffe nutzen können. In Frage kommen wasserstoffhaltige Verbindungen, aus denen der für die elektrochemische Reaktion verwendete Wasserstoff abgetrennt wird. Bei Niedertemperatur-BZs geschieht das unter Zufuhr von Wärme in vorgeschalteten Aufbereitungsanlagen, den so genannten „Reformern“; bei Hochtemperatur-BZs findet die Zersetzung der Kohlenwasserstoff-Brennstoffe zu H2 und CO2 im Inneren statt („interne Reformierung“).
Die Entwicklung der BZs ist auf drei Hauptziele ausgerichtet:
1.	Stationäre BZs als Kraftwerke. Hierfür sind vor allem Hochtemperatur-BZs geeignet, deren Abgase hohe Temperatur besitzen und in nachgeschalteten Gasoder Dampfturbinen-Generatoren zur zusätzlichen Stromerzeugung verwendet werden können. Die unvermeidlich anfallende Abwärme kann auch noch zu Heizzwecken genutzt werden [Heiz-Kraftwerke; combined heat and power (CHP) plants], Dass die Hochtemperatur-BZs einige Stunden benötigen, um Betriebsfähigkeit zu erreichen, ist bei kontinuierlichem Kraftwerkbetrieb kein Nachteil. Als Brennstoffe werden Erdgas oder Kohlegas verwendet, der Sauerstoff kommt aus der Luft. Erdgas und vergaste Kohle sind zwar umweltpoltisch problematische fossile Energieträger, aber die BZs haben im Vergleich zu konventionellen Kraftwerken höhere Wirkungsgrade, die zu geringerem CO2-Ausstoß pro kWh führen. Darauf beruht die euphorische Bezeichnung dieser BZs als „Öko-Kraftwerke“.
2.	Mobile BZs für Fahrzeuge. Das normale Elektrofahrzeug transportiert elektrische Energie in schweren Akkumulatoren und besitzt deshalb einen kleinen Aktionsradius. Die Infrastruktur für „elektrische Tankstellen“ ist noch wenig entwickelt. Mit getanktem Brennstoff und einer BZ für die Stromerzeugung sollte das BZ-Auto geringeres Gewicht und/oder größeren Aktionsradius haben. Für diese Anwendung kommen kleine Niedertemperatur-BZs in Betracht, die schnell betriebsbereit sind. Bevorzugt werden flüssige Brennstoffe wie Methanol und Ethanol. Für die Anfangszeit der BZ-Autos wäre Benzin ein interessanter Brennstoff, weil dafür die Tankstellen-Infrastruktur existiert.
3.	Tragbare BZs als Ersatz für Batterien. Nützlich wären diese z. B. für alle tragbaren elektronischen Geräte, z. B. Mini-Computer (personal digital assistants, PDAs). Während bei Batterien die Energiedichte kaum noch zu steigern ist, erscheinen bei den BZs trotz aller ungelöster Probleme wesentlich höhere Energiedichten erreichbar. Das Nachladen des Brennstoffs, z. B. Methanol, benötigt viel weniger Zeit als das Aufladen eines Akkus.
12.4.3 Elektrolytische Verfahren
Gewinnung von Metallen. Durch Schmelzelektrolyse von natürlich vorkommenden Metallverbindungen wird Aluminium, Magnesium, Natrium, Kalium und Calcium gewonnen. Bei Aluminium dienen Tonerde (A12O3) und Kryolith (A1F3 • 3NaF) als Rohstoffe, das Elektrodenmaterial ist Kohle. Zur Gewinnung von 1 kg Aluminium sind etwa 3000 Ah bei ca. 5 V (« 15 kWh) erforderlich.
Gewinnung von Gasen. Durch Elektrolyse von NaCl wird großtechnisch Chlor gewonnen, das als Prozessgas für die chemische Industrie beispielsweise für die Her
766
12 Elektrochemie
Stellung von Polyvinylchlorid (PVC) eingesetzt wird. Moderne Chlor-Erzeugungsanlagen arbeiten nach Membranverfahren mit katalytisch aktivierten Titan-Anoden und z. B. Edelstahl-Kathoden. Die an den Elektroden entstehenden Gase Cl2 und H2 dürfen sich nicht mischen, denn Chlorknallgas ist hochexplosiv. Man arbeitet deshalb in Zellen mit einer so genannten Ionenaustauscher-Membran zwischen den beiden Elektroden, die z. B. nur für Natriumionen und Wassermoleküle durchlässig ist, für Gase aber nicht.
Ein ähnliches Verfahren wurde in den letzten Jahren auch für die Wasserelektrolyse zur Gewinnung von Wasserstoff entwickelt. Elektrolytische Wasserstoffgewinnung lohnt aber nur in Gegenden, wo sehr preiswerte elektrische Energie zur Verfügung steht.
Reinigung von Metallen. Bei diesem im großen Maßstab in der Metallurgie angewandten Verfahren benutzt man die Tatsache, dass die Polarisationsspannungen für die Ionen verschiedener Metalle verschieden groß sind. Man kann daher durch geeignete Wahl der an eine elektrolytische Zelle gelegten äußeren Spannung erreichen, dass nur das gewünschte Metall aus der Lösung ausgeschieden wird, aber nicht diejenigen Verunreinigungen, deren Abscheidungspotentiale höher sind.
Die wichtigste Anwendung findet dieses Verfahren bei der elektrischen Kupfer-raffmation. Als Anode verwendet man Platten, die aus dem zu reinigenden Kupfer gegossen sind; als Kathode dienen dünne Kupferbleche aus reinstem Kupfer. Diese Elektroden stehen in wässrigen Lösungen von Kupfersulfat und Schwefelsäure. Auf der Kathode scheidet sich dann das Elektrolytkupfer mit einem Reinheitsgrad bis zu 99.99 % Kupfergehalt ab. Ein solcher Reinheitsgrad des Kupfers ist für seine Verwendung in der Elektrotechnik erforderlich, da schon minimale Verunreinigungen die elektrische Leitfähigkeit sehr stark herabsetzen.
Bei diesem Reinigungsverfahren gehen ebenso wie Kupfer auch Eisen, Nickel und Zink in Lösung, während die edleren Metalle als Anodenschlamm ausfallen, aus dem sie durch weitere Elektrolyse gewinnbringend wiedergewonnen werden.
Außer Kupfer werden auch Silber, Nickel und Eisen in größerem Maßstab auf elektrolytischem Wege gereinigt; das so gewonnene Elektrolyteisen hat eine hohe Permeabilität und sehr geringe Hystereseverluste.
Herstellung von metallischen Überzügen. Diese Technik wird auch galvanische Oberflächenveredelung (Galvanik, Galvanisierung, electroplating) genannt. Die zu überziehenden Stoffe werden nach gründlicher Entfettung und Reinigung als Kathoden in einen Elektrolyten spezieller Zusammensetzung eingehängt, der die Ionen des abzuscheidenden Metalls enthält. Als Anodenmaterial wird meist das Überzugsmetall verwendet. Technisch wichtig sind vor allem Verzinkung, Verkupferung und Verchromung. Es lassen sich auch Überzüge aus anderen Metallen und Metallegierungen (Eisen, Blei, Messing usw.) erzielen. Auch nichtleitende Materialien lassen sich galvanisch mit einem Metallüberzug versehen, wenn sie vorher nicht-elektrisch mit einer dünnen Nickel- oder Kupferschicht überzogen werden.
Anodische Oxidation. Statt der Reduktion an der Kathode (wie bei der Metallabscheidung) kann auch die Oxidation an der Anode technisch ausgenutzt werden. Ein wichtiges Verfahren besteht darin, Aluminium mit einer seine Oberfläche schützenden Oxidschicht zu versehen (Eloxal = elektrolytische Oxidation von Aluminium).
12.4 Technische Anwendungen 767
Oxidschichten schützen die Metalle nicht nur mechanisch, sondern sie isolieren auch elektrisch. Stellt man z. B. in einer Lösung von Natriumcarbonat eine Aluminiumplatte einer Blei- oder Eisenplatte gegenüber, so überzieht sich die Aluminiumelektrode, wenn sie als Anode geschaltet ist, mit einer unsichtbaren isolierenden Schicht aus Aluminiumhydroxid, die den Stromdurchgang bis zu Spannungen von 40 Volt sperrt. Da die auf einer formierten Aluminiumplatte gebildete Isolierschicht ein Dielektrikum von sehr geringer Dicke (ungefähr 0.1 jrm) darstellt, bilden das Aluminium und der Elektrolyt einen Kondensator von großer Kapazität. Man erzielt mit diesen Elektrolytkondensatoren Kapazitäten von einigen hundert Mikrofarad pro Quadratmeter Fläche und kann so riesige Kapazitäten (> 1000 pF) auf kleinstem Raum unterbringen. Solche Kondensatoren sind nur für Gleichspannungen verwendbar, wobei das formierte Aluminium den positiven Pol bilden muss; mit einer hinreichend hohen Vorspannung der richtigen Polarität können sie auch in Wechselstromkreisen verwendet werden.
Elektroformung. In industriellem Umfang wird die Elektroformung (früher „Galvanoplastik“ genannt) zur Herstellung von Press- und Gussformen für die Kunststoffindustrie (Schallplatten, CDs), für die Luft- und Raumfahrtindustrie (Scheinwerfer-Reflektoren) sowie für die elektronische Industrie (Kupferfolien für gedruckte Schaltungen) verwendet. Die Herstellung der erforderlichen Formen erfolgt je nach geforderter Maßgenauigkeit aus Metall oder Kunststoffen. Kunststoffmodelle müssen vorher z. B. durch Graphitschichten leitend gemacht werden. Als Material zur Herstellung der Elektroformung wird heute überwiegend Nickel verwendet, da seine physikalisch-chemischen Eigenschaften durch Veränderung der Parameter bei der galvanischen Abscheidung in weiten Grenzen variiert und somit gut den geforderten Bedürfnissen angepasst werden können.
12.4.4 Korrosionsschutz
Große technische Bedeutung hat das Korrosionsverhalten von metallischen Werkstoffen, besonders beim viel verwendeten Stahl. Jedes Jahr gehen weltweit enorme Werte durch Korrosion verloren, man denke nur etwa an „verrostete“ Autos oder Schiffe. Grundsätzlich ist für das Ablaufen von Korrosionsreaktionen fast immer die Anwesenheit von Feuchtigkeit notwendig, da ein Elektrolyt vorhanden sein muss, in den die Metallionen in Lösung gehen können.
Lokalelement. Dieser für die Korrosion wichtige Begriff wurde schon bei den Metallfällungen erwähnt. Dort betraf es Stellen im Metall mit lokalen Kristallbaufehlern oder Verunreinigungen, die dazu führten, dass an diesen Stellen Metallionen noch in Lösung gehen können, wenn der Lösungsdruck schon so groß ist, dass keine regelmäßig eingebundenen Atome mehr aus dem Gitter herausgelöst werden können. Diese Stellen wirken als lokale mikroskopische Anoden, der Rest des Metalls als Kathode des Lokalelementes. Es gibt aber auch Situationen, in denen Konzentrationsunterschiede im Elektrolyten zur Bildung von Lokalelementen führen.
Bringt man einen Salzwasser-Tropfen auf ein blankes Stück Stahlblech (siehe Abb. 12.14), dann bildet sich schon nach wenigen Stunden ein brauner Rostring.
768
12 Elektrochemie
Abb. 12.14 Ausbildung eines Rostringes im Salzwasser-Tropfen auf einer blanken Stahlfläche (Lokalelement nach U.R. Evans).
Das Blech am relativ stark mit Luftsauerstoff angereicherten Tropfenrand wirkt als lokale Kathode; Sauerstoff und Wasser werden dort zu OH -Ionen reduziert. Das Blech in der weniger mit Sauerstoff angereicherten Tropfenmitte wirkt als lokale Anode; Eisen geht dort als Fe2+-Ionen in Lösung und wird mithilfe des Sauerstoffs weiter zu Fe3+-Ionen oxidiert. Wo sich die Eisenionen aus der Tropfenmitte und die Hydroxylionen vom Tropfenrand treffen, erfolgt die Rostringbildung nach
Fe3+ + 3OH -> Fe(OH)3.
Der Rost von Eisen bildet keine passivierende Schicht, weil das schwer lösliche Fe(OH)3 nicht stabil ist, sondern unter H2O-Abspaltung in FeO(OH) zerfällt.
Bekanntlich ist die am häufigsten benutzte Methode, um Stahl vor Korrosion zu schützen, ein Anstrich mit Farbe oder Lack. Weist die Lackschicht aber eine Pore oder einen Kratzer auf, bildet sich dort ein Lokalelement, das zu einer rascheren Korrosion des Bleches führt, als wenn überhaupt keine Schutzschicht vorhanden wäre. Unter Feuchtigkeitsfilmen aus sehr reinem Wasser laufen die Korrosionsreaktionen sehr langsam ab, da das reine H2O den Strom praktisch nicht leitet. Enthält der Elektrolyt des Lokalelementes aber Ionen, dann können die Reaktionen schnell ablaufen. Entsprechend beschleunigt z. B. die Anwesenheit von Streusalz auf den Straßen im Winter die Korrosion von Auto-Karosserien, oder das im Meerwasser gelöste NaCl das „Verrosten“ von Schiffen.
Bei Schiffen muss noch auf ein weiteres Korrosionsproblem geachtet werden: Besteht z. B. die Schiffsschraube aus Messing und der Rumpf aus Stahl, entsteht bei Verletzung der Farb-Schutzschicht ein galvanisches Element, das im Prinzip aus einer Messing- und einer Stahlelektrode besteht, die in einen NaCl-Elektrolyten tauchen. Bei Schiffen behilft man sich häufig mit dem so genannten kathodischen Korrosionsschutz. Hierbei werden am Schiffsrumpf unter der Wasserlinie in regelmäßigen Abständen Anoden angebracht, an die eine Hilfsspannung gelegt wird. Alle Bereiche der Lokalelemente sind dann gegenüber dem „Elektrolyten“ auf einem negativen Potential und es findet keine Korrosion statt. Die Hilfsanoden aus einem billigen Metall (Zink, Magnesium) lösen sich langsam auf, weshalb man auch von Opfer
12.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 12	769
anoden spricht. Auch in anderen korrosionsanfälligen Konstruktionen aus Stahl (z. B. Heizkessel, Warmwasser-Boiler) werden Opferanoden eingesetzt.
In der Haustechnik mit Wasser können sich leicht galvanische Elemente ausbilden und Korrosionsschäden verursachen, z. T. mit erheblichen Folgekosten. Im Folgenden sollen einige Gefahrenpunkte angesprochen werden.
Kontaktkorrosion. Berühren sich zwei verschiedene Metalle in einem Elektrolyten, dann wird im Allgemeinen das unedlere Metall zur Anode; es korrodiert und löst sich dabei auf. Je größer die als Kathode wirkende edle Fläche im Verhältnis zur unedlen ist, umso schneller wird die Anode angegriffen. Beispiel: Das Aluminiumgehäuse eines Wasserfilters (Anode) wird mit einer Rotguss-Überwurfmutter (Kathode) mit dem Rohrleitungssystem verbunden. Es entsteht Schaden im Gewindebereich durch Ausdünnung des Aluminiumstutzens.
Deckschichten. Wasserrohre gewähren nur dann einen störungsfreien Betrieb, wenn die Betriebsbedingungen es erlauben, dass sich schützende Eigen- oder Fremdschichten ausbilden, die das aggressive Medium (salz- und sauerstoffhaltiges Wasser) vom Metall abhalten. Bei verzinkten Rohren bildet das Zink keine permanent schützende Deckschicht. Der Chloridgehalt des Wassers fördert die Zinkauflösung, und der Sauerstoffgehalt verstärkt sie noch. Die Funktion der Verzinkungsschicht besteht darin, dass sie den Werkstoffabtrag durch Korrosion hemmt, bis sich auf der Rohrwand im Laufe der Einfahrphase von mehreren Monaten allmählich eine Deckschicht aufbauen kann, bestehend aus Eisen, Zink und den im Wasser enthaltenen Stoffen, die durch fließendes Wasser zugeführt werden.
Gute Deckschichten bilden sich nur auf glatten und sauberen Oberflächen aus. Gefährdet sind Gewindebereiche, schlechte Schweißnähte, Stellen mit Fremdkörper-Ablagerungen. Schädlich sind auch Reste von Ölen, Fetten und Flussmittel. Wichtig ist die Sauberkeit des Rohrleitungssystems vor der Inbetriebnahme. Der Einbau eines Feinfilters unmittelbar hinter der Wasseruhr ist unbedingt zu empfehlen.
Einfluss der Wassereigenschaften. Die Korrosion steigt mit dem Sauerstoffgehalt, dem Salzgehalt (der Wasserhärte) und der Temperatur; sie verringert sich mit steigendem pH-Wert im Bereich 6-8. In einem geschlossenen Warmwasser-Heizungssystem verbraucht sich die mit dem Füllwasser eingebrachte Wasserhärte durch Abscheidungen an den heißen Stellen im Kessel. Der eingebrachte Sauerstoff verbraucht sich durch Korrosionsreaktionen. Wassernachfüllen wegen Undichtigkeiten oder Wasserwechsel wegen Reparaturarbeiten bringen neue Wasserhärte und neuen Sauerstoff in das System und beschleunigen die Korrosion.
12.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 12
12.5.1 Grundlagen
Elektrochemie. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4) Kategorie:Elektrochemie:
Link 12-1
770
12 Elektrochemie
Alphabetische Liste von zahlreichen anklickbaren Artikeln in dieser Kategorie. Ergänzung: Electrochemical Science and Technology Information Resource (ESTIR), hosted by the Ernest B. Yeager Center for Electrochemical Sciences (YCES) and the Chemical Engineering Department, Case Western Reserve University, Cleveland, Ohio: http://electrochem.cwru.edu/ => Search: ESTIR => Electro-chemistry Encyclopedia => Table of Contents =
Link 12-2 Alphabetische Liste von Teilgebiet-Artikeln.
Siehe auch => (oben) Dictionary => Index =
Link 12-3
pH-Wert, http://www.seilnacht.com - Thomas Seilnacht, CH-3007 Bern: => Chemielexika => Alphabetisches Chemielexikon => pH-Wert =
Link 12-4
Elekrochemische Spannungsreihe. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4):
Link 12-5 http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrochemische__Spannungsreihe
Ergänzung: http://www.chemguide.co.uk/ (© Jim Clark) => Physical Chemistry => Redox Equilibria => Standard electrode potentials (redox potentials) ... =
Link 12-6 Anschließend (am Ende des Artikels) => To the next page on electrode potentials... führt zu „The electrochemical series“
Chemische Reaktionen zur Stromerzeugung / Elektrolyse. Universität Bielefeld: http://www.uni-bielefeld.de => Fakultäten / Einrichtungen => Fakultät für Chemie => Research Groups => Didactics of Chemistry „Prof. Dr. R. Blume“ => Medienangebot => Unterrichtsmateriealien => Chemie im und ums Haus => (links) Inhaltsverzeichnis => Physikalische Chemie: „Stromerzeugung und Elektrolyse“ (Show Only This Frame) =
Link 12-7 http://dc2.uni-bielefeld.de/dc2/haus/strom.htm
12.5.2 Anwendungen
Elektroformung in der Dentaltechnik. Allgaier Dental-Technik in Nürtingen. Aktuellste Fertigungsverfahren rund um den Zahnersatz: http://www.allgaier-dental. de/pages/ => galvano.htm =
Link 12-8
Trockenbatterien. Leclanche SA wurde 1909 in Yverdon-les-Bains gegründet. In den ersten Jahren entwickelte Leclanche Trockenbatterien (Primärbatterien) und Lampen: http://www.leclanche.ch/ => Deutsch => Leclanche => Produkte und Dienstleistungen => Trockenbatterien =
Link 12-9 Weiter z. B. mit => Miniaturbatterien => Ratschläge für den Einsatz von Trockenbatterien
Autobatterien (Akkus). Varta Automotive ist der bedeutendste Autobatterie-Hersteller Europas: http://www.varta-automotive.de => Batterie-Know-How =
Link 12-10 Weiter z. B. mit => Entwicklung der Batterie, oder => Batterie-Lexikon
12.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 12
771
Wiederaufladbare Batterien (Akkus). Greenbatteries: We specialize in environmen-tally friendly NiMH and Li-ion rechargeable batteries and chargers for handheld electronic devices: www.greenbatteries.com => Battery Info =
Link 12-11 Weiter mit den in der linken Spalte aufgeführten Kapiteln.
Ergänzung: California Integrated Waste Management Board, Waste Prevention World: http://www.ciwmb.ca.gov/WPW/ => Tools => Rechargeable Batteries and Chargers =
Link 12-12 This page is a brief primer for using rechargeable batteries in place of disposable batteries of the sizes AAA, AA, C, D, and 9 Volt.
For a brief description of other types of rechargeable batteries, see => Electrical Storage, Present, Past and Future =
Link 12-13
Brennstoffzellen: Leicht verständliche Einführung. HowStuffWorks.com is a huge site covering thousands of topics, - sponsored by advertizing: http://www.howstuff-works.com/ => Science Stuff => Categories „Physical Science“ => How Fuel Celis Work =
Link 12-14 Table of Contents: Introduction to How Fuel Celis Work - What is a Fuel Cell? - Proton Exchange Membrane - Problems with Fuel Celis - Efficiency of Fuel Celis - Gasoline and Battery Power - Surprised? - Other Types of Fuel Celis - Automobiles - Portable Power - Buses - Home Power Generation - Large Power Generation - Lots More Information - Shop or Compare Prices Siehe auch => How Fuel Processors Work =
Link 12-15
Brennstoffzellen: Technischer Überblick. Forschungszentrum Jülich (http://www.fz-juelich.de), Institut für Werkstoffe und Verfahren der Energietechnik (IWV), Energieverfahrenstechnik (IWV3) => (links) Brennstoffzellenseiten =
Link 12-16 Abschnitte: Historisches, Prinzipien, Anwendungen, DMFC und PEFC, SOFC, Brenngaserzeugung, Systeme, Werkstoffe, Links
Stationäre BZs als Kraftwerke. Siemens: http://www.siemens.com/ => Business areas => Power Generation => Fuel Celis => Deutsch =
Link 12-17 Weiter mit den in der linken Spalte aufgeführten Kapiteln.
Mobile BZs für Fahrzeuge. The California Fuel Cell Partnership is committed to promoting fuel cell vehicle commercialization as a means of moving towards a sus-tainable energy future, increasing energy efficiency and reducing or eliminating cri-teria pollutants and greenhouse gas emissions: http://www.fuelcellpartnership.org/ => Fuel Cell Vehicles and Hydrogen Fuel => Fuel cell vehicles =
Link 12-18 Weiter mit => Fuel cell buses, => Hydrogen fueling Station map, => Demonstration Programs
Tragbare BZs als Ersatz für Batterien. Initiative Brennstoffzelle (IBZ): Kleine, erdgasbetriebene Brennstoffzellen sind eine zukunftsträchtige Option für die effiziente, umweltschonende Erzeugung von Strom und Wärme. Die IBZ will diese Technologie vorantreiben und auf die Markteinführung vorbereiten. Hinter diesem Aktionsbünd
772
12 Elektrochemie
nis stehen große Energieversorger, führende Gerätehersteller sowie die Deutsche Energie-Agentur (dena): http://www.initiative-brennstoffzelle.de => Brennstoffzelle => Mikro-Anwendungen
Link 12-19 Weiter mit => (unten) blättern (insgesamt 6 Seiten)
Korrosionsschutz. Aus Corrosion Doctors (s. Abschn. 1.4) => Information Modules => Corrosion Prevention and Control =
Link 12-20
12.5.3 Biographien
Alessandro Volta (1745-1827) s. Abschn. 3.8.2, Link 3-11
Johann Wilhelm Ritter (1776-1810). Aus Corrosion Doctors/Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 12-21
John Frederic Daniell (1790-1845). Aus Corrosion Doctors/Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 12-22
Michael Faraday (1791-1867) s. Abschn. 4.6.5, Link 4-26
Sir William Robert Grove (1811-1896). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 12-23
Johann Wilhelm Hittorf (1824-1914). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 12-24
Georges Leclanche (1839-1882). Aus Corrosion Doctors Biographies
(s. Abschn. 1.4):
Link 12-25
Friedrich Wilhelm Georg Kohlrausch (1840-1910). Aus Famous Scientists
(s. Abschn. 1.4):
Link 12-26
Friedrich Wilhelm Ostwald (1853-1932). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Chemistry, Biography:
Link 12-27
Svante August Arrhenius (1859-1927). Aus Corrosion Doctors/Biographies (s. Abschn. 1.4):
Link 12-28
12.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 12	773
Peter Debye (1884-1966). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 12-29
Erich Armand Arthur Joseph Hückel (1896-1980). Aus Famous Scientists (s. Ab-
schn. 1.4):
Link 12-30
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Tab. 13.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A a a0 b C — D d E Ea e f 9 H h L t £ M N Vv P P — P Q Qp u V V	Flächenvektor, Differential dA Abstand Bohr-Radius Abstand, Breite Kapazität elektrische Erregung Abstand, Dicke elektrische Feldstärke elektrische Feldstärke (Betrag) Elektronenenergie, kinetische und/oder potentielle Fermi-Energie Referenzenergie für Isolator-Oberflächenzustände Elementarladung Frequenz Erdbeschleunigung magnetische Erregung Höhe Länge Länge, vektoriell (Dipol-Länge) = 1^1 Masse relative Molekülmasse (molare Masse) Anzahl Avogadro-Konstante Dipolmoment = LpI Polarisation Ladung Polarisationsladung Spannung Volumen Geschwindigkeit (Betrag) elektrische Energie Gravitationsenergie elektrische Feldenergiedichte
776
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Größensymbol	Bedeutung
X, Y, Z a — <5 £0 £r ü V P <7 Xc	Kristallachsen Polarisierbarkeit (kleine) Längenänderung, Verschiebung elektrische Konstante Permittivitätszahl, Permittivität Beweglichkeit Zahl der Mole Massendichte Oberflächen-Ladungsdichte elektrische Suszeptibilität
Isolatoren werden oft als Dielektrika bezeichnet. Dielectrics nannte M. Faraday (1838) die Substanzen, durch die die elektrische Kraft hindurch wirkt, also - anders als bei Metallen - nicht abgeschirmt wird.
Als Abgrenzung der Isolatoren (Dielektrika) gegen die Halbleiter gilt:
-	Der spezifische Widerstand (resistivity) ist größer als 1014 Qm, d. h. die Beweglichkeit der Ladungsträger (mobility of charge carriers) ist außerordentlich klein.
-	Die Bandlücke (gap) zwischen Valenz- und Leitungsband ist größer als 3 eV, d.h. die thermische Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren ist völlig zu vernachlässigen.
Isolatoren werden auf vielfältige Weise in der Elektrotechnik verwendet; wichtige Materialkonstanten sind die schon in Abschn. 2.4.3 eingeführte relative Permittivi-tätszahl, kurz „Permittivität“ (permittivity) er und die Durchschlagfestigkeit (dielect-ric strength)-, Beispiele gibt Tab. 13.2.
Tab. 13.2 Permittivitätszahlen (für 20 °C und 50 Hz) und Durchschlagfestigkeit für verschiedene Stoffe.
	er	Maximal zulässige Feldstärke (kV/mm)
Festkörper Aminoplast-Pressmassen Araldit Bakelit Bariumtitanat Bernstein Epoxydharz Glas Glimmer Gummi Hartgummi Hartpapier Hartporzellan Magnesiumsilikat	7	8-14 3.6 4-6.5	10-12 1000-2000 2.5-2.9	50-70 3.3-3.6	15-40 3-14	20-50 5-9	60-180 2.5-3	16-50 3.5	15-40 3.5-6	20-30 5-10	35 6	38
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
777
Maximal zulässige
Feldstärke (kV/mm)
Festkörper (Forts.)
Papier, paraffingetr.	3	60
Paraffin, fest	2	15-35
Plexiglas	3.6	30-45
Polyethylen	2.3	50
Polyesterfolie	3.1	160
Porzellan	2.4-6.5	30-35
PVC	3.3-4.1	40-90
Teflon	2.1	20-40
Quarzglas	4.3	25-40
Schellack	3.3-4	10-15
Titanat-Keramik	12-40	10-25
Zelluloid	3	40
Flüssigkeiten		
Azeton	21.4	
Benzol	2.28	
Ethylalkohol	25.1	
Glycerin	41.4	
Methylalkohol	33.5	
Mineralöl	2.15	
Nitrobenzol	35.5	
Petroleum	2.2	
Rizinusöl	4.7	
Siliconöl	2.8	50
Terpentinöl	2.2	
Transformatoröl	2.4	12-20
Wasser (dest.)	80.8	
Gase (1 atm)		
Argon	1.000 504	
Helium	1.000 066	
Kohlendioxyd	1.000 985	
Luft, trocken	1.000 594	
Sauerstoff	1.000 486	
Stickstoff	1.000 528	
Wasserstoff	1.000 252	
Isolatoren können durch Kontakt mit Metall oder anderen Isolatoren Oberflächenladungen durch Transfer von Ladungsträgern (i. Allg. Elektronen) erhalten. Diese Aufladungen, meist durch „Reibungselektrizität“ hervorgerufen, standen am Anfang der Erforschung elektrischer Erscheinungen (vgl. Kap. 2).
Im elektrischen Feld entstehen im Inneren eines Isolators elektrische Dipole oder schon vorhandene Dipole werden in Feldrichtung orientiert. An den Stirnflächen des Isolators, die senkrecht zum .E-Feld liegen, befinden sich elektrisch nicht abgesättigte Enden von Dipolen und ergeben Oberflächenladungen durch Polarisation.
778
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
In den so genannten elektrischen Kristallen tritt spontane Polarisation auf. Der Kristall kann homogen polarisiert oder in Domänen mit verschieden gerichteter Polarisation aufgeteilt sein. Wegen der phänomenologischen Ähnlichkeiten zum Ferromagnetismus spricht man von Ferroelektrizität. Kopplungseffekte von elektrischer Polarisation mit mechanischer Verformung bzw. Temperaturänderung führen zu den Phänomenen der Piezo- bzw. Pyroelektrizität.
Eine Vielzahl von Isolatoren können durch geeignete Behandlung eine quasi-permanente Polarisation erhalten. Diese Stoffe werden - in sprachlicher Analogie zu den permenent magnetisierten „Magneten“ - Elektrete genannt. Dieser Name wird auch als Oberbegriff für alle dauerhaft polarisierte Stoffe verwendet, - unter Einbeziehung der elektrischen Kristalle.
Elektrostriktion. Alle Isolatoren erfahren im elektrischen Feld eine Kompression, die quadratisch mit der Feldstärke zunimmt, also unabhängig von der Feldrichtung ist, und verursacht wird durch die gegenseitige Anziehung der im Feld induzierten oder ausgerichteten Dipole. Der Begriff „Elektrostriktion“ sollte nicht für den inversen piezoelektrischen Effekt (converse piezoelectricity) verwendet werden; letzterer beschreibt eine zum elektrischen Feld proportionale mechanische Deformation, die nur in polaren Kristallen auftritt.
13.1	Oberflächenladungen durch Transfer
13.1.1 Reibungselektrizität
Die Reibungselektrizität, die bei der innigen Berührung zweier verschiedener fester Körper auftritt, wurde schon in Abschn. 2.1.1 als Hilfsmittel für Demonstrationsexperimente zur Elektrostatik behandelt. Die Reibung erfüllt nur den Zweck, zwei Stoffe in einen engen Kontakt miteinander zu bringen. Treffendere Bezeichnungen sind Kontaktelektrizität (contact electrificatiori) oder Triboelektrizität (triboelectrici-ty). Die Tribologie ist die Wissenschaft von Reibung und Verschleiß fester Körper.
Bei den Versuchen, Elektrizität durch Berührung von einem Material auf ein anderes zu holen, wurden immer Isolatoren, niemals Metalle benutzt. Der Grund ist, dass es bei Metallen nicht gelingt, auf diese Weise Ladungen zu trennen, weil noch über den letzten Berührungspunkt ein Ladungsausgleich stattfinden kann. Werden dagegen zwei isolierende Stoffe in enge Berührung gebracht, z. B. durch Reiben, dann findet an einigen Berührungspunkten ein Ladungsübertritt und die Bildung einer elektrischen Dipolschicht statt. Die Abstände der entgegengesetzten Ladungen voneinander sind sehr klein. Die entgegengesetzt aufgeladenen, sich eng berührenden Stoffe entsprechen einem aufgeladenen Plattenkondensator mit sehr kleinem Plattenabstand und einer „Kontaktspannung“ von einigen Volt. Beim Trennen der Stoffe bleiben die Ladungen auf den isolierenden Oberflächen sitzen, und der Abstand der Ladungen wird stark vergrößert. Dadurch wird die „Kapazität“ dieses „Plattenkondensators“ sehr klein und bei konstanter Ladung steigt die Spannung stark an. So versteht man, dass nach dem „Reiben“ von Isolatoren Spannungen von mehreren Tausend Volt auftreten können.
13.1 Oberflächenladungen durch Transfer 779
Das Verständnis der Effekte ist noch sehr unvollständig. Die aus Metall-Metall-Kontakten resultierenden minimalen Aufladungen sind noch am leichtesten zu verstehen (Abschn. 8.2.1); für Metall-Isolator-Kontakte gibt es interessante Ansätze aber auch widersprüchliche Ergebnisse. Experimente zu Isolator-Isolator-Kontakten sind besonders schwer in reproduzierbarer Form durchzuführen; vermutlich gibt es mehrere Mechanismen, die für die Ladungsübergänge verantwortlich sein können, und deshalb ist nicht zu erwarten, dass irgendein theoretisches Modell alle Beobachtungen zu erklären vermag.
Metall-Isolator-Kontakte. Nach Messungen, die im Vakuum durchgeführt wurden, haben Isolatoroberflächen nach Kontakt mit Metall eine verbleibende Flächen-La-dungsdichte <r, die im Bereich von 10" bis 10 ' As/m2 liegt. Das ist viel, wenn man bedenkt, dass die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke, gegeben durch En — G7;;0 (vgl. Gl. (2.28)), dann etwa bei 106 bis 108 V/m liegt und damit schon an die Spannungsfestigkeit von Isolatoren (Tab. 13.2) herankommt.
Die meisten Überlegungen zum Metall-Isolator-Kontakt gehen davon aus, dass es für die Oberflächenzustände des Isolators eine Energie Eo gibt, die eine ähnliche Bedeutung hat wie die Fermi-Energie EP für das Metall: Die Oberflächenzustände unterhalb Eo sind alle besetzt, die oberhalb Eo unbesetzt (Abb. 13.1a). Besitzt der Isolator eine sehr geringe Dichte von Oberflächenzuständen, dann sind nur wenige Übergänge erforderlich, um im Fall Eo < EP die unbesetzten Isolatorzustände im Energiebereich Eo < E< EF durch Metallelektronen aufzufüllen (Abb. 13.1b) oder im Fall Eo > EP die besetzten Isolatorzustände im Energiebreich Eo> E> EP durch Elektronenabgabe an das Metall zu leeren. In beiden Fällen führt die kleine Zahl der Übergänge zu einer kleinen Potentialdifferenz (in Abb. 13.1b vernachlässigt). Besitzt der Isolator dagegen eine sehr hohe Zustandsdichte, dann treten nur so viele Elektronen über, bis eine Potentialdifferenz aufgebaut ist, die Eo auf die Höhe von EP bringt (in Abb. 13.1c: Anhebung des Isolatorpotentials durch Elektronenaufnahme) und weitere Übergänge verhindert.
Abb. 13.1 Diagramme zum Metall-Isolator-Kontakt: (a) ohne Kontakt; (b,c) mit Kontakt, (b) für geringe und (c) für hohe Zustandsdichte des Isolators (nach J. Lowell und A.C. Rose-Innes).
Untersuchungen an Polymeren ergaben Werte von Eo im Bereich von 4 bis 5 eV unterhalb des Vakuumniveaus. Es muss aber betont werden, dass das Schema von Abb. 13.1 nicht ausreicht, um alle Beobachtungen zu erklären. Es ist auch zu bedenken, dass durch die Kontakte, insbesondere beim Reiben, irreversible mechanische Veränderungen am Isolator eintreten können, die das Aufladungsverhalten beeinflussen.
780
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Isolator-Isolator-Kontakte. Beim Kontakt von zwei Isolatoren sind die Verhältnisse noch komplizierter als wenn einer der Stoffe ein Metall ist. Im Prinzip bestimmt man die Größe der Aufladung, indem man den aufgeladenen Körper in einen Faraday-Becher bringt und die entgegengesetzt gleiche Influenzladung mit einem Elektrometer misst. Weil die auftretenden Spannungen zum Teil sehr hoch sind, können Entladungen die Messung der Oberflächenladung verfälschen. Sehr wichtig für reproduzierbare Resultate sind auch geeignete Verfahren zur Vorbehandlung und Säuberung der Oberflächen, sowie definierte Versuchsbedingungen für den „Kontakt“.
Es gab viele Versuche, eine triboelektrische Spannungsreihe (triboelectric series) aufzustellen, sehr ermuntert durch die Erfolge beim Aufstellen der elektrochemischen Spannungsreihe. 1843 stellte M. Faraday die folgende Reihe vor:
POSITIV - Raubtierfell - Flanell - Elfenbein - Federkiel - Bergkristall - Flintglas -Baumwolle - Leinwand - Weiße Seide - Die Hand - Lack - Metalle - Schwefel -NEGATIV.
Schon er wies an Beispielen nach, dass die Polarität der Aufladungen oft von schwer kontrollierbaren Umständen abhängt.
Physikalisch interessant ist der von A. Coehn (1898) vermutete Zusammenhang mit der Permittivitätszahl. Nach der Coehn’schen Regel wird beim Reiben zweier Isolatoren derjenige sich positiv aufladen, der die größere Permittivitätszahl besitzt; der Effekt soll umso stärker sein, je mehr sich die Permittivitätszahlen der beiden Isolatoren unterscheiden.
Qualitativ kann die Regel wie folgt verstanden werden: Atom-Elektronen sind im Inneren eines Isolators fest an ein Atom gebunden. An der Oberfläche, wo die Atome (Moleküle) nur auf einer Seite Nachbarn haben, ist die Bindung der Elektronen schwächer. Wenn sich zwei verschiedene Isolatoren berühren, deren Elektronen unterschiedlich stark gebunden sind, dann können Elektronen von dem einen zum anderen Körper übergehen. Nun kann man vermuten, dass Substanzen, die sich im elektrischen Feld leicht polarisieren lassen, also eine große Permittivitätszahl er besitzen, auch locker gebundene Elektronen haben, die sie bei Kontakt mit einer Substanz, deren Permittivität geringer ist, abgeben. Weil Wasser eine sehr hohe Permittivität (er =81) besitzt, sollte es nach dieser Regel leicht Elektronen abgeben. P Lenard beschrieb 1892 die Wasserfall-Elektrizität, die zur negativen Aufladung der umgebenden Luft führt.
Leider gibt es sehr viele Ausnahmen von der Coehn’schen Regel. Eine Ausnahme ist z. B. die Eingruppierung der Metalle nahe dem negativen Ende der Faraday’schen Reihe, denn den Metallen muss wegen ihrer freibeweglichen Leitungselektronen der Wert er = oo zugeordnet werden, demzufolge sie am positiven Ende der Reihe stehen müssten. [Würde man den Abstand zwischen zwei Kondensatorplatten mit einer Metallplatte füllen und an beiden Seiten nur winzige Spalte der Dicke \d zur Isolation freihalten, dann entspräche die Anordnung der Hintereinanderschaltung zweier Kondensatoren, beide mit Plattenabstand \d. Für \d -> 0 ginge die Kapazität dieser Anordnung nach unendlich.]
Am leichtesten scheint es zu sein, eine befriedigende Reihe zu erhalten, wenn man sich auf sehr ähnliche Stoffe beschränkt, z. B. nur auf faserbildende Stoffe oder nur auf Polymere. Die chemische Ähnlichkeit ist anscheinend wichtiger als die Permittivitätszahl: Stoffe mit Atomen aus der 1. oder 2. Spalte des Periodensystems (Alkali-,
13.1 Oberflächenladungen durch Transfer 781
Erdalkalimetalle) haben schwach gebundene Valenzelektronen; deshalb lädt sich Glas meist positiv auf. Stoffe mit Atomen aus der 7. oder 6. Spalte (mit 1 bzw. 2 Vakanzen in der äußeren Schale) haben entsprechend große Elektronenaffinitäten; deshalb lädt sich Schwefel meist negativ auf. Bei den organischen Substanzen (Kunststoffen) hängt das kontaktelektrische Verhalten davon ab, ob sie alkalische NH2-Gruppen enthalten, die leicht Elektronen abgeben (sich positiv aufladen), oder saure COOH-Gruppen, die leicht Elektronen aufnehmen (sich negativ aufladen). Bei Polymeren wird das Vorzeichen der Aufladung durch die Seitengruppen beeinflusst: Die (OH)-Gruppen im Polyvinylalkohol geben leicht Elektronen ab, während die Benzolringe im Polystyren leicht Elektronen aufnehmen.
Festkörper-Flüssigkeit-Kontakt. Dass ein Elektronenübertritt auch zwischen einer Flüssigkeit und einem festen Körper stattfindet, lässt sich nachweisen, wenn man wirklich für eine Trennung der beiden Stoffe sorgt. Diese findet jedoch nicht statt, wenn sich der Körper mit Wasser benetzt, in das er getaucht wird. Denn dann wird nur das Wasser auseinandergerissen, also derselbe Stoff getrennt. Man muss schon einen Körper ein tauchen, der nicht benetzt wird, z. B. Paraffin in Wasser oder irgend ein anderes Material in eine Flüssigkeit, in der es nicht benetzt wird.
13.1.2 Strömungselektrizität
Kleine Teilchen eines festen Stoffes (Pulver, Kolloide), die in einer nicht lösenden, isolierenden Flüssigkeit schweben, können durch Ladungsübertritt aufgeladen werden. Im elektrischen Feld wird auf die geladenen Schwebeteilchen eine elektrische Kraft ausgeübt, die wegen der Reibungskräfte nach kurzer Beschleunigungsphase zu einer Bewegung mit konstanter Gechwindigkeit führt. Die Effekte der Strömungselektrizität werden auch als elektrokinetische Erscheinungen bezeichnet. Bei der Bewegung fester Partikel in einer ruhenden Flüssigkeit spricht man von Elektrophorese; bei vertauschten Rollen, d. h. bei Bewegung einer Flüssigkeit durch einen porösen Festkörper, spricht man von Elektroosmose.
Elektrophorese. Die Beweglichkeit n = v/E (y = Geschwindigkeit, E — Feldstärke) der geladenen Schwebeteilchen im elektrischen Feld beträgt zwischen 10 ' und 10 4 (cm/s)/(V/cm) und ist vergleichbar mit der Beweglichkeit von Ionen in wässrigen Lösungen. Dies ist zunächst überraschend, weil Ionen viel kleiner sind. Aber die Ionen sind umgeben von einem Cluster ausgerichteter Wasserdipole (Hydratation), bzw. in starken Elektrolyten mit einer „Wolke“ entgegengesetzt geladener Ionen. Cluster und lonenwolke bewegen sich zusammen mit dem Zentralion und haben eine ähnliche Größe wie die Schwebeteilchen.
Die mit Ladung versehenen Schwebeteilchen wandern im Feld zur Elektrode entgegengesetzter Polung. Da Wasser eine sehr hohe Permittivitätszahl hat, sind die darin schwebenden Teilchen meist nach der Coehn’schen Ladungsregel negativ geladen, wandern zur Anode und geben dort ihre Ladung mit dem Schwebeteilchen ab. Dieses bleibt fest haften. Die Methode wird in der Technik verwendet, um fest haftende und gleichmäßig deckende dünne Schichten aus isolierendem Material auf Oberflächen herzustellen.
782
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Abb. 13.2 Durch fallende Glaskugeln in Wasser erzeugter elektrischer Strom.
Demonstrationsversuch Nr. 1: Lässt man in einem mit Wasser gefüllten Gefäß (Abb. 13.2), das oben und unten eine Elektrode trägt, kleine Glaskugeln herabfallen, so zeigt ein an die Elektroden angeschlossenes hochempfindliches Galvanometer einen elektrischen Strom an. Die Kugeln laden sich im Wasser negativ auf; das sie umgebende Wasser wird positiv elektrisch. Die Abwärtsbewegung der Elektrizitätsträger stellt also einen elektrischen Strom dar.
Demonstrationsversuch Nr. 2: Feingepulverter Ton oder zerfaserter, ausgewaschener Torf wird in destilliertem Wasser aufgeschwemmt und diese Suspension in ein U-Rohr gefüllt, in das zwei Platinelektroden tauchen. Legt man an diese eine Spannung von einigen tausend Volt, so wandern die Teilchen zur Anode.
Die wichtigste Anwendung der Elektrophorese sind die darauf basierenden Analyseverfahren der Biochemie und Medizin (Serumeiweis-Elektrophorese). Die Entwicklung elektrophoretischer Verfahren zur Erforschung von Proteinen geht zurück auf A. Tiselius (1930, Nobelpreis für Chemie 1948).
Elektroosmose. Dieser von F. Reuss (1808) entdeckte Effekt kann wie folgt demonstriert werden: Verstopft man z. B. die Biegung eines U-Rohrs mit Watte und füllt das Rohr bis zur halben Höhe mit destilliertem Wasser, in das zwei Platinelektroden tauchen, so wird bei Anlegen einer Spannung von etwa 200 Volt das Wasser, das gegenüber der Watte positiv geladen ist, durch die Watte hindurch zur Kathode hin verschoben und steigt in dem betreffenden Schenkel deutlich sichtbar in die Höhe. Oder man füllt einen Zylinder aus gebranntem Ton mit destilliertem Wasser und lässt eine Elektrode in die Flüssigkeit tauchen, während man die zweite in Drahtform in mehreren Windungen außen um den Zylinder wickelt. Das Wasser tropft aus dem Zylinder heraus, wenn man an die beiden Elektroden eine Spannung von 200 Volt so anlegt, dass die äußere Elektrode die Kathode ist. Das Tropfen hört sofort auf, wenn man die Spannung abschaltet oder umpolt. An den Kontaktflächen Was-ser/Festkörper bilden sich Ladungs-Doppelschichten (Wasser positiv). Im elektrischen Feld werden die positiven Ladungen mit ihren Hydrathüllen zur Kathode transportiert. Einige Firmen bieten elektroosmotische Verfahren zur Gebäudetrocknung an, deren Wirksamkeit aber von Fachleuten bezweifelt wird.
13.2 Oberflächenladungen durch Polarisation
783
Der zur Elektroosmose inverse Effekt ist die von G. Quincke (1859) entdeckte Strömungsspannung. Presst man eine Flüssigkeit durch eine feinporige Substanz, so laden sich Flüssigkeit und poröser Körper mit entgegengesetztem Vorzeichen auf. Bringt man in der Flüssigkeit vor und hinter dem Diaphragma zwei Elektroden an, die mit einem empfindlichen Galvanometer verbunden sind, so zeigt dieses einen Strömungsstrom an, wenn die Flüssigkeit durch das Diaphragma gepresst wird.
13.2	Oberflächenladungen durch Polarisation
13.2.1 Isolatoren im elektrischen Feld
Demonstration: Ein Plattenkondensator, der an ein statisches (d. h. „stromlos“ messendes) Elektrometer angeschlossen ist, wird aufgeladen; danach wird die Verbindung zur verwendeten Spannungsquelle entfernt. Nun steckt man nacheinander Platten aus verschiedenem Material in den lufterfüllten Raum zwischen den Platten. Jedes Mal zeigt das Elektrometer eine kleinere Spannung als ohne das Material. Ohne Ausnahme führt das Einbringen von Materie zur Senkung der Spannung am Kondensator. Nach Herausnahme der Platte zeigt das Elektrometer sofort wieder die ursprüngliche Spannung an. Dies würde auch geschehen, wenn der Raum zwischen den Kondensatorplatten luftleer oder mit einem anderen Gas gefüllt wäre.
Da die Ladung auf den Kondensatorplatten nicht geändert wird, kann das Absinken der Spannung nur so verstanden werden, dass gemäß Q = C U die Kapazität des Kondensators von Co auf einen höheren Wert C ansteigt. Die eingetauchten Platten wirken also wie eine Verkleinerung des Abstandes der Kondensatorplatten.
Zur Deutung des Phänomens nimmt man an, dass der Isolator im elektrischen Feld polarisiert wird. Darunter versteht man die Erzeugung atomarer elektrischer Dipole in Feldrichtung oder die Ausrichtung von schon vorhandenen, ungeordneten Dipolen zum elektrischen Feld. Dadurch treten an den senkrecht zum .E-Feld stehenden Stirnflächen Ladungen auf, deren Flächenladungsdichte der elektrischen Feldstärke proportional ist. Diese Ladungen sind unabgesättigte Dipol-Enden; sie besitzen eine geringere Flächendichte als die Ladungen auf den Innenseiten der Kondensatorplatten. Deshalb wird das elektrische Feld nicht völlig vom Inneren des Isolators abgeschirmt. Das abgeschwächte Feld durchsetzt den Isolator und sorgt für die Aufrechterhaltung der Polarisation.
Weil die Polarisationsladungen nicht von dem Isolator wegfließen können, sondern nur dann verschwinden, wenn sich mit abklingendem .E-Feld auch die Dipole zurückbilden, kann die Isolatoroberfläche, auf der diese Polarisationsladungen sitzen, die Platte des aufgeladenen Kondensators, auf der die im Metall freibeweglichen Ladungen sitzen, problemlos berühren. Wir können deshalb bei den folgenden Betrachtungen immer annehmen, dass der Raum zwischen den Kondensatorelektroden vom (isolierenden) Dielektrikum vollständig gefüllt ist.
784
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
13.2.2 Polarisation, elektrische Erregung
Die Polarisationsladungen treten auf, weil entweder unpolare Atome durch das Feld so deformiert werden, dass die Schwerpunkte für die Verteilung der positiven und negativen Ladung nicht mehr zusammenfallen, also induzierte Dipole entstehen (Abb. 13.3), oder weil in kleinen, molekularen Bereichen von Isolatoren eine Ausrichtung bereits vorhandener permanenter Dipole stattfindet, wenn der Isolator einem elektrischen Feld ausgesetzt ist (Abb. 13.4). Beide Möglichkeiten und Übergänge zwischen ihnen kommen vor. Handelt es sich um induzierte Dipole in unpolaren Atomen und Molekülen, dann spricht man von Verschiebungspolarisation. Sind bereits polare Moleküle, also permanente molekulare Dipole vorhanden, dann spricht man von Orientierungspolarisation.
Abb. 13.3 Verschiebung der Ladungen in neutralen Atomen, bewirkt durch ein elektrisches Feld, ergibt induzierte Dipole in Feldrichtung und Polarisationsladungen auf den Stirnflächen.
Die Polarisation P ist für beide Arten von Dipolen definiert als das Dipolmoment pro Volumen. Das „Dipolmoment pro Volumen“ hat die SI-Einheit (A s m)/m3 = As/ m2. Das elektrische Dipolmoment ist ein polarer Vektor, der von der negativen zur positiven Ladung zeigt (Abschn. 2.3.3). Dementsprechend ist die Polarisation ein Vektorfeld, das die negativen Polarisationsladungen auf der einen Stirnfläche als Quellen, die positiven Polarisationsladungen auf der anderen Stirnfläche als Senken besitzt. Es gilt
#Pd/f = -(?,	(13.1)
mit dA als vektoriellem Flächenelement (Richtung auf der Hüllfläche nach außen) und ßp als die eingeschlossene Polarisationsladung.
Abb. 13.4 Schematische Darstellung polarer Moleküle (a) im feldfreien Raum, (b) im elektrischen Feld. Nach Abschalten des Feldes wird die Ausrichtung durch die thermische Bewegung wieder zerstört.
13.2 Oberflächenladungen durch Polarisation
785
Die Polarisationsladungen an den Stirnflächen polarisierter Isolatoren erzeugen genauso Ti-Felder wie freibewegliche Ladungen auf Kondensatorplatten; deshalb gilt am Ort von Polarisationsladungen Qp
^>£0E-dA = Qp=-$PdA oder
§(e0£+P)d^ = 0.	(13.2)
Das äußere Ti-Feld wird durch die Polarisationsladungen teilweise vom Inneren des Isolators abgeschirmt; anders ausgedrückt: ein Teil der Ti-Feldlinien endet an den negativen Polarisationsladungen und entspringt neu an den positiven Polarisationsladungen auf der anderen Seite.
Für einen vollständig mit Dielektrikum gefüllten Plattenkondensator mit Fläche A, Kapazität C und Spannung U sind die (frei beweglichen) Ladungen Q auf den Platten um den Faktor sr größer als ohne Dielektrikum, weil sie aus zwei Anteilen bestehen: (1) Ladungen, die die Polarisationsladungen entgegengesetzter Polarität auf der anliegenden Oberfläche des Dielektrikums kompensieren, und (2) Ladungen, die das durchs Dielektrikum hindurchgehende Ti-Feld vom Betrag U/d erzeugen (d = Plattenabstand). Die Ladung auf den Platten der Fläche A ist demnach
Q = CU = Ere0 E A
= (e0E+P)A.	(13.3)
Durch Umformung ergibt sich
2’=(Er-l)E0Ä
= Zc e0 E.	(13.4)
Die elektrische Suszeptibilität /c ist gegeben durch (sr — 1). [In manchen Büchern wird jedoch /e für die Größe £0(sr — 1) verwendet.]
Das Vektorfeld
D = e0E+P	(13.5)
wurde von Maxwell eingeführt. Der Name „elektrische Verschiebung“ (electric dis-placement) ist nicht glücklich gewählt, weil eigentlich nur P etwas mit Ladungsverschiebung zu tun hat und e0E als „elektrische Verschiebung des Vakuums“ keine
Abb. 13.5 Plattenkondensator mit Luftspalten und Dielektrikum. Schematische Darstellung der drei elektrischen Feldgrößen.
786
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
vorstellbare Bedeutung hat. Der hier verwendete Name für das Z>-Feld, elektrische Erregung, ist deshalb vorzuziehen.
Der Zusammenhang mit den anderen Feldern ist aus Abb. 13.5 und der folgenden Tabelle zu ersehen:
Feld	verknüpft mit	Polarität von	
		Quellen	Senken
D	den transferierbaren Ladungen	( + )	(-)
P	den Polarisationsladungen	(-)	( + )
e.0E	allen Ladungen	( + )	(-)
Zum Schluss dieses Abschnittes sei noch auf den wesentlichen Unterschied zwischen einem Kondensator ohne/mit Dielektrikum bei konstanter Spannung und einem Kondensator bei konstanter Ladung hingewiesen:
konstante Spannung U	konstante Ladung Q
\E | = Ujd = konst. er = e0|£| + \P\ = ere0|£| Q — gA — ere0(A/d) U — C U	n — Q/A = konst. \E I = <7/(ere0) U=\E\/d=Q/C
er und Q proportional zu er	E und U proportional zu 1 /er
Generell gilt: In allen Gleichungen des Elektromagnetismus, in denen die elektrische Konstante ;;0 auftritt, muss neben ;;0 der Faktor ;;r hinzugefügt werden, wenn das umgebende Medium nicht Vakuum, sondern ein Dielektrikum ist.
Beim Coulomb’schen Gesetz steht ;;r im Nenner, d. h. die Kraft zwischen zwei Ladungen ist im dielektrischen Medium kleiner. Das ist ein Fall analog zum Kondensator mit konstanter Ladung; mit Dielektrikum zwischen den Platten werden Spannung und Feldstärke kleiner.
Die Dichte der elektrischen Feldenergie ist gegeben durch
We = । ere0£'2'	(13-6)
Ob die Energiedichte im Medium größer oder kleiner ist als im Vakuum, hängt von den Versuchsbedingungen ab: In Fällen, die analog zum „Kondensator mit konstanter Spannung“ sind, bleibt E konstant und we ist proportional zu er. In Fällen analog zum „Kondensator mit konstanter Ladung“ ist sowohl E als auch we proportional zu l/er.
13.2.3 Demonstrationsexperimente
Wie ein Dielektrikum die Kraft zwischen zwei geladenen Körpern beeinflusst, kann man leicht zeigen, indem man zwischen zwei gleichförmig geladene, an Fäden auf-
788
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Abb. 13.8 Kondensator in isolierender Flüssigkeit, Seitenansicht. Bei Anlegen einer Gleichspannung wird die Flüssigkeit zwischen den Platten hochgezogen. Kapillaritätseffekte sind hier vernachlässigt.
Glycerin oder auch in sehr reinem (doppelt destilliertem) Wasser aufsteigen. Die Luftblasen werden von der Kugel stets abgestoßen. Das ist der gleiche Effekt wie die Querstellung des Stäbchens in der stark-dielektrischen Flüssigkeit. Bei Verwendung von Wasser ist auf peinlichste Sauberkeit des Gefäßes und aller mit dem Wasser in Berührung kommenden Teile zu achten, weil geringste Schmutzteilchen die Leitfähigkeit des Wassers so erhöhen, dass die geringen Ladungsmengen schnell ausgeglichen werden.
Wird ein vertikaler Plattenkondensator mit dem Plattenabstand a in eine isolierende Flüssigkeit mit hohem er eingetaucht und dann an eine Spannungsquelle angeschlossen, steigt die Flüssigkeit zwischen den Platten bis zur Höhe h an (Abb. 13.8).
Die Gravitationsenergie IFg der angestiegenen Flüssigkeit ergibt sich aus deren Masse M — pabh(p — Dichte, b — Breite der Platten senkrecht zur Zeichenebene), der Erdbeschleunigung g und der Hebung des Schwerpunktes der angestiegenen 1
Flüssigkeit um - h zu
1
lf 'g = - abpgh2,	(13.7)
nimmt also quadratisch mit der Steighöhe h zu. Mit dem Ansteigen der Flüssigkeit hat auch die Kapazität des Kondensators um AC zugenommen. Die elektrische Energie im Kondensator ist um den Betrag
1,1
We = -NCU2 = -(Er-V)EjbhU2la	(13.8)
angestiegen, der proportional zu h ist. Die elektrische Energie wird von der Spannungsquelle geliefert. Die Flüssigkeit steigt, solange d Wg/dh < d IVJdh ist. Die Gleichgewichtshöhe h ergibt sich aus der Bedingung
d LiQ./cl/z = d WJdh
(13-9)
13.2 Oberflächenladungen durch Polarisation
789
und Gl. (13.7) sowie Gl. (13.8) zu
h — U2 (er — 1) e0/[2a2 p g]	(13.10)
oder, ausgedrückt durch /c und E
h = %e s0 E2 l(2pg~).	(13.11)
Das ist ein Effekt von beobachtbarer Größe, wie die folgende Abschätzung zeigt: Für Glycerin (er = 41, p — 1.26 g/cm3) und den Abmessungen a = 0.5cm und U = 3000 V erhält man nach Gl. (13.10) die Steighöhe h x 5.2 mm. Trotz störender Kapillaritätseffekte lässt sich ein Anstieg von ungefähr dieser Größe erkennen.
13.2.4 Dielektrische Stoffe (im engeren Sinn)
Auf die Verschiebungspolarisation bezieht sich der Begriff Dielektrizität im engeren Sinne.
Bei Stoffen mit unpolaren Molekülen zeigen die Moleküle nach außen hin kein Dipolmoment. Hierzu gehören z. B. die kugelsymmetrischen Edelgasatome, ferner auch Moleküle mit kovalenter (homöopolarer) Bindung wie z. B. H2, O2 oder N2. Solche Moleküle werden durch das elektrische Feld ein wenig „deformiert“, sodass die Schwerpunkte der positiven und der negativen Ladungen nicht mehr zusammenfallen. Erst durch die Einwirkung eines elektrischen Feldes erhalten sie ein elektrisches Dipolmoment. Die Permittivitätszahl ;;r liegt nur sehr wenig oberhalb von eins (z. B. Luft hat ;;r = 1.00059), und ;;r ist temperaturunabhängig.
Das elektrische Dipolmoment p ist gleich dem Produkt der Ladung Q und dem Längenvektor Z, der von der Ladung — Q zur Ladung + Q zeigt:
p = Qt.	(YSA2')
Ein induziertes Dipolmoment entsteht, wenn zwei Ladungen — Q und + Q, deren Schwerpunkte ursprünglich zusammenfielen, auseinandergezogen werden bis auf den Abstand Z. Der Vektor des entstehenden Dipolmomentes p liegt parallel zur elektrischen Feldstärke E. Die in den einzelnen Volumenelementen induzierten Dipolmomente p setzen sich zu einem resultierenden Dipolmoment zusammen. Sind N Dipole im Volumen V vorhanden, dann ist das resultierende Dipolmoment pro Volumen V, das gleich der Polarisation P des Dielektrikums ist, gegeben durch:
N p)V = P
= (L - 1) eoE
—/e£oE-	(13.13)
Die technisch zugänglichen elektrischen Feldstärken deformieren die unpolaren Moleküle nur so geringfügig, dass das induzierte Dipolmoment als streng proportional zur lokalen Feldstärke angenommen werden kann:
p = uE.	(13.14)
Der Faktor a ist die elektrische Polarisierbarkeit (polarizability). Da die Vektoren in Gl. (13.13) alle in die gleiche Richtung zeigen, können wir diese Gleichung skalar
790
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
schreiben und p/E durch a ersetzen. Mit v = Molzahl, NA — Avogadro-Konstante, p — Dichte, M — Masse und Mr — molare Masse ist
NfV = v Na pl(Vp-) = v Na p/(y Mr)
= Nap!Mv	(13.15)
Damit kann die molekulare elektrische Polarisierbarkeit ausgedrückt werden durch
a = Xe ^/WaP/X)-	(13.16)
Die Polarisierbarkeit a gibt an, welches Dipolmoment p infolge von Deformation des Atoms oder Moleküls bei Anwendung der elektrischen Feldstärke von 1 V/m entsteht. Die Tab. 13.3 gibt beispielhaft Werte für die elektronische Polarisierbarkeit von Atomen und Molekülen. In alten Tabellen wird die Polarisierbarkeit in Einheiten des veralteten cgs-Systems (cm3) angegeben. Für die Umrechnung in SI-Einheiten gilt a = acgs • (4ne0); das entspricht numerisch der Beziehung
a/[10 40 Asm2/V] = 1.1126 • acgs/[10~24 cm3].	(13.17)
Die Werte der Tab. 13.3 liegen in der Größenordnung von 1 bis 50 • 10 40 Asm2/ V. Das heißt, in einem elektrischen Feld von 1 V/m werden Dipolmomente von 1 bis 50-10~40 Asm induziert.
Zum Vergleich kann ein Dipol in „atomaren Einheiten“ dienen: Q — 1.6-10 19 As = e (Elementarladung) und f = 53 pm = a0 (Bohr-Radius) ergibt ein Dipolmoment von 8.5 • 10'" Asm. Aus den Werten der Tab. 13.3 folgt, dass bei der Feldstärke von 1 V/m die induzierten Dipole etwa um den Faktor 10 10 kleiner sind als der atomare Vergleichsdipol. Anders formuliert: wenn die gegeneinander verschobenen Ladungen + Q die Größe von Elementarladungen besitzen, dann beträgt bei einer Feldstärke von 1 V/m die Verschiebung nur etwa 10 10 des Bohr-Radius. Die größten technisch vorkommenden Feldstärken liegen etwa bei 108 V/m (Feldemission bei 109 V/m!), und die Verschiebungen betragen dafür etwa 1 % des Bohr-Radius.
Tab. 13.3 Einige atomare und molekulare dielektrische Polarisierbarkeiten adi (in 10 40 Asm2/V). Der Index ,di‘ bezieht sich auf Dielektrizität (Verschiebungspolarisation).
Atom	«d,	Atom	«d,
H	0.742	Xe	4.50
He	0.205	Cs	66.31
Li	27.04	Ba	44.17
Be	6.23		
Molekül	«d,	Molekül	«d,
CO	2.17	CO2	3.24
Cl2	5.13	h2o	1.61
Cs2	115.7	ch4	2.89
h2	0.90	c2h6	4.97
n2	1.94	sf6	7.28
02	1.76	uf6	13.91
13.2 Oberflächenladungen durch Polarisation
791
Die elektronische Verschiebungspolarisation tritt bei allen Stoffen auf. Daneben tritt auch eine ionische Verschiebungspolarisation auf, wenn entgegengesetzt geladene Ionen im Molekül oder Kristallgitter gegeneinander verschoben werden. Diese beiden Verschiebungspolarisationen unterscheiden sich im Frequenzverhalten. Die viel leichteren Elektronen können einem schnell wechselnden elektrischen Feld bis hin zu Lichtfrequenzen im Ultravioletten folgen, während die Umpolung der schwereren lonendipole schon im Infraroten aufhört.
Die bei allen Stoffen auftretende Verschiebungspolarisation ist viel schwächer als die im Folgenden behandelte, nur bei manchen Stoffen auftretende Orientierungspolarisation.
13.2.5 Parelektrische Stoffe
Im Unterschied zur Dielektrizität im engeren Sinne spricht man hier von Parelekt-rizität.
Parelektrische Stoffe haben Moleküle, die auch ohne elektrisches Feld bereits ein permanentes elektrisches Dipolmoment besitzen. Zu ihnen gehören Substanzen wie NaCl, KCl, Glycerin, Wasser und viele andere. Ihre Dipole liegen infolge der Temperaturbewegung vollkommen durcheinander. Das elektrische Feld versucht sie in eine Richtung zu bringen, aber die Temperaturbewegung wirkt dem immer entgegen. Dies umso mehr, je höher die Temperatur ist. (Bei 0°C hat Wasser ;;r = 88; bei 20°C er = 81). Wird eine Flüssigkeit fest, dann ist die Drehbarkeit der Moleküle herabgesetzt, aber wegen der thermischen Bewegung der Nachbarmoleküle nicht null. Außerdem können in einigen Festkörpern die hintereinanderliegenden polaren Moleküle ein Elektron vom Molekül, das in Feldrichtung davor liegt, aufnehmen und eins an das Molekül dahinter abgeben und sich auf diese Weise ohne Drehung umpolen.
Die permanenten Dipolmomente von Molekülen liegen in der Größenordnung des oben erwähnten Vergleichsdipols mit Q = e, f = a0 und p — ea0 x 8.5  10 30 Asm. Auf der Basis des (veralteten) elektrostatischen Maßsystems wurde als Maßeinheit für molekulare Dipolmomente das „Debye (D)“ eingeführt, das von vergleichbarer Größe ist:
1 D = 10 ls elektrostatische Ladungseinheit• cm
= 3.33564-IO-30 Asm.
Heute gibt man die Dipolmomente vorzugsweise in 10'" Asm an (Tab. 13.4).
Tab. 13.4	Elektrische Dipolmomente einiger Moleküle (in 10 30 Asm).
Molekül	p0	Molekül	p0
HCl NaCl KCl CsCl CO n2o	3.60	NO2	1.054 30.0	O3	1.77 34.3	NH,	4.90 34.8	H2O	6.17 0.374	CH3C1	6.24 0.557
792
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Das elektrische Feld versucht die Dipole in die Feldrichtung zu drehen. Die Temperaturbewegung verhindert dies umso mehr, je höher die Temperatur ist. Die Summe aller elektrischen Dipolmomente ist bei Einwirkung eines elektrischen Feldes nicht mehr null, weder im örtlichen noch im zeitlichen Mittel. Dies gilt um so mehr, je höher die elektrische Feldstärke und je niedriger die Temperatur ist. Eine vollständige Ausrichtung der Dipole kann es nicht geben; aber eine nahezu vollständige Ausrichtung entsteht bei extrem tiefer Temperatur und sehr hoher elektrischer Feldstärke. Das bedeutet, in der Nähe der Sättigung wird die Permittivitätszahl ;;r mit wachsendem .E-Feld kleiner. Das mittlere parelektrische Dipolmoment polarer Moleküle im elektrischen Feld £ bei der Temperatur T, weit entfernt von der Sättigung, ist nach der Theorie von P. Debye gegeben durch
O>par = ^ • £7(3^n	(13.18)
mit p0 = molekulares Dipolmoment, k — Boltzmann-Konstante.
Zu dieser temperaturabhängigen parelektrischen (Orientierungs-)Polarisation mit der Polarisierbarkeit
%ar=Po/(3^n	(13.19)
kommt additiv die vorher behandelte temperaturunabhängige dielektrische (Ver-schiebungs-)Polarisation mit der Polarisierbarkeit adi.
Somit ergibt sich für die elektrische Polarisation insgesamt
p = WK)[<r>par+Pdl]
=	[<r>par+pdi]
= (A>/X) (apar + adi) E
= Ür - 1) £0 E
= Xe e0 E	(13.20)
Wenn er— 1 nicht mehr klein gegen eins ist, dann muss die Gl. (13.20) korrigiert werden, weil das einwirkende lokale elektrische Feld durch die entstehende Polarisation verändert wird. Dies ist besonders bei dicht gepackten Molekülen, also bei festen und flüssigen Stoffen der Fall. Die Überlegungen dazu wurden schon vor über hundert Jahren von O.F. Mosotti und R. Clausius angestellt, obgleich sie noch nicht wussten, wie Atome und Moleküle gebaut sind.
Wenn das Dielektrikum den Raum zwischen den Platten eines Kondensators füllt, dann ist das .E-Feld im Inneren des Dielektrikums gegeben durch U/d. Das lokale .E-Feld, das auf ein betrachtetes Molekül wirkt, ist das Feld in einer Vakuumblase, die entstehen würde, wenn man das Molekül aus dem Dielektrikum herausnähme. Die Potentialtheorie liefert für eine als kugelförmig angenommene Vakuumblase in einem homogen polarisierten Medium das lokale .E-Feld
£lokal = £+P/(3eo),	(13.21)
wobei P die Polarisation des umgebenden Mediums und E das angelegte elektrische Feld ist.
Mit
P=(er-1) z0E
(13.22)
13.2 Oberflächenladungen durch Polarisation
793
und Gl. (13.21) erhält man
£;okai = ^r + 2)/3.	(13.23)
Somit besteht zwischen der Suszeptibilität %e, bezogen auf das lokale .E-Feld, und der Materialkonstanten ;;r folgender Zusammenhang:
Ze,lokal = ?! [£0 AokaJ
= [(er- 1) £0 Ä]/[e0 £(er + 2)/3]
= 3 (er-l)/(er + 2).	(13.24)
Das ist die Clausius-Mosotti-Gleichung.
Experimentell bestimmt man die Permittivitätszahl ;;r bei einem bestimmten Druck als Funktion der Temperatur. Dann trägt man zweckmäßigerweise (er — 1) über 1/T auf. Für (im engeren Sinn) rein dielektrische Stoffe ist (er — 1) unabhängig von 1/T; Beispiele sind symmetrisch gebaute, unpolare Moleküle wie CH4 und CC14. Die parelektrischen Stoffe zeigen dagegen geneigte Geraden; je höher die Temperatur ist, desto weniger findet eine Ausrichtung der permanenten Dipole statt, desto kleiner ist (er — 1). Aus der Neigung der Geraden gegen die Abszisse erhält man den Betrag des permanenten molekularen Dipolmomentes p0. Der Schnittpunkt der geneigten Geraden mit der Ordinate, der T -> oo entspricht, gibt den temperaturunabhängigen Anteil an, der durch die immer vorhandene Verschiebungspolarisation entsteht.
Die Orientierungspolarisation zeigt Konzentrationsabhängigkeit, weil die Moleküle mit zunehmender Konzentration in Wechselwirkung miteinander treten. Durch Extrapolation auf die Konzentration null kann man den Einfluss der Wechselwirkung eliminieren. Das ist auch bei parelektrischen Stoffen mit großer Suszeptibilität möglich, wenn man sie in verdünnter Lösung untersucht. Das Lösungsmittel muss aus unpolaren Molekülen bestehen. Von den extrapolierten Suszeptibilitätsmessungen kann man auf den Bau der Moleküle schließen.
An zwei Beispielen sei gezeigt, welche Hilfe die Kenntnis der molekularen Dipolmomente bei der Erforschung der Molekülstruktur geben kann. Kohlendioxid (CO2) hat kein Dipolmoment. Deshalb kommt nur eine solche Anordnung der Ladungen in Frage, bei der die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen zusammenfallen. Es gibt dafür nur eine Möglichkeit: die geradlinige Anordnung mit dem Kohlenstoffatom C in der Mitte. Wasser (H2O) hat dagegen ein Dipolmoment; die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen fallen nicht zusammen. Die geradlinige Anordnung scheidet aus, denn es liegt kein Grund vor, warum das Sauerstoffatom näher an einem der beiden Wasserstoffatome liegen sollte. Es bleibt nur die Dreiecksform für das H2O-Molekül übrig (vgl. Abb. 12.1).
Bisher wurde für die Messung der Permittivitätszahl ;;r stets ein elektrisches Gleichfeld angenommen. Viel genauere und leichtere Messungen werden mit elektrischen Wechselfeldern durchgeführt. Man findet dann aber eine Änderung von ;;r mit der Frequenz f. Dies ist auch verständlich, weil eine gewisse Zeit für die Einstellung, d. h. für die Ausrichtung der Dipole im elektrischen Feld und ebenso für das Abklingen der Ausrichtung vergeht. Beispiel: Die große parelektrische Permittivität des Wassers fällt zwischen 1 und 100 GHz auf null ab. In Eis ist die Umpolung der Dipole erschwert, und der Abfall von er(/~) findet schon bei viel kleineren Frequenzen im kHz-Bereich statt.
794
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
13.2.6 Elektrorheologische Flüssigkeiten
Unter einer elektrorheologischen Flüssigkeit (electrorheologicalfluid) versteht man die kolloidale Suspension elektrisch polarisierbarer (d. h. paraelektrischer) Teilchen in nicht-polarisierbaren (d. h. im engeren Sinn dielektrischen) Lösungsmitteln. Sobald ein elektrisches Feld angelegt wird, werden die Teilchen polarisiert und die Kräfte zwischen den Teilchen führen zur Ausbildung langer Teilchen-Ketten oder „Säulen“. Als Modelle für solche Strukturbildung können die elektrischen Feldlinienbilder von Kap. 2 dienen, die mit Grießkörnern in Öl erhalten wurden.
Die elektrorheologischen Effekte wurden zuerst von Willis Winslow (1949) für eine Suspension von Silicagel-Teilchen in einem leicht-flüssigen Öl beschrieben. Er fand folgende charakteristische Merkmale:
1.	In einem elektrischen Feld von ungefähr 3 kV/mm trat Faserbildung (fibrillation) auf; sehr lange kondensierte Strukturen entstanden parallel zum elektrichen Feld.
2.	Um die Flüssigkeit zwischen den Kondensatorplatten zu scheren, wird eine Schubspannung (Kraft) benötigt, die proportional zum Quadrat der Feldstärke ist. Bei kleiner Scherung (shear stress) verhält sich das System wie ein elastischer Festkörper.
3.	Das Verhalten des Systems wechselt von „fest“ zu „flüssig“, wenn die Scherung einen kritischen Wert (yield stress) übersteigt. Dann ist es eine Flüssigkeit mit großer Viskosität.
Aktuelle Forschungsthemen über elektrorheologische Flüssigkeiten (ERF) sind Strukturbildung, elastiches Verhalten, Übergang von „fest“ zu „flüssig“, viskose Strömung, Kräfte zwischen den Kolloid-Teilchen, Synthese von ERF mit optimalen Eigenschaften für Grundlagenforschung oder Anwendungen.
Technische interessant sind ERF vor allem wegen ihres schnellen Ansprechens auf Änderungen des elektrischen Feldes; starke Viskositätsänderungen erfolgen in einigen Millisekunden. Dadurch sind die ERF als schnelle elektrisch-mechanische Interfaces nutzbar, wie sie für die elektronische Steuerung von Maschinen benötigt werden.
13.3	Elektrische Kristalle
Elektrische Kristalle sind lonenkristalle mit markanten elektrischen, mechanischen, kalorischen und optischen Eigenschaften, die physikalisch mit dem Entstehen oder einer Veränderung der elektrischen Polarisation verbunden sind. Die mit der Polarisation gekoppelten mechanischen und kalorischen Effekte sind als Piezo- und Pyroelektrizität bekannt. Für die elektrooptischen Eigenschaften der elektrischen Kristalle verweisen wir auf Bd. 3, Kap. 4. Sehr interessante elektrooptische Eigenschaften haben auch die Flüssigkristalle, die in Bd. 5, Kap. 7 beschrieben werden.
13.3 Elektrische Kristalle
795
13.3.1 Überblick
Pyroelektrika. In lonenkristallen können die Positionen der positiven und negativen Ionen so gegeneinander verschoben sein, dass eine strukturbedingte spontane Polarisation gegeben ist. Im einfachsten Fall besitzt der Kristall eine singuläre polare Achse, in deren Richtung die positiven Ionen gegen die negativen versetzt sind, völlig unabhängig von einem äußeren elektrischen Feld. Die Polarisationsladungen, die sich an den Oberflächen senkrecht zur polaren Achse befinden, treten allerdings meist nicht in Erscheinung, weil sie durch transferierte Ladungen neutralisiert sind. Diese Kompensationsladungen kommen entweder aus der stets geringfügig ionisierten umgebenden Luft oder werden im Kristall zu den Polarisationsladungen entgegengesetzter Polarität transportiert. Da dieser Ladungstransport nur einmal stattzufinden hat und nur eine geringe Ladungsmenge umfasst, ist er auch in Kristallen mit sehr kleiner Ladungsträgerbeweglichkeit möglich. Solche elektrischen Kristalle mit homogener spontaner Polarisation, aber neutralisierten Polarisationsladungen, werden Pyroelektrika genannt, weil mit der Temperatur durch anisotrope thermische Ausdehnung der Kristallbau und damit die spontane Polarisation verändert wird. Solche Änderungen der Polarisationsladungen sind nachweisbar, da sie nicht sofort durch entsprechenden Ladungstransfer maskiert werden. Ein typischer Vertreter dieser Gruppe von elektrischen Kristallen ist Turmalin (ein Aluminiumborsilikat). Erhitzt man einen Turmalinkristall, so kann man kurz danach durch Bestäuben mit einem Gemisch von Schwefel- und Mennige-Pulver zeigen, dass er an einem Ende seiner polaren Achse positive Aufladung erhalten hat (sichtbar durch angezogenes, negatives Schwefelpulver) und am anderen Ende negative (sichtbar durch angezogenes, positives Mennigepulver).
Abb. 13.9 Turmalinkristall. Der Kristall hat nur eine polare Achse X, die mit der kristal-lographischen Hauptachse (optischen Achse) in der Längsrichtung des Kristalls zusammenfällt.
Die beim pyroelektrischen Effekt am Kristall freiwerdenden Elektrizitätsmengen sind dem Kristallquerschnitt proportional; sie sind aber unabhängig von der Länge des Kristalls. Bei einer Erwärmung um 100 K wird beim Turmalin auf einer Fläche senkrecht zur polaren Achse eine Elektrizitätsmenge von 10 4 As/m2 frei.
Ferroelektrika. Während die spontane Polarisation der Pyroelektrika durch die singuläre polare Achse festgelegt ist und nicht umgepolt werden kann (Abb. 13.10a), stehen für die spontane Polarisation der Ferroelektrika verschiedene kristallogra-phische Richtungen zur Verfügung (Abb. 13.10b). Um die Kristallenergie zu minimieren, ist die spontane Polarisation über größere Bereiche des Kristalls, den so
796
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Abb. 13.10 Spontane Polarisation in elektrischen Kristallen (schematisch): (a) homogene Polarisation, (b) Aufteilung des Kristalls in Domänen mit unterschiedlicher Polarisationsrichtung.
genannten Domänen, homogen. Um die Gesamtenergie zu minimieren bildet der Kristall eine Domänenstruktur mit unterschiedlichen Polarisationsrichtungen aus, um Polarisationsladungen abzubauen und so äußere elektrische Streufelder zu minimieren.
Die Domänenstruktur der spontan polarisierten Kristallbereiche und ihr Verhalten bei Anlegen eines äußeren Feldes entspricht phänomenologisch den Weiss-Bezirken der Ferromagnetika. Allein das war der Grund für die Namensgebung; es gibt keinen physikalischen Bezug auf Eisen (lat. ferrum). Wie die Magnetisierung der Ferromagnetika zeigt die Polarisation der Ferroelektrika typische Hysterese-Effekte: Sättigungspolarisation im starken äußeren Feld und remanente Polarisation ohne äußeres Feld.
Ein makroskopisch polarisierter ferroelektrischer Kristall hat auch pyroelektrische Eigenschaften. Das erste Ferroelektrikum wurde vom französischen Apotheker P Seignette (um 1672) entdeckt. Es ist das weinsaure Salz KNaC4H4O6 • 4H2O (Seig-nettesalz).
Antiferroelektrika. Es gibt auch elektrische Kristalle mit zwei Untergittern, deren spontane Polarisationen entgegengesetzte Richtung haben. Wiederum in Analogie zu den entsprechenden magnetischen Erscheinungen werden diese Stoffe als Antiferroelektrika bezeichnet, wenn die Polarisationen der Untergitter sich nach außen hin aufheben; wenn die entgegengesetzten Polarisationen nicht gleich stark sind, spricht man von Ferrielektrika.
Piezoelektrika. Es gibt auch elektrische Kristalle, die so gebaut sind, dass sie erst als Folge einer elastischen Deformation, erzwungen durch eine auf den Kristall von außen einwirkende Kraft, eine polare Achse entwickeln. Die daraus resultierende Polarisationsladung verschwindet wieder, wenn die Kraft aufhört zu wirken und die ursprüngliche Kristallform wieder hergestellt ist.
1880 entdeckten die Brüder Pierre und Jacques Curie, dass bei gewissen Kristallen bei Druck oder Dehnung in bestimmten Richtungen auf bestimmten Kristallflächen positive und negative elektrische Ladungen auftreten. Diese Erscheinung wird als Piezoelektrizität bezeichnet.
Für eine erste qualitative Erklärung denken wir uns z. B. drei positiv und drei negativ geladene Atome entsprechend Abb. 13.11a in den Ecken eines Sechsecks angebracht, sodass das ganze Gebilde nach außen elektrisch neutral ist. Üben wir
13.3 Elektrische Kristalle
797
Abb. 13.11 Zum Auftreten von Polarisationsladungen durch Druck oder Zug: (a) Lage der Kristallionen ohne äußere Einwirkung, (b) Ladungsverschiebung durch Deformation.
in Richtung einer Sechseckdiagonale einen Druck auf den Kristall aus, so wird, wie es Abb. 13.11b andeutet, das positive Atom 1 zwischen die beiden negativen Atome 2 und 6 und das negative Atom 4 zwischen die positiven Atome 3 und 5 geschoben. Infolge dieser veränderten Lage der einzelnen Atome erscheint das Gebilde nach außen nicht mehr elektrisch neutral, sondern in der Druckrichtung auf der einen Seite positiv und auf der entgegengesetzten Seite negativ elektrisch. Zu beachten ist aber, dass hierbei der Körper im ganzen unelektrisch bleibt und nur ein Teil seiner Oberfläche positiv, ein anderer ebenso stark negativ elektrisch wird. Versuche zeigen, dass sich bei Vertauschung von Kompression und Dilatation das Vorzeichen der Ladungen ändert, dass ferner ihre Größe der mechanischen Belastung genau proportional ist und bei gegebener Gesamtbelastung nicht von den Abmessungen des Kristalls abhängt, d. h. die Länge des Kristalls in Richtung der mechanischen Beanspruchung hat keinen Einfluss auf die Größe der freiwerdenden Ladung. Wird z. B. bei gleicher Gesamtbelastung der Kristallquerschnitt halbiert, so tritt infolge des doppelten Druckes die doppelte Ladungsdichte und somit die gleiche Gesamtladung auf. Der piezoelektrische Effekt wurde zunächst bei den Kristallen Turmalin, Quarz, Zinkblende, Natriumchlorat, Weinsäure, Rohrzucker und Seignettesalz gefunden; doch tritt er auch noch bei vielen anderen Kristallen aus verschiedenen Kristallklassen auf; er ist also nicht an eine bestimmte Kristallklasse gebunden.
Der piezoelektrische Effekt ist umkehrbar. Der reziproke Effekt (converse piezo-electricity) wurde von O. Lippmann (1881) aufgrund thermodynamischer Überlegungen vorausgesagt und kurz darauf von den Brüdern Pierre und Jacques Curie am Quarz entdeckt: Wird ein piezoelektrischer Kristall so in ein elektrisches Feld gebracht, dass die elektrische Feldrichtung in die Richtung einer piezoelektrischen polaren Achse fällt, so wird der Kristall in bestimmten Richtungen komprimiert bzw. dilatiert, also deformiert.
Pyroelektrische Kristalle, wie auch makroskopisch polarisierte ferroelektrische Kristalle, sind ebenfalls piezoelektrisch. Bei Druck oder Dehnung eines Turmalinkristalls (vgl. Abb. 13.9) in Richtung der polaren Achse treten an den Kristallenden Polarisationsladungen auf.
Ist die thermische Ausdehnung oder Zusammenziehung in Richtung der polaren Achse größer als senkrecht dazu, dann ist die Wirkung der Wärme oder Kälte vergleichbar mit einer mechanischen Kraft, welche die piezoelektrische Aufladung hervorruft.
Im Folgenden werden vor allem die Piezoelektrizität des Quarzes sowie die Ferro-und Piezoelektrizität des Bariumtitanats näher betrachtet.
I
I I
I
13.3 Elektrische Kristalle 799
Abb. 13.13 Erzeugung von Piezoelektrizität beim Quarz durch Druck.
dass die mechanische Beanspruchung direkt in Richtung der polaren Achse erfolgt, sondern es genügt, wenn eine Druck- oder Dehnungskomponente in Richtung dieser Achse vorhanden ist.
Experimentell lässt sich bei einem Quarzkristall das Auftreten der Ladungen dadurch zeigen, dass man den Kristall entsprechend Abb. 13.13 zwischen den Backen B, und B2 eines Schraubstockes oder einer Schraubzwinge in Richtung einer polaren Achse drückt; damit die an den gedrückten Kanten auftretenden Polarisationsladungen nicht durch Ladungstransfer über die Metallbacken des Schraubstockes kompensiert werden, legt man zur Isolation dünne Hartgummischeiben H, und H2 dazwischen. Die bei Druck an den Kanten des Kristalls auftretenden Ladungen haben entgegengesetzte Vorzeichen (oben plus); sie lassen sich bequem durch eine Bestäubung des Kristalls mit einem Gemisch von Mennige und Schwefelpulver nachweisen. Der bei der Zerstäubung negativ gewordene Schwefel sammelt sich an den positiven, das positiv gewordene Mennigepulver an den negativen Stellen auf dem Kristall an. Befestigt man an den Kristallkanten schmale Elektroden und verbindet man jeweils gegenüberliegende Kanten mit einem empfindlichen Elektrometer, so lassen sich die piezoelektrischen Ladungen auch quantitativ nachweisen.
Da bei Druck oder Dehnung die maximalen elektrischen Ladungen stets an den Enden einer polaren Achse auftreten, schneidet man die zu piezoelektrischen Versuchen benutzten Platten und Stäbe so aus dem betreffenden Kristall heraus, dass ein Flächenpaar senkrecht zu einer polaren Achse, die man häufig auch elektrische oder Piezoachse nennt, verläuft. Für den Fall des Quarzes ist in Abb. 13.14 eine Schnittlage für eine rechteckige Platte angegeben.
Abb. 13.14 Schnittlage einer Piezoquarz-platte, senkrecht zur Piezoachse = X-Achse (Y-Achse = mechanische Achse, Z = optische Achse).
800
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Für einen Quarzstab oder eine rechteckige Quarzplatte, deren Dicke d entsprechend Abb. 13.14 in Richtung der elektrischen Achse, deren Breite b in Richtung der optischen Z-Achse und deren Länge f in Richtung der dritten Koordinate Y verläuft, können wir folgende piezoelektrischen Teileffekte unterscheiden:
-	Longitudinaler, direkter piezoelektrischer Effekt: Kompression in Richtung der X-Achse lädt die beiden normal zur X-Achse liegenden Flächen b  f positiv bzw. negativ auf.
-	Transversaler, direkter piezoelektrischer Effekt: Dilatation in Richtung der Y-Achse lädt die beiden normal zur X-Achse liegenden Flächen b  f in gleicher Weise positiv bzw. negativ auf.
-	Dilatation im Fall 1 und Kompression im Fall 2 bewirken eine Umkehrung der Vorzeichen der elektrischen Ladungen auf den Flächen b  f.
-	Druck oder Dehnung in Richtung der Z-Achse ergibt keinen piezoelektrischen Effekt.
Auch beim reciproken Effekt (conversepiezoelectricity) unterscheidet man zwei Teileffekte, die wir an dem Quarzstab mit der oben angegebenen Orientierung folgendermaßen beschreiben können:
-	Positive Ladung auf der Fläche b  f und negative Ladung auf der gegenüberliegenden Fläche dilatieren den Kristall in Richtung der X-Achse (longitudinaler reziproker piezoelektrischer Effekt).
-	Positive Ladung auf der Fläche b  f und negative Ladung auf der gegenüberliegenden Fläche komprimieren den Stab in Richtung der Y-Achse (transversaler reziproker piezoelektrischer Effekt).
Die Größe der mechanischen Deformation des Kristalls ist beim longitudinalen Effekt nur von der angelegten Spannung abhängig, so ergibt z. B. eine Spannung von 3000 Volt eine Dilatation bzw. Kompression von 0.636 jrm.
Zur physikalischen Erklärung dieser piezoelektrischen Erscheinungen betrachten wir die Verhältnisse beim Quarz vom molekularen Standpunkt aus. Der Quarz hat die chemische Zusammensetzung SiO2, und man kann in erster Annäherung die Silicium- und Sauerstoffatome in sechsseitigen Strukturzellen anordnen. Die Anordnung der Si-Atome ist dabei schraubenförmig zu denken, und der Drehsinn dieser Schraubenordnung gibt an, ob wir es mit einem optisch rechts oder links drehenden Quarz zu tun haben. In der Abb. 6.54, die einen optisch links drehenden Quarz darstellt, liegt das Si-Atom 3 etwas tiefer als 1. Die Anordnung der O-Atome ist dann ohne weiteres verständlich. Nun trägt jedes Si-Atom 4 positive Einheitsladungen und jedes O-Atom 2 negative, und in der Strukturzelle werden sämtliche Ladungen gegenseitig abgesättigt, sodass die Zelle nach außen hin elektrisch neutral ist. Denken wir uns zur Vereinfachung die beiden jeweils etwas ober- und unterhalb eines Si-Atoms angebrachten O-Atome in ein einziges O-Atom mit der Ladung von 4 Einheiten zusammengefasst, so kommen wir zu einer Strukturzelle nach Abb. 13.15a. Wird auf eine solche Strukturzelle entsprechend der Abb. 13.15b in Richtung der polaren Achse Xj ein Druck ausgeübt, so rückt das Si-Atom 1 zwischen die O-Atome 2 und 6 und das O-Atom 4 zwischen die Si-Atome 3 und 5; dadurch wird auf der Oberfläche A negative Ladung und auf der Oberfläche B positive Ladung frei. Dies ergibt den longitudinalen direkten piezoelektrischen Effekt.
(c)
802
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
unter welchen Bedingungen ;;r gemessen wird, z. B. die „Anfangspermittivität“ bei sehr kleinen E'-Feldstärken.
Für die Ferroelektrizität ist kennzeichnend, dass die Stoffe polare Kristalle bilden und dass die Richtung der spontanen (remanenten) Polarisation durch Anwendung eines elektrischen Feldes umkehrbar ist.
Oberhalb und bei einigen Substanzen auch unterhalb einer bestimmten Temperatur verschwindet die Erscheinung der Ferroelektrizität. Das Seignettesalz hat nur im Temperaturbereich zwischen 255 K und 296 K die für die Ferroelektrizität erforderliche Kristallstruktur. Der obere Umwandlungspunkt, bei dem die ferroelektrische Eigenschaft verschwindet, wird bei allen ferroelektrischen Stoffen, analog zum Ferromagnetismus, der Curie-Punkt bzw. die Curie-Temperatur genannt. Die Curie-Temperatur liegt beim Bariumtitanat bei +120°C. Das Seignettesalz (Kaliumnat-riumtartrat) und andere ferroelektrische Einkristalle sind heute nur noch von wissenschaftlichem Interesse. Dagegen haben keramische, mikrokristalline Ferroelekt-rika wie BaTiO3, SrTiO3, CaTiO3 und keramische Mischkristalle, wie z. B. Pb(Zr,Ti)O3, Pb(Sr,Ti)O3 und andere, sehr große technische Bedeutung bekommen. Sie haben eine große Permittivität ;;r und durch Abkühlung im elektrischen Feld können sie piezoelektrisch gemacht werden.
Das physikalische Verhalten sei am Bariumtitanat (BaTiO3) erläutert, einem der charakteristischen, oben angeführten Ferroelektrika mit Perowskit-Struktur. Das relativ kleine Ti4 + -Ion sitzt im Zentrum eines Würfels (Abb. 13.16); in den Ecken des Würfels befinden sich die Barium-Ionen und im Zentrum der Würfelflächen sitzen die Sauerstoff-Ionen. So hat das Titan-Ion im Zentrum sehr viel Platz und kann sich leicht verlagern, wenn durch eine leichte Verformung der kubischen Kristallstruktur Vorzugsrichtungen entstehen.
Mit der oberhalb des Curie-Punktes existierenden kubischen Struktur von Abb. 13.16 ist Bariumtitanat nicht ferroelektrisch. Eine spontante ferroelektrische Polarisation bildet sich beim Unterschreiten der Curie-Temperatur von 120°C. Die in Abb. 13.16 mit c bezeichneten Würfelkanten verlängern sich von 400.9 pm auf 402.2 pm; die mit a bezeichneten Kanten verkürzen sich von 400.9 pm auf 400.3 pm. Der Kristall ist dann nicht mehr kubisch, sondern leicht tetragonal. Durch diese kleine Abweichung von der kubischen Struktur verschiebt sich das Titan-Ion um 13pm aus dem Zentrum des Sauerstoff-Oktaeders und bewirkt eine spontane Polarisation in Richtung der Titan-Ion-Verschiebung. Sie liegt parallel zu einer Würfelkante des vorher kubischen Gitters, d. h. es gibt sechs gleichwertige Verschiebungs-
Abb. 13.16 Perowskit-Gitter (vereinfacht) oberhalb des Curie-Punktes: In den Würfelecken sitzen die Erdalkali-Ionen, in den Zentren der Würfelflächen Sauerstoff-Ionen, im Zentrum das kleinere Titan-Ion.
13.3 Elektrische Kristalle
803
richtungen. In allen Kristallzellen einer Domäne erfolgt die Titan-Ion-Verschiebung in gleicher Richtung.
Bei weiterer Abkühlung erfolgen Phasenumwandlungen nahe 0°C und nahe — 80 °C die zu anderen, ebenfalls ferroelektrischen Kristallstrukturen führen. Mischkristalle wie z. B. Pb(Zr,Ti)O3 haben Curie-Temperaturen, die bei 300°C liegen.
Der ferroelektrische Kristall ist in der Lage, spontan, d. h. ohne äußeres elektrisches Feld, elektrisch zu polarisieren, aber aus energetischen Gründen (Abbau elektrischer Streufelder) wird nicht der ganze Kristall in einer Richtung polarisiert. Die Gebiete, in denen die Polarisation eine einheitliche Richtung hat, werden Domänen genannt. Die Aufspaltung in Domänen wird im Energieminimum des Gleichgewichtes durch zwei gegenläufige Effekte bestimmt: Verkleinerung der Energie des depolarisierenden Feldes durch zusätzliche Unterteilung der Domänen und die damit verbundene Vergrößerung der Wandenergie.
Die Lage der Domänen lässt sich im Mikroskop zeigen, wenn polarisiertes Licht und ein elektrisches Feld angewendet wird. Die Abb. 13.17 zeigt 180°-Domänen in einem BaTiO3-Einkristall, der sich im elektrischen Feld befand und mit polarisiertem Licht durchstrahlt wurde. In der Zeichnung sind Stufen in der Kristalloberfläche und die Richtung der Polarisation in den Domänen angegeben. Bei undurchsichtigem Material kann man die Domänen nach Schleifen und Polieren der Oberfläche auch durch Ätzen sichtbar machen. Das positive Ende einer Domäne wird schneller angeätzt als das negative Ende. Wird nun ein äußeres elektrisches Feld angelegt, dann nehmen zunehmend mehr und mehr und schließlich alle Domänen die Polarisation der Feldrichtung an. In einem weitgehend „entelektrisierten“ Ferroelekt-rikum mit geringer makroskopischer Polarisation wird durch Einschalten eines elektrischen Feldes eine beträchtliche Erhöhung der makroskopischen Polarisation erreicht. Die Anfangspermittivität ist dementsprechend groß, bei Bariumtitanat auf Zimmertemperatur über 4000, allerdings stark richtungsabhängig.
Der piezoelektrische Effekt des BaTiO3-Eindomänenkristalls ist etwa zwei Größenordnungen größer als bei Quarz. Für piezoelektrische Anwendungen wird jedoch Bariumtitanat nicht in Form von Einkristallen, sondern in der Form piezoelektrischer Keramiken verwendet. Die keramischen ferroelektrischen Stoffe sind aber nicht piezoelektrisch (oder pyroelektrisch), auch dann nicht, wenn die Eindomänen-Kris-talle stark piezoelektrisch sind. Denn in der keramischen Substanz haben die vielen kleinen Kristalle und Domänen alle möglichen Lagen, sodass ihre Wirkungen sich aufheben. Man muss daher die keramischen Stoffe durch eine besondere Behandlung piezoelektrisch machen. Dies geschieht dadurch, dass das fertige keramische Stück (Scheibe, Stab oder andere Form) einem starken elektrischen Feld (20kV/cm) ausgesetzt wird und dann von einer Temperatur etwas oberhalb der Curie-Temperatur abgekühlt wird. Hierbei erfolgt eine maximale, allerdings nicht vollständige Ausrichtung der Polarisation in den Domänen und sogar eine Drehung kleiner Kristalle. Die polykristalline Substanz ähnelt nach dieser Behandlung einem pyroelektrischen Einkristall mit vielen kleinen polaren Achsen, die nahezu in einer Richtung stehen und deren Wirkung sich summiert. Damit ist die polykristalline, keramische Substanz piezoelektrisch geworden.
Es lassen sich beliebige Formen herstellen, Scheiben, Platten, Zylinder, die serienmäßig mit Silberelektroden versehen sind. Die Curie-Temperatur liegt bei 200 bis 300°C. Es wird empfohlen, die Temperatur bei der Benutzung weit unterhalb
804	13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Abb. 13.17 Polarisierter Bariumtitanat-Kristall, der mit polarisiertem Licht durchstrahlt wurde; unten: erklärende Skizze (Mikroskopische Aufnahme W.J.Merz, Bell Labs 1954).
der Curie-Temperatur zu halten. Ferner darf das Material nicht starken elektrischen Wechselfeldern ausgesetzt werden, weil sonst eine Depolarisation eintritt.
13.3.4 Technische Anwendungen
Wegen der hohen Herstellungskosten für piezoelektrische Quarzscheiben hat man nach Ersatzstoffen gesucht und auch hervorragende gefunden, die vielseitig verwendet werden. Aber bei einigen Anwendungen gibt es keinen Ersatz für Quarz. An erster Stelle muss hier der Schwingquarz genannt werden.
13.3 Elektrische Kristalle
805
Schwingquarze. Führt man geeigneten Flächen eines Piezoquarzes über aufgedampfte Elektroden (aus Aluminium, Silber oder Gold) eine Spannung zu, so zieht sich der Quarz zusammen. Wird die Spannung plötzlich abgeschaltet, dann ist der Kristall noch sehr kurze Zeit komprimiert; er dehnt sich aber sofort wieder aus, um in die Gleichgewichtslage zu kommen. Wird nun dem Kristall eine Wechselspannung zugeführt, die der Eigenfrequenz des Kristalls oder einer seiner Oberwellen genau entspricht, dann tritt Resonanz auf. In einem Schwingkreis eingebaut wirkt der Piezo-quarz im Resonanzfall entdämpfend und frequenzstabilisierend. Quarze werden im Frequenzbereich von 1 kHz bis 150 MHz eingesetzt. Die Kleinheit integrierter Schaltkreise hat es ermöglicht, extrem kleine Schwingkreise zu bauen mit winzigen frequenzstabilisierenden Schwingquarzen. Solche Schwingkreise sind die wichtigsten Bestandteile der Quarzuhren.
Um die Eigenschwingung des Quarzes und damit die Frequenz besonders konstant zu halten, darf sich die Temperatur nicht stark ändern. Bei den großen und sehr genauen Quarzuhren für Normalfrequenzen wird die Temperatur auf 10 ' K konstant gehalten. Da es verschiedene mechanische Eigenschwingungen gibt (Längs-schwingungen, Biegeschwingungen, Dickenschwingungen u. a.), werden solche ausgesucht, bei denen der Temperaturkoeffizient möglichst klein ist. Die Zuführungsdrähte werden an solchen Stellen der aufgedampften Metallschicht festgelötet, an denen sich Knoten der Schwingung befinden. Diese Drähte dienen auch zur Halterung. Mit der Dicke der aufgedampften Metallschicht (auf jeder Seite) erhöht sich die träge Masse des Schwingquarzes, und damit erniedrigt sich seine Resonanzfrequenz. Dies wird zur genauen Abstimmung verwendet. Denn es ist äußerst schwer, die gewünschte Resonanzfrequenz des Quarzstückes durch Abschleifen des Quarzes auf die genau richtige Dicke zu erhalten. Deshalb wird während des Aufdampfens der Elektroden die Frequenz kontrolliert und bei der gewünschten Resonanzfrequenz das Aufdampfen beendet. Die Änderung der Quarzfrequenz beim Aufdampfen zusätzlicher Masse wird auch zur Wägung aufgedampfter Substanzen oder, bei bekannter Substanzdichte, zur Dickenbestimmung dünner Aufdampfschichten benutzt (G. Sauerbrey 1959).
Drucksensoren. Der Druckverlauf im Zylinder eines Verbrennungsmotors wird während der Explosion gemessen und die Kurve auf einem Oszilloskop-Leuchtschirm oder mit einem Schreiber aufgezeichnet. Man bekommt dadurch Kenntnis über die Dichtigkeit der Kolbenringe und über den Zündvorgang.
Die Belastung eines Lagers durch eine rotierende Welle (z. B. durch eine schwere Turbinenwelle) oder durch ein Rad (z. B. am Auto) kann bei kleiner oder großer Umdrehungszahl gemessen und aufgezeichnet werden. Man findet sofort eine Unwucht und die Stelle größerer Belastung, die dann ausgeglichen werden kann. Das Auswuchten von Autorädern geschieht in jeder Autowerkstatt.
Ultraschallsender. Wird ein Schwingquarz durch einen elektrischen Schwingkreis mit einer Frequenz oberhalb der hörbaren Frequenz von 20 kHz zu Schwingungen erregt, entsteht Ultraschall. Die akustischen Ultraschallwellen verlassen senkrecht die abstrahlende Oberfläche des Quarzes.
Es gibt sehr viele Anwendungen von Ultraschall: Unterwasser-Sonar wurde während des 1. Weltkriegs von Paul Langevin entwickelt; 1918 konnte damit ein U-Boot
806
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
in 1500 m Entfernung erkannt werden. Eine ähnliche Anwendung ist die Messung der Wassertiefe (Echolot) durch Aussenden und Empfangen eines Ultraschallimpulses nach Reflexion am Erdboden; aus der Laufzeit der Ultraschallwelle kann die Tiefe bestimmt werden. Ultraschall von hoher Energiedichte an der Oberfläche eines Quarzkristalls wird zum Zerstäuben der Flüssigkeit verwendet, in die der Quarzkristall getaucht ist. Mit Ultraschallwellen kann man in feste Stoffe wie z. B. Eisen „hineinsehen“, indem man Ultraschallimpulse in den Werkstoff hineinschickt und die Reflexion an Verunreinigungen oder an Luftblasen („Lunker beim Guss“) feststellt. An den Grenzflächen ist die akustische Impedanz verschieden und verursacht Reflexion, während die Schallwelle durch den homogenen Stoff ungestört hindurchgeht. In der Medizin haben Abbildungen aus dem Körperinneren mit Ultraschall große Bedeutung (z. B. zur Bestimmung der Lage eines Fetus im Mutterleib).
Anwendungsbeispiele für ferroelektrische Keramik. Quarzkristalle werden zunehmend durch ferroelektrische, keramische Stoffe (Bariumtitanat, Bleizirkonat-Titanat-Mischkristalle) ersetzt. Diesen Stoffen kann man jede beliebige Form geben (Sinterkeramik). Auch haben sie höhere Energiewandlungsfaktoren. Anwendungsbeispiele: Durch Hebelübersetzung von der Hand oder vom Finger wird auf ein kleines polykristallines Keramikstück eine größere Kraft ausgeübt, sodass eine piezoelektrische Spannung von einigen Tausend Volt entsteht, mit der ein Gasgemisch entzündet werden kann. Blitzlichtlampen können ähnlich gezündet werden. Umsetzung von mechanischen Schwingungen in elektrische Wechselströme und umgekehrt mittels ferroelektrischer Keramik erfolgt auch in Mikrophonen für Telephone und in akustischen Signalgebern.
Kaltleiter. Darunter versteht man Leiter, deren Widerstand mit der Temperatur ansteigt; sie werden auch als PTC-Widerstände bezeichnet (PTC = positive temperature coefficient). Sie bestehen aus dotierter polykristalliner Titanatkeramik. Der steile Widerstandsanstieg von 5 bis 50% pro Grad beruht auf einem Zusammenwirken von Halbleitung und Ferroelektrizität. An den Korngrenzen der Einzelkristallite bilden sich Sperrschichten aus, deren Beitrag zum Gesamtwiderstand des Körpers stark von der Permittivitätszahl des umgebenden Mediums abhängt. Unterhalb der Curie-Temperatur hat das Ferroelektrikum eine sehr hohe Permittivität, und deshalb sind die Sperrschichten nur schwach ausgeprägt. Steigt die Temperatur über die Curie-Temperatur, dann sinkt die Permittivität ab, und es tritt eine Zunahme der Sperrpotentiale ein, die den steilen Widerstandsanstieg hervorruft. Dieser Effekt überdeckt die bei allen Halbleitern grundsätzlich vorliegende Widerstandsabnahme durch die mit der Temperatur zunehmenden Eigenleitung. Kaltleiter werden als Temperaturfühler (Regler, Überlastschutz, Flüssigkeits-Niveaufühler u. a.) verwendet, sowie in Schaltungen zur Stromstabilisierung und zum Einphasen-Motorstart eingesetzt.
Piezostelltechnik. Abschließend sei eine ganz andere Anwendung der Piezoelektrizität erwähnt. Es ist bekanntlich schwer, kleinste Verschiebungen genau zu vollziehen, z. B. Präparate unter dem Mikroskop oder im Elektronenmikroskop in zwei rechtwinkligen Koordinaten zu bewegen, und zwar um Strecken von nur wenigen Nanometern. Dies kann mit piezoelektrischen Translatoren geschehen. Jeder besteht
13.3 Elektrische Kristalle
807
aus mehreren keramischen Scheiben, die nach ihrer Polarität in Reihe geordnet und parallel geschaltet sind. In Stapelbauweise lässt sich bei einer Stapellänge von 100 mm eine Dehnung um 130 jrm erzielen.
Piezotranslatoren bestehen aus einem polarisierten Keramikmaterial. Ein elektrisches Feld, parallel zur Polarisationsrichtung, bewirkt eine Ausdehnung des Materials in der gleichen Richtung. Als Materialien werden Sinterkeramiken, überwiegend Blei-Zirkon-Titanat-Verbindungen eingesetzt. Bei der am häufigsten angewendeten Stapelbauweise (stacked design) besteht der aktive Teil des Stellelementes aus einem Stapel dünner Keramikscheiben (0.3-1 mm dick), zwischen denen sich flache metallische Elektroden zur Zuführung der Betriebsspannung befinden. Je dünner die Scheibe, desto höher ist bei einer gegebenen Betriebsspannung die Feldstärke und damit die relative Längenänderung \LjL.
Die Vorteile der Piezostelltechnik sind
-	feinste Positionsänderungen im nm-Bereich, ruckfrei und ohne Schwellspannung, - keine Verschleißteile,
-	große Kraft (ein 51 Gewicht kann innerhalb 100 jrm supergenau positioniert werden),
-	schnelle Ansprechzeit (Beschleunigungen von mehr als 1000g).
Ein berühmtes Anwendungsbeispiel der Piezostelltechnik ist die Raster-Tunnelmikroskopie (Abb. 13.18): Die X-und Y-Bewegungen rastern die Oberfläche Zeile für Zeile ab. Die Z-Bewegung der Feldemissionsspitze wird so geführt, dass der Emissionsstrom konstant bleibt; damit wird die Höhenstruktur der Oberfläche vermessen.
Abb. 13.18 Anwendung der Piezostelltechnik in drei Richtungen in der Raster-Tunnelmikroskopie (schematisch).
Ferroelektrische Speicherzellen. Die remanente Polarisation einer ferroelektrischen Zelle eignet sich prinzipiell genausogut zur Speicherung eines Bits wie die remanente Magnetisierung einer ferromagnetischen Zelle. Darüber hinaus bietet die Ferroelektrizität noch den großen technischen Vorteil der Zustandsänderung durch die Wirkung eines elektrischen Feldes (einer Spannung) anstelle der Wirkung eines magnetischen Feldes (eines Stromes) beim Ferromagnetismus.
808
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Die Abkürzung RAM (Random Access Memory) wird für alle Schreib-Lese-Spei-cher verwendet, die einen direkten Zugriff auf ausgewählte Speicherzellen mithilfe digital codierter Adressen erlauben. Schnelligkeit und hohe Speicherdichten werden mit den dynamischen RAM (= DRAM)-Bausteinen erreicht. Eine dynamische Speicherzelle besteht aus einem sehr kleinen Kondensator, der über einen FET an die Lese- und Schreibleitung angeschlossen ist. Dessen Ladung wäre schon nach etwa 10 ms abgeflossen, wenn nicht mithilfe einer Steuerungslogik die Ladung spätestens nach 1 ms erneuert würde („Auffrischen des Gedächtnisses“ memory refreshing). Die auf einem DRAM gespeicherte Information ist „flüchtig“ (volatile), d.h. sie geht beim Abschalten der Spannung verloren. Deshalb sind nicht-flüchtige Speicher (NVRAM, non-volatile RAM) sehr erwünscht.
Zum ferroelektrischen Speicher gehört das Akronym FRAM (Ferroelectric Ram-dom Access Memory). In einer FRAM-Zelle wird ein „ferroelektrischer Kondensator“ eingesetzt. Durch ein externes elektrisches Feld kann die Richtung der Polarisation, die die gespeicherte Information darstellt, umgepolt werden. Verschleiß-Effekte, die die Nutzungsdauer der FRAM begrenzen und bei hohen Temperaturen verstärkt auftreten, sind „Depolarisation“ (die spontane Polarisierung sinkt soweit ab, dass der aktuelle Zustand nicht mehr erkannt werden kann) und „Imprint“ (der Schreibpulse genügt nicht mehr, um Polarisationsumkehr zu bewirken).
Das wichtigste Entwicklungsziel sind NVRAM, die in Schnelligkeit, Speicherdichte und Zuverlässigkeit den DRAM nahekommen und diese ersetzen könnten. Darin konkurrieren die FRAM mit den MRAM (Magnetic Random Access Memory), die den Riesen-Magnetowiderstand (Abschn. 14.2.8) ausnutzen.
13.4	Elektrete
Der (auch das) „Elektret“ ist ein elektrischer Isolator, meist an einer oder beiden Stirnflächen metallisiert, der in seiner Umgebung ein (quasi-)permanentes elektrisches Feld erzeugt, so wie der „Magnet“ ein permanentes magnetisches Feld erzeugt. Der Name wurde 1885 von Oliver Heaviside geprägt, der die Existenz von permenent elektrisierten Isolatoren vorhersagte. 1920 erfolgte die Namensgebung zum zweiten Mal durch Mototaro Eguchi, diesmal mit Bezug auf die nach seinem Verfahren hergestellten Elektrete. Die Elektret-Entwicklung hat historische Wurzeln im 18. Jahrhundert, in dem der „Elektrophor“ (C. Wilcke 1762, A. Volta 1775) ein wichtiges Forschungsgerät war; 1777 entdeckte G. Lichtenberg damit seine Staubfiguren (Vorläufer der Xerographie).
Wird der Begriff „Elektret“ im weitesten Sinn verwendet für alle Isolatoren, die in ihrer Umgebung ein makroskopisches, quasi-permanentes elektrisches Feld erzeugen, dann gehören remanent polarisierte ferroelektrische Kristalle und Keramiken dazu, - auch die pyro- und piezoelektrischen, die erst durch Wärme- bzw. Druckeinwirkung elektrische Polung zeigen. Der Übergang zwischen den verschiedenen Stoffklassen ist fließend; mittlerweile gibt es auch semikristalline Polymere als piezo-, pyro- und ferroelektrische Elektrete.
Die anfänglich verwendeten natürlichen Wachse und Harze wurden in den 1960er Jahren durch synthetische glasartige (Fluor-)Polymere und inorganische Gläser er
13.4 Elektrete
809
setzt. Bei Zimmertemperatur befinden sich diese Stoffe als unterkühlte Flüssigkeiten in einem quasi-permanenten thermodynamischen Gleichgewicht mit äußerst geringer Beweglichkeit der Moleküle und Ladungsträger (Elektronen, Löcher und Ionen). Viel verwendet wird das Präparationsverfahren für Thermoelektrete:
1.	Der (z. B. scheibenförmige) Isolator hat an den Stirnflächen Kontakt mit Metall-Elektroden.
2.	Zur Erhöhung der Beweglichkeit von Molekülen und Ladungsträgern im Isolator wird er auf hohe Temperatur erhitzt.
3.	Durch Anlegen einer hohen Spannung an die Metallelektroden wird der Isolator „gepolt“. Dabei sind zwei Varianten zu unterscheiden:
(a)	Durch Trennung vorhandener Ladungsträger und/oder Ausrichtung (Polarisierung) der molekularen elektrischen Dipole entsteht ein makroskopischer elektrischer Dipol; an den Stirnflächen haben die Dipol-Ladung des Elektrets und die Spannung der Kontakt-Elektroden entgegengesetztes Vorzeichen (Hetero-Ladung).
(b)	Durch Injektion von Ladungsträgern (Elektronen, Löcher) an den Elektroden-Kontaktflächen erhält der Elektret eine Polung mit gleichem Vorzeichen für Stirnflächenladung und Elektroden-Spannung (Homo-Ladung).
4.	Abkühlung des Isolators im elektrischen Feld. Danach sind die bei hoher Temperatur gewanderten Ladungsträger und/oder die in Feldrichtung gedrehten polaren Moleküle „eingefroren“.
Dieses Präparationsverfahren ähnelt dem 1920 von M. Eguchi zur Herstellung seiner Wachs/Harz-Elektrete beschriebenen. Aber das gleiche Prinzip wird auch großtechnisch verwendet für Folienelektrete: Das dielektrische Material in Folienform (z.B. mechanisch gestreckt, beidseitig mit Al bedampft) wird auf eine Formierungstemperatur knapp unterhalb des Schmelzpunktes erhitzt und durchläuft dabei zwei plattenförmige elektrisch geladene Elektroden, die auch als Transportbänder dienen können. Anschließend durchläuft die Elektretfolie eine Abkühlkammer, weiterhin unter dem Einfluss des elektrischen Feldes. Typische Werte der verwendeten Feldstärke sind lOkV/cm; diese ergeben nach Abkühlung Oberflächenladungsdichten von bis zu 100nC/cm2.
In Abwandlungen dieses Präparationsverfahrens können im Isolator zusätzliche Ladungsträger z. B. durch Röntgen-Bestrahlung oder kontrollierten elektrischen Durchbruch entstehen.
Große Mengen von Elektreten werden zur Abtrennung geladener oder im elektrischen Feld polarisierter Teilchen in der Filtertechnik verwendet.
Das Kondensator-Mikrophon wurde durch das im Prinzip gleiche, aber ohne Spannungsquelle arbeitende Elektret-Mikrophon ersetzt: In den 1960er Jahren entwickelten G. Sessler und J.West in den Bell Laboratories das Folien-Elektret-Mi-krophon (Patent 1964). Es zeichnet sich durch hohe Qualität und Zuverlässigkeit aus, ist klein, leicht und kostengünstig. Etwa 90 % aller Mikrophone nutzen heute diese Technik. Weltweit werden jährlich Stückzahlen von über zwei Milliarden erreicht. - In Lautsprechern und Kopfhörern konnten weiche, piezoelektrische Hoch-polymer-Elektrete (wie das Polyvinylidenfluorid, H. Kawai 1969) die elektromagnetischen Tauchspulen teilweise ersetzen.
810
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Pyro- und piezoelektrische Elektrete dienen als Infrarot bzw. Ultraschall-Detektoren. In der Medizintechnik wird mit Elektreten der Einfluss elektrischer Felder auf Knochenwachstum und Wundheilung untersucht.
Im Vergleich zur Magnetisierung von Magneten haben die Polarisierungen von Elektreten geringere Lebendauern: In den glasartigen Elektreten finden auch bei Zimmertemperatur Vorgänge statt, die die Polung langsam abbauen. Allerdings haben z. B. Fluorpolymer-Elektrete sehr große Ladungsspeicher-Stabilität mit extrapolierten Lebensdauern von einigen hundert Jahren.
Die Elektret-Polung kann auch durch äußere Einflüsse reduziert werden, z. B. Anlagerung geladener Staubteilchen oder Ionen entgegengesetzten Vorzeichens an die Stirnflächen des Elektreten. Andererseits kann man die Anziehung freier Ladungen auch ausnutzen in der Strahlungsdosimetrie: Der Elektret produziert das elektrische Feld in einer Ionisationskammer (Abschn. 10.1.3) und sammelt auf seiner Stirnfläche die entstehenden Ionen eines Vorzeichens; durch wiederholte Messung des Oberflächenpotentials kann man die fortschreitende Kompensation der Elektret-Polung verfolgen, die ein Maß der akkumulierten Strahlungsdosis ist.
Ferroelektrete sind Elektrete, deren Polarisation als Funktion der wirksamen elektrischen Feldstärke Hysterese zeigt wie die Magnetisierung von Ferromagneten. Ein markantes Beispiel sind die elastischen Elektret-Filme (electro-mechanicalfilms, EMFi), die auf den Erfindungen von Kari Kirjavainen in den 1980er Jahren basieren. Das das sind elektroaktive Polymer-Filme, z. B. aus Polypropylen. Mit geeigneten Herstellungsverfahren (Beimischung kleiner Partikel als Keime für Blasenbildung, Längs- und Querdehnung, hoher Stickstoff-Druck) entstehen im Film viele linsenförmige gasgefüllte Zellen. Durch ein starkes elektrisches Feld werden in den Zellen Mikro-Plasmaentladungen gezündet, die zu entgegengesetzten Aufladungen an gegenüberliegenden Zellwänden führen. In einem hinreichend starken elektrischen Feld entgegengesetzter Richtung kann durch erneute Plasmaentladungen die Polarisierung umgepolt werden. So kommt die Hysterese zustande.
Die elastischen Elektret-Filme sind auf beiden Seiten metallisiert und dienen als vielseitig verwendbare Sensoren und Aktuatoren: Beispielsweise können Filmsensoren unter dem Fußbodenbelag die Bewegung von Personen signalisieren. Für effektive Schallerzeugung werden mehrere Lagen von Filmaktuatoren übereinander angeordnet. Eine interessante Anwendung ist die aktive Geräuschkontrolle (active noise control, ANC) durch sensor-gesteuerte Erzeugung gegenphasiger Schallwellen („Antischall“).
13.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 13
13.5.1 Elektrostatik
Siehe auch Abschn. 2.6.1
Permittivität. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4) permittivity:
Link 13-1
13.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 13
811
Elektrophor. Anschauliche Präsentation des Hobby-Autors I. Mehl: http:// www.wundersamessammelsurium.de/ => Elektrisches => Der Elektrophor =
Link 13-2
Triboelektrische Spannungsreihe. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Triboelectric effect
Link 13-3
13.5.2 Strömungselektrizität, ER-Flüssigkeiten
Elektrophoretische Abscheidung. MTM (Metaalkunde en Toegepaste Materiaalkunde), Katholieke Universiteit Leuven: http://www.mtm.kuleuven.ac.be/ => (links unten) English => Research => Composits and Ceramics (C2) => Processing of Ceramic Materials => Electrophoretic deposition (EPD) =
Link 13-4
Elektrophorese in der medizinischen Diagnostik. Med-4-you, verfasst von Univ. Doz.
Dr. med. Wolfgang Hübl, Wien: http://www.med4you.at/ => Info-Site über Laborbefunde => Laborbefunde => Techniken => Elektrophorese =
Link 13-5
Elektroosmose für Gebäudetrocknung. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 14.4), Elektrophysikalische Mauertrockenlegung:
Link 13-6 mit => Weblinks
Elektrorheologische Flüssigkeiten. Vilastic Scientific, Inc., Austin, TX 78716: http://www.vilastic.com => System Enhancements => Electrorheology (Show Only This Frame) =
Link 13-7 Weiter mit => (unten) see our „product profile“ führt zu „Viscoelasticity of an electrorheological fluid“
Ergänzung: University of Science and Technology (ust), Hong Kong (hk): http:// www.ust.hk => Press Releases „more“ => 10/2003 „08.10. 2003: Novel ER Fluids to Make Clutches“ =
Link 13-8
Smart Fluids, s. Abschn. 14.5.4, Links 14-19, 14—20
13.5.3 Piezoelektrizität
Piezoelektrizität. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4), Piezoelectricity:
Link 13-9
Quarz-Oszillatoren. Aus IEEE (s. Abschn. 1.4) => http://www.IEEE.org => Societies „Society Listing“ => IEEE Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control So
812
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
ciety => Frequency Control => Review Papers => Introduction to Quartz Frequency Standards =
Link 13-10 A review by John R. Vig, Army Research Laboratory, Electronics and Power Sources Directorate, Fort Monmouth, NJ, U.S. A.
Piezokeramik. Verband der Keramischen Industrie e.V., 95090 Selb: http://www.ke-ramverband.de/ => skip intro => Fachinfo => Pressetexte => Piezoelektrische Keramiken =
Link 13-11
Ergänzung: Alpha Ceramics, Inc., a manufacturer of piezoelectric ceramics, Minnesota USA: http://www.alphapiezo.com/ => History of Piezo Ceramics =
Link 13-12
Piezo-Aktuatoren (-Motoren), Piezo-Sensoren (-Generatoren). Piezo Systems, Cambridge, MA, offers a wide variety of piezo elements and the electronics to drive them: http://www.piezo.com => Technical/FAQs „Introduction to Piezo Transducers“ =
Link 13-13
Ergänzung: Physikinstrumente (PI) GmbH & Co. KG, Karlsruhe: http://www.phy-sikinstrumente.com/ => Deutsch (Fahne) => Märkte/Lösungen => Piezo-Tutorium = Link 13-14 Tutorium: Nanopositionieren mit Piezos
Ultraschall in der Medizin. Dr. Joseph S. K. Woo, Hong Kong, Obstetric Ultrasound: http://www.ob-ultrasound.net/ =
Link 13-15 Obstetric/ultrasound - Comprehensive Guide.
Weiter mit Introduction => History of Ultrasound in Obstetrics and Gynecology => Let’s begin =
Link 13-16 A short History of Ultrasound in Obstetrics and Gynecology
13.5.4 Ferroelektrika/Elektrete
Ferroelektrische Speicherzellen. Aus Wikipedia- Deutsch (s. Abschn. 1.4), FERAM: Link 13-17 Siehe auch => DRAM-Zelle (= Dynamisches RAM)
Ergänzung: Aus Elektronik-kompendium (s. Link 9-4), FRAM:
Link 13-18
Elektrete. Aus Wikipedia -Deutsch (s. Abschn. 1.4), Electret:
Link 13-19
Ergänzung: „On the Permanent Electret“ by Mototaro EGUCHI, „Philosophical Magazine“ Vol 49 (1925) ppl78: http://website.lineone.net/~aarekhu/eguchi.htm
Link 13-20
Polymer-Elektrete, Aufladung und Polung. The Department of Soft Matter Physics, Institute for Experimental Physics at the Johannes-Kepler-University Linz: http:// www.somap.jku.at/ => Research (Show This Frame Only)
13.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 13
813
Link 13-21 Weiter mit => Polymers for electronics, sensors, and photonics, sowie mit => Charging and poling. - Die kleinen Abbildungen Anklicken! Nützliche Literatur-Hinweise.
Elektrete für Schallwandler. FL-electronic GmbH, D-38106 Braunschweig: http:// www.fl-electronic.de => (ganz unten) Modifikation Edition Neuklang => (unter Phy-sik-orientierte Artikel, weit unten) „Elektret für Mikrofon und Lautsprecher“ = Link 13-22 Prinzip - Anwendungen - Kondensatormikrofone mit Elektretmembran Ergänzung: Kingstate Electronic Corp., Taiwan: http://www.kingstate.com.tw => English => Technical Information => Electret Condenser Microphone (Show This Frame Only) =
Link 13-23
Elektrete für Luftfilter. Toyobo technologies, Japan, englischer Text: http:// www.toyobo.co.jp/e/ => Products => Functional Membranes => Filter Series „Eli-tolon“ =
Link 13-24
Ferroelektrete / elastische Elektret-Filme. AZoM.com (the A to Z of Materials) was formed with the primary aim of increasing the use of Advanced Materials by the engineering and design community worldwide; AZoM.com Pty Limited, Clareville, Sydney, NSW, Australia: http://www.azom.com/ => Keyword Search „EMFi“ => Elastic Electret Film =
Link 13-25
Aktive Geräuschkontrolle. Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR): http://www.dlr.de/ => Institut für Antriebstechnik => Institut => Abteilungen => Fan und Verdichter => Projekte => Active Noise Control =
Link 13-26
Ergänzung: Signal Systems Corporation (Severna Park, MD 21146 USA) is a high-tech, small business with a strong capability in signal processing and active noise control: http://www.signalsystemscorp.com => ANC =
Link 13-27 Weiter z. B. mit => commercializing ANC technology
15.5.5 Biographien
Georg Christoph Lichtenberg (1742-1799). s. Abschn. 2.6.2, Links 2-22, 2-23
Michael Faraday (1791-1867) s. Abschn. 4.6.5, Link 4-26
Oliver W. Heaviside (1850-1925). Aus Famous Scientists (s. Abschn. 1.4):
Link 13-28
Pierre Curie (1859-1906). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography:
Link 13-29
814
13 Elektrisches Verhalten von Isolatoren
Paul Langevin (1872-1946). Obstetric Ultrasound (s. Link 13-15): http://www.ob-ultrasound.net/ => Search this site „Paul Langevin“ => 5. „paul Langevin“ = Link 13-30
Arne Tiselius (1902-1971). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4), Chemistry, Biography:
Link 13-31
James West (geb. 1931). In 2005 About, Inc. was acquired by The New York Times Company: http://www.about.com/ => Search „famous inventors“ => Famous Inventars A-Z W => James Edward West =
Link 13-32 Weiter mit => (unten) James West
Gerhard Sessler (geb. 1931). Siehe Link 13-32: Weiter mit => (unten) Gerhard M. Sessler =
Link 13-33
Ergänzung: Pressemitteilung der TU Darmstadt vom 28.01.2005: Informationsdienst Wissenschaft: http://idw-online.de/pages/de/news98777 =
Link 13-34
14 Magnetismus
Tab. 14.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Mit der Randmarkierung wird auf Größen hingewiesen, die hier eine andere Bedeutung als in vorangegangenen Kapiteln haben. Mit der Randmarkierung | wird auf unterschiedliche Größen hingewiesen, denen gleiche oder sehr ähnliche Symbole zugeordnet sind.
Größensymbol	Bedeutung
A A = \A\ a B d E e — F F g g H Ho Hs h k L L £ M mc N n — R r s T	Flächenvektor, Differential dA Fläche (Betrag), Querschnitt Abstand, Strecke magnetische Feldstärke erdmagnetische Deklination Zustandsdichte der Elektronen Abstand Teilchenenergie Fermi-Energie Elementarladung erdmagnetische Totalintensität Kraft (Betrag) Erdbeschleunigung (Betrag) gyromagnetisches Verhältnis, g-Faktor magnetische Erregung = \H\ erdmagnetische Florizontalintensität //-Feld von Leiterströmen Streufeld, „entmagnetisierendes“ //-Feld Höhe erdmagnetische Inklination Strom(stärke) B oltzmann-Konstante Bahndrehimpuls Länge Magnetisierung Elektronenmasse Anzahl, Windungszahl Teilchendichte, Atomdichte, Elektronendichte Radius Erdradius radialer Abstand Streckenvektor, Differential di thermodynamische Temperatur
816
14 Magnetismus
Größensymbol	Bedeutung
Tc V X y n z <5 £o £r — e eD 9 ft ftm Pb Po Pt’ Aem> /f.ill P Zm1 Zdia’ Zpai; <klm>	Curie-Temperatur Neel-Temperatur Volumen magnetische Energiedichte kartesische Koordinate kartesische Koordinate erdmagnetische Vertikalintensität Kernladungszahl, Zahl der Atomelektronen kartesische Koordinate kleiner Abstand, kleine Dicke elektrische Konstante relative Permittivitätszahl Winkel des erdmagnetischen Breitengrades Debye-Temperatur Polarwinkel atomares magnetisches Moment makroskopisches magnetisches Moment Bohr-Magneton magnetische Konstante verschiedene relative Permeabilitätszahlen Dichte magnetische Suszeptibilitäten kristallographische Richtung (k, 1, m = Miller-Indizes)
Der Ferromagnetismus wurde schon in Kap. 3 eingeführt. Die anderen - viel schwächeren - Arten von Magnetismus sind bisher noch gar nicht erwähnt worden. Das soll nun nachgeholt werden. Dabei ergeben sich folgende elektrisch/magnetische Analogien:
Dielektrizität (im engeren Sinn) - Diamagnetismus
Parelektrizität	- Paramagnetismus
Ferroelektrizität	- Ferromagnetismus
Dielektrizität und Diamagnetismus sind temperatur-unabhängige Phänomene, die bei allen Atomen und Molekülen vorkommen, aber schwächer sind als die darunterstehenden, nur bei manchen Stoffen vorkommenden Phänomene. Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass die dielektriche Suszeptibilität positiv, die diamagnetische Suszeptibilität dagegen negativ ist.
Parelektrizität tritt nur bei manchen Molekülen, Paramagnetismus nur bei manchen Atomen auf. Diese Phänomene nehmen ab mit steigender Temperatur, weil die Wärmebewegung der Ausrichtung der Dipole im Feld entgegen wirkt.
Ferroelektrizität und Ferromagnetismus sind Phänomene von ungewöhnlicher Stärke, die nur bei wenigen Festkörpern unterhalb einer kritischen Temperatur, der Curie-Temperatur, gefunden werden. Ergänzend zu der phänomenologischen Behandlung in Kap. 3 wird in diesem Kapitel auf die Physik des Ferromagnetismus und auf einige technische Anwendungen näher eingegangen. Außerdem werden magnetische Flüssigkeiten und das Magnetfeld der Erde behandelt.
14.1 Dia- und Paramagnetismus
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Für weitergehende Information wird auf Bd. 6 (Festkörper), Kap. 5 (Magnetismus) verwiesen.
14.1 Dia- und Paramagnetismus
14.1.1 Definitionen
Dia- und paramagnetische Stoffe werden in einem angelegten Magnetfeld der Erregung H, (der Feldstärke Bo) nur sehr schwach magnetisiert. Die Magnetisierung (magnetizatiori) Mist um einige Größenordnungen kleiner als Ho. Deshalb verwendet man zur Untersuchung des Dia- und Paramagnetismus sehr starke, mithilfe von Elektromagneten erzeugte Felder; das von der magnetisierten Probe erzeugte Streufeld spielt überhaupt keine Rolle.
Die (relative) Permeabilitätszahl (permeabHiiy] gt, implizit definiert durch
B = p0(H0 +M) = poprHo,	(14.1)
hat Werte, die sehr nahe bei eins liegen. Informativer ist deshalb die magnetische Suszeptibilität (magnetic susceptibility)
Zm = ^-1,	(14.2)
die für diamagnetische Stoffe negativ, für paramagnetische positiv ist.
Aus Gl. (14.1) und Gl. (14.2) folgt die Verknüpfung der Magnetisierung M mit der Messgröße %m, der bekannten Feldstärke Bo und der magnetischen Konstanten (magnetic constant) p0 mit dem definierten Wert 4 tt -10 7 VsA 'm
M=(Ä-Ä0)/^0
=	- 1) B0/p0
=	(14-3)
Die Magnetisierung M beschreibt das makroskopische magnetische (Dipol-)Mo-ment gm der Probe pro Volumen V und hat die SI-Einheit A/m:
(14.4) i
Das Moment gm ist die Summe der atomaren magnetischen (Dipol-)Momente Jedes atomare Moment g entspricht einer atomaren Stromschleife (einer umlaufenden elektrischen Ladung) und hat eine Vektorrichtung senkrecht zur Stromschleife mit Rechtsschraubensinn bezüglich des positiven Stromes. Der Betrag ergibt sich aus dem Produkt (Strom) • (Fläche), gemessen in der SI-Einheit Am2.
In einem diamagnetischen Stoff sind alle vom Feld induzierten g{ gleichgerichtet, antiparallel zum Feld Bo. In einer paramagnetischen Probe haben die permanenten g{ eine durch Feldeinwirkung zustande kommende Richtungsverteilung mit Bevorzugung der Feldrichtung.
818
14 Magnetismus
14.1.2 Messung der Suszeptibilität
Eine grobe, qualitative Prüfung kann man dadurch vornehmen, dass man die zu untersuchenden Stoffe in ein inhomogenes Magnetfeld bringt. Diamagnetische Proben werden abgestoßen, paramagnetische werden angezogen. Ferromagnetische Stoffe werden stets mit sehr großer Kraft angezogen. Sie sind als solche sofort erkennbar und werden im Abschn. 14.2 gesondert behandelt.
Einem großen Hörerkreis kann man leicht den Versuch nach Abb. 14.1 vorführen. Kugeln aus diamagnetischen und paramagnetischen Stoffen werden in das inhomogene Feld eines Magneten gehängt. In Schattenprojektion sieht man deutlich die Abstoßung der diamagnetischen und die Anziehung der paramagnetischen Kugeln.
Abb. 14.1 Kugelförmige Probe im inhomogenen Feld eines Magneten: Anziehung einer paramagnetischen Probe, Abstoßung einer diamagnetischen Probe.
In Magnetfeldern werden alle Stoffe magnetisch polarisiert, d. h. es bilden sich magnetische Momente antiparallel oder parallel zur Feldrichtung. Hängt man den zu untersuchenden Stoff als Stäbchen waagerecht an einem dünnen Faden in ein inhomogenes Magnetfeld, sodass das Stäbchen mit der Verbindungslinie der beiden Pole einen Winkel von 45J bildet (Abb. 14.2), und schaltet das Magnetfeld ein, dann stellt sich ein diamagnetisches Stäbchen quer zur Verbindungslinie der Magnetpole ein. Dies ist z. B. bei Bi, Sb, Zn, Pb, Cu, Ag, Au der Fall. Ein paramagnetisches Stäbchen, z. B. aus Mn, Cr, Al oder Pt, stellt sich in Richtung der magnetischen Feldlinien ein. Pulver oder Flüssigkeiten kann man in dünne Glasröhrchen füllen und damit die gleichen Versuche durchführen.
Abb. 14.2 Probestäbchen zwischen Magnetpolen.
Die Kraft, die ein magnetisches Dipolmoment /tm in einem inhomogenen Magnetfeld B erfährt, ergibt sich leicht aus der Betrachtung der potentiellen Energie des magnetischen Dipols im magnetischen Feld
=	(14.5)
deren negativer Gradient die Kraft liefert:
^g=- VIFm = VG<m-Jß).	(14.6)
14.1 Dia- und Paramagnetismus 819
Abb. 14.3 Steighöhenmethode nach G. Quincke (1885).
Für den hier gegebenen Fall, dass /zm parallel oder antiparallel zu B gerichtet ist, und unter der Annahme, dass die z-Achse in Richtung des Feldgradienten zeigt, ergibt sich eine in z-Richtung wirkende Kraft der Größe
^ag=±Pmd£/ch.	(14.7)
Das Pluszeichen gilt für paramagnetische Substanzen, deren Momente sich parallel zum Feld ausbilden, das Minuszeichen für diamagnetische Substanzen mit antiparallel zum Feld liegenden Momenten.
Eine Methode zur quantitativen Messung der magnetischen Suszeptibilität von Flüssigkeiten ist in Abb. 14.3 skizziert. Der eine kapillare Schenkel eines U-Rohres aus Glas, das mit der zu untersuchenden Flüssigkeit gefüllt ist, befindet sich zwischen den Polen eines Elektromagneten. Die Flüssigkeitsoberfläche liegt im homogenen Teil des Magnetfeldes. Der untere Teil der Flüssigkeit befindet sich ganz außerhalb des Magnetfeldes. Das inhomogene Magnetfeld am unteren Rand der Polschuhe wird von der Flüssigkeit stets vollkommen durchsetzt. Wenn z die Richtung „vertikal nach oben“ bedeutet, in die auch der Gradient des ß-Feldes zeigt, dann ist die Anziehungskraft, die das inhomogene Magnetfeld auf eine paramagnetische Flüssigkeit ausübt, nach oben gerichtet und proportional zu dl?/dz. Im Gleichgewicht ist diese Kraft gleich dem Gewicht des Flüssigkeitsvolumens (Abb. 14.3 links), das um die Steighöhe h über das Niveau des Reservoirs außerhalb des Feldes (Abb. 14.3 rechts) hinausragt. - Im Falle einer diamagnetischen Flüssigkeit ist die Abstoßungskraft, die vom inhomogenen Magnetfeld ausgeübt wird, im Gleichgewicht mit der Auftriebskraft der Flüssigkeitssäule, die in der Kapillare (links) tiefer steht als im Reservoir (rechts).
Für die quantitative Berechnung der Steighöhe schreiben wir Gl. (14.7) in differentieller Form
dF^ld^dlJ/dz,	(14.8)
und substituieren
dpm = M d V = (/,„ B/ßo) A dz,	(14.9)
wobei A die Querschnittsfläche der Flüssigkeitssäule im U-Rohr ist. Die insgesamt wirksame magnetische Kraft Fmag erhält man durch die Integration von dFüber dz:
F^^B/^AdzdB/dz
B = Max
= (zmK> A f B dB.	(14.10)
B= 0
820
14 Magnetismus
Da die Flüssigkeit den gesamten Bereich des inhomogenen Streufeldes durchsetzt, kann man von B — 0 ganz unten bis B — Bm,tf im homogenen Feld zwischen den Polschuhen integrieren, auch wenn die Abhängigkeit B(z) nicht genau bekannt ist. Man erhält
^ag= ±Xm^x/(2Po)-	(14.11)
Aus Dichte p, Querschnittsfläche A, Steighöhe h und Erdbeschleunigung g ergibt sich die Gravitationskraft
F^=pAhg	(14.12)
und durch Gleichsetzen der beiden Kräfte die Steighöhe
h= ±XmBLJ(2pvpg).	(14.13)
Kapillareffekte sind hier nicht betrachtet worden. Die Steighöhe ist klein: Für Xm = 10 5, B = 1 T und p = 1 g/cm3 ergibt sich z. B. h = 0.4 mm.
Der Kräftebetrachtung äquivalent ist eine Betrachtung von magnetischer Feldenergie und Gravitationsenergie, völlig analog zur parelektrischen Flüssigkeit im vertikalen Plattenkondensator, behandelt in Abschn. 13.2.3. Die Gl. (14.13) geht in die Gl. (13.11) über, wenn folgende Substitutionen vorgenommen werden: -> /e, ^max £o V/(o- (Genauso gut hätte auch im elektrischen Fall die Berechnung der Steighöhe durch Integration über die differentiellen Kräfte im inhomogenen Feldbereich erfolgen können.)
Das Prinzip, auf magnetische Momente im inhomogenen Magnetfeld Kräfte auszuüben, wird auch bei Messungen an festen Substanzen angewendet: Man nimmt zylindrische Stücke (oder mit Pulver gefüllte dünne Glasröhrchen), die an einer Waage hängen (Abb. 14.4a). Wesentlich ist, dass ein zylindrisches Stück der Probe am oberen Ende außerhalb des Magnetfeldes und am unteren Ende im homogenen Teil des Magnetfeldes hängt. Auf diese Weise braucht die Änderung der magnetischen Flussdichte mit der Höhe, also der Verlauf von dß/dz, nicht konstant zu sein. Dies ist anders bei der Messung nach Abb. 14.4b. Hier hängt eine kleine kugelförmige Probe in einem inhomogenen Magnetfeld mit annähernd konstantem Verlauf von dß/dz.
Abb. 14.4 Suszeptibilitätsmessung mit einer Waage, (a) Stabförmige Probe, erstreckt über den ganzen Bereich des inhomogenen Feldes; (b) kugelförmige Probe im Feld mit vertikalem Gradienten bekannter Größe.
14.1 Dia- und Paramagnetismus
821
14.1.3 Diamagnetische Stoffe
Abb. 14.5 gibt einen Überblick über die magnetischen Suszeptibilitäten; man beachte, dass hier zwei logarithmische Skalen für positive und negative Suszeptibilitätswerte, beginnend bei +10 6, aneinander gefügt worden sind, und dass ein Skalenteil auf der oberen Skala einer Zehnerpotenz entspricht, auf der unteren dagegen zwei Zehnerpo tenzen.
In diesem Abschnitt unterscheiden wir nur Dia- und Paramagnetismus. Der Ferromagnetismus (wie auch der Antiferro- und Ferrimagnetismus) beruht auf der in manchen Festkörpern unterhalb der Curie-Temperatur auftretenden spontanen Ordnung atomarer paramagnetischer Momente, setzt also Paramagnetismus voraus.
Ein diamagnetischer Extremfall sind die Supraleiter, besonders die vom Typ I, die durch /m = — 1 charakterisiert sind. Das bedeutet:
«.„„en-^o + ^O^-0.	(14.14)
Abb. 14.5 Übersicht der magnetischen Suszeptibilitäten verschiedener Stoffklassen. Die Pfeilspitzen liegen ungefähr bei den Maximalwerten (aus Bd. 6, Kap. 8).
822
14 Magnetismus
Beim Einschalten des äußeren Magnetfeldes werden dicht unter der Oberfläche des Supraleiters Ströme induziert, die sein Innenvolumen gegen das äußere Feld völlig abschirmen (Meissner-Ochsenfeld-Effekt, Abschn. 8.4.1). Weil der elektrische Widerstand exakt null ist, bleiben die abschirmenden Ströme erhalten, bis das äußere Feld abgeschaltet wird und dabei den entgegengesetzten Induktionseffekt bewirkt.
Die „normalen“ diamagnetischen und paramagnetischen Stoffe haben Suszeptibilitäten von —10 4 bis etwa +10 4. Genau genommen, muss man unterscheiden zwischen den diamagnetischen Stoffen, die durch eine negative Suszeptibilität gekennzeichnet sind, und dem Diamagnetismus als Phänomen, das bei allen Stoffen auftritt, aber nur bei den rein diamagnetischen beobachtbar ist.
Zum Verständnis des Diamagnetismus genügt schon die klassische Vorstellung von den Bahnen der Atomelektronen, die mit der umlaufenden Elektronenladung einer Stromschleife, also einem magnetischen Bahnmoment entsprechen, und mit der umlaufenden Elektronenmasse einen Bahndrehimpuls definieren. Wird ein äußeres Magnetfeld eingeschaltet, dann übt das Feld B auf das magnetische Bahnmoment n ein Drehmoment aus. Weil das magnetische Moment aber mit dem Bahndrehimpuls L gekoppelt ist, reagiert die Elektronenbahn auf das Drehmoment wie ein Kreisel und beginnt um die Feldrichtung zu präzedieren. Die Präzessionsbewegung der Elektronenbahn entspricht einem induzierten Strom, der - in Übereinstimmung mit dem Lenz’schen Gesetz - ein Magnetfeld erzeugt, das dem äußeren Feld entgegengesetzt ist. Mit dieser klassischen Vorstellung gelang es P Langevin schon 1905 eine Formel für die diamagnetische Suszeptibilität herzuleiten, die die Beobachtungen gut beschreibt:
Xdiam = -[/'o«zü/6wj <r2>,	(14.15)
wobei n die Atomdichte, Z die Zahl der Elektronen pro Atom, e die Elementarladung, me die Elektronenmasse und <+2) der Mittelwert über die Quadrate der Elektronenbahnradien ist. Zum Diamagnetismus tragen also hauptsächlich die äußeren Atomelektronen bei. Der atomare Präzessionseffekt ist temperaturunabhängig.
Atome der diamagnetischen Stoffe haben abgeschlossene Elektronenkonfigurationen (Schalen, Unterschalen); alle magnetischen Bahn- und Spinmomente (Abschn. 7.3.2), die bei anderen Stoffen für den Paramagnetismus verantwortlich sind, kompensieren sich gegenseitig.
14.1.4 Paramagnetische Stoffe
Der „normale“ Paramagnetismus entsteht durch nicht-kompensierte Bahn- und Spinmomente, die beide mit Drehimpulsen gekoppelt sind. Es gibt eine gewisse Ähnlichkeit mit der Parelektrizität bezüglich der Temperaturabhängigkeit des Paramagnetismus: Die Magnetisierung steigt an mit dem äußeren Feld und sinkt mit zunehmender Temperatur; bei sehr kleinen Temperaturen und sehr großen Feldstärken wird Sättigung erreicht. Aber die Physik ist beim Paramagnetismus komplizierter als bei der Parelektrizität: Die magnetischen Momente können sich nicht einfach parallel zum äußeren Feld ausrichten, weil damit Drehimpulse (angular momenta) verbunden sind, für die nach der Quantenmechanik nur bestimmte („diskrete“) Orientierungen zum Feld erlaubt sind (directional quantization). Diese Drehimpuls
14.1 Dia- und Paramagnetismus 823
Orientierungen werden im Magnetfeld zu magnetischen Zuständen (magnetic sub-states) mit Energieabständen (energy intervals), die mit B anwachsen. Erst das thermische Gleichgewicht (thermal equilibrium) ergibt eine ungleiche Besetzung der magnetischen Zustände: Die Zustände kleiner Energie (magnetisches Moment parallel zum Feld) werden stärker besetzt als die Zustände großer Energie (Moment antiparallel), und daraus resultiert die paramagnetische Magnetisierung. Mit zunehmender Temperatur werden die Besetzungsunterschiede kleiner. Weitab von der Sättigung, z. B. für Zimmertemperatur und Felder in der Größenordnung von 1 T, liefert die Theorie eine paramagnetische Suszeptibilität von
Zpara = ” Po	(14.16)
wobei hier n die Atomdichte ist und /tefr das effektive atomare magnetische Moment, das sich aus der Kopplung der Bahn- und Spinmomente der beteiligten Atomelektronen ergibt. Die Atome der Lanthanoiden (Seltenen Erden) zeigen einen ausgeprägten Paramagnetismus mit /tefr-Werten bis etwa 10/tB (/tB = Bohr-Magneton).
Paramagnetismus der Leitungselektronen. Dieser Sonderfall wurde von W. Pauli 1927 theoretisch behandelt (Pauli-Paramagnetismus): Die quasifreien Leitungselektronen gehorchen der Fermi-Statistik. Bei der Temperatur T — 0 sind alle Zustände unterhalb der Fermi-Energie EP besetzt. Im Magnetfeld B erhalten die Elektronen wegen ihres magnetischen Spinmomentes g die zusätzliche magnetische Energie + g-B, wobei das Pluszeichen für die antiparallele Orientierung der beiden Vektoren gilt. Aus den energetisch angehobenen Zuständen der Elektronen mit antiparallelem magnetischen Moment finden Übergänge in die abgesenkten Zustände für Elektronen mit parallelen magnetischen Momenten statt; im Gleichgewicht sind die Zustände beider Art bis zur Fermi-Energie EP besetzt (Abb. 14.6).
Weil 2/t B EP (anders als in der übertriebenen Darstellung von Abb. 14.6), ergibt sich der Besetzungsüberschuss der parallel orientierten Elektronen aus 2g B und der Zustandsdichte an der Fermi-Grenze, einer Größe, die nur sehr wenig von der Temperatur abhängt; deshalb ist der Pauli-Paramagnetismus im Bereich T < EPfk temperaturunabhängig. Wie L. Landau 1930 quantenmechanisch berechnet hat, gibt es auch einen Diamagnetismus der Leitungselektronen, der die positive Suszeptibi-
Abb. 14.6 Energieverteilung der Zustandsdichte D(E) für Leitungselektronen mit magnetischem Moment parallel und antiparallel zum Magnetfeld (besetzte Zustände getönt).
824
14 Magnetismus
lität des Pauli-Paramagnetismus vermindert. Insgesamt ergibt die Theorie für die Leitungselektronen
Xei =	(14.17)
Hier ist n die Dichte der Elektronen und das Bohr-Magneton (= Spinmoment des Elektrons).
Betrachtet man aber nicht nur die Leitungselektronen, sondern auch die Ionen des Metallgitters, dann muss man auch noch den Diamagnetismus der gebundenen Elektronen berücksichtigen, der sich auf die Suszeptibilität subtraktiv auswirkt. Bei den schweren Edelmetallatomen übersteigt der (negative) Diamagnetismus der gebundenen Elektronen den (positiven) Pauli-Paramagnetimus der Leitungselektronen, sodass die Edelmetalle phänomenologisch zu den diamagnetischen Stoffen zählen.
14.2 Ferromagnetismus
Eine phänomenologische Beschreibung des Ferromagnetismus wurde schon in Abschn. 3.6 gegeben. Diese wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt.
weichmagnetische Werkstoffe
halbharte
Werkstoffe
hartmagnetische Werkstoffe
[	-]— Co-Fe
Hartferrite
weichmagnetische Ferrite
10’1	10°
102	103	104	106	106	107
Hc/A m 1
Abb. 14.7 Magnetwerkstoffe, schematisch dargestellt nach magnetischer Sättigungspolarisation und Koerzitivfeldstärke. Ebenfalls eingetragen sind die in Abschn. 14.2.7 behandelten Ferrite.
14.1 Dia- und Paramagnetismus
825
Der Ferromagnetismus ist eine Ausnahme in der Natur. Er kommt nur bei den Übergangsmetallen Eisen, Cobalt, Nickel und bei einigen Lanthanoiden (Seltenen Erden, SE) vor und ist an den festen Aggregatzustand und nicht zu hohe Temperaturen gebunden. Daneben gibt es von den genannten Elementen, auch in Kombination mit einigen anderen, eine große Manigfaltigkeit von ferromagnetischen Legierungen und intermetallischen Verbindungen - mit kristalliner Ordnung oder (nach extrem schnellem Abkühlen aus der Schmelze) mit amorpher Struktur. Damit wurden verschiedene, vielseitig verwendbare Magnetwerkstoffe entwickelt (Abb. 14.7).
14.2.1 Ferromagnetische Messgrößen
Für Dia- und Paramagnetismus ist die Magnetisierung der Materie antiparallel bzw. parallel zur Erregung des angelegten „äußeren“ Felds und die Verknüpfungsgleichung für die magnetischen Feldgrößen Gl. (14.1) kann skalar geschrieben werden. Außerdem ist - abgesehen vom Sonderfall der Supraleitung (Abschn. 8.4.1) -\M\ <H. sodass das eigene Streufeld der magnetisierten Materie völlig vernachlässigt werden kann.
Erregung und Magnetisierung beim Ferromagnetismus. Die Verknüpfungsgleichung der magnetischen Feldgrößen
B=fi0(H+M)	(14.18)
muss für den Ferromagnetismus anders interpretiert werden als für die schwächeren Arten des Magnetismus.
Beim Ferromagnetismus sind auch Kristall- und Form-Anisotropie zu beachten; nur in den einfachen Fällen, die allerdings bei unseren Betrachtungen überwiegen, kann die skalare Form von Gl. (14.18) verwendet werden.
Im Folgenden soll H, die Erregung des angelegten „äußeren“ Feldes beschreiben. Für den Ferromagnetismus gilt
|M|>|//0|,	(14.19)
und deshalb muss das Streufeld der Materialprobe mit betrachtet werden: Für die Erregung wird
H — Ho +Hs	(14.20)
angesetzt, wobei Hs das „eigene“ Streufeld beschreibt. (Wie die beiden Erregungen und ihre Summe symbolisch unterschieden werden, ist nicht verbindlich geregelt; manchmal muss man einen Text sehr genau lesen, um zu erkennen, welche Bedeutung die verschiedenen Erregungssymbole haben.) Die Streufeld-Erregung Hs muss bei der Erregungsabhängigkeit der Magnetisierung M(H) berücksichtigt werden. Im einfachsten Fall ist H, die Erregung eines mit einer Spule erzeugten, berechenbaren Feldes, das im ferromagnetischen Material eine messbare Magnetisierung M(H0) hervorruft. Für eine vorgegebene Magnetisierungsverteilung M(r) lässt sich - wie unten kurz skizziert- das Streufeld Hs (r) berechnen und damit auch Abhängigkeit der Magnetisierung von der tatsächlich wirksamen Erregung //bestimmen; innerhalb der Probe ist Hs der Magnetisierung Mentgegen gerichtet und wirkt „entmagnetisierend“.
826
14 Magnetismus
Zur Berechnung von Hs(r) geht man aus von der Quellenfreiheit der Felder B und Ho. Wird von beiden Seiten der Gl. (14.18) die Divergenz gebildet und //durch Gl. (14.20) substituiert, ergibt sich wegen V B — V Ho — 0 die Beziehung
V Hs = -V M.	(14.21)
In Analogie zur Divergenz der elektrischen Erregung,
\  D — p (p — elektrische Ladungsdichte),	(14.22)
kann mit
N  Hs =—N  M = Pta	(14.23)
eine fiktive magnetische Ladungsdichte (ficticious magnetic charge density) pm eingeführt werden mit dem Ziel, die Methoden der in der Elektrostatik bewährten Po-tenialtheorie mit einem fiktiven skalaren magnetischen Potential zur Berechnung von Hs zu verwenden. Wenn sich die Magnetisierung abrupt an einer Oberfläche ändert (wie z. B. an den Stirnflächen eines Permanentmagenten), dann muss die „Flächendivergenz“ verwendet werden und es ergibt sich eine Flächendichte der fiktiven magnetischen Ladung. Dass die Feldberechnungen mithilfe der fiktiven magnetischen Ladungen zu sinnvollen Resultaten führen, ist begründet in der Formgleichheit der Fernfelder von magnetischen Momenten und elektrischen Dipolen.
Verschiedene Permeabilitätszahlen. Im Folgenden betrachten wir nur Messanordnungen, für die die wirksame magnetische Erregung H durch die Erregung Ho des angelegten Feldes gegeben ist. Das Streufeld der magnetisierten Probe wird durch geeignete Formgebung verschwindend klein gehalten. Die Permeabilitätszahl pr verknüpft das Z?-Feld im Inneren der Probe mit dem „von außen“ angelegten Feld Bo = p0H0. Gemittelt über viele Weiss-Bezirke hat das „makroskopische“ Feld B in guter Näherung dieselbe Richtung wie Bo, und p. kann als eine skalare Größe betrachtet werden. Sonderfälle, für die das nicht gilt (z. B. anisotrope Proben mit Vorzugsrichtung schräg zum Feld), werden hier nicht betrachtet. Wegen M |> H ist pr |> 1, sodass man praktisch nicht mehr zwischen B und p0M unterscheiden muss. (Der Anstieg der Hysteresekurve B(H) im Sättigungsbereich durch p0H ist in Abb. 14.8 übertrieben dargestellt.) Man könnte also /m und pr synonym verwenden, bevorzugt aber pr. Die Hysteresekurve B(H) gibt als umschlossene Fläche die Hysteresewärme (= Energieverlust pro Volumen für einen Ummagnetisierungszyklus).
Abb. 14.8 Hysterese: (a) Neukurve, die man erhält, wenn die Messung nach Abmagnetisierung der Probe (vgl. Abschn. 3.6.4) durchgeführt wird, (b) Sättigungsschleife, (c) positiver Ast der idealen Kurve für verschwindende Hysterese-Effekte (Beschreibung der Messvorschrift im Text).
14.2 Ferromagnetismus
827
Die Darstellung als Funktion M(H) bietet den Vorteil, dass man direkt ablesen kann.
Die Sättigungsschleife (Kurve b in Abb. 14.8) wird auch als „äußere Hystereseschleife“ bezeichnet. Verändert man jedoch das //-Feld, von der Neukurve bei //max < HSäU, also unterhalb der Sättigung, ausgehend, im Bereich — //max < H < + //max, dann erhält man eine geschlossene Kurve, die innerhalb der Sättigungsschleife liegt und als „innere Hystereseschleife“ bezeichnet wird. Die ideale Magnetisierungskurve (Kurve c in Abb. 14.8) ergibt sich, wenn man das //-Feld erst misst, nachdem die Probe bei eingeschaltetem Gleichfeld H einem Wechselfeld abnehmender Amplitude ausgesetzt wurde.
Die Permeabilitätszahl Jur ist eine Funktion von H und wird auf die Neukurve bezogen. Bei Werteangaben für Jur muss auch die dazugehörige //-Feldstärke genannt werden. Der Wert für H — 0 ist die Anfangspermeabilität Jua (nicht verwechseln mit der magnetischen Feldkonstante Zur Vereinfachung der Schreibung wird beim jti der Index „r“ weggelassen, wenn andere Indizes angegeben werden.
/'r Abb. 14.9 Magnetfeld und relative Permeabilitätszahl als Funktion der //-Feldstärke für eine ferromagnetische Substanz (Zahlenbeispiel).
Die in Abb. 14.9 angegebene relative Permeabilitätszahl wird auch totale Permeabilität genannt. Die differentielle Permeabilität [iiia (der Index „r“ wird auch hier weggelassen) gibt die Steigung der Neukurve für eine bestimmte Erregung:
/tdirr = d///(^0 d//).	(14.24)
Wird die ferromagnetische Probe bei einem konstanten //-Feld (Gleichstrom-Vormagnetisierung) vorübergehend einem kleinen //-Gegenfeld A// ausgesetzt, dann verringert sich das //-Feld vorübergehend um A/Z. Das magnetische Verhalten der Probe beim vorübergehenden Anlegen des Gegenfeldes A// wird durch eine kleine lanzettenförmige Schleife im //(//(-Diagramm beschrieben (Abb. 14.10), deren Anstieg bei verschwindend kleinem A// als reversible Permeabilität Jurev bezeichnet wird. Die Definition der remanenten Permeabilität ist aus Abb. 14.10 zu ersehen.
Abb. 14.10 Zur Definition der reversiblen Permeabilität für verschiedene Gleichstrom-Vormagnetisierungen entlang der Neukurve, der Anfangspermeabilität im Ursprung und der remanenten Permeabilität.
828
14 Magnetismus
Abb. 14.11 Zur Bestimmung der Hysterese durch Messung und Integration der Induktionsspannung: Unten - Hystereseschleife, oben - Induktionsspannungsschleife.
Abb. 14.12 Aufnahme der Hysteresekurve, (a) Messanordnung, (b) Oszillogramm der Hysterese einer Weicheisen-Drahtprobe (nach M.Lambeck).
Die einfachste Methode zur Aufnahme einer Ummagnetisierungskurve ist die induktive Messung der Änderung des magnetischen Flusses mit Integration der induzierten Spannung. Der Zusammenhang zwischen Induktionsspannung und Hysteresekurve ist in Abb. 14.11 dargestellt, die Messanordnung und eine Messkurve sind in Abb. 14.12 zu sehen.
14.2.2 Gyromagnetische Experimente
Die Erkenntnis, dass der Ferromagnetismus nicht durch spontane Ausrichtung magnetischer Bahnmomente, sondern magnetischer Spinmomente zustande kommt, stammt von gyromagnetischen Experimenten, die das gyromagnetische Verhältnis (den g-Faktor) g — 2 lieferten.
14.2 Ferromagnetismus 829
Ampere hatte zur Deutung der spontanen Magnetisierung von Ferromagnetika die Existenz von „Molekularströmen“ vermutet, die im Magneten reibungsfrei fließen und deren magnetische Momente sich spontan parallel zueinander ausrichten sollten. Zu Beginn dieses Jahrhunderts, als klassische und halb-klassische Atommodelle diskutiert wurden, lag es nahe, diese Molekularströme als Atomelektronen auf Kreisbahnen zu deuten, die nur mit g — 1 verträglich sind (vgl. Abschn. 7.3.2).
Schon Anfang dieses Jahrhunderts wurde erkannt, dass die Ampere’schen Molekularströme des Ferromagnetismus zu makroskopischen gyromagnetischen Effekten führen müssen: Da sich offensichtlich in Magneten (aus damals noch unverstandenen Gründen) magnetische Momente spontan parallel zueinander ausrichten, sind mit der makroskopischen Magnetisierung auch makroskopische Drehimpulse verbunden. Deshalb sollte es in „klassischen“ Experimenten möglich sein, das Verhältnis von magnetischem Moment und Drehimpuls für diese Ampere’schen Ströme zu messen.
Barnett-Experiment. Nach der obigen Überlegung führte S.J. Barnett 1914 ein gy-romagnetisches Experiment zur Magnetisierung eines rotierenden Körpers durch: Ein entmagnetisierter ferromagnetischer Stab wird um seine Achse in schnelle Rotation versetzt. Zur Erläuterung des Effektes betrachte man zuerst nur einen einzelnen, spontan magnetisierten Weiss-Bezirk des Stabes als Gyromagneten. Sein Drehimpuls steht unter irgendeinem Winkel zur Rotationsachse, und durch die Rotation wird ein Drehmoment auf ihn ausgeübt, das ihn parallel zur Rotationsachse einzustellen versucht, ähnlich wie es beim Kreiselkompass (Bd. 1) durch die Erdrotation geschieht. Da im ferromagnetischen Festkörper Richtungsänderungen der Magnetisierung i.A. nur unter Energieaufwand möglich sind, können unter dem Einfluss dieses schwachen Drehmomentes nur winzige Richtungsänderungen zustande kommen. Das Kreiselverhalten aller Weiss-Bezirke des Stabes zusammen ergibt beim Beginn der Rotation eine sehr kleine Magnetisierungsänderung, die in einem Flussmesser (z. B. einem Zeigerinstrument ohne Rückstellkraft wie dem „Kriechgalvanometer“) beobachtet werden kann. Danach wird in einem Kontrollversuch ein entmagnetisierter nicht-rotierender Stab durch ein schwaches longitudinales
Abb. 14.13 Gyromagnetisches Experiment von S.J. Barnett (1914). Erläuterungen im Text.
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14 Magnetismus
Magnetfeld gerade soweit magnetisiert, dass mit dem Flussmesser derselbe Ausschlag zu beobachten ist (Abb. 14.13). Aus Rotationsfrequenz und dem Magnetfeld des Kontrollversuchs lässt sich das gyromagnetische Verhältnis berechnen.
Barnett zeigte, dass das Verhältnis negativ ist, also auf die Drehbewegung einer negativ geladenen Masse zurückzuführen ist. Mit der naheliegenden Annahme, dass es sich bei dem geladenen Teilchen des Ampere’schen Stroms um das Elektron handelt, war das damals sehr überraschende quantitative Resultat des Barnett’schen Experimentes, formuliert in moderner Terminologie, grerromagn = 2( +12%). Danach konnte es sich beim Ferromagnetismus nicht um die magnetischen Momente von Elektronenbahnen handeln. Schon 1903 hatte M. Abraham berechnet, dass ein um seine Mittelachse rotierendes kugelförmiges Teilchen mit homogener Oberflächenladungsdichte einen g-Faktor von 2 hat. Deshalb wurde nun das Elektron mit Eigendrehimpuls (= Spin) als Ursache des Ferromagnetismus diskutiert, ohne dass man die spontane Parallelstellung der Spins in einem Weiss-Bezirk schon hätte erklären können.
Einstein-de-Haas-Experiment. Das inverse gyromagnetische Experiment (Rotation durch Magnetisierungsänderung) wurde 1915 in Deutschland von A. Einstein und W.J. de Haas durchgeführt, ohne Kenntnis der Barnett’schen Arbeit in den USA (1. Weltkrieg!). Dieses sehr schwierige Experiment ergab zuerst nur ungenaue Werte, die als eine Bestätigung der Erwartung „g = 1“ interpretiert wurden; erst Wiederholungen des Experimentes an anderen Orten ergaben 1918 1920 Messwerte in Übereinstimmung mit Barnetts Ergebnis.
Didaktisch ist das Einstein-de-Haas-Experiment viel leichter zu vermitteln als das Barnett-Experiment: Zum Verständnis genügt hier der Drehimpuls-Erhaltungssatz; Dynamik des Kreiselkompasses und Verschiebung von Bloch-Wänden müssen nicht herangezogen werden. Im Prinzip gleicht das Einstein-de-Haas-Experiment der bekannten Vorlesungsdemonstration mit Kreisel und Drehstuhl (Abb. 14.14) zur Erhaltung des Drehimpulses. Die Analogie wird noch zutreffender, wenn zur Erzeugung von Drehschwingungen die unter dem Vorlesungsdrehstuhl meist schon vorhandene Blatt-Spiralfeder eingesetzt wird: Der Demonstrator sitzt auf dem noch ruhenden Drehstuhl und hält einen Kreisel, der von einem Assistenten auf Schwung gebracht wurde, so in seinen Händen, dass die Drehachse vertikal ist. Nun dreht
Abb. 14.14 Versuch zur Erhaltung des Drehimpulses: Der auf einem Drehstuhl sitzende Demonstrator hält einen Kreisel mit vertikalem Drehimpuls. Durch Umpolung der Kreiselachse bewirkt er eine Drehbewegung.
14.2 Ferromagnetismus
831
der Demonstrator den Kreisel um 180°, und die mit dieser Drehachsen-Umpolung verbundene Änderung des Kreisel-Drehimpulses wird auf den Drehstuhl mit dem Demonstrator übertragen, der nun eine freie, schwach gedämpfte Drehschwingung beginnt. Polt nun der Demonstrator den Kreisel immer dann wieder um, wenn der Drehstuhl durch die Ruhelage schwingt, kann er damit eine Resonanzschwingung anregen. Die maximale Resonanzamplitude ist viel besser zu beobachten als die Bewegung des Drehstuhls (ohne Blattfeder) nach einmaliger Umpolung.
Das eigentliche Einstein-de-Haas-Experiment wird wie folgt durchgeführt: Eine stabförmige ferromagnetische Probe hängt an einem Torsionsfaden und ist vertikal magnetisiert. Wird die Probe ummagnetisiert, dann müssen sich auch die mit den atomaren magnetischen Momenten verknüpften Drehimpulse umkehren, und dadurch wird das am Torsionsfaden hängende Stäbchen zu einer Drehschwingung angestoßen; mit aufgeklebtem Spiegel und Lichtzeiger wird die Schwingungsamplitude gemessen. Um den Effekt zu verstärken, wird die Probe periodisch mit der Resonanzfrequenz des nur schwach gedämpften Torsionssystems ummagnetisiert. Für den Ummagnetisierungswechselstrom variabler Frequenz wurde in den historischen Experimenten ein „Motor-Generator“ (Gleichstrommotor direkt gekoppelt mit einem Einphasen-Wechselstromgenerator) verwendet; heute bietet die Leistungselektronik elegantere Möglichkeiten. Die Resonanzamplitude wird als Lichtzeiger-Schwingungsband gemessen und liefert, kombiniert mit den mechanischen Daten des Torsionsschwingungssystems (Trägheitsmoment, Torsionskonstante, Dämpfungskonstante, Lichtzeigerlänge), die Drehimpulsänderung. Die induktiv messbare Magnetisierung, multipliziert mit dem Probenvolumen, ergibt das gesamte magnetische Moment. Aus den getrennt gemessenen magnetischen und mechanischen Größen folgt der g-Faktor.
14.2.3 Entstehung der spontanen Magnetisierung
Unter spontaner Magnetisierung versteht man die Parallelausrichtung der atomaren magnetischen Momente /z auf den Gitterplätzen über einen größeren Bereich des Festkörpers (Weiss-Bezirk). Bei den ferromagnetischen Übergangsmetallen (Fe, Co, Ni) kommen als Verursacher des Ferromagnetismus die nicht-abgesättigten 3d-Elektronen in Betracht. Weil nur deren Spinmomente, aber nicht deren Bahnmomente eingehen, kann man vermuten, dass die elektrischen Felder im Kristall die Bahnen in einer Weise stören, die zwar den Gesamt-Bahndrehimpuls erhält, aber dessen Komponenten in bestimmte Richtungen zu null mittelt.
Im Kristall sind die 3d-Elektronen nicht völlig lokalisiert. Sie können sich durch Tunneleffekt im Kristall bewegen (itinerant electrons) und müssen deshalb, zusammen mit den 4s-Leitungselektronen im Bändermodell betrachtet werden (Abb. 14.15). Die hier nur schematisch dargestellten Kurven der Zustandsdichtenverteilungen D(E) sind für die beiden Spinrichtungen energetisch gegeneinander versetzt; beide Teilbänder sind bis zur Fermi-Energie besetzt. Aus dem Diagramm ist zu ersehen, dass Elektronen mit den Spins antiparallel zur Magnetisierung, d. h. mit den magnetischen Spinmomenten parallel zur Magnetisierung in der Majorität sind.
Die Bandvorstellung erklärt zwanglos, warum die Zahl der pro Atom am Ferromagnetismus beteiligten Elektronen keine ganze Zahl ist. Wenn man die Sätti-
832	14 Magnetismus
Abb. 14.15 Zwei energetisch gegeneinander versetzte Bänder für die Elektronen der beiden Spinrichtungen. Gegen die vertikale Energieachse nach der Seite aufgetragen ist die Zustandsdichte (schematisch).
gungsmagnetisierung durch die Atomdichte teilt ergibt sich 2.2 /tB pro Fe-Atom und 0.6 /tB pro Ni-Atom.
Die energetische Versetzung der Teilbänder für die beiden Spinrichtungen ist enorm groß, ca. 2.4 eV für Fe und 1 eV für Ni. Wenn man diese Energiedifferenz A£ — wie es beim schwachen Pauli-Paramagnetismus der Metallelektronen geschieht - auch hier mit 2[iBB identifizieren würde, dann ergäbe sich für Fe z. B. ein Zf-Feld von 20 Kilotesla; das ist 104-mal mehr als die Sättigungsfeldstärke von Eisen! Weil es im Rahmen der klassischen Physik keine bessere Erklärung gab, wurde von Pierre Weiss 1907 ein hypothetisches molekulares Feld von dieser Größe das heute Weiss-Feld genannt wird als Ursache für die spontane Magnetisierung angenommen.
Die spontane Magnetisierung ist ein quantenmechanischer Effekt, ähnlich wie die kovalente Bindung im H2-Molekül. Man spricht vom Austausch-Integral oder der Austausch-Wechselwirkung (exchange interaction), die für die H2-Bindung antiparallele Elektronenspins verlangt, im Kristallgitter des Eisens aber parallele Spinstellungen energetisch bevorzugt. Ferromagnetismus ist eine Eigenschaft des Kristallgitters, in dem die Atome, die ferromagnetisch werden können, angeordnet sind. (Bei den „amorphen“ Ferromagnetika existiert allerdings nur eine kristalline Nahordnung.) Bricht die kristalline Ordnung zusammen, so verschwindet damit der Ferromagnetismus.
Inwiefern der Ferromagnetismus nur bei besonderen Gittern und Gitterabständen auftreten kann, konnte erst durch die Quantentheorie einsichtig gemacht werden; der zugrundeliegende Gedanke und die schwierige rechnerische Ausführung stammen von J.I. Frenkel und von W. Heisenberg (1928). Offensichtlich erfüllen nur wenige Kristalle die Voraussetzungen für das Auftreten des Ferromagnetismus. Eine wichtige Größe ist das Verhältnis von Atomabstand im Kristall zum Radius der nicht-abgeschlossenen Schale, das nicht zu groß sein darf, weil sonst die Kopplung zu schwach wird und nur noch Paramagnetismus ermöglicht, aber auch nicht zu klein, weil sonst mit zunehmender Niveauaufspaltung Antiferromagnetismus energetisch bevorzugt wird (J.C. Slater 1930, H.Bethe 1933). Ein Grenzfall ist das Palladium, denn wenn die Elektronen im Palladium ein wenig stärker konzentriert wären, dann könnten sich die Spins spontan parallel stellen und das Palladium wäre ferromagnetisch. Man kann ein wenig nachhelfen: Bringt man wenige Eisenatome in das Palladium hinein, dann wird es ferromagnetisch.
14.2 Ferromagnetismus
833
Der Ferromagnetismus einiger Lanthanoide (Seltener Erden) kann nicht auf die gleiche Weise wie bei den Übergangsmetallen gedeutet werden. Bei den Lanthanoiden sind es die 4 f-Elektronen, die weiter innen liegen und als gut lokalisiert angesehen werden müssen. Hier wird eine indirekte Austauschkopplung der lokalisierten 4f-Elektronen über die 5s-Leitungselektronen angenommen.
Da die einzelnen Atome von Eisen oder Nickel paramagnetisch sind, stellt sich die Frage, wie groß ein Festkörper sein muss, um ferromagnetisch werden zu können. Versuche mit aufgedampften Nickelschichten haben gezeigt, dass sich Ferromagnetismus ab 3 Atomlagen ausbildet. Schichten von 6 Atomlagen und mehr haben schon dieselben ferromagnetischen Eigenschaften wie der massive Festkörper. Wenn die magnetische Kopplung zur Unterlage eine Rolle spielt, ergeben sich auch schon bei sehr dünnen Schichten neue, interessante Effekte, die zu dem Forschungsgebiet „Oberflächenmagnetismus“ geführt haben. Mehr darüber in Bd. 6, Abschn. 5.8.
Der spontanen Magnetisierung wirkt die Wärmebewegung entgegen, die die Ordnung der magnetischen Momente auf den Gitterplätzen zu beseitigen versucht. Mit wachsender Temperatur nimmt die spontane Magnetisierung ab, bei der „kritischen“ oder Curie-Temperatur Tc verschwindet sie vollständig. Oberhalb Tc kann eine Orientierung nur noch durch ein äußeres Feld erreicht werden: der vorher ferromagnetische Stoff verhält sich also oberhalb Tc wie ein paramagnetischer Stoff.
In der Kurve für Ni (Abb. 14.16) wurde die Temperatur auf Tc und die spontane Magnetisierung auf Ms(T — 0) normiert. Diese normierte Kurve gilt ungefähr auch für alle übrigen Ferromagnetika.
Qualitativ ist der Ferromagnetismus als ein quantenmechanisches Phänomen erklärt. Die quantitative Berechnung für ein bestimmtes Kristallgitter ist aber immer noch außerordentlich schwierig und nur mit vereinfachenden Modellannahmen möglich. Die Theorie der Temperaturabhängigkeit ist ebenfalls kompliziert.
Für die folgenden Betrachtungen genügt es, wenn man für die Ferromagnetika bei Temperaturen unterhalb des Curie-Punktes die Existenz der Austausch-Wechselwirkung, die die Bandversetzung \E bewirkt, akzeptiert und sich darauf beschränkt, die Konsequenzen zu analysieren.
Abb. 14.16 Temperaturverlauf der spontanen Magnetisierung von Nickel. Theoretische Kurve und Messwerte (Weiss und Forer 1926).
834	14 Magnetismus
14.2.4 Ummagnetisierungsprozesse
Bei Zimmertemperatur sind nur die Elemente Eisen, Cobalt, Nickel und Gadolinium ferromagnetisch. In fester Form sind sie stets Kristalle; so besitzt Eisen ein kubischraumzentriertes, Nickel ein kubisch-flächenzentriertes und Cobalt und Gadolinium ein hexagonales Gitter. Neben den eben angeführten Elementen gibt es noch eine große Anzahl von ferromagnetischen Legierungen.
Ein Stück ferromagnetisches Material ist im Allgemeinen kein Einkristall; es besteht vielmehr aus einem Konglomerat von kleinen Kristalliten. Um uns das Wesentliche klarzumachen, wollen wir im Folgenden zuerst Einkristalle betrachten.
Gegeben sei ein spontan magnetisierter quaderförmiger ferromagnetischer Einkristall (Abb. 14.17a). Er ist von einem ausgedehnten Magnetfeld umgeben, in dem eine erhebliche Energie enthalten ist, die zum Energieinhalt des Ferromagnetikums hinzugerechnet werden muss. Es sei daran erinnert, dass die Energiedichte des magnetischen Feldes gegeben ist durch
wm=1-B2/(ßo^).	(14.25)
Jeder Körper ist bestrebt, einen Zustand möglichst geringer Energie anzunehmen. Dies kann der ferromagnetische Körper durch Abbau des umgebenden Streufeldes erreichen, indem er sich in zwei Bereiche entgegengesetzter Magnetisierung aufteilt (Abb. 14.17b). Werden diese Bereiche nochmals aufgeteilt, dann verringert sich die Magnetfeldenergie weiter (Abb. 14.17c). Schließlich kann das äußere Feld völlig zum Verschwinden gebracht werden, wenn dreieckförmige Abschlussbereiche wie in Abb. 14.17d auftreten; dann verläuft der magnetische Fluss völlig im Innern des Ferromagnetikums. Die Abschlussbereiche der Abb. 14.17d wurden von L. Landau und E. Lifschitz (1935) aufgrund theoretischer Überlegungen vorausgesagt; inzwischen sind sie experimentell vielfach bestätigt worden.
Zu unterscheiden ist zwischen spontaner und pauschaler Magnetisierung: Unterhalb der Curie-Temperatur ist jeder Weiss-Bezirk spontan magnetisiert. Ein Körper mit einer Bezirksstruktur der Abb. 14.17d zeigt jedoch nach außen keine Magnetisierung, seine pauschale Magnetisierung ist null, da sich ja die Wirkung der spontan magnetisierten Bezirke nach außen gegenseitig aufhebt.
Abb. 14.17 Zur Entstehung der Bezirksstruktur eines Ferromagnetikums.
14.2 Ferromagnetismus
835
Die Vorstellung von spontan magnetisierten Bereichen in ferromagnetischen Stoffen wurde bereits 1907 von Pierre Weiss (1865-1940) postuliert. Diese Weiss-Bezirke haben oft nur Abmessungen in der Größenordnung von 10 jrm; das ist jedoch „makroskopisch“ im Vergleich zu den typischen Atomabständen von weniger als 1 nm. Die Bezirke werden durch die sog. Bloch-Wände voneinander getrennt. Man unterteilt die Wände danach, wie sich die Magnetisierungsrichtungen der Bezirke, die durch sie getrennt werden, unterscheiden. Die senkrechten Wände der Abb. 14.17c sind 180°-Wände, weil die angrenzenden Bezirke entgegengesetzt magnetisiert sind; die Wände der Abschlussbezirke der Abb. 14.17d sind 90°-Wände, denn die Magnetisierungen der benachbarten Bezirke stehen senkrecht aufeinander.
Die Bloch-Wände haben eine bestimmte Dicke, die von Material zu Material verschieden ist. Sie liegt zwischen 5 und 50 nm; also erstreckt sich eine Wand über einige hundert Gitterkonstanten. Innerhalb der Wanddicke ändern die Spins allmählich ihre Richtung. Als Beispiel ist in Abb. 14.18 ein Stück ferromagnetisches Material mit einer 180°-Wand skizziert; die Ränder der Wand sind durch gestrichelte Linien angedeutet. Links von der Wand weist die Magnetisierung nach hinten in den Metallklotz hinein, während die Magnetisierung des Bezirks rechts von der Wand nach vorn aus dem Material herauszeigt. Innerhalb der Wand drehen sich allmählich die Spins (in einer Ebene parallel zur Wand) um 180°; zwischen den Richtungen der Spinmomente auf den Gitterplätzen innerhalb der Wand besteht also jeweils ein kleiner Winkel. In der Mitte der Wand ist die Magnetisierung parallel zur Stirnfläche ABCD des Metallstücks gerichtet. Das bedeutet, dass auf seiner Oberfläche BEFC magnetische Pole auftreten; danach ist dort im Bereich der Wand mit einem inhomogenen magnetischen Streufeld zu rechnen, das aus dem Ferro-magnetikum in den Außenraum hinausgreift.
Abb. 14.18 Drehung der Spinmomente in einer 180°-Wand.
Das inhomogene Magnetfeld, das zwar sehr stark ist, aber nur im Bereich der Wand an der Oberfläche des ferromagnetischen Körpers auftritt, kann zum Nachweis der Weiss-Bezirke benutzt werden; Abb. 14.19a zeigt, wie im Bereich der Wand das magnetische Streufeld aus dem Ferromagnetikum heraustritt. Die Magnetisierung des linken Bezirks weist in die Zeichenebene hinein, die des rechten aus der Zeichenebene heraus. Man schichtet nun auf die sorgfältig behandelte Metalloberfläche eine Aufschwemmung von kleinsten ferro- oder ferrimagnetischen Partikeln (man
14.2 Ferromagnetismus
837
Die Bezirke lassen sich auch mit optischen Mitteln direkt beobachten: Linear polarisiertes Licht erfährt bei Reflexion an einer Metalloberfläche oder beim Durchgang durch eine dünne ferromagnetische Schicht eine Drehung seiner Polarisationsebene, die von der Magnetisierung des Metalls abhängig ist (magneto-optischer Kerr-oder Faraday-Effekt, vgl. Abb. 6.55). - Andere Methoden verwenden Elektronenstrahlen zur Beobachtung von Weiss-Bezirken in dünnen ferromagnetischen Schichten unter Ausnutzung der Lorentz-Kraft auf die Strahlelektronen.
Durch die erwähnten Verfahren, die einander entsprechende Bilder liefern, ist die Existenz der Weiss-Bezirke sichergestellt. Wir können uns deshalb die Vorstellung der Bezirke zunutze machen, um den allgemeinen Verlauf der Magnetisierungskurve ferromagnetischer Stoffe wenigstens qualitativ zu deuten.
Dazu betrachten wir das einfache Bezirksmuster der Abb. 14.21a; von außen ist keine Magnetisierung festzustellen, und es soll auch kein äußeres Magnetfeld anliegen. Dies wird anders, sobald ein äußeres Magnetfeld H angelegt wird; die Richtung dieses Feldes ist in Abb. 14.21 durch einen Pfeil markiert. Das Feld erzwingt, dass die Bezirke, deren spontane Magnetisierung nahezu in Richtung von H liegt, wachsen auf Kosten der Bezirke, deren Magnetisierung mehr oder weniger der Richtung von H entgegenweist, die also, bezogen auf das Magnetfeld, energetisch ungünstig liegen. Dieses Wachstum lässt sich am leichtesten durch Wandverschiebungen realisieren, sodass sich etwa das Bezirksmuster der Abb. 14.21b ergibt. Da nun ein äußeres Feld //von endlicher Stärke anliegt, ändert sich die Größe der Bezirke. Die Energiebilanz der Bezirke ist eine andere als in Abb. 14.21a; folglich ergibt sich eine pauschale Magnetisierung M, die von null verschieden ist. Wächst H weiter, dann kommen die Wandverschiebungen zum Abschluss; das Ferromagnetikum besteht schließlich nur noch aus einem einzigen Bezirk, nämlich aus dem Bezirk, dessen Magnetisierungsrichtung am besten mit H zusammenfällt (siehe Abb. 14.21c). Bei noch höherer Erregung beginnt sich die Magnetisierung in die Richtung von H einzudrehen und fällt schließlich mit ihr zusammen (Abb. 14.21d). Die Feldstärke ^0//, bei der dies erreicht ist, nennt man Sättigungsfeldstärke, die dann erreichte Magnetisierung entsprechend Sättigungsmagnetisierung. Sie hat die gleiche Größe wie die für die herrschende Temperatur mögliche spontane Magnetisierung.
Die Wandverschiebungen und Drehprozesse lassen sich nicht so scharf trennen, wie es in der Diskussion oben geschehen ist: noch ehe alle Wandverschiebungen
von (a) nach (d) ansteigend
Abb. 14.21 Magnetisierung eines ferromagnetischen Kristalls durch ein äußeres Magnetfeld.
838	14 Magnetismus
abgelaufen sind, beginnen schon Drehprozesse, indem sich die Magnetisierung einzelner Bezirke in die Richtung des äußeren Magnetfeldes eindreht. Trotzdem lässt sich etwas vereinfachend folgendes sagen: Im Bereich schwacher Felder lassen sich schon relativ hohe pauschale Magnetisierungen erreichen, denn Wandverschiebungen sind leicht möglich. Um darüber hinaus die pauschale Magnetisierung weiter zu erhöhen, muss das angelegte Feld ziemlich stark vergrößert werden, damit die schwerer möglichen Drehprozesse stattfinden. Danach wird die magnetische Sättigung erreicht.
Bei den soeben besprochenen Magnetisierungsvorgängen taucht die Frage auf: Warum sind überhaupt Wandverschiebungen notwendig? Die Magnetisierung der Bezirke könnte ja jede für sich in die Richtung des äußeren Feldes eindrehen. Die Ursache dafür, dass dies nicht geschieht, liegt in der Anisotropie der Ferromagnetika. In Kristallen sind aber nicht alle Richtungen gleichwertig. Würfelkante und Würfeldiagonale unterscheiden sich in einem einfach kubischen Gitter z. B. dadurch, dass in der einen Richtung die Kristallbausteine dichter liegen als in der anderen. Diese Anisotropie ist dafür verantwortlich, dass die spontane Magnetisierung bestimmte kristallographische Richtungen in ferromagnetischen Kristallen bevorzugt. Zur Messung der Magnetisierung als Funktion eines angelegten Feldes Ho für bestimmte Kristallrichtungen, ohne Störungen durch ein entmagnetisierendes Feld Hs, werden aus Einkristallen Proben geschnitten, wie in Abb. 14.22 gezeigt ist.
Abb. 14.22 Proben, die aus kubischen Einkristallen geschnitten werden, um das Magnetisierungsverhalten entlang einer bestimmten Kristallrichtung zu untersuchen (nach R.M. Bozorth).
Eisen und Nickel haben beide kubische Gitter; beim kubisch-raumzentrierten Eisen sind die Würfelkanten <100 > die „leicht“ magnetisierbaren Richtungen, die Würfel-Raumdiagonalen <111> sind die „schwer“ magnetisierbaren Richtungen, die Würfel-Flächendiagonalen <110> zeigen ein „mittleres“ Verhalten. Beim Eisen ist es also schwer, die Magnetisierung aus der Würfelkante in Richtung der Raumdiagonale zu drehen. Beim kubisch-flächenzentrierten Nickel ist es umgekehrt: Nickel-Einkristalle lassen sich sehr viel leichter in Richtung der Raumdiagonale als in Richtung der Flächendiagonale oder gar der Würfelkante bis zur Sättigung magnetisieren. Beim hexagonalen Gitter, wie es beim Cobalt vorliegt, werden ausnahmsweise 4 kristallographische Achsen spezifiziert: eine Hauptachse <00  1>, die beim Cobalt
14.2 Ferromagnetismus
839
»oH/mT
»oH/mT
»oH/mT
Abb. 14.23 Magnetisierungskurven für verschiedene Kristallrichtungen bei Fe, Ni und Co (nach R.M. Bozorth).
die „leichte“ Richtung ist, und in einer dazu senkrechten Ebene drei untereinander gleichwertige Nebenachsen <10 • 0), die sich unter Winkeln von 60° schneiden und alle drei magnetisch „schwere“ Richtungen sind (Abb. 14.23). Entsprechend der vier Achsen wird jede Kristallebene durch 4 Indizes spezifiziert, aber einer der drei Indizes, die zu den koplanaren Nebenachsen gehören, ist überzählig; er wird deshalb oft weggelassen und durch einen Punkt ersetzt.
Alle Magnetisierungskurven, mit Ausnahme der schweren Richtung für Co, <10 • 0), zeigen in ihrem ersten steilen Anstieg, dass die Wandverschiebungen schon bei sehr kleinen Feldstärken nahezu vollständig ablaufen. Die Kurve für die magnetisch „weiche“ Richtung mündet danach sofort in die Sättigung, während die Kurven der „mittleren“ und „harten“ Richtung langsamer ansteigen, weil höhere Feldstärken erforderlich sind, um die Magnetisierung der Bezirke aus der „weichen“ Vorzugssrichtung in die „mittlere“ oder gar „schwere“ Richtung einzudrehen.
Vom pauschal unmagnetischen Zustand der Probe, erhalten z. B. durch Entmagnetisierung in einem Wechselfeld abnehmender Amplitude (vgl. Abb. 3.42), wird zur Aufnahme der Neukurve die Magnetisierung allmählich durch ein wachsendes äußeres Feld erhöht. Lässt man nach der magnetischen Sättigung die äußere Feldstärke abnehmen, dann geht auch die Magnetisierung zurück, aber es bleibt bei verschwindendem äußeren Feld eine Magnetisierung zurück (Remanenz). Es wird also nicht der Zustand der Abb. 14.21a erreicht, sondern nur etwa der der Abb. 14.21b. Dieses Verhalten erklärt sich daraus, dass die Bloch-Wände keineswegs völlig frei beweglich sind. Unmagnetische Einschlüsse, Kristallbaufehler und örtliche Verspannungen des Kristalls bilden für eine Wand Hindernisse, die sie nicht ohne weiteres überwinden kann.
Wir betrachten nun eine einzelne Bloch-Wand. Je nach ihrer Lage im Kristall, liefert sie einen verschieden großen Beitrag E zur Gesamtenergie des Kristalls. Die ruhende Wand liegt in einem lokalen Minimum der Gesamtenergie, das durch die
840
14 Magnetismus
Probe^
(b)
N S
—► Fzunehmend
Messschleife V .--'Verstärker
2—Lautsprecher
Abb. 14.24 Barkhausen-Sprünge bei der Magnetisierung: (a) Magnetisierungskurve mit vergrößertem Detail, (b) Anordnung zur Erfassung der Sprünge als Knackgeräusche im Lautsprecher.
anziehenden und abstoßenden Kräfte der Kristallbaufehler (Fehlstellen, Fremdatome) bestimmt wird. Ein äußeres Magnetfeld verändert die energetischen Bedingungen und kann eine Wandverschiebung begünstigen. Eine genügend große Feldstärke bringt die Wand dazu, die das lokale Minimum umgebende Potentialschwelle zu überwinden und sich zu einem anderen Punkt mit tieferem lokalen Minimum der Gesamtenergie zu bewegen. Wenn das geschieht, dann hat die Wand einen irreversiblen Sprung gemacht; dieser plötzliche Ortswechsel der Wand ist gleichbedeutend mit der Ummagnetisierung des ferromagnetischen Materials im Bereich der Wandverschiebung und kann induktiv über Verstärker und Lautsprecher als Barkhausen-Sprung nachgewiesen werden (Abb. 14.24). Nach dem Gesagten ist es klar, dass die Hystereseschleifen im steilen Bereich der Kurve, wo bevorzugt Wandverschiebungen stattfinden, eine stetige Änderung der Magnetisierung nur vortäuschen. In Wirklichkeit erfolgen die Änderungen unstetig als Barkhausen-Sprünge.
Während eines Barkhausen-Sprunges bewegt sich die Bloch-Wand mit hoher Geschwindigkeit eine kleine Strecke im Kristall. 1931/35 haben K.J. Sixtus und L. Tonks die Wanderungsgeschwindigkeit von Bloch-Wänden in Fe/Ni-Drähten unter Zugspannung gemessen; abhängig von Feldstärke und Zugspannung erhielten sie Geschwindigkeiten im Bereich von 20 bis 200 m/s.
Die Remanenz ist nun leicht zu verstehen: Wird das äußere Magnetfeld abgeschaltet, dann bewegt sich die Wand keineswegs zum Ausgangspunkt zurück, sondern bleibt in einem davorgelegenen Minimum der Gesamtenergie liegen. Der Vorgang der Wandverschiebung ist irreversibel. Erst ein Gegenfeld von der Größe der Koerzitivfeldstärke (früher: Koerzitivkraft) kann die Wand in die alte Lage zurückbringen. Wir können also sagen, dass die Magnetisierung der Feldstärke „nachhinkt“. Die mikroskopischen irreversiblen Wandsprünge stellen eine Art „Wandreibung“ dar, die sich makroskopisch in der Hysteresewärme äußert.
Demonstrationsmodelle zum Ferromagnetismus. Von mehreren Lehrmittel-Herstellern werden Modelle angeboten, die aus ca. 100 kleinen Magnetnadeln bestehen, die regelmäßig flächenhaft verteilt und mit ihren Spitzenlagern auf einer Plexiglas-Unterlage fest montiert sind; eine dicht über den drehbaren Nadeln liegende, fest mit der Unterlage verbundene Plexiglas-Deckplatte verhindert, dass die Nadeln beim Hantieren des Modells von den Spitzen abfallen. Die Anordnung der Nadeln bildet entweder ein quadratisches („kubisches“) oder dreieckiges („hexagonales“) Gitter.
842	14 Magnetismus
Polykristalline Ferromagnetika. Wie oben schon erwähnt wurde, sind einkristalline ferromagnetische Materialien die Ausnahme; meist liegt eine polykristalline Struktur vor bestehend aus einem Konglomerat winziger Einkristalle (Kristallite, „Körner“) mit unterschiedlichen, regellos verteilten räumlichen Orientierungen ihrer Kristallachsen. Im entmagnetisierten Zustand hat eine solche Probe eine Bereichsstruktur, die etwa der von Abb. 14.26 entspricht.
Abb. 14.26 Weiss-Bezirke in einem entmagnetisierten polykristallinen Ferromagnetikum (schematisch). Dicke Grenzlinien sind Bloch-Wände an Korngrenzen, dünne Grenzlinien sind Bloch-Wände innerhalb eines Kristallits.
Obwohl eine Vielzahl von Erfahrungen über den Ferromagnetismus gesammelt und zahlreiche Einzelprobleme gelöst worden sind, steht eine einheitliche Theorie noch aus. Es ist bisher nur in einfachen Fällen gelungen, den Magnetisierungsvorgang, wie er sich in der Hystereseschleife ausdrückt, auch tatsächlich zu berechnen. Aber wir können wenigstens qualitativ sagen, welche Vorbehandlung notwendig ist, um bestimmte ferromagnetische Eigenschaften zu erhalten. Die Technik hat in den letzten Jahrzehnten bei der Herstellung von magnetischem Material hervorragende Leistungen vollbracht.
Weich-magnetische Werkstoffe sollen möglichst leicht bewegliche Wände und möglichst leicht drehbare Magnetisierungsvektoren besitzen. Man muss also versuchen, einerseits die durch Fehlstellen verursachten Bewegungshemmnisse einzuebnen und andererseits die Kristallanisotropie möglichst herunterzudrücken. Das eine erreicht man durch Herstellung möglichst fehlerfreier Kristalle (weitgehend saubere chemische Zusammensetzung, Vermeidung von inneren Spannungen und Fehlstellen durch langsames Abkühlen aus der Schmelze), das andere durch geeignete Kristallzusammensetzung (Legierung).
Strebt man dagegen hart-magnetische Werkstoffe an, die sich zur Herstellung von Permanentmagneten eignen, dann muss man die Bewegung der Wände möglichst erschweren. Neben hoher Koerzitivfeldstärke wird eine Remanenz dicht unterhalb der Sättigung gewünscht (fast rechteckige Hysteresekurven); durch hohe Anisotropie erreicht man, dass die Magnetisierung entlang der Vorzugsrichtung nicht durch Drehprozesse vermindert wird.
Amorphe Ferromagnetika. Für manche Anwendungen möchte man die magnetische Anisotropie, die immer mit dem kristallinen Zustand verbunden ist, völlig vermeiden. Dazu werden aus geschmolzenen Legierungen mit schneller Abkühlung amor
14.2 Ferromagnetismus 843
phe Ferromagnetika hergestellt. Durch eine Düse wird die Schmelze unter Druck auf eine sehr schnell rotierende gekühlte Metallscheibe gespritzt und fliegt als amorphes Band von bis zu 100 |im Dicke von der Scheibe. Durch den Abschreckvorgang wird die ungeordnete Struktur der Flüssigkeit eingefroren und jegliche weitreichende magnetische Anisotropie vermieden. Weil die Konzentration der Legierungskomponenten in weiten Grenzen variiert werden kann, lassen sich Stoffe mit extremen Eigenschaften (z. B. verschwindender thermischer Volumenausdehnung) herstellen.
Die amorphen Ferromagnetika sind häufig Legierungen von Übergangsmetallen (Fe, Ni, Co, Mn, Mo) mit Nichtmetallen (C, Si, B, P) in Atomzahlverhältnissen von 80:20 bis 70:30. Technisch besonders interessant sind die so erreichbaren, sehr hohen Anfangspermeabilität von bis zu 106. Die Zahl der Bohr-Magnetonen pro Atom und die Curie-Temperatur sind bei den amorphen Ferromagnetika allerdings deutlich kleiner als bei vergleichbaren kristallinen Legierungen.
Permanentmagnete mit nanokristallinen Strukturen. Durch schnelles Abschrecken aus einer Schmelze oder durch mechanisches Legieren lassen sich Strukturen mit Körnern von 10-30 nm Durchmesser erhalten, die hervorragend geeignet sind, um Magnete mit bestimmten charakteristischen Hystereseschleifen zu entwickeln. Superstarke Magnete erhält man mit intermetallischen Verbindungen der Seltenerdmetalle (Lathanoide), z. B. Fe14Nd2B. Durch kleine Abweichungen von der Stöchiometrie (von den Massenverhältnissen, die der chemischen Verbindung entsprechen) und durch Zugabe anderer Elemente lassen sich die magnetischen Eigenschaften stark verändern.
Ein Maß für die Qualität eines Permanentmagneten ist das maximale Energieprodukt, gegeben durch die Größe	(vgl. Abschn. 3.6.6, Erläuterung zu
Abb. 3.46), die die magnetische Energiedichte angibt. Abb. 14.27 veranschaulicht den Entwicklungsfortschritt von den C-Stählen des 18. Jahrhunderts bis zu den modernen intermetallischen Verbindungen.
Hochkoerzitive Magnete erhält man z. B. mit einer Legierung, die Zusätze von Ga und Nb und einen geringen stöchiometrischen Überschuss von Neodym (Nd) enthält: Fe72Nd17B7 5Gaj 5Nb2 (Abb. 14.28, Skizze rechts unten). Hier sind die Kris-tallite durch eine paramagnetische Schicht aus dem überschüssigen Neodym von-
Abb. 14.27 Zeitliche Entwicklung der magnetischen Energiedichte von Permanentmagneten. Die den verschiedenen Magneten zugeordneten Säulen entsprechen den Volumina, in denen jeweils dieselbe magnetische Energie gespeichert werden kann (nach H. Kronmüller, Phys.Bl. (1997) Nr. 5).
844	14 Magnetismus
Abb. 14.28 Hysteresesschleifen der im Text beschriebenen Magnete aus intermetallischen Verbindungen von Seltenerdmetallen (nach H. Kronmüller, Phys.Bl. (1997) Nr. 5).
einander getrennt, der Gallium-Zusatz bewirkt eine Benetzung der Körner in der flüssigen intergranularen Phase; das Niob verhindert Kornwachstum bei der Abkühlung durch Bildung hochschmelzende FeNd-Boride. Die große Koerzitivfeldstär-ke beruht darauf, dass jedes dieser Körner sich wie ein magnetisch entkoppelter Permanentmagnet verhält.
Hochremanente Magnete erhält man für die stöchiometrische Zusammensetzung Fe14Nd2B, bei der die Körner ohne jede paramagnetische Zwischenphase durch Austausch-Wechselwirkung miteinander gekoppelt sind (Abb. 14.28, mittlere Hystereseschleife für die fast stöchiometrische Legierung Fe82Nd12B6). Eine weitere Remanenzsteigerung erhält man für Legierungen mit über-stöchiometrischem Eisen; beim schnellen Abschrecken werden kleine Eisenkörner mit großer spontanen Magnetisierung in die hartmagnetischen (Nd2Fe14B)-Körner eingelagert (Abb. 14.28, Skizze links oben).
Weiss-Bezirke als Datenspeicher. Ein remanent magnetisierter Weiss-Bezirk repräsentiert mit seiner Magnetisierungsrichtung (f oder j.) den Informationsgehalt von einem Bit. Das ist die Grundlage der magnetischen Datenspeicher, die in der Form von Magnetbändern für Ton- und Videokassetten allgemein bekannt sind; aber auch die Festplatte (hard di.sk) im Computer ist ein nach diesem Prinzip funktionierender Datenspeicher.
Die Wirkungsweise eines Schreibkopfes, mit dessen Hilfe Information auf ein magnetisches Speichermedium übertragen wird, ist in Abb. 14.29 schematisch dargestellt. Wird das „beschriebene“ Speichermedium schnell an einem Lesekopf mit Induktionsspule vorbeigeführt, dann induziert das Streufeld zwischen unterschiedlich magnetisierten Bereichen entsprechende Spannungspulse, aus denen die Information „gelesen“ werden kann.
Magnetowiderstandsköpfe (vgl. Abschn. 14.2.8) sind empfindlicher als induktive Leseköpfe. Ihr Signal wird vom magnetischen Fluss bestimmt, nicht von der Fluss-
14.2 Ferromagnetismus 845
Abb. 14.29 Informationsübertragung auf ein magnetisches Speichermedium (Prinzipskizze).
änderung; sie sind deshalb besonders vorteilhaft bei geringen oder variablen Relativgeschwindigkeiten zwischen Kopf und Speichermaterial.
Die hochentwickelte, kommerziell genutzte Magnetspeichertechnik beruht auf der Longitudinalaufzeichnung, bei der die Magnetisierung der Bereiche in der Ebene des Speichermediums liegt (Abb. 14.29), wie sie durch die Formanisotropie einer dünnen Schicht bevorzugt wird. Im Prinzip ist auch Perpendikularaufzeichnung (per-pendicular recording technique) möglich, wenn das Speichermedium eine hinreichend hohe Kristallanisotropie besitzt, die auch für eine dünne Schicht spontane Magnetisierung in vertikaler Richtung erzwingen kann. Damit kann die Speicherdichte erhöht werden, wie 2005 im Forschungslabor von Hitachi gezeigt wurde.
14.2.5 Magnetostriktion
Die magnetoelastische Kopplung in den anisotropen ferromagnetischen Kristallen führt dazu, dass die Magnetisierung eine elastische Deformation hervorruft und dass - umgekehrt eine mechanische Spannung das Magnetisierungsverhalten beeinflusst.
Die Magnetostriktion (Formänderung im Magnetffeid bei konstantem Volumen) wurde 1842 von J.P Joule entdeckt (Joule-Magnetostriktion); der inverse Effekt (Änderung der Magnetisierung durch elastische Spannung, vgl. Abb. 14.30) wurde von E. Villari (1865) gefunden (Villari-Effekt). - Bringt man einen ferromagnetischen Stab in die Achse eines zirkularen Matgnetfeldes z. B. dadurch, dass man durch den Stab selbst einen starken Strom schickt, so ruft die Magnetisierung eine Torsion hervor (Wiedemann-Effekt); umgekehrt: wird ein ferromagnetische Draht tordiert, dann erhält er eine spiralförmige magnetische Anisotropie (Matteucci-Effekt). Die Magnetostriktion ist nicht das magnetische Analog zur im Abschn. 13.2.1 behandelten Elektrostriktion; dagegen besteht phänomenologische Ähnlichkeit mit der Piezoelektrizität.
Je nachdem, ob parallel zur Magnetisierungsrichtung eine Verlängerung oder Verkürzung auftritt, spricht man von positiver oder negativer Magnetostriktion. Die relativen Längenänderungen A/'/Z' liegen im Bereich von 10 x bis 10 4.
Eisen besitzt positive Magnetostriktion, d. h. energetisch bevorzugt werden Magnetisierungen parallel zu einer angelegten Zugspannung oder senkrecht zu einer
846
14 Magnetismus
Abb. 14.30 Hysterese eines axial magnetisierten Nickeldrahtes: (a) Zugspannung = 0, (b) = 94 N/mm2. Bei 250 N/mm2 ist keine Schleife mehr zu erkennen (nach M. Lambeck).
Druckspannung. Nickel besitzt negative Magnetostriktion, zeigt also das umgekehrte Spannungsverhalten.
Die Magnetostriktion lässt sich demonstrieren, indem man mit der Anordnung von Abb. 14.12 die Hysterese eines parallel zu seiner Achse magnetisierten Nickeldrahtes ohne und mit Zugspannung aufnimmt. Im letzteren Fall wird die Magnetisierung senkrecht zur Achse energetisch bevorzugt, und die Maximalwerte des angelegten Wechselfeldes genügen nun nicht mehr, um Sättigungsmagnetisierung in Drahtrichtung zu erreichen (Abb. 14.30).
Ein bekannts magnetostriktives Phänomen ist das „Trafo-Brummen“ mit einer Tonfrequenz von 100 Hz, verursacht durch die mit 50 Hz Wechselstrom ummagnetisierten Trafo-Bleche.
Volumenmagnetostriktion. Neben der Joule-Magnetostriktion gibt es noch eine viel kleinere Volumenänderung bei konstanter Form, die von der sponaten Magnetisierung abhängt und durch deren Temperaturabhängigkeit in Erscheinung tritt. Da die spontane Magnetisierung mit steigender Temperatur abnimmt, ist es möglich, in einem bestimmten Temeraturbereich eine positive Volumenmagnetostriktion (Zunahme des Volumens mit zunehmender spontanen Magnetisierung, gleichbedeutend mit Abnahme des Volumens bei steigender Temperatur) zu benutzen, um die thermische Ausdehnung zu kompensieren. Die Invar-Legierung (Fe mit 35 Atom-% Ni), benannt nach ihrem temperaturinvarianten Volumen, besitzt diese Eigenschaft; ihr thermischer Ausdehnungskoeffizient liegt im Temperaturbereich von 20 bis 100°C bei 1 • 10 6K das ist etwa 1/10 vom Wert für Eisen. Diese Entdeckung von C. Guillaume (1896, Nobelpreis 1920) führte zu zahlreichen technischen Anwendungen temperaturunabhängiger Komponenten: Pendel für Uhren, Längenstandards der Metrologie und Geodäsie, Abstandsstücke für Fabry-Perot-Interferometer, Metall-Glas-Übergänge, Mikrowellen-Bauteile u. a.m. Mit ähnlichen Legierungen kann auch ein temperaturkonstanter Elastizitätsmodul erreicht werden (Federn für Uhren und Messinstrumente).
14.2.6 Antiferro- und Ferrimagnetismus
Wir haben den Ferromagnetismus dadurch gedeutet, dass die magnetischen Momente (Spinmomente) auf den Gitterplätzen eines ferromagnetischen Kristalls parallel zueinander ausgerichtet sind, wenn die Temperatur unterhalb des Curie-Punk-
14.2 Ferromagnetismus
847
Ferromagnetismus
Antiferromagnetismus
Ferrimagnetismus
(a)
Abb. 14.31 Anordnung der magnetischen Momente (schematisch) für die verschiedenen Arten des Magnetismus unterhalb der Curie- bzw. Neel-Temperatur.
tes liegt. Es ergibt sich schematisch also ein Bild wie in Abb. 14.31a. Benachbarte Spins weisen in die gleiche Richtung. Bereits 1932 hat aber L. Neel (Nobelpreis 1970) darauf hingewiesen, dass sich unter bestimmten Bedingungen benachbarte Spins antiparallel stellen können. Man spricht dann von Antiferromagnetismus (Abb. 14.31b). 1938 wurde erstmals am Manganoxid (MnO) antiferromagnetisches Verhalten nachgewiesen. Der Antiferromagnetismus lässt sich durch zwei ineinander verschachtelte Untergitter mit entgegengesetzt gleicher Magnetisierung beschreiben. Beim Ferromagnetismus sind die Spinmomente alle gleichgerichtet; beim Antiferromagnetismus sind sie nur innerhalb der Untergitter gleichgerichtet, während die Untergitter in entgegengesetzter Richtung magnetisiert sind. Auf den Gitterplätzen der Antiferromagnetika befinden sich magnetische Momente von gleichem Betrag, sodass nach außen keine Magnetisierung in Erscheinung tritt.
Beim Ferrimagnetismus, dessen Deutung auch von L. Neel (1948) stammt, ist das anders, wie es in Abb. 14.31c durch die Länge der Pfeile angedeutet ist. Wohl sind die Momente in den beiden Untergittern für sich parallel gerichtet und die Untergitter antiparallel. Es sind aber auf den Plätzen des einen Untergitters dem Betrag nach größere magnetische Momente lokalisiert als auf den Plätzen des anderen Untergitters. Der Ferrimagnetismus ist also dadurch charakterisiert, dass sich die Wirkungen der beiden Untergitter nach außen nicht mehr kompensieren, folglich eine spontane Magnetisierung beobachtbar wird. Die äußere Erscheinung ist demnach ähnlich wie beim Ferromagnetismus.
Die magnetischen Suszeptibilitäten zeigen die Unterschiede der verschiedenen magnetischen Verhaltensweisen der Materie. Der Diamagnetismus ist durch die Tem-
(c) Antiferromagnetismus
(a) Paramagnetismus (b) Ferromagnetismus
Abb. 14.32 Temperaturverlauf der magnetischen Suszeptibilität für Paramagnetismus, Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus.
848
14 Magnetismus
peraturunabhängigkeit der Suszeptibilität gekennzeichnet. Bei paramagnetischen Stoffen gilt das Curie’sche Gesetz, nach dem die Suszeptibilität der Temperatur umgekehrt proportional ist (Abb. 14.32a). Bei Ferromagnetismus finden wir oberhalb der Curie-Temperatur Tc paramagnetisches Verhalten; d. h. wir haben für Ferro-magnetika das Curie’sche Gesetz durch eine geänderte Temperaturskala zu modifizieren und erhalten so das Curie-Weiss-Gesetz (Abb. 14.32b), das aber nur oberhalb von Tc gilt. Unterhalb von Tc ist das Temperaturverhalten von Ferromagnetika je nach Stoff und dessen Vorbehandlung unterschiedlich. Auch antiferromagnetische Stoffe haben eine Temperatur, Neel-Temperatur 7X genannt, oberhalb der sie sich paramagnetisch verhalten. Das Curie-Weiss-Gesetz muss jedoch bei antiferromagnetischen Stoffen modifiziert werden: Im Nenner tritt nicht die Curie-Temperatur subtraktiv, sondern die Debye-Temperatur 0D additiv auf (Abb. 14.32c). Dieses Gesetz gilt nur oberhalb TN. Unterhalb von 7X fällt die antiferromagnetische Suszeptibilität ab.
Abb. 14.33 Ausrichtung der magnetischen Momente in einem antiferromagnetischen Gitter.
Am leichtesten ist das antiferromagnetische Verhalten zu verstehen, wenn man den Kristall in zwei Untergitter aufteilt. Als Beispiel betrachten wir ein raumzentriertes kubisches Gitter, wie es in Abb. 14.33 dargestellt ist. Dieses Gitter können wir in zwei Untergitter aufspalten: das eine besteht aus den Atomen oder Molekülen in den Würfelmitten, das andere aus den Teilchen auf den Würfelecken. Beide Untergitter sind dann einfache kubische Gitter. Beide Untergitter sollen nun für sich ferromagnetisch sein, d. h. in beiden sollen die Spins (bzw. die dazu antiparallelen magnetischen Momente) parallel gerichtet sein. Ist die Wechselwirkung zwischen den beiden Untergittern so, dass sich die Spins des einen Untergitters nach oben und die des anderen nach unten stellen, dann liegt Antiferromagnetismus vor. Von außen ist keine Magnetisierung festzustellen. Auf nächst benachbarten Gitterplätzen, also in der Würfelecke und in der Würfelmitte, befinden sich stets magnetische Momente in antiparalleler Stellung zueinander. Wenn wir also längs der räumlichen Würfeldiagonale durch den Kristall gehen, so weisen die Spins abwechselnd nach oben und nach unten, genau wie es in Abb. 14.31b dargestellt ist. Oberhalb der Neel-Temperatur wird die Ordnung der magnetischen Momente durch die Wärmebewegung zerstört, während sich unterhalb der Übergangstemperatur um so besser die typische antiferromagnetische Anordnung der magnetischen Momente einstellt, je tiefer die Temperatur ist. Demzufolge ist die Magnetisierung zu tiefen Temperaturen hin immer schwerer möglich, sodass die Suszeptibilität immer mehr abfällt (Abb. 14.32c).
Das entworfene Bild deckt sich recht gut mit den experimentellen Ergebnissen. Abb. 14.34 zeigt den Verlauf der Suszeptibilität von MnO mit der Temperatur; die
14.2 Ferromagnetismus
849
Abb. 14.34 Temperaturverlauf der magnetischen Suszeptibilität von MnO in einem //-Feld von 400 000 A/m (nach Bizette, Squire und Tsai).
Suszeptibilität fällt deutlich ab, sobald die Neel-Temperatur von 122 K unterschritten wird. Die Neel-Temperatur ist eine charakteristische Größe, die sich nicht nur bei der magnetischen Suszeptibilität bemerkbar macht. Auch einige andere physikalische Eigenschaften (spezifische Wärme, thermischer Ausdehnungskoeffizient, elektrischer Widerstand u. a.) zeigen in der Nähe der Neel-Temperatur ausgeprägte Anomalien, sodass auch an ihrem Temperaturverlauf eine experimentelle Bestimmung der Neel-Temperatur möglich ist.
14.2.7 Ferrite
Substanzen, die Ferrimagnetismus zeigen werden Ferrite genannt. Die einfachsten haben eine Zusammensetzung, die sich durch die chemische Formel MeO • Fe2O3 ausdrücken lässt; dabei ist Me ein zweiwertiges Metall wie Mg, Mn, Fe, Co, Ni,
Abb. 14.35 Temperaturverlauf der Magnetisierung eines Ferrites, gemessen in einem //-Feld von 400 000 A/m (nach Gorter und Schuhlkes, 1953).
850	14 Magnetismus
Cu, Zn, Cd oder eine Mischung aus ihnen. Man kann die Ferrite auch als vom Magnetit Fe3O4 = FeO • Fe2O3 abgeleitet auffassen, indem das zweiwertige Eisen durch eines der angeführten Metalle ersetzt wird. Diese Ferrite haben Spinellstruktur, benannt nach dem Gitter des Minerals Spinell (MgAl2O4).
Wir haben schon eingangs erwähnt, dass Ferrite eine spontane Magnetisierung zeigen, dass sie also in diesem Punkt den Ferromagnetika ähneln. Es bestehen jedoch wesentliche Unterschiede im Temperaturverlauf der spontanen Magnetisierung. Ferromagnetika passen sich gut Kurven vom Typ der Abb. 14.16 an. Das Verhalten der Ferrite ist komplizierter, wie Abb. 14.35 am Beispiel des Lithium-Chrom-Ferrits zeigt.
Solche Kurven lassen sich mithilfe der Untergitter erklären. Wir wollen die beiden Untergitter durch die Indizes A und B unterscheiden. Beide Gitter verhalten sich -jedes für sich genommen - wie ferromagnetische Kristalle. Ihre spontane Magnetisierung wird also durch eine Kurve wie etwa in Abb. 14.16 angegeben. Für die spontane Magnetisierung des A-Gitters gilt deshalb die Kurve in Abb. 14.36, die bei der Curie-Temperatur Tc verschwindet. Da die spontane Magnetisierung Mb des B-Gitters der des A-Gitters entgegengerichtet ist, tragen wir sie in der Abb. 14.36 als negativ ein. Nach außen beobachtbar ist allein die spontane Magnetisierung M des Gesamtgitters, die sich als Summe von und ergibt. Dies ist die mittlere Kurve der Abb. 14.36. Da aber die gemessene Magnetisierung stets als positiv angegeben wird, muss der letzte Teil dieser Kurve an der Z-Achse in den gestrichelten Teil gespiegelt werden. Das Resultat ist eine Kurve, die der Messkurve von Abb. 14.35 ähnlich ist.
Die Zerlegung des ferrimagnetischen Kristalls in zwei formal getrennte Untergitter ist eine bequeme Vorstellung zur anschaulichen Deutung der Versuchsergebnisse. Die Untergitter sind aber physikalisch gekoppelt. Die Antiparallelstellung benachbarter magnetischer Dipole wird durch die Wechselwirkung zwischen ihnen erzwungen. Bei genau einer Temperatur, der Curie-Temperatur, wird diese Wechselwirkung durch die Wärmebewegung unwirksam gemacht.
Ferrimagnetische Stoffe verhalten sich - abgesehen von der Temperaturabhängigkeit der spontanen Magnetisierung - ähnlich wie Ferromagnetika. Sie zeigen Bezirksstrukturen und ändern ihre pauschale Magnetisierung durch Wandverschiebungen und Drehprozesse. Ebenso sind an ihnen Kristallanisotropie und Magnetostriktion beobachtbar.
Abb. 14.36 Die spontane Magnetisierung der Untergitter und des Gesamtgitters eines Ferrites als Funktion der Temperatur.
14.2 Ferromagnetismus
851
Die Ferrite haben den großen Vorteil, dass ihr spezifischer elektrischer Widerstand um acht bis elf Zehnerpotenzen größer ist als der der metallischen Magnete. Dadurch sind die Wirbelstromverluste vernachlässigbar klein. Dieser Vorteil der Ferrite wiegt im Vergleich mit den ferromagnetischen Metallen schwerer als der Nachteil der kleineren Sättigungsmagnetisierung und der niedrigeren Curie-Temperatur.
Durch die Variation der Zusammensetzung können die Eigenschaften der Ferrite in weiten Grenzen verändert werden. Die verschiedenen Metalloxide werden als Pulver vermischt, unter sehr hohem Druck in die gewünschte Form gepreßt und anschließend gesintert, wobei die Metalle und der Sauerstoff sich zu einem Spinell-Kristall verbinden. Die Herstellung von größeren Ferritstücken ist schwierig, weil beim Sintern der Ferrit auf etwa die Hälfte seines Volumens schrumpft, wobei starke mechanische Spannungen auftreten können. Gesinterte Ferritstücke haben die Härte von Porzellan.
Von sehr großem Vorteil ist auch die Möglichkeit, die Ferrite zu Pulver zu zerkleinern. Dieses Pulver kann in Keramik oder in Kunststoffen (auch in sehr dünnen Folien) eingebettet werden. Je nach Zusammensetzung sind die Ferrite hart- oder weichmagnetische Werkstoffe. Im Vergleich zu den ferromagnetischen Werkstoffen ergeben sich folgende Vorteile:
-	Die hartmagnetischen Ferrite haben den Vorteil einer höheren Koerzitivfeldstärke.
Ein Nachteil ist die kleinere, temperaturabhängige Remanenz.
Anwendungen: Die sehr feinkörnigen Ferritmassen lassen sich gut auf Bänder und Scheiben zur magnetischen Datenspeicherung aufbringen. Andere Anwendungsbeispiele sind: Haftmagnete, Kern- und Ringmagnete für Lautsprecher, Telephonhörerkapseln, Tauchspulmikrophone, gepolte Relais, Magnete für Magnetrons und Wanderfeldröhren, Permanentmagnete in Motoren, Generatoren und Messinstrumenten.
-	Die weichmagnetischen Ferrite haben den großen Vorteil der geringen Wirbelstromverluste, der den Einsatz bei sehr hohen Frequenzen gestattet.
Anwendungsbeispiele: Ferrit-Antennenstäbe in Radiogeräten, verlustarme Ferritkerne in Hochfrequenzspulen, induktive Energieübertragung (ohne elektrischen Kontakt!). Die induktive Energieübertragung wird z. B. bei Auto-Wegfahrsperren genutzt: Hochfrequent ummagnetisierte Ferritfolien umfassen das Zündschloß und übertragen Energie an den Auto schlüssel, damit der den Startcode an das Auto übertragen kann.
14.2.8 Magnetowiderstand
Wenn ein Strom durch einen ferromagnetischen Leiter fließt, dann treten, wie bei allen Leiterströmen, die in Abschn. 8.1.2 beschriebenen galvano-magnetischen Effekte auf, die durch die Einwirkung eines äußeren Magnetfelds auf den Leiterstrom zustande kommen. - Im Folgenden geht es um viel markantere ferromagnetische Effekte.
1857 entdeckte William Thomson (Lord Kelvin) den anisotropen Magnetowiderstand (anisotropic magnetoresistance, AMR): Ferromagnetische Leiter erfahren in
852	14 Magnetismus
einem Magnetfeld eine Änderung des elektrischen Widerstands. Der Widerstand ist proportional zum Quatrat des Kosinus des von Magnetisierung und Stromrichtung eingeschlossenen Winkels, also maximal, wenn sie parallel oder antiparallel zueinander ausgerichtet sind, minimal bei senkrechter Orientierung. Die Widerstandsänderungen liegen im Bereich von einigen Prozent.
Der Riesen-Magnetowiderstand (giant magnetoresistance, GMR) wurde 1988 gleichzeitig und in unabhängigen Arbeiten von Peter Grünberg am Institut für Festkörperphysik (IFF) des Forschungszentrum Jülich und von Albert Fert an der Universität Paris-Sud entdeckt. In der einfachsten Anordung sind zwei ferromagnetische Schichten durch eine sehr dünne Zwischenschicht aus nicht-ferromagnetischem Me-talli getrennt. Der Widerstand des Schichtpakets ist maximal wenn die Magnetisierungsrichtungen antiparallel zueinander sind, minmal wenn sie parallel sind. Mit Vielschicht-Stapelsystemen werden sehr hohe Widerstandänderungen erzielt.
Der elektrische Widerstand beruht auf der Streuung der Leitungselektronen an den im Festköper gebundenen Elektronen und Atomkernen (Abschn. 8.1.1). Da die Elektronen neben Ladung auch Spin besitzen, besteht die Elektron-Elektron-Streu-ung aus einer Überlagerung von ladungsabhängiger und spinabhängiger Wechselwirkung. Der Streuquerschnitt ist für antiparallele Spins größer als für parallele. Die in das Schichtsystem ein tretenden Leitungselektronen sind nicht spin-polarisiert, d. h. je 50% haben Spins parallel bzw. antiparallel zu einer gegebenen Vorzugsrichtung. Beim Durchgang durch eine remanent magnetisierte Schicht werden die Leitungselektronen mit Spins antiparallel zu den Spins der ferromagnetischen Majoritätselektronen stärker gestreut, - für sie ist der elektrische Widerstand größer.
Abb. 14.37a zeigt das Ersatzschaltbild für den Stromdurchgang durch ein Zweischichtsystem (mit dünner Zwischenschicht) für den Fall paralleler Schichtmagnetisierungen; der obere Strompfad ist der der Leitungselektronen mit Spins antiparallel zu den Spins der ferromagnetischen Majoritätselektronen; für diese Elektronen haben beide Schichten einen großen Widerstand. Dazu parallel geschaltet ist der Strompfad der Leitungselektronen mit parallelen Spins, für die beide Schichten einen kleinen Widerstand haben. Abb. 14.37b gilt für antiparallele Schichtmagnetisierung; in den beiden, parallel geschalteten Strompfaden für die zwei Spinkomponenten der Leitungselektronen ist deshalb ein großer und ein kleiner Widerstand in Reihe geschaltet. Wie sich leicht nachrechnen lässt, ist für die linke Schaltung der resultierende Gesamtwiderstand kleiner als für die rechte. Schließen die beiden Schichtmagnetisierungen den Winkel & ein, dann variiert der Gesamtwiderstand des Zweischicht-Systems zwischen Rmin (Abb. 14.37a) und Rmax (Abb. 14.37b) gemäß
R(0) = (1/2) (Rmax + Rmin) — (1/2) (Rmax — Rmin) cos0.	(14.26)
Abb. 14.37 Ersatzschaltbilder für ein Zweischichten-System, (a) für parallele Magnetisierungen, (b) für antiparallele Magnetisierungen (nach Abb. 5.43 von Bd. 6).
14.2 Ferromagnetismus 853
rotierender
Permanentmagnet
weich magnetische Sensorschicht ,
zur Sensor-Elektronik
Zwischenschicht
hartmagnetisches
Basisschichtsystem
Abb. 14.38 Ein Spin-Ventil als Drehwinkel-Sensor. Das Spin-Ventil besteht aus einer hartmagnetischen Basisschicht (unten), einer nicht-ferromagnetischen Zwischenschicht und einer darüberliegenden weichmagnetischen Sensorschicht. Die Magnetisierung letzterer wird vom Streufeld des rotierenden Permanentmagneten „mitgenommen“ (nach G. Reiss et al., Phys. Bl. 54 (1998) Nr. 4).
Wegen der Verknüpfung des Effektes mit den Spins der Elektronen wird so ein Mehr-schichten-System auch Spin-Ventil (spin valve) genannt. Durch Ausnutzung der in Gl. (14.26) dargestellten Winkelabhängigkeit können Spin-Ventile als Drehwinkel-Sensoren eingesetzt werden (Abb. 14.38).
Die in den Spin-Ventilen wirksame spin-abhängige Elektron-Elektron-Streuung kann auch dazu führen, dass eintretende unpolarisierte Leitungselektronen beim Durchgang durch ein GMR-Mehrschichtsystem polarisiert werden, d. h., dass die spin-abhängige Streuung zu einer Spin-Polarisation der austretenden Leitungselektronen führt. Im Prinzip kann diese Polarisation in nachgeschalteten elektronischen GMR-Systemen nachgewiesen und genutzt werden. Dieses neue Gebiet der spin-Elektronik (Spintronik), in dem die Spinpolarisation der Leitungselektronen als neue Variable hinzu kommt, befindet sich am Anfang einer interessanten Entwicklung.
Bis etwa 1990 wurden die magnetischen Speicherzellen der Festplatten durch ein im Schreibkopf erzeugtes Magnetfeld „beschrieben“ und durch Induktionssignale, die durch die Streufelder der vorbeibewegten Speicherzellen erzeugt wurden, „gelesen“ (Abb. 14.29). Die weitere Miniaturisierung der Speicherzellen wurde gebremst, als die Induktionssignale im Lesekopf kaum noch nachgewiesen werden konnten. 1991 führte IBM einen auf dem anisotropen Magnetowiderstand beruhenden Lesekopf für Festplatten ein, der deutlich empfindlicher war und höhere Speicherdichten erlaubte. Der große Durchbruch kam 1998, als IBM den auf dem Riesen-Magneto wider stand beruhenden Lesekopf einführte, den das IBM-Team unter der Leitung von Stuart Parkin in einer etwa zehnjährigen Arbeit entwickelt hatte.
Die Zwischenschicht eines Spin-Ventils kann auch einer sehr dünnen Oxidschicht (A12O3, MgO) bestehen, die von den Leitungselektronen durchtunnelt werden kann. Durch die Zustandüberlappung von beiden eng benachbarten magnetisierten Schichten wird die Tunnelwahrscheinlichkeit abhängig von den Magnetisierungsrichtungen. Dadurch wird der Widerstandseffekt sehr groß. Man spricht hier von einem magnetischen Tunnelwiderstand (tunnelling magnetoresistance, TMR). Solche Spin-Ventile werden für nicht-flüchtige magnetische Speicher (MRAM, Magnetic Random
854	14 Magnetismus
Access Memory) eingesetzt, die in den Forschungslabors der Hartware-Firmen mit großem Einsatz entwickelt werden.
14.2.9 Magneto-elektrische Effekte
Darunter versteht man die Beeinflussung (anti)ferromagnetischer Strukturen durch elektrische Felder und, umgekehrt, die Beeinflussung (anti)ferroelektrischer Strukturen durch magnetische Felder. Dass es eine solche Wechselbeziehung geben könnte, wurde schon 1894 von Pierre Curie vermutet.
Obwohl die Effekte nur in einigen Kristallen auftreten, ist das theoretische Interesse sehr groß, weil die Gleichungen, die die magnetischen bzw. elektrischen Feldgrößen miteinander verknüpfen, nun durch Kreuzkorrelationsterme ergänzt werden müssen. Technologisch lässt die gegenseitige Kontrolle elektrischer und magnetischer Eigenschaften neue Ansätze für die Datenspeicherung erwarten.
14.3	Magnetische Flüssigkeiten
14.3.1 Ferrofluide
Die sehr kleinen, remanent magnetisierten ferro- oder ferrimagnetischen Teilchen der Ferrofluide können durch Drehung leicht die Richtung ihrer Magnetisierung ändern, ähnlich leicht wie paramagnetische Atome in einem Festkörper, ihre „makroskopischen“ magnetischen Momente Jum sind aber viel stärker als die paramagnetischer Atome. Wenn man einen ferromagnetischen Stoff pulverisiert und die Körnchen so klein macht, dass ein Weiss-Bezirk (eine Domäne) das ganze Korn ausfüllt, dann ist das ganze Korn ein kleiner Permanentmagnet. Um das Zusammenflocken der kolloidalen Teilchen durch magnetische und Van-der-Waals-Kräfte zu verhindern, umgibt man die Teilchen mit einem grenzflächenaktiven Stoff, z. B. Ölsäure. Die langen Moleküle der Ölsäure stehen senkrecht auf der Oberfläche der Teilchen und sorgen so für den Abstand zum nächsten Teilchen. Wenn man die so behandelten Körner in einer geeigneten Trägerflüssigkeit aufschwemmt, dann können sich die Körner leicht drehen und in einem Magnetfeld parallel einstellen. Die mit der Drehung verbundenen Reibungsverluste in der Flüssigkeit sind verschwindend klein. Nach dem Ausschalten des äußeren Magnetfelds sorgt die Wärmebewegung (Brown’sche Molekularbewegung) schnell für eine regellose Einstellung der magnetischen Momente. Es gibt praktisch keine Hystereseschleife; Remanenz und Koerzitivfeldstärke sind null. Ferrofluide (ferrofluids, FF) verhalten sich bei Zimmertemperatur phänomenologisch wie Paramagnetika bei sehr tiefen Temperaturen; dieses Verhalten wird als Superparamagnetismus bezeichnet.
Bei der Herstellung eines Ferrofluids ist besonders auf die Kleinheit der Partikel zu achten. Das am meisten verwendete Material ist Magnetit (= Magneteisenstein, FeO • Fe2O3). Die Magnetisierung dieses Ferrits ist zwar kleiner als die eines Ferromagnetikums, aber ausreichend. Magnetitpulver wird in Anwesenheit einer Polymerlösung und einer Trägerflüssigkeit in Kugelmühlen über einen Monat lang gemahlen und zwischendurch mehrmals zentrifugiert, die größeren Teilchen werden
14.3 Magnetische Flüssigkeiten 855
abgetrennt. Am Ende dieses Prozesses haben die Magnetitkügelchen einen Radius R von etwa 10 nm. Jedes Teilchen enthält etwa 105 spontan magnetisierte Spinmomente, die zusammen ein permanentes magnetisches Moment von ca. 10 Am2 ergeben. Geeignete oberflächenaktive Polymere sind z. B. Ölsäure oder Polymer-Amine. Als Trägerflüssigkeiten werden z. B. Wasser oder Kohlenwasserstoffe verwendet. Eine andere Herstellungsmethode benutzt das Ausfällen von Magnetit aus einer Eisenchlorid-Lösung in Anwesenheit von oberflächenaktiven Polymeren und einer Trägerflüssigkeit.
Die Struktur der magnetischen Kolloidteilchen ist in Abb. 14.39 skizziert. Magnetitkügelchen mit Radius R sind umgeben von einer Polymerhülle der Dicke ö; mit s wird der Abstand der Magnetitkügelchen, mit r = s — 2ö der Abstand der Polymeroberflächen bezeichnet. Die potentiellen Energien der Wechselwirkungen zwischen zwei derartigen Teilchen haben die in Abb. 14.40 skizzierte Form der Abhängigkeit vom Abstandsparameter s/R. Die Energie der Van-der-Waals-Wechselwirkung ist näherungsweise proportional zu (s + 2/?) 6, die der magnetischen Wechselwirkung zwischen den beiden magnetischen Momenten ist proportional zu (,v + 2R) 3. Die potentielle Energie der sterischen Abstoßung resultiert aus der elastischen Deformierbarkeit der Polymerhüllen. Wie die Kurve der Gesamtenergie zeigt, sind die Kolloidteilchen gegen Koagulation geschützt, weil das Maximum der Energie größer als 2QkT bei Zimmertemperatur ist, sodass Stöße, die zum Zusammenkleben führen, praktisch nicht auftreten.
Abb. 14.39 Struktur magnetischer Kolloide mit Magnetitkern und Polymerhülle, schematisch (nach K. Stierstadt).
Abb. 14.40 Abstandsabhängigkeit der potentiellen Energie zweier magnetischer Kolloidteilchen. Dicke der Polymerhülle 2 nm (nach R.E. Rosenszweig).
856
14 Magnetismus
Abb. 14.41 Versuche: (a) magnetische Flüssigkeit steigt an einem stromdurchflossenen Draht empor; (b) Glaskugel steigt in der Flüssigkeit auf, wenn ein nach oben divergierendes magnetisches Feld erzeugt wird.
Demonstrationsexperimente. Die besonderen Eigenschaften der magnetischen Flüssigkeiten werden nur in Gegenwart von Magnetfeldern sichtbar. Sehr eindrucksvoll ist es, eine magnetische Flüssigkeit von einem Becherglas in einem dünnen Strahl in ein anderes zu gießen und dabei einen Permanentmagneten in die Nähe des Strahls zu bringen. Der geknickte Strahl ist eigenartig!
Abb. 14.41a zeigt einen leicht durchführbaren Versuch. Man stellt eine Flasche mit abgesprengtem Boden umgekehrt auf. Durch den Gummistopfen ist ein etwa 2 mm dicker Kupferdraht gesteckt, gerade und vertikal. Der Draht ist über einen Schalter mit einer Autobatterie verbunden. Die Flasche wird zu etwa 1/4 mit magnetischer Flüssigkeit gefüllt. Schließt man den Stromkreis, dann steigt die magnetische Flüssigkeit ziemlich schnell am Draht nach oben, weil die magnetisierten Teilchen in das den Leiterstrom umgebende Magnetfeld hineingezogen werden. Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen magnetischer Anziehungskraft und Schwerkraft ein.
Ein anderer Versuch ist in Abb. 14.41b skizziert. Ein kleines Becherglas wird etwa zur Hälfte mit einer magnetischen Flüssigkeit gefüllt. Eine weiße Glaskugel wird in das Becherglas gelegt. Man kann die Kugel gerade noch durch die dunkle magnetische Flüssigkeit von der Seite und von oben sehen. Die Flüssigkeitshöhe soll deutlich größer als der Durchmesser der Glaskugel sein; die Kugel liegt auf dem Boden. Nähert man sich dem Becherglas von unten mit einem Permanentmagneten, dann steigt die Glaskugel nach oben und schwebt in der Flüssigkeit, obgleich sie schwerer ist als diese und das Glas der Kugel völlig unmagnetisch ist. Die Erklärung ist einfach: die magnetische Flüssigkeit wird vom Permanentmagneten angezogen, geht unter die Glaskugel und drängt diese nach oben in das schwächere Feld.
Anwendungsbeispiele. Am häufigsten werden Ferrofluide (FF) in Dichtungen für Wellendurchführungen eingesetzt. Durch Permanentmagnete an der Dichtungsstelle gehalten, kann das FF starkem Druck widerstehen und sich verschleißfrei der ständig ändernden Dichtöffnung anpassen.
In elektrodynamischen Lautsprechern existiert ein enger Luftspalt zwischen der mit der Membran schwingenden Tonspule und dem ortsfesten Weicheisenkern. In diesem Spalt herrscht ein starkes Magnetfeld, sodass es leicht ist, diesen Spalt mit
14.3 Magnetische Flüssigkeiten 857
einer magnetischen Flüssigkeit auszufüllen. Dadurch werden die Dämpfung der Oberschwingungen und die Kühlung der stromführenden Tonspule verbessert. Nicht-ferromagnetische Stoffe verschiedener Dichte können in einem zwischen den Polen eines Elektromagneten befindlichen FF voneinander getrennt werden. Die Dichte des FF kann mit der Feldstärke variiert werden. Stoffe der gleichen Dichte schwimmen darin, die mit anderen Dichten sinken zu Boden oder schwimmen obenauf. Eingesetzt wird dieses Verfahren z. B. zur Gewinnung von Gold und Edelsteinen.
Beispiel einer medizintechnischen Anwendung: Durch äußere Felder können Wirksubstanzen mit Ferrofluiden als Träger an einer gewünschte Stelle im Körper positioniert werden. Danach wird das Ferrofluid mithilfe von Magneten wieder aus dem Blutkreislauf entfernt.
14.3.2 Magnetorheologische Flüssigkeiten
Superparamagnetische Stoffe, die mit ihren rheologischen Eigenschaften reversibel auf das Anlegen eines Magnetfeldes reagieren, nennt man magnetorheologische Flüssigkeiten (magnetorheological fluids, MRF). Es sind Suspensionen bestehend aus Trägerflüssigkeit, Stabilistator und ferromagnetischen Feststoffpartikeln, mit einem Durchmesser von 1-10 jim und einem Volumenanteil von bis zu 80%. Als Basisflüssigkeit werden meist isolierendes Silikonöl oder synthetische Öle eingesetzt. Ohne den Einfluss eines magnetischen Feldes sind MRF dünnflüssig. In ein Magnetfeld eingebracht kommt es zu einer Erhöhung der Viskosität. Der Fließwiderstand der Flüssigkeit ändert sich innerhalb von Millisekunden. Die ferromagnetischen Partikel verankern sich und bilden kettenartige Strukturen parallel zu den Magnetfeldlinien. In diesem Zustand kann man die MRF als Festkörper bezeichnen.
Bei den Anwendungen der MRF wird das magnetisch steuerbare viskoelastische Verhalten ausgenutzt. Zur Zeit werden MRF hauptsächlich in Dämpfern, Kupplungen, Motorlagern und Bremsen eingesetzt. MRF dienen auch als Stabilisatoren von Brücken und Gebäuden zum Abfangen von Wind- und Erdstößen.
Charakteristische Unterschiede von MRF und Ferrofluiden (FF). Beide sind Suspensionen von eisenhaltigen Teilchen in einer Trägerflüssigkeit wie Öl. Aber MRF enthalten Teilchen aus reinem Eisen mit Durchmessern von Mikrometern, FF enthalten dagegen Ferrit-Teilchen in der Größe von Nanometern, beschichtet mit koagula-tionsverhinderden Tensiden. Im Gegensatz zu MRF bilden FF keine Ketten. Selbst in sehr starken Magnetfeldern bleiben FF flüssig. Die FF-Viskosität wird durch ein angelegtes Magnetfeld nicht verändert, aber die Teilchen halten sich bevorzugt im Bereich des hohen Magnetfelds auf. Die MRF-Technologie begann schon in den 1940er Jahren (Patent: Jacob Rabinow), die FF sind eine neuere Entwicklung (Patent: S.Papell 1965).
Gemeinsamkeiten von MRF und elektrorheologischen Flüssigkeiten (ERF). Beide werden oft zusammen als „Schlaue Flüssigkeiten“ (smart fluids) bezeichnet. Für technische Anwendungen werden z. Z. fast ausschließlich MRF verwendet, weil damit wesentliche höhere Scherspannungen (= tangentiale Kraft/Angriffsfläche, vgl. Bd. 1) erreicht werden können. Die ERF haben aber einen prinzipiellen Vorteil für
858
14 Magnetismus
Anwendungen in tragbaren Geräten, weil es leichter ist, mit einer tragbaren Batterie und entsprechender Elektronik das elektrische Feld für eine ERF (typisch einige kV/mm) zu erzeugen als das magnetische Feld für eine MRF (typisch einige 100 mT).
14.4	Magnetfeld der Erde
14.4.1 Feld auf der Erdoberfläche
Die Existenz des magnetischen Erdfeldes und die frühe Verfügbarkeit von Permanentmagneten (Magneteisenstein) haben sehr wesentlich zur Entwicklung des Elektromagnetismus beigetragen. Die Kompassnadel war die erste Erfindung, die den Magnetismus ausnutzt; sie kam Jahrhunderte früher als die erste Erfindung zur Elektrizität, der Blitzableiter.
Eine Magnetnadel stellt sich in die Nord-Süd-Richtung des magnetischen Erdfeldes ein; sie zeigt in die Richtung zum magnetischen Pol, der nicht identisch ist mit dem durch die Erdrotation definierten geographischen Pol.
Abb. 14.42 Zur Definition der erdmagnetischen Elemente.
Für die Messung des Magnetfeldes auf der Erdoberfläche gelten die folgenden geophysikalischen Definitionen: Der Vektor des lokalen Ü-Feldes wird in die Komponenten X, Y und Z zerlegt, wobei X nach Norden, Y nach Osten und Z vertikal nach unten zeigt (Abb. 14.42). Die „erdmagnetischen Elemente“ sind die Horizontalintensität
H = (X2 + F2)1/2,	(14.27)
die Totalintensität
F = (X2 + Y2 + Z2)1/2,	(14.28)
und zwei Winkel, die Deklination (declination, magnetic Variation),
D — Winkel zwischen Horizontalkomponente des Erdfeldes und geographisch Nord (positiv nach Osten),
und die Inklination (dip angle)
I — Winkel zwischen Erdfeld und der Horizontalebene (positiv nach unten).
14.4 Magnetfeld der Erde
859
Abb. 14.43 Erdinduktor: Der Rahmen R trägt eine Spule bekannter Windungsfläche und kann mittels der Achse A gedreht werden. Der äußere Rahmen C kann um die Achse B gedreht werden.
Für die Messungen der Horizontalintensität H (und auch der Vertikalintensität Z) wurde von W. Weber 1852 der Erdinduktor (Abb. 14.43) entwickelt und zusammen mit einem ballistischen Galvanometer verwendet. Bei vertikal gestellter Achse A wird der Apparat so aufgestellt, dass die Spule mit bekannter Windungsfläche im Rahmen R senkrecht zur Horizontalkomponente des Erdfeldes steht; dann wird der Rahmen R mit der Handkurbel um 180° gedreht und der Spannungsstoß gemessen. Wird der äußere quadratische Rahmen C mittels der Achse B so verstellt, dass die Spule horizontal liegt, dann kann mit einer 180°-Drehung um die Achse A die Vertikalintensität Z bestimmt werden. Aus beiden Werten ergibt sich die Inklination /gemäß tan I — Z H. Die direkte Messung der Inklination I ermöglicht eine Magnetnadel mit horizontaler Drehachse. Zur Messung des Deklinationswinkels D wird die Richtung einer Kompassnadel mit der z. B. durch Sternpeilung bestimmten geographischen Nordrichtung verglichen.
In guter Näherung ist das Magnetfeld an der Erdoberfläche beschreibbar als das Feld eines magnetischen Dipolmomentes (Abb. 14.44), das im Erdmittelpunkt lokalisiert und gegen die Rotationsachse um 11.4° geneigt ist. Der Achsendurchstoßpunkt liegt bei 79.7N 71.8W (IGRF-10: International Geomagnetic Reference Field, Epoch: 2005). Das magnetische Dipolmoment /;m, beträgt 8.0-1022 Am2. Im Abstand r vom magnetischen Dipol, unter dem Winkel 0 zum magnetischen Äquator hat das /?-Feld den Betrag
B =	(1 + 3 sin2 0)1/2/r3;	(14.29)
0 ist der magnetische Breitengrad. (Bei den in Abschn. 3.4.4 gegebenen Formeln für den magnetischen Dipol ist & der Polarwinkel und dementsprechend sind Sinus und Kosinus vertauscht.) Aus Gl. (14.29) folgt mit r = R@ x 6371 km (mittlerer Erdradius), dass das Erdfeld am geomagnetischen Äquator, wo es horizontal ist, den Betrag H — 31 jrT besitzt, und an den geomagnetischen Polen, wo es vertikal ist, den Betrag Z = 62 jrT. Für das Observatorium Niemegk (bei Potsdam) mit der geomagnetischen Breite von 51° 53' ist H — 19 jrT und Z = 45 jrT; das ergibt die Totalintensität F — 49 jrT, Die dort gemessenen erdmagnetischen Variationen der letzten 24 Stunden sind im Internet einsehbar.
Aus historischen Gründen wird die nach Norden zeigende Spitze des Kompass als ihr „Nordpol“ bezeichnet. Die Beibehaltung dieser Benennung hat zur Folge, dass sich in der Nähe des geographischen Nordpols der magnetische Südpol befindet und umgekehrt. Nach unseren Konventionen für die Richtung von Drehimpulsen
860
14 Magnetismus
Abb. 14.44 Dipolfeld der Erde in einem Schnitt, der Rotations- und Dipolachse enthält (nach W. Kerst). Der geomagnetische Nullmeridian ist in der Abbildung der linke Halbkreis zwischen den magnetischen Polen; der geographische Nordpol liegt also auf der geomagnetischen Länge von 180°.
(Rechtsschraube) und magnetischen Momenten (von Südpol zu Nordpol) sind Drehimpuls und magnetisches Moment der Erde annähernd entgegengesetzt gerichtet.
Für eine noch bessere Beschreibung muss man auch Beiträge höherer Multipole betrachten. Wie C.F. Gauß 1832 mithilfe der Potentialtheorie zeigte, ist die Be-schreibbarkeit des Feldes durch Kugelfunktionen in einer Multipol-Entwicklung ein Beweis dafür, dass die Quellen des Erdfeldes im Inneren der Erde liegen. Deshalb spricht man vom erdmagnetischen Innenfeld, auch wenn man das von diesen inneren Quellen erzeugte äußere Magnetfeld meint. Es gibt auch ein erdmagnetisches Außenfeld, das durch Ströme in der die Erde umgebenden Magnetosphäre erzeugt wird und starken Schwankungen unterliegt, aber zur Feldstärke an der Erdoberfläche kaum 1 % beiträgt. Das Erdfeld ist zeitlich nicht konstant. Die langsamen Veränderungen werden als Säkularvariationen bezeichnet; das Dipolfeld, das 88% des Erdfeldes beschreibt, ist davon weniger betroffen als das Restfeld. Die Achsenrichtung des Dipols hat sich seit der ersten genauen Bestimmung durch Gauß (1835) kaum verändert, nur der Betrag des magnetischen Momentes hat einige Prozent abgenommen. (Wenn die Abnahme anhielte, würde das Erdfeld in etwa 2000 Jahren null sein.) Restfeld-Veränderungen bewirken die Wanderung der Pole: Der arktische Magnetpol lag bei seiner Entdeckung durch J.C. Ross (1831) auf der kanadischen Halbinsel Boothia. Inzwischen ist er um einige 100 km vorwiegend nach Norden gewandert und hat dabei Prince of Wales Island überquert.
Auch die Deklination unterliegt der Säkularvariation: Eine markante Veränderung ist die Westdrift der so genannten Agone (agonic or isogonic line), das ist die Linie, auf der die Deklination den Wert D — 0 hat. Sie verläuft zur Zeit nord-südlich
14.4 Magnetfeld der Erde
861
durch die Bundesrepublik, lag aber 1930 noch in Weißrussland. Vor Einführung des Kreiselkompasses waren Deklinationskarten, die die „magnetische Missweisung“, d. h. die Abweichung der Richtung der Magnetnadel von der Richtung zum geographischen Nordpol angeben, für die Schiffahrt von großer Bedeutung.
Eisenerze in der Erdkruste tragen nicht wesentlich zum gesamten Erdfeld bei, verursachen aber messbare lokale Abweichungen, aus denen Geophysiker auf das Vorkommen von Eisenerzlagern schließen können. Erdgeschichtlich interessant ist die remanente Magnetisierung von Ergussgestein (Basalte), die Aufschluss gibt über die Orientierung des Erdfeldes zur Zeit des Lavaergusses. Man spricht von Thermoremanenz, weil bei Temperaturen in der Nähe des Curiepunktes schon ein sehr schwaches Feld ausreicht, um die Weiss-Bezirke auszurichten. Bei weiterer Abkühlung bleibt die Ausrichtung erhalten und die spontane Magnetisierung wächst. Ähnlich wirkt auch die Sedimentationsremanenz, weil die im Wasser schwimmenden magnetischen Teilchen sich leicht im Erdfeld ausrichten können und dann diese Richtung bei der Bildung des Sedimentationsgesteins beibehalten. Die magnetische Untersuchung solcher Gesteine in Verbindung mit radioaktiver Altersbestimmung hat zum Forschungszweig Paläomagnetismus geführt, mit dem viel längere Zeiträume erfasst werden als bei den verfügbaren Messdaten zur Sekularvariation des Erdfeldes. Aus der remanenten Magnetisierung der Gesteine ist zu erkennen, dass sich die Richtung des Erd-Dipolfeldes in der Erdgeschichte häufig in unregelmäßigen Zeitabständen umgepolt hat, etwa 80-mal in den letzten 20 Millionen Jahren, das letzte Mal vor etwa 780 000 Jahren.
Über die im Inneren der Erde liegenden Quellen des erdmagnetischen Feldes gibt es komplizierte Theorien, z. T. gestützt durch umfangreiche Computer-Simulationen, aber noch keine völlig eindeutige Erklärung. Permanenter Ferromagnetismus scheidet aus, weil die Temperaturen im Inneren dafür zu hoch sind; permanente Ströme scheiden ebenfalls aus, weil ohmsche Verluste sie schnell abklingen lassen würden. Außerdem könnte keine dieser Hypothesen die Sekularvariationen oder die Umpolungen erklären. Die Quelle des Erdfeldes muss ein „Feldgenerator“ sein, der von selbst anlaufen kann, wie ein selbsterregter elektrischer Generator (Dynamo), und der auch das Abklingen des Feldes und seinen Wiederaufbau mit umgekehrter Polarität irgendwie ermöglicht. Die Ströme fließen vermutlich im flüssigen äußeren Erdkern an der Grenze zum Erdmantel. Als Energiequellen kommen Sedimentationsvorgänge im Erdinneren in Betracht, wie sie durch Entmischung bei zunehmender Verfestigung des Erdkerns auftreten: Der feste innere Kern im Radialbereich r < 0.2 R& besteht überwiegend aus Eisen und hat eine Dichte von 12.7 bis 13.0 g/cm3, der flüssige äußere Kern (0.2 R. < r < 0.55 R ) besteht aus einer Eisen-Schwefel-Legierung mit der geringeren Dichte von 10.0 bis 12.1 g/cm3. Für die Abweichungen der magnetischen Achse von der Rotationsachse gibt es noch keine überzeugende Erklärung.
14.4.2 Magnetosphäre der Erde
Wenn man mit magnetischen Sonden von der Erdoberfläche weg in den Raum hinausgeht, dann findet man ein mit der Erde verbundenes Magnetfeld, das sich über ein großes Gebiet des interplanetarischen Raumes, der Erdmagnetosphäre erstreckt
862	14 Magnetismus
Abb. 14.45 Magnetosphäre der Erde (schematisch). Durch das Magnetfeld der Erde wird der Sonnenwind um die Erde herumgelenkt. Durch Ströme geladener Teilchen erhält das Erdfeld die angegebene Form.
und anders aussieht als man es zuerst vermutet hatte: es ist kein Dipolfeld, das im Betrag mit (R&/r)3 nach Gl. (14.29) abnimmt, sondern hat eine völlig andere, stark asymmetrische, nach der Sonne ausgerichtete Form (Abb. 14.45). Das erdmagnetische Außenfeld wird durch Ströme in der Magnetosphäre erzeugt und unterliegt Schwankungen, die von der Sonnenaktivität abhängen.
Wie die Ströme geladener Teilchen sich in der Magnetosphäre verteilen und das Magnetfeld der Erde modifizieren, ist kompliziert. Hier soll nur auf einige interessante Phänomene hingewiesen werden. Schon 1931 vermuteten S.Chapman und V.C.A. Ferraro einen Zusammenhang zwischen sporadisch von der Sonne ausgehenden Teilchenströmen und plötzlichen Veränderungen des Erdmagnetfeldes. Die Vorstellung, dass von der Sonne ständig nach allen Richtungen Plasmateilchen (Elektronen, Protonen, He-Kerne) emittiert werden, wurde erst Mitte dieses Jahrhunderts entwickelt: 1951 erkannte L. Biermann, dass der Strahlungsdruck der elektromagnetischen Sonnenstrahlung nicht ausreicht, um die von der Sonne weggerichteten langen, aus ionisierter Materie bestehenden Kometenschweife zu erklären. Die auf diese Schweife wirkende Kraft konnte nur durch eine Strömung geladener Teilchen zustande kommen. Aus den Zeitdifferenzen zwischen dem Beginn besonderer Sonnenaktivität, den ersten Auswirkungen auf Kometenschweife und dem Einsetzen „magnetischer Stürme“ auf der Erde konnte die Geschwindigkeit der Sonnenwind-Teilchen abgeschätzt werden. Licht benötigt 8 Minuten von der Sonne zur Erde,
14.4 Magnetfeld der Erde 863
der Sonnenwind 20- 50 Stunden. Der Sonnenwind ist variabel: Die Teilchengeschwindigkeiten schwanken zwischen 250- 800km/s, in der Nähe der Erdbahn liegen die Teilchendichten bei 3  10 6 bis 10 5 m 3 mit einem Heliumanteil von 3-4%. Massenauswürfe aus der Sonnenkorona führen zu Sonnenwind-Geschwindigkeiten von bis zu 2000km/s mit hohem Heliumanteil in Form von He++.
Die Sonnenwind-Geschwindigkeiten sind viel größer als die Schallgeschwindigkeit im Sonnenwind-Plasma. Deshalb entsteht beim Auftreffen auf das Magnetosphärenplasma eine stehende Bug-Stoßwelle, an der die Sonnenwind-Teilchen thermal-isiert werden. Hinter der Bug-Stoßwelle setzt sich der Sonnenwind als Unterschallströmung eines heißen dichten Plasmas fort. Das Übergangsgebiet zwischen Bug-Stoßwelle und der äußeren Grenze der Magnetosphäre, der Magnetopause, wird Magnetosheath genannt. In diesem Gebiet herrscht heftige Turbulenz; die Strömung erfolgt ungeordnet und das Magnetfeld ändert häufig seine Richtung. Der Sonnenwind komprimiert auf der Tagseite das Erdmagnetfeld auf etwa 10 Erdradien, wird um die Erde herumgeleitet und zieht auf der Nachtseite das Erdmagnetfeld zu einem langen Schweif von mehr als 1000 Erdradien in die Länge. In der Mitte des Schweifes ist die magnetische Feldstärke sehr gering; dort sammeln sich geladene Teilchen an (Plasmaschicht).
Die Strahlungsgürtel, ein innerer Protonen-Gürtel in 1000-5000 km Höhe, der Protonen und auch Elektronen mit Energien bis zu 100 keV enthält, und ein äußerer Elektronen-Gürtel in 15 000-25 000 km Höhe, der Elektronen mit Energien bis zu einigen MeV enthält, wurden 1958 durch J. A. Van Allen entdeckt und in den sechziger Jahren mithilfe von Satelliten genauer untersucht. Das war der Beginn der durch die Raumfahrt ermöglichten Magnetosphären-Forschung. Die Strahlungsgürtel sind für Raumfahrer eine Gefahr. Sie müssen schnell durchflogen werden; ein 30-stündiger Aufenthalt im Bereich der Strahlungsgürtel wäre tödlich.
Ein Teil der energiereichen Teilchen des Sonnenwindes dringt in den Polgebieten (C/e/f-Regionen, Abb. 14.45) in tiefere Schichten bis zu 100 km Höhe, erzeugt hier eine kräftige Ionisation (Ionosphäre) und damit eine Änderung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen sowie das Polarlicht. Ein anderer Teil des Sonnenwindes wird vom Magnetfeld der Erde abgelenkt und eingefangen. In den Van-Allen-Strah-lungsgürteln (Van Allen belts) werden die Teilchen über längere Zeit durch das Magnetfeld zusammengehalten und wie in einer magnetischen Flasche gespeichert
Abb. 14.46 Geladene Teilchen, die in den Van-Allen-Strahlungsgürteln gefangen sind. Das zur Erdoberfläche hin stärker werdende Feld wirkt wie ein magnetischer Spiegel.
864
14 Magnetismus
(Abb. 14.46). Die in Abb. 14.46 ebenfalls eingezeichnete ladungsspezifische Driftbewegung um die Erde kommt auf komplizierte Weise durch die kombinierte Wirkung des Magnetfeld-Gradienten, der Krümmung der Feldlinien und der gaskinetischen Kopplung von Ionosphäre und Plasmasphäre an die Atmosphäre der rotierenden Erde zustande.
Die untere Grenze der Plasmasphäre liegt bei 100 km, die obere Grenze kann etliche tausend Kilometer betragen. Da der Sonnen wind in etwa 100 km Höhe eine kräftige Ionisation verursacht und dadurch die elektrische Leitfähigkeit der Schicht wesentlich erhöht, verursacht er auch die Schwankungen der Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen, die in der Ionosphäre reflektiert werden. Auch das Polarlicht (Aurora) wird durch den Sonnen wind verursacht. Die im Erdmagnetfeld gefangenen Elektronen (Abb. 14.46) regen die Stickstoff- und Sauerstoffatome der oberen Atmosphäre (100-400 km Höhe) zur Lichtemission an. Da die Energieverteilung der Elektronen mit dem Sonnenwind variiert, variieren auch die Anregungsbedingungen und die daraus resultierenden Farben des Polarlichtes: grün (558 nm, O-Atome), rot (636nm, O-Atome) und blau (426nm, N + -Ionen). Schon lange kennt man den Zusammenhang zwischen dem Auftreten von Polarlicht und der Ausbreitung elektromagnetischer Störungen („magnetische Stürme“).
Die unregelmäßigen Schwankungen des Erdfeldes sind in den Polargebieten weitaus am stärksten. Während in Zeiten magnetischer Ruhe das Polarlicht sehr schwach und diffus ist, gibt es in den Zeiten der magnetischen Stürme lebhaft wechselnde und helle Polarlichter. Diese haben eine Höhe von 100 bis 130 Kilometern, während der ruhige und dunklere Polarlichtdunst eine Höhe von mehreren hundert Kilometern hat. Die beste Polarlicht-Sichtbarkeit existiert in etwa 1000 km Entfernung vom magnetischen Pol. In Deutschland kann man nur etwa in 1 % der klaren dunklen Nächte mit beobachtbaren Nordlichtern rechnen. Polarlichter treten immer in beiden Hemisphären gleichzeitig auf (aurorae borealis, aurorae australis), weil die geladenen Teilchen zwichen den Polarregionen hin und her reflektiert werden, wie es in Abb. 14.46 dargestellt ist. Weiterführende Behandlungen dieses Themas sind in Bd. 7 (Erde und Planeten), Kap. 1 (Geophysik), 5 (Planetologie) und 6 (Planetenmagnetosphären) zu finden.
14.5	Internet-Hinweise zu Kapitel 14
14.5.1 Dia-, Para-, Ferro-, Ferrimagnetismus
Verschiedene Arten des Magnetismus. Aus Wikipedia (s. Abschn. 1.4) Magnetism => Atomic magnetic dipoles =
Link 14-1 Weiter mit => Diamagnetism, => Paramagnetism, => Ferromagnetism (Antiferromagnetism, Ferrimagnetism), => Spin glass, => Superparamagnetism
Levitation diamagnetischer Körper in starken Magnetfeldern. High Magnetic Field Laboratory (hmfl), Faculty of Science, Radboud University (ru), Nijmegen; Niederlande (nl): http://www.hfml.ru.nl/ => Research: „Levitation Pages“ => The Real Levitation =
Link 14-2
14.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 14
865
Ferromagnetismus s. auch Abschn. 3.8.2
Permanentmagnete. Arnold Magnetic Technologies Corporation, one of the largest magnetic products manufacturers in the world supplying magnets, magnetic material, and assemblies: http://www.arnoldmagnetics.com/ => Products => Permanent magnets =
Link 14-3
Ergänzung: VACUUMSCHMELZE, Hanau, - ein weltweit agierendes Unternehmen, führend im Bereich der magnetischen Werkstoffe und daraus weiter veredelten Produkten: http://www.vacuumschmelze.de => Deutsch => Forschung & Innovation => (linke Spalte) Fertigungskompetenz => (links) Dauermagnete & Magnetsysteme
Link 14-4 Nacheinander zu allen abgebildeten Vertigungsstufen „mehr“ anklicken. Dann z. B. weiter mit Themen aus dem Bereich „Werkstoffkompetenz“ oder => Technische Meilensteine
Magnetostriktion. Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4)
Link 14-5
Ergänzung: MTS Sensor Technologie - Firmenzentrale in Minneapolis, USA, entwickelt und produziert magnetostriktive Positionssensoren: http://www.mtssen-sor.de => Klick auf Bild („MTS Sensors“) => Technologie =
Link 14-6
Ferrite. Fair-Rite Products Corp., Wallkill, NY 12589, the first choice in cost effective ferrite components produced in a wide ränge of geometries and materials: http:// www.fair-rite.com => Products „Automotive“ =
Link 14-7 Einsatz von Ferriten im PKW
14.5.2 Magnetowiderstand
Riesenmagnetowiderstand (giant magnetic resistance, GMR). IBM Research. http://www.research.ibm.com/ => Material Science => Magnetic Materials/Magne-tism „Magnetoelectronics and Spintronics“ =
Link 14-8 Weiter mit => Giant Magnetoresistance (GMR), => Magnetic Tunnel Junctions, (MTJs), => Magnetic Random Access Memory, => Spin Transistors and other Spintronics Devices
Ergänzung: IBM Research: http://www.research.ibm.com => Search GMR => „GMR: A Giant Leap for IBM Research“ =
Link 14-9 Weiter z. B. (im Text): To see an animation of how MR and GMR re-cording heads work, click „here“
Spin-Ventile. Institut für Festkörper- und Werkstoffforschung Dresden: http:// www.ifw-dresden.de => (links unten) Search „spinvalve“ => Magnetoelectronics: Spinvalves (Show Only This Frame) =
Link 14-10
Ergänzung: School of Physics and Astronomy, E.C. Stoner Laboratory, University
866
14 Magnetismus
of Leeds, U.K.: http://www.stoner.leeds.ac.uk/ => Research => (im Text) spin-valves (Show Only This Frame) =
Link 14-11
14.5.3 Magneto-elektrische Effekte
Kopplung elektrischer und magnetischer Ordnungsparameter - ausführliche Darstellung. Max-Born-Institut, Berlin-Asdlershof: http://mbi-berlin.de => Organisation und Leute „Personen“ => Search „Fiebig“ => Fiebig, Manfred Dr. =
Link 14-12 Weiter mit => (unten, Forschungsthemen) Kopplung elektrischer und magnetischer Ordnungsparameter
Elektrische Kontrolle der Magnetisierung. Hahn-Meitner-Institut, Berlin: http:// www.hmi.de => Aktuell - Press- und Öffentlichkeitsarbeit „Pressemitteilungen“ => 2004 „Stromsignal hinterlässt in Manganitkristall magnetische Spur“ =
Link 14-13
Magnetische Kontrolle der elektrischen Polarisation. Nature 426, 55—58 (6 November 2003), T. Komura et al„ Magnetic control of ferroelectric polarization =
Link 14-14
14.5.4 Magnetische Flüssigkeiten
Ferrofluide. TU Cottbus: http://www.tu-cottbus.de => Fakultäten und Einrichtungen => 3. Maschinenbau, Elektrotechnik und Wirtschaftsingenieurwesen => Institute und Lehrstühle => Lehrstuhl Theoretische Elektrotechnik und Prozessmodelle => Forschung => Forschungsschwerpunkte „Magnetische Flüssigkeiten - Ferrofluide“ Link 14-15
Ergänzung: Liquids Research Limited, founded in 1990 by Professor K. O’Grady and Dr. S. W. Charles, is a leading manufacturer of ferrofluids, located in the Mentec Technology Centre, a Science park in Bangor, North Wales: http://www.liquidsre-search.com => Products => Ferrofluids =
Link 14-16 Weiter mit den verschiedenen Anwendungen in der Box rechts
Magnetorheologische Flüssigkeiten. Siehe Link 14-15 => Links => (weit unten) Magnetorheologische Flüssigkeiten (MRF) „Lehrstuhl Theoretische Elektrotechnik und Prozessmodelle“ =
Link 14-17
Ergänzung: LORD has been in the global marketplace for 80 years with innovations in performance-formulated products for coating, bonding, and product assembly, and performance-designed components and Systems for Controlling Vibration, shock, motion, and noise. World Headquarters Cary, NC 27511-7923, USA: http://www.lord.com/ => Technologies => (unten) Magneto-Rheological (MR) Technology => (links) Technology „Overview“ =
Link 14-18 Weiter mit => (links) Technology „FAQs“
14.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 14
867
Smart Fluids. Institute of Materials, Minerals and Mining (London): http:// www.iom3.org/ => The Institute „Technical Divisions“ => Materials Science and Technology Division => Smart Materials and Systems => Introduktion => (unten) smart fluids =
Link 14-19
Ergänzung: PC WORLD MALTA, © 1997-2005 Business Marketing Services Ltd.: http://www.pcworldmalta.com/ => Specials Archives => ’Smart fluids’ could improve medical rehab devices. (August 2004) =
Link 14-20
14.5.5 Erdmagnetismus
Adolf-Schmidt-Observatorium für Geomagnetismus Niemegk (NGK). Das Observatorium befindet sich 50 km SW von Potsdam. GeoForschungsZentrum Potsdam: http://www.gfz-potsdam.de => Departmens => Erdmagnetfeld => Niemegk (Show Only This Frame) =
Link 14-21 Weiter z. B. mit => Aktuelle Magnetogramme
Magnetfeld der Erde. USGS - US Geological Survey, National Geomagnetism Program: http://geomag.usgs.gov/ => Program Summary => (Text) geomagnetic Held = Link 14-22 „A brief Introduction to Geomagnetism“.
Ergänzung: Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Erdmagnetfeld:
Link 14-23
Ionosphäre der Erde. Lancaster University, Lancaster. LAI 4WA, UK: http:// www.lancs.ac.uk/ => Departments & Faculties => Department of Communications Systems => Research Groups => Space Plasma Environment and Radio Science group => (unten) Click „here“ to visit the „SPEARS group’s website“ => General Information „The lonosphere: an Introduction“ =
Link 14-24
Geodynamo zur Erzeugung des Erdmagnetfelds. Earth Science, University of California Santa Cruz: http://www.es.ucsc.edu/ => Faculty => Gary A. Glatzmaier => For more Information: es.ucsc.edu/glatz/index.html => (in Text) geodynamo = Link 14-25
14.5.6 Biographien
William Gilbert (1544-1603) s. Abschn. 2.6.2, Link 2-12
Carl Friedrich Gauß (1777-1855) s. Abschn. 2.6.2, Link 2-24
Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) s. Abschn. 3.8.3, Link 3 18
Pierre Curie (1859-1906) s. Abschn. 13.4.2, Link 13-29
868
14 Magnetismus
Pierre Ernest Weiß (1865-1940). Aus Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4)
Link 14-26
Paul Langevin (1872-1946). s. Abschn. 13.4.2, Link 13-30
Heinrich Georg Barkhausen (1881-1956). Physik, TU München: http://www.physik-tu-muenchen.de/ => Mitarbeiter => Kressierer, Sepp => Links => einige Biographien bedeutender Forscher => Barkhausen =
Link 14-27
Louis Neel (1904-2000). Aus Nobelpreise (s. Abschn. 1.4) Biography
Link 14-28
James A. Van Allen (geb. 1914). NASA History Division: http://history.nasa.gov/ => Topical Index => Satellites => Fortieth Anniversary of Sputnik => Biographies => James A. Van Allen =
Link 14-29
Albert Fert (geb. 1938). CNRS: http://www.cnrs.fr/ => English => Media => Press releases => Search „Albert Fert“ => The CNRS has attributed this year’s „Medaille d’Or“ (Golden Medal) to the physicist Albert Fert =
Link 14-30
Peter Grünberg (geb. 1939). Forschungszentrum Jülich: http://www.fz-juelich.de => Institute => Institut für Festkörperforschung => IFF-Webseiten => Mitarbeiter => Grünberg, Peter => Curriculum Vitae =
Link 14-31
Stuart Parkin (geb. 1955). American Institute of Physics, Corporate Associates: http://www.aip.org/ca/ => Search „Parkin“ => 1. Prize for the Industrial Application of Physics Winner - American Institute of Physics =
Link 14-32
Kapitel 15 17 Anhänge
15 Mathematische Hilfsmittel
15.1 Vorbemerkungen
Dieses Kapitel ist kein Ersatz für Vorlesungen und Lehrbücher über Mathematik. Hier wird vor allem die verwendete mathematische Terminologie und Symbolik (Tab. 15.1) dargestellt, die sich vielleicht in einigen Punkten von der in Schule und Mathematikvorlesungen kennengelernten unterscheidet. Außerdem wird auf Besonderheiten im Umgang der Physiker mit der Mathematik hingewiesen. Wegen der im Deutschen und Englischen unterschiedlichen Schreibung von Dezimalzahlen und der dadurch bedingten Fehlermöglichkeiten verwenden wir hier den englischen De-zimal/w/A/ anstelle des deutschen Kommas.
Tab. 15.1 Die in diesem Buch verwendeten mathematischen Symbole.
Symbol	Bedeutung
A, a ... Q, co	skalare physikalische Größen (Produkt von Maßzahl und Maßeinheit), Beträge vektorieller Größen, mit Indizes auch Vektorkomponenten
<a>	Mittelwert von a ungefähr gleich proportional
x, y, z t A, a ... Q, r A^\A\ Ax, Ay, AB A x B n, j, k, 1, m, v y(), f(), g(), ••• 71 e exp( ) In lg	kartesische Koordinaten des Ortsraumes Zeit-Koordinate vektorielle physikalische Größen Ortsvektor Betrag (Länge) des Vektors Komponenten des Vektors A Skalarprodukt Vektorprodukt = (0), 1, 2, 3 ..., positive ganze Zahl Funktionen von ( ) = 3.14159... = 2.71828..., Basis des natürlichen Logarithmus _ e() natürlicher Logarithmus dekadischer Logarithmus (durch Taschenrechner überflüssig geworden, aber noch nicht ausgestorben)
A lim () Ax-0 d d/d()	Differenz-Symbol Limes, Grenzwert von ( ) für den Übergang Ax -> 0 Differential-Symbol Operator: Ableitung nach ( )
872
15 Mathematische Hilfsmittel
Symbol	Bedeutung
dy/dx d2/d( )2 d2y/dx2 y'	1. Ableitung von y(x) nach dx Operator: zweifache Ableitung nach ( ) 2. Ableitung von y(x) nach dx Abkürzung für 1. Ableitung von y nach der im Text spezifizierten unabhängigen Variablen
y" s f ()dx f ()dx a f f(x) dx ff f(x, y) dx dy fff f(x, y, z) dx dy dz f(x, y, z), f(r) a/ao V V f(r) V-£(r) V x E(r) V2 = v-v di d.v f E (r)  d.v (f> E (r)  d.v dA dA ffj(r)-d^ $j(r)-<L4 d V — dx dy dz Re() Im() c = a + ib c* = a - ib |c| = (c c*)1/2 c = coscp + i sincp c - p e” 51? i,j = 0, 1,2 ... 5	Abkürzung für 2. Ableitung von y Summation Integral ( ) über dx bestimmtes Integral von x = a bis x = b Linienintegral entlang der x-Achse des Ortsraumes Flächenintegral auf der xy-Ebene des Ortsraumes Volumenintegral im Ortsraum Ortsfunktion Operator: partielle Ableitung nach ( ) Nabla, Vektoroperator mit den Komponenten d/dx, d/dy, d/dz Gradient des skalaren Feldes f(r) Divergenz des Vektorfeldes E (r) Rotation des Vektorfeldes E (r) Laplace-Operator (veraltet: A) skalares Linienelement vektorielles Linienelement Linienintegral im Vektorfeld E geschlossenes Randkurven-Integral skalares Flächenelement vektorielles Flächenelement Flächenintegral im Vektorfeld j geschlossenes Hüllflächen-Integral Volumenelement — (-1)1/2, imaginäre Einheit Realteil von ( ) Imaginärteil von ( ) komplexe Zahl in algebraischer Form konjugiert-komplexe Zahl Betrag der komplexen Zahl c komplexe Zahl in trigonometrischer Form komplexe Zahl in Euler’scher Form Kronecker-Symbol (5- = 1 für i=j, = 0 für i 4= j) Dirac’sche Deltafunktion F ourier-Transformation
A, B, H A, B AaB AvB A A = B A^B	inverse Fourier-Transformation Symbole für algebraische Operatoren zweiwertige Variablen der Schaltalgebra A UND B (Konjunktion) A ODER B (Disjunktion) NICHT A (Negation) A GLEICH B (Äquivalenz) A UNGLEICH B (Antivalenz, exklusives ODER)
15.2 Algebra mit physikalischen Größen 873
Die anspruchsvollen mathematischen Konzepte der Vektoranalysis werden in diesem Buch nur verwendet, um die physikalischen Zusammenhänge möglichst elegant und prägnant darzustellen. Deshalb ist es zwar notwendig, die Bedeutung dieser Konzepte zu kennen, Fertigkeit im Umgang mit den Formeln wird aber nicht benötigt. Das gilt ebenso für partielle Differentialgleichungen und Fourier-Transformationen.
Die in der Physik verwendete Mathematik unterscheidet sich in vielen Punkten von der reinen Mathematik. So ist zum Beispiel der dreidimensionale Raum in der Physik das „naturgegebene“ System für die Beschreibung der räumlichen Welt, während in der Mathematik die Dimensionszahl n = 3 nur eine unter (unendlich) vielen ist.
In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts haben die Mathematiker alle Teilgebiete ihres Faches mithilfe der Mengenlehre besser fundiert. Die moderne Betrachtungsweise ist schließlich als „Neue Mathematik“ auch in die Schulen gelangt. In der theoretischen Physik hat die Anwendung mathematischer Methoden schon im 18. und 19. Jahrhundert zu sehr großen Erfolgen geführt; die klassische Mechanik und der klassische Elektromagnetismus sind dafür herausragende Beispiele. Weil für eine Überarbeitung der bewährten Theorie kein Bedarf bestand, wird bei der Darstellung des Elektromagnetismus auch heute noch weitgehend die Sprache und Symbolik der Mathematik des 19. Jahrhunderts verwendet. Dieser Abkopplungsprozess ist typisch für die selbständige Entwicklung von Nachbarwissenschaften. So wird z. B. die jüngste Maßsystemreform der Physik, die zur Verbannung aller Nicht-SI-Ein-heiten führte, von den Geo- und Astrophysikern völlig ignoriert.
15.2 Algebra mit physikalischen Größen
Hier werden die schon in Band 1 verwendeten Konzepte kurz wiederholt; auf Aspekte, die für die Beschreibung des Elektromagnetismus besonders wichtig sind, wird hingewiesen.
Größensymbole. Für physikalische Größen werden deutsche oder griechische, große oder kleine Buchstaben, ggf. mit Indizes verwendet.
Nicht verwendet werden die deutschen Umlaute und das SZ (ß). Um Verwechslungen mit den Ziffern Null und Eins zu vermeiden, sollte man die Buchstaben „O“, „o“ und „1“ nicht benutzen. Anstelle des „1“ tritt oft das ,/ “.
Vom griechischen Alphabet werden nur diejenigen Buchstaben verwendet, die keine Ähnlichkeit mit deutschen Buchstaben haben: alpha a, beta ß, Gamma T, gamma y, Delta A, delta ö, epsilon e, zeta ij, eta p, Theta 0, theta 9, kappa k, Lambda A, lambda X, my jr, ny v, Xi H, xi Pi H, pi n, rho p, Sigma X, sigma er, tau r, Phi <b, phi <p, chi %, Psi T, psi yj, Omega Q, omega o>. Das „A“ wird hier nur für das mathematische Differenz-Symbol verwendet.
In diesem Buch treten viel mehr physikalische Größen auf als Buchstaben vorhanden sind. Wollte man Symbolgleichheit verschiedener Größen vermeiden, dann wäre man gezwungen, auch die weniger gebräuchlichen Buchstaben zu verwenden
874
15 Mathematische Hilfsmittel
und müsste außerdem noch viele zusätzliche Unterscheidungen durch Indizes einführen. Dem steht entgegen, dass auf allen Teilgebieten der Physik eine zunehmende Kanonisierung der Symbolwahl festzustellen ist. Das heißt, man verlässt sich i. Allg. darauf, dass Buchstaben-Symbole die gewohnte Bedeutung haben; Texte und Formeln mit unüblichen Symbolen werden leicht missverstanden.
In diesem Buch werden, soweit es schon Festlegungen gibt, die kanonischen Symbole verwendet, wie E für die elektrische Feldstärke, c für die Lichtgeschwindigkeit. Ansonsten werden die üblichen Symbole, meist abgeleitet vom englischen Größennamen, benutzt. Dabei ist es unvermeidlich, dass in einigen Fällen physikalisch verschiedene Größen durch gleiche Symbole dargestellt werden, z. B. der Betrag der elektrischen Feldstärke und die Teilchenenergie durch das Symbol E. Zur Vermeidung von Missverständnissen wird am Anfang jedes Kapitels eine Tabelle der im Kapitel verwendeten Symbole gegeben, in der auf neu definierte Symbole und symbolgleiche Größen durch Randmarkierungen hingewiesen wird. Wenn die Symbole im Zusammenhang mit dem begleitenden Text gesehen werden, dann ist eine Verwechslung symbolgleicher Größen kaum möglich.
Alle physikalischen Größensymbole sind in diesem Buch kursiv gesetzt. Steilgesetzt sind dagegen Einheiten-Symbole, chemische Symbole, sowie die Buchstabensymbole der Mathematik (Ausnahme: Variablen mit physikalischer Bedeutung).
Die in diesem Buch vorkommenden physikalischen Größen sind entweder Skalare oder Vektoren. Tensoren werden nur gelegentlich im Text erwähnt, aber nicht in Formeln verwendet.
Skalare. Physikalische Größen sind ein Spezialfall der algebraischen Größen. Jede Größe steht für ein Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit. Die Maßzahl ist eine reelle Zahl; für viele Größen sind nur positive Zahlen physikalisch sinnvoll (Radius, Masse, Dichte, kinetische Energie, ...), für einige auch negative (potentielle Energie, elektrische Ladung, ...). Die Verwendung von SI-Einheiten (Abschn. 17.2.1) wird nachdrücklich empfohlen.
Die Addition oder Subtraktion ist nur für physikalisch gleiche Größen erlaubt. Die Gleichheit der Einheiten ist dafür eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung, denn es gibt auch physikalisch verschiedene Größen, die nur „zufällig“ die gleichen Einheiten haben und deshalb ebenfalls nicht addiert oder subtrahiert werden dürfen. Beispiel: „Drehmoment“, „Energie“ und „Leistung pro Frequenzintervall“ (SI-Einheiten: m kg m/s2 = N m = J = Ws = W/Hz).
Zu beachten ist ferner, dass Exponenten und Funktionsargumente, die nur als Zahlen definiert sind, keine Einheiten enthalten dürfen. Wenn darin Produkte oder Quotienten physikalischer Größen auftreten, müssen sich deren Einheiten immer herauskürzen lassen.
Vektoren. Wir betrachten ausschließlich dreidimensionale Vektoren. Vektorielle Größen werden im Buch durch halbfette kursive Symbole repräsentiert: A. Handschriftlich ist ein über dem Symbol liegender Pfeil üblich (A). Die drei Vektorkomponenten sind skalare Größen gleicher Art und können als (1 x 3)-Zeilenmatrix,
A = (Ax,Ay,Az),	(15.1)
15.2 Algebra mit physikalischen Größen 875
oder als (3 x 1)-Spaltenmatrix,
Ai \
A=\Ay >	(15.2)
u /
\ z/
geschrieben werden. Die Zeilenmatrix-Darstellung ist bequem für die Einfügung in eine Textzeile, die Spaltenmatrix-Darstellung wird z. B. verwendet, wenn ein Vektor (A) durch Multiplikation mit einem Tensor, dargestellt als (3 x 3)-Matrix (cy), in einen anderen Vektor (B) umgerechnet werden soll:
tu c12	c13\	/d, \	/cn	Ax +	c12	Ay +	c13	T \	jx\
c2j c22	c23 I	I Ay I — I c21	Ax +	c22	Ay +	c23	Ay I =	I By I.	(15.3)
c,,	C-,-,/	\ A /	A T	C--	A T	c-,-,	A /	\B /
31	32	33/	\ z/	\ 31	x '	32	y '	33	z/	\ z/
Die größte Ähnlichkeit mit den „freien“ Vektoren der Mathematik haben die Längenvektoren der Physik, die deshalb hier zuerst behandelt werden sollen. Die Komponenten eines Längenvektors £ werden durch die Projektion von£ auf die kartesischen Ortskoordinaten x, y und z erhalten und lassen sich als Achsenabschnitte Ax, Ay, Az interpretieren. Ausgehend von irgendeinem Raumpunkt P3 mit den Koordinaten xp y3 und zp führt der Längenvektor zum Raumpunkt P2 mit den Koordinaten x2 = x3 + Ax, y2 = y1 + Ay, z2 = z3 + Az. Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist gegeben durch den Betrag des Längenvektors,
\L | = L = [(Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2]1/2.	(15.4)
Die Richtung im Raum „von P3 nach P2“ wird durch den Vektor ebenfalls repräsentiert; genauer gesagt, die Kosinus der Winkel zwischen der Richtungsgeraden und den drei Achsen sind durch Ax/£, txyfL und \z/L gegeben. Der betrachtete Punkt P3 ist beliebig wählbar; anders formuliert heißt das, solche „freien“ Vektoren können im Raum nach Belieben parallel verschoben werden. Ausnahme: Der Ortsvektor (Radiusvektor) geht vom Koordinatenursprung aus und spezifiziert einen bestimmten Punkt im Raum; er kann nicht parallel verschoben werden, ohne seine Bedeutung zu verlieren.
Der dreidimensionale physikalische Raum (Ortsraum) ist für Längenvektoren auch der Vektorraum: Für die Kalibrierung der Koordinaten-Skalen gilt die gleiche Maßeinheit wie für die Größenangaben der Vektorkomponenten.
Betrachten wir dagegen andere physikalische Vektorgrößen, z. B. Kräfte, dann sind Vektorraum und Ortsraum nicht mehr identisch. Ein Kraftvektor F beschreibt Achsenabschnitte in einem dreidimensionalen „Kraftraum“ mit drei orthogonalen Basis-Kraftvektoren f{ (i = 1, 2, 3). In diesem Kraftraum kann der Kraftvektor genauso parallel verschoben werden wie ein Längenvektor im Ortsraum.
In der Physik wird einer Vektorgröße i. Allg. mehr Bedeutung zugeordnet, als ihr Vektor mathematisch darstellen kann: Beispielsweise repräsentiert ein Kraftvektor den Betrag und die Richtung einer Kraft, aber aus dem betrachteten physikalischen Sachverhalt ergibt sich außerdem noch ein Punkt im Ortsraum, „an dem die Kraft angreift“. Deshalb betrachtet man physikalische Vektoren aller Art im Ortsraum und pflanzt sie dort auf, wo sie wirken. Diese Vektoren sind gebunden an ihren Wirkungsort und dürfen im Ortsraum nicht parallel verschoben werden! [Dass die
15.2 Algebra mit physikalischen Größen 877
Drehimpulse, oder Kräfte und Drehmomente, - dann sollten die dazugehörigen Pfeile zu unterscheiden sein (z. B. eine dicke Linie mit Spitze für die eine Größe, zwei eng-parallele dünne Linien mit Spitze für die andere).
Vektoralgebra. Die Vektoralgebra bietet die Möglichkeit geometrischer Darstellungen ohne Bezug auf ein bestimmtes Koordinatensystem. Das ist in der Physik sehr nützlich und didaktisch vorteilhaft. Ein einfaches Beispiel ist die bekannte Addition und Subtraktion von Vektoren nach der Parallelogramm- oder Polygonmethode. Algebraisch geschieht die Addition (Subtraktion) zweier Vektoren durch Addition (Subtraktion) der entsprechenden Komponenten, Cx = Ax + Bx usw.
Die Division zweier Vektoren ist nicht definiert. Bei der Multiplikation eines Vektors A mit einem Skalar b werden alle Vektorkomponenten mit b multipliziert. Die Multiplikation zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Weisen geschehen, die benannt sind nach der Art der dabei entstehenden Größe: Skalarprodukt und Vektorprodukt.
Das Skalarprodukt wird symbolisiert durch einen Multiplikationspunkt und ist definiert als
A B — B A — AxBx+AyBy + AzBz.
(15.5)
Das Vektorprodukt wird symbolisiert durch ein liegendes Kreuz. Das Resultat ist ein Vektor C, der als Spaltenmatrix geschrieben folgende Form besitzt:
C = A x B = \Az Bx-Ax Bz = —B x A.	(15.6)
M B -A B
\ x y y x/
Ein Vergleich mit Gl. (15.3) zeigt, dass das Vektorprodukt zweier Vektoren auch als Multiplikation eines Vektors mit einer anti(sym)metrischen (3 x 3)-Matrix interpretiert werden kann:
0 — A A \ Bx\ A B -A B z y l / l | 7 z	z y
A Q — A \ \ By \ = \ A B — A B Z	xllxjlzx	x z
-Ay Ax 0/\bJ \AxBy-AyBXi
(15.7)
Für die beiden Produktbildungen gibt es geometrische Entsprechungen (siehe Abb. 15.2). Gl. (15.5) und Gl. (15.6) lassen sich so umformen, dass die Vektorkomponenten nicht mehr explizit vorkommen (der Beweis wird hier nicht geführt): Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt beider Vektorlängen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels:
A B = BA = \A\ |B| cos(zl, B).	(15.8)
Da der Kosinus eine symmetrische Funktion ist [cos(— x) = cos(x)], ist die Reihenfolge der Faktoren beim Skalarprodukt beliebig. Die geometrische Deutung des Skalarproduktes ist das Produkt zweier Längen, nämlich entweder Länge des Vektors A mal Länge der Projektion von B auf A oder umgekehrt (Abb. 15.2a).
Das Vektorprodukt ergibt den Vektor C mit der Länge
|C| = \A x B\ = \A | |B| |sin(/f, B)\,	(15.9)
878
15 Mathematische Hilfsmittel
Abb. 15.2 Geometrische Deutung der Multiplikation von Vektoren: (a) Skalarprodukt, (b) Vektorprodukt. Erläuterungen im Text.
die der Fläche des von A und B „aufgespannten“ Parallelogramms entspricht (Abb. 15.2b). Der Vektor C steht senkrecht zu A und B und ist so gerichtet, dass A, B und C ein Rechtssystem bilden. Wird die Reihenfolge der beiden Faktoren vertauscht, dann wird das Rechtssystem durch die Vektoren B, A und C gebildet, das heißt, C kehrt seine Richtung um.
Für alle in Mathematik und Physik verwendeten Koordinatensysteme gilt die Rechtsschrauben-Konvention, veranschaulicht mithilfe der rechten Hand: Daumen (= x), Zeigefinger (= y) und Mittelfinger (= z) definieren ein „rechtshändiges“ Koordinatensystem (Abb. 15.3a). Bei Drehung von x nach y erfährt eine Rechtsschraube einen Vorschub in z-Richtung. Werden die langen Finger der gekrümmten rechten Hand in Richtung der Fingerspitzen gedreht (Abb. 15.3b), dann hat der Daumen die Vorschub-Richtung einer so gedrehten Rechtsschraube; praktisch alle technischen Schrauben sind Rechtsschrauben. Wie oben dargelegt, geht diese Konvention auch in die Definition des Vektorproduktes ein.
Abb. 15.3 Die rechte Hand als Erinnerung an die Rechtsschrauben-Konvention: (a) rechtshändiges Koordinatensystem, (b) Rechtsschraube, gegeben durch Umlaufsinn (z. B. der B-Feldlinien) und Richtung (z. B. des Stroms /).
Wie schon in Band 1 erläutert, gibt es zwei Arten von Vektoren, deren Unterscheidung sehr wichtig ist für das Verständnis der physikalischen Zusammenhänge:
Polare Vektoren. Jeder dieser Vektoren repräsentiert eine eindeutig gerichtete physikalische Größe wie Kraft oder Geschwindigkeit und wird durch eine gerichtete Strecke (gezeichnet als Pfeil) dargestellt.
15.2 Algebra mit physikalischen Größen 879
Axiale Vektoren. Jeder dieser Vektoren repräsentiert eine physikalische Größe, die mit einem Umlaufsinn in einer bestimmten Ebene verknüpft ist, wie Drehmoment oder Winkelgeschwindigkeit. Diese Größe wird durch eine gerichtete Strecke senkrecht zur Umlauf-Ebene (gezeichnet als Pfeil) dargestellt. Umlaufsinn in der Ebene und Richtung des axialen Vektors bilden zusammen einen Rechtsschraubensinn (Abb. 15.3b). Ein Wechsel der Schraubensinn-Konvention entspricht der Transformation
x —> — x, y —> — y, z —> —z,	(15.10)
und führt zu einer „gespiegelten Welt“. (Das Spiegelbild eines rechten Handschuhes ist ein linker Handschuh.) Zwei Spiegelungen hintereinander führen zurück zum Ausgangszustand. Weil die Schraubensinn-Konvention in jeder Vektorprodukt-Bildung und in jedem axialen Vektor einmal enthalten ist, ergibt das Vektorprodukt eines polaren und eines axialen Vektors einen polaren Vektor; zwei axiale oder zwei polare Vektoren ergeben als Vektorprodukt einen axialen Vektor.
Das Ergebnis des Skalarproduktes ist nur dann ein „echter“ Skalar, wenn sein Vorzeichen nicht von der Schraubensinn-Konvention abhängt. Das ist der Fall, wenn beide Vektoren entweder polare oder axiale Vektoren sind. Das Skalarprodukt eines polaren und eines axialen Vektors ändert dagegen sein Vorzeichen mit der Schraubensinn-Konvention und wird als Pseudoskalar bezeichnet.
Axiale Vektoren gibt es nur im dreidimensionalen Raum. Deshalb sind sie für die Physik von viel größerer Bedeutung als für die Mathematik. (Im eindimensionalen Raum gibt es keine Fläche, im zweidimensionalen keine Senkrechte zu einer Fläche. Im Raum mit mehr als drei Dimensionen gibt es zu einer Fläche mehr als eine Senkrechte.)
An den Vektor-Symbolen ist nicht zu erkennen, ob es sich um einen polaren oder einen axialen Vektor handelt. Das ist nicht schlimm, weil jede vektorielle physikalische Größe entweder immer durch einen polaren oder immer durch einen axialen Vektor repräsentiert wird. Wenn man also darauf achtet, dass nur physikalisch gleiche Größen addiert werden, dann vermeidet man automatisch auch die unzulässige Addition von polaren und axialen Vektoren.
Tensoren. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Tensor führt i. Allg. zu einem Vektor mit anderer Größe und Richtung. Um die drei Komponenten eines Vektors linear mit den drei Komponenten eines anderen Vektors zu verknüpfen, benötigt man 9 Koeffizienten (vgl. Gl. (15.3)). Das sind die 9 Tensorelemente c^, die physikalisch gleiche, skalare Größen sind und meist in Form einer (3 x 3)-Matrix geschrieben werden. Die physikalisch wichtigsten Tensoren sind symmetrisch, d. h.
= c^. Sie haben 6 verschiedene Elemente, die sich aber durch Koordinaten-Ro-tation auf 3 Diagonalelemente (cn, c22, c33) reduzieren lassen. Dann sind nur noch jeweils die zur selben Achse gehörenden Komponenten der beiden Vektoren miteinander verknüpft.
Ein bekanntes Beispiel aus der Dynamik des starren Körpers (Bd. 1) ist das Trägheitsmoment, das durch einen Tensor beschrieben wird. Wählt man das Koordinatensystem so, dass die Achsen mit den Hauptachsen des Trägheitstensors zusammenfallen, dann sind die Diagonalelemente die Hauptträgheitsmomente, die anderen Matrixelemente sind gleich null.
880
15 Mathematische Hilfsmittel
Tensorielle Größen beschreiben anisotropes physikalisches Verhalten, bedingt z. B. durch die anisotrope Form eines Körpers oder durch die anisotrope Kristallstruktur des betrachteten Stoffes. Beim Übergang von der Anisotropie auf den viel einfacher zu beschreibenden Grenzfall der Isotropie werden alle Diagonalelemente des Tensors gleich groß, und die anderen Elemente verschwinden; der Tensor entartet zu einem Skalar.
15.3 Infinitesimalrechnung
Die einfache Differential- und Integralrechnung, die schon für Band 1 benötigt wurde, wird als bekannt vorausgesetzt. Hier soll nur auf einige Besonderheiten hingewiesen werden.
Mathematische Feinheiten, die für Physiker(innen) selbstverständlich sind, werden nicht erwähnt. So wird der Definitionsbereich einer Funktion in der Regel nicht angegeben, weil es sich (fast) immer um den Bereich der reellen Zahlen handelt, meist von — oo bis + oo, in erkennbaren Fällen oft auch nur von 0 bis + oo. Unter welchen Umständen komplexe Zahlen auftreten können, wird in Abschn. 15.5 gesagt. Die Eindeutigkeit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer zur Beschreibung physikalischer Sachverhalte verwendeten Funktion ist, solange nichts Gegenteiliges gesagt wird, immer als gegeben anzunehmen.
Infinitesimale Größen. Der in der Infinitesimalrechnung vollzogene Grenzübergang von dem sehr kleinen, aber endlichen Ax zu dem unendlich kleinen dx ist für die Physik gedanklich zu relativieren:
1. Viele praktische Probleme führen zu Integralen, für deren Lösung es keine analytisch darstellbaren Funktionen gibt. Die Integration mit Digitalrechnern erfordert aber endlich kleine Ax. Zur Kontrolle kann man dieselbe Rechnung mehrmals mit immer kleineren Ax durchführen bis das Resultat sich nicht mehr wesentlich ändert. Der Grenzübergang Ax -> 0 findet nicht statt.
2. Die klassische Kontinuumsphysik, für die die Infinitesimalrechnung perfekt geeignet ist, wird heute nicht mehr „rein klassisch“ gelehrt, sondern mit atomisti-schen Betrachtungen verbunden. In diesem Zusammenhang muss man die Studierenden darauf hinweisen, dass die Differentiale von vielen physikalischen Größen nicht zu klein werden dürfen. Anderenfalls führt der atomare Aufbau der Materie dazu, dass viele „glatte“ Ortsfunktionen der klassischen Physik, z. B. Massen- und Ladungsdichte, im atomaren Längenbereich stark variabel werden.
Bestimmte Integrale. Integralsammlungen liefern zu jeder physikalisch wichtigen, integrierbaren Funktion das dazugehörige unbestimmte Integral:
Jf(x) dx = F(x) + C.	(15.11)
Die Konstante C, die beim Differenzieren wegfällt, erinnert daran, dass das Integral wegen der beliebigen additiven Konstante unbestimmt ist.
15.3 Infinitesimalrechnung 881
Das bestimmte Integral ist definiert als
b
J f(x) dx = F(x = b) — F(x = a).	(15.12)
a
Das ist ein ganz bestimmter Wert. Aber manchmal wird das bestimmte Integral auch als Funktion des oberen Grenzwertes „x = b“ betrachtet und dafür dann wieder die Variable x eingeführt:
b
f f(x) dx = F(x = b) - F(x = 0) x = 0
= G(b) -► G(x).	(15.13)
Deutung der Integration. Als Vorbereitung für die Vektoranalysis ist es nützlich, das bestimmte Integral von f(x) über dx nicht mehr (wie vielleicht mal in der Schule gelernt) als „Fläche unter der Kurve f(x)“ zu interpretieren. Ausbaufähiger ist die Vorstellung, dass die x-Achse „gewichtet“ ist, d.h„ dass jedes Achsenstück Ax das „Gewicht“ f(x) • Ax hat. Die Funktion f(x) ist hier eine „Liniendichte des Gewichtes“; die Integration von x = a bis x = b ergibt das „Gesamtgewicht“ des x-Achsen-Abschnitts (Abb. 15.4).
Die Funktion f(x, y) kann „zweidimensional“ über dx und dy integriert werden. Bei der Integration über dx wird die Variable y wie eine Konstante behandelt und
A	B
Abb. 15.4 Zwei Deutungen des bestimmten Integrals: (a) Bestimmung der Fläche unter der Kurve f(x); (b) Integration entlang der „gewichteten“ x-Achse von A bis B, wobei f(x) die Gewichtsfunktion ist.
882	15 Mathematische Hilfsmittel
umgekehrt. Zur Deutung dieses Integrals könnte man die Funktion f(x, y) über der xy-Ebene als „Gebirge“ in z-Richtung auftragen und das Integral dann als Volumen zwischen der Gebirgsoberfläche und der xy-Ebene betrachten (Abb. 15.5 oben), mit positiven Werten über der xy-Ebene, negativen darunter. Wie oben beim eindimensionalen Integral schon beschrieben, empfiehlt sich auch hier eine andere Deutung:
Abb. 15.5 Zur Deutung der Funktion f(x,y): oben - als „Gebirge“ in z-Richtung aufgetragen; unten - als Gewichtsflächendichte der xy-Ebene.
Abb. 15.6 Zur dreidimensionalen Integration über eine Dichtefunktion in einem vorgegebenen Volumen. Skizziert sind drei Volumenelemente mit ihren Gewichten ( = lokale Dichte mal Volumen des Elementes).
15.4 Vektoranalysis
883
Die Funktion f(x, y) kann als Gewichtsflächendichte der xy-Ebene aufgefasst werden (Abb. 15.5 unten). Bei der dreidimensionalen Integration von Funktionen ist deren Deutung als „Dichtefunktion“ die einzig sinnvolle (Abb. 15.6); ein vierdimensionales Gebirge überfordert die Anschauung.
15.4 Vektoranalysis
Die Konzepte der Vektoranalysis sind sehr wichtig für die Darstellung des Elektromagnetismus und werden deshalb hier ausführlich dargestellt. Als Trost für verschreckte Leser(innen) sei nochmal betont, dass die Vektoranalysis in diesem Buch nur zur kompakteren Darstellung der Zusammenhänge verwendet wird, aber nicht zum Rechnen. Für Rechnungen mit Zylinder- oder Kugelkoordinaten verweisen wir auf Lehrbücher der theoretischen Physik.
Ortsfunktionen. Wir betrachten nur Funktionen der Ortskoordinaten x, y, z des dreidimensionalen physikalischen Raums (Ortsfunktionen). Eine skalare Funktion des Ortsvektors, f(r), wird auch als skalares Feld bezeichnet.
Vektorfelder. Ein Vektorfeld wird durch einen Vektor beschrieben, dessen drei Komponenten Ortsfunktionen sind. Das Vektorfeld liefert für jeden Punkt des Ortsraums einen bestimmten Vektor, der physikalisch zu diesem Punkt gehört. Ein Beispiel ist die elektrische Feldstärke E: Die an einer Ladung angreifende elektrische Kraft Fel ist ein Vektor mit Bezug zu einem bestimmten Punkt im Ortsraum, nämlich dem Ort der Ladung Q. Die Feldstärke E erstreckt sich dagegen über den gesamten Raum und beschreibt für jeden Punkt im Ortsraum die „Kraft pro Ladung“, die auf eine Ladung wirken würde, falls sich dort eine befände. Das Vektorfeld £(r) hat die Komponenten Ex, E, und Ez; jede Komponente wird durch eine skalare Ortsfunktion beschrieben.
Partielle Ableitungen. Als partielle Ableitung bezeichnet man die Ableitung nach einer der 3 Variablen, bei deren Berechnung die anderen 2 Variablen wie Konstanten a
behandelt werden; der Operator der partiellen Ableitung nach x ist —.
dx
Für einen betrachteten Punkt im Ortsraum, beschrieben durch den zum Punkt gehörenden Ortsvektor r = (x, y, z), habe die betrachtete Funktion den Wert f(x, y, z). Verändert man nun die Werte der 3 Variablen additiv um die Differentiale dx, d r und dz, dann ändert sich die Funktion f um df. Die Änderung df wird als totales Differential bezeichnet und ergibt sich aus den partiellen Ableitungen und den Differentialen der Variablen wie folgt:
af af af
df(x, y, z) = — dx + — dr + — dz.	(15.14)
ax oy oz
Die rechte Seite von Gl. (15.14) kann formal als das Ergebnis eines Skalarproduktes zweier Vektoren aufgefasst werden, die als Zeilenmatrizen geschrieben die Form
884
15 Mathematische Hilfsmittel
(df/dx, Sf/Sy, df/dz) und (dx, dr, dz) haben. Der zweite Vektor kann als Längenvektor-Differential dr aufgefasst werden. Beim ersten Vektor ist es formal möglich, die Funktion f vor die Klammer zu setzen; was in der Klammer dann übrig bleibt, ist ein Operator in der Form eines Vektors. Dieser für die Vektoranalysis außerordentlich wichtige Vektoroperator hat das Symbol V und wird nach einer diesem Symbol in der Form ähnlichen griechischen Harfe „Nabla“ genannt. Wegen seiner formalen Vektoreigenschaften wird der Operator in diesem Buch fett gedruckt:
/ a a a\
V = —, —, — bzw. yax Sy Sz)
(15.15)
Gradient. Mit Nabla und dem Längenvektor-Differential dr wird das totale Differential der Funktion f von Gl. (15.14) nun folgendermaßen dargestellt:
df=Vfdr.	(15.16)
Die Größe Vf heißt „Gradient von f“. (Früher wurde das Kürzel „grad“ vor einer skalaren Ortsfunktion anstelle des V verwendet.)
Der Gradient des skalaren Feldes f ist ein Vektorfeld. Für jeden Punkt im Raum zeigt der Vektor in die Richtung, entlang der diese Funktion am meisten ansteigt. Geht man in diese Richtung das Stück dr, dann erhöht sich der Funktionswert nach Gl. (15.16) um den Maximalwert df = | Vf| |dr|.
Divergenz. Der Nabla-Operator ist formal ein Vektor und kann deshalb durch das Skalar- oder das Vektorprodukt mit einem Vektorfeld verknüpft werden. Das Skalarprodukt liefert die Divergenz des Vektorfeldes (früher mit „div“ symbolisiert), die ein Skalarfeld ist:
s s s
V-A = — A +— A +— A .	(15.17)
Sx x Sy y Sz z	’
Wenn das Vektorfeld A als Gradient eines Skalarfeldes f dargestellt werden kann, dann ergibt sich für die Divergenz dieses Feldes folgendes:
V • A = V • (Vf) = V2f
oder
, (s2	a2	a2\
v2f =	f-
\dx	Sy	Sz )
(15.18)
Der skalare Operator V2 wird Laplace-Operator genannt (früher wurde dafür das Symbol A verwendet). Wenn dieser Operator auf alle drei Komponenten eines Vektorfeldes angewendet werden soll, kann er wie ein Faktor, mit dem alle Komponenten zu multiplizieren sind, vor eine vektorielle Funktion gesetzt werden: V2 A.
15.4 Vektoranalysis
885
Rotation. Das Vektorprodukt von Nabla mit einem Vektorfeld liefert dessen Rotation, die auch ein Vektorfeld ist und im deutschen früher durch „rot“, im englischen durch „curl“ symbolisiert wurde:
/ dAJdy — 8Ay/8z\
\ x A — [ 8A 8z 8A 8.\ \.	(15.19)
\8Ay/8x-8AJ8y]
Zweifache Anwendung des Nabla-Operators. Ohne Beweis werden hier einige nützliche Identitäten aufgeführt:
- Divergenz des Gradienten:
V • V f = V2 f. - Rotation des Gradienten:	(15.20)
V x Vf = 0.	(15.21)
- Divergenz der Rotation:
V • V x A = 0.	(15.22)
- Rotation der Rotation:	
V x V x A = V(V-A)- V2A.	(15.23)
Linienintegrale. Mit der Vorstellung, dass die Integration der Funktion f(x) über dx von a bis b eine Summierung der Gewichte f(x) Ax aller Stücke der x-Achse zwischen den Integrationsgrenzen a und b ist, lässt sich nun auch das Linienintegral leicht verstehen. Es ist die Summierung (Integration) der gewichteten Kurvenstücke f- Asj (i = 1, 2 ...) entlang einer vorgegebenen Linie im Raum (Abb. 15.7a). Da die Kurvenstücke im Sinne der Integralrechnung hinreichend klein sein müssen, ver-
Abb. 15.7 Zum Linienintegral: (a) gewichtete skalare Linienelemente entlang einer Linie im Raum; (b) die Gewichte ergeben sich aus dem Skalarprodukt eines Feldvektors mit dem vektoriellen Linienelement.
886
15 Mathematische Hilfsmittel
wendet man statt As besser das skalare Linienelement d.v. Die Spezifizierung der Integrationslinie muss eindeutig sein, kann aber auf irgendeine geeignete Weise erfolgen, z. B. parametrisiert als x(X), y(K), z(X) mit X als Linienvariable.
Für die Vektoranalysis ist der Fall wichtig, dass sich die Funktion der Gewichtsliniendichte entlang der Integrationslinie berechnen lässt als Skalarprodukt eines Feldvektors mit dem vektoriellen Linienelement d.v (Abb. 15.7b). Beispiel: Das Skalarprodukt des elektrischen Vektorfeldes £"(r) mit dem vektoriellen Linienelement d.v entlang eines vorgegebenen Weges beschreibt die Komponente des Feldvektors in Wegrichtung. Bewegt sich eine Ladung Q entlang dieses Weges, dann ist Q E • d.v die entlang dem differentiellen Wegstück d.v verrichtete Arbeit. Die Integration entlang des gesamten Weges ergibt die gesamte Arbeit.
Flächenintegrale. Die beim Linienintegral erwähnten Gedanken lassen sich auf zwei Dimensionen erweitern. Schon in Abb. 15.5 hatten wir die Integration einer Funktion f(x, y) über d.vdr als Summation über die Gewichtsflächendichte f(x, y) in der xy-Ebene gedeutet. Nun können wir dieses Konzept auf - irgendwie spezifizierte -gewichtsbehaftete gekrümmte Flächen im Raum erweitern. Als Integrationsvariable könnte nun ein skalares Flächenelement dA verwendet werden (Abb. 15.8a). Aber der für die Vektoranalysis interessantere Fall erfordert das vektorielle Flächenelement dA, das senkrecht auf der Fläche steht; genau wie oben beim Linienintegral kann nun das Gewicht des differentiellen Flächenstückes als Skalarprodukt eines Feldvektors mit dA erhalten werden.
Beispiel'. Denkt man sich irgendeine vorgegebene Fläche A zerlegt in kleine Flächenelemente dA und betrachtet die Stromdichte j einer Strömung senkrecht durch diese Fläche als „flächenhafte Gewichtsfunktion“, dann ergibt eine Integration von j über die Fläche A den Gesamtstrom, der sie senkrecht durchsetzt. Im Allgemeinen ist die Strömung nicht senkrecht zum betrachteten Flächenstück, aber das Skalarprodukt des Stromdichte-Vektorfeldes j (r) mit dem vektoriellen Flächenelement dA gibt den senkrechten Anteil (Abb. 15.8b).
Zur Richtung von dA: Bei einem beliebigen Flächenstück sind beide Richtungen entlang der Flächennormalen gleichberechtigt. Wird die Richtung vorgegeben, die der betrachteten Strömung entgegengesetzt ist, dann macht sich das durch ein ne-
Abb. 15.8 Zum Flächenintegral: (a) eine gekrümmte Fläche mit „Gewicht“ belegt; (b) das Gewicht des Flächenstückes ist durch das Skalarprodukt eines Feldvektors mit dem vektoriellen Flächenelement gegeben.
15.4 Vektoranalysis
887
gatives Ergebnis bemerkbar. Bei Flächenintegralen über geschlossene Hüllflächen ist dA immer nach außen gerichtet.
Volumenintegrale. Am bekanntesten sind die auf das Volumen bezogenen Gewichtsfunktionen, die allgemein als „Dichten“ bezeichnet werden. Das Volumenintegral über die Massendichte (= Masse/Volumen) eines Körpers ergibt seine Gesamtmasse.
Der Satz von Gauß. Wenn das Flächenintegral über die Stromdichte, erstreckt über eine geschlossene Hüllfläche, einen positiven (bzw. negativen) Wert ergibt, dann heißt das, dass sich in dem umschlossenen Volumen eine „Quelle“ (bzw. eine „Senke“) befinden muss. Der Wert des Integrals gibt die „Quellenstärke“. Dividiert man die Quellenstärke durch das umhüllte Volumen V und macht das Volumen immer kleiner, dann erhält man schließlich als Grenzwert für einen im Volumen liegenden Punkt die „Quellendichte“. Wie Gauß gezeigt hat (aber hier nicht bewiesen wird), ist dieser Grenzwert gegeben durch die Divergenz des Stromdichte-Vektorfeldes:
ff> j-dA
V j = Hm Volumen K----_	Q
K—>0	K
Diese leicht vorstellbare Grenzwertbildung liefert die anschaulichste Deutung der Größe „Divergenz eines Vektorfeldes“. Mit dieser Interpretation der Divergenz ergibt sich der Gauß’sche Satz sofort durch Integration von Gl. (15.24) über ein betrachtetes makroskopisches Volumen K:
fff VjdK = # jdA=J.	(15.25)
Volumen V	Volumen V
Das vektorielle Flächenelement dA zeigt nach außen. Das Integrationsvolumen auf der linken Seite von Gl. (15.25) ist genau das Volumen, das von der Hüllfläche rechts umschlossen wird. Die Gl. (15.25) liefert den Gesamtstrom J aus dem Volumen heraus.
Die Aneinanderreihung der drei Integrale in der Gl. (15.25) links soll die dreidimensionale Integration über das Volumenelement d V verdeutlichen. Oft findet man aber die sparsame Schreibung mit nur einem Integral und muss dann die Dreidimensionalität an dem Volumenelement d V erkennen. Genauso sollen die zwei mit einem Kreis durchsetzten Integrale rechts darauf hinweisen, dass es sich um eine zweidimensionale Hüllfläche handelt. Auch in diesem Fall wird oft nur ein Integral hingeschrieben und es dem Leser überlassen, die Zweidimensionalität aus dem Flächenelement dA zu erkennen.
Der Satz von Stokes. Ähnlich wie der Gauß’sche Satz ein zweidimensionales Hüll-flächen-Integral mit einem dreidimensionalen Volumenintegral verknüpft, liefert der Stokes’sche Satz eine Verknüpfung von einem eindimensionalen Randkurven-Inte-gral mit einem zweidimensionalen Flächenintegral.
Wie Stokes gezeigt hat (aber hier ebenfalls nicht bewiesen werden soll), ist die Komponente der Rotation eines Vektorfeldes B, die senkrecht zum betrachteten
888
15 Mathematische Hilfsmittel
vektoriellen Flächenelement gerichtet ist, für einen betrachteten Raumpunkt durch folgenden Grenzwert gegeben:
[V x B]Komponente±. = Ihn 1 $ Bäs.	(15.26)
ZI Flächet
Ein Vektorfeld, für das das Randkurven-Integral nicht verschwindet, ist nicht wirbelfrei. Die Rotation des Vektorfeldes kann nach Gl. (15.26) als „Wirbeldichte“ aufgefasst werden. Der Stokes’sche Satz folgt aus der Integration von Gl. (15.26):
ff [VxÄ]-d^= <f> Bäs.	(15.27)
Flächet	Flächet
Die Richtung des Flächenelementes auf der linken Seite und der Umlaufsinn des Randkurvenintegrals auf der rechten Seite ergeben zusammen eine Rechtsschraube.
Übergang von Integral- auf Differentialgleichungen. Die Beschreibung des Elektromagnetismus mithilfe der Vektoranalysis führt z. B. zu Integralgleichungen, in denen auf der linken Seite ein geschlossenes Flächenintegral um das Volumen K, auf der rechten Seite ein dreidimensionales Integral über dasselbe Volumen steht. Durch Anwendung des Gauß’schen Satzes lässt sich nun auch die linke Seite in ein Volumenintegral verwandeln. Auf ähnliche Weise erhält man oft nach Anwendung des Stokes’schen Satzes eine Gleichung mit Flächenintegralen auf beiden Seiten.
Kann man bei Gleichheit von Integralen gleicher Art auch zwangsläufig die Gleichheit der Integranden annehmen und die Integrale auf beiden Seiten einfach weglassen? Im Allgemeinen nicht. Nur wenn die Integralgleichung für beliebig wählbare Volumina (Hüllflächen), bzw. für beliebig wählbare Flächen (Randkurven) gilt, dann ist auch die Gleichheit der Integranden gegeben.
15.5	Komplexe Zahlen
Alle messbaren physikalischen Größen werden durch reelle Zahlen (multipliziert mit den Maßeinheiten) beschrieben. In der klassischen Physik werden komplexe Zahlen nur aus einem Grund verwendet: Sie erlauben eine elegante und bequeme Hantierung von Sinus und Kosinus; die komplizierten, schwer merkbaren Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen werden nicht benötigt! Man kann z. B. zur Rechenerleichterung in der Ausgangsgleichung die reellen Kosinus-Funktionen durch komplexe Zahlen mit gleichem Realteil ersetzen und die Rechnung bequem mit den komplexen Zahlen durchführen; zum Schluss erhält man das gewünschte Resultat als Realteil des Rechenergebnisses.
Leider gehören komplexe Zahlen i.Allg. nicht zum Mathematikwissen im 2. Semester. Der Umgang mit komplexen Zahlen ist jedoch sehr einfach zu lernen. Es ist deshalb viel sinnvoller, die komplexen Zahlen an dieser Stelle einzuführen, als auf sie bei der Behandlung von Wechselströmen und Schwingungen zu verzichten.
Definitionen. Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt. Deshalb führt die Umkehrung dieser Operation - das Ziehen der Quadratwurzel einer
15.5 Komplexe Zahlen 889
negativen Zahl - zu nicht-reellen Zahlen, die als imaginäre Zahlen bezeichnet werden. Mit der Definition
i = (-1)1/2
(15.28)
kann jede imaginäre Zahl als Produkt einer reellen Zahl und „i“ dargestellt werden. Die Elektrotechniker bevorzugen ,j“, weil sie bei „i“ eine Verwechslung mit dem elektrischen Strom befürchten.
Eine komplexe Zahl ist die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl. Die algebraische Form für die Schreibung komplexer Zahlen ist
c = a + ib
Re(c) = a, Im(c) = b.
(15.29)
Realteil a und Imaginärteil b sind reelle Zahlen. Zwei komplexe Zahlen sind nur dann gleich groß, wenn sowohl ihre Realteile wie auch ihre Imaginärteile gleich sind; die Beziehungen „kleiner als“ und „größer als“ sind für komplexe Zahlen nicht definiert.
Die zu c = a + ib konjugiert-komplexe Zahl ist definiert als
c* = a — ib
und das Absolutquadrat von c als
|c|2 = c c* = a2 + b2.
(15.30)
(15.31)
Beim Addieren (Subtrahieren) komplexer Zahlen werden die entsprechenden Real- und Imaginärteile addiert (subtrahiert). Beim Multiplizieren werden komplexe Zahlen wie aus zwei Summanden bestehende Faktoren behandelt. Potenzen von „i“ werden umgeschrieben:
i2	= -1
i3	= —i
i4	= 1
i5	= i.	(15.32)
Quotienten mit komplexem Nenner werden mit der zum Nenner konjugiert-komplexen Zahl erweitert, damit sich eine komplexe Zahl in der Form von Gl. (15.29) ergibt:
a + ib a + ib c — id
c + id c + id c — id
ac + bd . bc — ad
= c2 + d2 +1 c2 + d2 ’
(15.33)
Zur graphischen Darstellung komplexer Zahlen wird die Gauß’sche Zahlenebene verwendet (Abb. 15.9), die eine horizontale reelle Achse und eine vertikale imaginäre Achse besitzt.
890
15 Mathematische Hilfsmittel
Abb. 15.9 Komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene.
Auf dem Einheitskreis in der Gauß’schen Zahlenebene liegen alle komplexen Zahlen mit dem Betrag eins. Real- und Imaginärteil sind proportional zum Kosinus bzw. Sinus des Winkels <p. Das führt zur trigonometrischen Form:
c = p(cos<p + i sintp) mit
p = | c | = (a2 + b2)1/2
und
costp = a/p, sintp = b/p.	(15.34)
Die für das Rechnen mit komplexen Zahlen sehr wichtige Euler’sche Formel lautet costp + i sintp = e1<p.	(15.35)
Weil das eine so verblüffende und weitreichende Formel ist, soll hier auch auf einen Beweis hingewiesen werden: Die Potenzreihen-Entwicklungen (Taylor-Reihen) für die Funktionen sinx, cosx und ex sind aus einer Formelsammlung zu entnehmen. Die Reihe für ex wird mithilfe der Substitution x -> itp umgeschrieben:
ei<p = 1 + irp/l! — q>2/2! — i<p3/3! + <p4/4! + i<p5/5! ...	(15.36)
Ein Vergleich mit den Reihen für costp und für sintp ergibt sofort die Euler’sche Formel.
Unter Verwendung der Euler’schen Formel kann jede komplexe Zahl in der folgenden Form geschrieben werden:
c = a + ib = pe1<p mit
p = | c | = (a2 + b2)1/2 und
<p = arc tan(b/a).	(15.37)
15.6 Schwingungsgleichung 891
Während das Multiplizieren von zwei komplexen Zahlen in algebraischer Form zu vier unanschaulichen Summanden führt, verdeutlicht die Euler’sche Form, dass die Beträge multipliziert, die Winkel aber addiert werden!
ci' c2 = Pj P2 expfi^ + <p2)].	(15.38)
Zur Verdeutlichung der Nützlichkeit dieser Form sei hier nur angedeutet, wie leicht sich die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gewinnen lassen:
e1(“ +P) = cos (a + ß) + i [sin (oc + ß)];
gi(a + ß) _ gia giß
= (cosa + i sina) (cosß + i sinß)
= cosa cosß — sina sinß + i[cosa sinß + sina cosß]. (15.39)
Gleichsetzen der Real- und Imaginärteile auf den rechten Seiten in der ersten und letzten Zeile führt zu den bekannten Additionstheoremen. Ähnlich elegant lassen sich Ausdrücke für ganzzahlige Vielfache eines Winkels gewinnen:
(cosa + i sina)3 = cos3a + i 3 cos2a sina — 3 cosa sin2a — isin3a
_ e>3« — cos 3a + i sin 3a.	(15.40)
Das Gleichsetzen der Realteile beider Zeilen liefert
cos3a = cos3a— 3cosa sin2a
= cos3a — 3cosa(l — cos2a)
= 4cos3a— 3cosa.	(15.41)
Mithilfe der Euler’schen Formel lassen sich auch die trigonometrischen Funktionen durch Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten darstellen:
cosx = (elx + e lx )/2,
sinx = (elx — e lx)/(2i).	(15.42)
Komplexe Zahlen in der Quantenmechanik. Die Schrödinger-Gleichung erhält ihre fundamentale Bedeutung u. a. dadurch, dass sie das Energiespektrum des Wasserstoffatoms liefert. Die Energiewerte sind reelle Größen, die als „Eigenwerte“ zu bestimmten „Eigenfunktionen“ der Schrödinger-Gleichung gehören. Letztere sind i.Allg. komplexe Funktionen. Anders als bei der Wechselstromtheorie ist das hier kein Trick, um die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu vermeiden, sondern eine unvermeidbare Eigenschaft der Schrödinger-Gleichung. Eine physikalische Bedeutung haben nicht diese komplexen Funktionen, sondern deren Absolutquadrate, die die Wahrscheinlichkeitsdichten für den Aufenthalt des Atomelektrons in den verschiedenen Zuständen beschreiben.
15.6	Schwingungsgleichung
Vorbemerkungen. Gleichungen, in denen partielle Ableitungen einer Funktion auftreten, werden partielle Differentialgleichungen genannt. Gleichungen, in denen nur
892
15 Mathematische Hilfsmittel
Ableitungen nach einer Variablen auftreten, sind gewöhnliche (prdinary) Differentialgleichungen.
Das Lösen von Differentialgleichungen besteht im Auffinden aller Funktionen, die der Gleichung genügen. Die allgemeine Lösung ist eine Kombination dieser Funktionen, die auch unbestimmte Konstanten enthält. Letztere werden für die spezielle Lösung eines gegebenen Problems durch Zusatzbedingungen bestimmt; bei Funktionen der Zeit spricht man von Anfangsbedingungen, bei Funktionen des Orts von Randbedingungen.
Einige partielle Differentialgleichungen (Telegraphengleichung, Wellengleichung, Schrödinger-Gleichung) werden in diesem Buch zwar erwähnt, aber nicht für Rechnungen verwendet.
Von den gewöhnlichen Differentialgleichungen ist hier nur die Schwingungsgleichung von Bedeutung; diese ist allerdings sehr wichtig. Deshalb wird sie im Folgenden ausführlich behandelt.
Form der Schwingungsgleichung. Diese Differentialgleichung tritt in vielen Teilgebieten der Physik mit sehr verschiedenen Schreibweisen auf.
Wir gehen zunächst auf die allgemeine Form der Gleichung und ihre mathematische Klassifizierung ein. Für die mathematische Behandlung wählen wir die Funktion ^(t).
Die Gleichung lautet
a2 ^"(t) + ai ^'(t) + a0 ^(t) = f(t).	(15.43)
Das ist eine Differentialgleichung, die neben der gesuchten Funktion ^(t) auch deren erste (') und zweite (") Ableitung nach der unabhängigen Variablen t enthält. Die auf der rechten Seite stehende Funktion f(t) wird als vorgegeben angenommen.
Zur mathematischen Terminologie: Gl. (15.43) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, weil nur Ableitungen nach einer Variablen (keine partiellen Ableitungen) vorkommen. Es ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, weil die zweite Ableitung die höchste vorkommende ist. Die Gleichung ist linear, weil die Funktion und die beiden Ableitungen in verschiedenen Summanden stehen, und hat konstante Koeffizienten, weil die a. nicht auch noch Funktionen von t sind. Wegen des Auftretens der Funktion f(t) auf der rechten Seite von Gl. (15.43), handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung; die dazugehörende homogene Differentialgleichung ist
a2 ^"(t) + ai ^'(t) + a0^(t) = 0.	(15.44)
Lösung der homogenen Differentialgleichung. Zuerst werden zu einem (richtig geratenen) allgemeinen Ansatz für ^(t), nämlich
^(t) = e'J,	(15.45)
die Ableitungen (t) und (t) berechnet und in die homogene Differentialgleichung eingesetzt. Das führt zu der charakteristischen Gleichung,
a2 X.2 + a, 7. + a0 = 0,	(15.46)
mit deren Hilfe der im Ansatz für ^(t) enthaltene Parameter 7. bestimmt wird. Weil Gl. (15.44) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, ist die charakteristische
15.6 Schwingungsgleichung 893
Gleichung quadratisch und liefert zwei Werte für den Ansatz-Parameter X, nämlich Xj und
(15.47)
a,
X. 2 =------1-
112	2a2
Mit diesen zwei Werten erhält man zwei linear unabhängige spezielle Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung besteht aus einer linearen Superposition der speziellen Lösungen:
Um.aiig.Ct) = A exP(\ t) + B exP(^2 0-	(15.48)
Für den Sonderfall \ = X2 = X gilt die Sonderlösung
^hom.aiig. (t) = A exp(Xt) + B t exp(Xt).	(15.49)
Die beiden Koeffizienten A und B der Superpositionslösung, gegeben durch Gl. 15.48, werden für einen speziellen Fall unter Benutzung der dafür gegebenen Anfangsbedingungen bestimmt:
Um,aug.(t = 0) = A + B
und
^om,ang.(t = 0) = ^A + X2B.	(15.50)
Schließlich wird die inhomogene Differentialgleichung betrachtet und irgendwie eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung gewonnen. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich dann aus der Addition dieser speziellen Lösung zur allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung nach Gl. (15.48) bzw. Gl. (15.49):
Einhorn,allg. (0 = A..m ,allg. (0 + Einhorn,spez. (0*
(15.51)
Physikalische Interpretation. Die unabhängige Variable t wird jetzt zur physikalischen Zeitkoordinate t; die abhängige Variable E, steht hier noch als eine mathematische Funktion, stellvertretend für die Amplitude irgendeiner physikalischen Schwingung.
Für die Diskussion ist es nützlich, die Gl. (15.43) umzugruppieren:
a2 E,"(t) = — a1 E,'(t) — a0 + f(t).	(15.52)
Für den Fall, das E, eine Länge ist, z.B. die „Auslenkung“ eines schwingenden Körpers aus seiner Ruhelage, dann ist Gl. (15.52) eine Kraftgleichung mit der Bedeutung
Masse x Beschleunigung = Summe der wirkenden Kräfte.
Hier ist a2 die Masse des schwingenden Körpers, ist die Beschleunigung. Der Term — a0^(t) beschreibt die „rücktreibende“ elastische Federkraft, die proportional zur Auslenkung E, ist und die Masse zurück zur Ruhestellung bei 2 = 0 zieht (deshalb das Minuszeichen). Der Term — a^'^) beschreibt die „Reibungskraft“, die proportional und entgegengesetzt zur Geschwindigkeit angenommen wird. Das ist z. B. für die Reibungskraft einer laminaren Umströmung der Masse durch die umgebende Luft eine sehr gute Näherung. Der letzte Term f(7) ist die „äußere“ Kraft, die auf das schwingungsfähige System einwirkt; hier interessieren nur periodisch wirkende
894
15 Mathematische Hilfsmittel
Kräfte proportional zu cosSchwingungen, die dieser Gleichung genügen, werden auch harmonische Schwingungen genannt.
Freie (harmonische) Schwingungen. Freie Schwingungen ergeben sich für f(t) = 0. Die homogene Differentialgleichung beschreibt die freie gedämpfte Schwingung. Der Spezialfall a1 = 0 beschreibt die freie ungedämpfte Schwingung. Dafür liefert Gl. (15.47) zwei imaginäre X-Werte. Würde man „aus physikalischen Gründen“ die Lösung der Differentialgleichung auf reelle Zahlenwerte beschränken, dann müsste man den Exponentialansatz von Gl. (15.45) verwerfen und mit einem Ansatz, der Sinus- und Kosinusterme enthält, nach einer reellen Funktion als Lösung suchen. Das geht auch, ist aber mühsamer.
Wir bleiben bei dem exponentiellen Ansatz und kommen mithilfe komplexer Koeffizienten zu den gesuchten reellen Lösungen.
Für — 0 liefert Gl. (15.46) bzw. (15.47)
L12= ± ico0 mit a>0 = (a0/a2)1/2,	(15.53)
und das führt zur allgemeinen Lösung
= A exp(ico0t) + B exp( — ico0t)
= (A + B) cosco0t + i(A — B) sinco0t
= C cosco0t + D sinco0t.	(15.54)
Die Koeffizienten C und D sind noch unbestimmt. Die Größe <•),, heißt Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung oder auch Eigen(kreis)frequenz des ungedämpften Oszillators.
Als nächstes betrachten wir den Fall
0 < a1 < 2(a2 a0)1/2,
für den das Dämpfungsglied noch klein genug ist, um den Wurzelausdruck von Gl. (15.47) imaginär werden zu lassen. Mit Einführung des Dämpfungsfaktors
<5 = a1/(2a2)	(15.55)
und der Eigen(kreis)frequenz für das gedämpfte System
mg = (co2 — <52)1/2	(15.56)
ergibt sich als Lösung der charakteristischen Gleichung
\2 = - <5 ± i	(15.57)
und als allgemeine Lösung
^(t) = exp( — öt) (C cosco, t + D sinco, t).	(15.58)
Wird a, > 2(a2 a0)1/2 , dann ist der Wurzelausdruck von Gl. (15.47) reell und die beiden X-Werte sind negativ. Die allgemeine Lösung besteht aus der Summe von zwei abfallenden Exponentialfunktionen. Das heißt, das System schwingt nicht, sondern kriecht in die Ruhelage zurück:
^(t) = A exp(X/) + B exp (/.,/) mit
\2 = - <5 ± (<52 - co2)1/2.	(15.59)
15.6 Schwingungsgleichung 895
Zwischen dem zuerst behandelten Schwingfall und dem danach erwähnten Kriechfall liegt der Grenzfall, charakterisiert durch <5 = co0 oder a1 = 2(a2 a0)1/2. Das ist der Sonderfall, für den die charakteristische Gleichung eine Doppellösung liefert. Hierfür lautet die allgemeine Lösung
^(t) = (A + B • t) exp(— 5t).	(15.60)
Im Grenzfall kommt das nach Auslenkung oder Anstoßen sich selbst überlassene schwingungsfähige System am schnellsten zur Ruhe. Da das oftmals gewünscht ist, spricht man auch von einer dafür erforderlichen „kritischen Dämpfung“.
Erzwungene Schwingungen. Hier betrachten wir nur eine zeitlich-periodisch auf das System einwirkende Kraft, speziell eine „harmonische“ Kraft in Kosinus-Form, die wegen der rechentechnischen Vorteile als der Real teil von exp(icot) angesetzt wird, wobei man allerdings das „Re“ nicht mitschleppt. Mit den schon im vorangegangenen Abschnitt eingeführten, auf den Schwingungsvorgang bezogenen Abkürzungen lässt sich dann die inhomogene Differentialgleichung wie folgt schreiben:
5" + 2	5 = b expiico/).	(15.61)
Der Koeffizient auf der rechten Seite ist im Fall einer oszillierenden Masse gegeben durch das Verhältnis vom Amplitudenfaktor der äußeren Kraft zur schwingenden Masse.
Von besonderem Interesse ist die stationäre Lösung dieser Gleichung, die das Verhalten des Systems lange nach dem „Einschalten“ der äußeren Kraft beschreibt. Ein vorher ruhendes oder frei schwingendes System reagiert auf das Einschalten einer periodischen äußeren Kraft mit Einschwingvorgängen, die nach Zeiten t |> l/<5 abgeklungen sind.
Für die stationäre Lösung verwenden wir den Ansatz
^(t) = A(co) exp(icot)	(15.62)
und gehen damit in die Gl. (15.61) um die Amplitudenfunktion A(co) zu bestimmen. Es folgt
b
A =__________________
CDg — CD2 + i 2Ö(D
(<Uq — m2) — i 2<5co
(cüq — co2)2 + 4 52 cd2
b
= ,	e	(15.63)
]/ (cd2 — co2)2 + 4 <52co2 mit
lamp = 2<5co/(cOq — cd2).	(15.64)
Die stationäre Lösung ist (der Realteil von)
£.,.,(0 = , b	ei(“(-”>.	(15.65)
y (cOq — CD2)2 + 4 ö2cd2
896
15 Mathematische Hilfsmittel
Für den Fall schwacher Dämpfung liegt das Maximum der Resonanzkurve A(co) dicht bei m0; exakt liegt das Maximum bei
"max = ("o - 2<52)1/2-	(15.66)
Die vollständige Lösung für den hier betrachteten Fall einer äußeren Kraft mit Kosinus-Abhängigkeit von der Zeit erhält man durch Addition der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (Gl. (15.58)) für die freie gedämpfte Schwingung zur stationären Lösung von Gl. (15.65). Erstere beschreibt den von den Anfangsbedingungen abhängigen Einschwingvorgang. Die für t |> l/<5 gültige stationäre Lösung ist von den Anfangsbedingungen unabhängig.
15.7 Fourier-Reihen und -Integrale
Die Entwicklung einer periodischen Funktion der Zeit als Fourier-Reihe liefert mit den Koeffizienten für Grundwelle und Oberwellen das dazugehörende „Frequenzspektrum“. Das war schon für die Akustik (Bd. 1) nützlich und ist für die elektromagnetischen Schwingungen und Wellen ebenso wichtig. Für den Grenzfall einer unendlich langen Periode erhält man das dazugehörende kontinuierliche Frequenzspektrum als Fourier-Integral. Die mathematische Beziehung, die von einer nichtperiodischen Funktion der Zeit zum kontinuierlichen Frequenzspektrum führt, wird Fourier-Transformation genannt.
Hier wird auch die komplexe Darstellung eingeführt, die zu sehr eleganten und nützlichen Formeln führt, aber den Zusammenhang mit den reellen physikalischen Größen nicht immer leicht erkennen lässt.
Fourier-Reihen. Wir betrachten periodische Funktionen f von nur einer Variablen, für die wir hier die Zeit t wählen. Die Periodendauer sei T; dann ist m0 = In/T die Kreisfrequenz der Grundwelle. (Der Fourier-Formalismus lässt sich aber auch auf räumliche Probleme anwenden, für die eine Längenkoordinate, z. B. x, die Wellenlänge 2 als räumliche Periode und die Kreiswellenzahl k — 2n/2 die angemessenen Größen sind.)
Zwei Funktionen f, (t) und f2(t) werden als zueinander orthogonal bezeichnet, wenn das Integral ihres Produktes, erstreckt über den Variabilitätsbereich T, verschwindet:
+ r/2
f f^O-f^O dt = 0.	(15.67)
- r/2
Die Verwandtschaft der Funktionen-Orthogonalität mit der üblichen Deutung „Orthogonalität = Rechtwinkligkeit“ wird etwas klarer, wenn man sich zwei zueinander im rechten Winkel stehende Vektoren vorstellt: Deren Orthogonalität wird dadurch definiert, dass ihr Skalarprodukt verschwindet, wie das Integral über das Produkt der beiden Funktionen in Gl (15.67).
15.7 Fourier-Reihen und -Integrale
897
Für die Sinus- und Kosinusfunktionen mit den Argumenten nq/ (n = 0, 1, 2, 3... oo) gilt
2 T
— f sinmcmt- sinnen» t dt = <5 , rj	u	u	mn’
0
2 T
— f cosm«) t • cosnw,. t dt = <5 , rj	u	u	mn’
0
2 T
— f sinmm» t  cosnctV dt = 0. rj	u	u
0
(15.68)
Genausogut hätte ein anderer Integrationsbereich der Größe T, z. B. von — T)2 bis + T/2, genommen werden können. In Gl. (15.68) ist ömn das Kronecker-Symbol, definiert als
ömn = 0 für m + n, = 1 für m = n.
(15.69)
Die Kosinus- und Sinus-Funktionen aller ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz m0 bilden zusammen mit der Funktion 1, die sich aus cosnm0t für n = 0 ergibt, einen vollständigen orthogonalen Satz. Eine in T periodische Funktion kann durch eine Linearkombination dieser Basisfunktionen dargestellt werden.
Nach Fourier lässt sich jede (wenigstens stückweise glatte) periodische Funktion f(t) mit der Periode T darstellen durch die folgende Fourier-Reihe:
1
f(t) = -a0+E (an cosn<u0/ + bn sinnoq/).	(15.70)
2	n =1
Die Fourier-Koeffizienten sind bestimmt durch
2 T ao= dz r o
2 r
an = — J f(t) cosnm0t dt,
T o
2 T
bn = — J f(7) sinnm01 dt mit n = 1, 2, 3 ... oo.	(15.71)
T o
Auch zur Koeffizientenbestimmung kann jedes beliebige Zeitintervall der Länge T als Integrationsbereich verwendet werden.
Eine symmetrische Funktion f(7) = f(— t) wird durch eine Kosinus-Reihe und dem konstanten Glied a0/2 dargestellt, eine an tiisym (metrische f (7) = — f( — t) durch eine Sinus-Reihe. Weil nun die frequenzgleichen Sinus- und Kosinus-Terme paarweise zu phasenverschobenen Sinus-Termen (bzw. Kosinus-Termen) zusammengefügt werden können, lässt sich die Fourier-Reihe auch in der folgenden Form schreiben:
f(0 = | ao + f (an + bn)1/2 sin(nmot + <pn) mit
tan <pn = an/bn.	(15.72)
898
15 Mathematische Hilfsmittel
Besonders kompakt lässt sich die Fourier-Reihe mithilfe komplexer Zahlen darstellen. Dazu gehen wir zurück zu Gl. (15.71) und verwenden Gl. (15.42) für die Substitution der trigonometrischen Funktionen durch Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten:
1 f(0 = - a0 + X {(an/2) [exp(incn0/) + exp( - incn0/)] 2 n=l
+ [bn/(2i)] [exp(incn0/-exp(-incn0/)]}
1	” 1
= ö a0 + X z (an - ibn) exp(incn0/)
2	n=l 2
+ X 7 (a_„ + ib_n) exp(inmot).	(15.73)
n= -1 Z
Schließlich wird auch noch der Term
1 1
- a0 = - a0 exp(incn/) für n = 0	(15.74)
in die Summation eingefügt, und es ergibt sich
f(0 = E cn exp(incn0/)	(15.75)
n = — co mit
1
C + n = 2(a" + lb"’
1 772
= — J f(/) exp( —incn0/) dt.	(15.76)
T -T!2
Passend zum Summationsbereich von n = — oo bis + oo wurde in Gl. (15.76) für die Koeffizientenbestimmung der Integrationsbereich der Länge T, dessen Lage auf der /-Achse beliebig ist, symmetrisch zum Nullpunkt gewählt.
Um ganz deutlich werden zu lassen, was die komplexe Darstellung bedeutet, sei hier die Rechnung nochmal rückwärts durchgeführt: Addiert man in Gl. (15.75) die beiden Terme mit den Koeffizienten cn und c n, dann ergibt sich
cn exp(incn0/) + c_n exp( — incnot)
1
= - (a — ib ) (cosncn„/ + i sinnen»/) n	U	u z
1
+ -(a + ib ) (cosncn»/ — isinnen»/) n	U	u z
= an cosncn0/+ bn sinncn0/.	(15.77)
Hier wurde zwar die komplexe Schreibweise für eine besonders elegante Darstellung der Fourier-Reihe benutzt, aber es wurden keine (physikalisch unsinnigen) negativen Frequenzen eingeführt!
15.7 Fourier-Reihen und -Integrale
899
Formelsammlungen geben die Fourier-Reihen der am häufigsten verwendeten periodischen Funktionen. Beispielsweise wird eine „Sägezahnkurve“ mit der Periode T — 2n/m0, darstellbar als
t 1 f(7) =----für Q<t<T,
J T 2
t 3
= —— - für T< t<2T usw„	(15.78)
durch folgende Fourier-Reihe beschrieben:
f(7) = — sinmot —
sin 3mot ...
(15.79)
Nimmt man statt der unendlichen Reihe nur endlich viele Terme von n = 0 bis nmax, so ergibt sich eine Approximation der Funktion f(t), gezeigt in Abb. 15.10 oben, die mit der Hinzufügung weiterer Terme immer besser wird.
Das Bestimmen der Fourier-Reihe für eine gegebene Funktion f(7) heißt harmonische Analyse oder Fourier-Analyse. Die harmonischen Terme mit n > 1 werden als Oberwellen bezeichnet. Die Anteile von Grundwelle und Oberwellen an der Dar
- sin a>of
Abb. 15.10 „Sägezahn“-Schwingung und ihre Approximation durch die (darunter auch einzeln dargestellten) ersten sechs Terme der Fourier-Reihe.
900
15 Mathematische Hilfsmittel
Stellung der Funktion f(t) werden durch die Größe der Amplitudenfaktoren der Wellen verschiedener Frequenz beschrieben.
Die Verteilung auf Kosinus- und Sinus-Schwingung, die die Phase der harmonischen Schwingung wiedergibt, interessiert meist nicht. Deshalb wird auch die Folge der „phasenlosen“ Größen
(an + b2)1'2 = (cn c J12 = (cn <)'2	(15.80)
als Fourier-Spektrum bezeichnet.
Fourier-Integral. Die Methode der Darstellung periodischer Funktionen durch Fourier-Reihen wird nun mit dem Fourier-Integral auf nicht-periodische Funktionen erweitert.
Zur qualitativen Veranschaulichung soll zuerst einmal ohne Beweis dargestellt werden, wie man sich den Übergang vom diskreten Spektrum einer Fourier-Reihe zum kontinuierlichen Spektrum des Fourier-Integrals vorstellen kann: Wir betrachten die periodische zeitabhängige Funktion f(7) in Abb. 15.11 links oben, die zwischen den Intervallen, in denen f(7) + 0 ist, auch Bereiche mit f(7) = 0 enthält. Diese symmetrische Funktion ist durch eine nur Kosinusglieder enthaltende Fourier-Reihe darstellbar, deren Amplitudenfaktoren c+ = an/2 im Frequenzspektrum g(m) rechts dargestellt sind. Vergrößert man die Periode, ohne die Form der Funktion f(t) + 0 zu verändern, indem man nur den Bereich mit f(t) = 0 verlängert, dann ergibt sich das Frequenzspektrum g(m) mit dichter beieinander liegenden Frequenzen der Oberwellen, aber der gleichen Einhüllenden (in Abb. 15.11 die mittleren Beispiele). Im Grenzfall einer einzelnen Periode f(t) + 0 wird die Einhüllende zum integralen Frequenzspektrum g(m) (Abb. 15.11 unten).
Um nun formal den Fourier-Formalismus für die im Intervall T periodischen Funktionen auf unendlich große Perioden auszudehnen, gehen wir aus von Gl. (15.75), schreiben den Koeffizienten cn (Gl. (15.76)) explizit in die Summationsgleichung und nehmen folgende Substitutionen vor:
1/T = a>0l(2n) -> Am/(2rc),
nm0 —> nAm —> a>,
n ->	(15.81)
Das ergibt den Ausdruck
f(0= f
co/Aco= — co -^71
+ 772
J f(t) e dt e"'" Am,
- 772
(15.82)
bei dem absichtlich der Faktor 1/(2tc) vor die eckige Klammer geschrieben und das Am an das Ende gestellt wurde, um kommende Umformungen vorzubereiten.
Der Grenzübergang
T -> 00, Am -> dm und £ -> J
führt zu folgendem Integral:
1 +”
f(t)=— f g(m)e‘“dm.	(15.83)
15.7 Fourier-Reihen und -Integrale
901
f(t)	g(a>)
Abb. 15.11 Illustration des Übergangs von einer Fourier-Reihe (oben) zum Fourier-Integral (unten). Links: zeitabhängige Schwingung (von oben nach unten: Periode = 1 s, 2 s, 4 s, oo), rechts: Amplitudenspektrum (nach S.G. und H. Lipson, Optical Physics, Cambridge Univ. Press).
Die Funktion g(co) im Integranden entstand durch den Grenzübergang aus der eckigen Klammer von Gl. (15.82) und hat nun die Form
g(co) = +f f(r) e-im( dt.	(15.84)
Das ist das Fourier-Integral zur nicht-periodischen Ausgangsfunktion f(/).
Fourier-Transformation. Der Formalismus, der nach Gl. (15.84) von der Funktion f(t) zur Spektralfunktion g(co) führt, heißt Fourier-Transformation und wird hier durch das Symbol dargestellt. Die Funktion g(co) nennt man die Fourier-Trans-formierte von f(t). Die zweimalige Anwendung der Fourier-Transformation ergibt „beinahe“ die Ausgangsfunktion wieder:
J^f(t) = - 2n f(t).	(15.85)
Der Faktor — 2n ist ein „Schönheitsfehler“, zu dessen Behebung die inverse Fourier-Transformation eingeführt wurde:
f(r) = jf--1 g(co)
1 +”
= — f g(m) e"!” dm.	(15.86)
2n Ao
902
15 Mathematische Hilfsmittel
Das Minuszeichen von Gl. (15.85) wird durch Umkehrung des Vorzeichens im Exponenten von Gl. (15.86) (gleichbedeutend mit einer Umkehr des Integrationswegs) beseitigt. Der Faktor 2rt, der seinen Ursprung in der Verwendung der Kreisfrequenz anstelle der physikalischen Frequenz m/(2n) hat, wird durch Einfügung des Faktors l/(2n) bei der inversen Fourier-Transformation behoben.
In der Literatur findet man auch Formeln zur Fourier-Transformation, die den Faktor 1/(2tc) nicht in Gl. (15.86), sondern in Gl. (15.84) haben, und auch Formeln mit dem Wurzel-Faktor (27t) 12 in beiden Gleichungen. Auch das Minuszeichen im komplexen Exponenten ist manchmal in der anderen Transformation. Glücklicherweise sind weder Vorzeichen noch der Faktor 2tt von Belang; meist interessiert nur die Form der Funktion g(m).
Für das physikalische Verständnis ist es nützlich, die Transformation von Gl. (15.86) auch in reeller Form hinzuschreiben:
1 OO
f(t) = — J A(m) cosou du
2n o
1 OO
---J sinctü dm
2tt o
mit
A(m) = 2 J f(t) cosmt dt,
B(m) = 2 J f(t) sinmt dt.	(15.87)
Die beiden Integrale, die die Spektralfunktionen A(m) und B(m) liefern, werden Fourier-Kosinustransformation und Fourier-Sinustransformation genannt.
Die Verknüpfung der reellen Funktionen A(m) und B(m) mit der komplexen Funktion g(m) ist folgende:
A(m) = g(m) + g(-m),
B(m) = i[g(m)-g(-m)].	(15.88)
Die komplexe Schreibweise ist elegant und hat rechnerische Vorteile, aber die negativen (Kreis-)Frequenzen haben keine physikalische Realität.
Beispiele zur Fourier-Transformation. Zuerst diskutieren wir die Rechteckfunktion fR(0:
fR(t) = H für — h/2 < t < h/2,
= 0 für \t\>h/2.	(15.89)
Wird die Breite h bei konstanter Rechteckfläche H  h verringert, dann verbreitert sich die Spektralfunktion. Im Grenzfall h -> 0 wird die Rechteckfunktion zur Di-rac’schen Deltafunktion (in Abb. 15.12 bei t0 = 0), definiert als
ö(t0) = 0 für t + t0 = <x> für t — t0
und normalisiert zu
+fö(t)df=l.	(15.90)
15.7 Fourier-Reihen und -Integrale
903
Abb. 15.12 Zur Fourier-Transformation einer Rechteckfunktion: Bei konstanter Rechteckfläche wird die Breite verringert (a und b); (c) ist der Grenzfall einer verschwindend kleinen Breite (nach S.G. Lipson und H. Lipson).
Die Fourier-Transformierte wird im Grenzfall zu einer frequenzunabhängigen Konstanten. Das heißt, in der 8-Funktion sind alle Frequenzen gleichmäßig enthalten. Beim umgekehrten Grenzübergang h -> oo wird gR zu einer Deltafunktion bei cd = 0. Je größer das Zeitintervall At (die Länge der Rechteck-Funktion) ist, desto schmaler wird das Frequenz-Spektrum und umgekehrt.
Das nächste Beispiel ist die Gauß’sche Glockenkurve fG(t), dargestellt in der Abb. 15.13 für zwei verschiedene Breiten er, die von der Fehlerrechnung her „Standardabweichungen“ genannt werden.
Die Fourier-Transformierte gG(co) ist auch eine Gauß’sche Glockenkurve! Die Rechnung ergibt, dass gG(co) eine Standardabweichung besitzt, die zu der von fG(t) reziprok ist. Für das Produkt beider Standardabweichungen gilt
<T[fG(0]-<r[gG(«)]= 1.	(15.91)
Lässt man die Gauß-Kurve fG(t) immer schmaler werden, dann wird die Gauß-Kurve gG(m) immer breiter und umgekehrt. Im Grenzfall verschwindender Breite wird f„(t) eine Deltafunktion bei t — tn und ihre Fourier-Transformierte eine fre-quenzunabhängige Konstante.
Instruktiv ist auch das Beispiel einer zeitlich begrenzten kosinusförmigen Schwingung, beschrieben durch fR(t) cosßt. Als Fourier-Transformierte ergibt sich gR(m — Q) + gR(m + ß), das heißt, die Fourier-Transformierte der Rechteckfunktion tritt nun nicht mehr bei cd = 0, sondern frequenzverschoben bei cd = + Q auf. Für den Grenzfall einer zeitlich unbegrenzten Kosinusschwingung (h -> oo) besteht die Fourier-Transformierte aus zwei Deltafunktionen bei cd = +ß; die Fourier-Ko-
904
15 Mathematische Hilfsmittel
Abb. 15.13 Gauß’sche Glockenkurve. Das Integral über die Kurve ergibt den Wert 1. Die Breite er ist die „Standardabweichung“. Bei t — t0 ± er liegen die Wendepunkte der Kurve.
sinustransformierte besteht aus einer Deltafunktion bei <o = Q. So betrachtet sind in alle Linienspektren auf der rechten Seite von Abb. 15.11 schon Fourier-Transformationen, die für periodische Funktionen f(t) aus einem Spektrum von Deltafunktionen bestehen, das mit größer werdender Periode immer dichter und schließlich kontinuierlich wird.
15.8	Schaltalgebra
Die Schaltalgebra ist eine Anwendung der Boole’schen Algebra (Boolean algebra) oder algebraischen Logik. Weil elektrische Schalter nur die beiden Betriebsmoden „geschlossen“ und „offen“ besitzen, besteht eine Analogie zwischen Schaltern und logischen Variablen, die nur die Werte „wahr“ oder „falsch“ annehmen können. Hier verwenden wir die Dualziffern 0 und 1 für „offen“ und „geschlossen“ bzw. „falsch“ und „wahr“.
Die Konstanten der Schaltalgebra sind die Werte 0 und 1. Die Variablen der Schaltalgebra werden mit großen Buchstaben A, B, C ... dargestellt und können nur diese beiden Werte annehmen. Die Grundfunktionen der Schaltalgebra sind UND (Konjunktion) und ODER (Disjunktion); sie werden mit a und v symbolisiert.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der nicht-korrelierten Ereignisse „A ODER B“ gegeben durch die Summe (pA + /?,,) der Einzelwahrscheinlichkeiten pA und das Auftreten der Ereignisse „A UND B“ ist gegeben durch das Produkt p,j\. Deshalb wird oft das Plus-Zeichen anstelle von v und der Mal-Punkt (oder ein Punkt in Satzzeichenhöhe oder auch gar kein Zeichen) anstelle von a verwendet. Damit wird aber eine Ähnlichkeit mit der gewöhnlichen Algebra suggeriert, die zu Fehlschlüssen führen kann. So ist es in der Schaltalgebra z. B. nicht möglich, die Gleichung nach einer Variablen „aufzulösen“ oder Gleichungsteile „auf die andere Seite zu bringen“.
15.8 Schaltalgebra 905
Die Relation NICHT (Negation) verändert Konstanten oder Variablen in ihr Gegenteil: 0 -> 1 und 1 -> 0. Negierte Variablen werden überstrichen. Die Negation einer Verknüpfung zweier Variablen, z. B. „NICHT (A UND B)“ wird entweder durch Überstreichen des Ausdrucks A a B oder nur des Symbols a ausgedrückt, also A a B oder A a B. Die doppelte Negation (zweifache Überstreichung) führt zur ursprünglich vorhandenen Konstanten oder Variablen zurück.
Die Funktion A v B beinhaltet „A oder B oder beide“. Will man eine Verknüpfung, die „A oder B, aber nicht beide“ beinhaltet, dann muss man den in der ODER-Funktion enthaltenen Fall „A und B“ eliminieren. Das führt zu einer Funktion, die verlangt, dass A und B ungleich sind (Antivalenz = exklusives ODER):
A B = (AvB) Ä (AaB).	(15.92)
Wird ODER durch das Pluszeichen symbolisiert, dann erhält die Antivalenz meist das Symbol ©. - Die Äquivalenz (Symbol s) ist das Gegenteil der Antivalenz.
Die bisher erwähnten Verknüpfungen sind in Tab. 15.2 zusammengestellt. Dort sind auch die allgemein verwendeten englischen Ausdrücke angegeben.
Tab. 15.2 Funktionswerte von Variabienverknüpfungen (mit englischen Bezeichnungen).
Variablen		Funktionswerte					
A	B	AaB AND	AvB OR	AaB NAND	AvB NOR	A^B EOR	A = B
0	0	0	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	1
Unter Verwendung der allgemeinen Symbole o und o für schaltalgebraische Verknüpfungen beschreiben wir die folgenden Rechengesetze:
Kommutativität: AoB = BoA
Assoziativität: Ao(BoC) = (AoB)oC
Distributivität: Ao(BoC) = (AoB)o(AoC)	(15.93)
In der gewöhnlichen Algebra gilt die Distributivität nur für die Multiplikation, nicht für die Addition [A + (B • C) + (A + B) • (A + C)].
Die schon bei den bisher aufgeführten Beziehungen erkennbare Dualität zwischen Konjunktion und Disjunktion wird besonders deutlich in den De Morgan’schen Theoremen:
AaBaC = AvBvC
A v B v C = ÄaBaC	(15.94)
Zum Beweis der ersten Beziehung verweisen wir auf Tab. 15.3. mit vier Spalten von Funktionswerten:
1.	Für die Konjunktion AaBaC gibt es eine ausgezeichnete Wertekombination, die als einzige den Funktionswert 1 ergibt, nämlich A = B = C = 1 („alle Variablen gleich eins“, letzte Zeile).
906
15 Mathematische Hilfsmittel
2.	Für die Disjunktion A v B v C ist die Wertekombination A = B = C = 0 ausgezeichnet, die als einzige den Funktionswert 0 ergibt („keine Variable gleich eins“, „alle Variablen gleich null“, erste Zeile).
3.	Werden bei der Disjunktion die Variablen negiert (A vB vC-> AvB vC), dann ergibt sich der ausgezeichnete Funktionswert 0 für die Wertekombination A = B = C = 0, gleichbedeutend mit A=B=C=1 („alle Variablen gleich eins“, letzte Zeile). 
4.	Die Negation der eben behandelten Verknüpfung (A v B v C -> A v B vC) negiert die Funktionswerte (4. Spalte) und liefert schließlich die Identität mit der Konjunktion (1. Spalte), die zu beweisen war.
In entsprechender Weise lässt sich die zweite Beziehung von Gl. (15.94) verstehen.
Tab. 15.3 Wertetabelle zum Beweis des DeMorgan-Theorems.
unabhängige Variablen			Funktionswerte			
A	B	c	AaBaC	AvBvC	AvBvC	AvBvC
0	0	0	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1	0
0	1	0	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0
1	1	0	0	1	1	0
1	0	1	0	1	1	0
0	1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0	1
Die allgemeinste Formulierung des Dualitätsgesetzes der Schaltalgebra ist (ohne Beweis) folgende:
f(A, B, a, v, =, e£) = f(A, B, v, a, =).	(15.95)
15.9	Internet-Hinweise zu Kapitel 15
Welche mathematischen Hilfsmittel werden benötigt? „Mathematics for Physicists and Electrical Engineers“ by Ronald B. Ständler (Homepage: http://www.rbsO.com), Article in The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, Vol. 11, pages 1-6, Spring 1990: http://www.rbsO.com/math.htm =
Link 15-1
Zum Nachschlagen von Begriffen. Math World is hosted and sponsored by Wolfram Research, Inc„ makers of Mathematica, the world’s most powerful and flexible Software package for doing mathematics: http://mathworld.wolfram.com =
Link 15-2 Weiter z. B. mit => Algebra => Vector Algebra => Vektor Derivative (Zusammenstellung von sehr nützlichen Umformungen in der Nabla-Notierung!)
15.9 Internet-Hinweise zu Kapitel 15
907
HMC Mathematics Online Tutorial. Department of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711: http://www.math.hmc.edu => Useful creations „HMC Math Tutorials“ => Tutorials =
Link 15-3 Das Angebot erstreckt sich von „Algebra Review“ bis zu „First-Order Differential Equations“. Weiter z. B. mit => Partial Differentiation
Komplexe Zahlen. Diese Seite ist im Rahmen einer Facharbeit am Gymnasium Pe-trinum Brilon entstanden: http://www.komplexe-zahlen.de/ =
Link 15-4
Komplexe Wechselstromrechnung und Zeigerdiagramm. Aus Wikipedia Deutsch (s. Abschn. 1.4)
Link 15-5
Link 15-6
Boole’sche Algebra / Schaltalgebra. Universität Ulm: http://www.uni-ulm.de/ => Struktur und Organisation => Fakultät für Naturwissenschaften => Physik => Abteilung Experimentelle Physik => Lehre => Physikalische Elektronik und Messtechnik => Mathematische Grundlagen, Kontinuierliche und diskrete Signale, Digitale Signale: „Boole’sche Algebra, Schaltalgebra“ =
Link 15-7
Ergänzung: OSZ KIM, Oberstufenzentrum Kommunikations-, Informations- und Medientechnik, D-13359 Berlin (Wedding): http://www.oszkim.de/ => Lernmaterial => Digitaltechnik „Projekt EDEMI: Einführung in die Digitaltechnik“ => Inhaltsverzeichnis =
Link 15-8 Weiter mit => Was ist Digitaltechnik?, => Die logischen Grundgatter, => Schaltalgebra
Fourier-Analyse. Universität Ulm: http://www.uni-ulm.de => Struktur und Organisation => Fakultät für Ingenieurwissenschaften => Abteilungen „Mikrowellentechnik“ => Multimedia => Mathematics for Engineers => Fourier analysis =
Link 15-9
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Tab. 16.1 Symbole, die in diesem Kapitel verwendet werden.
Physikalische Größensymbole
Symbol	Größe	SI-Einheit
I Q R U	Strom (Effektivwert)	Ampere (A) Ladung	Coulomb (C =	As) Widerstand	Ohm (£2 = V/A) Spannung (Effektivwert)	Volt (V)
Elektrische Leiter-Kennzeichnung
Kennzeichen	Bedeutung
L,, L2, L3 N PE PEN	aktive Leiter (früher R, S, T) Nulleiter (früher M^) Schutzleiter Schutz- und Nulleiter
Das Ziel dieses Kapitels ist die Vermeidung von Personenschäden durch verantwortungsbewussten Umgang mit Elektrizität im physikalischen Labor. Sachschäden an den Apparaturen durch Blitzschlag, Netzspannungsausfall, Materialversagen oder Fehlbedienung müssen durch apparaturspezifische Maßnahmen verhindert werden; sie sind nicht Gegenstand dieses Kapitels. Der Blitzschutz wurde in Abschn. 10.3.4 behandelt.
16.1 Wirkungen auf den menschlichen Körper
Der Kontakt mit nur einem spannungsführenden Leiter ist unschädlich, wie die auf Hochspannungsleitungen sitzenden, fröhlich zwitschernden Vögel beweisen. Der gleichzeitige Körperkontakt mit zwei Leitern auf verschiedenen Spannungen verursacht jedoch Stromfluss durch den Körper, und dieser Strom ist ab einer bestimmten Stromstärke schädlich (Abb. 16.1). Besonders gefährlich sind Stromflüsse quer durch den menschlichen Körper, weil sie dicht am Herzen vorbei führen (Abb. 16.2).
Bei Dauereinwirkung muss ab etwa 50 mA mit dem weiter unten ausführlich beschriebenen Herzkammerflimmern gerechnet werden. Wenn die Einwirkungszeit
910
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Strom Wirkung
schwere Verbrennung, Lungenblähung, Herzstillstand
1 A
/Bereich der elektrischen ' Defibrillation
100mA	__Herzkammerflimmern, Bewustlosigkeit, Verbrennungen
Vorkammerflimmern, Strommarken, Blutdrucksteigerung
Erträglichkeitsschwelle
Atmungsbeschwerden
Krampfschwelle
Loslassen nicht mehr möglich
10 mA -- schmerzhafte Wirkung auf Muskeln
Krampfgefühl von Hand bis Oberarm Blutdrucksteigerung
schwache Versteifung in Hand und Arm
Gefühl wie Einschlafen der Hand
1 mA -- Wahrnehmungsschwelle
Abb. 16.1 Physiologische Wirkung von 50-Hz-Wechselstrom bei Einwirkungszeiten von mehr als 1 s. Richtwerte für Erwachsene und Stromfluss Eland-EIand.
deutlich unter einer Herzperiode (s 0.8s) liegt, dann werden erst Ströme von einigen 100mA gefährlich. Wegen individueller Schwankungen der Stromempfindlichkeit können nur Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Herzkammerflimmerns gegeben werden (Abb. 16.3). Stark vereinfacht, wie es für die Anwendung in der Sicherheitstechnik notwendig ist, ergibt sich daraus die in Abb. 16.3 gestrichelte Sicherheitskennlinie, die für Einwirkzeiten ab 1 s bei einem Strom von 10 mA liegt und für kürzere Einwirkzeiten bei einem Strom-Zeit-Integral von lOmAs; diese Daten gelten für Stromfluss zwischen Hand und Fuß; für Hand-Hand-Ströme gelten etwa dreifach höhere Stromwerte, also 30 mA für Einwirkzeiten ab 1 s. Die Sicherheitskennlinie von Abb. 16.3 entspricht auch ungefähr der Loslassschwelle.
16.1 Wirkungen auf den menschlichen Körper 911
Abb. 16.2 Stromfäden durch den Körper bei Hand-Hand- und Hand-Fuß-Kontakten. In beiden Fällen werden die Herzmuskeln mit erfasst.
Abb. 16.3 Physiologische Wirkungsbereiche von 50-Hz-Wechselströmen auf Erwachsene und Sicherheitskennlinie (nach R. Skiba „Taschenbuch Arbeitssicherheit“).
912
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Die Frequenzabhängigkeit der physiologischen Wirkung ist so, dass man den Bereich um 50 Hz als den gefährlichsten betrachten muss. Für Gleichstrom und 3-kHz-Strom liegt die Loslassschwelle bei einem 2 bis 3-mal höheren Strom und steigt mit zunehmender Frequenz weiter an.
Der Strom I ergibt sich nach dem Ohm’schen Gesetz aus dem Verhältnis von Spannung U zwischen den beiden Körper/Leiter-Kontakten und Gesamtwiderstand des Stromkreises R, der als Hintereinanderschaltung von Innenwiderstand der Stromquelle 7?Quelle, Körperwiderstand 7?K6rper und Haut/Leiter-Übergangswider-stand 7?Haut aufgefasst werden kann. Bei Stromquellen wie dem öffentlichen Netz (Steckdose) ist 7?Quelle praktisch gleich null. Der Körperwiderstand 7?K6rper hängt vom Stromweg ab:
Stromweg	Körperwiderstand
Hand-Hand, Hand-Fuß	ca. 1300 £2
Hände-Füße	ca. 650 £2
Hände-Rücken (Brust)	ca. 300 £2
Der Haut/Leiter-Übergangswiderstand 7?Haut ist abhängig von Kontaktfläche und Berührungsdruck, sowie von anderen äußeren physikalischen Einflüssen - wie Luftfeuchtigkeit, Temperatur, Durchfeuchtung der Haut - und inneren physiologischen und psychologischen Vorgängen - wie Transpiration, Fieber und Angst.
Der Widerstand der trockenen Haut liegt, abhängig von der Dicke der Horn-schicht, zwischen 50 und 100 kQ. Wird die Haut befeuchtet, dann werden die verhornten Zellen aufgeweicht und die Poren geöffnet. Damit sinkt der Widerstand. Der gleiche Effekt tritt bei Verletzungen der Haut (Wunden, Strommarken) ein. Starke Schweißabsonderungen als Folge erhöhter Temperatur, körperlicher Anstrengung oder Erregung setzen den Hautwiderstand ebenfalls herab. Die in den Schweißdrüsen gebildete Flüssigkeit übernimmt die Stromleitung von der Körperoberfläche zum tiefer liegenden Gewebe. Der Schweiß füllt die bei trockener Haut vorhandenen Unebenheiten aus, wodurch die wirksame Kontaktfläche beträchtlich vergrößert wird. Unter ungünstigen Umständen beträgt der Haut/Kontakt-Über-gangswiderstand kaum mehr als 100 £2.
Gefahr der Verharmlosung. Fast jede Person kann sich an einige selbst erlittene „Stromschläge“ erinnern, die zwar momentan schmerzhaft waren, aber keine bleibenden Schäden zurück ließen. Strom fließt durch den menschlichen Körper, wenn zwei auf verschiedener Spannung liegende Leiter, meist ein aktiver 230-V-Leiter und ein Erdleiter, gleichzeitig in elektrischen Kontakt mit dem Körper kommen. Die verschiedenen Arten von Kontakt haben ganz unterschiedliche Häufigkeit und Gerfährlichkeit.
•	Eine sehr häufige Art des Stromschlags ist der Stromfluss durch eine Fingerkuppe.
Das ist momentan schmerzhaft, aber schnell wieder vergessen.
•	Die Berührung der beiden Leiter mit zwei verschiedenen Fingern einer Hand ist deutlich schmerzhafter und erfordert eine längere Erholungszeit.
16.1 Wirkungen auf den menschlichen Körper 913
•	Wirklich gefährlich kann es werden, wenn die beiden Leiter mit verschiedenen Händen berührt werden, der Strom also quer durch den Oberkörper fließt. Aber wenn die betreffende Person das Glück hat, Fingerkuppen mit dicker trockener Hornhaut zu besitzen, deren Widerstand den Strom auf etwa 10 mA begrenzt, dann ist auch diese Art des Stromschlags nur eine Schreck-Erfahrung.
Aus derartigen Erfahrungen mit Stromschlägen entsteht der allgemeine Eindruck, dass Stromschläge zwar unangenehm, aber nicht wirklich gefährlich sind. Es fehlt das Bewusstsein, dass - anders als bei den ladungsbegrenzten, wirklich harmlosen Schocks durch elektrostatische Aufladungen - das elektrische 230-Volt-Netz eine praktisch unerschöpfliche Stromquelle mit verschwindend kleinem Innenwiderstand ist. Elektrischer Kontakt mit dem Netz ist somit immer gefährlich! In der Sicherheitstechnik rechnet man bei den typischen 230-Volt-Unfällen pauschal mit Stromflüssen von 50 bis 500 mA, entsprechend der Variationsbreite der Gesamtwiderstände. Bei Stromfluss durch den menschlichen Körper (Hand-Hand oder Hand-Fuß) sind schon 50 mA medizinisch sehr ernst zu nehmen, 500 mA können tödlich sein.
Herzkammerflimmern. Die häufigste Todesursache bei elektrischen Durchströmungen im Niederspannungsbereich ist das Herzkammerflimmern (yentricular fibrilla-tion). Der geordnete Rhythmus des Herzschlages wird gestört; an seine Stelle treten aufeinander nicht abgestimmte Arbeitszyklen der Herzmuskelfasern, wodurch die Pumpleistung des Herzens abfällt und der Blutkreislauf schließlich zum Erliegen kommt. Durch Sauerstoffmangel sterben empfindliche Körperzellen ab. Schon nach 3 bis 5 Minuten tritt der klinische Tod ein, wenn nicht sofort qualifizierte Hilfe geleistet wird.
Das menschliche Herz benötigt zur Aufrechterhaltung seiner rhythmischen Tätigkeit keine Steuerung durch übergeordnete (extrakardiale) Zentren; es ist in Bezug auf die Erregungsbildung autonom, d. h. der Anstoß zum sinnvollen Wechsel von Kontraktion und Erschlaffung entsteht im Herzmuskel selbst. Als „Schrittmacher des Herzens“ wurde ein Geflecht von Muskelfasern im rechten Herzvorhof erkannt. Wird die Erregungstätigkeit des Herzens durch einen von außen kommenden Stromreiz gestört, so wird die Koordination der Kontraktionen von Vorhöfen und Kammern beeinträchtigt. Das führt zu einer Verminderung der Blutförderleistung.
Im Rhythmus der Herztätigkeit wechselt auch die Erregbarkeit der Herzzellen. Trifft ein hinreichend starker Stromreiz die Herzzelle in der reizempfindlichen (vulnerablen) Phase, dann kann es zur Erregung der im Stromweg liegenden Herzzellen kommen. Für benachbarte, dem Strom weniger ausgesetzte Zellen kann der Reiz unterschwellig bleiben. So kommt es zur Störung der Koordination. Das Überdauern des Flimmervorgangs, über die Unterbrechung des flimmerauslösenden Stromes hinaus, wird dadurch erklärt, dass die elektrische Durchströmung des Herzens zur Bildung vieler irregulärer Erregungszentren in den Herzmuskelfasern führt. Die geschädigten Zellen werden gleichsam ihre eigenen Schrittmacher. Außerdem wird durch den flimmerauslösenden Reiz die reiz-unempfindliche Erholungszeit der Zellen stark verkürzt, sodass sie fähig sind, den hohen Flimmerfrequenzen zu folgen.
Das flimmernde Herz kann nur durch einen genau dosierten elektrischen Gegenschock von weniger als 0.2 s Dauer entflimmert (defibrilliert) werden. Voraussetzung
914	16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
für den Erfolg der elektrischen Entflimmerung ist jedoch die Aufrechterhaltung des Kreislaufs bis eine qualifizierte Person mit Defibrillator zur Verfügung steht. Zur therapeutisch wichtigen Diagnose, ob Herzkammerflimmern oder Herzstillstand vorliegt, sind Defibrillatoren in der Regel mit einem EKG-Monitor ausgestattet.
Früher durften Defibrillatoren nur von Ärzten bedient werden. Weil aber die nach Einsetzen des Kammerflimmerns zur Verfügung stehende Zeit nur wenige Minuten beträgt, ist man heute bemüht, Defibrillatoren, die von geschulten Laien bedient werden können, an vielen Orten verfügbar zu haben, z. B. in Passagierflugzeugen. Seit einigen Jahren gibt es preiswerte Laiendefibrillatoren (PAD, Public Access De-fibirllator), für deren Bedienung man in Deutschland und Österreich einen etwa 4-6-stündigen Ergänzungskurs zur Ersten Hilfe und eine Einweisung benötigt.
Funktionelle Beschwerden. Bei den nicht tödlich verlaufenden elektrischen Unfällen können auch folgende Beschwerden auftreten: sehr schmerzhafte und leicht entzündliche Strommarken und Verbrennungen bis zum 3. Grad an den Berührungsstellen, Herzschäden (Angina pectoris electrica), sowie Störungen des Nervensystems, die zu Beeinträchtigung von Gehör, Sehkraft, Bewusstsein oder Gleichgewichtssinn und zu Atemlähmung führen können. Die durch den Stromfluss bedingten Muskelverkrampfungen können nicht nur das rechtzeitige Loslassen verhindern, sondern im Körper auch Knochen brechen und Gelenke schädigen.
Innere Verbrennungen entstehen durch die Wärmewirkung größerer Ströme bei Hochspannungsunfällen, aber auch bei Niederspannungsunfällen mit langer Einwirkzeit. Betroffen sind vor allem die Körperteile mit geringem Querschnitt, also Arme und Beine. Durch den Strom werden Körperzellen elektrolytisch zersetzt. Die Zersetzungsprodukte sind schwere Körpergifte. Obwohl man bei inneren Verbrennungen zunächst kaum Beschwerden verspürt, muss rechtzeitig eine ärztliche Behandlung veranlasst werden, weil andernfalls noch nach Tagen durch Nierenversagen eine tödliche Harnvergiftung eintreten kann.
Hochspannungsunfälle sind meist mit einem Lichtbogen an der Stromübergangsstelle verbunden. Selbst wenn der menschliche Körper nicht in der Strombahn liegt, können Schäden durch das Licht und die ultraviolette Strahlung auftreten: „Verblitzen“ der Augen (starke Augen schmerzen über viele Stunden), dauernde Schädigung der Netzhaut, in schweren Fällen Erblindung.
16.2	Schutzmaßnahmen
16.2.1 Netzanschluss und Erdung
Der Netzanschluss besteht aus den drei aktiven Leitern L1; L2 und L3 (früher: R, S und T) für den Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) und dem Neutralleiter oder Nulleiter N (früher: Mittelpunkt-Leiter Mp). Der Neutralleiter ist geerdet durch Anschluss an die Betriebserde: das ist eine leitende Verbindung zu dem ins Erdreich/ Grundwasser reichenden Fundamenterder. Zwischen je zwei der drei aktiven Leiter liegt eine effektive Wechselspannung von 400 V (verkettete Spannungen, Dreieck-Schaltung); zwischen jedem aktiven Leiter und dem Neutralleiter liegen 230 V
16.2 Schutzmaßnahmen 915
(« 400 V/|/3, L-N-Spannungen, Sternschaltung). Werden diese drei Phasen in Sternschaltung mit gleichen Verbraucher-Impedanzen belastet, dann fließt im Neutralleiter kein Strom, obwohl Energieübertragung vom Netzanschluss zum Verbraucher stattfindet. Im Allgemeinen ist die Belastung der drei Phasen jedoch ungleich, und deshalb ist der Strom im Neutralleiter verschieden von null, allerdings ist er meist deutlich kleiner als die Summe der drei über L1; L2 und L3 fließenden Ströme.
Berührungsschutz. Zum Schutz von Personen und Haustieren sind elektrische Anlagen und Elektrogeräte so gebaut, dass direktes Berühren aktiver Leiter nicht möglich ist. Gefahr für Personen entsteht deshalb hauptsächlich durch so genanntes indirektes Berühren; darunter versteht man das Berühren leitender Teile, die nur infolge eines Fehlers unter Spannung stehen. Jedes „elektrische Betriebsmittel“ (Elektrogerät) ist von einem Gehäuse umgeben. Metallgehäuse werden in der Elektrotechnik „Körper“ genannt; sie müssen geerdet sein.
Steckverbindungen. Bei transportablen Elektrogeräten mit Kabelanschluss muss die Erdung des Körpers über das Kabel erfolgen; dazu dient die Schuko-Steckverbindung (Abb. 16.4). Kunststoffgehäuse müssen hinreichende mechanische Stabilität und elektrische Durchschlagfestigkeit besitzen; die Erdung entfällt bei ihnen.
In vielen anderen Ländern wurden eigene Lösungen für den sicheren Umgang mit Elektrizität entwickelt. Ungeachtet der europaweiten Einigung auf 230 V Wechselstrom mit 50 Hz gibt es (noch) keine genormte europäische Steckdose! Eine zukünftige Einigung ist sehr unwahrscheinlich wegen der hohen Umstellungskosten und den entgegenstehenden wirtschaftlichen Interessen. Das Reisen mit Adapter-Steckern wird uns vermutlich auch in Zukunft nicht erspart bleiben.
Schleifkontakt
Abb. 16.4 2-polige Steckverbindung mit seitlich angeordneten Schutzkontakten (Schuko-Steckdose, -Stecker).
Schutzleiter. Die leitenden Verbindungen aller Körper mit der Betriebserde werden Schutzleiter genannt und mit PE (protective eartli) symbolisiert. Die moderne Form des Niederspannungsnetzes wird TN-Netz genannt, wobei das „T“ angibt, dass die Spannungsquelle (d. h. die Sekundärwicklung des Abspann-Trafos) direkt geerdet ist; das „N“ gibt an, dass alle Körper über Schutzleiter direkt mit der geerdeten Klemme der Quelle verbunden sind.
916
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Die noch in älteren Anlagen zu findende „klassische Nullung“ unterscheidet nicht zwischen dem Schutzleiter PE für die Erdung der Körper und dem Neutralleiter N für die Stromrückführung im Einphasenbetrieb und für den Ausgleichsstrom der Dreiphasen-Sternschaltung. Der Leiter, der beide Funktionen hat, wird mit PEN gekennzeichnet.
Das in Abb. 16.5 schematisch skizzierte Hausnetz enthält nur zwei Verbraucher: Das Dreiphasen-Gerät könnte z. B. ein Elektroherd oder eine Waschmaschine sein. Die Schuko-Steckdose ganz rechts repräsentiert alle mit Einphasen-Wechselstrom betriebenen Geräte. Normalerweise besteht das Hausnetz aus mehreren mit 230 V (L-N-Spannung) betriebenen Netzteilen, die einzeln mit einem Überstrom-Schutzschalter für z. B. 16 A abgesichert sind. Zur Optimierung der Lastverteilung auf die drei Phasen wird bei der Installation darauf geachtet, dass für die Netzteile mit L-N-Spannung die drei Phasen (LJ, L2, L3) ungefähr gleich häufig verwendet werden. Bei der Installation von Leitungen mit „moderner Nullung“ wird der PE-Leiter mitverlegt; es werden also für Dreiphasen-Wechselstrom („Kraftstrom“) immer 5-adrige Kabel (L1; L2, L3, N, PE), für Einphasen-Wechselstrom 3-adrige Kabel (L, N, PE) verwendet.
Rohrleitungssysteme etc.
Li
La
L3 N PE
Fundament- Körper Erder
Abb. 16.5 Erdung im TN-Niederspannungsnetz mit „moderner Nullung“ (nach A. J. Schwab „Elektromagnetische Verträglichkeit“). Der hier eingezeichnete Ausbreitungswiderstand des Fundamenterders liegt meist unter 0.1 Ohm.
16.2 Schutzmaßnahmen 917
Abb. 16.6 Hauptpotentialausgleich: Alle leitfähigen Teile des Hauses sind an zentraler Stelle miteinander verbunden (nach DIN VDE 0100).
In der „modernen Nullung“ sind Schutzleiter (PE) und Neutralleiter (N) im gesamten Netz voneinander getrennt (Abb. 16.5). Alle Körper sind mit der Betriebserde verbunden, wobei auch andere geeignete Leitungen wie Wasser- und Gasleitungen, Heizungsrohre etc. als Schutzleiter mit einbezogen werden (Abb. 16.6). Die Nutzströme im Einphasenbetrieb (und der Ausgleichsstrom in der Dreiphasen-Sternschal-tung) fließen nur über den Neutralleiter.
16.2.2 Sicherungen. Schutzschalter
Überstrom-Schutzschalter sind hauptsächlich gemeint, wenn von „Sicherungen“ gesprochen wird. Sie liegen in allen aktiven Leitern (Abb. 16.5) und unterbrechen den Stromkreis, wenn der effektive Wechselstrom einen bestimmten Nennwert (z. B. 63 A für die Hauptsicherung, 16 A für die Sicherung von Netzteilen) eine bestimmte Zeit lang (z. B. einige Sekunden) überschreitet. Anlässe dafür sind Überlastungen durch Anschluss von zu vielen Verbrauchern oder hohe Fehlerströme. Schmelzsicherungen müssen zur Wiederherstellung des Betriebszustandes ausgewechselt werden; elektromagnetische Sicherungsautomaten werden mit Druck- oder Kippschalter wieder „in Betrieb“ genommen. Neutralleiter und Schutzerde dürfen nicht durch Überstrom-Schutzschalter unterbrochen werden!
Überstrom-Schutzschalter (die „normalen“ Sicherungen) schützen die Anlage vor Zerstörung durch hohe Ströme, die andernfalls z. B. zu Kabelbrand führen könnten.
918	16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Für einen Menschen, der in einer Unfallsituation von Elektrizität durchströmt wird, bieten diese Sicherungen keinen Schutz! Die Nennstromstärke (typisch 16A) und die Ansprechzeit einer trägen Sicherung (bis zu 20 s) sind viel zu groß.
FI-Schutzschalter (Residual Current Protective Device, RCP). FI bedeutet „Fehlerstrom“. Ein zentraler FI-Schutzschalter kann zwischen Hauptsicherungen und kWh-Zähler installiert werden (Abb. 16.7). Der FI-Schutzschalter unterbricht die aktiven Leiter Lp L2 und L3, aber keinesfalls PE, wenn die phasengerechte Summe aller Nutzströme über Lp L2 und L3, abzüglich des „Rückstroms“ über N, mit ihrem Effektivwert einen bestimmten Grenzwert überschreitet. Fehlerstrom-Schutzschalter sprechen also nur dann an, wenn ein Teil des Stromes von den aktiven Leitern über PE (statt über N) zurückfließt. Deshalb kann der Grenzwert (Nennwert der Fl-Si-cherung) viel kleiner sein als der Nutzstrom und z. B. nur 10 mA betragen. Die normalen Sicherungen wählt man absichtlich „träge“, damit der Betrieb nicht bei jeder Stromspitze, wie sie z. B. beim Einschalten einer Glühlampe (14-facher Nennstrom!) oder eines Motors auftritt, unterbrochen wird; beim Auftreten von Fehlerströmen möchte man dagegen das Netz möglichst schnell abschalten. Die Ansprechzeiten der Fl-Sicherungen liegen bei 0.2 s oder weniger. Zur Wiederherstellung des Betriebszustandes der Fl-Sicherung muss ein Kippschalter betätigt oder ein Drehknopf nach rechts gedreht werden. Das Funktionsprinzip einer Fl-Sicherung zeigt Abb. 16.8.
Im FI-Schutzschalter ist ein Schalter mit einem Stromwandler kombiniert. Die Sekundärspule des Wandlers liefert den Betätigungsstrom für die Relaisspule des Schalters. Durch den Wandler werden sämtliche Wechsel- oder Drehstromzuleitungen hindurchgeführt. Auch der Neutralleiter muss hindurchgeführt werden, weil er bei unsymmetrischer Belastung der drei Phasen ebenfalls Strom führt. Im fehlerfreien Zustand (Abb. 16.8a) ist der zu den elektrischen Verbrauchern hinfließende Strom genauso groß wie der von ihnen zurückfließende. Die magnetisierende Wirkungen
Abb. 16.7 Zentraler Dreiphasen-Fehlerstrom-Schutzschalter. Der PE-Leiter wird daran vorbei geführt. Die Prüftaste ist nach Anweisung (meist halbjährlich) zu bestätigen.
16.2 Schutzmaßnahmen 919
IF Fehlerstrom über Körper
Abb. 16.8 Fehlerstrom-Schutzschalter (hier für Einphasen-Stromkreis): (a) fehlerfreier Betrieb, (b) Fehlerstrom durch Isolationsfehler.
der Ströme auf den Wandler-Ringkern kompensieren sich zu null. In der Sekundärspule entsteht keine Spannung, und die Relaisspule bleibt stromlos. Tritt dagegen in einem der elektrischen Verbraucher oder in der Anlagen-Installation ein Isolationsfehler auf und sind die leitfähigen, nicht zum Betriebsstromkreis gehörenden Teile über Schutzleiter (PE) geerdet, so fließt ein Fehlerstrom über die Erde ab (Abb. 16.8b). Die Ströme, die durch die Primärwicklungen des Wandlers führen, ergänzen sich nicht mehr zu null, weil der Rückstrom um den Fehlerstrom kleiner ist als der Hinstrom. Die Stromdifferenz erzeugt im Wandlerkern ein magnetisches Wechselfeld, das in der Sekundärwicklung des Wandlers eine Spannung induziert, die einen Strom in der Relaisspule des Schutzschalters zur Folge hat. Erreicht der Fehlerstrom den vorbestimmten Nenn-Fehlerstrom, so spricht das Relais an und der FI-Schutzschalter unterbricht den Stromkreis.
Fl-Sicherungen reduzieren die Gefahr von Personenschäden erheblich, wenn der Nennstrom 30 mA oder weniger und die Ansprechzeit 0.2 s oder weniger beträgt. Allerdings gibt es auch Gründe für den Einbau von unempfindlicheren Fl-Siche-rungen: Auch im normalen Betrieb können höhere Ableitungsströme auftreten, z. B. in feuchten Räumen, und so die Verwendung einer empfindlichen Fl-Sicherung verbieten.
Wo die Installation empfindlicher FI-Schutzschalter nicht vorgeschrieben ist, werden oft Fl-Sicherungen mit einem Nennwert von 0.3 A oder 0.5 A installiert, die den Personenschutz nicht verbessern. Die gesetzlichen Regelungen sind regional unterschiedlich; so sind z. B. in einigen Bundesländern empfindliche FI-Schutzschalter mit 30 mA Fehlerstrom nur bei Neuinstallationen in Bädern vorgeschrieben.
920	16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Die FI-Schutzschalter mit 10 mA Nennfehlerstrom wurden entwickelt, weil medizinische Versuche gezeigt haben, dass sich bei 10 mA Körperstrom noch 99.5 % der Versuchspersonen selbsttätig lösen können, bei 30 mA sind es weniger als 0.5 %! Das Nicht-Loslassen-Können bis der Angstschweiß den Hautwiderstand soweit herabgesetzt hat, dass ein weniger empfindlicher FI-Schutzschalter bei 30 mA anspricht, ist eine sehr unangenehme, auch medizinisch ernst zu nehmende Erfahrung.
16.2.3 Erkennung von Defekten
Bei den möglichen Defekten in der elektrischen Anlage unterscheidet man Schlüsse (unbeabsichtigte leitende Verbindungen zwischen zwei Leitern mit verschiedenen Funktionen) und Brüche (unbeabsichtigte Unterbrechung eines Leiters):
-	Kurzschluss = leitende Verbindung zwischen zwei Leitern mit verschiedener Betriebsspannung. Folge: Leitungsschutz-Sicherung unterbricht den Stromkreis.
-	Leiterschluss = leitende Überbrückung eines Schalters. Folge: Verbraucher kann nicht abgeschaltet werden.
-	Körperschluss = leitende Verbindung zwischen aktivem Leiter und Metallkörper (Gehäuse). Folge: Wenn Körper nicht geerdet ist, besteht Gefahr des elektrischen Schlags beim Berühren! Wenn Körper geerdet ist, liegt Erdschluss vor.
-	Erdschluss = leitende Verbindung zwischen aktivem Leiter und PEN- oder PE-Erde. Folge: Überstrom- oder Fl-Sicherung unterbricht Stromkreis.
-	Leiterbruch = Unterbrechung eines aktiven Leiters (oft als „Wackelkontakt“ auffällig). Folge: Verbraucher-Betrieb ist nicht möglich (oder gestört).
-	Neutralleiterbruch = Unterbrechung des N-Leiters. Folge: Verbraucher-Betrieb ist nicht möglich
-	Schutzleiterbruch = Unterbrechung des PE-Leiters. Dieser Defekt ist schwer zu bemerken. Folge: Bei nachfolgendem Körperschluss wird der Stromkreis nicht unterbrochen. Dadurch entsteht die Gefahr des elektrischen Schlags beim Berühren!
16.3	Verhaltensregeln
Die Regeln für den Umgang mit Elektrizität im Labor sind nur Erweiterungen der Regeln, die jede Person im eigenen Haushalt beachten sollte. Leider kann nicht generell vorausgesetzt werden, dass der verantwortungsbewusste Umgang mit der Haushalts-Elektrizität schon in der Schule vermittelt wurde; deshalb muss das hier nachgeholt werden.
Achtung Physiklehrer(innen): Für Kinder gelten kleinere Strom- und Spannungsgrenzwerte als für Erwachsene. Dementsprechend streng sind die Sicherheitsauflagen für den Umgang mit Elektrizität in der Schule. Die Richtlinien der Schulbehörde sind unbedingt einzuhalten.
16.3 Verhaltensregeln 921
16.3.1 Umgang mit Haushaltselektrizität
Bei ordnungsgemäßer Installation, einwandfreien elektrischen Geräten und verantwortungsbewusstem Verhalten der Bewohner sind elektrische Unfälle im Haushalt sehr unwahrscheinlich.
Neuer Haushalt. Beim Einzug in ein Haus oder eine Wohnung mit noch unbekannter elektrischer Anlage sind folgende Fragen zu beantworten:
- Wo befinden sich die Sicherungen bzw. Schutzschalter? Wie kann der Sicherungskasten auch in Dunkelheit erreicht werden? (Wo sind Taschenlampe oder Kerze und Streichhölzer gelagert?) Wie werden die Sicherungen ausgewechselt? (Wo lagern Ersatzsicherungen?) Wie werden die Sicherungsautomaten wieder „auf Betrieb“ geschaltet? Wo ist die Zuordnung der einzelnen Sicherungen (Automaten) zu den Netzteilen beschrieben?
- Besitzt die Anlage einen zentralen FI-Schutzschalter? Gibt es dezentrale FI-Schutzschalter, z. B. für die Steckdose im Bad?
- Gibt es auch dezentrale Überstrom-Sicherungen, z. B. Feinsicherungen in den mit Dimmer ausgestatteten Lichtschaltern? (Wo sind Ersatz-Feinsicherungen mit der richtigen Nenn-Überstromstärke?)
Wer in ein anderes Land zieht, darf nicht davon ausgehen, dass Netzanschluss, Erdung und Sicherungen genauso gestaltet sind wie in Deutschland. Diesbezügliche Erkundigungen bei Nachbarn oder Hausverwalter sind sinnvoll.
Spannungsprüfer. Die Anschaffung eines Spannungsprüfers ist sehr zu empfehlen (und billiger als die eines Voltmeters). Die beiden aus den isolierten Handgriffen hervorstehenden Metallspitzen werden mit zwei verschiedenen Leitern in Berührungskontakt gebracht. Existiert zwischen den Leitern eine Spannungsdifferenz von 100 V oder mehr, dann leuchtet die im Prüfer befindliche Glimmlampe hell auf.
Weniger empfehlenswert, aber besser als gar nichts, ist ein preiswerter Spannungsprüfer in der Form eines kleinen Schraubenziehers, wie er für die Madenschrauben in „Lüsterklemmen“ benötigt wird. In dem isolierten Griff ist eine kleine Glimmlampe eingebaut. Hält man den Schraubenzieher an den zu prüfenden Leiter und berührt man mit dem Finger den Metallknopf am Ende des Schraubenziehergriffes, dann leuchtet die Glimmlampe auf, weil dann „im Normalfall“ durch den menschlichen Körper ein Isolationsstrom in der Größenordnung von jrA fließt, der harmlos ist, aber für das Leuchten der Glimmlampe genügt. Nachteil: Bei guter Isolation der Person (Schuhe mit dicken Gummisohlen, sauber und trocken) kann das Leuchten so schwach sein, dass es bei Tageslicht nicht mehr zu erkennen ist. Deshalb immer Gegenprobe mit einem tatsächlich aktiven Leiter machen!
Verantwortungsbewusstes Verhalten. Dazu gehört, dass
- beschädigte Geräte oder Kabel sofort instandgesetzt (oder entsorgt) werden, - Betriebsstörungen durch Fachkräfte umgehend behoben werden,
- Veränderungen an der elektrischen Anlage von sachkundigen Personen durchgeführt werden und
- Fehlverhalten von Kindern durch Zugangsbeschränkung, Aufsicht oder Erziehung ausgeschlossen wird.
922
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Ernstzunehmende Vorboten von Betriebsstörungen sind das unerklärliche wiederholte Ansprechen von Sicherungen oder ein „kribbelndes Gefühl“ beim Anfassen eines Elektrogerätes.
Der Defekt, der zum Ansprechen der Sicherung geführt hat, muss beseitigt werden, bevor die Anlage wieder in Betrieb genommen werden kann; andernfalls spricht die gleiche Sicherung wieder an. Zur Lokalisierung des Defektes empfiehlt es sich, alle Stecker aus den Steckdosen zu ziehen und alle Wandschalter auf AUS zu stellen, dann den Netzteil wieder in Betrieb zu nehmen und die Verbraucher nacheinander einzuschalten, bis die Sicherung wieder anspricht.
Für notwendige Veränderungen an Elektrogeräten, z. B. Glühlampenwechsel in einer Stehlampe, gilt: Vorher Stecker aus Steckdose ziehen! - Für das Anschließen von Deckenleuchten gilt: Vorher diesen Netzteil durch Herausdrehen der Sicherung (Auslösen des Sicherungsautomaten) abschalten! Zum Durchführen solcher Arbeiten ohne Tageslicht ist eine Arbeitslampe, die über ein Verlängerungskabel von der Steckdose eines anderen, nicht abgeschalteten Netzteils betrieben werden kann, sehr nützlich.
Beim Anschließen von Deckenleuchten ist der Kabel-Farbcode zu beachten: ein PE-Leiter besitzt immer grün-gelbe Isolation, ein Neutralleiter immer hellblaue Isolation. (Die aktiven Leiter haben in der Regel schwarze oder braune Isolation.) Achtung: Selbst bei abgeschalteter Spannung kann der Neutralleiter durch Rückströme aus anderen Netzteilen eine um Millivolt von null verschiedene Spannung besitzen; das genügt, um beim versehentlichen Zusammenbringen von N und PE einen Erdstrom zu treiben, der die zentrale Fl-Sicherung ansprechen und das gesamte Hausnetz abschalten lässt. Dann steht man u. U. plötzlich auf der Leiter im Dunkeln!
Wie bei den Ausführungen über den Hautwiderstand deutlich wurde, ist die Gefahr elektrischer Unfälle am größten, wenn die Haut feucht ist. Deshalb sind die Haupt-Gefahrenbereiche die Nassgebiete des Hauses: Küche, Bad, ggf. Hobby-Aquarium, außerdem die Außenbereiche (Balkon, Garten) unter Witterungseinfluss. Wenn es keine zentrale Fl-Sicherung gibt, empfiehlt sich die Installation einer dezentralen Fl-Sicherung mit 30 mA (besser 10 mA) Nennfehlerstrom für die Steckdose im Bad. Dann ist auch der oft zitierte Unfall „Föhnen in der Badewanne“ (Föhn fällt ins Wasser, Strom fließt von Föhn durch badende Person zum geerdeten Wasserabfluss) nicht mehr tödlich.
Gefahren für Kinder. Gefahrenquellen für Kinder sind erreichbare Steckdosen, die dazu einladen „Nägel in beide Löcher zu stecken“. Diese Gefahr kann durch Einbau einer Fl-Sicherung nicht gebannt werden! Es gibt Abdeckkappen für Steckdosen, die nur mit einem „Kunstgriff“ überwunden werden können. Zum Schutz von Kleinkindern ist das Sichern von Steckdosen sinnvoll. Langfristig ist die Erziehung zum verantwortungsbewussten Umgang mit Elektrizität jedoch unerlässlich.
Gefahren durch unsachgemäße Installationen. Es besteht immer die Möglichkeit, dass Vorgänger Installationen vorgenommen oder zugelassen haben, die nicht sachgemäß sind und später nur durch Zufall oder bei der Aufklärung eines unerklärlichen Defektes entdeckt werden. So kann z. B. für die Schaltung einer Lampe fälschlich der Nulleiter anstelle des aktiven Leiters zum Schalter geführt worden sein; oder aktive Leiter von zwei getrennt abgesicherten Netzteilen wurden versehentlich in einer Ver
16.3 Verhaltensregeln 923
teilerdose miteinander verbunden. Es ist sogar möglich, dass ein grün-gelber PE-Leiter zweckentfremdet wurde und nun auf Spannung liegt!
Personenschäden durch unsachgemäße Installationen der Vorgänger können nur durch erhöhte Wachsamkeit und Vorsicht vermieden werden:
- Jedes unverständliche Fehlverhalten der elektrischen Anlage muss aufgeklärt werden!
- Vor dem Berühren von Leitern muss in jedem Einzelfall deren Spannungsfreiheit mit einem Spannungsprüfer festgestellt werden; es genügt nicht, dass ein Schalter auf AUS gestellt oder eine Sicherung herausgeschraubt wurde!
16.3.2 Zusätzliche Regeln für das Labor
Hochspannung. Sehr gefährlich ist Hochspannung in Verbindung mit einem verschwindend kleinen Innenwiderstand der Quelle, weil sie zu stromstarken Durchströmungen des menschlichen Körpers führen kann. Solche Gefahrenbereiche sind z. B. elektrische Fernleitungen und die Stromzuführungen für elektrische Bahnen.
Auch im physikalischen Labor gibt es Hochspannungsanlagen, die zusätzliche Sicherheitsmaßnahmen erfordern, beispielsweise die Installation einer „Schranke“, die die Hochspannungsanlage automatisch abschaltet, wenn ein Mensch Zugriff bekommt.
Beispiel: Heizung eines Vakuumofens durch Elektronenstrahl-Bombardement. Für 500 W Heizleistung wird z. B. ein Elektronenstrom von 100 mA bei 5 kV Elektronenenergie eingesetzt. Die dafür benötigte Quelle ist gefährlich!
Die meisten Labor-Hochspannungsquellen sind jedoch nicht so gefährlich, weil deren Strom auf 10 mA oder weniger begrenzt werden kann, z. B. durch Einbau eines hochohmigen Vorwiderstandes oder durch entsprechende Elektronik. Zählrohre, Multiplier, Elektronenmikroskope, Massenspektrometer und viele andere Apparaturen für Elektronen- oder lonenstrahlen kommen mit einem Hochspannungs-Strom von weniger als 10 mA aus.
Niederspannung. Die meisten elektrischen Gefahrenquellen im Labor sind denen im Haushalt sehr ähnlich. Nur wenige Laborgeräte sind gefährlicher als die Netzsteckdose mit 230 V Spannung und dem vernachlässigbar kleinen Innenwiderstand des öffentlichen Netzes.
Auf die Installation einer zentralen Fl-Sicherung wird in den meisten Labors aus folgenden Gründen verzichtet:
- Forschungsapparaturen haben in der Regel Teile, die möglichst immer in Betrieb sein sollen, auch dann, wenn an anderen Teilen der Apparatur Veränderungen vorgenommen werden. Das Abschalten aller Spannungen durch das Ansprechen von Fl-Sicherungen ist deshalb unerwünscht.
- Die meisten Spannungen, die versehentlich berührt werden könnten, werden von irgendwelchen Netzgeräten erzeugt und liegen sozusagen „auf der Sekundärseite des Netztrafos“. Sie gehören nicht zu den primären Wechselströmen, deren vollständige Rückführung durch eine zentrale Fl-Sicherung überwacht wird.
-	Der zunehmende Einsatz von Netzfiltern zum Schutz der Messanordnungen vor hochfrequenten Störungen erhöht die kapazitive Strombelastung des PE-Schutz-
924
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
leiters, sodass die kleinen Nennfehlerströme, wie sie für Personenschutz wünschenswert sind (30 oder gar 10 mA), nicht eingehalten werden können.
Auch Experimentalphysiker(innen) sollten die Bestimmungen für das Arbeiten an Niederspannungsanlagen (VDE 0105) beachten, nach denen die folgenden Maßnahmen in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen sind, um sicherzustellen, dass eine Anlage spannungsfrei ist:
-	alle Spannungsquellen abschalten, bei mehreren aktiven Leitern „allpolig“ abschalten,
-	gegen Wiedereinschalten sichern, z. B. durch Herausschrauben und Verwahren aller Stromkreissicherungen oder durch Anbringen eines Warnschildes mit der Aufschrift „Nicht einschalten!“,
-	auf Spannungsfreiheit mit Spannungsprüfer oder Spannungsmesser prüfen,
-	alle Kapazitäten der Anlage entladen und kurzschließen,
-	alle Netzleiter erden und in Sichtweite von der Arbeitsstelle kurzschließen.
Wenn Arbeiten unter Spannung unvermeidlich sind, dann muss isoliertes Werkzeug verwendet und für einen festen, isolierten Stand der arbeitenden Person gesorgt werden. Eine zweite Person, die weiß, wie die Anlage im Notfall abzuschalten ist, muss sich in Rufweite aufhalten.
16.4	Erste Hilfe
Jedes physikalische Labor gehört zu irgendeiner Institution. Deren Verfahrensvorschriften für Erste Hilfe sind vorrangig zu beachten. Allen im Labor arbeitenden Personen müssen die Vorschriften bekannt sein; ein gut einsehbarer Aushang ist zu empfehlen. Sollten solche Vorschriften fehlen, dann sind Merkblätter über „Erste Hilfe“, herausgegeben von Berufsgenossenschaften oder dem Roten Kreuz, heranzuziehen.
Nach einem Stromschlag, der so glimpflich verlief, dass kein Notarzt gerufen werden musste, ist die betroffene Person oft geneigt, den Unfall zu bagatellisieren. Das ist falsch! Nach einem als schmerzhaft empfundenen Stromschlag sollte vorsorglich die Erste-Hilfe-Station eines Krankenhauses aufgesucht werden; dort wird von Ärzten entschieden, welche medizinische Maßnahmen in dem Fall angemessen sind.
Nach der Ersten Hilfe gibt es noch andere Verpflichtungen: In der Regel wird ein schriftlicher Unfallbericht verlangt. Nach jedem Unfall ist zu prüfen, wie durch zusätzliche Sicherheitsvorkehrungen ähnliche Unfälle in Zukunft vermieden werden können.
16.4.1 Sofortmaßnahmen
Strom sofort unterbrechen! In Niederspannungsanlagen ist zunächst die betreffende Leitung spannungsfrei zu machen, da eine vorherige Berührung des Verunglückten den Helfer selbst gefährdet. Ist das nicht möglich, dann kann man den Verunglückten
16.4 Erste Hilfe
925
von einem gut isolierten Standort aus (trockenes Holz, Kunststoff) von den Leitungen oder Geräten wegziehen; dabei soll man unbedeckte Körperteile nicht mit ungeschützten Händen berühren, sondern trockene Decken oder Kleider verwenden.
Bei Bewusstlosigkeit des Verunglückten:
•	Feststellen, ob Atemstillstand vorliegt. Merkmale: Keine Bewegung des Brustkorbs, ein vorgehaltener Spiegel beschlägt nicht.
Bei Atemstillstand möglichst gleich Notruf veranlassen und sofort mit Atemspende (beschrieben im nächsten Abschnitt) beginnen. Nach zweimaliger Beatmung Pulskontrolle am Hals durchführen; bei nicht-tastbarem Puls mit Herz-Lungen-Wieder-belebung (beschrieben im nächsten Abschnitt) beginnen.
•	Feststellen, ob Herz-Kreislauf-Stillstand vorliegt. Merkmale: Bewusstlosigkeit, Atemstillstand, kein Puls an der Halsschlagader, Pupillen stark erweitert.
Bei Herz-Kreislauf-Stillstand sofort mit Herz-Lungen-Wiederbelebung (beschrieben im nächsten Abschnitt) beginnen.
Einem bewusstlosen Verletzten darf keine Flüssigkeit verabreicht werden, auch nicht bei bestehender Übelkeit oder Erbrechen. (Einem bewusstseinsklaren Verletzten kann schluckweise Wasser oder Tee, aber auf keinen Fall Alkohol, verabreicht werden.)
Verhalten bei Verbrennungen. Brennende Kleider sofort mit Wasser, durch Ein wickeln in Decken (Löschdecke) oder ähnliches, notfalls durch Rollen des Verletzten am Boden löschen. Die Kleidung über der Brandwunde entfernen, sofern sie nicht festklebt. Lokale Kaltwasseranwendung: Abbrausen oder Übergießen der betroffenen Stellen mit kaltem Wasser. Gliedmaßen sofort in kaltes Wasser eintauchen oder unter fließendes Wasser halten, bis der Schmerz nachlässt (mindestens 15 Minuten). Das Aufträgen von Öl, Salben, Puder o. ä. ist verboten.
Großflächige Verbrennungen sofort in Brandwundenverbandtücher, ersatzweise in ein sauberes Leinentuch einhüllen. Bei großflächigen oder tiefgreifenden Verbrennungen sofort den nächsten Arzt verständigen. Den Transport in das nächstliegende, für die Behandlung von schweren Verbrennungen eingerichtete Krankenhaus veranlassen. Ärztliche Begleitung ist erforderlich.
16.4.2 Atemspende und Herz-Lungen-Wiederbelebung
Atemspende. Die Atemspende ist eine Mund-zu-Nase- oder Mund-zu-Mund-Beat-mung. Wenn Atemstillstand, aber kein Herzstillstand festgestellt wurde, dann genügt Atemspende bis zum Einsatz der Eigenatmung.
-	Verunreinigungen und Fremdkörper aus dem Mund entfernen.
-	Verunglückten flach auf den Rücken legen.
-	Helfer kniet seitlich, drückt mit seiner einen Hand Kinn nach oben, schiebt es nach vorn und schließt Mund bzw. Nase, drückt den Kopf an der Stirn nach hinten (Abb. 16.9a).
926
16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Abb. 16.9 Erste Hilfe: (a) Beugen des Kopfes in den Nacken, (b) äußere Eierzmassage in Verbindung mit Mund-zu-Nase-Beatmung (nach R. Müller „Schutzmaßnahmen gegen zu hohe Berührungsspannungen ...“)
-	Helfer atmet ein, stülpt seinen weit geöffneten Mund über Nase bzw. Mund des Verunglückten und bläst ihm Luft ein (evtl. Taschentuch, aber kein Papiertaschentuch, über Nase bzw. Mund legen).
-	Helfer nimmt Kopf zurück und atmet wieder ein, beobachtet dabei den Brustkorb des Verunglückten, der durch das Zusammensinken des Brustkorbs selbsttätig ausatmet.
-	Nach zweimaliger Atemspende Pulskontrolle an der Halsschlagader. Bei tastbarem Puls: Beatmung nach eigenem Rhythmus, etwa 15-mal pro Minute bei Erwachsenen, fortsetzen.
Atemspende solange durchführen bis Erfolg ein tritt oder bis zur ärztlichen Entscheidung.
Herz-Lungen-Wiederbelebung. Diese Maßnahme ist eine Kombination von künstlicher Beatmung und äußerer Herzdruckmassage am geschlossenen Brustkorb. Sie ist anzuwenden, wenn Herzstillstand festgestellt wird.
•	Herzdruckmassage und Beatmung müssen immer im Wechsel erfolgen. Grundsätzlich wird mit der Atemspende begonnen.
Wiederbelebung mit nur einem Helfer. Zu Beginn 2 kräftige Beatmungen und danach 15 Massagestöße. Dann Fortsetzung mit abwechselnd 2 Beatmungen (mit Frequenz 30-40 pro Minute) und 15 Massagestößen (mit Frequenz 80 pro Minute). Der Übergang von Atemspende zu Herzmassage und umgekehrt muss jeweils schnell und ohne Pause erfolgen.
Wiederbelebung mit zwei Helfern. Wenn möglich, sollte eine in Erster Hilfe geschulte Person hinzugezogen werden. Der erste Helfer beginnt mit 2 kräftigen Beatmungen. Der zweite Helfer setzt unmittelbar danach mit 80 Herzdruckmassagen pro Minute ein. Der erste führt nach jedem 5. Massagestoß eine Atemspende durch, ohne dass der zweite die Massage unterbricht.
Herzdruckmassage.
-	Verunglückten auf harte Unterlage (Boden) legen. Der mit der Herzmassage befasste Helfer kniet seitlich in Brusthöhe (Abb. 16.9b).
16.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 16
927
-	Den Handballen der einen Hand auf das untere Drittel des Brustbeins (etwa 3 Finger breit vom unteren Ende entfernt) legen. Der Druckpunkt ist wichtig. Wird er zu hoch angesetzt, besteht die Gefahr der Schädigung des Brustbeins, zu tief ist gefährlich für Leber und Milz, bei seitlicher Versetzung können Rippen brechen.
-	Den Handballen der anderen Hand auf den Handrücken der ersten Hand legen. Alle Finger hochrecken.
-	Mit durchgedrückten Armen durch Gewichtsverlagerung des Körpers ruckartigen, senkrechten Druck auf das Brustbein ausüben, das sich 4-5 cm senken muss. Damit sich das Herz mit Blut füllen kann, muss danach der Druck vollkommen gelockert werden, und der Brustkorb muss nach jeder Kompression in seine normale Position zurückkehren können. Handballen beim Aufrichten nicht vom Brustbein abheben. Der Druckpunkt muss beibehalten werden.
-	Druck- und Entlastungsphase müssen gleich lang sein.
-	Durch Zwischenkontrollen feststellen, ob Eigenatmung wieder eingesetzt hat und Puls an der Halsschlagader fühlbar ist. Bei Herz-Kreislauf-Stillstand führen künstliche Beatmung und Herzdruckmassage oft schon in kurzer Zeit zur Wiederbelebung.
-	Bei erfolgreicher Wiederbelebung Verunglückten in Seitenlage bringen. Atem und Kreislauf ständig kontrollieren.
-	Wenn nach einem elektrischen Unfall die Herz-Lungen-Wiederbelebung nicht innerhalb weniger Minuten zu einem spürbaren Herzschlag führt, besteht der Verdacht auf Herzkammerflimmern. Sofort Notarzt mit Defibrillator rufen!
In den ersten über Leben und Tod entscheidenden Minuten am Unfallort lässt sich gar nicht feststellen, ob tatsächlich Herzkammerflimmern vorliegt. Kreislaufstillstand und Bewusstlosigkeit können auch durch eine minimale Förderleistung des Herzens herbeigeführt worden sein. Die oben kurz beschriebenen Erste-Hilfe-Maß-nahmen am Unfallort vermögen zwar nicht das Herzkammerflimmern zu beheben, wohl aber den Kreislauf und damit die Sauerstoffversorgung der empfindlichen Zellen bis zum Eintreffen des Notarztes mit Defibrillator (oder einer für den Einsatz eines Laiendefibrillators geschulten Person) in Gang zu halten.
16.5 Internet-Hinweise zu Kapitel 16
16.5.1 Gefahrenvermeidung
Richtiger Umgang mit elektrischem Strom. Das Verbraucherschutz-Informationssystem der Bayrischen Staatsregierung: http://www.vis.bayern.de => Produktsicherheit „Prävention“ => Elektro: Richtiger Umgang mit elektrischem Strom (Show This Frame Only) =
Link 16-1
Fehlerstromschutzschalter / RCD (Residual Current Protective Device).
Siehe Link 16-1 (im Text) => Fehlerstromschutzschalter (Show Only This Frame) =
928	16 Gefahren im Umgang mit Elektrizität
Link 16-2 Weiterführende Hinweise: „Schutzschalter für den Hausgebrauch verhindern Elektrounfälle“
16.5.2 Erste Hilfe nach Stromschlag
Herz-Lungen-Wiederbelebung. Deutsches Rotes Kreuz: http://drk.de/ => Was wir tun => Erste Hilfe => Neu: Der kleine Lebensretter (Erste-Hilfe-Tipps-Online) => Stromschlag (Show Only This Frame) => Herz-Lungen-Wiederbelebung =
Link 16-3
Herzkammerflimmern. Qualimedic.com AG ist Deutschlands erfolgreichstes Internet-Gesundheitsportal von Ärzten für Patienten, Ratsuchende und Kollegen: http://www.qualimedic.de => Herz & Gefäße => Herz- und Gefäßerkrankungen => Kammerflimmern =
Link 16-4 Weiter mit => (im Text) Defibrillator
Laiendefibrillator als Erste-Hilfe-Maßnahme. Link 16 4 => (im Text) Laiendefibrillator =
Link 16-5
16.5.3 Umstritten: Gefährdung durch Elektrosmog
Da Internet-Suchen zu diesem Thema vorwiegend zu Webseiten von Firmen führen, die am Elektrosmog verdienen wollen, werden hier für einen ersten Überblick zwei nicht-kommerzielle, häufig aktualisierte Informationsquellen empfohlen:
Elektrosmog. Wikipedia - Deutsch (s. Abschn. 1.4), Elektrosmog:
Link 16-6 Weiter z. B. mit => Informative Seiten: „Stellungnahme der Gesellschaft zur Wissenschaftlichen Untersuchung von Parawissenschaften“
Electromagnetic radiation hazard. Link 16-6 => Andere Sprachen „English“ =
Link 16-7 Weiter z. B. mit => See also: „Mobile phone radiation and health“
17 Hinweise und Tabellen
17.1	Übungsaufgaben
Lehrenden, die in diesem Buch Übungsaufgaben für ihre Vorlesung vermissen, werden die vielfältigen Aufgaben und die sehr nachdenkenswerten Fragen im Lehrbuch „Physik“ von Halliday/Resnick empfohlen:
Halliday, D„ Resnick, R., Walker, J„ Übers. Koch, S.W., WILEY-VCH 2005
Weitere Aufgaben sind den in Abschn. 17.7.1 genannten Internet-Informationsquellen zu entnehmend. Absichtlich wurden auch Übungsaufgaben aus der Schul-Mittelstufe mit aufgenom-men, denn es ist meist leichter, eine vorgegebene Aufgabe durch Modifizierung anspruchsvoller zu gestalten, als eine völlig neue Aufgabe zu entwickeln.
17.2	Ergänzende Literatur
Vorrangig werden hier die anderen Bände des Bergmann-Schaefer (s. Einband-Rückseite) empfohlen; auf deren Kapitel wurde in diesem Buch häufig hingewiesen.
Theorie des Elektromagnetismus
Feynman, R. P„ Leighton, R. B., Sands, M„ Feynman Vorlesungen über Physik, Band II, Elektromagnetismus und Struktur der Materie, 3. Auflage, R. Oldenbourg Verlag, München 2000 Jackson, John D, Klassische Elektrodynamik, Bearb. und Übers, v. Müller, Kurt, 3. überarb.
Aufl. 2002, 3. Auflage, de Gruyter, Berlin, 2002 - Neue Auflage (2006) in Vorbereitung.
Hehl, F.W.E., Obdukhov, Y.N.; Foundation of Classical Electomagnetism, Birkhäuser, Boston 2003
Physik- und Technikgeschichte
Hermann, A. Lexikon - Geschichte der Physik A-Z, Aulis Deubner, Köln 1987
König, w. (Hrsg.), Propyläen Technikgeschichte, Ullstein, Berlin 1997
Gribbin, J„ Science - A History 1543-2001, Penguin Books, London 2002
Handbücher und Lexika mit häufigen Neuauflagen
Der Fischer Weltalmanach, Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt/M.
Deutsche Norm, Graphische Symbole für Schaltpläne, EN 60617, Beuth, Berlin
Hollemann-Wiberg, Lehrbuch der Anorganischen Chemie, de Gruyter, Berlin
Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press, Boca Raton
Hütte, Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, Springer, Berlin
930
17 Hinweise und Tabellen
Kohlrausch F, Praktische Physik, Teubner, Stuttgart
Nührmann, D., Das große Werkbuch Elektronik, Franzis, München
17.3	Einheiten
Zur Zahl der Grundgrößen und Basiseinheiten. Ihre Zahl ist in Grenzen wählbar: Zu wenige erschweren den physikalischen Durchblick; ein Beispiel dafür ist das frühe Stadium des Elektromagnetismus, in dem versucht wurde, elektromagnetische Größen im Rahmen des cgs-Systems zu beschreiben. Zu viele widersprechen dem Ziel der physikalischen Forschung, die große Zahl der Phänomene auf eine möglichst geringe Zahl von Grundannahmen zurück zu führen.
17.3.1 SI-Einheiten
Im SI (Systeme International d’Unites) werden die grundsätzlich neuen Phänomene des Elektromagnetismus durch eine neue Grundgröße, die Stromstärke (Basiseinheit A), berücksichtigt. Es gibt auch viele Argumente für die Einführung von zwei neuen Grundgrößen wegen der Verschiedenartigkeit der elektrischen und magnetischen Phänomene. Als ein sehr gut funktionierender Kompromiss hat sich herausgebildet, dass die Spannung (V) als Quasi-Grundgröße hinzugenommen wird, um die Basiseinheit Masse (kg), die sehr selten einen direkten Bezug zum Elektromagnetismus hat, aus den elektromagnetischen Beziehungen zu eliminieren.
Das SI ist für die Elektrotechnik optimal. Volt und Ampere sind die am meisten verwendeten elektrotechischen Maße; ihr Produkt (V A = W) ist die Einheit der sehr wichtigen elektrischen Leistung. Die Experimentalphysiker müssen das SI verwenden und kommen auch gut damit zurecht.
Für die optimale theoretische Darstellung des Elektromagnetismus wären allerdings die beiden elektromagnetischen Grundgrößen Ladung (Coulomb, C = As) und magnetischer Fluss (Weber, Wb = T m2 = Vs) am besten geeignet. Für beide Größen gelten Erhaltungssätze. Die Ladung ist - abgesehen von den nicht frei vorkommenden Quarks (vgl. Bd. 4, Kap. 5) - generell quantisiert als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e; der magnetische Fluss ist innerhalb eines supraleitenden Rings quantisiert als ganzzahliges Vielfaches des magnetischen Flussquantums d>0 (Abschn. 8.4.2), wobei der Ringstrom aus korrellierten Elektronenpaaren (Cooper-Paaren) mit der Ladung le besteht. Das Produkt (2e) <P0 = h ergibt das Planck’sche Wirkungsquantum h, die fundamentale Konstante der Quantentheorie.
Das internationale Einheitensystem (SI = Systeme International d’Unites') basiert auf den in Tab. 17.1 zusammengestellten sieben Basiseinheiten.
Die Einheiten einiger abgeleiteter Größen haben eigene Namen (Tab. 17.2). In der Physik gilt, dass nur Einheiten, die von Eigennamen abgeleitet sind, durch Zeichen mit großen Anfangsbuchstaben gekennzeichnet werden.
17.3 Einheiten 931
Tab. 17.1 Grundgrößen und Basiseinheiten des SI.
Größe	Einheit	Zeichen
Länge	Meter	m
Masse	Kilogramm	kg
Zeit	Sekunde	s
Stromstärke	Ampere	A
Thermodynamische Temperatur	Kelvin	K
Stoffmenge	Mol	mol
Lichtstärke	Candela	cd
Tab. 17.2 Abgeleitete Größen, deren Einheiten eigene Namen haben.
Größe	Einheit	Zeichen
ebener Winkel	Radiant	rad = m m 1
Raumwinkel	Steradiant	sr = m2 m 2
Frequenz	Hertz	Hz = s 1
Aktivität	Becquerel	Bq = s 1
Kraft	Newton	N = m kg s 2
Druck	Pascal	Pa = N m 2
Energie, Arbeit	Joule	J = N m
Energiedosis	Gray	Gy-.I kg ' W = J s—1
Leistung	Watt	
elektrische Ladung	Coulomb	C = A s
Spannung	Volt	V- W A 1
Widerstand	Ohm	11-VA 1
Leitwert	Siemens	S = A V-1
Kapazität	Farad	l-CV
magnetischer Fluss	Weber	Wb = V s
magnetische Feldstärke	Tesla	T - Wb m~2
Induktivität	Henry	H = Wb A-1
Lichtstrom	Lumen	Im = cd sr
Beleuchtungsstärke	Lux	Ix = Im m 2
Tab. 17.3 Vorsätze für Einheiten, die bestimmte Zehnerpotenzen darstellen.
Name	Zeichen	Bedeutung	Name	Zeichen	Bedeutung
Milli	m	IQ-3	Kilo	k	103
Mikro	p	10~6	Mega	M	106
Nano	n	io-9	Giga	G	109
Piko	p	10~12	Tera	T	1012
Femto	f	10~15	Peta	P	1015
Atto	a	IQ-'S	Exa	E	10's
932
17 Hinweise und Tabellen
Zur Bezeichnung eines dezimalen Teils oder Vielfachen einer Einheit werden Vorsätze verwendet (Tab. 17.3). In dieses System mit Schritten von drei Zehnerpotenzen passen die Vorsätze Dezi (d = 1/10), Zenti (c = 1/100), Deka (da = 10) und Hekto (h = 100) nicht hinein. Eigentlich wird davon nur noch das Zenti beim Zentimeter verwendet als ein Relikt des cgs-Systems. Ein Sonderfall ist die zahlenwert-erhaltende Umstellung von Millibar auf Hektopascal in der Meteorologie.
Besondere Aufmerksamkeit muss der Basiseinheit Kilogramm (kg) gewidmet werden, weil sie aus historischen Gründen aus dem Gramm (g) mit dem Vorsatz „Kilo“ (=103) gebildet wird. Wenn man Umrechnungsfehlern vorbeugen möchte, sollte man das Gramm mit anderen Vorsätzen überhaupt nicht benutzen, sondern statt jrg besser 10 ~9 kg und statt Mg besser 103 kg schreiben.
Für die Schreibung von Einheiten mit Vorsätzen ist auch Folgendes zu beachten:
km2 = (km)2 + k(m2), pis 1 = 1/jrs + püs ')
Formeln, die Einheiten explizit enthalten, z. B. als Faktor (E/eV)1/2, werden verschiedentlich für praktische Anwendungen angegeben. In der wissenschaftlichen Physik werden jedoch einheitenfreie „Größengleichungen“ bevorzugt. I. Allg. gelten physikalische Gleichungen für Größen, deren Maßzahlen auf SI-Einheiten bezogen sind. Der Benutzer einer solchen Formel muss dafür sorgen, dass Zahlenangaben, bezogen auf Vorsatz-SI-Einheiten oder Nicht-SI-Einheiten, vor dem Einsetzen in die Formel auf vorsatzlose SI-Einheiten (Ausnahme kg!) umgerechnet werden.
17.3.2 Ergänzungseinheiten
Neben den SI-Einheiten dürfen auch einige andere verwendet werden, weil sie aus dem täglichen Leben nicht wegzudenken sind (Tab. 17.4).
Tab. 17.4 Ergänzungseinheiten zum SI.
Größe	Einheit	Zeichen/ Umrechnung auf SI-Einheiten
ebener Winkel	Grad	1° = n/180 rad
	Winkelminute	L = (1/60)°
	Winkelsekunde	1" = (1/60)'
Zeit	Minute	1 min = 60 s
	Stunde	1 h = 60 min
	Tag	Id = 24 h
Volumen	Liter	1L = 10~3 m3
Masse	Tonne	1 t = 103kg
Einige andere Einheiten (Tab. 17.5) sind vorübergehend zugelassen, sollten aber allmählich aufgegeben werden.
17.3 Einheiten 933
Tab. 17.5 Einheiten, die vorübergehend noch benutzt werden dürfen.
Größe	Einheit	Zeichen/ Umrechnung auf SI-Einheiten
Länge	Ängström	1Ä = 10~10m
Fläche	Barn	Ib = 10-28 m2
Druck	Bar	1 bar = 105 Pa
	physikal. Atmosphäre	1 atm = 101 325 Pa
	Torr	ITorr = 101325/760 Pa
Wärmemenge	Kalorie	Ical = 4.1868 J
Aktivität	Curie	1 Ci = 3.7-1010Bq
lonendosis	Röntgen	1 R - 2.58-10 4 C kg
Energiedosis	Rad	Irad = 10~2Gy
Zwei für die Teilchenphysik wichtige Einheiten sind Produkte von SI-Einheiten und experimentell bestimmten Naturkonstanten:
Elektronenvolt (electron voll)
1 eV = e • (1 V) mit e = Elementarladung.
leV = 1.602176 53(14) 10 14 J
Die Chemiker geben Reaktionsenergien und -enthalpien in kJ/mol an. Für Physiker sind Energieangaben in eV/Molekül anschaulicher.
Umrechnung:
1 eV/Molekül = e • (1 V) • NA — F- (1 V) mit F = Faraday-Konstante
und 7Va = Avogadro-Konstante = 96.4853383(83) kJ mol"1
IkJ moF1 = 10.36427 meV/Molekül.
atomare Masseneinheit (atomic mass unit, amu),
lu = (1/12) m(12C)
= 10 ' kg/(ArA/mol-1) mit m(12C) = Masse eines Atoms 12C,
lu = 1.660 538 86(28) 10 2' kg
= 0.931 494043(80) GeV/c2.
Die Angabe in GeV/c2 bezieht sich auf die relativistische Formel EJc1 — m; Eo ist die zur Masse m gehörende Ruheenergie.
17.3.3 Anmerkungen zu einigen anderen Einheiten
Celsius-Temperaturskala (centigrades). In Formeln sollten Temperaturen nie auf die Celsius-Skala bezogen werden, weil deren Umrechnung in die physikalisch sinnvolle thermodynamische Temperatur (Kelvin-Skala) eine Nullpunktverschiebung impliziert. Die Verwendung von Celsius-Angaben für Zustandsbeschreibungen („gemessen bei 25 °C“) ist akzeptabel.
934
17 Hinweise und Tabellen
Weil die Skalenteile der Celsius- und Kelvin-Skala gleich sind, werden Temperaturdifferenzen entweder in Kelvin (K) angegeben, oder es wird die Einheit „Grad“ ohne Nennung der Temperaturskala benutzt.
Debye (alte Einheit für das elektrische Dipolmoment).
1 D = 3.3355-IO-30 C m,
ursprünglich definiert als 10 ls esL • cm.
Dezibel (in der Elektrotechnik ein Maß für Verstärkung oder Abschwächung von Schwingungen und Wellen). Zur Beschreibung des Leistungsverhältnisses P/Po wurde dessen dekadischer Logarithmus eingeführt und mit der Einheit „Bel“ (nach Graham Bell) gekennzeichnet. In der Praxis hat sich allerdings die um den Faktor 0.1 kleinere Einheit „Dezibel“ (dB) durchgesetzt.
Die Angabe „X dB“ bedeutet
P/Po = 1OX/1°
oder
dB-Wert X = 10 1g (P/Po).	(17.1)
Dezibel-Angaben werden für Verhältnisse größer und kleiner als eins verwendet. In der Regel wird der dB-Wert als positive Zahl angegeben und dem Benutzer die Zuordnung des richtigen Vorzeichens überlassen.
In leistungspropotionale Größen von Schwingungen und Wellen geht die Schwingungsamplitude zum Quadrat ein. Die Quadratwurzel aus dem Leistungsverhältnis ergibt also das dazugehörende Amplitudenverhältnis. In der Elektrotechnik ist die Amplitudengröße meist eine Spannung U. Es gilt demnach
u/u0 = (p/p0y12 = iox/2° oder
dB-Wert X = 201g (U/Uo).	(17.2)
Mithilfe eines Taschenrechners lassen sich Leistungs- oder Spannungsverhältnisse - im Prinzip - leicht in dB umrechnen und umgekehrt. Dabei können allerdings Rechenfehler auftreten; zur Kontrolle soll die folgende Wertetabelle dienen.
dB-Wert	Leistungsverhältnis	Spannungsverhältnis
0	1 :1	1 :1
1	1.259:1	1.122:1
3	1.995:1	1.413:1
6	3.981:1	1.995:1
10	10	:1	3.162:1
20	100	:1	10	:1
30	1000	:1	31.623:1
40	10000	:1	100	:1
Bei Abschwächung ist der reziproke Wert des Verhältnisses zu nehmen.
17.4 Naturkonstanten 935
In der Physik sind Verhältnisangaben in Dezibel unüblich. Eine Ausnahme ist der Schalldruck in der Akustik. Als Bezugsschalldruck wird die Hörschwelle von 20jrPa zugrunde gelegt. Da der Schalldruck eine Amplitudengröße ist, wird der dekadische Logarithmus des Schalldruckverhältnisses mit 20 multipliziert. - Bei einer Tonfrequenz von 1000 Hz ist der Schalldruck in Dezibel gleich der Lautstärke in Phon. Zur Schallmessung, gemittelt über einen großen Tonfrequenzbereich, werden elektronische Verstärker mit verschiedenen genormten Frequenzfiltern verwendet, die dem frequenzabhängigen Lautstärkeempfinden des menschlichen Ohres für bestimmte Frequenzbereiche besonders gut angepasst sind. Schalldruck-Messungen mit dem für „normalen Lärm“ gut geeigneten A-Filter werden in dB(A) angegeben.
Erg (Energieeinheit aus dem cgs-System).
1 erg = 10~7 J,
noch verwendet in der Astrophysik und Kosmologie.
Gauß (Einheit der magnetischen Feldstärke B aus dem cgs-System).
1 G = 10~4 T,
noch verwendet in der Geophysik.
Oersted (Einheit der magnetischen Erregung H aus dem cgs-System).
1 Oe = IO'Htt) 1 A/m = 79.58... A/m.
Für Medien mit = 1 gilt |5|/G = |/f|/0e.
Tonne-Steinkohleneinheit (Energieeinheit der Energiewirtschaft).
11 SKE = 7.0 • 109 cal
= 29.3076 GJ
= 8141kWh
= 0.9287 kWa « 1 kWa oder
11 SKE/Jahr « 1 kW;
d. h., der Energieverbrauch von 11 SKE pro Jahr entspricht etwa der mittleren Leistung von 1 kW.
17.4 Naturkonstanten
Zeitliche Konstanz. Es ist oft die Frage gestellt worden, ob die Naturkonstanten wirklich „konstant“ sind, oder sich über kosmologische Zeiträume ändern. Bis jetzt gibt es keinen Hinweise auf die Nichtkonstanz irgendeiner Naturkonstante.
Verbindung zu messbaren Größen. Nicht alle Naturkonstanten sind „direkt“ messbar; die meisten können auf verschiedene Weise, oft in Produktkombinationen mit an
936
17 Hinweise und Tabellen
deren Naturkonstanten erhalten werden. Um die Verbindung zu messbaren Größen zu zeigen, wird im Folgenden beschrieben, wie - im Prinzip - die Naturkonstanten gemessen werden können. Einige andere Messmöglichkeiten werden als Fußnoten angegeben.
Fehlerangeben. Die Zahlen in Klammern sind die ( + )-Unsicherheiten der letzten angegebenen Stellen. Das sind nicht die Messfehler, die bei der angegebenen Messmöglichkeit erhalten worden sind, sondern die Ergebnisse einer umfangreichen Ausgleichsrechnung, bei der alle Messungen berücksichtigt wurden.
Konstanten der fundamentalen Wechselwirkungen. In Tab. 17.6 beschränken wir uns auf Gravitation und elektromagnetische Wechselwirkung. Die „schwache“ und „starke Wechselwirkung“ (Bd. 4, Kap. 5) werden hier nicht betrachtet.
Die so genannten physikalisch-chemischen Naturkonstanten (Tab. 17.7) haben Bezug zum atomaren Aufbau der Materie.
Die in Tab. 17.6 und Tab. 17.7 angegebenen Konstanten waren schon im 19. Jahrhundert bekannt. Aus ihnen und einigen atomphysikalischen Messungen aus dem 20. Jahrhundert ergeben sich die Fundamentalkonstanten von Tab. 17.8.
Tab. 17.6 Konstanten der Gravitation und des Elektromagnetismus.
Konstante/Zahlenwert	Messung
Gravitationskonstante	Cavendish-Experiment (Bd. 1)
G = 6.6742(10) 10"11 m3 kg-' s 2
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) c = (£oA>)~'/2 ee 299 792 458 m s 1 magnetische Feldkonstante /z0 EE 4k 10-’ N A-2	Messung s. Abschn. 6.2.1; jetzt festgelegt durch die Definition der SI-Basiseinheit „Meter“ (Bd. 1) Messung s. Abschn. 6.2.1; jetzt festgelegt durch die Definition der SI-Basiseinheit „Ampere“ (Abschn. 3.3.2)
elektrische Feldkonstante
£o = (c2üo)-1
= 8.854187817...-IO-12 F m"1
Tab. 17.7 Physikalisch-chemische Naturkonstanten.
Konstante/Zahlenwert	Messung
universelle Gaskonstante R = 8.314472(15) JmoU1 K-1	Zustandsgleichung des idealen Gases (Bd. 1)
F araday-Konstante /•- 96 485.338 3(83) C mol 1	Elektrolyse (Abschn. 12.1.2)
2. Strahlungskonstante im Exponenten des Planck-Gesetzes: exp(c2/2T) c2 = 0.014 387 752(25) m K	Strahlung des Schwarzen Körpers (Abschn. 6.1.1)
17.4 Naturkonstanten 937
Tab. 17.8 Fundamentalkonstanten mit Bezug zum Elektromagnetismus.
Konstante/Zahlenwert
Messung
Lichtgeschwindigkeit c magnetische Feldkonstante n0 (siehe Tab. 17.6)
Boltzmann-Konstante
k = 1.380 650 5(24) IQ-23 J K-1
= 8.617343(15) IQ-5 eV K-1
Planck-Konstante“
h = 6.626 069 3(11) IQ-34 J s
- 4.135 667 43(35)	10~15 eV s
h — h/(2ri)	
= 1.054 571 68(18)	10~34 J s
= 6.582119 15(56)	10~16 eV s
Elementarladung“ e= 1.602176 53(14) 10~19 C
Avogadro-Konstanteb
AÄ = 6.022141 5(10) 1023 mol"1
Brown’sche Molekularbewegung (Bd. 1), Sedimentationsgleichgewichte
h = c2 k/c
Millikan-Experiment (Abschn. 7.1.2)
Na = R/k = F/e
Elektronen- und Protonenmasse
m_ + mP ~ m('Ii)
= Masse des ’H-Atoms m_~ 9.109 382 6(16) IQ-31 kg
= 5.485 799 094 5(24) IQ-4 u
= 0.510 998 918(44) MeV/c2
in.. = 1.672 621 71(29) IQ-27 kg
= 1836.15267261(85) in:
= 1.007 27646688(13) u
= 938.272029(80) MeV/c2
aus relativer Atommasse ^r(’H), AÄ und (e/w)-Bestimmungen
durch Strahlablenkung im Magnetfeld
“ Photoeffekt: Der Anstieg des Elektronen-Bremspotentials als Funktion der Photonenenergie liefert e/h (Abschn. 7.2.1)
b Röntgenbeugung am Einkristall: Aus den Gitterkonstanten, der Dichte und der relativen Atommasse ergibt sich AÄ. Vorbedingung ist die Eichung der Röntgenstrahl-Wellenlänge, z. B. durch Beugung an einem (mechanisch hergestellten) Gitter mit bekannter Gitterkonstante.
938
17 Hinweise und Tabellen
Viele für die Beschreibung des Elektromagnetismus der atomaren Materie wichtigen Konstanten lassen sich als Produkte oder Quotienten von Fundamentalkon-stanen darstellen. Eine Auswahl solcher Konstanten gibt Tab. 17.9.
Tab. 17.9 Namhafte Konstanten, die Produkte oder Quotienten von Fundamentalkonstanten sind.
Konstanten der Tab. 17.7:	R — k Na, F — e Na, c2 — hc/k
Feinstruktur-Konstante	a. = nace2l(2}i) = 7.297 352 568(24) 10 1 = 137.03599911(46)
Rydberg-Konstante	Rr = weca2/(2/z) = 10 973 731.568 525(73) m"1
Rydberg-Energie	ERy = hcR r = 2.179 87209(37) IQ-18 J = 13.605 692 3(12) eV
lonisationsenergie des H-Atoms	Con(H) = Ev mp/(mp + nu = 13.598eV
Bohr-Radius	a0 = a/(47iÄoo) = 0.529 177 210 8(18) IQ-10 m
klassischer Elektronenradius	rc = a2a0 = 2.817940 325(28) IQ-15 m
Bohr-Magneton	un = eh/(2mj = 9.274009 49(80) IQ-24 J T"1
magnetisches Flussquantum	<P0 = h/(2e) = 2.067 833 72 (18) IQ-15 Wb
Quanten-Leitwert	Go = 2e2/h = 7.748 091 733(26) IQ-5 S
17.5 Chemische Elemente
In diesem Buch werden die Atome und Moleküle oft nur mit ihren chemischen Symbolen angeführt, so auch im Periodensystem (Abb. 7.11). Als Ergänzung werden in Tab. 17.10 die chemischen Symbole in alphabetischer Reihenfolge mit den Namen der Elemente korreliert.
Tab. 17.10 Die chemischen Elemente in alphabetischer Reihenfolge der Symbole
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_chemischen_Elemente_nach_Symbol
Sym- Name bol		Sym- Name bol		Sym- Name bol		Sym- Name bol	
Ac	Actinium	Be	Beryllium	CI	Chlor	Es	Einsteinium
Ag	Silber	Bi	Bismut	Cm	Curium	Eu	Europium
Al	Aluminium	Bh	Bohrium	Co	Kobalt	F	Fluor
Am	Americium	Bk	Berkelium	Cr	Chrom	Fe	Eisen
Ar	Argon	Br	Brom	Cs	Cäsium	Fm	Fermium
As	Arsen	C	Kohlenstoff	Cu	Kupfer	Fr	Francium
At	Astat	Ca	Calcium	Db	Dubnium	Ga	Gallium
Au	Gold	Cd	Cadmium	Ds	Darmstadtium	Gd	Gadolinium
B	Bor	Ce	Cer	Dy	Dysprosium	Ge	Germanium
Ba	Barium	Cf	Californium	Er	Erbium	H	Wasserstoff
17.4 Naturkonstanten 939
Sym bol	Name	Sym bol	- Name	Sym bol	- Name	Sym bol	Name
He	Helium	Mt	Meitnerium	Pt	Platin	Sr	Strontium
Hf	Hafnium	N	Stickstoff	Pu	Plutonium	Ta	Tantal
Hg	Quecksilber	Na	Natrium	Ra	Radium	Tb	Terbium
Ho	Holmium	Nb	Niob	Rb	Rubidium	Tc	Technetium
Hs	Hassium	Nd	Neodym	Re	Rhenium	Te	Tellur
I	lod	Ne	Neon	Rg	Roentgenium	Th	Thorium
In	Indium	Ni	Nickel	Rh	Rhodium	Ti	Titan
Ir	Iridium	No	Nobelium	Rn	Radon	TI	Thallium
K	Kalium	Np	Neptunium	Rt	Rutherfordium	Tm	Thulium
Kr	Krypton	O	Sauerstoff	Ru	Ruthenium	U	Uran
La	Lanthan	Os	Osmium	S	Schwefel	V	Vanadium
Li	Lithium	P	Phosphor	Sb	Antimon	w	Wolfram
Lu	Lutetium	Pa	Protactinium	Sc	Scandium	Xe	Xenon
Lr	Lawrencium	Pb	Blei	Se	Selen	Y	Y ttrium
Md	Mendelevium	Pd	Palladium	Sg	Seaborgium	Yb	Y tterbium
Mg	Magnesium	Pm	Promethium	Si	Silicium	Zn	Zink
Mn	Mangan	Po	Polonium	Sm	Samarium	Zr	Zirkonium
Mo	Molybdän	Pr	Praseodym	Sn	Zinn		
17.6	Schaltzeichen der Elektrotechnik
DIN-Normen gehören nicht zum Physikstudium, weder die Normen für das technische Zeichnen, noch die für Schaltzeichen der Elektrotechnik. Dabei sind Normen nichts weiter als „anerkannte Regeln der Technik“ und bilden einen Maßstab für einwandfreies technisches Verhalten. Das ist auch für Experimentalphysiker(innen) wichtig, um Konstruktionszeichnungen und Schaltpläne lesen und prüfen zu können. Selbst wenn verständnisvolle Techniker und Ingenieure die meist unkonventionellen Skizzen der Physiker(innen) akzeptieren, so ist doch die Wahrscheinlichkeit von Missverständnissen und daraus resultierenden Baufehlern umso kleiner, je weniger diese Skizzen von den DIN-Normen abweichen.
Die Normen der InternationalElectrotechnical Commission sind unter der Bezeichnung IEC 617 (Part 1 to 13) veröffentlicht. Die deutschen Übersetzungen der internationalen Normen haben die Bezeichnung der europäischen Normen EN 60617 (Teil 1 bis 13). Die früheren deutschen Normen elektrischer Schaltzeichen, DIN 40900-2 bis 40900-13, sind durch EN 60617-2 bis EN 60617-13 ersetzt worden.
Jedem Schaltzeichen ist eine Zahl zugeordnet, die von der lEC-Norm übernommen wurde und aus drei Ziffergruppen in der Form X-Y-Z besteht. Sie hat folgende Bedeutung:
X = Nummer des Teils von EN 60617, Y = Nummer des Hauptabschnitts von X, Z = Nummer des Schaltzeichens in X —Y.
940
17 Hinweise und Tabellen
Beispiel: Das Schaltzeichen für den Kondensator (Abb. 17.1) hat die Nummer 04-02-01; die erste Nummer (04) bezieht sich auf Teil 4 (EN 60617-4) „Schaltzeichen für passive Bauelemente“, die zweite (02) bezieht sich auf Hauptabschnitt 2 „Kondensatoren“ und die dritte (01) auf die laufende Nr. 1 „Kondensatoren, allgemein“.
Bei der Angleichung der deutschen Normen aus DIN 40900 haben sich Veränderungen ergeben; einige ältere deutsche Zeichen, bisher als Alternativen akzeptiert, sind nun weggefallen (Abb. 17.1, rechte Spalte). Die gültigen Normen und veraltete Zeichen für die Gatter der elektronischen Logik sind in Abb. 9.29 zusammengestellt. Zum Vertrautwerden mit den in der Physik nützlichen Schaltzeichen soll die Auswahl auf den Einbandseiten dienen.
Beschreibung
Schaltzeichen
	genormt	veraltet
Gleichstrom		
Die Spannung darf rechts am Schaltzeichen angegeben werden, die Systemart links.	Beispiel: 2/M = 220/110 V	2M - 220/110 V
(Nr. 02-02-03) Widerstand, allgemein Dämpfungsglied, allgemein		1	]		VW-
(Nr. 04-01-01) Kondensator, allgemein	1	1
(Nr. 04-02-01)	"T"	t
Kondensator, gepolt		
z.B. Elektrolyt-Kondensator (Nr. 04-02-05) Induktivität, Spule Wicklung, Drossel	T	
(Nr. 04-03-01) Gleichrichtender Übergang (Nr. 05-01-07) Primär- oder Sekundärzelle Element, Batterie, Akkumulator Die längere Linie	i -L	hIiIiL 4-4
kennzeichnet den positiven Pol. (Nr. 06-15-01)	1	hi ।	।
Abb. 17.1 Gültige Normen und veraltete Formen einiger Schaltzeichen.
17.7 Internet-Hinweise zu Kapitel 17
941
17.7	Internet-Hinweise zu Kapitel 17
17.7.1 Übungsaufgaben
Wie Physikaufgaben gelöst werden und warum sie nützlich sind. Oberlin College, Ober-lin OH 44074: http://www.oberlin.edu => Directories => Offices & Departments => Astronomy (Physics) => Faculty & Staff => Daniel F. Styer =
Link 17-1 Weiter mit => World Wide Web pages authored: „Solving Problems in Physics“, sowie => „The Whys and Hows of Physics Problems“
Aufgaben zur Elektrostatik, zu Gleichstrom und Magnetismus. Pädagogische Hochschule Ludwigsburg, Abteilung Physik: http://www.physik.ph-ludwigsburg.de/ => Physik online (von R. Girwidz) => Übungsaufgaben =
Link 17-2 Weiter mit => E-Lehre (führt zu „Elektrostatik“ mit 29 Aufgaben), danach => Gleichstrom (16 Aufgaben), => Magnetismus (24 Aufgaben)
Aufgaben zu Stromkreisen und zur Elektrostatik. The University of Maryland (umd) Physics Education Research Group (perg) is a combined effort of the Physics Department and School of Education. We study the learning and teaching of physics at the high school and university level: http://www.physics.umd.edu/perg => Information about our group: „Projects“ => Activity-Based Physics => Linking Concepts to Problem Solving: „Thinking Problems in Physics“ => Table of Contents: „Think-ing Problems in Electricity and Magnetism“ =
Link 17-3 Weiter mit => Circuits oder => Electrostatics
Aufgaben zum Elektromagnetismus, zur Optik und zu Schwingungen + Wellen. Nachrichtentechnik der Fachhochschule Köln: http://www.nt.fh-koeln.de => Bereiche => Physik „Prof. Dr.rer.nat. Steinbeck“ => Aufgaben zur Vorlesung Physik NT = Link 17-4 Weiter mit => Aufgaben zum Elektromagnetismus => Aufgabe 5.01 bis 5.66 bzw. => Aufgaben zur Optik => Aufgabe 7.01 bis 7.59, bzw. => Aufgaben zu Schwingungen + Wellen => Aufgaben 6-29.32, 34, 36, 38-39, 41, 44, 48-50, 61-62, 75, 78, 89-97. Die Aufgaben haben keine Titel! Der Bezug erschließt sich erst aus dem aufgerufenen Text.
Aufgaben zur Elektrizitätslehre, Optik und Atomphysik. Conny Gleichmann, Karsten Beuche, Weinbergstraße 14, 04838 Eilenburg. Pittys Physikseite stellt Physikaufgaben mit kompletten Lösungen für Schüler und Lehrer aller Klassen, Schularten ins Netz: http://www.physikaufgaben.de/ => Physikaufgaben =
Link 17-5 Weiter mit => Elektrizitätslehre, => Optik, => Atomphysik
Aufgaben zur Elektrizitätslehre und zu Energie + Umwelt. SBS Sächsischer Bildungsserver, Pädagogische Plattform Information - Kommunikation - Kooperation (PäPIKK): http://www.sn.schule.de => Lernen & Lehren => Mittelschule => Physik => Prüfungen => Wiederholungs- und Übungsaufgaben =
Link 17-6 Weiter mit Suche in der Aufgabendatenbank - Prüfungsschwerpunkt. Aus der Liste der Aufgaben die gewünschte HTM-Datei anklicken.
942
17 Hinweise und Tabellen
Aufgaben zur Elektrotechnik und Elektronik. FH Aachen: http://www.fh-aachen.de => Fachbereiche „Luft- & Raumfahrttechnik“ => Der Fachbereich => Professoren => Prof. G. Schmitz => Homepage => Übungen „Downloads“ (Show Only This Frame) =
Link 17-7 Online-HTML-Seiten: Aufgaben Al bis A22 (mit Ergebnissen) zur Elektrotechnik und El bis E5 zur Elektronik.
17.7.2 Einheiten und Naturkonstanten
Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Aus PTB (s. Abschn. 1.4): => (links unten) Naturkonstanten =
Link 17-8 Weiter mit => Naturkonstanten - kleine Einleitung, => Zahlenwerte wichtiger Konstanten und => Naturkonstanten und das SI
National Institute of Standards and Technology. Aus NIST (s. Abschn. 1.4): => Products and Services „Constants, Units & Uncertainty“ =
Link 17-9 Weiter mit Detailed contents: => Fundamental Physical Constants, => International System of Units (SI), => Uncertainty of Measurement Results
Physics Today, http://www.physicstoday.org/ => Buyers Guide =
Link 17-10 Weiter mit => Fundamental Physical Constants, => Guide for Metrie Practice
17.7.3 Chemische Elemente
Chemischen Elemente - Periodensystem, s. Abschn. 7.5.1, Link 7-1 und 7-2
Chemischen Elemente - Tabelle: Element, Symbol, Ordnungszahl, Atomgewicht, Dichte, Schmelzpunkt, Siedepunkt, Jahr der Entdeckung, Entdecker.
http://www.tabelle.info/ (Eine Serviceleistung der HUG Industrietechnik und Arbeitssicherheit GmbH, Landshut) => Naturwissenschaftliche Tabellen => Chemische Elemente =
Link 17-11
17.7.4 Elektrische Schaltzeichen
Schaltzeichen, s. Abschn. 9.6.1, Anmerkungen zu Link 9-4: http://www.elektronik-kompendium.de =
Link 17-12 Schnellsuche „Schaltzeichen“ => Suchen ergibt lange Liste von Suchergebnissen zum Anklicken: => Schaltzeichen in der Digitaltechnik (DIN 40 700), => Übersicht der Elektronischen Schaltzeichen, RS-Flip-Flop, => Operationsverstärker, Kennzeichnung Digitaler Schaltkreise, usw.
Ergänzung: wie oben für Link 17-7, Prof. G. Schmitz: http://www.fh-aachen.de/ schmitz.html => Homepage => (links) Allgemeines: „elektr. Schaltzeichen“ (Show Only This Frame) =
Link 17-13 „Elektrische Schaltzeichen nach DIN 40.900“
Register
a.c. siehe ac
ac, alternating current 3
ac generalor 231
Abbe, E. 398
-	Biographie 457
Abbildungsfehler 399
Abbildungsgleichung, allgemeine 399
Aberration
-	astronomische 438
-	sphärische 399
Ableitungsbelag 310
Ableitwiderstände 88
Abmagnetisierung 159
Abschalt-Thyristor 583
Abschirmung 95, 668
-	elektrische 28
-	magnetische 160-161, 177
absorbed dose 622
Absorption eines Photons 487
Absorptionsgrad 383
absorptivity 383
Abtastoszilloskop 701
acceptor 564
ac conversion 583
acids 729
ac Josephson effect 550
action at a distance 41
active noise control 810
ADC 591
additive Farbmischung 382
admittance 227
Admittanz 227
Aepinus, F. 84
Ähnlichkeitsgesetze
-	Glimmentladungen 649
-	Trajektorien geladener Teilchen 683
Äquipotentialflächen 59-64
Äquivalentkonzentration 730, 740
Äquivalentleitfähigkeit 739-740
Äquivalentmasse, elektrochemische 729
Ätherproblem 441
-	Lösung 445
Ätzung 609
äquivalentes Mol 730
äquivalente Stoffmenge 730
äußerer Photoeffekt 597
Agone 860
agonic line 860
AGS 719
AIP 10
Airy-Scheibchen 415
Airy, G.B. 439
Akkommodation 401
Akkumulatoren 761-762
Akkus 748
-	Bleiakku 761
-	KfZ-Akku für Demonstrationen 104
-	Ni/Cd-Akku 762
Aktinoide 492
aktive Leiter 914
aktiver Zweipol, Tunneldiode 581
Aktivitäten 746
Aktivitätskoeffizient 746
Aktivitätsmessung 630
Akzeptor 564
Alferov, Z.l. siehe Alforow, S.l.
Alforow, S.l. 604
-	Biographie 613
Algebra, physikalische Größen 873-880
algebraische Logik 904
Alkali-Mangan-Zelle 760
Allstrommotor 257
Alpert, D. 665
alternating current, ac 3
Alternating Gradient Synchrotron 719
Alterssichtigkeit 401
amorphe Ferromagnetika 842
Ampere’sche Molekularströme 150, 829
Ampere-Gesetz 132-135
-	in differentieller Form 135
Ampere, A.M. 123, 126, 130, 173
-	Biographie 177
Ampere 124, 176
Ampere-Windungszahl pro Länge 142
944 Register
amplification 284
amplifier 284
amplitude modulation 334
Amplitudenmodulation 359-362
AMR 851
amu 933
Analog-Digital-Wandler 591
analog-to-digital Converter 591
analoge ICs 590
ANC 810
AND 905
Anfangspermeabilität 827
angular-momentum quantum number 486
angular frequency 215
angular momentum 480, 822
Anionen 731
anisotroper Magnetowiderstand 851
anisotropic magnetoresistance 851
Anisotropie der Ferromagnetika 838
Anlasswiderstand 250
Anlaufhilfe 252
Anlaufkäfig 256
Anlegewandler 241
Anode 731
anodische Oxidation 766
anodisches Glimmlicht 649
Ansprechstrom 168
Antennen 336-341
Antennen-Wirkfläche 340
Antiferroelektrika 796
Antiferromagnetismus 832, 847
Antischall 810
AO 492
aperiodischer Grenzfall 174
Aperturblende 398
aperture stop 398
Apertursynthese 370
apparent power 222
Arago, D.F. 209, 434
-	Biographie 273
Arbeitspunkt auf einer Kennlinie 358
Arco, G. Graf von 283
-	Biographie 374
Ardenne, M. von 673
-	Biographie 725
Arecibo Radioteleskop 372
arktischer Magnetpol 860
Armbruster, P. 490
Armstrong, E.H. 362
-	Biographie 373-374
Arrhenius, S.A. 739
-	Biographie 772
Astigmatismus 400
Aston, FW. 707-708
-	Biographie 724
astronomische Aberration 438, 448
Asynchronanlauf 252
Asynchronmotoren 231
-	für Einphasen-Wechselstrom 259
Atemspende 925
Atom-Orbital 492
Atom- und Molekül-Orbitale 507
atomare Masseneinheit 933
Atombatterie 534, 555
Atomdichte im Flalbleiter 570
Atome, Struktur 478-496
atomic mass unit 933
atomic number 7
atomic orbital 492
Atomismus, anschaulicher 463-470
Atomkern 496
Atomphysik 5-7, 506
-	Einführung 461-508
-	Vorgriff 5
Atomspektroskopie 506
atom trapping 504
Atomvorstellung 463
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte 475
Aufladung, elektrostatische 4, 87
-	Maßnahmen zur Vermeidung 88
Aufladung der Erde 640
Auflösungsvermögen
-	Beugungsgitter 419
-	Fernrohr 415
-	Massenspektrometer 708
-	Mikroskop 416
-	Radioteleskop 367
Auge, Vergleich mit Kamera 400
Aurora 864
aurorae australis, aurorae borealis 864
Ausbeute 526
Ausbreitungskoeffizient 311
Ausbreitungsvektor 413
Ausgleichsstrom 233
Ausschließungsprinzip 489
Austausch-Wechselwirkung 832
Austrittsarbeit 471, 520
Autobatterie 770
autotransformer 240
avalanche breakdown 577
avalanche formation 626
Avogadro-Konstante 463, 467, 937
axiale Vektoren 879
axis of quantization 481
Register 945
back-to-back Zener diode 580
Bändchenmikrophon 356
Bänder 562-579
-	fc-Raum-Darstellung 571-573
-	Ortsraum-Darstellung 573
Bändermodell 562-565
Bahnmotor 257
Bahnstrom 272
ballistisches Galvanometer 175
ball lightning 646
Balmer-Linien 478
Balmer, J. 478
Bandabstand 563
band bending 575, 579
Bandbreite 359
band gap 563
Bandgenerator 35, 715
Bandlücke 563
Bandpass 301
Bandverbiegung 575, 579
Barber, N.F. 708
Bardeen, J. 546, 584
-	Biographie 612
Barkhausen-Sprung 840 Barkhausen, H.G.
-	Biographie 868
Barlow’sches Rad 154, 192
Barlow, P. 155
Barnett, S.J. 829
barrier layer 575
Bartholinius, E. 433
bases, chemistry 729
Basis, Transistor 585
Basiseinheiten 930
Basiseinheit Kilogramm 932
Basislänge, interferometrische 369
Basisschaltung 585
Batterie 748
Bayard, R.T. 665
BCS-Theorie 546
beats 303
beat Vibration 303
Becher-Elektroskop 29, 52
Becquerel 630, 931
Becquerel, A.C. 173
Bednorz, J.G. 542
-	Biographie 557
Belichtungsmesser nach Siemens 598
Bell, A.G. 934
-	Biographie 374
Berg, K.L. 762
Beschichtung 608
Beschleuniger nach van de Graaff 715 beschleunigte Ladung 453-455
-	Strahlungsfeld 333
Besetzungsinversion 502
bestimmte Integrale 880
Bestrahlungsstärke 379
Betatron 718
Bethe, H. 832
Betriebserde 914
Betriebskäfig 256
Beugung 411 -420
-	am Doppelspalt 475
-	am Spalt 414
-	an der Lochblende 415
Beugungsgitter 418
Bevis, J. 83
Beweglichkeit
-	Elektronen und Löcher 561
-	geladene Schwebeteilchen 781
-	Ionen in wässriger Lösung 743
bewegte Ladungen 451
Biermann, L. 862
Bilddrehung
der magnetischen Linse 686
Bildfeldwölbung 400
Bildkraft 52, 522
Bildladung 52, 522
Bildpunkt 396
Bildröhren 701
Bildverstärker 703
Bildwandler 703
Bildweite 396
binary notation 594
Binnig, G. 714
-	Biographie 725
Biolumineszenz 605
Biosensor für Spannung 100
Biot-Savart-Gesetz 135-136
Biot, J.-B. 136
Bitter-Streifen-Methode 836
Bitter, F. 836
black-body radiation 500
Blackout 260, 272
Blättchen-Elektroskop 23
Blasenkammer 625
Bleiakkumulator 761
Bleibaum 735
Blende 401
Blindleitwert 227
Blindwiderstand 227
Blitzableiter 97, 643
Blitz 639, 659
946 Register
Blitzschutz 659
-	äußerer und innerer 643
-	für Freileitungen 642
-	für Gebäude 643-644
-	für Personen 645
Bloch-Wände 835-836, 840
Blockkondensator 84
Bloembergen, N. 503
Bodenwellen 363
Bogenentladung 653
Bohr’sche Postulate 479
Bohr-Magneton 482, 938
Bohr-Radius 480, 938
Bohr, N. 479
-	Biographie 507
Bolometer-Detektor 383
Boltzmann-Konstante 937
Boole’sche Algebra 595, 904, 907
Boolean algebra 904
Boole, G. 167
booting 286
bootstrapping 286
Born, M. 474, 484, 738
-	Biographie 507
Borries, B. von 713
-	Biographie 724
Bose-Einstein-Kondensation 503, 507, 546
Bose-Einstein-Statistik 497
Bose, G.M. 33
Bose, S.N. 500, 503
-	Biographie 507
Boson 546
Bradley, J. 437-439
-	Biographie 456
branch 112
Brattain, W.EI. 584
-	Biographie 612
Braun’sche Röhre 699
Braun, F. 579, 699
-	Biographie 612
breakdown 628
breakdown voltage 282, 632
Brechkraft 394
Brechung 388-391
Brechungsindex 345
Brechzahl 324, 345, 389
-	elektronenoptische 684
-	von Quarzglas 392
Breitbandverstärker 290
Breitbandverstärkung 357
Bremsstrahlung 452, 694
Bremsung von Synchronmotoren 252
Brennpunkt 394-395
Brennpunktstrahl 395
Brennstoffzellen 757, 763-765, 771-772
Brennweite 394
Brewster-Fenster 431
Brewster-Gesetz 430
Brewster, D. 430
brightness, brightness per voll 685
Bronk, O. von 290
Brüche, E. 682, 686, 713
Brückenschaltung 117
brush discharge 635
brushes 243
Bürsten 243
Büschelentladung 635-636
bunches 716
bunching by velocity modulation 697
Busch, FI. 686
cage 247, 255
Calbrick, C.J. 686
camcorder 701
Canton, J. 25
-	Biographie 94
capacitance 73
capacitor 74
carbon dioxide Sequestration 270
carbon filament 111
Carlson, C. F. 90
-	Biographie 94
carrier frequency 359
Casimir, H.B.G. 546
cathode ray tube 699
cathode sputtering 652
Cavendish, H. 38-39, 99
-	Biographie 94, 177
cavities 696
CCD-Bildwandler 599, 701
Celsius-Temperaturskala 933
CEM 677
CEMA 679
CERN 719-720
CHA 689
chain reaction 626
channel electron multiplier 677
channel electron multiplier array 679
Channeltron 677
Chapman, S. 862
characteristic X rays 694
charakteristische Gleichung 892
-	des Operators 485
Charge 4
Register 947
charge-coupled devices 599, 611, 701
Charge carriers 4, 616
Charge Separation 23
Charge transport in gases 616
charging 4
charging by induction 26
Charpak, G. 631
-	Biographie 661
Chemical bond 492
Chemical decomposition 728
Chemical vapor deposition 608
chemische Bindungen 507
chemische Elektrizität 100-101
chemische Elemente 506, 938, 942
chemische Ordnungszahl 7
chemische Potentiale 528
chemische Stromerzeugung 770
chemische Zersetzung 728 chemisches Verhalten 492-496 Chemolumineszenz 605
Cherenkov, P.A. siehe Tscherenkow, P.A.
Chevron-Doppel-MCP 680
Child-Langmuir 3/2 power law 670
Chip 589
Chiralität 435
chiral pools 435
choke 200
CHP 765
chromatic aberration 400
circular aperture 415
circular collider 720
Clausius-Mosotti-Gleichung 793
Clausius, R. 792
closed loop 112
CO2-Emission 270
Coehn, A. 780
Coehn’sche Regel 780
coherence length, coherence time 408
coherent Superposition 407
coil 139
collision rate 620
common salt 737
compass 119
compound machine 248
concentration 730
concentric hemispherical analyzer 689
condition for breakdown 626
conditioning 667
conductance 106, 227
conduction band 563
conduction electrons 7, 511
conductivity 7, 106, 511, 561, 739
conductor 20
Conservation of electric Charge 148
Conservation of magnetic flux 195
contact electrification 778
contact potential 528
contact region 538
converse piezoelectricity 797
Cooper-Paare 546
Cooper, L.N. 546
Cornell, E. 504
-	Biographie 508
corona discharge 635
Coulomb 931
Coulomb-Gesetz 36-39
-	Gauß’sche Formulierung 47-50
Coulomb-Spaltung 707
Coulomb, C.A. de 36
-	Biographie 94
coupling strength 202
covalent bond 495
critical angle of total reflection 389
critical field 541
Crookes, W. 652
Cross-over 671, 699
CRT 699
crystal lattice 511
Cunningham-Korrektur 467
Curie’sches Gesetz 848
Curie-Temperatur 149, 833
-	Ferroelektrizität 802
Curie-Weiss-Gesetz 848
Curie, J. 796
Curie, P. 796, 854
-	Biographie 813
current 2
CVD 608
d.c. siehe dc
DAC 591
Dämpfungsfaktor 281, 894
Dämpfungskoeffizient 311
Dämpfungskonstante 279
Dalibard, T.E 97
Dalton 707
damping factor 279
damping ratio 282
Daniell, J.F 749
-	Biographie 772
Daniell-Element 749-751
dark current 702
Dauermagnet-System 165
Davisson-Germer-Experiment 506
948
Register
Davisson, C.J. 473, 686
-	Biographie 508
Davy, S.H. 652
dc, direct current 3 dc conversion 583 dc Josephson effect 550 dc power supplies 242 dc to ac conversion 583 de-Broglie-Wellenlänge 473
Deaver, B.S. 548
deBroglie, L.V. 472
-	Biographie 507
Debye 791, 934
Debye-Länge 656
Debye-Potential 656
Debye-Scherrer-Ringe 474
Debye-Temperatur 514, 553, 848
Debye, P. 514, 747-748
-	Biographie 773
deceleration radiation 694
Deckschichten, schützende 769 declination 858
decrement of damping 282
Defektelektronen 560
Defibrillator 914, 927, 928 degeneracy
-	in quantum mechanics 485
-	in statistics 499
Dehmelt, H.G. 712
-	Biographie 725
Deklination 858
delta connection 232
Demodulation 358
De Morgan’sche Theoreme 905
De Morgan, A. 167
Depolarisatoren 758
Destriau, G. 606
DESY 720
deutliche Sehweite 401
Dezibel 934
Diac 583
diamagnetische Stoffe 821-822 diamagnetische Suszeptibilität 822 Diamagnetismus 817-824
-	als Phänomen 822
-	der Leitungselektronen 823
Diaphragma 750 dichroism 432
Dichroismus 432
Dichte der Leitungselektronen
-	Eigenhalbleiter 570
-	Kupfer 102
Dichtemodulation 697
dicke Linsen 398
Dicke von Aufdampfschichten 805
dielectric constant 82
dielectrics 116
Dielektrikum 81, 776
dielektrische Stoffe im engeren Sinn 789-
791
dielektrischer Spiegel 424
Dielektrizitätskonstante 82
differentielle Energiedichte 500
differentielle Permeabilität 165, 827
diffraction 411
diffraction grating 418
diffuse Reflexion 388
Diffusions-Dotierung 607
Diffusionspotential 752
Diffusionsstrom 588
Diffusionsüberspannung 758
Digital-Analog-Wandler 591
Digital-Videorecorder 701
digitale ICs 590
Digitalelektronik, Bauelemente 594-596
Dimmer 583
diode alternating current switch 583
Dioden 579-581, 693
diopters 394
Dioptrie 394
dip angle 858
Dipole, elektrische 65-73
dipole layer 575
Dipolfeld der Erde 860
Dipolmoment 72
-	einiger Moleküle 791
Dipolschicht 71
Dirac, P.A.M. 484
-	Biographie 507
direct current, dc 3
directional quantization 481, 822
Dispenserkathode 671
Dispersion 392
displacement current 319
dissociative electron attachment 617, 635
dissolved substance 728
Dissoziation, elektrolytische 729, 737-740
Dissoziationsgrad schwacher Elektrolyte 739
Dissoziationskonstante 739
-	thermodynamische 746
distance of distinct Vision 401
Divergenz 884
DK 82
DL 596
Register 949
Dolivo-Dobrowolsky, M.von 256, 261
-	Biographie 274
Doll, R.D. 548
Domänen in elektrischen Kristallen 796
Donator 564
donor 564
doping 560
Doppelbrechung 432
Doppelfunkenstrecke 32
Doppelleitung, verlustfreie 312
Doppelmayr, J.G. 83
Doppelpendel-Elektroskop 22
Doppelplatte, elektrische 61-62
Doppelschluss-Dynamomaschine 248
Doppelspalt 417
Doppler-Effekt 449
Doppler-Radar 372
dose equivalent 622
Dosimetrie 658
Dosisäquivalent 622
Dosisleistung 622
Dotierung 560
double-trace oscilloscope 700
double refraction 432
downlink 366
drag-type tachometer 210
Drahtfunkenkammer 630
drahtlose Telegraphie 283
-	im Seefunk 371
Drahtwellen, elektromagnetische 306-316
Drahtwiderstände 109
Drain 587
DRAM 808
Drehanoden 695
Drehfeld-Erzeugung 230
-	mit einphasigem Wechselstrom 231
Drehimpuls 480
Drehimpuls-Quantenzahl 486
Drehkondensator 84
Drehpotentiometer 108
Drehspiegel-Methode 440
Drehspul-Messinstrumente 171-176
Drehstrom 232, 256
Drehstrom-Asynchronmaschinen 254-257 Drehstrom-Synchronmaschinen 251 -253 Drehstrom-Verbundnetz 265 Drehstromtransformator 241
Dreieckschaltung 232
Dreiphasenstrom 232
drift chamber 659
Drossel 200
Druckluftschalter 655
Drucksensoren 805
Drude, P. 468
DTL 596
dual-beam oscilloscope 700
Dualsystem 594
Du Fay, C. 21
-	Biographie 93
Dulong-Petit’sche Regel 470
Dunkelstrom von Photokathoden 702
Duoplasmatron-Ionenquelle 674
Durchbruchspannung 632, 637
Durchtrittsüberspannung 758
Dushman, S. 524
dynamo-electrical machine 247
Dynamomaschine 247
Dynamoprinzip, elektromagnetisches 35, 247
EBIS, EBIT 673
eddy-current damping 209
Edison, TA. 111, 762
-	Biographie 274, 373
effektive (real) power 222
Effektive-Masse-Näherung 573
effektive Länge für Stabantennen 337
Effektivwerte 4
efficiency 651
Eguchi, M. 808-809
Eigen(kreis)frequenz 894
Eigenhalbleiter 562, 569
Eigenleitung 565, 568
eigen values 485
Eigenwerte 485
Eindringtiefe 545
-	Skineffekt 292
-	Supraleitung 545
Einheiten 930, 942
Einkristalle 606
Einphasen-Maschinen 257-260
Einphasen-Reihenschlussmotor 257
Einphasen-Synchrongenerator 258
Einphasenmotor mit Hilfsphase 260
Einquadrantenbetriebe 250
Einschwingvorgänge 895
Einspulen-Transformator 240
Einstein-de-Haas-Experiment 830
Einstein, A. 378, 445, 459, 469, 471, 501-503
-	Biographie 457, 507
Einweg-Batterie 749, 759-760
Einweg-Gleichrichtung 244-245
einzel lens 687
Einzellinse 687
elastische Elektret-Filme 810, 813
950
Register
electrical engineering 246
electric arc 652
electric Circuit 118
electric constant 14, 40
electric displacement 785
electric induction 25
electric shielding 28, 668
electro-mechanical films 810 electrochemical series 753 eiectrödes 728
electrolysis 728
electrolyte 728
electrolytic dissociation 729
electrolytic liquid 728
electromagnetic compatibility 580 electromagnetic radiation hazard 928 electron-beam brightness 671 electron-beam lithography 705 electron-beam welding 704 electronegativity 635
electronics 246
electroplating 766
electrorheological fluid 794
elekrochemische Spannungsreihe 770 elekrolytischer Lösungsdruck 752 Elektret 808-810, 812
Elektret-Filme, elastische 810, 813
Elektretmikrophon 356 Elektrifizierung 271 elektrische Arbeit 80, 109 elektrische Doppelplatte 61-62 elektrische Erregung 13, 41, 786 elektrische Feldenergie 79-81 elektrische Feldstärke 14, 36, 42 elektrische Fische 98-99 elektrische Klingel 167 elektrische Konstante 14, 39, 936 elektrische Kontakte 555 elektrische Kraft 36
elektrische Kristalle 794-808
elektrische Ladung 4
- Erhaltung 24-25, 148
elektrische Leitfähigkeit 511, 554
elektrische Linse 686
elektrische Polarisation 792
elektrische Schwingung 279 elektrische Störfelder 668 elektrische Suszeptibilität 785 elektrische Telegrafie 371 elektrische Verschiebung 785 elektrischer Fluss 47
elektrischer Schwingkreis 278-283
elektrischer Strom in Metalldrähten 101-104 elektrisches Feld 13, 36-54
-	der Erde 639
-	einer bewegten Ladung 451
elektrisches Netzwerk 112
elektrisches Wärmeäquivalent 110
Elektrisiermaschinen 33-36
Elektrizitätsversorgungsunternehmen 261
Elektroakustik 371
elektroakustische Wandler 356
Elektrochemie 728, 769
elektrochemische Spannungsreihe 753, 770
elektrochemische Zelle 748
Elektroden 728
Elektrodenprozesse 755-759
Elektrodenveränderung 734
elektrodynamisches Mikrophon 356
Elektroformung 767
-	in der Dentaltechnik 770
elektrokinetische Erscheinungen 781
Elektrolumineszenz 605-606
Elektrolyse 728-748, 770
Elektrolyt 728
Elektrolyt-Kondensator 85
Elektrolyteisen 766
elektrolytische Flüssigkeiten 728, 730
elektrolytische Verfahren 765-767
Elektrolytkondensatoren 767
Elektrolytkupfer 766
Elektrolytzersetzung, Beispiele 733
Elektromagnete 164
elektromagnetische Felder 13-15
-	Transformationsgleichungen 450
elektromagnetische Feldgrößen 15, 322-324
-	Tetraeder-Darstellung 323
elektromagnetische Verträglichkeit 580
elektromagnetisches Spektrum 333-336
Elektromotoren 272
elektromotorische Kraft 749
Elektron 19
elektronegative Moleküle 617
Elektronegativität 635
Elektronen-Emissionsprozesse 523-527, 554
Elektronen-Richtstrahler 671
Elektronenhülle
-	Aufbau 491
-	Schalen und Unterschalen 490
Elektronen in Metallen 467-469
Elektronenkonfiguration eines Atoms 491
Elektronenleitung 511
Elektronenmasse 937
Elektronenmikroskope 712-715
Register 951
Elektronenoptik 684-693
elektronenoptische Brechzahl 684
Elektronenquellen 669-672, 722
Elektronenröhren 693-703
Elektronenschleuder 718
Elektronenspin 487
Elektronenstrahl-Lithographie 608, 705, 722
Elektronenstrahl-Schweißen 704, 722
Elektronenstrahlröhren 699-701
Elektronenvolt 479, 933
Elektronik 246, 609-611
-	praktische 610
elektronische Relais 168
elektrooptischer Kerr-Effekt 434
Elektroosmose 782, 811
Elektrophor 33, 808, 811
Elektrophorese 781
-	medizinische Diagnostik 811
elektrophoretische Abscheidung 811
Elektrophotographie 598
elektrorheologische Effekte 794
elektrorheologische Flüssigkeiten 794, 811
Elektrosmog 928
Elektrospray-Ionisation 707, 722
Elektrosprühverfahren 89
Elektrostatik 18-94
-	Demonstrationen 91
-	in der Industrie 92
elektrostatische Abscheidung 89
elektrostatische Aufladungen 87-88
elektrostatische Luftfilter 92
elektrostatische Sprühbeschichtung 92
elektrostatische Trennverfahren 90, 92
elektrostatische Zündung von Explosionen 92
Elektrostriktion 778
Elektrotechnik 246, 270
Elementarladung 937
Elkos 85
elliptische Polarisation 426
Elmore, W.C. 836
Elmsfeuer 635
Eloxal 766
EMFi 810
Emissionsgrad 385
emissivity 385
Emitter 585
Emitterschaltung 586
EMK 749
-	Entstehung 752
emmetropic eye 401
EMV 580
Enantiomere 435
Endenergien 266
Energie-Fragen 272
Energieanalysatoren 688
Energiebänder
-	fc-Raum-Darstellung 572
-	Ortsraum-Darstellung 573
Energiedichte 727
-	Batterie 759
-	des elektrischen Feldes 80
-	des magnetischen Feldes 161
Energiedispersion 689
Energiedosis 622
Energieflussdichte 315
-	des Strahlungsfeldes 331
Energielücke, BCS-Theorie 549
Energiesparlampen 652
Energieversorgung im Jahr 2050 273
Energieverteilung der Photonen 500 energy 2
energy analyzers 688
energy band model 562
energy interval 823
Entartung
-	Quantenmechanik 485
-	Statistik 499
enthalpy of formation 751
Entladungen durch die Luft 30-33 entmagnetisiertendes Feld 158 Entmagnetisierungsfaktor 157-158
Entspiegelung von Glas 421
Entstehung einer EMK 752 Entwicklungsperspektiven 268 -270 EOR 905 epitactic layer 585 epitaxial planar transistor 585 Epitaxie 585 equivalent conductivity 740
Erde und Masse 118
Erdinduktor 859
erdmagnetische Elemente 858
Erdmagnetismus 867
Erdmagnetosphäre 861
Erdpotential 57
Erdschleife 119
Erdschutzleiter 643
Erdung 58, 118, 914
ERF 794
Erg 935
Erhaltung
-	elektrische Ladung 24-25, 148, 321
-	magnetischer Fluss 195, 321
-	Teilchenzahl 496
952 Register
Erkennung von Defekten 920
Erregung 375
-	elektrische 41
-	Lichtamplitude 413
-	magnetische 126
Erste Hilfe 924-928
erstes Sekundärelement
Erträglichkeitsschwelle 910
Erwartungswert 475
erzwungene Schwingungen 293-301, 895
Esaki-Diode 580-581
Esaki, L. 580
- Biographie 613
ESI 707
Essmann, U. 548
etching 609
Euler’sche Formel 890
europäisches Verbundnetz 264, 271
EVU 261
exchange interaction 832
excitation 14
exclusion principle 489
Explosibilität 88
Explosionen auf Öl-Tankern 92
Explosionsgefahr, statische Elektrizität 87
external excitation 285
eye piece 403
Fabry, A. 422
Fadenstrahlen 682
Fadenstrahlrohr 465
Fairbank, W.M. 548
Falkenhagen, H. 748
Fallen für geladene Teilchen 711-712
Faltdipol 339
Farad 931
Faraday-Becher 675-677
Faraday-Effekt 435-436
Faraday-Gesetz der Elektrolyse 467, 736
Faraday-Käfig 27
Faraday-Konstante 736, 936
Faraday cup 675
Faraday, M. 28, 47, 181, 209, 234, 728, 776
-	Biographie 273
Farbcodierung von Widerständen 176
Farbe 380-383
Farbfehler 400
Farbsehen 382
Faserbildung 794
Feddersen, B.W. 283
feedback 284
feedback coefficient 285
Fehlerstrom-Schutzschalter 918, 927
Feinstruktur-Konstante 938
Feldeffekt-Transistor 587
Feldemission 525
Feldemissionmikroskopie 723
Feldenergie
-	elektrische 79-81
-	magnetische 200
Feldenergiedichte
-	elektrische 80
-	magnetische 161
Feldgrößen, elektromagnetische 15, 322-324
Feidionenmikroskopie 715
Feldlinienbilder
-	elektrische 45-46
-	magnetische 122
Feldlinse 403
Feldplatten 568
Feldstärke
-	elektrische 42
-	magnetische 126
Feldstrom 588
Feldwirkung 41
Fenn, J.B. 706
- Biographie 725
Fermi-Dirac-Statistik 497
Fermi-Energie 504, 521, 554, 569
Fermi-Kante 520
Fermi-Temperatur 504
Fermion 546
Fernfeld eines Dipols 66
Fernrohr 403
Fernsehen 371
Fernwirkung 41
Ferraris, G. 231
Ferraro, V.C.A. 862
Ferrielektrika 796
Ferrimagnetismus 847
Ferrit-Antenne 340
Ferrite 849-851, 865
Ferroelectric Ramdom Access Memory 808
Ferroelektrete 810, 813
Ferroelektrika 795
Ferroelektrizität 801-808
Ferrofluide 854-857, 866
ferrofluids 854
Ferromagnetismus 8, 470, 824-854
Fert, A. 852
-	Biographie 868
Fessenden, R.A. 362
-	Biographie 373
Register 953
feste Kopplung 202
Festelektrolyte 731
Festkörper-Flüssigkeit-Kontakt 781
FET 587
FF 854
FI-Schutzschalter 918
fiber optics 389
fibrillation 794
ficticious magnetic charge density 826
field strength 14
field emission 525
field flattener 403
fiktive magnetische Ladungsdichte 826
fiktiver Heizwert 266
filament 287
filter chain 299
Fixpunkte, thermometrische 553
Fizeau, A.H.L. 439, 441
-	Biographie 457
Flachbildschirme 701, 721
Flächendivergenz 887
Flächenintegrale 886
Flächenladungsdichte 30, 148
Flächentransistor 584-587
Flächenvergrößerung 397
Flammensonde 640
Flankendiskriminator 363
Flüssigkristalle 794 fluorescent tubes 651 Fluoreszenz 605
Flusserhaltungssatz 196
Flussmessung 203
Flussquantisierung 547-549
flux density 379
focal length 394
folded dipole antenna 339
Folien-Kondensator 85
Forest, L. de 290
-	Biographie 374
Formfaktor 218
fossile Brennstoffe 269
Foucault, L. 439
four-terminal network 284
Fourier-Analyse 215, 899, 907
Fourier-Integral 900
Fourier-Koeffizienten 897 Fourier-Reihen 896-900 Fourier-Transformation 901 FRAM 808
Franck-Hertz-Experiment 506
Franck, J. 480
-	Biographie 508
Franklin’sche Tafel 84
Franklin, B. 22, 25, 38, 84, 97, 640
-	Biographie 177, 660
Frank, I.N. 453
Fraunhofer-Beugung 412
-	Doppelspalt 417
-	einer Lochblende 415
-	Spalt 413-414
Fraunhofer, J. von
-	Biographie 457
freie gedämpfte Schwingung 894
freie Weglänge, mittlere 512
Fremdschichten auf Kontaktflächen 539
Frenkel, J.I. 832 frequency modulation 334 Frequenzhub 362
Frequenzmodulation 362-363
Frequenzweiche 358
Fresnel’sche Beugung 412
Fresnel’sches Biprisma 409
Fresnel, A.J. 441
-	Biographie 457 frictional charging 7 Froschschenkelversuch 100 fuel cell 757 Füllfaktor 144 full-wave rectification 245 Fundamentalschwingungen 303 Fundamenterder 914
Funkenentladung 637
-	Polaritätsunterschiede 638
Funkeninduktor 283
Funkenüberschläge im Hochvakuum 666
g-Faktor 482, 828
Galilei-Transformation 445
Galilei, G. 19, 437
-	Biographie 93
Galilei’sches Fernrohr 404
Galvani-Potential 752
Galvanik 766 galvanische Elemente 100, 748-755 Galvanisierung 766
Galvani, L. 99-100
-	Biographie 177 galvanomagnetische Effekte 517 Galvanometer 173-179
Galvanoplastik 767
Gamma-Prozesse 627 gap 563, 776 Garcia, N. 541 gas amplification 616
954 Register
gas gain 626
Gas-Luft-Gemische, explosive 88 Gaselement nach Grove 756-757
Gasentladungen 615-661
Gasentladungslampen 659
Gasverstärkungsfaktor 626, 631
gate 587, 595
gate-turn-off thyristor 583
Gatter 595
Gaussian optics 394
Gauß 935
Gauß’sche Glockenkurve 409, 903-904
Gauß’sche Zahlenebene 889
Gauß’scher Satz 49, 887
Gauß-Optik 394
Gauß, C.F. 39, 41, 860
-	Biographie 94
Gebäudetrocknung, Elektroosmose 811 gedämpfte Schwingungen 278-283
Gefahren
-	Quecksilber 155
-	Stromschlag 909-914, 928
Gegeninduktivität 202
Gegenkopplung 357
Gegenstandspunkt, Gegenstandsweite 396
Gegenstrombremsung 256
Geiger-Müller-Zähler 633, 658
Geiger, H. 469, 633
-	Biographie 661
gekoppelte Schwingkreise 302-306
gelöster Stoff 728
gemischte Halbleiter 561
gemischter Zustand, Typ-II-Supraleiter 545
Generation 577
Generationsrate 566
Generatoren und Motoren 246-260
Geobel, H. 111
Geodynamo, Erdmagnetfeld 867 geometrische Optik 387, 395 Geräuschkontrolle, aktive 810, 813
Gerlach, W. 482
Germer, L. 473
Geschwindigkeitsaddition
-	nicht-relativistisch 448
-	relativistisch 447
gettering 665
Gettern 665
Gewinnung von Gasen, elektrolytische 765
Gewinnung von Metallen 765
Gewitter 639-646, 659
Gewitter-Elektrizität, Experimente 97
Gewitterelektrizität 640
Giaever, I. 549
-	Biographie 557
giant magnetoresistance 852
Gibbs, J.W. 751
Gilbert, W. 19, 25, 119
-	Biographie 93
Gitter, Triode 287
Gitterenergie des lonengitters 738
Glaskörper 401
Glasplatten-Polarisator 431
Gleichrichten 583
Gleichrichter 217-218
-	steuerbare 582
Gleichrichterröhre 693
Gleichstrom-Josephson-Effekt 550
Gleichstrom-Kurzkupplung 262
Gleichstrom-Netzgeräte 242
Gleichstrom-Übertragung 262
Gleichstrom-Umrichten 583
Gleichstrombremsung 256
Gleichstrommaschinen 247-251
Gleichstrommotor 248-251
Glimmentladungen 646-652
Glimmhaut 648
Glimmlampen 648-649
Glimmsaum 648
glow lamps 649
Glühemission 524, 669
Glühlampen 111
GM-Zähler 633
GMR 852, 865
GMR-Lesekopf 853
Goldstein, E. 647
-	Biographie 660
Gorter, C.J. 546
Goudsmit, S. 484
GPS 373
Gradient 884
Graetz’sche Vollwegschaltung 218
Gralath, D. 83
graue Strahler 387
Gravitationskonstante 936
Gray 931
Gray, S. 20
-	Biographie 93
Grenzfall, kritische Dämpfung 895
Grenzfläche Metall/Metall 528-541
Grenzfläche Metall/Vakuum 519-527
Grenzleitfähigkeit 740
Grenzwinkel der Totalreflexion 389
Größensymbole 873
grounding 118
Register 955
Grove, SirW. R. 757
-	Biographie 772
Grünberg, P. 852
-	Biographie 868
Grüneisen, E. 514
Grundfrequenz 215
Grundgrößen 8, 930
Grundlast 265
Grundspektralwert-Kurven 382
GTO 583
guard 677
Guericke, O.von 33
-	Biographie 93
Güte 297, 300
Guillaume, C. 846
Gummimembran-Modell 288
gyromagnetic ratio 481
gyromagnetische Experimente 828-831
gyromagnetisches Verhältnis 481, 828
Gyromagnetismus 481
H-bridge 495
Eiaarnadelkathode 671
Eiaas, W. J. de 830
Haber, F. 738
Hänsch, T.W. 503
Härte 538
hair-pin cathode 671
Halbleiter 559-613
-	III/V 603
-	organische 610
Halbleiter-Detektor 681
Halbleiter-Diode 577
Halbleiter-Heterostrukturen 604
Halbleiter-Laser 604, 612
Halbleiter-Technologie 606-609
Halbwellendipol 336, 340
Halbwertsbreite 300
Halbwertszeit gedämpfter Schwingung 281
half-wave rectification 245
Hall-Effekt
-	Halbleiter 560-562, 610
-	Metalle 514-517, 554
Hall-Generator 568
Hall-Koeffizient 515
Hall-Spannung 515
Hall constant 515
Hall effect magnetometer 515
Hailey, E. 439
Hallwachs, W. 470
Hall, E.H. 514, 517
-	Biographie 556
Hall, J.L. 503
Halogenlampen 111
Hamilton-Operator 485
Hammer-Unterbrecher 167
Hansen, W.W. 696
-	Biographie 725
hardness 538
Hartgasschalter 654
Hauptkeule, Richtdiagramm 366
Hauptpotentialausgleich 917
Hauptpunkt 395
Hauptquantenzahl 486
Hauptregenbogen 393
He-Ne-Laser 502
Heaviside, O.W. 364, 808
-	Biographie 813
Hehl, FW. 323
Heisenberg, W. 475, 484, 832
-	Biographie 507
Heißleiter 568
Heizwert 266
Hellempfindlichkeit 381
Helligkeit 380-383
Helmholtz-Spulen 141
Helmholtz, H.von 122, 141, 325, 398, 444,
737, 751
-	Biographie 373
Henry 931
Henry, J. 197
-	Biographie 273
HERA 720
Hertz 278, 931
Hertz’scher Dipol 326-333
Hertz, G. 480
-	Biographie 508
Hertz, H.R. 325-327, 342, 470, 646
-	Biographie 374
Herz-Lungen-Wiederbelebung 926, 928
Herzdruckmassage 926
Herzkammerflimmern 913, 928
Herzog, R. 708
Hetero-Ladung 809
Heterodyn-Verstärker 361-362
Heterostrukturen 604
HF-Generator mit Selbsterregung 286
HGÜ 262
hifi 362
high-power electronics 245, 583
high-voltage conditioning 667
high vacuum 664
Hilfsphase 258
Hilsch, R. 584
956 Register
Hittorf, J.W. 741
-	Biographie 772
Hitzdrahtinstrument 110
Hochdrucklampen 654
Hochenergie-Forschungszentren 720
Hochfeldlumineszenz 606
Hochfrequenz 278-306
-	Aufteilung des Spektrums 335
Hochfrequenz-Brückenschaltung 701
Hochfrequenz-Linearbeschleuniger 716
Hochfrequenzresonatoren 552
Hochleistungs-Gleichrichter 579
Hochpass 301
Hochspannungsleitungen 261
Hochtemperatur-Supraleiter 543, 551
Hochvakuum 664
Hoek, M. 439
Hörnerblitzableiter 642, 659
Hofer, K. 256
Hoffmann, S. 490
Hofmann, A.W. von 732
Hohlleiter 347-354, 370
Hohlleiter-Moden, Nomenklatur 347
Hohlraum-Resonatoren 696-697
Hohlraumstrahler 384
hole 560
Holm, R. 538, 649
Holz, W. 33
Homo-Ladung 809
homogene Doppelleitung 309
Hopkinson’sches Gesetz 162
Hopkinson, J. und E. 162 horizontale Globalstrahlung 602 Horizontalintensität 858
Hornantenne 354
horn lightning arrester 642
HTSL 543
Hückel, E. 747
-	Biographie 773
Hughes, D.E. 291
Hund’sche Regel 493
Hund’s rule 493
Hybrid-Schrittmotor 170
Hybridisierung von Atomorbitalen 493
hybridization of wave functions 493
Hydoxylion 743
Hydratation der Ionen 742
hydrogen bridge bond 495
Hydrolyse des Wassers 747
Hydroniumion 743
hyperopia 401
hypothetisches molekulares Feld 832
Hysterese 158-160, 177, 826-828
-	Messung 828
- Scherung 164
Hysteresewärme 826, 840
IAM 495
ICs 590
IEC 264
IEEE 11
IGFET 587
Image Charge 52
Image Converter 703
Image force 52
Image formation 396
Image intensifier 680, 703
imaginäre Zahlen 889
Immersion 417
Immersionslinse 687 impedance 227 Impedanz 227, 300 Impedanzwandler, Trafo 238 independent-particle approximation 491 independent atom model 495 index of refraction, electron-optical 685 induced transition 487 induced voltage 184 inductance 197 induction motor 231 inductorium 282
Induktion 271
Induktionsexperimente
-	mit bewegten Leitern 187
-	mit bewegten Magneten 186 Induktionsgesetz 181-196 Induktionsofen 240
Induktionsspannung 184 induktive Kopplung 201-202 induktive Messung von Flüssen 202-208 Induktivität 196-197-214
Induktivitätsbelag 310 Induktivitätsfaktor 214 Induktor 282-283 induzierte Emission 487, 501 induzierter Dipol 68 infinitesimale Größen 880 Infinitesimalrechnung 880-883 Inflammabilität 88
Influenz 25-27
-	magnetische 161
-	quantitative Erfassung 50-54 Influenzladung 26
Influenzmaschine 33
Register 957
Injektionslumineszenz 606
Inklination 858
inkohärente Überlagerung 407
Innenwiderstand 115
innere Abschirmung 677
innerer Photoeffekt 597
insulated gate field-effect transistor 587 insulator 20
integrated circuits 590, 610
Integration 881
integrierte Schaltungen 589-590
Intensität in der Lichtoptik 407
Intercity-Express 256
interference fringes 410
Interferenz 410-424
Interferenzfilter 423
Interferenzfunktion 418-420
Interferenzterm 407
Interferometer
-	nach Fabry und Perot 422
-	nach Michelson 411
interlinked voltages 234
intermediate state 544
intermetallische Verbindungen 844
intermolekulare Wechselwirkungen 496
Internationale Elektrische Kommission 264
Internet-Nutzung 9-12
intrinsic conductivity 578
intrinsic density 570
intrinsic energy level 570
intrinsic semiconductor 562
Invar-Legierung 846
inverse feedback 357
inverse Fourier-Transformation 901
Inversionsdichte 570
Inversionsenergie 570
Inversionskanal 588
invertierender Verstärker 593
Ionen als Kondensationskeime 624
lonen-Implantation 608
lonen-Rückkopplung beim CEM 678
Ionenaustauscher-Membran 766 lonenbeweglichkeit 741 lonengitter 7
Ionenimplantation 681, 704 lonenkristall-Auflösung 737 lonenpaar 617 lonenprodukt des Wassers 745 lonenquellen 672-675, 722 lonenwanderung 741 lonenwolke um Zentralion 747 ion Implantation 704
ionic bond 495, 729
Ionisation 618-619 lonisationseffizienz 673 lonisationsenergie des H-Atoms 938 Ionisationskammer
-	mit Gasverstärkung 628
-	ohne Gasverstärkung 622 lonisationsmanometer 665 Ionisatoren 617
ionische Bindung 495, 729 ionisierende Strahlung 658 lonisierungsenergie 479 lonisierungsstärke 620 ionization gauge 665 ionization rate 620 ion lattice 7 ion mobility 741
Ionosphäre 364, 867
ion pair 617
irradiance 379
isogonic line 860
Isolator-Isolator-Kontakte 780
Isolatoren 20
itinerant electrons 831
Jansky, K.G. 366
Jochmethode 205
Johannson, H. 686, 713
Johnson noise 517
Johnson, J.B. 517
Jordan, P. 484
Josephson-Effekte 550
Josephson-Kontakte 553
Josephson, B.D. 550
-	Biographie 557
Joule 931
Joule’sches Gesetz 109
Joule-Magnetostriktion 845
Joule heating 109
Joule, J.P. 109, 845
junction 112
junction rule 113
junction transistor 584
Jungner, W. 762
Kabel-Farbcode 922
Käfig 247, 255
Kaltleiter 806
Kamerlingh-Onnes, H. 541
-	Biographie 556
Kanal-SEV 677
Kanalstrahlen 464, 647
958
Register
Kapazität 73-86
-	Messung 79
Kapazitätsbelag 310
Kapazitätsdiode 580
Kapitza, P. 646
Kardinalelemente dicker Linsen 399
Kathode 731
Kathodenstrahlen 464, 646
Kathodenzerstäubung 652, 704
kathodischer Korrosionsschutz 768
Kathodolumineszenz 675
Kationen 731
Kaufmann, W. 464
Kawai, H. 809
Kelvin-Sonde 530, 555
Kelvin, Lord (= Thomson, W.) 81, 310, 851
-	Biographie 373
Kennelly-Heaviside-Schicht 364
Kennelly, E. 364
Kepler’sches Fernrohr 404
Kernspinresonanz 551
Kernspintomographie 551
Kerr-Effekt
-	elektrooptischer 434
-	magnetooptischer 436
Kerr-Zelle 434
Kerr, J. 434
Kerst, D.W. 718
-	Biographie 725
Ketterle, W. 504
-	Biographie 508
Keulenbreite 367, 416
Kilby, J.S. 590
-	Biographie 612
Kilowattstunde 2
Kippmoment 252
Kippschwingungs-Generator 649
Kirchhoff, G.R. 113, 126, 277, 412
-	Biographie 178
Kirchhoff’sche Sätze 113
Kirjavainen, K. 810
klassischer Elektronenradius 484, 938
Kleine-Winkel-Näherung 394
Kleist, E. J. von 83
Klimaveränderung globale 273
Klitzing, K. von 516
-	Biographie 557
Klystron 696, 721
Knoten 112
Knotenregel 113
Koaxialkabel, -leitung 75, 314-315, 370
Koerzitivfeldstärke 159, 840
kohärente Überlagerung 407
Kohärenz 407-408
Kohärenzlänge 408
Kohärenzzeit 408
Kohlefäden 111
Kohlelichtbogen 652
Kohlemikrophon 356
Kohlendioxid-Speicherung 273
Kohleschichtwiderstände 109
Kohlrausch, F. 740
-	Biographie 772
Kohlrausch, R. 125, 277, 317
-	Biographie 178
Kollektor 242, 585
Kollektorschaltung 586
kollidierende Strahlen 719
Koma 400
Kommutator 242
Kommutator-Lamellen 243
Kompass 119
Kompensationsschaltung 116
Kompfner, R. 698
komplexe Wechselstromrechnung 907
komplexe Zahlen 888-891, 907
-	in der Quantenmechanik 891
komplexer Leitwert 227
komplexer Wellenwiderstand 311
komplexer Widerstand 227
Kondensation im Impulsraum 503, 547
Kondensationskeime 624
Kondensationsstreifen 624
Kondensator 74
-	Bauformen 83-86
-	Parallel- und Reihenschaltung 77
-	selbstheilender 85
Kondensatorentladung 118
Kondensatorkammer 623
Kondensatormikrophon 356
Konduktanz 227
Konduktor 30
Kontakt, Aufheben 540
Kontaktelektrizität 80, 778
Kontaktflächen 538
-	mit Fremdschichten 539
Kontaktkorrosion 769
Kontaktpotential 528
Kontaktspannung 528-530, 578
Kontaminationskontrolle 630
Konzentrationsänderung bei Stromfluss 741
Konzentrationselemente 751
Kopplungsgrad 202
Koronaentladung 635
Register 959
Korrosionsschutz 767-769, 772
Kosinus-Strahler 379
kovalente Bindung 495
Kraftlinien, Faraday’sche 47, 131-132
Kraft zwischen Dipolen 69
Krampfschwelle 910
kreisförmige Stromschleife 139
Kreisfrequenz 215
Kreiswellenzahl 320, 380
Kriechfall 895
Kriechgalvanometer 175
Kristallisationsüberspannung 759
Kristallmikrophon 356
kritische Geschwindigkeit 316-318
kritische Stromstärke 541
kritisches Magnetfeld 541
Kroemer, H. 604
- Biographie 613
Kugelblitze 646, 659
Kugelfunkenstrecke 32, 282
Kugelkondensator 75
- als Energieanalysator für Elektronen
689
Kugelkonduktor 56, 73
Kundt, A. 436
Kupfer/Zink-Element 749-751
Kurzschlussläufer 254-255
Kurzsichtigkeit 401
Kurzstator-Linearmotor 256, 272
Ladung, elektrische 4
-	Erhaltungssatz 24-25, 148, 321
Ladungs-Doppelschicht 71
Ladungsdichte, Batterie 759
Ladungseinheit, elektrostatische 39
Ladungsträger 4
-	bei Elektrolyten 728
Ladungsträgerdichten 569-571
Ladungstransport 559, 615
-	atomistische Deutung 102
-	Halbleiter 560-562
-	in starken Elektrolyten 747
-	mit Gasverstärkung 626-631
-	ohne Gasverstärkung 617-625
Ladungstrennung 23
-	beim Bandgenerator 80
-	Ergiebigkeit 53
Ladungsverteilung
-	auf einem Leiter 38
-	in einem Leiter 51
Längenkontraktion 447
Längenvergrößerung 397
Lambda-Viertel-Plättchen 425
Lambert’scher Strahler 379
Lambert sources 379
lamellation 211
Lamellen des Kommutators 243
Lamellierung 211
laminated magnet 235
Landauer, R. 609
Landau, L. 823, 834
Langevin, P. 805, 822
-	Biographie 814, 868
Langmuir-Schottky’sches Gesetz 670
Langmuir-Taylor-Detektor 675
Langstator-Linearmotor 252-253, 272
Lanthanoide 492
Laplace-Operator 63, 884
large-scale Integration 590
Large Electron Positron Collider 720
Large Hadron Collider 721
Larmor-Frequenz 482
LASER 502, 507
Lastwinkel 252
lateral magnification 397
Laufzeitröhren 696
Lauge 729
Lawinenbildung 626
Lawinendurchbruch 577
law of mass action 566
Lawrence, E.O. 717
-	Biographie 724
LB 563
LCD 701
LCD-Bildschirme 721
Lebensalter-Dosis 622
Lecher-Leitung 306-309
Lecher wires 306
Lecher, E. 306
-	Biographie 374
Leclanche-Element 760
Leclanche, G. 760
-	Biographie 772
LED, blaue 603
Leerlaufspannung 749
Leidener Flasche 83
Leistungsdichte, Batterie 759
Leistungselektronik 245-246, 271, 583,
609
Leistungsfaktor 222
Leistungstransformation 236-238
Leistungsverstärkung 285
leitendes Glas 675
Leiterstrom, elektrisches Feld 103
960 Register
Leitfähigkeit
-	Elektrolyt 739
-	Halbleiter 565-568
-	Metall 7, 106
-	Nanodraht 541
-	Temperaturabhängigkeit 512
Leitungsband 563
Leitungselektronen 7, 504-505, 511-519
Leitwert 105-106
Leitwertsbelag 310
Lenard, P. 470, 646
-	Biographie 660
lens aberrations 399
lens equation 397
lens maker’s equation 395
lens power 394
Lenz’s law 185
Lenz’sehe Regel 185
Lenz, H.F.E. 186
-	Biographie 273
LEP 720
Lesekopf 844
Leuchtdioden 603, 612
Leuchtröhre 648, 651
Leuchtschirm-Bild 675
Leuchtstoffe 605
Leuchtzentren 606
Levitation 543, 864
LHC 721
Licht 375-457
-	als Transversalwelle 424
Lichtbogen 652, 660
Lichtbogen-Heizung 653
lichtelektrische Leitung 597
Lichtempfindlichkeit des Auges 381
Lichtenberg, G.C. 90, 808
-	Biographie 94
Lichtgeschwindigkeit 437-446, 936 lichtgesteuerte Röhren 702-703
Lichtleiter 389
Lichtquanten 471
Lichtquellen 456
Lichtstrahlen 387
Lichtstreuung, Polarisationseffekte 432
Lieben, R. von 290
Lifschitz, E. 834
light-emitting diode 603
light bulbs 111
lightning flashes 639
lightning protectors 643
lightning rods 643
light yield 651
Linearbeschleuniger 716
linear colliders 721
lineare Doppelbrechung 432
-	induzierte 433
lineare Polarisation 345
lineare Ströme 148
lines offorce 47, 131
Linienintegrale 885
Linienspektrum des Wasserstoffs 478
Linsenfehler 399
Linsenformel 397
Linsenmachergleichung 395
Linsenschleifmaschine 394
Liouville’scher Satz 685
Lippmann, O. 797
liquid-ery st al display 701
Lissajous-Figuren 701
Literatur, ergänzende 929
Lithiumbatterien 760
Lithographie 608
Livingstone, M.S. 717
Lochblende 415
Lodge, O.J. 305
-	Biographie 373
Löschgas für Geiger-Zähler 634
Lösung 728
Lösungsmittel 728
Lösungstension 752
logarithmisches Dekrement 282
logic levels 594
Lokalelement 754, 767
Lokalströme 755
London, F. 503, 546, 548
London, H. 546
Longitudinalaufzeichnung 845
longitudinaler Doppler-Effekt 449
loop rule 113
Lord Kelvin (= Thomson, W.) 81, 310, 851
-	Biographie 373
Lorentz-Faktor 465
Lorentz-Kraft 128
-	auf Leitungselektronen 189
Lorentz-Transformation 446-448
Lorentz contraction 447
Lorentz, H.A. 129, 189, 445, 464
Lorenz-Koeffizient 469, 513
Lorenz, L.V. 468
lose Kopplung 202
Ludolf, C.F 97
Luftfilter, elektrostatische 89, 92
-	mit Elektreten 813
Lumen 931
Register 961
luminescent centers 606
Lumineszenz 605
Luminosität 720
Lummer, O. 385
Lupe 402
Lux 931
Lyman, T. 478
Mach’scher Kegel 452
magisches Gas, Drahtfunkenkammer 631 Magnet(eisen)stein 149
Magnet-Schwebetechnik 253 Magnetblasschalter 654 Magnete 149-170
Magnetfeld eines Leiterstroms 120-122 Magnetfeld-Messungen mit SQUIDs 556 Magnetfeld der Erde 858, 867-864 magnetic constant 14 magnetic flux quantum 547 magnetic quantum number 486 magnetic random access memory 854 magnetic shielding 160, 669 magnetic substates 823 magnetic susceptibility 817 magnetic Variation 858
magnetisch harte und weiche Stoffe 159 magnetische Abschirmung 177 - supraleitender Hohlzylinder 552 magnetische Anziehungskraft 165 magnetische Dipole 144-146 magnetische Drehfelder 230 magnetische Energiedichte 161 - von Permanentmagneten 843 magnetische Erregung 13, 126-129 - für einen Stabmagneten 156 magnetische Feldenergie 200 magnetische Felder 176 - von Leiterströmen 95-148 magnetische Feldstärke 14, 126-129 - für einen Stabmagneten 156 magnetische Flasche 710, 722, 863 magnetische Flüssigkeiten 854-856, 858 magnetische Formanisotropie 158 magnetische Influenz 161 magnetische Kolloide 855
magnetische Konstante 14, 126, 936 magnetische Kreise 161-170 magnetische Ladungsdichte, fiktive 826 magnetische Leitfähigkeit 162 magnetische Linse 685
magnetische Missweisung 861 magnetische Polarisation 158
magnetische Quantenzahl 486
magnetische Schalter 167
magnetische Spannung 162, 205
magnetische Spinquantenzahl 487
magnetische Störfelder 668
magnetische Suszeptibilität 817-820
magnetischer Fluss 137, 162
-	Erhaltung 195, 321
-	induktive Messung 202-208
-	Quantisierung 547-548
magnetischer Spannungsmesser 205-208
magnetischer Spiegel 710
magnetischer Tunnelwiderstand 853
magnetisches Elektronenmikroskop 713
magnetisches Flussquantum 938
magnetisches Kraftgesetz 119-132
magnetisches Mikrophon 356
magnetisches Moment einer Stromschleife 129
magnetisches Sektorfeld 708
magnetisches Vektorpotential 136-138
-	Veranschaulichung 138
Magnetisierung 14
-	Definition 151
-	für einen Stabmagneten 156
Magnetisierungskurven, anisotrope 839
Magnetismus 815-868
Magnetit 149
magneto-elektrische Effekte 854-855, 866
magneto-elektrische Kopplung 854
magnetorheologische Flüssigkeiten 857, 866
Magnetorotation 435
magnetosheath 863
Magnetosphäre der Erde 861-864
Magnetostriktion 845-846, 865
Magnetowiderstand 851-852, 854
Magnetpole 153
Magnetron 699
Magnetwerkstoffe 824
magnifying glass 402
Mahl, H. 713
Majoritätsträger 567
majority Charge carriers 567
Malter-Effekt 667
Malter, L. 667
Malus, E.-L. 433
Marconi-Antenne 363
Marconi, G. 283
-	Biographie 374
Maricourt, P. de 119
Marly-Experiment 98
Marsden, E. 469
962 Register
Masche 112
Maschenregel 113
Maschen verfahren 63
MASER 502
Masse, Bezugsleiter 118
Massenspektrometer 706-710
Massenspektrometrie 647, 722
Massenwirkungsgesetz 739
-	für die Ladungsträgerdichten 567
Materialbearbeitung 704
Materialkonstanten der Theorie 324
Materiewelle 474 mathematische Hilfsmittel 871-907 Mattauch, J. 708 Matteucci-Effekt 845
maximale geleistete Arbeit 751 maximales Energieprodukt 166, 843
Maxwell’sche Gleichungen, vollständige 321
Maxwell’sche Relation 324, 345
Maxwell-Boltzmann-Statistik 497
Maxwell, J.C. 38, 47, 291, 317-325
-	Biographie 374
MBE 604
MCP 679
Mead, C. 590
-	Biographie 613
mean free path 664
Mehrelektronen-Atome 488-492
Mehrphasenströme 230
Mehrstrahl-Interferenz 420-424
Meissner-Ochsenfeld-Effekt 543, 822
Meissner (Meißner), A. 290
Meissner (Meißner), W. 543
-	Biographie 556
Membran 750
Membranspannung 750
Metall/Halbleiter-Übergang 578-579
Metall-Isolator-Kontakte 779
Metalle 509, 553-557
Metallfällungen 754
metallische Bindung 495
metallische Elektrizität 100
metallische Leitung 468
Metallschichtwiderstände 109 metalorganic vapour phase epitaxy 604 metal oxide semiconductor 587
Michelson-Morley-Experiment 442-445, 456
Michelson, A.A. 440-441
-	Biographie 457
microstrips 316
Mikrophon 356
Mikroskop 403
Mikrowellen 334, 336-354
-	Antennen 336-341
-	Hohlleiter 347-354
-	Polarisation 343
-	Wellenausbreitung 342-347
Mikrowellen-Ofen 699
Miller-Indizes 523
Millikan-Experiment 466
Millikan, R.A. 466
-	Biographie 508
Miniaturisierung, Grenzen 609
Minoritätsträger 567
mirror-image force 522
Mitführungskoeffizient 441
-	Erklärung 448
Mittellast 265
Mittelpunktstrahl 396
Mittelwert, quantenmechanischer 475
mittlere freie Weglänge 512
mittlere Lebensdauer der Ionen 620
mittlere Stoßzeit 512
mixed state superconductor 545
MO 492
mobile BZs für Fahrzeuge 765
mobility 511, 561
mobility of Charge carriers 776
Modulation 358
Modulationsgrad 359
Modulationsindex 362
Molalität 730
Molarität 730
molecular beam epitaxy 604
molecular orbital 492
Molekülbildung 494
Molekülorbitale 492
-	bindende 494
Monochromator, Elektronenstrahl 688
Monopole
-	elektrische 72
-	magnetische 138
Monozelle 748
Moore's law 590
Moore, G. 590
Morley, E.W 441, 444
MOSFET 516, 587
Mosotti, O.F 792
MOVPE 604
MRAM 853
MRF 857
Müller, E.W. 715
-	Biographie 725
Register 963
Müller, K.A. 542
-	Biographie 557
Müller, W. 633
Münzenberg, G. 490
muliplier gas gain 626
multi-channel plate 679
multicavity klystron 698
multiple-input oscilloscope 700
multiplier 702
Multipol-Entwicklung 73
Multipole 72
multiwire proportional chamber 630
Musschenbroek, P. van 83
-	Biographie 93
mutual inductance 202
MWG 567
- Produkt der Ladungsträgerdichten 576
MWPC 630
myopia 401
n-Leiter 571
n-Leitung 560
Nabla-Operator 884
Nähbauer, M.N. 548
Nahewirkung 41
Nahfeld eines Dipols 66
Nahpunkt 401
Nakamura, S. 603
NAND 905
Nanodraht 529, 540
Nanostruktur-Bausteine 611
Nanostruktur-Technologie 604
Nanostrukturen 663
-	Elektronenstrahl-Lithographie 706
-	Optoelektronik 612
Nanotechnologie, Quanteneffekte 605
narrow-band amplifier 290
Natriumchlorid, Kristallstruktur 737
Naturkonstanten 935, 942-938
Neel-Temperatur 848
Neel, L. 847
-	Biographie 868
near point 401
Nebelkammer 624
Nebenregenbogen 393
Nebenschluss-Dynamomaschine 248
Nebenschluss-Widerstand 115
negative feedback 357
negative resist 705
negative Rückkopplung 357
negatives Glimmlicht 648
negative temperature coefficient 568
Nennspannung 264
Nernst, W. 752
network 112
Netz, elektrisches 112
Netzanschluss-Ladegerät 242
Netzfrequenz 262
Netzgeräte 118
Netzspannung 263
Netzwerk, elektrisches 112
Neukurve 158, 827, 839
neutral conductor 233
Neutralisation
-	chemische 729
-	elektrische 5
Neutralleiter 914
Neutronen-Transmutation 608
Newton 931
Nickel-Cadmium-Akkumulator 762
Nickel-Eisen-Akkumulator 762
NIST 12
NMR 551
node 112
noise voltage 517
non-linear-resistance arresters 643
non-self-maintained discharge 616
non-volatile RAM 808
normale Dispersion 392
Normalwiderstände 108
Noyce, R.N. 590
-	Biographie 613
NTC 568
nuclear batteries 534
nuclear magnetic resonance 551
Nullleiter 233
Nullmethoden 116-118
Nutzbremsung 256
NVRAM 808
Nyquist’s theorem 517
Nyquist-Rauschen 517
Nyquist, H. 357, 517
-	Biographie 374
Oberflächen-Ionisation 617, 675
Oberflächen-Sperrschicht-Detektor 681
Oberflächenladungen
-	durch Polarisation 783-794
-	durch Transfer 778-783
Oberflächenmagnetismus 833
Obukhov, Y.N. 323
Ochsenfeld, R. 543
Oersted 935
964 Register
Oersted, H.C. 120, 530
-	Biographie 177
Öffnungsfehler 399
Öffnungsverhältnis 401
Öffnungswinkel des Strahlungsfeldes 338
Öko-Kraftwerk 765
Ölschalter 654
Ofuruton, H. 646
Ohm 931
Ohm’sches Gesetz 105-109
-	für Wechselstrom 220
Ohm, G.S. 105
-	Biographie 178
Okular 403
op amp 591
open-loop op amp 594
operational amplifier 591
Operationsverstärker 591-594, 611
-	Parameter 592
Opferanode 768
optical path length 406
Optik 377-378
-	Geschichte 456
optische Achse 798
optische Aktivität 435
optische Instrumente 400
optische Weglänge 406
optischer Bildverstärker 680
Optoelektronik, Bauelemente 597
OR 905
orbital magnetic quantum number 487
organische Halbleiter 610
Orientierungspolarisation 784 orthogonale Trajektorien 59 Ortsfunktionen 883
Ortsraum 875
oscillating Circuit 277
Ostwald’sches Verdünnungsgesetz 739
Ostwald, F.W
-	Biographie 772
Oszilloskop 700, 721
Otsuki, Y.H. 646
OV 591
-	als Verstärker 593
-	als Zwei-Niveau-Komperator 594 overvoltage 642
Oxidation 731
p-i-n-Diode 577
p-Leiter 571
p-Leitung 561
p-type conduction 561
Paläomagnetismus 861
Papell, S. 857
Papier-Kondensator 85
Parabelmethode nach Thomson 707
Parabolantenne 354
Paralleldraht-Anordnung 77
Paralleldrahtleitung 314 Parallelschaltung - Kondensatoren 77 - Widerstände 115
Parallelstrahl 395
paramagnetische Stoffe 822-824
Paramagnetismus 817-824
-	der Leitungselektronen 823 parametric diode 580 parametrische Verstärkung 580 parelektrische Stoffe 791-793 Parelektrizität 791
Parkin, S. 853
-	Biographie 868
partiell polarisiertes Licht 428
partielle Ableitungen 883
Pascal 931
Paschen, F. 478, 632
-	Biographie 660
Paschen-Kurve 632
Paul, W. 709, 712
-	Biographie 725
Paul-Falle 712
Pauli-Paramagnetismus 823
Pauli-Prinzip 488, 504
Pauli, W. 489, 823
-	Biographie 507
pauschale Magnetisierung 834
PDA 765
PDP 657, 701
PE 118, 643, 915
Peak Watt 602
Peltier-Effekt 534-536
-	theoretische Deutung 536
Peltier-Elemente 535, 555
Peltier-Koeffizient, absoluter 535
Peltier, J.C.A. 534
-	Biographie 556
Penetration depth 545
Penning-Falle 711
Penning, F. M. 711
Peregrinus, P. 119
Periodensystem der Elemente 489, 506
periodic table 489 permanenter Dipol 65
Permanentmagnet-Schrittmotor 169
Register 965
Permanentmagnete 149-152, 177, 865
-	homogen magnetisierte 151
-	mit nanokristallinen Strukturen 843
Permeabilität 14, 160
Permeabilitätszahlen, verschiedene 826
permeability 14, 160
permitivity 14
Permittivität 14, 81-83, 810
Permittivitätszahlen
-	für verschiedene Stoffe 776
Perot, C. 422
Perowskit-Gitter 802
Perowskite 543
Perpendikularaufzeichnung 845
personal digital assistant 765
perveance 670
Perveanz 670
pH-Wert 770
pH-Wert-Skala 745
pH-Wert des Wassers 744
phase-lag control 583
phase angle 215
Phasenanschnitt-Steuerung 583
Phasenfokussierung 717
Phasengeschwindigkeit des Lichtes 406
Phasengitter 420
Phasenkoeffizient 311
Phasenraumzelle 499
Phasenschieber 252
Phasenwinkel 215
phasors 225
Phononen 546
Photodioden 598-599, 611
photoeffect 523
Photoeffekt 470, 523
-	Prinzip 597
photoelectric emission 523
photoelektrischer Effekt 470
Photoelemente 600-602
Photoemission 523
Photohalbleiter 597-606
Photoleitung 597
Photolithographie 608
Photolumineszenz 605
Photomultiplier 702
Phototransistoren 600
photovoltaics 602
Photovoltaik 611
Photowiderstände 597
Photozellen 702
pH scale 745
picture cell 599
Pierce gun 672
Pierce, J.R. 672, 692
-	Biographie 725
Piezo-Aktuatoren 812
Piezo-Sensoren 812
Piezoachse 799
piezoelectricity, converse 797, 800
Piezoelektrika 796
piezoelektrische Keramik 803, 811
piezoelektrischer Effekt 796-801
-	reziproker 797, 800
Piezoelektrizität 796-801, 811
Piezostelltechnik 806
Piezotranslatoren 807
PIN-Diode 577
PIN-Photodiode 599
pin-Übergang 577
pixel 599
Planck’sches Strahlungsgesetz 385, 500
Planck-Konstante 385, 471, 937
Planck, M. 459
-	Biographie 457, 507
Planetenmodell, Rutherford’sches 463, 469
Plante, G. 761
Plasma-Ätzverfahren 609
Plasmabälle 646
Plasmabildschirm 657, 660, 701
plasma display panel 657, 701
Plasmafrequenz 657
Plasmaphysik 660
Plasmasphäre 864
Plasmen 655-658
platiniertes Platin, Platinmohr 753
Plattenkondensator 76
PMMA 705
pn-Übergang 574-578
Poggendorff, J.C. 105, 116, 134, 173
-	Biographie 178
Pohl, R.W 584
Poincare-Kugel 426-430
Poincare, H. 426, 445
point-contact transistor 584
point discharge 635
pointer diagram 224
polare Achse 798
polare Vektoren 878
Polarisation
-	elektrische 14, 784
-	magnetische 158
Polarisationsfilter 425
Polarisationsfolien 433
Polarisationsgrad 428
966 Register
Polarisationsoptik 424-436
Polarisationsspannung 756-757
Polarisationswandler 430
Polarisationszustand 426
Polarisierbarkeit 68, 789
- dielektrische, Tabelle 790
polarizability 68, 789
Polarlicht 863-864
pole wheel 247, 251
Polrad 247, 251
Polschuhe 165
polykristalline Ferromagnetika 842
Polymer-Elektrete 812
Polymethylmetacrylat 705
population Inversion 502
positive Logik 594
positive Säule 649
positive temperature coefficient 806
Potential eines Dipols 66
Potentialdifferenz 54
Potentialsprung, Dipolschicht 71
power 2
power supplies 118
Poynting’scher Vektor 315, 331
presbyopia 401
Priestley, J. 38
Primärenergien, deutscher Verbrauch 266
Primärzelle 748
Principal quantum number 486
Pringsheim, E. 385
proportional counter 628
Proportionalzähler 628-630 protective earth 118, 643, 915
Protonenakzeptor 743
Protonendonator 744
Protonenmasse 937
Pseudokristall 712
Pseudoskalar 879
PTB 12
PTC 806
Pumpspeicherwerke 265
QED 42, 502
QF 622
QMA 709
Quadrupol-Massenspektrometer 709
Quadropole
-	elektrostatische, Ladungsverteilung 72
-	magnetische, stark fokussierende 691
quadrupole mass analyzer 709
Quadrupolmoment 72
Qualitätsfaktor 622
quality factor 622
quanta of radiation 496
Quanten-Elektrodynamik 502
Quanten-Hall-Effekt 516, 554
Quanten-Hall-Leitwert 516
Quantenausbeute 702
Quantendraht, -punkt, -topf 605
Quantenelektrodynamik 42
Quantenleitwert 541, 938
Quantenmechanik 484, 506
Quantenstatistik 496-499, 505-507
Quantenzahlen 485
Quantisierungsachse 481
quantum dot, well, wire 605
quantum mechanics 484
quantum statistics 496
quantum yield 702
Quark-Gluon-Plasma 721
quarter-wave plate 425
Quarz, Kristallform 798
Quarz-Oszillatoren 811
Quarzuhren 805
Quecksilber-Vergiftung 155
Quellen des Erdfeldes 860
quenchers 627
quenching 632
quenching gas 634
Quincke, G. 783
Racemat 435
Radartechnik 366, 372
radiale Dichtefunktion 488
radiance 378, 685
Radiant 931
radiative Rekombination 603
Radikal, chemisches 733
Radio 371
Radioastronomie 366, 370-372
Radiofenster der Erdatmosphäre 366
Radiointerferometrie 369
radioisotope thermoelectric generators 555
Radiolumineszenz 605
Radionuklidbatterien 534
Radioteleskop 366
-	in Effelsberg/Eifel 367-369
Rahmenantenne 340
RAM 808
Ramsauer, C. 101
Random Access Memory 808
rare-earth metals 492
Rasterelektronenmikroskop 713, 723
Rasterkraftmikroskop 714, 723
Register 967
Rastertunnelmikroskop 714, 723
Raumladung 692
Raumladungsbereich, Triode 288
Raumwellen, elektromagnetische 316-336
Raumwinkelvergrößerung 398
Rauschen 517-519, 554
Rauschleistung, übertragbare 518
Rauschspannung 517
Rayleigh’sches Kriterium 416
Rayleigh-Winkel 415
RCP 918
reactance 227
Reaktanz 227
Reaktionsenthalpie 751
Reaktionsüberspannung 758
real Images 397
Rechteckfunktion, Fourier-Transform. 902
Rechtsschrauben-Konvention 878
recombination rate 620
rectification 244, 583
rectifier 244, 693
Reduktion 731
reduzierte Temperatur 514
reduzierter Widerstand 514
reelle Bilder 397
reflectivity 383
Reflexion 387
Reflexionsgrad 383, 390
Reflexklystron 698
refractive index 394
Refraktion 387
Refraktometer nach Lord Rayleigh 410
Regenbogen 392-393
Regenbogenfarben 382
Regulierwiderstände 108
Reiben zweier Isolatoren 780
Reibungselektrizität 19-25, 778-781
Reihenschaltung
-	Kondensatoren 77
-	Widerstände 115
Reihenschluss-Dynamomaschine 248
Reinigung von Metallen, elektrolytische 766
rejector Circuit 301
Rekombination 574, 619-620
Rekombinationsleuchten 606
Rekombinationsrate 566
Relais 167-169
relative aperture 401
relativistische Optik 446-455
relativistischer Energiesatz 464, 472
Relativitätstheorie, Spezielle 445, 456
Reluktanz 162
Reluktanz-Schrittmotor 169 remanente Magnetisierung 159 remanente Permeabilität 827 Residual Current Protective Device 918 resist, electron-beam lithography 705 resistance 105 Resistanz 227 resistivity 106, 511, 776 resistor 105 resolving power 419 Resonanzfall 228
Resonanzkurve 296-298 retardation plates 433 retardierte Potentiale 327 return Streamer 638, 642 return stroke 642
Reuss, F. 782
reverse feedback 357
reversible Permeabilität 827 revolution counting 210
reziproker piezoelektrischer Effekt 797
Richardson-Dushman-Gleichung 524
Richardson, O.W 524
Richmann, G.W 98
Richtdiagramme 337
Richtstrahlwert 671, 685
Richtungsfokussierung 689
Richtungsquantelung 481
Riecke, E. 468
Riesenmagnetowiderstand 852, 865
Ringspule 211
ripple 245
Ritter, J.W 728, 752, 756, 760
-	Biographie 772
Ritz, W. 478
RLC-Parallelkreis 299, 301 RLC-Reihenkreis 294-299 RLC-Stromkreise 219-230
Roemer, O. 437
Röhren
-	abgeschmolzene 665
-	Braun’sche 699
Röhrenverstärker 287-291
Röntgenröhren 693-695
Röntgenstrahler 721 Röntgenstrahlung 669 - charakteristische 694
Röntgen, WC. 693
-	Biographie 724
Rogowski, W. 205
Rohrer, H. 714
-	Biographie 725
968 Register
Rohrlinse, elektronenoptische 687
Ross, J.C. 860
Rostring-Ausbildung 768
rotary current 256
Rotation 885
Rowland, H.A. 122
RTL 596
Rückkopplung 284-287
Rückkopplungsfaktor 285
Ruheenergie 453
Ruhmkorff, H.G. 283
Rundfunk 283, 355-366
Ruska, E. 713
-	Biographie 725
Rutherford, E. 463
-	Biographie 508
Rydberg-Konstante 938
Ryle, Sir Martin 370
Säkularvariationen 860
Sättigungsbereich, Triode 288
Sättigungsfeldstärke 837
Sättigungsmagnetisierung 159, 837
Sättigungsstrom, Gasentladung 621
Säuren 729
Saha-Eggert-Gleichung 657
Saint Elmo’s light 635
Salzgemische, elektrostatische Trennung 92
Sammellinse 394, 396
sampling oscilloscope 701
Satellitenempfang 366
Satellitentechnik 373
Satz von Gauß 887
Satz von Stokes 887
Sauerbrey, G. 805
Savart, F. 136
sawtooth oscillation 650
scaling laws 649, 683
scanning electron microscope 713
scanning tunneling microscope 714
Schallwandler, Elektrete 813
Schaltalgebra 167, 904-907
Schaltlichtbögen, Löschung 654
Schaltungstechnik 610
Schaltzeichen 79, 595, 939-940, 942
- siehe auch innere Einbandseiten
Schawlow, A. L. 503
Scheibenmagnet-Schrittmotor 170
scheinbare Permeabilitätszahl 163
Scheinleistung 222
Scheinleitwert 227
Scheinwiderstand 227
Scheitelfaktor 217
Scheitelwerte 4
Scherung der Hysterese 164
Scherungsgerade 166
Schleifendipol 339
Schleifenoszillograph 176
Schleifringe 247
Schleifringläufer 254
Schlitzantenne 339
Schlupfdrehzahl 254
Schmalbandverstärker 290
Schmelzelektrolyte 731
Schmelzsicherungen 110
Schmidt, P. 760
Schottky-barrier diode 579
Schottky-Diode 579
Schottky-Effekt 524
Schottky-Rauschen 519
Schottky, W. 469
-	Biographie 557
Schreibkopf 844
Schrieffer, J.R. 546
Schrittmotoren 169-170, 177
Schrittspannung 645
Schrödinger-Gleichung 485
Schrödinger, E. 474, 484
-	Biographie 507
Schrot-Rauschen 469, 519
Schütz 168
Schuko-Stecker 915
Schutzerdung bei Netzgeräten 118
Schutzleiter 118, 915
schwache Fokussierung 690
schwarzer Absorber 383
schwarzer Körper 456
Schwarze Strahlung 500
Schwebung 303
Schwefelhexafluorid, Isoliergas 655
Schweigger, J.S. 134, 173
Schweißtransformator 240
Schwingfall 895
Schwingkondensator-Methode 529
-	Messungen von Austrittsarbeiten 523
Schwingkreis 277-283
Schwingkreise, gekoppelte 302-306
Schwingquarze 805
Schwingung
-	erzwungene 293-301
-	gedämpfte 278-283
-	ungedämpfte 284-291
-	Vergleich mit mechanischer 280-281
Schwingungsgleichung 278, 891-896
Register 969
scintillation counter 702
SCR 582
sealed-off tubes 665
secondary electron emission 526
secondary radiator 339
Sedimentationsremanenz 861 Seebeck-Effekt 530-534 - theoretische Deutung 536 Seebeck-Koeffizient 531 - absoluter 535
Seebeck, T.J. 105, 530
-	Biographie 556
Sehwinkel-Vergrößerung 402
Seitenbänder 361
Seitenfrequenzen 359
Sekundärelektronenemission 526 - 527
Sekundärelektronenvervielfacher 677, 702
Sekundärelemente 755
Sekundärenergie 266
Sekundärstrahler 339
Sekundärzelle 748 selbständige Entladungen 631-655 Selbsterregung - elektrische 34, 248 - EIF-Generator 284-286 - magnetische 247 Selbstinduktion 196
-	Ausschaltvorgang 199
-	Einschaltvorgang 198
Selbstinduktionskoeffizient 197
Selen-Photoleiter 598 self-excitation 284 self-inductance 196 self-sustaining discharge 617 Seltene Erden 492 SEM 713 semiconductor 560 series machine 248 series reactor or choke 651
Serumeiweis-Elektrophorese 782
Sessler, G. 809
-	Biographie 814
SEV 677, 702
sharpness of resonance 297
shear stress 794
Shockley, W.B. 584
-	Biographie 612
shot noise 469, 519
shunt 115
shunt machine 248
SI 40
SI-Einheiten 930
Sicherheitskennlinie 910
Sicherungsautomaten 169
sichtbarer Spektralbereich 381
Sichtlinienwelle 365
Siebkette 299-300
Siemens 931
Siemens, W. von 247, 598, 642
-	Biographie 273
signal-to-noise ratio 517
Signal-zu-Rausch-Verhältnis 517
Silicium-Gleichrichter, steuerbare 582
Silicon controlled rectifier 582
single-phase induction motor 259
SIS-Kontakt, Bauformen 550
Sixtus, K.J. 840
Skalare 874
skalares Feld 883
Skalarprodukt 877
Skelettschlitz 339
Skineffekt 291-293
SLAC 717
Slater, J.C. 832
slip rings 247
slip speed 254
small-scale Integration 590
smart fluids 857, 867
Smith, W. 598
Snell(ius) van Roigen, W. 388
Snellius’sches Brechungsgesetz 345
sodium chloride 737
solare Bestrahlungsstärke 602
-	spektrale Verteilung 381
Solarenergie, Speicherung 602
solar irradiance 602
Solarkonstante 380
solar wind 640
Solarzellen 601-602, 611
Solenoid 142, 212
solute 728
solution 728
solvent 728
Sommerfeld, A. 41
Sonnenaktivität 862
Sonnenwind 640, 862
Spaltpol-Motor 258-259
Spannung 30, 54
-	verkettete 234
Spannungsabfall 107
Spannungsmessung
-	Drehspulinstrument 172
-	Elektroskop 22
-	Waage 81
970
Register
Spannungspfeile 112
Spannungsprüfer 921
Spannungsreihe der Metalle 101, 752-754
Spannungsresonanz 298
Spannungsstoß 203
Spannungsteilung 116
Spannungsüberhöhung 300
Spannungsverstärkung 285
Spannungswaage 81
Spannungszeiger 225 spark discharge 637, 666 spark gap 282
Spartransformator 240
spatial quantization 481
speed of camera lens 401
Speicheroszilloskop 701
Speicherring 719
-	mit kollidierenden Strahlen 720
Speicherzellen
-	ferroelektrische 807, 812
-	ferromagnetische 844, 853
Spektralanalyse 478
spektrale Bestrahlungsstärke 380
spektrale Verteilung 380
Spektralfarben 382
Spektralserien 478
Spektrum, elektromagnetisches 333
spekulare Reflexion 388
Sperrbandpass 301
Sperrkreis 300-301
Sperrschicht 575
Sperrschicht-Feldeffekt-Transistor 587
Spezielle Relativitätstheorie 445, 456 spezifische Ausstrahlung 379 spezifische Elektronenladung 466 spezifischer Widerstand 106, 511 sphärische Aberration 399 spherical aberration 399
Spiegelbild 388
Spiegelgalvanometer 172-176
Spiegeloptik 405
Spiegelteleskop, Newton’sches 405
Spiegelung 387
Spin-Ventil 853, 865
spin magnetic quantum number 487
spin valve 853
Spitzendiode 579
Spitzenentladung 635
- Polaritätsunterschiede 636
Spitzenlastausgleich 265
Spitzentransistor 584
split-core-type current transformer 241
split-pole motor 259
spontane Emission 487, 501
spontane Magnetisierung 150
-	Entstehung 831-833
spontaneous emission 487
Sprühbeschichtung, elektrostatische 92
Sprungtemperatur 541
Spule 139
-	mit Ferrit-Schalenkern 213
-	technische Anmerkungen 143-144
sputtering 704
SQUID 553
SQUID magnetometry 556
squirrel-cage rotor 247
stabilitron 580
Stabmagnete 149
stacked design 807
Standard-Reduktionspotential 753
Standard redox potential 753
Standard visibility function 381
Stanford Linear Accelerator Center 717
Stanley, W. 235
starke Elektrolyte 746-748
starke Fokussierung 690, 719
Starkstromtechnik 271
stationäre BZs als Kraftwerke 765
stationäre Lösung 895
statistische Gewichte 501
steady-state alternating current 224
Steckverbindungen 915
Stefan-Boltzmann-Gesetz 386
Steighöhenmethode nach Quincke 819
Steinhaus, W. 205
Steradiant 931
Stereoisomerie 435
Stern-Dreieck-Schaltung 256
Stern-Gerlach-Experiment 482, 506
Sternschaltung 233
Stern, O. 482
-	Biographie 508
Stewart, T.D. 468
stimulated emission of radiation 487 stimulierte Emission siehe induzierte E.
STM 714
Störsteilen-Dichte, typische 570
Störstellenerschöpfung 567
Störstellenleitung 567
Störstellenreserve 567
Stokes’scher Satz 50, 887
Stokes-Parameter 428
Stokes, C.G. 428
Register 971
Stoney, G.J. 737
storage oscilloscope 701
storage ring 719
Stoßfrequenz 620
Stoßhäufigkeit 620
Stoßzeit, mittlere 512
Strahldichte 378, 685
Strahlenoptik 387-405
Strahlenschutz 658
-	Grundbegriffe 621
Strahltransport-Systeme 690
Strahlungscharakteristik, Sendeantenne 337
Strahlungsdruck 331
Strahlungsgesetze 385-387
Strahlungsgürtel nach Van Allen 863
Strahlungskonstante, zweite 386, 936
Strahlungsleistung 332
Strahlungsquanten 496
Strahlungswiderstand 332, 338
Streifenleitungen 316
Streufeld
-	des Stabmagneten 157
-	einer Blochwand 836
Streufluss 165
Streuflussfaktor 165
Streukapazität 85
Strömungselektrizität 781-783
Strömungsspannung nach Quincke 783
Strom-Spannungs-Charakteristik
-	Dioden-Röhre 669-670
-	Gasentladung 620-621
Stromerzeugung, Primärenergien 267
Stromfluss in Deutschland 267
Stromflusswinkel 583
Strommessung, Faraday-Becher 675-677
Strompfeile 112
Stromquelle, elektrochemische 749
Stromrauschen 469, 519
Stromresonanz 301
Stromrichten 583
Stromschlag 913, 924, 928
Stromüberhöhung 300
Stromverbrauch in Deutschland 268
Stromverbund Deutschland 271
Stromverdrängung 255
Stromversorgung 260-270
Stromverstärker, CEM 678
Stromverstärkung 285
Stromverteilung 267
Stromwaage 125
Stromwärme 109-112
strong focussing 690
structured custom design 590
Struktur der Atome 478-496
Substrate 705
superconducting quantum interf. device 553
superconductivity 541
superconductors of the first / second kind 544
Superfluidität des Heliums 503
Superhet 362
super lattices 604
Superparamagnetismus 854
supersonic heterodyne 362
suppressor diodes 580
supraleitende Magnete 551
Supraleiter von Typ I und Typ II 544
Supraleitung 541-553, 556
surface barrier detector 681
surface Charge density 30
susceptance 227
Suszeptanz 227
Suszeptibilität
-	Formel nach Langevin 822
-	Messung 818-820
-	verschiedener Stoffklassen 821
SVLBI 372
Swanson, J. 609
Synchronmaschinen 251-253
-	für Einphasen-Wechselstrom 257
Synchronmotor 231, 251-253
synchronous motor 231
Synchrotron 718
Synchrotronstrahlung 454-455
Systeme International d’Unites 40, 930
Szintillationszähler 702
Tamm, LJ. 453
Tandem-Ionenbeschleuniger 715
Tantal-Elko 86
Taschendosimeter 623
Teilchenbeschleuniger 715-721, 723-724
Teilchenfallen 710-712, 723
Teilchennachweis, ortsabhängiger 680
Telefon 371
Telefunken
-	Aufstieg und Fall 372
-	Gründung 283
Telegraphengleichung 310
TEM 713
Temperaturionisation 618
Temperaturkoeffizient
-	elektrolytische Leitfähigkeit 745
-	metallischer Widerstand 106
Tensoren 879
972 Register
TEOS-Verfahren 608
Termschema 479
-	des H-Atoms (Grobstruktur) 480
Tesla 931
Tesla, N. 261
-	Biographie 274
test loop 182
Thales von Milet 787
Theorie starker Elektrolyte 747
thermal equilibrium 823
thermal noise 469
thermionic emission 524, 669
thermische Detektoren 383—385
thermische Geschwindigkeit, mittlere 511
thermische Geschwindigkeitsverteilung 511
thermische Leitfähigkeit 553
thermisches Rauschen 469, 517
Thermodiffusion 537
thermoelectric power 531
Thermoelektrete 809
thermoelektrische Generatoren 534
thermoelektrische Kreise 532
thermoelektrische Messgeräte 533
thermoelektrische Spannungsreihe 532
Thermoelektrizität 530-537
Thermoelemente 530-534, 555
Thermoemission 524
thermogalvanischer Effekt 517
Thermokreuz 534
thermomagnetische Effekte 517
Thermomagnetismus 530
Thermometrie 553
Thermoremanenz 861
Thermosäule 383
Thermospannung 531
-	Ursache 555
Thermostrom 530
thin-film-transistors 701
Thomson, E. 239
Thomson, G.R 473
Thomson, J.J. 459, 464, 707
-	Biographie 507, 724
Thomson, W. (= Lord Kelvin) 81, 310, 517, 851
-	Biographie 373
three-particle collision 635
three-phase current 232
three-phase transformer 241
threshold field 541
thunderstorms 640
Thyristor 582
Tiefpass 301
Tiegelverfahren 606 tierische Elektrizität 98-100 tight coupling 202 time constant 118 time dila(ta)tion 447
Tiselius, A. 782
-	Biographie 814
Tisza, L. 503
Titanic-Tragödie 371
TMR 853
Töpler, A. 33-34
Tolman-Stewart-Experiment 468
Tolman, C.R. 468
Tonks, L. 840
Tonne-Steinkohleneinheit 935
tool, electron-beam lithography 705 toroid 142
toroid coil 211
Torpedo (elektrischer Fisch) 98-100
torque 65
Torsionswaage, magnetische 171
Torusspule 142
-	mit Eisenkern und Luftspalt 163 totale Permeabilität 827
totales Differential 883
Totalintensität 858
Totalreflexion 389
Townes, C.H. 503
-	Biographie 508
Townsend-Entladung 628
Townsend-Koeffizient 626, 631
Townsend-Lawinen 626
Townsend, J.S. 626-628
-	Biographie 661
Trägerfrequenz 359
Trägerstromtechnik 358
Trägerwellenfrequenz 334
Trägerwellentechnik 358
Träuble, H. 548
Trafo-Brummen 846
tragbare BZs als Ersatz für Batterien 765
transfer process 705
transformation ratio 235
Transformation von Feldstärken 450
Transformator 234-242, 271
Transformatorgleichung 238
Transformatorprinzip 202
transformer 235
transformer principle 202
transient Zener absorbers 580
Transistoren 584, 610-596
transit-time tubes 696
Register 973
transition metals 492
transition probability 487
transition temperature 541
transmission electron microscope 713
Transmissions-EM 713, 723
Transmissionsgrad 390
transmissivity 390
Transponder 366
Transrapid 252, 272
-	Text zum Einbandbild XVIII
Transurane 490
travelling-wave tube 698
travelling wäre 642
Treiber 165
-	Arbeitspunkt auf der Hysterese 166
Treibhauseffekt 270
Triac 583
triboelectricity 778
triboelectric series 780
triboelektrische Spannungsreihe 780, 811
Triboelektrizität 778
Trigger, elektronischer 700
Trigger-Diode 583
trigonometrische Form komplexer Z. 890
Trimmer 85
triode alternating current switch 583
Trockenbatterie 760, 770
Tropfsonde 640
Tscherenkow-Detektor 453
Tscherenkow-Strahlung 452
Tscherenkow, P.A. 453
-	Biographie 457
TTL 596
Tunneldiode 580-581
Tunneleffekt 477, 577
tunnel(l)ing 577
tunnelling magnetoresistance 853
Turmalinkristall 795
two-fluid model 546
two-slit interference 417
two-tube lens 687
U-Boot mit BZ-Anlage 763
UCTE 264, 271
Übererregung 252
Übergangsmetalle 492
Übergangswahrscheinlichkeit 487
Übergangswiderstand 528, 538-541
Übergitter 604
Überlagerungsprinzip 361
Überreichweiten 365
Überschläge auf Isolatoroberflächen 667
Überschusselektronen 560
Übersetzungsverhältnis 235
Übersichtigkeit 401
Überspannung 642, 758
Überspannungsableiter 642
Überstrom-Schutzschalter 917
Übungsaufgaben 929, 941
UFO 646
Uhlenbeck, G.E. 484
UHV 665
ultra-high vacuum 665
Ultrahochvakuum 665
Ultraschall in der Medizin 812
Ultraschallsender 805
Umgang mit Elektrizität 909-928
Umladungsverfahren 674
Umlaufspannung 113
Ummagnetisierungsenergie 159
Ummagnetisierungsprozesse 834-845
Umspanner 234
Unabhängige-Teilchen-Näherung 491, 495
Unbestimmtheitsrelation 475-478 uncertainty principle 475 ungedämpfte Schwingungen 284-291 unidentifiedflying object 646
Uniform Resource Locator 9
Unipolarmaschine 192
Universal-Detektor 675
Universalmessinstrumente 172
Universalmotor 257
universelle Gaskonstante 936
unpolarisiertes Licht 427
Unschärfebeziehung 475
Unsymmetrie der lonenwolke 748
Unterwasser-Sonar nach Langevin 805 uplink 366
URL 9
vacancy 560
Vakuum 664
valence band 563
valency 495
Valenz 495, 729
Valenzband 563
Valenzelektronen 492
Van-Allen-Strahlungsgürtel 863
Van-de-Graaff-Beschleuniger 715
Van-de-Graaff-Generator 35, 92
van-der-Waals-Kräfte 496
Van Allen, J.A. 863
-	Biographie 868
Van Allen belts 863
974 Register
Van de Graaff, R.J. 35, 715
- Biographie 94
varactor diode 580
Varaktor 580
variable-capacitance diode 580
Varian, R.H. und S.F. 696
Varikap 580
Varley, A. 248
VB 563
VDE 12
VDEW 271
VDN 265
vdWforces 496
Vektoralgebra 877
Vektoranalysis 883-888
Vektorbilder für Scheinwiderstand 228
Vektoren 874
Vektorfelder 883
Vektorprodukt 877
Vektorraum 875
velocity modulation 697
Ventilableiter 643
ventricular fibrillation 913
verbotene Zone 563
-	Supraleitung 547
Verbraucher-Zählpfeilsystem 112
Verbund der Netzbetreiber 265
Verbundnetz als Speicher 265
Verchromung 766
Verdet-Konstante 435
Verhaltensregeln, Elektrizität 920-924
Verkehrsnetze 263
Verkupferung 766
Verlustfaktor 297
Verschiebungspolarisation 784
Verschiebungsstrom 318-319
Verstärker 284
Verstärkerröhren 696-699
Verstärkung 284
Verteilungsfunktionen, statistische 498
very-large-scale Integration 590
very-long-baseline interferometry 370
Verzerrung bei der Verstärkung 358
Verzinkung 766
Vielfach-Schicht, dielektrische 423
Vielkanalplatte 679
Vierpol 284
Vierquadrantenbetrieb 250
Villari-Effekt 845
virtual Image 397
virtueller Nullpunkt 593
virtuelles Bild 388, 397
vitreous body 401
VLBI 370, 372
VLSI 590
Vollweg-Gleichrichtung 218, 245
Volt 2, 931
-	sekundäre Basisgröße 58, 930
Volta’sches Spannungsgesetz 752
Volta-Spannung 528
voltage 2
voltage breakdown 631
voltage drop 107
voltage surge 203
voltaic cell 748
Volta, A. 100, 728, 808
-	Biographie 177
Volumenintegrale 887
Volumenionisation 618
Volumenmagnetostriktion 846 von-Klitzing-Konstante 516
Vorschaltdrossel 651
Wagner, A. 167
Wahrnehmungsschwelle 910
Walsh, J. 98
Waltenhofen’sches Pendel 209
Walther, H. 712
Wanderfeldröhre 698
Wanderwellen 313, 370, 642
Wassermolekül in Orbitaldarstellung 730
Wasserstoff-Technologie 764
Wasserstoffbrücken 495, 742
Wasserstoffelektrode 753
Wasserzersetzung 731-733
Wasserzersetzungsapparat 732
Watson, W. 83
Watt 931
waveguides 347
wave packet 408
Wawilow, S.l. 453
weak coupling 202
Weber 931
Weber, WE. 125, 173, 277, 317, 859
-	Biographie 178
Wechselrichten 583
Wechselstrom 3, 214-246 - nicht-sinusförmig 215 Wechselstrom-Generator 231
Wechselstrom-Gleichstrom-Umformer 244
Wechselstrom-Josephson-Effekt 550
Wechselstrom-Synchronmotor 258
Wechselstrom-Umrichten 583
Register 975
Wechselstrom-Widerstände 220
Wechselstrommessung 171
Wechselstromtechnik 270
-	Durchsetzung 271
Wehnelt-Zylinder 671, 699
Wehnelt, A. 671
Weiss (Weiß), P. 832, 835
-	Biographie 867
Weiss-Bezirke 159, 835, 842
-	als Datenspeicher 844
Weiss-Feld 832
weißes Rauschen 519
Welker, H. 568, 603
Welle-Teilchen-Dualismus 470-478
Wellenausbreitung 342-347, 363-366
Wellenflächen 407
Wellenfunktionen des H-Atoms 487
Wellengleichung, Maxwell’sche 318
Wellenleiter 370
Wellenoptik 406-424
Wellenpaket 408, 476
Welligkeit 245
Weltenergieverbrauch 269, 273
Wertigkeit 729
Westinghouse, G. 261
West, J. 809
-	Biographie 814
Weyl, H. 41
Wheatstone’sche Brücke 222
Wheatstone, C. 117, 248
-	Biographie 178
whiskers 666
Wicklung, bifilare 213
wide-band amplifier 290
Wideröe, R. 716, 718
-	Biographie 724
Widerstände, magnetisch steuerbare 568
Widerstand 105
Widerstandsanpassung 174
Widerstandsbelag 309
Widerstandsnormale 108
Wiechert, E. 464
Wiedemann-Effekt 845
Wiedemann-Franz-Gesetz 468, 513
Wiedemann, G. 173
wiederaufladbare Batterien 771
Wieman, C. 504
-	Biographie 508
Wien’sches Verschiebungsgesetz 386
Wien, W. 647
-	Biographie 660
Wikipedia 10
Wilcke, J.C. 25, 84, 808
-	Biographie 94
Wilde, H. 248
Williams, H.J. 836
Wilson, C.T.R. 624
-	Biographie 661
Wimshurst, J. 33
Winslow, W. 794
Wirbelströme 208-211
Wirbelstrom-Tachometer 210
Wirbelstrombremse 209
wireless telegraphy 283
Wirkleistung 222
Wirkleitwert 227
Wirkungsgrad von Lampen 651
Wirkwiderstand 227
work function 471, 520
X-Strahlen nach Röntgen 693
Xerographie 90-91, 93
X rays 669, 693
Y-delta connection 256
Yagi-Antennen 340
Y connection 233
yield 526
yield stress 794
Young’scher Spiegelversuch 409
Young, T.
-	Biographie 456
Z-Diode 580
Z-Stack 679
Zählgas für Geiger-Zähler 634
Zahnrad-Methode 440
Zeeman-Effekt 464
-	anomaler 484
Zeeman, P.
-	Biographie 508
Zeigerdiagramm 224-230, 270, 907
Zeigerinstrumente 171
Zeitdilatation 447, 450
Zeitkonstante 118
Zelle, elektrochemische 748
Zener-Effekt 580
Zener diode stabilizer 580
Zerstäubung durch lonenbeschuss 704
Zinkchlorid-Zelle 760
zirkulare Doppelbrechung 434
-	induzierte 435
zirkulare Polarisation 345, 426
Zitterrochen 98
976 Register
Zonenschmelzverfahren 607
Zündbedingung 626, 631
Zündung 628
Zungenfrequenzmesser 218-219
Zustandsträgerdichten 569-571
Zwei-Antennen-Interferometer 369
Zwei-Niveau-Komparator 594
Zweiflüssigkeiten-Modell 546
Zweig 112
Zweiphasen-Wechselstrom 230
Zweiphasenstrom, verketteter 231
Zweipole, aktive und passive 112
Zweiquadrantenbetriebe 250
Zweistrahl-Oszilloskop 700
Zweiweg-Gleichrichtung 245
Zwischenfrequenz 361
Zwischenzustand 544
Zyklotron 717
Zyklotronfrequenz 711
Zylinderkondensator 75
Zylinderlinsen 688
Zylinderspule, lange 141