/
Text
гений
изеайлович
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
Под редакцией
Л.П. Питаевского, Ю.Г. Рудого
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2004
УДК 5dU.14o, эоо.У, эоУ.1 j»f Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.311, 22.314, 22.315 г* cjiph: Российского фонда фундаментальных
Т 78 ** исследований по проекту 02-02-30002д
Труды Е.М. Лифшица / Под ред. Л.П. Питаевского, Ю.Г. Рудого. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 648 с. - ISBN 5-9221-0484-5.
Издание избранных научных трудов выдающегося российского физика-теоретика, ака-
академика Евгения Михайловича Лифшица — соавтора лауреата Нобелевской премии ака-
академика Л.Д. Ландау по созданию всех томов всемирно известного «Курса теоретической
физики» — содержит основные труды Е.М. Лифшица за более чем полувековой период.
Издание отражает широту и глубину научных интересов и достижений Е.М. Лифшица
практически во всех областях теоретической физики. Многие работы Е.М. Лифшица стали
классическими и широко используются вплоть до настоящего времени. К ним относятся
основополагающие труды по теории ферромагнетизма и динамике магнитного момента,
теории фазовых переходов 2-го рода, межмолекулярных сил в конденсированном состоянии
вещества, сверхтекучести жидкого гелия, а также по ядерной физике, физике плазмы,
релятивистской космологии.
Книга принесет несомненную пользу студентам старших курсов и аспирантам фи-
физических, химических и математических специальностей университетов, а также препо-
преподавателям и научным работникам в этих областях и всем интересующимся развитием
теоретической физики в XX веке.
ISBN 5-9221-0484-5 © физматлит, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 16
1
Об образовании электронов и позитронов при столкновении двух частиц 32
2
Об образовании электронов и позитронов при столкновении материальных
частиц 43
3
К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел 54
4
К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 67
5
К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках 86
6
Электронный газ в магнитном поле 96
7
Столкновения дейтронов с тяжелыми ядрами I 107
8
Столкновения дейтронов с ядрами 121
9
Передача нейтрона при столкновении тяжелых ядер 138
10
К теории фазовых переходов второго рода. I 142
11
К теории фазовых переходов второго рода. II 159
12
Излучение звука в гелии II 175
13
О фазовых переходах в мономолекулярных пленках 181
4 Оглавление
14
О магнитном строении железа 194
15
О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 208
16
Трехфотонная аннигиляция электронов и позитронов 226
17
Теория сверхтекучести гелия II 228
18
Тормозное излучение при столкновении электронов 269
19
К теории передачи энергии при столкновениях. III 273
20
О промежуточном состоянии сверхпроводников 283
21
О теплоемкости жидкого гелия Не3 287
22
Исследование особенностей течения при помощи уравнения Эйлера-Трикоми ... 290
23
Теория молекулярных сил притяжения между конденсированными телами 294
24
О вращении жидкого гелия 299
25
Влияние температуры на молекулярные силы притяжения между конденсиро-
конденсированными телами 303
26
Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 306
27
Гидродинамика жидкого гелия 324
28
О гидродинамических флуктуациях 331
Оглавление 5
29
Фазовый переход второго рода в натриевой селитре 333
30
О поглощении второго звука во вращающемся гелии II 336
31
Молекулярное притяжение конденсированных тел 339
32
Сверхтекучесть 377
33
Ван-дер-ваальсовы силы в жидких пленках 387
34
Общая теория Ван-дер-ваальсовых сил 402
35
Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. I 447
36
Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. II 457
37
Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. III 467
38
Проблемы релятивистской космологии 477
39
Общее космологическое решение гравитационных уравнений с особенностью по
времени 533
40
Колебательный режим приближения к особой точке в открытой космологической
модели 538
41
Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космо-
космологии 541
42
Асимптотический анализ колебательного режима приближения к особой точке
в однородных космологических моделях 587
6 Оглавление
43
Колебательный режим приближения к особой точке в однородных космологи-
космологических моделях с вращением осей 603
44
О проблеме сингулярностей в общем космологическом решении уравнений Эйн-
Эйнштейна 615
45
О построении общего космологического решения уравнений Эйнштейна с особен-
особенностью по времени 619
46
О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи
особой точки 628
47
О стохастичности в релятивистской космологии 632
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом томе читатель найдет собрание статей выдающегося российского фи-
физика-теоретика, академика, иностранного члена Лондонского Королевского об-
общества, лауреата Государственной и Ленинской премий, лауреата премии
им. Л.Д. Ландау, Евгения Михайловича Лифшица. Такое собрание, в переводе на
английский язык, было выпущено в Англии вскоре после смерти Евгения Михай-
Михайловича издательством «Пергамон Пресс», которое в течение многих лет издавало
тома «Курса Теоретической Физики» Ландау и Лифшица. Теперь, благодаря фи-
финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, собра-
собрание публикуется и на русском языке.
Не вызывает никаких сомнений необходимость издавать собрания оригиналь-
оригинальных работ крупных ученых. Такие собрания необходимы для истории науки. Соб-
Собственно, статьи ученых и составляют саму эту историю. Опубликование научной
работы является для истории науки реальным историческим событием. После
опубликования, когда статья делается известной другим ученым, она начинает
свою самостоятельную жизнь, удачную или несчастную. От качества статьи, но
также и от множества иных причин зависит, даст ли она многочисленное потом-
потомство или останется в гордом одиночестве даже посреди самого читаемого журна-
журнала. Собственно говоря, история науки нового времени — это в большей мере исто-
история отношений между научными статьями, взаимодействия и взаимного влия-
влияния таких статей, чем история отношений между самими учеными. Сборники
статей дают возможность исследовать эту историю, не прибегая к кропотливым
поискам в журналах. Так что с необходимостью печатать такие сборники все ясно.
Менее ясен вопрос, необходимо ли их читать. Я имею в виду не историков науки,
для которых это хлеб насущный, а обычных читателей — научных работников и
студентов. Дело в том, что в настоящее время в распоряжении читателей имеются
многочисленные книги — учебники и монографии — практически по всем вопро-
вопросам современной физики, нередко очень хорошие книги. Используя их, можно быст-
быстро войти в курс дела и получить достаточно полное представление о современном
состоянии интересующего раздела физики. Нужно ли в таком случае читать ори-
оригинальные статьи, даже статьи «классические»? Я убежден, что нужно и даже очень
нужно. Дело в том, что книги — и особенно хорошие книги — дают концентриро-
концентрированное и очищенное от посторонних примесей изложение, которое приведет вас к
цели кратчайшим путем, даст вам необходимые знания. При этом, однако, теряет-
теряется нечто важное, хотя и неуловимое, подобно тому, как при очистке риса теряется
жизненно важный витамин В. Это важное — сам процесс научного творчества, про-
пробы и ошибки ученых, реальная мотивировка работы — и многое-многое другое. В
учебнике нас учат (и мы учим), как исходя из правильных исходных предпосылок,
Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
путем правильных рассуждений получить безукоризненно верный научный резуль-
результат. Это — идеал, к которому нужно стремиться. Читая оригинальные статьи, мы,
однако, убеждаемся в том, что многие важные результаты были получены исходя
из неверных предпосылок с использованием сомнительных рассуждений. Мы уз-
узнаем, что даже в работах выдающихся ученых бывают ошибки — иногда очень глу-
глупые. Мы можем проследить, как исходная идея трансформируется до неузнавае-
неузнаваемости, сохраняя все же исходное рациональное зерно, как долгим и окольным пу-
путем получают порой результат, находившийся буквально «под носом», как
технические трудности препятствуют реализации превосходной идеи и автору при-
приходится довольствоваться жалким суррогатом — и как все это двигает науку впе-
вперед, хотя и не так быстро как нам, смертным, хотелось бы. Короче говоря, только
читая оригинальные статьи можно узнать, как наука делается на самом деле и —
разумеется, в меру способностей читателя — научиться этому.
Мне думается, что сборник работ Е.М. Лифшица интересен с еще одной точки
зрения. Автор был одним из первых учеников Л.Д. Ландау и его многолетним бли-
ближайшим сотрудником. Его работы поэтому являются типичным образцом работ
школы Ландау, по которому можно проследить характерные особенности твор-
творческого стиля этой школы, его достоинства и недостатки.
Наконец, Евгений Михайлович очень хорошо писал. Его статьи и книги полез-
полезно читать уже для того, чтобы поучиться, как их нужно писать.
Чтобы облегчить чтение книги, я дам здесь краткий обзор наиболее важных
работ сборника.
Открывается сборник двумя работами, посвященными образованию электрон-
но-позитронных пар при столкновениях быстрых частиц. (Первая из двух работ
была опубликована совместно с Ландау в 1934 году, когда Е.М. Лифшицу было
19 лет.) Чтобы понять значение этой работы, достаточно вспомнить, что предска-
предсказание существования позитронов, сделанное П.А.М. Дираком в 1926 году, первое
время казалось довольно сомнительным самому автору предсказания. Но и после
открытия позитрона в 1930 эти частицы оставались достаточно экзотическими.
Поэтому возможность образования позитронов при столкновении обычных час-
частиц несомненно заслуживала теоретического изучения. Сейчас, после создания
диаграммной техники Фейнмана, экзаменатор может попросить студента напи-
написать общие выражения для вероятности такого процесса на экзамене по кванто-
квантовой электродинамике. В 30-е годы это была сложная теоретическая проблема. Но
вот что интересно. Если мы попробуем решить задачу заново, пользуясь методом
Фейнмана, мы обнаружим, что вычисления будут в точности те же самые, что и в
работах Ландау и Лифшица. В работах использован релятивистски-инвариант-
релятивистски-инвариантный метод расчета. Переход электрона из состояния отрицательной энергии в со-
состояние с положительной энергией, то есть рождение пары, происходит вслед-
вследствие интерференции полей сталкивающихся нуклонов, причем эти поля нахо-
находятся путем решения уравнений Максвелла. В результате возникают выражения,
соответствующие D-функциям виртуальных фотонов в технике Фейнмана. (От-
(Отмечу, что в результате арифметической ошибки коэффициент в окончательном
выражении B9) в работе 2 в четыре раза меньше правильного. В 60-е годы эта
ошибка еще огорчала Евгения Михайловича. В школе Ландау арифметическая
ошибка считалась дурным тоном.) Следует сказать, что теоретическая актуаль-
Предисловие
ность работы не означала ее актуальности с экспериментальной точки зрения. В
действительности, экспериментальная проверка теории оказалась возможной
лишь в 70-е годы. Ландау, относившийся к экспериментальной физике с глубо-
глубоким интересом и почтением, считал, что задачи, представляющие существенный
теоретический интерес, следует решать, даже если они и не допускают немед-
немедленной экспериментальной проверки. При этом, однако, всегда есть опасность
«опередить свое время», то есть сделать работу, которая найдет признание не-
нескоро, или вообще будет забыта, даже если она очень хороша.
Развитый в работах метод мог быть, несомненно, применен и в других задачах
квантовой электродинамики. В таких условиях было бы естественным ожидать,
что авторы, или, по крайней мере более молодой из них, посвятят несколько сле-
следующих лет разработке этой золотой жилы. Этого, однако, не произошло. Уже в
следующей работе авторы обратились к совершенно другой области — теории
ферромагнетизма. Работа носит весьма академичное и скромное название «К тео-
теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел». Между тем эта
работа является одной из важнейших работ квантовой теории твердого тела. В
ней сформулировано «Уравнение Ландау-Лифшица» — общее уравнение, опи-
описывающее динамику магнитного момента в ферромагнетиках. Обсуждаются и дис-
сипативные члены в уравнении. Решив уравнение, авторы получили выражение
для магнитной восприимчивости как функции частоты, построив, кстати, тем са-
самым теорию важного физического явления — «ферромагнитного резонанса».
Самое удивительное, однако, что в той же работе решена еще одна важнейшая
задача — никак не отраженная в заглавии статьи — построена теория доменной
структуры ферромагнетика, определены размеры доменов и толщины междомен-
междоменных стенок. В наше время, когда «продуктивность» ученого (вероятно, по аналогии
с продуктивностью молочного скота) определяется числом научных работ, «опуб-
«опубликованных в рецензируемых научных журналах», авторам, наверное, было бы
трудно преодолеть соблазн нарезать из работы штук пять ломтиков для публика-
публикации. На самом деле авторы так не поступили, и мы можем извлечь немало пользы и
удовольствия, читая эту превосходную статью.
Лифшиц вернулся к теории ферромагнетизма в работе 14, где дан вывод зако-
закона дисперсии спиновых волн Блоха на основе уравнения Ландау-Лифшица, уч-
учтено влияние упругих напряжений на доменную структуру и рассмотрена домен-
доменная структура «с ветвлением».
Работа 1937 года «Электронный газ в магнитном поле» является продолжением
опубликованной в предыдущем году статьи Ландау о кинетическом уравнении
для частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Эта работа Ландау является
основой кинетической теории плазмы и, учитывая многочисленность практичес-
практических приложений плазмы, одной из самых «практичных» теоретических работ
нашего века. Работа Е.М. Лифшица посвящена выводу кинетического уравнения
для электронов в сильном магнитном поле, когда ларморовский радиус электронов
мал по сравнению с размером пучка. Для описания такой системы Лифшиц развил
приближение, которое впоследствии было названо «дрейфовым». (В этом прибли-
приближении рассматривается движение не электрона как такового, а центра круговой
орбиты, по которой вращается электрон.) Оно получило широкое распространение
в физике плазмы. Работа действительно опередила свое время и не привлекла в
момент опубликования особого внимания. Только когда возник интерес к проблеме
10 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
управляемых термоядерных реакций, эти результаты нашли применение и по-
получили дальнейшее развитие.
Работы 7, 8 и 19 посвящены уже ядерной физике. В них вычислены вероятности
различных процессов распада дейтрона при столкновении последнего с тяжелыми
атомными ядрами. В двух первых работах используется квазиклассический метод
Ландау вычисления матричных элементов перехода и ответ получен с экспонен-
экспоненциальной точностью. В работе 19 авторы перешли к квазиклассическому пределу
в точном выражении для матричного элемента, что позволило определить и ко-
коэффициент перед экспонентой. Работы получили большое развитие в последую-
последующих статьях других авторов и не потеряли методического значения до настояще-
настоящего времени.
Работы 10, 11 и 13 посвящены изменению симметрии при фазовых переходах
второго рода. Эта проблема — одна из трех, которые принесли Евгению Михайло-
Михайловичу всемирную известность. (О двух других — «Теория сил Ван-дер-Ваальса» и
«Космологическая особенность» — смотри ниже.)
В 1937 Л.Д. Ландау развил свою теорию фазовых переходов второго рода. Ос-
Основное положение этой теории состоит в том, что такой переход связан с изменени-
изменением симметрии тела в точке перехода. Е.М. Лифшиц применил эту идею к исследо-
исследованию фазовых переходов в кристаллах. Проблема является очень трудной, преж-
прежде всего потому, что описание симметрии кристаллов требует использования
громоздкого аппарата теории пространственных групп. Тем не менее Лифшицу уда-
удалось получить много общих результатов, указав, между какими структурами воз-
возможны переходы второго рода. (Критерий возможности перехода связан с отсут-
отсутствием инварианта группы симметрии, содержащего первые производные по ко-
координатам. Наличие такого инварианта нарушает устойчивость.) Он показал,
например, что переход второго рода возможен с удвоением, но не утроением объе-
объема кристаллической ячейки. В этих работах был введен целый ряд. понятий, кото-
которые впоследствии стали называть по имени автора. («Инвариант Лифшица», «кри-
«критерий Лифшица». С течением времени к ним добавилась «точка Лифшица».) Рабо-
Работы Лифшица развивались в дальнейшем в многочисленных работах разных авторов,
но проблему нельзя считать полностью исчерпанной и в настоящее время.
В работе 13 те же идеи были применены к фазовым переходам в двумерных
системах — монокристаллических жидких пленках. Я думаю, что работа представ-
представляет собой первое серьезное исследование этой проблемы, которая впоследствии
привлекла очень большое внимание. Следует, однако, иметь в виду, что более по-
поздние работы В.Л. Березинского и Д. Костерлица и Д. Таулесса существенно изме-
изменили понимание вопроса. Оказалось, что в двумерных системах, кроме переходов
первого и второго рода, могут происходить специфические «двумерные» фазовые
переходы Березинского-Костерлица-Таулесса. Такой переход происходит при тем-
температуре, при которой становится термодинамически выгодным самопроизволь-
самопроизвольное рождение дефектов параметра порядка — вихрей, дислокаций или дисклина-
ций — в зависимости от природы этого параметра.
Небольшая работа «Излучение звука в гелии II» имела исключительное зна-
значение для физики низких температур. Среди результатов теории сверхтекучес-
сверхтекучести Ландау был один, который легче всего поддавался экспериментальной про-
проверке. Речь идет о предсказании существования второго звука — слабозатухаю-
Предисловие 11
щих колебаний температуры, которые могут распространяться в сверхтекучей
жидкости. Первые попытки (А.И. Шальникова) найти это явление окончились,
однако, неудачей. Работа Лифшица объяснила причину неудачи и показала, как
правильно поставить эксперимент. Оказалось, что колеблющаяся твердая плас-
пластинка, использовавшаяся в первых экспериментах, излучает главным образом
обычный «первый» — звук. Эффективным излучателем второго звука является
нагреватель с переменной температурой. Именно указанным способом второй звук
был обнаружен В.П. Пешковым в 1946 году.
Большой цикл работ Е.М. Лифшица посвящен построению общей теории сил
молекулярного взаимодействия, или сил Ван-дер-Ваальса, между конденсиро-
конденсированными телами. Существование таких сил между атомами и молекулами было
постулировано Ван-дер-Ваальсом на основе анализа отклонений свойств газов от
идеальности. В 1930 году Ф. Лондон, используя квантовую механику, вычислил
закон взаимодействия атомов на больших расстояниях между ними. Оказалось,
что атомы взаимно притягиваются с энергией взаимодействия убывающей по за-
закону 1/R6. Следующий шаг был сделан Г. Казимиром и Д. Польдером в 1946 году.
Они показали, что на «самых больших» расстояниях, много больших характерной
длины волны в спектре поглощения атома, вступают в силу эффекты релятивист-
релятивистского запаздывания электромагнитного взаимодействия и закон убывания сме-
сменяется на 1/R1. Метод, примененный в этих работах, пригоден только для вычис-
вычисления взаимодействия между объектами малого размера. В некотором смысле
обратный предельный случай Казимир рассмотрел в 1950 г. Он вычислил энергию
взаимодействия между двумя идеально проводящими металлическими плоскостя-
плоскостями. Существенно, что эта энергия была вычислена как энергия нулевых колебаний
электромагнитного поля в пространстве между плоскостями, точнее — как завися-
зависящая от расстояния между плоскостями часть этой энергии. Тем самым было под-
подчеркнуто флуктуационное происхождение сил.
Е.М. Лифшицу удалось построить общую теорию сил взаимодействия между про-
произвольными макроскопическими телами. (Работы 23, 25, 26.) Эта теория справедли-
справедлива для тел произвольной формы и размеров с произвольными диэлектрическими свой-
свойствами. Она автоматически включает в рассмотрение эффекты запаздывания. Для
вычисления сил в этой теории необходимо знать диэлектрическую проницаемость
взаимодействующих тел в достаточно широком интервале частот.
Исходным пунктом расчета является выражение для максвелловского тензора
электромагнитных натяжений вблизи тела. Входящие в это выражение квадратич-
квадратичные комбинации напряженностей электрического и магнитного полей вычисляются
с помощью теории флуктуации электромагнитного поля, развитой СМ. Рытовым,
которая учитывает как нулевые, так и тепловые флуктуации *). Поэтому теория Лиф-
Лифшица описывает и зависимость сил от температуры.
Теория была применена Е.М. Лифшицем для вычисления сил взаимодействия
между диэлектрическими плоскостями. При этом все известные ранее выражения
х) В дальнейшем Ландау и Лифшиц дали строгое микроскопическое обоснование теории Рыто-
ва, основанное на использовании флуктуационно-диссипативной теоремы Г. Каллена и Т. Вельтона.
Этот важный результат не был, однако, опубликован в виде статьи, а включен авторами в их книгу
«Электродинамика сплошных сред». В работе 26 эта теорема была применена для построения тео-
теории флуктуации для жидкости, описываемой уравнениями гидродинамики.
12 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
для сил оказались предельными случаями полученной общей формулы. Конк-
Конкретные числовые значения удалось получить для кварца, диэлектрические свой-
свойства которого были хорошо изучены. Первые же эксперименты привели к под-
подтверждению теории. Описание этих экспериментов можно найти в работе 31, на-
написанной вместе с экспериментаторами. В настоящее время теория проверена с
большой точностью во всех деталях.
Теория Лифшица имела одно существенное ограничение. Тела должны были
быть разделены вакуумом. Если тела разделены диэлектриком, например погру-
погружены в диэлектрическую жидкость, примененный метод не годится. Дело в том,
что выражение для тензора напряжений электромагнитного поля в поглощаю-
поглощающей среде неизвестно. А любой диэлектрик имеет поглощение в некотором ин-
интервале частот, и как раз эти частоты существенны для вычисления сил.
Эту трудность посчастливилось преодолеть в 1959 году И.Е. Дзялошинскому и
автору настоящего предисловия. Мы показали, что, в отличие от тензора напря-
напряжений произвольного электромагнитного поля, тензор напряжений равновесных
электромагнитных флуктуации в поглощающей среде может быть найден. Зада-
Задача сводится к вычислению функции Грина уравнений Максвелла для исследуе-
исследуемых тел. Этот результат позволил обобщить теорию на случай тел, разделенных
диэлектриком, что и было произведено И.Е. Дзялошинским, Е.М. Лифшицем и
Л.П. Питаевским в работе 33. При этом оказалось, что взаимодействие в некото-
некоторых случаях соответствует отталкиванию между телами. Удалось также вычис-
вычислить зависимость химического потенциала жидкой пленки от ее толщины, игра-
играющую решающую роль во многих поверхностных явлениях.
Окончательный вариант теории был изложен теми же тремя авторами в обзо-
обзоре 34. Эта статья и сейчас является одной из самых цитируемых в данной области.
Совместная работа Ландау и Лифшица 24 является исключением среди их ра-
работ: сами авторы рассматривали ее как ошибочную. Дело в том, что согласно тео-
теории сверхтекучести Ландау сверхтекучая часть жидкости должна двигаться по-
потенциально, то есть при условии rot vs = 0. Это означает, что сверхтекучая часть не
может вращаться и остается неподвижной даже при вращении сосуда. Такое со-
состояние, однако, является термодинамически невыгодным и ясно, что условие по-
потенциальности должно некоторым образом нарушиться при больших скоростях вра-
вращения. Авторы работы 24 предположили, что такое нарушение происходит на ко-
коаксиальных цилиндрических поверхностях, на которых скорость жидкости
претерпевает разрыв. Оказалось, однако, что это энергетически не самое выгодное
решение. Как показали Онсагер и Фейнман, в действительности нарушение потен-
потенциальности происходит на отдельных «вихревых нитях», которые вскоре были об-
обнаружены экспериментально в жидком 4Не. Недавние наблюдения показали, од-
однако, что в быстро вращающемся сверхтекучем бозе-газе вихревые нити
собираются в слои, аналогичные рассмотренным в работе.
Перейдем теперь к обсуждению работ Е.М. Лифшица, посвященных изучению
космологических решений уравнений Общей Теории Относительности А. Эйн-
Эйнштейна. Лифшиц занимался (с перерывами) этой проблемой около 40 лет и ценил
полученные результаты больше результатов других своих работ.
Как известно, поведение Вселенной в целом с удивительной точностью опи-
описывается космологическими решениями уравнений Эйнштейна, полученными
Предисловие 13
А. Фридманом в 1922 г. Эти решения, в частности, объясняют проявляющееся в
красном смещении расширение Вселенной после начального момента «Большо-
«Большого взрыва».
Решения Фридмана, однако, предполагают полную пространственную одно-
однородность и изотропию Вселенной, что в реальном мире выполняется лишь при-
приближенно. Возникает важнейший вопрос — как реально существующие неодно-
неоднородности меняют космологические решения.
В первый раз Лифшиц занялся этой проблемой в 1946 г., когда он исследовал
устойчивость космологических решений, то есть поведение малых возмущений,
нарушающих однородность и изотропию. Оказалось, что в нашем расширяющемся
мире большинство типов таких возмущений затухает со временем. Исключением
являются возмущения плотности материи, которые медленно возрастают с тече-
течением времени. Такие возрастающие возмущения играют важную роль в пробле-
проблеме образования галактик, о чем мы не имеем возможности говорить здесь подроб-
подробнее. Замечу лишь, что ввиду важности полученных результатов вопрос впослед-
впоследствии неоднократно рассматривался другими авторами с разных точек зрения.
До сих пор, однако, нет нужды изменить хотя бы строчку в классической работе
Лифшица 15.
Наиболее фундаментальный вопрос, возникающий в связи с тем, что мир в
действительности не является полностью однородным и изотропным, состоит в
том, как это влияет на особую точку космологических решений, на свойства ре-
решения вблизи «Большого взрыва». Это влияние заведомо должно быть велико.
Уже упомянутое исследование устойчивости показало, что возмущения возра-
возрастают при приближении к особой точке. Но что именно с ней происходит, линей-
линейная теория ответить не могла. Только исследование точных нелинейных реше-
решений уравнений Эйнштейна могло показать, исчезнет ли особенность или сохра-
сохранится и если сохранится, то будет ли иметь те же характерные особенности, что
и решение Фридмана, или ее характер изменится. Существует и другая сторо-
сторона вопроса. Известно, что решение Фридмана, соответствующее замкнутому
пространству конечного объема, имеет особенность не только в прошлом, но и в
будущем. (В настоящее время не вполне ясно, какая модель Вселенной — «от-
«открытая», бесконечного объема, или «закрытая» соответствует реальности, хотя,
как кажется, чаша весов склоняется в пользу открытой модели.) Действительно
ли такой закрытый мир в конце концов ожидает бесконечное сжатие, или это
«событие» будет предотвращено несовершенством реального мира? Несмотря
на практическую неактуальность, это совершенно законный и интересный науч-
научный вопрос.
Исходным пунктом исследования, которое Лифшиц начал совместно с И.М. Ха-
латниковым (впоследствии к ним присоединился В.А. Белинский), явился резуль-
результат, полученный ранее Ландау, но неопубликованный. (Ландау показывал мне
доказательство осенью 1955 года.) Результат состоял в том, что в так называемой
«синхронной» системе координат всякое решение уравнений Эйнштейна имеет
особенность. Оставалось, однако, неясным, является ли эта особенность «настоя-
«настоящей», физической, вроде особенности в решении Фридмана, где плотность веще-
вещества обращается в бесконечность, или «фиктивной», связанной лишь с выбором
координат в неплоском пространстве-времени. (Чтобы пояснить, о чем идет речь,
14 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
напомню, что на поверхности земного шара невозможно ввести координатную сис-
систему, не имеющую особенности. Например, если, как обычно, описывать положе-
положение на земной поверхности заданием широты и долготы, полюса оказываются осо-
особыми точками. Эти особенности, однако, фиктивны. Никакой физической особен-
особенности поверхность Земли на полюсе не имеет.)
Чтобы подойти к решению вопроса, нужно было понять, какая особенность
может сохраниться в общем решении уравнений. Ответ состоит в том, что реше-
решение с такой особенностью должно зависеть от восьми произвольных функций ко-
координат, соответственно тому, что в начальный момент времени можно произ-
произвольно задать пространственное распределение плотности материи, трех компо-
компонент ее скорости и четырех величин, описывающих свободное гравитационное
поле, то есть гравитационные волны. Исследование, потребовавшее многих лет
напряженной работы, состояло в погоне за нужным числом этих функций.
К моменту написания работы 36 авторы получили решение с особенностью, ко-
которое содержало 7 функций — только на одну меньше чем нужно. Решение имело
особенность, вблизи которой пространство вело себя весьма странным образом —
оно неограниченно сжималось в двух направлениях и расширялось, в третьем. (На-
(Напомню, что по мере приближения к особенности Фридмана происходит изотропное
сжатие.) Оставалось ввести еще одну функцию. История, однако, сделала довольно
драматический поворот.
Авторы совместно с В.В.Судаковым решили исследовать возможность суще-
существования в произвольном решении фиктивной особенности, типа упомянутой
выше «особенности» на полюсах Земли. Оказалось, что такая особенность суще-
существует в общем решении. (Смотри работу 37.) И тут авторы сделали вывод, кото-
который теперь, когда мы знаем истину, кажется странным. «Раз — заключили они —
существует общая фиктивная особенность, нет оснований ожидать, что существу-
существует общая физическая особенность. Нечего ее и искать.» Неверность этого рассуж-
рассуждения стала ясна очень скоро. Важную роль здесь сыграли результаты Р. Пенроуза,
С. Хокинга и Р. Героча, которые показали при довольно общих предположениях,
что физическая особенность тоже должна существовать.
Наши авторы продолжили поиски особенности — и нашли решение (работа 39.)
Оказалось, что вблизи особенности Вселенная испытывает удивительные коле-
колебания. Пространство в каждый данный момент сжимается по двум направлений-
ям и расширяется по третьему. Но по мере приближения к особенности направ-
направления сжатия и расширения меняются местами, чередуются по определенному
закону. (К такому же заключению пришел К. Мизнер.) Сам сложный характер
ответа объсняет, почему, чтобы найти его, потребовалось столько труда. Очень
ясное изложение вопроса читатель найдет в обзорной статье 41. Описанное коле-
колебательное поведение пространства вблизи особенности имеет важные космологи-
космологические следствия (так называемая «Mixmaster model».)
Заметим, что работа, которая дает исчерпывающее решение какой-либо важ-
важной научной проблемы, нередко вызывает раздражение окружающих. Только этим
печальным обстоятельством я могу объяснить странную дискуссию, перипетии
которой нашли свое отражение в статье 44.
Евгений Михайлович работал над проблемой космологической особенности с
настоящей страстью, считая это делом своей жизни. Он не раз говорил мне, что он
Предисловие 15
всегда хотел хотя бы дожить до того времени, когда ответ станет известен и был
по настоящему счастлив, что ему удалось решить вопрос самому.
Читатель, разумеется, знает, что предлагаемый сборник содержит лишь не-
незначительную часть научного творчества Е.М. Лифшица. Много времени и сил
Лифшиц посвятил работе над Курсом Теоретической Физики Ландау и Лифши-
Лифшица. Это было замечательное содружество. Удивительная глубина и оригинальность
мышления Ландау, универсальность его интересов наложили на эти книги осо-
особый отпечаток. Но и без участия Лифшица курс не был бы таким, каким он стал.
Евгений Михайлович обладал совершенно удивительной способностью кратко и
ясно формулировать самые сложные вопросы. (Ландау нередко говорил полу-
полусерьезно: «Женя — великий писатель».) Он обладал очень четким критическим
умом и безукоризненным вкусом, и его нельзя было прельстить эффектным, но по-
поверхностным выводом той или иной трудной формулы. Он никогда не писал ничего,
что он не понял бы досконально, до последней мелочи, никогда не отмахивался от
малейшей неясности или непоследовательности в рассуждениях. И это сделало Курс
Ландау-Лифшица тем, что он есть — неповторимым и уникальным.
5 мая 1998 г. Л.П. Питаевский
ЕВГЕНИИ МИХАИЛОВИЧ ЛИФШИЦ
A915-1985)
Имя Евгения Михайловича Лифшица известно по существу всем физикам
мира. Во всяком случае в сочетании «Ландау — Лифшиц». Он умер, не выдержав
операции на сердце 29 октября 1985 года на 71-м году жизни (Е.М. родился 21 фев-
февраля 1915 года). Чтобы познакомить тех, кто не знал Евгения Михайловича, с ним
и его жизнью, нужно постараться разрушить два стереотипных представления —
выделить Лифшица из диады «Ландау — Лифшиц» и убедить читателя, что в
70 лет человек не обязательно старик.
* * *
Е.М. Лифшиц болел недолго. Стенокардия у него развивалась столь быстро,
что в течение шести месяцев из практически здорового человека, систематичес-
систематически наблюдавшегося врачом, он превратился в тяжело больного, движение кото-
которого в любую минуту может вызвать приступ стенокардии. Быстрый, с мгновен-
мгновенной реакцией на любое изменение обстановки, всегда передвигающийся почти
бегом, никогда ничего не откладывающий, Е.М. не мог представить себе жизнь с
дозированными движениями, со строгим соблюдением разнообразных ограниче-
ограничений. (Его слова: «не хочу быть инвалидом».) Е.М. продумал ситуацию (очень ха-
характерная для него черта — пытаться продумать, оценить и разобраться в послед-
последствиях, поступать не по интуиции, а на основании обдуманно принятого реше-
решения), изучил специальную медицинскую литературу и принял решение лечь на
операцию. За несколько дней до перевода его в Институт сердечно-сосудистой
хирургии им. Бакулева из академической больницы, где было принято это реше-
решение, один из нас (М.И.К.) был у него в палате. Самочувствие Е.М. было неплохим, а
настроение грустно лирическое 1). Е.М. сказал, что ему очень не хочется умирать.
«Так как это означает расстаться с тобой», — добавил он, глядя на жену Зинаиду
Ивановну. И тут же спохватился. «Не подумай, что я хочу, чтобы ты умерла вме-
вместе со мной. Но мне так хорошо с тобой, что очень не хочу, чтобы это кончилось»...
А еще через несколько дней — в палате больницы. До операции остались считан-
считанные дни. Е.М. привыкает к кровати, на которой должен будет поправляться после
операции. Лежать пришлось бы на спине. И Е.М. волнует, может ли он править
корректуру «Гидродинамики» — она должна была поступить со дня на день. Его
заботит, каким путем корректура попадет к нему. Настроение отнюдь не лири-
х) Лирика, сентиментальность не были свойственны Е.М. в общении с не самыми близкими
людьми. Скорее, характерной чертой была некоторая сухость. Казалось, что Е.М. всегда стеснялся
допускать посторонних в мир своих эмоций, считая, что эта сфера — сугубо личное — мало кому
интересна.
Введение 17
ческое, скорее чуть насмешливое — в свой адрес. Мысли — те, которыми делит-
делится, — о планах, о будущем, о работе, о ЖЭТФе. В эти дни в Москву из Нью-Йорка
приехал редактор американского издания ЖЭТФ в США Дж. Адашко. Е.М. вол-
волнует, как с ним встретиться.
* * *
Конечно, Л.Д. Ландау в жизни и творчестве Е.М. Лифшица сыграл опреде-
определяющую роль. Невозможно представить себе, как сложилась бы жизнь Е.М.,
если бы в 1933 году в Харькове, в недавно организованном институте (УФТИ)
не появился бы 26-летний Ландау, и восемнадцатилетиий Женя Лифшиц не
поступил бы к нему в аспирантуру. У нас две автобиографии, написанные Е.М.
Одна датирована 1945 годом (с пометкой — «Проверил 22.III.51 г.» и подписью
«Е. Лифшиц»), а другая 1976 годом. В обеих почти тождественные фразы: «В
1933 г. поступил в аспирантуру при УФТИ, под руководством Л.Д. Ландау.
Закончил аспирантуру в 1934 году, защитив диссертацию...» Обратите внима-
внимание на темп прохождения аспирантуры: поступил в 1933, защитил диссерта-
диссертацию в 1934-м! Но об этом позже. Первым бы возмутился Е.М., если бы узнал,
что кто-то хочет написать его биографию, игнорируя факт определяющего
влияния Ландау на него как на физика и человека. К сожалению, не запомни-
запомнились буквально слова Е.М. об этом. Но четко осталось в памяти: Е.М. был
счастлив тем, что судьба поместила его рядом с Ландау. И все же есть ощу-
ощущение, что близость к Ландау, столь важная и существенная, несколько зате-
затенила образ Е.М. Лифшица. Он, как бы буквально, был в тени Ландау. Это
ощущение особенно свойственно физикам теперь уже старшего поколения,
знавших Ландау и Лифшица длительное время до 1962 года. Его трудно пре-
преодолеть в себе, если не вспомнить, что Е.М. ушел из жизни через 23 года после
автомобильной катастрофы G января 1962 года), после которой Л.Д. Ландау не
оправился. За эти годы были созданы основные (для Е.М.) работы по сингу-
лярностям в космологических решениях уравнений общей теории относитель-
относительности и коллапсу г) и, главное, завершена публикация Курса теоретической
физики. Обо всем этом — дальше.
Конечно, биографию ученого составляют его работы. Эйнштейн, когда писал
свою автобиографию, вовсе опустил житейские эпизоды. Он написал биографию
своих научных исканий и в меньшей мере — научных свершений. Мы перечис-
перечислим основные этапы жизни Евгения Михайловича Лифшица, остановимся на
главном научном подвиге его жизни — на написании и издании Курса теорети-
теоретической физики, перечислим его основные научные труды, но вряд ли этот пере-
перечень поможет воссоздать истинный облик и истинную суть этого замечательно-
замечательного человека.
* * *
Уже отмечалось, что сохранились две автобиографии Е.М. A945-1961 гг. и
1976 г.). Каждая умещается меньше чем на одной странице. В каждой есть фраза:
«С 1939 года работаю постоянно в Институте физических проблем АН СССР в
*) Первая из работ по общей теории относительности была сделана в 1946 г. Подчеркнем: Лан-
Ландау не был соавтором этой работы.
18 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
Москве». С 1939-го по 1985-й год — 46 лет! Вот причина краткости автобиографии.
Долгие годы научная жизнь (а большую часть времени и личная) протекала в Ин-
Институте физических проблем на Воробьевском шоссе, 2, вблизи Калужской заста-
заставы 1). Квартира, редакция ЖЭТФа и, собственно, Институт физических проблем —
вот три места в одном дворе, где проходила жизнь Е.М. Лифшица. В частности, в
здании Института — институтская библиотека, бессменным председателем биб-
библиотечного совета в которой он был.
Зайдешь в институтский двор и почти всегда, практически каждый день встре-
встретишь Евгения Михайловича. В любое время года без пальто, правда зимой в берете
и с шарфом вокруг шеи, Е.М. быстрым шагом переходит из одного здания в другое.
Всегда ощущалось: быстрые шаги не дань суете, а искреннее неумение попусту
тратить время. Зная, какую грандиозную работу проделывает Е.М. по изданию Курса
теоретической физики на многих языках (в каждое новое издание вносились изме-
изменения и исправлялись опечатки), сколько времени тратит на написание новых то-
томов, как требовательно и аккуратно ведет «Журнал экспериментальной и теорети-
теоретической физики», мы все понимали, что его время надо беречь. Это не означало, что,
проходя по двору, он не замечал людей, избегал встреч, разговоров. Ничего подоб-
подобного. Часто можно было увидеть группку из разговаривающих 2~3 человек. Можно
было и присоединиться, принять участие в разговоре. Даже такие случайные кори-
коридорные, дворовые разговоры не были разговорами ни о чем. Говорят, что когда го-
говоришь ни о чем, трудно кончить. Если тема разговора исчерпывалась, вопрос вы-
выяснялся, или выяснялось, что больше нечего добавить к сказанному, разговор пре-
прекращался, и Е.М. быстрой походкой шел дальше — как правило, по делу, а не просто
так — до встречи со следующим собеседником.
С пятидесятых-шестидесятых годов установился определенный молодежный
стиль в одежде — особенно среди ученых: джинсы, водолазки, разнообразные курт-
куртки. Одежда Евгения Михайловича отличалась некоторой чопорностью: пиджачный
костюм, сорочка с галстуком 2) — почти обязательные атрибуты его внешности.
Летом, правда, он, если было жарко, носил рубашку с отложным воротничком и
короткими рукавами. Всегда казалось, что для Е.М. характерно было «ничего слиш-
слишком». Если и был он немного чопорен в одежде, то заведомо не слишком.
Большое значение в оценке людей Е.М. придавал их организованности, уме-
умению не подводить. Человек, обещавший что-либо сделать, должен был выпол-
выполнить свое обещание и выполнить его в срок. Так всегда поступал он сам и хотел,
чтобы так поступали другие. Вместо слова «хотел», казалось бы, можно было на-
написать «требовал». Нет, это — совершенно неправильно. Он лично ничего не тре-
требовал (для себя), а выше имелось в виду следующее: Е.М., когда работал над оче-
очередным томом Курса теоретической физики, обращался за помощью к специали-
специалистам, кстати сказать, строго отобранным. Они обещали прислать (передать)
соответствующий материал, назначали срок и часто (наверное, занятые другими
делами, казавшимися им более важными или более срочными) не выполняли свое
обещание. Это было очень не по душе Е.М. Тем более он ценил и хвалил точных
людей, людей, на которых можно было положиться. Легко понять, что отбор тех, к
х) Теперь Воробьевское шоссе — улица Косыгина, а Калужская застава — площадь Гагарина.
2) Е.М. любил галстуки в крапинку.
Введение 19
кому Е.М. обращался, был весьма строг. Автор почти догматизированного Курса
должен был быть уверенным, что получает материал из первых рук — самой
высокой пробы (хотя кто бы ни писал нужный материал, он перерабатывался
Е.М. и только после этого попадал в том). И вот, если предварительная внутрен-
внутренняя оценка того человека, к которому обращался Е.М., оказывалась занижен-
заниженной, если человек оказывался еще лучшим специалистом, чем думал Е.М., если
полученный им материал по ясности и точности изложения совпадал с его тре-
требованиями, это доставляло ему огромную радость, каждое упоминание имени
этого человека сопровождалось лестными эпитетами, он старался, если мог, со-
содействовать этому человеку. Иногда в результате возникали дружеские отно-
отношения, даже если Е.М. и его способного корреспондента разделяло различие в
возрасте. Уважение к профессионализму было одной из доминант его отноше-
отношения к людям. И поэтому особенно остро он не любил небрежности в делах, не-
нечеткости в формулировках. Если речь шла о деле, за которое он отвечал, то он
становился по-настоящему требовательным (в этом контексте можно, не боясь,
употреблять именно это слово).
Многие годы Е.М. руководил работой редакции ЖЭТФ'а. Редактором ЖЭТФа
был П.Л. Капица, но руководство каждодневной жизнью редакции и журнала осу-
осуществлялось Е.М. Лифшицем. О журнале и о принципах, которыми руководство-
руководствовался Е.М., будет сказано ниже. А здесь хочется отметить удивительную четкость,
с которой работал Е.М. Почти молниеносно улавливал он, чему посвящена статья,
находил ей, как правило, нужного рецензента; из не всегда достаточно опреде-
определенных фраз рецензии выяснял суть оценки и, если требовалось, диктовал ответ
автору — точный, корректный, без одного лишнего слова, но не оставляющий ни-
никаких сомнений: не принята, значит не принята, надо сократить, значит надо со-
сократить, уменьшить число рисунков, значит надо уменьшить число рисунков. Ему
приходилось встречаться со многими авторами (отнюдь не все соглашались с оцен-
оценкой редколлегии). Никогда разговор не происходил на административном уровне:
«Редколлегия рассмотрела, я ничего не могу сделать»... Е.М. всегда знал статью, о
которой шла речь, и мог отстаивать свою (редколлегии) точку зрения по суще-
существу. И надо сказать, такой подход допускал изменение точки зрения редколле-
редколлегии и заместителя главного редактора. К этому надо добавить, что встретиться с
Е.М. было удивительно просто. Он так много времени проводил в ЖЭТФ, что дос-
достаточно было открыть дверь в редакцию, чтобы увидеть — за выдвинутой доской
секретера, спиной к двери сидит Е.М., погруженный в редакционные дела, или
полуобернувшись к секретарю редакции, диктует очередное письмо.
* * *
Физиков-академиков Лифшицев было два. У Евгения Михайловича был млад-
младший брат — Илья Михайлович A917-1982). Из Харькова, где они оба родились,
был привезен в Москву анекдот. Старая школьная подруга встретила на улице
после многолетнего перерыва Берту Евзоровну — мать Е.М. и И.М. Придя до-
домой, подруга сказала мужу: «Подумай, какая Берточка врунья. Говорит, что два
ее сына оба академики, и оба лауреаты Ленинской премии». Берта Евзоровна
говорила правду: и Евгений Михайлович, и Илья Михайлович, действительно,
20 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
оба были академиками и оба были лауреатами Ленинской премии. Младший
брат — Илья Михайлович иногда опережал старшего. Член-корреспондентом
он стал в I960 году, а Е.М. — в 1968-м, академиком И.М. — в 1970-м, а Е.М. — в
1979-м. А вот Ленинскую премию они получили в обратном порядке: Е.М. — в
1962 году, а И.М. — 1967 г. И.М. был избран в Американскую академию наук
A982), а Е.М. — иностранным членом Королевского общества A983). Не было в
помине любимой писателями проблемы «Брат мой — враг мой». Братья были
разными людьми, но очень любили и очень уважали друг друга. Каждый из них
знал сильные и слабые стороны другого. Очень ценил первые и легко прощал
вторые. С 1968 года Е.М. формально был сотрудником отдела, которым руково-
руководил Илья Михайлович. Это обстоятельство никогда не приводило к недоразу-
недоразумениям. Но близость помогала в научном общении. Е.М. многие вопросы обсуж-
обсуждал с Ильей Михайловичем, чьи тонкие суждения по макроскопической физике
очень ценил. Эти консультации (иначе не назовешь) нашли отражение в благо-
благодарностях — И.М. Лифшиц в большинстве томов Курса теоретической физики
упоминается в числе тех, с кем постоянно обсуждались возникавшие вопросы.
Болезнь и смерть Ильи Михайловича A982 г.) Е.М. переживал очень остро. Не
будет преувеличением сказать, что резкое ухудшение его здоровья после 1982 г.
было вызвано потерей любимого брата. Когда Илью Михайловича поразил пер-
первый инфаркт и стало ясно, что Илья Михайлович — тяжелый сердечный боль-
больной, Е.М. пытался повлиять на младшего брата, заставить его вести более спо-
спокойный образ жизни (через несколько лет выяснилось, что свою жизнь он изме-
изменить также не может, как не смог изменить жизнь брата). Особенно он настаивал
на том, чтобы Илья Михайлович не нервничал, как считал Е.М., «по пустякам».
Ему (Е.М.) казалось, что он умеет отличать серьезные вопросы от «пустяков». И, в
какой-то мере, это, по-видимому, было так. Его мало волновали вопросы прести-
престижа. Весьма скромный не только в манере поведения, но и по своим претензиям 1),
он, как казалось, легко переносил, когда его «обходили» вниманием «сильные мира
сего», практически не принимал участия в академических кулуарных интригах,
старался извлекать и извлекал радость из того, что ему дано, — работа, налажен-
налаженная семейная жизнь, музыка, поездки за границу.
Этот перечень может создать впечатление об ученом, для собственного спо-
спокойствия отгораживающегося от сложностей и бед мира. Если такое впечатление
действительно возникло, то от него надо избавиться. Этот образ совершенно не
соответствует Евгению Михайловичу. Происходящее в мире и в нашей стране его
остро интересовало и волновало (как и Илью Михайловича). Оценки Е.М. были
точны и не определялись сиюминутной конъюнктурой. Очень строго относясь к
себе, он строго относился и к выработке своего мнения, стараясь, по мере возмож-
возможности, чтобы это мнение не менялось, не зависело от обстоятельств. Дома, с дру-
друзьями и в официальном окружении он старался оставаться самим собой — задача
не всегда легко выполнимая. Кажется, в его жизни не было поступков, выступле-
выступлений, которые он хотел бы из своей жизни исключить... В наш трудный век мало о
ком можно это сказать.
*) «Быть знаменитым некрасиво, не это подымает ввысь» — эта строка Б.Л. Пастернака очень
«подходит» к Евгению Михайловичу.
Введение 21
Многие, если бы были верующими, обратились бы к Богу с популярной мо-
молитвой:
«Помоги мне, Бог, сделать то, что могу, примириться с тем, чего не могу изме-
изменить и, главное, помоги отличать первое от второго». — Евгений Михайлович умел
отличать первое от второго — во всяком случае — по нашей оценке — лучше, чем
многие другие. И при этом черту между первым и вторым он не проводил с боль-
большим запасом: делал то, что мог, вмешивался всегда, когда была — по его мнению —
малейшая возможность что-то улучшить.
Наверное, последние абзацы заставляют вспомнить понятие «принципиаль-
«принципиальность». Действительно, Е.М. был принципиальным. Иногда, даже чуть слишком.
Например, он принципиально не признавал за ученым права на самовыдвижение
(на премию, на более высокое звание), тем более на настойчивость при просьбах о
поддержке (по таким же поводам). Вместо того, чтобы настойчивого просителя
успокоить («Да, да, я, конечно, сделаю, что смогу...» — общеупотребительное по-
поведение), он четко высказывал свое мнение и, более того, если от него что-то зави-
зависело (на выборах в Академию, например), четко говорил, как он собирается по-
поступить. Конечно, отнюдь не всегда проситель уходил успокоенным.
Но, пожалуй, еще отчетливее принципиальность проявлялась при оценке ра-
работ по теоретической физике. Ничто не могло заставить Е.М. покривить душой:
назвать неправильную работу правильной или хотя бы смолчать — не высказать
свою оценку, даже если она отрицательная. И это, конечно, вне зависимости от
того, кто автор работы. В этой бескомпромиссности особенно четко ощущался лан-
дауский подход, ландауская манера научного общения, общения, которое, к со-
сожалению, не всегда нравится тем, чьи работы критикуются (особенно если авто-
авторы не привыкли — благодаря служебному положению, например, — к критике).
* * *
Желание создать правдивый портрет заставляет задуматься: какие отрица-
отрицательные черты были у Е.М.? Конечно, некоторая сухость, и может быть, излиш-
излишняя определенность суждений, переходящая в отсутствие сомнений. Произнося
что-либо, Е.М. не задумывался над тем, как это воспримет собеседник, в каком
настроении он будет после разговора. У Е.М. фактически не было учеников, хотя
некоторые ныне работающие физики-теоретики закончили аспирантуру, счита-
считаясь его аспирантами (среди них И. Дзялошинский и Л. Питаевский). Но все они
ощущали себя и были по сути учениками Ландау. Отсутствие учеников — редкий
случай, особенно когда ученый талантлив и продуктивен. Почему же у Е.М. не
было учеников? — Думается, на то есть, по меньшей мере, три причины. Одна — в
характере Е.М., две другие — в сложившейся его судьбе. Е.М. был необычайно
самостоятельным человеком. То, что ему надо было сделать, он делал сам, не умел
обращаться за помощью. Научное общение учителя с учениками в большой мере
связано с поручением: «сделай то-то», в лучшем случае — «сделаем вместе». Эта
форма взаимоотношений совсем не в характере Е.М. Такова, по нашему мнению,
одна причина. Вторая (и, наверное, главная) в том, что в те годы, когда формиро-
формировался характер Е.М., он ощущал себя учеником — учеником Ландау. Это было
глубинное ощущение, как ощущение призвания, места в жизни, роли. И, наконец,
третья. Свои педагогические способности Е.М. осуществлял в Курсе теоретической
22 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
физики, а свои организаторские — на посту заместителя главного редактора
ЖЭТФа. Если попытаться проникнуть в мысли Е.М., не опираясь на его прямые
высказывания, то, по-видимому, можно представить себе, что Е.М. понимал свою
выдающуюся роль в развитии мировой физической науки (правда, уверены, что
в столь напыщенной формулировке она никогда не приходила ему в голову). Жизнь
ученого складывается не только непосредственно из работы и личной жизни. Су-
Существует еще некоторая промежуточная фаза — взаимоотношения с коллегами,
переплетающиеся с тем, что названо «непосредственно работой». Те из ученых, у
кого много учеников, должны думать об их делах, защитах диссертаций, устрой-
устройстве на работу. Для них «промежуточная фаза» очень важна, занимает много вре-
времени и душевных сил. Как бы честно ты ни относился к делу, возникают отноше-
отношения типа «ты мне, я тебе» (подчеркнем, что в этих словах нет осуждения). Подоб-
Подобного рода отношения были несвойственны Е.М. Он был врагом протекционизма в
любой форме, считая, что протекционизм воспитывает лень. Он со вкусом расска-
рассказывал анекдот о человеке, который много раз просил Бога помочь ему — дать воз-
возможность выиграть в лотерее. В конце концов Бог не выдержал: разверзлись не-
небеса и Бог вскричал: «Сукин сын! Купи хотя бы один билет!»
Однако, известен эпизод, показывающий, что к своей позиции Е.М. относился
самокритично. Однажды, некоторое время назад к нему обратился молодой чело-
человек (сын его старого знакомого по Харькову — профессора-биолога), которого не
приняли в институт, хотя он на экзаменах не потерял ни одного балла (!). Была
проявлена явная несправедливость. Е.М. остро возмутился, побежал (буквально)
к Петру Леонидовичу Капице с просьбой о помощи (на свое непосредственное вли-
влияние он не надеялся), много и настойчиво возился и в результате добился пере-
пересмотра решения приемной комиссии — юноша был принят в институт, который
окончил одним из первых по успеваемости.
С Е.М. трудно было говорить на произвольную теоретическую тему. Иногда
приходилось быть свидетелем приблизительно такого обмена фразами. Кто-то:
«Е.М., объясните, пожалуйста...» (следовал вопрос по теоретической физике). Е.М.
(после минутного размышления — будто просматривается оглавление): «Этот
вопрос изложен в таком-то томе Курса. Ничего к тому, что там сказано, добавить
я не могу»...
Последние годы (во всяком случае) он разговаривал только на ту тему, кото-
которая его в это время интересовала, честно признаваясь, что голова полностью за-
занята обдумыванием того или другого конкретного вопроса — переключаться он
не умел, а, скорее, не хотел (возможно, считал, что переключение снижает эф-
эффективность работы). Дело в том, что когда Е.М. хотел переключиться, он это де-
делал. И при этом иногда необычайно эффектно.
... В Москву приехал Дирак и читал лекцию в Институте физических проблем.
Пришло много народу и возникла просьба лекцию переводить на русский язык (и
на родном языке она была непроста для понимания). За перевод взялся Е.М.1), но
Дирак попросил его не перебивать: короткими абзацами ему трудно было гово-
х) Он свободно владел английским и немецким языками. Мог выступать на трех языках, но
наряду с русским предпочитал английский. Немецкому языку (жаловался он) в детстве его учили
без артиклей, а переучиваться было трудно.
Введение 23
рить, а приспособлений для синхронного перевода не было. Тогда Е.М. попросил
Дирака не стирать ключевые формулы, которые он выписывал на доске. После
окончания примерно часовой лекции Дирака Е.М. четко, строго, последовательно,
подробно резюмировал лекцию Дирака. Его речь продолжалась минут двадцать.
Ничто существенное не было опущено.
* * *
Евгений Михайлович сравнительно много занимался педагогической деятель-
деятельностью. В автобиографиях (см. ниже) перечислено несколько высших учебных
заведений, где Е.М. преподавал. Преподавание в нескольких институтах — ха-
характерная черта жизни советских ученых в 30-е годы и сразу после войны.
Резкое увеличение числа учебных заведений потребовало привлечения к препо-
преподаванию научных работников из академических институтов, но и их не хвата-
хватало — им приходилось работать в нескольких местах. Так как оклады в те годы
были удивительно низкие, то только работа в нескольких местах давала воз-
возможность неплохо жить. Поэтому научные работники не без удовольствия за-
занимались совместительством (так называли работу в нескольких местах). С 1956
года Е.М. вовсе оставил преподавание, посвятив все свое время, свободное от
Курса теоретической физики и научной работы, ЖЭТФу. Нам не пришлось
слушать лекций Е.М. для студентов. Доклады он делал превосходно. Строгость
мысли, последовательность, безукоризненное владение материалом выдавали
серьезную подготовку, без которой невозможно за вполне определенное (зара-
(заранее) время изложить определенный (заранее) материал. Не известны случаи,
чтобы ему не хватило времени, контакт с аудиторией был полный. Зная уро-
уровень слушателей (теоретики или экспериментаторы, специалисты в данной
области или нет), он строил свое изложение так, чтобы аудитория могла усво-
усвоить главное. При этом слушателям казалось, что читать доклад легко — так
естественно и просто держал себя докладчик. Свидетельство вдовы Е.М. —
Зинаиды Ивановны: иногда Е.М. узнавал о составе аудитории в последний мо-
момент. Он признавался, что у него продуманы три варианта лекции (разной
сложности). И он читал согласно одному из трех вариантов — в зависимости от
уровня подготовки слушателей. Зинаида Ивановна рассказала такую историю.
Е.М. выступал с лекцией по проблемам космологии (это происходило в Англии
весной 1985 года). Перед лекцией Е.М. ощутил начало стенокардического при-
приступа, принял нитроглицерин, немного оправился и вышел на кафедру. З.И.
имела с собой шприц и набор необходимых лекарств. До начала лекции ей
казалось, что ему трудно будет читать, и боялась, что лекцию придется пре-
прервать. Но после начала лекции, как ей показалось, все наладилось, и лекция
прошла прекрасно. «Тебя отпустило?» — спросила З.И. после лекции. «Нет!
Как сжало, так до сих пор не отпускает!» — ответил Е.М. ... Обманчивая лег-
легкость чтения лекций — результат большого профессионального мастерства,
тщательности подготовки.
Е.М. не умел не работать. За несколько месяцев до смерти (в начале лета 1985 г.)
он предполагал отдохнуть в Лиелупе (в академическом пансионате вблизи Риги).
Так как один из нас (М.И.К.) уже отдыхал там раньше и собирался и в то лето, то
24
Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
поездка часто обсуждалась. Серьезное препятствие возникло вот из-за чего. То,
что в это время делал Е.М., требовало иметь под рукой несколько довольно тол-
толстых книг. Везти их было тяжело, а без них ехать не стоило. «Что я там буду де-
делать, не работая?» — сказал Е.М. Поездка не состоялась — врач не дал согласия
на перемену климата, обстановки, длительный переезд.
Не нужно думать, что неумение отвлечься от работы даже в отпуске, поздняя черта
Е.М. В молодости Е.М. умел отдыхать. Вместе с Ландау они на машине изъездили
Кавказ и Крым, много ходили в горы, много времени проводили у моря, умели
наслаждаться всеми радостями жизни. Но отдых никогда не проходил без рабо-
работы, в поездки брались тетради, книги — все необходимое, и Е.М. работал (либо с
Ландау, либо самостоятельно) — в палатке, на берегу моря — везде, практически
каждый день. Из «радостей жизни» Е.М. приходится исключить алкоголь: он прак-
практически не пил спиртных напитков. Большую часть жизни несколько ограничи-
ограничивал себя в еде, боясь потолстеть, хотя очень любил сладкое. Если ему надо было
идти вечером в гости, где ожидалась вкусная еда, он устраивал себе разгрузоч-
разгрузочный день — готовился вкусно поесть без угрызения совести, что переедает.
Может быть главной «радостью жизни» для него были путешествия. Кроме
заграницы, он объездил весь Советский Союз, был на Алтае, Памире, Дальнем
Востоке, Камчатке, Сахалине, Курилах и, конечно, много раз на Кавказе, в Кры-
Крыму и в Прибалтийских республиках.
Кроме музыки, которую Е.М. очень любил и хорошо знал 1), его интересовали
литература и история 2). Он много читал, серьезно интересовался прочитанным, с
друзьями делился мыслями о прочитанном.
Любил стихи. Как правило, не только за их форму, но и за содержание. Любил
повторять строки Д.Самойлова:
«Вот и все, смежили очи гении.
И когда померкли небеса,
Словно в опустевшем помещении
Стали слышны наши голоса.
Тянем, тянем слово залежалое,
Говорим и вяло и темно.
Как нас чествуют и как нас жалуют!
Нету их. И все разрешено.»
Несомненно соотносил эти восемь строк с ситуацией в физике после выключе-
выключения Ландау, хотя, надо сказать, не утверждал это прямо, по-видимому, главным
образом потому, что не хотел кого-нибудь при этом обидеть — Е.М. очень ценил
многих относительно молодых физиков-теоретиков, которые считали себя (и впол-
вполне справедливо) продолжателями Ландауской теоретической физики...
Вот эпизод, известный по рассказу. Группа научного туризма возвращается
поездом из Болгарии, где принимала участие в работе конференции по физике
низких температур. У кого-то оказался «Фауст» в переводе Б.Пастернака. Его чи-
*) У него была собрана и все время пополнялась прекрасная фонотека. В ней более тысячи
пластинок. Классики (Бах, Моцарт, Бетховен) собраны с необычайной полнотой и в лучшем (из
возможных на мировом уровне) исполнении. Многие музыканты перед своим выступлением прихо-
приходили и приходят на квартиру Е.М. и З.И., чтобы послушать, как интересующее их произведение
исполняли корифеи-исполнители.
2) Сохранилась толстая тетрадь, в которой рукой Е.М. выписаны основные даты мировой исто-
истории — свидетельство почти профессионального интереса к истории.
Введение 25
тали вслух. Е.М. слушал со всеми, а потом читал «Фауста» наизусть по-немецки,
демонстрируя не столько память, сколько любовь к вершинам немецкой класси-
классической поэзии.
М.И.Каганов: в середине (кажется) 1984 года мне пришла в голову грустная
мысль: почему в научной литературе не отмечен факт окончания Курса теорети-
теоретической физики Ландау и Лифшица? И захотелось написать об этом в журнал «Ус-
«Успехи физических наук» (УФН) — в наиболее пригодный для такой статьи жур-
журнал. Честно говоря, меня одолевали (и одолевают до сих пор) сомнения: не должен
ли рецензию на «Ландау и Лифшиц» писать кто-либо более маститый? Сначала я
посоветовался с Л.П. Питаевским. Он одобрил идею, но сказал, что решать дол-
должен Е.М. Разговор с Е.М. был коротким: «Все зависит от того, как и что будет на-
написано. Но, вообще говоря, мне нравится, как Вы пишете», — сказал Е.М. И даже
помог в процессе работы над статьей: сообщил годы первых изданий отдельных
томов, перечислил, на какие языки какие тома переведены, разрешил воспроиз-
воспроизвести строки из писем и нескольких ранее вышедших (за рубежом) рецензий, рас-
рассказал, как началась работа над Курсом. Написав статью, я показал ее Е.М. Ста-
Статья к большой моей радости ему понравилась. И более того: чуть смущаясь, Е.М.
сказал, что сравнительно скоро ему исполнится 70 лет. Обычно в УФН «полага-
«полагается» юбилейная статья. Но он очень не любит юбилеев вообще, а за десять лет,
прошедшие с его шестидесятилетия, мало что изменилось, и лучше, чем написа-
написали Дзялошинский и Питаевский в 1974 г., никто не напишет, да и добавлять нече-
нечего. Поэтому, если я не тороплюсь с публикацией, то ему было бы приятно, чтобы
статья, о которой идет речь, вышла в февральском номере УФН за 1985 год —
вместо юбилейной 1). Я передал содержание нашего разговора Б.Б. Кадомцеву —
ответственному редактору УФН. И моя статья «Энциклопедия теоретической фи-
физики» увидела свет тогда, когда этого хотел Е.М. Редколлегия УФН заключила
статью коротким поздравлением. В приложении приведены полный перевод этой
статьи, а также статьи И.Е. Дзялошинского и Л.П. Питаевского 1975-го года, при-
приуроченной к 60-летию Евгения Михайловича.
Уже дважды упоминались автобиографии, написанные Е.М. Одну из них A976
года) приведем полностью.
АВТОБИОГРАФИЯ
Родился в 1915 г. в Харькове. Отец — врач, профессор Мединститута. Мать в
настоящее время пенсионерка.
После окончания школы-семилетки в 1929 г. учился два года в Химическом
техникуме, а в 1931 г. поступил на физико-механический факультет Харьковско-
Харьковского механико-машиностроительного института, который закончил в 1933 году, сдав
все экзамены и защитив дипломную работу.
*) Е.М. никогда не отмечал дней рождения. В круглые даты он попросту сбегал — уезжал куда-
нибудь далеко от Москвы.
26 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В 1933 г. поступил в аспирантуру при УФТИ, под руководством Л.Д. Ландау;
закончил аспирантуру в 1934 г., защитив диссертацию на степень кандидата
физ.-мат. наук.
До 1938 г. работал в этом же Институте в качестве старшего научного сотруд-
сотрудника. В 1939 г. защитил в Ленинградском Гос. Университете диссертацию на сте-
степень доктора физико-математических наук. С 1939 года работаю постоянно в Ин-
Институте физических проблем АН СССР в Москве.
Одновременно с научной, вел педагогическую работу в различных ВУЗах: в
Харьковском Университете, Харьковском Механико-машиностроительном инсти-
институте, Харьковском Химико-технологическом институте, Московском Универси-
Университете, Педагогическом институте.
Более двадцати лет являюсь заместителем главного редактора журнала Экс-
Экспериментальной и теоретической физики.
В 1966 г. избран членом-корреспондентом АН СССР.
В 1954 мне была присуждена Государственная премия, а в 1962 — Ленинская
премия (совместно с Л.Д. Ландау за написанный нами Курс теоретической физики).
Академией наук СССР был награжден Ломоносовской премией A958 г.) и пре-
премией им. Ландау A974 г.).
12 апреля 1976 года
Е.Лифшиц»
НЕКОТОРЫЕ ПОПРАВКИ, УТОЧНЕНИЯ,
ДОПОЛНЕНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Отец Евг. Лифшица — Михаил Ильич — умер в 1934 году. Он был не просто
профессором Мединститута, а крупнейшим, очень популярным врачом-терапев-
врачом-терапевтом (специалистом по желудочным заболеваниям). Мать Берта Евзоровна пере-
пережила мужа на 42 года. Последние 8 лет своей жизни жила в Москве — с Евгением
Михайловичем.
Несколько штрихов детства и юности. Они взяты из письма двоюродных сес-
сестер Е.М., М.С. и А.С. Абесгауз, Зинаиде Ивановне от 25 октября 1986 г. (через год
после смерти Е.М.).
«...Женя был внешне и по характеру похож на отца. Михаил Ильич был очень
образованным человеком, известным профессором медицины не только на Укра-
Украине, но и в Союзе. Он лечил Балицкого — наркома внутренних дел Украины, Дзер-
Дзержинского, консультировал Фрунзе и членов Украинского правительства. Столи-
Столицей Украины тогда был Харьков. По характеру Михаил Ильич был немногосло-
немногословен. Он был одним из лучших врачей-гастроэнтерологов в Союзе. Часто бывал в
заграничных командировках и брал с собою семью. Прекрасно знал английский
язык. В семье говорили с детьми по-английски, поэтому они владели им хорошо.
Кроме того, у них с детства вплоть до 1937 года был прекрасный преподаватель
английского языка Гордон. Это был англичанин-эмигрант. В семье была прекрас-
прекрасный преподаватель музыки Алиса Николаевна Гольденгер, которая привила им
музыкальный вкус и любовь к музыке, а способности у них были незаурядные.
Они 1) даже писали музыку и думали, что будут музыкантами. Но они просто были
*) Оба брата — Евгений Михайлович (Женя) и Илья Михайлович (Леля).
Введение 27
талантливыми людьми и к чему бы ни прикасались, все было для них доступно и
легко воспринималось.
Женя поступил в школу в б-й класс, до этого он занимался дома с учителями. В
школе-семилетке он проучился всего два года (б-й и 7-й классы). Окончил школу,
когда ему было 14 лет и поступил в Химический техникум, в котором прозани-
прозанимался два года. Особенно интересными были всегда детские именины. Кроме близ-
близких родственников были друзья детей. На этих именинах были интересные теат-
театрализованные выступления детей, разыгрывались интересные шарады и загад-
загадки. Во всем этом Женя и Леля принимали очень активное участие... В 1934 году
умер отец Жени и Лели. Эту смерть вся семья перенесла очень тяжело. Михаил
Ильич любил объединять родственников и прекрасно к ним относился... Характер
Жени в детстве — не очень общительный, углубленный в себя, но живой и общи-
общительный с приятелями, сначала детьми, а в дальнейшем взрослыми друзьями. С
детства намечалась свойственная ему в дальнейшем черта характера — принци-
принципиальность. Мнение свое отстаивал всегда до конца, был сдержан, но суждения
его часто были безапелляционными.
... Женя ел мало, был худой. Как старший брат, был более независимым. У Жени
и Лели была очень хорошая библиотека... был настольный теннис — пинг-понг.
Играли на большом столе в столовой. Это была большая 45-метровая комната, в
которой после войны жила тетя Берта (мать Е.М. и И.М.)... Тетя в последнее время
много болела и Женя очень быстро и много раз приезжал из Москвы... У него, кро-
кроме всего, было развито чувство долга. Очевидно, это чувство долга проявлялось
во всех поступках Жени до конца его жизни... Фотографий детства у нас не сохра-
сохранилось, а было много фотографий Жени, Лели... Жаль! Война, эвакуация — все
пропало...»
В автобиографии, датированной 1945/51 гг., почерком Е.М. годом поступления
на физико-механический факультет назван 1932 («Осенью 1932 г. поступил...»).
Таким образом, для окончания института («сдав все экзамены и защитив дип-
дипломную работу») Е. Лифшицу понадобилось приблизительно полтора года (!). А
на аспирантуру еще год (всего!). Видны уникальные способности. Хотелось бы
назвать этого удивительного юношу вундеркиндом. Но как мы знаем, вундеркин-
вундеркинды с возрастом теряют (а иногда растрачивают) свой дар. С Е.М. этого не произош-
произошло: через пять лет после кандидатской диссертации он защищает докторскую и
продолжает уверенно, в высшей степени профессионально работать в теорети-
теоретической физике.
Отметим еще: отец умер, когда Е.М. было 19 лет. Так что всю свою жизнь он
строил самостоятельно.
Сличая две автобиографии, в более поздней можно обнаружить скороговорку.
В более ранней сказано: «С февраля по май 1938 г. работал в Москве во Всесоюз-
Всесоюзном Кожевенном институте, а с сентября 1938 г. по июнь 1939 — в Харьковском
химико-технологическом институте». С сентября 1939 г., как мы уже цитировали,
Е.М. непрерывно работает в Институте физических проблем.
Метание — Харьков—Москва—Харьков и, наконец, окончательно Москва —
совпадает с переездом Ландау из Харькова в Москву, его несправедливым аре-
арестом и через год счастливым освобождением. Е.М. пережил трудный период.
28 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
Известно, что месяца три он вовсе не работал — прожил в Крыму со своей (пер-
(первой) женой Еленой Константиновной Березовской, стараясь не быть на виду.
Советские люди, пережившие 37-Й-38-Й годы взрослыми, легко представляют
себе, какими были его настроение и душевное состояние. Он редко вспоминал
тот период. Всегда лишь с глубочайшим восхищением говорил о мужестве ака-
академика П.Л. Капицы, которое он проявил, спасая жизнь Ландау. Копии писем
П.Л. Капицы в защиту Ландау, адресованные руководителям Советского госу-
государства, он хранил как самую дорогую реликвию.
В автобиографии ничего не сказано о семейном положении. Объяснение это-
этому можно найти в отрывке из служебной характеристики, подписанной 15 января
1981г.
«Имеет сына 1). Женат вторично... Развод с первой женой явился оформлени-
оформлением по взаимному согласию ранее сложившихся семейных отношений».
Еще один пропуск в автобиографии, наверное, требует дополнения. Не ска-
сказано, что вместе с Институтом физических проблем Е.М. был во время войны в
эвакуации в Казани. По-видимому, не сказано потому, что эвакуация из Моск-
Москвы в Казань происходила вместе с Институтом физических проблем. Эвакуация
не прервала работы в ИФП и потому могла не упоминаться в бюрократическом
документе.
В связи с работами для армии Е.М. в 1945 г. был награжден орденом «Красная
звезда». В 1954 году Е.М. награждается орденом Трудового Красного знамени.
Наконец, в автобиографии, естественно, не отмечены события после 1976 года: в
1979 г. Е.М. избран академиком, иностранным членом Лондонского Королевского об-
общества — в 1983 г., а в 1985-м — почетным доктором Будапештского университета.
* * *
Деятельности на посту заместителя главного редактора ЖЭТФ Е.М. отдавал
много времени и сил. Это не была навязанная обстоятельствами дополнитель-
дополнительная к научной работе нагрузка, а осуществление жизненного призвания. Жур-
Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики (сокращенно ЖЭТФ), как мы
уже отмечали, главный, самый уважаемый журнал в нашей стране. Он фор-
формально и фактически продолжает традиции первого физического журнала Рос-
России — Журнала Русского физико-химического общества, начавшего издавать-
издаваться в 1869 году. ЖЭТФ выделился в отдельный журнал — вместо физической
части журнала Русского физико-химического общества — в 1931 году. ЖЭТФ
публикует статьи по всем достаточно общим, имеющим принципиальное значе-
значение вопросам физики. В кругах физиков Советского Союза существует традиция,
поддерживаемая строгостью редколлегии при отборе статей, лучшие свои рабо-
работы отправлять в ЖЭТФ. Все, кому приходилось иметь дело с ЖЭТФ'ом, ощуща-
ощущали, что Е.М. олицетворяет главный физический журнал нашей страны. Он забо-
заботился обо всем: о тираже, и об объеме, о переводе на английский язык и о сроке
публикации, пытаясь насколько возможно уменьшить латентный период — ин-
интервал времени от поступления статьи в редакцию до выхода в свет журнала со
х) Сын Евгения Михайловича — Михаил, родился в 1946 году, окончил Медицинский институт,
паталогоанатом. Женат, имеет дочь. Работает в Институте судебной медицины. В свободное от работы
время увлекается скульптурой.
Введение 29
статьей. Но, главное, он заботился о содержании журнала, об уровне помещаемых
в журнале статей. Последнее — особенно трудно. Массовость науки приводит к де-
девальвации статьи. Е.М. сетовал на падение уровня «средней» статьи, поступающей
в ЖЭТФ, и жаловался, что «сейчас легче написать статью, чем найти ей читателя».
Единственная возможность поддерживать уровень журнала — бескомпромисность.
Все статьи (вне зависимости от ранга автора) проходят рецензирование, научные
редакторы обращают внимание не только на суть статьи, но и на форму, по воз-
возможности борются с жаргоном, пытаются оградить научный русский язык от засо-
засоряющих его неологизмов и некритичных заимствований; стараются использовать
общепринятые обозначения, добиваются наглядных, более или менее компактных
ответов. И того, чтобы в каждой статье был конкретный результат, чтобы статья не
ограничивалась расплывчатыми рассуждениями или пожеланиями того, что хоро-
хорошо было бы сделать. Можно сказать, что ЖЭТФ (под руководством Е.М.) старался
подражать Курсу теоретической физики Ландау и Лифшица. Обо всем этом Е.М.
заботится ежедневно непрерывно многие годы; подбирает рецензентов, которым
доверяет, воспитывает работников редакции, тщательно выбирает помощников, ис-
исповедующих те же принципы, что и он. Не будет преувеличением сказать, что
ЖЭТФ — детище Е.М. И если журнал сохранит свой стиль, то ЖЭТФ вместе с
Курсом теоретической физики останутся нерукотворными памятниками Евгению
Михайловичу Лифшицу.
В последние годы много места в жизни Е.М. занимали поездки за рубеж. С ув-
увлечением относящийся к туристической стороне пребывания в чужой стране 1),
он много сил отдавал чтению лекций, встрече с коллегами, обсуждению научных
и общих жизненных проблем. Почти каждая поездка приводила к установлению
новых дружеских связей, которые не обрывались при возвращении в Москву. Со
многими новыми друзьями Е.М. обменивался письмами, принимал их у себя, ког-
когда они приезжали в Советский Союз, радовался встречам с ними на международ-
международных конференциях.
Тематика зарубежных лекций и выступлений с годами менялась. В последние
годы чаще всего Е.М. выступал с лекциями по проблемам космологии. Лекции Е.М.
всегда были очень глубокими и доставляли большое удовольствие. Your lecture was
tremendously appreciated and will long be remembered by all who heard it2), пишет
Martin Rees4moHH 1985 г, по поводу его последней (буквально!) лекции, прочитан-
прочитанной в Институте астрономии Кембриджского университета.
В каждой поездке Е.М. выступал с лекциями о своем учителе — Льве Давидо-
Давидовиче Ландау. Эти лекции собирали особенно много слушателей, вызывали огром-
огромный интерес и имели не только мемориальный характер, но и утверждали (рас-
(распространяли, пропагандировали) определенный ландауский стиль в физике и
*) М.И.Каганов: Я совершил с Е.М. однодневное путешествие по Болгарии (Варна — Тырново).
Сколько энергии тратил он, чтобы посмотреть все, что можно. И не только посмотреть, но и
сфотографировать. Фотографировал Е.М. вполне профессионально и из каждой поездки привозил
прекрасный набор слайдов. От года к году его мастерство возрастало. Слайды последних лет могут
экспонироваться на выставках художественной фотографии.
2) Ваша лекция была оценена наивысшим образом, и ее еще долго будут вспоминать все, кто ее
слашал... (Мартин Рис).
30 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
вообще в науке — стиль, носителем которого до последних дней своей жизни был
Евгений Михайлович.
* * *
Отличительной чертой научного творчества Е.М. Лифшица может служить
сравнительно небольшое число работ; почти нет маленьких статей типа замеча-
замечаний. Небольшая заметка в Phys. Rev. Lett. (Общее космологическое решение гра-
гравитационных уравнений с особенностью по времени) — краткое сообщение о
большой работе, подробное изложение которой содержится в нескольких публи-
публикациях. А иногда краткое сообщение (и на первый взгляд по частному вопросу)
по существу — своеобразное событие. Вот, например, небольшая заметка (на
полторы страницы) «О теплоемкости жидкого Не3» (ЖЭТФ, 21, 659, 1951). В нем
показано, что химический потенциал жидкого Не3 в сравнительно широком диа-
диапазоне температур можно представить в виде ряда по степеням Т2. Эта заметка
вместе с работой И.Померанчука (ЖЭТФ, 20, 919, 1950) — предвестники теории
Ферми-жидкости, созданной Ландау через несколько лет: «Теоретически у жид-
жидкого Не3 при достаточно низкой температуре следует ожидать теплоемкости,
пропорциональной первой степени температуры: это следует из того, что жид-
жидкий Не3 представляет собой, вероятно, квантовую жидкость с энергетическим
спектром «фермиевского типа» (спектром, аналогичным спектру «электронной
жидкости» в металле, см....)» — пишет Е.М. и ссылается на выше процитирован-
процитированную работу Померанчука.
Образно говоря, в списке опубликованных работ как бы отсутствуют фоновые
работы, над которыми возвышаются значительные, существенные, важные. Осо-
Особенно это относится ко второй половине жизни Е.М. Каждая его работа в этот пе-
период — научное событие.
И еще одна отличительная черта всех его работ. Они конкретны. Начиная с
первых работ по квантовой механике, выполненных совместно с Л.Д. Ландау, до
последних работ по космологии, в каждой работе ставится и решается конкрет-
конкретная теоретическая задача. Конкретная в том смысле, что ответом служит вполне
конкретная формула, допускающая — в принципе — экспериментальную и на-
наблюдательную проверку. И в том, что используются существующие общие пред-
представления, которые конкретизируются для решения данной задачи.
Каждые несколько лет возникают в физике (да и в любой другой науке) мод-
модные темы, к разработке которых устремляются «толпы» молодых (и не слишком
молодых) людей. Работая над очередным томом Курса теоретической физики,
Евгению Михайловичу по необходимости приходилось знакомиться с модными и
с недавно вышедшими из моды темами. Хотя бы для отбора, для решения вопроса
о том, что займет свое место в Курсе, а что останется вне его. Но сам Е.М. никогда
не был «модником», если, правда, отвлечься от космологии, в которой его работы
(совместно с И. Халатниковым и В. Белинским) создали моду.
Вопрос об общем виде особенности в космологических решениях уравнений
общей теории относительности Е.М. считал особенно важным и интересным. Он
часто говорил (Л.П.Питаевскому), что ему всегда хотелось хотя бы дожить до вы-
выяснения этого вопроса. И то, что он вместе со своими коллегами получил ответ на
этот вопрос, доставляло ему особую радость.
Введение 31
В большинстве случаев труды Е.М. посвящены «вечным» темам; решение за-
задач, в них содержащееся, достраивает здание теоретической физики, ликвиди-
ликвидирует «белые пятна». Особенно характерный пример — построение теории моле-
молекулярных сил притяжения между конденсированными телами.
Три рода деятельности Е.М. (самостоятельная научная работа, написание, из-
издание и переиздание Курса теоретической физики и, наконец, ЖЭТФ) дополня-
дополняли и обогащали друг друга. Во всех трех Е.М. исходил из общих принципов, кото-
которые непросто сформулировать, но которые, как все мы ощущали, характеризуют
«ландаускую физику». Во-первых, это подход к физике как к единой (хотя и раз-
разнообразной) науке, во-вторых, приоритет чисто научного подхода (основанного
на внутренней логике науки) по сравнению с разнообразными вторичными, вне-
внешними обстоятельствами — мода, сиюминутная полезность и т.п. В-третьих, чет-
четкое разграничение работ на «правильные и неправильные». Неправильная, т. е.
содержащая ошибки работа, сколь интересные вопросы она бы ни поднимала, не
имеет цены, она (такая работа) должна быть исправлена, а если исправить ее
нельзя, то она вовсе не может рассматриваться. Этот, казалось бы, естественный
подход, пожалуй, самое «тонкое» место в «ландауской физике». Не всегда можно
строго установить правильность работы. Работа может казаться неправильной,
но потом, когда новое направление, еще не угадываемое по оцениваемой работе,
завоюет себе «место под солнцем», окажется правильной. Поэтому излишняя кри-
критичность (если она, конечно, излишняя) может быть вредной.
Надо подчеркнуть, что Е.М., как и его учитель Ландау, никогда не навязывали
своего мнения, сколь бы определенно они его ни высказывали.
Хотя опасность отвергнуть обогнавшие время работы несомненно существует,
мы все же со всей четкостью высказываемся за выше сформулированные прин-
принципы ландауской физики. Им следовать особенно важно в период массовизации
науки (для физики этот процесс совпал с серединой 20-го века), когда потребнос-
потребности практики и обязанное этому материальное субсидирование приводит к фанта-
фантастическому росту числа научных работников, когда катастрофически растет не
только число научных публикаций, но и число научных журналов, когда конку-
конкуренция заставляет спешить и когда спешка делается одним из определяющих
факторов научной жизни.
Е.М. прожил счастливую жизнь. Наука, служению которой он себя посвятил,
доставляла ему наслаждение.
Смерть всегда ужасна. Особенно, когда из жизни уходит активно работающий
и активно живущий человек. Но совсем непереносимо, когда смерть оказывается
символом конца эпохи. Со смертью Евгения Михайловича закончилась эпоха Лан-
Ландау и Лифшица.
«Не спрашивай, по ком звонит колокол. Он звонит по тебе» — эта знаменитая
цитата из Джона Донна для многих физиков точно выражает то, что они почув-
почувствовали, когда узнали: многочасовая борьба за жизнь Евгения Лифшица окон-
окончилась поражением.
Я.Б. Зельдович, М.И. Каганов
6 июля 1987 г.
ОБ ОБРАЗОВАНИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ДВУХ ЧАСТИЦ
Совместно с Л. Д. Ландау
Phys. Zs. Sowjet, 6, 244, 1934
Рассмотрено образование электрона и позитрона при столкновении двух частиц, движу-
движущихся со скоростью, близкой к скорости света. Получено эффективное сечение процесса;
оно возрастает как куб логарифма энергии сталкивающихся ядер.
§i
Дираковская теория электронов и позитронов дает возможность изучать эф-
эффекты образования электронных пар при различного рода столкновениях. В рам-
рамках этой теории эффект в целом можно описать, считая, что под влиянием стал-
сталкивающихся частиц электрон с отрицательной энергией переходит в состояние с
положительной энергией, в результате чего образуются электрон и «дырка», т. е.
позитрон.
В первом порядке теории возмущений (что означает невозмущенные волно-
волновые функции для электрона и учет взаимодействия двух частиц) эффект обязан
взаимодействию обеих частиц. При этом можно без труда показать, что для ско-
скоростей сталкивающихся частиц, близких к скорости света, вероятность образо-
образования электронной пары зависит от относительного ускорения сталкивающихся
частиц, т. е. обратно пропорциональна квадрату их массы. Тем самым в этом слу-
случае (мы рассмотрим здесь лишь случай 1 — v/c ~ 0, когда энергия велика в сравне-
сравнении с массой, умноженной на с2) эффект первого порядка гораздо меньше, чем
эффект второго порядка. В следующем приближении ядра можно считать не вза-
взаимодействующими (т. е. движущимися прямолинейно), поскольку при больших
скоростях пренебрежение их взаимодействием законно. Эффект обязан тогда ис-
исключительно суперпозиции полей обоих ядер. Первое приближение теории воз-
возмущений в таких условиях дало бы нулевой результат.
Применяемый ниже метод состоит в следующем: вычисляется волновая функ-
функция электрона в состоянии с отрицательной энергией (до столкновения), возмущен-
возмущенная полем частиц. С помощью этой функции и волновой функции электрона с поло-
положительной энергией (после столкновения) конструируется матричный элемент воз-
возмущения, квадрат которого и дает вероятность перехода, т.е. образования электро-
электрона и позитрона. Взаимодействием обоих ядер пренебрегаем.
Метод, разумеется, симметричен по отношению к электрону и позитрону и,
кроме того, относительно обоих ядер. Поэтому совершенно безразлично, какое из
двух считать покоящимся; результат должен быть инвариантен относительно пре-
преобразования Лоренца (v — относительная скорость ядер, Е2 — энергия электрона
1. Об образовании электронов и позитронов 33
с положительной энергией, Е1 = — \Ег\ — для состояния с отрицательной энерги-
энергией, т. е. для позитрона; ось х лежит в направлении v)\
К - vv'2x
(в дальнейшем мы полагаем с = 1, т. е. размерность скорости равна единице; степе-
степени с, необходимые для обеспечения правильной размерности, могут быть вставлены
в конечный результат). Если энергия велика и импульс составляет малый угол с
осью х (что, как будет показано ниже, в действительности имеет место), то
р =?_+P_(P)_ A)
Рх * 2Е 8Ё2 "¦ { '
(р2 = р2 +Ру) и преобразование Лоренца с точностью до членов высшего поряд-
порядка имеет вид
2 2 2 2
т +Pl m +р2 (.
1 ~ —I Т9 2 ~ ^
Если частицы теряют лишь малую часть своей энергии, что позволяет пренеб-
пренебречь их взаимодействием, результат не зависит от природы частиц и имеет оди-
одинаковый вид как для двух сталкивающихся ядер (в дальнейшем мы будем гово-
говорить только об этом случае), так и для ядра и электрона. Последний случай ис-
исследовался Карлсоном и Фарри [1], однако, как мы увидим, полученный здесь
результат отличается от полученного Карлсоном и Фарри. Следует отметить, что
их результат не инвариантен относительно преобразования B), хотя в их слу-
случае — Еги Е2достаточно велики.
§2
Перейдем теперь к вычислению сечения образования пары. До столкновения
электрон занимает состояние с отрицательной энергией. Его 4-импульс рх имеет
компоненты plk (pn,p12,Pu =Vix,Viy,Viz', Рн =^i, ^i =-|^il)- Первое ядро
(с зарядом Zxe) покоится, а второе (Z2e) движется со скоростью v вдоль оси х;
их 4-скорости равны соответственно:
,,0,0, -=J=. C)
= @,0,0, г), u<2>=-^L
Jl-v* VI-г
Удобства ради мы предположим, что поле состоит из сильной дискретной плос-
плоской волны
« = р'к- р1к (к = 1, 2, 3, 4; *,, 2 3,4 = *- У- *, «)
и составляющей с непрерывным спектром ф^2). Величины ф12)з представляют
собой компоненты векторного потенциала А, а ф4 = up — скалярный потенци-
потенциал, умноженный на г. После столкновения электрон находится в состоянии с по-
положительной энергией, его 4-импульс есть р2. Мы введем также двухмерный век-
вектор р с компонентами рх, ру.
34 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Начальные состояния (с отрицательной энергией) образуют непрерывный ряд,
который до столкновения (когда пространство пусто) полностью заполнен. Поэтому
вероятность перехода следует относить к дифференциалу импульса.
Невозмущенные функции электрона до и после столкновения должны быть,
следовательно, нормированы на 6-функцию в импульсном пространстве, т. е.
тт>@) _ х .k(Q)^lpifcXfc \T/(°)—
l — я/?~ т 1 ^ ' 2 —~~
= H40)f = i, D)
и удовлетворять уравнению Дирака
где
= -26ifc F)
/г <9
Р/с =7
г <9xfc '
Подставляя D) в E), мы получим систему алгебраических уравнений для опре-
определения i[)i и iji, :
(m + ^fcplfc) ^0) =0, (m + 4fcp2fc) г|40) = 0.
Тогда волновая функция электрона в состоянии с отрицательной энергией, воз-
возмущенная полем первого ядра, должна удовлетворять уравнению
(здесь мы пренебрегли ф^ по сравнению ф^). Будем искать Ф: в виде
B-к/гK/2
Тогда, пренебрегая членом е^к^ ехр(гио^1)х^)'ф/ и умножая на т — ^крк, получим
m +рг-
G)
Как это часто делается во втором приближении теории возмущений, рк мож-
можно назвать 4-импульсом «промежуточного состояния». Матричный элемент воз-
возмущения, относящийся к переходу из «промежуточного» состояния (Ф ) в состо-
состояние с положительной энергией (ФB0)), равен
dr = dxldx2dx3dxi,
1. Об образовании электронов и позитронов 35
где ^ — 4-вектор с компонентами ^, ^2, ~f3> 14' а
представляет собой фурье-компоненту с частотой оо^ > лежащей в непрерывном
спектре (при выводе (8) мы брали возмущение в виде е'ЧП/сФ;? и пренебрегли чле-
членом ф^ ехр(гио(/)х^), поскольку две дискретные плоские волны дают переход, толь-
только если сумма их частот равна (p2k — plfc)/^, что в нашем случае дает пренебре-
жимый вклад; при выводе использовалось также G)).
Перейдем теперь от дискретной плоской волны щ* к фурье-компоненте Хи с
частотой ooj/, лежащей в интервале dp[dp'2dp'^dp[ непрерывного спектра. Для это-
этого, как легко убедиться из теории интеграла Фурье, следует подставить вместо
ср^ величину
^М№АЩ d.>=dp[dp>dp>dp>.
Интегрируя по всему спектру, чтобы получить полный эффект, и деля на К, на-
находим амплитуду вероятности
Теперь мы должны определить потенциалы xl и xi поля ядер, движущихся
прямолинейно без взаимодействия. Это лучше всего сделать в трехмерной форме.
Для скалярного и векторного потенциалов первого и второго ядер имеем
?cp = -4TYeZ6(r-v?-r0), DA = -4TieZv6(r- vt-r0), A1)
где г и v — трехмерные радиус-вектор и скорость ядер; г0 — радиус-вектор одного из
двух ядер в тот момент, когда ядра наименее всего удалены одно от другого. Предполо-
Предположим, что первое ядро покоится в начале координат, а второе движется параллельно
оси х; тогда г0A) = 0, а г0A) имеет только у-и z-компоненты.
Беря от обеих частей A1) фурье-компоненту с частотой ио^ получим
(k2 -uo2) JJ^e-^kr-^dVdt= 4vZeffb(r- \t-
(k2 - uo2) JJ Ae'^-^dVdt = ^Zevfe-^+^-^dt, A2)
гио = w4,/cxyz = u;123, dV = dxdydz.
С помощью хорошо известной формулы
) A3)
Г eiatdt
A2) дает -°°
B2)JJ^k) 2k;- kv),
(к2 -uo2)JjAe-i(kr-wt)dVdt= 8ZeTY2ve-ikr°6(u;- kv). A4)
36 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Используя обозначения (9), последние соотношения можно переписать в че-
четырехмерной форме. Таким образом, мы получаем для поля, созданного обоими
ядрами:
р?) iV^)^)(««) 2eui2^1)^)8(^u|2)), A5)
Эти выражения следует подставить в амплитуду вероятности A0). Квадрат ее
модуля, просуммированный по двум состояниям с противоположными направле-
направлениями спинов, дает вероятность столкновения с образованием позитрона с энер-
энергией и импульсом, лежащими в интервале d PijJdlpiJdlEj = вж1, и электрона — в
интервале dp2ydp2zdE2=d-K2:
(рх определяется по известным Еир). Эффективное сечение d^vE^E^ получает-
получается путем интегрирования по dy и dz.
Прежде чем записать выражение для амплитуды вероятности, заметим, что
эффект могут дать только два ядра и что поэтому при подстановке A5) в A0)
нужно оставить лишь члены, содержащие и^ и и^ вместе, т. е. обязанные обоим
ядрам.
С учетом сказанного получим
Q = 1,Aи^)[-10Н11)]Ы^)+ A6а)
/ 2^ /2WV7V
[m +p ;(Р! -p) (p2- p)
' J
(как уже упоминалось, х^ положено равным нулю и вместо
мы написали
J — 4-вектор с компонентами Iv I2, I3, J4).
1. Об образовании электронов и позитронов 37
Благодаря наличию 6-функций интегрирование по dp[vidp^ (т.е. dp'x и dEf)
может быть проведено сразу. Оно дает
(Рк - Pik) 41 = °. (P2k - Pk) 4k = 0,
-*Pi =B' = -Ei, Pi'=P* =^iE)
L =
1
m2 +E2(l-v2)- 2E1{E2- vp2x) + {E2~ vp2xf+ p'2
1
A7a)
и аналогично
-ipi=E' = E2,
г k okdpydpz
1
у
Г 2 / 21Г 2 /
[(E2 —vp2x —Ег +vplx) +(p — p2) J[(^2 ~^i) (l~1
Теперь мы должны вычислить квадрат модуля A6а), что даст вероятность пе-
перехода
Ощ \ diYidiio- A8)
Т-- Т 1 1 Z \ /
Используя греческие буквы для индексов, обозначающих матричные элемен-
элементы, можно записать
где
Л1аC ~L Vip , Л2аC ~
(~ означает транспонированную матрицу, a J]— суммирование по двум состоя-
состояниям с противоположными спинами).
Суммирование производится по всем индексам, в том числе по первому и пос-
последнему, так что мы имеем здесь след от произведения матриц, и сомножители
можно подвергнуть круговой перестановке. Поэтому отличными от нуля будут
лишь такие члены в A9), которые содержат четное число каждой из ^к.
Для нахождения Q* заметим, что ^к являются антиэрмитовыми матрицами, т. е.
Ъ=-Ъ- B°)
38 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Поэтому можно написать
(^)*(«)ъ B1)
и то же самое для (т^о2)) и (тО- Следовательно,
B2)
Далее, вычисляя функции я);, можно легко проверить, что
2 2
—(nifePifc - m) ~u> Х2 = —(ъР21с - ш) ъ; B3)
Pl4 P24
тогда A8), Aбв) A9) и B2) дают (вспомним, что ~\\ = -1
WOljM^- B4)
В дальнейшем мы предположим, что
т. е. что энергия электрона и позитрона, образованных при столкновении, велика
по сравнению с их энергией покоя и мала в сравнении с энергией сталкивающих-
сталкивающихся частиц, и, кроме того, треки образовавшихся электрона и позитрона располо-
расположены в пределах малого угла вокруг направления движения ядер. Конечный ре-
результат подтверждает, что это и есть наиболее существенная область, т. е. что
большинство пар имеют такие энергию и импульс.
При вычислении следа в B4) мы пренебрежем всеми членами порядка
El2 (l— v2)l] или (m4/E^g) if U=0, 2, 3) или выше. Довольно длинные вычис-
вычисления с использованием A) дают тогда
-(РхР2)
I=(J2, J3), 1'=[I'2,I'3). B6)
1. Об образовании электронов и позитронов
39
Подставляя A) в A7а), A76) и оставляя в знаменателе только большие члены
(можно показать, что отброшенные члены дают эффект высшего порядка в ко-
конечном результате), получим для Io, IfQ, I, I;:
E2me
dp dpz
'i=#i
_-i(p'y-Ply)v -т(.р'г-Р
dp dpz
A =
m +p2
2E1 2E2
¦Pi2)?2][a+(p'-P2J][b+(P'-PiJ
В = (?х-?2JA-г;2).
B7)
B7a)
В выражениях для I и 1; в числителе вместо т стоит рг. Второй и третий сомно-
сомножители в знаменателях в 10, ... гораздо меньше, чем первый, поэтому очевидно,
что именно они играют главную роль при интегрировании.
Для перехода от вероятности d WpiEiP2E2 к эффективному сечению d<l>piEiP2E2 нуж-
нужно проинтегрировать B6) по dy и dz. Однако более удобно интегрировать по dy и dz
еще до взятия интегралов по dpf dpfz. Для этой цели запишем произведения двух
интегралов, таких как I0If0 и т. д. в виде двойного интеграла от произведения обоих
подинтегральных выражений, заменив в одном из них рг на другую переменную, ска-
скажем р". Тем самым интегрирование распространится по dpydpzdpydpzf, и интеграл
по dy и dz может быть вычислен в первую очередь. При этом интегрировании экс-
экспоненциальные множители дадут согласно A3) 6-функции двух типов:
/ / О /О О /О
в выражениях соответственно для IqIq, II и Jo, Jo , I , I -Интегрирование по
dp1 dpz или по dpffdpz тогда тривиально, и мы получаем из B6) и B7)
(Pl +P2 -p')+(PiP2)[p'(Pi +P2 "Р')
m2(p1p2)-m2(p1 +p2J+m2(p1p2)-m2(p1+p2J - [рх (рх +р2 - р')](р2р')-
" [p2(Pi +P2 -p')](Pip')}{[(™2 +Р2)?2 -Ы +V22)E1]{m2 +p2)?2 -
1 ГГ
+pl)(m2 +p'2)dp'ydp'z
[(т2+(Р1+р2-р'JК-(т2+Р2)Е2
(р'-р2J
v i кЛ/ \\ о •
B8)
40
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Можно ввести новые переменные
р: + р2 = 2р, р - Pi = 2а, р' - р2 = 2Ь
B9)
и проинтегрировать по daydazdbydbz. Преобразование B9) тогда дает (якобиан
этого преобразования равен 16)
28e8Z12Z2.d|E1 dE2dpvdp
vdpz
{JJJJ daydazdbydbz [(m2 + p2 J - 2 (m2 + p2) (a2 + b2) - (a2 - b2
+
+ 4a2b2 - 4(abJ + 4(apJ + 4(bpJ]{[(m2 +(p + a + ЪJ)е2 - ((p + a - bJ +
b-aJ)E2-(m2+(p-a-
4a2)
daydazdbydbz
¦ +
ш
m2+(p + b-a) ][m2
— a — b) 1
daydazdbydbz
[(m2+(p-a-bJ)E2-(m2+(p + b-
4b
2)
.C0)
После приведения к общему знаменателю в числителе остаются лишь члены
четвертого порядка по а и b или выше. Тогда в знаменателе мы можем положить
а = b = 0 всюду, кроме (А + 4а2J(Б + 4Ь2J (эти множители играют при интегри-
интегрировании наиболее важную роль). Имеем (оставляя лишь члены четвертого порядка
по а и Ь)
E2dp dpz
/zV(E1+E2L(m2+P2)
(m2+p2
3L2h2daydazdhydbz
\2 *
C1)
Этот интеграл логарифмически расходится, и можно убедиться, что при ин-
интегрировании важна область, где
а также
А + Б < а2 < т2, А + Б < Ь2 < т2,
х -р2J <т2.
C2а)
C26)
Неравенства C26) показывают, что треки электрона и позитрона лежат по раз-
разные стороны от оси х. Малость а и b оправдывает тот факт, что мы сохранили
1. Об образовании электронов и позитронов 41
лишь члены наинизшей степени по а и Ь. Интегрируя в C1) по области от нуля до
т, получим
<Й>
8e8Z21Z2d\E1\dE2dpydpz
2
)
|p2 | f2
4 I l 2
4 [
ъ2П2{т2+р2У
1
C3)
(здесь оставлены только логарифмические члены; принятое нами приближение
не позволяет написать константу под логарифмом; по той же причине там можно
заменить р2 на т2 в согласии с B5)).
Наконец, интегрируя по dpydpz, получим эффективное сечение, отнесенное к
d\Ex\dE2\
x In m In l d\Ex\dE2. C4)
Пользуясь этим выражением, можно легко проверить справедливость выбора
области B5). Следует также отметить, что выражение C4) инвариантно относи-
относительно преобразования B).
Вводя обозначение Е[ для абсолютной величины энергии позитрона (Ег = —Ег)
и переходя к обычным единицам для скорости, получим
те2
где
dE[dE2, C5)
a a — постоянная тонкой структуры.
Полное сечение образования пар получается путем интегрирования по
dE[dE2. Для проведения первого интегрирования заметим, что в интеграле
существенна область Е[ ~ Е2, поскольку в предположении Е2 » Е[ он принимает
Я(ЛЕ-1 dE2
^2 ' откуда следует, что существенны большие значения Е[ {Е[ ~ Е2).
42
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Поэтому всюду под логарифмом можно написать Е2 вместо Е[ и проинтегрировать
остаток. Вспомнив, что коэффициенты под логарифмом писать не следует,
получаем
In-
Е2 dE2
C6)
Интеграл по dE2 логарифмически расходится, и согласно B5) его надо брать в
пределах между тс2 и тс2л<. Введя х =\п(Е2/тс2^ в качестве новой перемен-
переменной, имеем
mc2^
fin-
Подставляя это в C2), получим, наконец,
тс
C7)
Следовательно, поперечное сечение возрастает как куб логарифма энергии стал-
сталкивающихся частиц.
Численно C7) дает
Ф = 1,4.10-302122221п3-| (см2). C8)
ЛИТЕРАТУРА
[1] Carlson, Furry. Phys. Rev., 44, 237, 1933.
ОБ ОБРАЗОВАНИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Phys. Zs. Sowjet, 7, 385, 1935
Рассчитано сечение образования электронных пар при столкновении двух частиц со скоростями
много меньшими скорости света. Сравниваются величины эффектов первого и второго порядков.
В вышедшей недавно статье Л.Д. Ландау с автором [1] было рассчитано сечение
образования электронов и позитронов при столкновении двух ядер (или других ча-
частиц), движущихся со скоростями очень близкими к скорости света A — v/c ~ 0). Те-
Теперь рассмотрим случай
v «: с. A)
Когда нам приходилось иметь дело с очень быстрыми частицами, т. е. когда вре-
время столкновения было очень малым, было очевидно, что эффект, возникающий от
взаимодействия обоих ядер намного меньше, чем просто суперпозиция их полей и,
следовательно, можно было считать ядра движущимися прямолинейно без столк-
столкновений (второе приближение). Если v «: с, это уже не всегда верно, и мы увидим,
что при некоторой скорости первое приближение становится больше второго.
Сечения образования пар отличаются довольно сильно для разных скоростей
столкновений. В этой связи можно выделить несколько случаев.
Если скорость так мала, что частота, отвечающая времени столкновения, мно-
много меньше mc2/h *), вероятность или сечение образования пар начинает падать
экспоненциально при уменьшении скорости, и эффект очень мал. Поэтому мы не
будем рассматривать этот случай, а будем считать, что частота, соответствую-
соответствующая времени столкновений, велика по сравнению с mc2/h. Прицельный параметр
столкновения имеет порядок ZxZ2e2 /Mv2 (M — приведенная масса ядра), а час-
частота — Mv3ZlZ2e2. Следовательно, сформулированное выше условие можно за-
записать в виде:
3 ^Z^^mc/Mh B)
Все скорости, удовлетворяющие этому условию, можно разделить на две груп-
группы, которые практически полностью охватывают все скорости, для которых спра-
справедливы оба неравенства — A) и B). Все остальные группы содержат очень узкий
х) h — константа Планка, деленая на 2 тт.
44 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
диапазон скоростей, а, кроме того, результаты для них оказываются очень похо-
похожими на результаты для двух уже упомянутых групп. Рассмотрим эти группы.
I. Скорости таковы, что движение ядер можно рассматривать в рамках класси-
классической теории. Для этого необходимо, чтобы в соотношении неопределенностей
ApAr ~ h было бы Аг <^с р (р — «радиус» ядра, Р = 5 х 10~13 см). Если мы учтем
также, что Ар « U/v = Z1Z2e2/pv (U—потенциальная энергия), то получим условие:
v^Z.Z^/h. (За)
Предполагается также, что отклонения ядер, т. е. изменения их импульсов, малы
по сравнению с их начальным импульсом Mv. Изменение импульса равно произ-
произведению силы (~ V/p = Z1Z2e2 /р2) на время, в течение которого происходит столк-
столкновение (~ p/v). Итак, мы получаем еще одно условие:
Mv2 »Z1Z2e2/p. C6)
Наконец, ядра теряют лишь небольшую часть своей энергии:
Mv2 »гас2. (Зв)
П. Скорости таковы, что движение ядер необходимо проквантовать:
v»Z1Z2e2/h Da)
(это условие совпадает с условием справедливости борновского приближения). От-
Отклонение ядер также предполагается малым, т. е. в соотношении Ai>Ar ~ h/M
должно быть Av <?C v, и при Аг ~ р получаем:
v^>h/Mp. D6)
Кроме того, необходимо принять, что энергия образованных электрона и по-
позитрона (порядка произведения частоты v/p, соответствующей времени столк-
столкновения, на /г, а если прицельный параметр больше, чем р, то меньше) велика по
сравнению с тс2, т.е.
v » mc2p/h. Dв)
Тогда из D6) и Dв) следует (Зв). В п. 3 мы увидим, что для обоих случаев получа-
получается один и тот же результат.
Сначала мы найдем второе приближение (эффект суперпозиции полей) для
сечения процесса образования пар. Все расчеты аналогичны случаю 1, но остав-
оставляем лишь члены, содержащие низкие степени v.
В этом случае (v <?: с) расчеты становятся очень громоздкими, поскольку ос-
основные члены обращаются в нуль. В особенности сложно вычисляется диффе-
2. Об образовании электронов и позитронов 45
ренциальное сечение, соответствующее дифференциальному интервалу импульса
электрона и позитрона, и они едва ли представляют интерес.
Поэтому мы приведем только окончательный результат для сечения, отно-
относящегося к интервалу dExdE2 (Ег, Е2— энергии электрона и позитрона, обе —
положительные). Примем обозначения
ег = Е1/тс2, е2 = Е2/тс2,
тогда дифференциальное сечение будет иметь вид:
4
45е1е2
тс
+ 33е1е2 (el +e^) + 78e1e2 -49(е^ +e^)-32]de1de2 E)
(а — постоянная тонкой структуры).
Энергия большинства пар имеет порядок:
Ег ~ me2, E2 ^ тс2.
Для того, чтобы получить интегральное сечение, необходимо проинтегрировать
по de1de2' С помощью подстановки
е1 = ch (а + C), е2 = ch (а - C)
получаем интегралы в следующей форме
ch10ach10p
— 00 —00
которые с помощью формул гиперболической тригонометрии можно свести к ин-
интегралам: оо
/chmx _
ax
0 chnx
Если использовать подстановку ех = vz, их можно выразить через Г-функции:
n-2 p / m + П n-m
lm + n\ Im - n\
2 ' 2 / Г(п)
и тогда из E) получаем
4(и/сI0г12г22 см2. F)
Следовательно, сечение быстро падает при возрастании скорости ядер.
46 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Теперь мы должны вычислить эффект в первом приближении и сравнить его с
предыдущим результатом. Мы используем следующий метод: электрон до и пос-
после столкновения будем описывать невозмущенными волновыми функциями в виде
плоских волн и вычислим с их помощью матричный элемент оператора возмуще-
возмущения (поле ядра). Относительная скорость ядра до столкновения (v) по предполо-
предположению должна удовлетворять условиям Dа), D6), Dв). Следовательно, движе-
движение ядер тоже нужно проквантовать. Согласно правилам теории возмущений, что-
чтобы найти поле, образованное ядрами, нужно воспользоваться матричными
элементами плотности заряда и тока, относящимися к переходу ядра из состоя-
состояния с начальным импульсом в состояние с конечным импульсом. Волновые функ-
функции ядер — плоские волны, возмущенные их взаимодействием.
Введем следующие обозначения. Энергия и импульс образованных электрона
и позитрона — Е2, р2и Ev р: соответственно (энергия и импульс состояния с отри-
отрицательной энергией, занимаемого электроном до столкновения, равны —Elf — pj.
Волновые функции электрона до и после столкновения, нормированные, как ив [1],
на 6-функцию в импульсном пространстве, соответственно равны
Суммы энергий и импульсов мы обозначим как Ех + Е2 = е, р: + р2 = t.
Радиус-векторы обоих ядер обозначим буквами R: и R2, а скорости — v: и v2.
Если мы сведем движение ядер к движению вокруг центра их масс, то расстояние
между ядрами будет равно R = R: — R2, а радиус-вектор центра масс —
Rm=(M1R1+M2R2)/(M1+M2)
IM М
Ri =-—-R + Rm, R2 =-—-R + Rm; Ml9 M2 —массыядер,M = MlM2/(Ml + M2) —
их приведенная масса). Импульс первого из ядер до столкновения, выраженный через
относительный импульс (р = MR = Mv) и импульс центра масс [рт = (Мг +M2)Rm =
= (M1+M2)vm] равен
Mi
~Ро + МР
а второго ядра —
М2
Те же импульсы после столкновения обозначены буквами без нулевых индексов.
Суммы энергий ядер до и после столкновения равны Ео и Е.
Уже отмечалось, что в рассматриваемом сейчас случае отклонение ядер мало,
т. е. р0 — р = q мало по сравнению с р0 и р. Следовательно, ядра теряют только
малую часть своей энергии (Mv2^>e и тем более Mv2^>mc2). Очевидно также,
2. Об образовании электронов и позитронов
47
что q много больше, чем t, поскольку из соотношений (pjj — р2 )/2М = ? (центр масс
получает импульс t и его энергией здесь можно пренебречь) и рх — рОх = Mv (на-
(направление оси X совпадает с направлением скорости v), следует
Е0-Е = г =
-px) = vqx,
(8)
т. е. qx ~ г/v, в то время как t по порядку величины не больше е/с. Итак, очевид-
очевидно, что t меньше, чем р0 и р.
Амплитуда вероятности в этих обозначениях равна (так же, как и в [1])
е г г ^-(et-tr) ^
B-Khf h
dV = dxdydz.
(9)
Здесь ф^ (fc = 1, 2, 3) — компоненты векторного потенциала А поля ядер, а ф4 = гф,
где ф — скалярный потенциал 1). А и ф удовлетворяют уравнениям:
П А = -
x v:6 (r - Rx) + Z2v26 (r - R2
A0)
Мы должны теперь найти Фурье-компоненты этих потенциалов. Из A0) непос-
непосредственно получаем:
dt,
(lla)
Як^-tr
,tBl
dt, A16)
или, если подставить R и Rm вместо R: и R2, а также v и vm вместо v: и v2,
tR
i Mi
+Z2e
r(et-tRm)
V™ --
j +M2
- v e
г М2
dt, A2a)
tR
v_ --
-v e
-tR
dt.
A26)
x) Как и в [1] положим с = 1, т. е. размерность скорости равна 1, нужные степени с мы подставим в
окончательное выражение для сохранения правильной размерности
48
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В нашем случае движение ядер тоже нужно проквантовать, т. е. вместо Zxe,
Z2e, Zx\xe, Z^y^e мы должны подставить матричные элементы зарядовой и токо-
токовой плотностей, соответствующие переходу ядер из состояния с одним импуль-
импульсом в состояние с другим импульсом. Ядра описываются с помощью волновых
функций, представляющих собой плоские волны, возмущенные за счет их вза-
взаимодействия. До столкновения эта функция (общая для обоих ядер) при поко-
покоящемся центре масс имеет вид:
••-v'
Vt/ E, -E'
После столкновения она принимает вид
aRm)
V
en — —
Е-Е'
где
A3a)
A36)
A4)
и аналогично для 17 (р — р ). Эти функции нормируются, как это часто делается,
на конечный объем V, который затем устремляется к бесконечности.
Теперь мы должны составить произведение Ф*Ф0> подставить его в A2а) и
проинтегрировать по координатам обоих ядер, т. е. по относительным координа-
координатам и координатам центра масс во всем объеме V.
Все члены обратятся в нуль кроме тех, у которых показатель экспоненты об-
обращается в нуль. Поэтому произведение двух членов в A3), не содержащих U,
исчезает, а в каждой из сумм, стоящих в A3), остается по одному члену. Квадра-
Квадратичными по V членами можно пренебречь.
В соответствии с законом сохранения, импульс, приобретаемый центром
масс, должен быть равен —t. В результате мы приходим к несколько громоздкому
выражению:
е^ \pdVdt --
p0 -p
м0
-Д P-
M1 +M2
-Е р
• —t
M1 +M2
M.
^—t
dt. A5а)
2. Об образовании электронов и позитронов
49
Вектор-потенциал можно получить аналогично, если подставить в A26) вмес-
вместо скоростей соответствующие квантовомеханические величины. В результате
получаем:
я«
JAdVdt =
е -'
t X
?(
М
\м1
Ре)"
J
1
М2
к"
м1
t
^2 \
?(
Р)"
+
Е
1
(,
1
м1
t
2МХ
+ м2
¦•)
x +M2
x +M2
/ 1
Д(Ро) -
1
' м2
е(р
\
/р
+ -
t
_|_
' 2М2
М1
1Х +М2
•)
/
\
р
1
м1
-в
1
м2
:(р.
/р
м1
t
2М2
+ м
. A56)
Уже упоминалось, что t всегда меньше, чем р, р0 и q, и поэтому им по сравне-
сравнению с последними можно пренебречь. Если просто положить t = 0 в A5а), полу-
получим нуль. Поэтому необходимо в A5а) в скобках произвести разложение в ряд и
оставить члены первого по t порядка. При этом получаем:
Я-г(е*-*г
eh
47vh2e г
-t2 VJ
?2-
qt
[М2 MJE0-E
В A56) следует прямо положить t = 0, тогда получим
-р) . A6а)
Я<
/¦
М2
- Е
A66)
(В этом приближении содержится предположение о том, что центр масс покоится).
Заметим, что оба выражения A6а) и A66) обращаются в нуль, если отноше-
отношение заряда к массе для обоих ядер равны, т. е. Z2/M2 = Zl/Ml.B этом случае центр
масс и центр зарядов совпадают и оба находятся в состоянии покоя. Тогда, в осо-
особенности в случае двух одинаковых ядер, уже невозможно пренебречь t в A5а) и
A56). Но это приводит уже к эффекту следующего порядка по v2, и мы его здесь
не будем рассматривать. В частности, в случае столкновения протона с ядром
никогда не возникает ситуации, при которой Z2/M2 = Zl/Ml, поскольку для прото-
протона это отношение примерно в два раза больше, чем для других ядер.
50
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Оба выражения A6а) и A66) нужно подставить в (9). Вероятность получить
позитрон с импульсом, находящимся в интервале dplxdplydplz = drKl и элект-
электрон с импульсами в интервале dp2xdp2ydp2z = с?тг2, при том, что импульс ядра
меняется на q = р0 — р, равна квадрату модуля выражения (9), умноженной на
число квантовых состояний ядер с импульсом в интервале dpxdpydpz, т. е. на
величину
dpxdpydpzV/B^hf или dqxdqydqzV/Bi:hf
(поскольку р0 — константа). Это приводит к следующему выражению
aw -
qPlP2
4е
Zl
Jeh ~0+Etdt
где
=i-qt/(E0-E).
qydqz, A7)
A7a)
Квадрат модуля интеграла по времени, как обычно, дает 2тг/г6(Е0 — Е — е). Со-
Согласно (8), dqx можно заменить на dE/v и проинтегрировать по dE. Благодаря
6-функции, мы должны просто заменить Ео — Е на е. Если мы, чтобы получить
эффективное сечение, разделим A7) на v/V, то придем к тому, что
ez -V
где
*
A8а)
Чтобы вычислить выражение в фигурных скобках в A8), воспользуемся фор-
формулой B3) в [1], которое в наших обозначениях имеет вид:
V \ф = Х/^2а^23 A9)
(z_-/ обозначает суммирование по двум состояниям с противоположными спина-
спинами). Используя также то, что
2. Об образовании электронов и позитронов
51
и подставляя Jk из A8а), получим после некоторых вычислений:
Г = SP
-т2
(qtJ
^)}. B0)
+ 2(Plq)(p2q) + ^
В дальнейшем мы увидим, что только энергии тех позитронов и электронов, кото-
которые превышают т, а именно
т<кЕ19 Е2
нужно принимать в расчет. Следовательно, можно написать
B1)
| Pl |
т
I I tji2 _ 2 г? _ ш _ B2^
I 1^2 I v 2 2 о it1 *** ^ '
Перейдем в A8) к сферическим координатам для импульсов р: и р2, т. е. по-
положим
и сделаем то же самое для с?тг2.Подставляя теперь B0) в A8), усредняя по на-
направлениям р: и р2 при постоянном угле 0 между ними и используя B2) (примени-
(применительно к знаменателю также), получим:
4е4
^2 _ ^1
,dE9dqn,dq^. B3)
Здесь мы оставили только наибольшие члены в фигурных скобках в B0) (квадра-
(квадратичные по Е1 и Е2).
По виду знаменателя в B3) очевидно, что
A-cos
B4)
т. е. В — малый угол, и электрон и позитрон имеют почти одинаковые направле-
направления относительно движущегося ядра.
Следовательно, оставшиеся члены действительно имеют порядок т2, а не Ех и
Е2. Аналогично, остальные члены, имеющие порядок т2 в фигурных скобках
52 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
выражения B0), можно опустить, так как при интегрировании по сШ они, в отли-
отличие от первых, не дадут логарифм. Если считать также и логарифм энергии боль-
большой величиной, коэффициент при логарифме можно не выписывать. И тогда ин-
интегрирование в B3) по d0 дает
B5)
Следует отметить, что U"(q), т. е. Фурье-компонента U, начинает экспоненци-
экспоненциально убывать, когда показатель экспоненты в множителе e^qr из проинтегриро-
проинтегрированного выражения A4) в течение времени столкновений велик по сравнению с
единицей. Это, в частности, произойдет, если qx = г/v велика по сравнению с /г/р .
Это обстоятельство верифицирует выбор верхнего предела в B1). Правильность
выбора нижнего предела подтверждается тем фактом, что, как мы увидим, сечение
логарифмически расходится по г при интегрировании по cfe.
Поле ядра, описываемое потенциальной энергией U, конечно, не везде имеет
кулоновский характер (в частности, на малых расстояниях от ядер). Мы увидим,
что, тем не менее, мы можем в B5) U считать кулоновским полем и использовать
для U(q) хорошо известное выражение
\U(qf = 16^2Z2Z2e4/q4. B6)
Если подставить B6) в B5) и проинтегрировать по dqydqz , получим сечение,
соответствующее dEldE2. Поскольку неопределенный интеграл
расходится логарифмически при больших qy и qz, нужно его брать в пределах от
нуля до /г/р в соответствии с тем, что было сказано относительно U"(q). Поскольку
в то же время q ^c /г/р, то можно пренебречь qx по сравнению с /г/р. Тогда мы по-
получим (подставивг/v вместо qxn переходя к обычным единицам для скорости):
Z2m ^mf
>- B7)
Интегрируя по dE1 или dE2 при постоянной сумме Ех + Е2 = е, получаем:
27
2
гас
P6 me2
Bв)
Логарифмическая расходимость интеграла по de доказывает возможность ис-
использования кулоновского поля для полей ядра, поскольку это означает, что в
смысле производства пар важны большие расстояния от ядер, где поле — куло-
2. Об образовании электронов и позитронов
53
новское (энергия е пары имеет порядок частоты, соответствующей времени столк-
столкновений, умноженной на /г, т. е. hv/r, а логарифмическая расходимость для е озна-
означает так же логарифмическую расходимость по г). Следовательно, результат, по-
полученный для этого случая — тот же самый, что получился бы при классическом
описании ядер, т. е. так же, как это проделано в п. 1 работы [1].
Интегрирование по de от тс2 до hv/p дает интегральное сечение
2/cJfZ,m Z,m
Мо
In3
гас2р
B9)
Поскольку наиболее важный случай — это столкновение протона с другим яд-
ядром, перепишем B9) для этого случая, положив Zx = 1, Мх = тр. Если другое ядро
легкое, можем положить М2 = 2Z2m = 2Zm . Тогда получим
е2
тс2
те
га
V
с
V
^ - In3
hv
тс2р
или, численно, (положив р = 5x10 см),
= 2,2х1(Г37г2 — In3 75- см2.
C0)
C1)
Сравнивая с F) видим, что в первом приближении эффект больше, чем во вто-
втором уже при скоростях v — 0,3с и меньше.
Выражаю искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за постоянный интерес
к моей работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Phys. Zs. Sowjet. 6, 244, 1934. (Предыдущая статья этого собрания трудов).
К ТЕОРИИ ДИСПЕРСИИ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
ФЕРРОМАГНИТНЫХ ТЕЛ
Совместно с Л. Д. Ландау
Phys. Zs. Sowjet, 8, 153, 1935
Исследовано распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле. Найдено,
что такой кристалл состоит из элементарных слоев, намагниченных до насыщения. Во
внешнем магнитном поле границы между слоями передвигаются; определена скорость этого
передвижения. Найдена магнитная проницаемость в периодическом поле, параллельном или
перпендикулярном оси легкого намагничивания.
1. Как было указано Блохом [1] и Гейзенбергом [2], ферромагнитный кристалл
в магнитном смысле состоит из элементарных областей, намагниченных почти до
насыщения. Они предположили, что эти области имеют нитевидную форму; мы
покажем здесь, что их скорее следует считать элементарными слоями. Послед-
Последнее, по-видимому, можно согласовать с экспериментальными данными, получен-
полученными рядом авторов [3] путем фотографирования распределения коллоидных
частиц Fe2O3 на поверхности ферромагнитного кристалла. В ненамагниченном
кристалле эти элементарные слои намагничены поочередно в противоположных
направлениях, так что кристалл в целом не имеет магнитного момента. При на-
намагничивании кристалла границы между противоположно намагниченными сло-
слоями сдвигаются таким образом, что слои с одним направлением магнитного мо-
момента растут за счет слоев с моментом в противоположном направлении.
Некоторые авторы (среди них также Ф. Блох [1]) пытались определить число и
размеры элементарных областей в ферромагнитном теле из статистических сооб-
соображений. Однако это абсолютно невозможно, поскольку если бы не существовало
размагничивающего влияния поверхности тела, как, например, в бесконечном теле,
то не существовало бы вообще никаких элементарных областей и тело было бы на-
намагничено до насыщения.
Здесь имеется полная аналогия с невозможностью определения при помощи
статистических методов числа капелек жидкости в конденсирующемся паре, так
как в действительности жидкость образуется сразу как непрерывное тело. Су-
Существование отдельных элементарных областей, намагниченных в противопо-
противоположных направлениях, обязано исключительно размагничивающему эффекту
поверхности, а число и размеры этих областей полностью определяются разме-
размерами тела.
Между двумя такими элементарными слоями с противоположно направлен-
направленными магнитными моментами не существует резкой границы. Напротив, имеется
некоторая промежуточная область, в которой направление магнитного момента
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости 55
постепенно меняется на противоположное. Мы определим здесь распределение
моментов в такой промежуточной области, а также ширину элементарных слоев.
Ниже будет обсуждаться случай ферромагнитного кристалла с одной выде-
выделенной осью, совпадающей с осью легчайшего намагничивания, как, например,
монокристалл кобальта с его гексагональной осью. К этому типу относится также
любое ферромагнитное тело, деформированное в одном направлении (например,
растянутая или сжатая проволока), если знак деформации совпадает со знаком
магнитострикции. В дальнейшем мы всегда будем говорить о ферромагнитном
кристалле, однако следует помнить, что при этом имеется в виду не обязательно
монокристалл, но любое тело с единственным направлением легчайшего намаг-
намагничивания.
Такой кристалл состоит из слоев, параллельных выделенной оси и намагни-
намагниченных до насыщения в направлениях по или против нее. Тот факт, что элемен-
элементарные области в кристалле не имеют нитевидной формы, а в действительности
являются слоями, мы докажем позже.
Мы будем искать распределение магнитных моментов внутри кристалла по
направлениям следующим образом. Магнитная энергия кристалла состоит из двух
частей:
1) энергии, обязанной неоднородности в распределении магнитных моментов по
направлениям. Эту энергию, отнесенную к единице объема, можно записать в виде
|a[(VsxJ+(VSJ2+(Vs2J],
где sx, sy, sz представляют собой компоненты магнитного момента единицы объе-
объема s (его абсолютная величина остается постоянной вдоль всего кристалла и прак-
практически равна моменту насыщения);
2) энергии магнитной анизотропии, связанной с наличием оси легчайшего на-
намагничивания. Если выбрать систему координат с осью Z вдоль этой оси, энергия
анизотропии, отнесенная к единице объема, может быть записана в виде
2 ^ v x ' у)'
учитывающем, что минимум энергии получается, когда s направлено вдоль лег-
легчайшей оси.
Распределение s по направлениям можно тогда найти, потребовав, чтобы энер-
энергия кристалла была минимальна, т. е.
(VsyJ
-\§{s\ +s2v)\dV = min, A)
где интеграл берется по всему объему кристалла.
При нахождении распределения моментов между двумя противоположно на-
намагниченными слоями можно пренебречь эффектами, связанными с поверхнос-
поверхностью кристалла. Эти эффекты являются определяющими для нахождения толщи-
толщины слоев, но ими можно пренебречь, если интересоваться только распределением
магнитных моментов в промежуточной области между двумя слоями внутри кри-
кристалла. Это означает, что если мы направим ось нашей координатной системы
56 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
перпендикулярно слоям, то распределение магнитных моментов не будет зави-
зависеть от координат у и г. Направление s меняется только с изменением х, переходя
в промежуточной области от некоторого определенного направления вдоль оси Z
в одном слое к противоположному направлению в соседнем. Уравнение A) теперь
можно записать как
i^l+4
= min, B)
где штрих означает дифференцирование по х. Теория выглядит так, как если бы
мы считали кристалл бесконечным. Однако необходимо помнить, что в действи-
действительности в бесконечном кристалле все моменты имели бы одно и то же направ-
направление; кристалл оказался бы спонтанно намагниченным и, таким образом, слои
бы отсутствовали. Существование слоев обязано конечности размеров кристал-
кристалла; мы считаем кристалл бесконечным, только чтобы найти распределение мо-
моментов в промежуточных областях, далеких от поверхности кристалла; поверх-
поверхностные эффекты будут обсуждаться в п. 2.
В такой модели все магнитные моменты лежат в плоскости YZ. Обозначим че-
через 0 угол между s и осью Z. Тогда компоненты s будут равны
sx=0, sy=ssin0, sz=scosQ C)
и A) приобретет вид @ — функция только от х)!)
- as20'2 + - C s2sin20J dx = min. D)
2 2 )
Для нахождения 0, дающего этому интегралу минимальное значение, напишем
уравнение Эйлера
a6"-C sin0cos0 = O, E)
откуда
0/2-^sin20 = const. F)
Толщина слоев велика по сравнению с шириной промежуточной области. По-
Поэтому в качестве граничных условий для уравнения, определяющего 0, можно
взять следующие:
0 = 0 при х = — ос, 0 =-к при х = +ос,
0'= 0 при х = ±ос или при 0 = 0,-к, G)
которые показывают, что в двух примыкающих слоях направления s противопо-
противоположны. Тогда видно, что постоянная в F) равна нулю, и мы получаем
9'2 =^sin20. (8)
a v J
1) До некоторой степени похожие вычисления, хотя и с другой точки зрения, были произведены
Блохом [1].
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости 57
Интегрируя это уравнение, находим решение, удовлетворяющее G), в виде
(9)
Оно дает распределение направлений s между двумя слоями.
Приблизительное численное значение постоянной а можно получить следую-
следующим образом. Энергия A/2) as/2 имеет максимально возможное значение, когда s
меняет свое направление каждый раз при смещении на расстояние, равное по-
постоянной решетки кристалла а, т. е. когда s/2 « s2/a2. Этот максимум должен
иметь порядок величины кТс, где Тс — температура Кюри (к — постоянная Боль-
цмана). Таким образом, мы находим, что приближенно
a=^f. A0)
as
Согласно (9) «ширину» промежуточной области можно определить как
Учитывая A0), получаем
Для Ni температура Кюри Тс = 630° К, момент насыщения единицы объема
s = 480 (при 18° С) и постоянная решетки а = 3,5 • 10~8 см. Константу в энергии
анизотропии C мы возьмем из экспериментов Беккера и Керстена [4]. Они изме-
измеряли магнитную восприимчивость натянутой никелевой проволоки и нашли, что
минимальная величина, достигаемая при больших напряжениях, равна 0,6. Это
соответствует постоянной C = 1/0,6 = 1,7. Используя это значение, находим для
«ширины» промежуточной области величину 2,5 • 10~6 см, т. е. приблизительно
70 постоянных решетки.
2. Анализ, приведенный в предыдущем параграфе, дает только распределе-
распределение направлений магнитных моментов в промежуточных областях, но не позво-
позволяет определить толщину слоев. Чтобы найти эту последнюю, необходимо обсу-
обсудить свойства поверхности кристалла. Для этой цели воспользуемся здесь следу-
следующим методом. Сначала мы вычислим распределение магнитных моментов вбли-
вблизи поверхности кристалла при заданном значении толщины слоя d, после чего
определим эту толщину, исходя из требования минимальности энергии кристал-
кристалла как целого.
Вблизи поверхности имеется магнитное поле; пусть Н будет его макроскопи-
макроскопической напряженностью. Внутри кристалла поле Н и магнитный момент должны
удовлетворять уравнению
div (H + 4tys)=0;
снаружи
div H=0.
Промежуточные области между слоями, а следовательно, и энергия A/2) as/2
для нахождения распределения s вблизи поверхности несущественны. Если бы
энергия магнитной анизотропии равнялась нулю, т. е. C = 0, то равновесие, т. е.
58
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
распределение, дающее минимум магнитной энергии, отвечало бы полю Н, равно-
равному нулю. Тогда для s внутри кристалла можно было бы написать
div s = О
с граничным условием на поверхности
(И)
A2)
где sn — компонента, перпендикулярная поверхности. Можно ожидать, что при
малом C эти уравнения заметно не изменятся; поэтому мы воспользуемся (И) и
A2) в качестве уравнений, определяющих распределение s вблизи поверхности.
Пусть кристалл (того же типа симметрии, что и в п. 1) имеет форму параллеле-
параллелепипеда. Рассмотрим прежде всего случай, когда его поверхность перпендикулярна
оси легчайшего намагничения. Введем, как и в п. 1, систему координат с осью Z,
параллельной выделенной оси, и плоскостью YZ, параллельной магнитным слоям
в кристалле. Распределение s однородно в направлении оси Y, оно меняется с х и
в направлении к поверхности — с z. Промежуточные области между слоями, как
уже отмечалось, не влияют на распределение s вблизи поверхности. Поэтому мож-
можно считать, что s повсюду лежит в плоскости ZX. Обозначим через ср угол между s
и Z. Тогда
sx = s sirup, s =0, sz =scosLp.
A3)
На больших расстояниях от поверхности имеются регулярные слои, скажем,
толщины d и с противоположно направленными s, т. е. ср равно попеременно нулю
или 7Y, переходя от одного из этих значений к другому периодически вдоль оси X с
периодом d. Тогда распределение s дается уравнением (И) с краевым условием
ср = zL'k/2 при z = 0 (плоскость XY совпадает с поверхностью кристалла); краевым
условием при z = — ос является то, что ср как
функция х должна изменяться от 0 к iy через
каждый интервал d.
Решение A1), удовлетворяющее этим ус-
условиям, можно построить, как показано на
рис. 1. Этот рисунок дает распределение маг-
магнитных моментов в кристалле в плоскости XZ
или любой другой параллельной ей плоско-
плоскости (стрелки указывают направления s). В об-
областях I и III моменты лежат вдоль оси Z
(ср = 0), в области II — вдоль той же оси, но в
противоположном направлении (ср = -к); в областях IV, V, VI моменты параллель-
параллельны поверхности, т. е. ср = ±-к/2. Такое решение очевидным образом удовлетворя-
удовлетворяет краевым условиям. Оно удовлетворяет также и уравнению A1), поскольку в
каждой из областей J, II и т. д. s постоянно, а на границах между этими областя-
областями поверхностная дивергенция s равна нулю, так как нормальные границам ком-
компоненты s во всех случаях равны по обе стороны от этих границ.
Рис.1
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости 59
Разумеется, можно было бы построить еще и другие решения A1), например
введя где-либо внутри кристалла такое же распределение, что и на рис. 1 вблизи
поверхности. Однако наше решение является единственным, которое при фикси-
фиксированном d дает наименьшее значение для энергии кристалла, и в силу этого толь-
только оно допустимо из физических соображений.
Теперь мы можем вычислить энергию кристалла. Энергия, связанная с рас-
распределением магнитных моментов около поверхности кристалла, равна (на еди-
единицу объема) энергии анизотропии [3 s2/2 (при sy = 0). В областях, таких, как IV,
V, VI на рис. 1, sx равно ±s , т. е. энергия единицы объема имеет вид Cs2/2. Пусть
lv l2, I представляют собой размеры кристалла в направлениях соответственно
X, Y, Z. Тогда объем любой области типа IV, V, VI на рис. 1 равен d%/4. Всего
имеется lx/d таких областей на каждой из противоположных поверхностей кри-
кристалла, и поэтому энергия, обязанная поверхности кристалла, равна
Es=^dhks2- A4)
Во внутренних частях кристалла энергия возникает из-за наличия промежу-
промежуточных областей между слоями. Ее можно вычислить с помощью результатов,
полученных в п. 1. Для этого рассмотрим одну из таких областей. Ее энергия со-
согласно 1 равна
-ll2s2 Т
2 J
+psin2
В кристалле имеется IJd таких областей, так что полная внутренняя энергия
кристалла имеет вид
Ei=2s2l^M- A5)
Толщину слоев d мы найдем теперь из условия, чтобы полная энергия
Е = Е{ + Es имела минимум. Отсюда
(|), A6)
а соответствующая энергия равна
E = s41l2y[2l${a$I/\ A7)
Если поверхность кристалла не ортогональна оси легчайшего намагничивания,
то решение A1) с s, параллельным поверхности на границе кристалла, удовлет-
удовлетворяющее тем же самым условиям на больших расстояниях от нее, может быть
построено точно таким же способом. При этом распределение s в плоскости,
параллельной XY, получается таким, как показано на рис. 2.
60
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Пусть угол между осью Z и линией пересечения поверхности кристалла с плос-
плоскостью XZ равен ч^, а такой же угол на противоположной границе равен ч}2. Угол
наклона поверхности к плоскости XZ для определения толщины слоев несуще-
несуществен. Таким же способом, каким было получено A6), теперь найдем
¦ + —
1/4
A8)
Толщина кристалла I и углы гд1, ч}2 могут, вообще говоря, меняться вдоль кристал-
кристалла; с ними вместе будет меняться также и толщина слоев.
Теперь легко показать, что кристалл действительно состоит из магнитных
слоев, а не нитевидных областей. Если кристалл разбивается на элементар-
элементарные области спонтанного намагничения, имеющие вид прямых призм с осно-
основанием d2, распределение магнитных моментов около поверхности, удовлет-
удовлетворяющее A1) и A2), может быть описано рис. 3, на котором показаны две эле-
элементарные области в разрезе и в плане. Энергия Ег теперь превосходит A5)
вдвое, так как площадь поверхности границ между элементарными областями
стала вдвое больше, чем раньше. Поверхностная энергия, как легко вычислить,
теперь равна
Es =iCs2^2d.
о
Рис.2
Рис.3
Определив d из условия, чтобы энергия Е{ + Es была минимальной, мы найдем,
что эта минимальная энергия равна
т. е. в V4/3 больше, чем A7). Мы убеждаемся, таким образом, что эта модель энер-
энергетически менее выгодна по сравнению с моделью слоев.
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости 61
Для деформированного никеля с теми же характеристиками, что и в п. 1, фор-
формула A6) дает числовое значение толщины слоев d ~ 5 • 10~3 см, или приблизи-
приблизительно 105 постоянных решетки (при I = 1 см).
3. Если кристалл помещен во внешнее магнитное поле, направленное парал-
параллельно оси легчайшего намагничивания, границы между слоями придут в движе-
движение, так что слои с магнитным моментом, параллельным полю, начнут расширять-
расширяться. Здесь мы определим скорость этого движения.
Как и в п. 1, будем рассматривать только одну промежуточную область между
двумя слоями и, кроме того, пренебрежем поверхностными эффектами. Распре-
Распределение s дается C) и (9) и остается неизменным, пока поле отсутствует. При вклю-
включении поля оно придет в движение вдоль оси X со скоростью v.
Если бы магнитные моменты в кристалле были свободными, т. е. не испытыва-
испытывали влияния других моментов, изменение s со временем определялось бы внешним
полем. Влияние взаимодействия между магнитными моментами можно описать,
введя некоторое «эффективное поле» следующим способом.
Если внутри кристалла имеется макроскопическое поле с напряженностью Н,
энергию кристалла можно записать в виде
V A9)
(здесь удобнее писать энергию анизотропии вместо A/2) C (s2 + s2) в виде (-1/2) Cs2;
оба эти выражения очевидным образом эквивалентны). Мы не писали члена Hs в
формулах п. 1, поскольку напряженность макроскопического поля внутри крис-
кристалла была равна нулю, когда внешнее поле отсутствовало, и все моменты распола-
располагались в плоскости ZY.
В равновесии эта энергия должна иметь минимум, а, значит, вариация A9) по s
равняться нулю. Это дает
HNsdV = 0
(п — единичный вектор в направлении оси Z). Но 6s всегда перпендикулярно s
(так как абсолютная величина s постоянна); отсюда видно, что
f = as" + Cs2n + H B0)
должно быть параллельно s. Таким образом, величина f играет теперь роль «эф-
«эффективного поля».
Существуют два типа взаимодействия между магнитными моментами в крис-
кристалле: обменное и релятивистское. Последнее, как правило, гораздо слабее пер-
первого. Обменное взаимодействие не может менять магнитного момента. Поэтому в
присутствии поля магнитный момент вел бы себя подобно свободному моменту,
т. е. вращался бы вокруг f, и мы имели бы для s (точка означает дифференцирование
по времени) уравнение
— = ff si
62 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
с \iQ= е/тс (а не е/2тс, поскольку моменты s в ферромагнитном теле являются
спиновыми моментами). Приближение s к f связано исключительно с релятивист-
релятивистскими взаимодействиями. Так как эти взаимодействия слабее обменного, мы мо-
можем считать, что коэффициент перед членом [fs] не меняется и можно просто доба-
добавить некоторый член, обусловливающий приближение s к f. Таким образом, мы
приходим к уравнению вида
Второй член в этом уравнении представляет собой вектор, направленный от s
к f. Константа \ удовлетворяет неравенству \«s в соответствии с тем фактом,
что релятивистское взаимодействие мало. Здесь мы вообще пренебрегли измене-
изменением абсолютной величины s.
Для применения этого уравнения к исследованию движения границы между
слоями надо предварительно найти макроскопическое поле Н внутри кристалла.
Поскольку все распределение s не зависит от координат у и z, уравнения, опреде-
определяющие поле, т. е.
rotH = 0, div (H + 4tys) = 0,
переходят в
0, 0, о.
дх ' дх ' дх
Если имеется внешнее магнитное поле h, приложенное по оси Z (h, конечно, мо-
может зависеть от времени), то, вспомнив, что внутри кристалла далеко от проме-
промежуточной области, т. е. там, где sx = 0, поле Н должно равняться внешнему
полю /г, мы можем положить
Hx=-4tysx, Hy=0, Hz=h. B3)
Если бы sx всюду равнялось нулю, а внешнее поле отсутствовало, то Н также рав-
равнялось бы нулю, как в п.1.
Предположим, что поле h мало (по сравнению с sC). Когда поле отсутствует, s
определяется формулами C) и (9). В присутствии поля sx более не равно нулю;
однако если h мало, то мало также и sx, будучи пропорционально h. Подставляя
теперь B0) и B3) в B1) и пренебрегая всюду членами второго порядка по sx и /г,
мы получим уравнения для компонент s:
^=%< - v") -IV* ~s«h+ХК -
го
+hsysz], B4)
ro
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости
63
В отсутствие поля sx = sy = sz = О, h = О , sx = О, так что если подставить C)
в B4), то получится в точности уравнение E). sx, sy, sz являются функциями х и
времени t. Предположим, что обе переменные входят только в комбинации х —
vt, где v представляет собой скорость перемещения всего распределения вдоль
оси X. Тогда sx = —vsx, и то же самое для sy, sz, если теперь штрихом обозна-
обозначить дифференцирование по х — vt. Для решения B4) положим
sx=sx
sy = s
sz = s
B5)
где 0 определяется формулой (9) (и удовлетворяет E) или F)), где теперь вместо
х должно стоять х — vtyty мало по сравнению с 0; sx и s^ оба пропорциональны h (и
равны нулю, когда h = 0), так что можно пренебречь членами второго порядка по
sx и я);. Мы предположим, как это подтверждается результатом, что скорость v
тоже пропорциональна h; в силу этого также пренебрежем такими членами, как
vsx или vs я);. Уравнения B4) теперь примут вид
л/
Третье уравнение совпадает со вторым. Отсюда находим
sv\Q v\s
" — Csi^cos20 — /isin0 = —-
^ sine,
a
B6)
поскольку согласно (9)
Введя 0 в качестве независимой переменной вместо х—vt, получим из B6)
1
sin i
1
sin i
2--
1
sCsin 0
/г--
v\s
^Isinfl^
2-
1+4ty/C
vs
fa sin0*
B7)
Оба эти уравнения относятся к типу
2-
sin2 0
у =
Такое уравнение имеет решение только в двух случаях: 1) либо т = 1, 2,... и
/@) равно нулю (тогда решением являются Р™ (cos0)) или ортогонально решению
64 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
однородного уравнения; 2) либо т не является целым числом и /@) отлично от
нуля. Следовательно, мы видим, что уравнения B7) могут иметь решения только,
если правая часть первого из них обращается в нуль, т. е. если
Но X «с s, поэтому можно написать
Этой формулой определяется скорость движения границ между слоями во внеш-
внешнем поле, направленном вдоль оси легчайшего намагничивания.
Если внешнее поле h является периодическим:
h = hoeiLjJt, C0)
намагничение кристалла в среднем равно нулю. Магнитная восприимчивость в
этом случае определяется как отношение намагничения как функции времени к
h(t). За время t граница между двумя слоями проходит расстояние (мы подстави-
подставили C0) в B9) и проинтегрировали)
В кристалле имеется lx/d слоев (обозначения те же, что в п. 2). Поэтому полное
намагничение кристалла равно
гХио V р d
Отсюда магнитная восприимчивость \i единицы объема в продольном поле равна
\i0s2 /a
Магнитная проницаемость имеет вид
тгсМ2 /^
( }
Для d можно воспользоваться выражениями A6) или A8). Тем самым появля-
появляется возможность проверить зависимость d от размеров кристалла, измерив экс-
экспериментально зависимость \1г от упомянутых размеров.
Таким образом, \i или №i как функции ш не имеют собственных частот, а толь-
только затухание. Они при ш = 0 обращаются в бесконечность в соответствии с тем,
что мы не принимали во внимание гистерезисных эффектов. При больших со оп-
определяющим может стать изменение абсолютной величины s (которым мы здесь
пренебрегли), и выведенная формула для \1г может оказаться непригодной.
4. Определим теперь магнитную проницаемость в поперечном поле, т. е. в поле h,
направленном вдоль оси X. В этом случае влияние промежуточных областей несу-
несущественно, и мы можем считать, что в отсутствие поля все моменты расположены
3. К теории дисперсии магнитной проницаемости 65
параллельно или антипараллельно (в различных слоях) оси Z, т. е. sz = ±s, sx = sy = 0.
По той же причине оказывается несущественным член asff в B0), так что для эф-
эффективного поля следует положить
n. C3)
Компоненты Н теперь равны
Hx=h, Hy=Hz=0, C4)
и уравнение B1) дает для компонент s
+ hsz -\{hsx +№)sy, C5)
s
sy и sx пропорциональны h, и если предположить, как в п. 3, что h мало, то можно
пренебречь членами второго порядка по sx, sy, h. Вместо sz можно подставить так-
также ±s , после чего из C5) получается
^ = ±s^sx +hs-\$sy. C6)
Третье уравнение превращается в тождество.
Если h является периодическим полем C0), уравнения C6) решаются подста-
подстановкой
Ьх — Ь0хв ' Ьу — Ь0ув
При этом получаем , ч
( (ЗХJр222
-yh; C8)
О
sy в различных слоях направлено в противоположные стороны и поэтому ничего
не дает для намагниченности кристалла как целого. Из C7) мы получаем магнит-
магнитную восприимчивость (единицы объема) при намагничении в направлении оси X
в поперечном поле
Xt = —
J +[3V|i02
66 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Но X «С s, и мы можем написать
Xt ^v^-u^tTjfix ' C9)
Магнитная проницаемость равна
^ =1 + 4^—4^11^ . D0)
Таким образом, Xt или \it как функции и имеют собственную частоту
D1)
и затухание с декрементом
Ч=цор\. D2)
Поскольку X «с s, очевидно, что ^ «с ojo. Для тех же числовых величин, что и п. 1,
находим собственную частоту деформированного никеля равной 1,5 • 1010 с, что
соответствует длине волны в 12,6 см.
В формуле D0), которая записывается также в виде
+Л D3)
можно выделить несколько частных случаев в зависимости от величины частоты:
а)и;«^ D4)
1
b) 00 — ооо ~ ч D5)
с) ио » иоо D6)
ЛИТЕРАТУРА
[1] F. BZoch. Zs. Phys., 74, 295, 1932.
[2] W. Heisenberg. Zs. Phys., 69, 287, 1931.
[3] Me Keehan, Elmore. Phys. Rev., 46, 226, 1934; N. Miller, D. Steinberg. Technical Phys., USSR,
1, 205, 1934.
[4] R. Becker, M. Kersten. Zs. Phys., 64, 660, 1930.
К ТЕОРИИ ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Совместно с Л. Д. Ландау
Phys. Zs. Sowjet, 9, 477, 1936
Вычислена электродвижущая сила, появляющаяся в цепи, содержащей полупроводник, осве-
освещаемой с одной стороны. Рассмотрены два случая: полупроводник с электронами проводи-
проводимости и полупроводник, содержащий как электроны, так и «дырки».
1. Введение
Если имеется цепь, содержащая полупроводник, который с обеих сторон нахо-
находится в контакте с металлом, и один из контактов освещен, то в цепи возникает элект-
электродвижущая сила (э.д.с). Этот эффект известен под названием эффекта Дембера.
Полупроводник поглощает падающий на него свет. При поглощении светового
кванта непроводящие электроны перебрасываются вверх на энергетические уров-
уровни зоны проводимости, в результате чего в полупроводнике появляются новые
электроны проводимости.
Как правило, свет проникает в полупроводник на расстояние порядка несколь-
нескольких длин волн, которое значительно превосходит длину среднего свободного про-
пробега электронов. Поэтому можно предположить, что в каждом элементе объема
полупроводника интенсивность света однородна и что число электронов проводи-
проводимости, создаваемых светом в единицу времени в каком-либо элементе объема, про-
пропорционально этой интенсивности (равно числу поглощенных квантов). Обозначим
через J число электронов проводимости, создаваемых в единицу времени в едини-
единице объема. Следовательно, вдоль полупроводника существует градиент VJ (прак-
(практически J обращается в нуль на расстоянии, равном нескольким длинам волн).
Под влиянием освещения плотность электронов (проводимости) делается не-
неоднородной. Если функция распределения электронов по скоростям остается, как
и в случае отсутствия освещения, больцмановской, то это непостоянство элект-
электронной плотности вдоль полупроводника не сможет привести к появлению э.д.с. в
цепи. В самом деле, разности потенциалов, которые появляются из-за неоднород-
неоднородности распределения заряда, должны скомпенсировать друг друга, будучи взяты
по всей замкнутой цепи. В противном случае в цепи протекал бы ток, что было бы
эквивалентно вечному двигателю, поскольку отсутствуют внешние источники
энергии. В частности, в нашем случае разность потенциалов, которая появляется
в полупроводнике благодаря неоднородности распределения электронов вдоль
него, компенсируется контактной разностью потенциалов в обоих местах соеди-
соединения полупроводника с металлом. Э.д.с. в цепи возникает лишь как следствие
отклонения функции распределения от закона Больцмана.
68 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Все сказанное относится только к случаю, когда в проводимости участвуют одни
электроны. В некоторых случаях непроводящие электроны, переходя на уровни
зоны проводимости, оставляют на своих старых местах «дырки», которые тоже
могут вносить вклад в проводимость в качестве «положительных» электронов. При
таких обстоятельствах э.д.с. возникает как результат неоднородности в распре-
распределении электронов и «дырок» вдоль полупроводника. Это полностью аналогично
концентрационной ячейке Нернста. Вначале мы рассмотрим э. д. с. в полупровод-
полупроводнике, имеющем только электроны проводимости, полупроводник с электронами
и «дырками» будет изучен в разд. 5.
Под влиянием градиента интенсивности освещения, приводящего к неоднород-
неоднородности в распределении электронов вдоль полупроводника, в последнем появляется
электрическое поле. Чтобы определить э.д.с, возникающую в цепи, нужно вычис-
вычислить разность потенциалов между концами разомкнутого контура, т. е. в отсутствие
тока. Поэтому упомянутое выше электрическое поле следует находить из условия,
что ток равен нулю. Для этого мы должны найти функцию распределения электро-
электронов по скоростям в присутствии электрического поля и градиента VJ, вычислить с
ее помощью ток и положить его равным нулю. Интегрируя поле по всей длине по-
полупроводника, мы найдем разность потенциалов между двумя концами последне-
последнего, а прибавив контактные разности потенциалов, — и полную э.д.с.
Если полупроводник помещен в магнитное поле, появляется дополнительная
э.д.с, направленная перпендикулярно градиенту интенсивности света (эффект
Кикоина—Носкова). Этот эффект будет рассмотрен в другой статье.
Теории фото-э.д.с, опубликованные до сих пор, нельзя считать удовлетвори-
удовлетворительными. Фрелих [1] вычислил функцию распределения, однако сделал при этом
несколько ошибочных допущений. В частности, он предположил, что вероятность
электронного перехода при столкновении с решеткой не зависит от энергий
электрона и фонона. Что же касается статьи Френкеля [2], то едва ли можно со-
согласиться с такой, например, фразой: «оставляя в стороне более детальное об-
обсуждение этого вопроса, мы в дальнейшем будем считать (За) справедливым не
только в случае малых дополнительных концентраций, но также и при большой
их величине» ([2], стр. 188). Это означает не что иное, как предположение о том,
что (n + q) = п2 + 2nq справедливо при больших q.
2. Функция распределения
В отсутствие электрического поля и освещения электроны проводимости рас-
распределены по Больцману. Чтобы найти функцию распределения при наличии
электрического поля Е и градиента VJ (имеющих одинаковые направления), за-
запишем кинетическое уравнение в виде (ср. [3] *)
hy2)(iV2+l)}df2/-\(/(e,e)-/0(e)). A)
х) В уравнении F) этой работы под интегралами ошибочно опущены множители ->/(? — hv1 )/б и
у](е + hv2 )/e , которые связаны со статистическими весами начального и конечного состояний. Авто-
Авторы обязаны Б. Давыдову, указавшему на это обстоятельство (см. также [4]).
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 69
Функция распределения теперь зависит не только от энергии, но также и от угла
между импульсом электрона р и направлением VJ (или Е). Поскольку J не по-
постоянна вдоль полупроводника, / является также неявной (посредством J) функ-
функцией координаты z в этом направлении.
Правая часть A) представляет собой уравнение баланса между переходами
электронов в результате столкновений с решеткой. Первый интеграл содержит
два члена: первый связан с переходами из данного состояния с энергией е и уг-
углом 0 между р и Е в другое состояние с энергией е — hv1, одновременно с которыми
решетка поглощает квант hvl упругих колебаний (фонон). Второй член в первом
интеграле обязан обратным переходам, при которых квант hvl поглощается элект-
электроном. Интегрирование происходит по всем возможным направлениям электрона
с энергией е — hv1 (сШг представляет собой элемент телесного угла в этом на-
направлении). Второй интеграл учитывает переходы из состояния с энергией е и
углом 0 в состояния с энергией е + hvl, при которых электрон поглощает квант
hv2, и наоборот.
N является функцией распределения фононов, iV1 и JV2 — числами фононов с
энергиями hv1 и hv2. W1 (N1 +1) и W1N1 представляют собой вероятности пере-
переходов электрона, сопровождаемых испусканием или поглощением фонона hvx\ со-
соответственно W2 (N2 +1) и W2N2 есть вероятности таких переходов с участием
фонона hv2. N дается функцией распределения Бозе, т.е.
N B)
В отсутствие поля и освещения левая сторона A) равна нулю и уравнение удов-
удовлетворяется больцмановской функцией
/о(е)=аое-^т. C)
Постоянная а0 определяется числом электронов п, находящихся в единице объе-
объема без освещения, по формуле а0 = пB-кткТ)~^2.
Вероятности W\ и W2, как известно, пропорциональны квадратному корню из
энергии электрона, а также соответственно у1 и у2 • Что касается энергии элект-
электрона, то она в обоих случаях (W\ и W2) равна либо наименьшей энергии перехода
(т. е. е — hv и е соответственно в W1 и W2), либо — в обоих случаях — наибольшей
энергии (е и е + hv2 в W\ и W2). Оказывается удобным и в том и в другом случае
взять среднее арифметическое этих двух энергий: е — hvl/2 в W\ и е + hv2/2 в W2.
Тогда вероятности переходов W\ и W2 приобретут вид
^^ ^^ D)
где А — постоянная.
Третий член в правой части Х(/ — /0) определяет уменьшение числа электро-
электронов благодаря их захвату, т. е., например, рекомбинации со свободными уровнями
в почти заполненной нижней энергетической зоне. Следует отметить, что элект-
электроны проводимости могут захватываться не только таким способом, но также и
непосредственно либо самой решеткой, либо имеющимися в ней примесями. Число
70 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
электронов данной энергии, захваченных в единицу времени в единице объема,
пропорционально их числу в этом объеме, т. е. функции распределения /, и равно
X/, где X представляет собой вероятность захвата; X, вообще говоря, является
функцией энергии электрона. С другой стороны, электроны в то же самое время
рождаются под действием теплового движения; таким образом, уменьшение их
числа равно X/ — const. Для определения константы заметим, что без освещения
числа электронов, захваченных и рожденных под влиянием теплового движения,
равны. Без освещения / = /0, отсюда const = Х/о, и мы приходим к выражению
Первый член в левой части A) дает изменение числа электронов в состоянии
е, 0 под действием поля Е (Vp представляет собой градиент в р-пространстве).
Второй член определяет изменение этого числа, связанное с непостоянством /
вдоль полупроводника, т. е. под влиянием VJ.
Средняя скорость электрона, поделенная на X, очевидно, представляет собой
«длину захвата» (Schublange) электрона, т.е. среднее расстояние, проходимое
им до захвата.
В дальнейшем мы будем считать, что температура достаточно высока, так что
энергия фононов hv, которые могут обмениваться импульсом с электронами и по-
поэтому входят в рассмотрение, гораздо меньше, чем кТ:
hv
— «: 1.
кТ
При электронном переходе, сопровождающемся испусканием или поглощением
фонона, импульс должен сохраняться. До перехода импульс равнялся р, импульс
же после того, как фонон hvl (или hv2) был поглощен электроном или был отдан
решетке, пусть будет равен рх (или р2). Импульс фонона равен hvl/w (или hv2/w),
где w — скорость звука. Закон сохранения дает тогда
w
Используя hv1/e, hv2/e <^c 1 находим
Р2 =
и закон сохранения приобретает вид
2те + 2т (е + hv9) — 4me I H cosi[}9 = —-
V 2J 2e 2 ги
w )
2
(rd1 и i}2 — углы между р и соответственно р: или р2).
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках
71
Введя Уг + у2 = 2v и vl — у2 = Ду, найдем приближенно
(hvf = 8mew2sin2 —,
E)
= — 4raii>2sin2 —,
где •& — угол между р и импульсом после перехода (безразлично, р: = или р2).
Из E) очевидно, что Av/v « hv/e «с 1.
Так как hvx «с е и /iv2 «с е, B) можно приближенно записать в виде
1 ~hJ[~r 2 ~ЫГ~Г
а D) в виде
hv,
F)
G)
Подставим теперь F) и G) в правую часть A) и разложим /F', е — hvx) и
/(б7, е + /гУ2)по степеням v: и у2 вплоть до членов порядка (hvJ/kT или /гДу,
имеющих одинаковый порядок величины. Тогда правая часть A) перейдет в
/M)
2kT
ffW)
3/cT
?гС J.
hv2
3/cT 1) . /iv2
4е 2
//'fee')
3/сТ
+ 1
(8)
Запишем, как это всегда делается, функцию /(е, 0) в виде
?(е), (9)
где g"(e) мало по сравнению с /(е). Подставляя E) и (9) в (8) и интегрируя по dQf,
найдем
16i\mwzkT
--^— 8tykTg(е)cos9 - Х(/- /0)-Xgcos9. A0)
g(e) является малой поправкой к /(е), пропорциональной VJ. Градиент VJ дол-
должен, разумеется, считаться малым, поскольку на расстояниях порядка среднего
свободного пробега электрона свет почти не поглощается. Поэтому вместо /(9, е) в
первых двух членах в левой части A) следует подставить /(е) (электрическое
поле Е, вызванное VJ, также пропорционально VJ).
72 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для первого члена имеем
eEVD/(e) = еЕ^ = eEcosG = eEcoseM.
р</ w рдр dp Vm де
Для второго члена можно написать
(здесь штрих означает дифференцирование по координате z вдоль направления
VJ). Окончательно для левой части A) получаем
77i де у т dJ
Приравнивая A0) и A1), найдем из членов, не содержащих cos0, уравнение для
определения /(е):
= Х(/-/о)-
h
кТ М кТ
Это уравнение можно записать в виде
¦/о), A2)
I me de
где
A3,
В таком виде уравнение A2) представляет собой уравнение непрерывности
divps = Vps = \(/-/0),
a s является потоком электронов в р-пространстве. В дальнейшем мы будем ис-
использовать A2), A3) в виде
¦/о), A4)
ах "
где х = e/fcT, a
М, = \—^\^ A5)
16ivmit; A\kT
и штрих обозначает дифференцирование по х.
Члены в A0) и A1), содержащие cos0, дают уравнение для g(x):
Мы опустили член Xg", сохранив (Ave/hpkT'Kg, поскольку их отношение, как бу-
будет показано, имеет порядок отношения среднего свободного пробега электрона к
длине захвата, которое гораздо меньше единицы.
Плотность тока i теперь может быть вычислена по формуле
rpz Л / ч т Ыетк2Т2 г t ч
i = е I —cost)g(s)dTp = I g{x) xdx
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 73
или после подстановки A6)
Определяя Е из условия, что ток i равен нулю, получим из A7)
Е dJ
s=-VJw
J дх
о
В отсутствие освещения функция распределения согласно C) равна /0 = аое~х с
а0 = п^тгга/сТ) . Беря первый член в A7), мы найдем проводимость а полупро-
полупроводника в отсутствие освещения:
e2nh
о =
6('к/сТ)з/2тА<
Согласно хорошо известной формуле та же самая а равна также
4e2Zn
а = —.
3V2irm/cT
(I — средняя длина свободного пробега электрона). Сравнивая оба выражения
для а, находим
А= Д- ¦ A9)
4V2/TZ
С помощью этого выражения легко убедиться, что отношение \gK (A^/e/h) 8ттgkT no
порядку величины совпадает с отношением I к ye/m/X = ls, т. еЛ к длине захвата.
Перейдем теперь к решению уравнения A4). Длина захвата электрона в об-
общем случае значительно превосходит его среднюю длину свободного пробега. Мы
будем считать, что их отношение, равное по порядку величины *JkT/m/\l, столь
велико, что
(кТ 1 кТ
V m \l mw2
В таком случае |л <С 1, и поэтому можно решить A4) методом последовательных
приближений.
Чтобы найти нулевое приближение, решим A4) без правой части. Сначала на-
находим первый интеграл
Это — простое линейное уравнение первого порядка; его общее решение имеет вид
74 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где а и Ъ — две постоянные. Это выражение следует подставить в правую часть
A4) и снова решить получившееся уравнение. Последнее легко сделать, и мы на-
находим функцию распределения в первом приближении в виде
f (х) = ае~х +Ъе~х f ^dx + (a- ao)e~x f dx^ f \ie~xdx +
f^jdx. B0)
DC
Постоянная а — а0, как будет вскоре показано, имеет по [i порядок — 1. Поскольку
мы намереваемся ограничиться первым приближением, в выражении для /(х)
следует оставить только члены нулевого и —1-го порядка по |jl, т.е. нужно опус-
опустить четвертый член в правой части. Следует отметить, что выбор постоянных
пределов в B0) остается произвольным, пока не найдены константы а и Ъ. Мы
обсудим теперь условия, из которых они определяются.
Следует упомянуть, что все электроны проводимости, образованные при мо-
монохроматическом освещении, имеют (непосредственно после рождения) прибли-
приблизительно одинаковые энергии. Мы будем считать, что они в точности равны. Эта
энергия, назовем ее е0, практически совпадает с энергией поглощенного светово-
светового кванта. Так как энергия светового кванта в видимой области спектра прибли-
приблизительно равна 100/сТ, величина х0 = so/kT является очень большим числом.
Функция распределения имеет различный вид при х > х0 и х < х0. Попыта-
Попытаемся определить ее как
X X У „ „
С еу С С еу~
/(х) =а1е~х +Ъ1е~х \ —dy+(a1 —ао)е~х I I \i(z)dzdy B1)
J Ц2 J J у2
1 U 0 0 U
при х < хп и
т т 11
Геу , ч Г Cey~z
f(x) = a2e~x +Ъ2е~х \ — dy+(a2 -ао)е~х \ \ \i(z)dzdy B2)
J у2 J J у2
1 у 0 0 у
при х > х0. После того как мы выбрали пределы интегрирования, константы
al9 bl9 a2, b2 должны определяться из следующих условий.
Поток электронов в р-пространстве дается выражением A3). Поток электро-
электронов сквозь сферу (в р-пространстве), соответствующую заданной энергии е, ра-
равен, очевидно, произведению s на 4тгр2 = 8ттге = 8ттг/сТх :
913/2 Атт2<т Ъ12пп2 (ЬТ\2 -г2 1
SvmkTxs = ^ [ } (/ + /') = !(/ + />2, B3)
где
h 1
В= —
d2 (кТJ ^гп2ю2кТ
(А должно быть взято из A9)). Этот поток направлен в сторону уменьшения энер-
энергии. Очевидно, что при х = 0 он должен равняться нулю. Последнее эквивалентно
условию, чтобы/(х) не имело при х = 0 особой точки. Подставив B1) в B3), нахо-
находим поток в виде
1
В
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 75
Приравнивая его нулю, получаем
Ъг = 0.
Далее, при х = х0 значения обеих функций B1) и B2) должны быть равны. Это дает
аг +(аг -ао)Л1 = а2 + Ь2 ^Ц- + (а2 - ао)Л1, B5)
ГДе -о * v_z
Я еу
—2-|i(z)dzdi/,
и мы написали для | — d?/ его асимптотическое значение ——
Асимптотическое значение Л: равно
ех°
где
[ie~xdx. B6)
о
При очень больших энергиях функция распределения должна иметь больц-
мановский вид. Чтобы использовать это условие, выпишем асимптотическое вы-
выражение для f{x) из B2) при больших х. Асимптотически
х °°ryrey~z °°Г еу ех
()ddAI dA
Г еу ех Г г
и поэтому
о ij о
0 0 » 1 » Х
Отсюда находим, что должно быть
b2 =-(a2 -ао)Л.
Тогда /(х) при больших х является функцией Больцмана. Подставляя это выра-
выражение для Ь2 в B5) и замечая, что
находим
а2 =ах +(ах -ао)Л1.
Следовательно, при х > х0 функция распределения асимптотически равна
/(х) = а2е-' = [а, +(а: -ао)Л1]е-. B7)
Под влиянием освещения в единицу времени появляется J электронов с
энергией е0 в единице объема. В соответствии с этим в точке р-пространства
х = х0 сумма потоков вниз (в сторону уменьшения энергии) и вверх (в сторону
76 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
возрастания энергии) должна равняться J. Подставляя B1) в B3), находим по-
поток вниз при х = х0:
хо
— (^-a^J [ie~xdx
о
(для Ъг = 0). Но х оо
/ \ie~xdx « / \ie~xdx = Л,
о о
и поток равен A/Б) (аг - а0) Л. Поток вверх равен нулю, поскольку функция распре-
распределения при х > х0 является больцмановской B7), и, следовательно, / + /' обра-
обращается в нуль. Разумеется, это справедливо лишь приближенно, так как B7) представ-
представляет собой только асимптотическое выражение. Однако следующий член асимпто-
асимптотического разложения дает выражение, которым можно вполне пренебречь.
Окончательно из рассматриваемого условия получается
BJ_
а1-\-а0 =
и функция распределения B1) при х < х0 приобретает вид
/(х) = \а0 +—-\е х +—-е х \ \—— [i(z)dzdy. B8)
^ Л J Л J J у
При х > х0 функция распределения B7) становится равной
BJ_
X
Из этого выражения видно, что f{x) при х > х0 совершенно несущественна. В
самом деле, оно пригодно лишь начиная с х = х0, поэтому первый член во всяком
случае содержит е~х и в силу этого очень мал. Второй член равен
BJex° px°
— г (так как Л1 « —— Л ).
При х = х0 он не содержит е~х°, но зато имеет лишний по сравнению с членом
(BJ/A)e~x в B8) множитель Л/xj; и поэтому также несуществен.
В дальнейшем нам понадобится асимптотическое выражение для B8) при боль-
больших х. Оно имеет вид
BJ
1 X
3. Контактная разность потенциалов
B9)
Теперь мы перейдем к вычислению разностей потенциалов в местах контакта
полупроводника с металлом. Их следует находить из условия, что числа электро-
электронов, проходящих в единицу времени из полупроводника в металл и обратно, долж-
должны быть равны при отсутствии тока через контакт.
Электроны в металле имеют распределение Ферми. Зона проводимости начина-
начинается от граничной энергии этого распределения; ниже этой энергии все состояния
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 77
заняты, а выше нее распределение описывается функцией Больцмана (рис. 1). В
полупроводнике зона проводимости начинается настолько высоко, что распреде-
распределение, разумеется, является больцмановским.
Число электронов, переходящих в единицу времени из полупроводника в ме-
металл, равно интегралу по всем скоростям, направленным из полупроводника в
металл, от произведения функции распределения на
скорость и коэффициент прозрачности для перехо- ^ Металл
да из полупроводника в металл. Коэффициент
прозрачности определяет отношение числа электро- •*•*.*•*•'
нов, проходящих в металл, к полному числу элект- |
ронов, приближающихся к границе полупроводника. А
Этот коэффициент является, вообще говоря, функ-
функцией от энергии г электрона, а также от направле-
направления его скорости. После усреднения по всем направ- рис i
лениям мы получаем некоторый «средний» коэффи-
коэффициент прозрачности D(e), который представляет собой функцию только энер-
энергии. Таким образом, число электронов, проходящих в металл, пропорционально
xf{x)D{x)dx
о
(/ (х) — функция распределения в полупроводнике).
В отсутствие освещения / = /0 и число электронов, проходящих в металл, равно
(отвлекаясь от постоянного множителя)
ъ
х f0D(x)dx.
о
То же самое справедливо для числа электронов, проходящих из металла в полу-
полупроводник.
Вычислим теперь сумму контактных разностей потенциалов на обоих концах
(освещенном и неосвещенном) полупроводника. В отсутствие освещения обе эти
разности были бы равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому дос-
достаточно определить изменение разности потенциалов на освещенном контакте,
возникшее благодаря освещению.
Под влиянием освещения А меняется. Величина А (рис. 1) представляет собой
(с точностью до аддитивной постоянной) контактную разность потенциалов, а ее
изменение равно изменению этой разности, возникшей от освещения, т. е. равно
сумме Vk контактных разностей потенциалов на обоих концах полупроводника
(умноженной на г).
Электроны в металле, которые могут пройти в полупроводник (т. е. имеют энер-
энергии, большие, чем А), подчиняются распределению Больцмана. Поэтому число элек-
электронов, проходящих в полупроводник, меняется благодаря освещению в e~eVk^kT раз
(мы пренебрегаем изменениями коэффициента прозрачности и скоростей элект-
электронов в металле, происходящими под влиянием смещения границ зоны проводимо-
проводимости благодаря освещению). В отсутствие освещения это число было пропорционально
00
I foxDdx]
о
78 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
теперь оно пропорционально
О
Число электронов, проходящих из полупроводника в металл, теперь пропорционально
00
J fxDdx,
где / — функция распределения в освещенном полупроводнике. Таким образом,
мы получаем условие
00 00
J fxDdx = e-eVk/kT j foxDdx ,
и, следовательно,
J
fxDdx
JfoxDdx
Удобно ввести некоторое условное «поле» Efc, продифференцировав Vk по ко-
координате вдоль направления VJ. Тогда Vk будет равно интегралу от Ек по всей
длине полупроводника от освещенного конца к неосвещенному:
C0)
J Dxfdx
Определим теперь D как функцию энергии е электрона в полупроводнике,
считая контакт хорошим, т. е. что потенциальный барьер между полупроводни-
полупроводником и металлом отсутствует. Нас интересует только качественный результат, и
поэтому мы рассмотрим одномерный случай. Задача
тогда эквивалентна следующей. Поток электронов,
движущихся в некотором направлении, приходит из
области с большей в область с меньшей потенциаль-
потенциальной энергией (соответственно кинетическая энергия
становится большей; рис. 2). Надо определить коэф-
коэффициент прозрачности, т. е. отношение плотности
электронов, проходящих во вторую область, к пол-
полной плотности электронов, приближающихся к гра-
границе между двумя областями. Будем считать, что кинетическая энергия г элек-
электронов в первой области мала. Функция U(z) в области, промежуточной между I и
II, неизвестна. Нельзя считать U(z) прямоугольным барьером, так как это могло
бы дать результат, неверный даже качественно.
I
e Л
U(z)
II
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 79
Волновая функция электрона в первой области имеет вид
i\) = c1eikz+c2e-ikz; C1)
сгегкг представляет собой волну, приближающуюся к границе между обеими об-
областями, a c2e~tkz — отраженную волну, распространяющуюся в противополож-
противоположном направлении (волновой вектор к не следует путать с постоянной Больцмана).
Исследуем теперь свойства этой волновой функции в районе перехода во вто-
вторую область, т. е. при малых z, точнее при z, малых по сравнению с длиной волны,
но все-таки достаточно больших, чтобы энергия электрона была бы еще малой.
Эту функцию следует определить таким образом, чтобы она переходила во вто-
второй области в волну, распространяющуюся вдоль оси z в положительном направ-
направлении. Так как энергия электрона мала, для изучения свойств волновой функции
в первой области (для малых z) можно использовать уравнение Шредингера при
е = 0. Это уравнение имеет вид d2r^/dz2 = 0, и, следовательно,
ф = dx -\-id2z
(dx и d2 в общем случае комплексны). Отношение dl/d2 = d определяется видом
функции U(z) в промежуточной области.
При малом е (т.е. малом к) C1) можно записать следующим образом:
г|; = cl+c2+ikz(cl- с2).
Для того чтобы это решение могло перейти во второй области в распространяю-
распространяющуюся волну, нужно потребовать, чтобы отношение
(сх +c2)/ik(cl -c2)
равнялось dl/id2, которое уже определено правильным образом:
сх+с2 d1 kd-1
—у1 ^- = —- = d или с9 = с, — .
| сх |2 = с[с1 определяет плотность электронов, приближающихся к границе между
обеими областями, а с2с*2 =\с2\ — плотность электронов, отраженных обратно в
первую область. Следовательно, коэффициент прозрачности пропорционален
Поскольку к считалось малым, мы получаем
|2
С, -\С
Волновой вектор к пропорционален скорости электрона (в первой области), т.е.
квадратному корню из ее кинетической энергии е. Следовательно,
D(e)= const -Vs. C2)
80 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
4. Фотоэлектродвижущая сила
Чтобы найти полную электродвижущую силу, мы должны проинтегрировать
сумму A8) и C0) по всей длине полупроводника. Прибавляя C0) к A8), получаем
сю сю сю „ сю
/Dxf dx I xfdx-\- I —xdx I Dxf dx
eiu-ht ) djJ J dx djJ
61 ^ = - Vj ^ °- °- °- . C3)
kT oo
Dxfdx- I -^
ox
о о
Вместо f (x) сюда надо подставить функцию B8), но интегрировать всюду не
до оо, а до х0, поскольку это выражение для /(х) справедливо лишь при х < х0.
Разумеется, при интегрировании первого члена в B8) можно считать верхний пре-
предел равным бесконечности, так как, например,
ХО 00
J xe~xdx ^J xe~xdx = 1.
о
Мы введем также обозначение
х0
jxD(x)
)e~xdx ttj xDe~xdx = Do. C4)
о о
Как мы увидим, при интегрировании второго члена в B8) окажутся существен-
существенными большие х. Поэтому вместо B8) можно пользоваться асимптотическим вы-
выражением B9).
Мы предположим, что Х(х), а стало быть, и |л не зависят от освещения, т. е. не
зависят от J.
Подставим теперь B9) в числитель C3). Тогда члены, которые происходят толь-
только от больцмановского слагаемого
, BJ)_-X
в B9) дадут нуль (это показывает, что распределение Больцмана не может дать
никакой э. д с, что уже указывалось в п. 1). Члены, происходящие только от слага-
слагаемого Bj/x2 в B9), малы по сравнению с членами, происходящими от обоих сла-
слагаемых в B9) (поскольку Л мало). Поэтому мы оставим лишь последние.
Следует также отметить, что в
О
следует подставлять только первый член из B8). Второй дал бы 2Bj/x2 для
df/dx, т. е. следующую степень х в знаменателе. Так как ранее мы использовали
только наибольшие члены в асимптотическом разложении, таким членом следу-
следует пренебречь как членом следующего порядка в разложении.
Наконец, после подстановки члена Bj/x2 в интегралы в C3) последние начи-
начинают расходиться при больших х; этим подтверждается наше предположение о
том, что существенны большие х. Интегралы становятся расходящимися также и
при малых х; это, однако, связано лишь с тем фактом, что использованное нами
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 81
асимптотическое выражение для /(х) справедливо только для больших х. По-
Поэтому следует брать значения интегралов лишь на верхнем пределе. Вместо ниж-
нижнего мы условно пишем 1; впрочем, значением интегралов на нижнем пределе все
равно нужно пренебречь.
Имея это в виду, получаем для числителя в C3)
-a0Bf ~ ° dx + — D01пх0.
1
При подстановке B8) в знаменатель C3) можно оставить только наибольшие члены
(т. е. первый член в B8)), поскольку они не дают нуль, как в числителе.
Таким образом, мы находим
ж0
"D-D.
dx+
BJf
Согласно C2) D(x) = const vx. Строго говоря, это справедливо только для ма-
малых х, но в нашем приближении этим выражением можно пользоваться всегда.
Поэтому
°9> °9> 3
Do = I Dxe~xdx = const I x3^2e~xdx = const •— vty,
о о
x° n x° п ч
/ —dx = const • 2^/x^, / —-dx = const • — лпт lnx0.
0
Следовательно,
C5)
0 1
Интегрируя это выражение по всей длине полупроводника, т. е. по dJ от J = Jo
(на освещенной стороне) до нуля на противоположной стороне, находим э. д. с. V:
8Вл/хГ кТ кТ . , . f1 BJQ) . .
V = - V J0 + ^Л1пх0 in 1 + -| . C6)
При слабом освещении, т. е. малых Jo, в V можно пренебречь вторым членом по
сравнению с первым, а в первом члене — величиной BJ0/A по сравнению с а0.
Тогда мы получим э. д. с.
„ 8В^[х~кТ 25/2 [кТ I
3V71 еа0 3 V m nw
линейно возрастающую с Jo.
C7)
82
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
При сильном освещении, т. е. при больших Jo, можно, напротив, пренебречь пер-
первым членом и а0 по сравнению с BJ/A — во втором. Ла0 /В можно интерпретировать
как такое значение Jx величины Jo, после которого V больше не является линей-
линейной функцией Jo. При этом мы получаем э. д с. в виде
—
е
C8)
т. е. V пропорционально In (JQ/Ji). Отметим также, что при некотором определен-
определенном значении Jo э. д. с. меняет знак, т. е. направление. Что касается Л, то из A5) и
B6) находим, что оно имеет порядок
кТ I
mw2 ls '
где ls — длина захвата электронов.
По-видимому, ни один из проведенных до настоящего времени экспериментов
не относится к только что рассмотренному случаю. Во всех них «дырки» прини-
принимали участие в проводимости наравне с электронами. Этот последний случай об-
обсуждается в следующем разделе.
5. Фотоэлектродвижущая сила в полупроводнике
с «дырочной» проводимостью
Рассмотрим теперь полупроводник, в котором «дырки» принимают участие в
проводимости наравне с электронами. В этом случае зависимость V от Jo отлича-
отличается от предыдущего случая. Необходимо также отметить, что если в проводимо-
проводимости участвуют только дырки, то результаты предыдущего раздела остаются спра-
справедливыми после изменения знака е.
Граница зоны заполненных состояний в металле лежит между верхней грани-
границей заполненной зоны и нижней границей зоны проводимости в полупроводнике
(рис. 3). Отдельные свободные уровни в заполненных зонах
Полупроводник^ Металл являются «дырками», которые участвуют в проводимости
как электроны с положительным зарядом. Энергия элект-
электронов проводимости в металле отсчитывается от верхней
границы заполненной зоны, а в полупроводнике (е^ — от
начала зоны проводимости. Энергия «дырки» е2 в полупро-
полупроводнике определяется как энергия соответствующего сво-
свободного уровня, отсчитанная вниз от верхней границы за-
заполненной зоны. Энергия «дырки» в металле определяется
аналогично.
Функция распределения «дырок» в полупроводнике
имеет тот же вид, что и для электронов, однако постоянные коэффициенты в этих
функциях принимают разные значения. В частности, появляется различие в по-
постоянных а0, которые пропорциональны плотности электронов или «дырок» в
отсутствие освещения. Постоянные В также различны, поскольку средняя длина
свободного пробега для электронов и «дырок» не одинакова. Наконец, благодаря
разнице в длинах захвата будут разными и Л.
А2
Ш8&
Рис.3
(
п 4-
а01 *
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 83
Больцмановская часть функции распределения давала в C3) нуль, показывая,
что функция такого вида не может дать эффекта сама по себе. В рассматриваемом
случае, как мы сейчас увидим, это не имеет места. Поэтому можно ограничиться только
наибольшими членами в функции распределения, т. е. только функциями Больцма-
на. Поэтому функции распределения для электронов A) и «дырок» B) имеют вид
BlJ) -*! _ -X!
J2 \^2) ^02 * ~Т 6 ^2е > \""/
V iV2 /
где
х =^- х =i2_
1 kT' 2 кТ
и
- BlJ - ft - B2J _
а1 — а01 "I" ~Г ~~ а01 "I" М]У> а2 ~~ а02 "I" ~Г ~~ а02 "I" Р2^* D0)
Al iV2
Полный ток i равен сумме тока электронов i: и «дырок» i2. Вспомнив, что «за-
«заряд дырки» противоположен заряду электрона, находим из A7) и C9)
i2 =c2
da, i da9
cx и с2 означают абсолютные величины коэффициентов в A7) соответственно для
электронов и дырок.
Е теперь нужно определить так, чтобы полный ток 1Х Ч-i2 =0- Это дает
еЕ = Cla[ - с2а'2 VJ
fcT c^j + с2а2
Разность потенциалов Vj между освещенной и неосвещенной сторонами равна
интегралу от Е, взятому от J = Jo (на освещенной стороне) до J = 0 (на противопо-
противоположной стороне). Используя D0), находим
eVj _c1C1 -c2C2 ^c^o+c^q+Cc^ +c2C2)J0
Числа электронов и дырок в отсутствие освещения имеют, вообще говоря, со-
совершенно разные порядки величины. Поэтому можно всегда пренебречь одним
из а01 и а02 по сравнению с другим. Если, например, а10 » а20, т.е. в отсутствие
освещения число электронов много больше числа дырок (дырки появляются под
влиянием освещения), то вместо D1) можно написать
^
кТ сх (Зх + с2 р2 ( сх а
Теперь мы должны вычислить контактную разность потенциалов. Ток из по-
полупроводника в металл состоит из тока электронов и тока дырок. Так как заряд
84 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
дырок противоположен заряду электрона, мы получаем (как в п. 3), что полный
ток пропорционален
00
jx (x1)D1 (x1)dx1 -jx2f2 (x2)D2 (x2)dx2
о о
(Dx и D2 представляют собой коэффициенты прозрачности соответственно для
электронов и дырок). Подставив C9), получаем
aiD0l-a2D02, D3)
где
00 00
D01 = / Dxe~xxdx, DQ2 = I D2e~xxdx.
о о
Как уже указывалось, в отсутствие освещения можно всегда считать, что, на-
например, число электронов гораздо больше, чем число дырок: а01 » а02. Тогда рас-
расстояние А2 (рис. 3) от верхнего края заполненной зоны в металле до верхней гра-
границы заполненной зоны в полупроводнике значительно превосходит расстояние
Ах до нижней границы зоны проводимости в полупроводнике. Ах по порядку ве-
величины равно энергии активации электрона в полупроводнике, которая должна
быть малой по сравнению с полным расстоянием А1 + А2] в противном случае мы
имели бы изолятор вместо полупроводника. Поэтому практически из металла в
полупроводник могут переходить только электроны, а не дырки.
В п. 3 было указано, что достаточно вычислить только изменение контактной
разности потенциалов под влиянием освещения. Это изменение равно сумме Vk
контактной разности потенциалов на обоих контактах. В отсутствие освещения
ток из полупроводника в металл пропорционален aQlDQl (при а01 » а02) То же
самое справедливо для тока из металла в полупроводник. Как и в п. 3, мы прихо-
приходим к выводу, что в присутствии освещения ток из металла в полупроводник ста-
становится пропорциональным
e-eV^Ta01D01 D4)
(в согласии с нашим предположением о том, что дырки не проходят из металла в
полупроводник).
Сравнивая D3) и D4), находим условие, при котором ток через контакт отсут-
отсутствует, в виде
п г) — п В — п В p~eVk/kT
Отсюда (используя D0)) получаем
Наконец, прибавляя Vk к Vj D1), находим э. д. с.
_ _ /vi Li [J-. Lo kJr) , Li LJi \~ Lo LJ0 /ti I k^i J-^ni I Mo -L^no T I / - \
0 '
ciaoi J e { Doiaoi
4. К теории фотоэлектродвижущей силы в полупроводниках 85
При очень сильном освещении, т. е. при очень больших J, разность
aiD01 ~a2D02 = a01D01 +(PlD01 +P2DO2) J0
может стать отрицательной (если C1D01 + C2D02 < 0 ) и D5) перестанет быть спра-
справедливой. В этом случае границы зон (рис. 3) сдвигаются таким образом, что А1
делается по порядку величины равным полному расстоянию Дх + А2. При этом
оказываются существенными переходы дырок из металла в полупроводник. Кон-
Контактная разность потенциалов Vk (а с ней и э. д. с.) становится очень большой, а
именно порядка (Дх + А2)/е. Мы, однако, не будем обсуждать этот случай деталь-
детально, поскольку он, по-видимому, не наблюдается экспериментально.
Все постоянные q, с2, ^, C2, входящие в D5), могут быть выражены через уни-
универсальные константы, средний свободный пробег электронов (или дырок) и т. д.,
что, однако, не представляет интереса. Важно только заметить следующее. Если
ввести обозначения
_
то D5) можно записать в виде
Ъ>ГГ 1 i^
_ _ rv I ± rvj .
D7)
Видно, что коэффициент перед первым логарифмом может принимать значе-
значения, лежащие между ±1. Обе постоянные Сх и С2 пропорциональны числу элек-
электронов в единице объема в отсутствие освещения, так как они пропорциональны
а01. Плотность электронов зависит от температуры главным образом посредством
множителя вида e~qlT. Поэтому Сх и С2 также пропорциональны e~qlT.
Все результаты будут полностью аналогичными в случае, когда без освещения
число «дырок» значительно превосходит число электронов, т.е. когда а02 » а01.
Вместо D5) мы имели бы теперь
^ —<М+ — ln|l+ 2°[2 ~ iDqi Jo L D8)
lni + ^ + 1п1 +
+с2C2 { с2а02 UJ е { a02D
a02D02
а постоянные Q и С2 в D5) были бы пропорциональны плотности дырок в отсут-
отсутствие освещения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Я. Frohlich. Phys. Zs. Sowjet, 8, 501, 1935.
[2] J. Frenkel Phys. Zs. Sowjet, 8, 185, 1935.
[3] Л. Ландау, А. Компанеец. ЖЭТФ, 5, 276, 1935.
[4] Б. Давыдов. ЖЭТФ, 6, 463, 471, 1936.
К ТЕОРИИ ФОТОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЭФФЕКТОВ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Phys. Z. Sowjet, 9, Heft 6, 641, 1936
Рассчитываются электродвижущие силы, возникающие в цепи, содержащей облученный све-
светом полупроводник в магнитном поле.
1. В предыдущей статье [1] Л. Ландау с автором была рассчитана электродви-
электродвижущая сила (э.д.с), возникающая в цепи, содержащей освещаемый с одной сто-
стороны полупроводник. Если этот полупроводник поместить еще и в магнитное
поле Н, возникнет дополнительная э.д.с. в направлении, перпендикулярном гра-
градиенту интенсивности света VJ (эффект Кикоина—Носкова). Так же , как и в [1],
будем отдельно рассматривать случаи, когда в проводимости участвуют или толь-
только электроны, или «дырки» наравне с электронами.
Схема эксперимента представлена на рис. 1. Пластинка полупроводника осве-
освещается равномерно с одной стороны (плоскость XY). Интенсивность света умень-
уменьшается в глубь пластины (вдоль оси Z). Градиент VJ направлен в сторону увели-
увеличения интенсивности, т.е. в направлении отрицательной полуоси Z. Полупровод-
Полупроводник помещен в магнитное поле, не параллельное VJ. С обеих сторон пластинки в
направлении, перпендикулярном Н и VJ, располагаются два контакта (на рис. 1
Н параллельно плоскости ZY). В такой цепи появляется электродвижущая сила.
Полная э.д.с. измеряется в отсутствие тока в цепи, т.е. равна разности потенциа-
потенциалов между контактами разомкнутой цепи.
Метод расчета аналогичен использованному в [1]. Сначала нужно найти
функцию распределения для электронов при наличии градиента VJ, магнитного
поля Н и электрического поля Е. С помощью этой функции можно рассчитать ток,
а затем найти Е из условия равенства нулю тока. Разность потенциалов между
двумя сторонами полупроводника в перпендикуляр-
перпендикулярном направлении (вдоль осиХ на рис. 1) и даст пол-
полную э.д.с. Теперь нет необходимости рассматривать
контактные разности потенциалов, поскольку они в
обоих контактах одинаковы и имеют противополож-
противоположный знак, а следовательно, их сумма равна нулю.
Теперь перейдем к вычислению функции распре-
Рис. 1 деления и э.д.с. для полупроводника, содержащего
только электроны проводимости. Полупроводники, в
которых наряду с электронами проводимости имеются и «дырки», будут рассмот-
рассмотрены позже. Результаты, полученные в этом пункте, справедливы также и для
полупроводника, содержащего только «дырки» (нужно только поменять знак г).
5. К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках
87
Кинетическое уравнение A) из [1] должно быть записано в виде:
) + -?- [pH]Vp/(p, е) = -\[/(р, е)- /0 (е
+ fw,
{/(p,e-hv2)(JV2+l)-/(p,e)JV2}dfi',
A)
g
т. е. в левой части мы должны добавить член fpHl V /(pi?), который опреде-
тс р
ляет изменение числа электронов с энергией г и импульсом р под влиянием маг-
магнитного поля. Функция распределения теперь, естественно, является функцией
не только е, но и направления р (не только угла между р и VJ). Более того, направ-
направление Е не совпадает с направлением VJ.
Запишем функцию/(р, е) в виде, аналогичном (9) из [1]:
/(p,e) = /(e) + ^g(e), B)
где g мало по сравнению с / (е). Так же, как и в [1] (ср. A0) из [1]), правую часть A)
можно преобразовать к виду
2/ (е)
кТ
кТ
В первых двух членах в левой части A) мы должны заменить / (р, е) на / (е). Если
мы подставим / (е) в третий член, то выражение
ЙР
обратится в нуль. Следовательно, мы должны в этом члене вставить — в / (р, е).
Тогда левая часть A) будет иметь вид
m о J me p
р
Последний член имеет вид
При умножении на [рН] оба последних члена обратятся в нуль, так как
[рН]р = [рр]Н = 0,
а в первом члене
[pH]g = p[Hg].
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Приравнивая C) и D) и удерживая члены, не содержащие р/р, приходим к
уравнению A4) из [1] /(е), которое уже было решено в [1]. Члены с р/р, если мы
введем х = е/кТ, дадут нам вместо A6) из [1] выражение
4
<9J
8A7vmc(/cT)
3/2
E)
Будем считать, что магнитное поле не слишком велико, т. е. что коэффициент
перед g во втором члене E) мал по сравнению с единицей. Поскольку А ~ //
(см. A9) из [1]), это условие эквивалентно следующему:
сл/тпкТ
Я« .
el
Правая часть неравенства имеет порядок 1/1 , где I ^10~5 —10~6см. Следователь-
Следовательно, это условие выполняется при всех магнитных полях, используемых в экспе-
экспериментах.
Следовательно, мы можем определить g из E) методом последовательных при-
приближений. Нулевое приближение — это первый член в E), а чтобы получить пер-
первое приближение, подставим нулевое приближение для g во второй член. Таким
образом находим
g(x) = -
eE
дх dJ ) 64А V (кТM/2
df
.F)
Плотность тока i может быть выражена через g (аналогично A7) из [1]), по-
поскольку
Если подставить сюда F), то найдем
ЗА Jo{kTdx^dJ )
Функция распределения f(x) была найдена в [1]. Там же отмечалось, что для
х > х0 (х0 = hv/kT, hv — энергия поглощенного кванта, см. [1]) вид функции рас-
распределения не имеет значения, а для х < х0 достаточно использовать только функ-
функцию распределения B8) из [1]:
f(x) = \a0 +-Гкж +BJe~x \ \ —^dzdy.
При интегрировании второго члена в выражении для /(х) в G) существенными
являются большие х (как и в C3) из [1]) и, следовательно, для/(х) можно исполь-
использовать ассимптотическое выражение B9) из [1]:
5. К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках
89
Теперь мы должны подставить это выражение в G). При интегрировании нужно
учитывать те же соображения, что и при интегрировании в C3) из [1], а именно,
что в df/dx мы не должны дифференцировать BJ/x2, иначе возникнут следую-
следующие члены асимптотического разложения. Интегрирование должно проводиться
в пределах от 0 до х0, но член с е~х может быть, разумеется, проинтегрирован
до оо. При интегрировании члена BJ/x2 нужно взять его значение только на верх-
верхнем пределе, поскольку все выражение справедливо только для больших х. Когда
мы подставляем BJ/x2 в первый из интегралов G), получаем интеграл от 1/х, ко-
который расходится для больших х. Этот интеграл равен log х0. Во втором члене
в G) получаем интеграл от х~2'2. Он сходится для больших х; это показывает, что
важны малые значения х. Так что мы можем пренебречь этим членом по сравне-
сравнению с членом, содержащим расходящиеся интегралы, т. е. log x0. Окончательно
из G) получаем
1=
eE
BJ
BJ
"X
+&
Поле Н должно быть определено так, чтобы суммарный ток был равен нулю.
Невозможно, однако, просто положить i = 0, поскольку это привело бы к противо-
противоречию с уравнениями Максвелла (так как rot Е ^ 0). Поэтому мы должны при-
приравнять к нулю не г, а интеграл от i по плоскости YZ полупроводника (рис. 1). Ин-
Интегрирование вдоль оси Y тривиально (так как все функции зависят только от
координат вдоль направления VJ, т. е. от Z) и равносильно простому умножению
на линейные размеры полупроводниковой пластинки вдоль оси Y. Следователь-
Следовательно, нужно интегрировать i только по оси Z.
Интегрируя i по всей толщине пластинки, т. е. от 0 до d3 (рис. 1) и прирав-
h
нивая / i dZ нулю, получим
d3
I
eE
BJ
dZ
в
- + Blogx0|J0 -
he
cm(kT)
3/2
н
eE
BJ
в
л'
= 0.
(9)
Введем единичный вектор п, направленный по оси Z в сторону положительных
значений [п направлено в противоположную сторону по отношению к VJ, так как
dJ/dZ<0):
vtt dJ
VJn
Jo равно значению J на освещаемой стороне образца (для Z = 0), на противопо-
противоположной стороне (Z = d3) J = О (J — количество проводящих электронов, создава-
создаваемых при освещении в единичном объеме).
90 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Поскольку магнитное поле Н невелико, можно из (9) методом последователь-
последовательных приближений найти выражение
^еЕ( Bj]dz.
0
Тогда
reE( BJ
J /сТ1 1 Л
= -||+Blogx0
J0n- ftf°g-'i[Hn]. A0)
тт Аст(кТ)
3/2
Е представляет собой сумму продольного поля Ег вдоль оси Z (первый член
в A0)) и поперечного поля Et вдоль оси X (второй член в A0)). Для Et имеем
do
heBlogx0 • Jo
Но, согласно уравнению Максвелла, rot E = 0 и, следовательно, Et = const, no-
d3
скольку все члены зависят только от Z, а не от X или Y. Интегралом — I JdZ можно
Л J
пренебречь по сравнению с а0 I dZ = a0d3, так как J уменьшается очень быстро в
о
глубь полупроводника и обращается в нуль на расстояниях порядка нескольких
длин волн падающего света. Таким образом мы находим
eEt = heBJ0logx0
d
Чтобы определить электродвижущую силу Vt, мы должны проинтегрировать
Etno длине пластинки вдоль оси X, т.е. умножить на dx (рис. 1). Для Б и А можно
использовать выражения B4) и A9) из [1], а константа а0 выражается через коли-
количество п электронов в единице объема в отсутствие облучения по формуле
а0 =пBгкткТ)~г'2 (согласно [1]). Тогда находим
(и)
Здесь I — средняя свободного пробега электрона, w — скорость звука. Электро-
Электродвижущая сила пропорциональна интенсивности света и обратно пропорциональ-
пропорциональна толщине пластинки и числу электронов в единичном объеме. Ее направление
определяется произведением [пН]. Если умножить Vt на проводимость сг, кото-
которая, согласно хорошо известной формуле, равна
а =
получим
<*Vt = г
3V2 mS/"cw
5. К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках 91
Это выражение не содержит электронной плотности п. d
Для очень больших интенсивностей света нельзя пренебрегать I JdZ , особенно
для тонких пластинок. Вместо A1) мы имеем °
_ hB\ogx0 -JodJnH]
v
л I в
aod3 + д'
поскольку / JdZ = J06, где 6 — глубина проникновения света. Если мы для В, А
и Л воспользуемся выражениями B4), A9) и B6) из [1], то получим
Vt =
nd ¦ -"'~°6
3 \
xo
[nH]. A2)
Г kT 1
Здесь Xo = / \xe~xdx. Как было отмечено в [1], J имеет порядок «длины
о °
захвата» электрона ls. Произведение J0o равно общему количеству электронов,
возникшему при облучении падающим на поверхность полупроводника светом
(т. е. количеству поглощенных квантов). Из A2) видно, что для очень большого Jo
э.д.с. выходит на насыщение, т. е. стремится к конечному пределу. Насыщение на-
наступает при
т. е. когда
Это условие может быть выполнено, например, при освещении солнечным све-
светом. Заметим также, что в полупроводниковой пластине большей толщины насы-
насыщение возникает позже (т. е. при больших Jo).
2. Теперь приступим к обсуждению того же эффекта в полупроводнике, в ко-
котором «дырки» принимают участие в проводимости наряду с электронами. В этом
случае больцмановское распределение уже приведет к эффекту. Следовательно,
можно использовать только главную часть функции распределения (больцманов-
скую часть) для электронов (/J и для «дырок» (/2):
i = аге !, /2 = а2е 2, A3)
где
di = an
ai = aoi
(см. C9) в [1]).
92
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Общая плотность тока i складывается из электронной части i: и «дырочной»
части i2. Если мы подставим A3) в G) и вспомним, что заряды электронов и «ды-
«дырок» противоположны, то получим
; еЕ , -ц- еЕ , [Uu г1
1 = сьл сл ал сл V J — пл cti rl — -Ь cl Си -И V J ,
1 11 Trrp -I -I -I -I L'T1 i i l j '
eE ,
i2 = a2c2 — - a2c2\/J - a2d2
(ax = dax/dJ, a2 = da2/dJ), cv dx и с2, d2 обозначают положительные значения ко-
коэффициентов, которые мы получаем из G) соответственно для электронов и «ды-
«дырок». Полная плотность тока равна
i =(a1c1 + a2c2)—+ (a2c2 + a^V J+ (d2a2 -d^
rC 1
eE
^6
Это выражение нужно проинтегрировать по Z от 0 до d3 и приравнять / i dZ нулю.
о
Если мы для ах и а2 подставим значения A4), то найдем
геЕ геЕ
(^01С1 + a02C2 ) J ^ dZ + (PlCl + P2C2 ) J ^T J dZ ~ П Ф2С2 + PlCl ) J0 +
— dZ
— JdZ
-(dA+d2p2)[Hn]j0 =0.A6)
Как и раньше, определим Е методом последовательных приближений. В нулевом
приближении Е определяется из первых трех членов в A6). В этом приближении
кТ
(j7 =dJ/dZ). Для того чтобы найти первое приближение, подставим это значение
в четвертый и пятый члены в A6):
% еЕ % еЕ
dZ + (C +C)J
% еЕ % еЕ
(аоЛ +a02c2)J — dZ + (ClCl +C2c2)J — JdZ + n (CЛ - C2c2) Jo
[Hn]i^-
с^2 +c2d1)([32a01 -^a0
-log
a01Cl +a02C2
[Hn]J(
2C1C2(c1d2+c2d1)
= 0.
A7)
Последние два члена определяют поперечное поле Et. Как мы уже видели,
Et = const и, следовательно,
d3
j
5. К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках 93
Вторым интегралом, как уже отмечалось, можно пренебречь по сравнению с
первым. Поскольку количества электронов и «дырок» в общем случае отличают-
отличаются на порядки, всегда можно принять, что одно из а01 и а02 намного больше, чем
другое (см. [1], п. 5). Примем, например, что а01 ^> а02, т. е. в отсутствие освещения
количество электронов много больше количества «дырок». Из A7) найдем
eEt _ 2$fi2(Cld2 +c2dx)
-log
[Нп]. A8)
Чтобы найти э.д.с. Vt, нужно умножить Et на длину dx пластинки вдоль оси X.
Введем те же самые константы сх и к , которые входят в продольную э.д.с. (см.
D6) в [1]):
а также
(ClCl+C2c2)Cle
Тогда поперечная часть э.д.с. равна
[Нп]. A9)
Следовательно, значения коэффициента перед логарифмом в квадратных скоб-
скобках могут лежать в интервале [+1, —1] . Константа Сх пропорциональна количе-
количеству электронов в единице объема в отсутствие освещения и зависит от темпера-
температуры в основном через множитель вида e~qlkT (см. [1]). Коэффициент перед Jo в
скобках обратно пропорционален а01, т. е. количеству электронов и, следователь-
следовательно, зависит от температуры через множитель в форме eq^kT. К не содержит коли-
количества электронов, поэтому его зависимость от температуры несущественна по
сравнению с экспоненциальными множителями.
Если в отсутствие освещения «дырок» много больше, чем электронов (а02 ^> а01),
результаты останутся теми же самыми, только вместо количества электронов мы
должны говорить о количестве «дырок».
3. В предыдущих расчетах мы использовали только первое приближение по
магнитному полю и, следовательно, мы получили компоненту Е (а, стало быть,
э.д.с.) в направлении [Нп], т. е. вдоль оси X. В следующем приближении электри-
электрическое поле оказывается пропорциональным квадрату Н и параллельным направ-
направлению [Н [Нп] ]. В экспериментах наблюдается э.д.с. в направлении оси Y, завися-
зависящая от компоненты Y этого поля (конечно, поле Н, параллельное плоскости YZ, не
должно быть параллельно оси Y, иначе [Н [Нп] ]у = 0. Этот эффект рассмотрел
Кикоин).
94
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Чтобы рассчитать этот эффект, мы должны в предыдущих вычислениях
учесть следующее приближение по Н. Вместо F), взяв следующее приближение
в E), получим для g(x) выражение
g="
V2/1
eEdl d_l
кТдх dJ
-Я eh2
kT дх дх
29AVc2m5 (kTL x
Теперь плотность тока i равна
Н
1 = —
y/2mehkT°r(eEdf df л
J \кТ~дх~ + ~Ш
ЗА
00
/
8f
H
H
+
kT дх дх
dx.
B0)
Vxdx —
B1)
Мы должны вставить в B1) выражение (8) для f (х) и учесть все замечания, сде-
сделанные при интегрировании в G). В частности, в последнем члене в B1) мы должны
пренебречь интегралом от 1/х2, который сходится при больших х. Плотность тока i
должна быть проинтегрирована по сечению полупроводника в плоскости YZ (что
сведется к интегрированию по dZ), а полный ток должен быть приравнен к нулю.
Находим
he
ti m(kTf/2
H
(
J kT
\ о
e2h2
H
H
64:А2ъ2т2с2 (кТK
3 eE( BJ
eE
BJ
в
dZ + —Jon
BJ
= 0.
В
B2)
Если мы определим I — a0 -\ dZ методом последовательных приближений,
<J rC 1 { Л J
0
то кроме членов, пропорциональных п и [Нп] (как в A0)), получим еще и член,
пропорциональный [Н [Нп] ]:
D-,)eVBlogx0
000 оо/ \*3 U L L JJ
28AVmV(/cTK
Направление этого поля определяется множителем [Н [ Нп ] ]. Для У-компоненты
поля Е находим:
ГЛ.
J kT
BJ
D- Ti)e2h2Blogx0
кТ
°
28A2ii2m2c2(/cT)
a3
(поскольку из равенства rot E = 0 следует, что Еу = const, интегралом I J dZ можно
пренебречь). п
5. К теории фотоэлектромагнитных эффектов в полупроводниках 95
Э.д.с. Vy, направленная вдоль оси Y, есть Eyd2, где d2 — длина полупроводнико-
полупроводниковой пластинки вдоль этой оси. Подставив А, В, и а0, найдем
Т7 D-7v)V^TeZ3logx0 d2
у = 27/2m3/2cWn JoHyH* ~сГ' ^ '
Эта э.д.с. также пропорциональна интенсивности освещения и обратно пропорци-
пропорциональна толщине пластинки.
Отношение Vy к Vt, как следует из A2), равно
Это отношение не зависит больше от х0, Jo и п. Так как величина I пропорциональ-
пропорциональна 1/Т, отношение Vy/Vt пропорционально Т~3/2.
Для очень больших интенсивностей (так же как для Vt) интегралом Г JdZ = Jo?
уже нельзя пренебрегать, и вместо B3) получим °
е\
V,, = —
28(АътскТУ \a0d3 + jJ0>
т. е. при больших Jo наблюдается насыщение.
Наконец, рассчитаем величину того же эффекта в полупроводнике с «дыроч-
«дырочной» проводимостью. Расчет аналогичен проведенному в п. 2 с той лишь разницей,
что для i вместо G) для нужно воспользоваться выражением B1). Так же, как в п. 2,
используется только больцмановская часть функции распределения. Здесь мы не
будем приводить детальные вычисления, а выпишем лишь окончательный резуль-
результат. Выражение э.д.с. вдоль оси Y для случая, когда в отсутствие освещения коли-
количество электронов намного превышает количество «дырок», имеет вид
B4)
31 1 + ft I, Cx
Выражение в квадратных скобках то же самое, что и в A9), только константа М
отличается от К из A9). Так же, как К, эта константа не зависит от числа электро-
электронов или «дырок» и ее зависимость от температуры не важна по сравнению с экс-
экспоненциальными множителями в квадратных скобках. Для случая а02 ^> а01 ре-
результаты совершенно аналогичны.
Выражаю искреннюю благодарность Л. Ландау за постоянный интерес к моей
работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] L. Landau, E. Lifshitz. Phys. Zs. Sowjet, 9, 477, 1936. (Статья 4 этого собрания трудов).
6
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ЖЭТФ, 7, 390, 1937
Выводится кинетическое уравнение для газа из заряженных частиц в магнитном поле. С по-
помощью этого уравнения определяется время релаксации для установления максвелловского
распределения в таком газе и его теплопроводность. Рассматривается пучок заряженных
частиц — плоский и цилиндрический. С помощью того же уравнения определяется зависи-
зависимость ширины пучка от времени.
В предлагаемой работе исследуются некоторые статистические свойства газа,
состоящего из заряженных частиц, находящихся в магнитном, поле. Для этой цели
выводится кинетическое уравнение, определяющее функцию распределения ча-
частиц в таком газе. С помощью этого уравнения определяется время релаксации
для установления статистического равновесия по скоростям частиц, т. е. время
установления максвелловского равновесия [формулы A8) и A9)]. Определяется
также теплопроводность такого газа [формула B8)]. Рассматривается пучок за-
заряженных частиц, направленный вдоль магнитного поля. Под влиянием кулонов-
ского взаимодействия между частицами такой пучок будет расширяться. Опре-
Определена зависимость ширины пучка от времени [формулы C1) и C2)].
1. Кинетическое уравнение
В работе Ландау [1] было выведено общее кинетическое уравнение для газа,
частицы которого взаимодействуют друг с другом по закону Кулона. Пусть каж-
каждая частица описывается величинами рг, г = 1, 2... (в [1] этими величинами были
компоненты импульса частицы), а п(рг) есть функция распределения частиц по
величинам рг. При столкновении двух частиц определяющие их величины рг и р'
переходят соответственно в рг + Арг и р' + Ар'. При кулоновском взаимодействии
частиц для кинетического уравнения существенны только такие столкновения
частиц друг с другом, при которых рг и р' мало меняются, т. е. Арг <С рг, Ар' <С р'
(см. [1]).
Пусть dW есть вероятность (в единицу времени) столкновения частицы с ве-
величинами рг с частицей р', при котором рг и р' переходят в рг + Арг и р' + Ар'.
Произведение вШп(р{)п(р[) есть число таких столкновений (в 1 с). dW можно на-
написать в виде dW = wdrfdrA, где w есть, вообще говоря, функция от рг-, р[, Арг, Ар',
drf = dp\ dpf2..., a drA есть произведение дифференциалов параметров, опреде-
определяющих столкновение.
Тогда кинетическое уравнение есть
дп д± = 0
dt dPi
6. Электронный газ в магнитном поле 97
(по дважды повторяющимся значкам везде подразумевается суммирование), где
ji есть компоненты потока в рг-пространстве, равные согласно [1]:
с 7 ,, \АрЛрк , дп ApvApl дп\ , ч
7 , \ррк , дп
[мы пишем и — ft (pQ].
Перейдем теперь к интересующему нас газу из заряженных частиц (с заряда-
зарядами г и массами т), находящимися в однородном магнитном поле Н. Направление
поля Н выберем за ось г. Если отвлечься от столкновений частиц друг с другом, то
движение каждой из них в таком поле определяется уравнениями движения
х = О 2 = 0, C)
где
и = 4
тс
(с — скорость света). Решение этих уравнений есть
х = X + г cos(W + а), у = Y + г sin(W + а), z = vz + const, E)
а есть начальная фаза, зависящая от выбора начала отсчета времени, X, Y, vz, r —
постоянные. Таким образом, каждая частица движется по винтовой линии с радиу-
радиусом г и с осью, параллельной оси z. Величины X, Y — координаты оси винтовой
линии. Скорость частицы вдоль направления поля есть vz, скорость же частицы в
направлении, перпендикулярном полю, которую мы обозначим через v, равна:
v = rw. F)
Полная скорость частицы есть
Величины X, Y, vz, v мы выберем в качестве величин, описывающих частицу.
Функция распределения есть n(X, Y, vz, v). В B) мы должны положить рг = v,
V2 = vz'> Рз —-^> Р4 = Y. Само кинетическое уравнение A) надо, однако, написать
теперь несколько иначе. При выводе A) и B) предполагалось, что элемент объема
рг-пространства равен dr = dpx dp2... Элемент же v, vz, X, Y-пространства равен
dr = v dv dvz dX dY, так как v и vz суть цилиндрические координаты для скорости.
Поэтому для того, чтобы непосредственно перенести A) и B) на наш случай, мы
должны были бы выбрать переменные X, Y, vz, v2/2, для которых dr = dX dY dvz dv2/2.
Учитывая, что
Av2 A д Id
2 v2 v ov
легко находим, что при переменных X, Y, v, vz уравнение A) выглядит так:
dt + дх + dY + dvz +v dv u'
где компоненты потока определяются по-прежнему уравнениями B).
98 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Теперь мы должны определить изменения Av, Avz, АХ, AY и Av',... величин
v,vz,X,Yvl v',... при столкновении двух частиц. Уравнения движения частицы с
учетом взаимодействия ее с другой частицей суть
1 dU .. . 1 dU I dU /оЧ
х-юу = —, y + wx = —, z = —, (8)
т ох т ду т oz
где U — потенциальная энергия взаимодействия. Решаем их последовательными
приближениями. В нулевом приближении мы имеем уравнения C) с решением E).
В первом приближении в правую часть уравнений (8) подставляем невозмущен-
невозмущенное решение, т. е. E) и аналогичное для второй частицы.
Из третьего уравнения (8) имеем
1 Сди^
vz =— I —dt]
полное изменение vz при столкновении есть
+00
f
Avz=-1- f*dt. (9)
т J oz
—00
Решение первых двух уравнений ищем опять в виде E), где теперь однако X, Y
и v — переменные. Для нахождения АХ и AY переписываем E) в виде
х = Х-К » = У-*.
Дифференцируя еще раз по времени
ооХ = у + их, (jjY = (jjy — х A0)
и подставляя (8), находим
raw ду ' raw дх
Отсюда изменения АХ и AY
+Jfdt, AY=-L+ffdt. A1)
y nnjj J ox
—00
Наконец, для нахождения Av имеем:
2 • 2 i • 2
vl = xl +y\
откуда
vv = xx +yy,
или, подставляя х и у из A0),
vv = Xx + Yy.
6. Электронный газ в магнитном поле 99
В искомом первом приближении для v мы должны подставить сюда v = ruj, ахи
у из нулевого приближения E), т. е.
х = —ruj2 cos(uot + а), у = ruj2 sin(uot + а).
Пользуясь также уже полученными результатами
ду дх
находим
1 dU . , ч 1 dU ( ч
v = smfuot + а) -\ cosfuot + а),
т ох т ду
откуда +оо
1 С* С От т От т ^
Av =— I j—— sin (out + а) +^— cos (out + а) dt.
m J [дх ду J
—00
Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия обеих сталкивающихся
частиц есть
!
[(х - х'J + (у - у'J + (z-z'
или
U = г2 \\(Х - X') + -cos(ujt + а) - — cos (W + аг
+ (Y-Y/)--sin(oot+a)+-sin(u;t+a/
10
/ 2 I-V2
uo uo
Сюда мы подставили невозмущенную траекторию движения E) и соот-
соответственно для другой частицы. Начало отсчета времени взято в момент, когда
частицы проходят друг мимо друга; а и о/-фазы в момент столкновения.
Подставляя A3) в (9), A1) и A2), находим, делая подстановку ujt = и:
+00
ДХ=— f[(Y-Yf)u-vsin(u+a)+v'sin(u+OL)]dux
—оо
х {[(X -Xf)u + vcos(u +a) -v cos(u + a7)]2
3/\
(Y-Y')u-vsin(u+a)+v'sin(u + (x'f +(vz-v'zf u2} ,
m J
— 00
д _- ^+Г [-(X-Xr)u;sm(t6+a) -(Y -Yr)u;cos(t6 + a) +i;/sin(a- a)]du
m J
_е2ь: Г
m J
,3/2
+OSu(Vz-v'z)du
100 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
Величины АХ', AY', Av'z, Av' получаются непосредственно отсюда заменой
штрихованных величин на нештрихованные и наоборот. Очевидно
АХ' = -АХ, AY' = -AY, Av'z = -Avz. A5)
Параметрами, определяющими столкновение, являются фазы а и о/. По ним
должно быть произведено интегрирование в B), где надо написать
с2тд = dado/.
В силу сохранения энергии при столкновениях
vAv + v'Av' + v!zAv!z + vzAvz = 0.
Имея это в виду, легко убедиться что максвелловское распределение удов-
удовлетворяет уравнению A), а именно: обращается в нуль каждая из компонент
потока j{ из B).
Частица v, vz, X,Y в одну секунду испытывает очевидно \vz — vz n/dT/dTA
столкновений с частицами v1, v'z, X', Yf, сопровождающихся изменением их коор-
координат и скоростей на определенные Avz... Следовательно,
w = | vz —v'z |. A6)
По поводу уравнений A) и B) надо сделать следующее замечание. При выводе
этих уравнений в [1] было использовано то обстоятельство, что вероятность столк-
столкновения с переходом р{ —> р{ + Ар{, р[ —> р[ + Ар[ равна вероятности обратно-
обратного переходар{ + Ар{ —> р{, р[ + Ар[ —> р[. Но в магнитном поле это несколько ме-
меняется в связи с тем, что при изменении знака времени надо менять знак и у маг-
магнитного поля. Поэтому вероятность прямого процесса равна вероятности обратного
процесса в противоположно направленном поле. Благодаря этому при выводе вы-
выражений для ji вообще говоря не исчезают члены первого порядка по Aji (см. [1]).
Можно однако показать, что в рассматриваемых ниже случаях эти члены все же
обращаются в нуль.
2. Время релаксации
Рассмотрим газ из заряженных частиц в магнитном поле, причем линейные
размеры газа D будем считать большими по сравнению со средним радиусом вин-
винтовой линии теплового движения частиц, т. е.
A7)
(к — постоянная Больцмана, Т — температура). Буквой v0 мы обозначим среднюю
тепловую скорость частицы: v0 ~ ^кТ/т.
Определим время релаксации, т. е. время установления максвелловского рас-
распределения рассматриваемого газа (распределение частиц по координатам, т. е.
6. Электронный газ в магнитном поле 101
плотность газа, при этом однородно). Искомое время определяется теми членами
кинетического уравнения, которое содержат jv и jVz.
Время релаксации для установления равновесия по скоростям v и vz, т. е. пер-
перпендикулярно и параллельно полю, оказывается различным.
Определим время релаксации для равновесия по скоростям v. Для этого надо
оценить порядок члена (l/v)d(vjv)/dv в G). В jv имеются три члена с произведе-
произведениями AvA\1AvAvz, (Av) . Исследование показывает, что первый из этих чле-
членов экспоненциально мал (как e~D^v°), а второй мал по сравнению с третьим ло-
логарифмически (в In (mv^jje2^ раз). Поэтому существенен только член с (AvJ.
Исследование показывает, что при d » v0 /uj [ d = -у(X — Xf) +{Y — Yf) есть
расстояние между сталкивающимися частицами] Av экспоненциально мало; при
d ~ vo/uj (т. е. при d ~ v/u;), как видно из A4):
е2и
AV ; тт.
mv\vv -
При подстановке этого выражения в jv интеграл по \vz — vz логарифмически рас-
расходится. Это происходит по той причине, что при малых vz —vz\ Av велико, и
выведенные формулы теряют применимость. В качестве нижнего предела интег-
интегрирования по \vz — vz | можно взять
\vz-vz
а в качестве верхнего vQ.
При оценке jv надо иметь в виду, что v ~ ^JkT/rn, а интегрирование по dX' и dY'
производится в области v/u. Тогда мы находим
djv e'nv , т1'2 (кТ)з/2 с
—г^ ^ ; т-1П-
e3H
где у есть плотность газа, т. е. число частиц в единице объема. Согласно кинети-
кинетическому уравнению, djv/dv надо приравнять dn/dt; производная дп/dt ~ n/tv, где
tv есть искомое время релаксации. Таким образом мы находим
тНктГ
Определим теперь время релаксации для установления равновесия по скоро-
скоростям vz вдоль поля. Исследование интеграла, определяющего Avz [см. A4)], пока-
показывает, что Avz экспоненциально мало при d » vQ/u (как e~D^v°) и к тому же при
малых vz —vz\ (как e~Vo'^Vz~v^). При du; ~ v0 и при \vz —vz\ ^v^.
малых
л ^
i
e v
Аналогично A8) мы находим с помощью этого выражения
A9)
102 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
Из сравнения A8) и A9) видно, что равновесие по скоростям v перпендикулярно
полю устанавливается быстрее, чем по скоростям vz параллельно полю.
Подставляя числовые значения, имеем
t ~
у In A0 Т3/2/я)
У
Так, при Н ~ 1000 гаусс, Т ~ 10 000°, у ~ 108 см,
t ~ 10 с, t - 10 с.
V ' VZ
Сравнение этих величин с экспериментальными данными затруднительно, так
как отсутствуют точные данные, относящиеся к чисто электронному (без ионов)
газу в магнитном поле.
3. Теплопроводность
Будем считать, что в каждом небольшом объеме исследуемого газа уже уста-
установилось максвелловское распределение, но только плотность газа и его темпе-
температура различны в разных местах. При этом будем считать газ неоднородным в
одном направлении, которое выберем за ось х. Плотность и температура являют-
являются функциями координаты X и времени t. Таким образом, мы ищем п в виде
п = 2ъ{т/2ъкТK/2 Ve-m{v4vW2kTy B0)
где Т = Т(Х, t) и у = у (X, i) (у — число частиц в 1 см3).
Для нахождения уравнений, определяющих у и Т, поступаем следующим об-
образом. Проинтегрируем G) с обеих сторон по vdvdvzdY по всем их возможным
значениям. Интегрирование по dY тривиально, так как от Y ничего не зависит, и
дает просто размеры газа вдоль оси у, сокращающиеся с обеих сторон G). Члены
A/г>) д (vjv )/dv и д (vjVz )/dvz при этом интегрировании пропадают (так как на пре-
пределах jv = jVz = 0), и мы находим:
1 ndTv =--?- \ jxdTv, dTv =vdvdvz,
ml1
или, подставляя B0) в левую часть,
Умножая G) с обеих сторон на энергию е частицы [е =(m/2)(v2 +^)] и произ-
производя опять интегрирование по drv, находим:
6. Электронный газ в магнитном поле 103
или, подставляя в левую часть B0),
//T- B2)
В B1) мы должны подставить выражение для jx из B). Как видно из B), jx со-
состоит из трех членов (соответствующих к = 1, 2, 3), содержащих соответственно
АХАг>, АХАг>2, (АХJ. Исследование показывает, что первые два экспоненциаль-
экспоненциально малы. В третьем же играют роль столкновения на больших расстояниях
(d » vQ(jj), что верифицируется и окончательным выражением для jx. При d » г>ои;
первая из формул A4) дает
т [d2u;2 +(v +vfJ и2 d2ijjm\vz —vz\
Для jx (помня, что (jj = \vz— vz\ —см. A6) и что АХ; =—АХ), находим из A2):
п —г - п' —— \ dTfda daf.
Jx =
Интегрирование по dado/ дает 4ty2. Кроме того, подставляем B3) и производим
интегрирование по AYf. Поскольку размеры газа велики, а интеграл по AYf схо-
сходится, интегрируем от —оо до +оо. Мы находим:
4тг2е4 г dX'dr' ( дп' , дп
Jx
г dXdTv dn ,dn\ ( ,
J \X - X \\v —v\\ dX oX)
Интеграл по dv'z логарифмически расходится при малых \vz —vz\. Это связа-
связано с уже упомянутым обстоятельством, что при малых \vz —vz\ AX велико, и вы-
выведенные формулы неприменимы. Поэтому нижний предел интегрирования по
vz —vz\ выбирается там, где АХ — X, т. е. где
muD2
При подстановке выражения B0) для п в B4) мы встречаемся, например, с интег-
интегралом
/e-mvz/2kT' ^
[Тг =Т(Х/)]. Подинтегральное выражение велико при vz близком к v'z и быстро
уменьшается после v'z ~ ^кТ/лп . Поэтому
fe mVz2 dvi ~2e-mv^2kT' f d^V; ~ V*J = 2e-mv^2kT' In V^D Ш .
104
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Наконец, подставляя в B4) выражение B0) для п и подставляя jx в B1), мы
находим после вычисления:
dv г^Л* (тктI/2 ujD2 д г dx'
= In- / v
ot ra3/V e2 oXJ X - Xr
dv1 , dv
дТ1
т+т'\дх'
дт_
' дх
B5)
Совершенно аналогично можно поступить с уравнением B2). При этом оказы-
оказывается, что третий член справа логарифмически мал по сравнению с первым (в
In(jjD/v0 раз), а второй еще в In(mkT)' ujD2/e2 раз меньше. Обоими этими чле-
членами мы пренебрегаем. Пользуясь уже полученными нами выражениями для
dv/dt, находим после вычисления
ОТ
—v— =
dt
23/W
тА2/^2
ln
(m/cT)
l/2
— Г
dxJ
ax'
\X-X'\ (T + T1)
.3/2
vv
B6)
Разложим подинтегральное выражение по (X — X7). В первом приближении это
сводится к тому, что полагается Т = Tf, дТ1'/дХ1 = дТ/дХ, v = v1 и т. д. Первый
член (с производными от плотности) в этом приближении исчезает, т. е. он оказыва-
оказывается меньше второго (с производными от температуры). Далее остается интеграл
ах1 _ v;
(Х-Х') *111 vQ
/,
|х-х'|
В результате мы находим
дТ 1 д [l6Tv5/2eV 1 Duj
— = <! In
dt vdX\ 3m3/2
1 Duj,
In In
1 дТ
yfkTdX
B7)
Это есть обычное уравнение теплопроводности
дТ _ д
Cv~dt~~dx
где ч} — коэффициент теплопроводности, a cv = 3vk/2 — теплоемкость (при по-
постоянном объеме). Для коэффициента теплопроводности мы имеем, следовательно,
выражение:
О^5/2„2л ,2,2^1/2^1/2 ^ ^^ ^ HD* (кТ)Ф
•& = ¦
-ln-
rln-
B8)
(мы подставили оо = еН/гпс ). Численно
^ = l0-"_!i_
эрг
°С • см • с
H— в гауссах, Т— в градусах, D — в см, у — в см
~3
6. Электронный газ в магнитном поле 105
Сравним величины (l/v)dv/dt и (l/T)dT/dt. Мы видели, что в уравнении B6)
для dT/dt член с производными от температуры в In (Duj/v0 ) раз больше членов с
производными от плотности, которыми поэтому можно было пренебречь. В урав-
уравнении же B5) для dv/dt все члены обращаются в нуль при и = vf, Т = Т' и т. д.
Таким образом, A/v) dv/dt в ln(Du;/i;0) раз меньше, чем A/Т)dT/dt.
Следовательно мы приходим к результату, что температура выравнивается в
газе быстрее, чем плотность.
4. Пучок заряженных частиц
Рассмотрим теперь пучок заряженных частиц, направленный вдоль маг-
магнитного поля (это направление опять выбираем за ось z). Плотность пучка в каж-
каждом сечении зависит от координат X и Y. Порядок величины толщины пучка обо-
обозначим через D. Предполагается, что для D попрежнему удовлетворяется нера-
неравенство A7).
Пучок, конечно, неоднороден и вдоль оси z. Однако вместо того, чтобы рассмат-
рассматривать пучок, неоднородный по всем трем направлениям, можно рассматривать
некоторый участок пучка (вдоль его длины) в системе координат, движущейся
вместе с ним, т. е. со скоростью, равной скорости пучка. В такой системе частицы
совершают только тепловое движение. Мы имеем тогда газ, однородный вдоль
оси z и неоднородный вдоль осей хну, плотность которого зависит однако еще и
от времени. Ниже мы так и поступаем.
Мы видели в конце п. 3, что температура выравнивается быстрее, чем плот-
плотность. Поэтому мы будем считать, что температура пучка уже выравнялась, т. е.
Т = const. Напишем уравнение для dv/dt. Оно будет теперь несколько отличаться
от B5) в связи с тем, что пучок неоднороден по обеим осям х и ту. В связи с этим в
кинетическом уравнении G) остается также и член djy/dY, а в потоках djx и djy
остаются члены с производными по Y. Выражение для AY отличается от АХ B3)
только тем, что вместо (Y — Y ) стоит — (X — X ) [см. A4)]. В результате мы на-
находим уравнение:
dv 8ty3/V л {mkT)l/2 uD2 \ д Г dX'dY1
г In-
m3/VVfcT e2 [9XJ (X-X'f +(Y-Y'
\dxJ ,
'f
Второй член в фигурных скобках отличается от первого перестановкой X и Y.
Интегрирования по dYf здесь, конечно, произвести нельзя, так каку является
функцией и от Y.
В решение этого уравнения, кроме той постоянной, которая в нем уже есть,
должна войти еще одна размерная постоянная. Интеграл J v dX dY = N есть пол-
полное число частиц в пучке, приходящееся на единицу его длины вдоль его направ-
направления (оси z). N имеет, очевидно, размерность см . Плотность v должна иметь
вид у = NF(X, Y, t), где F есть функция с размерностью см~2. Подставляя это в
106 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
B9), мы видим, что в получающееся уравнение входит только одна размерная
постоянная: ^ ф ^
Рассмотрим пучок с цилиндрической симметрией, т. е. пучок, в котором V есть функ-
функция только от расстояния г до оси пучка (и от времени). В уравнении B9) X и Y должны
быть выражены через полярные координаты, причем по полярному углу можно про-
произвести интегрирование. Но из указанной выше размерной постоянной и независимых
переменных rut можно составить только одну безразмерную величину
t e'N л (m/cT)l/2 uoD2
Следовательно, у должно иметь вид
N
t
(функция F в у = NF может быть написана в виде F = f/r2, есть безразмерная
функция).
С течением времени под влиянием кулоновского отталкивания между части-
частицами пучок расширяется. Определим изменение со временем толщины D пучка,
т. е. ширины той области, вне которой плотность делается весьма малой. Из C0)
непосредственно видно, что зависимость D от времени определяется формулой
Р4-Ро4 . e'Nm^c2 , (kT)l/2 HP2
—°- = const г .— In ——- , C1)
t H у/кТ em' с
где Do — толщина при t = 0. Вместо того, чтобы рассматривать газ с плотностью,
зависящей от г и t, можно, как выше указывалось, говорить о пучке» направлен-
направленном вдоль оси z. Тогда C1) определяет изменение ширины пучка вдоль его на-
направления. Вместо t надо писать координату z, деленную на скорость пучка.
Для плоского пучка получается несколько иной результат. Вдоль оси у пучок
теперь очень широк (теоретически бесконечен) и однороден. В каждом сечении
плотность пучка зависит только от X; пучок симметричен относительно некото-
некоторой плоскости (плоскости yz). Уравнение для dv/dt получается теперь из B5),
полагая Т = const, или из B9), вычеркивая производные по Y. Интеграл J v dX = N
есть теперь полное число частиц, приходящееся на единицу длины вдоль направ-
направления пучка и вдоль его ширины по оси у. N имеет теперь размерность 1/см2. Со-
Совершенно аналогично цилиндрическому пучку убеждаемся, что толщина пучка
(вдоль оси х) изменяется со временем по уравнению:
D3 - D03 e2Nml/2c2 л (kT)l/2 D2H
= const ~ r In-——, .
* Н2
В заключение приношу искреннюю благодарность д-ру Л. Ландау за его руко-
руководство и постоянный интерес к моей работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] L. Landau. Phys. Zs. Sowjet, 10, 154, 1936.
СТОЛКНОВЕНИЯ ДЕЙТРОНОВ
С ТЯЖЕЛЫМИ ЯДРАМИ I
Phys. Zs. Sowjet, 13, 224, 1938
Рассмотрены процессы столкновений дейтронов с тяжелыми ядрами, сопровождающиеся
распадом дейтрона и захватом нейтрона. Рассчитано сечение таких реакций как функция
энергии дейтрона. Определено распределение вылетающих частиц по энергиям.
Реакция типа
А? + Н* = В?+1 + И* (I)
наблюдалась, в частности, при столкновении дейтрона с ядром. Вероятность этой
реакции зависит от энергии дейтрона, а также от конечного состояния, т. е. от
энергии, скажем, освобожденного протона. Эта вероятность имеет максимум при
определенном конечном состоянии, эта максимальная вероятность (п. 2) практи-
практически и определяет вероятность данной реакции. Это ведет к тому, что нейтрон,
вообще говоря, захватывается на не очень глубоком ядерном уровне и, следова-
следовательно, реакция (I) должна сопровождаться излучением ^f-квантов (при переходе
составного ядра из возбужденного в нормальное состояние). Приводится также рас-
расчет вероятности захвата нейтрона на данный ядерный уровень (п. 4)
Если энергия дейтрона больше 1,72 J (J — энергия связи дейтрона), то наибо-
наиболее вероятное конечное состояние отвечает нулевой энергии нейтрона. В этом
случае нейтрон может быть либо захвачен, либо испущен одновременно с прото-
протоном (п. 3) соответственно реакции:
А?+Н* =А?+Hi+nl (II)
В п. 3 будет определено распределение испускаемых частиц (протонов и нейт-
нейтронов) по энергиям.
Вероятность реакции A) уже была рассчитана Оппенгеймером и Филлипсом *).
Однако они сделали предположение о том, что после распада дейтрона заряд на-
находится в центре тяжести системы двух освободившихся частиц, в то время как
на самом деле он переносится с протоном.
1. Общие формулы
При решении задачи о столкновении дейтрона с ядром мы используем основ-
основной метод расчета вероятности процессов, сопровождающих столкновения,
J.R. Oppenheimer, M. Phillips. Phys. Rev., 48, 500, 1935.
108 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
приведенный в работе Л. Ландау по передаче энергии при столкновениях 2). Для
удобства проведем здесь более детальное, чем в оригинальной работе Ландау, до-
доказательство основной формулы этого метода.
Представим себе квазиклассическую систему (т. е. систему с малой длиной
волны по сравнению с ее размерами; в этом случае волновая функция будет
приблизительно пропорциональна exp (iS/h), где S — действие). Предполо-
Предположим, система может находиться в двух состояниях с потенциальной энергией
LT1(g) и U2(q) (q — координата, мы для простоты будем рассматривать систему
с одной степенью свободы). Определим вероятность w перехода системы из
одного из этих состояний в другое, предполагая, что переход происходит без
излучения, т. е. при сохранении энергии в системе. Эта вероятность определя-
определяется квадратом модуля матричного элемента возмущающей энергии J Ф^Ф^сЯт.
В такой форме, однако, этот интеграл невозможно вычислить, поскольку вол-
волновые функции системы имеют быстро осциллирующую зависимость от q (экс-
(экспоненциальную с большим комплексным показателем). Из-за этого уже малое
изменение волновых функций приводит к сильному изменению интеграла. Сле-
Следовательно, никак нельзя получить правильную величину матричного элемен-
элемента с помощью приближенной волновой функции.
Чтобы избежать интегрирования по координатам, мы выполним каноническое
преобразование и выберем вместо координаты q в качестве новой переменной га-
мильтонову функцию системы в исходном состоянии:
Волновая функция \i B исходном состоянии (в переменных Нг) есть 6-функция:
E), A.2)
где Е — энергия системы. Волновая функция \2 в конечном состоянии в квази-
квазиклассическом приближении равна3)
is2(Hi)
Х2~е h , A.3)
где 52(Я1) — действие для конечного состояния, выраженное через Нх (после ка-
канонического преобразования). Мы везде пренебрежем неэкспоненциальными мно-
множителями как несущественными по сравнению с экспонентами. Действие 52(Я1)
связано с действием S2(q1) в переменных q с помощью выражения:
s2 =S2-f(Hl9q),
где / — некоторая функция, определенная так, что дифференциал ds2 может со-
содержать только член с dHv но не с dq. Из равенства
ds2 = dS2 —df = pdq — df
2) L. Landau. Phys. Zs. Sowjet, 1, 88, 1932.
3) Мы используем обозначение Дирака h.
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I 109
видно, что / должна быть равна
f(Huq) =
где интегрирование ведется при постоянном Hv Действие S2 равно
S2 = J^2m[E-U2(q)]dq,
так что
s2 =
= J V2m (E -U2)dq - J ^2т (Нг -Ujdq.
s2 должно быть выражено через Hv Чтобы сделать это, мы должны выразить q
через Hv При вычислении действия мы должны, конечно, считать, что система
движется по законам классической механики. Для системы, находящейся в ко-
конечном состоянии, согласно законам классической механики имеем:
(в квантовой механике такое соотношение, конечно, не имеет смысла). Из этого
соотношения и A.1) имеем уравнение, позволяющее точно выразить q через Н{.
H1+U2(q)-U1(q) = E. A.4)
Следовательно, мы можем написать:
U 2 -Щ =Е -Нг U 2 -Щ =Е -Нг
s2(H1)= J yj2m(E-U2)dq- J Л/2т(Я1- Ux)dq A.5)
(нижний предел — константа).
Это выражение должно быть подставлено в формулу для \2. Для матричного
элемента перехода получаем (учитывая, что \\ — 6-функция):
где, согласно A.5),
иг=и2 иг=и2
s2(E)= J <sl2m(E-U2)dq- J ^2т(Е- V\) dq. A.6)
Теперь мы видим, что для переходов важны точки U\ (g) = U2 (q).
В классической механике, если энергия сохраняется, то в точках U\ = U2 им-
импульсы обоих состояний также одинаковы (то же, естественно, относится и к
координатам).
Следовательно, можно сказать, что для переходов важны те точки, где импуль-
импульсы и координаты остаются постоянными:
Ч\ =421 Vi =Р2- (L7)
110 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Этот результат можно сформулировать в следующем виде: чтобы вычислить
действие (s2), мы должны считать систему движущейся по законам классической
механики сначала в исходном, а затем и в конечном состоянии, причем переход
возникает там, где он разрешен уравнениями механики. Однако, поскольку неза-
независимой переменной в предыдущих выводах являлась Hv а не q, траектория и, в
частности, точка перехода (решение уравнения A.7)) является, вообще говоря,
комплексной величиной.
Мы перепишем A.6), переставляя пределы интегрирования во втором ин-
интеграле:
где Sx — действие (интеграл Jpdq) в исходном состоянии, вычисленное от на-
начальной точки I до «точки перехода» ?,, S2 — действие в конечном состоянии, вы-
вычисленное от «точки перехода» до некоторой конечной точки П. (выбор точек I и II
не имеет значения, так как это меняет только действительную часть действия, а
вероятность не зависит от нее). , . ,
Вероятность w перехода пропорциональна квадрату модуля ехр — s2 (E)\, и
окончательно получаем ^ '
w „ expj-^Im^ (I,i) + S2 (I,
Знаки, естественно, должны быть выбраны так, чтобы мнимая часть действия была
положительной. Для ? необходимо взять такое решение A.7), для которого Sx + S2
имело бы наименьшую мнимую часть.
2. Распад дейтрона с захватом нейтрона
Рассмотрим столкновение дейтрона с ядрами, настолько тяжелыми, чтобы их при
столкновениях можно было считать их покоящимися. Нейтрон, образованный при
распаде дейтрона, может быть захвачен на один из ядерных уровней. Как хорошо
известно из боровской модели ядра, число мелких энергетических уровней (мы уви-
увидим, что нейтрон захватывается на относительно мелкие уровни) очень велико. Мы,
следовательно, можем предположить, что энергия частиц, образованных при распа-
распаде дейтрона, может иметь любое значение в непрерывном интервале. Вероятность
процесса зависит, естественно, от конечного состояния.
Мы должны определить эту вероятность для такого конечного состояния,
для которого она имеет максимально возможную величину. Эта максимальная
вероятность и определяет вероятность рассматриваемой реакции.
Угловой момент I дейтрона по отношению к ядру считаем равным нулю, т. е.
рассматриваем только «лобовые» столкновения. Если I ^ 0, это только понизит
вероятность. Поскольку мы интересуемся лишь максимальной вероятностью, огра-
ограничимся случаем I = 0.
В последующем изложении будем использовать вместо энергии, скорости,
координаты и т.д. соответствующие безразмерные величины. А именно, будем
измерять энергию в единицах J, скорость — в <Jj/m, координаты — в Ze2/j,
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I 111
действие — в Ze2^m/J (J — энергия связи дейтрона, т — масса протона, Ze —
заряд ядра). Пусть энергия дейтрона в этих единицах будет равна Е, энергия про-
протона и нейтрона (после распада дейтрона) — Ерм.Еп соответственно. Наконец, обо-
обозначим через ? «расстояние» от дейтрона до ядра в «момент распада» и пусть
vd, vn, vp — скорости дейтрона, нейтрона и протона в этот «момент» (выражения
для ?,, vd,vn,vp в общем случае комплексные).
Как мы видели в п. 1, «переход» происходит в той точке, где энергия и импульс
сохраняются. В нашем случае эти условия имеют вид:
Ep+En=E-l, vv+vn=2vd. B.1)
Подставляя
выразим vn и vp через vd. Обозначая
vd = iV,
получаем 4)
vn=i(V + l), vp=i(V-l). B.2)
Поскольку vd + - = Е, следовательно:
i = 17r- B'3>
Энергии Еп и Ер равны соответственно:
En=-i(l + VJ, Ep=E-± + V + ^. B.4)
ЕпиЕр, естественно, действительны, а Ер > 0 (протон не захватывается). Если Еп < О,
то скорость vn — чисто мнимая величина, т. е. V — действительное (и ? — также
действительное). Очевидно, Еп в любом случае отрицательно, если Е < 1. Если Еп > О,
скорость vn — действительная, т. е. V = — 1 — iw, где w — действительное.
Если нейтрон освобождается, энергия Еп > 0. Отрицательное значение Еп от-
относится к захвату нейтрона, хотя нейтрон может быть захвачен («прилипнет» к
ядру) также если Еп > 0.
Вероятность рассматриваемой реакции, согласно формуле A.8), пропорциональна
B.5)
где ad, crn и сгр — мнимые части действий для дейтрона, нейтрона и протона соот-
соответственно. В качестве одного из пределов в выражении для od и vp возьмем оо.
Вместо нее мы можем написать любой другой предел, лишь бы скорость дейтрона
4) Знаки перед единицей в B.2) выбраны так, чтобы в последующих выражениях мнимая часть
действия была бы положительной.
112
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
или протона соответственно была бы действительной. В оп второй предел равен
нулю, поскольку нейтрон захвачен [если нейтрон не захватывается (Еп > О, vn —
действительная) можно вместо нуля взять любой другой предел; в обоих случаях
второй предел в оп не вносит никакого вклада в мнимую часть действия].
Для od, оп и сгр имеем:
=Im
dx = Im
г(У
E + V2
2 / E
= Imj-=ArchJ
U/Ё VE + V2
2zV
E + V2
Просуммировав, получим
n P
=Im j
-^=r Arch
B.6)
B.7)
Знак перед первым Arch нужно взять таким же, как и у vd = г V, а знак перед
вторым — таким же, как и у vp = г (V — 1).
Как уже подчеркивалось, может существовать множество конечных состоя-
состояний для процесса распада дейтрона, и мы должны найти такое значение Еп (или
Ер, или V), для которых о имеет наименьшее возможное значение при данной Е.
Рассмотрим точки, в которых о как функция Ер имеет обычный минимум (или
максимум), т. е. do/dEp = 0. Тогда
da _ до d^ до _
Но do/d^ = 0 вследствие сохранения импульса в «точке распада». Таким образом,
do/dEp = 0 или, согласно B.6)
откуда следует
Im
J п п J
dx
2 Я --
= 0,
Arch,
t(V-l)
Е + V2 2Ер (Е + V2)
= 0.
B.8)
B.9)
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I 113
Рассмотрим решения этого уравнения, относящиеся к Еп < 0. Теперь V — дей-
действительное, и B.9) переходит в
V -1
(заметим, что Ер < Е + V2). Мы выбрали отрицательный знак при Ar ch в B.9)
поскольку должно быть V— 1 < Ои V+ 1 > 0. В противном случае B.9) не имеет
решения (левая часть B.10) либо всегда положительна, либо всегда отрицатель-
отрицательна). Следовательно, должно выполняться неравенство V ^ 1; второй предел
V > — 1,если Е < 1. Если Е > 1, V не может приблизиться к —1, так как Ер тогда
становится отрицательным. Нижний предел для V определяется из соотношения
Ер = 0, т. е. V = —1+^2A—Е). Следовательно, для Е > 1
а для Е < 1
Таким образом, для Е < 1 уравнение B.10) имеет нечетное количество корней
(а именно, как оказалось, только один), поскольку при V = 1 левая часть B.10)
положительна, а при V = —1 +д/2A —Е) — отрицательна. Если Е > 1, уравне-
уравнение B.10) имеет четное число корней (а именно — два), поскольку его левая часть
положительна при V = 1, а также при V = — 1. Для некоторой величины Е (а имен-
именно Е ~ 2) эти два корня становятся равными, а для больших Е B.10) вообще не
имеет корней 5). Исследование показывает, что при Е < 1 корень в B.10) — поло-
положительный и относится к минимальной величине а. Если Е > 1, оба корня имеют
сначала разные знаки, а когда Е > 1,64 — оба отрицательны (для Е = 1,64 один из
корней обращается в ноль). Корень, который сначала является положительным,
относится к минимуму сг, а второй — к максимуму.
Теперь докажем, что B.9) не имеет решений, относящихся к Еп> 0 (для Еп > 0,
конечно, должно быть Е > 1). Как уже было упомянуто, при Еп > 0 V — комплексное:
V = —l — iu, vn = u;, vp = (jj — 2i.
Делаем в B.9) подстановку
E+V2
Тогда
X г'(У-1) X г(У-1) 1
sn— =—. r, tn—=— = (ш —2г), shX=
2 ^2(E+V2) 2 7ЩГ л/2ЁГ
5) Можно вывести, что B.10) не имеет корней при Е —> оо из того, что первый член в B.10) стремит-
стремится к нулю как Е~1, а второй и третий — как Е~2.
114
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и вместо B.9) получаем:
Im
2^
1 2
Подставляя
получаем
Наконец, обозначив
/2Е
2|'
Im(chX) = Re th- Im(X + shX).
= Хх+гХ2, Im(chX) =
Im(shX) =
получаем
„ Re th-
1 2
X2 = sinX2 cosX2.
x + cos\2
Но это уравнение имеет только один корень Х2 = 0, что противоречит тому, что
V — комплексное.
При Еп = 0, т. е. V = -1 (это может быть только если Е > 1, ибо?р = 0), функция сг
имеет угловую точку. Это следует из того, что V = — 1 + <J— 2Еп, а в точке, где Еп
обращается в нуль и меняет знак, V вместо того, чтобы быть действительным,
становится комплексным, а сг, соответственно, имеет особую — угловую — точку.
С обеих сторон этой точки а возрастает (ср. п. 3), т. е. эта точка является един-
единственным минимумом.
Наконец, когда Ер —> оо, о возрастает, стремясь к конечному пределу
а =
л/Ё"
B.11)
Заметим, что Ер —> оо относится к ? = 0, т. е. дейтрон распадается после того, как
он проникает через потенциальный барьер ядра. Вероятность проникновения че-
через барьер определяется по стандартной формуле
ехр —
2Ze2 m 7Y
h
Все, что было сказано выше, можно представить графически, если мы нарисуем
график зависимости а, скажем, от Ер при данном Е. На рис. \а представлена зави-
зависимость cr(i?p) для оо > Е > ~2, а на рис. 16 — для ^2 > Е > 1,72. При Е ~ 2 макси-
максимум и минимум сливаются и исчезают при больших Е. Вплоть до Е = 1,72 величина
о в точке обычного минимума больше, чем в угловой точке, а при Е < 1,72 — наобо-
наоборот (рис. 1в). Когда Е приближается к единице, величина о в угловой точке и в точке
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I
115
максимума стремятся к бесконечности и при Е = 1 обе точки исчезают. При 1 > Е > О
зависимость сг (Ер) приобретает такой вид, как на рис. 1г.
Следовательно, для Е >1,72 о имеет наименьшее значение в угловой точке, а
для Е < 1,72 — в точке обычного минимума. Величина о для Ер = оо, т. е. ? = О,
никогда не бывает наименьшей, т. е. распад дейтрона с захватом нейтрона вообще
никогда не происходит путем проникновения дейтрона как целого через барьер.
Следовательно, при Е > 1,72 рассматриваемая вероятность распада выража-
выражается в виде
( 2Ze2
ехр —-
где
о =
и
arccos
h
B.12)
arccos.
B.13)
[это выражение, получится если в B.7) положить V = — 1; оба Arch должны быть
взяты с отрицательными знаками при V и V — 1]. Для больших Е из B.13) получаем:
о = -
ЗЕ2
B.14)
Решение уравнения B.10), которое определяет сг для Е < 1,72, нельзя выпи-
выписать в явной форме, но можно в параметрической.
Подставляя
2 ^
cos - =
2
2 E+V2'
B.15)
получаем
. X 1-У . х
sin- = . ^=, smX =
2 ПГ( ~'
V2
116
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
после чего B.10) принимает вид
Х + sinX
откуда следует, что
— sin —
E+V2 =2
X + sinX
х X X
Xsin—h2cos —
Но
,2_U-vJ
¦v2 =
Из этих двух равенств и подстановки B.15) в B.7) получим
У =¦
2cosX — Xtg —
А
Е =
A-УJ
= —= arccos
arccos
-У2
= —= arccos
B.16)
(знак перед первым arccos должен быть взят таким же, как и перед V). Эти урав-
уравнения определяют а как функцию Е в параметрической форме 6).
Для малых Е разлагая в ряд B.16), получим:
<т = -7=-2,21,
4
B.17)
т. е. когда Е стремится к нулю, сг стремится к ту v2 , или к обычному выражению
для вероятности проникновения через барьер. Однако это не значит, что в этом
случае реакция идет путем проникновения дейтрона через барьер, так как при
Е —> 0, величины V, а, следовательно, и ? стремятся к конечному пределу.
Сечение Ф пропорционально тем же величинам, что и ю, поскольку нас не ин-
интересуют предэкспоненциальные множители. В табл. 1 приведены численные зна-
значения функции f(E), определенной следующим образом:
2е2
B.18)
Для J выбрано значение 2,2 МэВ. Значения f(E) изображены также на рис. 2.
Формула для Ф, приведенная выше, становится несправедливой, когда экспо-
экспонента в Ф не настолько велика, чтобы можно было бы пользоваться квазикласси-
i 0 < Е < 1,72 соответствует 0,55 < X < 1,23.
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I
117
ческим приближением. Выражением B.18) можно пользоваться вплоть до значе-
значения Е, для которого выполняются соотношения Zf(E) — 1.
Таблица 1
EJ, МэВ
0,24
0,51
0,66
0,85
1,08
1,27
1,47
1,67
1,87
2,06
2,24
Ю/(Д)
9,65
5,86
4,81
3,99
3,30
2,88
2,54
2,29
2,05
1,87
1,72
EJ, МэВ
2,41
2,57
2,75
2,90
3,03
3,17
3,30
3,42
3,52
3,63
3,71
Ю/(Д)
1,60
1,49
1,39
1,31
1,25
1,19
1,13
1,09
1,05
1,01
0,98
EJ, МэВ
3,85
3,96
4,07
4,18
4,29
4,40
4,62
4,84
5,06
5,28
5,50
Ю/(Д)
0,90
0,83
0,77
0,72
0,67
0,63
0,55
0,50
0,44
0,40
0,36
С помощью соотношения B.16) возможно также сосчитать наиболее вероят-
вероятную энергию захваченного нейтрона, т. е. величину
En0=-\(V + lf,
где V определяется из B.16) (для Е > 1,72, как уже было упомянуто, энергия Еп0 равна
нулю). Значения Еп0 приводятся в табл. 2. Когда Е —> 0, Еп0 стремится к конечному пре-
пределу | Еп0 \J —> 3,27. Мы видим, что эта энергия в общем случае велика, т. е. нейтрон
захватывается на относительно не-
неглубокий уровень. После захвата
ядро переходит в нормальное состо-
состояние, так что захват нейтронов со-
сопровождается ^-излучением.
Таблица 2 2,5
1,5
3,5
EJ,
МэВ
0,24
0,51
0,85
1,27
1,67
2,06
МэВ
3,14
3,03
2,81
2,58
2,35
2,13
EJ,
МэВ
2,41
2,75
3,03
3,30
3,52
3,71
МэВ
1,92
1,71
1,51
1,33
1,16
1,00
0,5
3
Рис.2
EJ, МэВ
3. Распределение вылетающих частиц по энергиям
Последние формулы определяют сечение реакции с наиболее вероятным
конечным состоянием. Однако в результате реакции могут возникать и другие
118
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
конечные состояния. Следовательно, частицы — протоны, — освобожденные при
столкновении дейтронов с ядрами, распределены некоторым образом по энергиям.
Прежде всего рассмотрим тот диапазон энергий, где вероятность (максималь-
(максимальная) распада с захватом нейтрона определяется выражением B.16), т. е. область
Е < 1,72. Пусть наиболее вероятная энергия вылетающего протона будет равна
Ер0 = Е — 1 — Еп0. Для энергий Ер вблизи Ер0 а из B.7) можно разложить в ряд:
ибо
dE
= О
Ро
Следовательно, распределение вылетающих протонов по энер-
энергиям определяется формулой:
с?Ф(Ер) = Аехр
2а2 (Я)
dEp
C.1)
т. е. это — гауссово распределение с шириной ol(E)Z ^2. Вычислив d2<j/dEi0,
лучим для а(Е) выражение:
по-
2е2
+ У2)' A + VK A - V) {Е - 1/2 + V + У2/2)
2\, , C.2)
• V2){VE-3V -3E + 1) + 2{Е + 1){Е + V)
где V как функция Е определяется с помощью B.16). Значения а(Е) приведены в
табл. 3. Когда Е стремится к нулю, а(Е) стремится к 0,37.
При Е > 1,72 наиболее вероятное конечное со-
состояние после распада дейтрона есть состояние
Еп0 = 0, сечение при этом определяется форму-
формулой B.13). В этом случае нейтрон может быть
либо захвачен, либо вылетает вместе с протоном.
Распределение выпущенных протонов и нейтро-
нейтронов становится разным при Еп > 0 и Еп < 0 (нейт-
(нейтрон захвачен). Если Еп > 0, нейтрон может быть
либо захваченным, либо свободным; однако,
большинство нейтронов в этом случае не захва-
захватывается, поскольку вероятность этого захвата
мала (она равна ^Еп /Ео 7), причем Е — энергия
связи ядер, и?п<С Ео).
Рассмотрим случай Еп > 0. Чтобы найти do/dEnQ в разложении
do „
о = о0 -\ Еп + ...,
dEn0
мы должны устремить Еп к нулю со стороны положительных значений. Это соот-
соответствует стремлению V к —1 как V=—1— гоо, оо—>0 Следовательно, мы должны
da da
EJ,
МэВ
0,51
1,08
1,47
2,06
2,41
2,90
3,30
3,52
a(E)J,
МэВ
2,4
2,8
3,1
3,6
3,8
4Д
4,4
4,6
Таб
EJ,
МэВ
3,96
4,18
4,40
4,62
4,84
5,06
5,28
5,50
лица 3
C(E)J,
МэВ
6,2
7,6
9,3
11,1
13,2
15,4
17,8
20,5
положить V = — 1— гшв равенстве
И ПОТОМ ПОЛОЖИТЬ 00 = 0.
7) См., например, L. Landau. Phys. Zs. Sowjet., 11, 556, 1937.
7. Столкновение дейтронов с тяжелыми ядрами I
119
С помощью этих соображений для вылетающих нейтронов находим:
где
C-Е)
rarccos
C.3)
C.4)
Эта же формула C.3) дает и распределение вылетающих протонов, если вме-
вместо Еп поставить в нее Ер0 — Ер (Ер0, очевидно, равно Е — 1). Значения C(Е) приве-
приведены в табл. 3.
Наконец, если захвачен нейтрон с отрицательной энергией, нужно разложить сг
по степеням у/\ Еп\ = у] Ер - Ер0 (для этого случая dv/dEp0 = оо):
do
о" = (Jn
Нужно теперь устремить Еп к нулю со стороны действительных отрицательных
значений, т. е. нужно устремить V к —1 как V = — 1 + е, е^О. Из B.9) получим:
do
da
dE.
Po
Распределение по энергиям для вылетающих протонов будет теперь иметь вид:
v C-5)
-E
Ро
где
C.6)
Легко понять, что в только что обсужденном случае, т. е. при Е > 1,72, боль-
большинство распадов происходит без захвата нейтрона, т. е. с освобождением как
нейтрона, так и протона. Общее количество эмитированных протонов при зах-
захвате нейтронов с отрицательной энергией (т. е. j йФ{Ер), где йФ{Ер) взято из
C.5)) пропорционально (~f/zJ, а в случае отсутствия захвата {йФ{Ер) из C.3))
~C/z. Последнее значение велико по сравнению с первым, так как (З/z и ^/z
обычно малы.
4. Захват нейтрона на заданный уровень
Рассчитаем теперь сечение процесса распада дейтрона с захватом нейтрона
на заданный ядерный уровень —Еп. Для Еп < О V действительное, и из равенства
2/2 имеем:
120
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В а из B.12) можно выразить теперь V и Ер через Еп (Ер = Е — 1 — Еп). Знаки
перед обоими arccos нужно выбрать в соответствии со знаками V и V — 1. С помо-
помощью этой процедуры найдем:
для (К|
а = —^arccos
Е
Е-
-1 + \Еп
arccos
D.1)
для 1/2<|EJ<2:
2
cr = H—^arccos
а для 2 < Еэт I < ос :
arccos
Для захвата нейтрона на очень глубокий уровень D.1) переходит в обычную фор-
формулу «потенциального барьера»
a =
Мне хочется выразить искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за руковод-
руководство и постоянный интерес к работе.
Замечания при корректуре 1938 года
В недавней работе П. Капур [1] рассчитал сечение реакции. Расчеты прово-
проводились другим способом, и автор получил только решение B.16), которое, как мы
подчеркнули выше, относится только к случаю Е < 1,72.
В работе [2] Г. Бете рассматривал распределение по энергиям для вылетаю-
вылетающих в реакции (I) протонов. Однако он предположил ошибочно, что экспоненци-
экспоненциальный фактор не зависит от конечной энергии освобожденного протона.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Р. Кариг. Proc. Roy. Soc, 163, 533, 1938
[2] Я. Bethe. Phys. Rev., 53, 39, 1938.
8
СТОЛКНОВЕНИЯ ДЕЙТРОНОВ С ЯДРАМИ
ЖЭТФ, 8, 930, 1938
Рассматриваются столкновения дейтронов с тяжелыми ядрами, сопровождающиеся рас-
расщеплением дейтрона с вылетом или захватом образующихся частиц — нейтрона и прото-
протона. Вычислено эффективное сечение таких процессов как функция от энергии дейтрона.
Определено распределение вылетающих частиц по энергиям.
При столкновении дейтрона с ядром могут происходить, в частности, следую-
следующие реакции:
А™+Н* = В™+1 + Н{, (I)
AZ+H*=AZ+Hl+nl (II)
l$l (III)
(IV)
Вероятность всех этих реакций зависит, кроме энергии падающего дейтро-
дейтрона, также и от конечного состояния, т. е. от энергии обеих образующихся при
распаде дейтрона частиц. Эта вероятность имеет максимальное значение при
некотором определенном конечном состоянии; эта максимальная вероятность и
определяет в основном вероятность всего процесса (разд. 2, 5). Для всех четырех
реакций вероятность оказывается всегда большей, чем та, которая дается обыч-
обычной формулой для перехода дейтрона через потенциальный барьер ядра; ни одна
из них не происходит, вообще говоря, путем предварительного перехода всего
дейтрона через барьер; все они могут быть формально описаны как «предвари-
«предварительное расщепление» дейтрона (до перехода через весь барьер) с последую-
последующим захватом или освобождением образующихся частиц.
Вылетающие нейтроны или протоны имеют некоторое распределение по энер-
энергиям вокруг наиболее вероятного значения их энергии: эти распределения опре-
определены в разд. 3 и 6.
Эффективное сечение для реакции (I) вычислялось уже Оппенгеймером и Фил-
липсом [1], сделавшими, однако, при вычислении предположение о том, что после
распада дейтрона заряд движется вместе с центром инерции обеих образовавшихся
при этом частиц, между тем как он движется, конечно, с протоном.
1. Вывод общей формулы
При решении задачи о столкновении дейтронов с ядрами мы будем пользо-
пользоваться общим методом вычисления вероятности процессов, происходящих при
122 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
столкновениях, предложенным для исследования передачи энергии при столк-
столкновениях [2]. Для удобства приведем здесь еще раз вывод основной формулы этого
метода в несколько более подробном виде, чем это было сделано в цитированной
работе.
Рассмотрим некоторую квазиклассическую систему (для простоты с одной сте-
степенью свободы), т. е. систему, размеры которой велики по сравнению с длиной вол-
волны; волновые функции в этом случае, как известно, приближенно пропорциональны
exp (iS/h), где S — действие. Пусть система может находиться в двух состояни-
состояниях — с потенциальными энергиями U\(q) и U2(q) (q — координата; для простоты
мы рассматриваем систему с одной степенью свободы). Определим вероятность w
перехода системы из первого (исходного) состояния во второе (конечное), причем
переход происходит без излучения, т. е. с сохранением энергии системы. Эта вероят-
вероятность определяется квадратом модуля матричного элемента J i^Vi^dT возмуща-
возмущающей энергии. Оценка этого интеграла в таком виде, однако, невозможна в виду того,
что волновые функции являются быстро осциллирующими функциями координат
(они являются экспоненциальными функциями с большим комплексным показате-
показателем). Благодаря этим быстрым осцилляциям уже небольшие изменения волновых
функций сильно отражаются на величине интеграла, так что приближенные выра-
выражения для них вообще не могут дать верного значения матричного элемента.
Для того чтобы избежать интегрирования по координатам, произведем кано-
каноническое преобразование, выбрав в качестве переменной вместо координаты q
функцию Гамильтона,
/ L71(q), A.1)
системы в первом состоянии. Тогда волновая функция \i (B переменной Я:) сис-
системы в первом состоянии есть 6-функция
Х,~Ь(Н,-Е), A.2)
где Е — энергия системы. Волновая же функция \2 во втором состоянии в квази-
квазиклассическом приближении есть 1)
Х2~ехр ^(HJ, A-3)
где 52(Я1) — действие во втором состоянии, выраженное через Нх (после канони-
канонического преобразования). Неэкспоненциальными множителями мы нигде не бу-
будем интересоваться как несущественными по сравнению с экспоненциальными.
Действие s2(H1) связано с действием S2(q) в переменной q посредством
s2=S2-f(Hu q),
где / — некоторая функция, определяющаяся из того, что дифференциал ds2
должен содержать только член с dH1, но не с dq. Из
ds2 = dS2 —df = pdq — df
Мы пользуемся обозначением Дирака h.
8. Столкновения дейтронов с ядрами 123
мы видим, что для этого должно быть
/(Я1; q) = fj2m(Hl-Ul(q))dq,
где интегрирование производится при постоянном Hv Далее, действие S2 равно
S2 = fj2m(E-U2(q))dq,
s2 = J V2m (E - U2 (q)) dq - J ^2т (Hx - Ux (q)) dq.
так что
При этом s2 должно быть выражено через Hv Для этого мы должны выразить q
через Hv При нахождении действия мы должны, конечно, рассматривать систе-
систему так, как если бы она двигалась по законам классической механики; при дви-
движении во втором состоянии по классической механике Е = р2 /2т + U2 (q) (в кван-
квантовой механике такое соотношение конечно не имеет смысла). Из этого соотно-
соотношения и A.1) имеем
H1+U2(q)-U1(q) = E, A.4)
уравнение, определяющее в неявной форме q через Нх. Таким образом, мы мо-
можем написать
U 2 -Щ =Е -Hi U2 -Ui =E -Hi
s2(H1)= jj2m(E-U2(q))dq- J Л/2т(Я1 -U^q)) dq A.5)
(нижний предел постоянен).
Это выражение должно быть подставлено в \2. При определении матричного
элемента перехода мы получим тогда, ввиду того, что \i есть 6-функция, ^h^<E\
где, согласно A.5),
2щ 2щ
s2(E)= Jj2m(E-U2) dq- JV2m(E-LT1) dq. A.6)
Таким образом, мы видим, что для переходов существенны точки, где
В классической механике при сохранении энергии в точках, где U1 = U2, одина-
одинаков и импульс в обоих состояниях (то же относится, конечно, и к координате). Сле-
Следовательно, мы можем сказать, что для переходов существенны точки, где по клас-
классической механике остаются постоянными координаты и импульс:
<?i =<Ь Pi =Р2- (L7)
Этот результат мы можем сформулировать следующим образом. При
вычислении действия s2 мы должны рассматривать систему как движущуюся
124 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
по законам классической механики сначала в первом, а потом во втором состоянии,
причем переход из одного состояния в другое происходит там, где это возможно, по
уравнениям механики. При этом, однако, поскольку основной переменной в пред-
предшествующем выводе является Hv а не q, то траектория, и в частности «точка пере-
перехода», т. е. решение уравнения A.7), вообще говоря, комплексны.
Равенство A.6) мы напишем в виде (переставляя пределы интегрирования во
втором интеграле)
где S-l — действие (интеграл Гpdq) в первом состоянии, взятое от некоторой
начальной точки I до точек ?,, где происходит «переход», а S2 — действие во
втором состоянии, взятое от «точки перехода» до некоторой конечной точки в
этом состоянии (где именно брать I и II несущественно, так как выбор началь-
начальной и конечной точек отражается только на действительной части действия, не
входящей в вероятность). Для вероятности w перехода, пропорциональной квад-
квадрату модуля exp[(i/h)s2(E)}, имеем, таким образом, окончательную формулу
A.8)
Знаки надо при этом, конечно, выбирать так, чтобы мнимая часть действия
была положительна. Для ? надо брать то решение уравнения A.7), для которого
S1 + S2 имеет наименьшую мнимую часть (соответственно чему w имеет наиболь-
наибольшее возможное значение).
2. Эффективное сечение для реакций (I) и (II)
Рассмотрим столкновение дейтрона с ядром, настолько тяжелым, чтобы его
можно было считать неподвижным при столкновении. Образовавшийся при
распаде дейтрона нейтрон может захватываться на один из ядерных уровней.
Как известно, согласно боровской модели атомного ядра, количество ядерных
уровней — не очень глубоких — у тяжелых ядер очень велико, и они располо-
расположены относительно близко друг к другу. Поэтому конечных состояний в рас-
рассматриваемом процессе может быть очень много (мы увидим ниже, что нейт-
нейтрон захватывается преимущественно именно на неглубокие уровни). Можно
считать, что энергия образующихся при распаде дейтрона частиц может иметь
любое значение из непрерывного ряда. Вероятность рассматриваемого процес-
процесса, конечно, зависит от конечного состояния.
Мы должны вычислить эту вероятность для того конечного состояния, при
котором вероятность имеет наибольшее возможное значение. Эта максимальная
вероятность и будет определять, в основном, вероятность рассматриваемого
процесса.
Орбитальный момент I дейтрона относительно ядра мы будем считать рав-
равным нулю, т.е. будем рассматривать «лобовые» столкновения. Неравное нулю I
может только уменьшить вероятность; поскольку мы ищем максимальную ве-
вероятность, то нам достаточно ограничиться случаем I = 0.
8. Столкновения дейтронов с ядрами 125
Ниже мы будем для удобства вместо энергии, скорости, координаты и т.д.
пользоваться соответствующими безразмерными величинами, а именно: энер-
гию будем измерять в единицах J (J — энергия связи дейтрона), скорость в ^J/m
(т — масса протона), координату в Ze2/J, действие в Ze2\jmjJ. Энергию дейт-
дейтрона в этих единицах обозначим посредством Е, энергии протона и нейтрона
(после распада дейтрона) через Ер и Еп. Наконец, обозначим посредством ? «рас-
«расстояние» дейтрона до ядра в «момент распада» и посредством vd, vn, vp скорос-
скорости дейтрона, нейтрона и протона в этот момент (?, vd, vn, vp, вообще говоря, ком-
комплексны).
Как мы видели в разд. 1, «переход» происходит в точке, удовлетворяющей за-
законам сохранения энергии и импульса. Эти законы дают в нашем случае:
Ер+Еп=Е-1,
vp+vn=2vd. B.1)
Подставляя Еп =v\ji, Ер = vp/2 +1/6,, Е = v\ +1/6,, выражаем vn и vp че-
через vd. Вводя обозначение
vd = iV,
имеем 2)
vn=i(V + l), vp=i(V-l). B.2)
B-3)
Для самого vd имеем vd + 1Д = Е, откуда
1
E + V2
Энергии Еп и Ер, следовательно,
/Т/ _|_ 1 \2 77» 77» | Т/ J /О Л \
I V т11 , III III TV"! • I Z.T; )
En и Ер, конечно, должны быть действительными, причем Ер > 0 (протон не зах-
захватывается). Если Еп < 0, то скорость vn чисто мнимая, т.е. V действительно (при
этом и ? действительно). Очевидно, что Еп во всяком случае отрицательно, если
Е < 1. Если же Еп > 0, то скорость vn действительна, т. е. V = —1 — ги, где и —
действительно.
Отрицательные энергии Еп соответствуют захвату нейтрона ядром. Если же
нейтрон вылетает, то его энергия Еп > 0; однако нейтрон с положительной энер-
энергией может также и захватиться («прилипнуть» к ядру).
Вероятность распада согласно общей формуле A.8) пропорциональна
B.5)
2) Знаки перед единицей в B.2) выбраны так, чтобы в дальнейшем мнимая часть действия была
положительна.
126
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где od, ап, ор — мнимые части интегралов действия для дейтрона, нейтрон и про-
протона. Одним из пределов в od и оп написана бесконечность; вместо него можно
написать любой другой предел, на котором скорость соответственно дейтрона или
протона действительна. В оп вторым пределом взят 0, соответственно тому, что
нейтрон захватывается ядром; если нейтрон не захватывается (vn действитель-
действительно), то в качестве этого предела можно взять любой; в обоих случаях <зп одно и то
же, так что формула B.5) не меняется.
Для действий od, on, сгр имеем
B.6)
4|E--\dx =Im -=Arch
x) I IVe
= Im -
г Arch
Складывая, получаем
=Im
B.7)
При этом знак первого Arch в скобках должен быть взят таким, как знак vd = iV,
а знак второго — как знак vp = г (V — 1).
Как уже говорилось, конечных состояний при распаде дейтрона может быть
очень много, и мы должны найти значения Еп (или, что то же, Ер или V) при кото-
котором а имеет наименьшее возможное при данном Е значение, а ги — соответствен-
соответственно наибольшее значение.
Рассмотрим точки, в которых а имеет простой минимум или максимум, т.е.
do/dEp = 0. Имеем:
da
^Д+^ = о.
Ho da/d^ = 0 в силу сохранения импульса в «точке распада», и мы имеем условие
do/dEp = 0 в виде до/дЕр = 0, или согласно B.6)
ах
= o,
B.8)
8. Столкновения дейтронов с ядрами 127
= 0. B.9)
Рассмотрим решения этого уравнения, соответствующие Еп < 0 (ниже будет по-
показано, что решений с Еп > 0 это уравнение не имеет). При этом V действительно
и B.7) переходит (замечая, что Ер < Е + V2) в
Мы взяли отрицательный знак у Arch в B.9) соответственно тому, что долж-
должно быть V— 1<0иУ+1>0;в противном случае B.9) не имело бы решений (ле-
(левая сторона его была бы всегда положительна или всегда отрицательна). Таким
образом, должно быть V ^ 1; если Е > 1, то V может доходить до — 1: V ^ — 1; если
же Е < 0, то V не может дойти до —1, так как при этом Ер сделалось бы отрица-
отрицательным. Нижний предел для V в этом случае определяется тем, что на нем Ер = 0,
откуда V = — 1 + л/2 A — Е). Таким образом, при Е > 1: — 1 < V < 1, а при Е < 1:
Отсюда следует, что при Е < 1 уравнение B.10) имеет нечетное число корней
(а именно, как оказывается, всего один). Действительно, при V = 1 левая часть
B.10) положительна, а при V = — 1 + у}2 A — Е) отрицательна. Если же Е > 1, то
B.10) имеет четное (а именно два) число корней; действительно, левая сторона
B.10) положительна как при V = 1, так и при V = — 1. Эти два корня при некото-
некотором значении Е (именно при Е ~ 2) сливаются, и при больших Е B.10) не имеет
решений. То, что при Е —» оо B.10) не может иметь решений, видно, в частности,
из того, что первый член в B.10) стремится к нулю как \/Е, а оба других — как
1/Е2. Далее, исследование показывает, что при Е < 1 корень B.10) положителен
и соответствует минимуму о. При Е > 1 сначала оба корня имеют разные знаки, а
при Е > 1,64 оба отрицательны (при Е = 1,64 один из корней V = 0). При этом тот
корень, который сначала положителен, соответствует минимуму а, а другой —
максимуму.
Покажем, что B.9) не имеет решений, соответствующих Еп < 0 (при этом долж-
должно быть, конечно, Е > 1). Как было сказано, при Еп < 0 V комплексно:
V = —1 — iuj, vn = uj, vp = uj — 2i.
Сделаем в B.9) подстановку
Е+У2 2
Тогда
, X i(V-l) , X i(V-l) ш -2г
sh— = . =, th— = . = . , shX =
128 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
и B.9) приобретает вид
или, подставляя
имеем
Im (ch X) = Re [th (X/2)] Im (X + sh X).
Наконец, подставляя
Х = Х1+гХ2; Im(chX) = shXi sinX2;
Im(shX) = chXi sinX2; Re th- =
v y 1 2 { 2)
получаем
X2 = sinX2 cosX2.
Но это уравнение имеет только корень Х2 = 0, противоречащий тому, что V должно
быть комплексным.
Далее, при Еп = 0, т. е. при V = — 1, функция сг имеет угловую точку (Еп может
быть равно нулю, конечно, только если Е > 1, так как Ер > 0). Это видно из того,
что V = — 1 + у/— 2Еп, и в точке, где Еп обращается в нуль, делаясь из отрицатель-
отрицательного положительным, V из действительного делается комплексным, соответствен-
соответственно чему а имеет особую — угловую — точку. По обе стороны от этой точки а воз-
возрастает (см. разд. 3), так что эта точка является особым минимумом.
Наконец, при Ер —> оо, величина сг, возрастая, стремится к конечному пределу:
а=-к/у/Ё. B.11)
Заметим, что Ер = оо соответствует ? = 0, т. е. дейтрон распадается, перейдя
через потенциальный барьер ядра. Формула
есть обычная формула для вероятности перехода через барьер.
Все сказанное можно изобразить графически, нарисовав схематически о как
функцию от Ер при данном Е. На рис. \а изображено а при оо > Е > ~2, а на
рис. 16 — при ^2 > Е > 1,72. При Е ~ 2 максимум и минимум сливаются друг с
другом. При этом оказывается, что до Е = 1.72 значение а в точке обыкновенного
минимума больше, чем в угловой точке, а при Е > 1,72 наоборот (рис. 1в). При
приближении Е к 1 значение а в угловой точке и в точке максимума растет, об-
обращаясь в бесконечность при Е = 1. При Е < 1 а имеет вид, изображенный на
рис. 1г. Таким образом, при Е > 1,72 наименьшее значение о имеет в угловой точ-
8. Столкновения дейтронов с ядрами
129
ке, а при Е < 1,72 в точке обыкновенного минимума. Значение сг при Ер —> оо, т. е.
? = 0, никогда не является наименьшим, так что реакция (I), вообще говоря, не
происходит путем перехода дейтрона через барьер.
Таким образом при Е > 1,72 вероятность распада дейтрона с захватом нейт-
нейтрона определяется формулой
[ 2Ze2
w
h
где
О =
arccos
arccos.
B.12)
B.13)
(это выражение получается, если положить V = —1 в B.7), причем оба Arch надо
брать с отрицательными знаками соответственно тому, что V и V— 1 отрицатель-
отрицательны). При больших Е B.13) переходит в
а = 4/ЗЕ2.
B.14)
При Еп = 0 нейтрон может как захватываться, так и вылетать вместе с прото-
протоном (разд. 3). Поэтому та же формула B.12—13) определяет и вероятность реак-
реакции (II) (конечно, с другим неэкспоненциальным множителем) для всех энер-
энергий Е, начиная от 1 (при Е < 1 эта реакция, очевидно, вообще не может иметь
места). При Е > 1,72 вероятности обеих реакций, (I) и (II), пропорциональны од-
одному и тому же выражению B.12—13).
Решение B.10), определяющее а для реакции (I) при Е < 1,72, невозможно
написать в явном виде, но можно представить в параметрической форме. Для
этого сделаем подстановку
COS - = ¦
V2
B.15)
130
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
тогда
. X
sin- =
1-V
r, sinX =
V2
и B.10) принимает вид
X + sinX
2cos3(X/2)
откуда
С другой стороны,
E + V2 =2
X + sinX
Xsin(X/2) +2cos(X/2)
E+V2 =
A-V)
2sin2(X/2)
Из обоих полученных равенств и той же подстановки в B.7), получаем
V =
2cosX-X tg(X/2)
2+Xtg(X/2) '
(i-vJ
2sin2(V2)
-v2,
а =
л/Ё
arccos
X tg(X/2)
1-V
B.16)
(знак arccos надо брать таким же, как знак V).
Эти уравнения и определяют сг для реакции (I) как функцию от Е в парамет-
параметрическом виде.
При малых энергиях разложение а B.16) в ряд дает
о = ъ/у/Ё-2,21, B.17)
т. е. при малых Е стремится к ту лЛЕ, или к обычному выражению для вероятности
перехода через барьер. Это, однако, не означает здесь, что реакция происходит
путем перехода дейтрона через барьер, так как при Е —» 0 величины V, а потому
и ? стремятся к конечному (не равному нулю) пределу.
Поскольку мы не интересуемся неэкспоненциальными множителями, то эф-
эффективное сечение пропорционально тому же выражению, что и w, т. е.
где
B.18)
В табл. 1 и на рис. 2 приведены численные значения и график функций /: и
/п для реакций (I) и (II) (штриховая линия — график обычной «барьерной»
8. Столкновения дейтронов с ядрами
131
формулы, приведенной для сравнения). Для J взято значение 2,25 МэВ [3]. Вы-
Выведенные для w формулы перестают быть применимыми тогда, когда показа-
показатель в w перестает быть большим по сравнению с 1, так как при этом уже
нельзя пользоваться квазиклассичсским приближением. B.18) можно пользо-
пользоваться до значений Е, при которых Zf(E) — 1.
Таблица 1
EJ,
МэВ
0,25
0,52
0,87
1,10
1,30
1,50
1,71
1,91
2,11
ЮЛ
9,54
5,79
3,94
3,26
2,85
2,51
2,26
2,02
1,85
EJ,
МэВ
0,23
0,45
0,68
0,90
1,13
1,35
1,58
1,80
2,03
Ю/ш iv
11,90
8,17
6,53
5,57
4,91
4,43
4,06
3,77
3,52
EJ,
МэВ
2,29
2,47
2,63
2,97
3,24
3,38
3,60
3,79
4,05
ЮЛ
1,70
1,58
1,48
1,30
1,17
1,12
1,03
0,97
0,82
EJ,
МэВ
2,25
2,48
2,70
2,93
3,15
3,38
3,60
3,83
4,05
юл
оо
5,93
3,41
2,37
1,79
1,42
1,16
0,97
0,82
Ю/ш iv
3,32
3,15
3,00
2,87
2,75
2,64
2,55
2,46
2,39
EJ,
МэВ
4,28
4,50
4,95
5,40
5,85
6,30
6,75
7,20
7,65
Ю/п i
0,71
0,62
0,49
0,40
0,33
0,27
0,23
0,20
0,17
Ю/ш iv
2,32
2,25
2,13
2,03
1,94
1,87
1,80
1,74
1,67
С помощью формул B.16) можно вычислить также и наиболее вероятную энер-
энергию захваченного нейтрона, т. е. величину Еп0 = — (V +1) /2, где V определяется
по B.16) (при Е > 1,72 эта энергия Еп0 = 0, как уже отмечалось). Значения Еп0
приведены в табл. 2. При Е —» 0 энергия Еп0 стремится к конечному пределу
Мы видим, что эта энергия, вообще го-
говоря, не велика, т. е. нейтрон захватывает-
захватывается на сравнительно неглубокий уровень. В
дальнейшем ядро переходит в невозбуж-
невозбужденное состояние, так что захват нейтро-
нейтронов должен сопровождаться ^-излучением.
Таблица 2
6
ю/
5
EJ,
МэВ
0,25
0,52
0,87
1,30
1,71
2,11
МэВ
3,21
3,10
2,87
2,64
2,40
2,18
EJ,
МэВ
2,47
2,81
3,10
3,38
3,60
3,79
МэВ
1,96
1,75
1,54
1,36
1,19
1,02
4 5
EJ, МэВ
Рис. 2
В недавно появившейся работе П. Капур [4] вычисляет эффективное сечение
для реакции (I). Пользуясь несколько иным методом, он находит только решение
B.16), годное, как мы видели, лишь для Е < 1,72.
132 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
3. Распределение вылетающих частиц по энергиям
для реакций (I) и (II)
Формулы разд. 2 определяют эффективное сечение реакции для такого ко-
конечного состояния, при котором это сечение имеет максимум. Могут, однако,
происходить и такие процессы, где конечное состояние не наиболее вероятное.
Другими словами, вылетающие при столкновениях дейтронов с ядрами прото-
протоны имеют некоторое распределение по энергиям.
Рассмотрим ту область энергий, в которой эффективное сечение (макси-
(максимальное) определяется формулами B.6), т. е. область Е < 1,72.
Наиболее вероятное значение энергии вылетающего протона есть Ер0 = Е —
— 1 — Еп0. Для энергий Ер, близких к Ер0, можно разложить B.7) в ряд:
(так как do/dEp0 = 0). Распределение AФ(Ер) вылетающих протонов по их энер-
энергиям определяется, следовательно, формулой
т. е. гауссовским распределением с шириной a(E)Z ll2. Вычисление d2<j/dEp0
дает для а(Е) выражение:
^, C.2)
+ V2)(VE-3V-3E
где V определяется как функция от Е параметрическими уравнениями B.16).
При Е > 1,72 наиболее вероятное конечное состояние после распада дейтро-
дейтрона есть, как мы видели, Еп0 = 0, причем вероятность определяется B.13). В этом
случае нейтрон не обязательно захватывается, а может вылететь наряду с про-
протоном. Распределение вылетающих протонов и нейтронов различно теперь для
Еп > 0 и для Еп < 0 (захват нейтрона). Если Еп > 0, то нейтрон может как захва-
титься, так и вылететь; однако большинство нейтронов при этом именно вылета-
вылетает, так как вероятность захвата мала (она равна Л/Еп/Ео [5], где Ео — энергия
связи ядра и Еп< Ео).
Рассмотрим случай Еп > 0. Мы должны разложить a B.7) по степеням Еп:
При определении do/dEnQ мы должны стремить Еп к 0 со стороны поло-
положительных действительных значений. Этому соответствует стремление V к —1
как V = — 1 — iijj при и —> 0. Таким образом, надо в do/dEn = —do/dEp B.9) поло-
положить V = — 1 — г и; и затем и = 0.
В результате мы находим для распределения вылетающих нейтронов по
энергиям:
|j C.3)
8. Столкновения дейтронов с ядрами
133
где
arccos
C.4)
Та же формула C.3), если в нее подставить Ер0 — Ер вместо Еп, определяет
распределение вылетающих протонов (энергия Ер0 равна, очевидно Е — 1).
Наконец, в случае захвата нейтрона на отрицательный уровень, т. е. надо
/
для нахождения распределения разложить сг по степеням
как теперь do/dEnQ = оо):
do
— Ер0 (так
сг = сгп
Теперь надо стремить Еп к нулю со стороны действительных отрицательных зна-
значений. Этому соответствует стремление V к —1, как V = — 1 + е при е —> 0. Из B.9)
получаем при этом
do do Л гг=—г da Л /т^—г ^2
l^nol =
dE.
Распределение вылетающих протонов по энергиям, определяется следова-
следовательно, формулой
I Г7 /Б1 Б1 I
dEp, C.5)
C.6)
—> 0 а(Е) стремится к 0,87.
Таблица 3
где
2л/2е
J E + l
Значения а(Е) и C(Е) приведены в табл. 3. При
Легко видеть, что реакция (при Е >1,72) идет
главным образом как (II), а не как (I). Общее чис-
число вылетающих нейтронов J dФ (Еп) аЕп, dФ из
C.3)) пропорционально C/Z, а число нейтронов,
захватывающихся на отрицательные уровни
[с?Ф из C.5)] — пропорционально (~f/ZJ, т. е. го-
гораздо меньше (C/Z и ~f/Z, вообще говоря,
малы).
Г. Бете [6] рассматривал распределение выле-
вылетающих протонов по энергиям для реакции (I).
Однако он ошибочно считает, что экспоненци-
экспоненциальный множитель не зависит от энергии выле-
вылетающих протонов.
4. Захват нейтрона на данный уровень
Определим эффективное сечение для распада дейтрона с захватом нейтрона
на заданный уровень Еп < 0, в отличие от максимального сечения, которое было
определено в разд. 2. При Еп < 0 V действительно. Из Еп = -(V +1) /2 имеем
EJ,
МэВ
0,52
1,10
1,50
2,11
2,47
2,97
3,38
3,60
oJ,
МэВ
2,5
2,8
3,2
3,7
3,9
4,2
4,5
4,7
EJ,
МэВ
4,05
4,28
4,50
4,73
4,95
5,18
5,40
5,63
CJ,
МэВ
6,4
7,8
9,6
11,4
13,6
15,9
18,3
21,1
134
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Искомая вероятность определяется формулой B.12), где для сг надо подста-
подставить B.7), в котором V и Ер выражены через Еп (Ер = Е — 1 — Еп).
Знаки у обоих Arch надо выбирать, как уже отмечалось, соответственно зна-
знакам V и V — 1. Мы находим тогда
при О <|ЯП| <1/2 :
G = — -
-arccos
при 1/2 <\Еп\ <2 :
2 "~
а = -
-arccos
при 2 < | En | < oc :
2
-arccos
Е-1+ Е,
arccos
¦ +
-1 + \Еп
arccos
r, D.1)
E-1+ ?.
arccos
2\E~J-l)
Для захвата нейтрона на очень глубокий уровень D.1) переходит в «барьер-
«барьерную» формулу
5. Эффективное сечение для реакций (III) и (IV)
Аналогично выражению B.5) для реакции (I) имеем для вероятности реак-
реакции (III):
^
E.1)
Для реакции (IV) следовало бы здесь писать ап(^, 0) вместо сгпF,, оо). В дей-
действительности, однако, это не имеет значения, так как второй предел в <зп в
обоих случаях ничего не дает для мнимой части действия. Таким образом, E.1)
имеет место как для реакции (III), так и (IV).
В выражениях B.2) для vn и vp надо теперь взять другие знаки перед единицей:
vn=i(V-l), vp=i(V
E.2)
для того, чтобы в дальнейшем мнимая часть действия оказалась положительной.
Соответственно, вместо B.4) имеем теперь
Еп =-(V-lJ/2,
E.3)
Энергия протона Ер может быть как положительной, так и отрицательной, смот-
смотря по тому, захватывается ли протон на положительный или отрицательный ядер-
8. Столкновения дейтронов с ядрами
135
ный уровень. Еп < 0 опять соответствует захвату нейтрона (реакция (IV)), а
Ер > 0 — реакции (III) или (IV), причем нейтроны с Еп> 0 главным образом вы-
вылетают, а не захватываются (см. разд. 3)
Действия crd, crp, оп равны теперь для Ер > 0:
а„ = Im
= Im
+ У2
= Im
- l/x)dx\ = Im
E.4)
ap =
Если же Ер < 0, то для ap имеем (вводя Efp = —Ер):
Складывая, получаем для Ер > 0:
a = Im
Arch
E.5)
E.6)
При этом знак первого Arch надо брать таким, каков знак iV, а знак второго чле-
члена, как знак vp = i(V + 1). Для Ер < 0 имеем
E.7)
где знак Arch надо брать, как знак iV, а знак Arsh — как знак г (V + 1).
Аналогично разд. 2 мы должны определить значение Ер, при котором а имеет
наименьшее возможное значение. Рассмотрим точки, в которых do/dEp = 0. Из
E.7) имеем
= 0. E.8)
Совершенно аналогично тому, как мы делали в разд. 2, можно показать, что
это уравнение не имеет решений, соответствующих Еп > 0. При Еп > 0 У комп-
комплексно, а именно, У = 1 + ш с действительным и. Сделав в E.8). подстановку
Е'р1{Е + У2) = sh2 (Х/2), \ = \х + гХ2, путем несложных преобразований, как и в
разд. 2, находим Х: = shX: chX: — уравнение, имеющее только корень \ = 0,
противоречащий тому, что У должно быть комплексным.
136
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Можно показать также, что ни E.8), ни соответствующее уравнение
do
= Im
i(E + V2)(l-V)
Arch
E.9)
для Ер > 0 не имеют также и решений с действительным V, т. е. соответствующих
Еп<0.
При V = 1 (т. е. при Еп = 0) о имеет особую — угловую — точку, подобно тому,
как а в разд. 2; V при этом переходит из комплексного в действительное. В обе
стороны от этой точки а монотонно растет, стремясь при Ер —> ± оо к конечному
пределу (ty/VE).
Таким образом, о как функция от Ер для данного Е
имеет вид, изображенный на рис. 3. При Е < 1 угловая
Е<\ точка лежит в области отрицательных Ер, а именно, при
Ер0 = — A — Е), а при Е > 1 — в области положительных
Ер (при Ер0 = Е- 1).
Таким образом, наименьшее значение а имеет при Еп = 0.
Из E.7) находим для сг(Е) при Е < 1:
сг =
arccos
При Е > 1 имеем из E.6)
Рис.3
сг =
arccos
E.10)
E.11)
E.12)
т. е. а стремится к «барьерной» формуле, оставаясь, однако, меньше ее. При боль-
больших Е из E.11) имеем
E.13)
При малых Е разложение о E.10) в ряд дает
т. е. «барьерная» формула для протона.
Эффективное сечение Ф пропорционально
2Ze2 т. ,_.
— ^ylgloe-a(E)
E.14)
с о(Е) из E.10) или E.11). Это, очевидно, есть эффективное сечение одновременно
как реакции (III), так и (IV), поскольку в точке Еп = 0 сходятся как отрицатель-
отрицательные, так и положительные значения Еп (разд. 6); неэкспоненциальные множите-
множители, конечно, в обоих случаях различны. В табл. 1 и на рис. 2 приведены значения
и график функции /ш IV. Как видно из сравнения этих значений со значениями /:,
вероятность реакций (III) и (IV) меньше, чем вероятность реакции (I).
8. Столкновения дейтронов с ядрами
137
6. Распределение вылетающих частиц по энергиям
для реакций (III) и (IV)
Таким образом, наиболее вероятное конечное состояние соответствует Еп0 = О,
т. е. Ер0 = Е — 1, или Ер0 = — A — Е). Нейтрон может при этом вылететь или зах-
ватиться вместе с протоном. В первом случае (Еп > 0) распределение вылетаю-
вылетающих нейтронов по энергиям определяется формулой, вывод которой совершенно
аналогичен выводу C.3):
где при Е < 1
P(?) h V J
3-Е
EJ(l-E)
rArsh,
а при Е > 1
-ЕK
arcsm
Значения C(Е) приведены в табл. 4.
В случае Еп < 0 распределение захваченных на
отрицательном уровне нейтронов по энергиям
определяется формулой
F.4)
F.1)
F.2)
F.3)
Таблица 4
где
2л/2е2
Е'
F.5)
EJ,
МэВ
0,45
0,90
1,35
1,80
2,25
2,70
CJ,
МэВ
4,5
5,9
7,6
9,4
11,3
13,6
EJ,
МэВ
3,15
3,60
4,05
4,50
4,95
5,30
CJ,
МэВ
15,7
18,1
20,6,
23,3
26,3
29,0
Аналогично разд. 3 мы можем заключить из сравнения F.1) и F.4), что реак-
реакция происходит главным образом, как реакция (III), а не как (IV).
ЛИТЕРАТУРА
[1] R. Oppenheimer, M. Phillips. Phys. Rev., 48, 500, 1935.
[2] L. Landau. Phys. Zs. Sowjet, 1, 88, 1932.
[3] P. Kapur. Proc. Roy. Soc, [A] 163, 366, 1937.
[4] P. Kapur. Proc. Roy. Soc, [A] 163, 553, 1937.
[5] L. Landau. Phys. Zs. Sowjet, 11, 556, 193.
[6] H. Bette. Phys. Rev., 53, 39, 1938.
9
ПЕРЕДАЧА НЕЙТРОНА
ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР
ЖЭТФ, 9, 237, 1939
Вычисляется эффективное сечение для передачи нейтрона из одного тяжелого ядра в дру-
другое при их столкновении, т. е. для превращения одного изотопа в другой.
В предыдущей работе [1] автором были исследованы с помощью общего мето-
метода ядерные реакции передачи нейтрона или протона из дейтрона в тяжелые ядра.
Этот же метод может быть применен к другим реакциям аналогичного типа, ска-
скажем, к передаче нейтрона из одного тяжелого ядра в другое, т. е. к превращению
одного изотопа в другой:
A™+Bsr = A™~l + Bsr+l. A)
Согласно общей формуле A.8) в [1] эффективное сечение для такого процесса
равно *)
{^ n(Z, II)
где aSj есть действие (интеграл /р dq) для сталкивающихся частиц при их движе-
движении из бесконечности до «момента распада» одного из ядер; Su — действие для
всех частиц от «момента распада» до соединения нейтрона с другим ядром и окон-
окончательного разлета обоих ядер. Массы и заряды ядер (первоначальные) обозна-
обозначим как Mv M2 и Zxe, Z2e, массу нейтрона как т, а энергию связи нейтрона в рас-
распадающемся ядре посредством J. Мы будем считать ядра тяжелыми, т. е.
М19 М2 > га.
Пусть vv v2, v = v2 — vx — скорости обоих первоначальных ядер и их относи-
относительная скорость в «момент распада», v2, v[, v' — скорости в тот же момент, но
после распада, а^ — скорость вылетевшего из ядра нейтрона. В системе коорди-
координат, где центр тяжести ядер (до распада) покоится,
Vcy = V, Г)л = V.
2 M+M ' г M+M
Пусть распадается первое ядро; сохранение энергии и импульса для этого ядра дает:
(М1 - m)v[2 mvfn2 _ M2v\
2 +~2~~~2~ '
{Ml - m)v[ + mv'n = Mxvl9 B)
Мы пользуемся везде обозначением Дирака h.
9. Передача нейтрона при столкновении тяжелых ядер
139
откуда с достаточной степенью точности:
V, = V, - -
МЛ
C)
(для второго же ядра v2 = v2). Относительная скорость v' и скорость V центра
инерции оставшихся (в момент распада) ядер с той же точностью
= v2 — v[ — v
D)
Mx Ml+M2-m M1-\-M2
Расстояние 6, между ядрами в «момент распада», как функция от скорости vx
в этот момент, определяется равенством
М1М2
2MO
-^i>
где Е есть энергия сталкивающихся ядер, a a = Z1Z2e2. Отсюда
E)
Е-
2МО
Энергии всех частиц после распада должны, конечно, быть действительными. В
частности, энергия нейтрона равна Е'п = A/2)тг/2; из C) видно поэтому, что vx
должно быть или чисто мнимой, или иметь вид vx = оо — г -у/2 J/m с действитель-
действительным oj. Во втором случае ? комплексно, а в первом — действительно, но ?, < ос/Е
(ol/E определяет границу потенциального барьера). Таким образом, как и долж-
должно было быть, распад может произойти только там, куда ядра не могут попасть
согласно классической механике.
Как и в [1], для определения вероятности рассматриваемого процесса надо опре-
определить значение ? (или, что то же, значение vx), при котором Im^j +?п) имеет
наименьшее возможное значение; это минимальное значение и определяет иско-
искомую вероятность.
Полное действие Sj + Su состоит в рассматриваемом случае из следующих
частей:
Ш | Е - - | dx +
х
Z'--\dx
^ I 1
2 -m)Vfdx + Jj2Mff\e" --
dx
Sx есть интеграл действия для относительного движения ядер до распада
[М = М1М2/(М1 + М2)]; S2 — для относительного движения от момента распада до
момента захвата нейтрона вторым ядром [?/ — расстояние между ядрами в этот
140
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
момент, М'—приведенная масса ядер с массами (М\ — га) и М2, Е = A/2) MV2 + а / ? —
энергия относительного движения после распада]; ?3 — для движения нейтрона
от момента вылета из первого ядра (^ — его координата в этот момент) до момен-
момента его захвата вторым ядром (в точке с координатой ?/2); ?4 — для движения центра
инерции обоих ядер (с массами М1 — га и М2) от момента распада до момента за-
захвата нейтрона (?с и 6/с — координаты центра инерции в эти моменты); ?5 — для
относительного движения ядер (с массами М1 — га и М2 + га и М" — их приведен-
приведенная масса), начиная от момента захвата нейтрона (энергия относительного дви-
движения Е" = Е - J - Е'п).
Определение минимума полного действия весьма затруднительно в случае про-
произвольных энергий Е. Мы ограничимся здесь случаем, когда Е не слишком мало, —
во всяком случае значительно больше, чем Jm/M; в этом случае получается простой
результат, если пренебрегать выражениями высшего порядка малости по га/М.
Рассмотрим значения ?,, отличающиеся от а/Е на величину порядка га/М, т. е.
положим а/6, = Е + с/М, где с ~ 1. С достаточной точностью имеем в такой.точке:
i-Hc
гл/2
(у/с — yfmJJ, v'n = i
Vf = —
G)
Для Sx имеем:
= Im
2M\E--\dx
x
Подставляя сюда аД = Е + с/М и разлагая по степеням га/М, находим:
2л/2 сз/2а
ЗМЕ2
(8)
Расстояние ?/ между ядрами в момент захвата нейтрона вторым ядром (а вме-
вместе с ?/ также и ^2 и ^) определяется тем, что при движении нейтрона со скорос-
скоростью v'n и движении ядер под влиянием силы кулоновского отталкивания с началь-
начальными скоростями v\ и vf2, нейтрон и второе ядро попадают одновременно в одну
точку. Непосредственное вычисление показывает, что проходимый при этом ней-
нейтроном путь ?/2 — ^ отличается от расстояния ? между ядрами в момент распада
на величину порядка га/М, если само ? отличается от а/Е на такую величину. Оче-
Очевидно, что и SA и S2 имеют тогда тот же порядок величины, и, наконец, как и для
Sl9 то же самое может быть доказано для Sb. Что касается S3, то
= г
а/Е.
(9)
Указанное значение ? и оказывается тем самым, которое соответствует мини-
минимуму полного действия (более точное определение ?,, скажем, определение посто-
постоянной ев a /j; = Е + с/М, нужно было бы только для определения искомого дей-
действия с точностью до членов высших порядков по га/М). При этом значении ? все
члены в действии оказываются порядка га/М, за исключением S2, которое имеет
нулевой порядок по га/М. При значениях ?,, больше отличающихся от а/Е (т. е.
9. Передача нейтрона при столкновении тяжелых ядер 141
при более глубоком проникновении в глубь потенциального барьера), те члены в
действии, которые относятся к ядрам, быстро растут благодаря большой массе
ядер. Правда, при этом может уменьшаться ^п,ас нею и S3, но v'n приближается к
нулю только тогда, когда остальные члены в действии делаются уже порядка
у]М/т. То же самое можно показать и для комплексных значений ?,, соответству-
соответствующих действительным v'n, т. е. положительным энергиям нейтрона. Мы не станем
приводить здесь более подробных вычислений.
Таким образом, при энергиях Е » mJ/M эффективное сечение рассматри-
рассматриваемого процесса передачи нейтрона пропорционально
Ф~е п ^ (Ю)
Не представляет особого труда также учет конечного радиуса ядер при вы-
вычислении эффективного сечения. Вряд ли, однако, представляет сейчас интерес
более подробное теоретическое исследование рассматриваемой реакции.
ЛИТЕРАТУРА
[1]Е. Лифшиц. ЖЭТФ, 8, 930, 1938. [Статья 8 настоящего собрания трудов].
10
К ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО РОДА
1. ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ КРИСТАЛЛА
ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ ВТОРОГО РОДА
ЖЭТФ, 11, 255, 1941
Термодинамическая теория фазовых переходов второго рода накладывает существенные
ограничения на возможные изменения симметрии кристалла при таком переходе. В работе
произведено полное исследование всех возможных изменений элементарной ячейки кристалла
при фазовых переходах второго рода.
1. Общая теория фазовых переходов второго рода
Как известно, существуют два рода фазовых переходов — обычные фазовые
переходы (переходы первого рода) н переходы второго рода (называемые также
точками Кюри или Х-точками). Последние не сопровождаются выделением или
поглощением скрытой теплоты. Что касается фазовых переходов первого рода,
то они принципиально возможны между любыми двумя фазами. Возможность
же существования фазовых переходов второго рода оказывается весьма суще-
существенным образом ограниченной. Общая термодинамическая теория таких пе-
переходов была развита Л.Ландау [1]. Им было, в частности, обращено внимание
на глубокую роль изменения симметрии тела при фазовом перходе второго рода.
Именно, точка Кюри может существовать только в том случае, если при перехо-
переходе меняется симметрия тела.
При фазовом переходе второго рода состояние тела, т. е. расположение атомов
в нем, меняется непрерывным образом, т. е. не имеет скачка, с чем и связано отсут-
отсутствие скрытой теплоты. Симметрия же тела, конечно, меняется в точке Кюри скач-
скачком; это изменение симметрии тела и приводит к появлению скачка теплоемкости
и других производных от термодинамических величин тела — коэффициента тер-
термического расширения, коэффициента сжатия и т. п. (см., например, [2]).
Мы изложим здесь предварительно вкратце общую теорию Ландау, посколь-
поскольку она является основой дальнейших вычислений.
Состояние тела (кристалла) можно полностью описать заданием функции
плотности р(х, у, z), определяющей распределение атомов в кристалле. Этой
функцией может являться, например, плотность вероятности, такая, что pdV есть
вероятность нахождения атома определенного рода в элементе объема dV; мож-
можно также подразумевать под р среднюю плотность заряда в данном месте крис-
кристалла. Ниже мы будем говорить о функций р просто как о «плотности». Функция р
зависит как от параметров температуры, так и от давления.
Важнейшим свойством плотности р является ее симметрия; симметрия р
является симметрией кристалла. Эта симметрия складывается из отдельных
10. К теории фазовых переходов второго рода 143
элементов симметрии, т. е. преобразований координат, по отношению к которым р
инвариантно. О совокупности всех таких преобразовавий для данного кристалла мы
будем говорить, как о его группе симметрии. Подчеркиваем, что здесь подразуме-
подразумевается полная симметрия кристаллической решетки, т. е. в число преобразований
включаются как повороты и отражения, так и параллельные переносы (трансля-
(трансляции) на все возможные периоды. Как известно, существует всего 230 различных ти-
типов групп симметрии (так называемые пространственные группы). Мы будем гово-
говорить, что один кристалл обладает более высокой симметрией, чем другой, если группа
симметрии второго является подгруппой группы симметрии первого.
Непрерывности изменения расположения атомов в кристалле в точке Кюри
соответствует непрерывный ход изменения плотности р по мере изменения тем-
температуры (или давления). Таким образом, функция р измеряется непрерывным
образом, симметрия же ее меняется скачком в некоторой точке (при некоторой
температуре или давлении). Каким образом может внезапно измениться симмет-
симметрия функции при ее постепенном изменении, подробно объяснено ранее [1, 2].
Непрерывность изменения р в точке Кюри и представляет собой основу общей
термодинамической теории точек Кюри.
Пусть Go — группа симметрии, которой обладает кристалл в самой точке Кюри.
Надо определить, какой может быть симметрия тела по обе стороны от точки
Кюри. Пусть функция плотности кристалла есть р; мы должны определить ее
возможную симметрию вне точки Кюри.
Как известно из теории групп, всякую функцию можно представить в виде
линейной комбинации функций в числе, равном числу элементов групп *), обла-
обладающих тем свойством, что при всех преобразованиях данной группы они преоб-
преобразуются друг через друга.
Поэтому функцию плотности р можно представить в виде
где функции фг преобразуются друг через друга при всех преобразовааяях груп-
группы Go. Матрицы этих преобразований осуществляют так называемые предста-
представления группы Go. Выбор функций фг не однозначен; вместо них самих можно взять,
очевидно, любые их линейные комбинации. Как известно, можно всегда выбрать фг
таким образом, чтобы они распались на ряд так называемых «рас», таких, что функ-
функции, входящие в состав каждой расы, при всех преобразованиях группы Go преоб-
преобразуются только друг через друга. При этом можно добиться, чтобы каждая из рас
содержала возможно малое число функций. Матрицы преобразований функций,
входящих в каждую из этих рас, представляют собой так называемые неприводи-
неприводимые представления группы Go, а сами эти функции являются, как говорят, бази-
базисом этих представлений. Таким образом, можно написать
»у4"\ A)
где п есть номер расы, а г — номер функции в расе.
х) При определенных симметриях функции р число функций может быть меньше числа элемен-
элементов группы.
144 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Среди функций ф[п) всегда есть такая, которая сама по себе является расой и
инвариантна по отношению ко всем преобразованиям группы Go (она осуществ-
осуществляет так называемое единичное представление группы). Другими словами, эта
функция (которую мы обозначим как р0) обладает симметрией Go. Обозначая ос-
остальную часть р как 6р, мы можем написать
р = ро+8р, 6p = X)EcinVin), B)
п г
где теперь из суммирования исключена раса, соответствующая единичному пред-
представлению. Функция 6р обладает симметрией более низкой, чем симметрия Go,
так как если 6р и остается инвариантной при некоторых преобразованиях этой
группы, то во всяком случае не при всех. Заметим, что симметрия G функции р
(совпадающая, очевидно, с симметрией 8р) предполагалась, собственно говоря, с
самого начала более низкой, чем симметрия Go; в противном случае во всей сум-
сумме A) стоял бы всего один член — сама функция р, осуществляющая единичное
представление.
Коэффициенты qn^ являются функциями температуры и давления, и опреде-
определяются термодинамически из условий равновесия, т. е. из условий минимума тер-
термодинамического потенциала кристалла с плотностью р. Эти коэффициенты, в
свою очередь, определяют симметрию функций 6р [например, если все коэффи-
коэффициенты с[п^ равны друг другу, то 6р инвариантно по отношению ко всем преобра-
преобразованиям, оставляющим неизменной сумму всех ф^].
Для того чтобы кристалл имел в самой точке Кюри симметрию Go, необходи-
необходимо, чтобы все коэффициенты с^ обратились бы в этой точке в нуль, т. е. чтобы
6р = 0 и потому р = р0. Поскольку изменение состояния кристалла при переходе
через точку Кюри должно быть непрерывным, то необходимо, чтобы обраще-
обращение 8р в нуль в точке Кюри произошло непрерывным образом, а не скачком, т. е.
коэффициенты с^ должны обратиться в нуль, принимая вблизи точки Кюри сколь
угодно малые значения.
Термодинамический потенциал Ф тела является функцией от температуры Т
и давления р и, кроме того, можно рассматривать его как функцию от парамет-
параметра Cf\ причем равновесные значения определяются из условия минимума Ф.
Вблизи точки Кюри cW, согласно вышеизложенному, малы и можно разложить Ф
по степеням cW.
Предварительно заметим, что поскольку при преобразованиях группы Go
функции cpW преобразуются друг через друга (в пределах каждой расы), то мож-
можно представлять эти преобразования таким образом, как будто преобразуются не
функции ф[п\ а коэффициенты с^\ Далее, поскольку термодинамический потенци-
потенциал тела, очевидно, не может зависеть от выбора системы координат, то он должен
быть, в частности, инвариантным по отношению к преобразованиям группы Go.
Поэтому разложение Ф по степеням с^ должно содержать в каждом члене толь-
только инвариантную комбинацию величин с^ соответствующей степени.
Известно, что из величин, преобразующихся согласно неприводимому пред-
представлению группы, нельзя составить линейного инварианта. Инвариант же 2-го
порядка существует для каждого представления только один — положительно
10. К теории фазовых переходов второго рода 145
определенная квадратичная форма из су\ которую можно всегда привести к сум-
сумме квадратов.
Таким образом, начало разложения Ф имеет вид
ф = фо+Х>(п)?с«2, (з)
п г
где А™ — функции от р и Т.
В самой точке перехода кристалл должен обладать симметрией Go, т. е. рав-
равновесие должно соответствовать значениям величин cf^ = 0. Очевидно, что Ф
имеет минимум при су' = 0 только в том случае, если все А^ положительны.
Если бы в точке перехода все А™ > 0, то они были бы положительными и вбли-
вблизи точки Кюри, т. е. было бы все время ср = 0 и никакого изменения симметрии
вообще не произошло бы. Для того чтобы появились отличные от нуля с\п\ т. е.
чтобы симметрия тела изменилась, необходимо, чтобы один из коэффициен-
коэффициентов А™ изменил знак; в самой точке Кюри, следовательно, этот коэффициент
должен обратиться в нуль. (Одновременное обращение в нуль двух коэффициен-
коэффициентов А™ возможно только в изолированной точке в плоскости р, Т. Такая точка
является пересечением нескольких линий точек Кюри; ее свойства описаны
Ландау [1].)
Таким образом, с одной стороны точки перехода все А™ > 0, а с другой сторо-
стороны —один из коэффициентов А^71' отрицателен. Соответственно этому, с одной
стороны точки Кюри всегда все су' = 0, а с другой стороны — появляются отлич-
отличные от нуля су\
Следовательно, мы приходим к результату, что, с одной стороны точки Кюри
(эта сторона соответствует более высоким температурам) кристалл обладает бо-
более высокой симметрией Go, которая сохраняется и в самой точке перехода, а по
другую сторону точки Кюри симметрия G понижается, так что группа G есть
подруппа группы Go.
В результате изменения знака одного из А™ появляются отличные от нуля
cf\ относящиеся к соответствующей расе п. Таким образом, кристаллы с сим-
симметрией Go переходят в точке Кюри в кристаллы с плотностью р = р0 + 8р, где
есть линейная комбинация функций, являющихся базисом только одного (любо-
(любого) из неприводимых представлений группы Go. Соответственно этому мы будем
ниже опускать индекс п, указывающий номер расы, подразумевая всегда ту из
них, которая как раз возникает при рассматриваемом переходе.
Итак, в разложении Ф = Фо + А^сг2 + ... термодинамического потенциала, в
i
точке Кюри должен обратиться в нуль коэффициент А:
А(р,Т) = 0. E)
Для того чтобы сама точка Кюри являлась устойчивым состоянием, т. е. чтобы
Ф обладало в этой точке минимумом при сг• = 0, должен обратиться в нуль также
146 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и член третьего порядка, а член четвертого порядка должен быть положитель-
положительным. В этом отношении возможны два случая. В одном, наиболее важном из них,
члены третьего порядка тождественно равны нулю в силу самих свойств сим-
симметрии кристалла, т. е. из величин сг вообще нельзя составить инвариантов
третьего порядка. В этом случае E) определяет линию в плоскости р, Т, т. е. име-
имеется целая линия точек Кюри. Если ввести обозначение
ZX2=if, С;=ТПг, F)
г
(так что ^2^ = 1), то разложение Ф будет иметь вид
г
Ф = ф0 + ал2 + ?Ba(p,T)/i4> Ыц\ G)
где /^ — инварианты четвертого порядка, составленные из ^г; в сумме по а
столько членов, сколько можно составить независимых инвариантов четвертого
порядка из ^. Поскольку член второго порядка не содержит ^г, то ^г определяются
просто из условия минимума членов четвертого порядка (причем минимальное
значение членов четвертого порядка, т. е. коэффициента при г|4, должно быть,
согласно сказанному выше, положительным). Величина же г\ определяется пос-
после этого из условия минимума ср как функции только от т\. Найденные таким об-
образом значения ^г определяют симметрию функции 6р = т|^1гФ^ т- е- симмет-
i
рию G кристалла, возникающего при переходе в точке Кюри из кристалла с сим-
симметрией Go. Поскольку Ва — функции от р и Т, то может оказаться, что на
различных участках линии точек Кюри минимуму Ф соответствуют различные ^г;
в этом случае мы имеем дело с пересечением линии точек Кюри с линией обыч-
обычных фазовых переходов, изображенным на рис. 1 (пунктирная линия — линия
точек Кюри, сплошная линия — линия фазовых переходов, I — наиболее сим-
симметричная фаза, II и III — менее симметричные фазы).
II
К
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Линия точек Кюри может перейти непрерывным образом в линию обычных фа-
фазовых переходов между теми же двумя фазами. В самой точке соединения обеих
линий (ее можно назвать критической точкой Кюри) скачок теплоемкости делается
бесконечным [1] 2).
2) В [1] ошибочно утверждалось, что такой переход возможен только в том случае, если имеется
всего один инвариант четвертого порядка. В действительности необходимо, чтобы обратилось в нуль
минимальное значение коэффициента при т]4, соответствующее рассматриваемому переходу, при-
причем остальные минимумы должны оставаться положительными; это условие может выполняться
принципиально во всех случаях.
10. К теории фазовых переходов второго рода 147
Вторым случаем является тот, когда члены третьего порядка не исчезают
тождественно. Тогда в качестве условий в точке Кюри надо потребовать, кроме E),
обращения в нуль коэффициентов при инвариантах третьего порядка в разложе-
разложении Ф. Очевидно, что это возможно только в том случае, если имеется всего один
инвариант третьго порядка. В противном случае мы получили бы больше двух урав-
уравнений для двух неизвестных р, Т, которые не могут быть одновременно удовлет-
удовлетворены. Таким образом, в рассматриваемом случае разложение имеет вид
ф = ф0 + ATf +вл3/C) ы+?c^4/i4) ы,
и точка Кюри определяется двумя уравнениями.
Точки Кюри, следовательно, в этом случае являются изолированными. Как
показано ранее [1], эти точки расположены на пересечении линий фазовых пе-
переходов первого рода указанным на рис. 2 или 3 образом (К есть точка Кюри; I —
наиболее симметричная фаза; менее симметричные фазы II и III имеют одина-
одинаковую симметрию и отличаются только знаком г\, то же касается фаз IV, V. Воз-
Возможны также случаи, когда в точке К касаются больше, чем две кривые обыч-
обычных фазовых переходов).
В предыдущем молчаливо подразумевалось, что кристалл однороден на всем
своем протяжении, т. е. что коэффициенты сг не меняются вдоль кристалла; оче-
очевидно, что таким и должно быть равновесное состояние тела. Однако для устой-
устойчивости состояния необходимо при этом выполнение условия, чтобы термодина-
термодинамический потенциал кристалла имел минимум по отношению к изменению сг
вдоль него. Это условие накладывает определенные ограничения на сг, приводя-
приводящие, как будет в дальнейшем показано, к весьма существенным ограничениям
возможных изменений симметрии при переходе через точку Кюри. Для того чтобы
сформулировать это условие, предположим, что сг не постоянны вдоль кристал-
кристалла, являясь медленно меняющимися функциями координат. Тогда термодина-
термодинамический потенциал единицы объема кристалла будет, вообще говоря, зависеть
не только от сг, но и от их производных dcjdx, dcjdy, dcjdz по координатам.
Соответственно этому вблизи точки Кюри надо разложить Ф по степеням как сг,
так и dcjdx. Для того чтобы термодинамический потенциал (всего кристалла)
мог иметь минимум при dcjdx = 0, ..., необходимо, чтобы члены первого по-
порядка по dcjdx, ... в этом разложении тождественно обратились бы в нуль (чле-
(члены же квадратичные по dcjdx, ... должны быть существенно положительны-
положительными; это, однако, всегда возможно для сг, преобразующихся по любому из не-
неприводимых представлений, так что отсюда не получается новых условий,
накладываемых на сг).
Из членов линейных по dcjdx, dcjdy, dcjdz нас интересуют только члены,
пропорциональные просто дс{/дх, и члены, содержащие произведения сг • дск/дх.
Члены более высоких порядков, очевидно, не существенны. Далее, заметим, что
мы должны требовать минимальности термодинамического потенциала всего
кристалла, т. е. интеграла J ФвМ по всему объему. Но при этом интегрировании
все полные производные в Ф дают постоянную, не существенную для определе-
определения минимума интеграла. Поэтому все члены в Ф, пропорциональные просто
148 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
dcjdx, можно опустить. Из членов же с произведениями ск • дс{/дх, ... можно
опустить все симметричные комбинации
д<± дск _ д
Ск дх^С{ дх ~ дхС{Ск'
оставив только антисимметричную часть
<Эс. дск
с"-?-с<-в5'~ (8)
Поскольку термодинамический потенциал, как уже указывалось, есть скаляр,
то в его разложение могут войти только инвариантные линейные комбинации ве-
величин (8). Поэтому условием устойчивости состояния кристалла является отсут-
отсутствие таких инвариантов.
2. Неприводимые представления пространственных групп
Таким образом, задача об определении всех возможных типов изменения сим-
симметрии при фазовых переходах второго рода сводится к отысканию всех непри-
неприводимых представлений пространственных групп и исследованию их свойств в
смысле возможности составления соответствующих инвариантов из величин,
преобразующихся согласно этим представлениям. Однако полный разбор всех
переходов во всех 230 пространственных группах был бы слишком громоздким и
вряд ли представлял бы в таком виде особый интерес. Здесь мы сейчас ограничим-
ограничимся решением более частного вопроса о нахождении возможных типов изменения
решетки Бравэ, т. е. изменения элементарной ячейки кристалла в точке Кюри.
Предварительно необходимо выяснить некоторые общие свойства непри-
неприводимых представлений пространственных групп. Ряд общих теорем относи-
относительно этих представлений был получен Ф. Зейтцем [3] (см. также [4]).
В качестве базиса представлений пространственных групп удобно поль-
пользоваться функциями вида
фк = ике^'кг, (9)
где ик — периодическая функция (с периодами, равными периодам решетки), а
к — вектор, дающий при умножении на основные периоды t1? t2, t3 кристал-
кристаллической решетки:
kti = 1/щ , kt2 = l/n2, kt3 = l/n3 A0)
с целыми nv n2, n3. Вектор к является, очевидно, суммой рациональных частей
основных периодов h1? h2, h3 обратной решетки:
k = h1+ik+ik
П1 П2 П3
(напоминаем, что tthk = 0, если iVfc, и1, если г = к).
Как известно, каждая пространственная группа содержит подгруппу парал-
параллельных переносов, заключающую в себе все возможные параллельные переносы
10. К теории фазовых переходов второго рода 149
(трансляции), совмещающие решетку с собой (эта подгруппа и представляет со-
собой решетку Бравэ кристалла). Полная пространственная группа получается из
этой подгруппы добавлением к ней п элементов, содержащих повороты или от-
отражения, где п — число элементов симметрии соответствующего кристалличес-
кристаллического класса. Если пространственная группа не содержит существенных винто-
винтовых осей и плоскостей скольжения, то в качестве этих п элементов (которые мы
будем называть «поворотными»), можно выбрать просто элементы симметрии
кристаллического класса. В противном же случае, «поворотные» элементы пред-
представляют собой повороты или отражения с одновременным переносом на опре-
определенную долю одного из основных периодов решетки. Всякий элемент простран-
пространственной группы можно рассматривать как произведение одного из элементов
трансляционной подгруппы на один из «поворотных» элементов.
При всяком параллельном переносе функции (9) просто умножаются на неко-
некоторую постоянную. Именно при преобразовании г —> г + p1t1 + p2t2 + p3t3 функ-
функция фк умножается на ^u;J^u;J^, где u;n = е2ш1п есть один из корней n-ой степени
из 1. Таким образом, в представлении, осуществляемом функциями фк, матрицы,
соответствующие простым трансляциям, диагональны.
При действии же «поворотного» элемента симметрии, функция фк пре-
преобразуется в другую функцию фк/, вектор к', которой получается из вектора к
как раз посредством рассматриваемого поворота или отражения (в обратной ре-
решетке; для преобразования вектора к, конечно, не существенно является ли по-
поворот или отражение простыми или соответственно винтовым или скользящим).
В результате мы получаем в общем случае п различных функций фк/. При опре-
определенных значениях исходного вектора, однако, получающееся таким образом
число векторов к может оказаться меньше, чем п. Именно, некоторые из пово-
поворотных преобразований могут оставлять к неизменным (например, если вектор к
расположен вдоль оси симметрии, то поворот вокруг этой оси не меняет к).
Далее, может оказаться, что некоторые из получающихся векторов к отли-
отличаются друг от друга на вектор, равный целому кратному от периодов обрат-
обратной решетки (например, вектор k = (l/2)h и получающийся из него при инвер-
инверсии к' = (—l/2)h отличаются друг от друга на период hr). Очевидно, что функции
с такими векторами к при каждом параллельном переносе умножаются все на
одинаковую величину. Ниже мы будем называть различными только такие
вектора к, которые отличаются друг от друга не на период обратной решетки.
Каждое неприводимое представление пространственной группы осуще-
осуществляется с помощью той или иной совокупности функций фк, фк/... (или их ли-
линейных комбинаций) с векторами к, к'..., получающимися друг из друга под дей-
действием «поворотных» элементов симметрии. При этом, очевидно, в число этих
функций во всяком случае должны войти функции, обладающие всеми различ-
различными векторами к, получающимися из исходного при применении «поворотных»
элементов группы. Действительно, поскольку все такие функции преобразуют-
преобразуются различным образом при трансляциях (умножаются на различные постоян-
постоянные), то никаким выбором их линейных комбинаций невозможно добиться умень-
уменьшения числа преобразующихся друг через друга функций, т. е. приведения пред-
представления. Что же касается функций, векторы к которых отличаются на периоды
150 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
обратной решетки, то при трансляциях они (а потому и любая их линейная ком-
комбинация) уменьшаются на одинаковые величины; поэтому отнюдь не исключена
возможность того, что соответствующим выбором их линейных комбинаций мож-
можно уменьшить число функций, преобразующихся друг через друга при примене-
применении «поворотных» элементов группы. Функции, осуществляющие данное непри-
неприводимое представление (т. е. функции фк или их линейные комбинации), мы бу-
будем обозначать ниже посредством фг.
Некоторые из неприводимых представлений пространственной группы мо-
могут оказаться комплексными (т. е. при преобразованиях группы функции базиса
переходят в их линейные комбинации с комплексными коэффициентами).
Наряду со всяким таким представлением всегда существует комплексно ему
сопряженное (осуществляющееся комплексно-сопряженными функциями). По-
Поскольку физическая плотность 6р = Х]сгФг должна быть действительной и оста-
оставаться таковой при всех преобразованиях, то ясно, что два комплексно-сопря-
комплексно-сопряженных неприводимых представления физически должны рассматриваться как
одно, со вдвое большей размерностью (числом функций в базисе). Плотность 6р
должна при этом быть действительной линейной комбинацией» всех этих комп-
комплексно-сопряженных функций.
Как было выше показано, одним из условий возможности существования точ-
точки Кюри является невозможность составления инвариантной комбинации из ве-
величин (8), где сг преобразуются согласно данному неприводимому представлению.
Производные дс{/дх, дс{/ду, дсг/дг преобразуются как произведения вектора
(с компонентами д/дх, д/ду, д/dz) на величины сг. Поэтому величины (8) преоб-
преобразуются друг через друга как произведения вектора на антисимметризованные
произведения сгск. Следовательно, требование о невозможности составления ска-
скаляра из величин (8) эквивалентно требованию о невозможности составления из
величин aik =ц){(х,у,г) ^pk(xf,yf,zf^ — ^pk(x,y,z) ^р{(х\у\г^ комбинаций, преоб-
преобразующихся как компоненты вектора. (Заметим, что для одномерных представ-
представлений с базисом из одной функции такого вектора, конечно, не существует.)
Это требование непосредственно приводит к весьма сильному ограничению
тех неприводимых представлений, которые могут быть связаны с переходами в
точке Кюри. Для того чтобы получить некоторое неприводимое представление
группы, мы должны выбрать какой-нибудь вектор к и произвести над ним все
повороты и отражения, входящие в класс кристалла. Кроме того, как было выше
указано, в каждое неприводимое представление должны войти все комплексно-
сопряженные функции. Это значит, что наряду с каждым к надо взять и век-
вектор — к. Другими словами, для получения всех нужных векторов надо приме-
применить к исходному вектору к все элементы класса, дополненного центром инвер-
инверсии, если он не содержит его сам по себе (скажем, в случае пространственной
группы из классов Т, О,... надо соответственно применять к вектору к элементы
классов Th, Oh ...). Как уже указывалось выше, некоторые из этих поворотов и
отражений могут переводить вектор к в самого себя (причем мы считаем тожде-
тождественными все к, отличающиеся только на период обратной решетки). Совокуп-
Совокупность этих преобразований, не меняющих к, составляет сама по себе группу, кото-
которую можно назвать «собственной симметрией» вектора к. При этом оказывается
10. К теории фазовых переходов второго рода 151
весьма существенным, обладает ли группа «собственной симметрии» вектора к
«особой точкой», т. е. центром инверсии или какой-нибудь совокупностью осей
или плоскостей симметрии, пересекающихся в одной точке.
Нетрудно убедиться в том, что для всякого вектора к, собственная симметрия
которого не обладает особой точкой, из функций, осуществляющих соответству-
соответствующее неприводимое представление, можно составить преобразующиеся как ком-
компоненты вектора линейные комбинации величин dik.
Пусть вектор к занимает наиболее общее положение; тогда мы получим из
него все п (или 2п, если сам класс не обладает центром инверсии) различных
векторов. Для каждого к непременно будет иметься отличный от него вектор —к.
Из величина^ надо взять только те, которые составлены из функций фг и cpfc,
соответствующих векторам ±к, так как только эти из aik инвариантны по отно-
отношению ко всем трансляциям, каковыми и должны быть величины, преобразую-
преобразующиеся как вектор. Эти величины aik меняют знак при инверсии (т. е. изменении
знака к), а при всех других преобразованиях преобразуются друг в друга, в точ-
точности соответственно преобразованию друг в друга векторов к. Поэтому очевид-
очевидно, что из них можно составить линейные комбинации, преобразующиеся как
любая компонента вектора.
Пусть теперь вектор к занимает некоторое избранное направление, т. е. обла-
обладает некоторой собственной симметрией (без особой точки), скажем, вокруг ка-
какой-нибудь оси (т. е. группа собственной симметрии вектора к состоит из оси сим-
симметрии и проходящих через нее плоскостей симметрии). Если рассматриваемая
пространственная группа также не обладает никакими осями или плоскостями,
пересекающими ось симметрии вектора, то из величин aik во всяком случае можно
составить линейную комбинацию, преобразующуюся как компонента вектора
вдоль этой оси, т. е. попросту инвариантную относительно всех преобразований
группы (соответственно тому, что для всякого неприводимого представления
можно составить квадратичный инвариант). Если же пространственная группа
обладает также и такими элементами симметрии, которые изменяют к, то мы
будем иметь величины aik, преобразующиеся друг через друга соответственно
изменениям к. Поэтому и в этом случае можно будет составить из aik величины,
преобразующиеся как компоненты вектора.
Эти соображения, однако, делаются неприменимыми, если к обладает соб-
собственной симметрией с особой точкой. Так, если эта симметрия содержит центр
симметрии, то к отличается от —к на период обратной решетки, и потому нельзя,
вообще говоря, утверждать, что в неприводимое представление группы войдут
как функции, соответствующие вектору к, так и —к. Поэтому может оказаться
невозможным составление таких аг7с, которые были бы инвариантными по отно-
отношению к трансляциям. Если же, например, вектор к обладает собственной сим-
симметрией D2, то хотя в соответствующее неприводимое представление и войдут
функции с ±к, но будучи симметричными вокруг трех взаимно-перпендикуляр-
взаимно-перпендикулярных направлений, они не могут образовать составленного из aik вектора.
Можно, наконец, доказать следующую общую теорему: для всякого перехо-
перехода, связанного с уменьшением числа элементов симметрии кристалла вдвое, мо-
может существовать линия точек Кюри. Уменьшение числа элементов симметрии
152 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
вдвое означает, что группа симметрии G является подгруппой индекса второй
исходной группы Go. Такие изменения симметрии могут произойти или путем
увеличения вдвое элементарной ячейки кристалла (уменьшение вдвое числа воз-
возможных трансляций) при неизменном кристаллическом классе, или путем из-
изменения класса из голо- в гемиэдрический (или из геми- в тетраэдрический) при
неизменной решетке Бравэ (уменьшение вдвое числа «поворотных» элементов
симметрии). Для доказательства замечаем, что всякая подгруппа индекса 2 яв-
является, как известно из теории групп, нормальным делителем 3) исходной груп-
группы (см., например, [5]).
В виду этого очевидно, что всегда существует неприводимое представление
группы, осуществляющееся одной функцией ср, инвариантной по отношению по
всем элементам из G и меняющей знак под действием остальных элементов груп-
группы Go. Соответствующая плотность 6р = сф будет, очевидно, обладать симметри-
симметрией G, и поскольку ф не инвариантно, то возможна линия точек Кюри.
3. Изменение решетки Бравэ в точке Кюри
Если найдены неприводимые представления, удовлетворяющие условиям воз-
возможности существования точек Кюри, то, определяя из условия минимума Ф ко-
коэффициенты сг, мы получим плотность 6p = Zlci(vPi- Соответствующая симметрия
определяется тогда как совокупность преобразований, оставляющих 6р неизме-
неизмененным. Однако для того чтобы найти возможные способы изменения решетки
Бравэ, нет необходимости, как будет сейчас показано, в полном определении не-
неприводимых представлений.
Как было выше показано, функции фг, могут быть выбраны так, чтобы при всех
трансляциях они либо просто умножались на некоторые постоянные, либо не из-
изменялись вовсе. Ясно поэтому, что любая линейная комбинация X! сгФг будет ин-
инвариантна только относительно тех трансляций, которые вообще не меняют ни
одной из входящих в нее функций фг. Самые величины коэффициентов сг следова-
следовательно, несущественны; необходимо только знать, какие из них отличны от нуля.
При этом мы должны интересоваться, очевидно, только функциями, обладающи-
обладающими различными векторами к, поскольку функции с векторами к, отличающимися
на период обратной решетки, одинаково преобразуются при трансляциях.
Термодинамический потенциал ср разложенный по степеням сг, может иметь,
вообще говоря, несколько минимумов (с различными значениями коэффициен-
коэффициентов сг). Для того чтобы найти все эти минимумы, необходимо было бы определить
полностью данное представление. Для каждого данного вектора к (и векторов,
получающихся из него при поворотах и отражениях) соответствующие ему не-
неприводимые представления различны в разных пространственных группах (осу-
(осуществляющихся с рассматриваемой решеткой Бравэ), и соответственно могут
быть различными минимумы термодинамического потенциала. Можно, однако,
считать 4), что если и не во всех пространственных группах (с одной решеткой
3) Подгруппа G группы Go является нормальным делителем Go, если для всякого элемента G из
G и элемента Go из Go, не входящего в G, произведение GqGGq есть опять элемент из G.
4) Более подробное исследование подтверждает это.
10. К теории фазовых переходов второго рода 153
Бравэ), то хотя бы в некоторых из них минимумам термодинамического потен-
потенциала могут соответствовать такие наборы значений сг, что осуществляются ли-
линейные комбинации Yjci$i практически со всеми возможными наборами функ-
функций, обладающих различными векторами к. Такой способ рассмотрения легко
приводит к отысканию всех возможных изменений решетки Бравэ в точке Кюри,
если мы не интересуемся, в каких именно из пространственных групп с данной
решеткой Бравэ возможно каждое из этих изменений. Возможно, что в получае-
получаемое таким образом перечисление возможных случаев войдут и некоторые в дей-
действительности невозможные, но таких случаев будет немного, и, во всяком слу-
случае, можно утверждать, что никакой другой случай, кроме нижеперечисленных,
невозможен.
Выше было показано, что условиям возможности существования точек Кюри
удовлетворяют только те векторы, собственная симметрия которых обладает ис-
исключительной точкой. Для определения всех таких векторов заметим, что соб-
собственная симметрия вектора к является не чем иным как собственной симмет-
симметрией той точки в обратной решетке, в которую направлен проведенный из нача-
начала координат вектор к. При этом обратной решетке надо приписывать те оси и
плоскости симметрии, которыми обладает класс, содержащий рассматриваемую
пространственную группу. К этим осям и плоскостям необходимо, кроме того, как
было выше показано, всегда добавлять центр симметрии (если его нет в самом
классе). Таким образом, всего надо рассматривать обратные решетки с симмет-
симметрией классов Сг, C2h, D2h, D±h, C3i, D3d, C6h, D6h, Th, Oh.
Нахождение особых точек (так мы будем называть точки, собственная симмет-
симметрия которых обладает исключительной точкой, т. е. по крайней мере какой-нибудь
из следующих комбинаций осей и плоскостей симметрии: Сг, D2, S±, C3h, D3) в об-
обратной решетке легко производится с помощью приведенных в «Интернацио-
«Интернациональных кристаллографических таблицах» [6] таблиц собственных симметрии
точек в решетках. Именно, надо брать пространственную группу с решеткой Бравэ
того типа, который мы рассматриваем, и того класса, симметрией которого должна
обладать обратная решетка (причем ту пространственную группу, в которой нет
существенных винтовых осей или плоскостей симметрии), и выбрать те точки в
ней, которые обладают симметрией требуемого характера.
Приведем здесь два примера такого определения.
В триклинной решетке Бравэ обратная решетка есть также простая триклин-
ная. Соответственно этому рассматриваем пространственную группу С/ ([6],
стр. 94). Кроме начала координат, центром инверсии обладают в ней точки
(Ь)(ООК), (с) @^0), (d)(KOO), (e)Q^O), (/) (%Щ), {д){Щ%), (К) {%%%).
Выбирая оси х, ту, z по направлениям основных периодов решетки, а самые вели-
величины этих периодов в качестве единиц длины в этих направлениях, мы можем
написать функции ср с волновым вектором, соответствующим, например, точке (Ь)
в виде Ф = emz (периодический множитель не существенен). Эта функция инва-
инвариантна относительно преобразования z —> z + 2. Таким образом, происходит удвое-
удвоение периода t3 (соответственно чему удваивается и объем элементарной ячейки).
154 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Аналогично и остальные перечисленные точки соответствуют удвоению одного
из периодов. Так, функция ^р = еш^х+у^ [соответствующая точке (е)] означает
удвоение периода t: + t2. Ввиду произвольности выбора основных периодов в
триклинной решетке, однако, все эти случаи не являются существенно различ-
различными. Таким образом, единственное возможное изменение в точке Кюри трик-
триклинной решетки Бравэ с основными периодами, направленными из @00) в точки
A00), @10), @01), это переход в решетку с ячейкой, построенной на периодах
A00), @10), @02).
В качестве второго примера рассмотрим объемноцентрированную кубическую
решетку. Обратная решетка является, как известно, в этом случае гране-цент-
рированной кубической же решеткой. При добавлении центра инверсии куби-
кубические классы дают Th или Oh; в обоих этих классах гранецентрированная ре-
решетка обладает одними и теми же особыми точками, именно (см. [6], стр. 363).
4 (ь) (кт s (с)
24 (d) (ОХХ), (ХОХ), (ХХО) (ОХХ) (%о/4)
Здесь перечислены только те точки, которые отличаются друг от друга не на
период; они соответствуют различным векторам к [остальные точки получаются
из приведенных путем прибавления периодов (OJ^X)' (Х^Х)' (^ХХ) обратной
решетки].
Функция, полностью периодическая в рассматриваемой объемноцентри-
рованной решетке Бравэ, есть е47гг(х+^+2) Где оси х, у, z направлены по ребрам куба
и длина ребра принята за единицу [кроме переносов вдоль ребер куба в объемно-
центрированной решетке есть еще перенос в точку (Я К К)]- Вектору к, оканчива-
оканчивающемуся в точке (Ь), в обратной решетке соответствует, следовательно, функция
Эта функция попрежнему периодична по отношению к переносам вдоль ре-
ребер кубических ячеек, но меняет знак при переносе в (XXЮ- Поэтому ей соот-
соответствует переход объемно-центрированной решетки Бравэ в простую кубичес-
кубическую решетку, с теми же длинами ребер; объем элементарной ячейки при этом
удваивается.
Точкам (с), из которых вторую удобно взять в виде (X X К) [вычтя период A11)]
соответствуют две функции
Обе эти функции, а поэтому линейная комбинация их обеих, обладают одина-
одинаковой трансляционной симметрией. Именно, они не меняются при переносах на
удвоенные длины ребер куба и вдоль диагоналей его граней [в точки (ПО), A01),
@11)]. В результате мы получаем переход в гранецентрированную кубическую
решетку Бравэ с кубической ячейкой со вдвое большими ребрами, чем в исход-
исходной; объем элементарной решетки при этом учетверяется. Заметим, что период
10. К теории фазовых переходов второго рода 155
(К /4 /4) исходной решетки подвергается учетверению [наименьший период в этом
направлении оказывается равным B22)].
Наконец, точкам (d) соответствуют функции
Выбирая 6) 6р = Х1сгФг в виДе линейной комбинации из одной, двух и т. д. из
этих функций (некоторые такие комбинации дают одинаковый результат), мы
найдем еще четыре существенно различных случая возможных изменений ре-
решетки Бравэ; мы не станем здесь приводить подробного их разбора.
Результаты полного исследования всех решеток Бравэ приведены в табли-
таблицах. Для каждой из 14 решеток Бравэ перечислены все решетки, в которые она
может перейти при фазовом переходе второго рода. Обозначения, принятые в
этой таблице, следующие. Оси координат в триклинной, моноклинных, ромби-
ромбических, тетрагональных и кубических решетках выбраны вдоль трех ребер ос-
основного параллелепипеда. Оси х, у в моноклинных решетках пересекаются под
прямым углом; ось z в тетрагональных решетках направлена по высоте призмы.
Простая решетка Бравэ описывается тремя вершинами основного параллелепи-
параллелепипеда, так что простая исходная решетка есть A00, 010, 001) [индекс начала коор-
координат @00) опускается]. В решетках с центрированным основанием к этим точ-
точкам добавляется еще центр основания, так что для исходной решетки надо пи-
писать A00, 010, 001) (ХХО); центрированные основания всегда выбираются в
качестве плоскости ху. В гранецентрированной решетке кроме вершин указы-
указываются центры трех граней: A00, 010, 001) (ПО, 101, 011), а в объемноцентриро-
ванной — центры ячеек A00, 010, 001) (XXX)-
В ромбоэдрической решетке оси выбираются по трем ребрам элементарного
ромбоэдра; исходная ячейка в этих осях есть A00, 010, 001). В гексагональной
решетке оси выбираются по ребрам элементарной четырехгранной призмы с
ромбическим основанием; оси х, у направлены по сторонам основания под углом
120° друг к другу, ось z — по высоте [индексы такой ячейки опять A00, 010, 001)].
Индексы точек в получающихся при переходе решетках даются в единицах
длин ребер исходных ячеек. Цифра перед символом решетки Бравэ указывает,
во сколько раз увеличивается при данном изменении решетки Бравэ объем эле-
элементарной ячейки (под элементарной ячейкой подразумевается ячейка, содер-
содержащая по одному узлу решетки Бравэ, т. е., например, в объемноцентрирован-
ной решетке объем элементарной ячейки вдвое меньше объема элементарного
параллелепипеда Бравэ). Каждый из перечисленных переходов возможен, во-
вообще говоря, во всех классах той системы, к которой относится исходная решет-
решетка Бравэ (за исключением случаев, особо оговоренных в таблице).
) Необходимо заметить, что когда мы пишем 6р = ^с^ с простыми экспоненциальными фун-
функциями ф;, то это равенство имеет, собственно говоря, условный характер, поскольку в действитель-
действительности, конечно, функции Lp{, составляющие реальную плотность кристалла, имеют другой вид. Су-
Существенно, однако, что эти истинные функции ср^ преобразуются так же, как и выбираемые нами
простые функции, а больше ничего и не требуется для определения симметрии, возникающей при
переходе.
156 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
4. Выводы
1. Фазовый переход второго рода (точка Кюри) возможен только между фа-
фазами, обладающими различной симметрией. При этом симметрия одной из фаз
всегда является более низкой, чем симметрия другой фазы, т. е. все элементы
симметрии первой фазы являются в то же время элементами симметрии второй
фазы, но не наоборот (группа симметрии второй фазы является подгруппой груп-
группы симметрии первой фазы).
2. Всякое изменение симметрии, при котором число различных элементов сим-
симметрии кристалла уменьшается вдвое, может произойти в точке Кюри.
Сюда относятся, во-первых, случаи, когда не меняется элементарная ячейка ре-
решетки (т. е. решетка Бравэ), но уменьшается вдвое число отражений и поворотов
(например, кристалл переходит из голо- в гемиэдрический класс, и, во-вторых,
случаи, когда класс кристалла не меняется, но уменьшается вдвое число воз-
возможных параллельных переносов решетки, т. е. увеличивается вдвое объем эле-
элементарной ячейки.
3. В табл. 1 перечислены все возможные изменения решетки Брава, которые
могут иметь место в точке Кюри (кроме того, конечно, могут произойти и такие
изменения симметрии, при которых решетка Бравэ вообще не меняется). При-
Принятые в этой таблице обозначения объяснены в конце п. 3. Необходимо иметь в
виду, что наряду с изменением решетки Бравэ может меняться также и симмет-
симметрия по отношению к поворотам и отражениям, т. е. меняться и класс кристалла.
Обозначение решеток Бравэ, получающихся из исходной решетки, дано таким
образом, что оно отнесено к наиболее симметричной системе, к которой они вооб-
вообще могут относиться. Так, при удвоении одного из ребер кубической ячейки в
решетке Гс (случай 1 в таблице) решетка может сохранить симметрию во всяком
случае не выше какого-нибудь из классов тетрагональной системы; может, од-
однако, оказаться, что симметрия кристалла сделается еще более низкой, скажем
ромбической. В таком случае получившаяся решетка будет не Гг, а Го (поскольку
равенство сторон оснований ячеек не связано тогда необходимым образом с сим-
симметрией кристалла, решетка несколько деформируется, так что обе стороны
квадратных оснований ячеек перестанут быть равными). Аналогичные замеча-
замечания относятся и ко всем другим случаям. Существенным, однако, является то
обстоятельство, что какой бы ни была истинная симметрия получающейся ре-
решетки, в нее входят все те периоды (узлы), которые указываются в табл. 1.
Таблица 1
Изменения решетки Бравэ в точках Кюри
1) 2 rtr B00,010,001) Г{
1) 2 Гт B00, 010, 001) Гт 3) 2 Гт B00, 020, 001) A10)
2) 2 Гт A00,020,001)
1) 2 Г^ A00, 010, 002) (XX0) гт 3) 2 гщ A00> ХХ°> °01)
2) 2 Гт A00, 010, 001) 4) 4 Гт B00, 020, 001) A10)
1) 2 Го B00, 010, 001) Го 3) 2 Tf0 B00, 020, 002) A10, 101, 011)
2) 2 Гц B00,020,001) A10)
10. К теории фазовых переходов второго рода
157
1) 2 Гъ0 A00,010,002) (ХХ°)
2) 2 Го A00,010, 001)
3) 2 Гц A00,010,002) (XXI)
4J Гт @01,110, УУ20)
1) 2 Гц A00,010,001) (ХХ°)
2) 2 rtr (ХХ°.Х°Х , 011)
1) 2 Го A00,010,001)
2J Гът B00,020, XXX) (ПО)
1) 2 Ft A00,010,002)
2) 2 rt A10, 110,001)
3) 2 Г^ A10, 110,002) A01)
4) 2 Го B00,010,001)
1) 2 Ft A00,010,002)
2) 2 Ft A10, 110,001)
3) 2 Tvt A10, 110,002) A01)
4) 2 Го B00,010, 001)
1) 2 Ft A00,010,001)
2J Г* A10,001,001) (ККК)
3) 2 Г^ A00,011,011) (XXX)
4) 4 rt A10, 110,001)
1) 2 rt A00,010,002)
2) 2 Ft B00, 020, 002)
3) 2 Г{ B00, 020, 002) A10, 101, Oil)
1) 2 Гс A00,010,001)
2J Г? A00, Oil, Oil) (KKK)
3) 4 rt A10, 110,001)
1) 2 rt (KX°> KK°> 001)
оЛ о F Ml/1/ 1/11/ 1/ 1/ "М
ZJ Z -1 rh V -V2 /2 > /2V2) /2 /2 -1 J
3) 4 Гс A00,010, 001)
4L Гт A10,110, КОЯ)
1) 2 Trh A10, 101,001)
2) 2 Г^ A10, 110,002) A00)
3) 2 Гт A10, 110,001)
1) 2 Th A00,010, 002)
2) 2 Го A10, 101,011)
3) 2 FJ A10, 110,002) A00)
4) 4 Th A20, 110, 001)
5) 4 Th B00, 020, 001)
1 0
1 0
Го
г.
Г7
5) 2 Г^ B00,002, y2y20) A01)
6) 4 Гц B00,020,001) A10)
7) 4 Г? B00, 020, 002) A10, 101, 011)
3L Г^ B00,020, Х°Х) (П°)
4) 8 Г? B00, 020, 002) A10, 101, 011)
3L Гъ0 B00,020,001) A10)
4) 4 Tf0 B00, 020, 002) A10, 101, 011)
5) 2 Гц B00,002,010) A01)
6) 4 rt B00,020,001)
7) 2 Tvt B00,020,002) A11)
5) 2 Гц B00,002,010) A01)
6) 4 Ft B00,020,001)
7) 2 Tvt B00,020,002) A11)
5) 4 Гц B00,002,010) A01)
бLГт B00,020, XXX)
7) 4 Tvt A00, 110,002) A01)
8) 8 Tvt B00,020,002) A11)
4) 4 rt B00,020,001)
5) 4 Tvc B00,020,002) A11)
6) 8 Гс B00, 020, 002)
4) 4 Гт B00, 020, ЯХХ )
5) 4 Г{ B00, 020, 002) A10, 101, 011)
6) 8 Г^ B00,020,002) A11)
5L Г^ A00,010,002) (XXI)
6) 8 Г{ B00, 020, 002) A10, 101, 011)
7) 16 Ft B00,020, 001)
8) 32 Гс B00, 020, 002)
4) 4 Г^ B00, 220, 001) B00)
5) 4 Trh A11, 111, 111)
6) 8 Trh B00, 020, 002)
6) 4 Г^ B20, 220, 002) B00, 111, 111)
7L Г^ B00,002,020) A01)
8) 32 Th A20, 110,002)
9) 8 Th B00, 020, 002)
158 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
4. Как видно из табл. 1, в большинстве случаев изменение решетки Бравэ
заключается в удвоении (по величине) тех или иных периодов решетки.
В объемноцентрированных решетках Гц, Г?, Г? ив гранецентрированной ре-
решетке Г{ возможны кроме того такие изменения, при которых некоторые из пе-
периодов решетки учетверяются, а в гексагональной бывают случаи, когда некото-
некоторые периоды утраиваются.
В заключение выражаю искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за цен-
ценные дискуссии и постоянный интерес к моей работе.
ЛИТЕРАТУРА
[I] L. Landau. Phys. Zs. Sowjet, 11, 26, 545, 1937.
[2] Л. Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика. ГТТИ, 1940, гл. XI.
[3] F. Seitz. Ann. of. Math., 37, 17, 1936.
[4] L.P. Bouckart, M. Smoluchowski and E. Wigner. Phys. Rev., 50, 58, 1936.
[5] G. Speiser. Theorie der Gruppen endlicher Ordnung.
[6] Internationale Tabellen zur Bestimmung von Kristallstrukturen. Bd. 1, 1935.
11
К ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО РОДА
II ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА В СПЛАВАХ
ЖЭТФ, 11, 269, 1941
Произведено полное исследование возможности существования фазовых переходов второго
рода для переходов из упорядоченного в неупорядоченное состояние в сплавах типа заме-
замещения. Рассмотрены твердые растворы с объемно- и гране-центрированными кубически-
кубическими решетками и решеткой типа гексагональной плотной упаковки.
Среди металлических сплавов известно большое число сверхструктур, т. е.
упорядоченных твердых растворов. Переход таких упорядоченных растворов в
неупорядоченное состояние (исчезновение сверхструктуры) может произойти
как при обычном фазовом переходе (первого рода), так и в точке фазового пере-
перехода второго рода (в точке Кюри). Первый случай принципиально возможен для
любого упорядочения сплава. Напротив, возможность существования точки Кюри
подчиняется существенным ограничениям, накладываемым на нее общей тер-
термодинамической теорией точек Кюри [1, 2]. Как будет ниже показано, эти огра-
ограничения приводят к тому, что точки Кюри оказываются возможными лишь для
сравнительно немногих сверхструктур в сплавах.
Все известные упорядоченные сплавы обладают симметрией, отличной (имен-
(именно более низкой) от симметрии соответствующего неупорядоченного твердого ра-
раствора. Принципиально, однако, возможно и такое упорядоченное расположе-
расположение атомов в решетке неупорядоченного раствора, при котором симметрия ре-
решетки не изменится.
Подчеркнем здесь, что в таком случае точка Кюри не может существовать.
Если даже переход такого упорядоченного кристалла в неупорядоченный про-
произойдет непрерывным образом, то никакого скачкообразного изменения тепло-
теплоемкости тела не произойдет (фазовый же переход первого рода возможен, ко-
конечно, и в этом случае).
В предлагаемой работе произведено исследование того, для каких типов упоря-
упорядочения в сплавах (твердых растворах типа замещения) возможно существование
точки Кюри. Это исследование существенно облегчается тем, что подавляющее боль-
большинство твердых растворов металлов (в неупорядоченном состоянии) обладает ре-
решеткой одного из трех типов — кубической гране- или объемноцентрированной ре-
решеткой или гексагональной плотной упаковкой (решетки соответственно типов А1,
А2, A3 — см. [3], стр. 13). В немногочисленных твердых растворах с другой решеткой
(например, Fe в Mn, Sn и Sb друг в друга) пределы растворимости сравнительно
узки и в них неизвестно каких-либо сверхструктур. Неизвестны сверхструктуры
также и в сплавах Sb с Bi, обладающих неограниченной взаимной растворимостью.
Поэтому исследование всех этих случаев не представляет интереса и достаточно
ограничиться кристаллами указанных трех типов.
160 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
1. Точки Кюри в сверхструктурах кубических решеток
Для определения возможных изменений симметрии, которые могут произой-
произойти с некоторым кристаллом в точке Кюри, необходимо найти все неприводимые
представления группы симметрии этого кристалла (см. [1, 2]). Из трех типов ре-
решеток неупорядоченных сплавов вычисление неприводимых представлений бо-
более просто для гране- и объемноцентрированных кубических решеток, с кото-
которых мы и начнем.
Гранецентрированная кубическая решетка (тип А-1) обладает простран-
пространственной группой О^, а объемно-центрированная группой О^. Обе эти группы
относятся к числу тех, которые не обладают существенными винтовыми осями
или плоскостями скольжения [это значит, что все элементы симметрии этих групп
могут быть представлены как произведения двух элементов симметрии, из ко-
которых один является чистым поворотом или отражением, а другой — чистым
параллельным переносом (трансляцией) на один из периодов решетки].
Неприводимые представления таких групп могут быть найдены следующим
образом (см. [4, 5]). Исходим из какой-нибудь функции вида
\ = uke2l[ikr,
где к — некоторый вектор в обратной решетке, а ик — периодическая функция
(см. [2] п. 2). Под влиянием поворота или отражения эта функция перейдет в дру-
другую функцию ^к, с вектором к', получающимся из к как раз при рассматриваемом
повороте или отражении. Применяя последовательно все п поворотов и отраже-
отражений группы (т. е. элементы кристаллического класса), мы получим таким обра-
образом, вообще говоря, п различных функций (при особых положениях к это число
может быть меньше п).
Некоторые из получающихся при поворотах и отражениях векторов к отли-
отличаются друг от друга на вектор, равный одному из периодов обратной решетки
(в частности, при некоторых поворотах или отражениях вектор к может вообще
не измениться). Соответствующие функции ^к преобразуются при каждой из
трансляций одинаковым образом (умножаются на одинаковую постоянную). Со-
Совокупность поворотов и отражений, оставляющих вектор к неизменным, или из-
изменяющих его на период обратной решетки, мы называем группой данного век-
вектора к. Ниже мы будем называть различными только такие векторы к, которые
отличаются не на период обратной решетки.
Представление группы, осуществляемое всеми функциями ^к, является, во-
вообще говоря, приводимым. Его можно разбить на неприводимые части, выбрав
соответствующие линейные комбинации функций ^к, ^к,... [причем в каждую ком-
комбинацию входят функции с одинаковыми векторами к, к'... (см. [2] п. 2)].
Пусть ф1? ф2--- такие линейные комбинации функций ^к, осуществляющие не-
неприводимые представления группы. В каждом неприводимом представлении
число функций фг, равно по крайней мере числу различных векторов к, получа-
получающихся друг из друга при поворотах и отражениях.
Функция фг с вектором обратной решетки к или остается инвариантной (или
умножается на постоянную) при преобразовании из группы к или же переходит
11. К теории фазовых переходов второго рода 161
в другую функцию фк с тем же вектором к. В этом втором случае мы будем иметь
по несколько функций с одинаковыми векторами к, преобразующихся друг че-
через друга при преобразованиях группы к согласно одному из неприводимых
представлений этой группы. Эти представления называют малыми представ-
представлениями [4]. В частности, если при преобразованиях группы к функция фг только
умножается на постоянную, то соответствующее малое представление одно-
одномерно.
Таким образом, функции фг, осуществляющие какое-либо неприводимое пред-
представление пространственной группы, могут быть представлены в виде произве-
произведений гба\к, где Хк — линейная комбинация экспоненциальных выражений е2шкг
с одинаковыми к, инвариантная относительно всех преобразований группы к, а
иа — периодические функции (т. е. инвариантные относительно всех трансля-
трансляций группы), осуществляющие некоторое малое представление (т. е. неприводи-
неприводимое представление группы к). Всего, следовательно, число функций ^фг в базисе
неприводимого представления равно произведению числа различных к, получа-
получающихся при поворотах и отражениях, на число функций я|;г-, т. е. на размерность
малого представления.
Определив все неприводимые представления рассматриваемых простран-
пространственных групп, мы могли бы найти все возможные изменения симметрии в точ-
точке Кюри для кристаллов с данной пространственной группой. Надо, однако, иметь
в виду, что далеко не все эти возможности могут осуществляться посредством
того или иного упорядоченного расположения различных атомов по имеющимся
в решетке местам (напоминаем, что мы рассматриваем растворы типа замеще-
замещения). Если говорить о распределения вдоль кристалла вероятностей нахожде-
нахождения атомов данного рода, то узлы решетки соответствуют максимумам этой ве-
вероятности. Упорядочение сводится только к изменению величины этих макси-
максимумов в различных узлах, без какого бы то ни было их смещения. Мы должны
определить только те возможные изменения симметрии, которые могут осуще-
осуществиться таким способом.
Рассмотрим малые представления, осуществляющиеся функциями иаХъ оп-
определенным вектором к. Если задано значение этой функции в некоторой точ-
точке, то этим определится ее значение и во всех других точках, удаленных от
исходной на периоды решетки (поскольку свойства периодичности функций
иаХъ всецело определяются вектором к). Напротив, значение функций иаХъ в
различных точках в одной и той же элементарной ячейке надо считать незави-
независимыми, поскольку они не определяются однозначно их свойствами симмет-
симметрии. В силу всего этого можно воспользоваться следующим простым способом
для определения того, какие из малых представлений, осуществляющихся
функциями с определенным вектором к, могут быть связаны с упорядоченным
расположением атомов.
Рассмотрим какую-нибудь элементарную ячейку и пусть А1,А2... — величины
максимумов вероятности в местах нахождения атомов в ячейке. Значения соот-
соответствующих максимумов во всех других элементарных ячейках всецело опре-
определяются тогда заданием вектора к. Так, если функция Хк умножается на и, при
некоторой трансляции переводящей исходную ячейку в другую, то значения
162 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
максимумов вероятности в этой другой ячейке будут Агш, A2lj... При различных
преобразованиях группы вектора к различные максимумы совмещаются друг с
другом. Если выбрать величины Av А2... в качестве базиса представления, то мы
получим, таким образом, некоторое представление группы к, которое будет, во-
вообще говоря, приводимым. Разбивая его на неприводимые части, мы найдем как
раз интересующие нас малые представления.
В применении к решеткам типов А-1, А-2 этот метод приводит сразу к весьма
простому результату. В этих решетках элементарная ячейка содержит всего один
атом; выберем его в качестве начала координат. При всех поворотах и отражени-
отражениях, в частности, при всех преобразованиях группы к, этот атом вообще не смеща-
смещается. Отсюда следует, что единственное малое представление, которое нам надо
в этом случае рассматривать (для каждого к), это единичное малое представле-
представление, т. е. представление, осуществляемое одной функцией \к, инвариантной по
отношению ко всем преобразованиям группы к.
Как было показано ранее ([2] п. 2), надо рассматривать только те неприводимые
представления, которые соответствуют векторам к, совокупность осей и плоско-
плоскостей симметрии которых обладает исключительной точкой. Там же было указа-
указано, что эти векторы удобно находить как векторы, направленные из начала коор-
координат в «особые точки» обратной решетки (которые можно определять непос-
непосредственно из таблиц [6]).
Перейдем теперь к конкретному исследованию интересующих нас решеток и
начнем с объемноцентрированной решетки с атомами в точках @00) (J^KX)
(тип А-2, оси координат выбраны по ребрам кубической ячейки). Обратной ре-
решеткой является, как известно, кубическая же решетка с центрированными гра-
гранями. Особыми точками в обратной решетке являются (см. таблицу для группы
О^в[6], стр. 363):
(a) -Oh, (Ь) ШУ2) -Oh, (с)
(К«К) (ККО) (ОКК) (Й«К) (ККО) - D2h. A)
Здесь указаны только те из получающихся друг из друга при поворотах и отра-
отражениях точек, расстояния между которыми не являются периодами (т. е. соот-
соответствующие им векторы к различны). Для каждой точки указана ее собствен-
собственная симметрия (т. е. группа соответствующего вектора к). Надо иметь в виду, что
длина ребер кубической ячейки обратной решетки равна 2, если длины ребер
прямой решетки равны 1. Координаты же точек обратной решетки приведены в
единицах длин ребер ячеек этой решетки. Поэтому, например, длины компонент
вектора, соответствующих точке (Ь), есть A11). Рассмотрим теперь поочередно
все интересующие нас представления, соответствующие точкам (a) — (d).
(а). Точка (а) соответствует вектору к = 0. Соответствующая функция ср обла-
обладает полной трансляционной симметрией, т. е. не происходит никакого измене-
изменения элементарной ячейки, а поскольку каждая элементарная ячейка содержит
всего по одному атому, то ясно, что не может произойти никакого изменения сим-
симметрии вообще.
11. К теории фазовых переходов второго рода 163
(Ь). Точке (Ь) соответствует функция ^2ш(х+у+2\ Линейная комбинация этой
функции и других, получающихся из нее при поворотах и отражениях, облада-
обладающая симметрией группы Oh вектора к, есть
ф =008 211X008 2117/008 2112. B)
Симметрия получающегося в точке Кюри кристалла есть симметрия его плотно-
плотности р = р0 + 6р, 6р = сф (см. [1, 2], а также примечание 5 в [2]). ср инвариантна по
отношению ко всем преобразованиям класса Oh и по отношению к трансляциям
вдоль ребер кубических ячеек, но не в точку (XX К/ Таким образом, упорядо-
упорядоченный кристалл обладает простой кубической решеткой Бравэ (пространствен-
(пространственная группа О^) с двумя неэквивалентными узлами @00) и (X X X) в ячейке, заня-
занятыми различными атомами (решетка типа C-латуни— см. [3], стр. 487). Общая
формула сплава, который может быть вполне упорядочен по такому типу, сле-
следовательно, АВ.
(с). Соответствующие этим точкам (т. е. векторам к) функции с симметрией
Td суть
Ф: = cos их cos иг/cos nz, ф2 = simrxsiri'TTi/sin'TTZ. C)
Из них можно составить два инварианта четвертой степени (^р* +^1) и (^ + ^ )•
Соответственно этому разложение термодинамического потенциала по степеням
Сг В 6р = Х!СгФг имеет ВИД
ф = фо + Ат]2 + Вт]4 + Ст]4 (ч4 + ч4) D)
(где с\ + с\ = г\2, "ii = сг/г[). ф как функция от ^ и ^2 имеет минимум (при допол-
дополнительном условии *\\ + ^1 = 1) при ^ = 1, ^2 = 0 (или ^ = 0, ^2 = 1) или ПРИ
^1 = ^1 = X смотря по тому — отрицателен или положителен коэффициент С.
В первом случае 6р = щ>1 (8р = т|ф2 приводит к тому же результату) :). Эта
функция обладает симметрией пространственной группы О^ с гранецентри-
рованной решеткой Бравэ с кубической ячейкой восьмикратного объема [ее
основные периоды в единицах длин ребер первоначальных ячеек — (НО)
A01) @11)]. Элементарная ячейка содержит 4 атома, а кубическая ячейка —
16 атомов. Заполняя эквивалентные узлы различными атомами, находим, что
такое упорядочение соответствует тройному сплаву состава АВС2 с атома-
атомами в точках
4А @00) (ОУ2У2,0) 4В (У2у2у2)
8С (ККК) ШУд ШК.о) ШК,о) B)
х) Вообще, такие функции, которые переходят друг в друга при простом переносе на какой-ни-
какой-нибудь из периодов [так, ср1 переходит в ср2 при переносе на (%%%)], всегда приводят к одинаковым
решеткам. То же касается и таких функций, которые превращаются друг в друга при каком-нибудь
повороте.
164 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(точки приведены в единицах длин ребер новой ячейки, т. е. вдвое больших,
чем первоначальные). Это есть решетка типа гейслеровых сплавов L-21 ([3]
стр. 488). Если атомы В и С 2) одинаковы, то получится упорядоченная решетка
состава АВ3 3).
Во втором случае 6р = г\(^I + Ф2) (или ^р = ч)(ц>1 — Ф2) > что приводит к тому
же результату. Эта функция обладает симметрией пространственной группы О^
с такой же гранецентрированной решеткой Бравэ, как и в предыдущем случае.
16 атомов распределены по двум родам эквивалентных точек: 8A@00)(j^){){),
^{УъУъУъ)(%%%)> так что состав сплава есть АВ.
(d). Соответствующие этим векторам функции, обладающие требуемой сим-
симметрией D2h, суть
фх =cosii (y—z), фз =cosii (х—у), ф5 =cosii (x—z),
ф2 = cos-rc (y + z), ф4 = cos-rc (х + у), ф6 = cos-rc (x + z). E)
Из них можно составить один инвариант третьего порядка и четыре четвертого,
так что разложение Ф имеет вид
Ф = Фо + Ат]2 + Вт]3 (
+ DT]4 (ч* + ^ + Ъ4 + ч2 + ^ + it) + Ет]4 (^ + ^ + ^1). (б)
Благодаря наличию члена третьего порядка во всяком случае невозможно суще-
существование точек Кюри, лежащих на кривой в плоскости р, Т. Для исследования
же возможности существования и свойств изолированных точек Кюри надо было
бы определить минимумы функции ср и поведение ее вблизи этих минимумов;
мы, однако, не будем останавливаться здесь на этом.
Перейдем теперь к твердым растворам типа А1, т. е. с гранецентрированной
кубической решеткой (пространственная группа О^). Атомы занимают положе-
положения @00) (КК^'^)- Обратная решетка является объемноцентрированной с куби-
кубическими ячейками с длиной ребер, равной 2. Особые точки в обратной решетке
(в единицах длин ребер ее ячеек) суть
(а) @00)-Oh, (b) @0>/)@>/0)(>/00)-Dtt,
(с) {1А1А1А)(уЖ)Ш1А)-^в, G)
2) При определении возможного состава упорядоченного сплава можно, вообще, заполнять не-
неэквивалентные места одинаковыми атомами только таким образом, чтобы при этом симметрия по-
получающейся решетки не сделалась в действительности более высокой, чем это вытекает из симмет-
симметрии соответствующей функции 6р = Х^сгФг [так> в разбираемом случае появился бы новый период в
решетке —(У2У2У2) — если заполнить места А и В одинаковыми атомами].
3) В известной структуре такого типа, Fe3Al неупорядоченное состояние соответствует не рав-
равномерному распределению атомов Fe и А1 по всем узлам решетки, а решетке с атомами Fe в верши-
вершинах кубических ячеек и атомами А1 и остальными атомами Fe, беспорядочно расположенными в
центрах ячеек. Такая решетка обладает пространственной группой О\ и ее элементарная ячейка
вдвое меньше, чем в упорядоченной решетке. Переход упорядоченного кристалла в такое неупоря-
неупорядоченное состояние тоже может иметь место в точке Кюри, что непосредственно следует из того,
что этот переход связан с уменьшением симметрии вдвое.
11. К теории фазовых переходов второго рода 165
(см. таблицу для группы О^ в [6], стр. 372). Из них точка (а) опять не приводит ни
к какому изменению симметрии.
(Ь) Соответствующие этим векторам к функции ср, из которых каждая обла-
обладает симметрией группы D4h соответствующего вектора к, суть
cp1=cos2iYX, ф2 = cos2tyt/, cp3=cos2iYZ. (8)
Из них можно составить кубический инвариант ф^Фз инварианты четвертого
порядка (ф2 +Ф2 +Фз) и (^1 +^2 +Фз)- Соответственно разложение термоди-
термодинамического потенциала имеет вид
+ Dif (^ + Ц + ч*). (9)
Ф может иметь, смотря по значениям коэффициентов, два минимума: при
^ = ^ = ^ = уъ и при двух из ^,^,^3, Равных нулю, например ^ = 1,^2 = ^3 = 0. Со-
Соответственно этому надо было бы рассмотреть функции 6р = црг и 6р = т|(ф1 + ф2 + Фз)-
Из них первая привела бы к упорядоченной решетке типа Си Аи (т. е. тип L-10,
см. [3], стр. 484; пространственная группа ~D\h), а вторая к решетке типа Си3 Аи
(тип L-12, [3], стр. 486; группа О^). Но благодаря наличию члена третьего порядка
могли бы существовать только изолированные точки изображенных на рис. 2 и 3
в [2] типов. Для того чтобы выяснить какие именно из фаз II—V на этих решетках
обладают симметриями D\h и О^, надо было бы произвести подробное исследова-
исследование функции ф . Но уже и без этого исследования очевидно, что какая-нибудь из
этих фаз (II, III на рис. 2 и II, III или IV, V на рис. 3) должна обладать симметрией
О^, соответствующей минимуму ср при ^ = ~f2 = ~f3 ^ 0. В противном случае везде
вокруг точки к было бы ЧЛ2Ч3 = 0> т- е- член третьего порядка был бы равен нулю,
как если бы вообще отсутствовал 4). Далее, фазы II и IV отличаются соответствен-
соответственно от фаз III и V знаком г\. Изменение же знака в бинарных сплавах означает,
очевидно, что все атомы А меняются местами с атомами В. При упорядочении
же, соответствующем составу АВ3 (получающемуся при ^ =~f2 = ~f3 ^± 0), такое
перемещение невозможно 5). Таким образом, мы приходим к выводу, что в спла-
сплавах типа CuAu и Cu3Au точки Кюри вообще невозможны.
(с) Этим векторам к соответствуют функции (каждая с симметрией D3d вок-
вокруг одной из осей 3-го порядка):
срх = cos TV (x + у + z), ф2 = cos TV (x + у — z);
ф3 = C0S7V (X — у +Z), ф4 = COS TV (—X + у + Z). ^ '
Из них нельзя составить инварианта 3-го порядка, но можно составить 3 инвари-
инварианта 4-го порядка:
4) Подробное исследование действительно показывает, что в случае рис. 2 фазы II, III имеют сим-
симметрии О1^ а в случае рис. 3 фазы II, III обладают симметрией D1^, а фазы IV-V— симметрией О\.
5) Это заключение основано на предположении, что упорядоченный сплав может остаться ус-
устойчивым вплоть до сколь угодно низких температур. Если же состав сплава не соответствует чис-
числу имеющихся для атомов А и В мест, то при понижении температуры непременно должно про-
произойти распадение на две фазы.
166
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
г 9 Gv
Рис. 1
Соответственно этому разложение Ф имеет вид
— ф _l Д-л2 _l "Rm4 -\- Рп4 /%4 -\- л/4 -\- л/4 -1л/М-1- "Пп4л/ л/ л/ л/ ^1 1 ^
— О ^ I ^ I ^ I \il ^ i2 * 13 ^ 14 / ^ I Ili2i3i4* \ /
Если ЗС < — | D |/4, то Ф имеет минимум (точнее — наименьший из минимумов) при
трех из ^, ~f2, ^з? 1а < 0' равных нулю, т. е., например, ^ = 1, ^2 — 1з = 1а = О- Если же
ЗС > — | D |/4, то минимуму Ф соответствуют значения ^ = ~\\ = ^| = ч! = X » ПРИ
этом знаки ^1? ^2> Ъ' ^4 должны быть такими,
чтобы Ч1Ч2Ч3Ч4 > 0 (если D < 0) или ^П2^3^4 < 0
(если D > 0).
В первом случае 6р = r\ipv Эта функция об-
обладает симметрией пространственной груп-
группы Dgd с ромбоэдрической решеткой Бравэ,
построенной на периодах, направленных из
начала координат в точки (у21/21,0) первона-
первоначальной кубической решетки. В каждой ром-
ромбоэдрической ячейке имеется два неэквива-
неэквивалентных места, занятых различными атома-
атомами, так что состав сплава есть АВ (в ромбоэдрических осях положения этих
атомов есть 1А @00), 1В (ХКЮ> (решетка типа L-11 — см. [3], стр. 485).
Во втором случае надо рассмотреть две возможности: 6р = г\ (фх + Ф2 + Ф3 + Ф4)
или 6р = т](—фх + ф2 + ф3 + Ф4) (дРУгие аналогичные комбинации приводят к тем
же результатам). Первая из этих функций обладает симметрией пространствен-
пространственной группы О^ с гранецентрированной решеткой Бравэ с кубической ячейкой
восьмикратного объема по сравнению с первоначальной кубической ячейкой [по-
[положение ее точек — @00) (К К ^, О) в единицах длин ребер первоначальной ячей-
ячейки]. Элементарная ячейка содержит 8 атомов, а кубическая ячейка — 32 атома,
распределенных по 3 сортам эквивалентных точек:
4 A fnnn^ ATK(VVV) 94ГЧП 1/1/ (*YUni/3/ fS)
¦^^ V / ? \ /2 /2 /2 / ' ^"^ V /4 /4 ' ^-^/ V /4 /4 ' ^-^/ '
так что состав сплава есть АВСб. Не повышая симметрии решетки, можно запол-
заполнить первые (или вторые) и третьи места одинаковыми атомами, так что получа-
получается упорядоченный раствор состава АВ7.
Функция же 6р = т](—фх + ф2 + ф3 + Ф4) обладает симметрией простран-
пространственной группы О^ с той же решеткой Бравэ, как и в предыдущем случае. В ней
имеется всего 2 рода неэквивалентных мест, заполненных атомами А и В (сплав со-
состава АВ).
(решетка типа L-13, см. [3], стр. 486).
Для рассматриваемых сейчас переходов возможны пересечения линии точек
Кюри с линией фазовых переходов первого рода, изображенного на рис. 1 части
I типа. Именно, в точке на линии Кюри, в которой величина ЗС + D/4 (при D > 0)
меняет знак, должна измениться симметрия упорядоченной фазы, так как по одну
сторону от этой точки она соответствует ^ = ^2 — Ъ = ^4> а по ДРУГУЮ
^1 = ^2 = ^3 = 0, ~f4 = 1. Поскольку обеим этим симметриям соответствует одина-
11. К теории фазовых переходов второго рода 167
ковый состав сплава 6), то возможно указанные пересечения кривые, фаза I на
рис. 1 [2] есть тогда неупорядоченная фаза, а фазы II и III — упорядоченные фазы
с симметрией ~D\d и О^. Подобные пересечения возможны и в других разбирае-
разбираемых нами далее случаях, но мы на них не будем останавливаться.
(d) Точкам (d) соответствуют функции:
фх = costyx(cos2tyz + cos2tyt/), фз = costyt/(cos2tyx +cos2tyz)
ф2 = costyx(cos2tyz — cos2tyi/), ф4 = siniYi/(cos2TYX — cos2tyz)
Ф5 = costyz(cos2tyi/+ cos2tyx) A2)
Фб = siriTYz(cos2TY7/- cos2tyx).
Разложение термодинамического потенциала удобно написать в виде
A3)
Ф имеет минимумы при следующих значениях ^ : 1) ^\ = ^| = ^\ = ^^ = ^| = Ч б — Уб
(если В > О, С > 0); 2) по одному ^ из пар ^ и ^2> Чз и 'Ъ* 1ь и ^б равны нулю, а
остальные равны друг другу, например, ^ = ~\\ = ^\ = 1/3, Ъ = Ъ = 1б = 0 (если
В > 0, С < 0); 3) одна из указанных пар ^г отлична от нуля, например ^ = ^\ = 1/2,
^3 = ^4 = ^5 = ^б= о (если В < 0, С > 0); 4) одна из ^г отлична от нуля, например,
^1 = 1, ^2 = 1з = ^4 = ^5 = ^б = 0 (если В < 0, С < 0). Соответственно этим значе-
значениям ^г надо рассмотреть следующие линейные комбинации
= Т]ф1, 6р = ^(ф! +ф2)» SP = 1\{Ч>1 +^3 +Фб)» SP = Т1(ф2 +Ф4
Другие возможные комбинации не приводят к новым результатам (две послед-
последние функции 8р, переходящие друг в друга при инверсии, приводят к решеткам
энантиоморфных пространственных групп О6 и О7). Результаты исследования
этих функций приведены в общей таблице 3.
2. Точки Кюри в сверхструктурах гексагональной плотной упаковки
Третьим типом решеток неупорядоченных сплавов является гексагональ-
гексагональная плотная установка (тип А-3, см. [3], стр. 16; пространственная группа D46h).
Элементарной ячейкой является гексагональная ячейка, содержащая два ато-
атома. Выбирая, как обычно, ось z по высоте ячейки, а оси х, у — по сторонам ее
основания, пересекающимся под углом 120°, имеем для положения атомов в
ячейке координаты (Х%Х)(ККЮ- Обратная решетка тоже является гексаго-
гексагональной, причем основные периоды ее в плоскости х, у надо выбрать по сторо-
сторонам ромбических оснований ячейки, пересекающимся под углом в 60°. Особыми
6) Требование одинаковости состава обеих упорядоченных фаз опять (см. примечание на стр. 172)
связано с предположением об устойчивости этих фаз при низких температурах.
168 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
точками в этой обратной решетке являются следующие (см. таблицу для
группы D46h в [6], стр. 296).
(а) @00)-D6h, (b) @0X)-D6hI (с) (УзУ30)(У3%0) - D3h
(d) AA%1A)(%
(g)
Группа ~DA6h относится к числу групп, обладающих существенными винтовыми
осями и плоскостями скольжения. Поэтому к ней неприменимы непосредственно
общие соображения об отыскании неприводимых представлений, развитые в п. 1.
Группы векторов к не являются теперь, вообще говоря, группами в истинном
смысле слова, так как входящие в них повороты и отражения, не меняющие век-
вектора к, могут быть винтовыми или скользящими. Поэтому, вообще говоря, не су-
существует и малых представлений как неприводимых представлений той или иной
точечной группы симметрии (группа к). Нам, однако, нет надобности развивать
здесь общие методы определения неприводимых представлений таких простран-
пространственных групп, так как нам надо рассмотреть всего одну группу D^, для кото-
которой можно воспользоваться ее конкретными свойствами.
(а) Функции с вектором к = 0 не приводят к изменению элементарной ячейки
решетки. Очевидно, что единственная возможность упорядочения без измене-
изменения ячейки состоит в том, что в точках (%%)Q и (%%%) помещаются различ-
различные атомы (что соответствует общей формуле сплава АВ). Получающийся та-
таким образом кристалл обладает пространственной группой T)\h. Что для такого
упорядочения возможна точка Кюри, видно (без всякого определения соответ-
соответствующих неприводимых представлений) непосредственно из того, что оно со-
сопровождается уменьшением группы симметрии вдвое (переход из голо- в геми-
эдрический класс без изменения решетки Бравэ), а для такого изменения сим-
симметрии всегда возможны точки Кюри (см. [2], п. 4).
(f) Этим векторам к соответствуют функции:
Фх = costy(t/ - х), cp2=cosiYX, cp3=COS7Y^- A5)
Они не зависят от координаты z. Поэтому для соответствующих неприводимых
представлений несущественно, что некоторые оси и плоскости являются винто-
винтовыми и скользящими (все связанные с ними переносы направлены по оси z). Мы
можем, следовательно, опять воспользоваться в этом случае малыми представ-
представлениями как неприводимыми представлениями группы D2h векторов к, рассмат-
рассматривая эти группы как истинные (т. е. рассматривая все переносы вдоль оси как
тождественные преобразования). Для того чтобы определить, какие именно из
малых представлений для нас существенны, воспользуемся указанным в п. 2
методом (полученный с помощью этого метода в п. 2 результат, что существенны
только единичные малые представления, теперь уже не имеет места, поскольку
элементарная ячейка содержит два атома).
11. К теории фазовых переходов второго рода 169
Рассмотрим какую-нибудь из функций A5), например, фх = costy(i/ — x). Ее
симметрия по отношению к поворотам и отражениям (т. е. группа соот-
соответствующего вектора к) складывается из следующих элементов группы T)\h
(рис. 1); тождественное преобразование Е, инверсия i, горизонтальная плоскость
симметрии Gh (в плоскости рисунка), поворот С2 на 180° вокруг вертикальной оси,
горизонтальные оси второго порядка С2 и С и проходящие через них вертикаль-
вертикальные плоскости Gfv, g"v.
Если все эти оси и плоскости взяты пересекающимися в начале координат, то
ось С" и плоскость g'v в действительности связаны с переносом на 1/2 периода вдоль
оси z; это надо, конечно, иметь в виду при применении этих преобразований к
рассматриваемой решетке. Согласно указанному выше методу, положим, что мак-
максимумы вероятности в двух местах (на рис. 1 эти места обозначены крестиками и
кружками) в элементарной ячейке равны А: и А2. При преобразованиях С", Gh, g"v
эти максимумы совмещаются с другими — равными, однако, тем же А: и А2. При
преобразованиях же С2, С2, г, g'v максимум А: совмещается с максимумом А2 и
наоборот. Таким образом, мы получаем двухмерное представление группы D2h;
оно разбивается на два одномерных неприводимых представления (неприводи-
(неприводимые представления точечных групп симметрии можно найти, например, в [7]):
V^o ^9 ^9 & Ob CLi О„,
(I)
(П)
(III)
2
1
1
0
1
-1
0
1
-1
2
1
1
0
1
-1
2
1
1
0
1
-1
2
1
1
(I есть характеры приводимого двухмерного представления, II и III его неприво-
неприводимые части, т. е. искомые малые представления).
Единичному малому представлению соответствуют функции A5). Из них мож-
можно составить кубический инвариант ф^Фз- Разложение термодинамического по-
потенциала имеет вид (9). Изолированная точка Кюри снова оказывается невоз-
невозможной по таким же причинам, как и выше.
Соответствующие второму из найденных нами малых представлений функ-
функции можно взять в виде 7)
- х), cp2=siriTYX, ^p3=sini{y. A6)
Из них нельзя составить кубического инварианта, и соответствующее разложение
имеет вид:
Ф имеет минимум при ^ = ^2 = ^2 = 1/ъ (если С > 0) или при ^ = 1, ^2 = ^3 — 0
(если С < 0). Соответственно надо рассмотреть две функции 6р. Первая приво-
приводит к упорядоченному сплаву АВ с ромбической решеткой Бравэ. Основание
ячейки этой решетки изображено на рис. 1 пунктиром (крестики и кружки на
7) Их можно было бы написать в виде произведений функций 15 на соответствующую периоди-
периодическую функцию (т. е. в виде Xkit), но приведенный вид проще.
170 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
этом рисунке — атомы, находящиеся на расстояниях X наД и П°Д плоскостью
рисунка). Вторая приводит к гексагональной же решетке с вдвое большими сто-
сторонами оснований ячеек (см. табл. в п. 3).
(с). Соответствующие этим векторам к функции
^ix+y) , Щ{х-2у) , *?{-2х+у)
-^х+у) . ~^{х-2у) -^-2х+у) /1О,
ф* = е 3 +е 3 +е 3 , A8)
как и в случае (f) не зависят от координаты z. Поэтому здесь тоже применимо все
сказанное выше о малых представлениях.
Группа ~D3h вектора к складывается из следующих элементов; тождественное
преобразование Е; два поворота С3, С23 на 120° и 240°, три поворота С2 вокруг го-
горизонтальных осей второго порядка, отражение оп в горизонтальной и три отра-
отражения сг" в трех вертикальных плоскостях и два зеркальных поворота S3. При
повороте, например С3, максимумы А1? А2 совмещаются соответственно с А^,
А2 (и2 = е2ш'3]; при одном из поворотов С2 — А: и А2 совмещаются с А2 и Av В
результате находим следующее представление группы D3^:
Е oh 2C3 2S3 ЗС2 Зсг^
2 2-1-10 0.
Оно является неприводимым, т. е. как раз искомым малым представлением. Со-
Соответствующие функции удобно взять в виде
(х-2у) *
, ф4=ф3. A9)
Из них можно составить кубический инвариант ipj* + ф2 + фд + Ф4' так что ника-
никаких новых возможностей для точек Кюри, лежащих на линии в плоскости р, Т,
отсюда не получается. То же самое получается для функций, соответствующих
векторам k (d).
(g) В этом случае приходится рассматривать функции, соответствующие ше-
шести векторам к, — трем указанным в A4) и еще трем, получающимся из них из-
изменением знака у z-компоненты; благодаря наличию винтовых осей и плоско-
плоскостей скольжения они все преобразуются друг через друга. Эти функции можно
получить непосредственно из функций ср1? ср2, ф3 случая (f), умножая их на e±ms
или на costyz, siniYZ. Составим из них «антисимметричные произведения»
, т/, z) ^р{(х\ у\ z1)(costyz7sintyz — costyzsintyz7) = ^Pi^Pi sinty(z — zf)-
Из этих величин можно составить линейную комбинацию, преобразующуюся как
z-компонента вектора, именно взяв сумму
11. К теории фазовых переходов второго рода 171
(сумма ХЖф* есть инвариант, a sin -тс(zf — z) преобразуется как z-компонента
вектора при всех преобразованиях группы DgJ. Таким образом, соответствую-
соответствующие неприводимые представления не удовлетворяют необходимому условию
(см. [2], п. 2) и потому не должны рассматриваться.
3. Выводы
В прилагаемых таблицах 1-3 перечислены все возможные сверхструктуры
(гране- и объемноцентрированных кубических решеток и гексагональной плот-
плотной упаковки), для которых может иметь место фазовый переход второго рода 8).
В графе I указывается пространственная группа упорядоченной решетки. Чис-
Числа, приведенные в графе III, показывают, во сколько раз увеличивается при упо-
упорядочении элементарная ячейка.
В графе II указан тип решетки Бравэ, Р, F, I обозначает соответственно про-
простую, гранецентрированную и объемноцентрированную решетки, Н, R — гексаго-
гексагональную и ромбоэдрическую. В графе IV показано, как получается ячейка решет-
решетки Бравэ упорядоченного кристалла из исходной неупорядоченной решетки. Про-
Простая решетка Р определяется координатами концов трех ребер ее ячейки; в
решетке I к этим трем индексам добавляются еще координаты центра ячейки, а в
решетке F — координаты центров трех ее граней. Тогда исходные решетки в не-
неупорядоченных растворах типов А-1 и А-2 надо записывать соответственно как
A00, 010, 001), (y2y20,y20y2,0y2y2) и A00, 010, 001), (XXX)- В гексагональной ре-
решетке Н ось z выбираем по высоте ячеек, а оси х, у — по пересекающимся под
углом 120° сторонам их ромбических оснований; такую решетку мы тоже будем
определять концами трех ребер ее ячейки, так что исходная решетка раствора
типа А-3 напишется как A00, 010, 001) (мы выбираем эту ячейку таким образом,
что координаты атомов в ней есть {У%У^){%]4%))-^ решетке R три оси направле-
направлены по трем ребрам ромбоэдрических ячеек. Приведенные в графе IV индексы опре-
определяют решетку Бравэ упорядоченного кристалла, причем координаты даны в осях
исходной решетки и измерены в единицах длин ребер исходных ячеек; этим уста-
устанавливается связь между решетками Бравэ исходного и упорядоченного сплавов.
В графе V указана общая формула состава упорядоченного сплава. Если дан-
данное упорядочение соответствует сплаву более чем двух металлов друг с другом,
то может оказаться возможным заполнение неэквивалентных мест одинаковы-
одинаковыми атомами, что приводит к упорядоченному сплаву с меньшим числом компо-
компонент. Соответствующие составы мы приводим только для случая тройных спла-
сплавов. В более сложных случаях получается довольно много различных возмож-
возможных составов, мы не приводим их в таблице. Их всех легко найти, заполняя
различные имеющиеся в решетке места одинаковыми атомами, причем, однако,
непременно таким образом, чтобы симметрия (в том числе и решетка Бравэ) по-
получающейся решетки не оказалась выше, чем это имеет место для общего слу-
случая заполнения неэквивалентных мест различными атомами.
В графе VI даны положения атомов в упорядоченной решетке (причем коор-
координаты даются в новой, т. е. упорядоченной ячейке). Буквы (а), (Ь)... указывают
обозначение этих мест в Интернациональных таблицах [6].
8) Разумеется, во всех этих случаях возможны как всегда, и фазовые переходы первого рода.
172
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таблица 1
Точки Кюри в сверхструктурах кубической гранецентрированной решетки
I
D17
o\
o6,
o7
II
R
F
F
I
I
P
P
P
III
2
8
8
4
4
32
32
32
IV
(XXi,o)
B00,O)A10,O)
B00,O)A10,O)
A00,010,002)
(XXi)
A00,010,002)
(XXi)
B00,O)
B00,0)
B00,0)
V
AB
ABC6
AB7
AB
ABC2
AB3
AB
ABC3D3E12F12
A3B3C4D6
ABC3D3
VI
1A @00) (a), IB (XXX) (b)
4A @00) (a), 4B (XXX) (b),
24C @АА,О)@У%,О) (d),
4A (a), 28B (b) (d)
16A @00) @AA,O) (c),
i6B (XXXXXKK) (d)
2A @00) (a), 2B @0^) (b),
4C @XXXX0X) (d),
2A (a), 6B (b) (d)
4 @00)@ЯХ) (а),
4 @0У){0У%) (b)
1A @00) (a), IB (XXX) (b),
3C @XX,O) (c),
3D (X00,O), 12E @^Х,О)
Ф3А%,о)(иАА,о)(и%А,о) (i),
12F (XXX^)(XKK^)
(AAA,o)(AAA,o) (j)
8C (ooo)(oKX.o)(XXX)
@0)^,0) (e), 12D (%%0,O)
(f), 6A (o%A,o)(A%y,o) (c),
ев (oy%,o)(A3AA,o) (d)
4A @00)(ЯХК,О) (а),
4B (XXX)(o%X.o) (b),
i2c (XXo,o)(XXo,o)
(%УЛО){А%А,о) (d)
(XXK>o)(%K°>o) (d)
VII
Lll
L13
Наконец, в графе VII указывается тип упорядоченной решетки согласно
Strukturbericht (если решетка оказывается одного из известных типов).
Экспериментально некоторые из перечисленных в таблицах типов упо-
упорядочения уже известны, другие же, напротив, пока не наблюдались. Так, для гра-
нецентрированных неупорядоченных сплавов фазовые переходы второго рода
возможны для упорядочения типов ромбоэдрической (L-11) и кубической (L-13)
модификаций CuPt. Для объемноцентрированных твердых растворов точки Кюри
11. К теории фазовых переходов второго рода
173
Таблица 2
Точки Кюри в сверхструктурах кубической объемноцентрированной решетки
I
ok
о5,
о7,
II
p
F
F
III
2
4
4
IV
A00,0)
B00,O)A10,O)
B00,O)A10,O)
V
AB
ABC2
AB3
AB
VI
1A @00) (a), IB (УУУ) (b)
4A @00) (a), 4B (XXX) (b),
8C (/4/4/4) Ш%) (с),
4A (a), 28B (b) (d)
8А@00)(>ШШ (а),
VII
L20
L21
D03
B32
Таблица 3
Точки Кюри в сверхструктурах гексагональной плотной упаковки
I
Dk
Dk
Dk
II
Н
Р
Н
III
1
2
4
IV
(юо,о)
A10,010,001)
B00,020,001)
V
АВ
АВ
ABC3D3
VI
1А (/зМ) (а), 1В (%Ж (Ь)
2А (/2/б/4) (%%%) (f),
2В @%/4) @Ж A)
1А (/бМ) (а), 1В (%%%) (f),
ЗС (/з/б%) (%/б%) (/зМ) (к),
3D (%/3/4) (/бМ) Ш№ 0)
оказываются возможными для упорядоченных сплавов типа C-латуни (L-20),
гейслеровых сплавов Cu2AlMn (L-21) и связанного с последним Fe3Al. Напро-
Напротив, точки Кюри оказываются невозможными для упорядоченных сплавов типа
CuAu (L-10) и типа Cu3Au (L-12). В известных сверхструктурах гексагональной
плотной упаковки точки Кюри невозможны ни в одном случае.
Экспериментальные данные о фазовых переходах второго рода в сплавах не-
немногочисленны (см., например, обзор [8])9). Фазовый переход второго рода харак-
характеризуется отсутствием скрытой теплоты и наличием скачка теплоемкости. То и
другое установлено, по-видимому, несомненно для C-латуни, в которой можно, дей-
действительно, ожидать наличия точки Кюри. Большой скачок теплоемкости припи-
приписывается сплаву Cu3Au [9]. Хотя в нем и наблюдается скрытая теплота перехода,
но столь большой скачок теплоемкости должен был бы свидетельствовать о близо-
близости к точке Кюри (т. е. о близости к точке, в которой линия обычных фазовых пере-
переходов переходит в линию точек Кюри). Поскольку в сплавах типа Cu3Au точки
Кюри, как было показано, термодинамически невозможны, то данные о большом
скачке теплоемкости в этом сплаве внушают сомнение. То же относится к указа-
указаниям на отсутствие скрытой теплоты в точке перехода сплава Cu3Pd [10].
9) В этом обзоре точками Кюри называются не только фазовые переходы второго рода, но все
вообще переходы, связанные с изменением упорядоченности.
174 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Необходимо упомянуть о взаимоотношении результатов настоящей работы с
результатами теорий упорядочения Брэгга и Вильямса [11], Бете [12], Пайерл-
са [13]. Брэгг и Вильяме приходят к результату, что в сплавах состава АВ пере-
переход от порядка к беспорядку должен произойти в точке Кюри, а в сплавах АВ3 —
в точке фазового перехода первого рода. Между тем результаты термодинами-
термодинамического исследования в настоящей работе показывают, что возможность нали-
наличия точки Кюри отнюдь не определяется отношением между числами «своих» и
«чужих» мест для атомов в решетке, а глубоко связана со свойствами симметрии
кристалла. В частности, точки Кюри возможны далеко не во всех сплавах соста-
состава АВ, например, невозможны уже в таком простом случае, как сплавы типа CuAu.
Что касается теории Бете, то им рассмотрен специально случай упорядочения
типа C-латуни, для которой точка Кюри термодинамически возможна. Пайерлс
рассмотрел упорядочение типа Cu3Au и получил невозможность точки Кюри, что
так же не противоречит термодинамической теории. Надо, однако, думать, что это
совпадение является чисто случайным и в более сложных случаях не имеет места.
Таким образом, те далеко идущие упрощающие предположения и пре-
пренебрежения, которые делаются в указанных теориях упорядочения, могут при-
привести в результате даже к качественной неприменимости теории, которая мо-
может оказаться противоречащей термодинамике.
В заключение выражаю искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за цен-
ценные дискуссии и постоянный интерес к моей работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] L. Landau. Sow. Phys., 11, 26, 545, 1937.
[2] Е. Лифшиц. ЖЭТФ, 11, 255, 1941. [Статья 10 настоящего собрания трудов].
[3] P. Ewald and С. Hermann. Strukturbericht, Bd. 1, 1931.
[4] F. Seitz. Ann. of. Math., 37, 17, 1936.
[5] L. Bouckaert, M. Smoluchowski and E. Wigner. Phys. Rev., 50, 58, 1936.
[6] Internationale Tabcllen zur Bestimmung- von Kristallstrukturen, Bd. 1, 1935.
[7] J. Rosenthal and G. Murphy. Rev. Mod. Phys., 8, 317, 1936.
[8] F. Nix and W. Shockley. Rev. Mod. Phys., 10, 1, 1938.
[9] H. Sykes and F. Jones. Proc. Roy. Soc. [A], 157, 213, 1936.
[10] N.F. Mott. Proc. Phys. Soc, 49, 108, 1937 (extra part).
[11] W. Bragg and E. Williams. Proc. Roy. Soc. [A], 145, 699, 1934; 151, 540. 1935.
[12] H. Bethe. Proc. Roy. Soc. [A], 150, 552, 1935.
[13] R. Peierls. Proc. Roy. Soc. [A], 154, 207, 1936.
12
ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА В ГЕЛИИ II
ЖЭТФ, 14, 116, 1944
Микроскопическая теория явления сверхтекучести гелия II была развита
Л. Ландау [1]. На основании представлений этой теории им же была развита гид-
гидродинамика гелия II, описывающая его макроскопическое движение. В этой гид-
гидродинамике движение жидкости описывается одновременно двумя скоростя-
скоростями — скоростью «сверхтекучего движения» vs и скоростью «нормального дви-
движения» vn.
При применении системы гидродинамических уравнений к распространению
звука в гелии II ([1], п. 8) оказывается, что здесь возможно распространие звуко-
звуковых волн с двумя различными скоростями. В первом приближении эти скорости
равны
(S, С — энтропия и теплоемкость, отнесенные к единице массы жидкости, ps и
рп — плотности «сверхтекучей» и «нормальной» частей жидкости). В этом при-
приближении отброшены члены, содержащие малую величину — коэффициент
теплового расширения; в связи с этим не делается различия между (др/др)т и
(dp/dp)s и между теплоемкостями Ср и Cv. Скорость щ, соответствующая обыч-
обычной скорости звука, слабо зависит от температуры и почти постоянна во всем
интервале от О °К до Х-точки; при 1,5 — 2 °К щ = 2,4 • 104 см/с. Скорость же щ,
напротив, быстро меняется с температурой. Она обращается в нуль вместе с ps,
в Х-точке и монотонно растет при понижении температуры до значения щ/у/3
при О °К. На рисунке приведен график функции щ(Т) в интервале от О °К до
Х-точки, вычисленный с помощью формул для С, S, ps/pn, полученных Л. Ландау.
В интервале 1,1 — 1,8 °К и2 оказывается практически постоянной, равной
2,6 • 103 см/с. При 2 °К и2 = 2,2 • 103 см/с.
Рассмотрим плоскую звуковую волну; в такой волне скорости vs, vn и пере-
переменные части Т', р' температуры и давления пропорциональны друг другу. Если
ввести коэффициенты пропорциональности а, Ь, с согласно
vn = avs, pf = bvs, T' = cvs, B)
то простое вычисление с помощью уравнений (8, 1—8) в [1], произведенное с долж-
должной степенью точности, дает для «первого звука»
_ ар и\и\ _ _ аТ и\ , ,
?ps u? - ul ' ' С и2л - и\ '
176 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
а для «второго звука»:
_ 9s , <*Р
а2 ~ *
Pn Sps u\-u\ S[u\-u\) S
(a = l/p(<9p/<9p) есть коэффициент теплового расширения). Отметим, что в зву-
звуковых волнах первого типа vs ~ vn, т. е. в такой волне в каждом элементе объе-
- ма жидкость колеблется, в первом при-
и2 • Ю-3, см/с - » Р Р
1 ' олижении, как целое; эти волны соответ-
п ствуют обычным звуковым волнам в
обычных жидкостях. В волне же второго
типа vs - vn, vn (ps/pnK, т. е. полный
3 - N. поток вещества j = psvs + pnvn ~ 0; таким
образом, здесь происходят колебания
сверхтекучей и нормальной частей жид-
жидкости друг относительно друга, так что в
первом приближении их «центр инер-
I I I I i i \ ции» в каждом элементе объема остает-
0
ся неподвижным, и суммарный поток ве-
U,o 1.U 1,2 1,4 1,0 1,о 2,U z,z ^
щества отсутствует. Отметим также, что
'в волнах этого типа амплитуда колеба-
колебаний давления мала (рг пропорциональ-
пропорционально а), а температуры — велика, между тем как в «первом звуке» имеет место
обратное положение.
Характер излучения звука существенно зависит от соотношения между раз-
размерами излучающего тела и длиной волны. Рассмотрим сначала случай, когда
длина волны (обоих звуков) мала по сравнению с размерами колеблющегося тела.
В этом случае можно считать, что каждый участок поверхности тела излучает
плоскую волну в нормальном к себе направлении. Поэтому достаточно рассмот-
рассмотреть излучение звука плоскостью, совершающей, как целое, колебания в пер-
перпендикулярном себе направлении (которое выбираем в качестве направления
оси х). Ищем скорости vs (направленные по оси х) в «первой» и «второй» излуча-
излучаемых звуковых волнах соответственно в виде
v^ = А^-^-^Ч vf = А2е~{^-Х^\ E)
Граничные условия на неподвижной поверхности твердого тела требуют, в об-
общем случае, исчезновения касательной компоненты скорости vn и нормальной
компоненты полного потока вещества j = psvs + pnvn; нормальная же компонента
потока тепла в гелии II, p*STvn, должна быть равна теплопроводностному потоку
тепла в твердом теле [2]. Однако, благодаря быстроте теплопередачи в гелии II
по сравнению с теплопередачей в твердом теле, мы можем пренебречь послед-
последней, и тогда последние два условия сводятся к исчезновению нормальных ком-
компонент каждой из скоростей vs и \п, или — на движущейся поверхности — их
равенству соответствующей компоненте скорости тела.
В данном случае граничные условия дают
Ах+А2 = и0, Агаг + А2а2 = и0
12. Излучение звука в гелии II 111
(где uove~tLjJt есть скорость колебаний твердой поверхности), откуда
1 — а2 1 — ах
Как при всяких малых колебаниях, средняя (по времени) потенциальная энер-
энергия равна средней кинетической энергии. Поэтому полная плотность энергии в
звуковой волне в гелии II равна psi>2 + рпг>2 = |А| /2 (pn +psa2}; поток энергии
получается последующим умножением на соответствующую скорость звука и. С
помощью выражений для Аг, А2и значений av a2 получаем, таким образом, для
отношения интенсивностей Iv I2 излучаемых волн «первого» и «второго» звуков
12 _ а2Т и\и\ а2Т и\
I ~ С ( 2 2\2 ^ Г U
(вплоть до самых низких температур и2 <С щ, что и предполагается, для кратко-
краткости, везде ниже). Для отношения амплитуд давления и температуры в обеих вол-
волнах получим
ri" = ~c~v т; = щ- (8)
Так, при Т = 2,0 °К отношение 12/1х оказывается равным 2 • 10~6; таким образом,
в этих условиях (излучение звука малой длины волны) «второй звук» практи-
практически вовсе не излучается. Отношение амплитуд давления столь же мало, отно-
отношение же амплитуд температуры более выгодно в пользу второго звука — оно
равно при указанной температуре 0,1.
Рассмотрим теперь излучение звука шариком, совершающим поступатель-
поступательные колебания, причем его радиус R мал по сравнению с длинами излучаемых
волн (поскольку и2 < щ, то это сводится к требованию малости и2). На больших по
сравнению с R расстояниях г от шарика ищем скорости vs в обеих волнах в виде
со
—г
—, (9)
где u = uQe lbJt — скорость шарика. На расстояниях, больших также и по сравне-
сравнению с длинами волн \, Х2, при дифференцировании здесь надо считать множи-
множитель 1/г постоянным. В этой области («волновая зона») волну в каждом неболь-
небольшом участке можно рассматривать как плоскую; соответственно этому скорости
v$,v$ должны быть здесь равными v$ = a{V^\ v$ = a{vf\ При переходе к
расстояниям, большим по сравнению с R, но малым по сравнению с длинами волн,
выражения (9) переходят в
s 1 т ' s 2 г
С другой стороны, на расстояниях г<\ жидкость можно рассматривать как не-
несжимаемую, и распределение скорости vs =v^ +v^2) сверхтекучего движения
должно определяться обычной формулой для потенциального обтекания шара
идеальной несжимаемой жидкостью, т. е. должно быть vs = (K3/2)(u V) V(l/r).
178
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Отсюда получаем условие
R
Что касается распределения скорости v n = \$ + v^ нормального течения, то на
расстояниях у<\ оно должно определяться решением уравнения Навье—Сток-
са (стоксовское обтекание колеблющегося шара). Роль кинематической вязкос-
вязкости играет при этом отношение у = т]/рп, где г\ — вязкость гелия II [2]. На расстоя-
расстояниях R<r<\ это распределение имеет вид (см. например [3] стр. 643)
V. =¦
1 +
3A+г) , Зг
(uV)V-
(здесь опущены члены, экспоненциально убывающие с г). Отсюда мы получаем
второе условие в виде
3 ( 3A +г) Зг
Из этих двух равенств находим
зA+0 к ,
2х р :
2 3A+г)
Зг
Рп
р
Рп
р
2
Зг
\2
Р
В «волновой зоне» имеем для каждой из скоростей v^, v^2), v^,
вида
ш2п(пи)
A0)
выражение
v =A(uV)V
е иг
(п — единичный вектор в направлении г). Усреднение v2 по времени дает
1 ' 6и* г2
Поэтому полная интенсивность излучения «первого звука» есть
и аналогичное выражение для 12. Для отношения обеих интенсивностей получаем
следующее выражение.
ар 2 3 / у
*svTU2 "к
9v
Pn
_Р_ 3 /у
Рп К
9v
(И)
12. Излучение звука в гелии II 179
В предельном случае больших частот это дает
12 _ а2Т ul
и
A2)
а в обратном предельном случае малых частот
т = ——• A3)
Так, при Т = 2 °К, R = 0,1 см, lj/2iy = 50 с получаем 12/1\ = 0,2 (для гг взято зна-
значение 2 • 10~5 пуаз, см [2]). Предельные же значения A2) и A3) равны, для этой
температуры, соответственно, 2,5 • 10~2 и 1,4 • 103. Таким образом, в отношении
полной интенсивности излучение звука колеблющимся с малыми частотами ша-
шариком может быть благоприятным для «второго звука».
Интенсивность излучения, однако, трудно наблюдать непосредственно. Можно
было бы наблюдать волну, например, по колебаниям приводимого ею в движение
шарика или пластинки. Расчет показывает, однако, что абсолютные величины
амплитуды колебания, которые можно здесь ожидать, настолько ничтожны, что
практически не наблюдаемы.
В гелии II возможны еще и другие, специфические для него, способы воз-
возбуждения звуковых волн, невозможные в обычных жидкостях. Рассмотрим из-
излучение звука пластинкой, совершающей колебания в своей плоскости1). Раз-
Размеры пластинки пусть будут малы по сравнению с длиной волны. На больших
расстояниях можно опять искать скорости в виде (9); на расстояниях же г<Х,
где жидкость можно рассматривать как несжимаемую, пластинкой увлекается
только «нормальная» часть жидкости, так что скорость сверхтекучего движения
должна быть равной нулю. Отсюда получаем одно из граничных условий в виде
Аг + А2 = 0, так что | А2/А1\ = 1. Для отношения интенсивностей получим, соот-
соответственно этому, выражение A3). Отношение амплитуд колебаний температу-
температуры равно
Т* С Щ
(при 2 °К это есть 20).
Еще более выгодно для «второго звука» излучение от поверхности с пе-
периодически меняющейся со временем температурой.
Рассмотрим плоскую твердую поверхность, температура которой меняется
по закону
т' = туш.
В качестве условий на этой поверхности надо потребовать, в соответствии с точ-
точными граничными условиями (см. [2]), исчезновения нормальной компоненты
полного потока вещества j = psvs + pnvn и равенства температур жидкости и стен-
стенки. Что касается потока тепла от стенки в жидкость, то он определится по полу-
получающемуся решению как произведение p*STvn. Ищем решение в виде E) и имея
Этот способ излучения звука был предложен П.Л. Капицей.
180 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
в виду, что изменение температуры в звуковой волне связано с vs посредством
Т' = cvs [где с определяется формулами C) и D)] пишем граничные условия в виде
ps (А, + А2) + рп (а,А, + а2А2) = 0, qА, + с2А2 = Т'.
Для интересующего нас отношения А2/Ах имеем
= Рпа1
л
Отсюда находим отношение интенсивностей в виде
rr^kr- A5)
При Т = 2 °К эта величина равна 5 • 103, а при более низких температурах — еще
больше. Таким образом, в отношении интенсивности здесь излучается практи-
практически лишь «второй звук». Для отношения амплитуд колебаний давления и тем-
температуры получаем
?-?• 1-^- Aб>
При Т = 2 °К, р2/р[ =0,1, так что условия для наблюдения «второго звука» по
изменению давления здесь все еще не благоприятны. Условия же для наблюде-
наблюдения «второго звука» по изменению температуры, напротив, весьма благоприятны.
Наконец, необходимо сделать еще следующее общее замечание. Как извест-
известно, свойство сверхтекучести нарушается при скоростях, превышающих некото-
некоторое критическое значение. Самое значение критической скорости зависит от тем-
температуры, а также от характеристических размеров задачи. При больших раз-
размерах сосуда с гелием II критические скорости, по-видимому, довольно малы —
порядка сантиметров в секунду. Для беспрепятственного наблюдения «второго
звука» необходимо, чтобы скорости движения жидкости в звуковой волне не пре-
превышали критических значений (при 2 °К скорости vs = 1 см/с соответствует
Т/ = 2-10).
В заключение выражаю благодарность проф. Л.Д. Ландау за его интерес к ра-
работе и ценные дискуссии.
ЛИТЕРАТУРА
[1] L. Landau. J. of Physics, 5, 71,1941.
[2] Л. Ландау. ЖЭТФ (работа в этом же номере).
[3] Я. Lamb. Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge, 1932.
13
О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ
В МОНОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПЛЕНКАХ
ЖЭТФ, 14, 353, 1944
В мономолекулярных пленках, нанесенных на поверхность жидкости,
известно большое количество различных фаз, переходы между которыми со-
совершаются как путем обычных фазовых переходов (переходов 1-го рода), так
и путем переходов 2-го рода. При истолковании экспериментальных результа-
результатов, однако, часто исходят из неверных теоретических точек зрения, рассмат-
рассматривая, например, некоторые переходы как переходы 3-го рода или как «диф-
«диффузные переходы 1-го рода» (см., например, [1]), между тем как ни те, ни дру-
другие термодинамически невозможны.
Полная термодинамическая теория фазовых переходов 2-го рода была раз-
развита Л. Ландау [2] (см. также [3, 4]). Им было показано, прежде всего, что кроме
обычных фазовых переходов возможны еще лишь переходы 2-го рода. Всякие
другие переходы, понятие о которых можно было бы формально ввести (напри-
(например, переходы 3-го и т. д. родов), в действительности существовать не могут. Та-
Таким образом, существует всего два типа фазовых переходов, характеризующихся
следующими особенностями.
При фазовом переходе 1-го рода термодинамическое состояние тела меняет-
меняется скачком; соответственно этому испытывают скачок и все термодинамические
величины тела (энергия, энтропия, объем и т. п.). Переход сопровождается вы-
выделением или поглощением скрытой теплоты и скачком объема (в случае дву-
двумерных фаз надо говорить не об объеме, а о площади поверхности). При данной
температуре переход происходит при определенном давлении, причем в тече-
течение перехода тело является гетерофазным.
При фазовом переходе 2-го рода термодинамическое состояние тела меняет-
меняется непрерывным образом, в связи с чем указанные выше термодинамические ве-
величины не испытывают скачка. Испытывают, однако, скачок производные от тер-
термодинамических величин, т. е. такие величины, как теплоемкость, сжимаемость.
Никакой области гетерофазности при переходе 2-го рода, очевидно, не существу-
существует. Ясно также, что при таком переходе не может быть явлений типа переохлаж-
переохлаждения и гистерезисных явлений.
Основным для выяснения природы фазовых переходов 2-го рода является ус-
установленный Ландау факт, что такой переход всегда должен быть связан с изме-
изменением свойств симметрии тела. В то время как при фазовом переходе 1-го рода
изменение симметрии отнюдь не обязательно (например, переход между двумя
изотропными фазами — газом и жидкостью), переход 2-го рода возможен только
между фазами различной симметрии. Каким образом при непрерывном изменении
182 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
расположения молекул может внезапно измениться симметрия, видно, скажем,
на следующем простом схематическом примере. Рассмотрим пленку, составлен-
составленную из длинных молекул, которые будем представлять себе в виде линейных
отрезков. Если все эти молекулы расположены беспорядочным образом на плос-
плоскости, но параллельно друг другу, под некоторым острым углом наклона к плос-
плоскости пленки, то пленка обладает лишь одним элементом симметрии — плоско-
плоскостью симметрии, перпендикулярной плоскости пленки и параллельной молеку-
молекулам. При постепенном увеличении угла наклона молекул симметрия остается
неизменной, вплоть до момента, когда этот угол сделается как раз равным пря-
прямому. В этот момент — при непрерывном изменении состояния пленки — скач-
скачком изменится ее симметрия, именно, пленка станет полностью изотропной в сво-
своей плоскости.
Оказывается, далее, что далеко не всякое изменение симметрии может быть
связано с переходом 2-го-рода — опять-таки в противоположность переходам
1-го рода, при которых изменение симметрии может быть произвольным. При
этом можно вывести общий закон, согласно которому при переходе 2-го рода
группа симметрии одной из фаз должна быть подгруппой группы симметрии
другой фазы. Это значит, что одна из фаз («менее симметричная») обладает
только такими элементами симметрии, которыми обладает и вторая, но вторая
(«более симметричная») обладает еще и элементами симметрии, не имеющими-
имеющимися у первой. Уже это правило чрезвычайно ограничивает возможность суще-
существования переходов 2-го рода. Например, между двумя фазами пленки, из ко-
которых одна обладает осью симметрии 4-го, а другая — 2-го порядка, переход
возможен — вторая является менее симметричной по сравнению с первой. Если
же одна фаза обладает, скажем, осью 4-го, а другая — 3-го порядка, то между
ними во всяком случае невозможен переход 2-го рода; ясно, что в этом случае не
имеет смысла говорить о том, какая из фаз более, а какая менее симметрична —
их симметрии «несоизмеримы».
Надо, однако, иметь в виду, что даже соблюдение описанного условия недо-
недостаточно для того, чтобы обеспечить возможность существования фазового пе-
перехода 2-го рода. Математический аппарат теории Ландау дает возможность
определить все возможные типы изменения симметрии при переходах 2-го рода.
Для истолкования экспериментальных результатов весьма существенным
является факт наличия однозначного соответствия между знаком скачка теп-
теплоемкости и сжимаемости, с одной стороны, и направлением изменения сим-
симметрии при переходе 2-го рода — с другой. Именно,можно показать, что при
переходе, сопровождающемся понижением симметрии, теплоемкость и сжи-
сжимаемость тела скачком возрастают, и наоборот. Другими словами, вблизи точ-
точки перехода более симметричная фаза обладает меньшими теплоемкостью и
сжимаемостью, чем менее симметричная фаза. В случае пленок в особенности
существенным является, разумеется, поведение сжимаемости, поскольку именно
она измеряется экспериментально.
Таким образом, вопрос о симметрии тела является первостепенным при изу-
изучении фазовых переходов 2-го рода. В связи с этим встает вопрос о типах сим-
симметрии, которыми может обладать пленка, нанесенная на поверхности жидко-
жидкости. В этом отношении весьма существенным является то, что (как было показано
Пайерлсом [5, 2]) тепловое движение настолько размывает правильное располо-
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках 183
жение атомов в «двумерной кристаллической решетке», что такая решетка во-
вообще не может существовать. Другими словами, поверхностная пленка не может
представлять собой «двумерного аналога» твердого кристала; расположение мо-
молекул как целого друг относительно друга должно быть в ней беспорядочным 1).
Подчеркнем, что это не имеет отношения к вопросу о твердости пленки в смысле
ее механических свойств. Пленка может быть «твердой» и проявлять сопротив-
сопротивление на сдвиг и при беспорядочном взаимном расположении молекул, подобно
тому, как это имеет место в трехмерных аморфных твердых телах. Этот вопрос
не имеет непосредственного отношения к вопросу о природе различных фазо-
фазовых переходов в пленках.
Таким образом, анизотропия поверхностных пленок может быть связана
лишь с правильной ориентировкой молекул в этих пленках, при беспорядоч-
беспорядочном расположении их центров инерции (т. е. молекул как целого). В этом
смысле анизотропная пленка представляет собой двумерный аналог трех-
трехмерных жидких кристаллов. Соответственно этому не имеет смысла говорить
о симметрии пленки по отношению к параллельным переносам, и типы сим-
симметрии пленок представляют собой комбинации одних только осей и плоско-
плоскостей симметрии, т. е. так называемые точечные группы. При этом повороты
вокруг осей и отражения в плоскостях должны, разумеется, совмещать плос-
плоскость пленки саму с собой и оставлять к тому же неизменным взаимное
расположение жидкости, на которой нанесена пленка, и окружающей атмо-
атмосферы (последнее означает, что невозможна плоскость симметрии, совпада-
совпадающая с плоскостью пленки). Таким образом, пленка может обладать только
осью симметрии, перпендикулярной ее плоскости, и вертикальными плоско-
плоскостями симметрии, перпендикулярными плоскости пленки.
Соответственно этому возможные типы симметрии пленок исчерпываются
точечными группами, обозначаемыми как Сп и Cnv. Группа Сп содержит всего
лишь одну ось симметрии n-го порядка. Группа же Cnv складывается из оси п-го
порядка и п вертикальных плоскостей симметрии, проходящих через ось сим-
симметрии и пересекающихся друг с другом под равными углами. Значения п прин-
принципиально не ограничены числами 1, 2, 3, 4, б, как это имеет место в кристал-
кристаллической решетке. Фактически, однако, неизвестны молекулы, которые бы
обладали осями симметрии какого-либо иного порядка, и мало вероятно, чтобы
такие оси были обнаружены в «жидко-кристаллических» пленках. Возможны,
однако, еще предельные группы симметрии С^ и Coov; C^ содержит ось симмет-
симметрии, совмещающую тело с самим собой при повороте на произвольный угол вокруг
нее; группа Coov допускает сверх того еще и отражение в любой вертикальной
1) Надо, впрочем, оговориться, что теоретически доказывается отсутствие корреляции между
положениями частиц в двумерном образовании при стремлении расстояния между частицами к бес-
бесконечности^ то время как для твердого трехмерного кристалла как раз характерно наличие такой
корреляции). Фактически расстояния, на которые еще простирается заметная корреляция между
положениями частиц, могут оказаться довольно значительными. В таких случаях пленка могла бы
практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства. Если такие пленки будут действитель-
действительно обнаружены экспериментально, то для них можно говорить о некоторой «двумерной кристалли-
кристаллической решетке» и о соответствующих типах симметрии. Заметим, что наличие правильной формы
у небольших кусков пленки еще не доказывает ее «твердо-кристалличности»; такая форма возможна
и у «жидко-кристаллической» пленки.
184
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
плоскости, т. е. представляет собой группу полной аксиальной симметрии; она со-
соответствует полностью изотропной пленке. Группа Сх означает, очевидно, полное
отсутствие каких бы то ни было элементов симметрии; группа Clv, обозначаемая
также как Cs, содержит всего одну плоскость симметрии.
Рассматривая перечисленные точечные группы, можно теоретически уста-
установить все возможные типы изменения симметрии при фазовых переходах 2-го
рода в пленках. Исследование (приведенное в математической части) приводит
к результатам, сведенным в табл. 1. В первом столбце указывается исходная сим-
симметрия, а во втором — более низкие симметрии, которые могут возникнуть из
исходной в результате перехода 2-го рода. Речь идет при этом о точках перехо-
переходов 2-го рода, лежащих на целой кривой в диаграмме F—T (F — поверхностное
давление, Т— температура; на рис. 1—7 пунктиром изображены линии перехо-
переходов 2-го рода, а сплошными линиями — кривые точек переходов 1-го рода; поло-
положение осей координат произвольно). Кроме таких точек, принципиально возмож-
возможно еще существование «изолированных точек перехода 2-го рода», лежащих на
пересечении кривых обычных фазовых переходов, предсказанных Ландау, но
еще не наблюдавшихся на опыте. Для полноты приводим здесь соответствую-
соответствующие рис. 2 и табл. 2. Фазы II и III имеют одинаковую симметрию при различном
расположении молекул. В точке К, представляющей собой изолированную точ-
точку перехода 2-го рода, все три фазы I—III становятся тождественными. При при-
приближении к точке К вдоль кривой сК скрытая теплота перехода и скачок объема
(поверхности в случае переходов в пленках) стремятся к нулю пропорционально
расстоянию до точки К в степени ^,ана кривой ab — пропорционально квад-
квадрату расстояния до точки К.
Таблица 1
Ill
I
с2
с4
с6
Соо
II
С!
С2,С,
I
cs
c2v
c3v
civ
c6v
II
c\
c2,cs
c3
c4, c2v, cs
c6, c3o) cs
Coo, Cnv
n=l, 2, 3,4,6
Далее, можно рассмотреть возможные типы пересечения фазовых переходов
2-го рода друг с другом и с кривыми переходов 1-го рода. Изучение этого вопроса
имеет смысл именно для пленок, ввиду сравнительной легкости эксперименталь-
экспериментального осуществления изменения давления в широких пределах, что дает возмож-
возможность проследить за ходом кривых фазовых переходов в плоскости F—T. Иссле-
Исследование приводит к следующим результатам.
Пересечение кривой переходов 2-го рода с кривой обычных фазовых перехо-
переходов изображенного на рис. 1,6 типа не подвержено каким бы то ни было ограни-
ограничениям (за исключением только того, что переход между фазами I и II должен
быть связан с изменением симметрии из числа перечисленных в табл. 1). Пере-
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках
185
сечение изображенного на рис. 3 типа возможно в очень ограниченном числе слу-
случаев. Именно, возможные симметрии фаз I—III перечислены в табл. 2 и 3. Фаза I
всегда наиболее симметрична. Группы Cs и C's содержат по одной плоскости сим-
симметрии, но различным образом ориентированной по отношению к молекулам
пленки. Скрытая теплота перехода на кривой сО стремится при приближении к
точке О к нулю как квадрат (в первом из перечисленных в табл. 3 случаев) или
как куб (во втором случае) расстояния до точки О.
Таблица 2
I
C3
Се
II, III
с,
с2
cs
I
°cV
Таблица 3
II
cs
cs
III
C'
Рис.2
Рис.3
Далее, возможно пересечение двух кривых переходов 2-го рода с кривой пе-
переходов 1-го рода изображенного на рис. 4 и 5 типа (в отличие от предыдущего
случая, кривые аО и ЪО пересекаются здесь под некоторым углом, между тем
как на рис. 3 кривая аОЪ не имеет излома в точке О). Возможные симметрии
фаз I—III перечислены в табл. 4. Фаза I всегда является наиболее симметрич-
симметричной. На рис. 4 кривая сО проходит внутри угла, образованного продолжениями
линий аО и ЪО, а на рис. 5 — внутри угла, образованного линией аО и продол-
продолжением линии ЪО (речь идет, конечно, о ходе кривых лишь вблизи точки их
пересечения). Скрытая теплота на линии Ос стремится к нулю пропорцио-
пропорционально первой степени расстояния до точки О. Три линии переходов 2-го рода
могут пересечься, как это изображено на рис. 6. Фаза I — наиболее симметрич-
симметрична, фаза II — менее симметрична, чем I, а фаза III — чем фаза П. Линия сО
может проходить, как это изображено на рис. 6,а или на рис. 6,6.
Таблица 4
II
I
c2t,
c4.
c6.
c6
II
cs
c4
c6
lc3.
c3
III
c^,c2
c2o, cs
c3,,cs
c3№ cs
Ci
I
II
C3
. c6
c3s
c6s
III
C4, C2, Cj
civ,c2v,cs
c4,, с2ю
/
'Ь
III
Рис. 4
Наконец, могут пересечься четыре линии фазовых переходов 2-го порядка
(рис. 7). Если I есть наиболее симметричная фаза, то фазы II и III обладают
симметрией более низкой, чем I, а фаза IV — более низкой, чем симметрия
фаз II и III. Линии сО и dO могут проходить либо обе внутри угла, образованного
продолжениями линий аО и ЪО (рис. 7,а), либо обе вне этого угла (рис. 7,6),
причем, однако, угол cOd не может превышать 180°.
186
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Перечисленными исчерпываются все возможные типы пересечений линий
фазовых переходов 2-го рода друг с другом и с линиями обычных фазовых пе-
переходов.
\ \с
ч II ,
'Ъ
I Vu
III / с
/ Ш
«МП
1 SO III
/
/
/
'ъ
Рис.5
Рис. 6
I
/
/
'ъ
IV
I
II
На рис. 8 схематически изображен типичный вид изотермы мономолеку-
мономолекулярной пленки в координатах F—A (F — поверхностное давление, А — пло-
площадь; кривая изображена без всякого соблюдения масштабов). Область под
точкой а соответствует «газообразной
а д Iе пленке», конденсирующейся при увели-
увеличении давления путем типичного пере-
IV хода 1-го рода. Горизонтальный отре-
отрезок аЪ есть гетерофазная область, а отре-
III ? ттт х зок Ъс соответствует так называемой
ч j «растянутой жидкой фазе» (liquid-expan-
а fi ded) пленки. В точке с кривая имеет из-
излом (скачок сжимаемости), т. е. имеет ме-
Рис- 7 сто фазовый переход 2-го рода. Область се
принято делить на две части — на учас-
участок cd «промежуточной» (intermediate)
фазы J и на линейный участок de «жидко-
конденсированной» (liquid-condensed)
фазы L2, причем эти участки переходят
один в другой без излома на кривой. Нако-
Наконец, в точке г имеет место еще один фазо-
фазовый переход 2-го рода и возникает наибо-
наиболее плотно упакованная фаза S.
По поводу этой классификации фаз
надо прежде всего заметить следующее.
Если такой ход кривой на отрезке се, как
это изображено на рис. 8, действительно
Рис g соответствует в каждой точке равновесно-
равновесному состоянию пленки, то можно во всяком
случае утверждать, что не имеет смысла различать на нем две фазы J и L2. От-
Отсутствие излома на кривой исключает переход 2-го рода, а переходы 3-го по-
порядка, как уже указывалось выше, вообще термодинамически невозможны. Что
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках
187
Таблица 5
I
с6
Г1
Coo
Сое.
II
С3
С3.
С3
с6
С3.
с6.
III
С!
cs
С!
с2
cs
Таблица б
I
Соо
II
С6, С,
Сбг>> С4г)
III
С!
cs
касается перехода в точке с, то это должен быть переход 2-го рода. Из знака скач-
скачка сжимаемости (при переходе от L1 к J сжимаемость возрастает) следует (см.
выше), что симметрия фазы Lx должна быть выше симметрии фазы J. Поэтому,
если фаза Ьг соответствует изотропной «жидкости», то
фаза J должна была бы во всяком случае быть анизот-
анизотропным «жидким кристаллом».
Надо, однако, отметить, что есть основания к сомне-
сомнению в том, насколько ход кривой на участке се действи-
действительно соответствует равновесным состояниям плен-
пленки. Имея в виду наблюдаемую пологость кривой на этом
участке, можно было бы думать, что в действительно-
действительности равновесию соответствует горизонтальный прямо-
прямолинейный отрезок, который разделял бы участки кри-
кривой Ъс и de так, что переход между фазами Ьг и L2 был
бы обычным фазовым переходом 1-го рода. На эту
мысль наводит сильное отличие друг от друга свойств
пленки на участках de и ed, в частности, существенно,
что на участке cd (который при этом надо было бы рас-
рассматривать как гетерофазный) наблюдаются гистере-
зисные явления; есть также указания на неоднород-
неоднородность пленки в этой области (см., например [6, 7]). Подчеркнем по этому поводу,
что высказываемые иногда сомнения в том, что в течение фазового перехода 1-
го рода в пленке поверхностное давление должно оставаться постоянным (см.,
например [7]), не обоснованы. Наличие жидкой подложки, на которое при этом
ссылаются, здесь несуществецно, так как различные фазы, о которых идет речь,
являются по существу не фазами пленки самой по себе, а фазами системы, со-
состоящей из пленки вместе с жидкостью, на которой она нанесена. Что касается
перехода в точке е, то это есть типичный переход 2-го рода. Сжимаемость па-
падает при переходе от фазы L2 к фазе S. Отсюда следует, что симметрия фазы S
выше симметрии фазы L2. Это значит, что фаза L2 во всяком случае должна
быть анизотропной.
Харкинс и Коппеланд [8], исследуя пленки октадецилового спирта, обнару-
обнаружили в них ряд переходов 1-го и 2-го родов, причем кривые этих переходов
(в диаграмме F—T) пересекаются по типу, изображенному на рис. 4. Соот-
Соответственно этому, фаза, обозначаемая этими авторами как S, должна обладать
более высокой симметрией, чем фазы LS и L, которые, таким образом, опять во
всяком случае должны быть анизотропными.
Сжимаемость должна, следовательно, падать при переходе 2-го рода от LS
или L к S. Это действительно имеет место при переходе L —> S; для перехода
LS —> S соответствующие данные отсутствуют. Переход L —> LS совершается в
некотором интервале температур как переход 1-го рода, а при других тем-
температурах — как переход 2-го рода. Заметим, что в точке, где линия переходов
1-го рода переходит в линию переходов 2-го рода, скачки теплоемкости и сжи-
сжимаемости должны обращаться в бесконечность [2,8].
Для экспериментального обнаружения анизотропии пленки можно восполь-
воспользоваться, например, ее оптическими свойствами, наблюдая отражение от нее
188
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таблица 7
плоско-поляризованного света. При подобного рода исследованиях обычно изме-
измеряется степень эллиптичности, возникающая при отражении света, поля-
поляризованного под углом 45° и плоскости падения. Такие измерения, однако,
непригодны для целей изучения
свойств симметрии пленки, посколь-
поскольку в этих условиях эллиптичность воз-
возникает и при отражении от изотроп-
изотропной пленки. Анизотропия пленки мо-
может проявиться при отражении света,
поляризованного в плоскости падения
или перпендикулярно ей; при отраже-
отражении от изотропной пленки в этих ус-
условиях поляризация не изменилась бы.
Для ориентировки в явлениях, кото-
которые должны иметь место при отра-
отражении от анизотропной пленки, име-
имеет смысл произвести соответствующий
расчет, исходя из простой модели, в
которой пленка рассматривается как
тонкий однородный (но анизотропный) слой толщины I, характеризующийся тен-
тензором диэлектрических постоянных eik. Хотя такая модель и величины eik и не
имеют точного физического смысла, но получаемые с помощью этой модели
результаты во всяком случае верно отражают свойства, связанные с симметри-
симметрией пленки, и можно ожидать также правильной зависимости от угла падения.
Расчет производится подобно тому, как рассчитывается влияние переходного
слоя на отражение (см., например [9]) и приводит к следующему выражению
для степени эллиптичностир (отношение полуосей эллипса поляризации):
I
с2.
с4
с*.
С™
Соо
II
cs
fc*
k
\c3v
k
Ceo
c2v
civ
c2
c4
III
г с
С Г"
cs
ce, CL
cs
cm
c3o
C3, C6v
c3
c3,c6
IV
c2
c3
cn
cs
cs
Сг
p =
costp
X
(n2 — l) sin2 tp ± cos Lp^Jn2 — sin2
ч>
An2 sin ф zb Б л]п2 - sin2 cp |
(i)
(знаки + и — имеют место соответственно для падающего света, поляризован-
поляризованного в плоскости падения и перпендикулярно ей), где постоянные А и В равны
B)
Здесь X есть длина волны, п — показатель преломления жидкости, на которой на-
нанесена пленка, ср — угол падения, \ — угол между плоскостью падения плоско-
плоскостью xz; ось z выбрана перпендикулярной плоскости пленки, а оси х, у выбраны
так, чтобы обратить компоненту еху тензора в нуль. При наиболее низкой симмет-
симметрии пленки — Сх — все величины exz, eyz, гхх, гуу отличны друг от друга и от нуля.
При наличии одной плоскости симметрии (группа Cs), совпадающей с плоскостью
xz, имеем ezy = 0. Симметрии С2 и C2v приводят к исчезновению двух компонент:
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках 189
exz = eyz = 0. Все остальные типы симметрии приводят к равенствам exz = eyz = 0;
ехх = еуу, т. е. обладающие такой симметрией пленки ведут себя в отношении сво-
своих оптических свойств как изотропные; при этом р = 0.
Формулы A), B) относятся к отражению от «монокристаллической плен-
пленки». Между тем, фактически пленка может оказаться состоящей из различ-
различным образом ориентированных участков, т. е. «поликристалличеекой». Если
размеры этих участков малы, то при отражении широкого пучка лучей проис-
происходит усреднение по всем направлениям осей х, у, т. е. по углу \- Но при таком
усреднении величина р обращается в нуль, т. е. эффект 1-го порядка по от-
отношению 1/\ отсутствует. Эффект 2-го порядка заключается в том, что в отра-
отраженном свете наряду с компонентой, поляризованной в той же плоскости, что и
падающий луч, появляется некогерентная компонента с колебаниями в перпен-
перпендикулярной плоскости, и можно было бы определить отношение интенсивнос-
тей обеих компонент. Эта величина, однако, будучи пропорциональна A/\J, ока-
оказывается слишком малой, чтобы быть обнаруженной на опыте. Поэтому прак-
практически следует производить измерения либо на пленке, которая тем или иным
способом сделана «монокристаллической», либо с помощью настолько узких
пучков света, чтобы происходило отражение от отдельных «монокристал-
«монокристаллических» участков пленки.
Математическая часть
Мы произведем здесь вычисления, основанные на общей теории Ландау, выб-
выбрав в качестве примера группу C6v как исходную. На идее метода и физическом
смысле различных величин мы здесь не будем останавливаться вовсе, предпо-
предполагая их известными (о них см. [2, 4]).
Неприводимые представления всех точечных групп можно найти, напри-
например, в [10]. В табл. 8 приведены характеры неприводимых представлений груп-
группы C6v. Определим сначала возможные изменения симметрии на линии фазо-
фазовых переходов 2-го рода. Для этого надо рассмотреть те неприводимые
представления, из функций базиса которых нельзя составить инварианта 3-й
степени. Этому условию удовлетворяют все представления, за исключением Е2.
Функция ф, преобразующаяся согласно представлению А2, дает плотность 6р = сф,
обладающую симметрией Сб. Аналогично, представления Bv В2 соответствуют
переходу с изменением симметрии C6v —> C3v.
Функции базиса представления Е1 можно выбрать в виде Ф: =егх, ф2 =е~гх,
где х — угол поворота вокруг оси симметрии, отсчитываемый от одной из
плоскостей симметрии сг2 2)- Из этих функций можно составить один инвариант
4-го порядка: (ф^J и Два инварианта б-го порядка: (ф^K и Ф1+Ф2- Соответ-
Соответственно этому разложение термодинамического потенциала по степеням коэф-
коэффициентов cv с2 в плотности 6р = с1^I + с2^р2 имеет вид:
Ф = Ф0 +Ат]2 +Бт]4 +Ст]6 +DTf(-f16 +^), C)
2) Необходимо заметить, что когда мы пишем 8p = J^c^ с простыми экспоненциальными функ-
функциями (pi то это равенство имеет, собственно говоря, условный характер, поскольку в действительно-
действительности, конечно, функции ipf, составляющие реальную плотность 6р тела, имеют другой вид. Существен-
Существенно, однако, что эти истинные функции ipf, преобразуются так же, как и выбираемые нами простые
функции, а больше ничего и не требуется для определения симметрии, возникающей при переходе.
190
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где г|2 = сгс2, ^ = с{/г\, так что ^Лг = 1. Коэффициенты ^, ^2 определяются из ус-
условия минимальности членов б-го порядка; это условие дает ^}2 =1. Существен-
Существенно различными решениями являются, например, ^г=^2 = 1 и — ^ = ^2 = г. Пер-
Первое соответствует минимуму Ф, если D < 0, а второе — если D > 0. Функции
Таблица 8
л2
в,
в2
Е2
Е
1
1
1
1
2
2
С2
1
1
-1
-1
-2
2
2С3
1
1
1
1
-1
-1
2С6
1
1
-1
-1
1
-1
За,
1
-1
-1
1
0
0
за;
1
-1
1
-1
0
0
6р = ф: + ф2 и 6р = г(ф2 — фх) обе име-
имеют симметрию Cs, но с плоскостями
ov и (jfv, которые были не эквивален-
эквивалентны в группе C6v. Соответственно
этому, если в какой-нибудь точке на
кривой переходов 2-го рода вели-
величина D обратится в нуль, то по обе-
обеим сторонам от этой точки фаза с
симметрией C6v должна переходить
в различные фазы — с симметрия-
ми Cs и C's. Между этими последни-
последними невозможен переход 2-го рода, поскольку группы Cs, Cfs не являются подгруп-
подгруппами одна другой, так что области этих фаз должны быть разделены кривой пе-
переходов 1-го порядка; другими словами, мы будем иметь точку пересечения типа,
изображенного на рис. 3.
Из функций ф: =е2гх, ф2 = е~2гх базиса представления Е2 можно составить
один инвариант 3-го порядка: Ф1 +Ф2- Соответственно этому линия точек пере-
переходов 2-го рода невозможна, но возможны изолированные точки переходов 2-го
рода. Инвариант 4-го порядка имеется всего один: (ф^J, так что мы ммеем дело
как раз со случаем, подробно исследованным в [2].
Для того чтобы исследовать пересечение двух линий точек переходов 2-го рода,
надо искать изменение 6р плотности в виде §р = ^cf^^p +cf^f\ где
пи
Л2)
функции базисов двух различных неприводимых представлений данной группы, и
рассматривать разложение термодинамического потенциала в ряд по степеням ко-
коэффициентов сг- и cf\
Пусть ф^ есть функция, преобразующаяся согласно представлению А2, а
фB) — согласно представлению В2. Из этих функций нельзя составить инва-
инвариантов нечетных порядков; инвариантов 2-го порядка имеется два: ф^2 и ф^2, а
инвариантов 4-го порядка — три: ф^4, ф^4 и ф^2 ф^2^2. Соответственно этому, раз-
разложение Ф имеет вид:
¦7t'+i
D)
где величины с^\ с^ обозначены соответственно как г\ и ?,. Пересекающиеся ли-
линии переходов 2-го рода определяются уравнениями А = 0 и В = 0; точка пересе-
пересечения есть точка А = В = 0, так что вблизи нее величины А и Б малы. Сумма
членов 4-го порядка должна быть существенно положительной (для того чтобы
в точке пересечения значения г\ = ? = 0 могли бы соответствовать минимуму Ф);
для этого должно быть
С>0, D>0, Е>0 или О О, D>0, Е < О, CD-E2>0.
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках 191
Из уравнений
находим следующие пары значений т\, ?,, которые могут давать минимум Ф:
% = ?i = 0; ^2 = "f, ^2 =0; т]3 = 0, Ц = -|,
2BE-AD р2АЕ-ВС
CD-E2
При А > 0, Б > 0 минимуму (везде речь идет о наименьшем из минимумов) Ф
соответствует r\v 6^; это есть область наиболее симметричной фазы C6v (фаза I
на рис. 7).
Предположим сначала, что CD — Е2 > 0. Для пары значений г\2, ?2 имеем
а для Т13,
-Ф^=-_(ВС-ЕА),
OR
-Ф^=- —(AD-ЕВ).
Пусть кривая Оа на рис. 7 есть кривая А = 0; тогда в области II, где А < 0, БС —
ЕА > 0, минимуму Ф соответствуют значения т\2, ?2- Симметрия фазы II есть сим-
симметрия функции 6р = цр^\ т. е. группа Сб. Аналогично, в области III осуществляет-
осуществляется решение т\3, ?3 (кривая Ob есть кривая Б = 0), и фаза имеет симметрию функ-
функции 6р = црB\ т. е. группу C3v. Линия Ос определяется уравнением ВС = ЕА, а
линия Od — уравнением BE = AD. Обе эти линии проходят как изображено на
рис. 7,а, если Е > 0, или как на рис. 7,6, если ? < 0. В последнем случае из условия
CD — Е2 > 0 следует, что угол cOd не может превышать 180°. В области IV имеем
ВС — ЕА < 0, AD — BE < 0, и здесь минимуму Ф соответствуют г|4, ?4, для которых
1111 CDB!> Л *
1111 CD-B!> Л * CD-В2
Симметрия фазы IV есть симметрия функции 6р = щ>^ + ?д]ф^, т- е. группа С3.
Все кривые Оа — Od есть линии точек фазовых переходов 2-го рода, поскольку
значения т\, 6, меняются при прохождении через них непрерывным образом.
Пусть теперь CD — Е2 < 0 (что возможно только если Е > 0). Тогда значения
т|4, ?;4 нигде не соответствуют минимуму Ф. Для т\2, 6,2 имеем Ф = —А2/4С, а для
т]3, ^3Ф = —Б4/4О. Эти значения сравниваются на кривой A2D = B2C (кривая Ос
на рис. 4); при прохождении через эту кривую величины т\, ? скачком меняют-
меняются от значений т\2, 6,2 к значениям т\3, 6,3, т- е. это есть кривая фазовых переходов
1-го рода между фазами II и III. Она расположена в той области, где А < 0,
Б < 0, т. е. так, как это изображено на рис. 4.
Далее, скомбинируем представления Б2 и Ev Пусть ф^ преобразуется согласно
представлению Б2, а фр =егх;^р2 =е~гх есть функции базиса представления Ev
192 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Из этих9трех функций можно составить четыре инварианта 4-го порядка:
(ф!2)< ^ч9
вид:
Ф2 ) > (ф! Ф2 )Ф , (ф1 Фг )ф . Соответственно этому разложение Ф имеет
Ф = Фо Н т]2 Н—^2 Н—т]4 Н ^4 Н—т\\2 т]^3 (~f3 +^2), , E)
где с: = г|, cj^c^ = S;2, ^ = cfУ^. Величины yj, y2 определяются из условия ми-
минимальности Ф при заданных т\, ? и произведении ^^2 = 1 • Это дает ^ = 1, отку-
откуда, например, ^ =^2 =1 (остальные решения не дают ничего нового).
При А > О, В > 0 опять должно быть ? = т\ = 0 (фаза I на рис. 4, 5). После изме-
изменения знака у коэффициента А минимуму Ф соответствует некоторое отличное
от нуля значение т\ при 6, = 0. Симметрия возникающей при этом фазы (фаза II
на рис. 4, 5; линия Ос есть кривая А = 0) есть симметрия функции 6р = цр^\ т. е.
Cv. При изменении знака В (линия ОЪ есть кривая В = 0) минимуму Ф соответ-
соответствует отличное от нуля значение ?, и малое по сравнению с ?,, но все же отличное
от нуля, значение т\ . Возникающая симметрия (фаза III) есть симметрия функ-
функции 6р = т|ф^ + ?(ф1 + Фг )> т- е- Cs. Переход между фазами II и III может быть
только переходом 1-го рода. Это видно из того, что в фазе II, т. е. при r\ ^ 0, разло-
разложение термодинамического потенциала по ? степеням содержит член третьего
порядка, и потому отличное от нуля значение ? не может появиться непрерыв-
непрерывным образом. Линия Ос переходов 1-го рода может проходить только в той обла-
области, где А < 0 (т. е. так, как это изображено на рис. 4 или 5), так как фаза II может
быть устойчивой только при А < 0. Чтобы получить изображенную на рис. 4, 5 кар-
картину пересечения кривых, надо также доказать, что в области III не может прохо-
проходить еще одной линии переходов 1-го рода между двумя различными фазами с
одинаковой симметрией. Для этого вводим uj = г|Д и переписываем E) в виде
Ф = Фо + — (Аи;2 + Б) + — (Си;4 + 2Еи;2 -Fu + D).
Определяем ?,, требуя минимальности Ф при заданном uj; находим:
,о Аи;2 +В
Си;4 +2E(J -Fu; + D
и соответствующее значение Ф
ф = ф F)
0 4(Cu;4+2Eu;2-Fu; + D)' V J
Фазовый переход между двумя фазами с т\ ^ 0, ? ^± 0 соответствовал бы на-
наличию у Ф двух различных минимумов при двух отличных от нуля и беско-
бесконечности значениях uj; фазовый переход имел бы место в момент, когда
значения Ф в этих минимумах сделались бы равными. Этому моменту соответ-
соответствует наличие двух двукратных корней у уравнения F), рассматриваемого
как уравнение четвертой степени относительно со при заданном (минималь-
(минимальном) значении Ф. Поскольку в этом уравнении член с uj3 отсутствует, то два
двукратных корня должны быть равны по величине и противоположны по зна-
знаку. Но тогда должен был бы отсутствовать и член с со, между тем как при F ^ 0
13. О фазовых переходах в мономолекулярных пленках
193
такой член присутствует; это доказывает невозможность наличия фазового пе-
перехода 1-го рода в области III.
Наконец, для того чтобы получить изображенное на рис. 6 пересечение
трех линий переходов 2-го рода, рассмотрим группу Coov . Характеры ее не-
неприводимых представлений даны в табл. 9. Пусть фр = е4гх, ^ = е~4гх суть
функции базиса представления Е4, а yf' = егх, у)р = е~гх — функции базиса Ev
Кроме инвариантов 2-го и 4-го порядков, из этих функций можно составить еще
один инвариант 5-го порядка: f Р
ние Ф имеет вид:
оря
з
+ Ф2 ri ¦ Соответственно этому разложе-
разложеТаблица 9
Е2
Ек
Е
1
1
2
2
2
с2
1
1
2cos2x
2cos2x
2 cos к\
1
-1
0
0
0
Из условия минимума Ф при заданных т\, ? произведениях ^Р^р = ^P^fP = 1 ,
(о\о (-\\п (о) (л) /
получаем ^\} — Ы^} , откуда, например, ^\' = уг' (другие решения дают те же
симметрии). В G) член Fr^4 во всяком случае мал
по сравнению с членом (D/4)^4. Поэтому при опре-
определении минимума Ф можно в первом приближении
опустить этот член. Тогда мы получили бы исследо-
исследованную уже функцию D), которой соответствует пе-
пересечение, изображенное на рис. 7. В следующем
приближении учет члена 5-го порядка, линейного
по т], приводит к тому, что вместе с отличным от нуля
значением ? появляется также и малое по сравне-
сравнению с ? значение г\. В результате в областях III и IV
на рис. 7 г| ^± 0, ? ^± 0, и симметрия тела в них одина-
одинакова (Cs). Исследование показывает, что в этой области величины т\ и ? меняются
непрерывным образом; это значит, что фазовые переходы 2-го рода на линии Od
размываются (а не становятся переходами 1-го рода, что логически было бы воз-
возможным), и мы получаем изображенное на рис. 6 пересечение трех линий пере-
переходов 2-го рода.
В заключение выражаю искреннюю благодарность проф. Л.Д. Ландау за цен-
ценные дискуссии и интерес к работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] W. Harkins, T. Young, E. Boyd. J. Chem. Phys., 8, 954, 1940.
[2] Л. Ландау. ЖЭТФ, 7, 19, 627, 1937.
[3] Л. Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика, гл. XI, 1940. —
[4] Е. Лифшиц. ЖЭТФ, 11, 255, 269, 1941. [Статьи 10 и 11 настоящего собрания трудов].
[5] R. Peierls. Helv. Phys. Acta, 7, Suppl. II, 81, 1936.
[6] J. Schulmann, A. Hughes. Proc. Roy. Soc. (A), 138, 430, 1932.
[7] JV. Adam, I. Harding. Proc. Roy. Soc. (A), 143, 104, 1933.
[8] W. Harkins, N. Coppeland. J. Chem. Phys., 10, 272, 1942.
[9] M. Борн. Оптика, 1937.
[10] J. Rosenthal, G. Murphy. Rev. Mod. Phys., 8, 317, 1936.
14
О МАГНИТНОМ СТРОЕНИИ ЖЕЛЕЗА
ЖЭТФ, 15, 97, 1945
Определены форма и размеры областей спонтанного намагничения в кристаллах железа.
Показано, что при достаточно больших размерах кристалла эти области, имеющие форму
слоев, должны разветвляться по направлению к поверхности тела.
Ферромагнитный кристалл в ненамагниченном состоянии состоит, как хорошо
известно, из отдельных «областей спонтанного намагничения», каждая из кото-
которых намагничена до насыщения. Эти области, как было показано в работе Л. Лан-
Ландау и автора [1], имеют форму слоев. В этой работе был рассмотрен случай одно-
одноосных кристаллов, с одним направлением легкого намагничения. Полученные там
результаты нуждаются, однако, в некоторых исправлениях, поскольку предло-
предложенное распределение магнитных моментов вблизи поверхности тела оказыва-
оказывается в действительности не всегда соответствующим минимуму полной энергии
кристалла (см. п. 4). В настоящей работе вычисления производятся для кристал-
кристаллов железа.
1. Магнитная энергия кристалла
Магнитная свободная энергия ферромагнитного кристалла складывается из
следующих частей.
1. Энергия магнитной анизотропии; в кубическом кристалле эта энергия,
отнесенная к единице объема тела, имеет вид:
№{зУу+зУг+5уг), A)
где I — магнитный момент насыщения единицы объема, s — единичный вектор в
направлении магнитного момента в данной точке. Безразмерная постоянная C для
железа положительна; оси х, у, z выбраны по ребрам куба, являющимся у железа
направлениями легкого намагничения. Численное значение C для железа есть
C = 0,14. B)
2. В кубических кристаллах должна быть учтена также и энергия, связанная
с магнитострикционной деформацией тела. Эта энергия складывается из «маг-
нитострикционной части»
bi {s2xuxx + s2yuyy + s2zuzz) + 2b2 (uxysxsy + uxzsxsz + uyzsysz), C)
линейной по тензору деформации uik и квадратичной по s, и из «упругой части»,
квадратичной по тензору деформации и имеющей для кубического кристалла вид
V iUxx + Uyy + Uzz Т + С2 К* + Uly + Ulz ) + 2С3 «, + Ulz +Ulz)' D)
14. О магнитном строении железа 195
Входящие сюда постоянные равны для железа (см., например, [2]):
Ъг = -3,1 • 107, Ь2 = 2,8 • 107 эрг/см3;
сх = 1,46 • 1012, с2 = 0,48 • 1012, с3 = 1Д2 • 1012 эрг/см3. E)
3. Энергия, связанная с неоднородностью распределения магнитных момен-
моментов по направлениям (микроскопически она связана с обменным взаимодей-
взаимодействием спинов). Эта энергия (также на единицу объема) может быть написана
в виде
F)
где а — постоянная размерности квадрата длины.
Значение величины а можно определить следующим способом *).
Как известно, согласно теории Блоха для температурной зависимости момен-
момента насыщения I при низких температурах имеет место Т3/2-закон, согласно
которому
J = J0(l-CT3/2),
где /0 — момент насыщения при 0 °К, а С — характерная для данного вещества
постоянная. Эта постоянная выражается через коэффициент А в формуле
huj = Ak2, определяющей зависимость частоты со спиновой волны от ее вол-
волнового вектора к (при малых значениях последнего). Именно, имеем (см., на-
например, [3]):
Bvfoel
— магнетон Бора, X — постоянная Больцмана), откуда
\3/2
г
С другой стороны, поскольку в написанном интеграле играют роль малые к
(длинные волны), то можно связать постоянную А, а с нею и С, с микро-
микроскопическими параметрами (аналогично тому, как выражают постоянную в де-
баевском Т3-законе для теплоемкости твердых тел через микроскопические
величины — упругие модули). Для этого пишем макроскопические «уравнения
движения» магнитного момента I = Is под действием «эффективного поля» al/f,
связанного с членом а1/2/2 в энергии (штрих означает дифференцирование по
координате х, вдоль которой меняется направление момента I); эти уравнения
гласят (см. [1]):
тсl
) Предложенным Л. Ландау.
196 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для «малых колебаний» момента I легко получаем отсюда в качестве закона дис-
дисперсии:
hu = Ak2, A = 2|ioJ.
Таким образом, зная из эксперимента значение С, можно вычислить А, а
затем и а. По данным Фалло (цитировано по [4]) для железа С = 3,93 • 10~6;
это дает
а=1,4.1(Г12см22). G)
2. Переходный слой
Рассмотрим два слоя с противоположными направлениями намагничения и
определим ход изменения направления моментов в промежуточном слое между
ними подобно тому, как это было сделано в [1] для одноосных кристаллов. Пусть
направление намагничения обоих слоев соответственно параллельно и антипа-
раллельно оси z; рассмотрим сначала случай, когда слои расположены парал-
параллельно плоскости yz [т. е. в плоскостях A00)]. Распределение намагничения в пе-
переходном слое зависит только от координаты х; поворот моментов происходит
в плоскости yz, так что sx = 0.
На больших расстояниях от переходного слоя (т. е. при х —> ±оо) намаг-
намагничение однородно, а потому однородна и магнитострикция, причем тензор
деформации определяется из условия равенства нулю всех компонент тензора
напряжений oik. Вычисляя тензор напряжений как производные oik = df/duik,
где / — плотность свободной энергии (для которой надо здесь взять сумму
выражений C) и D), полагая в них sx = sy = 0, sz = ±1), и приравнивая нулю,
получим для компонент тензора деформации выражения:
ci ci + С2
Uxx = Uyy = 12c2Cc1+2c2)' Uzz = " 1с2(Зс1+2с2)'
Uxy = Uxz = Uyz = °-
Поскольку распределение намагничения зависит только от координаты х, то
и тензор деформации должен зависеть только от х. Отсюда непосредственно сле-
следует, что компоненты иуу, uzz, uyz этого тензора должны быть вообще постоянными.
Далее, общие уравнения равновесия упругого тела J^ daik /дхк = 0 дают теперь
к
д®хх/дх = доух/дх = dozx/dx = 0. Поскольку на бесконечности должно быть oik = 0,
имеем отсюда:
Gxx = Gxy = Gxz = °-
Вычисляя эти компоненты тензора деформации в предположении sx = 0 (на-
(намагничение в плоскости yz), найдем, что и компоненты ихх, иху, uxz постоянны.
Таким образом, тензор деформации оказывается не зависящим даже от х и по-
потому везде равен вычисленным выше своим значениям на бесконечности.
2) Для никеля С = 11 • 10 6 и а = 4,9 • 10 12 см2.
14. О магнитном строении железа 197
Введем угол 0 между направлением s и осью z, так что sx = 0, sy = 1, sz = cos 0.
Опуская в плотности энергии / постоянные (не зависящие от 0) члены, имеем
ИЛИ
где введена постоянная
к = -^-7 = 3,3-Ю-4. (9)
Функция 0(х) определяется из условия минимальности интеграла / fdx с
граничными условиями для 0(х): °°
0 = 0 при х = —оо, 0 = 7Y при х = +оо;
0Г = 0 При X = ±ОО ИЛИ 0 = 0, 7Y.
Имея в виду также и разбираемый ниже случай, напишем / в виде
f = ^_[е^2 + A(sin2 0cos2 0 + Bsin2 0)], A0)
где А, В — постоянные. Уравнение Эйлера легко решается и дает
(и)
чем и определяется ход изменения направления намагничения в переходном слое.
Для количественной характеристики «ширины» 6 переходного слоя естествен-
естественно ввести ее как интеграл
+ 00
8 = J sin2 0dx = -j= Arsh-U. A2)
— 00
Избыточная энергия, связанная с наличием переходного слоя (отнесенная к
Г+оо
единице его площади), равна интегралу / fdx; эта величина играет роль «ко-
^-00
эффициента поверхностного натяжения» между двумя слоями с противопо-
противоположными намагничениями. Мы обозначим эту величину как 12А, где А имеет
размерность длины; для А имеем
+ 00
A = \Jfdx = OLUA(l+B)+By[AArsh-j=l. A3)
-оо L "V J
Для слоев, расположенных в плоскостях A00), имеем, как видно из сравнения (8)
с A0): А = 2C/а, В = fc/C = 2,4 • 10. Поскольку В < 1, то Ао = ал/А, т. е.
До = V2aC =0,62-10-6 см A4)
198 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
[мы обозначили посредством Ао значение А для плоскости A00)]. Самый коэф-
коэффициент поверхностного натяжения 12А0 = 1,9 эрг/см2.
Для «ширины» переходного слоя имеем
Рассмотрим теперь слои, параллельные плоскости, проходящей через ось z,
но образующей произвольный угол х с плоскостью yz. В этом случае (если
только угол х не слишком мал или не слишком близок к ty/2) можно полностью
пренебречь магнитострикционной энергией по сравнению с энергией анизотро-
анизотропии (C ^> к); при х = 0 (или ty/2) этого нельзя сделать, так как если положить
к = 0, то коэффициент В в A0) обратится в нуль и толщина переходного слоя
обратится в бесконечность, как видно из A1) или A2). Далее, при асимметрич-
асимметричном относительно координатных плоскостей расположении слоев поворот маг-
магнитных моментов не будет, вообще говоря, происходить в плоскости слоев, т. е.
компонента s в направлении, перпендикулярном слоям, будет отлична от нуля.
Можно, однако, утверждать, что эта компонента будет малой величиной, про-
пропорциональной малой величине C, и с достаточной точностью ею можно пре-
пренебречь. Соответственно этому, считаем вектор s лежащим в плоскости слоев,
так что его компоненты равны: sx = sin 0 sin \, sy = sin 0 cos \, sz = cos 0, где 0
по-прежнему угол между s и осью z. Для плотности свободной энергии [сумма
выражений A) и F)] получаем теперь
i} A5)
что эквивалентно A0) с
1-
sin
, в =
sin2 2X
4 — sin 2X
Для «коэффициента поверхностного натяжения» А находим согласно A3):
A = A0Jl+ ,Sin2x АгсЬ^Ц}. A6)
Так, при х = ty/4 [слои в плоскостях (ПО)]: A = l,95Vo^P=0,86-10 см (и соот-
соответственно 12А = 2,6 эрг/см2).
При х = 0, ty/2 выражение A6) переходит в Ао. Что касается ширины пере-
переходного слоя, то при х — ^/4, например, получим
6 = 6,6-10 см.
Обращаем внимание на то, что она в несколько раз меньше, чем для слоев в
плоскостях A00) или @10).
3. Толщина слоев в небольших кристаллах
В [1] было показано, каким образом можно расположить магнитные моменты
вблизи поверхности кристалла так, чтобы удовлетворить необходимым гранич-
14. О магнитном строении железа
199
'4
ным условиям на поверхности и уравнениям поля, если считать энергию анизот-
анизотропии малой — условие, которое у кубических кристаллов железа выполняется
для энергии анизотропии (C <С 1) и, тем более, для магнитострикционной энер-
энергии (fc< 1).
Рассмотрим сначала кристалл, ограниченный сверху и снизу плоскостя-
плоскостями @01). На рис. 1 изображен продольный разрез, перпендикулярный плос-
плоскостям слоев. Если слои расположены в плоскостях A00) или @10), то в
«треугольных» областях вблизи поверх-
поверхности тела направление моментов будет
совпадать с направлением легкого на-
намагничения (осью х или у), так что из-
избыточная энергия в этих областях будет
чисто магнитострикционного проис-
происхождения. При всяком же ином распо-
расположении слоев в этих областях будет
иметься также и избыточная энергия
анизотропии. Поэтому минимуму пол-
полной энергии кристалла будут соответ-
соответствовать слои, расположенные в плоско-
плоскостях A00) или @10). Наиболее энер-
энергетически выгодным является при этом
расположение всех слоев в плоскостях Ри 1
A00) или же всех в плоскостях @10);
наличие одновременно тех и других приводит, в местах их пересечения, к из-
избыточной магнитострикционной энергии. Однако, ввиду относительно неболь-
небольшой величины объема таких областей пересечения по сравнению с объемом
всего тела, эта избыточная энергия будет незначительной. Поэтому в реаль-
реальных кристаллах можно ожидать структуры, содержащей слои в обеих взаим-
ноперпендикулярных плоскостях.
Для вычисления толщины слоев надо написать ту часть полной свободной
энергии тела, которая зависит от этой толщины. Она складывается из «энергии
поверхностного натяжения» на поверхностях раздела между слоями противо-
противоположного намагничения и из энергии, связанной с наличием треугольных (в
сечении) областей вблизи поверхности тела. Первая из них (отнесенная к еди-
единице площади поверхности тела) равна I2AQL/a (где L — длина кристалла в
направлении оси z, a — толщина слоев). Точное же вычисление второй требует
решения весьма сложной задачи теории упругости об определении магнито-
магнитострикционной деформации при изображенном на рис. 1 распределении намаг-
намагничения. Верхний предел для этой энергии можно, однако, найти следующим
простым способом.
Будем считать, что тензор деформации постоянен вдоль всего тела, т. е.
вблизи поверхности имеет те же значения, что и в глубине, для каждого из
однородно намагниченных слоев. Избыточная магнитострикционная энергия на-
намагниченной вдоль оси х единицы объема будет тогда
К* - О = Ъ1 К* - О =
200
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Предположение uik = const не удовлетворяет, однако, граничным условиям для
тензора напряжений на поверхности тела и на границах треугольных облас-
областей; поскольку истинное равновесие всегда связано с минимумом полной энер-
энергии, полученное значение дает ее верхний предел, и можно ожидать, что оно
близко по порядку величины к ее истинному значению.
Объем каждой «треугольной» области (на единицу длины вдоль оси у) есть
а2/4; на единице длины вдоль оси х имеется \/а таких областей с каждой из
двух (верхней и нижней) поверхностей тела. Поэтому соответствующая энер-
энергия есть к12а/2. Толщина слоев определится, таким образом, из условия миниму-
минимума свободной энергии
Это дает
(L в см). Соответствующее значение энергии есть F = J2-n/2A0kjL; для слоев же,
расположенных, например, в плоскостях (ПО), получилось бы F = J2-y/ACL/2
(т. е. почти в 10 раз большая величина).
Пусть теперь кристалл ограничен сверху и снизу параллельными плоско-
плоскостями, наклоненными к плоскости xz под произвольным углом [например плос-
плоскостями @11)]. Тогда энергетически наиболее выгодным будет только одно рас-
расположение слоев — параллельно плоскости yz [т. е. в плоскостях A00)], так что-
чтобы в «треугольных» областях вблизи поверхности моменты были направлены в
направлении легкого намагничения — оси х. Если L есть длина кристалла в на-
направлении оси z, то толщина слоев будет определяться той же формулой A7).
При произвольном расположении ограничивающих кристалл плоскостей на-
направление намагничения в «треугольных» областях заранее не очевидно (о нем
известно только, что оно должно быть параллельно поверхности кристалла). Оно
должно быть определено из условия минимальности полной энергии при задан-
заданном расположении слоев, после чего из того же условия надо определить наибо-
наиболее выгодное расположение самих слоев относительно координатных плоскостей.
Толщина слоев оказывается, однако, не выражающейся в общем случае в явном
виде. Приведем здесь результаты, получающиеся для случая кристалла, огра-
ограниченного сверху и снизу плоскостями A11). Если \ — угол между плоскостя-
плоскостями слоев и плоскостью yz, то свободная энергия кристалла (отнесенная опять к
единице площади его поверхности) оказывается равной
F =
1+
sin'
Arch
- sin2 2X
Г
а толщина слоев:
sin22x 2
Arch-—-
1/2
A9)
14. О магнитном строении железа 201
(L — длина кристалла в направлении оси z). Выражение A8), как функция от \,
имеет минимум при \ — 4°; соответствующая толщина слоев есть
a=2,63yJ\L/fi =5,5-10-3Vl cm. B0)
Она примерно в 10 раз меньше, чем толщина слоев в кристалле, ограничен-
ограниченном плоскостями A00) при том же L. Надо, однако, иметь в виду, что во всей
области изменения угла \ (—7Y/2 ^ X ^ ^/2) энергия меняется сравнительно
незначительно — всего примерно на 40%; в области же от \ = 0, ty/2 [слои в
плоскостях @10) или A00)] до \ — ^/4 [слои в плоскостях (ПО)] F меняется
всего на 6%. Поэтому можно ожидать, что в реальном кристалле под влияни-
влиянием местных неоднородностей, слои могут менять направление, становясь не-
неплоскими.
По поводу всех полученных здесь для толщины слоев формул надо сде-
сделать общую оговорку, что они становятся неприменимыми при слишком ма-
малых L, когда а делается того же порядка величины, что и толщина 6 переход-
переходного слоя, вычисленная в п. 2; во всех вычислениях предполагается, разумеет-
разумеется, что а > 6.
Что касается экспериментальных данных о магнитном строении железа,
то имеется довольно большое количество работ, в которых эта структура
исследовалась известным методом ферромагнитных порошков или коллои-
коллоидов. Из них в особенности заслуживает внимания последняя работа Эльмо-
ра [5]. В этой работе автор пользовался кристаллами железа, поверхность
которых была подвергнута травлению и электролитической полировке. (Дело
в том, что механическая полировка, применявшаяся в предыдущих работах,
сильно меняет свойства поверхностного слоя металла, в результате чего на-
наблюдающаяся на этой поверхности картина не имеет непосредственного от-
отношения к истинной структуре неповрежденного кристалла.) На обработан-
обработанной таким способом поверхности кристалла, почти параллельной плоскости
@01), Эльмор наблюдал «лабиринтообразную» картину, соответствующую
слоям, расположенным в плоскостях @10) и A00), в согласии с тем, что следо-
следовало ожидать. Толщина этих слоев оказывается у Эльмора около 2—2,5 • 10~3 см
при длине кристаллов L = 3,5 • 10~2 см (мы берем расстояние между линиями,
наблюдающимися в отсутствии приложенного внешнего поля). Между тем, по
формуле A7) получается 12 • 10~3 см. Надо, однако, иметь в виду, что толщина
слоев определяется не только верхней, но и нижней поверхностью кристал-
кристалла; точное же расположение нижней поверхности кристалла в данном слу-
случае неизвестно. Если она сильно отличается от плоскости @01), то и толщи-
толщина слоев должна быть меньше, чем по формуле A7).
На поверхности кристалла, почти параллельной плоскости A11), Эльмор на-
наблюдал менее четкую картину, состоящую из изогнутых полосок, с некоторым
преимуществом направлений, соответствующих слоим, близким к плоскостям
A00) или @10); это находится в качественном согласии с высказанными выше
утверждениями.
202
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
4. Разветвление слоев
Описанная магнитная структура кристалла оказывается неустойчивой при до-
достаточно больших размерах тела, и минимуму свободной энергии здесь будет со-
соответствовать иная структура. Это связано с тем, что при увеличении длины кри-
кристалла увеличиваются также (вместе с толщиной слоев) и абсолютные размеры
«треугольных» областей вблизи его поверхности, и при достаточно больших L од-
однородное намагничение в этих областях может оказаться неустойчивым. В таких
условиях слои должны, при приближении к поверхности тела, разветвиться так,
чтобы подойти к этой поверхности с меньшей толщиной.
В определенном интервале значений длины L кристалла устойчивыми бу-
будут слои, испытавшие однократное разветвление, в результате чего каждый
слой подойдет к поверхности в виде трех более тонких слоев. На рис. 2 изобра-
изображено, в разрезе, распределение намагничения в таких слоях. Произведем здесь
полный расчет такой структуры для кри-
^>а сталла, ограниченного плоскостями @01).
! ! Из соображений симметрии ясно, что
границы между областями, такими, как
3 и 4 на рис. 2, останутся прямыми. Фор-
Форма же границ областей 2, 5 и т. п. опре-
определяется из условия минимальности
свободной энергии так, как это делается
ниже.
В каждом из однородно намагничен-
намагниченных неразветвленных слоев магнитное
поле Н равно нулю. При разветвлении
слоев появляется отличное от нуля поле.
Если длина I разветвленной части сло-
слоев велика по сравнению с шириной слоя
(что и предполагается везде ниже), то
границы областей 2, 5,... почти парал-
параллельны оси z и магнитное поле Н мало
(по сравнению с I), причем в направле-
направлении оси z вдоль слоев (рис. 2) меняется
слабо по сравнению с изменением в по-
поперечном к слоям направлении. Из
уравнения rot H = 0 имеем поэтому
(dHjdx) - (dHjdz) ~ (dHjdx) = 0, от-
откуда следует, что продольная компонен-
компонента Hz поля постоянна вдоль ширины каж-
каждой из областей 1,2,3. Поскольку же на
всякой граничной поверхности касатель-
касательная компонента Ht поля непрерывна, а на
границах, почти параллельных оси z имеем Ht ~ Hz, то, следовательно, Hz долж-
должно быть (при данном z) постоянно вдоль всей оси х. Но из соображений симмет-
симметрии ясно, что в чередующихся слоях Hz должно иметь противоположные знаки;
Рис 2
14. О магнитном строении железа 203
поэтому должно быть Hz = 0. Таким образом, в рассматриваемом приближении
поле направлено везде поперек слоев.
Далее, если написать s = s0 + sr, где s0 соответствует однородному намаг-
намагничению вдоль оси z (sQz = ±1), то вместе с Н будет мало и sr. При этом про-
продольная компонента sfz малого изменения единичного вектора s есть величина
второго порядка малости по сравнению с sfx и в рассматриваемом приближении
можно ею пренебречь. При слабых полях поперечное намагничение Is'x пропор-
пропорционально полю Нх, причем восприимчивость в этом направлении равна 1/2C 3).
Компоненты индукции В равны, следовательно,
ВХ=НХ + 4tyJsx =\iHx, By = 0, Bz = Hz
где
^ = l + y B1)
есть магнитная восприимчивость в поперечном к спонтанному намагничению
направлении (для железа |л = 45).
Уравнение div В = 0 дает теперь в каждом из слоев дВх/дх = [i(dHx/dx) = 0;
таким образом, магнитное поле Н = Нх постоянно вдоль ширины каждой из
областей спонтанного намагничения. Оно меняется, однако, при переходе через
границу между двумя такими областями. Из соображений симметрии ясно, что
в серединных областях 2, 5,... поперечное поле Нх = 0. Граничное условие (непре-
(непрерывность Вп) на границе между областями I и 2 дает 4т; 1Ф = — 4т; 1Ф + \х>Н1х9 где
•& — угол наклона границы между областями 1 и 2 к оси г. Если х = xu(z) есть
уравнение этой кривой, то Ф — x'l2 (z), и мы получаем для поля в области 1:
Н1х=^х[2(г). B2)
Поле в области 3 есть, очевидно, Н3х = —Н1х.
Дополнительная энергия, связанная с разветвлением слоев, складывается
из двух частей: 1) поверхностная энергия на новых поверхностях раздела (огра-
(ограничивающих области 2, 5,...); эта энергия для разветвления одного слоя с обоих
его концов (отнесенная на единицу длины вдоль оси у), равна, с достаточной
точностью, 4lI2AqI, где I — длина разветвленной части слоя на каждом из его
концов; 2) магнитная энергия, связанная с наличием слабого поля Н, отнесен-
отнесенная на единицу объема тела; эта энергия равна \iHx/8t; 4). Подставляя B2), ин-
интегрируя по объему областей 1 и 3 и удваивая (разветвление на обоих концах
слоя), получаем для одного слоя энергию
OZTYi | /9 / ч u, / ч ,
3) Это получается, как обычно, из условия минимальности суммы энергии анизотропии
$I2s2xs2z — $I2s2x и энергии —IsxHx поворота момента под влиянием поля Нх, что дает 2[3/sx — Нх = 0,
откуда
18Х=НХA/Щ.
4) Из известного выражения для дифференциала свободной энергии df — A/4тг)НсШ имеем, при
Вх = \lHx, Ву = 0, Bz ~ =Ь4тг7: df — (|л/4тт)HxdHx, откуда получается написанная в тексте формула.
204
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Полная свободная энергия F кристалла (отнесенная к единице площади его
поверхности) с рассматриваемым разветвлением слоев равна
-- х
12
кГа
B3)
Первые два члена представляют собой связанную с фактом разветвления
дополнительную энергию всех \/а слоев, приходящихся на единицу длины
(вдоль оси у) кристалла. Третий член есть энергия поверхностей раздела тех
же слоев в кристалле с длиной (вдоль оси z) L. Наконец, четвертый член есть
дополнительная энергия «треугольных» областей вблизи поверхности кристалла;
она получается умножением энергии kJ2 (см. п. 3) единицы объема на объем этих
областей (сечения этих областей представляют собой равнобедренные прямоу-
прямоугольные треугольники, причем на каждый слой с каждого из его концов прихо-
приходится по два треугольника с длиной гипотенузы ^а и один с гипотенузой A — 2?)а,
см. рис. 2).
Форма границ областей 2, 5, ... [т. е. функция x12(z)] получается из миними-
минимизации интеграла во втором члене в B3). Соответствующее уравнение Эйлера
гласит:
*Л/1 О I
\J •
Решая его с граничными условиями х12 = 0 при z = 0 и х12 = а
найдем:
при z = I,
B4)
Длина I разветвленной части слоев получается из минимизации первых двух
членов в B3). Вычисляя интеграл, найдем:
Свободная энергия F приобретает, после подстановки этого выражения, вид:
16I2 кДп
F =
B6)
Она должна быть еще минимизована по толщине а слоев и по величине
Приравнивая нулю производную по ?,, получим соотношение:
а =
Приравнивая же нулю производную по а и используя B7), найдем:
1-3?
3A -
B7)
B8)
14. О магнитном строении железа 205
где введено обозначение:
_ 128^2А0
Lfc-^^- B9)
Формулы B7) —B9) определяют в параметрическом виде (параметр ?) за-
зависимость толщины слоев а от длины L кристалла. Сама величина ? определяет,
как это видно из рис. 2, толщины образовавшихся в результате разветвления
слоев, а длина I разветвленной части определяется формулой B5).
Если слои не разветвляются вовсе, то полная свободная энергия равна (см.
п. 3): Fo =12Л/2Д0кЬ.
Энергии F и FQ сравниваются при 6, = 0, L= Lk, a = ак, где
^ C0,
При L > Lk имеем F < FQ, т. е. устойчивы разветвленные слои. При L < Lk функ-
функция F(a) не существует вовсе [как видно из формул B6) —B8), в которых 6, > 0], и
слои не разветвляются.
Таким образом, мы приходим к следующей картине. При увеличении длины
L кристалла наступает момент (при L = Lk), когда неразветвленные слои ста-
становятся неустойчивыми и происходит их первое разветвление. По мере дальнейшего
увеличения L длина I разветвленной части слоев и ширина 6а возникающих в них
областей обратного намагничения постепенно возрастают, начиная от нуля. Нако-
Наконец, должен наступить момент, когда становятся неустойчивыми и такие одно-
однократно разветвленные слои, и происходит их вторичное разветвление, и т. д. Од-
Однако уже двукратно разветвленные слои не могут быть рассчитаны полностью,
поскольку задача об определении границ и размеров этих разветвлений приво-
приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений, которые не могут быть
решены в общем виде. Можно только определить момент начала второго развет-
разветвления. Не приводя здесь соответствующих вычислений, укажем получающее-
получающееся в результате значение L = Lk, при котором становятся неустойчивыми одно-
однократно разветвляющиеся слои. Оно оказывается равным Lk = 9,7 Lk, причем зна-
значения ?, и I в этот момент есть ? = 0,18,1 = 0,0714; разветвляться начинают крайние
из каждых трех образовавшихся в результате первого разветвления слоев.
При подстановке в B9) численных значений всех величин для железа по-
получается, однако, весьма большая величина: Ьк = 1,1 • 10~4 см. Таким обра-
образом в кристаллах железа, ограниченных сверху и снизу плоскостями @01),
разветвление слоев фактически никогда не должно происходить, и описан-
описанная в п. 3 структура должна осуществляться при всех практических разме-
размерах кристалла.
Совершенно иное положение имеет место для кристаллов, ограниченных
другими плоскостями. Рассмотрим, например, кристалл, ограниченный плоско-
плоскостями A11), и пусть слои расположены в плоскостях (ПО) (их энергия мало
отличается от энергии при наиболее выгодном расположении слоев, см. п. 3).
Поперечное сечение таких слоев будет выглядеть так же, как на рис. 2, и все
полученные в этом параграфе формулы будут иметь место и здесь, с той лишь
206 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
разницей, что вместо Ао надо подставить соответствующему другому располо-
расположению слоев значение А, а магнитострикционную энергию kl2 единицы объема
«треугольных» областей надо заменить энергией анизотропии C12/4. В результа-
результате будем иметь
213*2Д 2ЧА
L
Численно это дает Lk = 1,2-10~2 см, ак =7,5-10~4 см. Таким образом здесь раз-
разветвление слоев начинается уже при весьма малых размерах кристалла.
В еще большей мере это относится к одноосным кристаллам кобальта. Рас-
Рассмотрим такой кристалл, ограниченный сверху и снизу плоскостями, перпенди-
перпендикулярными его гексагональной оси (оси z), являющейся здесь осью легкого
намагничения. Энергия анизотропии одноосного кристалла равна ([3l2/2)(s2 + s2)
(для кобальта C = 5,0). Соответственно этому, на единицу объема «треугольных»
областей вблизи поверхности кристалла приходится энергия C12/2. Весь даль-
дальнейший расчет ничем не отличается от произведенного для железа, и в форму-
формулах B9), C0) надо только заменить к на C/2. Таким образом, имеем для момента
начала разветвления слоев в кристалле кобальта:
2*УЛ 2ЧД
L*=^'afc=7^- C2)
Магнитная восприимчивость в поперечном к спонтанному намагничению направ-
направлении равна здесь 1/C; поэтому \i = 1 + 4ty/C — 3,5. Что касается «коэффициента
поверхностного натяжения» А, то, согласно полученным в [1] результатам, имеем
А = 2^/о43 • Значение величины, вычисленное указанным в п. 1 способом, равно
для кубической модификации кобальта a = 2,3 • 10~12 см2 (с помощью данных Алле-
на и Константа [6]); можно ожидать, что для гексагонального кобальта она имеет
примерно такое же значение (к сожалению, в нашем распоряжении не было данных
о магнитном моменте насыщения при низких температурах для гексагонального ко-
кобальта). Это дает А = 6,8 • 10~6 см (чему соответствует J2A = 14 эрг/см2). Подста-
Подстановка всех этих значений в C2) дает Lk = 4,5 • 10~5 см. Таким образом, у кобальта
разветвление слоев должно начаться уже при совсем ничтожных размерах кри-
кристалла. В кристаллах заметной величины слои должны быть уже многократно
разветвлены. В связи с этим возникает трудная задача об определении предель-
предельной структуры с многократно разветвленными слоями при больших размерах
кристалла. Качественное исследование здесь совершенно недостаточно, посколь-
поскольку большую роль играют те конкретные численные коэффициенты, которые воз-
возникают при вычислениях. Надо иметь в виду, что а priori даже неизвестно, будет
ли здесь энергетически более выгодной слоистая структура, или же области спон-
спонтанного намагничения будут иметь разветвляющуюся нитевидную форму. Хотя
слои более выгодны при неразветвляющихся областях, это может оказаться не-
неправильным в предельном случае многократно разветвляющихся слоев. Отме-
Отметим, что наблюдения Эльмора [7] над магнитной структурой кобальта свидетель-
свидетельствуют, по-видимому, именно об отсутствии здесь слоистой структуры; следует
14. О магнитном строении железа 207
также отметить, что на полученных Эльмором фотографиях имеются указания
на разветвление областей спонтанного намагничения.
В заключение выражаю благодарность проф. Л. Ландау за ценные дискуссии
и его постоянный интерес к этой работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] L. Landau, E. Lifshitz. Phys. Zs. Sowjet. , 8, 153, 1935. [Статья 3 настоящего собрания
трудов].
[2] F. Bitter. Introduction to Ferromagnetism, 1937, p. 254.
[3] JV. Mott, H. Jones. The Theory of the Properties of Metals and Alloys, 1936, p. 236.
[4] L. Bates. Modern Magnetism, 1939, p. 245.
[5] W. Elmore. Phys. Rev., 62, 486, 1942.
[6] R. Alien, F. Constant. Phys. Rev., 44, 228, 1933.
[7] W. Elmore. Phys. Rev., 53, 757, 1938.
15
О ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА
ЖЭТФ, 16, 587, 1946
Произведено исследование гравитационной устойчивости нестационарной модели изот-
изотропного мира, даваемой общей теорией относительности. Показано, что произвольные
малые возмущения гравитационного поля и распределения материи в расширяющемся мире
либо затухают со временем, либо возрастают по такому медленному закону, что не могут
служить центрами образования отдельных туманностей.
В предлагаемой работе произведено исследование устойчивости нестацио-
нестационарного мира общей теории относительности по отношению к произвольным ма-
малым возмущениям гравитационного поля и распределения материи в нем. Грави-
Гравитационная неустойчивость обычно привлекается (см., например, [1]) к объясне-
объяснению образования туманностей из первоначального однородного распределения
материи. При этом предполагается, что случайно возникающие местные сгуще-
сгущения — в случае, если они обладают достаточно большими размерами — имеют
тенденцию к дальнейшему увеличению, становясь таким образом центрами об-
образования туманностей. Критические размеры таких сгущений, при которых они
становятся гравитационно неустойчивыми, определяются при этом, однако, из
ньютоновской теории тяготения, между тем нет a priori никаких оснований для
предположения, что тот же критерий будет справедливым и в общей теории от-
относительности. Произведенное здесь исследование показывает, напротив, что в
расширяющемся мире общей теории относительности возмущения большинства
типов затухают со временем, не проявляя тенденции к самопроизвольному уве-
увеличению. Существуют, правда, и такие возмущения, которые возрастают со вре-
временем, однако это возрастание происходит по такому медленному закону (как
небольшая степень радиуса мира), что вряд ли они могут служить центрами об-
образования больших неоднородностей. Таким образом, можно, повидимому, счи-
считать, что указанный механизм не может служить источником распадения мате-
материи на отдельные туманности.
1. Исходная модель
Как известно, в предположении однородности и изотропности распределения
материи в пространстве общая теория относительности приводит к двум не-
нестационарным возможным моделям мира 1), в которых пространство обладает со-
х) Речь идет о решениях уравнений Эйнштейна без так называемого космологического члена, для
введения которого нет в настоящее время никаких оснований.
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 209
ответственно положительной («закрытая модель») или отрицательной («открытая
модель») постоянной кривизной. Астрономические данные свидетельствуют, по-
видимому, в пользу открытой модели, которая поэтому представляет больший
интерес. Мы будем, однако, из соображений математического удобства произво-
производить сначала вычисления, исходя .из закрытой модели, имея в виду, что переход
к открытой модели может быть непосредственно произведен в окончательных
уравнениях.
Метрика мира с пространством положительной кривизны определяется как
известно, выражением для интервала:
ds2 = -c2dt2 + a2 (t) [dX2 + sin2 X (sin26 cfcp2 + d62)],
где t — собственное время, \, 0 — «сферические» пространственные координаты,
a(t) — «радиус кривизны» пространства (см., например [2], п. 102, 103); материя
относительно этой системы отсчета покоится. Вместо времени t удобнее пользо-
пользоваться переменной г\, определяемой соотношением
cdt = adi). A.1)
Тогда ds2 напишется в виде
ds2 = а2 (ц) [-dif+dx2+ sin\(sin2edip2 +d62)]. A.2)
Символы Кристоффеля для этой метрики равны 2):
^_п р C —f)$ F° Va
о УаЗ i Оа а 1 а О 00
а а
00 а'
A.3)
где штрих означает дифференцирование по т|; компоненты Г^ нет необходимости
выписывать в раскрытом виде, так как во всех дальнейших вычислениях можно
обойтись без этого, используя непосредственно пространственную «сферическую»
симметрию мира. Компоненты тензора Rik = Rlikl равны
Ra = n R° = — 3- аа (I 4)
a
а скалярная кривизна R = R*:
R = -^(a + a"). A.5)
Тензор энергии — импульса материи есть
7^ =(р + р)и^+6^р, A.6)
2) Греческими буквами а, C, °f... мы будем обозначать индексы, пробегающие значения 1, 2, 3, соот-
соответствующие пространственным координатам \, 0, ср; временной координате х° = т\ будет соответство-
соответствовать индекс 0. Латинские буквы i, k,l ... обозначают индексы, пробегающие значения 0, 1,2, 3.
210 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где иг — четырехмерный вектор скорости (с компонентами иа = 0, и0 =1/а), р —
давление, р — плотность материи (в целях избежания множителей с2 последняя
предполагается измеренной в энергетических единицах). Его компоненты равны
Общие гравитационные уравнения
R*<--6*R = K7* A.8)
(к — эйнштейновская гравитационная постоянная) приводят к уравнениям
кр = —(а2+а/2), кр=—(а'2-2аа"-а2). A.9)
Приведем также следующее отсюда выражение для производной dp/dp:
dp а2а —а2а — 2а 3 + 4<ш а
dp 2a'(aa" -a2 -2a'2) V 7
Взяв в качестве уравнения состояния материи равенство нулю давления (р = 0),
получим из A.9) известное решение
а = а0 A — cost]) A-H)
(а0 — постоянная), после чего из A.1) получим t = (ао/с)(т] — sinr|); этими двумя
равенствами определяется в параметрическом виде зависимость радиуса а от
времени. Для зависимости плотности р от времени при этом получается
pa3 = const. Ha ранних стадиях (при малых временах t, т. е. при малых т]) мы име-
имеем дело с обратным предельным случаем весьма плотной материи, чему соответ-
соответствует уравнение состояния р = р/3 . Уравнения A.9) дают в этом случае:
а = Ъ0 sinr| A-12)
(b0 — другая постоянная), а для времени: t = (bo/c)(l — cost]). Зависимость плотно-
плотности от времени определяется при этом уравнением pa4 = const. В открытой моде-
модели метрика определяется выражением
ds2 =a2(T]) [-dif +dX2 +sh2x(sin26d^2 +d62)]. A.13)
Оно может быть формально получено из A.2) заменой
т]^гт], Х^гх, a^ia. A.14)
Поэтому и все уравнения для открытой модели могут быть получены из урав-
уравнений для закрытой модели путем этой же подстановки. Зависимость радиуса
кривизны от времени в открытой модели определяется при р = 0 уравнениями
a=ao(chT]-l), t = -^(shT]-T]), A.15)
с
а при р = р/3 — уравнениями
a=boshT], t=^(chT]-l). A.16)
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 211
2. Уравнения малых возмущений гравитационного поля
Всякое гравитационное возмущение может быть описано как малое изменение
метрики. Соответственно этому, наложение возмущения сводится к замене мет-
метрического тензора gik на gik + bgik , где малые величины bgik суть некоторые функ-
функции координат и времени (обозначения gik, Rik и т. д. оставляем для невозмущен-
невозмущенных значений соответствующих тензоров); изменения плотности, давления и т. д.
материи могут быть выражены через bgik.
Введем обозначение
S& = К B.1)
для возмущения ковариантных компонент метрического тензора, причем под hk,
hlk будут подразумеваться компоненты, полученные из hik поднятием индексов с
помощью невозмущенного тензора gik. Другими словами, мы будем рассматри-
рассматривать hik как тензор в пространстве невозмущенной метрики gik. Тогда возмуще-
возмущение контравариантных компонент метрического тензора будет
bglk=-hik B.2)
[так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось уело-
()
Поправки к символам Кристоффеля выражаются через hik посредством
(индекс после точки с запятой означает ковариантное дифференцирование), в чем
можно убедиться непосредственной проверкой. С их помощью можно получить
для возмущения тензора кривизны:
Щт = 2 {hk;m;l + hm;l;k ~ Km/ ~ К;1;т ~ Цк;т + Kl\m% ) > B*4)
откуда для поправок к тензору Rik:
bRik = bRlilk = - [h\.k.x + hlk.H - hik./ - к.г.к); B.5)
h обозначает след тензора hik: h = h]. Ниже мы будем пользоваться смешанными
компонентами Rk. Для них имеем
QKi —g ъкп-п кп ^z.bj
[это следует из того, что Rk + bRk = (Ru + bRu) (gkl + bgkl) ]. Изменение Ш скаляр-
скалярной кривизны равно
Наконец, члены первого порядка в гравитационых уравнениях A.8) дают урав-
уравнения, которым должно удовлетворять всякое возмущение:
ьт кьт, B.8)
212 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где возмущение ЬТк тензора энергии — импульса материи есть
87* = (р + р) (ufiuk + иЧщ ) + (бр + бр) щик + ЬкЬр. B.9)
Для конкретного вычисления всех этих выражений выбираем систему отсчета
(которая, очевидно, может быть подвергнута любому малому преобразованию,
оставляющему bgik малыми) таким образом, чтобы было
hOa = 0, h00 = 0. B.10)
Это всегда может быть достигнуто, поскольку преобразование системы отсчета
содержит четыре (по числу координат) произвольные функции. Довольно длин-
длинные вычисления приводят в результате к следующим выражениям:
(h^ + h^ - h$ - h^ ) - — Ь?" + // + h^ + h'^
2a 2a a a
Все ковариантные дифференцирования производятся здесь над трехмерным тен-
тензором h^ в трехмерном пространстве с метрикой, определяемой элементом длины
dl2 =dx2+sin2x(sin26d^2+d62) B.12)
(т. е. с помощью трехмерного метрического тензора 1а$ = (l/a2)ga^).
Далее, вычисляем компоненты 8ТД Для четырехмерной скорости имеем, взяв
вариацию от тождества gikuluk = — 1:
4uk
Ъши'ик + giku4u
Имея в виду, что невозмущенные значения скорости есть иа = 0, и0 = I/a, по-
получим отсюда при условиях B.10): бгб° =0. Из B.9) находим теперь:
, 8Toa = -a(p + p)8ua, 8Т0° =-8р. B.13)
Ввиду малости бр и бр, можно написать 8р = (dp/dp) 8p , и мы получаем соотношения:
6T« = ~6«fr6T°°- B14)
Подставив в это соотношение компоненты ЬТк, выраженные через bRk согласно
уравнениям B.8), мы получим в результате окончательные уравнения для воз-
возмущения h^ метрического тензора. В качестве этих уравнений удобно выбрать
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 213
уравнения, получающиеся из B.14) при а ^± C и при упрощении по индексам а, C.
Они гласят 3):
-h;t-h^) + hf +2^+2ht = 0 (а*р) B.15)
B.16)
Возмущения скорости и плотности могут быть непосредственно определены
по известным h^ по формулам B.13), B.8), B.11). Вычисление дает для относи-
относительного изменения плотности:
6р _ <
р 6 (а2
а для возмущения скорости;
^-/i'-2/1, B.17)
Среди решений уравнений B.15) — B.16) есть такие, которые могут быть ис-
исключены простым преобразованием системы отсчета и поэтому не представляют
собой реального физического изменения метрики. Дело в том, что условия B.10)
еще не определяют выбора системы отсчета однозначным образом. Действитель-
Действительно, при преобразовании координат хг —> хг + ?Д где ?/ — малые величины,
тензор gik получает приращение
\к ~ ^i;k + ^k;i • •
Условия B.10) дают
откуда
2/О.
где /0, /а — произвольные функции пространственных координат х°. Это и есть то
преобразование, которое допускается условиями B.10). Отсюда находим следующий
общий вид hj3, которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета:
+^fQK+(f?+fH) B.19)
[/0 и/а рассматриваются здесь как скаляр и как вектор в пространстве с метрикой B.12)].
3) Здесь и везде в дальнейшем тензоры и векторы с греческими индексами суть трехмерные тен-
тензоры и векторы в пространстве с метрикой B.12), т. е. на поверхности гиперсферы единичного радиу-
радиуса. При этом тензор h® и вектор иа определены так, что смешанные компоненты первого и контравари-
антные — второго совпадают с соответствующими компонентами Ь^ и и1. Дальнейшие же операции
поднимания и опускания индексов производятся с помощью метрического тензора ^ ^а.
214 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
3. Разложение по четырехмерным шаровым функциям
Метрика пространства постоянной положительной кривизны соответствует,
как известно, геометрии на поверхности гиперсферы в четырехмерном эвклидовом
пространстве. Поэтому произвольное возмущение может быть разложено по че-
четырехмерным шаровым функциям (и их производным). Сделаем предварительно
некоторые общие замечания по поводу этих функций.
Скалярные четырехмерные шаровые функции могут быть определены по-
посредством однородных полиномов, составленных из декартовых координат
ха (а = 1, 2, 3, 4L) в четырехмерном эвклидовом пространстве, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению Лапласа в этом пространстве. Такой полином (п — 1)-й степени
может быть представлен в виде
rn-lQ(n) =А$с_ХаХЪХс...,, C.1)
где A^lc есть некоторый постоянный (в декартовых координатах) тензор (п — 1)-го
ранга (п =1, 2, 3,...), симметричный по всем своим индексам и дающий нуль при
упрощении по любой паре индексов (число независимых компонент такого тензора
равно п2). Угловая часть Q^ этого полинома, написанного в четырехмерных сфери-
сферических координатах г, \, 0, ср представляет собой линейную комбинацию п2 сфери-
сферических функций и может быть написана в явном виде следующим образом [3]:
1=0 т=-1
(А-^— постоянные). Здесь ^т@,ф) суть обычные трехмерные шаровые функ-
функции, а функции Пп1 определяются посредством
т-г . т dl+l(cosnx) а л 1 -.ч /о о\
IIni=sin*x - ^ A = 0, 1,..., п-1). C.3)
d(cosx)
В частности, наиболее симметричная скалярная шаровая функция соответ-
соответствует I = 0 и имеет вид:
Q = ^ (» = 1,2,3,...).
SUIT]
Сферическая функция 5) Q удовлетворяет уравнению
Q;;«=_(n2_!)Q. C.4)
4) Ниже мы обозначаем первыми буквами латинского алфавита а, Ъ, с... индексы, нумерующие
декартовы координаты х, у, z, и в фиктивном эвклидовом пространстве. Декартовы координаты свя-
связаны с четырехмерными сферическими координатами г, \, 0, ср посредством
x = rsinx sin0 costp, у — rsin\ sin9 sintp, z — rsin\ cos0, и — cos\
(в этом разделе г означает четырехмерный радиус-вектор; его не следует путать с трехмерным г в
разделе 1).
5) Во избежание загромождения формул большим количеством индексов, мы опускаем здесь и
ниже в аналогичных случаях индекс (п), указывающий порядок шаровых функций.
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 215
Другими словами, Q есть скалярные собственные функции оператора Лапласа на
поверхности гиперсферы единичного радиуса. Уравнение C.4) легко получить,
например, из четырехмерного уравнения Лапласа
отделяя в нем угловую часть (т. е. трехмерный оператор Лапласа) от членов с
производными по г6).
Наряду со скалярными сферическими функциями в четырехмерном случае
могут быть определены также и не сводящиеся непосредственно к ним вектор-
векторные и тензорные сферические функции. Из них нам понадобятся функции век-
векторные и тензорные второго ранга. Определение векторных сферических функ-
функций [аналогичное определению C.1) скалярных функций] может быть дано следую-
следующим образом. Пусть ВаЪ cd есть постоянный тензор n-го ранга (п = 2, 3...), анти-
антисимметричный по первой паре индексов (отделенных запятой), симметричный
по всем остальным и удовлетворяющий, сверх того, следующим условиям: он дает
нуль при упрощении по любой паре индексов а, Ъ и одному (любому) из осталь-
остальных. Последнее условие налагается для того, чтобы нельзя было понизить ранг
тензора образованием дуального ему тензора. Тогда выражения:
r4=BaUi..xW.., C.5)
образуют (в четырехмерном эвклидовом пространстве) вектор, перпенди-
перпендикулярный радиусу-вектору (Saxa =0) , компоненты которого являются одно-
однородными полиномами степени (п — 1), удовлетворяющими уравнению Лапласа
(piдха) rnSh = 0. Вектор Sa, будучи преобразован в сферические координаты, дает
трехмерный вектор Sa, компоненты которого зависят только от углов \, 0, ср и пред-
представляют собой векторные сферические функции.
Функции Sa могут быть определены и без помощи четырехмерного эвклидового
пространства как векторные собственные функции трехмерного оператора Лап-
Лапласа в пространстве с метрикой B.12). Именно, Sa удовлетворяют уравнениям
s-?.3=-{n2-2)sa, s.°=o. (з.б)
Равенство нулю дивергенции S^a соответствует тому, что с помощью вектора Sa
нельзя составить линейного скаляра (в четырехмерном представлении этому
соответствует равенство нулю скаляра Saxa). Первое из уравнений C.6) может быть
получено, как и C.4), выделением угловой части из четырехмерного оператора
6) Имеют место следующие формулы для оператора Лапласа, примененного к скаляру /:
J'a r- ^ ' гз Or {
к вектору fa, перпендикулярному радиусу-вектору (faxa = 0):
_ i .p d2fa I dfa 2
а;а г2 а;Р дг2 г дг г2 а
к симметрическому тензору /аЬс равной нулю проекцией fabxb = 0:
216 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Лапласа, примененного к вектору. Явное выражение для векторных сферичес-
сферических функций можно найти либо преобразованием C.5) к сферическим координа-
координатам, либо решением уравнений C.6). Мы приведем здесь результат вычисления
лишь для наиболее симметричной функции:
fl I d sinnx sin0 d ( . d sinnx) ( ,
S =cosO- : ; 5 =-____ sinx-7 : , S = 0, C.7)
x sinx dx smx 2 dx. I $c sinx ) ф
(n= 2, 3,...)..
Аналогично, тензорные (второго ранга) сферические функции могут быть оп-
определены посредством полиномов
rn-lGab=Cac^ef_x<xdx*xf..., C.8)
образующих симметрический четырехмерный тензор второго ранга. Здесь СасЫе^
есть постоянный тензор (п + 1)-го ранга (п = 3, 4,...) со следующими свойствами: он
антисимметричен по парам индексов а, с и b, d, симметричен по всем остальным,
симметричен по отношению к перестановке пары а, с с парой b, d, дает нуль при
упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании циклической сум-
суммы по тройкам индексов — паре а, с (или b, d) и одному (любому) из остальных. С
помощью тензора Gab нельзя составить линейного скаляра или вектора: скаляры
Gba, Gabxaxb и вектор Gabxb тождественно обращаются в нуль. Преобразуя Gb к сфе-
сферическим координатам, получим трехмерный тензор G^ (с равным нулю следом
G% = 0), компоненты которого зависят только от углов и образуют тензорные
сферические функции. Тензор G^ удовлетворяет трехмерным уравнениям:
G&=-(n2-3)Gg., G^=0. C.9)
Возвращаясь к гравитационным возмущениям, замечаем, что определение воз-
возможных типов этих возмущений сводится к нахождению возможных типов сим-
симметрических тензоров второго ранга h^, которые можно составить с помощью опи-
описанных сферических функций. Пространственное распределение возмущения
скорости Ьиа и плотности 6р определяются при этом соответствующими вектора-
векторами и скалярами, составленными из тех же функций. Таким образом, получим сле-
следующую классификацию:
1. С помощью скалярных функций Q можно составить тензоры 7)
\ PV=^Q*+Ql (З.Ю)
1
Тензор Pf определен так, чтобы было Р^ = 0. С той же функцией Q можно образо-
образовать вектор
Pa=^—Q;a. C.11)
71—1
Соответствующим скаляром является сама функция Q.
7) При п = 1, 2 могут быть образованы только тензоры Q$, но не Р$.
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 217
2. Из векторной функции Sa можно составить тензор 8)
Si=S?+S?a. C.12)
Вектором является сама функция Sa, а соответствующего скаляра не существует.
3. Тензоры вида G^; соответствующих им векторов и скаляров не существует.
Ковариантные производные от этих тензоров (входящие в уравнения B.15)—B.17))
могут быть легко вычислены посредством приведения их к производным, непос-
непосредственно определяемым уравнениями C.4), C.6), C.9). При этом приходится пе-
переставлять порядок ковариантного дифференцирования по различным коорди-
координатам. Такая перестановка производится по известным из тензорного анализа
формулам с помощью тензора кривизны. Тензор кривизны (трехмерный) на по-
поверхности гиперсферы единичного радиуса есть просто
как это следует непосредственно из симметрии (см.; например [2], § 102). Таким
образом, получим формулы
S^=-(n*-6)sl ^ + ^=-(n2-4K, S%=-(n>-±)Sa. C.14)
Остальные производные в уравнениях B.15) —B.17) вообще не требуют особого
вычисления.
Все эти результаты могут быть без труда перенесены на открытую модель, в
которой пространство обладает постоянной отрицательной кривизной (геометрия
такого пространства соответствует, математически, геометрии на поверхности
четырехмерной «псевдосферы» мнимого радиуса). В соответствии с A.14) можно
было бы ожидать, что «сферические функции» в этом пространстве (назовем их
«псевдосферическими») получатся из рассмотренных выше функций просто за-
заменой х ~^ гХ/ Это, однако, не так. Действительно, искомые функции, рассматри-
рассматриваемые как собственные функции оператора Лапласа, должны удовлетворять
условию конечности во всем пространстве. Между тем функции, получающиеся
путем указанной замены, экспоненциально возрастают при \ —» оо (в простран-
пространстве отрицательной кривизны координата х пробегает значения от 0 до оо). Удов-
Удовлетворяющие необходимым условиям функции можно получить, если одновре-
одновременно с подстановкой х —» i\ произвести замену п на in; легко видеть, что полу-
получающиеся тогда функции экспоненциально затухают на бесконечности. Четырех-
Четырехмерные определения вида C.1), C.5), C.9), разумеется, теряют при этом смысл, и
псевдосферические функции должны определяться просто как собственные функ-
функции оператора Лапласа в пространстве с метрикой:
di2 = dX2
= dX2 + sh2x (de2 + sin2
8) При п = 2 тензор S^ не существует.
218 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Так, скалярные псевдосферические функции удовлетворяют аналогичному
C.4) уравнению Q:^ = — (n2 +l)Q. Параметр п пробегает здесь все положитель-
положительные значения от 0 до оо (непрерывный спектр собственных значений), в про-
противоположность сферическим функциям, порядок п которых пробегает целочи-
целочисленные значения (дискретный спектр). Это связано с тем, что в сферическом слу-
случае координата х пробегает значения в конечном интервале от 0 до 2iy и на соб-
собственные функции должно быть наложено еще требование однозначности.
Приведем явные выражения для наиболее симметричных псевдосферических
функций:
скалярной
<Э = ^^„ C.15)
sinx
векторной
й 1 d sinnx е sin9 d ( d sinrrxl e п ,*лк\
S =cosU—— —, SQ = -———-\shx-T — , S = 0. C.16)
x shx dx shx 2 dx { dx shx ) ^
Порядок п сферической (или псевдосферической) функции определяет ее про-
пространственную периодичность. Чем больше п, тем меньше «длина волны» а/п. Если
мы имеем возмущение в некотором участке пространства с размерами порядка I,
то в его разложение войдут в основном функции сп~ а/1. Другими словами, рас-
рассматривая возмущения, пространственное распределение которых определяет-
определяется сферической функцией с большим (малым) п, мы тем самым исследуем пове-
поведение возмущений в малых (больших) участках пространства.
4. Возмущения с изменением плотности материи
Ниже мы выписываем все уравнения сразу для открытой модели мира, не при-
приводя соответствующих уравнений для закрытой модели, из которых они получа-
получаются путем замены a, r\, n на ia, ir\, in.
Начнем с рассмотрения возмущений первого типа и полагаем:
^=Мл)Ра3+^(т1^, h = \xQ. D.1)
В возмущениях этого типа вместе с гравитационным полем испытывает изменение
также и плотность, т. е. мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися
возникновением сгущений или разрежении материй.
Подставляя D.1) в общие уравнения B.15) — B.16) и вычисляя производные, по-
получим в результате следующие уравнения для X и |л:
Из B.17), B.18) получим для относительного изменения плотности:
6р_ а2
Р ~9(а/2-а2)
D2>
Q D.3)
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира
219
и для скорости:
6{a2-2a'2+aa")
D.4)
Пространственное распределение скорости определяется вектором Ра, т. е. ско-
скорость направлена в каждой точке как градиент распределения плотности.
Уравнения D.2) имеют, прежде всего, следующие два частных интеграла:
X = — [л = const,
Х = -(
D.5)
Они соответствуют как раз тем фиктивным изменениям метрики B.19), которые
могут быть исключены преобразованием системы координат 9). С их помощью
можно понизить порядок уравнений D.2). Для этого делаем подстановку
Х + |Л = I
D.6)
После простых преобразований получаем для новых неизвестных функций 6, и С,
следующие уравнения:
2а"
а[ 2 dp
adp(
2 dp
/ о -Л За 6а 9 а ар
-2(п +1Н 7 1
К J af a2 2 а2 с^"
= 0.
D.7)
Начнем с наиболее ранних стадий расширения мира, когда материя сжата на-
настолько, что уравнение ее состояния есть р = р/3. Для радиуса кривизны мира
имеем при этом а = b0 sh r\ A.16). Поскольку уравнение состояния р = р/3 имеет
смысл рассматривать только при малых временах t (т. е. малых т|), то достаточно
ограничиться исследованием уравнений при т]<1. Простыми преобразованиями
легко привести уравнения D.7) в рассматриваемом случае к виду 10):
Т]
Т]
D.8)
Решения этих уравнений удобно рассматривать отдельно для двух предельных
случаев. Предположим сначала, что число п не велико (возмущения в больших
9) Первый из интегралов D.5) получается из B.19) выбором /0 = Q, /а = 0. Второй же получается
В закрытой модели п целочисленно. При п = 1, 2 надо положить X = 0 соответственно тому, что
тензор Р^ не может быть образован. Для Ц остается уравнение второго порядка; оба решения этого
уравнения при п = 2 могут быть исключены преобразованием системы координат. При п = 1 преобра-
преобразованием координат исключается лишь одно из решений (вектор Ра не может быть образован при
п=1); второе же соответствует бесконечно малому изменению полной массы мира, и потому тоже не
интересно. Таким образом, реальным возмущением метрики соответствуют здесь лишь п > 2.
10) При произвольных т] для ? получается уравнение, приводящееся к гипергеометрическому.
220 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
областях пространства), так что пг\ <С 1. Опуская промежуточные вычисления,
приведем результат для X, [i и относительного изменения плотности п):
1 2(п2 + 4)
+ С х'
1
Х = ЗС1- + С2, |i =
¦ц 3
^=^±1(С1Л + С2Т12)д, (птК<1) D.9)
р У
(С1? С2 — постоянные). Мы видим, что в [i и бр/р есть члены, возрастающие со вре-
временем как первая степень и как квадрат радиуса кривизны (при малых
r\:a — const r\). Легко, однако, видеть, что это возрастание не приводит к тому,
чтобы возмущение могло стать большим, т. е. к потере устойчивости. Действи-
Действительно, в момент tQ своего возникновения возмущение должно быть по предполо-
предположению малым: 6р/р <1, |л <С 1 12). Отсюда следует, что С1 <С т|0, С2 <С 1, где г\0
(т]0 < 1) — значение т\, соответствующее моменту времени tQ. Применяя форму-
формулы D.9) по порядку величины при r\ ~ 1, мы видим, что возмущения остаются ма-
малыми даже на верхнем пределе действия этих формул.
Пусть теперь число п настолько велико (возмущения в малых областях про-
пространства), что пт\ ^> 1. В этом случае вычисление приводит к результату:
6а/з
iwxf
-2ц
. П
г
г
V3
1 ¦¦*' D.10)
(С — комплексная постоянная). В X и [i должны быть сохранены оба написанных
члена, так как их относительная величина зависит от значения пт|3 (а не пт|), кото-
которое может быть как малым, так и большим. Появление здесь периодического мно-
множителя вполне естественно: при больших п мы имеем дело с возмущением, пе-
периодичность которого в пространстве определяется большим «волновым векто-
вектором» к = п/а. Такие возмущения должны распространяться, как звуковые волны
со скоростью и = д/dp/d(р/с2 j = c/v3 ; соответственно, временная часть фазы
должна определяться, как полагается в геометрической акустике, интегралом
/ kudt = (п/\3)г\. Амплитуда относительного изменения плотности остается, как
мы видим, постоянной; амплитуды же X и [i сначала падают, а затем начинают
возрастать. Однако и здесь возмущение не может стать большим вплоть до r\ ~ 1
(малость начального возмущения дает для постоянной С условие | С |п «с 1).
п) Постоянные интегрирования, возникающие при вычислении X, \i по формулам D.6), зависят от
выбора системы координат; мы выбираем их так, чтобы по возможности сократить главные члены
разложения.
Для вычисления бр/р по формуле D.3) в \i должны быть вычислены также и следующие после вы-
выписанных члены разложения.
12) Смешанные компоненты /if возмущения метрического тензора должны сравниваться с невоз-
невозмущенными значениями gf = 8j , отсюда получается условие X, \i ^С 1. Шаровые функции Q, Р^ и т. д.
предполагаются определенными таким образом, что имеют порядок величины единицы.
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира
221
Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения мира, когда материя раз-
разрежена уже настолько, что можно в качестве уравнения состояния выбрать р = 0.
Уравнения D.7) с р = 0, a = ao(ch r\ — 1) полностью интегрируются в элементарных
функциях [из первого из уравнений D.7) вычисляем ?,, а затем из второго — Q. В ре-
результате вычисления получаются следующие выражения 13):
7]
D.11)
-^—^Q.
12 , n
Для исследования этих выражений рассматриваем их в двух предельных слу-
случаях — больших и малых г\. Малые т\ (г\ <С 1) соответствуют той стадии расшире-
расширения мира, когда радиус кривизны очень мал по сравнению с его современным зна-
значением 14), но все же уже настолько велик, что материя достаточно разрежена
(так что можно принимать р = 0). Члены с постоянной С2 дают при малых т\:
Зт]2 р Зт]2
Эти возмущения затухают со временем как а~3'2 [при р = 0 и малых т\ — радиус
кривизны а — (ао/2)т|2]. В членах же с постоянной С2 различаем случай неболь-
небольших п (так что пт\ <С 1) и больших п (пт\ ^> 1). В первом случае получим:
D.12)
60
D.13)
Хотя относительное изменение плотности и растет, однако, не становится боль-
большим даже при т\ ~ 1 (поскольку Сх <С 1). При больших же п находим
п
D.14)
Эти возмущения растут со временем с первой степенью радиуса и могут стать,
сравнительно большими. При г\ ~ 1 величины X, |л, бр/р становятся порядка С^2,
13) При интегрировании в D.6) постоянные выбраны так, чтобы в обоих рассматриваемых ниже
предельных случаях (больших и малых ц) по возможности сократить главные члены.
14) Современное значение т] можно получить из современных значений средней плотности мате-
материи р/с2 в пространстве и постоянной а красного смещения (постоянная в соотношении Auj/uj = — oil,
где Auj/uj — относительное смещение частоты для туманности на расстоянии I). Они выражаются че-
через а(т|) посредством /
CL 2 1
подставляя a = 5,6 • 10~26 1/см, р/с2 = 10~30 г/см3 (по Хэбблу), получим т\ = 7,8.
222 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
между тем как малость начального возмущения требует лишь, чтобы было
CjrArjo <C 1. Такое возрастание (в 1/т|02 раз) хотя и может быть значительным 15),
но все же совершенно ничтожно по сравнению с тем, которое могло бы сделать
заметными сгущения, возникающие путем термодинамических флуктуации в об-
областях пространства порядка величины туманностей или даже только звезд.
На поздних стадиях расширения, когда г\ ^> 1, получаем из D.11):
X = -2(n2 +l)C1Tie-T1 -2C2e~2r], \i = 2(п2 +4H^^ + 2С2е~2т],
¦%e-^Q. D.15)
6р_
р
1
+
6
4
С2
Мы видим, что при больших т\ возмущения метрики затухают, как а 1 In а или
1/а2 [при т| ^> 1 радиус а — (ао/2) е4 ], относительное же изменение плотности либо
стремится к постоянному пределу, либо падает как 1/а.
Наконец, надо исследовать случай уравнения состояния, промежуточного ме-
между р = р/3 и р = 0. Именно, рассмотрим стадию расширения, на которой мате-
материя разрежена настолько, что производная dp/dp мала, но все же не может быть
положена равной нулю. Для функции а(т|) можно при этом пользоваться той, ко-
которая имеет место при р = 0. Введем обозначение и = >/dp/dp для «скорости зву-
звука», измеренной в единицах скорости света (и <С 1). Оценка членов в уравнени-
уравнениях D.7) показывает, что при ипт\ <С 1 все члены, содержащие и, могут быть опу-
опущены, так что мы возвращаемся к исследованному уже случаю р = 0. Если же
ипт\ ^> 1, то наличие членов с и становится, напротив, существенным. Исключе-
Исключение С, из уравнений D.7) приводит в этом случае к следующему уравнению для ?,:
(и)
Его приближенное решение есть
t ~ . I— in] udr]
с, = —Сгпу/ие J
(С — постоянная), откуда с помощью D.3), D,5):
л . 12С in \ udv\ [ 00 I С 71 in \ udr\ , . лЧ
\ + [i = —^=e J , \ — \ = —i=e ¦ D-16)
Экспоненциальный множитель снова соответствует тому, что мы имеем в рас-
рассматриваемом случае дело со «звуковыми волнами», распространяющимися со
скоростью и, причем мы находимся в области применимости «геометрической
акустики» (гш/г| ^> 1), так что фаза велика. И здесь мы находим, что возмущения,
вообще говоря, не растут и, во всяком случае не становятся большими 16).
Сделаем следующее замечание по поводу возмущений рассмотренного типа.
До сих пор мы считали эти возмущения адиабатическими, т. е. происходящими
15) Так, для расширения, при котором средняя плотность материи меняется от ядерной плотности
(~ 1014 г/см3) до современной плотности материи в пространстве (р/с2 = 10~30 г/см3) а(ц) возрастает в
5 • 1014 раз.
16) Зависимость и от времени можно оценить ориентировочно, рассматривая материю как адиаба-
адиабатически расширяющийся идеальный газ.
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 223
при неизменной энтропии, и пренебрегали, в частности, процесами диссипации
энергии путем теплопроводности. Хотя роль этих процессов для самого расши-
расширения мира и совершенно ничтожна, однако a priori не исключена возможность
того, что эти малые эффекты могут привести к появлению какой-либо неустой-
неустойчивости. Для исследования этого вопроса надо рассмотреть неадиабатические
возмущения, в которых испытывает изменения также и энтропия материи, при-
причем надо принять во внимание процессы теплопроводности. Такие возмущения
описываются гравитационными уравнениями, к которым надо присоединить так-
также и уравнение теплопроводности, должным образом обобщенное для общей тео-
теории относительности; в самих уравнениях гравитации появляются дополнитель-
дополнительные члены, содержащие изменение энтропии (давление является теперь функ-
функцией не только от плотности, но и от энтропии). Мы не станем приводить здесь
этих вычислений и укажем лишь, что в результате исследования оказывается,
что учет теплопроводности тоже не приведет к появлению неустойчивости.
5. Вращательные возмущения
Рассмотрим теперь возмущения второго типа, в которых
K=o(n)Sl E.1)
В возмущениях этого типа однородность распределения материи не нарушается
(ф = 0); это следует непосредственно из того, что не существует соответствующего
скаляра (п. 3). Соответствующий же вектор существует, и потому наряду с изме-
изменением метрики имеется также и возмущение скорости — возникает движение
материи, имеющее вращательный характер.
Уравнение B.16) удовлетворяется автоматически, поскольку h = 0. Уравнение
же B.15) дает после подстановки E.1) следующее простое уравнение для сг(г|)
/ + 2-(/=0; E.2)
а
отметим, что в него не входит и. Отсюда
а = const f^. E.3)
J a2
Постоянная часть этого решения (постоянная интегрирования) соответствует фик-
фиктивному изменению метрики, исключающемуся преобразованием системы коор-
координат [оно получается из B.19) выбором /0 = 0, /а = Sa]. Для возмущения скорос-
скорости вычисление по формуле B.18) дает
Для уравнения состояния р = р/3 и малых времен (т] <^С l) получаем:
> р E.5)
224
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
мы оставили здесь множитель а перед Ьиа, поскольку возмущение скорости должно
сравниваться с и0 = 1/а.
Для уравнения же состояния р = О получаем:
abua =
(при т\ <С 1 это дает а = — 8С/Зт|3 , а при т] » 1 : ст = — 4Се 2т]). Таким образом, рас-
рассматриваемые возмущения во всех случаях затухают со временем.
6. Гравитационные волны
Наконец, рассмотрим возмущения третьего типа, в которых
hi =v(ti)g?. F.1)
Здесь изменяется только метрика, т. е. гравитационное поле; материя остается
неподвижной (Ьиа = 0) и однородно распределенной в пространстве (8р = 0). Это
следует непосредственно из того, что не существует ни вектора, ни скаляра, соот-
соответствующего тензору G^. Таким образом, рассматриваемые возмущения пред-
представляют собой гравитационные волны в расширяющемся мире.
Для у(т|) получаем из B.15) следующее уравнение:
у" + 2^уЧ(п2+1)у = 0. F.2)
Оба решения этого уравнения соответствуют реальным изменениям метрики, не
могущим быть исключенными преобразованием координат [поскольку в рассма-
рассматриваемом случае не существует ни скаляра, ни вектора, которые могли бы быть
подставлены в B.19) в качестве /0 и /J.
Для уравнения состояния р = р/3 уравнение F.2) принимает вид
у"+ 2
и имеет решение
sh т]
+l)v=0
х sinnr|+ С2 cosnr|).
F.3)
При р = 0 уравнение F.2) имеет вид
Его решение есть
и"+ 2
v = 0.
V =
1
sh
с d
^1 dr\
sinnr|
Sh ?
+ С2
d
dr\
cosnr|
sh Л
F.4)
При малых т\ и небольших значениях числа п (пт\ <С 1) имеем отсюда
v = const +
const
15. О гравитационной устойчивости расширяющегося мира 225
а при очень больших п (пг\ ^> 1):
у = —(Сг cosnr\ — C2 sinnr|) — «с т\ «с 1 . F.6)
Наконец, на поздних стадиях расширения, когда т\ <С 1:
у = е-л (С[ cosriT] + C'2 sinriT]). F.7)
Периодический множитель в F.3), F.6), F.7) — как раз тот, который должен
соответствовать гравитационным волнам, распространяющимся со скоростью све-
света (волновой вектор к = п/а, так что временная часть фазы J ckdt = пт\). Из полу-
полученных формул мы видим, что амплитуда гравитационных волн затухает как 1/а.
В заключение выражаю искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за ценные
дискуссии и постоянный интерес к этой работе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. Gamow, E. Teller. Phys. Rev., 55, 654, 1939.
[2] Л. Ландау, Е. Лифшиц. Теория поля. 1941.
[3] V. Fock. Zs. f. Physik, 98, 148, 1935.
16
ТРЕХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
И ПОЗИТРОНОВ
ДАН СССР, 60, 211, 1948
И.Я. Померанчук [1] обнаружил, что при аннигиляции медленных электронов
и позитронов существенную роль играет суммарный спин сталкивающихся час-
частиц. Оказалось, что при параллельных спинах электрона и позитрона в предель-
предельном случае малых относительных скоростей частиц (v —> 0) эффективное сече-
сечение обычной двухфотонной аннигиляции обращается в нуль. Л.Д. Ландау [2] ука-
указал, что это обстоятельство является частным случаем общей строгой теоремы,
согласно которой система из двух фотонов с равным нулю суммарным импуль-
импульсом не может иметь равного единице суммарного момента количества движения
(как это имело бы место для двух фотонов, образующихся при аннигиляции не-
неподвижных электрона и позитрона с параллельными спинами).
В связи с этим возникает вопрос о вычислении эффекта следующего прибли-
приближения теории возмущений — эффективного сечения трехфотонной аннигиля-
аннигиляции электрона и позитрона с параллельными спинами для предельного случая
стремящейся к нулю скорости столкновения. Довольно громоздкие вычисления
приводят к следующей окончательной формуле для дифференциального эффек-
эффективного сечения (спектральное распределение излучения):
о
(vdo)^ =-acro2(A123+A312+A231), A)
о
где а = е2/he, r0 = е2/тс2,
л _/с12A-/с1)A-/с1+/с2/с1)+2A+/с1)A-/с1-/с2/с3J ,
2/с22/с32D-3/с1J
3A-/с1L+A-/с1)(б/с1-3-/с12)/с2/с3
/с12/с2/с3D-3/с2)D-3/с3)
a A312, А231 получаются из А123 циклической перестановкой индексов 1, 2, 3; здесь
1с{ = hjj/mc2, а иг — частоты трех квантов, связанные законом сохранения энергии
/гЦ +ио2 +u;3) = 2mc2. C)
Интегрирование выражения A) по одной переменной производится элемен-
элементарно, а второе интегрирование должно быть произведено численно. В результа-
результате получается для полного эффективного сечения аннигиляции сг:
D)
16. Трехфотонная аннигиляция электронов и позитронов 227
Полученный результат может быть применен для вычисления продолжитель-
продолжительности жизни позитрония (системы из позитрона и электрона, построенной по типу
водородного атома), находящегося в своем нормальном состоянии (s-состояние),
причем спины электрона и позитрона параллельны («ортопозитроний»). Двух-
квантовая аннигиляция такой системы запрещена, причем, согласно указанной
выше общей теореме Ландау, этот запрет является строгим и не связан с при-
приближениями, делаемыми при вычислении ее вероятности; то же самое будет
иметь место и при учете кулоновых эффектов, связанных с движением частиц в
позитронии.
Ввиду сравнительной медленности движения частиц на боровской орбите
можно при вычислении вероятности аннигиляции рассматривать электрон и по-
позитрон как покоящиеся. Вероятность трехфотонной аннигиляции ортопозитро-
ния получается умножением величины (va)v^0 из D) на квадрат значения в
начале координат волновой функции нормального состояния позитрония, т. е.
на 1/тш03, где а0 = 2Н2/те2 есть радиус первой боровской орбиты в позитронии
(т — электронная масса). Таким образом, получим искомую вероятность
оо = 0,0968а6 (тс2/й), E)
откуда продолжительность жизни т = 1/lj = 8,8 • 10~8 с, что примерно в 700 раз
превышает продолжительность жизни «парапозитрония» (позитрония с равным
нулю полным спином), определяющуюся двухфотонной аннигиляцией.
Выражаю благодарность акад. Л.Д. Ландау и проф. И.Я. Померанчуку за об-
обсуждение вопроса и О.П. Крамер за численное вычисление интеграла.
ЛИТЕРАТУРА
[1] И. Померанчук. ДАН, 60, вып. 2, 1948.
[2] Л.Д. Ландау. ДАН, 60, вып. 2, 1948.
17
ТЕОРИЯ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ ГЕЛИЯ II
УФН, 34, 512, 1948
I. КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
1. Гелий II — квантовая жидкость
Как известно, при температуре 2,19 °К жидкий гелий имеет так называемую
Х-точку (фазовый переход второго рода); при температурах ниже этой точки
жидкий гелий (гелий II) обладает рядом удивительных свойств, связанных с
квантовой природой этой жидкости.
Действительно, по мере понижения температуры увеличивается де-бройлев-
ская длина волны, соответствующая тепловому движению атомов. В жидком ге-
гелии де-бройлевская длина волны атомов гелия становится сравнимой с между-
междуатомными расстояниями при температурах порядка 2~3 °К. Соответственно это-
этому, в этой области температур свойства жидкого гелия связаны с квантовыми
явлениями; в этом смысле можно говорить о гелии при очень низких температу-
температурах как о «квантовой жидкости». В частности, квантовым свойством является и
тот факт, что гелий остается жидким (при обычном давлении) при всех темпе-
температурах, вплоть до абсолютного нуля, между тем как согласно классической
механике всякое тело при абсолютном нуле должно быть твердым кристаллом.
Жидкий гелий является единственной существующей в природе квантовой
жидкостью; все другие жидкости затвердевают значительно раньше, чем в них
становятся заметными квантовые эффекты.
Наиболее существенным из особых свойств гелия II является открытая
П.Л. Капицей его сверхтекучесть 1). Рациональное объяснение и количествен-
количественная теория этого явления были даны Л. Ландау [1,2, 3], который впервые пост-
построил последовательную теорию квантовой жидкости. Изложению этой теории
и посвящена в основном эта статья.
Из других попыток построения теории сверхтекучести упомянем работы
Ф. Лондона [4, 5, 6] и Л. Тиссы [7, 8] (о более поздних работах Тиссы [9, 10] см.
ниже, п. 18). В этих работах для объяснения поведения гелия II привлекаются
свойства вырожденного идеального бозе-эйнштейновского газа, причем предпо-
предполагается, что атомы, находящиеся в нормальном состоянии (состояние с нуле-
нулевой энергией), движутся через вещество, не испытывая трения. Такое пред-
представление, однако, не может быть признано удовлетворительным. Прежде всего,
гелий II не имеет ничего общего с идеальным газом, и нет никаких оснований пе-
переносить на него результаты, получающиеся для газа. Но и в идеальном газе
х) Обзор относящихся сюда экспериментальных результатов дан в статье Э.Л. Андроникашви-
ли, УФН, 33, вып. 4, 469, 1947.
17. Теория сверхтекучести гелия II 229
находящиеся в нормальном состоянии атомы отнюдь не стали бы вести себя как
«сверхтекучие»; напротив, ничто не мешало бы им сталкиваться с возбужден-
возбужденными атомами, обмениваясь при этом импульсом, т. е. при своем движении в ве-
веществе они испытывали бы трение, и сверхтекучесть отсутствовала бы. Таким
образом, такое объяснение сверхтекучести не только не имеет достаточно солид-
солидного основания, но по существу еще и находится в прямом противоречии с ис-
исходными предположениями.
2. Квантование движения жидкости
Произвольная система взаимодействующих частиц (жидкость) может быть
описана в классической теории посредством плотности р и потока массы j, кото-
которые определяются следующим образом. Пусть R есть радиус-вектор произволь-
произвольной точки пространства, а га — радиус-вектор частицы с массой та. Тогда плот-
плотность определяется как
а
где 6 — трехмерная 6-функция, а суммирование производится по всем частицам
в системе. Интеграл по объему Jpdv дает полную массу системы. Аналогично,
плотность потока массы определяется, как
где va, pa — скорость и импульс частицы та.
Подчеркнем, что при таком описании жидкости не производится никакого
усреднения в том смысле, как оно производится в статистике. Описание исходит
из микроскопической картины, поскольку все частицы обладают (в данный мо-
момент) определенными координатами ra и скоростями va.
При переходе к квантовой теории надо рассматривать р и j как некоторые опе-
операторы; определим вид этих операторов. Для простоты рассуждений предполо-
предположим, что система состоит всего из одной частицы. Тогда классическая плотность
р = m6(R — г). Оператор р должен быть определен таким образом, чтобы его ма-
математическое ожидание j ^ * (r)p^(r)dV (где я|;(г) — волновая функция части-
частицы) было равно плотности массы в точке R, т. е. т\ tJj(R)|2. Отсюда следует, что
оператор р должен иметь тот же вид р = m6(R — г), а в случае произвольной сис-
системы частиц — соответственно вид B.1).
Классическая плотность потока для одной частицы j = p6(R — г). Легко видеть,
что соответствующий ей квантовый оператор есть
где р есть обычный оператор импульса
P=fv
230 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(V означает дифференцирование по г). Действительно, математическое ожидание
j
f^*V6(R)^dV +
или, интегрируя в первом члене по частям,
= | {Г (R) V^ (R) - 'ф (R) V^* (R)},
т. е. как раз то, что и должно было быть. Для произвольной системы частиц име-
имеем аналогично
^ra)pa}, 9а=-У. B.2)
Вместо оператора j более удобно пользоваться оператором скорости движе-
движения жидкости v, определяемым естественным образом согласно j = l/2(pv + vp),
или
v = i(ij + ji) B.3)
(в классической теории j = pv).
Правила коммутации между введенными таким образом операторами могут
быть получены непосредственным, хотя и довольно длинным, вычислением. Опус-
Опуская здесь эти вычисления, приведем получающиеся в результате соотношения.
Обозначая индексами 1 и 2 значения операторов, взятые соответственно в точ-
точках пространства R: и R2, будем иметь
PlP2 -P2P1 =0> B«4)
ViP2 -P2V1 = -iW6(R1 -R2), B.5)
«ifc«2fc = -гЩЪг -R2)y(rotv)ik B.6)
(в последнем соотношении i, к = х, у, z, а (rot v)t7c обозначает разность dvk/dxi
dvjdxk). Если применить к обеим сторонам уравнения B.5) операцию rot (с диф-
дифференцированием по координатам R), то получим соотношение
rot vx • р2 - р2 rot vx = 0. B.7)
Легко убедиться в том, что при применении полученных соотношений к мак-
макроскопическому движению жидкости получаются, как и должно было быть, обыч-
обычные гидродинамические уравнения, написанные в операторном виде. Энергия
единицы объема классической жидкости, рассматриваемой макроскопическим
образом, есть -v • pv + pE(p), где Е(р) есть внутренняя энергия единицы массы
17. Теория сверхтекучести гелия II 231
жидкости. Энергия Е предполагается зависящей только от плотности р жидко-
жидкости, — в этом проявляется макроскопичность рассмотрения, связанная со стати-
статистическим усреднением. При микроскопическом рассмотрении такое предполо-
предположение, конечно, несправедливо.
Соответствующий написанному классическому выражению квантовый опе-
оператор есть
Функция Гамильтона Н жидкости есть интеграл по объему
H = /J|vpv+pB(p)JdV. B.8)
Для определения производной р от плотности по времени мы должны, согласно
общим правилам квантовой механики, вычислить результат коммутирования
операторов ри Я:
Обозначим временно координаты точки, в которой берется р, индексом 1, а коор-
координаты переменной точки в области интегрирования в B.8) — индексом 2. Тогда
Pi =^/Й^2 -p2V2Pi -Piv2 -p2v2]+[p2E(p2)Pl -Plp2E(p2)]|dV.
В силу B.4) второй член под знаком интеграла исчезает, а первый можно напи-
написать в виде
2^2 * Р2 (V2Pl -Plv2) + (V2P1 -Plv2)-Plv2]
или, подставляя B.5):
^V6(R2 -RxHvaPa -p2v2) = -iftV8(R2 - Rj • j2,
Таким образом,
p = JvS(R2 -RJ. j2dV = -J6(R2 -R1)divj2dV = -div^,
т. е. мы приходим к уравнению непрерывности в операторном виде
0.
Аналогичным образом можно вычислить производную
v = -(Hv-vH).
Вычисление приводит к уравнению
dv{ l^
B10)
232 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
т. е. получается уравнение Эйлера в операторном виде (dE/dp есть давление Р
жидкости). Подчеркнем еще раз, что уравнения B.9 — 10) являются менее общи-
общими, чем условия коммутации B.4—7), которые применимы и при точном, микро-
микроскопическом, рассмотрении жидкости.
3. Энергетический спектр квантовой жидкости
В классической гидродинамике идеальной жидкости показывается, что если
в некоторый момент времени движение является потенциальным (rotv = 0) во
всем объеме жидкости, то оно будет потенциальным и во все другие моменты
времени (так называемая теорема Лагранжа). Оказывается, что в квантовой
гидродинамике имеется аналог этой теоремы.
Согласно правилу коммутации B.7) rotv всегда коммутирует с плотностью р.
Компоненты rotv, однако, не коммутируют, вообще говоря, ни друг с другом,
ни с компонентами скорости v (при применении операции rot к уравнению B.6)
правая сторона равенства не исчезает). Поэтому rotv не коммутирует, вообще
говоря, и с оператором Гамильтона; как известно из квантовой механики, это
означает, что rotv не сохраняется.
Исключение составляет случай, когда во всем объеме жидкости rotv = 0. В
этом случае в правой стороне B.7) стоит нуль, так что rotv коммутирует как с р,
так и с v, а следовательно, и с оператором Гамильтона 2).
Таким образом, равный нулю ротор скорости сохраняется. Другими слова-
словами, квантовая жидкость всегда обладает такими стационарными состояниями,
в которых rotv равен нулю во всем объеме. Такие состояния могут быть назва-
названы, по аналогии с классической гидродинамикой, состояниями потенциального
движения жидкости.
По поводу этого результата полезно провести аналогию (правда, чисто фор-
формальную) с моментом количества движения М в квантовой механике. Комму-
Коммутирование двух компонент М друг с другом приводит к третьей компоненте; в
результате компоненты момента коммутируют друг с другом, а потому суще-
существуют одновременно, только если все они равны нулю. Известно также, что не
существует состояний со сколь угодно малыми значениями момента, — первые
отличные от нуля его собственные значения порядка ft. Это является следстви-
следствием неоднородности условий коммутации, — левая сторона их квадратична по М,
а правая линейна.
Аналогичное утверждение можно высказать и по поводу ротора скорости в
квантовой гидродинамике. Именно, не может существовать таких состояний, в
которых ротор скорости был бы отличен от нуля, но сколь угодно мал во всем
объеме жидкости.
Отсюда можно сделать существенное заключение об основных свойствах энер-
энергетического спектра жидкости (подчеркнем, что речь идет не об уровнях для
отдельных атомов гелия, а об уровнях, соответствующих состояниям всей жид-
жидкости в целом). Именно, не может существовать уровней энергии, сколь угодно
2) Причем не только с гамильтонианом B.8), но и со всяким другим, содержащим pv и их произ-
производные любого порядка по координатам.
17. Теория сверхтекучести гелия II 233
близких к нормальному, которые соответствовали бы вихревому движению жид-
жидкости. Другими словами, достаточно близкие к нормальному возбужденные со-
состояния должны соответствовать потенциальному движению жидкости.
Необходимо подчеркнуть, что в этом рассуждении предполагается, что нор-
нормальное состояние жидкости — безвихревое. Принципиально, однако, логичес-
логически допустимы обе возможности — вихревое и безвихревое нормальное состоя-
состояние. Мы увидим ниже, что к свойству сверхтекучести приводит энергетичес-
энергетический спектр с безвихревым нормальным состоянием; поэтому следует принять,
что в жидком гелии имеет место именно этот случай. Надо, впрочем, иметь в
виду, что поскольку в природе существует всего лишь одна квантовая жид-
жидкость — жидкий гелий, то вопрос о том, является ли такой энергетический
спектр, а потому и сверхтекучесть, общим свойством квантовых жидкостей, не
может быть решен экспериментально. Теоретически же вполне допустимо су-
существование и несверхтекучих квантовых жидкостей.
Рассмотрим возбужденный уровень, расположенный не слишком высоко над
началом спектра (нормальным уровнем). Всякое слабо возбужденное состоя-
состояние макроскопического тела может рассматриваться в квантовой механике,
как совокупность отдельных «элементарных возбуждений». Эти «элементар-
«элементарные возбуждения» ведут себя, как некоторые «квази-частицы», движущиеся в
занимаемом телом объеме и обладающие определенными энергиями и импуль-
импульсами. Так, например, тепловое возбуждение твердого тела (кристалла), в кото-
котором атомы совершают малые колебания вокруг своих положений равновесия,
может рассматриваться, как известно, как совокупность движущихся в теле
«звуковых квантов» (фононов).
Обозначим посредством е(р) энергию «элементарного возбуждения» в жид-
жидком гелии как функцию его импульса р. Вид зависимости е от р представляет
собой основную характеристику энергетического спектра жидкости. На осно-
основании сказанного выше не представляет труда установить вид этой функции
при достаточно малых значениях импульса (длинные волны). Действительно,
достаточно малые энергии возбуждения соответствуют потенциальным дви-
движениям жидкости. Но потенциальное внутреннее движение представляет со-
собой не что иное, как продольные звуковые волны. Поэтому соответствующие
элементарные возбуждения представляют собой просто звуковые кванты, т. е.
фононы. Энергия же фононов является, как известно, линейной функцией их
импульса, т. е.
е = ср, C.1)
где с — скорость звука. Таким образом, в своей начальной части кривая зависи-
зависимости е от р прямолинейна.
По мере увеличения импульса р кривая е = е(р) отклоняется от линейности.
Однако представляется невозможным определить в общем виде зависимость е
от р для квантовой жидкости из одних только теоретических соображений,
и для определения вида энергетического спектра гелия II приходится при-
привлечь также имеющиеся экспериментальные данные; речь идет об измерениях
234
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
различных термодинамических величин гелия II (энтропии, теплоемкости), а так-
также скорости распространения так называемого «второго звука» в гелии II (см.
§ 14). Анализ этих данных показывает (Л. Ландау [5]), что они могут быть есте-
естественным образом объяснены, если предположить, что кривая е = е(р) имеет вид,
изображенный на рис. 1. После начального линейного участка (фононы) энергия
е достигает максимума, затем начинает уменьшаться и при некотором значении
импульса р = р0 функция е(р) имеет минимум.
В тепловом равновесии имеющиеся в жидко-
жидкости элементарные возбуждения распределены в
основном вблизи минимумов энергии, т. е. в об-
области малых е (область вблизи ? = 0) ив области
значения е(р0). Поэтому именно эти области осо-
особенно существенны. Вблизи точки р = р0 функцию
е(р) можно разложить в ряд по степеням р — р0.
Поскольку de/dp = 0 при р = р0, то линейный член
в разложении отсутствует, и с точностью до чле-
члена второго порядка имеем
V ~ Ро / /о о\
—^ > C-2)
15
10
Рис. 1. Энергетический спектр
гелия II
__, i где А = е(ро) и |jl — постоянные.
1-10 2-Ю8 р/Н,см~1 Элементарные возбуждения этого второго
типа соответствуют, в противоположность фо-
нонам, вихревым движениям жидкости (дви-
(движение с отличным от нуля rotv). Их можно на-
называть «ротонами», а о постоянной |л в C.2) говорить соответственно как об «эф-
«эффективной массе» ротона. Надо, впрочем, иметь в виду, что при энергетическом
спектре описанного типа нельзя, строго говоря, различать фононы и ротоны как
два качественно различных типа элементарных возбуждений, так как от одних к
другим имеется непрерывный переход. Более правильно было бы говорить про-
просто о длинноволновых (малые р) и коротковолновых (р вблизи р0) квантах воз-
возбуждения.
Имея в виду эту оговорку, мы, однако, будем все же пользоваться удобными
терминами — фононы и ротоны 3).
3) В первоначальном варианте теории Л. Ландау рассматривал энергетический спектр, в кото-
котором функция е(р) состоит из двух ветвей — фононной C.1) и ротонной е = А + р2/2(л; обе начина-
начинались от р = 0, так что между наиболее низкими состояниями потенциального и вихревого движений
имелась «энергетическая щель» А. Не говоря уже о том, что такой спектр приводит к недостаточно
хорошему согласию с экспериментальными данными, он по существу является внутренне противо-
противоречивым. Последнее проявляется в том, что ротоны в этом спектре могли бы самопроизвольно рас-
распадаться на фононы, т. е. были бы неустойчивыми; так, например, ротон с энергией А и импульсом
р = 0 мог бы распадаться на два движущихся в противоположных направлениях фонона с импуль-
импульсами р = А/2с и энергиями е = А/2. Упомянем также, что энергетический спектр жидкого гелия ис-
исследовался А. Байлем [11], который пришел к выводу о существовании «энергетической щели» между
нормальным и всеми возбужденными состояниями. Этот результат, однако, представляется весьма
сомнительным уже потому, что он означал бы, в частности, невозможность распространения в жид-
жидкости звуковых волн малых частот.
17. Теория сверхтекучести гелия II 235
Зная вид энергетического спектра жидкости, можно вычислить все ее термо-
термодинамические величины (§5). Полученные таким образом формулы оказывают-
оказываются, при соответствующем выборе постоянных А, р0, [i в превосходном согласии с
имеющимися экспериментальными данными о теплоемкости гелия II (измере-
(измерения Кеезома; см., впрочем, сноску на стр. 239, его энтропии (измерения П.Л. Ка-
Капицы) и скорости «второго звука» в нем, измеренной В.П. Пешковым. Значения
постоянных, определяющих энергетический спектр гелия II, оказываются при
этом следующими:
= 9,6К, ро//г = 1,95-1О8 cm, ^i = 0,75mHe. C.3)
Обратим внимание на то, что эффективная масса ротона оказывается поряд-
порядка величины массы атома гелия, а длина волны h/pQ оказывается весьма малой,
меньшей даже, чем атомные размеры 4).
Если число ротонов и фононов (отнесенное к единице объема жидкости)
сравнительно невелико, то их совокупность можно рассматривать как смесь
двух идеальных газов — фононного газа и ротонного газа. Такое положение
имеет место при температурах, не слишком близких к Х-точке.
Как фононный газ, так и ротонный газ должны подчиняться статистике
Бозе. В этом можно убедиться на основании следующих очень общих сообра-
соображений. По свойствам описанного энергетического спектра, при возбуждении
жидкости фононы и ротоны могут появляться поодиночке. С другой стороны,
момент количества движения всякой квантово-механической системы (в дан-
данном случае — всей жидкости) может испытывать изменения лишь на целое
число. Поэтому возникающие поодиночке «элементарные возбуждения» долж-
должны обладать целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться статис-
статистике Бозе.
По поводу ротонного газа надо, впрочем, заметить, что поскольку его энер-
энергия всегда содержит величину А, большую по сравнению с кТ (при низких
температурах, когда только и можно говорить о ротонном газе), то в примене-
применении к нему распределение Бозе может быть с достаточной точностью заменено
распределением Больцмана.
4) Это, разумеется, вовсе не означает, что ротоны можно в какой-либо степени отождествлять с
отдельными атомами гелия! Подчеркнем лишний раз, что фононы и ротоны отнюдь не связаны с
какими-либо определенными атомами или группами атомов, а являются, по существу, лишь спосо-
способом описания коллективного движения всех атомов жидкости.
Отметим по этому поводу следующее обстоятельство. Если ввести «скорость ротона» v = de/dp,
то из C.2) мы получим v = (р - ро)/|л. В частности, при р — р0 получается v = 0, т. е. при равном р0
импульсе ротон не имеет скорости. Это обстоятельство, разумеется, не содержит в себе никаких
внутренних противоречий, и для его уяснения полезно привести следующую «классическую ана-
аналогию». Представим себе волновой пакет, распространяющийся в какой-либо среде. Скорость v
его перемещения определяется законом дисперсии волн oj = uj(fc) (ш — частота, к — волновой
вектор), согласно известной формуле для групповой скорости v = duj/d/c, и при некоторых значе-
значениях к может обратиться в нуль. Это будет означать, что весь волновой пакет в целом, т. е. вся
картина движения в среде, остается неподвижной в пространстве, что, конечно, не мешает тому,
что в среде происходит при этом внутреннее движение, которое может сопровождаться перено-
переносом массы в некотором направлении.
236 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
4. Энергетический спектр почти идеального
бозе-эйнштейновского газа
Как уже отмечалось, задачу о полном теоретическом определении энергети-
энергетического спектра реальной жидкости можно считать безнадежной. Ввиду этого
приобретает интерес рассмотрение какой-либо значительно более простой мо-
модели макроскопического тела, хотя бы и не имеющей непосредственного отно-
отношения к жидкому гелию, с целью уяснения того, каким образом может действи-
действительно возникнуть энергетический спектр со свойствами, аналогичным описан-
описанным выше.
В качестве такой модели наиболее естественно выбрать бозе-эйнштейнов-
ский «почти идеальный» газ, т. е. газ со слабым взаимодействием между части-
частицами. Последовательное квантово-механическое рассмотрение такой задачи было
произведено впервые Н.Н.Боголюбовым [12], которому удалось, путем остро-
остроумного применения метода вторичного квантования, полностью определить энер-
энергетический спектр слабовозбужденных состояний такого газа.
Отсылая за подробным проведением вычислений к оригинальной работе
Боголюбова, мы опишем здесь лишь получающиеся результаты. Оказывает-
Оказывается, что слабо возбужденное состояние газа можно, действительно, описать
как совокупность («идеальный газ») не взаимодействующих друг с другом
«элементарных возбуждений», так что полная энергия газа складывается из
энергии основного состояния и суммы энергий отдельных «квази-частиц» —
элементарных возбуждений. Каждому элементарному возбуждению можно
приписать некоторый импульс р, а его энергия как функция импульса выра-
выражается формулой
^+p4, D.1)
где т — масса отдельной частицы газа, р — его плотность, а функция у (р) опре-
определяется как интеграл
J (r) e~ipr/hdV, D.2)
взятый по всему пространству, причем U(r) есть потенциальная энергия взаи-
взаимодействия двух частиц газа (предполагаемая зависящей только от взаимного
расстояния г между частицами).
Для того чтобы подкоренное выражение в D.1) было всегда положительным
(в том числе и для малых импульсов), необходимо, чтобы было
у@)= Cu(r)dV >0. D.3)
В противном случае при достаточно малых р энергия е(р) окажется комплекс-
комплексной, что означало бы неустойчивость рассматриваемых возбужденных состоя-
состояний газа. Можно показать, что pv@)/m2 = дР /dp (Р — давление газа), так что
условие D.3) эквивалентно известному условию термодинамической устойчи-
устойчивости газа (дР/др > 0). С механической точки зрения, условие D.3) означает,
17. Теория сверхтекучести гелия II 237
что между частицами газа действуют отталкивательные силы. Необходимость
этого условия в рассматриваемой модели заранее очевидна, так как в случае
притягивательных сил при температуре абсолютного нуля и вблизи него (чему
соответствует рассмотрение слабовозбужденных состояний) вещество не мог-
могло бы существовать в виде газа и сконденсировалось бы в жидкость. Заметим,
что это обстоятельство в известном смысле отдаляет рассматриваемую модель
от реального гелия, в котором между атомами действуют притягивательные
силы. При малых импульсах энергия D.1) принимает вид
(с = ^JdP/dp — скорость звука в газе). Таким образом, в начальной части кривой
е = е(р) мы, действительно, имеем дело с фононами. При больших импульсах
функция v(p) стремится к нулю (так как содержит в подынтегральном выраже-
выражении быстро осциллирующий экспоненциальный множитель). Поэтому при дос-
достаточно больших р имеем
т. е. е переходит в кинетическую энергию отдельной частицы газа.
5. Вычисление термодинамических величин гелия II
Описанные в п. 3 особенности энергетического спектра гелия II позволяют сде-
сделать определенные заключения о температурной зависимости его термодина-
термодинамических величин (энтропии, теплоемкости и т.п.). Производимые ниже вычис-
вычисления относятся к температурам, не слишком близким к Х-точке, когда можно
говорить о фононном и ротонном газах в жидкости. В этих условиях все термоди-
термодинамические величины складываются из двух частей, связанных соответственно
с каждым из этих газов; мы будем говорить о них как о фононной и ротонной
частях.
Фононные части термодинамических величин определяются непосредствен-
непосредственно формулами известной дебаевской теории теплоемкости твердых тел (теп-
(тепловое возбуждение которых рассматривается как совокупность фононов). Так,
для свободной энергии (отнесенной к 1 г жидкости) имеем
(р — плотность гелия). Фононная часть энтропии получается отсюда дифферен-
дифференцированием по температуре
а фононная часть теплоемкости Сф = Т (<9?ф/<9Т) равна
238 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, фононная часть теплоемкости пропорциональна кубу темпе-
температуры 5).
Для вычисления ротонной части термодинамических величин воспользуемся
тем, что при рассматриваемых температурах ротонный газ с достаточной точно-
точностью описывается больцмановским распределением. При этом надо помнить, что
число частиц в ротонном газе не остается неизменным, а является функцией тем-
температуры и определяется условием минимальности свободной энергии. Соглас-
Согласно известной формуле статистической физики, свободная энергия идеального газа
с числом частиц N в объеме V есть
~ФТ 7^~f ' (dTP = d/PxdPydPz )'
Приравнивая нулю производную dF/dN, найдем для числа частиц в ротонном
газе формулу
N* =——
мы положили здесь V = 1/р, соответственно тому, что мы относим все величины
к единице массы гелия. Соответствующее значение свободной энергии есть
Fp = e-?/fcTdTp. E.4)
Р PBty/zKJ P
В эти формулы надо подставить выражение C.2) для энергий ротона. Ввиду
того, что Ро ^> |л/сТ, при интегрировании по dp можно, с достаточной точностью,
заменить р в предэкспоненциальном множителе на р0. Интегрирование же эк-
экспоненциального множителя по разности р — р0 можно, ввиду его быстрого убы-
убывания с увеличением | р — р01, производить в пределах от —оо до +оо. Поэтому
+ 00
Таким образом, получим следующие формулы для числа ротонов и ротонной
части свободной энергии:
_
Р BK/2 /3
5) Написанные формулы получаются в дебаевской теории при наличии одних только продольных
звуковых волн и соответствуют температурам, малым по сравнению с дебаевской температурой.
Последнее условие можно считать выполненным, так как в данном случае дебаевская температура
^1/3
= 30°К.
17. Теория сверхтекучести гелия II
239
Для ротонной части энтропии Sv = —dFv/dT и теплоемкости Ср = T(dSv/dT)
находим отсюда
sn =
Bтт)
3/2
,-А/кТ
2A
BтО"
3/2
kT 3_(kT
^ A ^4 A
е~А/кт.
E.7)
E.8)
Таким образом, температурная зависимость ротонной части термодинамичес-
термодинамических величин имеет в основном экспоненциальный характер (~e~A/feT). Поэтому
10 S, кал/г-град
7
10S
при достаточно низких температурах
ротонная часть термодинамических ве-
величин должна стать меньше фононной
части, между тем как при более высо-
высоких температурах имеет место обрат-
обратное положение и ротонная часть преоб-
преобладает над фононной. Вычисление по-
показывает, что фактически обе части
теплоемкости и энтропии сравнивают-
сравниваются при температуре около 0,8—0,9 °К.
На рис. 2 и 3 приведены кривые энт-
энтропии и теплоемкости гелия II, вычис-
вычисленные по полученным формулам (вы-
(вычисления произведены И. Халатнико-
вым и О. Крамер). Для параметров \i, А,
р0 приняты значения C.3), скорость
звука положена равной 235 м/с, а плот-
плотность гелия — 0,145 г/см3. При темпе-
температурах, близких к Х-точке, теорети-
теоретические формулы могут дать значитель-
значительную погрешность; поэтому верхние части кривых (выше примерно 1,8 °К)
экстраполированы по имеющимся экспериментальным данным 6).
0,8
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Г, °К
Рис. 2. Энтропия гелия II
6) Необходимо отметить следующее обстоятельство. Внимательное изучение результатов изме-
измерений теплоемкости (Кеезом и мисс Кеезом) и энтропии гелия II (П. Капица) обнаруживает, что меж-
между этими данными, самими по себе, имеется заметное противоречие. Это расхождение, нарушаю-
нарушающее термодинамическое соотношение С = T(dS/dT), сказывается при попытке более точного опре-
определения параметров, входящих в теоретические формулы.
Есть основания полагать, что измерения энтропии в опытах Капицы были произведены с
большей точностью, чем измерения теплоемкости Кеезомом (прежде всего, измерения теплоем-
теплоемкости, как величины дифференциального характера, по самому существу более трудны; надо
также иметь в виду, что интервалы температуры, в которых измерялась теплоемкость в опытах
Кеезома, были сравнительно велики). Поэтому при сравнении теории с экспериментом в качестве
основы были выбраны именно данные об энтропии гелия П. Кривая же для теплоемкости (рис. 3)
вычислена затем во всей области температур по теоретической формуле (причем для температур
выше ~1,8 °К учтена поправка на неидеальность ротонного газа — см. п. 17).
240
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
ЮС
II. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ГЕЛИЯ II
6. Сверхтекучесть гелия при абсолютном нуле
Покажем теперь, что сверхтекучесть гелия II следует из описанных выше
свойств энергетического спектра. Начнем с рассмотрения жидкого гелия при
абсолютном нуле; при этой температуре жидкость находится в своем нормаль-
нормальном, невозбужденном состоянии.
Рассмотрим гелий, текущий по капилляру с постоянной скоростью v. Нали-
Наличие вязкости проявилось бы в том, что благодаря трению о стенки трубки и тре-
трению внутри самой жидкости происхо-
10 С, кал/г-град дили бы диссипация кинетической
энергии жидкости и постепенное за-
замедление потока.
Нам будет удобнее рассматривать
течение в системе координат, движу-
движущейся вместе с жидкостью. В этой си-
системе гелий покоится, а стенки капил-
капилляра движутся со скоростью — v. При
наличии вязкости покоящийся гелий
тоже должен начать двигаться. Физи-
Физически очевидно, что увлечение жидко-
жидкости стенками трубки не может привес-
привести с самого начала к движению жид-
жидкости как целого. Появление движения
должно начаться с возбуждения внут-
внутренних движений в близких к стенке
слоях жидкости, т. е. с появления в
жидкости квантов возбуждения.
Предположим, что в жидкости воз-
возбуждается квант с импульсом р и энер-
энергией е(р). Тогда энергия Ео жидкости (в
системе отсчета, в которой она первона-
0 I 1 1 1 1 1— чально покоилась) сделается равной
энергии е этого кванта, а ее импульс
Ро — импульсу р кванта. Перейдем те-
теперь обратно к системе координат, в ко-
которой капилляр покоится. Согласно известным формулам преобразования энер-
энергии и импульса в классической механике, имеем для энергии Е и импульса Р
жидкости в этой системе
1
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Г,°К
Рис. 3. Теплоемкость гелия II
Mv2
Р = Ро - Mv
(М — масса жидкости). Подставляя е, р вместо Ео, Ро, напишем
Е =
17. Теория сверхтекучести гелия II 241
Член A/2)Мг>2 представляет собой первоначальную кинетическую энергию
текущего гелия; выражение же е + pv есть изменение энергии благодаря воз-
возбуждению кванта. Это изменение должно быть отрицательно, поскольку энер-
энергия движущейся жидкости должна уменьшаться:
При заданном значении р величина, стоящая в левой стороне неравенства,
имеет наименьшее значение при антипараллельных р и v; поэтому должно быть
во всяком случае е — pv < 0, т. е.
v > е/р.
Это неравенство должно выполняться при всех значениях импульса р кванта
возбуждения. Поэтому окончательное условие возможности появления возбуж-
возбуждений в движущейся по капилляру жидкости мы получим, найдя минимум ве-
величины е/р. Равенство
dp [pj p dp p2
т. е. е/р = de/dp определяет на кривой е(р) точку, в которой проведенная из
начала координат прямая касательна к кривой. Обозначая соответствующее
значение р посредством рт, имеем окончательно
Мы видим, что при скоростях течения, меньших определенного предела
[определяемого наклоном проведенной из начала координат касательной к
кривой е = е(р)], в гелии не могут появиться возбуждения. Это значит, что те-
течение жидкости не будет замедляться, т. е. гелий обнаружит явление сверхте-
сверхтекучести.
При скоростях течения, удовлетворяющих условию F.1), сверхтекучесть ге-
гелия во всяком случае должна исчезнуть. Надо, однако, иметь в виду, что эти ско-
скорости очень велики (по порядку величины de/dpm — (l/|i) (^/2|jlA + Po ~Vo)
^60 м/с) — значительно больше фактически наблюдаемых «критических ско-
скоростей» исчезновения сверхтекучести. Поэтому последние должны иметь ка-
какую-то другую физическую природу.
Заметим, что условие, при котором энергетический спектр приводит к свой-
свойству сверхтекучести, заключается, согласно F.1), в том, чтобы стоящая в пра-
правой стороне неравенства производная имела отличное от нуля значение. Это
условие по существу сводится к требованию, чтобы кривая е = е(р) не была каса-
касательна к оси абсцисс в начале координат (отвлекаясь от маловероятного касания
ею этой оси в своем дальнейшем ходе). Поэтому к сверхтекучести приводит по
существу всякий спектр, в котором достаточно малые возбуждения сводятся к
одним только фононам.
242 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
7. Гелий II при температурах выше абсолютного нуля
Рассмотрим теперь гелий при температуре, отличной от абсолютного нуля.
Тогда гелий не находится в основном состоянии, в нем имеются возбуждения, о
которых, при достаточно низкой температуре можно сказать, что они образуют
газ, состоящий из квантов возбуждения. Проведенный выше вывод сам по себе
остается в силе и теперь, поскольку в нем не было использовано непосредствен-
непосредственно то обстоятельство, что жидкость находилась первоначально в основном состо-
состоянии. Поэтому и при температурах, отличных от О °К, движение гелия относи-
относительно стенок трубки не может привести к появлению в нем квантов возбужде-
возбуждения. Необходимо, однако, выяснить, каким образом будет проявляться наличие
квантов, которые имеются в жидкости самой по себе.
Для этого рассмотрим жидкий гелий, находящийся в аксиально-симметри-
аксиально-симметрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Г2.
Перейдем к системе координат, вращающейся вместе с сосудом. В этой системе
сосуд неподвижен, т. е. внешние условия, в которых находится жидкость, стаци-
стационарны. Поэтому в ней имеет место распределение Гиббса, т. е. вероятность на-
нахождения жидкости в том или ином возбужденном состоянии определяется
формулой
const • e-E'/fcT,
где Е' — энергия возбужденного состояния жидкости во вращающейся системе
координат. Перейдем теперь обратно к неподвижной системе отсчета. Как изве-
известно, энергия Е' тела во вращающейся системе отсчета связана с энергией Е в
неподвижной системе соотношением
Е' = Е-Ш-П,
где М — момент количества движения тела в данном возбужденном состоянии (в
нормальном состоянии М = 0). Таким образом, распределение Гиббса в непод-
неподвижной системе отсчета есть
const • е-(*-м.п)/м\ G.1)
Для наглядности предположим, что температура достаточно низка, так что
можно говорить о возбужденном состоянии, как об идеальном газе квантов воз-
возбуждения. Тогда энергию Е и момент М возбужденного состояния можно напи-
написать в виде
Е = 5>, М = 5>, G.2)
где е, m — энергия и момент отдельных квантов.
Как известно, при подстановке в распределение Гиббса е~Е^кТ энергии в виде е
можно перейти к распределению для отдельных «частиц» газа — в данном слу-
случае к распределению Бозе
(впрочем, какое именно распределение — несущественно для дальнейшего).
17. Теория сверхтекучести гелия II 243
Аналогично, при подстановке G.2) в G.1) мы получим тем же способом рас-
распределение для квантов возбуждения во вращающемся сосуде, с той только раз-
разницей, что вместо е будет стоят е — ft • т; так, распределение Бозе примет вид
Но такое распределение представляет собой не что иное, как распределение во
вращающемся как целое (с угловой скоростью ft) газе. Таким образом, мы при-
приходим к результату, что во вращающемся сосуде с гелием II устанавливается
статистическое равновесие, которое отличается от равновесия в покоящемся со-
сосуде только тем, что газ квантов возбуждения вращается вместе с сосудом, как
бы увлекаясь его стенками.
Если вычислить из написанного распределения момент количества движе-
движения гелия во вращающемся сосуде при данной температуре, т. е. величину
й=^ЯД-^-1' G-3)
то при абсолютном нуле, т. е. при полном отсутствии квантов возбуждения, мы
получили бы, очевидно, нуль. При более высоких температурах момент коли-
количества движения будет отличен от нуля, но момент инерции (т. е. коэффициент
пропорциональности между М и ft) будет при достаточно низких температурах
еще гораздо меньше обычного (соответствующего вращению вместе с сосудом
всей массы жидкости).
Мы приходим, таким образом, к фундаментальному результату, что при
движении стенок сосуда только часть массы жидкого гелия увлекается ими, а
другая часть как бы остается неподвижной. Поэтому можно наглядно рассмат-
рассматривать жидкий гелий так, как если бы он представлял собой смесь двух жид-
жидкостей — одной сверхтекучей, не обладающей вязкостью и не увлекающейся
стенками сосуда, и другой — нормальной, «зацепляющейся» при движении о
стенки и ведущей себя, как нормальная жидкость. При этом весьма суще-
существенно, что между обеими этими движущимися «друг через друга» жидко-
жидкостями «нет трения», т. е. не происходит передачи импульса от одной из них к
другой. Действительно, самое наличие такого взаимного движения мы получи-
получили при рассмотрении статистического равновесия в равномерно вращающемся
сосуде. Но если какое-либо относительное движение может иметь место в со-
состоянии статистического равновесия, то это значит, что оно не может сопро-
сопровождаться трением.
Подчеркнем, что рассмотрение гелия как «смеси» двух жидкостей является
не больше, чем способом выражаться, удобным для описания явлений, проис-
происходящих в гелии П. Как и всякое описание квантовых явлений в классических
терминах, оно не является вполне адекватным. В действительности надо гово-
говорить, что в квантовой жидкости, каковой является гелий II, может существо-
существовать одновременно два движения, каждое из которых связано со своей «эф-
«эффективной массой» (так, что сумма обеих этих масс равна полной истинной
массе жидкости). Одно из этих движений «нормально», т. е. обладает теми же
244 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
свойствами, что и движение обычной жидкости; другое же — «сверхтекуче». Оба
эти движения происходят без передачи импульса от одного к другому. Особенно
подчеркнем, что здесь нет никакого разделения реальных частиц жидкости на
«сверхтекучие» и «нормальные». В определенном смысле можно говорить о
«сверхтекучей» и «нормальной» массах жидкости, как о массах, связанных с обо-
обоими одновременно возможными движениями; но это отнюдь не означает возмож-
возможности реального разделения жидкости на две части.
Имея в виду все эти оговорки относительно истинного характера происхо-
происходящих в гелии II явлений, удобно все же пользоваться терминами «сверхтеку-
«сверхтекучая жидкость» и «нормальная жидкость», как удобным способом краткого опи-
описания этих явлений.
При вращении сосуда с гелием сверхтекучая часть жидкости, как указыва-
указывалось, остается неподвижной. Можно сказать, что сверхтекучая жидкость не
способна к вращению. Математически это означает, что ротор скорости сверх-
сверхтекучего движения равен нулю. Таким образом, движение сверхтекучей жид-
жидкости всегда является потенциальным. Напротив, нормальная часть жидкости
может совершать как потенциальное, так и вихревое движение.
В частности, отсюда вытекает следующее интересное свойство движения
гелия П. Как известно из гидродинамики, при потенциальном течении жид-
жидкость не оказывает давления на обтекаемые ею тела (так называемый пара-
парадокс Эйлера). Поэтому сверхтекучая часть жидкости не будет оказывать при
своем движении никакого давления на погруженное в гелий II тело; оно будет
испытывать давление только со стороны нормальной части жидкости.
Важнейшим параметром, определяющим свойства гелия при каждой данной
температуре, является отношение между массами сверхтекучей и нормальной
частей жидкости. Введем плотность рп нормальной жидкости и плотность ps сверх-
сверхтекучей; сумма р = pn + ps есть полная истинная плотность жидкости.
При абсолютном нуле отношение рп/р равно нулю. По мере повышения тем-
температуры оно растет, пока не сделается равным единице, после чего, конечно,
будет оставаться постоянным. Температура, при которой рп/р обращается в
единицу, и представляет собой точку перехода гелия II в гелий I. Таким обра-
образом, фазовый переход в жидком гелии связан с исчезновением сверхтекучей
части жидкости. Это исчезновение происходит постепенно, т. е. рп/р обращает-
обращается в единицу непрерывным образом, без скачка. Поэтому переход является
фазовым переходом второго рода (не сопровождается выделением или погло-
поглощением скрытой теплоты). Наличие же скачка теплоемкости является, как
известно, непосредственным термодинамическим следствием фазового пере-
перехода второго рода.
Отношение рп/р может быть непосредственно измерено на опыте путем опре-
определения момента инерции J цилиндрического сосуда, наполненного гелием II и
вращающегося вокруг своей оси. Отношение J к моменту инерции Jo, вычислен-
вычисленному в предположении, что вся масса гелия вращается вместе с сосудом, дает
отношение рп/р при данной температуре. Подобные измерения были произведе-
произведены Э. Андроникашвили и привели к значениям рп/р, находящимся в очень хоро-
хорошем согласии с теоретическими (и со значениями, которые можно вычислить по
скорости «второго звука» — см. п. 14).
17. Теория сверхтекучести гелия II 245
Развитые представления позволяют дать простое объяснение наблюдающимся
на опыте свойствам течения гелия П. П.Л. Капица показал, что при протекании
по капилляру или по тонкой узкой щели гелий II не обнаруживает вязкости. С
точки зрения излагаемой теории это объясняется тем, что при вытекании гелия II
из сосуда по тонкой щели, через щель протекает сверхтекучая «часть» жидко-
жидкости, не обнаруживающая трения; нормальная же «часть» задерживается в сосу-
сосуде, протекая через щель несравненно медленнее, со скоростью, соответствую-
соответствующей ее вязкости и ширине щели.
Не менее естественным образом объясняется тот факт, что при измерении
вязкости гелия II по затуханию крутильных колебаний погруженного в жид-
жидкость диска получаются отличные от нуля значения. Действительно, при вра-
вращении диска в жидкости, содержащей как сверхтекучую, так и нормальную
части, он будет останавливаться уже благодаря трению о нормальную жид-
жидкость. Таким образом, в опытах с протеканием по капилляру обнаруживается
наличие сверхтекучей части жидкости, в опытах же с вращением диска в
гелии II обнаруживается его нормальная часть.
Известное свойство гелия II образовывать движущиеся по твердой поверх-
поверхности пленки является эффектом, родственным свойству его перетекания по
тонким капиллярам. Сам по себе факт образования пленки не является особым
свойством, присущим только гелию П. Пленки образуются всякой жидкостью,
смачивающей твердую поверхность. В обычных жидкостях, однако, образо-
образование пленки и ее распространение на большой участок поверхности проис-
происходят чрезвычайно медленно благодаря наличию вязкости; образование же и
движение пленки у гелия II происходят быстро благодаря его сверхтекучести
(Я.И. Френкель [13]; в этой работе дан количественный анализ пленки, образу-
образующейся на вертикальной стенке).
8. Вычисление отношения р /р
При достаточно низких температурах отношение рп/р может быть вычисле-
вычислено. Как было выше указано, «идеальный газ» квантов возбуждения в гелии II
можно рассматривать как состоящий из «частиц» двух родов — фононов и ро-
ротонов. Соответственно этому, рп складывается при низких температурах из двух
независимых частей — эффективной массы идеального газа фононов и массы
газа ротонов.
Представим себе, что газ квантов возбуждения движется как целое по-
поступательно со скоростью v. Как известно, функция распределения для газа,
движущегося как целое, получается из функции распределения неподвиж-
неподвижного газа просто путем замены энергии частицы е величиной е — pv, где р —
импульс частицы. Поэтому полный импульс газа (отнесенный к единице
объема) будет
* = Jpn(e-pv)dTp,
где под п(е) надо понимать распределение Бозе в случае фононов или распреде-
распределение Больцмана в случае ротонов.
246 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Предположим, что скорость v мала, и разложим подынтегральное выраже-
выражение по степеням pv. Член нулевого порядка исчезает при интегрировании по на-
направлениям вектора р, и остается
Рассмотрим сначала фононный газ. Поскольку для фононов г = ср, то
ср дп дп
р де <9р '
так что можно написать
Интегрируя по частям, имеем
Усредним подынтегральное выражение по направлениям вектора р. При та-
таком усреднении p(pv) дает (l/3)p2v, так что получаем
= —v JpndTp = — v Jen(e)dTp.
Но стоящий здесь интеграл представляет собой не что иное, как энергию
единицы объема фононного газа, так что
Коэффициент при v представляет собой искомую эффективную массу еди-
единицы объема фононного газа, т. е. фононную часть (рп)ф плотности рп
T (8'2)
(для энергии E^ = F^ + Т6*ф использованы формулы E.1 — 2)). Таким образом,
фононная часть рп пропорциональна Т4.
Для вычисления ротонной части рп замечаем, что для распределения Больц-
мана
дп(е) п
де ~~кТ'
производя также усреднение подынтегрального выражения в (8.1) по направле-
направлениям р, получим
где р2 есть среднее значение квадрата импульса ротона.
17. Теория сверхтекучести гелия II
247
Таким образом, получаем формулу
(8.3)
Ввиду того, что Ро »\ikT, можно с достаточной точностью положить р2 = р2, и
мы приходим к окончательной формуле
,-А/кТ
(8.4)
[Nv из E.5)]. Таким образом, ротонная часть рп зависит от температуры экспонен-
экспоненциально.
Фононная часть рп становится суще- Юр„/р
ственной лишь при самых низких тем-
пературах. Еще при 1 °К фононная часть
в 60 раз меньше ротонной части; они
сравниваются при температуре около
0,6 °К.
Близкая к Х-точке часть кривой рп(Т)
не может, разумеется, быть вычислена
точно. Можно, однако, ожидать, что бла-
благодаря очень быстрому росту рп по фор-
формуле (8.4) самое значение температуры
Х-точки можно приближенно получить,
полагая рп/р = 1 и используя при этом
формулу (8.4) для рп. Такое вычисление
дает для температуры Х-точки значе-
значение 2,38 °К в хорошем согласии с дей-
действительным значением 2,19 °К.
На рис. 4 приведена кривая темпера-
температурной зависимости рп/р, вычисленная
по полученным формулам (вычисления
произведены И. Халатниковым и О. Кра-
Крамер). Верхняя часть кривой получена
интерполированием с помощью экспе-
экспериментальных данных.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
: /
Ри/Р /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
- / /
^s 1 1 1 1 1 1
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
2,2
Г, °К
Рис. 4. Температурная зависимость
отношения рп/р
9. Перенос тепла в гелии II
Энтропия гелия II определяется статистическим распределением квантов
возбуждения.
Поэтому при всяком движении жидкости, при котором «газ» квантов возбуж-
возбуждения остается неподвижным, не возникает никакого макроскопического пере-
переноса энтропии. Мы приходим, таким образом, к весьма важному результату, что
при течении сверхтекучей жидкости не происходит никакого переноса энтро-
энтропии. Другими словами, сверхтекучая жидкость не переносит при своем движе-
движении тепла. Отсюда, в свою очередь, следует, что движение гелия II, в котором
248 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
принимает участие только его сверхтекучая часть, является термодинамически
обратимым.
Как было уже указано, при протекании гелия II по тонким капиллярам или
щелям мы имеем дело именно с таким течением сверхтекучей жидкости. Поэто-
Поэтому такое протекание должно быть обратимым (вернее, тем более близким к
полной обратимости, чем тоньше капилляр и чем меньше проникает в него
нормальной жидкости). Это обстоятельство было действительно обнаружено в
опытах П.Л. Капицы.
Далее, поскольку протекающий через тонкий капилляр гелий не переносит
с собой тепла, мы можем сделать еще один вывод. Именно, жидкий гелий,
вытекающий из сосуда через тонкий капилляр, должен находиться при темпе-
температуре абсолютного нуля (вернее, при температуре более низкой, чем темпе-
температура гелия в сосуде, и равной нулю лишь в идеальном случае бесконечно
тонкого капилляра).
Перенос тепла движущейся нормальной частью жидкости представляет со-
собой механизм теплопередачи в гелии П. Он имеет, таким образом, своеобразный
конвективный характер и принципиально отличен от обычной теплопроводно-
теплопроводности. Всякая разность температур в гелии II немедленно приводит к возникно-
возникновению в нем внутренних движений нормальной и свехтекучей частей «друг
через друга»; при этом никакого реального макроскопического течения, сопро-
сопровождающегося переносом массы, в жидкости может и не быть.
Такого рода случай имеет место при теплопередаче в капилляре, большая
величина которой была открыта Кеезомом и мисс Кеезом и которая была под-
подробно изучена Капицей. При нагревании гелия в одном из концов капилляра в
гелии возникают два противоположно направленных потока. От нагретого конца
к холодному идет поток нормальной жидкости, переносящей тепло; переносимо-
переносимого таким образом тепла с избытком хватает для объяснения экспериментально
наблюдающихся больших величин теплопередачи. В обратном направлении идет
поток сверхтекучей жидкости. Оба потока по количеству переносимой ими массы
в точности компенсируют друг друга, так что никакого реального макроскопи-
макроскопического течения в гелии в действительности не возникает.
П.Л. Капица наблюдал отклонение листка, подвешенного перед открытым кон-
концом капилляра, при нагревании гелия в закрытом его конце. Это явление полу-
получает следующее естественное объяснение. Втекающий в капилляр поток сверх-
сверхтекучей жидкости не производит на обтекаемый ею листок никакого давления
(благодаря потенциальности движения — см. п. 7). Напротив, вытекающий из ка-
капилляра поток нормальной жидкости оказывает на листок давление, отклоняю-
отклоняющее его в направлении от конца капилляра. Заметим, что мы приходим к весьма
своеобразной картине — на погруженное в гелий II тело может действовать сила,
в то время как никакого движения жидкости, как целого, не происходит.
10. Термомеханический эффект в гелии II
Так называемый термомеханический эффект в гелии II заключается, как из-
известно, в том, что при вытекании гелия из сосуда через тонкий капилляр в сосу-
сосуде наблюдается нагревание; наоборот, в месте втекания гелия из капилляра в
17. Теория сверхтекучести гелия II 249
сосуд наблюдается охлаждение. Само по себе наличие термомеханического эф-
эффекта свойственно не одному только гелию; аномальным у гелия II является толь-
только большая величина эффекта. Термомеханический эффект в обычных жидко-
жидкостях представляет собой необратимое явление типа термоэлектрического эффек-
эффекта Пельтье.
Такого рода эффект должен существовать и в гелии II, однако в этом случае
он перекрывается значительно превосходящим его другим эффектом, специфи-
специфическим для гелия II и не имеющим ничего общего с необратимыми явлениями
типа эффекта Пельтье. Именно, нагревание при вытекании происходит просто
по той причине, что вытекающий через капилляр гелий не уносит с собой тепла,
и поэтому имеющееся в сосуде тепло распределяется на меньшее количество
гелия П. При втекании гелия в сосуд имеет место обратное явление.
Легко написать, чему равно количество тепла Q, поглощающегося при вте-
втекании в сосуд через капилляр 1 г гелия. Поскольку втекающая жидкость не
содержит квантов возбуждения, ее энтропия равна нулю. Для того чтобы нахо-
находящийся в сосуде гелий остался при своей температуре Т, надо было бы сооб-
сообщить ему количество тепла TS (S — энтропия 1 г гелия при температуре Т)
так, чтобы скомпенсировать уменьшение приходящейся на единицу массы эн-
энтропии благодаря введению 1 г гелия с равной нулю энтропией. Это значит, что
при втекании 1 г гелия в сосуд с гелием при температуре Т поглощается коли-
количество тепла
Q = TS. A0.1)
Наоборот, при вытекании 1 г гелия из сосуда с гелием при температуре Т выде-
выделяется количество тепла TS.
Рассмотрим теперь два сосуда с гелием II при температурах Тх и Т2, причем
сосуды соединены друг с другом тонким капилляром. Благодаря возможности
свободного перетекания сверхтекучей жидкости по капилляру, быстро устано-
установится механическое равновесие гелия в обоих сосудах. Поскольку, однако, сверх-
сверхтекучая жидкость не переносит тепла, тепловое равновесие (при котором тем-
температуры гелия в обоих сосудах сравниваются) установится лишь значительно
медленнее.
Условие механического равновесия гелия легко написать, воспользовавшись
тем, что установление этого равновесия происходит, согласно предыдущему, при
постоянной энтропии Sx и S2 гелия в обоих сосудах. Если Ег и Е2 — внутренние
энергии единицы массы гелия при температурах Тх и Т2, то условие механичес-
механического равновесия (т. е. минимума энергии), осуществляемого переносом сверх-
сверхтекучей жидкости, будет
(д_ЕЛ (ВЕЛ
[dN)Si {dS2
где N — число атомов в 1 г гелия. Но производная (dE/dN) есть химический по-
потенциал С,. Поэтому мы получаем условие равновесия в виде
250 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(Р1? Р2 — давление в первом и втором сосудах) или
Ф(Р1,Т1) = Ф(Р21Г2),
где Ф — термодинамический потенциал гелия П.
Если давления Рг, Р2 малы, то, разлагая по их степеням и помня, что дФ/дР
есть удельный объем V, получаем
Т2
= Ф(Т1)-Ф(Т2) = JsdT
(АР = Р2 — Рг). Если мала также и разность температур AT = Т2 — TJ? то, разла-
разлагая по степеням AT и замечая, что ЭФ/дТ = —S, получаем
Поскольку ? > 0, V > 0, то и АР/AT > 0 в согласии с экспериментом. Форму-
Формулы (Ю.1) и A0.2) полностью подтверждаются опытами П.Л. Капицы.
Формулы A0.1), A0.2) были получены еще Г.Лондоном [14], исходя из пред-
представлений Тиссы, словесная формулировка которых в этом пункте совпадает с
результатами теории Ландау.
Отметим, что описанные явления можно наглядно представлять себе как ос-
осмотические явления в «растворе» квантов возбуждения в жидком гелии, причем
роль полупроницаемой перегородки играют тонкие капилляры или щели.
11. Поведение атомов примесей в гелии II
Представляет интерес вопрос о поведении атомов растворенных в гелии II по-
посторонних веществ; речь может идти, в частности, об атомах изотопа гелия (Не3),
примешанного в ничтожной концентрации к основному изотопу (Не4); изложен-
изложенные ниже соображения принадлежат Л. Ландау и И. Померанчуку [15].
Для теоретического подхода к этому вопросу надо рассмотреть энергети-
энергетический спектр системы гелий II + атом примеси (концентрация примеси пред-
предполагается настолько малой, что ее атомы можно считать не взаимодейству-
взаимодействующими друг с другом). Наличие постороннего атома в жидкости приведет к
появлению новой ветви энергетического спектра, соответствующей движе-
движению этого атома через жидкость; разумеется, ввиду сильного взаимодействия
атома примеси с атомами жидкости это движение является в действительно-
действительности «коллективным» эффектом, в котором принимают участие также и атомы
гелия. Этому движению можно приписать некоторый результирующий со-
сохраняющийся импульс рг.
Таким образом, в жидкости появятся «элементарные возбуждения» нового
типа (в числе, равном числу атомов примеси), энергия ег которых является оп-
определенной функцией от импульса р1. При статистическом равновесии эти воз-
возбуждения будут иметь значения энергии, сконцентрированные вблизи наимень-
наименьшего из минимумов функции г'{р'). Вблизи минимума функция ef(pf) имеет вид
ef = (рг — PqJ/2|j/ (ef отсчитывается от своего минимального значения), где рд
17. Теория сверхтекучести гелия II 251
может быть в частных случаях равным нулю; [if есть эффективная масса, свя-
связанная с движением атома примеси.
Эти новые «элементарные возбуждения» будут взаимодействовать с фонона-
ми и ротонами, сталкиваясь с ними, и, таким образом, войдут в состав «нормаль-
«нормальной части» жидкости. Поэтому, например, при пропускании гелия II через тон-
тонкую щель атомы примеси вместе со всей «нормальной жидкостью» отфильтру-
ются 7). Подчеркнем, что это обстоятельство не имеет никакого отношения к
вопросу о том, обнаружило ли бы само по себе вещество примеси (в частности,
чистый изотоп Не3) свойство сверхтекучести, в противоположность вы-
высказывавшемуся в литературе [10, 16] неправильному взгляду.
III. МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЕЛИЯ II
12. Система гидродинамических уравнений гелия II
Исходя из развитых выше представлений о микроскопическом механизме
явления сверхтекучести, можно построить полную систему гидродинамичес-
гидродинамических уравнений, которые описывали бы гелий II макроскопическим (феномено-
(феноменологическим) образом.
Исходным положением является фундаментальное обстоятельство, что в кван-
квантовой жидкости — гелии II — происходят одновременно два движения и, соот-
соответственно этому, движение гелия II должно описываться в каждой точке не од-
одной, как в обычной гидродинамике, а двумя скоростями. Мы обозначим посред-
посредством vs и vn скорости соответственно «сверхтекучего» и «нормального» движений.
Поскольку сверхтекучее движение всегда потенциально, то
rotvs =0. A2.1)
Оказывается, что уравнения гидродинамики с двумя скоростями vs и \п могут
быть получены совершенно однозначным образом из одного только требования,
чтобы удовлетворялись все необходимые законы сохранения. Эти уравнения для
общего случая произвольных скоростей довольно сложны, и мы не станем при-
приводить их здесь, а ограничимся лишь упрощенным выводом уравнений, приме-
применимых к движению с не слишком большими скоростями vs и vn.
Обозначим посредством j макроскопический поток массы жидкости. Он явля-
является функцией обеих скоростей vs, vn и при малых скоростях может быть разло-
разложен по их степеням. В первом приближении
J=Pjs+Pnv«- A2.2)
Коэффициенты ps и рп являются, очевидно, тем, что мы назвали плотностями
сверхтекучей и нормальной «частей» жидкости. Их сумма равна плотности р
гелия II:
P = Ps+Pn5 A2.3)
7) Такое «отфильтровывание» изотопа Не3 действительно было обнаружено недавно Доунтом,
Ниром и др.
252 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
ps и рп являются, конечно, функциями температуры. Заметим, что поток массы j
есть в то же время не что иное, как плотность импульса, т. е. импульс единицы
объема жидкости.
Плотность р и поток j должны удовлетворять уравнению непрерывности
|^ + divj = 0. A2.4)
Будем рассматривать пока только такие движения жидкости, при которых
не играет роли вязкость ее нормальной части. Тогда уравнения сохранения
количества движения напишутся в виде
ог к=1 охк
где Пг7с есть тензор плотности потока импульса, равный
Пг/с = P^ik + 9sVsiVsk + PnVniVnk>
где Р — давление (напомним, что в обычной гидродинамике Пг7с = Р6г7с + pv{vk).
При отсутствии эффектов вязкости нормальной части жидкости движение
гелия II обратимо. Соответственно этому должно выполняться уравнение сохра-
сохранения энтропии
^ n) = 0 A2.7)
(S — энтропия единицы массы гелия II). «Поток энтропии» равен p*SVn, посколь-
поскольку энтропия переносится только нормальной частью жидкости. Поток тепла q
равен, соответственно,
n. A2.8)
Наконец, последнее уравнение полной системы гидродинамических уравнений мы
получим, приравняв ускорение dvjdt силе, действующей на единицу «сверхтекучей»
массы. Для определения этой силы представим себе, что единица массы жидкости
переносится из точки 1 в точку 2, причем так, что распределение квантов возбужде-
возбуждения в жидкости не меняется. Другими словами, можно сказать, что при переносе сме-
смещается только «сверхтекучая жидкость», а распределение «нормальной» остается
неизменным. Энергия Е жидкости меняется при таком переносе на
дЕ) (дЕ\
(М — масса жидкости). Производные должны браться здесь при постоянной энт-
энтропии (поскольку энтропия связана только с нормальной жидкостью) и при посто-
постоянном импульсе движения нормальной массы жидкости относительно сверхтеку-
сверхтекучей 8); кроме того, постоянным считается, конечно, и объем жидкости.
8) Движение сверхтекучей жидкости можно рассматривать как внешние условия, в которых дви-
движутся кванты возбуждения. Поэтому функция Лагранжа для движения нормальной части жидко-
жидкости зависит не просто от ее скорости vn, а от разности скоростей vn — vs. Сохраняющимся импульсом
является поэтому производная от функции Лагранжа по vn — vs, т. е. указанный импульс относи-
относительного движения.
17. Теория сверхтекучести гелия II 253
Из написанного выражения для изменения энергии видно, что величину дЕ/дМ
можно рассматривать как «потенциальную энергию» сверхтекучей жидкости, так
что действующая на нее сила есть
ЭЕ
Для вычисления производной дЕ/дМ замечаем, что производная от энер-
энергии при постоянных энтропии и объеме равна производной от термодинами-
термодинамического потенциала при постоянных температуре и давлении. Термодинами-
Термодинамический потенциал жидкости МФ (Ф — потенциал единицы массы) можно на-
написать в виде суммы термодинамического потенциала неподвижной жидкости
и кинетической энергии Р2/2МП относительного движения сверхтекучей и
нормальной «частей»:
МФ = МФП Н .
Здесь Р — импульс движения нормальной массы относительно сверхтекучей.
Дифференцируя МФ по М при постоянных Р, Т, Р и помня, что нормальная
масса Мп пропорциональна (при заданных Р и Т) полной массе М, получаем
Фо -Р2/2МПМ.
Подставляя сюда Р = М (vn — vs) и заменяя отношение масс отношением плотнос-
плотностей, находим окончательно для искомой производной (dE/dM)Sy}P выражение
Следовательно, искомое гидродинамическое уравнение имеет вид
(XV „ U\ „ , / __ч
dt dt v s ' s
(индекс у Фо опускаем). Его можно написать иначе, заметив, что поскольку все-
всегда rot vs = 0, то
2
Таким образом,
Уравнения A2.1—9) составляют полную систему гидродинамических уравне-
уравнений гелия П. Остается написать граничные условия к этим уравнениям. Прежде
всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности должна обращаться в нуль
перпендикулярная к этой поверхности компонента потока массы j. Далее, надо
всегда помнить, что «нормальная часть» жидкости есть в действительности со-
совокупность тепловых возбуждений в ней. При движении вдоль твердой поверх-
254 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
ности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что должно быть описано
макроскопически как «прилипание» нормальной части жидкости к стенке подобно
тому, как это имеет место для обычных вязких жидкостей. Таким образом, на
твердой поверхности должна обращаться в нуль тангенциальная компонента
скорости \п.
Что касается перпендикулярной к стенке компоненты vn, то надо иметь в
виду, что кванты возбуждения могут поглощаться твердым телом — это соот-
соответствует просто теплопередаче от жидкости к твердому телу. Поэтому пер-
перпендикулярная к стенке компонента скорости vn не должна непременно обра-
обращаться в нуль; граничное условие требует лишь непрерывности перпендику-
перпендикулярной к стенке компоненты потока тепла q A2.8). Наконец, должна быть
непрерывной температура.
Таким образом, граничные условия на поверхности неподвижного твердого
тела могут быть написаны в следующем виде (выбираем систему координат с
осью х, перпендикулярной к поверхности в данной точке):
РА* +РЛ* =°. vnV = vnz = 0, A2.10)
(дТ)
рТ5«пх=-к— , Г = ТТВ, A2.11)
где к есть коэффициент теплопроводности твердого тела.
Фактически, однако, вплоть до самых низких температур теплопередача в
твердом теле чрезвычайно медленна по сравнению с теплопередачей в гелии II,
и эффекты, обусловленные теплопроводностью твердого тела, оказываются очень
малыми. В этих случаях можно положить к равным нулю, и граничные усло-
условия приобретут тогда вид
vsx=0, vn=0. A2.12)
Другими словами, мы получим обычные граничные условия идеальной жидко-
жидкости для vs и вязкой жидкости — для vn.
13. Гидродинамические уравнения для несжимаемой жидкости
Рассмотрим такие движения гелия II, при которых его можно считать не-
несжимаемой жидкостью, как это обычно имеет место для всякого рода обтека-
обтеканий (Л. Ландау [2]). Будем при этом учитывать также и вязкость нормальной
части жидкости.
Для того чтобы учесть вязкость нормальной части жидкости в уравнении
A2.5), надо прибавить в тензоре Пг7с члены, выражающиеся обычным образом
через коэффициент вязкости и производные от скорости vn по координатам.
Для несжимаемой жидкости
nik =РЪ1к +psvsivsk +?nvnivnk -n^ + ^j, A3.1)
17. Теория сверхтекучести гелия II 255
где г| — коэффициент вязкости нормальной жидкости 9). Учет вязкости приво-
приводит также к появлению дополнительных членов в правой части уравнения
A2.7), выражающих увеличение энтропии в результате необратимых процес-
процессов вязкого трения. Эти члены, однако, вообще говоря, оказываются малыми
более высокого порядка, чем дополнительные члены в A2.5), и потому могут
быть по-прежнему опущены.
Считая плотности ps, pn и энтропию S постоянными, имеем из уравнения A2.7)
div vn = 0, а из уравнения A2.4) div j = 0, или, иначе,
divvn =divvs =0. A3.2)
Имея в виду эти равенства и подставляя A3.1) в A2.5), получим уравнение
Ps^f + Pn^f + Ps(vsV)vs+pn(vnV)vn=-VP + ilAvn. A3.3)
Уравнение же A2.9) остается неизменным.
Поскольку сверхтекучее движение потенциально, то можно ввести потен-
потенциал ф8 скорости vs согласно
vs=gradcps. A3.4)
Ввиду div vs = 0 потенциал ф8 должен удовлетворять уравнению Лапласа
Дф5=0. A3.5)
Вводя ф8 в уравнение A3.3) и написав (vsV)vs = V(vs2/2), получим
Pn^+9s^f + 9n (vnV) vn + ps grad^ + ps grad ^ = - VP + ^Avn.
Введем в качестве двух вспомогательных величин «давления» нормального и
сверхтекучего потока Рп и Ps согласно уравнению
P = P0+Pn+Ps, A3.6)
где Ро есть давление на бесконечности, a Ps определяется обычной для идеаль-
идеальной жидкости формулой
Уравнение движения для скорости \п приобретает тогда вид
^ ±+^Avn. A3.8)
9) Для сжимаемой жидкости в Hik входит еще один член, пропорциональный div vn с коэффициен-
коэффициентом «второй вязкости». Кроме того, для сжимаемой жидкости дополнительные члены, пропорцио-
пропорциональные div vn, должны быть добавлены и в уравнении A2.9) (к выражению, стоящему под знаком
grad). Таким образом, в гидродинамику гелия II должны, вообще говоря, входить не один, а несколь-
несколько различных коэффициентов «второй вязкости».
256 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Это уравнение совпадает формально с уравнением Навье—Стокса для жидкости
плотности рп и вязкости г| (и, соответственно, с кинематической вязкостью т]/рп).
Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II оказывается све-
сведенной к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой
жидкостей. Именно, распределение сверхтекучей скорости vs определяется ре-
решением уравнения Лапласа A3.5) с граничным условием для д^р8/дп, как в
обычной задаче о потенциальном обтекании идеальной жидкостью. Далее, рас-
распределение нормальной скорости \п определяется решением уравнения На-
Навье—Стокса A3.8) с таким же граничным условием для vn, как в обычной зада-
задаче об обтекании вязкой жидкостью. Распределение давления определяется затем
по формуле A3.6).
Наконец, выведем формулу, определяющую распределение температуры в
движущемся гелии П. Написав в уравнении A2.9) vs = V^s и интегрируя, получим
^"^к ~v*J +ik = const-
Изменения температуры и давления в несжимаемой жидкости малы, и поэто-
поэтому термодинамический потенциал может быть разложен по степеням Т — То и Р —
Ро (То, Ро — температура и давление на бесконечности). С точностью до членов
первого порядка имеем
Ф-Фо =-S(T-T0) + i(P-P0).
Подставляя это выражение в A3.9), получим
0) @)
Вводя Ps и Рп, получим окончательно
(mo)
14. Распространение звука в гелии II
Применим уравнения гидродинамики гелия II к распространению звука в этой
жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются
малыми, а плотность, давление, энтропия — почти равными своим постоянным
равновесным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно
линеаризовать — в A2.6) и в A2.9) пренебрегаем квадратичными по скорости
членами, а в уравнении A2.7) можно вынести в члене div (?pvn) энтропию pS из-
под знака div (поскольку этот член уже содержит малую величину vn). Таким
образом, система гидродинамических уравнений приобретает вид
|^ + divj = 0, A4.1)
=0, A4.2)
17. Теория сверхтекучести гелия II 257
fj O, A4.3)
О. A4.4)
Дифференцируя A4.1) по времени и подставляя в A4.3), получаем
— = АР. A4.5)
dt2 v J
Для термодинамического потенциала имеет место соотношение
d<$> = -SdT + VdP = -SdT + -dP
P
(V — удельный объем). Отсюда имеем
или, подставляя VP из A4.3) и N<? из A4.4),
Применяем к этому уравнению операцию div, а для div (vn — vs) подставляем вы-
выражение
следующее из равенства
=b^ = ^divv +-divj = -^div vn - vs .
P P
b^7 ^divvn +divj
dt p dt p dt P P
В результате получаем уравнение
^ A4.6)
dt2 9n V J
Уравнения A4.5—6) определяют распространение звука в гелии П. Уже из того
факта, что этих уравнений — два, видно, что в гелии II должны существовать
две скорости распространения звука.
Напишем S, Р, р, Т в виде S = SQ + Sf, P = PQ + Pf и т. д., где величины со
штрихом представляют собой обусловленные звуковой волной малые измене-
изменения соответствующих величин, а величины с индексом 0 — их постоянные
равновесные значения. Тогда можно написать
и уравнения A4.5—6) принимают вид
dp d2Pf Л . dp d2Tf л
— ДР' + — = 0,
dP dt2 dT dt2
ds d2p' ds d2T'
dP dt2 dT dt2 pn
258 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в которой Р' и Т' про-
пропорциональны множителю егш(*-х/и) (и — скорость звука). В качестве условия со-
совместности обоих уравнений получаем уравнение
где
d(T,P)
обозначает якобиан преобразования от S, р к Т, Р.
Путем простого преобразования с использованием термодинамических со-
соотношений этому уравнению можно придать вид
4 2
U — U
дР] PsTS2
dp is 9ncv
?ncv {OPh
дР)
=0
(cv — теплоемкость, отнесенная к единице массы). Это квадратное (по и2) урав-
уравнение определяет две скорости распространения звука в гелии П.
При ps = 0, т. е. в Х-точке, один из корней уравнения A4.7) обращается в
нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость
звука и = ^/(ЗР/Зр)^ (которую мы выше обозначали посредством с).
Практически при всех температурах теплоемкости ср и cv близки друг к дру-
другу. Согласно известной термодинамической формуле, при этих условиях близки
друг к другу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости:
(-1 -1-1 •
{др)т {dp )s
Обозначив общее значение ср и cv посредством С, а общее значение (<9Р/<9р)т и
(dP/dp)s просто как <9Р/<9р, получим из уравнения A4.7) следующие два выра-
выражения для скоростей звука:
fdP
Таким образом, одна из скоростей (щ) почти постоянна, а другая (и2) сильно за-
зависит от температуры, обращаясь в нуль в Х-точке 10).
Вблизи абсолютного нуля, где (рп)ф = (рп)р, для теплоемкости и энтропии
можно пользоваться их «фононными» выражениями E.3) и E.2), а отношение
рп/р определяется формулой (8.2). Подставляя эти выражения в формулу A4.8)
для щ, найдем
и2=^- A4.9)
Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорость и2 (как и щ)
стремится к постоянному пределу, причем так, что их отношение стремится
к l/л/з.
°) Элементарный вывод формулы для скорости и2 предложен Гогейтом и Патаком [17].
17. Теория сверхтекучести гелия II
259
График температурной зависимости скорости «второго звука» изображен на
рис. 5.
Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в
гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну. В такой волне скорости vs, vn и
переменные части Т', Р' температуры и давления пропорциональны друг другу.
Введем коэффициенты пропорциональности согласно
vn=avs
= cvs.
A4.10)
Простое вычисление с помощью уравнений A4.1—6), произведенное с долж-
должной степенью точности (Е. Лифшиц [18]), дает для «первого звука»
a1=l +
ар
сЛ =
аТ
A4.11)
а для «второго звука»
а9 =--
ар
_
2~
Со =-"
A4.12)
п/ 2 2
(a = (l/p)<9p/<9T — коэффициент теплового расширения). Величины, содер-
содержащие а, малы по сравнению с соответствующими величинами, не содер-
содержащими а.
Мы видим, что в звуковой волне первого типа \п — vs, т. е. в такой волне в каж-
каждом элементе объема жидкость колеблется, в первом приближении, как целое;
нормальная и сверхтекучая части дви-
движутся вместе. Естественно, что эти вол-
волны соответствуют обычным звуковым
волнам в обычных жидкостях.
В волне же второго типа имеем
\п ~ — (ps/pjvs, т. е. полная плотность
потока вещества
J
+PnVn -
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
Г, °К
Рис. 5. Скорость «второго звука»
в гелии II
Таким образом, в волне «второго звука»
сверхтекучая и нормальная части жид-
жидкости колеблются «навстречу друг дру-
другу», так что в первом приближении их
«центр инерции» в каждом элементе
объема остается неподвижным и суммарный поток вещества отсутствует. Ясно,
что этот вид волн специфичен для гелия П.
Существенным отличием обоих видов волн является также и то, что в волне
второго звука амплитуда колебаний давления относительно мала, а амплитуда
колебаний температуры велика [как это видно из формул A4.12)], между тем как
в волне «обычного звука» имеет место обратное положение.
260 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
15. Излучение звука в гелии II
Вопрос о различных способах возбуждения звуковых волн в гелии II был рас-
рассмотрен Е.М. Лифшицем [18]. Оказалось, что обычные механические способы воз-
возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для по-
получения «второго звука» в том смысле, что интенсивность излучаемого «второго
звука» ничтожна по сравнению с интенсивностью одновременно излучаемого
обычного звука.
Рассмотрим, для примера, излучение звуковых волн плоскостью, соверша-
совершающей колебания в перпендикулярном себе направлении (которое выбираем в
качестве направления оси х). Ищем скорости vs (направленные по оси х) в
«первой» и «второй» излучаемых волнах, соответственно, в виде
vf^ = A1cosgj ? , v® = A2cosoo t
(lj — частота колебаний плоскости). Граничные условия на поверхности твердо-
твердого тела требуют равенства скорости тела перпендикулярным к его поверхности
компонентам скоростей vs, vn (ср. условия A2.10) на неподвижном теле). В дан-
данном случае это дает уравнения
=vQ, Ахах + A2a2 = vQ
(vQ cos ijjt — скорость колебаний твердой плоскости), откуда
А2 1 - а2 '
Как при всяких малых колебаниях, средняя (по времени) потенциальная энер-
энергия равна средней кинетической энергии. Поэтому полная плотность энергии в
звуковой волне в гелии II равна
поток энергии (интенсивность) получается последующим умножением на соот-
соответствующую скорость звука и. С помощью значений av a2 из A4.11 — 12) полу-
получаем, таким образом, для отношения интенсивностей излучаемых волн «второ-
«второго» и «первого» звуков
Т~^ — A5-!)
I, С и,
(здесь предположено, что и2 <С щ, что справедливо вплоть до очень низких тем-
температур). При 2 °К, например, это отношение равно 2 • 10~6, т. е. «второй звук»
практически не излучается.
В гелии II возможны, однако, еще и другие, специфические для него спо-
способы возбуждения звуковых волн, невозможные в обычных жидкостях. Та-
Таковы излучение звука пластинкой, совершающей колебания в своей плоско-
плоскости и при этом «увлекающей» собой нормальную часть жидкости
п) Этот способ был предложен П.Л. Капицей.
17. Теория сверхтекучести гелия II 261
же излучение от поверхности с периодически меняющейся со временем тем-
температурой. Этот второй способ в особенности выгоден для получения «вто-
«второго звука».
Пусть температура плоской твердой поверхности меняется по закону
Т1 = Т'о cos uot. Условия непрерывности температуры и обращения в нуль
перпендикулярной к плоскости компоненты полного потока вещества j [см.
A2.10-11)] дают
ps (Аг + А2) + рп (а.А, + а2А2) = 0, qАг + с2А2 = То'.
Для отношения А2/А1 имеем
Pnai
Рпа2 + Ps
Отсюда находим для отношения интенсивностей
При 2 °К эта величина равна 5 • 103, а при более низких температурах — еще боль-
больше. Таким образом, в отношении интенсивности здесь излучается практически лишь
второй звук. Для отношения амплитуд давления и температуры имеем
Р Ъ А Т с А
ГI U Л ' rpl
откуда
Р'
2
Щ Т; а2Тихи2
A5.3)
При 2 °К отношение Р2/Р[ = 0,1, так что условия для наблюдения «второго зву-
звука» по изменению давления все еще неблагоприятны. Условия же наблюдения
«второго звука» по изменению температуры, напротив, весьма благоприятны.
16. Рассеяние света в гелии II
Рассеяние света в гелии II должно обнаруживать некоторые особенности по
сравнению с рассеянием света в обычных жидкостях (В.Л. Гинзбург [19]). Хотя
эти явления и находятся, по-видимому, вне пределов экспериментальных воз-
возможностей, они представляют все же определенный теоретический интерес.
Прежде всего необходимо отметить, что высказывавшееся в литературе [20,
21, 22] ожидание аномально сильного рассеяния света в гелии II совершенно не
обосновано. Его связывали с рассеянием света идеальным бозе-эйнштейновс-
ким газом, который вблизи точки конденсации должен рассеивать свет чрез-
чрезвычайно сильно. Поскольку, однако, бозе-эйнштейновская конденсация не имеет
отношения к свойствам гелия II, то нет оснований и для перенесения на гелий II
оптических свойств такого газа.
262 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Полная интенсивность рассеяния света в гелии II определяется известной
общей формулой для рассеяния, связанного с флуктуациями плотности в лю-
любом изотропном теле (жидкости или газе)
Здесь I — отношение интенсивности рассеянного света (рассчитанной на едини-
единицу телесного угла) к плотности потока падающего света, V — рассеивающий
объем, X — длина световой волны в вакууме, е = п2 — квадрат показателя пре-
преломления, ф — угол рассеяния (свет предполагается неполяризованным). Оцен-
Оценка с помощью этой формулы показывает, что для гелия вблизи Х-точки получает-
получается I ~ 2 • 10~8 (при V = 1 см3, X = 4 • 10~5 см), что примерно равно интенсивности
рассеяния света воздухом при комнатной температуре 12).
Как известно, флуктуации плотности можно разделить на адиабатические
и изобарические 13). Флуктуации первого типа распространяются в жидкости
со скоростью звука. Рассеяние на этих флуктуациях приводит к расщеплению
линии рассеяния на так называемый дублет Мандельштама—Бриллюена с от-
относительным расстоянием между компонентами Alj/lj ~ и/с (с — скорость све-
света, и — скорость звука). Изобарические же флуктуации (флуктуации энтро-
энтропии) в обычной жидкости не распространяются и рассеиваются благодаря теп-
теплопроводности. Рассеяние на этих флуктуациях не меняет частоты света. В
результате линия рассеяния представляет собой триплет с несмещенной ком-
компонентой посредине.
В гелии II положение меняется, так как флуктуации энтропии тоже рас-
распространяются в жидкости со скоростью второго звука и2. Поэтому наряду с
обычным дублетом (с относительным расщеплением Au^/lj ~ щ/с) должен на-
наблюдаться еще один дублет, расположенный внутри первого, с относительным
расщеплением Alj2/^ ~ и2/с. Таким образом в результате линия рассеяния
должна представлять собой квадруплет. Надо, однако, иметь в виду, что не
только интервал между компонентами «аномального» дублета очень мал, но и
его интенсивность (как показывает соответствующая оценка) ничтожно мала
по сравнению с интенсивностью нормального дублета.
17. Вязкость гелия II
Особой проблемой теории гелия II является вопрос о вычислении его вязко-
вязкости (вязкости его «нормальной части»). Он был рассмотрен в самое последнее
время Л. Ландау и И. Халатниковым. Мы изложим здесь кратко результаты их
работы, опустив весьма сложные и длинные вычисления.
12) Отсутствие аномально большого рассеяния было действительно установлено на опыте Мак-
Леннаном и др.
13) Написав малое изменение плотности в виде
Ар = (др/дРK АР + (dp/dS)p AS
и помня, что флуктуации давления и энтропии независимы (АРAS — (Л, найдем, что средняя квад-
квадратичная флуктуация (АрJ представляется в виде суммы адиабатической флуктуации давления и
изобарической флуктуации энтропии (с соответствующими коэффициентами).
17. Теория сверхтекучести гелия II 263
В вопросе о вязкости мы сталкиваемся с явлением кинетического характера,
связанным с процессами установления равновесия в фононном и ротонном «газе».
Вычисление вязкости требует в первую очередь исследования различных типов
элементарных процессов столкновений между частицами этого газа и вычисле-
вычисления их эффективных сечений 14).
Перенос количества движения в гелии II (при наличии в нем градиента ско-
скорости) осуществляется как фононами, так и ротонами. Соответственно этому,
вязкость можно условно представить в виде суммы двух частей — фононной и
ротонной. Рассмотрим сначала ротонную часть вязкости.
Согласно известной формуле кинетической теории газов, порядок величины
вязкости газа определяется формулой
r\ rsj mvln,
где т — масса молекулы газа, v — ее средняя тепловая скорость, I — длина сво-
свободного пробега молекул, п — их число в единице объема. Из формулы (8.3) видно,
что роль массы частицы в ротонном газе играет величина ро2/3/сТ (ротонная часть
плотности рп получается умножением этой величины на число ротонов). Средняя
тепловая скорость ротона определяется из v2 ~ (р — р0) /|л2 ~ kT/\i. Таким обра-
образом, для ротонной вязкости имеем
Для определения длины свободного пробега ротонов надо рассмотреть раз-
различные типы столкновений, испытываемых ротонами: 1) упругие столкнове-
столкновения ротонов друг с другом, 2) упругие столкновения ротонов с фононами, 3) раз-
различного рода неупругие столкновения ротонов с ротонами, сопровождающиеся
испусканием (или поглощением) новых ротонов или фононов. Вычисления по-
показывают, что вероятность различных процессов неупругого рассеяния рото-
ротонов ротонами значительно меньше вероятности упругого рассеяния, как это,
впрочем, и можно было ожидать заранее. Что же касается столкновений рото-
ротонов с фононами, то при не слишком низких температурах вероятность этих
процессов значительно меньше вероятности упругого рассеяния ротонов рото-
ротонами, в связи с тем, что число фононов очень мало по сравнению с числом
ротонов. Лишь при достаточно низких температурах (начиная примерно от
0,5 °К), вследствие резкого уменьшения числа ротонов по сравнению с числом
фононов, начинают преобладать столкновения ротонов с фононами. Надо, од-
однако, иметь в виду, что при температурах ниже 0,5 °К обычное понятие вязко-
вязкости практически вообще теряет смысл, так как длины свободного пробега фо-
фононов и ротонов становятся, как показывает вычисление, порядка 1 см, т. е.
сравниваются с размерами приборов и сосудов, с помощью которых обычно
производятся измерения вязкости.
14) Упомянем, что А. Ахиезер и И. Померанчук [23] рассматривали столкновения медленных нейт-
нейтронов с ротонами и фононами с целью определения интенсивности рассеяния нейтронов в гелии II
(оказалось, что гелий II практически «прозрачен» для медленных нейтронов).
264 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Оставляя поэтому в стороне область очень низких температур, мы можем, сле-
следовательно, сказать, что длина свободного пробега ротонов определяется в ос-
основном их упругими столкновениями друг с другом. Обозначая эффективное се-
сечение этих столкновений посредством сгрр, имеем I ~ 1/посгрр. Эффективное сече-
сечение сгрр для ротонов со средней тепловой скоростью оказывается обратно
пропорциональным л/Т; подставляя в формулу A7.1), мы приходим к выводу, что
ротонная часть вязкости есть не зависящая от температуры постоянная величина 15)
т)р = const. A7.2)
Вычисление фононной части вязкости в особенности сложно. Тщательный
анализ различных процессов упругих и неупругих столкновений фононов друг
с другом и с ротонами приводит к следующим результатам.
При температурах выше примерно чем 0,8 °К основную роль в переносе им-
импульса играют упругие столкновения фононов с ротонами. Эффективное сечение афр
этих столкновений (для фононов со средней тепловой энергией 16)) может быть вы-
вычислено, и оказывается пропорциональным Т4. Качественно эту зависимость
можно получить, если заметить, что благодаря большой величине импульса рото-
ротонов по сравнению со средним импульсом фононов (р0 ^> кТ/с) рассеяние фононов
на ротонах должно происходить аналогично рассеянию звуковых волн на непод-
неподвижном твердом шарике. Как известно, эффективное сечение такого рассеяния
пропорционально четвертой степени частоты звука. Поэтому мы можем заклю-
заключить, что эффективное сечение рассеяния фонона на ротоне пропорционально
четвертой степени волнового вектора (т. е. импульса) фонона, откуда (ввиду соот-
соотношения р ~ кТ/с) получается указанная выше температурная зависимость.
В газокинетической формуле r\ ~ mvln надо заменить теперь произведение
гпп фононной частью плотности рп [формула (8.2)], а скорость v — скоростью
звука с. Написав также для длины свободного пробега I ~ 1/(Тфрпр, получим
Число ротонов, согласно формуле E.5), зависит от температуры по закону
VTe~A/fcT . Учитывая также, что афр ~ Т4, найдем следующий закон температур-
температурной зависимости фононной вязкости (при Т > 0,8 °К):
15) Для точного вычисления вероятности столкновений ротонов с ротонами необходимо было бы
знать закон их взаимодействия друг с другом. Существующая теория не дает возможности сделать
по этому поводу каких-либо определенных заключений. Однако для определения температурной
зависимости эффективного сечения можно обойтись с помощью приема, известного из теории рас-
рассеяния нейтронов, написав энергию взаимодействия U двух ротонов в виде 6-функции от разностей
их координат: U = U0b(r2 — гх), где Uo — некоторая постоянная.
Вычисленная с помощью теории возмущений вероятность столкновения двух ротонов (находя-
(находящихся в некотором объеме Q) оказывается постоянной величиной, выражающейся только через р0,
[л, Uo (и К). Это, впрочем, можно было заранее ожидать на основании того, что импульсы ротонов
близки по абсолютной величине к постоянной величине р0 (что и учитывается при вычислении).
Эффективное сечение получается умножением полученной вероятности на Q/v, откуда и получа-
получается указанный в тексте закон.
Точное выражение для вязкости (через постоянные р0, \i, Uo) может быть получено путем реше-
решения соответствующего кинетического уравнения.
16) Существенно, что процессы обмена энергией фононов друг с другом и установление равнове-
равновесия по энергии происходят, как показывает исследование, очень быстро.
17. Теория сверхтекучести гелия II 265
При температурах ниже ^0,8 °К, вследствие резкого уменьшения числа ро-
ротонов, основную роль начинает играть рассеяние фононов фононами. В этой
области температур вычисления приводят к следующей температурной зави-
зависимости вязкости:
г\ф~Т-\ A7.4)
Таким образом, мы видим, что фононная часть вязкости возрастает с умень-
уменьшением температуры по очень быстрому закону — сначала экспоненциально,
а затем, как 1/Т5. Существенно, что в обеих указанных областях температуры
оказывается возможным не только определение температурной зависимости
фононной вязкости, но и полное вычисление ее абсолютной величины, причем
в получающиеся выражения не входят никакие неопределенные постоянные
(вроде постоянной Uo, характеризующей взаимодействие двух ротонов — см.
примечание 15 на стр. 264). Это обстоятельство позволяет произвести сравнение
теоретических результатов с экспериментом без введения новых параметров.
Следует, однако, иметь в виду, что в выражение для вязкости входят не толь-
только такие величины, как \i, А, р0, с, но и их производные по плотности жидкости.
Эти производные могут быть определены с помощью имеющихся эксперимен-
экспериментальных данных об изменении скоростей первого и второго звуков с давлени-
давлением; такое определение, однако, может быть сделано в настоящее время лишь
со сравнительно небольшой точностью.
Систематические измерения вязкости гелия II были произведены в после-
последнее время Э. Андроникашвили. Он нашел, что в области от 1,9 °К до 1,6 °К
вязкость остается почти постоянной, а при дальнейшем понижении темпера-
температуры быстро возрастает (измерения производились до 1,3 °К) 17). Если вычесть
из экспериментальных значений вязкости значения уф, вычисленные по теоре-
теоретической формуле, то получается примерно постоянная величина, которую
можно отождествить с ротонной частью вязкости 18). Таким образом, обнаружи-
обнаруживается вполне удовлетворительное согласие между теорией и экспериментом.
18. Работы Л. Тиссы по теории гелия II
Как уже указывалось в п. 1, в своих первых работах Л. Тисса, следуя Ф. Лон-
Лондону, рассматривал гелий II как идеальный бозе-эйнштейновский газ. В его
более поздних работах [9, 10] речь идет о «квантовой бозе-эйнштейновской
жидкости», но приходится констатировать, что это отличие имеет в работах
17) В области от \-точки до 1,9 °К вязкость падает с уменьшением температуры. В этой области,
однако, теряют уже смысл понятия ротонного и фононного газов и теоретическое вычисление вяз-
вязкости становится вообще невозможным.
18) Сравнивая получающееся таким образом значение вязкости с ее теоретическим выражени-
выражением, можно определить постоянную UQ, характеризующую взаимодействие ротонов. С другой сторо-
стороны, через эту же постоянную можно выразить коэффициент в «ван-дер-ваальсовской поправке»,
которую можно ввести с целью учесть неидеальность ротонного газа, возникающую при приближе-
приближении к \-точке (рп пишется при этом в виде рп = (рп)р [1 + а(рп)р], где (рп)р есть «идеально-газовое»
выражение (8.3), а а — постоянная). Это дает возможность независимого определения Uo исходя из
данных об отношении рп/р при температурах около 1,9—2,0 °К. Полученные обоими способами зна-
значения Uo оказываются одинакового порядка величины.
266 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Тиссы скорее фразеологический, чем физический характер. Оно сводится к не-
нескольким бессодержательным утверждениям о волновой функции системы из
многих частиц, после чего по-прежнему говорится об атомах (!), «конденсиро-
«конденсированных» на наиболее низком состоянии, и о возбужденных атомах (энергия воз-
возбуждения которых называется автором «трансляционными квантами»). Между
тем такое рассмотрение движения отдельных атомов в системе сильно взаимо-
взаимодействующих частиц (жидкости) полностью противоречит основным принципам
квантовой механики. Напротив, неизбежным следствием квантовой механики яв-
является, как известно, возможность введения для любой слабовозбужденной мак-
макроскопической системы понятия об элементарных возбуждениях (лежащего в
основе микроскопической теории Л. Ландау), описывающих «коллективное» дви-
движение частиц, причем каждому такому возбуждению могут быть приписаны оп-
определенная энергия е и эффективный импульс р (вне зависимости от конкрет-
конкретной функциональной связи е(р), т. е. от вида спектра).
Хотя, таким образом, микроскопическая теория в работах Тиссы по существу
вовсе отсутствует, необходимо в то же время отметить его несомненную заслугу,
заключающуюся во введении, независимо от Л. Ландау 19), идеи о макроскопи-
макроскопическом описании гелия II с помощью разделения его плотности на две части и
введения двух полей скоростей. На основании этих представлений он предска-
предсказал еще в 1938 г. существование второго вида звуковых волн в гелии II (назван-
(названных им температурными волнами).
Однако Тиссе не удалось построить количественно правильной и последова-
последовательной гидродинамической и термодинамической теории гелия П. Макроско-
Макроскопической теории посвящена в основном также и его последняя статья [10]. Но
чтение этой статьи создает явное впечатление, что при ее составлении существен-
существенную роль играло стремление автора приписать себе также и не принадлежащие
ему результаты. Термодинамический вывод гидродинамических уравнений, гра-
граничные условия к ним, термодинамическая формула для скорости второго зву-
звука, обсуждение опытов по измерению вязкости и т.д. излагаются автором без вся-
всякого упоминания того, что все это было сделано Ландау (между тем как в преды-
предыдущих статьях Тиссы [9] этих формул не было) 20).
В то же время в статье Тиссы [10] содержится много неправильных утвер-
утверждений; ввиду того что эти утверждения могут дать повод к недоразумениям,
мы остановимся на них подробнее.
Основная ошибка Тиссы заключается в непонимании им роли фононов. Тисса
исключает фононы из нормальной части плотности гелия II, аргументируя тем,
что фононы «связаны с жидкостью как целым», в противоположность «возбуж-
«возбужденным атомам гелия в трансляционных состояниях блоховского типа» (состав-
(составляющих в его теории нормальную часть жидкости). Это утверждение, как и его
аргументация, в корне неправильны. Фононы, как и ротоны, в равной степени
19) Подробная статья Тиссы 1940 г. [9] была получена в СССР, в силу условий военного времени,
только в 1943 г., а короткая заметка [8] в Докладах Парижской Академии наук осталась в свое время
незамеченной.
20) Характерно, что Тисса использует всю предложенную Ландау терминологию опять-таки без
всяких ссылок. Так, он пользуется нормальной и сверхтекучей плотностями рп и ps (и соответствую-
соответствующими скоростями), между тем как в предыдущих статьях речь шла о плотности вырожденных и
возбужденных атомов pd и рехс.
17. Теория сверхтекучести гелия II 267
относятся к «коллективному» движению атомов жидкости (хотя фононы и обла-
обладают большей длиной волны, чем ротоны) и, согласно квантовой механике, в рав-
равной степени могут рассматриваться как некоторые «квазичастицы», обладаю-
обладающие импульсами. Не говоря уже о том, что неизбежность увлечения фононов (как
и ротонов) движущимися стенками доказывается строгими термодинамически-
термодинамическими рассуждениями п. 7 21), уже a priori очевидно, что, например, при протекании
гелия через узкую щель фононы неизбежно будут рассеиваться ее стенками, т. е.
будут задерживаться ими.
Далее, неправильным является утверждение Тиссы о пропорциональности
между энтропией и нормальной плотностью гелия (формула A2) его статьи).
Такое соотношение не может быть получено термодинамическим путем, и из
формул п. 5, 8 видно, что оно фактически не имеет места 22).
При выводе гидродинамических уравнений Тисса допускает ряд неточно-
неточностей, в результате чего оказываются правильными лишь уравнения первого
приближения (совпадающие с уравнениями Ландау). Для скорости второго
звука получается, естественно, формула, совпадающая с формулой Ландау
A4.8). Однако в связи с упомянутым выше толкованием роли фононов Тисса
исключает из энтропии S, входящей в эту формулу, ее фононную часть. Для
температурной зависимости остающейся части энтропии Тисса постулирует
соотношение
S = SO(T/TJ
(То — температура Х-точки, показатель г выбирается равным 5,5 для «получе-
«получения согласия с эмпирическими значениями энтропии» 33). Используя также пред-
предполагаемую им пропорциональность энтропии и нормальной плотности, Тисса
получает следующую формулу для скорости второго звука:
м/с.
При Т —> 0 эта формула дает щ —> 0, т. е. скорость второго звука стремится к
нулю вместо конечного значения с/л/3, следующего из теории Ландау.
21) Замечание Тиссы о неубедительности этих рассуждений (так как они «используются для по-
получения сведений о кинетическом коэффициенте (вязкости), исходя из соображений равновесия»)
является чистым недоразумением. Общеизвестно, что равномерное вращение допускает строго тер-
термодинамическое рассмотрение, и в рассуждениях п. 7 оно применяется лишь для доказательства
увлечения вращающимся сосудом жидкости как целого, откуда, конечно, никаких заключений о
величине вязкости не может быть сделано и не делается.
Недоразумением является также и замечание о том, что ротоны следует «ассоциировать с опре-
определенной массой, заключенной в объеме, в котором ротор скорости отличен от нуля»; неправиль-
неправильность такого утверждения достаточно ясна из предыдущего.
22) По случайным причинам температурные зависимости ротонных частей рп и энтропии оказы-
оказываются похожими [ср. формулы E.7) и (8.4)]. С этим связано то обстоятельство, что Тиссе удалось
добиться хорошей подгонки формул под экспериментальные значения энтропии и скорости второго
звука в области температур выше, примерно, 1,3 °К.
23) Теоретическое вычисление температурной зависимости термодинамических величин гелия II
не могло быть произведено Тиссой в связи с отсутствием у него микроскопической теории.
щ
= 26.
\
Т
—
1-
(т
—
т
\5,5"
)
268 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В статье Тиссы содержатся также некоторые соображения по поводу вязкос-
вязкости гелия П. Однако его рассуждения по этому, в действительности в высшей сте-
степени сложному, вопросу (см. п. 17) отличаются крайней наивностью. Они ограни-
ограничиваются замечаниями о необходимости различать между вязкостью «жидко-
«жидкостного типа» и «газового типа», в результате которых Тисса приходит к выводу о
падении вязкости с уменьшением температуры, находящемуся в полном проти-
противоречии с последними измерениями Э. Андроникашвили.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л.Ландау. ЖЭТФ, 11, 592, 1941.
[2] Л. Ландау. ЖЭТФ, 14, 112, 1944.
[3] Л. Ландау. J. of Physics, 11,91, 1947.
[4] F. London. Nature, 141, 643, 1938.
[5] F. London. Phys. Rev., 54, 947, 1938.
[6] F. London. J. Phys. Chem., 43, 49, 1940.
[7] L. Tisza. Nature, 141, 913, 1938.
[8] L. Tisza. C.R. Paris, 207, 1035, 1186, 1938.
[9] L. Tisza. J. de Phys. et Rad, 1, 165, 350, 1940.
[10] L. Tisza. Phys. Rev., 72, 838, 1947.
[11] A. Bijl. Physica, 7, 869, 1940.
[12] H. Боголюбов. Изв. АН СССР, сер. физ., 11, 67, 1947.
[13] Я. Френкель. ЖЭТФ, 10, 650, 1940.
[14] F.London. Proc. Roy. Soc, A171, 484, 1939.
[15] Л. Ландау, И. Померанчук. ДАН СССР, 59, 669, 1948.
[16] Y. Prank. Phys. Rev., 70, 261, 1946.
[17] D. Gogate, P. Pathak. Proc. Phys. Soc, 59, 457, 1947.
[18] E. Лифшиц. ЖЭТФ, 14, 116, 1944. [Статья 12 настоящего собрания трудов].
[19] В. Гинзбург. ЖЭТФ, 13, 213, 1943.
[20] А. Галанин. ЖЭТФ, 10, 1267, 1940.
[21] L. Goldstein. Phys. Rev., 57, 241, 457, 1940.
[22] L. Schiff. Phys. Rev., 57, 844, 1940.
[23] А. Ахиезер, И. Померанчук. ЖЭТФ, 16, 391, 1936.
18
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ЭЛЕКТРОНОВ
ЖЭТФ, 18, 562, 1948
Произведено вычисление эффективного сечения тормозного излучения при столкновении
электронов в нерелятивистском квантовом случае (с > v > e2/h, v — скорость электро-
электронов) . Определено спектральное и угловое распределение излучения.
Точное вычисление тормозного излучения при столкновении электронов пред-
представляет собой весьма трудную вычислительную задачу, до настоящего време-
времени не решенную. В ультрарелятивистском случае эффективное сечение может
быть вычислено (с логарифмической точностью) с помощью метода Вильямса,
исходя из формулы Клейна—Нишины. При этом, естественно, получается резуль-
результат, совпадающий (с указанной точностью) с формулой Бете—Гейтлера для тор-
тормозного излучения при столкновении быстрого электрона с ядром (при Z = 1) *).
Сравнительно простое вычисление возможно также в нерелятивистском слу-
случае, когда скорость столкновения v настолько велика, что классическая формула
не применима, но все же мала по сравнению со скоростью света. Другими словами,
предполагается, что
a<^e2/hv <^1 A)
(где а = e2/hc ) 2). Рассмотрению этого случая посвящена настоящая заметка.
При малых скоростях излучение можно, как известно, разделить на диполь-
ное, квадрупольное и т. д. Для системы из двух электронов дипольное излучение
отсутствует, и мы должны рассмотреть квадрупольное излучение. Классическая
формула для интенсивности квадрупольного излучения (по всем направлениям)
есть (см. например, [2], § 68):
ш =J2e(^xixk ~r2^ik) есть тензор квадрупольного момента системы (сум-
(суммирование по всем зарядам системы; i, k = x,y, z). Для двух электронов, выбирая
начало координат в центре инерции, имеем
(A-Afc), C)
где г (х, у, z) — радиус-вектор между обоими электронами.
1) Приведенная у Гейтлера ([1], стр. 264-266) формула написана с большей точностью, явля-
являющейся по существу фиктивной.
2) h обозначает в этой статье постоянную Планка, деленную на 2тг.
270 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
2
При переходе к квантовой теории квадраты Dik должны быть заменены
удвоенными (см., например [2], гл. III, § 11) квадратами модулей матричных
элементов величин Dik для соответствующего перехода. Вычисление матрич-
матричных элементов удобно производить так, чтобы в качестве волновых функций
можно было пользоваться плоскими волнами. Однако, если написать матрич-
матричный элемент от Dik в виде произведения матричного элемента от Dik на (—гиоK
(и — частота перехода), то при таком вычислении мы получили бы нуль. По-
Поэтому необходимо предварительно учесть взаимодействие электронов, вы-
вычисляя оператор Dik , путем трехкратного коммутирования оператора Dik, с
гамильтонианом 3)
Н = р2/т - е2/г
(р = — ihV — оператор импульса относительного движения электронов).
Такое вычисление приводит к следующему выражению для оператора Dik :
. а Л (?(ак ак
! к Г2 I I Г2 * Г2
D)
(аг — направляющие косинусы вектора г; по дважды повторяющимся индексам I
подразумевается суммирование по значениям х, у, z). Это выражение можно было
ожидать по аналогии с классическим выражением:
Dik =De3/mV)Fa^ -9a,az -alPfiik),
получающимся трехкратным дифференцированием по времени величины C) и
подстановкой, согласно уравнениям движения:
тх{/2 = е2а{/г2, тх{/2 = г2 (х{ — Зо^агхг)/г3.
Волновую функцию относительного движения электронов до столкновения пи-
пишем в виде плоской волны, нормированной на единицу плотности потока:
al)po=V/2eip»r/'t E)
(р0— импульс, v0 = 2po/m— скорость относительного движения до столкнове-
столкновения). Волновую же функцию после столкновения пишем в виде плоской волны,
нормированной на 6-функцию в импульсном пространстве:
фро = Bт^Г3/2е^/\ F)
Здесь р — импульс после столкновения; излучаемая частота есть
G)
3) Мы пользуемся системой координат, в которой центр инерции электронов покоится.
18. Тормозное излучение при столкновении электронов
271
При такой нормировке волновых функций выражение
da = (l/90c5)^|AJ 2p2dpdo/hu
i,k
[где мы ввели для упрощения написания формул обозначение Aik = (Dik
РоР
(8)
есть
эффективное сечение столкновения, при котором импульс относительного дви-
движения приобретает абсолютное значение в интервале dp и направление в эле-
элементе телесного угла do.
При вычислении матричных элементов Aik во вторых членах в круглых скоб-
скобках в D) производим интегрирование по частям, в результате чего получаем:
Aik =
-2 B^h)~3/2 v~l/2 J'{dV • г~2г^^
x [6a; (pk + pok) + 6ak (p{ + pOi) - 9а^а^аг (рг + pol) - bik
Мы ввели вектор q согласно
q = р0 - р, q2 = pi + р2 - 2рр0 cos «d
(9)
A0)
(i} — угол рассеяния в системе центра инерции).
Выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость xz проходи-
проходила через векторы р0 и р , а ось z была направлена вдоль вектора р. Тогда, как
легко убедиться:
Pox =Px =
P0z =
. Pz =
Интегрирование по dV в (9) производится в сферических координатах с по-
полярной осью вдоль оси z. При этом используются формулы:
JcosG • eiqr/hdV/r2 = 3jcos3 9 • eiqr/hdV/r2 = Ш
@ — полярный угол). В результате получается:
=|А„
r-x
64е"
Ро " V
ъкт3 g4
Подставляя эти выражения в формулу (8), найдем:
p2dpdo
, 16
da = (
(где г0 = е2/тс2 ). Интегрируя по всем направлениям рассеяния, получим:
p2dp
, 32 2
da = —- arn ¦
15tv
Ро (Ро - P
PoP
Ро -Р
A1)
A2)
272
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Введем сюда вместо рир0 начальную энергию относительного движения элект-
электронов Ео = Ро/га и частоту и; тогда мы получим следующую формулу, опреде-
определяющую спектральное распределение излучения:
dcr,., =
16 2( hu)
—- <*rn2 1- —
\l/2
-1/2
1-—I In
3/2
A3)
Полное излучение удобно характеризовать величиной:
EJh
к = J /iw(dcru/du;)dw,
о
которую можно назвать «эффективным излучением». Интегрирование [которое
удобнее произвести в формуле A2)] приводит к результату:
к = (80/9)аг02Е0.
A4)
Для сравнения укажем, что соответствующая классическая формула (примени-
(применимая при г2/hv » 1) гласит
Аналогичным образом можно определить угловое распределение излучения;
при этом надо исходить из классической формулы:
dl =
144tic2
для интенсивности излучения в элемент телесного угла сШ в направлении еди-
единичного вектора п. Формула, определяющая эффективное сечение в функции
одновременно от направления излучения и его частоты, получается весьма
громоздкой. Мы ограничимся указанием окончательной формулы, получаю-
получающейся для углового распределения полного излучения:
dK,=(l/18TY)ar02E0C5+24cos26-15cos4e)dfi.
A6)
Здесь 0 — угол между направлением излучения и направлением движения элект-
электронов.
В заключение выражаю искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау и проф.
И.Я. Померанчуку за обсуждение рассмотренного здесь вопроса.
ЛИТЕРАТУРА
[1] W. Heitler. The quantum theory of radiation, 2nd ed., Oxford, 1944.
[2] Л. Ландау и Е. Лифшиц. Теория поля, Москва, 1941.
19
К ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ
ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ. III
Совместно с Л. Ландау
ЖЭТФ, 18, 750, 1948
Развит метод, позволяющий произвести точное вычисление эффективного сечения рас-
расщепления дейтрона на нейтрон и протон при пролетании в кулоновом поле. Определено
распределение вылетающих частиц по энергиям, а также их угловое распределение.
В предыдущих работах Л. Ландау [1] была развита общая теория, позволяю-
позволяющая вычислять (в квазиклассическом приближении) вероятности различных про-
процессов, сопровождающих столкновения. В дальнейшем эта теория была приме-
применена Е. Лифшицем [2] к столкновениям дейтронов с тяжелыми ядрами, сопро-
сопровождающимся одной из следующих реакций: 1) распад дейтрона с вылетом
нейтрона и протона, 2) распад с захватом нейтрона ядром и вылетом протона,
3) распад с захватом протона и вылетом нейтрона, 4) захват дейтрона ядром. При
этом речь идет о не слишком быстрых дейтронах — их энергия должна быть рас-
расположена достаточно ниже кулонового потенциального барьера ядра. Соблюде-
Соблюдение этого условия позволяло пользоваться общей квазиклассической теорией
Ландау. Эта теория в своем общем виде позволяет, однако, определять эффек-
эффективные сечения лишь с экспоненциальной точностью, т.е. без медленно меняю-
меняющегося (с энергией сталкивающихся частиц) коэффициента перед экспоненци-
экспоненциальным множителем с большим отрицательным показателем (большая по срав-
сравнению с единицей величина абсолютного значения показателя является условием
применимости квазиклассического метода).
Соответственно этому в [2] был определен лишь ход эффективных сечений
с энергией дейтрона, а не их абсолютные значения. При этом рассматривались
столкновения с равным нулю орбитальным моментом дейтрона относительно
ядра («лобовые» столкновения), дающие наибольший вклад в эффективное се-
сечение. Естественно, что угловое распределение вылетающих частиц при этом
не могло быть определено.
В настоящей работе развит новый метод, позволяющий произвести точное
вычисление эффективных сечений указанных процессов. Он применен к пер-
первой из перечисленных реакций — распаду дейтрона с освобождением как про-
протона, так и нейтрона. Для остальных реакций в эффективное сечение должен
войти «коэффициент прилипания» нейтрона или протона к ядру; неопределен-
неопределенность этого множителя в значительной мере лишает смысла точное вычисле-
вычисление эффективного сечения этих реакций.
274 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
I. Вывод общей формулы
Уравнение Шредингера, описывающее систему нейтрон + протон в духе тео-
теории Бете—Пайерлса, можно написать в виде 1)\
^^б(гп-Гр). A)
Здесь т есть масса протона, е — энергия связи дейтрона, посредством к обо-
значеная постоянна
K = (meI/2/h, B)
Е есть кинетическая энергия дейтрона; а — численный множитель, смысл кото-
которого объяснен ниже. Ап и Ар суть операторы Лапласа соответственно по коорди-
координатам гп и гр нейтрона и протона; r^>d есть волновая функция движения дейтрона
как целого, т.е. плоская волна:
C)
где pd = D:Ету есть импульс дейтрона, a rd = (rp + гп)/2 — радиус-вектор его
центра инерции.
Действительно, с одной стороны, при гп ^ гр уравнение A) соответствует сво-
свободному движению нейтрона и протона с общей энергией Е — е. С другой сторо-
стороны, легко видеть, что при гп — гр ^ О это уравнение дает правильную волновую
функцию дейтрона:
1/2 -кг
—; №
множитель при ^d есть нормированная на единицу волновая функция относи-
относительного движения частиц в дейтроне (г = |гр — гп|), соответствующая его ос-
основному состоянию в теории Бете—Пайерлса. Численный множитель а вводится
в нормировочный коэффициент этой функции (см. [3], § 12) для улучшения точ-
точности теории Бете—Пайерлса (и соответствует, в известном смысле, учету ко-
конечности радиуса действия сил между нейтроном и протоном в дейтроне); из
сравнения с экспериментальными данными о рассеянии нейтронов на протонах
получается а с± 3/2 [4].
Для того чтобы убедиться в том, что функция D) удовлетворяет уравнению A),
преобразуем последнее к координатам г и rd вместо гр и гп:
h2 А т h2 л т ,_ ч т . h2 (olkV . с/ ч
--ДЙФ + —ДФ+ Е-е Ф = -4тг-- — ^5г.
2т т 2т { 2tv )
При подстановке сюда Ф из D) и C) получается соотношение
(А-к2)(е~кг /г) = -47vS(r),
удовлетворяющееся тождественно.
I /z обозначает везде постоянную Планка, деленную на 2тг.
19. К теории передачи энергии при столкновениях 275
Уравнение Шредингера для движения в поле тяжелого ядра получается, оче-
очевидно, из A) вычитанием из энергии Е потенциальной энергии Ze2 jrp протона в
кулоновом поле. Таким образом, имеем исходное уравнение:
2т
\1/2
Здесь r^>d есть волновая функция движения дейтрона как целого в поле ядра, вы-
выбранная в виде, применяющемся в задаче о резерфордовском рассеянии; имен-
именно, это есть функция, складывающаяся на бесконечности из падающей плоской
и рассеянной расходящейся сферической волны. Мы будем предполагать эту
функцию нормированной так, чтобы падающая плоская волна была нормирова-
нормирована на единицу плотности потока.
Для решения уравнения E) разложим искомую функцию Ф по волновым функ-
функциям ^р движения протона в кулоновом поле. Эти функции удовлетворяют урав-
уравнению Шредингера
г» Г7 _2
= 0 F)
2т
п2
Ze2
v г
к V
(Ер — энергия протона), причем на бесконечности ^р складывается из плоской
волны (с волновым вектором кр = рр//г, рр — импульс вылетающего протона) и
сходящейся сферической волны 2). Мы будем предполагать функции ^р норми-
нормированными таким образом, чтобы плоская волна в ее асимптотическом выраже-
выражении оказалась нормированной на 6-функцию в импульсном пространстве.
Коэффициенты разложения функции Ф по функциям ^р будут функциями
координат нейтрона, так что можно написать
(drp — элемент объема импульсного пространства протона; у функций ^р и ап
следовало бы приписать в качестве индекса импульс вылетающего протона рр,
чего мы для упрощения обозначений не делаем).
Подставляя G) в уравнение E) с учетом уравнения F) и воспользовавшись
обычным образом взаимной ортогональностью различных функций ^р, полу-
получим следующее уравнение для функций ап(рп):
Апап +Bт/П2)Епап = -^(а^I^ (гп) ¦ф, (гп), (8)
где Еп = Е — г — Ер есть энергия нейтрона. Это уравнение — типа уравнения за-
запаздывающих потенциалов, и его решение на больших расстояниях R = Rn (n —
2) Как известно, при рассмотрении задачи о столкновении, сопровождающемся вылетанием из
центра в определенном направлении новой частицы, волновая функция последней не должна
содержать в своем асимптотическом выражении расходящейся сферической волны (см., напри-
например, теорию фотоэффекта или теорию тормозного рентгеновского излучения, сопровождающего-
сопровождающегося ионизацией атома, [5], гл. VI, § 4 и гл. VII, § 2).
276 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
единичный вектор в направлении R) от начала координат может быть написано
непосредственно по аналогии с известной формулой теории излучения:
(Г)^ (r)e"iknrdV- (9)
V
Здесь К = пК К=BтЕпI/2/п-
Очевидно, что ап(гп) есть не что иное, как волновая функция нейтрона, образо-
образовавшегося при распаде дейтрона вместе с протоном с импульсом рр (которому со-
соответствует волновая функция я|;р). Умножая квадрат модуля ап на скорость нейт-
нейтрона vn= BЕп/тI^2 и элемент сферической поверхности R2don, мы получим поток
нейтронов в элементе телесного угла don (вокруг направления п). При выбранной
нами нормировке волновых функций эта величина предоставляет собой эффек-
эффективное сечение рассматриваемого процесса, отнесенное к единице объема импуль-
импульсного пространства протона. Другими словами,
da = vnR2 \an\2 p2p dpp dop don
есть эффективное сечение распада дейтрона на нейтрон и протон, вылетающие
соответственно в элементах телесного угла don и dop, причем импульс протона
имеет значение в интервале dpp. Подставляя сюда выражение (9) для ап, полу-
получим окончательную формулу:
da = a(ft/2iv)(me)V2 knkp \J'i|>d (r)i|>; (r)e"*»'dvf dEndondop. A0)
Мы ввели здесь волновые векторы нейтрона и протона и отнесли эффективное
сечение к интервалу энергии нейтрона, связанной с энергией протона Ер = p2vJ2m
законом сохранения Ер + Еп = Е + е.
2. Вычисление интеграла
Как уже было указано, в качестве волновой функции дейтрона надо восполь-
воспользоваться кулоновой волновой функцией непрерывного спектра (в поле оттал-
отталкивания), асимптотическое выражение которой складывается из падающей
плоской волны [с волновым вектором kd, kd= D:тЕпI'2/Н] и расходящейся сфе-
сферической волны. Нормируя ее указанным выше образом, имеем (см., например,
[6], гл. II, §9):
e-'VF(-»d,l,i(k/-kdr)), A1)
где vd= (E/mI'2 — скорость нейтрона, а nd обозначает величину
nd =2mZe2/h2kd =C(e/EI/2.
Мы ввели удобное для дальнейшего обозначение:
C = (Ze2A)(m/eI/2. A2)
Г(г) есть Г-функция, а F(x, % z) — вырожденная (конфлюентная) гипергеомет-
гипергеометрическая функция.
19. К теории передачи энергии при столкновениях 277
Волновая же функция протона должна содержать на бесконечности плоскую
волну с волновым вектором kp, kp= BтЕрI^2/Н, и сходящуюся сферическую вол-
волну. Нормируя ее указанным в п. 1 образом, имеем (см. [5], гл. II, § 9):
фр = B*йГ3/2 e"™p/2r(l- inpy**rF{inp, I,- i(kpr+ kpr)), A3)
где
np=mZe2/h%=1{e/2Epf.
Подставляя A1) и A3) в A0) и замечая, что
+ind) |2 = ГA +md)T(l -ind)= ivn/shndiv,
|гA + гпр)|2 =iinp/shnp'Ti,
получаем:
kd
A4)
где посредством J обозначен интеграл
I = Je^F(-ind91, Pd) F(-inp, 1, Pp)dV, A5)
Этот интеграл встречается в зоммерфельдовской теории непрерывного рент-
рентгеновского спектра и равен (см. [5], гл. VII, § 6):
И =
±(BF(-4nd,-inp,l,Q
л—О
d\
где
В =4-к(д2 -2qkd -2\kdTd (q2 +2qk -
, = о 9 (fedfcp +kd4) 2(qkd + \kd) (qkp - XfeJ
(q2-2qkd-2Xfcd)(q2+2qkp-2Xfcp) '
a F (a, C, ^f, z) есть гипергеометрическая функция.
Формулы A4) —A7) — точные; в них не сделано предположения о квази-клас-
сичности задачи. Далее мы будем считать, что энергия дейтрона (а потому и про-
протона) настолько мала, что применимо квазиклассическое приближение; это зна-
значит, что nd, пр » 1. Поэтому, в частности, в формуле A4) можно написать
shndii ~ e™d/2, /
278 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Далее, надо учесть, что эффективное сечение как функция энергии освобож-
освобождающегося нейтрона имеет наибольшее значение при Еп = 0 и экспоненциально
убывает с увеличением Еп (это было показано в [2] и подтверждается дальней-
дальнейшими результатами). Как функция от направления вылетающего протона эф-
эффективное сечение максимально при движении протона в направлении, обрат-
обратном направлению падающего дейтрона (что соответствует «лобовому» столкно-
столкновению); мы увидим ниже, что эффективное сечение экспоненциально убывает
при отклонении от этого направления.
Эти обстоятельства позволяют при вычислении интеграла положить во всех
неэкспоненциальных выражениях [экспоненциальный множитель содержится,
как мы увидим, в гипергеометрической функции F(—ind, —гпр, 1, Q]\
кп=0, q = kd-kp, kdkp =-kdkp. A8)
Соответственно, для энергии протона имеем при этом Ер = Е — е, и кр должно
быть взято с этим значением Ер. Выражения A6), A7) для I при этом сильно упро-
упрощается. Легко видеть, что производная (dS,/d\)x=0 при условиях A8) обращается
в нуль, так что член в I, содержащий производную от гипергеометрической функ-
функции, выпадает. В аргументе же С, гипергеометрической функции, разумеется,
нельзя просто положить A8), так как этот аргумент войдет в экспоненту. Мы мо-
можем, однако, разложить С, по степеням энергии нейтрона Еп и угла 0р, образуемого
векторами кр и — kd Fn = 0 соответствует движению протона в направлении, обрат-
обратном движению падающего дейтрона). Такому же разложению надо подвергнуть
один из параметров (inp) гипергеометрической функции.
Произведенное таким образом вычисление приводит к следующему выра-
выражению для квадрата модуля Г.
^ °ff , if , A9)
где параметры гипергеометрической функции равны
n = 2mZe2/h2kd,y] = np/nd = (kd/2kp)[l+(k2n/2k2p)], B0)
а ее аргумент определяется формулами:
B1)
4 2fc^(fcd-fcpJ n (kd-kj К-К
Здесь и ниже kd и кр имеют значения:
hkd = 2л/тЁ, hkp = 2^m(E-e), B2)
19. К теории передачи энергии при столкновениях
279
0П есть угол между векторами kn и — kd, т. е. угол между направлением вылетаю-
вылетающего нейтрона и направлением, обратным направлению падающего дейтрона;
Ф есть разность азимутов векторов kn и кр относительно вектора —kd как поляр-
полярной оси.
Ввиду того что параметр п предполагается большим, можно вос-
воспользоваться асимптотической формулой для гипергеометрической функ-
функции, полученной Зоммерфельдом (см. [5], дополнение 16D). Для квадрата мо-
модуля этой функции имеем:
F (—in, — inr\, 1,!
+п/*(гб*)}
2>к\и\2\?'(и)\
где
B3)
B4)
причем в качестве и должен быть взят корень квадратного уравнения ff(u) = О,
лежащий в верхней полуплоскости. Фазы каждой из величин и, 1-й, 1 — и^
в B4) должны пониматься как углы, описываемые лучом, вращающимся в по-
положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) от правой действи-
действительной полуоси до момента пересечения соответствующей точки в комплекс-
комплексной плоскости 3).
При вычислении предэкспоненциального множителя в B3) можно, конечно, снова
полагать кп = 0, 0р = 0; экспонента же должна быть разложена по степеням этих ма-
малых величин. В результате вычисления получается следующий результат:
| F |2 = (8ТФГ1 е-1 [BЕI/2 + (Е ~e)l/2f exp{...},
= 2тт
xl/3
(E-e
f2
8е
Е-е
arccos
arccos
1/2
+4-
arccos
Е+е
Е-Е
1/2
\BЕI/2 +(Е-еI/2Т
B5)
3. Эффективное сечение
Подставляя B5) в A9), а затем в A4), получим искомое эффективное сечение:
, O3h2 ae2 (eEj'2 dEndond0p
,-|ЗФ
B6)
3) Формула B3) применима лигаь при т\ < 1. При т\ = kd/2kp это условие эквивалентно требова-
требованию Е > 2 е. Если же Е < 2 е, то в A9) параметры п и т\ должны быть определены как п = 2mZe2/h2kp,
r\ = nd/np~2kp/kd (тогда снова будет т\< 1). Вычисление, произведенное с этими т\ и п, приводит,
как и следовало ожидать, к точно тому же результату B5).
280 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
[C из A2)], где
причем
8е I/2 (Е-еГ (ef ( E f
-4Ы агссозЁп ' B8)
Ф, (E) = -M^arccosf^f- 2?(Д~3?) , B9)
Ф2(Е) = Аг(Е + гГ2, C0)
Ф3 (Я) = e[B?I/2 + (В -еI/2], C1)
Ф4 (В) = 4е(? + е) [B?I/2 + (В -вI72]. C2)
Полное эффективное сечение о0(Е), как функция энергии дейтрона, полу-
получается интегрированием B6) по энергии нейтрона (которое можно производить,
ввиду быстрой сходимости интеграла, в пределах от 0 до со) и по всем направ-
направлениям нейтрона и протона (интегрирование по 0р тоже можно производить в
пределах от 0 до оо). В результате вычисления получается 4):
а0 = (й2/те)р1/2а ^/2f2 е^Я (Е + г) ф-3/2е-рф°(?). C3)
Экспонента (ЗФ0 совпадает, естественно, с найденной в [1].
После интегрирования эффективного сечения B6) по одним только направ-
направлениям протона (по dop), угол 0П из получающегося выражения выпадает 4). Дру-
Другими словами, распределение нейтронов по направлениям (не коррелирован-
коррелированное с направлением протонов) оказывается изотропным. Для распределения
нейтронов по энергиям при этом получается следующее выражение:
da{En) = о02ъ~У2 ((ЗФХK/2 Ef e~^dEn. C4)
Экспонента в этой формуле совпадает с найденной в [1] (что, однако, не являлось
заранее очевидным).
Угловое распределение протонов получается интегрированием B6) по dEndon.
Вычисление приводит к формуле 5):
Ч^йК C5)
4) Интегрирование по dop, производится путем введения новых переменных интегирования
0Х = 0р coscp, 0у = 0р sirup (причем dop ~ QpdQpdip заменяется на d0xd0y, и интегрирование производится
в пределах от -оо до +оо). После этого интегрирования результат оказывается не зависящим от
угла 0П, и интегрирование по Еп производится непосредственно.
5) Интегрирование по dEndon производится путем перехода от «сферических» к «декартовым»
координатам в импульсном пространстве нейтрона.
19. К теории передачи энергии при столкновениях
281
Таким образом, распределение по углам 0р оказывается гауссовым с максиму-
максимумом в направлении, обратном направлению дейтрона.
Пределы применимости формулы C3) для эффективного сечения определя-
определяются тем, что экспонента (ЗФ0 не должна быть мала по сравнению с единицей:
(ЗФ0(Е) ^ 16). Это условие нарушается при достаточно больших энергиях дейтро-
дейтрона, но существует область (при достаточно больших Z), в которой Е^>е, и фор-
формула C3) все же применима. В этой области имеем
Фо =8е2/ЗД2, Фг =32е2/ЗД\
и формула C3) приобретает вид:
Сто = (П2/тг
f2 е~
(ЗттK/2 (E/e
Для численных вычислений представим формулу C6) в виде
см2
C6)
C7)
Функции А(Е) и f (E) протабулированы в табл. 1. Для энергии связи дейтрона
принято значение г = 2,19 МэВ [6].
Таблица 1
Е, МэВ
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
А(Е)
0,028
0,062
0,11
0,16
0,22
0,29
0,37
0,45
0,53
0,62
0,72
0,82
0,92
1,0
Ю/(Я)
3,68
2,59
1,97
1,57
1,29
1,08
0,926
0,804
0,703
0,624
0,556
0,500
0,451
0,412
Е, МэВ
5,4
5,6
5,8
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
А(Е)
1Д
1,2
1,4
3,5
3,8
2Д
2,5
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,3
Ю/(Я)
0,375
0,343
0,316
0,292
0,242
0,206
0,176
0,152
0,133
0,118
0,305
0,093
0,084
0,075
6) Использованная нами асимптотическая формула B3) получается посредством применения ме-
метода перевала к комплексному интегралу, определяющему гипергеометрическую функцию. Иссле-
Исследование делаемых при этом приближений (в применении к нашему конкретному случаю) обнару-
обнаруживает достаточность условия [ЗФ0 ^ 1 (а не обязательно [ЗФ0 ^ 1).
282
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В табл. 2 приведены численные значения величины 6П =
Согласно формуле C4), написанной в виде
^ o-ZEnlK
Е, МэВ
2,6
3,0
3,4
3,8
4,2
4,6
5,0
8П, МэВ
0,55
1,6
3,2
5,2
7,9
11
15
Е, МэВ
5,4
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
8П, МэВ
19
28
45
69
99
140
180
величина 8n/ Z определяет ширину распределения вылетающих нейтронов по
энергиям.
Экспериментальных данных об эффективных сечениях (d, pn)-реакций в насто-
настоящее время не имеется. Представляет интерес сравнить эффективные сечения, да-
даваемые формулой C7), с измеренными
Таблица 2 экспериментально сечениями (d,p)- и
(d, n) -реакций. Данные об абсолютных
значениях этих сечений имеются в на-
настоящее время только для Bi (Z = 83).
Тэтель и Корк [7] измеряли сечения для
реакций Bi209(d, p)RaE210 и Bi209(d, n)Po210.
Индикатором служила активность про-
продуктов реакций (RaE и Ро), так что ре-
реакция Bi209(d, pn)Bi209 естественно, ус-
ускользала от наблюдения. Приводим не-
некоторые из полученных этими авторами
значений эффективных сечений (d,p)- (d, п)-реакций (точность этих значений
не велика) вместе со значениями сечения (d, pn)-реакции, вычисленными по фор-
формуле C7).
Мы видим, что вычисленные значения
od np значительно превышают сечения
ad p и ad n, так что можно думать, что в
действительности в данном случае ос-
основной является (d, рп)-реакция.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Ландау. Phys. Zs. Sowjet, 1, 88, 1932.
[2] Е. Лифшиц. ЖЭТФ, 8, 930 1938. [Статья 8 настоящего собрания трудов].
[3] Г. Бете, Р. Вечер. Физика атомного ядра, ч. I, Харьков, 1938.
[4] Я. Смородинский, ДАН СССР, 60, 217, 1948.
[5] A. Sommerfeld. Atombau und Spektrallinien, II. Band, Braunschweig, 1939.
[6] W.E. Stephens. Rev. Mod. Phys., 19, 19, 1947.
[7] H.E. Tatel, JM. Cork. Phys. Rev., 71, 159, 1947.
E, Мэв
8,2
6,3
18
1,5
3,4
0,12
CW1028™2
170
10
20
О ПРОМЕЖУТОЧНОМ СОСТОЯНИИ СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Совместно с Ю.В. Шарвиным
ДАН СССР, 79, 783, 1951
В двух работах Л. Д. Ландау [1,2] была развита теория слоистой структуры
сверхпроводников в промежуточном состоянии. В работе [1] был произведен рас-
расчет модели, в которой плоско-параллельные слои имеют вдоль своей длины по-
постоянную толщину и лишь несколько закругляются у самой поверхности образ-
образца. При этом вблизи поверхности образца (на глубине порядка толщины слоев)
магнитное поле в n-слоях оказывается меньшим критического значения. Это
обстоятельство дало основание думать, что такая модель будет термодинамически
неустойчивой, в результате чего n-слои должны разветвляться; картина много-
многократно разветвляющихся слоев была количественно исследована в [2].
Нет сомнения в том, что при достаточно больших размерах (длине L в направ-
направлении поля) образца такое разветвление действительно должно иметь место. В
то же время при достаточно малой длине L (а с нею и толщине слоев, убывающей
вместе с L) энергетически более выгодной должна остаться структура с нераз-
ветвленными слоями; это видно уже из того, что свободная энергия модели с мно-
многократно разветвленными слоями пропорциональна L1/3, а с неразветвленными —
несколько более высокой степени L1/2. Возникает вопрос о том, каково то «харак-
«характеристическое» значение L, сравнение с которым определяет характер осуще-
осуществляющейся структуры.
Единственная фигурирующая в задаче величина размерности длины —
константа А поверхностного натяжения на границе п- и s-фаз (А было опре-
определено в [2] посредством а = Я^А/8тт, где а — коэффициент поверхностного
натяжения, э. Нк — критическое поле). Поэтому можно было бы думать, что
искомая характеристическая длина должна быть порядка величины А, а по-
поскольку А очень мало (^10~4 см), то слои фактически всегда должны были бы
разветвляться. Того же порядка величины должна была бы быть и толщина
слоев, выходящих к поверхности образца, а поскольку при столь малых раз-
размерах областей обычное макроскопическое описание сверхпроводящего
состояния теряет смысл, то это дало основание ввести [2] понятие об особом
«смешанном» состоянии, в котором должен был бы находиться поверхностный
слой вещества.
Однако результаты экспериментов А. И. Шальникова и А. Г. Мешковского [3]
показывают, что магнитное поле в непосредственной близости поверхности об-
образца всегда обнаруживает неоднородность, свидетельствующую о том, что слои
выходят к поверхности, сохраняя весьма значительную толщину (порядка 10~2—
1СГ1 см). Это обстоятельство побудило вновь вернуться к теоретическому рассмот-
284
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
рению вопроса; при этом выяснилось, что возникающие при точном расчете без-
безразмерные коэффициенты (являющиеся функциями безразмерного отношения
Н/Нк) весьма существенным образом меняют порядки величин характеристи-
характеристических размеров, в результате чего при всех имеющих практический интерес
размерах образцов многократное разветвление слоев во всяком случае не долж-
должно иметь места.
Рассмотрим модель плоско-параллельной пластинки (в поперечном магнит-
магнитном поле) с совершенно не разветвляющимися слоями. В [1] были получены фор-
формулы, определяющие форму таких слоев и распределение магнитного поля в сло-
слоях нормальной фазы. С их помощью можно вычислить свободную энергию тела F
(точнее, избыточную свободную энергию, связанную со слоистой структурой).
Отнесенная к единице площади поверхности пластинки она имеет вид
(LA
4тт1
A)
Первый член есть поверхностная энергия границ между п- и s-слоями;
L —ширина пластинки; а — расстояние между слоями, причем а = as + ап9
Таблица 1 гДе а8=аA~т1) и ап = ац — толщины s- и
п-слоев; г\ обозначает безразмерное отноше-
отношение Н/Нк.
Второй член в A) представляет собой энер-
энергию, связанную с «закруглением» s-слоев и ис-
искажением магнитного поля вблизи поверхнос-
поверхности пластинки (с каждой из ее двух сторон).
Функция ф(т|) может быть вычислена с помощью
полученных в [1] формул; значения ф(г|), полу-
полученные путем численного интегрирования, приведены в табл. 1. Предельное вы-
выражение при т| = 1:
т]2 ^ 0,56
а при г|, близких к 1:
1)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
ф(л)
0,0055
0,0136
0,0195
0,0224
0,0221
1)
0,6
0,7
0,8
0,9
фСп)
0,0182
0,0128
0,0065
0,0020
B)
C)
Толщина слоев определяется из условия минимальности выражения A), от-
откуда
а = у/ьЩ, D)
и соответствующее значение F:
F = (
Определяемая формулой D) толщина слоев достигает значительных вели-
величин; так, при т| = 1/2 имеем для L = 2 см: as = ап — 0,06 см *) (для А принимаем
х) На самой поверхности пластинки толщина s-слоев несколько меньше вследствие их «за-
«закругления», а толщина п-слоев — соответственно больше. Так, при т\ = 1/4 толщина s-слоя на
поверхности составляет 0,80as; при т\ = 1/2 — 0,56as; при т\ = 3/4 — 0,28as.
20. О промежуточном состоянии сверхпроводников 285
ориентировочно значение 1,5 • 10~4 см, соответствующее олову при 3 °К; ср. D)).
Интересно, что поле в n-слоях вблизи поверхности образца может значитель-
значительно отличаться от Нк. Так, при г\ = 1/2 поле на поверхности в средней точке
п-слоя составляет всего 0,73 Нк, а при г| —> 0 стремится к 0,65 Нк.
Свободная энергия модели с многократно разветвленными слоями, вычис-
вычисленная в [2], равна:
F' = 0,277Н2к (ЬД2I/3 ^(l-n)*3. F)
Сравнение F) с E) обнаруживает, что энергия F1 превышает энергию F,
причем с довольно большим запасом, между тем как для осуществления мно-
многократного разветвления требовался бы достаточно большой запас в обрат-
обратную сторону. Отношение F1 /F имеет минимум примерно при т\ = 0,5, и даже
здесь равно 1,2 (при L = 2 см, А = 1,5 • 10~4 см). Поскольку отношение F1/F
пропорционально (A/LI/3, то его заметное уменьшение требовало бы весьма
значительного увеличения L/A.
Таким образом, при сколько-нибудь реальных размерах образца многократное
разветвление слоев во всяком случае не должно иметь места. Это еще не озна-
означает обязательно, что слои не будут разветвлены вовсе,—наиболее выгодным
для заданных L и т\ может оказаться и одно-, двух- и т. д. кратное разветвле-
разветвление. По аналогии с тем, что имеет место у ферромагнетиков (см. [5]), следует ду-
думать, что по мере увеличения (при заданном поле) длины L достигается значе-
значение, при котором неразветвленные слои становятся неустойчивыми и начинается
первое разветвление; при этом по мере дальнейшего увеличения L длина раз-
разветвленной части слоя постепенно увеличивается, начиная от нуля. Наконец, ста-
становятся неустойчивыми и такие слои, и т. д. В данном случае, однако, уже опре-
определение момента начала первого разветвления представляется весьма трудной
задачей в связи с трудностью определения распределения поля в модели с одно-
однократно разветвленными слоями.
Имеет смысл подойти к вопросу с несколько другой точки зрения. Предполо-
Предположим, что размеры L настолько велики, что слои разветвлены уже многократно, и
определим, какова наиболее выгодная кратность р разветвления. При этом необ-
необходимо учесть энергию «закругления» выходящих к поверхности слоев (в [2] пред-
предполагалось, что слои выходят к поверхности с толщиной А и эта энергия не учиты-
учитывалась). Описанная в [2] модель разветвления слоев обладает тем свойством, что
перед каждым (р + 1)-м разветвлением толщины всех s-слоев одинаковы
(a^ = as0 • 2"р, где asQ — толщина неразветвленной части слоя), и то же самое от-
относится к толщинам всех п-слоев (а4р) = ап0 -2"р). Применяя при достаточно боль-
больших р эту модель и учитывая также, что углы разветвления в этой модели малы,
мы можем воспользоваться для вычисления «энергии закругления» формулами,
относящимися к неразветвленным слоям, применив их к слоям с периодичностью
а^=а^ +п^\ Тогда для свободной энергии получим выражение
4тт
2"
о-р/2\ | LA
286 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Минимизируя это выражение по р и по а0, получим для а0 прежнее [2] значение
а0 = 0,882т!-1/3 A - ц)~2'3 А1'3^3, G)
а для числа р
2р =0,605ф2т]-4/3A-Т1)"8/3(Ь/ДJ/3. (8)
Толщина же выходящих к поверхности образца слоев
а(р) =2-ра0 =1,46т]A-Т1Jф-2Д (9)
оказывается величиной, зависящей только от поля, но не от размеров образца.
Существенно, что коэффициент при А в этой формуле оказывается весьма боль-
большим числом; он минимален примерно при г\ = 1/2, и даже здесь получается
а,(р) = с*4р) — 200А. Этот результат показывает, что «смешанного состояния» в
том смысле, о котором шла речь в [2], вообще не должно существовать.
Что касается числа р, то из (8) получается (для L = 2 см, А = 1,5 • 10~4 см)
р = 1,4 при г| = 1/2, а при больших или меньших т\ — еще меньшее значение.
Для таких малых значений р формула (8), строго говоря, неприменима. Можно,
однако, все же думать, что такой результат свидетельствует о том, что у образ-
образцов применяющихся обычно размеров слои могут быть разветвлены не более
одного-двух раз.
Следует лишний раз подчеркнуть, что все изложенные соображения относятся
к полному термодинамическому равновесию. Наблюдаемая же на опыте картина
структуры промежуточного состояния может быть сильно искажена неравно-
неравновесностью состояния образца [6].
Выражаем благодарность акад. Л.Д. Ландау за обсуждение затронутых в
этой заметке вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Ландау. ЖЭТФ, 7, 371, 1937.
[2] Л. Ландау. ЖЭТФ, 13, 377, 1943.
[3] AT. Мешковский, AM. Шальников. ЖЭТФ, 17, 851, 1947; Изв. АН СССР, сер. физ., 11,
39, 1947; AT. Мешковский. ЖЭТФ, 19, 54, 1949.
[4] В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау. ЖЭТФ, 20, 1064, 1950.
[5] ЕМ. Лифшиц. ЖЭТФ, 15, 97, 1945. [Статья 14 настоящего собрания трудов].
[6] AM. Шальников и К.А. Туманов. Сборн., поев. 70-летию акад. А. Ф. Иоффе, 1950. С. 303.
21
О ТЕПЛОЕМКОСТИ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ Не3
ЖЭТФ, 21, 659, 1951
Недавно были произведены измерения упругости насыщенных паров чис-
чистого изотопа Не3 в довольно широком интервале температур от 1°К до крити-
критической точки 3,35° К [1]. Знание температурной зависимости упругости пара
позволяет определить температурную зависимость химического потенциала (а с
ним и энтропии) жидкости. При соответствующей обработке результатов сво-
своих измерений авторы производят операции, сводящиеся к аппроксимированию
химического потенциала жидкости в виде линейной функции температуры, и
находят, что таким способом можно хорошо интерпретировать эксперименталь-
экспериментальные данные. Но наличие пропорционального температуре члена в химическом
потенциале означает наличие постоянного члена в энтропии. В результате ав-
авторы приходят к выводу о существовании у жидкого Не3 значительной оста-
остаточной энтропии, составляющей около 0,4 кал/моль-град. При этом энтропия
отсчитывается от значения R 1п2 = 1,38 кал/моль-град., соответствующего
неупорядоченной ориентации ядерных спинов. В действительности, однако, этой
частью энтропии должен обладать лишь пар, но не жидкость. В последней силь-
сильное обменное взаимодействие ядерных магнитных моментов должно уже очень
рано привести к их упорядоченной ориентировке, в результате чего ядерная
энтропия исчезает [2]. Имея это в виду, мы найдем, что указанный выше способ
вычисления дал бы для остаточной (не ядерной) энтропии даже еще большее
значение 1,8 кал/моль-град.
Авторы работы [1] делают заключение о том, что жидкий Не3 должен обла-
обладать ниже 1 °К каким-то фазовым переходом или аномалией теплоемкости,
которая и ответственна за появление кажущейся остаточной энтропии. Между
тем, как известно, сверхтекучести чистого Не3 не обнаружено вплоть до очень
низких температур, а наличие какого-либо иного перехода или аномалии в
высшей степени невероятно.
Теоретически у жидкого Не3 при достаточно низких температурах следует
ожидать теплоемкости, пропорциональной первой степени температуры; это
следует из того, что жидкий Не3 представляет собой, вероятно, «квантовую
жидкость» с энергетическим спектром «фермиевского типа» (спектром, анало-
аналогичным спектру «электронной жидкости» в металле; см., например, [2]). Цель на-
настоящей заметки — указать на то, что имеющиеся экспериментальные данные
об упругости паров вполне могут быть истолкованы с этой точки зрения и даже
позволяют с известной долей уверенности предсказать значение линейного чле-
члена в теплоемкости.
288
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Согласно условию равновесия химический потенциал жидкости определяет-
определяется по упругости насыщенного пара с помощью соотношения
-RT\n2
(т — масса атома Не3, остальные буквы имеют обычное значение). Член RT 1п2
учитывает ядерную часть энтропии пара. Постоянный член в химическом по-
потенциале пара предполагается
5,0 Цж
включенным в химический по-
потенциал жидкости, так что по-
стоянныйчлен в последнем не-
непосредственно определяет тепло-
теплоту испарения при 0°. Поправки на
неидеальность газа в интересую-
интересующей нас области более низких
температур во всяком случае
ничтожны, и вводить их не имеет
смысла.
Вычисленные по приведенным
в [1] результатам измерений
упругости пара значения — |лж/Я
отложены на рис. 1 (черные точ-
точки) в функции от Т2. Ясно видно, что получающаяся температурная зависимость
|лж вполне может быть экстраполирована к более низким температурам по ли-
линейному с Т2 закону. Взяв наклон этой прямой по участку между 1 и 1,5 °К,
получим
4,6
4,2
3,8
3,4
3,0
2,6
0
4 5
Рис. 1
-2,8К-0,38КТ2.
A)
Заметим, что прибавление сюда уже небольшого члена, пропорционального Т4,
достаточно для того, чтобы с хорошей точностью уложить на кривую все
экспериментальные точки; так, проведенная на рис. 1 сплошная линия соот-
соответствует выражению 2,82 + 0,38 Т2 — 0,017 Т4. Разлагать химический потен-
потенциал жидкого Не3 по степеням Т2 — естественно (ввиду некоторой аналогии с
вырожденным ферми-газом, термодинамические величины которого при низ-
низких температурах разлагаются именно по степеням Т2). Тем не менее вряд ли
возможно придавать реальный смысл получающемуся таким образом значе-
значению коэффициента при Т4, поскольку это сделано на основании данных, отно-
относящихся к температурам, слишком близким к критической точке C,35 °К), где
поправки на неидеальность пара должны уже быть значительными; ввиду от-
отсутствия достаточно точных данных об уравнении состояния газообразного Не3
сколько-нибудь достоверное введение таких поправок в настоящее время не
представляется возможным.
21. О теплоемкости жидкого гелия Не3 289
Выражению A) соответствует значение теплоты испарения Не3 при Т = О, рав-
равное 5,5 кал/моль, и теплоемкость:
С = 0,76 RT = 1,5 Т кал/моль. B)
Укажем для сравнения, что теплоемкость вырожденного ферми-газа
(составленного из частиц той же массы и с той же объемной плотностью, удель-
удельный объем ^38 см3/моль [3]) составила бы 1,0 RT.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. Abraham, D. Osborne, В. Weinstock. Phys. Rev., 80, 366, 1950.
[2] И.Я. Померанчук. ЖЭТФ, 20, 919, 1950.
[3] Е. Grilly, E. Hammel, S. Sydoriak. Phys. Rev., 75, 1103, 1949.
22
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ТЕЧЕНИЯ
ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ
Совместно с Л.Д. Ландау
ДАН, 96, 725, 1954
Рассмотрим отражение слабого разрыва (разрыв первых производных ско-
скорости по координатам) от звуковой линии. Точку их пересечения выбираем в ка-
качестве начала координат х, у, а ось х — вдоль направления скорости в этой точ-
точке; тогда ей соответствует начало координат и в плоскости годографа т], 0 1). Пусть
падающему разрыву соответствует в плоскости годографа характеристика Оа
(см. рис. 1). Непрерывность координат х, у на разрыве означает непрерывность
первых производных Ф^, Ф0. Напротив, вторые производные от Ф(т|, 0) выража-
выражаются через первые производные скорости по координатам и потому должны ис-
испытывать разрыв. Сами же функции Ф в областях 1 и 2 по обе стороны харак-
характеристики Оа не должны иметь на ней никаких особенностей. Такое решение
уравнения Эйлера—Трикоми Фщ — г|Ф00 = 0 имеет вид
'—, —, 3; с] A)
в области 1, и такой же вид с другой постоянной С вместо В — в области 2. Пер-
Первый член здесь есть наиболее низкое по степеням 0 и г\ частное решение, не
приводящее ни к каким особенностям течения в физической плоскости (ср. [1],
§ 111). Второй же член приводит к скачку вторых производных по Ф при непре-
непрерывных первых (это есть второй член в [1] A10,6) с к = 11/12). В A) введено
обозначение С = 1 — Dг|3/9б2).
Отраженному от звуковой линии разрыву соответствует вторая характери-
характеристика (ОЪ). Вид функции Ф вблизи нее устанавливается путем аналитического
продолжения функций A) согласно формулам [1] A10, 11 — 13) (в которых надо
при этом положить к = 11/12 + е, после чего стремить г к нулю). В результате
вычисления для функции Ф в области 4 вблизи характеристики ОЪ получается
следующее выражение, в котором сохранены члены вплоть до порядка С,2
включительно:
385 7 ^
f Н)П/6 {С21п|С| - 108 + 41ДС+ 4,86С2} B)
('ф (z) = r;(z)/r(z), ч — постоянная Эйлера). Аналогичное преобразование функ-
функции Ф в области 1 от окрестности Оа к окрестности ОЪ дает такое же выражение
22. Исследование особенностей течения
291
B) с С/2 вместо Б. Условие непрерывности координат х, у на отраженном раз-
разрыве приводит, следовательно, к соотношению С = 2Б.
Условие положительности якобиана А = д(х,у)/д($,гц) выполняется вблизи
Оа (где А —А2), а вблизи ОЪ, вычисление при помощи B) дает
16C
1/6
При приближении к ОЪ In |tj —> —оо, а потому из условия А > 0 имеем АВ > 0.
На падающем разрыве (характеристика 0 = + 2/г|3/2) имеем х = Ф^ = —А0,
у = Фо = — Ат\. Поскольку скорость газа направлена в положительном направ-
направлении оси х, то этот разрыв, для того чтобы быть «приходящим» по отношению
к точке пересечения, должен лежать в полуплоскости х < 0. Отсюда следует,
что постоянная А, а с нею и Б, С положительны. Уравнение линии разрыва в
физической плоскости будет:
гJ/3. C)
Уравнение же отраженного разрыва получается дифференцированием по 0
и т\ функции B) и гласит
-у = 1,31 А11ъх2'ъ + 115БА-5/6х5/6, D)
где сохранен также и поправочный член, отсутствующий в C).
Рис. 1
Отр.
разрыв разрыв
Рис. 2
Для определения формы линии перехода производим аналитическое продол-
продолжение функции A) в область вблизи оси. Вблизи верхней полуоси получим
и/б 2ГA/3)
= -Ат]0-Б|0|
= -Ат]0-6,25Б|0|
и/б
E)
ГA7/12)ГB3/12)
а вблизи нижней полуоси — такое же выражение с л/ЗБ вместо Б (здесь сохране-
сохранены лишь члены наиболее низких степеней по т\). Производя дифференцирование
по 0 и т| и положив затем т\ = 0, получим следующие уравнения двух ветвей ли-
линии перехода:
у =-11,4БА5/6 (-хM/6, у =11,4л/ЗБА-5/6х5/6.
F)
292
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Взаимное расположение всех линий показано на рис. 2, где обозначения линий и
областей соответствуют обозначениям на рис. 1.
Разрыв производных скорости на падающем разрыве можно характеризо-
характеризовать скачком производной (дт\/дх) = — Ф00/Д. Вычисление при помощи A) дает:
дт\
в
G)
На отраженном же слабом разрыве производные скорости вообще не испыты-
испытывают скачка, но распределение скоростей имеет своеобразную трансцендент-
трансцендентную особенность. Вычислив из функции B) (сохранив в ней лишь первый член в
скобках) координаты х, у, можно представить зависимость т\ от х при заданном у
в следующем параметрическом виде:
I3/2,
tv 3
^-CinKI,
где С, играет роль параметра, а х = хо(у) — уравнение линии разрыва в физичес-
физической плоскости.
Уравнение Эйлера—Трикоми должно быть применено и к вопросу о воз-
возможности окончания ударной волны вниз по течению при ее пересечении со
звуковой линией (точка О на рис. За, по отношению к которой ударная волна яв-
является «приходящей») *); вблизи такой точки интенсивность ударной волны была
бы малой, т. е. течение — около-
околозвуковым. Нами были рассмотрены
различные варианты картины те-
течения, отличающиеся, в частности,
числом характеристик, оканчиваю-
оканчивающихся в точке О (при этом следует
учитывать, что на «приходящих» ха-
характеристиках не должно быть ни-
никаких особенностей, так как таковые
могли бы возникнуть лишь от каких-
Рис. 3. Сплошные линии — ударная волна,
пунктир - звуковая линия либ° посторонних причин, не имею-
щих отношения к окончанию ударной
волны). Ни в одном из этих вариантов, однако, не удается построить решение
уравнения Эйлера—Трикоми, которое бы удовлетворяло всем необходимым ус-
условиям. Не существует, повидимому, и решений, которые соответствовали бы
окончанию ударной волны вместе со звуковой линией в точке их пересечения
(рис. 36). Мы полагаем поэтому (хотя и не имеем строгого доказательства этого
утверждения), что ударная волна не может «окончиться», а потому должна либо
х) Что касается «начала» ударной волны, то оно может иметь место в любой точке сверхзвуково-
сверхзвукового потока, и исследование его свойств не представляет особых затруднений (ср., например, [1], § 107).
22. Исследование особенностей течения 293
уходить на бесконечность либо перегибаться, как это показано на рис. Зв, так что-
чтобы быть «исходящей» по отношению к обоим своим концам. Последний случай дол-
должен, во всяком случае, иметь место для ударной волны, возникающей в местной
сверхзвуковой зоне.
Сделаем также некоторые замечания по поводу формы местной сверхзву-
сверхзвуковой зоны, образующейся при обтекании с М < 1. До тех пор, пока в ней не
возникает ударной волны, эта зона должна целиком примыкать к поверхнос-
поверхности обтекаемого тела. В противном случае звуковая линия, проходя позади
тела, хотя бы в одной точке была бы перпендикулярна линии тока, будучи
при этом обращена своей вогнутостью в сторону сверхзвуковой зоны; между
тем в такой точке звуковая линия может быть вогнута лишь в сторону дозву-
дозвуковой области (см., например, [1], § 111). Если же граница сверхзвуковой обла-
области проходит позади тела (что, во всяком случае, должно наступить при каких-
то значениях М, достаточно близких к 1), то эта граница должна складываться
как из звуковой линии, так и из куска пересекающей ее ударной волны (при-
(причем, однако, в точках пересечения интенсивность ударной волны отнюдь не об-
обращается в нуль).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред, 2-е изд., 1953.
23
ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
МЕЖДУ КОНДЕНСИРОВАННЫМИ ТЕЛАМИ
ДАН СССР, 97, 643, 1954
Теория междумолекулярных сил притяжения (силы взаимодействия между
нейтральными частицами на расстояниях R, больших по сравнению с их собствен-
собственными размерами) может быть, как известно, полностью построена при помощи
квантово-механической теории возмущений. Лондоном [1] было показано, что энер-
энергия этого взаимодействия пропорциональна R~6. Этот закон, однако, становится
неприменимым на расстояниях R настолько больших, что становятся существен-
существенными эффекты запаздывания электромагнитных взаимодействий. В предельном
случае достаточно больших расстояний энергия взаимодействия, согласно Кази-
Казимиру и Польдеру [2], пропорциональна К~ч.
Наличие сил притяжения между нейтральными атомами приводит, есте-
естественно, к появлению аналогичных сил «молекулярного сцепления» и между
двумя макроскопическими телами, поверхности которых сближены до очень
малых расстояний (десятки ангстрем и больше). Обычно принято вычислять эти
силы, исходя из известного взаимодействия отдельных атомов (см., например [3]).
Между тем, такой способ был бы законен лишь для неосуществимого случая двух
разреженных тел, т. е. газов. Для конденсированных же тел нельзя рассчиты-
рассчитывать на получение этим путем сколько-нибудь точных количественных резуль-
результатов, и даже их качественная правильность a priori сомнительна.
К этому вопросу можно, однако, подойти и чисто макроскопическим обра-
образом (поскольку расстояние между телами предполагается большим по сравне-
сравнению с междуатомными расстояниями). Основная идея излагаемой здесь мак-
макроскопической теории состоит в том, что взаимодействие тел рассматривается
как осуществляющееся через посредство флуктуационного электромагнитно-
электромагнитного поля, которое всегда присутствует внутри всякой поглощающей среды и вы-
выходит также и за его пределы, — частично в виде излучаемых телом бегущих
волн, частично в виде стоячих волн, экспоненциально затухающих с удалением
от поверхности тела. Необходимо подчеркнуть, что это поле не исчезает и при
абсолютном нуле температуры, когда оно связано с нулевыми колебаниями поля
излучения.
Основанный на таком рассмотрении метод вычисления сил взаимодействия
обладает полной общностью, будучи применим к любым телам при любых тем-
температурах. В нем автоматически учитываются также и эффекты запаздыва-
запаздывания, становящиеся существенными при достаточно больших расстояниях меж-
между телами. В предельном случае разреженных сред метод должен приводить,
23. Теория молекулярных сил притяжения 295
конечно, к тем же результатам, которые получаются путем рассмотрения взаи-
взаимодействия отдельных атомов. Здесь мы укажем лишь основные предпосылки
теории и получающиеся результаты.
При вычислении флуктуационного электромагнитного поля мы следуем
развитому СМ. Рытовым [4] методу, основанному на введении в уравнения
Максвелла стороннего «случайного» поля, функция корреляции которого в
различных точках пространства зависит только от свойств вещества, но не от
формы тела. Оба тела представляем себе в виде двух полупространств, раз-
разделенных щелью ширины I. Достаточно определить поле внутри этой щели,
после чего искомую силу взаимодействия F, действующую на 1 см2 поверх-
поверхности каждого из тел, можно найти по соответствующей компоненте макси-
максимального тензора напряжений. Результат оказывается возможным предста-
представить в виде двойного комплексного интеграла, в котором одной из перемен-
переменных интегрирования является частота монохроматических компонент поля.
Из этого выражения должен еще быть исключен расходящийся член, не за-
зависящий от расстояния I и потому не имеющий отношения к силе притяже-
притяжения между телами (сила F(l) должна обращаться в нуль при I —> оо); этот рас-
расходящийся член представляет собой силу обратного действия собственного
поля тел на сами эти тела, которая в действительности компенсируется таки-
такими же силами на двух сторонах тела.
Температура тел может оказать существенное влияние на взаимодействие тел.
Это влияние сказывается, однако, лишь на достаточно больших расстояниях I; оно
будет рассмотрено в следующем сообщении. Здесь же мы изложим результаты,
относящиеся к случаю, когда температуру тел можно считать равной нулю. После
ряда преобразований путей интегрирования в комплексном интеграле сила F мо-
может быть представлена окончательно в следующем виде 1)\
00 00
f=4t/J|
2-тг с J J
О 1
s-p
-1
-1
s-ep)
s = yje — .
Здесь /г и с имеют общий смысл; е(и) есть комплексная диэлектрическая прони-
проницаемость вещества как функция частоты, в A) входят значения этой функции
мнимого аргумента, который мы обозначаем как г^. Как известно, функция e(i^)
чисто вещественна и пробегает положительные значения от некоторого е0 > 1
(электростатическая диэлектрическая постоянная) при е = 0 до 1 при е = оо. По-
Посредством формулы
,.t, , 2 °fue"(u) 7
е (г^) — 1 = - / — аи;
функция e(i^) может быть выражена через значения мнимой части функции e(uj)
(е = е; + iz", е > 0) при вещественных значениях и.
1) Для упрощения записи формул мы ограничиваемся здесь и ниже случаем одинаковых тел.
296 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Формула A) дает принципиально возможность вычислить силу F при любом
расстоянии I, если только для данных тел известна функция e(i^) или, согласно
B), их функция е"(и).
Формула A) упрощается в различных предельных случаях. Пусть I мало по
сравнению с основными длинами волн, фигурирующими в спектре поглощения
вещества. Благодаря наличию е2Р^/с в знаменателях подинтегрального выраже-
выражения в A) основную роль при интегрировании по dp играют такие значения р, что
р^1/с ~ 1. При этом р ^> 1, а потому s — р. Введя новую переменную интегрирова-
интегрирования х = р^1/с и сделав соответствующие пренебрежения, получим из A)
00 00 „
h f Г х dxdj
С практически достаточной точностью эту формулу можно написать в виде
^A,JMUi. D)
Если предполагать обе среды достаточно разреженными, то их е — 1 близко
к нулю. Используя B), можно привести тогда формулу C) или D) к виду
0 0 х
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией
3/г г Г sf (и, )е/;(оо9) 7 7
U = —-—- I I ± s- otu;1au;2
(iV — число атомов в единице объема), что в частности соответствует формуле
Лондона, которая, таким образом, получается здесь макроскопическим путем
(при сравнении надо учесть известную связь lue^fiu) =Bт12?2/т) iV/(w) между е"
и «спектральной плотностью» /(оо) сил осцилляторов).
Для оценки точности и области применимости предельного закона C) укажем,
что следующий член разложения функции F(l) есть
П
Конкретная оценка, однако, невозможна без знания функции e(iQ.
Обратимся к обратному предельному случаю расстояний, больших по срав-
сравнению с основными длинами волн. В интеграле A) снова вводим перемен-
переменную х = 2р?Д/с, но в качестве второй переменной оставляем р, а не ?,. В интег-
интеграле по dx играют роль значения х ~ 1, а поскольку р ^ 1, то аргумент функции
e(ixc/2pl) при больших I близок к нулю во всей существенной области значений
23. Теория молекулярных сил притяжения
297
переменных. Поэтому можно заменить е просто ее значением е0 при ? = 0. В ре-
результате получим следующий предельный закон:
F =
he
0 1
+ Р
so -P
[dpdx,
G)
s0 = л/е0 - 1 + Р2
Таким образом, в этом случае сила пропорциональна I 4 и зависит только от элек-
электростатического значения е0.
При малой разности е0 — 1 G) дает
F = —-(ео-1J, (8)
640tv2 Z4 v '
что соответствует взаимодействию атомов с энергией U = — B3/4тг.К7)а2, где
а = (е0 — l)/4TviV — статическая поляризуемость атома. Этот результат совпа-
совпадает с результатом [2], который, таким образом, тоже получается здесь макро-
макроскопическим путем.
Представив формулу G) в виде
F =
he
240
ео-1
+ 1
(9)
приведем значения функции ф(ео)> полученные путем численного интегрирова-
интегрирования в G):
1/е0 0 0,025 0,1 0,25 0,50 1
ф(е0) 1 0,53 0,41 0,37 0,35 0,35
Для металлов надо положить е0 = оо, и тогда G) дает просто F = /гсп2/240 I4".
Этот результат был получен уже ранее Казимиром [5] специальным методом,
применимым именно только к этому случаю.
Для оценки точности формул G) —(9) снова надо найти следующий член разло-
разложения функции F(l). Для двух металлов это можно сделать, воспользовавшись для
е(ио) формулой ? = —^ъ12п/ть:2 (п — плотность числа свободных электронов), хо-
хорошо передающей ход изменения е(и) в области инфракрасных частот, которые
как раз оказываются здесь существенными. При этом получается
240
A0)
(второй член здесь, конечно, уже не мог бы быть получен методом, использован-
использованным в [5]). Так, положив ориентировочно п = 5,9 • 1022 см~3 (для Ag), найдем, что
условие малости поправочного члена есть I ^> 5500A.
Количественное сравнение изложенных результатов с экспериментом в на-
настоящее время вряд ли возможно. Прямые измерения сил молекулярного при-
притяжения между телами весьма трудны и, повидимому, единственной работой, в
298 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
которой удалось устранить все побочные эффекты, является работа И.И. Абри-
Абрикосовой и Б.В. Дерягина [6]. Согласно данным этих авторов, энергия притяжения
кварцевых пластин составляет при I = 0,15 мкм около 1 • 10~5 эрг/см2. Это значе-
значение, повидимому, не противоречит теории, но точное сравнение невозможно, так
как без знания оптических характеристик в достаточно большой области частот
нельзя построить функцию ^(г^).
Выражаю искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за обсуждение рас-
рассмотренных здесь вопросов. Я благодарен также И.Г. Крутиковой, которая про-
произвела упомянутые в тексте численные расчеты.
ЛИТЕРАТУРА
[1] F. London. Zs. f. Phys., 60, 491, 1930.
[2] H.B.G. Casimir, D. Polder. Phys. Rev., 73, 360, 1948.
[3] H.R. Kruyt. Coil. Sci., Amsterdam, 1, 1952.
[4] СМ. Рытое. Теория электрических флуктуации и теплового излучения. Изд. АН СССР,
1953.
[5] H.B.G. Casimir. Proc. Ned. Akad. Wetensch., 60, 793, 1948.
[6] И.И. Абрикосова, Б.В. Дерягин. ДАН, 90, 1055, 1953; Б.В. Дерягин, И.И. Абрикосова.
ЖЭТФ, 21, 495, 1951.
24
О ВРАЩЕНИИ ЖИДКОГО ГЕЛИЯ
Совместно с Л.Д. Ландау
ДАН СССР, 100,669, 1955
Согласно основным представлениям теории жидкого гелия II [1], «сверхтеку-
«сверхтекучая часть» массы жидкости может совершать лишь потенциальное движение и,
в частности, не может принимать участия во вращении жидкости как целого (на-
(например в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси). Как извест-
известно, этот вывод теории был подтвержден в опытах Э.Л. Андроникашвили, позво-
позволивших непосредственно измерить таким путем отношение ps/pn как функцию
температуры.
В этих опытах жидкость приводилась во вращательное колебательное дви-
движение с большим периодом (и, соответственно, с малой линейной скоростью). В
дальнейшем были поставлены также опыты с быстрым равномерным вращени-
вращением жидкого гелия в цилиндрическом сосуде [2, 3]; в опытах Андроникашвили
линейная скорость жидкости достигала 40 см/с, а в опытах Осборна — до 70 см/с.
При этом, однако, оказалось, что глубина образующегося мениска соответствует
вращению всей массы жидкости, а не только ее «нормальной части».
Цель настоящей заметки состоит в том, чтобы указать на возможное объяс-
объяснение этих экспериментальных результатов, вытекающее естественным обра-
образом из соображений термодинамической устойчивости.
При вращении (с заданной угловой скоростью Q) обычной жидкости термо-
термодинамическое равновесие достигается тогда, когда жидкость вращается как
целое. При вращении же жидкого гелия II увлечение всей его массы требовало
бы перехода жидкости целиком в несверхтекучую фазу (гелий I), что было бы
связано с большой затратой энергии и потому не может соответствовать тер-
термодинамическому равновесию. С другой стороны, и вращение одной только
нормальной части массы тоже не является энергетически наиболее выгодным.
Естественно предположить, что наиболее выгодным состоянием, соответству-
соответствующим термодинамическому равновесию, будет «слоистая» структура вращаю-
вращающейся жидкости, заключающаяся в следующем. При вращении сосуда нормаль-
нормальная часть массы гелия вращается как целое, а в отношении сверхтекучего дви-
движения цилиндрический объем жидкости разбивается на ряд коаксиальных
цилиндрических слоев, границы между которыми являются поверхностями тан-
тангенциальных разрывов сверхтекучей скорости. В каждом из этих слоев имеет
место сверхтекучее вращательное движение с круговыми линиями тока и скоро-
скоростью, распределенной по закону
»W=^-, A)
300 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где г — расстояние до оси цилиндра, а Ьг — постоянная, различная для разных
слоев (которые мы нумеруем индексом г). Это распределение удовлетворяет
уравнению непрерывности несжимаемой жидкости (div vs = 0) и в то же время
условию потенциальности (rot vs = 0), необходимому для сверхтекучего дви-
движения. На границах слоев скорость vs испытывает по своей величине скачки.
Наличие хотя бы одного такого разрыва, во всяком случае, необходимо для осу-
осуществления потенциального вращения; распределение A) не может простирать-
простираться на весь объем жидкости, так как на оси цилиндра скорость обращалась бы в
бесконечность.
Вращение сверхтекучей части массы жидкости увеличивает ее эффектив-
эффективный момент инерции и, тем самым, является энергетически выгодным. В об-
обратном направлении, однако, действует возникновение поверхностей разрыва.
Скачок скорости означает наличие «поверхностного ротора» скорости, т. е. пред-
представляет собой нарушение потенциальности течения и, таким образом, некото-
некоторое «местное» нарушение сверхтекучести. Оно требует определенной затраты
энергии, что может быть описано, с макроскопической точки зрения, путем
приписывания поверхности разрыва некоторого коэффициента поверхностно-
поверхностного натяжения а. Представляется естественным предположить, что при малых
значениях скачка скорости а стремится к постоянному пределу; это означало
бы необходимость конечной затраты энергии для всякого «местного» наруше-
нарушения сверхтекучести.
Термодинамическому равновесию при каждом данном значении Q соответ-
соответствуют определенные размеры слоев. По мере увеличения Q толщина слоев, ес-
естественно, убывает, и при достаточно больших скоростях вращения слои стано-
становятся очень тонкими. С внешней стороны такое движение будет полностью ими-
имитировать вращение всей массы жидкости как целого, что и наблюдается,
повидимому, в эксперименте. Наличие истинной слоистой структуры должно, од-
однако, проявляться в не вполне ровной, «зазубренной», поверхности мениска.
Подчеркнем, что описанное движение, как соответствующее термодина-
термодинамически равновесному равномерному вращению, тем самым является термо-
термодинамически обратимым, т. е. не сопровождается диссипацией энергии. В этом
отношении имеющее здесь место нарушение сверхтекучести отличается от
нарушений, происходящих при так называемых критических скоростях.
Произведем количественный расчет при сделанном выше предположении о
постоянстве а. Свободная энергия (при заданной температуре) вращающегося
цилиндра с жидкостью равна:
= + ^PEb? ln^+2™^>i+1+— B)
(R — радиус цилиндра; I — момент инерции сосуда; индекс г = 0, 1, 2,... нуме-
нумерует последовательные слои в направлении снаружи внутрь, так что г = 0 со-
соответствует слою, прилегающему к стенке сосуда; ri— радиусы границ разде-
раздела между слоями, причем ro = R). Первые два члена представляют собой кине-
кинетическую энергию, соответственно, нормального и сверхтекучего движений, а
третий — поверхностную энергию разрывов. В термодинамическом равнове-
равновесии должна быть минимальна (при заданных температуре и Q.) величина
24. О вращении жидкого гелия
301
F1 = F — Mft, где M — момент импульса вращающейся системы (см., например,
[4]). В данном случае
Ю2
D)
Первые два члена в F' не зависят от наличия слоев, и ниже мы их опускаем.
Минимизируя Ff по Ьг, получим:
1п^-
Гг+1
E)
(При малых толщинах слоев Ъ стремится к Qr2, что соответствует вращению жид-
жидкости как целого.) Соответствующее значение Ff:
Ff =
_\
А
(г2 -¦
_^1
F)
где введены безразмерные величины х = rjR и безразмерный параметр
X = Л ° R
8а
Рассмотрим предельный случай X <С 1 (медленное вращение). В этом случае
оказывается, что 1 ^> хх ^> х2 ^> ... В связи с этим каждый следующий член
суммы в F) оказывается малым по сравнению с предыдущим, и для определе-
определения каждого хг + х достаточно минимизировать один член суммы при заданных
значениях предыдущих хг. Вводя отношение ?,г+1 =xi+1/x{ <cl, напишем отдель-
отдельный член суммы в F) в виде хг [^+1 + \хг3/1п^+1] и из условия его минимальнос-
минимальности по
+ х
получим
G)
Таким образом, уже при любой малой скорости вращения возникает беско-
бесконечное множество слоев, радиусы хг которых асимптотически сгущаются по на-
направлению к оси цилиндра (в действительности, разумеется, малые толщины
слоев ограничены атомными расстояниями, и потому число слоев велико, но не
бесконечно). Наибольший из радиусов дается соотношением — vxi 1пЛ/х1 = л/\/2.
В обратном предельном случае X ^> 1 (быстрое вращение) весь объем жид-
жидкости разбивается на тонкие слои, причем на не слишком малых (по сравне-
сравнению с R) расстояниях г от оси толщины h слоев медленно меняются от слоя к
302
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
слою. В пределе h —> 0 энергия F' соответствовала бы вращающейся как целое
жидкости:
Вычитая эту величину из F) и разлагая по степеням А = h/R, получим для
избыточной энергии слоистой структуры, отнесенной к единичному интервалу
значений х (т. е. на 1/А слоев), следующее выражение:
[ х
\ —
[А
4\
—
3
Минимизируя его по А, получим
ч1/3
За
1/3
(8)
чем и определяется искомая толщина слоев.
Не зная а, можно попытаться получить ориентировочную оценку численно-
численного значения /г, составляя величину требуемой размерности (размерность h3Q2)
из следующих макроскопических величин: температура перехода кТх, плот-
плотность р, скорость второго звука и. Таким способом получим
1/3
Взяв для и характерное значение ^20 м/с, получим h3Q2 ~ 0,3. Так, для угло-
угловых скоростей 8—16 об/с (как в [2]) эта оценка дает для h значение около 0,05 см.
Вопрос о детальной картине неровности поверхности мениска связан с фор-
формой слоев вблизи их выхода к свободной поверхности жидкости и требует особо-
особого рассмотрения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Ландау. ЖЭТФ, 11, 592, 1941.
[2] D.V. Osborne. Proc. Phys. Soc, 63 A, 909, 1950.
[3] Э.Л. Андроникашвили. Исследования по гидродинамике сверхтекучести. Диссерта-
Диссертация, 1948.
[4] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика, М.-Л., 3-е изд., § 26, 1951.
25
ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
НА МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ
МЕЖДУ КОНДЕНСИРОВАННЫМИ ТЕЛАМИ
ДАН СССР, 100,879, 1955
В предыдущем сообщении [1] были изложены результаты развитой автором
теории молекулярных сил притяжения между конденсированными телами,
относящиеся к случаю, когда температуру тел Т можно считать равной нулю.
Исходя из общей формулы, определяющей силу взаимодействия для произ-
произвольных расстояний между поверхностями, были, в частности, рассмотрены
предельные случаи расстояний, малых и больших по сравнению с основными
длинами волн X, фигурирующими в спектре поглощения данных тел. В первом
случае (I <С X) сила взаимодействия F дается формулой C) в [1], а во втором
G>Х) — формулами G)-(9).
При I <С X условие, позволяющее пренебрегать влиянием температуры на
силу взаимодействия, заключается, грубо говоря, в неравенстве кТ <С ftu;, где
lj ~ с/Х. Для тех температур, о которых может идти речь у конденсированных
тел, это условие, во всяком случае, выполняется, так что при вычислении F
можно полагать Т = 0.
На больших же расстояниях I влияние температуры может стать суще-
существенным. Характеристическая температура, связанная с длиной I, есть hc/kl,
и условие, позволяющее пренебречь температурой, есть, грубо говоря, кТ <С hc/l.
При достаточно малых I это условие слабее указанного выше, но при больших
значениях I оно может нарушиться.
Возникает также вопрос о совместности условия I <С hc/кТ с условием I ^> X.
Всегда, конечно, существуют такие низкие температуры, при которых эти ус-
условия совместны и, следовательно, должны быть справедливыми предельные
(для I ^> X) законы, найденные в [1]. Но, например, при комнатной температуре
условия могут оказаться противоречащими друг другу, и тогда рассматривать
взаимодействие на расстояниях I ^> X, полагая при этом Т = 0, вообще нельзя.
Вывод формулы, определяющей силы взаимодействия при произвольных,
не равных нулю, температурах, основан на тех же общих представлениях о
флуктуационном характере этих сил, которые были изложены в [1]. Разница
заключается лишь в том, что в формулах, определяющих средние квадраты
флуктуационного поля, появляется в виде множителя планковская функция
1 1 1 , Йи
^7^ + - = -Cth-
2 2 2кТ'
304
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
сводящаяся при Т = 0 к 1/2 (нулевые колебания поля). Функция cth (fkj/2/cT)
имеет бесконечное множество полюсов, расположенных на мнимой оси и и
равных
Ч. = iin = гЩ^-п, п = 0,1,2,... A)
Это обстоятельство очень существенно при преобразованиях комплексного
интеграла, определяющего силу F.
Мы приведем здесь окончательные результаты вычислений. Для упроще-
упрощения записи формул будем предполагать оба тела одинаковыми. Общая форму-
формула для силы взаимодействия гласит:
п=0
sn — р
Sn +?nP
dp,
(все обозначения те же что в [1]); штрих у знака суммы означает, что член с
п = 0 должен быть взят с половинным весом.
Эта формула позволяет, принципиально, вычислить силу F при любых зна-
значениях I и любой температуре. Мы видим, что и при Т ^± 0 для этого достаточно
знать значения функции e(i^n).
При Т —> 0 интервалы между значениями ?п тоже стремятся к нулю, сумми-
суммирование по п можно заменить интегрированием по d^, и мы возвращаемся к
формуле A) в [1], не содержащей температуры. Поправочные члены к этой
формуле можно найти исходя из точного выражения B), воспользовавшись
известной формулой суммирования Эйлера
где / (п) — функция, обращающаяся при п —> оо в нуль вместе со всеми свои-
своими производными. В данном случае роль этой функции играет интеграл, стоя-
стоящий в B) под знаком суммирования. Для взаимодействия двух металлов можно
произвести вычисления, воспользовавшись, как и в A) для е(и) выражением
е = — 4ие2/тоо2 (N — плотность числа свободных электронов). При вычислении I
предполагается малым по сравнению с hc/кТ, но все же большим по сравне-
сравнению с характерной для металла «длиной волны» (с/е)<Jm/N . Тогда получаем:
240
48 AкТ
~9~1~Йс~
C)
Так, при комнатной температуре поправочный член мал уже если I <С 5 мкм.
В [1] же была получена оценка I ^> 0,5 мкм как условие применимости форму-
формулы F = (iY2/240)fic/Z4. Мы видим, что при комнатной температуре область при-
применимости хотя и узка, но все же существует.
25. Влияние температуры на молекулярные силы притяжения 305
В обратном предельном случае больших значений lkT/hc из всех членов сум-
суммы в B) надо сохранить лишь первый (п = 0). Введя предварительно в интеграле
новую переменную х = {^idkT/he) рп вместо р, получим
o -
(е0 — электростатическое значение диэлектрической постоянной). С практичес-
практически достаточной точностью можно написать
кТ
Все следующие члены суммы в B) при больших 1кТ/Нс убывают экспоненци-
экспоненциально. Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы взаи-
взаимодействия замедляется и снова (как и при I <С X) происходит по закону 1/13; коэф-
коэффициент в этом законе зависит теперь от температуры и от электростатической
диэлектрической постоянной. Это обстоятельство, по-видимому, до сих пор в
литературе никем не было отмечено.
Выражаю искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за обсуждение рас-
рассмотренных здесь вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Лифшиц. ДАН, 97, 643, 1954. [Статья 23 настоящего собрания трудов].
26
ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
ЖЭТФ, 29, 94, 1955
Развита макроскопическая теория взаимодействия тел, поверхности которых сближены до
очень малых расстояний. Взаимодействие рассматривается при этом как осуществляющее-
осуществляющееся через посредство флуктуационного электромагнитного поля. Рассмотрены предельные
случаи расстояний в малых и больших по сравнению с длинами волн в областях поглощения
тел. При переходе к предельному случаю разреженных сред получаются ван-дер-ваальсовы
силы взаимодействия между отдельными атомами. Рассмотрено влияние температуры на
взаимодействие тел.
Силы взаимодействия между двумя нейтральными атомами, находящимися
на большом (по сравнению с их собственными размерами) расстоянии R друг от
друга, сводятся, как известно, к притяжению, обратно пропорциональному R7.
Эти так называемые ван-дер-ваальсовы силы получаются во втором приближе-
приближении теории возмущений, примененной к электростатическому взаимодействию
двух диполей. Такое рассмотрение, однако, возможно лишь до тех пор, пока рас-
расстояние R мало по сравнению с длинами волн X, соответствующими переходам
между основным и возбужденными состояниями атома. При R > X становятся
существенными эффекты запаздывания. Взаимодействие атомов с учетом этих
эффектов было рассмотрено Казимиром и Польдером [1]. При этом роль опера-
оператора возмущения играет сумма электростатического взаимодействия атомов и
их взаимодействия с полем излучения. Последнее, обычным образом, можно на-
наглядно рассматривать как результат испускания и поглощения виртуальных
квантов. По отношению к этому взаимодействию теория возмущений должна
применяться вплоть до членов четвертого порядка, и вычисления становятся
довольно громоздкими. В предельном случае R = X сила притяжения оказывает-
оказывается пропорциональной не R~7, a R~8.
Наличие сил притяжения между нейтральными атомами приводит, естествен-
естественно, к появлению аналогичных сил и между двумя макроскопическими телами,
поверхности которых сближены до очень малых расстояний. Вычисление этих
сил, исходя из известного взаимодействия отдельных атомов, было бы возмож-
возможно, однако, лишь для достаточно разреженных тел, т. е. газов, — случая, кото-
который фактически, разумеется, не может быть осуществлен. К этому вопросу мож-
можно, однако, подойти и чисто макроскопическим образом (поскольку расстояние
между телами предполагается большим по сравнению с междуатомными рас-
расстояниями). При этом взаимодействие тел рассматривается как осуществляю-
осуществляющееся через посредство флуктуационного электромагнитного поля, которое все-
всегда присутствует внутри всякой поглощающей среды и выходит также и за ее
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 307
пределы — частично в виде излучаемых телом бегущих волн, частично в виде
стоячих волн, экспоненциально затухающих с удалением от поверхности тела.
Необходимо подчеркнуть, что это поле не исчезает и при абсолютном нуле тем-
температуры, когда оно связано с нулевыми колебаниями поля излучения.
Основанный на таком рассмотрении метод вычисления сил взаимодействия
обладает полной общностью, будучи применим к любым телам при любых тем-
температурах. В нем автоматически учитываются также и эффекты запаздыва-
запаздывания, становящиеся существенными при достаточно больших расстояниях между
телами. В предельном случае разреженных сред метод должен приводить, ко-
конечно, к тем же результатам, которые получаются путем рассмотрения взаи-
взаимодействия отдельных атомов.
1. Вычисление флуктуационного электромагнитного поля
Представим взаимодействующие тела в виде двух сред, заполняющих полу-
полупространства с плоскопараллельными границами, отстоящими друг от друга на
расстояние I (рис. 1). Для вычисления флуктуационного поля
внутри обеих сред и в пространстве между ними мы воспользу-
воспользуемся общей теорией, принадлежащей Рытову и подробно изло-
изложенной им в его книге [2].
Этот метод основан на введении в уравнения Максвелла сто-
стороннего «случайного» поля (подобно тому, например, как вво-
вводится «случайная сила» в теории броуновского движения).
В диэлектрической немагнитной среде эти уравнения для мо-
монохроматического поля (временной множитель е~г'^) l) гласят
rotE = i-H, гоШ = -г-еЕ-г-К, A.1) РисЛ
где е = е (и) — комплексная диэлектрическая проницаемость, а К — «случай-
«случайное» поле. Основной характеристикой последнего является функция корреля-
корреляции, определяющая среднее значение произведения компонент К в двух раз-
различных точках пространства. По самому смыслу введения «случайного» поля в
макроскопической теории флуктуации, в которой атомные расстояния рас-
рассматриваются как пренебрежимо малые, эта корреляция имеет характер
6-функции. Согласно Рытову, она дается формулой
0 /
, A.2)
где Т — температура в эргах, а г" — мнимая часть ? = ef + ie" (для квазистацио-
квазистационарной области частот аналогичная формула была получена Леонтовичем и Ры-
товым [4]).
*) Вопрос о том, как надо понимать монохроматические компоненты величин, не разложимых
в обычном смысле в интеграл Фурье (как это имеет место для флуктуационного поля), разобран,
например, в [2], § 2, [3], § 117.
308 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Функцию К(х, у, z) представляем в виде интеграла Фурье, который для полу-
полупространства х < 0 пишем в виде:
K{x,y,z)= I g(k)e'qrcosfcxxdk. A.3)
— 00
Здесь и ниже мы обозначаем посредством q двумерный вектор с компонентами
к , kz (так что к2 = кх2 + q2), а посредством г — радиус-вектор в плоскости у, z.
Для компонент Фурье g (k) функция корреляции, соответствующая простран-
пространственной корреляции A.2), есть ([2], § 4):
— 6i/c6(k-k). A.4)
Перейдем теперь к решению уравнений A.1) с надлежащими граничными усло-
условиями на поверхностях обеих сред. В среде 1 (х < 0) ищем поля Е и Н в виде:
+ 00 +00
г г
J X X J
— 00 —00
+ 00
Hi =— [ {([Wi] + K [nb1])cos/cxx+i([qb1]+/cx [na1])sin/cxx}e'qrdk + A.5)
(a) J
+ 00
С Г
ш J iii
—оо
где п — единичный вектор в направлении оси х, а
-e.-q2, A.6)
причем корень берется с таким знаком, чтобы мнимая часть s была положитель-
положительна 2). Первое из уравнений A.1) здесь уже использовано.
Первые члены в этих выражениях представляют собой решение неоднород-
неоднородных уравнений A.1). Подставляя их во второе уравнение A.1) и написав К в
виде A.3), найдем следующие соотношения, выражающие а: и Ц, через фурье-
компоненты g: «случайного» поля:
я —
Ь
1
/9 9 / 9 \
К
0 °1в
igir) + q&*]. (i.7)
Индексом г здесь и ниже отмечены двумерные векторы в плоскости у, z.
Вторые же интегралы в A.5) представляют собой решение однородных урав-
уравнений A.1) (уравнения без К), отвечающее отраженному от границы среды полю
плоских волн. Условие поперечности этих волн гласит:
ulrq-Slulx =0. A.8)
2) Поскольку мнимая часть подкоренного выражения ujV'/c2 положительна, то при Im s > 0 бу-
будет также и Re s > 0.
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 309
Во второй среде (полупространство х > I) поле Е2, Н2 дается такими же фор-
формулами A.5), A.7), A.8) с заменой индекса 1 на 2, заменой cos kxx, sin kxx на
cos kx(x — 1), sin kx(x — l) и изменением знака перед s («отраженные» волны рас-
распространяются здесь в положительном направлении оси х). Наконец, в простран-
пространстве между обеими средами (вакуум) имеем г = 1, К = 0 и поле дается общим
решением однородных уравнений, которые мы напишем в виде:
_+ff грх -грх-1 ,-,,
J ^ ^
— 00
+ 00
Н3 =^J {([qv] + p[nv])e^+([qw]-p[nw])e-^}eiqrdq, A.9)
где
a v и w удовлетворяют условиям поперечности
vrq + pi>x=O, wrq — pwx = 0. A-11)
Граничные условия на поверхностях сред требуют непрерывности тангенци-
тангенциальных компонент Е и Н. На плоскости х = 0 это дает следующие уравнения:
alrd/cx+ulr =vr+wr,
(qalx-kxblr)dkx+qulx+s1ulr =q(vx +wx) -p(vr +wr). A.12)
Условия на плоскости х = l отличаются заменой sv a1? b1? v, w соответственно на
-s2, a2, b2, \егр\ we~ipl.
Совокупность граничных условий и условий поперечности определяет все
амплитуды полей. Для дальнейшего нам понадобится только поле в простран-
пространстве между средами. При заданном значении q разложим vr и wr по направле-
направлениям взаимно перпендикулярных векторов q и [nq], которые выберем в каче-
качестве осей соответственно у и z. Вычисление приводит к следующим формулам
для компонент v и w, выражающим их через амплитуды g «случайного» поля:
+ГР[ i
+ 00
310 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где введены обозначения:
А1 = е^1 (s, - p)(s2 -р)- е~*'1 (s,+ p)(s2+ p).
Величина q пробегает значения от нуля до бесконечности. При этом р пробе-
пробегает вещественные значения от и/с до нуля и чисто мнимые значения от нуля до
гоо. Первые соответствуют незатухающим плоским волнам в пространстве меж-
между двумя средами, а вторые — экспоненциально затухающим (так называемым
«неоднородным») плоским волнам.
2. Вычисление силы притяжения
Силу F взаимного притяжения, действующую на единицу поверхности каж-
каждого из тел мы вычислим как хх-компоненту максвелловского тензора напря-
напряжений. Результат вычисления этого тензора при помощи полученных выше
выражений для монохроматических компонент поля должен еще быть проин-
проинтегрирован по всем частотам. При том определении компонент Фурье по вре-
времени, к которым относится, в частности, формула A.3), интегрирование по cLo
должно было бы производиться в пределах от —оо до +оо. Мы же будем интег-
интегрировать лишь по положительным значениям и и в связи с этим удвоим обыч-
обычное выражение тензора напряжений. Таким образом,
{ -Е\х -Hl}x=odu. B.1)
О О
Черта над буквой обозначает статистическое усреднение, которому должны быть
подвергнуты фурье-компоненты g «случайного» поля. Усреднение компонент g,
относящихся к одной и той же среде, производится при помощи A.4) (с соответ-
соответствующим значением е"). Величины же g: и g2, относящиеся к различным сре-
средам, статистически независимы, и их произведения обращаются при усредне-
усреднении в нуль.
Написав обычным образом квадраты интегралов A.9) в виде двойных интег-
интегралов и произведя одно интегрирование по 6-функциям, получим после неко-
некоторых преобразований
+00 00
F,= —
ш
-оо О
2 p*
P
|2
+ ^-|vz + wj2 +^-|vz -^|2 \2-Kqdqdkx. B.2)
причем в качестве v, w сюда должны быть подставлены подынтегральные вы-
выражения из A.13), а средние произведения g"^ надо понимать просто как
(Ае///4т13Nг7с. Интегрирование по dkx производится при помощи формулы
+00
7
dk
|s2|(s-s*
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 311
Интегрирование же по dq заменим интегрированием по dp согласно qdq = pdp.
После ряда преобразований можно представить F^ в следующем виде:
F. = Acth^~ rr
ш 4ty 2T
-1
-+K.C,
B.3)
где к.с. обозначает комплексно-сопряженное выражение, а интегрирование по
dp производится в плоскости комплексного переменного р по отрезку (оо/с, 0)
вещественной оси и по всей верхней части мнимой оси.
Существенно, что оказывается возможным представить F^ в виде веществен-
вещественной части интеграла от аналитической функции р, несмотря на то, что выраже-
выражение B.2) получается в результате взятия квадратов модулей компонент поля.
Это удается сделать, если учесть, что на нашем контуре интегрирования р либо
чисто вещественно, либо чисто мнимо. Подынтегральное выражение в B.3) со-
совпадает с подынтегральным выражением в B.2) (после проведения в последнем
интегрирования по dkx и замены qdq на pdp) именно при таких значениях р. Но,
убедившись в этом, можно уже затем рассматривать это выражение как анали-
аналитическую функцию во всей плоскости комплексного переменного р, что дает
возможность различным образом менять путь интегрирования.
Выражение B.2) само по себе конечно, но содержит члены, расходящиеся
при интегрировании по cLo. Таков член с и3, возникающий при интегрировании
по dp членов с 1/2 в фигурных скобках. Этот расходящийся член, однако, не
зависит от расстояния I между телами и потому не имеет отношения к интере-
интересующей нас силе их взаимного притяжения и должен быть опущен. Он пред-
представляет собой силу обратного действия собственного поля тел на сами эти
тела, которая в действительности компенсируется такими же силами на дру-
других сторонах тела.
Для дальнейшего исследования интеграла B.3) изменим в нем обозначения,
заменив р на шр/с и s на ljs/c. Опустив также члены с 1/2, имеем окончательно
-1
F =
П
Re Г fpVcth^
J J * 2T
Г f
J J
s1 -?1p)(s2-?1p)
- 1 + p2
Sl-p)(s2-p)
-1
vc -1
dpdu,
B.4)
s2 =
Пути интегрирования по dp и cLo изображены на рис. 2а жирными линиями.
Если температуру тел можно считать равной нулю (необходимые для этого
условия будут выяснены ниже), то cth Huj/2T в B.4) заменяется единицей. Рас-
Рассмотрим сначала формулу B.4) именно в этом случае.
Формула B.4) неудобна тем, что имеет комплексную форму, и тем, что подын-
подынтегральное выражение содержит осциллирующее (на вещественной части пути
312
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
интегрирования по р) выражение г 2грш*/с. Последнее обстоятельство в особенно-
особенности затрудняет вычисление интеграла при больших значениях I, когда осцилля-
осцилляция становится очень быстрой. Эти затруднения можно ликвидировать путем
соответствующих изменений путей интегрирования в плоскостях комплексных
переменных и и р. Именно, преобразуем эти пути так, чтобы по dp интегрирова-
интегрирование велось только по вещественным, а по cLo только по мнимым значениям; тогда
показатель в е~2грл^с будет везде вещественным.
Р
1
Рис.2
Обозначим, для краткости, правые верхние квадранты плоскостей и и р (вме-
(вместе с соответствующими граничными полуосями) соответственно как QL0 и Qp.
Разобьем путь интегрирования по dp в B.4) на две части и рассмотрим сначала
ту, в которой р пробегает вещественные значения от единицы до нуля. Имея в
виду изменить путь интегрирования по ckj с вещественной положительной полу-
полуоси на мнимую, мы должны исследовать вопрос о существовании особых точек у
подынтегрального выражения как функции и в области QL0.
Согласно известным общим свойствам функции е(и) ее мнимая часть г" > О
везде в QL0, за исключением только мнимой оси, где г" = 0. На последней е(и)
вещественна и положительна, монотонно убывая от некоторого значения е@) > 1
при и = 0 до единицы при и = гоо. Поэтому корень s = -ye - 1 + р2 = s' + is"
(с вещественным р) нигде в QL0 не обращается в нуль, т. е. не имеет точек вет-
ветвления. Отсюда, в свою очередь, следует, что неравенства sf > 0, sff > 0, спра-
справедливые на вещественной полуоси, справедливы и везде в QL0.
Полюсами подынтегрального выражения могли бы являться корни знамена-
знаменателей в B.4), т. е. корни уравнений
[S1 +p)(s2 +p) ojyul/c (Sl + ?iP) (S2 + ?lP) r2iyul/c /9 f-4
[Sl - p) [S2 - p) [Sl - Ejp) (s2 - Ejp)
Но в силу положительности sr, s", e" (в области QJ легко видеть, что при веще-
вещественном р модули
s — р s — ер
а поскольку |е2гРш*/с | < 1, то ясно, что уравнения B.5) не могут иметь корней. Та-
Таким образом, подынтегральное выражение не имеет особенностей в QL0. Оно так-
также достаточно быстро убывает на бесконечности, и потому путь интегрирования
по cLj может быть перенесен на мнимую ось.
Далее, обратимся к той части интеграла, в которой р пробегает чисто мнимые
значения от нуля до гоо. Здесь надо изменить оба пути интегрирования — как по
dp, так и по cLj. Однако нельзя сделать эти изменения в простой последователь-
последовательности, так как, например, нельзя доказать в общем случае отсутствие полюсов у
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 313
подынтегрального выражения в QL0 при любом мнимом значении р. Но при интег-
интегрировании функции нескольких (в данном случае двух) комплексных перемен-
переменных имеется значительно большая свобода в смещении контуров. Именно, мож-
можно перейти от интегрирования по некоторым контурам Сш и Ср к интегрированию
по другим путям С^ и Ср, если есть хотя бы какой-нибудь способ одновременного
смещения путей, при котором они не пересекают особых точек интегрируемой
функции. В данном случае таким способом может являться одновременное сме-
смещение путей в квадрантах QL0 и Qp, при котором произведение гоор остается веще-
вещественным (и, очевидно, отрицательным) числом
Im {ги;р} = 0, Re {гшр} < 0. B.6)
Этому условию удовлетворяют, в частности, начальные пути (вещественная по-
полуось и, мнимая полуось р) и конечные пути (мнимая полуось и, вещественная
полуось р).
Фактически такой способ преобразования можно, например, осуществить,
вводя в исходном интеграле вместо и вещественную положительную перемен-
переменную х = — iujp, переводя затем интегрирование по dp с мнимой оси на веще-
вещественную (при заданных значениях х) и, наконец, снова вводя и теперь уже
как мнимую величину lj = ix/p. Точек ветвления подынтегральное выраже-
выражение не имеет и здесь, так как s могло бы обратиться в нуль лишь при одновре-
одновременно чисто мнимых значениях и и р, что исключается условием B.6). Поэто-
Поэтому необходимо лишь доказать отсутствие корней уравнений B.5) для значе-
значений р в области Qp при любом вещественном значении х. Для первого из этих
> 1 вообще при
уравнении это не представляет труда, так как модуль
s — р
всех и и р в QL0 и Qp, в чем легко убедиться, учитывая, что sf > 0, sff > 0. Для
второго же из уравнений B.5) исследование значительно сложнее. Мы ука-
укажем здесь ход доказательства, для упрощения предполагая обе среды одина-
одинаковыми. Из равенства:
=е-2*г, s = Mixlv)-l+p\ B-7)
заключаем, что (s + ep)/(s — ер) должно быть вещественным числом, по абсолют-
абсолютной величине меньшим единицы. Отсюда, в свою очередь, следует, что между
значениями комплексных величин s, p, e должна иметься связь вида
s=-aep, a>0, B.8)
где а — какое-либо положительное вещественное число, такая связь возможна,
как легко убедиться, лишь при г1 < 0. Тем самым сразу исключается, в частно-
частности, возможность наличия корней при таких значениях х и р, когда аргумент
функции е(гх/р) очень мал или очень велик, так как в обоих этих случаях заве-
заведомо г1 > 0. Невозможны также корни при очень больших значениях р, так как
тогда s « р и из B.8) следовало бы s = —I/a, т. е. вещественное отрицательное
значение s, что невозможно.
314 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Сначала докажем, что уравнение B.7) не имеет корней при сколь угодно ма-
малых значениях параметра I. Очень большие значения х исключаются, как указа-
указано при любых I. При конечных х правая сторона уравнения B.7) стремится к еди-
единице при I —> 0. Левая сторона уравнения может стремиться к единице лишь при
р —> 0 (так как s нигде в нуль не обращается). Но тогда должно быть их^О (так,
чтобы отношение х/р оставалось конечным), и правая сторона уравнения B.7)
будет стремиться к единице при I —> 0 быстрее чем левая, так что при достаточно
малых I корней во всяком случае не будет.
Далее, докажем, что корни отсутствуют при любом значении I на границах
области Qp 3). Действительно, бесконечно большие значения р исключаются, как
указано выше, а ось абсцисс (вещественные р) исключается, так как функция
е(гх/р) от мнимого аргумента вещественна и положительна. Ось же ординат (мни-
(мнимые р) исключается, так как при таких р соотношение B.8), возведенное в квад-
квадрат, дало бы квадратное уравнение для е:
eV|p|2+e-(l + |p|2) = 0,
откуда следовало бы, что е — вещественно, что невозможно (при вещественном
аргументе гх/р).
При постепенном увеличении I корни могли бы «заползти» в область Qp
лишь через ее границы. Поэтому отсутствие корней при сколь угодно малых
значениях I и отсутствие корней на границах области Qp, при произвольных I
доказывает отсутствие корней при произвольных I и везде в Qp 4).
Таким образом, требуемое изменение путей интегрирования может быть про-
произведено в обеих частях интеграла. При их сложении интегралы по dp в
пределах от нуля до единицы взаимно сокращаются, и в результате получаем
следующее выражение для силы взаимодействия (при Т = 0):
F=-
Л +Р)E2+Р)с2рЩс Х
^ -p){s2 -р)
+
-1 _
' dpd^ B.9)
(пути интегрирования показаны графически на рис. 26). Здесь введено обозна-
обозначение и = г? для мнимых значений и, а под гг и е2 везде надо понимать веще-
вещественные функции е^г^) и ?2(г0- Знак Re опущен, поскольку написанное выра-
выражение явно вещественно. Формула B.9) дает, принципиально, возможность
вычислить силу F при любом расстоянии I, если только для обоих тел известны
функции e(i^). Последние же, как известно, могут быть выражены через зна-
значения мнимой части функции е(и) при вещественных и посредством
f*-- BЛ0>
3) За исключением лишь несущественного тривиального корня р = 0 при х = 0, положение ко-
которого не зависит от I.
4) «Заползание» через точку uj = 0 тоже исключается: для этого при некотором значении I точ-
точка uj = О должна была бы стать двойным корнем, что не имеет места.
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 315
Таким образом можно сказать, что закон взаимодействия тел полностью опреде-
определяется заданием их функций e"(ui) (мы увидим в разд. 5, что это остается спра-
справедливым и при отличной от нуля температуре).
3. Случай малых расстояний
Рассмотрим сначала предельный случай расстояний I, малых по сравне-
сравнению с длинами волн, фигурирующими в спектре поглощения данных тел (бо-
(более точную формулировку этого условия см. ниже). Температуры, о которых
может идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по срав-
сравнению с играющими здесь роль значениями ftu; (например, в видимой области
спектра). Поэтому можно считать, что Т « 0 и, соответственно, пользоваться
формулой B.9).
Благодаря наличию экспоненциально возрастающего множителя е2р^/с в зна-
знаменателях подынтегрального выражения, основную роль при интегрирова-
интегрировании по dp играют такие значения р, что p^l/с ~ 1. При этом р = 1 и потому при
определении главных членов можно положить sx « s2 « р. В этом приближении
первый член в квадратных скобках в B.9) обращается в нуль. Второй же член,
после введения переменной интегрирования х = 21р^/с, дает 5)
00 00
П f f x dxdj ( ,
1 бтг I J *-
(нижний предел 2^/с интегрирования по dx заменен в этом же приближении
нулем). Формула C.1) определяет силу притяжения в предельном случае ма-
малых I. Она оказывается обратно пропорциональной кубу расстояния, что, впро-
впрочем, и следовало ожидать в соответствии с обычным законом ван-дер-ваальсо-
вых сил между двумя атомами (без учета запаздывания). Функция e(^) — 1
монотонно убывает с увеличением ?,, стремясь к нулю. Поэтому значения ?,,
начиная с некоторого ? ~ ?0, перестают вносить существенный вклад в интег-
интеграл; условие малости I означает, что должно быть I = сД0.
Покажем, каким образом осуществляется в C.1) предельный переход к вза-
взаимодействию отдельных атомов. Для этого предполагаем обе среды достаточно
разреженными. Тогда разности гг — 1 и е2 — 1 близки к нулю, и из C.1) имеем,
с должной точностью,
5) Этот же результат можно было бы получить и непосредственно из формулы B.4) с путями
интегрирования из рис. 2а, если наметить, что основной вклад в интеграл дает интегрирование по
мнимым значениям р. Мнимые значения р, как уже было указано, соответствуют экспоненциаль-
экспоненциально затухающим «неоднородным» плоским волнам. Вполне естественно, что именно эта часть флук-
туационного поля (а не незатухающие, истинные плоские волны) дает основной вклад в силу
взаимодействия на расстояниях, на которых еще не играют роли эффекты запаздывания.
316
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Выражая e(^) через значения e/f(uj) на вещественной оси и согласно B.10), по-
получим
о о
и для силы F находим
—W.P1
1 бтг I
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией
?/ = —
3ft
8ir4K6iV2
C.2)
C.3)
где iV — число атомов в единице объема [C.2) получается отсюда интегрировани-
интегрированием по двум полупространствам и последующим дифференцированием по рас-
расстоянию I между ними]. Формула C.3) в точности совпадает с известной форму-
формулой Лондона [5], получающейся при помощи обычной теории возмущений, при-
примененной к дипольному взаимодействию двух атомов. При сравнении следует
учесть, что мнимая часть е(и) связана со спектральной плотностью /(и) «сил ос-
осцилляторов» соотношением
/m)Nf]
силы же осцилляторов обычным образом выражаются через квадраты матрич-
матричных элементов дипольного момента атома.
Формулу C.1) можно представить с практически вполне достаточной точно-
точностью в более простом виде. Предположим, для краткости, что оба тела — одина-
одинаковые. Интеграл по dx в C.1) зависит, как
от параметра, от величины [(е + 1)/(е — I)]2,
принимающей значения, не меньшие еди-
единицы (единица достигается при е —> оо). На
рис. 3 дан график интеграла
1,2
1Д
1,0
_L
_L
1
2 -J ae^
-1
Рис. 3
как функция параметра а. Этот интеграл
стремится к единице при а —> 0, но мы ви-
видим, что даже при а = 1 он отличается от единицы всего на 20%, причем это
отличие убывает с ростом а очень быстро. Поэтому фактически можно напи-
написать формулу C.1) в виде
F =
C4)
(и аналогично для разных тел).
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 317
Для оценки точности полученного предельного закона взаимодействия полезно
иметь следующий член разложения функции F(l). Вычисление при помощи той
же общей формулы B.9) дает (для одинаковых тел) выражение
:Т-
-di,
C.5)
которое должно быть добавлено к C.4). Однако нельзя сделать конкретную
оценку области применимости предельного закона без знания конкретной
функции e(^).
4. Случай больших расстояний
Перейдем к обратному предельному случаю расстояний, больших по сравне-
сравнению с основными длинами волн в спектре поглощения тел. И здесь будем сначала
считать температуру равной нулю, о смысле этого приближения в данном слу-
случае см. ниже.
В общей формуле B.9) снова вводим новую переменную интегрирования
х = 2рК,/с, но в качестве второй переменной оставляем не ?, (как в разд. 3), а р:
-1
F =-
he
00 00 о
J J V
о 1
sl + p){s2 + р)
s1 -p)(s2 -p)
ех -
si -?1p)(s2-?1p)
ex -
dpdx,
D.1)
= e\i
xc
'2pl
s =
. xc
'2pl
p2
Благодаря наличию ех в знаменателях, в интеграле по dx играют роль зна-
значения х ~ 1, а поскольку р > 1, то аргумент функций е при больших I близок к
нулю во всей существенной области значений переменных. В соответствии с
этим можно заменить гг и е2 просто их значениями при и = 0, т. е. электростати-
электростатическими диэлектрическими постоянными, которые обозначим как е10, е2о- У ме~
таллов, как известно, функция е(и) стремится к бесконечности при и —> 0, по-
поэтому для них надо будет считать е0 = оо. Таким образом, получим окончатель-
окончательно следующий результат
-1
-е- -1
F =
he
32тг2Г
(S1
00 00 о
¦Я?
П 1 Г
О 1
+P)(S2
OlO -P)(S20 -P)
-е~ -.
dpdx,
D.2)
S-i n — '
-1 + P2
= Ve2o -1 +:
Сила притяжения оказывается здесь обратно пропорциональной Z4. Замечатель-
Замечательно, что в этом предельном случае она зависит только от электростатических ди-
диэлектрических проницаемостей обеих сред.
318 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Интегрирование по dp в D.2) может быть произведено в элементарных функ-
функциях, после чего остается однократный интеграл по dx, зависящий от двух
постоянных параметров е10 и е20. Мы не станем выписывать здесь соответствую-
соответствующих весьма громоздких общих выражений, тем более что для целей численного
интегрирования удобнее, по-видимому, исходить непосредственно из двойного
интеграла D.2).
Рассмотрим некоторые частные случаи. В особенности простой результат
получается для двух металлов. Положив е10 = е20 = оо, получим
he Г Г х dpdx
F =
- Г Г xdpdx =*1J?- ( }
16тЛ4 J J р2(ех -1
Эта сила вообще не зависит от рода металлов [это свойство не имеет места на
малых расстояниях (разд. 3), где величина взаимодействия зависит от функции
е(^) при всех значениях ?,, а не только при ? = 0]. Формула D.3) совпадает с фор-
формулой, полученной Казимиром [6] для это-
этого специального случая путем рассмотре-
рассмотрения собственных колебаний поля в щели
между двумя стенками, идеально отража-
отражающими на всех частотах.
Для двух одинаковых диэлектриков
(е10 = е20 = е0) приведем результат, полу-
чающийся из D.2) путем численного ин-
тегрирования:
j . . | где ф(е0) — функция, значения которой
0 8 . Q даны на графике рис. 4 (кривая ДД). При
е0 —> оо эта функция стремится к едини-
Рис-4 це по закону
1^г D-5)
(эта формула, однако, точна лишь при очень больших значениях е0). При е0 —> 1
функция ф(е0) стремится к конечному пределу 0,35, соответствующему пре-
предельному закону D.7) (см. ниже). Этот предел, однако, фактически достигается
уже при е0 « 4, после чего ф(е0) остается практически постоянной.
На том же рис. 4 изображена кривая (ДМ) аналогичной функции, определя-
определяющей силу притяжения между металлом и диэлектриком (е10 « оо, е2о = ?о) по
формуле:
Наконец, произведем в формуле D.2) переход к взаимодействию отдельных
атомов. Как и в разд. 3, для этого предполагаем обе среды достаточно разрежен-
разреженными, т. е. разности е10 — 1 и е20 — 1 — малыми.
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 319
Сохранив в подынтегральном выражении в D.2) лишь первый неисчезающий
член разложения по этим разностям, получим
или
fir 9 Я
v 10 / V 20 / * V ' /
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией
и = 23Пс (slo-D(s,o-l) =
64ty3K7 N2 4tyK7 l 2 V J
где av a2 — статические поляризуемости обоих атомов. Эта формула совпадает с
результатом работы [1] для ван-дер-ваальсовых сил с учетом запаздывания, ко-
который, таким образом, получается здесь из макроскопического рассмотрения.
Для оценки точности и области применимости полученных формул снова
надо, как и в разд. 3, найти следующий член разложения функции F(l) 6). Сде-
Сделаем это для случая двух металлов, которые будем при этом считать одина-
одинаковыми.
Формула D.3) получается из D.1), если положить в последней гг = е2 — °°-
Если же мы хотим получить также и следующий член разложения, то надо
воспользоваться тем видом функции е(оо), который справедлив в существен-
существенной при интегрировании области частот. Как мы видели, таковой является
область и/с ~ 1/1, т. е. X ~ I. Соответственно, мы положим
е (и) = - 4Tie2JV/mu;2, D.9)
где N — плотность числа свободных электронов в металле, эта формула доста-
достаточно хорошо, для наших целей, передает общий ход изменения е(и) в инфра-
инфракрасной области спектра 7). При подстановке в D.1) надо заменить и на гхс/2р\,
и, разлагая подынтегральное выражение по степеням 1/1, получим
F =
с
15 el
32tt2Z4
откуда окончательно
^4 240 I ' eZ VJV I'
Так, положив ориентировочно N = 5,9 • 1022 см~3 (для серебра), найдем, что вто-
второй член мал по сравнению с первым, если I ^> 0,6 мкм.
6) Если положить е(г?,) = 1 + a/(ojo2 + ^,2) (так что е0 = 1 + a/ojo2), то вычисление F по формулам
C.4) и D.4) показывает, что оба значения сравниваются при I = c/uj0. Эта оценка дает основания
заключить, что характерным критерием является сравнение I не с самими длинами волн в обла-
областях поглощения, а с \/2тг.
7) При еще больших значениях X функция е(ш) переходит в е = 4тггст/ш, где о — обычная электро-
электропроводность металла. Соответствующая область частот, однако, дает очень малый вклад в рассмат-
рассматриваемый интеграл.
320 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Отметим, что найденный здесь следующий член разложения не мог бы быть
получен методом, примененным в [6] для получения первого члена.
5. Влияние температуры на силу взаимодействия
В то время как в предельном случае малых расстояний (разд. 3) при оп-
определении силы взаимодействия фактически всегда можно считать темпе-
температуру тел равной нулю, на больших расстояниях влияние температуры мо-
может стать существенным. Забегая вперед, укажем, что условие, позволяю-
позволяющее положить Т = 0, есть, грубо говоря, IT /he = 1. При достаточно низких
температурах это условие, конечно, всегда может быть совместным и с усло-
условием, определяющим нижнюю границу значений I, при которых справедлив
предельный закон, полученный в разд. 4. Но, например, при комнатной тем-
температуре эти два условия могут оказаться противоречащими друг другу, и
тогда область применимости полученных в разд. 4 предельных законов фак-
фактически отсутствовала бы.
Для получения формул, учитывающих влияние температуры, вернемся к ис-
исходному выражению B.4) и посмотрим, в каком отношении должны быть
изменены при Т ^± 0 преобразования, которые при Т = 0 привели к форму-
формуле B.9). Функция cth (ftu;/2T) имеет бесконечное множество полюсов, располо-
расположенных на мнимой оси и равных
Ч. i?n i n, E.1)
где п — целые числа. Поэтому при смещении пути интегрирования по dw на
мнимую ось надо обходить эти полюсы по полуокружностям (как показано на
рис. 2в). Именно эти обходы дают вклады в вещественную часть интеграла,
равные умноженным на гЧ вычетам подынтегрального выражения относитель-
относительно полюсов (интегрирование же по участкам мнимой оси между полюсами дает
чисто мнимые величины, выпадающие при взятии Re).
Точка с п = 0 (и = 0) требует особого рассмотрения. На первый взгляд может
показаться, что эта точка не является полюсом подынтегрального выражения в
интеграле по cLo в B.4) благодаря наличию в нем множителя иА Этот множитель,
однако, исчезает при интегрировании по dp [ср. также выражение B.3) для FJ.
Наличие полюса в точке и = 0 не приводит, разумеется, к расходимости в B.4),
так как при стремлении и —> 0 вдоль вещественной оси расходящийся вклад в
интеграл — чисто мнимый и выпадает при взятии Re [это наиболее ясно видно
из выражения B.3) для Fu, остающегося конечным при и = 0].
Для того чтобы учесть это обстоятельство при преобразовании пути интег-
интегрирования, будем считать, что интегрирование по cLo в B.4) производится от
некоторого достаточно малого 6 до оо (а не от нуля до оо), вещественная часть
интеграла от этого, согласно сказанному выше, не изменится. При смещении
же пути интегрирования на мнимую ось добавится еще обход по четверти
малой окружности вокруг точки и = 0 (рис. 2в). Этот обход дает вклад в интег-
интеграл, равный соответствующему вычету, умноженному на ги/2.
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 321
Для упрощения записи формул будем ниже предполагать оба тела одинако-
одинаковыми, обобщение формул для различных тел, на основании общего вида фор-
формулы B.4), очевидно. Таким образом, получаем следующую формулу
П=0
dp,
E.2)
Штрих у знака суммы означает, что член с п = 0 должен быть взят с половин-
половинным весом. Вводя вместо р переменную интегрирования х = рп, перепишем
E.2) в виде
F =
П3с3
*fy' Г
X
n=0
ns + х
n n
2tyT
E.3)
Формула E.2) или E.3) дает, принципиально, возможность вычислить силу
F при любых значениях I и любой температуре. Мы видим, что и при Т ^± 0 для
этого достаточно знать значения функции e(i^).
При Т —> 0 расстояния между полюсами тоже стремятся к нулю, суммиро-
суммирование по п можно заменить интегрированием по d^, и мы возвращаемся к
формуле B.6), не содержащей Т. Определив же первый поправочный член к
этой формуле, можно установить критерий, позволяющий полагать Т = 0 при
вычислении силы притяжения. Сделаем это для металлов, применив, как и в
разд. 4, для е(ио) формулу D.9).
Согласно известной формуле суммирования Эйлера, для функции /(п), об-
обращающейся при п^оо в нуль вместе со всеми своими производными, имеем
n=0
В данном случае роль функции f(n) играет интеграл, стоящий под знаком сум-
суммирования в E.3). При вычислении мы предполагаем I малым по сравнению с
Нс/Т, но все же большим по сравнению с характерной для металла величиной
(с/е) y/m/N . Тогда /г@) = О, /"(О) = 2 и таким образом
240
1-— —
9 [he
E.4)
Так, при комнатной температуре поправочный член мал уже, если I < 5 мкм,
и сравнение с критерием, полученным в разд. 4, показывает, что в этом случае
имеется область применимости полученных там формул 8).
8) С функцией е = 4тггст/ш (ср. примечание 7 на стр. 319) мы получили бы еще значительно более
высокий верхний предел для I.
322 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В обратном предельном случае больших значений IT /he из всех членов сум-
суммы в E.3) надо сохранить лишь первый (п = 0):
_ .... . , x2dx
г —
ЯС o[(eo+l)/(so-l)fexp^*j-l
ИЛИ
сю о / \2
Т Г т с\т Т р —1 Г
F=-^J 2 х Й-7Г1 ' E'5)
Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы взаимо-
взаимодействия замедляется и снова происходит по закону 1/13 с коэффициентом,
зависящим от температуры и от электростатического значения диэлектричес-
диэлектрической проницаемости. Это обстоятельство, по-видимому, до сих пор в литературе
никем не было отмечено.
Все следующие члены суммы E.3) при больших IT /he убывают экспоненци-
экспоненциально. Так, для двух металлов с учетом первого поправочного члена получается
F =
8-гсГ
2
1+21^±1| ехр{-4ттТг/Йс}
E.6)
Скажем несколько слов о сравнении результатов изложенной в этой статье
теории с экспериментом. Прямые измерения сил молекулярного притяжения
весьма трудны, и, по-видимому, единственной работой, в которой удалось уст-
устранить все побочные эффекты, является работа Абрикосовой и Дерягина [7].
Эти авторы измеряли силу притяжения между кварцевыми пластинами на рас-
расстояниях 0,1—0,4 мкм. Точное сравнение с теорией требовало бы достаточно пол-
полного знания оптических характеристик вещества в его областях поглощения,
без чего нельзя построить функцию e(^), однако характер поглощения в квар-
кварце позволяет произвести приближенную теоретическую оценку9). Учитывая
грубость такой оценки, а также возможные погрешности измерений, можно кон-
констатировать удовлетворительное согласие между теорией и эксперименталь-
экспериментальными данными.
В заключение выражаю искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за об-
обсуждение рассмотренных здесь вопросов. Я благодарен также И.И. Абрикосо-
Абрикосовой и Б.В. Дерягину за обсуждение экспериментальных данных и И.Г. Крути-
Крутиковой, которая произвела упомянутые в тексте численные расчеты.
9) Кварц обладает сильным поглощением в ультрафиолетовой (начиная примерно с 0,15 мкм и
в инфракрасной (начиная с нескольких мкм) областях, между которыми он прозрачен. Использо-
Использованные в опытах расстояния попадают в область прозрачности и для оценки можно считать, что I
мало по сравнению с \/2тг (ср. примечание 6 на стр. 319) правой и велико по сравнению с левой
границами поглощения. Вклад ультрафиолетовой области поглощения в силу F можно оценить по
формуле D.4), положив в ней е0 равным квадрату коэффициента преломления в оптической обла-
области прозрачности. Вклад же инфракрасной области дается формулой C.4); по порядку величины
он в Ljo/c раз (uj0 — инфракрасные частоты поглощения) меньше и при грубой оценке F им можно
пренебречь. Таким образом, для силы получается закон ?~4 с определенным указанным образом
коэффициентом. Такая оценка занижена со стороны больших и завышена со стороны меньших
расстояний.
26. Теория молекулярных сил притяжения между твердыми телами 323
ЛИТЕРАТУРА
[1] H.B.G. Casimir, D. Polder. Phys Rev, 73, 360, 1948.
[2] СМ. Рытое. Теория электрических флуктуации и теплового излучения, Изд-во АН
СССР, 1953.
[3] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика, 3-е изд., Гостехиздат, 1951.
[4] М.А. Леонтович, СМ. Рытое. ЖЭТФ, 23, 246, 1952.
[5] F. London. ZS. F. Phys, 60, 491, 1930.
[6] H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 60, 793, 1948.
[7] И.И. Абрикосова, Б.В. Дерягин. ДАН СССР, 90, 1055, 1953; И.И. Абрикосова. Диссерта-
Диссертация, Ин-т физ. хим. АН СССР, 1954.
27
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКОГО ГЕЛИЯ
Совместно с ИМ. Халатниковым
Nuovo Cimento, N 4 del Supplemento al v. 3, sec. X, 735, 1957
1. Введение
Цель настоящей статьи — дать краткий обзор теоретических работ по гидроди-
гидродинамике сверхтекучего гелия, выполненных Л. Ландау и авторами (микроскопичес-
(микроскопические проблемы теории сверхтекучести в этой статье не рассматриваются). Мы на-
надеемся, что такой обзор может быть тем более полезен, что эти вопросы широко
дискутируются в текущей литературе и существует мнение, будто бы даже про-
проблема фундаментальных гидродинамических уравнений в жидком гелии еще не
решена окончательно. Например, в недавнем обзоре Дж. Г. Даунта и Р.С. Смита [1]
обсуждаются восемь различных уравнений на равных основаниях.
2. Гидродинамические уравнения сверхтекучей жидкости
Между тем, точную систему гидродинамических уравнений для сверхтеку-
сверхтекучей жидкости можно получить абсолютно однозначно, отталкиваясь от усло-
условий, накладываемых законами сохранения и принципом относительности Гали-
Галилея, а также от определенных свойств движения, являющихся следствием мик-
микроскопической теории сверхтекучести [2—4]. Вот эти свойства: в жидкости одно-
одновременно осуществляется два различных движения с разными скоростями vs и
vn; «сверхтекучее движение» всегда потенциально (rot vs = 0) и не переносит энт-
энтропию; перенос энтропии осуществляется только «нормальным движением» со
скоростью vn.
Запишем плотность потока массы жидкости j в виде суммы двух слагаемых
i = psvs+pnvn, A)
первое из которых отвечает сверхпроводящему, а второе — нормальному движе-
движению. Величина j является также импульсом единицы объема движущейся жидко-
жидкости. Сумма ps + pn равна истинной плотности жидкости р; величины ps и рп являются
функциями температуры, давления и относительной скорости w = vn — vs. Сохра-
Сохранение массы представляется уравнением непрерывности
|^ 0, B)
а сохранение импульса — уравнением
27. Гидродинамика жидкого гелия 325
где Пг7с — тензор плотности потока импульса (здесь и в дальнейшем суммирова-
суммирование ведется по всем дважды встречающимся индексам тензора).
Начнем с уравнений, не учитывающих диссипативные процессы в жидкости.
Первое уравнение описывает сохранение энтропии:
*M + div(pSvn) = 0, D)
где s — энтропия одного грамма жидкости. Выражение psvn для плотности пото-
потока энтропии соответствует тому, что энтропия переносится только нормальным
движением.
Еще одно уравнение, описывающее ускорение сверхтекучей жидкости, дол-
должно быть составлено таким образом, чтобы был обеспечен потенциальный ха-
характер движения:
^ E)
где ф — скалярная функция.
Гидродинамические уравнения B) —E) должны автоматически приводить к
выполнению закона сохранения энергии, выражающегося уравнением вида:
^ + divq = 0, F)
где Е — энергия одного кубического сантиметра жидкости, a q — плотность пото-
потока энергии. Что же касается еще не определенных величин Пг7с, q, ip, то их форма
может быть найдена с помощью принципа относительности Галилея.
Пусть К — лабораторная система отсчета, а Ко — система, движущаяся от-
относительно К со скоростью, равной скорости сверхтекучей компоненты vs в сис-
системе К. Согласно основным формулам преобразований механики значения всех
величин в системе К связаны с их значениями в системе Ко (которые мы отлича-
отличаем индексом нуль) следующими соотношениями:
j = pvs+jo, G)
^ (8)
q =
pvs
~2~
~2
2
2
(9)
uik = pvsivsk + vsijok + vskjOi + UOik A0)
(здесь (novs) обозначает вектор с компонентами UQikvsk).
Поскольку в системе Ко существует только нормальное движение со скоростью
w = \п — vs, все величины с индексом 0 зависят только от разности w, а не от \п
или vs в отдельности. В частности, вектора j0 и q0 направлены вдоль w, и j0 есть
просто pnw.
326 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, формулы G) — A0) определяют зависимость искомых величин от
vs при заданном w.
Энергия Ео удовлетворяет термодинамическому соотношению
dE0 = <S>dp + Td(ps) + wdj0, A1)
где Ф — свободная энергия Гиббса одного грамма жидкости. Последний член от-
отражает тот факт, что производная от энергии по импульсу есть скорость дви-
движения.
Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. Подставим Е и q из (8) и
(9) в уравнение F), причем вычислим dEQ/dt из A1). Если затем с помощью гид-
гидродинамических уравнений B) —E) исключить все производные по времени, урав-
уравнение F) должно автоматически выполняться. Если принять во внимание, что ве-
величины q0, ПОг7с, ф зависят только от термодинамических переменных и скорости w,
то оказывается, что закон сохранения энергии тождественно соблюдается только
при единственном выборе выражений для q0, ПОг7с, ср. Окончательные выражения
для ф, q0, Пг7с имеют вид:
^Ц A2)
q= Ф +
2
Tpsvn+pnvn(wvn), A3)
Пг/с = PnVniVnk +PsVsiVsk+Pbik, A4)
где
рп™2. A5)
Величину р естественно рассматривать как определение давления движущейся
жидкости; при w = 0 оно совпадает с обычным определением.
Уравнения B) —E) вместе с определением A) и A2) —A5) образуют полную си-
систему уравнений для «двухжидкостной» гидродинамики. И эта система точная в
том смысле, что при ее выводе не делались никакие допущения относительно ве-
величины скоростей. Конечно, нужно иметь в виду, что в действительности жидкий
гелий II теряет свойство сверхтекучести, когда скорости слишком велики. В на-
настоящее время природа этих «критических скоростей» еще не вполне ясна, но в
любом случае это не имеет никакого отношения к выводу гидродинамических
уравнений как таковых.
В физически интересном случае не очень больших скоростей все величины
можно разложить по степеням w. Если мы хотим получить уравнения с точно-
точностью до членов второго порядка включительно, мы должны оставить в ps и рп
члены только нулевого порядка, т. е. считать ps и рп не зависящими от w. Диф-
Дифференцируя выражение A5) и используя A1), получим точное выражение:
с?Ф = -sdT + — -— wdw.
27. Гидродинамика жидкого гелия 327
Отсюда видно, что первые два члена в разложения для Ф равны
Ф(р, Т, ги) = Ф(р, Т)-— ю2, A6)
и, дифференцируя его, получаем
s(p, T, w) = s(p, Т) + ^^ф
A7)
Величины Ф, s, p правых частях этих уравнений — это обычная свободная энер-
энергия Гиббса, энтропия и плотность стационарной жидкости.
Подставляя A6) и A7) в уравнения B) —E) и пренебрегая членами высшего
порядка, получим приближенные уравнения, которые мы и искали. В обычном
«акустическом» приближении в этих уравнениях можно пренебречь и членами
второго порядка [2, 5]. Члены второго порядка нужно учитывать, например, при
рассмотрении температурных «ударных волн», возникающих под действием им-
импульсов второго звука большой интенсивности [6].
Нужно подчеркнуть, что только такой вывод приближенных гидродинами-
гидродинамических уравнений, в котором пренебрегается соответствующими членами в точ-
точных уравнениях, не вызывает сомнений. Если пренебречь ими с самого начала,
теряется единственная не вызывающая сомнения возможность их вывода на
основе законов сохранения и принципа относительности.
3. Диссипативные процессы
Рассмотрим теперь диссипативные процессы, которые могут происходить в
движущемся гелии П. Чтобы учесть эти процессы, нужно ввести в уравнения
гидродинамики дополнительные члены, линейные по пространственным произ-
производным скоростей и температуры. Вид этих членов можно установить, исходя
из требований, налагаемых вторым законом термодинамики и принципом сим-
симметрии кинетических коэффициентов Онзагера [7].
Пусть р и j, как и раньше, масса и импульс единицы объема жидкости. Тогда
уравнение непрерывности сохранит свой первоначальный вид B). А вот в урав-
уравнения C), E), F) нужно ввести дополнительные члены, которые мы запишем в их
правых частях:
аи щк__ап^
dt + dxk " дхк ' A8)
-^ + grad cp = -grad ф', A9)
BE
—+ divq = -divq'. B0)
от
328 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Уравнение для энтропии уже не будет иметь вид уравнения непрерывности
D), поскольку энтропия уже не сохраняется. Напротив, величины П^,, ср', qf долж-
должны определяться так, чтобы обеспечить возрастание энтропии. Для этого вставим
Е из (8) в уравнение сохранения энергии B0) и исключим с помощью уравне-
уравнений B), A8), A9) производные по времени р, j,vs. После некоторых вычислений
получаем следующее уравнение для энтропии
-n;fc|^. B1)
В наиболее общей форме П^,, qf, ср', линейные по пространственным производ-
производным скоростей и температуры и обеспечивающие возрастание энтропии, можно
записать в виде:
dvnl\ с , ,. с > ,. ^
B3)
B4)
(в выражение для П^, выделена комбинация производных от скоростей vn с рав-
равным нулю следом, по аналогии с тем, как это делается в обычной гидродинамике.)
Используя принцип Онзагера, можно получить:
Ci = C4- B5)
Все остальные коэффициенты независимы друг от друга.
Подставив B2) —B4) в B1) и выполнив некоторые простые преобразования,
получим следующее уравнение для энтропии:
дг
Выражение в правой части этого уравнения — диссипативная функция, опре-
определяющая возрастание энтропии. Условия, при которых это выражение являет-
является положительным, имеют вид:
ti>o, С2>о, С3 >о, ^>о, Ci <С2С3- B7)
Таким образом, мы видим, что диссипативные процессы в гелии II характери-
характеризуются пятью независимыми коэффициентами т\, ср1? С,2, Сз? к- Первый — аналоги-
аналогичен обычному коэффициенту вязкости обыкновенной жидкости. Следующие три
аналогичны коэффициенту «второй вязкости» в обыкновенных жидкостях, а пос-
27. Гидродинамика жидкого гелия 329
ледний — к — обычному коэффициенту теплопроводности. Все эти величины про-
проявляются, например, в затухании первого и второго звука в гелии П. Коэффици-
Коэффициенты поглощения первого и второго звука равны, соответственно [7, 8]:
ио2 D
рп 1,3 ¦' ' ^ ' "г^ ' r ^J 'С
(щ, щ — скорости первого и второго звука, С — теплоемкость 1 г гелия).
Обсудим теперь гидродинамические уравнения для смесей 3Не — 4Не. Кроме
уравнений сохранения массы B), импульса C), энтропии D) и условия потенци-
потенциальности сверхтекучего движения E), полная система гидродинамических урав-
уравнений смеси должна включать и уравнение, описывающее сохранение каждого
из двух веществ по отдельности. Оно может быть записано в форме
B8)
где с — массовая концентрация 3Не в растворе, ag — плотность гидродинамичес-
гидродинамического потока 3Не. Оказывается, однако, что общие условия, накладываемые зако-
законами сохранения и принципом относительности Галилея, недостаточны для од-
однозначного определения всех этих величин из приведенных уравнений. Необхо-
Необходимо сделать определенные дополнительные предположения относительно пе-
переноса 3Не в движущейся жидкости. Общие условия, упомянутые выше, по-
позволяют лишь придти к определенному заключению относительно поведения
жидкости при абсолютном нуле: оказывается, в растворах произвольной кон-
концентрации 3Не может переноситься только нормальным движением. С другой
стороны, из микроскопической теории сверхтекучести следует, что для малых
концентраций примесей 3Не принимает участие только в нормальном движе-
движении при всех температурах от нуля до Х-точки [9]. Тогда естественно предполо-
предположить, что 3Не (который в чистом виде не сверхтекучий) участвует только в нор-
нормальном движении при произвольных температурах и концентрациях смеси. Та-
Таким образом, мы получаем следующее выражение для потока 3Не:
g = pcvn. B9)
После того, как это предположение сделано, все остальные величины могут
быть определены единственным образом [4]. Уравнения B), C), D) с j и Пг7с, опре-
определенными в A) и A4) — A5), не меняются, Ф как и прежде свободная энергия
Гиббса 1 г жидкой смеси. Для скалярной функции ср из уравнения E) и вектора
потока энергии q из F) получаются следующие выражения:
Ф = 4+^, C0)
330 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Здесь т3 и т4 обозначают массы атомов 3Не и 4Не, a [i3 и |i4 — химические потен-
потенциалы 3Не и 4Не в смеси. Потенциалы [i3 и |i4 связаны со свободной энергией Гиб-
бса посредством соотношения
с A-е)
Ф = 113 +~ ~\1л.
m3 3 т4 Г4
Соотношения, сформулированные таким образом, формально точны в том
смысле, что их вывод не подразумевает никаких условий ни на скорости, ни на
концентрации. Для малых скоростей в линейном приближении эти уравнения
позволяют рассчитать скорости звука в разбавленных растворах 3Не и 4Не [10]
и в смесях с произвольными концентрациями [11]. Уравнения с членами вплоть
до второго порядка могут использоваться для решения проблемы ударных волн,
которые появляются при распространении интенсивных импульсов звука в ра-
растворах [6].
Естественно, количество диссипативных коэффициентов в смесях больше,
чем в чистом 4Не. Детальный анализ показывает, что в дополнение к пяти уже
обсужденным выше величинам, добавляются две другие. Они аналогичны ко-
коэффициентам диффузии и термодиффузии обычных растворов и также уча-
участвуют в затухании звука в растворах 3Не и 4Не.
ЛИТЕРАТУРА
[1] J.G. Daunt, R.S. Smith. Rev. Mod. Phys., 62, 172, 1954.
[2] Л.Д. Ландау. J. of Phys. USSR, 5, 71, 1941; 8, 1, 1941.
[3] Л.Д. Ландау, EM. Лифшиц. Механика сплошных сред, гл. XVI, Москва, 1953.
[4] ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 23, 169, 1952.
[5] ЕМ. Лифшиц. J. of Phys. USSR, 8, 110, 1944.
[6] ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 23, 253, 1952; ДАН СССР, 79, 237, 1951.
[7] ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 23, 8, 21, 1952.
[8] ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 20, 243, 1950.
[9] Л.Д. Ландау, И. Померанчук. ДАН СССР, 59, 669, 1949.
[10] И. Померанчук. ЖЭТФ, 19, 41, 1949.
[11] ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 23, 265, 1952.
28
О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЯХ
Совместно с Л.Д. Ландау
Письма в ЖЭТФ, 32, 618, 1957
Общая теория гидродинамических флуктуации может быть построена путем
введения в уравнения движения жидкости дополнительных «сторонних» членов,
подобно тому, как это было сделано Рытовым [1] для флуктуации электромагнит-
электромагнитного поля в сплошных средах путем введения соответствующих «сторонних по-
полей» в уравнения Максвелла.
Введение таких дополнительных членов может быть осуществлено в различ-
различных эквивалентных формах, но наибольшие преимущества представляет такая
форма, при которой флуктуации «сторонних величин» в различных точках жидко-
жидкости не коррелированы друг с другом. Это достигается введением «стороннего тен-
тензора напряжений» sik в уравнение Навье-Стокса и вектора «стороннего теплового
потока» g в уравнение переноса тепла (уравнение же непрерывности остается
неизменным). Система гидродинамических уравнений принимает тогда вид:
|^ A)
g E)
(все обозначения совпадают с принятыми в нашей книге [2]). К этим уравнени-
уравнениям должны быть присоединены соотношения, определяющие средние значения
произведений компонент sik и g{. Сделаем это, предполагая сначала флуктуа-
флуктуации классическими (т. е. их частоты оо «с kT/fr), а вязкость и теплопроводность
жидкости — не диспергирующими.
Скорость изменения полной энтропии жидкости S дается выражением (см.
[2], §49)
2Т [Ьхк
332
Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
Следуя общим правилам теории флуктуации, изложенным в [3] §§ 117, 120, выбе-
выберем в качестве фигурирующих в этой теории величин ха компоненты тензора
afik и вектора q 1). Тогда из F) видно, что роль соответствующих величин Ха будут
играть
Udv^ д
2Т{дд
а формулы D), E) — роль соотношений ха = —^аЪХъ +уа (см. [3], § 120), причем
величинами уа являются sik и g{. Коэффициенты ~fab в этих соотношениях
непосредственно определяют средние значения
-t2
Окончательные формулы имеют вид:
r2 -
2-*i), G)
(r2, t2) =
-rJS^-tJ,
Если пользоваться спектральными компонентами флуктуирующих величин,
определенными согласно
00
xu=-Jx(t)e**dt,
—oo —oo—oo
то в формулах G) множитель 8(t2 — tj заменяется на
Изложенные результаты без труда обобщаются на случай наличия диспер-
дисперсии коэффициентов вязкости или теплопроводности и квантовости флуктуации
при помощи общей теории Каллена и др. в форме, изложенной в [4]. В выраже-
выражениях для средних значений произведений спектральных компонент sik и ?г по-
появляется лишний множитель (h<jj/2kT)cth.(h<jj/2kT), а вместо величин т\, С,, к дол-
должны стоять их вещественные части.
ЛИТЕРАТУРА
[1] СМ. Рытое. Теория электрических флуктуации и теплового излучения, Изд-во АН
СССР, 1953.
[2] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика сплошных сред, 2-е изд., Гостехиздат, 1954.
[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика, 3-е изд., Гостехиздат, 1951.
[4] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифщиц. Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
х) Несущественное отличие, связанное с тем, что мы имеем здесь дело с непрерывным (значе-
(значения в каждой точке жидкости), а не с дискретным рядом флуктуирующих величин (для которых
сформулированы приведенные в [3] формулы), легко устранить формальным путем, разделив объем
жидкости на малые, но конечные участки AV и произведя переход к пределу AV ->0в окончатель-
окончательных формулах.
29
ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД ВТОРОГО РОДА
В НАТРИЕВОЙ СЕЛИТРЕ
Совместно с И.Е. Дзялошинским
ЖЭТФ, 33, 299, 1957
В обычном изложении теории фазовых переходов второго рода (см. [1]) тело рас-
рассматривается в отношении его упругих свойств как изотропное, характеризующееся
всего одним коэффициентом сжимаемости. Между тем, поведение упругих постоян-
постоянных монокристалла при фазовом переходе второго рода может обнаруживать раз-
различные особенности, тесно связанные с конкретным родом структурных измене-
изменений кристаллической решетки в точке перехода. Исследование этого вопроса в об-
общем виде вряд ли целесообразно ввиду очень большого числа различных принци-
принципиально допустимых возможностей.
Здесь рассматривается фазовый переход второго рода в натриевой селитре,
в связи с недавними измерениями Корнфельда и Чудинова [2], исследовавшими
температурную зависимость упругих постоянных этого вещества вблизи точки
перехода.
Кристалл NaNO3 относится к ромбоэдрической системе. Ниже точки пере-
перехода в его элементарной ячейке расположены две молекулы, причем группы
NO3 имеют две различные кристаллографические ориентации (пространственная
группа D63d, см. описание в [3]). Выше точки перехода всякое различие между
группами NO3 исчезает — каждая из них может с равной вероятностью иметь
одну из двух возможных ориентации [4]. Объем элементарной ячейки при этом
уменьшается вдвое (пространственная группа D\d). Таким образом, переход свя-
связан с упорядочением групп NO3.
Фигурирующую в общей теории переходов второго рода функцию плотности
р(х, у, z) можно понимать в данном случае как плотность распределения атомов
кислорода. Используя общие методы (см. [1, 5]), можно показать, что ее измене-
изменение 6р(х, у, z), соответствующее данному переходу, имеет симметрию, совпада-
совпадающую с симметрией функции sin ty(x, у, z), где х, у, z — координаты, отнесен-
отнесенные к осям ромбоэдрической ячейки. Поэтому рассматриваемый переход в на-
натриевой селитре описывается одним параметром Ц 9 который при всех преобра-
преобразованиях (в том числе и трансляциях) группы симметрии высокотемператур-
высокотемпературной фазы D\d преобразуется как функция sin ty(x, у, zI).
Отсюда сразу следует, что в разложении термодинамического потенциала
будет отсутствовать член, пропорциональный г|3, так что переход действительно
может осуществиться как переход второго рода.
х) Параметр г\ можно определить как (гс1 — w2)/(wl + w2), где wx и w2 — вероятности двух
ориентации группы NO3 в каком-нибудь из узлов решетки.
334 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для определения изменения упругих коэффициентов в точке перехода пишем
термодинамический потенциал вблизи этой точки в виде
~ ^3(Т -Tc)ozz -^sn(o2xx +o2yy ^ ^
~S12 (?хх°уу -^Lj-SlS (?xx +(Jyy)(Jzz ~SU [(°xx -°yy)°zz -2°xz°xy]>
где sik — тензор упругих напряжений, а Тс — температура перехода в отсутствие
напряжений; здесь учтена ромбоэдрическая симметрия упругих свойств крис-
кристалла и конкретная симметрия параметра г\. Фазовый переход происходит в точ-
точке обращения в нуль коэффициента при г|2, т. е. при температуре
Тс =ТС- (а/А) (охх +оуу)-Ъ ozz /A.
Определяя величину г|2 из условия минимума термодинамического потенциала
при Т < Т'с и подставляя ее в выражение для Ф, найдем потенциал низкотемпера-
низкотемпературной фазы
Ф = Фо (Т) - (А2/2Б)(Т - ТсJ - {щ + аА/В)(Т-Тс)(ахх +оуу) +
+ (а3 +bA/B)(T-Tc)azz -i(sn +a2/B)(a2xx +a2yy+2aly)-
-\Ы+Ъ2/В)а2гг -^(o2xz+o2yz)-(s12+a2/B)(oxxoyy-o2xy)-
-(s13 +аЪ/В)(охх +(Jyy)(Jzz -su[(gxx ~(Jyy)(Jzz -2аХ2аху],
откуда сразу определяются скачки упругих коэффициентов в точке перехода
Asn = As12 = а2/В, As33 = Ъ2/В,
Asu = ab/B, As14 = As44 = 0,
и скачки коэффициентов теплового расширения
х = аА/В, Аа3 = ЪА/В.
Коэффициенты s14 и s44, которые не претерпевают скачка в точке перехода,
имеют в ней излом как функции температуры. Величину последнего можно
определить, если учесть в разложении термодинамического потенциала члены,
29. Фазовый переход второго рода в натриевой селитре 335
пропорциональные произведению г|2 на квадратичные комбинации компонент тен-
тензора напряжений.
Согласно измерениям Остина и Пирса [6], в интересующей нас области тем-
температур ах ~ 0,1 а3. Естественно считать, что и скачки До^ и Да3 находятся, по
крайней мере, в таком же соотношении, т. е. а < 0,1Ъ . Тогда для скачков коэффи-
коэффициентов упругости получим
Asn = As12 < 0,01 Д*зз, As13 < 0,
что, по-видимому, находится в согласии с результатами Корнфельда и Чудинова.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л.Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика, 3-е изд., М., 1951.
[2] М.О. Корнфельд, А.А. Чудинов. ЖЭТФ, этот выпуск, стр. 33.
[3] R.W.G. Wyckoff . The Structure of Crystals, New-York, 1931.
[4] F.C. Kracek, E. Posnjak, S.B. Hendriks. J. Amer. Chem. Soc, 53, 1183, 2609, 3339, 1931.
[5] EM. Лифшиц. ЖЭТФ, 11, 255, 1941. [Статья 10 настоящего собрания трудов].
[6] J.B.Austin, R.H.H. Pierce. J. Amer. Chem. Soc, 55, 661, 1933.
30
О ПОГЛОЩЕНИИ ВТОРОГО ЗВУКА
ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГЕЛИИ II
Совместно с Л.П. Питаевским
ЖЭТФ, 33, 535, 1957
В очень интересной работе Холла и Вайнена [1, 2] произведено экспе-
экспериментальное исследование поглощения колебаний второго звука во вра-
вращающемся гелии II, а также дана количественная теория этого явления, осно-
основанная на представлениях Онсагера и Фейнмана о возникновении вихревых
нитей в гелии II при вращении 1).
Вычисление силы «взаимного трения» между сверхтекучей и нормальной
компонентами требует прежде всего рассмотрения взаимодействия элементарных
возбуждений (при не слишком низких температурах — ротонов) с вихревыми
нитями. Кроме того, должны быть учтены гидродинамические эффекты, не свя-
связанные со специфическими свойствами элементарных возбуждений (увлечение
нормальной части вихревой нитью и движение вихревой нити относительно сверх-
сверхтекучей части). Но в то время как рассмотрение последних в работе Холла и
Вайнена не вызывает сомнений, произведенный ими расчет рассеяния ротонов
на вихревых нитях представяется некорректным. Этот расчет произведен ими в
борновском приближении; между тем в данном процессе условия в действитель-
действительности близки к обратному предельному случаю — квазиклассическому прибли-
приближению. Ввиду этого мы склонны считать полученное Холлом и Вайненом хоро-
хорошее количественное согласие теории с экспериментом в известной степени слу-
случайным (следует также учесть, что в их расчете фигурирует неопределенная
эмпирическая постоянная).
Мы произвели расчет рассеяния ротонов на вихревых нитях в квазиклас-
квазиклассическом приближении. Для силы, действующей на единицу длины нити, по-
получается следующий результат 2):
f = (RL) [, RL]/,
Dwl,2KPnVIIfcT/po, Df = K9n A)
(все обозначения имеют тот же смысл, что и в [1, 2]). Циркуляция вокруг
вихря принята равной к = 2-кН/т ; другие (кратные ) значения представляются
х) Пользуемся случаем отметить, что рассмотренная в [3] «слоистая» модель вращающегося
гелия II термодинамически менее выгодна, чем «вихревая», и потому должна быть отброшена.
2) Что касается вклада фононов в силу трения, то расчет показывает, что он мог бы оказаться
существенным лишь при температурах ~0,5°.
30. О поглощении второго звука во вращающемся гелии II
337
с теоретической точки зрения неестественными. По сравнению с A), значение D
у Холла и Вайнена в ~10/Т раз больше, a D1 = 0 в силу свойств борновского
приближения.
Вычисляя при помощи A) и с учетом, как и в 12], указанных выше гидродина-
гидродинамических эффектов полную силу взаимного трения Fsn как функцию vs — vn, по-
получим для введенных в [2] (формула A1)) коэффициентов БиВ;:
Б =
2р
D
D2+Dr
D
D2
+
D'
D2 +D'2
В
D'
D2+D/
D
B)
C)
-Bf
(при Dr = 0 эти выражения переходят в формулы A2), A3) из [2]).
Сравнение с экспериментальными данными возможно, разумеется, лишь в
той области температур, в которой можно говорить о «газе» ротонов, а длина
их пробега мала по сравнению с расстояниями между вихревыми нитями. На
рисунке даны значения В, вычисленные по формулам A), B) (пунктирная кри-
кривая); мы видим, что хотя при более высоких
температурах они хорошо согласуются с из-
измерениями Холла и Вайнена, но уже при
1,3° оказываются слишком малыми.
Это обстоятельство, по-видимому, указы-
указывает на более сложный характер взаимодей-
взаимодействия ротонов с вихрями, не сводящегося к
простому рассеянию (в поле pvs). По-види-
По-видимому, при пролетании ротонов на малых
расстояниях от оси вихря происходят про-
процессы, имеющие характер «сильного взаи-
взаимодействия», приводящего к передаче им-
импульса порядка полного импульса ротона. В
создании этого взаимодействия могут уча-
участвовать, например, такие процессы, как пе-
переход ротона в «связанное» состояние и по-
последующее его «выбрасывание» снова в свободное состояние (при pvs < 0 поле,
в котором находится ротон, является полем притяжения и в нем возможно
финитное движение с энергией е < 0; ротон может перейти на такую орбиту с
одновременным возбуждением колебаний вихревой нити и уйти с нее с поглоще-
поглощением энергии этих колебаний) 3). Существенную роль при этом может играть так-
также и «размытие» вихря благодаря его собственным колебаниям. Рассмотрение
всех этих явлений, однако, весьма затрудняется и становится в значительной
степени неопределенным в связи с тем, что все характерные для них длины ока-
оказываются сравнимыми с атомными расстояниями.
3) Отметим, что этот процесс не должен, как могло бы показаться, приводить к появлению большой
продольной (вдоль ш) силы трения. Дело в том, что продольная составляющая теряемого ротоном им-
импульса передается при этом квантам колебаний вихревой нити, принадлежащим к нормальной части
жидкости, и потому передачи импульса от нормальной к сверхтекучей части не происходит.
338 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Естественно попытаться описать это взаимодействие феноменологическим об-
образом путем введения не зависящего от температуры эффективного поперечника
(«ширины») вихря а, соответствующего передаче ротоном вихрю своего полного
импульса. Это приводит к добавлению в D члена 0,7арп-у/сТ/|1 . В Df этот процесс
никакого вклада не дает; напротив, в D' должен быть введен множитель ф (а) < 1,
учитывающий соответствующее «обрезание» интеграла по прицельным расстоя-
расстояниям при вычислении этой величины. Удовлетворительное согласие с измерени-
измерениями Холла и Вайнена (кружки на рисунке) получается при а — 10А (при этом
Ф (а) = 0,6) 4). Это значение несколько больше, чем было бы естественно ожидать.
Следует, однако, подчеркнуть, что оно весьма чувствительно к берущимся из
опыта значениям В. В связи с этой ситуацией представляется весьма желатель-
желательным проведение дальнейших измерений, в особенности при более низких темпе-
температурах.
На рисунке даны также значения В' вычисленные по формуле C) (при
указанном значении а); следует указать, что они весьма чувствительны по
отношению к значению множителя ф(а). Получение экспериментальных дан-
данных об этой величине (пока отсутствующих) тоже весьма желательно.
Мы выражаем искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за обсуждение рас-
рассмотренных вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Н.Е. Hall, W.F. Vinen. Proc. Roy. Soc, (A) 238, 204, 1956.
[2] H.E. Hall, W.F. Vinen. Proc. Roy. Soc, (A) 238, 215, 1956.
[3] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. ДАН СССР, 100, 669, 1955. [Статья 24 настоящего собрания
трудов].
4) Значение этого множителя существенно зависит от способа обрезания, т. е. от того, как распо-
расположен отрезок а по отношению к оси вихря. Указанное значение ср соответствует расположению
этого отрезка по одну сторону от оси — там, где имеет место притяжение ротона.
31
МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ
КОНДЕНСИРОВАННЫХ ТЕЛ х)
Совместно с Б.В. Дерягиным и ИМ. Абрикосовой
УФН, 64, 494, 1958
I. ВВЕДЕНИЕ
Наряду с известными валентными силами, обладающими способностью к на-
насыщению и имеющими сравнительно малый радиус действия (порядка несколь-
нескольких ангстрем), между любыми двумя атомами или молекулами действуют силы
притяжения, не способные к насыщению, величина которых падает с расстоя-
расстоянием значительно медленнее. С проявлениями подобных молекулярных сил свя-
связана широкая область фундаментальных проблем молекулярной физики и фи-
физической химии. Явления поверхностного натяжения, капиллярности, физичес-
физической адсорбции и большая часть других поверхностных явлений объясняются в
первую очередь действием молекулярных сил. Без учета молекулярных сил
нельзя понять не только основные свойства молекулярных кристаллов и жид-
жидкостей, но и само явление конденсации паров и сжижения газов.
Наличие сил притяжения между атомами и молекулами приводит, есте-
естественно, к появлению аналогичных сил «молекулярного притяжения» и между
двумя макроскопическими телами, поверхности которых сближены до очень
малых расстояний. В качестве примера действия этих сил можно указать на
процессы коагуляции коллоидных и аэрозольных систем, происходящие в ре-
результате взаимодействия между молекулами, входящими в состав каких-либо
двух коллоидных частиц, при сближении последних. Впервые представление о
такой роли сил молекулярного взаимодействия было высказано в короткой за-
заметке Кальман и Вильштетер [1]. Они же положены в основу количественной
теории устойчивости и коагуляции коллоидов [2, 3] наряду с учетом сил оттал-
отталкивания диффузных двойных ионных слоев сближающихся частиц. Некоторые
авторы, как, например, Лангмюр [4], считали, однако, что теорию коллоидных
систем можно построить, не прибегая к предположению о существовании сил
взаимодействия, обязанных ван-дер-ваальсовому притяжению между молеку-
молекулами, составляющими коллоидные частицы, и высказывали сомнения в самом
существовании подобных сил на расстояниях, существенно превышающих рас-
расстояния до соседних молекул. Таким образом, вопрос о величине и зависимости
силы или энергии молекулярного взаимодействия макрочастиц от их взаим-
взаимного расстояния является одним из основных вопросов в теории устойчивости
1) Б.В. Дерягиным и И.И. Абрикосовой написаны разделы I, II, IV, V.
340 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и коагуляции коллоидов. Эти же силы должны играть важную роль и в других
коллоидных процессах (тиксотропия, образование тактоидов и коацерватов).
Несмотря на широкое теоретическое и прикладное значение молекулярных
сил, изучение их природы и развитие теории начались сравнительно недавно.
Впервые правильное представление о природе молекулярных сил было выска-
высказано П.Н. Лебедевым [5] и Б.Б. Голицыным [6].
В 1894 г. П.Н. Лебедев [5], рассматривая вопрос о пондеромоторном действии
волн на резонаторы, писал: «В исследовании Герца, в интерпретации световых
колебаний как электромагнитных процессов, скрыта еще и другая, до сих пор не
затронутая задача — задача об источниках лучеиспускания, о тех процессах,
которые совершаются в молекулярном вибраторе в то время, когда он отдает све-
световую энергию в окружающее пространство; такая задача ведет нас, с одной сто-
стороны, в область спектрального анализа, а с другой стороны, как бы совершенно
неожиданно, приводит к одному из наиболее сложных вопросов современной
физики — к учению о молекулярных силах. Последнее обстоятельство вытекает
из следующих соображений: становясь на точку зрения электромагнитной тео-
теории света, мы должны утверждать, что между двумя лучеиспускающими моле-
молекулами, как между двумя вибраторами, в которых возбуждены электромагнит-
электромагнитные колебания, существуют пондеромоторные силы: они обусловлены электро-
электродинамическими взаимодействиями переменных электрических токов в
молекулах (по законам Ампера) или переменных зарядов в них (по законам Ку-
Кулона) — мы, следовательно, должны утверждать, что между молекулами в этом
случае существуют молекулярные силы, причина которых неразрывно связана
с процессами лучеиспускания...».
«...Наибольший интерес и наибольшую трудность по своей сложности пред-
представляет собой случай, имеющий место в физическом теле, в котором одновре-
одновременно действуют друг на друга много молекул, причем колебания этих после-
последних, благодаря их близкому соседству, не независимы друг от друга. Если ког-
когда-нибудь явится возможность вполне решить этот вопрос, то, пользуясь данными
спектрального анализа, мы сможем заранее предвычислить величины интермо-
интермолекулярных сил, обусловленных взаимным лучеиспусканием молекул, указать
законы зависимости их от температуры и, сравнивая эти вычисленные величи-
величины с наблюденными на опыте, решить коренной вопрос молекулярной физики:
сводятся ли все так называемые «молекулярные силы» к заранее известному и
указанному выше пондеромоторному действию лучеиспускания, электромагнит-
электромагнитным силам, или в состав их входят еще и другие силы неизвестного до сих пор
происхождения».
Первые количественные теории молекулярных сил смогли появиться, одна-
однако, только после выяснения строения атомов и молекул. На основе представле-
представлений о молекулярных диполях появились теория ориентационных сил Дебая и
индукционных сил Кеезома. При этом оставалось непонятным молекулярное вза-
взаимодействие недипольных молекул и, в особенности, молекул благородных га-
газов с сферически симметричным строением электронной оболочки. Только ис-
использование квантовой механики позволило Лондону [7] объяснить существова-
существование этих сил и создать в первом приближении общую количественную теорию
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 341
молекулярных сил. Эта общая теория уточнила также классические формулы
для взаимодействия полярных молекул.
Для случая, когда расстояния между молекулами велики по сравнению с
их диаметрами (т. е., в основном, для газов), теория приводит к силам, убыва-
убывающим обратно пропорционально седьмой степени расстояния между молеку-
молекулами. Однако в твердых телах, при несвободном вращении молекул, могут
иметь место силы, убывающие с расстоянием значительно медленнее. В то же
время при малых межмолекулярных расстояниях, характерных для конден-
конденсированных тел, могут приобрести значение и силы, убывающие с расстоя-
расстоянием быстрее, например, силы, связанные с квадрупольными моментами. С
учетом сказанного следует признать, что предпринятые ранее попытки коли-
количественной проверки теории молекулярных сил по принципиальным основа-
основаниям не могли дать (и не дали) достаточно точных и убедительных результа-
результатов. Действительно, все эти попытки основаны на сравнении с теорией эффек-
эффектов интегрального характера, в которых перевешивают слагаемые, зависящие
от взаимодействия молекул, находящихся на расстояниях друг от друга од-
одного порядка с их радиусом.
Это, например, справедливо для методов проверки теории, основанных на
определении константы а в уравнении Ван-дер-Ваальса, теплоты сублимации
и испарения, энергии адсорбции и смачивания. Точное сопоставление с теори-
теорией во всех этих случаях затруднено тем, что на столь близких расстояниях ни
одна теория молекулярных сил, строго говоря, не применима и, кроме того,
результат зависит от наложения сил разного характера (например, квадру-
польных), к тому же зависящих от часто неизвестных ориентации молекул и
асимметрии их силовых полей.
Несравненно строже можно проверить существующие теории молекулярных
сил, если основываться на результатах опытного изучения эффектов, завися-
зависящих только от действия молекулярных сил на расстояниях, больших по срав-
сравнению с молекулярными диаметрами. С этой точки зрения особый интерес
представляют измерения молекулярного притяжения двух твердых тел, раз-
разделенных зазором шириной во много молекулярных диаметров, т. е. измере-
измерения, аналогичные опытам Кавендиша для сил всемирного тяготения и опытам
Кулона для сил, действующих между электрическими зарядами. Такие опы-
опыты, в отличие от измерений сил прилипания при контакте [8], позволяют про-
проверить теории межмолекулярного взаимодействия (конечно, дополненные тем
или иным методом суммирования их для молекул, составляющих данные
макроскопические тела) на расстояниях, на которых остаются силы только
одной природы и отпадают соответствующие ограничения применимости их
теорий.
Насколько нам известно, до недавнего времени A951 г.) не было описано экс-
экспериментов, хотя бы качественных, такого рода. Причиной этого, несомненно, яв-
являются очевидные экспериментальные трудности, рассмотренные далее. Поэто-
Поэтому мы опишем разработанную в 1951 г. в лаборатории поверхностных явлений Ин-
Института физической химии АН СССР методику прямых измерений молекулярного
притяжения двух твердых тел в функции величины разделяющего их зазора и
342 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
применение полученных результатов к проверке соответствующих теорий и к
некоторым проблемам коллоидной химии и физики поверхностных явлений.
Предварительно рассмотрим состояние вопроса о молекулярных силах для мик-
микрообъектов и критически проанализируем обычно применяемые методы сумми-
суммирования этих сил с целью вывода сил взаимодействия макрообъектов.
В противоположность этим методам, не являющимся строгими, новый подход
к взаимодействию макрообъектов, предложенный Е.М. Лифшицем, позволил не
только впервые построить вполне общую и строгую теорию молекулярного вза-
взаимодействия макрообъектов как с макро-, так и с микробъектами, но и привел к
более простому обоснованию закона взаимодействия микрообъектов, т. е. отдель-
отдельных пар молекул. Теория Е.М. Лифшица изложена в разделе III.
IL ТЕОРИИ МОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ МИКРООБЪЕКТАМИ И КРИТИКА ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
К МАКРООБЪЕКТАМ
1. Микрообъекты
Согласно Ф. Лондону [7] энергия взаимодействия и между отдельными атомами
или молекулами на расстояниях г, больших по сравнению с их размерами, равна
С
где С — всегда положительная константа, постоянная для данного сорта атомов
и рассчитываемая с помощью матричных элементов электрических моментов обо-
обоих атомов. Лондон [9] указывает, что для многих простых молекул можно пользо-
пользоваться приближенной формулой
где hv0 — характеристический терм энергии, который может быть оценен из экс-
экспериментально установленной формулы для оптической дисперсии газа, а а —
поляризуемость молекулы. Силы межмолекулярного притяжения F = —du/dr, оче-
очевидно, изменяются обратно пропорционально седьмой степени расстояния между
молекулами.
Теория Лондона имеет свои пределы применения, а именно, расчет Лондона
становится несправедливым не только для очень малых расстояний между ато-
атомами, когда перекрываются их собственные волновые функции, но также и для
достаточно больших расстояний, когда необходимо учитывать эффект элект-
электромагнитного запаздывания.
Электромагнитное запаздывание было учтено Казимиром и Польдером [10] с
помощью квантовой электродинамики. Они применили тот же метод возмуще-
возмущений, но оператор возмущения наряду с лондоновским электростатическим при-
притяжением содержал взаимодействие поля излучения одного атома с другим ато-
атомом и наоборот.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 343
Согласно теории Казимира и Польдера, при г ^> \, где \ — все длины волн
поглощения или испускания данного атома) энергия взаимодействия двух ато-
атомов со статической поляризуемостью а равна
23 Пса2 , ч
или
Q
и = L, где Сг = 251е2а2.
г7
Здесь Н, с и г имеют обычный смысл.
Сила притяжения двух атомов в этом предельном случае меняется с рас-
расстоянием по закону г~8.
Таким образом, в настоящее время существуют теории, объясняющие про-
происхождение межмолекулярного притяжения и позволяющие рассчитать взаи-
взаимодействие свободных атомов и молекул. Наиболее подробно этот вопрос рас-
рассмотрен в обзорах Лондона [11] и Маргенау [12].
2. Макрообъекты
В предположении аддитивности лондоновских сил молекулярное притяже-
притяжение между объектами, состоящими из большого числа молекул, обычно рас-
рассматривается как сумма сил притяжения между всеми парами молекул, со-
составляющими данные тела. Так, Де-Бур [13] и Гамакер [14] находят взаимодей-
взаимодействие двух тел, содержащих q молекул в единице объема, интегрированием
элементарных взаимодействий, подчиняющихся закону Лондона. Гамакер вы-
выводит формулы для энергии и силы притяжения между двумя телами, имею-
имеющими форму сферы, сферы и бесконечной плоской стенки, и, наконец, между
двумя такими плоскими, параллельно расположенными стенками. Если крат-
кратчайшее расстояние между поверхностями много меньше радиуса их кривизны
R, то энергия взаимодействия в первом случае дается выражением
17 = - — , D)
12Я ' К J
а сила притяжения
F = ^-; D')
12Я2 V ^
во втором случае энергия равна
и сила
F = ^, E')
6Н2
наконец, для двух бесконечных пластин энергия, приходящаяся на единицу по-
поверхности, равна
А
и = - F)
344 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и сила, действующая на единицу поверхности,
здесь Н — кратчайшее расстояние между телами и А — введенная Гамакером
константа, которая зависит от природы тел и равна произведению TY2q2C. Пользу-
Пользуясь этими формулами, и рассчитывают обычно взаимодейстие между коллоид-
коллоидными частицами и другими макроскопическими объектами (Гамакер—Лондонов-
ское взаимодействие).
Если проводить аналогичные расчеты с учетом эффекта электромагнитного
запаздывания, то в предельном случае достаточно больших расстояний полу-
получим для энергии, приходящейся на единицу поверхности параллельных плас-
пластин, выражение
—isk G>
и для силы, действующей на единицу поверхности, формулу
здесь А1 есть произведение K2q2Cv
В действительности аддитивность лондоновских сил в случае кон-
конденсированных тел ни теоретически, ни экспериментально никем не обоснова-
обоснована. Это было бы законно лишь для неосуществимого случая двух сильно разре-
разреженных тел (т. е. газов), разделенных зазором. Кроме того, в конденсирован-
конденсированных системах атомные и молекулярные характеристики, в частности а и hvQ,
изменены, по сравнению со свойствами изолированных атомов и молекул, бла-
благодаря взаимному влиянию соседних частиц, вследствие чего вклад, вносимый
в молекулярное взаимодействие отдельными молекулами, зависит от их
координации и концентрации, а для поверхностных молекул — от числа сосе-
соседей. Допуская строгую аддитивность, мы, чтобы быть последовательными, долж-
должны брать значения а и hvQ изолированных молекул, т. е. заведомо вносить
ошибку. Если же отказаться от этого, то затруднительно получить «истинные»
значения а и hvQ, так как для конденсированных систем они трудно определи-
определимы и часто совершенно неизвестны.
Помимо отсутствия физической строгости в таком подходе, необходимо отме-
отметить, что практически расчет констант А и Ах оказывается всегда очень слож-
сложным даже для изолированных атомов и молекул. В большинстве случаев расчет
не удается довести до количественных результатов, поскольку для очень многих
атомов значения а и hvQ не определены. В таких случаях ничего не остается, как
только находить поляризуемость из данных по рефракции твердых тел и под-
подставлять, таким образом, характеристики конденсированной среды в формулы
Лондона, справедливые для взаимодействия отдельных атомов.
Наряду с затруднениями, связанными с определением параметров, входя-
входящих в формулу для А, сомнительна строгая применимость в общем случае при-
приближенной формулы B), справедливость которой была доказана Лондоном лишь
для ряда простых молекул.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 345
III. ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
МЕЖДУ КОНДЕНСИРОВАННЫМИ ТЕЛАМИ
Как уже было указано в начале статьи, вычисление сил молекулярного притя-
притяжения между конденсированными телами, исходя из известного взаимодействия
между отдельными молекулами, невозможно. Оно было бы законным лишь для
достаточно разреженных тел, т. е. газов — случай, который фактически, разуме-
разумеется, не может быть осуществлен.
Однако, в противоположность такому «микроскопическому» подходу, к рас-
рассматриваемому вопросу можно подойти также и с совершенно иной, чисто макро-
макроскопической точки зрения, в которой взаимодействующие тела рассматриваются
как сплошные среды. Законность такого подхода связана с тем, что расстояние
между поверхностями тел предполагается хотя и малым, но все же большим по
сравнению с межатомными расстояниями в телах.
Основная идея теории заключается при этом в том, что взаимодействие
между телами рассматривается как осуществляющееся через посредство флук-
туационного электромагнитного поля. Благодаря термодинамическим флукту-
ациям такое поле всегда присутствует внутри всякой материальной среды и
выходит также и за ее пределы. Хорошо известным проявлением этого поля
является тепловое излучение тела, но следует подчеркнуть, что этим излуче-
излучением не исчерпывается все флуктуационное поле вне тела. Это наиболее ясно
видно уже из того, что электромагнитные флуктуации существуют и при абсо-
абсолютном нуле температуры, когда тепловое излучение отсутствует; при этой
температуре флуктуации имеют чисто квантовый характер и связаны с так
называемыми нулевыми колебаниями электромагнитного поля.
Будем представлять себе оба тела как полубесконечные области, отделенные
плоскопараллельной щелью данной толщины I. Ход вычислений заключается в
определении флуктуационного электромагнитного поля в такой системе, в част-
частности — в объеме щели. После этого сила /, действующая на каждую из обоих
поверхностей (на 1 см2 их площади), может быть определена как среднее значе-
значение соответствующей компоненты максвелловского тензора напряжений 2).
Следует подчеркнуть, что такой способ подхода к вопросу обладает полной
общностью и применим при любых температурах к любым телам, вне зависи-
зависимости от их молекулярной природы (ионные или молекулярные кристаллы,
аморфные тела, металлы, диэлектрики и т. п.). Важной особенностью метода
является также и то обстоятельство, что поскольку в вычислении поля исполь-
используются точные уравнения Максвелла, автоматически учитываются также эф-
эффекты запаздывания, связанные с конечной скоростью распространения элек-
электромагнитных взаимодействий; эти эффекты становятся существенными, ког-
когда расстояние I достаточно велико: I > Хо, где Хо — длины волн, характерные
для спектров поглощения данных тел.
Общий метод вычисления электромагнитных флуктуации был развит
СМ. Рытовым и подробно описан в его книге [15] (см. также [16], глава XIII). Мы
2) Во флуктуационном поле среднее (по времени) значение напряженностей обращается в нуль;
средние же значения квадратичных выражений, в том числе максвелловских напряжений, разумеет-
разумеется, отличны от нуля.
346 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
не станем останавливаться здесь ни на изложении этого метода, .ни на довольно
громоздких вычислениях для данного случая, отсылая за ними к оригинальной
работе [17]. Опишем лишь получающиеся в результате вычислений результаты.
В дальнейшие формулы входит функция е(и) — диэлектрическая проницае-
проницаемость тела как функция частоты поля 3). Напомним, что е (и) является, вообще
говоря, комплексной величиной [е = ? (u;) + is (и;)], причем ее мнимая часть все-
всегда положительна и определяет диссипацию энергии электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль тела. Функция г (и) связана с коэффициентом пре-
преломления п и коэффициентом поглощения к среды посредством известного соот-
соотношения ve = п + ж. Как известно, путем формального рассмотрения е (и) как
функции комплексной переменной со можно установить определенные интег-
интегральные соотношения между ?r(uj) и e/f(uj) — так называемые формулы Крамер-
са—Кронига (см., например, [16] § 62). Частным следствием этих формул являет-
является соотношение
иг(и) . /оЧ
-r^du,, (8)
которое определяет значения функции г от чисто мнимого аргумента по значе-
значениям функции eff(tjj) от вещественных аргументов lj; e (г?) есть вещественная ве-
величина, монотонно убывающая от значения е0 (электростатическое значение ди-
диэлектрической проницаемости) при ? = 0 до 1 при ? —> оо.
Влияние температуры на силу притяжения между телами обычно совершен-
совершенно не существенно (см. об этом ниже), соответственно чему можно положить ее
равной нулю. Окончательная теоретическая формула для силы притяжения в
этих условиях гласит:
00 00
¦Я
h
71 с о 1
+
s, -p)(s2 -р)
-1
+
si -?iP)(s2-e2p)
(9)
где е обозначает е (г?), индексы 1 и 2 относятся к двум данным телам в введено
обозначение
Отсюда видно, что сила притяжения может быть принципиально вычислена для
любого расстояния I, если известны функции е^г^), ?2(гЧ) Для обоих тел. Но со-
согласно (8) s(i^) может быть определено по известной (в достаточно широкой
спектральной области) функции eff(ui). Таким образом, мнимая часть e/f(uj) диэ-
диэлектрической проницаемости есть та единственная характеристика макроско-
макроскопических свойств тел, которая определяет силы молекулярного притяжения
между ними.
3) Мы предполагаем ниже, что магнитную проницаемость тел можно считать равной единице,
что обычно и имеет место.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 347
Сложная общая формула (9) существенно упрощается в двух важных пре-
предельных случаях.
Рассмотрим сначала случай «малых» расстояний: I = Хо. Благодаря наличию
экспоненциально возрастающего множителя е2р^/с в знаменателях подынтег-
подынтегрального выражения в (9) основную роль при интегрировании по dp играют
такие значения р, что p^l/с « 1. При этом р>1 и потому можно, с достаточной
точностью, положить sx « s2 « р. В этом приближении первый член в фигур-
фигурных скобках в (9) обращается в нуль. Второй же член после введения перемен-
переменной х = 2р^1/с дает
(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же приближении ну-
нулем). С практически вполне достаточной точностью эта формула может быть
еще упрощена пренебрежением единицей в знаменателе подынтегрального вы-
выражения. Тогда интегрирование по dx производится элементарно и
Таким образом, при I = Хо сила притяжения обратно пропорциональна кубу рас-
расстояния с коэффициентом, который может быть вычислен при известных функ-
функциях ех(ii), e2(il)A).
Покажем, каким образом осуществляется в написанных формулах предель-
предельный переход к взаимодействию отдельных атомов. Для этого предположим
формальным образом обе среды достаточно разреженными. С точки зрения
макроскопической электродинамики это означает, что их диэлектрическая про-
проницаемость близка к единице, т. е. разности ег — 1 и е2 — 1 малы. Из A0) или
A1) имеем тогда
Выражая e(i^) через значения е"(ш) при вещественных значениях и согласно (8),
получим
, 00 00 00
П С С С
Интегрирование по ей; производится элементарно и дает
16ty3Z
/= гг I I——-—-——duxdu2. A2)
163Z3 J J Ч +uo v l v '
4) Как уже указывалось, разности е (г Q — 1 монотонно убывают при увеличении ?, стремясь к
нулю. Вместе с ними убывает подынтегральное выражение в A0), и значения ?, начиная с неко-
некоторого ?0 перестают вносить существенный вклад в интеграл; условие малости I означает, строго
говоря, что должно быть I <^ сД,0.
348 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Если рассматривать эту силу как результат взаимодействия отдельных пар
молекул (по одной в каждом из двух тел), то она соответствует закону взаимо-
взаимодействия с потенциальной энергией
и{г) = --^ Т T^)?^W^ A3)
где г — расстояние между молекулами, N — число молекул в единице объема
тела 5). Для приведения этого выражения к знакомому виду следует учесть, что
мнимая часть диэлектрической проницаемости газа е"(ш) связана со спектраль-
спектральной плотностью ф (и) известных из спектроскопии «сил осцилляторов» посред-
посредством соотношения
"()
Пусть, например, речь идет о взаимодействии двух атомов водорода. Восполь-
Воспользовавшись известным выражением
для силы осцилляторов перехода между состояниями Еп и Ео (ХОп — соот-
соответствующий матричный элемент координаты электрона в атоме) и переходя
в A3) от интегрирования по частотам к суммированию по уровням энергии
атома, получим
1А0п1 1АС
«М = -^
что в точности совпадает с известной квантово-механической формулой Лондона [7]
для ван-дер-ваальсовых сил (без учета эффектов запаздывания). Таким образом,
мы видим, как эта «микроскопическая» формула воспроизводится из чисто макро-
макроскопической теории.
Перейдем к противоположному случаю «больших» расстояний — больших
по сравнению с основными длинами волн в спектре поглощения тел (I ^> Хо).
В общей формуле (9) снова вводим новую переменную интегрирования
х = 2р^1/с, но в качестве второй переменной оставляем не ?,, а р:
he °Г°Гх3
32^J \7
+p){s2
-p)(s2 -р)
ех -
s1 -elp){s2 -
ех -
-1
dpdx,
ixc) I (ixc
5) Если потенциальная энергия двух молекул есть U = —с/г6, то полная энергия парных взаимо-
взаимодействий всех молекул в двух полупространствах, разделенных щелью I, есть и = —ckN2/1212. Сила
же —/ есть производная
_ du _ ciiiV2
dl 6Z3 "
В этом заключается соответствие между формулами A2) и A3).
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 349
Благодаря наличию ех в знаменателях, в интеграле по dx играют роль значения
s ~ 1, а поскольку р > 1, то аргумент у функции е при больших I близок к нулю во
всей существенной области значений переменных. В соответствии с этим можно
заменить гг и е2 просто их значениями при и = 0, т. е. электростатическими диэ-
диэлектрическими проницаемостями, которые обозначим как е10 и е20. У металлов
е (и) стремится к бесконечности при и —> 0; поэтому для них надо будет считать
?0 = ОО.
Таким образом, получим
3Z4 Ир2)
he
32^. o x
^ (s10 -P)(s2o -p)
+ ?10P)(S20 +
(S10 -
(s10 +p)(s20 +p)
-p)
dpdx, A4)
¦eA -
Сила притяжения оказывается здесь обратно пропорциональной четвертой сте-
степени расстояния. Замечательно, что в этом случае она зависит только от элек-
электростатических значений диэлектрических проницаемостей обоих тел.
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы A4). В особенности про-
простой результат получается для двух металлов. Положив в A4) s10 = s20 = оо,
ПОЛУЧИМ оооо 37 7 * 2
he с с x3dPdx he ъ2 A5)
16тЛ4 <-> J p2(ex -l) Z4 240
Эта сила вообще не зависит от рода металлов (это свойство не имеет места на
«малых» расстояниях, где сила взаимодействия зависит от функции e(i^) при
всех значениях ?,, а не только при ? = 0). Заметим, что формула A5) была полу-
получена ранее Казимиром другим методом [18].
Для двух одинаковых диэлектриков (е10 = е20 = е0) приведем результат, по-
получающийся из A4) путем численного интегрирования:
^Ш^ттЬ^' A6)
где ^Рдд(е0) — функция, значения которой даны на рис. 1. При е0 —> оо эта функ-
функция стремится к 1 (в соответствии с A5)), а при е0 —> 1 — к значению 0,35, отве-
отвечающему предельному закону A8) (см. ниже). Этот последний предел, однако,
фактически достигается уже при е0 « 4, после чего фдд остается практически
постоянной.
На том же рисунке изображена кривая аналогичной функции, определяю-
определяющей силу притяжения между металлом и диэлектриком (е10 = оо, е20 = е0):
fl С ТГ Р — 1
Наконец, произведем в формуле A4) переход к взаимодействию отдель-
отдельных молекул. Как и выше, для этого предполагаем обе среды разреженными,
т. е. разности е10 — 1 и е20 — 1 — малыми. Сохранив в подынтегральном выражении
350 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
лишь первые члены разложения и произведя интегрирование, получим в ре-
результате
Эта сила соответствует взаимодействию отдельных пар молекул с потенциальной
энергией
23/гс (е10 -1)(е20 -1) 23/гс
-"ТТ 7^ = -—T
64тгг N
и (г) = -
где olv a2 — статические поляри-
поляризуемости молекул (е0 = 1 + 4/rciVa).
Эта формула совпадает с ре-
результатом Казимира и Польдера
[10] для ван-дер-ваальсовых сил с
учетом запаздывания, который сно-
jjj ва получается здесь из макроско-
макроскопического рассмотрения.
Если произвести аналогичным
ДМ образом предельный переход к слу-
случаю одной разреженной среды при
произвольной второй, то можно най-
дд ти энергию и (I) взаимодействия от-
отдельной молекулы с твердой стен-
стенкой, от которой молекула удалена
на расстояние I. В формуле A4)
—' ' ' ' 1/?о надо для этого считать малой лишь
°'4 °'6 °'8 1э° одну из разностей е10 — 1 или е20 — 1
РИС> 1 (пусть это будет первая) 6). В ре-
результате получается формула, ко-
которую представим в виде
где
е-1
, Vi ... B0)
(е-1L
6) Аналогичный переход можно произвести и в формуле A0) для «малых» расстояний. Для
фактического вычисления энергии взаимодействия атома с твердой стенкой на этих расстояниях,
однако, снова необходимо было бы знание оптических свойств атома и тела в широком спектраль-
спектральном интервале.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 351
При е20 —> оо функция ФАд(е2о) стремится к 1; выражение
совпадает с результатом, полученным другим способом Казимиром и Польдером
для взаимодействия атома с металлической стенкой [10]. При е20 —> 1 фАд = 23/30 =
= 0,77 (см. рис. 1).
Естественно возникает вопрос о фактической величине Хо, с которой следу-
следует сравнивать расстояние I. Ответ не может быть дан в общем виде и зависит
от конкретной формы спектрального распределения поглощения данных тел
(т. е. от конкретных свойств функции е"(ш)).
Так, для металлов можно получить разумную оценку области применимости
формулы A5), если взять ? (оо) в виде
^ B1)
f
raur
3;
где N — число электронов проводимости в 1 см3; эта формула, как известно,
удовлетворительна в инфракрасной области спектра. Из B1) имеем
mi
используя это выражение в общей формуле (9) и разлагая последнюю по сте-
степеням 1/1, можно получить следующий результат:
, he
240
1-7,2-J-
' elV N
B2)
Так, при N = 5,9 • 1022 см 3 (для серебра) мы найдем, что второй член в скоб-
скобках мал, если I ^> 0,6 мкм.
Случай кварца представляет некоторые особенности благодаря специфи-
специфическим свойствам его спектра поглощения. Как известно, кварц обладает силь-
сильным поглощением в ультрафиолетовой (начиная примерно с 0,15 мкм) и в ин-
инфракрасной (начиная с нескольких микрон) областях, между которыми он про-
прозрачен. Использованные в опытах Абрикосовой и Дерягина расстояния попадают
в область прозрачности, и для оценки можно считать, что I мало по сравнению
с \/2iy 7) на правой и велико по сравнению с \/2iy на левой границах поглощения.
Вклад ультрафиолетовой области поглощения в силу / можно оценить по фор-
формуле A6), положив в ней е0 равным квадрату показателя преломления в оптиче-
оптической области прозрачности. Вклад же инфракрасной области дается форму-
формулой A0); по порядку величины он в Loo/c раз меньше (lj0 — инфракрасные часто-
частоты поглощения). Таким образом, для разумной оценки силы притяжения / можно
пользоваться формулой A6) с оптическим (вместо электростатического) значе-
значением диэлектрической проницаемости в качестве е0. Такая оценка занижена со
стороны больших и завышена со стороны меньших расстояний.
7) Специальное исследование дает основание заключить, что характерным критерием является
сравнение I не с самими длинами волн в областях поглощения, а с \/2тг.
352 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Во всем предыдущем мы пренебрегали влиянием температуры Т тел на силу
притяжения, т. е. формулы писались для Т = 0. Это пренебрежение обычно вполне
оправдано. Оно требует, прежде всего, соблюдения неравенства кТ ^> fkjo, где
и0 — частоты, соответствующие длинам волн Хо. Это условие заведомо выпол-
выполняется при обычных температурах и тем самым обеспечивается применимость
изложенных выше результатов для «малых» расстояний. На «больших» же
расстояниях указанное условие может оказаться недостаточным. Анализ пока-
показывает, что необходимо также соблюдение условия
кт<<т-
Это условие заведомо нарушается на достаточно больших расстояниях I, и влия-
влияние температуры становится при этом существенным. Это обстоятельство пред-
представляет принципиальный интерес, хотя практически на этих расстояниях сама
сила / становится уже очень малой.
Мы не станем приводить здесь общей формулы для силы притяжения при
любых значениях I и Т, являющейся обобщением формулы (9). Упомянем лишь
для иллюстрации температурного эффекта, что в обратном предельном случае
I ^> Нс/кТ сила притяжения оказывается равной
Таким образом, на достаточно больших расстояниях снова имеет место об-
обратная пропорциональность кубу расстояния, но с коэффициентом, зависящим
от температуры (и электростатического значения диэлектрической проницае-
проницаемости).
IV. МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ 8)
1. Принципиальная схема измерения
Сказанное выше делает понятным значение, которое имеет разработка мето-
метода непосредственного экспериментального определения зависимости сил при-
притяжения между твердыми телами от расстояния. Для решения этой задачи
необходимо задавать в последовательных измерениях различные расстояния Н
между обоими телами, поддерживая это расстояние при каждом измерении
постоянным, несмотря на действие молекулярной силы F, стремящейся его
уменьшить.
Если одно тело укрепить неподвижно, а другое жестко связать с динамо-
динамометрическим устройством или весами, позволяющими судить о силе по смеще-
смещению положения равновесия АН, то основную трудность вызовет то, что харак-
характер зависимости молекулярной силы от расстояния — большие положитель-
положительные значения градиента силы — может обусловить неустойчивость положения
равновесия подвижного тела.
8) В разработке методики принимала участие Ф.Б. Лейб.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 353
Действительно, условие устойчивости гласит:
dF п
где g — направляющая сила (коэффициент жесткости) динамометра. Так как
dF/dH всегда положительно 9), то при малом g, т. е. высокой чувствительности
прибора, условие устойчивости легко может быть нарушено. Если же во всем
интервале исследуемых значений Н dF/dH < g, то для верхней границы ин-
интервала dF/dH будет много меньше g. Так как Foe — H~k и, следовательно,
dF/dH = kF/h, где к > 2, то смещение равновесия (АН = F/g) под влиянием
силы будет составлять малую долю зазора Я, что затруднит измерения.
С другой стороны, применение жесткого динамометра или «грубых» весов
выгодно постольку, поскольку при этом укорачивается период колебаний ве-
весов и уменьшается влияние вязкости воздушной прослойки, заполняющей уз-
узкий зазор между обоими телами и играющей роль демпфера.
Выход из этих противоречивых требований был найден путем использования
перемещения тела не в качестве индикатора силы, действующей на него (для
чего используется иной показатель), а в качестве индикатора отклонения рас-
расстояния между ним и другим, неподвижно укрепленным телом от заданного
значения. Следя за таким «индикатором», можно автоматически поддерживать
это расстояние неизменным, скажем, путем пропускания тока надлежащей
величины и направления через связанную с телом катушку, помещенную в
магнитном поле. Сохранение постоянного зазора между обоими телами путем
подобного «телеуправления» положением одного из них невозможно без того,
чтобы одновременно искомая молекулярная сила, действующая на него, не
была уравновешена электромагнитной силой. Таким образом, метод является
компенсационным.
В то же время очевидно, что если подобная компенсация будет производиться
экспериментатором «вручную» на основе визуального наблюдения (например,
за кольцами интерференции в зазоре между телами), то удовлетворительной
стабилизации зазора все же практически достигнуто не будет из-за медленно-
медленности реакции экспериментатора, а также недостаточной чувствительности к из-
изменениям ширины зазора.
Здесь задачу решает автоматизация измерения с помощью специальной
схемы, состоящей из высокочувствительного устройства (датчика), следящего
за изменением положения тела и регулирующего посылаемый в катушку ток.
Такая автоматическая компенсационная схема измерений одновременно пред-
представляет собой пример автоколебательной системы с обратной связью. Если
рассматривать силу тока в качестве координаты системы, влияющей через
посредство пропорционального ей момента на положение тела, рассматривае-
рассматриваемое в качестве зависимой координаты, то следящее устройство, определяющее
в зависимости от положения тела силу тока, реализует своего рода негатив-
негативную обратную связь, способную обеспечить устойчивость положения равнове-
равновесия системы. Период колебаний легко можно сделать весьма малым, а затухание
9) Считая здесь силу притяжения отрицательной.
354 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
весьма большим 10), исключив возбуждение автоколебаний. Таким образом, прин-
принципиальная схема измерений обеспечивает одновременно поддержание зазора
постоянным и измерение, путем компенсации, силы молекулярного притя-
притяжения п). При этом, как мы увидим, получаются и другие преимущества, в част-
частности, высокая чувствительность при малом собственном периоде и обез-
обезвреживании влияния вязкости воздушной прослойки между телами, а также
исключение ползания нуля. Отметим, что аналогичное автоматически компен-
компенсационное устройство может быть применено и к гальванометру, позволяя уве-
увеличить его чувствительность и укоротить период.
Эти примеры показывают, что автоматизация измерений в направлении за-
замены простой схемы измерения более сложной с участием обратной связи и
других приемов управления представляет собой, по сути, область приложения
кибернетики, заслуживающую широкого и систематического развития ввиду
тех возможностей, которые при этом открываются.
Опишем прибор, разработанный на основе изложенной общей идеи, и про-
процедуру измерений [20].
2. Объекты измерения
По ряду причин выгодно одному из объектов придать плоскую форму, а друго-
другому сферическую, в соответствии с чем мы измеряли силу притяжения между
пластинкой площадью 4x7 мм и сферическими линзами радиусов кривизны
К=10смиК = 25 см, В этом случае облегчается юстировка поверхностей,
более сложная в случае двух пластин, и кратчайшее расстояние между телами
можно достаточно легко и точно вычислить по диаметрам колец Ньютона. Од-
Одновременно уменьшается (пропорциональное R2) вязкое сопротивление воз-
воздушной прослойки. Кроме того, такие объекты измерения позволяют изучить
зависимость сил от радиуса кривизны сферической поверхности и благодаря
этому отделить пропорциональные радиусу сферической поверхности молеку-
молекулярные силы от различных маскирующих эффектов, связанных, например, с
поверхностной электризацией. Соотношение, устанавливающее пропорциональ-
пропорциональность молекулярного притяжения (при любом его законе) радиусу сферы, было
получено [21] в виде
F(H)= 2-kRu(H), B4)
где F (Я) — сила притяжения между сферой и плоской пластинкой, R — радиус
сферы и и (Я) — энергия взаимодействия между двумя бесконечными пласти-
пластинами той же природы в той же среде, приходящаяся на 1 см2; Я — кратчайшее
10) Путем введения в цепь тока фазосдвигающей цепочки, обеспечивающей опережение фазы
тока по отношению к фазе изменения положения тела.
п) Подобная же схема измерения представляет ряд преимуществ и при измерениях постоян-
постоянных в пространстве сил, подобных весу. В соответствующей работе одного из нас [19] в качестве
обратной связи было названо не следящее устройство, а устройство, обеспечивающее действие на
коромысло весов момента, пропорционального силе тока. Это, конечно, неточность, хотя и не меня-
меняющая существа дела. Заметим, что подобное устройство, примененное в весах при взвешивании по-
постоянного груза, является одновременно прецизионным стабилизатором тока.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 355
расстояние между поверхностями. Из этой формулы также следует, что экспе-
эксперименты по измерению силы притяжения между сферой и плоской пластиной
дают непосредственно величину энергии взаимодействия между двумя беско-
бесконечными плоскими пластинами, т. е. результат, не зависящий от радиуса кри-
кривизны R.
В качестве материала для изготовления образцов было прежде всего взято
кварцевое стекло, устойчивое к реагентам и позволяющее получать весьма гладкие
поверхности.
Ввиду малости сил притяжения между макрообъектами желательно также
изготавливать образцы из материалов, характеризуемых, при прочих равных
условиях, большими силами взаимодействия. Как следует из теории Лифши-
ца, в случае достаточно больших расстояний между телами величина силы
взаимодействия зависит только от электростатического значения диэлектри-
диэлектрической проницаемости е0. Из числа диэлектриков с большим значением е0 наи-
наиболее пригодными для наших измерений оказались галогениды таллия. Была
проведена серия измерений между пластинкой и линзой, изготовленными из
смешанного кристалла TIBr и ТП D2,5% и 57,5% соответственно).
Наибольшая сила взаимодейстйия и простота расчета делают интересным
объектом исследования металлы. Более простым в методическом отношении
является случай металл—прозрачный диэлектрик, так как при этом можно
сохранить оптический метод измерения зазора. В соответствующих опытах мы
брали линзу из кварцевого стекла, а кварцевую пластинку покрывали (испа-
(испарением в вакууме) хромом. Сравнительно небольшой коэффициент отражения
света от поверхности хрома позволяет наблюдать достаточно контрастные кольца
интерференции в зазоре между поверхностями металла и кварца.
Измерения сил притяжения между выбранными объектами проводились
на воздухе и в вакууме. Взаимодействие двух тел не должно сколько-ни-
сколько-нибудь заметно зависеть от того, что находится в зазоре между ними — ваку-
вакуум или воздух, но каждый из этих случаев имеет свои преимущества и
неудобства с точки зрения экспериментально-методической, и сопоставление
результатов, полученных в обоих вариантах, служит важным методом конт-
контроля правильности измерений. Более точной и удобной оказалась методика
проведения опытов в вакууме. Это связано с тем, что силы вязкости возду-
воздуха в зазоре между поверхностями при его изменениях, даже если после-
последние совершаются медленно, могут сделаться сравнимыми с исследуемыми
молекулярными силами, так что измерения на воздухе приходилось вести,
выжидая перед отсчетами моменты, при которых зазор был постоянен. Про-
Процедура измерения силы при этом затягивалась, и часто не удавалось произ-
произвести отсчет в свободный от колебаний момент времени, даже несмотря на
резкое сокращение периода собственных колебаний в результате использо-
использования негативной обратной связи. Кроме того, в случае воздуха не удава-
удавалось полностью избежать колебаний коромысла, вызванных конвекционны-
конвекционными потоками. Эти помехи в вакууме были много меньше. Опыты в вакууме
проводились при остаточном давлении воздуха от 1 • 10 мм до нескольких
миллиметров ртутного столба.
356
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
3. Микровесы с обратной связью для измерения
силы взаимодействия между твердыми телами
Коромысло весов. Сила взаимодействия между плоской поверхностью пла-
пластинки Р и выпуклой поверхностью сферической линзы L измерялась при по-
помощи специальных микровесов коромыслового типа (рис. 2) по изложенной
выше схеме автоматической компенсации. Длина коромысла К составляла 35 мм,
вес — ОД г. Пластинка Р клалась на ко-
конец коромысла, а линза L помещалась
на независимой от коромысла подстав-
подставке так, что расстояние между обращен-
обращенной вниз выпуклой поверхностью лин-
линзы и верхней поверхностью пластинки
было достаточно малым. На другой ко-
конец коромысла приклеивалось зер-
зеркальце S. С коромыслом была связана
агатовая призма а, опиравшаяся на агатовую подушку Ь. Для грубого уравно-
уравновешивания служила стеклянная палочка С массой 10—50 мг, передвигавшаяся
вдоль коромысла наподобие рейтера. Коромысло весов было жестко скреплено
с рамкой R с 15 — 20 витками проволоки, помещенной в поле постоянного магни-
магнита (рис. 3) с В « 850 Гс.
+ 150 В
== 6ас1
Рис.2
Рис.3
Компенсирующее и следящее устройства. Компенсация измеряемого моле-
молекулярного притяжения обеспечивалась пропусканием через рамку R тока, под-
подводившегося к ней с помощью волластоновых проволочек, диаметром 6 — 10 мкм.
Источником тока служило следящее устройство — датчик поворота коромыс-
коромысла весов, состоявший из растрового фотореле и однокаскадного усилителя. Фо-
Фотореле располагалось над коромыслом так, что оптическая ось его ОО (рис. 4)
была параллельна оси вращения коромысла. Схема растрового фотоэлектриче-
фотоэлектрического датчика представлена на рис. 3 и 4.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел
357
При помощи конденсора К лучи от источника света L E0-ваттная лампочка
накаливания) освещали линейный (типографский) растр Рх (стеклянная плас-
пластинка с чередующимися прозрачными и непрозрачными полосами равной ши-
ширины) и, пройдя объектив Ог, фокусировались на зеркальце S (соответствую-
(соответствующий ход лучей изображен сплошной линией). При помощи объектива О1? зер-
зеркальца S и второго объектива О2 с тем же фокусным расстоянием 7,5 см
действительное изображение растра Рх отбрасывалось в плоскость второго
растра Р2 с той же линеатурой 60 линий/см (соответствующий ход лучей пока-
показан штриховой линией).
Рис. 4
Размер изображения растра Рх совпадал с размером растра Р2, так как они
были расположены в фокальных плоскостях одинаковых объективов О1 и О2.
Плоскости растров перпендикулярны плоскости, в которой лежат ось враще-
вращения коромысла и само коромысло; штрихи рас-
растров перпендикулярны к оси вращения и к ко-
коромыслу. Малейший поворот зеркальца менял
положение изображения первого растра относи-
относительно второго растра, увеличивая или умень-
уменьшая величину просветов. Пройдя через второй
растр, свет падал на сурьмяноцезиевый вакуум-
вакуумный фотоэлемент, управляющий сеткой усили-
усилительной лампы. В некоторых опытах приме-
применялось растровое фотореле автоколлимационной
схемы (рис. 5). В фокальной плоскости объекти-
объектива Ох (фокусное расстояние 5 см) помещалась
нить 50-ваттной лампочки Л. Параллельные
лучи света, пройдя правую половину растра Р,
собирались с помощью объектива О2 (фокусное
расстояние 5 см) на зеркальце S. В результате
отражения лучей от зеркальца изображение ра-
растра получалось в плоскости самого растра Р
(слева). Параллельный ход лучей обеспечивал
масштаб оптического изображения 1 : 1. Сразу
же после растра расположена призма полного
внутреннего отражения А, благодаря которой отраженный от зеркала свет попа-
попадал на фотоэлемент, причем освещение зависело от положения зеркальца S.
Растр Р был разрезан пополам вдоль штрихов. Одна половина передвигалась
относительно другой в направлении, перпендикулярном штрихам с помощью
Рис.5
358
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
дифференциального винта. Такое устройство позволяло осуществить описан-
описанный ниже метод регулировки зазора.
Ток фотоэлемента усиливался с помощью простой схемы, представленной на
рис. 3. В цепь сетки электронной лампы 6АС7 включалась, через потенциометр,
батарея, создающая отрицательное сеточное смещение. Отрицательная обрат-
обратная связь в усилителе (сопротивление в катоде Rk) обеспечивала хорошую ста-
стабильность его работы. Анодный ток г, частично скомпенсированный током гх от
сухой батареи Е = 1,5 В, направлялся в рамку весов R. Изменяя с помощью мага-
магазина сопротивлений К ток iv можно было, оставаясь на самом крутом участке
характеристики усилительной лампы, регулировать величину тока в рамке.
Конструктивное оформление прибора. Конструкция применявшегося при-
прибора представлена на рис. 6. Массивная латунная плита 1 для крепления всех
деталей прибора лежит на трех подставках, высота которых позволяет рабо-
работать с управляющими винтами прибора, выведенными под платформу. Непос-
Непосредственно на платформе расположены: плита V, на которой находится коро-
коромысло 2, подставка для линзы 3, механизм для перемещения стеклянного во-
волоска 4, арретир 5, магнит 6 с сердечником 7 и подставки для крепления
растрового реле 8.
Рис.6
Плита V установлена на трех опорах. Высоту двух из них можно менять с по-
помощью дифференциальных микрометрических винтов, находящихся под плат-
платформой 1. Назначение такого устройства будет пояснено ниже. К плите при-
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 359
клеена агатовая подушка а, являющаяся подставкой для опорной агатовой при-
призмы Ъ коромысла (см. рис. 2).
Коромысло изготовлялось в виде П-образного жолоба из алюминия толщи-
толщиной 0,16 мм. В коромысле сделаны три выреза. В центральном вырезе укреплена
на шеллаке агатовая призма; в два других выреза вклеена рамка R. Прямоуголь-
Прямоугольное основание рамки выполнено из алюминия толщиной 0,16 мм и имеет ребро
жесткости. Концы медной эмалированной проволоки диаметром 50 мкм, намо-
намотанной на рамку, подпаяны к тонким волластоновым нитям, выведенным под ме-
механизм перемещения стеклянной палочки к клеммам 13. На концах коромысла с
помощью алюминиевых муфт укреплены зеркальце S и исследуемая пластинка
Р. В плите V сделано отверстие, в которое свободно проходит подставка с линзой.
Ранее упоминавшиеся винты этой плиты служат для наклона коромысла с
пластинкой под различными углами к линзе, что было необходимо делать для
перемещения места контакта между исследуемыми поверхностями.
Стеклянная палочка 9, применяемая для грубого уравновешивания весов и
для их градуировки, лежит в жолобке коромысла и передвигается вдоль него
движком 10. Для перемещения движка служит выведенный под платформу
винт, передающий движение горизонтально расположенным салазкам 4.
Для предотвращения контакта линзы с пластинкой и для отрыва их друг от
друга в случае намеренного или случайного контакта изготовлен специальный ар-
арретир 5. Контакт арретира с коромыслом достигается через скрещенные ребра двух
кристалликов корунда (для уменьшения сил прилипания), один из которых при-
приклеен к левой муфте, а другой к пластинке арретира. Вертикальное перемещение
арретира осуществляется с помощью дифференциального винта.
Все части прибора, размещенные между подставками для крепления фоторе-
фотореле, закрыты невысоким латунным футляром со стеклянными окошками над зер-
зеркальцем коромысла и линзой. В вакуумном варианте прибора футляр уплотнен на
платформе резиновой прокладкой, а все микрометрические винты передают дви-
движение через сильфоны. Подставки 8 служат для крепления растрового фотореле
(см. схему на рис. 4), смонтированного внутри латунной трубы.
Реальная чувствительность прибора для определения силы взаимодействия
существенно зависит от вибраций подставки, на которой установлен прибор.
Колебания подставки вызывают колебания тока в цепи рамки R. Частично эти
колебания возбуждаются за счет неполного совпадения центра тяжести с точ-
точкой опоры, частично за счет передачи коромыслу через вязкую воздушную
прослойку вращательных колебаний подставки. Лучшие результаты были по-
получены после помещения прибора на специальный столик с амортизацией
A1, рис. 6), который в свою очередь устанавливался на изолированной от фун-
фундамента и врытой в землю цементной тумбе A2, рис. 6).
Для дальнейшего уменьшения влияния сотрясений оптическая схема датчи-
датчика была усовершенствована: свет, отразившись от зеркала Sx (рис. 7), связан-
связанного с коромыслом, далее отражался от зеркала S2, связанного с платформой
A, рис. 6), что делало фототок независимым от колебаний коромысла весов с
платформой как целого и зависимым только от зазора Н. Угол между зеркалами
Si и S2 составлял примерно 90°. С помощью винта, выведенного под платформу,
можно было регулировать положение зеркала S2 при юстировке прибора.
360
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Рис.7
Процедура измерений. Рассмотрим сначала положение коромысла весов, при
котором зазор между пластинкой и линзой настолько велик, что молекулярное при-
притяжение неощутимо мало. Предположим, что центр тяжести весов, располагаясь
почти на одном уровне с опорным ребром коромысла, смещен по отношению к нему
в горизонтальном направлении 12). Тогда для уравновешивания необходимо про-
пропустить через рамку определенный
ток г0. Это можно сделать для данно-
данного положения коромысла, устанав-
устанавливая с помощью микровинта растр
Рх (рис. 4) в определенное положе-
положение, при котором через реле про-
пропускается необходимое количество
света, падающего затем на фотоэле-
фотоэлемент. При изменении зазора Н, т. е.
при другом положении коромысла
весов и прикрепленного к нему зеркальца, для получения равновесия нужно то
же значение тока г0, а следовательно, и светового потока, если возможно пре-
пренебречь горизонтальной слагающей перемещения центра тяжести при повороте
коромысла. При измерениях всегда можно было добиться соблюдения этого ус-
условия при изменениях Н в пределах 1—20 мкм. Для сохранения же величины све-
светового потока при повороте коромысла с зеркальцем потребуется переместить
растр Р1 в новое положение.
Отсюда очевидно, что, медленно перемещая растр в надлежащем направ-
направлении, мы будем заставлять коромысло медленно менять положение равно-
равновесия, уменьшая зазор Н, Конечно, это возможно, пока положение равнове-
равновесия, возникающее в результате компенсации, будет устойчивым. Для этого
нужно, чтобы изменение фототока при повороте коромысла вызывало, за счет
негативной обратной связи, т. е. растрового фотореле, силу, противодейству-
противодействующую этому движению коромысла. Для этого достаточно выбрать правильно
направление, в котором ток обтекает витки рамки. Таким образом, воздей-
воздействуя на следящее устройство, вернее, на растр Рг, являющийся его частью,
можно было управлять коромыслом весов. При этом поворот коромысла не со-
сопровождался изменением силы тока 13), если центр тяжести весов находился
на уровне их оси вращения и никаких других сил не было. Положение меня-
меняется, когда зазор делается настолько малым, что появляется молекулярное
притяжение. Для компенсации нужно измененное значение г0, что автоматиче-
автоматически и осуществляется за счет действия обратной связи, если получаемое рав-
равновесие остается устойчивым.
12) Перемещение центра тяжести в горизонтальном направлении осуществлялось перемещением
палочки С (рис. 2), однако полного совпадения центров тяжести добиться было весьма трудно и по
существу не требовалось.
13) Наблюдаются только отбросы стрелки гальванометра, расположенного в цепи рамки, от
положения г0 при быстром перемещении растра и ведомого им коромысла. Эти отбросы быстро
затухают при остановке или сильном замедлении перемещения, что указывает на вязкое сопро-
сопротивление воздушной подушки изменению зазора.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 361
Условием устойчивости будет:
J^di_ dM__dF_
~r"~da'~di ~dH
где di/da = k — производная тока на выходе усилителя по углу поворота коро-
коромысла а определяется чувствительностью фотореле и легко могла быть доведе-
доведена до очень высоких значений порядка 500 А/рад; г — расстояние места наи-
наибольшего сближения пластинки и линзы от оси вращения коромысла; dM/di = п
делалось небольшим, так как чувствительность измерения силы (в противопо-
противоположность измерению тока в гальванометре), очевидно, обратно пропорциональ-
пропорциональна dM/di. Для увеличения этой чувствительности применялось шунтирование
рамки. Однако сильное снижение п, уменьшающее dM/da = I = kn, недопусти-
недопустимо, так как ведет к чрезмерному увеличению периода колебаний коромысла с
обратной связью, равного, если пренебречь влиянием силы тяжести,
I dM/da
(J — момент инерции коромысла). В пределе устойчивость коромысла может на-
нарушиться.
Из изложенного ясно, как, поворачивая коромысло посредством перемеще-
перемещения растра Рх и отмечая значения тока iQ при различных значениях зазора Н,
можно определить зависимость молекулярного взаимодействия пластинки и лин-
линзы от Н, если известен коэффициент пропорциональности между силой и током,
равный
г dM _ п
г di r
Кроме тока от фотоэлемента можно использовать в той же цепи дополнительный
ток от батареи, что особо важно при измерении больших по величине сил 14).
Юстировка, регулирование и градуировка весов. Постоянство нулевого
тока г0 имеет место только тогда, когда собственный направляющий момент ве-
весов без обратной связи Мо пренебрежимо мал по сравнению с моментом М. По-
Понятно, что Мо = 0, когда расстояние d от центра тяжести до точки опоры
(здесь — ребра призмы) равно нулю. Применяя обратную связь, которая опре-
определяет период колебаний и способна сделать его достаточно малым, можно (в
противоположность обычным весам) идти неограниченно далеко в направле-
направлении уменьшения d вплоть до d = 0. В описываемых весах центр тяжести на-
находился практически на ребре опорной призмы. Критерием достаточной мало-
малости расстояния d служило постоянство тока iQ в рамке при различных, охваты-
охватывающих широкий диапазон, положениях коромысла в пространстве, когда,
разумеется, расстояние Н настолько велико, что между пластинкой Р и линзой
L нет еще никаких сил взаимодействия.
14) В частности, такая компенсационная схема была использована при применении обратной связи
к микроаналитическим весам в работе, проведенной нами совместно с Т.Н. Воропаевой, а также с
сотрудниками НИИВЕСПРОМ К.К. Тимофеевым и Ю.Н. Сачковым.
362 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Оказалось, что ток iQ остается, с вполне достаточной для этих измерений точ-
точностью @,1 мкА и меньше), постоянным при d < 0,025 мм, чему соответствовал
период колебаний (без обратной связи) То > б с. Эти характеристики очень чув-
чувствительны к малейшим изменениям в весах, так что перед каждым опытом необ-
необходимо было снова добиваться нужных значений Т >Т0 (или d < d0). Для реализа-
реализации этих условий подбиралась стеклянная палочка С (рис. 2) подходящего веса.
Совмещение центра тяжести с ребром опорной призмы значительно снижает
чувствительность прибора к вибрациям подставки, так как последние переда-
передаются, в основном, через точку опоры.
Ввиду того, что между силой тока и электромагнитным моментом взаимо-
взаимодействия рамки и магнита существует прямая пропорциональность (харак-
(характеризуемая коэффициентом п), чувствительность весов с обратной связью не
зависит от чувствительности и других характеристик датчика; весы обеспе-
обеспечивают линейную связь между силой взаимодействия тел («нагрузкой») и то-
током в рамке как при линейной, так и при нелинейной характеристике усили-
усилителя. Такие весы допускают регулирование чувствительности изменением
числа витков в рамке и напряженности магнитного поля или простым шунти-
шунтированием рамки.
Коэффициент I, а следовательно, и период колебаний весов зависят от выхо-
выхода тока к, который можно варьировать в широких пределах с помощью различ-
различных параметров усилительной схемы, меняя катодное сопротивление Rk (рис. 3),
работая на разных участках анодной характеристики усилителя или, наконец,
применяя усилитель на лампе с меньшей крутизной.
При применении метода отрицательной обратной связи к обычным анали-
аналитическим весам медленные ползания коэффициента выхода тока, в противопо-
противоположность короткопериодным флуктуациям, не опасны, так как равновесие со-
сохраняется за счет постепенного поворота коромысла, оставляющего (при ма-
малости сил инерции) постоянным значение анодного тока, по величине которого
судят о нагрузке.
В случае «взвешивания» молекулярного притяжения опасны как быстрые, так
и медленные изменения в датчике, так как требуется достаточно длительное ус-
устойчивое положение равновесия коромысла, чтобы замерить одновременно за-
зазор между поверхностями и соответствующую ему силу тока. Это особенно су-
существенно при измерениях на воздухе, ибо в этом случае ползание коромысла
вызывает силы сопротивления, зависящие от вязкости воздуха и искажающие
измеряемые силы.
С помощью описанного метода можно было измерять силы взаимодействия
между твердыми телами в пределах от A-1-2) • 10~4 дин до 20 дин при сравнитель-
сравнительно большой скорости спадания сил с расстоянием. Так, при высоких значениях
I = kn (выход тока датчика к около 500 А/рад) и периоде колебаний 5 • 10~3 с можно
замерить силу, градиент которой составляет 106 дин/см с точностью до 0,02 дин.
Перечисленные свойства весов позволили преодолеть серьезные и специфи-
специфические трудности поставленной задачи.
Следует отметить, что при больших зазорах (десятки микрон) наблюдались
автоколебания коромысла весов большой амплитуды. Это явление связано с
«инерцией» обратной связи, именно с тем, что ток на выходе усилителя отстает
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел
363
по фазе от поворота коромысла. Для устранения этого явления можно включить
в схему фазосдвигающие цепочки. Однако при зазорах, меньших 20 мкм, даже
при измерениях в вакууме A0~2 мм рт. ст.) демпфирующее действие воздушной
прослойки было достаточным и включать фазосдвигающие цепочки не было
необходимости.
Сила взаимодействия между линзой и пластинкой находилась из соотношения
-л п ¦
F = -г = чг,
г
где г — сила тока, определяемая по микроамперметру класса 0,1, включенному
в анодную цепь (рис. 3), и г — измеряемое по линейке расстояние от ребра опор-
опорной призмы а до места наибольшего сближения поверхностей, г равнялось, в
среднем, 1,9 см. Градуировка весов (или определение п) производилась с помо-
помощью перемещения стеклянной палочки С (рис. 2) вдоль коромысла. При боль-
большом зазоре между поверхностями (в отсутствие сил молекулярного притяже-
притяжения) замерялась по микроамперметру сила тока в рамке г0, соответствующая
различным положениям стеклянной палочки, отмечаемым по окулярной шка-
шкале микроскопа.
Интересующий нас коэффициент п равен
п = Р
Аг0'
¦ соответствующее
Масса стекл. палочки
Р=46,60 мг
Число витков N= 15
где Р — масса стеклянной палочки, Ау — ее перемещение, Дг0
этому перемещению изменение силы тока.
Для уточнения определения п строил-
строился график зависимости iQ от у. На рис. 8 по- у, См
казан один из градуировочных графиков;
п в этом случае получился равным 2,51
мг • см/мкА, что хорошо совпало со зна- 0>1
чением п = 2,55 мг • см/мкА, рассчитан-
рассчитанным по закону Ампера из напряженнос-
напряженности магнитного поля.
Точность расчета по закону Ампера
безусловно ниже точности определе- 0
ния п из градуировочного графика и слу-
служила, в основном, для контроля. Погреш-
Погрешность в определении п из градуировки составляла ± 3% (^ = 1,32 ± 0,04). Слу-
Случайные ошибки измерения силы F была равны около ± 10~4 дин.
0,5
Рис.8
1,0 i0, мкА
4. Метод измерения расстояния между исследуемыми телами
Величина минимального зазора Н между линзой L и пластинкой Р рассчиты-
рассчитывалась по диаметрам колец Ньютона, измерявшимся с помощью микроскопа,
снабженного окулярной шкалой. Система освещалась кинолампой C00 Вт) че-
через монохроматор постоянного отклонения и вертикал-иллюминатор микроско-
микроскопа, создающий нормальное к поверхности пластинки падение света (рис. 9).
364
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Обозначим через dm диаметр m-го темного кольца, через X — длину волны
света, R — радиус сферической поверхности. Условие образования m-го темного
интерференционного кольца имеет вид
*'
А U*A*A*4P~t.**-
Рис.9
Из геометрических соображений часть толщины воздушного зазора, обозна-
обозначенная Ьт (рис. 10), связана с диаметром m-го кольца dm равенством
Ж'
Подставляя его в предыдущее выражение, получим для минимального расстоя-
расстояния между поверхностями Н формулу
Рис. 10
т —
4RX
B5)
из которой следует, что для определения Н надо знать т, dm,
ХиК.
Для определения номера кольца m можно, следя за кольцом,
привести поверхности в контакт и отсчитать порядковый номер
данного кольца. При измерении молекулярного притяжения
между телами такой метод неудобен из-за возможности контак-
контактной электризации. Поэтому был применен другой метод, осно-
основанный на измерениях диаметра интерференционных колец при
вариации номера m и длины волны монохроматического света X
при постоянном зазоре Н.
Введем величины A(d^J и A(d^j, определяемые следую-
следующими равенствами:
j2
X\,m
B6)
B6')
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 365
Учитывая соотношение B5), можно написать
^ = 4Rm B7)
Am
Деля B7) на B7Г), получим для т выражение
B8)
Перед началом основных измерений, т. е. измерений силы притяжения F и
соответствующего зазора Н, определялся по B8) номер какого-либо кольца т,
а по нему и номера других колец.
Радиус сферической поверхности R измерялся с помощью той же оптичес-
оптической схемы. Из соотношения B5) следует линейная зависимость d^ от т при
постоянных X и Я. Если откладывать по оси ординат d^, а по оси абсцисс т, то
тангенс угла между прямой d^ = f(m) и осью абсцисс, поделенный на 4Х, дает
радиус R. Так как X, т и R всегда определялись до основных измерений, то
последние сводились только к измерению силы тока г и замеру диаметра одно-
одного (иногда 2—3) интерференционного кольца. Последнее обстоятельство помо-
помогало успешному проведению опыта, так как позволяло сосредоточить внима-
внимание на одновременном измерении только двух величин.
При расчете величины зазора Н между кварцевой и металлическими по-
поверхностями необходимо было учитывать сдвиг фаз при отражении от метал-
металлической поверхности. Для используемого в наших опытах металла хрома эта
поправка к Н составляла примерно 120 А.
Точность измерения зазора Н почти целиком определялась погрешностью в
измерении диаметра m-го (обычно 2-го) кольца dm, составлявшей (для d2) ±1%,
что обеспечивало точность в измерении зазора Н, равную примерно 0,01 мкм.
5. Подготовка исследуемых поверхностей
Для успешного опыта поверхности должны быть прежде всего тщательно очи-
очищены от каких бы то ни было пленок. Обычные методы химической очистки, на-
например мытье хромовой смесью, не применялись, чтобы избежать порчи поли-
полированной поверхности стекла. Для тщательной очистки пластинка и линза про-
промывались перегнанными спиртом и эфиром с помощью обезжиренной в аппарате
Сокслета ваты и затем обрабатывались в тлеющем разряде под стеклянным кол-
колпаком. О чистоте поверхностей свидетельствовало полное смачивание их водой
после очистки.
Наиболее существенные экспериментальные трудности были связаны с по-
попаданием пылинок на исследуемые поверхности и с электризацией последних
при удалении пылинок. Лучшие результаты давало протирание поверхностей
(после очистки в тлеющем разряде) слегка смоченной в чистом эфире обез-
обезжиренной ватой при одновременном просматривании поверхности под бино-
366 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
кулярным микроскопом. После такой обработки поверхности оставались чисты-
чистыми, продолжая полностью смачиваться водой.
При очистке поверхностей от пылинок происходит сильная электризация
образцов, вследствие чего они взаимодействуют с силой, которая в тысячи
раз может превысить молекулярное притяжение. Для удаления зарядов с
поверхностей пластинки и линзы оказалось необходимым последние держать
раздвинутыми до расстояний 1 — 10 мм и тем или иным способом ионизовать
воздух около прибора. Удаление зарядов при сближенных поверхностях ока-
оказалось невозможным. Для ионизации воздуха применялся помещенный вбли-
вблизи радиоактивный препарат изотопа серы (S35). При раздвинутых поверх-
поверхностях на них часто снова попадали пылинки из воздуха и необходимо было
их снова чистить и снимать заряды, пока не удавалось достигнуть отсут-
отсутствия как пылинок, так и электростатического взаимодействия. Как пока-
показал опыт, при очень малых расстояниях между линзой и пластинкой пыль в
зазор не попадает, так что важно один раз добиться одновременного отсут-
отсутствия пыли и зарядов на поверхностях, после чего не раздвигать их больше,
чем на 5 — 10 мкм.
V. РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ
На рис. 11 дана зависимость измеренной на воздухе силы притяжения F меж-
между кварцевыми пластинкой и сферой (R = 10 см) от расстояния Н.
Эта зависимость соответствует
10 F, дин минимальному из всех наблюдав-
2,0 j- i шихся на объектах из кварцевого
стекла эффектов притяжения. Пос-
Последнее обстоятельство наряду с до-
' г V статочно хорошей воспроизводимо-
воспроизводимостью данного эффекта в различных
i do1 ' - ' ' ^ опытах говорит о его молекулярной
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9Я, мкм природе. Однако для полной уве-
уверенности в справедливости этого
Рис. 11 _. _.
предположения необходимо убе-
убедиться в отсутствии в опытах побочных, в первую очередь электростатических
сил притяжения.
Если наблюдавшееся притяжение между телами есть действительно моле-
молекулярное притяжение, то оно должно быть:
1) нечувствительным к повторной ионизации воздуха около объектов изме-
измерения;
2) пропорциональным радиусу сферической поверхности (см. соотноше-
соотношение B4));
3) хорошо воспроизводимым как по величине, так и по характеру спадания
силы с расстоянием от опыта к опыту;
4) хорошо воспроизводимым в опытах, относящихся к различным местам сбли-
сближения поверхностей;
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел
367
5) нечувствительным к удалению воздуха из зазора между телами. Дальней-
Дальнейшие исследования были направлены на проверку выполнения этих условий.
10 F, дин
4,0
3,0
2,0
1,0
Таблица 1
d-
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Я, мкм
Рис. 12
Наиболее точными и воспроизводимыми
оказались измерения в вакууме. Результаты
опытов в вакууме даны на рис. 12 и в таблице I.
Кривая I соответствует радиусу R = 10 см, кри-
кривая II — радиусу R = 26 см. В пределах погреш-
погрешности измерений эти данные удовлетворяют
всем перечисленным выше требованиям.
На рис. 13 в билогарифмическом масштабе
представлены результаты большого числа опы-
опытов, разделенных значительными промежутка-
промежутками времени и проведенных с разными кварце-
кварцевыми образцами. Радиус линзы R = 11,1 см.
Белыми кружками обозначены величины,
полученные при измерениях на воздухе. По-
Почти перед каждым из этих измерений воздух
вблизи объектов подвергался (до откачки) не-
неоднократному действию сильных ионизаторов
(представленные на рисунках штрихами зави-
зависимости рассчитаны по теории Лифшица; см.
дальше).
Согласно соотношению B4), частное от деле-
деления F(H) на 2iyK, где R — радиус соответствую-
соответствующей сферической поверхности, есть энергия и
притяжения двух бесконечных пластин, прихо-
R =
н,
мкм
0,08
0,11
0,10
0,13
0,15
0,16
0,17
0,18
0,20
0,42
0,64
0,96
10 см
F-103,
дин
1,95
1,30
2,08
0,91
0,52
0,72
0,46
0,59
0,26
0
0
0
R =
н,
мкм
0,13
0,17
0,14
0,18
0,20
0,22
0,25
0,28
0,31
0,42
0,62
0,96
0,71
26 см
F-103,
дин
3,14
1,57
2,49
1,57
1,31
1,05
0,66
0,46
0,26
0
0
0
0
1,2 1,4 1,6 1,8 01g#,MKM
Рис. 13
368
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
дящаяся на 1 см2. На рис. 14 изображена зависимость энергии и от расстояния
Я, причем зачерненные кружки соответствуют опыту с линзой радиуса
R = 11,1 см, треугольники — R = 10 см и светлые кружки — R = 25,4 см.
Этот график иллюстрирует линейную зависимость силы притяжения от ради-
радиуса сферы, показывая, что энергия притяжения для плоского случая, и (Я), не за-
зависит от того, с какой линзой производились измерения силы притяжения. Таким
образом, удовлетворяется совокупность всех перечисленных выше условий.
10 и, эрг/см
I о о i
ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Я, мкм
Рис. 14
На рис. 15 и 16 приведены результаты опытов с образцами, изготовленными
из галогенидов таллия. На рис. 15 представлены в билогарифмическом масштабе
данные, полученные с линзой радиуса R = 12,5 см, на рис. 16 точки соответству-
соответствуют опыту с линзой радиуса R = 12,5 см, а крестики — R = 5,2 см.
Рисунки 17 и 18 аналогичным образом представляют графически измерения,
в которых одна из поверхностей (пластинка) покрывалась достаточно толстым
зеркально-гладким слоем хрома. В случае рис. 17 радиус кривизны линзы
R = 10,6 см, на рис. 18 точки соответствуют R = 10 см, а крестики — R = 5 см.
VI. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Учитывая, что полученные результаты касаются обнаружения и измерения
эффекта, наличие которого ранее прямыми опытами никем не было доказано,
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел
369
lg F, дин
I
2,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,0
5,8
5,6
5,4
5,2
5,0
\
\ \
\ \
~\ \
\ \
- ^ \
?<&\
*СчЯ
// <? I
°(
-
_
-
-
-
1 1 1
)
L
\
Л
\ \
\ \
d\ \o
. \
\ \
¦\\
\\
\ \
. \
\ \
1 1 '. 1 \
2,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 0 lg#,MKM
Рис. 15
lg F, дин
Л
-\
2,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,0
5,8
5,6
5,4
5,2
5,0^-
\о
и и,
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
эрг-см
0
0
-
X
1
- 1
1
_
)
-
-
-
-
1
01
/
0
X
I
x'l
*i
[ox!
|xxl
:
X
йх
jpo
\
%
\
0
2
I
i
)\
x^
й
o°ocg \
2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8Я,мкм
Рис. 16
1,0 1,4 l,8 01g#,MKM
Рис. 17
1,1Я,мкм
370 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
мы считаем необходимым несколько подробнее остановиться на анализе резуль-
результатов измерения и на обосновании их интерпретации.
1. Анализ результатов измерений
Совпадение результатов измерений, проведенных на воздухе и в вакууме, го-
говорит о независимости их от конвекционных потоков, от радиометрического эф-
эффекта, от наличия вязкого воздушного слоя между телами, а также от паров воды,
находящихся в воздухе.
Для того чтобы избежать ошибок в измерениях, связанных с каким-либо не-
неучитываемым механическим влиянием тех или иных деталей прибора, напри-
например упругим действием проводов, подводящих ток к рамке, трением между реб-
ребром опорной призмы и подушкой, пылинками, оставшимися на поверхностях
исследуемых тел, и т. д., применялись соответствующие меры. Упругое действие
проводов было сведено к минимуму выбором очень тонких волластоновых нитей
и отжигом их. Агатовая призма и агатовая подушка удовлетворяли всем требо-
требованиям, предъявляемым к этим деталям в лучших образцах микроаналитичес-
микроаналитических весов. В хороших микроаналитических весах с весом коромысла и чашек в
несколько десятков граммов трение не мешает производить взвешивание с
чувствительностью до 10~5—10~6 г. Как известно, трение примерно пропорцио-
пропорционально нагрузке. Поэтому понятно, почему в весах с коромыслом, масса которого
составляла 0,1 г, можно было полностью пренебречь трением 15) между призмой
и подушкой при измерениях с точностью 10~7 г.
Присутствие на поверхностях пылинок, могущих повлиять на измерения,
всегда обнаруживалось по появлению при уменьшении зазора сил отталкива-
отталкивания, которые могли регистрироваться нашим прибором с такой же чувствитель-
чувствительностью, как и силы притяжения, и которые никогда не менялись плавно с изме-
изменением расстояния. Измерения производились только тогда, когда при суже-
сужении зазора вплоть до 0,05 — 0,1 мкм никаких сил, кроме сил притяжения, не
обнаруживалось.
Несомненно также, что наблюдаемое притяжение тел нельзя объяснить ка-
какими-либо пленками, остающимися на поверхностях после их очистки. Нали-
Наличие на кварцевых поверхностях адсорбционных пленок воды, неизбежных при
проведении любых измерений на воздухе и в низком вакууме, не влияло на ре-
результаты измерений, так как, во-первых, расстояние между объектами изме-
измерений было много больше толщины подобных слоев и, во-вторых, так как диэ-
диэлектрическая проницаемость, близко связанная с величиной молекулярного
притяжения, у адсорбционных пленок примерно такая же, как у кварца. Если
диэлектрические проницаемости пленки и кварца близки друг к другу по по-
порядку величины, то наличие адсорбционной пленки толщиной, например, 10 А
эквивалентно изменению зазора между кварцевыми поверхностями на вели-
величину того же порядка, т. е. на 10 А, что при точности измерения Н ~ 100 А со-
совершенно не могло повлиять на результаты.
15) Если бы это трение могло сказываться на измерениях, то оно бы вызывало изменчивость нуля
весов, т. е. тока г0, что в действительности никогда не наблюдалось.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 371
В разных опытах применялись разные методы очистки. Кривая на рис. 11 со-
соответствует, например, опытам, когда пылинки снимались обезжиренной кис-
кисточкой, а графики на рис. 12 и др., — когда для очистки применялись эфир и
обезжиренная вата. Если считать, что притяжение связано с инородными плен-
пленками, то совпадение результатов многих опытов заставило бы предположить на-
наличие во всех случаях одинаковой пленки, что слишком невероятно.
Даже не производя соответствующего расчета, можно было сразу сказать, что
силы притяжения, представленные, например, на рис. 12, не являются силами
всемирного тяготения, так как последние не могут обнаруживать такой резкой
зависимости от величины зазора. Что касается сил взаимодействия между тела-
телами, связанных с их электризацией, то об этом подробно было сказано выше.
2. Сопоставление с теорией
Сопоставление с результатами расчета, проведенного по методу суммиро-
суммирования взаимодействий всех пар молекул. Если следовать принятому до после-
последнего времени методу суммирования взаимодействия всех пар молекул, то для
случая сферы и плоскости надо применить формулу EГ).
Подставляя в эту формулу результаты опытов, мы получим для константы А
значение ~ 5 • 10~14 эрг. Между тем константа А для кварца составляет при-
примерно 10~12 эрг, т. е. в 20 раз больше значения, полученного на опыте. Такое
сопоставление показывает непригодность (по крайней мере для расстояний по-
порядка 10~5 см) применявшихся до сих пор методов расчета. Можно сказать по-
поэтому, что результаты опытов имеют достаточно общее значение, несмотря на
ограниченное число объектов измерения.
Если следовать тому же методу суммирования, но учитывать поправку Кази-
Казимира и Польдера, то надо применять для энергии формулу G).
Подставляя сюда результат наших опытов, мы получим для константы А1
значение, равное примерно 3 • 10~18 эрг • см. Расчет по формуле Ах = ty292ci дает:
Ах = 1 • 10~18 эрг • см. Значения поляризуемости а взяты из работы Маргенау [12].
Таким образом, здесь также нет согласия эксперимента с теорией, но имеющее-
имеющееся расхождение значительно меньше, чем в случае суммирования лондоновских
взаимодействий.
Сопоставление с макроскопической теорией молекулярного притяжения.
Точное сопоставление с теорией Е.М. Лифшица требует достаточно полного зна-
знания оптических характеристик вещества в его областях поглощения, без чего
нельзя построить функцию е (г 6,); однако характер поглощения кварца позволя-
позволяет произвести приближенную теоретическую оценку.
Для того чтобы сравнить теоретические данные с непосредственно измерен-
измеренными величинами, проведем ряд преобразований. Интегрируя выражение A6)
для / (Я), получим формулу для энергии притяжения двух пластин, рассчитан-
рассчитанной на 1 см2 их площади, в виде
372 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
На рис. 14 штрихами представлена зависимость и (Н), определенная по этой фор-
формуле, причем е0 принято равным квадрату показателя преломления кварцевого
стекла в оптической области (см. раздел III). Для перехода от этой энергии к силе
взаимодействия сферы радиуса R и плоскости воспользуемся приведенным выше
соотношением
На рис. 13 штрихами дана рассчитанная таким образом зависимость F(H) для
образцов из кварца. На рис. 15 и 16 штриховые кривые соответствуют теорети-
теоретическим расчетам для галогенидов таллия. Кривые I соответствуют статическому
значению диэлектрической проницаемости 8 смешанного кристалла галогенидов
таллия, а кривые II — е = п2 « 6. (Тут так же, как и у кварца, вероятно, можно
считать второй случай более точным.)
Рисунки 17 и 18 аналогичным образом представляют графически зависи-
зависимость, рассчитанную для случая хром—кварц. Теория Лифшица дает для оцен-
оценки взаимодействия металла с диэлектриком при достаточно больших зазорах
формулу
Р НС TV2 ?n — 1 f ч /
^^TI^' C0)
где Ф^о) — функция, табулированная в [17], остальные обозначения те же, что и
в формуле A6). Учитывая, как и выше, прозрачность кварца при длинах волн,
совпадающих с Н, мы брали для расчета значение е0 также равным квадрату по-
показателя преломления кварца в оптической области. Учитывая приближенный
характер таких теоретических оценок, а также погрешности измерений, можно
считать полученное согласие вполне удовлетворительным.
Совпадение эксперимента с теорией, продемонстрированное на графиках
(рис. 13 — 18), следует рассматривать, с одной стороны, как подтверждение
справедливости теории Е.М. Лифшица, а, с другой стороны, как одно из су-
существенных доказательств молекулярной природы измеренного на опыте
эффекта притяжения тел.
Совпадение результатов опыта с теорией, объясняющей молекулярное вза-
взаимодействие как взаимодействие присутствующих во всякой поглощающей среде
и выходящих за ее пределы электромагнитных полей, позволяет ответить на
вопрос, поставленный еще в 1894 г. П.Н.Лебедевым (см. Введение) [5]. Молеку-
Молекулярное притяжение действительно «сводится к электромагнитным силам» и в
его состав не входят «другие силы неизвестного до сих пор происхождения».
Одновременно с изложенной работой была опубликована работа голландских
ученых Овербика и Спарнея [23], получивших существенно отличные результа-
результаты. Овербик и Спарней измеряли силы притяжения между двумя пластинками из
плавленного кварца при помощи специального динамометра, в котором деформа-
деформация пружины измерялась по методу электрической емкости; расстояние между
пластинами, устанавливавшимися параллельно, определялось по интерференци-
интерференционным цветам в зазоре между ними. Для устранения влияния воздушной прослойки
вакуум доводился до 10~3 мм рт. ст. На дискуссии Фарадеевского общества в 1954 г.
эта работа была представлена одновременно с нашей [24]. Результаты голландс-
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел 373
ких авторов были даны в виде графика зависимости силы от расстояния (в лога-
логарифмическом масштабе) и расчета, в предположении приложимости уравнения
(бг), экспериментального значения константы А, для которой получилась явно за-
завышенное значение 3,8 • 10~п эрг. Если расчет вести по теории Е.М. Лифшица, то
для расстояния между кварцевыми пластинами 1200 А сила притяжения полу-
получится равной примерно 2 • 10~4 дин/см2, в то время как в опытах Овербика и Спар-
Спарнея этому расстоянию соответствует сила в 1 дину. Таким образом, эксперимен-
экспериментальные данные выше теоретических почти в 104 раз. Плохая воспроизводимость
данных в работе Овербика и Спарнея, а также слишком большая величина эф-
эффекта притяжения, обнаруженного в их опытах, по-видимому, связана с поверх-
поверхностной электризацией.
В опубликованной недавно работе Проссера и Китченера [25] был применен
для измерения молекулярного притяжения между стеклами метод 16), сходный
с методом Овербика и Спарнея. Однако результаты их измерений совпадают с
изложенными и с теорией Лифшица.
3. Приложения к теории коагуляции
Согласно теории Н.А. Фукса [26], скорость коагуляции дисперсной системы,
частицы которой радиуса г притягиваются с энергией и(х), зависящей от рас-
расстояния х между их центрами, возрастает по отношению к случаю и(х) = 0,
рассмотренному Смолуховским, в число раз, равное
°9» -и(х)/кТ °9» и(т)/кТ
1:2г/ dx=l: d-r, C.1)
где
_ х-2т
7 ~ 2г
Если г достаточно мало (по сравнению с длинами волн основных полос в спектре
поглощения частиц), то для значений, удовлетворяющих условию
и можно выразить формулой
и =
Учитывая, что А/24 и кТ — величины обычно одного порядка, мы видим, что
коэффициент ускорения коагуляции будет заметно больше 1 17), так как и/кТ будет
иметь заметную величину для достаточно большой области значений т, начина-
начинающейся от 0. При этом коэффициент ускорения не будет зависеть от г. Однако,
если г сделается достаточно большим, то результат изменится. Действительно, для
х -
А-
24(х
2г «С
2г
-2т)
2г
1
24
А
т
16) Вследствие высокой чувствительности соответствующего прибора к сотрясениям измерения
могли проводиться только ночью. Одновременно приходилось термостатировать не только прибор,
но и лабораторию, чтобы уменьшить ползание нуля. Наконец, был необходим высокий вакуум. Все
это показывает преимущества описанного выше метода с использованием обратной связи.
17) Этот вывод был сделан ранее в [27].
374 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
достаточно больших г основная часть интеграла в C1) соответствует значениям х,
для которых необходимо ввести поправку на электромагнитное запаздывание, что
уменьшит и и, следовательно, уменьшит также ускорение коагуляции. Поэтому,
например, для аэрозолей с частицами, для которых г > 0,2 мкм, ускорение коагу-
коагуляции под влиянием молекулярных сил будет весьма мало.
Иначе обстоит дело в случае коагуляции лиофобных золей, где помимо энер-
энергии притяжения играет роль энергия отталкивания, возникающего при пере-
перекрытии ионных атмосфер двух частиц. В этом случае для достаточно крупных
частиц оба эти слагаемые энергии взаимодействия (на тех расстояниях, на кото-
которых они заметны) будут пропорциональны радиусу; по этому наличие или от-
отсутствие энергетического барьера результирующего взаимодействия, от чего,
собственно, зависит устойчивость системы согласно теории, развитой ранее [2],
не будет зависеть от радиуса. Согласно той же теории устойчивость системы
по отношению к процессу слипания зависит от поведения сил аттракции на
расстояниях порядка толщины ионных атмосфер. Отсюда очевидно, что при
малых толщинах ионных атмосфер (т. е. при средних и высоких концентраци-
концентрациях электролита), меньших чем 10~6 см, играет роль только поведение молеку-
молекулярных сил на расстояниях, не требующих поправки на электромагнитное запаз-
запаздывание и, следовательно, остается в силе разработанная ранее теория устой-
устойчивости золей [2], в частности, закон пропорциональности коагулирующего
действия б-й степени заряда противоиона в случае сильно заряженных колло-
коллоидных частиц (закон Гарди—Шульце).
Граница приложимости этого закона связана, следовательно, не с радиусом
частиц 18), а с концентрацией: при весьма малых концентрациях, учтя более быст-
быстрое (на одну степень ширины зазора) убывание сил притяжения на больших рас-
расстояниях, легко для сильно заряженных золей показать, что правило б-й сте-
степени должно перейти в правило 8-й степени. Так как весьма малые коагулирую-
коагулирующие концентрации в этом случае могут наблюдаться только для противоионов с
высокими зарядами C- и 4-валентных), то, следовательно, только в этих случа-
случаях и можно ожидать соответствующего эффекта.
Для противоположного предельного случая коагуляции золей вследствие
падения заряда случай малой концентрации при коагуляции может наблю-
наблюдаться при любом заряде ионов. При этом закон обратной пропорциональности
соответствующего порогу коагуляции критического значения потенциала квад-
квадратному корню из толщины ионных атмосфер, имеющий место для умеренных
концентраций электролита, должен перейти в закон обратной пропорциональ-
пропорциональности самой толщине ионных атмосфер, что доступно опытной проверке.
4. Приложения к теории смачивания
Измеренные значения теплоты или энергии смачивания часто используются
для сопоставления с формулами для дисперсионных сил. Однако при этом
совершаются две ошибки, влияние которых трудно точно оценить, хотя оно
несомненно велико: 1) постулируется аддитивность молекулярных сил; 2) глав-
18) Таким образом, нельзя согласиться с утверждением Овербика о том, что закон требует для
больших частиц введения поправки на электромагнитное запаздывание.
31. Молекулярное притяжение конденсированных тел
375
ный вклад в теплоту смачивания вносится взаимодействием между непосред-
непосредственно соприкасающимися молекулами смачиваемой поверхности и смачиваю-
смачивающей жидкости. Между тем именно для молекул, являющихся ближайшими сосе-
соседями, формулы Лондона, в сущности, неприложимы.
Иначе обстоит дело при рассмотрении процесса смачивания первоначально
сухого тела или участков тела. Кинетика и даже качественный результат явле-
явлений этого рода может не зависеть от взаимодействий на близких расстояниях,
определяясь, в основном, молекулярным взаимодействием на расстоянии мно-
многих молекулярных диаметров.
Рассмотрим, для конкретности, движущуюся вокруг двух валков достаточ-
достаточно широкую ленту, вступающую в точке А в контакт с жидкостью, содержа-
содержащейся в сосуде. Как показывает опыт, с увеличени-
увеличением скорости U ленты краевой угол а, даже если он
вначале был равен нулю, растет, стремясь к зна-
значению а= 180°. Одновременно линейная граница
смачивания (проектирующаяся в точке А, рис. 19)
будет двигаться вправо и при U > Uc «совершенный»
контакт с жидкостью сделается невозможным 19).
Скорость Uc можно подсчитать, если принять дли-
длину L настолько большой, что скорость Uc будет прак-
практически соответствовать смещению точки А на бес-
бесконечное расстояние.
Используя методы капиллярной гидродинамики,
можно, зная закон зависимости молекулярного при-
притяжения от ширины зазора, найти Uc.
При малости угла C входа ленты в жидкость ос-
основное значение имеют силы на сравнительно боль-
больших расстояниях Н, когда одновременно выполняется более простой предель-
предельный случай взаимодействия с электромагнитным запаздыванием по закону
/ = АгН~А. При этом может быть получена формула
Uc =C(l-cosC)9'
Рис. 19
где г| — вязкость жидкости, сг— ее поверхностное натяжение р — плотность, g —
ускорение тяжести, C — угол наклона ленты к горизонтальной плоскости, С —
константа, которую можно вычислить при помощи численного интегрирования
нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными ко-
коэффициентами.
Из полученной формулы, в свою очередь, можно, зная Uc из опыта, вычис-
вычислить константу Av При проведении измерений Uс следует, конечно, позабо-
позаботиться об устранении электростатических эффектов, что в этом случае слож-
сложнее. С другой стороны, здесь отпадает вредное влияние пылинок и сотрясений,
а также необходимость измерений малых сил и зазоров.
19) Однако возможен будет несовершенный контакт на отдельных участках, разделенных не-
смоченными участками, вследствие нестабильности поверхности жидкости, расположенной в поле
молекулярного притяжения поверхности ленты.
376 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
ЛИТЕРАТУРА
[1[ Н. Kalmann, М. Willstdtter. Naturwiss., 20, 952, 1932.
[2] Б.В. Дерягин. Коллоидн. журнал, 6, 291, 194; 7, 285, 1941; Trans. Farad. Soc, 36, 203,
1940; 36, 730, 1940; Б.В. Дерягин, Л.Д.Ландау. Acta Physicochim. USSR, 14, 633, 1941;
Б.В. Дерягин, Л.Д. Ландау. ЖЭТФ, 11, 802, 1941; 15, 662, 1945.
[3] E.J.W. Verwey, J.Th.G. Overbeek. Theory of the stability of lyophobic colloids, Elsevier,
Amsterdam, 1948.
[4] J. Langmuir. Journ. Chem. Phys., 6, 373, 1948.
[5] П.Н. Лебедев. Собр. соч., стр. 56-57, М., 1913; Wied. Ann., 52, 621, 1894.
[6] Б.Б. Голицын. Изв. Академии наук, 3, 1, 1895.
[7] F. London. Zeits. f. Physik, 63, 245, 1930.
[8] R.S. ВгасНеу. Phil. Mag., 13, 853, 1932.
[9] F. London. Zeits. Physik. Chem., 11, 222, 1931.
[10] H.B.G. Casimir, D. Polder. Phys. Rev., 73, 36, 1948.
[11] Ф. Лондон. УФН, 17, 421, 1937.
[12] H. Margenau. Rev. of Modern Phys., 11, 1, 1939.
[13] Y.H. de Boer. Trans. Farad. Soc, 32, 10, 1936.
[14] H.C. Hamaker. Physica, 4, 1059, 1937.
[15] СМ. Рытое. Теория электрических флуктуации и теплового излучения, Изд-во
АН СССР, 1953.
[16] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
[17] ЕМ. Лифшиц. ЖЭТФ, 29, 94, 1954. [Статья 26 настоящего собрания трудов].
[18] H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 60, 793, 1948.
[19] Б.В. Дерягин. ДАН, 61, 275, 1948.
[20] Б.В. Дерягин, И.И. Абрикосова. ДАН, 90, 1055, 1953; 108, 214, 1956; ЖЭТФ, 21, 495,
1951; 30, 993, 1956; 31, 3, 1956; 33, 799, 1957; Б.В. Дерягин, И.И. Абрикосова, ЕМ. Лиф-
Лифшиц. Quarterly Reviews, 10, 295, 1956; Discussion Faraday Soc, 18, 12, 1954.
[21] Б.В. Дерягин. Журн. физ. химии, 6, 1306, 1935.
[22] Л.Н. Курбатов. Журн. физ. химии, 28, 287, 1954.
[23] J.Th. Overbeek, M.J. Sparnay. J. Colloid. Sci., 7, 343, 1952.
[24] Discussion Faraday Soc, 18, 12, 1954, Coagulation a. Flocculation.
[25] A.P. Prosser, J.A. Kitchener. Nature, 178, 1339, 1956; J.A. Kitchener, A.P. Prosser. Proc.
Roy. Soc, A 242, 408, 1957.
[26] JV. Fuchs. Zeits. f. Phys., 89, 736, 1934.
[27] И.В. Петрянов, Н.Н. Туницкий. Журн. физ. химии, 17, 408, 1943; Acta Physicochim.
URSS, 18, 185, 1942.
32
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Sci. Amer., 198, 30, 1958
Когда жидкий гелий охлаждается до 2.2 градусов выше абсолютного нуля, он начинает течь
без трения. Автор — советский физик — показывает, как в этой странной жидкости прояв-
проявляются квантовые свойства отдельных атомов.
История физики отмечена прорывами в новые неожиданные миры открытий.
Одно такое событие произошло как раз полвека назад, 10 июля 1908 г., в день,
когда Хайке Камерлинг Оннес из Лейденского университета сумел охладить га-
газообразный гелий и перевести его в жидкость. Его прорыв в область столь низ-
низких температур (близких к абсолютному нулю) привел к открытию двух стран-
странных свойств материи, совершенно не похожих на известные нам свойства при
обычных температурах. Оба свойства связаны с явлением течения без трения.
Одно из них, вскоре обнаруженное самим Камерлингом Оннесом, — сверхпрово-
сверхпроводимость — движение электронов без трения и, как следствие, полное исчезнове-
исчезновение сопротивления металла электрическому току [см. В.Т. Matthias, Scientific
American, November 1957]. Второе свойство, ждавшее своего открытия еще
30 лет, — сверхтекучесть жидкого гелия — движение без трения самих атомов,
проявляющееся в способности гелия течь через тончайшие трубки и очень узкие
щели. Мы сегодня почти полностью понимаем суть этого замечательного явле-
явления. Редакторы Scientific American попросили меня написать краткий обзор того,
что мы поняли относительно сверхтекучести, открытой в 1937 году Петром Лео-
Леонидовичем Капицей в Институте Физических Проблем в Москве.
Гелий — единственное вещество, остающееся жидким при нормальном дав-
давлении при абсолютном нуле, все остальные при достаточном охлаждении пере-
переходят в твердое состояние. В настоящее время согласно обычной — «классичес-
«классической» теории при абсолютном нуле все атомы перестают двигаться и занимают в
решетке фиксированные положения, в результате чего вещество оказывается в
твердом состоянии. Тот факт, что гелий остается жидким, является первым по-
показателем того, что его свойства могут быть поняты только в рамках совершенно
иных — квантовомеханических — концепций.
Как известно студентам физических специальностей, квантовая механика —
необычная система законов, управляющих свойствами материи на микроскопи-
микроскопическом уровне, целым миром отдельных атомов и молекул. Но в случае жидкого
гелия, как мы видим, материя проявляет «квантовые свойства» на макроскопи-
макроскопическом уровне, т.е. в большом объеме, в котором находится огромное количество
атомов. Мы должны остановиться и подумать, что это значит. Все массивные об-
образцы обладают не только обычными, знакомыми, но также и фундаментальны-
фундаментальными квантовыми свойствами. При обычных температурах случайное тепловое дви-
движение атомов и молекул маскирует квантовое поведение отдельных частиц, и
378
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
материя проявляет только знакомые свойства, т.е. она подчиняется законам обыч-
обычной классической механики. Квантовая теория говорит о том, что если мы дове-
доведем температуру вещества до экстремально низкой, чтобы тепловое движение
стало очень слабым, фундаментальные квантовые свойства вещества должны
стать наблюдаемыми. Однако, все вещества, кроме одного, отвердевают еще до
того, как начинают проявляться квантовые свойства. Единственное исключе-
исключение — гелий: он успевает стать «квантовым» веществом до отвердения. А когда
это произошло, он уже дальше вообще не обязан отвердевать, поскольку один из
принципов квантовой механики состоит в том, что при абсолютном нуле движение
атомов не должно исчезать абсолютно. Таким образом, создав жидкий гелий, при-
природа дала возможность физикам исследовать сущность «квантовой жидкости».
Гелий становится жидким при температуре 4,2 градуса Кельвина D,2 граду-
градуса выше абсолютного нуля). Будучи охлажденным до 2,2 градусов Кельвина, ге-
гелий, оставаясь жидким, подвергается еще одному фазовому переходу. Впервые
этот переход наблюдался в виде резкого скачка на кривой теплоемкости. Посколь-
Поскольку форма этого резкого изменения на гра-
графике напоминает зеркально отраженную
греческую букву лямбда (см. рис. 3), точ-
точка перехода (при 2,2 градусах) получила
название «лямбда-точки». Жидкий гелий
выше этой точки был назван гелием I, a
ниже — гелием П. Именно последний, как
было обнаружено, является жидкостью с
уникальными свойствами.
Впервые вести об этих свойствах при-
пришли из лаборатории Камерлинга Оннеса
в 1935 году. В.Г. Кеезом и его сестра мисс
А.П. Кеезом обнаружили, что гелий II об-
обладает уникальной теплопроводностью.
Ставя эксперименты с капиллярной труб-
трубкой, заполненной этим веществом, они об-
обнаружили, что тепло передается от одно-
одного конца трубки к другому с невиданной
скоростью. Гелий II, как оказалось, обла-
обладает гораздо большей теплопроводностью,
чем лучшие из известных проводников
тепла при обычных условиях: он проводит тепло примерно в 200 раз быстрее,
чем обычно это делает медь. (Открытие Кеезомов случайно объяснило странное
свойства гелия II, наблюдавшееся уже и раньше: ожиженный гелий, поглощая
тепло от стенок сосуда, в котором он заключен, пузырится, как кипящая вода.
Однако, после охлаждения до Х-точки, он совершенно успокаивается. Причина
теперь совершенно прояснилась: гелий II отводит тепло от стенок так быстро,
что пузырьки не образуются, как это происходит при обычном кипении. Жид-
Жидкость испаряется только с открытой поверхности).
Именно попытка объяснить замечательную способность гелия II проводить
тепло привела Петра Леонидовича Капицу к открытию свойства сверхтекуче-
3
Рис. 1. В эксперименте Петра Капицы сверх-
сверхтекучесть гелия II проявилась в его спо-
способности протекать через очень узкие щели
между двумя хорошо отполированными стек-
ляными пластинами. При щели в полмикро-
полмикрона уровень жидкости в колбе и резервуаре
быстро выравнивался потоком гелия II, в то
время как поток гелия I через такую щель был
еле заметен.
32. Сверхтекучесть 379
сти. Почему тепло распространялось через это вещество столь быстро? Капица
заподозрил, что быстрый перенос тепла через гелий II происходил не из-за
какой-то его экстраординарной проводимости, а из-за движения самой жидко-
жидкости, другими словами, из-за того, что называют конвекционными потоками.
Если это так, гелий II должен быть очень текучим, в физических терминах, он
должен обладать очень маленькой вязкостью, что означает чрезвычайно малое
внутреннее фрикционное сопротивление потоку. Вязкость жидкости обычно
измеряют, давая ей протечь через узкую капиллярную трубку. В данном случае,
как было показано, эти измерения оказались непригодными, и пришлось сконст-
сконструировать специальную установку для потоков большего количества жидкости,
чем в узком капилляре. Капица добился успеха, пропуская жидкость между дву-
двумя полированными стеклянными дисками, образующими щель толщиной в пол-
полмикрона (одна пятидесятитысячная дюйма). Он обнаружил, что выше лямбда-
точки гелий вообще едва просачивался через щель, а гелий II протекал через нее
очень быстро. Фактически, он пришел к поразительному выводу: вязкость гелия II
составляет меньше одной десятитысячной доли вязкости газообразного водорода!
На основе своих измерений Капица смело предположил, что гелий II вообще не
имеет вязкости и объявил о новом явлении, которое назвал «сверхтекучестью».
Непосредственно связано со сверхтекучестью замечательное явление «пол-
«ползучих пленок». Было давно замечено, что если жидкий гелий налить в сосуд, раз-
разделенный на два отделения перегородками, с течением времени оба уровня ка-
каким-то образом самопроизвольно выравниваются. Джон Г. Даунт и Курт Мен-
Мендельсон из Оксфордского университета с помощью прямых экспериментов
продемонстрировали, что гелий перетекает из контейнера в контейнер, образуя
пленки на стенках толщиной в несколько миллионных долей дюйма (см. рис. 2).
Жидкость в пленке может двигаться со скоростью больше фута в секунду. Склон-
Склонность образовывать пленку само по себе не есть уникальное свойство гелия П.
Такие пленки образуют любые жидкости при смачивании твердой поверхности,
но вязкость обычной жидкости такова, что пленка образуется медленно и едва
ли вообще движется. Гелий II — единственная жидкость, которая благодаря своей
сверхтекучести образует быстро движущуюся пленку.
Вскоре экспериментаторы обнаружили и другие парадоксальные особеннос-
особенности поведения гелия П. В первую очередь, эксперименты, проведенные в Лейдене
и университете Торонто, показали, что, хотя при протекании через узкую щель
он вел себя как жидкость с нулевой вязкостью, в другом эксперименте, а именно,
когда цилиндр или диск вращался в жидкости, она оказывала вполне измеряе-
измеряемое фрикционное сопротивление вращению тела, т.е. обладала вязкостью, хотя
и небольшой.
Капица обнаружил еще более парадоксальное явление. Оно возникло в про-
процессе проведения экспериментов по переносу тепла в гелии П. Пытаясь проде-
продемонстрировать, что тепло передается посредством движения самой жидкости,
он использовал сосуд с подвижным флюгерком, подвешенным перед его откры-
открытым горлышком, так что любой поток вытекающей жидкости этот флюгерок бы
отклонил. Он наполнил сосуд жидким гелием и ввел его в гелиевую ванну. Когда
он нагревал жидкость в сосуде, направляя свет на его почерненную поверхность,
лепесток отклонялся, показывая, что поток жидкости вытекает наружу. Это ясно
380
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
доказало, что поток тепла в гелии II связан с неким движением жидкости. Но
Капицу поразил парадоксальный факт. Хотя жидкость и вытекала из сосуда, он
оставался полным!
Как можно объяснить эти парадоксы? Имеется жидкость, которая течет так
как будто у нее нет вязкости, в то же время в некоторых экспериментах она
проявляет определенную вязкость. Более того, эта жидкость вытекает из сосуда
при нагревании, что демонстрирует отклонение лепестка, при этом сосуд не опус-
опустошается!
Рис. 2. Ползучая пленка ярко демонстрирует сверхтекучесть гелия П. Пленки образуют любые жид-
жидкости, смачивающие поверхность. Однако в случае гелия II пленка образуется быстро и работает
как сифон, по которому течет жидкость. Как показано на этом рисунке, жидкость перетечет в сосуд,
погруженный в гелиевый резервуар (слева), или вытечет из сосуда (в центре), или даже вытечет из
сосуда, вынутого из гелиевой ванны (справа), образуя капли под дном. Скорость этой ползучей пленки
может достигать одного фута в секунду и даже больше.
В 1940—41 гг. Лев Давыдович Ландау, работая в московском институте, воз-
возглавляемом Капицей, разработал теорию, объясняющую сверхтекучесть. (Не-
(Некоторые качественные положения теоретической картины были выдвинуты
независимо Ласло Тиссой из Коллеж де Франс в Париже, работающим в настоя-
настоящее время в Масачуссетском технологическом институте.)
Эта теория — квантовомеханическая по своей сути — основывается на концеп-
концепциях квантовой механики, понятных только специалистам в этой области. Но мы
можем в очень простых физических терминах описать замечательную картину
того, что происходит в гелии П. Нужно, однако, иметь в виду, что описание в тер-
терминах повседневного опыта не может адекватно отразить квантовый мир, кото-
который находится за пределами наших непосредственных наблюдений.
В гелии II — говорит теория Ландау — могут происходить одновременно два
типа движения. Конечно, это утверждение противоречит здравому смыслу. И в
случае обычной жидкости мы можем полностью описать ее течение, измерив рас-
распределение скоростей в одном направлении по сечению потока. Именно так инже-
32. Сверхтекучесть
381
неры измеряют потоки воды в каналах. В случае жидкого гелия, однако, полное
описание его течения требует знания не одной, а двух скоростей в каждой точке.
Эту ситуацию можно себе представить с помощью так называемой «модели
двух жидкостей». Она описывает гелий II как совокупность двух жидкостей,
каждая из которых может протекать «сквозь» другую без какого-либо взаим-
взаимного увлечения. (В действительности есть, конечно, только одна жидкость, мы
должны помнить, что «модель двух жидкостей» — не более чем аналогия). Два
вида движения в гелии II имеют совершенно разные свойства. Одна из «компо-
«компонент» движется так, как будто у нее нет вязкости. Ландау назвал ее сверхтеку-
сверхтекучей компонентой. Вторая движется как обычная вязкая жидкость и называется
«нормальной».
140
120
80
40
0
1
0
0,5
1
1,5
2,5
Рис. 3. Лямбда-точка при 2,2 К — это
переход жидкого гелия в сверхтекучее
состояние. В этой точке происходит рез-
резкий скачок теплоемкости жидкости.
Рис. 4. Скорость второго звука в гелии II уве-
увеличивается при охлаждении ниже 1 граду-
градуса. Скорость же обычного звука при этом
около 240 м/с едва зависит от температуры.
Но этим не исчерпываются различия между двумя типами движения в гелии П.
Наиболее важное из них то, что нормальная компонента переносит тепло, в то вре-
время как сверхтекучая — вообще не связана с переносом тепла. Можно сказать, что
нормальная компонента в каком-то смысле и есть само тепло. Таким образом, теп-
тепло в гелии II как бы преобретает независимость, оно отделено от массы жидкости и
приобретает способность двигаться относительно фона, который находится при
абсолютном нуле. Это резко контрастирует с обычным представлением о тепле как
о хаотическом движении атомов, неотделимых от массы вещества.
Эти концепции позволяют объяснить странные результаты некоторых экспе-
экспериментов с гелием П. Для начала мы можем объяснить парадокс с тем, что жид-
жидкий гелий не проявляет вязкости при протекании через узкую щель, а при вра-
вращении в нем диска обнаруживается фрикционное сопротивление. В первом экс-
эксперименте именно сверхтекучая компонента свободно протекает через узкую щель,
а нормальная — вязкая — задерживается и течет очень медленно. Этот экспери-
эксперимент показывает отсутствие вязкости у сверхтекучей компоненты. Во втором экс-
эксперименте нормальная компонента ответственна за трение диска, в этом экспери-
эксперименте, соответственно, измеряется вязкость нормальной компоненты.
382
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Но теперь мы можем сделать следующий вывод: поскольку сверхтекучий по-
поток не переносит тепло, можно сказать, что при протекании через щель отфиль-
отфильтровывается «нетепловая» компонента, и все тепло остается в резервуаре. В иде-
идеально тонкой щели вытекающая жидкость должна находится при абсолютном
нуле. В реальном эксперименте можно ожидать, что температура этой жидкости
будет более низкой, чем в резервуаре, хотя и ненулевой. Эффект такого рода и
наблюдали уже в 1939 г. Даунт и Мендельсон. Сам Капица смог показать, что
жидкость, выдавленная из контейнера через тонкий фильтр, имеет температу-
температуру на 0,3—0,4 градуса ниже, чем жидкость, оставшаяся в контейнере — значи-
значительное падение, учитывая, что вся жидкость изначально находилась при тем-
температуре всего 1—2 градуса выше абслютного нуля.
Таким же простым образом теория Ландау объяснила эксперимент, в котором
Капица заставлял гелий II вытекать из резервуара и отклонять лепесток. Перено-
Переносящая тепло жидкость, обтекающая лепесток и вызывающая его отклонение, была
нормальной компонентой, сосуд оставался полным, поскольку навстречу двигался
поток втекающей сверхтеку-
40 / чей компоненты.
Остается объяснить, почему
этот встречный поток со своей
стороны не создавал давления
на лепесток, уравновешива-
уравновешивающего давление со стороны
нормальной компоненты. При-
Причина этого связана с еще одним
предсказанием теории — так
называемым «неротационным»
характером сверхтекучего по-
потока. Точное значение этого
слова нелегко объяснить в про-
простых терминах. Что замеча-
замечательно, так это то, что уже в
начале 18 века швейцарский
математик Л. Эйлер, также ра-
работавший в области гидродина-
гидродинамики, предсказал на основе
теории, что «безротационный»
поток идеальной жидкости с
нулевой вязкостью, обтекая
30
20
10
0 12 3 4 5
Температура, °К
Рис. 5. Фазовая диаграмма гелия показывает переходы от
газовой фазы (ниже сплошной линии справа) к жидкой фазе
(справа от пунктирной линии), к сверхтекучей фазе (слева
от пунктирной линии) и к твердой фазе (выше сплошной
кривой в верхнем левом углу).
твердое тело, не создает силы, действующей на это тело. Таким образом, мы при-
приходим к полному пониманию этой необычной ситуации: нормальная компонента
движется в одном направлении, а сверхпроводящая — в противоположном. Мож-
Можно сказать, что общего движения жидкости в целом не происходит, лепесток же
отклоняется, поскольку одна из двух компонент не создает давления.
Элегантный эксперимент, проведенный Капицей в 1940 г., замечательным об-
образом подтверждает это объяснение. Он смоделировал маленькую стеклянную
турбину с шестью изогнутыми капиллярами, расходящимися из центра, подоб-
32. Сверхтекучесть
383
но ножкам паука (см. рис. 7). Опущенная в ванну с гелием II и нагреваемая све-
светом, эта турбина быстро вращалась на точечной опоре, достигая скоростей в
120 оборотов в минуту. Это напрямую демонстрировало наличие реактивной силы
у вытекающей нормальной компоненты. Потом Капица сконструировал паук из
серебряной проволоки с флюгерками, препятствующими вытеканию гелия из от-
отверстия каждого капилляра. Поскольку реактивная сила нормальной компонен-
компоненты была скомпенсирована давлением на лепестки, вращение прекратилось. Если
бы втекающая сверхтекучая компонента могла бы создать давление, турбина
начала бы вращаться в противоположном направлении. Но она оставалась не-
неподвижной в полном соответствии с предсказаниями Эйлера и Ландау.
Теория Ландау была проверена и другим способом. Поскольку сверхтекучая
компонента гелия II способна течь только неротационным способом, теория пред-
предсказывает, что сверхпроводящая жидкость не должна вращаться как целое во
вращающемся контейнере (как вращается вода,
если закрутить стакан). Э.Л. Андроникашвили
из института Капицы предложил проверить это
предположение в эксперименте с использова-
использованием вращающихся дисков для увлечения жид-
жидкости (см. рис. 6). Вращение жидкости оказалось
гораздо более слабым, чем ожидалось бы в нор-
нормальной жидкости, что продемонстрировало тот
факт, что в гелии вращается только нормаль-
нормальная компонента, а сверхтекучая остается в по-
покое. Более того, экспериментальная установка
позволила измерить относительные количества
нормальной и сверхтекучей компонент при за-
заданном количестве гелия П. Как говорит теория,
отношение зависит от температуры жидкости.
Выше Х-точки жидкость полностью нормаль-
нормальная. В Х-точке появляется сверхтекучая компо-
компонента, ее «количество» возрастает по мере па-
падения температуры. При абсолютном нуле ге-
гелий II должен стать полностью сверхтекучим.
Наконец, рассмотрим явление «второго зву-
звука» — свойства гелия II, предсказанного одно-
одновременно Ландау и Тиссой. Предсказание состо-
состояло в том, что в жидкости могут распростра-
распространяться два типа волн с различными скоростями.
Согласно теории Ландау распространение двух
типов волн объясняется тем, что в гелии II воз-
возможно существование одновременно двух типов
Рис. 6. Безротационное течение в
гелии II продемонстрировано в экспе-
эксперименте с вращающимися дисками в
сверхтекучей жидкости. Эффект уве-
увеличения оказался значительно слабее,
чем в нормальной жидкости.
движения. Если в обеих компонентах жидкость колеблется связанным образом,
т. е. если сверхтекучая и нормальная компоненты движутся в унисон в одном и
том же направлении, возникают звуковые волны обычного типа, как это всегда
происходит в жидкости. Но, говорит теория, может существовать и второй тип волн,
специфический для гелия II, возникающих из-за движения двух компонент в
384 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
противоположных направлениях, проходящих друг «сквозь» друга в колебатель-
колебательном цикле. Оказалось, что тогда волна должна распространяться с другой скоро-
скоростью (в действительности — гораздо меньшей), чем обычный звук, и поэтому
должна регистрироваться в качестве второго сигнала.
Это явление оказалось, однако, трудно проверить экспериментально. Первые
эксперименты, выполненные в нашем институте в Москве в 1940 г., оказались не-
неудачными. Звуковые волны, возбуждаемые колебаниями пьезоэлектрической плас-
пластинки, пропускались через трубку, заполненную жидким гелием П. На другом же
конце регистрировался только один сигнал, второй зарегистрирован не был.
Делая обзор по этой проблеме, я обнаружил причину неудачи эксперимента-
экспериментаторов. Обычные звуковые волны, как хорошо известно, распространяются в виде
периодических сжатий и разряжений, движущихся через материальную среду
(газ, жидкость, твердое тело). Но анализ ясно показывал, что в волне «второго
звука», где две компоненты осциллируют в противоположных направлениях, не
возникнут сжатия и разряжения жидкости как таковой. Поскольку механичес-
механический генератор звуковых волн преимущественно возбуждает в гелии II волны
сжатия-разряжения обычного звука, второй звук оказывается слишком слабым,
чтобы быть зарегистрированным.
Однако, с помощью этих рассуждений был предложен другой способ регист-
регистрации волн второго звука. Противоположные по направлению колебания нормаль-
нормальной и сверхтекучей компонент являются, по существу, осцилляциями тепла по
отношению к холодному сверхтекучему фону. Они, следовательно, должны вы-
вызывать осцилляции температуры. Было естественным ожидать, что такие «теп-
«тепловые волны» могли бы излучаться нагревателем с осциллирующей температу-
температурой и что такого рода нагреватель мог бы служить генератором второго звука.
Эти эксперименты и были выполнены в нашем институте В.П. Пешковым. Они
четко подтвердили существование второго звука в блестящем соответствии с
качественными предсказаниями теории Ландау (см. рис. 4). С тех пор второй звук
стал одним из наиболее важных инструментов в исследованиях гелия П.
В течение 10 последних лет теория Ландау была развита дальше, и ее резуль-
результаты были подтверждены многими экспериментами. Результаты, полученные в
ряде низкотемпературных лабораторий мира, находились, в основном, в прекрас-
прекрасном соответствии с теорией. Однако, некоторые вопросы, связанные со сверхте-
сверхтекучестью, остаются без ответа. Физики-низкотемпературщики особенно заинт-
заинтригованы так называемыми «критическими» явлениями, которые до сих пор я не
упоминал умышленно. Дело в том, что гелий II в действительности не при любых
условиях проявляет свойство сверхтекучести. Это свойство исчезает, если жид-
жидкость должна двигаться слишком быстро (критическая скорость сильно зависит
от условий эксперимента). В последние три года в этом вопросе достигнут значи-
значительный прогресс. Семя было посеяно Ларсом Онзагером из Иельского универ-
университета на конференции десятилетней давности, когда он высказал замечания по
поводу турбулентности в потоке жидкости, чему в то время серьезного внима-
внимания не придали. Важность этого замечания была позже понята Ричардом П. Фей-
нманом из Калифорнийского технологического института, он-то и развил идеи
Онзагера. Авторы представили убедительные аргументы в пользу того, что кри-
критические явления возникают в результате образования в быстро движущемся
32. Сверхтекучесть
385
Рис. 7. Фотографии экспериментальной установки Капицы, под-
подтвердившей существование двух независимых движений в сверх-
сверхтекучем гелии П.
386 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
гелии II большого количества микроскопических вихрей. В этих вихрях сверх-
сверхтекучая компонента движется наподобие того, как воздух движется в торнадо.
Такие вихри было бы сложно непосредственно увидеть, но в Мондовской лабора-
лаборатории Х.Е. Холл и В.Ф. Вайнен провели недавно серию элегантных эксперимен-
экспериментов, косвенно доказывающих существование вихрей и, в частности, по дополни-
дополнительному затуханию, которое они вызывают во втором звуке.
В заключение этого короткого обзора свойств гелия II я хочу вернуться к на-
началу статьи и исправить ошибочное представление, которое я, возможно, здесь
создал. Гелий — не единое вещество: он состоит из двух изотопов, а именно ге-
гелия 4 и гелия 3. Природный гелий состоит из почти чистого гелия 4 и все, что
было сказано выше, относится к этому изотопу.
Бурное развитие ядерной физики в течение последнего десятилетия сделало
возможным получение гелия 3 в количествах, достаточных для экспериментов.
В 1949 г. С.Г. Сидоряк, Е.Р. Грилли и Е.Ф. Хэммел из научной лаборатории в Лос-
Аламосе показали, что гелий 3 переходит в жидкую фазу, и физики получили в
свое распоряжение новую «квантовую жидкость». Изотопы гелия отличаются в
том очень важном отношении, что ядра гелия 4 состоят из четного числа частиц
(протонов и нейтронов), а ядра гелия 3 содержат нечетное их число. В результа-
результате этого два вещества имеют абсолютно разные квантовые свойства (используя
физическую терминологию, можно сказать, что гелий 4 подчиняется статистике
Бозе—Эйнштейна, а гелий 3 — статистике Ферми—Дирака). Доводы говорят за
то, что все жидкости, состоящие из «Бозе—Эйнштейновских» атомов, могут стать
сверхтекучими. Что касается жидкости, состоящей из «Ферми-Дираковских»
атомов, в принципе существуют различные варианты. Только в экспериментах
мы можем понять, с каким из них мы имеем дело в случае гелия 3 — единствен-
единственной, известной в природе Ферми—Дираковской жидкости.
Эксперименты, проведенные Д.В. Осборном, Б. Вайнштоком и Б.М. Абрахамом
из Аргонской национальной лаборатории, показали, что жидкий гелий 3 не ста-
становится сверхтекучим. Таким образом, свойства этой жидкости лежат вне рамок
этой статьи по сверхтекучести. Но я хочу заметить, что в гелии 3 физики имеют
квантовую жидкость нового типа. Хотя эти свойства в каком-то смысле менее
впечатляющи, чем у гелия 4, они не менее интересны.
33
ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫ СИЛЫ В ЖИДКИХ ПЛЕНКАХ
Совместно с И.Е. Дзялошинским и Л.П. Питаевским
ЖЭТФ, 37, 230, 1959
Развитая ранее [1] теория молекулярных сил взаимодействия между твердыми телами,
поверхности которых сближены до очень малых расстояний, распространена на случай,
когда пространство между телами заполнено жидкой средой. Показано, в частности, что
два одинаковых тела всегда притягиваются, при любой «прослойке» между ними.
Получены общие формулы, определяющие термодинамические величины (химический по-
потенциал) жидкой пленки по ее и твердой подложки спектральным свойствам — диэлектри-
диэлектрической проницаемости е(ш). Найдены предельные законы зависимости химического потен-
потенциала от толщины пленки. Рассмотрен вопрос об устойчивости пленок и отмечены раз-
различные возможные случаи неустойчивости в определенных интервалах толщин пленки.
Отмечена возможность существования очень малых, но отличных от нуля, краевых углов.
Обсуждены свойства пленок жидкого гелия.
1. Введение
Ранее [1] была развита теория молекулярных сил притяжения между твер-
твердыми телами, разделенными узкой щелью. Эта теория имеет макроскопический
характер и взаимодействие тел рассматривается в ней как осуществляющееся
через посредство флуктуационного электромагнитного поля. Самая сила при-
притяжения вычисляется при этом как соответствующая компонента максвеллов-
ского тензора напряжений электромагнитного поля у поверхности тела.
В [1] предполагалось, что пространство между телами является вакуумом,
так что вычисление максвелловских напряжений осуществлялось по обычным
формулам, справедливым для поля в пустоте. Обобщение теорий на случай,
когда щель между телами тоже заполнена какой-либо средой, затруднялось
отсутствием формул для тензора напряжений в переменном электромагнит-
электромагнитном поле в поглощающих средах.
Это затруднение отпадает теперь благодаря полученным недавно [2] общим фор-
формулам для той части термодинамических величин (в том числе для тензора напря-
напряжений) произвольной поглощающей среды, которая обусловлена флуктуационным
электромагнитным полем с длинами волн X ^> a (a — межатомные расстояния); это
поле как раз и соответствует силам, имеющим ту же природу, что и ван-дер-вааль-
совы силы между отдельными молекулами на больших расстояниях.
Общая формула для тензора напряжений, возникающих из-за флуктуации
электромагнитного поля в поглощающей среде, приведена в разделе 2. Мы уви-
увидим, однако, что фактически нет необходимости в проведении заново с ее помо-
помощью конкретных вычислений, так как оказывается возможным получить иско-
искомую формулу для силы взаимодействия между телами, разделенными «прослой-
«прослойкой», путем простого преобразования формулы для тел, разделенных вакуумом.
388 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В разделе 3 анализируются различные случаи, которые могут иметь место
при взаимодействии двух тел. Во всех формулах индексы 1 и 2 отличают вели-
величины, относящиеся к этим двум телам, а индекс 3 — величины, относящиеся к
среде, заполняющей щель (ширины I) между телами. Хотя щель при этом пред-
предполагается плоскопараллельной, но следует иметь в виду, что в действительнос-
действительности для корректной постановки задачи о силе взаимодействия между телами надо
рассматривать, по крайней мере, одно из них, как обладающее конечными раз-
размерами и окруженное со всех сторон средой 3, и определять полную действую-
действующую на него силу; ввиду очень быстрого убывания молекулярных сил с расстоя-
расстоянием, эта результирующая сила фактически может быть целиком отнесена к
силам, действующим через разделяющую оба тела узкую щель.
Если одна из сред 1 или 2 заменяется вакуумом, то мы приходим к случаю
тонкой пленки, находящейся на поверхности твердого тела. Термодинамические
величины (химический потенциал) пленки вычисляются в разделе 4 и там же
исследуются различные случаи, которые могут иметь место в отношении ус-
устойчивости пленок при различных толщинах. Пленки жидкого гелия рас-
рассматриваются особо в разделе 6.
В случае пустого зазора между телами силы их взаимодействия полностью сво-
сводятся к силам, описываемым флуктуационным электромагнитным полем. При за-
заполнении же зазора жидкой средой появляются силы еще и другого происхожде-
происхождения, связанные с энергией акустических звуковых колебаний в этой среде. Кроме
того, определенный вклад могут вносить так же и флуктуационные поверхност-
поверхностные колебания на границе различных сред. Это же относится и к вычислению хи-
химического потенциала пленки. В действительности, однако, как будет показано в
разделе 5, эти дополнительные вклады малы по сравнению с вкладом от электро-
электромагнитных флуктуации, т. е. от ван-дер-ваальсовых сил.
2. Тензор напряжений в слоистой поглощающей среде
В работе [2] было показано, что дополнительные напряжения, возникающие в
поглощающей среде при наличии в ней флуктуационного электромагнитного
поля, можно выразить через температурные гриновские функции ®^(г, г'; ^п)
электромагнитного поля, зависящие от дискретной мнимой частоты. Эти функ-
функции были введены в работах Горькова, Абрикосова и Дзялошинского и Фрадки-
Фрадкина [3] и являются разложением в ряд Фурье известных температурных гринов-
ских функций Мацубара [4].
Общая формула для тензора натяжений флуктуационного электромагнитного
поля имеет следующий вид 1):
г, г; ?„) -1бй©»(г, г; ?J +SD&(r, r; ?B)}-6jfcp0. A)
х) Подразумевается, что из этого выражения вычтена расходящаяся часть, связанная с равно-
равновесным тепловым излучением в однородной среде.
33. Ван-дер-ваалъсовы силы в жидких пленках 389
Здесь е = е(г, г^п) — диэлектрическая проницаемость вещества как функция
мнимой частоты и = г?; суммирование производится по значениям ?п = 2-кпТ/Н
(причем член с п = 0 берется с половинным весом); Т — температура; р — плот-
плотность вещества; р0 = ро(р, Т) есть то давление, которое имелось бы в среде в от-
отсутствие поля при заданных значениях р и Т. Функции ®? и ®^ играют роль
средних значений произведений соответствующих компонент напряженностей
флуктуационного поля и связаны соотношениями
5D& (r, r; in) = roti; ro4,$m (r, r'; in) B)
с температурной гриновской функцией &ik , играющей аналогичную роль для век-
векторного потенциала поля. Последняя удовлетворяет уравнению
e$Difc(r, r'; ^n) + rotiIrotImSDmfc(r, r'; ^) = -4яЬ(г-г%к. C)
На границе между двумя средами компоненты &ik должны удовлетворять гра-
граничным условиям, соответствующим непрерывности тангенциальных составля-
составляющих электрического и магнитного полей (выписывать их здесь в явном виде
нет необходимости).
Пусть тело 2 отделено от тела 1 щелью ширины I и окружено со всех сторон
средой 3. Полная сила, действующая на тело 2, может быть вычислена как пол-
полный поток импульса, втекающего в тело из среды 3, т. е. в виде интеграла ^crifcd/fc,
взятого по поверхности тела, от тензора напряжений в указанной среде. Но со-
согласно условию постоянства химического потенциала вдоль находящейся в
равновесии среды, имеем (см. [5], § 15) 2)
fl^ D)
В силу этого условия часть тензора напряжений оказывается постоянным вдоль
среды равномерным давлением, не дающим никакого вклада в полную действую-
действующую на тело силу. Для определения последней фактически достаточно поэтому
писать тензор напряжений в среде 3 в виде (ср. аналогичный вывод в [5], § 16)
n=0
Это выражение отличается от того, которое имело бы место для поля в вакууме,
лишь множителем е3 в первом члене. Это обстоятельство позволяет путем про-
простого преобразования свести задачу к рассмотренному в [1] случаю, когда тела
разделены вакуумом.
2) В таком виде это условие предполагает пренебрежение изменением плотности самой среды
под влиянием поля, учет которого привел бы к величинам более высокого порядка по полю.
390
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для этого произведем преобразование координат г = ?/^/e3 , одновременно
введя новые ?>-функции согласно 1)ik = ®г/с/л/?з? ПРИ этом в силу определений B)
так что
1 с /гч?
F)
Легко видеть, что для новых функций J)ifc в новых координатах в областях 1, 2, 3
получаются уравнения того же вида C), причем роль г в них играют соответ-
соответственно Ег/е3, ?2/?з и 1- Таким образом силу взаимодействия между двумя тела-
телами с проницаемостями гг и е2? разделенными щелью ширины I со средой г3,
можно получить ,из выражения для силы взаимодействия двух тел, разделен-
разделенных областью вакуума, умножив каждый член суммы по п на ?3 и заменив во
всех членах гг и е2 соответственно на
2/?з> а
на
3. Силы молекулярного взаимодействия между твердыми телами
При тех расстояниях I, о которых может идти речь в связи с рассматриваемым
вопросом, влиянием температуры на силу притяжения можно обычно пренеб-
пренебречь (ср. [1]). Тогда общая формула для силы притяжения F, отнесенной к 1 см2
поверхности тела, получается путем указанного выше преобразования из най-
найденной в [1] формулы B.9) и имеет вид
F =
n2t3c3/2
-p)(s2 -p)
-l
sx +pe1/e3)(s2
-ехр
dpdi,
G)
где
а ег, е2, е3 — функции мнимой частоты и = г^.
Напомним в этой связи, что г (г 6,) есть вещественная функция, монотонно убы-
убывающая от электростатического значения е0 при ? = 0 до 1 при ? = оо. Если из опы-
опыта известна функция е"(и>) (мнимая часть диэлектрической проницаемости при ве-
вещественных частотах и), то функция е (г ?,) может быть вычислена по формуле
оо
7Y J (
s"M
(8)
(см. [5], § 62).
Переход к предельным случаям «малых» и «больших» расстояний происходит
так же, как это было сделано в [1]. Так, на малых расстояниях получим
F =
16тГ
X
О 1
F1+63)F2+63
(г, -е3)(е2 -е3)
ех -
-1
(9)
33. Ван-дер-ваалъсовы силы в жидких пленках
391
На больших же расстояниях
ОО 00 Г
¦> л 1 / / 2
«5ZTT l -у/?3„ 0 j i-" L
(S10+Peio/?3o)(S20 +
(S10 -PSlo/?3o)(S20~
(S10
(S10
P?20
1*20
+ P)(s2o
-P)(S2O
A,o)cx
Аз»)
-1
-1
-l
dpdx,
A0)
sio =
Р2
S20 "~
где е10, ?2о? ?зо — электростатические значения диэлектрических проницаемос-
тей. Если оба тела одинаковы (е10 = е20) формулу A0) можно представить в виде
-е ч2
где ф(х) — функция, численные значения которой даны на рис. 4 в [1] в интерва-
интервале значений аргумента от 1 до оо; в дополнение укажем, что ср(О) = 0,52.
С практически вполне достаточной точностью можно представить формулы (9)
и A0) в более простом виде, пренебрегая в квадратных скобках 1 по сравнению с
членами с ех. После этого интегрирование по dx производится элементарно и ос-
остается однократный интеграл 3) по ей; или dp. Так, вместо (9) получим
F =
где
00
_ f(?l
A2)
Величина | ио | играет роль некоторой характерной для спектров поглощения всех
трех сред частоты.
При е3о ~^ °° выражение A0) стремится к нулю. Это значит, что при заполнении
щели между телами жидким металлом сила взаимодействия меняется (на «боль-
«больших» расстояниях) с более высокой степенью 1/1. Для рассмотрения этого слу-
случая надо вернуться к исходной формуле G), и учесть в ней конкретный закон, по
которому с уменьшением частоты возрастает диэлектрическая проницаемость
металла.
Ход изменения е(и) металла в инфракрасной области спектра дается формулой
. , v/mu ,
где iV — плотность числа свободных электронов. При подстановке е3(^' 0 = 4т1е^Г
в формулу G) экспоненциальные множители в знаменателях подынтегрального
выражения приобретают вид
3) Точность такого упрощения связана с тем, что интеграл вида
а Г xndx
n\J aex -1
при изменении а от оо до 1 меняется незначительно: от 1 до 1,2 при п = 2, до 1,08 при п = 3, до 1,04
при п = 4 и т. д.
392
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
т. е. из них выпадает ?, а поскольку р пробегает значения р > 1, то мы приходим к
выводу, что рассматриваемая область частот дает вклад в силу F, экспоненци-
экспоненциально убывающий с расстоянием I.
Основной же вклад в силу взаимодействия дает в этом случае область еще
меньших частот, в которых е(и) связана с обычной электропроводностью а ме-
металла известной формулой
Подставив е3 (оо) = 4игсг3/и; в подынтегральное выражение формулы G) (в экс-
экспонентах и в множителе е3 > в ДРУГИХ местах достаточно положить ?3 — °°) и
введя вместо переменной интегрирования ? переменную х = 4р^ткт3?;/с2, получим
F =
he2
00 00
ех -
ех -
dpdx.
Вычисление двойного интеграла (с помощью приема, указанного в примечании 3)
на стр. 391) приводит к значению 13,5 для него и в результате к следующей
формуле:
F = 0,0034 -/гс2/сг3^5- A3)
Таким образом, в случае металлической «прослойки» между телами сила моле-
молекулярного притяжения от закона 1~3 на «малых» расстояниях переходит к зако-
закону 1~ъ на «больших» расстояниях; вступление последнего, правда, задерживает-
задерживается наличием в A3) малого численного коэффициента.
Возвращаясь к общей формуле G), отметим, что если оба тела одинаковы
(е1 = е2), то подынтегральное выражение в G) всегда положительно 4), и при каж-
каждых заданных р и ? монотонно убывает с ростом I. Отсюда следует, что и F > 0 и
dF/dl < 0, т. е. одинаковые тела притягиваются друг к другу при любой прослой-
прослойке между ними, причем сила F монотонно убывает с увеличением расстояния 5).
Если же тела различны, то сила воздействия между ними может быть как при-
притяжением, так и отталкиванием. Так, из A2) видно, что если в существенной об-
области частот разности гг — г3 и е2 — е3 имеют различные знаки, то будет F < 0, т. е.
на «малых» расстояниях тела отталкиваются. На «больших» же расстояниях
характер силы определяется относительной величиной электростатических
значений диэлектрических проницаемостей: при одинаковых знаках разностей
е10 — е30 и е20 — е30 имеем F > 0, а при разных знаках F < 0. Более того, поскольку
относительная величина ?10, ?20, ?30 не связана, вообще говоря, с поведением функ-
функций e^iQ, e2(iQ, ?3(гЧ) в существенных для данных тел областях частот, в прин-
принципе возможны случаи, когда функция F (I) меняет знак при некотором I (см.
подробнее в разделе 4).
4) В этом легко убедиться, если заметить, что для s = -Je-l + p2 (где р > 1) имеют место нера-
неравенства ер > s > р при е>1и ер < s < р при е < 1.
5) Такое утверждение высказывалось уже ранее Гамакером [6] на основании предположения об
аддитивности (в действительности не имеющей места) молекулярных сил.
J
1
- -
—
33. Ван-дер-ваалъсовы смлы в жидких пленках 393
4. Тонкая пленка на поверхности твердого тела
Формулу G) можно применить также для вычисления термодинамических
величин тонкой жидкой пленки, находящейся на поверхности твердого тела
(рис. 1). При этом толщина I пленки (как и ширина щели в преды-
предыдущем случае) предполагается большой по сравнению с меж-
межатомными расстояниями.
Рассмотрим пленку на расположенной вертикально в поле тя-
жести твердой стенке. Условие постоянства химического потенци-
ала вдоль находящейся в равновесии пленки (среда 3) выражается
уравнением D), в левую сторону которого надо добавить член pgz
(где z — высота). Еще одно условие должно выражать собой тот
факт, что вдоль всей свободной поверхности пленки действует, со рис i
стороны вакуума, постоянное давление — давление черного излу-
излучения. Поэтому должна быть постоянной (независящей от z) также и компонен-
компонента охх (х — нормаль к поверхности пленки) тензора напряжений A), вычислен-
вычисленная в пленке. Комбинируя друг с другом эти два условия, получим
°хх + P?Z = COnst,
где охх — компонента «укороченного» тензора напряжений E). Но охх в среде 3
есть не что иное, как вычисленная выше величина F(l), так что имеем
F(l) + pgz = const, A4)
Уравнение A4) есть не что иное, как условие постоянства химического потен-
потенциала вдоль системы, так что F(l) есть зависящая от толщины пленки часть ее
химического потенциала [i (который мы определим здесь как термодинамический
потенциал, отнесенный к массе р; плотность жидкости рассматриваем как посто-
постоянную). Таким образом, [i = \iQ + F(l), где |jl0 — химический потенциал «массив-
«массивной» жидкости (ср. [7], § 141). Условившись отсчитывать химический потенциал
от значения |jl0, мы будем ниже писать просто \i(l) вместо F (IN). Отсчитывая также
высоту z от поверхности жидкости в сосуде, будем иметь в A4) const = 0, так что
[x,(l) + pgz = 0. A5)
Функция \i(l) определяет все термодинамические свойства пленки; она опре-
определяется формулами G) —A0), в которых надо положить е2 = 1 (среда 2 — ваку-
вакуум 7)). Можно ввести также и «эффективный» коэффициент поверхностного на-
натяжения а на границе фаз 1 и 2, учитывающий существование жидкой пленки
между ними. Это можно сделать, формально воспользовавшись известной фор-
формулой теории адсорбции ^ = — (da/d\if)T, где ^ — поверхностная концентрация
6) Для удобства сравнения укажем, что определенная таким образом величина \i совпадает (с об-
обратным знаком) с «расклинивающим давлением» Р, используемым в работах Дерягина и его сотруд-
сотрудников (см., например, [8]).
7) Область 2 в действительности заполнена паром вещества 3, находящимся в термодинамическом
равновесии с жидкостью в сосуде и в пленке; ввиду разреженности этой среды, ее вполне можно
рассматривать в электродинамическом смысле как вакуум.
394
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
адсорбированного вещества (число частиц на 1 см2), a \if — его химический по-
потенциал (определенный как термодинамический потенциал, отнесенный к одной
частице; см., например, [7], § 139). При принятом нами здесь определении)^ это
соотношение напишется в виде
= — (<9а/<9|л)т
A6)
применимом как к макроскопически толстым («смачивающим») пленкам, так и к
адсорбционным пленкам «молекулярной толщины»; в последнем случае, конеч-
конечно, I имеет лишь условный смысл величины, пропорциональной поверхностной
концентрации (I = ^тп/р, т — масса молекулы). Интегрируя A6) и учитывая, что
при I —> оо функция аA) должна переходить в сумму а13 + а32 по-
поверхностных натяжений на границах «массивных» фаз 1, 2, 3, получим
¦^32-
A7)
При I —> 0 аA) должно стремиться к поверхностному натяжению на границе «чис-
«чистых» фаз 1 и 2, так что
ОО
г^ /-J 7 / 1 Q \
ij 121332* V/
Напомним также, что необходимым условием термодинамической устойчивости
пленки является выполнение неравенства
(d\i/dl)T > О
A9)
или (да/д1)Т < 0 (ср. [7], § 139). При выполнении этого условия в равновесии с па-
паром находится пленка такой толщины, для которой \i(l) = [iuap (для насыщенного
пара |1пар = 0, для ненасыщенного |лтр < 0).
Если имеется более чем одно такое зна-
значение I, то устойчивому состоянию отве-
отвечает пленка с наименьшим значением а;
большее же значение а отвечает тогда
метастабильному состоянию.
Рассмотрим некоторые типичные слу-
случаи, которые могут иметь место в зави-
зависимости от характера функции \i(l). При
этом надо, в частности, иметь в виду, что
функция [i(l) может быть знакоперемен-
знакопеременной и немонотонной; это видно уже из
того, что знаки в предельных выражени-
выражениях для \i(l) при больших и при малых I
фактически не зависимы друг от друга
(см. конец раздел 3).
а) Если \i(V) есть монотонно убывающая везде положительная функция (рис. 2а),
то жидкость вообще не смачивает твердой поверхности, и пленка не образуется
В
д
Рис.2
33. Ван-дер-ваалъсовы силы в жидких пленках 395
вовсе. Подчеркнем, что речь идет при этом именно о макроскопически толстых
пленках, к которым относится вся развиваемая здесь теория. Что касается ад-
адсорбции в узком смысле слова, то она, как известно, в той или иной мере всегда
имеет место. Этому соответствует тот факт, что каков бы ни был ход функции \i(l)
в области молекулярных размеров (не изображенный на рис. 2), она в конце кон-
концов устремляется к —оо по закону |jl ~ In Z, соответствующему «слабому раство-
раствору» адсорбируемого вещества на поверхности.
б) Если \i(l) есть монотонно возрастающая, везде отрицательная функция
(рис. 26), то это обычно соответствует жидкости, вполне смачивающей твердую
поверхность и образующей (в зависимости от упругости пара над ней) устойчи-
устойчивую пленку любой толщины. В частности, на вертикальной стенке образуется плен-
пленка с толщиной, стремящейся к нулю при z —> оо; убывание происходит сначала по
закону I ~ z/4, а затем как z~1'2.
Однако и в этом случае жидкость может оказаться несмачивающей — если
ход [i(l) в микроскопической области таков, что приводит здесь к меньшим зна-
значениям поверхностного натяжения а; тогда устойчивой будет молекулярная ад-
адсорбционная, а не смачивающая пленка 8).
в) \i(l) проходит через ноль и обладает максимумом, как показано на рис. 2в.
С той же оговоркой, что и в случае б), будем иметь здесь случай смачивания, но с
образованием пленки, устойчивой лишь при толщинах, меньших определенного
предела. В равновесии с насыщенным паром находится пленка конечной толщи-
толщины, соответствующей точке А. Это состояние отделено от другого устойчивого
состояния — равновесия твердой стенки с «массивной» жидкостью — метаста-
бильной областью АВ и областью полной неустойчивости ВС.
Кривая [i(l) такого типа должна приводить к интересным особенностям в об-
образовании краевого угла 0 каплей жидкости на твердой поверхности. В данном
случае капля находится в равновесии с пленкой конечной толщины lmax (рис. 3) и
согласно обычной элементарной формуле имеем
С08е = [а(гтах)-а13]/а23, B0)
где a(Zmax) (с аA) из A7)) играет роль коэффициента поверхностного натяжения
между фазами 1 и 2. Поскольку первый член в A7) есть малая величина, получа-
получаем из B0)
е2« J *§«« = h
J
Интерполируя между законами [i ~ I 3 и [i ^ I 4, можно получить отсюда оценку
й B2)
с пЗ из A2). Так, при /гпЗ ^ 10 eV, а23 ~ 20 эрг/см2, lmax ~ 5 • 10~5 см, получим отсю-
отсюда 0 - 0,1°.
8) Такой ход можно представлять себе как высокий «всплеск» кривой \i(l) в молекулярной обла-
области «толщин».
396 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, в рассматриваемом случае краевой угол должен иметь конеч-
конечное, но очень малое значение (в отличие от значения 0 = 0 при полном смачива-
смачивании и 0 ~ 1 для обычных случаев несмачивания). Разумеется, такое утвержде-
утверждение имеет реально наблюдаемый смысл лишь при
условии, что толщина капли велика по сравнению
с толщиной пленки, т. е. должно быть L0 ^> lmax, где
L — размер капли (рис. 3).
г) Кривая изображенного на рис. 2г типа соответ-
рис з ствует пленке, неустойчивой в определенном интер-
интервале толщин. Прямая BF, отсекающая равные пло-
площади BCD и DEF, соединяет точки В и F с одинаковыми (при одинаковых |л) значе-
значениями а (как это легко видеть из A7)). Устойчивым пленкам отвечают ветви АВ и
FG; интервал СЕ полностью неустойчив, а интервалы ВС и EF — метастабильны.
Обе границы области неустойчивости (точки В и F) в этом случае отвечают
макроскопическим толщинам пленки. Неустойчивости в интервале от некоторой
макроскопической толщины до молекулярной должна была бы соответствовать
кривая изображенного на рис. 2д типа (при I —> 0 эта кривая, как и кривая рис. 26,
устремляется к —оо). В действительности, однако, такая кривая будет скорее всего
приводить просто к случаю несмачивания. Действительно, границе устойчивос-
устойчивости соответствовала бы такая точка на ветви ВС, в которой горизонтальная секу-
секущая отсекала бы одинаковые площади под верхней и над нижней частями кри-
кривой. Но последняя площадь, связанная с ван-дер-ваальсовыми силами, будет мала
по сравнению с первой, связанной со значительно большими силами на молеку-
молекулярных расстояниях. Это значит, что поверхностное натяжение на всей ветви ВС
будет больше, чем то, которое соответствует молекулярной адсорбции по поверх-
поверхности подложки, и потому пленка будет метастабильной.
Явление неустойчивости пленок в определенных интервалах толщин наблю-
наблюдалось различными авторами, в особенно ясном виде — Фрумкиным, Дерягиным
и их сотрудниками (см., например, [9, 10]). Для феноменологической интерпре-
интерпретации этих явлений Фрумкиным [9] уже давно рассматривались различные типы
кривых аA) (не делая при этом ясного различия между адсорбционными и сма-
смачивающими пленками). Мы хотели бы подчеркнуть здесь связь этих кривых со
свойствами ван-дер-ваальсовых сил, а через них — со спектральными свойства-
свойствами жидкости и твердой подложки.
Отметим, в частности, что знак функции [i(l) при достаточно больших толщи-
толщинах пленки определяется соотношением между электростатическими значени-
значениями е10 и е3о 9): в этой области [i > 0 при е3о > ?ю и 1^ < 0 ПРИ ?зо < ?ю- Знак же [i(l) в
обратном предельном случае достаточно малых I совпадает со знаком
g = J(e,-l)(e,-Qdt
0 з Аз 1/
Нарушение монотонности хода [i(l) в некоторой области значений I связано вооб-
вообще говоря, с изменением знака разности е3 — егв области длин волн X ~ I.
9) Если только существенная дисперсия диэлектрической проницаемости не наступает (как, на-
например, у воды) уже при очень больших длинах волн.
33. Ван-дер-ваалъсовы силы в жидких пленках 397
5. Силы неэлектромагнитного происхождения
Оценим вклад в химический потенциал пленки, связанный с силами неэлект-
неэлектромагнитного происхождения.
Акустические флуктуации (в акустически недиспергирующей среде) при аб-
абсолютном нуле температуры дают в химическом потенциале вклад |лак ~ fiu/l^ ,
где и —скорость звука 10). Она должна быть сравнена с электромагнитной частью
[1ЭМ~ Нс/1А при I ^> Ло или |лэ м ~ hc/l3XQ при I = Ло (Ло — характерная длина вол-
волны в спектре поглощения тел). Ясно, что |iaK = \хэ м при всех расстояниях, боль-
больших по сравнению с атомными размерами, когда только и применима вообще вся
излагаемая теория.
При отличных от нуля температурах для |лак осуществляется, вообще говоря,
обратный предельный случай, когда влияние температуры имеет преобладаю-
преобладающее значение. Соответствующим критерием является значение отношения ЫТ/Ни
(где к — постоянная Больцмана); при больших значениях его |лак ~ кТ /I3 (анало-
(аналогично формуле E.5) в [1]) п). Эта величина сравнивается с [1Э ш лишь на расстоя-
расстояниях I ~ Н/кТ, настолько больших, что [i все равно становится уже очень малым.
То же самое относится к вкладу поверхностных колебаний. Зависимость час-
частоты от волнового вектора для капиллярных колебаний на поверхности слоя жид-
жидкости глубины I дается известной формулой
(j2 =(a/c3/p)th/d,
где a — поверхностное натяжение (см., например, [13], § 61); на глубокой жидко-
жидкости (I —>• oo)w2 = a/c3/p. Вычисляя энергию нулевых колебаний (за вычетом этой
же энергии при I —> оо), найдем, что при абсолютном нуле соответствующий вклад
в химический потенциал
Фактически, однако, осуществляется обратный предельный случай, когда
(Н/кТ) у/са/р l~3l2 <C 1, т. е. выполняется условие классичности; вычисление по об-
общим правилам статистики приводит при этом, естественно, к вкладу того же по-
порядка |лпов rsj кТ/l3, что и в акустическом случае 12).
10) Это выражение аналогично выражению |i ~/ic/i4 для электромагнитной части (в недиспер-
недиспергирующей среде). Его можно получить, например, путем подсчета энергии нулевых акустических
колебаний в щели (ширины I) подобно тому, как это сделано Казимиром [11] для электромагнитных
нулевых колебаний. Отметим, что результат Аткинса[12], получившего для (лак другой закон зави-
зависимости от толщины пленки (~ 1~2), связан с некорректным способом обрезания расходящегося ин-
интеграла.
п) Условие ЫТ/hu » 1 , как и условие ЫТ/hc »1 в электромагнитном случае, есть по существу
условие классичности (йш <?с кТ с и ~1/мили и ~1/с ). Поэтому заранее очевидно, что соответству-
соответствующий вклад в (л не должен содержать Н, а тогда выражение кТ/i3 следует уже из соображений раз-
размерности.
12) Мы приводим везде буквенные оценки, но следует иметь в виду, что в действительности вы-
выражения для (лпов и (лак содержат (как показывает более детальный анализ) еще малые числовые
коэффициенты, как и выражения для электромагнитной части (лэм. Появление сравнительно малых
числовых коэффициентов вообще характерно для излагаемой теории.
398 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для объяснения свойств гелиевых пленок различными авторами привле-
привлекались также механизмы, связанные с неоднородностью распределения плот-
плотности жидкости вдоль толщины пленки. В наиболее грубом виде соот-
соответствующий расчет производился путем рассмотрения гелия в пленке как
идеального газа, волновые функции частиц которого обладают узлами на стен-
стенке и на поверхности пленки. Такая модель приводит к резко неоднородному
распределению плотности, с максимумом в центре, и к вкладу в химический
потенциал \i, пропорциональному 1~2. Такое рассмотрение, однако, совершен-
совершенно неприемлемо (как было указано уже Моттом [14]), так как взаимодействие
между атомами в действительности сглаживает волновую функцию основно-
основного состояния системы и неоднородность плотности простирается (в глубь жид-
жидкости) лишь на расстояния порядка межатомных. Связанный с этой неодно-
неоднородностью вклад в химический потенциал убывает с толщиной пленки по экс-
экспоненциальному закону.
По такому же закону убывает вклад, связанный со специфическими свой-
свойствами (сверхтекучестью) гелия ниже Х-точки. Лишь в непосредственной бли-
близости к Х-точке, где очень мала плотность сверхтекучей компоненты, неоднород-
неоднородность распределения последней приводит к заметному эффекту (см. [15]). Но уже
на расстоянии около 0,01° от Х-точки декремент экспоненциального убывания
становится сравнимым с межатомными расстояниями. Результат же Франчетти
[16], получившего вклад в химический потенциал, пропорциональный 1~2, связан
с неадекватностью использованной им модели невзаимодействующих элемен-
элементарных возбуждений в гелии.
6. Пленка жидкого гелия
Рассмотрим особо пленки жидкого гелия, которым посвящена обширная ли-
литература.
Для гелиевых пленок общая формула G) может быть значительно упрощена,
если воспользоваться тем, что диэлектрическая проницаемость жидкого гелия
очень близка к единице, т. е. разность ?3(гЧ) ~~ 1 мала. Производя соответствую-
соответствующие разложения в подынтегральном выражении в G), получим
s, = Ve,«)-1 + P!- B3)
Однако вычисление даже по этой упрощенной формуле затрудняется необходи-
необходимостью знать вид функций e(i^) для жидкого гелия и твердой стенки в широкой
области частот, в частности в крайней ультрафиолетовой области: в интегра-
интеграле B3) существенна область длин волн А ~ I, а фактические толщины гелиевой
пленки — порядка 10~6 см.
Представляется разумным приближением дальнейшее упрощение форму-
формулы B3), учитывающее тот факт, что основная область поглощения гелия лежит
33. Ван-дер-ваалъсовы силы в жидких пленках 399
в крайнем ультрафиолете, между тем как основное поглощение твердой стенки
(металлы, кварц) находится при существенно меньших частотах. Другими сло-
словами, будем считать, что функция ?3(г0 практически совпадает с электростати-
электростатическим значением е3о во всей области изменения ?,, в которой разность е^г^) — 1
(а с нею и все подынтегральное выражение в B3)) еще не слишком мала. Тогда
е3 — 1 можно вынести из-под знака интеграла, а с оставшимся интегралом посту-
поступить так, как в предельном случае малых толщин I (I мало по сравнению с длина-
длинами волн Ло в основных областях поглощения твердого тела). Именно, вводя вмес-
вместо р переменную интегрирования х=2р^1/с и учитывая, что значениям х ~ 1
соответствуют большие значения р, заменяем фигурную скобку в B3) на
2р2 (ег — !)/(?! + 1) и в результате получаем
\ B4)
где введена величина
представляющая собой некоторую характерную для данного твердого тела сред-
среднюю частоту.
Заметим, что функция [е(оо) — 1]/е(и) + 1 обладает такими же аналитически-
аналитическими свойствами в верхней полуплоскости комплексного переменного и, что и функ-
функция е(ио) — 1. Этого достаточно для того, чтобы применить к ней такую же форму-
формулу для преобразования интеграла по мнимой оси в интеграл по вещественной
оси, какая справедлива для функции е(и) — 1 (см. [5], § 62). Именно, можно пред-
представить интеграл п; в виде
{ ^И + 1 J[e
u; = I Im , [ du; = / 1—— , B6)
где ?r(uj) и е"(ш) — вещественная и мнимая части диэлектрической прони-
проницаемости при вещественных значениях частоты, т. е. непосредственно изме-
измеряемые на опыте величины (аналогичным образом можно преобразовать ин-
интеграл п; в A2)).
Таким образом, при фактически наблюдаемых толщинах гелиевой пленки
следует ожидать зависимость \i(l) ~ 1/13 и, соответственно, форму профиля
пленки I ~ z~1'2. Вычисление коэффициента в этой зависимости требует, одна-
однако, знания оптических свойств твердого тела (стенки) в широкой области час-
частот. Мы хотели бы подчеркнуть, что вычисление этого коэффициента на основе
данных о взаимодействии отдельных атомов гелия и твердого тела во всяком
случае недопустимо 13).
Выпишем также и выражение для \i(l) при «больших» толщинах пленки
(I ^> Ло). Соответствующий переход в B3) осуществляется введением переменной
13) Мы не думаем, в частности, что приводимые Шиффом [17] оценки сколько-нибудь дос-
достоверны.
400 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
х = 2р^1/с вместо ? и заменой е1 на е10. Интегрирование как по dx, так и по dp,
производится аналитически, и в результате получаем
Н— ArshVs - Arsh-p L
Ve + 1 I Ve )
Для металла е10 ^ оо и /(оо) = 1. Для кварца, обладающего широкой полосой
прозрачности (от ~ 0,15 |jl до нескольких |л), имеет смысл также рассмотрение
случая, когда толщина I попадает в эту область размеров. Соответствующий
закон зависимости \i(l) определится тогда той же формулой B7), в которой, од-
однако, под е10 надо понимать не электростатическое, а оптическое значение гг,
т. е. квадрат показателя преломления в оптической области прозрачности (ср.
примечание9 в [1]).
Выражения B3), B4), B7) не содержат температуры, т. е. относятся, строго
говоря, к абсолютному нулю. Однако температурные поправки должны быть от-
относительно малыми, и нет оснований ожидать сколько-нибудь существенного из-
изменения формы профиля пленки при изменении температуры, в частности, ниже
и выше Х-точки (вне непосредственной близости от нее).
Трудности экспериментального определения толщины и формы профиля ге-
гелиевой пленки в условиях, достаточно близких к идеальным условиям теплового
равновесия, очень велики, и, по-видимому, лишь в самое последнее время пре-
преодолеваются настолько, чтобы получаемые (в области гелия II) результаты можно
было считать сколько-нибудь достоверными (см. обзоры Джексона и Граймса [18]
и Аткинса [19]).
Как уже указывалось, нет никаких физических оснований для того, чтобы
ожидать профиль пленки вида pgz = a/lz + b/l2.
В недавнем сообщении Андерсона, Либенберга и Диллингера [20] указывает-
указывается, что полученные ими данные о толщине гелиевой пленки на стальной поверх-
поверхности (вплоть до высот 40 см) удовлетворительно описываются законом вида
pgz = a/l3 с постоянной а « 3,4 • 10~15 эрг. Сравнивая это значение с коэффици-
коэффициентом при 1~3 в формуле B4) (положив в ней е3о ~~ 1 = 0,057), получим /гпЗ^б eV.
Примерно к такому же значению ( /гпЗ ~ 7,5 eV) приводят данные Джексона, Хема
и Граймса [21]. Это значение для металла (стали) представляется разумным.
Коэффициенты в формулах B4) и B7) (при е10 —> оо) сравниваются при
? = Зс/2пЗ, т. е. в данном случае при I ^ 5 • 10~6 см. Это значит, что в наблюдав-
наблюдавшемся в эксперименте интервале толщины пленки A00—400 А) мы находимся
вблизи области, переходной между законами 1~3 и Z~4.
В заключение выражаем искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за об-
обсуждение рассмотренных здесь вопросов. Мы благодарны также проф. Б.В. Де-
рягину, введшему нас в курс своих работ по исследованию пленок.
33. Ван-дер-ваальсовы силы в жидких пленках 401
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Лифшиц. ЖЭТФ, 29, 94, 1955.
[2] И.Е. Дзялошинский, Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 36, 1797, 1959.
[3] А.А. Абрикосов, Л.П. Горькое, И.Е. Дзялошинский. ЖЭТФ, 36, 900, 1959; Е.С. Фрад-
Фрадкин. ЖЭТФ, 36, 1286, 1959.
[4] Т. Matsubara. Progr. Theor. Phys., 14, 351, 1955.
[5] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
[6] И. Hamaker. Physica, 4, 1058, 1937.
[7] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика, 3-е изд., Гостехиздат, 1951.
[8] Б.В. Дерягин. Коллоид, ж., 17, 207, 1955.
[9] А.Н. Фрумкин. ЖФХ, 12, 337, 1938.
[10] Б.В. Дерягин, ММ. Кусакое. Изв. АН СССР, сер. хим., 5, 1119, 1937; Acta Phys. Chem.
URSS, 10, 25, 1939; Б.В. Дерягин, ММ. Кусакое, Л. Лебедева. ДАН СССР, 23, 670, 1939.
[11] H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 60, 793, 1948.
[12] K.R. Atkins. Canad. J. Phys., 32, 347, 1954.
[13] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1954.
[14] N.F. Mott. Phil. Mag., 40, 61, 1949.
[15] В.Л. Гинзбург, Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 34, 1240, 1958.
[16] S. Franchetti. Nuovo Cim., 5, 183, 1957.
[17] L. Schiff. Phys. Rev., 59, 839, 1941.
[18] L.C. Jackson, L.G. Grimes. Adv. in Phys., 7, 435, 1958.
[19] K.R. Atkins. В кн. Progress in Low Temperature Physics, 2, Amsterdam, 1957.
[20] O.T. Anderson, D.H. Liebenberg, J.R. Dillinger. Bull. Am. Phys. Soc, ser. II, 4, 6, 1959.
[21] A.C. Ham, L.C. Jackson. Proc. Roy. Soc, A240, 243, 1957; L.C. Jackson, L.G. Grimes. Proc.
5th Intern. Conference on Low Temperature Physics, Madison. 1958.
34
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ
Совместно с И.Е.Дзялошинским и Л.П.Питаевским
УФН, 73, 381, 1961
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно, между всякими двумя нейтральными атомами или молекула-
молекулами, находящимися на больших (по сравнению с их собственными размерами) рас-
расстояниях R, действуют силы притяжения — так называемые ван-дер-ваальсо-
вы силы. Силы эти имеют дальнодействующий характер: они убывают с рассто-
расстоянием по степенному (а не экспоненциальному) закону.
По своему происхождению ван-дер-ваальсовы силы имеют электромагнитный
характер. Они получаются, как было впервые показано Ф. Лондоном [1], во вто-
втором приближении теории возмущений, примененной к электростатическому вза-
взаимодействию двух диполей; энергия притяжения при этом пропорциональна R~6.
Такое рассмотрение, однако, возможно лишь до тех пор, пока расстояние R мало
по сравнению с длинами волн X соответствующими переходам между основным
и возбужденными состояниями атомов. При R>\ становятся существенными эф-
эффекты запаздывания. Взаимодействие атомов с учетом запаздывания было рас-
рассмотрено Казимиром и Польдером [2] как эффект четвертого порядка теории
возмущений по взаимодействию атома с электромагнитным полем (с помощью
современной инвариантной техники Фейнмана вычисления были повторены Дзя-
лошинским [3]). В предельном случае R ^> X — энергия взаимодействия оказы-
оказывается пропорциональной R~7.
Наличие сил притяжения между нейтральными атомами приводит, естествен-
естественно, к появлению аналогичных сил и между любыми двумя макроскопическими
телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний. Однако вы-
вычисление этих сил, просто исходя из взаимодействия отдельных атомов (как это
обычно делалось), в действительности невозможно. Оно было бы законным лишь
для достаточно разреженных тел, т. е. газов,— случай, который фактически, ра-
разумеется, не может быть осуществлен. В конденсированных же телах соседство
атомов существенно меняет свойства их электронных оболочек, а наличие меж-
между взаимодействующими атомами некоторой среды влияет на электромагнит-
электромагнитное поле, через которое осуществляется взаимодействие.
Однако в противоположность такому «микроскопическому» подходу, к рас-
рассматриваемому вопросу можно подойти также и с совершенно иной, чисто мак-
макроскопической точки зрения, в которой взаимодействующие тела рассматрива-
рассматриваются как сплошные среды. Законность такого подхода связана с тем, что рассто-
расстояния между поверхностями тел предполагаются хотя и малыми, но все же
большими по сравнению с межатомными расстояниями в телах.
34. Общая теория ван-дер-ваальсовых сил 403
Основная идея теории заключается при этом в том, что взаимодействие меж-
между телами рассматривается как осуществляющееся посредством флуктуацион-
ного электромагнитного поля. Благодаря термодинамическим флуктуациям та-
такое поле всегда присутствует внутри всякой материальной среды и выходит так-
также за ее пределы. Хорошо известным проявлением этого поля является тепловое
излучение тела, но следует подчеркнуть, что этим излучением не исчерпывает-
исчерпывается все флуктуационное поле вне тела. Это наиболее ясно видно уже из того, что
электромагнитные флуктуации существуют и при абсолютном нуле температу-
температуры, когда тепловое излучение отсутствует; при этой температуре флуктуации
имеют чисто квантовый характер.
Наряду с силами притяжения между сближенными телами, с этой же точки
зрения могут быть рассмотрены и другие эффекты в конденсированных телах,
связанные с ван-дер-ваальсовыми силами, в частности свойства тонких пленок
жидкости на поверхности твердого тела.
Во всех этих эффектах в термодинамическом отношении проявляется одна
общая черта — все они связаны с неаддитивностью свободной энергии системы
тел при учете ван-дер-ваальсовых сил. Действительно, во всех этих случаях сво-
свободная энергия не просто пропорциональна объему системы, а зависит при за-
заданном объеме еще и от параметров, характеризующих взаимное расположение
тел (например, от расстояния между твердыми телами или от толщины пленки).
Именно эта неаддитивность, связанная с дальнодействующим характером ван-
дер-ваальсовых сил, является качественно новым эффектом, выделяющим вклад
этих сил в термодинамические величины из гораздо большей аддитивной части
этих величин. Указанную неаддитивность можно также легко понять, обратив-
обратившись к упомянутой связи между ван-дер-ваальсовыми силами и флуктуациями
электромагнитного поля. Действительно, всякое изменение электрических
свойств среды в некоторой области приводит, в силу уравнений Максвелла, к
изменению флуктуационного поля и вне этой области. Поэтому связанная с элект-
электромагнитными флуктуациями часть свободной энергии не определяется свой-
свойствами вещества только в данной точке, т. е. неаддитивна.
Следует уточнить теперь, что, говоря о флуктуационном электромагнитном
поле, мы имеем в виду совокупность его спектральных компонент с длинами волн,
большими по сравнению с атомными размерами (мы будем говорить о них как о
«длинноволновых» флуктуациях). Именно, каждый раз существенны те флук-
флуктуации, длины волн которых порядка величины характерных размеров неодно-
неоднородности системы (например, для пленки — порядка ее толщины, для случая
притяжения тел — порядка расстояния между ними). Все свойства длинновол-
длинноволновых флуктуации, а вместе с этим и их вклад во все термодинамические вели-
величины, полностью выражаются через комплексную диэлектрическую проницае-
проницаемость тела.
Тем самым оказывается возможным построить общую макроскопическую
теорию ван-дер-ваальсовых сил, свободную от каких бы то ни было ограниче-
ограничений, за исключением лишь того, что все характерные размеры тел должны быть
велики по сравнению с атомными расстояниями. Такая теория применима, в
принципе, при любых температурах к любым телам, вне зависимости от их мо-
молекулярной природы (ионные или молекулярные кристаллы, аморфные тела
404 Е.М. Лифшиц. Собрание трудов
или жидкости, металлы, диэлектрики и т. п.). Поскольку теория исходит из точ-
точных уравнений электромагнитного поля, в ней автоматически учитываются эф-
эффекты запаздывания.
Основанная на изложенных принципах теория ван-дер-ваальсовых сил при-
притяжения между телами была впервые построена Е.М. Лифшицем [4]. Путем при-
применения методов современной квантовой теории поля оказалось возможным най-
найти общие формулы для вычисления ван-дер-ваальсовой части термодинамичес-
термодинамических величин для произвольной неоднородной среды (И.Е. Дзялошинский и
Л.П. Питаевский [5]). Это позволило распространить теорию Лифшица на слу-
случай тел, разделенных жидкой прослойкой, а также применить ее к изучению
свойств жидких пленок (И.Е. Дзялошинский, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский [6]).
Мы начнем изложение с краткой сводки методов квантовой теории поля в ста-
статистической физике (раздел 2). Эти методы позволяют развить всю рассматри-
рассматриваемую теорию ван-дер-ваальсовых сил наиболее естественным и общим обра-
образом. Дальнейшее изложение построено таким образом, чтобы читатель, интере-
интересующийся лишь результатами теории, мог опустить разделы 2, 3 и 4.1.
2. МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Для современной квантовой теории поля характерно широкое использование
диаграммной техники Фейнмана, позволяющей очень наглядно представить
структуру и характер любого приближения.
Как известно, физические величины в квантовой теории поля выражаются
рядами теории возмущений по степеням константы взаимодействия (например,
по степеням заряда электрона г). Любой член ряда теории возмущений может
быть описан соответствующей диаграммой, и его вычисление на основании этой
диаграммы производится по правилам фейнмановской техники. Именно каждой
внутренней линии диаграммы сопоставляется так называемая гриновская фун-
функция свободной частицы Go или гриновская функция свободного фотона Do, каж-
каждому пересечению линий на диаграмме — вершине — определенный оператор
взаимодействия (в квантовой электродинамике это — дираковская матрица ^ ,
умноженная на заряд электрона) и, наконец, производится интегрирование по
четырехмерным координатам каждой из вершин диаграммы.
Преимущества диаграммной техники наиболее ярко проявляются при реше-
решении задач, в которых нельзя ограничиться конечным числом членов ряда теории
возмущений, а приходится суммировать бесконечные последовательности так на-
называемых «главных диаграмм». Возможность суммирования бесконечных рядов
делает диаграммную технику особенно привлекательной для квантовой статисти-
статистики, обычные методы которой позволяли с большим трудом выписать лишь два-
три первых члена ряда теории возмущений.
Применение методов квантовой теории поля к задачам статистической физи-
физики при конечных температурах основано на работе Мацубары [7], показавшего,
что вычисление свободной энергии может производиться по правилам фейнма-
фейнмановской диаграммной техники. Любой член ряда в термодинамической теории
возмущений, как и в теории поля, описывается соответствующей фейнмановской
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 405
диаграммой, и его вычисление производится по аналогичным правилам: каждой
линии диаграммы сопоставляется «температурная» гриновская функция свобод-
свободной частицы (?0, вершине диаграммы — оператор взаимодействия. Единственное
отличие состоит в том, что функции (?0 в технике Мацубары зависят не от вре-
времени t, а от введенного им фиктивного «мнимого времени» т, изменяющегося в
конечных пределах от нуля до обратной температуры 1/Т 1). Соответственно это-
этому вместо интегрирования по времени от —оо до оо в каждой вершине диаграм-
диаграммы производится интегрирование по т в пределах от 0 до 1/Т.
Мы изложим здесь кратко ход рассуждений Мацубары. Рассмотрим, напри-
например, систему заряженных частиц, взаимодействующих с электромагнитным по-
полем. Гамильтониан такой системы имеет вид
я = яо+явз,
где Но — гамильтониан свободных частиц и фотонов, квадратично зависящий от
операторов соответствующих полей в шредингеровском представлении ^ф(г) и
Aa(r), a Нвз — оператор взаимодействия:
HB3=-/Aa(r)ja(r)d3r,
ja(r) — оператор тока частиц 2), являющийся некоторой квадратичной функци-
функцией операторов частиц ^ (г).
Термодинамические свойства системы определяются статистической матрицей
[ Н
р = ехр - —
через которую свободная энергия F выражается с помощью соотношения
F =-TlnSpp.
При вычислении среднего значения какой-либо величины (здесь среднего зна-
значения р) в теории поля используют уравнения движения для операторов поля.
Основная идея Мацубары состоит в переходе от времени t к «мнимому времени» т,
сохраняя при этом формальное сходство с обычными уравнениями движения.
Перейдем для этого к своеобразному «представлению взаимодействия», являю-
являющегося аналогом обычному квантовомеханическому представлению взаимодей-
взаимодействия, по формулам
Аа (г, т) = етН°Аа (г)е-тНо, я|>(г, т) = етНЧ(г)е^н<>,
ф (г, т) = е™° ^ (г) е"тНо, ja (г, т) = етН» ja (r) е"тН°,
Нвз(т)=етН°Нвзе-тН°.
х) В разделах 2, 3 и 4.1 мы пользуемся системой единиц, в которой h = с = 1; температура изме-
измеряется в энергетических единицах.
2) Здесь и в дальнейшем греческие индексы а, [3 = 0, 1, 2, 3 нумеруют компоненты 4-векторов и
тензоров, а латинские i, к = 1, 2, 3 — компоненты векторов и тензоров в трехмерном пространстве.
406
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Очевидно, что
j
Введем далее матрицу
и представим ее в виде
р(т) = ехр(-тЯ)
т) = ехр(-тЯ0)в(т).
Определенная таким образом матрица &(т) аналогична ^-матрице в теории
поля. Она удовлетворяет уравнению
(96(т)
дт
= Явз(тN(т), 6@) = 1,
получающемуся из соответствующего уравнения в теории поля заменой t —> гт .
Решением его является, как известно,
6(т)=Ттехр{-/явз(т)сгт},
где Тт — хронологизирующий оператор, располагающий операторы Н в порядке
возрастания «времени» т.
Для статистической матрицы р = рA/Т) получается очевидная формула
1/Г
&=&\-\=Ттехр\
откуда для свободной энергии имеем:
B.1)
B.2)
где FQ — свободная энергия невзаимодействующих частиц,
Fo =-
Формулу B.2) можно записать в виде
F=F0-T\n{&),
B.3)
понимая под символом (...) гиббсовское усреднение по состояниям свободных
частиц
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 407
Разложив выражение для E по степеням Нвз, усреднив каждый член ряда и,
наконец, взяв его логарифм, мы получим ряд термодинамической теории возму-
возмущений для свободной энергии. Упомянутое усреднение сводится к вычислению
средних значений от упорядоченного произведения различного числа операто-
операторов электромагнитного поля и операторов частиц, например:
({ТтАа(г1; TjApfo, т2)г|>(г3, т3Жг4, т4)}). B.4)
Как известно, выражения такого же типа встречаются и в квантовой теории поля.
Фейнмановская диаграммная техника базируется на следующих двух свойствах
уравнений теории поля: во-первых, на возможности представить все величины
теории (^-матрицу и т. д.) в виде средних от упорядоченных произведений
(Т-произведений) различного числа операторов поля и, во-вторых, на так называ-
называемой теореме Вика, согласно которой среднее от Т-произведения любого числа опе-
операторов свободных частиц выражается через произведения всевозможных попар-
попарных средних этих операторов. Попарные средние и представляют собой упоми-
упоминавшиеся выше функции Грина свободных частиц. Таким образом, средние от
любых величин выражаются через эти функции Грина.
Формулы B.1), B.2) и B.4) показывают, что первое свойство имеет место и в
развиваемой термодинамической теории. Оказывается, и в этом случае сохра-
сохраняет силу теорема Вика, которая становится здесь, правда, утверждением, точ-
точным лишь при стремлении полного числа частиц N к бесконечности (при задан-
заданной их плотности): точнее, справедливым лишь с точностью до членов порядка
1/JV. Применяя теорему Вика к выражениям типа B.4), мы получим, например:
({TTAa(r1; Tj^jfc, т2)ч1>(г3, т3Жг4, т4)}) =
= (ТТ{Аа(г„ r,)Afi(r2, т2)})(Тт{я1>(г3,
({ТТАа(Г1, TjAzfa, т2)А^(г3, т3)А6(г4, т4)}) =
= (Тт{А«(г1- 41L) (г21 т2)})(Тт{А^(г3, т3)А6(г4, т4)}) +
+ (Тт{Аа(г1, тх)А,(г3, т3)})(Тт{Ар(г2, т2)А6(г4, т4)}) +
+ (Тт{Аа(г1, TjAfa, т4)})(Тт{Ар(г2, т2)А^(г3, т3)})
и так далее. Ясно, что возникающая таким образом техника полностью анало-
аналогична технике теории поля, с той лишь разницей, что место нулевых гриновских
функций свободных частиц и фотонов займут температурные гриновские функ-
функции свободных частиц
1; т^-фСга, т2)}> B.4а)
408
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и фотонов
B.46)
а вместо интегрирования по времени в бесконечных пределах появится интегри-
интегрирование по «мнимому времени» т в пределах от нуля до 1/Т.
Фейнмановские диаграммы, описывающие поправки к свободной энергии, име-
имеют вид замкнутых петель. Для случая взаимодействия частиц с электромагнит-
электромагнитным полем диаграмма второго порядка изображена на рис. 1а, диаграммы чет-
четвертого порядка — на рис. 16, в, г. (Сплошная линия изображает гриновскую функ-
функцию частицы, пунктирная — фотона). Отметим, что в качестве поправок
какого-либо порядка в теории возмущений нужно учитывать лишь связные диа-
диаграммы того же порядка (порядок диаграммы есть, очевидно, число вершин в
ней), т. е. диаграммы, не распадающиеся на части, не соединенные хотя бы одной
линией. Например, диаграмму рис. 2 в качестве поправки шестого порядка учи-
учитывать не следует. Это свойство связано с тем, что выражение для свободной энер-
энергии имеет вид In (...). Можно показать, что при взятии логарифма все несвязные
диаграммы взаимно сокращаются.
Рис. 1
Ряд теории возмущений для свободной энергии обладает, однако, неприятной
особенностью. Оказывается, что диаграммы входят в него с коэффициентом, су-
существенно зависящим от ее порядка п, а именно с коэффи-
коэффициентом 1/п. (Коэффициент вида ап с постоянной а, общей
для диаграмм всех порядков, очевидно, был бы несуществен-
несущественным, так как а можно формально включить, например, в за-
заряд). Это свойство ряда для свободной энергии делает его
практически непригодным для задач, где константа взаимо-
взаимодействия не мала и приходится суммировать бесконечные
последовательности диаграмм. К счастью, оно присуще толь-
только диаграммам, имеющим вид замкнутых петель, для диа-
диаграмм же, имеющих внешние линии, коэффициент от порядка теории возмуще-
возмущения существенным образом не зависит.
Рис.2
-о-
Рис.3
Среди последних наибольшее значение имеют диаграммы с двумя свободными
концами, например диаграммы типа рис. 3. Сумма всех возможных связных диа-
диаграмм с двумя внешними фотонными линиями называется полной температур-
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 409
ной гриновской функцией фотона. Она зависит, очевидно, от восьми перемен-
переменных: пространственных координат и «времени» т свободных концов. Нетрудно
написать для нее аналитическое выражение через операторы в представлении
взаимодействия. Именно (ср. B.46)):
Ъ ,г г л- fcKfr. Tjyr,, T2)}6)
^o3l.rl> Т1> Г2> Т2>— 7g\ •
Аналогичные формулы имеют место и для гриновских функций частиц. Приве-
Приведем также очень полезную формулу, выражающую полную температурную гри-
новскую функцию фотона через операторы в шредингеровском представлении
г2, т2) = -
>т2,
<т2.
B.5)
Формула для гриновской функции свободного фотона получается отсюда с по-
помощью замены Н —> Но, F —> Fo.
Из формулы B.5) сразу видно, что Э является функцией разности т: — т2 =
= т BDap = 2Daf3 (гх, г2, т)). В случае системы, однородной в пространстве, координа-
координаты тоже будут входить в нее лишь в виде разности г: — г2.
Полная температурная функция Грина связана очень простыми и удобными
соотношениями со свободной энергией. Ее знания достаточно для определения
всех тепловых свойств системы. Однако конкретные ее вычисления в технике
Мацубары все же довольно трудны. Дело в том, что успех методов теории поля
обязан в огромной степени автоматизму в вычислениях, который достигается за
счет разложения всех величин в интегралы Фурье по всем координатам и вре-
временам. В методе же Мацубары этот автоматизм отсутствует в связи с конечнос-
конечностью интервала изменения т; (?° и Э° являются разрывными функциями перемен-
переменной т, и все интегралы по т фактически распадаются на интегралы по очень
большому числу областей, число которых очень быстро (~ 2П) растет с ростом
порядка приближения.
Техника Мацубары может быть существенно улучшена, если использовать не-
некоторые общие свойства температурных гриновских функций (Абрикосов, Горь-
ков, Дзялошинский [8], Фрадкин [9]). Как уже указывалось, гриновская функция
зависит лишь от разности тх — т2 и как таковая задана в интервале от — 1/Т до 1/Т.
Целесообразно поэтому разложить ее в ряд Фурье по переменной т = тх — т2 3):
1/Т
i») = \ J е*»т€(т)с*т, in= ъпТ B.6)
-1/Т
(и аналогично для А(т)).
Для преобразования ряда теории возмущений фундаментальным оказывается
следующее важное общее свойство (?. Из выражения B.5) для Э следует, что
3) Компоненты Фурье (?(?п) следовало бы отличать от самой функции (?(т) еще каким-либо ин-
индексом; мы не делаем этого с целью сокращения обозначений.
410 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
гриновская функция фотона для отрицательных значений т связана с Э при т > 0
простым соотношением
[ + I), T<0. B.7а)
Такая связь получится, очевидно, и для гриновской функции бозе-частиц. Для
ферми-частиц вместо B.7а) будем иметь:
+ -У, т<0. B.76)
Формулы B.7а) и B.76) легко выводятся, если учесть, что можно циклически ме-
менять порядок операторов под знаком шпура в B.5) и аналогичной формуле для
ферми-частиц. Соотношения B.7а) и B.76) справедливы, разумеется, и для сво-
свободных гриновских функций.
Если учесть далее, что в каждой вершине фейнмановской диаграммы сходит-
сходится четное число фермионных линий, то легко видеть, что все интегралы I ... dr
в рядах теории возмущений можно заменить на 1/2 / ...dr, после чего преоб-
и —1/Т
разование легко проводится. Соотношения B.7а) и B.76) приводят еще и к тому,
что в разложении Фурье бозонной (и фотонной) гриновской функции присут-
ствуют лишь компоненты с «частотами»
?п = 2-кпТ, а в разложении фермионной —
лишь компоненты с ?п = Bn + 1)iyT.
Производя преобразование Фурье по ко-
ординатам 4) и «времени» т во всех членах
ряда теории возмущений для гриновской
функции (или для свободной энергии), лег-
легко убедиться, что возникающая таким обра-
образом техника полностью эквивалентна диаг-
раммной технике квантовой теории поля в
импульсном представлении. Каждой линии
диаграммы соответствует гриновская функ-
Рис-4 ция свободной частицы (?°(р, ?,п), а каждой
вершине — 6-функция, выражающая закон сохранения Ер = 0, Е^п = 0. Произ-
Производится интегрирование и суммирование по всем импульсам и «частотам», отве-
отвечающим каждой линии. Формально выражение для поправки, происходящей от
какой-либо диаграммы в излагаемой теории, можно получить из выражения, ко-
которое соответствовало бы этой диаграмме в теории поля, путем замены
Тесная связь излагаемой теории с техникой квантовой теории поля позволя-
позволяет применить многие ее результаты к нашему случаю. Как и в теории поля, тем-
температурные гриновские функции удовлетворяют некоторому интегральному
уравнению типа уравнения Дайсона.
4) Это возможно, разумеется, лишь в случае тела, однородного в пространстве.
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 411
Рассмотрим, например, диаграммы различных порядков для гриновской функ-
функции фотона. Помимо диаграмм на рис. 3, сюда относятся еще диаграммы типа
рис. 4 и другие, более сложные. Всю совокупность диаграмм можно представить
способом, изображенным на рис. 5, где заштрихованной петлей обозначена сум-
сумма всех графиков, не распадающихся на части, соединенные между собой только
одной фотонной линией. Такое суммирование диаграмм возможно, очевидно, лишь
благодаря тому, что коэффициент перед диаграммой не зависит существенно от
ее порядка (в смысле, упомянутом выше по поводу ряда для свободной энергии).
Рис. 5
Таким образом, для вычисления полной гриновской функции фотона необхо-
необходимо просуммировать ряд, схематически изображенный на рис. 5. Он имеет вид
(для случая пространственно неоднородной системы)
ri, r2; in) = ?°р (т19 r2; in) + /э^ (т19 г3; ?П)Ц6 (г3, r4; in) x
(rx, r3; in)U^ (r3, r4; in)^ (r4, r5; in) x B.8)
х П^ (г5, r6; ^J)^ (r4, r2; ^)dr3 dr4 dr5 dr6 +...
Здесь Пар (rl5 r2; f,n) — так называемый поляризационный оператор системы,
равный сумме графиков, изображенных на рис. 5 заштрихованной петлей. Пере-
Переписывая соотношение B.8) следующим образом:
, r2; in) = ?)°аР (r1; r2; in) + Jdr3 dr4 S)^ (r1; r3; ^П)П^6 (r3, r4; ?n) x
(r4, r2; in) + Jdra dr6 % (r4, r5; ^)П^ (r5, r6; %п)Я% (r6, r2; ^) x
r5 dr6 dr7 dr8 S^ (r4, r5; ^jn^v (r5, r6; ^)S)°X (r6, r7; in) x
легко убедиться, что оно представляет собой интегральное уравнение относительно
?> вида
t, (r1; г3; ^П)П^6 (г3, r4; in)% (r4, r2; ^)dr3 dr4. B.9)
Графически процесс суммирования представлен на рис. 6.
Написать замкнутое уравнение для поляризационного оператора в общем
случае нельзя. Тем не менее уравнение Дайсона оказывается очень полезным в
412 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
различных конкретных задачах, поскольку часто удается найти приближенные
уравнения для поляризационного оператора, что позволяет выйти за рамки тео-
теории возмущений.
Рис.6
В интересующем нас случае длинноволновых фотонов поляризационный опе-
оператор, как мы увидим далее, может быть выражен через диэлектрическую про-
проницаемость тела.
3. ЭНЕРГИЯ КОНДЕНСИРОВАННОГО ТЕЛА,
СВЯЗАННАЯ С ДЛИННОВОЛНОВЫМИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ
Перейдем теперь к решению нашей основной задачи — вычислению добавки
к энергии конденсированного тела за счет длинноволновых флуктуации элект-
электромагнитного поля. Для этого выделим из полного гамильтониана системы часть,
представляющую собой энергию взаимодействия частиц с электромагнитным по-
полем с длинами волн, много большими межатомных расстояний (X ^> а), и будем
рассматривать ее как возмущение 5)
H = H0+HB3=H0-JAa (r) ja (r) d3r.
Взаимодействие частиц (электронов и ядер) с коротковолновым полем мы отнесем
к невозмущенному гамильтониану. Сюда войдут, таким образом, короткодействую-
короткодействующие межатомные силы, удерживающие тело в конденсированном состоянии. К не-
невозмущенному гамильтониану мы отнесем также энергию длинноволнового элект-
электромагнитного поля в пустоте.
Вычислим теперь соответствующие поправки к свободной энергии. Однако,
как легко видеть, изложенные в предыдущем разделе результаты применимы в
нашем случае не полностью. Дело в том, что для обоснования мацубаровской
техники была очень существенна уже упоминавшаяся теорема Вика, согласно
которой среднее значение произведения большого числа операторов можно
было представить как произведение различных попарных средних. Но теорема
Вика справедлива, лишь если гиббсовское усреднение происходит по состояниям
невзаимодействующих частиц. В нашем случае последнее справедливо лишь в
отношении операторов длинноволнового электромагнитного поля, усреднение же
операторов частиц происходит по их состояниям в конденсированном теле, а по-
поэтому средние значения произведений операторов не будут уже сводиться к
попарным средним.
5) Выделение длинноволновой части математически означает, что интеграл в этой формуле не-
некоторым образом обрезается на малых расстояниях. Мы, однако, не будем явно вводить это обреза-
обрезание, поскольку ответ от него не зависит.
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
413
В связи с этим мы поступим следующим образом. В ряду теории возмущений
для свободной энергии (или для функции Грина длинноволновых фотонов) опе-
операторы частиц появляются лишь в комбинациях вида
и т. д., т. е. число операторов под знаком усреднения всегда кратно четырем, при-
причем они всегда входят парами типа i|j(ri> т^'ф^, т:). Вычтем из среднего значе-
значения произведения восьми операторов величину
^
(т. е. то его значение, которое получилось бы, если бы усреднение сводилось лишь к
всевозможным четверным усреднениям указанного типа) и назовем эту разность
неприводимым четырехугольником, обозначив ее заштрихованным квадратом. Да-
Далее, из среднего значения 12 операторов вычтем величину, получающуюся при раз-
разбиении его на всевозможные комбинации из четырех и восьми операторов. Остав-
Оставшуюся величину назовем неприводимым шестиугольником (заштрихованные
шестиугольники на рис. 7 и 8) и т. д.
////
////
\
\
I
/ ^
[
1
\ J
'/
У/
У/
У/
б
Рис. 7
414
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Теперь нетрудно убедиться, что ряд теории возмущений будет описываться
диаграммами типа рис. 7 (для свободной энергии) и рис. 8 (для гриновской функ-
функции длинноволновых фотонов). Заштрихованной петлей обозначена величина,
получающаяся из среднего значения четырех операторов частиц. То, что мы ис-
использовали для нее обозначение, примененное в предыдущем разделе для поля-
поляризационного оператора, будет оправдано дальнейшими результатами.
/
/
I
\
\
\
1
/
////
Ш
\
^7?
n
J
у
/
y^ n
\ уУл
\
\
Ш
v/ZA-.
\
- —
Рис.8
Физически сразу ясно, что диаграммы, содержащие неприводимые четырех-
четырехугольники, шестиугольники и так далее, пренебрежимо малы, поскольку они учи-
учитывают различные нелинейные процессы типа рассеяния света на свете. Это ут-
утверждение можно также доказать следующим образом. Поскольку мы включи-
включили в Нвз лишь взаимодействие с длинноволновыми фотонами, то следует считать,
что все интегралы по импульсам виртуальных фотонов обрезаются на некото-
некотором /с0, много меньшем обратных межатомных расстояний 1/а. Очевидно поэто-
поэтому, что каждая длинноволновая фотонная линия, по которой производится ин-
интегрирование, вносит малость порядка коа. Единственные диаграммы, в которых
интегрирование по импульсам фотонов вообще не производится, — диаграммы
рис. 1а и 8а. (Следует учесть, что гриновская функция фотона в нулевом прибли-
приближении зависит только от разности координат.)
Таким образом, в приближении коа <С 1 поправку к свободной энергии дают
лишь диаграммы вида рис. 1а. Соответствующее выражение для свободной энер-
энергии есть
F = fo ~\
1; г2;
а (r2, ri; ijdr, dr2
dr4
r2m_!, r2m;
1; r2;
r, ...dr
(r2, r3;
2m
C.1)
где Пар (r1; r2; ?,n) — величина, обозначенная на диаграмме заштрихованной пет-
петлей. Следует обратить внимание на коэффициенты перед интегралами A/т при
пг-м члене), представляющими вклад различных диаграмм.
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 415
Учитывая в том же приближении для гриновской функции фотона лишь вклад
диаграмм рис. 8а тем же способом, которым в предыдущем разделе было выве-
выведено уравнение Дайсона, получим для нее уравнение, совпадающее формально
с B.9); при этом, однако, в нашем приближении введенный в предыдущем разде-
разделе поляризационный оператор П не включает в себя вклада виртуальных фотон-
фотонных линий и является заданной функцией, зависящей только от свойств тела.
Большая величина интересующих нас длин электромагнитных волн по срав-
сравнению с межатомными расстояниями позволяет выразить поляризационный опе-
оператор (а с ним и гриновскую функцию фотона и свободную энергию системы)
только через макроскопические характеристики тела. Единственной величиной,
характеризующей взаимодействие конденсированного тела с длинноволновым
излучением, является его диэлектрическая проницаемость 6).
Диэлектрическая проницаемость е в случае поглощающих сред является ин-
интегральным оператором, действующим на функции, зависящие от обычного вре-
времени t В связи с этим непосредственное перенесение понятия диэлектрической
постоянной в теорию, оперирующую с мнимым «временем» т, затруднительно. Мы
воспользуемся поэтому полученной Абрикосовым, Горьковым и Дзялошинским [8]
(см. также Ландау [10]) связью между температурными гриновскими функциями
и гриновскими функциями теории поля.
Оказывается, что температурная гриновская функция фотона Daf3 (г1? г2; ?п)
связана простым соотношением с так называемой запаздывающей гриновской
функцией электромагнитного поля Э^з (ri> r2^) > определенной как
t2,
0, t,<t
2
(здесь Aa(r, t) — гейзенберговские операторы). Вычисления, аналогичные прове-
проведенным в работе Абрикосова и др. [8] для случая однородного тела, приводят к за-
заключению, что /Dai5(rl, r2; ?п) выражается через компоненту Фурье функции DR .
Именно, если определить
то при 6,п > О справедливо соотношение
Значение ?>а[3 при ?п < 0 можно получить из формулы для комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной величины Э^з, следующей непосредственно из определения температур-
температурной гриновской функции B.5) и эрмитовости операторов электромагнитного поля:
Напишем теперь уравнение для запаздывающей функции ?>к. При этом суще-
существенным является вопрос о калибровке вектор-потенциалов. Тензор 2)^ (или ?>af3)
6) Здесь и везде ниже мы полностью пренебрегаем магнитными свойствами вещества, поскольку
в фактически существенных для нас областях частот они не играют никакой роли.
416 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
имеет всего десять независимых компонент. Однако в нашем распоряжении оста-
остается значительный произвол, связанный с калибровочной инвариантностью. Дей-
Действительно, физический смысл имеют не сами величины 2)^, составленные из ком-
компонент вектор-потенциала, а лишь шесть соответствующих величин, составлен-
составленных из компонент напряженности электрического поля. Таким образом, на десять
величин наложено только шесть физических условий, т. е. в нашем распоряжении
имеется четыре произвольных функции. Этим произволом можно воспользовать-
воспользоваться так, чтобы обратить в нуль компоненты D^o и 2)^ .
Такой выбор соответствует, очевидно, калибровке с равным нулю скалярным
потенциалом. В этом случае гейзенберговские операторы Е и Н связаны с А фор-
формулами
Е = ——, Н = rot A.
dt
Чтобы выразить 2)^. через е(оо), поступим следующим образом. Представим
себе, что наша система, состоящая из тела и равновесного электромагнитного
излучения, помещена во внешнее поле, создаваемое сторонними токами jCT(r, t).
Если ограничиться случаем низких частот, то мы можем написать уравнения для
средних значений, т. е. усредненных по Гиббсу напряженностей электрического
и магнитного полей (Е(г, ?)), (Н(г, ?)). Эти уравнения, естественно, совпадают с
обычными уравнениями Максвелла в среде с диэлектрической постоянной е и (в
фурье-компонентах по времени) имеют вид
rot(H(r, ио)) = 4ttjct (г, и)-ге(и)и(Е(г, ио)),
rot(E(r, ио)) = гио(Н(г, ио)).
Средний вектор-потенциал (А) при принятой нами калибровке удовлетворяет
уравнению
[е(г, и)и\к -roturotlk](Ak(r, и)) = -4тг?гст (г, и), C.5)
решение которого можно записать в виде
{AT (г, ш)) = -fDik (г, г'; ы)Ят (г', ш) dV, C.6)
где Dik — так называемая гриновская функция уравнения C.5). Dik , как извест-
известно, удовлетворяет уравнению
[е(г, и)и\ -rot,mrotmZ]Dz/c(r, r7; u) = 4iv8ifc8(r -г7). C.7)
Символом rott7c здесь обозначен оператор eikl{d/dx^), где eikl — абсолютно ан-
антисимметричный единичный тензор.
С другой стороны, (Аст) в присутствии сторонних токов можно вычислить, вос-
воспользовавшись аппаратом квантовой теории поля. Оператор вектор-потенциала
ACT(r, t) в этом случае связан с оператором A(r, t) при отсутствии сторонних то-
токов соотношением
А" (г, t) = S-1(t)A(r, t)SCT(t),
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 417
где S(t) — так называемая ^-матрица теории поля, имеющая в нашем случае вид
t
i f dt' fdrfT(r, t')A(r, t'V.
Здесь Т — оператор упорядочения по обычному времени.
С точностью до членов первого порядка по jCT выражение для (Аст) примет те-
теперь вид
(ACT(r, t)) = -ij dt'fdr'ff (г', t>) ({Ak (г', t')A,. (r, t) -A,- (r, t)Ak (г', t')}). C.8)
— 00
Правую часть C.8) можно выразить через введенную нами запаздывающую
функцию Dfk. Согласно определению C.2) имеем
00
(Аст(г, t)) = -J dt'jdh'Dfk (r, r'; t-t')fC (r', t')
— 00
Переходя в этом соотношении к компонентам Фурье по времени, получим
окончательно:
(Af(r, Ш)) = -Jd3r'Dffc (г, г'; ш) jf (r'; ы) C.9)
Сравнивая C.9) и C.6), мы убеждаемся, что ввиду произвольности jCT функция Dfk
совпадает с введенной нами гриновской функцией уравнения C.5).
Таким образом, Dfk удовлетворяет уравнению C.7). Заменяя в C.7) и на i^n,
находим, что функция T)ik (г, г'; ^п) удовлетворяет при ?,п > 0 уравнениям
{е(г, г^п)^6.г +rotimrotinJ}S)№ (г, г'; ^п) = -4тт6(г -r')8ifc. C.10)
Входящая сюда диэлектрическая проницаемость при мнимом значении частоты
связана простым соотношением с мнимой частью диэлектрической постоянной при
вещественных частотах г"(и>) (см., например, книгу Ландау и Лифшица [11], § 58):
Поскольку всегда г" > 0, то из этой формулы видно, что е(г6,п) является веще-
вещественной положительной монотонной убывающей функцией ?п.
Вследствие вещественности e(i ^n) вещественной является и сама гриновская функ-
функция ?>г7с (при ?,п > 0). Ее значения при ?,п < 0 определяются соотношением (см. C.4))
^ik(r1,T2;in)=^M(rz,r1;-in). C.12)
Используя уравнение Дайсона B.9), нетрудно показать, что такому же соот-
соотношению удовлетворяет и поляризационный оператор
П^(г1? r2; ?n) = nw(r2, rx; ~in). C.13)
418 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Теперь мы уже можем выразить поляризационный оператор системы через
e(i^n). Для этого подействуем на уравнение B.9) (при нашем выборе калибровки
компоненты ?>af3 с a = 0 или C = 0 равны нулю) слева оператором
Учтя, что ?> удовлетворяет уравнению C.10), аЭ° — тому же уравнению с
e(i^n) = 1, получим:
Гпй (г„ г'; US;fc (г', r2; MdV = ?(ri> *U-1^ ( ^
откуда сразу имеем (для ?п > 0):
Пг/ЛГ1> Г2' ^>п) = —^—^ Ц^(Г1 ~Г2)-
Определяя поляризационный оператор при ^п < 0 из соотношения C.13), нахо-
находим, наконец, что при всех ?п
nz/c(ri>r2;U = ^ 4nS(ri~r2)- C-14)
Тот факт, что поляризационный оператор оказался пропорциональным 8(г: — г2),
связан с пренебрежением в макроскопической теории эффектами пространствен-
пространственной корреляции. Эти эффекты существенны в металлах (в особенности в сверх-
сверхпроводящих) при частотах, когда имеет место аномальный скин-эффект. Нас в
дальнейшем будут, однако, интересовать существенно большие частоты (инф-
(инфракрасные и выше), в области которых никакой пространственной дисперсии нет.
Имея выражения для поляризационного оператора через диэлектрическую
проницаемость тела, мы могли бы в принципе вычислить соответствующую по-
поправку к свободной энергии по формуле C.1). (Гриновскую функцию свободного
фотона можно найти непосредственно из определения B.46) или решив уравне-
уравнение C.9) с е = 1.) Но, как мы уже отмечали, ряд C.1) непосредственно не сумми-
суммируется. Вместо этого мы определим дополнительное давление (точнее, дополни-
дополнительный тензор напряжений), возникающее за счет взаимодействия с длинно-
длинноволновым флуктуационным полем.
Для этого представим себе, что тело подвергнуто некоторой малой деформации
с вектором смещения u(r). При этом изменение свободной энергии bF равно, как
известно, J f u dV , где f — действующая при деформации на единицу объема тела
сила. Соответствующее изменение невозмущенной свободной энергии bFQ есть
-JugradpodV,
где ро(р, Т) — давление без учета поправок при заданных плотности р и темпера-
температуре Т. При указанном смещении в ряде для поправок меняться будет только по-
поляризационный оператор, поскольку только он зависит от свойств среды. Именно:
bUik (Tl, r2; in) = ^ЦЦг, -
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 419
Варьируя ряд C.1), получим:
bF = bFo-L Ё e
п=-оо
°ik (r, ri; in)Ukl (r1; r2; U)?>° (г2, г; U)d3rx d3r2 +
°fc (г, г,; ^П)ПЫ (г„ г2; ?J2>L (г2, r3; in)Hmp (r3, r4; ?п) *
х &pi (г4, г; е J d3^ d3r2 d3r3 d3r4 +...}.
Ряд в фигурных скобках есть не что иное, как ряд для гриновской функции фо-
фотона, соответствующий диаграммам рис. 8а. Поэтому
n=-oo
Учитывая соотношение C.12), получим окончательно:
bF = bF0-j-J2 ilJSit(r,v;Ube(v,iUd3r. C.15)
n=0
Штрих у знака суммы означает, что член с п = 0 берется с половинным весом.
Напомним, что ?,п = 2-кпТ.
Вариация г связана со смещением и так:
бе = -и grade - р — divu. C.16)
Подставляя это в C.15) и производя интегрирование по частям, получим для дей-
действующей на единицу объема тела силы формулу
00 . 00 . л ~ "к
f = -gradpo-f ? №(r,r;Ugrad?+f ? ^ grad 2)гг(г, г; ^Jpf . C.17)
471 n=0 47Yn=0 L °^Р^
Эта формула позволяет без труда вычислить поправку к химическому потен-
потенциалу тела. Для этого заметим, что при механическом равновесии f = 0. Прирав-
Приравняв выражение C.17) нулю и учитывая, что при заданной температуре имеют
место соотношения
grade(p, Т) = |jgrade, dp0 (р, Т) = pdC0 (p, T) C.18)
(где Со(Р> ^) — невозмущенный химический потенциал тела, отнесенный к еди-
единице массы), получим после простого преобразования:
pgradC, = O,
)-|-Х:/^и(г,г;^)|. C.19)
420 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Как известно, условием равновесия всякого неоднородного тела является посто-
постоянство вдоль тела химического потенциала; ясно поэтому, что выражение C.19)
и определяет этот потенциал (отнесенный к единице массы).
Перейдем теперь к вычислению давления. Для атого нужно привести выра-
выражение для действующей на единицу тела силы C.17) к виду
/4=-^, C.20)
где aik и есть нужный нам тензор напряжений. Связанные с этим вычисления поч-
почти буквально совпадают с вычислениями, производимыми в электродинамике для
нахождения максвелловского тензора напряжений (см., например, [11], § 15).
Мы, однако, кратко на них остановимся.
Предварительно введем, помимо гриновской функции фотона 1)ik (г, г ; ^п),
две другие функции:
®l (г, r'; in) = rottl rot'km Sim (r, r'; ?n), \
составленные из операторов электрического и магнитного полей по тем же пра-
правилам, по которым 1)ik составляется из операторов вектор-потенциала.
Перепишем выражение для силы C.17) в новых обозначениях 7):
?s§:{
71 = 0 г
^Е'^г'^п)^Г®Екк(г,г-,и- C-22)
Нам осталось, следовательно, преобразовать только последний член в C.22). За-
Запишем его (отвлекаясь от суммирования и множителя T/4iy) в виде
имея в виду положить г = rf в конце вычислений. Проделывая далее очевидные
преобразования, получим:
(г) —Sfcfc(r,r) + e(r)^-Sfcfc(r,r)-2 — — e(r)Sw(r, r )-
C'23)
7) В целях краткости мы будем ниже в промежуточных формулах опускать аргументы ?п и г ?,п у
функций 3)ifc и е.
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
421
Из уравнения для гриновской функции C.10) можно получить тождества
дх.
ЕГ'
дх'
дх[
д ,
д i д
тс'к кг^' дх[ кк
Подставляя их в C.21) и полагая г = г', найдем:
?(r)?-SL(r)r) = 2?-e(r)Sfk(r,r) + 2?-^(r)r)-?-^(r,r).
Подставив в C.22), получаем окончательно, что сила может быть представлена в
виде C.20) с тензором напряжений
n=0
(г,'
г, г;
)* (г.
C-24)
Эта формула, однако, не имеет еще непосредственного физического смысла, так
как входящие в нее величины Т)Ек (г, г') и 2)^. (г, гг) обращаются в бесконечность
при г = г1'. Это связано с тем, что в сгг7с дают, если не вводить соответствующего
обрезания, бесконечный вклад флуктуации с малыми длинами волн, не имею-
имеющие отношения к неоднородности тела, в том смысле, что их вклад одинаков и в
однородном и в неоднородном телах, имеющих в рассматриваемой точке одно и
то же значение е. Интересующий нас вклад длинноволновых флуктуации в тен-
тензор напряжений неоднородной среды, не зависящий в действительности от ха-
характера обрезания, получается путем соответствующего вычитания в форму-
формуле C.24). Именно, под гриновской функцией S)ffe (г, г) (и аналогично для Э^.) в
этой формуле надо понимать предел разности
где S)ffe — гриновская функция однородной неограниченной среды, диэлек-
диэлектрическая проницаемость которой совпадает с таковой для неоднородного тела в
той точке, в которой вычисляется тензор напряжений. Во избежание излишней
громоздкости формул мы будем в дальнейшем писать формулу C.24) в прежнем
виде, подразумевая, что указанное вычитание уже произведено. При этом ро(р, Т)
есть давление в неограниченной однородной среде при заданных значениях р и Т.
Такие же замечания относятся и к формуле C.19) для химического потенциа-
потенциала, которая с учетом C.21) может быть записана в виде
C.25)
422 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Заметим, что в категорию неоднородных сред мы включаем также и системы,
состоящие из нескольких тел, каждое из которых однородно. В таком случае при
решении уравнений C.10) компоненты Эг7с должны удовлетворять на границах
между телами определенным условиям. Напомним, что в уравнениях C.10) не-
независимыми переменными являются координаты г, а координаты г1 играют роль
параметров. Поэтому речь идет о граничных условиях по переменным г. Эти ус-
условия соответствуют непрерывности тангенциальных составляющих электри-
электрического и магнитного полей. Поскольку точке г отвечает (в смысле определений
C.2)) один из индексов г тензора ?>г7с, то должны быть непрерывны тангенциаль-
тангенциальные по этому индексу компоненты тензоров 2)?fc и 2)^..
Формула C.24) по виду в точности соответствует обычной формуле для макс-
велловских напряжений в электромагнитном поле, причем квадратичные комби-
комбинации компонент электрического и магнитного полей заменены соответствующи-
соответствующими функциями 1)fk и 2)^.. Этой аналогии, однако, не следует придавать слишком
глубокое значение. Дело в том, что имеются серьезные основания полагать, что
понятие о тензоре напряжений для переменного электромагнитного поля как та-
такового в поглощающей среде вообще не имеет смысла. В формуле же C.24) мы
имеем дело не с произвольным электромагнитным полем, а с термодинамически
равновесным собственным флуктуационным полем в среде.
Формулы C.24) и C.25), полученные Дзялошинским и Питаевским [5], реша-
решают, в принципе, задачу о вычислении ван-дер-ваальсовой части термодинами-
термодинамических величин тела, сводя ее в каждом конкретном случае к решению уравне-
уравнений C.10) для гриновской функции T)ik.
4. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
4.1. Вывод общей формулы
Применим развитую выше общую теорию к вычислению ван-дер-ваальсовых
сил, действующих между твердыми телами, поверхности которых сближены до
очень малых расстояний. При этом разделяющая тела щель может еще быть за-
заполнена какой-либо жидкостью. Ниже мы будем отмечать индексами 1 и 2 вели-
величины, относящиеся к двум твердым телам, а индексом 3 — величины, относя-
относящиеся к среде, заполняющей щель.
Хотя мы будем предполагать щель плоскопараллельной, следует иметь в виду,
что в действительности для корректной постановки задачи о силе взаимодействия
между телами надо рассматривать по крайней мере одно из них как обладающее
конечными размерами и окруженное со всех сторон средой 3 и определять полную
действующую на него силу; ввиду очень быстрого убывания молекулярных сил с
расстоянием эта результирующая сила фактически может быть целиком отнесе-
отнесена к силам, действующим через разделяющую оба тела узкую щель.
Полная сила, действующая на тело 2, может быть вычислена как полный поток
импульса, втекающего в тело из окружающей его среды 3, т. е. в виде интеграла
(у oikdfk по охватывающей его поверхности. При этом надо учесть, что среда 3 на-
находится в термодинамическом равновесии, одно из условий которого состоит в по-
постоянстве ее химического потенциала: С, = const, где С, дается формулой C.25). По-
Поскольку поправки к плотности среды, связанные с длинноволновыми флуктуаци-
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
423
ями поля, малы, то можно считать плотность р постоянной вдоль среды 3, а изме-
изменение химического потенциала С,0(р, Т) совпадает (в силу C.18)) с изменением ве-
величины р0 (р, Т)/р . Поэтому условие С, = const можно переписать в виде
Ро<
dp
D.1)
В силу этого условия часть полного тензора напряжений C.24) представляет со-
собой постоянное вдоль жидкости равномерное давление и не дает никакого вкла-
вклада в действующую на тело полную силу. Отбрасывая эту постоянную часть, т. е.
вычитая из oik умноженную на 8г7с левую часть уравнения D.1), приходим к выво-
выводу, что для определения искомой силы фактически достаточно написать тензор
напряжений в среде 3 в виде
п=0
& (г, г) - \ 6ifc?* (г, г)
+ Dffe (г, г) - \ ЬЛЪ1 (г, r)J.
D.2)
Направим ось х перпендикулярно к плоскости щели, ширину которой обозна-
обозначим посредством I (так что поверхностями тел 1 и 2 являются плоскости х = 0 и
х = I). Тогда в силу всего сказанного выше сила F действующая на единицу пло-
площади поверхности тела 2, равна
' n=0
- 2& (I, I; in)
(U; U - 2& (I i; L)} ¦
D.3)
Положительная сила соответствует притяжению тел, отрицательная — оттал-
отталкиванию.
Гриновская функция T)ik (r, rr) в силу однородности задачи в направлениях у
и z зависит только от разностей у — у1 и z — z1. Произведем преобразование Фу-
Фурье по этим переменным:
3>
ifc
, *'; q; (¦„) =
и направим ось у вдоль вектора q. Уравнения C.9) для функции Грина примут вид:
d2
w —
w — q —
dx2
dx2
dx'
xy (x, x1) = -4*8 (*-*')>
LlJb
W
2
W
XX [?
2
-я
c, x )
d2
"dx'2
d
dx xy
®xy fa X)
( M
[x, x ) =
. d
dx
424 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где w = v?^n + Я2 > а х' играет роль параметра (компоненты гриновской функции
ЭЖ2, 1)yz равны нулю, поскольку уравнения для них оказываются однородными).
Решение этой системы сводится к решению всего двух уравнений:
w2 -
Эгг {х, х') = - 4тт8 (х - х'),
dx
9 d2 |^ / /\
после чего ?>ху и ?)хх определяются как
Чп/ Vх' х / ~~ 2
Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенциальных компо-
компонент напряженностей электрического и магнитного полей, сводятся к требова-
требованию непрерывности величин 1)ук , Э^., 2)^,, Э^., или, что то же, к непрерывно-
непрерывности величин
Используя первое из равенств D.5), получим, что на границе раздела должны
быть непрерывны величины
Поскольку мы интересуемся лишь гриновской функцией в области щели 3, то
мы можем сразу ограничиться случаем 0 < х1 < I. В области 0 < х < I функции
Т)уу и T)zz определяются уравнениями D.4) с е = е3, w = w3 = v?3^n + g2 • В облас-
областях 1 (х < 0) и 2 (х > I) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых частей
(поскольку здесь всегда х ^± х1) соответственно ev w1 и е2, w2 в качестве е, w.
Упомянутое (в конце раздела 3) вычитание сводится к тому, что из всех функ-
функций Эг7с в области щели следует вычесть их значения при гг = е2 — ?3' wi = wi = юз-
Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить член с 6-функцией во вто-
втором из соотношений D.5), так что функции ?>ху, ?>хх в области щели определяют-
определяются формулами
ху w23 dx Уу' хх wl dx **' [ }
Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще одно замечание.
Общее решение уравнений D.4) имеет вид /+ (х — xf) +/~ (x +xf). Используя
уравнения D.4), D.7) и определение функций 1)fk и 1)^к , можно показать, что ча-
части гриновских функций, зависящие от суммы х + х' не вносят никакого вклада
в выражение D.3) для силы F. Мы не останавливаемся здесь на этом, так как этот
результат заранее очевиден из физических соображений: положив х = х1 в ре-
решении вида f(x + х1) мы бы получили поток импульса в щели, который зависел
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
425
бы от координат в противоречии с законом его сохранения. В дальнейшем мы
будем поэтому, как правило, приводить только выражение для частей гринов-
ских функций %)fk , зависящих только от х — х1'.
Перейдем к нахождению функции ?>22. Она удовлетворяет уравнениям:
х<0,
х > I.
Отсюда находим:
2 d2
Щ dx2
2 d2
Wl "dx2
2 d2
w -—
dx2
J) = АеТО1Ж
Лх,
Л ж,
х')
х')
х')
= 0,
= 0,
x<0,
e-^*\x-x
0 < x > L
Определяя постоянные А, В, Cl9 C2 из граничных условий непрерывности 1)zz и
dX>22/dx, находим для T>^z:
, 0< x< I,
где
д = 1 _ e2^3
D.8)
ох -w3)(w2 -w3) '
Вычитая значение T>^z при ю1 = ю2 = ю3 (при этом 1/А обращается в нуль), по-
получим окончательно:
х-х'). D.9)
D.10)
Аналогично, решая уравнение для 1)уу получим (после вычитания):
д = 1 _
и, используя соотношения D.7):
-?3^2
D.11)
D.12)
426
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Вычисляя теперь величины S)ffc (х, x\ q; ^n) и 2)^. (х, х'; q; ^n) и подставляя
их в формулу D.3), получим:
' п=0
Переходя к новой переменной интегрирования р согласно g = ^n-y?3 (p2 ~ l) и воз-
возвращаясь к обычной системе единиц, мы придем к окончательному выражению
для силы F, действующей на единицу площади каждого из двух тел (среды 1 и
2), разделенных щелью шириною I, заполненной средой 3 (рис. 9):
-1
Рис.9
п=0
{sl+p){s2
s, -p)(s2- р)
ехр
s, -pe1/e3)(s2 -pe2/e3)
где
-1
D.13)
sx = ^{eje^-l + p2, s2 = j{e2/e3)-l + p2,
in =2ъпкТ/Н;
ev e2, e3 — функции мнимой частоты оо = г^п (е = ? (г?п)), к —
постоянная Больцмана. Суммирование производится по це-
целым числам п, а штрих у знака суммы означает, что член с
п = 0 берется с половинным весом. Положительные значения
F соответствуют притяжению, а отрицательные — отталки-
отталкиванию тел.
Эта формула (для е3 — 1? т- е- Для тел> разделенных пус-
пустой щелью) была впервые получена Лифшицем [4] другим
способом, без использования методов квантовой теории поля.
Для ее обобщения на случай щели, заполненной произволь-
произвольной средой (Дзялошинский, Лифшиц, Питаевский [6]), при-
применение этих методов представляется, однако, необходимым.
4.2. Обсуждение общей формулы и предельных случаев 8)
В общую формулу D.13) входят функции е(ио) — диэлектрические проница-
проницаемости как функции частоты поля и — для обоих твердых тел (ех и е2) и для
жидкой среды, заполняющей пространство между ними (е3). Напомним, что е(и)
является комплексной величиной (е (оо) = е (оо) + ге (оо)), причем ее мнимая часть
всегда положительна и определяет диссипацию энергии электромагнитной вол-
волны, распространяющейся в данной среде. Функция е(и) связана с коэффициен-
коэффициентом преломления п и коэффициентом поглощения к среды известным соотно-
соотношением Ve = п + ж . Как известно, путем формального рассмотрения е(и) как
функции комплексной переменной и можно установить определенные интег-
8) Большая часть результатов, изложенных в разделах 4.2, 4.3 и 4.4 принадлежит Е.М. Лифшицу [4].
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 427
ральные соотношения между ?r(uj) и e"{u>) — так называемые формулы Кра-
мерса—Кронига.
Частным следствием этих формул является соотношение C.11), которое оп-
определяет значения функции ? от чисто мнимого аргумента и = г 6, по значениям
функции e/f(iJ) от вещественных аргументов и; е({^) есть вещественная величи-
величина, монотонно убывающая от значения е0 (электростатическое значение диэлек-
диэлектрической проницаемости) при ? = 0 до единицы при ? —> оо. Именно эти функ-
функции е({^) и входят в формулу D.13). Мы можем поэтому сказать, что единствен-
единственными макроскопическими характеристиками тел, определяющими силы
молекулярного взаимодействия между ними, являются, в конечном итоге, мни-
мнимые части Eff(u>) их диэлектрических проницаемостей 9).
Прежде чем приступить к обсуждению полученной формулы, необходимо
сделать следующее общее замечание. Если два тела разделены пустой щелью,
то вычисленные нами электромагнитные силы являются единственными сила-
силами взаимодействия между телами. Если же щель заполнена какой-либо сре-
средой, то в этой среде возможны также флуктуации, связанные с другими коле-
колебаниями, кроме электромагнитных (например, звуковыми), которые тоже мо-
могут дать вклад в силу взаимодействия. Однако, как будет показано в разделе 5.2
на примере сил в пленках, вклад этих неэлектромагнитных сил в большинстве
случаев мал.
Если оба тела одинаковы (е1 = е2), то подынтегральное выражение в каждом
из членов суммы в D.13) всегда положительно 10) и при каждых заданных ри^п
монотонно убывает с ростом I. Отсюда следует, что F > 0 и dF/dl < 0, т. е. одина-
одинаковые тела притягиваются друг к другу при любой прослойке между ними, при-
причем сила притяжения монотонно убывает с ростом расстояния п). Это утверж-
утверждение справедливо и для двух разных тел, разделенных пустой щелью (е3 = 1)-
Если же тела различны и пространство между ними заполнено жидкостью, то
сила взаимодействия между ними может быть как притяжением, так и отталки-
отталкиванием (см. ниже).
Общая формула D.13) очень сложна. Она, однако, может быть существенно
упрощена в соответствии с тем, что влияние температуры на силу взаимодей-
взаимодействия тел оказывается обычно совершенно несущественным 12).
Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтегральных выражени-
выражениях в D.13) главную роль в сумме играют лишь те члены, для которых ?п ~ с/1 или
п ~ ch/lkT. В случае lkT/ch <С 1 существенными будут, таким образом, большие
значения п, и в D.13) можно перейти от суммирования к интегрированию по
9) Формула D.13) выведена в предположении изотропии всех сред. Поэтому ее применимость к
кристаллам связана с возможностью пренебрежения анизотропией диэлектрической проницаемо-
проницаемости. Хотя это в большинстве случаев вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел
приводит, вообще говоря, еще и к специфическому явлению — появлению момента сил, стремяще-
стремящегося повернуть тела друг относительно друга.
10) В этом легко убедиться, заметив, что для s — л/? — 1 + Р2 (где р > 1) имеют место неравенства
ер > s > р при е>1и ер < s < р при е < 1.
п) Такое утверждение высказывалось уже ранее Гамакером [12] на основании предположения
об аддитивности (в действительности не имеющей места) молекулярных сил.
12) Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от температурной зависимости, связанной
просто с зависимостью самой диэлектрической проницаемости от температуры.
428 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
dn = (h/2i{kT)d^ . При этом температура исчезает из формулы, и мы получаем
следующий результат:
>1+рб1/бз)(82+ре2/б3)
< „ „г- 1г. \( „ ^~ /г- \ ^^Р
-1
Согласно сказанному выше, эта формула применима для расстояний I <С ch/kT —
уже при комнатных температурах это дает расстояния примерно до 10~4 см.
Формула D.14) все еще сложна. Она допускает дальнейшее существенное уп-
упрощение в двух важных предельных случаях.
Остановимся сначала на предельном случае «малых» расстояний, под кото-
которыми мы понимаем расстояния, малые по сравнению с длинами волн Хо, харак-
характерными для спектров поглощения данных тел. Температуры, о которых может
идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с иг-
играющим здесь роль fajj (например, в видимой области спектра), поэтому нера-
неравенство kTl/hc <С 1 заведомо выполнено.
Благодаря наличию экспоненциального множителя ехр^р^^/ёз /с) в знаме-
знаменателях подынтегрального выражения основную роль при интегрировании по dp
играют такие значения р, что p^l/с ~ 1. При этом р ^> 1, и поэтому при определе-
определении главных членов можно положить s1 « s2 « р. В этом приближении первое
слагаемое в фигурных скобках в D.14) обратится в нуль. Второй же член после
введения переменной интегрирования х=2?р?Л/?з/с даст
-1
dxdi D.15)
(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же приближении нулем).
Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной кубу расстояния,
что, впрочем, и следовало ожидать в соответствии с обычным законом ван-дер-
ваальсовых сил между двумя атомами. Функции e(i^) — 1 монотонно убывают с
увеличением ?,, стремясь к нулю. Поэтому значения ?,, начиная с некоторого ? ~ ?0,
перестают вносить существенный вклад в интеграл; условие малости I означает,
что должно быть I <С сД0.
Для оценки точности полученного предельного закона полезно иметь следую-
следующий член разложения функции F(l). Вычисление при помощи общей форму-
формулы D.14) дает (для одинаковых тел, разделенных вакуумом) выражение
Vr -d^, D.16)
~" ~ " о е^ ~
которое должно быть добавлено к D.15). Однако нельзя сделать конкретную
оценку области применимости предельного закона без знания конкретной функ-
функции e(iQ.
С практически вполне достаточной точностью можно представить форму-
формулу D.15) в еще более простом виде, пренебрегая в квадратных скобках единицей
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
429
по сравнению с членом ех. Точность такого упрощения связана с тем, что интег-
интеграл вида
xndx
D.17)
при изменении а от оо до 1 меняется незначительно: от 1 до 1,2 при п = 2, до 1,08
при п = 3, до 1,04 при п = 4 и т. д. Тогда интегрирование по dx выполняется эле-
элементарно и вместо D,15) получим:
F =
/гоо
00 г
D.18)
Величина | оо | играет роль некоторой характерной для спектров поглощения всех
трех сред частоты.
Перейдем к обратному предельному случаю «больших» расстояний: I ^> Хо.
При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь велики, чтобы
нарушилось неравенство 1кТ/Нс <С 1.
В общей формуле D.14) вводим новую переменную интегрирования х =
но в качестве второй переменной оставляем не ? (как выше), а р:
F=
00 00 з
-1
dpdx,
? = e(ixc/2pl),
s =
Благодаря наличию expfx^/E^j в знаменателях, в интеграле по dx играют роль
значения х ~ 1/л/?з — ^ > а поскольку р > 1, то аргумент функций 8 при больших I
близок к нулю во всей существенной области значений переменных. В соответ-
соответствии с этим можно заменить е1? е2, е3 просто их значениями при ? = 0, т. е. элект-
электростатическими диэлектрическими постоянными. Заменив после этого
х —> х/д/бзо > получим окончательно следующий результат:
F=-
/гс
32ti2Z4
00 00 о
¦ль
+P)(S20
-1
(s10
S10 =
dpdx,
D.19)
S20 =
где e10, ?20, ?30 — электростатические значения диэлектрических проницаемостей.
430 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В связи с упомянутым выше свойством интегралов вида D.17) формулу D.19)
можно представить с практически большой точностью в более простом виде
!
lfiir2/4^/p J I (sm + P)(S9n + Р) (sm + P?m/^n)(S9n + Р^п/^яп) I
10TY l Л/ЬЗО i Lv 10 ' ^'V 20 f) V 10 ^ 10/ 30/V 20 f 20/ 30 /)
c30 1
Здесь остается всего одна квадратура, которая может быть, в принципе, сведена
к элементарным функциям; результат, однако, настолько громоздок, что для кон-
конкретного вычисления представляется более целесообразным прибегать к числен-
численному интегрированию.
Выше уже было упомянуто, что если оба тела различны, а пространство меж-
между ними заполнено жидкостью, то сила взаимодействия может быть как притя-
притяжением, так и отталкиванием. Так, из D.18) видно, что если в существенной об-
области частот разности е10 — е30 и е20 — е30 имеют разные знаки, то будет F < 0, т. е.
на «малых» расстояниях тела отталкиваются. На «больших» же расстояниях ха-
характер силы определяется относительной величиной электростатических зна-
значений диэлектрической постоянной; при одинаковых знаках разностей е10 — е30 и
е20 — е30 имеем F > 0, а при разных F < 0. Более того, поскольку относительная
величина е10, е20, е30 не связана, вообще говоря, с поведением функций e^iQ, e2(iQ,
?3(гЧ) в существенной для данных тел области частот, в принципе, возможны слу-
случаи, когда F меняет знак при некотором значении I.
Вернемся к формуле D.19) и рассмотрим некоторые ее частные случаи. В осо-
особенности простой результат получается, когда оба тела — металлы. У металлов,
как известно, функция е(г ?,) —> оо при ? —> 0; поэтому для них надо считать е0 = оо.
Положив е10 = е20 = оо, получим:
F = —*Ц= Г 14?^L = J^^. D.21)
Эта сила вообще не зависит от рода металлов (свойство, не имеющее места на
малых расстояниях, где величина взаимодействия зависит от поведения функ-
функции e(iQ при всех значениях ?,, а не только при ? = 0). При е3о = 1 формула D.21)
совпадает с формулой, полученной Казимиром [20] для этого специального слу-
случая путем рассмотрения собственных колебаний поля в щели между двумя стен-
стенками, идеально отражающими при всех частотах.
Если оба тела одинаковы (е10 = е20), формулу D.19) можно представить в виде
240
-10
Фдд
^30
J1" I, D.22)
где фдд(х) — функция, численные значения которой даны на рис. 10 (кривая ДД)
в интервале значений аргумента от 1 до оо; в дополнение укажем, что Фдд@) = 0,52.
При х —> оо фдд стремится к единице по закону
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
431
при х —> 1 она стремится к конечному пределу 0,35 (соответствующему предель-
предельному закону D.35); см. ниже).
На том же рисунке изображена кривая ДМ аналогичной функции, описываю-
описывающей силу притяжения между диэлектриком и металлом (е20 = оо) по формуле
240
?,„ + ?,
"Фдд
D.23)
При е30 ~^ °° выражение D.19) стремится к нулю. Это значит, что при запол-
заполнении щели между телами жидким металлом сила взаимодействия убывает на
«больших» расстояниях с более вы-
высокой степенью 1/1. Этот своеобраз- 1Д).
ный случай представляет некото-
некоторый принципиальный интерес, хотя
он вряд ли может иметь реальный
смысл. Для его рассмотрения надо
вернуться к исходной формуле
D.14) и учесть в ней конкретный
закон, по которому с уменьшением
частоты возрастает диэлектричес-
диэлектрическая проницаемость металла.
Ход изменения е(и) металла в инф-
инфракрасной области спектра доста-
достаточно хорошо передается формулой
е N
muf
D.24)
0,2-
1/во
0
I
0,2
0,4
0,6
0,8
I
1,0
Рис. 10
где N — плотность числа свободных
электронов. При подстановке s(ity =
= 4iYJVe2/m?;2 в формулу D.14) экспоненциальные множители в знаменателях по-
подынтегрального выражения приобретают вид
ехр
т. е. из них выпадает ?, а поскольку р пробегает значения р > 1, мы приходим к
выводу, что рассматриваемая область частот дает вклад в силу F экспоненци-
экспоненциально убывающей с расстоянием I.
Основной вклад в силу взаимодействия дает в этом случае область еще мень-
меньших частот, в которой е(и) связана с обычной электропроводностью металла
формулой
е(ш)=*^. D.25)
Подставив е3 (гб,) = 4тш3/6, в подынтегральное выражение формулы D.14) (в
экспонентах и в множителе е^2, в других местах достаточно положить е3 = оо)
432
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и вводя вместо переменной интегрирования ? переменную х =
получим:
F =
he2
¦т
О 1
ех -
+ ¦
dpdx.
Вычисление двойного интеграла (с помощью указанного выше свойства ин-
интегралов вида D.17)) приводит к значению для него, равному 13,5, и в результа-
результате — к следующей формуле:
F = 0,0034 —.
Таким образом, в случае жидкометаллической прослойки между телами сила мо-
молекулярного взаимодействия между ними от закона 1~3 на «малых» расстояниях
переходит к закону 1~ъ на «больших» расстояниях; вступление этого последнего
задерживается, правда, наличием в D.26) малого числового коэффициента.
Естественно возникает вопрос о фактическом значении Хо, с которым следует
сравнивать расстояния I. Ответ не может быть дан в общем виде и зависит от
конкретной формы спектрального распределения поглощения данных тел (т. е.
от свойств функции e"(ui)). Выясним, например, область применимости форму-
формулы D.21) для взаимодействия двух металлов (которые будем считать одинако-
одинаковыми), разделенных вакуумом.
Формула D.21) получается из D.14), если в последней положить ег = е2 — °°
(е3 = 1)- Если же мы хотим получить также и следующий член разложения, то
надо воспользоваться видом D.24) функции e"(ui), который справедлив в суще-
существенной при интегрировании области частот. (Область еще меньших частот, в
которой е(ио) дается формулой D.25), дает очень малый вклад в рассматривае-
рассматриваемый интеграл.) После подстановки e(i^) в D.14) надо заменить ? на xc/2pl; разла-
разлагая подынтегральное выражение по степеням 1/1, получим:
F =
he
откуда окончательно
/гс тг2 с т .
240 >2^\?Г-
D.27)
Положив ориентировочно N = 5,9 • 1022 см 3 (серебро), найдем, что второй член
мал по сравнению с первым, если I ^> 0,6 • 10~4 см. Отметим, что найденный здесь
следующий член разложения не мог бы быть получен методом, примененным
Казимиром для получения первого члена.
В цели этой статьи не входит обзор экспериментальных данных, относящих-
относящихся к ван-дер-ваальсовым силам. Мы упомянем здесь лишь о том, что первые до-
достоверные измерения молекулярных сил притяжения между твердыми телами
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 433
(кварц 13)) были произведены Б.В. Дерягиным и И.И. Абрикосовой [13] и И.И. Аб-
Абрикосовой [14] и оказались в хорошем согласии с теорией. Подробное изложение
и обсуждение этих данных дано в обзорной статье Дерягина, Абрикосовой и Лиф-
шица [15]. Аналогичные измерения были произведены также Китченером и Прос-
сером [16] и Ионком [17].
4.3. Влияние температуры
Все приведенные в разделе 4.2 формулы получены при условии выполнения
неравенства kTl/hc <С 1, соответственно чему мы ограничились при переходе от
D.13) к D.14) лишь первым (нулевым) членом разложения по степеням темпера-
температуры. Для оценки делаемой при этом погрешности надо найти следующий член
разложения. Сделаем это для двух одинаковых, разделенных вакуумом металлов.
Приведенная при выводе D.14) замена суммы интегралом соответствует пер-
первому члену известной формулы суммирования Эйлера
п=0 о
В данном случае роль функции / (п) играет интеграл, стоящий под знаком сум-
суммирования в D.13). При вычислении мы предполагаем I малым по сравнению с
Нс/кТ, но все же большим по сравнению с характерной для металла величиной
(c/e)<yJm/N (см. D.27)). Тогда /(О) = О, /'"(О) = 2 и, таким образом,
F =
he
240 I
48
~~9~
D.28)
Так, при комнатной температуре поправочный член мал уже если I < 5 • 10 4 см;
сравнение с полученным из D.27) критерием показывает, что имеется область
применимости формулы D.21).
При lkT/hc ^ 1 из всех членов суммы D.13) надо сохранить лишь первый. По-
Положить, однако, в нем сразу п = 0 нельзя ввиду возникающей при этом неопре-
неопределенности (множитель ^ обращается в нуль, но интеграл по dp расходится).
Это затруднение можно обойти, вводя сначала вместо р новую переменную ин-
интегрирования х = 2р ?,n^v?30 Iе (в результате чего множитель ?Д исчезает). По-
Положив затем ?п = 0, получим:
кТ
00
3
о
X
-е" -
D.29)
13) Случай кварца представляет некоторые особенности благодаря специфическим свойствам
его спектра поглощения. Кварц обладает сильным поглощением в ультрафиолетовой (начиная при-
примерно с 0,15 (л) и в инфракрасной (начиная с нескольких \i) областях, между которыми он прозрачен.
Для расстояний I, попадающих в область прозрачности, разумную оценку силы F можно произвес-
произвести, считая, что I мало по сравнению с А на правой и велико по сравнению с А на левой границах этой
области. Вклад ультрафиолетовой области поглощения в силу можно оценить по формуле D.22),
положив в ней е10 = е20 = е0 (е30 = 1) равным квадрату показателя преломления в оптической облас-
области прозрачности. Вклад же инфракрасной области дается формулой D.18); по порядку величины он
в Ljo/c раз меньше (uj0 — инфракрасные частоты поглощения). Таким образом, для оценки силы
притяжения можно пользоваться формулой D.22) с оптическим (вместо электростатического) зна-
значением диэлектрической проницаемости в качестве е0. Такая оценка занижена со стороны больших
и завышена со стороны меньших расстояний.
434 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы взаимодей-
взаимодействия замедляется и снова происходит по закону 1~3 с коэффициентом, завися-
зависящим от температуры и электростатического значения диэлектрических прони-
цаемостей.
Все следующие члены суммы D.13) при больших I убывают экспоненциально.
Так, для двух металлов, разделенных вакуумом, с учетом первого поправочного
члена получается
кТ
F = -
. ехр -—— ,
he { he
D.30)
4.4. Взаимодействие отдельных атомов
Покажем теперь, каким образом можно перейти от макроскопической фор-
формулы D.14) к взаимодействию отдельных атомов в пустоте. Для этого предполо-
предположим формальным образом оба тела достаточно разреженными. С точки зрения
макроскопической электродинамики это означает, что их диэлектрические про-
проницаемости близки к единице, т. е. разности е1 - 1 и е2 - 1 малы.
Начнем со случая «малых» расстояний. Из формулы D.15) с е3 — 1 имеем с
должной точностью:
00 ,00
ГЫЮШЮШ D.31)
32тг I
Выражая e(i^) через e/f(uj) на вещественной оси со согласно C.11), получим
00
/г /•/- \ -
0 0 12
откуда для силы F находим:
D.32)
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией 14)
U = -^- Т Т^ММсЧ dco2, D.33)
14) Если потенциальная энергия взаимодействия молекул 1 и 2 есть U = — aR 6, то полная энер-
энергия взаимодействия парных взаимодействий всех молекул в двух полупространствах, разделенных
щелью I, равна U = -ai\N1N2/2l2 . Сила же F
dU _ avN.N,
В этом и заключается соответствие формул D.33) и D.32).
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 435
где R — расстояние между атомами, Nv N2— числа атомов в единице объема
соответственно первого и второго тел. Мнимая часть диэлектрической проница-
проницаемости связана со спектральной плотностью известных из спектроскопии «сил
осцилляторов» /(и;) соотношением
(см., например, [11], § 62). Подставляя его в D.33), найдем:
U(R) = ~^fj T 7^Ща^ du2. D.34)
2m2R6 JQ JQ и^Ц+и.,)
Это выражение в точности совпадает с известной формулой Лондона [1], по-
получающейся при помощи обычной теории возмущений, примененной к диполь-
ному взаимодействию двух атомов. Пусть, например, речь идет о взаимодействии
двух атомов водорода. Воспользовавшись известным выражением
для силы осцилляторов перехода между состояниями Еп и Ео (хОп — соответству-
соответствующий матричный элемент координаты электрона в атоме) и переходя в D.34) от
интегрирования по частотам к суммированию по уровням энергии атома, полу-
получим формулу Лондона для атомов водорода
е4
r6 *-^ Е - Еп + Е - Еп
П, т
Таким образом, мы видим, как эта «микроскопическая» формула воспроизводится
из чисто макроскопической теории.
На «больших» расстояниях формула для силы притяжения двух разрежен-
разреженных тел имеет вид
^? (?l° " )(б2° " } J J ^ Р'
или
^^-1)^o-l)- D.35)
Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией
U = су.1сх,2, D.36)
где а1? а2 — статические поляризуемости обоих атомов (е0 = 1 + 47YiVa). Формула
D.34) совпадает с результатом квантовомеханического расчета Казимира и
Польдера [2] для притяжения двух атомов на достаточно больших расстояниях,
когда становятся существенными эффекты запаздывания.
Аналогичным образом, рассматривая лишь одно из тел (пусть это будет тело 2)
как разреженную среду, можно найти взаимодействие отдельной молекулы с
436
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
конденсированным телом. Так, в случае «большого» расстояния I молекулы от по-
поверхности тела для энергии взаимодействия получается следующая формула:
где
_ArshV^Ir1 + e + 2 g_ 2 +_^=[Arsh^_Arsh 1 |1 D38)
2(е-1O L ve + U VeJJ
Функция фАД представлена графически на рис. 10. При е10 —> оо эта функция
стремится к 1; выражение
D.39)
совпадает с результатом Казимира и Польдера [2] для энергии взаимодействия
атома с металлической стенкой. При е10 = 1 функция
Рассмотрим теперь взаимодействие двух атомов, находящихся в жидкости
(Питаевский [18]). Для этого представим себе, что оба тела представляют собой
слабые растворы атомов разного сорта с концентрациями (числа частиц в 1 см3)
соответственно N1 и JV2 в одном и том же растворителе. Далее будем считать, что
щель заполнена чистым растворителем. Диэлектрические проницаемости раство-
растворов ег и е2 ПРИ малых концентрациях растворенных атомов мало отличаются от
диэлектрической проницаемости чистого растворителя, которую обозначим как
е3 = е. С точностью до первого порядка по концентрации
е2=е +
dN,
N2=0
Сохраняя в формуле D.15) для силы на «малых» расстояниях члены только
того же порядка малости, получим (аналогично переходу к формуле D.31)):
П
Ni=0
dN,
Этой силе соответствует энергия взаимодействия между растворенными атома-
атомами, равная
Зй °г(дгЛЮ) (де2Щ di
U(R) = --
dN2
D.40)
0 \ - 1 /Л[1=о ^
Аналогичным образом найдем для энергии на «больших» расстояниях
23/гс (де,
U(R) = -
N2=0
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
437
Мы видим, что в случае, когда молекулы растворенного вещества сильно вза-
взаимодействуют с растворителем, силы взаимодействия между ними уже не опре-
определяются их поляризуемостями.
Другим интересным примером является взаимодействие малых сферических
частиц, находящихся в жидкости. Пусть оба тела представляют собой такую
эмульсию, образованную сферическими частицами объема V с диэлектрической
проницаемостью ef в жидкости с диэлектрической проницаемостью е. Щель, как
и выше, заполнена чистым растворителем. При условии NV <С 1 (N — число час-
частиц в единице объема) диэлектрическая проницаемость эмульсии имеет вид
e1=e2=
(s'-sje
(см., например, [11], § 9). Используя малость разностей гг — е и е2 — г тем же спо-
способом, что и выше, получим для энергии взаимодействия частиц эмульсии
U(R) = -
27ЙУ2
R«\o,
D.42)
U(R) = -
207V2 he
R»\,
D.43)
соответственно для «малых» и «больших» расстояний. Размеры самих частиц дол-
должны быть малы лишь по сравнению с расстоянием между ними (но не обязатель-
обязательно по сравнению с Хо).
5. ТОНКАЯ ПЛЕНКА НА ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
5.1. Химический потенциал пленки
Развитую общую теорию ван-дер-ваальсовых сил можно применить также
для вычисления термодинамических величин тонкой жидкой пленки, находя-
находящейся на поверхности твердого тела; толщина I пленки предпо-
предполагается, разумеется, большой по сравнению с межатомными рас-
расстояниями.
Выше была получена формула C.25), выражающая химический ^
потенциал жидкости, отнесенный к единице массы, через гриновс-
кие функции существующего в ней флуктуационного электромаг-
электромагнитного поля. Эта формула, однако, неудобна по двум причинам:
во-первых, она содержит совершенно не изученную эксперимен- рис п
тально величину дг/др во всем интервале частот; во-вторых, она
дает химический потенциал С, как функцию плотности р, тогда как необходимо
обычно знать С, в зависимости от давления р.
Рассмотрим пленку 3, лежащую на поверхности твердого тела 1 и находящу-
находящуюся в равновесии со своим паром 2 (рис. 11). Мы будем рассматривать пар в отно-
отношении его электромагнитных свойств как вакуум, т. е. будем везде полагать его
диэлектрическую проницаемость е2 равной единице.
438 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Согласно условию механического равновесия, нормальная компонента <зхх тен-
тензора напряжений должна быть непрерывна на поверхности пленки. Отсюда нахо-
находим уравнение
р = ро(р, Т)-ахх,
где р — давление пара, ро(р, Т) — давление массивной жидкости при заданных
плотности и температуре, а ахх обозначает совокупность всех членов в выраже-
выражении C.24) для тензора напряжений в пленке, за исключением первого. Решая это
уравнение относительно р, мы найдем плотность, выраженную в виде 15)
р = ро(р + стхх, Т).
Подставив же это выражение в формулу C.25) для химического потенциала, по-
получим:
гр 00 ^ о
]Г ^Щ ';
] ^Щт, г'; О
n=0 ^
где теперь С,0(р,Т) — химический потенциал массивной жидкости. Разлагая С,о по
степеням малой величины охх и учитывая термодинамическое соотношение
(<9СУ<Эр)т = 1/р , приведем это выражение к виду
С(р, Т)=С0(р, Т)+-охх+-^2 f®l-
Наконец, подставив сюда выражение для охх из C.24), мы найдем, что член с
де/др выпадает и остается
С(Р, Т) = СО(Р, Т)+1-а'хх,
где <з'хх — компонента «укороченного» тензора напряжений D.2). Эта величина
постоянна вдоль толщины пленки (в силу постоянства потока импульса), и как
раз ею определялась, согласно D.3), сила F (I).
Введем обозначение [i для «ван-дер-ваальсовой части» химического потенци-
потенциала пленки, отнесенной к единице объема жидкости:
Согласно сказанному выше,
V. = o'xx=F{l).
При стремлении I к оо, т. е. для массивной жидкости, \i обращается в нуль.
Таким образом, для определения интересующей нас величины [i нет необхо-
необходимости производить заново какие-либо вычисления. Она определяется полу-
полученными выше формулами для F(l) (общая формула D.13) и рассмотренные в
разделе 4.2 и 4.3 предельные формулы), в которых надо только положить е2 = 1.
15) °хх также является функцией от р, но поскольку охх представляет собой малую поправку к
давлению, мы можем положить там р = ро(р, Т).
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 439
Функция \i(T, l) определяет все термодинамические свойства пленки. Так, если
пленка находится в равновесии с паром при давлении р, то условие равенства
химических потенциалов жидкости и пара приводит к известному уравнению
где т — масса молекулы, а рнас — давление насыщенного пара над поверхностью
массивной жидкости при заданной температуре Т. Этим уравнением определя-
определяется равновесная толщина пленки 16).
Если речь идет о жидкой пленке, образовавшейся на вертикальной стенке в
поле тяжести, то р = рнас ехр(—mgz/kT) (где z — высота над уровнем жидкости
в сосуде), и из E.2) находим уравнение
M.(i) + pgz = O, E.3)
определяющее форму профиля пленки, т. е. зависимость ее толщины от высоты.
При «малых» (в указанном в разделе 4.3 смысле) толщинах пленки имеет ме-
место предельный закон (ср. D.18))
При «больших» же толщинах \i(l) пропорционально 1~А с коэффициентом, опреде-
определяющимся (согласно D.20)) электростатическими диэлектрическими проницае-
мостями пленки (е30) и твердого тела (е10); при этом знак |jl совпадает со знаком
разности е3о ~ ?ю 1?)- Функция \i(l) может быть знакопеременной и немонотонной
(ср. аналогичное замечание о силе F(l) на стр. 430). Нарушение монотонности хода
[i(l) в некоторой области значений I связано, вообще говоря, с изменением знака
разности ?3(г0 ~~ ei(z'?>) в области длин волн X ~ I.
Наряду с потенциалом |л бывает удобным пользоваться для описания свойств
пленки «эффективным коэффициентом поверхностного натяжения» а на грани-
границе твердого тела и пара 2, учитывающим существование между ними жидкой
прослойки. Это можно сделать формально, воспользовавшись известной форму-
формулой теории адсорбции
где ^ — поверхностная концентрация адсорбированного вещества (число частиц
на 1 см2), CJ — его химический потенциал, отнесенный к одной частице (см., на-
6) При выводе E.2) используется формула
для химического потенциала пара, а жидкость предполагается несжимаемой, т. е. пренебрегается
зависимостью химического потенциала массивной жидкости от давления.
17) Если только существенная дисперсия диэлектрической проницаемости не наступает (как,
например, у воды) уже при очень больших длинах волн.
440 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
пример, [19], § 144). При принятом нами определении [i (здесь и в дальнейшем
считаем жидкость несжимаемой) это соотношение запишется в виде
применимом как к макроскопически толстым («смачивающим») пленкам, так и к
адсорбционным пленкам «молекулярной толщины»; в последнем случае, конеч-
конечно, I имеет лишь условный смысл величины, пропорциональной поверхностной
концентрации ^ (I = т^/р, т — масса молекулы). Интегрируя E.4) и учитывая,
что при I —> оо функция olA) должна переходить в сумму а13 + а32 поверхностных
натяжений на границах массивных фаз 1,3 и 3,2, получим:
E.5)
Напомним также что необходимым условием термодинамической устойчиво-
устойчивости пленки является выполнение неравенства
Если уравнение E.2) удовлетворяется несколькими значениями I, то устой-
устойчивому состоянию пленки отвечает то из них, для которого а минимально; боль-
большие же значения отвечают тогда метастабильным состояниям.
Рассмотрим некоторые типичные случаи, которые могут иметь место в зави-
зависимости от характера функции \i(l):
а) Если \i(l) есть монотонно убывающая, везде положительная функция (рис. 12а),
то жидкость вообще не смачивает твердой поверхности, и пленка не образуется
совсем. Подчеркнем, что речь идет при этом именно о макроскопически толстых
пленках, к которым относится вся развиваемая здесь теория. Что касается ад-
адсорбции в узком смысле слова, то она, как известно, в той или иной мере всегда
имеет место. Этому соответствует тот факт, что, каков бы ни был ход функции \i(l)
в области молекулярных размеров (не изображенный на рис. 12), она в конце кон-
концов устремляется при I —> 0 к —оо по закону |jl ~ In l, соответствующему «слабому
раствору» адсорбируемого вещества на поверхности.
б) Если [i{l) есть монотонно возрастающая, везде отрицательная функция
(рис. 126), то это обычно соответствует жидкости, вполне смачивающей твердую
поверхность и образующей (в зависимости от упругости пара над ней) устойчи-
устойчивую плёнку любой толщины. В частности, на вертикальной стенке образуется плен-
пленка с толщиной, стремящейся к нулю при z —> оо; убывание происходит сначала по
закону I ~ z/4, а затем как z~1'2.
Однако и в этом случае жидкость может оказаться несмачивающей, если ход
[i(l) в микроскопической области таков, что приводит здесь к меньшим значени-
значениям поверхностного натяжения а; тогда устойчивой будет молекулярная адсорб-
адсорбционная и не смачивающая пленка 18).
18) Такой ход можно представлять себе как высокий «всплеск» кривой \i(l) в молекулярной обла-
области «толщин».
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил
441
в) [i(l) проходит через нуль и обладает максимумом, как показано на рис. 12в.
С той же оговоркой, что и в случае б), будем иметь здесь случай смачивания, но с
образованием пленки, устойчивой лишь при толщинах, меньших определенного
предела. В равновесии с насыщенным паром находится пленка конечной толщи-
толщины, соответствующей точке А. Это состояние отделено от другого устойчивого
состояния — равновесия твердой стенки с «массивной» жидкостью — метаста-
бильной областью АВ и областью полной неустойчивости ВС.
В
Рис. 12
Кривая \i(l) такого типа должна приводить к интересным особенностям в об-
образовании краевого угла 0 капель жидкости на твердой поверхности. В данном
случае капля находится в равновесии с пленкой конечной толщины Zmax (рис. 13),
и согласно обычной элементарной формуле имеем:
:a(*-")-°t'3, E.7)
где Oi(lmax) с аA) из E.5) играет роль коэффициента поверхностного натяжения
между фазами 1 и 2. Поскольку первый член в E.5) есть малая величина, полу-
получаем из E.7): ^ ^
02 ^_Л_ Г i^Ldl=— Г [idl. E.8)
а2з dl ol23 J v '
I'm я ¦* m
lmax lmax
l~3 и [i ~ Z~4
Интерполируя между законами [i ~ l~3 и [i ~ Z~4, можно получить отсюда оценку
10 I
с ш из E.4). Так, при /ги; ~ 10 эв, а23 ~ 20 эрг/см2, Zmax ~ 5 • 10 5см получим отсюда
0-0,1°.
442 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, в рассматриваемом случае краевой угол должен иметь конеч-
конечное, но очень малое значение (в отличие от значения 0 = 0 при полном смачива-
смачивании и 0 ~ 1 для обычных случаев несмачивания). Разумеется, такое утвержде-
утверждение имеет реально наблюдаемый смысл
лишь при условии, что толщина капли
велика по сравнению с толщиной плен-
пленки, т. е. должно быть L0 > Zmax, где L —
размер капли (рис. 13).
У//////// '//////////////////
I
I г) Кривая изображенного на рис. 12г
типа соответствует пленке, неустойчи-
неустойчивой в определенном интервале толщин.
Рис-13 Прямая BF, отсекающая равные площа-
площади BCD и DEF, соединяет точки В и F с одинаковыми (при одинаковых |л) значе-
значениями а (как это легко видеть из E.5)). Устойчивым пленкам отвечают ветви АВ
и FQ; интервал СЕ полностью неустойчив, а интервалы ВС и EF метастабильны.
Обе границы области неустойчивости (точки В и F) в этом случае отвечают мак-
макроскопическим толщинам пленки. Неустойчивости в интервале от некоторой мак-
макроскопической толщины до молекулярной должна была бы соответствовать кри-
кривая изображенного на рис. 126 типа (при I —> оо эта кривая, как и кривая рис. 12а,
устремляется к —оо). В действительности, однако, такая кривая будет скорее все-
всего приводить просто к случаю несмачивания. Действительно, границе устойчивос-
устойчивости соответствовала бы такая точка на ветви ВС, в которой горизонтальная секу-
секущая отсекала бы одинаковые площади под верхней и над нижней частями кривой.
Но последняя площадь, связанная с ван-дер-ваальсовыми силами, будет мала по
сравнению с первой, связанной со значительно большими силами на молекуляр-
молекулярных расстояниях. Это значит, что поверхностное натяжение на всей ветви ВС бу-
будет больше, чем то, которое соответствует молекулярной адсорбции на поверхно-
поверхности твердого тела, и потому пленка будет метастабильной.
5.2. Силы неэлектромагнитного происхождения
Как уже было упомянуто в начале раздела 4.2, наряду с ван-дер-ваальсовыми
силами определенный вклад в химический потенциал пленки дают также источ-
источники неэлектромагнитного происхождения; этот вклад, однако, обычно оказыва-
оказывается малым. Мы приведем здесь соответствующие оценки, не останавливаясь под-
подробно на соответствующих вычислениях.
Акустические флуктуации (в акустически недиспергирующей среде) при аб-
абсолютном нуле температуры дают в химическом потенциале вклад
где и — скорость звука 19). Он должен быть сравнен с электромагнитной частью
\1ЭМ ~ /гс/Z4 при I » Хо или |лэм ~ hc/l3\ при I <С Хо. Ясно, что |iaK <С |1ЭМ при всех
19) Это выражение аналогично выражению \i ~ hc/lA для электромагнитной части (в недисперги-
недиспергирующей среде). Его можно получить, например, путем подсчета энергии нулевых акустических ко-
колебаний в щели (ширины I) подобно тому, какэто сделано Казимиром [20] для электромагнитных
нулевых колебаний. Отметим, что результат Эткинса [21], получившего для (лак другую зависимость
от толщины пленки (~ 1~2), связан с некорректным способом обрезания расходящегося интеграла.
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 443
расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами, когда только и при-
применима вообще вся излагаемая теория.
При отличных от нуля температурах для |лак осуществляется, вообще говоря,
обратный предельный случай, когда влияние температур имеет преобладающее
значение. Соответствующим критерием является значение отношения 1кТ/Ни.
Условие lkT/hu ^> 1 (как и условие 1кТ/Нс >1 в электромагнитном случае) есть,
по существу, условие классичности (ftu; <C кТ с lj ~ 1/и или lj ~ Z/c). Поэтому за-
заранее очевидно, что соответствующий вклад в |jl не должен содержать ft, а тогда
уже из соображений размерности очевидно, что
кТ
(ср. формулу D.29)). Эта величина сравнивается с |лэм лишь на расстояниях
I ~ Нс/кТ, настолько больших, что |jl все равно становится уже очень малым.
То же самое относится к вкладу поверхностных колебаний. Зависимость час-
частоты от волнового вектора к для капиллярных колебаний на поверхности слоя
жидкости глубиною I дается известной формулой
оо2 = th Ki,
Р
где а — поверхностное натяжение (см., например, Ландау и Лифшиц [22], § 61);
на глубокой жидкости (I —> оо) и2 = (Ж3/р. Вычисляя энергию нулевых колебаний
(за вычетом этой же энергии при I —> оо), найдем, что при абсолютном нуле соот-
соответствующий вклад в химический потенциал
Фактически, однако, осуществляется обратный предельный случай, когда
(Й/fcT) -у/а/р 1~Ъ12 <С 1, т. е. выполняется условие классичности; вычисление по об-
общим правилам статистики приводит при этом, естественно, к вкладу [in0B ~ кТ/13
того же порядка, что и в акустическом случае 20).
Для объяснения свойств гелиевых пленок различными авторами привлека-
привлекались также механизмы, связанные с неоднородностью распределения плотности
жидкости вдоль толщины пленки. В наиболее грубом виде соответствующий рас-
расчет производился путем рассмотрения гелия в пленке как идеального газа, вол-
волновые функции частиц которого обладают узлами на стенке и поверхности плен-
пленки. Такая модель приводит к резко неоднородному распределению плотности с
максимумом в центре и вкладу в химический потенциал |jl, пропорциональному
1~2. Такое рассмотрение, однако, совершенно неприемлемо (как было указано уже
Моттом [23]), так как взаимодействие между атомами в действительности сглажи-
сглаживает волновую функцию основного состояния системы и неоднородность плотно-
плотности простирается (в глубь жидкости) лишь на расстояния порядка межатомных.
20) Мы приводим везде буквенные оценки, но следует иметь в виду, что в действительности вы-
выражения (лпов и (лак содержат (как показывает более детальный анализ) еще малые числовые коэф-
коэффициенты, как и выражения для электромагнитной части (лэм. Появление сравнительно малых чис-
числовых коэффициентов вообще характерно для излагаемой теории.
444 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Связанный с этой неоднородностью вклад в химический потенциал убывает с
толщиной пленки по экспоненциальному закону.
По такому же закону убывает вклад, связанный со специфическими свойства-
свойствами (сверхтекучестью) гелия ниже Х-точки. Лишь в непосредственной близости к
Х-точке, где очень мала плотность сверхтекучей компоненты, неоднородность рас-
распределения последней приводит к заметному эффекту (см. Гинзбург и Питаев-
ский [24]). Но уже на расстоянии около 0,01° от Х-точки декремент экспоненциаль-
экспоненциального убывания становится сравнимым с межатомными расстояниями. Результат
же Франчетти [25], получившего вклад в химический потенциал, пропорциональ-
пропорциональный 1~2, связан с неадекватностью использованной им модели невзаимодействую-
невзаимодействующих элементарных возбуждений в гелии.
4.3. Пленка жидкого гелия
Рассмотрим особо пленки жидкого гелия, которым посвящена обширная ли-
литература. Для гелиевых пленок общая формула D.14) может быть значительно
упрощена, если воспользоваться тем, что диэлектрическая проницаемость жид-
жидкого гелия очень близка к единице, т. е. разность ?3(гЧ) ~~ 1 мала. Производя соот-
соответствующие разложения в подынтегральном выражении в D.14), получим:
Однако вычисление даже по этой упрощенной формуле затрудняется необ-
необходимостью знать вид функций e(i^) для жидкого гелия и твердой стенки в ши-
широкой области частот, в частности в крайней ультрафиолетовой области: в ин-
интеграле E.10) существенна область длин волн X ~ I, а фактические толщины ге-
гелиевой пленки порядка 10~6 см.
Представляется разумным приближением дальнейшее упрощение форму-
формулы E.10), учитывающее тот факт, что основная область поглощения гелия ле-
лежит в крайнем ультрафиолете, между тем как основное поглощение твердой
стенки (металлы, кварц) находится при существенно меньших частотах. Други-
Другими словами, будем считать, что функция e(iQ практически совпадает с электро-
электростатическим значением е3о во всеи области изменения ?,, в которой разность
ei(z'?) ~~ 1 (а с нею и все подынтегральное выражение в E.10)) еще не слишком
мала. Тогда е3 — 1 можно вынести из-под знака интеграла, а с оставшимся интег-
интегралом поступить так, как в предельном случае малых толщин I (I мало по сравне-
сравнению с длинами волн Хо в основных областях поглощения твердого тела). Именно,
вводя вместо р переменную интегрирования х = 2р^/с и учитывая, что значе-
значениям х ~ 1 соответствуют большие значения р, заменяем фигурную скобку в E.10)
на 2р2(е1 — \)/{&1 + 1) и в результате получаем:
где введена величина
0J
=№«•
34. Общая теория ван-дер-ваалъсовых сил 445
представляющая собой некоторую характерную для данного твердого тела сред-
среднюю частоту.
Заметим, что функция [е (оо) — 1]/[е (оо) + 1] обладает такими же аналитическими
свойствами в верхней полуплоскости комплексного переменного lj, что и функ-
функция е(ио) — 1. Этого достаточно для того, чтобы применить к ней такую же форму-
формулу для преобразования интеграла по мнимой оси в интеграл по вещественной
оси, какая справедлива для функции е(и) — 1 (см. [11], § 62). Именно, можно пред-
представить интеграл п; в виде
o 1^)+ U;
где ?r(uj) и г" (и) — вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости
при вещественных значениях частоты, т. е. непосредственно измеряемые на опыте
величины.
Таким образом, при фактически наблюдаемых толщинах гелиевой пленки
следует ожидать зависимость \i ~ 1~3 и соответственно форму профиля пленки
I ~ z/3. Вычисление коэффициента в этой зависимости требует, однако, знания
оптических свойств твердого тела (стенки) в широкой области частот. Подчерк-
Подчеркнем, что вычисление этого коэффициента на основе данных о взаимодействии
отдельных атомов твердого тела и гелия во всяком случае недопустимо.
Выпишем также выражение для \i при «больших» толщинах пленки (I ^> Хо).
Соответствующий переход в E.10) осуществляется введением переменной
х = 2р^1/с вместо ? и заменой гг на е10. Интегрирование как по dx, так и по dp
производится аналитически, и в результате получаем:
ЗЯс(езо-1)е10-1
с функцией фАД из D.38). Для металла фАД = 1 (е10 = оо). Для кварца, обладающе-
обладающего широкой полосой прозрачности (от ^0,15 мкм до нескольких мкм), имеет смысл
также рассмотрение случая, когда толщина I попадает в эту область размеров.
Соответствующий закон зависимости \i(l) определится тогда той же форму-
формулой E.14), в которой, однако, под е10 надо понимать не электростатическое, а оп-
оптическое значение е19 т. е. квадрат показателя преломления в оптической облас-
области прозрачности (ср. примечание на стр. 433).
Выражения E.10), E.11), E.14) не содержат температуры, т. е. относятся, строго
говоря, к абсолютному нулю. Однако температурные поправки должны быть от-
относительно малыми, и нет оснований ожидать сколько-нибудь существенного
изменения формы профиля пленки при изменении температуры, в частности
ниже и выше Х-точки (вне непосредственной близости ней).
Трудности экспериментального определения толщины и формы профиля ге-
гелиевой пленки в условиях, достаточно близких к идеальным условиям теплового
равновесия, очень велики и, по-видимому, лишь в самое последнее время пре-
преодолеваются настолько, чтобы получаемые результаты (в области гелия II) можно
было считать сколько-нибудь достоверными (см. обзоры Джексона и Граймса [26]
и Эткинса [27]).
446 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В соответствии со сказанным в разделе 5.3 нет никаких физических оснований
для того, чтобы ожидать профиль пленки в виде pgz = al~3 + Ы~2.
Андерсон, Либенберг и Диллингер [28] указывают, что полученные ими дан-
данные о толщине гелиевой пленки на стальной поверхности (вплоть до высот 40 см)
хорошо описываются законом вида pgz = al~3 (абсолютные значения толщин не
даны). Таким же законом описываются результаты измерений Хема и Джексона
[29] и Граймса и Джексона [30] (в интервале высот от 0,4 до 7 см) с коэффициен-
коэффициентом а « 4,5 • 10~15 эрг. Сравнивая это значение с коэффициентом при 1~3 в форму-
формуле E.11) (положив в ней е3о ~~ 1 = 0,057), получим /гп3^7,5 эв. Это значение для
металла (стали) представляется разумным.
Коэффициенты в формулах E.11) и E.14) (при е10 —> оо) сравняются при
I ~ Зс/2пЗ, т. е. в данном случае при I ^ 5 • 10~6 см. Это значит, что в наблюдавшем-
наблюдавшемся в эксперименте интервале толщин пленки A00—400 А) мы находимся вблизи
области, переходной между законами 1~3 и Z~4.
ЛИТЕРАТУРА
[1] F. London. Z. Phys., 60, 491, 1930.
[2] H.B.G. Casimir, D. Polder. Phys. Rev., 73, 360, 1948.
[3] И.Е. Дзялошинский. ЖЭТФ, 30, 1152, 1956.
[4] EM. Лифшиц. ЖЭТФ, 29, 94, 1955. [Статья 26 настоящего собрания трудов].
[5] И.Е. Дзялошинский, Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 36, 1797, 1959.
[6] И.Е. Дзялошинский, ЕМ. Лифшиц, Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 37, 230, 1959. [Статья 33
настоящего собрания трудов].
[7] Т. Matsubara. Progr. Theor. Phys., 14, 351, 1955.
[8] A.A. Абрикосов, Л.П. Горькое, И.Е. Дзялошинский. ЖЭТФ, 33, 799, 1959.
[9] Е.С. Фрадкин. ЖЭТФ, 36, 1286, 1959.
[10] Л.Д. Ландау. ЖЭТФ, 34, 262, 1958.
[11] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1958.
[12] Н. Hamaker. Physica, 4, 1058, 1937.
[13] Б.В. Дерягин, ИМ. Абрикосова. ЖЭТФ, 30, 993, 1956; 31, 3, 1956.
[14] И.И.Абрикосова. ЖЭТФ, 33, 799, 1957.
[15] Б.В. Дерягин, ИМ. Абрикосова, ЕМ. Лифшиц. УФН, 64, 493, 1958. [Статья 31 настоя-
настоящего собрания трудов].
[16] J.A. Kitchener, A.P. Prosser. Proc. Roy. Soc, A242, 403, 1959.
[17] J.G.V. de Jongh. Dissertation, Utrecht, 1958.
[18] Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 37, 577, 1959.
[19] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Статистическая физика. М., Гостехиздат, 1953.
[20] H.B.G. Casimir. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 60, 793, 1948.
[21] K.R. Atkins. Canad. J. Phys., 32, 347, 1954.
[22] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1953.
[23] N.F. Mott. Philos. Mag., 40, 61, 1949.
[24] В.Л. Гинзбург, Л.П. Питаевский. ЖЭТФ, 34, 1240, 1958.
[25] S. Franchetti. Nuovo cimento, 5, 183, 1957.
[26] L.G. Jackson, L.G. Grimes. Advances Phys., 7, 435, 1958.
[27] K.R. Atkins. Progress in Low Temperature Physics, Vol. 2, Amsterdam, 1957.
[28] O.T. Anderson, D.N. Liebenberg, J.R. Dillinger. Phys. Rev., 117, 39, I960.
[29] A.C. Ham, L.G. Jackson. Proc. Roy. Soc, A240, 243, 1957.
[30] L.G. Grimes, L.G. Jackson. Philos. Mag., 4, 1346, 1959.
35
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ. I
Совместно с И. М. Халатниковым
ЖЭТФ, 39, 149, 1960
Поставлена задача об исследовании общих свойств космологических решений уравнений
гравитации вблизи особой точки по времени. Найден частный класс решений, пред-
представляющий собой обобщение известного решения, соответствующего однородному и изо-
изотропному миру Найдено общее решение для случая центрально-симметрического распре-
распределения материи и дано его обобщение на более широкий класс решений.
Используемое обычно (фридмановское) космологическое решение уравнений
гравитации Эйнштейна основано на предположении о полной однородности и изо-
изотропии распределения материи в пространстве. Это предположение является очень
далеко идущим в математическом отношении, не говоря уже о том, что его выпол-
выполнение в реальном мире неизбежно могло бы иметь, в лучшем случае, лишь при-
приближенный характер. В связи с этим возникает вопрос о том, в какой мере связаны
с этими специфическими предположениями существенные свойства получающе-
получающегося решения и, в первую очередь — наличие в нем особой точки по времени.
Целесообразным путем исследования этого вопроса представляется изучение
общих свойств решений уравнений гравитации вблизи особой точки, в предпо-
предположении существования последней.
В настоящем сообщении даны два частных класса таких решений. Один из
них представляет обобщение обычного изотропного решения. Другой связан со
свойствами «гравитационного коллапса» центрально-симметрического распре-
распределения материи.
1. Выбор системы отсчета
Рассматривая решение уравнений гравитации вблизи особой точки, в кото-
которой давление р и плотность энергии е материи обращаются в бесконечность, надо,
естественно, в качестве ее уравнения состояния пользоваться ультрарелятиви-
ультрарелятивистским соотношением
р = е/3. A.1)
Тогда тензор энергии-импульса материи :)
Tik={p + e)uiuk+pgik=^uiuk+gik), T/ = 0. A.2)
х) Мы следуем обозначениям, принятым в книге [1]. В частности, латинские индексы пробегают
значения 0, 1, 2, 3, а греческие — три пространственных значения 1, 2, 3. Квадрат элемента интерва-
интервала пишется как -ds2 = gik dxl dxk , так что матрица величин gik имеет сигнатуру —\- + +.
Кроме того, мы будем пользоваться везде системой единиц, в которой равны 1 скорость света и
эйнштейновская гравитационная постоянная.
448 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Наложим на систему отсчета четыре дополнительных условия
000 =-1. 00а = 0, A.3)
так что
ds2 = dt2 -dl2, dl2 = gafidxadxti.
В такой системе уравнения гравитации (йгк = Т*) принимают следующий вид
(см.[1],§92):
К=~К+\<^=^иои°+1), A.4)
Rt=P^+\Yt<+\^<=l(^y+K). A.6)
Здесь Kaf3 обозначает трехмерный тензор с компонентами
а все дальнейшие операции поднятия и опускания индексов и ковариантного
дифференцирования производятся в трехмерном пространстве с метрикой gaf3;
Paf3 есть трехмерный тензор, выражающийся через gaf3 так же, как Pik выражает-
выражается через gik. Очевидно, что
/аC
мно-
где g — определитель тензора gik (отличающийся от определителя g
жителем д00 = — 1).
В общем случае «гравитационный коллапс» происходит на некоторой гипер-
гиперповерхности t = ф(ха), являющейся особой поверхностью решения уравнений гра-
гравитации. Поскольку в настоящем сообщении находятся лишь некоторые част-
частные классы решений, мы не занимаемся здесь исследованием вопроса о том, су-
существует ли в общем случае такое преобразование координат и времени, с
помощью которого можно превратить эту гиперповерхность в «гиперплоскость»
t = 0, не нарушая при этом условий A.3). Для рассматриваемых ниже решений
такое преобразование, во всяком случае, существует.
Условие t = 0 на особой гиперповерхности (вместе с условием д00 = — 1) пол-
полностью фиксирует выбор времени t. После этого элемент интервала допускает
еще произвольные преобразования пространственных координат, не затрагива-
затрагивающие времени.
2. Обобщение изотропного решения
Решение уравнений гравитации, соответствующее однородному и изо-
изотропному распределению материи в пространстве, формулируется наиболее
удобным образом в «сопутствующей» (т. е. движущейся вместе с материей) сис-
системе отсчета (см., например, [1], § 105). В этой системе в явном виде проявляются
35. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. I 449
изотропия и однородность пространства, в силу чего автоматически удовлетво-
удовлетворяется условие дОа = 0, а особенность имеет место во всем пространстве в одина-
одинаковый момент времени (t = 0). В этом решении (при уравнении состояния A.1))
метрика при х —> 0 имеет вид gaf3 « aaf3t, где aaf3 — функции координат, соответ-
соответствующие постоянной пространственной кривизне. Как функции времени вели-
величины gaf3 разлагаются по целым степеням t,
Покажем, что это решение является в действительности частным случаем це-
целого класса решений, в котором
где aaf3 — произвольные функции координат. Система отсчета, подчиненная ус-
условиям A.3), однако, при этом уже не является строго сопутствующей. Тензор,
обратный B.1), есть
где тензор aaf3 обратен aaf3, а Ъа^ = аа1а^ьЪ ь. Для тензора Kaf3 имеем
к.»э =aap+2tba3, Ki=t~
где bjj = сг^Ъ^. Везде ниже в этом разделе все операции поднятия греческих ин-
индексов и ковариантного дифференцирования производятся с независящей от вре-
времени метрикой aaf3.
Вычисляя левые стороны уравнений A.4) и A.5) соответственно с точностью
до двух и до одного главного порядка по 1/t, получим
3 V /'
_(ъ —h$ ) = —_гии BЛ)
п \ ',ol ос, C/ о 0 су' V " /
где Ъ = Ъ^ . Сравнивая правые стороны этих уравнений и учитывая при этом тож-
тождество
легко видеть, что е ~ t~2, иа ~ t2; при этом в силу указанного тождества и$ — 1 ~ t3.
Из уравнения B.3) находим теперь первые два члена разложения плотности
энергии:
е = 3/4?2-Ь/2?, B.5)
а из B.4) — первый член разложения скорости:
4.2 (г, г^З \ /о а\
U — —t\u — и о ). (Z.D)
СУлу^СУСУ^ру \ /
Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор Р^ в первом по \/t прибли-
приближении не зависят от времени; при этом Рп совпадает с выражением, получающимся
450 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
при вычислении с метрикой просто aaf3. Учитывая это обстоятельство, найдем те-
теперь, что в уравнении A.6) члены порядка t~2 автоматически сокращаются, а чле-
члены ~1/? дают
р(з + ^вC + JLgPb = о
a 4 a 12 a
(где Р^ = а^Ра1). Отсюда
Ъ$ = _1рC + А§Рр B7)
Мы видим, что, действительно, функции aaf3 остаются вполне произвольными.
По заданным aaf3 формулой B.7) определяются коэффициенты baf3 следующего
члена разложения gaf3, а с ними и разложений B.5) и B.6) плотности энергии и
скорости. Отметим, что распределение энергии стремится при t^O к однород-
однородному. Что касается распределения скорости B.6), то его можно преобразовать,
учтя соотношение
являющееся следствием тождества
которому удовлетворяет, как известно, всякий упрощенный тензор кривизны Paf3.
Имеем тогда
"a=^2b;a, B.8)
т. е. в этом приближении скорость является градиентом некоторой функции и ее
ротор равен нулю (отличный от нуля ротор, однако, появляется в следующих чле-
членах разложения).
Условия A.3) допускают еще возможность произвольных преобразований трех
пространственных координат, не затрагивающих времени. Ими можно воспользо-
воспользоваться, например, для того, чтобы привести тензор aaf3 к диагональному виду. По-
Поэтому рассмотренное решение содержит в действительности всего три «физичес-
«физически различные» произвольные функции координат, задаваемые начальными (по
времени) условиями задачи.
Фридмановскому решению соответствует частный случай, когда Р^ = const • 6^.
Можно показать, что найденное решение является единственным, в котором
коллапс происходит «квазиизотропным» образом — так, что все компоненты gaf3
обращаются в нуль с одинаковой степенью t
Отметим также, что это решение существует лишь при наличии материи, т. е.
лишь в непустом пространстве.
3. Центрально-симметрический коллапс
Переходя к задаче о коллапсе центрально-симметрического распределения,
отметим, прежде всего, что ее общее решение должно содержать всего две «фи-
«физически различные» произвольные функции радиальной координаты. Это число
35. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. I 451
соответствует тому, что произвольное начальное центрально-симметрическое
распределение материи задается начальными распределениями ее плотности и
радиальной скорости; никаких «степеней свободы», соответствующих свободно-
свободному гравитационному полю, эта задача не имеет, так как такое поле (гравита-
(гравитационные волны) не может иметь центральной симметрии.
Будем писать центрально-симметрический элемент интервала, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям A.3), в виде
ds2 = -dt2 + exdr2 + e^(d62+ sin2 6d^2), C.1)
где [i и X — функции времени и радиальной координаты г. 4-скорость материи
имеет только одну (радиальную) пространственную компоненту. Будем нумеро-
нумеровать координаты как х1'2'3 = г, 0, ср.
Ясное представление о взаимоотношении различных частных и общего ре-
решения задачи о центрально-симметрическом коллапсе можно получить путем
рассмотрения формальной задачи с уравнением состояния р = О (разумеется,
неприменимого в действительности вблизи момента коллапса). В этом случае
уравнения центрально-симметрического поля допускают точное решение (впер-
(впервые найденное Толманом [2]), и характер коллапса легко выясняется исследова-
исследованием этого решения.
При р = О система отсчета может быть выбрана так, что одновременно с вы-
выполнением условий д00 = — 1, д01 = 0 (т. е. ds2 в виде C.1)) обращается в нуль ско-
скорость^ материи, т. е. система отсчета является сопутствующей (см. [1], § 97, за-
задачи 4 и 5); при этом, однако, коллапс не одновременен во всем пространстве.
В такой системе отсчета точное решение уравнений гравитации дается следую-
следующими формулами.
Обозначим
Тогда ех определяется формулой
ех=К/A + /), C.3)
где /(г) — произвольная функция, удовлетворяющая только условию 1 + / > 0.
Функция же R(t, r) дается в неявном виде формулами
t - Ф (г) = V/Я2 + FR/f - F/-3/2Arsh JfR/F при / > 0,
*-Ф(г)= V/R2 + FR/f+ F(-/)/2 arcsin yj-fR/F при / < 0 C.4)
(случай / = 0 получается соответствующим предельным переходом в C.4), но не
представляет никаких качественных отличий от общего случая). Наконец, плот-
плотность энергии
е = F'/R'R2 C.5)
С означает дифференцирование по г). Здесь F(r) и Ф(г) — еще две произвольные
функции г; поскольку форма C.1) допускает еще произвольное преобразование
452 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
r^r(rf), то написанное решение содержит в действительности, как и следует,
не три, а всего две «физически различные» произвольные функции.
Моменту коллапса соответствует гиперповерхность t = Ф(г). Вблизи нее на-
находим из C.3)-C.5)
t-Ф). C.6)
Мы видим, что общее решение приводит к очень своеобразному характеру кол-
коллапса: радиальные длины (в рассматриваемой системе отсчета) неограниченно
возрастают при t —> Ф, а окружные расстояния — стремятся к нулю 2); при этом
объемы тоже стремятся к нулю, а плотность материи — соответственно к беско-
бесконечности.
Частный же случай Ф = const (или, что то же Ф = 0) приводит к совершенно
другому характеру коллапса. В этом случае находим следующие предельные
формулы:
W3 Ы2/3 тг/2 4
ех=? /. */3, е = А- C-7)
12 J
Здесь все расстояния стремятся к нулю «квазиизотропным» образом — про-
пропорционально одинаковой степени t, а распределение энергии стремится в пре-
пределе к однородному 3).
Наконец, при F = 0 имеем R = v/ {t — Ф), ех стремится к постоянному пределу,
а е тождественно обращается в нуль. Этот случай фиктивен: преобразованием г
и t метрика приводится к галилеевой метрике в пустом пространстве 4).
Возвратимся к задаче о коллапсе при уравнении состояния р = е/3. Система
отсчета с метрикой C.1) теперь не является уже сопутствующей, но в ней можно
считать коллапс происходящим во всем пространстве одновременно (возмож-
(возможность такого выбора времени доказывается тем, что мы получим в результате об-
общее решение задачи с требуемым числом произвольных функций). Уравнения
A.4) —A.6), выраженные через функции X и |л, имеют вид
R0°=^X2 + |A2 + |x+A = -i8C+4WlVx), C.8)
2) Геометрия на проходящей через центр «плоскости» при этом такая, которая была бы на кону-
конусообразной поверхности вращения, растягивающейся по своим образующим и в то же время сжи-
сжимающейся по всем своим окружностям.
3) Гравитационный коллапс центрально-симметрического распределения материи с р = 0 рас-
рассматривался Оппенгеймером и Снайдером [3]. Однако сделанный ими выбор частного решения, оп-
определившийся выбором однородного начального распределения плотности материи, соответствует
случаю C.7) и, как мы видим, совершенно не отражает свойств общего случая.
4) Для этого надо ввести вместо t новую переменную R = v/ (t — Ф), после чего соответствующим
преобразованием г = r(R, т) интервал приводится к виду ds2 =di~2 —dR2 —R2 (sin2 0d^2 +d92).
35. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. I 453
//2
C.10)
C.11)
(штрих означает дифференцирование по г, точка — по t; выражения, заклю-
заключенные в уравнениях C.10) и C.11) в квадратные скобки, представляют собой
соответственно R\ и R\). Решения этих уравнений вблизи особой точки имеют,
как мы сейчас покажем, тот же характер, что и при уравнении состояния р = 0.
Ищем ех и & в виде рядов по степеням t2^3, начинающихся соответственно с
t~2l3 и t4/3; X и [I имеют при этом вид
C.12)
где л- \ \v \ л- \ \v ^ — функции от г. Плотность энергии и радиальная скорость
тоже разлагаются по степеням t2'3] первые члены разложения, как проверяется
последующим вычислением, имеют вид
При подстановке написанных выражений в уравнения C.8) и C.11) члены по-
t 2
рядка t 2 исчезают, а члены порядка t ^'3 дают
= р@)
откуда
10L
¦3exp(-[i(°))'
В уравнении C.9) члены ~1/? дают
е(о)м(о) = 3
- Зехр(-|л^) = е
XW=|[4e(o)-3exp(-,
C.14)
C.15)
а уравнение C.10) не дает ничего нового.
Таким образом, в написанном решении остается три (из них две физически
различные) произвольные функции (например, \i^0\r), X^(r), е^°\г), т. е. оно яв-
является общим для рассматриваемой задачи 5).
В этом общем решении не содержится квазиизотропный коллапс, которому
соответствует частное решение системы уравнений C.8) —C.11) с двумя (одной
физически независимой) произвольными функциями 6). В этом решении ех и е11
5) Граничное условие в центре требует, чтобы ехр |j/0) —> 0 при г —> 0 (длина окружности 2тг?4/3 ехр |j/0)
с центром в начале координат должна стремиться к нулю при г —> 0).
6) Упомянутое выше фиктивное решение вообще не возникает при фиксировании выбора вре-
времени условием t = 0 в момент коллапса во всем пространстве.
454 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
обращаются в нуль по одинаковому закону (~?); соответствующие разложения
имеют вид
e = 3/4t2+eA)A + ..., Щ =tV04.... C.16)
Функции \1^°\г) и \(°\r) могут быть заданы произвольно, после чего следую-
следующие написанные коэффициенты разложений определяются формулами
A) -—р1 --Р2 \W - --Р1 + -Р2
8 х 9 2' " 181+9 2'
C.17)
где Р/ , Р22 подразумеваются вычисленными по ехр Х^0^ и ехр |л^°\ Это решение
входит как частный случай в полученное в разделе 2 общее квазиизотропное ре-
решение B.1). Формулы C.17), естественно, в точности соответствуют формулам
B.5), B.7), B.8).
4. Обобщение центрально-симметрического решения
Полученное решение центрально-симметрической задачи является в действи-
действительности частным случаем более общего класса решений. Мы дадим здесь это
решение в основном результативным образом, не останавливаясь на конструк-
конструктивном его построении.
Ищем решение в виде разложений по степеням t2'3, первые члены которых име-
имеют вид
- f 4/3
—1
h(l)f 2/3 \ _ f 4/3Ь@)
°аЪ1 )> У la ~ l °1а
(здесь и ниже индексы а, Ъ, с пробегают значения 2, 3). При этой форме записи
выбор направления х1 полностью фиксирован как единственный, при котором
наиболее низкая (t~2^3) степень t входит лишь в gn; поэтому координата х1 допус-
допускает лишь преобразования вида х'1 = х'1 (х1). Координаты же х2, х3 допускают
еще произвольные преобразования общего вида х/а =х/а(х1, х2, х3) .Последни-
.Последними воспользуемся для того, чтобы обратить в нуль две величины b[°J.
Соответствующие распределения плотности и 4-скорости материи будут
иметь в том же приближении следующий вид:
е = Г^е(о\ Ul=ufkll\ ua=u®t. D.2)
Для проверки написанных выражений и определения связей между вве-
введенными в них функциями, подставляем D.1), D.2) в уравнения A.4) —A.6), со-
сохраняя при этом те старшие (т. е. наиболее высокого порядка по \/t) члены, кото-
которые полностью выражаются через фигурирующие в D.1), D.2) величины.
35. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. I 455
Уравнение A.5) с а = 2,3 дает в первом неисчезающем порядке
R?=-- —1па(°)=0,
2t дха
т. е. а^ может быть функцией лишь координаты х1. Остававшимся еще произво-
произволом в выборе последней можно воспользоваться для того, чтобы обратить а^ в
единицу. Тогда метрика принимает (с рассматриваемой точностью) вид
дп = Г^ A + а^), gab = t* (b<°> + ^Ь«), gla = 0. D.3)
Выбор всех трех координат после этого уже фиксирован с точностью до не-
несущественных преобразований вида х а = х а (х2, х3), затрагивающих лишь ко-
координаты х2, х3.
Теперь находим, после вычисления,
Ч) -4-, D.4)
1 It dx1 3t
1
Л/3
S^, D-6)
D.7)
(уравнения для Kj тлЩ не дают ничего нового). Здесь все операции поднятия
индексов а, Ь, с и ковариантного дифференцирования производятся в двухмер-
двухмерном пространстве (с метрикой ofl) над двухмерными тензором Ь^ и скаля-
скаляром (Г1)); в этих обозначениях контравариантный метрический тензора обрат-
обратный тензору D.3), есть
Далее, К обозначает составленную из ofl двумерную скалярную кривизну (как
известно, двумерный аналог КаЪ тензора Rik сводится к скаляру: Къа = 1/2КЬъа);
Ъ^ есть определитель тензора Щ (главный член в определителе метрического
тензора gik есть — g = t2h^ .
Из D.4) и D.7) находим
a(i) = 11 е(о) _ А к ь^а = - — 6b f е@) + - к). D.8)
5 10 10 а[ 2 J v J
С учетом этих формул находим из D.5) и D.6)
D.9)
456 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, полученное решение содержит четыре произвольные функ-
функции координат, например три величины Ъ^ и е^°\ По этим величинам форму-
формулы D.8), D.9) определяют первые поправочные члены в метрике и распределе-
распределение скоростей материи.
В частном центрально-симметрическом случае координаты х2, х3 являются
угловыми переменными, а поверхности х1 = const имеют отличную от нуля кри-
кривизну К7). В обобщенном решении это не обязательно, и все координаты могут
иметь любой геометрический характер (так, решение может иметь «цилиндри-
«цилиндрический» или «плоский» характер).
В отсутствие материи центрально-симметрическое решение, разумеется, от-
отсутствует, поскольку свободное гравитационное поле, как уже отмечалось, не
может обладать такой симметрией. Обобщенное же решение дает определенный
класс решений и для пустого пространства. В этом случае в правых сторонах
уравнений D.4) —D.7) стоят нули. Из D.4) и D.7) имеем
a(D=_AK, ЪПЪа=-±К&Ъ D.10)
после чего уравнение D.6) удовлетворяется тождественно, а из D.5) имеем
b — / (х2> х3)- Эта произвольная функция координат х2, х3 может быть обращена,
например, в единицу за счет допустимых еще преобразований этих координат
(при преобразовании ха = ха (х12, х/3) определитель Ъ^ умножается на квад-
квадрат якобиана д (х2, х3 )/<9 (х/2, х/3)). В результате остается всего две произволь-
произвольные функции: три величины b^b , связанные условием Ъ^ = 1. Таким образом,
мы приходим к классу решений для пустого пространства, содержащему две про-
произвольные функции координат.
В заключение выражаем искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за по-
постоянный интерес к нашей работе и стимулирующие обсуждения. Мы благодар-
благодарны также Л.П. Питаевскому за обсуждение ряда вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля, 3-е изд., Физматгиз, I960.
[2] R. Tolman. Proa Nat. Acad. Sci., 20, 3, 1934.
[3] R. Oppenheimer, H. Snyder. Phys. Rev., 56, 455, 1939.
7) Формулы C.14), C.15) в точности соответствуют формулам D.8), D.9), причем аA) =
2 = Ь^з = |л^ , а е^ и К = 2ехр(—\v-0' j являются функциями только от х1 = г.
36
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ. II
Совместно с ИМ. Халатниковым
ЖЭТФ, 39, 800, 1960
Найден широкий класс космологических решений уравнений гравитации, обладающий осо-
особенностью, в котором содержится семь произвольных физически различных функцих коор-
координат. Это число на единицу меньше числа функций, необходимого для задания произвольного
начального распределения материи и гравитационного поля в общем случае,
1. Постановка вопроса
Найденные в предыдущем сообщении [1] (цитируемом ниже как I) частные
классы космологических решений уравнений гравитации показывают, что нали-
наличие особенности является, во всяком случае, довольно широким свойством таких
решений. Об этом же свидетельствуют различные точные (т. е. справедливые во
всем пространстве во все моменты времени) решения, найденные различными
авторами при определенных, очень специальных, предположениях об их виде
(см., например, [2, 3]).
Все эти решения, однако, не могут сами по себе дать ответ на основной вопрос о
том, является ли наличие особенности общим свойством космологических реше-
решений, не связанным ни с какими специфическими предположениями о характере
распределения материи и гравитационного поля. Положительному ответу на этот
вопрос соответствовало бы существование общего решения уравнений гравита-
гравитации, обладающего особенностью и содержащего столько произвольных функций
координат, сколько необходимо для задания произвольных начальных условий в
некоторый момент времени. Напротив, отсутствие решения (с особенностью) с та-
таким числом произвольных функций означало бы, что случай произвольного рас-
распределения материи и поля, вообще говоря, не приводит к наличию особенности.
Таким образом, мы приходим к следующей постановке задачи: предполагая
особенность существующей, надо найти вблизи нее вид наиболее широкого класса
решений уравнений гравитации с тем, чтобы по числу содержащихся в нем про-
произвольных функций координат судить о том, является ли это решение общим.
Среди произвольных функций, содержащихся в том или ином решении урав-
уравнений гравитации, имеются, вообще говоря, такие, произвольность которых свя-
связана просто с допускаемым уравнениями произволом в выборе системы отсчета.
Нас же должно, очевидно, интересовать лишь число «физически различных» про-
произвольных функций, которое не может быть уменьшено никаким выбором сис-
системы отсчета. Из физических соображений легко видеть, что число таких функ-
функций в общем случае должно быть равно восьми: произвольные начальные усло-
условия должны задавать начальные пространственные распределения плотности
458 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
материи, трех компонент ее скорости, а также еще четырех величин, определя-
определяющих свободное (т. е. не связанное с материей) гравитационное поле. К послед-
последнему числу можно прийти, рассматривая, например, слабые гравитационные
волны: в силу их поперечности, их поле определяется двумя величинами (ком-
(компонентами gik), удовлетворяющими уравнению второго порядка (волновому урав-
уравнению), а потому начальные условия для них должны задаваться четырьмя функ-
функциями координат.
Мы будем пользоваться ниже, как и в I, системой отсчета, подчиненной усло-
условиям I A.3): gQa = 0, д00 = —1. Л.Д. Ландау уже давно указывал, что в такой систе-
системе одно из уравнений гравитации (уравнение I A.4)) сразу дает возможность до-
доказать, что определитель g должен в течение конечного времени обратиться в
нуль (это было отмечено также Комаром [4]). Это обстоятельство, однако, само по
себе ни в какой степени не доказывает необходимости существования истинной
физической особенности в решениях, так как особенность (обращение g в нуль)
может оказаться фиктивной, исчезающей при переходе к другим системам от-
отсчета. Более того, В.В. Судаков указал, что в данном случае такая фиктивная осо-
особенность должна существовать в силу характера выбранной системы отсчета.
Легко видеть, что в этой системе линии времени (т. е. линии х1, х2, х3 = const)
представляют собой семейство геодезических линий. Но линии такого семейства,
на которое не наложено специального условия параллельности, вообще говоря,
пересекаются друг с другом на некоторых гиперповерхностях — четырехмерных
аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Пересечение же
координатных линий означает обращение в нуль соответствующих компонент
метрического тензора, причем обращается в нуль также и определитель д. По-
Поэтому на указанных гиперповерхностях метрика будет иметь особенность, но
особенность не физическую 1).
В настоящем сообщении дан полученный в ходе выполнения указанной про-
программы очень широкий класс решений уравнений тяготения, обладающих фи-
физической особенностью, но не являющийся, однако, еще общим решением; оно
содержит семь произвольных функций, т. е. всего на одну меньше, чем требуется
в общем случае.
2. Случай пустого пространства
Построение этого решения мы начнем со случая пустого пространства. В от-
отсутствие материи правые стороны общих уравнений I A.4) —A.6) заменяются ну-
нулями; перепишем эти уравнения в виде:
R°=^ln(-g) + Ul^=0, B.1)
а OCJCY СЬ^^'Оа;Р ' V * /
B-3)
')
общении.
Аналитический вид метрики вблизи такой фиктивной особенности будет указан в другом
нии.
36. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. II 459
Будем искать решение этих уравнений вблизи особенности в первом прибли-
приближении (главные члены разложения) в виде
Яо» = t2p%k +t2p*mam& + t^nan&, B.4)
где 1, m, n — трехмерные векторы, являющиеся функциями координат; функция-
функциями координат могут являться также показатели степеней р1? р2, р3. Определитель
этого тензора
V^) B.5)
Тензор gaf3, обратный тензору B.4), можно представить в виде 2)
9ap=E*PlUp- B-6)
Здесь и ниже знак суммы означает суммирование по циклическим пере-
перестановкам векторов 1, m, n и чисел р1? р2, р3, и введено обозначение
, n =[1т]/A[тп]) B.7)
для векторов, «обратных» векторам 1, m, n (так что 11=1, lm = In = 0,...). Далее
имеем
Подстановка B.5) и B.8) в уравнение B.1) приводит к соотношению
Р1+Р2+Р3 =Р12+Р2+Рз B.9)
между величинами р1? р2, р3. Сделаем теперь предположение, что в B.3) трех-
трехмерный тензор кривизны Р^ не дает вклада в главные члены уравнения 3). Тогда
2) Здесь и ниже все символы векторных операций (векторные произведения, операции rot, grad
и т. п.) надо понимать чисто формальным образом, как операции над компонентами векторов 1, т, п,
такие, как если бы координаты х1, х2, х2 были декартовыми.
3) Не существует, по-видимому, сколько-нибудь широких классов решений, не удовлетворяющих
этому условию. Сравнительно узкий класс (он будет приведен в дальнейшем) получается при по-
постоянных значениях р1? р2, р3, равных sv s2, 1, где sv s2 — два числа, удовлетворяющих условию
Соотношение B.9) (т. е. уравнение B.1)) удовлетворяется также при рг — р2 = р3 = 1, т. е. при
дар = t2aap , где aaf3 — функции координат. Тогда уравнение B.3) дает Ра^ — — 2аа^; это значит, что
пространство обладает постоянной (не зависящей от координат точки) отрицательной кривизной.
Соответствующая пространственно-временная метрика может быть написана с помощью «четы-
«четырехмерных сферических координат» \, 0, ср в виде
—ds2 =—dt2 +t2 [d\2 +sh2x(d02 + sin2 0-ckp2)]
(см., например, [5], § 104). Но преобразованием г =t sh\, т =t chx такая метрика приводится про-
просто к галилеевой метрике
-ds2 = -dj2 + dr2 + г2 Id 02 + sin2 0 • d^J).
460
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
главные члены имеют порядок ? и обращаются в нуль при условии рх + р2
-f p3 = 1. Вместе с соотношением B.9) получаем, таким образом:
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
2/3
-1/3
Pi + P2 + Рз = 1 >
з =1.B.10)
Рис. 1
Эти два соотношения связывают три
функции рг, р2, р3 из которых, следова-
следовательно, лишь одна является независи-
независимой 4). При этом р1? р2, р3 никогда не имеют
одновременно одинаковых значений, а ра-
равенство двух из них имеет место лишь в
тройках значений 0, 0,1 и ~УЪ, %,%• Во
всех других случаях величины р1? р2, р3
имеют различные значения, причем одна из
них отрицательна, а две другие положитель-
положительны; мы будем располагать эти значения в по-
порядке Pi < р2 < Рз- Величины р1? р2, р3 пробе-
пробегают значения соответственно в интервалах
Они могут быть представлены в параметрическом виде как
(l + s)
Pi =
p2 =
Рз =
B.11)
9 7 Jl Z 9 ' J. О 9 "
1 + s + s 1 + s + s 1 + s + s
причем параметр s пробегает значения от 0 до 1. На рисунке изображены кри-
кривые, определяющие любые две из величин рг, р2, р3 по заданному значению тре-
третьей (три значения, лежащие на одной вертикали).
Условия B.10) обеспечивают обращение в нуль вклада ~t~2 из второго члена в
уравнении B.3); в соответствии со сделанным предположением надо еще обеспе-
обеспечить отсутствие членов такого порядка в тензоре Р^.
Поскольку существенно различная зависимость метрики от времени имеет
место вдоль направлений 1, т, п, удобно «проецировать» все тензоры на эти
направления. Обозначая соответствующие проекции индексами I, т, п, опреде-
определим их следующим образом:
Plm -
B.12)
4) Постоянные числа pv р2, р3, связанные соотношениями B.9), впервые фигурировали в указан-
указанном Таубом [6] точном решении уравнений B.1)-B.3), соответствующем полностью однородному
(но не изотропному) пустому пространству:
-ds2 = -dt2+t2pidx2+t2p*dx22+t2p3dxl.
При Pi = p2 = 0 ,рз = 1 преобразованием хх = х , х2 = у , t shx3 = z,t chx3 = т эта метрика
приводится к галилеевой, т. е. особенность фиктивна. При этих значениях pv p2, р3 особенность яв-
является фиктивной и для метрики B.4) (хотя последняя и не является, разумеется, галилеевой). Мы
исключаем из дальнейшего рассмотрения эти значения.
36. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. II 461
В таких обозначениях имеем, в частности,
9n=t2pl, gmm=t2P2, gnn=t2^.
«Смешанные» компоненты тензора определим, соответственно, как
Р/ = Ри/дп = t-2*/Ptt , Р? = Plm/gmm = t-^/Plm>.... B.13)
Вычисление компонент тензора Paf3 по общим формулам с помощью метри-
метрического тензора B.4) приводит в результате к следующим выражениям для чле-
членов наибольших порядков:
pi = _рт = _рп = A rotl) 2A-2Р1)
1 т п 2(l[mn]J
_ (lrotl)p 9)
(lrotl)Plf ,
Pmn = 21П2 t • (p2>np1>m +P3,mPl,n -Pl,mPl,n)- B-H)
Буквы I, m, n в индексах после запятой обозначают здесь дифференцирование в
соответствующем направлении согласно определению:
f,=ladf/dxa,...
Поскольку р: < 0, то мы видим, что диагональные компоненты Р\, ... содержат
\/t в степени более высокой, чем 2. Поэтому для соблюдения уравнений B.3) во
всяком случае необходимо, чтобы эти члены отсутствовали, т. е. должно быть
lrotl = 0. B.15)
Заметим, что это условие имеет простой геометрический смысл. Удовлет-
Удовлетворяющий ему вектор может быть представлен в виде 1 = ^ grad ф (^ф, ф — две
скалярные функции), так что lj,^dxadx^ = ^2d^2. Это значит, что направление
вектора 1 в каждой точке пространства может быть выбрано в качестве направ-
направления координатной линии х1 (так что поверхности ср = const будут поверхностя-
поверхностями х1 = const); как известно, в общем случае произвольного трехмерного вектор-
векторного поля это, вообще говоря, невозможно.
При выполнении условия B.15) главные члены в компонентах тензора Paf3 ока-
оказываются имеющими порядок величины
^\nt, Pln~Pmn~\nH, B.16)
и не отражаются, в главном порядке, на уравнениях B.3).
462 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Остается удовлетворить уравнениям B.2). Наибольшие члены в этих уравне-
уравнениях могли бы иметь порядок t~l In t: такие члены появляются при дифференци-
дифференцировании показателей степеней в производных от д^ по координатам, фигуриру-
фигурирующих в выражении
Р * д д
Однако в силу соотношений B.10) эти члены тождественно сокращаются:
= 4 > рт —— = 2 Р1+Р2+Р?) = 0.
Поэтому главными членами оказываются члены порядка 1/t Первый член в B.2)
в этом приближении обращается в нуль, а вычисление производной к^. ^ приво-
приводит к следующему результату:
^E = 0.B.17)
Проецируя это уравнение на направления 1, т, п, получим отсюда три соотно-
соотношения
! + (р3 — pjmrotn + (рх — p2)nrotm = 0,
[nl] Vp2 + (рх — р2) nrotl + (p2 — р3) lrotn = 0,
[lm]Vp3 +(р2 - p3)lrotm + (p3 - pjmrotl = 0. B.18)
Следующие члены разложения метрического тензора
gav = g($ + hati B.19)
(где д^ дается формулой B.4)) выражаются через фигурирующие в B.4) вели-
величины. Мы не станем приводить здесь соответствующие вычисления и укажем
лишь, что первые поправочные члены имеют следующие порядки величины:
h\ ~h% ~h% ~ Ц; ~hl,~ ?2A~P2) In21 B.20)
(компонента же hlm оказывается величиной относительно более высокого поряд-
порядка малости и в этом смысле входит уже в следующее приближение).
В выражение B.4) входит всего 10 различных функций координат: по три ком-
компоненты трех векторов 1, m, n и одна из функций р1? р2, р3. Между этими десятью
функциями имеется четыре соотношения B.15), B.18). Кроме того, используе-
используемая нами система отсчета допускает еще произвольные преобразования трех про-
пространственных координат друг через друга. Поэтому полученное решение со-
содержит всего 10 — 4 — 3 = 3 физически различные произвольные функции коор-
36. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. II 463
динат. Это число на 1 меньше, чем требуется для задания произвольных началь-
начальных условий в пустоте 5).
3. Решение в пространстве, заполненном материей
Покажем теперь, что наличие материи не меняет характера полученного ре-
решения, причем начальные условия для распределения и движения материи мо-
могут задаваться вполне произвольным образом.
Для ориентации в порядках величины плотности энергии е и компонент 4-ско-
рости материи и{ удобно воспользоваться гидродинамическими уравнениями дви-
движения материи, содержащимися, как известно, в уравнениях гравитации (урав-
(уравнения Т*к =0):
^11**) = 0, C.1)
(з.2)
х * дх ) дх дх
(см. например, [7], § 125). Здесь сг — плотность энтропии; для ультраре-
ультрарелятивистского уравнения состояния р = е/3 энтропия о ~ е3/4.
Сделаем предположение — подтверждающееся результатом — что главными
в уравнениях C.1), C.2) являются члены, содержащие производные по времени;
тогда уравнение C.1) и пространственные компоненты уравнения C.2) (времен-
(временная компонента не дает ничего нового) дают:
д ( I о/л\ . дип де
(^*4) ° 4f+0
откуда
tu0e3/4 = const, гбае3/4 = const,
где const означают не зависящие от времени величины. Кроме того, и тождества
щиг = — 1 имеем, учитывая, что все ковариантные составляющие иа — одинако-
одинакового порядка:
(мы снова пользуемся проекциями на направления 1, т, п, т. е. представляем
трехмерный вектор и в виде и = иг\ + umm. + ипп ). Из написанных соотношений
находим
е ~ t^), ul - t~^~l\ ua - t^1-^)/2, C.3)
после чего легко проверить, что отброшенные нами в уравнениях C.1), C.2) чле-
члены действительно малы по сравнению с оставленными.
5) Найденное в I § 4 для случая пустого пространства решение с двумя произвольными функция-
функциями соответствует частному случаю постоянных значений р1? р2, р3, равных —1/ъ, %, % • Недавно Гар-
рисоном [3] был найден ряд точных решений специального вида. Эти решения обладают особеннос-
особенностями, которые могут быть приведены к типу B.4) (с различными постоянными значениями pv p2, р3)
или к типу, упомянутому в примечании на стр. 459. Мы благодарны Гаррисону за присылку нам пре-
препринта его работы.
464 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Оценим теперь компоненты тензора энергии-импульса Tjf, стоящие в правых
частях уравнений 1A.4) — A.6). В уравнении I A.4) имеем
То° ~ ги20
Поскольку р3 < 1, то эта величина имеет более низкий порядок по \/t, чем глав-
главные члены в левой стороне уравнения (^t~2). To же самое относится к уравне-
уравнениям I A.6); пространственные компоненты тензора Т^, «спроецированные» на
направления 1, т, п, имеют порядки величины
Т/ - е - ?-2A~Рз), Т™ - еитит ~ И1+2р2~Рз), Тпп - еипип ~ И1+Рз), C.4)
которые все меньше, чем t~2.
В уравнении же I A.5) имеем
т. е. тот же порядок величины, что и в левой стороне равенства. Это обстоятельство,
однако, тоже не изменит характера решения. Действительно, в соответствии с C.3)
напишем
е = e(o)t-2(i-P3)> u = u(o)t(i-P3)/2 C.5)
для первых членов разложения этих величин; при этом
Приравнивая выражение B.17) для R® величине Т® = 46uau°/3 , найдем в резуль-
результате вместо уравнений B.18) уравнения
[mn]Vp! +(p3 -p1)mrotn + (p1 -p2)nrotm = --г^и^и^,... C.6)
о
Таким образом, меняется лишь связь между фигурирующими в B.4) функция-
функциями, причем в эту связь входят теперь также и новые функции е^°\ \г°\
Меняется также и вид следующих членов разложения метрического тензора,
причем первыми следующими за B.4) членами являются именно члены, связан-
связанные с наличием материи.
Для вычисления этих членов пишем gaf3 в виде B.19). При этом
C.7)
(точка означает дифференцирование по t). Из I B.1) и I B.3) получаем следую-
следующие уравнения для haf3:
\{ ^%) C.8)
ТР, C.9)
36. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. II 465
где h = h^ (при вычислении R^ надо учесть, что величины к^ пропорциональны
\/t, причем к^ = 2/t; «возмущение» тензора Р^ дает вклад в R^ меньшего по-
порядка величины, чем написанные в C.9) члены). Поскольку в этих уравнениях
нет производных по координатам, мы можем непосредственно перейти в них к
проекциям на направления 1, т, п; учитывая, что отличны от нуля лишь
к@I — <) I. @)m _ ъ I. @)п _ ъ I.
К1 — ZPl/r> Кт — ZP2/r' Кп — ZP3/r>
получим тогда из C.9) уравнения такого вида
Tl,... C.10)
\[к + 1+2p;Piv) = тг,... (з.п)
\[к + ;v
Из трех «диагональных» компонент C.4) тензора энергии-импульса наибо-
наиболее высокую степень \/t содержит Т™. Поэтому при вычислении /г/, h™, h™ мож-
можно опустить Т/, Т™ в правых сторонах уравнений C.10), сохранив в них лишь
Т^ = 4eunun/3. В результате получим:
± jJ3 1 jJ3
Op@) @J
8? U tl-P3
3(l-p3)B-p3)
^ -3A-рз)A+р3-2р/ ' Al--3(l
Эти поправки — большего порядка величины, чем первые поправочные члены в
отсутствие материи (компонента же hlm снова оказывается относительно более
высокого порядка малости).
Уравнение C.8) удовлетворяется выражениями C.12) тождественно. Не вы-
выписанное же нами уравнение R^ = Т® нужно было бы лишь при определении сле-
следующих членов разложения энергии и скорости.
Таким образом, найденное решение уравнений гравитации представляет со-
собой очень широкий класс решений, обладающих особенностью. Оно содержит семь
произвольных функций координат: помимо трех функций фигурировавших уже
в отсутствие материи, в него входят еще функция е° и три функции и^ 6).
Характер изменения метрики t —> 0 в этом решении таков, что в каждой точке
пространства линейные расстояния по двум направлениям убывают (как tP2
и ?РЗ ), а по третьему — возрастают (как ?~'Р1'); объемы при этом убывают про-
пропорционально t Законы этих изменений (т. е. значения р1? р2, р3) меняются вдоль
пространства, определяясь заданием начальных условий.
Плотность материи обращается в каждой точке пространства в бесконечность по
закону ? ^ t~ (г~рз\ Уже это обстоятельство является очевидным свидетельством
6) Можно показать, что высшие члены разложения метрики не содержат какой-либо еще произ-
произвольной функции.
466 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
физического (не фиктивного) характера особенности в данном решении (отме-
(отметим также, что в случае пустого пространства не фиктивность особенности про-
проявляется в обращении в бесконечность скаляров, составленных из компонент 4-
тензора кривизны Rmm, например, скаляра RiklmRlklm).
Скорость движения материи в этом решении (в рассматриваемой системе от-
отсчета) стремится при t —> 0 к скорости света 7). Действительно, трехмерный ска-
скаляр иаиа ~ ипип стремится при t^O к бесконечности как t~^3p3~^. Это значит,
что материя движется в каждой точке в основном вдоль направления п, причем
абсолютная величина ее обычной трехмерной скорости v стремится к 1 по закону
Собственное время т движущейся материи связано со временем t посредством
dj = dtvl — v2 . Поэтому
В сопутствующей системе отсчета плотность энергии обращается, следовательно,
в бесконечность по закону
Полученное решение, однако, не является еще общим, так как общее решение
должно было бы содержать восемь произвольных функций координат. Неполнота
этого решения проявляется, в частности, в свойствах его устойчивости. Общее ре-
решение, по определению, полностью устойчиво: никакие малые возмущения не мо-
могут изменить его характера, поскольку оно допускает произвольные начальные
условия. Данное же решение оказывается неустойчивым (при учете квадратич-
квадратичных по возмущению членов) по отношению к возмущениям определенного типа —
возмущениям, связанным с появлением отличной от нуля величины 1 rot 1. Вопрос
о существовании или отсутствии общего решения с особенностью тесно связан с
вопросом о характере этой неустойчивости и требует особого исследования.
В заключение выражаем искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за по-
постоянный интерес к нашей работе и многочисленные обсуждения. Мы благодар-
благодарны также В.В. Судакову за сообщение нам своих результатов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 149, I960. [Статья 35 настоящего собра-
собрания трудов].
[2] Е. Schucking, О. Herkmann. XI Conseil de Physique Solvay. Bruxelles, 1958.
[3] B.K. Harrison. Phys. Rev., 116, 1285, 1959.
[4] A. Komar. Phys. Rev., 104, 544, 1956.
[5] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля, 3-е изд. Физматгиз, I960.
[6] А.Н. ТаиЪ. Ann. of Math., 53, 472, 1951.
[7] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1954.
7) В частном случае, когда pv р2, р3 имеют постоянные значения —%, %, % материя может
быть «вписана» в решение B.4) еще и некоторым другим, частным, способом, при котором ее ско-
скорость стремится при t^O к нулю. Это — решение, изложенное в I (формулы I D.2), D.3)); в нем
материя привносит с собой лишь две, а не четыре новые произвольные функции, т. е. начальные
условия для нее должны иметь некоторый частный характер.
37
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ. III
Совместно с В.В. Судаковым и ИМ. Халатниковым
ЖЭТФ, 40, 1847, 1961
Дан общий геометрический анализ ситуации, приводящей к возникновению временной осо-
особенности в решениях уравнений гравитации в синхронной системе отсчета (система, под-
подчиненная условиям A)). Этот анализ, вместе с полученными в предыдущих сообщениях [1, 2]
результатами, приводит к выводу об отсутствии особенности в общем случае произволь-
произвольного распределения материи и гравитационного поля в пространстве.
В предыдущих статьях [1,2] (цитируемых ниже как I и II) была поставлена
задача об исследовании вида космологических решений уравнений гравитации
вблизи особой точки по времени, и были найдены различные типы таких реше-
решений. Эти результаты, вместе с излагаемыми ниже соображениями, позволяют
сделать определенные заключения по основному вопросу — неизбежно ли нали-
наличие временной особенности в космологических моделях общей теории относи-
относительности.
1. Общее решение с фиктивной особенностью
Как и раньше, мы будем пользоваться системой отсчета, подчиненной усло-
условиям
9^оо =-!» 9W=0- A)
Равенство нулю компонент gQa метрического тензора является, как известно, не-
необходимым условием, обеспечивающим возможность синхронизации хода часов
во всем пространстве (см., например, [3], § 84); поэтому рассматриваемую систе-
систему отсчета можно называть синхронной. В силу условия д00 = — 1 координата t
является при этом мировым временем.
Мы уже упоминали в II, что в силу одного из уравнений гравитации в этой
системе отсчета метрический определитель g непременно должен обратиться в
течение конечного времени в нуль. Именно, из уравнения г)
*) Для тензора энергии-импульса материи Tf = (p + е)щик + рЬк имеем (в синхронной системе
отсчета)
откуда очевидна отрицательность этой величины. То же самое справедливо и для тензора энергии-
импульса электромагнитного поля (Т/ =0, То° =— [Е2 -\-/
468 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(все обозначения — те же, что и в I и II) в силу алгебраического неравенства
к^р > з^J имеем
Пусть, например, в некоторый момент времени к^ > 0. Тогда при уменьшении t ве-
величина 1/к^ убывает, имея всегда конечную (не равную нулю) производную и по-
потому должна обратиться в нуль (с положительной стороны) в течение конечного
времени. Другими словами, к^ обращается в +оо и, поскольку к,^ = d\n(—g)/dt
(см. I, A.8)), то это значит, что определитель — g обращается в нуль (причем, со-
согласно неравенству C), не быстрее, чем t6). Если же в начальный момент к^ < 0 ,
то тот же результат получается для возрастающего времени.
Отметим, что в этом выводе наличие материи несущественно: нуль в правой
стороне уравнения B) (в случае пустого пространства) достаточен для получения
неравенства C).
Этот результат, однако, еще ни в какой мере не доказывает неизбежности су-
существования истинной (физической) особенности в метрике, не устранимой ника-
никаким преобразованием системы отсчета. Особенность может оказаться нефизичес-
нефизической, фиктивной, связанной просто с характером выбранной системы отсчета.
Излагаемые ниже геометрические соображения показывают, что эта неизбеж-
неизбежная в синхронной системе особенность в общем случае действительно оказыва-
оказывается фиктивной.
В синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими ли-
линиями в 4-пространстве. Действительно, 4-вектор иг = dxl/ds касательной к ми-
мировой линии х1, х2, х3 = const имеет составляющие иа = 0, и0 = 1 и автоматически
удовлетворяет геодезическим уравнениям
dullds + Гк1ики1 = Гоо = 0, D)
поскольку при условиях A) символы Кристоффеля ГоО >-^оо Равны нулю тож-
тождественно. Легко также видеть, что эти линии нормальны гиперповерхностям
t = const. Действительно, 4-вектор нормали к такой гиперповерхности пг = —dt/дх1
имеет ковариантные составляющие па = 0, п0 = — 1. Соответствующие контрава-
риантные составляющие при условиях A) равны па = 0, п° = 1, т. е. совпадают с
компонентами 4-вектора и1 касательных к линиям времени.
Обратно, этими свойствами можно воспользоваться для геометрического по-
построения синхронной системы отсчета в любом пространстве-времени. Для это-
этого выбираем в качестве исходной какую-либо пространственную гиперповерх-
гиперповерхность, т. е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке имеет време-
ниподобное направление (лежит внутри светового конуса с вершиной в этой же
точке); все элементы интервала на такой гиперповерхности пространственнопо-
добны. Затем строим семейство нормальных к этой гиперповерхности геодези-
геодезических линий. Если теперь выбрать эти линии в качестве координатных линий
времени, причем определить временную координату t как длину s геодезичес-
геодезической линии, отсчитываемую от исходной гиперповерхности, — мы получим синх-
синхронную систему отсчета.
37. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. III 469
Ясно, что такое построение, а тем самым и выбор синхронной системы отсче-
отсчета, в принципе возможны всегда.
Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересека-
пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях — четырехмер-
четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Другими сло-
словами, имеется геометрическая причина для появления особенности, связанной
просто со специфическими свойствами синхронной системы отсчета и потому
очевидным образом не имеющей физического характера.
Произвольная метрика 4-пространства допускает, вообще говоря, су-
существование также и непересекающихся семейств времениподобных геоде-
геодезических линий. Свойство же кривизны реального пространства-времени, выра-
выражаемое неравенством Rq ^ 0 , означает, что метрика, допускаемая уравнениями
гравитации, исключает существование таких семейств, так что линии времени
во всякой синхронной системе отсчета непременно должны пересекаться 2).
С аналитической точки зрения это значит, что в синхронной системе отсчета
уравнения гравитации имеют общее решение с фиктивной особенностью по вре-
времени. Такое решение (для пустого пространства) должно содержать восемь про-
произвольных функций трех пространственных координат: 1) четыре «физически раз-
различные» функции, необходимые для задания гравитационного поля в некоторый
начальный момент (см. II, п. 1), 2) одна функция, определяющая исходную гипер-
гиперповерхность в описанном выше геометрическом построении, 3) три функции, свя-
связанные с тем, что условия A) допускают еще произвольные преобразования про-
пространственных координат, не затрагивающие времени.
Характер особенности в метрике заранее ясен из геометрических со-
соображений. Прежде всего каустическая гиперповерхность должна быть време-
ниподобной, поскольку она во всяком случае заключает в себе времениподобные
интервалы — элементы длины геодезических линий в точках их касания с каус-
каустикой 3).
Далее, на каустике обращается в нуль одно из главных значений метрического
тензора соответственно тому, что обращается в нуль расстояние между двумя
соседними геодезическими линиями, пересекающимися друг с другом в точке их
касания с каустикой (соответствующее главное направление лежит, очевидно,
вдоль нормали к каустике). Обращение в нуль этого расстояния происходит про-
пропорционально первой степени расстояния до точки пересечения. Поэтому глав-
главное значение метрического тензора, а с ним и весь определитель — д, обращается
в нуль как квадрат указанного расстояния.
Ход аналитического нахождения вида рассматриваемого общего решения
вблизи особенности описан в Приложении. Имеющимся произволом в выборе
пространственных координат можно воспользоваться для того, чтобы привести
2) Мы отвлекаемся, конечно, от тривиального исключения — пучков параллельных прямых в
плоском 4-пространстве. Заметим, однако, что при произвольном выборе исходной гиперповерхно-
гиперповерхности семейство нормальных к ней геодезических линий пересекается и в плоском 4-пространстве.
Это обстоятельство в особенности ясно выявляет фиктивность возникающей особенности.
3) Времениподобной называется гиперповерхность, нормали к которой лежат вне световых ко-
конусов. Элементы же интервала в такой гиперповерхности могут лежать как внутри, так и вне свето-
световых конусов, т. е. могут быть как времени-, так и пространственноподобными.
470 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
первые члены разложения метрики вблизи особенности к виду, при котором про-
пространственный элемент длины dl дается формулой
dl2 = ga^dxadx^ = aabdxadxb + (t - фJ a33dx23 + 2 (t - фJ aa3dxadx3. E)
Здесь индексы а, Ъ пробегают значения 1,2; величины ааЪ, аа3, а33, ср — функции всех
трех координат. Эта форма допускает еще произвольное преобразование
х3' = х3' (х1, х2, х3), сводящееся к переобозначению величин аа3, а33 и старших
членов разложения компонент даЪ. Им можно, например, воспользоваться для того,
чтобы функция даЪ^р, дающая форму каустической гиперповерхности, обратилась в
Ф = х3. После всего этого останутся допустимыми лишь преобразования двух коор-
координат х1, х2 друг через друга. Поэтому в метрике должно остаться всего пять произ-
произвольных функций (трех координат), так что шесть функций ааЪ, аа3, а33 должны быть
связаны, как следствие уравнений гравитации, одним соотношением.
Особенность в метрике E) является не одновременной — различные простран-
пространственные точки достигают ее в различные моменты времени. Легко, однако, видеть,
что всегда можно построить и такую синхронную систему отсчета, в которой осо-
особенность (фиктивная) будет достигаться одновременно во всем пространстве. Ясно,
что такая особенность не может быть расположена на гиперповерхности, касающейся
линий времени в точках их пересечения, так как существование в ней временипо-
добных интервалов заведомо исключает одновременность особенности. Поэтому ли-
линии времени должны пересекаться на «многообразии точек», имеющем меньшее чис-
число измерений, чем гиперповерхность, т. е. являющемся некоторой двухмерной по-
поверхностью в 4-пространстве; ее можно назвать фокальной поверхностью
соответствующего семейства геодезических линий. Выбрав произвольно фокальную
поверхность, построив от каждой ее точки все возможные направления нормалей к
ней (все направления в двухмерной плоскости, нормальной к фокальной поверхно-
поверхности) и проведя в этих направлениях геодезические линии, мы тем самым построим
синхронную систему отсчета, обладающую требуемым свойством.
Таким образом, общее решение уравнений гравитации может быть представ-
представлено (путем соответствующего выбора синхронной системы отсчета) также и в виде,
в котором особенность оказывается одновременной для всего пространства. В та-
таком виде оно, разумеется, содержит те же четыре физически различные произ-
произвольные функции (трех пространственных координат), которые достаточны для
задания произвольного начального распределения гравитационного поля. По срав-
сравнению же с решением в виде E), оно содержит на одну произвольную функцию
меньше: если строить синхронную систему отсчета, начиная от некоторой исход-
исходной гиперповерхности, то отнюдь не произвольная гиперповерхность может при-
привести к фокусировке построенных по нормалям к ней геодезических линий 4).
4) В известном смысле это решение соответствует равной нулю функции ср в решении E); при
этом на особенности (t = 0) квадрат интервала ds2 = dt2 - dl2 сводится к квадратичной форме
ds2 — —aahdxadxb всего двух дифференциалов. Подчеркнем, однако, что разложение метрики вблизи
такой особенности отнюдь нельзя получить, просто положив ср = 0 в формулах, относящихся к ре-
решению вида E). Укажем также, что такая система отсчета не охватывает собой всего пространства-
времени. Это ясно из того, что все точки каждой гиперповерхности t = const лежат в ней на одинако-
одинаковом временном расстоянии от пространственной фокальной поверхности, т. е. эти гиперповерхности
целиком расположены в областях абсолютного будущего или абсолютного прошлого по отношению
к фокальной поверхности.
37. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. III 471
Как уже упоминалось, фиктивность особенности в рассматриваемых реше-
решениях очевидна уже из способа их построения; особенность может быть устране-
устранена путем преобразования координат, но лишь ценой отказа от синхронности сис-
системы отсчета. Можно также убедиться непосредственно, что, например, состав-
составленный из тензора кривизны скаляр RiklmRlklm не имеет никакой особенности.
Введение материи не меняет качественного характера рассмотренных реше-
решений, а плотность материи остается конечной. Это становится в особенности оче-
очевидным, если заметить, что материя движется (в синхронной системе отсчета) по
мировым линиям, не совпадающим с линиями времени, и, вообще говоря, даже не
являющимися геодезическими.
Исключение может представлять лишь случай «пылевидной» материи (урав-
(уравнение состояния р = 0). Такая материя движется по геодезическим линиям. По-
Поэтому в этом случае условие синхронности системы отсчета не противоречит
условию ее «сопутствия» материи (означающему, что материя движется по ли-
линиям времени), так что система отсчета может быть выбрана не только синх-
синхронной, но в то же время и сопутствующей (в общем же случае произвольного
уравнения состояния это, конечно, невозможно). Плотность материи обратится
тогда на каустике в бесконечность просто как результат пересечения траекто-
траекторий частиц. Ясно, однако, что эта особенность плотности не имеет физического
характера и устраняется уже введением сколь угодно малого, но отличного от
нуля давления материи.
2. Общие заключения
Изложенные в предыдущем разделе геометрические соображения по суще-
существу решают задачу о построении общего решения уравнений гравитации, обла-
обладающего особенностью по времени, — решения, необходимость существования
которого в синхронной системе отсчета следует, как мы видели, из неравен-
неравенства C). Однако особенность в этом решении оказывается не физической, а свя-
связанной лишь со специфическими свойствами использованной системы отсчета.
Тем самым отпадают какие-либо основания для существования наряду с этим
решением еще и другого, которое обладало бы истинной особенностью и тоже
было бы общим. И действительно, произведенное двумя из нас исследование воз-
возможных видов таких особенностей показало, что наиболее широким решением с
истинной особенностью является найденное в II решение с метрикой
^ Pl +р2 +Рз = р2 +р22 +р32 = 1. F)
Оно содержит, однако, на одну произвольную функцию координат меньше, чем
это требовалось бы для общего решения. Поэтому и это решение, несмотря на его
широту, является лишь особым случаем 5).
5) Систематическое построение всех возможных типов решений с истинной особенностью будет
дано в следующем сообщении.
Воспользуемся случаем исправить две опечатки, допущенные в II в формулах, относящихся к
решению F). В выражении II, B.16) для Р/, Р™, Р? пропущен множитель ?~2рз. В правой стороне
уравнения II, C.6) должно стоять щ' вместо v$ (эти исправления учтены в данном издании).
472 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Такое решение является неустойчивым: существует такой тип малых воз-
возмущений, воздействие которых разрушает описываемый этим решением ре-
режим. Поскольку в синхронной системе отсчета особенность не может вообще
исчезнуть, то это значит, что под действием возмущения она переходит в фик-
фиктивную особенность. Если в процессе перехода следить (что всегда возможно)
за обеспечением одновременности особенности, то процесс должен закончить-
закончиться переходом в описанное в п. 1 решение с одновременной для всего простран-
пространства особенностью.
Интересно отметить, что решение вида F) существует и при отсутствии ма-
материи, т. е. для пустого пространства (причем оно содержит тогда три физически
различные произвольные функции — см. II). Не зависят от присутствия или от-
отсутствия материи также и изложенные в § 1 геометрические построения. Все это
свидетельствует о том, что наиболее общие свойства космологических решений
в отношении их особенностей по времени проявляются уже в случае пустого про-
пространства, а материя не меняет эти свойства качественным образом. Этот ре-
результат представляется естественным, если заметить, что гравитационные свой-
свойства должным образом подобранной совокупности коротковолновых гравитаци-
гравитационных волн могут имитировать гравитационные свойства материи (с уравнением
состояния р = е/3). Исключительное положение в этом смысле занимает изот-
изотропное (фридмановское) решение, как и рассмотренное в I его обобщение; эти
решения существуют лишь для пространства, заполненного материей. Эта ис-
исключительность, однако, связана именно со свойственной этому решению высо-
высокой симметрией (однородностью) распределения материи, которая не может быть
осуществлена в указанной имитации.
Все изложенное позволяет сделать основное заключение о том, что нали-
наличие временной особенности не является обязательным свойством космо-
космологических моделей общей теории относительности, и что общий случай про-
произвольного распределения материи и гравитационного поля не приводит
к появлению особенности.
Мы везде (здесь и в I, II) говорили о направлении приближения к особенности,
как о направлении уменьшения времени. В действительности ввиду симметрии
уравнений гравитации по отношению к изменению знака времени, с тем же ус-
успехом могла бы идти речь и о приближении к особенности в направлении увели-
увеличения времени. Физически, однако, ввиду физической неэквивалентности буду-
будущего и прошедшего, между этими двумя случаями имеется существенное отли-
отличие в отношении самой постановки вопроса. Особенность в будущем может иметь
физический смысл, лишь если она допустима при совершенно произвольных ус-
условиях, задаваемых в какой-либо предшествующий момент времени. Ясно, что
нет никаких оснований для того, чтобы распределение материи и поля, дости-
достигаемое в какой-либо момент в процессе эволюции вселенной, соответствовало бы
специфическим условиям, требуемым для осуществления частного решения
уравнений гравитации, обладающего истинной особенностью. Более того, если
даже допустить осуществление по каким-либо причинам такого распределения
в какой-либо момент времени, оно неизбежно разрушится в дальнейшем, уже
хотя бы благодаря неизбежным термодинамическим (и квантовым) флуктуаци-
37. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. III 473
ям. Поэтому изложенные результаты исключают возможность существования
особенности в будущем и означают, что сжатие мира (если оно вообще должно
наступить) должно будет в конце концов снова смениться его расширением. В
отношении же прошлого, исследование, основанное лишь на уравнениях грави-
гравитации, может лишь наложить определенные ограничения на допустимый вид
начальных условий, полное выяснение характера которых на основании
существующей теории невозможно.
Наконец, сделаем еще одно замечание. Все изложенное исследование основа-
основано на обычных уравнениях гравитации Эйнштейна в том виде, в котором они ло-
логически следуют из общей теории относительности. В настоящее время не суще-
существует никаких астрономических или теоретических оснований для введения в
эти уравнения дополнительного «космологического члена». Это тем более отно-
относится к совершенно произвольным и безосновательным изменениям, вносимым
в уравнения гравитации Ф. Хойлом.
В заключение выражаем искреннюю благодарность акад. Л.Д. Ландау за мно-
многочисленные стимулирующие обсуждения. Мы благодарны также Л.П. Питаев-
скому за обсуждение ряда вопросов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Аналитическое построение общего решения с фиктивной особенностью
Выбрав пространственные координаты указанным в тексте образом (обозна-
(обозначим их как х1 = х, х2 = у, х3 = z), будем искать первые члены разложения компо-
компонент метрического тензора в виде
ЯаЬ = ааЪ + тЬаЬ > 9аЗ = Т'аа3 > 033 = Т' (аЗЗ + тЬ33 ) >
где т = t — z, a индексы, обозначенные первыми буквами латинского алфавита
(а, Ъ, с, ...), везде пробегают значения 1, 2. Все коэффициенты разложения —
функции х, у, t (по причинам, которые выяснятся ниже, такое разложение удоб-
удобнее, чем разложение пот при заданных х, у, z). Компоненты соответствующего
контравариантного тензора:
даЬ =ааЪ _Tbabj ga3 = _aa3> дЗЗ = т (fl33 _ т&33 у
Здесь ааЪ — двумерный тензор, обратный тензору ааЪ, а а33 = 1/а33. Все операции
поднимания и опускания индексов у других величин производятся с помощью
ааЪ, а33 так
ЪаЪ = aacabdbc^ aa3 = а^ЗЗ^ и т и
Компоненты тензора Kaf3 вычисляются, по определению, как
(точка обозначает везде дифференцирование по t).
Все вычисления ниже мы производим для случая пустого пространства, соот-
соответственно чему пользуемся уравнениями II, B.1) —B.3).
474 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Прежде всего находим
' 33
откуда Ь33 = — d33. Далее, простое вычисление дает
откуда ЪаЪ = 0, т. е. в разложении даЪ отсутствуют линейные по т члены (это об-
обстоятельство заметно упрощает дальнейшие вычисления, в чем и заключается
преимущество разложения при заданных х, у, t). Остальные уравнения не дают
в рассматриваемом приближении ничего нового.
Учитывая эти результаты, напишем теперь:
ЯаЬ =ааЪ + T4b +тЧаЪ,
ЯаЪ =т2(ааЗ+ТЬаз)>
0зз = т2 (а33 - та33 +т2с33). (П.1)
Здесь выписаны те из дальнейших членов разложения, которые определяются
совместно при переходе к следующему приближению в уравнениях гравитации.
Мы должны теперь вычислить первые неисчезающие члены в уравнениях II,
B.1—3), возникающие при подстановке в них выражений (П.1). Эти довольно гро-
громоздкие вычисления заметно упрощаются, если представить временно д33 в виде
разложения по степеням! при заданных х, у, z (а не х, у, t). Производя соответ-
соответствующее разложение функции а33(х, у, z + т) (в функции с33(х, у, z) достаточно
просто заменить t на z), получим
0зз =т2[азз(х> У, г)+т2С33(х, у, z)], C33 =с33(х, у, z)--a3r3(x, у, z)
(г означает дифференцирование по z), т. е. из разложения выпадает член ^т3.
Применение различных разложений для разных компонент gaf3 требует, разуме-
разумеется, последующего приведения к одинаковым переменным в окончательном ре-
результате вычислений; при вычислении первых неисчезающих членов в уравне-
уравнениях это приведение сводится, однако, просто к замене z на L
Контравариантные компоненты метрического тензора будут теперь 6)
даЪ =
д33 =т~2а33 -С33 +а«а3а.
6) Если дар = д$ +hap (где /гар — малы), то gaP - да^ -ha^ +h«h^. В данном случае под
надо понимать тензор с компонентами д^ =aab, g^j =0, g^ =т2а33.
37. Об особенностях космологических решений уравнений гравитации. III 475
Определитель
- д = т2а33 \ааЪ | [l + т2 (С33 +саа- аа3аа3)].
По написанной метрике вычисляются компоненты тензоров Kaf3 и Paf3, а за-
затем — левые стороны уравнений II, B.1—3). Мы приведем здесь лишь оконча-
окончательный результат довольно громоздких вычислений (после проведения кото-
которых вновь возвращаемся к разложению д33 в виде (П.1)):
К = саа + Зс3 - ^й33а33 - а3аа3а +\{йаЬааЪ)' +±dacdbdaahacd = О, (П.З)
К = — Маз + аа3 + 3ba3 - daba3b + a33fca ] = 0, (П.4)
тазз
Кз° = ^[Заа3Ьа3 + dabcab - Ыаа - dabala3b - 2cabaab +аа3аа3 + kQaa3aa3] = 0, (П.5)
К = ~ i^r-fcafco + 3dab + а'3ьа + ab.a - а33аЪсаас] = 0, (П.6)
1
?3 _ Г елЪ | елЪ | „hi. „hi. i О' i QL Л Л Ь i ' „Ъс,
«а = ~9 [" Kb + Ка + С>Ъ ~ ^bK + ^За + ЗЬа3 - daba3b + пЪспЪсп3а
ZTB33
= 0. (П.7)
Здесь введены обозначения
k0 = (lna33), К = dIna33/дха ,
а операции ковариантного дифференцирования производятся над двухмерными
тензором саЪ и вектором а3а в двухмерном пространстве с метрикой даЪ = ааЪ.
Что касается компоненты К3, то она оказывается совпадающей в своих глав-
главных членах с суммой R%. Поэтому для получения еще одного соотношения надо
вычислить первые неисчезающие члены в разности К^ — К3; при этом удобно вы-
вычесть еще из нее Rq, имеющую тот же порядок величины. В результате вычисле-
вычисления получается:
а - К3 - Ко = К + -[ааЪа ) --аасаыа а - Ьс3 + За33а +
а33
ab
C
\2
= 0, (П.8)
где К — двухмерная скалярная кривизна, составленная по метрике даЪ = ааЪ (дву-
(двумерный аналог КаЪ тензора Rik сводится, как известно, к скаляру: КаЪ = У2КдаЪ).
Уравнения (П.4) определяют коэффициенты ba3 (по заданным функциям ааЪ,
а3а, а33). Исключая затем d^ из уравнений (П.5) и (П.6), получим одно уравнение
dabcab +с?/с0 -26abaab = -2al.a+a33aabdab +Мз.
476 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
которое, вместе с двумя уравнениями (П.7)
2съь.а -2съа;Ъ +съакъ -съька =-2d3a -аЪсаЪса3а +kQaa3 +/caa33,
определяет три величины саЪ. Из уравнения (П.З) определится с33, а из урав-
уравнений (П.6) — dab. Уравнение же (П.8) можно рассматривать после этого как со-
соотношение, связывающее между собой величины aaf3.
Таким образом, все коэффициенты разложения (П.1) определяются по шести ко-
коэффициентам ааЪ, аа3, а33, связанным между собой одним соотношением. Другими
словами, метрика (П.1) содержит, как и следовало, пять произвольных функций.
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 149, I960. [Статья 35 настоящего собра-
собрания трудов].
[2] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 800, I960. [Статья 36 настоящего собра-
собрания трудов].
[3] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля, 3-е изд., Физматгиз, I960.
38
ПРОБЛЕМЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КОСМОЛОГИИ
Совместно с ИМ. Халатниковым
УФН, 80, 391, 1963
ЧАСТЬ I. ОСОБЕННОСТИ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ
1. Введение
Принципиально новые возможности, которые открывает общая теория отно-
относительности при применении к вопросу о свойствах мира как целого, были впер-
впервые указаны Эйнштейном в 1919 г. Дальнейшие успехи релятивистской космо-
космологии связаны главным образом с решением гравитационных уравнений Эйн-
Эйнштейна, впервые найденным А.А. Фридманом в 1922 г.
Как известно, это решение основано на предположении о полной однороднос-
однородности и изотропии распределения материй в пространстве («изотропная космоло-
космологическая модель»); при этом возможны два случая, соответствующие простран-
пространству постоянной положительной кривизны (так называемая «закрытая модель»),
или пространству постоянной отрицательной кривизны («открытая модель»). Ос-
Основным свойством этих решений является их нестационарность. Вытекающее от-
отсюда представление о расширяющейся Вселенной нашло, как известно, блестя-
блестящее подтверждение в открытом Э. Хабблом эффекте красного смещения, и в на-
настоящее время можно считать, что изотропная модель дает, в общих чертах,
адекватное описание современного состояния Вселенной.
В то же время ясно, что в реальном мире предположение об однородности мира
может оправдываться в лучшем случае лишь приближенным образом. Если даже
и можно говорить об однородности распределения плотности материи, усреднен-
усредненной по расстояниям, большим по сравнению с межгалактическими, эта однород-
однородность во всяком случае исчезает при переходе к меньшим масштабам. С другой
стороны, это предположение является очень далеко идущим в математическом
отношении. Связанная с ним высокая симметрия решения вполне может приве-
привести к появлению специфических свойств, исчезающих при переходе к более об-
общему случаю.
В связи с этим возникает вопрос о том, насколько общий характер имеет дру-
другое важное свойство изотропной модели — наличие в ней особой точки простран-
пространственно-временной метрики по отношению ко времени. Присутствие такой осо-
особой точки означает ограниченность времени. В открытой изотропной модели име-
имеется, как известно, одна особая точка и время ограничено в ней лишь с одной
стороны, а закрытая модель имеет две особые точки и время ограничено в обоих
своих направлениях.
478 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Естественно, что для всей космологии существен вопрос о степени общности
этого важного свойства: является ли наличие особенности общим свойством кос-
космологических решений, не связанным ни с какими специфическими предполо-
предположениями о характере распределения материи и гравитационного поля, которые
лежат в основе того или иного частного решения уравнений гравитации?
К настоящему времени известно, помимо изотропного решения, также и до-
довольно большое число других точных (т. е. справедливых во всем пространстве в
течение всего времени) решений уравнений гравитации. Нахождение таких ре-
решений может, конечно, представить существенный интерес с точки зрения вы-
выяснения различных свойств такой чрезвычайно сложной системы нелинейных
дифференциальных уравнений, которой являются гравитационные уравнения
Эйнштейна. Однако накопление точных решений не может само по себе дать от-
ответ на поставленный выше вопрос. Каждое из таких частных решений связано с
теми или другими весьма специфическими предположениями об их виде, и из
факта наличия или отсутствия в нем особой точки нельзя сделать никаких за-
заключений о поведении решения в наиболее общем случае 1). К тому же эти
специальные предположения неизбежно оказываются весьма далеко идущими
и обычно подчинены лишь требованию сделать возможным точное решение урав-
уравнений; они имеют поэтому обычно чисто математический характер (ограничение
числа независимых переменных, разделение переменных, диагональность мет-
метрического тензора и т. п.) и лишены какого-либо прямого физического смысла.
Более точная формулировка интересующей нас задачи заключается в вопро-
вопросе: обладает ли особенностью общее решение уравнений гравитации, т. е. такое
решение, которое допускает совершенно произвольное задание условий (распре-
(распределения материи и гравитационного поля) в какой-либо момент времени, выби-
выбираемый в качестве начального.
Критерием общности решения является число содержащихся в нем произ-
произвольных функций пространственных координат. При этом, однако, надо иметь в
виду, что среди произвольных функций, содержащихся в том или ином решении
уравнений гравитации, имеются, вообще говоря, такие, произвольность которых
связана просто с допускаемым уравнениями произволом в выборе системы от-
отсчета 2). Нас же должно, очевидно, интересовать лишь число «физически произ-
произвольных» функций, которое не может быть уменьшено никаким выбором систе-
системы отсчета. Число таких функций для общего случая легко установить уже из
физических соображений. Произвольные начальные условия должны задавать
начальные пространственные распределения плотности материи, трех компо-
компонент ее скорости, а также еще четырех величин, определяющих свободное (т. е.
не связанное с материей) гравитационное поле. К последнему числу можно прий-
прийти, рассматривая, например, слабые гравитационные волны: в силу их попереч-
ности их поле определяется двумя независимыми величинами (компонентами
метрического тензора); эти величины удовлетворяют уравнению второго поряд-
порядка (волновому уравнению), а потому начальные условия для них должны зада-
задаваться четырьмя функциями. Таким образом, общее решение уравнений грави-
х) Кстати сказать, подавляющее большинство известных точных решений обладает особеннос-
особенностями.
2'
) Наибольшее возможное число произвольных функций в решении уравнений гравитации в про-
произвольной системе отсчета равно 20 (см. [1], § 95).
38. Проблемы релятивистской космологии 479
тации должно содержать восемь различных физически произвольных функций
пространственных координат 3).
Нахождение общего решения в точном виде — задача, разумеется, неразре-
неразрешимая. В этом, однако, при решении интересующего нас вопроса нет необходи-
необходимости. Достаточно исследовать вид решения вблизи особенности.
Таким образом, мы приходим к следующей постановке задачи: предполагая
особенность существующей, надо найти вблизи нее вид наиболее широкого класса
решений уравнений гравитации, с тем чтобы по числу содержащихся в нем про-
произвольных функций координат судить о том, является ли это решение общим.
Проведению этой программы были посвящены работы авторов [2—4]; в разде-
разделах 2—5 дано подробное изложение этих исследований. Чтобы не загромождать
изложение вычислениями, значительная их часть, а также некоторые второсте-
второстепенные вопросы вынесены в приложения.
Все исследование производится на основе уравнений Эйнштейна в их класси-
классической форме, в которой они логически следуют из общих оснований теории от-
относительности, без «космологического члена», для введения которого не суще-
существует в настоящее время каких бы то ни было теоретических или астрономи-
астрономических оснований.
2. Общее решение с фиктивной особенностью
Первостепенное значение при исследовании вопросов, связанных с общей тео-
теорией относительности, имеет удачный выбор системы отсчета, адекватный рас-
рассматриваемой задаче.
Мы увидим в дальнейшем, что наиболее общие свойства космологических ре-
решений в отношении их особенностей не зависят от наличия или отсутствия мате-
материи. В связи с этим при исследовании этих свойств не следует пользоваться часто
применяемой в космологии так называемой «сопутствующей» системой отсчета, т.
е. системой, движущейся в каждой точке вместе с находящейся в ней материей.
Естественным выбором системы отсчета оказывается в данном случае систе-
система, подчиненная условиям 4)
0оа =0> g00 =-l. B.1)
Как известно (см., например, [1], § 98а), равенство нулю компонент дОа метричес-
метрического тензора есть условие, допускающее синхронизацию хода часов в различ-
различных точках пространства. Если, кроме того, д00 = — 1, то временная координата
х° = t представляет собой собственное время в каждой точке пространства. Сис-
Систему отсчета, удовлетворяющую этим условиям, мы будем называть синхрон-
синхронной. Элемент интервала в такой системе дается выражением
ds2 = dt2 -dl2, dl2 = gapdxadx^. B.2)
3) Формальное математическое доказательство этого утверждения см. приложение А.
4) Мы следуем везде обозначениям, принятым в книге [1]. В частности, латинские индексы про-
пробегают значения 0, 1, 2, 3, а греческие — три пространственных значения 1, 2, 3. Квадрат элемента
интервала пишется как -ds2 = gikdxldxk , так что матрица величин gik имеет сигнатуру Ь++.
Кроме того, мы будем пользоваться везде системой единиц, в которой равны единице скорость
света и эйнштейновская гравитационная постоянная.
480 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Трехмерный тензор gaf3 определяет здесь пространственную метрику.
Уравнения гравитационного поля в синхронной системе отсчета имеют сле-
следующий вид (см. [1], § 99):
Ro=\lS+\<^=To-\T> B.3)
К=\Н;а-<;,) = Т^ B.4)
2v— g
Здесь Kaf3 обозначает трехмерный тензор
B.6)
а все дальнейшие операции поднятия и опускания индексов и ковариантного диф-
дифференцирования производятся в трехмерном пространстве с метрикой gaf3; от-
отметим, что
где g — определитель тензора gik (отличающийся от определителя | ga^ множи-
множителем д00 = —1). Тензор Paf3 в уравнении B.5) есть трехмерный тензор Риччи, вы-
выражающийся через трехмерный метрический тензор gaf3 так же, как Rik выража-
выражается через gik; он содержит лишь пространственные (но не временные) произ-
производные от gap.
Л.Д. Ландау уже давно было указано, что определитель g метрического тензора
в синхронной системе отсчета должен обратиться в нуль в течение конечного вре-
времени, вне зависимости от каких бы то ни было предположений о распределении,
движении или уравнении состояния материи, или о характере гравитационного
поля (в последние годы это обстоятельство было отмечено также Комаром [5]5).
К этому заключению можно легко прийти с помощью уравнения B.3), заме-
заметив, что выражение в его правой части при любом распределении материи отри-
отрицательно (или, в случае пустого пространства, — равно нулю 6)). Поэтому
5) Аналогичный результат был получен также Райчаудхури [6] для случая «пылевидной» мате-
материи (уравнение состояния р = 0), движущейся без вращения, — ограничения, которые в действи-
действительности отнюдь не обязательны.
6) Действительно, для тензора энергии-импульса материи
Tik =(р + е)щик +pgik
Т„Т (
откуда очевидна отрицательность этой величины (р — давление, е — плотность энергии материи).
38. Проблемы релятивистской космологии 481
В силу алгебраического неравенства 7)
имеем отсюда
или
i^^\- B-8)
Пусть, например, в некоторый момент времени к^ > 0. Тогда при уменьшении t
величина 1/к^ убывает, имея всегда конечную (не равную нулю) производную, и
потому должна обратиться в нуль (с положительной стороны) в течение конеч-
конечного времени. Другими словами, к^ обращается в +оо, а в силу B.7) это значит,
что определитель д обращается в нуль (причем, согласно неравенству B.8), не
быстрее чем t6). Если же в начальный момент к^ < 0, то же самое получится для
возрастающего времени.
Этот результат, однако, еще ни в какой мере не доказывает неизбежности су-
существования истинной, физической особенности в метрике. Физической особен-
особенностью является лишь такая, которая свойственна пространству-времени как
таковому и не связана с характером выбранной системы отсчета. Такая особен-
особенность характеризуется обращением в бесконечность скалярных величин — плот-
плотности материи, инвариантов тензора кривизны 8).
Между тем особенность в синхронной системе отсчета, неизбежность кото-
которой мы доказали, может оказаться фиктивной, исчезающей при переходе к дру-
другой системе отсчета. Возможность такой ситуации явствует уже из того, что из-
изложенное доказательство сохраняет свою силу и в случае, если негалилеевость
метрики происходит просто от использования криволинейных координат в плос-
плоском пространстве-времени, когда фиктивность особенности метрики заранее
очевидна.
Простые геометрические соображения показывают, что эта неизбежная в син-
синхронной системе особенность в общем случае действительно оказывается фик-
фиктивной. Для этого обратим внимание на геометрические свойства синхронной
системы отсчета.
В синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими ли-
линиями в 4-пространстве. Действительно, 4-вектор иг = dxl/ds касательной к ми-
мировой линии х1, х2, х3 = const имеет составляющие иа = 0, и0 = 1 и автоматичес-
автоматически удовлетворяет геодезическим уравнениям
dul
~d7
— Г* ики1 — Г* — П
— 1 к1и и — 100 — и,
поскольку при условиях B.1) символы Кристоффеля Гд0, Гд0 равны нулю тожде-
тождественно.
7) В его справедливости легко убедиться, приведя тензор к? (в любой заданный момент времени)
к диагональному виду.
8) Инварианты тензора кривизны RMm получаются, как известно, путем его приведения к кано-
канонической форме Петрова.
482 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Легко также видеть, что эти линии нормальны к гиперповерхностям t = const.
Действительно, 4-вектор нормали к такой гиперповерхности п{ = —dt/дх1 имеет
ковариантные составляющие па = 0, п0 = — 1. Соответствующие контравариант-
ные компоненты при условиях B.1) равны па = 0, п° = 1, т. е. совпадают с компо-
компонентами 4-вектора и{ касательных к линиям времени.
Обратно, этими свойствами можно воспользоваться для геометрического пост-
построения синхронной системы отсчета в любом пространстве-времени. Для этого вы-
выбираем в качестве исходной какую-либо пространственноподобную гиперповерх-
гиперповерхность, т. е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке имеет времен-
временное направление (лежит внутри светового конуса с вершиной в той же точке); все
элементы интервала на такой гиперповерхности пространственноподобны 9). Если
теперь выбрать эти линии в качестве координатных линий времени, причем опре-
определить временную координату t как длину геодезической линии, отсчитываемую
от исходной гиперповерхности, мы получим синхронную систему отсчета.
Ясно, что такое построение, а тем самым и выбор синхронной системы отсче-
отсчета, в принципе возможны всегда. Более того, этот выбор еще и не однозначен:
метрика вида B.2) допускает любые преобразования трех пространственных
координат, не затрагивающие времени, и, кроме того, преобразование, соответствую-
соответствующее произволу в выборе исходной гиперповерхности в указанном геометричес-
геометрическом построении 10).
Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересека-
пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях — четырехмер-
четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики. Пересечение
же координатных линий дает, разумеется, особенность в метрике в данной коор-
координатной системе. Таким образом, имеется геометрическая причина для появ-
появления особенности, очевидным образом связанной со специфическими свойства-
свойствами синхронной системы и потому не имеющей физического характера.
Произвольная метрика 4-пространства допускает, вообще говоря, существо-
существование также и непересекающихся семейств времениподобных геодезических
линий. Неизбежность же обращения в нуль определителя g в синхронной систе-
системе означает, что допускаемые уравнениями гравитации свойства кривизны ре-
реального пространства-времени (выражаемые неравенством Rq ^ 0) исключают
возможность существования таких семейств, так что линии времени во всякой
синхронной системе отсчета непременно пересекаются друг с другом п).
С аналитической точки зрения это значит, что уравнения гравитации в синх-
синхронной системе отсчета имеют общее решение с фиктивной особенностью по вре-
времени; в произвольной синхронной системе отсчета такое решение должно содер-
содержать 12 произвольных функций координат: помимо 8 «физически произвольных»
функций, еще 4 произвольные функции, связанные с отмеченной выше неодно-
неоднозначностью выбора синхронной системы отсчета.
9) Если же направления нормалей к гиперповерхности лежат вне световых конусов, то элемен-
элементы интервала в ней могут быть как времени-, так и пространственноподобными. Мы будем условно
говорить о таких гиперповерхностях, как об имеющих временной характер, хотя такая терминоло-
терминология в этом случае и не вполне адекватна.
10) Допустимость последнего преобразования аналитически особенно ясно видна в инфинитези-
мальном случае (см. конец приложения И).
п) Мы отвлекаемся, конечно, от тривиального исключения—пучков параллельных прямых в
плоском 4-пространстве.
38. Проблемы релятивистской космологии 483
Характер фиктивной особенности метрики заранее ясен из геометрических
соображений. Прежде всего, каустическая гиперповерхность должна иметь вре-
временной характер, поскольку она, во всяком случае, заключает в себе временипо-
добные интервалы — элементы длины геодезических линий в точках их касания
с каустикой.
Далее, на каустике обращается в нуль одно из главных значений метрическо-
метрического тензора соответственно тому, что обращается в нуль расстояние между двумя
соседними геодезическими, пересекающимися друг с другом в точке их касания
с каустикой (соответствующее главное направление лежит, очевидно, вдоль нор-
нормали к каустике). Обращение в нуль этого расстояния происходит пропорцио-
пропорционально первой степени расстояния до точки пересечения. Поэтому главное зна-
значение метрического тензора, а с ним и весь определитель д, обращается в нуль
как квадрат указанного расстояния.
Можно показать, что при соответствующем выборе пространственных коор-
координат первые члены разложения пространственной метрики вблизи особеннос-
особенности могут быть представлены в виде
dl2 = gapdxadx^ = aabdxadxb + (t - фJ a33dx23 + 2 (t - cp)aa3dxadx3 B.9)
(индексы а, Ъ пробегают значения 1, 2; величины ааЪ, аа3, а33, ср — функции всех
трех координат 12)).
Особенность в метрике B.9) является не одновременной — различные простран-
пространственные точки достигают ее в различные моменты времени t = ср. Легко, однако,
видеть, что всегда можно построить и такую синхронную систему отсчета, в кото-
которой особенность (фиктивная) будет достигаться одновременно во всем простран-
пространстве. Ясно, что такая особенность не может быть расположена на гиперповерхнос-
гиперповерхности, касающейся линий времени в точках их пересечения, так как существование в
ней времениподобных интервалов заведомо исключало бы одновременность осо-
особенности. Поэтому линии времени должны пересекаться на «многообразии точек»,
имеющем меньшее число измерений, чем гиперповерхность, т. е. являющемся не-
некоторой двумерной поверхностью в 4-пространстве; ее можно назвать фокальной
поверхностью соответствующего семейства геодезических линий. Выбрав произ-
произвольно фокальную поверхность, построив от каждой ее точки все возможные на-
направления нормалей к ней (все направления в двумерной плоскости, нормальной
к фокальной поверхности) и проведя в этих направлениях геодезические линии,
мы тем самым построим синхронную систему отсчета, обладающую требуемым
свойством.
12) Полное аналитическое построение общего решения с фиктивной особенностью для пустого
пространства дано в [3].
Пространственная метрика B.9) допускает еще произвольное преобразование х3 — х3 (х1, х2, х3),
сводящееся к переобозначению величин а03, а33 и старших членов разложения компонент даЪ. Этим
преобразованием можно воспользоваться для того, чтобы функция ср, дающая форму каустической
гиперповерхности, обратилась в ср = х3. После этого останутся допустимыми лишь преобразования
двух координат х1, х2 друг через друга. После такого выбора координат решение должно содержать
всего 5 произвольных функций (трех координат): 4 функции, необходимые для задания начальных
условий для поля в пустоте и одна функция, связанная с оставшимся произволом в выборе синхрон-
синхронной системы отсчета (выбор исходной гиперповерхности, от которой отсчитывается временная ко-
координата). Эти пять произвольных функций заключены в шести величинах ааЪ, аа3, а33, связанных
между собой, как оказывается, одним соотношением.
484 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Таким образом, общее решение уравнений гравитации может быть представ-
представлено (путем соответствующего выбора синхронной системы отсчета) также и в
виде, в котором особенность оказывается одновременной для всего пространства.
В таком виде оно, разумеется, содержит те же восемь физически произвольных
функций (трех пространственных координат), которых достаточно для задания
произвольных начальных условий. По сравнению же с решением в виде B.9) оно
содержит на одну произвольную функцию меньше: если строить синхронную
систему отсчета, начиная от некоторой исходной гиперповерхности, то отнюдь
не произвольная гиперповерхность может привести к фокусировке построенных
по нормалям к ней геодезических линий 13).
Как уже указывалось, фиктивность особенности в рассматриваемом решении
очевидна уже из способа его построения. Особенность может быть устранена пу-
путем преобразования систем отсчета, но лишь ценой отказа от ее синхронности.
По той же причине очевидно, что качественный характер этого решения не
зависит от наличия или отсутствия материи, а плотность последней не имеет
никакой особенности и остается конечной. Это становится в особенности ясным,
если заметить, что материя движется (в синхронной системе отсчета) по миро-
мировым линиям, не совпадающим с линиями времени и даже не являющимся геоде-
геодезическими.
Последнее обстоятельство означает, что система отсчета не может быть, вооб-
вообще говоря, выбрана так, чтобы быть синхронной и в то же время сопутствующей, в
которой мировые линии материи совпадают с линиями времени. Исключение мо-
может представить лишь случай «пылевидной» материи (давление р = 0). Такая ма-
материя движется по геодезическим линиям. Поэтому в этом случае условие «сопут-
ствия» системы отсчета материи не противоречит условию ее «синхронности».
Этого, однако, еще недостаточно — не всякое семейство времениподобных геоде-
геодезических линий обладает свойством быть нормальным пространственноподобной
гиперповерхности, что необходимо для осуществления синхронности системы от-
отсчета. Это условие выполняется, если материя движется «без вращения», т. е. если
ротор ее скорости везде равен нулю 14). В «синхронно-сопутствующей» системе
отсчета, которую в этом случае можно построить, плотность материи обратится на
каустике в бесконечность, — просто как результат пересечения траекторий час-
частиц. Ясно, однако, что эта особенность плотности тоже не имеет физического ха-
13) В известном смысле это решение соответствует равной нулю функции ф в решении B.9); при
этом на особенности (? = 0) квадрат интервала — ds2 — — dt2 + dl2 сводится к квадратичной форме
-ds2 = aabdxadxb всего двух дифференциалов. Подчеркнем, однако, что разложение метрики вблизи
такой особенности отнюдь нельзя получить, просто положив ср = 0 в формулах, относящихся к ре-
решению вида B.9). Укажем также, что такая система не охватывает собой всего пространства-време-
пространства-времени. Это ясно из того, что все точки каждой гиперповерхности t = const лежат в ней на одинаковом
временном расстоянии от пространственной фокальной поверхности, т. е. эти гиперповерхности це-
целиком расположены в области абсолютного будущего или абсолютного прошлого по отношению к
фокальной поверхности.
14) Необходимость этого условия очевидна из следующих соображений. В сопутствующей сис-
системе отсчета контравариантные компоненты 4-скорости иа = 0, и0 = 1. Если система отсчета также
и синхронна, то и ковариантные компоненты иа = 0, щ = — 1, а потому ее 4-ротор
Щ;к ~Uk;i =Ui,k ~Uk,i =0-
Но это тензорное равенство должно тогда быть справедливым и в любой другой системе отсчета. Так, в
синхронной, но не сопутствующей системе получим отсюда условие rot v = 0 для трехмерной скорости.
38. Проблемы релятивистской космологии 485
рактера и устраняется уже введением сколь угодно малого, но отличного от нуля,
давления материи.
Таким образом, особенность в общем решении уравнений гравитации, необ-
необходимость существования которой в синхронной системе отсчета следует из не-
неравенства Rq ^ 0, оказывается не физической. Тем самым отпадают какие-либо
основания для существования еще и особенности другого типа, которая была бы
истинной, и в то же время была бы тоже свойственна общему решению. Эти ре-
результаты, однако, не исключают возможности существования более узких клас-
классов космологических решений уравнений гравитации, обладающих истинной осо-
особенностью. Их нахождению посвящены разделы 3—4. Помимо самостоятельного
интереса, который может иметь исследование возможных типов особенностей
решений уравнений гравитации, построением этих решений и выяснением сте-
степени их общности подкрепляется заключение об отсутствии истинной особенно-
особенности в общем решении.
3. Анизотропное решение с особенностью
Решения уравнений гравитации могут иметь особенность (истинную) на ги-
гиперповерхности t = ф(ха), которая может быть как пространственноподобной, так
и непространственноподобной 15). В первом случае всегда можно выбрать систе-
систему, отсчета, не нарушая условия ее синхронности, таким образом, чтобы превра-
превратить эту гиперповерхность в «гиперплоскость» t = const; другими словами, в этом
случае существует синхронная система отсчета, в которой особенность «насту-
«наступает» одновременно во всем пространстве. О такой особенности можно сказать,
что она имеет временной характер. Напротив, во втором случае никаким выбором
системы отсчета особенность не может быть приведена к одновременности во всем
пространстве; можно сказать, что она имеет пространственный характер.
В космологических аспектах интерес представляют прежде всего особенности
временного характера. В частности, при поисках общего решения с истинной осо-
особенностью было бы естественно думать, что если бы возникновение особенности
оказалось неизбежным, это должна была бы быть особенность именно такого типа.
Ниже мы будем рассматривать особенности временного характера 16).
Будем считать, то путем надлежащего выбора системы отсчета особенность
приведена во всем пространстве к одинаковому моменту времени, который вы-
выберем в качесте момента t = 0. Этим условием вместе с условиями синхронности
выбор временной координаты полностью фиксируется, так что неоднозначность
синхронной системы отсчета сводится после этого лишь к допустимости произ-
произвольных преобразований трех пространственных координат друг через друга.
15) Поскольку метрика при t = ср становится особой, то, строго говоря, определяемое этим урав-
уравнением многообразие не является гиперповерхностью (оно может, в частности, сводиться к много-
многообразию меньшего числа измерений). Говоря о том или ином ее характере, надо подразумевать ха-
характер гиперповерхности, сколь угодно близкой к особой, но не совпадающей с ней.
16) Наряду с рассматриваемым ниже в этом параграфе решением с особенностью временного
характера существуют также решения с аналогичной особенностью пространственного характера.
Кроме того, допустимы также особенности пространственного характера, не существующие для вре-
временного случая (см. приложение Б). Существенно, однако, что и такие особенности приводят к ре-
решениям менее широким, чем это требуется для общего решения.
486
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Уравнения гравитационного поля в пустом пространстве имеют простое част-
частное точное решение
-ds2 = -dt2 + t2^dx2 + t2^dy2 + t2^dz2, C.1)
где pv p2, p3 — любые три числа, связанные друг с другом двумя соотношениями:
Р1+Р2+Р3 =
=1 C-2)
-1/3
Рис. 1
(это решение было, по-видимому, впервые
указано Казнером [7]).
Числа, связанные соотношениями C.2),
играют ниже существенную роль; поэтому
укажем здесь некоторые их свойства. По-
Поскольку три числа р1? р2, р3 связаны двумя
соотношениями, лишь одно из них является
независимым. При этом числа pv p2, р3 ни-
никогда не имеют одинаковых значений, а ра-
равенство двух из них имеет место лишь в
тройках значений 0, 0,1 и ~У2, %, % 17).Во
всех других случаях эти числа различны,
причем одно из них отрицательно, а два дру-
других положительны; мы будем располагать
их в порядке
Pi <P2 <Рз-
Числа р1? р2, р3 пробегают значения в интервалах
-K<pi<o, о<р2<к, %<Р
Они могут быть представлены в параметрическом виде
Pi =¦
р2 =
Рз =
C.3)
L. C.4)
—, C.5)
1 + S + S 1 + S + S 1 + S + S
причем параметр s пробегает значения от 0 до 1. На рисунке изображены кри-
кривые, определяющие любые два из чисел р1? р2, р3 по заданному значению третье-
третьего (три значения, лежащие на одной вертикали).
Хотя решение C.1) само по себе является очень частным, оно имеет простой и
ясный физический характер, соответствуя полностью однородному (но анизот-
анизотропному) пространству. Естественно ожидать, что такое решение должно содер-
содержаться как частный случай в некотором широком классе решений.
Будем искать пространственную метрику вблизи особенности в первом при-
приближении (главные члены разложения по степеням t) в виде
C.6)
17) При (р1? р2, Рз) = @, 0,1) метрика C.1) преобразованием t sh z =[,, t ch z =т приводится к
галилеевой, т.е. мы имеем в действительности дело с плоским пространством-временем.
38. Проблемы релятивистской космологии 487
где 1, m, n — трехмерные векторы, являющиеся функциями координат; показа-
показатели степени р1? р2, р3, связанные друг с другом соотношениями C.2), тоже явля-
являются теперь функциями координат. Определитель тензора C.6) равен
-g = (l[mn]Jt2. C.7)
Тензор gaf3, обратный тензору C.6), можно представить в виде
gaP = t-2PljajP + t-2P2mamP + ^Рз^^ C.8)
Буквами 1а, та, па с верхними индексами мы обозначаем здесь компоненты век-
векторов 18)
~ _ [Ш] ~_
(l[mn])
«обратных» векторам 1, m, n, так что
lja=l, lama=lana=0,... C.10)
Дифференцируя тензор C.6) по времени, получим
и, поднимая затем индексы, найдем
здесь и ниже знак суммы обозначает суммирование по циклическим переста-
перестановкам векторов 1, m, n и чисел р1? р2, р3.
Представление gaf3 в виде C.6) соответствует тому, что изменение со временем
линейных расстояний происходит по различным законам по трем различным на-
направлениям (определяемым векторами 1, т, п) в каждой точке пространства.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что векторы 1, m, n не могут, вообще гово-
говоря, быть выбраны в качестве репера пространственной системы координат. Для
того чтобы направление, скажем, вектора 1 (х1, х2, х3) (заданного своими ковари-
антными составляющими 1а) могло быть выбрано в каждой точке пространства в
качестве направления одной из координатных линий (х1), необходимо, чтобы
сумма ladxa была пропорциональна полному дифференциалу: ladxa = ijxkp (я);, ср —
две скалярные функции); тогда поверхности ф= const будут поверхностями
х1 = const. Таким образом, выбор координатных линий вдоль направлений 1 воз-
возможен лишь для вектора вида 1 = 1|Л7ф, сводящегося всего к двум (вместо трех)
независимым функциям.
Нетрудно убедиться в том, что особенность, которую имеет метрика C.6), дей-
действительно является истинной особенностью при всех значениях показателей сте-
степеней, за исключением лишь значений @, 0, 1); при t = 0 инварианты тензора
18) Здесь и ниже все символы векторных операций (векторные произведения, операции rot, grad
и т. п.) надо понимать чисто формальным образом, как операции над компонентами (ковариантны-
ми) векторов 1, т, п, — такие, как если бы координаты х1, х2, х3 были декартовыми.
488 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
кривизны этой метрики обращаются в бесконечность. Что касается значений
(О, 0, 1), то для них особенность метрики оказывается фиктивной и может быть
устранена преобразованием системы отсчета (ср. примечание на стр. 535); мы
исключаем из дальнейшего рассмотрения эти значения.
3.1. Случай пустого пространства
Мы рассмотрим сначала случай пустого пространства. Тогда уравнения гра-
гравитации B.3) —B.5) будут:
4 а""р w'
1) = 0. C.15)
При подстановке C.12) уравнение C.13) удовлетворяется автоматически в силу
соотношения рх + р2 + р3 = pi + pi + р3. В уравнении же C.15) тождественно об-
обращается в нуль второй член, поскольку величина к^ ~ 1/t, a -J—g ~ t. Этот член
«потенциально» порядка t~2. Поэтому для соблюдения (в своих главных членах)
уравнения C.15) остается потребовать, чтобы тензор Р^ не содержал членов по-
порядка t~2 или больших. Выясним условия, обеспечивающие отсутствие таких
членов.
Поскольку существенно различная зависимость метрики от времени имеет
место вдоль направлений 1, т, п, удобно «проецировать» все тензоры на эти на-
направления. Обозначая соответствующие проекции индексами I, т, п, определим
их следующим образом:
*11 ^а^ ^ ' Mm ^а^ ТП ,... [о. 10)
В таких обозначениях имеем, в частности,
+2pi + %Р2 П 4-2рз /Q 1 П\
«Смешанные» компоненты тензора определим соответственно как
Pl = Pll/9ll = t-2PlPU, РГ = Plm/9mm = t-2P2Plm,.- C.18)
Общие формулы для определенных таким образом компонент тензора Р^ даны
в приложении В. Из этих формул видно, что член наибольшего порядка в диаго-
диагональных компонентах тензора есть
Р/ = -Р- = _р« = (lr0U) t-2(P2+P3-Pl). C.19)
2A [mn])
Поскольку рх < 0, то 2(р2 + р3 — Pi) = 2A — 2р1) > 2, так что этот член имеет по-
порядок, больший чем t~2, и потому для соблюдения уравнений C.15), во всяком
случае, необходимо, чтобы он отсутствовал, т. е. должно быть
lrotl = 0. C.20)
38. Проблемы релятивистской космологии 489
Согласно сказанному выше это условие (эквивалентное равенству I = ^ — ср) оз-
означает, геометрически, что направление вектора 1 в каждой точке пространства
может быть выбрано в качестве направления одной из координатных линий.
При выполнении условия C.20) главные члены в компонентах тензора Paf3 ока-
оказываются имеющими порядки величины
Р/ ~ Р™ ~ Р: ~ Г2к> (\ntf , Plm ~ t2^) lnt, Pln ~ Рга„ ~ (lntJ
и не отражаются в главном порядке на уравнениях C.15) 19).
Остается удовлетворить уравнениям C.14). Наибольшие члены в этих уравне-
уравнениях могли бы иметь порядок t~l In t: такие члены появляются при дифференци-
дифференцировании показателей степеней в производных от д^ по координатам, фигурирую-
фигурирующих в выражении
Вычисляя эти члены, находим
— / Pi — / Pi ? yo.AAj
и в силу C.2) эти члены тождественно сокращаются.
Таким образом, главными членами в уравнениях C.14) оказываются члены
~1/?. Поскольку к^ « 2/t и не зависит от координат, то в этом приближении
к|>. а = 0. Для вычисления же выражения C.21) пишем
„Р - 2 W а ^, г—^ lPi[m4[m4 д .
\dx»*Lai '^ 2 (llmnj) дха
2
= tA[mn])LK ([mn]VPl) + laPl div[mn]- Pl [[mn]rotl]a}.
Раскрывая входящие сюда векторные выражения и производя перегруппировку
членов в сумме, получим уравнение
х -p2)nrotm} = 0. C.23)
19) При учете следующих членов разложения вектора 1 = 1@) + 1A) + ... произведение 1 rot 1 пе-
перестает быть равным нулю, но возникающие при этом из C.19) поправочные члены меньшего по-
порядка, чем ?~2Рз, и потому малы по сравнению с написанными (см. конец приложения Г).
490 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Проецируя это уравнение на направления 1, т, п, получим три соотношения:
A [mn]) plfl + (р3 — рх)m rot n + (рх - р2)n rot m = 0,
(l[mn])p2> m +(px -p2)n rotl + (p2 -p3)l rotn = 0, ¦ C.24)
(l[mn])p3>n +(p2 -p3)l rotm + (p3 -pjm rotl = 0.
(буквы I, m, n в индексах после запятой означают дифференцирования вдоль
соответствующих направлений согласно определению (В.З)).
Следующие (после C.6)) члены разложения метрического тензора выражаются
через фигурирующие в C.6) величины; соответствующие вычисления приведены в
приложении Г.
В выражение C.6) входит всего 10 различных функций координат: по три ком-
компоненты трех векторов 1, m, n и одна функция в показателях степеней t (какая-
либо из трех функций pv p2, р3, связанных друг с другом соотношениями C.2)).
Между этими десятью функциями имеется четыре соотношения C.20) и C.24).
Кроме того, используемая нами система отсчета допускает еще произвольные
преобразования трех пространственных координат друг через друга. Поэтому
полученное решение содержит всего 10 — 4 — 3 = 3 физически произвольные
функции трех пространственных координат. Это число на 1 меньше, чем требу-
требуется для задания произвольных начальных условий для гравитационного поля в
пустоте 20).
Тем или иным специфическим выбором пространственных координат можно
придать метрике C.6) различные более простые формы, например:
dl2 = l2t2*dx2 + m2t2p*dy2 +
+ 2m1m2t2p2 dx dy + 2n1n3t2p3 dx dz. C.25)
Пять величин I, m1, m2, щ, п3 (и показатели степеней р1? р2, р3) связаны тремя
соотношениями, которые легко получить из C.24); условие же C.20) уже исполь-
использовано выбором 1 в качестве направлений координатных линий х. В C.25) коор-
координаты у, z могут быть еще подвергнуты преобразованиям вида у —>/(аг, у),
z —> g (x, z); такие преобразования не отражаются на виде главных членов раз-
разложения метрики, представляемых формой C.25).
Отметим, что рассмотренное решение принципиально анизотропно: показа-
показатели рг, р2, р3, определяющие закон изменения линейных расстояний по трем
различным направлениям в пространстве, не могут быть одинаковыми. Обратим
также внимание на математическое своеобразие этого решения — одна из про-
произвольных функций в нем входит в показатели степени у времени.
3.2. Решение в пространстве, заполненном материей
Покажем теперь, что наличие материи не меняет характера полученного «ани-
«анизотропного» решения, причем начальные условия для распределения и движе-
движения материи могут задаваться вполне произвольным образом.
20) В приложении Д изложены соображения, разъясняющие более наглядно причины «потери» в
этом решении одной произвольной функции.
38. Проблемы релятивистской космологии 491
Рассматривая решение уравнений гравитации вблизи особой точки, в кото-
которой давление р и плотность энергии е материи обращаются в бесконечность, надо,
естественно, в качестве ее уравнения состояния пользоваться ультрарелятиви-
ультрарелятивистским соотношением
р = е/3. C.26)
Тогда тензор энергии-импульса материи
|gifc), T* =0. C.27)
Уравнения гравитации B.3) —B.5) принимают вид
к°°= \ ftК + \ **"% = I Dw°u°+ х)' C-28)
K=\H;a-<&) = fuau\ C.29)
|(^&) | (a&) C.30)
у \j
Для ориентации в порядках величины плотности и скорости материи удобно
воспользоваться гидродинамическими уравнениями движения материи, содер-
содержащимися, как известно, в уравнениях гравитации (уравнения Tj?k =0):
-f^-^fc^ C-32)
dx dx
(см., например, [8], § 125). Здесь a — плотность энтропии; для ультрареляти-
ультрарелятивистского уравнения состояния C.26) энтропия a ~ е3/4.
Сделаем предположение, подтверждаемое результатом, что главными в урав-
уравнениях C.31) —C.32) являются члены, содержащие производные по времени. Тогда
уравнение C.31) и пространственные компоненты уравнения C.32) (временная
компонента не дает ничего нового) дают
откуда
tu0e3^ = const, uoe1^ = const,
где const означают не зависящие от времени величины. Кроме того, из тождества
игиг = — 1 имеем (учитывая, что все ковариантные составляющие иа одинакового
порядка)
ио ~ ипи = uot 3;
мы снова пользуемся составляющими вдоль направлений 1, т, п, т. е. представ-
представляем трехмерный вектор и в виде
причем щ = ul,...
492
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Из написанных соотношений находим
е ~ г2*1"*), и2 ~ t-
(з.ЗЗ)
после чего легко проверить, что отброшенные в уравнениях C.31) —C.32) члены
действительно малы по сравнению с оставленными.
Оценим теперь компоненты тензора энергии-импульса, стоящие в правых ча-
частях уравнений C.28) —C.30). В уравнении C.28) имеем
Т° ~ гь2 ~ Н1+рз)
Поскольку р3 < 1 эта величина имеет более низкий порядок по 1/t, чем глав-
главные члены в левой части уравнения (~ t~2). To же самое относится к уравнени-
уравнениям C.30): пространственные компоненты тензора Т^, «спроецированные» на на-
направления 1, т, п, имеют порядки величины
Т/
t~2
которые все меньше, чем t~
В уравнении же C.29) имеем
Тпп
еипип
C.34)
т. е. тот же порядок величины, что и в левой стороне равенства. Это обстоятель-
обстоятельство, однако, тоже не изменит характера решения. Действительно, в соответствии
с C.33) напишем
e = e@)t-2(l-p3))
= и@LA-И)/2
для первых членов разложения этих величин; при этом
2 ^ @Jt-CP3-l)
Приравнивая выражение C.23) для R® величине Т^ = 4euau°/3, найдем в ре-
результате вместо уравнений C.24) уравнения
(l[mn])plf г + (р3 - pjm rot n + (Pl - p2)n rot m = -^e^u^u^,... C.35)
Таким образом, меняется лишь связь между фигурирующими в C.6) функция-
функциями, причем в эту связь входят теперь также и новые функции е^°\ и^°\
Меняется также и вид следующих членов разложения метрического «тензо-
«тензора, причем первыми следующими за C.6) членами оказываются именно члены,
связанные с наличием материи (см. приложение Г).
Таким образом, найденное анизотропное решение уравнений гравитации пред-
представляет собой очень широкий класс решений, обладающих особенностью. Оно
содержит семь произвольных функций координат: помимо трех функций, фигу-
фигурировавших уже в отсутствие материи, в него входят еще функция е^ и три функ-
38. Проблемы релятивистской космологии 493
ции и^°\ Это число, однако, на 1 меньше, чем требовалось бы для общего случая,
так что это решение не является общим 21).
Характер изменения метрики вблизи особенности (t —> 0) в рассмотренном ре-
решении не зависит от наличия или отсутствия материи (а тем самым и от ее урав-
уравнения состояния). Он таков, что в каждой точке пространства линейные расстоя-
расстояния по двум направлениям убывают (как tP2 и tPs), а по третьему — возрастают
(как t~'Pl'); объемы при этом убывают пропорционально t. Законы этих измене-
изменений (т. е. значения р1? р2, р3) меняются вдоль пространства, определяясь задани-
заданием начальных условий.
Плотность материи обращается в каждой точке пространства в бесконечность
по закону е ~ t~2iyl ~ Рз\ Уже это обстоятельство само по себе является очевидным
указанием на физический (не фиктивный) характер особенности.
Скорость движения материи в этом решении (в рассматриваемой системе от-
отсчета) стремится при t —> 0 к скорости света. Действительно, трехмерный скаляр
иаиа « ипип стремится при t —> 0 к бесконечности как t~Cps ~ \ Это значит, что ма-
материя движется в каждой точке в основном вдоль направления п, причем абсо-
абсолютная величина ее обычной трехмерной скорости v (v2 = vava) стремится к еди-
единице по закону
Vl - v2 ~ tCp3)/2.
Собственное время т движущейся материи связано со временем t посредством
с?т = dtvl — v2 . Поэтому
В сопутствующей системе отсчета плотность энергии обращается, следова-
следовательно, в бесконечность по закону
C.38)
4. Квазиизотропное решение
Рассмотренное в предыдущем параграфе решение принципиально анизотроп-
анизотропно: поскольку показатели степеней р1? р2, р3 не могут иметь в нем одинаковых
значений, «сжатие» пространства происходит анизотропным образом.
Естественно поэтому, что в этом решении не содержится изотропное
(фридмановское) решение. Покажем, что последнее является в действи-
действительности частным случаем другого класса решений, в котором сжатие про-
пространства происходит «квазиизотропным» образом — линейные расстояния по
всем направлениям меняются в нем с одинаковой степенью времени. Как и в
21) В частном случае, когда (р1? р2, р3) — ( — 1/3, 2/3,2/3), материя может быть «вписана» в метри-
метрику C.6) еще и другим способом, при котором ее скорость стремится к нулю при t —> 0. При этом,
однако, материя привносит с собой лишь две, а не четыре произвольные функции, т. е. начальные
условия для нее должны иметь некоторый частный характер. Получающийся, таким образом, класс
решений см. в работе [2]. К этому классу относится, в частности, общее решение для центрально-
симметрического коллапса материи.
494 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
полностью изотропном случае, это решение существует лишь для пространства,
заполненного материей ).
Изотропная модель, как известно, формулируется наиболее естественным об-
образом в сопутствующей системе отсчета. В этой системе в явном виде проявля-
проявляются изотропия и однородность пространства, в силу чего автоматически обра-
обращаются в нуль величины gQa (так что система отсчета является в то же время и
синхронной), а особенность имеет место одновременно во всем пространстве. Кон-
Конкретный закон зависимости метрики от времени в этом решении зависит от урав-
уравнения состояния материи. При ультрарелятивистском уравнении р = е/3 метри-
метрика при t —> 0 имеет вид да[3 « аа[3?, где аа[3 — вполне определенные функции коор-
координат, соответствующие постоянной пространственной кривизне. Как функции
времени gaf3 разлагаются по целым степеням t
Квазиизотропное решение мы будем формулировать в синхронной системе,
которая, однако, при этом уже не является строго сопутствующей. Простран-
Пространственную метрику будем искать в виде
9ota=taaii+t2baii+..., D.1)
где теперь aaf3 — произвольные функции координат. Тензор, обратный D.1), есть
g<$ = t-1a(#-b(#, D.2)
где тензор aaf3 обратен aaf3; все операции опускания и поднимания индексов и кова-
риантного дифференцирования над другими тензорами везде в этом параграфе
производятся с независимой от времени метрикой aaf3 (например, Ъ^ = а^Ъа1 и т. п.).
Вычисляя левые стороны уравнений C.28) и C.29) соответственно с точнос-
точностью до двух и до одного главного порядка по 1/t, получим
!(Ь„-Ь»;В) = -|«Л, D-4)
где Ъ = Ъ^. Если сравнивать правые стороны этих уравнений и учитывать при
этом тождество
-1 = щи* ^-и20+- иаща°®,
22) В пустоте уравнения гравитации могут быть удовлетворены квазиизотропной метрикой вида
дар = ?2ааC, где ааC — функции координат.
Уравнение C.13) при этом удовлетворяется тождественно (к® = 26^/t), а уравнение C.15) дает
Р^ = -28^ , где тензор РаC вычислен но метрике просто ааC; но такая форма РаC означает, что простран-
пространство обладает постоянной отрицательной кривизной. Соответствующая пространственно-временная
метрика может быть написана с помощью четырехмерных сферических координат \, 0, ср в виде
-ds2 = -dt2 +t2 [dx2 +sh\(d02 +sin2
но преобразованием
такая метрика приводится к галилеевой
-ds2 = -dT2 +dr2 +r2 (dO2 +sin2
38. Проблемы релятивистской космологии 495
легко видеть, что е ~ t~2, ua ~ t2; при этом в силу указанного тождества и^ — 1 ~ t3.
Из уравнения D.3) находим теперь первые два члена разложения плотности энергии
? = — --, D.5)
а из D.4) — первый член разложения скорости
^=У(Ь;„-ЬУ. D.6)
Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор Paf3, в первом по 1/t
приближении не зависят от времени; при этом Paf3 совпадает с выражением, по-
получающимся при вычислении с не зависящей от времени метрикой aaf3. Учиты-
Учитывая это обстоятельство, найдем теперь, что в уравнении C.30) члены порядка t~2
автоматически сокращаются, а члены ~ t~l дают
Отсюда
b^ =—— Р^ + —6^Р D 7")
а о а -| о а V /
Мы видим, что, действительно, шесть функций aaf3 остаются вполне произ-
произвольными. По заданным aaf3 формулой D.7) определяются коэффициенты baf3 сле-
следующего члена разложения, а с ними и коэффициенты первых членов разложе-
разложений D.5) и D.6) плотности материи и скорости. Отметим, что при t —> 0 распреде-
распределение материи гомогенизируется, ее плотность стремится к не зависящей от
координат величине. Что касается распределения скорости D.6), то его можно
преобразовать, учтя соотношение
п
являющееся следствием соотношения
которому удовлетворяет, как известно, всякий тензор Риччи. Имеем тогда
"«=уЬ;а, D.8)
т. е. в этом приближении скорость является градиентом некоторой функции и ее
ротор равен нулю (отличный от нуля ротор, однако, появляется в следующих чле-
членах разложения).
Метрика D.1) допускает еще возможность произвольных преобразований трех
пространственных координат (выбор же времени полностью определяется усло-
условием t = 0 в особой точке); этими преобразованиями можно воспользоваться, на-
например, для приведения тензора aaf3 к диагональному виду. Поэтому найденное
решение содержит всего 6—3, т. е. три различные физически произвольные функ-
функции координат.
Изотропной модели соответствует частный случай вполне определенных
функций пф — тех, которые соответствуют пространству постоянной кривизны
(при этом Р^ = const • 8^).
496 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
5. Общие заключения об особенностях космологических решений
Изложенные результаты позволяют сделать основное заключение о том, что
наличие особенности по времени не является обязательным свойством космоло-
космологических моделей общей теории относительности и что общий случай произволь-
произвольного распределения материи и гравитационного поля не приводит к появлению
особенности.
Решения же, имеющие физическую особенность, обладают степенью общно-
общности, недостаточной для учета произвольных начальных условий, задаваемых в
какой-либо момент времени. Наиболее широким из таких решений является ани-
анизотропное решение, содержащее семь произвольных функций координат. Хотя
это число всего на единицу меньше максимально возможного, этого достаточно,
разумеется, для того, чтобы допускаемые этим решением начальные условия об-
обладали «мерой нуль» по сравнению со всем многообразием возможных началь-
начальных условий.
Недостаточная степень общности решения означает, что описываемый им ре-
режим является неустойчивым: существуют такие типы малых возмущений, на-
наложение которых приводит к разрушению решения и тем самым к исчезнове-
исчезновению особенности. Не ограничивая общности, можно всегда подчинить произволь-
произвольное возмущение таким условиям, чтобы оно не нарушило синхронности системы
отсчета. Поскольку в синхронной системе отсчета особенность не может вообще
исчезнуть, это значит, что в результате возмущения она должна перейти в фик-
фиктивную особенность.
Изложенные в разделе 2 соображения о фиктивном характере неизбежной в
синхронной системе отсчета особенности в равной степени относятся и к пустому
пространству, и к пространству, заполненному материей с любым уравнением со-
состояния. Мы видели также в разделе 3, что наличие материи не меняет качествен-
качественных свойств анизотропного решения с истинной особенностью. Все это свидетель-
свидетельствует о том, что наиболее общие свойства космологических решений в отношении
их временных особенностей проявляются уже в случае пустого пространства, а
материя не меняет этих свойств качественным образом. Этот результат представ-
представляется естественным, если заметить, что гравитационные свойства «волновых па-
пакетов», составленных из коротковолновых гравитационных волн, могут имитиро-
имитировать гравитационные свойства материи (с уравнением состояния р = е/3).
Исключительное положение в этом смысле занимает изотропная модель, как и
обобщающее ее квазиизотропное решение (раздел 4), — эти решения существуют
только для пространства, заполненного материей. Эта исключительность, однако,
находит простое объяснение, лишь подтверждающее общее правило. Она связана
именно со свойственной этому решению высокой симметрией (однородностью) рас-
распределения материи, которая не может быть имитирована никакой совокупнос-
совокупностью поперечных гравитационных волн.
В литературе неоднократно высказывалось предположение о том, что вре-
временная особенность обязательна при отсутствии «вращения» заполняющей про-
странство материи, но может исчезнуть в моделях, учитывающих вращение ).
23) Основание для этого предположения заключалось в том, что член связанный с вращением (в
несинхронной системе отсчета) входит в 00-компоненту уравнений гравитации с таким знаком, что
он как бы замедляет убывание определителя.
38. Проблемы релятивистской космологии 497
Из сказанного выше становится ясным, что в действительности характер дви-
движения материи вообще не имеет прямого отношения к вопросу о временных осо-
особенностях космологических решений.
Мы везде говорили о направлении приближения к особенности как о направ-
направлении уменьшения времени. В действительности, ввиду симметрии уравнений
гравитации по отношению к изменению знака времени, с тем же успехом могла
бы идти речь и о приближении к особенности в направлении увеличения време-
времени. Физически, однако, ввиду физической неэквивалентности будущего и про-
прошедшего, между этими двумя случаями имеется существенное отличие в отно-
отношении самой постановки вопроса.
Особенность в будущем может иметь физический смысл, лишь если она до-
допустима при совершенно произвольных условиях, задаваемых в какой-либо пред-
предшествующий момент времени; ясно, что нет никаких оснований для того, чтобы
распределение материи и поля, достигаемое в какой-либо момент в процессе эво-
эволюции Вселенной, соответствовало бы специфическим условиям, требуемым для
осуществления частного решения уравнений гравитации, обладающего истин-
истинной особенностью. Более того, если даже допустить осуществление по каким-либо
причинам такого распределения в какой-либо момент времени, оно неизбежно
разрушится в дальнейшем, уже хотя бы благодаря неизбежным термодинами-
термодинамическим (и квантовым) флуктуациям. Поэтому изложенные результаты исклю-
исключают возможность существования особенности в будущем и означают, что сжа-
сжатие мира (если оно вообще должно наступить) должно будет в конце концов сно-
снова смениться его расширением.
На вопрос же о существовании особенности в прошлом исследование, осно-
основанное на одних лишь уравнениях гравитации, вообще не может дать опреде-
определенного ответа. Требование, чтобы особенность имела место для произвольного
распределения материи и поля, в этом случае a priori не обязательно. В таком
виде оно было бы эквивалентно явно неприемлемому предположению, что ре-
реальная Вселенная описывается некоторым чисто случайным решением уравне-
уравнений гравитации.
В действительности несомненно, что отбор решения, отвечающего реальному
миру, на самом деле однозначен и связан с какими-то глубокими физическими
требованиями, установление которых на основании одной лишь существующей
теории тяготения невозможно и которые смогут быть выяснены лишь в резуль-
результате дальнейшего синтеза физических теорий. Лишь после установления этих
требований могло бы быть однозначно выяснено, имеет ли особенность удовлет-
удовлетворяющее им специфическое решение уравнений гравитации.
Может возникнуть сомнение в том, насколько вообще законно рассмотрение
вопроса об «особом состоянии» мира на основе существующей теории гравита-
гравитации, поскольку неизвестно, в какой мере применимы ее уравнения при сколь угод-
угодно большой плотности материи. По этому поводу следует прежде всего сказать,
что хотя физическая применимость этих уравнений в указанных условиях смо-
сможет быть выяснена лишь в будущей теории, существенно, что сама по себе тео-
теория гравитации не теряет логической связности (т. е. ее уравнения не приводят
ни к каким внутренним противоречиям) ни при каких плотностях материи. Дру-
Другими словами, эта теория не ограничена, как таковая, никакими следующими из
498 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
нее самой условиями, которые могли бы сделать логически незаконным и про-
противоречивым ее применение при любых плотностях; ограничения смогут возник-
возникнуть в дальнейшем синтезе физических теорий как результат факторов, «посто-
«посторонних» по отношению к самой теории гравитации. Это обстоятельство делает
формально законным рассмотрение вопроса об особенностях в теории гравита-
гравитации. Что же касается физического истолкования получающихся при этом резуль-
результатов, то оно определяется тем, что хотя уравнения смогут в действительности
оказаться неприменимыми при сколь угодно больших плотностях, но, во всяком
случае, нет никаких оснований сомневаться в их применимости даже для плот-
плотностей порядка ядерной плотности, т. е. колоссально больших по сравнению с
современной средней плотностью материи во Вселенной. Поэтому, например, если
бы уравнения гравитации приводили к результату о возникновении особенности
при сжатии мира, то хотя это и не обязательно означало бы обращение плотнос-
плотности в бесконечность, но, во всяком случае означало бы сжатие до плотностей по-
порядка ядерной. С физической точки зрения уже такое состояние мира являлось
бы в достаточной мере «особым». С этой точки зрения рассмотрение вопроса об
особенностях решений уравнений гравитации вполне имеет также и физичес-
физический смысл.
Наконец, остановимся на чисто математическом аспекте полученных резуль-
результатов. В этом аспекте может представить интерес вопрос о классификации всех
возможных типов истинных особенностей космологических решений уравнений
гравитации вне зависимости от степени широты этих решений. Выяснение этого
вопроса путем систематического перебора всех возможностей было бы очень гро-
громоздким 24). Однако производившиеся нами обширные поиски решений с особен-
особенностями дают нам основание полагать, что их типы исчерпываются теми, к кото-
которым мы естественным образом приходим путем, изложенным в разделах 3—4 и
приложениях Б и Е. В эти типы укладываются, в частности, особенности, которые
имеют все известные точные решения уравнений гравитации (см. приложение Ж).
ЧАСТЬ II. ГРАВИТАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ИЗОТРОПНОГО МИРА
6. Исходная модель и уравнения малых возмущении
Фридмановское решение занимает особое положение в релятивистской кос-
космологии в силу физической ясности и естественности своих предпосылок. Есть
все основания считать, что оно дает адекватное описание современного состоя-
состояния мира, рассматриваемого в больших масштабах. В то же время исключитель-
исключительность однородного распределения материи дает априорные основания ожидать,
что именно это решение может оказаться тем исключительным решением, кото-
которое должно описывать начальные стадии расширения реального мира (однород-
(однородность плотности на этой стадии имела бы при этом место и в микроскопических
масштабах).
24) Мы руководствуемся положением, высказанным Ландау по другому поводу: «Ввиду кратко-
краткости нашей жизни мы не можем позволить себе роскошь заниматься вопросами, не обещающими но-
новых результатов» [9]
38. Проблемы релятивистской космологии 499
В связи с этим представляет существенный интерес вопрос о поведении ма-
малых возмущений в изотропной модели, т. е. о ее гравитационной устойчивости;
ниже излагается общее исследование этого вопроса 25). Явления гравитационной
неустойчивости могут играть роль в процессе эволюции мира — распадении ма-
материи на галактики и звезды и т. п.; этого аспекта проблемы мы, однако, здесь не
будем касаться вовсе 26).
Для удобства изложения выпишем здесь некоторые известные формулы, от-
относящиеся к изотропной модели (см., например, [1], § 104—107).
Метрика изотропного мира определяется выражением
-ds2 =-dt2 +a2(t)dl2, F.1)
где a (t) — «радиус кривизны» пространства, adl — элемент пространственного
расстояния, измеренного в единицах а. В случае пространства постоянной поло-
положительной кривизны (закрытая модель)
dl2 =dx2+sin2x(sin26 d^2+d62), F.2a)
а для пространства постоянной отрицательной кривизны (открытая модель)
dl2 =dx2+sh2x(sin26 d^2+d62), F.26)
где х, ф, 6 — «сферические» пространственные координаты. Выражение F.2а)
соответствует, математически, геометрии на поверхности гиперсферы (единич-
(единичного радиуса) в четырехмерном евклидовом пространстве, а выражение F.26) —
геометрии на поверхности четырехмерной «псевдосферы» мнимого радиуса.
Вместо времени t удобно пользоваться вспомогательной переменной т], опре-
определяемой соотношением
dt = adi). F.3)
Тогда ds2 запишется в виде
-ds2 =a2(T])(-dTi2+dZ2). F.4)
Ниже мы будем подразумевать под временной координатой х° именно эту
переменнуюг|.
В случае «пылевидной» материи, давлением которой можно пренебречь
(р = 0), зависимость a (t) определяется параметрическими уравнениями
а = а0 A — cost]) , t = a0 (r\ — sinr]), F.5а)
a = ao(chT]-l), t = a0 (shi]- T]). F.56)
где a0 — постоянная (формулы F.5а) относятся к закрытой модели, а формулы
F.56) — к открытой). Зависимость плотности е от времени определяется равенством
6=**L. F.6)
а
25) Содержание этой части основано на работе Лифшица [10].
26) Ряд идей по этим вопросам был высказан недавно Зельдовичем [12].
500 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
На ранних же стадиях (при малых временах t, т. е. малых г|) мы имеем дело с
обратным предельным случаем весьма плотной материи с ультрарелятивистс-
ультрарелятивистским уравнением состояния р = е/3. При этом
a = bosin т}«Ьот}, t = Ьо A - cos г|) ^ - Ь0т|2, F.7а)
а = Ъо sh г\ « Ъот\, t = Ъ0 (ch r\ - 1) « - Ъ0т\2, F.76)
(Ьо — другая постоянная), а зависимость e(t) определяется формулой
4 ()
а
Отметим, что метрики закрытой и открытой моделей переходят друг в друга
при замене
Т1->гт1, Х^гх, a^ia. F.9)
Поэтому и все уравнения для одной модели могут быть получены из уравнений
для другой модели посредством этой же замены.
Поскольку система отсчета, в которой имеет место изотропия модели, явля-
является сопутствующей, компоненты 4-скорости материи
иа=0, и°=-. F.10)
Произвольное малое возмущение изотропной модели описывается изме-
изменениями метрического тензора bgik (которое мы будем обозначать посредством
hik — см. приложение И), 4-скорости материи Ьиг и плотности энергии бе. Без огра-
ограничения общности наложим на величины hik четыре дополнительных условия
Лоо=О, Ьоа=О, F.П)
т. е. пользуемся по-прежнему синхронной системой отсчета. Она, однако, уже не
будет (как до возмущения) сопутствующей, т. е. Ьиа отличны от нуля.
В линейном приближении малые возмущения удовлетворяют уравнениям
bRf-Uim = bTt, F.12)
где bR^ определяются полученными в приложении И формулами, а возмущение
тензора энергии-импульса
87* = (р + е) (щЬик + иЧи{) + (8р + бе) щик + Ьк
Компоненты возмущения 4-скорости Ьиг связаны друг с другом соотношением
Пшигик + gik (игЬик + икЬиг) = 0,
получающимся путем варьирования тождества gikuluk = — 1. Имея в виду невоз-
невозмущенные значения скорости F.10), получим отсюда при условиях F.11)
Ьи°=0. F.13)
38. Проблемы релятивистской космологии
501
Поэтому компоненты ST/0 равны
6Тар=6^6р, 6Тоа =-а(р + е) 6гба, 6Т0°=-6е. F.14)
Ввиду малости 6р и бе можно написать 6р = (dp/de)be, и мы получаем соотношения
F.15)
В дальнейшем исследовании мы ограничимся рассмотрением возмущений
лишь в сравнительно небольших областях пространства — областях с линейны-
линейными размерами, малыми по сравнению с радиусом кривизны а. Такое предполо-
предположение очень упрощает все вычисления, и в то же время учет возмущений в об-
областях сравнимых с а размеров, как оказывается, не вносит ничего принципи-
принципиально нового в характер поведения возмущений.
В каждой небольшой области пространства метрика может быть принята в
первом приближении евклидовой. В соответствии с этим пространственная мет-
метрика F.2) заменится метрикой
dl2 =
F.16)
где х, у, z — декартовы координаты в данной области пространства, измеренные
в единицах радиуса а.
Выражения для bR^ могут быть получены, как уже указывалось,, с помощью
формул (И.10) —(И.12). При этом надо иметь в виду, что дифференцирование (обо-
(обозначаемое точкой) в этих формулах есть дифференцирование по t; оно связано с
дифференцированием по т\ (которое мы обозначаем здесь штрихом) посредством
d/dt —> д/адг\. В частности, имеем
2с/ о 2а cR
в чем легко убедиться, заметив, что зависимость компонент gaf3 от времени за-
заключена в множителе а2. При евклидовой пространственной метрике F.16) все
ковариантные дифференцирования в формулах (И.10) —(И.12) сводятся к про-
простым производным по координатам ха (контравариантные же дифференцирова-
дифференцирования — еще и к делению на а2). Наконец, трехмерный тензор Р^ для метрики F.16)
обращается в нуль. Имея все это в виду, получим после простого вычисления сле-
следующие выражения:
2a
2а2
2 ^ '
- /г'
2а
2 а3 2а3
2а3
F.17)
502 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Здесь как нижние, так и верхние индексы после запятой означают простые диф-
дифференцирования по соответствующим координатам в пространстве с метри-
метрикой F.16) (для единообразия обозначений мы продолжаем писать верхние и ниж-
нижние индексы, хотя при евклидовом dl2 между ними нет разницы).
Окончательные уравнения для возмущения h^ метрического тензора мы по-
получим, подставив в F.15) компоненты 8Т^, выраженные через 8Я^ согласно F.12).
В качестве этих уравнений удобно выбрать уравнения, получающиеся из F.15)
при а^Cи при упрощении по индексам а, C; они гласят:
= 0. F.19)
Возмущения плотности и скорости материи могут быть определены по извест-
известным h^ с помощью формул
— 8Тоа =
F.20)
При малых скоростях компоненты иа 4-скорости совпадают с компонентами трех-
трехмерной скорости. Но при нашем выборе пространственных координат х, у, z эле-
элементам длины соответствуют не сами дифференциалы dxa, а произведения adxa.
Поэтому обычной трехмерной скорости bva, возникающей при возмущении, со-
соответствуют не сами Ьиа, а произведения аЬиа.
Подставив в F.20) выражения F.17), получим для относительного изменения плот-
плотности
F.21)
? 2еа2
и для возмущения скорости
F.22)
Среди решений уравнений F.18) — F.19) есть такие, которые могут быть ис-
исключены простым преобразованием системы отсчета (совместимым с условия-
условиями F.11)) и поэтому не представляют собой реального физического изменения
метрики. Вид таких решений может быть заранее установлен с помощью выве-
выведенных в приложении И формул (И.13) — (И.14) (снова напомним, что в этих фор-
формулах индекс 0 относится к временной координате t, а не т|). Учитывая, что вре-
временная зависимость невозмущенного метрического тензора gaf3 сводится к мно-
множителю а2, легко получить из указанных формул следующее выражение для
фиктивных возмущений метрики:
(e+fM F.23)
где /0, /а — произвольные (малые) функции координат.
38. Проблемы релятивистской космологии 503
7. Разложение по плоским волнам
Поскольку метрика в рассматриваемых нами небольших областях простран-
пространства предполагается евклидовой, то произвольное возмущение в каждой такой
области может быть разложено по плоским волнам 27). Понимая под х, у, z декар-
декартовы координаты, измеренные в единицах радиуса а, мы можем написать про-
пространственный периодический множитель плоских волн в виде ехр (гпг), где п —
безразмерный вектор, представляющий собой волновой вектор, измеренный в
единицах 1/а (волновой вектор к = n/а). Если мы имеем возмущение в участке
пространства с размерами ~ I, то в его разложение войдут в основном волны с
длинами X = 2-ка/п ~ I.
Ограничиваясь возмущениями в областях с размерами I <С а, мы тем самым
предполагаем число ty достаточно большим (п ^> 2iy).
Гравитационные возмущения можно разделить на три типа. Эта клас-
классификация сводится к определению возможных типов плоских волн, в виде ко-
которых может быть представлен симметрический тензор второго ранга haf3. Таким
образом, получим следующую классификацию:
1. С помощью скалярной функции
Q = einr G.1)
можно составить тензоры
G.2)
(эти тензоры определены так, что Q^ =1, Р^ = 0 ). С помощью той же функции
Q можно составить вектор
р — а_ г\ (п о\
rtt — Ц/. V'-^/
Таким плоским волнам соответствуют возмущения, в которых наряду с гравита-
гравитационным полем испытывают изменения также и скорость и плотность материи,
т.е. мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгу-
сгущений или разрежении материи. Возмущение h^ выражается при этом через
тензоры Q^ и Р^, возмущение скорости bva — через вектор Ра, а возмущение плот-
плотности бе — через скаляр Q.
2. С помощью поперечной векторной волны
Sa=sae'nr, sana=0 G.4)
можно составить тензор
G.5)
соответствующего же скаляра не существует, поскольку Sana = 0. Этим волнам со-
соответствуют возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает
27) В общем же случае возмущений в областях любого размера, в том числе сравнимого с а, раз-
разложение возмущений должно вестись по четырехмерным сферическим функциям. Такое исследо-
исследование дано в [10]; в несколько более подробном виде эти вычисления изложены в [11].
504 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
изменение также и скорость, но не плотность материи. Возмущение h^ выража-
выражается при этом через тензор S^, а возмущение bva — через вектор Sa.
3. Поперечная тензорная волна:
Gi=~iieinr, ЧсХ=0. G.6)
С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра (поскольку G^n^ = 0,
G^nan^ = 0). Этим волнам соответствуют возмущения гравитационного поля, при
которых материя остается неподвижной и однородно распределенной в простран-
пространстве. Другими словами, это — гравитационные волны в изотропном мире.
Ниже мы рассмотрим возмущения каждого из перечисленных трех типов. При
этом мы будем для определенности писать все формулы для открытой модели.
Мы уже указывали, что переход к закрытой модели осуществляется заменой F.9).
В евклидовой метрике F.16) замене х ~^ гХ соответствует замена х,у, z —> ix, iy, iz.
Для сохранения волнового характера введенных выше функций одновременно с
этой заменой координат надо также заменить п на in. Поэтому переход к закры-
закрытой модели в рассматриваемых ниже формулах осуществляется заменой
a^ia, Ti—>ni, n^in. G.7)
8. Возмущения с изменением плотности материи
Начинаем с возмущений первого типа и полагаем
hi = \(r))P^+ii(r))Ql, h = \iQ. (8.1)
Из формул F.21) —F.22) получим для относительного изменения плотности
' Q (8.2)
? Зга
и для скорости —
За2(р
^ + \')ра ш (8>3)
Уравнения же, определяющие функции X и |jl, получаются подстановкой (8.1) в
F.18) —F.19):
Х" + 2-\-^(\ + мО = 0, (8.4)
а
Эти уравнения имеют, прежде всего, следующие два частных интеграла, соот-
соответствующих тем фиктивным изменениям метрики F.23), которые могут быть
исключены преобразованием системы отсчета:
\ ^2
Л = —71
X = — |i = const, (8-5)
dr\ 2 rdr\ За' , ,
— = \, \L = n4 ^ = ^0 (8.6)
a J а а
38. Проблемы релятивистской космологии
505
(первый из них получается из F.23) выбором /0 = 0, /а = Ра, второй — выбором
fQ = Q, fa = 0). С помощью этих интегралов можно понизить порядок уравнений (8.4).
Для этого берем сумму и разность этих уравнений и делаем в них подстановку
= (Хо
(8.7)
После простых преобразований получим в результате следующую систему урав-
уравнений для новых неизвестных функций ?(т]) и C(Tl):
2ап
3 dp
2~de~
2 de
3 dp
-2n2
3o^
a
= 0.
(8.8)
(8.9)
6af2 9a^dp
a2 ~2 a2 de
Произвол в выборе двух постоянных интегрирования при определении X и [i по
формулам (8.7) соответствует произволу в выборе системы отсчета.
Начнем с наиболее ранних стадий расширения мира, когда материя описы-
описывается уравнением состояния р = е/3. Поскольку такое сжатие имеет смысл рас-
рассматривать только при очень малых временах t, достаточно ограничиться ис-
исследованием уравнений при т\ <С 1. Для радиуса кривизны имеем при этом
а = Ъо shr| « Ъот\ F.7).
Главные члены в уравнении (8.8) дают
(8.10)
а из (8.9) получаем
_9_
^
= 0.
Подставив в последнее уравнение С, из (8.10), получим следующее простое урав-
уравнение для ?,:
откуда
6, = const • ехр
гп
гТ]
(8.11)
где const — комплексная постоянная.
Дальнейшее исследование удобно производить раздельно для двух предель-
предельных случаев в зависимости от взаимного соотношения между двумя большими ве-
величинами пи 1/т].
Предположим сначала, что число п не слишком велико (или т\ достаточно мало),
так что пт\ <С 1. Разлагая выражение (8.11) по степеням пт\ и разделяя веществен-
вещественную и мнимую части, получим ? в виде
= -с А
П\2
506
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где Cv С2 — вещественные постоянные; С, вычисляется затем по формуле (8.10), а
X и [I — по формулам (8.7). Произвольные постоянные интегрирования при вы-
вычислении X и \i следует при этом выбрать так, чтобы по возможности обратить в
нуль главные члены разложения (в данном случае обращаются в нуль член
в [i и член ~ const в X — |jl). В результате простого вычисления получим
г\
~2
л
3
(здесь выписаны те члены разложений X и |jl, которые нужны для вычисления
Ье/е и bva согласно формулам (8.2) —(8.3)). Окончательные выражения для глав-
главных членов разложения в возмущениях метрики, плотности и скорости:
Г| «С 1/п
1 9
(8.12)
Постоянные Cv C2 должны удовлетворять определенным условиям, выражаю-
выражающим малость возмущения в момент tQ его возникновения. Смешанные компоненты
возмущения h^ метрического тензора надо сравнивать с невозмущенными значе-
значениями д^ = 8^; отсюда получаются условия X <С 1, |jl <С 1. Кроме того, должно быть
6е/е <1 и bva < 1. В применении к возмущениям (8.12) эти условия приводят к
неравенствам С1 <С г\0, С2 <С 1, где г\0 (т|0 <С 1 Т|о « 1) — значение т\, соответствую-
соответствующее моменту времени tQ.
В выражениях (8.12) имеются члены, возрастающие в расширяющемся мире,
как различные степени радиуса кривизны а « Ъог\. Однако это возрастание не при-
приводит к тому, чтобы возмущение могло стать большим, т. е. к потере устойчивос-
устойчивости: если применить формулы (8.12) по порядку величины при r\ ~ 1/п, то мы уви-
увидим, что (в силу полученных выше неравенств для Cv C2) возмущения остаются
малыми даже на верхнем пределе действия этих формул.
Отметим также, что существование решения X = |jl = С2, в котором возмуще-
возмущение метрики остается постоянным во времени, как раз соответствует той воз-
возможности обобщения фридмановского решения, которое было указано в § 4. От-
Относительное изменение плотности энергии в этом решении пропорционально
г|2 ~ t, в соответствии с выражением D.5).
Пусть теперь число п настолько велико, что пт\^> 1. С помощью выражения (8.11)
по формулам (8.10) и (8.7) найдем теперь, что главные члены в X и |л 28) имеют вид
(постоянные интегрирования в (8.7) выбраны так, чтобы в X и |jl отсутствовали
члены без периодического множителя). Вычисляя также возмущения плотности
и скорости, получим следующие окончательные выражения:
28) Здесь исправлена допущенная в [10] (в формулах D.10)) ошибка — лишние члены ±2т] в X и (л.
38. Проблемы релятивистской космологии
507
— «С Т| «С 1
п
2 2
T = ~Je
Q,
12V3
pa
(8.13)
С | «с 1. Наличие пе-
пегде С — комплексная постоянная, удовлетворяющая условию
риодического множителя в этих выражениях вполне естественно. При больших п
мы имеем дело с возмущением, пространственная периодичность которого опреде-
определяется большим волновым вектором к = п/а. Такие возмущения должны распрост-
распространяться, как звуковые волны, со скоростью и = ^Jdp/de = l/v3 ; соответственно
временная часть фазы определяется, как полагается в геометрической акустике,
большим интегралом / ки dt = пт|/л/3 . Амплитуда относительного изменения плот-
плотности остается, как мы видим, постоянной, амплитуды же возмущений метрики при
расширении мира убывают как а~2.
Далее рассмотрим более поздние стадии расширения мира, когда материя раз-
разрежена уже настолько, что можно пренебречь ее давлением (р = 0); вместо плот-
плотности энергии е в этом случае более естественно говорить о совпадающей с ней
плотности массы р.
Уравнения (8.8) —(8.9) с р = 0, а = а0 (ch r\ — 1) полностью интегрируются в эле-
элементарных функциях; из первого определяем ?,, а затем из второго вычисляется С,:
s chTi-Ц ' ' 2) chri-1
Вычисление с помощью формул (8.7), (8.2), (8.3) дает затем следующие выражения:
4т? т\
Acth-
о Z
« =121(а-с2)—!— Ра.
6 U21!
h
(8.14)
Здесь введены функции
2 2
ch11
(8.15)
508
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
А и В — постоянные интегрирования, произвольность которых связана с произ-
произволом в выборе системы отсчета.
В конце § 2 было отмечено, что в случае «пылевидной» материи (р = 0) систе-
система отсчета может быть выбрана так, чтобы быть одновременно синхронной и со-
сопутствующей. Из (8.14) видно, что можно действительно обратить bva в нуль над-
надлежащим выбором постоянной А (А = С2). Такой выбор системы отсчета наибо-
наиболее естествен, а возмущение 6р относится при этом к собственной плотности
вещества. Положив также В = 0, получим окончательно
р = 0
X + [I = -Q (ф -1) -
—
Р
(8.16)
Для исследования этих выражений рассмотрим их в двух предельных слу-
случаях — малых и больших г\. Малые т] (т] С 1) соответствуют той стадии расшире-
расширения мира, когда радиус кривизны еще очень мал по сравнению с его современ-
современным значением, но все же материя уже настолько разрежена, что ее давлением
можно пренебречь 29). Значения же т\ > 1 соответствуют поздним стадиям рас-
расширения, когда метрика приближается к галилеевой.
Члены с постоянной С2 в (8.16) дают 30)
р = 0,
Т) <С 1
р = 0,
?-л (рр _•
(8.17)
(8.18)
При т| < 1 имеем а « а0г\2/2 , t и a0ri3/6, а при г| > 1: а « аов^/г , t « а0ел/2. По-
Поэтому мы видим, что эти возмущения затухают при расширении мира — снача-
сначала как а~3/2, а затем как 1/а; по времени оба эти закона соответствуют 1/t.
В членах же с постоянной Q различаем (при т| <1С 1) случаи пг\ <с 1 и тет|
первом случае получаем
1. В
= 0,
/n
29) Современное значение Л можно было бы получить из современных значений средней плотнос-
плотности материи р и постоянной Хэббла h (для открытой модели ch т]/2 = hyJ3/8T[Gp (G — гравитационная
постоянная). Такое определение, однако, может быть сделано в настоящее время лишь весьма ориентиро-
ориентировочно ввиду большой неопределенности значений /г и в особенности р. Положив /г = 0,25 -10~17 с
B5 км/с на 106 световых лет) и приняв для р оценку Оорта р = 3 • 10~31 г/см3 [13], получим т\ = 5,0. Если
положить р = 10~30 г/см3, то т] = 6,1.
30) При т] <с 1 имеем
Ф^Т12Д(), а|^ — 8/т|3.
38. Проблемы релятивистской космологии 509
Хотя относительное изменение плотности и растет, однако оно не становится здесь
большим даже при г\ ~ 1/п в силу условия Сх <С 1. В случае же пт\ ^> 1 находим
Эти возмущения обнаруживают истинную неустойчивость. При r\ ~ 1 отно-
относительное изменение плотности становится порядка С^2, между тем как малость
начального возмущения требует лишь, чтобы было C^v^ < 1. Таким образом, хотя
возрастание возмущений происходит и медленно (пропорционально а, т. е. t2^3), но
общее увеличение может быть значительным и в результате возмущение может
стать сравнительно большим 31).
При т| ^> 1 имеем
^Q. (8.21)
Мы видим, что возрастающее относительное возмущение плотности стре-
стремится к постоянному пределу. Постоянный член в возмущении метрики (в ко-
котором X = — [I = const) может быть исключен преобразованием системы отсче-
отсчета (не затрагивающим плотности); второй же член в h^ затухает пропорцио-
пропорционально In a/a.
Наконец, рассмотрим случай уравнения состояния, промежуточного между
р = 0 и р = е/3. Именно, рассмотрим стадию расширения, на которой производ-
производная dp/de мала, но все же не может быть положена равной нулю. Величина
и =
представляет собой «скорость звука» в заполняющей мир материи (измеренную
в единицах скорости света); мы предполагаем, следовательно, что эта величина
мала: и <С 1. Обратным влиянием конечности давления на закон расширения мира
можно при этом пренебречь, т. е. в качестве функции а(т\) можно пользоваться
той, которая имеет место при р = 0, причем мы будем считать, что еще т\ <С 1, так
что а « а0т|2/2.
Поведение возмущений в этом случае существенно зависит от величины пит\.
При пит\ <С 1 оценка членов в уравнениях (8.8) —(8.9) показывает, что все члены,
содержащие и, могут быть опущены, так что мы возвращаемся к исследованному
уже случаю р = 0.
Напротив, при пит\ ^> 1 содержащие и члены становятся существенными.
Уравнения (8.8) —(8.9) принимают вид
2 1 2
л 2 л
31) Так для расширения, при котором средняя плотность материи меняется от ядерной плотнос-
плотности (~1014 г/см3) до современного значения (~10~30), а(т\) возрастает в fl014/l0~30) =5-1014 раз.
510 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Исключая из них С,, найдем с той же точностью уравнение
„_2г/ , + nV
и
откуда
I— (С \
С, = constvt? Ф, Ф = exp[in \ udr\ ; (8.22)
\ и I
ниже положим const = 3a0C/m. Далее с помощью первой из формул (8.7) находим
36С ,,
Ф
п г\
Согласно второй формуле
\'-\l'*-—f
a J
аи2 аи2т\
Подставив сюда (8.22) и проинтегрировав в первом члене дважды по частям, а
затем проинтегрировав все выражение по ей; (что сводится к делению на inu),
получим
X — |i =
12С
vf__2
n*rfuo/* и ч]
Наконец, вычислив также бр/р и bva согласно (8.2) —(8.3), получим следующие
окончательные выражения, в которых мы сохраняем лишь главные члены:
пиг\ »
и «: 1,
(8.23)
VNU
Постоянная С должна удовлетворять неравенству | С\/т\0^и0
Выражения (8.23) соответствуют звуковым волнам, распространяющимся
со скоростью и, причем мы находимся в области применимости «геометричес-
«геометрической акустики» (фаза J nudr\ велика). Скорость и при расширении мира убы-
убывает и этим тормозит убывание амплитуды волны. Тем не менее амплитуда
относительного изменения плотности, вообще говоря, не возрастает. Если оце-
оценить зависимость и от времени, рассматривая материю как адиабатически рас-
расширяющийся одноатомный идеальный газ, то р ^ р5^3 и и ~ р1/3; поскольку
р ^ а~3 ~ т|~6, тои~ т|~2. При этом т\\и = const, так что амплитуда бр/р оста-
остается постоянной. При более медленных законах убывания и амплитуда бр/р
затухает со временем.
Все изложенные результаты, которые мы формулировали для открытой мо-
модели, непосредственно переносятся на закрытую модель путем преобразования
G.7) т] —> гт|, п —> in. Это преобразование вообще не меняет всех заключений о ха-
характере изменения возмущений со временем на тех стадиях расширения мира,
когда еще т\ <С 1. При т\ —> 1, когда в закрытой модели расширение замедляется,
заменяясь в конце концов сжатием, формулы, естественно, меняются (случай
38. Проблемы релятивистской космологии 511
же т| ^> 1 вообще не существует). Они получаются из (8.15) —(8.16) путем указан-
указанного преобразования и некоторой перегруппировки членов (с переобозначением
постоянных):
X + \i = d (ф +1) + СД
Х-^ = ^-(С1ср + С2'ф),
2^) Q, 6va = 0, [ (8.24)
sm2 -v J sm2 -
Отметим, что в представленной здесь форме временной ход возмущений оказы-
оказывается представленным в виде суммы двух функций, из которых одна (с посто-
постоянной Сг) четна, а другая (с постоянной С2) нечетна относительно момента r\ = ty,
т. е. по отношению к замене г\ —> 2iy — г\. Момент r\ = ty соответствует максимуму
радиуса а(т|) в закрытой модели, так что указанное свойство означает, что каж-
каждая из двух частей возмущений на стадии сжатия повторяет (с точностью до зна-
знака) в обратном порядке ход изменения на стадии расширения.
Суммируя полученные результаты, можно сказать, что расширение мира ока-
оказывает стабилизирующее влияние на развитие возмущений. В длинноволновых
(гтг| <С 1) возмущениях изменение плотности материи возрастает со временем.
На ранних стадиях расширения мира (при ультрарелятивистском уравнении со-
состояния р = е/3, и2 = 1/3) это возрастание не может привести к тому, чтобы воз-
возмущение стало большим. Это может, однако, произойти на более поздних стади-
стадиях расширения, когда давление материи становится пренебрежимо малым; но и
здесь нарастание возмущения плотности происходит по медленному закону
(~ t2/3). Коротковолновые же возмущения (ипт\ ^> 1) представляют собой
гидродинамические звуковые волны и амплитуда возмущения плотности в них
затухает со временем.
Сжимающийся же мир, напротив, был бы существенно неустойчив, и возму-
возмущения в нем неизбежно становятся в конце концов большими. Дальнейшее пове-
поведение модели не может быть, конечно, прослежено с помощью теории возмуще-
возмущений. Но общие заключения, сделанные в гл. I этой статьи, означают, что нараста-
нарастание возмущений должно привести в конце концов к прекращению общего сжатия
мира и переходу его к расширению. Представляется разумным попытаться оце-
оценить достигаемое при этом максимальное сжатие, предположив, что оно опреде-
определяется моментом, когда возмущение бр/р становится порядка единицы. Пусть в
замкнутой модели в некоторый момент т\0 ~ 1 < ty (на стадии расширения) име-
имеется возмущение бр/р = А. Поскольку бр/р есть сумма четной и нечетной функ-
функций от т| — 7Y, то к моменту r\ = 2iy— т]0 (на стадии сжатия) снова будет бр/р ~ А. По
мере дальнейшего сжатия мира бр/р будет возрастать — по закону Biy — т|)~3 при
малых 2iy — г\\ значение бр/р ~ 1 будет достигнуто при 11 = 11!, где 2iy — т\г ~ т\0А1'3.
512 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Поскольку средняя плотность материи в сжимающемся мире возрастает как
а~3 ~ Biy — г|)~6, то к моменту т|1 максимального сжатия она достигает величины
Pi ~ РоД, (8-25)
где р0 — плотность в момент г\0 начального возмущения.
Во всем произведенном в этом параграфе исследовании молчаливо предпола-
предполагалось, что возмущения являются адиабатическими, т. е. происходят при посто-
постоянной энтропии, и пренебрегалось всеми диссипативными процессами. Хотя роль
этих процессов для самого расширения мира и совершенно ничтожна, но a priori
не могла бы быть исключена возможность того, что эти малые эффекты могут
привести к появлению какой-либо новой неустойчивости. Исследование этого воп-
вопроса требует рассмотрения неадиабатических возмущений, в которых испыты-
испытывает изменение также и энтропия материи, причем надо принять во внимание
процессы теплопроводности и вязкости (нужные для этого общие уравнения
см. [8], § 126). Мы не станем приводить здесь соответствующие вычисления и ука-
укажем лишь, что они приводят к результату об отсутствии какого-либо сущест-
существенного влияния диссипативных процессов на свойства устойчивости рас-
расширяющегося мира.
В заключение укажем, что Боннором [14] был предложен изящный метод, с
помощью которого некоторые из изложенных выше результатов могут быть по-
получены на основании ньютоновской теории тяготения. Этот метод применим к
возмущениям в областях, линейные размеры которых достаточно малы по срав-
сравнению с радиусом кривизны мира (п ^> 1); его идея состоит в следующем.
Если выделить в изотропном мире (заполненном пылевидной материей) не-
небольшую сферическую часть, то окружающая ее материя не будет оказывать
на нее гравитационное воздействие, а движение материи внутри этой части
можно будет рассматривать с помощью ньютоновской теории тяготения. Ясно
поэтому, что закон расширения изотропной модели общей теории относитель-
относительности должен совпадать с законом расширения однородной гравитирующей
сферы в ньютоновской теории (это обстоятельство было впервые отмечено Мил-
Милном и Мак-Кри). Отсюда, в свою очередь, следует, что поведение возмущений в
малых участках изотропного мира должно совпадать с их поведением в расши-
расширяющейся ньютоновской сфере, и их можно при этом рассматривать с помо-
помощью обычных классических гидродинамических уравнений с ньютоновским
тяготением в качестве объемных сил32). Нулевым приближением в решении
гидродинамических уравнений является при этом радиальное движение в од-
однородно расширяющейся сфере; накладываемое на него малое возмущение
(с длиной волны, малой по сравнению с радиусом сферы) можно искать в виде
плоской волны.
При таком гидродинамическом подходе характерной величиной, определяю-
определяющей поведение возмущений, естественным образом оказывается отношение дли-
32) Этот метод можно, вероятно, распространить и на случай ультрарелятивистского уравнения
состояния р = е/3, если учесть должным образом в гидродинамических уравнениях релятивистский
гравитационный эффект давления.
38. Проблемы релятивистской космологии 513
ны возмущения X к длине гбД/pG, составленной из плотности материи р и скоро-
скорости звука в ней и (и гравитационной постоянной G); эти величины понимаются
при этом как функции времени, меняющиеся в соответствии с общим расшире-
расширением среды. Легко видеть, что этот критерий (u/\y]pG ) совпадает с критерием
пг\и/с, который фигурировал в изложенных выше вычислениях 33).
9. Вращательные возмущения
Перейдем к рассмотрению возмущений второго из перечисленных в разде-
разделе 7 типов. В этих возмущениях испытывает изменение, наряду с метрикой, ско-
скорость, но не плотность материи; возникает движение материи, имеющее враща-
вращательный характер.
Положим
il (9.1)
Уравнение F.19) удовлетворяется тождественно, поскольку h = 0. Уравнение
же F.18) дает после подстановки (9.1) следующее простое уравнение для функ-
функции сг(т|):
а" + 2-а'=0; (9.2)
а
отметим, что оно не содержит волнового вектора п. Отсюда
а = const I —-. (9.3)
J а2
Постоянная часть этого решения (постоянная интегрирования) соответствует фик-
фиктивному изменению метрики, исключаемому преобразованием координат (оно по-
получается из F.23) выбором /0 = 0, /а = Sa). Для возмущения скорости вычисление
по формуле F.22) дает
с п in®
На ранней стадии расширения (т]<1) при уравнении состояния р = е/3 фор-
формулы (9.3)-(9.4) дают
а = --, bva=~ — Sa. (9.5)
Л 8 v J
33) Для этого надо воспользоваться следующими оценками (в обычных единицах): закон расши-
расширения, соответствующий пылевидной материи, а ~ а0т]2; плотность материи р ~ a0c2/Ga3, длина вол-
волны \ ^ а/п.
Такое же соотношение между критериями имеет место и в случае ультрарелятивистского урав-
уравнения состояния (р = е/3, и = c/v3 ). В этом случае закон расширения а ~ Ъот\, а плотность энергии
меняется по закону е ~ Ъ^с4" /Gcl4" . Отсюда легко найти, что
и
—1^=^ ~ пт\,
V/2
т. е. мы снова возвращаемся к характерной величине пт\, фигурировавшей выше при рассмотрении
этого случая.
514 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для «пылевидной» материи (р = 0) получаем
В двух предельных случаях:
т]«1: (т = - —; т]»1: а = -406"^. (9.7)
Зт]
Таким образом, возмущения метрики во всех случаях затухают со временем. Воз-
Возмущения же скорости остаются постоянными (в (9.5)) или убывают как 1/а (в (9.6)) 34).
10. Гравитационные волны
Наконец, в возмущениях третьего типа, в которых
A0.1)
изменяется только метрика; материя остается неподвижной (bva = 0) и однород-
однородно распределенной в пространстве (бе = 0).
Для у(т|) получаем из F.18) следующее уравнение:
v" + 2 — уЧп2у = 0. A0.2)
а
Оба решения этого уравнения соответствуют реальным изменениям метрики, не
могущим быть исключенным преобразованием координат (поскольку в рассмат-
рассматриваемом случае не существует ни скаляра, ни вектора, которые могли бы быть
подставлены в F.23) в качестве /0 и /а).
С должной точностью решение уравнения A0.2) есть
ггщ
v = C , A0.3)
где С — комплексная постоянная. Периодический множитель здесь соответствует
гравитационным волнам, распространяющимся со скоростью света (волновой век-
вектор к = п/а, так что временная часть фазы / kdt = nv\). Амплитуда гравитацион-
гравитационных волн затухает как 1/а. При этом плотность энергии этих волн, пропорцио-
пропорциональная к2 (h^) , убывает пропорционально а~4, как и должно было быть.
На протяжении всех этапов изложенных исследований мы имели постоян-
постоянную поддержку со стороны нашего учителя и друга Л.Д. Ландау, дискуссии с ко-
которым оказали нам неоценимую помощь. Мы хотели бы выразить здесь ему нашу
глубокую благодарность.
34) Указанный закон изменения возмущения скорости непосредственно связан (как было отме-
отмечено Я.Б. Зельдовичем) с сохранением момента. Момент небольшого участка вещества, в котором
произошло вращательное возмущение, по порядку величины равен el3 ¦ I ¦ v, где I — линейные разме-
размеры участка. При расширении мира I растет пропорционально а, а е убывает как а~3 (в случае р = 0)
или как а~4 (при р = е/3); в первом случае получим v ~ 1/а, а во втором v ~ const.
38. Проблемы релятивистской космологии 515
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Разложение решения уравнений гравитации
вблизи регулярной точки
Рассмотрим разложение решения уравнений гравитационного поля в пустоте
в синхронной системе отсчета вблизи не особой, регулярной точки по времени 35).
Выбрав условно рассматриваемую точку в качестве начала отсчета времени,
будем иметь метрический тензор в виде
9<ф =aap+tbap+t2cap+..., (A.I)
где aap, bap, cap — функции пространственных координат. В том же приближе-
приближении обратный тензор есть
где aaf3 — тензор, обратный aaf3, а поднятие индексов у остальных тензоров
производится с помощью aaf3. Далее имеем
Уравнения поля C.13) —C.15) приводят к следующим соотношениям:
R0 — о_ h$ha — П (А 9\
О ~~ С J°a°C "~ U' \^'А)
ЛC
= 0, (А.З)
= PP
= PaP +^bgb-ib2bP + сР = 0 (А.4)
(Ъ = Ъ^, с = с^,...). Здесь операции ковариантного дифференцирования произво-
производятся в трехмерном пространстве, с метрикой aaf3, по этой же метрике определяется
тензор Рар.
Из (А.4) коэффициенты caf3 полностью определяются по коэффициентам aaf3 и
baf3. После этого (А.2) дает соотношение
Р + 1ъ2-\ъЩ=0. (А.5)
Из членов нулевого порядка в (А.З) имеем
b^;P=b;a. (A.6)
5) Этот вопрос рассмотрен также в книге Петрова [15], § 40.
516 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Члены же ~? в этом уравнении при использованиия (А.5) и (А.б) (и тождества
Р^. р = A/2) Р. а ) обращаются в нуль тождественно.
Мы видим, что 12 величин aaf3, baf3 связаны друг с другом одним соотноше-
соотношением (А.5) и тремя соотношениями (А.б). Всего остается, таким образом, восемь
произвольных функций трех пространственных координат в соответствии со сде-
сделанным в тексте подсчетом 36).
Б. Решения, зависящие от одной переменной
Рассмотрим точные решения гравитационных уравнений в пустоте, в кото-
которых (в синхронной системе отсчета) метрика зависит всего от одной переменной.
Будем считать сначала, что этой переменной является время.
Для метрики, не зависящей от пространственных координат, уравнение C.14)
удовлетворяется тождественно, а из уравнения C.15) находим, что
где Х^ — постоянные, причем
\аа=1 (Б.1)
(при этом g/g = к^ = 2/t, — g = const -t2). Подстановка (Б.1) в уравнение C.13)
дает еще одно соотношение
\е-\ра=\«, (Б.З)
связывающее между собой постоянные Х^.
Опустив индекс C в равенствах (Б.1), перепишем их в виде системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений для gaf3:
9оЭ=7^тр- (Б.4)
Здесь могут представиться различные случаи в зависимости от того, какие корни
имеет характеристическое уравнение матрицы коэффициентов Х^ (уравнение
К^|
а) Характеристическое уравнение имеет три различных вещественных кор-
корня (р1? р2, р3); в силу (Б.2) и (Б.З) они связаны соотношениями
Р1+Р2+Р3 =Р12+Р2+Рз =1. (Б-5)
Соответствующим линейным преобразованием величин glf3, g2f3, g3f3 (или, что
эквивалентно, координат х1, х2, х3) матрица Х^ приводится в этом случае к диа-
диагональному виду, и мы получаем указанное уже в разделе 3 решение C.1)
-ds2 = -dt2 +t2^dx2 +t2^dy2+t2^dz2. (Б.б)
36) В силу дифференциальности соотношений (А.б) в решении могут появиться также произ-
произвольные функции от меньшего числа переменных. Мы оставляем в стороне вопрос о геометричес-
геометрическом происхождении этих функций.
38. Проблемы релятивистской космологии 517
б) Характеристическое уравнение имеет одно вещественное (р3) и два
комплексных (р12 = р/±гр//) корня; числа р1? р2, р3 по-прежнему удовлетворя-
удовлетворяют соотношениям (Б.5), причем либо р3 < —1/3, либо р3 > 1. После приведения
матрицы Х^ к диагональному виду, для придания метрике вещественной фор-
формы, вводим новые координаты согласно х1'2 = х ±iy и находим решение в виде
-ds2 = -dt2 + t2p' cosf2p"In-}(dx2 -dy2)+ t2p3dz2 +
а
+ 2t2p/ sin 2p" In - dx dy (Б.7)
(a — постоянная). Однако определитель метрического тензора g = g00 ga^| = t2
не удовлетворяет необходимому условию g < 0, так что метрика (Б.7) не может
отвечать физическому пространству-времени.
в) Два из корней характеристического уравнения совпадают (р2 = р3) 37) при
этом пара чисел р1? р2 может иметь значения 1, 0 или —1/3, 2/3.
Как известно из общей теории линейных дифференциальных уравнений, в
этом случае матрица Х^ может быть приведена к виду
fPi 0 0 )
О р2 О
О X р^
Если X = 0, мы возвращаемся к решению (Б.6). Если же X ^ 0, то решение урав-
уравнений (Б.4) (с учетом условий симметрии д23 = д32) приводит к метрике
-ds2 = - dt2 + t2pi dx2 + t2p2 dy dz ± t2p2 In - dz2. (Б.8)
a
И в этом случае определитель g = t2 не удовлетворяет условию g < 0.
Таким образом, (Б.6) является единственным решением, в котором метрика
зависит только от времени. Если же одной переменной, от которой зависит мет-
метрика, является пространственная координата (х), то оказываются возможными
решения всех трех типов. Переход к этому случаю совершается путем соответ-
соответствующего изменения знаков в полученных решениях:
-ds2 =-x2*W+dx2+x2p2d7/2+x2p3dz2, (Б.9)
-1 (di2 - dT]2) + 2t2p' sin f2p" In -) di di\ + х2рз dz2,
-ds2 =dx2+2x2p2d?,dT]±x2p2ln-dTi2 +x2pidz2. (Б.11)
a
Все эти метрики удовлетворяют условию g < 0. Значение х = 0 является особой
точкой этих решений, за исключением случая (р1? р2, р3) = @, 0, 1) в метрике (Б.9)
(приводящейся при этом к галилеевой) и случая (р1? р2) = A, 0) в метрике (Б.11),
в котором особенность оказывается фиктивной.
7) Совпадение всех трех корней исключается условиями (Б.2), (Б.З).
518 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Возвращаясь снова к решению (Б.6), укажем, что оно может быть преобразо-
преобразовано также и к виду
-ds2 = 2dvid^ + vi2^dx2+vi2s2dy2+vi2s^dC, (Б.12)
где числа sv s2, s3 связаны соотношениями
si + s2 = si + 4, ss = ^(i - si - s2); (R13)
X есть произвольная постоянная, которая (если она отлична от нуля) может быть
устранена соответствующим изменением масштаба координат. После этого
преобразование метрики (Б.12) к виду (Б.6) осуществляется подстановкой
причем числа р1? р2, р3 связаны с числами sl9 s2, s3 посредством
19 2, 3 ()
1 1 + Рз 1 + Рз 1 + Рз
(порядок следования чисел р1? р2, р3 по их величине здесь нигде не предопреде-
предопределяется).
Если же в (Б.12) положить X = 0, то мы получим решение
-ds2 =
Эта метрика преобразуется к синхронному виду преобразованием
t . zt
_ds2=_dt2+? йх2+\Ц dy2+V-\ dz2,
но оказывается при этом зависимой уже не только от t, но и от одной из
пространственных координат.
Таким образом, форма (Б.12) оказывается более широкой, чем (Б.6); она содер-
содержит в себе в качестве частного случая метрику (Б.17), не содержащуюся в (Б.6).
Более общие аспекты этого обстоятельства рассмотрены в приложении Е.
В. Трехмерный тензор Риччи Р
Приведем здесь общие выражения для компонент трехмерного тензора Рич-
Риччи Paf3, вычисленных по метрике вида
где как векторы 1, т, п, так и скаляры а, Ъ, с могут быть функциями координат.
Мы пишем выражения для компонент вдоль направлений векторов 1, m, n в coot-
38. Проблемы релятивистской космологии 519
ветствии в определениями C.16) —C.18) (в которых надо писать а, Ъ, с вместо
a2 [1
Ри=д2"|-(а1го1а1)^--(bmrotbm)^--(en rotcn)^-
-(enrotbmJ -(bmrotcnJ -(bmrotalJ -(cnrotalJ +
+ (cnrotcn)(bm rotbm) + (cnrotal)(alrotcn) +
, / i ч/т i\l , ? f 1 fcn rot all
-+(alrotbm)(bmrotaln+a2 \-\
J [Ъ{ A J
, m
1 fen rotbml 1 (Ът rotcnl lfbmrotall
A ),i «I A ),i c{ A
ab '
~A~2
Plm = — j(alrotal)(bm rotal) + (bm rotbm)(alrotbm) + -
+ (alrotcn)(bm rot en) — (en rotcn)[(al rotbm) +
+ (bm rot al)] + - (bm rot en) (en rot al) +
1 / i , w \1 ab [l (bm rotcn"|
+ -(alrotcn)(cnrotbm)| + — -| j -
rotcnl 1 (bm rotbm"| lfalrotall
s—J,," el—д—J.n + c[—s—Lj- (в-2)
Здесь обозначено
A = V-g = abc (l[mn]),
а буквы I, m, n в индексах после запятой обозначают дифференцирование в
соответствующих направлениях согласно определению
Отметим также, что в произведениях, которые мы пишем для симметрии в виде
(al rot al) (с двумя одинаковыми векторами), скаляры а,... могут, разумеется, быть
вынесены из-под знака rot : (al, rot al) = a2(l rot 1).
Остальные компоненты получаются из написанных циклической перестанов-
перестановкой букв 1, m, n и a, b, с.
Г. Дальнейшие члены разложения
анизотропного решения
Дальнейшие члены разложения по степеням t полученного в разделе 3 ани-
анизотропного решения можно было бы представить в виде разложения векторов
520 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
1, т, п. Проще, однако, искать их непосредственно как малые поправки haf3 в мет-
метрическом тензоре
где д^ дается формулой C.6) с постоянными (не зависимыми от времени) век-
векторами 1, т, п.
Поправочные члены в уравнениях гравитации вычисляются с помощью
выражений (И.10) —(И.12) для изменений 8К^ . При этом следует заметить, что
величины к/0) Р пропорциональны 1/t и к® ^ =2/t.B bR^ можно пренебречь
вкладом от 6Р^ , так как самые большие члены в нем ~ t~2p3h^ , т. е. малы по срав-
сравнению с членами ~ t~2h^. Опуская, в соответствии с обозначениями приложе-
приложения И, индекс 0 у величин нулевого приближения, получим для поправок перво-
первого приближения следующие уравнения:
\{Я &) (Г.2)
= -F* + 7* (Г.З)
В правых частях этих уравнений стоят компоненты тензора энергии-импульса и
тензора Р^ , вычисленные по метрике нулевого приближения (см. также замеча-
замечание в конце этого раздела).
Поскольку уравнения содержат производные от h^ лишь по времени (но не
по координатам), можно непосредственно перейти в них к проекциям на направ-
направления 1, т, п. Учитывая, что отличны от нуля лишь «диагональные» компоненты
Ki -^El кш_^Р2_ гп _ 2Рз
получим следующие уравнения:
± ](l) To, (Г.4)
2
1
(Г.5)
(не выписанные уравнения получаются из написанных циклической перестанов-
перестановкой букв I, m, n и pv p2, р3).
В случае пустого пространства тензор энергии-импульса отсутствует, и в пра-
правой стороне уравнений (Г.5) —(Г.б) остаются только PJ*. С помощью формул (В.2)
находим, что члены наибольшего порядка в этом тензоре, остающиеся после того,
как члены C.19) обращены в нуль условием C.20), таковы:
р1 — _г> г) f~2p3 lr»2 f Рт —-г) г) f~2p3 In2 У"
38. Проблемы релятивистской космологии 521
\ + Pl,nP2,l ~ P2,nP2,l)t~2n 1П2 t,
PI =\{P2,nPl,m +P3,mPl,« -Pl,m Pl,n)tP3 I t
Мы не станем выписывать здесь получающиеся выражения для компонент h^ .
Укажем лишь, что они имеют следующие порядки величин:
Н ~ К ~ К ~ К ~ *С ~ *2A"Рз) in21 (г.7)
(компонента же hZm оказывается величиной относительно более высокого поряд-
порядка малости и в этом смысле входит уже в следующее приближение).
При наличии материи главной величиной в правых сторонах «диагональных»
уравнений (Г.5) является компонента тензора энергии-импульса
содержащая наиболее высокую степень 1/t По сравнению с ней можно прене-
пренебречь Т/ и Т™ , а также всеми Р/ , Р™ , Р™. В «недиагональных» же уравне-
уравнениях (Г.б) можно опустить Ргп,... по сравнению с Тгп,... В результате получим
?*2 h hn — 9h
hl — Р1
nl — ~ -i _
l
p@) @J
8f@V°V0) 8f@)u@)u@)
m Ul Unfl-pg ,n Ь? UmUnfl-P3
Пг 3A-р3)A + р3-2Р1)Г ' П- 3A-Рз)A + р3-2р2)
(компонента же hlm ~ t1+P3 снова оказывается относительно более высокого по-
порядка малости).
Уравнение (Г.4) удовлетворяется выражениями (Г.8) тождественно. Не выпи-
выписанные же нами уравнения R^ = T^ нужны были бы лишь при определении сле-
следующих членов разложения энергии и скорости.
Наконец, для завершения обоснования произведенных вычислений надо сде-
сделать еще следующее замечание. В уравнении (Г.З) опущены члены, возникаю-
возникающие из тензора Paf3 за счет поправок haf3 к метрическому тензору; надо убедиться
в том, что эти члены действительно достаточно малы. Именно, это должно быть
проверено для поправочных членов, возникающих из «больших» членов в Paf3,
«нулевая» часть которых обращена в нуль условием 1 rot 1 = 0.
Р/
QrotQp
Это — члены C.19) в диагональных компонентах Р/,... и члены
l
(lrotl)Pl, 2(pi_P2)
(lrotl)Pl,
ы (l[]) Z
522
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
в недиагональных компонентах. Написав 1 = 1^ + X, найдем, что поправкам (Г.8)
в метрическом тензоре соответствуют поправки следующих порядков в векторе 1:
•X
Поэтому
(Г.9)
(Г.10)
и легко проверить, что отброшенные члены действительно малы по сравнению с
членами, оставленными в уравнениях (Г.5), (Г.6).
Д. Устойчивость анизотропного решения
Как уже было указано в разделе 3, метрика
dl2 =
(с постоянными числами рх < р2 < р3) является точным решением уравнений
гравитации в пустоте. Рассмотрим поведение произвольных малых возмущений
гравитационного поля в этом однородном, но анизотропном пространстве. Такое
исследование делает более наглядным происхождение «потери» одной произволь-
произвольной функции при переходе к общему анизотропному решению C.6).
Уравнения малых возмущений получаются приравниванием нулю выраже-
выражений (И.10)—(И.12) для изменений bR^ . Поскольку пространственная метрика (Д.1)
в каждый данный момент времени является евклидовой, трехмерные ковариант-
ные производные в этих уравнениях сводятся к обычным производным. Невоз-
Невозмущенный же тензор к^ диагоналей, причем к,} = 2px/t.
Ввиду однородности пространства можно разложить произвольное малое воз-
возмущение в пространственный интеграл Фурье и рассматривать отдельную компо-
компоненту разложения. Тогда все h^ ~ егкг, и мы получим следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
+~tK +^
(Д-2)
(здесь и ниже суммирование по повторяющимся индексам не подразумевается).
38. Проблемы релятивистской космологии
523
Среди решений этих уравнений имеются такие изменения метрики h^ , кото-
которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета. Согласно форму-
формулам (И.13) —(И.14) найдем, что общий вид таких «фиктивных» возмущений
h -t2p«
t
t,
(Д-3)
'Р ° (l-2pj(l-2pp)
где Са, Со — постоянные (здесь и ниже множитель егкг для краткости опускаем).
Общее решение уравнений (Д.2) может быть представлено в виде ряда по воз-
возрастающим степеням L Первые члены этих разложений следующие:
h — t2vi
п12 — i
Q I
к2{к3
+Рз
+ *2р2С21,
+t2psc31)
(Д-4)
23 — 23 ~l~ ^ 32'
причем постоянные Aa, Ba, CaP (CoC ^ Cpa) связаны соотношениями
*Р
(Д-5)
(Д-б)
В (Д.4) уже опущены члены, которые можно было бы исключить преобразовани-
преобразованием координат, соответствующим коэффициенту Со в (Д.З). Все остальные опу-
опущенные члены разложения — те, которые заведомо не могут стать большими
при t —> 0, а коэффициенты в них выражаются через фигурирующие в (Д.4) по-
постоянные. При этом критерием малости возмущений являются условия
(Д-7)
Тремя произвольными постоянными Са в (Д.З) распорядимся так, чтобы, по
возможности, исключить наибольшие члены в (Д.4). Именно положим
— Qi — С-23 —
(Д-8)
После этого /г23 будет удовлетворять условию (Д.7), но в /г12 и /г13 остаются члены,
не удовлетворяющие этому условию при t —> 0. Другими словами, эти возмуще-
возмущения относительно возрастают, т. е. решение (Д.1) неустойчиво по отношению к
ним. Для устранения этой неустойчивости достаточно дополнительно положить
(Д-9)
524 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
после чего координатное преобразование, обращающее в нуль С12, обратит в нуль
также и С13. Что касается логарифмических членов в диагональных компонен-
компонентах h^ , их возрастание при t —> 0 есть лишь кажущаяся неустойчивость. Эти чле-
члены соответствуют в действительности просто малому изменению показателей
степеней в метрике (Д.1): числа ра заменяются на ра + Ва, причем в силу усло-
условий (Д.5) сохраняются прежние соотношения между ними.
Произвольная постоянная в компоненте Фурье возмущения означает нали-
наличие произвольной функции (трех пространственных координат) в самом возму-
возмущении. Наличие же произвольных функций в возмущениях, не приводящих к
неустойчивости основного решения, означает возможность расширения послед-
последнего. Всего в (Д.4) три независимых произвольных параметра A2 параметров
Са[3, Аа, Ва связаны 9 условиями (Д.5) —(Д.9)). Они соответствуют трем произволь-
произвольным функциям в анизотропном решении C.6).
Мы видим, что для обеспечения устойчивости метрики (Д.1) приходится нало-
наложить на произвольное возмущение одно дополнительное условие (Д.9). Это ус-
условие как раз соответствует дополнительному условию 1 rot 1 = 0 C.20), повлек-
повлекшему за собой «потерю» одной произвольной функции в анизотропном решении.
Е. О происхождении других типов особенностей
В разделе 2 было описано геометрическое построение, позволяющее сконструи-
сконструировать синхронную систему отсчета. Это построение начинается с произвольной
пространственноподобной гиперповерхности, выбираемой в качестве исходной.
Если же в качестве исходной выбрать «нулевую» гиперповерхность (т. е. ги-
гиперповерхность, нормали к которой являются нулевыми векторами), то таким же
построением мы получим систему отсчета, в которой метрика имеет следующий вид
(см.[15],§7K9):
-ds2 = 2dr] dC + gabdxadxb + 2ga3dxadC, + g33dC, (E.I)
т. e. g00 = gQa = 0, g03 = 1 (индексы а, Ъ пробегают значения 1, 2, причем индексы
0, 1, 2, 3 соответствуют четырем координатам г\, х, у, Q.
Указанное в приложении Б решение (Б.12) относится как раз к такой системе
отсчета. Сделанное в конце этого приложения замечание наводит на мысль о том,
что при формулировке полученного в разделе 3 анизотропного решения в син-
синхронной системе отсчета из него могут ускользнуть некоторые частные случаи,
которые содержатся в решении, сформулированном в форме метрики вида (Е.1).
Покажем кратко, каким образом строится это решение (в пустоте).
Ищем компоненты метрического тензора вблизи особой точки т\ = 0 в виде
9аъ = rfs%h + r\2s2mamb, g03 = г^па, д3з = г\Щ9, (Е-2)
причем
si + sl = si + S2> s3 = — A — sx — s2). (E.3)
39) В книге Петрова [15] эта система называется изотропной полугеодезической, в отличие от
синхронной системы, называемой просто полугеодезической.
38. Проблемы релятивистской космологии 525
Двумерные векторы 1а, та, па, скаляр q и числа sl9 s2, s3 — функции координат
х, у, С,. Компоненты обратного тензора
даЪ = ^-2-liajb +л-2в2татЬ^ да0 = _ д^даЪ ^ да3 = Q ^
я00 = -д3з + яаЬяа,Яш, я03 = 1, я33 = 0; I (E.4)
здесь Iй, та — компоненты двумерных векторов, связанных с 1а, та соотношения-
соотношениями 1а1а = тата = 1, 1ата = 0. Метрический определитель
-Я = I 9аь\ = Л2(81+82) Gim2 -^mj2. (E.5)
Условимся считать, что s2 > sv Относительная же величина чисел s3 и sv s2
неопределенна. Будем считать сначала, что s3 > s2 (легко видеть, что при этом
1/5 < sx < 0, 0 < s2 < 2/5, 2/5 < s3 < 1/2). При оценке в этом случае различных чле-
членов в уравнениях гравитации существенно, что выражение
9аг9ьг9аЪ = rf4nanb (ц2ЧЧь +ц2^тать) (Е.6)
содержит более высокие степени г\, чем g33 ~ T]2S3 •
Покажем, каким образом можно удовлетворить метрикой вида (Е.2) уравне-
уравнениям гравитации в их главных членах. Этими членами являются следующие:
R3O=-\<,o-\«=O, (E.7)
as, о - 9ь А )] 0 = 0, (Е.8)
= ^[^Ззз, о], 0 -\«&ъ = 0, (ЕЮ)
^ ], 0
Ra = ~ -^Г= [(9, 0 - 9ЬЗ<4 )yf-g\ з - 2 (»33^а ). ь
-д
i
(б^зз, зл/-^) 0 - (из, ол/-^)
1 Ьл п 1
Здесь индексы ,0 и ,3 обозначают простые дифференцирования соответствен-
соответственно по г\ и С,, а индексы ;а — ковариантное дифференцирование в двумерном
526 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
пространстве с метрикой даЪ. Посредством каЪ и ХаЬ обозначены двумерные
тензоры
КаЪ = 9аЪ, 0> \ib = 9аЪ, 3>
КЬ _ Ъс \Ь_\ пЪс
Уравнения (Е.7) и (Е.8) удовлетворяются метрикой (Е.2) тождественно. В урав-
уравнениях же (Е.9) и (Е.10) обращаются в нуль лишь первые члены. Между тем вто-
вторые члены потенциально являются главными— они содержат степень A/т]) + S2~ Sl ,
более высокую, чем степень (l/r|J~2s3 , которой формально пропорциональны пер-
первые члены. Поэтому для выполнения этих уравнений надо наложить на метрику
дополнительное условие, запрещающее появление таких больших членов. Легко
видеть, что таковым является условие
К, з™а = ° (Е-!3)
(обращающее в нуль члены ~ rpSl~S2) в величинах \ьа ). Наконец, в уравнениях
(Е.11) —(Е.12) подстановка метрики (Е.2) с условием (Е.13) приводит к появлению
членов порядков r\2sz~l 1пт] и r\2s^~l. Из них первые тождественно сокращаются в
силу соотношений (Е.З) между числами sl9 s2, s3. Члены же ~ r\2s3~l в этих урав-
уравнениях дают три (по числу уравнений) соотношения, связывающие между собой
фигурирующие в (Е.2) функции координат х, у, С,.
Вместе с (Е.13) мы имеем, следовательно, четыре соотношения между восе-
восемью функциями (д, по две компоненты векторов 1а, та, па, одно из чисел sv s2, s3).
Кроме того, метрика (E.I) —(E.2) допускает еще одно преобразование (содержа-
(содержащее одну произвольную функцию координат х, у, z), оставляющее неизменной
ее форму; при этом подразумевается, что допустимое преобразование должно
сохранять ситуацию, в которой особенность метрики находится при г\ = 0, а д33
содержит более высокую (чем в даЪ) степень. Этим преобразованием можно, на-
например, обратить в единицу коэффициент q в д33. Таким образом, метрика (Е.1) —
(Е.2) содержит всего три физически независимые функции координат х, у, С,.
Исследование случаев, когда s3 не является наибольшим из трех чисел sv s2, s3,
приводится к произведенному выше. Пусть sx < s2 < s3. Метрика (E.I) —(E.2) в та-
таком случае тоже допускает одно произвольное преобразование. Им нельзя те-
теперь обратить q в единицу, но можно добиться, чтобы вектор та (стоящий в виде
коэффициента при старшей степени г\ в (Е.2)) стал «перпендикулярен» вектору па,
т. е. чтобы было пата = 0. Тогда выражение (Е.б) по-прежнему окажется малым
по сравнению с д33 и главные члены в уравнениях гравитации останутся теми же,
чтов (Е.7)-(Е.12).
Полученное решение в общем случае эквивалентно анизотропному реше-
решению C.6), в которое оно может быть преобразовано путем перехода к синхронной
системе отсчета. При этом показатели степеней pv p2, р3 связаны с показателя-
показателями sv s2, s3 равенствами (Б.15), а «лишнему» условию (Е.13) соответствует до-
дополнительное условие 1 rot 1 = 0 C.20), которое должно было быть наложено на
коэффициенты решения C.6).
38. Проблемы релятивистской космологии 527
Но поиск решений в системе отсчета (Е.1) естественным образом приводит к
решениям с особенностью также и такого типа, который не содержится в реше-
решении C.6). Этот тип возникает в специальном случае, когда в (Е.2) коэффициент
q = 0, так что решение (вблизи особенности) имеет вид
-ds2 = 2di] dC + (ybT]2si +mambyfS2)dxadxb +2naT]2s3dxadC, (E.14)
причем sx + s2 = s2 + si. В синхронной системе отсчета это решение характери-
характеризовалось бы показателями степени переменной t, равными (sv s2, 1) и не содер-
содержащимися в наборе чисел (р1? р2, р3); такое представление этого решения пред-
представляется, однако, менее естественным для исследования его свойств, чем пред-
представление в виде (Е.14) (ср. (Б.16) и (Б.17)).
Решение типа (Е.14) содержит, по-видимому, менее трех физически произволь-
произвольных функций трех переменных х, у, С,. Установление этого числа и выяснение
ограничений, которые должны быть наложены на фигурирующие в (Е.14) величи-
величины, требует, однако, специального исследования с учетом членов следующих (после
выписанных в (Е.7), (Е.12)) порядков в уравнениях гравитации и, возможно, сле-
следующих (после (Е.14)) членов разложения компонент метрического тензора.
Ж. Примеры особенностей в точных решениях
Приведем несколько примеров из числа известных точных решений уравнений
гравитации в пустоте, продемонстрировав на них особенности различных типов.
1. Метрика
-ds2 = -z12'7dt2 + t^
получается путем очевидных преобразований из одного из найденных Гаррисо-
ном [16] точных решений (решение I-A-1 в его обозначениях).
Преобразование к синхронной системе отсчета вблизи особой точки t = 0 удоб-
удобно произвести следующим итерационным способом. Заменой ^"^оо \ха) dt —> dt
обращаем новое (— д00) в единицу, но зато появляются отличные от нуля ком-
компоненты gOa вида gOa =tfa(x1, х2, х3). Они исключаются преобразованием
ха —> ха + ?2~2рафа (х1, х2, x3j с должным образом подобранными функциями фа
(t2Pa — временной множитель, входящий в даа). При этом появляется малая
(~ ?2~2ра) добавка к д00, которая исключается следующим преобразованием, и т. д.;
с переходом к членам более высокого порядка вид преобразований, естественно,
усложняется. В результате можно отодвинуть отклонение от синхронности до
малых величин сколь угодно высокого порядка; компоненты ga[3 получаются при
этом в виде разложении по t ).
Таким образом, найдем, что вблизи особой точки t = 0 метрика (Ж.1) эквива-
эквивалентна метрике, первые члены разложения которой
-ds2 ъ-dt2 +Г2'Чх2 +t*t*z-V2(dy2 +dz2),
т. е. мы имеем особенность типа (р1? р2, р3) = (-}?, %, %) •
40) Точное же преобразование к синхронной системе отсчета (которое можно произвести, напри-
например, способом, указанным в [1], § 98а) связано обычно с очень громоздкими вычислениями.
528
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Изменив в (Ж.1) комплексным преобразованием временную переменную,
получим метрику
t12'7dz2.
(Ж.2)
-ds2 = ~2
Вблизи t = 0 она эквивалентна метрике
- ds2 « -dt2 + t-^z-^dx2 + t6'7z16'21dy2 + tl2l7z-2il21dz2, (Ж.2а)
т. е. мы имеем особенность типа {—%, %, %) •
2. Метрика
(решение Ш-2 Гаррисона) подстановкой и = т]г/~20/3, ? = уъ (и некоторым изме-
изменением масштаба координат) преобразуется к виду
40 л
-ds2 = 2dT]dC+ Tf^y-Wdx2 + ri6/5dy2 - — -dydC^, (Ж.За)
3 у
т. е. мы имеем решение типа (Е.14) со значениями чисел (s1? s2 ) = (—%, %).
3. Метрика
(х-
(Ж.4)
(решение I-B-3 Гаррисона) имеет особые точки при ? = 0 и при ? = х.
Вблизи точки т —> 0 подстановкой ?^ >' —> ? приводим д00 к виду, зависи-
зависимому (в первом приближении) только от пространственных координат, после чего
поступаем, как в примере 1. Не выписывая вида метрики вблизи особенности,
укажем лишь, что последняя относится к типу
2 - л/г 8 - 5\Я 3 - V
9 - 5л/2 ' 9 - 5л/2 ' 9 -
Вблизи особенности ? = х приведение метрики к стандартному виду осущест-
осуществляется следующей последовательностью преобразований. Заменяем ? — х —> ?, за-
затем преобразованием вида f —> ? исключаем ? из д00. При этом появляется отлич-
отличное от нуля д01, которое исключается преобразованием вида х —> х + ф(х, z, ?) с
надлежащим образом выбранной функцией ср; дальше продолжаем, как в при-
примере 1. В результате получим метрику с особенностью типа
(Pi, Р2» Рз) =
л/г 1+л/2 2+л/2
3+л/г' 3+\Я' З+л/2
38. Проблемы релятивистской космологии 529
С помощью комплексного преобразования можно получить из (Ж.4) решение
^r4t2+ (z- уГ^2 z-2+^t
+ (z - yf+^2 z^H^dy2 + (z- yf+42 z7-5^2t2dz2. (JK.5)
Для выяснения типа особенности, которую эта метрика имеет при t = О, будем
считать, с целью упрощения вычислений, что z ^> у; тогда
)
г2 8t2
Делаем сначала подстановку
а затем vb = r\9 иъ 2 = С и некоторое изменение масштаба координат. Окон-
Окончательно получаем
- ds2 = 2dT] dC + TT2/5dx2 + T]4/5d7/2, (Ж.5а)
т. е. особенность типа (Е.14) с (s1? s2 ) = (—%, %).
4. Решение
— ds2 = — "f2^6^2 + Ъ<1х2 + (li sin2 x + ^2 cos2 x)dy2 + 2^2 cos xdydz
41=cht/4ch2-, Ъ=^7 (Ж-6)
(найденное Таубом [17]) имеет особенность при t —> оо. Вблизи особенности под-
подстановкой е~*/2 —>• t эта метрика приводится к виду
- ds2 ~ -dt2 + - dx2 + i sin2 x dy2 + 2t2 (dz2 + 2 cos x dy dz), (Ж.ба)
т. е. особенность типа (p1? p2, p3) = @, 0, 1). Но этот тип особенностей фиктивен,
так что никакой физической особенности метрика (Ж.б) в действительности не
имеет.
И. Уравнения малых возмущений
гравитационного поля
Пусть метрика gf^ представляет собой некоторое решение уравнений грави-
гравитации, на которое накладывается малое возмущение bgik. Вычислим величины,
необходимые при составлении уравнений для этих возмущений.
Введем обозначение bgik = hik для возмущения ковариантных компонент
метрического тензора, а невозмущенную метрику будем для упрощения записи
формул обозначать просто как gik, опуская индекс @).
530 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Тензор hik рассматриваем ниже как тензор в пространстве невозмущенной
метрики gik, так что все дальнейшие операции поднимания индексов у hik а так-
также все операции ковариантного дифференцирования производятся с помощью
метрики gik. Тогда, с точностью до малых величин первого порядка, Ьдгк = — hlk.
Таким образом, мы должны произвести в уравнениях гравитации замену
При этом изменение определителя 6g = ggtkhik = gin , где In = ln\, так что
g->g(l + h). (И.2)
Поправки к символам Кристоффеля выражаются через hlk посредством
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. С их помощью можно полу-
получить для возмущения тензора кривизны
bRiim = - (hk. т. г + hlm. к. г - hi* i~hlVm- hi k. m + hit ), (И.4)
rislnl О V ^? illy I uly rC, I /vТ/7', I гС, t, #/1' t, rC, #/1/ /vt, T/7' J ' \ /
откуда для поправок к тензору Риччи получается
bRik = Ш1пк = -(h\. к. г +hl. г. г -hik}\ -h. г. к). (И.5)
Из соотношения
г +о^ — (кй+ок^Дд +од j
находим для изменения смешанных компонент Rk :
bRk =gklbRu-hklRa. (И.6)
Если невозмущенная метрика задана в синхронной системе отсчета и возму-
возмущение не нарушает синхронности (чего можно всегда добиться надлежащим ма-
малым преобразованием координат), то
hoo=O, hOa=O. (И.7)
Изменения bRk удобно в таком случае вычислять, производя варьирование
величин в выражениях B.3) —B.5), воспользовавшись при этом формулами (И.5) —
(И.б) для определения изменения 6Р^ . Очевидно, что изменение трехмерного
тензора Риччи Р^ определяется формулами того же вида, что и для четырех-
четырехмерного тензора Rk, причем все тензорные операции производятся в трехмер-
трехмерном пространстве с невозмущенной метрикой gaf3:
38. Проблемы релятивистской космологии 531
Для изменения тензора ка[3 имеем
Ы = Ьф 6< =hi- Klh* + «.pi}, (И.9)
где точка означает дифференцирование по t (эта операция, разумеется, не комму-
коммутативна с операциями поднимания или опускания индексов).
Окончательные формулы для изменений 8К?° имеют следующий вид:
При решении уравнений малых возмущений всегда надо иметь в виду, что
среди получающихся решений есть такие, которые могут быть исключены пре-
преобразованием системы отсчета и поэтому не представляют собой реального фи-
физического изменения метрики. Дело в том, что условия (И.7) еще не определяют
выбора системы отсчета однозначным образом. Действительно, при преобразо-
преобразовании хг —> хг + ^г (где ?,г — малые величины) тензор gik получает приращение
hue = ?г к + ^к- i 9 или? раскрывая ковариантные производные:
'гоо =24о. ^=^ + ^-^= — + ^„3. (И.13)
Условия (И.7) дают систему четырех уравнений для допустимых величин ?0, ^а.
Общее решение этих уравнений есть
i°=f°(x\ х\ х3), е = df^Jg^dt + fa(x\ х\ х3).
(J ОС
Оно содержит, как и следовало, четыре произвольные (малые) функции простран-
пространственных координат /°, /а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля, изд. 4-е, М., Физматгиз, 1962.
[2] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 149, I960. [Статья 35 настоящего собра-
собрания трудов].
[3] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 800, I960. [Статья 36 настоящего собра-
собрания трудов].
[4] ЕМ. Лифшиц, В.В. Судаков, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 40, 1847, 1961. [Статья 37 на-
настоящего собрания трудов]; Phys. Rev. Letts., 6, 311, 1961.
532 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
[5] A. Komar. Phys. Rev., 104, 544, 1956.
[6] A. Raychaudhuri. Phys. Rev., 98, 1123, 1955; 106, 172, 1957.
[7] E. Kasner. Amer. J. Math., 43, 1921.
[8] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1954.
[9] Л.Д. Ландау. Фундаментальные проблемы, в сб. «Теоретическая физика 20 века» (в па-
память В. Паули). М., ИЛ, 1962.
[10] ЕМ. Лифшиц. ЖЭТФ, 16, 587, 1946. [Статья 15 настоящего собрания трудов].
[11] ЕМ. Lifshitz, IM. Khalatnikov. Advances Phys., 12, 185 1963.
[12] Я.Б. Зельдович. ЖЭТФ, 43, 1982, 1962.
[13] J.H. Oort. Доклад на 11 Сольвеевской конференции, Bruxelles, 1958.
[14] W.B. Bonnor. Month. Not. RAS, 117, 104, 1957.
[15] А.З. Петров. Пространства Эйнштейна. М., Физматгиз, 1961.
[16] В.К. Harrison. Phys. Rev., 116, 1285, 1959.
[17] А. ТаиЪ. Ann. Math., 53, 472, 1951.
39
ОБЩЕЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ГРАВИТАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЬЮ
ПО ВРЕМЕНИ
Совместно с ИМ. Калашниковым
Phys. Rev. Lett, 24, 76, 1970
Указан способ конструирования общего решения уравнения Эйнштейна с сингулярностью
исходя из известного ранее решения меньшей степени общности. Приведено качественное
описание эволюции метрики в направлении сингулярности, носящей сложный осциллятор-
ный характер.
В этой статье мы вернемся к обсуждавшемуся ранее вопросу [1], а именно, воп-
вопросу о том, существует ли общее решение уравнений Эйнштейна с сингулярностью.
Напомним, что постановка проблемы состоит в поиске предельной формы (в окрест-
окрестности сингулярности) самого широкого класса решений, содержащих физическую
сингулярность; степень общности определяется количеством физически различных
произвольных функций, содержащихся в решении. Общее решение — решение,
состоящее из достаточного для определения произвольных начальных условий в
данный момент времени количества произвольных функций (четырех — для пус-
пустого пространства, восьми — для пространства, содержащего вещество). Заметим,
что мы имеем ввиду физическую сингулярность — бесконечную плотность материи
или (в пустом пространстве) — бесконечную кривизну инвариантов.
В предыдущих наших исследованиях [1] мы пришли к заключению, что наи-
наиболее общие свойства космологических решений по отношению к их сингуляр-
ностям проявляются уже в случае пустого пространства, и что вещество в каче-
качественном отношении не меняет этих свойств. В этих исследованиях мы также
нашли класс решений, содержащих только на одну произвольную функцию мень-
меньше, чем нужно для общего случая. Эти решения представляют собой обобщение
однородного решения Казнера и имеют вид:
ds2 =dt2 - (a2ljp + Ъ2татр + c2nan^) d, ()
a = tPl, b = tP2, c = t™, B)
причем
Pi + P2 + Рз = Pi + v\ + V\ = I- C)
(Одно из чисел pl9 p2, p3 отрицательно, пусть это будет pj. Векторы 1, m, n и числа
Pi> Р2> Рз — функции пространственных координат. Введем также обозначения
X = A • rot l)/v, [л = (m • rot m)/v,
у
= (n-rotn)/i;, i; = l-mxn, D)
534 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где каждое математическое выражение сконструировано так, как если бы х1, х2, х3
были бы декартовыми координатами.
Кроме «естественных» условий, наложенных на координатные функции в A)
уравнениями Rq = 0, необходимо, оказывается, наложить также дополнитель-
дополнительное условие
\ = 0, E)
для того из векторов 1, т, п, который связан с отрицательным индексом L Это как
раз и есть условие, которое приводит к «потере» одной произвольной функции
из решения.
Общее решение, по определению, полностью устойчиво: оно не изменяет сво-
своего характера при введении любого возмущения или при изменении начальных
условий. Но для решения A), B) наличие ограничения E) приводит к неустойчи-
неустойчивости по отношению к возмущениям, нарушающим это условие. Под влиянием
такого возмущения модель должна перейти в другой режим, который по самой
своей сущности уже будет довольно общим.
Конечно, в этом процессе возмущение должно считаться не малым. Переход к
новому режиму выходит за рамки области бесконечно малых возмущений.
Уравнения, определяющие функции а, Ъ и с в метрике A), имеют следующий
вид (ср. [1]):
К0°=(й/а)+(ь/ь)+(с/с)=0; F)
R\ = [(аЬс)УаЬс]+(Х2а2/2Ь2с2)= 0, G)
RZ = \(аЪс) '/аЪс\ - (Х2а2/2Ь2с2) = 0,
Rnn = [(аЬс)УаЬс]-(Х2а2/2Ь2с2) = О,
(точки означают дифференцирование по t). Кроме главных членов ~t~2, которые
дают B) с условием C), члены с еще более высокими степенями по l/t[~ t^pi^]
здесь также оставлены. Именно чтобы избавиться от этих членов потребовалось
ввести дополнительное ограничение E), но как раз эти члены представляют собой
то возмущение, за которым нам и следует проследить. (При р2 < 0 или р3 < 0 вме-
вместо членов с X2 в G) должны быть включены члены с [i2 или у2). Конечно, в процессе
эволюции возмущения величина X становится зависимой от времени и, следова-
следовательно, в уравнениях F), G) появляются дополнительные члены. Но расчет X с
помощью уравнения R™ = 0 показывает, что этими членами можно пренебречь.
Подстановкой а = еа, Ъ = е^, с = е1, dt = abcdT уравнение G) можно при-
привести к следующему виду:
-1 \ /-• \
(8)
Эти простые уравнения можно решить при начальных условиях при т —> оо:
ат = р19 (Зт = р2, чт = р3 (начальная метрика A), B)). Решение показывает, что за
39. Общее космологическое решение гравитационных уравнений 535
периодом сильного влияния возмущение затухает, и мы возвращаемся к метри-
метрике в форме A), B) при т —> — оо, но с новыми показателями степеней:
(pi Pa, Рз) = [1/A + 2р1)]х(-р1, p2+2Pl, p3+2Pl). (9)
Если первоначально р1 < р2 < р3, Pl < 0, то р2 < р[ < pf3, pf2 < 0 . Отрицатель-
Отрицательный показатель степени у t переходит с направления 1 к т, ранее убывающая
функция Ъ становится возрастающей, а ранее возрастающая функция а — убы-
убывающей.
Удобно представить подстановки (9) с помощью параметризации:
Pl (и) = -и/ )
ри(и)=A + и)/A + и + и2), A0)
Рш (и) = иA + и)/A + и + и2),
где значения параметра и лежат в области и^\. Если и < 1, его можно перевести
в область и > 1 с помощью соотношений
Pi (Уи) = Pi (и), Рп (Уи) = Рш Ы), Рш (V^) = Рп (и)' (П)
Теперь правило (9) формулируется следующим образом: если pl = pl[u),
, ТО
p[ = pu(u-l), P2 = Pi(u-l), pf3=plu(u-l). A2)
Этот процесс смены «эпох казнеровского типа» с перепрыгиванием отрицатель-
отрицательного показателя степени у времени с одного направления на другое (уже отме-
отмеченный в [2]) — ключ к пониманию характера эволюции метрики в направлении
сингулярности.
Последовательные замены A2) с отрицательным показателем степени, пере-
переходящим от а к Ъ и обратно, продолжаются до тех пор, пока и не станет меньше 1.
Величину и < 1 переводим в и > 1 по процедуре A1). Следующие последователь-
последовательности замен будет заставлять отрицательный показатель скакать между с и а (или
с и Ь) и т. д. При произвольной (иррациональной) начальной величине и процесс
замены будет продолжаться бесконечно и приобретет стохастический характер.
Пусть wn(x) — вероятность n-й последовательности значений и закончиться зна-
значением и = х < 1. Можно показать, что когда п —> оо, вероятность стремится к ста-
стационарному распределению w(x) = 1/V2 A + х), которое не зависит от начальных
условий [3]. Длина каждого следующего ряда определяется целой частью 1/х, а
вероятность W(k) последовательности иметь длину к для больших к равна
W(k) ~ l/v2/c2 . Следовательно, среднее значение к расходится логарифмически,
т.е. в следующих последовательностях замещений большая доля значений и бу-
будет очень большой, что означает, что (Pl, р2, Рз) по значению близки к @, 0, 1).
536 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В качественном смысле эти регулярности в замещениях означают, что эволю-
эволюция метрики претерпевает последовательные периоды (назовем их эрами), кото-
которые сгущаются к t = 0.
В течение каждой эры пространственные расстояния в двух направлениях
осциллируют, а в третьем — монотонно убывают. При переходе в следующую
эру направление монотонного убывания перескакивает на другую ось. Это моно-
монотонное убывание в последовательных эрах, происходит по закону, в течение дол-
долгого времени хорошо описываемому зависимость ~? (то есть показатели в мет-
метрике близки к @, 0, 1)); и все-таки в конце каждой эры метрика срывается, и этот
предел никогда не достигается.
В точном решении уравнений показатели (р1? р2, р3), естественно, теряют свое
буквальное значение и сохраняют только описанные качественные свойства. Не-
Необходимо, однако, специально прояснить вопрос о приближении решения к мет-
метрике класса @, 0, 1), поскольку сингулярность в самой этой метрике не является
физической (геометрический смысл этой метрики был объяснен в [1], а ее анали-
аналитическое конструирование приведено в работе Белинского и Халатникова [4]).
Этот вопрос в течение продолжительного времени беспокоил нас в связи с опасе-
опасениями, что какой-либо малый эффект может направить эволюцию метрики в точ-
точности к @, 0, 1), что приведет к устранению сингулярности. Следует добавить,
что если два из трех чисел (р1? р2, р3) малы и, следовательно, близки друг к дру-
другу, возникает вопрос о справедливости тех качественных свойств модели, к ко-
которым мы приходим при рассмотрении возмущений, если она характеризуется
только одним параметром.
Однако эти сомнения исчезают при аналитическом исследовании простейше-
простейшего случая X = |i = у = const (однородная модель), этот случай был рассмотрен од-
одним из авторов совместно с Белинским [2], а также Миснером [5]. Величина, кото-
которая уменьшается монотонно в течение длинной эры (скажем, с), становится ма-
малой по сравнению с а и Ъ. Аналитическое рассмотрение описанного выше случая
подтверждает то, что такая эволюция не может длиться бесконечно долго, умень-
уменьшающаяся функция с в конце концов начинает возрастать, и начинается пере-
переход к следующей эре. Следует добавить, что это свойство сохраняется также в
общем представлении метрики в течении любой эры (отбросив предположение
X = |i = у = const), что было в аналитической форме показано Белинским и Ха-
латниковым [6], и при этом имеется полный требуемый набор произвольных функ-
функций пространственных координат.
Следует отметить, что это представление содержит периодические по од-
одной из координат функции. Это предполагает, что, возможно, существует не-
некоего рода связь между существованием сингулярности и замкнутостью все-
вселенной (заметим, что мода X = |jl = у = const замкнута). Этот вопрос требует,
естественно, специального рассмотрения.
Характер сингулярности этого общего решения открывает новые перспекти-
перспективы космологических приложений теории. Наиболее важным представляется свой-
свойство модели, подчеркнутое Мизнером [5], а именно, открывание горизонтов све-
света (которое дало основание назвать модель «mixmaster universe» — от слова
mixmaster, означающего смеситель).
Прояснена также проблема гравитационного коллапса несферических тел. Ко-
Конечной стадией такого коллапса может вполне стать сингулярность такого же типа.
39. Общее космологическое решение гравитационных уравнений 537
Остается сделать несколько замечаний по поводу связи данных результатов
с результатами более ранней нашей работы, в которой мы пришли к заключе-
заключению, что сингулярности в общем решении нет [1]. Мы поднимаем этот вопрос еще
и с целью положить конец продолжительной дискуссии (см., например, [7]), ко-
которая в последние несколько лет становится все более беспредметной.
Поскольку не существует систематических методов исследования сингуляр-
ностей уравнений Эйнштейна, наши поиски решений все большей общности про-
производились, по существу, методом проб и ошибок. Отрицательный результат при
такой процедуре, конечно, сам по себе никогда не закрывает проблему, констру-
конструирование нового решения требуемой общности изменяет вывод на противопо-
противоположный, не влияя на результаты, имеющие отношение к рассмотренным ранее
конкретным решениям. Эвристическое соображение, которое служило в наших
исследованиях путеводным принципом, состояло в убеждении, что если суще-
существование сингулярности — основное свойство решений, то в самых общих свой-
свойствах самих уравнений Эйнштейна должно существовать указание на это (хотя
этих указаний самих по себе может быть недостаточно для определения приро-
природы сингулярности). Единственным указанием такого рода, известным к моменту
нашей более ранней работы, было обращение в нуль детерминанта метрики, сле-
следующее из уравнения в синхронной системе отсчета [1]. Но это указание исчезло
после того, как стало ясно, что этот нуль возникал только в результате геометри-
геометрического пересечения линий времени-пространства в синхронной системе отсче-
отсчета. Именно это обстоятельство мы имели в виду, когда писали, что основания су-
существования сингулярности в общем решении полностью исчезают по самой сущ-
сущности. Однако ситуация изменилась после открытия Пенроузом [8] (а также
Хокингом [9] и Герохом [10]) новых теорем, обнаруживающих связь между су-
существованием сингулярности (неизвестного типа) и некоторыми общими свой-
свойствами уравнений безотносительно к выбору системы отсчета [11].
Новые результаты полностью проясняют ситуацию с сингулярностями в об-
общих решениях и устраняют все предыдущие противоречия.
ЛИТЕРАТУРА
[1] I. М. Khalatnikov, ЕМ. Lifshitz, and V.V. Sudakov. Phys. Rev. Letters, 6, 1961, 311;
EM. Lifshitz and IM. Khalatnikov. Adv. Phys., 12, 1963, 185 (we use here the notation of this
paper).
[2] V.A. Belinsky and IM. Khalatnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 56, 1969, 1700.
[3] We are indebted to I.M. Lifshitz for examining this question.
[4] V.A. Belinsky and I.M. Khalatnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 49, 1965, 1000; Sov. Phys. JETP,
22, 1966, 694.
[5] C.W. Misner. Phys. Rev. Letters, 22, 1969, 1071.
[6] V.A. Belinsky and I.M. Khalatnikov (to be published).
[7] C.W. Misner. Phys. Rev., 186, 1969, 1328.
[8] R. Penrose. Phys. Rev. Letters, 14, 1965, 57.
[9] S.W. Hawking. Phys. Rev. Letters, 15, 1965, 689. See also S.W. Hawking and G.F.R. Ellis.
Astrophys. J., 152, 1968, 25 and references therein.
[10] R.P. Geroch. Phys. Rev. Letters, 17, 1966, 445.
[11] Как раз реакция на это изменение ситуации заставило одного из нас опустить соот-
соответствующую главу в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица «Теория поля» из русского из-
издания 1967 г.
40
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ К ОСОБОЙ
ТОЧКЕ В ОТКРЫТОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Совместно с ИМ. Халатниковым
Письма в ЖЭТФ, 11, 200, 1970
В предыдущих сообщениях [1, 21] было показано, что в общем космологичес-
космологическом решении уравнений Эйнштейна существуют особенность, причем она имеет
сложный колебательный характер. Был рассмотрен также частный пример од-
однородной замкнутой модели (мир с однородным пространством типа IX по Биан-
ки), допускающий более полное аналитическое рассмотрение [2] (эта модель рас-
рассматривалась также Мизнером [3]). В настоящей работе мы хотим сообщить еще
об одном аналогичном примере, который не только снова подтверждает качест-
качественный анализ общего случая, но и проливает дополнительный свет на некото-
некоторые аспекты проблемы. Это — модель с однородным пространством типа VIII по
Бианки.
Пусть снова 1, m, n — реперные векторы, определяющие координатную зави-
зависимость пространственной метрики; a(t), b(t), c(t) — функции синхронного миро-
мирового времени t, определяющие масштабы пространственных расстояний в направ-
направлениях соответственно 1, т, п. Однородным пространством типов VIII и IX отве-
отвечают постоянные (независящие от координат) значения величин
X = —(lrotl), \l = —(mrotm), v = —(nrotn),
где v = (l[mn]) (при равных нулю произведениях m rot 1, n rot 1 и т. п.). В случае
одинаковых по знаку значениях этих постоянных мы имеем пространство типа IX,
а если знак одной из них обратен знаку двух других — пространство типа VIII.
В первом случае можно положить Х = |1 = у = 1,аво втором пусть будет X = — 1,
|1 = V = 1.
Функции а, Ь, с подчиняются уравнениям Эйнштейна
атт = (^Ь2 -vc2J -Х2а4, (Зтт = (\а2 -vc2f - tfb4,
4TT=(\a2-^b2J-vV, A)
ат(Зт+аЛт+(Зтчт=1(а + Р + ч)тт, B)
где а = еа,Ъ = еР, с = е\ а неременнаят связана с t согласно cLt = dt/abc (см. [2] § 4).
Характер смены казнеровских режимов в коротких эрах (по терминологии, введен-
введенной в [1]) заведомо не зависит от знаков X, |л, у, так как определяется каждый раз
40. Колебательный режим приближения к особой точке 539
всего одним членом в правых сторонах A), содержащим X2, [i2 или у2. Надо поэтому
рассмотреть лишь решения, описывающие «длинные эры», в течении которых две
из функций а, Ъ, с испытывают многократные осцилляции, а третья монотонно убы-
убывает (при t —> 0) и ею можно пренебречь по сравнению с первыми двумя. Если моно-
монотонно убывающей является функция а, то после пренебрежения ею уравнения при-
приобретают тот же вид, что и в аналогичном случае для пространства типа IX; соот-
соответственно временная эволюция метрики в течении длинной эры в обоих моделях
будет описываться одинаковыми формулами.
Если же монотонно убывает функция Ъ или с (пусть это будет с), то после пре-
пренебрежения ею из A), B) получаются уравнения (ср. [2]):
i O, (а + ^ =0, C)
где q = а — C, a ?, — переменная, связанная с переменной т согласно
в течении длинной эры эта переменная пробегает значения начиная от некото-
некоторого начального очень большого значения ? ~ ?0 до ? ~ 1. Уравнения C) совпада-
совпадают с таковыми для модели типа IX, а D) отличается знаком перед последней двой-
двойкой в скобках. В результате для функций а(^) и ?>(?,) получаются прежние выра-
выражения, имеющие вид (в первом приближении по 1Д)
A
E)
(А — постоянная), а для с(^) и
вместо прежнего
f {А2а0-О}. Fа)
Таким образом, отличие в характере длинных эр в обоих случаях сводится
лишь к другой связи между временем t и переменной ?,, по которой происходят
осцилляции функций E). Если tQ и tx верхняя и нижняя границы длинной эры по
времени, то в случае F): 8 In (t0Ai) — ?,о> а в случае (ба): А~2 In (?0Ai) — ?,о- С ДРУ"
гой стороны, значение ?,0 определяет полное число осцилляции в течении длин-
длинной эры (равное 6,0/2iy). Отсюда видно, что при заданном отношении t^jtx число
осцилляции в случае F) вообще говоря меньше, чем в случае (ба).
В связи с изложенным можно сделать следующие два замечения.
1. Специфика модели типа IX по сравнению с моделью типа VIII состоит в
том, что при X = [i = 1 разность Ха2 — [ib2 в уравнениях A) мала вместе с разно-
разностью а — Ъ ; а такое сокращение требует не только одинаковости знаков величин X
540 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и |i, но и существенно связано с их постоянством. Можно ожидать поэтому, что в
наиболее общем случае неоднородной пространственной метрики характер ее
временной зависимости в течении длинных эр будет соответствовать F), а не (ба).
Это заключение действительно подтверждается аналитическим построением об-
общего решения для длинной эры, как это будет показано в другом месте В.А. Бе-
Белинским и И.М. Халатниковым .
2. Однородное пространство типа VIII имеет бесконечный объем, в то время
как пространство типа IX замкнуто. Поэтому совокупность этих двух примеров
свидетельствует об отсутствии прямой связи между колебательным режимом
приближения к особой точке и открытостью или закрытостью модели.
ЛИТЕРАТУРА
[1] I.M. Khalatnikov, ЕМ. Lifshitz. Phys. Rev. Lett., 24, 76, 1970. [Статья 39 настоящего со-
собрания трудов].
[21 В.А. Белинский, И.М. Халатников. ЖЭТФ, 56, 1700, 1969.
[3] Ch.V. Misner. Phys. Rev. Lett, 22, 1071, 1969.
41
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ
К ОСОБОЙ ТОЧКЕ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КОСМОЛОГИИ
Совместно с В.А. Белинским и ИМ. Халатниковым
УФН, 102, 463, 1970
1. Введение
Вопросу о существовании особенности по времени в общем космологическом
решении уравнений гравитации была уже посвящена более ранняя статья в этом
журнале [1]. Возвращаясь снова к этому вопросу, прежде всего напомним, в чем
заключается существо проблемы.
Как известно, в основе современной космологии лежат впервые найденные
А.А. Фридманом решения уравнений Эйнштейна, описывающие полностью од-
однородный и изотропный мир («закрытая» или «открытая» модель, в зависимос-
зависимости от замкнутости или бесконечности пространства). Основным свойством этих
решений является их нестационарность. Возникающее отсюда представление о
расширяющейся Вселенной полностью подтверждается астрономическими дан-
данными, и в настоящее время можно считать, что изотропная модель дает, в общих
чертах, адекватное описание современного состояния Вселенной.
Другое важное свойство изотропной модели — наличие в ней особой точки
пространственно-временной метрики по отношению ко времени. Присутствие
такой точки означает, другими словами, конечность времени.
Но адекватность изотропной модели для описания современного состояния
Вселенной сама по себе еще не дает оснований ожидать, что она столь же при-
пригодна и для описания ранних стадий эволюции мира. Более того, возникает воп-
вопрос и о том, в какой степени существование особой точки по времени вообще яв-
является обязательным свойством релятивистских космологических моделей, и не
связано ли оно со специфическими упрощающими предположениями, лежащи-
лежащими в их основе?
Независимость от этих предположений означала бы, что наличие особеннос-
особенности присущие не только частным, но и общему решению уравнений Эйнштейна.
Критерием общности решения является число содержащихся в нем произволь-
произвольных функций пространственных координат. При этом имеются в виду лишь «фи-
«физически произвольные» функции, число которых не может быть уменьшено ни-
никаким подходящим выбором системы отсчета. В общем решении число таких
функций должно быть достаточным для произвольного задания начальных ус-
условий (распределения и движения материи, распределения гравитационного
поля) в какой-либо момент времени, выбираемый в качестве начального. Это число
равно четырем для пустого пространства и восьми для пространства, заполнен-
заполненного материей (см. [1], § 1, или [2], § 95).
542 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Во избежание недоразумений сразу же подчеркнем, что для системы нели-
нелинейных дифференциальных уравнений, которую представляют собой уравне-
уравнения Эйнштейна, понятие общего решения не является однозначным. В принципе
может существовать более чем один общий интеграл, каждый из которых охва-
охватывает собой не все многообразие мыслимых начальных условий, а лишь его ко-
конечную часть. Каждый такой интеграл будет содержать всю требуемую сово-
совокупность произвольных функций, которые, однако, могут быть подчинены опре-
определенным условиям (например, типа неравенств). Существование общего
решения с особенностью не исключает поэтому существования также и других
общих решений, не обладающих особенностью 1).
Нахождение общего интеграла в точном виде для всего пространства в тече-
течение всего времени, разумеется, невозможно. Но для решения поставленного воп-
вопроса в этом нет необходимости: достаточно исследовать вид решения вблизи осо-
особенности. Тем самым была бы выяснена и другая сторона вопроса — какой ха-
характер имеет эволюция метрики пространства-времени в общем решении при
приближении к особой точке. Подчеркнем, что, говоря об особой точке, мы имеем
в виду физическую особенность — обращение в бесконечность плотности мате-
материи и инвариантов тензора четырехмерной кривизны. При этом мы интересуем-
интересуемся вопросом об особенности в космологическом аспекте. Это значит, что речь идет
об особой точке, достигаемой всем пространством (а не лишь его ограниченной
частью, как при гравитационном коллапсе конечного тела).
Мы увидим, что вопрос о существовании общего решения с физической осо-
особенностью по времени имеет положительный ответ. В связи с этим скажем не-
несколько слов о связи этих результатов с предыдущими работами (изложенны-
(изложенными в [1]), в которых делалось заключение об отсутствии особенности в общем
решении.
Поскольку систематический метод для обследования особенностей решений
уравнений Эйнштейна отсутствует, то поиски все более широких классов реше-
решений с особенностью должны были вестись, по существу, методом проб и ошибок.
Очевидно, что получаемый таким способом отрицательный результат никогда
не мог быть вполне убедительным сам по себе; построение решения с требуемой
степенью общности отменяет его, оставляя в то же время в силе все получавши-
получавшиеся позитивные результаты, относящиеся к конкретным рассматривавшимся
решениям.
Естественно, однако, думать, что если особенность может присутствовать в
общем решении уравнений Эйнштейна, то на это должны существовать уже ка-
какие-то указания, основанные лишь на самых общих свойствах самих этих урав-
уравнений (хотя эти указания и могут быть сами по себе недостаточны для установ-
установления характера особенности). Единственное известное в то время такое указа-
указание было связано с формой уравнений в синхронной системе отсчета, т. е. системе,
в которой элемент интервала
ds2 = dt2 -dl2, dl2 = ^dxadx^ A.1)
x) Например, нет оснований сомневаться в существовании общего решения без особенности, опи-
описывающего изолированное тело с не слишком большой массой.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 543
(пространственный элемент длины dl отделен от временного интервала dt, a x° = t
есть синхронизованное по всему пространству собственное время) 2). Уравнение
Ко° = То° — г/2Т, записанное в этой системе отсчета, приводит к результату, что
метрический определитель д должен обратиться в нуль в течение конечного вре-
времени, вне зависимости от каких бы то ни было предположений о распределении
материи (см. [1], § 2, или [2], § 99).
Но это указание отпало после того как выяснилась его связь с чисто геометри-
геометрическими свойствами, специфическими для синхронной системы отсчета: пере-
пересечением друг с другом координатных линий времени. Пересечение происходит,
вообще говоря, на некоторых огибающих гиперповерхностях — четырехмерных
аналогах каустических поверхностей геометрической оптики; именно здесь и
происходит обращение д в нуль [3]. Таким образом, особенность, хотя и имеет
общий характер, но оказывается фиктивной, не физической. Она исчезает при
изменении системы отсчета. Тем самым, казалось бы, отпадал повод для даль-
дальнейших поисков истинной особенности в общем решении.
Ситуация изменилась, однако, после открытия Пенроузом [4] теоремы, свя-
связывающей существование особенности (неизвестного характера) с некоторыми
весьма общими предположениями, не имеющими отношения к выбору системы
отсчета. Еще другие теоремы подобного рода были открыты в дальнейшем Хо-
кингом [5, 6] и Герочем [7]. Стало ясно, что поиски общего решения с особенностью
должны быть продолжены.
2. Обобщенное решение Казнера
Напомним некоторые свойства найденных уже раньше классов решений с осо-
особенностью, которые явятся исходными для дальнейшего обобщения.
Само фридмановское решение является частным случаем класса решений,
содержащего три физически произвольные функции координат (см. [1], § 4). Хотя
пространство в нем неоднородно, но его сжатие при приближении к особой точке
происходит «квазиизотропным» образом — линейные расстояния по всем направ-
направлениям убывают с одинаковой степенью времени. Как и в полностью однородном
и изотропном случае, этот класс решений существует лишь для пространства,
заполненного материей.
Значительно более общий характер имеет класс решений, получающийся как
обобщение точного частного решения (принадлежащего Казнеру [8]) для поля в
пустоте, в котором пространство однородно, а его метрика евклидова, но зависит
от времени согласно
dl2 = t2vidx2 + t2v2dy2 + t2v^dz2 B.1)
(см. [2], § 103). Здесь pl9 p2, p3 — любые три числа, связанные друг с другом соот-
соотношениями
Pi +P2 +P3 = Р? +P2 + Рз = 1- B-2)
2) Мы следуем обозначениям, принятым в книге [2]. Латинские индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3,
греческие — три пространственных значения 1, 2, 3. Метрика gik имеет сигнатуру (Н ); ^ар = -да(з —
пространственный трехмерный метрический тензор. Кроме того, мы будем пользоваться системой
единиц, в которой равны единице скорость света и эйнштейновская гравитационная постоянная.
544
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В силу этих соотношений лишь одно из трех чисел является независимым. При
этом числа р1? р2, р3 никогда не имеют одинаковых значений, а равенство двух из
них имеет место лишь в тройках значений (—1/3, 2/3,2/з) и (О, О, 1) 3)- Во всех дру-
других случаях эти числа различны, причем одно из них отрицательно, а два других
положительны. Если расположить их в порядке
Pi <P2 <Рз>
то интервалы их изменения будут
-1/3 < р! < 0, 0<р2<2/3, 2/3<р3<1. B.4)
Числа р1? р2, р3 могут быть представлены в параметрическом виде как
Pi Ы) = ¦
р2 (и) = ¦
Рз (и) = ¦
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
- ^^^^
V 1 1
ХОД ОД 0^6 0^8
—
1,0 1/.
1
3
B.5)
Все различные значения pv р2, р3 с со-
соблюдением порядка B.3) получатся, если
параметр и пробегает значения в области
и < 1. Значения же и < 1 приводятся к той
же области согласно
{1/и) = Pi (и), р2 {XIи) =
B.6)
Рис. 1
На рис. 1 изображены графики р1? р2, р3
в зависимости от 1/и. Отметим, что рх{и)
и р3(и) — монотонно возрастающие, а
Vw Vzi4) —монотонно убывающая функции па-
параметра и.
В обобщенном решении вид, аналогич-
аналогичный B.1), относится лишь к предельной
(вблизи особой точки t = 0) форме метри-
метрики, т. е. к главным членам ее разложения по
степеням t. В синхронной системе отсчета она записывается в виде A.1) с про-
пространственным элементом длины
dl2 =(a\lp +Ь2гаагар +c2nan^)dxadx^, B.7)
где
a = tPl, b = tPm, c = tPn. B.8)
Трехмерные векторы 1, m, n определяют направления, в которых пространствен-
пространственные расстояния меняются со временем по степенным законам B.8). Эти векторы,
а также и числа рг, рт, рп (по-прежнему связанные соотношениями B.2)) — функ-
3) При (pv р2, Рз) = @, 0, 1) пространственно-временная метрика A.1) с dl2 из B.1) преобразова-
преобразованием t sh z = С? t ch z = т приводится к галилеевой, т. е. особенность фиктивна, и мы имеем дело в
действительности с плоским пространством-временем.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 545
ции пространственных координат. Мы обозначаем здесь показатели степеней как
Vb Vm> Vn> не предопределяя их последовательности в порядке возрастания; обо-
обозначение же pv p2, р3 сохраняем за числами B.5), удовлетворяющими неравен-
неравенствам B.3). Определитель метрики B.7) равен
-g = a2b2c2v2 =t2v2, B.9)
где v = l[mn]. Введем также удобные для последующего обозначения 4)
I rot I m rot m n rot n /n . ^4
\ = , ll = , v = . B.10)
v v v
Поскольку показатели степеней в B.8) не могут иметь одинаковых значений,
пространственная метрика в B.7) принципиально анизотропна. При приближе-
приближении к особой точке t = 0 линейные расстояния в каждом элементе пространства
убывают в двух направлениях и возрастают в третьем направлении. Объем же
каждого элемента убывает пропорционально t.
Проследим снова (ср. [1], § 3), каким образом достигается согласие метри-
метрики B.7) с уравнениями гравитации и чем определяется число физически произ-
произвольных координатных функций в ней. Уравнения Эйнштейна в пустоте в синх-
синхронной системе отсчета имеют вид
1 /9ка 1
К=-\^-\<^=0, B.11)
Р)-РаР=0, B.12)
К°=4«е-4«) = 0' B-13)
где Kaf3 обозначает трехмерный тензор
а Paf3 — трехмерный тензор Риччи, выражающийся через трехмерный метри-
метрический тензор ~faf3 так же, как Rik выражается через gik; он содержит лишь про-
пространственные (но не временные) производные от ^af3.
Не предопределяя зависимости а, Ъ, с в B.7) от t, будем иметь (вместо C.12) в [1])
4 =Bd/o)l/ +Bb/b)mamp +B6/c)nanp,
где точка означает дифференцирование по t. Уравнение B.11) принимает вид
R°o = а/а + Ъ/Ъ + с/с = 0. B.14)
4) Здесь и ниже все символы векторных операций (векторные произведения операции rot, grad и
т. п.) надо понимать чисто формальным образом, как операции над компонентами (ковариантными)
векторов 1, m, n — такие, как если бы координаты х1, х2, х3 были декартовыми.
546 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Все члены в нем — второго порядка по большой (при t —> 0) величине 1/t Члены
такого же порядка в уравнениях B.12) возникают только от членов с производ-
производными по времени. Если компоненты Paf3 не содержат членов еще более высокого
порядка, то
-Rll=(abc)'/abc = 0, -R™ =(abc)'/abc = 0, -Щ =(аЪс)'/аЪс = О
(индексы I, т, п обозначают компоненты тензора по направлениям 1, m, n — см. [1],
§ 3). Эти уравнения совместно с B.14) и приводят к выражениям B.8) с показате-
показателями степеней, удовлетворяющими условиям B.2).
Но наличие одной отрицательной среди трех степеней рг, рт, рп приводит к
появлению в тензоре Paf3 членов более высокого порядка, чем t~2. Если отрица-
отрицательна степень рг(рг = 1 < 0), то эти члены содержат координатную функцию X и
с их учетом уравнения имеют вид
\2а2/2Ъ2с2 =0,
-1С =(аЪс)'/аЪс-\2а2/2Ъ2с2 =0, B.16)
-Rl =(аЪс)'/аЪс-\2а2/2Ъ2с2 =0.
Вторые члены здесь ^t~2(^m+vn-vi) , причем рт + рп — рг = 1 + 2| рг | > 1 5). Для
устранения этих членов (и тем самым для справедливости решения B.7)) необ-
необходимо наложить на координатные функции условие
Х = 0. B.17)
Что касается трех уравнений B.13), содержащих лишь первые производные
но времени от метрического тензора, то они приводят к трем соотношениям, не
содержащим времени, которые должны быть наложены как необходимое усло-
условие на координатные функции в B.7) (равенства C.24) в [1]). Вместе с B.17) име-
имеется, таким образом, всего четыре условия. Эти условия связывают между собой
10 различных функций координат: по три компоненты трех векторов 1, m, n и
одна функция в показателях степеней t (какая-либо из трех функций рг, рт, рп
связанных соотношениями B.2)). При определении числа физически произволь-
произвольных функций надо учесть также, что используемая синхронная система отсчета
допускает еще произвольные преобразования трех пространственных коорди-
координат, не затрагивающие времени. Поэтому рассматриваемое решение содержит
всего 10 — 4 — 3 = 3 физически произвольные функции — на одну меньше, чем
требуется для общего решения в пустом пространстве.
Достигнутая степень общности не уменьшается при введении материи: мате-
материя «вписывается» в метрику B.7) со всеми привносимыми ею четырьмя новыми
координатными функциями, необходимыми для задания начального распреде-
5) Из рассмотрения исключается случай (pv р2, р3) = @, 0, 1), в котором особенность в метрике
фиктивна.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 547
ления ее плотности и трех компонент скорости движения. Именно, эволюцию
материи при приближении к особой точке можно определить просто по уравне-
уравнениям ее движения в заданном гравитационном поле. Этими уравнениями явля-
являются гидродинамические уравнения
[\l4zg)d{4zgvui)ldxi = о, B.18)
^Щ _д27 чд^ BЛ9)
дхк 2 дхг J дхг г дхк
где иг — 4-скорость, еиа — плотности энергии и энтропии материи (см., напри-
например, [9], § 125). Для ультрарелятивистского уравнения состояния р = е/3 энтро-
энтропия сг ~ е3/4. Главными в B.18), B.19) являются члены с производными по време-
времени. Из B.18) и пространственных компонент уравнения B.19) имеем
д (/^ ще3^ )/dt = 0, 4е • диа /dt + иа • de/dt = 0,
откуда
= const, иаг1^ = const, B.20)
где const означают не зависящие от времени величины. Кроме того, из тождества
и-иг = 1 имеем (учитывая, что все ковариантные составляющие иа одинакового
порядка величины)
9 п 9/9
11 г"° 11 11 11 I О
U0 ~ UnU — ип/С >
где ип— составляющая скорости вдоль направления п, связанного с наиболее
высокой (положительной) степенью t (полагаем, что рп= р3). Из написанных со-
соотношений находим
e-l/a2b2, ua~Jab B.21)
или
е ~ t 12=t 3 , ua ^ t 3. B.22)
Найдя эти законы, легко убедиться, что компоненты тензора энергии-импульса
материи, стоящие в правых сторонах уравнений
действительно более низкого порядка по 1/t, чем главные члены в их левых сто-
сторонах. В уравнениях же R® = Т^ наличие материи ведет лишь к изменению со-
соотношении, накладываемых на входящие в решение координатные функции
Обращение е в бесконечность по закону B.22) подтверждает, что в реше-
решении B.7) мы имеем дело с физической особенностью при любых значениях пока-
показателей (р1? р2, р3), за исключением лишь @, 0, 1). Для этих последних значений
особенность оказывается не физической и может быть устранена преобразова-
преобразованием системы отсчета.
548 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Фиктивная особенность, отвечающая показателям степеней @, 0, 1), возника-
возникает в результате пересечения координатных линий времени на некоторой дву-
двумерной «фокальной поверхности». Как было указано в [1], § 2, синхронную сис-
систему отсчета всегда можно выбрать таким образом, чтобы обязательное в ней
пересечение линий времени происходило на такой поверхности (вместо трех-
трехмерной каустической гиперповерхности). Поэтому решение с такой одновремен-
одновременной для всего пространства фиктивной особенностью должно существовать с пол-
полным набором произвольных функций, требуемых для общего решения. Вблизи
точки t = 0 оно допускает регулярное разложение по целым степеням t; его анали-
аналитическое построение осуществлено в [10].
3. Колебательный режим приближения к особой точке
Из четырех условий, которые требовалось наложить на координатные функ-
функции в решении B.7), три условия, возникающие из уравнений R® = 0, являются
«естественными»; они возникают как следствие самой структуры уравнений гра-
гравитации. К «потере» же одной производной функции ведет наложение дополни-
дополнительного условия B.17).
Общее решение по определению вполне устойчиво. Наложение любого воз-
возмущения эквивалентно изменению начальных условий в некоторый момент вре-
времени, а поскольку общее решение допускает произвольные начальные условия,
то и возмущение не может изменить его характера. Для решения же B.7) нали-
наличие ограничительного условия X = 0 означает, другими словами, неустойчивость
по отношению к возмущениям, нарушающим это условие. Наложение такого воз-
возмущения должно вывести модель на другой режим, который тем самым будет
уже вполне общим. При этом, конечно, возмущение отнюдь не должно рассмат-
рассматриваться как малое — переход на новый режим лежит вне области сколь угодно
малых возмущений.
Исследование, основанное на таком подходе, действительно может быть про-
произведено. Оно приводит к картине сложного колебательного режима приближе-
приближения к особой точке [11 — 13]. В настоящее время нам известны еще не все детали
этого режима в наиболее широких рамках общего случая (см. разделы 7, 8). Но
его основные свойства и характер можно выяснить уже на частных моделях, до-
допускающих далеко идущее аналитическое исследование.
Речь идет о моделях с однородной пространственной метрикой определенно-
определенного типа. Как известно, предположение об однородности пространства, без какой-
либо дополни тельной симметрии, оставляет еще значительную свободу в мет-
метрике. Все возможные однородные (но анизотропные) пространства принято клас-
классифицировать, следуя Бианки, по девяти типам (см. Приложение В). Из них нас
будут интересовать здесь пространства типов VIII и IX.
Если представить пространственную метрику в виде B.7), то каждому из ти-
типов однородных пространств отвечает определенная функциональная зависи-
зависимость реперных векторов 1, m, n от пространственных координат. Конкретный
вид этой зависимости здесь для нас несуществен. Важно лишь, что для простран-
пространства типов VIII и IX величины X, |л, у B.10) сводятся к постоянным, а все «сме-
«смешанные» произведения вида 1 rot m, I rot n, m rot 1 и т. п. равны нулю. Для про-
пространства типа IX величины X, |л, у имеют одинаковый знак и можно положить
41. Колебательный режим приближения к особой точке
549
X = [i = у = 1 (одновременное же изменение знака всех трех постоянных вообще
ничего не меняет). Для пространства же типа VIII две постоянные имеют знак,
обратный знаку третьей; можно положить, например, Х=—1,|1 = у = 16).
Наша цель состоит в выяснении влияния, оказываемого на «казнеровский ре-
режим» возмущением, представляемым в уравнениях Эйнштейна членами, содер-
содержащими X. Именно в этом отношении подходящим объектом исследования яв-
являются модели с пространствами типов VIII и IX. Поскольку все три величины
X, |i, у отличны от нуля, то условие B.17) заведомо не выполняется, к какому бы
из направлений 1, m, n не относилась отрицательная степень времени.
Уравнения Эйнштейна для рассматриваемых моделей легко составить с по-
помощью формул, приведенных в [1] (Приложение В). Они имеют вид
-Rj = (аЪс)'/аЪс + (l/2а2Ъ2с2)[\2а4 - Ц2 - vc2 J
-Я™ = (abc)/abc + (l/2a2b2c2)L2a4 - (\a2 -vc2 J
-R\ = (abc)/abc + A/2 a2b2c2 )[y2a4 -(Xb2 -
= 0,
= o,
= 0.
-Rq = a/a + Ъ/Ъ + с/с = 0
C.1)
C.2)
(остальные компоненты Яг°, Я^, Я^, R™, RJ1, R? обращаются в нуль тождествен-
тождественно). Отметим, что уравнения содержат только функции времени; в этом прояв-
проявляется однородность пространства. Подчеркнем также, что в данном случае урав-
уравнения C.1) —C.2) — точные уравнения, справедливость которых не связана с бли-
близостью к особой точке t = 0 7).
Производные по времени в C.1), C.2) принимают более простой вид, если вве-
ввести вместо а, Ъ, с их логарифмы а, C, у.
а = еа, Ъ = е\ с = е\ C.3)
dt = abc dr. C.4)
и переменную т вместо t согласно
Тогда:
2aTT=([ib2-vc2J -XV,
2CТТ =(Xa2 -vc2J -[i2b\
C.5)
C.6)
6) Постоянные \, \±, v представляют собой так называемые структурные константы группы дви-
движений пространства (ср. (В.15)).
7) Уравнения Эйнштейна для однородного пространства в их точном виде содержат, вообще го-
говоря, 6 различных функций времени — функции ^ab(t) метрике (В.2). Тот факт, что мы получили в
данном случае непротиворечивую систему точных уравнений для метрики, определяющейся всего
тремя функциями времени (^n = a2, ^22 = ^2> Ъз = °2) связан с симметрией, приводящей к упомяну-
упомянутому тождественному обращению в нуль шести компонент тензора Риччи.
550 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Сложив почленно уравнения C.5) и заменив в левой стороне сумму (а + C + ^)тт
согласно C.6), получим равенство, содержащее только первые производные и
представляющее собой первый интеграл системы C.5):
аД + а^ц + C^ = ±(\2а4 + ^2b4 + v2c4 - 2\\ia2b2 - 2\va2c2 - 2[ivb2c2). C.7)
Это уравнение играет роль связи, налагаемой на начальные условия к уравнениям C.5).
Казнеровский режим B.8) является решением уравнений C.5), когда в них
можно пренебречь всеми членами в правых частях. Но такая ситуация не может
продолжаться (при t —> 0) неограниченно, так как среди указанных членов все-
всегда имеются возрастающие. Так, если отрицательный показатель степени отно-
относится к функции а(г)(рг = рг), то возмущение казнеровского режима возникает
от членов Х2а4; остальные же члены при уменьшении t будут убывать.
Сохранив в правых частях C.5) лишь эти члены, получим систему уравнений
| | C-8)
(ср. B.16); ниже полагаем X2 = 1). Решение этих уравнений должно описывать
эволюцию метрики из начального состояния, в котором оно описывается форму-
формулами B.8) с определенным набором показателей (причем рг< 0); пусть рг = рг,
Vm = V2> Vn = Рз> ТаК ЧТ0
a-tPl, b-tP2, c-tp3. C.9)
При этом
ahc = At, T = A-1lnt + const, C.10)
где Л — постоянная. Поэтому начальные условия для уравнений C.8) формули-
формулируются в виде 8)
ат=ЛР1> РТ=ЛР2> Чт=ЛРз> при т^ос. C.11)
Уравнения C.8) легко интегрируются; решение, удовлетворяющее усло-
условию C.11), имеет вид
а2=ЩЩЩ^ b2 = b0VA(P2-,P1,)TchB|Pi|AT),
С2 =Co2e2A(p3-|pll)TchB|Pl|AT),
C.12)
где Ъо, с0 — еще две постоянные.
Легко убедиться, что асимптотика функций C.12) при т —> оо действительно
совпадает с C.9). Асимптотические же выражения этих функций и функции ?(т)
при т —> —оо 9)
8) Еще раз напомним, что мы рассматриваем эволюцию модели в направлении t —> 0; поэтому
«начальные» условия соответствуют более позднему, а не более раннему времени.
9) Отметим, что асимптотические значения ат, (Зт, ^т ПРИ t —> —оо можно найти и без полного ре-
решения уравнений C.8). Достаточно заметить, что первое из этих уравнений имеет вид одномерного
движения «частицы» в поле экспоненциальной потенциальной стенки, причем а играет роль коор-
координаты. В этой аналогии начальному казнеровскому режиму отвечает свободное движение с посто-
постоянной скоростью ат = Лрх. Отразившись от стенки, частица будет двигаться свободно со скоростью
ат = — Лрг Заметив также, что в силу уравнений C.8) ат + (Зт = const и aT + ^ = const, найдем, что (Зт
и 7Т приобретут значения (Зт = Л(р2 + 2рх), ^т = Л(р3 + 2рх).
41. Колебательный режим приближения к особой точке 551
^ р-ЛР1т h ^ Л(р2+2Р1)т ^ Л(Рз+2Р1)т f ^ ЛA+2рх)т
Выразив а, Ь, с в функции от t, получим
где
Р2_ „I _ Рз ~2IPll /Q144
При этом
Л. C.15)
Таким образом, воздействие возмущения приводит к смене одного казнеровс-
кого режима другим, причем отрицательная степень t перебрасывается с направ-
направления I к направлению т: если было рг < 0, то теперь р'т < 0. В процессе смены
функция a(t) проходит через максимум, а b(t) — через минимум; убывавшая
прежде величина Ъ начинает возрастать, возраставшая а — падать, а функция
c(t) продолжает убывать. Само возмущение (X2a4a в уравнениях C.8)), прежде
возраставшее, начинает убывать и затухает. Дальнейшая эволюция приведет ана-
аналогичным образом к возрастанию возмущения, выражающемуся членами с [i2
(вместо X2) в уравнениях C.5), следующей смене казнеровского режима, и т. д.
Правило замены показателей C.14) удобно представить с помощью парамет-
параметризации
если pl=pl(u), рт=р2(и), рп=р3(и),
то p[ = p2(u-l) p'm=pl(u-l) р'п=р3(и-1).
Остается положительным больший из двух положительных показателей.
В этом процессе смен «казнеровских эпох» с перебросом показателей рь рт, рп
по правилу C.16) лежит ключ к пониманию характера эволюции метрики при
приближении к особой точке.
Последовательные смены C.16) с перебросом отрицательного показателя сте-
степени (Pl) между направлениями 1 и m продолжаются до тех пор, пока не исчер-
исчерпывается целая часть начального значения и и не станет и < 1. Значение и < 1
преобразуется в и> 1 согласно B.6); в этот момент отрицателен показатель рг
или рт, а рп становится меньшим из двух положительных чисел (рп = р2). Следую-
Следующая серия смен будет уже перебрасывать отрицательный показатель между
направлениями п и 1 или между пит. При произвольном (иррациональном) на-
начальном значении и процесс смен продолжается неограниченно 10).
При точном решении уравнений показатели рр рт, рп теряют, конечно, свой
буквальный смысл. Отметим, что вносимая этим обстоятельством некоторая
«размытость» в определении этих чисел (а с ними и параметра и), хотя она и
мала, лишает смысла рассмотрение каких-либо выделенных (например, раци-
рациональных) значений и. Именно поэтому реальным смыслом обладают лишь те
10) Примечание при корректуре. Введение в метрику недиагональных компонент ^ab(t) (см. при-
примечание 7 на стр. 549) приводит к некоторым новым свойствам модели — поворотам осей, к которым
относятся показатели казнеровских эпох; этот вопрос исследован в статье авторов в ЖЭТФ, 60, № 3
A971).
552 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
закономерности, которые свойственны общему случаю произвольных иррацио-
иррациональных значений и.
Таким образом, процесс эволюции модели в направлении особой точки скла-
складывается из последовательных периодов (назовем их эрами), в течение которых
масштабы пространственных расстояний вдоль двух осей осциллируют, а вдоль
третьей — монотонно убывают; объемы убывают по закону, близкому к ~? При
переходе от одной эры к следующей направление, вдоль которого происходит
монотонное убывание расстояний, перебрасывается с одной оси на другую. По-
Порядок этого перебрасывания приобретает асимптотически характер случайного
процесса. Такой же характер приобретает и порядок смен длин последователь-
последовательных эр (под длиной эры, в отличие от ее длительности по времени, мы будем по-
понимать число сменяющихся в ней казнеровских эпох).
Последовательные эры сгущаются по мере приближения к t = 0. Но естествен-
естественной переменной для описания временного хода этой эволюции является не само
мировое время t, а его логарифм, In t, по которому весь процесс приближения к
особой точке растянут до — оо.
Согласно формулам C.12) та из функций а, Ъ, с, которая проходит при смене
казнеровских эпох через максимум, в самом максимуме равна
amax=V2A|Pl(u)| C.17)
(причем предполагается, что это значение велико по сравнению с Ьо и с0); в C.17) и —
значение параметра, отвечающее эпохе, предшествующей смене. Отсюда легко за-
заключить, что высота последовательных максимумов в течение каждой эры посте-
постепенно снижается. Действительно, в следующей казнеровской эпохе параметр имеет
значение и' = и — 1, а постоянная Л заменяется, согласно C.15), на К' = ЛA — 2| р1(гб) |.
Поэтому отношение высот двух последовательных максимумов имеет вид
и окончательно
До сих пор мы рассматривали решение уравнений Эйнштейна в пустом про-
пространстве. Как и для чисто каэнеровского режима, материя не меняет качествен-
качественных свойств этого решения и может быть «вписана» в него при пренебрежении
ее обратным действием на поле.
Но если сделать это для рассматриваемой модели, понимаемой как точное
решение уравнений Эйнштейна, то получающаяся картина эволюции материи
не имела бы сколько-нибудь общего характера и была бы специфична именно
для той высокой симметрии, которой эта модель обладает. Математически эта
специфика связана с тем, что для рассматриваемой однородной пространствен-
пространственной геометрии компоненты R® тензора Риччи равны нулю тождественно, и пото-
потому уравнения гравитации не допускали бы движения материи (приводящего к
появлению отличных от нуля компонент Т^ тензора энергии-импульса) п).
п) Другими словами, синхронная система должна была бы быть также и сопутствующей по от-
отношению к материи. Положив в B.20) иа = 0, и0 = 1, мы получили бы е ~ (abc)~^/2 ~ ?~4/3.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 553
Это затруднение отпадает, если рассматривать модель лишь как главные чле-
члены предельного (при t —> 0) вида метрики и «вписать» материю с произвольным
начальным распределением плотности и скорости. Тогда ход эволюции материи
определяется ее общими уравнениями движения B.18), B.19), приводящими к
формулам B.22). В течение каждой казнеровской эпохи плотность возрастает по
закону
?~?-2A-рз), C.19)
где р3, как условлено, наибольшее из чисел р1? р2, р3. Плотность материи моно-
монотонно возрастает в течение всей эволюции к особой точке.
Изложенный анализ должен быть еще дополнен в связи со следующим обсто-
обстоятельством.
Каждой (s-й) эре отвечает серия значений параметра и, начинающаяся от не-
некоторого наибольшего, гб[^ах , и через значения и^ах —1, гб^ах — 2 , ..., доходящего
до наименьшего, г^ах < 1. Обозначим
т. е. к^ = [гб^ах] (квадратные скобки означают целую часть числа). Число к^ оп-
определяет длину эры, измеренную в числе содержащихся в ней казнеровских эпох.
Для следующей эры
г^+х) = i/*« , к^ = [l/*«]. C.21)
В неограниченной последовательности серий чисел и, составляемой по этим пра-
правилам, будут наблюдаться сколь угодно малые (но никогда не равные нулю) зна-
значения х^ и соответственно сколь угодно большие длины к^+1\
Большим значениям параметра и соответствуют казнеровские показатели
Рх « - 1/и, р2 « 1/и, рз « 1 - l/u2, C.22)
близкие к значениям @, 0, 1). Два близких к нулю значения тем самым близки
друг к другу, а с ними близки и законы изменения двух из трех типов «возмуще-
«возмущений» — членов в правых сторонах уравнений C.5) (члены с X, \i и у). Если в нача-
начале такой длинной эры эти члены в момент смены двух казнеровских эпох оказы-
оказываются близкими друг к другу и по абсолютной величине (или искусственно за-
заданы таковыми по начальным условиям), то они будут продолжать оставаться
близкими в течение большей части всей продолжительности эры. В таком слу-
случае (который будем называть случаем малых, колебаний) становится некоррек-
некорректным исследование, основанное на рассмотрении действия возмущения лишь
одного типа. Анализ эволюции метрики требует тогда одновременного учета двух
«возмущений»; это сделано в гл. 4.
4. Эволюция модели под влиянием двух возмущений
Итак, рассмотрим длинную эру, в течение которой две из трех функций а, Ь, с
(пусть это будут а и Ь) испытывают малые колебания, а третья (с) монотонно
убывает. Последняя быстро становится малой; рассмотрим решение уравнений
554 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
именно в той области, где уже можно пренебречь с по сравнению с а и Ъ. Произ-
Произведем вычисления сначала для модели типа IX, соответственно чему положим
X = |i = y=l [12].
После пренебрежения функцией с первые два из уравнений C.4) дают
«тт+Ртт=0, D.1)
атт-(Зтт = е4Р-е4«, D.2)
а в качестве третьего уравнения воспользуемся C.7), которое принимает вид
1т (ат +рт) = -ат(Зт +1/4 (е2а -г2^J. D.3)
Решение уравнения D.1) пишем в виде
где а0, ?,0 — положительные постоянные, а под т0 будем понимать верхнюю границу
эры по переменной т. Далее будет удобным ввести новую (вместо т) переменную
^оехр{Bао2До)(т-то)}. D.4)
Тогда
а + 3 = 1п(?Д0) + 2 1па0. D.5)
Уравнения же D.2) —D.3) преобразуем, введя обозначение \ = а — ft:
i x = 0, D.6)
Убыванию т от т0 до —оо отвечает убывание ?,, от ^0 до 0. Интересующая нас
длинная эра с близкими а и Ъ (т. е. с малым \) получается, если ?0 — очень боль-
большая величина. Действительно, при больших ? решение уравнения D.6) в первом
(по 1Д) приближении
x = a-p = BA/A/C)sin(^-^0)) D.8)
где А — постоянная; множитель 1/v^ делает \ малой величиной (в виду чего в
D.6) можно заменить sh 2\ ~ 2\) 12).
Из D.7) находим теперь
\ = jt(xt+X2)= А2, ч = А2(^0)+ const.
12) Постоянная в аргументе синуса не обязана, конечно, совпадать с постоянной ?0 в D.4) —D.5);
положив их одинаковыми, мы, однако, ничего не меняем в характере решения.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 555
Определив а и C из D.5) и D.8) и разложив еа и е^ в соответствии с принятым
приближением, получим окончательно 13):
а" 'г - ¦ " D.9)
с = сое"А"^оЧ). D.10)
Связь же переменной ?,, со временем t получается интегрированием определе-
определения dt = abc dr и дается формулой
t/t0 = e"A2^-«. D.11)
Постоянная с0 (значение с при ? = ?0) должна быть уже с0 = а0.
Обратимся к области 6, <С 1. Здесь главные члены в решении уравнения D.6):
^ = а — C = fc In ?, + const,
где k — постоянная, лежащая в интервале — 1 < к < 1; этим условием обеспечи-
обеспечивается малость последнего члена в D.6) (sh 2\ содержит ??к и ^~2к). Определив
затем а, C и t, получим
Это снова казнеровский режим, причем отрицательная степень t относится к
функции c(t) 14).
Полученные результаты снова приводят к качественно той же картине эво-
эволюции модели, что и описанная в разделе 3.
Мы видим, что в течение длительного времени (отвечающего большим убы-
убывающим значением ?) две функции (а и Ь) осциллируют, оставаясь близкими друг
к другу по величине ((а — Ъ)/а ~ l/VC) > в то же время средние значения функций
а и Ъ медленно (~ л/^j убывают. Осцилляции происходят с постоянным периодом
по переменной ? : А^ = 2iy (или, что то же, с постоянным периодом по логариф-
логарифмическому времени: A In t = 2iyA2). Третья же функция монотонно убывает по
закону, близкому к с = cot/to.
Такая эволюция продолжается до тех пор, пока не станет ^~1 и формулы
D.9), D.10) потеряют свою применимость. Ее длительность по времени отвечает
изменению t от tQ до значения tv связанного с ?,0 согласно
ti). D-13)
13) При более точном вычислении в аргументе синуса появляется медленно меняющийся логариф-
логарифмический член, а в выражении для с(?,) — предэкспоненциальный множитель (см. Приложение Б).
14) Заменив в уравнении D.6) sh 2\ на 2\, и решая его при всех ?, получим х = ci^o@ + с2-^о@-
где Jo, No — функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Это решение осуществляет интерполяцию между
обоими предельными случаями и позволяет связать по порядку величины постоянные параметры,
входящие в D.9) и D.12).
556 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Связь же 6, с t в течение этого времени можно представить в виде
После этого, как видно из D.12), убывавшая функция начинает возрастать, а
функции а и Ъ — убывать. Эта казнеровская эпоха будет продолжаться до тех
пор, пока члены с2/а2Ъ2 в уравнениях C.1) не станут ^t2 и начнется следующая
серия колебаний.
Закон изменения плотности материи в течение рассматриваемой длинной эры
получится подстановкой D.9) в B.21):
За время изменения ? от ^0 до ? ~ 1 плотность возрастает в ?02 раз.
Подчеркнем, что хотя функция c(t) меняется по закону, близкому к с ~ t, мет-
метрика D.9) отнюдь не совпадает с казнеровской метрикой с показателями @, 0, 1).
Последней соответствует в данном случае допускаемое уравнениями C.5) —C.6)
точное решение (найденное Таубом [15]), в котором
2р
)' v ' J
где p, 81? 62 — постоянные. В предельной области т —> —оо после замены ерт = t
получим отсюда а = Ъ = const, с = const • t. Особенность при t = 0 в этой метрике
не физична.
Обратимся к аналогичному исследованию для модели типа VIII, положив те-
теперь в уравнениях C.5) —C.7) X = —1, |jl = у = 1 [13].
Если монотонно убывающей в течение длительной эры является функция а, то в
произведенном выше исследовании вообще ничего не меняется: после пренебреже-
пренебрежения а2 в правой стороне уравнений C.5), C.7) мы вернемся к тем же уравнениям
D.6) —D.7) (с соответствующим изменением обозначений). Некоторые изменения
возникают, однако, если монотонно убывает функция Ъ или с; пусть это будет с.
С теми же обозначениями будем иметь по-прежнему уравнение D.6) и соот-
соответственно прежние выражения D.9) для функций а(^) и ?>(?,). Уравнение же D.7)
заменяется на
) D.17)
Главный член при больших ?,, будет теперь
так что
{i(^^)} D.18)
Величина с как функция времени t будет по-прежнему с = cot/to, но меняется
связь переменной ? со временем. Продолжительность длинной эры будет связа-
связана со значением ?0 согласно
=V81n(to/t1). D.19)
41. Колебательный режим приближения к особой точке 557
С другой стороны, значение ?0 определяет собой число осцилляции функций а
и Ъ в течение эры (равное 6,0/2iy). При заданной продолжительности эры по лога-
логарифмическому времени (т. е. при заданном отношении ?0Ai) число осцилляции
для модели типа VIII будет, вообще говоря, меньше, чем для модели типа IX. Для
периода осцилляции получим теперь A In t = ty6,/2; в противоположность случаю
модели типа IX, период не остается теперь постоянным в течение длинной эры, а
медленно падает вместе с ?,.
5. Эволюция модели в асимптотической области
сколь угодно малых времен
Длинные эры исследованного в разделе 4 типа нарушают «регулярный» ход
эволюции, определяемый установленными в разделе 3 правилами; это обстоя-
обстоятельство затрудняет исследование эволюции за интервалы времени, обнимаю-
обнимающие ряд эр. Можно показать, однако, что такие «аномальные» случаи перестают
появляться в процессе самопроизвольной эволюции модели к особой точке в
асимптотической области сколь угодно малых времен t, на достаточно большом
удалении от начального момента, в который задаются произвольные начальные
условия. Даже в длинных эрах обе осциллирующие функции в моменты смен каз-
неровских эпох остаются настолько различными, что самые смены происходят
под влиянием лишь одного возмущения. Этот и следующие параграфы посвяще-
посвящены аналитическому и статистическому анализу эволюции однородных моделей
в такой асимптотической области [14]. Все результаты относятся в равной степе-
степени к моделям типов VIII и IX.
В течение каждой казнеровской эпохи имеем abc = At, т. е. а + C + ^ =
= In Л + In t. При переходе от одной эпохи к другой постоянная In Л меняется на
величину порядка 1 (ср. C.15)). Но в асимптотической области сколь угодно боль-
больших значений | In 11 можно пренебречь не только этими изменениями, но и всей
постоянной In Л. Другими словами, используемое приближение соответствует
пренебрежению всеми величинами, отношение которых к | In 11 стремится к нулю
при t —> 0. Тогда будем иметь
-П, E.1)
где Q обозначает «логарифмическое время»
ft =-Int. E.2)
В этом же приближении можно рассматривать процессы смен эпох, как мгно-
мгновенные. Можно также пренебречь и постоянной в правой стороне условия C.17)
о^шах = 1/2 In B| рх | Л), определяющего моменты смен, т. е. принять в качестве этого
условия равенство a = 0 (или такие же равенства для C или % если начальный отри-
отрицательный показатель относится к функциям Ъ или с) 15). Таким образом, полагаем
атах=°. Ртах=°- Чтах=0' E-3)
15) Тем самым пренебрегаем и эффектом постепенного понижения максимумов осциллирующих
функции в течение эры, описываемым формулой C.18).
558
ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
так что величины а, C, ^ будут пробегать лишь отрицательные значения, связан-
связанные друг с другом в каждый момент времени соотношением E.1). Рассматривая
смены эпох как мгновенные, мы пренебрегаем ширинами переходных областей
по сравнению с длительностями самих эпох; это условие действительно выпол-
выполняется (см. ниже, примечание на стр. 559).
Замена же равенств C.17) на E.3) требует малости величины In (| р1| Л) по срав-
сравнению с амплитудами осцилляции соответствующих функций а, C, ^. Но при пе-
переходе от одной эры к следующей могут появиться, как было отмечено в разде-
разделе 3, очень малые значения | pj, причем величина этих значений и вероятность
их появления никак не связаны с достигнутой к этому моменту величиной амп-
амплитуд осцилляции. Поэтому не исклю-
исключено в принципе появление и столь ма-
малых значений | pj, для которых требу-
требуемое условие будет нарушено. Такое
сильное понижение атах может приве-
привести к различным специфическим си-
ситуациям, в которых сшивка казнеров-
ских эпох по правилу C.16) становится
некорректной (в том числе к ситуации,
исследованной в разделе 4). Этот во-
вопрос исследовался также в работе [22].
Эти «опасные» ситуации нарушили бы
закономерности, используемые ниже
для статистического анализа в разде-
разделе 6. Но, как уже упоминалось, вероят-
вероятность таких нарушений асимптотически стремится к нулю; мы вернемся к этому
вопросу в конце раздела 6.
Рассмотрим эру, содержащую в себе к казнеровских эпох, соответствующих
параметру и, пробегающему значения
Рис.2
ип = к + х — 1 — п, п = 0, 1, ..., к — 1,
E.4)
и пусть осциллирующими в течение этой эры функциями будут а и C (рис. 2) 16).
Обозначим моменты начала казнеровских эпох с параметрами ип через Q,n. В
каждый из этих моментов одна из величин а или C равна нулю, а другая имеет
минимум. Значения а или C в последовательных минимумах, т. е. в моменты Q,n,
обозначим как
(не делая различия между минимумами а и C). Величины 8П, измеряющие эти
минимумы в единицах соответствующих Q,n, могут иметь значения между 0 и 1.
16) Определение границ эры согласно E.4) естественно в том отношении, что оно объединяет в
себе все эпохи, в течение которых третья функция, ^(t), монотонно убывает. Если же определить
эру по последовательности значений и от к + х до 1 + х, то монотонное убывание ^(t) продолжалось
бы и в течение первой эпохи следующей эры.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 559
Функция же ^ в течение данной эры монотонно убывает: согласно E.1) ее значе-
значение в момент Qn есть
Ъ=-П„A-8„). E.6)
В течение эпохи, начинающейся в момент Qn и заканчивающейся в момент
?\+1, одна из функций а или C возрастает от — bnQn до нуля, а другая падает от
О до — bn+1Qn+1 по линейным законам соответственно:
const + \р1 (ип)\ Q и const — р2 (ип) Q.
Отсюда находим рекуррентное соотношение
8n+1fin+1 =[(l + un)/un]8nfin = [(l+uo)/un]8^o E.7)
для логарифмической длительности эпохи
^n+i = *Wi ~^n -——<V'n ——— , E.8)
n J V "'n—1 / n
где для краткости обозначено f(u) = 1 + и + и2. Для суммарной продолжитель-
продолжительности п эпох можно получить формулу
Uf(Un-l)
E.9)
Из E.7) видно, что | ап+11 > | ап|, т. е. размах осцилляции функций а и C возрас-
возрастает в течение всей эры, между тем как коэффициенты Ьп могут быть и малыми.
Если глубина минимума в начале эры была велика, то она уже не станет малой и
в последующих минимумах; другими словами, разность | а — C | в моменты смен
казнеровских эпох остается большой. Подчеркнем, что это утверждение не за-
зависит от длины эры к, так что и для длинных эр смены эпох будут определяться
обычным правилом C.16).
Амплитуда последней осцилляции функций а или C в данной эре связана с ам-
амплитудой первой осцилляции соотношением | ак_х \ = | а0 |(fc + х)/A + х). Уже при
длинах к, составляющих всего несколько единиц, можно пренебречь х по сравне-
сравнению с к, так что возрастание амплитуды осцилляции функций а и C будет пропор-
пропорционально длине эры. Для функций а = еа и Ъ = $ это значит, что если амплитуда
их осцилляции в начале эры была Ао, то в конце эры она будет равна Д/'1+а^ .
В течение эры возрастает также и продолжительность (в логарифмическом
времени) последовательных казнеровских эпох; из E.8) легко заключить, что
Ап+1 > Ап 17). Общая продолжительность эры
yfio E.10)
17) Отметим также, что эти продолжительности велики по сравнению с ширинами переходных
областей между эпохами. Согласно C.12) эти ширины велики при малых | р11 (т. е. больших и) и со-
составляют ^ 1/| рг | г^ и. Но даже в этом случае Ап ~ ип\ ап | ^> ип.
560 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(член с 1/х возникает от последней, к-й, эпохи, длительность которой велика при
малом х; (ср. рис. 2). Момент Qk окончания к-й эпохи данной эры есть в то же
время момент QfQ начала следующей эры.
В первой казнеровской эпохе новой эры впервые начинает возрастать функция
Ч от достигнутого ею в предыдущей эре минимального значения ^к = — Qk(\ — 8fc);
это значение и будет играть роль начальной амплитуды bf0Qf0 новой серии осцил-
осцилляции. Легко получить для нее:
bf0Uf0=(b^ +к2 +кх-1)Ьопо. E.11)
Очевидно, что Ьоп'о > 80П0. Уже при не очень больших длинах к, возрастание
амплитуды очень значительно: функция с = е1 начинает осциллировать от амп-
амплитуды Af0 ~ Ак . (Мы оставляем в стороне упомянутые выше «опасные» случаи
очень сильного понижения верхней границы осцилляции.)
Согласно C.19) возрастание плотности материи в течение каждой из первых
(к — 1)-й эпох дается формулой
Для последней же к-й эпохи данной эры надо учесть, что при и = х < 1 наиболь-
наибольшим является показатель р2(х) (а не р3(х)). В результате для возрастания плот-
плотности в течение всей эры получается
la(ik/i0) = ]n{^/^) = 2(k-l + x)b0u0. E.12)
Уже при не очень больших значениях к имеем, следовательно, ?q/?o ^ А^к. В
течение следующей эры (с длиной к1) возрастание плотности будет еще более
быстрым в силу увеличения начальной амплитуды AfQ :?о/8о ^ ^к' ^ А^к к'
и т. д. Этими формулами иллюстрируется бурный характер возрастания плот-
плотности материи.
6. Статистический анализ эволюции модели
при приближении к особой точке
Порядок следования длин к^ последовательных эр (измеренных в числе со-
содержащихся в них казнеровских эпох) приобретает асимптотически характер слу-
случайного процесса. Источником этой статистичности является правило C.20) —C.21),
по которому в бесконечной числовой последовательности значений параметра и
определяется переход от одной эры к следующей.
К статистическому описанию такой последовательности можно перейти, если
вместо определенного начального значения umax = к^ + х^ рассматривать зна-
значения, в которых х^0^ распределены в интервале от 0 до 1 по некоторому вероят-
вероятностному закону. Тогда будут распределены по некоторым законам также и зна-
значения х^\ оканчивающие каждую (s-ю) серию чисел. Можно показать (см. При-
Приложение А), что при увеличении s эти распределения стремятся к определенному
41. Колебательный режим приближения к особой точке 561
стационарному (не зависящему от s) распределению вероятностей w(x), в кото-
котором начальные условия уже полностью «забыты»:
Отсюда можно найти распределение вероятностей длин серий к:
W{k) = (In 2) ln[(fc + IJ/к{к + 2)]. F.2)
Эти формулы дают основу для исследования статистических свойств эволюции
модели [14].
Осложняющим обстоятельством в таком исследовании является медленность
убывания функции распределения F.2) при больших к:
W(k) ^l/k2\n2. F.3)
Среднее значение к , вычисленное по этому распределению, логарифмически
расходится. Для последовательности, обрезанной на очень большом, но конеч-
конечном числе чисел N, мы получили бы к ~ In N . Однако смысл среднего значения
в данном случае весьма ограничен ввиду его неустойчивости: медленность убы-
убывания W(k) приводит к тому, что флуктуации числа к расходятся еще быстрее,
чем его среднее значение. Более адекватной характеристикой свойств рассмат-
рассматриваемой последовательности является вероятность того, что случайно выбран-
выбранное из нее число окажется принадлежащим серии с длиной К, где К велико. Эта
вероятность равна In K/ln N. Она мала, если 1 <С К <С N. В этом смысле можно
сказать, что случайно выбранное из последовательности число с большой вероят-
вероятностью окажется принадлежащим длинной серии.
Выпишем снова рекуррентные формулы, определяющие правила перехода
от одной эры к следующей. Индекс s нумерует последовательные эры (а не каз-
неровские эпохи в одной эре!), начиная от некоторой эры (s = 0), принимаемой за
начальную. 0,^ и г^ обозначают соответственно начальный момент времени и
начальную плотность материи в s-й эре; bsQs есть начальная амплитуда осцил-
осцилляции той пары из функций а, C, % которая испытывает колебания в данной эре:
к^ есть длина s-й эры, а величина х^ определяет длину следующей эры соглас-
согласно /c(s+1) = [l/x(s)]. Согласно E.10) —E.12) имеем
+ !/x(s)) = eis 9 F.4)
)+l/x(s))' K }
() ( -l)8WfiW F.6)
(в F.4) введено для дальнейшего использования обозначение ?s).
Величины 6^ (пробегающие значения от 0 до 1) тоже имеют свое стационарное
статистическое распределение. Оно удовлетворяет интегральному уравнению,
562 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
которое выражает собой тот факт, что величины 8^ и Ь^ \ связанные соотноше-
соотношением F.5), имеют одинаковое распределение; это уравнение может быть решено
численным образом (см. [14]). Ввиду отсутствия каких-либо особенностей в соот-
соотношении F.5), распределение имеет вполне устойчивый характер; вычисленные
по нему средние значения величины 5 или ее степеней являются определенны-
определенными конечными числами. В частности, среднее значение 6 оказывается равным
^ = 0,52.
Поставим вопрос о статистической связи между большими интервалами вре-
времени Q и числом s сменившихся за это время эр.
Повторное применение формулы F.4) дает
= ехр
F.7)
Прямое усреднение этого равенства, однако, не имело бы смысла: ввиду медлен-
медленного убывания функции W(k) средние значения величин e^s неустойчивы в ука-
указанном выше смысле. Эта неустойчивость устраняется логарифмированием:
«дважды-логарифмический» интервал времени
() p F.8)
Р=о
выражается суммой величин ?р, имеющих устойчивое статистическое распределе-
распределение. Средние значения величин ?,s, а также их степеней (вычисленные по распреде-
распределениям величин х, к и 6) конечны; численное вычисление дает 6, = 2,1, б,2 = 6,8 .
Усреднив равенство F.8) при заданном s, получим
ts=2,1s, F.9)
чем определяется средний дважды логарифмический интервал времени, необ-
необходимый для протекания s последовательных эр.
Для вычисления же среднего квадрата флуктуации этой величины пишем
p,q=0 p=0
В последнем равенстве учтено, что в стационарном пределе статистическая кор-
корреляция между ^ и ^(s) зависит только от разности | s — sf |. Ввиду наличия ре-
рекуррентной связи между х^\ к^\ 8^ и х^+1\ к^+1\ 6^+1^ эта корреляция, строго го-
говоря, отлична от нуля. Она, однако, очень быстро убывает с увеличением | s — sf |, a
численный расчет показывает, что уже при | s — sf | = 1 ^s+1^,s — ^,2 = — 0,4. Оста-
Оставив в сумме по р два первых члена, получим
F.10)
При s —> оо относительная флуктуация (т. е. отношение среднеквадратичной
флуктуации F.10) к среднему значению F.9)) стремится, следовательно, к нулю
как s/2. Другими словами, статистическая связь F.9) приобретает при больших s
почти достоверный характер. Разумеется, эта достоверность является следствием
41. Колебательный режим приближения к особой точке 563
того, что согласно F.8) ts может быть представлено суммой большого числа ква-
квазинезависимых слагаемых (т. е. имеет такое же происхождение, что и достовер-
достоверность значений аддитивных термодинамических величин макроскопического
тела). Отсюда же следует, что вероятности различных значений ts (при задан-
заданном s) распределены по Гауссу:
p(Ts)~exp{(Ts-2,lsO4s}. F.11)
Достоверный характер связи F.9) позволяет также и обратить ее, т. е. пред-
представить как зависимость среднего числа эр s"T, сменяющихся в заданном интер-
интервале дважды логарифмического времени т:
sT= 0,47т. F.12)
Соответствующее статистическое распределение дается тем же распределени-
распределением Гаусса, в котором случайной величиной является теперь sT при заданном т:
p(sT)-exp{-(sT-0,47TJ/0,43T}. F.13)
Обращаясь к плотности материи, перепишем F.6) с учетом F.7) в виде
(s+l) l
РР=о
и затем, для полного изменения энергии в течение s эр,
In ln^ = ln?expH>p + Tip . F.14)
Е р=0 [q=0 J
Основной вклад в это выражение дает последний член суммы по р, содержащий
экспоненту с наибольшим показателем. Оставив лишь этот член и усреднив ра-
равенство F.14), получим в его правой стороне выражение s6,, совпадающее с F.9);
все остальные члены в сумме (а также и члены г\р в показателях) приводят лишь
к поправкам относительного порядка 1/s.
Таким образом, имеем
() (^(o)). F.15)
В силу установленного выше почти достоверного характера связи между ts и s
соотношение F.15) можно писать в виде
lnln(eT/?@)) = T или ln(e<e7e@)) = 2,ls,
в которых оно определяет значение двойного логарифма возрастания плотности,
усредненное по заданному дважды логарифмическому интервалу времени т или
по заданному числу эр s.
Снова подчеркнем, что устойчивые статистические соотношения существу-
существуют именно для дважды логарифмических интервалов времени и приращений
564 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
плотности. Для величины же, например, In (е^/е^) относительная флуктуация
экспоненциально возрастает с увеличением области усреднения, тем самым ли-
лишая устойчивого смысла понятие средних значений.
Остается показать, что в асимптотическом предельном режиме действитель-
действительно не возникают упомянутые в п. 5 опасные случаи, нарушающие регулярный
ход эволюции, выражаемый рекуррентными соотношениями F.4) —F.6).
Опасными являются случаи появления в конце эры слишком малых значений
параметра и = х (а с ними и | рх | « х). Примем в качестве критерия отбора таких
случаев неравенства
x(s)exp|a(s)|<l, F.16)
где | oSs> | — начальная глубина минимумов осциллирующих в s-й эре функций
(скорее следовало бы взять конечную амплитуду, но это лишь усилило бы кри-
критерий отбора).
Значение х^ в начальной эре задается начальными условиями. Опасными
являются значения в интервале 6х^ ~ехр(—|a^|j, а также в тех интервалах,
которые приведут к опасному случаю в дальнейших эрах. Для того чтобы х^ попа-
попало в опасный интервал 6х^ ~ ехр(—| oSs^\), начальное значение х^ должно лежать,
согласно (А.7), в интервале ширины 6х^ ~ Ьх^/к^2... к^2. Всего, следовательно,
из начального единичного интервала всех возможных значений х^ приведут к
появлению опасного случая значения в доле X этого интервала, равной
s=l к к
(внутренняя сумма берется по всем значениям к^\ к^2\ ..., к^ от 1 до оо). Легко
видеть, что этот ряд сходится к значению Х<1, порядок величины которого оп-
определяется уже первым членом в F.17).
Достаточно показать это путем сильной мажорации ряда, для чего положим
ау)| = (s + l)|a^|, независимо от длин эр к^\ к^2\ ... (В действительности crs'|
растут значительно быстрее; даже в наиболее невыгодном случае к^ = к^ =
= ... = 1 значения |а^| возрастают скорее как qs сго'| с q > 1.) Заметив, что
Vl/lrW2IrBJ к& -(-к2/(О8
к
получим тогда
X = ехр (-|а(°)|)?[К/б)ехр (-|а«»|)]* « ехр (-|а@)|),
что и требовалось.
Если начальное значение х^ лежит вне опасного участка X, то опасные случаи
вообще не возникнут. Если же оно лежит в этом участке, то опасный случай возни-
возникает, но после выхода из него модель начинает «регулярную» эволюцию с новым
начальным значением, которое лишь случайно (с вероятностью X) может снова
оказаться в опасном интервале. Повторения таких случаев могут привести к опас-
опасной ситуации лишь с вероятностями X2, X3, ..., асимптотически стремящимися к
нулю. Этими рассуждениями и доказывается сделанное выше утверждение.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 565
7. Построение общего решения для длинной эры
с малыми колебаниями
В разделах 3—6 исследование эволюции метрики вблизи особой точки произ-
произведено на примере пространственно-однородных моделей. Из характера этой
эволюции ясно, что аналитическое построение общего решения с особенностью
такого типа должно производиться по отдельности для каждого из основных эле-
элементов эволюции: для казнеровских эпох, для процесса смены эпох под влияни-
влиянием «возмущения», для длинной эры с одновременно действующими возмущения-
возмущениями двух типов. Ответ на первый вопрос очевиден: в течение казнеровской эпохи
(т. е. пока возмущения малы) метрика дается выражением B.7) без дополнитель-
дополнительного условия B.17). В этом параграфе дается ответ на третий из поставленных
вопросов: построение решения для длинной эры с малыми колебаниями осцил-
осциллирующих функций, рассмотренными в разделе 4 для частного случая однород-
однородных моделей. Мы увидим, что временная зависимость такого решения оказыва-
оказывается в далеко идущей аналогии с той, которая имеет место в частных случаях
однородных моделей, причем последние получаются из общего решения при спе-
специальном выборе входящих в него произвольных функций 18).
Построение общего решения удобно, однако, проводить в системе отсчета,
несколько отличающейся от синхронной. Именно, полагаем по-прежнему дОа = О,
но вместо условия д00 = 1 выбираем д00 = — д33. Введя снова пространственный
метрический тензор да[3 = — ^а[3, имеем, таким образом,
Выделенную пространственную координату обозначим как х3 = z, а временную
переменную будем обозначать через х° = ?,, (в отличие от собственного времени t);
мы увидим, что ?, как раз соответствует переменной, введенной в разделе 4 для
однородных моделей. Дифференцирование по ?,, и z будем обозначать соответ-
соответственно точкой и штрихом. Латинские индексы а, Ъ, с в этом параграфе принима-
принимают значения 1, 2, соответствующие пространственным координатам х1, х2, кото-
которые будем обозначать также через х, у. Таким образом, метрика имеет вид
ds2 =ЧззИ2 -dz2)-labdxadxb -2la3dxadz. G.2)
Как мы увидим, решение, отвечающее поставленной задаче, получается в
предположении неравенств
(эти условия обобщают условие малости одной из функций а2, Ъ2, с2 по сравнению
с другими двумя, которое имело место в однородных моделях).
Неравенство G.4) означает, что компоненты ^а3 малы в том смысле, что при любом
соотношении между величинами смещений dxa и dz в квадрате пространственного
18) Содержание этого раздела основано на работах [15, 16].
566 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
элемента длины dl2 можно опустить члены с произведениями dxadz. Таким обра-
образом, первым приближением к решению будет метрика G.2) с ^а3 = 0 19):
ds2 = -ь (^2 -dz2) -~iabdxadxb. G.5)
Вычислив по метрике G.5) компоненты тензора Риччи Ко°, R®, ^з3> ^С> легко
убедиться в том, что в силу условия G.3) все члены в них, содержащие диффе-
дифференцирования по координатам ха, малы по сравнению с членами, содержащими
производные по^иг (отношение первых к последним как раз ~ 1зз/1аъ)- Другими
словами, для получения уравнений главного приближения следует дифферен-
дифференцировать ^зз и 1аъ в G-5) так, как если бы они не зависели от ха. Обозначив
Ъз = ^> ^аЪ = КаЪ> 4ab=Xab» Иаь1 = °2> G.6)
получим следующие уравнения ):
2e*Rba=G-1(G\ba)' -G-1(GKb)=0, G.7)
^11 G-8)
() ||=0. G.9)
Поднятие и опускание двумерных индексов производится здесь при помощи ^аЬ.
Величины к и X — свертки каь и Хаь, причем
X = 2G7G. G.10)
Что касается компонент тензора Риччи Ка°, Ка3, то при таком же вычислении они
тождественно обратятся в нуль. В следующем же приближении (т. е. с учетом
малых ~fa3 и производных по х, у) они определят величины ^а3 по известным уже
ЪЗ И 1аЪ'
Свертка уравнений G.7) дает G;/-G = 0, откуда
G = /1(x,i/^ + z)+/2(x,i/^-z). G.11)
Здесь могут представиться различные случаи в зависимости от значения вели-
величины N = g^GfJr^ т. е. в зависимости от характера переменной G. В рассматри-
рассматриваемом приближении д00 =-у* >-у*, и поэтому N^goo(GJ -^(G7J =4f3/1/2. К
интересующим нас особенностям по времени приводит случай N > 0 (величина G
19) Обратим внимание на то, что эта метрика допускает еще произвольные преобразования вида
i' + z' = Ш + z),i'-z' = Ш - г), х'а = f\x\ х2).
20) Уравнение же Ко° + К33 = 0 оказывается прямым следствием системы G.7) —G.9), если G^O
или G' ^ 0. Случай же G — G' — 0 не требует особого рассмотрения: можно показать, что простран-
пространственно-временная метрика в этом случае сводится (в первом приближении) к галилеевой.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 567
времениподобна). Положив в G.11) f1 = 1/2(?) + z) sin у, /2 = 1/2(?) — z) sin у, пред-
представим G в виде
G.12)
Такой выбор не уменьшает общности рассмотрения; можно показать, что он воз-
возможен (в рассматриваемом главном приближении!) просто за счет оставшихся
еще допустимыми преобразований переменных21). Множитель sin ту введен
в G.12) для удобства дальнейшего сравнения с однородными моделями. С учетом
G.12), уравнения G.7) —G.9) принимают вид
^+t^a-^'=0, G.13)
l4), G-14)
V = ^<4- G-15)
Основными здесь являются уравнения G.13), определяющие компоненты^; функ-
функция же ^ находится затем простым интегрированием уравнений G.14) —G.15).
Переменная ? пробегает значения от 0 до оо. Рассмотрим решение уравне-
уравнений G.13) в двух предельных областях, ^> 1 и^С 1.
В области больших значений ? можно (как это подтверждается результатом)
искать решение в виде разложения по /^
^()] G.16)
причем
laabl = sin2l/ G.17)
(равенство G.17) требуется для выполнения условия G.12)). Подставив G.16) в
уравнение G.13), получим в главном порядке
(aa4c)' = 0, G.18)
где величины аас образуют матрицу, обратную матрице аас. Решение уравне-
уравнений G.18) запишем в виде
be29Z> G.19)
^га2 - l2m2 = sin у, G.20)
где 1а, та, р — произвольные функции координат х, у, связанные условием G.20),
возникающим из G.17).
21) При N < 0 (величина G пространственноподобна) можно положить G = z, что приводит к обоб-
обобщению известной метрики Эйнштейна—Розена [17]. При N = 0 приходим к волновой метрике Ро-
Робинсона— Бонди, зависящей только от ? + z или только от ? — z (см. [2], § 103).
568 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для нахождения дальнейших членов разложения удобно представить мат-
матрицу искомых величин ~fab в форме
1аЪ=^[ЬенЬ)аЪ, G.21)
где
L =
m2e9Z
G.22)
а знак ~ означает транспонирование. Матрица Н симметрична, и ее след равен
нулю. Представление G.21) обеспечивает симметрию ~fab и выполнение усло-
условия G.12). Если заменить ехр Н единицей, то из G.21) получится ~fab = ?,aab с ааЪ
из G.19). Другими словами, главному члену разложения ~fab отвечает Н = 0; даль-
дальнейшие члены получаются разложением по степеням матрицы Н, компоненты
которой рассматриваются как малые величины.
Обозначим независимые компоненты матрицы Н через о и ср, написав
У . G.23)
—а
Подставив G.21) в G.13) и сохранив лишь линейные по Н члены, получим для а и
Ф уравнения
Если искать решение этих уравнений в виде рядов Фурье по координате z, то
для коэффициентов ряда, как функций от ?, получаются уравнения Бесселя.
Главные асимптотические члены решения при больших ? имеют вид 22)
? D,яе +B2ne-^)e—, G.25)
VC, п=-оо
Коэффициенты А, В являются произвольными комплексными функциями коор-
координат х, у и удовлетворяют необходимым условиям вещественности аиф; основ-
основная частота и — произвольная вещественная функция х, у. Из уравнений G.14) —
G.15) легко получить теперь первый член разложения функции ^:
¦Ф = р42 G-26)
(этот член исчезает, если р = 0; в этом случае главным оказывается линейный
по ? член разложения: ^ = ?,q(x, у), где q — положительная функция; см. [15]).
22) Возможно, что решение можно было бы искать и в виде интегралов Фурье; этот вопрос не
исследован до конца. Поэтому мы не утверждаем, что разложимость в ряды Фурье является обяза-
обязательным требованием, налагаемым на координатную зависимость функций о и ср.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 569
Таким образом, в области больших ?,, компоненты метрического тензора ~fab
при уменьшении ? осциллируют на фоне медленного убывания, обязанного мно-
множителю ? в G.21). Компонента же ^Зз = е^ быстро уменьшается по закону, близ-
близкому к ехр (р2?,2); тем самым обеспечивается возможность выполнения усло-
условия G.3) 23).
Рассмотрим теперь область 6, <С 1. Главное приближение к решению уравне-
уравнений G.13) находится из предположения (подтверждаемого результатом), что в
этих уравнениях можно опустить члены с производными по координатам:
к.а+?~Ч=°- G.27)
Это уравнение вместе с условием G.12) дает
22 G-28)
где Xa, |\, sv s2 — произвольные функции всех трех координат х, у, z, связанные
друг с другом условиями
s1+s2=l. G.29)
Уравнения же G.14) —G.15) дают теперь
Чзз=^~СA~8'~8|)- G-30)
Производные \^ , вычисленные по G.28), содержат члены ^ ^4si~2 и ^ ^4s2-2 ? меж-
между тем как оставленные в G.27) члены ^?,~2. Поэтому допустимость перехода от
G.13) к G.27) требует, чтобы было s1 > 0, s2 > 0; при этом 1-s2 -sf >0.
Таким образом, в области малых ? осцилляции функций ~fab прекращаются, а
функция ^зз начинает возрастать при уменьшении ?. Это — казнеровский ре-
режим, и когда ^зз сравнивается с ~fab, условия применимости рассмотренного при-
приближения нарушаются.
Для выяснения самосогласованности проведенного анализа следует еще рас-
рассмотреть уравнения Ка° = 0, Ка3 = 0 и, вычислив из них компоненты ^а3, убедить-
убедиться в выполнении предположенного неравенства G.4). Такое исследование (см. [16])
показывает, что в обеих асимптотических областях компоненты ^а3 оказываются
^^зз- Поэтому выполнение неравенства G.3) автоматически обеспечивает спра-
справедливость также и неравенства G.4).
Полученное решение содержит, как и должно быть для общего случая поля в
пустоте, четыре произвольные функции трех пространственных координат х, у, z.
В области ?, <С 1 этими функциями являются, например, \, Х2, [iv sv В области же
? ^> 1 четыре функции задаются фигурирующими в G.25) четырьмя рядами
23) Квадратичные по Н члены в уравнениях G.13) приводят лишь к малым ~1Д) поправкам в а и
ср. Учет же кубических членов приводит к появлению слабой зависимости амплитуд А, В от ?, кото-
которую можно представить как появление логарифмических фаз в осциллирующих множителях в G.25).
Соответствующие вычисления для случая р = 0 приведены в [15] (ср. также аналогичную ситуацию
для однородных моделей; Приложение Б).
570 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Фурье по координате z с коэффициентами, являющимися функциями х, у, хотя
разложение в ряд (или интеграл?) Фурье и выделяет некоторый специальный
класс функций, но этот класс достаточно широк, чтобы обнимать собой конеч-
конечную долю всего многообразия мыслимых начальных условий.
Решение содержит также некоторое число еще и других произвольных фун-
функций двух координат х, у. Такие «двумерные» произвольные функции появля-
появляются, вообще говоря, в результате того, что возникающие при решении уравне-
уравнений Эйнштейна связи между трехмерными функциями являются дифференци-
дифференциальными (а не алгебраическими); мы оставляем в стороне более глубокий вопрос
о геометрическом смысле таких функций. Мы не станем заниматься так же и
подсчетом числа независимых двумерных функций, тем более, что в данном слу-
случае этому вопросу трудно придать однозначный смысл, поскольку и трехмерные
функции задаются через совокупности двумерных 24). (Более подробно о числе
двумерных функций в рассматриваемом решении см. [16]).
Покажем, наконец, что в полученном общем решении содержатся рассмот-
рассмотренные в разделе 4 частные решения для однородных моделей.
Взяв реперные векторы для пространства типа IX из (Г.2) и подставив в B.7),
запишем пространственно-временную метрику этой модели в виде
сЦ2х = dt2 - [(a2 sin2 z + Ъ2 cos2 z) sin2 у + с2 cos2 у] dx2 -
- [a2 cos2 z + Ъ2 sin2 z]dy2 -c2dz2 + G.31)
+ (b2 — a2) sin 2z sin у dxdy — 2c2 cos у dx dz.
В случае, когда с2 <С а2, Ь2, можно пренебречь с2 везде, кроме члена с2 dz2. Для
перехода от синхронной системы отсчета, в которой написано G.31), к системе,
подчиненной условиям G.1), совершим преобразование dt = с d^/2 и заменим
z —> z/2. Предполагая также, что \ = 1П (а/Ь) <С 1, получим из G.31) в главном при-
приближении:
- аЪ {sin2 г/A -\cosz)dx2 + A + хcosz)dy2 +2xsinzsin7/dxch/}. G.32)
Аналогичным образом, для модели типа VIII с реперными векторами из (Г.11)
получим
- abjsin2 y(chz~x)dx2 +(chz + x)dy2 - 2sh z sin у dxdy}. G.33)
24) В регулярном разложении общего решения уравнений Эйнштейна содержится (помимо че-
четырех трехмерных функций) три независимые функции двух координат (см. [18], § 40, а также При-
Приложение А в работе [1]).
41. Колебательный режим приближения к особой точке 571
Согласно п. 4 имеем при этом в обоих случаях аЪ = ?,, (полагаем для упрощения
а2° = ?о) и формулу D.8) для х; функция же с(?) дается формулами D.10) или
D.18) соответственно для моделей типов IX и VIII. Такую же метрику типа VIII
мы получим из G.22), G.25), G.26), выбрав двумерные векторы 1а и та в форме
I2=m2= 1/V2 G.34)
и положив
р = 1/2, А;о = В20 = гЛе^, А1п = Л2„ = Вы = В2п=0 (п * 0).
Для получения же метрики типа IX надо положить
р = 0, и = 1,
Л — D* — Л* — D — _ Л/з~^0
Лп ~ -°11 "" ^-l "" -°1,-1 "" 2 '
1-е
д = q* = д* = q = — f^Ae" G 36)
21 21 2,-1 2,-1 2 ' V ' '
Аы=А2я=Вы=В2п=0, (тг*±1)
(для вычисления с(^) приближение G.26) в этом случае недостаточно и должен
быть вычислен линейный по ? член в ^: это сделано в [15]).
В изложенном исследовании пространство предполагалось пустым. Включе-
Включение материи не нарушает степени общности решения и не меняет его качествен-
качественных свойств (см. [15, 16]).
8. Заключительные замечания
Итак, в предыдущих параграфах описан новый тип особенностей в космоло-
космологических решениях уравнений Эйнштейна; эти особенности имеют сложный ко-
колебательный характер. Хотя изучение этих особенностей проведено главным
образом на примере специальных однородных моделей, но существуют убеди-
убедительные основания полагать, что таков же характер особенности и в общем ре-
решении уравнений гравитации; именно это обстоятельство придает ему особое
значение для космологии.
Основание для такого утверждения дает, прежде всего, уже тот подход к воп-
вопросу, который был указан в начале п. 3: колебательный режим приближения к
особой точке возникает в результате действия именно того единственного типа
возмущений, по отношению к которому неустойчиво обобщенное решение Каз-
нера. Подтверждением общности решения является также и осуществленное в
разделе 7 аналитическое построение для длинной эры с малыми колебаниями.
Хотя этот случай и не является (в свете результатов разделов 5, 6) обязатель-
обязательным элементом эволюции метрики в асимптотической близости к особой точке,
но он несет в себе все основные качественные черты: осцилляция метрики в двух
пространственных измерениях при монотонном изменении в третьем измерении,
с обязательным нарушением такого режима в конце определенного интервала
572 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
времени. Остаются, однако, пока еще не выясненными детали однократной сме-
смены казнеровских эпох в общем случае пространственно-неоднородной метрики.
Особого исследования требует вопрос о том, накладывает ли существование
особой точки какие-либо ограничения на свойства пространственной геометрии.
Пока можно лишь утверждать, что нет прямой связи с конечностью или беско-
бесконечностью пространства; об этом свидетельствует существование как закрытой,
так и открытой однородной модели с осцилляционной особой точкой.
Колебательный режим приближения к особой точке придает новый аспект
самому понятию конечности времени. Между любым конечным моментом миро-
мирового времени t и моментом t = 0 заключено бесконечное множество колебаний.
В этом смысле процесс приобретает бесконечный характер. Более естественной
переменной для его описания вместо самого времени t оказывается его логарифм
In t, по которому процесс растянут до — оо.
Мы везде говорили о направлении приближения к особой точке, как о направ-
направлении уменьшения времени. Но ввиду симметрии уравнений гравитации по от-
отношению к изменению знака времени, с тем же правом могла бы идти речь о при-
приближении к особенности в направлении увеличения времени. В действительнос-
действительности, однако, ввиду физической неэквивалентности будущего и прошедшего, между
этими двумя случаями имеется существенное отличие в отношении самой по-
постановки вопроса. Особенность в будущем может иметь физический смысл лишь,
если она допустима при произвольных начальных условиях, задаваемых в ка-
какой-либо предшествующий момент времени. Ясно, что нет никаких оснований
для того, чтобы распределение материи и поля, достигаемое в какой-либо мо-
момент в процессе эволюции Вселенной, соответствовало бы специфическим усло-
условиям, требуемым для осуществления того или иного частного решения уравне-
уравнений гравитации.
На вопрос же о типе особенности в прошлом исследование, основанное на од-
одних лишь уравнениях гравитации, вряд ли вообще может дать однозначный от-
ответ. Естественно думать, что отбор решения, отвечающего реальному миру, свя-
связан с какими-то глубокими физическими требованиями, установление которых
на основании одной лишь существующей теории гравитации невозможно и кото-
которые смогут быть выяснены только в результате дальнейшего синтеза физичес-
физических теорий. В этом смысле в принципе могло бы оказаться, что этому отбору со-
соответствует какой-либо частный (например, изотропный) тип особенности. Тем
не менее априори более естественным представляется думать, что в силу общего
характера колебательного режима именно им должны описываться начальные
стадии эволюции мира.
В этой связи может представлять существенный интерес указанное Мизне-
ром [19] свойство модели, относящееся к распространению световых сигналов.
Напомним предварительно ситуацию, имеющую место в этом отношении в моде-
модели Фридмана.
В изотропной модели существует «световой горизонт» для распространения
сигналов. Это значит, что для каждого заданного момента времени существует
некоторое наибольшее расстояние, за которым невозможен обмен световыми
сигналами, а потому и причинная связь событий: сигнал не может успеть рас-
распространиться на такие расстояния за время, протекшее от особой точки t = 0.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 573
Действительно, распространение сигнала определяется уравнением ds = 0.
В изотропной модели вблизи особой точки t = 0 элемент интервала имеет вид
ds2 = dt2 —2tdl2, где dl2 обозначает пространственную дифференциальную
форму, не содержащую времени (см. [2] §§ 107 — 109). Заменой t = т|2/2 он приво-
приводится к виду
ds2=T]2(dTi2-dP). (8.1)
Отсюда получается для «расстояния» А1, пройденного сигналом, выражение
ДГ = Дт). (8.2)
Поскольку переменная г\ вместе со временем t пробегает лишь значения, начи-
начиная от нуля, к «моменту» т\ сигналы могут распространиться лишь на расстояния
А1 ^т|, чем и устанавливается дальность горизонта.
Существование светового горизонта в изотропной модели создает определен-
определенные трудности в вопросе о происхождении наблюдаемой в настоящее время изот-
изотропии реликтового черного радиоизлучения. Действительно, с точки зрения этой
модели наблюдаемая изотропия означала бы одинаковость свойств излучения,
приходящего к наблюдателю и из таких областей пространства, история кото-
которых не могла бы находиться в причинной связи друг с другом. Ситуация же в
модели с колебательным режимом эволюции вблизи особой точки может оказать-
оказаться иной. Покажем это на примере однородной модели типа IX.
Именно, рассмотрим распространение сигнала в том направлении, в котором
в течение длинной эры масштабы меняются по закону, близкому к ~?. Квадрат
элемента длины в этом направлении имеет вид dl2 = t2dl2, а соответствующий
элемент четырехмерного интервала: ds2 =dt2 —t2dl2. Подстановкой t = ец он
приводится к виду
ds2=e2^(dtf-dl2), (8.3)
откуда для распространения сигнала снова получается уравнение вида (8.2). Но
существенное отличие состоит в том, что переменная т\ пробегает теперь значе-
значения от —оо (если бы метрика (8.3) имела место при всех t, начиная от t = 0). По-
Поэтому для каждого заданного «момента» т\ найдутся предшествующие промежут-
промежутки Дт|, достаточные для покрытия сигналом любого конечного расстояния.
Таким образом, в течение длинной эры открывается световой горизонт в оп-
определенном направлении в пространстве. Хотя продолжительность каждой из
длинных эр все же конечна, но в течение хода эволюции мира они сменяются
бесконечное число раз в различных направлениях в пространстве. Это обстоя-
обстоятельство позволяет ожидать, что в рассматриваемой модели оказывается воз-
возможной причинная связь событий во всем объеме пространства 25). Исчерпыва-
Исчерпывающее исследование этого вопроса в настоящее время еще отсутствует; отсут-
отсутствует также и исследование вопроса для аналогичной открытой модели.
С течением времени, по мере удаления от особой точки, влияние материи на
эволюцию метрики, не существенное на ранних этапах эволюции, постепенно
25) Это свойство дало основание Мизнеру назвать модель «mixmaster universe» — от слова
mixmaster, означающего машинку для перемешивания теста.
574 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
возрастает и в конце концов становится преобладающим. Можно ожидать, что
это влияние будет приводить к постепенной «изотропизации» пространства, в
результате чего его свойства приближаются к модели Фридмана, удовлетвори-
удовлетворительно описывающей современное состояние Вселенной. Разумеется, этот воп-
вопрос требует еще специального исследования. Остается также пока открытым
вопрос о связывании параметров теории со шкалой времени реального мира.
Наконец, последнее замечание — о том, насколько вообще законно рассмот-
рассмотрение вопроса об «особом состоянии» мира со сколь угодно большими плотностя-
плотностями материи на основе существующей теории гравитации. Разумеется, физичес-
физическая применимость уравнений Эйнштейна в их настоящем виде в указанных ус-
условиях сможет быть выяснена лишь в процессе будущего синтеза физических
теорий, и в этом смысле вопрос не может быть сейчас разрешен. Но существен-
существенно, что сама по себе теория гравитации не теряет логической связности (т. е. не
приводит к внутренним противоречиям) ни при каких плотностях материи. Дру-
Другими словами, эта теория не ограничена, как таковая, никакими следующими из
нее самой условиями, которые могли бы сделать логически незаконным и проти-
противоречивым ее применение при очень больших плотностях; ограничения могли
бы в принципе возникнуть лишь как результат факторов, «посторонних» по от-
отношению к самой теории гравитации. Это обстоятельство делает во всяком слу-
случае формально законным и необходимым рассмотрение вопроса об особенностях
в космологических моделях уже в рамках существующей теории.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Некоторые сведения из теории непрерывных дробей
Рассмотрим, бесконечную последовательность положительных чисел и, со-
состоящую из серий, каждая (s-я) из которых начинается с некоторого (иррацио-
(иррационального) числа гб^ах = к^ + х^ и через значения к^ + х^ — 1, к^ + х^ — 2,...
доходит до х^ < 1; переход к следующей серии происходит по правилу
"max = k(S+1) + *(S+1) = VX(S)' (A-1)
Целые числа к^ определяют длины серий.
Если вся последовательность начинается с числа) к^ + х^°\ то длинами к^\ к^2\...
являются числа, входящие в разложение х^ в бесконечную непрерывную дробь:
*(°) = 1— . (А.2)
/сB) |
Поэтому для изучения свойств интересующей нас последовательности можно
воспользоваться рядом известных результатов теории непрерывных дробей (см.,
например, [20]).
Как было отмечено в разделе 3, нас могут интересовать лишь те свойства пос-
последовательности, которые присущи общему случаю произвольного иррациональ-
иррационального числа х^ < 1. Именно по этой причине нет необходимости рассматривать
41. Колебательный режим приближения к особой точке 575
случай рациональных чисел х^ (для которых разложение в непрерывную дробь
конечно). Не представляют также интереса специфические свойства, присущие
периодическим непрерывным дробям (в такие дроби разлагаются квадратичные
иррациональности, т. е. числа, являющиеся корнями квадратных уравнений с
целыми коэффициентами) 26). Заметим, что в обоих этих случаях все элементы
разложения (числа к^\ к^2\...) очевидным образом ограничены по величине. Это
свойство тоже является исключительным: множество всех вообще чисел х^ < 1,
разложение которых обладает этим свойством, имеет меру нуль по сравнению с
множеством всех чисел отрезка @, 1).
Для перехода к вероятностному описанию будем вместо определенного зна-
значения х^ рассматривать значения х^ = х, распределенные в интервале от 0 до
1 по некоторому заданному вероятностному закону wQ(x). Тогда будут распре-
распределены по некоторым законам также и значения х^°\ оканчивающие каждую се-
серию. Пусть ws(x)dx — вероятность того, что s-я серия закончится значением
х^ = х, лежащим в заданном интервале dx.
Для того чтобы s-я серия имела длину к, предыдущая серия должна закон-
закончиться числом в интервале между l/(fc + 1) и 1/к. Поэтому вероятность серии
иметь длину к
Ws(k)= ] ю^Шх. (А.З)
Значение х^+1^ = х, заканчивающее (s + 1)-ю серию, может возникнуть из на-
начальных (для этой серии) значений и^^ = х + к , где к = 1, 2,...; им отвечают зна-
значения х^ = l/(fc + x) для предыдущей серии. Заметив это, мы можем написать
следующее рекуррентное соотношение, выражающее распределение вероятно-
вероятностей ws+1(x) через распределение ws (x):
" ' " 1
ИЛИ
<А-4)
Если при увеличении s распределения ws(x) стремятся к стационарному (не
зависящему от s) предельному распределению w(x), то последнее должно удов-
удовлетворять уравнению
Это уравнение действительно имеет решение 27)
Iп2] (А.6)
26) Простейший пример разложения в периодическую непрерывную дробь дает число
л/5-1 1
2
7) Этот результат был известен еще Гауссу.
576 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
(нормировано на единицу). В этом легко убедиться, заметив, что с этой функ-
функцией сумма в правой стороне уравнения (А.5) становится равной
к=± ^ ^ к + х'
Соответствующее стационарное распределение вероятностей длин серий по-
получается подстановкой (А.б) в (А.З); оно выписано в тексте (формула F.2)).
Представление о скорости, с которой происходит установление стационарно-
стационарного распределения (А.б), дает следующий пример. Пусть начальные значения х^
распределены в узком интервале ширины 6х^ вокруг некоторого определенного
числа. Из рекуррентного соотношения (А.4) (или прямо из разложения (А.2)) лег-
легко заключить, что ширины распределений ws{x) (вокруг определенных других
чисел) будут тогда равны
(АЛ)
(это выражение справедливо лишь постольку, поскольку определяемые им
6x(s)<l).
Б. Уточнение расчетов к разделу 4
При получении в п. 4 решения, описывающего малые колебания в области боль-
больших значений переменной ?,, мы ограничились первым членом разложения sh 2\
в уравнении D.11). Такое приближение равносильно оставлению в решении лишь
члена наиболее низкого порядка по малой величине l/v^ .
Приведем здесь более точные вычисления с учетом следующих членов раз-
разложения по степеням /^
После замены
уравнение D.6) принимает вид
У-?2 A/4<р + 3/15<р5). (R2)
Здесь оставлены три первых члена разложения sh 2\; опущенные члены ~ ф7Д3
(точка над буквой обозначает в этом разделе дифференцирование по ?,).
Первым приближением к решению, которое ищется в виде разложения по
степеням 1Д, является решение уравнения без правой части, имеющее вид
ipo=2A sin (?-?„). (Б.З)
Следующий член разложения в ср должен быть ~ 1Д и должен был бы находить-
находиться из (Б.2) с учетом члена — 2ф3/3?, в правой части. Написав ср = ф0 + ср: и предпо-
предполагая, что ф: ~ 1Д, получим для ф: уравнение
9о4Л3 А А3
Ф1 + Ф1 = ^0 = ^sinC^ - 3^0) - ^-sin(? - ^о)- (Б.4)
41. Колебательный режим приближения к особой точке 577
Однако второй член в правой части этого уравнения обладает резонансной час-
частотой (совпадающей с частотой решения однородного уравнения Cpl-\-^pl = 0 ), что
приводит к появлению в ср: логарифмически расходящихся членов и тем самым
нарушает исходное предположение о порядке малости ф1# Появление резонанса
в действительности означает слабое изменение фазы синуса в функции первого
приближения ф0. В соответствии с этим запишем его в виде
Lpo=2Asin(i-io+^) (Б.5)
вместо (Б.З), где ^F,) предполагается медленно меняющейся функцией в том
смысле, что чфх^'ф^].. Выражение ф0 +ф0 теперь не обратится строго в нуль, но
будет малой величиной ~ т];:
ф0 +ф0 =-4A^sin(^-^0 + -ф) (Б.6)
(опущены члены ~г[) и ~ijj2). Соответственно для поправки ср: получим теперь
вместо (Б.4) уравнение
3 ( Л)
(^^ ^) ф^ (?? ^) (Б.7)
и tJ; находится как раз из условия выпадения в правой части резонансных чле-
членов. Отсюда (с определенным выбором константы интегрирования)
. (Б.8)
После этого поправку ср: можно представить в виде
1 А3
Ф! = - (Сг sin A + C2 cos А) - — sin ЗА, (Б.9)
Здесь Cv C2 — пока произвольные постоянные. Легко проверить, что выраже-
выражение (Б.9) удовлетворяет уравнению (Б.7) в порядке 1 Д. Что же касается членов
~ ?,~2 и т. д., появляющихся из ф1 за счет дифференцирования множителя 1Д и ло-
логарифмической фазы, то они скажутся только при нахождении поправок ~ 1Д2 и т. д.
Постоянные Cv C2 находятся из условия отсутствия резонансных членов в пра-
правой части уравнения, определяющего поправку ф2 ~ V^»2- Написав ф = ф0 + ф: + ф2
с ip0 и ф1 из (Б.5) и (Б.9) и подставив в (Б.2), получим в порядке 1Д2 уравнение для ф2
^[2^ +A3)cosA-BC2 +4QA2 +А5 +l/2A)sinA +
+ BА2С: -A5)sin3A + BA2C2 -A3)cos3A-3/5 A5 sin5А]. (Б.11)
Члены, пропорциональные cos А и sin А в квадратной скобке, дали бы вклад в
ф2 порядка 1Д, что противоречило бы исходному предположению ф2 ~ 1/?,2,
578 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
следствием которого является само уравнение (Б.11). Требование равенства этих
членов нулю дает
Сг = -А3, С3 = 1/4 FА5 - А).
Действуя аналогичным образом далее, можно было бы получить решение для ср с
точностью до любого порядка по 1 Д.
Таким образом, с точностью до ?,~3^2 включительно, имеем окончательно
2А
Соответствующие функции а(^) и
—1 (\
cosA + O -||.
Эти формулы относятся к однородным моделям обоих типов — IX и VIII. Под-
Подставив (Б.12) в уравнение D.7) или D.17), получим
+ lnc0 +-A2i
где верхний и нижний знаки в первом члене относятся соответственно к метрике
типа IX и типа VIII. Отсюда для функции с(^) имеем
(тип IX)
(тип
(Б.15)
(в предэкспоненциальных множителях оставлен лишь член с наиболее высокой
степенью ?,). Наконец, для связи мирового времени t с переменной ? получим
t/t0 =с(О/с0 (тип IX) |
t/4=c(i)io/coi (тип VIII) J (Б.16)
с той же точностью, с которой справедливы формулы (Б.15).
В. Однородные пространства
Для удобства читателей дадим здесь краткое изложение теории однородных
пространств. Однородность означает одинаковость метрических свойств во всех
точках пространства. Точное определение этого понятия связано с рассмотрени-
рассмотрением совокупности преобразований координат, которые совмещают пространство
само с собой, т. е. оставляют его метрику неизменной: если до преобразования
элемент длины
41. Колебательный режим приближения к особой точке 579
то после преобразования тот же элемент имеет вид
dl2=lafi(xn,x'2,x's)dx'adx'V
с той же функциональной зависимостью ^ от новых координат. Пространство од-
однородно, если оно допускает совокупность преобразований (или, как говорят, груп-
группу движений), позволяющих совместить любую заданную его точку с любой другой
точкой. В силу трехмерности пространства очевидно, что для этого различные пре-
преобразования группы должны определяться значениями трех параметров.
Так, в евклидовом пространстве однородность выражается инвариантностью
метрики по отношению к параллельным переносам (трансляциям) декартовой си-
системы координат. Каждая трансляция определяется тремя параметрами — ком-
компонентами вектора смещения начала координат. Все эти преобразования оставля-
оставляют инвариантными три независимых дифференциала (dx, dy, dz), из которых и
строится элемент длины. В общем случае неевклидова однородного пространства
преобразования его группы движений тоже оставляют инвариантными три неза-
независимые дифференциальные формы, не сводящиеся, однако, к полным диффе-
дифференциалам каких-либо координатных функций. Напишем эти формы в виде
eaadxa, (B.I)
где латинский индекс а нумерует три независимых вектора (функции коорди-
координат); мы будем называть эти векторы реперными.
С помощью форм (В.1) инвариантная по отношению к данной группе движе-
движений пространственная метрика строится как
т. е. метрический тензор
h (в-2)
где симметричные но индексам а, Ъ коэффициенты ^af3 — функции времени 28).
Контравариантные же компоненты метрического тензора записываются в виде
Гр=ТЧ^а, (в.з)
где коэффициенты ~faf3 образуют матрицу, обратную матрице Х(з(часГ(Ьс = ^а)> а
величины е^ образуют три вектора, «обратные» векторам еаа:
еааеьа=Ььа, еаае1=Щ (В.4)
(каждое из этих равенств автоматически следует из другого). Отметим, что связь
между еаа и еаа может быть записана в явном виде как
ei=(]/u)[e2e3], e2=(V^[eV], e3 =(V")[e1e2], (B.5)
28) Здесь и ниже в этом разделе суммирование подразумевается по дважды повторяющимся как
греческим, так и латинским индексам (а, Ъ, с,...), нумерующим реперные векторы.
580 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
где v = (е1[е2е3]), а еа и еа надо понимать как декартовы векторы с компонентами
соответственно е^ и е^29). Определитель метрического тензора (В.2)
^ = Ьар|КГ=Иаь1^' (В.6)
где | ^аЬ | — определитель матрицы ^аЬ 30).
Инвариантность дифференциальных форм (В.1) означает, что
eaa(x)dxa=eaa(xf)dxfa, (B.7)
причем еаа в обеих сторонах равенства — одни и те же функции соответственно
от старых и новых координат. Умножив это равенство на e%(xf), заменив
dx1^ = (<9ax^)dxa и сравнив коэффициенты при одинаковых дифференциалах
dxa, получим
Эти равенства представляют собой систему дифференциальных уравнений, оп-
определяющих функции x/f3(x) по заданным реперным векторам 31). Для того чтобы
быть интегрируемыми, уравнения (В.8) должны тождественно удовлетворять
условиям
Вычислив производные, получим
Умножив обе стороны равенства на е^ (х)е^ (х)е^ (x'^j и перенеся дифференциро-
дифференцирования с одних множителей на другие с учетом (В.4), получим в левой стороне
Ьес
\х ) [°Ье$ \х )
29) Не путать eaac контравариантными компонентами векторов еаа\ Последние равны: еаа =
30) Использованное в разделе 4 представление пространственной метрики в виде ^оф =
= CL2lalp + b2mamp + c2narip соответствует диагональной матрице ^аь с компонентами ^п = а2, ^22 = ^2»
7зз = с2, векторы 1, m, n соответствуют векторам е1, е2, е3.
31) Для преобразований вида х'^ = х^ + ^, где ^ — малые величины, из (В.8) получаются уравнения
Три линейно независимых решения этих уравнений, ?jf(b = 1, 2, 3) определяют бесконечно ма-
малые преобразования группы движений пространства. Векторы ^ называют векторами Киллинга.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 581
а в правой — такое же выражение, как функцию от х. Поскольку х и х1 произ-
произвольны, то эти выражения должны сводиться к постоянным:
(B.9)
Постоянные СсаЪ называются структурными константами группы. Умножив на
можно переписать (В.9) в виде
Как видно из их определения, структурные константы антисимметричны по
нижним индексам:
СаЬ=-Сьа- (В.П)
Еще одно условие для них можно получить, заметив, что равенство (В.10) можно
записать в виде правила коммутации
[xexb] = xexb-xbxe=qbxc (в-12)
для линейных дифференциальных операторов 32)
Тогда упомянутое условие возникает из тождества
[[ХвХь]Хс]+[[ХьХс]Хв] + [[ХсХв]Хь] = 0
(так называемое тождество Якоби) и имеет вид
С{ЪС% +С[СС% +CfaC%=0.
Отметим, что равенства (В.9) можно записать в векторном виде как
[eaeb]rotec=-Cadb)
где снова векторные операции производятся так, как если бы координаты ха были
декартовы. С помощью (В.5) имеем отсюда
-(e1rote1)=C^2, -(e2rote1)=C113, -(e3 rote1) = С\г (В.15)
и еще шесть равенств, получающихся циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
Уравнения Эйнштейна для мира с однородным пространством могут быть
представлены в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
32) Во избежание недоразумений при сравнении с другими изложениями отметим, что система-
систематическая теория непрерывных групп строится обычно, исходя их операторов (генераторов группы),
определенных по векторам Киллинга: Ха= ?,aa$a.
582 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
содержащих только функции времени. Для этого все трехмерные векторы и тен-
тензоры надо разложить по тройке реперных векторов данного пространства. Обо-
Обозначая компоненты таких разложений индексами а, Ъ,..., имеем, по определению,
Rab=K^ael R0a=R0aea> U«=Uae«a,
причем все эти величины являются уже функциями только от t (функциями вре-
времени являются также и скалярные величины — плотность е и давление мате-
материи р). Дальнейшее поднимание или опускание индексов производится с помо-
помощью величин ^аЬ: Rba = ^cbRac, ua = ^аЪиь и т. п.
Уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета выражаются через трех-
трехмерные тензоры Kaf3 и Paf3 (ср. B.11) —B.13)). Для первого из них имеем просто
(точка означает дифференцирование по t). Компоненты же РаЪ оказывается воз-
возможным выразить через величины ~fab и структурные константы группы:
<ь =i/2(qb
(В.17)
Через те же величины выражаются и ковариантные производные к^п, и для R®
получается
Подчеркнем, что для составления уравнений Эйнштейна нет необходимости в ис-
использовании явных выражений для реперных векторов как функций координат 33).
Выбор трех реперных векторов в дифференциальных формах (В.1) (а с ними
и операторов (В.13)), разумеется, не однозначен. Они могут быть подвергнуты
любому линейному преобразованию с постоянными (вещественными) коэффи-
коэффициентами:
По отношению к таким преобразованиям величины ~fab ведут себя как ковариан-
тный тензор, а константы СсаЪ — как тензор, ковариантный по индексам а, Ъ и
контравариантный по индексу с.
Условия (В.11) и (В.14) — единственные, которым должны удовлетворять
структурные константы. Но среди допускаемых этими условиями наборов кон-
констант есть эквивалентные — в том смысле, что их различие связано лишь с пре-
преобразованиями (В.19). Вопрос о классификации однородных пространств сводится
к определению всех неэквивалентных наборов структурных констант.
Простой способ сделать это (следуя Беру) состоит в том, чтобы, воспользо-
воспользовавшись «тензорными» свойствами констант СсаЪ, выразить эти девять величин
3) Вывод формул (В.17), (В.18) можно найти в статье Шюкинга в книге [21].
41. Колебательный режим приближения к особой точке 583
через шесть компонент симметричного «тензора» паЪ и три компоненты «векто-
«вектора» ас согласно
CCab=eabdndC+K"a-K"b, (B.20)
где еаЫ — единичный антисимметричный «тензор». Условие антисимметричнос-
антисимметричности (В.11) здесь уже учтено, а тождество Якоби (В.14) приводит к условию
паЪаъ=0. (В.21)
Преобразованиями (В.19) симметричный «тензор» паЪ может быть приведен к
диагональному виду; пусть п^\ п^2\ п^ — его главные значения. Равенство (В.21)
показывает, что «вектор» аъ (если он существует) лежит в одном из главных на-
направлений «тензора» паЪ, в том, которое отвечает нулевому главному значению.
Не уменьшая общности, можно поэтому положить аъ = (а, 0, 0). Тогда (В.21) сво-
сводится к ап^ = 0, т. е. одна из величин а или п^ должна быть нулем. Правила же
коммутации (В.12) примут вид
[X2X3] = n®Xv [X3X1] = nB»X2-aX3. (B.22)
После этого остается еще свобода в изменении знака операторов Ха и в произ-
произвольных их масштабных преобразованиях (умножениях на постоянные). Это по-
позволяет одновременно изменить знак всех п^а\ а также сделать величину а поло-
положительной (если она отлична от нуля). Можно также обратить все структурные
константы в ±1, если по крайней мере одна из величин a, rv \ rv ^ равна нулю.
Если же все эти три величины отличны от нуля, то масштабные преобразования
оставляют инвариантным отношение а2/п^п^\
Таким образом, мы приходим к следующему перечислению возможных ти-
типов однородных пространств; в первом столбце таблицы римской цифрой указан
номер, которым принято обозначать типы по классификации Бианки:
Тип пространства а п^ п^ п^
I
II
VII
VI
IX
VIII
V
IV
VII
mtZv* a 0 1 -1
Параметр а пробегает все положительные значения. Соответствующие типы
представляют собой однопараметрические семейства различных групп.
0
0
0
0
0
0
1
1
а
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
-1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
-1
0
1
1
584 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Тип I — евклидово пространство (все компоненты пространственного тензора
кривизны обращаются в нуль). Помимо тривиального случая галилеевой метри-
метрики сюда относится метрика B.1).
Если для пространства типа IX положить в метрическом тензоре (В.2) ~fab = I /4a26ab,
то для тензора Риччи с помощью (В.17) получим
1 2
Раъ =~^®аЪ, Рар = РаЪеае^ =— г)а^),
* а
что соответствует пространству постоянной положительной кривизны (с радиу-
радиусом кривизны а; ср. [2] § 107); это пространство содержится, таким образом, в
типе IX как частный случай.
Аналогичным образом, пространство постоянной отрицательной кривизны
содержится как частный случай в типе V. В этом легко убедиться, преобразовав
сначала структурные константы этой группы заменой Х2 + Х3 = Xf2, X2 — X3= Xf3,
Хх = Х[. Тогда будет [Х^] = Х'2, [*2Хз] = 0, [ХГ3Х[] = -Х*3. Положив затем
^ab = a26ab, получим тензор Риччи Ра[3 = — 26а[3/а2, отвечающий пространству по-
постоянной отрицательной кривизны.
Г. Однородные пространства типов VIII И IX
Для пространства типа IX правила коммутации операторов Ха:
т. е. отличные от нуля структурные константы 34):
(Г.1)
Согласно (В. 15) эти константы совпадают соответственно с величинами X, |л, у B.10).
Соответствующие константам (Г.1) реперные векторы:
(Г.2)
1 = е1 = (sinzsini/, cosz, 0),
m = е2 = (—coszsin]/, sinz, 0),
n = e3 = (cost/, 0, 1).
где координаты обозначены как х1 = х, х2 = у, х3 = z. Согласно (В.6) элемент объе-
объема равен
dV = j^dxdydz = л]\\~^\ sin у dxdydz. (Г.З)
Координаты пробегают значения в интервалах
(Кх^4-к, 0^7/^ -к, (Kz^2ty (Г.4)
(см. ниже). Пространство замкнуто и его объем
Jh2. (Г.5)
34) Общий знак структурных констант изменен здесь на обратный по сравнению с приведенной
выше таблицей.
41. Колебательный режим приближения к особой точке 585
Как уже было указано, частному случаю ~fab = г/\а2ЬаЪ соответствует простран-
пространство постоянной положительной кривизны. С этими значениями ~fab и с реперны-
ми векторами (Г.2) элемент длины
dl2 = 1/4 a2 (dx2 + dy2 +dz2 +2 cosydxdz). (Г.6)
Покажем, каким образом он может быть преобразован к виду, обычному для про-
пространства постоянной положительной кривизны:
dY + ZdZ) (Г.7)
+ + + 2 J 2
a .X У Zj
или
dl2 =a2(dx2+sin2xsin2ed^2+sin2xde2), (Г.8)
где x, 6, ф — углы четырехмерной сферической системы координат, связанные с
X, Y, Z в (Г.7) согласно
X = asinxsinGcoscp, Y = asinxsinGsincp, Z = asinxcos9
(см. [2] § 107). Заменой
X = р cos (C/2), Y = р sin (C/2), Z = yja2 - р2 sin (a/2)
и затем р = a sin (у/2) элемент (Г.7) преобразуется к виду
dl2 =l/4(a2-P2)da2+l/4p2dC2+(l-p2/a2)dp2 =
= 1/4 a2 (cos2 (у/2)da2 +sin2 (y/2)d$2 +dy2).
К такому же виду преобразуется (Г.6) заменой z + х = a, z — х; = C. Сводя теперь
вместе все последовательные замены, найдем, что преобразование от (Г.6) к (Г.8)
осуществляется формулами
sin(]//2)cos[(z - х)/2] = sin
sin(i//2)sin[(z — х)/2] = si
cos(]//2)sin[(z + x)/2] = sin
(Г.9)
Изменению координат х> 0, ф в интервалах 0 ^ х, 0 ^ п, 0 ^ ф ^ 2ty соответствует
изменение координат х, ту, z в интервалах (Г.4).
Для однородного пространства типа VIII правила коммутации:
[Х1Х2] = -Х3, [Х2Х3] = Х1, [Х3Х1] = -Х2, (Г.10)
т. е. структурные константы С\2 = — 1, С23 = С\х = 1. Соответствующие репер-
ные векторы:
1 = (—shzsinz, chz, 0), m = (—chzsiny, shz, 0),
n = (cosy, 0,1). (Г.11)
Координата z пробегает теперь значения от 0 до оо, и объем пространства бес-
бесконечен.
586 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. УФН, 80, 391, 1963; Adv. Phys., 12, 185, 1963.
[2] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля. Изд. 5-е, М., Наука, 1967.
[3] ЕМ. Лифшиц, В.В. Судаков, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 40, 1847, 1961.
[4] R. Penrose. Phys. Rev. Lett, 14, 57, 1965.
[5] S.W. Hawking. Phys. Rev. Lett, 15, 689, 1965.
[6] S.W. Hawking, G.F.R. Ellis. Astrophys. J., 152, 25, 1968.
[7] R.P. Geroch. Phys. Rev. Lett, 17, 445, 1966.
[8] E. Kasner. Amer. J. Mathem., 43, 1921.
[9] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Механика сплошных сред. Изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1954
[10] В.А. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 49, 1000, 1965.
[11] I.M. Khalatnikov, EM. Lifshitz. Phys. Rev. Lett, 24, 76, 1970..
[12] В.А. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 56, 1700, 1969.
[13] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. Письма ЖЭТФ, 11, 200, 1970.
[14] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 59, 322, 1970. [Статья 42 на-
настоящего собрания трудов].
[15] В.А. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 57, 2163, 1969.
[16] В.А. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 59, 314, 1970.
[17] A. Einstein, N. Rosen. J. Franklin Inst, 223, 43, 1937; А. Эйнштейн. Собрание трудов.
Т. 2. С. 438.
[18] А.З. Петров. Пространства Эйнштейна. М., Физматгиз, 1961.
[19] Ch.W. Misner. Phys. Rev. Lett, 22, 1071, 1969.
[20] А.Я.Хинчин. Цепные дроби, М., Физматгиз, 1961.
[21] Е. Schjicking. В кн.: Gravitation, an Introduction to Modern Research / Ed. L. Witten,
Wiley & Sons. N. Y., 1962. С 454.
[22] AT. Дорошкевич, И.Д. Новиков. Астрон. ж., 47, № 5, 1970.
42
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО
РЕЖИМА ПРИБЛИЖЕНИЯ К ОСОБОЙ ТОЧКЕ
В ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Совместно с ИМ. Лифшицем и ИМ. Халатниковым
ЖЭТФ, 59, 322, 1970
Произведен анализ эволюции метрики в колебательном режиме приближения к особой точ-
точке в однородных космологических моделях в асимптотической области сколь угодно малых
времен. Показано, что в этой области последовательные смены «казнеровских эпох» опре-
определяются каждый раз всего одним «возмущением» (т. е. не возникает ситуаций, когда одно-
одновременно действуют два типа возмущений). Это позволяет произвести аналитическое и
статистическое исследование эволюции модели со значительной полнотой. Подучены ре-
рекуррентные соотношения для периодов и амплитуд осцилляции в течение одной эры (серии
казнеровских эпох) и формулы, связывающие друг с другом последовательные эры. Произве-
Произведен анализ статистических свойств смены последовательных эр и получены функции ста-
статистического распределения для величин, характеризующих этот процесс. Найден веро-
вероятностный закон возрастания плотности материи при приближении к особой точке.
В предыдущих сообщениях двух из нас и В.А. Белинского был открыт ос-
цилляционный режим приближения к особой точке по времени в космо-
космологических решениях уравнений Эйнштейна [1—3]. Были рассмотрены частные
случаи однородных моделей типа IX и VIII по Бианки (первый рассматривался
также и Мизнером [4]), и были высказаны аргументы, свидетельствующие о
том, что именно таков должен быть характер особенности в общем решении
уравнений гравитации.
Настоящее сообщение посвящено дальнейшему изучению однородных моде-
моделей. Будет показано, что в асимптотическом пределе сколь угодно близких к осо-
особой точке времен t оказывается возможным провести аналитическое и статисти-
статистическое исследование эволюции модели со значительной полнотой.
При этом мы оставляем в стороне вопрос о возможной связи параметров этой
эволюции со шкалой времени реального мира. Может оказаться, что асимптоти-
асимптотический предел лежит в области столь больших плотностей материи, для кото-
которых применение существующей теории гравитации может представляться не-
нереалистическим. В этой связи, однако, уместно напомнить, что хотя физическая
применимость уравнений Эйнштейна в их настоящем виде в указанных «особых»
условиях сможет быть выяснена лишь в процессе будущего синтеза физических
теорий, но сама по себе существующая теория гравитации не теряет логической
связности (т. е. не приводит к внутренним противоречиям) ни при каких плотно-
плотностях материи. Другими словами, эта теория не ограничена никакими следующи-
следующими из нее самой условиями, которые могли бы сделать логически незаконным и
противоречивым ее применение при очень больших плотностях; ограничения
588 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
могли бы возникнуть лишь как результат факторов, посторонних по отношению
к самой теории гравитации. Это обстоятельство делает во всяком случае фор-
формально законным и, на наш взгляд, необходимым рассмотрение вопроса об осо-
особенностях в космологических моделях уже в рамках существующей теории.
1. Общий характер эволюции модели
Напомним основные свойства рассматриваемого решения уравнений грави-
гравитации в форме, необходимой для дальнейшего исследования.
Пространственная метрика однородной модели записывается в виде
dl2 = (аЧа1$ + Ъ2тат$ + с2пап$) dxadx^, A.1)
где 1, m, n — трехмерные реперные векторы, являющиеся определенными функ-
функциями пространственных координат. Конкретный вид этих функций несуществен.
Важно лишь, что для метрик типов IX и VIII величины
\ = i(lrotl), ^L = i(mrotm), v = -(п rot n) A.2)
(где v = l[mn]) постоянны, а все остальные произведения вида 1 rot m, I rot n, ...
равны нулю. Числа X, \l, v являются не чем иным, как структурными константа-
константами группы движений пространства. Для пространства типа IX все три констан-
константы имеют одинаковый знак и можно положить X = [i = у = 1. Для пространства
же типа VIII одна из констант имеет знак, противоположный знаку двух других;
можно положить Х=— 1, [i = v = 1. Весь излагаемый ниже анализ относится в
равной степени к обеим моделям.
Величины а, Ь, с в A.1) — функции мирового синхронного времени t определя-
определяющие масштабы пространственных расстояний в направлениях 1, т, п. Времен-
Временная эволюция модели описывается в терминах этих функций.
Ключ к пониманию характера эволюции метрики при приближении к особой
точке состоит в смене «казнеровских эпох», в течение каждой из которых функ-
функции а, Ъ, с меняются по закону
a~tPl, h~tPm, c~tPn A.3)
где три числа рь рт, рп совпадают с числами какой-либо из троек pv p2, р3 удов-
удовлетворяющих условиям *)
Pi + Р2 + Рз = Р? + v\ + v\ = I- A-4)
Эти тройки чисел, расположенные в раз и навсегда установленной после-
последовательности рх < р2< Рз? могут быть параметризованы в виде
/ ч —и / ч и + 1 / ч и(и + 1) , _ч
р1(и) = -, Р2(и)= -, р(и) = —± '-, A.5)
1+и+и 1+и+и 1+и+и
*) Закон A.3) —A.4) является точным для всего времени решением уравнений Эйнштейна для
однородного (но анизотропного) эвклидова пространства (решение Казнера см. [5], §103).
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения 589
где параметр и пробегает значения в области и ^ 1. Значения же и < 1 приводят-
приводятся к той же области согласно формулам
Функция рх (и) всегда отрицательна, р2 (и) и р3 (и) — положительны; при этом
\р1 (и) | и р2 (и) монотонно убывают, а р3 (и) монотонно возрастает с возрастанием и
ОТ 1 ДО 00.
При уменьшении t одна из функций а, Ъ, с возрастает, а две другие убывают.
Пусть, например,
pl—p1[U), pm—p2{U), Pn—P3\u)i ^1ла;
так что возрастает функция a(t), а функция b(t) убывает с меньшим из двух по-
положительных показателей. Этот процесс приводит к смене казнеровского режи-
режима с показателями A.7а) на режим с показателями
pl=Pl(u-l), p'm=p2(u-l), р'п=р3(и-1). A.76)
Функция a(t) приобретает положительный показатель и начинает убывать, функ-
функция b(t) приобретает отрицательный показатель и начинает падать, функция c(t)
продолжает падать.
Переходная область смены режимов описывается формулами
2 = 2|Pl|A 2 =
сЬB|Р1|Лт)'
с2 = c2e2A^-lPil)TchB|Pl|AT), A.8)
где т — переменная, связанная с t уравнением dt = abc dr, а точка т = 0 условно вы-
выбрана совпадающей с моментом максимума функции а(т). Асимптотики этих выра-
выражений при т —> +оо и при т —> —оо отвечают начальному и конечному казнеровским
режимам — соответственно с показателями A.7а) и A.76). В первом из них
аЪс = At, T = A~1lnt + const, A.9a)
а во втором
abc = A't, T = (A/)lnt + const, Л; = ЛA - 2|Р1|). A.96)
Максимальное значение функции а(т)
amax=V2|Pi|A, A.10)
причем предполагается, что это значение велико по сравнению с Ьо и с0 (точнее,
должно быть а2 ^> Ь2, с2).
Дальнейшая эволюция с возрастающей функцией b(t) приводит аналогичным
образом к следующей смене казнеровских эпох, и т. д. Последовательные смены
590 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
по правилу A.7) с перебросом отрицательного показателя степени между функ-
функциями а и Ъ (т. е. между направлениями 1 и т) продолжаются до тех пор, пока не
исчерпается целая часть начального значения и и не станет и < 1. Значение и < 1
преобразуется в и > 1 согласно A.6), а рп становится меньшим из двух положи-
положительных чисел (рп = р2). Следующая серия смен будет уже перебрасывать
отрицательный показатель степени между функциями с и а или между с и Ь. При
произвольном (иррациональном) начальном значении и процесс смен продолжает-
продолжается неограниченно.
Процесс эволюции метрики при приближении к особой точке складывается,
следовательно, из последовательных периодов (которые будем называть эрами),
в течение каждого из которых масштабы расстояний вдоль двух пространствен-
пространственных осей осциллируют, а вдоль третьей монотонно убывают. При переходе от
одной эры к следующей направление, вдоль которого происходит монотонное
убывание расстояний, перебрасывается с одной оси на другую.
Каждой (s-й) эре отвечает серия значений параметра и, начинающаяся от не-
некоторого наибольшего, uj^ax, и через значения г^ах — 1, и^ах -2,... доходящая
до наименьшего, umin < 1. Обозначим
7.(s) _ h,(s) I (s) (s) _ (s) /i ii\
т. е. к^ = [гб^ах] (квадратные скобки означают целую часть числа). Число к^ оп-
определяет «длину» эры, измеренную в числе содержащихся в ней казнеровских
эпох. Для следующей эры
и<?$ = l/x^ , к^ = [l/arW]. A.12)
При точном решении уравнений показатели рь рт, рп теряют, конечно, свой
буквальный смысл. Отметим, что вносимая этим обстоятельством некоторая «раз-
«размытость» в определении этих чисел (а с ними и параметра и), хотя она и мала,
лишает смысла рассмотрение каких-либо выделенных (например, рациональ-
рациональных) значений и. Именно поэтому реальным смыслом обладают лишь те законо-
закономерности, которые свойственны общему случаю произвольных (иррациональ-
(иррациональных) значений и.
В неограниченной последовательности серий чисел и, составляемой по пра-
правилам A.11) —A.12), будут наблюдаться сколь угодно малые (но никогда не рав-
равные нулю) значения х^ и соответственно сколь угодно большие длины к^+1\ Боль-
Большим значениям параметра и соответствуют казнеровские показатели
близкие к значениям @, 0, 1). Два близких к нулю показателя тем самым близки
друг к другу, а с ними близки и законы изменения двух из функций а, Ъ, с. Если в
начале такой «длинной» эры эти функции в момент смены двух казнеровских
эпох оказываются близкими друг к другу и по абсолютной величине (или искус-
искусственно заданы таковыми по начальным условиям), то они будут продолжать
оставаться близкими и в течение большей части всей продолжительности эры;
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения 591
эволюция метрики требует в этом случае особого анализа, который был произ-
произведен в [2] § 4. Мы увидим, однако, что в процессе самопроизвольной эволюции в
асимптотической области сколь угодно малых времен t такие случаи перестают
появляться: даже в «длинных» эрах обе осциллирующие функции в моменты смен
остаются настолько различными по величине, что самые смены будут по-преж-
по-прежнему определяться описанными правилами.
Наличие материи не влияет на эволюцию метрики пространства вблизи осо-
особенности [6]. Другими словами, материя может быть «вписана» в заданную мет-
метрику, а ее обратным действием на метрику можно пренебречь. В течение каждой
казнеровской эпохи плотность материи е меняется по закону
е ~ t-^-p»), A.14)
где р3, как условлено, — наибольшее из чисел р1? р2, р3 (см. [6] § 3 или [7]). Плот-
Плотность материи монотонно возрастает в течение всей эволюции к особой точке.
Закон A.14) соответствует материи, «вписанной» с произвольным начальным
распределением скоростей. Если же вписать материю в рассматриваемую мо-
модель, понимаемую как точное решение уравнений Эйнштейна, то получающаяся
картина эволюции материи не имела бы сколько-нибудь общего характера и была
бы специфична именно для той высокой симметрии, которой эта модель облада-
обладает. Математически эта специфика связана с тем, что для рассматриваемой одно-
однородной пространственной геометрии компоненты Rq тензора Риччи равны нулю
тождественно, и потому уравнения Эйнштейна не допускали бы движения мате-
материи (приводящего к появлению отличных от нуля компонент Т^ тензора энер-
энергии-импульса). Другими словами, синхронная система отсчета должна была бы
быть также и сопутствующей по отношению к материи. При этом для закона из-
изменения плотности материи получилось бы: е ~ t~4/5.
2. Эволюция модели в течение одной эры
Для дальнейшего анализа удобно ввести в место функций а, Ъ, с их логарифмы
а, C, у.
а = е\ Ъ = е\ с = е\ B.1)
В течение каждой казнеровской эпохи имеем согласно A.9) а + C + ^ =
= In Л + In t. При переходе от одной эпохи к другой постоянная In Л меняется (со-
(согласно A.9)) на величину порядка 1. Но в асимптотической области сколь угодно
больших значений | In 11 можно пренебречь не только этими изменениями, но и
всей постоянной In Л. Другими словами, используемое приближение соответству-
соответствует пренебрежению всеми величинами, отношение которых к | In 11 стремится к
нулю при t —> 0. Тогда будем иметь
а + C + ч =-ft, B.2)
где ft обозначает «логарифмическое время»:
ft =-Int. B.3)
592 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
В этом же приближении можно рассматривать процессы смен эпох как мгно-
мгновенные. Можно также пренебречь и постоянной в правой стороне условия A.10),
amax = 11/2^n B| Pi |Л), определяющего моменты смен, т. е. принять в качестве этого
условия равенство а = 0 (или такие же равенства для C или % если начальный от-
отрицательный показатель относится к функциям Ъ или с). Таким образом, полагаем
amax=0, Зтах=0, чтах=0, B-4)
так что величины а, C, ^ будут пробегать лишь отрицательные значения, связан-
связанные друг с другом в каждый момент времени соотношением B.2).
Рассматривая смены эпох как мгновенные, мы пренебрегаем ширинами пере-
переходных (между эпохами) областей по сравнению с длительностями самих эпох;
это условие действительно выполняется (см. ниже примечание 2) на стр. 594). За-
Замена же равенств A.10) на B.4) требует малости величины |1пB|р1|Л)| по сравне-
сравнению с амплитудами осцилляции соответствующих функций а, C, ^. Но при пере-
переходе от одной эры к следующей могут появиться, как было отмечено в § 1, очень
малые значения \рг\, причем величина этих значений и вероятность их появле-
появления никак не связаны с достигнутой к этому моменту величиной амплитуд ос-
осцилляции. Поэтому не исключено, в принципе, появление и столь малых значе-
значений \pi\, для которых требуемое условие будет нарушено 2). Такое сильное по-
понижение атах может привести к различным специфическим ситуациям, в которых
сшивка казнеровских эпох по правилу A.7) становится некорректной (например,
к ситуации с близкими в течение всей эры двумя из функций а, C, ^). Эти «опас-
«опасные» случаи требуют специального анализа и, во всяком случае, нарушили бы
закономерности, используемые ниже для статистического анализа в раздел 4.
Можно показать, однако, что вероятность таких нарушений асимптотически стре-
стремится к нулю; мы вернемся к этому вопросу в конце раздела 5.
Рассмотрим эру, содержащую в себе к казнеровских эпох, соответствующих
параметру и, пробегающему значения
ип = к + х-1-п, п = 0, l,...,fc-l B.5)
и пусть осциллирующими в течение этой эры функциями будут а и C (см. рис. 1) 3).
Обозначим моменты начала казнеровских эпох с параметрами ип через Qn.
В каждый из этих моментов одна из величин а или C равна нулю, а другая имеет
минимум. Значения а или C в последовательных минимумах, т. е. в моменты Qn,
обозначим как
<*„=-6А B.6)
(не делая различия между минимумами а и C. Величины 8П, измеряющие эти ми-
минимумы в единицах, соответствующих Qn, могут иметь значения между 0 и 1.
2) На эту опасность обратили наше внимание А.Г. Дорошкевич и И.Д. Новиков.
3) Определение границ эры согласно B.5) естественно в том отношении, что оно объединяет в
себе все эпохи, в течение которых третья функция, ^(t), монотонно убывает. Если же определить
эру по последовательности значений и от к + х до 1 + х, то монотонное убывание ^(t) продолжалось
бы и в течение первой эпохи следующей эры.
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения
593
Рис. 1. Схематическое изображение хода изменения а, [3, ^ как функции логарифмического времени П
в течение одной эры. Вертикальные пунктиры отмечают моменты смен казнеровских эпох, которым
отвечают прямолинейные отрезки кривых между пунктирами. Сверху указаны значения парамет-
параметра и, определяющие казнеровские показатели. Последняя эпоха имеет большую продолжительность,
если х мало. В первой эпохе следующей эры начинает возрастать % аа становится монотонно убы-
убывающей функцией
Функция же ^ в течение данной эры монотонно убывает; согласно B.2) ее значе-
значение в момент Qn есть
Чп = -ftn(l-8J. B.7)
В течение эпохи, начинающейся в момент Qn и заканчивающейся в момент ?\+1,
одна из функций а или C возрастает от — Ьппп до нуля, а другая падает от 0 до — Ьп+1пп+1
по линейным законам соответственно const + \ рг (ип) \Q и const — \p2(un)\Q . От-
Отсюда находим рекуррентное соотношение
1 i I i
B.8)
и и
и для логарифмической длительности эпохи
д =о —О — f(Un^ 8 О — ?(г
B.9)
где для краткости обозначено / (и) = 1 -
ности п эпох можно получить формулу
пп-п0 =
Из B.8) видно, что I а.
и + и2. Для суммарной продолжитель-
продолжительn/(un_,)
B.10)
п+1|
> | ап|, т. е. размах осцилляции функций а и C возра-
возрастает в течение всей эры (между тем как коэффициенты 6П могут быть и малы-
малыми). Если глубина минимума в начале эры была велика, то она уже не станет
малой и в последующих минимумах; другими словами, разность |а — C| в момен-
моменты смен казнеровских эпох остается большой. Подчеркнем, что это утверждение
не зависит от длины эры к, так что и для длинных эр смены эпох будут опреде-
определяться обычным правилом A.7) 4).
4) Как уже указывалось, произведенное в [2], § 4 исследование относится к обратному случаю
длинной эры, на всем протяжении которой |а — C| ^С 1.
594 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Амплитуда последней осцилляции функций а или C в данной эре связана с ам-
амплитудой первой осцилляции соотношением | afe_11 = | а01 (к +1)/A + х). Уже при
длинах к, составляющих всего несколько единиц, можно пренебречь х по сравне-
сравнению с к, так что возрастание амплитуды осцилляции функции а и C будет пропор-
пропорционально длине эры. Для функций а = еа и а = е^ это значит, что если амплитуда
их осцилляции в начале эры была Ао, то в конце эры она будет равна Ад .
В рассматриваемом приближении максимумы осциллирующрх функций а, C
остаются на постоянном уровне (условие B.4)). В действительности эти макси-
максимумы в последовательных осцилляциях в течение эры несколько понижаются.
Действительно, из условия A.10) имеем
1 )| Лп+1 /IPl On )l К >
а согласно A.9), Лп+1/Лп = 1 - 2| рх (ип)\. Отсюда находим
B.11)
Это понижение максимумов, конечно, мало по сравнению с понижением ми-
минимумов; так, при ип ^> 1 имеем из B.11)
между тем как понижение минимумов составляет, согласно B.8),
| (amin)n+1 " (amin)J ~ (amin)n/^n ,
где | (amin ) | уже предполагается большим.
В течение эры возрастает также и продолжительность (в логарифмическом
времени) последовательных казнеровских эпох; из B.9) легко заключить, что
Ап+1 > Ап 5). Общая продолжительность эры
ftJ-Ц, =^к~^о = к\к + х +-]ъоПо B.12)
х)
(член с 1/х возникает от последней, к-й эпохи, длительность которой велика при
малом х, — ср. рисунок). Момент Qk окончания к-й эпохи данной эры есть в то же
время момент Q,fQ начала следующей эры.
В первой казнеровской эпохе этой новой эры впервые начинает возрастать функ-
функция ^ от достигнутого ею в предыдущей эре минимального значения ^к = —?\A — 8fc);
это значение и будет играть роль начальной амплитуды bf0Qf0 новой серии осцилля-
осцилляции. Легко получить для нее
t + /c2+/cx-l]sA. B.13)
5) Отметим также, что эти продолжительности велики по сравнению с ширинами переходных
областей между эпохами. Согласно A.8), эти ширины велики при малых \рг\ (т. е. больших и) и со-
составляют ^ 1/lpJ rsj и. Но даже в этом случае Ап ~ ttjaj ^> ип.
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения 595
Очевидно, что bf0Qf0 > b0Q0. Уже при не очень больших длинах к возрастание амп-
амплитуды очень значительно: функция с = е1 начинает осциллировать от амплиту-
амплитуды Aq ~ Aq . (Мы оставляем в стороне упомянутые в разделе 1 «опасные» слу-
случаи очень сильного понижения верхней границы осцилляции.)
Согласно A.14) возрастание плотности материи в течение каждой из первых
(к— 1)-й эпохи дается формулой
Для последней же, fc-й эпохи данной эры надо учесть, что при и = х < 1 наиболь-
наибольшим является показатель р2 (х) (а не р3 (ос)). В результате для возрастания плот-
плотности в течение всей эры получается
\п{гк/г0) = \п(г'0/Е0)=2(к-1+х)\п0. B.14)
Уже при не очень больших значениях к имеем, следовательно, ?q/?o ^ Лэ^- В те-
течение следующей эры (с длиной к1) возрастание плотности будет еще более
быстрым в силу увеличения начальной амплитуды А'о\ ?q/?o ~ Af02k ~ А-ок к и
т. д. Этими формулами иллюстрируется бурный характер возрастания плот-
плотности материи.
В заключение этого раздела сделаем еще одно замечание методического ха-
характера. Мизнером предложена для описания рассматриваемого решения урав-
уравнений Эйнштейна механическая модель, в которой «частица» движется в поле
зависящего от времени потенциала [4]. Нам представляется, что эта модель мо-
может отразить лишь некоторые самые общие свойства решения и неудобна для
более детального его исследования. Самое введение потенциала связано с труд-
трудно оцениваемыми приближениями (например, введенная в [4] величина Л долж-
должна рассматриваться то как постоянная, то как переменная); оно во всяком случае
непригодно в областях вблизи углов диаграммы. В качестве условия, определя-
определяющего границы движения «частицы», Мизнер полагает равенство потенциала
кинетической энергии свободного движения, не зависящей от его направления;
тем самым, например, выпадают из рассмотрения эффекты, связанные с зави-
зависимостью атах от рх в A.10). Между тем, как видно из изложенного, аналитичес-
аналитическое рассмотрение, основанное на точных уравнениях Эйнштейна для функций
а, Ъ, с, позволяет проследить за эволюцией модели довольно простым и нагляд-
наглядным образом (причем это рассмотрение без особого труда могло бы быть произ-
произведено и с большей точностью, чем это сделано здесь).
3. Статистические свойства числовой последовательности
значений параметра и
Порядок следования длин к ^ последовательных эр (измеренных в числе со-
содержащихся в них казнеровских эпох) приобретает асимптотически характер
случайного процесса. То же самое относится и к порядку смен пар осциллирую-
осциллирующих функций при переходе от одной эры к следующей (зависящему от четности
или нечетности чисел к^).
596 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Источником этой статистичности является правило A.12), по которому в бес-
бесконечной числовой последовательности значений параметра и определяется пе-
переход от одной эры к следующей. Это правило означает, другими словами, что
если вся бесконечная последовательность начинается с некоторого начального
значения и$ак = к^ + х^°\ то длинами серий к^°\ к^\... являются числа, входя-
входящие в разложение в непрерывную дробь:
fc(o) +x(o) = fc(o) + 1 C.1)
К вероятностному описанию такой последовательности можно перейти, если
вместо определенного начального значения х^ рассматривать значения х^ = х,
распределенные в интервале от 0 до 1 по некоторому заданному закону wo(x).
Тогда будут распределены по некоторым законам также и значения х^ оканчи-
оканчивающие каждую серию. Пусть ws (x)dx — вероятность того, что s-я серия закон-
закончится значением и^[п = х, лежащим в заданном интервале dx.
Значение х^ = х, заканчивающее s-ю серию, может возникнуть из началь-
начальных (для этой серии) значений и^ах = х + к , где к = 1, 2,...; этим значениям и^ах
отвечают значения х^^ = l/(fc + x) для предыдущей серии. Заметив это, мы мо-
можем написать следующее рекуррентное соотношение, выражающее распреде-
распределение вероятностей ws(x) через распределение г^.-^х):
или
сю / 1 \
?Ы C-2>
Если при увеличении s распределения ws (x) стремятся к стационарному (не
зависящему от s) предельному распределению w(x), то последнее должно удов-
удовлетворять уравнению, которое мы получим из C.2), опустив индексы у функций
ws_x и ws. Это уравнение действительно имеет решение:
ги(х) = 1/A + хIп2 C.3)
(нормировано на 1), в чем легко убедиться прямой проверкой 6).
Для того, чтобы s-я серия имела длину /с, предыдущая серия должна закон-
закончиться числом х в интервале между l/(fc + 1) и \/к. Поэтому вероятность серии
иметь длину к равна (в стационарном пределе)
W(lc)= J ю{х)йх = А-Ъ%±^ C.4)
V(fci)
6) Формула C.3) была известна еще Гауссу, а уравнение вида C.2) рассматривалось в этой связи
P.O. Кузьминым (см., например, [8]). Не претендуя на новизну, мы сочли все же целесообразным
привести здесь простой вывод в виде, соответствующем интересующей нас постановке задачи.
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения 597
При больших к
/ C.5)
Представление о скорости, с которой происходит установление стационарного
распределения, дает следующий пример. Пусть начальные значения х^ распре-
распределены в узком интервале ширины 6х^ вокруг некоторого определенного числа.
Из рекуррентного соотношения C.2) (или прямо из разложения C.1)) легко за-
заключить, что ширины распределений ws (x) (вокруг определенных других чи-
чисел) будут тогда равны
Ьх^^Ьх^-к^к^2...к^2 C.6)
(это выражение справедливо лишь до тех пор, пока определяемые им 6х^ <1).
Среднее значение к, вычисленное по распределению C.4), логарифмически
расходится. Для последовательности, обрезанной на очень большом, но конеч-
конечном числе чисел N, мы получили бы к ~ In N. Однако смысл среднего значения в
данном случае весьма ограничен ввиду его неустойчивости: медленность убыва-
убывания W(k) приводит к тому, что флуктуации числа к расходятся еще быстрее, чем
его среднее значение. Более адекватной характеристикой свойств рассматрива-
рассматриваемой последовательности является вероятность того, что случайно выбранное из
нее число окажется принадлежащим серии с длиной к ^ К, где К велико. Эта ве-
вероятность равна In K/ln N. Она мала, если 1 <С К <С N. В этом смысле можно ска-
сказать, что случайно выбранное из последовательности число с большой ве-
вероятностью окажется принадлежащим длинной серии.
В следующем параграфе нам понадобится усреднять выражения, зависящие
одновременно от lcs> и х^. Поскольку обе эти величины возникают из одной и той
же величины х^^ (оканчивающей предыдущую серию) согласно формуле
к^ + х^ = \/х^ \ то их статистические распределения нельзя считать незави-
независимыми. Совместное распределение обеих величин, Ws(k, x)dx, можно получить
из распределения ws_1(x)dx, заменив в последнем х —> 1/(х + к). Другими слова-
словами, функция Ws (к, х) дается как раз тем выражением, которое стоит под знаком
суммы в правой стороне равенства C.2). В стационарном пределе, взяв w из C.3),
получим
W(k, x) = l/(fc + x)(fc + x + l)ln2. C.7)
Суммирование этого распределения по к возвращает нас к C.3), а инте-
интегрирование по dx — к C.4).
4. Статистический анализ эволюции модели
при приближении к особой точке
Приступая к исследованию статистических свойств эволюции модели, вы-
выпишем снова исходные рекуррентные формулы, определяющие правила пере-
перехода от одной эры к следующей. Индекс s будет теперь нумеровать последова-
последовательные эры (а не казнеровские эпохи в одной эре!), начиная от некоторой эры
(s = 0), принимаемой за начальную. Q^ и е^ обозначают соответственно на-
598 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
чальный момент времени и начальную плотность материи в s-й эре; b^Q^ есть
начальная амплитуда осцилляции той пары из функций а, C, ^ которая испытыва-
испытывает колебания в данной эре; к^ есть длина (число казнеровских эпох) s-й эры, а
величина х^ определяет длину следующей эры, согласно /rs+1) = [l/x^]. Соглас-
Согласно B.12) —B.14), имеем
, D.1)
(s) (g)v
In (e(s+1)/e(s)) = 2 (fcW + *« -1) g(sWs) D.3)
(в D.1) —D.2) введены для дальнейшего использования обозначения ^ и /).
При описанном в разделе 3 вероятностном подходе величины 8^ (пробегаю-
(пробегающие значения между 0 и 1) тоже имеют свои статистические .распределения, стре-
стремящиеся при увеличении s к определенному стационарному (не зависящему от s)
распределению; обозначим его через Р(8). Оно удовлетворяет интегральному
уравнению
* 1
D.4)
*=i о о
которое выражает собой тот факт, что величины 6^ = у и 6^s+1^ = z, связанные
соотношением D.2), имеют одинаковое распределение; W(k,x) — функция рас-
распределения C.7); 6-функция в подынтегральном выражении устраняется интег-
интегрированием до dy 7). Ввиду отсутствия каких-либо особенностей в связи D.2),
определяемое уравнением D.4) распределение имеет вполне устойчивый харак-
характер: вычисленные по нему средние значения величины 6 или ее степеней будут
определенными конечными числами. На рис. 2 изображен график функции Р(8),
полученный численным решением уравнения D.4) (путем нескольких итераций)
с помощью ЭВМ 8). Среднее значение 6 оказывается равным 6 = 0,5 .
Поставим вопрос о статистической связи между большими интервалами вре-
времени Q и числом s сменившихся за это время эр.
Повторное применение формулы D.1) дает
s-l
O(s)/O(°) — <3vr> V^ P (р) (А^\\
р=0
Прямое усреднение этого равенства, однако, не имело бы смысла: ввиду медлен-
медленного убывания функции W(k) C.5) средние значения величин ехр ^s^ неустойчи-
7) Строго говоря, это уравнение приближенно. Приближение соответствует обрыву корреляци-
корреляционной цепочки между значениями последовательных x(s\ k(s\ позволяющему считать статистичес-
статистическое распределение величины 6(s) независимым от распределения х^ и k^s\
8) Из D.2) видно, что 6(s+1) —> 0 возможно лишь при х(^ —> 0; поэтому область интегрирования по
dx в D.4) стремится к нулю при z —> 0, так что Р@) = 0. Значение же 6^s+1^ = 1 возможно лишь при
vs> = 0; поэтому из Р@) = 0 следует, что и РA) = 0.
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения
599
вы в указанном в разделе 3 смысле — флуктуации возрастают с увеличением
области усреднения даже быстрее, чем само среднее значение. Эта неустойчи-
неустойчивость устраняется логарифмированием: «дваж-
«дважды-логарифмический» интервал времени
s-i 1,8
т = In(и' /и' ) -- / ч, v /
Р=0 1,6
выражается суммой величин ?}р\ имеющих устой-
устойчивое статистическое распределение. Среднее 1,4
значение величин ?}s\
/с=1
О О
P(b)W(k,x)dxdb,
а также и их степеней, конечны. Численное вы-
вычисление дает ? = 2,1, б,2 = 6,8 .
Усреднив равенство D.6) при заданном s, по-
получим
D.7)
чем определяется средний дважды-логарифми-
дважды-логарифмический интервал времени, необходимый для про-
протекания s последовательных эр.
0,2 0,4 0,6 0,8 5
Рис. 2. График функции распреде-
Для вычисления же среднего квадрата флук- ления р(б)
туации этой величины пишем
s-l
p,q=O
S-1
p=0
В последнем равенстве учтено, что в стационарном пределе статистическая кор-
корреляция между ^ и ^^ зависит только от разности \s — sf\. Ввиду наличия рекур-
рекуррентной связи между x^s\ kfs\ Ь^ и x^s+1\ kfs+1\ ffs+1\ эта корреляция, строго говоря,
отлична от нуля. Она, однако, очень быстро убывает с увеличением \s — sf\ и уже
при \s — sf\ = 1 численный расчет дает
первых члена, получим
(ts-tsJ
,1/2
— ^,2 = — 0,4. Оставив в сумме по р два
D.8)
При s —> оо относительная флуктуация (т. е. отношение среднеквадратичной
флуктуации D.8) к среднему значению D.7)) стремится, следовательно, к нулю
как s/2. Другими словами, статистическая связь D.7) приобретает при больших s
почти достоверный характер. Разумеется, эта достоверность является следствием
того, что согласно D.6) ts может быть представлено суммой большого числа ква-
квазинезависимых слагаемых (т. е. имеет такое же происхождение, что и достовер-
достоверность значений аддитивных термодинамических величин макроскопического
600 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
тела). Отсюда же следует, что вероятности различных значений ts (при задан-
заданном s) распределены по Гауссу:
p(Ts)~exp{-(Ts-2,lSJ/4s}. D.9)
Достоверный характер связи D.7) позволяет также и обратить ее, т. е. пред-
представить как зависимость среднего числа эр s"T, сменяющихся в заданном интер-
интервале дважды-логарифмического времени т:
st=0,47-t. D.10)
Соответствующее статистическое распределение дается тем же распределением
Гаусса, в котором случайной величиной является теперь sT при заданном т:
p(sT)-exp{-(sT-0,47TJ/0,43T}. D.11)
При такой точке зрения источником статистичности является произвольность
выбора начала отсчета интервала т, накладываемого на бесконечную последова-
последовательность сменяющихся эр.
Обращаясь к плотности материи, перепишем D.3) с учетом D.5) в виде
1п1п^-=л(в)+Е^(р)» Ъ{8)= 1п[2б «(*;« + *«- l)fi(°)]
?S Р=о
и затем для полного изменения энергии в течение s эр:
D.12)
? р=0 [q=0
Основной вклад в это выражение дает последний член суммы по р, содержащий
экспоненту с наибольшим показателем. Оставив лишь этот член и усреднив ра-
равенство D.12), получим его правой стороне выражение s6, , совпадающее с D.7);
все остальные члены в сумме (а также и члены г{р^в показателях) приводят лишь
к поправкам относительного порядка 1/s. Таким образом, имеем
lnln(eW/e(°>) = \п(Ф/п^). D.13)
В силу установленного выше почти достоверного характера связи между ts и s,
соотношение D.13) можно писать в видах
In In (e(s)/e@)) = т или In In (e(s)/e@)) = 2, Is,
в которых оно определяет значение двойного логарифма возрастания плотности,
усредненное по заданному дважды логарифмическому интервалу времени т или
по заданному числу эр s.
Снова подчеркнем, что устойчивые статистические соотношения имеют мес-
место именно для дважды логарифмических интервалов времени и приращений
плотности. Для величины же, например, Q^/Q^ = exp ts относительная флук-
42. Асимптотический анализ колебательного режима приближения 601
туация экспоненциально возрастает с увеличением области усреднения, тем са-
самым лишая устойчивого смысла понятие средних значений.
Происхождение статистической связи D.13) можно проследить уже из исход-
исходного закона изменения плотности в течение отдельных казнеровских эпох. Со-
Согласно A.14), в течение всей эволюции имеем
Inlne(t) = const + lnfi + ln2(l-p3(t)),
причем 1 — р3 (t) меняется от эпохи к эпохе, пробегая значения в интервале от 0 до 1.
Член In Q = In In A/t) возрастает монотонно; член же In 2A — р3) мог бы принять
большие (сравнимые с In Q) значения лишь при появлении очень близких к 1 значе-
значений р3 (т. е. очень малых | pj). Это — как раз упомянутые в разделе 2 «опасные»
случаи, нарушающие «регулярный» ход эволюции, выражаемый рекуррентными
соотношениями D.1) —D.3).
Нам осталось показать, что в асимптотическом предельном режиме такие слу-
случаи действительно не возникают. Мы следим за самопроизвольной эволюцией
модели, начиная от некоторого момента, в который произвольным образом зада-
задаются определенные начальные условия. Соответственно, под асимптотическим
понимается режим на достаточно большом удалении от выбранного начального
момента.
Опасными являются случаи появления в конце эры слишком малых значений
параметра и = х (а с ними и | pj « х). Примем в качестве критерия отбора таких
случаев неравенства
x(s)exp|a(s)| <1, D.14)
где | а^| — начальная глубина минимумов осциллирующих в s-й эре функций
(скорее следовало бы взять конечную амплитуду, но это лишь усилило бы кри-
критерий отбора).
Значение х^ в начальной эре задается начальными условиями. Опасными
являются значения в интервале 6х^ ~ ехр( —| сг°)|), а также в тех интерва-
интервалах, которые приведут к опасному случаю в дальнейших эрах. Для того, что-
чтобы х^ попало в опасный интервал 6х^ ~ ехр( —| а^|), начальное значение х^
должно, согласно C.6), лежать в интервале ширины 6х^ ~ bx^/k^k^2 ...k^2 .
Всего, следовательно, из начального единичного интервала всех возможных зна-
значений х^ приведут к появлению опасного случая значения в доле X этого ин-
интервала, равной
s=l (к) к к •••к
(внутренняя сумма берется по всем значениям k^k^ ...k^ от 1 до оо). Легко ви-
видеть, что этот ряд сходится к значению X <С 1, порядок величины которого опре-
определяется уже первым членом в D.15).
Достаточно показать это путем сильной мажорации ряда, для чего положим | ос ^ | =
= (s + 1)| a,(°)|, независимо от длин эр k^k^2K... (В действительности | а^| растут
602 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
значительно быстрее; даже в наиболее невыгодном случае к^ = к^ = ... = 1 зна-
значения | а^| возрастают скорее как gs| а^|, где q > 1.) Заметив, что
получим тогда
X = ехр (-
ехр
ехр
s=0
что и требовалось.
Если начальное значение х^ лежит вне опасного участка \, то опасные слу-
случаи вообще не возникнут. Если же оно лежит в этом участке, то опасный случай
возникнет, но после выхода из него модель начнет «регулярную» эволюцию с но-
новым начальным значением X, которое лишь случайно (с вероятностью X) может
снова оказаться в опасном интервале. Повторения таких случаев могут привести к
опасной ситуации лишь с вероятностями X2, X3, ..., асимптотически стремящимися
к нулю. Этими рассуждениями и доказывается сделанное выше утверждение.
Мы благодарны А.Г. Дорошкевичу и И.Д. Новикову за полезное обсуждение, а
также В. Мильману и Г. Каргополовой за помощь в проведении численных рас-
расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
[I] I.M. Khalatnikov, ЕМ. Lifshitz. Phys. Rev. Lett, 24, 76, 1970.
[2] B.A. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 56, 1700, 1969.
[3] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, Письма, 11, 200, 1970.
[4] Ch.W. Misner. Phys. Rev. Lett, 22, 1071, 1969.
[5] Л.Д. Ландау, ЕМ. Лифшиц. Теория поля, 5-е изд., Изд. Наука, 1967.
[6] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. УФН, 80, 391, 1963; Adv. in Physics, 12, 185, 1963.
[7] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 800, I960.
[8] А.Я. Хинчин. Цепные дроби, М., 1961.
43
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ
К ОСОБОЙ ТОЧКЕ В ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ
МОДЕЛЯХ С ВРАЩЕНИЕМ ОСЕЙ
Совместно с В.А. Белинским и ИМ. Халатниковым
ЖЭТФ, 60, 1969, 1971
Рассмотрена более общая, чем ранее [1], однородная космологическая модель типа IX по
Бианки, в которой матрица коэффициентов gafo@ в пространственной метрике A.1) содер-
содержит недиагональные элементы. Наличие этих элементов не меняет общего колебатель-
колебательного характера эволюции модели при приближении к особой точке, но приводит к поворо-
поворотам осей чередующихся казнеровских эпох. В однородных моделях это явление может суще-
существовать только в присутствии материи; высказаны соображения о возможной связи со
свойствами общего неоднородного решения уравнений Эйнштейна для пространства как
пустого, так и заполненного материей.
1. Введение
Колебательный режим приближения к особой точке в однородных кос-
космологических моделях (с пространствами типов IX или VIII по Бианки) исследо-
исследовался нами уже в предыдущих работах 1). Особую важность этим моделям при-
придает то обстоятельство, что они дают тот прототип, по которому должно строить-
строиться наиболее общее космологическое решение уравнений Эйнштейна вблизи осо-
особенности по времени.
Произведенный ранее анализ был, однако, неполным в следующем отношении.
Напомним, что метрика однородного пространства может быть представлена
в виде
dl2=lab(t)(eaadxa)(e;dxV), A.1)
где е1 =1, е2 = т, е3 = п —три реперных вектора, являющиеся определенными
(для каждого из типов Бианки) функциями пространственных координат, а ко-
коэффициенты ~fab — функции времени (греческие индексы а, C нумеруют простран-
пространственные координаты х1, х2, х3, а латинские индексы а, Ъ — реперные векторы
е1, е2, е3). В синхронной системе отсчета четырехмерный интервал ds2 = dt2 — dl2,
и, таким образом, неизвестными в нем остаются только шесть функций ^ab(t), ко-
которые и должны определяться уравнениями Эйнштейна.
В рассматривавшихся ранее моделях матрица коэффициентов ~fab полагалась
диагональной; пространственная метрика принималась в виде
dl2 = (a\Zp +b2raarap +c2nan^)dxadx^, A.2)
x) Результаты этих исследований сведены в статье [1] (которая цитируется ниже как I). В дан-
данной статье мы по возможности следуем использованным в I обозначениям и терминологии.
604 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
содержащем всего три неизвестные функции времени ^п = а2, ^22 = Ь2, ^Зз = °2-
Такое искусственное уменьшение числа неизвестных функций не приводило к
противоречиям благодаря тому, что в силу специфической симметрии про-
пространств рассматриваемых типов недиагональные компоненты тензора Риччи
обращались в нуль тождественно, а остальные уравнения Эйнштейна (для поля
в пустоте) образовывали непротиворечивую систему. Тем не менее ограниче-
ограничение метрики условием диагональности матрицы ~fab могло приводить к исчез-
исчезновению каких-то свойств, присущих более общему случаю. Настоящая рабо-
работа посвящена устранению именно этого недостатка: выяснению влияния не-
диагональности матрицы ~fab на поведение модели вблизи особой точки. При
этом мы ограничимся здесь случаем более симметричной модели типа IX (хотя
распространение аналогичных вычислений на случай модели типа VIII и не
представляет принципиальных затруднений).
2. Казнеровские оси
Как всегда при оперировании с однородными пространствами, все трехмер-
трехмерные векторы и тензоры будут разлагаться по тройке реперных векторов; ком-
компоненты таких разложений являются уже функциями только от времени (см. I,
приложение В). Будем обозначать эти компоненты латинскими индексами a, b, с...,
пробегающими значения 1, 2, 3 2). Поднимание и опускание этих индексов произ-
производится с помощью матриц ~fab, rfb.
Рассматриваемая модель, понимаемая как точное решение уравнений Эйн-
Эйнштейна, может существовать только для пространства, заполненного материей;
в противном случае уравнения R® = 0 автоматически приводили бы к исчезнове-
исчезновению недиагональных компонент ^ab. Но с более общей точки зрения, если рас-
рассматривать модель лишь как главные члены предельного вида метрики вблизи
особенности, наличие материи не имеет определяющего значения. Откладывая
обсуждение этого вопроса до раздела б, будем рассматривать сначала лишь аЪ- и
00-компоненты уравнений Эйнштейна для поля в пустоте, отвлекаясь от Оа-ком-
понент; напомним, что последние играют, вообще говоря, лишь роль условий,
налагаемых на начальные значения искомых функций.
Уравнения Эйнштейна для поля в пустоте в синхронной системе отсчета
имеют вид
ТЭ 0 CL Ъ CL Г\ (О 1 \
«о--2К«.-1к-кь-«. W
)-Pab=0, B.2)
где точка означает дифференцирование по t; P\ — разложенные по реперным векто-
векторам компоненты трехмерного тензора Риччи; величины каЪ = ^ab, к^ = Час^сЬ;Г —
определитель матрицы ^ab.
Компоненты R^ могут быть вычислены (выражены через компоненты матри-
матрицы ~fab) по заданным структурным константам группы движений пространства с
2) Везде ниже цифровые индексы 1, 2, 3 будут иметь именно этот смысл (а не смысл номеров коор-
координат ха).
43. Колебательный режим приближения к особой точке 605
помощью формул I (B.17); конкретное применение этих формул к пространствам
типов VIII и IX вынесено в Приложение.
Значения структурных констант зависят от способа выбора трех реперных
векторов и в этом смысле неоднозначны. Для интересующего нас пространства
типа IX реперные векторы могут быть выбраны таким образом, что единствен-
единственными отличными от нуля структурными константами будут
С\2 = С213 = С2\ = 1 B.3)
(и отличающиеся от них знаком константы с переставленными нижними индек-
индексами). Именно такой выбор и будет подразумеваться везде ниже. Подчеркнем,
однако, что этим условием выбор реперных векторов все еще не определяется
однозначно: для пространства типа IX структурные константы сохраняют свои
значения B.3) при любом ортогональном преобразовании векторов 1, т, п, со-
сохраняющем сумму квадратов I2 + т2 + п2.
Со структурными константами B.3) тождество Бианки для трехмерного тен-
тензора Риччи приводится к виду
Ра"Ссаь=0. B.4)
Составив такие же комбинации из компонент R^, напишем уравнения Эйн-
Эйнштейна RhaC^b = 0; в силу B.2) и B.4) их первые интегралы дают
С°ь = 2СС,
где Сс — произвольные постоянные. В раскрытом виде
л/Г (к2 -к\)= 2С3, Vf (к\ -к?)= 2С2,
VT (к| -Кз) = 2CV B.5)
Характерной особенностью эволюции рассматриваемых моделей при прибли-
приближении к особой точке является чередование «казнеровских эпох» с определен-
определенным законом изменения показателей степеней р1? р2, р3, определяющих ход из-
изменения масштабов расстояний по трем независимым направлениям в про-
пространстве; при каждом переходе от одной эпохи к следующей отрицательный
показатель перебрасывается с одного направления на другое. Это свойство, ис-
исследованное нами ранее в диагональном случае, полностью сохраняется и в
общем недиагональном случае. В то же время в нем возникают также и некото-
некоторые новые черты.
Отдельная казнеровская эпоха имеет место в течение периода времени, ког-
когда члены Р^ в уравнениях B.2) малы по сравнению с производными по времени,
и могут быть опущены. После этого уравнения B.1 — 2) будут иметь в общем
случае решения вида
ЧвЬ = a2LaLb + Ъ2МаМь + c2NaNb, B.6)
606 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
причем
a~tPl, h~tPm, с ~tPn, B.7)
где рг, рт, рп — какая-либо из троек казнеровских показателей р19 р2, р3, а
La, Ma, Na — постоянные коэффициенты. Определитель матрицы B.6)
Г = (abcVJ, V = (L [MN]), B.8)
причем векторные операции производятся так, как если бы величины La, Ma, Na
образовывали декартовы векторы L, M, N; эти «векторы» условимся нормиро-
нормировать согласно L2 = М2 = N2 = 1. В течение казнеровской эпохи определитель Г
меняется со временем по закону
VT = At, B.9)
где Л — постоянная.
Матрица ^ab> обратная матрице B.6), есть
Yb = а~2ЬаЬъ + Ъ~2МаМъ + c-2NaN\ B.10)
где
La = [MN]a/V, Ma = [NL]a/V, Na = [LM]a/V. B.11)
Взяв каЬ = 7ab и подняв индекс b с помощью B.10), получим
къп = -t(VlLaLb+VmMaMb +pnNaNb). B.12)
Подставив B.6) в A.1), получим
dl2 = (a2lKJKp +Ъ2тКаткр +c2nKanK^)dxadx^, B.13)
где
1К = Laea, mK = Maea, nK = iVaea. B.14)
Отсюда видно, что законы B.7) временного изменения пространственных масш-
масштабов относятся к направлениям, определяемым векторами B.14). Эти направ-
направления будем называть казнеровскими осями.
Подчеркнем, что преобразование B.14) от векторов 1, m, n к 1К, тк, пк от-
отнюдь не должно быть ортогональным и потому векторы B.14) не могут быть
выбраны в качестве реперных (при условии сохранения значений структурных
констант B.3)) 3).
Векторы B.14) не являются также и главными осями симметричной матри-
матрицы ~fab, а величины a2, b2, с2 не являются ее главными значениями. Последние
выражаются, вообще говоря, через все три функции a2, b2, с2. В течение казне-
казнеровской эпохи главные значения меняются, проходя через максимум или ми-
3) С векторами B.14) в качестве реперных матрица ^аЪ стала бы диагональной, но структурные
константы были бы равны С\2 = (NL)/V, Cj3 = (ML)/V, C\2 = V/V и т. д.
43. Колебательный режим приближения к особой точке 607
нимум. Главные же оси при этом вращаются относительно неподвижного ре-
репера 1, m, n 4).
Подставив выражения B.12) и B.9) в уравнения B.5), получим три соотно-
соотношения, которые могут быть записаны вместе в векторном виде:
? {Pl [L [MN]] + рт [М [NL]] + pn [N [LM]]} = | B.15)
ИЛИ
l{N(ML)(pm - р,) + M(LN)(p; - pn) + L(MN)(pn - pj} = j, B.16)
где С = (C1? C2, C3). Из шести величин, определяющих направления казнеровс-
ких осей (шесть независимых компонент L, M, N), три остаются произвольными,
после чего B.16) определяют три остальные.
Воспользовавшись оставшимся произволом в выборе реперных векторов, вы-
выберем 1 совпадающим с 1К, а «плоскость» 1, m — совпадающей с плоскостью
1К, тк. Это значит, что L2 = L3 = 0, М3 = 0; остальные же компоненты L, М, N обо-
обозначим как
L = A,0,0), M = (cosem,sin9m,0),
N = (cos0n, sin6n coscpn, sin0n sincpn). B.17)
Из трех компонент уравнения B.16) находим тогда
tg 9m = Л(рт - рг)/С3, tg фп = Л(рп - рт)/Си
(Pi ~ Pn)ctg 6n = (С2 sincpn - С3 со8Фп)/Л. B.18)
3. Повороты казнеровских осей
В диагональном случае казнеровские оси постоянно связаны с реперными
векторами и не меняются при смене казнеровских эпох. В недиагональном
же случае казнеровские оси заранее не фиксированы и их направления ме-
меняются при смене эпох. Это изменение можно найти с помощью уравне-
уравнения B.16), имея в виду, что константа С — точный интеграл уравнений Эйн-
Эйнштейна и остается одной и той же (при фиксированном репере) для сменя-
сменяющихся эпох.
Предварительно покажем, что закон изменения казнеровских показателей
при смене эпох остается тем же, что и в диагональном случае. В этом легко
убедиться, выбрав репер в исходной казнеровской эпохе указанным в конце
раздела 2 способом — в соответствии с B.17).
4) Именно это изменение главных значений и вращение главных осей и было замечено М. Райа-
ном [2] и описано им как отражение на «центробежном барьере» (введенном Райаном в духе развитого
Мизнером гамильтонового метода). Из сказанного выше ясно, что эти явления являются алгебраичес-
алгебраическим следствием (свойства корней секулярного уравнения квадратичной формы) неадекватного выбо-
выбора осей — вращающихся главных осей вместо неподвижных казнеровских.
608 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Рассмотрим смену эпох, в которой ^п проходит через максимум. Это значит,
что вблизи перехода а2 велико по сравнению с Ь2 и с2; будем считать, что при
этом и Ь2 » с2, т. е.
а2»Ъ2»с2. C.1)
Тогда
1п « а2, ч22 « М2Ь2, Ъз « JV|c2, C.2)
а все недиагональные компоненты малы в том смысле, что
C-3)
Эти неравенства следуют из C.2), если только отношения М1/М2, N1/Nz, N2/N2 не
слишком велики. Так, ^12 « ^22М1/М2 = ^гАё ^т и Для соблюдения C.3) должно
быть ^fn/^22 ^(-^i/^J- В силу B.8) этим требованием налагается условие на по-
постоянную С3:
а/Ъ, C.4)
где справа стоит отношение значений а и Ъ вблизи точки перехода. Аналогичные
условия налагаются и на Cv C2.
Из соображений непрерывности при сшивке решений по обе стороны перехо-
перехода очевидно, что направление 1К, связанное с самой большой (в момент смены)
величиной а2, не меняется: в новой казнеровской эпохе будет \'к = 1К. По такой же
причине направление т^ в новой эпохе, связанное с величиной Ь2 » с2, останется в
той же плоскости 1К, тк. Другими словами, выбранный репер сохраняет свои свой-
свойства и в новой эпохе, а с ними сохраняют свой вид C.2) также и главные члены в ^аЬ.
При условиях C.3) не диагональные компоненты ~fab полностью выпадают из урав-
уравнений Эйнштейна, и мы возвращаемся к той же ситуации (для функций а, М2Ъ,
N3c), которая имела место в диагональном случае для функций а, Ъ, с. При этом
определитель Г ~^ц^22^зз ~(^ЬсМ2АГ3J подобно тому, как в диагональном слу-
случае Г = (аЪс) . Ясно поэтому, что остаются прежними как правило замены показа-
показателей I C.14), так и правило I C.15) изменения постоянной Л.
Для двух последовательных казнеровских эпох, относящихся к одной эре
(последовательности эпох с перебрасыванием отрицательного показателя меж-
между заданной парой функций — в данном случае а и Ь), имеем, таким образом,
рг = рг (и), рт = р2 (и), рп = р3 (и),
Pi =P2(^-1)> V'm =Pl(^~1)> Рп =Рз(и~1)>
А'/А = 1 + 2р1(и), C.5)
где штрих отмечает величины, относящиеся к новой эпохе. Применяя к этим двум
эпохам равенства B.18), получим в результате следующие соотношения, опреде-
определяющие изменения относительного расположения казнеровских осей при смене
эпох:
tgel _ 2u-i , _ tge;_w-2
43. Колебательный режим приближения к особой точке 609
Мы видим, что | 9m/9m < 1 и | 9П/9П| < 1. Это значит, что с каждой сменой эпох
казнеровские оси сближаются друг с другом. Легко получить аналогичные фор-
формулы и для смены эпох при переходе к следующей эре, т. е. серии колебаний дру-
другой пары функций; эти формулы обнаруживают такой же эффект сближения
осей 5).
В асимптотическом пределе сколь угодной близости к особой точке размах ко-
колебаний растет чрезвычайно быстро [3, 4]; поэтому условия C.4) заведомо смогут
быть выполнены (хотя согласно правилам C.5) величина Л и убывает несколько от
эпохи к эпохе). Очень быстро возрастает в течение каждой эры также и разница
между колеблющимися и монотонно убывающей функциями; поэтому будет вы-
выполняться также и условие C.1). Это условие могло бы нарушиться при переходе
от одной эры к следующей, если бы перестройка функций а, Ь, с привела бы к
случайной близости а и Ъ в этот момент; вероятность возникновения таких «опас-
«опасных» случаев стремится, однако, асимптотически к нулю — по тем же причинам,
которые были изложены по аналогичному поводу в [3] § 4. Таким образом, асимп-
асимптотическое поведение рассматриваемой общей однородной модели будет обладать
теми же свойствами, что и в диагональном случае, но к этим свойствам добавляет-
добавляется теперь еще и новая черта — постепенное сближение казнеровских осей.
Сами по себе формулы C.5) еще не дают ответа на вопрос о том, стремится ли
к какому-либо определенному пределу совместное направление сближающих-
сближающихся осей. По-видимому, таким пределом является направление С, хотя прибли-
приближение к нему и не имеет регулярного характера. Указание на это можно усмот-
усмотреть в возрастании правой стороны уравнения B.15) благодаря систематичес-
систематическому убыванию величины Л; такое же поведение в среднем будет обнаруживать
и левая сторона уравнения при нерегулярном приближении L, М, N к общему
направлению С.
4. Введение материи
Уже в [5] было показано, что в самом общем случае обобщенной (неоднородной)
казнеровской метрики вблизи особой точки можно пренебречь в аЪ- и 00-ком-
понентах уравнений Эйнштейна членами, зависящими от материи. При этом
законы изменения со временем плотности материи ей ее 4-скорости (и0, иа)
даются (для ультрарелятивистского уравнения состояния) формулами
е = е(°)/а2 Ъ2, иа= и?>уГаЬ, иа = u^Nbyfdb/c, D.1)
где е^, и^ — постоянные, ас — наименьшая из функций а, Ъ, с (ср. I § 2). Что
касается уравнений
К=Та°, D.2)
то наличие материи приводило в них лишь к изменению соотношений, наклады-
накладываемых на входящие в решение координатные функции. Аналогичную роль игра-
играют уравнения D.2) и для рассматриваемой здесь однородной модели.
5) При этом надо рассмотреть два случая: при перестройке функций а, Ъ, с при переходе от после-
последней эпохи одной эры к первой эпохе следующей может оказаться а2 » Ъ2 » с2 или а2 » с2 » Ъ2; в
первом случае ось тк должна быть связана с Ъ, а во втором — ее.
610 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для однородного пространства типа IX компоненты четырехмерного тензора
Риччи R® даются формулой
К = 1А^ьС1 D.3)
(ср. I (B.18)). Сравнив это выражение с B.5), приведем уравнения D.2) к виду
и после подстановки сюда B.8) и D.1):
®u®(u®Nb). D.4)
Мы снова видим, что уравнения D.2) устанавливают лишь соотношение между по-
постоянными в функциях, самый вид которых определяется уже без их помощи.
В противоположность диагональному случаю, в общей однородной модели
существует выделенное направление. Это направление выражается «вектор-
«векторной» постоянной С, а из D.4) видно, что оно связано с движением материи.
5. Случай малых колебаний
Этот раздел посвящен обобщению на недиагональный случай описанного в I
§ 4 решения, отвечающего длинной эре с малыми колебаниями пространствен-
пространственных масштабов в двух направлениях при монотонном убывании масштабов в
третьем направлении.
В свою очередь изложенное ниже решение является частным случаем най-
найденного ранее [6] общего неоднородного решения, а весь ход вычислений близко
следует вычислениям в [6].
Пусть монотонное убывание пространственных масштабов имеет место в на-
направлении е3. Тогда ^Зз мало по сравнению с ^n, ^22> 4i2> а In и Ч22 близки друг к
другу. Как подтверждается результатом, при этом недиагональные компоненты
Ч13, ^23 ^ Чзз> так что помимо неравенств
имеют место также и неравенства
ЧаЗ « ЧааЧзЗ E'2)
(в этом пункте индексы а, Ъ пробегают только два значения: 1,2).
Неравенства E.2) позволяют в первом приближении положить везде ~fa3 = 0.
При этом определитель
E-3)
а компоненты обратной матрицы:
E-4)
43. Колебательный режим приближения к особой точке 611
Пренебрегая в выражениях (П.7) для Р^ также и ^Зз по сравнению с ^аЬ, полу-
получим уравнение Эйнштейна R\ + R\ = 0 в виде
Если ввести вместо t переменную 6, согласно
dt=y2yFb&,, E.5)
то это уравнение дает просто
Д = А2, E-6)
где / — постоянная.
Совокупность компонент ~fab удобно записать в виде матрицы ^, которую
представим (с учетом E.6)) в виде
Ч = Де\ E.7)
где X — симметричная матрица с нулевым следом. Малости колебаний отвечает
малость X при больших значениях ?, так что
Х2)- E-8)
Подстановка E.7) в уравнения R* = 0 дает
' О E.9)
(штрих означает дифференцирование по ?,), причем здесь пренебрежено члена-
членами лишь третьего и более высоких порядков по X . Отсюда следует, что
/2> E.10)
где А, В, 6,0 — произвольные постоянные. Фазы синуса и косинуса в E.10) положе-
положены одинаковыми. Этого всегда можно достигнуть за счет остававшегося еще про-
произвола в выборе реперных векторов е1, е2: эти векторы можно подвергнуть орто-
ортогональному преобразованию без нарушения условий E.1—2) и без изменения выб-
выбранных значений структурных констант B.3). Малость X обеспечивается мно-
множителем ?,~1/2, в котором ? предполагается большим.
Таким образом, для матрицы ~fab имеем в первом приближении:
2А . ^ ,
ll2=2fB^icos(i-i0). E.11)
При В = 0 = 0 мы возвращаемся к прежнему результату I D.9) (причем по-
постоянная / = а2 До).
612 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Для вычисления функции ~f33(t) воспользуемся уравнением
R°-Rl=T0°-Tl E.12)
Случай малых колебаний отвечает казнеровским показателям (р1? р2, р3), близ-
близким к @, 0, 1); в этих условиях компоненты Тц, Т3 тензора энергии-импульса
материи оказываются того же порядка по 1/t, что и левая сторона уравне-
уравнения E.12), как это видно уже из D.1) (в то время как компоненты Т\ по-преж-
по-прежнему малы и могут быть опущены в уравнениях Эйнштейна).
Из тождества щи0 — иаиа — щи3 = 1 имеем в первом приближении
U0 = ^3/133 •
Уравнение же R® = Т3° дает
(причем в вычислениях должны быть учтены квадратичные члены в E.8)). Опре-
Определив отсюда eUq, найдем
Простое вычисление приводит теперь уравнение E.12) к виду
откуда
Ъз = const • ехр[-2(| А\ + |В|J (? - ?„)]. E.13)
Наконец, используя определение E.5), находим для связи между ? и време-
временем t:
t = const • ехр[-(| А\ + \B\f (^ - ?„)]• E-14)
Верификация предположения E.2) о малости ^а3 может быть теперь произве-
произведена путем рассмотрения уравнений R^ = Та°. Сами эти уравнения решаем в пред-
предположении E.2), после чего результат подтверждает предположение (ср. анало-
аналогичный анализ в [6]).
6. Заключительные замечания
Таким образом, расширение класса однородных моделей приводит к появле-
появлению нового характерного явления — поворотов казнеровских осей в чередую-
чередующихся эпохах. В то же время общий характер колебательного режима и прави-
правила чередования казнеровских эпох остаются прежними.
Однородные модели с поворотами осей требуют наличия материи; ддя пус-
пустого пространства возможны лишь однородные модели с фиксированными ося-
осями. Нам представляется, однако, что это обстоятельство связано именно с одно-
43. Колебательный режим приближения к особой точке 613
родностью и не имеет принципиального характера с точки зрения построения
общего неоднородного решения уравнений Эйнштейна. Можно думать, что чер-
черты, проявляющиеся в однородных моделях в присутствии материи, присущи
также и неоднородным моделям как с материей, так и без нее. Роль, которую
играют в уравнениях Эйнштейна члены тензора энергии-импульса материи,
может быть имитирована членами, связанными с неоднородностью простран-
пространственной метрики. Наличие материи сказывается лишь в изменении связей меж-
между произвольными функциями пространственных координат, фигурирующими
в решении. Напомним во избежание недоразумений, что, говоря здесь о реше-
решениях уравнений Эйнштейна, мы имеем в виду их предельный вид вблизи особой
точки.
В подтверждение высказанной точки зрения можно напомнить, что именно так
обстоит дело в обобщенном (не колебательном) казнеровском решении [5]. Такая
же ситуация имеет место для общего решения, описывающего в колебательном
режиме длинную эру с малыми колебаниями и обобщающего таким образом рас-
рассмотренное здесь (раздел 5) аналогичное решение для однородной модели.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Вычисление тензора Риччи для однородных пространств
типов VIII и IX по Бианки
Для всякого однородного пространства компоненты трехмерного тензора Рич-
Риччи РаЪ выражаются через структурные константы группы движений по
формулам I (B.17). Для пространств типов VIII и IX эти формулы можно, однако,
привести к более удобному виду.
Учитывая антисимметрию структурных констант по их нижним индексам, вве-
введем дуальные к ним величины СаЪ согласно
где еаЫ — единичный антисимметричный символ; согласно I (В. 15) эти величины
выражаются через реперные векторы формулой
Саъ =_(e-roteb)/(e1[e2e3]). (П.2)
Метрики типов VIII и IX характерны тем, что определитель матрицы СаЪ отличен
от нуля. При этом подстановка (П.1) в тождество Якоби дает
СаЪ = СЪа. (П.З)
Подставив теперь (П.1) в формулу I (B.17), получим
Ръ — —
a ~ 2Г
I/a Idalcf
led
Обратим внимание на то, что в это выражение входят компоненты лишь самой
матрицы ~fab, но не ей обратной ^ab.
614 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Полагая матрицу СаЪ приведенной к диагональному виду, обозначим
С11 = -X, С22 = -\i, С33 = -у. (П.5)
Соответствующие структурные константы:
С\2 = X Q23 = Щ С321 = v. (П.6)
Для пространства типа IX: \ = |л = и = 1 (в соответствии с выбором B.3)), а для
пространства типа VIII: X = — 1, |л = и = 1. С этим выбором констант окончатель-
окончательные выражения для компонент тензора Риччи:
остальные компоненты получаются отсюда циклической перестановкой ин-
индексов 1, 2, 3 и букв X, |i, у.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В.А.Белинский, ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. УФН, 102, 463, 1970; Adv. in Phys.,
19, 525, 1970.
[2] М.Р. Rayan. Qualitative cosmology: diagrammatic solutions for Bianchi typeio
[3] EM. Лифшиц, ИМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 59, 322, 1970.
[4] А.Г. Дорошкевич, И.Д. Новиков. Астрон. ж., 47, 5, 1970.
[5] ЕМ. Лифшиц, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 39, 800, I960; УФН, 80, 391, 1963; Adv. in
Phys., 12, 185, 1963.
[6] В.А. Белинский, ИМ. Халатников. ЖЭТФ, 57, 2163, 1969.
44
О ПРОБЛЕМЕ СИНГУЛЯРНОСТЕЙ В ОБЩЕМ
КОСМОЛОГИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
ЭЙНШТЕЙНА
Совместно с В.А. Белинским и ИМ. Халатниковым
Physics Letters, 77A, 214, 1980
Приводятся комментарии по поводу недавно вышедшей статьи Барроу и Типлера. Показа-
Показано, что их аргументы, с помощью которых оспариваются наши результаты, связанные с
общими сингулярностями, либо не имеют отношения к делу, либо некорректны.
В вышедшей недавно в журнале Physics Peports работе Барроу и Типлер (БТ)
[1] критикуют наши результаты по сингулярностям в общем космологическом
решении уравнений Эйнштейна.
Эти исследования были начаты двумя из нас (И.М.Х. и Е.М.Л.) в I960 г. Хотя
«квазиизотропные» и «обобщенные казнеровские» решения (описанные в [2]
§ 3, 4) сами по себе корректны, был сделан некорректный вывод об отсутствии
сингулярности в общем решении просто потому (это стало известно позднее),
что мы остановились в своих исследованиях слишком рано и переключили
свое внимание на фиктивную сингулярность (каустику) в синхронной системе
отсчета. Мы сами дезавуировали этот вывод после возобновления в 1969 г. этих
исследований, приведших в 1972 г. к конструированию общего решения с фи-
физической сингулярностью. Несмотря на это, БТ широко ссылаются на наши
более ранние работы. Мы не будем комментировать все неправильные умоза-
умозаключения, связанные с этими ссылками.
Что касается остального содержания статьи БТ, ограничимся некоторыми
комментариями; надеемся, эти объяснения окажутся достаточными для беспри-
беспристрастного читателя, который действительно захочет изучить статьи, список
которых приведен в конце этого письма [2—6].
A) Вся наша работа основана на уравнениях Эйнштейна для тензора энер-
энергии-импульса для макроскопической электронейтральной материи, описывае-
описываемой только давлением и плотностью энергии, связанными между собой опре-
определенным уравнением состояния. Физически совершенно очевидно, что состояние
таких космологических моделей должно быть определено восемью «физически
произвольными» независимыми функциями пространственных координат
(см. [2] § 1). Выражая сомнение в этом очевидном факте, БТ, конечно, не ука-
указывают, какие физические свойства должны быть описаны большим количе-
количеством независимых функций. Их ссылка на «начальные условия Райснера—Норд-
строма» не имеет отношения к проблеме (неустойчивая граница Коши [7]). Со-
Совершенно не относится к делу также и вопрос о времениподобных сингулярностях —
616 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
в нашей работе рассматриваются сингулярности иного типа. Однако, между про-
прочим заметим, что для времениподобной фиктивной сингулярности (каустика в
синхронной системе отсчета) действительно необходимо иметь на одну незави-
независимую функцию больше, чтобы описать метрику в ее окрестности. Это — резуль-
результат дополнительной произвольности из-за выбора начальной гиперповерхности
(объяснение см. в [2], приложение В).
B) Мы всегда подчеркивали, что конкретное решение с необходимым коли-
количеством произвольных функций является общим только в том смысле, что оно
покрывает некую конечную область функционального пространства началь-
начальных (определенных в известный момент времени t = t0) условий. Ни в малей-
малейшей мере не должно оно покрывать все (или почти все) пространство. Это
решение по своей сути устойчиво в этой самой области — оно не должно ме-
менять своего характера при любом (а не только малом) изменении начальных
условий в этой области. БТ хотят использовать термин «общее» для решения,
которое покрывало бы почти все (открытое компактное) пространство началь-
начальных условий. Такое определение только запутало бы проблему: это такая ши-
широкая постановка, что, возможно, никакое физически важное динамическое
свойство решений уравнений Эйнштейна не может быть общим в этом смысле
слова.
Проблема определения области существования нашего общего решения с
осцилляторной модой приближения к сингулярности и возможной ее связи с
глобальными свойствами пространственной геометрии не решена. Мы только
можем утверждать, что нет прямой связи с тем, используется закрытая или
открытая модель. Это трудная проблема, которая не может быть решена в
праздной беседе.
C) Все найденные нами решения — не точные, а асимптотические в том смыс-
смысле, что они относятся (по времени) к области достаточно малых t в окрестности
сингулярности t = 0. Понятно, что «начальная» гиперповерхность S(t = tQ) выб-
выбрана в той же области. Из этих решений видно, что в этой области метрический
определитель | g | монотонно возрастает, начиная со значения | g | = 0 при t = 0.
Это значит, что здесь не возникает пересечения координатных линий времени
синхронной системы отсчета. Возможность существования каустики вдали от син-
сингулярности и свойства метрики в ее окрестности (что интересовало нас в ранней
работе) в действительности не имеет отношения к проблеме реальных сингуляр-
ностей. Как уже было упомянуто, мы не будем комментировать замечания БТ по
этому поводу.
D) БТ утверждают, что малое изменение начальных условий на S может
привести к глобальному изменению синхронной системы отсчета с одновремен-
одновременной сингулярностью. Но в осцилляторном режиме область влияния таких изме-
изменений мала, если S достаточно близка к сингулярности. Следовательно, и изме-
изменение системы отсчета будет будет малым.
E) В противоположность утверждениям БТ, наши решения не предполагают
никакой близости к однородным моделям. Однородные решения Фридмана и
Казнера действительно содержатся в наших квазиизотропных и обобщенных
казнеровских решениях, но при выводе последних не делалось предположения,
44. О проблеме сингулярностей в общем космологическом решении 617
что произвольные функции (содержащиеся в этих решениях) близки к анало-
аналогичным функциям, относящимся к однородному случаю. Это же относится к
осцилляторному режиму. Его свойства на самом деле похожи в общем случае
на свойства функций однородных моделей Бианки VIII и IX типов, но их ре-
реальное построение [6] начинается с обобщенного казнеровского решения и не
требует никакой близости к однородным моделям. Можно также добавить, что
устойчивость однородного казнеровского решения по отношению к соответ-
соответствующим малым возмущениям (которые относятся к обобщению «обобщенно-
«обобщенного» казнеровского решения) была доказана в [2] (приложение F). Что касается
однородного осцилляционного режима, точное установление критерия его ус-
устойчивости (если кто-либо интересуется этим вопросом) не так просто вывес-
вывести, как это представляется БТ. Устойчиво только само существование осцилля-
торного режима. Но реальное поведение частных решений при их эволюции в
направлении сингулярности может сильно отличаться величиной определенных
параметров. Осцилляторный режим соответствует движению динамической сис-
системы (космологическая модель) вдоль траектории в окрестности некоего стран-
странного аттрактора.
Это движение сопровождается стохастизацией, присущей странным атт-
аттракторам и «забыванием» начальных условий.
F) В противоположность утверждениям БТ, выражения A), B) из их ста-
статьи не представляют собой нашего общего решения. В действительности эти
выражения представляют собой только обобщенное казнеровское решение *).
Что касается общего решения (осцилляторный режим), оно не может быть
представлено в замкнутой аналитической форме, хотя позволяет дать очень
детальное описание [6] (то же самое относится к более простому случаю ос-
цилляторного режима в однородных моделях). Построение этого решения не
требует никаких априорных допущений относительно его характера и осно-
основывается только на точном аналитическом рассмотрении и на оценке членов
в уравнениях, которыми пренебрегают в асимптотическом пределе. Именно
эти оценки (а не априорные допущения «пассивной» однородности, как утверж-
утверждают БТ) доказывают возможность пренебрежения определенными членами с
пространственными производными в уравнениях. Все детали расчетов опуб-
опубликованы и добросовестная критика результатов должна включать анализ этих
расчетов. Насколько можно судить по статье, БТ не предприняли даже попыт-
попытки такого анализа (и их неправильное толкование выражений A), B) или их
очевидное непонимание основных различий в происхождении осцилляторных
режимов в моделях VIII и IX типов, и в конкретных случаях моделей VI и
VII типов, ставит под сомнение даже то, что авторы вообще изучили и поняли
наши расчеты).
Таким образом, аргументы БТ можно свести к следующему:
а) утверждениям, которые не корректны как таковые или являются след-
следствием неправильного понимания наших результатов;
б) замечаниям, которые не относятся к проблеме физических сингуляр-
сингулярностей;
х) Это единственная формула из нашей статьи, процитированная БТ. Все остальные цитиро-
цитирования являются разрозненными фразами, вырванными из своего контекста
618 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
в) перечню ограничений, на которые мы сами акцентировали внимание в на-
наших статьях;
г) выражениям необоснованных сомнений относительно результатов, полу-
полученных нами аналитическим путем, критиковать которые следовало бы (при
необходимости) путем аналитического анализа наших расчетов. Разумеется,
статья БТ не содержит никаких позитивных утверждений, которые могли бы
пролить дополнительный свет на характер физических сингулярностей.
ЛИТЕРАТУРА
[1] J.D. Barrow, F.J. Tipler, Phys. Rep., 56C, 372, 1979.
[2] EM. Lifshitz, IM. Khalatnikov. Adv. Phys., 12, 185, 1963.
[3] V.A. Belinskii, IM. Khalatnikov, EM. Lifshitz. Adv. Phys., 19, 525, 1970.
[4] EM. Lifshitz, IM. Lifshitz, IM. Khalatnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 59, 322, 1970 [Sov.
Phys. JETP, 32, 173, 1971].
[5] V.A. Belinskii, EM. Lifshitz, IM. Khalatnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 60, 1969, 1971 [Sov.
Phys. JETP, 33, 1061, 1971).
[6] V.A. Belinskii, EM. Lifshitz, IM. Khalatnikov. Zh. Eksp. Teor. Fiz., 62, 1606, 1972 [Sov.
Phys. JETP, 35, 838, 1972]. [Статья 45 настоящего собрания трудов].
[7] Y. Gursel, I. Novikov, V. Sandberg, A. Starobinskii. Phys. Rev., D20, 1260, 1979.
45
О ПОСТРОЕНИИ ОБЩЕГО КОСМОЛОГИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
С ОСОБЕННОСТЬЮ ПО ВРЕМЕНИ
Совместно с В.А. Белинским и ИМ. Халатниковым
ЖЭТФ, 62, 1606, 1972
Показано, каким образом описывается в общем (неоднородном) решении уравнений Эйн-
Эйнштейна процесс смены казнеровских эпох в колебательном режиме приближения к особой
точке. Доказана универсальность установленного ранее (для однородных моделей) закона
смены казнеровских показателей и дано общее описание поворотов казнеровских осей при
сменах эпох. Тем самым завершено доказательство существования общего решения с осо-
особенностью по времени.
В наших предыдущих работах (сводка которых дана в [1]) был открыт коле-
колебательный режим приближения к особой точке в космологических решениях
уравнений Эйнштейна и подробно исследован на примере однородной модели.
Исследование однородной модели было завершено в недавней работе [2], где
эта модель была рассмотрена в наиболее общем виде и был найден новый
эффект — повороты казнеровских осей при последовательных сменах казне-
казнеровских эпох.
Было выдвинуто также утверждение о том, что именно колебательный ре-
режим приближения к особой точке свойствен общему (неоднородному) реше-
решению уравнений Эйнштейна, а в [2] было высказано предположение, что такому
общему решению (как в пустом, так и в заполненном материей пространстве)
присущи все черты, проявляющиеся уже в однородных моделях.
В асимптотической области сколь угодно малых времен эволюция однородной
модели (типов IX и VIII по Бианки) складывается из «казнеровских эпох», сменя-
сменяющих друг друга по определенному, регулярному правилу. Соответственно и по-
построение общего решения в этой области должно включать в себя: 1) построение
общего решения для отдельной казнеровской эпохи и 2) общее описание процесса
смены двух последовательных эпох. Ответ на первый вопрос дается «обобщенным
решением Казнера», найденным уже ранее [3]. Настоящее сообщение посвящено
ответу на второй вопрос; мы увидим, что смена эпох в общем решении действи-
действительно протекает в тесной аналогии со сменой в однородной модели. Тем самым
завершается доказательство существования общего космологического решения
уравнений Эйнштейна с особенностью по времени.
Напомним также, что «регулярный» ход эволюции однородной модели может
нарушаться возникновением серии малых колебаний (см. [1] § 4). Хотя вероят-
вероятность появления таких нарушений стремится к нулю при t —> 0 [4], полное по-
построение общего решения должно включать в себя также и этот случай; эта часть
задачи уже была решена ранее [5].
620 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
1. Закон смены казнеровских показателей
В обобщенном решении Казнера пространственная метрика имеет (вблизи осо-
особенности) вид
ёа? = aXh+b2mam$ + СЧ^> A-1)
где
a rsj tPl, Ъ rsj tVm , с rsj tVn ,
a Vb Pm> Vn — функции координат, связанные друг с другом казнеровскими усло-
условиями г)
Vl + Vm + Vn = Pf + Vm + Vl = !'
Функциями координат являются также и реперные векторы 1, т, п, которые
мы будем предполагать здесь нормированными так, чтобы было |l|~|m|~|n|~l;
другими словами, множители, определяющие порядок величины компонент gaf3,
предполагаются включенными в функции а, Ъ, с.
Интервал (по времени) применимости решения A.1) определяется условия-
условиями, следующими из уравнений Эйнштейна. В 00- и аC-компонентах этих
уравнений вблизи особенности можно пренебречь тензором энергии-импульса
материи:
~К=\К+\<^=0, A.2)
Решение A.1) получается в пренебрежении пространственным тензором
Риччи Рар в уравнении A.3). Условие допустимости такого пренебрежения лег-
легко сформулировать в терминах проекций тензоров по направлениям 1, m, n (вве-
(введенных в [3], § 3). Диагональные проекции тензора Риччи должны удовлетво-
удовлетворять условиям
p},p™,p:«t-2 A.4)
второй член в диагональных проекциях уравнений A.3) должен быть мал по
сравнению с первым). Недиагональные же проекции уравнения A.3) опреде-
определяют недиагональные проекции метрического тензора {gim1 gin1 gmn), которые
должны представлять собой лишь малые поправки к главным членам в мет-
метрике, даваемым выражением A.1). В последнем отличны от нуля лишь диаго-
диагональные проекции (gw gmm, gnn) и малость недиагональных поправок означа-
означает, что должно быть
glm « Jgllgmm, gin « V'gllgnn > gmn « V'gmmgnn • (L5)
Для тензора Риччи это приводит к условиям
Plm « ab/t2, Pln « ac/t2, Pmn « bc/t2. A.6)
Мы следуем в этой статье системе обозначений, использованных в [1].
45. О построении общего космологического решения уравнения Эйнштейна 621
Их соблюдение позволяет вообще не рассматривать (в главном порядке!) недиа-
недиагональных компонент уравнения A.3).
Тензор Риччи Р^ для метрики вида A.1) дается формулами, приведенными
в [3], Приложение В. В диагональных проекциях Р/, Р™, Р? содержатся члены
а\ rot а\ \2 к2а2 к2а* ^ ?ч
2{abc(l[mn])j Ъ2с2 A2t2
и аналогичные члены с заменой а! на bm или en A/fc обозначает порядок величины
пространственных расстояний, на которых существенно меняется метрика; Л —
коэффициент в соотношении abc = At в рассматриваемой казнеровской эпохе). Тре-
Требование малости этих членов согласно A.4) приводит к неравенствам
A.8)
Замечательно, что эти неравенства являются не только необходимыми, но и
достаточными условиями существования решения A.1). Другими словами, пос-
после выполнения условий A.8) все остальные члены в Р/, Р™, Р™ , а также все во-
вообще члены в Р1т, Р1п, Ртп удовлетворяют условиям A.4) и A.6) автоматически.
Именно, оценка этих членов приводит к условиям 2)
— (a2b2,..., a\..., a2bc,...)«l A.9)
Л2 v '
(многоточия в скобках заменяют выражения, получающиеся из написанных пе-
перестановками а, Ъ, с). Все эти неравенства содержат в своей левой стороне про-
произведения степеней двух или трех из величин, фигурирующих в неравенствах
A.8), и потому заведомо выполняются при соблюдении последних.
При уменьшении t в конце концов наступает момент (назовем его tk), когда
одно из условий A.8) нарушается3). Так, если в течение данной казнеровской
эпохи отрицательный показатель относится к функции a(t) (т. е. рг = рг), то
моменту tk будет отвечать
a(tk)ylk/A~i. A.10)
Поскольку в этой же эпохе функции b(t) и c(t) убывают с уменьшением t, то
два других неравенства A.8) остаются в силе и в момент t ~ tk будет
b(tk)«a(tk), c(tk)«a(tk). A.11)
Замечательно, что при этом продолжают соблюдаться также и все условия A.9).
Это значит, что все недиагональные проекции уравнений A.3) по-прежнему можно
2) При дифференцировании показательных функций с зависящими от координат показателями
возникают также и члены с множителями In t, это обстоятельство ничего не меняет в последующих
рассуждениях, и для простоты мы не выписываем этих множителей.
3) Случай, когда одновременно нарушаются два из условий A.8) (что может возникнуть при близ-
близких к нулю показателях р1? р2), отвечает упомянутым выше малым колебаниям, которыми мы здесь
не интересуемся.
622 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
не рассматривать. В диагональных же проекциях становятся существенными
лишь члены одного вида — члены A.7), содержащие a4/t2 (вместе с множите-
множителем A rot IJ).
В результате для процесса смены двух казнеровских эпох получаются
уравнения
-RJ = (аЪс)/аЪс + \2а2/Ъ2с2 = 0,
-RZ = (аЪс)'/аЪс-\2а2/Ъ2с2 = 0, A.12)
-RI ={аЪс)'/аЪс-\2а2/Ъ2с2 = 0,
-Ro = а/а + Ъ/Ъ + с/с = 0,
отличающиеся от таких же уравнений однородной модели лишь тем, что ве-
величина
X = (l rot l)/(l[mn]) A.13)
является теперь не постоянным числом, а функцией пространственных коорди-
координат. Поскольку, однако, A.12) представляет собой систему обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений по отношению ко времени, это отличие никак не ска-
сказывается на решении уравнений и на следующем из этого решения законе сме-
смены казнеровских показателей (правило C.16) в [1]). Таким образом, закон смены
показателей, установленный для однородных моделей, остается справедливым
и в общем случае 4).
Ниже нам понадобится в явном виде решение уравнений A.12). Выпишем
здесь его несколько подробнее, чем это было сделано в [1], § 3:
Ъ2 = 2Ь0\2р2 eXp(-^±PLф)сЬф; A.14)
Pi
где функция cp(t) удовлетворяет уравнению 5)
<Эф л/2 |р, I f 1 Ч-Pi
тг- = -ехр -ц
dt tK ^{ 2Pl ч
A.15)
Как обычно, обозначения казнеровских показателей р1? р2, р3 (здесь — функ-
функции координат!) предполагают, что рг < р2 < р3, Р\ < 0 ;uq, b^, Cq, А = аоЪосо —
постоянные (не зависящие от координат); величина
tK=D|Pl|A/|X|a02I/2pi A.16)
4) Это утверждение, как и уравнения A.12), содержались уже в [6].
5) Она связана с использованной в [1] переменной т (удовлетворяющей уравнению dt = abc dt) ра-
равенством ср = 2| р1 |Лт.
45. О построении общего космологического решения уравнения Эйнштейна 623
соответствует моменту смены эпох. «Начальной» эпохе отвечают времена
t » tK (ф —> ос); соответствующие асимптотические выражения функций A.14):
где
С = A
= bo
xe отвечают времена
(X CLnxXL , 0 f)
10 ~~\~ 2io /
-2Pi(l-p3)
+ 2р,)Рз tK 1+2P1 ,
B =
A'
tV2> Cz
t«tK D
?tpi, с
(l+2px)
= АВСЛ
= cotPs •
з —> — oo);
= c0Ct^,
1 H
-2pi(l-p2
Pi y- l+2Pl
= A + 2pj
здесь
)
)Л. J
A.17)
A.18)
A.20)
2. Поворот казнеровских осей
Покажем теперь, что наряду с изменением функций а, Ъ, с в процессе смены
эпох происходит также и поворот казнеровских осей. Напомним, что казнеров-
скими мы назвали (см. [2]) те направления, вдоль которых пространственные
масштабы меняются по законам tVl, tV2, ?Рз. В «начальной» эпохе, где функции
а, Ъ, с даются выражениями A.17), пространственная метрика
gafi = а20^ЧаЦ +Ъ20^татр +ф2^пап? B.1)
и казнеровские оси определяются векторами 1, т, п. В «конечной» же эпохе, где
функции а, Ъ, с даются выражениями A.18), казнеровские оси пусть будут на-
направлены по некоторым другим векторам V, mf, nf, так что метрика
gafi = alAH^'4% + $ВЧ2*т'ат'& + c02C2t2^n'an'p. B.2)
Векторы V, mf, nf — некоторые линейные комбинации исходных векторов 1, т, п.
Если условиться проецировать все тензоры (в том числе gaf3) по-прежнему на
направления 1, т, п, то ясно, что поворот казнеровских осей можно описать как
появление на конечной эпохе недпагональных проекций glm, gln, gmn, которые
ведут себя во времени, как линейные комбинации функций a2, b2, с2. Покажем,
каким образом такие проекции действительно возникают.
Для этого обратимся к недиагональным проекциям уравнения A.3), которые
мы до сих пор не рассматривали. Пока искомые glm, gln, gmn представляют собой
малые (в смысле A.5)) поправки к метрике первого приближения (как это, во
всяком случае, имеет место на начальной эпохе и при t ~ tK), уравнения могут
быть линеаризованы по этим величинам. Простое вычисление дает
glm +gln
с а Ъ) 4db_ ( .
624 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
и еще два уравнения, получающиеся отсюда циклической перестановкой а, Ъ, с и
индексов I, т, п. Правые стороны этих уравнений находятся по формулам (В.2)
в [3], причем надо сохранить в них лишь наибольшие члены; так, в Р1т, это будут
члены
_ аЪ , _ _w_ _ч аЪ (al rot al)
Pim «^r(alrotal)(bmrotal) + — у j ,
где А = abc (l[mn]). Оценивая эти члены по порядку величины, найдем, что
Pim~fcV/c2, Pfc-fcV/b2, Pmn~k\ B.4)
Существенно, что и в этом приближении все компоненты тензора материи Taf3
оказываются (как показывают соответствующие оценки) малыми по сравне-
сравнению с компонентами Paf3 и могут быть опущены из уравнений Эйнштейна.
Будем решать уравнение B.3) на начальной и конечной эпохах и затем
«сошьем» решения при t ~ tK. На начальной эпохе, с а, Ъ, с из A.17) имеем
B.5)
По условию, в этой эпохе казнеровские оси совпадают с направлениями 1, т, п; это
значит, что glm не может содержать членов ~ а2 или ~ Ь2, т. е. должно быть
Clm = Dlm = 0. С Р1т из B.4) находим тогда по порядку величины
gim~aW/A2~a4b2/aK4, B.6)
где аК = a(tK) взято из A.10) (отметим, что в силу условий A.8) при этом, как и
следовало, glm «cab).
На конечной эпохе решение имеет такой же вид B.5) с р\, р'2, pf3 вместо р1? р2, р3
и другими постоянными Cflm, D'lm. Последние должны быть определены из условия
«сшивки» с решением B.6) при t ~ tK; отсюда находим С1т ~ (Ък/ак) «С 1, D'lm ~ 1.
Таким образом, на конечной эпохе имеем
(сумму здесь надо понимать, конечно, лишь в смысле перечисления тппов фигу-
фигурирующих в glm членов). Поскольку, однако, при t < tK функция а убывает с умень-
уменьшением t, то последний член становится (после выхода из промежуточного меж-
между эпохами периода t ~ tK) малым по сравнению с Ь2, так что остается
glm~aVjal+b2. B.7)
Таким же способом из двух других уравнений получим
B.8)
45. О построении общего космологического решения уравнения Эйнштейна 625
Выражение B.7) означает поворот (в «плоскости» 1, т) второй казнеровской
оси на большой (~ 1) и поворот первой оси на малый (^ЪЦа1 «с 1) «углы».
Малые повороты лежат, однако, вне рассматриваемого приближения. Учиты-
Учитывая лишь большие повороты, найдем из всех выражений B.7 — 8), что новые
казнеровские оси связаны со старыми соотношениями вида
l' = l, m' = m + aml, n' = n + anl, B.9)
где коэффициенты от, оп ~ 1.
Подчеркнем, что использование линеаризованных уравнений B.3), кото-
которые привели к выражениям B.7 — 8), законно лишь до тех пор, пока все
glm, gln, gmn малы (в смысле A.5)). Это условие заведомо нарушается, когда по
мере эволюции метрики в новой эпохе функция Ъ перестанет быть малой по
сравнению с а. Но к этому времени все компоненты Paf3 затухнут уже на-
настолько, что выпадут из уравнений Эйнштейна, после чего этим уравнениям
будет удовлетворять обобщенное казнеровское решение с любым направле-
направлением осей 6).
Для количественного определения коэффициентов в B.9) можно обойтись
без точного решения уравнений B.3), воспользовавшись существованием сле-
следующего строгого первого интеграла уравнений A.2—3) (без материи!):
где Са — произвольные функции пространственных координат. Это соотношеие
является следствием тождества Бианки для трехмерного тензора Риччи
и получается подстановкой сюда Р^ и Р, выраженных через к^ согласно A.3), и
дальнейшим преобразованием с учетом A.2); мы не останавливаемся на дета-
деталях этого преобразования.
Выражение в левой стороне B.10) есть не что иное, как R°a. Если бы тензор
энергии-импульса материи был равен нулю строго, то в силу уравнений Эйн-
Эйнштейна R® = Т^ функции Са надо было бы положить равными нулю; интеграл
B.10) не выражал бы тогда собой ничего нового сверх известного факта вза-
взаимной связи различных четырехмерных компонент уравнении Эйнштейна. Не-
Нетривиальное обстоятельство, выражаемое соотношениями B.10), в данном слу-
случае связано с тем, что отсутствие То° и Tf в правых частях уравнений A.2) и
A.3) является приближенным, допустимым лишь в рассматриваемом прибли-
приближении. В силу же уравнений R® = Т^ соотношение B.10) показывает, что в этом
6) В этих рассуждениях подразумевается, что амплитуда колебаний (т.е. отношения ак /Ък, ак /ск)
достаточно велики, так что есть место для независимого выполнения всех требуемых условий. На-
Напомним, что в асимптотической области столь угодно близкого приближения к особой точке ампли-
амплитуды неограниченно растут [4].
626 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
приближении на протяжении всей эволюции метрики, включая переходные пе-
периоды между эпохами, величины J—gT® остаются постоянными во времени:
= const. B.11)
Напомним, что именно из соотношений такого вида в [3], § 3 определялось рас-
распределение и движение материи в обобщенном казнеровском решении. Теперь
мы видим, что величины ^/— gT® остаются одинаковыми и на различных после-
последовательных казнеровских эпохах в колебательном режиме приближения к осо-
особой точке.
Вычисляя выражения yl—gT® для двух последовательных эпох с метрика-
метриками B.1) и B.2) (ход вычисления описан в [3], § 3) и приравнивая результаты,
получим
z + (pn -pl)mrotn+(pl -pm)nrotm} =
где суммирование производится по одновременным циклическим перестановкам
векторов 1, т, п, коэффициентов А, В, С и индексов I, т, п; согласно B.1) и B.2)
казнеровские показатели: (рг, рт, рп) = (Pl, р2, р3), (р{, pfm, р'п) = (р[, р'2, р'3).
Равенство B.12) устанавливает искомую связь между V, mf, nf и 1, m, n.
Подставив в него V, mf, nf в виде B.9) и проецируя равенство на направления m
и п (т. е. умножая на взаимные к m, n векторы m, n см. [3], § 3), получим после
вычисления следующие окончательные выражения:
1
оп= f[nl]V^-%nrotl)--^--- B.13)
71 Р+ЗрД[ J X X J(l[mn]) V J
(третья же проекция равенства B.12) превращается после этого, как можно по-
показать, в тождество).
Наконец, покажем, каким образом в полученные здесь общие результаты вхо-
входят как частный случай рассмотренные ранее [2] свойства однородных моделей.
В однородных моделях выбор реперных векторов определялся заданием
определенных значений структурных констант группы движений простран-
пространства; эти векторы (обозначавшиеся в [2] через е1, е2, е3) не были поэтому свя-
связаны с направлениями казнеровских осей. Последние определяются векторами
-^e^e^ctgG^1,
sintpn
45. О построении общего космологического решения уравнения Эйнштейна 627
где Mv Nv... определены согласно B.17) в [2]7). Используя формулы C.6) из [2],
найдем связь между казнеровскими осями при смене двух эпох в виде B.9) с
коэффициентами
Этот же результат получается из общих формул B.13), если положить в них
р1 = const, X = 1 и заметить, что в силу свойств реперных векторов е1, е2, е3 в од-
однородных пространствах типа IX по Бианки имеем
nrotl ctg9™
l[mn] 6 me'[eV] &m> l[mn]
Этим демонстрируется соответствие между общей и однородной моделями.
Отметим в этой связи, что в качестве условий применимости результатов
в [2] были указаны неравенства а2. » Ь2 » с2. Проведенный здесь более деталь-
детальный анализ показывает, однако, что достаточны уже более слабые условия
al»bl, al»cl*).
ЛИТЕРАТУРА
[1] В.А. Белинский, Е.М.Лифшиц, ИМ. Халатников. УФН, 102, 463, 1970; Adv. in Phys.,
19, 525, 1970.
[2] В. А. Белинский, Е.М.Лифшиц, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 60, 1969, 1970.
[3] Е.М.Лифшиц, И. М. Халатников. УФН, 80, 391, 1963; Adv. in Phys, 12, 185, 1963.
[4] Е.М.Лифшиц, И.М.Лифшиц, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 59, 322, 1970.
[5] В.А. Белинский, И.М. Халатников. ЖЭТФ, 57, 2163, 1969; 59, 314, 1970.
[6] I.M. Khalatnikov, E.M. Lifshitz. Phys. Rev. Lett, 24, 76, 1970.
7) Векторы B.14) отличаются от введенных в [2] векторов 1К, тк, пк соответственно множителями
1, 1/М2, l/iV3. Необходимость этого изменения связана с неколько различными определениями фун-
функций а, Ъ, с в [2] и здесь: функциям а, Ъ, с здесь соответствуют функции а, М2Ъ, N3c в [2] (ср. рассуж-
рассуждения в [2], § 3). Соответственно этому векторы 1, m, n определены так, чтобы метрика B.13) в [2]
приняла бы вид
Яар = a\Zp + (M2bf mamp + (N3cf nan^.
8) Пользуемся случаем исправить также опечатку в [2]. Выражение (П.7) для Pf должно быть:
pi =^р2 = Hi2(X4 ) /
46
О СТОХАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Совместно с ИМ. Халатниковым, Я.Г. Синаем,
КМ. Ханиным, Л.Н. Щуром
Письма в ЖЭТФ, 38, 79, 1983
Показано, что количественные параметры развитой ранее [1] статистической теории
колебательной эволюции космологических моделей вблизи особенности могут быть вычис-
вычислены точным образом.
Колебательный режим приближения к особой точке был впервые открыт для
вакуумной однородной космологической модели типа IX по Бианки (см. [2]). Ха-
Характер эволюции модели может быть описан тремя «масштабными функциями»
a(t), b(t), c(t), определяющими изменение со временем t масштабов длин в трех
различных направлениях в пространстве. Колебательный режим складывается
из бесконечной последовательности сменяющих друг друга (при t —> 0) серий
колебаний, в каждой из которых колеблются две из функций а, Ъ, с, а третья мо-
монотонно убывает (эти серии были названы в [2] эрами); при переходе от одной
эры к следующей одна пара колеблющихся функций заменяется другой. Ампли-
Амплитуда колебаний растет в пределах каждой эры и, в особенности, при переходе от
одной эры к другой, но произведение аЪс монотонно убывает —примерно как L
Эры сгущаются при t —> 0; более адекватной переменной для описания их смен
является неограниченно возрастающее «логарифмическое время» Q = —In t.
Обозначим посредством /с0, klf /c2,... «длины» последовательных эр (измерен-
(измеренные числом содержащихся в них колебаний), начиная от некоторой начальной
kQ. Оказывается, что эта последовательность определяется числами x_v x0, xv
х2,... @ < xs < 1), связанными друг с другом преобразованием
xs+1={l/xs}, A)
где фигурные скобки обозначают дробную часть числа; при этом длины
ks = [l/xs_i], где квадратные скобки обозначают целую часть числа. И.М. Лиф-
шицем и двумя из нас [1] было обращено внимание на то, что закон смены длин эр
согласно A) приводит к самопроизвольной стохастизации поведения модели при
ее эволюции к особенности; при этом «забываются» начальные условия, задан-
заданные в некоторый момент t = tQ > 0 (ниже эта статья цитируется как I).
Важность колебательного режима в однородной модели связана с тем, что он
является прототипом общего неоднородного космологического решения уравнений
Эйнштейна (вблизи особенности) — см. [3]. Хотя неоднородность и наличие
46. О стохастических свойствах космологических моделей 629
материи приводят к появлению некоторых новых свойств (вращение осей, к ко-
которым относятся масштабные функции а, Ъ, с), но закон A) остается прежним.
Таким образом, связанная с этим законом стохастичность оказывается наиболее
общим свойством вблизи особенности космологических моделей, основанных на
классических уравнениях Эйнштейна.
Знание источника стохастичности позволяет построить, со значительной пол-
полнотой, статистическую теорию поведения космологической модели в асимпто-
асимптотической близости к особенности. Но при определении параметров этой теории
в I было использовано приближение, точность которого нельзя определить за-
заранее. Цель данной работы — показать, что эти параметры могут быть опреде-
определены точным образом.
Исходным пунктом теории является известная формула Гаусса w(x) =
= 1/A + х) In 2, определяющая плотность распределения вероятностей на от-
отрезке [0,1] значений xs = х после многократного повторения преобразования A)
(как мы будем говорить — в стационарном, т.е. независящем от s, пределе) 1). От-
Отсюда следует формула W (k) = In ((/с + if /к (к + 2))/1п2 для распределения ве-
вероятностей целочисленных длин эр. Медленность (как к~2) убывания этой функ-
функции при к —> оо приводит к тому, что для получения устойчивых статистических
распределений приходится прибегать к логарифмированию интересующих нас
физических величин.
Основой дальнейшего анализа является полученные в I рекуррентные фор-
формулы, связывающие характеристики двух последовательных эр:
s, B)
6 ! f3)
s+1 l + 6,fc,(fc, +*,+ ]/*.)' [)
они справедливы в асимптотическом пределе, когда In Q/Q —> 0 (в I формула C)
была приведена с опиской в знаменателе). Здесь Qs — момент начала s-ой эры,
a 6S измеряет в единицах Qs начальную амплитуду колебаний as логарифма мас-
масштабных функций: as = bsQs @ < 6S < 1). Величина 6S имеет устойчивое стацио-
стационарное статистическое распределение РF) и устойчивое (малая относитель-
относительная флуктуация) среднее значение. В I для их определения было использовано
преположение (заведомо приближенное) о статистической независимости слу-
случайной величины 6S от случайных величин ks, xs. Ниже дается точное решение
этой задачи.
Поскольку мы интересуемся статистическими свойствами в стационарном
пределе, целесообразно перейти к расширению преобразования A), продлив
его неограниченно в сторону отрицательных s. Такая двусторонняя бесконечная
последовательность X = (..., x_v x0, xv x2, ...) однородна по своим статистическим
свойствам (а х0 теряет смысл «начального» условия). Последовательность X
х) Регулярная эволюция модели согласно правилу A) может нарушаться появлением «ано-
«аномальных» эр (названных в [2] случаем малых колебаний). Важно, однако, что в асимптотическом
пределе сколь угодной близости к особенности вероятность появления таких «опасных» случаев
стремится к нулю, как это доказано в I §4.
630 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
эквивалентна последовательности целых чисел К= (..., k_lf kQ, klr..). Обратно,
каждое число из X выражается через числа из К бесконечной цепной дробью
Введем также величины, определяемые цепной дробью с обратной последо-
последовательностью знаменателей:
Рядом преобразований формула C) может быть приведена к виду
Отсюда следует, путем итерации, что xs(l — 6S+1)/6S+1 = х~+1изатем 6S = х+Дх+ + х~\
Величины х+ и х~ имеют совместное стационарное распределение P[xf, x~J,
для нахождения которого исходим из совместного преобразования
. D)
В противоположность A), оно взаимно-однозначно (в единичном квадрате изме-
изменения х+ и х~) 2). Поэтому стационарность распределения выражается просто
функциональным уравнением
^\xs+l> Xs+l) — ^{Xs ' Xs / J ^Xs ' Xs /'
где J — якобиан преобразования D). Нормированное решение этого уравнения:
E)
(его интегрирование по х+ или х~ дает ю(х). Поскольку 6S выражается через х^ и
х~, то отсюда можно получить искомое
РF) = 1/(|1-26| + 1Iп2. F)
Среднее значение F) = 1/2 уже в силу симметрии этой функции.
Согласно I, «дважды-логарифмический» интервал времени протекания s
последовательных эр ts = In (Qs /Qo) = ^ ^p (сумма от p = 1 до р = s). Среднее зна-
значение (ts) = s(^). Выражение ?,s из B) может быть приведено к виду
2) Приведение преобразования ко взаимно-однозначному виду производилось уже Черновым
и Барроу — для других переменных и без применений к рассматриваемым здесь задачам. Что
касается статей Барроу [5], то они не содержат ничего, сверх взятой из I основной идеи о связи
стохастичности космологических моделей с преобразованием A) и распределениями w(x) и W(k)
(не считая повторения ряда известных положений общей эргодической теории).
46. О стохастических свойствах космологических моделей 631
Заметив, что (In Ss} = (in (l — Ss+1)) и (In xs_x) = (In xs), получим
d) = -2(lnx) = 7i2/61n2 = 2,37.
При больших s точные значения ts распределены вокруг (ts) по гауссовому
закону с плотностью
р(т8) = BтШ)/2 exp{-(Ts - (ts)J/2D} G)
(см. I § 4). Вычисление дисперсии D более сложно, так как требует знания не толь-
только (?,2), но средних (^0^р). Оказывается удобным перегруппировать члены в сумме
S^p, опустив слагаемые, не растущие с s; таким образом можно получить
Дисперсия
p=i
Среднее (г|) = (?,)> а Для среднего квадрата можно получить (т]2) =9QC)/21n2 =
= 7,80. Без учета корреляций получилось бы D = 2,17s. Учет же корреляций с
р = 1, 2, 3, 4 (вычисленных с помощью ЭВМ) приводит к значению D = C,5 ± 0,1 )s.
ЛИТЕРАТУРА
[ЦЕ.М.Лифшиц, И.М.Лифшиц, И.М. Халатников. ЖЭТФ, 59, 322 1970.
[2] В Л. Белинский, Е.М.Лифшиц, И. М. Халатников. УФН, 102, 463 1970; Adv. Phys., 19,
525, 1970.
[3] В.Л.Белинский, Е.М.Лифшиц, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 60, 1969, 1971; ЖЭТФ, 62,
1606, 1972; Adv. Phys., 31, 639, 1982.
[4] D.F. Chernoff, J.D. Barrow. Phys. Rev. Lett, 50, 134, 1983.
[5] J.D. Barrow. Phys. Rev. Lett, 46, 963, 1981; Gen. Rel. Grav., 14, 523, 1982; Phys. Reports,
85C, 1, 1982.
47
О СТОХАСТИЧНОСТИ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КОСМОЛОГИИ
Совместно с ИМ. Халатниковым, КМ. Ханиным,
Л.Н. Щуром и Я.Г. Синаем
Публикация 84/64 IAEA и международного центра
по теоретической физики ЮНЕСКО
Ранее И.М. Лифшицем и двумя из нас было показано, что при эволюции релятивистских
космологических моделей в направлении особой точки возникает стохастизация [1]. В дан-
данной статье показано, что статистические параметры этой эволюции могут быть точ-
точным образом посчитаны. С точки зрения общей эргодической теории мы здесь имеем дело
со специфической модой стохастизации детерминированной динамической системы с пя-
пятимерным фазовым пространством. Известный источник стохастичности дает возмож-
возможность достаточно полно развить количественную статистическую теорию.
1. Введение
Появление особенности по времени в нестационарных решениях уравнений
Эйнштейна — одно из наиболее замечательных свойств общей теории относи-
относительности; вполне возможно, что его следствия еще не вполне оценены.
Существуют разные типы особых точек в уравнениях Эйнштейна. Их мож-
можно охарактеризовать с помощью трех «скейлинговых функций» a(t), b(t), c(t),
которые определяют временную эволюцию пространственных масштабов в трех
различных направлениях. Считается, что решение найдено в синхронной сис-
системе отсчета, т. е., что четырехмерный интервал ds2 = dt2 — dl2, где dl — про-
пространственный линейный элемент, at — универсальное время, синхронизо-
синхронизованное по всему пространству.
Различные типы особенностей отличаются степенью общности, которая из-
измеряется количеством «физически произвольных» функций пространственных
координат, которое содержится в самом широком классе решений, допускае-
допускаемом особенностью заданного типа. Общее решение должно содержать такое
количество произвольных функций, чтобы любые начальные условия (распре-
(распределения и движения материи, распределения свободных гравитационных полей)
могли бы быть удовлетворены в любой выбранный момент времени. Их количе-
количество равно четырем для пустого пространства и восьми для пространства, за-
заполненного веществом (см. [2], §95).
В хорошо известной однородной изотропной модели Фридмана особенность
характеризовалась функциями a ~ Ъ ~ с ~ vt (особенность соответствует точ-
точке t = 0). Однако, эта особенность обладает низкой степенью общности: решение
Фридмана можно обобщить, но только таким образом, чтобы оно содержало про-
просто три физически произвольные координатные функции (см. [3], § 4).
47. О стохастичности в релятивистской космологии 633
Значительно выше степень общности у особенности казнеровского типа, для
которой
a~t^,b~tVbyC~t^, A.1)
где ра, ръ, рс — три числа (казнеровские показатели), удовлетворяющие условиям:
Ра+Ръ+Рс =l,Pa+Pb+Pc =1' (L2)
Класс решений, обладающих особенностью такого типа, содержит семь фи-
физически произвольных координатных функций — только на одну меньше, чем
необходимо для общего решения (см. [2], § 3).
Но наиболее общая особенность — особенность сложного колебательного
типа. Эволюция этой модели при приближении к особой точке можно описать
как бесконечную последовательность сменяющихся «казнеровских эпох» с оп-
определенным законом смены казнеровских показателей при переходе от одной
эпохи к следующей. Особенность такого типа была впервые открыта в модели
Бьянки IX и VIII типов для однородного вакуума, а затем обобщена на случай
наличия материи. Введение материи добавляет новое свойство в течение эво-
эволюции модели — вращение казнеровских осей (т. е. направлений, к которым
относятся скейлинговые функции A.1)) в процессе смены казнеровских эпох.
При этом закон смены показателей степеней остается наизменным. Важность
особенностей этого типа в однородных моделях объясняется тем, что это как
раз тот тип особенностей, который возникает в общем космологическом реше-
решении уравнений Эйнштейна. Решение для однородных моделей Бьянки типов IX
и VIII служит как бы прототипом построения общего решения (обзор соответ-
соответствующих результатов, в том числе вывод основного правила B.3) приведен в
ссылках [4] и [5]).
Существенно, что закон изменения казнеровских экспонент в колебатель-
колебательном режиме подхода к особой точке в общем неоднородном решении остается
тем же самым, что и в однородных моделях. Именно этот закон приводит к
наиболее важному свойству — спонтанной стохастизации поведения модели
при приближении к особой точке и к «потере памяти» о начальных условиях,
заданных в некий момент времени t = tc > 0 . Таким образом, стохастичность
оказывается общим свойством релятивистских космологических моделей в
окрестности особой точки.
На стохастичность впервые указал И.М. Лифшиц и двое из нас в работе [1]
(цитируемой далее как I). Было показано, что если источник стохастизации из-
известен, можно достаточно полно построить статистическую теорию эволю-
эволюции космологической модели в асимптотической окрестности особой точки. Для
расчета параметров этой эволюции был изобретен метод апроксимации, точ-
точность которого заранее трудно оценить. Цель данной работы — показать, что
эти параметры можно рассчитать точно (кратко эти результаты были изложены
в работе [6]).
В [1] была развита теория для однородной модели без вращения казнеровских
осей. Этого было достаточно для выяснения статистических свойств, вытекающих
634 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
из закона замены казнеровских показателей. Ту же процедуру мы проведем и
здесь — мы в этой статье не будем обсуждать сложности, привнесенные уче-
учетом вращения осей и неоднородностью.
Временная эволюция однородной вакуумной модели типа IX по Бианки опи-
описывается уравнениями:
2а" = (Ъ2 - с2J - а4, 2р" = (а2 -с2J- Ь4
A.3)
+ Ь4 +с4 -2а2Ь2 -2а2с2 -2Ь2с2) = 0, A.4)
где, наряду с функциями а, Ъ, с, введены их логарифмы
а = 1па, C = lnb, ^ = 1пс; A-5)
штрих означает дифференцирование по переменной т, связанной с временем tc с
помощью уравнения
dt = аЪс dr. A-6)
Уравнение A.4) содержит только первые производные и таким образом игра-
играет роль дополнительного ограничения, наложенного на начальные условия для
уравнений A.3) (см. [4], § 3). Легко проверить, что производные пот в уравнении
A.4) действительно равны нулю из-за выполнения уравнений A.3), таким обра-
образом, если решение уравнений A.3) удовлетворяет условию A.4) в начальный мо-
момент времени, оно будет удовлетворяться всегда.
С формальной точки зрения мы имеем дело с детерминированной динами-
динамической моделью, описаваемой системой трех обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений A.3) (из-за дополнительного условия A.4) фазовое пространство
этой системы в действительности не шести-, а пятимерное). Таким образом, вне
зависимости от космологического значения этой системы, мы встречаемся здесь
со специфической модой спонтанной стохастизации детерминированной систе-
системы — явлением, похожим на те, которые обнаружены недавно во многих физи-
физических проблемах.
Задача будет изложена таким образом, чтобы можно было прочитать эту
статью и без тщательного анализа предыдущих работ. Основные утверждения
и предыдущие результаты, нужные для понимания, будут представлены без
выводов соответствующими ссылками.
2. Источник стохастичности
Будем обозначать через р1? р2, р3 (с численными индексами) казнеровские пока-
показатели, расположенные в фиксированном порядке, определяемом их величиной:
Pi < Vi < Рз- Э™ триады чисел можно параметризовать в следующей форме:
= -u/f(u), р2 = A + гб)//(гб), Рз = u(l + u)/f(u),
f(u)=l + u + u2, B.1)
47. О стохастичности в релятивистской космологии 635
где параметр и пробегает значения в области и ^ 1. С другой стороны, значения
О < и < 1 можно свести в ту же область по формулам
р1 (I/и) = р1 (и), р2 {I/и) = р3 (и), р3 {I/и) = р2 (и). B.2)
По мере того, как и уменьшается от оо до 1, показатель рх монотонно убывает, а
р2 и р3 монотонно возрастают в диапазоне
Показатель рх всегда отрицателен, а р2, р3 — положительны и всегда р3 > р2.
Казнеровский режим — это решение уравнений A.3) —A.4), при котором всеми
членами в правых частях можно пренебречь, интервал времени, в течение кото-
которого это допущение справедливо, мы называем казнеровской эпохой. Этот интер-
интервал становится малым при уменьшении t, поскольку правые части уравнений A.3)
всегда содержат возрастающий член. Например, если отрицательный показатель
относится к функции a(t)(pa = px), то Казнеровский режим возникнет за счет
члена а4, оставшиеся члены уменьшаются с уменьшением t Это возмущение при-
приводит вслед за коротким переходным периодом к установлению новой казнеровс-
казнеровской эпохи со следующим правилом замены показателей:
если ра = рх (и), ръ = р2 (и), рс = р3 (и),
то р'а =р2(и-\),р'ь =pl(u-l),p'c =Рз(и-1), B.3)
где отмеченные штрихами показатели относятся к новой эпохе (см. [4], § 3), де-
детальный анализ системы A.3) —A.4) и вывод алгоритма B.3) приведены также
в [2], § 118). Показатель функции a(t) становится положительным, и она начи-
начинает уменьшаться (с уменьшением t), показатель функции b(t) становится от-
отрицательным, и она начинает увеличиваться, функция c(t) продолжает умень-
уменьшаться.
Соответствующая эволюция с возрастанием функции b(t) аналогичным об-
образом приведет к следующей смене казнеровских эпох и т.д. Последователь-
Последовательные замены по правилу B.3), сопровождаемые перескоками отрицательных по-
показателей между функциями a(t) и b(t) продолжается до тех пор, пока целая
часть начальной величины не обратится в нуль, т. е. и не станет меньшим еди-
единицы. Величина и < 1 преобразуется в и >1 по правилу B.2); в этот момент либо
показатель ра, либо ръ отрицателен, а рс становится меньшим из двух положи-
положительных показателей (рс = р2). Следующая последовательность изменений бу-
будет перебрасывать отрицательный показатель между функциями с и а или меж-
между с и Ь. Для произвольного (иррационального) значения процесс продолжает-
продолжается бесконечно.
Таким образом, эволюция модели при приближении к особой точке состоит из
последовательных периодов (мы для краткости назовем их эпохами), в течение
636 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
которых две из скейлинговых функций осциллируют, а третья монотонно убы-
убывает. При переходе от одной эры к другой монотонное убывание переходит к
какой-либо еще из трех скейлинговых функций.
Каждой (s-ой) эре соответствует последовательность параметров и, начиная
с определенного наибольшего значения Uf1^ и, проходя значения
u(max) _^ u(max) _ 2,.., достигает наименьшего значения г4т1П' < 1. Обозначим
т. е.
Т/г — л, (rnaxj ^у, — J л ш (maxj I / ел с \
ч — s ' ч — Is Г \ )
(квадратные скобки обозначают целую часть, а фигурные — дробную часть чис-
числа). Величина определяет длину эры, измеренную в терминах содержащихся в
ней канеровских эпох. Для следующей эры
Последовательность длин последующих эр носит характер случайного про-
процесса. Источником этой стохастичности является алгоритм B.6). Другими слова-
словами, это правило устанавливает, что если целая бесконечная последовательность
начинается с определенной величины г4тах^ = fc0 +х0, то длины эр /с0, кг, к2,... яв-
являются числами, составляющими непрерывное дробное разложение
(max) — т. _| /9 Ч\
и0 — ^0 ^ л \^-1)
К
+...
Это разложение соответствует преобразованию интервала [0, 1] в себя по фор-
формуле
Тх={1/х}, т.е. х,+1={1/х,}. B.8)
Это преобразование принадлежит к классу так называемых расширяющихся
преобразований интервала [0,1], т.е. преобразований типа х —> / (х), где \f' (х)\ > 1.
Такие преобразования обладают свойствами экспоненциальной неустойчивос-
неустойчивости: если мы изначально выбираем две близкие точки, расстояние между ними
возрастает экспоненциально при итерациях преобразования. Хорошо известно,
что экспоненциальная неустойчивость приводит к появлению сильной стохас-
стохастичности.
К вероятностному описанию этой последовательности можно прийти, если
считать х0 не определенной величиной, а рассматривать распределение значе-
значений х0 = х на интервале [0, 1] с плотностью вероятности wQ(x). Тогда все после-
последующие xs будут также распределены по соответствующим wQ(x). Стохастизация
проявляется в функциях wQ(x), стремящихся к стационарному (не зависимому от
s) предельному распределению w(x), совершенно независимому от начального рас-
47. О стохастичности в релятивистской космологии 637
пределения wo(x). (Вообще, в эргодической теории это свойство называется пере-
перемешиванием (см. [7]). Плотность этого предельного распределения равна
ги(х) = 1/A + хIп2. B.9)
Эта формула (известная уже Гауссу) позволяет вычислить плотность инвари-
инвариантной меры преобразования B.8).
Для того, чтобы s-я эра имела длину ks, предыдущая эра должна заканчи-
заканчиваться числом х в интервале 1/A + /с), 1//с. Следовательно, вероятность того, что-
чтобы эра имела длину к равна (в стационарном пределе)
W(/c) = jf .(x)dx = ^lnl^. B.10)
V(l-Hc)
При больших к
B.11)
В связи со статистическими свойствами космологической модели с эргоди-
ческими свойствами преобразования B.8) нужно обсудить важный момент. В бес-
бесконечной последовательности чисел х, построенной в соответствии с этим пра-
правилом, будут наблюдаться любые малые (но никогда неисчезающие) значения х
и, соответственно, любые большие длины к. В [1], § 2, 3, было показано, что такие
случаи могут (и без сомнения должны!) привести к определенным специфичес-
специфическим ситуациям, когда определение эр как последовательности казнеровских эпох,
сменяющих друг друга согласно правилу B.3), теряет свой смысл (хотя осцилля-
торная мода эволюции модели все еще сохраняется). Такая «аномальная» ситуа-
ситуация может проявится, например, в необходимости удержания в правой части
уравнения A.3) членов не только с одной из функций а, Ъ, с (скажем, а4), как это
бывает в случае с «регулярным» обменом казнеровскими эпохами, но одновре-
одновременно с двумя из них (скажем, a4, b4, a2b2).
Из «аномальных» рядов осцилляции восстанавливается последовательность
регулярных эр. Статистический анализ поведения этой модели, который осно-
основывается на регулярных итерациях преобразования B.6), зиждется на важной
теореме: вероятность появления аномальных случаев асимптотически стре-
стремится к нулю когда число итераций s —> оо (т.е. время t —> 0). Доказательство это-
этого утверждения дано в [1] § 4, и мы не повторяем его вывода здесь. Просто отме-
отметим, что его справедливость основана в значительной мере на очень большой ско-
скорости возрастания амплитуд осцилляции во время каждой эры и особенно при
переходе от одной эры к другой.
Нас интересует здесь не процесс релаксации космологической модели к «ста-
«стационарному» статистическому режиму (начинающийся при t —> 0 с определен-
определенного «начального момента»), а свойства самого этого режима, используя их для
установления конкретных законов изменения физических характеристик мо-
модели в последовательности эр.
638 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
3. Рекуррентнтые формулы для последовательных эр
Решение таким образом поставленной проблемы основывается как на распре-
распределениях вероятности B.9) —B.11), так и на формулах, описывающих изменение
скейлинговых функций в последовательности эр. Эти изменения подчиняются оп-
определенным регулярностям, которые становятся заметно проще в асимптотичес-
асимптотической окрестности особой точки. Повторим здесь некоторые необходимые формулы
с более полным (чем в [1] § 2) обоснованием принятых допущений.
В течение каждой казнеровской эпохи произведение abc = At со своим коэф-
коэффициентом Л; соответственно, а + C + ^ = In Л + Int. Покажем теперь, что в этом
уравнении постоянным членом In Л можно пренебречь по сравнению с In t.
При переходе от одной эпохи (с заданным параметром и) к следующей эпохе,
константа Л умножаются на
l+2Pl =(l-u+u2)/(l+u+u2)<l
(см. [4] , § 2). Таким образом, имеет место постоянное уменьшение Л. Существенно,
что среднее (по отношению к длине эры к) значение полной вариации In Л в тече-
течение эры, конечно. В действительности, расходимость этого среднего значения мо-
может возникнуть только из-за слишком быстрого возрастания этой вариации при
возрастании к. Для больших значений параметра и имеем 1пA + 2рх) « —2/и. Для
больших к максимальное значение г^тах' = К + X « К. Следовательно, полная ва-
вариация в течение эры дается суммой в форме
В этой формуле выписаны только члены, относящиеся к большим значениям
и. Когда к возрастает, эта сумма растет как In к. Но вероятность появления эры
большой длины к согласно B.11) убывает как l/к2, следовательно, среднее зна-
значение выписанной выше суммы конечно. И следовательно, систематическое из-
изменение величины In Л при большом количестве этих эр будет пропорцио-
пропорционально их количеству. В следующем разделе, однако, будет показано (см. D.16)),
что при t —> 0 число s возрастает примерно как ln|lnt|. Таким образом, в асимпто-
асимптотическом пределе сколь угодно малых t членом In Л в действительности можно
пренебречь по сравнению с In t В этом приближении имеем 1)
а + C + ч = -П, C.1)
где Q обозначает «логарифмическое время»:
fi = -lnt C.2)
Таким образом, принятое приближение соответствует пренебрежению всеми ве-
величинами, чье отношение к | lnt | стремится к нулю при t —> 0.
х) Поскольку а, Ъ, с имеют размерность длины, их логарифмы определяются только с точностью
до аддитивной константы, зависящей от выбора единиц длины, в этом смысле уравнение C.1) имеет
условный смысл, зависящий от выбора нулевых значений а, [3, %
47. О стохастичности в релятивистской космологии
639
Максимальные значения колеблющихся скейлинговых функций тоже систе-
систематически меняются. Обозначим через атах и атах два соседних максимума (они,
естественно, соответствуют двум различным функциям а, Ъ, с). Тогда
amax/amax = [О ~ 1)/Uf/2
(см. [1], § 2). Для и » 1 находим, что атах — атах & —1/2и. Так же как мы выше
проделали для величины In Л, можно вывести, что среднее убывание высоты
максимума в течение эры конечно, и общее убывание по прошествии большого
числа эр возрастает при t —> 0 просто как In Q. В то же время уменьшение ми-
минимума и связанное с ним увеличение амплитуды осцилляции пропорциональ-
пропорционально Q (мы убедимся в этом позже). В соответствии с принятым приближением
пренебрежем уменьшением максимумов по сравнению с увеличением ампли-
амплитуд и положим атах = 0, (Зтах = 0, ^тах = 0 для максимальных значений всех ко-
колебательных функций, так что а, C, ^ будут пробегать лишь отрицательные зна-
значения, связанные между собой в каждый момент времени соотношением C.1).
Рис. 1
Наконец, в этом же приближении мы можем пренебречь шириной переход-
переходной области (по времени) между соседними казнеровскими эпохами, т.е. будем
считать смену эпох мгновенной. На рис. 1 схематически в этом приближении
показан ход функций a(f2), C(f2), ^f(^) в течение одной эры и в начале следующей.
640 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Кривая составлена из отрезков, каждый из которых относится к одной казнеровс-
кой эпохе. (В этом приближении интервалы по логарифмическому времени Q со-
совпадают с интервалами по переменной т, определяемыми соотношением A.6).
В дальнейшем мы обсудим статистические свойства последовательности эр.
Индекс s нумерует эры, начиная с произвольно выбранной начальной (s = 0). Сим-
Символ Qs обозначает начальный момент s-ой эры (определенной как тот момент, ког-
когда скейлинговая функция, монотонно убывавшая в предыдущей эре, начинает воз-
возрастать). Начальные амплитуды той пары функций из а, C, % которая испытывает
колебания в данной эре, обозначим как bsQs, величины 6S (которые принимают зна-
значения в интервале от 0 до 1) являются мерой этих амплитуд в единицах соответ-
соответствующих Qs. Рекуррентные соотношения, определяющие правила перехода от
одной эры к следующей, и имеют вид 2)
^) s) C.3)
6 -х
Символ ?s в C.3) введен для использования в дальнейшем.
Итерирование этого соотношения приводит к формуле
C.5)
p=i
4. Распределение вероятностей значений 5s
Странность статистических свойств в поведении рассматриваемой системы
(космологоческой модели) в значительной степени объясняется сравнительно
низкой скоростью убывания вероятностей W(k) B.10) —B.11) с ростом к. Убы-
Убывание это такое медленное, что среднее значение к, рассчитанное из этого рас-
распределения, расходится логарифмически. Если усреднение обрезать при боль-
больших, но конечных значениях к = N, мы бы получили (к) ~ In N. Однако, цен-
ценность среднего значения из-за его нестабильности в этом случае не очень велика:
флуктуации величины к расходятся даже быстрее, чем его средняя величина.
Более адекватной статистической характеристикой последовательности боль-
большого числа N казнеровских эпох может служить вероятность того, что случай-
случайно выбранная эпоха принадлежит эре с длиной к ^ К, где К велико. Эта вероят-
вероятность равна In K/ln N. Она мала, если 1 <$: К <к N. В этом смысле можно сказать,
что случайно выбранная эпоха из последовательности с большой вероятностью
принадлежит длинной эре (несмотря на тот факт, что, согласно B.10) —B.11)
вероятности появления самых длинных эр малы по сравнению с вероятностью
появления коротких эр, среди которых эра с к = 1).
2) В [1], § 4 формула C.4) содержит в знаменателе опечатку.
47. О стохастичности в релятивистской космологии 641
Величины 6S имеют устойчивое стационарное статистическое распределение Р(8)
и стабильное среднее значение (малые относительные флуктуации). Для их оп-
определения в [1] (с соответствующими оговорками) был применен метод апрокси-
мации, основанный на предположении о статистической независимости случай-
случайной величины 6S от случайных величин ks, xs. Для функции Р(8) было написано
интегральное уравнение, выражающее тот факт, что величины 6S+1 и 8S, перекре-
перекрестно связанные соотношением C.4), имеют одно и то же распределение. Это урав-
уравнение было решено численно. Теперь мы покажем, что распределение Р(8) в дей-
действительности может быть найдено точно аналитическим методом.
Поскольку нас интересуют статистические свойства в стационарном режиме,
разумно ввести так называемое естественное продолжение преобразования B.8),
распространив его без ограничения на отрицательные индексы. Другими словами
мы переходим от полубесконечной последовательности чисел (х0, хг, х2,...), связан-
связанных уравнениями B.8), к «дважды бесконечной» последовательности X = (...x_v х0,
хъ х2,...), связанных теми же соотношениями при всех —оо < s < oo. Конечно, такое
продолжение не является единственным в строгом смысле слова (поскольку xs-1
из xs определяется не единственным образом), но все статистические свойства рас-
расширенной последовательности едины по всей ее длине, т. е. инвариантны относи-
относительно произвольного сдвига (а х0 теряет свой смысл «начального» условия). Пос-
Последовательность X эквивалентна последовательности целых чисел К= (...k_l9 k0,
kl9 k2,...), построенной по правилу ks = [l/a?s_1]. Обратно, каждое число из X опреде-
определяется как бесконечная непрерывная дробь, построенная из целых чисел, взятых
из последовательности К:
*s = ^J— = *s++i D-1)
(удобство введения обозначения х*+1 со сдвинутым на единицу индексом станет
ясным позже — ср. D.4)). Для идентичности определений мы будем обозначать
непрерывную дробь, перечисляя (в квадратных скобках) ее знаменатели. Тогда
xf можно определить следующим образом:
xt=K fc.4-1.-]- D-2)
Введем также величины, определяемые бесконечной непрерывной дробью с рег-
регрессивной (уменьшающимися индексами) последовательностью знаменателей:
x,-=[fc,_1, ks_2,...]. D.3)
Теперь преобразуем рекуррентные соотношения C.4), временно обозначив
r\s = A — 8S)/8S. Тогда C.4) можно переписать в виде
642 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Итерируя, приходим к бесконечной непрерывной дроби
^s+l^s = lAs ' ^s+1' * * 'J = Xs+1 •
Следовательно, r\s = х~/х+ и, окончательно,
8, =*+/(*++*,")• D.4)
Это выражение для 8S содержит две (вместо трех) случайные величины х~ и
х+, каждая из которых считается принадлежащей интервалу [0, 1].
Из определения D.3) следует, что l/x~+1 = х~ +ks = х~ + [l/x^]. Следователь-
Следовательно, сдвиг всей последовательности X на один шаг вправо означает общее преоб-
преобразование обеих величин х~ и х+ по правилу
xt+i = {l/*s+}- *Г+1 = V([V*.+] + xs") D.5)
Это взаимно однозначное отображение в единичном квадрате. Таким обра-
образом, теперь мы имеем дело с взаимно однозначным отображением двух величин
вместо не взаимно однозначного отображения B.8) одной величины.
Величины х~ и х+ имеют общее стационарное распределение Р(х+, х~). Так
как D.5) есть взаимно однозначное отображение, условие того, что распределение
является стационарным, выражается просто функциональным уравнением
p(xf,x;) = p(xf+1,x;+1)j, D.6)
где J — якобиан преобразования. Нормированное решение этого уравнения есть
D.7)
(его интегрирование по х+ или х~ дает функцию w(x) B.9)) 3). Алгоритм вывода
этой формулы приведен в Приложении. Но ее правильность можно, естествен-
естественно, подтвердить и непосредственными расчетами. Якобиан преобразования D.5)
равен
j
д(х+,х;) дх+ дх~
(при вычислениях нужно иметь в виду, что [l/x^] + {l/x^} = l/x+ ).
3) Сведение преобразования к взаимно однозначному соответствию уже использовалось Черно-
Черновым и Барроу [8], ими получено, правда для других переменных, решение в форме D.7). В их статье не
содержатся приложения к рассматриваемой здесь проблеме. Что же касается предыдущих статей
Барроу [8], они не содержат ничего, кроме основной идей (взятой из I) относительно связи стохастич-
ности в космологических моделях с преобразованием B.8) и распределениями B.9) и B.10) (и повто-
повторения некоторых хорошо известных положений общей эргодической теории).
47. О стохастичности в релятивистской космологии
643
Поскольку в D.4) 6S выражается через случайные величины х+ и xs, по их общему
распределению можно рассчитать статистическое распределение Р(8) интегрирова-
интегрированием Р(х+, яг) по одной из переменных при постоянном значении 6. Из-за симмет-
симметрии функции D.7) относительно пере- Р(8)
менных х+ и х~, Р(8) = РA-8), т. е. Р(8)
симметрична относительно точки 6 = 1/2.
Тогда мы имеем
1,6
дх
dx+
После вычисления интеграла (при
О ^ 6 ^ 1/2 и использования затем вы-
вышеупомянутой симметрии), оконча- 1,2
тельно получаем
Р(8) =
D.8)
Сплошной линией на рис. 2 показан
график этой функции. Пунктирной ли-
линией изображен график Р(8), рассчи-
0
0,25
0,75
-¦8
1,0
0,50
Рис. 2
танной методом апроксимации, использованным в I при численном решении ин-
интегрального уравнения. Обе кривые оказываются поразительно похожими [6].
Равенство среднего значения F) = 1/2 является следствием симметрии функ-
функции Р(8). Таким образом, среднее значение начальной амплитуды осцилляции
функций а, C, % (в каждой эре) возрастает как Q/2 4).
5. Статистические параметры эволюции модели
Выражение C.5) определяет интервал в логарифмическом времени для пос-
последовательности определенного числа s эр. Прямое усреднение этого выраже-
выражения, однако, было бы бессмысленным по причине того, что средние значения ве-
величин ехр t,s неустойчивы в том же смысле, что и в п. 4 — флуктуации растут
даже быстрее, чем само среднее значение при возрастании области усреднения.
Эта неустойчивость устраняется при переходе к логарифмам: величины t,s обла-
обладают устойчивым статистическим распределением. Обозначим интервал в «двой-
«двойном логарифмическом» времени как ts
T, = ln(fi,/fio)=ln|lnt,|-ln|lnto| =
P=i
> p-
E.1)
4) График функции PF), изображенный на рис. 2 из I некорректен по нескольким причинам. Оче-
Очевидно, были сделаны ошибки при подготовке программы численного решения интегрального уравне-
уравнения. Кроме того, насильственно были выбраны значения в Р@) и РA) исходя из некорректных сообра-
соображений подстрочного примечания в I § 4. Нужно подчеркнуть, что конечность вероятности того, что ве-
величина 6 = 0 не означает обращения в нуль начальной амплитуды вероятности (что вступило бы в
противоречие с регулярным ходом эволюции, показанном на рис. 1). На самом деле, из C.4) видно, что
6S+1 стремятся при xs^0k нулю как xs. Амплитуда же, пропорциональная произведению 6s+1Qs+1,
стремится к конечному пределу, поскольку выражение C.3) содержит член с l/xs.
644 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Его среднее значение (ts ) = s F,).
Чтобы рассчитать вероятность (?), заметим, что определение C.3) можно пе-
переписать в виде
^=Ш%^ = Ш ^-^. E.2)
Для стационарного распределения (lnxs) = (lnxs_1), а ввиду симметрии фун-
функции Р(8) также и (In8s) = (ln(l — $s+1)). Следовательно,
(ги(аг) взято из B.9)). Таким образом,
<тв> = 2,37s. E.3)
Для больших s количество членов в сумме E.1) велико, и согласно общим тео-
теоремам эргодической теории, величины т распределены согласно гауссовскому
закону вокруг среднего (ts ) с плотностью
p(Ts)=B^DT)-1/2exp{-(Ts- <ts)J/2Dt}. E.4)
Расчет вариации Dt более сложен, поскольку нужно знать не только (?} и (б,2),
но также и корреляторы (^р 6, /^. Расчет можно упростить, перегруппировав чле-
члены в сумме E.1). Используя E.2), перепишем сумму в виде
s 8 s
In П -. —? = In П
Последние два члена при возрастании s не возрастают, и поскольку мы инте-
интересуемся предельным поведением при больших s, мы можем эти члены опус-
опустить. Тогда
=DlnA/xPXp) E.5)
P=i P=i
(здесь принято также во внимание выражение D.4) для 8р). Заметим, что с той же
точностью (т. е. до членов, не возрастающих с ростом s) справедливо равенство
р=1 р=1
47. О стохастичности в релятивистской космологии 645
На самом деле, ввиду D.5), мы имеем
xp+i + ухр+1 = Ухр
и, следовательно
=ln(l+x+x-)-lnx+.
Суммируя в этом тождестве по р, получим E.6). Наконец, заменим (с той же точ-
точностью) Хр на хр под знаком суммы и таким образом представим ts в виде:
р=1
Вариация этой же суммы в пределе больших s дает
DTs = ((т,- (ts)J}« s (il2)- A1L 2?((т10лр>- (IIJ) . E.8)
Здесь мы приняли во внимание то, что из-за статистической однородности пос-
последовательности X корреляторы (w) зависят от разностей |р — р'\. Среднее
значение (г|) = (^}; среднее квадратичное равно
(if) = 4J к;(хIп2 xdx = 6CC)/ln2 = 10,40.
Принимая во внимание также величину корреляторов (ЛоЛр) ПРИ Р — 1> 2, 3
(рассчитанные численно) мы приходим к окончательному результату
DTe=C,5±0,l)s.
При возрастании s относительные флуктуации D1^ J{ts) стремятся к нулю как
s/2. Другими словами, статистическое соотношение E.3) становится при боль-
больших s почти точным. Это дает возможность обратить это соотношение, т.е. пред-
представить его как зависимость среднего числа эр от т в двойном логарифмическом
времени
(sT) = 0,42т E.9)
Статистическое распределение значений sT вокруг их среднего значения яв-
является также гауссовым с дисперсией
DSt =3,5(stOt2 = 0,26.
В п. 1 было упомянуто, что источник стохастичности модели — правило сме-
смены показателей — остается тем же самым при введении материи. Все результа-
результаты касающиеся эволюции плотности материи, сформулированные в I § 4, оста-
остаются неизменными, и мы из здесь не будем повторять.
646 ЕМ. Лифшиц. Собрание трудов
Приложение
Приведем вывод распределения D.7). Сдвиг последовательности X на один шаг
приводит к следующему преобразованию Т единичного квадрата
(здесь х = Хд", у = Xq , ср. D.5)). Плотность Р(х, у) определяет инвариантную меру
этого преобразования. Естественно предположить, что Р(х, у) — симметричная
функция хну. Это означает, что мера инвариантна по отношению к преобразо-
преобразованию S(x, у) = (у, х) и, следовательно, по отношению к произведению ST. Оче-
Очевидно, ST(x, у) = (xf, yf), где
и первый интеграл ST равен Н = 1/х + у .
На линии Н = const = с преобразование имеет вид
X \_Х_\ \_Х_\ X [X
Следовательно, инвариантная плотность ST имеет вид:
f(c)dcd- = f\- + y\ — dxdy
х \х ) х
Принимая во внимание симметрию Р(х, у) = Р(у, х), получаем /(с) = с~2 и, сле-
следовательно, (после нормировки) результат D.7).
ЛИТЕРАТУРА
[1] ЕМ. Lifshitz, I.M. Lifshitz and I.M. Khalatnikov. JETP, 59, 322, 1970.
[2] L.D. Landau and EM. Lifshitz. Classical Theory of Fields, 4th edn. (Pergamon Press, 1976).
[3] EM. Lifshitz and I.M. Khalatnikov. Adv. Phys., 12, 185, 1963.
[4] V.A. Belinskii, I.M. Khalatnikov and E. M.Lifshitz. Adv. Phys., 19, 525, 1970.
[5] V.A. Belinskii, I.M. Khalatnikov and EM. Lifshitz. Adv. Phys., 31, 639, 1982.
[6] EM. Lifshitz, I.M. Khalatnikov, Ya.G. Sinai, К. М. Khanin and L.N. Shchur. JETP Lett.,
38, 79, 1983.
[7] I.P. Cornfeld, S.V. Fomin and Ya.G. Sinai. Ergodic Theory (Springer Verlag, 1982).
[8] D.F. Chernoff and J.D. Barrow. Phys. Rev. Lett., 50, 134, 1983.
[9] J.D. Barrow. Phys. Rev. Lett, 46, 963, 1981; Gen. Pel. Grav, 14, 523, 1982; Phys. Rep., 85C,
1, 1982.
Научное издание
ТРУДЫ Е.М. ЛИФШИЦА
Редактор Ю.Г. Рудой
Оригинал-макет О.А. Пелипенко
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 13.02.04. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 52.5. Уч.-изд. л. 54.
Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0484-5
9 785922 104845