Text
                    СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода ........	6
Предисловие автора к русскому переводу................... 6
Предисловие автора....................................... 5
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
2.1.	Плотности вероятности, средние и корреляция .	.	11
2.2.	Спектральный анализ случайных функций и связанные
с ним теоремы........................................... 18
2.3.	Метод Ланжевена..........................•	.	.	.	27
2.4.	Основное уравнение..................................29
Глава 3
ОПИСАНИЕ ШУМОВ
3.1.	Эквивалентный ток насыщенного диода, эквивалентные
шумовые сопротивление,	проводимость и температура	32
3.2.	Коэффициент шума....................................41
3.3.	Формула Фрииса. Шумовое	число..............46
3.4.	Коэффициент шума усилителей иа приборах с отрица-
тельной проводимостью..................................  51
Глава 4
ИЗМЕРЕНИЯ ШУМА
4.1.	Источники шума......................................58
4.2.	Усилители и детекторы...............................65
4.3.	Шумовые измерения.................................. 72
Глава 5
ТЕПЛОВОЙ ШУМ И ШУМ ГЕНЕРАЦИИ — РЕКОМБИНАЦИИ
5.1.	Тепловой шум .	.	'............................  81
5.2	Тепловой шум в полевых транзисторах .....	89
5.3.	Шум генерации — рекомбинации в полевых транзисторах 103(
Глава 6	(
ДРОБОВОЙ ШУМ, ШУМ ТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ФЛИККЕР-ШУМ	|
6.1.	Дробовой шум в твердотельных приборах .	.	. Ill
6.2.	Дробовой шум	в	вакуумных	лампах.............126
6.3.	Шум токораспределения..............................13<
6.4.	Фликкер-шум	..................................  132
6.5.	Взрывной шум............................ .	.	142

Глава 7 шум в конкретных УСТРОЙСТВАХ 7.1. Шум в мазерах и лазерах................................145 7.2. Коэффициент шума усилителей на вакуумных триодах и полевых транзисторах........................................150 7.3. Коэффициент шума каскадов на биполярных транзисторах 167 7.4. Влияние выводов .......................................178 Глава 8 СМЕСИТЕЛИ 8.1. Шум в смесителях с нелинейной проводимостью или кру- тизной ............................................. 180 8.2. Преобразование на нелинейной емкости................196 8.3. Фотопреобразование................................ 203 ПРИЛОЖЕНИЯ П.1. Флуктуационные теоремы..............................206 П.2. Эквивалентность коллективного и корпускулярного мето- дов исследования шума в диодах и транзисторах . . . 214 П.З. Методы усреднения в теории смесителей для случая бе- лого шума.........................................: 218 Список литературы . .............................221 Предметный указатель ....................................226
А’ Ван дер Зил ШУМ ЧНИКИ, ОПИСАНИЕ, ИЗМЕРЕНИЕ Перевод с английского •В. Н. КУЛЕШОВА и Д. П. ЦАРАПКИНА Под редакцией А. К. НАРЫШКИНА Москва «Советское радио», 1973
6Ф2 В17 УДК 621.391.822 Ван дер Зил А. В17 Шум (источники, описание, измерение). Пер. с англ, под ред. А. К. Нарышкина. М., «Сов. радио», 1973. 228 с. с ил. Приведены теоретические и экспериментальные сведения об источ- никах шума в современных приборах: лазерах, полевых и биполярных транзисторах, диодах с барьером Шотткн. Детально рассмотрены тепловые, генерацноиио-рекомбинациониые, дробовые, фликкерные, взрывные шумы н шумы токораспределения этих приборов. Книга предназначена для инженерно-технических работников и студентов ву- зов, специализирующихся в области разработки и изготовления полу- проводниковых приборов н приемио-усилительных устройств. 0341-065 В 046(01)-73 45-73 6Ф2 Альдерт ВАН ДЕР ЗИЛ Шум (источники, описание, измерение) Перевод с английского В. Н. Кулешова и Д. П. Царапки на под ред. А. К- НАРЫШКИНА Редактор Э. М. Горелик Художественный редактор В. Т. Сидоренко Технический редактор 3. Н. Ратникова Корректоры М, Ф. Белякова, Г. М. Денисова Сдано в набор 30/1 1973 г. Подписано в печать 12/IV 1973 г. Формат 84Х lOSVsa Бумага машиномелованная Объём 11,97 усл. п. л. 11,614 уч.-изд. л. Тираж 17 000 экз. Зак. 52 Цена 84 коп. Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693 Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10. 0341-065 В 046(01)-73 45-73 © Перевод на русский язык, «Советское радио», 1973 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемая вниманию читателей книга «Шум (источники, описание, измерение)» написана хорошо из- вестным всему миру ученым. В Советском Союзе были переведены и изданы две книги Ван дер Зила «Флуктуа- ции в радиотехнике и физике», Госэнергоиздат, 1958, и «Флуктуационные явления в полупроводниках», Изд-во иностранной литературы, 1961. В настоящей книге автор частично использует мате- риал, содержавшийся в ранее изданных работах, но в то же время вводит много нового из статей, опубликован- ных им совместно с сотрудниками и учениками. Несмот- ря на относительно небольшой объем, книга содержит много ценных -сведений об источниках шума в таких со- временных приборах усиления и преобразования сигна- лов, как мазеры, ла^ры, полевые и биполярные транзис- торы, туннельные диоды и диоды с барьером Шоттки. При рассмотрении вопросов расчета и измерения шумо- вых характеристик усилительных и смесительных каска- дов автор основное внимание уделяет отысканию опти- мальных решений. В методическом плане настоящая монография замет- но выигрывает по сравнению с изданной в 1961 г. Здесь немаловажную роль играет также стиль изложения, близкий к разговорному, используемому лекторами, вы- ступающими перед аудиторией. Краткость изложения, продуманность содержания, хорошо подобранные при- меры и библиография, несомненно, привлекут к данной книге внимание специалистов, и можно с уверенностью сказать, что она, как и прежние работы автора, станет настольной книгой для инженеров, занимающихся раз- работкой малошумящих приборов, усилителей и преоб- разователей электрических и оптических сигналов. Пере- вод 1, 2, 3, 6 и 8 глав выполнен канд. техн, наук Куле- шовым В. Н, гл. 4, 5, 7, предисловие и приложения пере- ведены канд. техн, наук Царапкиным Д. П. Редактор перевода
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ С большим удовольствием приветствую издание рус- ского перевода моей книги «Шум (источники, описание, измерение)». Надеюсь, что она будет способствовать привлечению -большого числа русских студентов и исследователей к работе в области флуктуационных явлений в полупро- водниковых приборах и сможет внести вклад в понима- ние нерешенных проблем в этой области. А. Ван дер Зил ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Цель настоящей книги — дать инженеру-проектиров- щику основную информацию об источниках шума в элек- тронных приборах и показать, как эта информация мо- жет быть использована для вычисления шумовых харак- теристик (в частности коэффициента шума) электронных устройств, использующих данные приборы. Это приво- дит к поискам оптимумов как для устройства, так и для приборов. Гл. 2 содержит ряд теоретических предпосылок, ко- торые полезны для оценки основных источников шума приборов. В гл. 3 обсуждаются способы описания шума двух- и трехполюсных приборов с приложением резуль- татов к вычислению коэффициента шума многокаскад- ных усилителей (в частности усилителей, включающих в себя приборы с отрицательной проводимостью). В гл. 4 показано, как можн^з точно выполнить шумовые изме- рения. Теоретический материал гл. 2 используется в гл. 5 и 6. В гл. 5 рассматриваются тепловой шум и шум генерации — рекомбинации применительно к мазерам и полевым транзисторам. Гл. 6 посвящена обсуждению дробового шума в диодах с р-п переходом, транзисторах и вакуумных лампах, а также фликкер- и взрывного шума в диодах, биполярных и полевых транзисторах. В гл. 7 подход гл. 3 используется для вычисления ко- эффициентов шума устройств на туннельных диодах, мазерах, биполярных транзисторах, вакуумных лампах и полевых транзисторах. Автор надеется, что использо- ванный подход проще предложенного Комитетом Шумо- вых Стандартов Института инженеров по электротехни- ке и радиоэлектронике и лучше соответствует физике
приборов. Гл. 8 посвящена шуму в смесителях, пара- метрических преобразователях и усилителях и фотосме- сителях. Приложение содержит подробные математиче- ские выкладки, опущенные в основном тексте. Автор искренне признателен д-ру К. М. Ван Флиту и его аспирантам за помощь в приведении материала к его настоящему виду. Миссис Ван дер Зил печатала ру- копись. Я надеюсь, что эта книга сможет быть полезной ин- женерам, занимающимся проблемами шумов, и студен- там, интересующимся дайной областью. А. Ван дер Зил
1 ВВЕДЕНИЕ Носители тока в проводнике находятся в беспоря- дочном тепловом движении, в результате чего на концах любого сопротивления существует флуктуационная э. д. с. V(Z). Это явление называется тепловым шумом. То же самое наблюдается в проводящем канале полевых транзисторов. В электронной лампе акты вылета электронов с ка- тода образуют собой последовательность независи- мых событий, происходящих в случайные моменты вре- мени. Поэтому ток I(t), протекающий через нее, флук- туирует. То же самое происходит в транзисторе или по- лупроводниковом диоде, так как пролет носителей через потенциальные барьеры осуществляется независимо в случайные моменты времени. Это явление называют дробовым шумом. В почти беспримесном полупроводнике электроны и дырки появляются и исчезают случайным образом под влиянием процессов генерации и рекомбинации следую- щего вида: свободный электрон + свободная дырка ^связанный электрон в валентной зоне+энергия (-> означает рекомбинацию, означает генерацию). В результате сопротивление образца R испытывает флуктуации 6Д(/). Если через образец пропустить по- стоянный ток I, то на его концах возникнет флуктуаци- онная э. д. с. которая может быть обна- ружена так же, как и упомянутые выше источники шума. Этот процесс называется шумом генерации — рекомби- нации или для краткости г—р шумом. Слово «шум» требует пояснения. Если флуктуацион- ное напряжение или ток, генерируемые электронным при-
бором или элементом .цепи, подать на усилитель низкой частоты, а с него усиленный сигнал на громкоговори- тель, то последний будет издавать шипящие звуки. От- сюда название «шум». Стало общепринятым называть «шумом» флуктуационные токи и напряжения, даже если никакого звука они не производят. Шумы представляют собой важную проблему в на- уке и технике, поскольку они определяют нижние преде- лы как в отношении точности любых измерений, так и в отношении величины сигналов, которые могут быть обработаны средствами электроники. Для того, чтобы определить эти пределы, необходимо знать интенсивность имеющихся источников шума, уметь минимизировать от- ношение шума к сигналу при любом методе измерений и в любых устройствах обработки сигналов и научиться просто и точно измерять эти шумы. Цель данной книги познакомить читателя с этими проблемами. Флуктуирующие напряжения, токи и величины назы- ваются случайными переменными. Если предполагается, что флуктуирующая величина может принимать любые значения из непрерывного множества, то говорят о не- прерывной случайной переменной; если флуктуирующая величина принимает только дискретные значения, то го- ворят о дискретной случайной переменной. Флуктуирую- щее число носителей в полупроводнике, которое, конеч- но, является целым, является примером дискретной слу- чайной переменной. Случайные переменные X(t) могут быть описаны ста- тистически. Один из основных способов их описания свя- зан со средними значениями. Наиболее существенными из них являются среднее значение X и средний квадрат X2. Часто X точно равно нулю, и тогда наиболее значи- мой величиной является X2. В противном случае_имеет смысл ввести в качестве новой переменной X—X; при этом важнейшим средним значением является (X — X)s = Xs — 2ХХ + (’J)2 = X2 — (Й)а, (1.1) которое называется дисперсией X(t) и обозначается varXj). *> Сокращение «var» от английского «variance of В совет- ской литературе общепринятым является обозначение £>[X]=Ad2=o2. (Прим, перев.)
Наиболее распространенные источники шума имеют такой характер флуктуаций, что их средние значения и средние квадраты не зависят от времени. Эти случайные переменные называются стационарными. Флуктуирующие величины могут быть описаны, кро- ме того, их плотностью вероятности, которая представ- ляет собой вероятность попадания значений случайной переменной в интервал между X и X+dX. Стационарные случайные переменные имеют плотности вероятности, ко- торые не зависят явно от времени (см. § 2.1). Средние значения можно легко рассчитать, если известна плот- ность вероятности исследуемого процесса (см. гл. 2). Одним из наиболее эффективных методов анализа флуктуирующих величин является метод Фурье. В гл. 2 мы увидим, как флуктуирующая величина X(t) может быть описана ее спектральной плотностью Sx(f). После введения этой величины флуктуационную э. д. с. V(!) в небольшом интервале частот Alf можно представить источником шумовой э. д. с. Угде Sv(f) пред- ставляет собой спектральную плотность V(t). Источник флуктуационного тока I(t) в небольшом частотном ин- тервале Л/ может быть замещен генератором шумового тока где Si(f)—спектральная плотность /(£). Достоинство этого метода в том, что теперь можно рассчитывать средние квадраты величин при помощи теории цепей переменного тока. Двумя наиболее важными источниками шума, используемыми в качестве шумовых эталонов и поэто- му пригодными для количественной оценки шума, явля- ются тепловой шум сопротивления R при температуре Т и дробовой шум насыщенного диода, через который про- текает ток Id- Первый может быть представлен источ- ником шумовой э. д. с. ]/4kTRAf, включенной после- довательно с сопротивлением R, а второй — источником шумового тока 2qld№f, включенным параллельно дио- ду (здесь k — постоянная Больцмана,' q — абсолютная величина заряда электрона и Д1/—малый частотный ин- тервал вблизи центральной частоты /).
2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [1—13] 2.1. ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ, СРЕДНИЕ И КОРРЕЛЯЦИЯ А. Плотность вероятности одной переменной. Средние значения Пусть рассматривается большое число (ансамбль) идентичных систем, которые подвержены различным флуктуациям. Число систем в этом ансамбле должно быть чрезвычайно большим; строго говоря, оно должно стремиться к бесконечности, чтобы сделать последую- щие выкладки достаточно справедливыми. Можно определить вероятность ДР того, что случай- ная переменная X, описывающая флуктуации, принима- ет значения, заключенные между X и Х+ДХ. Для этого представим ДР в виде ДР=ДП/П, где Ai/V — число систем в момент Ц, для которых эта переменная заключена в интервале ДХ, a N — число систем в ансамбле. В диф- ференциальной, форме dP=f(X)dX. (2.1) Функцию ДХ) называют плотностью вероятности ве- личины X. Обычно она определяется не эксперименталь- но, а из детального статистического исследования флук- туирующей величины X. В общем случае (X) может зависеть от Д, и поэтому необходимо было бы писать /(X, ti) вместо ДХ). К счастью, оказывается, что во многих случаях f(X,- h+t) =f(X, Ц) для всех значений t, и тогда говорят, что случайный процесс стационарен, и можно писать f(X, А + г)=ДХ). Шумовые процессы, которые здесь предполагается обсудить, практически все являются стационарными К Функция f(X) удовлетворяет условию нормировки-. ^f(X)dX=\, (2.1а) где интегрирование распространяется на все допустимые значения X. Соотношение (2.1а) выражает тот факт, что *> Исследования Брофи [126—130]-показали, что шум типа 1// не является стационарным процессом. Прим. ред.
X обязательно лежит в пределах диапазона допустимых значений, и тогда говорят, что функция /(X) нормирова- на. В противном случае вводится нормированная плот- ность вероятности Cf(X), для которой константа С опре- деляется из равенства J Cf(X)dX—\, т. е. f(X)dXp'. (2.16) Если известна f(X), то средние значения Хт, обозна- чаемые Хт, вычисляются следуюцим образом Х^= J Xmf (X)dX (tn= 1, 2,...), (2.2) а среднее значение функции g(X) gW=hmdX. (2.3) J В обоих случаях интегрирование распространяется на все допустимые значения X. Если f(X)—четная функция X, то средние значения всех нечетных степеней X равны нулю. Наиболее важными средними значениями являются X и X2. Если, среднее значение X не равно нулю, реко- мендуется ввести новую случайную переменную X—X. Тогда наиболее важным средним значением оказывается дисперсия ст2 величины Х(/): var X = а2 = (X — X)2 = X2 — (X)s. (2.4) Теперь обратимся! к дискретным переменным п, ко- торые могут принимать только целые положительные значения. Пусть Р(п) является вероятностью появления значения п; тогда определения, сформулированные для непрерывных случайных переменных, остаются верными, следует лишь заменить интегрирование суммированием.- Например, условие нормировки (2.1а) должно быть запи- сано в виде Х^(«) = 1, (2.1В) п а среднее от пт, по аналогии с (2.2), д™ = £ птР(/z) (т = 1, 2,...). (2.2а) п
Дисперсия п теперь определяется соотношением var « = а2 = (« — й)2= п2 — (й)2. (2.4а) Важными примерами дискретных плотностей вероятно- сти являются биномиальный закон, закон Пуассона и нормальный закон. Обсудим эти три случая подробно. Биномиальный закон. Пусть Некоторое событие имеет вероятность р реализации в форме А и вероятность 1—р реализации в форме В, и пусть отдельные события неза- висимы. Если событие случается т раз, то вероятность Рт(п) того, что п раз оно реализуется в форме А, (2.S) Применение соотношения (2.2а) для средних значений сразу дает п=тр, а2=тр(1—р). (2.5а) Закон Пуассона. Пусть отдельные события незави- симы и происходят случайно со средней частотой п. Тогда вероятность Р(п) того, что п событий произойдут в течение временного интервала единичной длительности, Р(п) = {(й)пехр (—п)]/п\ (2-6) Применение соотношения (2.2а) для средних значе- ний дает сг2=й. (2.6а) Нормальный закон. Пусть события случаются со средней частотой п. Пусть п велико и о2 определено обычным образом. Тогда вероятность того, что п собы- тий произойдут в единичном временном интервале, Р (и) = -7^=- ехр Г — {п~-^ 1. (2.7) ' ’ К2лаг Г L 2о J Можно показать, что биномиальный и пуассонов- ский законы сходятся к нормальному при больших зна- чениях п. Частный случай, когда о2—п называют зако- ном Гаусса. Уравнение (2.7) легко модифицируется Для случая непрерывной случайной переменной, имеющей Х=0. Нор- мальный закон теперь выражается в виде dP'iX}=V^^~~^) dX< (2-7а) где в2=Х2.
Шумовой процесс, который может быть описан ра- венством (2.7а), называется гауссовским. Практически все флуктуационные токи и напряжения-, возникающие в электрических приборах, имеют плотность вероятности этого вида й. Поэтому путем экспериментального опреде- ления плотности вероятности удается получить не так уж много информации. Ведь заранее предполагается, что эта плотность вероятности является нормальной. Причина, по которой большинство флуктуирующих величин подчиняется нормальному закону, заключается в том, что флуктуирующая величина является суммой большого числа независимых случайных переменных. В таком случае справедлива центральная предельная теорема-. Если X,, X,, .... Хп — независимые случайные пере- менные, имеющие одинаковые плотности вероятности и, следовательно, равные средние значения «X, и дис- п персйи var Хг- —var X,-—с>| , то сумма У =2 являет- I— 1 ся асимптотически нормальной для большого п, со сред- ним значением У = «;Х, и дисперсией п. Средние значения, обсуждавшиеся до сих пор, назы- вают средними по ансамблю, т. е. средними, определен- ными по очень большому числу одинаковых систем, под- верженных различным флуктуациям. Если шумовой про- цесс стационарен, эти средние не зависят от времени. В стационарных случайных процессах случайная пе- ременная для одного элемента ансамбля может рассма- триваться как функция Х(/) времени t. Среднее значе- ние g(X) функции g'(X) переменной X(f) в этом случае может быть также определено предельным переходом т ^(X^lim ‘ fg(X)dX. (2.8) Г-»оо 1 J О Когда это среднее равно среднему по ансамблю, го- ворят, что рассматриваемый случайный процесс является эргодическим. Шумовые процессы, которые будут здесь рассмотрены, практически все являются эргодическими. . *’ Исключение составляет «взрывной» шум (см. § 6,5 и [131]). Прим, ред.
В расчетах всегда используются средние по ансамб- лю, но в шумовых измерениях берутся средние по вре- мени за достаточно длительный интервал, причем усред- нение обычно выполняется самим измерительным при- бором (квадратичным детектором с постоянной време- ни т). Б. Плотности вероятности двух случайных переменных. Корреляция Для двух непрерывных случайных переменных X и У вероятность того, что величина одной из них заключе- на между X и X+dX, а величина другой — между У и Y+dY, есть dP=f(X, Y)dXdY, (2.9) по аналогии с уравнением (2.1) 1>. функция f(X, У) на- зывается совместной плотностью вероятности перемен- ных X и У. Она удовлетворяет условию нормировки С С f (X, Y)dXdY=l, (2.9а) где интегрирование распространяется на все допустимые значения X и У. Средние значения определяются так же, как для одной переменной, т. е. XnYm= CJ XnYmf(X, Y)dXdY, (2.10) где интегрирование также проводится по всем допусти- мым значениям X и У. Обычно X = F —0; тогда наиболее вагкными средними значениями являются X2, У2 и ХУ. Если X и У являются дискретными случайными переменными, то операции интегрирования должны быть заменены операциями сум- мирования так же, как в случае одной переменной. Если ХУ=0, то случайные переменные X (/) и Y(t) называют некоррелированными. Если же ХУ^АО. то го- ворят, что случайные переменные кор рели рованы, и c — XY^X^ (2.11) ’> Точнее было бы плотность вероятности в момент .Ц обозна- чать ДХ, У, ti). К счастью практически все интересующие нас здесь процессы стационарны, т. е. f(X, У, ti+t)=f(X, У, У) для всех значений t.
называется коэффициентом корреляции- JAevKO показать, что из очевидного неравенства (aX+bY)2^0 (для всех а и Ь) следует —Is^c^l. Случай, когда |с| = 1, назы- вается случаем полной корреляции. Если две случайные переменные X(t) и Y (t) частич- но коррелированы, т. е. если |с| <1, то Y можно разде- лить на часть аХ, которая полностью коррелирована с X, и часть Z, которая не коррелирована с X. Таким образом, можно записать Y=aX+Z, (2-12) где IX—y’ = Z = 0 и XZ = 0. Если с есть коэффициент корреляции двух величин, то легко показать, что .a = C0J-y/2, Z2=Pr(l-c2). (2.12а) В. Автокорреляционная и взаимокорреляционная функции В стационарных случайных процессах'£очень важным является среднее значение X(f) X(/-|-s). Оно называется автокорреляционной функцией и является мерой продол- жительности влияния данного значения случайной пере- менной на последующие. Автокорреляционная функция имеет следующие интересные свойства: 1. X(t)X(t-]-s) является или непрерывной, даже если X(f) не непрерывна, или дельта-функцией от s. 2. X (t) X (t -|- s) = X2 (t) при s = 0, если только X (t) X(t-\-s) не является дельта-функцией от s, так как X (t) X(t-\-s) непрерывна. 3. X(£)X(£-|-s) — четная функция s, т. е. X (t) X(t ~ s) = X(t) X(t-\-s). *> Автокорреляционная функция определяется через совместную плотность вероятности f(Xt, Х2), где Xt—Xtf), a X2=X(t+s). Мы должны теперь дополнить наше определение стационарного процес- са, требуя выполнения равенств f(Xi. /+т; Х2, /-F'S+t) = = f(Xi, I; X2, t+s)=f(Xi, X2) для всех значений т. Практически все шумовые процессы, обсуждае- мые здесь, удовлетворяют этим условиям.
Последнее свойство можно доказать следующим оО- разом: X(t) X X (и — s) X (и) - X (и) X (и — s) = — Х(/)Х(/— s). Конечный результат получается путем подстановки t + s = u и дальнейшей заменой переменной и на t. Все эти преобразования являются законными, потому что средние значения не зависят от и или t. Если X (/) X (t Ц- s) является дельта-функцией от s, т. е. если X (t) X (t -|- s) — Л8 (s), то шум называют белым. Обычно стараются представить флуктуационные явления при помощи источников белого шума. Величина c(S) = X(/)X(H<(0 (2.13) называется нормированной автокорреляционной функци- ей; она не существует, когда X(/)X(f+s) является дель- та-функцией от s. Нормировка здесь означает, что c(s) = = 1 для s = 0. Для частично коррелированных значений X(t) к Y(t), описывающих коррелированные случайные процессы, вводят взаимокор реляционные функции X(t)Y(t+s) и X(^+s)K(/). Эти функции неодинаковы и не являются четными, однако, удовлетворяют соотношениям X (/) У (t -|- s) = X (и - s) Y (и) — X(t~s)Y (t), (2.14) X(/ + s) Y (t) = X (u)Y (u - s) = X(0 Y (t — s). (2.14a) В каждом случае на первом шаге производится замена t + s на и, а на втором шаге и заменяется на t. Это мож- но делать для стационарных случайных процессов. В следующей главе мы увидим, что автокорреляцион- ная функция и взаимокорреляционные функции играют важную роль при вычислении спектральных плотностей.
2.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧ ИНЫХ ФУНКШ41 И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ТЕОРЕМЫ А. Спектральный анализ. Теорема Винера—Хинчина Пусть X(t) является стационарным случайным про- цессом. Разложим Х(1) в ряд Фурье на интервале11 оо Х(0 = X «п exp (j (Dnt), (2.15) 00 где con = 2кп/Т, п = ±1, ±2,... р т an= — ^X(t)exp(—i<ont)dt. (2.15а) о Спектральная плотность Sx(f) случайного процесса X(t) определяется выражением Sx (f) = lim 2Г ana*n, (2.16) 7->оо где знаком * отмечена комплексно-сопряженная величи- на. В приложении 1 показано, что в соответствии с тео- ремой Винера — Хинчина [14, 15] Sx(f) может быть вы- ражена через автокорреляционную функцию при помощи соотношений Sx(f) — 2 J X (t) X exp (jws) ds — —OO ' = 4 J X (t) X (t Ц- s) cos wsds. (2.17) о Следует заметить, что второе из соотношений (2.17) мо- жет быть получено из первого, если принять во внима- ние, что exp (jws) = cos <os -|- j sin <os, 4 Так как обычно X(Т1) (0), то следует скорректировать Х(0) в конечных точках, полагая Х(0) =Х(Т) = 1/2 lim[X(ft)+X(7’—h)]. Тогда ряд Фурье представляет X(t) даже на концах выбранного отрезка.
а также, что X(t) X (t -ф-s) и cosws являются четными функциями s, в то время как sihtos— нечетная функция s. Обратное по отношению к (2.17) преобразование дает X (О X (t + s) = J Sx (f) cos msdf. (2.18) о Пусть автокорреляционная функция X(f) X(t-\-s) имеет постоянную времени -с, т. е. X(t) X(t -|-s) = 0 для s>< Тогда при т<1 функция exp(jws)=l для всех значений s, для которых X(t)X(t-\-s) отлична от нуля. Следовательно, низкочастотная величина Sx(0) спек- тральной плотности Sx(t) имеет вид ОС Sx(0) —2 ^X(t) X(t-\-s)ds. —оо (2.17а) Для частного случая (белого шума) X(t) Х(£-|-5)=Л8 (s). ОО Следовательно, поскольку J8(s)ds=l, —СО Sx(0)—2Л (2.176) для любой реализации белого шума X(t). Пользуясь обратным соотношением (2.18), можно по спектру восстановить автокорреляционную функцию. При вычислениях обычно находят автокорреляцион- ные функции, а затем определяют Sx(f) с помощью (2.17). В измерениях же сначала находят Sx(f), а затем при помощи (2.18) рассчитывают автокорреляционную функцию. Полагая в (2.18) s = 0, получаем ОО x4o = jsx(f)6?f, о (2-19) т. е. средний квадрат можно определить простым инте- грированием, если известна Sx(f). Причину, по которой Sx(f) можно легко измерить, по- ясним следующим образом. Пусть стационарный случай- ный сигнал X(rf) подается на вход произвольной линей- ной системы с передаточной функцией g(f) и пусть У(0—сигнал на выходе этой системы. Если ЗДГ) и
(2.20) Sy(f) являются соответствующими спектральными плот- ностями, а хп и уп - коэффициентами Фурье, то уп- =X^e(f), так что ч . Используя соотношение (2.19), получаем СО no = Jsx(Dte(fWM о (2.21) Если линейная система является усилителем, то зна“ чение У2(0 может быть измерено с помощью квадратич- ного детектора. Если усилитель узкополосный и настроен на частоту f0, то по измеренной величине У2(/) можно почти сразу найти Sx(f). В самом деле, в этом случае Sx(f) =^Sx()o) во всей полосе пропускания усилителя, так что _____ 00 ПО = Sx (f0) j |g (DI2 df = sx (fn) Взфф, (2.22) о где go=g(fo)—коэффициент передачи усилителя на ча- стоте настройки; ВЭфф— эффективная (шумовая) полоса усилителя, определяемая соотношением оо ДзФФ-4 f ИЛНЛ (2.22а) 8° J о Значения go и эффективной полосы В.->фф определяются при помощи генератора стандартных сигналов. Следова- тельно, Sx(fo) можно вычислить сразу после того, как будет измерено У2(?) и определены g0 и Вэфф. Б. Теорема Винера—Хинчина для многих переменных. Взаимные спектральные плотности Если на отрезке времени 0<^7^7 имеются два ча- стично коррелированных случайных процееса X(t) и У ('0, представленные рядами Фурье *> СО ОО Х(0= s «пвхрСрвО, У(0= У fe„exp(ju>n0, (2.23) л=—оо п=—оо *> Как и в п. А § 2.2. функции X(t) и У (./) должны быть соответ- ствующим образом скорректированы на концах отрезка.
где iun = ‘ZrJifT и 1 Гг аи = -у \ X (0 exp (—jw.nO dt, о т bn = ~Y^Y(t) ехр(—y»nt)dt, о (2.23а) то можно определить спектральные S(F) и Syv(f) и взаимные спектральные Sxv(f) и Syx(f) плотности с по- мощью соотношений Sxx(f) = lira 27 апа*п, Syy (f) = lim 2ГЬпЬ*п, (2.24) Т-+оо T-iOO SXy(f) = lim2Tanb*n, Syx(f) = lirn 27а*„6п=S%(f). Г->оо 7->oo Здесь снова знаком * отмечены комплексно-сопря- женные величины. Из определений видно, что Sxx(f) и SVy(f) являются вещественными, a Sxv(f), вообще гово- ря, комплексная функция. По аналогии с теоремой Винера — Хинчина: 00 Sxx (f) == 2 j* X (О X (t + s) exp (ja>s) ds, (2.25) —OO OO Syy (f) = 2 J y (0 Y (* + s) exP (j^) ds. —00 Sxy (f) = 2 f X (t) Y (t -|- s) exp (jws) ds. ^'1 —OO Таким образом, шумовые процессы могут быть матрицей PSxx(f) Sxy(f)\^ \SyX (f) Syy (f)/ (2.25a) описаны (2.26) элементы которой, не лежащие на главной диагонали, комплексно сопряжены.
Часто физический смысл имеет только вещественная часть Sxy(f). Например, X(t)+Y(t) имеет спектральную плотность ________________ Sx+v. х+у (f) =lim 2Т (ап + ьп) (а*п + &*„) = Т-мХ) = lim 2Тапа*п + Hm 2Tbnb*n -|- lim 27’ апЬ*п у—>со Т ^©о Г ~>со + lim 2Га\К= Sxx (f) + Syy (f) + 2Re [5жу (f)]. (2.27) В качестве примера случая, когда физический смысл имеет мнимая часть Sxy(f), рассмотрим цепь, показан- ную на рис. 2.1. Здесь генератор шумового тока Y(t) включен параллельно емкости С, а шумовая э. д. с. X(t) Рис. 2.1. Цепь с частично корре- лированными источниками шумо- вой э. д. с. X(t) и шумового тока Y(t). включена последовательно с ними. В этом случае спек- тральная плотность Szz(f) напряжения Z(t) на концах разомкнутой цепи зависит от мнимой части Sxy(f). Доказательство проводится следующим образом. Пусть на отрезке й Т оо со Х(0 = S anexp(ji»nf), У(0= S ^пбхр (>„/), (2.28) П——ОО —00 ’ оо z (f) = s Сп ехр (р„0- п——QO Простым анализом цепи получим сп^ап-^Ьп/]шпС. (2.28а) Следовательно, — 97ГХ*~ I 26«fc*" 4Im(a„6*„) (2.286) *> Как и в и. А '§ 2.2, функции X{t), Y(t) и Z(t) должны быть соответствующим образом скорректированы на концах отрезка.
Из определения спектральных плотностей Szz (f) = Sxx (f)+- 2 Im (П] (2.28b) Таким образом, Irn[S„;(f/)] в самом деле играет сущест- венную роль. Если мы проделаем ту же процедуру с п частично коррелированными шумовыми процессами, то получим спектральную матрицу из п строк и п столбцов: (2.29) 1 X §Х X * ' * S V х \ Л1Л1 AjA«J AJA^ ] s s хлха • • • ХцХп где элементы, не лежащие на главной диагонали, явля- ются комплексно-сопряженными, т. е. S* =S ХЛ ХЛ (2.29а) В. Теоремы о спектральной'плотности Сначала сформулируем теорему Карсона)). Пусть стационарная случайная переменная Y (/) является сум- мой большого числа независимых событий проис- ходящих в случайные моменты времени со средней ча- стотой Z, так что У(0 = ХЕ(/-^), (2.30) I где F(t—ti)—0 для t<ti, и F(t—^) представляет собы- тие, начавшееся в момент t=ti. Определяя преобразова- ние Фурье ф(/) функции F (и) формулой <p(f)= j* F (и) exp (—j«>ii) du, (2.31) —ОО получим спектральную плотность Sy(f) функции Y(t): Sy(f)=2,%H(f)|2 (2.32) Доказательство приведено в приложении 1. Ср., например, [16].
Этот результат может быть распространен на случай, когда события не одинаковы. В этом случае ф(/) могут быть различными для различных элементарных собы- тий, и уравнение (2.32) следует переписать в виде Sy(f) = 22 |<p(f)|S (2.32а) где |<р (])|г — среднее значение |ф (f)|a. Рассмотрим частный случай, когда известно распре- деление постоянных времени т. Пусть £(т)^т— вероят- ность того, что событие характеризуется постоянной вре- мени, заключенной между т и т+йт, и пусть g(r) нор- оо мировано: j g (т) di = 1. Тогда, если (/) является о значением ф(/) для события с постоянной времени т, то по определению среднего значения имеем о следовательно, оо Sy(f) = 22 J|t(f)|ag(x)^. (2.33) (2.34) В качестве примера использования теоремы Карсона рассмотрим спонтанные флуктуации числа п электронов, эмиттируемых за одну секунду насыщенным термокато- дом. Так как электроны покидают катод независимо друг от друга в случайные моменты времени, то п под- чиняется распределению Пуассона. Поскольку P(t—ti) является дельта-функцией 6(/—ti), для которой |ф([) | = = 1, спектральная плотность случайной функции Дп = =п—п Sn(j)=2n. (2.35) Теперь мы должны учесть, что электроны несут заряд (—q), поэтому ток I(t)—qn. Среднее значение его рав- но, таким образом, I=qn, а спектральная плотность (f) = qzSn (f) — 2qzn—2ql. (2.36) Этот результат является следствием теоремы Шоттки [17].
ина справедлива для люио о т к , с ст ще о из после- довательности независимых случайных импульсов, каж- дый из которых несет заряд (—д). Следовательно, ее можно распространить не только на насыщенные (или с ограничением тока температурой катода) вакуумные диоды, но также и на диоды с р-п переходом или бипо- лярные транзисторы, в которых носители пересекают по- тенциальные барьеры (см. п. Б § 6.1). Вторая теорема, которая оказывается особенно цен- ной для источников белого шума и доказательство кото- рой приведено в приложении 1, формулируется следую- щим образом [10]. Пусть X(t)—стационарная случайная переменная, для которой Х=0, и пусть Х^—ее среднее значение по врёмени за интервал т, т. е. хт=4' f x^dt- о Тогда значение спектральной плотности X(t) частотах 5х(0) определяется выражением 5я(0) = Нт'2т^_, Д-Ь-СС (2.37) на низких (2.38) где среднее значение определяется по ансамблю одина- ковых систем, подверженных различным флуктуациям. В качестве примера рассмотрим последовательность случайных импульсов, происходящих со средней часто- той п. Пусть число импульсов, появляющихся в течение некоторого единичного интервала времени, равно п, и пусть п имеет произвольную плотность вероятности с i<y2=var п. Тогда для N импульсов, появляющихся в те- чение определенного интервала времени т, имеем !ZV='m4A№ = varA^ = T: var/i. (2.39) Если положим, что &N = N — X1, то — в соответствии с (2.37), так что . ,,2 var N 1 , ДД^ =—————— yarn. (2.39а) Следовательно, Sn(0) —Нт2тДД^ =2 varfi. (2.40)
Б частном случае насыщенного вакуумного диода varn=n, и (2.40) сводится к (2.35). В диоде, ток кото- рого ограничен пространственным зарядом, заряд между катодом и анодом действует как буфер и частично сгла- живает флуктуации; следовательно, (2.35) уже не спра- ведливо, но (2.40) остается верным. Обычно принято пи- сать var п= Г2п (2-41) и называть Г2 коэффициентом подавления за счет прост- ранственного заряда. Равенство (2.36) тогда принимает вид Si(f)=2qirz. (2.41а) Для использования (2.40) необходимо знать диспер- сию п. Часто ее можно определить при помощи теоремы Буржесса о дисперсии {18], которая формулируется сле- дующим образом. Пусть последовательность N событий происходит в течение интервала т. Пусть каждому собы- тию сопоставлена величина ai (t'=l, ..., N) и величина п определена соотношением N п = % СЧ- (2.42) 1=1 Если N и at флуктуируют и все значения аг- незави- симы, причем at = a и с^ — а2 для всех t, то n = !zV'c, var п = (a)2 var N -|~ TV1 var а, (2.42а) где var а=а2 —(а)2 Доказательство дано в приложе- нии 1. Подставляя в (2.42а) выражение для vara, получаем var п = (a)2 (var N — ZV) Л'а2. (2.426) В частном случае, когда N подчиняегся распределе- нию Пуассона, varN=N и равенства (2.42а) и (2.426) сводятся к п — 2v a, v ar п = jv а2. (2.42в) Второе равенство в (2.42в) оказывается весьма важ- ным в теории шумов вторичной электронной эмиссии, та- ких как шумы в фотоумножителях. Используем соотношение (2.42а) следующим обра- зом. Предположим, что в вакуумном тетроде пс элек-
тронов эмиттируются катодом в течение единичного ин- тервала времени и на попадает на анод в течение того же интервала. Каждый эмиттированный электрон имеет вероятность Х=/а//с достичь анода и вероятность 1— =lzllc попасть на экранную сетку; здесь /с, h и /а — средние значения токов катода, экранной сетки и анода соответственно. Следовательно, сц — 1, если электрон достигает анода, и «г- = 0, если электрон попадает на экранную сетку; очевидно, что йг = й = Я. Таким образом, мы имеем «2= ~2 =^Ог или =аг-, а следовательно, йг- = Я и var а — а2 — (йг)2 = Я (1 — Я). Поэтому теорема о дисперсии дает var fia=X2var пс + псХ(1—X). (2-43) Слагаемое псХ(1-—X), которое называется шумом токо- распределения, появляется из-за случайного распределе- ния электронов между экранной сеткой и анодом. Оно подчиняется биномиальному закону. 2.3. МЕТОД ЛАНЖЕВЕНА Этот метод заключается в том, что записывается ма- кроскопическое дифференциальное уравнение рассматри- ваемой системы и в правую часть его вводится случай- ная возмущающая функция H(t), описывающая флукту- ации в системе. Хотя H(t) не__________________ известна, обычно может быть получена достаточная стати- стическая информация о систе- ме, чтобы рассчитать спек- тральные плотности флуктуа- ций [19]. Покажем это на не- скольких примерах. Рис. 2.2. RL контур с источ- Тепловой шум. Рассмотрим ником теплового шума RL цепочку с источником' теп- левого шума H(t) сопротив- ления R (рис. 2.2). Дифференциальное уравнение Лан- жевена в этом случае имеет вид L^_+w=flW. (2.44)
Для запишем следующие ряды Фурье1': оо со Д(0 = Е anexp(W). «(0=5 Р»ехр(М. (2-45) —ОО — 0° где <вп = 2-пп/7 (н = 0, ±1, —2,...). Подставляя (2.45) в (2.44) и учитывая, что d)dt= = 1'юп, получаем ₽n = an/(j'wn^+^). (2-46) Но S (/) = 1ш12Га^а%, SI(/) = lim27'₽^*n, (2.47) Г->оо Z->oo и, так как H(t)—белый шум, т. е. SH(f)=SH(O), из (2.46) имеем Si(f)=SH(0)/(fl2+«2L2). (2.48) Теперь задача сводится к тому, чтобы найти SH(0). После этого рассчитывается Г: -с U‘ df sh (0) f=|s,(f)d/ = S„(0)1jsri?p=^i7- (2.48а) o io Но из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы2! известно, что 0.51Д = 0,5/гГ или^? = kT/L. (2.49) Приравнивая (2.48а) и второе из равенств (2.49), получаем SH(p) — 4kTR, £г(() = 4/ДД/(/?2 + <й2£2). (2.50) Первое из соотношений (2.50) известно из теоремы Найквиста (20], а второе сразу получается с помощью теории линейных цепей. Таким образом, мы видим, что теорема о равномерном распределении энергии позво- ляет полностью решить задачу. Генерацио'нно-рекомбинационный шум. Возникнове- ние и исчезновение носителей в образце полупроводника из-за процессов генерации и рекомбинации описываются дифференциальным уравнением вида -^=~^+W (2-51) !) H(t) и i(t), конечно, должны быть соответствующим образом скорректированы на концах отрезка. 2) Более подробно об этом см. [10] § 11—2 в. (Прим, перев.)
где &N— флуктуация числа носителей, Н (t)—случай- ное воздействие, т — время жизни избыточных (неравно- весных) носителей. По аналогии с (2.48) 5^(/)=571(0)ти/(1+с»2г2). (2.52) Но ОО оо SV5=l's,(f)4 = S„(0)4-rjL=^t. (2.52а) к/ * "Т* OJ L О о так что (f) = 4ДЖ/(1 + «>V). (2.53) Таким образом, спектр Sw(f) можно считать извест- ным, если определены Д№ и т (см. § 2.4). 2.4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ [21] 4 Для того чтобы рассчитать Д№ и постоянную вре- мени т в предыдущей задаче, запишем дифференциаль- ное уравнение, называемое основным для вероятности Р(ЛГ) того, что N электронов находятся в зоне проводи- мости. Пусть g(N)dt— вероятность того, что в резуль- тате генерации электрон попадет в зону проводимости в течение интервала времени dt, и r(N)dt — вероятность того, что электрон исчезнет из зоны проводимости путем рекомбинации в течение такого же интервала. Тогда основное уравнение для данной задачи можно записать в виде r (AH'1)Р (АН4) + ё (.N-1) Р (N-1) - — Р (N) g (N) — Р (N) г (N) (2.54) при условии, что известны скорости переходов AT—IziW и N — 1 N. Т ак как в состоянии равновесия выпол- няется условие dP (Af) ]dt — 0, методом последовательной подстановки можно найти равновесное распределение P(N) = P(0) N—1 П ёЮ у=.о ‘ N П r(v) »=1 (2.55) В соответствии с (2.55) -ndPW = ln Р (JV) = In g (А/) - Inr (ЛЛ-|-1). (2.56)
Наиболее вероятное значение No случайной перемен- ной N вычислим, положив (2.56) равным нулю. Следова- тельно, lng(M>) =1пr(N0+1) или, если No велико, g(No)=r(N0), (2.56а) что соответствует равновесию генерации и рекомбинации. Найдем теперь (Д'—No)2, заметив, что P(N) может быть аппроксимирована нормальным законом для N, близких к No: Р (N) = Р (No) ехр [— (N—No) 2/2 (Af—М>)2]. (2.57) Из (2.57) и (2.56) получим [In Р (/V)L =gf(^)~r'(^)= — 1 (2.58) l V ZJ/v=/V0 g(/Vc) (7V_jVc)2 ' где g' иг' — производные no N. Следовательно, = (N-Noy = g (N0)/[P (NB) - g' (NB)]. (2.59) Дифференциальное уравнение Ar^N) = g(N)~r(N)^H(t)=^ = - k' (NB) - g' (NB)] &N+H (t) (2.60) описываег процесс убывания концентрации NN—N—No. Сравнивая его с (2.51), находим постоянную времени r=l/[r'(No)-g'(NB)l (2.61) так что ДАТ2=g<p; 'SN (f)=W/(1 + ^). (2.62) Из сопоставления (2.52) и (2.62) видно, что SH(0)=4go=2g(N0)+2r(N0). (2.63) Полученный результат имеет простой смысл. Рассма- триваемый шум в общем случае может быть интерпре- тирован как дробовой со спектральными плотностями 2g(7V0) для генерационного шума и 2г(М>) для рекомби- национного шума. Применим теперь этот результат к не- скольким частным случаям. Полупроводники п-типа с Nd глубоко лежащими до- норами. Здесь g(N) пропорционально Nd—N, т. е. числу
нейтральных доноров, a r(N) пропорционально N2, так как имеются N свободных электронов и М ионизирован- ных доноров. Следовательно, g(N)=y(Nd—N), r(N)=pN2, (2.64) где у и р постоянные, так что N0(Nd-NB) _ 1 _ Nd-N0 " — 2Nd-N„ ’ Y + 2p/Vc ptf, (2/Vd- N„) ’ (2.64a) Полупроводники п-типа, близкие к собственным. При наличии Nd доноров и N свободных электронов, сущест- вует P = N—Na дырок. В этом случае все флуктуации происходят из-за генерации и рекомбинации электронно- дырочных пар, так что g=go постоянно, а г пропорцио- нально произведению NP. Следовательно, g=go, r=pNP=pN(N—Nd), (2.65) где р — постоянная величина, так что W=ZP5^A;Po/(/Vo4-Po), т==1/р(/уо + Ро). (2.65а) Случай Nt поверхностных ловушек и N захваченных электронов. Скорость захвата пропорциональна числу NT—-N пустых ловушек, а скорость освобождения про- порциональна N. Следовательно, g(N)=a(NT—N), r(N)=&N. (2.66) В состоянии равновесия a (Nr — No) = bNB или NT — NTl, (2.66a) где h = al(a-\-b). Далее, т=-4т, 'KNi=N0 ---r = NT . ay-..B =NTl (1-2). a-{-b 0 a -f-b т (a + b)2 T ' > (2.67) Следовательно, если g(N) и r(N) являются линейными функциями N, т не зависит от No и флуктуации N под- чиняются биномиальному закону.
3 ОПИСАНИЕ ШУМОВ [10, 22—25] 3.1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ТОК НАСЫЩЕННОГО ДИОДА, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ШУМОВЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ, ПРОВОДИМОСТЬ И ТЕМПЕРАТУРА А. Двухполюсники или приборы с одним входом В соответствии с теоремой Шоттки (2.36) шум насы- щенного вакуумного диода, средний ток которого равен Id, в малом частотном интервале Af может быть пред- ----т— 5) Рис. 3.1. Эквивалентные шумо- вые схемы двухполюсников: а — насыщенного вакуумного диода; б — цепь, представленная источником шумового тока У i2 , включенным парал- лельно с ее комплексной проводимостью У; 6’ — цепь, представленнаяДшумовэй э. д. с. Уfcs, включенной последовательно с комп- лексным сопротивлением цепи Z. в) ставлен генератором шумового тока ]f2qla&f, включен- ным параллельно диоду (рис. 3.1,я). Применяя теорему Тевенина, шум любой двухполюс- ной цепи или прибора при температуре Т можно пред- ставить в малом частотном интервале Af либо источни- ком шумового тока i2, включенным параллельно с комплексной входной проводимостью Y этой цепи или прибора (рис. 3. 1, б), либо источником шумовой э. д. с. |/ё2 = |/\'2 ]Z|a , включенным последовательно с Z (рис. 3.1, в), где i2 = 29Z8KEAf. (3-1)
Величину /экв' называют эквивалентным током насы- щенного диода для данной цепи или прибора. Ее смысл состоит в следующем. Если измерить мощность шума цепи или прибора, а затем параллельно этому прибору подключить насыщенный диод с током /вкв, то мощность шума на выходе системы удвоится. Конечно, всегда можно характеризовать шум его спектральной плотностью выражая ее в «амперах в квадрате на секунду», но проще пользоваться понятием эквивалентного тока насыщенного диода. Это понятие тесно связано с методикой измерения шума и часто име- ет ясный физический смысл. Например, если предпола- гается, что исследуемый прибор дает шум типа дробово- го, то эквивалентный ток насыщенного диода должен быть равен току прибора, если генерируется полный дро- бовой шум, и будет меньше, чем ток прибора, если на- блюдается частично подавленный дробовой шум. В по- следнем случае обычно пишут [ср. с (2.41а)] ~P = 2qiT2kf, (3.2) где I — средний ток прибора, а Г2 — коэффициент подав- ления шума в нем. Сравнивая (3.1) и .(3.2), видим, что /экв=№ или Г2 = /экв/7, (3.2а) так что Г2 может быть определено при измерении шума. Мы уже упоминали, что /ЭкВ хорошо описывает ре- альный эксперимент, при котором насыщенный диод с 6- Усилитель 0й 41 Измеритель мощности. Рис. 3.2. Схема для измерения шума двухполюсника. используется как калибровочный источник шума. В этом случае исследуемая двухполюсная цепь или прибор при- соединяется ко входу малошумящего усилителя, а насы- щенный диод подключается параллельно этому прибору (рис. 3.2). К выходу усилителя подключается измери- тель мощности, например квадратичный детектор, и из-
меряется мощность шума исследуемого прибора. Затем через насыщенный диод пропускается такой ток Ц, что- бы мощность шума на выходе удвоилась. При этом Л>та=Лг- Очевидно, необходимо внести поправки (см. гл. 4), учитывающие шум усилителя, но это не меняет сколько-нибудь значительно основных принципов изме- рения. Преимущество описанного метода состоит в том, что измеренная величина /экв не зависит от полосы усилите- ля, при условии, что спектральная плотность шума при- бора не меняется слишком сильно в пределах этой по- лосы. В соответствии с теоремой Найквиста (2.50) тепловой шум сопротивления R при абсолютной температуре Т в интервале частот Af может быть представлена при по- мощи э. д. с. \/r4kTRt\f , включенной последовательно с R (рис. 3.3, а). Очевидно что его можно с таким же а) &) Рис. 3.3. Эквивалентные схемы, иллюстрирующие теорему Найквиста. Тепловой шум представлен генератором напряжения (а) и генератором тока (б). успехом представить источником тока \/AkTkf[R = 4kTgbf (здесь g=l //?), включенным параллельно сопро- тивлению (рис. 3.3, б). Применим теперь эти результаты для описания шу- мов двухполюсной цепи или прибора. Обращаясь снова к рис. 3.1,6 и в, запишем равенство ia = 4kT0gnhf, (3.3) где gn — эквивалентная шумовая проводимость прибора при температуре То. В соотношении e2=f|Z|2=4fe7'0/?nAf, (3.4)
величина Rn называется эквивалентным шумовым сопро- тивлением прибора при температуре То. Подставляя (3.3) в (3.4), получаем Rn=gn\Z\z. (3.4а) Так как обычно измеряется величина /экв, необходи- мо выразить gn и Rn через /якв- Приравняем (3.1) и (3.3): 2</А>кв—4kTogn или gn—(<7/2&Tq)Zbkb (3-5) и подставим (3.1) в (3.4): 2qISKB\Z\z=4:kT(]Rn или Rn = (<7/2&70)Лшв|£|2. (3.6) В частном случае теплового шума проводимости g= — \/R из (3.5) имеем При комнатной температуре kT0/q~ 1 /40 в, так что для R = 1 000 ом имеем /ЭКЕ!~50 мка. Таким образом, легко преобразовать тепловой шум в эквивалентный ток насыщенного диода. В измерительных цепях, содержа- щих сопротивление нагрузки, легко пересчитать его те- пловой шум в эквивалентный ток насыщенного диода; и внести поправку в измеренную величину /якв из-за теплового шума этого сопротивления. Существует третий способ описания шумов, который часто оказывается полезным. Обращаясь снова к рис. 3.1,6 и в, запишем равенство ? = 4kTngbf, T2=4kTnRLf, (3.8) где величина Тп называется эквивалентной шумовой тем- пературой рассматриваемой цепи или прибора. Сравни- вая (3.8) с (3.3) и (3.4), имеем Тп— {gn/go) Та— (Rn/R) То. (3-9) Эти представления особенно полезны, если предпола- гается, что исследуемый прибор дает шум теплового про- исхождения при температуре То, так как в этом случае Тп = Т0, gn=g и Rn=R- Так как часто неизвестно зара- нее, которое из этих описаний окажется наиболее по- лезным, рекомендуется определить /экв, gn, Rn и Тп, а за- тем выбрать тот путь, который позволяет дать простей- шее истолкование результатов измерений.
Мы описали шум прибора, используя понятие «опор- ной» температуры То, а не действительную температуру Т. Причина такого- подхода в том, что температуру Т иногда бывает трудно определить. Например, в вакуум- ном диоде с током, ограниченным пространственным за- рядом, катод имеет температуру Тс, а анод — темпера- туру Та. Какую из этих температур следует считать опор- ной, неизвестно. Поэтому лучше использовать фиксиро- ванную опорную температуру, в качестве которой обыч- но берется стандартная комнатная температура 7о= = 290 °К. Только в тех случаях, когда можно ожидать, что исследуемый прибор имеет тепловой шум, рекомен- дуется в качестве опорной использовать температуру прибора. Для примера рассмотрим случай вакуумного диода, ток которого ограничен пространственным зарядом (на- зовем его идеальным, в том смысле, что электроны в нем не отражаются от анода). Из теоретического анализа шума 7=6.4^ОД/, (3.10) где 7С — температура катода; ga=dIaldVa— проводи- мость диода, а 0=3(1—л/4) =0,644. В этом случае экви- валентная шумовая температура диода Тп = 07’с, эквива- лентный ток насыщенного диода /Экв==0(2^Тс/9)^'о, а эквивалентная шумовая проводимость при комнатной температуре То равна gn = 6(Tc/T0)ga. Б. Трехполюснце приборы или приборы с двумя входами [24] Такие приборы, как транзистор, полевой транзистор или вакуумный триод являются трехполюсными. Полю- сами являются база, эмиттер и коллектор для транзи- стора, затвор, исток и сток для полевого транзистора и сетка, катод и анод для вакуумного Триода. Если эти приборы используются в активных цепях с двумя входа- ми, то вход и выход таких схем должны иметь один об- щий полюс. По этой причине говорят о схемах с общим эмиттером, общим истоком или общим катодом; общей базой, общим затвором или общей сеткой; общим кол- лектором, общим стоком или общим анодом. Более рас- пространенными для последних трех схем являются на- звания эмиттерный, истоковый и катодный повторители.
Обсудим способы описания шумов этих устройств, не входя в детали физики шумов. На рис. 3.4,а показан трехполюсник, вход которого обозначен I, выход — о, а общий вывод (общая земля)-—g. Наиболее общим является описание шумов в частотном интервале А/ при помощи трех источников шумового тока: Цо между i и о, iig—между i и g, и iog — между о и g, с такими поляр- ностями, которые показаны на рисунке. Перейдем от этого представления к эквивалентному, содержащему только два источника тока, заменив iu> в схеме па рис. 3.4,а источником тока ii0, включенным между о и g и таким же источником тока между g и i, д) Рис. 3.4. Шумовые эквивалентные схемы трехполюсника: с — с тремя некоррелированными генераторами шумового тока; б — с двумя частично коррелированными генераторами шумового тока; в — с двумя ча- стично коррелированными генераторами шумового тока и проводимостями; s — с одним генератором шумового тока и коррелированным с ним генерато- ром шумового напряжения; д — представление транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером.
с направлениями, показанными на рис. .4,0. Теперь мы можем заменить эти источники шума источником тока ii между i и g и источником тока to между о и g, с по- лярностями, показанными на рисунке, где li = iig + tio, io — t'og + 't'io- (3.1 1) В общем случае эти два источника тока будут ча- стично коррелированными, так что шум можно описывать тремя параметрами: t* , и t\i*o, где' звездочкой отме- чена комплексно-сопряженная реличина. Так как послед- ний параметр является, вообще говоря, комплексным, на самом деле шум описывается четырьмя числовыми ха- рактеристиками. В чаоных случаях источники шума могут быть не- коррелированными, и при определенных условиях t\ мо- жет равняться нулю. Таково, например, положение с полевыми транзисторами (ПТ) в схеме с общим исто- ком и с вакуумными лампами на относительно низких частотах, поскольку на эти приборы подается смещение, при котором токи затвора в ПТ и сетки в лампе равны нулю и они не могут содержать никаких флуктуаций на низких частотах. На более высоких частотах, как будет показано в гл. 5 и 6, это уже неверно. Полная эквивалентная схема двухполюсника показа- на на рис. 3.4,в. Здесь мы добавили входную У» и вы- ходную Уо проводимости прибора и представили переда- точные свойства по сигналу источником тока Упер^г, где Упер — высокочастотная переходная или прямая взаим- ная проводимость (комплексная крутизна) этого прибо- ра. На низких частотах она сводится к крутизне прибора gm. Кроме нее, может присутствовать также проводи- мость обратной связи УОг, которая, как правило, оказы- вается реактивной и может быть нейтрализована при помощи соответствующей настройки или другими спосо- бами; мы предполагаем, что это сделано. Лишь в редких случаях оказывается, что YOi имеет значительную веще- ственную часть. Можно еще упростить эквивалентную схему, заменив источник тока io эквивалентной э. д. с. eo = to/ynep, вклю- ченной последовательно со входом (рис. 3.4,г). Эта схе- ма весьма хорошо подходит для ПТ или вакуумной лам- пы, но для транзистора с общим эмиттером необходимо добавить эффективное сопротивление Гь области базы; это «сопротивление базы» включено последовательно со
входом (рис. 3.4,д) и с ним связан шум, являющийся те- пловым. Необходимо здесь отметить, что источник тока ii оказывается подключенным к «внутренним» зажимам, а не к внешним. Такова общая эквивалентная схема, которую всегда можно использовать. Однако она имеет тот недостаток, что для каждого варианта включения прибора получа- ются различные эквивалентные схемы (например, для схем на ПТ с общим истоком, общим затвором и общим стоком), и для каждой из этих схем необходимо делать отдельное вычисление. Но если рассчитать для этих це- пей коэффициент шума, который определен в § 3.2, то окажется, что для них он будет почти одинаков (гл. 7). Поэтому достаточно знать схему только для одного из трех вариантов включения (в приведенном случае — для ПТ с общим истоком). Более того, в случае транзистор- ных схем часто определяют эквивалентную схему для транзистора с общей базой, пользуясь несколько иным подходом (см. гл. 7), а в других вариантах включения используют ее. Если вернуться теперь к эквивалентной схеме на рис. 3.4,в, то можно ввести эквивалентные токи насы- щенного диода 70KBi и /Экво для ц и ц> соответственно, пользуясь соотношениями 7 = 29I3!tB,0Af. (3.12) Эти величины можно измерить так же, как эквива- лентные токи насыщенного диода любой цепи с одним входом, закорачивая один из двух входов. Чтобы изме- рить /экв.г, закорачивают выход схемы по высокой часто- те, а чтобы измерить /ЭКв,о, закорачивают вход схемы по высокой частоте. В .9 то время как t и Г° можно измерить непосред- ственно, характеристика взаимной корреляции может быть определена только при помощи дополнительного усилителя (см. гл. 7). Иногда удобно использовать измеренные величины 7экв,г и gi, чтобы найти эквивалентную шумовую темпе- ратуру Tni проводимости gi в соответствии с определе- нием 27/экв.г = 4kTnigi, Tni = . (3.1 3)
Удобно также заменить шумовую э. д. с. (рис. 3. 4,г) эквивалентным шумовым сопротивлением Rn в соответ- ствии с определением ил“ '-^тёН'14' где /„ = 290 °К. Это особенно полезно, если ^ = 0 или если ток it некоррелирован с i0. Если i2 можно пренебречь, то шумовое сопротивление измеряется очень просто при помощи схемы на рис. 3.5. Рис. 3.5. Схема для измерения шумового сопротивления трехполюс- ного прибора. Здесь исследуемый прибор использован в первом каска- де усилителя; между входом и землей включено пере- менное сопротивление R, и также ключ, который периодически замыкается и размыкается. Если g— коэффициент усиления усилителя, то средний квад- рат выходного напряжения усилителя при замкнутом ключе равен 4kT0RnBa$$|gj2, а соответствующая вели- чина при разомкнутом ключе равна 4йТо(/?+Яп)Вэфф|£|2, где Вэфф — эффективная шумовая полоса усилителя, определенная равенством (2.22а). Подбирая R так, что- бы последняя величина стала вдвое больше первой, име- ем Rn=R. Этот метод оказывается весьма эффективным на от- носительно низких частотах, например до 500 кгц. Для точного измерения необходимо, чтобы вклад мощности шума основного усилителя в мощность выходного шума либо был пренебрежимо мал, либо легко учитывался. Первое может быть достигнуто соответствующим проек- тированием входного каскада усилителя, второе в прин- ципе также не представляет труда (см. гл. 4).
Рис. 3.6. Эквивалентная схема, аналогичная рис. 3.4,г. Обратите внимание иа различие в по- ложении входной проводимости У,. Помимо эквивалент- ных шумовых схем (рис. 3.4), используется еще одна эквивалентная схе- ма (рис. 3.6), где шум представлен источником тока I, включенным па- раллельно входу прибора, и источником э. д. с. е, включенным последова- тельно со входом. Она не совпадает с показанной на рис. 3.4,г, так как здесь входная проводи- мость Уг является нагрузкой, а там представляет собой часть самой эквивалентной схемы. Мы не будем использовать это представление, так как схема на рис. 3.4 точнее соответствует физике прибора. Однако нетрудно преобразовать одну из этих эквивалентных схем в другую. 3.2. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА А. Коэффициент шума на данной частоте. Усредненный коэффициент шума [26, 10] Для того чтобы определить шум усилительного ка- скада, его включают перед измерительным усилителем с эффективной полосой В9фф, которая выбирается так, чтобы она была узкой по сравнению с полосой В вход- ной цепи исследуемого усилительного каскада, скажем •В8фф<1/б-В. Вместо источника сигнала между входными зажимами исследуемого усилительного каскада распола- Рис. 3.7. Схема для измерения коэффициента шума усилительного каскада на данной частоте.
гается проводимость gs, имеющая опорную температуру То. Параллельно gs включается насыщенный вакуумный диод (рис. 3.7). Через него пропускается такой ток, при котором мощность шума на выходе измерительного уси- лителя удваивается. Предположим сначала, что измерительный усилитель дает пренебрежимо малый вклад в мощность выходного шума. Если мощность удвоилась при Ц — 7qkb,s, то назо- вем /3KB,s эквивалентным .током насыщенного диода, при- веденным ко входу усилительного каскада. Для малого частотного интервала Л/ мы можем теперь представить шум усилителя источником тока 2qIt>KB,sAf, включен- ным параллельно gs. Заменим теперь этот источник тока эквивалентным генератором тока V F (f)-4kT0gs&f, где 7"0 — опорная тем- пература. Тогда E(f).4ftrog-sAf = 2<7Z3KB,sAf или <зл5> Усилительный каскад дает шум, мощность которого в F(f) раз превосходит мощность теплового шума прово- димости gs при опорной температуре То. Эта величина F(f) называется коэффициентом шума на данной часто- те, локальным или узкополосным коэффициентом шума, так как полоса ВЭфф, в которой проводились измерения, мала по сравнению с полосой В входной цепи усилитель- ного каскада й. Опорная температура То обычно берется равной 290°К (комнатная температура). Если настраивать измерительный усилитель на раз- личные частоты и определять локальный коэффициент шума на каждой частоте, то оказывается, что F(f) зави- сит, от частоты. Он обычно оказывается минимальным около центра полосы пропускания усилительного каска- да и возрастает к ее краям. Теперь предположим, что мы имеем усилительный каскад, включенный на входе измерительного усилителя. Полосы пропускания каскада и усилителя сравнимы между собой. Причем по-прежнему предполагаем, что измерительный усилитель дает пренебрежимо малый вклад в полную мощность шума на выходе. В этом слу- *> Сравнение лучше в общем случае производить между Ввф$ и поскольку коэффициент шума даже в пределах по- лосы В может резко изменяться как за счет источников небелого шума, так и за счет противошумовых коррекций. Прим. ред.
чае шум для любого частотного интервала Af снова можно характеризовать источником тока ]/ F(f)X ~X^kTog^f, включенным, параллельно gs. Следовательно, если g(f)—амплитудно-частотная характеристика ка- скадно соединенных усилителей, то суммарная мощность выходного шума ОО РсуЫ ЫТйёа \gtfrfdf. (3.16) О Часть этой мощности со Ps = ^krogs\g(f)\*df (3.16а) о обусловлена тепловым шумом gs. Усредненный коэффи- циент шума Fcp этой системы определяется теперь вы- ражением р (f) I е (П12<Я ---------—> (317) f|g(D I2 df о так что FCp является средним значением F(f), с весом, определяемым частотной характеристикой усилителей. Если измерительный усилитель дает значительный вклад в мощность шума на выходе, то очевидно, что этот вклад необходимо учесть (см. гл. 4). В некоторых слу- чаях коррекция может быть настолько большой, что она серьезно сказывается на точности измерения коэффи- циента шума. Б. Шумовая температура приемников и усилительных каскадов Мы уже видели, что шум усилительного каскада или усилителя может быть представлен эквивалентным гене- ратором тока ]/F(f) 4/гГ0£'ЕА[г, включенным параллельно проводимости источника gs. В соотношении Р (f) • UTegtbf = 4kT9g£f + [F. (f) - 1 ] 4^SAL (3.18)
первое слагаемое характеризует тепловой шум истотпп ка сигнала при температуре То, а второе представляет шум усилителя или усилительного каскада. Запишем теперь {F(f)—1] • 4kT0gAf=4kTnag,Af или Tna=T0[F(f)-1]. (3.19) Величина Тпа называется эквивалентной шумовой тем- пературой усилителя или усилительного каскада. Преимущество этой характеристики в том, что шумо- вые температуры аддитивны. Если источник находится не при комнатной температуре, а имеет эквивалентную шумовую температуру Tns, и если усилитель имеет экви- валентную шумовую температуру Тпа, то эквивалентная шумовая температура 7ЭКВ системы источник — усили- тель равна ^ЭКВ = Тпз + Тпа (3.20) и шум всех источников вместе может быть охарактери- зован эквивалентным генератором тока I/ 4kT3KBgshf, включенным параллельно проводимости gs источника. Представление об эквивалентной шумовой температу- ре должно быть видоизменено, если квантовая поправка в теореме Найквиста становится существенной (§5.1 и гл. 7). В. Вычисление коэффициента шума в простом случае При вычислении коэффициента шума усилительного каскада F составляют эквивалентную схему, включаю- щую все источники шума, рассчитывают средний квад- 2 рат v о выходного шумового напряжения и определяют V ---------------°----------—. (3.21) вклад шума источника сигнала в 'vo На рис. 3.8 показана эквивалентная схема усилительно- го каскада, в которой еп и Ц некоррелированы. Вводя 4kTtR^f, 77^ 4kTtgnbfl (3.22)
Рис. 3.8. Простой усилительный каскад, в котором источники шума еп и ii некоррелированы. имеем ТХ___ IkTog^f г ~ (gs + gtY 4kTegn^f (gs + gtY Над. (3.22a) Из определения F (3.21) получаем F - l = ^+*»Jg« + g»)2 =2/?„^-+ Rngs+-^~~ - 68 6S 68 (3.23) Величина F— 1, рассматриваемая как функция gs, имеет минимум мин - 1 = 2R-ngt + ty^g-n + Rj? (3.23a) при gs = (gs)oOT-/^ + W/?n) (3.236) Таким образом, зависимость коэффициента шума F от gs представляет собой гиперболу, и минимальное значе- ние FMnn может быть достигнуто подбором соответствую- щей связи источника и входной цепи. В приведенных расчетах мы пренебрегли шумом со- противления нагрузки на выходе каскада. В § 3.3 мы увидим, что в многокаскадных усилителях шум нагрузки всегда считается отнесенным к следующему каскаду. Г. Шумовое сопротивление короткого замыкания. Шумовая проводимость холостого хода В соответствии с (3.23) коэффициент шума усили- тельного каскада можно записать в виде F~A+BgB+{ClgB), (3,24)
что справедливо для любых цепей с сосредоточенными постоянными (гл. 7). Так как В имеет размерность со- противления, а С — размерность проводимости, запи- шем B=Rn0, C=gn0, (3.24а) где Rno и gno являются соответственно шумовым сопро- тивлением при коротком замыкании на входе и шумовой проводимостью при холостом ходе на входе. Тогда F принимает минимальное значение Лши = & + 2 ygncRno при gs = (gs)om= Иg-nofRno- (3.246) Величина FMBH является хорошей мерой шумовых свойств усилителя при промежуточных значениях gs, Rno— хо- рошей мерой для больших величин gs, и gno—-хорошей мерой для малых значений проводимости gs. Это разли- чие оказывается важным, когда проводимость источника должна удовлетворять некоторым ограничениям. 3.3. ФОРМУЛА ФРИИСА. ШУМОВОЕ ЧИСЛО I А. Формула Фрииса После определения коэффициента шума одиночного каскада важно выяснить, как рассчитать коэффициент шума всего усилителя, если коэффициенты шума отдель- ных каскадов могут быть определены или уже известны. Решение этой задачи приводит к формуле Фрииса [26], для получения которой нужно сначала расчленить уси- литель на отдельные каскады, причем межкаскадные цепи следует отнести ко входу следующего каскада, так как формула Фрииса справедлива лишь при этом усло- вии. Далее необходимо определить усиление каждого ка- скада. Предположим, что генератор тока is включен па- раллельно проводимости источника gs. Тогда наиболь- шая мощность, которая может быть получена от источ- ника, обычно называемая располагаемой и определяе- мая 'как -мощность, передаваемая в согласованную на-
грузку, равна \ 1 Т \ /’расп-ТГ^- (3.25) Если. 4 представляет тепловой 'шум источника, так что f=4kT0gskf, то Р расп” kTokf. (3.25а) Если усилитель без нагрузки имеет выходное напряже- ние холостого хода v0 и выходную проводимость go>0, то располагаемая мощность Ро на выходе (3.26) Номинальный коэффициент усиления GH теперь опреде- ляется как 9 Р Ga^=-p-^gogs-^. (3.27) г Расп rs При принятых допущениях и определениях справед- лива следующая теорема. Если несколько усилительных каскадов включены один за другим (каскадное соединение) и для заданной связи с источником и между каскадами коэффициенты шума отдельных каскадов равны соответственно Flt Fz, F3, ..., а номинальные коэффициенты усиления равны Gnl, Gh2, Gh3, • - то коэффициент шума всего усилителя определяется формулой F=14-F,- (3.28) UH1 UH1'Jh2 Д Это равенство известно под названием формулы Фрииса. Оно справедливо для локальных коэффициентов шума при условии, что каждый каскад имеет положительную выходную проводимость go. Докажем справедливость этой формулы для двухкас- кадного усилителя. Мы уже знаем, что располагаемая мощность теплового шума проводимости g при темпера- туре Тс равна kTokf. Следовательно, если 1-й каскад имеет номинальный коэффициент усиления GHi и коэф- фициент шума Fi, то его располагаемая выходная мощ- ность шума равна Gm-FtkTokf.
Если g0— выходная проводимость l-ro каскада, то его шум можно представить эквивалентным^ источником тока J/'GH1 • Ft 4kT0gohf, включенным параллельно g0- Если 2-й каскад имеет коэффициент шумя' F2 при задан- ном межкаскадном соединении, то его шум минус теп- ловой шум g0 может быть представлен 'источником тока ]/(F2— l)-4kT0gohf , включенным параллельно go. Сумма шумов этих двух источников (сложение производится в квадратуре, так как шумы являются независимыми) должна быть равна ]/‘FGai-4&F0g'oA/:, это доказывается путем представления шума обоих каскадов эквивалент- ным источником тока, включенным параллельно go. Сле- довательно, FGai =F,Gm 4-(F2 - 1) или 1 + (F, - 1) + + (F2-1)/Gai (3.28a) в соответствии с формулой Фрииса. Таким же образом эта формула выводится и для большего числа ступеней. Б. Шумовое число [23] Иногда оказывается, что как коэффициент шума Fj, так и номинальный коэффициент усиления GH1 усили- тельного каскада близки к единице. В этом случае мы увидим, что величина <3-29> оказывается хорошей мерой шумовых свойств такого каскада и называется шумовым числом. Чтобы показать, как получается (3.29), заметим, что чем ближе номинальный коэффициент усиления каскада к единице, тем большее число каскадов необходимо. Оче- видно, добавляя лишние каскады, мы также добавляем шум. Возникает вопрос: сколько? Для ответа соединим отдельные каскады таким образом, чтобы каждый имел один и тот же коэффициент шума Fi и один и тот же но- минальный коэффициент усиления GH1. Тогда из (3.28) имеем F= 1-j-F, — 1 Ц- Fi-l I F,-l Г, —1 G3, н!
что при олыпом числе каскадов стремится к F~ 1 “Ь1 — (i/z?H1) ~1 + М (3.29а) так что М в самом деле оказывается хорошей мерой шума. Часто Gnl достаточно велико, так что M~Fi—1. В таких случаях в шумовом числе нет необходимости. Однако, если GHi>l, но близко к единице, шумовое чис- ло представляет интерес. При G„i<l каскад ослабляет сигнал и добавляет шум, так что лучше обходиться без него. Следовательно, шумовая мера имеет смысл только при GHi>l. Шумовое число имеет следующее интересное свойст- во: если два каскада с шумовыми числами и М2 включены один за другим, то наименьшее шумовое чис- ло М каскадного включения получается в том случае, если каскад с меньшим шумовым числом включен пер- вым. Пусть каскады имеют коэффициенты шума Fi и F2, номинальные коэффициенты усиления GHi и Gh2 и шумо- вые числа Mi и М2. Тогда коэффициенты шума двух комбинаций этих усилителей можно обозначить Е12 (сна- чала первый, затем второй) и F2l (сначала второй, затем первый). Потребуем теперь, чтобы выполнялось нера- венство или (Л- 1) + -^|р11<(Дг_ + 'JH1 '-'н« Из последнего следует (Л - 1) (1 ~ - 1) (1 - , так что из Fi2<F2i в самом деле следует Afi<7H2, что и требовалось доказать. В. Пример, в котором формула Фрииса бесполезна Рассмотрим двухкаскадный усилитель. Если выход- ная проводимость go 1-го каскада равна нулю, то его номинальный коэффициент усиления бесконечно велик, но также велик коэффициент шума F2 2-го каскада. Чтобьцоценить коэффициент шума F всегоЗусилителя необходимо вычислить предел lira [(Г2— 1)/GH1], но вме- Ге0-*о
сто этого воспользуемся более простым подходом и рас- считаем коэффициент шума F непосредственно. Как видно из рис. 3.9, 2-й каскад дает вклад в равный ikToen^f + 4kToBriif -----fet + gt)2------|-4й70ад. (3.30) Шумовое напряжение ve на входе 1-го каскада дает следующий вклад в v'?: Следовательно, шум 2-го каскада можно представить при помощи э. д. с. , включенной последовательно экв со входом 1-го каскада, где Х-^Л^- = 4^оД^'п (3.32) £т R'n=ten + gL + Rn (g< +Х)2М (3.32a) Таким образом, мы можем использовать теорию, раз- витую в § 3.2, при условии, что шумовое сопротивление Rn 1-го каскада заменено на Рис. 3.9. Пример двухкаскадного усилителя, для которого формула Фрииса бесполезна.
Здесь первый член характеризует вклад первого при- бора, второй член — вклад межкаскадной цепи и третий член — вклад второго прибора. Подставляя (3.33) в (3.23), можно вычислить влияние 2-го каскада на коэффициент шума F. 3.4. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА УСИЛИТЕЛЕЙ НА ПРИБОРАХ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ Формула Фрииса была выведена в предположении, что выходная проводимость каждого каскада является положительной. Существует, однако, несколько случаев, когда выходная проводимость каскада может быть от- рицательной; один из наиболее известных примеров — это усилитель на туннельном диоде. В таком случае не- обходимо более детальное рассмотрение. В настоящее время существуют два подхода к этой задаче. 1. Распространение понятий коэффициента шума и номинального коэффициента усиления таким образом, чтобы формула Фрииса могла быть обобщена на эти случаи. Этот метод был использован Хаусом и Адлером [23], и будет кратко здесь обсужден. 2. Решение тех задач, для которых это важно, непо- средственно с использованием эквивалентной схемы. Этот подход будет развит в нескольких примерах. А. Обменная мощность, обобщенный коэффициент усиления и коэффициент шума Располагаемая мощность Ррасп источника сигнала, со- стоящего из генератора тока с комплексной амплитудой is, который включен параллельно проводимости Ks, имеющей положительную вещественную часть gs, опре- деляется как мощность, передаваемая в согласованную нагрузку y*s, где звездочкой отмечена величина, ком- плексно-сопряженная с У8: ^Расп=4-—• <3-34) Если gs<6, то мы определяем обменную мощность соот- ношением роб=4-^- <3-34а)
Она отрицательна, и ее величина представляет мощность, получаемую из согласованной нагрузки Y*s. Отсюда следует, что термин «обменная мощность» является обобщением понятия располагаемой мощности. Номинальный коэффициент усиления по мощности Gn для усилителей с положительной выходной проводи- мостью go и с источником, имеющим положительную проводимость gs, определяется соотношением бн= (Р расп) вых/Ерасп- (3.35) Если опять входной источник состоит из генератора тока is, включенного параллельно проводимости источ- ника Ys=gs+i'bs, а выход может быть представлен гене- ратором тока i0 с выходной проводимостью Уо=£о + +]'ЬО, то GH=gsioi* ofgoisi*s. (3.35а) Если проводимость gs или go отрицательна, то правая часть равенства (3.35а) определяет обобщенный коэф- фициент усиления бОб' = <3'356) go W 8 Теперь необходимо определить обменную мощность теплового шума Р^об источника сигнала с температурой То. Для источника с отрицательной проводимостью gs при температуре То найдем формально шум при помощи генератора тока короткого замыкания И , где C = 4^0|gs|Af. (3.36) Это является логическим развитием теоремы Найквиста. Следовательно, обменная мощность шума этого источ- ника равна pNo6r=ll^-kT^f. (3.36а) Для источника с положительной внутренней проводи- мостью располагаемая мощность шума Р^ расп=&7оЛ/. То, что величины Рдграсы и Р^об имеют различные знаки в случаях gs>0 и gs<0, является недостатком описанно- го подхода и вызывает неудобство при обобщении фор- мулы Фриисаа
Коэффициент шума для gs>U и g'0>U может быть определен формулой р ___ j (^дграсп)»»*. вызванная только цепью , * (РЛ'расп)вых. вызванная только источником ' ‘ ' и следовательно, для случая произвольных gs и go было бы логичным определить обобщенный коэффициент шума Foe выражением ___ (Р.Уоб)вых. вызванная только цепью . % 06 * (PNo5)BSinl, вызванная только источником ' ’ ' Но в этом случае второй член оказывается всеща поло- жительным, и тогда формула Фрииса несправедлива при g'o<0 в 1-м каскаде. Чтобы обрйти эту сложность, Хаус и Адлер предло- жили следующее определение обобщенного коэффициен- та шума: (Р№б)вих> вызванная только цепью _ Аоб = 1 + что соответствует исключению знака минус в (3.36а). Теперь мы видим, что при таком • определении как для gs>0, так и для go<0, величины G06 и (Рлгоб)вых являются отрицательными, поэтому (АОб—1)>0. Но для gs<0 и go>0 Соб — отрицательна, a (Рдгоб) вых — поло- жительна, так что F06—1 отрицательно. Таким образом, для двухкаскадного усилителя, в котором выходная проводимость go 1-го каскада отрицательна: А = 1 + (Foe) 1-—1 +[ (F об) 2—1]/ (Соб) 1, (3.38) следовательно, формула Фрииса оказывается справедли- вой для этого случая. Доказательство подобно приве- денному для выражения (3.28а). Б. Шум усилительного каскада на туннельном диоде На рис. 3.10 показана эквивалентная схема усили- тельного каскада на туннельном диоде, который имеет отрицательную проводимость (—gd) и ток которого со- здает дробовой шум (см. п. А § 6,1). Как обычно, пред- полагается, что проводимость нагрузки является частью следующего каскада. Допустим, Что ge>gd, так что схе- ма устойчива для всех положительных значений g&.
Ls ^kTDgs&f^ П& ~9d 'mtd^zqTd&f vo Рис. 3.10. Усилительный каскад на туннельном диоде. Как видно непосредственно из рис. 3.10 и из опреде- ления (3.21), ? - (4^ogsAf + 2^Af)/(^s - ga)'2. (3.39) так что коэффициент шума F этого усилительного каска- да равен (3.39а) То же самое выражение могло быть получено из (3.376), но ценой больших усилий. На первый взгляд может показаться, что коэффи- циент шума F можно сделать сколь угодно близким к единице, выбирая gs достаточно большим. Но оказы- вается, что номинальный коэффициент усиления также становится сколь угодно близким к единице, и, следо- вательно, необходимо определять шумовое число, чтобы решить, является ли схема полезной. Поскольку gs>gd, выходная проводимость каскада положительна и, следовательно, номинальный коэффи- циент усиления существует. Обращаясь снова к рис. 3.10, мы видим, что источник имеет располагаемую мощность теплового шума (l/4)i^ [gB, а источник плюс нагрузка имеют располагае- мую мощность теплового шума */4 i^/(gs— £а)> так что G^g^gs-gF). (3.40) Следовательно, шумовое число равно М =____-------=_JL_2* 1 - (1/GB) ЖГ„ (3.41) Таким образом, увеличение gs не дает никакого выигрыша. С другой стороны, если gB приближается
к gd, F стремйтся к величине Foo„1.+ 7W=1+^-.A (3.41а) и номинальный коэффициент усиления становится беско- нечно большим. Для хороших туннельных диодов это приводит к коэффициентам шума около 3 дб при вполне приемлемых коэффициентах усиления в нижней части сантиметрового диапазона волн, что весьма хорошо. Тун- нельные диоды, таким образом, дают простую возмож- ность получения усиления с низким уровнем шума в сан- тиметровом диапазоне. Практически в таких усилителях на туннельных диодах часто используются циркуляторы (ср. § 7.1), но это мало сказывается на результатах. Если gs<gd, усилитель на туннельном диоде имеет отрицательную выходную проводимость, что можно использовать для исключения части входной проводимо- сти gi следующего каскада. Для обеспечения устойчи- вости необходимо потребовать выполнения неравенства gs—gd+gi>0. Мы увидим, что такая схема может да- вать некоторые выгоды. В. Усилительный каскад на туннельном диоде, связанный с другим усилительным каскадом На рис. 3.11 показан каскад на туннельном диоде, связанный с другим усилительным каскадом при помо- щи трансформатора без потерь с коэффициентом транс- Рис. 3.11. Усилительный каскад на туннельном диоде, связанный со следующим усилительным каскадом. формации п. Предполагается, что источники шума ц и еп усилительного каскада независимы. Кроме того, 2-й каскад имеет большее шумовое число, чем усилительный каскад на туннельном диоде. Сначала примем gs>gd-
Легко видеть, что 2 ”S,s + . 2 Ve [n2(gc - ga) + gj о "Г (3.42) Подставляя сюда i? = 4kTogskf, i2a = 2qldb.f, ? = =--WI\gnLf и a^=4^7'0^nAf, в соответствии с (3.21) имеем ^kTBge gn I Rn [n2 (gs — gq)!+ gd2. n2gs "Г n2gt I ?Zd _|, (g«—Яа) 1 gn+Rn I«2 (gs — gd)+gtl2 i "Г" Й/гГоД. ~ gs [ n2(gs—ga) J (3-43) Поскольку GB=gsJ(gs—gd), соотношение (3.43) соответ- ствует формуле Фрииса. Выберем и2 так, чтобы выражение в квадратных скобках стало минимальным, что выполняется при «г (gs - gd)=Vg^gn/Rn. (3.44) Тогда F"»-=1 +2 |. (3.45) Наилучший результат получается при gs—>gd, так как в этом случае FMira—*Foo, обсужденной ранее.. Поскольку gs—>gd требует выполнения и2—э-оо, и невозможно сделать трансформаторы без потерь с бес- конечным коэффициентом трансформации, этот резуль- тат не может быть достигнут, хотя, выбирая gs достаточ- но близким к gd, можно подойти к нему весьма близко. Первая половина равенства (3.43) остается верной, если gs<gd- Заметим теперь, что последние два члена в этом выражении всегда положительны- и, следова- тельно, Р'46’ так что не имеет смысла делать gs<gd в этом случае. Более того, необходимо всегда обеспечивать выполнение условия устойчивости w2(gs—gd) +gi>0. (3.46а)
Г. Туннельный диод, используемый для понижения входной проводимости усилителя Если входная проводимость gi усилителя достаточно велика, то ее можно компенсировать при помощи тун- нельного диода. Мы увидим, что коэффициент шума тун- нельного диода Foo снова может быть достигнут при определенных условиях. Рассматриваемая схема показана на рис. 3.12; чтобы сделать ее более гибкой, туннельный диод (проводи- Рис. 3.12. Туннельный диод, используемый для уменьшения входной проводимости усилительного каскада. мость — gd, ток Id) подключен ко входу усилителя через трансформатор без потерь с коэффициентом трансфор- мации п. Снова предполагается, что источники шума it и еп независимы. Вводя те же самые параметры, что и в предыдущем случае, и используя такой же подход, как прежде, нахо- дим р = 1+ + + ф. (gs - ntg^gtf. (3.47) gs SS Эта величина, рассматриваемая как функция gs, имеет минимум Лайн = 1 — 2/?„ (rfgd — gi) + + 2]/'^n + <№-^)2 (3.48) при gs = te)OHT=]/№ - gi)z + \!pqld (2kT0)+gn]IRn. (3.48a) Так как последний член под знаком квадратного корня положителен, gs>n2gd+gi и значит gs—n2gd+gi>0; та- ким образом, для данной gs схема устойчива.
Теперь выберем, п настолько большим, что < № - + gn ) R. (3.49) Разложение выражения, стоящего под знаком квадрат- ного корня в (3.48), в ряд Тейлора дает р if (n24^d/2^T0)-J-gn <^ii 4 I л р щ Kfh поскольку rPqldlZkT^gn и n2gd^>gi, если п достаточно велико. Мы также могли бы рассчитать коэффициент шума F при помощи (3.38), но только с большим трудом. 4 ИЗМЕРЕНИЯ ШУМА [10, 22, 24, 25, 31] 4.1. ИСТОЧНИКИ ШУМА [10] А. Тепловые источники шума В соответствии с теоремой Найквиста э. д. с. сопро- тивления R, имеющего температуру Т, в узком интервале частот Af равна }/ AkTRAf. Таким образом, резистор мо- жет быть использован как стандартный источник шума. Шумовая э. д. с. может регулироваться изменением либо сопротивления 7?, либо температуры Т. Обычно первый способ является самым простым. Располагаемая мощность шума сопротивления R при температуре Т в небольшом интервале частот Af опре- деляется выражением Ррасп=&ТAf. (4.1) Ее можно регулировать, меняя температуру Т сопротив- ления. Если к линии с волновым сопротивлением Zo подклю- чить сопротивление, нагретое до высокой температуры Т, то располагаемая шумовая мощность kT на единицу по-
лосы частот будет передана в линию. (Такие стандарт- ные тепловые источники шума производятся промышлен- ностью.) Имея подобный источник шума, можно менять шумовую мощность либо с помощью изменения темпера- туры Т, либо с помощью аттенюатора, помещаемого между источником и линией (рис. 4.1). Пусть источник шума представляет собой сопротивление R, находящееся при температуре 1\ и согласованное с аттенюатором. Если обозначить через L ко- эффициент передачи атте- нюатора по мощности, то вклад источника шума в рас- полагаемую шумовую мощ- ность на выходе аттенюа- тора составит LkT\A$. Однако аттенюатор и сам генерирует тепловой шум. Если температура аттенюатора также равна Ti, Рис. 4.1. Резистор с температу- рой Tt, включенный последова- тельно с аттенюатором, имею- щим температуру Т2. то. общая располагаемая шумовая мощность равна, как и ранее, kT$Af, так что вклад аттенюатора в располагае- мую шумовую мощность на выходе должен составлять (1—LykTiAf. Если же температура сопротивления источ- ника R поддерживается равной 7\, а температура атте- нюатора равна Т2, то Rрасп— LkT$Af + (1— L)kT^f. (4-2) Таким образом, Ррасп может варьироваться между k7\Af и kTzAf изменением коэффициента передачи атте- нюатора. Этот результат носит общий характер, так как всегда можно приписать эквивалентную шумовую температуру Гэкв s произвольному источнику шума. Если стандартный источник шума обеспечивает в узком интервале частот Af располагаемую шумовую мощность jPpacns, тогда его эквивалентная шумовая температура Такне может быть определена из соотношения Р расп.8=: kT3KB sAf. (4.3) Следовательно, если источник согласован с аттенюа- тором, имеющим температуру Тат и коэффициент пере- дачи по мощности L, то располагаемая шумовая мощ-
НоСть всей цепи равна Ррасп = LkTaKBSAf + (1 - L) kW = kT3M (4.4) так что эквивалентная шумовая температура Гэю, состав- ляет T3kb—LTbkb s+ (1—L)TaT (4.4а) и при изменении L может принимать любое значение между Г8КВ8 (для L=l) и (для L=0). Б. Шумовые диоды Известно, что источник шума вакуумного диода, ра- ботающего в режиме насыщения при анодном токе Id, может быть представлен в_узком интервале частот Af в виде генератора тока включенного параллельно диоду, где Ti = 2qIdAf, (4.5) a q — абсолютная величина заряда электрона. Изменяя анодный ток Id, можно регулировать уровень шума в широких пределах. В шумовом диоде имеется три источника погреш- ности. Влияние времени пролета электронов. На очень вы- соких частотах шум, генерируемый диодом, уменьшается из-за влияния времени пролета электронов. Однако на частотах ниже 300 Мгц данная погрешность относитель- но мала, и ею можно пренебречь. Это очень существен- но для диодов с коаксиальными выводами, работающих в диапазоне сверхвысоких частот. Влияние последовательного резонанса. Наличие у диода индуктивностей выводов и собственной емкости Рис. 4.2. Эквивалентные схемы шумового диода: а—высокочастотная; б—широкополосного источника шума, согласованного с линией передачу
ведет к тому, Что шумовой ток короткого замыканий на внешних зажимах диода отличается от тока идеального шумового источника Из эквивалентной схемы диода’(рис. 4.2) видно, что шумовой ток короткого замыкания на внешних зажимах равенyr2qld^f/[i — rfLCf . Следовательно, на высоких частотах диод, работающий в режиме насыщения при токе Id, эквивалентен шумовому диоду с анодным током I'd, где I' —______1л_____________Li_____, (4 d — (1 — <^LCy~~ [1— (ШТ k ' a fo — частота последовательного резонанса, определяе- мая соотношением (2itf0)2ZZ?= 1. (4.6a) Для L= 10-8 гн и С—2 rub резонансная частота оавна 1200 Мгц, и ошибка на 300 Мгц составляет около 14%. Так как ошибка быстро увеличивается с ростом частоты, следует добиваться возможно меньших значений индук- тивностей выводов. В диоде К81А фирмы Philips (Ampe- гех) это достигнуто использованием нескольких коротких выводов как для анода, так и для одного из концов нити накала. При тщательном конструировании диода и всего устройства шумовые диоды могут использоваться без существенных погрешностей вплоть до частоты порядка 400 Мгц, начиная с которой усилительные каскады уже нельзя считать цепями с сосредоточенными постоян- ными. Фликкер-эффект. На частотах ниже нескольких сотен герц шум диода начинает увеличиваться с понижением частоты. Это приращение, которое называется фликкер- шумом, пропорционально квадрату тока, тогда как дро- бовой шум пропорционален току в первой степени. Сле- довательно, с помощью графика выходной мощности шума диода как функции его тока легко проверить, источником какого шума является шумовой диод: дро- бового или фликкер-шума, и таким образом определить нижнюю границу его частотного диапазона. Во многих случаях желателен широкополосный источник шума, подсоединенный к линии передачи или кабелю. Этого можно достичь, нагружая кабель на импеданс, равный его волновому сопротивлению Zo, и
подключая к другому концу диод, работающий в режиме насыщения (рис. 4.2,6). Если температура источника поддерживается равной эталонной (опорной) темпера- туре То, то располагаемая шумовая мощность в узком интервале частот Af равна Ррасп=^ЕоД</+O,5f7/dZoAf (4.7) и может регулироваться в широких пределах изменением тока Id- На высоких частотах собственная емкость диода уве- личивает рассогласование на диодном конце кабеля, и это служит причиной погрешностей при измерении коэф- фициента шума, когда кабель не согласован со входом. Вычисления '[10] показывают, что для coCZo^;O,25 макси- мальная ошибка не должна превышать ±1 дб. Для С = = 2 пф и Zo=3OO ом это соответствует частоте 70 Мгц. Ошибка может быть уменьшена, если последователь- но с сопротивлением кабеля Zo подключить небольшую индуктивность L'=O,5CZ2o (параллельная коррекция). Это расширяет область рабочих частот приблизительно в два раза. При С = 2 пф и Zo=3OO ом получим L'— = 0,1 мкгн. Другой способ уменьшения рассогласования состоит в использовании симметричного диодного шумового ге- нератора с балансным включением. Это расширяет рабо- чую область частот шумового диода в два раза, так как ровно вдвое снижается емкость, шунтирующая линию. Посредством двух симметрично расположенных индук- тивностей L" =0,125CZ2, включенных последовательно > 0 с Zo, можно расширить рабочий диапазон шумового дио- да еще в два раза (параллельная коррекция). Следует, конечно, иметь в виду, что рабочий диапазон такого ши- рокополосного шумового диода может быть увеличен вы- бором кабеля с меньшим волновым сопротивлением Zo. Однако рано или поздно мы приходим к частотам, на ко- торых становится существенным приближение к после- довательному резонансу. Поэтому данный метод не при- носит особой пользы на частотах выше 300—400 Мгц. На более высоких частотах можно использовать дио- ды коаксиальной конструкции. Пусть диод имеет катод радиусом гс и анод радиусом га. Тогда волновое сопро- тивление диода равно Zo=138 Ig (га/гс) [ож]. (4.8)
Один конец диода коаксиальной конструкции согласо- вывается с линией передачи, а другой нагружается на импеданс, равный волновому сопротивлению Zo. Распо- лагаемая шумовая мощность при протекании через диод тока Id равна Ppacndr== (2qIdF^f)Z0H, (4.9) где F2 — коэффициент, учитывающий влияние времени пролета, вычисленный Шпенке [27], и И— коэффициент ослабления, обусловленный последовательным сопротив- лением нити накала. Анализ [10] показывает, что Я=[1—ехр(—aLo)]/aLo, (4.9а) где а — коэффициент поглощения мощности в коаксиаль- ном диоде, a Lo — его длина. Наконец, коэффициент 1/4 отражает то обстоятельство, что в линию поступает только половина шумового тока, поскольку другая по- ловина замыкается через оконечное устройство. Нагретая нить накала генерирует тепловой шум, ко- торый также необходимо учитывать. Следовательно, используя (4.2) и принимая во внимание коэффициент потерь L = exp(—aLo), приходим к выражению Ррасп t=’kTo^)f exp (—aLo) + + /гТ7АД1—exp (—aio)], (4-Ю) где Tf — температура нити накала. Таким образом, пол- ная мощность шума составляет Рраспй+Ррасп t. В. Газоразрядные источники шума Плазма, образующаяся при газовом разряде, ведет себя как проводник электричества, нагретый до высокой температуры (в положительном столбе разряда Те~ «10000—30 000'°К). Поэтому разряд в газе общеизвес- тен как источник шума, обладающий повышенной экви- валентной температурой. Удобная конструкция такого источника шума пока- зана на рис. 4.3,а. Газоразрядная трубка монтируется в волноводе, в котором возбуждается волна типа ТЕы. Вектор электрического поля составляет угол ср ~80е с осью трубки. Это обусловлено тремя соображениями. Во-первых, разряд сопровождается небольшим количест-
вом избыточного шума. Если t2— избыточный шумовой ток разряда, его компонента в направлении вектора электрического поля имеет средний квадрат, равный i2cos2<p. Эта компонента очень мала, если угол ф близок к 90°. Во-вторых, не совсем правильно предполагать, что проводимость вдоль оси создает тепловой шум с элек- тронной температурой Те. Скорее уже именно проводи- Рис. 4.3. Газоразрядный источник шума в волноводе («) и в двух- проводной линии на более низких частотах (б). мость, перпендикулярная оси трубки, обладает таким свойством (см. § 5.1). В-третьих, источник шума всегда надлежащим образом согласован с волноводом. Для хорошей работы источника шума можно посове- товать нагрузить один конец волновода на его волновое сопротивление Zo. Такая конструкция обеспечивает почти идеальное согласование в широком диапазоне рабочих условий. Так как коэффициент передачи L такого газо- разрядного источника близок к единице, из (4.2) сле- дует, что располагаемая мощность шума равна Ppacn=feW (4.11) Главное достоинство данного источника шума состо- ит в том, что Ге, а следовательно, и Ррасп практически пе зависит от рабочих условий. После того как источник шума прокалиброван, он сохраняет свои- свойства в те- чение длительного времени. Кроме того, располагаемая мощность изменяется очень мало от одного экземпляра трубки к другому. Другая конструкция, полезная на более низких часто- тах, показана на рис. 4.3,б. Здесь газоразрядная трубка снабжена двумя внешними кольцевыми зондами, кото- 11 Здесь имеется в виду дробовой шум. (Прим, перво.)
рые подсоединены к линии передачи с волновым сопро- тивлением Zo. Такая конструкция симметрична, но равно возможны и асимметричные варианты. Для большего удобства весьма желательно согласовать трубку с лини- ей передачи в широкой полосе частот. Частично это мо- жет быть достигнуто подбором разрядного тока. В последнем случае не очевидно, что шумовая тем- пература разряда равна электронной температуре, так как вектор электрического поля ориентирован здесь в основном вдоль оси трубки. Поэтому прежде чем использовать источник шума, целесообразно его прока- либровать. При сохранении широкополосного согласова- ния свойства источника остаются практически постоян- ными. 4.2. УСИЛИТЕЛИ И ДЕТЕКТОРЫ А. Предварительный усилитель Желательно, чтобы предварительный усилитель был широкополосным и малошумящим. Обсудим эти требо- вания более детально. Простой широкополосный усилитель, пригодный для частот вплоть до 50 Мгц (рис. 4.4,а), состоит из каскодной ступени и катодного повторителя. В нашем примере использованы вакуумные лампы, однако с тем же успехом можно применить и полевые тран- зисторы (ПТ). Последние, известные под названием полевых тетродов, имеют то же преимущество, что и каскодные ступени, и уже освоены промышленностью. Для расширения полосы пропускания в цепях межкас- кадной связи используется параллельная коррекция. Лучше всего применять в таком усилителе нувисторы и полевые транзисторы с высокой крутизной gm- Для до- стижения более высокого коэффициента усиления имеет смысл включать две таких ступени последовательно. Устройство имеет низкое эквивалентное шумовое со- противление: порядка 2,5/gm для триодов и около для ПТ, где gm—крутизна. Включая несколько каскадов параллельно, можно еще более снизить эквивалентное шумовое сопротивление. Ограничением здесь является рост входной емкости и увеличение наведенного сеточ-
t) Рис. 4.4. Малошумящие усилители: а — широкополосный на вакуумных лампах (могут быть заменены полевыми транзисторами); б — транзисторный, имеющий небольшое шумовое сопротив- ление прн работе от низкоомного источника сигнала. ного шума (или изведенного шума затвора). Без особого труда достигается пятикратный выигрыш, так что на частотах выше 10 кгц возможна реализация шумовых сопротивлений порядка 40 ом. На высокочастотной границе полосы пропускания на- блюдается некоторое ухудшение параметров из-за наве- денного сеточного шума в триодах или наведенного шума затвора в ПТ, так как наведенный шум изменяет- ся пропорционально квадрату частоты. Создается впе- чатление, что не так-то просто обеспечить дальнейшее улучшение параметров вакуумных триодов с высокой крутизной gm- В то же время положение с ПТ более обнадеживающее, так как можно использовать полевые
Транзисторы с оолее короткими каналами и, следова- тельно, с меньшими значениями емкости затвор — исток Cgs. Наведенный шум затвора в этих приборах пропор- ционален (гл- 5), так что решительное уменьше- ние Cgs может обеспечить значительное улучшение па- раметров. Можно было бы полагать, что биполярные транзисто- ры здесь также применимы. К сожалению, им свойстве- нен базовый ток, с которым связан шум базы. Это обстоятельство приводит к точно такому же нежелатель- ному эффекту, как и наведенный шум сетки или затвора, хотя частотные зависимости и разные. Тем не менее, если использовать р-п-р транзисторы с очень большим коэффициентом усиления по току hFE и с очень низким сопротивлением базы гъ, то при низкоомном входном источнике такая схема (рис. 4.4,6) была бы весьма при- влекательной. На частотах выше 1 кгц достижимы экви- валентные шумовые сопротивления меньше 100 ом. Соот- ветственно, включая десять таких транзисторов парал- лельно, можно получить эквивалентное шумовое сопро- тивление всего лишь в 10 ом. Недостатком, как и ранее, является большая входная емкость, вызванная обратной связью (Miller effect). К тому же эта обратная связь через- емкость коллектор — база затрудняет ряд шумо- вых измерений (п. А § 4.3). И все же во многих случаях схема на рис. 4.4,6 представляет интерес. На низких частотах во всех схемах наблюдается уве- личение эквивалентного шумового сопротивления из-за влияния фликкер-эффекта, так как последний характери- зуется шумовым спектром вида 1//'. Тщательно отобран- ные вакуумные лампы и полевые транзисторы обладают несколько меньшими шумовыми сопротивлениями. Одна- ко специально отобранные р-п-р транзисторы с большим коэффициентом усиления по току hFE превосходят все другие приборы. Поэтому схема на рис. 4.4,6 может быть особенно полезной на низких частотах. В диапазоне СВЧ часто желательно развязать иссле- дуемый усилительный каскад от предварительного уси- лителя для облегчения настройки и согласования. Это может быть сделано с помощью циркулятора. По тем же соображениям и точно таким же образом предвари- тельный усилитель может быть изолирован от смеси- теля.
Б. Основной усилитель Основной усилитель должен удовлетворять следую- щим условиям: иметь высокую линейность, содержать ступенчатые и плавные перестраиваемые аттенюаторы, включать гетеродин смесителя с достаточно высокой стабильностью частоты. Наилучший способ проверки линейности усилителя заключается в том, чтобы подключить вход к шумовому диоду, а выход-—к квадратичному детектору и по- строить график напряжения на выходе детектора как функцию тока шумового диода. Если получаем прямую линию, то усилитель действительно линеен. Вакуумные лампы и полевые транзисторы имеют лучшую линей- ность, чем биполярные транзисторы, и поэтому обычно советуют не использовать последние в каскадах усили- теля, работающих на детектор. Можно также проверить линейность усилителя с по- мощью сигнал-генератора, строя график напряжения на выходе детектора как функцию квадрата входного сиг- нала. Если получаем прямую линию, то усилитель доста- точно линеен. Нужно, однако, иметь в виду, что шумовой сигнал с данным эффективным значением имеет гораздо большие' пиковые амплитуды, чем синусоидальный сиг- нал с тем же самым эффективным значением. Следова- тельно, проверка при помощи синусоидального сигнала должна выполняться до больших эффективных значе- ний, чем при использовании шумового сигнала. Обычно усилитель должен нормально работать в ши- роком диапазоне уровней сигнала. Следовательно, на входе и выходе основного усилителя необходимо поме- щать ступенчатые и плавные аттенюаторы. Чтобы обес- печить достаточный уровень сигнала на квадратичном детекторе, обычно необходимо использовать между основным усилителем и детектором линейный усилитель. При измерениях в диапазоне вплоть До 30 Мгц мож- но рекомендовать связной приемник с выключенными автоматической регулировкой усиления и детектором. Усиленный сигнал промежуточной частоты снимается с катодного или истокового повторителя, устанавливает- ся на требуемом амплитудном уровне и далее подается на усилитель, питающий детектор. На частотах выше 30 Мгц можно использовать смеси- тель, осуществляющий перенос исследуемого шумового
Сигнала в диапазон частот, который перекрывается связ- ным приемником. На существенно более высоких частотах более при- годны диодные смесители и УПЧ на 30 Мгц, выпускае- мые промышленностью. Для измерения коэффициента шума на частоте выше 30 Мгц, вообще говоря, лучше использовать промышленный измеритель коэффициента шума, если только не требуется исключительная точ- ность. Если для расширения рабочего диапазона на входе связного приемника употребляется смеситель, иногда встает проблема недостаточно высокой стабильности ча- стоты его гетеродина. Если эта нестабильность превы- шает полосу пропускания УПЧ, то выходной сигнал сильно флуктуирует и измерения трудно выполнимы. В приемниках СВЧ возникает следующая трудность. Пусть fP— частота гетеродина, fo— выходная частота и fi=fP—fo— частота на входе. Тогда смеситель реагирует также и на частоту f'i = fp+fo, которая называется ча- стотой зеркального канала. Так как испытуемый каскад усилителя, предварительный усилитель (если исполь- зуется) и входная цепь смесителя не имеют достаточной избирательности, они оказываются чувствительными к шуму как в окрестности частоты ft, так и в окрестно- сти частоты f'i. Как следствие, шум на выходе усилителя поступает частично из узкой полосы частот вокруг часто- ты и частично из узкой полосы частот вокруг f'i. Это должно учитываться при измерениях коэффициента шу- ма (см. п. Б § 4.3). В. Детекторы, и фильтры Любой детектор с квадратичной характеристикой мо- жет быть использован как измеритель мощности. Термо- пары имеют квадратичность, близкую к идеальной. Однако они выходят из строя при перегрузке. В этом отношении значительно удобнее полевые транзисторы, которые имеют квадратичную характеристику. На выходе квадратичного детектора (рис. 4.5), кро- ме постоянной составляющей, имеется низкочастотный шум, являющийся результатом нелинейного взаимодей- ствия шумовых компонент в пределах анализируемой полосы частот. Индикатор, реагирующий на этот шум, дает переменные показания, что ухудшает точность из-
Рис. 4.5. Дифференциальный усилитель на полевых транзисторах в роли квадратичного детектора. мерений. Можно показать [10, гл. 13; 30], что в том слу- чае, когда частотная характеристика индикатора имеет вид const/(1+j'tirt), относительная точность одного шу- мового отсчета (см. приложение П. 1) равна 2Вх, где В — полоса шумового сигнала. Таким образом, что- бы уменьшить требуемую постоянную времени х, следу- ет использовать наибольшие допустимые значения В. Это особенно важно при шумовых измерениях на отно- сительно низких частотах. В схеме на рис. 4.5 выбор х осуществляется с помощью RC фильтра на выходе. Существует, следовательно, потребность в широкопо- лосных фильтрах, работающих на звуковых и инфра- звуковых частотах. Такие фильтры производятся про- мышленностью и обладают полосами пропускания, срав- нимыми с центральной частотой полосы пропускания. Использовать в качестве измерителей шума низкочастот- ные анализаторы спектра не рекомендуется, так как из- за узкой полосы пропускания последних требуются индикаторы с большой постоянной времени, что крайне затягивает процесс измерений. Для шумовых измерений можно также использовать линейные детекторы. Однако их выходной сигнал про- порционален среднеквадратичному значению шума, так что в процессе вычислений приходится возводить отсчет в квадрат. Эта операция отпадает при использовании квадратичного детектора.
Г. Корреляционный мето [2оГ732] При измерении очень слабых шумовых сигналов удобно пользоваться корреляционным методом (рис. 4.6), суть которого состоит в следующем. Измеряемый шумо- вой сигнал подается на два параллельных усилителя, где он усиливается и фильтруется. Два. усиленных сиг- нала Vi и v2 поступают затем на коррелятор, вырабаты- вающий напряжение, пропорциональное щп2, которое в свою очередь, подается на усреднитель, в результате чего получаем щп2. В процессе усреднения собственные шумы усилителей подавляются, так как они не коррели- Рис. 4.6. К вопросу о корреляционном методе шумовых измерений: А — усилитель, F — фильтр. рованы, в то время как шумовой сигнал, подлежащий измерению, сохраняется. Влияние шума усилителей про- является лишь в небольших -остаточных флуктуациях показаний индикатора, обусловленных выпрямленным шумом. Расчет показывает, что если каждый усилитель имеет шумовое сопротивление ошибка одного отсче- та соответствует неопределенности ARn = Rnf ]^4Вт ве- личины шумового сопротивления испытываемого прибо- ра. В этом выражении В — полоса пропускания прием- ника, т — постоянная времени усредняющей цепи. Если принять jRn = 100 ом, В=1000 ец и т=2,5 сек, тогда KRn ~ 1 ом, таким образом данным методом можно из- мерить тепловой шум резистора сопротивлением в один — два ома. Следует указать, что если используется только один усилитель и шумовое сопротивление испытываемого при- бора измеряется посредством последовательных пере- ключений испытываемого прибора из режима холостого ^ода в режим короткого замыкания, тогда неточность,
содержащаяся в единственном отсчете, соответствует неопределенности &Rn = Rn/ У 2Вт. Применение двух усилителей дает, следовательно, выигрыш только в J/2 раз (см. приложение П. 1). Однако главное преимущество последнего способа в том, что коррелятор оказывается более стабильным в отношении дрейфа. 4.3. ШУМОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ А. Шумовые измерения двухполюсников Схема измерений показана на рис. 4.7. Исследуемый прибор D подсоединен ко входу усилителя. Параллельно исследуемому прибору включен шумовой диод. Предвари- тельный. усилитель Рис. 4.7. Схема измерения шума двухполюсника D. Прежде всего измеряется шум входной цепи. Для этого отключается исследуемый прибор и определяется ток шумового диода, соответствующий собственным шу- мам схемы. Пусть 7И1 и М2—показания выходного при- бора соответственно при закороченном и незакороченном входе усилителя. Тогда разность М2—Mi обусловлена самой входной цепью. Увеличим ток шумового диода так, чтобы выходной прибор показал Л43=2Л12—Л41. В этом случае шумовой диод производит такой же шум, что и входная цепь. Если насыщенный ток диода равен 1<и, то /di — эквивалентный ток насыщенного диода для входной цепи. Далее включается исследуемый прибор и повторяется измерение. Пусть теперь — ток шумового диода, со- ответствующий суммарному шуму исследуемого прибора
й входной цепи. Тогда эквивалентный ток насыщенного диода для исследуемого прибора равен (Лгг—Ли). Если используется линейный детектор, мощность шума пропорциональна квадрату показаний выходного индикатора. Обозначим, как и ранее, соответствующие отсчеты символами ТИр Л12, /И3. Тогда мощность шума входной цепи соответствует —7И]), а мощность шума шумового диода равна мощности шума входной цепи, если 2Л1^ — . Таким образом, можно видеть, что трудности определения Idl и Id2 не являются чрез- мерными. Тем не менее квадратичный детектор обеспе- чивает более простую процедуру измерения. Изложенный метод имеет три возможных источника погрешности: 1. На высоких частотах измерения могут терять точ- ность из-за существенного уменьшения импеданса вход- ной цепи вследствие шунтирующего действия емкости прибора и входной емкости усилителя, чего можно избе- жать, вводя настройку входной цепи. 2. Если сопротивление Rs исследуемого прибора от- носительно велико и сам прибор шумит очень сильно, может оказаться, что потребуется учесть величину диф- ференциального выходного сопротивления Rd шумового диода, определяемую эффектом Шоттки [111]. Экспери- менты показывают, что Rd обратно пропорционально току Id. Если исследуемый прибор характеризуется экви- валентным током насыщенного диода /8КВ, ток диода Id, необходимый для удвоения мощности шума, определяет- ся из выражения 2(2?/ эквAf) ^ = (29/3KBAf + + 2q!dkf)[ReRdl(Re + Rd)]\ откуда /экв “ i+iRs/Ri + 2(Rs/Ray ' <4’12> Следовательно, для Rd=lOORs ошибка составляет 4%. В низкоомных приборах данный эффект пренебрежимо мал. 3. Если предварительный усилитель имеет первый каскад на вакуумном триоде или полевом транзисторе, необходимо учитывать обратную связь через емкость меж-
Ду входом й выходом каскада. Выходной импеданс, «Ощу- щаемый» последующей частью схемы в режиме корот- кого замыкания на входе, не совпадает с тем, который получается при незахороненном входе устройства. Вслед- ствие этого шумовой вклад усилительного прибора в реальной измерительной схеме несколько иной, чем при коротком замыкании на входе. Полученную разность показаний прибора можно скорректировать, если под- ключить шумовой диод параллельно выходной цепи ка- скада и измерить токи диода IdOl и law., обеспечивающие одинаковое приращение ЛЛ4 показаний выходного при- бора для случаев короткозамкнутого и незакороченного входа соответственно. Пусть Mi, М2 и М3 имеют прежний смысл. Тогда шум входной цепи соответствует М2— —Mildoi/ldoz, а Мз=2М2—Mi-Idot/Ido2 есть выходной от- счет, при котором шум диода равен шуму входной цепи (см. п. Б. § 4.3). До сих пор предполагалось, что для шумовых изме- рений используются шумовые диоды. Однако на низких частотах, где заметную роль приобретает фликкер-шум, или в случаях, когда эквивалентный ток насыщения дио- да для исследуемого прибора велик по сравнению с мак- симальным анодным током шумового диода (20—30 ма), в качестве эталонов следует применять сигнал-генерато- ры. Существуют два способа построения схемы, удобные для измерения шумовых сопротивлений (рис. 4.8,а) и для измерения эквивалентных токов насыщенного диода (рис. 4.8,6). В первом случар источник сигнала os подключен к аттенюатору, выходной сигнал osi которого подведен с некоторым коэффициентом передачи к сопротивлению R2 (порядка 1 ом) через гораздо большее сопротивление Ri. Сначала с помощью усилителя измеряется шум при- бора, а затем источник сигнала и аттенюатор регули- руются таким образом, чтобы мощность на выходе уси- лителя удвоилась. Если эффективная шумовая полоса усилителя равна ВЭфф, а прибор имеет шумовое сопро- тивление Rn, то при Ri^R2 4^адфф=0,5 кг (ад)8- < Ш (4.13) где — значение среднего квадрата сигнала. Поскольку все величины известны, можно определить Rn.
На рис. 4.8,6 сигнал vs также подключен к аттенюа- тору, но выходной сигнал osi аттенюатора подведен к исследуемому прибору через большое сопротивление Hi (порядка 5 Мол), так. что источник сигнала может быть представлен генератором тока vsi!Ri, включенным Рис. 4.8. Использование источника сигнала в качестве эталона на- пряжения (о) и тока (б). параллельно прибору4. Если эквивалентный ток насы- щенного диода для прибора равен /акв, а шумовая по- лоса усилителя составляет ВЭфФ, то 2 (4.14) Поскольку все величины известны, определяем /Экв. Б. Измерение коэффициента шума Мы уже обсуждали, как измерять коэффициент шу- ма, когда шум выходной цепи исследуемого каскада плюс шум последующего усилителя пренебрежимо малы. *> Следует помнить о высокочастотной границе применимости этого способа: (ьС1/(2л/?1Со), где Со — паразитная емкость рези- стора Rt. Прим. ред.
Исследуем теперь, что получается, если эти условия не выполнены (рис. 4.9). Допустим вначале, что выходной проводимостью исследуемого каскада можно пренебречь. В этом случае процесс измерений крайне прост. Пусть Mi, М2 и Л43— показания выходного индикатора при выключенном исследуемом каскаде, при включенном и при протека- нии тока. Id через шумовой диод на входе. Так как Рис. 4.9. Схема измерения шумового вклада выходной цепи каскада в выходную мощность посредством двух шумовых диодов Di и D2. (М2—All) описывает шум первого каскада, а (Л43— Л42) —вклад шумового диода на входе схемы, получаем эквивалентный ток насыщенного диода /ЭКВ= (M2-Mi)Id/(M3-M2) . (4.15) Коэффициент шума F исследуемого каскада определяет- ся выражением F4kT0gs/\f=2qIBmAf, откуда F=^—« 20 2kT0 gs 'ЭКв |gs (4-16) где /экв берется в амперах, a gs— проводимость генера- тора— в сименсах. Часто, однако, нельзя пренебрегать выходной прово- димостью исследуемого каскада. В этом случае метод измерений нуждается в усовершенствовании: второй шу- мовой диод Д2 подключается параллельно выходу иссле- дуемого каскада (рис. 4.9). Пусть теперь Мо— показание выходного индикатора при закороченном выходе иссле- дуемого каскада, a All, М2 и Л43 имеют прежний смысл. Допустим также, что ток шумового диода Д2, требуемый для изменения выходного отсчета на величину ДЛ4, ра- вен Idi, когда исследуемый каскад выключен, и Ids, когда
он включен. Тогда вклад выходной цепи в результирую- щий отсчет составляет (Л41—M0)/di//d2 и эквивалентный ток насыщенного диода /ЭКв, отнесенный ко входу, j Мг — [(ЛТ, Мо) fai/faz] — Мо j м 171 7экв--- м. — ЛЛ. V*-1') М3 — М^ Для вычисления коэффициента шума F можно снова использовать (4.16). В этих рассуждениях предполагалось, что выходная емкость исследуемого каскада не изменяется при вы- ключении последнего. Если это не выполняется, необхо- димо подстраивать выходную цепь после каждой опе- рации. Если источник шума прокалиброван в значениях шу- мовой температуры Ts, как в случае многих источников шума диапазона СВЧ, коэффициент шума приемника из- меряется следующим образом. Пусть при шумовой тем- пературе источника Tsl выходной прибор показывает М1г а температуре TsZ соответствует отсчет Л42. Тогда М, __ Т„ Тпа „„„ гг ______МлТеЪ —M2TSI Mt т^+чтпа или 1 па м2-мг * (4.18) где Тпа— эквивалентная шумовая температура усили- теля. Следовательно, F={Tna+T^IT., (4.19) где То — стандартная температура (290°К). Можно измерить коэффициент шума Ft собственно усилительного каскада, если предварительно вычислить его номинальный коэффициент усиления Gni при той кон- кретной входной цепи, которая используется при изме- рении коэффициента шума. Далее следует определить коэффициент _шума F комбинации усилительный кас- кад + приемник и коэффициент шума Eg одного прием- ника. Необходимо проследить, чтобы эти последние из- мерения выполнялись при одной и той же связи со вхо- дом приемника, т. е. в режиме согласования на входе. Используя формулу Фрииса, имеем: F—Fi+(FZ—l)/GHi или Ft=F—(F2—l)/GHi, (4.20) откуда шумовое число Mi каскада Л-1 !'1K(1/Ghi)J Af, (4.20а)
Для обычных измерений коэффициента шума на ча- стотах выше 30 Мгц рекомендуется применять измери- тели, выпускаемые промышленностью. Только в тех слу- чаях, когда желательна повышенная точность, имеет смысл строить специальную аппаратуру. При шумовых измерениях на СВЧ возникает допол- нительная трудность, заключающаяся в том, что иссле- дуемый каскад, предварительный усилитель (если используется) и смеситель реагируют не только на ча- стоту сигнала fi = f?—fo, но и на частоту зеркального канала f'i = fp+fo. Выясним, как это сказывается на из- мерениях. Пусть усилитель (предварительный усилитель+сме- ситель +УПЧ) имеет номинальные коэффициенты усиле- ния по мощности Ga и G'a на частотах соответственно сигнала и зеркального канала. Тепловой шум источника на входе предварительного усилителя дает в таком слу- чае вклад в располагаемую выходную мощность шума усилителя, равный (Ga+G'a)kTAjf. Если коэффициент шума Fa усилителя определен как Р ___полная мощность шума на выходе * “ мощность шума на выходе, обусловленная источником (4-21) то в случае широкополосного источника шума это дей- ствительно измеренный коэффициент шума. Располагае- мая мощность шума на выходе системы источник+уси- литель есть, следовательно, Fa(Ga+G'a)kT$, причем часть (Fa—1) (Ga + G'a)kT$ обусловлена только самим усилителем. Добавим теперь исследуемый каскад и обозначим символами Gi и G'i номинальные коэффициенты усиле- ния на частотах сигнала и зеркального канала соответ- ственно. Если F — коэффициент шума системы в целом, измерен- ный с помощью широкополосного источника шума, то полная выходная мощность шума всей системы равна Р полн= F(GiGa + G'iG'a)kT.&f. (4.22) Проблема, которую мы хотим решить, — это вы- яснить «узкополосные» коэффициенты шума Fi и F'i исследуемого каскада, соответствующие частотам fj и
Известно, что ' ^o«H = (f’AG0 + F1G\G'0)^f + + (Fa - 1) (Go + G'a) kTAf. (4.23) Объединяя два последних выражения, получаем Р — + д (F»-l)(Gn+G'J ,д 9zh G,Go + G\G'a ~ G.G^+G'.G^ Мы можем настроить предварительный усилитель и смеситель таким образом, что Ga=G'a. Тогда (4.24) упрощается и принимает вид р _ F.G, + । 2(ГД —1) . (4 2 — G, + G\ + G, + 6', * (4-z4a) Если далее предположить, что Fi=F't, получаем F^Fl+(Fa—l)/0,5(G1+G/l), (4.25) так что Fi можно определить, если измерены F, Fa, Gi и G'i. Кроме того, видно, что здесь справедлива форму- ла Фрииса, в которой лишь произведена замена номи- нального коэффициента усиления каскада на средний номинальный коэффициент усиления (Gi-j-G'i)/2. Когда Малавия {29] выполнил такие измерения на СВЧ транзисторах при различных значениях Gt и G't, он получил близкие значения Ft. Это показывает, что предположение Ft=F,l было в данном случае выпол- нено. Можно ожидать, что вывод справедлив для любой широкополосной входной цепи. В. Шумовые измерения в импульсном режиме Если измерения должны выполняться в таких режи- мах, где исследуемый прибор может быть выведен из строя или его параметры могут быть изменены за счет нагрева, эксперимент необходимо проводить в импульс- ном режиме при малой рассеиваемой средней мощности (рис. 4.10). Допустим, что на прибор подается ток Au(t), где u(t)—единичная ступенчатая функция. Тогда на-
Рис. 4.10. Схема импульсных шумовых измерений при помощи импульсного источника тока, включенного параллельно исследуемо- му прибору. В других случаях может оказаться удобнее использовать импульсный источ- ник э. д. с., включенный последовательно с исследуемым прибором. пряжение на колебательном контуре во время переход- ного процесса равно (при Qo>5) AR f \ . , (4.26) где <o®LC=p h!Qo=<ooC7?. (4.26а) Отсюда следует, что переходный процесс затухает как ехр (—coo//2Qo), т. е. его амплитуда становится достаточ- но малой при достаточно большом t. Сильный переходной процесс может заглушить шум усилителя, если усилитель будет включен постоянно. Во избежание этого основной усилитель подсоединяется в момент t=n, где та выбирается так, чтобы амплитуда импульса успела упасть гораздо ниже уровня шума, при- бора. Обычно используют не скачок тока Au(t), а после- довательность импульсов тока Л[п(/)—u(t—т)] с малой частотой повторения. Основной усилитель включается на время действия второй половины каждого импульса. От- сюда вытекает требование Т1 = 0,5т и, поскольку скорость затухания переходного процесса определяется парамет- ром fo/Qo, должно выполняться условие, что отношение fo^/Qo достаточно велико. Практически при относительно небольших Qo требуется иметь /о>ЮО/т.
5 ТЕПЛОВОЙ ШУМ И ШУМ ГЕНЕРАЦИИ — РЕКОМБИНАЦИИ [35, 38, 42, 43, 45, 53—59] 5.1. ТЕПЛОВОЙ шум Мы уже видели,, что теорема Найквиста для тепло- вого шума сопротивления К при температуре Т приводит к следующему выражению для располагаемой мощности теплового шума в интервале частот Д/: Р расп — kT'Kf (5.1) Далее будет доказано, что Ррасп является универсаль- ной функцией температуры Т. Кроме того, покажем, что теорема Найквиста требует уточнения, связанного с квантовой природой процессов, когда произведение hf становится сравнимым с kT, где h — постоянная Планка. Анализ с квантовых позиций приводит к соотношению между диффузионным и тепловым шумом. В конце гла- вы анализ теплового шума применяется к мазерам. А. Общее доказательство теоремы Найквиста [20]. Квантовая поправка Чтобы показать, что располагаемая мощность источ- ника теплового шума при температуре Т в интервале частот Д/ является универсальной функцией Т, рассмот- рим схему на рис. 5.1, где оба резистора имеют темпе- ратуру Т. В этом случае они согласованы друг с дру- гом. Пусть первый резистор отдает второму располагае- мую мощность шума Грает, а второй первому — мощ- ность Рраспг. Если бы существовал какой-нибудь интер- вал частот А/, такой, что в нем Ppacm=^PVacn2, тогда име- ла бы место перекачка мощности из одного резистора в другой. Но это противоре- _______ чит второму закону термо- Г” динамики. Следовательно, Л Я R Пр Грасп! — Ppacrs2 — Рр&сп есть pacnl Ln4 Н Pttcn‘t универсальная функция Т. I Чтобы установить вид этой функции, обратимся к пер- Рис- Схема соединения J о , „ двух резисторов К с различ- воначальнои формулировке ными располагаемыми мощно- Найквистом его теоремы. стями шума.
Пусть Два одинаковых резистора имеющих темпера- туру Л соединены длинной линией без потерь с длиной L и волновым сопротивлением R (рис. 5.2). В обоих на- правлениях действует поток мощности шума, и мощность, развиваемая одним резистором, поглощается другим. Пусть Ррасп — располагаемая мощность, генерируемая каждым резистором в интервале частот Af. Тогда сред- няя энергия, запасенная в линии, равна 2Е,раСпЕ/ц, где v — скорость распространения волны в линии. Если те- L Рис. 5.2. Длинная линия с волновым сопротивлением R, нагружен- ная на концах на включенные параллельно сопротивление Д и ключ S. перь быстро закоротить оба конца линии, образуется стоячая волна и энергия 2PVRaiLlv будет заключена в тех типах собственных колебаний линии, которые приходятся на интервал частот Af. Поскольку частоты собственных колебаний линии равны п(п/2А) (п= 1, 2, ...), число соб- ственных .колебаний в пределах интервала Af составляет (2L/f)Af. Если обозначить через Е среднюю энергию, приходящуюся на каждый из типов колебаний, тогда за- ключенная в линии энергия может быть записана в виде (2L/v)AfE. Приравнивая ее выражению 2/3распА/и, на- ходим Ppacn — ENf. (5.2) Но согласно квантовой теории гармонического осцилля- тора Е ~ exp (hf/kT) — 1 ’ где для простоты пренебрегли нулевой энергией. Отсюда р--------.-их .^расп—схр (hf/kT) — 1 • При hf/kT <^,1 это выражение переходит в (5.1). Од- нако на высоких частотах и при низких температурах
необходимо использовать полное выражение (5.4). Это важно для мазеров. Если шум в интервале частот Af представлен источ- ником э. д. с. е, включенным последовательно с R, то Pv™n=l№IR. Приравнивая этот результат выражению (5.4), находим Дг _____4/tfAf__р zr с\ е exp(hf/kT) — \ Данное выражение является логическим обобщением теоремы Найквиста на область высоких частот и низких температур. Теорема Найквиста в ее обычной (низкочастотной) форме справедлива для любого сопротивления, незави- симо от его природы, при условии, что оно находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Напри- мер, р-п переход при нулевом смещении, поддерживае-. мый при температуре Т, должен рассматриваться как сопротивление R = dV/dI, имеющее ту же температуру. Теорема справедлива также для антенны, заключенной в экран с температурой Т. Конечно, существуют также исключения, соответст- вующие нарушению условия равновесия. Например, плазма, поддерживаемая разрядом при постоянном токе, вовсе не обязательно находится в состоянии равновесия, и поэтому нельзя утверждать априори, что проводимость плазмы генерирует тепловой шум, соответствующий электронной температуре Те. В полупроводниковом дио- де с двойной инжекцией, ток которого ограничен про- странственным зарядом, дырки инжектируются одним электродом, а электроны—другим. Снова имеем при- мер, когда плазма существует только за счет протека- ния постоянного тока (процессы инжекции) и, следова- тельно, априори не очевидно, что проводимость диода будет давать тепловой шум, характеризуемый температу- рой прибора (равной температуре кристаллической ре- шетки) . Б. Диффузионный шум и тепловой шум Чтобы выявить соотношение, существующее между диффузионным шумом, т. е. шумом, обусловленным столкновениями носителей тока с кристаллической решет- кой, и тепловым шумом, рассмотрим полупроводник
n-типа, имеющий в направлении оси X градиент концен- трации электронов дп]дх. Для анализа столкновений электронов с кристаллической решеткой используем сле- дующую модель1’. Разобьем полупроводник на прямоугольные парал- лелепипеды (ячейки) Л'хДуДг, описываемые набором ин- дексов k, I, т. В результате столкновений электроны мо- гут совершать случайные перескоки между соседними ячейками. Отдельные перескоки считаются независимы- ми. Вероятность перескока электрона за интервал вре- мени Д/ равна aAt. Выясним, как вычислить а. Рассмот- рим две соседние ячейки (k, I, т) и (&+1, I, т) с кон- центрациями электронов n(k, I, т) и n(^ + l, I, т) соот- ветственно. Поток частиц Wk, k+i от (k, I, т) к (& + 1, I, m) равен wk k+1 = an(k, I, m)bxty&z, (5.6) в обратном направлении . Wfe+1> k=an(k-\-1, I, m)&xhykz— —a (n(k, I, Дх1 ДхДуДз, (5.6a) L \ / It, I, m J так что результирующий поток частиц K’=W,ft+1 —W+1,fe== —Дх2Дг/Дз. (5.7) X. ' / It, I, nt Поскольку величина да/(Дг/Дг) не должна зависеть от способа разбиения полупроводника на ячейки, произве- дение аДх2 должно быть константой, которую называют коэффициентом диффузии электронов Dn. Учитывая это, получим \ / h., I, ш Отсюда a = Dn]b.xs‘ или wk, ft+, = Dnn(k, I, m) kykzjhx. (5.9) Так как потоки Wk,h+i и Wk+i, и обусловлены независимы- ми переходами, происходящими в случайном порядке, они должны проявлять полный дробовой шум (гл. 2). *> Эта модель была развита Бекингом (A. G. Th. Becking).
Другими словами, спектральную плотность можно выра- зить соотношением Su>(f) = 2wfe.Il+14-2wft+1.ft = 4r)nra(^, I, rri^AyAzlAx, (5.10) которое является уравнением для шума потока частиц. Поэтому шум электрического тока Si(f}=qzSw(f)='lq^Dnn(x)AyAz/Ax. (5.10а) Если далее обозначить символом подвижность элек- тронов и считать выполненным полученное Эйнштейном соотношение Dn=(kT/q)lxn, (5.11) то (5.10а) примет вид St-(f)^4fe7[^„«(x)] (5.12) где A>R=Axfqiinn(x)AyAz (5.13) есть сопротивление ячейки (ДхДуДг). Таким образом. если выполняется соотношение Эйнштейна, диффузион- ный шум сводится к тепловому. Переход от (5.10а) к (5.12) должен выполняться с не- которой осторожностью. Он справедлив для основных носителей. Однако для неосновных носителей ДД не является сопротивлением ячейки (ДхДуЛз), и поэтому в этом случае лучше использовать (5.10а). Соотношение Эйнштейна справедливо, когда электро- ны имеют распределение Максвелла, и может оказаться неверным, если распределение не максвелловское. На- пример, в положительном столбе газового разряда рас- пределение по скорости часто отлично от максвелловско- го. Поэтому можно ожидать отклонений от теоремы Най- квиста. Аналогично в полупроводниках при сильных по- лях, когда проявляются эффекты «горячих» электронов, распределение скоростей электронов может не быть максвелловским, и поэтому теорема Найквиста может не выполняться Ч в В [122] получено обобщенное уравнение Эйнштейна, которое для вырожденных полупроводников существенно отличается от (5.11), и следовательно, в этих полупроводниках диффузионный шум должен отличаться от теплового. (Прим, ред.)
Таким образом, диффузионный шум является более общим процессом, чем тепловой, но он может быть све- ден к последнему, если выполняется соотношение Эйн- штейна. Мы проиллюстрируем это положение на приме- рах твердотельных диодов с одинарной инжекцией и ограничением тока пространственным зарядом. Пусть в диоде с одинарной инжекцией, в котором ток переносится электронами, А — площадь поперечного се- чения прибора и п(х)—концентрация носителей в пло- скости поперечного сечения между х и х+Ах. Тогда шум может быть представлен генератором тока У St-(f) Дх, включенным параллельно слою толщиной Ах, где S,(f) =4д2£>пи(х)Л/Дх. (5.14) Если выполняется соотношение Эйнштейна Dn = = pn'kT/q, то выражение (5.14) сводится к 5г-(f) = 4fef [ (5.15) где AR — сопротивление слоя Ах. На относительно низких частотах, где можно не учи- тывать влияние емкости, шунтирующей AR, шумовая э. д. с. &V(x) слоя Ах имеет спектральную плотность ASv(f) =S{(f) (AR)2=4kTAR. (5.16) Так как AR~AV/Ia, где ДЕ— падение постоянного напряжения на отрезке Ах, а 1а — постоянный ток, то спектральная плотность шумовой э. д. с. прибора при суммировании по всем слоям Ах равна 1 SF (f) = 4—SAV=4^7-’ <5-17) а • а ‘а поскольку 2Д1Е==ЕЯ — постоянное напряжение, прило- женное к диоду. Полученный результат соответствует те- пловому шуму сопротивления по постоянному току В диодах с двойной инжекцией дырки инжектиру- ются одним электродом, а электроны — другим, так что для большей части пространства между электродами р(х) ~п(х). Шум, конечно, является диффузионным, но строгая теория еще не разработана. Эксперименты по- казывают, что формула (5.17) более или менее справед- лива для (от^>1, где и —время жизни носителей.
В. Шум спонтанной эмиссии в мазерах Мазер состоит из. вещества, содержащего атомы с энергетическими состояниями Ei (нижний уровень) и Ez (верхний уровень), имеющими населенность, соответ- ственно, Mi и М2. При переходах между этими состоя- ниями излучаются или поглощаются кванты энергии hf=Ez—Et. Если Nz<jNi, преобладает поглощение и ве- щество ведет себя как положительная проводимость. При M2>Mi преобладает излучение и материал ведет себя как отрицательная проводимость. Обозначим проводимость буквой g. Тогда можно утверждать, что g пропорцио- нально Mi—N2. Представим шум7в интервале частот^Д/^в виде гене- ратора тока "КЕ, включенного параллельно g. По анало- гии с тепловым шумом можно ожидать, что обменная мощность шума Po6 = (l/4)E/g должна быть независима от g. Поэтому Ё—С(Ы1г NJgbf, (5.18) где С —неизвестная функция Mi и М2. Но мы знаем, что в отсутствие сигнала накачки г'2~ехр [hf/kT) — 1 (5.19) Известно также, что в этом случае Nx ( Ег — £, \ / hf \ ._ -мГ=ехр(-^)=ехР <5-20) поскольку распределение частиц по энергиям подчиняет- ся распределению Больцмана. Подстановка (5.20) в (5.19) дает 1gaf- (5J9a) Сравнивая (5.19а) и (5.18), видим, что искомая функция имеет вид 1 <5-19б> Следовательно, ? = 4ghfkf NJ(Nl - Nz). (5.21)
Такой шум называется шумом спонтанной эмиссии йЛИ спонтанным. Поскольку g пропорциональна Nt—N2, ве- личина i2, как и ожидалось, всегда положительна и про- порциональна Л^2- Приведенные рассуждения особенно справедливы для резонаторных мазеров. Для мазеров бегущей волны мож- но использовать аналогичный подход [32]. Пусть в этом последнем случае большая волна «накачки» возбуждает энергетический уровень Е2, а слабая волна «сигнала» служит причиной вынужденных переходов между уров- нями Е2 и Ei. Обозначим через пг и п2 удельную насе- ленность уровней Ei и Е2 соответственно. Если Ps — мощ- ность сигнала, то для малого отрезка dx изменение передаваемой мощности при отсутствии потерь в волно- воде равно dPs=C(n2—ni)Psdx. (5.22) Это уравнение выражает тот факт, что вероятность вы- нужденной эмиссии пропорциональна п2—Константа ,С — зависит от вероятности перехода, геометрии волно- вода и типа волны в нем. Аналогично для мощности шума Рп, распространяю- щегося вдоль волновода без потерь, можно написать уравнение dPn=C(n2—ni)Pndx+Bn2dx. (5.23) Первое слагаемое характеризует усиление Рп за счет вынужденного излучения. Второй член описывает спон- танный шум. Как и в предыдущем случае, эффект здесь пропорционален п2, так как спонтанные переходы незави- симы. Если выключить накачку, dPn=Q и Р — ВИ2 _______ 93 я А 71 С(п,—n2) exp(hf/kT) — 1 \o.tod) не зависит от х. Но тогда 5-=“р(#-)- (5.236) как и в предыдущем случае, так что B = Chf&f. Следова- тельно. (5.23) может быть записано в виде соотношения dPn = С (n2—ni)Pndx+Cn2hfkfdx, (5.24) которое представляет собой уравнение шума для мазера бегущей волны на основе длинной линии без потерь.
5.2. ТЕПЛОВОЙ ШУМ В ПОЛЕВЫХ ТРАНЗИСТОРАХ Работа полевого транзистора осуществляется за счет модуляции сопротивления проводящего канала. Поэтому можно ожидать, что в этом канале будет генерировать- ся тепловой шум. Это утверждение вполне очевидно для полевых транзисторов с р-п переходом, где действитель- но существует проводящий канал (рис. 5.3,а), если толь- ко он не перекрыт обратным смещением на р-п переходе. Однако в МОП-транзисторах канал возникает только тогда, когда окисел дает начальный вклад или к затвору Рис. 5.3. Поперечные сечения полевого транзистора с р-п перехо- дом (а) и МОП-транзистора (б). прикладывается напряжение (рис. 5.3,6). Следует ожи- дать, что шум будет диффузионным, но он может рас- сматриваться как тепловой, если соотношение Эйнштей- на для носителей в канале справедливо. Это не означает, что не может существовать других источников шума. На самом деле, как мы впоследствие убедимся, именно так все и обстоит. А. Характеристики прибора [111} Если положить, что постоянная разность потенциалов между точкой, удаленной на расстояние х от истока, и самим этим электродом равна Vo, то удельную прово- димость канала в этой точке g(x) можно записать как функцию g’(Vo), так как Vo есть функция х. В этом слу- чае ток стока может быть выражен как /<j=g'(Vo)c?Vo/t/x или Id.dx=g(V0)dV0. (5.25)
Здесь ток Ц течет от стока к истоку. Так как ток <г на этом пути постоянен, то, интегрируя вдоль длины кана- ла, находим IdL= Г g(V0)dV0 или Ia=-[- \ g(V0)dV0, (5.26) о о где Vd — напряжение стока. Крутизна прибора gm, как обычно, определяется со- отношением gm=dIdtdVg, где Vg — напряжение затвора. Прибор почти всегда используется в режиме насыщения (см. ниже), где gm достигает своей максимальной вели- чины £макс- - Проводимость стока gd определяется как „ ^d g (Ki) /С O7\ 8d SVa----(b’2Z) так что gd=0, если g’(Vo)=O у стока (Ко=Кг). Иначе говоря, если рассматривать Id как функцию напряжения на стоке Vd при условии постоянства напряжения на за- творе Vg, то Id достигнет насыщения при таком напря- жении стока Vd, когда g’(Va)=0. В этом случае говорят, что канал перекрыт у стока, а ток насыщен. После до- стижения насыщения Id практически не зависит от на- пряжения на стоке Vd- То же самое справедливо для gm- При нулевом напряжении на стоке g’(Vo)=g’o вдоль всего канала, так что gd=gM=go!L, (5.27а) где go — удельная проводимость канала у истока. Если пренебречь влиянием последовательных сопротивлений на концах канала, тогда й’макс=ё’<го для полевого транзисто- ра с р-п переходом и для МОП-транзистора с высокоом- ной ПОДЛОЖКОЙ, НО й'макс<ё’йо ДЛЯ МОП-ТраНЗИСТОрОВ с подложками более высокой проводимости. Мы увидим, что это оказывает важное воздействие на шумовые свой- ства «рибора. Для полевого транзистора с р-п переходом и каналом n-типа теория показывает, что [33] g<y0) = g0O [1 - , (5.28) где goo — удельная проводимость открытого канала, Едиф — диффузионная разностц потенциалов р-п перехр-
да и Voo — напряжение отсечки, т. е. разность потенциа- лов между затвором и каналом, при которой проводи- мость канала становится нулевой. Таким образом, канал перекрыт у стока, если Vd— Voo + Vg—Кдиф. (5.28а) Теория показывает [34], что для МОП-транзистора с каналом n-типа и высокоомной подложкой ё( Vo) — р^Сокс (Vg+ Vgo—Vo), (5.29) где Vg — потенциал затвора, Vgo — напряжение смещения между затвором и каналом, р — подвижность носителей, w — ширина канала и Сокс — емкость на единицу поверх- ности системы затвор — окисел — канал. Итак, канал пе- рекрыт у стока, если Vd = Vgo+Vg. (5.29а) Для МОП-транзистора с каналом n-типа и подлож- кой произвольной проводимости [35] g (Vo) = fxw [Сокс (Vg + Vg0 - Vo) - -(2eeo9Nn)1/2(Vo + V^-Vb)1/2]. (5.30) Здесь e — относительная диэлектрическая проницаемость подложки, ео=8,85 10-12 ф/м, q — абсолютное значение заряда электрона, — концентрация атомов акцепторов в подложке, VBH(ji — диффузионная разность потенциалов и Уъ — потенциал подложки, если таковой имеется. Пер- вый член этого уравнения представляет заряд, индуци- рованный в канале затвором, а второй описывает непо- движный заряд в области пространственного заряда между каналом и подложкой. Как и ранее, тройку важнейших параметров состав- ляют ^макс, gdo=go!L, где go — проводимость канала при нулевом напряжении стока (Vo=O), и напряжение от- сечки, определяемое условием g’(Vd)=0. Как gdo, так и £макс уменьшаются с ростом проводимости подложки, но ёмакс убывает быстрее, чем gdo- Так как g(Vo) в каждом случае известна, можно вы- числить характеристику и проверить выводы, сделанные ОТНОСИТеЛЬНО ёмакс и gd0.
Б. Тепловой шум в полевых транзисторах Обратимся теперь к анализу шума [38]. Если A/d(0 — шумовой ток, протекающий во внешней цепи за счет действия источника шума h(x, t), описывающего тепловой шум в канале, то вместо (5.25) имеем /d+AZd(0 = ^(V)^-+/i(x, 0. (5.31) где V— Vo+ДУ, ДУ — флуктуации напряжения вдоль канала, обусловленные источником шума. Пренебрегая членами второго порядка малости, мо- жем записать lte^(Vo)^r+g(Vo)-sr-+ (5.32) так что, если Д/d (О течет от стока к истоку, = (У0)ДУ] + Л(х, 0. (5.33) Проинтегрируем (5.33) по % в пределах от 0 до L для случая ДУ=0 при х=0 и x=L, т. е. для случая, когда сток соединен с истоком по высокой частоте. Получаем Md(t) L— p[g(Vo) ДУ] + > о L L + J/i(x, t) dx= ^h(x, t)dx (5.34) о 0 или L L ДЛ»(0ДЛ/(^ + «) “-yj J j/*(x, t)h(x', s-\-t}dxdx'. о 0 (5.34a) Следовательно, спектральная плотность от Id(t) имеет вид L L Si (f) =-77 J J S/i (х f)dxdx', (5.346) о о
где Sh(x, У, I) —взаимная пространственная спектраль* ная плотность теплового шума. Для отрезка Дх спек- тральная плотность шума равна Sh(x, f)=4klg(x)l&x [см. (5.12)]. При Дх—>0 это выражение стремится к бес- конечности, так что следует ожидать Sh(x, х', f) =4kTg(x'-x), (5.35) где 6(х'—х)—дельта-функция Дирака. Уравнение (5.35) выражает тот факт, что в заданный момент t источники теплового шума в различных точках х и xz не коррелированы. Вычисление интеграла (5.346) с учетом того, что j I (•*')е (х' — х) dx' = f (х), дает L j 4kTg(x)dx = j g* (Vo)dV0, (5.36) о 0 где в качестве нового переменного использовано Vo. Подставляя в (5.36) Ц из (5.26), получаем VA j [g(h.)/go]8 dV. (f)= о-----------------^4kTgio, (5.37) J [g(V'o)/gol где, по-прежнему, gdo=go/L— проводимость стока при нулевом напряжении на нем и go — проводимость ка- нала у истока. Поскольку g(V0) убывает при перемещении от исто- ка к стоку, если только Vd=^0, для любого сечения ка- нала имеем g(V0)<ga или g(V.) g(V.) go J go ’
так что г. к. а я J [^Г Y < 1 (5’37а) о о В результате у— 1 .при Vd~0 и у<1, если | ЕД >0. Более подробный анализ показывает, что у монотонно убывает с ростом | Vdf, достигая минимального значения уНас при насыщении. Эта предельная величина, которая зависит от рассматриваемого прибора, может быть вычислена, если известна g(Eo). Для полевых транзисторов с р-п переходом подоб- ные расчеты показывают [36], что 1 1 + 3z1/2 zc QC. Тнае 2*i+2z1/2’ (5.1.8) где z= (—Vg+ Удиф)/Уоо, так что унас=1/2 при z=0 (ка- нал ПОЛНОСТЬЮ открыт у истока) И Упас = 2/3 при 2=1 ('канал перекрыт у истока). Для МОП-транзисторов с высокоомной подложкой [37] предельное значение Унас=2/3 при любых напряжениях на затворе; с ростом проводимости подложки уИас становится чуть меньше. Если при коротком замыкании на входе полевого транзистора измерить эквивалентный ток насыщенного диода /экв как функцию напряжения стока, то или (5.39) т. е. можно определить у как функцию Ед. Если изме- ренная величина у равняется вычисленной, то шум в канале является тепловым. Любое отклонение служит показателем наличия шума иной природы 1>. Эксперименты [38] в области частот с равномерным спектром Si(f) показали, что для МОП-транзисторов с высокоомной подложкой величина у согласуется с тео- ретическими предсказаниями. На рис. 5.4 приведены результаты измерений и расчета для подложки с боль- шей проводимостью, свидетельствующие о присутствии *> В {123] получено эмпирическое соотношение для коэффициен- та у, учитывающее увеличение шума за счет уменьшения подвижно- сти свободных носителей при высоких напряженностях поля и за счет увеличения температуры свободных носителей (горячие носите- ли) при больших полях и низких температурах. (Прим, ред.)
нетеплового шума, причины появления которого неясны. Однако, более поздние эксперименты [39] показали, что на подложках с повышенной проводимостью можно вы- полнить МОП-транзисторы, проявляющие только тепло- вой шум. Очевидно, избыточный шум, изображенный на Рис. 5.4. Зависимость коэффициента у от t,i/l ао и Vg в качестве параметра при работе полевого транзистора в режиме обеднения; /d0 — ток насыщения [40]. Пунктирная кривая внизу соответствует случаю нулевой проводимости под- ложки. ляется, что тепловой шум- капала является единствен- ным лимитирующим шумом в МОП-транзисторах. На рис. 5.5 показаны сходные результаты для поле- вого транзистора с р-п переходом. Здесь приведена за- висимость тока /ЭКЕ от напряжения стока Va и две тео- ретические кривые, одна из которых (А) не учитывает влияния последовательных сопротивлений канала, а при построении второй (Б) этот эффект принят во внима- ние. Кривая Б хорошо совпадает с экспериментальными данными, свидетельствуя о том, что тепловой шум ка-
Рис. 5.5. Теоретические (—) и экспериментальные (°) зависимости /Экв от Va для ПТ № 2 [41] на частоте 25 кгц: А ~ <? <У- *) гмакс: Б - 7вкв = <2ЙГ/«> <?' 2) ^маке/О + ^макс rsH (t/-2) - (4/3) (y3l2-z 3/2) + (1/2) (y°-z°) . (•I- г1/2) Цу-z) - (2/3) (r/3/2_z3/2)j Ю( Д» 21^"^мавс Ге^ Г4^макс^ ^"^макс { Ч -Л-------------------------------------------__---- • Здесь га и rd — последовательные сопротивления неуправляемых частей кана- ла со стороны истока и стока соответственно нала плюс тепловой шум последовательных сопротивле- ний могут объяснить результаты эксперимента. Другой способ представления шума имеет большее практическое значение для разработчиков схем. Посколь- ку прибор практически всегда используется в режиме на- сыщения, можно написать (фнас = «нас ’ 4kT gK^f. (5.40) Для полевого транзистора с р-п переходом при пре- небрежении последовательными сопротивлениями и для МОП-транзистора с высокоомной подложкой gMaitc=go, и в этом случае, Оиас = Унас- (5.40а) Но для МОП-транзистора с подложкой более высокой проводимости бмакс gdo И «нас — Ynac^do/^какс» (5.406) так что в этом случае аНас>унас,
Величина анас связана с эквивалентным шумовым со- противлением прибора. Приравняем (5„ас = 4^/?этД^акс, и тогда Rn анас/ёмакс ИЛИ Яиас ^пёмакс (5.41) так что аНас может быть вычислено по результатам изме- рений шумового сопротивления [38]. Таким образом, МОП-транзистор, изготовленный на подложке с высокой проводимостью, имеет большее шу- мовое сопротивление Rn, чем МОП-транзистор, выпол- ненный на подложке с меньшей проводимостью, если только оба прибора имеют сравнимые значения крутиз- ны й’макс в режиме насыщения. В. Наведенный шум затвора в полевых транзисторах На высоких частотах существующее в канале рас- пределенное шумовое напряжение за счет емкостной связи с затвором увеличивает шумовой ток, протекаю- щий через затвор. Помимо источника шума id (шум сто- ка) приходится вводить частично коррелированный ис- точник шума ig (шум затвора) и вычислять i2d , i2g и Вычисления проводятся следующим образом. Канал и затвор в полевом транзисторе с р-п переходом либо канал, затвор и подложку в МОП-транзисторе можно рассматривать как активную распределенную /?С-линию, возбуждаемую либо переменным напряжением затвора Vg, если требуется найти крутизну на высокой частоте, либо шумовой э. д. с. lAIVx'o на участке между х0 и х0+ +Ах0, если требуется определить шумовые характери- стики. Роль исходного выполняет волновое уравнение активной распределенной /?С-линии [см. [111] гл. 18], ко- торое для МОП-транзистора с высокоомной подложкой может быть представлено в виде л 2 [g (Vo) Ы (х)] = j<»wCOKCAV (х), (5.42) где AV (%)—распределение переменного напряжения вдоль канала, w — ширина канала и СОКс — емкость оксидного слоя на единицу поверхности. Несколько бо-
лее сложное выражение справедливо для МОП-транзи- сторов с подложками большей проводимости. Для поле- вого транзистора с р-п переходом (5.43) где p0=qNa — плотность заряда в области пространст- венного заряда, w — ширина канала, 2я— ширина от- крытого канала, У0о — напряжение отсечки, 1У0(^) —по- стоянное смещение между каналом и затвором и Д1У(х)—переменное напряжение между каналом и затвором. Эти уравнения могут быть решены с помощью спе- циальных трансцендентных функций [42] или путем раз- ложения в ряд AV (х) = А Уо (х) + рДУ, (х) + (И ДУ2 (х). (5.44) Подставляя этот ряд в (5.42) или аналогичный ему ряд в (5.43) и полагая равными нулю коэффициенты при степенях (jw)n выше некоторой выбранной, получаем уравнения нулевого, первого, второго и т. д. до п-го приближения [43]. Последнее обладает тем преимуще- ством, что дает igi*d и крутизну на высокой частоте УПр в виде рядов по степеням jco. А это очень важно для расчета корреляционного адмиттанса Уь-ор (гл. 7). Вы- кладки в каждом случае получаются длинные и трудо- емкие, и поэтому они здесь опущены. Можно показать,, что на высокой частоте крутизна Ут=Уир в режиме насыщения описывается достаточно точно выражением у ТТЖР (5-45> где граничная частота по крутизне /о несколько выше, чем ёмакс/ (2nCgs) — граничная частота одного каскада многокаскадного усилителя низкой частоты на полевых транзисторах. Ограничиваясь низшими показателями степени j<o в выражении для igi*d, можно действовать следующим об- разом [44]. Решая дифференциальное уравнение нулево- го приближения [приравняв нулю правые части уравне- ний (5.42) или (5.43)], при условии, что э, д. с. теплового
шума AVxo сосредоточена на участке от х0 до хо+Лхо, а исток и сток закорочены по высокой частоте, находим распределение потенциала (рис. 5.6). Для МОП-транзи- стора с высокоомной подложкой вычисления этого рас- Рис. 5.6. Распределение потенциала вдоль кана- ла при наличии э. д. с. ДИхо между х0 и Хо+Дхо. пределения потенциала проводятся следующим образом. Согласно (5.42) имеем в нулевом приближении Л2 (л:)]=0 (5.42а) с начальными условиями Д Vo(O) =AVo(L) =0. Следова- тельно, интегрируя один раз и принимая во внимание (5.33), получаем , 4г [g (Vo) ДК (%)] = A/d (f), (5.426) где ток Д/<г(О течет от стока к истоку. Следовательно, если изменить направление тока, выбранное за положи- тельное, так что Л/<г(О будет протекать теперь от истока к стоку, и далее из стока, то после интегрирования имеем g(Vo)AVo=—A/d(%) при 0<х<х0, (5.46) g(Vo)AVo=— A/<t(x—L) при Xo+A%o<x<L. Учитывая, что на участке между х0 и Хо+Дхо напря- жение меняется на AVxo, легко находим A7d(O=fe(Vo)/A}AVaco- (5.46а) Из предыдущего анализа следует, что (5.46) и (5.46а) справедливы также для полевого транзистора с р-п пе- реходом. После того, как ДДДО и AVo(x) вычислены, посту- паем следующим образом. Пусть снова С(х)—емкость на единицу площади между каналом и затвором, aw — Ширина канала. Тогда в результате изменения потен- циала Д14(х) в затворе появляется заряд d&Qg=
= — wC(x)dx&Vo(x). Отсюда суммарный заряд, наве- денный в затворе, составляет L AQg (t) — — w J C (x) AVo (x) dx, (5.47) о где L — длина канала. Это выражение легко вычи- сляется. Следовательно, можно найти ток, втекающий, в зат- вор, равный d&Qg/dt. Как следует из (5.47), величина AQe(0 связана с Сео — w j С (х) dx, которая, в свою оче- о редь, связана с емкостью Сев прибора, но не равна ей. Подвергая полученный результат анализу Фурье и вводя фурье-компоненты Aig и Aid шумов затвора и сто- ка, вызванных э.д.с. ДКЯо, а также учитывая что = 4ft7AxAf/g (Vo), можно найти Aig, Д^ и AigAt’V Суммируя вклады от всех участков Ах, что соот- ветствует интегрированию этих выражений по х, полу- чаем i2£, i2d и Значение I2 совпадает, конечно, с величиной, найденной в п. Б § 5.2, но два других шу- мовых параметра — новые. Так как при анализе Фурье d/dt переходит в j<o, a AQg (t) связана с входной емко- стью Cgs, то очевидно, что iei*d изменяется как ju>Cg6, а i2 — как шаС2 . S gs Коэффициент корреляции равен „ 2 7-V/2 С---lgl d/\ lg la) (5.48) Вообще говоря, с — комплексна# величина. Однако в рамках использованного приближения с — величина чисто мнимая. Из расчетов, выполненных при принятых допущениях для полевого транзистора с р-п переходом, работающего в режиме насыщения, следует, что с ростом величины z=(—Vg+КдИф)/Коо |с| монотонно убывает от значения |с| =0,445 при 2=0 до |с| =0,395 при z=l. Для МОП- транзистора с высокоомной подложкой |с |=0,395. Для МОП-транзистора с подложкой более высокой проводи- мости величина | с | приблизительно та же самая [45].
Причину малости |с| легко понять из рис. 5.6. Если точка х0 находится вблизи истока, то заряд AQg в за- творе имеет обратный знак по сравнению со случаем, когда точка х0 расположена около стока. Таким образом, различные сечения канала дают вклады в igi*d- которые частично гасят друг друга, тогда как их s "7F вклады в I и td всегда имеют один и тот же знак. Поэтому |с| относительно мал. Поскольку и ggs, и в широком диапазоне частот изменяются пропорционально со2, представляется удоб- ным ввести эквивалентную шумовую температуру Tng входной проводимости ggs, полагая (5Hac = 4^nfig-esAf. (5.49) Расчет* 1) показывает, что для полевого транзистора с р-п переходом и каналом n-типа при температуре Т Т — т_____1 + 9z’/a +*15z + 7z3/a t (5.49а) 1 + 8z1/a 4- Ю z + 4-|- z3/a где z= (—Vg+ЕдИф)/Еоо. При z=0 (канал полностью открыт у истока) Tng=T, а при z=\ (канал перекрыт у истока) Tng=(4/3)7 (рис. 5.7). Для МОП-транзистора с высокоомной подложкой всегда 7’и§/7’=4/3. Для МОП-транзистора с подложкой, обладающей более высокой проводимостью, Tng]T имеет приблизительно то же самое значение. Если переписать (5.49) в виде фнас=«в-4^Я8Д/ или а.Ё‘=Т.пЁГГ, (5.50) получаем параметр, который полезен при вычислении коэффициента шума. ’) (5.49 а) следует из статьи Ван дер Зила и Эро [43]. Следует лишь учитывать, что в (37 а) этой статьи выражение ^-g-z’/2 — 1 1 5/2 \ ---z2 + -jq-z ' 1 должно иметь знак минус.
Эквивалентные схемы полевого транзистора приве- дены на рис. 5.8. На рис. 5.8,а принято, что ток ig вте- кает в затвор, a id вытекает из стока. На рис. 5.8,6 ток id замещен э. д. с. е=—idl¥m, включенной последователь- но с затвором. Эквивалентные схемы получены в пред- положении, что емкость Cdg обратной связи нейтрализо- вана. В этом случае оба варианта эквивалентной схемы аналогичны тем, которые получаются для вакуумного триода при нейтрализации емкости Cag (рис. 6.7,в и г). Рис. 5.8. Эквивалентные схемы полевого транзистора: а) с генератором тока стока; б) с генератором э. д. с. затвора.
5.3. ШУМ ГЕНЕРАЦИИ — РЕКОМБИНАЦИИ В ПОЛЕВЫХ ТРАНЗИСТОРАХ А. Шум генерации — рекомбинации в канале полевых транзисторов с р-п переходом [46] Согласно (5.25) ток Id в полевом транзисторе с ка- налом n-типа равен Id=g(W0)dWddx, (5.51) где'Wo(х)—смещение между каналом и затвором на расстоянии х от истока, a g(W^)—удельная проводи- мость канала в этой точке. В силу (5.46а) шумовой ток Md, обусловленный э. д. с. ДП^хо, действующей между сечениями х и х+Дх, составляет ALd=\g(W0)fL]NWx0, (5.52) где L — длина канала. Сопротивление АТ? слоя Ах равно iAI7?=Alx/g(IFo), где g(W0) = qpAN/&x. (5.53) Здесь AAf — число носителей в слое Ах. Шум генерации — рекомбинации A7V происходит за счет малых случайных изменений 6ATV. Это служит при- чиной флуктуации 6АТ? сопротивления А/?: 8ДТ?= — (5.54) g g g v ’ так как 6g=qp8AN/^x. Флуктуация ДА/?, в свою оче- редь, увеличивает шумовую э. д. с. р'55’ что в конечном итоге приводит к шумовому току стока [ср. с (5.52)] Md (0 = (Id&xlLAN) MN (t). (5.56) Когда &AJV (t) затухает по чисто экспоненциальному закону с постоянной времени т, функция автокорре- ляции процесса равна MN(t)MN(t-]-s) = MNS exp (-s/г) = =?аД7У ехр(—s/г), (5.57)
где а определяется соотно ением 6ДЛГ2=аДА. (5.57а) Отсюда функция автокорреляции bJd(t) _____________ aZ? Л.Х2 (0 A7d (t + s) = exp (-S/т) = exp (_s^) (5.58) на основании (5.56) и (5.57), поскольку Лх = =g'(WЧ * * 7o)A|W7o/7d согласно (5.51) и £(ИД) ==др,АА7Ах. Применяя теорему Винера—Хинчина, находим, что АД (О имеет спектральную плотность AS,(f) вида Д5,-т=4^тт^-Д«'о, (5.59) и, следовательно, интегрируя по х или по IFo(x), полу- чаем для полного шумового спектра S<(f) шума стока, обусловленного процессами генерации — рекомбинации, IdVd (5.60) где Vd — напряжение стока. Этот вывод справедлив для канала n-типа, в котором а и т не зависят от х. Хотя уравнение (5.60) справедливо для ненасыщен- ного режима, можно заметить, что его правая часть до- стигает некоторого предельного значения Si(f), соответ- ствующего режиму насыщения. Для того, чтобы применять полученные результаты в различных случаях, необходимо вычислить соответст- вующие им а и -г. Выберем в качестве первого примера канал с глубоко лежащими донорными уровнями. Та- кой же эффект имеет место в канале с мелкими уровня- ми при низких температурах1’. Согласно (2.64) имеем в этом случае g (А) =у (Nd-^N), г (N) = рА2, (5.61) Ч Имеется в виду резкое снижение степени ионизации донорной примеси с понижением температуры. Аналогичный эффект наблю- дается при увеличении энергетического барьера между дном зоны проводимости и примесными уровнями. (Прим, перев.)
где Nd число доноров в образце, N — число свободных электронов, а у и р — константы. В равновесном со- стоянии W=/Vo и g(No) =r(7V0) или y(Nd—No)=pN2o, так что т__1_____________N1-N» Т — 2рЛ'о + у — p/V0 (2/Va - N„) ’ (5.61а) лг Л^О (^d — N q\ J.T Na /Г С 1 varN0=-^^^.aN0 или а=-'2^ (5.616) Когда эффект лишь начинает проявляться, разность Nd—No невелика и соответственно т настолько мало, что шумовой спектр практически белый. На рис. 5.9 показа- Рис. 5.9. Импульсные шумовые измерения образца № 44 полевого транзистора при Т=77°К [50]. ны результаты- измерений, выполненных Шойи (М. Shoji) при температуре около 77 °К. Такая же картина должна иметь место во всех кремниевых полевых транзисторах с р-п переходом при достаточно низких температурах. Чтобы заметить данный эффект в германии, приходится
очень сильно понижать температуру, так как германий имеет гораздо более мелкие донорные уровни, чем кремний. В качестве второго примера рассмотрим канал с ло- вушками й донорами. Пусть образец содержит Ni0 ло- вушек и JVd доноров, причем Nto>Nd. Примем, что все донорные уровни свободны, а носители распределены между ловушками и зоной проводимости. Тогда g(N)=yNt, r(N)=pN(Nl0-Nt), Nt+N=Nd, (5.62) где N — число свободных носителей, Nt — число носите- лей, захваченных ловушками, у и р —константы. Выра- жение для g(N) говорит само за себя: g(N) должно быть пропорционально числу захваченных носителей. Выражение для r(.N) тоже очевидно, поскольку r(N) пропорционально как числу свободных носителей N, так и числу Nto—Nt пустых ловушек. Следуя методике, из- ложенной в § 2.4, и исключая Nt путем подстановки Nt=Nd—N, получаем М (Ъо — Mi + М)_____ /с со.» Y М(Мо-М + М) + (М-М)(Мо-^ + 2^) ’ М(Мо-М» + М) (М-М) /V» (Mo -|- /Vo) + (М —' М) (Мо — 2/V0) = aN0. (5.626) Когда эффект уже начинает проявляться, a Nd—No все еще относительно мало, уравнения (5.62а) и (5.626) могут быть аппроксимированы как ’*4-=’. “₽(§-) <5-62”) где То — константа, a Et — разность энергий в электрон- вольтах между уровнем ловушки и дном зоны прово- димости. Если обсуждаемый эффект имеет место при низких температурах, то он может характеризоваться постоян- ной времени, которая существенно зависит от темпера- туры. На рис. 5.10 приведены результаты измерений,
Рис. 5.10. Температурная зависимость шумового спектра образца (№ 1) полевого транзистора [50]. выполненных Шойи на специально отобранном крем- ниевом транзисторе. При надлежащем конструировании эффект не должен наблюдаться. Б. Шум, обусловленный ловушками в областях пространственного заряда полевых транзисторов Согласно Са (С. Т. Sah) [47] флуктуация числа заня- тых ловушек в области пространственного заряда моду- лирует ширину этой области и, следовательно, ширину канала. В результате флуктуирует сопротивление любого участка А'х канала, а это, в свою очередь, за счет по- стоянного тока, протекающего по каналу, приводит к флуктуирующей э. д. с. на участке Ах. Последняя вы- зывает флуктуации тока стока. Суммируя вклады всех участков Ах, получаем полный эффект флуктуации тока стока. Вычислим его для полевого транзистора с р-п пе- реходом и каналом n-типа. (Сходный эффект имеет ме- сто в области пространственного заряда МОП-транзисто- ра [48].)
1. Рассмотрим канал n-типа длиной L, шириной w и высотой 2а. В элементе объема XV~XxiXyiW (ось X перпендикулярна истоку и стоку, а ось У перпендикуляр- на оси X, как показано на рис. 5.11) в окрестности точки (*1, У1) в области пространственного заряда будет AM носителей, захваченных ловушками. Это число флуктуи- Рис. 5.11. Поперечное сечение полевого транзистора. Прибор: высота — 2 с, длина — L, ширина — w; канал: высота — 2 b, дли- на — L, ширина — w. Ток течет в направлении L, w велико по сравнению с а и &, а и Ъ полагаются неизменными вдоль канала. рует со спектральной плотностью 6XNt, приближенно описываемой выражением для шума токораспределения [ср. (2.43) при varnc = 0] вида SWf (f) = 4/zrft (Г— ft) AVTt/(l + (5.63) где пт — плотность ловушек, так что AM=птХУ, ft доля занятых ловушек, а т<— постоянная времени ловушек. 2. Флуктуирующее заполнение ловушек модулирует ширину 2Ь проводящего канала на величину 26b. Можно показать, что JAM а — У1 а — Ь (5.64) §6 = Это вытекает из следующих соображений. 6b(x) опреде- ляется путем решения уравнения Пуассона (5.64а)
для этой области. Здесь Nd — концентрация доноров, a f(x—Xi) и f (у—У1) равны единице в пределах элемента объема AV и равны нулю вне его. Хотя задача является двумерной, она может быть приближенно решена как одномерная, если предположить, что {dty/dx] <С fdty/dyl и jd^/dx2! jd^/dy2! соответственно, а 66(х) =&Ь в пре- делах интервала Xi<x<xi+Axi и равно нулю вне его. Тогда уравнение Пуассона для участка от Xi до Xi+Axi может быть переписано в виде q г.. 8&Nt 'dy2 I Nd ~ ^xt&ytw f У' (5.646) с начальными условиями -ф=0 и dty/dy=Q при y—b + §b и ф = Уй—Удиф при у = а. Решение этого уравнения при- водит к выражению (5.64). 3. Флуктуация 66 служит причиной флуктуации 6АР сопротивления Д17? участка Axi. Поскольку AJ?=Axjlq iin'Ndb w, где — подвижность носителей, имеем 8ДЯ = - ——'--------. (5.65) 6 w2 (а —Ь) Ь2 4. Флуктуация 6ЛР сопротивления приводит к флук- туирушей э. д. с. 6А1Уо=Лг6А17?, развиваемой на участке Ах, что в свою очередь вызывает на выходе флуктуирую- щий ток &Md=g(Wo)6kWo/L, где L — длина канала. По- этому подстановка g(IFo) дает 8Д/ Al 8A/Vf. (5-66) “ L ° NawL (a — b}b 4 ’ 5. Выполняя анализ Фурье, получаем спектральную плотность (5.67) Это выражение далее следует проинтегрировать по всей обедненной области: 6<z/i<a, 0<%1<£. Вместо Xi
удобно с помощью соотношения (5.51) ввести новую пе- ременную Wo — напряжение смещения между каналом и затвором: A'xi= (2qpnNdwblId) A Wo. Предполагая, что Д(1—ft) и не зависят от у± и Xi, и выполняя интегрирование, находим (Г)=(I - ю х X I - (К - г) - 2 to1'2’- ) - 2 In ( ' »”)1, (5.68) \ 1—2 /I где ^(-Vg+V^+VM. ^=(-Vg + V„H(b)/W0O a W0O — напряжение отсечки. Отсюда вытекает логарифмическая расходимость при у—>1 (насыщение). В экспериментах S, (f) сходится d к конечной величине (см. рис. 5.13). Существуют три возможных уточнения этого резуль- тата, не связанных с привлечением функциональной за- висимости Sf (f) от у и г. d а) Флуктуация 8Ь, определяемая выражением (5.64), была вычислена для одной стороны канала. Поскольку обе стороны имеют независимые флуктуации 8bt и ЬЬг, а полная ширина канала равна 2Ь, получим 286 = 86,4-8^, 86s=(l/4)(8^4-862). (5.69) Поэтому правую часть (5.68) 'следовало бы разделить на 4 при 86, << 862 и на 2, если 862 = 862. б) Произведение Д(1—ft) не независимо от yi, но очень мало, за исключением окрестности точки yt=yo, где квазиуровень Ферми ловушек пересекает уровень за- хватывания. В этой точке ft(l—ft) имеет свое макси- мальное значение 'Д. При у<уо и у>Уо функция Д(1—ft) быстро стремится к нулю. Коррекцию ввести несложно. в) Часто можно встретить некоторое распределение постоянных времени Xt вместо одного единственного зна-
частоты для полевых транзисто- ров № 8 (кремний) и № 9 (гер- маний). скольких полевых транзисто- ров с р-п переходом, изготов- ленным методом диффузии. В этих приборах ранних выпусков эффект проявляется очень сильно. Со- временные приборы имеют лучшие показатели. Горизонтали показывают соответствующие теоретические уров- ни шумового тока [51]. /экв0 Н /do соответствуют режиму насыщения [52]. чения. В таком случае вместо спектра типа const/(l + + co2T2t) получается какой-то «размазанный» спектр (рис. 5.12). На рис. 5.13 показана нормированная зависимость шума от напряжения на стоке. Здесь Vdo и /Экво — значе- ния напряжения стока и эквивалентного тока насыщенно- го диода, характеризующего шум, в режиме насыщения. При малых значениях Vd/Vcio отношение 7ЭКв//экво изме- няется как (Vd/Vdo)^2 что можно ожидать из разложе- ния выражения (5.68) в ряд Тейлора по у. (Заметим, что при малых Vd/Vdo величина Id изменяется как Кг/Кго-) Из рис. 5.13 следует, что /экв сходится к конеч- ной величине. Отсутствие расходимости Sr (f) обуслов- d лено тем, что подвижность носителей зависит от поля.
6 ДРОБОВОЙ ШУМ, ШУМ ТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФЛИККЕР-ШУМ [24, 60—70] 6.1. ДРОБОВОЙ шум в твердотельных ПРИБОРАХ (24] Протекание тока в диодах типа металл—полупровод- ник1) является обычно дуффузионным процессом, и шум, связанный с ним, является диффузионным шумом. Мож- но показать, что этот шум может быть также представ- лен как шум эмиссии через потенциальные барьеры, и, поскольку акты пересечения носителями потенциальных барьеров образуют последовательность независимых случайных событий, можно ожидать полного дробового шума. Ток в р-п переходах протекает благодаря инжекции неосновных носителей в базовую область и их после- дующей диффузии и рекомбинации. Точный способ опи- сания этого шума был бы связан с введением источни- ков диффузионного шума и шума генерации — рекомби- нации неосновных носителей; этот метод назван коллек- тивным и рассмотрен в приложении П.2. Но и в этом слу- чае можно показать, что шум можно рассматривать как процесс, связанный с прохождением носителей через потенциальные барьеры, и, поскольку акты прохождения образуют последовательность независимых случайных событий, можно снова ожидать полного дробового шу- ма. Такой подход назван корпускулярным. В приложе- нии П.2 показано, что он полностью эквивалентен кол- лективному. А. Дробовой шум в диодах типа металл — полупроводник [7/] и в р-п переходах Протекание тока в диодах типа металл — полупровод- ник связано с основными носителями и является быст- рым процессом. Необходимо рассматривать два класса носителей (рис. 6.1,я): J) Такие диоды еще называют диодами с барьером Шоттки. (Прим, ред.)
1. Носители, перемещающиеся из металла в полу- проводник. Они всегда должны пересекать барьер одной и той же высоты EOj и, следовательно, ток (—/0), связан- ный с ними, слабо зависит от приложенного напряже- ния V. 2. Носители, перемещающиеся из полупроводника в металл. Если к металлу приложено напряжение V, то высота барьера для этих носителей равна с/(УДИф—V), где Удиф — диффузионная разность потенциалов контак- та. Поэтому ток, обусловленный этой группой носителей, Рис. 6.1. Составляющие по- стоянных токов и шумы в дио- дах типа металл—полупровод- ник (а) и в р-п диоде, в кото- ром почти весь ток переносит- ся дырками (б), и их шумовая эквивалентная схема (в). может быть записан в виде С ехр.[—q (Удиф—V)/kT], где С так же слабо зависит от приложенного напряжения V, как и /д. Но известно, что полный ток / равен нулю при нулевом напряжении смещения V. При этом смещении /о=Сехр(—qVn^/kT), и следовательно, /=/о( V) [exp (qV/kT)—1]. (6-1) При рассмотрении шума надо иметь в виду, что про- текают два тока: —/0 и /о exp(qV/kT) = l+l(!, и каждый из них должен сопровождаться полным дробовым шу- мом. Следовательно, Si(f)=2q[(f+l0) +I0]=2q(I+2I0). (6.2)
Поскольку низкочастотная проводимость может быть записана в виде &> — dV kT 1° ехР ( 1г ) kT У + ^-3) равенство (6.2) можно преобразовать в Si(f) =2&7£0(/+2/0)/(/+/0), (6.3а) что соответствует полному тепловому шуму при 1=0 и половине теплового шума при 1^>1о- Это важно для по- нимания шумовых характеристик твердотельных диод- ных смесителей. Так как прохождение носителей через барьер являет- ся очень быстрым процессом, влияния времени переноса следует ожидать лишь на весьма высоких частотах. К сожалению, задача о влиянии времени переноса еще не решена. В диоде с р-п переходом протекание тока через барь- ер обусловлено неосновными носителями. Если р-область имеет существенно большую проводимость, чем «-об- ласть, то практически весь ток переносится дырками. В таких диодах необходимо рассматривать три класса дырок (рис. 6.1,6) [72]: 1. Дырки, инжектированные из p-области в «-область и либо рекомбинирующие там, либо достигающие оми- ческого контакта. Эти носители должны пересекать по- тенциальный барьер высотой </(Едиф—Е), где V—прило- женное напряжение, а Едиф— диффузионная разность потенциалов перехода. Поэтому ток, обусловленный этой группой дырок, должен быть равен С ехр[—</(Едиф— —V)/kT], где С — некоторая постоянная. 2. Дырки, генерируемые в «-области и попадающие в p-область. Так как эти носители падают с потенциаль- ного барьера, связанный с ними ток (—/о) не зависит от Е. 3. Дырки, инжектированные в «-область и возвра- щающиеся в p-область, прежде чем они рекомбинируют или попадут на омический контакт. Они не дают вклада в постоянный ток, но, как мы увидим далее, способст- вуют появлению высокочастотной проводимости диода. Как уже отмечалось, полный ток 1 = 0 при Е=0. Сле- довательно, /о=Сехр(—qV^/kT) и (6.4)
Это равенство остается справедливым, если часть то- ка переносится электронами. Низкочастотная проводимость диода g0 равна £° = di7'==Tf" еХР (6-5) На высоких частотах полная проводимость диода Y=g+jb становится комплексной, и высокочастотная активная проводимость увеличивается с ростом часто- ты. Более подробное решение задачи о диффузии пока- зывает, что в «длинном» диоде (т. е. в диоде, в котором неосновные носители практически не достигают омиче- ских контактов, y = g + j6 = go(l+>p)1/2. (6.6) Здесь — время жизни дырок в «-области. Рассмотрим происхождение такой частотной зависи- мости У. Импульсы тока, обусловленные носителями групп 1 и 2, весьма коротки, и поэтому модуляция их числа приложенным напряжением не может вызывать такой частотной зависимости У. Это означает, что часть полной высокочастотной проводимости У—g0 должна быть отнесена за счет дырок группы 3. Она получается из-за того, что импульсы тока, вызванные дырками груп- пы 3, состоят из двух коротких всплесков противополож- ной полярности, разделенных случайным интервалом задержки т, соответствующим времени, в течение которо- го дырка находится в «-области. Поэтому модуляция числа дырок этой группы приложенным напряжением дает вклад У—go в полную высокочастотную проводи- мость. Обратимся теперь к шуму. На относительно низких частотах он должен быть полным дробовым шумом то- ков 1+1о за счет дырок группы 1, и —/0 из-за дырок группы 2, так что = 2q[ (/ + /0) +/0]=2?(/ + 2/0). (6.7) *> Такие диоды еще называют диодами с толстой базой. Если в базе имеется тормозящее поле, то такие диоды называют диодами с накоплением заряда [124]. Именно в диодах с накоплением заряда наиболее сильно проявляется роль дырок группы 3. (Прим, ред.)
Использование (6.5) приводит к эквивалентному выра- жению Si(f) =2^0(/ + 2/0)/(/+/0), (6.7а) соответствующему полному тепловому шуму при /=0. На высоких частотах случайные пары импульсов тока, связанные с дырками группы 3, увеличивают шум. Подробный расчет для этого случая [72] дает Si(f)=29(/+2/o)+4^Tfe-^o). (6.76) Это выражение поясняется весьма просто. Первый член представляет собой дробовой шум дырок группы 1 и 2. Второй член возникает из-за дырок группы 3 и со- ответствует тепловому шуму высокочастотного прира- щения активной проводимости g—go, связанной с дыр- ками этой группы. Причина, по которой этот шум сле- дует считать тепловым, состоит в том, что возвращение дырок в p-область происходит благодаря диффузии, а она является тепловым процессом и приводит к тепло- вому шуму (гл. 5). Теперь мы должны разграничить случаи низкого и высокого уровней инжекции. Мы сделаем это для р-п переходов. Пусть р(0)—концентрация дырок на краю области пространственного заряда в базе n-типа, Мг — концентрация доноров в «-области. Если р(О)<сМг, то говорят о низком уровне инжекции, и в этом случае справедлива изложенная ранее теория. Если р(0)^>!Мг, то говорят о высоком уровне инжекции-, в этом случае упомянутая теория неверна, так как случайные события уже не являются независимыми. Рассмотрение при этом должно быть основано на коллективном подходе, но с модифицированными источниками шума (см. приложе- ние П.2). В туннельном диоде ток протекает вследствие кван- тово-механического эффекта туннельного прохождения электронов сквозь потенциальный барьер из валентной зоны в зону проводимости и наоборот. Так как вероят- ность А, того, что носитель, достигший перехода, может пройти сквозь барьер, весьма мала, акты туннельного прохождения могут рассматриваться как последователь-
ность независимых случайных событий Результирую- щий ток / является суммой двух, противоположно на- правленных токов, каждый из которых содержит полный дробовой шум. При нулевом смещении /=0 и два про- тивоположных тока равны; так же как и в случае обыч- ного диода, это соответствует полному тепловому шуму дифференциальной проводимости go=dl/dV. При доста- точно большом прямом смещении (V^>\kT/q) преоблада- ет электронный ток за счет туннельного прохождения из зоны проводимости в валентную зону. Можно показать, что из-за последнего эффекта ток при увеличении V про- ходит через максимум и затем уменьшается, что приво- дит к появлению области отрицательной проводимости, которая с успехом используется в усилителях на тун- нельном диоде. В этой области ток, связанный с тун- нельным прохождением из валентной зоны в зону прово- димости, пренебрежимо мал, так что диод дает полный дробовой шум Si(f)=2qld. (6.8) В эквивалентных схемах всех этих приборов необхо- димо принимать в расчет не только дробовой шум токов, но также и тепловой шум сопротивлений контактов и квазинейтральных областей. Поэтому полная эквива- лентная схема выглядит так, как показано на рис. 6.1,6. Б. Дробовой шум в биполярных транзисторах Обратимся теперь к биполярному транзистору. Для простоты предположим снова, что практически весь ток переносится дырками. Применяя метод, уже использо- ванный в п. А, мы должны теперь разделить дырки на четыре класса (рис. 6.2,а) [72]: 1. Дырки, инжектируемые эмиттером в базу и собираемые частично коллектором. Они дают вклад Ies exp (qV^n/kT) в эмиттерный ток 1е, вклад aflEsexp(qVEBtkT) в коллекторный ток 1с, и вклад (1 — —c^exp^WAT) в ток базы /в. Множитель а/ на- зывается коэффициентом прямого усиления по току. Из теоремы о шуме распределения следовало бы ожидать n=7VX и varn=7VX(l—il), где N— число носителей, подходящих к потенциальному барьеру за секунду, ап — число, проходящих за секунду. Поскольку ХС1, varrKX7VX=n, что указывает на наличие полного дробового шума.
Рис. 6.2. Составляющие постоянных токов и шумы в р-п-р транзи- сторе, в котором практически весь ток переносится дырками (а), и его эквивалентная схема (б). 2. Дырки, генерируемые в базе и собираемые эмит- тером. Они определяют ток 1Бе> протекающий от базы к эмиттеру. 3. Дырки, генерируемые в базе и собираемые кол- лектором. Они определяют ток 1Бс, текущий из базы в коллектор. 4. Дырки, инжектируемые в базу, но возвращающие- ся к эмиттеру, прежде чем они попадут на коллектор или рекомбинируют. Как мы сейчас увидим, они дают вклад в переменную составляющую тока эмиттера. Та- ким образом, мы имеем Т г ( qVEB \ . г k afes еуР у к? J ВС— = af Ue “F ^ВС ~ af^E + ^СО ’ (6.9) где /со — СС//вд + /вС (6.9а) — ток коллектора при нулевом токе эмиттера, называе- мый коллекторным током насыщения. Низкочастотная проводимость эмиттера g&> равна ££о рт^Е8еХР( kT )—kT ^Е^^ВЕ)' (6-Ю) низкочастотная переходная проводимость gaea: С Ч т ( ЕВ \ /с 1 gce° — LdVEB kT af^ES exp. kT \ — a.fgeo, (6.11)
и низкочастотный коэффициент усиления по току сю: dlc!&VEB всей '* /с 1оч ’•=я7=г7^7=-йГ=“'- <612> Низкочастотная переходная проводимость обычно назы- вается крутизной и обозначается gm- На высоких частотах полная проводимость эмиттера Ye=ge+]be оказывается комплексной из-за влияния ды- рок группы 4, дающих вклад (Уе—geo) в Уе. Посколь- ку диффузия является случайным процессом, дырки, ин- жектируемые эмиттером в момент t, попадают на кол- лектор с задержкой, имеющей случайный разброс; по- этому высокочастотная полная переходная проводи- мость Усе оказывается также комплексной. Теперь обсудим вклад этих групп дырок в шум. 1. Дырки группы 1 дают вклад 1е+1ве в ток эмитте- ра и вклад схД/е+/ве) в ток коллектора. Оба этих тока создают полный дробовой шум. 2. Дырки группы 2 дают вклад — /Ве в эмиттерный ток и в связанный с ним полный дробовой шум. 3. Дырки группы 3 дают вклад 1вс в-ток коллектора и в полный дробовой шум, связанный с ним. 4. Дырки группы 4 дают вклад ge—geo в эмиттерную активную проводимость и в полный тепловой шум, свя- занный с ней. Следовательно i\ = 2q (IЕ + 21ВЕ) + 4kT (ge - geo)&f, ^=2^. Здесь ii течет в эмиттер, a 1'2 вытекает из коллектора. Теперь нужно рассчитать i*, i2. Сначала сделаем это для низких частот, заметив, что токи 1Е и 1С имеют общую компоненту af (1Е Д- 1ВЕ). Так как прохождение дырок через эмиттерный и коллекторный переходы мо- жет рассматриваться как одновременное и с этой общей компонентой .связан полный дробовой шум, то z*. i2 = 2qaf UE + IBEW=2kTgce0 bf, (6.13a)
На высоких частотах необходимо принимать в рас- чет то, что диффузия является случайным процессом, поэтому дырки, инжектируемые в момент t, попадают на коллектор со случайными временными задержками. Следует ожидать, что это явление сказывается на шуме так же, как и на сигнале. Поскольку переменное напряжение ve на эмиттере вызывает переменный ток коллектора gccoVe на низких частотах и ток Yceve на вы- соких частотах, можно ожидать, что величина i*iiz на высокой частоте будет в Ycelgcm раз больше, чем на низ- кой частоте (ср. {72]), т. е. . 2kTgce<£f = 2/s7YceAf = a2kTYebf. (6.14) есео Параметр a=Yce/Ye = o0/(l+if/fa) называется высо- кочастотным коэффициентом усиления по току, a fa— граничной частотой транзистора по а. При высоких уровнях инжекции акты прохождения носителей через потенциальные барьеры прибора уже не образуют последовательности независимых случайных событий. Шум тогда следует рассчитывать коллективным методом, приспособленным для того, чтобы учесть влия- ние высокого уровня инжекции. Этот вопрос еще не раз- работан в деталях. В кремниевых транзисторах 1ве и /вс настолько ма- лы, что ими можно пренебречь. В результате равенства (6.13) и (6.14) могут быть соответственно упрощены. Иногда оказывается, что «; зависит от тока. В таком случае «о = ^/с/^/е уже не равно ад Если 1ве и' 1Бс пре- небрежимо малы, то 1с=(ц1е и, следовательно, Обычно1) а/ возрастает с увеличением 1Е, так что ао>ад Это происходит по нескольким причинам. Одной из главных является рекомбинация в области простран- ственного заряда эмиттерного перехода. Она дает вклад в эмиттерный ток 1Е, но не влияет на ток коллектора 1с- Далее следует различать ток эмиттера 1Е и ток, перено- симый инжектированными дырками //Еяехр(7Елг?/АТ); часть a'f последнего попадает па коллектор. *> При малых уровнях инжекции. (Прим, ред.)
Запишем далее 1Е = 4sexP(?V£B/mA;7"), /с = a'/'Esexp(qVEB/kT), (6.16) где т — слабо зависящий от Veb коэффициент, отобра- жающий влияние упомянутой рекомбинации. Если af — JcIIE1 то z-> д If! dV pr> Ip “•=?77=57bt="'77=^ (6-16a> Равенства (6.13) и (6.14) оказываются справедливыми Ч с той лишь разницей, что 1ве можно опустить, так что ?= 2qIEAf + 4kT (ёе - geo) Af, J=2qW (6-17) i*1 i2 = 2kTYceAf = a 2kTYeAf. Кроме уже рассмотренных источников шума, необхо- димо учесть тепловой шум сопротивлений контактов и объемных сопротивлений. Наиболее важным из них является тепловой шум, генерируемый в узкой базовой области, которая может быть отображена сопротивле- нием гь. Таким образом, эквивалентная схема транзи- стора с общей базой оказывается такой, как показано на рис. 6.26. В. Другие эквивалентные схемы транзистора •Обсудим теперь две эквивалентные схемы, которые оказываются весьма полезными при включении соответ- ственно с общей базой и с общим эмиттером. Обратимся сначала к включению с общей базой. Здесь мы предста- вим шум при помощи э. д. с. е, включенной последова- тельно с Zc, и источника тока i, включенного параллель- но коллекторному переходу (рис. 6.3,а). Рекомбинационный ток обладает шумом, несколько меньшим, чем полный дробовой, но это отличие невелико (73]. (Прим, авт.) Это отличие таково, что шум рекомбинационного тока /п в 2 раза меньше полного дробового, так что «д = qInAf [125]. (Прим, ред.)
wkTnAf D Рис. 6.3. Эквивалентные схемы биполярных транзисторов с общей базой (а) и с общим эмиттером (б). Сравнивая рис. 6.2,6 с рис. б.З.а для разомкнутой цепи эмиттера, имеем е—iiZe, i=iz—aii. (6.18) Поэтому, используя выражения (6.17) Д получим ? = ?] Ze Г=[2ql^f + 4£Т (ge - ёеоЩ] I Ze|2; (6.19) Г2 = (ts-ai,) = fH-|a|2lf- 2Re(aT^) = •w? •—+2^Af, (62°> где Ico — коллекторный ток насыщения. Для получения последнего слагаемого в (6.20) было использовано то, что a=«o/(l+]7//а)> гДе — граничная частота тран- зистора по а, а малым слагаемым (ао—а/)2 в числителе ° Такой же результат получается с весьма хорошей точностью, если учитывать влияние 1ве-
пренебрегли по сравнению с й/(1—«/).Наконец, мы положили gco= (uj/a0)qIE/kT (6.166). Кроме того, e*i = Z*ei\ (i2 — а/,) = Z*e (i* i2 — a ^ ) = = a.2^Af[- 1 + ^2— geoZ*e]. (6.21) Эти результаты будут использованы в гл. 7. Во многих случаях можно пользоваться упрощенными выражениями. Во-первых, |Ze| почти равно своему низ- кочастотному значению Reo—kTlqIE для всех частот, представляющих практический интерес, a 4kT(ge—geo)Af относительно мало на этих частотах. Поэтому можно положить e2^2kTReoAf. (6.19а) Далее, корреляция между е и I, определяемая выраже- нием (6.21), оказывается относительно малой и. в. боль- шинстве случаев мнимой, и поэтому, полагая ей/ неза- висимыми, мы не сделаем большой ошибки, т. е. ех/^0. (6.21а) Наконец, на низких частотах, где (f/fB)2<K (6.20) может быть записано в виде i2 = 2qlEaf (1 - й/) Af + 29/c0Af, (6.20а) соответствующем полному дробовому шуму коллектор- ного тока насыщения плюс компонента шума токорас- пределения. Поскольку ток эмиттера 1Е распределяется между коллектором и базой таким образом, что часть afIE идет на коллектор, а часть (1—(ц)1е — в базу, спек- тральная плотность шума, связанная с этим распределе- нием (ср. п. В § 2.2 и 6.3), равна Sp(f) =2q/Eaf(l—чх/). (6.206) Интересно отметить, что равенства (6.19а) и (6.20а) были первыми соотношениями, полученными для шумов транзисторов [7.4, 75] на низких частотах. На рис. 6.4 показаны результаты измерений эквива- лентного тока насыщенного диода /Экв для коллекторной цепи транзистора при разомкнутой цепи эмиттера (т. е.
Рис. 6.4. Основные зависимости эквивалентного тока шумового дио- да от 1е (а) для 2 N 930 (№ 2) на частоте 550 кгц при питании входной цепи источником тока (/?s=oo, точками отмечены резуль- таты измерений) и от f (б) для 2 N 1566 (№ 4) при питании входной цепи от источника тока (iRs=°°, Vcb=—40 в). Сплошные линии — результаты расчетов при [х=50 Мгц. (Данные взяты ИЗ [97]) adc=af.
при большом сопротивлении в цепи эмиттера) в зави- симости от тока и частоты. На рис. 6.4,а даны результа- ты проверки соотношения (6.20а), а на рис. 6.4,6—соотно- шения (6.20). Такое же хорошее согласие с эксперимен- том было получено для большинства других транзисто- ров, откуда видно, что (6.20) выполняется с достаточной точностью. В схеме с общим эмиттером часто используется дру- гое представление шумов [76]. В этом случае генератор тока ib=t"i—1'2 включен параллельно базово-эмиттерной проводимости Ybe=Ye— Yce, а генератор тока iz включен между эмиттером и коллектором (рис. 6.3,6). В правиль- ности такого представления легко убедиться, сравнивая рис. 6.3,6 и 6.2,6. Таким образом, 7= + f-2 Re(Fjj = = 2q (IE + Ic) Af - MT Re (Усе) Af -R MT (ge - geo) Af = = 2q/BAf + MT [gceo - Re (Усе)] Af -R MT(ge - geo) Af. (6.22) Здесь /в = /£ —7C —ток базы, gcea=qlc/kT. Для i*bi2 находим Ж=П = 2kTYceAf - 2qIcAf = 2kT (Yce - gceo) Af. (6.23) Величина % была определена равенством (6.17). Часто предполагается, что gce0—Yce и ge—geo пре- небрежимо малы. Равенства (6.22) и (6.23) в этом слу- чае сводятся к уравнениям Джиаколетто: 7=29/BAf, (6.22а) (6.23а) так что 1ъ и 1г независимы. Однако, эта аппроксимация не является удовлетворительной на самых высоких ча- стотах, на которых для точных расчетов следует поль- зоваться полными выражениями (6.22), (6.23).
6.2. ДРОЬОВОП ШУМ В ВАКУУМНЫХ ЛАМПАХ А. Дробовой шум в вакуумных диодах *) В насыщенных диодах дробовой шум убывает на вы- соких частотах из-за влияния времени пролета. Как мы видели в гл. 4, это влияние важно, когда насыщенные диоды используются в качестве источников шума деци- метрового и сантиметрового диапазонов. Рассмотрим его для случая плоского диода, в кото- ром электроны эмиттируются с нулевой скоростью и в котором влияние пространственного заряда настолько мало, что поле во всей области между анодом и като- дом может считаться однородным. Можно применить здесь теорему Карсона. Пусть Va — потенциал анода; тогда время пролета от катода к аноду при сделанных допущениях равно где d — расстояние между электродами. Если электрон эмиттируется в момент t=t0, то импульс тока t'(4) во внешней цепи имеет вид .,А qv 2q(t—td , , I »(0 = -V = —1 2 '• ДЛЯ + % И нуль при =0 других /, (6.25) где v — скорость электрона. Равенство (6.25) выражает тот факт, что общий заряд, переносимый импульсом то- ка, равен q. Следовательно, Фурье-преобразование ^(f) импульса i(t) есть Ф (f) = Я [ 1 — exp (— jm0) — jm0 exp (— jm0)J = = ?Ф3(1Ч). (6-26) где Ф3 (а) = (2/ct2) [ 1 — ехр(— а) — аехр(— а)]. (6.26a) Следовательно, так как импульсы тока появляются со средней частотой K=Ialq, (f) = 221 ф (f) |2 = 2qla | Ф3 (jm0) |2 =2qIaF2 . (6.27) ° Ср. с [10] (гл. 5 и 6) для выяснения подробностей и библио- графии.
На рис. 6.5 показана F] = | Ф3 (jm0) |г как функция <»i:0. Соответствующее выражение для цилиндрического случая было рассчитано Шпенке [27]. Рис. 6.5. Графики функций |Фз(а)/Фе(а) |2 и |Ф3(а)|2 (см. [10]). Для диода с током, ограниченным пространственным зарядом [77-—80] должен быть использован несколько иной подход1’, в результате которого 7-?|Фз(Р%)/Фв(^о)|г. (6.28) где ' (6.28а) Здесь ga = dIa[dVa, 6 = 3 (1 — чг/4) = 0,644; Тс — темпера- тура катода, т0 — время пролета ______3(rf-rfm) (iq/m)1'2 (Va + Vm)1'2 ’ (6.286) d—расстояние между электродами, Va — потенциал ано- да, dm — расстояние точки с минимальным потенциалом от катода, Vm—потенциал, в минимуме, Фз(а) имеет тот же смысл, что и прежде, и Фе(а) = (12/ia4)l[(o3/6)—а+2—'аехр(—а)—2 ехр(—а)]. (6.28в) ’> Здесь приводятся только результаты; подробности и библио- графию см. в книге Ван дер Зила [10].
Б. Дробовой шум в вакуумных триодах [/0] Точно таким же способом, каким рассмотрен шум, возникающий в вакуумных диодах с током, ограничен- ным пространственным зарядом, можно рассмотреть шум в вакуумных триодах. Рассуждают следующим об- разом. Пренебрегая влиянием неоднородности поля, соз- даваемой за счет витков сетки (рис. 6.6,а), заменяют сетку эквивалентным прозрачным для электронов элек- тродом с потенциалом 14 (рис. 6.6,6). Теперь триод раз- Рис. 6.6. Электрическое поле в вакуумном триоде: а — разрез плоского триода; б — введение электрода с эквивалентным сеточ- ному потенциалом Ve. делен на диод с током, ограниченным пространственным зарядом, и включенный последовательно с ним насы- щенный диод, к которым может быть применена теория, изложенная в п. А. Если Vg и Va — потенциалы сетки и анода соответст- венно, то iz — + (Гя/рд) е 1 + (1/ра) + (Ь'рс) (6.29) где — коэффициент усиления триода и рс — коэффи- циент усиления обращенного триода, получаемый в том случае, если анод и катод поменять местами. На низких частотах существенным оказывается толь- ко диодный промежуток между катодом и эквивалентом сетки. По аналогии с (6.28а) i2a= (6.30) где ge=dIJdVe — проводимость эквивалентного диода.
Ho ge связана с крутизной gm следующим образом dl„ dla dVe ет gm = -~ = -^f- = gea или ge=^a-, &т dVg dVe dVg &e se a где _ <)Ve________1______ udVg " 1 + (l/p.o) + (1/p-c)’ так что 1'=7=-^-4^с^дл Из соотношения i^ — 4kT0Rn^fg^n имеем п 6 Тс 1 _ е “ т J ° То gm gm (6.31) (6.31а) (6.32) (6.32а) где e=QTc/oT0. Для сеток с относительно малым шагом о^0,84-0,9, но для сеток с более широким шагом эта величина может быть меньше. Полагая 0 = 0,644, Тс= = 1 000°к и 7’о=290°К, получим е~2,5. На высоких частотах влияние времени пролета в обоих диодах становится существенным. Теперь необ- ходимо различать время пролета п от точки с мини- мальным потенциалом до сетки и время пролета т2 от сетки до анода: _ _______3 (rfcg dm) ________2dga .р. on. 1 (2q/m)'12 (V' + Vm)'12 ' 2 (2q/m)'12 Vla12 ' ’ ' Здесь предположено, что VeCVa; dcg и dga—промежутки между электродами и имеется минимум потенциала — V-m, расположенный на расстоянии dm от катода. Необходимо далее делать различие между шумовым током гс в цепи катода и шумовым током ia в анодной цепи (рис. 6.7,а). Расчет [10] показывает, что k = «0Ф3 (W/Ф6 (Ь)> (6.34) ta=«0{4'j<0T> ехР(~W + [ф Ё?2 ) фз(W. (6.35) где гс и ia должны быть полностью коррелированы. По этой причине в цепи сетки протекает шумовой ток ig=ic—ia, который называется наведенным шумом сетки. Он должен быть полностью коррелирован с ia- Экспериментально обнаруживается лишь частичная кор-
реляция между ig и ia; наиболее вероятная причина это- го заключается в неоднородности поля в лампе, вызван- ной проводами сетки. Для некоторых расчетов необходимо знать взаимные проводимости Ymc и Yma, описывающие высокочастотные токи катода и анода соответственно (рис. 6.7,6). Ван дер Зилом получены следующие соотношения: Ymc = gm ! - J х (1 - I, (6.36) me ф6 (jcxt,) 2 J 1 dcg J} ' ’ Yma = gm®3 (W Ф3 (W/Фв (6-37) где параметры имеют тот же смысл, что и прежде. Член 0,5gmTi соответствует EoA/(dcg—dm), так что (0,5gmti) X X (1—dm/dcg) соответствует EoA/dcg, т. е. холодной емкости между сеткой и катодом (А — площадь электрода). От- Рис. 6.7. Эквивалентные схемы вакуумного триода с учетом: а — источников шумовых токов; б — токов сигнала в триоде; в — двух гене- раторов шумового тока; г — генераторов шумового тока и напряжения на входе. сюда следует, что существует «электронная» входная полная проводимость Yge= Ymc~— Yma лампы на высоких частотах, параллельная «холодной» входной емкости лампы. Эквивалентная схема триода показана на рис. 6.7,в. Если емкость анод — сетка Cag лампы нейтрализована, то соответствующая этому случаю схема показана на рис. 6.7,г.
6.3. ШУМ ТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ {81—83] Шум токораспределения возникает всегда, когда ток разделяется между двумя электродами. Наиболее изве- стным примером является шум токораспределения в пен- тодах. В соответствии с (2.43), если электроны эмиттиру- ются катодом с интенсивностью пс и попадают на анод с интенсивностью па, то уагна = Я2уагпс-]-йсЯ(1 — Я), (6.38) где Я = йа/нс- Следовательно, Sn (f) — 2 var па = 2Я2 var nc 2йсЯ (1 — Я), (6.38a) Sn (f) = 2varnc. (6.386) Так как Ic=iqnc, — токи, a A/c — q — ne) и kla = q (na — na) — их флуктуации, то для частот, на которых влияние времени пролета незначительно S; (f) = 2<?2 var пс, с S. (f) = Я25. (f) + 292йсЯ (1 - Я) = Я25. (f) + 29/сЯ (1 - Я), ас с (6.39) Поскольку h = 7a/7c И h = Ic--la — ТОК ЭКрЗННОЙ СвТКИ, последний член равенства (6.39) может быть записан в виде 2<7Ш7с. (6.39а) Его называют компонентой шума, обусловленной токо- распределением. Таким образом, ясно, что шум распре- Рис. 6.8. Расположение генерато- ра шумового тока распределения в эквивалентной схеме пентода. деления может быть представлен источником тока V i2p, включенным между экранной сеткой и анодом (рис. 6.8), где । 7= 29/сЯ (1 - Я) Af = 2q (7а7г/7с) Af. (6.396)
Вернемся теперь к шуму на низких частотах в транзи- сторах, включенных по схеме с общей базой. При холо- стом ходе в цепи эмиттера и пренебрежимо малом токе насыщения коллектора мы имели (6.20а) t2 = 2qlEa.j (1 — ay) Af. (6.40) Очевидно, что эта компонента обусловлена шумом распределения. Поскольку в цепи эмиттера включен источник тока и, следовательно, ток эмиттера не флук- туирует, следует ожидать шума распределения с Х=ау, это как раз и выражает равенство (6.20а). 6.4. ФЛИККЕР-ШУМ А. Фликкер-шум в вакуумных лампах Поскольку вакуумные лампы быстро вытесняются биполярными и полевыми транзисторами, нет необходи- мости вдаваться в подробное объяснение этого эффекта в лампах. Ограничимся обсуждением ламп с оксидными катодами. Долгое время считалось, что фликкер-шум вызывает- ся флуктуациями тока эмиссии, которые в свою очередь обусловлены флуктуациями работы выхода. Но теперь известно, главным образом благодаря работам Р. Р. Джонсона и др. [86], что этот процесс несколько сложнее. Установлено, что его причиной являются флук- туации появления атомов бария или отравляющих воз- действий на поверхности зерен, сопровождаемые мигра- цией доноров сквозь эффективную эмиттирующую часть зерен. Измерения, проведенные на диодах с подвижными анодами, показали, что эквивалентное сопротивление фликкер-шума Rnf убывает с уменьшением расстояния между анодом и катодом. Поэтому следует ожидать, что то же самое верно для триодов. Поскольку при дан- ном токе анода 1а крутизна лампы gm возрастает с уменьшением расстояния dcg между сеткой и катодом, то при прочих равных условиях лампы с большей кру- тизной должны иметь меньшее эквивалентное сопротив- W Ср. с обзором ранних работ [85].
дение фликкер-шума Rnt- Это подтверждается экспери- ментом. Конечно, существует очень много других факторов, которые определяют величину фликкер-шума данной лампы. По этой причине важно подбирать малошумя- щий тип лампы и, в пределах данного типа, малошумя- щие экземпляры. По в общем можно рекомендовать поиск среди ламп с высокой крутизной. Б. Фликкер-шум в полупроводниковых нитях Теория фликкер-шума в полупроводниковых нитях была развита Мак-Уэртером [87], а ее упрощенное изло- жение было дано Ван дер Зилом [24]. Мы будем следо- вать последней работе. В теории Мак-Уэртера фликкер-шум связывается с «поверхностными состояниями» полупроводниковых эле- ментов. Существуют два типа таких состояний: «быст- рые» и «медленные». Первые определяют частую реком- бинацию дырок и электронов и, так как они характери- зуются малой постоянной времени, предполагается, что они расположены на поверхности раздела полупровод- ника и оксидного слоя, который всегда имеется. Мед- ленные состояния расположены в самом оксидном слое, и их энергия и плотность сильно зависят от предыстории поверхности и от окружающих газов. Так называемый эксперимент с «полевым эффектом» показывает, что эти медленные состояния имеют широ- кое распределение постоянных времени. В этом экспери- менте используется плоский конденсатор, образованный металлом и тонкой полупроводниковой пластиной. При- кладывается переменное напряжение и регистрируется модуляция проводимости полупроводника переменным электрическим полем. Этот эксперимент показывает, что плотность вероятности постоянных времени может быть приближенно записана в виде g(T)^ = lnдля т1<т<т2, т, <т2 (6.41) и нуль при остальных т. Такое распределение постоянных времени может по- лучиться либо за счет туннельного прохождения сквозь потенциальный барьер, расположенный между объемом полупроводника и медленными поверхностными состоя-
Ниями, либо за счет влияния поверхностных состояний с глубоко расположенными в запрещенной зоне уровня- ми на электроны в зоне проводимости. Первый механизм дает т=тоехр (aw), (6-42) где w—ширина барьера, a a — величина порядка 108 см-1, зависящая от высоты барьера. Второй меха- низм дает т=т'оехр (qEtjkT), (6.43) где Et — энергия возбуждения поверхностных ловушек; q, \k и Т имеют обычный смысл; то и т'о — постоянные. Заметим, что ехр(—aw) —вероятность туннельного про- хождения в первом механизме и ехр (—qEt[kT) — веро- ятность возбуждения во втором механизме. Требуемая функция распределения (6.41) соответст- вует либо распределению значений ширины w, либо распределению поверхностных ловушек по энергиям воз- буждения, которые .постоянны в-определенных пределах и стремятся к нулю вне их. Оба объяснения возможны, но первое более вероятно, поскольку во втором случае Ti и т2 должны сильно зависеть от температуры, а этого не наблюдается. Оценка показала, что изменение ширины w между 20 и 40 А дает изменение т от 10-4 до 105 сек, в результате чего функция распределения почти не зависит от тем- пературы. Поэтому туннельный механизм дает весьма разумное объяснение требуемого распределения постоян- ных времени. > Рассмотрим теперь образец n-типа длиной L, пло- щадью поперечного сечения А и периметром поперечно- го сечения С. Предположим, что один лишний электрон захвачен элементом поверхности AS образца. Исчезно- вение свободного носителя приводит к изменению про- текающего тока—(qVJЕ2) цРЕ в образце, где Ео— приложенное напряжение, а цРЕ— полевая подвижность. Но кроме того, этот электрон, пока он захвачен, моду- лирует генерацию электронно-дырочных пар быстрыми центрами. Если в течение времени его захвата допол- нительно генерируется в среднем Л4 пар дырок и элек- » Это распределение ширины потенциального барьера w полу- чается обычно за счет распределения концентрации медленных со- стояний по объему. {Прим, ред.}
тронов, то появляется ток (</Е0Д2) (ц-р + рп)М Согласно Мак-Уэртеру ypj_ ALp0___ общее число дырок в образце .g „ С Lnto общее число захваченных электронов ’ ' ’ где ро — объемная плотность дырок, /Д—поверхност- ная плотность захваченных электронов, AL — объем, и CL — площадь поверхности1). Мы увидим, что М не за- висит от т. Общий дополнительный'ток на один захва- ченный электрон поэтому равен («1К + ММ - (6.45) Число захваченных носителей флуктуирует. Пусть ДМг = = nTAS— число ловушек на малом элементе поверхно- сти AS; /\Nt— число захваченных электронов на AS; п — плотность электронов в объеме; и пусть w — расстоя- ние между ловушкой и поверхностью раздела оксидного слоя и полупроводника. Тогда ехр(—aw)—вероятность туннельного прохождения электронов. Если Et — глуби- на ловушки по отношению к дну зоны проводимости, a g(&Nt) и г (i/XljVf) —скорости появления и исчезновения захваченных электронов, то g (hNt) = Сгп (&JVT — AJVt) exp (— aw), r (^Ni) = C^Nt exp (— EtfkT) exp (— aw), (6.46) так что, в соответствии с гл. 2, __ exp (aw) __X exp (aw) _ Т С2 exp (— Et/kT) + Citi ’ ДМ=ЛДМ; AMf=AMrZ(l-Z), (6.46а) где К — вероятность того, что ловушка занята: 2='С1п+С2ехр(-£г/^7’) ‘ (6.466) Но заметное влияние оказывают только ловушки, рас- положенные вблизи уровня Ферми. Для них Х^0,5 и, следовательно, т = exp (ада^С,/?, ENt — 0,5nTAS, ДД^=(1/4)лггД5. (6.46в* ’) Этот результат соответствует здравому смыслу, если дырки образце генерируются под влиянием захваченных электронов.
Соответственно S^ (I) = «гД5т/(1 оЛ2), (6.47) что должно быть проинтегрировано по всей площади поверхности образца. Отметим теперь, что различные элементы поверхно- сти AS могут иметь различные значения пт и w. Если пт = птй для Wi<w<Wz и нуль вне этих пределов, то плотность вероятности величины w должна быть dP(w) =dw!(wz—Wi) для Wi<w<Wz (6.47а) и нуль при других W. Переходя к т как к новой переменной, из (6.41) имеем = = при (6.476) и нуль при других т. Здесь Tj = т0 exp (aw,), т2 = т0 exp (aw2). (6.47в) Подставим теперь пт—пто, nto = 0,5nTO, которые постоянны (так что и М является постоянной) и Д5 = = Sg'(т) Интегрирование дает1) nTS \ Ю = coln(Vt.) ’ tarc1g ~ aretg (6‘48) Эта функция меняется как 1/со при orri-Cl-Cow В соответствии с (6.45) спектральная плотность флук- туации тока равна Si (f) = (qVjUtf [(Ир +[лп) М - S„f (f). (6.48а) Поскольку Ti и Тг не зависят от температуры, если т определяется туннельным механизмом, S{(f) изменяется как 1/f в диапазоне частот, достаточно широком, чтобы соответствовать наблюдаемой области фликкер-шума. В. Фликкер-шум в плоскостных диодах, МОП-транзисторах и биполярных транзисторах Некоторые недавние эксперименты пролили значи- тельный свет на механизм возникновения шума типа 1/f в этих приборах. Эксперименты с МОП-транзистора- » Тот же результат мог быть получен, если бы имело место распределение плотности ловушек по w на каждом элементе поверх- ности AS.
ми показали, что их шумовое сопротивление Rn за счет фликкер-эффекта пропорционально плотности поверх- ностных состояний ps, расположенных на уровне Ферми, и что эта плотность является единственным параметром, который определяет шум типа 1/f (рис. 6.9). Оказы- вается, что никакой зависимости от температуры или поверхностной ориентации нет, если только они не влия- ют на поверхностную плотность состояний, находящихся на уровне Ферми. Например, поверхности с ориентацией (100) имеют самую низкую плотность поверхностных со- стояний, и следовательно, МОП-транзисторы, изготов- ленные в кристалле с такой поверхностью, имеют самый низкий шум. Шум типа 1/f возрастает с уменьшением Рис. 6.9. Соотношение между плотностью поверхностных состоя- ний ps и эквивалентным шумовым сопротивлением \Rn на частоте 10 кгц в МОП-транзисторах, изготовленных из кремниевых пластин с ориентациями поверхностей типов (100) и (111). Измерения, произведенные при 300 СК, соответствуют положению уровня Фер- ми у поверхности па 0,14 эв ниже края зоны проводимости; при 77 *К уровень Ферми у поверхности расположен на 0,02 эв ниже края зоны проводимо- сти [1191- температуры, поскольку плотность поверхностных со- стояний возрастает к краю зоны проводимости. МОП- транзисторы обычно работают в условиях сильной ин- версии; в этом случае поверхностный потенция Ф8 очень слабо меняется в зависимости от заряда на затворе. Сле- довательно, плотность поверхностных состояний на уров- не Ферми и шум типа 1/f почти не зависят от смещения на затворе. Действительные значения Rn обусловлены
геометрией прибора, поскольку как крутизна, так и пло- щадь активного капала влияют на величину Rn- Но по- скольку различия в геометрии лики, единственным способом ного шумового тока от скорости по- верхностной рекомбинации «о при /к=1 мка, /=40 гЦ [‘120]. обычно не слишком не- значительного снижения шума типа 1/f являет- ся уменьшение плот- ности поверхностных состояний у уровня Ферми. Построенная таким образом картина впол- не совместима с раз- работанной Мак-Уэрте- ром картиной шума ти- па 1/f в полупроводни- ковых нитях. Снова большие постоянные времени, связанные с шумом типа 1/f, тре- буют туннельного эф- фекта как основного механизма. В теории Мак-Уэртера пю про- порционально плотно- сти пто поверхностных состояний («to—О,5пго). Недавние экспери- менты по шуму в крем- ниевых диодах показа- ли, что при заданном токе I эквивалентный ток насыщенного диода 73KB пропорционален скорости поверхностной рекомбинации s (рис. 6.10). Это снова означает, что /Зкв пропорционален плотности поверхност- ных состояний ps, поскольку s пропорциональна ps. Фонгер [88] связывал этот шум с 'флуктуациями скорости поверхностной рекомбинации s. Если вся ре- комбинация является поверхностной и если s не зависит от положения, то / = f qspdA = qs [pdA или S/=-|-Ss. (6.49) Следовательно, производя разложение Фурье, получим Si(f) =2<7/8Кв= (72/s2)Ss(f), (6.50)
где Ss(if) —спектральная плотность 6S.Теперь Ss(f) должна быть пропорциональна S&N (f). Но в соответст- вии с (6.47), она пропорциональна плотности р = пт ло- вушечных центров. Следовательно, Ss(f) должна быть пропорциональна s. Равенство (6.50) не является вполне точным. Более строгий анализ этой модели дает несколько иную зави- симость Si (if) от х [89]. Более того, этот результат не- применим непосредственно к кремниевым диодам, по- скольку в них основная доля фликкер-шума обусловлена флуктуациями рекомбинационного тока в области про- странственного заряда. Ван дер Зилом дано детальное обсуждение модели поверхностной рекомбинации, кото- рая может объяснить эти и другие экспериментальные данные [89]. Эксперименты Пламба, Шенетта-.[90] и других авто- ров показывают, что фликкер-шум в транзисторах мо- жет быть представлен источником тока iji, включенным параллельно эмиттерному переходу. Теоретически необ- ходимо также ввести частично коррелированный источ- ник тока if2> включенный параллельно коллекторному /?£ Рис. б.'Н. Измерительная схема для определения положения источ- ника фликкер-шума в эквивалентной схеме транзистора. переходу, но тщательные эксперименты показали, что его влияние настолько мало, что им можно пренебречь. Правильность такого представления можно проверить при помощи измерительной схемы, показанной на рис. 6.11. Здесь последовательно с эмиттером включено боль- шое сопротивление Re, чтобы поддерживать эмиттерный ток 1е постоянным, в цепь базы включено переменное сопротивление RB, цепь коллектора по переменному току замкнута на землю. При заданном токе эмиттера изме- ряется напряжение низкочастотного шума между точка-
ми А и В при различных значениях 7?в. Обнаруживается резкий минимум при каждом значении тока эмиттера, как показано на рис. 6.12. Поскольку ie=i/i, если Re весьма велико, то V2 = | hSeo - ie (ГЪ + RB) |3 = = tfl keo ~ ао Ь + Яв)]2- Мы имеем и3 = 0, если reo — а0 (rb RB) = 0 или Rg == (^В)мии === (^ео/ао) ГЬ. В соответствии с (6.166) ______________________ 1 ___________а/ ________ 1 qfc ge0 -_______________________________’ так что Гео легко определяется, если известны 1с и сю- Нанося значения (Лв)мин на график, по оси абсцисс которого отложены значения гс0, мы должны получить (6.51) (6.52) (6.52а) Рис. 6.12. Зависимости относительной мощности шума от Rn при нескольких значениях /е 190]. прямую линию, если приведенное представление верно. Рис. 6.13 показывает правильность наших рассуждений. Если значения гь определить из графиков, подобных показанному на рис. 6.13, и сравнить результаты с дан- ными, полученными другими методами, то получится хорошее совпадение. Это доказывает, что шум типа 1/f возникает там, где происходит рекомбинация.
Интересно отметить, что шум типа 1/f в р-п-р транзисторах, как правило, меньше, чем в п-р-п транзисто- рах. Кроме того, при- боры, построенные на кремниевых пластин- ках с ориентацией по- верхности типа (100), имеют более низкий шум, чем приборы на пластинках с ориента- цией поверхности типа (111). Это указывает на то, что источником шума типа 1/f являет- Рис. 6.13. Зависимость значений (Яв) мин от kT/qIc Для германиевого транзистора 2Л/2415. Точка пересечения с осью хорошо со- гласуется с другими измерениями сопро- тивления базы транзистора [90]. ся поверхность, и соот- ветствует тому, что го- ворится о других при- борах. На рис. 6.14 показаны результаты измерения Z3KB в базе кремниевого транзистора при такой повышенной температуре, что наблюдался значительный ток насыще- Рис. 6.14. Зависимость эквивалентного шумового тока базы /э1(в ОТ «инжекционного» тока базы /'в=/в+/сво- Транзистор Т1 483 № 1 типа п-р-п, Т=232 °C, /рв0=19,7 МКа, f=200 гц. Круж- ками отмечены экспериментальные данные. Пунктиром — аппроксимируются зависимость ^B-WcBol + lZlrBp.S [121],
ния коллектора. Если 1сво — ток насыщения в цепи базы при обратном смещении на ней и Гв — полный инжекци- онный ток в базе, то 1в=1'в—Icbo- (6.53) Значения /Экв> измеренные на частоте 200 гц (рис. 6.14) могут быть аппроксимированы кривой вида /8кв = Л/св0+В(/'в)т (6.54) при Л = 3,6, В = 12 и у=1,5. Поскольку Л>1, это указы- вает на то, что в точке насыщения 1сво есть шум типа 1/f. На частоте 100 кгц 1Вкв=1сво+1'в, как и ожидается для дробового шума. В результате мы можем сделать сле- дующие выводы: 1. Рассматриваемый шум зависит скорее от полного инжекционного тока Гв, чем от тока базы /в. 2. Ток насыщения 1сво и полный ток инжекции флук- туируют независимо. Если бы они были коррелированы, то получилось бы I, ZSKB = А1СВО + В (Гв у +;2С [Л/своВ(гв У ]1/2\ (6.54а) где с — коэффициент корреляции. Никаких особых сви- детельств значительной величины третьего члена на рис. 6.14 нет. 3. Значение ISM не пропорционально 1В. Это можно объяснить трактовкой поверхностной модели рекомбина- ции, предложенной Ван дер Зилом1). 6.5. ВЗРЫВНОЙ ШУМ {91] В дополнение к дробовому, тепловому и \/f шумам, во многих кремниевых транзисторах, особенно планар- но-диффузионного типа, наблюдается разновидность низ- кочастотного шума, именуемая взрывным шумом. Этот шум обычно состоит из случайных импульсов перемен- ной длительности и одинаковой высоты, но иногда соз- дается впечатление, что случайные импульсы наклады- ваются друг на друга (рис. 6.15). Этот шум может быть описан при помощи модели со случайным ключом, разработанной Мэчлапом [92]. *> В {133] показано, фликкер-шум в биполярных транзисторах обусловлен рекомбинацией носителей заряда в области эмиттерного перехода и /Экв пропорционален квадрату рекомбинационной со- ставляющей эмиттерного тока. Прим. ред.
х.лммлл»* mw* \A/WVMM/V4vvvn Млг 1л/ИМЛМЛЛЛМ| t Рис. 6.15. Типовые осциллограммы взрывного шума, наблюдаемого на коллекторе транзистора [118]. В этой модели считается, что шум вызывается набором случайных ключей, через каждый из которых в замкну- том состоянии протекает ток Л, а в разомкнутом ток от- сутствует. Пусть в течение временного интервала dt ве- роятность замыкания ключа есть dtlyi, а вероятность его размыкания есть d>tly2- Предположим, что в среднем имеется 7Vt разомкнутых и TV2 замкнутых ключей, так что Ni+Nz=Nd. Пусть ДМ— избыточное (по отношению к среднему) число разомкнутых ключей при t=0, тогда d (ДЛ\) = - (Л\ + ДЛ\) -^+(M - ДМ) dt, 11 12 (6.55) где 77(7)—случайная функция, описывающая спонтан- ные флуктуации скорости замыкания и размыкания клю- чей. Для средних значений уравнение (6.55) дает
или Y и w Nd-^—. (6.55а) Поскольку это означает, что Ni имеет биномиальное распределение, А N2 = + Y2)2. (6.56) Зависящая от времени часть уравнения (6.55) может быть записана в виде ^'- = ~ч'-+т -'.-=т+7Г <6-57> С учетом метода, изложенного в § 2.3, это дает Si (f) = 4/, Nd, ----(6.58) IV/ 1 (у, -J-Ya)2 I+w2^ Когда есть лишь один ключ, 'Nd—А. Одна из осцилло- грамм рис. 6.15 показывает необходимость Мг=2. В работе Бродерсена, Шенетта и Джейгера [118] по- казано, что источник взрывного шума расположен вбли- зи эмиттерного перехода. Когда, используя метод Плам- ба — Шенетта [90] определения положения источников шума, находят значение сопротивления базы Гь, оказы- вается, что оно значительно меньше той величины, ко- Рис. 6.16. Эквивалентная схема транзистора, показывающая распо- ложение источников дробового шума, фликкер-шума и взрывного шума (118]. торая находится из измерений, связанных с фликкер- шумом. Это показывает, что взрывной шум генерируется гораздо ближе к базовому контакту, чем шум типа 1/f (рис. 6.16). При таком расположении сопротивление гь разделено на две части rbi и Гьг; источник фликкер-шу- ма if и источник дробового шума 1ь включены парал- лельно сопротивлению Дьс, а источник взрывного шума помещен гораздо ближе ко входным зажимам. В резуль-
тате влияние источника взрывного шума более заметно при больших сопротивлениях источника сигнала 7?s. Это ясно видно из рис. 6.17, который также показывает, что Рис. 6.17. Коэффициент шума транзистора 2Л/930 при /с = Ю0 лиат и VCb=2,2 в, для iRs=20 ком и J?s=270 ом (118]. Источник взрывного шума пока не вполне ясен, но представляется, что он связан с наличием тонких, силь- но легированных эмиттерных переходов К Полагают, что появление и исчезновение импульсов связано с одной ло- вушкой в области пространственного заряда. 7 ШУМ В КОНКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВАХ [24, 100—107, 115] 7.1. ШУМ В МАЗЕРАХ И ЛАЗЕРАХ А. Резонаторный мазер Резонаторный мазер обычно работает на отражение, т. е. источник подключается к одному плечу циркуля- тора, резонатор с активной средой — к другому, а на- *> На нижних кромках эмиттерного перехода там, где распо- ложен «боковой» диод, создаются дефекты кристаллической струк- туры, ответственные за генерацию «взрывного» шума. Прим. ред.
грузка — к третьему. Это обеспечивает развязку источ- ника и резонатора от нагрузки (рис. 7.1,а). Резонатор, содержащий активную среду, настраи- вается на частоту f=(Ez—Ei)/h, где Ег и — энергети- ческие уровни активных атомов (или молекул), между которыми происходят переходы. Помимо сигнала с ча- стотой f, присутствует также сигнал накачки с большой амплитудой, который возбуждает энергетический уро- Рис. 7.1. Устройство резонаторного мазера с циркулятором (я) и его эквивалентная схема (б).. вень Ег через уровень, обладающий большей энергией, или через уровень, лежащий ниже состояния с энергией Е1, и таким образом осуществляет инверсию населенно- сти. Это означает, что если -Nz и Л\ — число атомов (или молекул) с энергиями Ег и £i соответственно, то под действием сигнала накачки |У2>М- Условимся, что устройство находится при темпера-
туре Тс, а температура источника равна Ts. В таком случае эквивалентная схема резонатора имеет вид, по- казанный на рис. 7.1,6. Активная среда здесь представ- лена проводимостью g(g<0), собственные потери — про- водимостью gc, а трансформированный характеристиче- ский адмиттанс линии — проводимостью gg. Коэффи- циент усиления по мощности такой системы равен квад- рату коэффициента отражения: G = l(£g - go - g)l(gg +’£c + g)]2. (7.1) Поскольку g<0, G>1. Шумовая мощность, доставляемая в «проводимость нагрузки» gg источником, равна Р& = exp (hfJkTs) -1 °' Если Ni и N2 — по-прежнему количество атомов в со- стояниях с энергиями Ei и Е2 соответственно, то шумовая мощность, передаваемая в gg активной цепью, опреде- ляется соотношением р 4 | g | — ЛГ0Ч- WgcAf/[exp (hf/kTs} — 1] _ (gg + gc + gY ёе~ _____6 1 Гbfbf ^2 I hfAfgc/lg] I zy ““ 1 - ge/ I g I L ' ' N*~ Ml ^eXP MW - 1 J ’ ' > так как 4ge|g| ____ 6—1 (gg + gc + g)2 1—gc/|g|‘ Таким образом, полная шумовая мощность равна Рвж = Р* + Ра, (7.4) и, следовательно, коэффициент шума F=^==i+g. (74а) Однако удобнее ввести эквивалентную шумовую темпе- ратуру ТуС усилителя, используя как определение [93] р ____ Q /у е. ^вых— exp (hf/kTyc) - 1 U ’ Чтобы еще более облегчить анализ, пренебрежем по- терями и предположим, что интенсивность накачки до- статочно велика для обеспечения сильной инверсии на-
селенности Будем также считать, что G^>I. Усилитель, удовлетворяющий всем этим трем условиям, называется идеальным квантовым усилителем. Для него выражение (7.4) приводится к виду exp {hf/kTs) - 1 "Ь — exp\hf/kTyc) - 1 ’ откуда следует; Тус = (htfkyXxi [2 - exp (- hf/kTs)]. (7.5а) (7.6) При hffkTM для этой формулы справедлива аппро- ^7yc/V Рис. 7.2. Зависимость kTyclhf от kTJhf и две аппроксимирующие кривые: feTyc/ftf=l,44 и kT.-c[hf= = k(Ts+hf/k)lhf [S3]. При hflkTs~^>\ формула как ксимация Tyc = T&+'(hflk), (7.6а) которая вытекает из раз- ложения экспоненты и ло- гарифма в ряд Тейлора. В этом случае Ts и hf/k складываются и hf/k может интерпретировать- ся как шумовая темпера- тура идеального мазера. Подстановка /г = 6,62х Х10~34 дж-сек, &=1,38Х XI О-23 дж/град и %= = 10“ гц дает Af/Л=0,5 °К, так что идеальный мазер и в самом деле имеет очень низкую шумовую температуру. (7.6) может быть записана =тет=1'44т-. Эта величина называется эквивалентной шумовой темпе- ратурой флуктуаций спонтанной эмиссии активного ма- териала. При f=1010 гц и TS = 4°K hf/kTs=Q,\2, так что преобладает первое условие. На рис. 7.2 приведена зависимость kTyJhf от kTs/hf и показаны два предельных случая, отвечающих соотношениям (7.6а) и (7.66),
В реальном мазере шумовая температура самого ма- зера настолько низка, что необходимо учитывать шум, создаваемый потерями в линиях и циркуляторе. Это мо- жет быть сделано с помощью методики, рассмотренной в § 4.1. Б. Мазер бегущей волны В мазере бегущей волны волновод длиной L, запол- ненный активной средой, согласуется с источником сиг- нала на входном конце и с нагрузкой на выходном. По волноводу распространяется также сильный сигнал на- качки с частотой ifp, который поддерживает инверсию населенности и таким образом обеспечивает вынужден- ную эмиссию на частоте f=(E2—Ei)/h. Здесь Е2 и имеют тот же самый смысл, что и ранее. Если можно пренебречь потерями, то усиление сигна- ла будет описываться уравнением (5.22). Интегрируя его с учетом граничного условия Ps(x)=Ps(0) при х.=0, находим: 1п.[Л(L)/Ps(0)]=In G=C(n2-n1)L, (7.7) где п2 и iii — населенности на единицу длины, а С — константа. Если можно пренебречь Потерями, то шум определится через уравнение (5.54). Интегрируя его с учетом граничных условий Рп(х) =Р„(0) =W/[exp№7’s)-l] (7.8) при х=0, где Ts — температура источника, a f=(E2— —Ei}]h, как и ранее, находим: 1Л ГС (/?2 и,) Рп (L) Chf&fn2 1_j q ("7 [С (я2 - я.) Рп (0) + Chf&fn2 J — V так что Pn(L) = GPn(0) + (G- 1) (7.9а) Здесь первое слагаемое обусловлено шумом источника, а второе — шумом спонтанной эмиссии активной среды. При второй член равен (G—l)/ifAf. Каждый квант, поступающий в систему, вызывает появление G квантов на выходе, так что в самой активной среде ге- нерируется (G—1) квант. Шум, связанный с этими кван- тами, есть (G—Если п2 не слишком велико по сравнению с щ, необходимо учитывать, что (G—1) кван- тов, приходящихся на один поступающий квант, генери-
руются («2—«1) возбужденными состояниями, тогда как шум спонтанной эмиссии порождается всеми «2 возбуж- денными состояниями. В этом случае для получения полного шума спонтанной эмиссии, определяемого вто- рым слагаемым (7.9а), необходимо умножить выраже- ние (G—описывающее шум, на Пг/(пг—«1). При G^>1 и «2>«1 (7.9а) приводится к виду (7.эд Если приравнять последнее выражение к Рп (L) = G ехр _ I > (7 1 °) то снова придем к соотношению (7.5а). Следовательно, шумовая температура усилителя та же самая, что и в предыдущем случае. В. Шум в лазерных усилителях Уравнение (7.9а) справедливо также и для лазерных усилителей. При и G^>1 оно сводится к Pn(L) = GIP„(0)+W], (7.11) где Ри(0) —теперь мощность шума, связанного с при- нимаемым излучением. Шум спонтанной эмиссии уси- лителя соответствует, таким образом, одному кванту на входе на единицу полосы пропускания. 7.2. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА УСИЛИТЕЛЕЙ НА ВАКУУМНЫХ ТРИОДАХ И ПОЛЕВЫХ ТРАНЗИСТОРАХ В настоящем разделе будет развит общий подход к представлению шума в активных четырехполюсниках 9. Будет также показано, что различные способы подклю- чения прибора к схеме дают аналогичные коэффициенты шума. Соответствующий анализ усилителей на биполяр- ных транзисторах приведен в § 7.3. и Этот общий подход был впервые развит Рутом для триодных усилителей {94].
А. Каскад с общим истоком и нейтрализацией На рис. 7.3 показана эквивалентная схема, усилителя на полевом транзисторе с общим истоком в случае ней- трализации емкости Cgd затвор — сток. Шум затвора опи- сывается посредством генератора тока ig-—i'g + i"g, а шум стока — генератором тока id- Ток ig разбит на две части: i'g, полностью коррелированную с id, и часть i"g, не кор- Рис. 7.3. Эквивалентная схема каскада на полевом транзисторе с общим истоком при наличии нейтрализации. релированную с id. Крутизна обозначена символом Ym, чтобы отметить, что это обычно комплексная величина. Для шумового тока гВых в цепи короткого замыкания на выходе имеем i2 ВЫХ |/d + ^g|2 = 4feZog-sAf+ ig2 I Уа + УД2 |K»I2+ Ys+YB / __• ,2 Уе+уи (7.12) t'gKm • K+V d Поскольку Tg и id полностью коррелированы, i'g/id есть комплексное число, которое не флуктуирует. Введем шумовую проводимость gn, шумовое сопро- тивление Rn и корреляционный адмиттанс УКОр следую- щим образом i’2 = ikTognbf, i2J\Ym\2^ikT0R^f, YKop = i'eY,nfid. (7-13) Так как i'g/id — комплексное число и i’gi*d=igi*d, по- скольку i"gi*d = 0 по определению, имеем у —у _____________ l'gl*dy 1в1*а у (7 13а) й й % %
Вводя обычным образом коэффициент шума F, полу- чаем F=l+^4-^|Ks4-yg + yK0Pp. (7.14) 6S GS Подставляя = gsj^s. yg=:£g + jfeg и укОр = = S'kopH~ j^Kopi можно записать это уравнение в виде F = 1 +4”- (£S + £g + £кор)'! + GS GS +4^+^+w- f'-i4a) GS Данная зависимость, рассматриваемая как функция настройки, т. е. как функция bs, представляет собой па- Рис. 7.4. Избыточный входной шум A/Mtn как функция входной емко- сти С при нейтрализованной Cag для МОП-транзистора № 23 [58]. 2kT Теоретическая зависимость: А/0КП ~ (ЛС)2. о, X—f=l Мгц', Д/экв=0,00975 (АС)2 мка, масштаб ДС=2,55 пф1дел. f=15 Мгц: Д/окв =0,297 (АС)2 мка, масштаб ДС=0,90 пф1дел. раболу (рис. 7.4), по которой, зная igs, можно опреде- лить Rn. Парабола достигает минимума =1 + iL+4rfe + ^ + ^op)a (7-146) при ^s + ^g + ^Kop= 0. (7.14в)
В этом случае схема настроена на минимум шума. Так как настройка входной цепи на максимум коэффи- циента передачи отвечает условию bs+bg=O, нетрудно определить &кор по минимуму кривой1) F от bs. Практи- чески найдено, что этот минимум лежит вблизи значения bs, при котором входная цепь настроена на максимум коэффициента передачи сигнала, поэтому обычно можно настраиваться именно на этот режим. Из рис. 7.5 следует, что выигрыш в коэффициенте Рост емкости. С, дел Рис. 7.5. Входной шум /экв ЕХ как функция входной емкости С при нейтрализованной Cag для МОП-транзистора № 23 на частоте 6,5 Мгц [58]. Сопротивление нагрузки равно 1 ком, Vds=6 в, Vgs«0 в. Масштаб 0,9 пф!дел. мум шума, меньше 10%. Можно также отметить, что 6КОр положительно для данного конкретного МОП-тран- зистора. Теория же, развитая для высокоомных подло- жек, предсказывает для 6Ю)р отрицательные значения. Коэффициент шума Ft как функция gs имеет мини- мальное значение Fwwn, которое можно иайти, дифферен- 4 Если для определения коэффициента шума на входе исполь- зуется шумовой диод, то настройка на максимум сигнала осуще- ствляется путем перевода шумового диода в режим с большим то- ком и последующей настройкой на максимум выходной мощности. Если настройка на максимум сигнала достигается при bs~-bsi, а ми- нимум F имеет место при bs=bs2, то 6si+bg=0 и &£2+&е+^кор=0, так что &HOp = bsi—bs2.
цируя Ft по gs: ^мин1 +2^п(ёй + £кор) + 2 ^ngn + ^2 (gg+gKop)S (7.15) при ^Vfe + ^opF + gn/^ (7.15а) Таким образом, коэффициент шума прибора полностью определяется четырьмя параметрами: Rn, gn, giwp и ^кор- Чтобы показать, как измерить первые три величины, запишем (7.146) в виде Ft=A+(B/gs)+Cgs, (7.16) что представляет собой гиперболу. Сравнивая (7.16) и (7.146), находим: 4 = 1+ 2/?n(g-g+gw,), B = gn+Rn(gg-i-gK0V)2, (7.16а) так что gg+lgKop=(4—1)/2С, gn = B—(Л—1)2/4С, Rn = C. (7.166) Следовательно, измеряя коэффициент шума Ft как функцию gs и полагая данные подчиняющимися уравне- нию вида (7.16), можно определить экспериментальные значения А, В и С и вычислить отсюда Rn, gn и gg+gnop (рис. 7.6). Если независимо измерить gg, то можно вы- числить §кор- Значение Rn, определенное из рис. 7.6, дол- жно совпадать со значением Rn, найденным из рис. 7.4. Для рассматриваемого примера это действительно вы- полняется, так как рис. 7.4 дает 7?п = 750 ом на частоте 1 Мгц и 610 ом на 15 Мгц, а из рис. 7.6 Rn=779 ом на 1 Мгц и 593 ом на 15 Мгц. В данном конкретном случае нельзя было прене- бречь проводимостью gc резонансного контура. Однако учет этого обстоятельства сводится всего лишь к замене gn на gn+ge И g'g+g'nop на gg+gc+gKop, так что (7.166) принимает вид gg+gc+g«op= (4—1)/2С, gn+gc=B— (4—1)2/4С, Rn = C. (7.16в)
Холидей и Ван дер Зил {58] получили следующие резуль- таты: Л Мгц £ДХЮ4, сим йХЮ*, сим £ПХЮ*. сим gwXlO4, сим. Rn. ом 1.0 0,66 0,35 1,04 0,63 779 2,0 0,80 0,80 2,90 1,70 640 4,0 1,10 2,10 9,80 3,47 531 6,5 1,40 4,60 16,0 9,70 515 10,0 1,60 9.90 37,6 14,2 521 15,0 2,00 20,5 46,0 23,8 593 Транзистор имел gm=§ Male, так что теоретическая величина Rn составляла ПО ом. Измеренное значение получилось приблизительно в пять раз больше. Это рас- хождение частично связано с тем, что ймакс<Й'с!о- Однако последним можно объяснить здесь только разницу поряд- ка 10%- Основное различие связано с нетепловым шу- Рис. 7.6. Зависимость коэффициента шума Ft от сопротивления источника Rs с частотой в качестве параметра для МОП-транзисто- ра № 23 [58]. Vds-Vds(IIao), Vgs=0 в. 7d=5,55 Ma. D-М Мгц. Ft = l,245 +2,61X10-^ + +779/7? ; А — /=4 Мгц, Д(=3,87 +7,99Х10-3«в+521//?8; Х-/“Ю Мгц, Ft = = l,71 + l,74X10-’7?£+531//?s; О — f=15 Мгц, F(=6,42+l,79XI0-!7?s+593/7?s. мом, генерируемым в канале. Это также объясняет и тот факт, что 6коР имеет неправильный знак (рис. 7.5). Отметим также, что gn значительно больше gg и £кор>1§к. Согласно теории МОП-транзисторов с высоко- омными подложками, gn должно быть несколько меньше
(4/3)gg, a gKop должно быть мало по сравнению с gg Эти эффекты также следует отнести за счет нетеплового шума, генерируемого в канале. Как упомянуто, представ- ляется, что этот избыточный шум не является неотъем- лемым свойством МОП-транзистора. Для полевого транзистора с р-п переходом Rn = = a]gma, причем а=^2/3, a gm&— низкочастотное значение крутизны. Кроме того, gn—gg, a gKop относительно мало по сравнению с gg (59]. Все это хорошо согласуется с теорией. Хорошей аппроксимацией (7.15) является в данном случае Л™ = 1 + 2 V^gg А-• (7.17) Следует отметить, что Rn не зависит от частоты в ши- роком диапазоне частот. Таким образом, можно с хоро- шей точностью положить Rngg=Df2, или Тмин = 1 + Df2 + 2 }fDf2 + (Dfy. (7.17а) Измерение РМИн на какой-то одной не слишком низкой частоте позволяет найти D и, следовательно, предсказать значение КМ1Ш в широком диапазоне частот. Из ((7.17) следует, что FMI5H = 3-J-2]/2 = 5,8 при Rngg—Y Это означает, что можно определить гранич- ную частоту fc для коэффициента шума, полагая Rngg = 1. или fc = 1 / VD. (7.176) Частота, полученная таким образом, не слишком отли- чается от граничной .частоты по крутизне fo, входящей в выражение для Ym: У ётО (7.18) найденное в (5.45). Б. Схемы с общим затвором и общим стоком Докажем, что схемы с общим затвором и общим сто- ком (или истоковый повторитель) имеют тот же самый коэффициент шума, что и схема с общим истоком, при условии, что емкости обратной связи в каждом случае нейтрализованы. Для этого рассмотрим схему с общим затвором с нейтрализованной емкостью Cjs (рис. 7.7,а)
для случая, когда проводимость gds пренебрежимо мала. Тогда при коротком замыкании на выходе имеем: Lix -- gYm ^dYm I : }^Y^rtd 4fc7gsAf+ i”2 |Г, + Yg + Гт|* IM+ 1 '9. 4kTgsbf+ ie (7-19) Снова вводя параметры gn, Rn и УКОр, получаем для ко- эффициента шума f=1++W’ (7-2°) SS 6S что идентично значению, определенному (7.14) для схе- мы с общим истоком. s Л Рис. 7.7. Эквивалентные схемы полевого транзистора с общим за- твором («) и истокового повторителя с нейтрализованной емкостью Cg. (б). На рис. 7.7,6 изображена схема истокового повтори- теля с внутренней обратной связью, которая нейтрализу- ется проводимостью ]Ьп. Замкнем выход и определим ток
в закорачивающем проводнике. Генератор тока is дает вклад ^s + Vg + jbn Гт+ gs + Kg' + K (Г«+j6?,) = _ МГт + Гд + ]М gs + Kg + j*>n Вклад генератора тока ig равен ----------fe______Y J----------£?______. p S. + Yg + \bn g-s + rg + K & _____^g (Km gs) gs + Kg + j^n * (7.21) (7.22) а шум стока дает вклад — id в «вых. Следовательно, С -1^+Y*+ibn I -2 П+^+|а+ +^"2^-^|г+ +1 - i'e (Ym - gs) - id (gs + + jfcn)H, (7.23) так что коэффициент шума можно записать как 2 Г gn L д» F=l + _______л т________ Гт + 7g + jbn 1 __ gs K„ * m +4^ rK0Pfl--^?)+^ + rg + j&n2l, (7.24) ss \ J tn у J где использованы те же самые параметры gn, Rn и Укор- На относительно нрзких частотах 1М>1^+М и |1-(&/М-!- В этом случае (7.24) сводится к 1 + ~ -Hr &++r-₽ls’ <7-24а> 63 &S которое идентично (7.14) и (7.20). На высоких частотах частично из-за члена |K'm/(lzml+ + Yg+jibn) |2 и частично из-за 11—(gs/Ym) |2 коэффициент шума нейтрализованного истокового повторителя не- сколько ниже, чем для нейтрализованных каскадов с об- > Мы пренебрегаем здесь влиянием емкости Сеа. Это можно обосновать предположением, что входная цепь настроена на цен- тральную частоту полосы пропускания.
щим истоком и с общим затвором Ч Это не означает, что истоковый повторитель с нейтрализацией и в самом деле лучше. Чтобы обнаружить это, необходимо вычислить номинальный коэффициент усиления каскада и опреде- лить далее шумовое число. Вычисляя номинальный коэффициент усиления, учтем, что э. д. с. v, введенная в проводник, закорачивающий выходные зажимы, оказывается нагруженной на адмит- танс ^ВЫХ — “ у 8 lh П S& — £lb!X ~|- j&BbIX- (7.25) Ks T 'st Fn Тогда (7.21) может быть записано как ^'вых — (t's/gs) Увых- (7.26) Следовательно, номинальный коэффициент усиления по мощности равен П _(l/4) ^Lx/g^x |УЕЫХр “ (1/4) i2s/gs Ssg^‘ (‘ На высоких частотах проводимость gs крайне велика, И | Квых | может быть сравнима с gs, так что коэффициент GH мал. Поэтому истоковый повторитель с нейтрализа- цией не приносит особой пользы на высоких частотах. Таким образом приходим к заключению, что все три схемы имеют один и тот же коэффициент шума при одинаковой проводимости источника и той же самой на- стройке входной цепи. Поэтому сравнение этих схем по- лезно только тогда, когда желательно проверить пра- вильность техники измерений или допущений, на которых базируется эквивалентность коэффициентов шума этих схем. Не следует ожидать хорошего совпадения между из- меренными коэффициентами шума схем с общим исто- ком и общим затвором при малых значениях gs. В дан- ной ситуации коэффициент усиления по мощности иссле- дуемого каскада с общим затвором очень мал, и поэтому главный вклад в результирующую мощность шума на выходе измерительной системы дает шум последующего Мы здесь пренебрегли членом, содержащим Укор.
усилителя. Незначительная неточность при учете шумо- вого каскада последующего усилителя приводит к боль- шой погрешности в коэффициенте шума исследуемого каскада. . В. Коэффициент шума полевых тетродов Полевые тетроды представляют значительный интерес для усилителей высокой частоты, поскольку отпадает не- обходимость в нейтрализации. Поэтому следует дать точ- ное выражение для их коэффициента шума. Соответст- вующее рассмотрение справедливо также для каскодных схем на полевых транзисторах и вакуумных триодах. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, сколь значи- телен вклад второй половины полевого тетрода в коэф- фициент шума прибора. В качестве характеристик этого вклада введем второе эквивалентное шумовое сопротив- ление. На рис. 7.8,а показана полная эквивалентная схема прибора, где Fgsi и Ygs2— адмиттансы затвор — исток, a Fml и Ym2—комплексные крутизны. Шум затвора первой половины прибора разбит на часть i'gi, которая полно- стью коррелирована с шумом стока :цц, и часть i"gi, ко- торая не коррелирована с idi- То же самое сделано с шу- мом затвора ig2 второй половины по отношению к шуму стока £<22- Расчет выполняется в два этапа. На первом этапе, изображенном на рис. 7.8,6, межкаскадная цепь закора- чивается и шум второго каскада представляется посред- ством эквивалентного генератора тока i'di на выходе это- го каскада. Если обозначить через £Bbixi ток короткого замыкания на выходе первой половины тетрода, то •2 \Ym, — jcoCde|2 Г .2 . ВЫХ1 | ys + Kgsi + j<oCdgr [ « “Г +"С+1’ I 72 in + rscl+>Qg|2 Г ~ <» |Kml—>Cdg|2 J Если теперь подставить ^Zs=;gs_|_ j^s> rgS1 = ggsi -ф- f=4^sAf; Т7=4ЩгП1Д/; (7.28)
id.2 Рис. 7.8. Эквивалентные схемы полевого тетрода: а —полная схема; б — схема, в которой шумы второй половины схемы (а) замещены током i'di, протекающим в проводнике, закорачивающим выход первой половины; в — схема для вычисления i'd.
F=4kTRni&f\Ymi~ al i'2 = 4kTR'niAf^Ym,-j<OCdsls; yK0P1=-^(ymi-hCdg)= ldl -4^i-(ymi-jcoCdg), & получаем для коэффициента шума F = 1 + |У8 + Уё81 + jwC*, + УК0Р1|= + gs ss +-^-|ys + ygS1 + j“Cdg|2. (7.29) 68 Величина F как функция bs достигает минимума между ^SJ — (CgSj-4~£'rfg4_£'K0Pl) И ^SJ — (Cgsi что совсем близко к настройке на максимум коэффици- ента передачи. Поэтому коэффициент шума при настрой- ке равен ^настр ~ 1 + ggsi + §коР1)Ч~ +^ta+«s„)-«l+^+ + (g.+g„,)-, (7.30) до тех пор, пока проводимость gKopi не слишком велика. В этом случае влияние второй половины проявляется только в увеличении шумового сопротивления всего ан- самбля. Следующий этап заключается в вычислении R'ni, для чего определим прежде выходной адмиттанс Увых первой половины тетрода. Еслй поместить в короткозамыкателе на выходе э. д. с. v (рис. 7.8,6), то получим результирую- щий ток f = Увыху == Утх^ёх 4“ wgi)- Но, как можно видеть, »gi = ^Cdgl(Ys 4- Ygsi 4- jmCJg),
так что Г' Увых = ]шС7; (^mi + ^s + ^gsi!)/(jU)^dg + ^s 4“^gsi)- (17.31) Г 1 ' : Заменим теперь первую родовину полевого тетрода проводимостью УВых, сохранив ..шумовой ток короткого замыкания стока idi этой половины, чтобы вычислить i'dl. Тогда эквивалентная cxeiyа. второй половины приоб- ретает вид, показанный на рис. 7.8,6. Ток короткого за- мыкания на выходе второй прдовинЫ равен г"вых2 = Odi г gs “Ь г gs) у :-1_У -.7 у.. F I + (у +7^7— 1-0- - \1и!Т1ргт',ых- / . W = у +у"+ — (7-32>. 1 тг “Г 1 gs2 г * сых так ЧТО gs Р gs) 7rfs (^gss “l” Увых)/Утг (/.32 а) и, следовательно, Т = 4kTR'nibf |У„?1 - j<oCdg|2-= - ---- /2 I 7 V 2 ___. ;"2 । d2 \ t- g2*m2 । v IV <- — g3 “Г |yms|2 + EbIX^; ьл: = [gni + Япг |TBbIX + ygS3 + У^ойРрЧ -(7-33) где —775 !l 0= „ч ^ =4kTgnsAf, - ~ - ——- p - '( q “t fl л ? rr p pr i2ds=4kTRns&r |ymsi2, ;7\..y-oT-T ;7;2.d: I'kops = 4^ Ym2. 'Сйэ74нОт 17 Таким образом ' пнудг е/ д.н R'ni == (gns-}- 7?Пз |Увых4~ yg.i2~H ^xopsl")/fFnii „ь эпа(7;34) / ;9Ш"!ЭН^Г,£ Часто проводимость УКорг настолько- м-Йй^Й^ нием можно пренебречь. >/п cir 1!
Рис. 7.9. Зависимость коэффи- циента шума от частоты для кас- кодной схемы (• ), для каскодной схемы с нейтрализацией в первой ступени (О), для каскодной схе- мы с нейтрализацией в первой ступени и настроенной соедини- тельной цепью между первой и второй ступенями (Д) и для по- левого триода с нейтрализа- цией (X) [98]. трализовать емкость при На относительно низ- ких частотах aCdg | Увых+^gs2| И | Yml |. В этом случае можно пренебречь сопротивле- нием R'ni по сравнению с Rni, и тогда коэффи- циент шума тетрода соот- ветствует коэффициенту шума первой половины. Однако вблизи граничной частоты jfo транзистора по крутизне сопротивление R'ni может быть сравнимо или больше, чем Rni, так что необходимо учитывать влияние второй ступени. Исследуем в заключе- ние, какие открываются дополнительные возмож- ности, если тетрод снаб- жен пятью внешними вы- водами: gi, Si, rfi = S2, £2 и d2. В этом случае ста- новится возможным ней- помощи настройки, а так- же настроить межкаскадную цепь. Обратимся вначале к первому эффекту. Поскольку Ymi — 4~ jf/fo)» то 1^»ч |УТО1|. На первый взгляд представляется, что емкость Cdg ока- зывает благотворное влияние как на Rni, так и на R'ni. Но этот вывод не учитывает влияние УВых на R'ni- Вбли- зи граничной частоты по крутизне проводимость УВых становится очень большой, а это способствует значитель- ному увеличению R'ni- В большинстве случаев последний эффект доминирует, и поэтому устранение Cdg нейтрали- зацией (т. е. настройкой) оказывает положительное воз- действие. Дальнейшее улучшение может быть получено при на- стройке межкаскадной цепи на центральную частоту полосы пропускания. В этом случае | УВЫх+ Удвг+Укорг!2
можно заменить на g и тогда (7.34а) На рис. 7.9 приведены результаты измерения коэффи- циента шума каскодной схемы на полевом транзисторе с нейтрализацией и без нее, а также при наличии и в отсутствие настройки межкаскадной цепи. Из него сле- дует, что перечисленные меры позволяют значительно улучшить коэффициент шума. Клаассен [95] сообщил о полевом тетроде с каналом длиной 3 мкм, который обладал приемлемыми шумовы- ми свойствами на частотах вплоть до, приблизительно, 1 500 Мгц. Г. Шум нейтрализованных каскадов на вакуумных триодах Теория, развитая для полевого транзистора при вклю- чении его с общим истоком, остается справедливой и для вакуумного триода, включенного по схеме с общим като- дом, при условии нейтрализации емкости анод — сетка. Используя обозначения, введенные в п. Б § 6.2, имеем для наведенного шума сетки i'g=ic—ia (причем следова- ло бы ожидать полной корреляции этого тока с ia) и для электронного адмиттанса Yge=Ymc—Yma. Оказыва- ется, существует также некоррелированная компонента i"g наведенного тока сетки, порождаемая неоднородно- стью электронного потока, обусловленной проводами сет- ки. Наконец, необходимо помнить, что в полевом транзи- сторе ток стока id вытекает из стока, тогда как в вакуум- ном триоде анодный ток ia втекает в анод. По аналогии с (7.13) положим = ^Таёп^, = 4kT0Rn&f, ^кор == (*'gA'a) Yma (i • 35) (обратите внимание на знак минус в выражении для ^кор!) . Далее по аналогии с (7.14) получим F =1 + 1Ув + У^ + У«°р12‘ <7’36) 68 6S
Иногда необходимо учитывать влияние проводимости ре- зонансного контура gc- Можно отметить, что (ср. с п. Б § 6.2): I V V у "I 1 тс 1 та ~ ; 1 та — 1а = 2~gmiWTi (1 — ~^^-{-Утс — -ц-Ута-^ I а ______________(1/3) ]<ОТ1___________ ' ёт (1/3) (jwti) Фб (jwt,) + [ф3 (jco-c!)]а exp (jto-,) Разлагая в ряд Тейлора по jo и пренебрегая членами со степенями j<o выше второй, получаем после некоторых преобразований: Yge + ^кор = (---§"+4"^) >Т1^и + 0 (jonj2 gm. (7.37) ПолаГЭЯ Yge — gge^j^Cge И Укор— Якор-Ь j (0 Скор, ИМССМ с точностью до членов второй степени по jo: (CgeH-^кор) — ( “g | Tigm> gge-f-gKop —0. \ “eg J (7.37a) Рис. 7-10. Зависимость эквива- лентного тока насыщенного диода для лампы 6АС7 от ве- личины входной емкости. Лампа включена как триод с ней- трализацией емкости анод—сетка при gs=0. Лэкв представляет шум цепи настройки, некоррели- рованную часть наведенного шумо- вого тока сетки и — корре- лированную часть наведенного шума сеткн. Приведенное графиче- ское построение справедливо, если 0,05/?п£?с мало по сравнению с другими величинами (особенно ^%KB)- Входная цепь является на- строенной при Cfi=0, если лампа заперта. Входная цепь настроена на максимум сигнала, если Cs = =—когда лампа работает в нормальном режиме. /экв становится минимальным при Cs = —Скор. Изме- рения показали, что емкость Скор очень мала. Поскольку одно деление со- ответствует 0,29 пф, то Cge составляет 1,97 пф [99].
Следовательно, при настройке на минимум коэффициен- та шума Ft= 1 + (gn/gs) ~i~Rngs, (/.38) так что минимальный коэффициент шума оказывается равным FMBH = 1 + 2 / Rngn при gs = (gs)onT = /gnIRn (7.39) Аналогичные результаты должны получаться и для схемы с общей сеткой. Для триодов в металлической оболочке dm— (l/3)dcg, и поэтому (Cge+CKap)^0 (см. рис. 7.10). В этом случае нельзя пренебрегать проводимостью резонансного конту- ра gc. 7.3. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА КАСКАДОВ НА БИПОЛЯРНЫХ ТРАНЗИСТОРАХ А. Коэффициент шума схемы с общей базой Начнем анализ со схемы, с общей базой, показанной на рис. 7.11, которая является некоторой детализацией рис. 6.3,а. Если предположить, что шумовое напряжение, Рис. 7.11. Эквивалентная схема каскада на биполярном транзисторе с общей базой. развиваемое на коллекторной емкости СсЬ, велико по сравнению с шумом в других частях схемы, можно пред- ставить шум как i+aig, где |г + «ге|2= |4feT(/?s + rt) Д(| . |3 |Zs + rb + Ze|s 11 (7-40)
Разобьем теперь е на часть е', полностью коррелиро- ванную с i, и часть е", не коррелированную с i, и введем параметры 4£77?neAf, F/|a|2 = , 2Кор = а-7-=аег7»2- (7.41) Тогда коэффициент шума схемы может быть записан как F=l+ rt + ^+^-|Zs + rb + Zc + ZK0P|2. (7.42) “s t\s При Zg /?s -1- jXs, Ze —- —J— j-^e И ZKop Ккор I ' j-^кор схема настроена на минимум коэффициента шума, если Xs+Xe+XKOP=0, (7.43) а значение коэффициента шума Ft при настройке равно Pt= 1 +—^ + -^7 (Я;+гЬ'+Яе + + ^kop)s = Z1 + ^+C/?s. (7.44) По отношению к iA?s это гипербола, причем 71 = 1 2g„e (гь -|- Re RKop), — gne(fb-[- Re-\- RKO^Z, C = gne, (7.44a) так что ГЬ + -/?е + -/?кор =И — 1)/2С, ГЬ + Rne = =В-(Д-1)74С, gne = C. (7.446) Измеряя зависимость Ft от Rs, можно эксперименталь- но определить Л, В и С и далее вычислить gne, Гъ+Rne и rb+J?e+^KOp. Поскольку /?е~/?е0~26/7Е и Rne~ (l/2)J?e0oi 13/Те, где 1е— величина тока в миллиампе- рах, мы можем, таким образом, вычислить gne, Гь и 7?Кор по шумовым данным. Во многих случаях влияние Хкор относительно мало. Рис. 7.12 показывает зависимость гь+Rne от тока эмиттера 1е СВЧ транзистора. В этом случае гь, очевид-
но, не зависит от тока, так что гь+'/?пе можно предста- вить формулой Гь+^пе = 35 + 13/7^; (ом), (7.44в) где 1Е берется в миллиамперах. Это дает Гь = 35 ом и Rne^ (1/2)/?ео, как и следовало ожидать. Обычно Rne на- столько МаЛО, ЧТО ВПОЛНе ДОПУСТИМО ПОДСТаВИТЬ Rne — ~ (l/2)i/?eo и вычислить iffc по имеющимся данным. Рис. 7.12. Зависимость гь+Rne от для 27V2996 № 31, Ge, р-п-р транзистора, Рсв=—6 в, f=4 Мгц [96]. Практически это один из наиболее точных методов опре- деления гь. Согласно (7.44) минимальный коэффициент шума ра- вен ^мин=Л + 2 У ВС при Rs = (Rs)0I„=yB/C. (7.45) Подставим сюда значения для Rne, gne и 7?КОр. Из теории известно Rne— (1/2)7?е0, сопротивление /?КОр пред- полагается очень небольшим, так что им можно пре- небречь, a gne получается из (6.20) как „ af а—и+т2) i-^+r/L2 ёпе~ «20 2ReQ ~ 2Re0 ' V-D- Здесь пренебрегли током насыщения коллектора 1Со а ау/а^ заменили единицей. Выполняя подстановки, на- ходим
На относительно низхих частотах, где 1 —а/, член (1 — rb/Rео) настолько мал, что им можно пренебречь. Тогда с хорошей точностью Лшн = 1 + /(1 -afW+Zi-b/ReJ. (7.47а) При flfa>W=^ коэффициент шума начинает воз- растать с ростом частоты. При 1 — af Частота.,Мгц Функция меняется как fffa, если отношение f/fa относи- тельно мало, и как f2/fl если fl'fa относительно велико, т. е. при f//a> 1. На рис. 7.13 приведены результаты измерений коэф- фициента шума СВЧ транзистора, о котором говорилось 13 11 9 5 7 5 3 1 Рис. 7.13. Зависимость минимального коэффициента шума от часто- ты для 27V2996 № 31, Ge, р-п-р транзистора при /е=1,5 лш, Рсв = ——бе [96].
в связи с рис. 7.12. При использовании значений гь/Гео, а, и f, показанных на рисунке, получено хорошее соответ- ствие между теорией и экспериментом. На рис. 7.14 для того же самого транзистора построены графики зависи- мости Гмип от тока эмиттера 1Е с частотой f в качестве Рис. 7.14. Зависимость коэффициента шума от ГЕ с частотой в каче- стве параметра для 27V2996 № 31, Ge, р-п-р при Vcb = —6 в [96]. @ — 30 Мгц, О — 100 Мгц, Q — 200 Мгц, X — 500 Мгц, А — 1 000 Мгц. параметра. Возрастание Гмин при очень малых и очень больших токах обусловлено уменьшением fa. Снижение fa при малых токах вызвано следующим. Эмиттерный переход имеет емкость СТЕ, связанную с об- ластью пространственного заряда перехода, и емкость Са, обусловленную накоплением дырок в базе. Выраже- ние для fa может быть записано в виде : _ 1 /7?со а (СТЕ -|- Cj) (7.48) Величина СТЕ почти не зависит от 1Е, а 1//?со и Cd прямо пропорциональны 1Е. При достаточно больших токах CTE<Cd и fa практически не зависит от 1Е, но при малых токах СТЕ>Са и поэтому fa линейно убыва- ет с уменьшением 1Е.
Падение fa при больших токах вызвано тем обстоя- тельством, что ток через коллекторный переход начинает ограничиваться пространственным зарядом. При задан- ном напряжении на коллекторе Vcb ток в этом случае может возрастать только за счет расширения области протекания тока. А это ведет к росту эффективной дли- ны участка диффузии в области базы, и следовательно, к уменьшению fa. Грубая оценка показывает, что fa меняется как 1//^, а так как Гмин меняется как при то это- соответствует изменению Гмин от 1Е как I*. Это очень хорошо согласуется с экспериментальными данными (см. рис. 7.14). Подробности могут быть найдены в [96]. Обратимся теперь к измерениям в планарных крем- ниевых транзисторах с граничными частотами по крутиз- не между 50 и 200 Мгц, так как они обнаруживают инте- ресные данные, относящиеся к корреляционному импе- дансу /кор=i/?Kop+j-Хкор. Теоретически ^?Кор должно бы быть пренебрежимо малым на низких частотах, а 7?КОр и Акор должны бы быть относительно малы на всех ча- стотах. Рис. 7.15. Зависимость iRn от J?s для 2ЛП564 № 1 на частоте 550 кгц при /Е=1 ма 197]. О — экспериментальные точки. Кривая построена по уравнению R — + при Л = 134 ом, В = 1,35, 12,3X10~4 сим.
Измерения выполнялись путем определения эквива- лентного шумового сопротивления Rn = FRs прибора. Со- гласно (7.42) и (7.44) Rn = FRS = В + ДТ?8 + CR* + С (Xs + Хс + Хкор)2, (7-49) где А, В и С имеют прежний смысл. Величина Хкср из- мерялась путем включения переменного реактанса Xs по- следовательно с Rs и настройкой на минимум шумового Рис. 7.16. Зависимость /?НОр от частоты для 27V1893 с 1Е в качестве параметра (97]. зультаты измерения Rnt, а на рис. 7.16 и 7.17 построены зависимости /?КОр и —ХКОр от частоты с током 1е в каче- стве параметра. Измерения показывают, что RKop было очень большим, особенно на низких частотах, что веще- ственная часть (a*ZKOpgne) велика по сравнению с мни- мой частью и что в большинстве случаев RkoP было зна- чительно больше ХКОр.
Рис. 7.17. Зависимость ХКОр от частоты для 2/71893 с If. в качестве параметра [97]. Согласно определению ZKOP, так как е" и I не корро- дированы, а е' и 1 полностью коррелированы, имеем = ZKOP -J- =4^Afa*ZKopgne =* IkTbfRe (a*ZKopgne) = . (7.50) Величина ZKop меняется как 1/]/7£, a gne и г птямо пропорциональны IЕ, так что, с некоторым приближением, е'3 не зависит от тока. Так как е"2 обратно пропорцио- нально 1Е, считается, что наличие у е коррелированной части ef связано с эффектом высокого уровня инжекции, причина которого в настоящее время не известна. Подставляя в (7.45) выражения для А, В и С, имеем ^"мин-------- 2gne (Гь + + RKop) “Ь + 2|/ (гь + Rne) gne + 4 (гь + /?е -J- /?кор)2. (7.51) Согласно [97] при больших токах член gneRiwp нахо- дится в пределах от 0,2 до 0,5. Кроме того, в широком интервале 1Е произведение gneRvap изменяется как 1Е (рис. 7.18). Поэтому корреляционное сопротивление 7?кор может служить причиной значительного увеличения СМШ1, особенно при больших токах.
Рис. 7.18. Зависимость g-,,eRKOp от IЕ на частоте 550 кгц при VCB = — 10 в для ряда транзисторов [97]: О —2W930 № 2, [3 = 150, гй=200 ом, . — 2W1566 № 4, ₽ = 160, гь = 120 ом, A —2W698 (27V189.3) № 1, ₽=142, гь = = 80 ом, X—2W1566 № 1, ₽ = 100, гь = 230 ом, □ — 27V2411, [3=32, гд = = 100 ом, 0 — 2Л11564 № 4, ₽=25, гь = =70 ом; gne7?Kop=const V 1Е. За исключением эффекта корреляции, который нуж- дается в дальнейшем изучении, теория удивительно хоро- шо подтверждается экспериментом даже при таких то- ках, где можно было бы ожидать высокого уровня ин- жекции. Б._ Коэффициент шума транзисторной схемы с общим эмиттером Покажем теперь, что схема с общей базой и схема с общим эмиттером, в которой нейтрализована емкость, обратной связи СЬс, имеют идентичные коэффициенты шума. С этой целью обратимся к рис. 7.19, который явля- ется развитием рис. 6.3,6. Если Zs=J??+jXs, имеем С=4^^+гь) 1/Пе -Z + ГЪ + 1/Еье MZs-Hb) (1/Уье) у 2»+Гь+1/Уье “ 2 (7.52> так что коэффициент шума при включении с общим эмит- тером р — 1 _|_ 2а__|---!____ К ~ 4kTRt&f xl к (Zs + rb) - i2 г«+р + 1/гЧ- \ (7.53) I * се/ 1 be
Рис. 7.19. Эквивалентная схема транзистора при включении его с общим эмиттером. тогда как при включении с общей базой согласно (7.40) р 1 I Гь । 1 11 (Zs + + гь) । е 2 (7 54) р-1+^г+4тадг| к Здесь ib = ii—(2, 1=1г—ait, a=Yce/Ye, e=dilYe=iiZe и Ye=Yce+Ybe в соответствии с гл. 6. Отсюда для послед- него члена уравнения (7.53) имеем (О ' ^*2) (Z8 “I- Гь) -|— i2 (ZS + П>) ^Ье + 1 = - i, (Zs + Гь) + *2 (^ + гь)Ге+.1= * се Ч (Zs 4- rb+Ze)+f'2 (Z° +аГь + Z^+itZe= f (£s + ГЬ + ^е) I с а, ' так что последние члены в (7.53) и (7.54) и в самом деле идентичны. Это означает, что обе схемы имеют одинако- вые коэффициенты шума, если только осуществлена ней- трализация. Учтем теперь влияние емкости СЬс. Если 1 /Z Ье Еье "ф" ^СЬс, получаем j2—_4fe7(/?s + rb)AH^be[2 вых |ZS + Гь + ^'be\z Fee- >СьсГ + 2 Ц (^s ~Ь гь) ^'ъе Zs 4“ ГЪ + ^-'ъе (Е се j0^ Ьс) 7 (7.55)
так что коэффициент шума становится равным 1 4kTRshf i (7 I г- _____ <а (%* 4~ ГЬ 4~ Z'be) 1Ь{^^ГГЬ) Z'beO^-jcoCbc) 2 (7.56) Заметим теперь, что - - о (z. +г„)+4ЯЯйг“ ~ <z-+<•>>+ | ; (Zs + гъ) (Усе — foCbc) + (Z, 4~ >'Ь) (Хье + jc°Cbc) + 1_ f 2 Усе-jwCbc = ~ it (Zs + гь) + iz ^+^-±1= - Ч (Zs + ГьЯ-Ze) + i2 he, где e=iiZe. Отсюда ГЪ I ___ R„ ~T 4kTR^f - <z-+r‘+z->+e[• ₽-5fe> Следовательно, влияние обратной связи проявляется лишь в том, что а должно быть замещено разностью (а—jaCbcZe). Если выбрать i —iz ii(ct j(tiCbcZe) (7-57) в качестве нового источника шума и ввести шумовые па- раметры g'ne, R'ne и Z'kop при помощи определений 77а --- |а_ —^Tg’neM> е"2 = 4kTR'ne&f, Z'KOp~-f- (а — j<oCbcZe), (7.58) где е' полностью коррелировано с I', а е" не корродиро- вано с i', то получим F = 1 +Гь+^пе .+^ [Zs + + + Z,Kop|2) (? 59) что формально эквивалентно (7.42). Обратная связь несколько изменяет коэффициент шу- ма, однако часто этот эффект не слишком значителен.
7.4. ВЛИЯНИЕ ВЫВОДОВ С=г Рис. 7.20. Преобразова- тель без потерь, отра- жающий влияние индук- тивности выводов в би- полярных и полевых транзисторах. В биполярных и полевых транзисторах, работающих в диапазоне сверхвысоких частот, необходимо учитывать индуктивности выводов. Обычно проволочный вывод мо- жет быть представлен схемой за- мещения (рис. 7.20). Она спра- ведлива для каждого из трех вы- водов прибора и, за исключением самых высоких частот, действует как преобразователь без потерь. Общее свойство любого преоб- разователя, не вносящего потерь, заключается в том, что он не мо- жет изменить минимальную вели- чину коэффициента шума подсо- единенного к нему активного при- бора. Он лишь изменяет импе- данс на входе прибора, а следовательно, и величину Zs или Ys, необходимую для минимизации шума. До тех пор, пока возможна настройка схемы на минимум коэф- фициента шума, индуктивности выводов не оказывают воздействия. Если желательно знать, как они изменяют (^s) опт или (УД оптд влияние выводов следует учесть. На самых высоких частотах провода выводов дейст- вуют как аттенюаторы (см. рис. 7.20). В этом случае влияние выводов увеличивает коэффициент шума. ’ 8 СМЕСИТЕЛИ [10, 108—111] В смесителях действуют колебания трех частот: вход- ной <щ, выходной coo и местного генератора (частота накачки). Лишь колебания с частотой являются боль- шими; колебания двух других частот малы, поэтому к смесителям могут быть применены методы анализа ма- лых сигналов. Необходимо различать два случая 1. |од—'О)о| —пар (п=1, 2, ...), 2. охЧ-'йо =М(0р (м=1, 2, ...),
Когда п=1, говорят о преойразовании на основной частоте гетеродина, а когда п>1, говорят о преобразо- вании на n-ой гармонике. Мы увидим, что в первом слу- чае не происходит опрокидывания фазы входного сигна- ла в процессе преобразования, во втором случае оно про- исходит. Это особенно важно для работы емкостного пре- образователя и параметрического усилителя. В принципе, любой нелинейный прибор можно ис- пользовать в качестве смесителя. Предположим, что име- ется прибор с нелинейной характеристикой I(V), и к его входу приложено напряжение V= Уо+АУр+АУ,, гДе АУг— малый входной сигнал, а АУр— колебание местно- го гетеродина большой амплитуды. Воспользуемся раз- ложением Тейлора по ЛУ$.’ /=7;(уо+дур)+_^Ц=о ду/=/(уо+дур) + + ^(^ + ДУР)АУг, (8.1) поскольку членами более высокого порядка по АУг мож- но пренебречь (малосигнальное приближение). Здесь ёт (У0 ~ Ь ДУр) == ёт (0 ёто ~I- ^ёт1 COS (Dpt -J- 4-2gm2cos2fflpf +... (8.2) — мгновенная крутизна прибора, а 8™.=^ ^ёт(?) cos ti(Dptd ((Dpt) (Ц = О, 1, 2,...) (8.2а) —ГС — п-й коэффициент Фурье крутизны gm(t). Рассмотрим другой вариант, когда имеется двухпо- люсный прибор с нелинейной характеристикой заряда Q=f(V) и к его входу приложено напряжение У=Уо + + АУр+АУь где ДУг — малый входной сигнал, а АУр— большая амплитуда колебаний местного гетеродина. Тогда, пользуясь разложением Тейлора по АУг и удер- живая только члены 1-го порядка малости по ДУ<, полу- чим Q=<Ж+ДУР)+ |д^=0 ДУг-=<2 (Уо+Д Ур) + + С(У04-ДУр)ДУг-, (8.3) поскольку членами более высокого порядка малости по АУ?: можно пренебречь (малосигнальная аппроксима-
ция). Здесь С (Уо + Д Ур)=С (t) = Со + 2С, cos wpt + 4-2С2 cos 2«>pf -j- ••• (^-4) — мгновенная малосигнальная емкость данного прибора, Сп — -^ j* С (f] cosn<optd (<Opt) (ц = 0, 1, 2,...) (8.4a) —к — n-й коэффициент Фурье от C(t). Мы увидим, что коэффициенты Фурье от gm(t) и C(t) играют .важную роль в анализе характеристик преобра- зования сигнала и шумовых характеристик этих прибо- ров. 8.1. ШУМ В СМЕСИТЕЛЯХ С НЕЛИНЕЙНОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ или крутизной А. Шум в диодных смесителях Первым каскадом в приемнике СВЧ часто является смеситель, в котором обычно используются точечные сме- сительные диоды или диоды с барьером Шоттки, имею- щие превосходные частотные свойства, малую мощность потерь и подходящие шумовые характеристики. Для по- нимания шумовых характеристик необходимо сначала достаточно подробно обсудить работу этого прибора. Мгновенная проводимость смесительного диода g(t) как функция (s>pi показана1 на рис. 8.1,а, а схема смесителя на рис. 8.1,6. g(t) = go+2gi cos topt+2g2 cos 2topt+ ... (8.5) Если на вход смесителя подан малый сигнал Ц{0со8((1)г7+<рг)’ а выход замкнут накоротко, то ток диода содержит значительное слагаемое g (0 Vie COS (шгГ+ (?г) = g0Vi0 cos (<Dit + (fi) 4- 4- 2gtvio cos № 4- ft) cos (Opt 4-... — = govia cos (<«4 4- ?*) 4- gWo cos [(«д 4- o>p) 14- ft] 4- 4-gAocos[K —®p)^4-ft] (8.6) плюс члены, возникающие из-за преобразования на выс- ших гармониках. Таким образом мы видим, что при
(од+'Юр) =®о (второй член) и при (вн—сор) =<ое (третий член) нет опрокидывания фазы преобразованного сигна- ла (случай 1), а при <±>г——а>о (случай 2) она опро- кидывается. Из данных выкладок видно, что смеситель можно представить входной проводимостью go для входного сиг- нала и переходной проводимостью или проводимостью преобразования gi для сигнала, преобразованного на ос- u»pt а) 5) 6) Рис. 8.1. К объяснению принципа работы смесителя на диоде: а — зависимость проводимости диода g(t) в смесительной схеме от copf, где а>р—частота местного гетеродина; б — подключение источников напряжений местного гетеродина, входного и выходного сигналов к смесительному диоду; в — смесительный диод, рассматриваемый как четырехполюсник [111]. новной частоте. Таким же образом приходим к следую- щему результату: если сигнал V0o cos(<jW+<po) приложен к выходу, а вход замкнут накоротко, то смесительный диод имеет выходную проводимость g0 и проводимость обратного преобразования gt для преобразования на ос- новной частоте; далее показывается, что опрокидывания фазы нет в случае 1 и есть в случае 2. Рассмотрим теперь диодный смеситель как четырех- полюсник, имеющий входной сигнал с частотой со» и вы-
ходной с частотой ®с. Поскольку в обычной комплексной форме символы токов и напряжений относятся только к амплитудам и фазам сигналов, уравнения смесительной схемы (рис. 8.1,в) для случая 1 можно записать в ком- плексной форме: ii=goVr—gii>2, 1’2=—giVi+goVz- (8.7) Подключая ко входу смесителя источник сигнала с э.д. с. vs и внутренним сопротивлением i/gs, а к выходу — про- водимость нагрузки gL, имеем ii= (vs—Vi)gs, w=—v2gL- (8.8) Подстановка (8.8) в (8.7) и решение относительно v2 дает = VsgsgJ[{g0 + gs) (go + gL) ~ gi ]• (8.9) Мощность, передаваемая в нагрузку, равна (1/2) ]vz]zgL, а мощность, которую можно получить от источника, рав- на (1/8) |os pg's, так что коэффициент усиления по мощ- ности G определяется соотношением мощность, отдаваемая в нагрузку мощность, которую можно получить от источника =4 Vg а &L Vs gs ___________4gsgLgl__________ [(go + gs) (go + g[) — gl]2 (8.10) Это выражение имеет максимальное значение GMaKc, если gs и gL выбраны так, что смеситель согласован по входу и выходу с источником и нагрузкой. Так получа- ется, если > gs=gb=g0(l-P)1/2, (8.11) где р==gj /g2, а значение G равно 0=0^0 =₽/[1 +(1 - Р)1/2]2. (8.12) Если отношение (gi/go) мало, это выражение сводится к Смаке ~ (1/4) (gi/go)2, (8.12а) а если gi/go—>1, то GMaKC'—>1. Из выражений = i = i f g(t) cos wptd(cop/) (8.13)
следует, что gi<go. Однако, если ток протекает очень короткими импульсами, gilga может быть весьма близ- ким к единице. Таким образом, в диодном смесительном каскаде про- исходят потери мощности сигнала, но он имеет то боль- шое достоинство, что преобразует высокочастотный (ВЧ) сигнал в сигнал промежуточной частоты (ПЧ), который гораздо легче усилить, если В хорошем диодном смесителе потери в мощности составляют около 6 дб. Обратимся теперь к шумам этой схемы. Чтобы упро- стить расчет, произведем короткое замыкание на выходе. Диод дает шум на частотах сво и Последний создает падение шумового напряжения на входной цепи, что вы- зывает шумовой ток в короткозамкнутой выходной цепи, который коррелирован с первичным шумом ПЧ на часто- те 'Юо, и частично компенсирует его. Рассчитаем теперь это интересное взаимодействие. Пусть малый импульс тока возникает в диоде при t=x. Выполняя преобразование Фурье, получим высоко- частотную компоненту a cos со, (tf—т) и компоненту ПЧ a cos (0о —т). Если вход замкнуть накоротко, последняя представит полный шумовой ток ПЧ. Если вход не за- мыкать накоротко, то падение напряжения ВЧ на входе приведет к дополнительному шумовому току ПЧ ----р В1^~а C0S К (t — Т) — СОрТ] = ео I &s = — Fc a cos [<е0 (t — т) — Юрт], (8.14) который полностью коррелирован с первичным шумовым током ПЧ a cos (£>0(t—т). После сложения получаем сле- дующее выражение для квадрата амплитуды a2 (1 — 2FC cos о)рт -|-7ф (8.15) вместо а2, где Fc=gi[(go+gs) Определим теперь квадраты амплитуд, усредненные по ансамблю одинаковых систем в момент т. Если f — п • МгТ gkf (8-16) в обычном диоде, то для смесительного диода в момент т можно ожидать
4kTg (т) Af (1 - 2FC coscopT + F2). (8.17) В теореме, доказанной в приложении П. 3, утвержда- ется, что истинный выходной шум ПЧ находится путем усреднения за полный период колебания местного гете- родина. В результате ' f>cp=n-4kTbf ~ jg-(T)[l — 2Fccoscopt4- + ^]rfM-n-4^0Af (l-2Fc-g-+/*) = = 4kTRnmAfg2, (8.18) так что эквивалентное шумовое сопротивление смесителя Rnm можно представить в виде 1 + gl L gf 2 g? (go + gs)2 go (go + gs) (8.18a) Таким образом, эквивалентная схема смесителя при- нимает вид, показанный на рис. 8.2, откуда следует, что f ^TiT+gs)2 + 4kTR^f. <8-19> тогда коэффициент шума F можно записать в виде ^=l + -^[fes + i)2 + g;-2^-tes4-g0)]. (8.19а) gsgl I 1 go I Рассматриваемый как функция gs коэффициент шума F имеет минимальное значение р _il9„ (1 — Р)1/2 [1 + (I —Р)1/2 J О мин-- 1 i L Р~ — = 14-nf 1--------1А (8.20) \ ^макс / при gs = g-0(l — Р)’(2, где [g2 . Мы видим, таким образом, что связь, необходимая для минимизации коэф- фициента шума, совпадает со связью, дающей максимум усиления по мощности.
После смесителя стоит усилитель ПЧ. Если источник согласован со смесителем, как этого требует равенство (8.20), выходная проводимость смесителя равна go(l—р)1/2. Подбирая связь между смесителем и усили- телем ПЧ так, чтобы последний имел минимальный ко- эффициент шума F2, получим общий коэффициент шума Для обеспечения хороших шумовых характеристик СВЧ приемника необходимо поддерживать —1 малым, делать п как можно меньше и бмакс— как можно больше. Коэффициент шума F является функцией как п, так и Смакс. Заметим, что Так как п>0, а бмакс<1, для заданного Смакс величина F увеличивается с возрастанием и; а для заданного п — убывает с возрастанием Смаке- Минимальное значение F, ^ToRnm^ 9s 9о Рис. 8.2. Эквивалентная схема диодного смесителя, T=Tq. таким образом, получается при п=0, 6макс = 1, причем в этом случае Е=,Е2- Другими словами, для идеального диодного смесителя коэффициент шума F приближается к коэффициенту шума Fs усилителя ПЧ. Конечно, этот идеальный результат никогда не достигается полностью, но он указывает, по какому пути следует идти для умень- шения F. В точечно-контактных диодах п немного больше еди- ницы. Здесь шум обусловлен главным образом тепловым шумом сопротивления контактов, и под 'влиянием омиче- ского разогрева этого контакта его шумовая температура несколько выше комнатной, или /г>1. В диодах с барье- ром Шоттки шум определяется равенством (6.3а), и это соответствует п.^1/2. Таким образом, видно, что диоды
с барьером Шоттки несколько лучше точечно-контактных диодов в отношении коэффициента шума. По этой при- чине диоды с барьером Шоттки постепенно вытесняют последние. Приемники допплеровских РЛС обычно начинаются со смесителя, и [иногда {прим, ред.)] используется нуле- вая промежуточная частота. Тогда желательно избежать попадания частот биений в шумовой фон приемника. По этой причине необходимо требовать, чтобы смесительный диод имел очень низкий уровень фликкер-шума. Хотя точечные диоды были значительно улучшены в части, связанной с шумом типа 1/f, представляется, что хорошо сконструированные диоды с барьером Шоттки в этом от- ношении предпочтительнее. Б. Влияние зеркального канала Если диодный смеситель осуществляет преобразова- ние на основной частоте и (ор2>-оз0, может случиться, что входная цепь будет иметь заметное сопротивление, как на частоте (ор-Ь(о0, так и на <лР—<оо. Предположим, чго (£>г = (Ор—®о — частота полезного сигнала, а а'г~ = а>р + а>о-—частота зеркального сигнала. Частота сигна- ла ©г в этом случае может взаимодействовать с частотой 2®р (преобразование на второй гармонике) и привести к появлению частоты 2сор—(Ог = (ор + (о0 = (о'г и наоборот. Таким образом из-за двойного преобразования сначала coi в (о'ь а затем обратйо — (о'г в получается обратная связь, если входная цепь имеет заметное сопротивление на частоте ai'i. Кроме этого, короткие импульсы диодного тока дают входной шум на частотах <о< и а'г и тогда об- ратное преобразование приводит к вторичному шуму ПЧ на частоте (0о, коррелированному с первичным шумом ПЧ, который непосредственно вызывается импульсами тока. Таким образом, не удивительно, что коэффициент шума может быть улучшен соответствующим подбором импеданса входной цепи на зеркальной частоте а'г- Если принимать в расчет эти процессы преобразова- ния, то необходимо ввести три сигнала: один на частоте (Ог = сор—другой на частоте ®о и третий на частоте (о/г = (оР+(о0. Пусть комплексные амплитуды этих сигна- лов обозначены Vi, v% и v3, а соответствующие токи — и,
j2 и i3; тогда уравнения (8.7) должны быть заменены следующими: ii=goVi+giV*2+g2V*3, i2=giV*i+g0V2—givs, (8.22) l3 = g2V*i—glVz + goV3, где звездочкой отмечены комплексно-сопряженные вели- чины. Поэтому, если Пз=®зовхр (j<p3), то п*3=п30ехр (—j<p3). Этим учитывается опрокидывание фазы. Два слагаемых с gz имеют знак плюс, поскольку основной и зеркальный сигналы находятся на одной стороне четырехполюсника, описывающего смеситель. Рассчитаем теперь влияние реакции входной цепи на зеркальной частоте для случая, когда входная цепь имеет настолько широкую полосу, что входные импедан- сы на частотах и нУг равны. Сделаем это в несколько этапов. 1. Пусть шум вызывает в моментт малый импульс на- пряжения на входе. Выполняя преобразование Фурье, получим компоненту основной частоты a cos со i (t—т) и зеркальную компоненту асозсо'Д/—т). После преобра- зования получим выходной шумовой ток ПЧ agi{cosfa>o (t—т) —о>рт]+cos[co0 (/—т) + сорт)}= = 2ag'i cos (о0 (t—т) cos сор т. (8.23) Амплитуда выходного тока тогда равна 2agi cos сорт, в то время как при отсутствии реакции входной цепи на зеркальной частоте o/i она была равной agi. После усреднения по ансамблю и за полный период колебания местного гетеродина получается среднеквадратичное значение 2a2gi вместо a2gi. Таким образом, шумовые мощности в полосах, расположенных в окрестностях основной и зеркальной частот, складываются. Мы уви- дим, однако, что усреднение шума прибора должно быть выполнено более тщательно. 2. Если бы не было взаимодействия между реакциями на входной и зеркальной частотах, источник тока, вклю- ченный параллельно входу is, вызвал бы на входе на- пряжение is/ (Яо+gs) Вместо этого из-за взаимодействия получаем il= is—gsVi = got>i + £2^3, 1з = —gsV3 = g2v 1 + goV3, (8.24)
где gs — проводимость источника сигнала. Мы можем пренебречь здесь знаком комплексного сопряжения, по- скольку отсутствуют фазовые углы, которые следовало бы принимать в расчет. Решение относительно Oj дает соотношение is = [go + gs - g2J(go + gs)]. (8.24a) так что источник тока нагружен на полную проводимость gi = go + gs - g2/(go + gs) (8.25) вместо go+gs. 3. Обратимся теперь к влиянию шума прибора. Если бы отсутствовала реакция входной цепи на зеркальной частоте, шумовое сопротивление смесителя определялось бы выражением (8.18а). Если влияние зеркальной ча- стоты принять в расчет, то малая флуктуация тока в мо- мент т вызывает реакции a cos a0(t—т) на выходной ча- стоте, a cos ан (t—т) на входной частоте и a cos a'i(t—т) на зеркальной частоте. Последние две вызывают напря- жения — (a/gt)cos a>i(t—т) на входной частоте и — (a!gt) cos а>'г (t—т) на зеркальной; следовательно, в ре- зультате преобразования появляются выходные токи —a (gi/gt) cos [<£>о (t—т) --юрт] и —a(gllgt) cos[tt)o(f—т) +‘СОрТ], так что полный выходной шум, вызванный прибором, равняется a cos<o0(f—т)[1— 2(gtlgt)cos ®рт]. (8.26) По аналогии с (8.17), шум смесительного диода в мо- мент х равен i2a =n-4kTg(т) Д/ ^1—2-^- coscoptj . (8.26а) После усреднения за полный период получается С >cp = n-4kTg0^f (8.266)
Подравнивая это значение к 4kTR'nm&fg2 , получаем для шумового сопоставления R'ntn диодного смесителя с уче- том реакции на зеркальной частоте (8.26 в) что меньше шумового сопротивления R тп> определяемого (8.18а). 4. Рассчитаем теперь коэффициент шума. Средне- квадратичное значение полного выходного шума "F = (SkTg^f/g2 ) g2 + 4kTR'nmhfg2 . (8.27) Если коэффициент шума измеряется путем подключения источника сигнала входной частоты сог параллельно вхо- ду и удвоения выходной мощности, то коэффициент шума равен (8.28) Его можно оптимизировать и сравнить с (8.20). Так как R'nm<.<Rnm, действие зеркального канала оказывается благоприятным. Если же коэффициент шума определяет- ся путем подключения шумового диода или другого источника шума параллельно входу и удвоения выход- ной мощности, то (поскольку шумовой диод дает шум как на основной так и на зеркальной частотах) коэффи- циент шума оказывается равным Е\ = 1+^==4-Е,. (8.28а) Таким образом, коэффициент шума зависит от спосо- ба его измерения. Мы предпочитаем использовать Fi, а не F'i, так как в этом случае справедлива формула Фрииса. Результирующий коэффициент шума смесителя и усилителя ПЧ с коэффициентом шума Ё2 равен Е=Л+(Е2-1)/Сном, (8.29). где Ghom — номинальный коэффициент усиления по мощ- ности смесительного каскада при заданных условиях ра- боты.
Улучшение коэффициента шума происходит из-за то- го, что реакция входной цепи на зеркальной частоте уменьшает шум прибора. Увеличивая падение напряже- ния зеркальной частоты во входной цепи, можно было бы добиться дальнейшего уменьшения шума. Макси- мально достижимым здесь является бесконечно большое сопротивление на зеркальной частоте. Тогда вместо (8.24) имеем 41 = is—gsv i=+g2o& iз=gzVi+g0v3=0, (8.30) так что полная входная проводимость на частоте со,- g't—go + g^-(gl/go)- (8-31) Таким же образом получается, что полная входная про- водимость на зеркальной частоте равна g"t = g0 ~ gl I (g0 + gs)- (8.32) Дальнейший расчет теперь можно вести так же как и прежде; разница лишь в том, что выкладки становятся более громоздкими. Однако должно быть совершенно ясно, что коэффициент шума должен снова стать мень- ше, чем в предыдущем случае. В. Шум в смесителях на полевых транзисторах В усилителях на ПТ шум затвора и шум стока весьма слабо коррелированы.’Следовательно, в случае смесите- ля на ПТ не будет сделано большой ошибки, если кор- реляцией между шумами затвора и стока пренебречь вообще. Эквивалентная схема смесителя легко получает- ся из ВЧ эквивалентной схемы путем применения мето- дов усреднения, описанных в п. А. Мы таким образом можем предположить, что ПТ вно- сит входную проводимость gg0 в ВЧ входную цепь и что с этой проводимостью связан источник шумового тока j/n,-4feTg-g0Af; здесь п, близко к единице для смесите- лей на ПТ с р-п переходами и может быть несколько больше единицы для смесителей на МОП ПТ. Крутизна gm(t) смесителя равна gm(t) =gmf>~\~^gmlCOS (OyZ-p . . ., (8.33)
где gmo — средняя крутизна, a gmi — крутизна преобра- зования. Шум стока теперь можно представить источни- ком тока yr«2-4A!7’g'moAf, включенным параллельно выхо- ду; здесь nz — множитель порядка единицы для смеси- телей на ПТ с р-п переходами и может быть несколько больше единицы в смесителях на МОП ПТ. Поэтому при преобразовании на основной частоте шума стока можно характеризовать эквивалентным шумовым сопротивле- нием смесителя Rnm, которое определяется соотноше- нием,, 4kTRnmbf• g2ml =n2-4Tgmabf, откуда (8.34) Так как gmi<gmo и Rno=n2jgma— шумовое сопротив- ление этого прибора, используемого в качестве ВЧ уси- лителя, заключаем, что смеситель на ПТ имеет более высокое шумовое сопротивление, чем соответствующий ВЧ усилитель. Таким образом, мы имеем эквивалентную схему, изо- браженную на рис. 8.3. Мы здесь ввели также шум ре- ^T0Rnm6f 9до Wni^<TDgga&f' Рис. 8.3. Эквивалентная схема смесителя на полевом транзисторе, Т=Та. зонансной проводимости цепи gc, поскольку иногда его необходимо учитывать. Предполагается, что входная емкость прибора компенсируется при настройке. Тогда имеем ц2 ___ (gs + gc + »iggo) I s (gs + gc + ggo)2 ~Г (8.35) 4kTRnmbf, так что коэффициент шума можно записать в виде F=l + _gL.+ »igg° +^(gs + gc + ggo)°. (8.36)
Это выражение справедливо и для ВЧ усилителя, с той разницей, что шумовое сопротивление смесителя Rnm должно быть заменено шумовым сопротивлением Rno> которое несколько меньше. Таким образом мы заключа- ем, что коэффициент шума смесителя несколько боль- ше, чем коэффициент шума соответствующего усилителя ВЧ. Не представляет труда обеспечить минимальный ко- эффициент шума соответствующим выбором проводимо- сти источника gs. Коэффициент шума можно несколько уменьшить при помощи ВЧ обратной связи с выхода на вход (подроб- ности см. в статье Окамото и Ван дер Зила [112]). Г. Шум в смесителях на биполярных транзисторах Обсудим сначала смеситель на транзисторе с общим эмиттером. ВЧ эквивалентная схема транзистора показа- на на рис. 6.3,6; эквивалентная схема смесителя легко получается путем применения приемов осреднения, ис- пользованных в п. А. Пусть крутизна прибора gm(t) равна gm(t) =g,mo+2gmicoscopf+ ..., (8.37) где gm0 — средняя крутизна, a gmi — коутизна преобра- зования. Выходной источник шумового тока в ВЧ усили- теле характеризуется величиной y2glc£\f = V2kTgmhf, где gm — низкочастотная крутизна прибора, что спра- ведливо и для источника выходного шума смесителя при Входная Проводимость ,ВЧ усилителя УЬе — 1/^Ье + рСье. где RbeCbe = 1 практически не зависит от условий работы в широком диапазоне токов. Следовательно, входная проводимость смесителя будет состоять из со- противления /?Ьео и емкости СЪео, соединенных параллель- но, где /?ЬеоСЬе()= l/(2Ttfp). Входной шум ВЧ усилителя может быть представлен источником тока У 2kT&f/Rbe , включенным параллельно /?Ье; следовательно, для смеси- теля входной источник шумового тока характеризуется величиной1) y2kT^f/Rbeo. Поскольку в- ВЧ усилителе входной и выходной шумы весьма слабо короелиэованы, мы пренебрежем корреляцией в смесительной схеме вооб- 15 Это не совсем точно вблизи частоты среза транзистора.
ще. Наконец, введем эквивалентное шумовое сопротивле- ние смесителя определив его из соотношения 4kTRnmbf-gZml ^=2kTgmo^f, откуда (8.38) Поскольку /?п0=1/(2^то0)—шумовое сопротивление со- ответствующего ВЧ усилителя и gmi<.gmo, делаем вы- вод, что смеситель имеет более высокое шумовое сопро- тивление, чем ВЧ усилитель. Мы, таким образом, полу- Рис. 8.4. Эквивалентная схема смесителя па биполярном транзисто- ре с общим эмиттером, 7=То- чили эквивалентную схему смесителя на биполярном транзисторе с общим эмиттером (рис. 8.4). Находим -у _ 4kTRskf + 4kTr^f + (2kThf/Rle0) \Zs + rb [* * |Z. + n> + ^?beo/(l + j wCbeo/?beo)|2 X , , 1? + UTR,mif, (8.39) так^что коэффициент шума равен р___ 1 I гъ (Bs + гь)2 + X2S ynm “ 2^s R2be0Rs \ 2 . ^ЬеО _____ 1 + «гс|е0/?^е0 \ 2Т wCbeoPfceO (8.40) у 1 + Мы должны теперь выбрать Rs и Xs такими, чтобы F достиг минимальной величины. Дифференцирование F
no Xs дает __2-Уя । 9 Rnm^ f v _ у ‘ I, 8 l+^LAj ха+^С)^0 Xs = 2/?пота>Сье0/?Ье0/(1 ,Я“ 2<°2Сг)е0 ^ьео^птп)> (8.40а) так как 2Rnm<^Rbeo. Подстановка этого выражения в (8.40) приводит к весьма сложному выражению для коэффициента шума Ft настроенной схемы, которое те- перь должно быть минимизировано путем изменения Rs- Мы сделаем это для предельных случаев, когда (£>С beoRbeO"^. 1 И (£>С beoRbeO^ 1. На основании многочисленных расчетов стало понят- но, как следует минимизировать F экспериментально: 1. Сделать Rs малым и подобрать Xs так, чтобы зна- чение F было минимальным. Это даст коэффициент шу- ма настроенной цепи Ft. 1 2. Подобрать Rs так, чтобы Ft приняло наименьшее значение /’’мин- Эта методика в основе своей несложна. Рассчитаем сначала коэффициент шума для низких частот (соСьеоРьгоС!). В этом случае можно положить Xs равным нулю. Если, кроме того, пренебречь членами порядка Гъ/Rbeo и c2RnrfJRbM, поскольку они малы, то по- лучим F =1 + 7Г+ г ь+ Ks > RbeO^s ~Ь R-nm I Rs Rs 2/?be0 (8.41) имеющее минимальное значение +2|7(гь + /? пт)Жео при Rs — рЛ2/?6ео (гь -ф- Rnm) • (8.41а) Рассчитаем теперь коэффициент шума на высоких ча- стотах (“СЬео/?6ео > 1). В этом случае Xs равно 1/(о>СЬео). Если далее предположить, что “2С^0 Rbe0Rnm > 1. то
сведший к р~ 1 I гъ _1_ (^» 4- 6>)2 2/^2 р _ Р 1 Rs Rs Cbe0 Кпт ~ = 1 + 2<«2С^е0 Rnmrb + w‘C2be0 RnmRs + -]- (гь + uS1Cbt0Rnmr2b) Rs ’ имеющему минимальное значение Гмия = 1 + 2ш2С^е0 Rnmrъ + + 2 У ^C2be0 Rnmr^^C2be0 Rnmrby при Rs^^fb У О Д- ш С be0 Rnmrb)lw С be0 Rnmrb (8.42) (8.42а) (8.426) так что важным параметром в этом случае является произведение m2C2t-^Rnmrb. При w2C^0 Rnmrb = 1 имеем -ДлИН~ 8. Заметим, что коэффициент шума ВЧ усилителя полу- чается из (8.40), если заменить Rnm эквивалентным шу- мовым сопротивлением Rnb. Поскольку Rnm>Rnb, можно сделать вывод, что коэффициент шума смесителя несколь- ко больше, чем коэффициент шума ВЧ усилителя. Одна- ко, для правильно спроектированных смесителей эта раз- ница не слишком велика. Как видно из (8.41а), мини- мальный коэффициент шума на низких частотах относительно мал, поскольку мало отношение (гь + +Я nm) /RbeO- Приведенный выше расчет был выполнен в предпо- ложении, что входная цепь имеет пренебрежимо малое сопротивление на промежуточной частоте. Если это не так, положение будет гораздо более сложным, так как теперь придется принимать в расчет преобразование во входной цепи и последующее усиление ПЧ. Это пока еще подробно не исследовано. Работа транзисторного смесителя на высоких часто- тах определяется емкостью СЬео- Поскольку частота сре- за fa соответствует gmd (2nC6e0), наилучшими ВЧ сме- сителями являются такие, у которых наблюдаются самые высокие значения частот среза по а.
Коэффициент шума смесителя на транзисторе с об- щей базой оказывается более сложным, так как здесь необходимо принимать в расчет то, что входной и выход- ной шумы коррелированы. Следовательно, необходимо рассматривать влияние обратной связи так же, как это сделано для диодного смесителя (решение этой задачи см. в статье Ван дер Зила и Окамото [113]). Оказывает- ся, что коэффициент шума транзисторного смесителя с общим эмиттером значительно лучше, чем у смесителя с общей базой, так что последний не рекомендуется использовать. Улучшение коэффициента шума может быть достиг- нуто при помощи ВЧ обратной связи с выхода на вход. На пределе устойчивости ЕМИн тогда достигает коэффи- циента шума соответствующего ВЧ усилителя [113]. Ча- сто, однако, не хотят такого усложнения схемы, и тогда транзисторный смеситель с общим эмиттером является более простым решением. 8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА НЕЛИНЕЙНОЙ ЕМКОСТИ Мы видели во вводной части этой главы, что в случае емкостного преобразования зависящая от времени емкость C(t) может быть записана в виде С(t) = Co+2Ci cos a>pt+2С2 cos 2сор/ ... (8.43) Если малый входной сигнал Oiocos(co4+<pi) прило- жен к смесительной цепи, а выход замкнут накоротко, го заряд на емкости содержит следующие существенные слагаемые q (О = С (0 vio cos fat 4- <pz) = Couio cos fat -|- <pz) + CiVio {cos [(cop -|-oy) 14- <Pi] 4- cos [(<»p — W/) t — <?i]} (8.44) плюс слагаемые, связанные с преобразованием на выс- ших гармониках. Следовательно, ток i(t) =dq/dt равен i (0 = — '»iCovio sin fat 4- <?i) — —(mp s'n [(шр Ч- “i) — — fa — “г) ctvio sin [(cop — <»г) t — <fr]. (8.44a) Таким образом, этот нелинейный прибор характеризует- ся емкостью Со для входного сигнала, а преобразова- ние сигнала с частотой со-i в сигналы с частотами (сор + +со<) и | Ир—со< | связано с емкостью преобразования Ci. Кроме того, легко видеть, что в случае 2 происходит
опрокидывание фазы, в то время как в случае 1 никако- го опрокидывания фазы нет1*. Аналогично, если малый сигнал Поо cos (со0/-|- фо) приложен к выходу, а вход за- мкнут накоротко, то прибор характеризуется емкостью Со для выходного сигнала, преобразование сигнала с вы- хода на вход связано с емкостью С\, а ситуация с опро- кидыванием фазы такая же, как в предыдущем случае. Таким образом в комплексной форме для случая 1, когда |соо—сОг|=иР, можем записать ii^jaiCoVi—jcOjCiUo, t’0= = — jahAui+jcooCoVo, (8.45) в то время как для случая 2, когда (ю0 + сог) =сор, 11 = ]'(0{СсПг— jcOjCiH*0, «о=—jrooCiU*,+/со0СоПо, (8.45а) где комплексно-сопряженные величины и*о и v*i введены для учета опрокидывания фазы в процессе преобразова- ния. Комплексные обозначения можно опять использо- вать потому, что комплексный сигнал определяется только амплитудой и фазой колебания, а в каждом равенстве (8.45) и (8.45а) все комплексные сигналы со- ответствуют колебаниям одной и той же частоты. А. Преобразователь с повышением частоты и параметрический усилитель Применим теперь эти результаты к схеме на. рис. 8.5. Здесь входная цепь вместе с емкостью Со настроена на Рис. 8.5. Емкостный смеситель с резонансными контурами на входе и выходе [МО]. И Определение случаев 1 и 2 см. в начале этой главы.
Со настроена на выходную частоту со0.В соответствии с рис. 8.5 Й — h — vi ( gs 4~ г—г-Н “г'Сг , \ J wiLi ) (8.46) l° = ~ v° (^L + j COoZ.2^- j Для случая 1 из (8.45) получим 4 = (gs + j^7Z~+j + j vi — j = = g&i — j «OiC.no, о=- j <%c 1V, 4- (go+4-j Шос2 4- j cbo W = \ J Шо ‘-'2 / = — j “оС.п. 4- gLvo. (8.47) Здесь использованы условия настройки ^4(С24-с0) =<»^(Сг-4-с0)=1. Решение (8.47) относительно vo дает по = j «ooC.is/(gsgL 4- «wCf ), (8.48) так что коэффициент усиления по мощности равен C = 4gEgJa0/is|2 = = 4gsgL% С, f(gsgL 4- <uo<u.C| )2 и принимает наибольшее значение GMaKc = «Оо/«>г при gsgL = С0о«0гС,2 . (8.49) Таким образом, при со0>сог- (преобразователь с по- вышением частоты) эта схема дает усиление по мощно- сти, а при (Oo<tOi (преобразователь с. понижением) — мощность ослабляется. Поэтому преобразователь с по- нижением не очень полезен. Исключение vo из (8.47) дает ( о0<о4С? \ «s = ( gsH---------I \ Sl ) так что эта схема вносит проводимость раллельную g^. (8.50) а>0«1/С2 lgL, ГЩ-
Рассмотрим далее случай, когда coo+:coj='ci>j), этом вместо (8.47) получим is=gsVi—jcoiCit>*0, О =—jcOoCit^i+£ьУо. Исключим отсюда v0, тогда is = (gs — «wC, jgj) vi, >. При (8.51) (8.52) так что схема вносит проводимость (—<о0ш/С,/gL), парал- лельную gs. Решение относительно vo дает v — jt0°C1 и°--- „9 1 S’ g*gL — wow4cf (8.53) так что коэффициент усиления по мощности имеет вид G= 4£s£l J 12= 4gsgL«? С\ /(gsgL - co0^C; у (8.54) 92 Рис. 8.6. Параметрический усили- тель с настроенными входным и холостым контурами [110]. Настроен на с, J-2 _ и стремится к бесконечности при gsgL —> <»оа>гС; ; это соот- ветствует нулевому значению входной проводимости. Если gsgt <^шошгС1 , возникают колебания: в этом случае одновременно генерируют- ся частоты со< и юо. Такие устройства называются параметрическими генера- торами или параметро- нами. То, что смесительная схема на рис. 8.5 вносит отрицательное сопротив- ление во входную цепь, используется в параме- трическом усилителе. Он состоит из смесителя, со- держащего «холостой» контур с резонансной проводимостью g2, настроенный на частоту со2=®р—ч>г, так что это смесительное устройст- во представляет собой отрицательную проводимость гоасогС^/й'г для входной цепи (рис. 8.6). Индуктивность L{ используется для настройки в резонанс со входной ем- костью Со контура смесителя (от ЦС0=1).
ЧтобьПгоказать, что это устройство дает усиление по мощности, заметим, что vi = WlU« — /^2) + gLl-_ (8.55) Так как Ррасп= |4|2/8gs— располагаемая мощность ис- точника и Рвых—0,51Vi12gn — мощность, передаваемая в проводимость нагрузки gL, то коэффициент усиления по мощности равен G=Аих- = 4g sg Г =------—3------------• Л>асп Л ls I l(gs — w2co(Cf/g2)+.^d2 (8.56) При gs ш2шгС,/g'a наибольшее усиление получается, если gI= gs — ш2шгС^ )g2, и коэффициент усиления по мощности схемы чае равен G =___________. ином , „2, • —(OjCOjCj/g, ПО МОЩНОСТИ номинальный в этом слу- (8.56а) Номинальное усиление^бесконечно возрастает при приб- лижении gs к «>2<игС;/jg2. При g£<^^iC\/g2 усиление по мощности стремится к бесконечности, если gs+g/= = <в2шгС^ lgit а при £s-|-g; <Сш2“гС1/g2 возникают коле- бания. Поэтому такого положения следует избегать. Б. Шумовые характеристики преобразователя с повышением частоты и параметрического усилителя Рассчитаем коэффициент шума с помощью эквива- лентной шумовой схемы смесителя (рис. 8.7), где gs — Рис. 8.7. Эквивалентная схема смесителя на нелинейном реактивном элементе [111].
проводимость источника, gi — проводимость потерь вход- ной цепи, go — проводимость потерь выходной цепи и gL— проводимость нагрузки. Индуктивности Li и Lo выбраны так, что входная и выходная цепи на- строены в резонанс. Как обычно, шум gb относим к сле- дующему каскаду. Рассмотрим режим короткого замы- кания на выходе этой схемы. Шумовой ток i в коротко- замкнутой выходной цепи состоит из трех компонент: 1—преобразованный шум gs, 2— преобразованный шум gi и 3 — шум go. Средний квадрат его значения есть С, -|—«>2 $kTgoLf. (8.57) После деления (8.57) на первое слагаемое, получим ко- эффициент шума F = 1 4- —(8.58) 1 g>\ 1 g> v ' минимальное значение которого при gs=U8)onT=|/ + -?-) “оСх. (8.586) Если потери малы, то коэффициент шума очень мал. Для нулевых потерь коэффициент шума равен единице, по- скольку нелинейные емкости не дают никакого шума. Теперь рассмотрим эквивалентную схему параметри- ческого усилителя (рис. 8.8). Зп?.сь g^ — проводимость Рис. 8-8. Эквивалентная схема параметрического усилителя [111].
нагрузки, он и юг — входная частота и частота холостого контура, gt отображает потери в цепи, gz— резонансная проводимость холостого контура, Li и £2 выбраны так, что входная и выходная цепи настроены в резонанс. Как обычно, шум gb должен быть отнесен к следующему каскаду. Рассчитаем коэффициент шума этой схемы, для чего замкнем накоротко входную цепь. В этом случае шумо- зой ток i в ней состоит из трех компонент: 1 —шума gs, 2 — шума gi и 3 — преобразованного шума gz- Его сред- ний квадрат определяется выражением = 4kTg^f + UTgibf + (#2), (8.59) а коэффициент шума г,2 г2 F = 1 4- £-£ = 1 + £i-4--Ц (8.60) 1 gs ‘ gsgt 1 gs ' gs «2 ' ' где — gc2— — ш2шгС2 /g2 — отрицательная проводимость, вносимая во входную цепь из-за влияния проводимости холостого контура gz- При хорошем номинальном усиле- нии gs должно быть сравнимым с gC2, следовательно, если потери в цепи малы, (8.60а) Отсюда видно, что лучше использовать высокую ча- стоту холостого контура юг- Для вц—(о2 имеем F=2 (ко- эффициент шума равен 3 дб). Из (8.60а) следует, что эквивалентная шумовая тем- пература Тпус параметрического усилителя равна Tnyc — (F—1) £ — (oj'i/coa) Т, (8.606) где Т — температура параметрической цепи. Таким образом, охлаждая схему, можно значительно улучшить ее шумовую температуру. Это не удивительно, поскольку все источники шума, дающие вклад в Тиус, имеют тепловой характер при температуре Т. Когда па- раметрический усилитель охлажден до температуры жид- кого гелия, его шумовая температура сравнима с шу- мовой температурой молекулярного усилителя.
8.3. ФОТОПРЕОБРАЗОВАНИЕ Развитие лазерной техники привело к использованию в системах -связи когерентных световых сигналов. Иначе говоря, стало возможным преобразование частот свето- вого диапазона, в результате чего значительно улучшает- ся отношение сигнал/шум в приемниках света. А. Усиление мощности в процессе фотопреобразования Предположим, что необходимо обнаружить световой сигнал Ei cos «нА Для этого данный сигнал и сигнал на- качки Ер cos apt подают на фотоумножитель или фо- тоэлемент с характеристикой 1=аЕ\ где Е — напряжен- ность поля входной волны (волн). Если фронты волн выравнены надлежащим образом, то эти два сигнала вызывают фототок a (Ei cos Wit -{- Ер cos юр/)2 = ОДоЕ, -|- О.ЪаЕ? -|- +аЕхЕр cos(ю, — несущественные члены. (8.61) При воздействии только светового сигнала Дсозю,/ выпрямленный ток равен /, — 0,5Е^; если бы присутство- вало только колебание накачки Epcoswpt, выпрямленный ток был бы равен /р = 0,5оЕ\ Благодаря тому, что при- сутствуют оба сигнала, имеется сигнал разностной ча- стоты (ю, — Юр) с амплитудой 70 = аЕг Ер = 2 VTJp. (8.62) Следовательно, усиление по мощности в процессе пре- обпазования равно 0,5/2 G = —^=2-^-. (8.63) Это соотношение не может быть верным при всех уровнях сигнала, так как в этом случае усиление G стре- милось бы к бесконечности при уменьшении Ц до нуля. Вся трудность заключается в том, что входной сигнал Fi cos oat очень низкого уровня тонет в шуме фотонов накачки. Таким образом, не следует экстраполировать равенство (8.63) до нулевого значения входного сигнала, так как GItl2Ip—>0 при очень малых входных сигналах. Однако над детальной разработкой точной теории для случая слабого сигнала еще нужно работать.
Б. Шум в процессе фотопреобразования [//4] Пусть п — число фотонов входного сигнала за секун- ду ,JV — число освобожденных электронов за^сскунду, т] = =N/n — квантовый выход детектора и Ii^qN— выпрям- ленный ток, вызванный сигналом. При отсутствии преоб- разования характеристики флуктуаций N находят по теореме о дисперсии var N = rf var п -|- пц (1 — ?]). (8.64) Если G^> 1, то усиленный входной фотонный шум равен var N' = Gif var ti = GtqA' (var n/n), (8.65) поскольку усиливается только первая компонента шума из (8.64). Следовательно, результирующий токовый шум в процессе преобразования есть S'i (f) — 2q* var N' — 2qs-ffl\ G (var n/n) = = 2qrlGI] (varnln) = 4q7jIp(vaTnln)(GI1l2Ip). (8.66) К нему следует добавить шум сигнала накачки S"i(f)=2^P. (8.67) Поскольку два эти источника независимы, общий шум определяется выражением Хг(/) = 5'г-(Г) + 5”г-(П = = 2qlp [1 + 2tj (var n/n) (GIJ2IP)]. (8.68) Пока входной сигнал не настолько мал, чтобы тонуть в шуме накачки, верно выражение G=2Ip/It и, следова- тельно, Si (f) = 2qlp [1 + 2т; (var nfn)]. (8.68a) Если var n = n, to 54(/)=2^р(1+2т1). (8.686) Чтобы наблюдать влияние шума входного сигнала, сле- дует использовать детекторы с большим квантовым выходом тр Если бы присутствовал только входной сигнал . Eicoscoit то шум простого детектора был бы равен S,'(f) = 2ф var W = 2ql^ [1 -{- 4 (var п ~ й)/й], (8.69) в соответствии с (8.64). Если varn = n, то’ Si(f)=27/p (8.69а)
При этом условии можно дать сравнительную оценку со- отношения сигнал/шум по мощности в фотопреобразо- вателе. При непосредственном детектировании из (8.69а) следует 2^В Для смесителя же — /2 S 2 z0 9/ 7 2 / / \ о ^'1/р __ / '1 \ 7Q 71\ N — — 2?/р(1+ 2т])В "1+2-Д2^ул°-/ч Отношение сигнал/шум преобразователя оказывается равным произведению 2/(1 +2rj) на отношение сиг- нал/шум простого детектора. Таким образом, фотопре- образователь не слишком сильно меняет отношение сиг- нал/шум по мощности. Однако, преимущество преобра- зователя в том, что одновременно достигается усиление по мощности. Поэтому шум усилителя, стоящего после фотодетектора, оказывается менее существенным. Та- ким образом, во многих случаях фотопреобразование оказывается выгодным. До сих пор мы предполагали, что G/i/2/p~l. Но при очень малых входных сигналах GltJ2Iр приближает- ся к нулю, и поэтому (8.68) принимает вид Si(f)=2qlp, (8.72) ожидаемый для фотодетектора, на который подана толь- ко накачка. В фотоумножителях можно увеличить усиление, ис- пользуя больше каскадов и уменьшая темновой ток при помощи охлаждения. Использование процесса преобра- зования в этом случае вряд ли улучшит отношение сиг- нал/шум. В твердотельном фотодетекторе малые сигналы на его выходе могут потонуть в шуме усилителя. Такая ситуация особенно характерна, если фотопроводниковый или фотогальванический детекторы используются для волны длиной 10 мкм. В этом случае фотопреобразова- ние может значительно улучшить отношение сигнал/шум. Таким образом, мы видим, что преобразования ча- стоты оптического диапазона часто оказываются выгод- ными, особенно при выполнении определенных условий: 1) волновые фронты должны быть весьма тщательно
выравнены и 2) свет местного .гетеродина и входной свет должны падать на одну и ту же площадь фотодетектора, в противном случае получаются либо потери сигнала (если входной свет падает на большую площадь детек- тора, чем свет местного гетеродина), либо добавляется дополнительный шум (если свет местного гетеродина падает на большую площадь, чем входной свет). ПРИЛОЖЕНИЯ ПЛ. ФЛУКТУАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ А. Теорема Винера—Хинчина и связанная с ней теорема Проведем доказательство уравнения (2.17). Коэффициент Фурье ап флуктуирующей величины X (t) был определен как т 1 Г ап = ~Т~\Х (0ехР (—j 4>nt) dt, (П.1) О где а>п=2лп/Г, а Т— длительный временной интервал. Спектральная плотность была определена как = (П.2) Г->оо Доказательство теоремы Винера — Хинчина состоит в следую- щем: Г т 2апа*п -- (“) X (v) exp [— j con (и — v)] dudv = о о T T~u J X (u)X(u+s) exp (j wn.s) ds, (П.З) 0 —и что получается путем подстановки s — v— и в качестве новой пере- менной. Учтем теперь, что X (и) Х( и -|- s) стремится к нулю при больших s. В таком случае можно определить интервал — вне которого А' (и) X (и -|- s) имеет пренебрежимо малую величину. Далее выбираем Т^М. Сравнивая (П.З) с интегралом т М 2 Г Г--------------- fT \du I A' (zz) X (и + s) exp (j<ons)rfs, (П.За) о —м
Рис. П.1. Иллюстрация пример- ной эквивалентности интеграла в последней части уравнения (П.З) и интеграла из уравнения (П.За). можно видеть (рис. П.1), что эти два инте1рала описывают площади фигур, отличающихся только двумя треугольниками с основанием М, площадь которых пренебрежимо мала по сравнению со всем инте- гралом. Поэтому т м ----- 2 С С------ 2 апа*п= 1 du IX (и) X {и s) exp (j <o„s) ds — 0 — M T oo = yF Jdn pC (u)'X (и'+ s) exp (j <o„s) ds = 0 —oo co 2 C______________ — — IX (и) X (и -|- s) exp (j <ons) ds, (П.4) так как подынтегральное выражение X (и) Х(и-]~ s) пренебрежимо мало при | s | > М и не зависит от и. Подстановка (П.4) в (П.2) дает SK(f) = Нт2Г апа*п — Т~>сю оо = 2 (и)'Х (и -|- s) exp (j <ons) ds, —OO (П.5) что и доказывает теорему Винера — Хинчина (2.17). Аналогичным образом доказывается (2.38). Из (2.37) имеем: Хх — dt или ~ о J J X (и) А' (о) dudv. о о (П.6)
Это соответствует (П.З) при mn=0 и Т=х. Поэтому точно так же, как из (П.З) вытекает (П.5), так и (П.6) приводит к оо Sx (0) = lim 2t = 2 fX (и) % (zz + s)ds, (П. 7) x->co —OO что и доказывает (2.38). L_, Б. Теоремы Кемпбелла, Парсеваля и Карсона' В этом разделе мы собираемся доказать теорему Карсона, но для того чтобы сделать это, докажем сначала теорему Кемпбелла и теорему Парсеваля. Теорема Кемпбелла формулируется следующим образом: Пусть элементарное событие, происходящее в момент t=ti, вызы- вает отклик F(t—/,) в некоторой системе, которая может быть электрической цепью, пластинкой полупроводника и тому подобное, так что результирующий отклик Y(t) является суммой большого числа независимых откликов F(t—/,), возникающих случайно со средней частотой %. Иначе говоря, Y(0 = Xf (t — tt) при 0<t<T. (П.8) i Теорема Кемпбелла утверждает, что для достаточно больших Т У = A. (и) du, (П.9) —00 var Y = X [F (и)]г du. (П. 10) —00 Для доказательства ^рассмотрим вначале подансамбли, в кото- рых на временном интервале Т происходит ровно К событий, и да- лее усредним по К- Для такого подансамбля К Y(i) = YF(t-ti). (П.8а) ;=1 Вероятность того, что некоторое определенное событие произойдет между t{ и ti+dti, равна dti/T, так как события независимы и име- ют место в случайном порядке. Следовательно, Т Т к кт 7”= F(t-ti)= yj ^F(t-ii), [(П.И) b о i=i z=i b где символ «~«» означает усреднение по подансамблю. Но средние по подансамблю не зависят от времени. Поэтому, не совершая ошибки, можно положить <=Т/2. В таком случае, обо-
значая u= (T!2)—ti, имеем для достаточно большого Т-. Т оо = — t^dti — F(ii\du^~ j" F (и) du, (П.Па) о —Г/2 ~—оо Следов ательно, оо оо у = у«= (и) du = X JЛ (и) du, —оо —со что и доказывает (П.9). Обратимся теперь к (П.10). Снова проводя усреднение по под- ансамблю, получим т т к к О О (=1 /=1 (П.12) Имеется К интегралов, для которых i=j Каждый из них дает т С dtt о (ПЛЗ) Существует —1) интегралов, для которых «#=/. Каждый из них дает т т F(t — tJ-^-^F (t— (П.14) о о Так как средние по подаисамблю ие зависят от времени, положим в (ПЛЗ) и (П.14) i=T/2. Полагая и=(Т/2)—i, и —fj, имеем Г/2 Г/2 Г/2 ___ КГ KfK—1>Г Г У2в=-уг I Fz(u)du + —j4-------- I F (и) du I F (v) dv=^ —T/2 —T/2 —T/2 co Г оо “I2 = ^F2 (ti) du -|- ——I y.F (и) £?//!• (ПЛ 5) —co 1 —co Ho (00 p ^F (u) du I >
так что К (У — У«)2® = У2® — (Р«)2 = оо р^и) du К ОО 2 —СО Усредним теперь по всем значениям К, чтобы получить var У: (П.1С) дисперсию 00 var У = -у- р72 (и) du — 2 ОО 2 F2 (и) du — (П.17) Так как последний член стремится к нулю при Т—>-оо, то (ПлО), таким образом, доказано. Докажем теперь теорему Парсеваля, которая утверждает, что если ф([) есть преобразование Фурье от F(i), то С» 00 рФ2(П|^ = ^(t)dt. —оо - оо Согласно определению Ф (О = J/7 (0 ехр (— 2л j ft) dt, а обратное преобразование есть (П.18) (П.19) ОО F(t) = ' J4* (ft exp (—2« jf OiW- —00 (ПЛ 9а) Используя (ПЛ9) и (ПЛ9а), находим: со со оо {ф(ПФ*Ю<Д = {ф*М рЧ0ехр(-2мД)Л = —00 —ОО —00 = р (0 dt J** (f) exp (-2л j ft) df = —00 —00 00 j>2 (t) dt. —00 Это доказывает теорему Парсеваля. Докажем в заключение теорему Карсона, которая утверждает, по если i|)(f) есть преобразование Фурье функции F(u), а У (О за- дано соотношением (П.8), то Sytf)-2X|<HDl2. (П.20)
гдёV \ ф (f) = j F (и) exp (— 2п j fa) dii. (П.21) \ —oo Из (П.18) согласно теореме Парсеваля имеем ОО оо {|Фг(П1^= р2(«И«- —со —оо ПодСтайляя это Выражение в соотношение, Вытекающее из теоремы Кемпбелла, получаем согласно (2.19) со оо varT=X =4~ (И-22) —ОО —00 Это представляет искомый результат, если, например, справедливо (П.20). Для доказательства (11.20) пропустим флуктуации через фильтр с частотной характеристикой коэффициента передачи g(f). Обозначим выходной сигнал фильтра символом Z. Тогда по аналогии с (П.22) 00 00 var Z = X j |Ф2(П|-|£(П1М = 4" jSr(n-lg(f)l2^- (П.23) —со —оо Так как это должно быть справедливо для произвольного фильтра, единственная возможность состоит в том, чтобы Sy (П=2Х|ф(/) |2, что доказывает (П.20). В. Теорема о дисперсии [Уравнение (2.42а)] Так как N 1=1 причем N и cii флуктуируют, усредним п Вначале по подапсамблю элементов, которые имеют одну и ту же величину N, а затем усред- ним по всем N. Таким образом, если обозначить символом «~s» среднее по подансамблю, то us = Na-, отсюда п = = Na. (П 4) Кроме того, N N "2 = S S t=I /=1
Отсюда у riiS= к' (к1 — 1) ataj + Na? = № (о)2 + N var а, / / / так как имеется N членов ataj с i = j и N (N—1) членов ataj С I ф j, кроме того, при i ф j, ага^=^(а)2. Следовательно, п2 = = № (а)2 + N var а. Отсюда var п = п2"— (п)2 = (a)2 var N 4-W var а, (П.25) что и требовалось доказать. Г. Точность единичного отсчета шума Пока кем теперь, что'относительная точность-^единичного от- счета шума для шумового сигнала с полосой В при использовании квадратичного детектора с индикатором, обладающим постоянной времени т, составляет = (2Вт)-1/2. (П.26) Докажем это положение на примере измерения шумового со- противления. Пусть Л' (к) — случайный сигнал, воздействующий на квадратичный детектор, так что Х2=-4/г7’^пВ|§|2, где g— усиление измерительного усилителя. Тогда ток иа выходе детектора равен l(t)=X2(t). В таком случае имеем: T=X* = 4kTRnB\g\*. (П.27) Вычислим далее W^7] [/(/ + s)-7j = [Л2 (О А’2 (< + з) - (Л*)2] и докажем, что [/ (/) - 7] [/ (/ + S) - 7] = 2 (7)2c2 (S), (П.28) где с (s) = A (t) A (t 4- s) /Х2— нормированная автокорреляционная фу| гция от X (f). Положим X(^4-s) = c(s)X(/)4-Z(s), (П.29) где 7. (s) ге зависит от X (/). Отсюда А г +s) = хЦ!)=(? {s) X2 (t) ф Z2 (s) kwZ2 = А7®"[ 1 —c®(s)J- (П.29а) Аналогично находим X2 (О A2 (t + з) - (zY2)2 = Л2 (0 [с (s) X (0 4- 2(s)]2 - (Л2)2 = = с2 (s) Х^ 4- X2 Z2 — (А2)2 2c2(s) (Х2)2,
Тйк как Х»=з(л2У для любой нормально распределенной функции X (£)> а 22 задано (П.29а). Отсюда [/(О —Г\[/ K + s)-7J= 2 (7)2 С2 (S) = 2 [UTRnB I g (s). (П.296) Следователь^ спектральная плотность продетектированного шума равна 00 S, ( ) ~ 4 (Z)E j с2 (s) exp (j cos) ds. (П.30) —00 . Для узкой шумовой полосы, характеризуемой средней спектраль- ной плотностью So, полосой частот В и центральной частотой fo, из (2.18) находим sin t-.Bs с (s)= kBs с0!; 2nfos, (П.31) причем I=S0B. Подстановка (П.31) в (П.30) и интегрирование дают низкочастотный спектр шума: St (f) = 2S20(B-f) при 0<f<B. (П.32) Sz(f) = O npnf>B. Это выражение описывает продетектироваиныи шум. Подадим теперь найденный спектр иа индикатор с нормированной частотной характеристикой вида 1/ У 1 ф- co2t2, где т: — постоянная времени. В результате на выходе получим флуктуации У(£)> средний квадрат которых равен в 2 _ f 2S0(B-f) = [4fe77V*|g|2F ,п ™ J 14-W42 al— -2Bi 2Bt ( J о при Вт^>1. Следовательно, счета шума относительная точность единичного от- Vy* 1 ___ Т Г2ВГ’ 1 ' что и требовалось доказать. Приравнивая |^У2 к выражению lkTbR.nB | g |2, находим для относительной погрешности единичного шумового отсчета Afl„=fl„/K2&r. (П.35) Обратимся теперь к корреляционному методу шумовых изме- рений. На выходе одного усилителя имеем Vi(t)+u(t}, иа выходе другого — V2{t)+u(l)f где u(t) обеспечивается общим источником
Шума, a и v2(t) порождаются шумом, генерируемым в усилите- лях. Мы измеряем [01 (О +«(0J [vs (1)+и(()1=и^, а выпрямленный шум обусловливается Vi (/) о2 (0 v1 (t + s) vs (t +s) = [4kTRnB | g |2]2 c2 (s), (П.36) где Rn — шумовое сопротивление каждого усилителя и c(s)—нор- мированная автокорреляционная функция шума. Эта величина вдвое меньше, чем в предыдущем случае (П.296). Поэтому Р = [4kTRnB | g |2]2/4Ст. (П.Зба) Приравнивая 1^У2 и 4kThRnB | g |2, получаем относительную точность единичного отсчета шумового сопротивления ДЯП = Rn/ V4Bi, (П.366) что и требовалось доказать. П.2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КОЛЛЕКТИВНОГО И КОРПУСКУЛЯРНОГО МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ШУМА В ДИОДАХ И ТРАНЗИСТОРАХ А. «Коллективный» метод анализа шума С помощью данного метода проанализируем шум генерации — рекомбинации и шум диффузии, причем и тот, и другой обязаны своим появлением неосновным носителям. Рассмотрим полупроводник л-типа с инжектирующим контактом при х=0 и дырочным током, обусловленным диффузией, в направ- лении оси X. Концентрация дырок убывает с увеличением х вслед- ствие рекомбинации. Разделим полупроводник на элементарные ячейки объемом ДхХуХг. В силу уравнения непрерывности 1 dip . К q дх ' tp (П.37) где хр — время Жизни дырок, /р — плотность дырочного тока, р'— =р—рп — избыточная концентрация дырок, а рп — равновесная кон- центрация дырок, в элементе объема ДхАг/Az из-за ре- комбинации исчезает дырочный ток, равный qtfbxby&zlxp. Кроме того, по тон же самой причине исчезает дырочный ток qpnb.x&yXz[xv. Последний процесс балансируется аналогичным возникновением дырочного тока" из-за объемной генерации. Таким образом, результирующее убывание тока вследствие реком- бинации составляет qpXxhyXzlxv. Все эти токи должны создавать полный дробовой шум, и, следовательно, генерация — рекомбинация
в элементе объема kx\ykz может быть представлена генератором тока j/"М2Х , где Д<2 =2q Г ДхДуДг! &f ф- 2g [ ДхДрДг! Af. (П.38) I тр J L р J Здесь учтена объемная рекомбинация. Аналогичным образом на поверхности полупроводника в элементе поверхности ДА из-за по- верхностной рекомбинации исчезает ток qs(p—Рп), где s— скорость поверхностной рекомбинации. По той же причине исчезает и ток qspn&A, который балансируется током qspnM, возникающим благо- даря поверхностной генерации. Таким образом, результирующее убывание тока равно qspAA. Все эти токи должны создавать пол- ный дробовой шум. Поэтому шум элемента поверхности ДА может быть представлен генератором тока Д i2s , где Д i2s = 2q [qsphA] Af + 2q [gspnAA | Af. (П.39) Приложим полученные результаты к анализу р-п диода. Чтобы упростить вопрос, предположим вначале, что все дырки, генерируе- мые в n-области, попадают в p-область. Тогда имеем для дырочного тока /р и дырочного тока насыщения /р0: = (дЛр) У [р (х) — Рп] dV + qs f(p — Pn)'dA, (П.40) /po = (gAp) fandV A-qs^PndA. (П.41) Интегрируя (П.38) и (П.39), находим полный шум: = 2g (/р +/ро) Af + 2д/роД[. (П.41а) Таким образом, (6.7) является следствием того факта, что все ис- точники шума генерации и рекомбинации в «-области проявляют полный дробовой шум. Поэтому, если отказаться от допущения, что все дырки, генерируемые в «-области, попадают в p-область, вы- кладки становятся более сложными, но итоговый результат, конеч- но, остается тем же самым. Что касается шума диффузии, то его в элементе об i ема hxAy&z согласно (5.10 а) можно представить генератором тока г Д , где Д «2*= 4g2Dpp(x) (ДрД2/Дх) Af. (П.42) Уравнения (П.38), (П.39) и (П.42) справедливы при условии, тто р<С« в «-области. Это называется случаем низкого уровня ин ^секции. Если р и « становятся соизмеримыми, данные уравнения должны быть соответственно модифицированы. Тогда (П.38) пре- зращается в уравнение [116] Д ^==2д»£(ДхД^ДгЛр)Д/, (П.43)
описывающее рекомбинацию на центрах рекомбинации, а (П.42) должно быть записано как —о— _ рп Лг/Лг ^2dx (П.44) Здесь £>„ — коэффициент амбиполярной диффузии. Проблема шума при «коллективном-» подходе в случае низкого уровня инжекнии может быть решена методами исследования длин- ных линий (241. Полученные результаты идентичны найденным на основе корпускулярного подхода. Случай высокого уровня ин- жекции в настоящее время находится в процессе исследования. Б. Эквивалентность коллективного и корпускулярного методов Докажем =ту эквивалентность для плоскостного днода, в кото- ром практически весь ток переносится дырками. В таком случае И-область описывается следующей системой уравнений: др р — рп 1 -§t----------V (г- °- (П-45) Ь (г, 0 = —qDpvp(г,’’7) — qh (г, (). (П.46) 1р™ (г. О = qs [р (г, 0 — Рп1 4- qgs (г, t). (П.47) Здесь (П.4'5) — уравнение непрерывности; т„ — время жизни в объ- еме, a g„ (г, /) — Флуктуации скорости объемной генерации — ре- комбинации; (П.4Р)—уравнение тока. h(r. f)—флуктуации скоро- сти диффузии; (П.47) описывает явления на поверхности; jps„ — нормальная к поверхности компонента плотности дырочного поверх- ностного тока, s—скорость поверхностной рекомбинации и gs(r, t)— флуктуации скорости поверхностной генерации — рекомбинации. Интпгрипуя (П.45) по веему общему и-о<л’,сти"и используя теорему Стокса для "находим’): — (г, t) rfV —+ -j-fipjndA', (П.48) где jpsn — нормальная компонента плотности мгновенного тока в р-п переходе, a dA'— элемент поверхности р-п перехода Так как последний член в (П.48) соответствует мгновенному дырочному току п Отметим, что если положительным для /pjn выбирается на- правление из p-области в n-область. то JvMV = (h,ndA — ^ipjndA'.
поделенному на q, имеем: Л> (О = Q PdV+ Pn} + <7$ f(P — P-n) dA+q (r, 0 dV + q fgs (r, t) dAP (П.48а) Таким образом, мы установили связь между дырочным током возле р-п перехода и внутри «-области. Разделим теперь дырки на три группы: 1. Дырки, инжектированные в «-область и рекомбинирующие там. 2. Дырки, генерированные в «-области и собранные р-областыо. 3. Дырки, инжектированные в «-область и возвращенные в p-об- ласть за счет обратной диффузии. Выясним, какой вклад дает каждая из этих трех групп в пер- вый член (П.48а). Дырки группы 1 дают вклад \q(d]dt} [ pdV]ta в число дырок, инжектированных в «-область, и долю [q(d/dt) f pdV]ib за счет ды- рок, рекомбинирующих в «-области. Таким образом, ток /pi(0 за счет дырок первой группы может быть записан в виде (9 = q ]ia+ « ]ib+ + qs^PdA + q p® (r> 0 dv + + q [^(r, t)dA = > (П.49) так как член f pdV]ib сокращается с четырьмя другими чле- нами. потому что каждый процесс рекомбинации, уменьшающий aUd/dt) f pdV],r> на некоторую величину, увеличивает один из четы- рех остающихся членов на ту же самую величину. Аналогичным образом дырки группы 2 дают вклад cfi(dldt) f pdVlSa за счет дырок, поступающих в p-область. и долю q\(d/dt} [ pdVIzi, дырок, генерируемых в «-области. Обозначая через /Рг(0 дырочный ток, обусловленный дырками второй группы, по1 аналогии с (П.49) имеем: = (П.5Г> Дырки группы 3 дают вклад ql(d/dt) f pdV]Sn за счет дырок, инжектированных в «-область, и вклад q[(d/dt) f pdV]:<i, в количество дырок, извлекаемых из «-области, причем последний член имеет слу- чайное запаздывание по отношению к первому. По аналогии с (П 49) /,»(9=<[4{^]je+?9 [4М/ (П-5Ь
Следовательно, полный ток /г(<) равен /р(0 = q + Ч [‘Зг|/7бП/]2 + г д Г 1 Г д Г 1 + <? +<7 дГИ^Ч ’ .(П-52) I J Jsa L J Jab так ЧТО Ip(t) полностью относится к тому, что происходит вблизи р-п перехода. Следовательно, корпускулярный подход полностью подтверждается. П.З. МЕТОДЫ УСРЕДНЕНИЯ В ТЕОРИИ СМЕСИТЕЛЕЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕЛОГО ШУМА Чтобы продемонстрировать законность методов усреднения, ис- пользуемых в теории смесителей для случая белого шума, рассмот- рим вакуумный триод [117]. Пусть clla — ток эмиссии, обусловленный электронами, эмиттированными с энергией между Уо н Уо+<УУо эв. Предположим, что в момент т ток die претерпевает небольшое флук- туационное изменение б/0 длительностью Дт, которое имеет белый спектр. Тогда соответствующая флуктуация анодного тока равна б/о=у(У0, Об7о, (П.53) где у(Уо, 0—коэффициент подавления шума пространственным за- рядом для изучаемого интервала энергий. Запишем теперь у(Уо, О и крутизну, статической характеристики gm(i) в виде: Y (Уо, 0 = Yo (Уо) + 2^! (Vc) cos copf + 2уг (Уо) cos 2<opf + ... , (П.54) gm (0 = gmo + 2gml COS Wp/ J- 2gms COS 2<0pZ + ... (П. 55) Используя аппарат рядов Фурье на отрезке 0</<Т, имеем оо 5/с = a„’c°s <о„ (t — t), <on = 2-im/T, (П.56) n=i o' где ап не зависит от n практически на всех интересующих нас частотах, так как б/о имеет белый спектр. Поэтому можно поло- жить аг=а. Подставим теперь (П.56) и (П.54) в (Г1.53) и удержим шумо- вые сигналы с частотой йю. Для преобразования на m-ой гармонике это а>п = сйо и соя = |та>р±шо|. Так как за счет смешения двух бо- ковых частот тыр 4-ыо и |та>р—Шо| члены 2у,„ (Vo) cos тсор/ [a cos {(тсор + w0) (t — т)} + + a cos {(исор — о>0) (f — т)}] Дают иа частоте соо выражения ay,» (У,) [cos {«о (t — т) — /гасорт} + cos {w0(£—т) + /псорт}] = 2«Ym (Vo) cos mcop-c cos o>o ~ т).
имеем для Фурье — компоненты b cos <о„ (t — т) тока S/O(Z): b cos ы„ (/ — т) = а [ х„ (Vo) + 2X1 (Vo) cos <оРт + + 2Хг (Vo) cos 2<орт4- ...] cos ш0 (^ — т) = <4 (Vo, т) cos<o0 (t — т). (П.57) Выполним теперь усреднение и интегрирование в следующем порядке. 1. Усредняем по ансамблю идентичных систем, каждая из ко- торых претерпевает случайную флуктуацию б/0 в интервале энергий dV0 в момент т: F=a?[x(Vo,'c)l2- (П.58) 2. Суммируем (П.58) по всем моментам т, для которых (сорт— 2лт) имеет одинаковую величину (>тг=0, 1, 2...), что соот- ветствует суммированию по всем эквивалентным импульсам в раз- личные периоды на интервале &d?a = 2gd/0Af [Y (Vo. A (wPt)/2m. (П.59) Данный результат следует из того факта, что, если v(V0, г) не за- висит от т, полный шум, получаемый суммированием по всем интер- валам Лт в пределах полного периода, должен составить di2a = 2qdladf-f (V„). (П.59а) 3. Интегрируем (П.59) по всем значениям diV0: М2 = е - 4fe Tgm (т) dfh /2я-. (П. 60) где £т(т)—значение qm(t) при /=т и е — константа вида е= =07с/(о'7), причем 0, Тс и о имеют тот же самый смысл, что и в гл. 6. Это вытекает из того, что если gm(r) не зависит от г и мы суммируем по всем интервалами Дт в пределах полного периода, то получается хорошо известная формула i2 = e-4kTgmbf. (П.бОа) 4. Суммируем по всем моментам т в пределах полного периода колебаний гетеродина: -т> 4/гГД/ 1а~е- 2п gm (т) A (Wpt) = e-lkTgnufif, (П.61) Дт что доказывает законность метода усреднения. Аналогичным обра- зом доказывается справедливость метода при наличии обратной свя- зи или взаимодействия между входным и выходным шумом, как в случае диодного смесителя. Если шум прибора представляет собой полный дробовой шум, как в случае твердотельного диода, теория становится гораздо ме- нее сложной, так как большинство изложенных четырех этапов мо- жет быть упрощено или вообще не требуется. Это видно из сле- дующего.
I. Так как y(Vo, 0 = Ь первый шаг дает Вй=с‘!. 2. Суммируя по всем эквивалентным моментам, находим Д i?d = 2g [/ (т) + 2/00] Д/Д (copt)/2n, где /оо — ток насыщения. 3. Этот шаг излишен, так как нет распределения по энергиям. 4. = 2gAf (т) + 2/00] = (/о + /00), Ди так что сложный процесс преобразования затрагивается только тогда, когда учитывается взаимодействие между шумом на высокой и промежуточной часготе. Имеем, таким образом, следующее правило: если шум прибора не является полным дробовым шумом, то 6/a = Y(V’o, Об/о, и получение итогового результата треоует анализа сложного про- цесса преобразования. Однако, если y(Vo, t) = 1, вычисления могут выполняться непосредственно, без оглядок на сложный процесс преобразования. То, что этот результат не очевиден, можно показать на сле- дующем примере. Рассмотрим вакуумный диод, который обладает фликкер-эффектом, вызванным действительными флуктуациями 6Л *тока эмиссии /8. Тогда можно показать, что флуктуации t>Ia анод- ного тока равны 6/a=(fe/’cgm/g/s)6/s, (П.62) где gm — крутизна лампы. Положим теперь 8Л = S ап cos <ant, <on = 2т. п/ T, (П.63) n gm (t) = gmo + 2gml COS <0p/ 2gm2 cos 2<opZ + ... (П.64) Подставляя эти выражения в (П.62), находим: gmn^o COS -J- gmi COS се f <on)Z + an cos (cop +<on)J/ 4- gmi an cos (2<op — a„) t + an cos (2<op 4- con) t (П.65) так что в результате процесса преобразования возникают вокруг частоты Ир две боковые шумовые полосы с фликкер-спектром и их гармоники. Это невозможно получить при помощи усреднения. Следователь- но. методы усреднения применимы только в том случае, если есть уверенность, что используемый, прибор обладает белым шумом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Burgess R. Е. Ed., Fluctuation Phenomena in Solids. Academic Press, Inc., N. Y„ 1965. 2. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астро- номии. Изд-во иностранной литературы, 1947. 3. К р а м ° р Г. Математические методы статистики. Изд-во ино- странной литературы, 1948. 4. Д а в е н п о р т В. Б., Р у т В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960. 5. Д у б Д ж. Л. Вероятностные процессы. Изд-во иностранной ли- тературы, 1956. 6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Изд-во «Мир», 1964. 7. Jeffreys Н. Theory of Probability, 2d ed. Oxford University Press, N. Y„ 1948. 8. «Пороговые сигналы». Изд-во «Советское радио», 1952. 9. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Изд-во «Советское радио», т. I, 1961, т. И, 1962. 10. Ван дер Зил А. Флуктуации в радиотехнике и физике. Гос- энергоиздат, 1958. 11. Wax N. Selected Papers on Noise and Stochastic Processes. Dover Publications, Inc., N. Y., 1954. 12. Wiener N., Extrapolation and Smoothing'of Stationary Time Se- ries. John Wiley & Sons, Inc., N. Y., 1949 13. Zernike F. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Sta- tistik. Handbuch der Physik, 1928, v. 3, p. 419—492, Berlin. 14. W iener N. Acta. Math. 1930, v. 55, p. 117. 15. X и н ч и н А. Я- Теория корреляции стандартных случайных функций. «Успехи математических наук», вып. 5, 1938. 16. РайсС. О. Теория флуктуационных шумов. В сб. «Теория пере- дачи электрических сигналов при наличии помех». Изд-во ино- странной литературы, 1953. 17. Schottky W. Ann. Physik, 1918, v. 57, p. 541. 18. Burgess R. E. Faraday Soc. Discussions, 1959, v. 28, p. 151. 19. Langevin P. Compt. Rend., 1908, v. 146, p. 530. 20. Nyquist H. Phys. Rev. 1928, v. 32, p. 110. 21. Burgess R. E. Proc. Phys. Soc. London, 1956, v. 69, p. 1020. 22. В e n n e 11 W. R. Electrical Noise. McGraw-Hill Book Company, N. Y.' 1960. 23. X а у с Г., Адлер P. Теория линейных шумящих цепей. Изд-во иностранной литературы, 1963. 24. В а н дер 3 и л А. Флуктуационные явления в полупроводни- ках. Изд-во иностранной литературы, 1961. 25. I. К. Е. Standards, «Standards on Electron Devices, Methods for Measuring Noise». Proc. IRE, 1953, v. 41, p. 890; «Representations of Noise in Linear Twoports». IRE Subcommittee 7.9 on Noise, Proc. IRE, 1960, v. 48, p. 69. 26. Friiss H. T. Proc. IRE, 1944, v. 32, p. 419. 27. Spenke E. Wiss. Veroeffentl Siemens-Werken, 1937, v. 16. P- 127. \
28. Цен Т. М., Ван дер. Зил. Схема типа Брациса — Твисса для измерения слабых шумовых сигналов. ТИИЭР, 1965, т. 53, стр. 454. 29. М а 1 a v i у a S. D. Study of Noise in Transistors at Microwave Frequencies up to 4 GHz. Ph. D. Thesis, University of Minnesota, 196'9. 30. В u r g e s s R. E. Phil. Mag. 1951, v. 4'2, p. 475. 31. IEEE Trans., 1968, v. MTT-16, Sept. 9. 32. Wittke J. P. Proc. IRE. 1957, v. 4'5, p. 291. 33. Shockley W. Proc. IRE, 1952, v. 40, p. 1365. 34. X оф штейн, Хейман. Кремниевый полевой транзистор с изо- лированным затвором. ТИИЭР, 1963, т. 51, стр. 1182. 35. V a n N i е 1 е n J. А., М е m е 1 i п к О. W. Philips Res. Repts. 1967, v. 22, р. 55. 36. В а н дер Зил А. Тепловые шумы в полевых транзисторах. ТИРИ, 1962, т. 50, № 8, стр. 1848. 37. Jordan A. G., Jordan N. A. IEEE Trans., 1965, ED-12, р. 148. 38. К 1 a a s s е n F. М., Prins J. Philips Res. Repts, 1967, v. 22, p. 505. 39. Y a у L. D., Sah С. T. Solid-State Electron, 1969, v. 12, p. 927. 40. H a 11 a d а у H. E., v a n d e r Z i e 1 A., Electronics Letters, 1968, v. 4, Aug., p. 336. 41. Бранке. Измерения шумов в полевых транзисторах. ТИИЭР, 1963, т. 51, № 2, стр. 412. 42. Geurst J. A. Solid-State Electron, 1965, v. 8, р. 88, 1965, v. 8, р. 663. 43. Van der Ziel А., Его J. W. IEEE Trans., 1964, ED-11, p. 128. 44. V a n der Ziel A. Proc. IEEE. 1963, v. 51, p. 461. 45. Rao P. S. Solid State Electronics, 1969, v. 12, p. 549. 46. В а и д e p 3 и л А. Шумы полевых транзисторов при относитель- но высоких частотах. ТИИЭР, 1963, т. 51, № 11, стр. 1648. 47. Сах. Теория генерации НЧ шумов в полевых транзисторах с плоскостным затвором. ТИИЭР 1964, т. 52, № 7, стр. 849. 48. Yau L. D., Sah С. T.»IEEE. Trans., 1969, ED-16, р. 170. 49. В 1 о е m b е г g е п N. «Solid State Masers», in Progress in Low Temperature Physics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1961, v. 3; p. 396--429. 50. Shoji M. Ph. D. Thesis. University of Minnesota, 1965. 51. Холлэди, Бранке. Избыточные шумы в полевых транзи- сторах. ТИИЭР, 1963, т. 51, № 11, стр. 1649. 52. Н а 11 a d а у Н. Е., van der Ziel A. IEEE Trans., 1967, ED-14, p. 110. 53. «Полевые транзисторы». Сб. статей под ред. Уоллмарка и Джон- сона. Изд-во «Советское радио», 1971. 54. Sah С. Т., Рао Н. С. IEEE Trans., 1966, ED-13, р. 393. 55. S a h С. Т. W u S. Y., Н i е 1 s с h е r W. IEEE Trans., 1966, ED-13, p. 410. 56. Hauser J. R. IEEE Trans., 1965, ED-12, p. 605. 57. Shoji M. IEEE Trans., 1966, ED-13, p. 520. 58. Halladay H. E, van der Ziel A. Solid-State Electron, 1969, v. 12, p. 161.
59. Mortenson R. L., Ph. D. Thesis, University of Minnesota, 1969. 60. Petri tz R. L. Proc. IRE, 1952, v. 40, p. 1440. 61. Petri tz R. L. Phys. Rev., 1953, v. 91, p. 231. 62. V a n d e r Z i e 1 A. Proc. IRE, 1955, v. 43, p. 1639, 1957, v. 45, p. 1011. 63. S о 1 о w M. Ph. D. Thesis. Catholic University of America, 1957; U. S. Naval Ordnance Laboratory Report, Navord 5762. 64. V a n d e r Z i e 1 A. I.E.E.E. Trans., 1961, ED-8, p. 525. 65. В a e 1 d e A. «Theory and Experiments on the Noise of Transis- tors», Ph. D. Thesis, Technical University of Delft, 1963; D. Polder and A. Baelde, Solid-State Electron, 1963; v. 6, p. 103. 66. S a h С. T., H i e 1 s c h e r F. H. Phys. Rev. Letters, 1966, № 17, p. 956. 67. A b о w i t z G., A г n о 1 s E., Leventhal E. A. IEEE, Trans. 1967, ED-14, p. 775. 68. Christensson S., Lun ds t rom I, Svensson C. So- lid-State Electron, 1968, v. 11, p. 797. 69. Christensson S., Lundstrom I. Solid-State Electron, 1968, v. 11, p. 813. 70. Гудков M. Д. Исследование низкочастотных шумов типа 1/f обратносмещенных германиевых р-п переходов. «Радиотехника и электроника», 1967, т. XII, вып. 5, стр. 946. 71. Weisskopf Y. F. NRDC Rept. № 14—133 (May 1943). 72. V a n de г Ziel A., Becking A. G. Th. Proc. IRE, 1958, v. 46, p. 589. 73. Lauritzen P. O. IEEE. Trans. 1968, ED-15, p. 770. 74. M о n t g о m e г у H. C, Clark M. A. J. Appl. Phys., 1953. v. 24, p. 1337. 75. V a n d e r Ziel A. J. Appl. Phys, 1954, v. 25, p. 815. 76. G i а с о 1 e 11 о L. J. in Transistors I. RCA Laboratories, Prince- ton, N. J. 1956. 77. North D. O. RCA Rev, 1940, v. 4, p. 441: 1941, v. 5, p. 106. 78. Schottky W. Wiss. VeroeffentL Siemens—Werken, 1937, v. 16, p. 1. 79. S p e n k e E. Wiss. VeroeffentL Siemens — Werken, 1937, v. 16, p. 19. 80. R a c k A. J. Bell Syst. Tech. J, 1938, v. 17, p. 592. 81. Bakker C. J. Physica, 1938, v. 5, p. 581. 82. Schottky W. Ann. Physik, 1938, v. 32, p. 195. 83. N о r t h D. O. RCA Rev. 1941, v. 5, p. 244. 84. T о n g H. A, van der Ziel A. IEEE Trans. 1968, ED-15, p. 307. 85. В а и дер Зил А. Низкочастотный шум в вакуумных лампах (Фликкер — эффект). В сб. «Шумы в электронных приборах», под ред. Смуллина Л. Д. и Хауса Г. Изд-во «Энергия» 1964. 86. V а п V 1 i е t К. М, Johnson R. R. J. Appl. Phys, 1964, v. 35, p. 2039. 87. Me Whorter A. L. «1/f Noise and Related Surface Effects in Germanium», MIT, Lincoln Lab, Rept. May 1955, Я» 80. 88. Fong er W. H. in Transistors I, RCA Laboratories, Princeton, N. J, 1956. 89. Va n der Ziel A. Physica, 1970, v. 49, p. 613. 90. Plumb J. L, Che nett e E. R. IEEE, Trans, 1964, ED-10, p. 304—308.
91. G i г a 11 G., Martin J. C., Ma teu - Per ez F. X. Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, 1965, v. 261, p. 5350. 92. Machlup S. J. Appi. Phys., 1954, v. 25, p. 341. 93. Ван дер Зил А. Шумовая температура системы квантовых усилителей. ТИРИ, 1963, т. 51, № 6, стр. 963. 94. Rothe Н„ D ahlke W. Proc. IRE, 1956, v. 44, p. 811. 95. КI a a s s e n F. M. Conference Report of Physical Aspects of Noise in Electronic Devices, September 11—13, 1968, University of Nottingham, England. 96. A g о u r i d i s D. C., van d e r Z i e 1 A. IEEE Transactions; 1967, ED-14, p. 808. 97. Tong H. A., v a n d e r Ziel A. IEEE Transactions, 1968, ED-15, p. 307. 98. V a n d er Z i e 1 A., T a k a g i K. IEEE Journal Solid State Cir- cuits, 1969, SC-4, p. 170. 99. V a n d e r Ziel A., Can. J. Technology, 1951, v. 29, p. 540. 100. Becking A. G. Th., G г о e n d i j k H., К n о 1 К. S. Philips Res. Repts., 1955, v. 10, p. 349; Nachr. Techn. Fachber., 1955, v. 2, p. 37. 101. Klaassen F. M., Prins J. Philips Res. Repts., 1968, v. 23, p. 478. 102. Vlaardingerbroek M. T. Philips Res. Repts. 1959, v. 14, p. 327. 103. В a e c h t о 1 d W., S t r u 11 M. J. O. Electron. Letters, 1967, v. 3, p. 323, IEEE, Trans., 1968, MTT-16, p. 578. 104. Cooke H. F., P о 1 i c k у G. J. IEEE Northeast Electronics Research and Engineering Meeting, Boston, 1965, v. 17, p. 254. 105. Fukui H. IEEE Trans., 1966, ED-13, p. 329; IEEE Trans., 1966, CT-13, p. 137. 106. Lange J. IEEE J. Solid-State Circuits, 1967, SC-2, p. 37. 107. Thommen W„ Strutt M. J. O. IEEE Trans., 1965, ED-12, p. 499. 108. Strutt M. J. O. Proc. IRE, 1946, v. 34, p. 942. 109. Van Week A. Ph. D. Thesis, Technical University of Delft, 1943. 110. Van der Ziel A. Electronics, Allyn & Bacon, Inc., Boston, 1966. 111. Van der Ziel A. SoJid State Physical Electronics, 2nd, ed., Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs., N. Y., 1968. "112 . Okamoto M., van der Ziel A. IEEE J. Solid State Cir- cuits 1968, SC-3, p. 300. 113. Van der Ziel A., Okamoto M. IEEE J. Solid State Cir- cuits, 1968, SC-3, p. 303. 114. L e e S. J., v a n der Ziel A. Physica, 1969, v. 45, p. 379. 115. В ael de A. Philips Res. Repts., 1961, v. 16, p. 225. 116. Van Vliet К. M. Solid State Electronics, 1970, v. 13. 117. Van der Ziel A., Watters R. L. Proc. IRE, 1958, v. 46, p. 1426. 118. Jaeger R. С., В г о d e r s e n A. J., C h e n e 11 e E. R. Record of the 1968. Region III IEEE Convention, 1968, p. 58. 119. AbowitzG., Arnold E., Leventhal E. A. IEEE. Tran- saction, 1967, ED-14, p. 775. 120. Hsu S. T., F i t z g e r a 1 d J). J., G г о v e A. S. Applied Physics Letters, 1968, v. 12, p. 287. 121. Viner J., M. Sc. Thesis, Univ, of Minnesota, 1969.
122*. Линдхольм, Айерс. Обобщенное уравнение Эйнштейна для вырожденных полупроводников. ТИИЭР, 1968, т. 56, № 3. 123. К 1 a a s s е и F. М., Robinson J. R. Anomalous noise behavior ot ihe junction— gate Held — effect transistor at low temperatu- res. IEEE Trans. Electron. Dev., 1970, v. ED-17, № 10, p. 852—857. 124. Еремин С. A., M о к e e в О. К., Носов Ю. Р. Полупровод- никовые диоды с накоплением заряда и их применение. Изд-во «Советское радио», I960. 125. Schneider В., Strutt М. Theory and experiments on shot noise in silicon p—n junction diodes and transistors. Proc. IRE, 1959, № 4. 126. Brophy J. J., Siatisiics of 1/f noise. Phys. Rev., 1968, v. 166, № 3, p. 827—831. 127. Brophy J. J. Zero — crossing statistics of 1/f noise. J. Appl. Phys., 1969, v. 40, № 2, p. 567—569. 128. Greenstein l. J., Brophy J. J. Influence of lower cutoff frequency on the measured variance oi 1/f noise. J. Appl. Phys., 1969, v. 40, № 2, p. 682—685. 129. Brophy J. J. Variance fluctuations in flicker noise and current noise. J. Appl. Phys., 1969, v. 40, № 9, p. 3551—3553. 130. Brophy J. J. Low-lrequency variance noise J. Appl. Phys., 1970, v. 41, № 7, p. 2913—2916. 131. Нарышкин A. К., Враче в А. С. Теория низкочастотных шумов. Изд-во «Энергия», 1972. 132. Воюцкий В. С. Корреляционный метод обнаружения и из- мерения слабых сигналов. Изд-во «Недра», 1965. 133. Нарышкин А. К. Противошумовые коррекции в широко- полосных усилителях на транзисторах. Изд-во «Связь», 1969. * Литература [122—133] добавлена редактором перевода.
предметный указатель Адмиттанс корреляционный (полная проводимость) 151 Ансамбль Г1 Величина случайная стацио- нарная 11 Включение каскадное 47 Генератор параметрический 199 v Детекторы 69 — квадратичные 69 — линейные 70 Диод с переходом типа ме- талл — полупроводник (диод Шоттки) 112, 180 плоскостной с р-п перехо- дом 114 — твердотельный с ограниче- нием тока пространствен- ным зарядом 85 — туннельный 53, 116 Дисперсия 9 Закон распределения 13 ----- биномиальный 13 ----- гауссовский 13 •----нормальный 13 -----Пуассона 13 Измерение шума 72, 77 -----в импульсном режиме 79 Импеданс (полное сопротивле- ние) корреляционный 168, 172 Источники шума 58 -----газоразрядные 63 •----диодные 60 -----тепловые 59 Каскады (в усилителях) 47 — па биполярных транзисто- рах 167 -------без нейтрализации 176 -------—с общей базой 167 -------с общим эмиттером 175 — на вакуумных триодах 165 — на полевых транзисторах 150 -------с общим затвором 156 -------с общим истоком 151 -------с общим стоком 157 Корреляция 15 — авто 16 — взаимная 16 Коэффициент корреляции 16 — подавления шума простран- ственным зарядом 26, 127 — усиления номинальный 47 ----обобщенный 52 ----по току 117, 120 — шума 41 ---- биполярного транзистора 167 ---- вакуумного триода 165 ----мазера 145 ---- на определенной часто- те 42 ----обобщенный 53 ---- полевого тетрода 160 ------- транзистора 150 ---- смесителя 180 ----усредненный 43 Мазер 87, 88, 145 — бегущей волны 149 — резонаторный 145 Метод Ланжевена 27 — коллективный 112, 216 — корпускулярный 112, 216 — корреляционный 71 — усреднения (в смесителях) 218 Мощность обменная 52 — располагаемая 46 Нормирование 12, 15, 16 Плотность вероятности 11 ---- спектральная 18 ----взаимная 20 Постоянная диффузии 84 ---- амбиполярной 216 Преобразователь с повыше- нием частоты 197
Проводимость шумовая экви- валентная 34, 151 ----- холостого хода 33 Смесители 178 — диодные 180 — емкостные 196 — на транзисторах биполяр- ных 192 -----полевых 190 Соотношение Эйнштейна 85 Сопротивление шумовое экви- валентное 35, 40 Спектр пространственный вза- имный 93 Схема каскодная 65 Температура шумовая эквива- лентная 35, 44 ----системы 148, 150 Теорема Винера — Хинчина 18, 206 — Карсона 23, 210 — Кемпбелла 208 — Найквиста 28, 81 — об эквивалентности 216 — о дисперсии 25, 211 — Парсеваля 210 — центральная предельная 14 — Шоттки 24 Тетроды полевые 65, 160 Ток насыщения коллекторный 116 — эквивалентный насыщенно- - го диода 33 Точность (единичного шумово- го отсчета) 70, 212 I— относительная измерения шума 71, 72 Транзистор биполярный 116 — полевой (ПТ) 89 |— МОП (металл-окисел-полу- проводник) 89 — с р-п переходом 89 Триод вакуумный 128 |Уравнение основное 29 [Усилитель квантовый идеаль- ный 148 — лазерный 150 — на приборах с отрицатель- ной проводимостью 51 — на туннельном диоде 53 — основной (главный) 68 — параметрический 199, 201 — предварительный 65 Фильтры 70 Фликкер-шум 61, 67, 132 — в биполярных транзисторах 139 — в МОП ПТ 136 — в р-п диодах 139 — полупроводниковых нитях 133' Формула Фрииса 47, 49 Фотопреобразование 203 Функция автокорреляции 16 Циркулятор 55, 67, 146 Частота граничная по альфа 120 Число шумовое 48 Шум взрывной 142 — генерации-рекомбнпации 28, 103, 216 -----в биполярных транзисто- рах 216 -----в полевых транзисторах 103 — диффузионный 83, 215 — дробовой 24, 112 -----в биполярных транзисто- рах 117 — — в вакуумных диодах 126 ------- триодах 128 -----в диодах Шоттки 112 -----в плоскостных диодах 114 -----в туннельных диодах 116 — затвора наведенный (инду- цированный) 97 — спонтанной эмиссии 88 — тепловой 81 — токораспределения 28, 123, 131 — усилителя 65 Эргодический 14 Эффект Миллера 67