Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка - Крылов Н.В.

Author: Крылов Н.В.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика
Year: 1985
Similar
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа
Некоторые методы решения нелинейных краевых задач
Методы исследовании нелинейных эллиптических граничных задач
Text
                    
Н. В. КРЫЛОВ

НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
физико-математической литературы

1985
ББК 22.161.6

К.85

УДК 517.9

Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения
второго порядка. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической ли-
тературы. — 1985. — 376 с.

Излагается современное состояние теории нелинейных уравнений второго
порядка эллиптического и параболического типов. Рассматриваются как не-
вырожденные, так и вырождающиеся уравнения. Основное внимание уделяет-
ся выводу разного рода априорных оценок для решений линейных и нелиней-
ных уравнений, при доказательстве которых предварительно доказываются
оценки типа оценок А Д. Александрова и оценки постоянной Гёльдера для
решений линейных уравнений с измеримыми коэффициентами. На основе ап-
риорных оценок получаются' теоремы существования решения уравнений, част-
ным случаем которых являются, например, уравнения Монжа — Ампера.

Для специалистов в области дифференциальных уравнений и теории ве-
роятностей.

Библ. 106 назв.

Рецензент

член-корреспондент АН СССР О, А, Лааыжеяюк&я

Николай Владимирович Крылов

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Редактор С. Е. Кузнецов

Техн, редактор И. Ш. Аксельрод

Корректоры О. А. Сигал, Н. Д. Дорохова

ИБ № 12562

Сдано в набор 12.09.84. Подписано к печати 26 03 85. Формат бОхЭО’/и.
Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 23,5. Усл. кр.-отт. 23,5. Уч.-изд. л. 25,87. Тираж 3450 экз. Заказ № 1599.
Цена 4 р. 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского производственно-технического объеди-
нения «Печатный Двор» имени А. М. Горького в типографии № 8 ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая
книга» им. Евг. Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном ко-
митете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6, зак. 103.

v 1702050000—073 ск

К 053(02)—85	,9~85

£ Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-м атем этической литературы,
1985
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие....................................................... 5

Глава I. Вспомогательные сведения................................. 9

§ 1.	Области и функциональные пространства гладких функций ...	9

§ 2.	Пространства Соболева, меры и структуры................... 16

§ 3.	Условная теорема существования решения нелинейного уравнения 20

Примечания.................................................... 26

Глава II. Нелинейные уравнения с постоянными «коэффициентами»
во веем пространстве ........................................   27

$ 1. Построение резольвенты................................... 27

§ 2.	Теорема существования решения и оценки его производных . .	34

Примечания ................................................... 41

Глава III. Априорныё оценки в Хр для решений нелинейных эллип-
тических и параболических уравнений............................ 42

§ 1.	Некоторые свойства А,-выпуклых функций................... 42

§ 2.	Оценка решений специальных нелинейных уравнений.......... 49

§ 3.	Оценки А. Д. Александрова .............................   58

§ 4.	Принцип максимума и единственность решения в классах Собо-
лева ......................................................... 71

§ 5.	Предельный переход в нелинейных операторах в классах Собо-
лева ........................................................  80

§ 6.	Предельный переход в нелинейных операторах в классах выпук-
лых функций................................................... 89

§ 7.	Единственность решения и теоремы сравнения для нелинейных
операторов в классе выпуклых функций ........................  98

Примечания .................................................. 10)

Глава IV. Априорные оценки в О для решений линейных и нели-
нейных уравнений............................................   102

§ 1.	Исследование свойств двух ^специальных функций.......... 102

§ 2.	Неравенство Харнака и гёльдеровость рещений линейных урав-
нений с измеримыми коэффициентами..........................   113

§ 3.	Гёльдеровость решений систем линейных неравенств........ 122

§ 4.	Гёльдеровость решений эллиптических и параболических уравне-
ний вблизи границы......................................	. . .	133

§ 5.	Гёльдеровость решений систем линейных неравенств вблизи гра-
ницы и оценки их нормальных производных...................... 147

§ 6.	Гёльдеровость решений на границе для некоторых линейных
вырожденных уравнений • ..................................... 154

Приме	чания.........................................  ......	167

Глава V. Априорные оценки в бХа для решений нелинейных урав-
нений ......................................................   169

§ 1.	Ограниченность и гёльдеровость производных решений на гра-
нице .........................................................169

§ 2.	Оценки первых производных решений по х •••••«••••»•	177
§ 3.	Оценка	производной по t.................................... 190

§ 4.	Оценка	решение в нормах	С2,	IFJ’	2	....................... 194

§ 5.	Оценки	и в норме С2+а...................................... 208

§ 6.	Обсуждение условия согласования	первого порядка ........... 219

Примечания ..................................................... 222

Глава VI. Теоремы существования решения невырожденных уравнений 223

§ 1.	Класс У, единственность решения и оценка	|	и |............. 223

§ 2.	Существование	решения для F еУ. Первая	краевая задача . .	231

§ 3.	Существование решения для F в негладкой области и за-
дача Коши ..................................................... 239

§ 4.	Существование	решения для &. Примеры....................... 244

§ 5.	Существование	решения для F еУ0............................ 251

Примечания ...................................................   255

Глава VII. Вырождающиеся нелинейные уравнения во всем простран-
стве .......................................................... 256

1.	Перестановка операторов дифференцирования с эллиптическим
оператором .................................................... 256

§ 2.	Априорные оценки первых и вторых производных............... 262

§ 3.	Существование решения в классе	выпуклых	функций ........... 269

§ 4.	Существование решения в классе выпуклых функций для норми-
рованного уравнения	Беллмана.............................. 281

§ 5.	Пример одномерного	вырожденного	уравнения	288

Примечания ..................................................... 294

Глава VIII. Вырождающиеся нелинейные уравнения в области ....	295

§ 1.	Уравнения с постоянными «коэффициентами» в шаре и шаровом
цилиндре ...................................................... 295

§ 2.	Примеры уравнений с операторами Монжа — Ампера и другие
примеры........................................................ 303

§ 3.	Связь уравнения в области евклидова пространства с уравнением
на многообразии ............................................... 308

§ 4.	Перестановка операторов дифференцирования с эллиптическим
оператором на многообразии .................................... 312

§ 5.	Оценки производных решения нелинейного уравнения на много-
образии ....................................................... 316

§ 6.	Опенки вторых смешанных производных на границе области . .	329

§ 7.	Существование решений уравнений, слабо невырожденных по
нормали........................................................ 340

§ 8.	Существование решений вырожденных уравнений в области . • .	352

Примечания . ....................................................359

Приложение 1. Доказательство леммы IV. 1.6...................  •	261

Приложение 2, Теорема Александрова—Буземана—Феллера . . . •	363

Список литературы............................................  •	•	369

Указатель обозначений .....................................    •	375
ПРЕДИСЛОВИЕ

Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго
порядка возникают как в теории дифференциальных уравнений,
так и в многочисленных ее приложениях. В настоящее время ши-
рокий класс таких уравнений, а именно, класс квазилинейных
уравнений, усилиями многих математиков изучен почти столь же
хорошо, как и класс линейных уравнений. Результаты этого изу-
чения получили отражение в многочисленных статьях и'таких
книгах, например, как Ладыженская, Уральцева [1], Ладыжен-
ская, Солснников, Уральцева [1], Иванов [2].

Квазилинейные уравнения являются линейными относительно
старших производных. Для уравнений же нелинейных по стар-
шим производным, которым и посвящена эта книга, в течение
долгого времени были известны только фрагментарные результаты,
не укладывавшиеся в одну сколько-нибудь общую теорию. Исклю-
чение составляет лишь случай уравнений с двумя пространствен-
ными переменными, для которого благодаря их известной спе-
цифике теория разрешимости была развита в пространствах Wlp'&,
Wl при любом р, близком к двум (см., например, Крылов [2]).

При отсутствии общей теории некоторые классы нелинейных
уравнений изучались специалистами в тех областях математики,
в которых эти классы уравнений возникают. Первое из интенсивно
изучавшихся нелинейных эллиптических уравнений — уравнение
Монжа — Ампера — рассматривалось в основном с точки зрения
геометрии выпуклых поверхностей с существенным использова-
нием геометрических понятий. До 1971 г. гладкость его обобщен-
ных решений, введенных Александровым в [2], доказывалась
только для двух переменных (см. Бакельман [1]), затем Погоре-
лов в [2], [3] установил внутреннюю гладкость для любого числа
переменных (см. также Ченг, Яу [1]). Что касается гладкости
вплоть до границы для многих переменных, то она была дока-
зана уже после того, как был развит общий подход к нелиней-
ным уравнениям (см. Крылов [20], [22], Ивочкина [1], Кафарелли,
Ниренберг, Спрук [1]).

Намного позже уравнений Монжа—Ампера возникли нелиней-
ные эллиптические уравнения, которые принято называть уравне-
ниями Беллмана. Их источником явилась теория управляемых
случайных процессов диффузионного типа, которая в случае не-
управляемых коэффициентов диффузии опиралась на теорию ква-
зилинейных уравнений (см. Флеминг, Ришел [1] и литературу в
указанной книге).
Автор в[3] —[6] с помощью вероятностных методов установил
разрешимость общих нелинейных вырождающихся эллиптических
уравнений Беллмана во всем пространстве в классе функций с
ограниченными производными. Результаты этих работ представля-
ются принципиально важными не только потому, что в них иссле-
довался целый класс нелинейных уравнений, но и еще потому,
что, как в них установлено, уравнения Монжа —Ампера явля-
ются частным случаем уравнений Беллмана. Тем самым появи-
лась возможность создания общей теории, включающей уравне-
ния Монжа—Ампера как частный случай. Сточки зрения теории
дифференциальных уравнений у этой теории был, однако, изъян —
она излагалась на вероя!ностном языке и с этим ничего не уда-
валось сделать в случае общих уравнений до 1979 г. Подход,
предложенный автором в упомянутых работах, развивался за гем
автором, Нисио, Прагараускасом, Сафоновым, Лионсом, Менальди
(см. литературу в конце книги).

Примерно до 1979 г. в изучении уравнений Беллмана преоб-
ладали вероятностные методы. В 1979 г. Брезис, Эванс [1] для
случая уравнения Беллмана с двумя эллиптическими операто-
рами получили существование решения в классе функций С2**.
Вероятностный же подход давал существование решения только
с ограниченными вторыми обобщенными производными. К этому же
времени относятся работы Эванс, Фридман |1], Эванс, Лионс [1],
Лионс [2], в которых исследование проводится также методами
теории дифференциальных уравнений, однако решения получаются
только с ограниченными вторыми производными и соответствую-
щие результаты не сильнее полученных ранее вероятностным
способом.

Ситуация коренным образом изменилась в 1982 г., когда
Эванс [2], Крылов [19] независимо доказали разрешимость в С2+а
широкого класса уравнений Беллмана. При этом использовались
только методы теории дифференциальных уравнений и результаты
Крылова, Сафонова [1], [2] относительно гёльдеровости решений
линейных уравнений с измеримыми коэффициенгами. В свою оче-
редь результаты Крылова, Сафонова опирались на оценки макси-
мума решения параболического уравнения через ^-норму правой
части.

Такого рода оценки для эллиптических уравнений первым
установил Александров [4], [5] с помощью геометрических рас-
смотрений. На параболические уравнения эти оценки перенес
автор [8], [9], причем в первой работе использовались вероятност-
ные методы, а во второй — геометрические. Как оказалось, методы
первой работы допускают простую интерпретацию с точки зрения
теории дифференциальных уравнений (см. гл. II, III), и это позво-
лило использовать .только методы теории дифференциальных урав-
нений, не привлекая ни вероятностных, ни геометрических сообра-
жений, и построить теорию разрешимости уравнений, охватываю-
щих уравнения Беллмана, уравнения Монжа — Ампера и квазили-
нейные уравнения при естественных условиях на их коэффициенты.
Цель книги и заключается в построении этой теории.

Надо сказать, что при развитии этой теории мы отнюдь не
стремились к тому, чтобы получить в самом общем виде все ре-
зультаты из геории управляемых диффузионных процессов, теории
уравнений Монжа — Ампера или теории квазилинейных уравнений.
При известной ограниченности объема книги это было бы совер-
шенно невозможно сделать, а, кроме того, нам хотелось главным
образом дать подход, который позволял бы трактовать эти геории
с единой точки зрения и с помощью единой техники.

За рамками ьниги остались также некоторые важные разделы
собственно теории нелинейных уравнений. Так, в гл. VII, VIII
мы рассматриваем вырождающиеся уравнения Беллмана, к кото-
рым относятся некоторые случаи уравнений Гамильтона — Якоби.
Теории уравнений Гамильтона — Якоби мы совершенно не касаемся
и по ее поводу отсылаем читателя к работам Кружкова [1], [2],
Крандала, Лионса [I] и к имеющимся там спискам литературы.
Кроме того, в теории управляемых диффузиснных процессов и
в теории нелинейных уравнений важную роль играют так назы-
ваемые задачи со свободными границами. Читатель может позна-
комиться сними, отправляясь отстатей Крылова? [16], Ленарт[1].
В этой книге мы касаемся подобных задач только в теореме III.4.5
и в примере VIII.7.15. Не нашли отражения в книге также не-
давние глубокие исследования М. В. Сафонова, который доказал
разрешимость в С2+а для уравнений, имеющих структуру уравне-
ний Беллмана, в предположении, что «коэффициенты» этих урав-
нений являются только гёльдеровскими.

Важной особенностью большинства рассматриваемых нами
нелинейных операторов является предположение об их выпуклости
по вторым производным искомой функции. В настоящее время
совершенно неясно, является ли это предположение действительно
необходимым для построения теории разрешимости. В пользу
того, что от него, по-видимому, можно отказаться, говорит тео-
рия уравнений с двумя пространственными переменными (см. Ба-
кельман [1], Крылов [2]) и некоторые результаты в многомерном
пространстве' о разрешимости уравнений (даже и вырождающихся)
с «большим» коэффициентом при неизвестной функции (см. Скрып-
ник [1], Белопольская, Далецкий [1], Эванс, Лионс [1]).

В процессе изложения материала мы время от времени поль-
зуемся некоторыми хорошо известными фактами из теории линей-
ных эллиптических и параболических уравнений второго порядка.
Все они могут быть без труда найдены в книгах Ладыженской,
Уральцевой [1], Ладыженской, Солонникова, Уральцевой [1],
Фридмана [1], и фраза типа «из теории линейных уравнений
известно.. л всегда предполагает ссылку на одну из этих
книг.
Некоторые совершенно стандартные понятия в настоящей
книге не поясняются, например, область — открытое множество,
6«7 = 6/7 — символ Кронекера, Д — оператор Лапласа. Понятия
«положительный», «отрицательный», «больше», «меньше», «воз-
растает», «убывает» всегда используются только в нестрогой форме
(т. е. означают «неотрицательный» и т. п.). Постоянные, возни-
кающие по ходу того или иного доказательства, как правило,
обозначаются через N и, как правило, не нумеруются. Разумеется,
каждая новая постоянная N может быть совершенно отличной от
предыдущих, если же написано N = N (...), то это означает просто,
что N зависит только от содержимого скобок. Укажем также,
что записи типа х: = у, у = \х означают «х по определению равен у».

В заключение я считаю своим приятным долгом поблагодарить
О. А. Ладыженскую и Н. Н. Уральцеву, по приглашению кото-
рых весной 1983 г. во время работы над книгой мною было про-
читано несколько докладов в г. Ленинграде. Их интерес, внима-
ние и поддержка явились лучшим свидетельством того, что работа,
представленная в этой книге, была проделана не зря. Я искренне
благодарен также Ю. А. Розанову, поддержка которого для меня
была весьма существенной. Наконец, приношу свою благодарность
С Е. Кузнецову за огромную работу, которая позволила выя-
витц и устранить многочисленные неточности в рукописи книги.

Н. В. Крылов
Глава !

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В этой главе мы вводим основные обозначения и иногда без
доказательства приводим некоторые факты, которые нам будут
нужны при изложении основного материала. Читатель, которого
интересует только С2+а-теория для нелинейных невырожденных
уравнений, может опустить в § 2 все, кроме того, что касается
теоремы Александрова — Буземана — Феллера.

§ 1. Области и функциональные пространства
гладких функций

На протяжении всей книги Ed — евклидово пространство раз-
мерности d с фиксированным ортонормированным базисом. Если
x^Ed и х1, ..., х* — координаты точки х, то мы пишем х =
= (х1,	х*). Точки из Ed в координатной записи интерпрети-
руются как векторы-столбцы, так что, если В =	— матрица

размера dxd и xeEd, то Вх —точка из Ed с координатами
(Вх/ = Bijxf. где, как и всюду в книге, по повторяющимся латин-
ским индексам предполагается суммирование по всем возможным
значениям, если только специальным образом не установлено
какое-нибудь локально действующее другое соглашение. Если хь
x2eEd, Xt = (x}, ..., xf), х2 = (х|, ..., 4), В = (Bif) — некоторая
матрица с действительными элементами, число г>0, то положим

(хь ха) = х{х‘„ |Х1| = (ХЪ Х1)|/4, В* = (В^‘),

Sr = \yt=Ed:\y\<r}.

Введенные обозначения, как и многие из вводимых ниже, не
могут считаться вполне корректными. В самом деле, координаты
вектора записываются в строчку, а интерпретируется эта запись
как вектор-столбец. Запись (2, 3) нельзя истолковать однозначно:
это может быть и вектор в £2 с координатами 2, 3, а может
быть и число 6, т. е. скалярное произведение двух векторов в Ег
с координатами 2, 3 соответственно Автор надеется, что текст,
в котором встречается то или иное обозначение, поможет чита-
телю однозначно воспринимать это обозначение.
Если Г — некоторое подмножество Еа, то С (Г) — множество
всех действительных функций и(х), заданных на Г, непрерывных
на Г (в относительной топологии Г) и имеющих конечную норму

I и (с (Г) = sup I и (X) |.

При ае(0, 1) пусть Са (Г) — подпространство С (Г), состоящее
из всех функций и, для которых конечна норма

1«1Са(Г) = 1«1с<Г)+ SUp	d>

Второе слагаемое в (1) называется постоянной Гёльдера функ-
ции и порядка а по отношению к расстоянию |Xi — х2\, оно обо-
значается через |[н]|са(Г). Указание расстояния, относительно
которого вычисляется постоянная Гёльдера, важно, так как ниже
нам встретятся не только евклидовы расстояния.

Для функции и (х) через их (х) — (их, (х)), ихх (х) = (их,х7 (х))
обозначаются соответственно градиент и матрица вторых произ-
водных (разумеется, если они в каком-нибудь смысле существуют)-
Кроме того, при £, т] е Ed мы обозначаем

Ы(6) = («х,	=	«а) (Л) = (UxrS, =

Выражения и^, называются первой и второй произвол
ной и вдоль вектора £.

Область в Ed будем обозначать, как правило, через D с ин-
дексами или без них, D — замыкание D, dD = D \ D — граница D.
Если D — область в Ed, целое nsal, то Сп (D) — пространство
всех п раз непрерывно дифференцируемых действительных функ-
ций и на D с конечной нормой

n	d

f“lC»(D)= Z	J|“?i... ?r|c(D> +

При a e (0, 1) пространство Ся+“ (D) вводится как подмножество
состоящее из всех функций, для которых конечна норма
J и[сп+а. ID), определяемая как правая часть (2), в которой вместо
C(D) берется Ca(D). Пространства Cn(D), Cn+a(D) определяются
как подмножества C"(D), CnJ^(D), состоящие из функций, задан-
ных и непрерывных в и и таких, что каждая из их производных
до порядка п включительно допускает непрерывное продолжение
в D. Нормы в этих пространствах мы задаем теми же формулами,
что и в пространствах Cn(D), Ca+a(D) соответственно.

Понятно, что если и е Ся+<х (D), то функцию и на dD можно
определить таким образом, чтобы получившаяся функция на D
лежала в Cn+a(D). В этом смысле Сл+а (D) = Ся+“ (D). Через Cf(D)
обозначается множество всех действительных функций, бесконечно
дифференцируемых в D и равных нулю вне какого-нибудь ком-
пакта Г cD. С00 (D) — множество всех действительных функций,
бесконечно дифференцируемых в D, непрерывных и ограниченных
в О и таких, что каждая их производная допускает продолжение
в" D до непрерывной ограниченной функции.

Множества функций типа CfodD), где D — область в Ed, опре-
деляются как совокупность всех функций на D, принадлежащих
CP(Dt) для любой ограниченной области лежащей вместе с Di
в D. Если Г — подмножество Ed с непустой внутренностью D
(т. е. Г\дГ=О^=0), р^1, то множество функций С^Г) мы
вводим как совокупность всех непрерывных на Г функций класса
Сье (D), каждая из производных которых до порядка [р] вклю-
чительно, рассматриваемая только на D, допускает продолжение
до функции, непрерывной в Г. Аналогично вводятся Cioc(T), С₽(Г).

Понятно, что если дана функция и (х) = (иг (х), i е /), где I —
конечное множество, то запись типа u^Cp (D) означает, что
и‘ е Ср (D) при всех i е /. Под нормой такой функции и всегда
понимается сумма по всем i е / соответствующих норм и1.

В ряде случаев области D в Ed удобно описывать с помощью
функций ф еС1ос(£<0 как {х <= Ed: ф(х)>0}. Пусть D — область
в Ed, р 1. Будем писать D е Ср, если существует функция
ty^Cp(Ed) такая, что Р = {ф>0} и |ф*|>0 на dD. Оказывается,
что если D^Cp и р — не целое, то функцию ф, связанную с D,
внутри D можно выбрать из класса СЙ+1 (D) и оценить скорость
роста ее производных порядка [р]+1 при приближении к гра-
нице. Для формулировки соответствующего утверждения нам
понадобятся еще два обозначения:

d(x, T) = dist(x, Г) = inf |х —1/|, D(x) = {xsD:d(x, dD)>x}.
уег

1.	Лемма. Пусть целое п^2, ае(О, 1), фeCn+“(Erf),
D = {ф>0| — непустая область, |ф*|^1 на dD и dD^-ф. Тогда
существует функция •tyi^Cn**(Ed) такая, что О = {фг>»0},
I Ф1х |	1 па dD, фх е (£)), нормы фх в C№+1(D(h)) при

хе (О, 1) не превосходят Ах“-1, норма фх в Cn**(Ed) не превосхо-
дит N, где постоянная N зависит только от d, п, а и нормы ф
в Сала(Еа).

Этот факт заведомо известен, поэтому мы ограничимся только
наброском доказательства. Для построения фх внутри D рассмот-
рим уравнение Дфх — фх = —1 в D с граничным условием фх = О
на dD. Из теории линейных уравнений вытекает, что у этой
задачи есть решение фх еСя-кх(О), причем норма фх в Cn+a(D)
оценивается нужным образом. Использование принципа максимума
показывает, что ф Афх в D и 1 N | фх* | на dD, где N — норма
Дф —ф в С (D). Известным образом функция фх продолжается
с D на Ed. Для оценки производных фх (п-}-1)-го порядка, оче-
виДно, достаточно обозначить через и производную ф! n-го порядка
и воспользоваться тем, что если Ди — и = 0 в Sx, ueC®(Sx), то

I их (0) I N (d, a) ка1 ,| и |1са

(3)

В свою очередь оценка (3) выводится с помощью преобразования
растяжения из следующего известного факта: если и, /еС“(5г),
Ди = f в Si, то

|ux(0)|^W, allll/Jc^ + KuJl^^].

При выводе граничных оценок решений уравнений, как обычно,
мы «распрямляем» границу. В связи с этим нам будет полезна
следующая лемма, перед формулировкой которой положим

DR = {xe=Ed:
D$ = {xe=Ed:
2/? = {х е Ed:

|х'|<;/? при i=l, d},
0<xI<2₽, Ix'KR при i = 2,	d},

х1 = 0, | х‘ | < R при i = 2, ..., d}.

2.	Лемма. Пусть целое п:»2, ф ^Сп (Ed), О = |ф>0}—
непустая область, dD^-ф и | фх |	1 на dD. Пусть x0^dD.

Тогда существует число р0>0, зависящее только от d, п и нормы
ф в Cn(Ed), такое, что для всякого ре(0, р0] найдется отобра-
жение f, обладающее следующими свойствами:

a)	f' Di -* (х0 Ц- S8prf) П D, f (D|'_)	(%o + Sp) П D, f (S8) cz dD\

б)	/ непрерывна на Di, на f(Di) определено обратное отобра-
жение g, f n раз непрерывно дифференцируема на Di, g п раз
непрерывно дифференцируема на f(Di),

I ... !с (Di) «	... ?. 1с (,<»»)>« Np~‘

для всех i, iu ..., in=l, ...» d, где N зависит только от d, п
и нормы гр в Cn(Ed)\

в)	~ |%i — x2|p^|f(Xi)— f (*2)|^2|х! — х2|р при всех хь х2еО3+;

г)	если ае(0, 1) и Сп+а (Ed), то производные fug порядка
п + I в О» А {х1 > и} и в f (D,i A U1 > х}) соответственно не пре-
восходят Д/рл+1ха 1 и Afp’lxa 1 соответственно, где хе(0, 1),
N зависит только от d, и, а и нормы гр в Cn+a(Ed).

Эта лемма и ее доказательство совершенно стандартны. Поэтому
напомним только основные моменты доказательства. Без ограни-
чения общности можно считать, что Хо = 0, грх1 (0)	1, г|\х(О) = О

при 1 = 2, d. Определим, далее, функцию g(x) = (g1(x), ...
• ••» gd(x)) по формулам Я1 = |фл(0)	g1 — ^ при 1^2.

С помощью теоремы о неявной функции проверяется, что при
малых р отображение g осуществляет диффеоморфизм между Дзр
и пересе гением некоторой окрестности нуля с D. После этого g
строится по формуле p-1g, f определяется как отображение,
обратное к g, дифференциальные свойства g, f исследуются
с помощью теоремы о неявной функции с применением леммы 1
для доказательства утверждения г) (когда с самого начала вместо
ф берется ф1).

Следующий известный факт доказывается с помощью теоремы
Лагранжа и распрямления границы, если точки хи х2 близки
друг к другу и близки к dD.

3.	Лемма. В условиях предыдущей леммы для любой и^С1 (D)
и любых х19 х2ей, а е (0, 1] справедливо неравенство

|и (хх) - и (х2) I NIX! - х2 |а||а h (о,

где N зависит только от /г, d и нормы ф в Сп (Еа).

Предыдущие обозначения приспособлены для теории эллипти-
ческих уравнений. При работе с параболическими уравнениями
нам понадобятся другие объекты. С самого начала следует ска-
зать, что производная по t от искомой функции у нас в уравнение
будет входить не с тем знаком, что обычно. Например, мы, как
правило, рассматриваем уравнения вида +	+ f = Основная

причина, побудившая отказаться от обычной записи, заключается
в том, что с точки зрения теории случайных процессов диффу-
зионного типа эти уравнения выглядят более естественно. Разу-
меется, кроме того, их легко привести к обычному виду, заменив
t на (—/). Читатель, привыкший к обычной записи, при интер-
претации наших рассуждений с помощью рисунков получит их
в привычном ему виде, если ось t будет направлена вниз.

При рассмотрении параболических уравнений основным является
пространство Ed+U точки которого изображаются парами (/, х),
где t^Ei, x^Ed. Если Z! = (G, хх), z2 = (/2, x2)eErf+i, то число

Р (^1, ^з) • = | ~ *2 | + | Ь. ”” ^2 |1/4

называется параболическим расстоянием между zb z2. Для z ==
= (/, х) s Ed+i и множества Г cz Ем параболическое расстояние
от точки z до Г определяется по формуле

p(z, Г) = inf {p(z, zi):zi = (/i, Х1)енГ, tx >/}*).

Для TczErf+i, ае(0, 1) пространства С (Г), Са(Г), нормы
в них и величины |[м]|са(Г) определяются, как и раньше, только
вместо | Xi — х2| в (1) ставится р(хь х2) (и подразумевается, что
Xi, х2еГ czErf+i). Под ux(t, х), uxx(t, х) мы понимаем градиент
и матрицу вторых производных только по х, при g, т) е Ed выра-
жения (Л х), и(^) (Л) (/, х) определяются прежними формулами.
Производная и по t обозначается через ut.

Область в Erf+i обозначается, как правило, через Q с индек-
сами или без них, Q, dQ —обычные замыкание и граница Q соот-

♦) inf ф := со.
ветственно. Если D — область в Еа, Т > 0 и Q = (О, Т) х D —
цилиндр в Еа+1, то мы обозначаем

ад = {(/, х): t = T, xeD}, dxQ = (O, T)xdD,
dtxQ = dtQ f| dX?={(/, x): t = T, x&dD\.

Если на символ д смотреть как на символ, отвечающий пределу
приращений, то обозначения dtQ, dxQ, dtxQ приобретают легко
запоминаемую интерпретацию. Если D еС1, то параболическую
границу Q вводим по формуле d'Q = d,Q (J (см. также опреде-
ление III.3.4).

Если Q — область в Еа+1, то С2 (Q) — пространство всех дейст-
вительных функций и (t, х), заданных в Q, имеющих непрерывные
(по (/, х)) производные вида ut, их, ихх, для которых конечна
норма
d	d

ИU lc* (Q) = II U‘ lc (Q) + SII Uxl Jc (Q>	S I ИЛ/|с (Q)	M <Q>*

i«l	i. i=t

При ae(0, 1) пространство C2+a(Q) определяется как под-
множество (^(Q), состоящее из всех функций, для которых
конечна норма I«|с*+«.(<?>, определяемая как правая часть (4),
в"которой С (Q) заменяется на С“ (Q). Пространства Сг (ф), C2+a (Q),
Ск(<2), C?+a(Q), С2(Г), СЙа(Г), где Гс£м и Г\дГ=#ф,
вводятся аналогично тому, как это сделано после формулы (2),
только под всеми производными функций до порядка 2 включи-
тельно понимаются производные вида ut, ихх, их.

При Т, /?>0 обозначим Qt\/? = (O, T)xD/?. Следующий факт
нетрудно доказать непосредственно. Его также можно косвенным
образом извлечь из теоремы 5.4 гл. IV книги Ладыженской,
Солонникова, Уральцевой [1] (и из принятых там определений
норм).

4.	Лемма. Пусть ae(0, 1), Т>0, ueC2ha(Qr 2), К — норма
и в C2+a(Qr2). Тогда \ux(tly x) — ux(t2, x)\^N(dy — /2|э
для любых (fi, х), (f2, x)eQr, i, где P = -^-(l+a). Здесь обе обла-
сти Огдч Qt,2 можно заменить на (0, Т) X D, если D = {х: ф (х)>0},
ф еС2+а (Еа), | фх |	1 на dD и если допустить, что N зависит

также от нормы ф в C2va(Ed).

Обозначим еще

QI. ₽ = (0, Т) х DJ, Sp, я = [0, Т) х 2#.

5.	Лемма. Пусть Т>0, непрерывная функция и задана
на 2Г>2 и имеет непрерывные на 2Г>2 первые производные по
х2, ..., х6*. Более того, предположим, что для некоторого
ae(0, 1) и постоянной при всех 1 = 2, d, Zi = (fi, Xi),
zs = (h, Хг) е Sr> г выполнены неравенства | и (гх) | «£= К,

1+<х

i«(A, *i) —«<*».	И1 —	'

_ :Mzt) ““?(*«)!< *<>*(*.♦ г,).

Тогда в QI, i существует функция и, непрерывная вместе с vx,
класса C]OC(Qt, О, совпадающая с и на l и при всех z = (t, х),
2i = (/i, Xi)eQ|, । удовлетворяющая неравенствам

I vt (г) |, | охх (г) | N (xl)a~l, ; v (г) |, | vx (г) | N,
|»ж(г)-о*(г1)|<Л^ра(г, гх),

где N зависит только от К, a, d.

Эта лемма, как и лемма I, должна считаться известной. Для
ее доказательства достаточно сначала найти функцию й, совпа-
дающую с и на Sr.!, заданную на S»,» и удовлетворяющую на
Soo, оо условиям, наложенным на и. После этого в качестве v
можно взять решение уравнения »,4-Дц = 0 при <2s0, х1>0
с граничным условием и = й на S»,». Функция о может быть
выражена через й с помощью хорошо известной явной формулы,
и ее исследование имеется в § 2 гл IV книги Ладыженской,
Солонникова, Уральцевой [1].

Приведем без доказательства еще одно утверждение, которым
в дальнейшем несколько раз воспользуемся. Доказательство этого
утверждения можно получить с помощью барьерных функций
Для действительных а положим

а+ = |(|а1Ч-а),	а.=~ (|а|— а).

6.	Лемма. Пусть D —область в Еа, Е еС\ Т>0, Q==
= (0, Т) х D и в Q определены действительные функции аУ (t, х),
h‘(t, х), c(t, х), i, /=1, ..., d. Предположим, что aif, V огра-
ничены, с ограничено сверху, а1'=а^' и -эе 81 £ при всех
g е Ed на Q, где постоянная е>0, Наконец, пусть ие
е С ($ \ dlxQ) П £ioc (Q) и выражение

Lu:=ut+alluxtjlj+Ыи^ + си

ограничено снизу на Q. Тогда для любой точки znedtxQ имеем

Tim u(z)^ Ппт (u(z))+.	(5)

-*?0, eeQ	?-»20, гед'Р\^хР

Если, кроме того, Lu, с ограничены на Q, то в правой части (5)
можно заменить (и (z))+ на и (z).

Закончим параграф введением еще нескольких обозначений:

fl! Д ... Д a„ = min(ai, ...,а„), th V ••• \Мл = max(аъ

= x)eEd+1: 0</<т, |х|<р}, Cp = £iXSp.
§ 2. Пространства Соболева, меры и структуры

Пусть D—область в Еа, р^Л. Обозначим через XP(D) про-
странство всех действительных функций и на D с конечной нормой

l«U?_ <о> = / $ I« СО |₽ dx\l,p.

\D	/

Если и е С°° (£)), го положим
а	а

(D) = Zj	(D»+ Zj II И?||л n(D*	H)

*	i. / = ।	p	i == ।	P

Для ограниченных D это выражение всегда конечно Определим
далее, W2P(D) как пополнение множества всех функций из С00 (О),
для которых правая часть (1) конечна, по норме, задаваемой
этой правой частью

Получившееся пространство отличается от обычного простран-
ства Соболева тем, что в (1) мы берем норму и в С(О), а не
в Xp(D), и также гем, что за исходное множество функций бе-
рется C°°(D). Однако в этой книге в основном пространства
Wp(D) будут использоваться только для ограниченных областей
с бесконечно дифференцируемой границей при а тогда, как
хорошо известно (даже при p>ydj наши пространства W\(D)
совпадают с обычными пространствами Соболева Для областей
общей природы нам понадобятся в большей степени пространства
IF*. loc (D), определяемые очевидным образом.

Основые сведения из теории пространств Соболева, необходи-
мые для теории эллиптических и параболических уравнений вто-
рого порядка, собраны в книгах Ладыженская, Уральцева [I],
Ладыженская, Солонников, Уральцева [1]. Используя те или
иные факты из теории пространств Соболева, мы всегда подразу-
меваем ссылку на одну из этих книг.

С понятием пространства Соболева тесно связано понятие про-
изводной в смысле Соболева. В рамках теории обобщенных функ-
ций любая локально суммируемая на D функция и идентифици-
руется с обобщенной функцией и, как любая обобщенная функ-
ция, имеет все обобщенные производные, являющиеся обобщенными
функциями. В тех случаях, когда некоторая обобщенная произ-
водная от и может быть идентифицирована с локально суммируе-
мой на D функцией, эта последняя и называется Соболевской про-
изводной. Как известно, все функции и из W2d(D) имеют Соболев-
ские производные вида их, ихх.

В некоторых местах книги нам понадобится также понятие
лроизводнрй, являющейся мерой в D. В связи с этим назовем
мерой в Ь любую о-аддитивную действительную функцию, опре-
деленную и конечную на всяком борелевском ограниченном под-
множестве D, лежащем в D вместе со своим замыканием Через Л
мы обозначаем меру Лебега в Еа (и в Ем). Если р—мера в D,
то ц =р,4-!ла —ее разложение в сумму абсолютно непрерывной

и сингулярной р* составляющих относительно Л Положим
р(0) (х) = ра (dx)ldx. Плотность р(0)(х) меры р° по Л определена
однозначно с точностью только до произвольного множества ну
левой лебеговой меры. Нам будет удобно считать, что для всякой
меры р в О во всякой точке х е О значения р(0) (х) выбраны
некоторым образом и фиксированы. В связи с рассмотрением раз-
ных мер в D подчеркнем, что выражение «почти всюду* (без ука-
зания по какой мере) всегда означает «почти всюду по мере Ле-
бега»

Для меры р в D мы обозначаем через |р| вариацию р, р+
= ~ (| р | + р), р- =	(| р | — р), /-Р — неопределенный интеграл *i

локально суммируемой в D функции / по р. Если мы говорим
просто о локально суммируемой функции, то всегда предполага-
ется ее локальная суммируемость по мере Лебега

Естественно, что есди и — локально суммируемая функция г D.
р — мера в D и для любых ФеС (D)

Jj	и dx = (—1 )л J фр (dx>

при некоторых фиксированных ц, in. го р называется обоб-
щенной производной и по х£1...х‘я. В этом случае мы пишем
и (	/ = Р Очевидно, что Соболевская производная вида и ,	.

К 1 X П	К I X П

существует тогда и только тогда, когда мера и ч существует
и абсолютно непрерывна относительно Л

В основном производные-меры мы будем рассматривать только
для выпуклых функций. Обсудим для них это понятие более под-
робно Если функция и выпукла вниз на некотором отрезке [а, &]
действительной оси, го из рассмотрения ее графика непосредст-
венно следует, что (и (Ь) — и (х2)) (Ь — х*)1 (ы (х2) — и (хО) х
х (х2 — Xi)*1 (и (Xi) — и (a)) (xi — а)-' при a<Xi<x2<6. В част-
ности, постоянная Липшица функции и на любом отрезке
[аь bi]cz(a, b) оценивается только через (аг — а)'1 V (& —М 1 и
колебание и на [а, &]. Если теперь и выпукла вниз в SRt то при
оценке ц(Хг) — u(Xi) можно рассматривать и только на прямрй,
проходящей через х2, хь и тогда окажется, что постоянная Лип-
шица и в при любом Ri<zR оценивается только через (/? — R^-1
и колебание и в SR.

Как известно из теории пространств Соболева, функция, удов
летворяющая условию Липшица, имеет ейОйтРбПШФ^б^певские

♦) > • ц—мера: t * ц (Г) :=$ (dx)
производные, не превосходящие постоянной Липшица (п. в.).
Поэтому выпуклая вниз функция и на имеет локально огра-
ниченные обобщенные производные вида их. Для рассмотрения
свойств ее вторых производных возьмем функцию £ е Со° (Ed)
такую, что £SsO, £ = £(|х|), £ = 0 при |x|5s 1, dx = 1. Обозна-
чим £х (х) = (т *х), где т>0, и если f— некоторая функция,
го пусть f*£х.

Ясно, что если и гыпукла вниз в Sr, то м,х) выпукла вниз
в Sr-t Кроме того, ы(х) бесконечно дифференцируема в Sr^, по-
этому	в Sr~x для любого 1^.Еа. Отсюда для любых

т<т0<Я и любой неотрицательной т) е СТ (Sr-t), равной еди-
нице на Sr-ъ, имеем

$П(/нп«’т)^ = ^7Лл^ 5	(2)

S₽-Tr

Следовательно, положительные меры и$(/)«А, рассматриваемые
на при т<то равномерно ограничены по вариации. Из них
можно выделить подпоследовательность, огвечающую тп | 0, кото-
рая бы слабо сходилась на любом 3#-^. Из первого равенства
в (2) вытекает, что предельная мера является второй обобщенной
производной и вдоль I Мы ее обозначаем через и(/)(/). Из первого
равенства в (2) также вытекает, что определяется одно-
значно по и и является квадратичной формой по I. Меры uxixj,
стоящие в этой квадратичной форме коэффициентами при 1Ч\
опять в силу (2) будут производными-мерами и. Таким образом,
для функции и выпуклой вниз в S/? меры uxixJ существуют.

В § 11.2 нам потребуется следующая теорема Александрова —
Буземана — Феллера (см. Александров [1] или Приложение 2).

1. Теорема. Пусть и выпукла вниз в S/?. Тогда для почти
всякой точки xoeSp при х->х0 имеем

и(х) = и < х0) + их1 (х0) (х1 - х£) +

4- | «X' (*о) (х1 - х') (х^ - х')+о (| х - х012).

Мы будем использовать также некоторые факты, основанные
на том, что множества измеримых функций и множества мер об-
разуют полные структуры. Часть приведенных ниже сведений
может быть найдена в книге Данфорд, Шварц [1], другая их
часть очевидна. В области D евклидова пространства Ed рас-
смотрим множество всех функций со значениями в [—оо, оо] и
с отношением порядка:	если A(x)^/i(x) почти всюду

на D. Э$Ь.отношение порядка превратило наше множество в струк-
туру- Оказывается, что любое подмножество М нашей структу-
ры имеет верхнюю и нижнюю грани. Эти грани обозначаются
соответственно

Наметим доказательство существования, например, верхней
грани.

Прежде всего, применяя преобразование /->arctg/, мы доби-
ваемся того, чтобы все функции из М удовлетворяли неравенству

Далее, разбивая D на подмножества, легко свести все
к случаю, когда D ограничена. После этого обозначим через К
верхнюю грань интегралов по D всех функций вида Лхг, + --
• •• + £iXrn*)» причем верхнюю грань будем брать по всем п, flt..
...,/„ е М и борелевским Г; с D таким, что Г, f|Г/ = ф при t /.
Гт U • • • U Г» = £>• Легко подобрать возрастающую последователь
ность функций указанного вида, чтобы их интегралы сходились
к А,. Предел этой последовательности и будет верхней гранью М
Эта хорошо известная конструкция показывает, в частности,
что без изменения верхней грани множество М можно заменить
его подходящим счетным подмножеством. Если же М счетно, то
верхняя грань М. в структуре совпадает (п. в.) с sup {f (х): f <=М}
В множестве всех мер в D также вводится очевидное отноше-
ние порядка:	если Hi (Г) sg (Г) для всех ограниченных

борелевских Г cz D таких, что Г с: D. Оказывается, что любое
ограниченное сверху (снизу) подмножество М структуры мер
имеет верхнюю (соответственно нижнюю) грань. Обозначаются эти
грани через

V р или V И (dx), Л И или A Н (dx).
u М	ц S Af	u G М

Обсудим вопрос о существовании верхней грани М. Пусть
мера v в D такова, что p=Cv для всех	Фиксируем неко-

торую меру роеЛ1 и обозначим р = (р — р0)+ + р0 (=pVHo)-
Без труда устанавливается, что искать верхнюю грань р по М
все равно, что искать верхнюю грань р по psAf. Так как в р
имеется общее слагаемое р0, то верхнюю грань надо найти только
для (р — р0)+. Тем самым все сводится к случаю, когда р^О для
всех реЛ4. Из неравенства p=Cv тогда вытекает, что p^v и
неотрицательные функции f^:=p(dx)/v(dx) ограничены единицей.
Семейство функций в структуре функций, где сравнение осу-
ществляется с точностью до почти всюду по мере v, разумеется,
имеет верхнюю грань, скажем, f. Ясно, что 0 <7*^1 (п. в. v)
в области D, f локально интегрируема по v и и есть верхняя
грань множества М.

♦) Хг (*) “ индикатор множества Г, т. е. функция, равная единице на Г и
нулю вне Г,
Из этих рассуждений следует, что при вычислении верхней
грани в структуре мер всегда можно перейти к верхней грани
плотностей этих мер по некоторой подходящей мере и что опять
без изменения верхней грани множество мер можно заменить его
счетным подмножеством. Кстати говоря, из последнего непосред-
ственно вытекает, что если р= V (р: реМ}, то р° = V	реЛ4}»

Р5 — V (р*: р е Al}, р(0> = V {р,0): р е А4}.

При изучении параболических уравнений к понятиям, введен-
ным в этом параграфе, добавляются еще пространства Wp 2 (Q),
П.21Ое(С), причем второе из них есть обычная «локализация»
первого (ср. § 1), а первое для области Qc£d+i определяется
аналогично №*(£)), отправляясь от нормы

d	d

fiи k*’s к?)= I u‘ Ц>	|| “Л/b?„ w> +	I их1 |k„ <Q) +1u He(<?)•

p	i. i = i	p i=i	p

§ 3. Условная теорема существования решения
нелинейного уравнения

В этом параграфе мы докажем теорему существования реше-
ния нелинейного параболического уравнения при наличии апри-
орной оценки решения в С2+“. Аналогичная теорема будет верна
и для нелинейных эллиптических уравнений. Таким образом, мы
увидим, что проблема доказательства существования решения
сводится к проблеме построения априорных оценок. Факт такого
сведения очень хорошо известен в теории дифференциальных
уравнений в первую очередь благодаря классическим работам
С. Н. Бернштейна. К нему же восходит и метод продолжения по
параметру, с помощью которого разрешимость выводится из нали-
чия априорных оценок.

Введем необходимые объекты. Фиксируем числа Т, К, Лх, у,
8>0, ае(0, 1) и функцию фе (?+“(£<,) такую, что D: —
:= {х ^Ed: ф(х)>0} —непустая область, |фж|^в на dD (если
дО^ф). Обозначим

Q = (0, T)xD, Р(М) = Р(М, Q) =

,	d	d	ч

•={(«</, uit и, г): У, |«y| + S lujI + lul^Af, иу = ыЛ, zeQ}.

(.	t / = i	i=i	J

Пусть при zeQ и произвольных действительных цу, ut (I,
j—\,..., d), и определена действительная функция F(uiJt uh и, г).
Предположим, что функция F, ее первые производные по всем
аргументам и вторые производные F по (uy, uit и, х) на Р (Л + у)
Ьграничены и удовлетворяют условию Гёльдера порядка а по
)тношению к расстоянию

1.1	i

Предположим также, что при всех	(uy, ut, и, z) е

еР (K + v)

e|X|«=cFajA‘XA

По нашим условиям функция F равномерно непрерывна на
Р(К + ?) и по непрерывности мы распространим F на замыкание
этого множества. На это замыкание, очевидно, распространяются
и упомянутые выше производные F.

1.	Теорема. Пусть <pe(?+a(Q), (фж/х/(г), фх<(£), q>(z), г) e
eP(/<) при zeQ,

Ф, + Дф = 0, ф/ + Р(ф/х/- фх«, ф, г) = 0 на*) dtxQ. (2)

Пусть a^p>0 и при каждом г) е [0, 1] для любой возмож-
ной функции и такой, что usC^lQ), их, ut, ижх eCfoc(Q),

ut(z) + f\F(uxix,(z), uxi(z), u(z), z) + (l —tj) Ди(г) = 0 в Q, (3)
и = ф на d'Q,.	(4)

можно утверждать также, что

+ + e <5>
«. /

Тогда при q = l уравнение (3) с граничным данным (4) имеет ре-
шение weC2tp(Q) такое, что и, их, ut, ихх sCfota(Q)-

Во втором предложении в формулировке теоремы предпола-
гается наличие априорных оценок (5) для достаточно регулярного
решения задачи (3), (4). Это предположение носит условный ха-
рактер и означает требование, чтобы для всякого т] s [0, 1] мно-
жество достаточно регулярных решений задачи (3), /4) содержа-
лось в множестве функций, удовлетворяющих (5). Для данного
т] 6= [0, 1] предположение автоматически выполнено, если по ка-
ким-либо причинам первое из упомянутых множеств оказывается
пустым.

Для доказательства теоремы нам понадобятся две леммы.

2.	Лемма. Пусть л^[0» 1], ueC?otP(Q), и удовлетворяет
(3) и

S I + S I Uxf | + I U I

i. !	i

в Q. Тогда и, их, щ, ихх <= C?ota (Q)-

♦) Любые две функции считаются совпадающими на пустом множестве.
Доказательство. Повторим с небольшими изменениями
доказательство теоремы 13 § 5 гл. Ill из книги Фридмана [1].
Пусть zoeQ, р е(0, 1), Gj^zo + Cpp», ,р, t = l,2, GaczQ. Возь-
мем £ = (т, £) е Ed+i и вычтем из равенства (3) такое же равен-
ство в точке z4-£- Тогда для

(z): = ГГТТ1Т Iй (2+О — “ (*)]

при достаточно малых | т | +111 (таких, что £4-Gac:Q) на Ga по
формуле Адамара получаем

и? + (1 — т]) Ди* +	+ k]CUq + = 0,	(6)

где

1

а1/ = аУ (z) = J Fu (9vxrxs -f- (1 - 9) uxrxs, 9oz 4- (1 - в) uz>
0

6t> + (1 - в) и, в(£-Н) + (1-в)г)<ю,

v = v(z) = u(z4-£), аналогичными формулами определяются Ь1, с, f
с заменой FUi. на ГИ/, Ftt, (| т | 4-1£1)-1 F{j, соответственно, и для
краткости записи опущены очевидные значения аргументов

Из наших предположений относительно F, и вытекает, что
а'Л ..., f удовлетворяют условию Гёльдера по zeG2c показа-
телем 6 = 0а и Постоянной, не зависящей от £. Из теории линей-
ных уравнений поэтому следует, что при достаточно малых t,
нормы и° в CP^tGi) ограничены постоянной, не зависящей от £.
Выбирая £|(1, 0), (0, е<), где е,—базисные векторы в Ed, и по-
лагая £-»-0, отсюда заключаем, что ut, Ux^C^fGi)- Поскольку
точка г0 была произвольной, то щ, их s Cfoc6 (Q). Это, в частно-
сти, дает оценку сверху |(аж)ж*|, |(10х»| в G2 и ЦцДяД |(оД**1
в G2 при достаточно малых £ равномерно по £. Отсюда вытекает,
что постоянные Гёльдера по г <= Ga первого порядка функций ихх,
vxx ограничены. Теперь уже в (6) функции аУ, ..., f удовлетво-
ряют условию Гёльдера с показателем а (при £ = (т, 0) только
с показателем а) и постоянной, не зависящей от £. Стало быть,
W/, Ux €= Cioc (Q).

Далее, фиксируем номер г координатной оси в Ed, положим
w = uxr и продифференцируем (3) по хг. Мы имеем право это сде-
лать в силу предыдущего. Для w в Q имеем

wt + FUi/wxixj 4- Faji)x, + FHy» 4- Fxr = 0.

Это соотношение мы рассмотрим как -уравнение относительно
w. Его коэффициенты и свободный член в силу доказанного выше
дифференцируемы по х, они сами и их производные по х удов-
летворяют условию Гёльдера по г порядка а в G2. По теории
линейных уравнений заключаем, что wx е С2+а (Gi), wx
а вспоминая определение w, заключаем, что и ихл е а (Q)
Лемма доказана.

. 3. Л е м м а. Пусть N^O, функция Ф (g, г) определена при
I е (о g Еа,: | о |	А(}, г е Q и ограничена вместе с первыми про-

изводными по Пусть при всяком g функции Ф, Ф» удовлетво-
ряют условию Гёльдера на Q с показателем Р и постоянной, не
зависящей от g. Предположим также, что ФЕ равномерно непре-
рывна по (g, г). Тогда оператор Ф: g(z) -► Ф (g(г), г) является не-
прерывным оператором из ($) П (Е: )g |с tv /V} в СР (Q).

Доказательство. Предположим, что наше утверждение
неверно. Тогда найдутся 6>0, Ея ($)f| {g:	n =

= 0, 1, 2..., такие, что

IЬ, - go 1с»(Q)	°. IФ <&•» - Ф <£о) «СР W) 2* 26.	(7)

Функция Ф непрерывна по g равномерно относительно г, по-
этому Ф (gn)-*• Ф (go) равномерно на Q. Стало быть, из неравен-
ства в (7) следует, что для некоторых точек z'n, z„^Q

(Ф (gn (Zn), Zn) ~ Ф (go (Zn), Zn)J —

-[$<&.(£), «)-Ф(1о(«), zS)]| ^6pt (8)

где pn = p(z„, z'n), причем pn-*-0. В дальнейших вычислениях
будем опускать индекс п. Заметим, что в силу (7)

р := |g (г’) -g0 (г')) - [g (Z) - g0 (г")] = о (р₽),
v := go (z') — go (г*) = О (рй).

Отсюда по формуле Адамара

W), г')-Ф^(г"), z')] —[Ф (g0(z'), г') —Ф (g0(z"), z')J=

=p'^s>(6g(z')+(i-0)g(Z)> z')de+

о	4

+ * $ [ФЕ1 (6g (z') + (1 - в) g (Z), Z) -

- ФЕ< (ego (Z) + (1 - 6) go (Z), z*)] do = о (p»).

Кроме того,

[Фгё(г"), z')-®(go(z"), z')]-^(g(z’), z*) — Ф (go (z"), г”)] =

= (g‘ (z") - gj (z*)) $ [ФИ ((6g + (1 - 6) g0) (z*), /) -

- Ф£< ((9g + (1 - 6) go) (z’), -s')] de = о (p₽),

так как g (Z) — go (z") -*• 0. Складывая полученные соотношения,
получаем противоречие с (8). Лемма доказана.
4.	Доказательство георемы 1. Повторим некоторые
рассуждения из примечания переводчика к стр. 113 книги Агмона,
Дуглиса, Ниренберга [1], объединив их с методом продолжения
по параметру.

Пусть / — множество всех тех qe|0, 1 j, для каждого из ко-
торых задача (3) — (4) имеет решение и — и1* е С2+р (Q) такое, что
a, их, ut, ихх eCi<£“(Q). Как известно, Ое/. Мы докажем, что
Z = [О, 1] (и тем докажем теорему), если докажем, что / замкнуто
и открыто в относительной топологии [0, 1].

Замкнутость / вытекает из леммы 2. В самом деле, если
Лл е Z, Ля-»-т], то, по предположению (5), нормы tir'n в C2+p(Q)
ограничены постоянной К, и из последовательности функций
“хя> “х? можно выделить сходящуюся на Q (равномерно) под-
последовательность. Эта подпоследовательность будет сходиться
к и, их, ие, ихх, причем и е С2+₽ (Q), и является решением зада-
чи (3), (4), удовлетворяет неравенствам (5), и, наконец, по лемме 2
имеем и, их, ut, ихх eC?ota(Q), т. е. л е Z.

Для доказательства того, что Z открыто в [0, 1], возьмем
Л' е / и обозначим и* = и4'. Считая w известной функцией, при
фиксированном ле [0, 1] рассмотрим следующую задачу относи-
тельно функции V.	.

о/ + (1 — Л) Ду + Л (a‘,vJxi + b'vj + си) +

+ Л[Zz(ayx*xz, wxk, w, z') — ai^wxix/—biwxi — cu)] = O в Q, (9)
и = Ф на d'Q,	(10)

где

(a'A bl, c) = (FU{., FU{, Ftt}(u'xkxi, u’xk, и’, г).	(11)

По нашим предположениям и' удовлетворяет неравенствам (5),
а так как вторые производные F по (uiJt и,, и) на Р (К) ограни-
чены и u' е С2+$ (Q), то аЧ, b‘, с е СР (Q). Кроме того, существует
столь малое бо>0, что при

w <= 31 (60): = е С2+р (Q): [w — u' |cs+f> (Q)	б0, ш = <р на d'Q)

для всех zeQ выполнено включение (wxix/, wxi, w,z)eP (К 4-у).
Для таких w последний коэффициент при л в (9) принадлежит
C₽(Q), функция <р удовлетворяет условию согласования первого
порядка, и, стало быть, линейное уравнение (9) с граничным дан-
ным (10) имеет и притом единственное решение	Тем

самым для каждого л Р, 1 ] на 31 (6о) определено отображение
w-*-v, действующее из 31 (60) в С2^ (Q).

Мы хотим, далее, показать, что для некоторого 6>0 при
всех л» достаточно близких к л' (не обязательно даже лежащих
в [0, 1]), отображение действует из 31 (б) в Э((б) и является
сжимающим в метрике C2+$(Q).
Нетрудно видеть, что в силу (9)

(о — u')t 4- (1 — 1]) Д (v — и') 4-

4-	т) [aV (v - и' )xixi 4- Ы (v — u‘)xi 4-c(t»—«')]4-
4-r|[F(wx*xi, wj, w, z) — F(uxbxi, uxn', u', z) — ali(w — u,}^xf —
— bi(.w—u,)xi — c(w — u')j +

+ (»)'—	— F(uxkxi, u'xk, и', г)] = 0.	(12)

Далее, с помощью формулы Адамара преобразуем

F(w^ wx*> w>	u'xkt и', г),

вспомним определение (11) функций а'Л с и условия на F.
Тогда по лемме .3 получим, что для w е % (б) норма в Cfi (Q) по-
следнего коэффициента при г) в (12) оценивается через % (б) б,
где Х0)-*О при б|0 и х(б) не зависит or w. Отсюда и из (12)
по теореме об оценках решений линейных уравнений следует, что

| v - и' |с2+₽ (б) =С N [у, (б).б 4-1 п' — ПIJ.

где N не зависит от w. Стало быть, существует б е (0, б0] такое,
что при всех т|, достаточно близких к т)', отображение ^дейст-
вует из 31 (б) в 31 (б)

Для v = v = Чгп2), w, w е Я (б) из (9) имеем

(v — v)t 4- (4 — я) Д (v — v) 4- т)	(v - v)xtx/ 4- &' (v — v)xt 4-c(u—t>))4-

4-q|F(wx*xi, wxk, w, zj—F(wxn^, wxb, w, z) —

— a‘i (w — &>)xixj — &(& — w)x, — c (w — ©)] = 0.

Отсюда, как и выше, видно, что

IV - V |1С2+р ((й =£: А’х (б) I w - w |С2+₽ (Q},

и уменьшая при необходимости б, можно 4% сделать сжимающим
отображением множества Я (б) (например, при всех q из [0, 1}
сразу).

Таким образом, по теореме о неподвижной точке сжимающего
отображения при всяком г)е[г)' —б, rf 4* в] существует иеЗ((6}
такое, что t> = 4fnv. Это v очевидным образом удовлетворяет (3),
(4), кроме того, по лемме 2 о, vx, vt, vxx е Ci«а (Q) и
(rf — 6, т]'4-^)П[0> Теорема доказана.

5.	Замечание. Предположение о вторых производных F
использовалось в двух местах: при доказательстве непрерывности
оператора 4% и при повышении внутренней гладкости решения
уравнения (3) с помощью леммы 2. Последнее могло бы показаться
не очень важным. В самом деле, если в формулировке предположе-
ния, связанного с (3) — (5), опустить условие: их, ut, ихх е Cfoc (Q),
то предположение усилится, а доказательство теоремы упростится.
В частности, лемма 2, по сути дела, окажется излишней. Однако
проверять такое сильное предположение в рассматриваемом нами
классе случаев мы умеем, только установив предварительно вклю-
чения их, ut, е Cioc (Q)-

Примечания

Теорема Александрова—Буземана —Феллера 2.1 и ее обобщения на слу-
чай функций, зависящих от tt излагаются в Приложении 2. В работе Алек-
сандрова fl] показано, кроме того, что и t почти всюду дифференцируемы и
частные производные по xi почти всюду совпадают с л Этот факт н его
обобщение на произвольные монотонные отображения доказаны 1акже в ра-
боте автора [18].
Глава 11

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ
«КОЭФФИЦИЕНТАМИ» ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

В этой короткой главе доказано существование решений урав-
нений Беллмана с постоянными «коэффициентами» во всем про-
странстве. С одной стороны, мы довольно быстро получаем широ-
кий класс нелинейных уравнений, для которых удается установить
существование решения элементарными средствами, С другой сто-
роны, результаты этой главы в следующей главе используются
самым существенным образом при выводе оценок А. Д. Александ-
рова.

§ 1. Построение резольвенты

Пусть е>0, Q— некоторое множество и при всех соей,
xe£rf определены: неотрицательная симметричная матрица а(<о)=
= (а</((о)) размера dxd, d-мерный вектор b (со) = (Ь* (ю)) и дейст-
вительные с(ю), f(w, х). Нам понадобятся три функциональных
пространства. Пространство С*(Еа) введено в § 1.1, пространство
ВС(Й, Еа) мы определим как множество всех ограниченных функ-
ций g(<o, х) на QxErf с равномерной нормой таких, что

lim sup |g(<o, x + r/) —x)| = 0,

V-*>0 (0. v

пространство Cu(Ed) введем как подмножество BC(Q, Ed), состоя-
щее из функций, не зависящих от <о.

В этом параграфе постоянно предполагается, что а (со), b (<о),
с(«) ограничены на Q, /, fxi,	Ed) и

sup If (w)|c«(Erf)<oo, supc(<w)sg — e,
(D	<0

где под /(co) при o) eQ понимается функция /(«>, x). Подобное
сокращение обозначений мы будем применять и для других функ-
ций, заданных на QxEd.

Положим

F(uy, ut, и, х)= sup [ai/(co)Uy + &i(®)«i + c(«>)u+f(®, x)J,
aefl

F[«](x) = F(uxix/(x), ux,(x), u (x), x)

и рассмотрим следующую задачу об отыскании достаточно гладкой
функции v = v(x) такой, что в Ed

FfvJ = O.	(1)

Поясним, не вдаваясь в детали, идею, которой мы будем ру-
ководствоваться в решении этой задачи. Обозначим

L («) и (х) = a‘J (<о) uxix/ (х) + ft'- (со) uxt (х) + с (<л) и (х),

'Л —множество всех функций на Еа со значениями в Q. Предпо-
ложим (что совершенно нереально), что при Х^О, аей и огра-
ниченных g мы в классе достаточно гладких функций можем одно-
значно разрешить уравнение

L (а (х)) и (х) — Ки (х) + g (х) = 0.

Обозначим это решение R^g Из (1) вытекает, что

L (а(х)) о(х) — Xt>(x)-|-f(а(х), х) + Хо (х) sg 0	(2)

и по принципу максимума (f“ + Xo) при любом аеЯ, где
fa (х): = f (а (х), х) при ае’1

С другой стороны, в силу определения F можно подобрать
а е 81 так, чтобы левая часть (2) была сколь угодно близка
к нулю. Поэтому правдоподобно, что

о= sup	(3)

а <=91

и вообще при любом Х^О

sup Rt^+Kv).	(4)

аея

Наш план исследования (1) заключается в том, чтобы опреде-
лить и, по сути дела, по формуле (3) и затем доказать, что v
удовлетворяет (1). Мы уже говорили, что построить Ro при про-
извольных а и без каких-либо предположений о невырожден-
ности а, по-видимому, нельзя Поэтому мы пользуемся тем, что
если бы Ro существовало, то имели бы место равенства (ср. (4))

= /? “ (1 + х#?), Ro = S (Rtf х»-1.

n= I

Нетрудно понять, что в «хороших» случаях при больших X
мы получим «хорошее» приближение Ro, если в последней фор-
муле вместо R* возьмем оператор, ставящий в соответствие функ-
ции g(x) функцию Rfg(х) la-afx). гДе R* определяется как R*,
но только при а, не зависящем от х и равном <о. Оператор /?“
уже можно задать явной формулой (см. (5)) и затем можно исполь-
зовать его вместо R% в формуле (4), которая теперь превратится
в уравнение. Так как	при со = а (х) «хорошо» приближает R%,

то решение этого уравнения при X -► оо и должно нам дать иско-
мую функцию v. Доказательство того, что о — решение уравне-
ния (1), опять удобно делать с помощью (4) (но только именно
для операторов ₽“), перенося v в правую часть, умножая на X,
полагая X -* оо и пользуясь тем, что в известном смысле X7?“f“
->f“, X (хЛлР — v)-> L(a)v.

Для реализации этого плана нам понадобятся следующие хо-
рошо известные свойства резольвент линейных уравнений.

i.	Лемма. При соей, к S? О существуют линейные непре-
рывные операторы Rf: C(Ed)-+C(Ed) такие, что

a)	kR^u = RfL (со)и + и для и^СЦЕа)-,
б) для х е Ed, g^C(Еа) имеем

\Rxg(x)\^R^\g\(x)^^Tlglc(Ed);

в)	/?“ = ^(1+^(|х-Х)) при X,

г)	R®Uy —UvRx при любых y^Ed, где оператор Uv опреде-
ляется формулой Uvg(x) = g(x+y);

д)	если XSsO, jiSsv^sO, g, u^C(Ed) и Rx+n(g+pu)
на Еа, то u^R^+v (g+vu) на Ed.

Доказательство. Обозначим через а (со) квадратный ко-
рень из матрицы 2а (со) и положим

tf“g(x) =

в	j gix + ot^y + b^^er-^^dydt.	(5)

Читатель легко проверит, что оператор обладает свойст-
вами а) —г). Для доказательства д) заметим, что в силу б), в)

RJ+v-S (н-v)" («+„)«.

п=0

причем ряд сходится в операторной норме. Применяя обе части
этого равенства к g+vu и замечая, что

#“+ и (g+vu) = Я“+ и (g+ры) - (И - V)	Ц,ц s=;u - (р. - v) RK+ ц«,

находим

Rx+vtg+vu)^ У, (li-v)a(Rx+li)n (u-(n-v)Ri+^u) = u.

п = 0

Лемма доказана.
Сделаем первый шаг к построению решения (1). При Х^О,
gsBC(Q, Ed) обозначим

7\g(x)=sup /?“^(ю)(х).
<i)GQ

Так как при y^Ed, g^BC(Q, Ed) имеем 4vTig = T^U»gt то
I UyTyg — Tig | < sup /?“ sup | U«g (®) — g (®) I =sS
Ш	o>

^rrrsuPlg(«>, x+y)-g(e>, x)|.	(6)

° ТЛ CO, X

Отметим еще, что, вообще, при gi, g2 е ВС (Q, Еа)
\Txg1—T)g2\^Ti\g1 — g2\^7^-sup\g1(a>, x)-g2<(o, х)|.	(7)

При К, pSsO, g^BC(Q, Ed) рассмотрим, далее, уравнение
“ = Л+|*(я + М“).	(8)

решение которого и будем искать в банаховом пространстве
Ctt(Ed). Из (6), (7) ясно, что оператор	действует из

Ca(Ed) в Cu(Ed) и является сжимающим. Поэтому решение урав-
нения (8) существует, единственно и может быть найдено методом
итераций, отправляясь от любой ий^.Си(Еа). Решение уравне-
ния (8) будем обозначать через S£g.

2.	Лемма Пусть ыей, g, glt g2 ^ВС(Q, Ed), X, v, p^O.
Тогда:

a)	|S£g! sup|g(<o, x)|;
C ‘ Л (0, X

б)	srug = sUu(g+p5j;+,1g);

в)	если ’ ^Ca(Ed) и v^(^) TK^(g + w), mo v^(5s)S>g;

r) S?g^/?“+n(g(<o) + p.S^);

д)	при pSsv	+ S^g^Sig-,

e)	если и, ux, uxx<=Cu(Ed), mo SHg+X«) = «-+-S5f(g+Lu) *);

ж)	если gi^gi, mo S^gi^s Sig2, в частности, если g&sO, mo
Sig^SiO = O, а если g^O, mo Sjg^O;

з)	Sxgi — Sig2	Sjf (gi — g2);

и)	UyS%, =SiUy, vS^g = S^vg, семейство функций {SJtf. X,
равностепенно непрерывно no x нц Ed.

Доказательство, а) Положим u = S$g. Тогда из (8) на-
ходим

l« 1^ e+x+|t (sup lg(^. x)|4-psup |u(x)|),
откуда следует утверждение a).

*) Lu—функция L(<o)u(x), заданная на QxEdt
Для доказательства б) достаточно положить . Ui:=S%+fg,
ы«:=5л + р(£+н5ь + ц£) = 51 + р(£+Н«1)» заметить, что

Ui = Тa,+h+v (g 4* P-Wi + VMi)» «г = 7\+u-pv (g 4* Hui "Ь vus)
и воспользоваться единственностью решения уравнения и =
= 7’x+u-Hv(g4-P«i4-va).

Утверждение в} следует из того, что, пользуясь методом ите-
раций с начальной функцией v, мы получаем возрастающую (убы-
вающую) последовательность функций, сходящихся к Sjg. Утвер-
ждение г) сразу следует из определений 7\, д) вытекает из г),
леммы 1 д) и из в).

Для доказательства е) обозначим Ui =	(g 4- Xu) — и. Тогда,

по определению SJ* и по лемме 1 а)

и 4- ti\ = 7\+ц (g 4- “ku 4-	4- Pui) — T’x+w (g 4“ Lu 4*	4*

Отсюда иг — S\(g-\-Lu), что и утверждалось.

Утверждение ж) — простое следствие в), так как (gi4- pu)^
А+ц (gs 4- р«). Утверждение з) также вытекает из в), поскольку
для Ui = Sk (gi — gi), ih = S%,g2 имеем

Ui 4- = tgi — St 4~ Pui) 4" 7\+u (ga 4" P«a)^T'x+u (g\ 4- p.Ui 4" PWa)-

Наконец, ПуТ^ = Т^иу,	по лемме 1 г), отсюда

(7’Sjf = SltU’, vS£ = S£v (из единственности решения (8)), и
в силу з), а)

UyS$g - Sfe < Sf (Uyg - g)	± sup | g(co, x+y) —g (co, x) I,

C (D, X

причем последнее стремится к нулю при #->0. Этим утвержде-
ние и) и лемма доказаны.

Из утверждений д), и), а) леммы 2 следует, что для всяких
gsBC(Q, Ed), Х^О функции S£g*(x) возрастают по р, ограни-
чены и при р->оо сходятся равномерно по х, лежащим в огра-
ниченных областях, к некоторой функции класса Cu(Ed). Обо-
значим

Ptg(x)= lim S*g(x).
И-* ОО

Отметим, что PK(f + hv) и является как раз нужным для нас
аналогом правой части (4). Ниже мы увидим, что P>f является
решением уравнения Xu — F [и] = 0. Поэтому оператор Р*. есте-
ственно назвать резольвентой оператора F.

3 Теорема. Пусть меЙ, g, glt g3^BC(Q, Eg), X, p^O.
Тогда

a)	1^1
б)	если и, их, ихх^Си(Еа), то Pxig + 'kuj — u + Pxig+Lu);

в)	Px£i —Pkga^Pkfgi — ga). а если gi=sg2, то P^gi^P^gt и,
в частности, если g^Q, то Pbg^Pjfi — O',

г)	ЦУРк-Рки’, цР^=Р,щг,

д)	Pkgs&Px+u(g(co)+pPx£);

е)	P\g=Px^(g+^Pxgy,

ж)	M\g->supg(a>) равномерно на Еа при 1->оо;

<0

з)	Рк (sup g\ 3= Pkg 3= — РЦ—supg\, в частности, если supg^
\ ffl /	\ Ш /	<в

3s О, то Р)£^2 — Рк0 = 0-,

и)	если х0 Ed, и е Си (Еа) и существуют числа uit иц (t,
I = 1, ..., d) такие, что и(х} = и (х0) + «<(* — *о)' + «у (х — Хо)‘ х
х(х — ХоУ + о(|х— %о|2) при х->х0, то k(PK(f+ku) — u)(x0)~*
-+Р(иц, и„ и(Хо), х0) при 1->-оо.

Доказательство. Утверждения а) —г) непосредственно
следуют из леммы 2 и определения Р^. Утверждение д) вытекает
из того, что по лемме 2 д) при vsap имеем S$g^Px+u(g(<o) 4-
4- P^xg), причем в этом неравенстве легко перейти к пределу,
если воспользоваться интегральным представлением (5).

Из д) и леммы 2 в) получаем Pkg^7\+u+v(g+pPxg + 'vPxg),
Pig^Sl+u (g+pPkg)- Отсюда при v-*oo находим Pxg3s
3s Pk+ц (g + pPkg)- Для доказательства обратного неравенства
и тем самым для доказательства е) остается заметить, что по
лемме 2 б) имеем

Sx+ug < Sk+u (g+pPxg) < Px+u (g+M-Pxg)-

Перейдем к доказательству ж). Пусть 1еС^(Еа), С^О,
Цх) = 0 при |х|1, J £ (x)dx = 1. При 1 положим gn(со, х) =
= g(<o, х)*па£(пх) и заметим, что
\g-gn\^ § |g(co, x)-g(®, х-±

I

< sup sup|g(w, x)-g((0, x+y)l =:yn,
,	, - 1 X

l»l<-

причем Yn->-0 при n->oo. Отсюда и из в), а)

|lPkg-supg|^X|Pkg — Pkg«| + pPkgB — supg„|4-

+1 sup g — sup gn l< 2y„ +1 XPkg„ — sup g„ I.

I <0	(!) I	I	© J

Поэтому для доказательства ж) достаточно показать, что послед-
нее слагаемое стремится к нулю при Х->оо и каждом п равно-
мерно на Е‘а. Так как gi и все ее производные по х лежат
в ВС (£2, Еа), то мы свели доказательство ж) к случаю, когда
g, gx, gxx^ ВС (Q, Еа).

В этом случае из д) при ц = 0 и леммы 1 а) получаем

hPtg — sup g 2s= sup KR°g (©) - sup g ~
CO	co

= sup (g+RxL (®) g (®)) - sup g2s inf RxL (co) g (co) 2s
co	co	co

2s--J-sup|Z,g|.

A <> i

Стало быть,	—supg) ->0 равномерно на Ed- Кроме того,

PAg-supg\ =C pj\supg-supg\
\	co /4-	\ о co / 4*

в силу в). Это показывает, что ж) остается установить в случае,
когда g не зависит от <о. Кроме того, как мы видели выше,
можно еще считать, что g, gx, gxx ^Cu(Ed). При этом из б), а)
заключаем | M\g — g | = \P>vLg | у sup | Lg |, и утверждение ж)
доказано.

В утверждении з) неравенство P^supg^^P^g следует из в).
Неравенство P\g^~ Р\ —sup^A будет доказано, если мы дока-
\ со /

жем, что Pr.g-\-— supg^^O при любой постоянной ?2>0.
Так как PKgi + PKg2	+ g2) в силу в), то P-fg+

+ Px(f — supg\^Рх(у + g — supg\ и тем самым для доказатель-
\ <о /	\	ы /

ства з) остается установить, что Pfg^O, если supg^y для не-

СО
которой постоянной у>0.

Для такой g подберем р столь большим, чтобы иметь
PUlxgr^O. Эго возможно в силу ж). После этого рассмотрим
уравнение и = Рх+ц(^ + Ни)- Это уравнение аналогично (8). Для
него, как и для (8), без труда устанавливается единственность
решения, которое можно искать методом итераций, отправляясь
от любой начальной функции uosCw(£rf). При ио = 0 по вы-
бору fi и из в) сразу получаем, что все приближения метода
итераций неотрицательны. Стало быть, решение неотрицательно,
а из е) вытекает, что оно совпадает с P^g. Мы доказали з).

Для доказательства и) возьмем функцию т] е CJ° (Erf), равную
единице в окрестности х0, и положим v (х) = т] (х) [и (х0) +
+ U; (х — ХоУ + ~ Uy (х — х0)‘ (х — Хо)7], w = и — и.

2 Н. В. Крылов
Заметим, что щ = о(|х —х0|2) при х->х0- Далее из в), б)

\Ь(Р>Я+№)- и)(х0) — F (и„, uh и(х0), x0)|«S

МРК | w | (х0) 4-1X (Рх (f 4- Хо) - v) (х0) - F [»] (Хо) | =

=	I w | (хо) 4-1	(f 4- Lv) (Хо) — F [о] (хо)

причем последнее слагаемое стремится к нулю в силу ж). Остается
показать, что если ueC„(Edj, u = o(|x — х®|а) при х-*-х0, и^О,
то Х2Р>, и (хо) -> 0 при X -> оо.

Для такой и при всяком 6>0 найдется функция ы® такая,
что и®, ы®, u®teCu(£d), «®^и на Ed, u®(x) = 6 |х — х0|2 при х,
достаточно близких к х0. Имеем

О Пт Х2Рх“ (*о) Нт XP^Xu® (х0) =
Л,-* оо	Л,-*оо

= lim XP^La® (хо) = sup £(©) и® (х0) = 26 sup tra(a>).
Х-*оо	ш	®

При 6 10 отсюда и получаем нужное утверждение о Х2/\м (х0).
Теорема доказана.

4. Замечание. Легко проверить, что если Q состоит из
единственной точки <о, то ££ = /?“ и /\ = /?“. В частности, при
всяком © для Р“ справедливы формулируемые очевидным образ м
аналоги утверждений ж), и) теоремы 3.

§ 2.	Теорема существования решения

и оценки его производных

Будем исходить из предположений, введенных в начале § 1
перед формулой (1.1) и обозначим v = Pof.

1.	Лемма. Существует постоянная N такая, что |о(х) —
— o(i/)|sCW|x—у) при всех х, y^.Ed и функция о(х)4-ЛГ|х|*
выпукла вниз на Еа.

Доказательство. По теореме 1.3 для любых х, уеЕ*

| v (х) - v (х 4- у) | -1 Р</ (х) - P,Wf (х) |	Ро | f -1/71 (хо) <

-г sup |f (со, x)-f(©, х+у)I<ЛГ|0|,
° Ш, Ж

так как первые производные f по х равномерно ограничены.
Далее,

о (х 4- У) — 2v (х) 4- v (х—у) Ро (Uy 4- U~y) f (х) — Po2f (х) >

^-Ро(2-1/^-1/->)/(х).	(1)
Но по формуле Ньютона — Лейбница

(2-Uy-U-y)f(a, х) = 2/(®, х)-/(ю, х+у)-f (со, х-#) =
1	1

= —J(f(®, x+ty))tdt- J(f(w, х — ty))'tdt =
о	о

i	t

.= -$<#	x + sy)ds^N\y\\

0	— t

где N не зависит от ®, у, x, так как вторые производные f по х
равномерно ограничены. Отсюда, из (1) и теоремы 1.3 имеем
О (х+у) — 2» (х) + о (х — у) —8-W | у |®.

Остается заметить, что |x-|-z/|2 —2|х|г + |х—z/|a = 2|t/|2,
и поэтому вторые разности непрерывной функции о + ЛГ|х|® при
подходящем N неотрицательны. Лемма доказана.

Как известно (см. § 1.2), первая соболевская производная
функции, удовлетворяющей условию Липшица, существует и не
превосходит постоянной Липшица, а вторые обобщенные произ-
водные выпуклых функций являются мерами, с помощью кото-
рых можно почти во всякой точке Хо <= Ed написать формулу
Тейлора с двумя членами. Поскольку и есть разность двух вы-
пуклых вниз функций (u-(-jV|x|2 и N | х|3), то сказанное о выпук-
лых функциях верно и для нее. Этим доказаны первые три
утверждения следующей теоремы.

2.	Теорема. Соболевские производные вида vxi существуют
и ограничены на Ed. При i, j = 1, ..., d существуют конечные на
каждом ограниченном борелевском множестве меры vxtxj(dx),
являющиеся обобщенными производными v по x‘xJ. Для почти вся-
кого Хо е Ed

v (х) = V (Хо)+vx. (х0) (хг—х<)+

+ 4 W (* “ Ч) (*' - Ч)+° (Iх ~ 1а)
при х->Хо. Почти всюду на Ed

F(v^(x),	р(*)» Х)=’0'	(2)

Четвертое утверждение этой теоремы сразу следует из третьего
и теоремы 1.3 и), если заметить, что P>,(/:4-Xt») —v = 0 по тео-
реме 1.3 е).

Уравнение (2) несет в себе мало информации о функции v.
Имея в виду лестницу Кантора, легко придумать пример линей-
ного уравнения (2), которому почти всюду удовлетворяло бы
много ограниченных функций, обладающих и остальными свой-
ствами функции о, перечисленными в лемме 1 и теореме 2. Сле-
дующее свойство функции v наряду с уже установленными позво-
ляет единственным образом охарактеризовать функцию v с по-
36 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ «КОЭФФИЦИЕНТАМИ^»
мощью свойств ее производных. Это свойство единственности,
однако, нам здесь не понадобится, и мы к нему вернемся только
в § III.7.

3.	Теорема. Для всякого со ей на Еа имеем

a,f (со) vxixj(dx) + [/>' (со) vxi 4-c (co) v 4- f (co)] dx	0.	(3)

Доказательство. Пусть wsQ, vn (x) = v (x) * ndt, (nx),
fa = f * nat(nx), где £ взята из доказательства теоремы 1.3. При
всяких 1^0,	уравнение L(co)u —/„(<»)+ ^п = 0

имеет и притом единственное решение ип в классе функций,
каждая из производных которых ограничена на Еа (ср.
лемму 1.1 а) и формулу (1.5)). По лемме 1.1 а) это решение есть
R£ (/п (®) + А,ул). Вводя оператор L* (со) по формуле

L* (<л) и «= ali (со) uxixj — Ь‘ (со) uxi 4- с (со) и,

с помощью интегрирования по частям для любой т] е С? (Ed) на-
ходим

0 = $n(L(<o) u„-lua + ftt(a) + kvn)dx =

= $ Rk (fn (co) 4- h>n) L* (®) i)^+

4- Jj Tl [M®) 4- Мг»я -	(fn (®) 4- b„))] dx.

В этом равенстве легко перейти к пределу при м->оо, так
как /„(©)->/(®). v„-+v, /?“ (/п(со)4-Хо„)->£® (/(со)4-Хи) равно-
мерно на Еа- Сделаем указанный предельный переход и восполь-
зуемся тем, что v^₽“(/(co)4-^) по теореме 1.3 д). Тогда для
любой неогрицательной T|eCJ°(£rf) получим

0	$ (£“ (f (со) 4- М L* (со) т| 4- (©)) dx.

Отсюда при 1->оо по замечанию 1.4

0 Sa (vL* (со) т) 4- ’if («>)) dx

для любой неотрицательной т)еС“ (£</).

Это в точности эквивалентно утверждению теоремы в силу
определения и существования мер vxixf, Соболевских производ-
ных vxi, а также в силу произвола в выборе л- Теорема дока-
зана.

Утверждение леммы 1 о выпуклости вниз d4-^IxI2 можно
интерпретировать как оценку чистых вторых производных и снизу.
В некоторых случаях, важных для рассмотрений гл. III, из тео-
ремы 3 можно получить и оценку чистых вторых производных v
сверху. Идея этой оценки заключается в том, что если, напри-
мер, мы знаем, что а1,ых»х. 4-а22и«»*«^ 1, uxtxi, UwSa —1, то
auuxixi sS 1	I 4- a24, uxlxi «g (a11)-* (14-a22). Иначе говоря,

если мы хотим оценить производную »(/)(/>, то мы ее оставляем
в левой части (3), а все остальные производные переносим в пра-
вую часть. При этом нужно, чтобы коэффициент при »(П(П был
отличен от нуля хотя бы при одном. ®, т. е. чтобы производ-
ная «реально» входила в оператор L(a)u хотя бы при
одном <о, или чтобы она «реально» входила в оператор F[«].

Отметим, что если Q состоит только из одной точки ®, го
в наших предположениях (/, fx, fxx е Са (Еа)) все вторые обычные
производные ии)(П ограничены на Ed независимо от того «входит»
или нет производная «(/)(»> в оператор Ц<л). Ситуация корен-
ным образом меняется, если Q содержит хотя бы две точки, что
показывает следующий

4.	Пример. Пусть d = 2, Q = {— 1} (J {4-1}, /(to, х) = (хх)2х
х (1 4- (я1)2)-1, L (®) и = о>иХ14- ихгхг — и. В этом случае можно по-
казать (см., впрочем, П1.7), что

ОО
о(хх, x4) = e!xt| § e-{dt.
i*‘i

Очевидно, что р не имеет второй производной по Xх на оси
ординат, а мера pxixt (dx) имеет сингулярную составляющую, со-
средоточенную на этой оси и не допускает оценки сверху через
меру Лебега.

Обозначим

Fi >«//) = sup а,,(ш)ыу lim ^F(tuif, щ, и, x)j, (4)
р(/) =	ini	l^Ed, 1^0,	(5)

(J. —I

P = inf Ft (£'|7) = inf sup а‘г(ш)¥%	(6)

(-„Ti,'“'>)•

При /#=0 за меру вхождения производной в оператор
F[u] мы принимаем р(/)- Естественность этого определения видна
из примера 4, в котором р (/)>() только при 11| (0, 1).

5.	Лемма. Пусть и =	—симметричная матрица размера

dxd, ф —число. Предположим, что («|, ф | £ |2 при всех | е Еа.
Тогда при всех единичных I	'

р (/) (ul, I)	Fi (utJ) 4- ф-Л (б;/),

Р (ul, I) Fi (Uy) 4- Ф-Л (6/y).

Доказательство. Предположим сначала, что и>0, и
возьмем г) = }/«/, €==|т)1~а11. £ = Тогда (£,/)=(£, П)=1,
a‘yWi/ = trau = trprua}/'« и для й'.— ~\Ейа]Еи очевидно
^1С|-2(^, »-(«/, ОН, В)-
Итак., tra(<o)u^s(ul, /)(а(со)5, £)• Возымей верхние грани
по со от обеих частей этого неравенства. Тогда, вспоминая, что
(/, В) = 1, заключаем

(uif) Ss (ul, /) Fi	(ul,	(ul, I) |X.

Эти неравенства доказывают лемму при ф>0, а соображения
непрерывности доказывают ее и при ф^О.

Рассмотрим теперь случай ф<0. Так как (Uy—фбу)э»0, то

Л (ку) Ss Fi (ay — фбу) 4- inf ф tr а (со) Э®

<0

2= р (/) [(и/, /) — ф] — гр- sup tr а (со)	ц [(«/, /) — гр] — ф-Fi (бу),

(fl

Отсюда утверждения леммы очевидным образом следуют и при
ф<0. Лемма доказана.

6.	Теорема, а) Пусть р(()>0 для некоторого единичного
вектора I, тогда Соболевская производная Ощщ существует и огра-
ничена на Ed. Кроме того, если постоянная д^О такова, что
v+K\x\9 выпукла вниз на Еа, то (п. в.)

4* (О О(л (О	2Х sup tr а (со) 4-1 vx | sup |fe(®)| +

4- | v | sup fe(o>) 14-sup |/(в>) I, D(/)(n>-2K.	(7)

(fl	co

б) Если p > 0, то все Соболевские производные существуют
и ограничены на Еа-

Доказательство. Найдем по лемме 1 постоянную К так,
чтобы v + К | х |8 была выпукла вниз иа Еа и возьмем какую-ни-
будь меру v, относительно которой абсолютно непрерывны все
меры. vxtxj(dx) и мера Лебега. Определим функции оу(х), р(х)
так, чтобы

Уу = vxtjcj (dx)lv (dx), р = dx/v (dx).

По теореме 3 для любого шей почти всюду по мере v

а*' (со) оу «С

sS (| vx | sup | b (co) | -f-. v | sup | c (co) |4- sup | f (co) |) p =: gp.	(8)

(0	(fl	©

Далее, множество матриц {a(©):cosQ}, как подмножество
подходящего евклидова пространства размерности d2, является
сепарабельным. Выберем в нем счетное всюду плотное подмно-
жество {а(сол)| и заметим, что для любой матрицы tty имеем
/7i(uy) = supa’^(con)uy.
п.

Неравенства (8), верные при каждом со = со„ на множестве
полной v-меры, будут верны на некотором множестве полной
v-меры при всех со9 сразу, так как счетное пересечение множеств
полной меры имеет также полную меру. Вычисляя на этом мно-
жестве в (8) верхнюю грань по <о„, находим	(п. в« v)’

С /фугой стороны, очевидно, v^w(dx)-i-2Kdx'^0t уц11У^
^—2Кр (п. в. v). Отсюда по лемме 5

— 2/<р «С	р*1 (/) gp + р.-1 (Z) 2/<р sup tr а (®) (п. в. v).

(В

Переходя от плотностей по мере v к исходным мерам, заклк>
чаем

— 2К dx	vxtxj (dx) ГУ Ц-1 (0 (§+2К sup tr а (<о)j dx. (9)

Отсюда вытекает, что мера vxixj(dx) ГУ абсолютно непрерывна
(относительно dx), а так как плотность этой меры автоматически
является соболевской производной вида то мы получили
существование последней. Поскольку неравенства (9) эквивалентна
теперь (7), то утверждение а) доказано.

Для доказательства б) достаточно заметить, что в силу а) и
(7) все еоболевские производные вида при |/| = 1 суще*
ствуют и равномерно ограничены на Еа. Кроме того, =
= $ [°(4)(4)“ °C-) 0-)]’где	е<“‘*й базисный

вектор. Теорема доказана.

7.	Замечание. Из определения р вытекает, что р>0,
если

sup inf о‘/(<»)ВТ>0
® 151 = 1

или если найдется шей такое, что
inf a‘>(tt>)^V>0.

5 I”1

(Ю)

Последние два условия нельзя выразить в терминах функ-
ции F, задающей уравнение (1.1). В то же время, по существу,
последнее из них в некотором смысле эквивалентно неравенству
р>0.

В самом деле, пусть р>0. Так как а(<о) ограничены по <в,
то существует постоянная К, для которой | cP (со) ВТ —
— a‘z(®) п’г/1«СК15 — Л| при всех шей, 111 = 1ч 1 = 1. Возьмем
конечную 4-1р^1-веть {|lt	на единичной сфере в Еа и

при каждом k = 1, .... п определим о* гак, чтобы cfl
Ss^-p. Тогда для Д!= i(a(®i)4-...-+-a(a>n)), %<=Еа, |5|=>1
имеем

«ПТ > I И (<>*) ВТ—а4 (о*) ЙЙ)+7 # С®*) В& Ss

1 1 . 1 1 1 /11А

. - -<U)
где Eft выбрано гак, чтобы | Е — | «С 4-1р./(-1. Теперь добавим
к множеству Q некоторый элемент и положим а''(а) = й",
Ь‘ (о) = п-1 (Ь‘ (®i ) + ••• + Ь‘ ((оя)),	с (О) = п-1 (с (о>1) +... + с (©п)),

= + • + /(<»,))- 1.

Понятно, что при замене Q на {®} (J Q в силу (11) будет вы-
полнено условие (10), а функция F вообще не изменится. Следо-
вательно, при выполнении условия р>0 можно, не меняя урав-
нения (1.1), расширить множество Q так, чтобы условие (10) вы-
полнялось на расширенном множестве.

8.	Замечание. Для вычисления F(Uy, ut, и, х) достаточно
знать Ui, ..., «4 и Uijl'V при всех /е{/: р(/)>• 0}. Иначе го-
воря, если и1ц11Р = иацГ^ при всех I е {/: p(Z)>0}, то F(u},, и„
и, x) — F(ulj, Ut, и, х). В этом смысле условие р(/)>0 описывает
все вторые производные «реально присутствующие» в опе-
раторе F[u].

Для доказательства этого достаточно показать, что если
Uyl'V = иЧ)11У при р(/)>0, то а(/(®)	= a‘z (со) при всех

ыей. Положим Uij = Uij — u'ii и возьмем некоторое юей. Оче-
видно, р (/)Э* inf {or (co)g'£; : Е е Ел, (I, £) = !}, причем последняя
нижняя грань, как нетрудно видеть, строго больше нуля для
всех (©)£*, ^=#0. Поэтому цу/^ = 0 на \fa(<s>)Ed, в част-
ности, = 0 для всех собственных векторов 1Ь матрицы а (о>),
отвечающих ненулевым собственным числам X*. Так как а (со)
выражается через lk, Xft с помощью формулы а'1 (со) = то
а4 (ч>)иц = 0, а'7 (<о)«'/ = а,/(©)«?,, что и требовалось

В заключение приведем некоторые призеры уравнений вида
(1.1), для которых мы установили существование решения. Если Q
состоит только из двух точек, то уравнение (1.1) эквивалентно
совокупности трех соотношений:

L (<oi) и + / -si 0, L (с»2) и +1 !ю2) ^0,
(L (<О|) и + f (<O1); tL (<J)2) и -\-f (CO.J) =0.

В еще более частном случае, когда L (<«») =—в, получаем си-
стему соотношений, типичную для задач со свободной границей
в теории дифференциальных уравнений и для задач об оптималь-
ной остановке диффузионного процесса в теории случайных про-
цессов Нетрудно в одномерном случае убедиться, что если опе-
ратор не вырождается, L(w2) = — в, то р>0 и вторые
производные функции о, вообще говоря, разрывны, хотя в огра-
ничены в соответствии с теоремой 6.

Уравнение |иЛ| — eu = f также является частным случаем
уравнения (1.1), так как |u*| =sup ($их>: | g | = 1). Для этого
уравнения лемма 1 дает только оценку вторых производных и
снизу. Совокупность трех соотношений

Ди — ви+Д^О, |«*| —ви^/а, (Д« —eu+fildu,!—ви —/8) = 0
легко приводится к одному уравнению (1.1). Для этого случая
р>0 и все вторые обобщенные производные функции v ограни-
чены.

Все эти примеры годятся только в качестве иллюстрации.
Отметим, что важнейшие для развиваемой здесь теории примене-
ния результатов этого параграфа читатель увидит в § II 1.2.

Примечания

§ 1.	В большом количестве случаев правой части (3) можно придать
разумный смысл, и тогда она действительно лает решение уравнения (1). Этот
факт иногда очень удобно использовать при нахождении оценок сверху
равномерных, по а. Достаточно решить уравнение (1) и оценить и сверху.
Именно таким 'способом в § II 1.3 будут получены известные оценки Алексан-
дрова, играющие решающую роль в развиваемой здесь теории. Конструкция
оператора Р^, по сутн дела, взята из теории управляемых диффузионных
процессов (ср. Крылов [10], гл. III). Утверждение е) теоремы 3 на языке этой
теории носит название принципа Беллмана.

§ 2.	Вывод уравнения (2) есть так называемый традиционный вывод урав-
нения Беллмана в теории управляемых диффузионных процессов (ср. Кры-
лов [15]). С точки зрения этой теории обычными являются и остальные по-
строения параграфа (ср. Крылов [10], гл. IV). Условие р > 0 теорейы 6 носит
название условия слабой невырожденности оператора F. Утверждение б) тео-
ремы 6 можно извлечь из работ автора [5] (ср. также замечание 7) или [6],
Глава III

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В Xf ДЛЯ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
Й ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Эта глава посвящена разработке общих вопросов теории нели-
нейных уравнений. Основное внимание здесь уделяется оценкам
А. Д. Александрова, принципу максимума, теоремам единствен-
ности и теоремам о предельном переходе под знаком нелинейного
оператора. База для всех построений главы закладывается в §§ 1,2,
где е помощью результатов предыдущей главы изучаются эллип-
тические и параболические уравнения с операторами Монжа —
Ампера во всем пространстве. Читатель, интересующийся только
Окь-теорией невырожденных нелинейных уравнений, может опу-
стить §§ 4—7.

§ I. Некоторые свойства Х-выпуклых функций

Пусть число л>0 и функция «5=0, и<=Ст(Еа). Будем го-
ворить, что функция и является К-выпуклой, если матрица
(Хы(х)в(/—при всех xeEd. Всюду ниже в этом
параграфе предполагается, что и Х-выпукла.

Понятие Х-выпуклой функции обобщает понятие функции,
выпуклой вверх. Для нас важно, что существует достаточно бо-
гатый запас Х-выпуклых ограниченных функций, в то время как
ограниченными выпуклыми на Еа функциями являются только
постоянные. Геометрически выпуклость функции известным обра-
зом интерпретируется с помощью рассмотрения хорд ее графика.
Оказывается, что аналогично можно интерпретировать и Х-выпук-
лость функции, но только вместо отрезков прямых надо рассмат-
ривать отрезки графика функции схв^+^е-'е(—оо, со)),
являющейся решением уравнения — Хы = 0.

1.	Лемма, а) Пусть x,ycEd, х=£у, г=у|х — у\, тогда
u(i±y._L.t У—। Ы(»)511(г+<)Г1 (П
“I 2 + 2r	sh(2rKx) + W sh(2rkT) U>

при is[—r, d- В частности (при t — Q),

„ (х+у\	“ (*)+“ (у) .

\ 2 ^2ch(r/x)’

(2)

б)	и (у) S& и (х) е- 'У'*’ I «-я при всех х, у & Еа;

в)	| grad и (х) | и(х) при всех хеЕ^;
г)	если и (у) —О для какого-нибудь у, то и = 0.

Доказательство. Обозначим левую и правую части (1)
через <р(0, ф(0 соответственно и заметим, что

1<р - ф„ - (XuSy - и?жу) -]^г	3= О

Хф — фл = 0, <р(±г) = ф(±г). По принципу максимума ф^ф на
{—г, г] и а) доказано.

Возьмем в (1) в качестве ij точку x + s и в качестве i

число [у — x|=-g-s, где s^|z/ —х|. Тогда получим

и (у) 2* и (X) sh<s-|y-xj)K и / J>-x \ 2Ь1У-Х|П

W	sh(s/x)	\	\У—*и

Так как последнее слагаемое неотрицательно, то отсюда при
а—>-оо вытекает б). Из б) для любого единичного 1^.ЕЛ

«</) (*) = Пт	и (х) Нт 1~~е.—— = и (х).

' <*о	*

Отсюда | grad и (х) | < J^ku (х). Наконец, г), очевидно, следует
из б) Лемма доказана.

2.	Замечание. Нетрудно показать, что выполнение (2) при
всех х, у <= Ed вместе с гладкостью и в свою очередь влечет по-
ложительность матрицы (kudij — uxixjy

В дальнейшем нам понадобятся некоторые неравенства для
функций от матрицы (Xu6w — u(l)Cj). Выводом этих неравенств мы
сейчас и займемся.

Для любых чисел wy(i, i — l, .... d)^m = 0, ..., d обозначим

D (wv) - det (дау), cm (wy) =	О (рбу - wu)

с5/Г“1=сц(ы/х4

Отметим простейшие свойства введенных функций.
3. Лемма.

а

a)	D(X6y —оуу)= 2 ИЛ

m ==0

б)	Для любого v е (— оо, оо)

т	,

fe«o 4	7
в)	Если матрица (w^) симметрична и отрицательна, то
матрицы	симметричны и отрицательны.

г)	Любых *• /•	г=1> •••> Л

Доказательство, а) следует из того, что D(X6,7 — w{j)—
многочлен степени d по 1. Для доказательства б) достаточно про-
дифференцировать по и следующее равенство, которое справед-
ливо в силу а):

D №tJ — wtJ) = D ((р - v) 6<у 4- (v6v — ауу)) =

d

= 2 (н— v)rf_V(—vSit+’Vif'i.

fc-=o

Докажем в). При т = 0 очевидно с^ = 0. При т^1, как
известно, c”*(a»i/) —сумма определителей главных миноров по-
рядка т матрицы (—wtj). Напомним, кроме того, что матрица
с элементами  det (vrs) положительна, если (ог4) симметрична
и положительна (так как, будучи умножена на det(u„)-’ при
det(vrs)>0, дает обратную матрицу к (vrs)). Отсюда и из рас-
смотрения отдельно каждого главного минора порядка т матрицы
(—wij), которая, как и вве ее главные миноры, положительна,
находим, что

Утверждение г) легко вытекает из определения определителя
матрицы. Лемма доказана.

4.	Лемма. Пусть последовательновть чисел сц>, ..., аа таг
кова, что при n — Q, ..., d— 1

^)(-iyaa-„+i^Q.	(3)

Тогда при всяком хе Еа отрицательно определена симметричная
матрица « элементами

У! атка~тиа~тс^. (и] = У
m=0	m — 1

Доказательство. При А = 1, ..., d положим
По предположению	Кроме юго, но лемме 3 б)

а

2 атиа-тка-тс”[и] =
т = 0

'1 т	/ л ь\

m = 1 k = 1
а

= S bk^u>a~kcii(-^rs+u^A
4 = 1

Остается воспользоваться леммой 3 в). Лемма доказана.

5.	Замечание. Если задана бесконечная последовательность
чисел Оо, ch, для которой

при всех и, fe^O, то эта последовательность называется вполне
монотонной (см. гл. VII, § 3 книги Феллера [1]). По теореме
Хаусдорфа для вполне монотонной последовательности а0> аь ...
найдется положительная мера F на [0, 1] такая, что ат =
= ^tmF(dt) при всех /п^О. В этом случае утверждение леммы
сразу вытекает из следующей формулы:

d

2	М = - $	(ЛН«6„ - иг^ F (dt).

m = 0

6.	Замечание. Пусть ап = а(п) при п = 0, ..., d, где
a eCrf-1[l, d], и

(—1)«а(«)(/)>0	(4)

при n = 0, 1, ..., d— 1, fe[d — п, dj. Тогда последовательность
ап удовлетворяет условию леммы 4.

В самом деле при п = 0 неравенства (3), (4) эквивалентны. При
1 левая часть (3), будучи умножена на (—1)я, дает н-ю раз-
ность для а (/) на отрезке [d — n, d]. Отсюда по известной фор-
муле

п	11

Ё (- 1)‘аа-п« = (- 1)»\dtb..\(d- и + /,+... + tn) dt„О
1=0Х '	00

получаем неравенства (3).

Следующая лемма вытекает из леммы 4 и замечания 6, так
как функции a(t) — ^7^71 , * удовлетворяют условию (4)
при p^td+1.
7.	Лемма. При p^d+1,	и>0 отрицательно опре*

делены матрицы с элементами

d

т = 1

d

m(m+l)	</1

ГП= 1
d
2 ^r’^d~muP'~m~icTilu}'
tn — 1

Для доказательства основного результата этого параграфа
нам понадобится еще одно утверждение, являющееся часгным
случаем леммы со стр. 505 книги Данфорд, Шварц [1].

8.	Лемма. Пусть w(x) трижды непрерывно дифференцируема
на ЕЛ. Тогда при всех т = 0, ..., d, i=l, .... d на Ed

^^H=-irC7H“’]=0-	<5>

Доказательство. Понятно, что для це(—оо, оо), о=»
= у р | х|2 имеем ।
d

2	CiiН = '^7 Da,U 0х6" “	= -^D^((v~

/Пяв: О

Отсюда видно, что (5) достаточно доказать при /n = d. По лемме
3 г)

"дхГ	(“* А’) = ^->wiiwkr WM ~

*“ ~ Dwirwkiwxk^ =!~~ЗхГ Dwir (®а«Х

Этим доказано равенство крайних членов в (5) при m = d.
Аналогично устанавливается и другое равенство. Лемма дока-
зана.

Перейдем к основным результатам этого параграфа.

9.	Теорем а. Пусть постоянные Т, К. > 0 и на Ем задана
бесконечно дифференцируемая по (t, х) ^выпуклая по х (при вся-
ком t) функция u(t, х), равная нулю при t^T и такая, что при
всех t, х

ku-ut^Q, iMl + lu/KKe”^1*1,

d	d	(6)
Пусть p^d+1. Тогда для любых (t, х)^Еа+1

рК-ае>'Л* J ds $ e-^Psup-^^ (Ku — us) D (Ku8lf — uxtxfy dx

* Bd	'

2*II«(t ’) (Ed) *ddl (p Г^ир (t, x),	(7)

где xd —объем Si и (при p=^d+l) u°:~ 1.

Доказательство. Положим u(t, x) = u(t, xje-**. Тогда ле-
вая часть (7) приобретает вид рК-^е^А, где

А — — J ds J vsvp-*l-lD (Коду — vxixA dx=

* Bd
do©	d

= —	Ё	A”-	(8)

m«0 E^t	m<=0

Преобразуем каждый член последней суммы отдельно. Про-
интегрируем по частям по s и воспользуемся тем, что в силу (6)
в результате мы получим абсолютно сходящийся интеграл по
dsdx, который можно записывать как кратный в любом порядке.
Тогда получим

Лт =-pZ^t ( Kd-mvp~m (t, х) д"[о(1, x)]dx-f-

+ f * f	[c]dx.

1 Bd

Последний интеграл проинтегрируем два раза по частям по
х‘, xJ, «перебрасывая» производные по xW с vxtxjs на ир-™с£? [и].
При этом будем пользоваться леммой 8, которая говорит, что
дифференцировать с^[о] по У, х7 не нужно, предположением (6),
в силу которого внеинтегральные члены пропадут, а также тео-
ремой Эйлера об однородных функциях, по которой ох<Л|Мв
= /пс™ [nJ. После этого получим

Ат =	( М-тур-т (7, х) ст ц, х)]	_ тДт _|_

Bd

+ (р — т— 1) J ds J	[о] dx.	(9)

f Ed

Во избежание недоразумений, при р^т + 2 обратим также вни-
мание читателя на то, что по лемме 1 в) для тех s, при которых
v(s, -)^ёО, имеем vp~m-2^vxiVx/l ^Kvp-m, для тех же s, при кото-
рых v (s, •) sb 0, последний интеграл по Еа считается равным нулю.
Соотношение (9; есть уравнение относительно Ат. Найдем из
него Ащ и подставим результат в (8). Креме того, используем
лемму 7, по которой и в силу неравенства цу=сО имеем

 У, Р т+Г~' 	М °-

/п==1

Эго нам даст

а

Л > 2 Ср-тПт"+П S №~mvP~m & х> & Х)1dx- <10>
т=0	Еа

Заменим здесь [у] при т 1 на [у] vxtx/, проинтегри-
руем по частям по х* и воспользуемся тем, что по лемме 7

d

т=1

После этого мы увидим, что А больше слагаемого, отвечающего
т = 0 в (10), т. е. АS&р-Щ||v(t,

Мы доказали первое неравенство в (7). Второе вытекает из
леммы 1 б), так как

J ир(/, y)dy^up (t, х) e~p^x — pidy — ир(t, х) иаd! (p]fК)~а'
Е</	Еа

Теорема доказана.

10. Теорема. Пусть p^d, К>0, функция и h-выпукла и

ЙККГ*1’1,	(И)

i.i

при всех х е Еа. Тогда при любых x^Ed

$ up-4D(Xu8ij — uxixAdx'^kd J updx^sup(x)(12)

Ео	Еа

где (при p = d) и®: = 1.

Доказательство. Пусть сначала p>d. Это предположение
вместе о (11) обеспечивает существование нужных интегралов и
позволит нам ниже при интегрировании по частям обратить в нуль
внеинтегральные члены. Имеем

d	d

J (Xm6v — uxtxi)dx= 2 $ 'Kd-mup-me,l\u}dx = -. У, Am.

Ea	m=^Ed	m=0
Здесь, как и в предыдущем доказательстве, при т 1

Ат ~ J Kd-muP-muxix,c” [u] dx =

= — Р~ОТ j ka-mUp-m~1UxiUxj(^‘ [и] dx.

Отсюда по лемме 7

J uP-^DQMdif — uxtx/)dx=>
‘ri

d

= ?/£ updx — § 2	(uv/cm[u]dx^V у updx.

crf	' t<Zm=l	<=„

Как в предыдущем доказательстве, и{Х) оценивается через
последний интеграл, поэтому остается рассмотреть случай p = d.
При этом можно, разумеется, считать, что J D(ku8if — uxllcljdx<.<x>,
и 3=0. Если и =30, то и(х)>0 при всех х и, как- легко следует,
из теоремы о мажорируемой сходимости

J D(Xu6v — uxtx/) dx = И tn J u^D (ku8if — uxixf)dx.

Поэтому в (12) можно сделать предельный переход при p^d,
и теорема доказана.

§ 2.	Оценка решений специальных нелинейных уравнений

Речь пойдет об оценках решений эллиптических и параболи-
ческих уравнений (12), (19) типа уравнений Монжа —Ампера для
Z-выпуклых функций. Существование решений этих уравнений
будет получено с помощью результатов гл. II. Оценки, которые
мы затем докажем, будут играть решающую роль в следующих
параграфах этой главы.

Фиксируем число ).>0 и обозначим через Q множество всех
неотрицательных симметричных матриц размера dxd, Qo =
= {<i)sQ: trcoag 1}, Q| = {aeQ: tr<o = l}. При	пусть

г (©): = 1 — tr ©.

1.	Лемма, а) Если ©, «и е Q, то

•g	-tr ©©i^p^det о y^det ©р	(1)

б)	При «ней

у, det «и = 4 inf tr <o(oi,	(2)

“ on{det«> = l)

dz—

и у det © — функция на Q, выпуклая вверх.
в)	Если (i)i G й, i = 1, ..., d - 1, ci (®i) — определитель, состав'
ленный из матрицы ®i после вычеркивания в последней первых I
строк и первых i столбцов, то

det sg ®J’...	(©j) *).	(3)

Доказательство, а) Обозначим ]/®x — симметричный неот-
рицательный квадргтный корень из матрицы ®i и заметим, что
по неравенству между средним геометрическим и средним арифме-
тическим для любой матрицы аей имеем trm^d>/-det ®. Отсюда

tr (0(01 = tr (0	detQ/^O!(о У (Oi) = d y^det (о det ®v

Этим а) доказано. Докажем б). Выпуклость^ det (о—следствие
формулы (2), представляющей эту функцию как нижнюю грань
линейных. Из (1) сразу следует, что левая часть (2) меньше ее
правой. Обратное неравенство верно, так как
lim tr [(®i + el)-1 у/ det (®i + el) ®i] =
e|0

= yf det ®i lim tr [(coi 4- s/)-1 ®i]	det сог **).

ejO

При доказательстве в) имеется очевидная возможность индукции
по I, и поэтому достаточно рассмотреть случай 1=1. Пусть £2' —
множество всех матриц шей таких, что det® = l, ®u = 0 при
»=/=!. В силу (2)

inf tr cocoi = inf inf /ю}1®11-}- У, ©{/®'Л =

Q'	. ш“>Ос, (®)\	(,/>2	/

___1_ \

®}1®U + (®U) 4-1 У a)</(o</j =
/>2	'

/	_____Ld-i______\ d ___________

= inf ©i1®11 + (d — 1)(®U) d~1 VCi(®i) = d]/~®“Ci (®i).
®«>o\	/

Первое из этих выражений, а следовательно, и последнее, в си-
лу (2) больше d У det ®i. Лемма доказана.

Следующая лемма связывает уравнения типа уравнений Мон-
жа-Ампера с уравнениями из гл. II и показывает путь, по кото-
рому мы будем следовать в доказательстве разрешимости этих
уравнений.

2.	Лемма. Пусть и—симметричная матрица размера dxd,
f, и0 — числа. Тоеда: а) если d^2, то для того, чтобы имело

*) Суммирования по i нет,

/ = (6‘7),
место равенство

max (tr det со f) = 0,	(4)

шей,

нео* ходимо и достаточно, чтобы u«gO, (/+)rf =	det (—и); ото

утверждение верно и при d — 1, если

б) для того чтобы имело место равенство

max {г (со) й0 + tr сои + d г (со) det со/) = 0,	(5)

we

необходимо и достаточно, чтобы ио^О, и «С О,

(Z+)rf+1 = (d 4-1 J**1 (— «о) det (— и).

Доказательство. Без ограничения общности будем счи-
тать, что и —диагональная матрица, и рассмотрим сначала случай
/>0. В этом случае tr сои = со1,иа и, с одной стороны, det со «С
<<о«.....®" по лемме 2 в), так что максимумы, стоящие в (4),
(5), не превосходят максимумов по диагональным матрицам
со gQ1( со г Qo соответственно, с другой же стороны, очевидным
образом имеется и обратное неравенство между упомянутыми
максимумами. Отсюда видно, что при />0 утверждения а), б)
будут доказаны, если мы докажем, что при

max(.S	f- ®i>0» У, <0i = l) = 0	(6)

'1 = 1	4 = 1 /	1 = 1	/

тогда и только тогда, когда

«»^0, /" = п"П t—“О-
i=i

(7)

Докажем эквивалентность (6), (7) (при />0). При п = 1 эта
эквивалентность очевидна, даже если f Поэтому предположим,
что п^2, и выведем сначала (7) из (6). Из (6) при ®i=l,
ft>i = 0 для 1'5=2 следует, что Ui<CO. Аналогично при всех i.
Если бы «х равнялось нулю, то левая часть (6) была бы строго
больше нуля, что легко вытекает из сравнения скоростей сходи-
мости к нулю при 14 0 выражений

л	Г	п 11/я

2>1, (1-(п-1)0Ш /•

1=2	L	1=2 J

Поэтому «х<0 и «1<0 при всех I. Отсюда сразу следует,
что если дает максимум в (6), то ©,>0 при всех I. Наконец,
из неравенства между средним геометрическим и средним арифме-
тическим чисел находим

п	/ п \ 1/л	/ п \1/п /	/ п	\^п\

o=S®i«i+(II®< ^П®< /-«П(—«О •	(8)

1=1	\t ,1 /	\t=l / \	\i = l	/ /

Это дает вместо равенства во втором соотношении (7) неравенство
определенного знака. Противоположное ему получается из (6),
если в качестве со/ взять (£ U71)-1.

Выведем теперь (6) из (7). Из неравенства в (8) и из (7) сле-
дует, что левая часть (6) отрицательна. С другой стороны, и, -<0
при всех i, так как f>0, и при <0/= и?1 (£ и?1)-1 неравенство
в (8) превращается в равенство, из которого вытекает, что левая
часть (6) положительна.

Обратимся к случаю Рассматривая в (4) диагональные
матрицы (о, у которых только один диагональный элемент отличен
от нуля, как и выше, находим, что	При этом понятно,

что шахп“ = 0, так как предположение и“<0 легко приводит
к противоречию. Следовательно, det (—u)=0 и мы доказали необ-
ходимость в а). Аналогично доказывается необходимость в б).
Достаточность в а), б) при почти очевидна. Лемма доказана.

3.	Теорема. Пусть f ^C2(Ed), f^O, f финитна. Тогда
существует неотрицательная функция и(х), заданная на Еа,
такая, что:

!х!

ё) v^Ne N при всех х для некоторой постоянной N,
обобщенные производные вида vxi, vxixj, i> /=1, d существуют
и ограничены на Ed\

б)	для любых (о ей (и. в.)

— Xvtr +	+ detcof^O, luJ’C

(9)

в)	для любых х^Еа, p^d,

!	JL-i	_1

I°Ьр (Ed)	kp(Ed), v (x) < X2p	d1 (Kadlp-4)	hp(Edy

(10)

Доказательство. Возьмем в § II.1 Qj, X в качестве Q, е
соответственно и при w e Qi обозначим а (®) = со, b (®) = 0, € (<о)=
= —Xtr<B = — X, f(®)=/yrdet®. Положим и = Р0/ и докажем,
что v обладает свойствами а) —в). Заметим, кстати, что и^=0
по теореме II. 1.3.

Воспользуемся, далее, результатами из §11.2. В нашем случае
Р1(ыу) из (II.2.4) есть наибольшее собственное число матрицы (му),
поэтому (см. (11.2.6))

|1= inf А(Й/)- inf |£|2 = 1.
igi-i	ij|=t

По теоремам 11.2.2, II.2.6 все еоболевские производные vxi,
существуют, ограничены на Еа и

max (<оУо,г/ — Хс> + у' det со/) = О (п. в.).
(OS2t '	'

<1Ь

Отсюда и из воображений однородности по со вытекает первое
неравенство в (9), из него при	— следует неотри

цательность матрицы (Хуб^ —ух<х/) (п. в.).

Для доказательства второго неравенства в (9) возьмем I е
eCj°(£rf) так, чтобы t^O, j£dx=l, и при б>0 для любой
локально суммируемой функции и будем применять обозначение
и(6) (х) = и (х)-*	(б-1*). Понятно, что 0^(Хубу —у<<х/)(в)--

= (Хо(в)бу — с'ХД и» значит, у(б) Х-выпукла. По лемме 1.1 в) имеем
| v | «С V^Xу(в). Отсюда при б 10 следует | их | v (п/ в.),
и утверждение б) доказано.

Далее, нетрудно видеть, что существует постоянная No такая,
что

/(х) < А^оХch-3(| х |/X), f (*) А/о/Xch-8(| х|j/X)ft(l,x ,П).

при всех xeErf. Для и(х):= ЛГовЬ-1^ х | Vx) с помощью непо-
средственного подсчета при co е Qi находим

Ь (со)«+/ (<*>) -	fsh8 (| х | /X)	- ch8 (| x | /X)] +

+ /det co —XJVo

- /Vo/X

I	(д1/Х1Х/ __

ch»(j x | /X) x i2

1	sh (| X 1 /X)

cb8(|xi/X) lx

<n‘IX‘Xl \

xl2 /

Здесь выражение в квадратных скобках отрицательно, гак как
|sh/|^ch(, trco = l. Оставшиеся выражения в правой части
по выбору ^o не превосходят

так как }/ det со dr1 tr m = d-J I. ('тало гыть, L (со) и -J-/(со)^О
и по теореме И.1.3 б) имеем = и-\-Р0ЦLu)^u. Мы
доказали утверждение а).
Так как	— Ли = <в‘>(yxtx/ — tody) в (II), то по лемме 2

det(A»6v—(п. в.).	(12)

При б>0 положим

h = dj/det(W47-y(X/) •

Проведенные выше исследования показывают, что функции fo
равномерно ограничены, (п в.) при 6 | 0 и при 8е(0, 1]
существует постоянная N такая, что для всех xeEd

o^(x)^Ne N' .	(13)

По теореме 1.10

d-* J	dx Х* J dx^ (v(64x))p M'^dlp-*.

Bd	Bd

Положим здесь б|0, считая, что p>d. Тогда с помощью (13)
и теоремы о мажорируемой сходимости получим

gP-dftdx^M J vPdx, J vpdxvp(x)A.-^^Xrfdl/r4.

Bd	Bd	Bd

Первое из этих соотношений после применения неравенства
Гёльдера к Jv^/^dx сразу дает оценку Jt^dx через \fpdx и дает
первое неравенство в (10). Второе соотношение вместе с оценкой
Jt^dx приводит ко второму неравенству в (10). Мы доказали в)
при p>d. При p = d достаточно в (10) сделать очевидный пре-
дельный переход. Теорема доказана.

4. Теорема. Пусть на Ed+i задана функция f(t, х)^0,
равная нулю при t^T и при | х| > R для некоторых постоян-
ных Т, R. Предположим, что f и ее все производные по I, х до
второго порядка включительно лежат в	Тогда на Ем |

существует неотрицательная функция v(t, х) такая, что:	j

а)	соболевские производные вида vt, v^, vxtx/ существуют и огра- |
	L|X|	i
ничены на Ем, v^Ne N при всех t, х для некоторой по- i
стоянной /V;____________________________________________________|

б)	для любых	w sQ,	r^sO	।

I

rot +	— X (r + tr co) v + d	r det co f «5 0,	(14)

vt — lv«£0, (Xv6y—v^J^sO,	(п. в.);
в)	для любых x^Ed,	оо), p^d-J-l

v(t, х)^Х2* рр (Xrfdl) * (d+ 1)р х

(со

J ds J g-Mrf+D^p (t ч> х) dx jp,	(15)

° Ел	I

|o(t, •)Й£(*Л<*-’*(‘Н-	(*+s, •)£>«)ds, (16)

o	p

tVb0(£rf+1)<qjyiyllfS^p(Erf+1).	(17)

Доказательство. Проводимые ниже рассуждения во мно-
гом сходны с рассуждениями из предыдущего доказательства.
Возьмем в § 11.1 Ав качестве е, будем трактовать t как коорди-
нату с номером 0 точки (t, х) и при о ей0 обозначим а‘> (<о) = ®^,
i, j 1, aw (®) = ai0 (®) = 0, z^O, 5° = г (®) = I — tr ®, bi(®) = 0

d + I--—- „ ,

при 1^1, с(м) =— X, /(®)= у r(®)det®/. Положим v(t, х)-
=	(t, х) и докажем, что v обладает свойствами а) — в).

Для симметричной матрицы («у, I, /==0, ..., d), как нетрудно
видеть, Fi(«v) из (П.2.4) является наибольшим собственным числом
матрицы (ufy, i, / = 1, ..., d). Отсюда без труда следует, что при

Р=0, |/| = 1 выражение р(/) из (II.2.5) равно единице
и по теоремам 11.2.2, II.2.6 все соболевские производные вида vt,
О'» существуют, ограничены на Ed+i и

/	л	d+, _________\

шах 1г(®) (о/—Ко) + У! ®^(ох<ж/ —Х6,7с1)4- y7(®)det®/) = 0

<862. \	i,/—I '	'	/

(18).

почти всюду на £rf+i. Это соотношение аналогично (11) и из него
утверждение б) выводится так же, как в предыдущем доказатель-
стве.

--— | X 1

Неравенство v Ne N устанавливается в точности так же,
как в предыдущем доказательстве (с той же вспомогательной функ-
цией и).

Нам остается доказать в). Пусть сначала p>d-\-1. Отметим,
что v(t, х) = 0 при t^T', x<=Ed для некоторой постоянной Т'.
В самом деле, выберем g^C^Ei) так, чтобы выполнялись
условия	х),

г	1'

u(t) \ ^Ksg(s)ds^-^f(t, х)

при всех (t, х). Такой выбор возможен, так как / = 0 при t^T.
Понятно, что при (osfij имеем I = r(w)4-tr<o^<Z+i/r((o)det со и

L(to)u + f (<в) =— r(m)g — Х(1 — М®))« +	r(<o) detw/^O.

Отсюда по теореме II. 1.3 б) заключаем, что v = Pof = u-\-
+ Po(f + Lu)^u и v(t, х) = 0 при t^T', если Т' таково, что
g(t) = Q при t^T'.

По лемме 2 из (18) следует

(Хи —1>() det (16цо—ц^/) == (d +1 )_d~Vrf+1 (п. в.).	(19)

Возьмем, далее, £ (/, х) е (Ed+l) так, чтобы С ₽s О, J £ dt dx— 1
и при б>0 положим

vt6}(t, x)—v(t, X) * б-*-1^ (б”Ч, 6_1Х),
h = (d + 1) [(Хо<«> - о<в)) det (X6vo<«> - v%)

В силу сказанного выше функции /в равномерно ограничены
и (п. в.) при б|0. Кроме того, из соотношений типа

= 6-rf-3u * ^xiz (б-Ч, б-гх) и оценки v^Ne N '* вытекает, что
при каждом б>0 функция о(в) удовлетворяет условиям теоре-
мы 1.9. По этой теореме

(d + 1 у-^рк-^р* J ds J е~кр* (c^p-*-1/*+1 dx
‘ E“

8 v(S) (*, •) (Ва)	(PV№ (f(8) <*, x))p.	(20)

Предельный переход, как в предыдущем доказательстве, пока-
зывает, что эти неравенства остаются верными, если в них заме-
нить о(б), fe на v, f. Сделаем такую замену и положим

w(t) = e-u[v(t, -)kp(Ed),	-)kp(Ed),

K = pX-^(d+l)-rf-1.

Кроме того, к интегралу по dx в первом члене (20) применим
неравенство Гёльдера

J	dx^:e^piwp~a~1hd+1.

Еа

Тогда получим
wp \	(s)hd+l (s)ds.

f

Применим далее стандартный способ преобразования подобных
неравенств. Возьмем б>0, Tie(—со, оо) и введем оператор Фа,
действующий на неотрицательные измеримые функции, заданные
на [Т1, оо) по формуле

/ оо	\1/Р

Фвф (() = IК ) Ф^-1 (s) hd+l (s) ds+6 j

' t	I

Нетрудно видеть, что Фе — монотонный оператор, т. е. если
0^ф1^ф2 на [7*1, оо), то 0 sg Фбф* Ф6ф2 на [7\, оо). Кроме
того, в силу финитности и ограниченности h(t), если неотрица
тельные функции ф" в совокупности ограничены и имеют предел
при каждом t, то lim Феф" = Фе lim фл. Наконец, для функции
= имеем Фвф^ф при всех достаточно больших N.

Из этих свойств и ограниченности w(t) на [Tj, оо), выбирая A/i
так, чтобы ~w(O^A^i на [7\, оо), получаем w (/) Фда (/)	.

...^Флге>(/)^Л/1. Значит, ПтФ^ге» существует, и если его обо-
значить W6, то w «с wt, u>6 = ФбО»в. Последнее соотношение является
уравнением для которое легко решить, пользуясь тем, что
и получить

ОО

(шв (0)<+1 = - У-1*- J hd+1 (s) ds + fitrf+n/P.

Это вместе с неравенством при 6 10 дает

р

00

У hM (s) ds

(21)

при (е[7\, оо), а так как произвольно, то и при всех
—оо, оо). Неравенство (21) совпадаете (16).

Из (21) с помощью неравенства Минковского следует

Неравенство между крайними членами в этих вычислениях —
Другая запись неравенства (17). Наконец, из (21) по неравенству
Гёльдера

e-A(rf+l)j (gMft (s))rf+1 ds

у e-A.(rf+l)j	fa

Объединение этого неравенства co вторым неравенством в (20)
сразу дает (15). Мы доказали в) в предположении р >d4-1, которое
избавило нас от необходимости рассматривать выражения вида 0°.
При p = d4-l неравенства (15) —(17) получаются, если в них
положить р | d+1. Теорема доказана.

§ 3. Оценки А. Д. Александрова

В работах |4], [5] А. Д. Александров установил оценки
в норме С решения задачи Дирихле для эллиптического уравне- .
ния вида Lu =[ через <2?р-норму f. Из тех оценок, которые
доказываются в этом параграфе, только одна (см. замечание 12)
непосредственно принадлежит А. Д. Александрову. Тем не менее
основная идея ее доказательства А. Д. Александровым, замеча-
тельная идея использования уравнений Монжа — Ампера, явилась
основной и в доказательстве других оценок этого параграфа.
Поэтому мы и объединили все эти оценки в один параграф под
названием «Оценки А. Д. Александрова». Отметим еще, что,
несомненно, тяжелые для первого чтения аналитические методы,
которыми мы здесь пользуемся, к сожалению, совершенно
отличны от прозрачных геометрических методов А. Д. Алек-
сандрова.

Точки пространства Erf+j в соответствии с договоренностью
из § 1.1 будем обозначать парами (/, х), где t <= (—оо, оо), х <= Еа;
фиксируем некоторую область QczEd+1, число 7?>0 и будем
считать, что Q a: CR: = {(/, х): |х|</?}. Предположим, что при
всяких (/, х) е /' определены: симметричная неотрицательная
матрица a(t, x)=*(ali(t, х)) размера dxd, d-мерный вектор b(t, х)=
= (&'(/, х)) и числа r(t, x)5s0, c(t, х). Предположим, что а, Ь,
с, г измеримы, и обозначим

Lu = гщ 4- &Juxixi 4- Vuj 4- си.

На протяжении всего параграфа предполагается, что сущест-
вуют постоянные Ki, А 0, е е (0, /?-1) такие, что

ск^0, |6|<etra+^p/-^+|cK|] (О

при (/, х)е<?, Хт£0, где ск:—— Кг+о.
1.	Лемма. Пусть Е = 0. Тогда существует функция фе
eC^.(£rf), зависящая только от R, Ль е, х, такая, что ф^О,
£ф + |&IЧ-trasgO при (/, x)sQ, х#=0.

Доказательство. Так как L(7?2 —|x|2)-)-tra =— tra—
— 2 (b, x)+c(E2 — lx|2)^21 b | R, то нужно построить только
такую фаС^ДЕД что гр 0, Еф +1 b |	0 при (/, х) е Q, х#=0.

При а>0, 0>ch(a/?) положим ф = 0 — ch (а | х |) и при хУ=0
обозначим

*=-4г, Р = И, f«etra+/G(aWV-Hc|).

I л I

Несложная выкладка показывает, что при х=/=0 в силу (1)
имеем |Ь| и

/ :=(1 +asha|x|)-1(— Еф — /) =

= (1 + a sh а | х I)-1 |— c (0 — ch ap) + a (sh ap) (b, K) -f-

+ a2 (ch ap) (ah, X) + ~ (sh ap) [tr a — (ak, X)] —

+	«1-f-	®

Заметим, что ch сер 1, ch ap sh ap, a sh ap a2p и при
(/, x)sQ имеем p^R. Поэтому
p—chap	g—chaff

I 4-ot sh ap 1 +a sh aR ’
a2 ch ap	a2 ch ap __ a2

1 4-a sh ap ‘""cb ap4-ach ap 1+a *

J a sh ap 1 a2p a2
1 4-ashap p 1 +a^p 1 -|-a2ff ’

Следовательно, из (2)

l^~c i+ashafl +<a^’ T+a	1+<х«Яhr* ~—

Выберем теперь a столь большим, чтобы	T4-a

^Ki + e. После этого возьмем столь большое число 0, чтобы

Р—cha/? к

l+asha/?=^A1'

Тогда мы увидим, что Z Ss — сКх + (aX, X) (/<i+e)H-e [tr а — (ah, X)]—
—/ = 0. Стало быть, Lip + f^O, Lip + |&|^0, и лемма доказана.

Основную роль в этом параграфе играет

2.	Лемма. Пусть Е = О, Q = CR, все коэффициенты L огра-
ничены в Q и для некоторой постоянной 6>0 при всех
(t, x)eQ выполнены неравенства г 3s 6, (aX, Х)^61X |2. Пусть
еще и	и{1, х)^0 при \x\ = R. Тогда при (f0, х0) е Q

и (/о, Хо) NII (Г det а)~	(Lu)-1rM (Qn {/ > <о}),	(3)

где N зависит только от R, Кь е, d.

Доказательство 1°. В (3) легко переходить к пределу,
поэтому можно считать, что u^C°°(Q), и = 0 при достаточно
больших 111. Далее, удобно счит^'ь, что b(t, x) = 'i при доста-
точно малых |х|. От этого предположения можно избавиться оче-
видным предельным переходом. Оно же дает возможность сохранить
неравенства (1), если а, I, с, г заменить их соболевскими сред-
ними и заменить на 2Л\ Суммируя сказанное, заключаем, что
лемму достаточно доказать в дополнительном предположении,
что а, Ь, с, г еС°° (Ed+i), u^Cm(Q), u = 0 при достаточно боль-
ших | /|, Кроме юго, если вместо Lu рассмотреть г-1 Lu, то мы
увидим, что (3) достаточно доказать при г=1.

Сделаем еще один шаг, упрощающий нашу задачу. Для этого
возьмем некоторую £ е С“(Ed+i) так, чтобы ^dtdx=l,
и при у>0 для любой локально суммируемой на Ed+1 функции
f (t, х) ПОЛОЖИМ Х)=/(/, x)*y~d~lt(ylt, V*1*), при у = !)
пусть fw(t, х) = f (t, х). Обозначим еще g = (Lu)~, продолжим g
вне Q так, чтобы она стала финитной, положительной непрерывной
функцией на Ed+1, и при у^О определим функции и?, ut как
решения следующих задач:

Lu;=-gr<v> в Q, «Т|1х,_й=0,	(4)

Lu2 — (Lu)+ в Q, (ы2 — и)||х =А=0.	(5)

Заметим, что функции (Lu)± во всяком случае удовлетворяют
условию Липшица на Q и обращаются в нуль при достаточно
больших t. Из теории линейных уравнений известно, что в классе
C®(Q) существуют решения задач (4), (5), равные нулю при до-
статочно больших t. Кроме того, u]’eC°°(Q) при у>0 и
при у | О в каждой точке Q.

Из теорем единственности и из принципа максимума следует,
что u = Ui + «2, и2«С0, us^ui в Q. Поэтому, если при у>0 мы
докажем, что

«т (t0, х0) № (det a)-v(w) (£«?)_ (<гпр> M),
где N зависит только от R, Ki, 8, d, то предельный пер’еход при
у | О докажет (3) для и.

2°. Итак, остается рассмотреть случай, когда r=l, a‘J, bl,
с еС“ (Ed+i), иеС0^), и = 0 при достаточно больших t, и = 0
при |х| = /?, Lu^O на Q, Еы = 0 при больших |<|. Введем на Q
функцию [ по формуле

Lu =—(det a)vw+‘)f.	(6)
Продолжим f на Ed+1 так, чтобы f бС« (£d+i), /^0. В этом слу-
чае обозначим uv решение класса С°° (Q) задачи ЬиУ =
= — (deta)l/(d+l)(ez/)(v)e_/ в Q, иу = 0 при |х| = ₽, такое, что
и1 = 0 при достаточно больших t. Пусть, далее, о —функция,
отвечающая X=l, х) по теореме 2.4,

К(у):= sup {»<?)(/,	t^t0, x<=Ed}.

Заметим, что из (2.15) сразу следует, что К (у) конечны,
lim К (у) < N | / kd+1 (Brf+1n {t > /о}).	(7)

Далее, неравенство (2.14), верное при всех постоянных г, <о,
после свертки с у^-1С(У-1А у-1х) даст аналогичное неравенство,
также верное при всех постоянных г, ®.

Последнее неравенство сохранится, очевидно, если в нем г, со
будут и переменными. Отсюда с помощью леммы 1 при у>0,
t>te заключаем

L (e-‘v^ + К (у) ф) + (det	»<г* (e'f)™ =

— е4	— (1 + tr a) u(v) + (det + *> (e7)(v)] 4-

-|_ e-^p(v) tr а 4- ег*Ь1у^ 4- cHv(v) 4- К (у) Аф

< е4^ (tr а 4-1 b |) - К (у) (tr а 4-1 b |) < 0,
если х#=0, а в силу непрерывности входящих сюда функций и
при х = 0.

Так как еще v(v)^0 и, в частности, v^^u"1 при |х| = 7?,
то по принципу максимума uv (/0, х0)	(t0, *о)4~К(у) ф (*о)*С

^К(у) (14-ф(х0))- При у |0 это вместе с (7) дает

и(/„, Xo)<WS«erf+1(£rf+ln{<>/„}).

Последнее неравенство мы доказали для любой /^0, (Ем)
такой, что на Q выполнено соотношение (6). Легко построить
убывающую последовательность таких функций fa, чтобы еще
/л|0 вне Q, и тогда

«(/о, х0)I lim U	=

Ц Л •“* ОО	(5</4-1П {* > *о})

= N 8 (det a)-V(^x) (Lu)-!^ (<W > M).
Лемма доказана.

Распространим утверждение леммы 2 на случай, когда степень
суммирования d4-l в (3) заменена на р 4-1 при

3.	Лемма. Пусть К = 0, Q = CR, все коэффициенты L огра-
ничены в Q и для некоторой постоянной б>0 при всех keEd,
(A x)gQ выполнены неравенства с^ — 8, г^б, (ak, X) б | X (2.
Пусть и etFp’+i(Q), p^d, u(t, х)^0 при |х| = /?. Тогда при
(4, x0)<=Q

II fL-P __________!_ I

и (to, х0Х N11C |p +1 (r det a) p+1 (L«)_	(Q n {/ > <o})>

где N зависит только от R, K.lt e, d.

Доказательство. Как в предыдущем доказательстве, все
дело сводится к случаю, когда аУ, Ы, c^C°(Ed+^, г el,
u&C°°(Q), и —0 при достаточно больших t, и = 0 при | х| = 7?,
Lu^O. В этом случае обозначим f — — Lu и определим v как
функцию из С2^?), равную нулю при достаточно больших t и
такую, что Lv = — с |t<T-p>/(<i+i^(p+i)/(rf+i) в Q, и —0 при |х| = /?.

Покажем, что и	в Q. При любой постоянной у > О

по неравенству Юнга *) имеем

•	d~P P + 1	n A	<t + 1

= —^+1-lcljq4v p_<X-f=Z,u.

Отсюда по принципу максимума и<Ст^р^+^у-у_('/+1>/(,и4).
Вычисляя здесь нижнюю грань по у>0 и пользуясь леммой 2>
заключаем

d+i

и (/о, х0) VP+1 (4, *о)

d4-ill	d - р	1	р 4-1 Rd 4-1

+ (deta) '+1<ЗД' + '^(0П(,>,о)) =
£±1|| d~p _ 1 II

= дгр + 1||с|р + 1 (deta) pTf(I«)-IL₽<Hl(Qn{«>fe})»

где N — постоянная из леммы 2. Так как	при йе

е [0, 1], то лемма доказана.

Для перенесения утверждения леммы 3 на криволинейные обла-
сти QczCr нам понадобятся некоторые определения.

4.	Определение. Пусть область Gcz Ed+1. Назовем (правой)
параболической границей G множество всех тех точек (to, х0) гра-
ницы G (как множества в £^+1), для каждой из которых найдется
непрерывная функция xt^ Ed и число 6>0 такие, что х/о = хо,
(t, X/)^G при £е[<0 —6, М- Параболическая граница G обозна-
чается d'G.

5.	Определение. Пусть область G cz Ed+1, (t0, х0) е G. На-
зовем множеством влияния на (t0, х0) в области G множество всех
таких точек (4, Xi)eG, что ti>to, и на [/0» 4] найдется непре-

*) Фр+~ гДе Р~х+Я~1
Г	Ч

1. р, q> 1. ф, ф^О.
рывная функция xt^Ed, для которой Х/, = х®, X/, = Xi, (t, X/)sG
при I е (t0, 4]. Множество влияния на (Z®, х®) в области G обо-
значается G(to, хь).

Легко понять, что G (to, Хо) — открытое множество и d'G (t0, х®)
a d'G.

6.	Лемма. Пусть К = 0, все коэффициенты L ограничены в Q,
область Q ограничена и для некоторой постоянной 6 > 0 при всех
k&Ed, К, x)eQ выполнены неравенства с — 6, г^б, (аХ, Х)^
2s6|X|2. Пусть p^sd, ueVIfalQ), и^О на d'Q. Тогда на Q

и < N11 с	(г det a)V(₽+D (Lu)_	W),	(8)

где N зависит только от R, Къ е, d.

Доказательство. Как и в п. 1° доказательства леммы 2,
можно считать, что /•!, аУ, Ь1, ceC°°(£rf+i), аеС°°(ф). Поло-
жим f = (lM)-iQ и определим функцию и как решение задачи:
Lv =—f в (—оо, Т)х£д, о = 0 на д' (—оо, T)xS/?, где Т мы
выберем так, чтобы f(t, х) обращалась в нуль при t^T — 1. Из
теории линейных уравнений известно, что v существует, ое
е W1^ 1 ((to, T)xSR) для любого to.

Понятно, что v(t, х) = 0 при /е[Т —1, Т]. Продолжим v (t, х)
при t^T нулем и сохраним за продолженной функцией прежнее
обозначение. Тогда о е i (С/? Л К>М) при любом tQ. Приме-
няя лемму 3 к произведению (—v) на функцию от t, которая
равна нулю при t^to— 1 и равна единице при t^t0, находим,
что v(t0, x®)SsO для всех (to, x0)^CR.

Обозначим w = v — и и докажем, что к^Онаф. Предположим
противное. Тогда найдется | > 0 такое, что Г :={(/, х) е Q: w (t, х)
«st — £} 5^0. Множество Г замкнуто и ограничено по t справа.
Поэтому найдется самая правая относительно оси t точка (to, х0) еГ,
т. е. такая, что w (t0, х®) w (t, х) >• — если t > to, (t, х) е Q.
Для расположения точки (t0, х®) в Q имеется, вообще говоря, три
возможности: а) (Z®, х®) <= d’Q-, б) (t0, х®) е dQ\d'Q; в) (t0, х®) е Q.
Для нашей точки (t0, х®) а) невозможно, так как	на d'Q

и на d'Q.

Пусть (t0, х0) &dQ\d'Q. Тогда для достаточно малого у>0
GY :={(£, х): to<.t<.to + y, |x-x®|<y}czQ. В самом деле, если
для любого у найдется (ty, xY)_eGy\Q, то можно определить
точки (1У, й^ефтак, чтобы iy<zly, (tv, £v)->-(4, х®). Тогда на
прямолинейном отрезке, соединяющем точки (?v, XY), (fY, xY), оче-
видным образом найдется хотя бы одна точка из dQ, принадле-
жащая также d'Q и стремящаяся к (t®, х0) при у|0. В то же
время (t0, Хо) Э7^.

Фиксируем жекоторое у® так, чтобы Gv, с Q. В GY, имеем Lw=
=Lv — Lu = — (Lu)~ — Lu== — (Lu)+. Функция (L«)+. удовлетворяет
условию Липшица на GY,. По теореме о повышении гладкости
w е С2 (Gy) при у <уо- Кроме того, в точке (t0, х®) е Gv функция а>
достигает строго отрицательного минимума по построению (/0, х0)
и Lw^O на GY. По строгому принципу максимума Ниренберга
это невозможно, значит, течка х0) не может принадлежать
dQ\(TQ.

Оставшаяся возможность (/0, х0) е Q также не может реализо-
ваться, поскольку в этом случае существование подходящего
цилиндра GY очевидно, а оно, как и выше, приводит к противо-
речию со строгим принципом максимума.

Таким образом, на Q имеем доМ и по лемме 3

u V < АП I с |(det a)-v(P+D (Lv)_ Ц+1 (cR).

Остается заметить, что Lv =— (Lu)~xq- Лемма доказана.

В следующей лемме мы ослабляем предположения предыдущей
леммы относительно коэффициентов L,

7.	Лемма. П усть область Q ограничена, Л=0, г + tr а + |с| > О
почти всюду на Q, p^d, и	и^О на d'Q. Тогда

выполнено утверждение леммы 6, причем при вычислении правой
части (8) полагается 0° = 1, ~ == 0, если подобные неопределенности
возникают.

Доказательство. Прежде всего заметим, что норма в (8)
не изменится, если все коэффициенты L умножить на одну и ту же
строго положительную функцию. Поэтому, не ограничивая общно-
сти, в силу условия г + tr а +1 с | > 0 можно считать, что

r + tra4-|c| = l (п. в. Q).	(9)

При 6>0 положим

£.=г.+в(*+Д-|),

и пусть а (6), б (б), с (б), г (6) — коэффициенты L6. Очевидно,

L	•ЛI	J

при Другие условия леммы 6, как нетрудно видеть, также
выполнены (с другим б). Отсюда, обозначая

g (б) = | с - б |р-* (г + б) det (а + б/),

по лемме 6 заключаем

w N | gr-vtP+D (б) [Lw 4- б (wt + До» — ж)]_	(Q)	(10)

в Q для любой w е ^p'+i (Q) такой, что оу^О на d'Q. Подставим
в (10) w = uv := и+уф1, где у>0,
if> взята из леммы 1. Понятно, что	и в силу (9) на Q

Lipi = re~‘ + i с | er* — Lty	re~* 4-1 c | er* 4- tr a > 0.

Кроме того, положим

g = lim g (6), Г = {(/, x) e= Q: g (t, x) = 0},
6)0

fv=uy4-A«v_uY

Тогда из (10) получим

uv < N | g-1 * 3'^" (6) {ЬиУ + 6/v]_	(Г) +

+ №g-v(₽+i) (fi) [£«y + бЛ1-кр+1((?\Г).	(11)'

Если Au<0 на подмножестве множества Г положительной
меры, то правая часть (8), очевидно, равна бесконечности, и до-
казывать нечего. Поэтому будем считать, что (п. в. Г).
Отсюда	(п. в. Г). Поскольку g(6)^6₽+1, то первая норма

в (11) не превосходит

Это выражение стремится к нулю при б | 0 в силу теоремы
о мажорируемой сходимости и в силу того, что

> о (п. в. Г),	[1 ЬиУ 4-М- < | /y । е #р+1 (Q).

Для оценки второй нормы в (11) заметим, что на <2\Г имеем
g>0, в частности, deta>0 и на Q\T

1 >-6Ptl =	. 6 .	&	> о

g(6)	ic—SIP-4* г-|-б	det(a4-6)

при б 10. Воспользуемся еще тем, что g(fi)^g,

[L^ + б/т]_(ЬиУ)~4-6 |fy|<(Ьи)_ + 61 fy |.

Тогда с помощью теорем о монотонной сходимости и о мажо-
рируемой сходимости легко докажем, что предел второй нормы
в (11) при б|0 не превосходит

jm{||g(6) ₽+*(£«)-г> 4-1 «г 0) ₽+‘^vIL(rfl(Q\r)} =

= L" "+* (L“)- Lp+1(Q\ n = L"	(Lu). 1^ (Q).

Обратим внимание читателя на то, что именно из этих соот-
ношений следует правильность наших соглашений относительно 0°

3 Н. В. Крылов
и -д- в (8). Окончательно из (11) имеем

Полагая здесь у|0, получаем (8). Лемма доказана.

Ослабим теперь наши предположения относительно и.

8.	Лемма. Пусть область Q ограничена, /С = 0, r-4-tra +
+ |с|>0 почти всюду на Q, p^d, и е IFp+i, i0C(Q)Г)С($), u«sO
на d'Q. Тогда справедливо утверждение леммы 7.

Доказательство. Прежде всего, можно считать, что и — у
на d’Q для некоторой постоянной у>0. В самом деле, для про-
извольной функции и, удовлетворяющей условиям теоремы,
и — у^ — у на d'Q, и если оценку (8) можно применить к и —у,
то, заметив, что L(u — y) = Lu — yc^Lu, (L(и—у))_^(£«)_, и
затем, положив у|0, получим (8) для исходной функции.

Итак, допустим, что —у на d'Q, возьмем некоторую точку
(to, х0) е Q и докажем, что и (tQ, х0) не превосходит правой части (8).
При этом можно, разумеется, считать, что (t0, х0) е Q, так как
и е С (Q) по предположению, а также считать, что и (i0, х0) > О,
так как иначе доказывать нечего.

Обозначим через Ql<S) при б>0 множество всех точек Q, рас-
стояние от которых до dQ строго больше б, и пусть

_ <2? = С(в)ЛШ, х): u(t, х)>0}.

Очевидно, Q? cz Q, и е (Qi). Далее, можно выбрать число
б0>0 так, чтобы [(0, *о + 36о]х {|х—х0 |«Сб0} с Q. Уменьшая, если
нужно, б0, можно добиться того, чтобы в той части бо-окрестности
множества d'Q, которая лежит в Q, выполнялось неравенство

—уу. Такое бо>0 подобрать можно, так как и непрерывна
в Q и —у на d'Q.

Покажем теперь, что при бе (0, б0) на d’Qt (t0 4- 26, х«) вы-
полнено неравенство и<0. Предположим противное. Тогда по
определению 4 найдется точка (tlt Xi), лежащая на границе Q(e),
такая, что u(ti, Xi)>0, и найдется непрерывная кривая (t, Xt),
<е[(о+2б, fj, для которой (t,	при t е[/о+2б, 4),

Хб,+2в=Хо» x<t=Xi. Поскольку (f, x<)eQ(e) при К^и (tlt xzJe
e<9Q(6), то траекторию (t, xt) можно как единое целое сдвинуть
параллельно самой себе на расстояние 6 так, что новая траекто-
рия будет лежать в Q во все моменты времени, кроме момента
времени, отвечающего сдвинутой точке (ti, Xi), а в этот последний
момент будет лежать на dQ. При этом, если начало сдвинутой
траектории перейдет в точку (sb, у0), то, очевидно, soe[io + 6,
<о-|-Зб], | Хо — Уо | б.

Соединим точки (t0, х0), (So, Уо) отрезком прямой линии. По
выбору б0 этот отрезок лежит в Q. Составная траектория, состоя-
щаялз упомянутого отрезка и переходящая после зь в сдвинутую
траекторию (t, Xf), будет иметь вид (t, Xt), начинаться в точке
(t0, хв) и впервые выходить из Q в той точке, в которую перей
дет при сдвиге (4, Xi). Это, в частности, означает, что (tlt хр
переходит в точку, лежащую на d'Q(to, х0), и расстояние о г
(tu Xi) до d'Q(t0, Хо) равно 6. Но тогда по выбору 60 должно
выполняться неравенство u(tlt Xi)< — у у, что противоречит не-
равенству и(/х, Хх)>0, предположенному выше.

Итак, и gW^ + i(Qi) ГЖ + 1 (Qi (to + 26, х0)),	и<0	на

d'Qi(4 + 26, х0) при бе (О, 60). По лемме 7 при б€Е(О,.6о)
и (to+26, Хо)< N11 с	(г detа)~	(£и)_|»р+1 (о? р0+га. х0)) <

< N11 с |₽+Т (r det а)~ *+* (Lu)-L»o+1 (Q).

Полагая б|0 в неравенстве между крайними членами, полу
чаем, что и (t0, хв) не превосходит правой части (8). Лемма дока
вана.

Перейдем к основным результатам этого параграфа.

9.	Теорема. Пусть (выполнены предположения начала пара-
графа и) область Q ограничена по оси t справа, r + tra + |c/c |>0
почти всюду на Q, p^d. Пусть (to, x0)eQ,	ioc (Q) fl

f]C(Q). Тогда

и (to, Xo) | em » - '«>u+ Це o'Q </., ж.» +

+ A7|eK«-'‘’|CK|p+r(rdeta)-p+I(Lu)-L «?+«., x.»,	(12>

где	*

m=swp{clr, Q(/o, x0)},

Q+ (fo, x0) = Q (fa, x0) П {(s, x): emsu (s, x) > ii em‘u+ |c wq <t0, x,»},

постоянная N зависит только от R, Кг, в, du полагается 0°=lv
£ = 0, если при вычислении правой части (12) и постоянной т
возникают подобные неопределенности.
Доказательство. Обозначим

L%v = eKtL (erKtv),

w (s, X) = eKsu (s, x) —	OT>s I e^u* |c	xe» (13)

и предположим, что мы доказали неравенство

W(to, Хо)	N11СК (р+Т(г det а)~ ₽+Т(LKw)_(Q+ (<в1 x^. (14)

Докажем тогда (12). Заметим, что в Q(t9, х0)

LffefX ~т^ = е№ ~тУ (с — тг) «с О,
причем для справедливости этого неравенства в определении т
можно полагать ^- = 0. Отсюда

LKw^eKlLu, (LKw)-^eKt (Lu)-.

Если теперь в (14) заменить (LKw)- полученной оценкой, под-
ставить вместо w (t0, х0) его выражение из (13) и умножить полу-
чившееся неравенство на erKt>, то мы придем к (12).

Таким образом, остается доказать (14). Отметим, что коэффи-
циент в в операторе LK равен ск. Поэтому мы можем и будем
считать, что предположения теоремы выполняются при К = 0.

Далее, обозначим для краткости Q* — Q*(}<h х®). Очевидно,
область Q+ ограничена и

Q+ = Q(<o, хо) П {(/, х): №(/, х)>0}.

Если w(to, хь)<0, то неравенство (14) не нужно доказывать.
Значит, можно считать, что w (t0, х0) > 0, (t9, х0) s $+. Кроме того,
w^Q на d'Q(t0, х0). Следовательно, если ft, Xi) ed'Q+ и ft, *i)e
sd'Q(to, Хо), то w(tlt xj)^0. Если же (tlt Х1)ед'0+ и ft, хх)^ё
ф d'Q (to, Хо), то, разумеется, (tlt хх) dQ (to, х9), однако ft, Xi) е
<=Qft, х0), и поэтому ft, Xi)eQ(i0, х®), ft, Х1)ед{и>>0},
twft, Xi) = 0. Стало быть, tti^O на д'0+. Кроме того, ше
loo (Q*) fl C(Q*). Поэтому применение леммы 8 дает (14).
Теорема доказана.

Распространим теорему 9 на неограниченные справа области.

10.	Теорема. Пусть область Q не ограничена справа,
г + trа-|-1ск|>0 почти всюду на Q, p^d. Пусть (to,Xo)sQ,
«6^1. Ioe(Q)nCloe(Q),
limsup|u+(s, х)е™-. (s, x)eQ, s = (}=0,	(15)

' •♦ОО

где m введена в формулировке теоремы 9. Тогда справедливо утвер-
ждение теоремы 9.

Для доказательства этой теоремы достаточно применить тео-
рему 9, когда в ней вместо Q берется Qf){(<ft}, и затем поло-
жить ti-^-oo.

Докажем аналогичные результаты для эллиптических операто-
ров.

И. Теорема. Пувть а, Ь, с не зависят от I, cs^O,

Lio =	+со-

Пусть область D с Л,?, е е (0, R~l), и

|o| + tra>0, |Ь i^etra + Kipz-^+lcl] (16)
при xeD, х=£0. Пусть, наконец, p^d, v<=W*p, i00(D)nC(D).
Тогда в D

v | и+ Це (дЩ + N11 с\<-а-РНР (det a)-1'* (Ljjo)- Ц,(О+),	(17)

где D+ = {х е D: v (х) >|р+ |с(3D)}, N зависит только от R, Klt в, d
и полагается 0° = 1, у = О, если возникают такие неопределенности.

Доказательство. Ясно, что (17) достаточно доказать только
на D+. Полагая w0 = v — |o+|c<dD) и замечая, что LiW0^LiO,
(LiW0)-^(Liv)-, так как с<^0, заключаем, что на D+ достаточно
доказать неравенство

w «с N11 с |<tf рМр (det а)-1/р (Liw)-

(18)

для любой w s Wp, joe (D+) f| С (£)+) такой, что го=СО на 3D+.

Если го —одна из таких функций и мы докажем, что для
любого у>0 на D+f|{ro>y} имеем

W—у sgN11с|(rf-p’/p (deta}~lfp(Lx(w — y))_Ц,(O+n{a,>v)),

то, замечая, что (Лх (го — у))_«С(L<w)-, D+n{ro>y|cD+, и пола-
гая у|0, получим (18). Так как замыкание области О+П{го>у}
лежит в D, то го —у является функцией класса Wp в D+fl {го>у},
и нам остается доказать, что если область GczD, w ^Wp(G),
го^О на dG, то на G

го < № I с |<rf-p)/p (det a)-vp (Lxro)_ Ц, <o.	(19)

Докажем сначала (19) при дополнительных предположениях,
что коэффициенты Li ограничены, csg —6, (аХ, X) 5= 61X |8 для
некоторой постоянной 6>0. Здесь, используя теорему 2.3 вместо
теоремы 2.4, можно было бы доказать соответствующий аналог
леммы 2, а затем провести рассуждения, аналогичные соответст-
вующим рассуждениям из доказательств лемм 3, 6. На наш взгляд,
поучительнее, однако, получить (19) в рассматриваемом частном
случае из теоремы 10. Понятно, что еще одно предположение:
го еС“ (G), которое мы сделаем, не ограничит общности, так как
случай roe'^’(G) может быть изучен с помощью простого пре-
дельного перехода.

Обозначим u(t, x) — e~iw(xy, r = w~1(L1w)_ там, где го>0,
г=1—там, где ro<0; Lu = rut-f-Ьхи\ Q = (—оо, oo)xG; К — 0.
Очевидно, постоянная т из теорем 9, 10 для нашего оператора L
отрицательна, и условие (15) выполнено. Кроме того, ©•'(О, х0)==
= (0, со) xG+, где G+ = G П {да > 0} и на Q+ (0, х0) имеем

Lu = ег4 (— rw Ц- Liw) —е-*(— (Liw). + /^да) 5= — 2е-' (Мда)-,

d — р	_I	d — р	. I

je|₽ + 1 (rdeta) <’+1(Lu)-^2«-z|c|'’ + 1 (rdeta) р+1(Мда)_ =

d —p	1	p 1_____

—2e-'|ej₽ + r(deta) ₽+‘ (Мда)^+1 да₽ + .

Отсюда по теореме 10

8!с(О) Ni11-<?!₽+» (г detа)~₽ + »(Lu)-1»р+1 ((0, «,)хв+)

___1	1 I <*-р	_2_ II р

^2(р+1) ₽+'Л(г|да+|Р + '|||с| ₽ (deta) р (^И-|^с+),
р +1	_J_ р + и ₽	__L ||

р (р + 1) pNt р |||с| р (deta) р (Мда)-Ьр(О.

Остается заметить, что множитель перед последней нормой
можно оценить независимо от р и тем избавиться от его зависи-
мости от р.

Для того чтобы доказать (19) без дополнительных -условий
на Li, без ограничения общности предположим, что tra + |c| = l
на G, обозначим L? = М + ^ (А — 1) и применим доказанное в част-
ном случае неравенство к функции да? = да — у (i|> 4-1) и оператору Л?,
где у, б>0, ф взята из леммы 1. Тогда, почти буквально повто-
ряя соответствующие рассуждения из доказательства леммы 7,
получим нужное нам утверждение, связанное с (19), в самом общем
виде. Теорема доказана.

12. Замечание. А. Д. Александров в [4], [5] доказал оценку
(17) при p=d для функций из класса, более широкого чем
IFJ. юс (D) П С (D), когда предположение (16) заменено на следую-
щее: deta>0 (п. в. D), (det а)-11 b |d еХ\ (D) В теореме 11 не
предполагается, что det а> 0, а если, например, (det a)-11 b |d Kt,
где /Q — постоянная, то второе неравенство в (16) также выпол-
нено. Действительно, если Цх ^... ^	— собственные числа а,

то (для всякого 8>0)

_ _ 1 1
(deta)<* = р/ (pj-.-.-PrfH «С8-'/+1Ц1 + (ец2

< e-d+1pi+в (щ + • • • + Ра)	в tr a +	,

1^1

|b|^8tra + ^->8^a'/^L.

I Л |

Мы видим, что частично упомянутый результат Александрова
[4], (5| покрывается теоремой 11. Отметим также, что за счет
присутствия с в (16) это условие может выполняться, даже если
(deta)-1Jfe,|tf^«Sf1(D).
§ 4. Принцип максимума и единственность решения

в классах Соболева

В обычной форме принцип максимума для линейных эллипти-
ческих операторов L говорит, что если Lu^O, LI sc0 в неко-
торой области, то а в этой области не превосходит максимального
значения и+ на границе. В силу линейности L это утверждение
равносильно тому, что если Lui Lu2, Ll^O, то разность «i —и2
в области не превосходит максимального значения («! —иг)+ на
границе. Для нелинейных операторов принцип максимума во вто-
рой форме сильнее, и именно им мы и будем заниматься в этом
параграфе.

Принцип максимума для линейных операторов в классах Собо-
лева может быть легко получен из теорем 3.9, 3.11. При рас-
смотрении нелинейных операторов мы пользуемся хорошо извест-
ным приемом, основанным на формуле Адамара:

F(uih uit и, x)—F(vtj, v{, v, х) =

= аЧ (utJ - vij) + b1 (ui - vi)+c (u—v),	(1)

где

1 '

(аЧ, Ь{,	= FU(, Ft^(tuM-{-(l—t)Vpg, tup-{-

o

+ (1 — t)vp, tu—t)v, x) dt.

Отметим, что, как всегда, эта формула является частным слу-
чаем формулы Ньютона—Лейбница, примененной к F(tiiij +
4-(1 — ^Uj + (1 — t)vi, fu-(-(l — t)v, x). Для справедливости (1)
обычно требуется, чтобы F была непрерывно дифференцируема по
(«у, щ, и). Это требование очень часто неудобно в приложениях,
например, к задачам оптимального управления диффузионными
процессами. Поэтому мы рассматриваем операторы вида inf sup F®rt,

(О л

где — гладкие функции от («у, uit и). В том случае, когда F“rt
не зависит от и, л, получается оператор, о котором речь шла
выше, если же Г“я зависят от со, л и являются линейными отно-
сительно «у, ult и, получается типичный оператор из теории управ-
ляемых диффузионных процессов.

Вообще говоря, inf sup Fait (uxixj, uj, и, x) может оказаться
неизмеримой функцией от х. Для того чтобы обойти эту неприят-
ную возможность, нижнюю грань по со и верхнюю грань по л
мы понимаем в структуре (классов, эквивалентных по мере Лебега)
измеримых функций (см. § 1.2) и вместо inf sup пишем Д V-
со л	б) л

Разумеется, если со и л принимают только счетное множество
значений, то поточечные нижние и верхние грани по со, л (почти
всюду) будут совпадать с соответствующими гранями в структуре
измеримых функций.

Можно было бы привести и другие примеры, когда такое со-
впадение имеет место, и тем самым оправдать переход от обыч-
ных верхних и нижних граней к структурным. Хочется, однако,
отметить, что в некоторых случаях рассмотрение структурных
верхних и нижних граней вызвано существом задачи.

Например, возьмем некоторую ограниченную функцию © (х) О
на [0, 1], обозначим через Q множество всех измеримых на [0, 1]
функций со, удовлетворяющих неравенству О.^со(х)^©(х) при
всех хе[0,1], и при (oeQ обозначим через и®(х) значение
в точке х решения уравнения u" + (ou'4-1 =0 на (0,1) с гра-
ничными условиями u(0) = u(l)=0. Наконец, положим о(х) =
= sup{u®(x): (оей}. Можно показать (ср. Крылов [1]), что о
удовлетворяет уравнению

а"+ V (owz)+l=0	(2)

о е Q

и для неизмеримых © v не удовлетворяет уравнению

V" (х) + sup (со (х) о' (х)) 4-1=0,	(3)

(йей

совпадающему, очевидно, с уравнением tf -(-<з(и')+4-1 =0. Поэтому,
если мы хотим в общем случае охарактеризовать v как единст-
венное решение некоторого уравнения, то придется рассматривать
уравнение (2), а не (3).

Всюду в этом параграфе (если явно не оговорено противное)
фиксированы постоянные /?>0, Хъ К 3®0, е е (0, Z?-1), область
D с: Ed, D с SK, ограниченная область Q в Ем — {((, х): t е
е(—оо.оо), х е Ed}, QaCR.

Обозначим через А множество всех операторов L вида

L=r д 4-а*/— -----— +'

di дх1 dxi	дх*

с измеримыми по (/, х) коэффициентами, заданными на Q и удов-
летворяющими условиям

г^О, а*=а, Кг — о^О, tra + Kr — c + r=l,

почти всюду в Q, где а = (о^), Ь = (//). Для и е loc (Q)
ПОЛОЖИМ

Ju = V Lu	(4)

Le A

(где V — знак верхней грани в структуре измеримых функций).

1.	Лемма. Для всякой функции u е ioc(Q) найдется
оператор L — La е А такой, что Ju = Lu (п. в. Q).
Доказательство. Из определения верхней грани в струк-
туре измеримых функций легко вывести, что если область QxczQ,
то верхняя грань, вычисляемая относительно множества Q, на
Qi будет (почти всюду) совпадать с верхней гранью, вычисляемой
относительно множества Qx. Отсюда видно, что нужный опера-
тор L можно строить во всякой внутренней подобласти области Q.
Следовательно, можно считать, что и е (Q).

Как известно (см. § 1.2), для любого множества измеримых
функций найдется счетное подмножество, имеющее ту же верхнюю
грань в структуре измеримых функций. Кроме того, очевидно,
верхняя грань счетного множества измеримых функций в струк-
туре совпадает с поточечной верхней гранью. Вспомнив эти факты,
фиксируем и ^Wh'+itQ) и введем множество {Lx, La, ♦ ..}czA
такое, что

Ju(t, x)=supLnu(/, х) (п. в. Q).
п

Понятно, что

Ju (t, х) = Пт max Ци (t, х) (п. в. Q)
«-♦оо I л

и легко найти оператор Ln е А так, чтобы Lnu = max Ци. Поэтому

Lnu-*Ju (п. в. Q) при п->оо. Заметим, далее, что коэффициенты
всех операторов L е Л равномерно ограничены, в частности для
некоторой постоянной N

|Lu|^^(2|u^y| + S|u?| + |uz| + |u|) (и. в. Q) (5)

при всех 1еЛ. Отсюда сразу следует, что ±Ju не превосходит
правой части (5) и Ju е Xd+i (Q). По теореме о мажорируемой
сходимости L”u-+Ju в cS?rf+i(Q) при и->оо.

Кроме того, так как коэффициенты Ln равномерно ограничены,
то из их последовательностей можно выбрать подпоследователь-
ности, сходящиеся слабо в <5?2(Q)' Чтобы не вводить новой нуме-
рации, будем считать, что уже коэффициенты операторов Ln слабо
сходятся к коэффициентам некоторого оператора L0. Выбирая,
если нужно, еще одну подпоследовательность по теореме Банаха —
Сакса, добьемся того, чтобы коэффициенты операторов

42"
(=1

сходились к коэффициентам L° сильно в	В частности,

сходимость будет иметь место по мере.
Понятно, что £°еЛ и из сходимости Lnu к Ju в <5?rf+i(Q)
по теореме о мажорируемой сходимости заключаем

|л	II

«•=1	к,+*<®

п

I™ 12|/ы ~ Uu	«г»=°-

Таким образом, LPu — Ju, и лемма доказана.

Сформулируем принцип максимума для параболических урав-
нений.

Пусть Q — некоторое множество индексов и для всякого со е Q
определено некоторое множество индексов П(ю). Пусть для вся-
ких а ей, пеП(ю) определены функции (u0, «ь и, t, х),
измеримые по (t, х) г Ем для любых наборов «о, иц, щ, и
(i, / = 1, ..., d) и непрерывно дифференцируемые по («о, «»/» и<. “)
для любых фиксированных (/, х) е Ем. Обозначим

0<ол/; -а-	[)<ВП1 _ р&п	г<ол _ р“л

с“л в р^' аол =	/= ь &ея = (6“я')?= 1-

Положим

Г“я [«](/, X) = Ftt>lt(Ut(t, X), Ufixj(t, X), Uxi(t, X), U(t, X), t, X)
и аналогичной формулой введем аюя [ы],... Наконец, пусть

/и= Л V /’*’[«].

aefl

2.	Теорема. Пусть и, v <= IFJ’+i, ioc(Q) П C(Q). Обозначим
i

<5®я = J а°>я [sa + (1 - s) о] ds
О

а аналогично определим Ьюя, сая, гюя. Предположим, что для вся-
ких <о, л почти всюду на Q

р“я^о, а®я^о, дт*0"—с®я2*о,	(6)

|^я i е trа“я+Ki+Я/*”* - г®*"],	(7)

Л д	[кя“п + /0‘мя-с<йя]>0.	(8)

we й леГКи)

Пусть lW5?lv (п. в. Q) и множества {(/, х) : /и = /» = оо},
{(/, х): lu = Iv = — оо} имеют меру нуль. Тогда:

а)	если (<о, Хо) sQ, u^v на d'Q(t0, х0), то u(t0, Хо)^»(го. •«•);

б)	если (t0, Xo)eQ, с“я<сО (п. в. Q(t0, Хо)), то

и (to, Хо) — о (to, Xo)^ sup [и —о]+.

d’QUi, x»t
Доказательство. Положим w = и — о, возьмем оператор J
из формулы (4) и докажем сначала, что Jw^O (п. в. Q).

Предположим противное. Тогда на множестве G с: Q положи-
тельной меры выполнено неравенство Jw^ — 6, где 6 —некоторое
число, S>0. Обозначим

£“" = г“я 4 + 4-	+ Д“я//) ———+с“я- (9)

01	2	dx'dxJ Эх1

Понятно, что

(tr Д®я + (К +1) /явя - с®я]"1 Lan @ А.

Поэтому на множестве О почти всюду

£®я	— 6 [tr й“я + (Я + 1) г“я - с®”]

«С — 6 Д А [кй“я4-(КЧ-1)^я-с®я]=:—6Д
(ogQ леП(й))

где f>0 (п. в. Q) по условию. Наконец, по формуле Адамара

Г®я[и] = Г®я[о] + £®яихГ®я[ц]-б/; (п. в. G)

и, значит, Iu^Iv-t>f (п. в. G), что противоречит условию
теоремы.

Итак, Jw^Q (п. в. Q). По лемме 1 найдется’оператор £sA
такой, что Lw^tO (п.. в. Q). Применяя к L, w теорему 3.9, сразу
получаем оба утверждения настоящей теоремы. Теорема доказана.

3.	Следствие. Пусть выполнены условия теоремы и /и =
= Iv (п. в. Q), u = v на d'Q, тогда u — v в Q.

Для доказательства достаточно в утверждении а) поменять и,
v местами и воспользоваться непрерывностью и, v в Q.

4.	Замечание; В случае линейного уравнения легко на
примере показать необходимость условия (8). Пусть Q = (О, Т) X S/?,
Г — подмножество Q с ненулевой мерой. Решим уравнение ut +
4-Ди — «4-Хг = 0 с граничным условием и = 0 на d'Q. Из теории
линейных уравнений известно, что u е	«Э=0 в Q (см.,

например, теорему 3.9), u^feO. Возьмем £ = %$\Г^-|-Д—1),
Тогда, очевидно, £и = £0 = 0, однако при о = 0 утверждения а),
б) неверны.

Избранная нами форма принципа максимума в теореме 2 позво-
ляет установить не только единственность решения уравнения
lu — f (ср следствие 3), но также и единственность решения
задачи с двумя свободными границами.

5.	Теорема. Пусть и, de ioc(Q) П C(Q), u = v на d'Q
и в Q заданы dee (конечные) функции фх^фх. Введем аая, ...,
как в теореме 2, будем считать, что выполнены условия (6) —(8),
и пусть lu, /ц<оо почти всюду в Q. Наконец, предположим,
что фх^и^фа, фх2бО5*фх (а. в. Q), (—1^/и^О (а. в.) на
множестве {(/, х): (—!)*(« — ф<)>0}, j=l, 2, (—l)f Iv^O (n. вЛ
на множестве {(/, х): (—1)' (v — ф<)>0}, i = l, 2. Тогда u = v в Q.
Доказательство. При ySsO, 6^0 обозначим

Fv) ("’б) [>] = y+4+i Р"" (»] “ V & “ 41) “ 6 (w - фа)],
lw= Д V v)("’ б)[да].

(dgQ ле 11 (со)
v >о б > о

Без какого-либо труда проверяется, что относительно и, о
и функций Я* v) *"• б) выполнены условия (6) — (8). В силу след-
ствия 3 нам достаточно теперь показать, что fu^Iv^Q (п. в. Q).
Вычисляя сначала верхнюю грань по л, а затем по б, получаем
б>0

= шах(фа-и, V /Явя[и]-У(«-Ф1)')).
Отсюда

/и=^irrf шах (ф2 - и, (/« - у (и - ti))) =

= тах(ф2 —u, min (1и, ф2 — и)),

причем последнее равенство верно, так как /«<оо. С помощью
простого анализа этого представления для [и и предположений:
фх^Ц^фг» (—1У Iu3*Q на {(—I/(и —• 4>j)>0}, t = l, 2, чита-
тель убедится, что 7и = 0 (п. в. Q). Аналогично, 7о = 0 (п. в. Q).
Теорема доказана.

Докажем еще принцип максимума для параболических урав-
нений в полосе.

6.	Теорема. Пусть Те(0, оо), и,	ioc((0, Т) х Ed),

и, v непрерывны в [0, Т] х Ed. Пусть для всякого R>0 найдутся
постоянные е е (0, R~l), Ki 0, К 0 такие, что неравенства
(6) —(8) выполнены почти всюду на CriR. Предположим, что
lu^Iv почти всюду на (0, Т) X Ed, и(Т, x)^v(T, х) на Ed
и множества

{(/, х): lu~ lv = оо|, {(/, х): !u = lv=-— оо}

имеют меру нуль. Наконец, пусть существует функция ф^0
такая, что ф <= ioc ((0, Т) х Ed), ф непрерывна в [0, Т] х Ed,
£®яф<0 (см. (9)) почти всюду на (0, Т) X Ed при любых <о, л
и для всяких Rlt б > 0 найдется R > Ri, для которого и «С v + бф
при |х| = /?. Тогда u^v в [0, Г] х Ed.

Доказательство. Возьмем какую-нибудь точку (to, М е
е(0, Т) х Ed, число '>>0 и найдем /?> |х0| так, чтобы и —
-(о4-’4)<0 на d’Ci-'R. Поскольку £“лф=^0, то совершенно
аналогично тому, как это сделано в доказательстве теоремы 2,
доказывается, что J (и — (о + бф))^0 (п. в. (О, Т)хД^). Отсюда
по теореме 2 имеем и — (о4-бф)«^ О в Сг, R, в частности и (t0, х0)^
<и(/о,’ *о) + бф (to, х0). Остается воспользоваться произволом
в выборе б и t0, Хо- Теорема доказана.

Следующая теорема о принципе максимума для эллиптических
операторов приводится без доказательства, так как его можно
было бы получить почти буквальным повторением доказательст-
ва теоремы 2 с использованием теоремы 3.11 вместо теоремы
3.9.

7.	Теорема. Пусть Г®я не зависят от t, ио; и, уе
в W}, loc (D) П С (D), DczSR, Ki 0, ее (О, R'1). Как в тео-
реме 2 введем функции Я®я, ... Предположим, что для всяких <о, л
почти всюду на D

с®я^0, Я®я=гО, Д Д [|с®я|4-4га®я]>0,
(о е Я л е п (м)

| б®« | < 8 tr й®я+К1 [й®**' yjp+1 С®я |].

Пусть lu^Iv (п. в. D) и множества

{х: 7« = /о = 4-оо}, {х: Iu = lv = — оо}

имеют меру нуль. Тоеда и — t><;max {(« — v)+(x): x&dD} в D.

Понятно, что для эллиптических операторов справедливы тео-
ремы, аналогичные теоремам 5, 6. Мы их не приводим, чтобы
не загромождать изложение. Обсудим теорему 7 на двух примерах.

8.	Пример. Возьмем p>d, и пусть область D такова, что
для нее справедлива теорема Соболева о вложении Wp (D) в С1 (D).

Мы утверждаем, что если f>0 (п. в. D), то уравнение

de^(u^xJ—uxiUxJ(п-,в- °)	(1°)

может иметь только одно решение из Wp(D), для которого мат-
рица Р[ы]: =(uxixj — uxiUxJ — 60u)SsO (п. в. D) и которое на dD
равно заданной заранее функции.

Действительно, пусть и, о —две такие функции. Возьмем
в теореме 7 в качестве Q, П (®) одноточечные множества и положим
F®” = F, где

F (иц, uit u): = Aei(uif — uiul — diju).

По предположению Р [ы]	0, P[u]^0, detP[«] = det Р[о]==

= f > 0. Отсюда легко вытекает, что Ps: = Р [sm + (1 — s) о]
S=sP[u]4-(l —s) Р [v] (п. в. D, se[0, 1]). Обозначим, далее,
через Ms матрицу, составленную из алгебраических дополнений
элементов матрицы Ps(Ms = Ps1 det Ps). Тогда (опускаем ненужные
здесь индексы со, л)

1 " 1

й = \Msds>0, с = —tr£,	—2 J Ms(sux'+ (1 — s)vx)ds,

О	о

I b I < 2 (I их |с(D) +1 vx |c(D)) JI Al, I dssg N j tr Msds = N | с | (п. в. D).
о	о

Предположения теоремы 7 выполнены и, стало быть, и— о^О,
V — и^О, u = v в D. В этих рассуждениях строгая положитель-
ность функции f нужна была только для того, чтобы обеспечить
неравенство | с | + tr а > 0 (п. в. О).

Если воспользоваться другими рассуждениями, то единствен-
ность решения (10) в том же классе функций можно доказать
и при условии f^O (п. в. D). Имеется в виду использование
леммы 2.2, по которой в рассматриваемом классе функций урав-
нение (10) эквивалентно уравнению

inf (а11их,х] — aVu^u^ — и — d у' f det а) = 0 (п. в. О),	(11)

где нижняя грань берется по множеству всех симметричных
неотрицательных матриц а-таких, что tra=l. Естественно, что
нижнюю грань можно брать также по любому счетному всюду
плотному подмножеству этого множества, а так как поточечная
нижняя грань счетного множества измеримых функций совпадает
с нижней гранью в структуре измеримых функций, то в (11)
знак inf можно заменить на Д. После этого использование
теоремы 7 не представляет никакого труда.

9.	Пример. Возьмем р, D такими же, как в предыдущем при-
мере, и рассмотрим уравнение

det(“xW + “x'“x/_ вМ«)=/ (п. в. D)	(12)

в классе функций uelFp(D), для которых P[«]:=(«xix/-l-
4-ux>ux/ —бг;«):>0. Здесь рассуждения, основанные на введении
одноточечных й, П(со) и функций

= F(uih uit и, x) = det(Uif + UiUf — 8ijU)

не проходят, так как из неравенств Р[ы]^0, Р(о]^0, вообще
говоря, не следует, что P[s« + (1 — s)u]^0, a^O.

Поэтому аналогично (11) уравнение (12) при f 0 представим
в виде

Д 4- aVuttur/ — u — d f det a) =0.	(13)
В классе функций ие^р(О), равных заранее заданной функ-
ции на dD, уравнение (13) может иметь только одно решение,
что легко показывается с помощью теоремы 7.

Различие в возможностях использования теоремы 7 для дока-
зательства единственности решения (12) и эквивалентного ему
(если Р [и]	0) уравнения (13) не должно удивлять читателя.

В самом деле, например, при одноточечных Q, П условие d^O
относится к значениям F в тех точках (ио, и, х), которые не
обязательно лежат на поверхности {F(uih uh и, х) = 0}. Поэтому
могут быть разные F, задающие одну и ту же поверхность и,
стало быть, одно и то же дифференциальное уравнение, причем
для одних функций F условие а^О может быть выполнено,
а для других нет.

В некоторых случаях бывает полезен принцип максимума
в форме Бони [1]:

10.	Теорема. Пусть в D при i, / = 1, ..., d определены
функции аУ(х), Ь'(х), с(х), причем 6=^0, матрица (аУ) симмет-
рична и неотрицательна. Пусть u^Wa(D) и и в некоторой
точке Xq^D достигает своего неотрицательного максимума по D.
Тогда существенная нижняя грань выражения Lu:= a^uxtxj-\-
+ bluxi+cu по области D неположительна, т. е.

ess inf (Lu, D)^0.

Доказательство. Если все коэффициенты L равны нулю
на множестве положительной меры, то доказывать, очевидно,
нечего. Поэтому предположим, что сумма их абсолютных значений
положительна (п. в.). Разделив L на эту сумму, приходим к слу-
чаю, когда все коэффициенты L ограничены.

Далее, можно считать, что —6 для некоторой постоянной
6>0. Если это не так, то можно было бы рассмотреть оператор
L —6, а затем сделать предельный переход при 6J0, заметив, что
для любой области D' czD' czD функция и ограничена, а нера-
венство ess inf (Lu, D')^0 сильнее, чем то, которое нам нужно-
Кроме того, можно считать, что и (х0)>0, так как вместо и можно
рассмотреть и + у* где у>0, и сделать предельный переход по
у|0. Наконец, можно считать, что в точке х0 достигается стро-
гий максимум, поскольку вместо и можно взять и (х) — о | х — х0 |2
и в результате сделать предельный переход. Теперь возьмем в ка-
честве D' любую окрестность точки xQ, для которой D' cz D и
к ней при p = d, v = u, LA — L применим теорему 3.11. Тогда мы
увидим, что второе слагаемое в (3.17) строго больше нуля, что
по нашим соглашениям относительно (3.17) возможно, только если
Lu<0 на множестве положительной меры в D', а значит, и в D,
и 'теорема доказана

Очевидно, аналогичный факт верен и для параболических
операторов.
§ 5.	Предельный переход в нелинейных операторах
в классах Соболева

Предельный переход является важным инструментом исследо-
вания линейных и нелинейных уравнений. Часто приходится пе-
реходить к пределу под знаком того или иного, вообще говоря,
неограниченного оператора, когда допредельные функции сходятся
к предельной только в некотором слабом смысле. Для линейных
операторов эта трудность более или менее всегда легко обходится.
Для нелинейных операторов на примерах легко убедиться, что
перейти к пределу, вообще говоря, нельзя. Здесь мы выясним,
что эллиптические и параболические нелинейные операторы пред-
ставляют собой в некотором смысле исключение.

Продемонстрируем метод, которым мы будем пользоваться, на
примере нелинейных операторов в банаховых пространствах.

1.	Определение. Пусть X — банахово пространство, F[х]—
оператор со значениями в X и с областью определения DpezX.
Будем говорить, что F — антипозитивный оператор, если сущест-
вует постоянная К0 такая, что при всех К, х, у <=DP имеем

2.	Теорема. Пусть F — антипозитивный оператор в X, Dp
является линейным подпространством, плотным в X, F[x-|-/t/]
непрерывно по /е(—оо, оо) для любых х, y^Dp Пусть х„,
fn^X, п = 0, 1, 2..., F\xn] — fn при п5^1, х„-*Хо, fn-^fo и
x0^Dp. Тогда F{x0] = f0.

Доказательство. Из неравенства

X || хп - у К К | А (хп - у) - (F [х„] - F [у]) |
при п->оо находим

М -!/J ЛI	- £) - (А» - F [у]) |

для любого y^.Dp. Возьмем y — xa-\-tz, \ = t~x, где
zeDF. Тогда	— F[xo + fe]||. Полагая здесь ЦО,

заключаем || г | «С Д || г 4- — F (х0) II Для любого z е Dp, а так как Dp
плотно в X, то и для любого геХ. Отсюда приг = — (/о —F[x0])
следует |z| = 0, F[xo]=/o, что и требовалось.

Для применения этой техники к нелинейным дифференциаль-
ным операторам введем некоторые обозначения и определения.
Фиксируем постоянные К, Т, R>0, ограниченную область Q с EdJrl.

3.	Определение. Пусть в^О и задан оператор
Ft IFi+i (Q)-*-&a+i (Q)- Мы будем говорить, что F есть s-невы-
рожденный оператор L-muna в Q, если для всяких и, v е (Q)
существует линейный оператор
с измеримыми коэффициентами, заданными в Q, такой, что
F[u] — F[v] = L(u — v), а = а*, r + tra-|-|fe|4-|c|	г^8,

(а%, X) 81 % |2 (п. в. Q) для всех k<=Edt где а = (аУ), Ь = (Ы).
При 8 = 0 оператор F называем просто оператором L-типа в Q.

Примеры операторов L-типа можно построить с помощью сле-
дующей леммы, перед формулировкой которой отметим, что мно-
жество всех е-невырожденных операторов L-типа очевидным обра-
зом выпукло.

4.	Л е м м а. а) Если F — невырожденный оператор L-munaв Q,
то (-F[-uJ) — также е-невырожденный оператор L-muna в Q,
и существует постоянная N, зависящая только от К, d, такая, что

И [“] - Р М krf+1 (Q) МII и - v |г^+ (((?). •

б)	Если L—оператор вида (1), коэффициенты которого изме-
римы в Q, г 4-tra-|-|bl-}-|c|^7<, г^8> (аК Х)^е|Х|2 (п. в. Q)
для всех "k^EdUf^ (Q), то оператор F: u-^Lu-^f является
^-невырожденным оператором L-muna.

в)	Если при всех (i, х) е Q и действительных и0, иц, и
(I, j = 1,..d) задана действительная функция F («0, «у, ««. и, t, х),
измеримая по (/, х), непрерывно дифференцируемая по («0, и,/, ut, и)
при всяких (t, x)eQ и такая, что F(0, 0, 0, 0, I, х) е^rf+i (Q),
Fu0 + 6^U(7 + (Fu.Fu.)^ + |Fa|<K, F^t, Ри^к^г\^ при
всех значениях аргументов и К^Еа, то оператор F[u]:=F(uz,
иух/, uxh и> х) является г-невырожденным оператором L-munaeQ.

г)	Если Q — некоторое множество индексов и для всякого со е Q
определен е-невырожденный оператор L-muna F® в области Q,
причем /\ F®[0]	(Q), то /\ F® [и\ — г-невырожденный

«Ей	<0 €= Q

оператор L-muna в Q. Аналогичное утверждение справедливо для
М F®[u].

Доказательство. Утверждение а) очевидно. В б) по срав-
нению с определением 3 от £ не требуется симметричности а.
Однако очевидно, что при и е (Q) выражение Lu (почти
нигде в Q) не изменится, если в L заменить а на у (а + а*). Для
доказательства в) заметим, что преобразование F[«] — F[0] по
формуле Адамара сразу показывает, что F [u] е Xd+1 (Q) при и s
s (Q). Применение той же формулы к F [и] — Р [у] дает опе-
ратор L из определения 3.

Перейдем к доказательству г). Пусть В (в) — множество всех
операторов L вида (1), коэффициенты которых удовлетворяют тре-
бованиям определения 3. Очевидно, существует такая постоянная,
что абсолютные величины коэффициентов каждого оператора
L е= R (в) не превосходят этой постоянной почти всюду в Q. Отсюда
и из формулы типа F®[u] = F®[0]-f-L®u, где L® е В (е), вытекает.
что оператор F[a]: = Д F“[u] действует из ! (Q) в Xd+i (Q)-

<oeQ

Возьмем, далее, и, v s Wti’+i (Q), и пусть —оператор, отве-
чающий и, v, F® по определению 3. Понятно, что

Д L(u— t>)sS Д L“(u — v)«sF[u' —F[v]s^
LeB(e)	co ей

V Z/°(u—и)=с V L(u — и).	(2)

(D £ Q	L e В (8)

Совершенно аналогично лемме 4.1 доказывается существование
операторов L', L" <= В (в) таких, что

U (и— и) = Д L(u — и), L"(u—v) = V L(u—v) (3)
L е в (в)	L е в (в)

(они зависят от «, о).

Возьмем, наконец, s(t, x) — Q в тех точках, где L' (и — v) =
= L" (и—о), а в остальных точках Q пусть

5	(L’—L')(u—v)	•

Из (2), (3) следует, что ss[0, 1], L: = sL'4-(l —s)L*efi(e)
и L(u—ti)=F[u] —F[vl. Лемма доказана.

Связь между е-невырожденными операторами L-типа и анти-
позитивными операторами устанавливается в следующей лемме.

О

5.	Лемма. Пусть IFi’+i (Cr,R) — подмножество W'd’+i (Pt,r),
состоящее из всех функций, равных нулю на d'CTiR. Пусть е>0,
F — г-невырожденный оператор L-типа в Ст, r-Тогда F с областью
о

определения W'd\i(Cr,R) является антипозитивным оператором
в ^а+1(Ст.я)- Более того, существует постоянная N, зависящая
только от К., d, г, такая, что

XK«-0±k(W(cJ.r R)^

< N | (X (и - v) - (F [a] - F [o]))± hd+i {cTt R)	(4)

о

при всех и, oe (Ст,я).

Доказательство. В силу определения 3 достаточно дока-
зать (4) с заменой там F[u] —F[u] на L(u — о). Переходя после
этого к w = ±(u — v), заключаем, что для доказательства леммы
достаточно установить существование постоянной N, зависящей
только от К, d, е, такой, что

hI О»+ (сг, Л) | (Хда — £да)+1^+1 (сг, л) . (5)
о

для любых hSzN, w ^Wd'*+i(CTtR) и операторов L вида (1),
коэффициенты которых удовлетворяют условиям: а = а*, r-^-tra 4-
4-|&| + |с|^Д,г^е, (og,	1g|2 для всех (п. в. CT,R).
Так как в (5) легко переходить к пределу, то мы можем и
будем считать, что г, а'Л b', с^С^ (Ed^). Кроме того, из теории
линейных уравнений известно, что при всяком фиксированном
о

X^sO функцию w^Wld\i(Cr,R) можно представить в виде
о

№(+)—а>(-), где е W'dXt kw{±) — Lw(±} =	— Lw)±

(п. в. CT'R).

По принципу максимума (по геореме 4.2 при /7В>Я [u] : = Lu — Хи)
имеем a>(±)SsO в Cr>R, и значит, мы докажем (5), если докажем, что

х I “*+ kf+i («г. л) < I - Lw k,+1 (ст. л)	(6)

при еще одном дополнительном предположении, что Хш — Lw^Q
(п. в. Ст,r). Наконец, приближая kw — Lw гладкими функциями f,
а о» —решениями из	задач ku — Lu — f, заключаем,

что (6) достаточно доказать в случае, когда кив — Lw — f (п. в. Ct.r),
где f^O, 1<=С?(ЕМ).

Воспользуемся в этом случае теоремой 2.4, взяв в ней в ка-
честве X число р, являющееся корнем уравнения + К = Х.
Пусть о — функция из теоремы 2.4. Тогда

Lv — ко = rvt +	+ &vxi + со — ко

<; (р (г tr а) 4-11> | У^р — X) и —	г det а/	— 6/ (н. в. Ct,r),

где 6 зависит только от d, в; 6>0. Отсюда по принципу макси*
мума	в Сг.д и

Sll“’+k/+1(Cr, R)<l°Urf+i(Cr.

Здесь неравенство между крайними членами сохранится при
любом продолжении f с Ст, r на Ed+1 до неотрицательной функ*
ции класса С?° (Ем). Поэтому

61 Ь4+1 (сг, я) =С I f	(ст. R) -

= p(d4-l) И	(cr. R) *

Остается заметить, что p^(2K)-1X при Xss2K. Лемма доказана.
Следующая теорема служит для нас ориентиром, мы в даль-
нейшем будем ослаблять ее предположения.

6. Теорема. Пусть е>0, F — ^-невырожденный оператор
L-muna в Ct.r, ип<=1Гй + 1(Ст,я), п=0, 1,2,..., ия-^и° в ХМ(СТ, r)
при п-+-оо. Тогда1.

а)	если F[un]—rf в £d+i(CT,R) при п-*-<х>, то F[u°]=f
fn. в. Ct,r)>
б)	если supF',[«]s«S7d+i(Cr(R), то lim Г[ыя]^£[и°] (n. в. Cj-.r);

в)	если inf Рп [u] е Xd+1 (СТ,r), то F[«°]2s lim F[un]
п	П -*ОО

(п. в. Ct,r).

Доказательство. Утверждение а) следует из лемм 4, 5 и
теоремы 2, утверждение в) следует из б), если вместо F[«] рас-
смотреть (—F[—и]) (см. лемму 4). Для доказательства б) поло-
жим fn = F[un], f = Vim fn и воспользуемся схемой доказательства
теоремы 2. По лемме 5, опуская индексы у норм, имеем

X | (и — и»)+NI (X (а - и») - F [и]+/»)+1|
о

при kSzN, и е^+1(Сгг/г). .Перейдем здесь к пределу, поль-
зуясь в правой части леммой Фату, которая применима, так как
/“=Csup/ne«Sfrf+i(Cr,R). Тогда получим-

X | (и< N | (X (u - u°) - F [а]+1.

При достаточно больших X подставим в это неравенство
О

и = и°-|-Х-1и), где w^Wh'+i(CTtR), и положим Х->оо. Тогда,
очевидно, получим Ца>+|^ЛГ||(г0 — F[u°]4-f)+| для всех

о

<= W'd’+i (Ct,r), а значит, и для всех e^/rf+i(Cr>R). Это при
u> = F[«0]— f\/k дает о»+ = 0, u>sgO, F[u°]^f\/k (п. в. Ct.r)
при любом k, что и требовалось.

Наиболее неудобным и неестественным предположением тео-
ремы б является предположение о равенстве нулю ип на d'CTtR.
Для того чтобы от него отказаться, нам понадобится

7.	Лемма. Пусть оператор L имеет вид (1), причем в Ct>r
с<0, r + tra-f-|&|=СЯ1|с|, rSsO, а = а*0, где Ki — некоторая
постоянная. Возьмем некоторую функцию и	для

которой Lu^Q (п. в. Ст, r), и определим число р как положи-
тельный корень уравнения 1 =Ki(p-f-p2). Тогда в Ct,r

SUP «+ + екг‘('-Г) sup «+.	(7)

С"ИК axcT, R	atCT,R

Доказательство. В силу принципа максимума достаточно
проверить, что оператор L, примененный к правой части (7), дает
отрицательную функцию на Ст,к- Так как shp|x|^chp |х|,
shp |х| =^р | x|chp | х|, то

Lchp|x|=cchp|xH-pshp|x|6,j^i +

+ р2 ch р | х |	+ р2	sh р | х | [tr а - а'>	<

^(c-f-p | t>|4-p2 tra)chp |х| =СО.
Кроме того,

и - n=gKT1 (t - г>	4- с) 0.

Лемма доказана.

8.	Лемма. Пусть е>0, F — ъ-невырожденный оператор
L-muna в Ct.r, т е [0, Г], р е [0, /?]. Тогда существует постоян-
ная N, зависящая только от К, d, ъ, такая, что для любых
и, v €= (Ст, r)

XI (« - o)+ krf+1 (cT, p) < (X (u - u) - (F [u] - F [u]))± bd+1 (cr, +
+ X J Фх.	(Cx, p) | (« — »)+ Ic (d‘cTi Rl,

_	. ch p lx I . (-4- —>)(< — T)	,

еде фа(», x) = Chp#	7	» И ~~ положительный корень

уравнения К—К = К(р + ра).

Доказательство. Как в доказательстве леммы 5, доста-
точно рассмотреть случай, когда F — линейный оператор L вида (1)
с гладкими коэффициентами, и доказать, что

X|a’+kd+i(eT, р)<

< NI (Хад — Lw)+ Ije^ (cTt л) + X |	(Ст> р) | о>+ |с {д.Ст> R)

для любых Х^А/,	^^+1(СГ(1г).

Представим функцию w в виде ay04-u>i, где wt е (Ct.r),
и>о = О, Wi = w на д'Ct.r, Lw0 — fai)0 = Lw — kw, Lw1 — 'kwi = 6
(п. в. Ct.r). По лемме 5

XI (и>о)+ krf+1 (cr> ₽) < N J (Xo> — Ltt>)+ hd+1 (cTt R) (8)
при XssAZ с постоянной N, взятой из леммы 5. Кроме того, при
Х^К, Ki := К (X —АС)-1 имеем с — Х^О, r-|-tra + | b |	ACi|c — Х|.

Отсюда по лемме 7, применяемой к L —X, w^, получаем
<Фя! w+ 1с (д’сТ' Ry Остается это неравенство объединить с (8) и
соотношениями tt>+ = (t0o + J0i)+!C(t0o)++(a’i)+- Лемма доказана.
Докажем теперь один из основных результатов этого параграфа.
9. Теорема. Пусть е>0, F — е-невырожденный оператор
L-muna в области^ Q, Fo — оператор L-muna в Q, ип s
е be (Q) f|C(Q), n = 0, 1, 2, ..., ип-*-и° на Q при, п-^-са
в смысле сходимости по мере Лебега. Тогда:

а)	если sup II ul |!с <д'<р < оо, sup F [ил] е (Q), то

lim Fo [un] 5= Fo [и°| (п. в. Q);	(9)

Г -*00

б)	если sup | ип+ ||с	< оо, inf F [u“] е «S?rf+1 (Q), то

Fe[u0]^ lim Fol«nJ (п. в, Q).
Доказательство» В силу леммы 4 а) достаточно доказать
утверждение а). Докажем его сначала, когда F0 = F. По опреде-
лению 3 при всяком п найдется оператор Ln вида (1) такой, что
L"(—u”) = — Lnu° — F [ыя] 4- F [ы°]. Так как F[un] ограничены
в совокупности сверху функцией из ^d+iiQ), то по теореме 3.9
функции (—ип) в совокупности ограничены сверху на Q, т. е.

sup | «2 |с (Q) < ©о-
п

Заметим также, что неравенство lim F [ыя] F [и0] почти всюду
на Q будет доказано, если его доказать почти всюду в лю-
бом цилиндре, содержащемся в Q. Пусть СтRо: Q, те [О, Т),
ре (О, R). Положим f', = F[a'’], f = limf” и будем действовать,
как в доказательстве теоремы 6. По лемме 8

% | (и - и»)+ Urf+1 (ст> р) =С ЛЦ (X (и — un) — F [и] 4- fn)+ {сг> д) +

+ М Фх. Ц,+1 (ох> э) I (и — а”)+ |с (<?)	(Ю)

при X^sW, и е j (CTi R). Здесь (ы —и“)+ равномерно ограни-
чены и по мере сходятся к (и— ы°)+. Поэтому в левой части (10)
можно перейти к пределу по теореме о мажорируемой сходимости.
В первом слагаемом в правой части заменим сначала fn на
-sup{fn;.n^n0}, затем положим п-*-оо и после этого п0->оо,
оба раза пользуясь теоремой о Мажорируемой сходимости. Это
нам даст

11 (« - u°)+(Ст> р) < NI (X (и - ы°) - F [и] 4- 0+ brrf+1 (СГ> д) 4-

+ М<Рхkd+i (cTi p)(|«|c(Q) + ^V)-	(П)

Подставим сюда u = u°4-X-1t», где w е Wtf+i (Q), и положим
сначала Х-> оо, а затем т f Т, р f R. Из явного вида Фх (см. лемму 8)
легко увидеть, что при любых т<Т4 р<₽

lim Х|фЛ|^ (с,_ р) = 0.

Л —*00

Поэтому после указанных предельных переходов последнее
слагаемое в (11) пропадет, и мы сможем закончить доказательство
этой теоремы при F0 = F так же, как доказательство теоремы 6.

Освободимся теперь от дополнительного предположения, что
Fo — F. Возьмем некоторые постоянные m>0, 6е(0, 1] и заме-
тим, что в силу леммы 4 операторы m:	min(F0[«], /и),

6Г[ы)4-(1-6)min(F0[u], tn) являются операторами L-типа в Q.
Последний из них, очевидно, еще и еб-невырожден. Кроме того,

sup (6F («"] 4- (1 — d) (m Д Fo [«”J)) «С 6 sup F [un] 4- tn е (Q).
п	п
Стало быть, к оператору 6F-|-(1 — б) (/л Д Fo) можно приме-
нить утверждение а), доказанное выше для e-невырожденных опе-
раторов. Отсюда

б sup F [ил] + (1 — б) (т Д fim Fo [«"]) 2»

п	\ Я-*ОО	/

Iffi (6F[ыл] + (1 -6)^F0[u»]))^6F[u«]-Hl -б)(тД^[и°]).
и—* оо	_

При б|0, /п-»-оо это дает утверждение а) в полном объеме.
Теорема доказана.

10.	Замечание. Можно привести примеры, показывающие,,
что из условий, в которых доказано (9), не следует, что-
sup	и, более того, не следует, что ип -► ы® в Xd+l (Q).

п

11.	Следствие. Пусть в > 0, В (в) — множество операторов
из доказательства леммы 4, ип е Wld\ ioc (Q) П C (Q), n^O,
un->u® по мере в Q и un равномерно ограничены на d'Q. Пусть
еще для всякого п^1 найдется оператор L“eB(«) такой, что
L”u" = 0 (п. в. Q). Тогда существует оператор L’gB(e) такой,
что L°u® = 0 (п. в. Q).

В самом деле, при всяком п на Q

/\ Lun^Lnun = 0, V Lun^Lnun = 0.

В (г)	В(е)

При п->оо по лемме 4 и теореме 9 отсюда следует Д Lu°^

В (в)

V

В (8)

Далее, легко найти измеримую s s [0, 1] так, чтобы для
F:=s Д L+(l— s) V L выполнялось равенство F[u®] = 0. Так

В (8)	В (8)

как F —е-невырожденный оператор L-типа и F [0] = 0, то най-
дется оператор L°eB(e), для которого 0 = F [u®] — F [0] = L°u®,
что и требовалось.

Это следствие имеет отношение к так называемой G-сходимости
линейных операторов (см. Жиков, Сиражудинов [1], Жиков, Коз-
лов, Олейник [1]).

12.	Теорема. /7усть е>0, F — ь-невырожденный оператор-
L-muna в Q, ип<= Wh'+i. ioc (Q) П С «?), л = 0, 1,2,..., un->-uoeQ
по Afepe, F [un] -► f в (Q) и и" равномерно ограничены на d'Q.
Toeda F[u°]=f (п. в. Q).

Доказательство. Выберем подпоследовательность п(&)->оо
так, чтобы

Из этой подпоследовательности выберем еще одну, по кото-
рой F [и»] сходятся к f почти всюду. Тогда от последовательности.
функций ип мы перейдем к последовательности Vя такой, что
(п. в. Q), vn-+u° по мере,

Из последнего соотношения следует, что ряд с общим членом
| F [an+1] — F [tf1] | сходится в	а так как |F[t>n] — F^1] |,

очевидно, не превосходит суммы этого ряда, то

sup|F[u"]|<=^rf+1(Q).
п

Отсюда по теореме 9

f — ITm F[vn]Зг F[ы°]Ss lim F [»«]=/ (п. в. Q).

Теорема доказана.

13.	Следствие. Пусть е>О, F — е-невырожденный оператор
«L-типа в Q, множество Г az ioc (Q) QC(Q), Г — компакт
в <^<*+i (Q) и следы функций из Г на d'Q образуют ограниченное
множество в С(d'Q). Тогда множество Н :={£[«]: иеГ} зам-
кнуто в ^rf+i (Q).

Действительно, пусть fn^H и f®-»-/в ^m(Q). Возьмем
и" еГ так, чтобы иметь F [и®] = /®. По предположению сущест-
вует такое и°еГ, что u"->u° в Хм (Q) по некоторой подпосле-
довательности. По теореме 12 отсюда F[u°]=/, f^H, что и
утверждалось.

14.	Следствие. Пусть un&Wla’+i, ioc(Q)f|C(Q)» L"e5(«),
п — 1, 2, ... (В (в) введено в доказательстве леммы 4), f — неотри-
цательная функция на Q и L"un^ — f (п. в.) при всех п. Пред-
положим, что и"->0 по мере Лебега, ип_ равномерно ограничены
на d'Q. Тогда f = Q (п. в.).

В самом деле, положим F [и] = Д {Lu: L^B (в)}. Тогда
F [и®] «С — (f Д т) при любом т. По теореме 9 а) отсюда F [0]
«S-(/Am). °<-(/ А/и), / = ° (п. В.).

Значительным усилением этого следствия является след-
ствие IV. 1.8.

Перенесем утверждения 9—14 на нелинейные эллиптические
операторы.

15.	Теорема. Пусть D — ограниченная область в Ed. В опре-
делении 3 заменим г, Wd + i (Q), <#rf+i (Q), Q на 0, Wd(D), £d (D), D,
опустим требование г^в и получившееся опребеление примем за
опребеление е-невырожденного оператора L-muna в D. Тогда после
замены d-|-l, Су,/?, d'C-pR, d'Q, Q, Wh'+t, *&d+i на d, Sr, 6Sr,
dD, D, Xd соответственно ynlвepжdeнuя 5, 6, 9—14 6ydym
npodoлжamь оставаться верными.

Для доказательства этой теоремы достаточно почти дословно
повторить доказательства утверждений 5, б, 9—14, пользуясь
теоремой 2.3 вместо теоремы 2.4, после чего нужно очевидным
образом изменить лемму 7 и в лемме 8 в качестве <рх взять
(ch р | х |) (ch р/?)-1.
§ 6. Предельный переход в нелинейных операторах
в классах выпуклых функций

Результаты предыдущего параграфа удобно применять при
исследовании вырожденных нелинейных уравнений, когда уста-
новлена априорная ограниченность всех производных решения и
вида их, ut9 ихх. К сожалению, эта априорная ограниченность
для вырожденного случая не всегда имеет место, хотя в довольно*
широком классе случаев, как мы увидим в гл. VII, VIII, удается
оценить матрицу ихх снизу (или только сверху). Иначе говоря,
удается доказать, что функция и + N | х |2 выпукла вниз по х при
некоторой постоянной N В связи с этим в этом параграфе мы
будем иметь дело с функциями вида Ui + u2, где их выпукла вниэ
по х,	+ Отметим, что хотя класс таких функций шире,

чем рассматривавшийся в §5, класс операторов, под знаком кото-
рых мы здесь переходим к пределу, уже по сравнению с классом
операторов из § 5.

Фиксируем постоянные К, Т, /?, е>0. Пусть Й —некоторое
множество индексов и каждому шей поставлены в соответствие
действительные борелевские на С7>/? функции г (о), а^(со), Ь1(со)>
с (со), / (со), i, / = !, d. Положим a((o)~(af>(co)), &((о) = (й1 (о))
и будем считать, что а = a*, r ++	+ г^О, (аХ, Х)^6

при всех шей, (/, x}^Ct,r> k^Ed. Предположим также, что
найдется такая функция / €= Xd+i (CrtR), что |/(со)|^7 на CTtR-
при всех со.

Пусть Wbv+(CTtR) — множество всех борелевских действитель-
ных ограниченных функций u(t> х) на С7/?, выпуклых вниз по х»
вариация которых по t на [О, Т] интегрируема по х на SR. Обсу-
дим некоторые свойства элементов Wbv* + (CT,R). Пусть
^СГ(Е„+1), х) = 0 при |/|2 + |х|22И, \l’didx- 1, £(/, х) =’
==£(№ + 1*1’)- Положим x) = x~d~1^(x~1i, т-1х), где т>0, и>
если w — некоторая функция, ц — мера, то пусть

ao^- = w^\ ц(х)(t, х)'= ^%,х(t — s, х — у)у. (dsdy). (1)

При достаточно малых т>0 пусть еще Qx —цилиндр, состоя-
щий из всех тех точек CTtR, расе юяние которых до границы CTi R
строго больше 2т. Для некоторого т0>0, очевидно, фх=#ф при
т е (0, т0).

Возьмем некоторую функцию и s + (CTfR). Понятно,
что u(x> бесконечно дифференцируема при т е (0, т0) на Qx. Кроме
того, и*х) выпукла вниз по х на Qx, ее вариация по t на
(2т, Т — 2т] интегрируема по х на S/?-2T и этот интеграл не пре-
восходит интеграла по вариации и по t е (О, Г].

Из последнего факта и дифференцируемости а(х) по t вытекает,
что меры с дифференциалами и<х)(/, x)dtdx, рассматриваемые
на Qx, равномерно ограничены по вариации. Любая их предель-
ная точка при т|0 в смысле слабой сходимости мер на компак-
тах, лежащих в Ct.r, является мерой в Ct.r, которая будет пред-
ставлять обобщенную производную и по t в смысле теории
обобщенных функций. В самом деле, если р — слабая предельная
точка этих мер и <р е СоЧСт.д), то

f Ф/Ы dtdx = lim ( wtulx) didx= — lim ( фи(” dtdx = — С<рц (dt dx).

'	T|0 •*	t|0 J	J

Найденная мера p однозначно определяется по и, и мы ее обозна-
чаем через Ut. Очевидно, мера щ имеет ограниченную вариацию
на Ct.r.

Далее, повторим некоторые рассуждения из § 1.2. Из рас-
смотрения одномерных сечений графиков гладких выпуклых функ-
ций, заданных на Sr, непосредственно следует, что их градиенты
в где Ri<iR, по абсолютной величине оцениваются только
через R, Ri п колебание в S# взятой выпуклой функции. Отсюда
получаем, что при всяком Ti е (0, т0) величины и(х} равномерно
ограничены на QTi при те(0, и). Их слабый предел, например,
в <^2 (О’*) очевидным образом дает соболевские производные
вида их, которые, стало быть, существуют. на и локально
ограничены.

Изучим вторые производные и. Так как и(т) выпукла вниз
по х на Q’, то для любого I е Еа на Q’ имеем неравенство
^0. В частности, для любых	и любой неотрицатель-

ной TieCS°(Q’), равной единице на QT*,

J ^(’/(od/dx.	(2)

Отсюда видно, что меры с дифференциалами u^^dtdx, рас-
сматриваемые на <?> при т<Т1, положительны и равномерно
ограничены (по вариации). Отсюда, далее, вытекает существова-
ние меры локально ограниченной вариации в Ст, r, которая яв-
ляется слабым пределом мер u<]>(Z)d/dx при т|0 на каждом ком-
пакте, лежащем в Ст, r. Эту меру мы обозначаем Щгщ), и из
рассмотрения первого равенства в (2) следует, что «(/)(/> есть
вторая производная и вдоль I в смысле теории обобщенных функ-
ций. Очевидно, что «(/) — квадратичная форма и меры uxtxt,
стоящие в ней коэффициентами при l‘U, будут обобщенными про-
изводными и по xfxJ. Мы доказали следующий факт.

1.	Лемма. Если и е Wba- + (Ст. r) , mo соболевские производные,
вида их локально ограничены в Ct.r, а обобщенные производные
вида ut, ихх являются мерами в Ст. r локально ограниченной вариа~
ищи. Кроме того, и^ф^О в Ct.r при любом 1&Еа.

Для функции esrJVi(^r.«) также имеет смысл рассматри-
вать их как соболевскую производную, a ut, ихх как меры (с диф-
ференциалами utdt dx, uxxdt dx, где ut, uxx — производные в смысле
Соболева). Поэтому ниже при и е 4 (Ст, д) := №**’• + (Ст, я)+
+ Wlj\](Cj r) под их мы понимаем производную в смысле Собо-
лева, а под ut, ихх мы понимаем меры, являющиеся соответствую»
щими производными в смысле теории обобщенных функций.

Отметим простое достаточное условие принадлежности к классу.
Wbv' + (Ст. я)- Оказывается, что если и^С(Ст, я), соболевские
производные их, и, ограничены, обобщенные производные ихх,
являются мерами и	— Ni\l i2 А на Ст. я для всех I е Eri,.

где Ni — некоторая постоянная, А —мера Лебега на Ст, я, то-
и е + (Ct.r) и, более того, и + у Ai | х |2 выпукла вниз по х
на Ст, r- Этот факт очень легко следует из рассмотрения функ-
ции и(т) с учетом того, что (и(х))х;х/=(«х‘х/)<т).

Напомним, что если р. —мера в Ст, r локально ограниченной-
вариации, g — функция на Ct.r, локально суммируемая по р, то«
g• р — неопределенный интеграл g по р ^g«p (Г) : = \gp(dt dx)j,_
| р | — вариация меры р, р° (ps)— абсолютно непрерывная (сингу-
лярная) составляющая меры р относительно А, р(0) :=> р° (dt dx)/dt dx.
Для всякой меры р значения р(0) считаются раз навсегда фикси-
Бованными в каждой точке области Ct.r- Известно (см. Данфорд,.

Зварц [1]), что

pw = limp(T) (п. в. Ct.r)*),	(3>

40

так что обозначение р(0) согласуется с (1).

При и <= Wbv- + (Ст. r) обозначим

Fu = V [г(ю)«и,-|-а'/(<1))"Их,х/-|-(б<(«>)и? + с(®)и-|-^ю))«Л], (4)»
где (естественно) верхняя грань берется в структуре мер на Ст. r.
Поскольку г, а, Ь, с ограничены,	то меры, стоящие в (4)-

в квадратных скобках, в совокупности ограничены сверху (даже-
по вариации) мерой

+(2i“.d+A'+7)-A).

где А —некоторая постоянная. Поэтому (см. §1.2) выражение Fu-
вполне определено и является мерой на Ст, r локально ограни-
ченной вариации.

Некоторые способы вычисления верхних граней в структуре
мер обсуждаются в § 1.2. Здесь нам будет особенно важно пра-
вило, позволяющее находить абсолютно непрерывную и сингуляр-
ную составляющие верхней грани, через соответствующие состав-

•) Без указания меры «п. в.» означает «почти всюду по мере Лебега».
92	гл. ш. априорные оценки в <г0

ляющие мер, стоящих под знаком верхней грани. Выведем из
этого факта следующий результат.

2.	Лемма. Пусть и <= Wbv- +(Ст, r), Соболевская производная и
по t существует в Ct.r- Тогда равенство Fu = Q в Ct.r имеет
место в том и только в том случае, если аЧ (со) • ujj Л при
всех о) е Q и

У	(®) «X/ + г (a>)ut 4- Ь1 (<в) uxi+с (<в) и 4- f (со)] == 0 (п. в. СТ, r).

(5)

Доказательство. Так как в левой части равенства (5)
стоит (Fu)(0) и, очевидно, и’ = 0,

(Fa)J= V (г-^4-а<Л«^)= V	(6)

<оеа'	' вей

то для доказательства леммы достаточно при каждом ш е Q уста-
новить, что

аЧ (<в) •	=s£ 0 => аЧ (<а) • uxix? < Л => аЧ (со) • и’у = 0.	(7)

Последняя импликация очевидна, при доказательстве первой, оче-
видно, можно считать, что и е 1Г6о> + (Ст, /?) В этом случае
аЧ (со) • uxixf Ss 0. Действительно, пусть р. = У1, | uxtxj1, a.lf (t, х) =
= uxix/ (dt dx)/p. (dt dx). Так как u(Z) (Z) 5= 0, то 0 почти всюду
по p при каждом I е Ed.

Функция йцРи непрерывна по I, поэтому существует множе-
ство Г с: Ct,r нулевой меры р такое, что йу/г/>^0 вне Г при всех
l<=Ed. Вне Г тогда аЧц^^Ь, так как обе матрицы (aV), (йу)
симметричны и положительны. Отсюда и аЧ (со) ° uxix/ 0. Из этого
неравенства заключаем о^(®)«и^х/^0, что доказывает и первую
импликацию в (7). Лемма доказана.

Иногда полезно бывает также знать, что если соболевские про-
изводные ut, ижх существуют, то Fu Л, (Fu)(0) совпадает с левой
частью (5) (в которой и$х/ — соболевская производная). При этом,
например, если й—сепарабельное метрическое пространство и
г, а, Ь, с, f непрерывны по ®, то в левой части (5) верхняя грань
в структуре измеримых функций с мерой Лебега может быть заме-
нена на обычную верхнюю грань.

Сформулируем теперь основной результат этого параграфа.

3.	Теорема. Пусть г^г, (а\, X) е | X |2 при всех со, t, х, X.
Пусть также v, ип eW'6"’ + (Ct,r)(}C(Ct.r), п = 1, 2, ..., ыя-»-о
при п-^-оо равномерно на Ct.r, Fun^Q в Ct.r- Тогда (Fv)a^0
в Ct.r, о, если соболевская производная и по t существует на Ct.r,
то Fv^sO в Ct.r,
Доказательство этой георемы мы дадим после доказательства
некоторых предварительных результатов. Прежде всего заметим,
что, как известно (см. § 1.2), при вычислении Fun и Fv верхнюю
грань в (4) можно заменить на верхнюю грань по подходящему
счетному подмножеству Q, зависящему, возможно, от п. Объеди-
нение этих подмножеств по п дает счетное подмножество Q, кото-
рое можно взять в (4) вместо й, и при этом Fv, Fun не изме-
няется ни при одном п. Поэтому мы можем и будем дальше счи-
тать, что й счетно.

Далее, введем функцию

F(u0, ии, ut, и, t, х): =

= sup [r(®)uo4-eV(®)uv4-b'(®)u/-|-c((o)u-|-f (со)]. (8)

Так как й счетно, то F («0» Щ), и, t, х) измерима по (/, х),
а так как разность верхних граней не превосходит верхней грани
разностей, то эта функция удовлетворяет условию Липшица по
(и0, «»•/, uit и) о постоянной, не зависящей от ((, х). При и е
е ffbv. + (Ct.r) положим

Г[и]=Г(иГ',	«» 4

Как уже говорилось,
(F«)W-F[«] (п. в. Ct.r).	(9)

Теперь сведем дело к случаю, когда г(й)ез1, Рассуждая,
например, от противного и используя неравенства К^г(со)^8,
нетрудно убедиться в том, что для и е Wb°. + (Ст, r) неравенство
Fu^O имеет место тогда и только тогда, когда

V (ut 4-г-1 (со) аЧ (со) • и^х/+г-1 (со) (Ь1 (со) uxt+c (<a)u+f (©)) • A) s-s 0.

Аналогично обстоит дело с неравенством F[u]s^0. Следова-
тельно, без ограничения общности можно считать, что г (со) si.

Наконец, обозначим ?( множество всех борелевских функций
на Ст, r со значениями в (счетном множестве) й. Из (8), (9) и
основного свойства верхней грани следует

4.	Лемма. Пусть u^Wbv-+(Ct,r), 6>0. Тогда существует
функция <л в Ж такая, что (п. в. Cr. r)

и?' +аЧ (со) и$'х/ + b‘ (со) uxt 4-с (со) и 4-/ (со) (Fu)<0’ —6.

Основную роль в доказательстве теоремы 3 играет

5.	Лемма. Пусть и ^.Wbv-+ (CT R), w<=Wld\\(CT.R), g<=.
Яш (Ct.r), и непрерывна в Cj.r, Fu^sg°A hoCt.r, ?e[0, T],
Г'е[0, /?]. Тогда существует постоянная N, зависящая только
от К, d, в, такая, что при

Л | (ы - о>)+ Ь?(/+1 (Су р) АГ | (А (и - w) 4- F [оу] - g)+ hd+1 (СГ, Л) 4*
+M Ф>. krf+1 (cY> p)! (« — “*)+ Ис (д'с Т t Л),	(10)

аде <рх берется из леммы 5.8 с заменой там К на 4e-1№d4-/C.
Доказательство. Представим и в виде u0 + «i, где «хе

е 1 (Су. я)» и« — | х |2 е Wbo- + (Ср, к). Обозначим

wi = w — Ui, gi = g — F[w],

fl (®) = f (®) + Uu 4- a1/ («) u'^ixj 4- b‘ (co) uixi +c(<a)ui — F [w]

и построим Fi, заменяя в (4) f(a>) на Л (co). Очевидно, и— w =
= u0—Wi и неравенство (10) в новых обозначениях принимает вид

Л | (“о — ^1)+ Ud+1 (су р) =€ N | (А («о — Wi) — gi)+ Urf+1 (сг. л) +
4-Мфхкй+1(с¥(Р)|(«о —t01)Jc(d'Cr,	(И)

Заметим, что Fi • =F (• 4 Ui) — Fw и FiU0 ^gi°A, FiWi = 0. Сле-
довательно, неравенство (11) имеет в точности вид неравенства (10),
если в последнем и, w, F, g заменить на и0, иъ, Л, gi, причем
и#, он, Fi, gi удовлетворяют условиям леммы, а, кроме того,
FiWi = 0, Ио — | х |2<= Wbe’ + (Ст, я).

Таким образом, при доказательстве леммы без ограничения
общности можно считать, что

Fw = 0 на Ст, я. « — | х |2 <= Wbv- + (Ст, r).

Обозначим через Г борелевское подмножество Сг,я такое, что
Л(Г) = 0 и на Сг,я\Г все меры ut, ижх абсолютно непрерывны.

Теперь фиксируем некогорое б>0, возьмем соответствующую
функцию со еЯ из леммы 4, для краткости будем писать а =
= а(<о(/, х), t, х),	/=/(©(/, х), t, х) и положим

а = а4-КхгЛ

где /—единичная матрица размера dxd. Отметим следующие
неравенства:

2K6{kixixj дУ • uxixj-^ t&Juxix/ еЛ.	(12)

Эти и подобные им неравенства легко получаются из известных
свойств симметричных неотрицательно определенных матриц, если
от мер uxtxf перейти к их плотностям по мере Л4-£ |“А/| и за-
метить, что из выпуклости вниз и — | х |2 пох, например, с помощью
рассмотрения соболевских средних, вытекает, что 21 £ I2 Л
*£.%bJuxtxj для любых £ q Ed. Справедливы на Qx также неравенства

2/(Ды W aVu'^j	е Ды W ^8.	(13)
Из (13) вытекает, что следующее определение матрицы ах на Q*
имеет смысл:

В силу (12), (13) имеем 4е-1№/^ат^в2(2К)-1/. Кроме того
(см. (3)), ах->-й — а (п. в. Ст, я) при т|0.

При U7d4-i(Qx) положим, далее,

Lx$=4-ахУ^х/+Ь‘фх<+сф,

где под i|%, понимаются соболевские производные. Очевидно,
на Qx

Lxu^> = [ut+a‘J-uxix/]{x}+blu{xi}+си^.	(14)

Здесь по выбору иеЯ и по неравенству Fu^g°A
ut+аУ • uxix/=(u<«> + а'Х°4/) •л+Хг * (“'+" “х V)

> (g - 6 - Vuj - си - f) • Л 4-хг • (ut+(15)

Последнее слагаемое обозначим через v. При любом пей
в силу неравенства К fra (л) имеем

v > Хг • (“/+аЧ <я) ’ “х'х/).

Так как Л(Г) = 0, то отсюда

v > Хг • (“/+&	‘“х^+(6‘ (я)«/+в (я) и+f (я)) • Л).

Иначе говоря,	Поскольку же Fu^g'A., то v^O.

Окончательно из (14), (15) получаем Lxu^^g—6-f4-hx,
где

hx - g«) - g+f - f W 4- blu$ - (Vu^ 4- cu w - (cu)<T>.

Из известных свойств соболевских средних вытекает, что hx-> О
в Jfrf+i(Qa) при т|0 для любого ст>0. Оценив Lxu^, оценим
теперь £тщ. Принимая во внимание, что Fw^O, получаем

Lxw^—f 4- (axiJ — аУ) wxix/ —:—f + hxv

причем последнее слагаемое сходится к нулю в J^d+i(Q°) при т|0
для любого а > 0, так как ах в совокупности ограничены и ах -> а
при т|0 (п. в. Ст.д).

Таким образом, L^u^— w)^g — b-\-hx— hx на Q°. По лемме
5.8, применяемой к цилиндру Q° при rsgja, оператору Lx вместо F
и постоянным 4e-1№d-f- К, е2(27<)-1 вместо К, в

ЛI (и{х) — 0У)+рП<гО) <

+ II Фл Hrf+i (CY1 рП<?°) I ^“(Т> — “,)+ ’С (д'с/П

при где <р° определяется, как в лемме 5.8, только вместо
Т, R, К нужно взять Т — 2а, R — 2а, 4e-*№d-|- К. Полагая здесь
сначала т|0, затем а|0 и, наконец, б|0, получаем утверждение
леммы. Лемма доказана.

Следующая лемма заканчивает подготовку к доказательству
теоремы 3.

6.	Лемма. Пусть на EdtxCT,R задана функция Ф(ф, t, х),
измеримая по (/, х), удовлетворяющая условию Липшица по ф
с постоянной, не зависящей от t, х, и такая, что Ф(0, •, -)е
е (Ct.r)- Пусть на Ct.r заданы два множества функций со
значениями в Edi:^, {фг, t = l, 2, ...}. Предположим, что ф* е
еТ czXd+i(Cr,R) и каждую функцию из Y можно сколь угодно
точно равномерно на Ct.r приблизить функциями из {ф*, 1^1}.
Тогда существует множество Г cz Ct.r такое, что А(Ст,ц\У)=0
и для любых (<о, х0)еГ, фе'Т имеем

lim A-v(rf+D (Ср,_ р) | Ф (ф, •, •) -
оЮ

— Ф (ф(/0, Хо), to, Xo)b?rf+1(po. *0)+со2. ol

В случае, когда Ф = {ф‘, i^l}, существование подходящего
множества Г следует из того, что почти всякая точка для сум-
мируемой функции является ее точкой Лебега *), а также из счет-
ности Т и того, что Ф(ф, t, х) Xd+i (Ct.r) при ^?d+i(Ct.r)
В общем случае достаточно заметить, что, по предположению,
Ф(ф, /, х) можно равномерно приблизить функцией вида
Ф(ф*, /, х), и при этом допредельное выражение в (16) для ф
будет мало отличаться от такого же выражения для ф*.

7.	Доказательство теоремы 3. Из формулы (6) и не-
равенства (a‘V(<o)«t>x;x/y s^O, установленного в доказательстве
леммы 2, сразу следует, что (Fo)J^0, если vj = O, т. е. если су-
ществует соболевская производная и по t. Поэтому нужно дока-
зать только неравенство (Fv)a5?0 или в силу (9) неравенство
F[v]>0 (п. в. Ct.r).

Возьмем некоторую точку (t0, x0)^Ct,r и применим лемму 5
к и", (to, Xo) + C0s, р вместо и, Ct.r, считая р столь малым, что
(to, х0) + Ср2. р cz Ct.r- После этого положим п->оо. Тогда при

*) См., впрочем, лемму 2 в Приложении 2.
всех е №2(’2+1 (Ст,#) и достаточно малых р получим

X | (п — о»)+	х0) + с,.,. r =С N | (X (и — w) + F [а>])+ |(<о, х0) + ср,_ р +

+ М Ф1. р <о) + Сг, г | (V — tt>)+ 1с ((«0. *0) + д'Ср,, р),	(17)

где г=-|-р, Х^М, /V не зависит от X, р,

(X \
к-1)"-'--»'1,

Ki = 4e 4№d4-/(, р — положительный корень уравнения X —Кх =
=X’i (р + Р-2) и для простоты обозначений опущены индексы
у норм.

Далее, представим v в виде u + ^i, где и е + (Ct.r),
vi е №J’s+i (Ct.r), и обозначим Ф[-] = Г[- 4-Vi]- Из (17) следует,
очевидно, что при тех же w, р, X

X | (и — и»)+ 1р0. х0) + crJ, r J (X (и — и» Ф [а>])+|р0, х0) + ср1_ р +

+ Мфк.р 1р0. х0) + с,,. J (и — ш)+ |с (р0. х0) +a'cpt> р).	(18)

Обозначим теперь через Р (соответственно Ро) совокупность
всех полиномов от t, х (с рациональными коэффициентами) и по

Ф(фо, Фу, Ф», ф, t, *):=Г(фо4-Ц1/, Фу + »1АЛ Ф» +

+ °i?« Ф + »ь *)•

{(Фь Ф?х/’ Ф?> Ф): Ф е Ро}, :={(фь фх;х/, фх(, Ф): фб=Р}

с помощью леммы 6 построим соответствующее множество Г. По
обобщению теоремы Александрова — Буземана — Феллера, доказан-
ному в Приложении 2, можно считать, что для всяких
(to, Хо) €= Г

«(t, х) - [u (to, Хо) + «Г (to, Хо) (t — to) + uxt (to, xo) (xf - x‘) +

+ у “X/ Ко, хо) (х1 - х‘Й) (xi - х0/)] = о (| t - to | +1 x - хо |2) (19)

при (t, x)-*-(t0, Хо). Теперь мы докажем, что для всяких (t0, х0) <=Г
имеет место неравенство Ф [u] (t0, Хо)5=О- Этого в силу равенства,
Ф[и] = Г[ц] достаточно для доказательства теоремы.

Фиксируем точку (t0, х0)еГ, постоянную |е(—оо, оо), и
подставим в (18) в качестве w сумму (—5/Х) и выражения, стоя-
щего в (19) в квадратных скобках, которое мы обозначим через ф.
После этого поделим обе части (18) на р(</+2>/'</+1> и положим Х->оо,
р|0 так, чтобы Хр2->-оо, Хо(рг)->-0, где о(р2) взято из (19).
Ясно, что при этом максимальное значение фх.,р по (f0, Xo)4-Cr«,>
будет стремиться к нулю и последнее слагаемое в (18) после

4 Н. В. Крылов
указанных действий исчезнег. Кроме того,

| (к («+4 -1)+ф [ -1 + ф])+ - а+ф н>])+1 <

и-ф1 + |ф[- { +ф]-Ф[ф]|^Мр2) + Л/1.

Поэтому в силу выбора точки (10, х0) из (18) мы получим
«С N (В 4-Ф [ф] (t0, х0))+, где N не зависит от Е. Это неравенство
верно при всех £<=(—оо, оо), стало быть, Ф[ф](i0, х0)2г0, а так
как, очевидно, Ф [ф] (Л>, Хо) = Ф[и](^о, х0), то теорема доказана.

§ 7. Единственность решения и теоремы сравнения
для нелинейных операторов в классе выпуклых функций

В этом параграфе мы. приведем несколько результатов о един-
ственности решений вырождающихся нелинейных уравнений в клас-
сах функций, выпуклых по х Основной из этих результатов,
а именно, теорема 1, взят из работы Крылова [14] и приводится
здесь без доказательства. К сожалению, автору неизвестно, как
достаточно экономно изложить на языке теории дифференциаль-
ных уравнений вероятностные аргументы из упомянутой выше
работы. Надо сказать, в качестве некоторого оправдания, что
результаты этого параграфа будут использоваться только в гл. VII,
VIII, причем в большинстве случаев, несколько поступившись,
быть может, общностью, вместо них можно было бы использовать
результаты § 4.

Фиксируем некоторую область Q cz Ed+i. Пусть ITbv (Q) — мно-
жество всех локально суммируемых функций и на Q, имеющих
ограниченные в Q первые соболевские производные по х и таких,
что обобщенные производные (в смысле теории обобщенных функ-
ций) вида ut, ихх являются мерами ограниченной вариации на Q.
Обозначим через IVbv, ioc (Q) множество всех функций, которые
в каждой ограниченной области Qi cz Qi с Q совпадают с какой-
нибудь функцией из WbitQ)- Пусть WЙ + (Q) — множество всех
функций на Q, принадлежащих Wbv' + (z + Cpt, р) (см. § 6) для
любых г, р таких, что z-|-Cp., р cz Q. Обозначим также + (Q)=
.=IF£'+(Q) + imlt 10C(Q). ЯСНО, ЧТО IVfoc’+ (Q) CZ I^bv, loc (Q)-

Пусть, далее, Q —некоторое сепарабельное метрическое прост-
ранство, целое число di^sl. Пусть при всех ueQ, (t, x)eQ
определены: а (со, t, х) —матрица размера dxdi, Ь(<а, t, x)—d-uep-
ный вектор и действительные г (со, t, х)2ь0, с (со, t, х), /(со, t, х).
Предполагается, что все эти функции борелевские по (со, t, х),
непрерывны по со, непрерывны по х равномерно относительно со
при всяком t и ограничены на любом множестве вида QxQi, где
ограниченная область Qi c&cQ Кроме того, будем считать,
что на любом множестве такого вида соболевские производные
гх, гхх, ож, Ьх, ахх, где а = ? оо, существуют и ограничены.
Наконец, предположим, что с ограничено сверху на £2xQ.

Для и е WH, ice (Q) введем меру Fu на Q формулой (6.4).

В приложениях результатов этого параграфа полезно иметь
в виду, что, как сказано в лемме 6.2, если и s + (Q), Собо-
левская производная вида и( существует, то равенство Fu = 0 на Q
имеет место тогда и только тогда, когда а^(со) •их«ж/-<Л при
любом шейи F(ut, uxix/, uxt, и, z) = 0 в Q (п. в.), где F вве-
дена формулой (6.8).

1.	Теорема. Пусть Q — ограниченная область, г =1, «х, ы2е
е С((?), «х е + (Q), «2 е №t>v, юс (Q), Fux^sO^sFu2 на Q.
Пусть еще (s, х) eQ, «х ы2 на d’Q (s, х). Тогда щ (s, х) щ (s, х).

Эту теорему, как сказано выше, мы доказывать не будем. Мы
только обсудим ее утверждения и извлечем некоторые следствия,
необходимые для дальнейшего. Из теоремы 1, очевидно, вытекает

2.	Следствие. Если в дополнение к предположениям тео-
ремы 1 имеем щ е IFfc + (Q), Ful = Fu2, щ = щ на d'Q(s, х), то
«1 (s, х) = «2 («» х).

В этом следствии пространство TTioc' + (Q) нельзя заменить на
И7 bi. юс (Q), как показывает

3.	Пример (см. Конвей, Хопф[1]). Пусть d= 1, Q = [—2,2],
о=с = 0, 6 = 2(0, / = — (о2, Q = Ci,x. Легко видеть, что функции
их: = 0, щ :=(1 — t — |х|)+ совпадают на d'Q, Fux = Fu2 = 0 в Q.
Кроме того, «2 е ^bv. loc (Q) и Ux(O, 0) = 0^t 1 =ы2(0, 0).

Перенесем теорему 1 на случай произвольного рассматривае-
мого г. При и ей, « е IFbv, ioc(Q) обозначим

L (со) и = г (со) • ut + аЧ (со) • их,х/ + (Ь‘ (co) uxi + с (со) а) • Л,

Lo (со) и = аЧ (со) • uxixj 4- (6' (со) uj4-с (со) и) • Л.

4.	Теорема. Пусть Q — ограниченная область, число е0>0,
функция фЭ®0,

«х, (—Ф) + (Q), u2<=Wl'}, ioc(Q), ф, «1,

L ((о)ф + вфь — u2Z 5г L (co) ф 4-еф/ e Q nPu любых оей,
8G(0, 80), F«x^0^F«2 на Q. Пусть еще (s, x)eQ, на
d'Q(s, x). Тогда Ui(s, х)^щ(8, x).

Доказательство. При ee(0, e0) на Q имеем

0 «5 V [L (co) (Ux — 8ф) + ^((0)»Л-|-8 (Ui —8ф)<],
(i)GQ

0	Vo [(«1 ~ еф)с + ^5^• Lo (®) («1 -8ф) 4-f (co) • л], (1)

05s # Vo [(«24-еф)/ + 77йЫ*£о(й))(Ы2 +е^+г-75П^(й>>,ЛЬ
Из последних двух соотношений по теореме 1 получаем
(«1— 8ф) (S, X) («2 + 8ф) (S, X). Ввиду ПРОИЗВОЛЬНОСТИ 8 6= (0, 80)
теорема доказана.

5.	Замечание. Привлечение вспомогательной функции не-
обходимо, как показывает рассмотрение случая г=с = / = 0,
а = 0, Ь = 0.

6.	Следствие. Пусть Q, 80, ф удовлетворяют условиям тео-
ремы 4, u2 еC(Q) П 'V'1'ос + (Q), — |«й|‘>=^(«»)ф + 8ф/, t = 1, 2,
на Q при любых weQ, е <= (0, е0), Fu1 = Fui — 0 на Q Пусть
еще (s, x)eQ, Mi = i/2 на d'Q(s, х). Тогда «i(s, x) = u2(s, х).

Перейдем к случаю неограниченной области.

7.	Теорема. Пусть область Q неограничена, число 8о>0,
непрерывная в Q функция ф2=0, (—ф) е + (Q), функции щ, щ
непрерывны в Q,	+ (Q), Щ	foc(Q)» iht&zL(co)ф+вф,,

— ма^Ь(«>)ф-|-8ф< на Q при любых wsQ, ве(0, в0),
5s 0 2= Ри^ на Q. Пусть еще (s, х) е Q, «i =CJ u2 па d'Q (s, х),

lim^nrT“° U=°b i=1’2'	<з>

где предел берется при <4-|у|-»-оо,	(/, y)s Q*). Тогда

Ui (s, x) «С ы8 (s, x).

Доказательство. Возьмем ee(0, ee) и заметим, что при
всех достаточно больших R на Q(s, x)\{s</<s-|-/?, |у — х|<₽}
имеем щ — еф и2 4-еф. Поэтому на параболической границе
области Q(s, х)П{«<^<8-|-/?, 1у — х|</?} при всех больших R
выполнено неравенство щ — вф м2 4-8Ф- Отсюда и из (1), (2) по
теореме 1, применяемой в этой области, при всех достаточно
малых 6>0 заключаем (щ — еф)($4-б, х)^(а2 + еф)(s4-6, х).
Остается положить 610, в|0. Теорема доказана.

8.	Следствие. Пусть Q, е0, ф удовлетворяют условиям тео-
ремы 7, функции Ui, «2 непрерывны в Q, принадлежат + (Q),
— I««L (<в) ф 4- еф/, i = l, 2, на Q при любых w е й, г е(0, 80),
Fui = Рщ = 0 на Q. Пусть еще (s, х) s Q, щ = щ на d'Q (s, х) и
выполнено условие (3). Тогда «i(s, х) = щ(в, х).

Приведем еще один вариант перенесения теоремы 1 на неог-
раниченные области.

9.	Теорема. Пусть область Q неограничена, г==1, непре-
рывная в Q функция ф=г0, (—ф) е + (Q), Л(<в)ф<:0 на Q
при всех ю е П, функции щ, и2 непрерывны в Q, «i е W+ (Q),
«2 е №bv. ioc (Q)» Fui 0 Рщ на Q. Пусть еще (s, x) e Q, u8
на d'Q(s, x) и выполнено условие (3). Тогда «i(s, x)=^u2(s, x).

Доказательство этой теоремы достигается повторением доказа-
тельства теоремы 7 с использованием очевидного неравенства
F (иг — еф)5гО;2=Г (и24-8ф), верного на Q при любом 8>0.

♦) Если такого множества (I, у) нет, то предел считается равным нулю.
10	Следствие. Если в дополнение к предположениям тео-
ремы 9 имеем и% е + (Q), Fui = Fu2—0 на Q, Ui = на drQ(s, x)t
TO Ui (s, x) = Us (s, X)

11	. Замечание. Укажем один частный случай, когда функ-
цию ф, удовлетворяющую условиям теоремы 9, легко найти. Пусть
Т>0, Q = (0, Т)*Еа, существуют постоянные К, т^О такие,
что на QxQ имеем

tra+| b I8 (1 +| х |)8, |нН^Я(1+И)т-

Читатель без груда проверит, что в качестве ф в теореме 9
можно взять (1 4-|х|2)"ехр N (Т — t) с достаточно большими по-
стоянными N, п.

Примечания

§§ 1	, 2. Материал этих параграфов взят из статей автора |7], [8]» Нера-
венство (2.3) носит название неравенства Адамара.

§ 3.	Результаты этого параграфа взяты из работы автора [11], где они
доказаны вероятностными методами. Их доказательства, приведенные в тексте
книги, по-видимому, являются новыми, хотя они и заимствуют многие эле-
менты из гл. II книги Крылова [10]. С помощью примера можно показать, что
утверждение леммы 2 станет неверным, если в'(1) разрешить в быть строго
больше

§ 4.	Основу этого параграфа составляют результаты автора [11]. Первая
теорема типа теоремы 2 появилась в работе Крылова [3], из нее же взяты
примеры 8, 9. В связи с принципом максимума для линейных уравнений сле-
дует упомянуть также цикл исследований Александрова этого принципа (см.
Александров [3]). Бони [1] доказал теорему 10 для и е (D) при p>d.

§ 5.	Важность теорем о предельном переходе в теории управляемых диф-
фузионных процессов осознана довольно давно (см. Крылов [3], J0], [12]).,
Теорема 9 для эллиптических операторов в несколько других обозначениях
приведена в работе автора [3]. До работы Эванса [1] подобные теоремы дока-
зывались вероятностным способом. Используя теорию аккретивных операторов,
Эванс |1] для эллиптических операторов доказал теорему, близкую к соответ-
ствующему аналогу теоремы 12, в предположении, что ип и слабо в

и p>d (ср. замечание 10). Доказательства, приведенные в тексте, по своей
сути близки одновременно и к рассуждениям Эванса и к вероя i ностным рас-
суждениям. Понятие позитивного оператора взято из книги Красносельский
и др. [1]. Утверждение типа следствия 14 в свое время было положено
в основу теории управляемых диффузионных процессов (см. Крылов [4]).

§ 6.	Здесь даны другие доказательства результатов автора |13]» [16] § 5
с тем их ослаблением, что в теореме 3 требование: ия->о равномерно на С7 R
можно заменить требованием, чтобы ип были равномерно ограничены и сходи-
лись к v почти всюду. Кроме того, условие непрерывности vf ип можно опу
стать.

§ 7.	В статье Кружкова [2] методами теории дифференциальных уравнений
доказана единственность решения нелинейного уравнения первого порядка
в классе выпуклых функций. Автору неизвестно, можно ли его рассуждения
перенести на уравнения второго порядка. В статье Лионса [3] для эллиптиче-
ских уравнений во всем пространстве приведен результат, в некоторых случаях
обобщающий следствие 2. Надо сказать, что некоторые этапы его рассуждений
(см. Лионс [3], п. 3.3) не кажутся вполне обоснованными. Отметим также ра-
боту Прагараускаса [2], где вероятностными методами исследована единствен-
ность решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.
Глава IV

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В С* ДЛЯ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель настоящей главы состоит р подготовке доказательства
оценок в С*+®' для решений нелинейных уравнений. Мы начинаем
в §§ 1, 2 с изложения известных оценок Крылова—Сафонова для
линейных уравнений. Затем мы переходим к изучению систем
линейных неравенств, которые получаются при дифференцирова-
нии нелинейных уравнений по различным направлениям. В по-
следнем параграфте производится подготовка к доказательству
гёльдеровостм производных решений на границе области.

§ 1. Исследование свойств двух специальных функций

Фиксируем посюянные К, в>0 и через А обозначим мно-
жество всех параболических операторов L вида

Х)~д£дГ+b‘{t’ х)'^г+с(/» *>•	<*>

коэффициенты которых заданы на Еа+,, измеримы по (t, х) и
гаковы, что

о"«=о/‘, «(1 р «g «s К | А р,	0 «si — с^К	(2)

при всех (Z, X) s -rf+u л е £<f, i, / = ', .... d.

Пусть Ао —подмножество А, сосюяшее из всех операторов
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами. При ?г[0,1]
обозначим через 'Л™ множество всех функций и еС!(С1д), равных
нулю на 5'С1Д, для каждой из которых найдется оператор L е
такой, что Lu^O на Схд, А(С1Д Q {£и	1})^<?А (С1Д). Опре-

делим, наконец, первую из двух функций, которые мы будем
здесь исследовать, по формуле

т(1, х, 0i= inf(uG, x)j и еЯТ), (t, xieCu, <уе[0, 1J,	(3)

Отметим, что если иеЩ, то и^О по принципу максимума.
Поэтому /п^О. Еше одно свойство, показывающее, что, не изме-
няя т, в (3) нижнюю грань можно брать по-более широкому
множеству, формулируется в следующей лемме.
1.	Лемма. Пусть <?е[0,1), eeV^-i^u)» u 2s 0 на д'Сдд,
L^A, Lu^Q на Ci.i (n. в.), A (Ci,i П {£u «S — 1}) 2s qA (С1Л).
Тогда u(t, x)^m(t, x, q) на Сц.

Доказательство. Предположим сначала, что LeA0.
Обозначим Г=Сц ("| {Lu^—Л} и возьмем последовательность
замкнутых Г^сСц таких, что А(ГП) (С1Л), Хгп->хг на Си
(п. в.). Для построения Г„ можно, например, пользуясь регуляр-
ностью меры Лебега, сначала построить замкнутые Аяс=Г, для
которых Хдге~*Хг (п. в.), и если Л(Г)>^А(С1Д), то при доста-
точно больших п можно взять ГЯ = АЯ. Если же Л(Г) =^Л(С11),
го Л (С1Д\Г)= (1 — <?)Л(С1 д)>»0, и при всех достаточно боль-
ших п в С1д\Г можно найти замкнутые 6Я так, чтобы
(п. в.), Л (6Я) 2 Л (Г \ Л„) После этого при больших п, полагая
Гя=Аяибя,- получаем Л(ГЯ) = Л(Г) — Л(Г\Ая) + Л(6Я)2*
>^Л(С1д).

Построив Гя и заметив, что индикатор любого замкнутого
множества в С1Д может быть представлен как предел убывающей
последовательности функций класса CJ° (С1л), без труда найдем
последовательность tn (Ci.i) таких, что Л {£„2 1}^?Л(С1д),
£n->Xr (п. в.), tn равномерно ограничены.

о

Теперь пусть о, оя —решения из ^d+i^i.i) уравнений Lv =
= —Хг» Lv„ = — tn- Ясно, что ияеСда(С1д) и ояе91”. По прин-
ципу максимума и по теореме III.3.9 имеем u^v, и — оя-*-0.
Следовательно, и (/, х) 2 vn (t, х) 4- [о (/, х) — vn (t, х)] 2 т (/, х, q) -f-

[о (t, х) — vn (t, х)]. При п оо получаем утверждение леммы
в частном случае.

В общем случае возьмем последовательность операторов
Ln s Ло так, чтобы коэффициенты Ln сходились почти всюду
к соответствующим коэффициентам оператора L. Пусть Lu^f,
о

Lnu = fn, ип, wn — решения из	уравнений Lnun = fn,

Lnwn = f~fn‘ Очевидно, Ln(u + wn) = Ln(un+wn)==f. Отсюда по
принципу максимума и по доказанному в частном случае имеем
u + wn^un-{-Wn^m(q). Остается заметить, что о>л->0 по тео-
реме III.3.9, так как fn-+f в <5?d+1 (С1;1). Лемма доказана.

Основное свойство функции т формулируется в следующей
геореме.

2.	Теорема. Пусть ?е(0, 1], хе[0, 1). Тогда существует
постоянная т0>0, зависящая только от d, К, е, q, к, такая,
что m(t, х, q)^mQ при |х| х, Os^/^xg.

Для доказательства теоремы 2 нам потребуются некоторые
вспомогательные утверждения. Начнем с «леммы о наклонном
цилиндре».

3.	Лемма. Пусть хе(0, 1], множество Q лежит в С82 и
является цилиндром, основания которого являются шарами в Ed
одинакового радиуса R. причем одно основание лежит « гипер-
плоскости {(/, х): / = М, другое — ., гиперплоскости {(/,%):/ = /2}
и 1\<Лъ Предположим, что тангенс угла между осью ци-
линдра Q и осью I не превосходит к-1, x^R2(Z2 —

Пусть L 6= Л, и g= + i (Q), и^О, Lu ^0 (и. в, Q) и для неко-
торого уе[0, 1] имеем u(t^ х)^\ при х, лежащих в шар*- ра-
диуса yR, а центром, совпадающим с центром основания Q, лежа-
щего в |/ = /2}. Утверждается, -что существуют постоянные
б>0, п^О, зависящие только от d. К. е, к. такие, что
и (/1, х) ^бу* при х. лежащих в шаре радиуса (1 — х) R, с центром,
совпадающим с центром основания Q на плоскости {t = ti}.

Доказательство. Если в Q

Lu = ut + cfiu^j+bluxi + си.

b^Ed, то для u(t. x):—u(t. x + bt) имеем Lu(t. x) = (Lu) (t, x+
+ bt) в Q :={(*, x):(t. x + bt)^Q}. где оператор L имеет
вид (1) и его коэффициенты й. Ь. с определяются по формулам

&>(1. Х)~ач(1. х + Ы).

ь1а.х)^ь1а.х+ы)-ь1, c(t. *)=c(t. x+bt).

При подходящем b множество Q будет цилиндром с осью, па-
раллельной оси t. а коэффициенты L будут удовлетворять уело*
виям <2), если в них заменить К на R + х’1. Стало быть, без*
ограничения общности мы можем и будем считать, что цилиндр Q
прямой

Далее, легко понять, что при подходящем выборе х0 Ed для
функции u(t. хн - и (/i +/(4 — tx). Xo+ Rxi r Clu найдется опе-
ратор L вид<з (1) такой, что Lw(/, x) = (Z2 —G)(^w) (^ + /(/2 — ^1),
Хо + Rx) в Cu, причем ₽ силу условий: к R2

R <,2 (Qc=CSt2), коэффициенты L будут удовле!ворять (2) с не-
которыми постоянными 8 > 0, К. зависящими только от 8, К. п.
Отсюда видно, что в дальнейшем рассмотрении нуждается только
случай Q = CU.

В этом случае нужно доказать, что и(0. х)^бул при |х |
— х, где б>0, зависят только от d. К. в, х. Фикси-
руем некоторое х0 такое, что ;х0!^1— х, и рассмотрим наклон-
ный цилиндр Q, одно основание которого есть ^o + Sx> а другое
Sx, причем первое основание лежит в гиперплоскости {£ = 0},
а второе—в гиперплоскости f=l. Очевидно,	в Q,

и(1, х)^1 при	и нам нужно доказать, что в центре

левого основания н^бул.

Преобразование, подобное проведенному в начале доказатель-
ства, «выпрямляет» цилиндр Q и показывает, что нам достаточно
проверить, что если u е U/y+1 u^sO, Lu^O на CttK, где
Z.G Л, у е[0, I], и(1, x)Ss 1 при | х | < х Д Y, то “(0, О)’^бул,
где 6>0, п^О зависят только от d, К, в, х. Понятно, что пред-

положение у у х не ограничивает общности.

Обозначим

Ч> = ф (t, X) = (& (1 -1) - IX |2 + ГУ (5 (1 - 0 + T2)-\

Qi = {((. x): 0</< 1,	-1)~ |х|2 + т2>0},

где £ = x2 —у2, а постоянную n мы определим ниже. Имеем
(bezels, ф((, х) = 0 при (t, x)ed'QIt /<1; ф(1, х)=^у4-2л при
(1, x)ed'Qx. Стало быть,
у2л-4ф^и на d'Qt.

Далее, простой подсчет показывает, что на Qt

(5(1-0 + V2)’ (К 1 - /) + у2)-1<р2 +

4- ва'^х'х7 — [2? + 4 tr а 4- 46'х‘ — <хр] <р,	(4)

где Ф = £(1 — /) — |х|2 + уг. Понятно, что 0^ф^| + ?г = х2^ 1,
12? + 4 tr а 4- 4Ь’х* — сф No: = 2 4- (4d 4- 5) К на Qx. Поэтому
в той части Qi, где 8в х|2^тУ0ф(С х) из (4) имеем £ф 5? 0. В гой
же части Qx, где 8в | х |2 < Моф» имеем 8е(£(1 — 0 + ?2 —ф)<Авф,
8е(£(1-04-Т2)<(М>4-8в)ф,

(5(1-0 + V2)"1 Ф2 > ф8» (А/о + 88)-1.
3	4

Так как 4~х2, то в этой части при n = y х-2/Vo(A/o + 8e)

из (4) также получаем Аф^О. Таким образом, Лф^О в Qx. По
принципу максимума у2я~*ф^ы в Qt,

и(0, 0)	у2"-^ (0, 0) = у2"-4-^ = х4-2лу2л~4,

и лемма доказана.

4.	Лемма. Пусть хе[0, 1). Тогда существуют qoe(O, 1),
m0>0, зависящие только от К, в, d, х, такие, что т(0, х, q)^
^т0 при |х|^х, q е [<7о, !]•

Доказательство. Пусть ?е[0, 1], ие'Л^*. Возьмем опе-
ратор £еЛ0, соответствующий q, и, и обозначим Г=С1Х Q
о

П {Lu^z— 1}, v, w — решения из (Ci4) уравнений Lo = —хг,
Lw = —1. По принципу максимума из очевидного неравенства
L(w — v)^Lu получаем u^w — v. По теореме III.3.9

| v | =sS NiAW+v (Г) AM 1 -	>,

где постоянные Nit Nt зависят только от d, К, в. Оценим те-
перь w снизу.
о

Пусть ф=1 —|х|2, ip — решение из l^i’+i(Ci.i) уравнения
£ф = Lq>.

Из соотношений С(ф —ф) = 0, 0«Сф —ф=с! на_ д'Сц, по
принципу максимума следует, что О^ф — ф^1 в Сц. Отсюда
L[(l — 0(ф —ф)] =— (ф —ф)4-(1 —/)£(ф —ф)^—1 и по прин-
ципу максимума (1 —/)(ф —ф)«Сш Наконец, С(ф —ф) = 0,
Ф — ф = Ф Эг 1 /2 при t = 1, | х |2	1 /2. По лемме 3 найдется 6 > 0,

зависящее только от d, К, е, х, такое, что (ф — ф)(0, х)^6, при
|х|«Сх. Стало быть,

а (0, x)3s6-Af(l	(5)

<

при |х|=^х и любых q <= [О, 1J. Можно взять q0 так, чтобы пра-
-вая часть (5) была больше у 6 при q^q0 После этого останется

в (5) взять нижнюю грань по и е Лемма доказана.

Следующая лемма говорит о том, что «постоянный выигрыш
r малом дает выигрыш в целом»

5.	Лемма. Пусть Le40, открытое Г с Citl, f, g^
е (Си), f, на Ci,i, g — Q вне Г Обозначим и, v реше-
о

ния из W'j*+i (Сц) уравнений Lu — f, Lv = g. Предположим, что
для всякой точки (t0, х0) е Г найдутся числа т, р > 0 и точка
(fi, «1)еСц такие, что (to, x0)e(fi, Х1) + СтосСц и для и1,
о

»*, определяемых как решения из lF^|((fi, Xi)4~CT, р) уравнений
Lul = f, LvL = g на (ti, Xi)4-CT,p, справедливы неравенства
и1 (t0, Xo)^vl(to, х0), ux(fo, х0)>0. Тогда u^v на С1Л.

Доказательство. Если при фиксированных L,T,f пред-
положения леммы выполнены для некоторой функции g, то они
выполнены также для где Г1 —любое измеримое подмно-
жество Сц. Это непосредственно вытекает из принципа макси-
fl

мума. По теореме III.3.9 решения из IFJf^-i (Сц) уравнений
Lvn — gXpn сходятся к v, если Г" f Г. Поэтому при доказательстве
леммы достаточно рассмотреть только случай, когда g = 0 вне
некоторого замкнутого Г1 с: Г.

В этом случае нам достаточно доказать, что и ^(1-{-6) и на
Сц при любом 6>»0. Допустим, что для некоторого 6>0 это
не так. Тогда y:=max(v — (1 4-6)и, Ci,i)>0. Из принципа мак-
симума *) следует, что этот максимум достигается в некоторой
точке (t0, х0)еГ1.

Возьмем подходящие т, р> 0, (f±, Xi) и заметим, что L (и — и1) =
= L(v —цх) = 0 на (fi, Xi)4-CT,p, o — u1 = usST4-(l+6)u = T4-
4- (14-6) (и — и1) на (fi, Xi)4-d'CT.p. По принципу максимума
(Ly=c0) о — px^y4-(l-j-6)(u — и1) в точке (f0, х0). Значит, в этой

) Применяемого в облясти С1лхГЧ
точке

у = о — (14-6) и^т+о1 — (14-6) и1 < у 4-о*

Мы получили неверное неравенство: у Су. Лемма доказана.

Следующая лемма «о расползании чернильных пятен» отно-
сится к теории меры, и мы ее докажем в Приложении I. Перед ее
формулировкой введем необходимые объекты. Пусть измеримое
ГсСц, q, т|, £ е (0, 1). Обозначим через 6 систему всех мно-
жеств Q вида (t0, х0)4-Со», р таких, что QazCi,i, Л((?ПГ)^
2zqA(Q). Если Q=((o, Хо)4-С0». то пусть

& — (to, Хо)	о» Q* — (to —	*о) 4*

Отметим, что цилиндр Q1 приставлен вплотную слева (по
оси t) к Q, основания у них общие, а по оси t цилиндр Q1
длиннее Q в т)-1 раз. Вполне возможно, что Q1 выходит за пре-
делы Си- Цилиндр Q2 получается из Q1 сжатием с центром, ле-
жащим в центре левого основания Q1, причем по оси t сжатие
делается в £-* раза, а по пространственным координатам—в £-1
раз. Наконец, обозначим

п= и о».

Поскольку цилиндры Cg'3, Q* открыты, то множество Г7 8
открыто и измеримо.

6.	Лемма. Если Л (Г) qA. (Cw), то

Л(Г8)^(1

|ДЛ)"‘(!+чГЧл>А(Г).

7. Доказательство теоремы 2. Фиксируем хе(0. I)
и докажем сначала, что

ц. (q) := inf {zn(0, х, q): |х|

(6)

при всех q е (0, 1]. Так как множества очевидным образом
вложены, то m(t, х, q), р (q) — возрастающие функции от q.

Пусть # —верхняя грань тех q, при которых р(<?) = 0. Оче-
видно, [i(q) = 0 при q е [0, q), если $>0. Нам нужно доказать,
что q — О. Допустим противное: <7>0. Так как по лемме 4 имеем
И (<7о) > 0 для некоторого <7ое(0, 1). то тогда можно выбрать
сколь угодно близко к q числа qlt qt так, чтобы 0<<7i<^<
< <72	1, ц (qi) = 0, р (q2) > 0. Ниже мы покажем, как нужно

выбирать <?!, q2, чтобы получить противоречие с равенством
Р(<71) = 0. Пока же мы фиксируем некоторые qit q2 и некоторые
Ч» С е (0, 1).
Пусть а Г=С1Д f| {Lu=c—1}, где L — оператор, соот-
ветствующий и. Если Л (Г) <7оЛ (С1Д), то

u(0, x)2sm(0, х, 7о)Э=Р(<7о)^Ц (%)>0 при	(7)

Покажем, как оценить ы(0, х) снизу, если Л(Г)<^оЛ(С1Д).
Для этого по выбранным Г, q0, ц, £ как перед леммой 6 построим
множество Г2 и рассмотрим два случая:

1)	Л(Г2\С1Д)<(<7г-?)Л(С1Д),

2)	Л(Г«\С1д)>(9»-?)Л(См).
и

В первом случае обозначим й, v решения из W^i (Сц) урав-
нений £й =— хг, Lv = — Хг», где Г° = Г2 f] Си. По лемме 6

'	йЛ(Си)<Л(Г)<(1-^)(1 + П)С-«Л(Г’).

Кроме того, по предположению Л (Г2) = Л (Г2 \ С1Л) + Л (Г°) «S
(<7а — ^) Л (С1Д) 4-Л (Г°). Поэтому, если qi, q-t, т), t, таковы, что

<?2 = <7! (1 -	(1 + Я)’1 Iм ~ (<Ь ~ Я),	(8)

то <72А(С1>1)^Л(Г°) и, по определению, б (0, х) т (0, х, </»)

И (<7а) > 0 при | X | «£ н.

Мы оценили v снизу.. По принципу максимума м^й, стало
быть, для оценки и снизу достаточно оценить й снизу через б.
Сделаем это с помощью леммы 5, беря в ней (—Л70Хг), —Хг°, Г°
вместо f, g, Г, где постоянную No мы уточним ниже. Проверим
выполнение предположений леммы 5.

Если точка (70, х0)еГ°, то тогда найдется цилиндр Qe33
такой, что (to, хь) е Q2. Возьмем в качестве (4, Xi)4-Ct-P цилиндр
о

Q8 = (Q1 U Q) fl Си, и пусть а1, и1 —решение из ^’^(С3) урав-
нений Lu1 = — Л^оХг. Си1 = — хг» на Q®-

По выбору Q имеем ^оЛ(С)^Л(Г f| Q). Это неравенство со-
хранится, если в Ea+i сделать растяжение координат х->-хр_1,
/-►/р-2, которое переведет Q в цилиндр конгруентный С1Д. При
таком преобразовании координат уравнение £«1 = — АоХг перей-
дет, как легко видеть, в уравнение вида 1й1 = — А0р2хр, где
L е Ао. Отсюда следует, что при (t, х), лежащих на левой
крышке Q, таких, что |х —Xi|=^xp2, имеет место неравенство
и1 (t, х) Nop2m (0, х, </о) р- (qo) Л70р2. Так как (t0, х0) е Q2, то
расстояние (70, х0) до левой крышки Q лежит в пределах [р2т|-1 X
х(1 — С2), р2т)-1]. а расстояние от (to, х0) до цилиндрической по-
верхности Q3 лежит в пределах |р(1—£), р]. По лемме 3 о на-
клонном цилиндре и1 (t0, Хо) Л/оР2бц (q0), где б > 0 и б зависит
только от е, т|, £, к, К, d. С другой стороны, Lt*s~\ при 7^0
и по принципу максимума	х)^(71 + т) —7 на Q3, о1 (/<>, х0)
sg (1 4- q-1) р2. Стало быть, если мы возьмем А'о = S-1P“I-(<7o) (1 + П_1)>
то тогда м1 (/о. *о) 5s»1 (4. Хо)-

По лемме 5 заключаем N0u^v на С1Д, откуда, суммируя
сказанное выше, находим

и (0, х):>й (0, X) 2^ Nn'v (0, х) 2s Nq'il (<?2) > 0	(9)

при | х |	и.

Рассмотрим.теперь второй случай:

Л (Г2 \ С1Д) > (</2 - q) Л (С1Д).

В этом случае, очевидно, Г2 имеет непустое пересечение с мно-
жеством {(/, х): t^.q — q2}. Значит, найдется цилиндр Q=((o, х0) -f-
+ Ср«, р е ®, для которого Q1 пересекается с этим множеством.
Тогда

Р2Э=П(<?2— q) =: Ро-	(10)

Кроме того, - Л (Г П Q) <?оЛ (Q) и для Q = (tQ + (1 — а2) р2,
Хо) + Са»р>. аР. где а = (1 +?o)-1/ld+2), имеем

Л (Г R Q)^A(r Q Q)-A(Q\$)2=

^<?OA(Q)-A(Q)(1 -а^2) = ^Л($).

Следовательно, при ((, х), лежащих на левой крышке ци-
линдра Q и таких, что | х — х01 хар, выполнено неравенство
u(t, х) 2s f* (<?о) > 0. Это неравенство в силу (10) выполнено при
| х — х01 харо- Поскольку же левая крышка Q отделена от пло-
скости {( = 0} на расстояние, не меньшее (1 — а2)ро, то По лемме 3
о наклонном цилиндре и (0, х) 6ip (</») при |x|«gx, где 61 за-
висит только от К, в, d, q0, qit q, i), x.

Таким образом, из (7), (9) и последних рассуждений получаем,
что во всех случаях при | х | «С х

и (0, х) 2= ц (q0) Д А# > (<?2) Д (<7о) > °-

Так как это верно для любой иеЯ™, то р(<?1)>0, и мы за-
кончим доказательство (6) при всех q е (0, 1], если покажем,
что (8) и неравенства 0<Zqi <Zq<Zq2^ 1 можно удовлетворить
за счет подходящего выбора qx, q\, л» t Для этого возьмем ка-
кие-нибудь г|, £ е (0, 1) так, чтобы множитель при qx в (8), ко-
торый мы обозначим 0, был строго больше единицы. Такой выбор
возможен, поскольку q0 е (0, 1). После этого возьмем qx<Zq так,
чтобы 1 2s <710 > q, и определим qt из равенства (8)._ Тогда </2 =

“	+ Я <^2=^1-

Для оценки m(t, х, q) при |х|^х, /^0, t^Jtq заметим, что
если и ей", Q^to^Kq, то функция и, продолженная нулем вне
Си» принадлежит Wd + i((t0, 0)4-С1д),

Л({Ли^-1} П «I», 0) + С1д)))> Л ({£«<-!} П С1Д)-

— Л(С1Д \ ((to, 0) + С1.1)) Jx/Л (С1Д) — to& (Ct.i)	(1 — х) qh (С1Д).

Отсюда из леммы 1 и из (6) имеем u(t0, x)s=p((l — х)<7)>0 при
|x|s^x, m(t0, x, q)^p((\ — ‘*Yq)>-0 при O^to^xq, |x|sgx,
и теорема доказана.

8.	Следствие. Пусть Ln е A, Un^Wd+^Ci.1), ип$?0 на
С1Л, L„un=fn^0 на С1Д (п. в.), н = 1, 2, .... |хо|< 1, и„(0, х0)->-
—>0 при п-*-оо. Тогда по мере при п->оо.

В самом деле, для любого б>0 по лемме 1

6’4(0, xo)2sm(O, хо, Л({/п< — б}) Л-1 (Си)).

По теореме 2 правая часть стремится к нулю, только если
Л ({/,<-б})->0.

Это следствие существенно усиливает следствие Ш.5.14.

С помощью свойств функции т исследуем свойства функции
p(t, х, q), которая вводится следующим образом. При ^е[0, 1)
обозначим Я? множество всех функций и <= С2 (<?1Д), для каждой
из которых найдется оператор L е Ло такой, что Lu 0 на С1Д
и, кроме того, Л(С1Д f| {и^ 1})^^Л(С1Д), w = 0 на д'С1Л. Обо-
значим

р (t, х, q):= inf (и (t, х):ие (t, х) е С1Д, q е [0, 1). (11)

Основные свойства функции р собраны в следующей теореме.

9.	Теорема. l^p(t, х, q)^m(t, х, q) при (t, x)&Ciu
<?е=[0, 1). В частности, для всяких q^(0, 1), хе[0, 1) суще-
ствует постоянная р0>0, зависящая только от d, К, «, q, х,
такая, что p(i, х, q)^p0 при |х|^х, Os^t^nq. Кроме того,
для любого хе[0, 1) при q f 1

inf (p(t, х, q): |х| =s$x,	х)-> 1.

(12)

Доказательство. Неравенство 1 2гр нам удобно доказать
в следующей теореме. Читатель увидит, что при этом не возни-
кает порочный круг. Для доказательства неравенства р^т
возьмем не 91? и обозначим Г =С1Д Q {ыэИ}, v — решение из
о

1Г2+1(С1Д) уравнения Lo — — %г. где L —оператор, отвечаю-
щий и. Так как Lt^\, то по принципу максимума —
на С1д. Отсюда и из принципа максимума, применяемого в области
Р = С1Д\Г, следует, что u^v на Q и, очевидно, на Г. Стало
быть, u^v на Схд. По лемме 1 v~^m(q), u^m(q), а так как
последнее герно для любой не21?, то р^т.
Докажем (12). Возьмем некоторое xg|O, 1), <?е(0, 1), точку
((0, *о) такую, что | Хо | «С х, О «С to х, функцию	и опе-

ратор L, отвечающий этой функции. Предположим, что и (to, х0) •<
< 1 и рассмотрим функцию v(t, х) = 1 — и (t, х) — 2а-1 (7 —10) —
— 2<г"а | х — Хо |2, где а = 1 — х.

Пусть Q = {((, х): t>to, v(t, х)>0} f| С1Д. Поскольку «Зе О,
то v(t, х)<0 при t^to + a и при |х —Хо|^а. Отсюда вытекает,
что 3'QczCi.i и о = 0 на d'Q. Кроме того, Lv^ — N, где N за-
висит только от К, d, х. По теореме III.3.9 vAf(Q) на Q,
где W зависит только от К, d, х, 8. Это же неравенство верно
на (J, в частности, в точке (t0, х0). Замечая еще, что Q с
с. Си \ {и 3* 1}, отсюда заключаем

1

1— u(t0, Xo)^NAd + l (Q),

i	i

и (to, Xo)^l-NAd + l (С1Д)(1-<?)<* +1.

Последнее неравенство доказано в предположении, что
и (to, х0)<1. Оно, очевидно, верно и при u(t0, x0)3sl. Остается
в нем взять нижнюю грань по ueSlJ, | х01 х, ОгС/0=^х, и
положить q f 1. Теорема доказана.

Следующие ниже теорема 10 и лемма 11 облегчают использо-
вание функции р при исследовании свойств функций из Wld*+\.

10.	Теорема. Пусть хе(0, 1], и е Wd +1 (Сх. i), Z-еЛ,
Lu^O на CXil (п. в.), и^О на д'СхЛ. Пусть также q е[0, 1),
Л(СХ1 П {«Ss 1}) 3s <?А (Сх. i). Тогда u(t, x)^p(t, х, *q) на Сх1.

Доказательство. Выполняя обещание, данное в преды-
дущем доказательстве, прежде всего заметим, что из утверждения
теоремы, примененного к и = 1, вытекает неравенство 1 р.

Далее, проведем доказательство теоремы сначала в случае,
когда L е Ло, и = 0 на д'Сх х. Обозначим Lu = f и возьмем после-
довательность fn<=C^(Cx.i) так, чтобы fn^0, в Ха+1(СкЛ).
Пусть ип — решение класса С2(СхД) задачи: Lun = fn в Сц, ип = 0
на д'С1Д. Ясно, что ил = 0 в С1Д\СХ1. По теореме III.3.9, при-
меняемой к области Cx,i, имеем ип-*-и равномерно на Сх>1. Сле-
довательно, для всякого б е (0, 1) при всех достаточно боль-
ших п выполнены неравенства

Л(С1Д П {ая^6})=Л(Сх>1 П {u»Ss6})>

> Л (Сх, 1 f|	1}) ^ <7Л (Сх. i) = х<?Л (С1д).

Отсюда, по определению, ияб-х 3= р (xq) на С1Д. При п->-оо,
б f 1 это дает нужное утверждение.

Откажемся теперь от предположения, что и = 0 на <Э'С1Д.
Пусть L^_A0, и 3s О на д'С1Д. При 6 s (0, 1) обозначим Гв =
*= {(Л х) еСхД: u(t, x)3=S}. Понятно, что при б, достаточно
близких к единице и в случае, когда а^1 всюду на C^i, и
в случае, когда и < 1 в некоторых точках ъ

Л(Г«)>^Л(СХ>1).	(13)

Для фиксированного подходящего бе(0, 1) при и = 1, 2, ...
о

определим vn как решения из (Сх. 1) уравнений Lvn + wiT6'x.
х(1— ия) = 0 на Схл. Так как L1 s£0, то L1 + «Хг°(1 — 0^0 и
по принципу максимума vn^l, Lva^0, »яЭ=0 на Схл, Lva = 0
на СХ.1\Г‘>. Из последних соотношений и принципа максимума,
применяемого к области С^ХГ6, вытекает, что	на.

СкЛ\Р и, очевидно, на Гв Поэтому Un^S^u на Сх1.

Из соотношения fn) + xre(l — ол) = 0 по следствию 8 (или
по следствию Ш.5.14) получаем ия->1 по мере на Гв. В част-
ности, Л(СхЛ f) {уя Ss 6}) 3= <?Л (Ск1) (см. (13)) при всех доста-
точно больших п. По доказанному выше это дает уяб-1 3= р (xq)
на См при больших п. Стало быть, lim6un3=62p (xq) и при
6 f 1 заключаем и^р(х^) на СхЛ.

Освободимся, наконец, от предположения, что L е Ло. Возь-
мем последовательность операторов Ln s Ао так, чтобы коэффи-
циенты Ln сходились к соответствующим коэффициентам L почти
о

всюду. Пусть wn — решение из	уравнения Lnwn =

= (Ln — L)u в СхЛ. Так как а»я->0 равномерно на Сх и то для
некоторой последовательности постоянных бя | 0 имеем 6Я — un 3=
3=0, Ln(u — Wn + bn)^Ln(u— wn) = Lu^0 на СкЛ, u — wn + 8n^
3=1 на СХ1 П {u3l}. По построению Lns Ао, стало быть, по
доказанному выше и — wn + 6Я 3s р (xq) на СхЛ. Полагая здесь
п-»-оо, заканчиваем доказательство теоремы.

11.	Лемма. Пусть хе(0, 1], и е Wfr+t (СхЛ), L <= A,
3=0 на СхЛ (л. в.), £е(—со, со), <?е[0, 1), Л(СхЛЛ {и^£})3=
^qA.(Cii.i). Пусть также выполнено одно из двух условий’, а) с ==0
или б) шах (и, СиЛ)ЗгО. Тогда на CK i

u(t, x)s^p(t, х, х<7)£-Н1 — р((, х, xq))max(u, СхЛ). (14)

Доказательство. Обозначим последний максимум в (14)
через М. Если	то (14) очевидно. В случае С <Л4 поло-

жим v = (Л4 — и) (М — S)-1 и заметим, что и в предположении а),
и в предположении б) выполнено неравенство Lv^O на СхЛ.
Кроме того, {и= {п_3= 1} и на СхЛ. По теореме 10
заключаем v^ptyq) на СхЛ. Последнее эквивалентно (14). лемма
доказана.

Закончим параграф перенесением предыдущих результатов на
эллиптические операторы. Пусть Л —множество всех эллиптиче-
ских операторов вида
a

L=a! (х) QxtQXj |-&* (х) -^г + с(х),
коэффициенты которых заданы на Еа, измеримы по х и удовле-
творяют условию (2) при всех %, xeErf, i, /=1, d. Пусть
Ло—подмножество Л, состоящее из всех операторов с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами. Введем множества Й™, Й$,
заменяя в определениях множеств Я™, И, объекты С1Д, С2 (Си),
5'Ci.i, Ли соответственно на Si, С8(Si), dSu Ло (и под Л понимая
меру Лебега в Еа). Обозначим

т(х, q)= ’nt(u(x): пей™), xeS1( q е [0, 1],
р (х, q] inf (и (х): и <= й?), reSb <?е[0, 1).

12.	Теорема. а) т(х, q)^m(Q, х, q), l^p(x, q)5?
р (0, х, q).

б)	Если ge[0, 1), и ей7! (Si), и^О, на dSi, L <= Л, LusgO
на St (п. в.), \(Si П —1})^sqA(Si), то и(х)^т(х, q*
на Si.

в)	Если <?е[0, 1),	на dSi, L^A, Lu^O

на Si (п. в.), A(S| f| {u^ IJ)^^A(Si), mo u(x)2sp(x, q) на Si.

г)	Если q e[0, 1), и e IV'd(Si), L^A, Lu^O на Si (n. в.),
(e(—оо, оо), A (Si f|.{«=C?})^ <?A(Si) и выполнено одно из
двух: с ==0 или max (u, Si)5s0, то на Si

и (х) «С р (х, q) С + (1 — р (х, q)) max (u, Si).

Неравенства m(x, q)^m(0, x, q), p (x, q)^p(0, x, q) оче-
видным образом получаются из леммы 1 и теоремы 10, если
С2 (Si) рассмотреть как подмножество (^(C^i), состоящее из
функций, постоянных по t. Остальные утверждения теоремы до-
казываются почти дословным повторением доказательств лемм 1,11
и теоремы 10, нужно только в тех местах, где мы пользовались
теоремой III.3.9, вместо нее использовать теорему III.3.11 '

13.	Следствие. Пусть (,леЛ, s (Si), u„S=0 на Si,
Lnun=fn^S) на Si (п. в.), п=1, 2... xoeSi, u„(x0)->0 при

п->оо. Тогда /п->-0 по мере при и->оо.

Это следствие доказывается аналогично следствию 8. Из тео-
ремы 12 и из (12), очевидно, вытекает

14.	Следствие. р(х, q) f 1 при q^ 1 равномерно на любом
компакте, лежащем в Si.

§ 2. Неравенство Харнака и гёльдеровость решений
линейных уравнений с измеримыми коэффициентами

Фиксируем постоянные К, Ki, «>0, и пусть



(1)
— параболический оператор, коэффициенты которого задашь на
Ed+i, измеримы по (/, х) и таковы, что

a'i = a!1, е|	Х|2, |&'ККЪ	(2)

при всех (/, x)eErf+i, i, /=1, .... d.

Неравенство Харнака, о котором прежде всего пойдет речь
в этом параграфе, говорит, что если имеется неотрицательное ре-
шение уравнения Lu = Q в некоторой области Q и это решение
больше единицы в точке (/#, ха) е Q, то оно не может быть сколь
угодно мало в точках (t, х) <= Q, достаточно близких к (/0, х0), но
таких, что t^to — б, где б>0. Надо сказать, что ограничение
t^t0 — 6 существенно. Например (см. Мозер [2]), функции
и (/, х) = exp (lx — №t) удовлетворяют уравнению щ + ихх = 0 на
Е2, при этом ы(0, 0)=1, и (0,—б) —*• О при Асо для любого
б>0.

- Неравенство Харнака имеет интерпретацию, связанную с тео-
рией потенциала, интерпретацию, близкую к вероятностной.
Предположим, что коэффициенты L и область Q достаточно регу-
лярны, а именно таковы, что для всякой достаточно гладкой
функции <р, заданной на d'Q, задача Lu = Q в Q, и = ф на d'Q,
имеет достаточно гладкое решение. Тогда для всяких (i0, х0) мы
имеем отображение ф->ы(/0, х0). По принципу максимума это
отображение, заданное на подмножестве С (d'Q), является на нем
линейным ограниченным функционалом.

Упомянутое подмножество плотно в С (d’Q), значит, этот
функционал продолжается по непрерывности на все С (d'Q). По
теореме Рисса

и (to, Хо) = $ Ф (t, х) р (to, Хо, dt dx),

где мера р сосредоточена на d’Q и неотрицательна (следствие
прингСипа максимума). Неравенство Харнака в терминах р озна-
чает, что р (to, х0) =^Wp (t, х) при (t, х), достаточно близких
к (to, х0) и таких, что t^to — б, где б>0, У —некоторая по-
стоянная.

Отметим еще, что если р(/0, х0) построено по одному опера-
тору L, а р(/, х) —по другому, то это неравенство с постоян-
ной Л\ не зависящей от гладкости коэффициентов операторов,
заведомо неверно. Соответствующий*) контрпример можно без
труда извлечь из работы Сафонова [5].

Мы докажем неравенство Харнака в следующей форме:

1.	Теорема. Пусть 6> 1, R =^2, « е ITJZ+1 (Сея», я), из* О
в Сея*, r, Lu = Q в Cqr,. r (п. в.). Тогда существует постоянная N,
зависящая только от 9, е, /С, Rlt d, такая, что u(Rz, 0)аС

*) И даже гораздо более сильный.
Ни (0, х) при | х\ R. Кроме того, когда (1 —О)"1,	/(.

К\ меняются в ограниченных пределах, то и N меняется в огра-
ниченных пределах. Наконец, если Ь = 0, с=0, то наши утвер-
ждения справедливы и при /?>2.

Доказательство. Обозначим й (t, х) = н R2t, у Rx}.
Легко понять, что в функция й удовлетворяет уравнению
2,й = 0, где оператор L имеет вид (1) и его коэффициенты удо-
влетворяют условиям (2). Отсюда понятным образом следует, что
теорему достаточно доказать только при R = 2. Если еще вос-
пользоваться подходящим преобразованием вида t -> т (/), то
можно случай общего 9 > 1 свести к случаю 6^2 Поскольку
наилучшая возможная постоянная N очевидным образом не убы-
вает по 9, то достаточно рассмотреть случай 0 = 2. При 0 = /? = 2
наилучшая возможная постоянная N является убывающей по ?
и возрастающей по К, Ki- Поэтому последнее утверждение тео-
ремы является следствием первого и проведенных рассуждений.

При доказательстве первого утверждения по-прежнему будем
считать, что 0 = /? = 2 и без ограничения общности предположим,
что и (4, 0)>0. Рассмотрение eKilu(t, х) вместо u(t, х) показы-
вает, что можно еще предположить, что с^О. Наконец, выбирая
при необходимости из постоянных К, Ki наибольшую, легко свести
дело к случаю, когда выполнено условие (1.2). При х= 1/5 опре-
делим постоянные 6, п из леммы 1.3 о наклонном цилиндре и по
теореме 1.9 найдем q^(0, 1) так, чтобы иметь

1>Р(О, о,(1-?))у + (1-Д(0, 0,(1-9)))2». '	(3)

При г е [0, 1) положим далее

v(r) = «(4, 0)(1—г)-я,	(г) = max {и, (4, 0) + С-», J-

Определим г0 как наибольший корень уравнения n(r) = v(r).
Поскольку «(0) = v(0), v(r)->co при г fl, а и непрерывна и
ограничена в С8.г, то г0 корректно определено и г0<1- Пусть
(/1, Xi)e(4, 0)4-Сг>, Го и v(r0) = «((i. *i). Введем еще цилиндр

<?:={((. х):0</-/1<-Ц^,



Легко проверить, что ф<=(4, 0)4-Crs, Г1, где г, = (1 -\-г0)/2, и,
стало быть, на Q в силу определения г0 имеем

и < v (ri) = и (4, 0) (Цр) " = 2"v (г0).
Мы утверждаем, что отсюда в силу выбора q из (3) вытекает, что

Л (Q Л {« > ^}) ?Л (Q).	(4)

В самом деле, предположим противное и сделаем растяжение
цилиндра Q до размеров Сх, х, растяжение, подобное тому, кото-
рое делалось в начале доказательства. После этого растяжения
сдвинем еще растянутое Q так, чтобы оно совпало с Сх, х. В ре-
зультате этих действий функция и перейдет в некоторую функ-
цию й, заданную на Схх, и удовлетворяющую на СХгХ уравнению
£й = 0, лричем оператор L имеет вид (1) и его коэффициенты
удовлетворяют условиям (1.2). Понятно, что в результате нашего
предположения Л (с1Л П{й > у v Оо)<<?Л (Сх,х), Л (сх, х П |й
sS^-v(r0)}]>(l— <7)Л(С1,1). По лемме 1.11 при£ = -| v(r0) тогда
имеем

v(r0) = «(G, х1) = й(0, 0)^

<р(0, 0, (l-<7))4v(ro) + (l-p(O, 0, (1-9)))тах(й, Сх.х) =

= р(0, 0, (1 — q)) у V(ro) + (1 -р(0, 0, (1 -<?))) max (u, Q)^

<р(0, 0, (1 — <7)> |v(ro) + (l-p(O, 0, (1—</))) 2"v (г0).

Это невозможно в силу (3), поэтому (4) доказано. Теперь из
нашего перехода от Q, и к СХгХ, й и из (4) по теоремам 1.10,
1.9 получаем, что u(tlt х) j P»v Оо) ПРИ Iх-*11^у(1 — fo),
где ро>0 и р0 зависит только от d, г, К, q- Отсюда по лемме 1.3
при | х | 1 заключаем

и(0, х)^^ pov(ra)b^-^^ = 2-2п-хрйЬи(Д, 0).

Теорема доказана.

Обратимся к оценке гёльдеровской нормы решений уравнения
Lu = f. Нам понадобятся две леммы, перед формулировкой кото-
рых напомним, что при = хх), z2 = (/2, *г) мы полагаем

р(?1, z2) = |xx — x2| + |G — 4|1/2-	(5)

Величина р (гх, г2) называется параболическим расстоянием между
zx, z2.

2.	Лемма. Пусть г <=(0, /(/Д 1], и е И7У+1 (С^.г,), La = 0,
с = 0 на Ctr'.ir (п. в.). Тогда существуют постоянные N <оо,
ае(0, 1), зависящие только от d, Д, е, такие, что при любых
Z1, S Сг‘,г

— u (z2) I л^г-“ра(21, г2) sup (I и |, Сф.з.2,).	(6>

Если же еще и Ь = 0, то (6) верно и при

Доказательство. Используя преобразование (/, х)->
—► (r~2t, гЛх), легко убедиться в том, что оба утверждения леммы
достаточно доказать только при ' = 1, I Если после этого
заменить К на К VI» г0 все сведется к случаю, когда выполнено
условие (1.2) (и г = 0). При <• = 1 воспользуемся, далее, извест-
ной схемой рассуждений Де Джорджи (1], применяя по мере не
обходимости лемму 1.11 и теорему 1.9.

При Re (О, 2] определим w (R) как колебание и на
т. е. как разность верхней грани М (R) и нижней грани m(R}
функции на Сд», ц. Если R -С 1 /2 и

Л [СыГ' 2R П у <m (R) + М (Л))}} === у Л (Сщ», ад), (7)

то по лемме 1.11 на Сад«. ад

и (t, х)^р [i^R-H, 2~1R-1x, у) у (т (R) + М (R)) +

+ (1-р(4-1/?-2Г, 2-1/?-1*, y))jW(2R).

Возьмем здесь верхнюю грань по CR>: R и заметим, что
у (m(R) + M(R))^M(2R) и по теореме 1.9

р0:= inf (р (/, х, у):	|х|^у)>0,

причем ро зависит только от d, К, в. Тогда получим
М (R) ^р»^(т (R) + М (R)) 4- (1 -р0) М (2R).

Складывая это неравенство с очевидным неравенством (р0 — 1) х
X т (R) < (р0 — 1) т (2R), находим

(1 — у po^w(R)^(} — p0)w(2R), w(R)^8w(2R),	(8)

где 6 < 1, 6 зависит только от d, К, в, и можно считать, что
б> 1/2.

Неравенства (8) мы доказали в предположении, что выполнено
неравенство (7). Если имеет место неравенство, обратное к (7), то
тогда, как легко видеть, для функции (— и) будет верно нера-
венство, аналогичное (7), и рассуждения, аналогичные предыду-
щим, вновь дадут неравенства (8).

Таким образом, w(R)^8w(2R) при всех 1/2. Итерируя
это неравенство, получаем tw(R)^62o»(4R) при R 1/4, ...
w(R)^S,Snw(2nR) при R^2~n. При /?«&1/2, п:=(—lg2/?]
имеем /?=^2~п и, стало быть,

w(R) ^6nw (2я/?) sg;S_1/?“tt»(l) ^26-1/?“sup (| и I, Clt i),
где a = —lg26e(0, 1). Мы оценили колебание и в любом ци-
линдре вида С/?'# при R 1/2. Совершенно аналогично оцени-
вается колебание и в цилиндрах вида (/, х) + CRi, R при R sg 1 /2,
(t, x)eCi,i. Надо лишь заметить, что при этом (I, xj-f-C,, , с
<= Ct, 2.

Пусть теперь z4, *,еСц, /?:=p(zi, z2)«sl/2. Представим Zi,
z2 в виде (<i, Xi), ((2, x2) и положим t = x=(xi-|-x2).
Тогда, как легко проверить, z,e(/, x)4-CR._r, i=l, 2, и, следо-
вательно,

•| и (zi) — и (zz) I ^26-1/?“sup (| и |, (/, x)4-Clfl.)sC

<26-!р“ (zi, z2)sup(|u|, C4.2).

Остается рассмотреть случай, когда p(z2, z2)> 1/2. В этом
случае, очевидно,

|u(zi) —u(z2)|<2sup(|u|, Ci, 2) «S21+®о“(zb z2)sup(|u|, С4>2).

Таким образом, в (6) при '= 1 можно всегда взять N = 21+<z +
4-26-1, и лемма доказана.

3.	Следствие (двусторонняя теорема Лиувилля). Еслис==0,
Ь==0, и е W4i(Cr.,r) при всех г>0, Lu = 0 почти всюду
в {/>0}x£d и и ограничена на этом множестве, то и = const.

В самом деле, из (6) при г->оо вытекает, что ы = const.

Возьмем а из леммы 2 и откажемся от условия £и = 0.

4.	Лемма. Пусть ге(0, Ki1/\ 1], и е (С^,г,), с = 0.
Тогда существует постоянная N, зависящая только от d, К, е,
такая, что при гъ Zz^Cr,,,

I«(zi) — и (Zz) |

«S/V /r^pa(zi, Zz) sup |u| + rd/<<,+1>l|LM|.gd+1(C4r, 2A.	(9)

\	C4r2. 2л	*	/

Если же еще и b = {), то (9) справедливо и при

Доказательство. Из соображений подобия вытекает, что
(9) достаточно доказать при г = 1,	Кроме того, в (9)

легко переходить к пределу от операторов L с гладкими коэф-
фициентами к операторам с измеримыми коэффициентами. Поэтому
будем считать» что г=1 и коэффициенты L бесконечно диффе-
ренцируемы

Определим ии и2 как решения из i (С4г 2| задач: £^ = 0,
Lua = Lu в С4,2 (п. в.), цх = и, и2 = 0 на dzC4>2 Понятно, что
u = u1 + «2. Для функции «1 применим лемму 2 и заметим, что
по принципу максимума supfluil, С4> 2) sup ([ и |,
^sup (|u|, С4>2;. Тогда нам останется только доказать, что в Cltl
| и21 < NI Lu	(с4 а) = J Lu2 hrf+1 (C^ 2j-

Эта оценка даже в С4 2 сразу следует из теоремы III.3.9.
Лемма доказана.

В следующих ниже теоремах 5—7 считается, что а — постоян-
ная из леммы 2, £ = (ad)[d + a(d+1)]-1, Q— область в Еа+х и
при z=G, x)sQ полагается

р (z) = inf (р (z, z'): z' = (t', x')<=dQ, Г>0*).	10

р(г) = 1Др(г).	( }

Величина p(z) называется параболическим расстоянием от z до*
границы Q.

5.	Теорема. Пусть и е (Q), zlt z^eQ, с = 0, bs=0,
4p(zi, г2) p (zi) Д p (z2). Тогда существует постоянная N, зави-
сящая только от d, К, в, такая, что для любого конечного р е
е [4р (zb z2), р (zi) Д р (z2)]

I и (zt) - и (z2) (sup I и | + pd/(rf+1) | Lu L₽rf+1 (q>) Рр (Zi, z2). (11)

Доказательство. Пусть 21 = (Д, A), z2 = (f2, Хг)- Без огра-
ничения общности будем считать, что Обозначим

Как нетрудно проверить, в силу условий на р имеем: 2г
у р (2\) Д р (г2), р (zi, z2) г. Отсюда вытекает, что z2e?i + C%t г,
+ cz Q. Следовательно, если воспользоваться сдвигом, то
можно применить лемму 4. После ее применения останется только
заметить, что в силу выбора г имеем

r*«pa (Zi, z2) sup I и 14- l| Lu b + c4r, 2r) =

*1 + C4r*. 2r

/	B___Д a_____a	\

= (4Pp-P sup |u| + 4	«+1р‘Я-» |Ь«Ь ft+c4r.,2r))x

' VC4r«, 2л	I

XPP(Z1, Zft). (12)
Теорема доказана.

6.	Теорема. Пусть u^W'j^.i(Q). Тогда существует посто-
янная N, зависящая только от d, К, в, /Ci, такая, что неравен-
ство (11) имеет место при p = p(zi) Д p(z2).

Доказательство. Так как в правой части (11) присутст-
вует норма и в C(Q), то можно считать, что 4p(zi, z2)^p: =
:=P(zi) Д p(z2). Проведем в этом случае те же рассуждения, что

*) inf 0=оо.
и в предыдущем доказательстве, замечая, что на этот раз р 1,
г s£l/4. Если, кроме того, г^ЛГ1, то 4p~1p(z1, z2)^/G"'/f. и
неравенство (11) очевидно с подходящим N. Поэтому мы будем
считать, что г^ЛГ1- Теперь понятно, что, как в доказательстве
теоремы 5, с помощью леммы 4 выражение | и (zj) — и (г2) | оцени-
вается через постоянную N (d, К, в), умноженную на правую
часть (12), в которой Lu надо заменить на Lu —си. После этого
останется воспользоваться очевидным неравенством: \Lu — си\=^
| Lu | + Ki | и | и тем, что норма и на Zi + C*-», г, в оцени-
вается через sup(|a|, (?) (так как г=С1/4). Теорема доказана.

Варианты теоремы 6 читатель найдет в замечании 3.4. Непо-
средственным следствием теоремы 6 является

7.	Теорема. Пусть область Qr czQ, и е W'dj. i (Q). Обозна-
чим p=inf(p(z): zeQ') и предположим, что р>0. Тогда для
некоторой постоянной N, зависящей только от d, К, s, Ki, Р,
при всех Zi, г2 е Q' •

| и (zi) — и (z2) | sg N (sup | и I +1 Lu	<Q))P₽ (Zi, z2).	(13)

В самом деле, если 4р(гь г2)^р Д 1, то в (13) в качестве N
можно взять #1 = #г(рД 1)-*, где М2 — постоянная из (11) в слу-
чае теоремы 6. Если же 4p(zi, г2)^=рД1, то можно взять Na —
= 2-4₽(рД1)-Р. В любом случае в (13) подходит N — Ni + Ne.

Перенесем предыдущие результаты на эллиптические уравне-
ния. Рассмотрим оператор

£ = a‘J (х) Г7Т7 +	Л +с (х)’

дх1 dxJ	дх1

(14)

коэффициенты которого заданы на Ed, измеримы по х и удовлет-
воряют условиям (2) при всех х, KeEd,i, j—l, ..., d, а c«s0.

8.	Теорема. Пусть /?е(0, 2], и ^Wd(SR), и^О в SR,
Lu = 0 в SR (п. в.). Тогда существует постоянная N, зависящая
только от d, К, в, Ki, такая, что и (O)^Nu(x) при \x\^~R.
Кроме того, если в-1, К, Ki меняются в ограниченных пределах,
то и N меняется в ограниченных пределах. Наконец, если b = Q,
csO, то наши утверждения верны и при R>2.

Доказательство. Если ие(7(^), то наше утверждение
следует из теоремы 1. Для того чтобы в этом убедиться, доста-
точно в теореме 1 взять 6 = 2, L = L. Р общем случае возь-
мем последовательности функций <рп е С8 (Sr) и операторов Ln
вида (14) с гладкими коэффициентами так, чтобы фл^0 в Sr,
равномерно на dSR, коэффициенты Ln удовлетворяли усло-
виям (2) и почти всюду на Sr сходились бы к соответствующим
коэффициентам L. Пусть ип — решение в C*(SR) уравнения £яи„ = 0
с граничным условием ип = фя на dSR. Тогда Ln (ип — u) — (L — Ln)u
и по теореме III.3.11 un->u равномерно на Поскольку для
ип утверждение нашей теоремы доказано, то оно верно и для и.
Теорема доказана.

9.	Следствие (односторонняя теорема Лиувилля). Если
Ь = 0, с = 0,	при всех R» и 5^0 в Ed, Lu — Q на Ed

(п. в.), то и = const.

В самом деле, заменяя и на u —inf (и, Ed), можно считать,
что inf (u, £rf) = 0. Пусть последовательность хя^ Еа такова, что
и(хл)->0. По теореме 8 имеем 0 «С и (0) =С Nu (ха), где N не за-
висит от п. Отсюда и (0) = 0, а так как начало координат можно
менять, то м(х) = 0 при всех х.

10.	Теорема. Пусть ге(0, /СГ‘Д1]>	csO.

Тогда существуют постоянные N, а>0, зависящие только от d,
К, в, такие, что при Xi, Xt^S,

| и (хг) — и (х2) I «S N (г* | х, — х« |“suo I и 14-гII Lu	(15)

Если же еще и Ps=O, то (15) справедливо и при г>Дг*Д1.

Соображения подобия сводят доказательство (15) к случаю
r=l, Ri^l. При г=1, и^С?(5гг), Lu — Q неравенство (15) вы-
текает из леммы 2, в которой надо взять Zi = (0, Xi), z2 = (0, х2),
L = ^ + L. Затем, как в доказательстве теоремы 8, делается пе-
реход к случаю и <=,у7;? (•%-)> Lu = Q. Общий случай рассматри-
вается, как в лемме 4, нужно только в соответствующем месте
применить не теорему III.3.9, а теорему III.3.11.

11.	Теорема. Пусть область D с Ed, хъ х2 е D, 2 | xt — х2|<;
«^4(хъ dD), b = 0, с = 0, и е Wd(D). Тогда при всех конечных
pef2|x,— Хг!, d(xx, dD)]

I и (хо — и (x2) | =eS Np~° | x, — x2 |° (sup; и | + p || Lu <D)),

где a = a/(l-f-a), постоянная N зависит только от d, К, e,
Для доказательства этой теоремы достаточно положить

г — 2°-1р1-<’ | Xi — Xj |°,

заметить, что 2|xj — x2|^2r^p^d(xi, dD) и применить тео-
рему 10 к шарам Xi + Sr, Xj-f-S^.

Тем же способом, каким из леммы 4 выводится »еорема 6, из
теоремы 10 выводится
12.	Теорема. Пусть область DczEd, xlt x^^D, u^W2d(D).
Тогда

| и (*1) — и (л*) К N [1Л d (Xi, dD)]~° i xt — Хг ,0 jsup | и |+| Lu	ю>|.,

где N зависит только от d, К, е, Kv

§ 3. Гёльдеровость решений систем линейных неравенств

Для доказательства оценок в С8*® решений нелинейных урав-
нений мы будем эти уравнения дифференцировать по независимым
переменным и для частных производных решения будем составлять
некоторые неравенства. Из системы этих неравенств затем с по-
мощью результатов настоящего параграфа будет выводиться и гёль-
деровость каждой из рассмотренных производных.

Фиксируем постоянные Д^е>0, Кг, Д2^0, и пусть ...
..., Ln, L — дифференциальные операторы вида (2.1), коэффици-
енты которых удовлетворяют условиям (2.2). Возьмем некоторую
область Q cz Ed+i, для точек из Q будем применять обозначения
(2.5), (2.10) и сформулируем основной результат параграфа для
параболических неравенств.

1.	Теорема. Пусть и1, ..., ип s W'i’+i, ioc(Q)ПC(Q), fi, ...
.... fn e CJoc (Ei), ft>0, на Eu Ltu^—K**) в Q (n. в.)
при t = l, ..., n. Предположим, что для постоянных ае(0, 2],
v е [0, а], 6>0 при любых zi, г2 е Q таких, что 4р (zi, z2)
=Ср := р(zi) Д р(z2) имеем

/<2pv-®p“ (21, г2) S& 6 2 [fi (и1 (zj) — fi (и1 (г2))]+ —
f ==1

(A(M4zi))-fi(u'(z2))]-.	(1)

1=1

Тогда для любых гъ z2^Q

2 |иЧ?1)—z2)AHtf2pv + S sup uf|), (2)

где 0 = 0O Д a, 0o (0, 1), 0o зависит только от n. d. К, в, б,
постоянная N в случав, когда fi(r)=r при всех i. г. зависит
только от тех же величин и от а, а если fi(r)^r. то N
зависит также от К2. от постоянных Mit ограничивающих | и11
на Q, и от максимальных значений f'it (fi)"1. |/7| на [—Mi9 A1J.

Главное утверждение теоремы относится к случаю ft(r)=r.
Из этого частного случая легко вывести утверждение и в общем
случае, если разрешить постоянной 0 зависеть от min ft, шах ft.

♦) Суммирования по i нет ни здесь, ни в доказательстве.
Однако эта зависимость весьма нежелательна, так как она в нашей
схеме привела бы к зависимости показателя Гёльдера производ-
ных решения нелинейного уравнения от оценок их максимумов
Для доказательства этой теоремы, кроме результатов § 1, нам еще
понадобится,

2.	Лемма. Пусть постоянные Nlt Nt^O, а>0, р, уе
е(0, 1), Ро>О. Пусть для всякого ре [О, р0] определено множе-
ство 4(р)с{1, ..., п] (может быть пустое) и на [0, 2р0] опре-
делены неотрицательные неубывающие по р функции gi(p), w,(p),
i=l, ...» п, не превосходящие Наконец, пусть при /=1, ...
..., п, ре [О, р0], 6еЛ(р) (если такие k найдутся) выполнены
неравенства

РЩ (р) gf (р) «5 ц-Чеу (р), g„ (р) wk (2р)

«5	(р) gk (2р) (1 + р ~^к (2р)), (3)

йу» (Р)	уи>ь (2р) + Nар®Р7а,	(4)

” 5 gi(P)^Ny У, gt(2p) + N^>ap^at	(5)

где суммы по пустым множествам индексов считаются равными
нулю. Тогда при ре(0, 2р0]

У Wi (Р) Nptp-b (5 wi (2Ро) + Wa j,	(6)

= I	= I

еде P = Ре Д <x, p0 зависит только от у, Nu р0 е (0, 1), посто-
янная N зависит только от а, у, Ni, п, Nt, ц, а если gt = wt при
всех i, р, то N зависит только от а, у, п.

Доказательство. Предположим сначала, что gt=swt. Вы-
берем х = х(у, Ni)>0 столь малое, чтобы иметь

O<(/V, + b

х(14-х)	1

I-Т(1+х)	2 ’

(7)

и докажем, что при всяком t> е (0, р0| выполнено одно из двух:

(14-х) ^w, (р) =й У и>{ (2р),
t	I

^Wi (р) «S(2 4- i) A/2pap~“,

(8)

Фиксируем некоторое р е [0, р0] и предположим, что выпол-
нено неравенство, обратное к первому. Тогда

У (2р) < (14- л) 2	(P).
Здесь, по предположению (4),

2>ЛР) = 2	<

f	Д(р)	(р)

У, аУг(2р)4-Т У te>f (2р) 4-п^р«р-«.
г^Л(р)	еД(р>

Объединяя эти неравенства, находим

У цу/(2р)Ч- ZJ ш,(2р)^(Ь4-х) У te»i(2p) +
<еЛ(р»	Г^ЁЛ(р)	А (р)

+ (14-х)-у у, ay,(2p) + d 4-х> пЛ/2р®р-®,

Ze А р

(1—.у —ну) У йУ, (2р)	> У ш,(2р)4-(1 4-x)njV9p®p~asg

*	Гел(р	?е£Л(р'

sgи(1 + х) У Wi(p>4-(1 + к/nWjp^p-®,

что вместе с неравенством (5) дает

У u>i (Р) <= У ^(2р)4- у Ш;(рк

<еЛ(р»	А (р>

«S М4РаРГи + (1 + Л\) У Wi (2р)

IE Л(р|

W4-(1 +	2“* «,; +

4- (1 4- Л/,) x(1,t*5 . - /V.paor®.

1	’ 1 — Y (1 4- X) х * ft

Приводя подобные члены в неравенстве и пользуясь (7), по-
лучаем второе неравенство в (8). Мы доказали (8). Теперь поло-
жим Ро = Iga (। + х), р = р0Да,

Ф (р) = max $ Wi (р), (2 4-*) Л •

Если выполнено второе неравенство в (8), то

ф (р) = 2-® (2 4- ^) #2 (2р)® Р7,х 2“®ф (2р) =С 2-^ф (2р).

Если второе неравенство в (8) не имеет места, то выполнено
первое неравенство и

ф (Р) = У IMP) (1 + х)-1 Zj wi <2Р) U + «Г1 (2р; 2~рф (2р).
i	i
Таким образом, ф(р)«g2-4*ф(2р) при всех ре [О, р0]. Отсюда
(ср. рассуждения, следующие за формулой (2.8)) сразу следует,
что ф(р)=С^(₽)РрР7₽Ф(2Ро) при ре[0, р0]. Поскольку это нера-
венство очевидно при ре[р0, 2р0] с N=l, а максимум из двух
неотрицательных чисел не превосходит их суммы, то мы доказали
лемму для gi = wt.

Перейдем к общему случаю и заметим, что в силу (3), (5)
У, «>i(p)<iV; 2 a»i(2p) + ?VsP“P7“, где ^=^р-2, N't =

Ain't .	isA(p)

= W2p-1. По доказанному выше ю«(р)^Л!рвРГэ при Р е 2р®]>
где о>0, о, М зависят только от а, у, Nlt Л/г, р, п. Положим
Р1 = |Ро. где постоянная 5 = £(а, у, Nlt N2, р, п) определяется
формулой

6-4 л {y[(r1/2-DpAf-1]1/”}.

Ясно, что £>0,	(2р) р-14-1	У-1/2 при р^рь Следова-

тельно, по неравенствам (3), (4) при p«Cpi, &еД(р), g*(p)>0
имеем

Л (р>= w* (р)	(р) <

y1/2gb (2р) + y-v»p-W2pap-« = yi/з^ (2р) 4- (/V2p-l/2p-lga) р“р-<\

Здесь неравенство между крайними членами очевидно и при
£*(Р) = О-

По доказанному выше отсюда и из (5) получаем, что при р е
е[0, 2pi]

2 Wi (р) ==S р-1 У, gi (р) =£= Л/рРр— ^2 gi (2рх) 4- Мгу-^р-1^)
^N(fip-^^,wl(2p0) + N2

\ 1

где постоянные N, 0 зависят от исходных постоянных только так,
как это указано в формулировке. Остается заметить, что при
р е [2|р0, 2р0] неравенство (6) очевидно с N == (2|)А Лемма до-
казана.

3.	Доказательство теоремы 1. Пусть сг = Д1. Тогда
(Li — Ci) и1^ — Кг — Ki Ssup | u‘ | =: — K'f Если Кг в (1) заменить
на К2, то это неравенство останется верным, а если (2) доказать
с К2 вместо Кг, то, заметив, что pv1, Кг^Кг(^+К1), мы по-
лучим (2) в том виде, в котором оно написано. Стало быть,
можно считать, что с^ = 0 при всех I,
Фиксируем, далее, гичку г0=(/0, x0)eQ и обозначим

р0 = р (г0) 28-41	Д 1),

mi (р) = inf (и1, г0 + Ср!> р), Л4,- (р) = sup (и1, г0 + Ср>. р),

wt (р) = Ме (р) - mt (р), gi (р) = (Mt (р)) - ft (mi (р)),

С(р) = (г0 + С4Р.,2р)П{/>(0 + р«},

Гг (р) = Q (Р) П {*• fi № (г)) < (1 -1) h (Mt (р)) + Ifi (mt (р))},
А (Р) = {f: Л (Г,- (р)) 2= 1Л (Q (р))},
В(р) = {к Л(ГДр))<1Л(<2 (р))|.

Заметим, что 28p0sgp(z0), mit Mf, wh gt определены при p e
ep), £-p(z0)J, а остальные объекты мы будем рассмагривать
только при р е [0, 2р0] (когда Q (р) заведомо лежит в Q). Оче-
видно, объединение всех Гг(р) по ieB(p) не составляет всего
Q(p). Поэтому найдется точка z(p), принадлежащая Q(p) и не
принадлежащая Г,(р) ни при одном ieB(p):

z (р) е Q (р), h (и* (z (р))) 5s (1 — g) ft (Mt (p)) +

+ Ui ("k (p)) Vi e В (p).	(9)

Закончим перечисление объектов, которые нам понадобятся
ниже, введением точек г' (р) е z0 + Cp», р (psg2p0), в которых
ul(zri (Р))—mt (р) при г -> оо.

Покажем теперь, что при р^р0 с W = W (п, 6, а)

2 g»(P)^7 2 ^(2p) + (^4pev)p“pra. (10)
/ен(р)	?еЛ(р)

Возьмем некоторое р^р0, без ограничения общности предпо-
ложим, что 5(р)^=0 и при /еВ(р) применим неравенство (1)
к точкам г(р), г<(р). Обе эти точки лежат вг0 + С4р». 2р и р^р0,
поэтому их параболические расстояния до d'Q не меньше 24р0 и
параболическое расстояние между ними не больше 6р«с | -24р0.
Из (1), учитывая, что v^a, находим

(Л^/<»Ро) Р“Р(Г“ Ss 6 S lA fz(p))>— fi (и1 (zrt (р)))]+ —

- Z I/» (z U>))) - fi (?j (p)))]_.	(11)

t
В первой сумме мы опустим все слагаемые, кроме слагаемого,
отвечающего i — j, а его с помощью (9) оценим так:

/у (ы> (z (р))) - fj {ul {z'i (р))) >

(1 -1) Ь (М/ (р)) 4- (т, (р)) - /у (ц (4 (р))) -> (1 -ё) (р).

Во второй сумме при t еВ(р)

fi (и' (г (Р))) - fi (и1 {г, (p)))s&

=& < 1 - £) fi (Mt (p)) +	(mi (р)) - f{(Mi (p))-Igi (p).

При i s A (p) соответствующие выражения будем снизу грубо
оценивать через (—gt (2р)), а их отрицательные части сверху
через g, (2p). В результате из (11) заключаем

((VK2Pov)p“pr^6(l-?)gy(p)-g S gi(p)- 2 &(2р).
/еВ(р)	ZeA(p>

Складывая все такие неравенства по jgB (р) и пользуясь
тем, что 6(1 — £) —= 6, получаем (10).

Далее, фиксируем некоторое р«ср0, предположим, что 4(р)=/=
#= 0, и докажем, что при всех ^еЛ(р)

wk (р) ywk (2р) + NКгр2 =sS ywk (2р) + (NЛ2Р0 ) рарГ“. (12)

где ye(0, 1), у зависит только от d. К, в, п, 6, а постоянная W
зависит только от тех же величин и от К\- Для этого положим

v(t, х) = е ^г(1 4-/(1)(4р2— \х — х0|2)

и заметим, чго в г0-|-С4Р». 2р при каждом k (ск=0)

LkUk^-Kit

Ki1 (1 + Ki)-1 Lkv =C — 2d + Aer'pKid	—2 + p (z0) -C — 1,

Lk(u»-v)^0.	(13)

Сделаем теперь преобразование координат ((, х)->(4-1р-2(/— (0),
(2р)-* (х — х0)), переводящее z04-C4p!, 2р в Citl, и будем снабжать
волнами образы различных объектов при этом преобразовании.
Неравенство (13) преобразуется в неравенство £*(«* — 6)2^0 на
Сх.!, причем оператор Lk будет иметь вид (2.1), ск:=1к\ = 0,
а поскольку 2р«С(1 4-Ki)-1, то коэффициенты bh при их, в выра-
жении Lku будут удовлетворять неравенству | bk | sg Ki, где Ki = 1.
Фиксируем еще k е А (р), положим

£ = (1-5)ЛЫр) + £т*(Р)

и заметим, что в силу выпуклости вверх возрастающей функции
fk на Г*(р) имеем ffc(a*)<(l -l)fk(Mk(p)) + lfk(mk(p))^fk(t),
и, стало, быть, Отсюда понятно, что при <е[0, 1/4)

Л (((/, 0) + С^. О П {й* С}]	(2р)-*-* Л (Г* (р)) Ss

Яр)-*-* ±A(Q(р)) = Л((t, 0)4-Cw, .)•

Так как 3^0 на Ct.ь то эти неравенства останутся справед-
ливыми, если в них йк заменить на й* — б. Суммируя все сказан-
ное выше об Lk, йк— б по лемме 1.11 (с х=1— t) при всех /е
е (0, 1/4], |x|sg 1 заключаем

й*(/, x) — v(t, «)=sSp(0, х, Jj[j£ + (1— р(0. х, ^Мк(2р).

Здесь £^Л4*(2р), и последнее неравенство только усилится,
если в нем р заменить его нижней оценкой. По теореме 1.9 при
/е=(0, 1/4], |х|^1/2

й*(/, x)<spo£4-(l-Ро)ЛМ2р) + »(Л х),
где р0 е (0, 1) и р0 зависит только от d, К, е, п (и Rtt равного
единице) Вычисляя верхние грани, получаем

Мк (р)	рпС + (1 - р0) М к (2р) + 4г-1 (1 + К1Ж2Р8 =

= р„/И* (р) — %powk (р) + (1 — Ро) м» (2р) + MGp2.
(1 — р0) /И*(р)4-$р0к>*(р)=^(1 — p0)A4*t(2p)4-V/<2p2.

Для окончания доказательства (12) остается сложить послед-
нее неравенство с очевидным: — (1 — р0) mk (р)	— (1 — р0) mk (2р),

поделить результат на 1 — р0 + £р0 и воспользоваться тем, что
а ^2, v^a.

Теперь закончим доказательство теоремы в случае, когда
^(г) = г при всех i, г. Тогда = и из (10), (12) по лемме 2
находим

У, Wt (р) < ЛГрэр73 (KiPt + 2 sup I и11\	(14)

<• \ <? /

при р^р0, где р, W зависят от исходных данных так, как это
указано в формулировке теоремы при f, (r)sr. Это же неравен-
ство с N = 2 верно и при всех р^р0, при которых левая часть
(14) имеет смысл. Вспоминая определение р0, из (14) получаем

У, (р) «С Лфр (р (z0)H ^(/<2 (р (z0))v + 2 sup | и11 у (15)

Наконец, если Zi»(<i, jq), z2 = (/2, х^) е Q, 4p(zn z2)^
=С р (Z1) Д р (га) и для определенности h /2, то, полагая г0 = ги
p = p(Zi, z2) и замечая, что

*1,	<=20 +Ср., pCzQ, p(zi) — p(z2)<p,

р (Z1) < 4 р (z2), Р (Z1) A £ (z2) < р (Zo) 4 (Р <2i) л Р (z2)),

без труда выведем (2) из (15). Если же 4p(zx, z2)Z>p, то (2) оче-
видно с N = 8.

В случае произвольных рассматриваемых ft утверждение тео
ремы в силу (10), (12) также будет вытекать из леммы 2, если
мы убедимся в справедливости неравенств (3) с р, зависящим
только от оценок ft, (f'l)-1, |/7| сверху. При этом первое неравен-
ство в (3) очевидно, а второе очевидно, если gft(p) = O. Если же
gk (Р)	0> то п0 теореме Лагранжа при некоторых z*, zl е zQ +

+ Wp", 2р

м» ’•“*и” -г> (“' (2«>+^р> «

где р-1 есть максимум | fl | (fj)-1 по соответствующей области из-
менения г. Теорема доказана.

4	. Замечание. Из теоремы 1 вытекает результат, анало-
гичный теореме 2.6. Именно, пусть и1 е ioc (Q), I Lu11 «С Кг
в Q. Возьмем и2 = — и1. Тогда при любых zx, г2 е Q

У! (zi) — и{ (г2)]+ — У, [i? (zi) — и1 (г2)|- = У, (и1 (zx) — и1 (z2)) = 0.
i = 1	i = I	i = 1

Поэтому можно взять fi(r)—r, 26=a = v = 2 и из (2) получить

| u1 (гх) — u1 (z2) | < р~М (zi, г2) N («2р2 + sup (| и |, Q)).

Здесь мы потребовали, чтобы |Lu4^/<2. На самом деле,
в теореме 1 условие Ци1 ~^ — Кг можно было бы заменить на усло-
вие — f‘,	^Кг и тогда теорема 2.6 в более пол-

ном объеме получилась бы из такой модификации теоремы 1. Нам
модификация далее не потребуется, и мы предоставили ее форму-
лировку и доказательство заинтересованному читателю.

Из теоремы 1 также вытекает, что если и, v^WlJ+i. ioc (Q),
| Lu | Lv + Кг в Q и | v (zi) — v (z2) | A2pv-ap“ (zlt г2) при
4p(zi, z2Xp:=p(zx) Д p(z2), то при «=1, цх:=и выполняется
неравенство (2).

Действительно, при иг = и —u, u2 = u-|-u имеем Lu‘^— Кг,
а правая часть (1) при ft(r) = r, 6= 1 равна 2 (u(zx) — u(z2)). Такой
вариант теоремы 1, по сути дела, сильнее теоремы 2.6, как по-
казывают теоремы Ш.2.3, Ш.2.4.

5	Н. В. Крылов
Условие (1) с нулевой левой частью выполняется для некоторого
6>0, грубо говоря, тогда, когда в каждой точке и для каждого
направления, для которого найдется хотя бы одна функция
возрастающая в этой точке по этому направлению, найдется
также функция убывающая в этой точке по этому направле-
нию. Реализацию этого соображения читатель найдет в доказа-
тельстве следующей теоремы

5.	Теорема. Пусть те(0, 1), и1, ..., е IV'i’+i, юс(Q),
g1, gd —некоторые функции на Q. Предположим, что |и!|
^/<2,

|£и'-и>£*|<Я4(1+(и‘, <))\ ^^(1+(и‘, и'))

на Q (п в.) при всех /=1, п {подразумевается суммирование
по i, k). Тогда существуют постоянные 0 е(0, 1), Л/<оо такие,
что при Zi, г2 е Q

У, — и' {z-d^Nphzi, г2) (р (Zi) Д р (z2))’P.	(16)

/=i

Кроме того, 0 зависит только от d, К, s, п, a N зависит только
от тех же величин и от т, Ki, К2

Доказательство. Пусть £и = а,/и(.1хУ4-&'иг«4-с« + и/, Lji =
= а1,иг1хуг}-и(. Тогда

|L„«/ - utkg* | «51 Lu> - W^g* | + dKt (| ик' 4-1 и/1)

^N(KV Kt, т)(1+(и;, uJ)yvi/«.

Поэтому за счет изменения постоянной К2 в других предполо-
жениях теоремы можно считать, что 6'=с = 0. Итак, пусть Ь‘ =
= с = 0. Фиксируем некоторую постоянную у>0, способ выбора
которой мы уточним ниже, и при (t, x)eQ, р = (р*, ...» рп)^Еп
обозначим

v(р, I, х) = ехр (у У (и> (i, х) — pf)2\.

I i = t	>

Как следует из теорем вложения, v е W&’+i. ioc(Q) при любом р.
С помощью непосредственных вычислений находим

2-Ly1t»'1Lv т= 2уа" [(и* — р*) ukxt] [(ur — рг) и'/] +

+а1/и'1их/+(иЛ — p^Lu* (п. в. Q).	(17)

Первые два члена в правой части мы оценим снизу, пользуясь
1ем, что a'WV 3s в | А. |2, а последний заменим на

(u* — р*) (Lu* - и^) +1 (и* — р*) и^-] gr.	(18)
Дальнейшие оценки будем производить, считая, что
«С 2Ла при fe = 1, ..., п. Тогда по неравенству Юнга выражение
(18) оценится снизу через

- 3dKl( 1 + (а;, «!))' -	- -Ц±1 to. - р»)	_ ро	э,

—— р*)	— A4d, i, е, Kd

Из проведенного обсуждения равенства (17) теперь вытекает,
что для у = (/С2+1) (2в)~2 почти всюду. в Q имеем Lv^ — N,
если | р* |	2Л2 при всех k, где N — N (d, т, е, /С2).

Воспользуемся, далее, соображениями, изложенными перед
формулировкой теоремы. Пусть т = 2я, ри рт — все вершины
куба (реЕл: |р<|>с2К2, i = l, .... п\, tf(t, x):=v(pr, t, х),
r = l.....т. Понятно, что если |м||, |и[ |Л4 при i = l, ..., п

и при перемещении от точки (и*, ..., ы") к точке (и', ..., и”)
расстояние до какой-нибудь вершины pt возросло, то расстояние
до некоторой другой вершины уменьшилось. Точнее говоря, фикси-
руем zlt z2 е Q, положим у = 2/(а sgn (и1 (г2) — и' (zi)), i = 1, ..., п,
и заметим, что р =	..., pn)^{pi\ и

(In tfizt) — In tf(z2)) =
n

i = l

, Sg 6/<2 V I U* (Z2) — U' (Zj) I =
<=l

= у У1, [2? (U1 (z2) — и1 (Zi)) — 2Кг ul (z2) — u' (zt) |1 <

«£ In Vs (z2) — in O’ (Zv, (19)
где s таково, что д, = р. Отсюда

У (In if (2i) — in V (z2))+ m (In Vs (2i) — In (z2))_ sg

2 (Intf(zi) — Intf (z2))_.
-=i

По теореме 1 каждое выражение |tf(Zi)— ^(z^l не превосхо-
дит правой части (16). Это же верно для | In tf (гг) — In tf (г2) |,
а в силу (19) —и для левой части (16). Теорема доказана.

6.	Следствие. Пусть и е ioc(Q), |u|ss/(2, |L«
"С/Сз (1 +1 I2) (п. в. Q). Тогда существуют постоянные 6 e (0, 1),

В*
N<оо такие, что при г1(

| и (Zi) - и (г2) | Лф“ (Zi, г2) ф (гг) Д Р (z2))A

Кроме того, 3 зависит только от d, /(, е, а /V—только от d, К,
е, Ki, К2.

В самом деле, Lu = g(\ +,|а), где |g|«sK2 и для gk: = guxk,
очевидно, Lu— u^—g, gkgk«gК*|их|2

Перенесем результаты параграфа на неравенства с эллиптиче-
скими операторами. До конца параграфа мы считаем, что D —
область в Ed, коэффициенты L, Lit .... Ln не зависят от t и пола-
г , д j , д
гаем L — L —	,L, — Li .

7.	Теорема. Пусть и1........ип <= Wdi ioc(D), fu ..., fn^

eCJoc(£i), fi>0,	на Et, Ци1^—Кг в D (n. в.) при

i=l, ..., n. Предположим, что для постоянных ае(0, 2], ve
<=[0, а], б>0 при любых Xi, таких, что 4|хх — х2|=С
sg р: = d (хх, dD) Д d (x2, dD) /\ 1 имеем

КгРх~Л | Xi - x21“ s=s 6 J] [fi («* (*i)) - fi № (x2))l+ “
i = 1

- i [a («' (*0)	(«' (x2))]-.

1	= 1
Тогда для всех хъ x2sD

У! I (Xi) — u4x2) | р"э | Xi — x2|3fV(/<2pv+ У sup 1^1
z=l	'	С=1 о

где р = РоАа> Ро^(0, 1), Ро зависит только от п, d, К, е, 6,
постоянная N, если fi (г) = г при всех i, г, зависит только от тех
же величин и от Кх. а, а если fi(r)=£r, то N зависит также
от К г, от постоянных (не обязательно наименьших), ограничи-
вающих | и11 на D и от максимальных значений f<, (fi)"', |f*| на
\—Mh 71J

Доказательство этой теоремы можно провести почти дословным
повторением доказательства теоремы 1, заменяя в последнем Срг. р
на Sp, опуская t и вместо леммы 1.11 используя теорему 1.12.
Можно также сделать еще и некоторое упрощение, если вместо S2p
в качестве Q(p) взять Sp, и тогда вместо леммы 2 можно обой-
тись более слабым утверждением, в котором в правой части (5)
вместо gi (2р) стоит gi (р).

8.	Теорема. Пусть те(0, 1), и1, ..., ип е Wdt locC^.g*1,...
• ••> gd “ некоторые функции на D Предположим, что

I - u^g» I Кг(1 + («i, u{))\ gW Кг (1 + (и;, «У),
на D (п. в.) при всех j = \, .... п. Тогда существуют постоянные
Р е (0, 1), N <Z<x> такие, что при хг<=Ь

У, I w (Х1) - и’ (х2) I =С NI Хг - х21₽ (d (Xi, dD) Д d (х2, dD) /\ 1 )-*.
f = l

(20)

Кроме того, £ зависит только от d, К, г, п, a N — только от
d, К, в, и, т, Къ К2.

Доказательство этой теоремы совпадаег с доказательством
теоремы 5.

Аналог следствия 6 доказывается прежними рассуждениями.

9.	Следствие. Пусть и <= Wd(D), lu|^/C2, |Lu|^

К2 (1 + |ux|2) (п. в. D). Тогда существуют постоянные £ s(0, 1),
А<оо такие, что при хь х2 s D неравенство (20) справедливо
с и = 1, u1 = u. Кроме того, £ зависит только от d, К> е, a N —
только от d, К, е, Къ Кг-

§ 4. Гёльдеровость решений эллиптических
и параболических уравнений вблизи границы

При доказательстве разрешимости нелинейных уравнений мы
строим внутренние априорные оценки решения в С2+чх, строим
граничные оценки в С2+а, а затем «склеиваем» эти оценки. Для
их склейки нужны некоторые вспомогательные результаты, кото-
рые уместно доказать здесь и применить в первую очередь к оценке
постоянной Гёльдера решений линейных уравнений вблизи границы
в предположении, что граничные данные удовлетворяют условию
Гёльдера.

Возьмем некоторые постоянные R, Т, К, Къ Кг> е>0, и пусть

Ь=^-4-а'/(<. х)т^“, + &/((»	х) (1)

di	дх‘ дх>	дх‘

— параболический оператор, коэффициенты которого заданы на

Ем, измеримы по (t, х) и таковы, что

а"=о", е|Х|2<а"Л^^/С|Х|», | bl | < Ki, |с|<Я2	(2)

при всех (/, х)^Ем, k^Ed, i, j=l, d. Напомним, что

Qt,r = W. *): 0<(<Т, Ix'KR, i=l.......d},

Qt.r — Qt. r + (0> R, 0, .... 0).

Нам понадобится несколько барьерных функций. Пусть <p (t),
р (t) — неотрицательные функции, заданные на [0, оо), <р непре-
рывна на [0, оо), <р' кусочно непрерывна и неотрицательна на
(0, оо), р измерима, числа 3= 0, v>0. При 1 = 1, 2, .... d
обозначим:

(Т -t, х) = exp \q*Kt + q<J(it±x'- /?)], t Ss 0,

i]‘±)(T —/, x) = $ ф'(i/)exp	(Kj/ztx* — y)]dy, /SsO,

0

л _ (t/	—гЛах1 Tj*1 К**)*

— co	—«

Х1=ЙА Ks=7%Ki' -/e(0’ n *1>0’

 _3 _ <**>*

uv (s, x) = r__l s 7 xle ivs, s > 0,

K4nv

x(t, x) = $ <p(/+ s)t>®(s, x)ds, xx>0, i^O,
0

т(/, x) = <p(O, x‘ = 0, /5=0,
CO

<т'(х) = $ ф ((x4)* + s>) vv (s, x)ds, x‘>0,
0

o' (x) =• ф ((x*)2), x1 = 0.

В нижеследующей лемме утверждения о тех или иных свойст-
вах введенных функций без указания множества значений аргу-
ментов подразумевают выполнение этих свойств при всех возмож-
ных значениях аргументов, при которых определена та или иная
функция. Исключение составляют утверждения о производных,
которые подразумеваются внутри соответствующих областей опре-
деления. Кроме того, мы предоставим читателю проверку того,
что в условиях утверждений а) —ж) функции, о которых там идет
речь, непрерывны (всюду на множестве определения) и являются
функциями класса CL внутри своих областей определения.

1.	Лемма. Предположим, что с^0, Тогда справедливы сле-
дующие утверждения а) —ж):

а)	%±)(Т, х) = 1 при x* = ±R, L£'±)s£0.

б)	Если ф' финитна, р ограничена, то т]'Д) (Т, х)5=ф (|xf|) — ф (0)
при ±х‘5=0, Lx^±)^0.

в)	£(Т —, х)=1 при х*>0, LZ^Q, £5=0, Z(t, x)«S

г)	Если ae(0, 1), ф(/) = /а/2, Ьх^0, mo t/^0, т(0, x)^
<(V(xx)a, /®л-|-(х1)в^Л/т(t, x), где N — N(a, e), и Lx^O.

д)	Если .... d, ae(0, 1), ф(0 = /а/\ mo

N-1 (I X* 1 +1 X11)« «S o‘ (X) N (1114-1X11)“,

где N^N(a, v), кроме того, существует v = v(a, e, К, Ki)>0,
для которого Laf<0 при	хх>0.
е)	Если а>1, <р(0 — при t^T+1, <p(t) =(Т+1)06/’ при
t Т + I, Ь1 0, то при N — N (а, е) имеем

Nt (Т, х)5=х1 для х1е[0, 6], т(0, х)^.
а__________________________________1^	7

^Л/хЧТ+1р 2, т (/, х)>ф(/), Lt^O

ж)	Если 1 — 2, d, а е(1, 2), <р(/) = при tsg 10, <p(t) =
_(И)а/» При	ф* ограничена при ф'^0 и bl^Q, mo

а{ (х1, 0, ..., 0) N (v, ф) х1;

кроме того, существуют постоянные v, 6>0, зависящие только
от е, К, Къ ф, такие, что La' =СО при | х' | «СЗ, х1^6.

•Доказательство. Неравенства	£л|*+)=^0 прове-

ряются простыми вычислениями с использованием положительно-
сти р, q, ф'.-Равенство ^+) (Т, х)=1 при х* = ±₽ очевидно,
а неравенство т](+)(^, х)^ф(|х<|)—ф(0) при ±x\2s0 следует
из того, что

х) = $ Ф' ехР Р (±x*-y)dy^
о
+хг

<P'(^)^ = <P(lx'l)-4>(0)-
о

Для доказательства в) обозначим

u(t, х1) =-т== f e-(»+K.«)*/(2Od„

— 00

Хорошо известно, что и, — у и^ + при />0. Отсюда
без труда следует, что функция

w(t, xl):=u(t, xl)—u{t, —хх)ехр(—2/Gx1)

удовлетворяет тому же уравнению. Кроме того, непосредственно
из формул для wXi, w&xi видно, что оуХ1^О, tt/xixi=^0 при Х*5Э:0.
Из этих свойств производных W И СВЯЗИ Z(t, x) — w (T — t, X1)
вытекает, что L^^O.

Неравенство gSsO (при х‘^0) очевидно, равенство ЦТ—, х)= 1
при х1 > 0 следует из известных равенств: и (0Ц-, х1) = 1 при
х1>0,	и(0+, хх)=0 при хг<0. Неравенство £((, х)^

Wx1 (Ki + (Т — 0-1/8). получается из равенства £(t, х)=0 при
хг = 0 и неравенства wxi < 2	+ (2л0-1/4) ПРИ **5=0, которое

в свою очередь непосредственно следует из явного вида Wx>.
Отметим еще, что при Ki = 0 для £ можно дать другое пред-
ставление, а именно,

£(/, х) = $ y®(s, x)ds, х1>0.	(3)

T-t

Оно получается, например, из того, что & + ek«xi = 0 в (О, Т) х
х (х*> 0}, тому же уравнению удовлетворяет правая часть (3),
обе функции ограничены, и их предельные значения на параболи-
ческой границе (О, Т) х {х1 > 0} совпадают (всюду кроме «угла»).

Для доказательства г) прежде всего отметим, что условие
ае(0, 1) обеспечивает сходимость интеграла, определяющего т.
Если в этом интеграле сделать замену s = (x1)2r, то мы увидим,
что т(0, x) = ^(x1)^, а так как

а / а а\
<p(/+s)>22	(P+s2)’

то Nx(t, х)	/®Л +1 х1 |а. Далее, функция и8 при s>»0 удовлет-

воряет уравнению v* = evfitJCl. Поэтому

<хи» ((, х) = $ <р (t + s) (s, х) ds =
о

=	<p(<4-s)t^(s, x)ds = — e-1^ q>z((4-s)oe(s, x)ds —

• . •

= — 8-1T/(<, х)«с0,	(4)

причем последнее неравенство справедливо, так как <р/^0. Спра-
ведливы также следующие формулы:

t£t(s, х) = —2{^o*(s, х)]4,	(5)

х) = — 2 j <p(/ + s)(^-u®(s, x)^ds =
о

= 2	+8)^(5, x)ds^0,	(6)

«

где возможность интегрирования по частям обеспечивается усло-
вием ае(0, 1). Отсюда, вспоминая, что Ь1^0, заключаем

Lx = т/+auTxi*i + Ъ1х#+сх xt 4- ex*ixi = 0.

Теми же рассуждениями неравенство Z/reCO доказывается
и в утверждении е). Нужно только заметить, что там сходимость
интегралов и возможность интегрирования по частям гарантируется
ограниченностью <р.

Мы закончили доказательство г), закончим доказательство и е).
Неравенство т(/, x)Ss<p(0—следствие соотношений: x(t, х) = <₽(/),
хх = 0 и тГ1Э=0. Из неравенств т<^0, txixiscO вытекает, что г
возрастает по t, выпукла по х1,

(хх)-хт(Т, х)^6-хт(Т, 6, 0,	0)^6-4(0, 6, 0, .... 0) (7)

при х1 е (0, 6]. Кроме того, т как функция от параметра Т воз-
растает очевидным образом. Поэтому последнее выражение в (7)
уменьшается, если в нем заменить т на т, определяемое поТ=0.
После такой замены мы увидим, что (х1)-1 т (/, х) N-1 (а, е).

Для доказательства оставшегося неравенства в е) заметим, что

Т +1	оо

т(0, х) = j s^Wls, x)ds + (T+ l)a/s J u*(s, x)ds.
о	T+i

Здесь второй интеграл аналогичен правой части (3) и из свойств £
(при /С1 = 0) вытекает, что он не превосходит xlN (в) (Т + 1 )-1/’.
Первый интеграл оценим сверху, отбрасывая экспоненту у v8.
Тогда останется сходящийся (а> 1) интеграл, равный

— — J.

ЛГ(а)(7,+ 1)2 «х1.

Докажем утверждение д). Фиксируем некоторое 1 = 2, ..., d
и договоримся, что ниже суммирования по повторяющемуся
индексу i проводиться не будет. Аналогично (4) —(6)

=—V-1 $ Ф, ((х‘)2+s) (s. х) ds 0,	(8)

о

о^О. Из равенства в (8) и аналогично (6) также находим

o^i (х) = 2х* Ф# «х‘)2+s) °v (s> x)ds = — 2vx'<r^x, (x),

0

(X) = — 4x' f Ф* + S) (J vV (s> X>)s =
0

= 4 J j	((x1)2 4- s) svv (s, r) as,

0

a1// (x) = — 2valr,v + 4 (Xх)2 J <p„ ((Xх)2+S) ov(s, x)ds.
0

Пока явный вид <p использовался только, чтобы обеспечить
сходимость интеграла, определяющего а, и возможность интегри-
рования по частям. Теперь в интегральных выражениях, дающих
oxixi, сделаем замену переменной s = (х1)2 (4V)-1 г и s = (х*)2 г.
Тогда получим

I—а
о*,,, (х) — — 2а (4v) 4 (х1)0-2

а*/^ (х) = а (а — 2) (4v) 2 (x1)a"2(4v)2/г(х),

где
1 a	tt . »	1	, • 1

/i(x) = -^= H^ + r)2	r *e r dr, г~*-№у,

2ynv J	x1

0

/, (X) = ^£!T8 C (1 _|_r)T“9r“ V^dr.

2 у nv j
о

Из неравенств z2^z24-r^z2(l 4-r), верных при | г |	1, сле-

дует, что Л(х) имеет порядок [z^12-2 при |z|->oo (a<3). Кроме
того, очевидно, что /2(х) имеет порядок zlzj®-8. Поэтому отноше-
ние /2/Л на бесконечности ограничено, а так как оно непрерывно,
то, вообще, | /21 Nili, где Wj =	(а). Важно, что эта постоянная

Ni не зависит от v. Опуская еще заведомо отрицательное (<р*^0,
а<2) слагаемое в выражении для а^, суммируем результаты
проведенных вычислений:

<i>0, a‘? = -2vx'arM,

?? - 2wXb | I ~ vl,’^2 («) CTkl‘

О)

Отсюда заключаем

La* (e - 2Kv -	- 2Ktv | x* |) a‘,„.

Последнее меньше нуля при |х*|^2, если v = v(a, 8, К, Ki)
достаточно мало. Наконец, первое утверждение в д) —простое
следствие формулы

аг(х)

~	_£_____L

1 Ф ((х*)2 + (х1)2 s) s 2 е *vs ds
о

и неравенств a-f-6s =с(а4-6)(1 4-s) при всех s, a, 6 5=0; a + bs^
^a-\-b при s^l, a, b^O.

Перейдем к последнему утверждению ж). Как и выье, для а‘
(в условиях ж)) без труда получаются все соотношения в (9),
кроме последнего. Используя проведенные выше вычисления при
| х* I 3, 0 < х1	2 / v имеем

00 » 1

—2 И (х) = J <pt((x/? +	г) Г ^е~ ~ dr Ss

п

о

1 “а	1	<Х	8	1

= (4v) * . 2а (хТ-2 $(z*+r)2 г *е~ ' dr,

О

2 Prnv|<y^,i(x)| =

- 41 xf |a f | <p„ ((a/)8 + (x<)2 r)! r~ V dr

О

< N (<p) а (2 - а) 41 x* |2f ((x1)2 + (x4)2 г)*~*г~Ч~ *' dr =,
0

= N (q>) а (2 - a) (4v)~ (x1)®-2 (4v) • z |“-2 J (1 +	«<?" *' dr.

о

Отсюда, как и выше, при сравнении /2 с /t заключаем, что
последнее соотношение в (9) также верно (с заменой Nt(a) на
АЦ<р)), но уже при Ix'l’CS, 0<x1=c2}/rv. Утверждение в ж)
относительно Lo‘ этим, очевидно, доказано.

Наконец,

оЦх1, 0, ..., 0) =

— ^<f(s)v‘v(s,x)ds^:Nx1Us 2 ds+ J s~ 2 ds\ = Nx1
n	\o	to '

Лемма доказана.

С помощью построенных вспомогательных функций проведем
теперь оценки отличия решения уравнения от граничного данного.
Эти оценки мы рассматриваем отдельно в трех разных случаях:
вблизи д&Т'Х, но вдали от д^т.р, вблизи	но вдали

от dtQr.R, и вблизи dtxQT>R.

2.	Лемма. Пусть с=б, а>0, u^Wd + i. ioc(Qr./?)nC(Qr,j?).Af,
Л4а, Мъ—некоторые неотрицательные постоянные, и^М + и(Т,0)
«о	и(Т, х) — и(Т, 0)=СЛ1в|х|“ на dtQr,R, Lu^s — Mt

в Qt.r (п. в.). Тогда при

Г/ -	\

и (T-t, 0) — u(T,	+(K1t)a) Ма + MJ+Me 'J,

efle ? = ?(/<, Kt, a, d)>0.
Доказательство. Пусть cp(t) = ta при /е[0, /?], а при
t> R определим <р так, чтобы она осталась неубывающей непре-
рывно дифференцируемой и <p' (t) обращалась бы в нуль при боль-
ших t. По неотрицательной измеримой ограниченной функции р(у)
и числу q^O определим, далее, функции |‘±), т|[ и положим

w(t, x) = M2(T — i) +

d	а

+	(&.+6М(*, +	2 (C. + nLHt X).

1 = 1	1=1

Кроме того, не ограничивая общности, будем считать, что
и(Т, 0) = 0. Из леммы 1 а), б) и принципа максимума следует,
что u^Nw в Qt.r, где N = N(a, d). В частности, при/е [0,73
имеем и (Т — t, 0) Nw (Т — t, 0) при любом выборе р, q и про-
должения <р. Фиксируем t так, чтобы Kit^R, и положим q —
= (ZKt^tR-Kit), р(у) = 0 при у^Ш, р(у) = (21«)-'(у-К&
при y^Kit- Тогда

N-HUT-t, 0)^w(T-t, 0) =

_ (R-K,/)«	/	оо	_ (У — К,о« \

= M2t + 2dMe 4-2<Ша ф(К10+ $ ф'(£)<? dy).

'	Ke	'

Неравенство между крайними членами сохраняется для любого
из описанных выше продолжений Р при t>R. Прибегая к пре-
дельному переходу, в правой части этого неравенства верхний
предел интегрирования оо заменим на /?. После этого нам оста-
нется только заметить, чю <p(KiO = (KiOa>

н (у - К1/)г

(КЛ)*+а $ tf^e' w dy^(Kit^ +
K,t

4-а

dy ~ 2Kt

У(У + ^)ае «‘dy,

г после замены y — zVt видно, что

У*

4 (	+ <К1Па У >е~	dy =	+ Nt (Kity.

Лемма доказана. •

3.	Лемма. Пусть и е W'i’+i, ioc(Qi-. r) П C(Qt. r), R^l,
z = 0, ae(0, I;, At, M-t, М2 — неотрицательные постоянные,
e[0, T), u^M-{-u(t0, 0) в Qj. k, Lu^ — Mi в Qr. R (n. в.),
u(t, x) u (t0, 0) 4- Al, (| x !a -f-11 — to |“/a) при (t, x) s d'Qr. r, x1 = 0,
Т]. Тогда при 0^x1^2R, х = (х1, 0,	0) имеем

у (и (t9, x) — u(t0, 0))^

(Ма + MR-0) (№)“+[Af (R~l + Ki + (T- /о)"172) + /?А1а] х\ (10)

где у = у(а, е, К, Къ d)>0.

Доказательство. Преобразование подобия вида (t, х)->
-*-(R-2t, R-'x) сводит случай R^l к случаю /? = 1. Делая при
необходимости сдвиг по оси t, можно считать, что /о = 0. Нако-
нец, предположение с = 0 позволяет считать, что u(t0, 0)=>0.
Итак, пусть ₽ = 1, /о = О, и(0, 0) = 0.

Выберем 6 = 6(8, К,	Х = 1(8, К, Ki)>0 гак, чтобы

при 0<х1<6 выполнялись неравенства

Lv^O, b1v + 2allvx^0, 1»Э=1,

где и(х) = 3 —еКх". Возможность подходящего выбора читатель без
труда проверит самостоятельно. При х’^6 в качестве у в (10)
очевидным образом можно взять 6. Поэтому нужно рассмотреть
только случай, когда х1 =С 6.

Для любой гладкой функции ф положим

£ф := L (оф) =: ф/ + а'А|\1х/ Ч-^Фх» +сф» 0 < х1 «еб.

Ясно, что c = tr1Lo^0, bl = v-1(b1v+2allvxi)^Q, b‘=b' при
t^2. Кроме того, для й.'.= и~1и имеем Хй = ц-1£и^ — Мг
в Q}. л П {а:1 <6} и в этой области й удовлетворяет также другим
условиям леммы с теми же постоянными. Заметим еще, что если
неравенство (10) при х1 ^6 доказать для й с некоторым у, то
оно, очевидно, будет верно и для и с $ у вместо у.

Таким образом, рассматривая х1=с6, нам нужно лемму дока-
зать в ситуации, когда с^0 (а не =0), 61^0. Заметим тецерь,
что Lx1 (26 — х1)	— 8 при хх^6, и при «>0 положим

w(t, x) = M^(t, х’ + и, 0, ..., O)-f-Af6-*x‘(26 — х’) +
d

+ (М + Ма) 2 а‘ (х) + Л1ат ((, x)4-M28-1x1 (26 — х1),	(11)

1=2

где o', т строятся по <f = №2 (и при d=l полагается —

Из изученных свойств функций о*, т, £ вытекает, что на пара-
болической границе области Qt. я П {х1 < 6} с некоторой постоян-
ной N (а, 8, /(, Ki, d) выполнено неравенство u^Nw. По прин-
ципу максимума в силу леммы 1 в)—д) заключаем, что u^Nw
в замыкании этой области. В частности, u(0, x)sg/Vsy(0, х) при
х = (х1, 0, ..., 0), 0<х1^6. Остается положить соф0 и восполь-
зоваться оценками из леммы 1 в) —д). Лемма доказана.
Пусть с = 0, ue(Fi’’+i, ioc (Qt. r) П C(Qt. r), M,
Ma,"'M2 —^Отрицательные постоянные, |ы|^М в Qt. r, Lu^
« (n. в.).

a>0, 0<xiA', Xo = W. 0, ..., 0) и u(t, x) —
— u	О — Хо Г+(^ — oa/2) над'Ог. л П (К = 74 U {x1 = 0}).

mo c	^1» <z> Ф>0 при Kit^-^R имеем

ff- \	-v^l

u(T — t,x0) — u(T, *o) =sST_I Lv + (Kit)a) Ma, +M2t + Me	'J.

б) Если /о^[0, T), a e(0, 1) и u(t, x) — u(t0, 0)^
^ЛЦ|/-/о|а/2 + Иа) на d'Q^, Rn(V = nU^x = 0}). mo cy =
= y(e, K, Ki, a» d)>0 и при x = (x1, 0, .... 0) имеем

и (to, x) — и (to, Q)^y1[(Ma + MR-a)(x1)a + (MR-i + MiR)x1].

Доказательство этой леммы проводится почти дословным повто-
рением доказательств лемм 2, 3, нужно только .<ри доказательстве
утверждения а) иметь в виду доказательство леммы 2 и взять -
в нем вместо w функцию

Мг(Т-Г) + М

а	1

£’+ (t, х-х0) + 2 (Б!+ a, X)+BLG. X)) +

(=2	I

(d

(7’-0a/2+S (С (t> x-Xo) + ^_, (Л X —x0)) ,

i = I

а при доказательстве утверждения б) нужно в доказательстве
леммы 3 вместо w взять функцию

d

Мат + (Ma + М) 2 о‘ + (Л4б-2 + М2е-1)х1(26-х1).

i = 2

Докажем теперь основной результат этого параграфа.

5. Теорема. Пусть и е lt ioc (Qt, з) Г|С(<?т. з), Л4, М2 —
неотрицательные постоянные, | и | в Qt, 3, I Lu | ^М2 в Qt, 3
(и. в.), постоянная х е (0, 1]. Тогда существует постоянная
Оо е (0, 1), зависящая только от d, К, в, такая, что при любом
ae(0, а0] и N = N(a, е, d, К, ^l, ^2)-

а)	если Zi, z2^Qt, 1 П {х*> х}, то

\u(zi) — u(z2)\^pa(z1, г2) (Л^a + /VI2 + Л4x-a)^,	(12)

где Ма — постоянная Гёльдера порядка а функции и награни t — T
параллелепипеда Qt. 3;

б)	если Мп — постоянная Гёльдера порядка а функции и на
грани хх==0 параллелепипеда Qt,s, то неравенство (12) имеет
место при любых гг, z2 е Qt, i П К < Т’ — х2};
143

в)	если Ма — постоянная Гёльдера порядка
объединении граней t — T, хх = 0 параллелепипеда^

на

, з, то тнера-

венство (12) имеет место при любых zb z2^Qt, i с

Доказательство. Поскольку | Lu — си |	и

Л2М 4-А4х а (/<2+1) х-а, то без ограничения	мы

можем и будем считать, что с = 0 Далее, пусть р ^ЙМм^Уябпли-
иеское расстояние г = (/, х) до параболической грЖИцы Qr, з-

Ясно, что р (?) = (7 —/)1/2 Д х1 при zeQr.i. Договоримся еще
символами N обозначать различные постоянные, зависящие только
от d, в, а, К, Ki. и докажем сначала утверждение а). Понятно,
что его достаточно доказать только при 2/<iX^ 1, о(?ь z2)^4- х.
□

Пусть Zt = (/b Х1), ?2 = (/2, Хъ)-

Для определенности будем считать, что p(?i)^p(z2), обозна-
чим p = p(zi), p = p(z2), p = p(zb ?2) и рассмотрим сначала случай

р у х, р 4р

(13)

Пользуясь тем, что параболическое расстояние удовлетворяем
неравенству треугольника, находим р —р^р. Поэгому из (13)
следует, что р^с5р=Сх, р2(?,) = 7 —при i = l, 2 Кроме того,
(О, Xi) + Qr,n cz Qt, з- Возьмем теперь в качестве а0 постоянную р
из § 2 и при ае(0, а0] в параллелепипеде (0, xj + Qr.x применим
к функции лемму 2. Учтем при этом, что

ехр(— у

W (х-« (Т - /;))а/2 «£ А/х~ара,



Воспользуемся также тем, что лемму 2 можно применить не
только к функции и, но и к (—и) Тогда получим

| и (zt) — и(Т, Xi)\^Npa (Ма + М2 4- Л4х-“)

/Vpa (2Иа 4-+ Мх-а). (14)

Суммируя это с данным нам неравенством \и(Т, хг) — и(Т, х2)|=^
A4a | *1 — Хг 1“ “С Мара, приходим к (12).

Разобрав случай (13), перейдем к случаю, когда

Р < £ X, о S& 4р.

(15;

Используем следующие рассуждения, которые сообщил автору

М. В. Сафонов. Так как p«Sp4-p, то из (15) следует, что p«i
5	1

^уР, 2ргС~2 х. Поэтому область Q := zt 4-<?р>> 2р, примыкающая
к правому по оси t основанию Qt. 3, лежит в Qt, з и для любой
точки (/, x)sQ имеем х1>-$и. Кроме того, Ц^-jp^yP и
: параболические расстояния точек Zi, z4 до параболической гра-
ницы Q остались равными р, р.

Пусть, далее, в точках Zi, z2 Q функция и принимает свое
максимальное и соответственно минимальное значение на При-
меним к u(z)—w(z2) в области Q теорему 2.6, вспоминая, что
с==0. Тогда получим

и (21) — и (г2) I sS (V (I и (21) — и (г2) | + Р2М2)

^(V^)a(|U(2i) — U(Z2)|+p2M2).	(16)

Для оценки разности | и (Zi) — и (г2) | применим те же сообра-
жения, которые использовались в случае (13). Именно, в парал-
лелепипеде (4, %) + Q 1 (лежащем в Qr, з, =	$)), как и

о*. ~2 *

выше, к функции и применим лемму 2, замечая, что /СхР2
j^x2=^-^-x. Аналогично (14) заключаем

\u(zt)-u(T, jfi)I^A(p“(Ma + M2 + Alx-").

Последнее неравенство вместе с неравенством (16) и неравенствами
lu(T, Xi) — и (Т, х2) |^Afap“4a, psg $ р снова дает (12).

Для окончания доказательства утверждения а) остается заме-
тить, что при р^^х неравенство (12) сразу вытекает из тео-
ремы 2.6, применяемой к функции и в области QT. зП Ui + Qi.a),
и того, что р^~к, а0 sg d (d -f-1 )-1

При доказательстве утверждения б) будем придерживаться
введенных выше обозначений и считать, что р (21) р (г2), р sg -g- х.
Рассмотрим сначала случай (13). Поскольку в нем р<х, то
р (г/) = х‘ < х. По лемме 3, применяемой в (0, 0, х*,..., x1)+Qt. i,
имеем

—	0, х2, ..., xf)| ^У(х})“(Л1а + Л14-Л42)4-Л(Л4х-1х}^

^(х^Я + МЛМ- (17)
Здесь x}sg5p и |a(fi, 0, х2,..., xf) — и (tt, 0, х2,..., х2) | Маоа,
что, очевидно, и приводит к (12).

5	1

Рассмотрим, далее, случай (15). В нем psg-^-p, 2p«g-gX,
psS^-p. Обозначим Qi = [((/i, Xi) + Qp,. 25)U((*2. *i) + Qo,, 2p)l П
f|Qr. 3. Так как | ii — (21 ^p2 <p2 < j^x2, то параболические рас-
стояния точек 2i, г2 до параболической границы Qi остались рав-
ными р, р. Пусть в точках гг, z2 е Qi функция и принимает свое
максимальное и соответственно минимальное значение на Ана-
логично (16) по теореме 2.6, применяемой в Qi,

I и (zx) — и (г2) | «S N (| и (zi) — и (z2) | + ргМ2).

Если = то Т'— 5s х2 — р2 х2, 2;«С4р. Поэтому
аналогично (17)

'u(Zi>-u(lh О,	^\^Npa(Mni + M2 + MK-a)

и, далее, (12) выводится уже стандартным образом с учетом не-
5
равенства р < р.

Наконец, при p^s-|-x для доказательства утверждения б) до-
статочно применить теорему 2.6 в области

От, з Л [(Zi + Qi,s) U (za+Qi.s)].

Докажем последнее утверждение в). Положим х = (2К1)-1 Д 1.
Очевидно, достаточно доказать неравенство (12) с этим х. Пусть
сначала выполнены неравенства (13) и р^-|х. Рассуждая, как
выше, в силу леммы 4 аналогично (14), (17) находим

u(Zi) — u(T, xt)\^N(T — (/Иа + Мг + М) при р2 (z.) = 7’—

|и (Zi) — и (tit 0, х?, ...,	(xO’fMx-f-Afj + Al).

Так как р (Z/) = х\ Д (Т — /о1/2, то мы получили, что по абсо-
лютной величине и (г,) отличается от значения и в одной из точек,
получающихся проектированием г( на плоскость t — T или на
плоскость хг = 0, не более чем на 7Ур“(г,-)(Л4а-|-Л12-|-Л4) Кроме
того, напомним, что p(zf)s$5p в силу (13). Абсолютная величина
разности значений и в проекциях точек г< на t — T или в проек-
циях zi на хг = 0 не превосходит Л4ар“ по условию.

Кроме того, если, например, p2(zi) = T — tlt p(z2) = x2, то по
неравенству треугольника для параболического расстояния пара-
болическое расстояние между проекциями Zi на t = T и z2 на
х1 = О не превосходит р (Zi) -j- р (z2) + р =sS 1 Ор. Абсолютная величина
разности и в этих проекциях тогда не превосходит Ма10“ра по
условию. Отсюда (12) легко следует с помощью представления
«(Zi) —u(z2) в виде суммы разностей значений и в точках Zt и
в их подходящих проекциях на плоскости t — Т или х1 = 0.

При рассмотрении случая (15) положим

<?2 = {(Л х):	— /1|<р2, ;х*—х||<р, i = l, .... dJflQr.s.

По теореме 2.6, применяемой в области Q2,

| и (Zi) — и (z2) | N (р/р)“ (| и (zi) — и (z2) 1+ р2Л42),	(18)
где Zi, z2 е &. Далее, очевидно, что область Q2 примыкает или
к грани х* = 0 или к грани t = T параллелепипеда Q}, з- В пер-
вом случае для оценки |u(?i) — u(z2)| применим при /? = 1 лемму 4 б),
во втором —лемму 4 а) и заметим, что параболические расстояния
между любыми двумя точками из Q2 не превосходят Np, а кроме
_	5	_	1	1

того, ps^-jp, 2/С!рг^-дТогда в обоих случаях без
труда получим, что |u(zt) — и(г2)|«СМр“(Л1а4-Л124-Л4). Это
вместе с (18) приводит к (12).

Наконец, если р^^х, то неравенство (12) очевидно с N =
= 2 • 5а, а если р > х, то оно следует из утверждений а), б).
Теорема доказана.

Перенесем утверждение доказанной теоремы на случай эллип-
шческих операторов.

6.	Теорема. Пусть коэффициенты L не зависят от i,
L=*L — Qt, и 10с (О2) f| С (DJ), М, Ма, А42 — неотрицатель-
ные постоянные, | и | «С М в О2, | Lu | «С М2 (п. в.), а е (0, oto], где
осо — постоянная из теоремы 5, | и (хг) — и (х2) | ag Ма | *i — Хг |“ при
хг, x2eD2, х'|=х| = 0. Тогда

| и (Xi) — и (х2) |	N | Xi — х21“ (Л4а4-Л42 4-Л1)

при хь х2еОГ, где N — N(a, в, d, К, Ki, К2).

Если и е |ос(С>з), то утверждение этой теоремы следует
очевидным образом из утверждения б) теоремы 5 при 7 = 2, х = 1,
u(t, х) = и(х), Zi = (0, Xi), г2 = (0, х2). В общем случае читатель
его легко выведет из этого частного случая, рассматривая подхо-
дящие решения уравнений Lnun — Lu, для которых Ln(un — и) =
= (L — Ln)u, и применяя оценки из § III.3, гарантирующие схо-
димость ип к и.

Доказательство теоремы 6 можно получить и другим способом,
если с незначительными изменениями повторить доказательство
утверждения б) в теореме 5, используя вместо теоремы 2.6 тео-
рему 2.12 и вместо леммы 3 следующую лемму. __________

7.	Лемма. Пусть R<^. 1, с = 0, и <= W}, ioc(^я)ПСае
е (0, 1), М, Ма, Л42 — неотрицательные постоянные, и^М4-и(0)
о D%, Lu^ — Mi в Dr (п. в.), и (х) и (0) + Л1а | х |“ при х1 = 0,
хеОД. Тогда при	х = (хх, 0, ..., 0) имеем

у (и (х) — и (0)) sS (М г + М/?-“) (х*)“ 4- (MR-14- M2R) х1,

где Y = V(a, в, К, Ki, d)>0.

В свою очередь доказательство этой леммы легко получить из
доказательства леммы 3 с помощью рассмотрения вспомогательной
функции ^>(x) = ai(0, х), где w(t, х) определяется формулой (И),
в которой опущен член, содержащий £.
§ 5. Гёльдеровость решений систем линейных неравенств
вблизи границы и оценки их нормальных производных

Цель этого параграфа та же, что и третьего параграфа, только
оценки § 3 будут применяться для оценок гёльдеровской постоян-
ной производных внутри области, а оценки настоящего пара-
графа—для оценок ее в замыкании области. Кроме того, здесь
развиваются методы оценок производных по абсолютному значе-
нию только на границе.

Возьмем некоторые постоянные К^е>0, Т, К2^0, и
пусть Lb Ln, L — дифференциальные операторы вида (2.1),
коэффициенты которых удовлетворяют условиям (2.2). Восполь-
зуемся обозначениями Qt,/?, Qt, r из начала предыдущего пара
графа. Замечание 3.4 показывает, что следующая теорема, по сути
дела, содержит теорему 4.5 (хотя ее доказательство, как мы уви-
дим, в свою очередь содержится в доказательстве георемы 4.5).

1.	Теорема. Пусть и1,...,	l0c (Qr. з) AC(Q|. 3),

/1, ...» fn е Cfoc (£i), fi > 0, fi О на Еъ М, неотрицатель-
ные постоянные, \и* в Qt, з, —Л42 *) в Qt, 3 (п. в.)
при i = l, п. Предположим, что постоянные 6>0, а, хе
е (0, 1 ] и при любых zb z2 е Qi г имеем

M2pa(zlf г2)^

в S [/< w - fi - S U‘ (u‘ (zi)> - (ui (*))]- co
i = 1	'' = 1

Тогда существует постоянная poe(0, 1), зависящая только от
п, d, К., б, такая, что при любом р е (0, р0 Д а]:

а)	если ги г2 <= Qt. i П {х1 > х}, то

У, | «' (21) — и1 (2g) ' «£ (21, 2g) N (Мр + Afg 4- 7Их-Р),	(2) •

где М$ —наибольшая из постоянных Гёльдера порядка Р функ-
ций и* на грани t = T параллелепипеда Qt.s',

б)	если — наибольшая из постоянных Гёльдера порядка Р
функций и* на грани хх = 0 параллелепипеда Q4, з. то неравен-
ство (2) имеет место при любых Zi, z2&Qt, t П {(<7 — хг};

в)	если М$ — наибольшая из постоянных Гёльдера порядка р
функций и1 на объединении граней t = T, хг = 0 параллелепи-
педа Qt, з, то неравенство (2) имеет место при любых г,, z2 е Qt, i
с х = 1. При этом, если ft(r)=r при всех I, г, то N зависит
только от п, d, К, ь, а, б, р, а в общем случае — только от
перечисленных величин, от М2, М и от максимальных значений
fi, (Гд-\ IА I на [-М, М].

1) Суммирование no t не предполагается.
Доказательство. Возьмем в качестве 0О постоянную ₽о
из теоремы 3.1 и будем следовать схеме доказательства теоремы 4.5.
Как и там, сначала все сводим к случаю, когда =0 при
i = l, ...» п. Затем приступим к доказательству а), считая, чго
2/Gx<l, p(zi, z2)=C-^x, где Zi = (^, xi), z2 = (/2, x2)<=Qt,i(1
ГЦх^х}.

Предположим, что p(Zi)^?p(z2), обозначим р = р (zi), р = р (г2),
p = p(zi, г2) и рассмотрим случай (4.13). В нем по лемме 4.2 при
Р е (0, Ро Д а]

и1 (zj) — и1 (Т, Xj) Хрр (Л4р+Л12 + Л1х-Р)

для всех i=l, ...» п, j — i, 2. Выведем отсюда очевидное нера-
венство для положительной части и'(гу) — и'(7\ Ху), а неравенство
для отрицательной части выведем из оценки положительной части
и неравенства (1), в котором в качестве zlt г2 возьмем (Т, xj), Zj.
После этого вспомним, что р «С а, и воспользуемся тем, что
^N. Тогда получим

| и1 (г,) - и1 (Т, Xf) | < (Мр + М2 + Л4х-₽).

Это неравенство аналогично (4.14), и оно, как в § 4, дает (2).

Перейдем к случаю (4.15). Пусть в точках Zu, Zn<=Q
(Q:=Zi+Qp, 2р) функция и1 принимает свое максимальное и соот-
ветственно минимальное значение на Q. Применим к функциям
и* — u‘(Zzi) теорему 3.1 при v = a Из нее

п	Гн-

У I Ul (zj - и* (z2) I N	М2pa + 2 I и‘ (Zii) - (z2i) I .

i»J	i = l

Оценка последней суммы проводится с помощью соображений,
использованных в случае (4.13) (см. доказательство теоремы 4.5).
Наконец, в последнем случае: р ~ х, неравенство (2) сразу сле-
дует из еоремы 3.1 при v = a.

Совершенно аналогично доказательству теоремы 4.5 доказы-
ваются и утверждения б), в). По сравнению с доказательством
теоремы 4.5, как и выше, имеется только два отличия: леммы
4.2—?4.4 мы не можем применять к (—и1*) и поэтому дополни-
тельно пользуемся неравенством (1), вместо теоремы 2.6 поль-
зуемся теоремой 3.1 при v = a. Теорема доказана.

Буквальное повторение доказательства теоремы 3.5 выводит из
теоремы 1 следующий результат.-

2.	Теорема. Пусть т s (0, 1), и1,..., ип е ioc (Qt, з) П
f]C(Qr, з), Л4р — неотрицательная постоянная, х е (0, 1],
g1, ..., ^ — некоторые функции на Qt, з- Предположим, что
I Lui - и'^ | < /С,(1 + («‘, «'))’, g*g* < Я» (1 + («<» «<))

на Qt.3 (п. в.). Тогда существует постоянная 0ое(О, 1), зави-
сящая только от d, К, «, п, такая, что при любом 0 е (О, 0О]
с N = N(d, К, Ki, Kt, в, т, п, 0, Alp, х):

а)	если постоянные Гёльдера порядка 0 функций и1 на грани
t — T параллелепипеда Q4, з не превосходят Мр, то при гх, z2 е
<=Qr. 1(]{л1>х}

У, I«' (zi) — и1 (z2) | «С А/рР (гх, г-д;	(3)

/-1

б)	если постоянные Гёльдера порядка 0 функций и1 на грани
х1 = О параллелепипеда Qt, з не превосходят Л4р, то неравенство (3)
имеет место при любых zx, z2eQr, if) {/< Т — х2};

в)	если постоянные Гёльдера порядка $ функций и* на объеди-
нении граней t — T, х1 = О параллелепипеда Qt, з не превосходят Л4р,
то неравенство (3) имеет место при всех zx, z2eQr. i (и х=1
в выражении для N).

В точности так же, как следствие 3.6 вытекает из теоремы 3.5,
из теоремы 2 вытекает

3.	Следствие. Пусть u<=WlJ+i, ioc(Q4. з)ПС(0т. з)» I и |^К2,
| Lu |	4-| ux|2) (п. в.), Afp — неотрицательная постоянная,

хе|0, 1]. Положим п=1, -х= 1/2, и1 —и (Li = L). Тогда спра-
ведливы все утверждения теоремы 2.

Нам удобно непосредственно после теоремы 2 доказать еще
оценку нормальной производной ui.

4.	Теорема. Пусть а, 0е(0, 1), хе(0, 1], и1, ..., и’е
g= Wd +1, ioc (От. з) Л С (Q4. з), g1, ...» ga - некоторые функции
на Qt, з. Предположим, что

\Lui-ulxltgk\^Ki^+(u‘, а‘))в, gbg^Kitlx^ + M, а')),

|ui|Ki на Qt.3 (п. в.). Пусть также при / = 1, ..., п, 1 =
= 2, ..., d, (/i, Xi), (h, x2)eSr,8 имеюп место неравенства

I ui (4, хх) - ui (h, хх) < Ki | - h |^₽>/2,
|u'i(/i, Xi) —u'i(/i, Хг) =сЛ2|х,-x2|P	' '

(причем uxt существуют на 2т.з) « и1*, существует на Тогда:
a) |u(t|^x-W на 2Г_Х«. । при / = 1, .... п; б) если еще

\иЦТ, х) — иЦТ, 0, х2, .... x'Ofsg./Gx1

при (Т, x)^dtQr.3, mo |а(,|П на Sr.j при / = 1, .... п.

В обоих случаях N = N(e, d, К, Къ Ki, 0, а, п).
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 3.5,
можно считать, что коэффициенты Ы, с оператора L равны нулю.
Далее, из неравенства | | К2 следует, что | Д2 для вся-
ких /=1, ..., п, 1 = 2, ..., d, /е[0, Т) хотя бы в одной течке
х е 23. Из второго условия в (4) тогда получаем, что | и'х, |
/<а) на Sr,8. В дальнейшем зависимость постоянных от
п, 8, d, К, Ki, Kt, Р, а отмечаться не будет. Фиксируем некото-
рую точку (t0, x0)eSr.i и положим

UJ(t, X} = uHt, Х) — иШо, Хо)— У, ХоНх4 — х‘).
»=‘2

Ясно, что Ш удовлетворяют условиям георемы с теми же функ-
циями gk, если Ki заменить на некоторую постоянную и а за-
менить на а\/ -§-• Поэтому, как в доказательстве теоремы 3.5,
можно подобрать у>0 так, чтобы при всех р = (р\ ..., рп)^Еп
таких, что \pt\^Ni, для функции

v(p, t, х):=ехр|у2 (&J<t, х) — р/)4 — ехр у | р |2

в Qr, з выполнялось неравенство Lo~^s — Ni(x1)-a. Заметим еще,
что в силу (4) при (/, x)eSr,8

| й> (t, х) | | (t, x)—uHto, х)|4-

+ \и]во, х)—иЩо, Хо)— У u’xi (to, X6)(x* —x£)|s£

< N (| t - to |(1+fJ)/? + 2 | x4 - x4 1+M.
'	i — 2	/

Отсюда следует, что при рассматриваемых р и тех же (t, х)
; а	\

|п(р, t, x)|^AMn-M1+|J’/2 + S [х4 —х‘1+р .	(5)

' <=?	'

С помощью	установленных	свойств	v и принципа	максимума

оценим далее (х1)ли(1о, х) при х2 = х2, ..., х“ = х$. При этом
будем считать, что Т — В противном случае Qt. всегда
можно обрезать по оси t до нужных размеров. Очевидно, можно
также считать, что <о = О.

Подберем теперь достаточно большое m и достаточно малое
6 G (0, 1) так, чтобы для функции w (х) = 1 — | х — х0 |~т — (х1)2-®,
где Яо = (—1, х2, ..., х£), в области G:= Qt. зП{|х —£0| < 1 4-S}
выполнялось неравенство Lw — б (х1)-*. Возможность выбора
таких т, 6 видна из формулы

Lw = т | X |-^-2 (&&' - (т + 2) | X |-2 of/XlXi) - (2 - а) (1 - а) а11 (х1)^,
где Х = х — Хо. Уменьшая при необходимости 6, можно считать,
что на G и а>(х)^б2 при |j?| = l-|-6.

Функция w будет играть роль мажоранты v на той части d'G,
которая лежит на {(/, х): | X | = 1 -4-6}. Уменьшим еще, если нужно,
6 так, чтобы оно годилось для леммы 4.1 ж), где вместо а бе-
рется 1 +Р, и в соответствии с суммой в (5) построим барьеры,
мажорирующие v на остальных частях d'G. Для dtG мы возьмем £
из начала § 4 (в ее определении полагаем Ki = 0). Для 11 р+РУ*
привлечем функцию т из леммы 4.1 е), беря там 1 4-₽ в качестве а,
для остальных слагаемых в (5) определим о1 из леммы 4. Г ж).
Наконец, фиксируем и>0 и обозначим М = 6~2exp (y4nN*)t

hit, x) = (/V2-|- \)	x1-}-®, 0, ..., 0)4-

d

4-JV»t(), x)4-A/3£ a'(/, x1, x2-x2, ...» x*-x£).	(6)

i	—2

В силу леммы 4.1 имеем —в G. Кроме
того, v^h на d’G. По принципу максимума v^h в G. В част-
ности, при х = (х‘, х2, ..., х£), х*(=(0, S) (см. лемму 4.1)

v(p, t0, xXlim/i(/, х)^Л/х1Г^(1-|1+х1|-'»)4-(7’-/о)-1/г1. (7)
о 10	L*	J

Отсюда, разумеется, следует оценка производной щ«(р, t0, Хо),
а через нее и оценка

- S рЩ (*о, хо) < N (1 4- (Г - /0)-1/а).
. = I

Для доказательства утверждения а) остается воспользоваться
произволом в выборе р. Для доказательства б) достаточно в (6)
опустить слагаемое Л4£, заметить, что при (Г, x)^dtQr,3

\й)(Т, х)|^|ы>(Т, 0, х1.х^Ц-КаХ1^

Id

(Т-4)<1+ру24-х14-2 Ijc< — xo|1+₽

1=2

и в (6) вместо множителя N9 при т взять больший в соответствии
с тем, что по лемме 4.1 е) имеем NxiT, х) Та+&}/2 + х1 при
х1гСб. Теорема доказана.

5.	Замечание. Из наших рассуждений, на самом деле, сле-
дует несколько большее, а именно,	х) — uJ(t, 0, х2,..., х4)!
не превосходит Ах*1*1 при (t, x)eQr—х«. 1, а если выполнено
предположение в б), то эта сумма не превосходит Nx1 в Qr, । *).

Для доказательства этого воспользуемся таким следствием (7):

£ («/ (/о, х) - р/)2 — | р |2 Ух1 (1 + (Т — М-1/2).
/=1

Без ограничения общности, считая, что	раскроем здесь

скобки и подставим pi —— sgnfi/(/0, х). Тогда получим

2 |й/(4, xjKAfx^l+fT-lto)-1/2)
z=i

и, стало быть, наше замечание об утверждении а) справедливо.
Аналогично обстоит дело с утверждением б).

6.	Следствие (ср. следствие 3.6). Если | и | =^/С2» [Lu[*^
^/GU + lUxI2) (п. в. QI.3),	юс(Q?,3)ПС(Q^.3),uxсу-

ществует на 2г,з и неравенства (4) справедливы при п= 1, и1 = и,
го и утверждения теоремы 4 справедливы при га = 1, и1 = и.

7.	Замечание. Утверждения 1—6 останутся верными, если
в них Q}. з» 1. Sr,9, Sr.i> Sr-х». 1 заменить на (0, T)xD^,
(О, T)xD^, [0, T)xS5i, [0, T)xS^, [0, Т-х«)Хй1, где при
R = (R1,...‘, Rd) = (хе Ed: 0<xl<z2R\ |X11<Rl, t=2,..., d},
S^ = {x1=0}f)5D^, R{ > Rt > 0. При этом нужно постоянным М
разрешить зависеть от R{— Ri, а Ро взять прежним.

Если 33=R{ = ... = Ri 3Rj, ..., 3Rf, то справедливость
замечания устанавливается с помощью автомодельного преобразо-
вания координат (t, х) -► (9 (RJ)-21, 3 (/?})-* х), которое сохраняет
постоянные е, К в условии (2.2) и переводит D- в D%.

В случае, когда R{ являются различными, линейное преобра-
зование в D, будет по-разному действовать на разные коор-
динаты, изменит постоянные е, К в (2.2) и изменит р0. В этом
случае следует покрыть кубами вида x-f-D^ (все равно в ка-
ком количестве) такими, что x-J-DIr cz . Подходящее R можно
взять зависящим только от R} — Rj и меньшим единицы. Затем
множества (0, Т)х(х-)-Щ) останется перевести с помощью авто-
модельного преобразования координат (/, х) в (0, T)x(y+Di) и
заметить, что при оценке показателя Гёльдера или производной
по нормали достаточно рассматривать только точки из (0, Т)х
x(x+DJ).

*) Существования и{, на Sr t при этом не нужно.
Сформулируем результаты, аналогичные предыдущим, для
эллиптических уравнений. По-видимому, нет никакой нужды
объяснять, как их доказательства получаются из приведенных
выше. Как обычно, мы считаем, что коэффициенты Lt не зависят
от t и полагаем Ц =	L — L—-^-.

8.	Теорема. Пусть и1, ..., и" е IFJ, iocW) П C(Dg),
fi, ..../яеС?ос(£1). f/>0, fi на Elt M, Mt—неотрица-
тельные постоянные,	в D£ Ь,и1^ — Мг в £>g (га. в.) при

i = l, ..., га. Предположим, что постоянные 6>0, ае(0, 1)
и при любых хь XjsD, имеем

Af а I *1 - Хг 1“ S== 6 у, [/, («' (Xi)) - fi (и‘ (Ха))]+ —
i = 1

- У, [fi («' (Xi)) - fi («' (Хг))]-.

i = 1

Тогда при любых х1, хг

У |u' (Xi) — (*г) I I*1 — Х2|Р# (М₽-|-Л1а4-Л1),
i »1

где р— любое число из (0, р0Да], Рое(О, 1), ЛГ^О; р0, N зависят
от исходных постоянных так, как это указано в теореме
наконец, — наибольшая из постоянных Гёльдера порядка 8
функций и' на грани х1 = О куба Dg.

9.	Теорема. Пусть те(О, I), и1,..., ип е W}, iM (Dg) ft
QC(Dg), — неотрицательная постоянная, g1, g1 —некото-
рые функции на D^. Предположим, что \иЦ^Кг,

\Lui-u'^\«л,(1 +(«•„	+(»'..«;»

в DJ (га. в.). Тогда существует постоянная р0 е (0, 1), зависящая
только от d, К, е, га, такая, что если Р е (0, Ро], постоянные-
Гёльдера порядка р функций и' на грани х1 = 0 куба Dg не пре-
восходят М$, то при любых Xi, x2eDf

У, I и1' (Xi) - и1 <х.г) К Л/| х, - хг |Р,
i = i

где N зависит только от d, К, в, п, Ki, Кг, т, Afp, р.

10.	Следствие. Пусть и е 10с(Dg)f|C(Dj), |и|^Кг»

I Lu | sgK2(l + |«x|2) в Dg (п. в.). Положим n = l, x= uL = u-
Тогда имеет место утверждение теоремы 9.
II.	Теорема. Пусть а, ₽ е (0, 1), и1, ..., ип е ioc (D,) П
f|C(Dj), g1,	ga —некоторые функции на D£. Предположим,

что | и>| Кг,

I Lui - Кг + (ui, «'))“, =SS Кг ((х1)^ + (и\, uty

на Dt (п. в.). Пусть также кормы uJ в С1+р (S3) не превосходят Л2
и существуют на Si. Тогда	(е, d, Л, Ль Л2, 0, а, п)

на Si при всех j.

12.	Следствие. В условиях следствия 10 предположим еще,
что р е(0, 1), норма и в C1+P(S3) не превосходит Л2 и их> суще-
слвует на Sp Тогда | uxi | N (е, d, Л, Ль Лг» Р) на Sr.

§ 6. Гёльдеровость решений на границе
для некоторых линейных вырожденных уравнений

Доказательство оценки в С2+а в замкнутой области для решений
нелинейных уравнений основано на внутренней оценке и на оценке
нормальной производной в С1+а на границе области. Оценка этой
производной в теории линейных уравнений получается методом
«замораживания» коэффициентов с помощью явного интегрального
представления решения. По понятным причинам в теории нели-
нейных уравнений вместо интегральных представлений мы выну-
ждены пользоваться подходящим. уравнением для нормальной
производной.

Следуя работе автора [21], мы строим уравнение, с помощью
которого исследуется нормальная производная, представляя реше-
ние в виде хго, если часть границы области лежит в плоскости
хх=0 и на этой части задано нулевое граничное условие. По-
нятно, что v на этой части границы совпадает с нормальной
производной решения и для v в силу исходного уравнения может
быть также написано некоторое уравнение. Это уравнение будет
вырождающимся при ? = 0 и будет обладать некоторыми особен-
ностями.

Основные трудности изучения подобных уравнений преодоле-
ваются с помощью рассмотрения линейных уравнений и линейных
неравенств с теми же особенностями. Именно линейным неравен-
ствам с вырождениями специального вида и посвящен настоящий
параграф. Отметим еще, что.в силу сказанного выше нас будет
интересовать гёльдеровость их решений только на границе.

Возьмем некоторые постоянные К е> 0, R, Т > 0, Лз^О,
и пусть

L = xiA_|_xiav(z,	Х)^_+С(/, х) (1)
— оператор, измеримые коэффициенты которого заданы в Qf.s
и таковы, что

аУ = а^, е|Х|8<а'П'ХЛ=£гЛ|А.|«,- |с|Д, в <#.3,	(2)

при (/, xJeQbfH^UCi+IH, (3)
2а11 — Ь14- сх1	0 в Qr, з	(4)

для всех к е Еа, i, / = 1, ..., d.

Заметим, что несколько странный вид условия (3) вызван
стремлением в приложениях доказываемых здесь результатов
(см. § V.1) ограничить множество параметров, от которых будет
зависеть показатель Гёльдера, только параметрами d, К, «. Если
ранее мы избегали зависимости показателя Гёльдера от оценок
величин | Ь11, уменьшая их с помощью автомодельного растяжения
координат, то для операторов типа (1) такой метод не проходит,
так как он приводит только к замене переменных в коэффици-
ентах а, Ь.

Надо сказать, что результаты этого параграфа вполне можно
было бы формулировать в духе результатов §§ 3, 5. Однако те
формулировки, которые имеются в §§ 3, 5, уже использовались
для исследования квазилинейных неравенств и еще в гораздо
более важной степени будут использоваться при оценке постоянной
Гёльдера вторых производных, они, таким образом, нам нужны
по сути дела, в то же время относительно операторов вида (1)
нам понадобится сравнительно мало сведений. Поэтому мы не
стремились к наибольшей общности, выигрывая к тому же в про-
стоте изложения.

Мы докажем две оценки для постоянной Гёльдера решения
неравенства \Lu\^.Lu+ Кг, где о —известная функция. Одна из
этих оценок будет внутренней относительно t, другая будет дей-
ствовать вплоть до правого (по оси t) основания QJ, я-

1	Теорема. Пусть R^3f\]/T, и, v е Cfoc (Qj?«.я), и, и
ограничены на Q&. я, а е (О, 1), у е С® (Qfe», я),

ILui^Ly-+- К% на Qfa.R-	(5>

Тогда и продолжается до функции, непрерывной в яО^л». я»
и существуют постоянные (Xo — a^id, К, е) е (О, 1), W = N (а, d,
К, Ki, в) такие, что при любых r^.R, ZiAeQX/ для
Р =аоДа имеем

| и (zj — и (z2) | «S

« (RK, + I м ь № „+1«1с (<*. „) +1 ’ 1с№.,)). ®

Для доказз!ельства этой теоремы нам понадобится одна лемма,
которая, по сути дела, показывает, что грань х1 = 0 параллеле-
пипеда не должна рассматриваться как граничная для
оператора L. Последнее обстоятельство не удивительно, так как
условие (4) в точности означает, что L(x1)~1^0 в Qf. 3, а следо-
вательно, с точки зрения теории потенциала эта грань является
полярным множеством для оператора L.

2.	Лемма. Пусть R, у<=(0, 1], ygT, <? = (0, у)х(0, 3)х
х (— R, R)a~l, c=gO, Ь'^О, \Ы\^К на Q, феCi8oc (Q)П
ПС(5\{х1 = 0}), Z-ф=g0 в Q, ф2=0 на d'Q\{x1 = 0}, ф^1 на
грани х* = 3 параллелепипеда Q. Тогда существует постоянная
6>0, зависящая только от R, у, d, К, Ki, е, такая, что
•ф (0, х) 6 при 0 < х1 sg 3, х2 =... = х* = 0. Кроме того, ф 2= 0 в Q.

Доказательство. Возьмем некоторое £>0 и рассмотрим
функцию w(t, х)_=е^(ф(/, Х/4-g'x1)-1). Эта функция в_некоторой
точке (t0, Хо) е Q достигает свсего минимального на Q\{xJ = 0}
значения. Очевидно, xJ>0. Если (t0, x0)f=d'Q, то w(t0, хо)2=О.
Если же (t0, x0)<£d'Q, w(to, xo)*gO, то в силу известных свойств
производных функции в ее экстремальных точках в точке (t0, х0)
имеем Lw^O. Вычисляя Lw, в точке (t0, х0) получаем х^ш+
+ ei&L (ф + & (х1)-1) 2= 0. Здесь Еф =g 0, L (х1)-1 sg 0. Поэтому опять
w(to, Хо)^0. Таким образом, всегда w(t0, х0)2=0, ш2=0 на
Q, ф4-£(х1)-12s0 на Q, а так как £>0 было произвольным, то
ф2*0 на Q.

Перейдем к оценке ф(0, X). Оценим сначала ф(/, х) при х1,
близких к 3. Для этого возьмем у, К, tl/* в качестве Т, Кх, <р
и по ним построим функции как в начале § 4. Обозначим
С (t, х) = С (t, Ж), &1’ (х) = <т‘ (Я), где Я = (3, 0, ..., 0) — х. По лемме 4.1
{здесь используется условие Ь1^=0) имеем (х1)~1ЕС^0, Lo'sgO
bQXJx1^!}. Кроме того, из леммы 4Л легко вывести, что для
всякого 61 > 0 функция

wx(t, x):=N(l(t, х)+2 d*(x)j
'	i=2	'

для некоторой постоянной N (6Х, d, К, Кх, е, R, у) больше еди-
ницы на всей параболической границе параллелепипеда QXjx1^
^3 —St}, кроме грани хх = 3, где она неотрицательна.

Подберем теперь постоянную 6t так, чтобы L (х1—3) (3—61—х1)^
-С — е в Q\{xJ =g 3 — 6t} и положим

(Z, х) = 1 — wx(t, х) — Kie1 (х1 — 3) (3 — 61 — х1).

Тогда по принципу максимума и>2^ф в Q\{x1*g3 —6г}. Так как
w2(0, х)—> 1 при х = (х*, 0, ..., 0), х1 f 3, тоф(0, х1, 0, ..., 0)2=1 /2
при х!е[3 — 62, 3], где 62>0. Кроме того, а»2^у, х)->-1 при
х = (х1, 0...0), х1 f 3, откуда вытекает существование шара S

в с центром, лежащим на оси х1 ниже, но достаточно близким
к трем, такого, что и>2(д-у, xj^I/2, ф(-|-у, xj^ 1/2 при xeS.
По лемме 1.3 о наклонном цилиндре из установленных свойств Ф
следует, что ф(/, х1, 0,	0)^б3 при	3],

где постоянную т) е (0, 3] мы можем подчинить условию

/Cie-1t)4-2n8(eY)-1 + 2(d— 1)ехр(р,—	(7)

в котором ц = -^е/С-1, V—' |i2. При рассмотрении ^£[0, t]J
сравним ф с функцией ws, определяемой по формулам

а

“’8 = 1—2 (“^+П + ^-0)—	— WS,

1=2

го(±о = ехр[<7(т)—+	—/?)], p = v/T), <7 = ц/т|,

Wt (t, x) = rje-1 (t] — x1) (y у —1}~\ Wb = Kie-1 (rj — x1).

Положим Qi = Q П {x1 < T), wt (t, x) < 1, t < у у}. Легко понять,
что Qi —многогранник, причем	на d'Qx, исключая грань

х1=т), где	и грань хг = 0, не играющую никакой роли,

как мы видели в начале доказательства. Кроме того, в силу (2), (4)
и неравенства	имеем Ь1э=2а11+сх13ве в Qx и

(а$± оу-i Lw{± о = х1 [anq2 zp 2а11 pq+айр8] —

— b1q±bip^i]K(pi + qi) + Kp — eq =

= т]—1 [Kv8 + Kv - { е8#-1] < тр1 [2Kv -1 88К-х] = 0,	(8)

Lw< = п (у y — t)~l [x1 (г) — x1) 8-1(| Y -1)'1 —

=sSti(-§-Y —	x) — 1] <0,

Lwb = —	4- сКхб-1 (tj — x1)	— Ki «С c.

Отсюда Lw3>Q в Qlt и по принципу максимума
в Qx. В частности, при x’efO, т)]

б»‘ф(О, х1, 0, ..., 0)S=u>s(0, х1, 0, ..., 0) =

.= 1 —2(d— 1)ехр[<?(г)— х1) — pR] — т)(п— х1)2(еу)"1 —

— Ki8-1 (т] — х1)	1 — 2 (d — 1) exp (qi\ — pR) — rj8 2 (еу)-1 —

Последнее больше 1/2 в силу (7). Остается заметить, что все
постоянные, с которыми мы имели дело, могли быть выбранными
в зависимости от значений только R, у» d. К, Kt, е. Лемма
доказана

3.	Доказательство теоремы 1. Так как |L« —с+и|«£.
«С| Lu I + JG | и |, аналогичное неравенство верно для Lv и при
замене с на (—с_) условие (4) останется выполненным, то без
ограничения общности будем считать, что с=СО.

Отметим еще, что при /? 3= г 5= e2_I (Xi +1 )-1 неравенство (6)
очевидно из-за присутствия в его правой части нормы и в С (Q#«, r),
если же R >= s2x (Xi + 1 Г1 г, то неравенство (6) вытекает из того
неравенства, которое получается, если в (6) заменить R на
е2-1 (Xi+I)-1. Таким образом, при доказательстве (6) можно
считать, что

82-4X1+1Г1-	(9)

Обозначим:

М = " “ Ч<>Я». я) + V k(<?R«, я)’ Ma = । М lc“(<?£,. R),
H^Ma + R^iM + R^),
ul = v-\-u + Hix1,	u2 = v — u + flix1,

tri (r) = inf (u‘, Qr», r), M* (r) = sup (u‘, Qti. r),

uf (r) — M‘ (r) — mf (r), 6'' (r) = | Ml (r) + J m! (r),

i = l, 2.

Ясно, что для любых Zi, гге(2,\г, г< = ((ь xt)

[u1 (Zi) — ul (z2)J + [a2 (Zi) — И2 (z2)] =

= 2 [(u (zx) - v (z2)) + (xj - xl) /М Nr“H. (10)

(зависимость постоянных N от a, d, K, Xi, в не отмечается;.
Кроме того, в я (см. (9))

Л+'-х^^-Ха,

b1 2s 2аР + ххс 2в - 2X1/? 5* 8,

x1ul, + xlakru'x kj + Ь*й‘хк 2г '

2s &x//i — Х2 — f(u‘ — xlHr)	eHi — Х2 — Х|Л1 = 0.	(11)

Фиксируем теперь	и будем писать (еЛ(г), если

Л [(&». 2г П {«' (ИН $ Л 2Г>-	П2>

Пусть сначала Л(г)^0, i е А (г).	Положим й* (t, х) =

= и*(гЧ, гх). Тогда в силу (11) имеем

й5 + й^л^ + (х1)-1Ь‘й'л>0	(13)

в 04,2» где dks = a** (r2t, rx), bk=^bk(r2t, rx). При (t, xJeQJ, г
очевидно (гЧ, rx) e 2, c Qt.3 и

rx1 sg4r sC2/?«S в (Xi+ I/4*

Поэтому ]5*|^X на Qt,2.
Из (12), далее, вытекает, что доля объема, которую множество
{й1 =^6‘ (г)} занимает в параллелепипеде Q:= (у, 2, 0,..., O]-f-Qp

2 Я

не менее одной пятой. Мы хотим к неравенству (13) в Q приме-
нить лемму 1.11. Здесь имеется два препятствия. Во-первых,
коэффициенты (х1)-1^* неограничены в Q, во-вторых, Q не есть
круглый цилиндр. Первое препятствие легко обходится, если
вместо Q рассмотреть Qf) {х1> 10-1}. Что касается второго, то
можно найти абсолютную постоянную у>0 такую, что доля
объема множества \й‘	0' (г)} в некотором цилиндре, конгруэнт-

ном Сv и расположенном в Qfl {х1> 10-1}) будет составлять не
менее у. Тогда по лемме 1.11 и теореме 1.9 на диске, лежащем
на левом относительно оси t основании этого цилиндра, концент-
рическом основанию и имеющем радиус у у, будут выполняться
неравенства

fi»^poe,(r) + (l-po)Af42r),

М‘ (2г) — й‘ 5= р0 (М‘ (2г) — 0* (г)),

где ро е (0, 1), р0 зависит только от d, К, е. По лемме 1.3
о наклонном цилиндре для некоторой постоянной 6i = 6i (d, К, е)>0
при t е (0, 5/4), хх = 3, |х* |^3/2, 1^2 получаем

M,(2r) — iii(t, х)^61Ро(М‘(2г)-&(г)).	(14)

Поскольку М‘ (2г) — й1 (t, х)^0 в QJ, ? и с=СО, то оператор

х1 — 4- xlaks —4-----h bk 4- гс,

dt	dxk dxs dxk

где с — с(гЧ, гх), примененный к левой части (14), дает отрица-
тельное выражение на ф, 2- Отсюда по лемме 2, применяемой
к сдвигам параллелепипеда (0, 1/4)х(0, 3)Х(—1/2, l/2)tf“x по
плоскости хх = 0, вытекает, что неравенство (14) имеет место при
всех (/, x)eQtti, може! быть только Sip0 придется заменить на
62 = S2 (d, ft, e)e(0, 1). Стало быть,

М1 (2г) — М* (г) Ss 62 (/И' (2г) — М‘ (Г) 4- 4 rw (г) j
(1-4 в,) № (г) -1S2 ml (r)^ (1 - в2) М1 (2г).

Складывая последнее с очевидным неравенством (б2 — 1)т‘(г)^
(б2 — 1) т1 (2г), заключаем

«И (г) 68о/ (2r), i^A(r),	(15)

где 63 = (1-62)(1 -|б2)-1<1.
Теперь рассмотрим случай, когда А (г) = 0. Тогда при i = 1, 2
выполнено неравенство, обратное к (12), и найдется хотя бы одна
точка z0 е QJr’. цг, в которой

и1 (?о) > | М‘ (г) +1 т‘ (г), (=1,2.	(16)

Подставим в (10) zx = ze, а в качестве z2 возьмем точку из Q\ г,
в которой м1 почти достигает наименьшего значения. Тогда,
конечно, u2 (z2)	Л42 (г) и из (10) находим

(17)

Здесь индексы 1, .2 можно поменять местами, а после такой
замены, складывая получившееся неравенство с (17), увидим, что
w1 (г) + wf(r)^:

Наконец, если, например, 1 А (г), 2 е А (г), то можно найти
точку г», удовлетворяющую (16) при (=1, и аналогично (17)
получить |-a>1(7j^ffi>s(2r)-}-A(r®Z/2. Отсюда следует, что

4 2	2	+	(18)

i^A(r)

Из (15), (18) по лемме 3.2 заключаем

w1 (г) + ау2 (г) < Nr$R-$ (М + RaH2)

при гR, где Р =аоДа, ао зависит только от d, К, в. Для оконча-
ния доказательства (6) остается заметить, что если Zi, z2 е „ то
21 и (21) — и(гг) | = Ifu1 (Zi) - и1 (z2)] — [u2(zi) — u2(z2)] | <цА(г) + ay2(r).

Утверждение теоремы о продолжении и до функции, непрерыв-
ной в Q««. » U S/?». я. легко следуе> из (6). В самом деле, пусть
/е[0, Т), х1 = 0,	при 1^2 и (Д, %1), (/2, x2)sQr«. я,

(Д,	(t2, хг) -* (Д *)• Предположим для определенности, что

Д=^Д, и возьмем постоянную /?о>0 так, чтобы в процессе изме-
нения (Д, Xi) все время выполнялось включение (Д, х) + Фяз. «ос
czQj?., я- Тогда, применяя (6) к (Д, x)4-Qj?s. я0 вместо Qj?., я. мы
получим, что |Ur(tu Xi) — u(tt, Х2)|->0. Последнее вместе с крите-
рием Коши и доказывает наше утверждение. Теорема доказана.

4.	Теорема. Пусть ае(0, 1), v е С* (Qr, 3), и, пе
eCfoc (Qt.s) ПС(Ст.з11 Sr.s). I Lu I sC Lv + Д2 на Qr.e, постоянная
xe(0, 1], T>x2. Тогда для любых Zi, г2£2г_х>, ь Ре
е(0, аоДа], где cto берется из теоремы 1, выполнено неравенство
|«(Zi) —м(гг)|^

=СУх-₽р₽(2ь г2)(Дг + |«1С((2+ з)+вГ1са(<?| 3))»	(19)

где N==N(d, К, 8, Ki, а).
Для вывода этой теоремы из теоремы 1 достаточно заметить,
что при p(?i,	неравенство (19) очевидно с N =2, а при

pfzi, z2)<x уменьшение р в (19) не нарушает неравенства и для
2i = (Zi, Xi), z2 = (/2, Хй), z0 = (/iA^, Xi), p = p(zi, z2) имеем

го + Ор*. р с го + Qi*. к cz Qt, з» z< е= Zo 4~ Qp«, р-

Для изучения поведения | и (zi) — и (г2) | при х} — 0, tit близких
к Т, нам понадобятся две леммы.

5.	Лемма. Пусть с=^0, 61^в, [Ь*\^К. в Qr, 3, число |>0,
функция <р задана на [0, оо), ф2=0, ф' непрерывна на (0, оо),
ф'2=0, ф' = 0 вблизи нуля и вблизи бесконечности. Обозначим

И = | еК-i, v = | и*, ф (Т -t, х) = g ch g х1 exp (2K?t),
&	L

П<±)(Л *) =

co

=ф(/,х) J
x>

ds dr,

CO

£ (/, x) = ф (/, x) f ф (r)^ dr.
»«

Тогда г^+), £ дважды непрерывно дифференцируемы по (t, х)
при х1 > 0 и Lf|(±) О» О, т]*±) 2s ф (ху, £ 2s ф (х1) при
1 = 2, ..., d, в Qt.3-

Доказательство. Заметим сначала, что аи,
thgx^lx1,

ф-Ч-ф - с=—х^2 + х1^2 4- lb1 th lx1 =С 0.	(20)

Отсюда по формуле

ь ОМа) = Ф1 (Ьф2 — сфа) 4- фа!ф14- Йх^ф^ф^/	(21)

£.виду неравенств 2s 0, ф' 0 находим

♦-Ц' - |,,ч> (Л snj -

- Л“ (” <*’ 3^1 - 2Л’П&"(х'’ Ж <

*= - Л“ф («) [(-зУёт),,+2ЕСШ] - - х‘““ф 1х‘>6 аду °- <22>
в Н. В. Крылов
Для доказательства неравенств	обозначим

оо

Х(Г, *0 = *₽(*+)+$ ф' (S)exp[^ (±х*— s)jds,

х(А xf) = Jg^X(G x'Jexppifl

X'

Заметим, что в силу наших предположений х> х —достаточно
гладкие функции и при их дифференцировании знак производной
можно вносить под знак интеграла, если хх>0. Например,

Х,(г, *0 = —т? J ф'(з)(±А?~s)exp[y (±х*—s)Jds>0,
«	(23)

Xx/(r, х«) = ±7 j <p'(s)exp[^ (±x/-s)]ds, ;Х?.<гХ,

00

X/x‘ V, хГ) = —-г ф' (х±) + 75- J ф' (S) exp [ J (±х* -s) 1 ds

4

^тгХ(', **)•

Далее, непосредственные вычисления с помощью формулы (21)
показывают, что (суммирование по i не предполагается)

ф~1Ь (фх) = хф~1Дф 4-

+ г* [2? th & (auxx,+а«хи) -	Х] -

-	+S? laUnx ”bl* ~ 2х1аиъ> I+

+ f SIxlaU -S'* “2xlaU 7 +	+

gj vii v L	r	'

X*

+ &%« —^yxjexppQ -7-)^,

(24)

где ради краткости опущены аргументы функций ф, х, х- Отсюда
и из (20), (23) следует, что для доказательства неравенства
Lq'-j^O нам достаточно показать, что каждая из квадратных
скобок в (24) содержит отрицательную функцию. Вычисления,
проведенные в (23), оценивают сверху последнюю квадратную
скобку в (24), в которой г^х1, через

X|4-21 a1’ nv-j-a'M-f-Kv —ец|.

Это выражение отрицательно благодаря специальному выбору р, v
(ср. (8)). Вторая квадратная скобка в (24) не превосходит

Х[КМ -e-]-2Xv| = x [е* (4/0—1 - g-ejcO.

Для оценки первой квадратной скобки используем вычисления
в (22) Тогда получим, что она равна

ОО

+ 2g th gx1 J [aux? - a117 x] exp p (1 - 4)

X1

co

«s^thlx1 J J^C±x[Kv-ep]exp p (1 -~}dr.

X»

з

Последнее отрицательно, так как Kv —вр =—ур2К<;0.	Этим

мы доказали неравенство Lr](z+)<0 при х*>0, i^2.

Наконец, очевидно, что при t^T, хх^0

С((, х) > Ф (х*) ф ((, х) j dr - ф (х2) ехр да (Т - 0) S* ф (х1),
X*

00

Т)'(±) X) ф (ху 1|) (/, х) j dr 3s ф (х'±).

С»

Лемма доказана.	___

6. Лемма. Пусть R е(0, 3], и sCfoc (Qt. R) f] С (Qr, R\{x1=0}),
и определена в точке (Т, 0), М, Ма —некоторые положительные
постоянные, |и|, |о(Т, 0)|М, as(0, 1),

и(Т, х) — и(Т, 0) sg А4а | х |“

при х’>0. Пусть еще Lu^ — Ki, с<сО в Тогда

и(1, х)-и(Т, 0)^^|Т —/|“/24-|х|®)[/?^М4-Л1а4-К»(?1-в)

на Qt.k, где N = N(d, К, Ki, в, а).

До к азател ьство. Имеем Ци — и(Т, 0))^ — Л2 — и (Т, 0) «Э»
— К^ — RM, и лемму достаточно доказать при и (Г, 0)«0.

Как в доказательстве теоремы 1, далее, все сводится к случаю
R ' в(К14- !)“*• В этом случае (мы считаем в^1) |Ь‘|^Л,
Ь1^ъ, R |o|sCj8 в Qt, r и функция U(t, x)t— и(9~гКЧ, 3-1/?х)+
-i-KiRr-W в Qs, з, где S = 9R~2T, удовлетворяет неравенствам

ххй, + хх&Чйх1к, 4- Ь*йх< + у Rcu

S&-1 RKt + KtR -1 | вб/СаРв-1 = RtR ~ >0,	(25)

где ОН (t, х) = а'^ (9~x/?2f, 3-1/?х) и т. п. Кроме того, й (S, х) =с
(Afa3-“/?“ + Каб1"01^-1) | х |“ при хх>0. Наконец, коэффициенты
оператора, стоящего в левой части (25), удовлетворяют условиям
(2), (4) с е вместо Klt а также неравенствам \Ь' |^К, Ь1^в
на Qis. з.

Отсюда в свою очередь вытекает, что лемму достаточно дока-
зать в случае, когда Ка = и(7\ 0) = 0, R=3, |Ь‘|^К,
в Qt. з- Только этот случай мы и рассматриваем ниже. Возьмем
некоторое £>0, и пусть функция <р удовлетворяет условиям
леммы 5 и ф(г)^т“ при ге[0, 6]. С помощью функций 5, т)(+)»
введенных в лемме 5, построим функцию w по формуле

d

+ S (n\.+nfJ-

i » 2

Из леммы 5 и принципа максимума следует существование
постоянной ДО = Л?(а) такой, что в Qr ,з

и аС Nw [Л4в + М ].

С помощью подходящего предельного перехода в этом нера-
венстве легко доказать, что оно сохранится, если <р(г) заменить
на т® при построении т)‘, £, w. Отметим еще, что при построении
функции w у нас был произвол в выборе параметра £>0. По-
нятно, что для доказательства леммы теперь достаточно доказать,
что в QI. з с N = N(d, в, К, а) имеем

inf w(t, х)<N (| Т-1|а/2 +1х|в).	(26)

В>о

Для доказательства (26) фиксируем (/, х) е Qt, 3, обозначим
р = !7’ —/|1/2 + |х| и положим | = р-1. При таком £ и <р(г) = г®
после замены переменных £г->-г легко находим

ОО	00

СО» X)<Af£ J	=

о	и
Пользуясь еще вычислениями (23), коюрые показывают, что
при <p(s)=s“, ±х/>0

(± J ф' (s) ехр у (± х* — s) ds\ =

4	А*

=—<p'(x±)+f У ф'(«)ехру (±х< — s)ds^

^<Р'(Х±)

заключаем, что

ОО	ОО	v

С ф'($)ехр у(±х* — s)ds^ у ф' (s)e r ’ds=Nra'.

$ °
±

Отсюда и из (27)

(t. х) < АГФ (<) 6 J	dr + tfp« С Np*.

П

Это вместе с (27) доказывает (26). Лемма доказана.

1. Теорема. Пусть u,v<= CfOc (Qt. з) fl С (Qt, з\{(=7\ х1=0}),
ае(0, 1),

v е С® (Q£. з), |Lu|s£Z.u+/<2 на Qr, 3,
Р=аоДа, где а® — постоянная из теоремы 1, ахе(0, Р], Mat — не-
которая постоянная; и определена в Qr.3 и

| и (Т, Хх) - и (Т,	|	Ма, | х, — х21««	(28)

при хх, х2еОз, Xi'=0, х2>0. Тогда и непрерывна в Q|,x и
|u(zx) —m(z2)|=sS

=CNp“‘(zX, ?2)fMa1-bK2 4-|«|c(Q+ з)4-ЫСа(д| 3)j	(29)

при любых zx, гге^г.!, где N — N (в, d, К, Дх, а, ах).

Доказательство. Прежде всего заметим, что, как и в дока-
зательстве теоремы 1, можно считать, что в^О. Обозначим

Ul = v + u, u2 = v-u, М=|«1С(в|г 3)+И°1Са(<г|, з)

и с помощью леммы 6 докажем, что и непрерывна в Q|. ь т. е.
на Qt. । f| {t = Т, х1=0}. Про функцию о_без ограничения общно-
сти предположим, что она непрерывна в Q|. 3.
Из условий теоремы вытекает, что Lu‘^ — Kt в Qt. > и для
любой точки х0 е S2

| и‘ (Т, х) — и{ (Т, х0) I’S A (Af 4- М) | х — Хо |а>

при х1>0, хехо + Оь причем здесь и ниже постоянная N за-
висит только от в, d, К, Ki, а, а>. Отсюда по лемме 6

и1 (t, х) - (Г, хо)< N (| Т -11“^ +1 х - хо Г) (М 4- Ма, 4- К2), п
|и(/, х) - и (Т, Хо)ХА (| Т-/|а‘/?4-1 х - х0|“«) (М 4- М t. 4- Kt\	'

при ((, х) е(0, Xo)4-Qr. ь Из последнего неравенства, разумеется,
следует непрерывность и в Qr.i-

Далее, будем рассуждать примерно так же, как в доказатель-
стве теоремы 4.5. Возьмем z2, z2eSr>l, для определенности пред-
положим, что Zi = (tt, Xf), ti^tt, обозначим р = р(гь z2) и рас-
смотрим отдельно три случая: 1) р 1, 2) р^1, 7 —(2^р2,
3) р=с), Т —(2>р8.

В первом случае (29) очевидное N =2. Во втором случае
4 —6«^Р*» Т — (х2р2 и (29) без труда выводится из (28) и из
(30) при Хо = х2, х2

При рассмотрении третьего случая в силу теоремы 4 можно
считать, что Г — (2	1/2. Тогда R2 := Т — ty ^рг4-Т —

^2(7’ — (2)«S1, R* Т — it р* и обе точки гь г2 лежат в замы-
кании Q := Zi 4-Qj?‘. к cz Qt, з. Возьмем некоторую точку ZieQ
и применим теорему 1 к Q, и — u(ii), v — v(ii) вместо Qfa. н, u,v.
Понятно, что нам придется Kt заменить на X24-Af/<i, чтобы со-
хранить условие (5). Замечая, что в (6) очевидным образом р
можно заменить на любое а( е (0, Р], заключаем

|u(zi) — «(z2)X

< N	| RKt 4- RaM 4-1 и - и (zt) [C(o> 4-I v - v (z0 >C(Q)].	(31)

Здесь последняя норма не превосходит 2“/?аЛ4, так как о удо-
влетворяет условию Гёльдера. Для оценки нормы и— u(ii) доста-
точно оценить | и (Zi) — и (zt) | при любых z2gQ. Если в (30) вместо
((, х) подставить Zi, гг и взять хй = х1, г0 = (Т, хх), то нолучим
| и (z.) — a (Zo) | ^NRa' (М 4- /Иа, 4- Яг). Стало быть, | и (гО — и (it) |
^,NRa'(M 4-Л4а,4-^), все слагаемые, стоящие в квадратных
скобках в (31), оцениваются таким же выражением и |u(zi) —
— «(z2) XA/p“’ (Af 4-Afa, 4-Яг). Мы получили (29) в последнем
возможном случае, и тем георема доказана.

Наконец, сформулируем результат, аналогичный теоремам 1,4,
для эллиптических уравнений. Теорема 8 сразу следует из теорем
1, 4, если в них взять функции u, V, не зависящие от t, и поло-
жить Т = 2х = 2.

8.	Теорема. Пусть коэффициенты /. не зависят от t,
L^L-x1^, и, veCfoc(DJ) nC(DJ), ae(0, 1), oeC“(Df),
| Lu I Lv + Кг на D$. Тогда и продолжается до функции, непре-
рывной в Di, и для любых р е(0, а®Да], где а® берется из тео-
ремы 1, xt, XjeSj имеем

| U (Xt) - U (Х2) | ЛГ | Xj - х2 р (Кг 4-1 и |с (D+) 4-1 v ||са (D^),

где N = N(e,, d, К, Ki, а) и (х;) — значения в точках х, продолжен-
ной функции и.

9.	Замечание. Теоремы 4, 7 останутся справедливыми, если
в условиях из начала параграфа и в их формулировках заменить
Qf, з, Qr, i, Sr, i» । на Qt. r,, Qt.r,, ^t.r,, ^t-^.r,, где
0<.Rz<Ri, и разрешить постоянным N (но не а®) зависеть от
Ri, R%. Аналогично обстоит дело с теоремой 8.

В самом деле, если R2 Ri 1, то можно с помощью уже

неоднократно применявшегося преобразования подобия растянуть
От. R, До Qs, з, и при этом результат растяжения Qt. r, будет
лежать в Qs, (. После растяжения останется применить теоремы 4,
7, а затем сделать обратнее преобразование. Если же R2 5s у R,

или Ri> 3, то при оценке | и (zi) — и (z2) | для z2, z2 s Sr. r, всегда
можно считать, что р(гь г2)^^р, где p = (Ri —R2)A1, и тогда

Zi, z2 лежат на некотором множестве вида (0, х®) 4- S i , причем
Т' зр

(О, х®) 4- 2г. р с Sr, r,. В этом случае мы, таким образом, имеем
фактически дело с множествами (0, х®) 4- Q*	4- Qr „с

с: Qt. Rt, к которым, как выше объяснялось, теоремы 4, 7 при-

менить можно.

Примечания

§§ 1	, 2. Результаты этих параграфов в приведенной форме принадлежат
Крылову, Сафонову [1J, [2], Сафонову [4]. Основу их доказательства составило
объединение некоторых методов Де Джорджи fl] и Ландиса [1] с оценками
Александрова. На справедливость теоремы 1.2 указано в работе Крылова,
Сафонова [1], п. 8. Лемма 1.11 близка к так называемым леммам о «возраста*
нии», которые, как и гёльдеровость решений, до работ Крылова, Сафонова
доказывались при условии малости разброса собственных чисел матрицы (а*/)
(см. Ландис [1 ]). В литературе известны некоторые другие методы оценки по-
стоянной Гёльдера для недивергентных уравнений с измеримыми коэффициен-
тами, см. Новрузов [1], [2], Мамедов fl], Трудингер [1]. Автор в [21] исследо-
вал гёльдеровость решений некоторых вырождающихся уравнений. Для урав-
нений в дивергентной форме, коюрыми мы здесь не занимаемся, оценки по-
стоянной Гёльдера получили Де Джорджи fl], Нэш [1]. Их результаты разви-
вались различными авторами (см. Фридман [1]) и явились осювой теории
квазилинейных уравнений (см. Ладыженская, Уральцева [1], Ладыженская,
Солонников, Уральцева [1]). Неравенство Харнака для дивергентных парабо-
лических уравнений доказал Мозер [2].

§ 3.	Теорема 1 дает формализацию метода оценки постоянной Гёльдера
для вторых производных решений нелинейных уравнений, метода, предложен-
ного в работе автора |19]. Метод использования вспомогательной функции при
доказательстве теоремы 5 взят из гл. VII книги Ладыженская, Солонников,
Уральцева [1]. Следствия 6, 9 известны из работ Ладыженская, Уральцева
[2] — [4], Новрузов [1], Мамедов [1], Трудингер [1]. В теоремах 5, 8 нельзя
взять т=1, как показывает пример Хайнца: п=2, d =1, и\-\-и1хх = и' [(н£)2+
+ (мх)2]» * = Ь 2, и1=cos /их, и2 — sin тх.

§ 4.	К сожалению, нам потребовалось уд лнть место для доказательства
леммы 1 и, по-видимому, некоторые барьеры, построенные в лемме 1, являются
новыми, хотя, на взгляд автора, они должны были бы быть давно известными.
Идея построения этих барьеров навеяна известными из теории мартингалов
неравенствами Буркхольдера—Дэвиса —Ганди. Леммы 2 — 4 обобщают соответ-
ствующие результаты Камынина [1], Камынина, Химченко [1]. Вариант тео-
ремы 5 может быть найден у Ладыженской, Уральцевой [4], теоремы 6 — у Са-
фонова [4].

§ 5.	Следствие 3 доказано Ладыженской, Уральцевой [4]. Форма теоремы 4
требует при доказательстве использования барьеров из § 4 и возникает при
«распрямлении» границы, если она и граничные данные не очень регулярны
(ср леммы 1.1.1, I 1.2). В «регулярном» случае эта теорема хорошо известна
(см Ладыженская, Солонников, Уральцева [1], гл. VII).

§ 6.	Результаты этого параграфа являются новыми (см., впрочем, Кры-
лов [24]), хотя вырожденные операторы типа (1) уже привлекались автором
в [21] для исследования свойств производных решений на границе и способ
доказательства теоремы 1 близок к соответствующим рассуждениям из этой
работы. Оценки, полученные в этом параграфе, являются более точными, чем
соответствующие оценки из упомянутой работы. Основной выигрыш достигнут
за счет построения более точных барьеров в лемме 5. Надо сказать, что идея
, их построения заключается в рассмотрении оператора (1) как параболического,
когда роль оси времени играет ось г1. В доказательстве леммы 2 использова-
ние функции заменяет с точки зрения теории вероятностей использование
неравенства Чебышева.
Глава V

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В С2+“ ДЛЯ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе строятся, те априорные оценки, которые в сле-
дующей главе позволят нам доказать разрешимость нелинейных
уравнений в классах гладких функций. Сначала в §• 1 мы оцени-
ваем производные решения и постоянные Гёльдера производных
только на границе. При этом используются результаты § IV.6.
Затем на основе других результатов гл. IV доказываются оценки
в (?+“ как внутри области, так и вплоть до границы. Особое вни-
мание в § 4 уделено доказательству оценки нормы решения в С2 (Q),
когда условие согласования первого порядка может нарушаться.
Надо сказать, что оценки производных решения вплоть до гра-
ницы технически выглядят достаточно громоздкими, и при первом
чтении мы советуем читателю обращать внимание только на вну-
тренние оценки.

§ 1.	Ограниченность и гёльдеровость производных
решений на границе

Фиксируем некоторые постоянные К, Къ Т, в>0, а, хе (0, 1],
Т>пг и напомним, что

<&.R = {(t,x)<=EM: 0<t<T, Q<x1<2R, (x'KR, i=2.......d},

^T.R = {(t, x)f=EM:	x‘ = 0, Ix'ICfl, i = 2, .... d},

d,Q>. « = {(?, x)<= EM: 0sSx1=C2R,	i = 2, .... d}.

Пусть при всех (t, x) <= QI, з и действительных u{/, ut(i, /=1,...
..., d), и определена борелевская функция Р (иц, и, t, х). На
прогяжении всего параграфа рассматривается функция и е
еС?ос(<?т.з) ЛС(ОКз) такая, что в Q?,3

ut(t, x) + F(u^x/(t, х), u^{t, х), u(t, х), t, х) = 0.	(1)

Относительно функции F в различных утверждениях этого
параграфа мы требуем выполнения различных комбинаций из
условий, сведенных ниже вместе для удобства.

1.	Дифференцируемость по (Цц). При каждых (t, х) е
eQr.3, ui, и функция F один раз непрерывно дифференцируема
«о (tty).
2.	Дифференцируемость по (u,;, uh и, х). При каждых
t е (0, Г), № е (0, 6) функция F один раз непрерывно дифферен-
цируема ПО (Uih Uh и, х2, ..., х*).

Выполнение следующих условий 3 — 6 требуется при всех
(/, х)е^7,з после подстановки аргументов (и^х/(1, х), uxi (t, х)>
u(t, х), /, х) в F и ее производные.

3.	Эллиптичность оператора F. При

е 11|2	| Х|2.

4.	Почти линейность уравнения (1):

| F — FUuuxixj | Ki ((х1)*-1 +1 их |).

5.	Линейная ограниченность «коэффициентов»
уравнения (1) и их производных по касательным
направлениям. При / = 2, ..., d, i = 1, ..., d

! Ftt | +1Fxi | Ka ((x1)*-1 +1 uxx||), | F4. | < Ka ((x1)^-1^2 + II uxx ||).

6.	О гр а н и че н нос ть «к оэфф и ц и е нтов» ур а внени я (1)
и их производных по касательным направлениям.
При / = 2, d, /=1, d

\FxJ\^Ka((x^+Iuxx[), \FUl\ + \Fa\^Ki.

Понятно, что названия условий 3 — 6 возникли из аналогии
уравнения (1) линейному уравнению. В связи с этим отметим, что
результаты этого параграфа, разумеется, применимы и к линей-
ным уравнениям. Например, георема 8 для решений линейных
уравнений с измеримыми коэффициентами дает оценку постоянной
Гёльдера на 2гл функции их*.

Поясним связь между условиями 3—6 и теми условиями, кото-
рые встречаются в следующих параграфах. Там мы в типичном
случае будем предполагать, что выполнено условие 3,

IF-F^u^i^KHI+IuxI2),	(2)

|fa| + |FuJ(l + |Ux|) + :Ft/:(1+l^lH^/<i(l+|ux|2 + h^S). (3)

Разумеется, выполнение последних условий не гарантирует
выполнения условий 4—6. Поэтому следует сказать, что резуль-
таты настоящего параграфа, в которых используются условия 4, 5,
в дальнейшем будут применяться только после получения оценки
|иж| в области, т. е. когда вместо (2) будет выполнено даже более
сильное условие |F — FUiuxixJ | «^ /V, а условие 5 будет выполняться
с некоторой постоянной N вместо К\ в силу (3). Условие 6 в этом
параграфе используется для оценки постоянной Гёльдера ихх на

1. Соответствующий результат нам понадобится только после
оценки | их (, I ихх|| в области, когда неравенство (3) будет заведомо
гарантировать выполнение условия 6.
7.	Лемма. Пусть выполнены условия 1, 3, 4. Тогда на От,-)
существуют измеримые функции b‘, f такие, что | Ь‘ | Къ

ut + a,Ju!cllcJ + biuxi + f = Q	(4)

в Qt.3, где (FUi/ + FU/i). Кроме того, е | X|2==s;aWVsg;К |Х|а
в Qt.3 для всех К <= Ed.

Доказательство. Последнее утверждение очевидно- Для
доказательства первого достаточно положить

g = (F — FUl/uxtx/) «х1)"-1 +1 и, |)-\ / = g (х1)*-1, b‘ = guxt | их I-1,

где О «О-1 =0, и заметить, что

0 = ut + F = ut + aVu?x/ 4- g ((x1)0-1 +1 ux D = щ + a{JuxtxJ + blux, + f.

Лемма доказана.

8.	Теорема. Пусть выполнены предположения 1, 3, 4, |и iКу
в Qr.3, и имеет непрерывные на 2т,з производные по х2, и
при 1 = 2, ..., d, Zi = (ii, Xi), z2 = (/a, x2)eSr.s имеют место не-
равенства

I и (tu Xi) - и (4, *i) | < Ki Hi -<* Г l+e)/\
| uxi (Zi) — uxi (za) | =sS KiP“ (Zi, z2).

Тогда uxi существует на St, i и при любом ссг s (0, ссоДа],
где «о — постоянная из теоремы IV.6.1, имеем а)

I «х« (Zi) — и*. (z8) |	1Ух~«* - ‘o’** (zi, Z2),	(5)

где Zi, z2 e 2г-х». i, N = N (d, K, Ki, e, a, ax); б) если, кроме
того, ux> существует на dtQr.s, | «ж» | и постоянная Гёльдера по-
рядка ai функции uxt на dtQr,3 не превосходят Къ то неравен-
ство (5) с х = 1 выполнено при всех zx, z2 е 2Г(1.

Доказательство. В силу леммы 7 утверждения теоремы
относятся, по сути дела, к линейному уравнению (4). По заме-
чанию IV.5.5 из (4) вытекает, что

|и(Г, х)-иН, 0, х2, ..., x^lsgtfxix-1 в QJ.2,	(6)

где (и ниже) мы не отмечаем зависимости постоянной N от d, К,
Ki, в, a, ax и S = T — ух’. По лемме 1.1.5 продолжим и(1, х)
с 2г.з в Qf.2 до функции ф такой, что b_Qt,2

I (t, X) I, I фхх I =g N (X1)®-1, | Фх I N,	(7)

и при zi, Za e Qi-,2

I ф«« (Z1) — Фх> (Za) I Np<* (Zi, Za).	(8)
Обозначим

о = и-ф, оу = (х1)1+“, Ь = ?- + аУ-^- + Ь1
dt дх* дх) дх*

и заметим, что в Qr.2 в силу (4), (7)

| Lv | =С (К( + N) (х1)®-1 < NiLw+N.

Кроме того, из (6), (7) следует, что | v(t, x)|sgVxfa-x в <М,2.
Стало быть, на этом множестве функция й(/, х) := (х1)-1и(/, х)
ограничена и вместе с w (t, х) — А\ (х1)-1 w (t, х) = Ni (х1)® удовле-
творяет соотношению

\Lv \^Lw + N,
еде

Lh-.^Ux'h),

L^x1- + x1aiL * . 4-fe<-L-4-c, b' = x1fc, + 2a« c = b'.
dt	dx1 dx> dx*

Очевидно, 2all — b1+cx1 = 0 и коэффициенты оператора L
удовлетворяют условиям (IV.6.2) — (IV.6.4) с постоянной ЗК
вместо К. По теореме IV.6.1 функция v продолжается до функ-
ции, непрерывной на Ss>2, очевидным образом равной их> — <рх, на
этом множестве. По теореме IV.6.4, применяемой к функциям о, ш,
когда вместо Qr,3 берется QJ, 2 (ср. замечание IV.6.9), при ах <=
е(0, аоДа], zi, z2eSr-x», i получаем

и*. (?1) — Их. (z2) + фх. (Z1) — фх. (z2) I

< AZx_®ip®. (zi, г2) (1 4-sup (| v |, Q$, 2)).	(9)

Это вместе с (8) и полученной выше оценкой: 151 sg Afa-1 в Q$,2,
заканчивает доказательство (5).

Перейдем к доказательству утверждения б). Теперь нам, в част-
ности, дано, что |и(Т, х) —и(Т, 0, х®, ..., x®)|^KiX1, откуда по
замечанию IV.5.5 и теореме IV.5.4 следует, что |и(/, х) — u(t. О,
х2, ..., x^l^A'x1 в Qt,г- Отсюда и из (7) заключаем |v|Afa1,
I v | N в Qir,2‘ Наконец, из очевидной формулы

1

v(T, x) — ^vxi(T, гх\ х2, ..., x?)dr,
о

с помощью которой мы определим v(T, х) и при хх = 0, из (8) и
условий теоремы имеем | д (Т, Xi) — v(T, х2) | N | Xi — х* |® для
Xi, х% е Й2. По теореме IV.6.7 неравенство (9) справедливо для
любых Zi, z2 е St. i. если в нем х, Q$, 2 заменить на 1, Qr.2. Остается
еще раз использовать (8). Теорема доказана.

В следующей теореме мы оцениваем |Uxxll на St, i-
9.	Теорема. Пусть выполнены предположения 2, 3, 5, |ы|,
|их| в Qt.3, uxixj непрерывны в Qf,при всех i, j.
Пусть

их! sCioc(Qt. з) ЛС(Ст.з), / = 2, d, |ujc«+a^r	(Ю)

Наконец, предположим, что имеет место одно из двух: 1)
| uxixi | в Qt.3 или 2) выполнено условие 4 с а=1 и

в Qt.3- Тогда | ихх | s-g (d, К, Ki, 8, а) на Sr_x«. ь Если же еще.

\их/(Т, Х)-их1(Т, 0,	.... х*) ^КхХ1, />2	(11)

при (Г, x)ed/Qr.3, tno | ихх | sg N (d, K, Ki, в, а) на Sr>1.

Доказательство. При / = 2, ..., d обозначим uJ = uxJ.
Дифференцируя равенство (1) по и полагая

a"=4(F“« + f“J’ ------------Ev = Vf}-arsvxrxs,

находим

Lui — u^g* + FuuJ+Px/ = 0.

По нашим условиям в Qr,3,

Г	d	lyVd-flrt

|F,||«>| + |F,/|<A( (x1)J+ 2	(«!*)* +1Is ,(12)

I	/x=2. t = l	J

< V (X1)»-1 +	5	«А)2 + I Uxixl j’

1	/ = 2. * — l

где N = N (d, Ki). Если выполнено условие 4 при a = 1 и | щ |^Ki,
то из (4) имеем

\a'‘uxrxs\^N, |аиих.х1|^# + 2	£	\^х^\>

/=2, fe = l

|u„x.|<A((d, Ки 8) + 2К8-»	£	|«>|> ОЗ)

/ = 2, р = 1

и в (12) слагаемые I uxixi |2 можно опустить, увеличив постоянную N.
Это можно, очевидно, сделать, и если | их^ I Kt- После всего
сказанного нужные оценки производных вида ux/xi при /^2 не-
медленно получаются по лемме 1.1.4 и по теореме IV.5.4. Оценки
производных их/х/ при i, j^2 даны в (10). Оценка uxix> на Srti
либо дана, если выполнено условие 1), либо же с помощью сооб-
ражений непрерывности выводится из последнего неравенства в (13),
доказанного в От. з, и из уже полученных оценок и^х1 при
Теорема доказана.
10.	Теорема. Пусть выполнены предположения 2, 3, 6, |н|,
их\ в Qt^ и выполнены условия (10).

Предположим, что выполнено одно из двух: 1) | uxixi|
в Qt\3 или 2) выполнено условие 4 и | ut | Ki в От,з- Тогда
^uxj существует на 2r,i при 1^2 и, кроме того, существует
постоянная ao = ao(d, К, е) s (0, 1) такая, что при любом оц е
е (0, аоЛа1: а) имеем

|^r«,/(Zi)-i^rMx/(Z2)|^Afx-“'-1p“. (zi, z2), /^2,	(14)

где zi, 22eSr_x.t(, N = N (d, K, Ki, e, а, аг); б) если же еще
ux'^ nPu существуют на dtQt.3, они сами и их постоянные
Гёльдера порядка ai на dtQt,s по модулю не превосходят Кь то
неравенство (14) с х=1 имеет место при всех zi, z2e2r,i-

Доказательство. Дифференцируя уравнение (1) по х/,
1^2, видим, что функция

v(t, х1,	х*, Xй*2, ..., х^):= 2 x?+iuxi(t, х\ х“)

/ = 2
на множестве

Qt, Ч := Qt. 3 X {| xW I 3 (/<! +1 )-\ j > 2}
удовлетворяет уравнению

vt +	+cv + J]	= 0,	(15)

/ = 2

где ars = j (Fur^ + F“sr)> & = c ~ При этом хпо условию 6
имеем |е|, |У и (ср. лемму 7) для некоторых функций a", f
таких, что | <jrs | 3d, |/| «С 3d (х1 J01-1, на Q},3 справедливо paieH-
ство

а	а

X^FK/=f+ S =
/=2	Г. ' = '

= /+ S	S + "“«»“*• П6)

г = 2. < = 1	г = 1. s=2

Если \uxtxi\^Ki в Qt,?, то последнее слагаемое объединим
с /. Если же выполнено условие 4 и \ut |=sg/G в Qt.a, то можно
написать (ср. (13))

Mx*x>=/l+ У, '*Г‘,Охгх***>

Г =1, S = 2

где :т"|^^(d, К, е), |ft|«CA((d, Къ в^х1)®-1.,
В любом случае из (15), (16) на Qt-.з получаем

а	а

г, s = I	'=2, s=l

а	a

+ Л/1 2 yxrf+rxrf+'“I" brvrr+cv + ^ — 0.	(17)

<=2	, = 1

где Л^х —любая постоянная, \g\^N(d, К, Дх, в)^1)06-1,
^Nid. К, <•’)• Понятно, что при некотором Ni = Ni(d, К, е)

у, a"W+ 5 ar*Kd+rKs + N1 У (Xd+r)2>

г, S=l	Г = 2, s = J	г =2

(а	2d	1

2^>2+ 2 ai)a
i>l	' =d + -

для всех Ve(—оо, оо). С этой постоянной Ni мы рассмотрим (17)
как уравнение относительно v. Разумеется его коэффициенты оп-
ределяются по функции и, но она фиксирована, так что и коэф-
фициенты уравнения (17) рассматриваются только как функции
от (, х1, .... х?, xrf+2, .... хм. Применим к (17) теорему 8, опре-
деляя очевидным образом новую «нелинейную» функцию F и за-
мечая, что по доказанному |ci>+g|^A,(d, К, Ki, 8)(х1)а-1.

Здесь надо было бы пояснить, почему эта георема применима
в случае, когда пространственные основания параллелепипеда не
являются кубами. Нам кажется, однако, что по этому поводу
достаточно сказано в замечании IV.5.7. Теорема 8 дает существо-
вание о», при (е[0, Т), х1 — 0, |xi|<l, i = 2, ..., d, |х>|<
<(Ki +1 )-\ /^d+2. Выбирая только одно из xi при /5=d4-2
d	v*

отличным от нуля, получаем существование uxj на ly.i при
/ ^2. Этим же способом из утверждений теоремы 8 относительно
модуля разности vXi выводятся и остальные утверждения настоя-
щей теоремы. Теорема доказана.

При дополнительных предположениях на F можно оценить
постоянную Гёльдера на Sr,x не только смешанных производных,
но и производной вида uxi&.

11.	Теорема. Пусть

Р (т) = |(u/y, ut, и, t, х): 21 Uij I + 2 I Ui I +1 и I < x,

uij = Uji, (t, x) eQ^.sl,

M (x) — некоторая конечная неотрицательная функция на [0, оо),
Л1 (т) Ss 1. Предположим, что выполнено условие 2, на каждом Р (г)
e|l|2^FUr/u,7, ut, и, t, х) К 111®, KeEj, (18)
первые производные P no (Uy, щ, й) no абсолютной величине не
превосходят М (х); при (иу, щ, и, гг)еР(т), г = 1, 2 имеем
\F(uy, ut, и, Zi) — F(uy, uh и, г2)|^Л4 (т)ра(гь г2).	(19)

Пусть также выполнено условие 4 с a = 1, выполнено условие 6,
и е CfocOJr.aU St.s), l«l, |Uxl, | щ | Ki в Qf,3 и выполнены усло-
вия (10). Тогда существует постоянная ao=«o(d, К, е)е(0, 1)
такая, что при любом aje(0, ««Да]:

а)	для Zi, г2 е Sr _н«. i о N = N (d, К, Ki, в, х, a, ai, М) спра-
ведливо неравенство

В ихх (zi) - Uxx (z2) I =s£ Wp“* (zx, z2);	(20)

б)	если же еще uxi, и^ при j^s2 существуют на dtQr_3, они
сами и их постоянные Гёльдера порядка ai на dtQr,3 по модулю
не превосходят Ki, то неравенство (20) имеет место при всех
Zi, z2eSr>1 с N = N(d, К, Къ в, а, аг, М).

Доказательство. В силу теоремы 10 достаточно оценить
только | Uxw (zi) — «*«*• (г2) |. Пусть сначала zb z2 <= Qt, з, zt=(tt, х,),
Xi=Xs. Вычтем из значения левой части (1) в точке Zi ее значе-
ние в точке г2 и запишем результат в виде

O = Ut(Zi)-Ut(zJ + \F(Uxix/(Zi), Uxi(Zi), U(Zi), 21) —
— р {их*х! (2г)>	(г«) ’ “ (z«)i Z1)] +

+ \F (uxixl(Zi), и^(гз), u(z2), z^ — F(u^xj(z^, uxi(?i), u(z2), г2)].
При оценке второй квадратной скобки используем (19), для
преобразования первой квадратной скобки применим формулу
Адамара. Тогда для любого т, для которого (wx«x/(Zr), uxi(zr),
и (zr), zr) е Р (т), г = 1, 2, очевидно, получим

; Ut (Zi) — Ut (z2) + a‘j (uxtxi (Zi) - uxtxj (z2)) j

N (d) M (?) (p“ (zi, z2) + У! I uxt (Zi) - Uj (z2) j +1 u (zi) — u (z2) |1

где a^ = a^, в |	К |X|2 (cm. (18)). Положим здесь

x} = хЦ0 и воспользуемся условием (10). Тогда при г,Е2гди т,
связанном с zr так же, как и выше, находим

I (Zi) — Ux^ (zt) | =5$ NM (Т) Р« (Zi, Z2) 4-
d

+ Л/ 2 I U^i (Zi) — u^ (Zi) j + NM (т) I Uxt (?1) — Uxi (Zi) I, (21)
w
где N=xN(d, К, Къ е). Если здесь гъ г2 е Sr-x=. ь то по тео-
реме 9 можно взять т «Сх-W (d, К, Ki, «, а) и правая часть (21)
оценится нужным образом по теоремам 8, 10. Этим доказано а).

В условиях б), очевидно, выполнено неравенство (11) и по
теореме 9 при Zi, z2 е Sy, i можно взять т sg N (d, К, Ki, в, а).
После этого опять останется применить теоремы 8, 10. Теорема
доказана.

12.	Замечание. В утверждениях б) теорем 8, 10 участвует
Sr.i, а в утверждении б) теоремы 11 — только Sri. Это различие
существенно, так как даже для уравнения ut + uxixi = 0 в (0, Т) х
Х(0, 6) с условием и(/, 0) = 0 производная вида uxixi(t, 0) будет
разрывной в точке t — T, если не выполнено условие согласова-
ния: axi*t(T, 0) = 0.

13.	Замечание. Все результаты этого параграфа можно
применять при исследовании эллиптических уравнений

“(•*)» *) = 0 в D».	(22)

Для того чтобы это сделать, нужно в левую часть (22) прибавить
ыД=0) и всюду в параграфе взять Т = 2, х=1,

Qr.3 = (0, 2)xD8\ z* = (0, х*).

§ 2.	Оценки первых производных решений по х

Оценки, которые доказываются в этом параграфе, охватывают
два вида оценок: внутренние оценки и оценки вплоть до границы.
Метод, которым мы пользуемся при оценке |их|, принадлежит
С. Н. Бернштейну и заключается в рассмотрении точек, в кото-
рых достигает максимума подходящая комбинация функции и ее
производных. При рассмотрении | их | мы применяем гу разновид-
ность этого метода, которую естественно назвать методом контро-
лируемого максимума.

В работе Ладыженской и Уральцевой [1] показано, как можно,
используя уже полученную оценку для постоянной Гёльдера реше-
ния, получить оценку модуля его градиента при естественных
предположениях на рост коэффициентов квазилинейных уравнений
по производным решения. После того как такая возможность
установлена, реализовать ее можно по-разному, и мы также исполь-
зуем ее, но делаем это не так, как в упомянутой книге Лады-
женской и Уральцевой.

Кроме оценки | их |, в этом параграфе доказывается также
оценка постоянной Гёльдера для их.

Обсудим некоторые построения этого параграфа на простом
примере нелинейного эллиптического уравнения с «постоянными
коэффициентами»:

F(Mx'xH*). их,(х), м(х)) = 0.	(1)
Пусть F, « — достаточно гладкие функции, матрица (Fu.^ ограни-
чена и строго положительно определена, Fa^0. Дифференцируя (1}
по для uk = uxk получаем уравнение

^/z«X/+/7«X,+F““ft=0-	(2>

По принципу максимума наибольшее значение | и* | достигается
на границе той области, в которой рассматривается уравнение (1).
Поэгому оценка | их| внутри сводится к граничной оценке.

Сложнее обстоит дело, когда F зависит еще и от х и в левую
часть (2) входит Fr*. Если |F^|^W(1+|мж| + ||Ижж||) и уравне-
ние (1) можно записать в виде

F uifuxix/ + FUiuxi + Fuu + f = Q.	(3)

где / — некоторая ограниченная функция, то можно действовать
методом Бернштейна и, как для линейных уравнений, рассмотреть
0:= |н*|2 + тм2, рассмотреть точки максимума этой функции и,
пользуясь (2), (3) и тем, что во внутренней точке максимума р
первые производные равны нулю, а матрица вторых производных
отрицательна, выбрать т столь большим, чтобы в любой внутрен-
ней точке максимума v можно было оценить v. После этого опять
останется оценить v на границе.

Небольшая модификация этого приема позволяет рассмотреть
случай, когда Fxk и f растут по их не быстрее, чем | их |2~а, где
а>0. В этом случае вместо т можно взять т(1 4~sup при
некотором Р > 0. Случай а = 2 с помощью этой модификации рас-
смотреть не удается, в нем Ладыженская и Уральцева [1] исполь-
зуют вспомогательную функцию вида ф (и) | их |2, мы же исполь-
зуем прежнюю вспомогательную функцию и, но выбор т подчиняем
некоторому соотношению, связывающему т a sup v, так что для т
получается уравнение, которое позволяет контролировать вклады
| их | и | и | в максимум v.

Отметим, что при оценке | их | (но не | ut |) мы не допускаем,
чтобы F и ее производные росли по ихх быстрее чем линейно и
всегда предполагаем (см. (19) и условие (8) ниже), что изучаемое
уравнение можно переписать в виде (3), где f растет по их не
быстрее | их |2.

После того как оценка |«х| получена, скорость роста F и ее
производных по их не играет никакой роли и оценка постоянной
Гёльдера их внутри области получается с помощью теоремы IV.3.5
из соотношений типа (2).

Фиксируем постоянные К^е>0, Т, ei>0, хе (0, 1],
область D cz Ed и обозначим Q = (0, Т) х D. Пусть Г — (возможно,
пустое) замкнутое подмножество d'Q, область Qi cz Q. Возьмем
еще область Qo cz Qi и предположим, что каждая из ее точек обла-
дает окрестностью (в Erf+i) такой, что параболическое расстояние
любой точки этой окрестности до d'Qi\T больше х. Будем счи-
тать, что	Так как расстояние до пустого множества

считается равным бесконечности, то при Г = drQ, Qi = Q можно
взять Qo — Q.

Пусть F (иц, ut, и, t, х) — борелевская функция, определенная
при (t, х) <= Qi и действительных иц, щ (i, j — 1,..., d), и. Пред-
положим, что при всяком /е(0, Т) функция F непрерывно диф-
ференцируема по (uif, uit и, х) на Eip+d+i* {х: (t, xjeQJ. Нако-
нец, пусть нам дана функция и е CLc (Qi) П С (Qi) такая, что в Qj

ut(l, x) + F(utix/(t, х), uxt(t, x), u(t, x), t, x) = 0.	(4)

Эти предположения «читаются выполненными на протяжении всего
параграфа.

Следующая лемма относится к свойствам некоторых вспомо-
гательных областей.

1. Лемма, а) Пусть Q' —множество всех тех точек из Qi,
каждая из которых обладает окрестностью (в Ed+l) такой, что
параболическое расстояние любой точки этой окрестности до
d'Qi\T больше ух. Тогда Q' —область, QocQ', Г f| d'Q' az Гр
fjd'Qi и для любой точки из Qo найдется окрестность, парабо-
лическое расстояние любой точки которой до d’Q' \ Г больше у х.

б) Если z® е Q®, ₽ е (о, у х], G = G (г0, р) — та связная компо-
нента (г® + Ср., 0) f) Q, замыкание которой содержит г®, то

Gc: Qlt G\r<=Qlt d'G(\d'Q = Г fid'Ga:Г ftd'Qi. (5)

Доказательство, а) Множество Q' открыто по самому
определению, включение Q0<=.Q' очевидно, включение Г f) d'Q' cz
czFOd'Qi сразу следует из того, что Q' czQx, rfiQx = 0. Для
доказательства последнего утверждения в а) возьмем точку z® е Q®
и пусть U — паровая окрестность г® (в Ed+i), параболическое рас-
стояние любой точки которой до d’Qi \ Г больше х. Обозначим
через (71 шар также с центром в точке г® и с радиусом, вдвое
меньшим радиуса (7. Ясно, что при некотором 6>0 для любой
точки ге(71 имеем р(г, d'Qi \ Г) х + 6. Мы докажем а), если
докажем, что р (г, d'Q' \ Г) 3s у х при всех г е (7V

Возьмем Zi = (tu Xi) е (71, z2 = ((a, x2)ed'Q'\r так, чтобы

(если таких z2 нет, то p(zx, d'Q'\Г) =oo>yxj. В слу-
чае, когда z2^Qi, из включений Q'czQt, z2^d'Q' и определе-
ния параболической границы вытекает, что z2ed'Qx, а так как
г4 Г, то гг е d'Qi \ Г, р (гх, г2) 3s х 4- б 3= у х. Если же г2 е Qx,
то в силу условия г2 gfe Q', в любой окрестности точки г2 найдутся
точки z, для которых р (z, d'Qx \ Г) х. Мы выберем г = ((, х)
гак, чтобы t>tu p(zi, z2)Ssp(Zi, z) —6. По неравенству тре-
угольника

g-x4-p(Zi, z2)4-6^p(z, d'Qi\Г)4-р(zi, z)S&

>р(гъ д'(?1\Г):>х + 6.

Отсюда p (zb z2)5=yx. Таким образом, p(zx, z2)^^x для всех
2г e d'Q' \ Г, для которых tt > tt и, значит,

о (Zi, d'Q' \ Г) Ss x.

б) Третье соотношение в (5) следует из первых двух. В самом
деле,

d'G f| d'Q = (d'G П (Г П d'Q)] U [d'G f] (d'Q \ Г)],

d'G П (d'Q \ Г) = (d'G \ Г) f| d'Q c Qj f| d'Q = ф,
d'G П (Г f| d'Q) <= Г П d'G,	(6)

причем, если точка ге Г Qd'G c d'G QdQ, го z^Q, z^Qi и
zed'G; из определения параболической границы следует, что
zed'Q, zed'Q1( в (6) можно поставить знак ' равенства и
Г П d'G с Г Л d'Qu

Докажем первое соотношение в (5). Возьмем Zi = (tu Xi) s G
и допустим, что Zi Qi. Множество G является цилиндром со
связным основанием. Кроме того, G>/o- Поэтому на [*0, (J су-
ществует непрерывная кривая (t, xt), лежащая в G при t>t0, и
такая, что х,, = х0, xZ1 = хР Начало этой кривой лежит в Qi (в Qo),
а конец не лежит. Стало быть, на ней найдется точка г2 с наи-
меньшим значением t такая, что z2edQi. Из определения пара-
болической границы получаем, что z2 е d'Qi. Далее, из включения
г2 sG вытекает два следствия: о (г0, г2) < х, гг е£ Г. Окончательно,
г2 еd'Qi\ Г и р(z0, d'Qi\ Г)< х, что невозможно.

Теперь нам остается показать, что dG \ Г с Qv Предположим
противное, тогда найдется точка Zi = (*i, хх) такая, что

z, e<?G, Zi^T, Zj^Qx.

Выберем последовательность точек zn = (/n, x„)eG, так, чтобы
z„->Zi, и без ограничения общности будем считать, что
Подберем еще столь малое 6х>0 (ср. рассуждения в а)), чтобы
для zj:=(/o —б], Хо) выполнялось неравенство

p(zj, <5'Qi\r)Ssx + 261.	(7)

Наконец, положим zn = (ti —|6 —1*\, хп).

Очевидно, p(zj, z)^x-|-6i для всех zezo+Cp., р и ti — |/i —

— |*i — tn | >6» —б? при достаточно больших n, которые мы
только и будем рассматривать. Соединяя г» с гя непрерывной
кривой и пользуясь (7), как и выше, мы приведем предположе-
ние о том, что z'n не лежит в Qlt к противоречию. Значит, Zn eQr

Далее, Zi&Qi, zieQi и /i — | £i — tn\ <G- Поэтому на прямо-
линейном отрезке, соединяющем точки zi, zb найдется точка
zied'Qi. Поскольку zi~>Zi, то zi->Zi, и в силу замкнутости Г
при всех достаточно больших п имеем zi Г, z”n е d'Qi \ Г.
Окончательно

х + 61^р(4, Zi) = Игл р (zi, zi)^p(zj, dzQi\ Г)^х + 2бг
п —* со

Мы получили противоречие, и лемма доказана.

В следующей лемме условия (8) —(10) выполнены, например,
если F = a4(Uk, и, t, х) иц + а(ик, и, I, х) и выполнены условия
(3.2) —(3.6) при т = 2 из гл. VI книги Ладыженской, Солонни-
кова, Уральцевой [1]. Это показывает разумность условий (8) — (10).

2. Лемма. Пусть в каждой точке zeQb в которой выпол-
нены неравенства | и (?) | Ki, | их (г) | Ss /<2 (если такое г вообще
найдется), при произвольных X е Еа, г=1,d выполнены также
следующие неравенства:



F0^/C(|UxP + l«xxl),

8|X|2<FUj/X'X/</<|X|2,

О)
(Ю)

где для простоты записи опущены аргументы (uxixl, uxi, и, z)yF
и ее производных, г у и и ее производных. Пусть ае(0, 1), |и,
и постоянная Гёльдера порядка а функции и на Q] не превосхо-
дят Ki, их <= Cioc (Q1) п с (Q1), | их | < Кг на rf]d'Qi. Тогда в Qo

|«x|^V(d, 8, К, Ki, Кг, а, *)•

Доказательство. Фиксируем z0 = (/0, x0)eQ0 и возьмем
некоторые числа ре^О, S>0 и неотрицательную функцию
£ е С2 (г0 + Ср* р), равную нулю на Zo + d'Cp», р и такую, что
С<1, С(г0) = 1,

|k|2^AM, I^J^Vp-2, |^| ^Vp-2	(П)

в Zo + Ср», р, где N = N(d). Для того чтобы такую функцию по-
строить, достаточно взять любую функцию т) е С°° (Ci, i), для ко-
торой т] (0) = 1, 0 т| 1 на Ci, 1, т) = 0 на d'Ci, i, и положить
£ (tt х) = т]2 (р-2 (t — to), Р-1 (х — *<())• Числа р, 6 в дальнейшем будут
подбираться специальным образом после проведения некоторых
предварительных оценок.

Договоримся, что символами N мы будем обозначать различ-
ные постоянные, зависящие только от d, г, К, Ki, но не от р, 6, а
и про связь между" 6, р всегда предполагать, что	I

(2р)а“К?^|б	(12)

Возьмем еще область G из леммы 1 б). Из (5), (12) ясно, что
(и (г) — и (г0))а у 6 на G и функция

М (т): = max [£ (г) | их (г) |2+т (u (г) — w0)2: г е б],	(13)

где «о = и (г0), как функция действительного переменного т, растет
при т -> оо медленнее, чем j 6т.	Л

Понятно, что Л1(т)^0, функция М (т) выпукла вниз, как
верхняя грань функций линейных по т, функция М (т) непре-
рывна, как конечная выпуклая. Из всего сказанного следует, что
существует (и притом единственное) число те[0, оо) такое, что
М (т) = 6т. Фиксируем это т и обозначим через zx одну из точек G,
в которой достигается верхняя грань в (13). Тогда мы получим
следующие соотношения, которые позволяют «контролировать
максимум»:

I (Zi) | их (Zi) |2 + т (u (zi) — Mo)2 = М (т) = 6т.	(14)

Рассмотрим, далее, отдельно два случая: a) £(zi)| tzx(zi) |2>К1;

б) ^(zi)|«x(zi)|2^/C|.	_

Заметим, что £ | их |2 на d'G и на d'G. В самом деле, на
той части d'G, которая не лежит в г0 + Ср». р, по построению
£ = 0, а та часть d'G, которая (возможно) не лежит в Q, обяза-
тельно лежит на d'Q, на d'Qi f| Г в силу (5) и на ней \их\*^К1.
Стало быть, в случае а) имеем ZieG\d'G, Zi4-C<j«. aczG при
достаточно малом о>0 (ср. доказательство леммы III.3.6),
zx 4- Сстг. а <= Qi в силу (5) и в точке Zi мы можем дифференциро- I
вать соотношение (4), в ней производная по i и матрица вторых
производных по х функции С |иж|2+т(ы — «о)2 отрицательны,	|

а	первые	производные по х равны нулю. Это в точке	гх	дает	I

«х|2 + ^ж*Л? + ты<(и —“о)<О,	(15)	|

у?х<|иж|2 + £мл.л^ыл.* + ти?(и-мо)=О,	(16)	I

(« - «о) + А? +	I

4~ xuxtitx/ 4- tx/uxkxiiixk 4- txMxkx/uxk 4" 2"	1и* I8) ^=0,	(17)	

0 = utxk + Fu.иxixjxk + Fuu *ixk + Fuuxk + Fxk,	(18)	I

0 = щ + F aifuxixJ + Fu;uxl + f,	(19)	I
где f*=P^PuifuxixJ — Fu,uxi. Умножим (18), (19) на т(и — н0)
соответственно, сложим результаты и воспользуемся соотноше-
ниями (15), (16). Кроме того, обозначим

«"-|(Ч + Ч),

g = h (и — u0) 4-	| Fufix, - 2	a,7£x«x/) II2 4-

+ Fxk^Uxk — ^aiJlxMxkx/Uxk.

Тогда в точке Zj получим

О < a J (lut,xfxi,u хк + тих,х, (и — и0) 4-

4’2-xiM<fcl/u1.*4- 2 и* I2) 4-g5^
—a*> (uxkxtuxkx£, 4- TUxiUxt) 4- g <

«С —еПижж||2 —re|uj24-g, (20)

где второе неравенство вытекает из (17) и гого, что след произ-
ведения неотрицательных симметричных матриц неотрицателен,
а последнее неравенство справедливо по предположению (10).

Оценим, далее, g сверху. Из наших предположений (8) —(10),
(11) и неравенства Юнга без какого-либо труда выводим

^<еИи*х|124-^-1т2(и — 1го)24-^|«*1гт|и — ио|4-

4- № | их Г 4- Л^р-21 их |2 4- №'а1 Ux |» р-i

| ихх I2 4- Л/£-Ч2 (U - «о)2 4- ЛГ£ | их |‘ 4- Л/р-21 их I2.

Это вместе с (20), (14) окончательно дает

0	- ебт2 4- Л\т2 (и - ы0)2 4- Nt1? | их |4 4- А/зрЛ | их |2

— ебт2 4- A^iT2 (и — и»)2 4- Л(26Ч2 4- Ntp-zfrc. (21)

Подчеркнем, что здесь постоянные Nlt Nit Ns не зависят
от р, 6. Будем считать, что р, 6 выбраны не только так, что
ре^О, i-xj и имеет место (12), но и

N28 у в, (2р)2*	| sS.

Подходящие р, 6, очевидно, можно выбрать зависящими только
от К, Кл, d, в, х. Тогда из (21) имеем т 2Wse-1p-2, 6t=CjV =
— 2JVs68-1p-2, а из (14) также t, | их |2 4- т (и — и0)а N в G,
I Ux (z0) |2 N.

Мы разобрали случай а): £ fa) | их fa) |2 >• Л2. Если же
£fa) |«,(zj)l2<^, то (с фиксированными выше р, S) из (12), (14)
заключаем /<,4~ 2	I их (г0) |	2К1 Так как г.

была произвольной точкой в Qo> то лемма доказана.
Лемма 2 указывает на важность предварительной оценки и
в С*. Такую оценку мы доказываем в следующей лемме. В ней
введение функций <рх, <р2 позволяет избавиться от слишком силь-
ного требования гёльдеровости и на всем множестве Г("|д'фх.

• 3. Лемма. Пусть область D определяется как{х-. ф(х)>0},
причем у^СЦЕа), |фЦс»(Ed)«S Ki, \tyx\^et HadD (если дО^ф).
Предположим, что при всех К^Еа с теми же сокращениями обо-
значений, что и в лемме 2, на Qx выполнены неравенства (10) и

(22)

Наконец, пусть ae(0, I), некоторые функции фг, <р2еСа(ф),
их нормы в этом пространстве не превосходят Ki, | и | Ki в Qi
и и = ф1 на Tf) d'Qi f] dxQ, и = <р2 на Г f) d'Qx f]dtQ. Тогда для любых
Ъ е (0, ао А а], г», it е Qo

I U (Zb) - U (Zx) | Wp“< (Zo, Zi),

(23)

где N=N(d, K, Ki, e, ex, x, a, ax), ao=<Xo(d, К, e)e(0, 1).

Доказательство. Возьмем постоянную p0 = Po(d, Ki er‘)>
>0 из леммы 1.1.2 и заметим, что (23) неочевидно только при

d  р (Zo, Zi) Ро) А х) =: Р1.	(24)

Поэтому без ограничения общности мы считаем, что z0 =
= (/0) *о). Zi = (A, *i)eQo, fo^i, Р (z0, 2i)^Pid_1. Рассмотрим
отдельно два случая: d(x0, dD)5s3px, d(x0, dD)<3px.

Пусть сначала d(x0, dD)^3px. Возьмем G = G(z0, Зрх) из
леммы 1 б) и заметим,, что в рассматриваемом случае

G = (zo + C9pf,3p1)n(i<n.

Далее, для аН = у (FUij 4- FU/^ имеем (см. (4), (22)) в Qx и в G

| ut + (Vujj |	Ki (1 +1 ux I2).

(26)

Отсюда и из следствия IV.3.6 вытекает, что если /о4-9р|<Т, то
неравенство (23) справедливо при всех ахе(0, ₽х], где ₽х =
= px(d, К, е)е(0, 1). Если же <о4-9рх^Т, то по лемме 1 б) и
по условию настоящей леммы на dtG функция и удовлетворяет
условию Гёльдера порядка а с постоянной, не превосходящей Ki-
Мы хотим применить к (26) следствие IV.5.3 и замечание IV.5.7.
Для того чтобы это сделать формально, достаточно заметить, что
Za, Zi лежат в замыкании первой из областей в следующей цепочке
включений:

2Ь 4" Qt — й. 2b 4* Qt — I», ««-‘ар, с G.

(27)
По следствию IV.5.3 (теореме IV.5.2 а)) и замечанию IV.5.7.
заключаем, что неравенство (23) имеет место при всех аге
е(0, 02 Д а], где ₽2 = Md. Я. «)е(0, 1).

Рассмотрим второй случай, когда d(x0, дО)<Зрг. Пусть
Хг е dD и | Хг — х01 < Зрь Очевидно,

1*2— *о|, 1*2— *i | <С 4pi, x24-S12<fP1<=Xo + Si .	(28)

2*

Кроме того, 4p1s$p0, и поэтому мы можем распрямить участок
границы D, лежащий в х24-5шР1 с помощью леммы 1.1.2. По
этой лемме существует отображение f такое, что

f: D$ -> (Xs + S^dp,) П 75, f (^i)	(x24-S<P1) П7>,

f(S3)cz5D,

(29)

на f{Da) определено обратное отображение f-1; f, f-1 дважды не-
прерывно дифференцируемы,

11У1 -1/214pi =С I f (У1) - f (Уг) к 2 I yj - Уг 14pj (30)

при yi, уг е О», нормы вторых частных производных f (соответ-
ственно /-1) не превосходят N (d, Ki, «i) Pi (соответственно
N(d, К., 81)рг').

Обозначим

G = g(z0, |х), 5 = 16-1рГ[(Т-/о)Д j],	(31)

поясним, что 16piS —протяженность цилиндра G по оси t и по
формуле

h{t, х) = (/о+16р?(, /(х))	(32)

построим отображение Qs, з в связную (f непрерывна) область*
содержащуюся (см. (28), (29)) в G. Ясно, что/i(QJ, 3) cz G, a G<=Q>
по лемме 1. Поэтому с помощью отображения h на' QJ, 3 из-
(QS. з) естественным образом переходят функции и операторы.

Положим

L = Tt+aiJdm' й = и^> Ь=16рП£(п(й-1)))(Л). (33)

д
Отметим, что коэффициент при в операторе L равен единице,,
а в силу (30) собственные числа матрицы коэффициентов при
вторых производных по пространственным переменным лежат
в отрезке [41е, 4К].
Могут представиться две возможности: к2 > 4 (Т —t0), х2 sg
^4(Т —10). Если х2>4(Т — tg), то по лемме I находим

h (d,Q$. 3) cz dtG П dtQ cz Г П d’Qt П dtQ,.	(34)

h (Ss. з \ {/ = 0}) c d’G П dxQ cz Г f) d’Q. f| dxQ,	(35)

и, стало быть, на Ss>3\ {/ = ()}, а в силу непрерывности и на S$t8
функция й совпадает с <pi (ft), на dtQ$. 3 й совпадает с <р2 (ft), по
условию леммы и по непрерывности й на Ss.sUd/Qs. з функция й
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а и постоян-
ной 2Ki Кроме того,

|1й|	4Л\(1 +| йх |2)

(36)

в Qs. з- Отсюда по следствию IV.5.3 (и теореме IV.5.2 в)) при
ахе(0, р3 Л “]> гДе Рз = Рз (d, К, в) е (0, 1), 2>, 20eQs,  имёем
| й (г0) — й (21) | =g Npa' (2о, Zi). В силу (28), (29) здесь в качестве
2о, Zi можно взять ft_1(z0), ft-1(Zi), а тогда мы и получим (23).

В случае, когда х2<;4(7’ —t0), из (35) и условий леммы мы
получим гёльдеровость й только на S$.8, однако в этом случае
i акже ti — to =g Pi «С (900) 1 х2, 4-1х2 — (ti —t0) > 8_1х2, так что

h-1 (г0), ft-1 (zi) е {(/, х): t < S - рр’х2} (37)

и применение следствия IV.5.3 опять дает (23) для at е (0, р8 Д а].
Остается в качестве «о взять Pi Д р2 Д рз- Лемма доказана.

Докажем теперь основной результат параграфа.

4.	Т еорема. Пусть D — {х: ф(х)>0}, причем феС2(ЕД
I ф Цс» (Ed) К ь I фж |	8| на dD (если dD=£Q). Возьмем a s(0, 1)

и некоторые функции фь <р2 е С (Q) такие, что <pix еС (Q), |<рг|,
|фи!Ki на Q,

|q>i(G, хО-фДГз, xt) | =g Kj |Д - tg |<*+«)/2,
I Ф.ж Ui) - Ф/.» Us) I =C Ktp“ (Zt, z2)

(38)

для любых i = l, 2, г,-= (/,-, xJeQ. Предположим, что |и | =gKi
на Qi, и = Ф1 на*) Г П d'Qi П dxQ, и = ф2 на Г f| d'Qt П dtQ, их<=
Cfoc (Qi) П С (Qi)- Наконец, пусть с теми же сокращениями обо-
значений, что и в лемме 2, при всех K^Ed, г=1, ..., d на Qt
выполнены неравенства

j F - Ри^и^^ | sg К1 (I +1 «х I2),

(39)

PUr | (1 +1 их |) +1 Fa I +, Fj | (1 +1 ux l)-1^Ki (1 + |ux|2 + !иХж||). (40)

в| A.|2<FU,,W^K|X|2.

(41)

*) Любые две функции считаются совпадающими на пустом множестве.
Тогда MxeC“‘(Qo). где а1 = аДсс0, oo = a0(d, К, e)e(0, 1), и
норма их в этом пространстве оценивается постоянной, завися-
щей только от d, К, Ki, г, «х, х, а.

Доказательство. Прежде всего оценим |их| в Qo. Мы
хотим применить лемму 2, в которой для начала возьмем 1, Q',
вместо Кг, Qi, к соответственно и некоторую постоянную
N (Ki, Л, d) вместо К в условии (8). Проверим выполнение усло-
вий этой леммы. Нужное расположение Q# внутри Q' гаранти-
руется леммой 1. Из (39) —(41) вытекает, что

IF | < || (Л., + Fu..) их,х, | + Дх (1 + i <

К, d)(l + l«J2 + l«xJ). (42)

Поэтому условия (8) —(10) также выполнены при |иж|^1. Оце-
ним | их | на d'Q' П Г. Через V будем обозначать различные по-
стоянные, зависящие только от d, К, Ki, еъ х, а, е.

Пусть 2i = ((i, Xi)ed'Q'pr. Найдем z0 — (t0, Xo)eQ' так,
чтобы выполнялись условия (0<<1, точки z0, Zi можно соединить
непрерывной кривой вида ((, x(t)), лежащей в Q' для /еро» G)
и o(z0, Zi)^Pid_1, где Pi = (7 Ро) Л взято из предыдущего
доказательства, если гам х заменить на |-х. Если d(x0, dD)^
^3(h, го положим G = G(z0, Зрх). Так как d(xit dD)^2px>0,
Tozi^dxQ, G = T, T — i0^Pi и G=z0 + Ct»Pl. По. лемме 1
dfi с Г f| <3'Qi, по условию теоремы м = ф2, их — угх на dtG и
|«x(Zl) l^/Cv

Если d(xQ, dD)<3pi, го, как в предыдущем доказательстве,
найдем точку х2, сделаем распрямление границы, и (по |-х вместо xj
построим G, й, L по формулам (31) —(33). Тогда для tr=.T по-
лучим |«*(zi)|=CKi из условий теоремы, а для ti<T получим
I их(Zi) I N из следствия IV.5.6, применяемого к (36). Здесь,
быть может, стоит только еще сказать, что при х2>16(7 —/0)
нужно воспользоваться соотношениями (34), (35) и при примене-
нии следствия IV.5.6 иметь в виду утверждение б) теоремы IV.5.4,
а при x2^16(7-f0) пользоваться соотношениями (35), (37) и
иметь в виду утверждение а) теоремы IV.5.4.

Теперь для применения леммы 2 нам остается оценить постоян-
ную Гёльдера порядка ai = aoAa Функции и в Q', где oto мы
возьмем из леммы 3. Для получения такой оценки в лемме 3 за-
меним Qo, х на Q', у х и заметим, что при гг = (<х, хх), z2 = ((8, xt) e
e Q имеем

|ф<(21) —<P, (z2) |^|<pi(f1, Xi) —ф/((а, Xi) I +1 <Pi (tt, Xi) — ф4(Ь, Xjs)|.
14-а

Здесь первое слагаемое по условию не превосходит — /21 9
-а,

—*г|2 \ если |(i—/2|^l, и, очевидно, не превосходит
2

27<1111 —t212 \ если | G —t21 > 1 Второе слагаемое оценивается
с помощью леммы 1.1.3. Лемма 3, таким образом, заканчивает
проверку выполнения условий леммы 2, а лемма 2 после всего \
сказанного позволяет утверждать, что \их\ на Qo, а в силу не-
прерывности и на Qq не превосходит некоторой постоянной N. j
Так как область Qz ничуть не хуже области Qo, то \ux\^N

на Q', а так как по лемме I предположения настоящей теоремы f
выполнены, если в них Qj заменить на Qz, то, переходя при не-	?|

обходимости от области Qi к Qz, заменяя х на и увеличивая
постоянную Ki, в оставшейся части доказательства мы наложим
вполне оправданное предположение

I их | К1 в Qi.	(43)	।

Нам остается доказать неравенство

I (zo) — (zi) | ^Wp<Hz0, гг)	(44)

при z0> ZiS$0, где a!=aoДа, а0 = Оо(^» /С,е)е(0, 1). Восполь-
зуемся схемой доказательства леммы 3 и без ограничения общно-
сти будем считать, что zo = ((o> *о), Zi = (fi, %i)sQ0, и
(см. (24))

d-p(Zo, гО^(тро) А (з^х) =: Pi-

Обозначим

«'=«„, Lu = uz4-a'4‘tA g* = —P/ = — -Fj (45)
Дифференцируя (4) по к', в Qi находим

Lu'— u'*g* = p', j=l, d.	(46)

Здесь в Qi	.

Ip' I N (1 + (a', u;))‘*	N (1 + (u;, uQ) (47) i.

из-за (40), (43).	. j-

Теперь предположим, что d(x0, dD)5=3pi, /рф-ОрКТ. Тогда	(

G(zo, 3pi) =Zo + C9ps, 3pP по лемме 1 соотношения (46), (47) выпол-	*

няются в G(z0, 3pi) и по теореме IV .3.5 неравенство (44) имеет
место при любых ахе(0, рх], где Pi = Pi(d, К, s)e(0, 1).

Если d(xo, 3D)^3pi, но t0 Ф- Эр* Т, то, замечая соотноше-
ния (27), по теореме IV.5.2 получим (44) при ах е (0, Р, Д aj,
где р2 = p2(d, К, 8) е(0, 1).
При d(x0, dD)< Зрх в соответствии с нашей схемой следует
распрямить границу. Мы обратим внимание читателя на то, что
если уравнение (4) записать в терминах функции й, то его, вообще
говоря, нельзя дифференцировать по х, так как ф, f, й могут
быть только дважды дифференцируемы по х. Поэтому после вве
дения х2, G, S, Л, L по формулам (31) —(33), как в доказательстве
леммы 3, мы вводим функции uz = u^(/i). Тогда соотношения (46),
(47) перепишутся в а в аналогичные соотношения для йД L
(ср. (36)). Кроме того, сохранится и неравенство (36), которое
с помощью (43) можно записать в виде | LU | N.

Далее, пусть х2 > 4 (Т —10). В этом случае в силу (34), (35)
и предположений теоремы (38) й совпадает с <pi(/i) на S$. 8, с
<Р«(А) на dtQi, 8, при Zi = (?x, Ях), z2 = (79, x2)eSSi3, i = 2, ...,d
имеем

|2(/1, *1)-й(7а, X>)|1?1—’

I(2i) “	(z9) | NP“ (zr z9)	(48)

и, наконец, на dtQs, 3 функция йх» = (<р2 (A))xi удовлетворяет усло-
вию Гёльдера порядка а с некоторой постоянной V. По теореме
1.8, применяемой к «уравнению» 1й-|-р = О, где р:=—La, |р| =
= |£й|«^ЛД отсюда при 04 = аД08 с 08 = 08(d, К, е)е(0, 1)
заключаем, что постоянная Гёльдера порядка 04 функции йх1 на
2$ 2 не превосходит некоторой постоянной N. Подобные оценки
для й? при 1^2 нам даны в (48).

Следовательно, на 2$, 9 U d(Q$( 8 оценены постоянные Гёльдера
порядка 04 функций йх и функций йД связанных с йх очевидным
образом По теореме IV.5.2, учитывая сказанное выше про йД L
и (46), (47), выводим оценку постоянной Гёльдера порядка ate
е (0, р4 Д 06] функций й/ в Q1 х, где 05 = 0S (d, К, «) е (0, 1).
Из соотношений (28), (29), наконец, находим (44) при ах е
е (О, Р* Л Р»]-

В последнем из возможных случаев x2s£j4(T — /0), и мы уже
не имеем соотношения (34). Однако (35) продолжает оставаться
верным. Из него опять следует (48) и теоремы 1.8, IV.5.2 опять
дадут оценку постоянной Гёльдера порядка ах е (0, 04 Д 08]
функций й> в х, где v=1281pf2x3 Остается заметить'(37)
и положить а0 = 0х Д 0а Д 08 Д 08. Теорема доказана.

5.	Замечание. Вплоть до формулы (43) мы не пользовались
условиями (38) при 1 = 2, поэтому их можно опустить (при i = 2),
если интересоваться только оценкой |их| в Qo.

6.	Замечание. Имеется очевидная возможность применения
результатов этого параграфа к исследованию эллиптических урав-
нений (ср. замечание 1.13).
§ 3. Оценка производной по t

Рассмотрим вновь ситуацию, описанную в § 2 перед лем-
мой 2 1. Предположим дополнительно, что F непрерывно диффе-
ренцируема по (Uy, и, t, х) при (/, x)eQi, (u,;, и) e
^Ed2 + d + i. В соответствии с методом Бернштейна перед оценкой
оценивается |uj и затем при оценке |uj изучаются точки,
в которых достигает максимума вспомогательная функция вида
(и,)2 + т \их |2. Так как оценка |«ж| должна быть известна зара-
нее, то скорость роста F и ее производных по их несущественна
и появляется даже возможность допустить квадратичный рост Ft
по |ижж|. Отметим еще, что т вводится для того, чтобы «спра-
виться» с F/, если же Г/ = 0, то можно взять т = 0. Наконец,
в следующей лемме функция f(t) введена для того, чтобы эту
лемму можно было использовать при освобождении от условий
согласования первого порядка.

1.	Лемма. Пусть их е Cfoc(Qi), uxeC(&), ut е
gC(^\^Q), \их\^К в Qb	«а

и на Qi

|F|+ FUr! + !Fz|<K(l+|u^|),

FO<K(1 |F/| <5K(l+lu~P)+/(0,	(1)

T
0

при всех X e Ea, r = 1, ..., d , где применены me же сокраще-
ния обозначений, что и в лемме 2.2, f (t) — неотрицательная
ограниченная функция на (0, Т]. Пусть, наконец, a) D еС3 и ихх
ограничено в Qi или б) u< е € (СК). Тогда | ut | N (d, К, 8, х) в Qo.

Доказательство. Фиксируем гь = (/0, *o)^Qo, p = jx,
функцию t. из доказательства леммы 2.2, число а 1, которое
уточним ниже, и положим G = G^zb, у х) (см. лемму 2.1),

т

т = о(1 +sup(gv«|U/|, G)), g(t) = \f(s)ds.
t

Нам понадобится еще функция

£((«/—£)+)2+*!“.* I4-

(2)

Рассмотрим сначала елучай, когда функция (2) принимает
значение, равное ее верхней грани в G, в некоторой точке Zi =
= «1» xi). причем Zi е G \d^G, ut (zi) >g (ti).
Тогда производная по l и матрица вторых производных по л
функции (2) отрицательны в точке Zi, а первые производные (2)
по х равны нулю. Кроме того, мы можем уравнение (2.4) диффе-
ренцировать по t и х. Учитывая все это, в точке zx получаем

| (и. - £)а + С («, - g) + 0+

у & (и -g)* + C (и,- g) и(х» + та,,«?г = 0,

(с (ut — g) Utx/tjc, 4-	+ АхАх' + А'хА'х' +

+ (“/ - ё) ^“,х*+(U'-g) lxkUtxr + ~ ^xr (u, - g)2j	0,

0=utx> + +F +р<,их‘+px‘,

e = ult +	+ Fuj^t. + FUU, + F„	(3)

Умножим два последних равенства на тмх/, £ (и, — g), сложим
результаты и воспользуемся предыдущими соотношениями. Тогда
аналогично неравенству (2.20) получим

0^ — eC|Mw|2— ет|ихд42 + /г,	(4)

где

Л = ht+... 4* Лв,

Ai----у(«. -?)2(L+«%v)>	----777«Х‘(“ -^)а’

й3 => — 2акг1хм(хь (и, - g),	/г4 = Fxau^

ht, = Fa(£ut(u,— g) + i laj2),	h4 = ^(Ut— g)(Ft — f),

В оценках hi и далее в доказательстве буквами N с индексами
или без них будем обозначать постоянные, зависящие только от
d, К, 8, х (но не от т, а). Из (2.4), (1) ясно, что

и, = -Р<К(\+1ихх\), (ut-g)9^N(]+luxx^.	(5)

Кроме того, заметим, что | । ut NQ^Ut Л(а-1т. Используя эти
неравенства, предположения (1) и то, что ut (zi) — g (h) > 0,
в точке zi без труда находим

|ftil^(V(14-l«xxlP),

(“' S)N о +	(1 4-11 Uxrl2),

I h91	|u« I (u, - g) eCl utx I2 4- N (14-1 uxx |2), ’

|Л4|<^^(1 4-lu*r|),

Й4<К (14-lUxJ) (tf-1T (U, — g)4-*№>=ss=

(г-Ч (1 -H uxx l|2) 4- Nt (14-1 uxx D,
Й9 C (Ut — g) Л (1 +.. uxx a2) =s£ (J-hK (1 4-1 uxx I2).
Объединяя эти неравенства с (4), деля на т и замечая, что
1 зСо'Ч, заключаем

0^-(8-^а-1)|Ыжхр + Л/2|ажж| + ^.

При а = 2N1&-1 отсюда следует, что | ихх (zi) | =С ЛГ, а из (5) — что
sup [? ((ut - я)+)® + т | их |2] = £ (Zi) [(ut (zi) - g (G))+P +

G

+ r|Ux(zl)|2<^ + /VT. (6)

Мы вывели (6) в случае, когда zi^G\d'G, ut(zi)>g(ti)-
Соотношения (6) очевидны, если Zi^G\d'G, ut(zi)^g(ij). Пока-
жем, что последнее неравенство в (6) верно при всех Zi^d'G\dtxQ,
а не только для Zi, связанных с верхней гранью в G функции (2).
Если Zi е (d'G \dtxQ) \ (zo + Cp«. р), то С (zi) = 0 и это неравенство
очевидно. Если же гг (d'G\dtxQ)\Q, то, как в доказательстве
леммы 2.2, имеем гг е (Г Q d'Qi) \ dtxQ и неравенство в (6) сле-
дует из предположений леммы.

Возвращаясь к определению Zi с помощью первого равенства
в (6), заключаем, что соотношения (6) выполнены при zx <=
^d'G\dtxQ, а если ut непрерывна в Qu то и при Zi^d'G. Кстати
говоря, в случае, когда ut непрерывна в всегда существует
Zi е G, для которого выполнено первое равенство в (6), и в этом
случае, рассмотрев все возможности расположения Zi на G, мы
доказали, что

sup[£((«,-g)J2 + T|u*la]<SW + A^-	(7)

Если ut непрерывна только в Qi \ dtxQ и все еще существует
точка Zi е G \ dtxQ, для которой выполнено первое равенство
в (6), вывод (7) продолжает оставаться верным.

Остается рассмотреть последний случай, когда дана непрерыв-
ность ut только в Qi \ dtxQ и не существует ни одной точки Zi е
^G\dtxQ, в которой бы выполнялось первое равенство в (6).
В этом случае, по предположению, ихх ограничена в Qi и любая
сходящаяся последовательность точек za = (/„, x„) е G, максими-
зирующая функцию (2) в G, сходится к некоторой точке г =
= (Т, x)^dtxQ. Ясно, что p(z0, zn), p(z0,

Из гладкости границы D вытекает, что при достаточно малых
1)» у>0 и большом п будут выполнены соотношения tn>T — л>^о.
|Я —хп|<у и любая точка области Gn, v:=(z — f] Q может
быть соединена с некоторым гп кривой вида (Л х(0), целиком
лежащей в G4>v. При у4-т)1/4«С-у х на этих кривых все ’точки
лежат в Qlt так как z„ е G о: Qi и в противном случае на них
нашлись бы точки из d'Qi\r, отстоящие от Zo в смысле парабо-
лического расстояния не дальше чем на х. Стало быть, G^ ¥ cz Qi.
Кроме того, параболическое расстояние от г0 до точек d'Gn, Y f) d'Q
меньше | x. Поэтому d'G^. A Q d'Q, лежашее в силу включения
у cz Qi на d'Qu лежит также на Г Q d'Qi:

d’GK у П d’Q с Г fl d'QA.	(8)

Теперь в области G^ v применим лемму 1.1.6 к функции и„
рассматривая ее как решение уравнения (ср. (3))

vt +	+ Puv + Ft = 0,

все коэффициенты которого, кроме Fa, ограничены (в Qx), a Fa
ограничено сверху (ихх ограничена в Qx). По этой лемме в силу
(8) и в силу предположения, что | ut | К. на (Г f| d'Qx) \dtxQ,
окончательно находим, что

Пт и((г„)^К,
п —юо

sup [С ((«/ - £)+)2 + т I «Ж Г] =

Q

= lim К ((и, -g)+)«+т | их |2] (z„) < № + №т.
п —♦ оо

Таким образом, мы доказали неравенство (7) во всех случаях.
Опустим в нем 11 их |2 и воспользуемся тем, что (а — 6)+^а+ —1 b |.
Тогда из (7) получим £((uz)+)2 =^Af + Nt на G. Последнее неравен-
ство (с теми же постоянными V, о, т) останется верным, если
в нем заменить и на (—и). Для того чтобы в этом убедиться,
достаточно заметить, что функция (—и) удовлетворяет очевидному
уравнению, аналогичному (2.4), Следовательно, £((ut)_)2^N + Afi,
N + Nt, что, по определению т, дает (т —о)2 Vi,
г^/V, £(u()2^N-\-Nx^N в Gy а в точке z0 по непрерывности
последнее приводит к неравенству |h,(z0) ‘ Так как г0 была
произвольной точкой Qo, то «лемма доказана.

Эта лемма используется в следующей теореме не в полную
силу. Как мы уже говорили, в той форме, в которой она приве-
дена, лемма нам понадобится в дальнейшем.

2.	Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 2.4,
иt е CL (Qi) А С ($1),	на Qi после подстановки в аргументы

(uxixj(z), uxi (г), и (г), г) не превосходит М (и (г), их (?)) (1 +! ихх (г) >|),
где М(и, щ) — некоторая непрерывная функция действительных,
переменных и, иь ..., ud. Пусть также

I ut |с* (г о	(9)

Тогда норма ut в О» (ф0)> где = а0 Д а, а0 = а0 (d, /С, е) е (0, 1),
оценивается постоянной, зависящей только от d, К, Afi, 8, 81, х, а
и от функции М.

Доказательство. Возьмем вспомогательную область Q’
из леммы 2.1. Ее можно использовать в теореме 2.4 в качестве

7 н. В. Крылов
области Qo (если х заменить на	х) и по ней получить, что

в Q', где (и ниже) через N обозначаются различные
постоянные, зависящие только от d, К, Ль е, еь х, а, М. После
этого в лемме 1 в качестве Qx возьмем Q' и заметим, что ее усло-
вия с f = 0 и некоторой постоянной N вместо К на Q' выполнены
в силу (2.39) — (2.42) и полученной оценки |м*| на Q'. По лемме 1
заключаем | ut | N в Qo.

Сделаем еще один цикл в подобных рассуждениях. Мы дока-
зали, что | ut | N в Qo, но Q' вполне может выступить в роли Qo.
Поэтому | ut | =С N в Q'. Кроме того, по теореме 2.4 в Q' имеется
оценка не только |и*|, но и нормы их в С₽«, где рх = аДр0»
₽o = ₽o(d, К, е)е(0, 1). Принимая, в случае необходимости Q'
за Qi и увеличивая постоянную K.i, можно далее без ограничения
общности считать, что

II Ut 1|с «?1 >» | Ux ||с& (Q,)	•	(10)

Оценим теперь гёльдеровскую постоянную а, в Qo. Дифферен-
цируя (2.4) по х>, t, вводя обозначения (2.45) при 1 и полагая
u° = uz, р° = — Fuiit — Ft, получим (2.46), (2.47) при всех / =
= 0, 1, ..., d. После этого почти буквальное повторение рассуж-
дений, следующих за (2.47), приводит к оценке постоянной Гёль-
дера сразу для ut, их. Разумеется, при этом повторении возникает
еще и некоторое упрощение, так как здесь не нужно предвари-
тельно оценивать постоянные Гёльдера функций йЛ =	(Л) на

известных гранях Qs, 3 —эти оценки даны в (9), (10). Теорема
доказана.

§ 4. Оценка решения в нормах С2, WJ’8

Продолжим изучение объектов, введенных в § 2 перед лем-
мой 2.1. На протяжении всего этого параграфа дополнительно
предполагаем, что при всяком t е (0, Т) функция F дважды не-
прерывно дифференцируема по (и(;, щ, и, х) на Eai+d+1 х
X {х: (t, х) е Qi}. Цель этого параграфа заключается в том, чтобы
получить оценки ихх в норме С. Другие производные и, входя-
щие в норму С2, уже оценивались в предыдущих параграфах.
Здесь же мы доказываем также оценку нормы и в 2. Она по-
надобится при доказательстве разрешимости нелинейных уравне-
ний, когда F может быть не дифференцируемой по t.

Оценка ихх в С составляется из двух частей. Сначала, диф-
ференцируя (2.4), оцениваем и^^ сверху, а затем из самого
уравнения (2.4) и оценок И(£)ш сверху получаются их оценки и
снизу. Этот план нам уже встречался в § П.2. Поясним способ
получения оценки сверху на примере уравнения (2.1). Пред-
положим, что F выпукла вверх по переменным (u,;, ut, и), Лп=^0.
Тогда, дифференцируя (2.1) два раза, получаем

(u(£)(6)V*/ + ^«j <ыа) (£))? +^«ыа)а> +

+ Puifur, (и(^х‘х/ (u(^xrxs + 2/7“,7“г (“«))?*/ (“(t))z +

+ 2FU//u (И(5))х«х/М(5) + Fu.u. (u^)xi (И(5))х/ 4-

+ 2Fu.u (u^})xi u(5) 4- FttU (М(5))2

=s£ Fu.. (m(5) ($>)/,/ 4- Fu. («а) (£))х/ + F„U(^ (6>,

Последнее выражение, стало быть, неотрицательно, и по прин-
ципу максимума для оценки и^ сверху внутри сбласти доста-
точно оценить U(j)(^) сверху на границе. В общем случае мы не
считаем, что F выпукла вверх по щ, и, и допускаем ее зависи-
мость от t, х. С дополнительными трудностями, которые при этом
возникают, нам помогает справиться метод контролируемого мак-
симума, введенный в § 2.

Напомним, что u(^j := tfvj, := называются пер-
вой и второй производной v вдоль вектора Аналогичные обо-
значения применяются не только для функций v, заданных в об-
ластях Еа, но и для функций вида v(t, х), F (uif, щ, и, t, х),
которые мы будем дифференцировать не только по х, но и по
(иу, и, х) вдоль некоторых векторов (йу, йг, й, X) е Ed»+2rf+1.
Отметим, что если т] = (йу, й4, й, X), то

F(n) (п> = Fu.^rs utJurs 4- ZF^Sijil, 4- 2Ри..ийий 4-

+ ^ui/XV + Fu^ufij 4- 2Г„<ий4й 4- 2Ри_х1й-х> 4-

4-/7а«(й)г4-2Ги?йХг4-ГА/ХгХЛ (1)

1.	Теорема. Пусть as (О, 1), |u,| и постоянные Гёльдера
порядка а функций uxi на QT не превосходят К, их, ихх s
е Cioc (Q1) П с (& \ dlxQ), u(5)(5)==j/< на (Г П d'Qi) \ dwQ при всех
единичных £еEd. Пусть также при любых zsQi, ХеEd, k =
= 1	d, ц = (иу, uit й, X), где й^ = й}1, выполнены неравенства

e|X,|2^F„.A'V^/iC|X|a,	(2)

(14-|«xd);FnA| + |Fa'|4-|Fxft|^A(14-l«xxP),	(3)

^FW (n) < S 1I [S IЫ + О +1	D1/8 (I2l+Ix|)]4-

4-Sl2<ls(14-hxd)4-(14-k^P)(|fi|24-|5!|2),	(4)

i

где для простоты записи опущены аргументы (и^^, uj, и, г)
у производных F u аргументы г у и и ее производных. Наконец,
пусть uxx^C(Qi) или DeC1. Тогда u^^^N (е, К, d, к, а)
в Qo для всех единичных § s Еа.

7*
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, обсу-
дим ее предположения и проведем некоторую предварительную
работу. Отметим, что в условии (4) оценка требуется только
сверху. Из вида этой оценки и формулы (1) сразу следует, что
СО. Если бы это неравенство выполнялось при всех
значениях аргументов F, а не только на (и^х/, uj, и, z), то оно
означало бы, что Р выпукла вверх по (wiz).

Далее, если F=*a4(uit, и, г)иц + а(иь, и, г), то, как нетрудно
видеть, условия (3), (4) выполнены с некоторым К., если только
аЧ, а и их производные по («*, ы, х) до второго порядка вклю-
чительно ограничены. В последнем случае в (4) можно заменить
F(n)(4t на | F(4) (Т|) |, а если после этого в формулировке всюду
заменить и на (—и), F на (—F(—ulJt —ult —и, г)), то теорема
даст оценку снизу. В частности, в этом случае из оценки
\ихх | на rnd'Qi вытекает оценка | ихх | в Qo.

В доказательстве теоремы удобно ввести некоторые обозначе-
ния. Ниже будут встречаться объекты Uurs, Uy,, uif, ut, и и не-
которые утверждения относительно них. Будем всегда рассматри-
вать uijn, Uijr, иц, только инвариантные относительно любых пе-
рестановок индексов, и говорить, что некоторое утверждение,
в которое они входят, выполняется на решении и, если это
утверждение выполняется после подстановки

ui/r, ut), ult	uxtx/xr(z), u^txf(z), uti(z),u(zy).

Далее, фиксируем z0 = (f0, x0)sQ0 и возьмем некоторое число
ре^О, yxj и неотрицательную функцию £ е С8 (z0 +	р), рав-

ную нулю на Zo-l-d'Cp». р и такую, что £(z0)=l,

| L. Р < AZp-’C,	Ibl’CWp-8

в г04-Ср», р, где Л/ = М (d) (ср. (2.11)). Положим также p0 = ux(z0),
возьмем некоторое число т^О, область б = С(г^, р) из леммы 2.1
и через zi = (<ь хг) обозначим одну из точек и \ dtxQ, в которых
функция

I* Г max (u(W (uM8+т | их - р018	(5)

И 61—1	J

достигает своей верхней грани на (j\dtxQ, если такие точки
вообще найдутся *).

Обозначим также

Xi= max (u(5) (b(Zi))+,

6 Ie 1

и пусть £i — такой вектор, что | £i |8 = М (2i), Mi = ux*xi (2i) &•
Подходящий вектор всегда найдется, так как если M(zi) = 0,
то можно взять 11 = 0, а если М (2i) ¥* 0, то А* > 0, Xi — наиболь-

) Обсуждение вида функции (5) имеется в замечании VI 1.2.5.
шее собственное значение матрицы ихх (Zj) и в качестве годится
соответствующий собственный вектор подходящей длины. Нако-
нец, пусть	4Ч = и»>Л111. 42м = ЫгЛ1£ь Лы4/ =

=	4и, = и^.^|, Au = ur£p

2.	Лемма, а) Если z1^G\d'G, то в точке zi на решении и
при любом у>0 матрица

|С4гм</ + т (ur -- р') urij + xuriur) + 1х>х,А2и + tjA^Ui +

+ lxiA^uj + 2i£ (Uuh + ^iAur) (£AusJ+lxiAu,)] 0,	(6)

где (у™) —матрица, обратная к (vrs + уб„) и vrs := | |26гз +
+ 2^- turs. _

б) Если Zi е G \ d'G, то в точке Zi на решении и

О =С Fu.. (^Агии + т (и, - р£) urt>) - A2uFa.t>xi -f-

+ Fa &A*u+т | ux - p012) 4- т (ur - p;) (Fz + p;F„)+

+ (nt) — CM2u, (7)

{.АЧц + lx,A2u + xuir (ur - p£) = 0,	(8)

где берется из (1) при r]x = (4u,7, Auit Au, ?x).

Доказательство, а) Для любого числа а имеем

£2 (а+)2 = шах (2£а<?2 — (j4: <?s==0)	(9)

Поэтому, принимая qt, за %, мы можем переписать функцию (5)
в виде

max(2Cu(6)a)-|£l* + 'd«*-Pol2:	(Ю)

В (9) максимальное значение достигается на q2 = ta+, в (10)
при фиксированном г максимальное значение достигается на лю-
бом векторе | е Еа, удовлетворяющем условиям

| ||2 = ш X(z), *(z)£' = HjtV(z)5A

где l(z) = max[(u(lll((t)(z))+: pe£d, |р|=1]. Сравнивая эти фор-
мулы с формулами, определяющими Х.х, gx, отсюда заключаем,
что в точке (zx, £i) вспомогательная функция 2£и(^ (S) — | £ (* +
+ т|иж — р0|2 достигает своего максимального на (G\dfxQ)x Ed
значения.	__

Так как zx е G\d’G, то Zi4-Са». о <= Qi при достаточно малом
<j>0, и в точке Zi функция и, по нашим предположениям, имеет
четыре производные по х. Следовательно, первые производные по х
нашей вспомогательной функции равны нулю в точке (zlt £i),
а матрица вторых производных по (х, &) в этой точке отрица-
тельна. Иначе говоря, в точке гх на решении и имеем (8) и для
любых X, l^Ed

(U2uij + 2lxiA2u/ + lxixiA2u + xuriurJ+xurij(ur-p;))	,

+ 4 faAuj +	- 2uvt'f> < 0.	(11)
Отметим, что

Vi№ Hl I2111* -	= £ (bl 111’ - «1/ lltJ) > o.

Поэтому матрица (t>y)SsO, a (tty+ ?$;/)> О и обратная к послед-
ней (т. е. (о(7)) определена. Очевидно, если мы в (11) заменим tty
на Vij + убу, то неравенство только усилится. Сделаем такую за-
мену и после этого возьмем верхнюю грань левой части (II) по £
(или просто положим |г = v‘y (^xrAuj + tAurJ} Хг). Тогда получим,
что квадратичная форма, отвечающая левой матрице в (6), отри-
цательна, что и доказывает (6).

б) В точке 21 мы можем дифференцировать соотношение (2.4)
два раза по х, и производная по t функции 25«(g) —1114 +
+ т|их — р0|2 в точке (г>, 51) отрицательна (гх + Ca,t „ cz Qi при
малых о>0). Учитывая это, в точке zx на решении и получаем

£/м(Ь) (Si) + £M(gi) (go + xutxr (ихГ — p') ==g О,	(12)

0 = utxr+FuyUtJr+FUiuir + Fuur +	(13)

0 = «(go (gi) / + FuyAPutj+FutA 2Ui + FaA2u + F^ (1h).	(14)

Умножим (13) на т(иг —pj), просуммируем по г и сложим
получившееся равенство с (14), умноженным на %. Кроме того,
используем (12) и доказанное выше равенство (8). Тогда мы и
придем к (7). Лемма доказана.

3.	Лемма. На QxxS2 существует равномерно параболический
оператор

г	О2 I И &	1 ЛИ &	. ... д .

L = —\-аЧ —-----Р о" —:----1- а0о‘7 — --к Ь‘-------к с

dt дх1 dxi дх1 ву	дх‘

такой, что коэффициенты а.4, сЧ, а0, Ь‘, с ограничены и Lv огра-
ничено снизу, где v(t, х, 5) = «(g)($) (t, х).

Доказательство. Обозначим аЧ = (FUijFu.^, b‘ = Fu.,
c — Fu. Аналогично (14)

О = vt+aivxixi 4- Vvj + си + F(I)) (n),
где n = (ux<x/(j). u?(g)» “(£)• £) причем в силу (4) и условия огра-
ниченности их, ихх в Qi для |51^2 имеем

F(п) (п) < Ni +	S | °х‘VI»

(. /

где Л\ —некоторая постоянная. Положим

o,7 = 2V1sgnoA.i6/.

Тогдд о'7уж<6/ = ^2|ож<5/|, и для доказательства леммы нам оста-
ется выбрать постоянную <г0 так, чтобы обеспечить равномерную
параболичность. оператора L. Подходящий выбор возможен почти
очевидным образом из-за неравенства (2). Лемма доказана.

4.	Доказательство теоремы 1. Выше мы брали про-
извольное ре^О, , теперь будем считать, что ps^O, -j-*]-
Возьмем еще 6s(0, 1) и значения р, б уточним после проведе-

ния некоторых оценок, в которых символами N мы будем обо-
значать различные постоянные, зависящие только от d, К, в до
тех пор, пока им явно не будет разрешено зависеть и от а, к.

На первое время будем считать, что (2р)2а №	(2d)-16. При

этом, по нашим предположениям, | их (г) — р0|2 = | их (z) — их (z0) |2
«Суб на G, и полагая

М (T)’=supp2(z)( maXi(ua)(U(z))+y + T|ux(z)-p0|2: zeGJ, (15)

в точности так же, как в доказательстве леммы 2.2, найдем т^О
как решение уравнения М (т) = бт. Будем считать, что в построе-
ниях, сделанных перед леммой 2, фигурирует именно это т.

Предположим еще, что верхняя грань в (15) достигается в не-
которой точке Zi ^G\dtxQ (не обязательно zxeG). Тогда

С* (*1) М + т | их (zx) — р012 = М (т) = бт.

(16)

Рассмотрим, далее, случай, когда Zif=G\d'G, ?(гх)>0.
Оценивая сверху первое слагаемое в правой части (7) с по-
мощью (6) и полагая аЧ = ~ (FUij 4- FUj^, в точке гх на решении и
находим

ОС — q4 \xuriurj -I- 2и" (£Л uri 4- ^Аи,}	+ 1Х/Аи^ 4-

+ 2^уЛ2и,- + £?Х/Л2м] - Л2иГв^? + Fu&А*и 4- т | их - р012) +
+ Ум (Л1> 4- т (иг - р;) (/> 4- Р'Ри) ~ЪА*и.	(17)

Отметим некоторые простые соотношения между участвующими
здесь объектами. Очевидно, Л2ы = А* | |2 = XJS, £Л2ы = А,х$2, по-
этому

£Л2и4-т|«х-Ро12 = 6ь	< С'1 (бт)1/2,

I I = А.!/2С1/2 С (бт)1/4, |ЛЫ,.| = Ах|^|с^1(бт)’/4,	(18)

I Аи | С К | & | К (бт)1/4.

Для оценки Лаы,- воспользуемся равенством (8). Имеем
| Л2Ы/1 С #р-1С-3/2 бт 4-	| ихх |.

С другой стороны, из (16) и неравенства I u* (гх) — р012 *S= у $
следует, что 2^2Х|^бт. Кроме того, Ах есть нуль или наиболь-
шее собственное значение- матрицы (ижж(гх)). Его квадрат не пре-
восходит суммы квадр<1тов собственных значений, т. е.

f Чхх Р 2=5 М | £"2 в»»

Отсюда и из (2) в (17) имеем

xa‘Juriur/ 2» er (и*, 2 3s et~* бт4 4-1 ет | ихх р,

2 |	ет j ихх р =: В,

| оЧ?,/Л2« sS Л/р-2£-*т, I&А*и I < A/p-^-H.

Для оценки некоторых других слагаемых в (17) воспользуемся
предположением (3) и тем, что uz —р' 1 «Sftpa2a. Тогда

i A2uF ,.trl A^-1'2»-1? (1 4- J uxx li)	E,

Fa (tA2u + т I ux — p012) — 6tFb К бт + К бт | ихх ||2,
т (“г - /’о) (Fz + pfu)	+ N 1Р“т IIЧХХ р.

Если бы при выборе б, р мы позаботились о том, чтобы

Яб + Л\р»«с|е,	(19)

то тогда из (17) мы получили бы

О sg — | е£-2 бт2 — J те 1 ихх р — 2syf (£Auri 4- Aur) х

х (СЛи^ + lxiAus)+^(П1) (П|> + Л^р-2:-Ч.	(20)

Разумеется, будем считать, что неравенство (19) выполнено.
Подходящий выбор 6, р можно было бы осуществить в самом
начале доказательства, если явно найти AZt, что не представляет
никаких сложностей. Займемся теперь извлечением следствий из
неравенства (20). Оценим £F(Th) (по сверху. Вспомним, что щ =
= (Auij, Aui, Au, £1), что часть компонент вектора щ оценена
в (18) и что нам дано неравенство (4). Эти соображения приво-
дят к следующим неравенствам:

^*Uh) СП1)	| fcAUfr Z,xiAUf ^AUrl x

'' Г X [g-1 (St)3/4 + (8t)V< (1 + i UXX [)V2] +

. +X-1 (St)3/2 (1 + II uxx II) + £ (6t)1/2 AZ (1 + |l [2)

< N [С'1 (бт)3/4 + (6r)V‘ (1 +1| uxx p/2)] 2 | £Auir + Aur | +

i. f

+ Wp-1:-3'2 (бт)8/2 + M-VSp-i бт+Л'С~1/2р-1 бт I uxx p/a +

+	(бт)8/21 uxx | + Nt (6r)Va + Nt (бт)1/21 Uxx p. (21)

В последней сумме все слагаемые, кроме первого, оцениваются
выражением вида

Nt^ (р-‘ 4- (бт)4) 4- Л (14- бт) iUxx р.
Этот факт легко вытекает из неравенства Юнга. Для оценки пер-
вого слагаемого в правой части (21) заметим, что для любых
р е Ed, как нетрудно видеть,

|р |<(г<>И1/2(tr (v„ +

причем tr (и„ +	4- (d-f- 2) | I* — £ tr (u„) sg N (£ -f- (6т)1/* +

+ t, 8 uxx ||). В частности, первое слагаемое в правой части (21) не
превосходит

Л/ [v" $Auir + $?4ur) {tAuis +	К + (бт)1/2 + U l)1/s x

x (£-1 (бт)3'1 + (6т)»/< (1 +1 ихх п <

==£ 2ei^s (£Д 4-	А и,) (ZAuis 4- t,xt А и,) 4-

4- Л^-8 (1 4- (St)2) 4- N (1 4- St) J ихх |«.

При выводе последнего неравенства мы опять применяли не-
равенство Юнга. Суммируя наши рассуждения по поводу (21) и
возвращаясь к (20), заключаем

0^^аб2-|еб)т24-

4- [л/2 4- т (w26 - 4 в)] S2 8 ихх р 4- А^о-2т 4- Ni(r*. (22)

Теперь произведем окончательный выбор б, р, который можно
было бы сделать в самом начале, если заранее найти постоян-
ные /Vi, М2 (которые зависят только от d, К, е). Пусть б, р удов-
летворяют неравенству (19), (2р)2а №	(2d)-16, бе(0, 1), < е

<= (О, 4 х]» кроме того, W26 «с (Не. Мы выберем каким-нибудь
образом подходящие б, р и фиксируем их до конца доказатель-
втва. Очевидно, можно считать, что б, р зависят только от d, К,
е, а, х. Ниже в доказательстве символ N обозначает теперь по-
стоянную, зависящую только от d, К, в, а, %. Из (22) следует,
что в точке

0<-т24-^т4-^4-Лг[^2-|ет]:2||«;гх1а.	•	(23)

Здесь возможны два варианта. Если 8-1ет^Л?2, то последнее
слагаемое в (23) можно отбросить и получить т«СЛГ. Если же
8-18ts^W2, то т«^8в-1М2.	___

Таким образом, в елучае, когда ZieG\d'G, £(zi)>0, мы
доказали, что <г «£ Af, откуда М (т) N в силу (16) и (z0) «S N
для любого единичного в силу определения (15) и непре-
рывности ихх в г0. Если C(zi)=O, тот=М (т) = 0, так как из (16)
и неравенства (2Р)2® №	(2d)-1 б следует, что -g-бт^бт. В этом

случае «o)(t)(2b)<0 ПРИ всех %&Еа.
Рассмотрим теперь случай, когда Zi^d'G\dtxQ. Заметим, что
если некоторая точка г ^d'G\dlxQ, то или 2^ z0-f-Cpl> р, или
2 ф Qi. Если 2 ф Qi, то ге d'Qi, причем еще г е Г, так как если
бы г лежало на (d'Qi)\r, то параболическое расстояние от г0
до д'Qx \ Г было бы меньше р (г0, г) 2р < х. Следовательно,
при Qj имеем г е Г ["] d'Qx \ d<xQ и, по предположению,

£ (2) u(l) (I) (г)

для | £ | = 1. Неравенство (24) верно и при г г0 4~ Ср*. р, поскольку
£(z)=0 для таких г. Неравенство (24), полученное при ге
е d'G \ dtxQ, по непрерывности верно и при г е d'G \ dlxQ. От-
сюда и из (16) при Zi^d'G\dtxQ, принимая во внимание усло-
вие (2р)2® №	(2d)-16, заключаем

К2 + |«т^6г, 6т<2№, М(т)<2№, иа) а) (zj 2К
при всех единичных £ е Ed.

Остается разобрать случай, когда ни одной подходящей точки
Zi е G \ d^ не найдется. Тогда любая сходящаяся последова-
тельность точек г„еб, максимизирующая (15), сходится к неко-
торой точке z^dtxQ. Как в доказательстве леммы 3.1, при ма-
лых т), у > 0, D е С2 заметим, что Y: = (г — Cn, v) f| Q с. Qu
у (]d'Q с Г Hd'Qi, и в Gn,YxS2 воспользуемся леммой 3 и
леммой 1.1.6. Тогда увидим, что

Tim “a)a)(2»)^sup[u(MW(z): |Х| <2, ге (Г Л d'Q1)\^Q]=c4/C
П->ОО

для всех единичных	если DsC2 или, очевидно*), если

Uxx С (Q1),

6т = М (т) < 4- 6т + iim t* (zn) ( max (иа) (5) (zn))+y =sS
n-*OO	/

^у6т+ 16№, 6t^32№, A4(t)<32№, U(6) ft) (г0) С 6K.

Тем самым оценка (г0) N для любого единичного g e
e Ea имеет место во всех случаях, а так как z0 была произволь-
ной точкой из Qo, то теорема доказана.

5.	Замечание. Сохраним все условия теоремы 1, кроме (4),
а в (4) заменим (1+|иж*|1)1/2» Iм** II2 на 1 +8М**1. IIм** Is соответ-
ственно. Потребуем также, чтобы на Qx выполнялись неравенства

и(, Р-Риииху^К.

Тогда утверждение теоремы 1 продолжает оставаться верным.

Покажем это, повторяя предыдущее доказательство. Оказыва-
ется, что новые условия позволяют жестко связать т и Цыж<||.

*) После замены гя их проекциями на d/Q,
С одной стороны, как и выше, из (16) мы имеем 2бт 2£2Х| 2* бт,
а, кроме того, |ихх|2=Xi. С другой стороны, матрица ихж—
— Xj (6jy)	0 и

tit 4- s* — К, a.4 (ux,xj—2s — 2К. — Mtd,

— 2/С— KiKd,

для любого единичного	Отсюда I ||2 У (d, К, е) х

X (1 + Xj), что окончательно дает 2£21 ижж ||2 5s бт 2s ?С21 ихж [2 — £2,
где y = y(d, К, е)>0.

Далее, в доказательстве теоремы до формулы (21) мы не
использовали (4). Теперь применим оценку бт 2?21 ихж ||2 для
того, чтобы оценить сверху SF(tll)(ni) при новых предположениях.
Тогда (ср. (21)) получим

^(п.)<4Ю<?1/2(1+11«жхГ) S|UM/r + ^ur!+ Np-' + mu^*.

I. Г

Первое слагаемое оцениваем, как и прежде, и в (20) пользу-
емся еще тем, что т 2= б-1у£21 ижх |2 — б-1?. Из (20) после этого
имеем

0 < - еб-Ч21| ижж |< + Уб-1? 1 ихж |2 + Ур-4 + У 8?21 ихх Г-

При еб-12=У2'-|-1 отсюда находим У 2® 2£21|	|2 2* бт и доказа-

тельство теоремы 1 завершается прежними рассуждениями.

Сформулируем, далее, условия, которые нам понадобятся
в оставшейся части параграфа. Разумеется, мы считаем выпол-
ненными условия, перечисленные в § 2 перед леммой 2.1 и, как
во всем этом параграфе, предполагаем F дважды непрерывно
дифференцируемой по (uif, uit и, х). Пусть, кроме того, на Qi
с обычными сокращениями обозначений при всех Л, е Ed, г — 1,...
..., d, г) = («//, й<, й, х), для которых йу=йд, имеют место не-
равенства

8|X|2^FUyyV^y|l|2,	(25)

IF ~ F»№\	Ях (1 +1 «ж I2).	(26)

l^ld + I^D + IFJ + IF.rld + l^l)-1^

^/<1(1 + 1 «ж|2+кхж|),	(27)

M-1 (и, их) F(л) (л)	2 I йИ I [SI I + (1 + В	1)^" (I й | +1X |)1 4-

i, i L I

+ 5 W(1 +lu~l) + d+lu~ 12+0)(|й|2 + |Х|2),  (28)
i

где M (и, ut) — некоторая непрерывная функция, заданная при
всех действительных и, Ui, ..., иа; М > 0; 8 = 0 или 1.

6.	Теорема. Пусть область Qi ограничена, Г — ф, |и|Ki
8 Qi, иж, ихж е Cfoc (Qi), 8=0. Тогда нормы функций ut, ихх
в <2?s(Qo) оцениваются постоянной, зависящей только от d, К, в,
Ki, х, областей Qo, Qi и от функции М. Кроме того, и{^Л^

(d, К, в, Ki, х, М) на Qo при всех единичных £ е Ed. Нако-
нец, существует a = a(d, К, в) е (0, i) такое, что нормы и, их
в С01 (Qo) оцениваются постоянной N (d, К, в, Ki, х).

Доказательство. Утверждение относительно оценки
нормы и в C“(Qo) сразу вытекает из следствия IV.3.6 и условий
(25), (26). Далее, заметим, что z0 + Cp«, р с Qb если zoeQo,
р<^х. Поэтому оценка нормы их в C“(Q0) получается из тео-
ремы 2.4, очевидным образом применяемой, когда в ней вместо
Q = Qi, Qo берутся области z0-f-C4p.t 2р, г04-Ср«, р, гдер = ^х,
го—произвольная точка из Qo. Получив оценки норм и, их
в C“(Qo), очевидно, можно утверждать оценки норм и, их и
в C“(Q'), где Q' —область из леммы 2.1. Переходя при необхо-
димости от к, Q. к ух, Q', будем считать, что нормы и, их
в C“(Qi) оцениваются известной постоянной.

Тогда условия (27), (28) гарантируют выполнение условий (3),
(4) с некоторой постоянной N вместо К (договоримся не отмечать
зависимость постоянных N от d, К, в, Къ к, Л4). Еще раз, при-
влекая области гь4-С4р._ 2р, го + Ср., р, с помощью теоремы 1 по-
лучаем (z)«gV при zsQo, 151=1- Разумеется, такая
оценка есть и в Q', и опять, принимая Q' за Qi, будем считать,
что она имеется в Qv

Нам остается доказать первое утверждение теоремы. Очевидно,
достаточно оценить нормы щ, ихх в Х3 (Zo + Co*. Р) Для любых
z0 е Qo при р = х. Фиксируем гь е Qo и положим Qa = г0 + Ср», р,
Qs = Zo + C4p», 2р,	Так как QacQi, то а(5т)<

«S N 15 Is на Qs и и — N | х |* выпукла вверх по х на Q3. Из
свойств симметричных неотрицательных матриц вытекает, что
на Qs

К Д (ы-ЛГ|х|»Ха''(и-ЛГ |х|2)?жУ<8Д(и-Л/|.л:|а)^0, (29)

К Да а1*ихЧ+N «С N.	(30)

Кроме того, из (2.4), (26) следует, что на Q3

— N^ut + ayuxtxj <s^N.	(31)

Это вместе с (30) дает

N-K^u^ut^-Nt, Кг-K^v^v^O	(32)

на Qs, где v = u + Nit. Пусть, далее, i|>eC4(Q8), l^ip^O,
i|V = 0 в Qs, i|> = 1 на Qa, гр = О вблизи dxQ3. Из (32), обозначая
2о=(/о, Хо), <i = ^o + 4pa, имеем

J vtdidx^ J ^vtdtdx^.Nt \ tyutdidx — K J tyvt&vdtdx =
Q,	Q>	Q-	Q,

= N2 J	c+k( ^iV/didx + ^K j

*• + Ssp	*•	л

Здесь u(>0 в силу (32) и

J ypxivxiVtdidx^N J \vt\didx = N J гс(х^_г,

C.	Q.	*o+S2p

О»	*o+ssp

Эти вычисления доказывают первое утверждение теоремы отно-
сительно щ. Одновременно мы оценили интегралы i|»?, фи) по Q3.
Кроме того, в силу (31) получаем | aiJu| =sS | щ 14- N, а из (29)
следует, что и |Au|«^AZ(1 -НМ) на Q* Стало быть,

|А (фи)|j?,(o,)=sS|фАиk»(Q.) + N sgN|ф«/(Q.) + N ^N.
Остается заметить, что

У, $ (“x»xj)*dtdx^'£ $ ((фв^Р Л “ IА (♦“)&.<«•
i. i Qt	i.fQt

Теорема доказана.

Эта теорема в основном завершила нашу подготовку к выводу
разрешимости в W'2* нелинейных уравнений, когда F по t только
измерима, из их разрешимости в С84® для F гладких по /. Для
исследования же разрешимости в С84® нам понадобятся дальней-
шие оценки.

7.	Теорема. Пусть а«(0, 1), О = {х:ф(х)>0}, причем
феС84®^),	|фж|>81 на dD (еслидО^ф).

Пусть также выполнены условия, высказанные перед теоремой 6
при 6 = 1, F непрерывно дифференцируема по (и.ц, щ, и, t, х) при
(t, x)eQi, |F<| после подстановки в аргументы (u^tz), uxi(z),
u(z), z) на Qi не превосходит

f(t)+M(u, «Л(1+|«~Р),

где f(t)—неотрицательная ограниченная функция на [0, Т], для
Т

которой J Ki. Пувть еще даны две функции <рх е С84® (Q),
о

ФавС8^) такие, что

I Ф11с*4® (Q)» IФ» к* (dfi)	К1.	(33)

Наконец, предположим, что их, ижж, ut^C^iQ^ Q C(Qi\5ZxQ),
Ux^CtQi), |u|=s$Ki на Q1, Ы = Ф1 на*) Г fl d'Qi П d*Q, ы —ф»
на Г П d'Qi П dtQ.

Тогда

|и|с«	(d, К, г, Ki, si, а, х, М).	(34)

Доказательство. Через N будем обозначать постоянные
типа той, которая участвует в (34). Возьмем область Q' из
леммы 2.1 и применим теорему 2.4 к Q' вместо Qo- Можно счи-
тать, что фг не зависит от t и для проверки условий (2.38) вос-
пользоваться леммами 1.1.3, 1.1.4. По теореме 2.4 норма их
в СР(ОЭ при некотором p = p(d, К, в) <= (О, 1) оценивается неко-
торой постоянной AL-

Оценим, далее, | ut | в Q# с помощью леммы 3.1, в которой
возьмем Q' в качестве Qx. Ее условия (3.1) выполнены (в Q')
с постоянной М вместо К в силу (25) — (27), полученной выше
оценки |ых| в Q' и предположений настоящей теоремы о Ft. Для
доказательства неравенства | /V на (Г f| d'Q') \dtxQ фикси-
руем некоторую точку гх = (Д, хг) е (Г f) d'Q') \ df3JQ и найдем
точку ?о = ((о, Хо) е Q' такую, что t0 < ti, точки z0, zx можно
соединить непрерывной кривой вида (/, x(t)), лежащей в Q' при
/ ефо, Л), и p(zo, 21)=С(Нр1, где pi = (-|- р0) Д (х) (ср. на-
чало доказательства теоремы 2.4). Если d(x0, dD) ^Зрх, то возь-
мем G = G(z0, ЗрО из леммы 2.1. Так как d (хх, dD) 2рх > 0, то
2x^dxQ, Д = Т, G = Zo + Ст — 4. зр, и по лемме 2.1 d/Gcd'Qxn
П Г П dtQ, и = ф2 на dtG. Кроме того, из (2.4), (26) вытекает, что
| ut | sgM (1 4-1 и* |2 + Ц «хх I) в Qx. Поскольку GczQi и zxe
^dtG\dtxQ, то это неравенство верно в точке Zi (и в ее окрест-
ности), где оно означает, что | ut (zx) |sgAf(l -|-1 ф2х |2 + |фг** |) ^ Л(-

Если же d (х0, dD) < 3pi, то, как в доказательстве леммы 2.3,
найдем точку х* и сделаем распрямление границы, определяя G,
S, h из формул (2.31), (2.32), в которых мы заменим х на ух,
чтобы ими можно было пользоваться для точки zoeQ'. Тогда
точка /i-1(zi) будет лежать на 2$, 3 или на (dzQs,3)\ {х1 = 0},
причем в обоих случаях образы этих множеств при отображении h
лежат в ГПd'Q' (см. (2.34), (2.35)). Остается заметить, что ра-
венство и(Л) = ф1(Л) на 2$.з можно дифференцировать по t, а если
hrl(zj.) лежит на (dtQs, з)\{х1==0}, то оценка | ut (zx)| следует, как
и выше, из (2.4), (26), (33). Таким образом, | ut | N на
(Г П d'Q') \ dtxQ и по лемме 3.1 заключаем | ut | N в Qo-

Оценки их, ut, доказанные выше в области Qo, верны с дру-
гими постоянными и в Q'. Как уже неоднократно объяснялось,
переходя от Qx, х к Q', у х, мы можем, а потому и будем счи-

*) Любые две функции считаются совпадающими на пустом множестве,
тать, что нормы их в Ср (Qx), ut в С (Qx) оценены некоторыми по-
стоянными N.

. Предположим, далее, что на (Г f]d'Q') \d/*Q нам удалось до-
казать неравенство

|«жж|«^Л7.	(35)

Применим в этом случае замечание 5 и теорему 1, в которой
возьмем Q' в качестве Qx. Очевидно, их условия выполнены в силу
предположений (25) —(28) и оценки их в C₽(Q'). Конечно, по-
стоянную К в формулировке теоремы 1 и в замечании 5 придется
заменить на некоторую постоянную N. По теореме 1 получаем
“(I) (I)	| в Qo-

Выведем оценку для и(|) снизу. Пусть, как обычно, а*7 =
~ У	^’4)’ имеем	на Qo. Так

как u — N\x\2 выпукла вверх, то отсюда и из (29) заключаем
Ды^— N, т. е.	— N на Qo. Здесь по доказан-

ному «*»*», ..., ujxd^N, стало быть, —на Q®. Если
в качестве оси х1 взять ось, направленную вдоль некоторого
единичного вектора | s Еа, то также получим	— М на Qo.

Окончательно, ||«СN при |£|=1, и	на Qo-

Таким образом, остается доказать (35) на (Г Cl^'Q')\d/xQ- Рас-
суждая, как при оценке |uj на (Г f]d'Q') \<W2, без труда из
(33) и равенства « = <р2 на (Г f)d'Qx) CI3/Q выведем (35) на
(Г П d'Q' f] dfQ) \ dtxQ. Поэтому достаточно (35) установить на
rpd'Q'n^Q-

Пусть Zi е Г П d'Q'П d*Q. zx=(4, хх). Распрямим участок гра-
ницы dxQ, прилегающий к zu с помощью леммы 1.1.2. Для того
чтобы можно было пользоваться уже известными результатами,
мы, как выше в доказательстве, определим zo = (/o> x0)eQ', pi,
будем считать, что d (х0, dD) «с Зрх, найдем х2 и будем считать,
что в формулах (2.28) — (2.33) участвует вместо к. Отобра-
жение, определенное на h (Qs, 3) и обратное к Л, обозначим че-
рез g. Заметим, что на этот раз hag являются функциями
класса С06*2 по х в своих областях определения, а их третьи
производные по х допускают известные оценки (см. лемму 1.1.2).

Далее, при zeQJ, 3 и действительных urs, иг, и положим

F (игх, ип и, г) = 16p?F (ursg^ (h (z)) g^ (ft (z)) +

+ Urg'jj(Л (z)),	(ft (z)), u, ft (z)),	(36)

2 = it (ft).

Нетрудно проверить, что на QJj.3 (в силу (2.4) и того, что
G.c=Qi)

hi (г) -J- F (й^ (z),	(z), й (z), z) = 0.	(37)
К (37) мы хотим применить теорему 1.9. Будем опускать оче-
видные значения аргументов различных функций и проверим вы-
полнение ее условий. Условие 1.2 для F из (36) выполнено, так
как g трижды непрерывно дифференцируема при х*>0, a F и ft
непрерывно дифференцируемы по соответствующим аргументам.
Очевидно,

(38)
и из (25), (2.30) следует, что условие 1.3 выполнено с -^8,
4К вместо в, К. Далее,

= 16р|а'>	+

+ 16p18F«JSz^Ap/iPk + 16p12Fxp^,	(39)

F„r = 16р1а'^^+ 16piF„^,..

Из (25) вытекает, что | а'1 | К- Кроме того, G с Qi и оценки
| иж |, | U/| ^N, как мы договорились выше, имеются на Qi. Поэтому
|йх|, | й< J N в Qs,3- Отсюда и из (26), (27) получаем, чго усло-
вия 1.4 с а = 1, 1.5 выполнены для й, F, если в них Ki заме-
нить на некоторую постоянную N. Наконец, неравенство в (1.10)
следует из (2.35), (33).

При 16 (Т — /о)Э=хг имеем S = (256)-1pf2x2^ 14, a tx — (o=CPi,
так что Zi: = ft-1 (zi) е Ss-i. 1 и | йжж (zi)| Л/ по теореме 1.9. Если
же хг> 16(Т-(0), то из (2.34), (33) следует, что й = <р2(й) на
dtQi.3, выполнено условие (1.11) и |йжж(?1)|^Л( опять по тео-
реме 1.9. В обоих случаях это неравенство и оценки | иж | приво-
дят к неравенству |uXx(Zi)J< N. Точка ?i была произвольной на
Г Qd'Q'f|d*Q, и теорема доказана.

8.	Замечание. Результаты этого параграфа без труда пе-
реносятся на эллиптические уравнения. Достаточно к ним фор-
мально добавить и( = 0. Разумеется, не стоит переносить на
эллиптический случай теорему 6 —ее эллиптический аналог на-
много слабее соответствующего аналога теоремы 7.

§	5. Оценки а в норме С2+а

В этом параграфе мы в основном заканчиваем подготовку
к доказательству разрешимости в классах С2** нелинейных урав-
нений, определяемых гладкими функциями F.

Пусть постоянные К^ч>0, область QczEd+1.

1.	Определение. Пусть при всех ((, x)eQ и действитель-
ных Uy, щ (i, /=1, ..., d), и определена действительная боре-
левская функция F (uij, и,, и, t, х). Будем писать	К, Q).

если при всяком t функция F дважды непрерывно дифференци-
руема по (uy, «„ и, х) е Е& + d+i х {х е Ed. (/, x)eQ| и при всех
(/, x)eQ, X, JfeErf, r = l, ..., d и действительных «« = «/<,
йу = йц, Ui, Ut, и, й выполнены неравенства

е|Х|2^Г„гЛ‘А/^К|Х|\	(1)

|F-Fa<A/KMf (ы)р+2^,	(2)

K“rlp +Sl«.l)+i/;«i4-A'l(1 +Sl«il)-1^

<Aff(u)(l+2l«d2+SlMyiy	(3)

К («, «ЛГ^пцп) 312//1[ 5 IЙ/1 + (i + S I “«?I) (!й +1 x I)] +
+ SiMi +siu,7iu(i + si«уH(i212+1 *i2)’ (4>

i \ i, f I \ i, f /

где у F и ее производных опущены аргументы («у, uit и, t, х),
г| = (йу, й{, й, %), F(tl)(l)) введена формулой (4.1), Aff («).
М*(и, «*) — некоторые непрерывные функции, растущие с ростом
|«|, «цы*; Afj^l. Будем писать Fe«F(s, К, Q), если F е
е<Л1(в, К, Q), функция F непрерывно дифференцируема по всем
аргументам и при ((, x)eQ, «*/ = «д и всех и,, и

|FJ <;<(«, «л)/1+21«у1$	(5)

\	£. i /

где Мз — некоторая непрерывная функция, растущая с ростом
|ы|, «ftMft.

Данное определение вводит важные для дальнейшего классы
операторов а?\(е, К, Q),	(е, К, Q). Естественно, что для раз-

ных элементов этих классов функции Aff, AfC, М? могут быть
разными. Общее свойство функций из ^i(e, К, Q) — выпуклость
вверх по переменным иу на множестве всех симметричных матриц
(иц). Это свойство следует из условия (4), в правой части кото-
рого отсутствуют члены второго порядка по йу. Широкий класс
примеров функций класса «^1(8, К, Q) дают функции вида
аУ(ы*, и, t, х) uy+a(Uk, и, t, х) при естественных предположениях
на аЧ, а. Примеры функций F, нелинейных по иу, будут даны
в дальнейшем.

Всюду ниже в этом параграфе мы рассматриваем схему, вве-
денную в § 2 перед леммой 2.1. В соответствии с ней нам даны
постоянные Т, Ki, 8!>0, хе(0, 1], область D cz Еа, область
QxczQ:=(0, Т)хО, замкнутое множество Fczd'Q и непустая
область Qo с: Qlt каждая из точек которой обладает окрестностью
в Ed+1 такой, что параболическое расстояние любой точки этой
окрестности до d'Qi\T больше х Пусть также нам дана функ-
ция и такая, что и, их, ut, «** е Cfoc (Qi) Л С (Qi). На Qt для
функции F, предположения о которой мы накладываем ниже,
считается выполненным равенство

ut(t, x) + F (их<кД/, х), uxi(t, х), u(t, х), t, х) = 0.	(6)

2.	Теорема. Пусть F (s, К, Qi), ае(0, 1), О =
= {х:ф(х)>0}, причем ^^C^(Ed), | ф |са+« {£ > «S Ki, |фх|2г8Х
на dD (если дОу=ф), функция <peC2+a(Q),

1и lc (Qi)> |ф|с2+а(р)^^1»	(7)

и = Ф на*) Tfld'Qi. Тогда м е C2+a« (Qo), где cq = a<, Д а, «о =
= ao(d, К, е)е(0, 1), и норма и в этом пространстве оцени-
вается постоянной, зависящей только от d, К, Кг, е, «1, а, х и
функций Mf, i — l, 2, 3.

Доказательство этой теоремы будет дано после проведения не-
которой предварительной работы. Для иллюстрации основной
идеи доказательства рассмотрим сначала случай, когда F =
= Ф («и» «22, • • •, Щм) + f (*) и «(х) — решение уравнения

Ф (“х*х* <*)> • • •« W W)+f W = °, х s D- (8)
Как уже отмечалось, функция Ф выпукла вверх по («ц, • • •, «</<*)•
Поэтому, дифференцируя дважды (8) по / и полагая иг=и^хг,
при каждом г находим Lur+fxrxr^0, где

Lv-.^Фи^.

Кроме того, из (8) и формулы Адамара вытекает, что

о = ar (ur (Х1) — ur (х2)) + f (хх) — f (х2),

причем здесь в силу условий (1), (3) имеем гг^а'^К,
\f(x1)-f(xi)\^M^(Q)\xl— х21 d =: ЛД Xi — х21. Следовательно,

0 = аГ (ur (Xi) — if (х2)) 4- f (Xi) — f (х2) Ss

Ss -‘N | Xi — Хг 14- е У, [ur (Xi) - иг (х2)]+ — К У [иг (хх) — иг (х2)]_. (9)
Г	г

Применение теоремы IV.3.1 доказывает оценку постоянной
Гёльдера внутри D. Оценку постоянной Гёльдера смешанных
производных можно получить (хотя в общем случае мы так не
делаем) из теории линейных уравнений, так как Ды имеет уже
оцененную постоянную Гёльдера. Немногим сложнее случай,
когда Ф зависит от конечного числа чистых производных и по
разным направлениям (см. Эванс [2]). В общем случае мы при-
влекаем дополнительные координаты, чтобы после дифференциро-
вания уравнения (6) для производных иметь неравенство вида
L«r4-fzz^=0-

*) Любые две функции считаются совпадающими на пустом множестве^
Прежде всего мы оценим и, их, ut в Са, что позволит нам
вместо (2) —(4) пользоваться более сильными условиями. Пред-
положения теоремы 2, разумеется, считаются постоянно выпол-
ненными до тех пор, пока мы ее не докажем. Через Q' мы обо-
значаем область, введенную в лемме 2.1.

3:	Лемма. Существует постоянная ao = ao(d, К., 8) е (0, 1)
такая, что при ах <= (0, а0 А а] нормы и, их, ut в Са' (Qo) и нормы
ихх в C(Q0) ограничены постоянной, зависящей только от d, К,
Ki, 8, 81, х, alt a, Alf (/Ci), Af,, М%-

Доказательство. Нам достаточно доказать утверждение
при ai=a0 Да, где а# — наименьшая из постоянных, называемых
a# в теоремах 2.4, 3.2. Предположения теоремы 2.4 выполнены
в силу (2), (3), (7) и леммы 1.1.4. По этой теореме норма их
в С“' (Qo) оценивается некоторой постоянной, зависящей только
от объектов, разрешенных в формулировке леммы. Все подобные
постоянные мы обозначаем через N. В качестве Qo может высту-
пать Q', поэтому норма их в Ca>(Q') не превосходит N. После
этого по лемме 2.1 можно вместо Qu и взять Q', ^-х в остав-
шейся части доказательства. Чтобы не загромождать обозначения,
мы будем считать, что норма их в С“‘ (Qi) оценена известной нам
постоянной N.

По теореме 4.7 имеем | u,|, ||uJrx||’CW в Qo. Проводя рассужде-
ния, подобные предыдущим, убеждаемся, что в оставшейся части
доказательства можно считать, что и |uj,	в Qi-

Из оценок |ц/|, |их| выведем, что | и (г0) — и (zi) | sg Np (z0, zx)
в Qo- Для доказательства этой оценки естественно применять
теорему Лагранжа. Единственная трудность, которая здесь воз-
никает, заключается в том, что прямолинейный отрезок [z0, zj,
соединяющий точки z0, Zi, может выходить за пределы Q>, и
тогда мы не сможем воспользоваться оценками | щ |, |ыж| в Qi-
Преодолевается эта трудность за счет рассмотрения достаточно
близких точек z0, гъ например, удовлетворяющих неравенству
(2.24) и за счет распрямления границы D, если р(х0, dD)<3pi,
для того чтобы или сами эти точки лежали в выпуклой области
(2.25) или чтобы их образы при отображении /г-1 (см. (2.28),
(2.29), (2.32)) лежали в выпуклой области DJ, i (см. (2.31)). Ска-
занного вполне достаточно для оценки | и (z0) — и (zi) |.

Остается оценить норму щ в Ca*(Q0)- Сделаем это по тео-
реме 3.2, взяв в ней Q' в качестве Qx. Заметим, что в ней тре-
буется линейная оценка |F/| через j ихх | в отличие от (5). Однако
II ихх||tN в Qi, так что в нашей ситуации | Ft | N в Qi и в Q'.
По теореме 3.2 для доказательства леммы остается оценить норму
ut в C“(rf)d'Q'), а так как щ, по предположению, непрерывна,
то достаточно оценить норму щ в С“ (Г П d'Q' f) dxQ) и в С“ (Г f)
fld'Q'fld/Q).
Разумеется, при рассмотрении Г f| d'Q,’ f| d*Q мы будем пользо-
ваться (7) и тем, что и = ф на Г Q d'Qi П	Во внутренних

(в относительной топологии dxQ) точках этого множества оче-
видно Ы/ = Ф/. В доказательстве же теоремы 4.7 при выводе не-
равенства | щ | «5 N на (Г n<5'Q')\<3/jrQ мы видели, что любая
точка из Г П d'Q'П является относительно внутренней для
rnd'QifldxQ. Поэтому норма ut в С® (Г f| d’Q’ f| dxQ) не превос-
ходит Ki по условию (7).

При оценке ut в норме С®(Г f]d'Q'("|Э,ф) используем уравне-
ние (6). Возьмем 20, Ziernd'Q'fl^Q, 2{ = (Т, х,), i = 0, 1 так,
чтобы 2p(z0, Zi)d<(jp0) Д (-§57 х) =:Pi (ср- (2.24)), и подберем
точки 2/=•(?/, Xj-JeQ', достаточно близкие к г{, например такие,
что р (Zi, г{) < у pi, и кроме того, Zi = Z8. Рассмотрим сначала
случай, когда d(x0, dD) ^Зрх. Тогда область G = G(2®, 2рх) из
леммы 2.1 совпадает с 2® + С7._^_ 2р1, причем последняя лежит
в Qi по лемме 2.1, так что на 2®+dtCT _	2pi имеем и = ф,

ихх=<рхх. Из (6), далее, следует, что

I Ut (2®) - Ut (21) I sS IF (u^ (2o), ux, (Zo), и (z®), Zo) -

— P(“xtxd2i), uxi@i), u(zi), Zo)| +

+1F {их1х> (*о»	(20’ “~ F (u^	U*1 &&u

10)

Для оценки первого слагаемого применим формулу Адамара и
предположения (1), (3). Оно сверху оценится выражением

N (| ихх (2®) - ихх (zi) 14-1 их (2®) — их (21) | +1 и (2Р) —

- и (21) |) (1 +1 их (z0) |8 +1 их (21) |8+1 ихх (zo) | +1 ихх (21) |).

Последнее слагаемое в (10) оценим по формуле Лагранжа
через

АГ (1 +1 их (21) |8) (1 + J ихх (ъ) |) | Хо - Xi |.

Подставив эти оценки в (10), положив 2,—>2^ и вспомнив (7)
и равенства ы = ф, их = <рх, ихх = <$хх, верные в точках zit полу-
чим | ut (z0) — ut (Z1) | =C N | x0 — Xi I®. Последнее неравенство верно
и когда d(x0, 5D)<3pi, что по той же схеме доказывается с по-
мощью распрямления границы (см. доказательство леммы 2.3).
Отметим только, что при этом распрямлении, разумеется, не надо
выражать uxx(h) через [и (Л)]**. Лемма доказана.

Следующая лемма нам позволит получить соотношения вида
(9) в общем случае.

4.	Лемма. Существуют р2, 6е(0, 1), целое nSsl и Цинич-
ные векторы li,..., 1п е Еа, зависящие только от d, К, в, такие,
что неравенство

ОгРги^-ЗК^ (TMuJ.
< = |	f=l

выполнено для всех матриц а, симметричных матриц и размера
dxd и векторов 1,^Еа, удовлетворяющих условиям

8|X|’^aW<b/^K|*|\ |7*-/*|<spa,

при всех г=1, п, k—\, ..., d, keEd.

Доказательство. Рассматривая вместо а матрицу
у (а 4-а*), сведем дело к случаю, когда а симметрична. Далее,
множество Г (е, К) всех симметричных матриц а размера dxd,
удовлетворяющих условию 81X |2(аХ, X) К | X |2 при всех
X е Ed, образует замкнутое выпуклое множество в линейном про-
странстве всех симметричных матриц размера dxd. Заключим
Г (в, К) в некоторый открытый многогранник П так, чтобы
ПсГ^8, 2К^. Это возможно, так как Г(е, К) лежит во вну-
тренности Г в, 2/(). Пусть ах, ..., ап, — все вершины П,
Х4 (г)—собственные числа, lt (г) — собственные единичные векторы
матрицы ar, t=l, ..., d, r=l, nt. Выберем еще столь ма-
лые ра, б>0, чтобы для любых векторов h(r), удовлетворяющих
условию |/? (г) — /*(г)|^р8, наименьший замкнутый выпуклый
многогранник, содержащий все матрицы

Z ^(r)Tk(r)Vk(r), г=1............  (11)

£ = 1

содержал бы также множество

Г(е,Ю-«2	<12>

г=1 «=|

Такой выбор рг, 8 возможен, так как при Ц (г) = (г) матрицы,
стоящие в (11), совпадают с аг, при /,(г), близких к 4 (г), они,
стало быть, близки к аг, многогранник, на них натянутый, бли-
зок к П, множество (12) близко к Г (в, К) при малых б и зам-
кнутое множество Г (в, К) вместе с некоторой окрестностью со-
держится в открытом П. Для любой матрицы а е Г (в, К) теперь
можно подобрать числа р, 5® О, г = 1, ..., nlt зависящие от а,
lt(r), в сумме равные единице и такие, что

Пх	Пх d

а - 6 2 S <г) W = 2 S М» «) (И « (')•

-= I ь=\	'—У (•='

При этом мы воспользовались известным представлением точек
многогранника через его вершины. Отсюда	1

5 ik(r)Vk(r)Uij] -	I

r=U=l\f(/=l	/+	I

nt d	I d	\	I

- s s (6 + pAHH) S 1‘к(г)Ц(г)иц ,	!

r=l 4=1	4./= I	|

и остается обозначить n = nid,	ln\ = {li(ry. i= 1, d,	'

r=l,..., nJ и заметить, что 0 sg A* (r) sg 2/( (так как are	»

еГ(ув, 2К^. Лемма доказана.

Перед следующей леммой мы строим вспомогательные функции
и операторы, для которых выполняется неравенство, аналогичное
неравенству Lur + fxrxr 0, игравшему известную роль в рассу-
ждениях, проведенных после формулировки теоремы 2.	I

С помощью леммы 3*) выберем число р8 > 0 зависящим только	I

от d. К, Ki, в, 81, к, а и функций Mi так, чтобы на Q' выпол-	I

нялось неравенство	f

Рз- М$ (и (t, х), их (t, х)> (1 +1 их (t, х) |« +1 ихх (t, х) Р).	|

Обозначим еще	I

Р4 = РгРз,	1

W(t, X, l) = uxixj(t, X)(^ + p8/,r)(g/4-P»//r),	r=l, ...» л, I

X, l) = ^Mi(u(t, X), Ux(t, X)) 2	X)| +

l-r= 1

+ (1 + S Iu*r*k x) [) (I “(I) (*. *) I +111) sgn u^xi (6),

ai(t, x) = ^(Futf + Fu.^, b‘(t, x) = FUtt

где у производных F опущены аргументы (u^x/(t, х), uxi(t, х),
u(t, х), t, x),

L(t, x, =	+	x)-^- + aiJ(t, x,	+

dt	dx1 dxf	dx1 dy

+ x, £)-—+ /<06г/-^---------------\-b4t, x) —,

v	дх/	dgdfy v ’ dx1

где постоянную Ко подберем так, чтобы при всех х, | е Ed на

Q'xD2o. выполнялось неравенство

aW + а‘7Х'|/ +	+ Ко| 112 4 8 (| X |« +1В |2).	(13)

') Применяемой к области Q' вместо Qo.
Для дальнейшего весьма важно отметить, что |aV| в Q'xDip
ограничены постоянной, зависящей только от d. Поэтому постоян-
ная Ко может быть сделана зависящей только от d, е. Понятно
также, что левая часть (13) в Q'xD2pj не превосходит N (d, К, е)х
х (| X |2 +1112). Отсюда вытекает, что у операторов

Li(t, х, £):=£(/, х, В + рз/i), * = 1, ...» п,
рассматриваемых в области Q' xDp„ собственные значения матрицы
коэффициентов при вторых производных оцениваются снизу вели-
чиной у е, а сверху —постоянной, зависящей только от d, К, 8.

5.	Лемма. Пусть щ —постоянная из леммы 3, аг = а0Да.
Тогда существует постоянная Ы\, зависящая только от d, К, Ki,
в, Bi, и, а и функций М?, такая, что Ци1^ — Ni*) в Q'xDPt
при i=l,..., п. Кроме того, существует постоянная 6Х =
= 61 (d, К, е)>0 такая, что при любых (zx, |х), (za, &s) eQ' xDp„
имеем

AM|b-b| + p(*i, *2))«‘Ss

> 6i У [ul (zx, li) — и1 (z2, |2)]+ — У [«? (zi, £i) — u‘ (z2, 12)]_.	(14>

Z=1	i=l

Доказательство. Буквой (V будем обозначать различные
постоянные, зависящие от исходных данных так же, как это ска-
зано про Ni. Для доказательства первого утверждения, как легко
видеть, достаточно для функции v (z, g) := uxixj (z)g'g/ в Q'xD2p.
установить неравенство

Lv^-N.	(15)

Дифференцируя (6) два раза по х в направлении §, находим

О = vt+аУох ix) + blvxt 4- Fuv -J- F(t)) (n),	(16)

где ради краткости записи опущены очевидные значения аргу-
ментов и

Т1 =	$)•

По предположению (4) и по определению

+ М, (| «(6) х |2 (1 + 21 их,х/ П + (1 +1 ихх Р) (| «(5) |2+1 g |2)|-

I \	<, /	/	J

Последнее слагаемое в этом выражении на Q'xD2p, оценивается
сверху некоторой постоянной N в силу леммы 3 и того, что
Рз1 (A4g 1). Отсюда и из (16) на Q'xD2p, находим

O^Lv — 2Ko^u-\-Ftfl-\-N.'

Это вместе с условием (3) и леммой 3 сразу приводит к (15).

•) Суммирование по i не предполагается,
Докажем второе утверждение. Аналогично (10)

F(uxix/(zi), ux.(Zi), «(zO, zi)-

“(*a)> 2i)^|«/(zi) — tzz(za)| +

4 |F {u.xixj (z2), ux.(z2), u(z2), zi) —F(u?x/(z2), ax/(z2), u(z2), z2)|.

(17)

Последнее слагаемое оценим так же, как в доказательстве леммы 3
оценивалось | и (zx) — a(z2) |. Тогда по лемме 3 правая часть (17)
окажется меньше	z2).

Левую часть (17) преобразуем с помощью формулы Адамара
и опять воспользуемся леммой 3. Из (17) в результате получим

ai>[«xix/(zi)-M?x/(z2)i^A(p“*(zx, г2),	(18)

где матрица (аЧ) такова, что в|Х|апри всех
Из (18) по лемме 4 при glt g2 е DPt можем написать

РзМр“*(21, z2)^62lu'<2b Ь)~и1 (г2, gi)]+ —

— ЗА У [м‘ (гх, Вх) - и' (z2, gi)]- Sa 6 У, [и1 (гь gi) — и‘ (г2, g2)]+ -
i	i

— 3/<2 [t? (Zi, Bl) — uf (z2, g2)]_ — N 21 u' (z2, Bl) - i? (z2, g2) |.

Отсюда, из леммы 3 и из неравенств |J;'—	sg2p4^2,

—	— g2|ai, Рз 1 и вытекает (14) с 6i = 6(3K)-1.

Лемма доказана.

6.	Доказательство теоремы 2. Благодаря лемме 3 нам
нужно оценить только || ихх (г0) — ихх (Zi) || через pai(z0, Zi). Мы
рассмотрим несколько случаев расположения z0, Zi в Qo и в каждом
из них найдем свое ai = a0Aa> гдеа0=ао(^, К, e)s(0, 1). После
этого опять в силу леммы 3 останется из найденных а0 взять
наименьшее.

Отметим еще раз, что утверждения леммы 3 справедливы
{очевидным образом), если в них Qo заменить на Q' Будем следо-
вать схеме доказательства леммы 2.3 и без ограничения общности
рассмотрим только zo = (/o> *о), ?! = (<!, xJsQo такие, что

Р (z0, Zi) d Ро) А (ббЗ«) =•• Pl-

Пусть сначала d(x0, dD)^3pi. В этом случае достаточно
повторить соответствующее место из доказательства леммы 2.3,
используя вместо следствий IV.3.6, IV.5.3 теоремы IV.3.1, IV.5.1
(при v = a, fr(f) = t) и лемму 5 для того, чтобы получить нера-
венство

У, I и' (zo, |) — и1 (zi, g) | =sS Vpa> (Zo, Zi)

(19)
для любых EeDi . Здесь а( =а0 Да, аое(О, 1), «о зависит
з р<

только оа п, d, 61( в и постоянной, ограничивающей сверху
собственные числа матрицы коэффициентов при вторых производных
операторов Ц на Q'xDp, {которая, как сказано перед леммой 5,
зависит только от d, К, е); постоянная N зависит только от тех же
величин, от а, х, о4, от постоянной, ограничивающей |1И| на Q',
от N\ (см. лемму 5) и от постоянной, ограничивающей | и11 на
Q'хОр<. В силу лемм 3—5 и условия (3) можно считать, что
четыре последние постоянные зависят только от d, К, в, ei,
х, а и функций Mf. Все подобные, вообще говоря, большие
постоянные будем обозначать через N. Из (19) заключаем

I и1 (г0, £) —иЧгь £) | sg Л/р«> (г0, гО	(20>

при 1%1«£у р4, где ax=aoAa, ao = ao(d, Л, 8) е (О, 1). Выраже-
ние и1 (?о, |) — и1 (Zi, ?) является квадратичной функцией от В и
(«*(«!♦ £)-ыЧгв, |)]-2[«1(гъ О)-их(2о, 0)] +

+ (и1 <21, - й - и1 (г0, - £)] = 2 (И?</ (гг) - их.х/ (го))

Для последнего выражения в силу (20) справедлива оценка,,
аналогичная (20). Пользуясь «поляризационной формулой»

(«Л/ (21) - Uxix/ (2о))	(2i) - и?х/ (20))	_

-	(21) - uxix/ (го))	.

находим, что при |?г|, |т/1 =С$ р4 величина |«(б)(Л)(г0) — а(5)(л)(г1)|
не превосходит правой части (20), умноженной на 4. Если выби-
рать t| лежащими на координатных осях и по длине равными;

$ р4, то мы увидим, что

Mx«x/(Zo) —	(?i)1 < ЛГр“' (го, Zi).	(21)

Перейдем ко второму случаю, когда d(x0, dD)<3pi. В этом.-
случае, пользуясь формулами (2.28) —(2.37), в которых мы заме-
ним х, Qi на |х, Q', и полагая

«'(t х, g) = «'(A(/, х), 4pi£),
Ljo=16pf(Li(v(/r1, |рГ‘?)))(Л, 4pi£),
мы перенесем неравенства — и (14) из леммы 5 в область
<й,зХПРб, где р5 = 4~1р71р4. После этого по теореме IV.5.1 (при
v = a=ai, fr(t) — t) мы получим (19), (20) для ||р4, если»
предварительно оценим постоянные Гёльдера порядка а1 = аоДа,
где a0 = a0(d, К, в)е(0, 1), функций й‘ на (Ss.2U^0S.2)X D\ ,

2 р*
когда нельзя гарантировать, что точки Л-1 (zj) отделены от dtQjs. 2.
и если оценим эти постоянные Гёльдера на £31, 2XD1 , когда,
2Ps

например, hrl(zj) eQJ.,2, где S1 = S — КНр^х2.

Последние включения имеют место (ср. 2.37)) при 16(Г —t0)^
Ssx2. Стало быть, для вывода (20) нам остается показать, что
при 16 (Г — to)^**, Ss>. 2,	имеет место неравенство

2 *

I й1 (го,	Si) | < N (р (zo, Zi)4-|io — 5i|)“‘. i = n,

(22)

а также что это неравенство верно при Zje	2,

gDi , если 16(Т — to)<.x2- Если мы это докажем, то получим
"2"

не только (20), но, как выше видели, и (21) и тем закончим
доказательство теоремы.

Поскольку GczQ', Л (QJ, 3) czG, то в силу леммы 3 величины
нх<х/(Л) ограничены на QJ, з- Через них известным образом опре-
делены й1. Отсюда следует, что при оценке левой части (22)
достаточно оценить |«xix/(Mzo)) —«x<x/(/i(2i))< через ра‘(z0, zj).
В свою очередь ux,xj(h) известным образом связаны с (м(^))х<х/,
(и (hj)xt и первыми и вторыми производными отображения h и его
обратного g. Последние, кстати, удовлетворяют условию Гёльдера
с показателем а и известной нам постоянной. Поэтому для дока-
зательства теоремы нам остается показать, что

||йхх(2о)-йхх(21)||<Мра‘(го, zj)	(23)

для z/eSsi, 2 при 16(Т —/0)^х2 и для 2/6= г U 2 при
16(Т-/0)<хг.

В доказательстве теоремы 4.7 мы написали уравнение (4.37)
для й, где F введена формулой (4.36). Это уравнение действует
в QJ. з, и для вывода (23) естественно применить теорему 1.11.
Ее условия относительно й, F проверяются без какого-либо труда
на основании леммы 3, формул (2.35), (4.38), (4.39) (и леммы 1.1.2).
Кроме того, если 16 (Г — ^)<х2, то справедлива также форму-
ла (2.34), которая вместе с (7) обеспечивает в этом случае выпол-
нение предположения в пункте б) теоремы 1.11. По теореме 1.11
получаем (23), и наша теорема доказана.

Перенесем утверждение теоремы 2 на эллиптические уравнения.

7.	Определение. Мы пишем Fe/(s, К, D), если Fa
^eF(8, К, (0, l)xD) kF не зависит от t.

Для эллиптических уравнений теорема 2 выглядит тан.
8.	Теорема. Пусть D = {x‘. ф(х)>0}, ae(0, 1), -феС21®(Еа),
| ф |с«+а «С Ки |флг| S=«i на dD (если дО=^ф), области D°az
cz D1 <zz D, замкнутое G cz dD, расстояние любой точки из D°
do dD1\G строго_больше к. Пусть Р (е, К, D1), и, их,
ихх <= Cfo. (D1) П С (D1) и на D1

F(uxix/(x), uxt(x), и(х), х) = 0.	(24>

Наконец, npednoeotwuM, что и = <р naGQdD1, ede | <р |с2+а «С
Toeda и^С2 + а‘ (D°), ede <Zi = aoAa, oto = ao(d, К, в) е (0, 1)^
и норма и в этом пространстве оценивается постоянной, завися-
щей только от d, К, Ki, в, 8Ь х, а и функций Mi, М?.

Теорема 8 формальным образом вытекает из теоремы 2, если
к (24) добавить равенство ut = 0 и взять Q = (0, 2)xD, Qi =
= (0, 2)xD1, Г = [0, 2]xG, Qo = (O, l)xD°.

§ 6. Обсуждение условия согласования первого порядка

Если Qi = Q, то требование непрерывности и(, ихх в &, нало-
женное в § 5, не может быть обеспечено никакими условиями»
гладкости граничных данных, так как оно автоматически означает,
что граничные данные на dtxQ удовлетворяют первому условию»
согласования. В дальнейшем мы докажем разрешимость нелинейных
параболических уравнений без этого условия. Естественно поэтому
возникает вопрос: можно ли из условия согласования первого-
порядка вывести непрерывность ut, ихх в Qi? Читатель, не инте-
ресующийся влиянием условий согласования на гладкость реше-
ния в Qi, может этот параграф опустить без ущерба для дальней-
шего.

Иногда для Qi = Q утвердительный ответ на поставленный*
вопрос вытекает из доказательства теоремы существования решения,
класса С2+“(ф) с помощью метода продолжения по параметру.
Так будет, например (см. теорему 1.3.1), если граничные данные
удовлетворяют условию согласования не только для рассматривае-
мого нелинейного уравнения, но и еще для уравнения теплопро-
водности. В общем случае утвердительный ответ будет другие
методом получен в этом параграфе.

На протяжении всего параграфа мы считаем, что выполнены,
все условия, сформулированные перед теоремой 5.2, кроме условия;
и, щ, их, ихх е Cfoc(Qi) fl C(Qi). Вместо него предполагается, что-

и е= С2 (Qi\dtxQ) П С (<51), щ, их, ихх s Cfoc (Qi).

Кроме того, мы считаем, что выполнены все условия теоре-
мы 5.2. Для того чтобы придать смысл условию согласования»
первого порядка, предположим также, что Ё определена не только»
при (/, х) s Qi, но и при (t, х) е Qi и непрерывна по (t, х),
1.	Теорема. Пусть выполнены высказанные выше предположе-
ния и на Г f| d'Qi f) dtxQ имеет место равенство

<Pt(z) + F(yxix/(z), 4xi (z), <p (z), z) = 0.	(1)

Тогда u^C^Qo).

Эта теорема, применяемая к области О’ из леммы 2.1, вместе
с теоремой 5.2 показывает, что на самом деле ибС2 + а'($0).
Утверждение теоремы означает, что их, щ, ихх, рассматриваемые
только на Qo, допускают непрерывнее продолжение в Qo. В дока-
зательстве, разумеется, нуждается только тот случай, когда
QofldtrQ^ ф. При этом, как легко видеть, достаточно доказать, что
если Zi е dQ0 П dtxQ, zn <= Qo, n Sa 2, и z„ -► zu to ux (z„), ut {zn), uxx (zn)
имеют пределы, не зависящие от выбора последовательности zn.
Фиксируем Zi = (7, Xi) е dQ0 f) dtxQ и выберем гь = (/о, *о) е Qo
так, чтобы 4(7 — t0) < х2,

р (zi, zo) Ре) Л (з53«) =: Рх, d (х0, dD) <Зрь

Мы опять хотим воспользоваться результатами построений, сде-
ланных в доказательстве леммы 2.3 после формулы (2.28). В соот-
ветствии с ними определим х2 е dD и другие объекты. Для
удобства пусть х2 = хь Отметим, что

$ = 16-’рг2 (7 - t0), Zi: = Л-1 (Zi) е 2$. i П д.(& i,

Xi e= (Xi + S401) f| D, [(to, 7)x(Xi + S4p,)] ПQ c h(QI 3l cGcQb (2)

Часть дальнейших рассуждений мы оформим в виде леммы.

2.	Лемма. Пусть zn е Qi, n Sa 2, zn -► гь rnoeda ut (zn) -*• ф, (zi),
«*(2,я)->ф*(21). Если же еще функции uy(z), равные <р^х/(г) на
rfld'Qif)d<Q и равные их,х/(г) на Г П d'Qi f| dxQ, рассматриваемые
только на Г f] d'Qlt непрерывны в относительной топологии этого
множества в точке zlt то uxx(zn)->-<pxx(zi).

Доказательство. Отметим сразу, что Л-1 (г„) еQ$,з, начи-
ная с некоторого номера (в силу (2)). Далее, по лемме 4.3 на
QiXS2 существует параболический оператор Li, для которого L^p
ограничено снизу, где v(z, £) = «(£)(£» (*)• С помощью отображения h
функцию v и оператор Li можно перенести в Qs.3XSa, а затем,
воспользовавшись формулами (2.34), (2.35), увидеть, что и(Л, |) =
= иу(Л)Б'£/ на S$,3U (5/Qs.3\{x1 = 0}). По лемме 1.1.6 отсюда
следует, что если иу непрерывны в г4, то

Йт «(я (t) (г») Uy (zi) W = Фх<х/ (zx) W-	(3)

n->oo

Дифференцируя уравнение (5.6) no t, мы построим оператор Lt,
для которого L}(ut) ограничено в Qr Перенесем щ, L2 в Q5.3-
Так как F (иу, ut, и, h (z)) непрерывна по г в QS, з и удовлетворяет
условию Липшица по (иу, щ, и) для симметричных матриц (иу)
на любом ограниченном множестве равномерно по г, то она непре-
рывна по (uiJt и, z) и из (5.6) на ^05,з\{х1 = 0} имеем
ut (h) = — F(uxix/(h), uxt(h), u(h), h) =

= — F(yxixl(h), ф(й), ft).

Отсюда, из (1) и леммы 1.1.6, применяемой к ±ut(h), 1^, за-
ключаем

lim Ut(Zn)*=<pt(Zi).
«-♦оо

Тот факт, что u* (zn)-* Ф* (?1), непосредственно следует из ограни-
ченности (a (ft))**, непрерывности ф*, и и равенства ы(й) = ф(й)
йа dtQ$,3.

Вернемся теперь к u**(zn). Пусть матрица й==(йу) является
предельной точкой для последовательности «** (гп). Тогда по дока-
занному выше из (5.6) получаем

ф/ (zi) = F (aiJt ф? (zi), ф (Zi), zi).	(4)

Здесь а^ф**(?1) в силу (3). Кроме того, из (5.1) и формулы
Адамара легко вытекает, что

F(al}, Фж|(гх), Ф(г1), z)-F^xix/(Zi), ф^), Ф(гх). z)=^

^etr (д-ф**(г1))

для zeQi, а по непрерывности и для z = zv Сравнение (1), (4)
ввиду последнего неравенства дает й = ф**(гх), и лемма доказана.

3.	Доказательство теоремы 1. Лемма 2 показывает,
что достаточно доказать непрерывность uit в относительной топо-
логии Г f| d'Q! в точке Zi. С помощью отображения ft перенесем
уравнение (5.6) в 3. Тогда для fi = u(ft) мы получим уравне-
ние (4.37), где F введена формулой (4.36) и g = ft-1. Вычисле-
ния (4.38), (4.39) вместе с известными из леммы 1.1.2 свойствами
третьих производных g и предполагаемой ограниченностью «*, «/,
ихх, йх, Ut, йхх показывают, что выполнены предположения теоре-
мы 1.10. По этой теореме йх,х непрерывны при 1^2 в относи-
тельной топологии 2$, 1 (J dtQs, i (независимо от того, выполнено
условие (1) или нет). Аналогичное утверждение очевидным образом
верно для 2*<*/ = Ф*<*/ при i, /^2, где ф = ф(й). Теперь пусть
(21) при i«/Ss2, йц —любая предельная точка последо-
вательности й*.*.(г„), где z„ = £(z„)e S$.iUd<Qs,i, 2„->2х. По
непрерывности уравнение (4.37) имеет место на Ss.iU^Qs, i\
\{х1 = 0, t = T}. Поэтому, если zn ^{х1 = 0, t = T} для бесконеч-
ного числа значений л, то

Ъ &!) + ?(*/, Ф*<(21), Ф(21). 21) = 0.	(5)

Это же равенство имеет место и в том случае, когда 2пе{х1=0,
t = T} при всех п, начиная с некоторого, что вытекает из (1).
Соотношение (1) можно переписать в точке Zi в виде

+	ф^(гО, ф(?1), ii) = 0.	(6)

Сравним (5), (6), учтем определение йу и то обстоятельство,
что по формуле (4.38) и по условию (5.1) функция F (иц, uif и, г)
строго возрастает по Иц для симметричных (и,,) и гефт.з, а по
непрерывности и при z=zi. Тогда мы получим, что йи — фХ1Л. (zi).

Итак, йх1х/ (?„) -> (zi) при всех i, /. Кроме того, из лем-
мы 2, разумеется, следует, что йх (гп) ->• Фх (zi) Используя простые
связи между йхх = (и (h))xx, uxx(h), ux(h), отсюда заключаем, что
uxx(zn)-*-<Vxx(zi). Остается заметить, что по формулам (2.34), (2.35)
имеем их!х/(гп) = Uij(zn), ui}(zn) -> фж<х/(г1) = Uijizi). Теорема
доказана.

Примечания

Основные результаты этой главы собраны в работе Крылова (24).

§ 1.	Метод исследования производных решения с помощью рассмотрения урав-
нения для (х1)-1 и введен автором в [17]. Для оценки постоянной Гёльдера произ-
водных решения только на границе он использован в работах автора [20], [21].
Сафонов [6] для эллиптических уравнений дал другой способ изучения (х1)-1^,
приводящий к тем же результатам. В теореме 9 оцениваются максимумы вто-
рых производных только на границе (ср. Иванов [1], Крылов [21]). Имеется
много работ (см. Ильин [1], [2], Кон, Ниренберг [1], Олейник, Радкевич [I],
Сафонов [3], Лионс [4]), где такая оценка устанавливалась только вместе
с внутренней оценкой в С2. В работе автора [21] эта оценка основана на рас-
смотрении уравнения (17), которое можно с равным успехом использовать и для
вырожденных уравнений, если только аи^е. Кстати говоря, введение урав-
нения (17) имеет простой вероятностный смысл, который без вычислений пока-
зывает, что нужная оценка имеет место. В теореме 10 даны условия, при кото-
рых смешанные производные непрерывны на г Среди этих условий нет
условия согласования первого порядка и полученный результат является, по-ви-
димому, новым даже для линейных уравнений.

§ 2.	Метод контролируемого максимума вводится здесь впервые. В дока-
зательстве леммы 2 он начинает действовать с формулы (21). Без (14) в (21}
вместо ебт2 стоял бы член те£ | их |2, который не «забивал» бы £2 | их |4, если
бы мы из (14) не знали, что т «имеет порядок» £| их |2. Внутренние оценки их>
в Са в рассматриваемой ситуации получил также Трудингер [2]. Теорема 4
для квазилинейных уравнений носит название-теоремы Ладыженской — Ураль-
цевой.

§ 3.	Метод рассмотрения вспомогательных функций вида (2), где т связы-
вается с оцениваемым количеством так, как в доказательстве леммы 1, исполь-
зовался автором в [19].

§ 4.	Здесь объединен метод контролируемого максимума с некоторыми
построениями Из работы Крылова [19], из которой, например, взята лемма 2.
Там же можно найти частный случай теоремы 5. К содержанию параграфа при-
мыкают статьи Эванс, Фридман [1], Эванс, Лионс [1], Лионс [4], Трудингер [2].

§ 5.	Первые результаты о возможности внутренних оценок в С2+а реше-
ния нелинейного уравнения общего вида независимо получили Эванс [2] (эллип-
тические уравнения), Крылов [19] (эллиптические и параболические уравнения).
Их обобщения даны Трудингером [2] (эллиптические уравнения), Крыловым [24].
Оценки в С2+а вплоть до границы получил автор в f20], [21], и в нашем изло-
жении материала мы следуем схеме из работ автора [19], [21].
Глава VI

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
НЕВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе более или менее стандартным способом из резуль-
татов предыдущей главы выводятся теоремы существования реше-
ния. Сначала, в § 1, мы вводим в рассмотрение класс операторов J2",
в который попадают важные с точки зрения теории управляемых
диффузионных процессов уравнения Беллмана вида inf (L (®) и 4-

(!)

4-/(<•>)) = 0, где L(©)—линейные операторы. Затем доказываются
теоремы существования решения уравнений, задаваемых гладкими
нелинейными функциями F, и после этого с помощью различных
предельных переходов рассматриваются операторы Fe«Г, FeaT'o.

§ 1. Класс вГ, единственность решения и оценка |»|

Фиксируем постоянные К. 8 > О, Т > 0, область D с Еа,
положим Q = (О, Т) X D, Q (х) = (О, Т — х) X D (х), возьмем класс «F
из определения V.5.1 и напомним, что

{d	d

(ulJt uit u, z): у, I Uij I + у I Ui 1 +

i,	/=i	> = i

+1 и | «С M, uij = uji, ze(?|.

1.	Определение. Пусть функция F (u^, uit и, г) задана
для zgQ и действительных иц = ид, ut (i, / = 1, ..., d), и. Мы
пишем FeeF(s, К, Q), если найдется последовательность Fn s
е/(е, К, Q), сходящаяся к F при п->оо в каждой точке мно-
жества Р(оо, Q) и такая, что:

a)	i = l, 2, 3;

б)	при всяком и=1, 2, ... функция Fn бесконечно дифферен-
цируема по (utj, ui, и, z) и производная любого порядка функции
Fn по (иц, Ui, и, z) ограничена на Р(М, Q) при любом Л4<оо;

в)	существуют постоянные б0 —: > О	=: М% > 0 такие, что

Fn(utj, 0, — Мо, z)2s60» Еп(— ии, 0, Af0, z)=C —60	(1)

для всех n^sl, zeQ и симметричных неотрицательных матриц (иц).

Если, кроме того, F, Fn не зависят от t, то пишем Fe
с/(8, К, D).
2.	Определение. Будем писать F(=aF(e, К, Q), если
Fe</(8, К, Q(x)) при любом х>0*) и функции Aff (и),
Л1,(и, и»), Мл (и, ilk), а также числа 6«, /И» из определения I
не зависят от х. Аналогично определяется класс (в, К, D)

Примеры функций из мы увидим ниже в этом параграфе
(см. пример 8). Сейчас же отметим, что, очевидно, «F (е, К, Q) с
GZaT'fe, К, Q). Понятно также, что множество «F (е. К, Q) не
содержится в вГ(8, К, Q) из-за требования в) в определении 1.
Покажем, что в действительности это— единственное препятствие.

3.	Лемма. Пусть FeeT(8, К, Q), б0>0, Л40>0 и для
любых zeQ и симметричных неотрицательных матриц (иц) имеем

F(Uij, 0, — Мо, г)3и%, F (— utf, О, Мо, z)sz — 60.	(2)

Тогда F е а7" (е, К, Q) и можно взять 6, = б0> М„ = Л40; A4f,
Mi, М3 можно выбрать зависящими только от своих аргументов,
от Mi, Мз, М3 соответственно и от d.

Доказательство. Докажем прежде всего, что существует
постояйная у>0, для которой при любых zeQ, симметричных
неотрицательных («,/), симметричных и действительных vit v
таких, что |v,|,	имеют место неравенства

_±F(±ui/ + vi/, Vi, qzMo + u. z)3=j60-	(3)

Рассмотрим только верхние знаки и предположим, что наше
утверждение неверно. Тогда для у=1/и при всяком п найдутся
2яeQ, симметричные (ufyl^Q, (o'*) и числа vf, vn такие, что
|t?|, |о»|^1/п,

F(u"+v«, tf, —Mu + u", z")<yS0-	(4)

Из условия (V.5.1) имеем

” f (F.„ + F-„)	S О,

Отсюда, из (V.5.2) и (4) видно, что последовательность б'^и",
ограничена, а так как (и"/) 3=0, то все числа | и"} | ограничены^
Преобразуем теперь выражение

F(u?/t 0, — М9, z^-Fiuii + vlj, vi, — M„ + vn, z”),	(5)

♦) Естественно, если Q(x)^=0. Однако если считать, как мы и делаем,
что на пустом множестве аргументов выполнены все условия, то эта оговорка
оказывается излишней,
которое в силу (2), (4) больше <?0/2, к виду FUiv"j + Fu.Vi-l-Fuvn,
например, с помощью теоремы Лагранжа. После этого восполь-
зуемся условием (V.5.3). Тогда мы увидим, что выражение (5)
стремится к нулю. Получили нужное противоречие.

Обратимся теперь непосредственно к доказательству того, что
Ре/(е, К., Q). Нам нужно проверить, что (е, К, Q(x))
при любом х и что Mf, б#. из определения 1 не зависят от х
и могут быть выбраны так, как указано в формулировке. Сделаем
это с помощью операции осреднения. Возьмем какую-нибудь неот-
рицательную функцию teC^(£i), равную нулю при
равную единице вблизи нуля и такую, что ^(f)dt = 1.

Положим F* =	(ц,•/ + «;,•), Ut, и, г) при zeQ, заметим,

что для всякого компакта Г cD функция F* в силу определе-
ния V.5 1 равномерно непрерывна на любом множестве вида

{(«»/. Ui, и, г): V | Щ] 1 + SI Ui 14-1 и | ^М, zg=(0, Т)хГ},
продолжим F* по непрерывности на замыкания таких множеств
и положим также для x^D

F* (U{/, uh и, t, x) = F*(Ui/, uit и, 0, x) при /sgO,
F* (Ui/, ut, u, t, x) = F*(Ui/, uit и, T, x) при t^T.

Фиксируем, далее, x>0 и при n>2x-1 определим Fn, свора-
чивая F* по переменным и{/, и„ и, z с функцией £л = Хлт1л> где

х» = (П (П «С п£ (пи),
г]я = cnrf+1C (nt) t,(n | x I), c-1 = Ulx I)

Ed

Очевидно, Fn определены и бесконечно дифференцируемы по
всем аргументам при z e Ei х (х). Кроме того, из-за непрерыв-
ности F* имеем Fn-+F*=F при ге^(х),	= и всех и.

Теперь воспользуемся тем, что производные свертки F* с £л
равны сверткам Ел с соответствующими производными F*. Тогда,
например, из (V.5.4) при zeQ(x), — йц — йц получим
(и — V, Uk — Vkjx

8 Н. В. Крылов
sup A4j(«-v, Uft - vk) 1 “ij I fSl й< I +

IVI. |V*|<1	U / ii

+p +2>.7f)(isi+i*i)]+SiM1 +SIM+

\ i, I /	J i \ i. f I

+(1 +2>//18к|й|г+|*12Я.

\	«. i /	)

Совершенно аналогичным образом проверяется, что функции
Fn при л>2х-1 удовлетворяют условиям (V.5.I), (V.5.3), (V.5.5)
на Q(х) с функциями MF, М$, вычисляемыми по d, MF, М3 и не
зависящими от х. При проверке условия (V.5.2) годятся те же
рассуждения, объединенные с замечанием, что Fu..(vij + vji) —

1 1

= 2 (F“i/ + F“fi)(vu + vd и выражения -g (FOy+F„ft) ограничены
в силу (V.5.1).

Остается проверить выполнение условия в) определения 1 для
6# =-^ 6», МЦ = М0. По непрерывности F* и по теореме о среднем
при zeQ(x), симметричных (и;у)^0, га>2х-1, выражение
Гп(Цц, 0, —Мо, г) равно F(utj-\-Vi}, vt, —Л4о4-о, г'), где vij =
= vjt, I Vij I, I vi I, I v I 1 In, z' e Q (x — 1 /л). Последнее выражение
не сильно изменится, если вместо г' взять близкую точку из
Q(x —l/n)c=Q, а тогда при п>у-1 из (3) мы увидим, что
Fn(u//, 0, — М3, z)^=y60- Аналогично, F„(—ut/, О, Л40, z)^

— 3 б°'
О

Таким образом, при n>y-1 V (2х-1) функции Fn подходят для
определения 1 при рассмотрении области Q(x). Остается при
желании изменить нумерацию Fn-

4.	Лемма. Пусть Fi, ..., Ffte«F(e, К, Q), Aff" не зависят
от п при « = 1, 2, 3, функции Fn бесконечно дифференцируемы по
(uu, Ui, и, г) и производные Fn по (иц, щ, и, г) любого порядка
ограничены на Р(М, Q) при каждом М <оо. Пусть также суще-
ствуют постоянные бо>0. Л10>0 такие, что неравенства (1)
имеют место при всех п = 1, k, zsQ, (иц) — (иц)* 5=0.

Тогда F := Fi Д... /\Fk&J? («, K, Q)(g«F(8, K, Q)) и в каче-
стве NLFi, б#, MF можно взять l+MFt, уб0, Af0 соответственно.

Доказательство. Возьмем $ из предыдущего доказатель-
ства,	л пусть ¥т —свертка по переменным Z1, ...,/*

функции V Д ... Д /* с (mf1). Отметим сразу же, что Т

имеет первые соболевские производные

(п. в.).

< а=1
Поэтому

.	<е>

iW'-MILteW «
/ = 1

'	1 = 1

Положим теперь Фт = Ч'д,(Flt ..., Fk). Из (6) и выпуклости
вверх функций V (fl, /*), 'Vm(fl, ..., fk) по (f1, fk) сле-
дует, что бесконечно дифференцируемая функция Фт удовлетво
ряет условиям (V.5.1) — (V.5.5) с Mfr — 1 4-Aff*, i= 1, 2, 3. Кроме
того,	-> Т, <S)m-+F. Наконец, при m^26o*, zeQ, симметрич-

ных (u,;) 3s О, имеем Fn(uih 0, —Afrt, z)^s60, что в силу (6) даег

Ф>л(иг/» 0, —Мо, z) 6о — ~ у So-

Аналогично, Фот(—цц, О, Мо, г) — у 60- Лемма доказана.

5.	Теорема, а) Пусть F (е, A, Q), Л!<оо, (uj/, и},
«*, г), (и?/, и?, us, г)*=Р(Л1, Q). Тогда для некоторых чисел а‘1 =
— aJ‘, Ь*, с имеем

F (ul/, ul, и1, z) — F(ulf, ul, и*, г) —

— аЧ (ul, — игц) 4- b‘ (ul — Ui) 4-C (u1 — u2),
причем 81X |2	К | X |2 при всех XeEd; l&'l, |c|«g.

sS N (M, Mf, d). Кроме того, \F(uh, ul, u1, z)—a^ult\^
Mt <u1)(l +u'ul), где ali = afi, e|X|2^<i‘A'X/^/( |X|2 при
всех X <= £</.

б)	Есш Q — некоторое множество индексов, для всякого со е Й
определена функция F^^nF (г, К, Q) и М^ не зависит от со, то
семейство функций ыей) равномерно ограничено и равно-
степенно непрерывно на любом компакте, лежащем в Р (оо, Q).

в)	Если Fa^oF (8, К, Q), п = 1, 2, ...,	М^п не

зависят от п и Fn-+F на Р (оо, Q) при п->оо, то F е
е J7" (в, К, Q). Кроме того, в качестве 6#, М% можно взять
Mf\ M0F*.

г)	Если Q— некоторое множество индексов, для всякого соей
определена функция F<0eaF(8, К, Q) и Aff®, 6F®, AfF® не зависят
от со, то F := inf {Е^: со е й} eaF (в, К, Q). Кроме того, в каче-
стве Mt, 6#, Мо можно взять l-j-Adf®, ySF®, AfF® (при любом
(О Е й).

8«
Доказательство, а). Пусть х>0 таково, что zeQ(x).
Так как F<=aF (е, К, Q(x)), то можно в соответствии с опреде-
лением 1 подобрать подходящую последовательность Fn. По фор-
муле Адамара

Fn(ullh ul, и1, z)—Fn(ulj, иЦ, и2, г) —

= у (вп 4- а'п) (и}, — ul/) 4- bn (ul — u?) 4- cn (и1 - и2),	(7)

где

1

aii=-\Fnu.t(9u'M + (l-6)u2PQ, 6t44-(l6«г + (1 -9) и2, г)М,
О

и аналогично определяются Ь'п, сг Из неравенств (V.5.1), (V.5.3)
для Fn следует, что (aft+dnY bLn, сп ограничены по и, а любая
предельная точка последовательности (a„+a£)> сп обладает
свойствами, требуемыми в первом утверждении. Аналогично дока-
зывается второе утверждение.

б) Равностепенная непрерывность функций на компакте,
лежащем в Р(оо, Q), без труда устанавливается с помощью при-
ближения Fo функциями F^n и формулы, аналогичной (7), когда
разность значений берется в точках, отличающихся и компо-
нентами z, но таких, что прямолинейный отрезок, соединяющий
соответствующие точки zi, z2, целиком лежит в Q(x) при некото-
ром х>0. Для доказательства равномерной ограниченности F&
(даже в Р(М, Q)) достаточно воспользоваться вторым утвержде-
нием в а).

Утверждение в) вытекает из того, что если х>0, Fnm — после-
довательности функций, отвечающих Fn по определению 1 в обла-
сти Q(x), то по утверждению б) семейство функций \Fnm} ком-
пактно в смысле равномерной сходимости на компактах из
Р(оо, Q(x)). Из нее, стало быть, можно выделить последователь-
ность Fnm(n) такую, что Fnm(n)-+F в каждой точке Р(оо, Q(x)).
Остается заметить, что Mlt М2, 443, б0, Л40, отвечающие Fnm, по
определению 1 совпадают с Л4р, /Йр, бо1, Aff1.

Для доказательства г) прежде всего заметим, что в силу сепа-
рабельности банахова пространства непрерывных функций на
компакте и в силу утверждения б) нижнюю грань по Q можно
заменить на нижнюю грань по некоторому счетному подмно-
жеству Q.

Нижняя грань по счетному множеству является пределом
нижних граней по конечным подмножествам. Отсюда и из утверж-
дения в) следует, что множество Q можно считать конечным.

Пусть Q = {1, ..., &}. Если Fi, ..., Fk удовлетворяют условиям
леммы 4, то F принадлежит даже & (е, /<, Q). В общем случае
возьмем Fmn как функции, отвечающие по определению 1 функ-
ции Fm в области Q(x) при некотором х>0. По лемме 4 и по
утверждению в) настоящей теоремы Д ... Д e^F (в, /(, Q (х)),
FeJ(e, К, Q(x)).- Последнее верно при всех х>0. Но, так как
еТ"(е, /<, Q (х)) cz (е, ft, Q(2x)), то Fe/(e, FC,Q(x)) при всех
х>0. Лемма 4 показывает, наконец, какими можно взять Mf,
60, MFn. Теорема доказана.

6.	Замечание. Если dD достаточно регулярна, то утверж-
дение б) теоремы 5 сохранится, если в нем вместо компактов
брать ограниченные множества, лежащие в Р(оо, Q). Так будет,
например, если в окрестности каждой точки x0^dD найдется
взаимно однозначное класса С1 отображение этой окрестности
в Si, причем такое, что пересечение этой окрестности с D пере-
ходит в Si f| {хх>0}. В справедливости этого замечания легко
убедиться, если при доказательстве утверждения б) в случае,
когда для = Xi), z2 = (/2, х2) точки xlt х2 достаточно близки
и отрезок [хь х2] пересекает dD, заметить, что тогда х2, х2 нахо-
дятся в подходящей окрестности некоторой точки х« е dD, а зна-
чит, можно сделать замену переменных х, перевести xt в S2 f|
f] {хх>0} и соединить образы xt прямолинейным отрезком.

7.	Замечание. Утверждения 3—6 без труда переносятся
на функции F, не зависящие от t, они сохранятся, если в них
всюду Q заменить на D.

Теорема 5 дозволяет построить большое количество примеров
функций из класса «Г (е, К, Q)-

8.	Пример. Пусть Й —некоторое множество индексов и для
всякого соей при zsQ и действительных Mi, ..., иа, и опре-
делены функции alJик, и, г), I, j=l, ...» d, b(<o, uk, и, г).
Предположим, что при всяком фиксированном шей функции
а'7, Ь непрерывно дифференцируемы по (мА, и, г), а при всяком t
дважды непрерывно дифференцируемы по (ик, и, х). Пусть также
вторые производные att, Ь по (ик, и, х) и первые производные по t
ограничены на всяком множестве вида Р (М) = {(со, ик, и, г): ©ей,
S |uft 14-| и |^Л4, z е Q} и при всех ©ей, z е Q, s, г, р = 1, ...
...» а, k^Ed, и, иг, ..., иа выполнены неравенства

в| 11«| X |2, |6|^М1(и)р +2]|и,-^,

|< 4~ У1.1 I "Ь |	+21м» 1	(“)»

\ i /	\ i /	\ I Г

где (и) — некоторая непрерывная функция.

Наконец, будем счйтать, что для некоторых постоянных 60>0,
А4о>-0 при ©ей, zeQ выполнены неравенства

Ь(©, 0, —А40» z)^60. О, Мо, z)^ — д0.	(8)
Тогда, как легко видеть, в силу леммы 3 и теоремы 5 г)
inf ик, и, г)ии + Ь(ш, ик, и, z)]e«F(8, К, Q),
причем можно взять Л1£ = Л1в, бо =у б0 и Aff можно взять зави-
сящими только от d, К, Afi и функций от М, мажорирующих
вторые производные а'Л b по («*, ы, х) и их первые производные
по t на множествах Р (Л1).

9.	Замечание. Условие (8) (и аналогичное условие в опре-
делении 1) не накладывает требований на поведение b (со, 0, й, г)
при M->dzoo. Может оказаться, что b (®, 0, и, г)->оо при и->-оо,
а тем не менее при некотором Л1о второе неравенство в (8) выпол-
нено. В качестве примера можно взять Ь = и2 — и, Л1ое(О, 1).
В связи с этим отметим еще, что условие в) в определении 1
используется нами для оценки максимума модуля решения.

К ее обсуждению и к обсуждению единственности решения мы
сейчас и перейдем.

10.	Теорема, а) Пусть область D ограничена, F <=
eaF(8, /С, Q), MeCfoc(Q) П С($), | и| <Af# на d'Q,

ul + F(ux,xh u, z) = 0	(9)

в Q. Тогда |и|^Л1^ в Q.

б)	Пусть область D ограничена, и, v^C2(Q) f] C(Q), u = v
на d'Q, Fe/(e, К, Q),

Ut + F(Ux‘Xj> UX‘< U' Z) = Vl + F(°^Xh vx‘> °' z) 0°)
в Q. Toeda u = v в Q.

Доказательство, а) Обозначим T={zeQ: и(г)>Л1о}
и покажем, что Г = 0. Если это не’ так, то в множестве Г
найдется точка zo = (/o, х0), имеющая наибольшую возможную
координату t. Так как /0>0 и и<Мк на d'Q, то z^^d'Q,
в точке Zo имеет место равенство (9), и (zo) = и в точке го
функция и, рассматриваемая только на Q П {/3*4}, достигает
своего максимального значения. Поэтому их (z0) = 0, ut (z0) «S 0,
матрица uxx (z»X 0 и в силу (9)

^(а^Дго), 0, М?, zo)ss0,

что невозможно по определениям 1, 2. Стало быть, Г = 0, и^М?
на Q и на Q. Аналогично, и^ — Л1д.

б) Допустим противное, тогда или и>и где-то в Q, или,
наоборот, о>и. Рассмотрим только первую возможность. Возьмем
достаточно большое у>0, достаточно малое б>0 и пусть г0 —
одна из тех точек в Q f] {f^s6}, в которой (и —и)ехру/ достигает
наибольшего значения. Если б достаточно мало, то это значение
строго больше нуля и, стало быть, Zo^d'Q. В точке Zo имеем
(и—и)х = О, (и —и)хх^О, (и — v)t + y(u — о)^0. Отсюда, из (10)
и теоремы 5 а) в точке г0

0 = (и — v)t 4- alJ (и — v)xixj+ bl (и — v)xi + с (u —1>) «s

^(c-y)(u-v).	(11)

Здесь (u — и) (г0) > 0, а у можно взять больше с, так как первые
и вторые производные и, v в Q ограничены, а вместе с ними с
ограничено постоянной, не зависящей от z#, у. При таком у соот-
ношение (11) дает противоречие, стало быть, u^v. Теорема
доказана.

В следующем параграфе нам понадобится также теорема срав-
нения и теорема об устойчивости решения относительно изменения
данных на d'Q. Обратим внимание читателя, что в теореме сравне-
ния не требуется, чтобы решения имели производные, ограничен-
ные во всей области Q.

11.	Теорема, а) Пусть область D ограничена, u, v е CLc (Q) Л
ЛС(ф), u<Zv на d'Q, FeoHu, К, Q) и в Q левая часть (10) не
меньше правой. Тогда u^v в Q.

б) Пусть область D ограничена, и, osC4(Q)nC(Q), число
v>0, u<_v + v на d'Q, Fe/(8, К, Q) и в Q левая часть (10)
не меньше правой. Tozda u^v+N-v в Q, ede N зависит только
от Т, d, Mi и норм и, v в С2 (Q).

Доказательство. Утверждение а) доказывается повторе-
нием доказательства утверждения б) предыдущей теоремы, кото-
рое только надо дополнить замечанием, что те точки Q Л
в которых и — о>»0, лежат на положительном расстоянии от d'Q,
и поэтому с из (11) ограничено известной нам постоянной.

Для доказательства б) рассмотрим, функцию (и — v — v) exp у/.
Если эта функция меньше нуля на Q, то доказывать нечего.
Если же она в некоторой точке Q строго больше нуля, то в точке
ее максимума z0 е Q, как и в предыдущем доказательстве, имеем

(и—и)х = 0, (и — о)х«<0, (и — v)t + y(u — V — v)==^0,
0^(u — v)t + aV (u—v)xixi + bl (и— о)^+с(и — v)^

=С(с —у) (и — о — v)-f-vc.

При у>2|с| получаем u — v — v^v в точке г0 = (4, хо), стало
быть, (и — о — v)expy/^vexpyf0=CvexpyT, u^»4-v(l -j-expyT)
в Q. Остается заметить, что выбор у можно сделать с самого
начала в зависимости (см. теорему 5 а)) только от d, М* и норм
и, v в C*(Q). Теорема доказана.

§ 2.	Существование решения для

Первая краевая задача

Фиксируем постоянные К в > 0, Т > 0, а е (0, 1). и функ-
цию ф е С84® (£rf) такую, что D: = {х е Еа: ф (х) > 0} — непустая
ограниченная область, | ф* |	1 на ди. Обозначим Q = (0, T)xD.
На протяжении всего параграфа мы рассматриваем функцию
Fe/fe, К, Q) (см. определение V.5.1) такую, что ее первые
производные по всем аргументам и вторые производные по (и,у,
и, х) удовлетворяют условию Гёльдера порядка а на каждом
множестве Р(М, Q) по отношению к расстоянию (1.3.1). Кроме
того, предположим, что существуют постоянные Л1о, 60>0 такие,
что

F(Uij, 0, — Л40, z)>S0, F(—Uy, О, Мо, г)^ — 60 '	(1)

для любых г s Q и симметричных неотрицательных (игу).

Как и в § 1.3, по непрерывности мы определяем F при zeQ.
Наконец, предположим, что нам дана функция феС2^^).

Наибольшие трудности в этом параграфе возникают при оценке
нормы решения в С2, когда нет условий согласования. Для пре-
одоления этих трудностей нам понадобятся четыре леммы.

1.	Лемма. Пусть |<р|<Л40 на d'Q и

<Р/4-Дф = 0, (p/4-F(q>?x/, <р?, <р, z) = 0 на dtxQ. (2)
Тогда задача

u‘ + F(uxi^< z) = 0 в Q,	(3)

и = ф на d'Q	(4)

имеет и притом eduHcmeeHHoe решение u^C№{Q), ede Р = а0Да,
ao = ao(d, К, в)е(0, 1). Кроме того, d-ля этого решения их, ие,
uxxeC2i+a(Q).

Доказательство. В силу теоремы 1.3.1 (и теоремы 1.10)
достаточно отыскать постоянные ao = ao(d, К, е)е(0, 1),
такие, что при Р=аоДа оценка

(5)
справедлива всякий раз, как только ыеС2+₽ (Q), их, ut, ихх е
е Cfoc (Q) и при некотором т] е [0,1]

Ut + ti]F(их,х/, и*,, и, z)4-(l —т|) Ди = 0 в Q,
и = <р на d'Q.

Возьмем в теореме V.5.2 Q0==Q1 = Q, Г =d'Q, х=1. Тогда мы
увидим, что для доказательства (5) достаточно показать, что
I и | N2 в Q для тех же функций и, где N2 не зависит от и, г].
При т| > 0 в качестве годится Af0 по теореме 1.10 а) и лемме 1.3.
Оно, очевидно, годится в качестве Л'2 и при г) = 0. Лемма доказана.

Откажемся от первого условия согласования в (2).

2.	Лемма. Пусть |ф|<А1о на Q, ф*, ф/, ФдеС241^) и
выполнено второе равенство в (2) {на dtxQ). Toeda утверждение
леммы 1 npodoAtwaem оставаться верным.

Доказательство. Фиксируем достаточно большое А,>0,
значение которого мы уточним ниже, обозначим f = ф, Аф — Аф
и прежде всего докажем оценку (5) при условии, что и е С2+₽ (Q)
(Р=аоДа), их, ut, Ujcx^CtodQ) и для некоторого г| е [0, 1}

и/ + цР(их{х/, uxt, и, z)+(l—	= 0 в Q,

u — (f на д Q.

По теореме V.5.2 нам опять достаточно доказать, что | и | «С Мо
в Q. По предположению Мо> |ф | и для неотрицательных сим-
метричных (Utj)

r\F(Uij, 0, — Л40, г) + (1—г|)(бУм;у4-ХМ0 —f(z)) 2s

Ss nso + (1 — П) (ММ0 4- q> (z)) — (ft (z) — Дф (z)) > 6o,
если

X = (Mо — sup | ф I)-1 (60 + sup | ф, + Дф [).

При таком X также имеем

r)F(— Uy, 0, Mo, z) + (l — т])(— №иц — XM0— — 6<j.

Стало быть, |u|^M0 по теореме 1.10 a).

После того как для решений задач (6) установлена априорная
оценка (5), можно повторить доказательство 1.3.4, взяв только
в (1.3.9) выражение (Ди — Хо —/) вместо До. Читатель, предпочи-
тающий более формальное использование теоремы 1.3.1, может
воспользоваться тем, что формула о = (и —ф)^ устанавливает
взаимно однозначное соответствие между решениями задач (6) и
решениями задач

О/ + т]	(eV°x<x/+ФА/,	+ Ф?,	+ Ф, *)+

4-е-^ф<_|-Хо] + (1 — т]) До = 0 в Q, (7)
о = 0 на d'Q.

Для решения последних имеется априорная оценка, как и
для (6). По теореме 1.3.1 для (7), а следовательно, и для (6),
имеется разрешимость. Единственность решения (6), (7) —следст-
вие теоремы 1.10. Лемма доказана.

На следующем шаге мы откажемся от обоих условий согласо-
вания (2).

3.	Лемма. Пусть |ф|<М0 на Q, фх, ф/, фххе£^+“(0.
Тогда_ задача (3) —(4) имеет и притом единственное решение
в C(Q)nC2(Q).

Доказательство. Единственность решения — опять следст-
вие теоремы 1.10. Для доказательства существования при всяком
п = 1, 2, ... определим бесконечно дифференцируемые функции
Хп(0 на [0, Т] так, чтобы выполнялись условия: Хл(0 = 0 при
t^T —	x„(t) = l при / е[Т —gL, tJ, x^SsO. Положим

X = sup | ф, + F (фх,х/, фх„ ф, z) | (Мо - sup | ф I)-1,	(8)
Fn(Uij, Ui, и, z) = F(Uij, uh и, z) —

-Х«(0[^« + Ф/(г)-Хф(г)4-Г(фж<ж/(г), <pxi (z), <p(z), z)],	(9)

где, естественно, z = (t, x). Без какого-либо труда проверяется,
что при всяком п функции Fn удовлетворяют условиям начала
параграфа, причем постоянные 60, Af0 годятся и для Fa. Кроме
того,

ф/ + 77«(фх*х/, ФХ6 ф. г)=0 на dtxQ.

По лемме 2 задача

ut + Fn(uxtxl, uxi, и, z) = 0 в Q,	(10)

ы = Ф на d'Q	(11)

при всяком п имеет решение и* е С2+р (Q) такое, что и", и*,и"х^
sCfoce(Q). По теореме 1.10 функции ип равномерно ограничены
в Q-. | ип| ^Мо.

Далее, к ип применим теорему V.4.7, полагая Q0 = Qi = Q,
Г —d'Q, х=»1. Заметим, что условия (V.4.25) — (V.4.28) на реше-
нии ип для функций Fn выполнены с одними и теми же в, К,
Ki, Af при любом п. Условие теоремы V.4.7 относительно Ft вы-
полняется с функцией М, не зависящей от п и с

fn (t) = (0 [ХА!о + sup | ф, - Хф + F (фЛ/, фх«, ф, z) |] +
+Хл(08ир|^-[ф/-Хф4-Г(фхгх/, Фх1, ф, z)]|.
т

Очевидно, J %^(/)df = l. Отсюда по теореме V.4.7 вытекает, что
о

нормы ип в (?(Q) равномерно ограничены.

Наконец, понятно, что уравнение (10) на Qn{^<7’— при
п>т совпадает с (3). По теореме V.5.2 (берем в ней Qf)
П{*<Т —	в качестве

Qi = Q, Qo, Г) при п 2m нормы ип в С2+₽ (Q f| < Т — огра-
ничены постоянной, не зависящей от п, и Р е (0, 1), Р не зави-
сит от п. Стало быть, существует подпоследовательность п'-»-оо
такая, что ип', и"', и"', ия'х-*и, их, ut, ихх в Q, и, их, и{, ихх
непрерывны в Q и и удовлетворяет уравнению (3). Равномерные
оценки норм ия в C2(Q) показывают, что ueC2(Q), ип равно-
степенно непрерывны в Q и иеС($), и = ф на d'Q. Лемма дока-
зана.

Уточним свойства производных решения задачи (3) — (4), по-
строенного в лемме 3.

4.	Лемма. Пусть |ф|<Af0 на Q, ф*, ф/, фххеС2+а(Q),
и—решение задачи (3) — (4) в классе С (Q) f) С* (Q). Тогда для любого
п 2s 1 функция и принадлежит пространству С2+р ([0, T]xD (J
U [о, Т — -i-Jx D^, где 0 = ссоДа, ао=ао (d, К, s)e(0, 1), и норма и
в этом пространстве оценивается постоянной, зависящей только
от п, d, К, г, а, Мо, функций М?, i = l, 2, 3, и норм функций
ф, q> в C2+a(Ed), C2+a(Q) соответственно. Кроме того, норма и
в CPiQ) оценивается постоянной, зависящей только от тех же
объектов, из которых надо исключить п.

Доказательство. Наметим сначала основные черты дока-
зательства. Конструкция, примененная в доказательстве леммы 3,
обеспечила некоторую оценку нормы и в C2(Q). Она же, как мы
видели в конце доказательства леммы 3, дает оценку нормы и
в С2+& ([о, Т —-i-jxD). Для того чтобы оценить норму и в
С2+₽([0, Т]X D (1 /п)), мы построим другую последовательность функ-
ций ип, сходящихся к решению задачи (3) —(4). Для новых функ-
ций ип нам удается оценить норму в С2+^([0, T]xD(l/n)) равно-
мерно по п. Тогда получится оценка этой нормы и для предельной
функции. После этого с помощью теоремы 1.11 (а не теоремы 1.10)
мы докажем, что новая предельная функция совпадает с реше-
нием (3) — (4), построенным в лемме 3. Затем мы докажем послед-
нее утверждение леммы.

Построим какую-нибудь последовательность бесконечно диф-
ференцируемых функций х«(2) так, чтобы	в Q, Хл = 1

в[7'-я- Пх (DX'DО’ Ь-0 В Q.:=Q\([T-1, т]х

С помощью формул (8), (9) определим А. и Fn и
через ип обозначим решения задач (10), (11). По лемме 2 имеем
u"eC2+p(Q), где 0=аоДа, <Хо = а<> (d, К, «) е (0, 1), и", uf, и'^е
eCjot* (Q). Кроме того, | ия| по теореме 1.10.

Так как на Qn уравнение (10) совпадает с (3), то при п^?2т
по теореме V.5.2 (с очевидными Qx, Qo, Г) нормы иП в C2+₽(Qm)
ограничены постоянной, зависящей только от т, d, К, е, а, Мо,
функций Aff и норм ф, ф в C2+a(£rf), C2+a(Q) соответственно.
В частности, последовательность ип компактна в смысле равно-
мерной сходимости на каждом множестве Qm. Из условий (V.5.1),
(V.5.2) и следствия IV.5.3 с помощью распрямления границы
легко вытекает, что ип имеют равномерно ограниченную постоян-
ную Гёльдера с некоторым показателем в [0, T]x(D\D (1//п)).
Поэтому существует подпоследовательность п'->оо и функция
ueC(Q) такие, что un'-+v равномерно в Q. Понятно, что и = ф
на d'Q. Кроме того, из оценок норм ип в C*#(Qrn) вытекает, что
v е С2+^ (Qm) и норма v в этом пространстве оценивается нужным
образом.
Покажем, что построенная таким образом функция v совпадает
с (единственным) решением задачи (3), (4) в классе С (Q) f] С2 (Q).
Мы не можем применить теорему 1.10, так как пока мы не знаем,
что vx, vt, vxx ограничены в Q. Поэтому воспользуемся теоремой
1.11. Обозначим через v [<р] любую из функций v, которая полу-
чается описанным выше в этом доказательстве методом, исходя из
граничного условия (4). Заранее мы не можем утверждать, что
вся последовательность сходится к одному пределу, поэтому для
данной <р может получиться несколько различных v, и одну из
них мы берем в качестве о[ф]. Пусть также и [ф] —решение из
С(£>) QC2 (Q) задачи (3)-(4).

По теореме 1.11 а) при малых v>0 имеем м[ф —v]<;o[/p]sS
«См[ф4-у], и[<₽ — v]sSи[ф] ;Си [ср4-v], по теореме 1.11 б) полу-
чаем «[ф + v] — «[ф — v]^Nv, где М зависит только от Т, d, Mi
и норм «[ф-j-v], ы[ф — v] в C2(Q). Последние, как легко следует
из доказательства леммы 3, оцениваются независимо от v (хо-
тя в их оценку войдут, например, максимумы вторых производ-
ных F по Utj, ut, и, максимумы четвертых производных ф по х
и т. п.).

Таким образом, |о[ф] — ы[ф]| ^Nv в Q и при v->0 заклю-
чаем и[ф] = и[ф].

Остается доказать последнее утверждение леммы. Его, по-види-
мому, достаточно трудно извлечь из доказательства леммы 3, так
как мы исключаем зависимость постоянной от свойств четвертых
производных ф по х. Однако по доказанному выше u е С2 (Q\5^Q) f|
nCioc₽(Q). по лемме 1.3.2 имеем их, и(, uxxsChaaJQ). Элемен-
тарная теорема из анализа показывает, что их е С (Q) в силу не-
прерывности и в Q и ограниченности ихх. Теорема V.4.7 (с f = 0,
Qo = Qi = Q, Г = d'Q, х = 1) после этого сразу дает нужную оценку.
Лемма доказана.

Одним из основных результатов параграфа является

5.	Теорема. Пусть |ф|^Л40 на Q (и выполнены предполо-
жения начала параграфа). Тогда задача (3) —(4) имеет и притом
единственное решение u^C2(Q)C\C (Q). Это решение обладает
следующими свойствами-.

a)	|u|^Afo в Q, их, щ, ихх е Ciot“ (Q);

б)	для любого п 1 функция и принадлежит пространству
С2+р([0, T]xD(l)u[o, T-1]xD), aaep=a0Aa,a0=a0(d,/<,e)e
е(0, 1), и норма и в этом пространстве оценивается постоянной,
зависящей только от п, d, К, е, а, Мо, функций М? и норм функ-
ций ф, ф в С2+а (£</), ^“(Q), соответственно-,

в)	если ф1еС2+“(ф, Ф1 = ф на dxQ, то норма и в C*(Q) оце-
нивается постоянной, зависящей только от d, К, е, а, Л40, функ-
ций М? и норм функций ф, ф1, ф в С2+а (£</), С24®^), C2(dtQ)
соответственно-,
г)	если Vt+Fiyjj, Ф?> ф» г) = 0 на dlxQ, то BsC^lQ)
е тем же 0, что и выше, и норма и в этом пространстве оцени-
вается постоянной, зависящей только от d. К., е, а, Л40, функ-
ций Mi и норм функций ф, ф в С2*" (Ed), C2+a(Q), соответственно.

Доказательство. Единственность решения в классе С2 (Q) f|
П С (Q) следует из теоремы 1.10. Утверждение г) вытекает из а),
б), теоремы V.6.1 (с Qo = Qi = Q, Г = d'Q, х=1) и теоремы V.5.2.
Утверждение в) получается из а), б) и теоремы V.4.7. Кроме
оценки | и | Мй, остальные утверждения в а) по лемме 1.3.2 сле-
дуют из б). Таким образом, нам остается построить решение
задачи (3) — (4) в классе С2 (Q) f] С (Q), для которого было бы верно
утверждение б) и неравенство | и | sg Л40- Имея в виду возможность
элементарного предельного перехода от (1 — 1/п)ф к ср, будем счи-
тать, что |ф|<Л4о в Q.

При целых п^1 обозначим Dn = {x: 2ф (х) > 1/n}, Qn =
=(0, Т — l/n)xD". Для достаточно больших п, которые мы только
и будем рассматривать, Фя=/=0, |2фж|^1 на dD”. Далее, фикси-
руем подходящее п, и пусть последовательность бесконечно диф-
ференцируемых в Q функций ф“, т^1, такова, что <рт-><р
равномерно на Q", | фт | •< Мо на Q", нормы в	не пре-

восходят удвоенной нормы <р в С24®^). Существование таких
функций <рт не может вызывать никаких сомнений и может быть
обеспечено с помощью операции осреднения.

По лемме 3 задача

u/ + F(ux,x/, uxi, и, z) = 0 в Qn,
u = q>m на д'0я

имеет и притом единственное решение unm <= С2 (Q“) Q С (Q"). По
лемме 4 нормы ипт в С2 (Q”) ограничены постоянной, не завися-
щей от п, т. В частности, эти функции равностепенно непрерывны
и их любая предельная точка в Q С (О') по любым подпоследо-
t

вательностям т' ->• оо, п’ ->• оо допускает непрерывное продолже-
ние в 0, очевидно, равное <р на d'Q. Из леммы 4 сразу следует
также, что если и —одна из предельных точек, то норма и
в С2+р fro, T)xd(—^ufo, Т — — 1x0^ оценивается так, как это
указано в утверждении б). Остается заметить, что из равномер-
ной непрерывности производных и в [0, T)xD U [о, Т — “jxZ?
следует, что они по непрерывности продолжаются в замыкание
этого множества до соответствующих производных и на границе,
при этом норма и в С2+р в замыкании останется равной норме и
в С2^ в исходном множестве, и, наконец, заметить, что из равно-
мерной оценки норм ипт в С2 (Q") вытекает, что и s С2 (Q). Тео-
рема доказана.
Следующая теорема непосредственно вытекает из теоремы 5 и
теоремы V.4.6.

6.	Теорема. Пусть | <р |	Л40 в Q, и — решение задачи (3) — (4)

из теоремы 5, х е (0, 1 ]. Обозначим Qo — (О, Т — х2) х D (х) и пред-
положим, что Оо^ф. Тогда нормы функций ut, и** в
оцениваются постоянной, зависящей только от d, К, в, Мо, Т, х,
области Du от функций М,,Мо. Кроме того, u^(^^N'(d, К, е, Мо,
х, Mi, М%) на Qo при всех единичных £ е Еа. Наконец, сущест-
вует ao = ao(d, К, «) £= (0, 1) такое, что нормы и, их в C^fQo)
оцениваются постоянной N(d, К, в, Л40, х, Aff).

Перенесем доказанные результаты на эллиптические уравнения.

7.	Теорема. Пусть <р, F не зависят от (, |ф|^Л40 на D
и выполнены предположения начала параграфа. Тогда задача

F(ux,x„ uxi, и, х) = 0 в D,	(12)

и = ц> на dD	(13)

имеет решение и s С2+₽ (D), где Р = осоДа, а0 = ®о (d, К, в) <= (0, 1),
обладающее следующими свойствами:

а)	норма и в С2^ (D) оценивается постоянной, зависящей только
от d, К, в, а, Мо, функций М{, М* и норм функций ф, фвС2+а (Ed),
C2+a(D) соответственно,

б)	|ы| ^Мо в D, их, ихх Ciota (D).

Д о к а з а,т е л ь' т в о, Пусть X (/) — бесконечно дифференцируе-
мая функция на (—оо, 0] такая, что О^х^Ь х'^0» Х = 0при
ts^—1, х(0) = 1. При Т>0 положим QT =(0, T)xD, ф7 (/, х)=
=(1 — х (t — Т)) <р (х) + х 0 — Т) Мо и через ит обозначим решение
из класса С2 (QT) f| С (Qr) задачи

и/(t, x) + F(ux>x/ (t, х), uxi(t, х), иГ (t, х), х) = 0 в QT, (14)
ит =ф7 на d'Q7.	(15)

По теореме 5 решение этой задачи существует и единственно,
так как | ф7 | Мо в QT. Из единственности решения, кстати,
сразу следует, что ит (t, х) — ит (0, х) при t е_[0, Т}. Далее,
по теореме 5 при Т 2 нормы функций и7 в С2+$ (Q7) оцениваются
постоянной, о которой идет речь в утверждении а) настоящей тео-
ремы. Так же оцениваются, очевидно, и нормы ит (0, х) в C2+p(D).
Кроме того, ит (0, х) = ф(х) при Т^2 на dD в силу (15).

Дифференцируя уравнение (14) по t, получаем линейное урав-
нение для «7 с нулевым свободным членом и коэффициентами,
ограниченными по теореме 5 в). При этом дифференцирование
законно в силу теоремы 5 а). Функция м7 ограничена и непре-
рывна в QT\dtxQT, на dxQT имеем

и! 0. х) = (Л1о - ф (х)) х' 0 — Г) > 0,
на {( = T}xD в силу (14), (15)

и? (Т, x) = — F (О, О, Мо, х) 0.

Отсюда по принципу максимума и{^0 в QT. Из равенства
uT(t, х) = иг-/(0, х) теперь следует, что ит (0, х) убывают по Т.
Так как |ыг | Мо в QT, то предел ит (0, х) при Т-*оо конечен.
Обозначим этот предел через и (х). Ясно, что и = <р на dD, | и | Мв
в D и в силу оценок ит в	для и справедливо утвержде-

ние а) настоящей теоремы. Из этих же оценок и равенства ит (t, х)=
=ит~1(0, х), разумеется, следует, что ит (t, х) сходится к и(х)
при Т ->оо (равномерно на Q1) вместе с производными вида
итх, и?, «Jx, сходящимися к соответствующим производным и. По-
скольку «/ = 0, то и?и полагая Т-+оо в (14), заключаем,
что « — решение уравнения (12).

В утверждении б) неравенство | и | Мо доказано выше, вклю-
чения их, uxx^dtoca(D) следуют из леммы 1.3.2 (если в уравне-
нии (1.3.3) взять т]=1). Теорема доказана.

8.	Замечание. В отличие от теоремы 5 в теореме 7 нельзя
утверждать единственность решения в классе C®(D). Например,
функции 0, sinx удовлетворяют уравнению «"-}-« = 0 на [—л, л]
и равны нулю на границе этого отрезка. Функция «и + « не
удовлетворяет условию (1). Однако если вместо и поставить f (и),
где f(u) = u при | и| «С 1 и f ведет себя, например, как (—м) при
| и |	2, то условие (1) будет выполнено с Л4О = 3, 60=1. а не-

единственность останется.

Для того чтобы обеспечить единственность решения в классе
функций ие(?(О), удовлетворяющих условию | и |=^Л40 на D,
как легко следует из формулы Адамара и принципа максимума,
достаточно дополнительно потребовать, чтобы при всех хе О,
симметричных («у), ме[—Л40, Л40], и действительных щ, выпол-
нялось неравенство Fu(tiij, ut, и, х)^0.

§ 3. Существование решения для FeaF
в негладкой области и задача Коши

В этом параграфе мы рассматриваем задачу (2.3) — (2.4) в слу-
чае, когда область D не является гладкой. Основной метод заклю-
чается в приближении области D изнутри гладкими областями
и в последующем предельном переходе. При этом внутренние
оценки в норме С84* гарантируют компактность допредельных
функций в С2, а непрерывность предельной функции в Q доказы-
вается с помощью барьеров. Для того чтобы можно было строить
простые барьеры, мы считаем, что D —область в Еа и что для
любой точки Xo^dD при некотором ро>-0 найдется замкнутый
шар радиуса р0, лежащий в Еа\Р и содержащий Хо (на своей
границе). Область D не предполагается ограниченной, поэтому
при D = Ed мы рассматриваем задачу Коши.

Пусть Т>0, К^е>0, ае(0, 1), Q = (0, T)xD, Fg
е еГ (е, К, Q). Пусть первые производные F по всем аргументам и
вторые производные по (иу, щ, и, х) удовлетворяют условию
Гёльдера порядка а на каждом компакте, лежащем в множестве
Р(оо, Q) по отношению к расстоянию (1.3.1). Кроме того, пред-
положим, что существуют постоянные Л40, 6о>0 такие, что усло-
вие (2.1) выполнено для любых zeQ и симметричных неотрица-
тельных (Uy).

Эти условия считаются выполненными на протяжении всего
параграфа.

1.	Теорема. Пусть феС(ф), |<р|^Л40 на Q. Тогда задача
(2.3) — (2.4) имеет решение и, обладающее следующими свойствами:

a)	ueC(Q), |м|^Л40 на Q,

б)	при всяком хе(0, 1) функция и принадлежит простран-
ству С2+“»((0, Т ~v?)xD (к)), где ao = oco(d, К, e)e(0, 1), и норма и
в этом пространстве оценивается постоянной, зависящей только
от d, К, е, Л40, х и функций Mi, t = l, 2, 3.

Доказательство. Полагая ф(t, х) = ф(0, х) при t^O,
а затем, более или менее произвольно сглаживаяф в (—оо, T)xD,
мы сведем дело к случаю, когда <реС2+а([0, Т — х2]хГ) при
любом хе(0, 1) и для любого компакта ГсзЙ. Далее, опреде-
лим последовательность расширяющихся ограниченных областей
D"f D так, чтобы dDa были бесконечно дифференцируемы, и обо-
значим Q" =	, Т — -i-j х Dn. По теореме 2.5 задача

+ unxi, ип, z)=0 в
и" = Ф на d'Qn

имеет решение ип е С2 (Qn) П С (Q") такое, что а", и", ихх е
eCU“(Q»),	на Q".

Если z0 + С4р«, 2Р вместе с замыканием лежит в Q, то эта область
лежит также во всех Q", начиная с некоторого и. Возьмем в тео-
реме V.5.2 области г0 +	2р, z0 + Ср*, р в качестве Qx = Q, Qoсоот-

ветственно (с очевидными ф, Г, х). Тогда по этой теореме мы
оценим нормы иа в С2+а° (z0 + Ср*. р) равномерно по и, начиная
с некоторого п. Отсюда вытекает, что по некоторой подпоследо-
вательности и' -> оо функции ип' сходятся в каждой точке z е Q
к некоторой функции и, обладающей свойством б) из формули-
ровки теоремы и удовлетворяющей уравнению (2.3). Очевидно,
|и|<;Л4о на Q и нам остается доказать, что и продолжается до
функции, непрерывной в Q и равной ф на d'Q. При этом понятно,
что для любой точки г0 = (/0» *o)ed'Q достаточно доказать, что
если zm = (tm, xm)e=Q, zm->z0, то и(гт)->Ф(го).
Пусть сначала г0 = (Т, х0), x0^D, р>0, Хо + $рс£>, Исходя
из условия (V.5.2), в Q” имеем

|«7+Ч^/|<лф+|«2Г),

где (и ниже) N не зависит от п. отсюда, как в доказательстве
теоремы IV.3.5 (там берем n = l, g* из следствия IV.3.6), для
некоторой постоянной у>0 при всех п в Q" получаем

v^ + FUl/vnxix/^-N,	(1)

где vn (z) = exp {у (ил (z) — <p (z0))2} — exp уб и б — любая постоянная.
Положим

б = 6 (р) = sup {(ф (z) — ф (z0))2: zb — z <= CpS, PJ.,

Ясно, что у” (z) <0 на (z0 — Ср», p) П йО" ПРИ всех достаточно
больших п. Заметим еще, что если в формулировке леммы IV.4.2
всюду опустить и(Т, 0), то она останется справедливой (собст-
венно, в этом виде она и доказывалась). Из этой леммы без труда
следует, что оп(/, x)^N(T — t) при |х —Хо|=^уР. если только
Т — I достаточно мало (независимо от л), а п достаточно велико.
Стало быть, при тех же z = (t, х)

ехр {у (и (г) — ф (г0))2} - ехр уб < N (Т - /).

Подставляя сюда z = zw и полагая £ = lim (и (zm) — и (г0))2, заклю-
чаем (р). При р|0 это дает | = 0.

Рассмотрим второй случай: гь <= dxQ. Возьмем те же самые
функции vn и определим 6 = 6(р) следующим образом. Пусть шар
Х14-5Ро лежит в Ed\D и х0 е xt + SPe. При р>р0 положим

Gp = {z = (t, x)f=Q: |/ —/0|<Р —Ро. |x-Xi|<P},
б = б (р) = sup {(ф (г) - ф (г0))2: z е= Ср}.

Без ограничения общности можно считать, что х0 — единствен-
ная точка из D, лежащая в Xi-f-Sp,, а тогда 6(р)-»-0 при р^ро
по непрерывности ф. Простые вычисления, проводимые в поляр-
ных координатах, показывают, что существует pi, строго большее
Ро, достаточно близкое к р0 (не зависящее от п), такое, что при
р <= (Ро, Pi] функция

^:=j(P-Po)2-(|x-Xi|(Ро + р))2

в ОРПСП удовлетворяет неравенству

оу? + Fu.	+ в < 0,

где, как и в (1) и ниже, аргументами FUt/ являются и"^/, и"/,
и", г. При этом в Gp П Q" А К» х) < в (/0 + Р —J)} имеем

/ ЩР \ . р I иР \	WP______1	п

\^о+Р—tJt	^/\^о+Р—^/xlxz Уо+р—О2	^о+Р—t

Фиксировав pi, легко подобрать столь большое г>0 (ср. доказа-
тельство теоремы IV.5.4), чтобы функция лр := (р-r — p-Q-1 (р~r —
— I* —*i|_r) в GpПQn при pe(p0, pi] удовлетворяла неравенству

Сравним теперь функцию Vя в GPAQ“ с функцией

ftp = аур 4- яр 4- аур {t0 4- р-О’1-	(2)

Ясно, что iP^-NhP на СрПС" А^^в^о+р — ОЬ На оставшейся
части ОРПСЙ Для оценки и" через Лр применим принцип макси-
мума. При фиксированном р таком, что р е (р0, pj, р — р0 < Т — to
и достаточно больших п, очевидно,

GP A Qtt А Н < в (to + р - i)} = Gp А [(О, Т) х D»] А {^ < в (/о+Р - 0}
и для любой точки z = (I, X), лежащей на параболической границе
этой области, выполнено одно из следующих условий: 1) г не
лежит в Gp, а значит, г е 5'GP; 2) z лежит в Gp, но не лежит
в (0, T)xD", и, стало быть, Х<=дОя; 3) z лежит'в Gpf|[(O, Т)х
хОл], но не лежит в {а>р<8 (f0 + p — 0}» а так как к ней можно
приблизиться точками из последнего множества, то а^р(г) = е(/0+
4-р —/). В первом случае (к>р (г) «Се (/0_+р — 0) имеем лр(г) = 1,
во втором Vя (z) «С 0, в третьем (t0 + р — О-1 о>р (2) = 8. Отсюда выте-
кает, что при ре(р0, pi], р — ро<7 —10 и всех достаточно боль-
ших п на GpAQ“ справедливо неравенство Vя ^Nhp. Значит,

ехр {у (и (г) — <р (г®))2} — exp уб (р) Nhp (г)

в Gp, и для того же £ находим £sg6(p), £ = 0.

Остается рассмотреть третий случай расположения z0: t0 = T,
Хо е dD. В этом случае достаточно повторить с небольшими изме-
нениями только что проведенные рассуждения, опуская третье
слагаемое в (2). Теорема доказана.

К сожалению, мы не знаем, единственно или нет решение
задачи (2.3) —(2.4) со свойствами, описанными в теореме 1, и
поэтому в следующей теореме не утверждаем, что решение из
теоремы 1 обладает дополнительными свойствами при дополнитель-
ных предположениях, а утверждаем только существование более
регулярного решения при дополнительных предположениях.

2.	Теорема. Пусть феС(ф), |ф|^ЛТ0 на Q, области
D° с D1czD, р: = dist (dD°, dD1) > 0. Тогда'.

а)	еслй <f(T, ) eC2 (D1), то существует решение задачи (2.3) —
(24), обладающее свойствами а), б) теоремы 1 и такое, что
л@Са((0, T)xD°) и норма и в этом пространстве оценивается
постоянной, зависящей только от d, К, е, Л10, р, функций МЧ,
1 = 1, 2, 3, и нормы <р (Т, •) в С2^1);

б)	если ф(Т, •) еС24®^1), то существует решение задачи
(2.3) —(2.4), обладающее свойствами а,) б) теоремы 1 и такое,
что ueC^QO, TJxD0), где 0=аДао, <x0=a0(d, К, е) е (О, 1),
и норма и в этом пространстве оценивается постоянной, завися-
щей только от d, К, е, а, Л40, р, функций МЧ, 1 = 1, 2, 3, и
нормы ф(Т, •) в C^iD1).

Доказательство. Если проводить рассуждения, как в пре
дыдущем доказательстве, то станет ясно, что для доказательства
утверждения а) достаточно воспользоваться дополнительно тео
ремой V.4.7 и построить функцию ф такую, что феС?Ос'“(<?),
| ф |	Л40 в Q, ф е С (Q), ф = ф на d'Q, феС2^(0, T)xDl^p^,

и норма ф в последнем пространстве оценивается постоянной,
зависящей только от d, Мо, р и нормы <р в С* (D1) Область
£>х^р) можно взять в качестве новой области D0 и юг да ока
жется, что утверждение а) нужно доказать только для решения
задачи: ф,4-Дф = О в Q, ф = Ф на d'Q. Кстати, для непрерывного
в Q решения этой задачи неравенство |ф|^Л40 в Q следует из
принципа максимума.

Существование нужной функции ф хорошо известно из теории
линейных уравнений (см., например, Ладыженская, Солонников,
Уральцева [1], Фридман [1]).

Аналогичные рассуждения применимы в случае утверждения б).
Теорема доказана.

Мы использовали теоремы V.4.7, V.5.2 далеко не в полном
объеме. Можно было бы, например, изучить случай, когда часть
dD достаточно гладкая и на прямом произведении этой части на
(О, Т) имеется область, в которой ф достаточно гладкая. Тогда
можно было бы утверждать гладкость (некоторого) решения вплоть
до упомянутой области на dxQ. Можно этот случай объединить
со случаем, когда ф достаточно гладкая в подобласти dtQ. Под
достаточной гладкостью, кроме того, можно понимать не принад-
лежность С2 или С24®, а более слабую степень гладкости и исполь-
зовать тогда еще результаты §§ V.2, V.3. Одним словом, наби-
рается довольно большее количество разных ситуаций. Мы, однако,
их разбирать не будем. Читатель, усвоивший доказательства тео-
рем 1, 2, вполне в состоянии сделать это сам. Кроме того, как
нам кажется, теоремы 1, 2, 2.5, 2.6 содержат наиболее существен-
ную информацию об операторах

Закончим параграф перенесением теоремы 1 на случай эллип-
тических операторов. Напомним, что считаются выполненными
предположения начала параграфа, а область D может быть неог-
ран’чзна и может совпадать с Еа.
3.	Теорема. Пусть ф, F не зависят от t, |ф|«сЛ40 на D.
Тогда задача (2.12), (2.13) имеет решение и, обладающее следую-
щими свойствами:

а)	и бС (D), | и | sC Мо на D;

б)	при всяком хе(0, 1) функция и принадлежит пространству
СР+^ф (и)), где ao = a0(d, Л, в) е (О, 1), и норма и в этом про-
странстве оценивается постоянной, зависящей только от d, К, е,
Л40, х и функций М.}, MF.

Доказательство этой теоремы проводится так же, как доказа-
тельство теоремы 1, но на основе теоремы 2.7 и при рассмотре-
нии поведения решения на границе (в единственном возможном
случае) нужно в качестве барьера взять выражение (2), в котором
следует опустить последнее слагаемое.

§ 4.	Существование решения для &. Примеры

В этом параграфе мы покажем, как из теорем существования
решения задачи (2.3) — (2.4) для F е «Г получаются теоремы су-
ществования решения для F е «Г. На функции F е/ мы пере-
несем только теоремы 2.5, 2.7, 3.1—3.3. Метод перенесения осно-
ван на простом предельном переходе, возможном в силу тео-
ремы 1.5. Этот метод, как станет ясно, применим и в других
случаях, когда для функций из «F имеются теоремы существова-
ния решения. В связи с этим хочется обратить внимание читателя
на замечание, сделанное после доказательства теоремы 3.2.

Фиксируем постоянные /Сз=8>0, 7’>0, ae(0, 1), область
DczEd, Q = (0, T)xD и функцию	К, Q).

1.	Теорема. Пусть D = {х: ф (х) > 0} — ограниченная область,
причем ф i= С24" (£d), | фж 13s 1 на dD, <р е С2+“ (<5), | <р | М» на Q.
Тогда задача (2.3) — (2.4) имеет и притом единственное решение
и е С2 (Q) П С (Q). Это решение обладает следующими свойствами:

а)	в Q, для любого п^1 функция и принадлежит

пространству	Т — -i-jxDj.ade P = «oAa»

ao = ao(d, К, е)<=(0, 1), и норма и в этом пространстве оцени-
вается постоянной, зависящей только от п, d, К., г, а, MF, функ-
ций MF и норм функций ф, <р в	C2+“(Q), соответственно;

б)	если ф1.еС2+а(С), Ф1 = ф на dxQ, то норма и в C2(Q) оце-
нивается постоянной, зависящей только от d, К., в, а, Л4», функ-
ций MFt и норм функций ф, Фх, ф в C2+a(Ed), C2+a(Q), C2(dtQ)
соответственно.

Доказательство. Положим Dn = jx: ф(х)> — |, Q" =
= (о, Т — ^xD" и будем рассматривать п только такие, что
21 фх | 3= 1 на dDn. По определению для всякого п найдется по-
следовательность бесконечно дифференцируемых Fnm К, Qn),
сходящаяся к F в каждой точке Р (оо, Q"), причем М^пт не за-
висят от п, т и равны Aff, а кроме того, все Fnm удовлетворяют
неравенствам (1.1) на Q" при М0 = М%, 60 — 6q. По теореме 2.5
задача

u?m + Fnm(unlnf, UT, ипт, z\ = 0 в Q»,	(1>

1	\ XlXJ X*	/

млт_ф на Q'Qn.	(2)

имеет решение, обладающее известными свойствами. В уравне-
нии (1) в силу теоремы 1.5 б) можно перейти к пределу по под-
ходящей подпоследовательности т' -»-оо. После этого в нем же
по теореме 1.5 а) можно перейти к пределу по подпоследовательно-
сти п' -> оо и получить решение из С2 (Q) f| C(Q) задачи (2.3) — (2.4),
обладающее свойством j) настоящей теоремы. Единственность
решения из C2(Q)QC(Q) утверждается в теореме 1.10, так что
нам остается построить еще какое-нибудь решение класса С2 (Q) П
П С (Q) задачи (2.3) —(2.4), для которого было бы справедливо
утверждение б).

Эго не очень удобно делать, рассматривая задачи (1) —(2).
Поэтому мы изберем другой способ приближения решения исход-
ной задачи. Пусть Qr” = (о, Т — уj х £>", п г 1, игпт — реше-
ния задач (1) —(2), в которых мы заменим Q” на меньшую
область 0гл. Если ф[пеС2+ 2<Z(Q™), ф[л = ф на dxQrn, то по тео-
реме 2.5 норма игпт в С2 (О™) оценивается постоянной, завися-
щей только от d, К, в, а, А40, функций Aff и норм ф, фГ» ф
_1_а

в пространствах C2+“(£rf), СГ+ 2 (Qrn), C2(d^Qrn) соответственно.
Кроме того, как и выше, из теоремы 2.5 и теоремы 1.5 вытекает,
что по подходящим последовательностям игпт сходится к решению
задачи (2.3) —(2.4). Следовательно, мы докажем утверждение б),
если построим функции ф™ такие, что ф[л = ф на dxQrn, ф[л е
еС2+ 2 <X(Qrn) и для всякого г при всех достаточно больших п

нормы ф[” в С 2 (Q'''1) не превосходят постоянной, умножен-
ной на норму ф1 в С2+“^0, Т—^-jxD^, причем постоянная зави-
сит только от d, а и нормы ф в пространстве C2+a(Ed).

Параметр г теперь не играет никакой роли (так же, как и свойст-
ва функции F), и, беря Т — у за Т, мы приходим к следующей
задаче из теории функций: даны функции фъ	такие,

что Ф1 = Ф на dxQ, требуется построить в (?я:=(0, TfxD* функ-
ции ф”еС2+ (Qn) такие, что фл = ф на dxQn и нормы фл
в С?+ 2 a(Qn) при больших п оцениваются постоянной (зависящей
только от d, а и нормы ip в (?+“(£,/)), умноженной на норму <pi
в C^Q).

По функции <р найдем функцию ф е С2+а (Q), где Q -<=
= (О, Т 4-1) X D, такую, что ф = ф на Q, ф (Т +1, •) = 0 и норма ф
в С2+“ (Q) не превосходит нормы <р в С24® (Q), умноженной на по-
стоянную, зависящую только от d, а и нормы ф в С2+“ (£</). Такую
функцию ф можно построить, если, например, сначала продол-
жить <р по х на Еа до функции v, затем продолжить f : = vt — До
в (О, Т + 1)хЕа до функции g, решить задачу: wt — &w=g,
w(0, ) = t>(0, •) и, наконец, срезать w вблизи / = Т-+1. Анало-
гично можно поступить с фх и, чтобы не вводить новых обозна-
чений, мы будем считать, чтоф, фхеС24®^), <p(t, х)=фх(£, х) = 0
при t близких к Г+1.

Теперь определим ф® как решения задач: vt + Др = О
в (О, Т4-1)хО", ц = ф на д'(О, T+-l)xD“.

Понятно, что нормы ф® в С2+а((0, Т4-1) xD") равномерно
ограничены и по подпоследовательности, а в силу единственности
предела и по всей последовательности, функции ф" в Q сходятся
к решению задачи

ф'4-Лф — 0 в Q, ф = Фх на d'Q.

Нам остается установить, что

Нт[ф®|| i	N II Ф Jc2+a (Q) «С NI Ф1 Лс2+а (^),	(3)

П-°° с + 2 (<?„)

где N зависят только от d, а и нормы ф в C2+“(Ed). Здесь вто-
рое неравенство нам известно, поэтому займемся только первым.
Пусть гяеОл

Так как нормы ф" в (^(Qn) равномерно ограничены, то для
любого б>0 можно найти последовательность гп(б), не прибли-
жающуюся к dQn, сходящуюся к некоторой точке z (б) е Q и
такую, что

lim | ф® (гп (6)) I > Пт | ф; (z„) | - б.	(5)

м~*оо '	7 1 п —♦оо

Левое выражение равно | фж (г (б)) |, и в силу (4), (5)

lim sup ||ф® I, QJ < sup {| фж |, Q}.
п-*со	л

Это показывает, что

lim I ф® (q ) II ф |с« (Q>«	(б)

п —*оо
Наконец, пусть

— sup {]хр? (z1) — ф? (z8) | p-a/* (z1, z8): z1, z8 e Q„| -> 0.
Так как | ф" (z1) — ф" (z8) | Npa (z1, 2?) при всех z1, z8 е Qn, где М
не зависит от п, то можно считать, что Нтр(г„, zJ)>0, а тогда

Л-♦ОО
рассуждения, подобные предыдущим, покажут, что
lim sup {| ф" (z1) — ф" (z8) | p-“/8 (z1, z8): z1, z8 <= Qn}
sup {| ф/ (z1) — fy (z8) [ P~“/8 (z1, z8): z8, Z8 e Q}.
Аналогичные неравенства верны для фп, ф", ф"х, и они вместе с (6)
дают (3). Теорема доказана.

Для эллиптических уравнений вторая часть доказательства
теоремы не нужна, и из теоремы 2.7 мы выводим, как и выше,
такую теорему.

2.	Теорема. Пусть выполняются условия теоремы 1, ф не
зависит от t, F (е, К, D). Тогда задача (2.12) — (2.13) имеет
решение и из C8+₽(D), где 0=а®Да, ao = a®(d, К, е)е(0, 1), и
норма и в этом пространстве оценивается постоянной, зависящей
только dm d, К, «, а, (Ио. функций Mi, М* и норм функций ф, ф
в С^ЧЕ^), C?*4D) соответственно. Кроме того, | и наО.

Напомним, что для функций F е <У справедливо второе утверж-
дение в а) из теоремы 1.5. Поэтому метод, примененный в пер-
вой части доказательства теоремы 1 (см. (1), (2)), и методы доказа-
тельства теорем 3.1—3.3 без какого-либо труда приводят к следую-
щим результатам, в которых область D может быть неограниченной
и может совпадать с Еа.

3.	Теорема. Пусть для любой точки х0 <= dD найдется зам-
кнутый шар радиуса р®>0, лежаищй в Ea\D и содержащий х0.
Предположим, что q>^C(Q), | ф | М® на Q. Тогда задача
(2.3) — (2.4) имеет решение и, обладающее следующими свойствами'.

а)	и еС(Q), |и|(И® на Q;

б)	при всяком х е (0, 1) функция и принадлежит пространству
С2+“®((0, Т — x8)xD(x)), где a0 = <x0(d, К, 8)е(0, 1), и норма и
в этом пространстве оценивается постоянной, зависящей только
от d, К, е, (И®, х и функций Mi, t — 1, 2, 3.

4.	Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3, области
D° с Dxcz D, р: = di st (dD°, dD1) > 0. Тогда:

а)	если ф(7', -j^C^D1), то существует решение задачи
(2.3) —(2.4), обладающее свойствами а), б) теоремы 3 и такое,
что иеСЧ(0, T)xD°), и норма и в этом пространстве оцени-
вается постоянной, зависящей только от d, К, в, Л4®, р, функ-
ций Mi, 4 = 1, 2, 3, и нормы ф(Т, •) в С8(О1);
б)	если <р(Т, • ) С2+а (D1), то существует решение задачи
{2.3) —(2.4), обладающее свойствами а), б) теоремы 3 и такое,
что ue(?^([0, T]xD°), где р=«оЛа» «о = «о(^, К, е)е(0, 1),
и норма и в этом пространстве оценивается постоянной, завися-
щей только от d, К, е, а, Af#» Р, функций Mi, i=l, 2, 3 и
нормы ф(Т, •) в C2+“(D1).

5.	Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3, <р не за-
висит от t, Ре/(г, К, D). Тогда задача (2.12) —(2.13) имеет
решение, обладающее следующими свойствами:

a)	и^С (D), \и\^М%' на D',

б)	при всяком хе(0, 1) функция и принадлежит простран-
ству C2+®»(D(x)), где ао = ао(д, К, е)<=(0, 1), и нормаи в этом
пространстве оценивается постоянной, зависящей только от d, К,
е, М%, и, Mf, MaF.

Обсудим полученные результаты на примерах. Отметим, что
все следующие ниже примеры основаны на примере 1.8 и на
эквивалентных преобразованиях уравнений о функцией F из этого
примера.

6.	Пример. Важнейшим уравнением в той теории, которая
представлена в книге, является уравнение (III.2.19). Оно до не-
которой степени играет такую же роль отправной точки, какую
в линейной теории играет уравнение теплопроводности. Именно
после изучения уравнения (II 1.2.19) мы получили оценки Александ-
рова, гёльдеровость решений линейных уравнений с измеримыми
коэффициентами и априорные оценки в С2** решений нелинейных
уравнений. В обозначениях и предположениях теоремы III.2.4
покажем, что о<, vx, охх не только ограничены, но и удовлетво-
ряют условию Гёльдера на любом компакте в Ed+1, на котором />0.

Пусть, например, в Q:=(0, l)xSi. Мы знаем, что
Xv — Vf^Q, матрица (X6z/v —vx<x/)5=0, vt, vxx ограничены в Ed+1.
Из вида уравнения (III.2.19) после сказанного следует, что на Q
(п. в.) величины Av — vt и собственные числа матрицы (X6tyv— vx,x/)
отделены от нуля строго положительной постоянной. Кроме того,
v удовлетворяет уравнению (III.2.18) и из упомянутых свойств
Av — vt,	вытекает, что на Q верхнюю грань в (III.2.18)

можно брать при дополнительном условии г(®)^ц, о)^|л(б,7)
с некоторой постоянной р>0 и о на Q (п. в.) останется реше-
нием таким образом модифицированного уравнения (III.2.18).
Воспользуемся этим и разрешим модифицированное уравнение
относительно vt. Тогда получим, что v на Q (п. в.) удовлетворяет
уравнению

и‘ + тах (гЬ	~^и+Т^а V'toldet® f) = 0,	(7)

где максимум берется по всем	таким, что г (со)	|х, со^
В уравнении (7) присутствует максимум, а в примере 1.8-
имеется нижняя грань. Эту несогласованность легко устранить,
если в (7) и заменить, скажем, на (—w). Тогда станет понятно,,
что к оператору, стоящему в левой части (7), применимы все тео-
ремы этого параграфа. В частности, уравнение (7) с граничным
данным u — v на d'Q имеет непрерывное решение, производные-
которого их, ихх удовлетворяют условию Гёльдера с некото-
рым показателем, например в (0, 1/2)xSi/2. Этим же свойством
обладают и vt, vx, vxx, так как по следствию III.4.3 в Q имеем.
и = и.

7.	Пример. В ограниченной области D с Еа при 2 рас-
смотрим задачу

+ Au) = /<f(Mxft, и, х) в D,	(8)

и = <р на dD,	(9)>

решение которой будем искать в классе функций из CfOc (Р) П С (D),
для которых матрица (ия«ж/+$</Ди)5*0. Про функцию f предпо-
ложим, что она неотрицательна, дважды непрерывно дифферен-
цируема по (и.к, и, х), ее вторые производные ограничены на вся-
ком множестве вида {(и*, и, х): | и 14- £ | и* |	М, хе£>} и

/и^0,	(!+«*«*),

| fur | (1+ SI uk I) + f„ +1 fxr\ (1 + S | uk I)-1 <	(u) (1+ UkUk),

где Afi(и), Л4г (и)—некоторые непрерывные функции от и, при-
чем Л41(а) возрастает по и,

lim Mi(u) = 0.	(10>

U—►— оо

Как мы знаем из леммы III.2.2, уравнение (8) вместе с усло-
вием («^/ + 6// Дм) 3=0 эквивалентно уравнению

+ Ди) — ^<ietaf(uxk, и, x)d] = 0,	(11>

где минимум берется по всем неотрицательным матрицам а раз-
мера dxd таким, что tra=l. Поскольку, очевидно,

аЧ	+ 6«7 д“) =	+ б<7) их,х/,

то для оператора, стоящего слева в (11), выполнены все условия,
примера 1.8, кроме условия (1.8).

Для того чтобы обеспечить выполнение этого условия, мы изме-
ним уравнение (11), но с помощью предположения (10) сделаем,
это так, чтобы решение задачи с новым уравнением и условием (9)
одновременно являлось решением задачи (11), (9), а следовательно,
и задачи (8), (9). Пусть D с. SR. Выберем столь большую по-
стоянную	чтобы выполнялись неравенства

Mt(7?2-2^)(1+4/?4)^2(d+l),	(12>
После этого любым способом определим достаточно гладкую функ-
цию с (и) так, чтобы с (и) = 0 при —2A/i=Cu=^2A/1, с(—3N1)—
— Mi(—3/Vi)2=l, с(ЗЛ\)=С—1, с(ы)^0 при u 2s 0, с (ц) 2s 0 при
и^О. Тогда ясно, что левая часть уравнения

тт[(а^ + 6'/) uxixf+c(u) — frdeta f(uxk, и, x)d] = 0	(13)

удовлетворяет всем условиям примера 1.8, включая и условие (1.8)
с M0 = 3Ni, So = 1 • Поэтому к задаче (13), (9) применимы, напри-
мер, теоремы 2, 5. Покажем, наконец, что любое решение и за-
дачи (13), (9) из класса Cioc(D)(]C (D) является также решением
задачи (11), (9). Для этого, очевидно, достаточно установить, что
| и \^2Ni в D.

Если «>2ЛГ1 где-то в D, то при достаточно малом 6>0
функция и-|-6|х|2 достигает своего максимального значения
внутри D, скажем, в точке х0, причем и(хо)^О. Ясно, что
(“х'х/to))—26 >)» с(“ to)) °» f (Ux to)» “ to)» xo)2O и в этой
точке уравнение (13) не может выполняться. Значит, и^2Ni в D.

Если tz<—2JV1 где-то в D, то функция u + Ni — |х|2, в неко-
торых точках D строго меньшая (—Afx), а на границе боль-
шая (—Л\), достигает своего минимального значения в некото-
рой точке х0. В этой точке (и^/) 2=2 (6;у), их = —2х0, u(x0)=sS
sg | х012 — 2/Vi /?2 — 2Л\	0 и выражение, стоящее под знаком

минимума в (13), больше

2(d+l)-f(ux, и, Xo)^2(d+D-(l+4|xo|2)All(/?2-2^).

Последнее строго больше нуля в силу (12), и в точке х0 уравне-
ние (13) также не может выполняться. Стало быть,	—2Л\ в D.

8.	Пример. С помощью той же леммы III.2.2 можно анало-
гично предыдущему примеру рассмотреть первую краевую задачу
для уравнения

(u<4-Au)det(ux<x/ + Siy(u/ + Au)) = /'/+1(Ux, и, t, х),
где f удовлетворяет условиям предыдущего примера и один раз
непрерывно дифференцируема по всем аргументам, а решение
ищется в классе функций, для которых uz + Aiz2=0, матрица
(u*‘V "Ь	to + ^ы)) О-

9.	Пример. Одномерное уравнение и" — | и' | — 1 = 0 подхо-
дит под нашу теорию, несмотря на то, что | ых | не является глад-
кой функцией от «1. Дело в том, что это'уравнение записывается
в виде

min (и" — и' — 1, «" + «' — 1) = 0.

Отметим, что это уравнение на (—1, 1) с граничным данным
и(±1) = 0 легко решить и увидеть, что его решение «1*1—е +
-|- 1 — | х | имеет третью производйую, разрывную в нуле. Поэтому
наши результаты о том, что и е С24**, вполне разумны.
Большое количество примеров можно построить, рассматривая
минимумы конечного или бесконечного числа линейных операто-
ров. Такими будут

Аи + 1 «х|, Ди — у (Uxix.)_, Ди —у (Ux-xi)-—у (их«х«)-.	(141

Следующий оператор, похожий на последний из (14),

Ди (Ux»x«)-	(и*«*«)~ -|- (и»»х»)+

не подходит под нашу теорию и про разрешимость уравнений!
с этим оператором нам ничего неизвестно.

§ 5. Существование решения для F^&k

В этом параграфе мы доказываем теоремы существования ре-
шения задачи (2.3) — (2.4) без каких-либо предположений о гладко-
сти F по t. Соответствующие результаты, а главным образом
методика их получения нам потребуются в следующей главе,,
в которой рассматриваются вырождающиеся уравнения. Для реше-
ний вырождающихся уравнений нет обычной гладкости по х, ее
не дает и гладкость исходных данных по t. Поэтому гладкость
по t является до некоторой степени лишней, и мы показываем:
здесь для невырожденных уравнений, что происходит, если от
нее отказаться.

Пусть постоянные К е > О, Т > 0, область D с Еа, Q =
= (0, T)xD. Предположим, что для любой точки x0^dD най-
дется замкнутый шар радиуса ро>0, лежащий в Ed\D и со-
держащий х0. Естественно, что если дО = ф, т. е. если D = Ed,
то это условие выполнено.

1.	Определение. Пусть F(иц, и{, и, г) задана для zeQ
и действительных Uy, и,- (i, / = !,..., d), и. Будем писать F&
SaF0(e, К, Q), если найдутся счетное множество Q и для вся-
кого юей борелевские функции а'/(«, uft, и, t, х), i, j=\,..., d„
b (®, u*, u, t, x), определенные при (/, x) e Q и всех действитель-
ных ui, ..., ud, u, такие, что:

a)	F (Uy, ut, и, z) = inf [a'/(co, uk, u, г)иц + Ь(а>, uk, u, z)}-
шей

на множестве определения F;

б)	при всяких и ей, t е (О, Т) функции a‘J, b дважды не-
прерывно дифференцируемы по (ик, и, х) и их вторые производ-
ные по (uft, и, х) ограничены на всяком множестве вида
{(<о, ик, и, г): шей, У.|u* |-f-1 и |q, ге(?) постоянной М* (q),

в)	при всех ® ей, z^Q, s, г, р= 1,.... d, \^Ed, Ui,..., ud, и.
выполнены условия

a" = ars,	jX|a,
|<A4f (u) (1	.

I a“r I Р + S I М< +1 аиР I + I I р + Vi I «< I J-1 Ml (и),

I bur | р + 2 I Ui I j "Н 1"Ь I Ьхг | р + у1, I Щ I j-1 Ml (и) (1 + ЩЩ),

где Mi (и) — некоторая (конечная) функция от и;

г)	существуют постоянные бГ, М» > 0, для которых

&(®, 0, — Мо, г)^бо» Ь(ы, 0, Мо, z)=g — 6о

при всех шей, г eQ.

Естественно, что числа 6«, Мо и функции Mi, М[ мы будем
связывать с рассматриваемой F, что отражено в их обозначении.
Кроме того, всегда можно считать, и мы это будем делать, что
функции Mi, М^ возрастают по q, |u|.

Основным результатом параграфа является

2.	Теорема. Пусть РеЛ(е> К, Q), <р еС (Q), | <р | М»
в Q. Тогда существует функция и s С (Q), обладающая следующими
свойствами'.

a)	ue W,2'.2ioc (Q), и удовлетворяет уравнению (2.3) почти всюду
на Q, и = q на d'Q, | и | Мо на Q;

б)	для всякой ограниченной области Qo вида (0, Т°)хО°, где
T°<ZT, D^ciD, и единичных %^Еа нормы ut, ихх в <5f2(Qo),
функция «<£)(£) (и. в. Qo) « нормы и, их eC^iQo), где a. = a(d, К, в) е
(О, I), оцениваются сверху постоянной, зависящей только от
d, К., е, областей Qo, Q, числа Мо и функций М[, М%.

Для доказательства теоремы нам понадобятся две леммы. Перед
их формулировкой продолжим а.4, b на E^xD по формулам типа
v(t, х) = v(^T, х^ при /<0и при tТ, возьмем неотрицатель-
ную СеС“(Е1) так, чтобы £(£)=0 при 111	1, ^£dt = l. Возь-

мем также некоторую последовательность чисел v„ ->• оо, положим
Zn (() = v„g (ynt) и, подразумевая свертку только по переменной t,
обозначим

Ли (®, и*, и, t, х)=аЧ (со, и*, и, t, x)*£n(t),
bn(<a, uk, и, t, x) = b(<a, uk, u, t, x) *£"(().

3.	Лемма. Пусть q^O, компакт TcD. Тогда семейство
функций afn, bn, ali, b как функций только от («*, и, х) равно-
мерно (по n1, ® ей, t е (О, Г)) ограничено и равностепенно
непрерывно на множестве {(и*, и, х): хеГ, SIU*I + IMI^Я}-
Кроме того, для всякого со ей на (О, Т) существует множество I
полной лебеговой меры такое, что при t е I имеем аЧ-ь-аЧ, bn->~b
равномерно на {(щ, и, х): х е Г, S | и* | +1 м | д}.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно
следует из определения 1 в). В силу первого утверждения при
вычислении верхней грани —а^|, |6Л — Ь\ по указанному мно-
жеству (ufe, и, х) можно, совершив сколь угодно малую ошибку,
ограничиться максимумом этих величин только по подходящему
конечному множеству значений (и*, и, х). Пересечение конечного
и счетного множеств полной меры само является множеством пол-
ной меры. Поэтому нужно исследовать сходимость а«, Ьп к а'Л b
только при фиксированных (u*,	х). После всего сказанного

остается вспомнить, что в силу теоремы Лебега при всяких со,
и, х имеем	Ьп-+Ь при почти всех /е(0, Т). Лемма

доказана.

4.	Лемма. Пусть множество Q состоит из конечного числа
точек. Тогда утверждения теоремы 2 имеют место.

Доказательство. Пусть й = {(оъ ..., <ог}. Обозначим
Fs(uih uk, и,	uk. и, г)а/у + &((о„ uk, и, г),

Fs (Uij, uk> и, = (g)s, uk. и, z)ui/ + bn(a)s, uk. и, г),

pfl pH

Понятно, что F" (s, K, Q), причем функции Mts,
(см. определение V.5.1) можно определить в зависимости только
д _____ —С*	р^	•

от d, Mf, М2. Функция M3S будет, конечно, зависеть от п, однако
это не играет роли. По лемме 1.3 также F" ееГ(е, /С, Q), при-
чем M[s, М? опять можно определить только по d, Ajf, Л42.

рп	1 - р	р^	— р

Кроме того, можно взять 60s = у 60, Mos =Mq. Наконец, по тео-
реме 1.5 получаем, что Fn^o?~(e, К, Q) и теорема 4.3 дает функ-
цию ип, обладающую перечисленными в ней свойствами и такую, что

u"i, ип, г) = 0 в Q,	(1)

и" = ф на d'Q.

Далее, метод доказательства теоремы 3.1 вместе с теоре
мой V.4.6 позволяет утверждать, что решение, построенное в тео-
реме 31, обладает свойством б) настоящей теоремы. Поэтому и
в теореме 4.3 можно было бы утверждать это свойство. Одним
словом, нормы и", ипхх в <5/2(Q0), функции u"g)tS) (|£|=1) и нормы
ип, и" в С°- (Qo) оцениваются сверху постоянной, зависящей только
от d, К, 8, Qo, Q, м£, Mi, М*. Отсюда, разумеется, следует, что
по некоторой подпоследовательности п' -> оо функции ип’ сходятся
равномерно на всяком множестве вида [0, Т°]хГ, где Т°<.Т и
компакт ГсО, к некоторой функции и, для которой справедливо
утверждение б). Барьеры, построенные в доказательстве тео-
ремы 3.1, позволяют оценить разности | ип (г) — <р (г0) | для z0 ed'Q
равномерно по п. Следовательно, функция и продолжается до
функции непрерывной в Q и равной ф на d'Q.

Нам остается доказать, что и удовлетворяет уравнению (2.3)
почти всюду в Q. Сделаем это с помощью теоремы о предельном
переходе под.знаком нелинейного оператора из §111.6. Из (1) для
любого т0^1 при п^гпо в Q получим

inf	«Л ыт’ +	а”*, ит, z)|«cO.

Без ограничения общности можно считать, что введенная выше
подпоследовательность {п'} совпадает с {«}. По теореме III.6.3
отсюда почти всюду в Q следует, что

inf
т mOt s т *

и“й, ит, z)ux,x/ + ut + bm(us, u*k, ит, z)]==sO. (2)

На множестве полной меры эти неравенства выполнены при
всех то сразу.

Кроме того, по лемме 3 на множестве полной меры в Q не
только все эти неравенства выполнены, но. и а1т (»„ ик, и, г),
bm(<i>s, ик, и, г) -> alJ (®s, ик, и, z), b(<of, ик, и, г) равномерно по
любому компакту в области изменения ик, и. Фиксируем теперь
подходящую точку г, положим т0-> оо в (2) и воспользуемся еще
сходимостью и™ (г), ит(г) к их(г), и (г). Тогда получим .

Ut + F uti, и, z)<0 (п. в. Q). .	(3)

Докажем противоположное неравенство. Из (1) для s= 1,..., г
имеем

и? + а'/(<<Ь,	u", z}unixJ + ba(<os, ипк, иа, г)г&0.	(4)

Здесь в любой области вида Qo функции и", и"х сходятся слабо
в Хо к ut, ихх, а по лемме 3 функции aV (cof, иг‘к, ип, г),
bn(as, ихк, ип, г} сходятся сильно в <3?8 к функциям ихи,
и, г), ихк, и, г). В такой ситуации, как известно, в нера-
венстве (4) можно перейти к пределу. Стало быть,

Ut + alJ(as, ихк, и,	ихи, и, z)3s0 (п. в. Q)

для любого s. Это дает неравенство, противоположное к (3), и
лемма доказана.

5.	Доказательство теоремы 1. Пусть £2 =	ю2,...}.

С помощью леммы 4 построим функции ип такие, что ип <= С (Q),
иа = <р на d'Q,

min[u„, + a‘>(<Bj, ипхк, иа, г) unxixJ + &(©„ иахк, ип, z)j = 0 (п. в. Q).
Рассуждения из предыдущего доказательства показывают, что
нам достаточно в последнем соотношении перейти к пределу по
некоторой подпоследовательности п'-*-оо, считая, что
Un'x-^ux равномерно на компактах из Q, un't-+-iit, иП'хх-*-ихх
слабо в в любой области вида Qo-

Ясно, что для любого т05=1 при ге{п'|, г^т0

inf inf + итхк, ит, z)urxtx/+
s т*. т е {и }

+ umxk, um, z)]<sO.

Отсюда, полагая г->оо, пользуясь теоремой III.6.3, а затем,
полагая /п0->оо и пользуясь леммой 3, для и находим неравен-
ство (3). Обратное неравенство выводится, как в предыдущем
доказательстве. Теорема доказана.

Примечания

§ 1.	Общая схема рассуждений этого параграфа взята из работы автора [21],
в которой введены классы, подобные JF, & и доказаны утверждения типа 4, 5.

§ 2.	В разной степени силы и общности утверждения этого параграфа до-
казаны ранее Эвансом [2], [3], Крыловым [19] — [21], Трудингером [2]. В пол-
ной общности здесь они приводятся, по-видимому, впервые.

§ 3.	Автор в [19] дал метод построения решения нелинейного параболиче-
ского уравнения в негладкой нецилиндрической области, отправляясь от реше-
ния задачи Коши. Теорема 3 близка к соответствующему результату Тру-
дингер а [2].

§ 4.	Теоремы, подобные теоремам 1—5, имеются в работе автора [21].

§ 5.	Результаты этого параграфа являются новыми,
Глава Vil

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

Эта глава посвящена изучению во всем пространстве уравне-
ний Беллмана вида inf (L (и) и+ /(«)) = 0, где Л (<о)— линейные,

О)

вообще говоря, вырожденные операторы эллиптического или
параболического типа. Существование решения этих уравнений,
вообще говоря, нельзя доказать в классе гладких функций и
поэтому здесь широко используются функции, представимые
в виде суммы выпуклых вниз и гладких. Весьма существенную
роль начинают играть такие понятия, как производные-меры,
структуры мер, и в полную силу начинают использоваться соот-
ветствующие результаты из §§ 1.2, III.6, III.7. Надо сказать,
что в §§ III.6, III.7 речь шла об операторах вида sup(L(®)u +

О)

+ f(®)). Теперь же нам удобно рассматривать inf вместо sup.
Читателю полезно иметь в виду, что, очевидно, inf(L( — и) — f) =
= — sup (Lu + f).

Отметим еще, что отчасти целью этой главы является подго-
товка некоторых технических средств для гл. VIII, и нам хоте-
лось показать, что эти средства являются простыми, естествен-
ными и к тому же позволяют без больших усилий рассмотреть
уравнения во всем пространстве.

§ 1. Перестановка операторов дифференцирования

с эллиптическим оператором

Цель этого параграфа состоит в доказательстве двух формул,
говорящих в общих чертах о том, что первую и вторую производ-
ные результата применения эллиптического оператора к некото-
рой функции можно записать как результаты применения неко-
торого эллиптического оператора к первой и второй производным
исходной функции. Польза подобных формул очевидна. Действи-
тельно, если исходная функция удовлетворяла эллиптическому
уравнению, то ее производные также удовлетворяют эллиптическим
уравнениям и появляется простая возможность при их оценке
использовать принцип максимума.

Надо сказать, что формулы, о которых пойдет речь, по сути
дела, давно и широко использовалиеь в вероятностном варианте
доказательства гладкости решений вырожденных уравнений (см.,
например, Гихман [1], Благовещенский, Фрейдлин [I], Фрейд-
лин [1], Крылов [10] и др.). Поэтому нам нужно было только
перевести соответствующие формулы на язык теории дифферен-
циальных уравнений. В этих формулах участвуют параметры л,
и если л=0, то мы -переводим на другой язык обычные формулы
из теории вероятностей, если же л=/=0, то осуществляется перевод
сравнительно недавних формул, которые можно извлечь из работ
Хаусмана [1], Висмута [1]. Появление этих параметров связано
с известной в теории случайных процессов теоремой Гирсанова
и с некоммутативностью операции замены меры и дифференциро-
вания решения стохастического уравнения по начальным данным.
С точки зрения теории дифференциальных уравнений введение
этих параметров л и использование теоремы Гирсанова напоми-
нает (а теорема Гирсанова сама по себе содержит) способ сведения
дифференциальных уравнений с младшими членами к дифферен-
циальным уравнениям только со старшими производными, способ,
предложенный в статье Кружкова и Олейник [1].

Пусть в Еа заданы действительные функции aik (х), i = 1, ..., d,
k=A, ..., di, &'(x), i=l, ..., d, c(x), непрерывно дифференци-
руемые по x. Число di может быть отлично от d и в некоторых
приложениях это исключительно важно. Положим

(х) = а'" (х) <jJfc (х),

Lu (х) = аЧ (х) их,х/ (х) + Ь1 (х) их,- (х) + с (х) и (х).	(1)

Если последнее выражение продифференцировать два раза по х
и дополнить результат до эллиптического оператора примененного
ко второй производной и, то получится удивительно длинная фор-
мула, работать с которой довольно неудобно. Поэтому мы примем
следующую систему обозначений. Введем d-мерные векторы & = (£>')»
«г* = (o'*, i = 1, .... d) и напомним, что для |, т] е Еа

«Ш(п) := WW-

Тогда равенство (1) перепишется так:

Lu (х) = у (х)) („г (х)) (X) + ы(6(ж)) (х) + с (х) и (х).	(2)

Заметим, что любой оператор, записанный в таком виде, авто-
матически является эллиптическим, так как при | е Еа

di / d	\2

aW=4 2 (2 * 53°-
t=l 't=l	/

Возьмем, далее, пространство Ed+1 и точки f из Ем будем
представлять себе как пары (|, £rf+1), где | е Ed, £d+1 е Еу Фикси-
руем некоторый вектор лх е Ел и введем функции о* (х, |).
Ь(х, с)еЕм+1, fe=l, di, определенные на ErfxEd+1, по

9 Н. В. Крылов
формулам

о1’* (х, |) = ст'* (х), bl (х,	= bl (х), i d,

od + i- * (х, |) = О(‘|)(х), bd+‘ (х,	= 1^. (X)-О‘*(Х) л*, i^d, (3)

dM + l’*(x, |) = «p Ьм+1(х, |)=с(»)(х).

Для гладких v(x, |) под ц») (х, |) при £ е E2rf+1 будем, как
обычно, понимать
a	d +1

Vxi{X, t) £ +v5i (X, l)^d+i= У, Vxi(x, 1)^4- У Ogi(X, |)£rf+i,
1=1	(=1

аналогичной формулой введем Оф ((х, 5) и при (х, j) е EdxEd+1
обозначим

Lv (х, 5) = 2" $fcrP(5* u, I)) (у u. |>) (х, t) +

+ °<нх. I» <x> l) + c(*)f(x, £)•	(4)

Мы дали правило построения оператора L на функциях от (х, |)
из оператора L, заданного на функциях от х. При вычислении
нового оператора L, кроме формулы (1), нужно еще знать л, о*
и поэтому в его обозначение следовало бы включить л, о*. Мы,
однако, ради краткости обозначений этого делать не будем и на-
деемся, что из контекста каждый раз будет ясно, какие л, о*
подразумеваются. Перед формулировкой основных для нас свойств
оператора L при (= (В.	е Ed+1 положим еще

д (t) и = м(6) + 1ми =	+... + lduxa + Brf+1«.	(5)

1, Лемма, а) Если u^C\oc(Ed), и = и(х), то Lu(x, () =
-- Lu (х).

б; Если и' е Cfoc (Еd), и1 = и‘(х), i = 1, ..., d-f-1, то

L №«'] = l>Lu‘ + и‘ (b‘(g, - о'М + и^с^ + и‘{ак}о\Ъ + «ut) М, (6)

где подразумевается В =	=	...» слева предпола-

гается суммирование по всем возможным значениям i, т. е. по i =
= 11	d+1, а справа еще и по всем k = 1, ...» du причем во

втором и четвертом члене правой части (6) по i суммирование
производится только в пределах от 1 до d, так как bd+1t <jd+1> *
не определены.

в)	Если u^C\oc(Ed), и = и(х), то

£[d(f) u]=d(t)LM.

г)	Если некоторая функция v(x. |) класса C\oc(Eza+i) дости-
гает в некоторой точке (х0> to) своего локального максимума, то
Lv — cv^Q в этой точке.
Доказательство. Утверждение а) немедленно следует
из (4). Для доказательства б) заметим, что для любого оператора
вида (2)

L (uw) = uLw + wLu 4-	— cuw.	(7)

После этого остается воспользоваться а) и тем, что

И(5*) = “(о*Г ,|‘V)==O<t> ПрИ

^)(5*)(5П = 0> «')(?)	при	(^+1)(К)=са).

Докажем в). В силу б)

L [a (g) u] = i‘L (uxi) +	+ uxt	- о«л*) +

+uca\+

Это выражение совпадает о d (g) Lu, так как

u^k == «(а*).	|	“xW =

Утверждение г) —следствие обьчного принципа максимума для
эллиптического оператора L. Лемма доказана.

Далее нам понадобятся также следующие формулы, вытекаю-
щие из (3) и правила (7):

Z°№=?Ws>-^M)+^(b<E>-«N)+44 h (8)
I°[(£<f+1)a] = 2g‘<+1c(l) + rM,	(9)

L° [(^+i)*] = 2 (g^1)2 [2g<,+1cU) +1 лх Is! + 4 (g^1)21 nx |8,	(10)

где L° = L— с, и если В*/ = Bi‘ e CfOc (Ed), В11 — ВЧ(х), i, / —
= 1, d, (Bg, g)= 5 W. L° = L-c, to

<. /—I

L°(Bg, g) = L°(Bg, g) + 2(Bg, &(6)-а*л*)+

+ (B4>« ^>) + 2(B(a*)S. <^>).	(И)

Z°[(SL l)2] = 2(Bg, g)[L°(Bg, g) + 2(Bg, ЬЛу-а*пП +
dx

<-*.,)!+ 2 (S<«*>e+2e«?s,. £) <12>
k I

Рассмотрим теперь вопрос о перестановке оператора двукрат-
ного дифференцирования с L. Ниже мы считаем, что о, Ь, »
дважды непрерывно дифференцируемы. Наряду с вектором л,
фиксируем еще вектор л® е Ed+1 и для х s Ed, g = (g, grf+1), n =
= (Л> Л**1) e Ea+i определим векторы a* (x,	?)), b (x, g, fj) e

e Вад+г, k=l, di, дополнив прежние векторы a* (x, g), b(x, g)

9*
(см. (3)) координатами с номерами i = 2d4-2, 3d4-2 по
формулам

+ i + i =	— л^о'*, t^d, (13)	1

6^ + 2. * = Л*.	----+	+	I

Для функций о(х, fj) при хеEd, |, nе£d+i определим
выражение Lv(x, t, fj) той же формулой (4), в которой заменим
б(х, |), Ь(х, |) на а(х, fi), b(x, |, fi). Очевидно, на функциях ।
от (х, |) определения операторов L согласуются, поэтому Mui и
не применяем нового обозначения для нового оператора L. На
функциях м = м(х) определим также оператор d(g, fl) по формуле	

д&, П)н-^(Е)м4-4(П)м,	(14)	j

где <5* (|) — квадрат оператора <?(£) из (5), применяемого, естевт-
венно, только по переменным х.

2. Лемма, а) Еоли и е Cfo<- (Ed), и*=й (х), то	|

L|d(t, f))u|»d(|, fi) Lu.	1

б) Если некоторая функция и (х, |, п) класса Cfoc (£м+г) я не-
которой точке (х0, io, fio) достигает своего локального максимума,
то Lv—co^Q » этой точке.	;

Доказательство. Утверждение б)— опять следствие эллип-
тичности оператора L. Для доказательства а) заметим, что в силу ’
(7) —(9), (11) и леммы 1	«

£P(L П)а|-Ч*(&«1+Мд(П)«],	

L [d* (i) и | = L 4- 2i*+l<? (t) и - (g^1)* u| -	I

=	+ 2ы? a, (^, - °z4) 4- «г/’И +

4-2u,,,Z(S.a'*a'‘ +c«<645) + 2Ed+15(t)Lu+	|

4- 2 (u(5) 4- s a+1u) c<6) 4- 2л* (uxlo“. 4- «я; 4- a,, ,g)aa 4- 1мих,о1^ —

— и (2irf+1c<j, 4-1Л112) — (id+1)2 Lu — м1.(о'*2?‘г+1л* =	.

= L°u^ 4- ('^d (t) Lu - (Brf+1)2 Lu ] 4- 2м,, (6)b‘5,4-

+	~~ atju(& (5)	~ CT<S)	+

4-1 (e«)(5)U) ~ uca>(5) +	4- U i Л11».

I

Далее, еще раз пользуясь правилок’ (7), находим	j

L[д (f)) u| = vfLux, 4- о*1 Im 4- их, (6;ъ U(4-&'(Я) — 2л(в<т^ — л"а’«)4-

4-«. (qt) а» 4-Чл> “ I ’ч I2) + мх‘«/°л (°(|) (6) 4- <^)) 4-
Складывая последние соотношения и замечая, что

& (1) Lu = (Lu)rs) (6,4- 2gd+1d (|) Lu - (^)2 Lu,
(Lu)^ (V = (a^MA/)( J) (j> + (^*м?)(?) (5)	(cu\l) (6)»

d (fj) Lu = (Lu)(n, 4- T)rf+1L« = v(Luxt 4- Tjd+1Lu 4-

4- a(V'4v +	+ CW«’.

получаем наше утверждение а). Лемма доказана.

Приведем еще некоторые полезные формулы. Они следуют из (3),
(13) и правила (7). При т) е Ed обозначим

<3(1, t])u = u(6) (6)4-«dD-

Тогда

1° WV) = П3 4 * * 7 (d (5, т|) V - 2nfa& - п№) 4-

4- r)f (д (I, ri) Ы - 2nfa& -	4-

4-P(L П)<t'*]P (L П) a7*], L i^d,

L° [(r)rf+1)2] = 2nd+1 (d (£, n) c -1 Hi |2) 4-1 л212,	(15)

и если ВЧ = Bi1 e CfOc (Ea), Bif = B‘> (x), i, j =1, d, (Вц, tj) =
d

= У, ВЧг\‘ц!, to

i.	i=i

L° [(Bn. n)] = & (Bx\, 11) 4- 2 (ВТ), d (g, 1!) b - 2л?<4 -	+

+ (Вд£, n)o‘, d a, n) °ft) + 2 d(t, T|)a*). . (16)

3. Замечание. Знание L°(^), L°(r)fi0 дает знание коэф-
фициентов при соответствующих производных в операторе L и
полученные для них формулы дают представление о длине фор-
мулы, выражающей L непосредственно через частные производные.
Оказывается, однако, что эта формула нам никогда не понадобится.

4. Замечание. Мы видели, что операторы д (£), д (|, fj) пере-
ставляются с оператором L хорошо в том смысле, что результат

перестановки опять записывается как некоторый эллиптический
оператор, примененный к d(|), d(|, fj). Надо сказать, что если
только о, b не являются линейными функциями от х, то, напри-

мер, оператор д2(|) нельзя так хорошо переставить с L. В связи
с этим без доказательства приведем правило нахождения опера-
торов порядка более второго, которые в указанном смысле хорошо

переставляются с эллиптическими операторами второго порядка.
Нужно взять выражение u(x(t)), где и, х (/) — достаточно гладкие
функции своих аргументов' х е Ed, t е Еи продифференциро-
вать его как сложную функцию п раз по /, если речь идет об.

L
операторах порядка /г, записать результат как сумму членов вида

(0... lr (t)	--- и (х (/)) ,	(17)

дх'*....дхг

где = и затем составить оператор как ту же сумму,
заменяя в ней выражения (17) на

Получившийся оператор будет действовать в пространстве функ-
ций от (х, |(1\	|(л>), где xeEd, |(/)sEd+1. Например, при

п = 3 находим оператор

(f)+за (t)d(fj)+<?(£).

§ 2. Априорные оценки первых и вторых производных

Пусть б е (О, 1), /<ЭгО, Т>0, целые d, dx^l, Q —некото-
рое множество, Q = (0, T)xEd и при ией, »=1, ..., d, k —
= 1, ..., dx, (t, x) <= Q определены действительные функции
о‘*(«Ъ t, х), b‘ (со, t, х), с (со, /, х), /(со, t, х), ограниченные по со
при всяких (/,’х), причем с^О. Обозначим

ali = у aik<jJk, а = (аУ), <т* = (</'*), Ь = (Ьг),	(1)

L = L(со) = L(со, z)=a^(<o,	+	z)gp-+c(<o, z), (2>

F(uih ut, и, z) =

= inf [a/y(co, г)и^4-Ь‘(®. z)иг4-с(со, z)« + /(co, z)]	(3)

aeQ

и будем считать, что для всяких игу, ut, и, г последняя нижняя
грань достигается на некотором со0 = со0(ах/, uit и, г)ЕЙ. На
протяжении всего параграфа предполагается также фиксирован-
ной некоторая функция и еС2 (<5) такая, что в Q

uxt, и, z) = 0.	(4)

В этом параграфе используются результаты предыдущего пара-
графа, касающиеся эллиптических операторов, коэффициенты ко-
торых зависели только от х. Теперь коэффициенты L из (2) зави-
сят также от со, t Поэтому необходимо отметить, что при по-
строении L по L (возможном при подходящих условиях гладкости
о, 6, с по х) мы рассматриваем со, t как параметры, всегда поль-
зуемся прежними формулами при каждых со, t, имеем в виду
заданные выше с? и в качестве лх, л2 берем векторы из Edl>
произвольным образом зависящие от со, /, х, |, fj. Напомним.
также, что для определения оператора L на функциях v(x, £)
достаточно, чтобы а, Ь, с были один раз непрерывно дифферен-
цируемы по х при всяких со, t, а для определения оператора L
на функциях v(x, |, fj) достаточно, чтобы о, Ь, с были дважды
непрерывна дифференцируемы по х.

Следующая лемма показывает основной для нас способ оценки
производных и.

1. Лемма. Возьмем некоторый компакт TczQ. а) Пусть вQ
определены две функции <pi, ф2 е Cfec (Q) такие, что <р2 и ф2

Ф1/4- L (<о) Ф1+/ (со) 0 фи 4-L («и) ф2-|-/ (сох) (5)
на Г при всех шей и некоторых coi = coi(z) е Q. Тогда ф2Э=
5*а^Ф1 в Q.

б)	Пусть их е Cioc (Q), при всяких со, t функции о*, b, с, f один
раз непрерывно дифференцируемы по х и в QxEM определена
функция ф(а, |), где z^Q, t=(|,	такая, что фе

eCfoc(Qx£rf+i), д(|)и(гХф(г, |) в (Q\V}xEdJrl,

lim 111-1 inf ф (z, I) = 00,	(6)

Ф/+£(со)ф+д(&/(соХ0	'	(7)

на rxErf+i при всех аей (и при каких-нибудь «i(<o, г, £)).
Тогда д (|) и (г) «С ф (г, |) в QxEM. В частности, в Q

|и (г) |ф(г, 0, ..., О, 1)\/ф(г, 0, .... О, —1),

| Ыж(г)|^зир{ф(г, |): ^« = 0, 1^1=1}.	~~	(8)

в)	Пусть их, «хх е Cfoc (Q), при всяких со, t функции а*,' Ь,с,
f дважды непрерывно дифференцируемы по х и в QxE^m опреде-
лена функция ф(г, Я)» где z^Q, t=(£, Bd+1), Я = 61. Tlrf+1) е
Ed+i, такая, что

ФеCjfoc(QхE2d+2), д(t, fj)и(z)<ф(z, fj) e (Q\Г)xЕад+2,
lim (itP + I^l)-1 inf ф(г, t, f)) = oo, (9)
Ijl + lnl—oo	геГ

ф/4-£(<а)ф4-д(|, п)/(со) =<50	(10)

на Гх£м+2 при всех coeQ (и при каких-нибудь ^(со, z, f, л)).
Тогда д(|. л)и(гХф(г, f, fj) в Сх£м+2. В частности,
|и(г)Хф(г, 0,	0, I) V ф (г, 0,	0, —1),

|Их(г)Хзир|ф(г, 0, fj): r,rf+1 = 0, |т)1=Ц»	(Н)

«(Ю(1)(гХ<р(г» L 0....0).
Доказательство. Утверждение а) сразу следует из прин-
ципа максимума, из (4) и того, что Mz-|-L(o)i)«4-/(wi)^0=Mt-|-
+ L(a>0)u + f (и0), где <оо = (оо (“»««/(2)»	<2)> «(2).2)- Для дока-

зательства б) предположим, что неравенство 3(()иаС<р наруша-
ется где-то в Q х Ed+1, Тогда оно нарушается в некоторых точках
ГхЕд+i, и в силу (6) функция (d(|)u — (р)е' в некоторой точке
(z0, |0)еГх£й+1 принимает свое строго положительное макси-
мальное на Г хErf+i (а значит, и на QxE^+i) значение. По лем-
ме 1.1 г) в этой точке

0>	+ L (®)) К 0 (I) и — <₽)] = «' (д (£) м-<р) +

+ е' + L («>)) (д (t) и — у),
0>(^ + £(®))д(|) «-(*+£(©))<р	(12)

для любого аей. Возьмем здесь o> = «>o = <oo(ux«x/(zo), ux«(z0),
и(г0), 2о) и заметим, что по условию (см. (4)) функция

ut (г) + L (®0, z) и (z) + / (®о, z)	(13)

в точке z = Zo достигает своей нижней грани по z, равной нулю.
Отсюда и из леммы 1.1 в) в точке (zo, |0) находим

0 = d(t)(u/(z)4-L (®0, z)u(z) + /(w0. 2)) =

= (^ + £ (©,)) д (|) и + д (I) f (©о)-	(14)

Это вместе с (12) сразу приводит к противоречию с условием (7).
Стало быть, 3(f) ы^<р в Qx/^+i. Неравенства (8) — очевидные
следствия последнего неравенства.

Утверждение в) доказывается почти дословным повторением
предыдущего доказательства. Нужно только заметить, что не
только функция (13) и ее первые производные по х равны нулю
в точке Zo, но и ее вторые производные по любому направлению
в пространстве х неотрицательны. Поэтому, если в (14) заменить
д(|) на д ((, л) и воспользоваться еще леммой 1.2, то в соответ-
ствующей точке (zb, to. Ло) получим

O^(^ + L(<oo))5(|, «1)u + 3(f, f))f(®0).

Лемма доказана.

Эта лемма вводит доказательство оценок (8), (11) к решению
неравенств (7), (10). Покажем, как их можно решить, если ьели-
чина |с| «достаточно велика» по сравнению с первыми и вторыми
производными о, Ь.
2.	Теорема. Пусть их, е С|ос (Q), и (I, х), lux(t, х)|,
«))+-* 0 при |х|->оо, (t, x)eQ,	Пусть также

при всяких со, t функции ak, b, с, f дважды непрерывно дифферен-
цируемы по х и при всех единичных g е Еа на Q х Q выполнены
неравенства

2 I (£) Г + I 4 (5) I +1 с(£) 1 +1 С(Ы (I) I +1 f I +

+1/(£> I+(fa)(S))+*^—^с»	(15)

2(1, Ьа)) + (1 +6) 2 |<4 i2 + 2 ^(g, <4)2^-(1-б)с. (16)
к	к

Пусть, наконец, | и (Т, х) | 4- | и(6) (Т, х)I + (и(5) (j) (Т, %))+<;
на Ed при всех единичных ge£rf. Тогда | и |, | их |,
(6, К) в Q при всех единичных g <= Еа.

Доказательство. Возьмем некоторую (большую) постоян-
ную Х^ 1 и обозначим у = (2 —б)-1,

Ф (f, fl) = (X* 15 I* + X31 т| |2 + X31 gd+11‘ + X21 r)^112 + X]v.

Ясно, что у < 1, а так как для любого эллиптического опера-
тора L и гладкой функции ф>0 имеем

(17)

если LI sgO, то по формулам (1.10), (1.12), (1.15), (1.16) при
Л1 = л2 = 0 получаем

1_1~	1-1

у-1Ф ? £ф = у-1ф v	(£°ф + сф) =С

'(сф-ЬУф' т£°ф?) = £°ф? -|- еу-ГфТ =

= |2Х4 ; g I2 [2 (g,	+ 51	|2j + 4V £ (g, <4)2|4-

4-4X.3(g^)3cm4-2X3(i), 3(g, rj)5)4-X.32|d(g, ri)a*|24-

4- 2к2цмд (g, i]) c 4- суГфГ/т.	(18)

Здесь выражение в фигурных скобках, по предположению (16),
не превосходит 2Х,*(1 — б) |c|-|g|*. Далее, при ее(0, 1)

4^4К|g^1!3-]с| - [g|	|с| - |grf+1|*4-A^e-3|c | -1g|\

п)о»?<(i 4-|)214x5)i2+(i+«)2кI2.

2 (т), d(g, л)Ь)4- 5 Iд(g, 1])<Н2^

«е;(1 — б) |с| • | я |24-2 (т),	(j)) 4- (1 4-	2' I2

*С(1 —6)|c|«|T)l2+e;c|-|Til2-|-A(8-1|C|-|g|4,
2r|d+1d(g, Т])с^е|с|-|i)rf+1 p + A^s-^cl(|В|*4-1ПГ)»
где постоянные М зависят только от 6, /С. Отсюда и из (18)
ri<pi/Y-i£(p 21 с | (| g I4 р* (1 - S) +	- (1 - A) v] +

+1	1« л» (е - 1 +1) + | Т) Р Л3 (Ate-1!-! + е - 1) +

+ hd+1m3(8-l+4)_X(i_|)}.

Теперь понятно, что можно найти е = е(6, /Q, Хо = Хо(6, К)>
х = х(6, К)>0 такие, что при всех Х^Хо имеем

Y-iqjVY-ifq) _ । с । X(pi/Yf £ф =< — ху | с | ф.

Так как при достаточно большом Х = Х(6,	в силу (15),

очевидно, д (|, r|) f | с | ф, то для этого X неравенство (10) будет
выполняться на Qx^+2 при всех (оей. Увеличим при необхо-
димости еще найденное Х = Х(6, К) так, чтобы выполнялось нера-
венство д(|, т\)и(Т9 х)+1.^Ф(|, л), и при р>0 применим лем-
му 1 в) к функции ф + рН. По выбору X и по нашим предполо-
жениям неравенство д(|, л) н^ф +pH может нарушаться только
на множестве вида Гх£2</+2» где Г —компакт, Г с= Q. Кроме того,
функция ф + рН удовлетворяет неравенству (10) и условию (9).
Стало быть, справедливы неравенства (И), если в них ф заменить
на ф + рН. Так как р было произвольным, то теорема доказана.

3.	Замечание.. Если бы мы воспользовались значениями
параметров лх, л2> отличными от нуля, то тогда вместо условия
(16) можно было бы написать менее жесткое условие (ср.
(VIII.5.40)), которое автоматически выполнялось бы, например,
для равномерно невырожденных (аО) и ограниченных ох, Ьх. Это
условие, к которому мы еще обратимся, выводится сложнее и эта
сложность не оправдывается теми целями, которые мы пресле-
дуем в настоящей главе.

4.	Замечание. Несмотря на довольно грубые методы, кото-
рые привели нас к теореме 2, оказывается, что условие (16) в не-
которых случаях нельзя ослабить. Нельзя, в частности, умень-
шить коэффициент при (£, без того, чтобы утверждения тео-
ремы не нарушились. Соответствующий пример имеется в § 5.

5.	Замечание. Если в доказательстве теоремы 2 в каче-
стве у взять 1, то в условии (16) вместо (1—6) с пришлось бы
поставить -~(1 —6) с. Это, с одной стороны, сделало бы условие
более грубым, но, с другой стороны, дало бы возможность вообще
обойтись без применения результатов из § 1. В самом деле, дока-
зательство леммы 1 при ф = X411 |4 + Х3 | т) |2+Х31 £rf+1 |4+Х21 r]rf+1 |2+Х
основано на рассмотрении точек максимума по (/, х, В, ц) функции

d(L fj) u-(X41 g|4 + X3h |2 + X3|	|4 + X21 nd+1 i2 + X).
При фиксированных (Z, х) максимум этой функции по L Л
можно найти и выразить его явно через и, их, ихх (ср. (V.4.5),
(V.4.10)), а после этого можно оценивать максимум по (/, х) этого
максимума по (|, fj), не привлекая операторов L (ср. лемму V.4.2
и доказательство V.4.4). Именно эти соображения подсказали нам,
что функция (V.4.5) должна «хорошо» оцениваться с помощью
принципа максимума.

Докажем еще теорему об оценке первых производных по (/, х).
В ней накладывается условие дифференцируемости о*, ft, с, f по t
и подходящей ограниченности производных по t. Как следствие
таких требований мы получаем возможность однозначно по не-
прерывности продолжить а*, Ь, с, f на Q.

6.	Теорема. Пусть их, U/sCfoUQ), u(t, х), \ux(t, х)|,
аД/, х)-+0 при |х|->оо, (/, zx)eQ. Пусть при всяком со функ-
ции <Jk, b, с, f непрерывно дифференцируемы по (t, х) в Q, причем
для всех единичных 1-^Еа на QxQ выполнены неравенства

12тН +I+ 1Л +1А1 +1 I ' (19)
k

2 (&, b^) + (1 + б) J] I |2 < -2 (1 - б) с. (20)
ъ

Пусть также при всех х е Еа, ® е Q имеем

\и(Т, х)\ + \их(Т, х)\ + \Ц<л,Т,х)и(Т, x) + f(<s>, Т,х)\^К. (21)
Тогда

[и|, \ихI,	(б, К) в Q.

Доказательство. Операторы L(w) + ^ рассмотрим как
эллиптические операторы в духе § 1 и по ним построим опера-
торы £(<о) так, как в § 1 строился оператор L. Операторы L (<о) +
+ действуют на функции от (t, х), здесь имеется одна пере-
менная, обозначение которой отличается от обозначений х* дру-
гих переменных. Операторы £(<в) будем в соответствии с этим
определять на функциях от (/, х, т, |), где (f, х) еQ, теЕи
t = (g, £*+1) e£<f+i, по формуле

£(<о)о((, х, т, () =	х> т> &) +

+	х> т’	х' т> Ь. (22)

где при дифференцировании о(1, х, т, |) вдоль вектора С, имею-
щего 2d-f-3 координаты, естественно полагается

a	d+1

Р(С) = ^ + ± М'+1 + п^+2+ S V.i^t

1=1	'=1
аналогично определяется и(£,( (Cs, и обозначается

olft = 0,	^ = 1,

o'+i' * = &к,	bi+1 = bl, i = 1, ..., d,

б^+». * = 0,	&rf+2 = О,

fft+2+i, ь _ а;»т а<*,	^й+2+i _ y(gb i = 1, ..., d,

O2rf+8> k _ o,	£м+з = C/T _|_ c( j).

По лемме 1.1 в) имеем

А[м/т + а(|)и] = т^ ^4-Z.)u + d(t)

Из этого равенства, как в доказательстве леммы 1 б), выте-
кает, что если ф eCfoc (Qx£ix£rf+i)» компакт TcQ,

То/ (z) + ua) (z) + £rf+1u (z) < ф (г, т, |)	(23)

при z е Q \ Г и произвольных т, |, а также

lim (| (| +! т I)-1 inf ф = оо,	(24)

1?1 + 1т|-ОО	2еГ

£(ш)ф(г, т, t)4-xf/(®, z) 4- d(f)f (со, г) «С 0	(25)

при геГ и всех ®, г, то xut (г) 4- д (|) и (г) ф (г, т, j) при
всех значениях аргументов. В связи с этим возьмем постоянную
X 1 и обозначим у = (2 — б)-1, ф — (Х®т2 + X21 £ |2 4- X | ^+*12 4- X)v.
Из (17), (22) (ср. (18)) имеем

1 „ । 1
у^фТ	Лф(L — с)фт 4-'V1 Ф v =

= 2Х2 (g, btx 4- b(l)) + х2 2 1 о/Ч 4- 412 4- 2X$rf+» (с,т+с^) 4-

4- с (2 - S) (Х3т2 4- X21 ? I2 4- X |	12 4- X).

Элементарные оценки с использованием неравенства Коши —
Буняковского и предположений (19), (20) показывают, что для
x = x(S, /С)>0, Хо = Хо(б, К) при всех имеем

1_1л	у

Лф^—|с| x<pv> £ф^ —ху |с |ф.

Отсюда и из (19) следует, что при достаточно большом К=»
= X(S,	функция ф удовлетворяет условию (25) при всех z.

Выполнение условия (24) очевидно. Из (21) следует, что, увели-
чивая % = X(S, /<), можнэ считать, что

1 + К ! т | +1	(Т, х) +11ми (Т, х) | ф (т, Е».

Кроме того, для всякого z = (t, х) е Q найдется w0 е Q такое,
что ut(z)  = | L (coo, г) u (z)+/<(Оо, г)|. Если t близко к Г, толе-
вая часть близка к | ut (Т, х) |, а правая равномерно по соо близка *)
к |L(<oo> Т, х)и(Т, х)4-Н<оо» Т, х)| Поэтому | ut (Т, х) | ^К,

\+nut(T, + и(Т, r)sg<p(T, |),
что вместе с предположениями об ut, их позволяет для любого
р>0 найти компакт Г так, чтобы левая часть (23) не превосхо-
дила ф-j-p/-1 при геГ. Стало быть, xut-f-д (|) и ф (т, tj-f-pf-1
при всех значениях аргументов для любого р>0. Этим, очевидно,
теорема доказана.

7.	Замечание. Если в формулировке теоремы 6 всюду опу-
стить и<, о?, bt, с(, ft, не требовать существования о?, bt, Ct, ft и
в (21) опустить L (<a)u + f (<о), то утверждение теоремы останется
верным. При этом в условии (20) вместо 1 +б можно поставить
единицу. В справедливости этого замечания читатель легко убе-
дится, если повторит доказательство теоремы 6, имея в виду
лемму I б) и используя функцию (X2|£|2 + ^|£d+1|2 + W

§ 3. Существование решения в классе выпуклых функций

Пусть 6, Siе(0, 1), К, Кл,	Т>0, целые d, di1,

Q — некоторое конечное или счетное множество, Q = (0, Т)хЕа и
при mgQ, i=l, .... d, k=l, ..., di на Q определены действи-
тельные борелевские функции a/ft(®, t, х), b} (со, t, х), с(ю, t, х),
/(©, t, х), дважды непрерывно дифференцируемые по х при вся-
ких со, t, причем е=с0.

Будем пользоваться обозначениями (2.1) —(2.3) и напомним
некоторые необходимые понятия. Если функция и задана в Q,
то через uz (z), u^fz), uxtx/(z) мы обозначаем ее обычные или Со-
болевские производные соответствующего порядка (если они суще-
ствуют), а через ut(dz), ux,x/(dz) обозначаем дифференциалы мер,
являющихся обобщенными производными соответствующего по-
рядка от функции и в смысле теории обобщенных функций (если
эти производные являются мерами). Если в Q задана некоторая
мера р, то через р(0) обозначается функция, являющаяся произ-
водной Радона — Никодима относительно меры Лебега абсолютно
непрерывной составляющей меры р.

Основным результатом этого параграфа является

1.	Теорема. Пусть на QxQ при всех единичных l<^Ed вы-
полнены неравенства (2.15), (2.16), задана некоторая функция
Ф е С2 (£rf) и

|ф(Х)|, |фх(Х)|, | фхх (X) || ^К,	(1)

*) Из неравенства 1 Cf I К I с | и ограниченности с (со, z) по со следует,
что с (со, х) ограничено по (со, 0, а тогда и ja* |, | bt |, |ty|, |//| ограни-
чены по (со, 0 при фиксированном х.
|о(®, t, х) I (1 +1 х I),	I, 0) |» +1 b (со, t, 0)1 +

ь

+ S ।	(®»	(2)

*•

при всех oeQ, (/, x)eQ, единичных Ъ,^Еа. Тогда на Q най-
дется функция и такая, что:

a)	uеС (Q), и (Т, х) = <р (х), в Q существуют Соболевские про-
изводные их, ut и меры ихх,

б)	при всех /?>0, единичных %^Ed, t, se[0, Т], | х | «g R
имеем \u(t, х)| + |иж(/, x)|sg/V(6, К) (п. в.), i'^Juxix,(dtdx)^.
=СЛЦ6, K)dtdx,

|u(/, х) — и (s, x)\^N(d, 6, к, Kt, R, T)i<-s|1/a,	(3)

Met(CT,R}<N(d, б, K, Ku R, T);	(4)

в)	аУ (co) и^х/(dtdx)<^didx при всех щей,

u/ + F(«*4/, uxt, u, z) = 0 n. в. Q.	(5)

Функция и с описанными свойствами единственна.

Доказательство этой теоремы будет дано после завершения
некоторой вспомогательной работы, во время выполнения которой
предположения теоремы считаются выполненными. Заметим, что
в силу (2)

t, x)|2 + |fe(eo, t, x)|2^iV(Ki)(l+|x|)8,	(6)

k

и поэтому единственность функции и вытекает из замечания
III.7.11 и следствия II 1.7.10. Сделаем первый шаг в доказатель-
стве существования и.

2.	Лемма. Пусть ч е (0, dr1), множество Q конечно, о*, Ь,
с, f бесконечно дифференцируемы по г на Q при всех и ей, (f e
eC“W,

У, I |а + \bt | +1 Ct: +1 ft I — K?p,	(7)

k

|L(®, T, x)<p(x) + 4<o, T, x)|<K2.	(8)

Наконец, предположим, что с — 6i и функции ok, b, с + 6i, f,
Ф финитны: существует R0>0 такое, что все они обращаются
в нуль при |x|SsRo- Тогда задача Коши

u< + e Am + F(ux.x/, и^, и, г) = 0 в Q,
и (Т, х) = ф (х) в Еа

(9)
(Ю)

имеет и притом единственное решение и^С2 (Q). Кроме того,
для этого решения при всех единичных | е Еа, R>0, t, ss[0, Г],
имеем

\ut(t, x)\^N(8, К,	(11)

!«(*, х)|, |иж(*, Х)|, M(s)(V«> X)^N(5, К),	(12)

|ы(/, х) — и (s, x)\^N(d, 6, К, Ku R, W-s|v*,	(13)

6, К, Ku R, Т),	(14)

|ыкьг(сг.Л)^№(е, d, S, К, Ки R, Т).	(15)

Доказательство. Для доказательства единственности ре-
шения задачи (9), (10) по теореме III.4.6 достаточно построить
функцию феС?ос($) такую, что ф^О, ^ 4-еД-|-L (со)^ ф sg 0,
ф->оо при |х|-»-оо. Почти очевидно, что в качестве ф годится
(1 4-'*!2)e~v/> если V достаточно велико.

Для доказательства оценок (11), (12), как показано в преды--
дущем параграфе, нам достаточно построить решение задачи (9),
(10) такое, что и, | их |, ut, JUx*J->0 при |х|->-оо и их, ut, ихх<=
е С*ос (Q). Последние включения, по-видимому, неверны. Поэтому
мы займемся аппроксимацией уравнения (9) уравнениями, для
решений которых можно было бы утверждать достаточную глад-
кость.

Пусть Q = {(0i, ..., <оД, Фр —свертка по переменным g\ ...
..., g функции g1 Д ... Д g с функцией	pt, (pg), где

eCS°(£i), С 3=0, j£d/=l, 4(0 = 0 при 111	1. Как уже отме-

чалось (ср. (VI. 1.6)),

«V-	<161

I

При g^Er положим, далее,

& (р, g) = Фр?/ (g), Л (р, g) = ФР (g) - g^pgi (g).

Так как Фр при р = 1, 2,... является гладкой выпуклой вверх
функцией, то

ФР(Я)= min [g'Bilp, Л) + »;(р, Л)],	(17)

he Ег

причем минимум здесь достигается на h = g. Рассмотрим теперь
задачу Коши с граничным данным (10) для уравнения в Q:

Ut + 'Vpfe, Au + L((Oi)u + /((Oi),	8&u + L((dr)u + f(&r)) —

-Тр(0)=0.	(18)

Преобразуем это уравнение с помощью (17). При h^Er обо-
значим

£р(й, г) и (z) = li(p, h)L(toh z) u (z) + е Ди (z),
tP(h, г) = Ь(р, h)f(<Ai, z) + v\(p, h) — Фр(0).
Тогда уравнение (18) приобретает вид

ut+ min [£p(h)u+fp(h)] = Q,	(19)

причем, как и в (17), минимум здесь достигается. Так как

—61( то по теореме VI. 1.5 г) уравнение (19) имеет форму 0 =
= ut + F (uxtx/, uxt, и, z), причем F е (в, V, Q) для некоторой по-
стоянной V; в качестве 6# можно взять единицу, а в качестве Мр9
можно взять любую достаточно большую постоянную. По тео-
реме VI.4.4 задача (19), (10) имеет решение	при-

чем аЕ(0, 1), а не зависит от р и нормы ир в C2+<z (Q) оцени-
ваются постоянной, не зависящей от р.

Понятно, что в силу единственности решения задачи (9), (10)
и упомянутой оценки норм ир в C2+a(Q) функции ир при р->-оо
сходятся равномерно на каждом компакте вместе с производными
по t, х‘, х'х> к решению задачи (9), (10). Поэтому для доказа-
тельства (11), (12) нам остается доказать эти оценки для функ-
ций ир при достаточно больших р. Сделаем это с помощью ре-
зультатов предыдущего параграфа, отправляясь от уравнения (19)
и от того факта, что в силу гладкости Тр и коэффициентов опе-
раторов £(<в) по лемме 1.3.2, применяемой к (18), имеем uf,
их, Uxx <=C?oca (Q). Мы свели исследование решения задачи (9),
(10) к исследованию решения задачи (19), (10), получив то пре-
имущество, что для решения последней ир, ирх, uSx^Cfoc(Q).

Заметим далее, что, по предположению, a, b, c+6i, f финитны,
откуда

min [Lp (h, z) и (z) + fp (h, z)] =
h(=Er

= e.ku (z) — 6xa (z) + min [r] (p, h) —	(0)] = 8 Ди (г) — 8iU (z),

h^Er

если z Ct, В частности, up удовлетворяет уравнению вида
и/4-8 Ди — 8iU = q, причем q = 0 вне Ср,^. Из финитности <р и
известного явного выражения ир через <p, q сразу следует, что ир,
Iй* |, Iм? I’ ||Ыхх||->0 ирн |х|-*-СЮ.

Теперь нам нужно придать операторам Lp вид (2.2) и найти
соответствующие di, б*, Ь, с. Положим

dp+ft(/t, г) = (|г(р, h))1/2 ak (©ь z) при k^du

^dir+l(h, z) = (2e)1/26'7 	при i, j^d,	(20)

5p(/i, г) = &(р, h) г), cp(h, z) = &(p, h)c(ah z),
s	d'r+d

a$(h, z) = y 2	z) при i, i^d,

fe = l

♦) Без суммирования по f.
Как легко видеть,

L(h, z)u(z)=a‘^(h, z)uxixj(z) + 6{p(h, z)uxi(z) + cp(h, г) и (г).

Из (20), (16), (1) и формул типа

S ,а‘(й, z)p=S X Z)I2^(P, ft) + 2ed
fc=l	;=1*=1

вытекает, что для ар, Бр, Ср выполнено условие (2.16), а также
выполнены условия (7), (8) с N (Кг, К) вместо К2 в последнем.
Кроме того, из предположения, что с^ —Si следует, что
|к](р, h) — Тр (0) |«^2/г1 =ес26х=С— 2ср при р 5=6j-1. Поэтому усло-
вие (2.15) также выполнено с N (К) вместо К при /?5=6г‘*). По
теоремам 2.2, 2.6 отсюда получаем оценки (11), (12) для ир при
всех достаточно больших р.

Остается для решения задачи (9), (10) установить оценки
(13) —(15). В § IV.4 мы строили барьеры для решений линейных
уравнений и с их помощью в лемме IV.4.2 оценивали отличие
решения от граничного данного на dtQ.r,R- Поскольку Q конечно,
то нижняя грань в определении F достигается, и функция и,
удовлетворяющая уравнению (9), удовлетворяет также линейному
уравнению (коэффициенты которого определяются, конечно, по и).
Это уравнение можно рассмотреть в Qs,/?, где и в лемме
IV.4.2 можно взять s, 1 вместо Т, а. Тогда мы легко получим (13)
при O^t ^s^T, |х|<7? — 1.

Оценки (14), (15) доказываются почти буквальным повторе-
нием соответствующего места из доказательства теоремы V.4.6
с использованием (6) и уже полученных оценок | и |, |ыж|,
сверху. Лемма доказана.

• Откажемся, далее, от предположения о бесконечной дифферен-
цируемости ст, Ь, с, f, <р

3.	Лемма. Пусть ъ е (0, d-1), множество Q конечно, с — 61
и выполнено предположение леммы 2 о финитности ст, Ь, с+6х,
f, ф. Тогда существует функция и е С (Q) П Wi’, foe (Q), удовлетво-
ряющая (9) почти всюду в Q, равная ф при t = T и такая, что
для нее справедливы оценки (12) —(15).

Доказательство. Продолжим ст, b, с -|-6i, f вне Q нулями,
возьмем неотрицательную £eCS°(£d+i) такую, что ^dtdx—1,
при р5=1 положим ?р((, х) = pd+1C (pt, рх) и определим ст*р, Ьр,
ср, fp, фр, сворачивая ст*, .... ф с Ср. Ясно, что ст*р, ..., фр бес-
конечно дифференцируемы и удовлетворяют условиям теоремы 1,
если К, Ki заменить на V (К), N (Ki). Кроме того, при каждом р
они удовлетворяют условиям (7), (8) с некоторой постоянной Np

♦) Весьма существенно, что постоянные в неравенствах (2.15), (2.16), (7),
(8), отвечающих 6р, Ър, ео, не зависят от числа элементов Q.
из-за конечности й, финитности о, Ь, с-|- f, <р, их подходящей
ограниченности (ср. (6)) и неравенства с=^ —По лемме 2,
если F построить по <т*р, bp, ср, fp, то уравнение (9) с гранич-
ным данным и = <рр имеет решение vpeC2(Q), для которого спра-
ведливы оценки (12) —(J5). Отметим, что постоянная из нера-
венств (7), (8) не входит в эти оценки. Это дает нам право
утверждать существование подпоследовательности р'^*оо, по ко-
торой ир сходится равномерно на всяком цилиндре к неко-
торой функции и, обладающей очевидным образом всеми нужными
свойствами, за исключением того, быть может которое касается
уравнения (9).

Покажем, что и удовлетворяет уравнению (9) почти всюду
в Q. Положим

alJp= |

Я	•

и заметим, что для любых р0 при по построению

inf + (е6^4-а'>9) v°xixi + bi4vpxi +	^0.

Q^Po, weQ 1

Отсюда по теореме II 1.6.3 почти всюду в Q

inf [ut + teW + cW) ux,xl + bil>uxi 4-с«Р-|-Ж==^0. (21)

Здесь Q конечно и a^, big, cq, fq bl, c, f при q-+oo почти
всюду на Q. Поэтому, полагая р0->оо, из (21) заключаем, что
левая часть (9) не больше нуля (п. в. Q). Обратное неравенство
получается, как в доказательстве леммы VI.5.4. Лемма доказана.

На следующем шаге мы в уравнении (9) положим е | 0.

4.	Лемма. Пусть множество Q конечно, c^ — bt и выполнено
предположение леммы 2 о финитности о, b, c + 6i, f, <р. Тогда
имеют место все утверждения теоремы 1.

Доказательство При ее (0, dr1) обозначим через ре-
шение задачи (9), (10), взятое из леммы 3. Из неравенств (12),
(13), верных для ше, следует, что по некоторой последователь-
ности е' | 0 функции сходятся равномерно на всяком цилиндре
СТ, r к функции и е С (Q) такой, что и (Т, х) = <р (х) и | и |,
|Ux|^V(6, К) (п. в. Q). По выбранной подпоследовательности
в силу (14) wf также слабо сходятся в Х2(СТ, я), причем предел
их очевидным образом есть соболевская производная и по t, ко-
торая, сигало быть, существует и удовлетворяет неравенству (14).

Далее, через N будем обозначать постоянные, зависящие
только от 6, К, и заметим, чго из неравенства (?) N i 1
вытекает, что функции до8 — ~ ЛПх|? выпуклы по х вверх. Выпук-
лость сохраняется при предельном переходе, поэтому в правой
части равенства

_И = (|ЛГ|Х|»_И)_|ЛГ|Х|»	(22>

первое слагаемое выпукло вниз по х, а второе является гладким.
По определению Wbv- + (Ст, /?), принятому в § III.6, заключаем,
что (— и) е Wbv-+ (Ст, r) при любом R > 0. Как мы знаем (см.
§ III.6), вторые обобщенные производные выпуклых вниз функ-
ций являются мерами, причем чистые вторые производные явля-
ются положительными мерами. Это дает существование мер

и вместе со сказанным про (22) приводит к неравенству

%%uxixf (dt dx) < N | gj2 dt dx.

Теперь займемся предельным переходом в уравнении (9). Для
любого bsQbQ имеем wf 4- е 4- L (со) 4- f (со) 0. Умно-
жая это неравенство на неотрицательную т) eCS°(Q), интегрируя
по частям и переходя к пределу по последовательности в', без
труда находим

J (аЧ (со) т])х«х, и dt dx 4- J1] (ut + b1 (со) uxi 4-с (со) и4-f (со)) dt dx 0.

(23)

Если бы здесь аЧ (а>) была бесконечно дифференцируемой по
(/, х), то тогда, по определению обобщенных производных, мы
могли бы написать

J (аЧ (со) f])xix, udtdx = \ vfl4 (со) их<х/ (dt dx)	(24)

и в силу произвольности q из (23) могли бы извлечь, что

аЧ (со) с uxixJ4- (ut 4- bl (со) uxi 4- с (со) и 4- f (со)) • Л 3s 0	(25)

в Q для любого соей. Оказывается, что равенство (24) для а‘>
только дважды непрерывно дифференцируемых по х и борелев-
ских по t продолжает оставаться верным, хотя уже не следует
непосредственно из определений. Этот факт вытекает из леммы IV.2.5
книги Крылова [10]. Доказав (25), получим, что

Л fa!'>(co)«uxix/4-(M,4-b4co)uri4-c(®)u4-f(®))-AI^0. (26)
го е Q 1	,

Докажем неравенство, обратное последнему. При е е (0, е0)
имеем и>84-80Дг2»84-/7(а>8гж/, аф, a»8, z) = (80 —в)'Да>8^е.0М, что в
терминах мер сефх7 дает

Л [(a/>(«>)4-8o6/y)’a’®v4-

+ (а?+(°>) ufy + с (®) а/8 4- [е“ (®)) • Л]	О,
где (со) = f (со) — 8QN. По теореме III.6.3 в последнем неравен-
стве можно заменить на и. Следовательно, сумма левой части (26)
и 80Ди—80Л^Л является отрицательной мерой. При 801 0 получаем
неравенство, обратное к (26). По лемме IIL6.2 этим доказано
утверждение в) теоремы 1. Лемма доказана.

5.	Лемма. Утверждения теоремы 1 справедливы, если мно*
жество Q конечно.

Доказательство. Нам понадобится последовательность
/?я->оо и последовательность функций на [0, оо) бесконечно
дифференцируемых, неотрицательных, равных единице при t^n,
нулю при t^Rn, убывающих и таких, что

1х£(П1<-й|г.	(27)

Построить такую последовательность можно следующим обра-
зом. При п 1, t 0 положим, например,

£«(0 = 0

для

— п-Ч-2 для
£« (0 = — 4 Л_3е_2л+1 Дл Я
• £«(0 = 0	Для

t^n, £п(0 = 4л-3’ Для п^/<2п,
2п t < 2ш?л*1/2,
2nen-1/2 t <z Зпеп~1/2,
^Зпел-'/2.

Нетрудно убедиться в том, что

=	£n(s)ds=ssO для t^O,

о

1 + Jds J £n(r)dr = 0 для t^Rn := 3ne"-1/a,
0 s

I 00

l + $ds$ £n(r)dr=l для	|£n(/)| =C5n~lt~2.

о <

После этого остается несколько сгладить £я(0 и определить х«(0
с помощью уравнения %« = £«• Далее, обозначим

<т*л(со, 0 х) = х«(|х|)ст*(®, t, х), fen(®, I, х) = %£ (|х |)&(«>, t, x),

c"(<j), t, x) = x«(|x|)c(o>, t, X) — y=-,

t, x) = (| x |)f(«), t, x), <pn (x) = x« (| x I) q> (x).	(2$

Так определенные функции ойл, bn, сп\ lV~n, fn,<pn финитны
и сл^—1/]^п. Проверим, что условия теоремы 1 для них также
выполняются при всех достаточно больших п. Через будем
обозначать различные постоянные, не зависящие от <о, п. При
|g| = l из (27), (2), (6) имеем

= Х^< v + 27лХп Ь, (5, Ь^) < Хл (5, М +1N,
4))(?. <**)+

+(%;>2	2(В’	2^ аУ2+ \N-

к	к

Аналогично оценивая S|a^|2, видим, что условие (2.16) для о*”,
Ья, ся выполняется при всех достаточно больших п. Заметим также,
что при больших п и |51 = 1

|^)1^Х^еш' + 2|х;с;<Лх^к| + ^-ЛГ^А|сп1.



+ 2/ [(х;)2	+ ХлХл 7^+ХлХл щ (1

(х. Е)*\1

I х I2 /]’



и аналогично оцениваются o*g(5), ^и6)» Собрав эти оценки,
получаем, что условие (2.15) выполняется при больших ncN(K)
вместо К. Так же обстоит дело с условиями (1), (2).

Теперь обозначим через Vя функцию, существующую по лемме 4
при всех достаточно больших п, если в качестве о*, b, с, f, <р
взять о*", bn, сп, fn, <рп. Ясно, что по некоторой подпоследова-
тельности функции Vя сходятся равномерно на всяком цилиндре
CTR к некоторой функции и, обладающей свойствами а), б) тео-
ремы 1. Кроме того, при n^R в CTtR

Д [аЧ(со)• vn^xt4-(v] + Ь‘‘ (®) v"<4-c(<o)vn —	(®)Va1 =0.

(29)

Рассуждения, проведенные в предыдущем доказательстве по
поводу формулы (24), позволяют отсюда вновь вывести неравен-
ство (26). Из (29) и справедливости теоремы 1 для Vя вытекает
также, что при n^tn^R, 8>0 в Ct.r

Д l(a^(W) + 6«V8).u^/ +
шеО 1

4- (уя4-Ь1 (®)1^4-с(<о)цл4-/8' т (ш))«Л]«£0,
где f? m = — N (6, К) (/п-1/г4-е) 4~ f- По теореме III.6.3 здесь
вместо vn можно поставить и, и тогда окажется, что левая часть (26)
не превосходит на CT,R меры

N (6, К) (т~ч* 4- 8) Л - е Ди

при любых 8>0,	Следовательно, имеет место нера-

венство, обратное к (26), и лемма доказана.

6.	Доказательство теоремы 1. Пусть Q счетно, £> =
={®i, ©а, Взяв в лемме 5 вместо Q множество {<»i, .... <оп},
построим соответствующую функцию и". Некоторая подпоследова-
тельность и" будет сходиться равномерно на всяком цилиндре CTR
к функции и, обладающей свойствами а), б). Кроме того, при п т

г<т । 04	° и*1*' + (U"'lrbl (“')	+С (®г) иП + f (®г)) ’ Л ] 0.

Отсюда рассуждения из доказательства леммы 4 по поводу
формулы (24) выводят неравенство (26). Для доказательства обрат-
ного неравенства заметим, что

Д |аУ(со.)• u"ir/ + (и? + & (®_)«", + сun+f (®г)} • Л] ==£0.

Добавляя в левую часть еДы" —вЛ((6, К) Л, а затем полагая
п-^-со, е|0, как в предыдущем доказательстве, получаем нера-
венство, обратное к (26). Теорема доказана.

Обсудим утверждения теоремы 1 на следующем примере.

7.	Пример. Пусть d = di = l, 7’ = 2, Q = {4-1}U{—1}, п=1
при (е[0, 1), и = х при t е[1, 2], Ьо — 0 при i <=[0, 1), Ь0 — <л
при fe[l,2], Ь = 2<j2x(x2+l)_14-bo, с== (пг4-2ЬоХ) (х24-I)-1,/==0,
Ф = — х2 (х2 +1 )-*.

Формально теорема 1 неприменима в этом случае, так как с
может быть больше нуля и неравенства (2.15), (2.16) не выпол-
нены. Однако если бы мы вместо указанных с, ф взяли c — N,
<pe2JV, то при подходящей большой постоянной N условия теоремы 1
уже выполнялись бы, существовала бы, следовательно, соответст-
вующая функция и, а тогда, очевидно, ue~Nt оказалась бы функ-
цией, отвечающей по теореме 1 исходным с, ф. Иначе говоря,
стандартная замена неизвестной функции показывает, что утвер-
ждения теоремы 1 остаются верными.

Пусть « — функция, соответствующая исходным a, b, с, f, ф.
С помощью утверждения о единственности можно показать, что
функция v:=(x2-f-l)« дается следующими формулами:

v(t, х) ——х2^-* — 2|х|(е2-/ — 1) — 2(е2-' — 1 — (2 — /)) при (е[1, 2],
v(t, х) = — (д2 4-1 — t)e—	9 . ( | у | exp ( — ~х)2 dy —

v ' v ’	/2л(1-О_3,	\ 2(1—1)/ у

— 2(в — 2) при /е(0, 1).
При /	1 из утверждения в) имеем х8 - ихх «С Л, следовательно,

на К > 1} П Q\{x *=0} мера ихх должна быть абсолютно непрерывна
относительно Л, т. е. соболевская производная вида ихх должна
существовать на {£> 1} f) Q\{x = 0}. В точности так и обстоит
дело в нашей ситуации, как следует из приведенных формул.
Кроме того, из них видно, что мера ихх имеет массу, сосредото-
ченную на отрезке [1, 2]х{0}, и Соболевской производной вида ихх
в \t> 1} AQ нет. По утверждению (4) имеем ut е Хг (Ст, r) для
любого R. Производную ut легко найти и увидеть, что в нашем
случае на самом деле ut е Х2+у (Сг, r) при у е [0, 1), хотя это и
неверно при у=1. Можно ли в общем случае усилить (4), мы не
знаем. Однако (3) усилить нельзя, так как в нашем примере
«(1, 0) — u(t, 0)^(1—/)1/2е при /^1 и подходящем 8>0.

В рассматриваемом примере уравнение (5), переписанное в тер-
минах функции v, выглядит следующим образом:

vt + ~x2vx( — \vx\=0 при £<=(1,2),

+	= 0 при /(=(0,1).

Проведенное" выше обсуждение показывает, что всюду, где их1
входит в уравнение, т. е. где коэффициент при ихх не равен нулю,
там существует соболевская производная вида ихх и, стало быть,
там ихх~ихж. Это наводит на мысль, что, вообще, все вторые
производные и, «реально» входящие в уравнение (5), должны ока-
зываться Соболевскими. С такой ситуацией мы уже встречались
в § II.2 и изучать ее мы будем так же, как это делается а тео-
реме II.2.6.

Положим

Pi(Uif, z)—supalH<a, г)иц,

p(/) = p(Z, z) = inf ЗДг),	/¥=0,	(30)

(I. E) = l

p = p(z) = inf sup aO(<o, ?)£*£>= inf p (/, z).	(31)

igi = i «>	'i, — i

Напомним, что отношение величин р (/) к вторым производным,
«реально» входящим в уравнение (5), обсуждается в замечании
II.2.8.

8.	Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 1, и —функ-
ция из теоремы 1, I е Еа, 111 = 1, область Qo с Q, постоянная
е>0, p(/)5se на Qo. Тогда соболевская производная вида и^щ
существует и принадлежит Хг.^ж (Qo). Если же на Qo, то
и е IFVioc (Qo).

Доказательство. Возьмем Zo, т, р так, чтобы гб+Ст,р cz Qo,
и будем действовать, как в доказательстве теоремы II.2.6. Для
любого (Оо е й на Q имеем

аУ (со#) uxix/ (di dx) 4- (ut 4- b‘ (coo) uj 4-с(<oo) и4-f (®o)) dtdx'SzO,
a.4 (®o) uxixl (di dx) Ss

— (| ut | +1 ux | sup | b (®) 14-1 и | sup | c (®) | 4- sup | f (co) I) dt dx.
<0	(OCi)

Это неравенство аналогично (11.2.8). Оно вместе с неравенст-
вом uxixj (dt dx) dt dx, верным при £ e Ea, | £ | = 1, с помощью
леммы 11.2.5 приводит на г04-Ст>р к следующему неравенству,
аналогичному (П.2.9):

— N dt dx uxtx/ (dt dx) PU sS N^l-1 (I) (14-1 ut 14-1 ux [ 4-1 и |) dt dx,

где N зависит только от 6, К, z0, р, Ki- Доказательство завер-
шается ссылкой на (4) и теми же аргументами, что и доказатель-
ство теоремы II.2.6. Теорема доказана.

Иногда можно получить ограниченность ut, ихх.

9.	Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 1,
функции о, Ь, с, f дифференцируемы по (t, х) в Q и имеют место
неравенства (7), (8). Тогда функция и из теоремы 1 обладает
следующими дополнительными свойствами: а) выполнено неравен-
ство (11); б) если ограниченная область Q0<=Q, I е Еа, |Z| = 1,
и р(/)^ е на Qo, где постоянная 8>»0, то Соболевская производ-
ная вида u(z)(z) ограничена на Qo, если же на Qo, то все
Соболевские производные вида ихх ограничены на Qo.

Доказательство. Утверждение б) выводится из а) так же,
как указывается теорема 8. Для доказательства а) нужно сначала
доказать соответствующие варианты лемм 3—5, пронося через них
справедливость оценки (11), установленную в лемме 2. Это без
труда делается в случае леммы 3, нужно только заметить, что
о, Ь, с, f по непрерывности продолжаются на Q и при продолже-
нии их вне Q не полагать их нулями, как это делалось в дока-
зательстве леммы 3, а воспользоваться формулами типа о (t, х) =
= а(Т, х) при tSzT, o(t, х) = <г(О, х) при t^O. Соответствующий
вариант леммы 4 доказывается прежними рассуждениями. В дока-
зательстве леммы 5 достаточно сделать только одно изменение:
вместо последней формулы в (28) взять фл(х) = Хт(|*|)ф(*)> гДе
т — наименьшее целое число больше Rn- Тогда, если оператор Ln
построить по а*л, Ьп, сп, то

L"<p" = xUq) —	I £ЛФЛ + fn | «S X» I Ьф 4- f I 4- -гк К

У п	у п

и условие (8) для akn, bn, сп, fn продолжает выполняться с 2/С2
вместо Ла при больших п. После всего сказанного буквальное
повторение доказательства 6 заканчивает доказательство настоящей
теоремы.
§ 4. Существование решения в классе выпуклых функций
для нормированного уравнения Беллмана

В предыдущем параграфе мы изучали уравнение Беллмана
в случае, когда a, b, с, f были равномерно ограничены по со
(локально по (/, х)). В теории оптимального управления диффу-
зионными процессами (см., например, Крылов [5], [10]) выяснено,
что если от этого условия отказаться, то вместо уравнения Бел-
лмана нужно рассматривать нормированное уравнение Беллмана.
Именно о свойствах решений таких уравнений и пойдет речь
в этом параграфе.

Возьмем те же объекты, что и в начале § 3, но теперь будем
предполагать, что о, b, с, f не только дважды непрерывно диф-
ференцируемы по х при всяких /, со, но и (один раз) непрерывно
дифференцируемы по (/, х) в Q при всяком со ей. Это предполо-
жение при отказе от (3.2) позволит сохранить подходящую оценку ut.
Как и в § 3, будем пользоваться обозначениями (2.1) — (2.3) и
предположим, что на QxQ дана некоторая функция v(co, z)^=0.
Обозначим

G (uo, «v» z) =

= inf v(co, г)[и0 + ^у(®, г)и;у + &4®, z)u, + c(cd, z)u + f(co, z)]. (1)

Сформулируем основной результат параграфа для параболи-
ческих уравнений.

1.	Теорема. Пусть <р е С2 (Еа), на Q х Q при всех единичных
IeEj выполнены неравенства (2.15), (2.16), а также

I of |2 +1 bt 14-1 ct I +1 ft | — Kc,	(2)

k

|L(®, T, x)<p(x) + /(co, T, x)\^K,	(3)

IФ1 +1Ф* 1 + S Ф** I K-

Пусть также для всякого и ей найдется постоянная Ki (со)<оо
такая, что

|с(®, I, x)|^Ki(«>) (1 + 1*1),	0) |2 + |b«o, t, 0)| +

+ SlCT^(®, *)|*+;&(6>(®’ *)!<Ki(®) <4>

k

при всех (t,x)^Q, %^Ed, |£| = 1. Тогда найдется функция
иеС(@) такая, что:

а)	в Q существуют соболевские производные их, ut и меры ихх,

б)	|«| + |«x| + l«/l<(V(6, К) (n.e.Q),u(iniy(didx)^N(8,K)x
xdtdx в Q при l^Ed, |£| = 1;

в)	аП(<о) uxix/(dt dx) ^dtdx при всех йей, и если функция G
конечна при всех значениях ее аргументов, то

G(u<, их‘> и, г) = 0 (п. в. Q).	(5)
Перед доказательством теоремы обсудим ее утверждение в).

2.	Определение. Назовем функцию v нормирующим мно-
жителем, если функция G конечна при всех ze Q и действитель-
ных U0, Цц, и.

Простейшим нормирующим множителем является, очевидно,
v = v0 := (1 + tr 1 I + Iе I + Ifl)"1-	(6)

При v = vo правую часть (1) будем обозначать через Go. Исполь-
зование различных нормирующих множителей приводит, вообще
говоря, к различным уравнениям (5), некоторые из них могут иметь
наиболее простую форму. Понятно, что иногда нормирующим мно-
жителем является функция, тождественно равная единице и тогда
уравнение (5) совпадает с обычным уравнением Беллмана. Оказы-
вается, что наибольшую информацию об и дает уравнение (5) в том
случае, когда в качестве v берется v0. Этот факт вытекает из
следующей сравнительно простой леммы, которую мы приведем
без доказательства (она в виде леммы VI.3.8 доказана в книге
Крылова [10]).

3.	Лемма. Пусть v— нормирующий множитель. Тогда всякое
решение (uQ, utj, щ, и, г) уравнения (неравенства) Gq (uq, иц, щ, и, z)=0
(<; 0) является также решением уравнения (неравенства) G (щ, иц,
щ, и, z) — 0 (<0).

4.	Доказательство теоремы 1. Если множество Й ко-
нечно, то теорема следует из теоремы 3.9,—дело в том, что соот-
ношение (5) является очевидным следствием соотношения (3.5).
Пусть Q счетно и £2 = 10)!, ю2, •••}• Взяв в геореме 3.9 вместо Q
множество {«1, ..., сол}, построим соответствующую функцию ип.
Некоторая подпоследовательность ип будет сходиться равномерно
на всяком цилиндре CTtR к функции, скажем, и. Понятно, что
и eC(Q), и (Т, х) — ц>(х) и и обладает свойствами а), б) (ср. дока-
зательство леммы 3.4). Далее, при всяком 8>0 по теореме 3.9
(и лемме III.6.2)

А [ vua’> (<or) • u"ixj + v0 (<ог) (и; + b‘ (®г) и", 4-

+ с((ог)ил4-/Ч<ог)).Л] = 0,	(7)

Д [ »оаЧ (со) • unxixi + v0 (со) (м; + Ь‘ (<о) uxi + с (со) ип 4- f (<о)) ° Л] < 0,

(8)
Л [(v0a‘7 (®) 4- 86'7) • ипх1х/ 4- (v0 (®) 4-в)и».Л4-

4-(v0b'(co)u"i4-v0c(<o)u',4-f8(w)).A’]<0,	(9)

где fe (®) = v0/ (со) — eNi и Afi = Afi(d, 6, К) подобоано так, чтобы
8(Ды'‘4-и“»Л —A^Ajs^O.	(10)
Вывод неравенства (9) нам необходим для того, чтобы приме-
нить теорему III.6.3. Так как в этой теореме коэффициент при ut
должен быть отделен от нуля, то нам пришлось, в отличие от
доказательства 3.6, в левую часть (8) добавлять (10) и с помощью
условий (2), (3) обеспечивать ограниченность и” и возможность
выбора постоянной Afi, подходящей для НО). По теореме III.6.3
в (9) вместо ип можно поставить и, а если после этого положим
е|0, то получим

A	(®) • “л/+vo (®) (“<+bi (®) !+с(®) «+f (“)) -Л]	о. (11)

Обратное неравенство выводится из (7) с помощью формулы
(3.24), как в доказательстве леммы 3.4. Остается заметить, что
равенство в (11) по лемме III.6.2 эквивалентно равенству (5)
сС = Сои тому, что vqoV uxixJ Л, и после этого воспользоваться
леммой 3 и тем, что v0>0. Теорема доказана.

5.	Замечание. Единственности и в теореме 1 может не быть,
что сразу видно, если взять v = 0. При более разумном выборе v
по формуле (6) также может возникать неединственность. Напри-
мер, если d = d1 = T =1, Q— счетное всюду плотное подмножество
в [0, оо), о* = f == <р = 0, Ь (со) = со, с == —1, то, как нетрудно видеть,
любая функция типа е*ф(0, где ф'^0, ф(1) = 0, обладает свой-
ствами а)— в) теоремы 1 при G = G0. Обсуждаемая единственность
в некоторых случаях может быть исследована с помощью следст-
вия III.7.8.

6.	Замечание. Из теоремы III.7.9 легко следует, что функ-
ции построенные в доказательстве 4 как решения уравнений
и? -Л + Д [а'/ (<0г). «>,/ + (Ы (®r) unxi+с (со,) и» + f (<ог)) .л]=0 (12)
с граничным данным ип (Т, х) = <р (х), убывают по п. Поэтому
по всей последовательности п, а не только по подпосле-
довательности. В связи с этим важно обратить внимание чита-
теля на то, что и может не удовлетворять уравнению, «предель-
ному» для (12) (и, разумеется, в этих случаях 1 не является
нормирующим множителем). Например, пусть d = di = T=l,
Q = {1, 2, ...}, o = b = <p = 0, с =— <о, f = 1. Тогда при v = 1 урав-
нение (5) имеет вид

ut — «4-1+ inf (—n)u = 0.	(13)

п = 0. 1 ...

Здесь конечность нижней грани означает, что она равна нулю,
u^0, U/ — и+1=0. Однако два последних соотношения несо-
вместимы с граничным условием н(1, х) = 0, и уравнение (13)
с этим граничным условием вообще не имеет решений. Читатель
без труда докажет, что в этом примере на самом деле функция и
из теоремы 1 тождественно равна нулю.
Про вторые производные функции и из георемы 1 можно ска-
зать больше, если предположить некоторую невырожденность
матриц а(ш).

7.	Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 1,
область QoczQ, и — функция, построенная в доказательстве 4.
При I е Ed, 111 = 1 положим

Цо (0 = Ho G, z) = inf sup voa'>(®. г)Е'ВЛ	(14)

Ho = Ho(z)= inf sup voa</(co, z) inf p0(/),	(15)

|'=I(i)EQ	|/| = 1

где Vo определяется формулой (6). Тогда, если Ро(О^е в Qo, где
постоянная е > О, для некоторого 1^ Еа с 111 = 1, то обобщен-
ная производная ограничена в Qo- Если же в Qo, то
все обобщенные производные вида ихх ограничены в Qo-

Доказательство этой теоремы получается из равенства в (11)
повторением соответствующих рассуждений из доказательства тео-
ремы II.2.6.

Перенесем теоремы 1,7 на эллиптические уравнения.

8.	Теорема. Пусть о, b, с, f не зависят от t, при всех еди-
ничных l^Ed на QxEd выполнены неравенства (2.15), (2.16) и
выполнено условие теоремы 1, связанное с (4). Тогда найдется
функция и s С (Erf) такая, что:

а)	в Ed существуют соболевские производные их и меры ихх,

б)	\u\ + \ux\^N(8, К) (п, в. Ed), ^иЛ/(^х)<У(6, К) в Еа
при ge=Ed, |g| = l;

в)	ali((&)uKixj(dx)<^dx при всех (оей, и если v = v(co, х) и
6(0, иц, щ, и, х)> — оо при всех щ/, щ, и, х, то

G(0, иХ/. uxt, и, х) = 0 (и. в. Ed).	(16)

Доказательство. Понятно, что если и является решением
уравнения (16), то и —К является решением такого же уравне-
ния, в котором f надо заменить на f + cK. Верно также и обрат-
ное, а, кроме того,	в силу (2.15). Поэтому без огра-

ничения общности мы в дальнейшем считаем, что /^0.

Пусть Q = {(Oi, со2, ...}. При Т>0, <р = 0 и целых

В [0, Г]xEd определим функции иТ-п с помощью теоремы 3.1
так, чтобы

Д [а4(агуитх^ + (ит-	П+с(“г)«г'п + /(®л))“Л1 = °

f

(17)

в (0, T)xEd. Из единственности функций ит<п легко следует, что
при фиксированных п, х они зависят только от Т — t. Далее,
к уравнению (17) применима теорема III.7.9 (см. также замеча-
ние III.7.11). По этой теореме, сравнивая ит-п и 0 и пользуясь
неравенством /sgO, получаем мт>"=^0. Кроме того, решение
уравнения (17) с граничным данным при t = T, меньшим 0, будет
меньше ит'п в [0, TJxEd. Так как ит+?-п(Т, х)=сО, где y2s0,
то отсюда ит +т.я (/, х) ит-п (t, х) при t sg Т. Стало быть,
ит-п (I, х) убывают по Т, а их предел при Т ->оо, равный пре-
делу ит~‘-п(0, х), не зависит от t. Обозначим

u“(x) = lim ит-п (t, х).

Г -.оо

Теорема 3.1 гарантирует известные свойства функций ит-п.
Из них вытекает, что в (0, l)xEd функция ип(х), как функция
от переменных (/, х), имеет Соболевские производные и", иЧ и меры
ипхх. Так как и" не зависит от t, то и”=0, и" на Еа имеет Собо-
левские производные и" и меры и*х. У нас появились меры ипхх
на (0, 1) х Еа и на Ed. Для того чтобы их различать, будем зада-
вать их дифференциалами и*х (dt dx), ипхх (dx). Из определения
обобщенных производных сразу получаем, что uxix, (dt dx) =
= ifyxi (dx)dt. Понятно, что для функций ип справедливо не только
утверждение а) настоящей теоремы, но и утверждение б).

Теперь, рассматривая (17) только на (0, 1) х Еа, положим Т->оо.
Теорема III.6.3, как уж$ неоднократно показывалось, приведет
нас к тому, что на (0, l)xErf

Д	(<вг) uxtx/ (di dx) 4- (и? 4- bl (юг) и'х, 4- в (cor) un+f (Mr)) dt dx]=0.

Замечания, вделанные выше, позволяют переписать это соотно-
шение в виде

п |a*J(“г)мк'	(®г)“? + с(“г) «" + (wr)) dx] = °	И8)

в Ed Положим, далее,

Vo = (tra4-|6l4-l' I4-I/I)a. если tra4-;fc|4-|c-|4-|f|>О,
90=1, если tr а + b I + I с | + |/ | =0

Ясно, что Vna, ..., V’o/ ограничены на и использование
записи (18) через плотности мер u£x/(dx), dx по некоторой мере
без труда доказывает, что

г Кn I V" (<*>,)	+ (V0&‘ (®г) + V (®г) «" + V (<*>,)) dx I = °

в Ed- Перейдем в этом соотношении к пределу при п~>оо с по-
мощью теоремы 111.6.3. Эта теорема относится к параболическим
операторам, и для того чтобы ею воспользоваться, сначала перей-
дем от мер un*ixj (dx), dx к мерам uxix/(dtdx), dtdx9 получим соот-
ветствующее уравнение в (0, 1)х£^, затем добавим в его левую
часть нулевое слагаемое u”didx и, наконец, нижнюю грань по
г^п заменим на нижнюю граць по всем г. Тогда после приме-
нения теоремы 111.6.3 и возвращения к переменным х получим
функцию и = и(х), для которой справедливы утверждения а), 6}
и такую, что в

Л роа‘> (со) и?ж/ (dx) + (Vob‘ (со) uxi + V (со) u + V («)) dx| 0	(20)

Здесь вместо неравенства на самом деле имеет место знак
равенства, так как меры, стоящие в (18) под знаком нижней грани,
положительны при после предельного перехода видно, что
это верно при всех г, если ия заменить на и, а тогда и меры,
стоящие в (20), положительны, как неопределенные интегралы
локально суммируемой функции vo>0 по положительным мерам.

Теперь мы можем доказать утверждение в) для функции и.
Равенство в (20) эквивалентно (ср. § III.6) совокупности двух
соотношений

(v^u^/tdx) ^dx при всех вей, (21)
inf (со) [o'/ (со) u'xixl + Ь‘ (со) 4-с (со) и + f (со)] = 0 (п. в. Еа). (22)

Из (21) следует, что мера a‘i(a)>uxixj абсолютно непрерывна
относительно dx как неопределенный интеграл локально суммируе-
мой функции V#‘ (со) по абсолютно непрерывной мере. Для пре-
образования (22) к виду (16) фиксируем точку х0, в которой
соотношение (22) выполнено, и рассмотрим два случая: 1) суще-
ствует соо <= й такое, что tr а (соо, х0) +1 b (со0, х0) | +1 с (со0, х0) | 4-
+ | f (со0, Хо) I = 0; 2) такого соо нет. В любом случае множитель
при v0 в (22) неотрицателен в точке Хо при любом и е й, а зна-
чит, левая часть (16) неотрицательна. В первом случае она оче-
видным образом равна нулю (см. (1)). Во втором случае равенство
нулю левой части (16) в точке х0 доказывается с помощью утвер-
ждения, аналогичного лемме 3 (см. леммы VI.3.6, VI.3.8 в книге
Крылова [10]). Теорема доказана.

9.	Замечание. Единственность построенной функции и можно
исследовать с помощью следствия III.7.10.

Следующий факт, совершенно аналогичный теореме 7, приве-
дем без доказательства.

10.	Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 8, область
D с. Еа, и — функция, построенная в доказательстве теоремы 8.
При единичных 1еЕа введем функции ро(О = Йо(Л х), р,0 = р0(х)
формулами (14), (15), в которых вместо v возьмем v0 из (19).
Тогда, если р0 (0 в в D для некоторого I е Ed, 111 = 1, где постоян-
ная в>0, то обобщенная производная Щпщ ограничена в D,
если же Ц,0^:е в D, то все обобщенные производные вида ижж огра-
ничены в D.

Приведем один пример на использование теорем 1,7.

11.	Пример. Пусть а, Ь, с, f не зависят от <о, ограничены,
удовлетворяют условиям, сформулированным в начале параграфа,
а также неравенствам (2.15), (2.16), (2), (4), а также —6,
|2 на Q при всех	Предположим еще, что

f(T, х) = 0. Мы утверждаем, что существует единственная функ-
ция «eC(Q) такая, что ее соболевские производные вида их, ut,
ихх ограничены, и(Т, х) = 0 на Еа,

ut^0, aVuxtx/->rbiuxi + cu±f^(),

ut(ayuictxl + biuxi+cu+f) = 0 (п. в. Q).	^23)

В самом деле, совокупность соотношений (23; эквивалентна,
как легко видеть, одному уравнению

inf ^-p-[u/4-©a^«?r/-|-®&/uxI + wcu4-<B/:] = 0 (п. в. Q). (24)

Последнее уравнение может иметь только одно решение в ука-
занном классе функций, что легко следует из теоремы III.4.6,
если в ней в качестве ф взять ch (у | х |) при достаточно малой
постоянной у. Кроме того, если в соответствии с (24) положить
£2 = {0, 1, 2, ...}, ст* (со, z) = )Aoct*(z), Ь(о>, z) = <ob(z), с (со, г) =
= ojc(z), f (<о, г) = of (г), v(<o) = (1 Н-ю)-1, то по теоремам 1, 7
получим, что уравнение (24) имеет решение с описанными свой-
ствами.

В связи с этим примером отметим без доказательства, что если
ст, Ь, с, f периодичны по t с периодом 1, f(n, х) = 0 при всех
целых п = 1, 2, ... и через ип (t, х) обозначим функцию, отвечаю-
щую Т = п, то функции un(t, х), убывая при п->оо, будут схо-
диться к функции и (х) с ограниченными производными их, ихх и
удовлетворяющей уравнению

inf |а'>((, х) и,,х/ (х) + b‘ (t, x)uxi(x)+c(t, х) u(x) + f(t, х)1 = 0
/ею. п	1

(п. в. Еа).

Это дает возможность решать последнее уравнение с помощью
рассмотрения менее сложных соотношений (23) или (24). Кстати
говоря, существование решения уравнения (24) в теореме 1 дока-
зывалось с помощью предельного перехода от уравнений вида

inf —-I uf 4- ша^их,х/ 4- <лЬ1их1 + шеи 4- ш/j = 0,
которые эквивалентны уравнениям

ut = m (aiJuxixl 4- Vuxt 4- си 4- f)_

В заключение параграфа отметим еще, что большой класс при-
меров применения этих результатов мы увидим в первом пара-
графе следующей главы. ,
§ 5. Пример одномерного вырожденного уравнения

В этом параграфе мы анализируем необходимость условия
(2.16) для справедливости теоремы 2.2 об оценке сверху и{ъи^,
не зависящей от Т, и необходимость этого условия для справед-
ливости теорем 4.1, 4.7, 4.8, 4.10, относящихся к существованию
решения с ограниченными сверху вторыми производными по х.

Простейший пример, показывающий такую необходимость,
дает уравнение

2u'thx — Au—^=0,	(1)

рассматриваемое на (— оо, оо). Нетрудно показать, что для любой
постоянной А>0 существует только одна ограниченная функ-
ция и, имеющая соболевскую производную и удовлетворяю-
щая (1) почти всюду. Можно эту функцию (см. (4)) найти явно
и убедиться, что |и|, | и' |, |и"|->0 при |х|->оо, при А>4 ее
вторая производная ограничена, при А е (2, 4] это не так, а при
А е (0, 2] и первая производная является неограниченной.

Уравнение (1) подходит под нашу теорию —выше мы не пред-
полагали, что или что Q содержит более одной точки.
Для (1) условие (2.16) выглядит следующим образом:

<2>

и оно выполнено с некоторым 6е(0, 1) тогда и только тогда,
когда Х>4. Стало быть, по теореме 4.8 при Х>4 уравнение (1)
должно иметь решение, для которого и" ограничено сверху Так
как уравнение (1) линейно, то, переходя от и к (—и), по тео-
реме 4.8 получим, что и (—и") ограничено сверху. Теорема 4.8,
таким образом, гарантирует существование решения (1) с ограни-
ченной второй производной при Х>4. Как сказано выше, только
при Х>4 уравнение (1) и в самом деле имеет решение с ограни-
ченной второй производной. В частности, мы показали, что усло-
вие (2.16) необходимо для теоремы 4.8, причем коэффициенты
в (2.16) при (£, 6(£)) и с, вообще говоря, неулучшаемы. Анализ
этого примера в свете условия (2.20) показывает, что последнее
условие необходимо для оценки | и' |.

Уравнение (1) является уравнением первого порядка, и могло
бы оказаться, что необходимость условия (2.16) вызвана тем, что
мы не отделили уравнения первого порядка от уравнений вто-
рого порядка В самом деле, в гл. VI для равномерно невы-
рожденных уравнений условия, подобные (2.16), не появляются.
Модифицируя уравнение (1), покажем ниже необходимость усло-
вия (2.16) для «слабо невырожденных» уравнений, к которым мы
относим уравнения сц>0, где ц берется из (3.31).
Рассмотрим следующее уравнение:

min [<ou’ -j- 2u' th х — ku — (ch х)-1] = 0.	(3)

а=0,1

Для него условие (2.16) имеет все тот же вид (2), и по тео-
реме 4.10 уравнение (3) при Х>4 имеет решение, ограниченное
вместе с первой и второй Соболевскими производными. Исследо-
вание этого уравнения при к е (0, 4] оформим в виде нескольких
утверждений.

1.	Лемма. Пусть —оо^гх’С'з’Соо, функции Ui, и3 за-
даны, непрерывны и ограничены на замыкании интервала (ги г2).
Предположим, что и\, и2 локально абсолютно непрерывны на
(ri, г8), левая часть (3) при u = ui больше или равна нулю почти
всюду на (гг2), а при u — ut выполнено обратное неравенство.
Пусть, наконец, Ux(ri)«Su8(rx). если ri> — оо, Ui(rs)^us(r2),
если r»<oo. Тогда ui^u2 на (rlt г2).

Доказательство. Если |гх|» |г2|<оо, то лемма следует
из теоремы III.4.7. Если же |Г1| + |г2| = оо, то обозначим через v
положительный корень уравнения v2-|-2v — Х = 0 и положим
Ф(х)=сЬух. Тогда (оф"4~2ф'th х — Хф^ф" 4-21 ф'|—Хф^О, ле-
вая часть (3), вычисленная на ы24-61Ф, отрицательна для любого
6х>-0 и по теореме III.4.7 при xe(rx. r2), R > |х | имеем

Ui (х) — (и2 (х) 4- бхф (х)) <	max (иг (у) — (и2 (у) 4- 6хф Q/)))+.

«-»(—Я Л Г,

Здесь правая часть стремится к нулю при Р-»-оо, стало быть,
«х^и24-6хф на (гх, г2), а так как 6х можно взять сколь угодно
малым, то лемма доказана.

2.	Лемма. Пусть u^C(Ei), и' локально абсолютно непре-
рывна на Е1г и удовлетворяет (3) (п. в. Ег). Тогда и(—х) = и(х),
и(0) = — X-1, и(х)^ш(|х|), где

w (х): = — (sh х)М у У (sh у)~ v-^+^dy, х > 0.	(4)

X

Доказательство. Из инвариантности уравнения (3) отно-
сительно замены х-> —х и леммы 1 следует, что и(—х)^а(х),
т. е. ы(—х) = и(х). Для доказательства неравенства u(x)^s —X*1
достаточно в лемме I взять Ui = — X-1, и2 = и. Отсюда и(0)^

—X-1. Для доказательства противоположного неравенства за-
метим, что в силу (3) имеем

2ы' th х — Хы — (ch х)-1 5= 0.

Кроме того, функция о>(х), как непосредственно проверяется,
удовлетворяет уравнению (1) при х>0. Поэтому 2(u — w)' thxs?
&sk(u — w) на (0, со). Из последнего неравенства следует, что

Н. В. Крылов
там, где и — го 5=0, там и (и —го)'5=0. В частности, для любого
е > 0 множество {х>0: и(х) — го(х)>в} имеет вид (z8, оо), где
0^ге^оо. На этом множестве (и — w)' 5= Ла (2 th х)-1, а так как
последняя функция неинтегрируема на бесконечности (thx->l
при х-*<х>), а функция и — w ограничена, то {х>0: и(х)—
— w (x)>s} = ф и u^w при х>0. Отсюда и (0) < го (0+). Ве-
личину го(0 4-) легко сосчитать, например, по правилу Лопиталя.
Оказывается, что w (0 4-) = —Л-1, и тем лемма доказана.

3.	Лемма. Пусть Л е (0, 2], тогда не существует функции,
удовлетворяющей предположениям леммы 2.

Доказательство. Разумеется, допустим противное и дока-
жем, что тогда и (х) = <р (| х |), где

ФМ^-р-ЧсЬх^а+Л-1*-1**), p = VT+k (5)

Очевидно, что ф (| х |) имеет первую производную, разрывную
в нуле, и равенство и (х) = ф (| х |) даст нам нужное противоречие.
По лемме 2 нам достаточно доказать, что и(х) = ф(х) на (0, оо),
а так как еще и(0) = ф(0)= — Л*1, то по лемме 1 достаточно
проверить, что ф на (0, оо) удовлетворяет уравнению (3). Простой
подсчет показывает, что

ф" + 2ф' th х — Лф = (ch х)-1,

и,	стало быть, нам остается проверить, что ф*«С0 на (0, оо).
Имеем

ф(х) := Л (Л 4- 1)сЬ3хф"(х) =

= — Н»* [ра ch2 х + р sh 2х - 1 4-sh* х] + Л (1 - sh« х),
ф' (х) = — е~₽*[Р (2 — Л) ch2 х + sh 2х] — Xsh 2х.

Отсюда ф(0) = 0, ф'(х)гс0, ф(х)=^0, ф"(х)^0 на (0, оо).
Лемма доказана.

Исследуем, далее, интервал (2, оо) значений Л. Фиксируем
некоторое Л е (2, оо) и определим х0 из уравнения

(6)

Так как Л >2, то Хо>»О. Положим также
М'Ч)
Л/« =	l~~2 th2*°

2 2pthxb+2th»Xd+X ’

v(x) =—(shx)X/2

*о

Ni 4-у J (sh у)-(Х/241) dy

при

0<x<x0,

(7)

»(x) = — p-^tchx)-1^ +Ntf-$X) при х>хь.
4.	Лемма. Пусть Хе (2, оо), функция и удовлетворяет
условиям леммы 2. Тогда и(х)=и(|х|).

Доказательство. Как в предыдущем доказательстве, до-
статочно только доказать, что оеС?Ос(0, оо) и v удовлетворяет
уравнению (3) на (0, оо). Непосредственно проверяется, что

2п' th х — Ху = (ch х)1 при 0<х<хь,	(8)

tf4-2у' thх — Хо = (chх)-1 при х>х0,	,	(9)

М-------4(shx)W^[l+(A-l)cWx] + l(4-l)^i.-

Хо

- A(shx)X/2 | J (sh у)-Х/2-1 dy J) _|_(|_ 1) cth2x]
X

при 0<х<х0,	(Ю)

(Х+ 1) ch3xxf (х) = —	(Xch2х 4- 2 sh2 х 4- 0 sh 2х) 4-

4-1— sh2x при х>х0.	(11)

Отсюда и из определения Nu получаем, чтоо"(х04-) =
= о"(х0—) = 0. Справедливо также равенство о(х04-)=о(х0—),
которое благодаря некоторой арифметической случайности ока-
зывается эквивалентным тому, что 2Х (th х0)2 4- 20 th х0 — X4- 2 = 0,
а формула (6) и на самом деле задает корень этого уравнения.
Теперь уже из соотношений (8), (9) автоматически вытекает, что
и о' (х0 4-) = v' (Хо—). Таким образом, v дважды непрерывно
дифференцируема на (0, оо).

Для того чтобы доказать, что о на (0, х0] удовлетворяет
уравнению (3), в силу (8) нужно доказать, что у" 5=0 на (0, х0].
На (0, Хо] рассмотрим функцию Л: = у"х> где

X (х): = (sh х)^ [ 1 + (4 - Г) с th3 х]}-1.

Ясно, что х>0 и й(хо) = 0. Значит, если мы докажем, что h'
на (О,.Хо], то получим Л^0, у" 5=0 на (0, х0]. Из (10) имеем

К = 4- (sh х)“ ~1 (4 ch2 х - 1 Г2 (X ch4 х 4- (2 - ЗХ) ch2 х 4- 2Х - 2).

Исследования знака требует только третий сомножитель, который
мы обозначим через g. Он является квадратным трехчленом отно-
сительно ch2x, корни которого ch2Xi = l (xi = 0), ch2x8 = 2X_1x
Х(Х—1). Значит, при хе(0, х8) имеем g'^SO, h' =С0. Если мы
покажем, что х8>х0, т. е. thx0<thx8, то окажется, что h' <0
на (0, Хо]. Неравенство thx0<thx8 доказывается следующим
образом:

,,	X—2	X—2	.. „

th Хо = г ... -_____7=- < -7====- = th Ху

К(Х-1)(2Х—1)4-/Х4-1	/(Х-1)(2Х-4)

1/810«
Для того чтобы доказать, что о на (х0, со) удовлетворяет
уравнению (3), в силу (9) нужно показать, что / на (х0, оо).
Неравенство и" «С 0 на (х0, оо) в силу (11) эквивалентно тому,
что функция

______1—sh>*_______/ j 2)

Jlch2x+2sh»x+Psh2x

на [x0, оо) принимает свое наибольшее значение в точке Хо. Как
легко проверить, производная (12) имеет знак, совпадающий со
знаком (1—2)— 20 th х —21th2 х, и последний квадратный трех-
член относительно thx меньше нуля при thx^thx0, так как
thx0 является его корнем. Значит, v*^0 на (х0, оо), и лемма
доказана.

5.	Теорема. Пусть 1е(2, 4], функция и удовлетворяет
условиям леммы 2. Тогда иеС]к(Е1\{0}) и и"(х)-*оо при
х->0.

Доказательство. По лемме 4 при х>0, интегрируя по
частям в (10), получаем

W = - (у)’ (sh х)^	1 J (sh y)-W2-i dy _

X

- у (у- 1) (slix)^-^^- (shxo)-^ chx0- .

- (у- 1) j (shjr^+idJ.

Первое слагаемое имеет конечный предел при х | 0, как уже
отмечалось выше. Кроме того,1Л\ —(shx0)—x/2chx0<;0, следо-
вательно, выражение в фигурных скобках отрицательно и и" (х) ->
—►со при х | 0. Наконец, и"(—х)—и*(х), так что и*(х)->оо
вообще при х->-0. Теорема доказана.

Эта теорема показала необходимость условия (2.16) для спра-
ведливости теорем 4.8, 4.10. Небольшая модификация уравне-
ния (3) показывает также необходимость условия (2.16) для спра-
ведливости теоремы 2.2. В самом деле, возьмем функцию
VpQj1, g®) из доказательства леммы 3.2 при г— 2, p&sl и
в (0, T)x.Ei рассмотрим задачу Коши

+	u*x + 2uxthx — 7м —

— (ch х)-1, (1 + ^) ихх + 2иж th х — 7м — (ch х)-1^ =0	(13)

с нулевым условием при t = T. Из соотношений (3.16), (3.17) и
результатов предыдущих глав нетрудно вывести, что эта задача
имеет бескснечно дифференцируемое решение т, причем все
производные «₽•т стремятся к нулю при |х|-»-оо. После записи
уравнения (13) с помощью формулы (3.19) видно, что условие
(2.16) эквивалентно тому, что А >4. При А^4 утверждение тео-
ремы 2.2 не может быть верным, так как в противном случае,
полагая сначала р -* оо, а затем Т -+ оо, как в доказательстве
теоремы 4.8, мы бы получили ограниченное решение уравне-
ния (3) со второй производной, ограниченной сверху, а как
в теореме 4.10 —ограниченной и снизу.

Наконец, обсудим теоремы 4.1, 4.7. Пусть й = {0, 1, 2, ...},

L (<о) и — <в (2их th х — Ам) при ф четном,

L (<о) и — со (ихх + 2их th х — Аи) при <о нечетном,

f (ю) = — © (Т — t) (ch х)-1, v (<о) = (1 + со)-1.

Рассматривая функцию ф = (У-|-1 х |2) exp N (Т — t), где N до-
статочно велико, с помощью следствия III.7.8*) получаем, что
может существовать только одна функция и такая, что и <=
sC([0, Т]xErf), ut, их ограничены, соболевская производная ихх
существует и ограничена сверху,

и(Т, х) = 0, inf j-^[ut + L(<о)« + /(«>)]== 0	(14)

почти всюду в (0, T)xEd. Покажем, что если Х^4, т. е. если
для уравнения (14) не выполнено условие (2.16), то функция
с описанными выше свойствами не может существовать. Это по-
кажет необходимость условия (2.16> для теорем 4.1, 4.7

Предположим, что Х^4, а функция и существует Почти оче-
видно, что тогда £ 1и(Т — |(Т — 0, х) для любого £>0 также
удовлетворяет уравнению (14) в (T(l—g1), Т)хЕи и по отме-
ченной выше единственности и(1, х) = (Т ~^(Т — t), х) при
£*С1, t <= [0, Г] Отсюда £и(0,. х) = и (Т(1 — |), х), и(/, х) =
= (7' — t)u(x). Таким образом определенная функция и{х) после
подстановки u(t. х) = (Т — t)u(x) в (14) оказывается удовлетво-
ряющей уравнению

min (— u, 2их th х — Xu — (ch х)-1, ихх + 2их th х — Хи — (ch х)-1) = 0.

Это уравнение исследуется буквальным повторением исследования
уравнения 3), и его решение или по лемме 3 не существует,
или по теореме 5 имеет вторую производную по х, неограничен-
ную сверху Последнее и приводит к нужному противоречию.

*) Во избежание недоразумения отметим, что операторы L ((О) здесь и
в следствии III.7.8 опрегепяются разными способами.

10 Н В Крылов
6. Замечание, В левую часть уравнения (3) добавим ей*,
где 8>0, и обозначим через и? ограниченное решение получив-
шегося уравнения. Можно показать, что и8 (х)-><р (|х |) (см. (5))
при е|0, если Ze(0, 2], u8 (х)(| х |) (см. (7)) при е|0, если
Х>2.

Примечания

§ 1.	Формализм, связанный с (1), (2), (4), напоминает формализм Ито,
известный в теории стохастических уравнений Ито. Для его осуществления не-
обходимо, чтобы матрица (аг^) записывалась как $оо*, где а —гладкая
матрица. Возможность такого представления составляет довольно глубокую
проблему, частичное решение которой для (a1?) е С2, (а*')	0 дано Фрейдли-

ным [2] и Филипсом, Сарасоном (1], где доказано, что удовлетворяет
условию Липшица по х.

§ 2.	Условие (16) впервые возникло в работе автора [6]. Теоремы 2, 6
в других терминах вероятностным способом доказал Крылов [10]. Для эллип-
тических уравнений вероятностный аналог теоремы 2 имеется в работах автора
[4], [6] (см. также Лионс [1], [3], Крылов [10]).

§ 3.	Вероятностное доказательство теорем 1, 8, 9 и их обобщений дал
Крылов [14]; соответствующий теоремам 1, 9 результат для эллиптических
уравнений в несколько других терминах может быть найден у Лионса [1], [3].
Исследование интегро-дифференциальных уравнений Беллмана провел Прага-
раускас [1], [2]/ Схема доказательства леммы 2 и формулы (20) взяты из ра-
боты Крылова [23]. Относительно случая, когда а*7=0. рекомендуем читателю
работы Кружкова [1], [2], Крандала, Лионса [1].'

§ 4.	Нормированное уравнение Беллмана введено в работах автора [3],
[5], [6]. Результаты этого параграфа можно получить объединением некоторых
результатов автора [16], [10].

§ 5.	Пример уравнения (3) взят из работы Генис, Крылова [1].
Глава VIII

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ОБЛАСТИ

В этой главе мы продолжаем изучение уравнений Беллмана
Сначала в § 1 с помощью некоторого формального приема, кото-
рый подробно обсуждается в § 3, из результатов предыдущей
главы о разрешимости уравнений Беллмана во всем пространстве
выводится разрешимость в шаре и шаровом цилиндре для неко-
торого подкласса класса уравнений Беллмана. Этот подкласс
не так узок, как могло бы показаться на первый взгляд, и в § 2
приведены соответствующие примеры. В §§ 4—8 рассматриваются
уже общие уравнения Беллмана в гладких областях.

§ 1. Уравнения с постоянными «коэффициентами»
в шаре и шаровом цилиндре

Пусть постоянные К^в>0, D—{x^Ed:	Q — неко-

торое множество индексов и при каждом со е £2 определены: сим-
метричная неотрицательная матрица а(<о) = {а‘> (а>)) размера dxd
и действительная функция /(со) = /(<о, х), заданная на Ed. Отме-
тим, что а не зависит от х. Обозначим ф (х) = 1 — | х j2.

Первая цель, которую мы преследуем в этом параграфе, за-
ключается в доказательстве следующей теоремы.

1. Теорема Пусть f (со) е С2 (£</) при всех weQ и нормы
/(со) в C2(Ed) не превосходят К*). Пусть также 8 =с tr а (со) ==g Я
на £2. Тогда существует функция и на D со следующими свой'
ствами:

а)	и е С (D), | и | N (К, е) ф на D;

б)	и — N (К, е) | х Is выпукла вверх на D, на D существуют. Со-
болевские производные вида иж и меры ихх;

в)	а1> (со) их1^ (dx) dx для любого со <= £2,

inf	(со)] = О п. в. D;	(Ь

г)	если для некоторого единичного Е g имеем

inf sup a^(<o)T]<i)/>0,
п: Си» 5) “1 ® s Q

*) В этом предложении Ed можно заменить на D (см. замечание 8,5)»
10*
то соболевская производная вида и^{^ ограничена на D, если же
при всех 1<= Еа, £ =# 0 имеем

sup a'J (<о) VV >0»	(3)

we Q

то все Соболевские производные вида ихх ограничены на D.

Кроме того, если некоторая функция v^C(D), v=0 на dD
и v обладает свойствами б), в), то v = u на D.

Доказательство. Для доказательства единственности по
следствию II 1.7.9 достаточно в левую часть уравнения (1) доба-
вить и/, рассмотреть это уравнение в Q = (0, oo)xD и заметить,
что

,	в-** [	+aV	= М9 $ tr а 0

в Q. Утверждение г) вытекает из в), как в теореме II.2.6 (см.
также лемму III.6.2). Для доказательства существования функ-
ции и со свойствами а) —в) применим один прием, суть которого
мы надеемся объяснить в § 3.

Исходное пространство Ed будем представлять себе как под-
пространство Ем, а именно, как {xeErf+4ud+1=... = xd+4 = 0}.
Договоримся также, что греческие индексы будут принимать це-
лые значения от d+ I до d + 4 и по повторяющимся греческим
индексам будет предполагаться суммирование в этих пределах
По повторяющимся латинским индексам, если явно не указано
противное, предполагается суммирование от 1 до d. Понятно, что
все функции, первоначально заданные на Еа, мы считаем функ-
циями и на Ed+4i не зависящими от х1 для i>d. Обозначим еще

।	. а 4-4

[x|=«xvxvp=( 2
v = d +

2

(4)

и при I, /=1, .... d на функциях о, заданных в Ем, опреде-
лим операторы

Eifv: = (х1*	— х1 (xv — xi ^v) v — 2&и,	(5)

где предполагается суммирование по v==u-J-l, .... d-f-4. При
у>0 на Еа+ рассмотрим уравнение

ini , 4-	=	(6)

Для доказательства разрешимости этого уравнения мы хотим
применить теорему VII 4.10 (при v(со, zisl в (VII.4.1)). Тот
факт, что здесь мы не предполагаем счетности Q, не может слу-
жить препятствием, так ка'к из-за непрерывности / по х, равно-
мерной относительно <о, множество Q можно заменить его не
более чем счетным подмножеством без изменения нижней грани
в (1) (ср. доказательство теоремы VI.1.5 г)). В соответствии со
схемой, принятой в гл. VII, мы, далее, должны определить на
£rf+4 векторы Q, b и функции С, f с тем, чтобы уравнение (6)
приняло надлежащий вид. Обозначим через о* (со) столбец с но-
мером в матрице 1/2а (со) и при I, k=\,...,d, |л, v = d+I,...
..., d + 4 положим

/(со) =/(«)>

Ь1 (со) = — 4a‘V (со) х>,
5™‘(<л)=х',аи> (со),
сН* (со) = 6‘* К 2у,
о® (со) = О,

С (со) = — 2 tra (со),
bv (со) = — xv tr а (со),
CTPVA = _	(ю) х)

^(со) =0,
^((й) = 6^]/’2у.

(7)

Эти формулы определили вектор 5 е Ем и векторы ov*, б*,
в количестве di = 5d + 4 штук. Пусть также

d d+4	d + 4

Z	W*, t,/=1, .... d+4.

k=i V=d-M	fe = 1

Простая выкладка, которую мы, разумеется, опустим, пока-
зывает, что выражение в квадратных скобках в (6) совпадает с
d+4	d+4

У, «‘7 (®) VX1XJ + У, & (со) + С (со) V + f (со).

1,1 = 1	i=t

Следовательно, уравнение (6) попадает в схему, рассматриваемую
в § VII.4. Проверка условий (VII.2.15), (VII.4.4), нужных для
теоремы VII.4.8, не вызывает никакого труда. Левая часть
(VII.2.16) для введенных Ь, О на единичных	оказывается

равной

26 (У2 tr а +	< 86 tr а = — 46 С.	(8)

Последнее меньше [—(1—6) с], если 6 <1/5. Поэтому и условие
(VII.2.16) выполнено. Наконец, при единичных	оче-

видно,
d+4
s	(9)

t.i=i

По теореме VII.4.10 и теореме VII.4.8 уравнение (6), пони-
маемое почти всюду, имеет ограниченное решение uY, соболевские
производные v^it j = l, ..., d + 4) которого также ограни-
чены. Кроме того, при всех единичных g е

d+4

М. 2	е)

I, / = 1

(10)
почти всюду на £rf+4. Это решение единственно. В самом деле,
заметим, что оператор

у6'>—г h y6|iV —— h aV (со) Ltj,
r dx'dxJ r dx*dxv	tJ'

примененный к ch6|x|, где |x|—длина xe£rf+4, дает
y68ch6|xH-(d + 3)y6!!-^^--2trachS|x|^

>C((d4-4)y6«-2e)chS|r|.

Последнее меньше нуля при достаточно малом 6, и ch6|xj->oo
при |х|->оо. Поэтому единственность вытекает из теоремы Ш.4.7
и из метода доказательства теоремы III.4.6.

Из единственности и просто проверяемой инвариантности
уравнения (6) относительно ортогональных преобразований пере-
менных х*+1, ..., х*-*4 в свою очередь вытекает, что о7, как функ-
ция от х е зависит только от х1, ..., х*, [х]. Теперь при
некотором R>0 рассмотрим уравнение (6) в шаре {xgE^:
|x|<R} с граничным данным v = ov. Разумеется, его единствен-
ным решением в классе непрерывных функций с локально огра-
ниченными производными по х1, xlxi будет v'1 (теорема III.4.7).
С другой стороны, в силу (9) по теореме VI.4.5 (где — любое
положительное число, см. также теорему VI, 1.5) у этой задачи
есть непрерывное решение с непрерывными в {х^Ем: |х|<R}
вторыми производными. Таким образом, vy е Cjoc (£<*+«)•

Дальнейший план состоит в том, чтобы при у 10 из о* полу-
чить некоторую функцию о(хг, ..., Xй, [х]), положить

и(х\ ..., х<г) = ф(х1, ..., xd)v(xx, .... X*, Уф(х1, ..., ха))
и показать, что и и есть нужная нам функция. Прежде всего,
отметим три непосредственно проверяемые формулы. Оказывается,
что если g е Cfoc (£<ж), g=g(xl, .... х*, И) и в замыкании ко-
нуса

21:={(х, R): xeEd, 0<|x|<R}

определить функцию ft(x, R), полагая

h (х, R) = (R*~1 х |«)g(x, /R«-|x|«),
то при i9 j= 1, ..., d в 21 имеем

/R2-И2).	(11)

/R2-W2) =

= (Я2 -1 x P)-	+ 4 (^r + 4 h, (12)

(6^v)(x, VR2-|x|») = R^hRR-R-*hR.	(13)
В соответствии с этим на Я обозначим

«Y (х, R) == (R® — I X |2) t»V (х,	- I X |а).	(14)

Тогда в силу (6), (11) —(13) на Я находим

inf [уРы’ + а'Л^и/^ + Н®)] =0,	(15)

где оператор Р определяется как сумма операторов, стоящих
в правых частях (12), (13). Теперь устремим у к нулю. Оценки
(10) дают возможность выделить некоторую подпоследовательность
у„ | 0 (см., впрочем, -замечание 3), по которой функции п* схо-
дятся равномерно на каждом компакте из Ем к некоторой функ-
ции v. Соответствующая последовательность функций и'1 будет,,
разумеется, равномерно сходиться на каждом компакте, лежащем
в 31. Ее предел обозначим через и. Из (10), (14) вытекает, что
первые производные uv по (х, R) равномерно по у ограничены
в каждом компакте, лежащем в Я, а вторые производные иу по
любому вектору, лежащему в пространстве (х, R), равномерно
по у ограничены сверху в каждом компакте, лежащем в 81. В са-
мом деле, здесь первое утверждение очевидно, а для доказа-
тельства второго достаточно заметить, что вторая производная иУ
вдоль вектора выражается через первые производные и че-
рез вторую производную uv вдоль некоторого другого вектора,
умноженную на 7?2_|х|« Следовательно, (—иУ), (—и)е
eIFioc + ((0, I)x8l) (поясним, что uv((, х, Р):=иУ(х, ₽)).

Далее, мы уже несколько раз в гл. VII переходили к пределу
в подобных ситуациях в уравнениях типа (15) (см., например,
доказательство леммы VII.3.4). Из (15) при у = уп|0 поэтому
в (0, 1) х81 получаем

^Ло[а^(ю)«х‘^+/:(®)»Л] = 0,	(16)

где Л —мера Лебега на (0, 1)хЭ1, йх*х1 — меры в (0, 1)х81,-являю-
щиеся обобщенными производными функции и (/, х, R) = и (х, /?).

Заметим также, что оператор Ец из (5) в каждой точке
х е Е<г+4, очевидно, записывается как сумма оператора нулевого
порядка, оператора первого порядка и оператора двукратного
дифференцирования вдоль некоторого вектора (меняющегося
с изменением х и, кстати говоря, ортогонального х). Отсюда, из
(10) и формулы (11) следует, что	(R, К, в) на 81 при

всех единичных %<=Еа, функция иУ — N (R, К, в) | х |®, а вместе
с ней и функция и — N(R, К, е) |х|2 при всяком R>Q выпукла
вверх по х на

S/?={xe£(f: |х|<Я}.
В частности, при всяком	на S/? существуют меры

с дифференциалами uxtxj(dx, R), являющиеся обобщенными произ-
водными «(•,/?) в Sr. В Sr для любого шей имеем

di (at) ux,xj(dx, R) + f (со) dx 2= 0.	(17)

Действительно, в противном случае нашлись бы R>0, ы ей
и неотрицательная £ е С“ (Sr) такие, что интеграл £ по Sr по
левой части (17) был бы строго отрицателен. Интегрируя в нем
по частям, затем умножая на подходящую неотрицательную
»)(/, R) Такую, что ^еСо°((О, 1)хЯ), и интегрируя по dtdR,
мы получили бы, что интеграл т)£ по мере, стоящей под знаком
нижней грани в (16), строго отрицателен, а это невозможно
в сйлу (16). Из (17) и оценки ux,xj(dx, R)g&(R, К, е) |£ j2dx,
как неоднократно показывалось, следует, что на Sr при любом
шей

di (®) uxtxj (dx, R)^N dx, | di (co) uxix] (dx, R) | < N dx,
di (a>) uxixj (dx, R)^dx.	(18)

По лемме III.6.2 из (16) вытекает, что

inf [а'7 (со) +/(©)] = 0 п. в. на (0, 1)х31.	(19)

Здесь й^Д/о, х0, Ro) при почти всех (t0, х0, Ro) по теореме
Александрова — Буземана — Феллера (см. § 1.2) могут быть взяты
в качестве коэффициентов в разложении и(х, Ro) в точке х0
в формулу Тейлора с двумя членами. То же самое верно для

Яо) 110 то® же те°Реме- Стало быть,

й^(£0, Хо, Ro) = u'^xj(Xo, Ro) п. в. на (0, 1)х91.

Пользуясь этим, преобразуем (19) к виду

inf [а'/(со) и^Д(х, R)+f(<o, х)] = 0 п. в. на $1.	(20)

По теореме Фубини отсюда заключаем, что для почти всех R
равенство в (20) имеет место при почти всех x^Sr. Это вместе
с (18) и леммой III.6.2 при почти всех R на Sr дает

(di (со) ux,xJ (dx, R) + f (<в, х) dx) — 0.	(21)

В последнем равенстве легко делать предельный переход, и по-
этому оно имеет место на Sr при всех, а не только при почти
всех R. Для окончания доказательства теоремы остается в ка-
честве искомой функции взять и(х, 1) и заметить, что неравенство
|u|s^/V(K, е)ф следует из (10), (14). Теорема доказана.
2.	Замечание. По замечанию 11.2.8 все вторые производ-
ные, «необходимые» для вычисления левой части (1), являются
Соболевскими.

3.	Замечание. | v — и71 V (К, е) J^yd. Действительно, для
фиксированного х>0 функция и*? (х) как функция от уе
<= (— оо, оо), х е Ем удовлетворяет уравнению (6) *), в кото-
ром у надо заменить на ху2. Рассматривая это уравнение в пе-
ременных (у, х) и, как в доказательстве теоремы 1, применяя
к нему теорему VII.4.8, мы придем к необходимости проверить
выполнение неравенства (8), в котором в левую часть надо будет
добавить выражение

(1 +6)2x(d + 4)(W! + 4x|g i2,

выражение, возникающее из необходимости дифференцировать 5,
dvk, Ьк, а*1 по новой переменной. При этом модифицированное
неравенство (8) надо будет проверять при Во^(—оо, оо),

(5о)2 + |1|2= 1- Ясно, что при 6^0,1 и достаточно ма-
лом х вида гНт(е) оно будет выполнено. При таком х производ-
ная о*?2 по уе(—оо, оо) ограничена в силу теоремы VII,4.8,
откуда и следует наше утверждение.

Обратимся к параболическим уравнениям. Фиксируем Т е
е (0, оо), возьмем объекты из начала параграфа, но теперь бу-
дем считать, что f зависит еще и от /: /(<о)=/(<о, t, х), t>0r
х^.Еа- Обозначим Q = (0, T)xD.

4.	Теорема. Пусть f (<о) е С2 ((0, 7')х£'</),|/(«>)|Н-|/:/(а>)|-|-
+ 7* (®) I + (fin (Л (®))+ О + tr а (о)) на (0, Т)хЕа при всех
со е Q и единичных I s Ed. Пусть также а (<о) ограничена на Q
и \f (<о, Т, х)\^К при всех шей, х^Еа. Тогда существует
функция и Ha_Q со следующими свойствами:

a)	ueC(Q), \u\^N(K, Т)ф, и(Т, х) = 0;

б)	и — N (К, Т) | х |2 выпукла вверх по х на Q, на Q существуют
Соболевские ограниченные производные их, щ и меры ихх,

в)	a'i(<о)uxixj(dtdxj^didx для любого шей,

inf	+	(<о)1 = 0 п. в. Q; (22)

©ей L	J

г)	если для некоторого единичного 1-^Еа выполнено (2), то
Соболевская производная вида и^^} ограничена на Q, если же при
всех £ е Еа, ? #= 0 выполнено неравенство (3), то все соболевские
производные вида ихх ограничены на Q.

Кроме того, если некоторая функция v*=_C(Q), t> = 0 на d'Q
и v обладает свойствами б), в), то u = v на Q.

*) Тот факт, что в (6) не входят никакие производные по у, не играет
никакой роли.
Доказательство. Мы будем очень близко следовать дока-
зательству теоремы 1. Как и там, заменим Q его таким счетным
подмножеством, что нижняя грань в (22) не изменится ни при
каких (t, х) и наборах dxix/. После этого единственность полу-
чается из следствия III.7.2. Для доказательства существования
воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 1 и
в (0, T)x£rf+4 при у>0 рассмотрим уравнение

inf	x/+y^viixv+ay(<i))Lijv — »4-/(®)еЛ = 0	(23)

с граничным условием v(T, х) = 0. После введения объектов (7)
и проверки условий теоремы VII.4.1 по теоремам VII.4.1, VII.4.7
находим функцию vy, являющуюся решением этой задачи, причем
соболевские производные /“!» •••, d-f-4) ограничены,

<*+<

|v4 Wl’ W|, S ^,^i<N(R,T)
i.i—t

почти всюду на (0, T)x£rf+4 для всех единичных ge£rf+4. По
теореме III.4.6 (в которой опять берем ф = сЬб |х|) функция vy
определяется единственным образом. Отсюда, как и в доказа-
тельстве теоремы 1, получаем, что vy зависит только от t, х1,...
..., xd, [х]. Использование теоремы VI.4.4 показывает, что
vy е С?ос ([0, Г] х Еа+4).

Теперь вновь берем кЪнус Я, в [0, Т]хЯ полагаем иу (t, х, R) =
= (7?а — |x|a)vv(f, х, VRi — \x\2)e~t и находим последовательность
уя 10 такую, что сходится к некоторой функции v. Через и
обозначаем соответствующий предел uv«. Формулы (11) —(13) и
уравнение (23) при у=?я|0 приводят к тому, что

Д ((/?а -1 х |8) -Hi, • Л + di (®)	+f (®) • Л) = 0

(О

в (0, Т)хЯ (ср. (16)). Далее, очевидные изменения аргументов
из доказательства теоремы 1 позволяют преобразовать это соот-
ношение к виду

Д HR* — | х	dt dx + di (®) uxix/ (dt dx, R) + f (®) dt dx) — 0, (24)

(O

причем последнее верно при всех R в (0, T)xSr (ср. (21)). По-
путно доказывается, что и (t, х, R) — N (R, К,Т)[х |а при каждом R
выпукла вверх по х на Сг. д, |«/|^(/?а — | х |а) N (К, Т), | их |
s^N(R, К, Т). Остается положить u(t, x) = u(t, х, 1), заметить,
что утверждение г) вытекает из в) *), как в теореме II.2.6, и что

*) И из неравенства I Ut |< ЛГф,
(24) по лемме III.6.2 дает
aV(©) uxt!ej(dtdxXdtdxt aeQ,
inf-ф-1 |«г + ’.|-а^(<»)и^ж/4-ф/ (®)] = 0 п. в. Q,
причем последнее эквивалентно (22), так как ф>0 на Q. Теоре-
ма доказана.

Мы закончим параграф обобщением теоремы 4 на случай неог-
раниченных а (©).

5. Теорема. Пусть выполнены все предположения теоремы 4,
кроме предположения об ограниченности а(а>) на Q. Тогда на Q
существует функция и, обладающая свойствами а), б), г) теоремы 4
и такая, что а(/ (wju^^idt dx) ^di dx для любого шей,

inf v(©)[u<-|-i|a//(©)M't04/+,l’^®)]e® n- *• Q (25)
для любой неотрицательной ограниченной функции v (©, г), задан-
ной на QxQ, для которой va ограничено. Кроме того, | щ | =С
«С N (К, Т) ф. Наконец, функция с перечисленными свойствами
единственна.

Доказательство. Если мы уже нашли какую-то функцию и,
то соотношение (25) для любой рассматриваемой v будет вытекать
из его справедливости при v = v0:= (1 4-tra)-1 (см. лемму VII.4.3).
При v = v0, как и прежде, можно считать, что £2 счетно. Пусть
£2 = {©i, ©2,...|, О„ = {©1, ..., ©„}. Возьмем £2П в качестве Q
в теореме 4 и соответствующую функцию и обозначим через ип.
Очевидно, на Q

/\ vo(a>)^ufdidx-i-'^a.iJ(<a)unxix/(didx) + ^f(&)dtdx'^ = O. (26)
Кроме того, в теореме 4 мы видели, что |«"|, |и£ |<СЛ) (К, Т),
| и" | фЛГ (К, Т), un — N(K, 7’)[х|а выпукла вверх по х на Q.
Это позволяет без труда перейти к пределу в (26) и получить
нужную функцию (ср. доказательство теоремы VII.4.1).

Единственность непосредственно вытекает из следствия III.7.6
(условия \ut |a^№j>) и того, что оператор

Г д । , д* ]
vo [а-+ фа

примененный к Л^фе-*, дает (—2)Л\фе-2/. Теорема доказана.

§ 2. Примеры уравнений с операторами Монжа—Ампера
и другие примеры

В этом параграфе приводятся примеры нелинейных уравнений,
к которым приложимы результаты из § 1. Все они основаны на
явном вычислении нижних граней в (1.1), (1.25) или на записи
уравнений (1.1), (1.25) в более «явном» виде. Фиксируем Т>0
и обозначим £) = {№£<,: |х|<1}, Q = (0, T)xD.

1.	Пример. В D рассмотрим уравнение

—(«ж»*»)- —••• — (“Ad)- = ^ <п- в.).	(1)

Предположим, что f е С2 (Ed). Тогда, оказывается, это уравнение
с граничным данным и — 0 на dD имеет и притом единственное
решение в классе функций, непрерывных в D и имеющих огра-
ниченные первые и вторые обобщенные производные.

В самом деле, уравнение (1) имеет вид
inf (^luxixi — f) = 0 (п. в.),
где нижняя грань берется по всем © = (со') е Ed таким, что
<о1= 1, OsSco'sg; 1 при iSs2. Поэтому к уравнению (1) применима
теорема 1.1, и остается заметить, что левая часть (1.3) равна 15j2-

2.	Пример. С той же функцией f при d^2 в D рассмотрим
так называемое простейшее уравнение Монжа —Ампера:

det (uxtx/) = (f+)d (п. в.).	(2)

Это уравнение с нулевым граничным данным также имеет и притом
единственное решение в классе функций выпуклых вниз и обла-
дающих теми же свойствами, 'что и в первом примере. Кроме
того, если />0 на D, то u^C^a(D) для любого а е(0, 1).
Действительно, по лемме Ш.2.2 уравнение (2) вместе с требо-
ванием положительности матрицы (uxtx/) эквивалентно уравнению
inf ^uxix/ — y^det © fd) = 0 (п. в.),	(3)

где нижняя грань берется по множеству всех положительных
матриц © = (©'>) размера dxd таких, что © = ©*, tr© = l. Стало
быть, к уравнению (2) применима теорема 1.1, причем левая
часть (1.3) равна d~11112.	,

Повышение гладкости происходит следующим образом. Если
f>0 и нам уже известно решение и с ограниченными вторыми
производными, то из (2) следует, что собственные числа матрицы
(uxix/) ограничены снизу (п. в.) известной нам строго положитель-
ной постоянной. Тогда в (3) нет смысла брать нижнюю грань
по вырожденным © и, более того, можно брать нижнюю грань
при дополнительном условии, что	112 при всех |e£d,

где постоянная е>0 и е достаточно мало. После этого видно,
что для оператора, стоящего слева в (3), выполняются все условия
примера VI. 1.8, за исключением условия (VI. 1.8). Его обеспечения
легко добиться, если заметить, что функция v:= и (2 — | Х|2)-1
удовлетворяет уравнению

inf [(2 — |х|2) (o‘Jvxix/ — 4<ло'х'ох, — 2v — det©fd] = 0 (п. в.),	(4)
где нижняя грань продолжает вычисляться по ® =

trco = l. По теореме VI.4.2 уравнение (4) с нулевым граничным
условием на dD имеет решение из С2+р (D) с некоторым 0 е (0, 1).
В силу теоремы единственности III.4.7 это решение совпадает с v.
Следовательно, о, ue С2+р (£>). Наконец, заметим, что если
F (иу): = det то матрица (Fu.Auxkxr)} имеет элементы из C2+s (D)
и равномерно невырождена в и, как совпадающая с матрицей,
обратной к (их«х/), умноженной на det (м^). По известным теоре-
мам регулярности (см., например, Агмон, Дуглис, Ниренберг [1]
теорема 111), применяемым к (2), заключаем, что ые 3+“ (D)
для любого ае (0, 1).

3.	Пример. Если в левой части (2) вместо det (и*.*/) поста-
вить uxix^...-u^txa, то про получившееся уравнение будут верны
те же -утверждения, в которых только слово «выпуклых» надо
заменить на «выпуклых по каждой переменной х‘» ' -тот факт
устанавливается дословным повторением предыдущих рассуждений
с заменой на в (3), (4) и с применением леммы Ш.2.2
к диагональным матрицам.

4.	Пример. Утверждения, сделанные во втором примере,
очевидным образом переносятся на уравнение

det («гЧ/ + ^/) = (ЛЛ

/ — известные функции класса C2(Ed). Естественно, что
здесь вместо выпуклых и мы рассматриваем функции, для которых
матрица +	Этот пример имеет прямое и г.ч^идное

отношение к ^уравнению (2| с ненулевыми граничными данными.

5.	Пример. Пусть w [Ed), w = 0 на dD, f мы хотим
представить функцию w в D в виде разности двух 1-\н ции. рав-
ных нулю на dD и выпуклых вниз: w = a — (u—w). С делать это
можно многими разными способами О;нико если потгч ать,
чтобы интеграл |u| по D принимал наименьшее возможно каче-
ние, то, как можно показать, для и возникает уратн?ние

det(Ux4/)det(Wr‘r/^^x/)=° 1П	<5)

причем мы ищем такое его решение, равное нулю н* что
матрицы (игх/),	— wxix/)0 Оказывается, что нужное реше-

ние всегда существует и единственна <лассе функций с двумя
ограниченными обобщенными производными. В самом деле, урав-
нение (5ч вместе с дополнительным условием на * частвующие
матрицы эквивалентно уравнению

inf|(©{’ 4-= ° (п- в-)>

где нижняя грань берется при условии, что ©i = ©*^0, со2 =
= cof 0, tr ©i + tr ю2 = • • К последнему уравнению применима
теорема 1.1, причем здесь левая часть (1.3) равна бН|£|2.
6.	Пример. При d^2 в D рассмотрим сильно эллиптическое
уравнение Монжа —Ампера

=	+ А	(6)

где f = f (х), АЧ = АЧ (х) — данные функции, f е С2 (Erf), А — (Л'/) е
sC2(£rf) *),	Лз&0, Л = Л*, где постоянная 6>0. Оказы-

вается, что при этих условиях уравнение (6) в D с нулевым
данным на dD имеет и притом единственное выпуклое вниз реше-
ние, принадлежащее классу C3+a(D) при любом zs(0, 1)

Для того чтобы это вывести из теоремы 1.1, воспользуемся
следующей леммой, доказанной в статье Крылова [23].

7.	Лемма. Пусть Q —множество _всех строго положительных
симметричных матриц размера dxd с единичным следом, шей,
матрицы В = (ВЧ), и = (иу) размера dxd симметричны, В 3:0,
число g>0. Тогда:

а)	система уравнений относительно в, у е (0, оо)

s = det (усо 4- sB),	(7)

1 - gs = [det (у® 4- sB)]'	(8)

имеет и притом единственное решение',

б)	это решение бесконечно дифференцируемо по со, В, g, сами
функции s, у-1 и каждая их производная по ®, В, g ограничены
на любом множестве вида {(©, В, g): ей, trB^N, g^e},
где N'<_cq, «>0;

в)	соотношения

(Uy) 3s 0, det и = tr Ви 4- g	(9)

выполнены тогда и только тогда, когда

inf [tr<ли — (d— 1 4-gs)Y-1] = 0,	(10)

(DEQ

где (s, у) — решение (7) —(8);

г)	если выполнены соотношения (9) (или (10)), то и>0,
<т := и-1 — В det и-1 Ssgu-1 det и-1 и нижняя грань в (10) достига-
ется на

о) = <т (tr о)-1 3= gu-1 (tr и-1)-1 det иг1.

Приведя эту лемму без доказательства, обратимся к исследо-
ванию уравнения (6). Пусть s = s(®, В, g), у = у(®, В, g)—реше-
ние системы (7) — (8). При ® е £2, х е Еа обозначим

/i(w)=/i(®, x) = [d —1 4-/(x)s(®, Л(х), f(х))]у1 (®, Л(х), /(х))

*) Достаточно, чтобы /, А принадлежали С*(£>) (см. замечание 8.5).
и в D рассмотрим уравнение

Л(ш)] = 0.	(1Ь

По теореме 1.1 на D существует и притом только одна функ-
ция и, непрерывная в D, равная нулю на dD, имеющая ограни-
ченные вторые обобщенные* производные и удовлетворяющая (11)
почти всюду. По лемме 7 в) эта функция выпукла вниз, а так
как Д^и^/Ч-f ^8, то det (и*.*/) 3= 6 на D (п в.). Поэтому
матрица (их‘х/) равномерно положительна и по лемме 7 г) функ-
ция и в D (п. в.) удовлетворяет уравнению, которое получается,
если в (11) заменить Й на Й П {® 8 (8‘у)} при некотором в>0.
После такой замены, как в примере 2, получаем, что и е C2+p (D)
для некоторого р е (0, 1), Наконец, если Fitly, х) := det (и^) —
— A'Jutj, то матрица (Fи (ux*xr)) совпадает с

det

последняя равномерно невырождена по лемме 7 г) я включение
ueC^lD) при любом ае(0, 1) получается, как в примере 2.

8.	Пример. Применим теорему 1.5 к параболическому урав-
нению Монжа —Ампера в Q:

• u/det(u?^) = ip(/+)<,+1 (п. в.),

(12)

где ф=1—|х|2, f —	x)eC2([0, Т]хЕа), f(T, х) = 0 на Ed.

Будем искать решение (12) в классе функций, непрерывных в ф»
равных нулю на d'Q, имеющих ограниченные обобщенные произ-
водные вида ut, их, ихх, возрастающих по t и выпуклых ениз
по х. Два последних свойства вместе с уравнением (12) по лем-
ме II 1.2.2 эквивалентны тому, что

inf (г («>)«/4-— </+у/4т((о) det (of(d4- 1)) = 0 (п. в.), (13)

где й0 —множество всех симметричных матриц <в размера dxd,
удовлетворяющих условиям со 2s 0, tr со < 1, и г (со) = 1 — tr со.

Далее, обозначим через й множество всех пар вида (г, со),
где г>0, со—симметричная неотрицательная матрица размера
dxd. При (г, <о)ей, очевидно, (г 4- tr со)-1 <о е й0. Кроме того,
(г (со), со) ей, если соейо. Поэтому уравнение (13) эквива-
лентно следующему:

inf (г 4- tr (о)-1 (rut 4- со‘ум,«/ —+ det со (d4-1)/) = 0 (п. в.),
и, ®>еа	4	7

(14)
Множество Q является конусом по © и, переходя в (14) от (г, и) ;
к (г, if©), вместо (14) получаем уравнение

inf г (r-f-if tr©)-1^-)-^^^, ©)«;,—	j

(r.Bise	v	|

— if d+V deta(r, ®)(d+ l)f) = 0 (п. в.),	*

где &J{r, ©) = г-1©,Л По теореме 1.5 последнее уравнение, а зна-
чит, и уравнение (13) имеют непрерывное в Q решение, равное
нулю на d’Q и обладающее ограниченными производными ut, их,
Uxx- Для этого решения также | ut | «S Mif и последнее свойство
вместе с предыдущими единственным образом характеризует
функцию и.

9.	Пример. Возьмем if, f из предыдущего примера и пока-
жем, что в Q существует непрерывная функция и, равная нулю
на d'Q, имеющая ограниченные обобщенные производные вида
их, ихх и такая, что

м, + ф/^0, Ди-}-/^0, (Uf-f-iff) (Д« + Л =0 п. в. Q. (15)

Для того чтобы это сделать, достаточно применить теорему 1.5

। заметить, что три соотношения (15) в совокупности эквива- j
чнгны одному уравнению	1

inf	®|«z-bif-i-^Ди + ф7?jl = 0 п. в. Q.

<0S(D. п I	®	“J

§ 3. Связь уравнения в области евклидова пространства
с уравнением на многообразии

*

В этом параграфе мы наметим тот путь исследования выро- .
(денных уравнений в области, по которому будем следовать	j

ю конца тн г- Пусть $&r2‘Ed), D := {х ^Ed: ф(х)>0} —	1

непустая область в Ed. Для того чтобы объяснить нашу основную }
идею, рассмотрим простейшую задачу	i

в О,	(1)

и=0 на dD,	(2)	.

где / — заданная функция. Ввиду условия (2) естественно сделать
ледующую замене неизвестной функции: и = иф. Тогда (1) дает
такое уравнение для v

ф Ди4-2фуд>г< + у Дф + /= 0	(3)

К нему хотелось бы присоединить какие-нибудь граничные уело- *
вия для v. Однако это излишне — уравнение (3) можеа иметь
только одно огран 1ченное решение в D. Действительно, разность
двух решений удовлетворяет уравнению ф Дад + 2^xiwxJ + w Дф = 0,
г. е. Д(фад) = 0 в О и фад==0 на oD, откуда фад = 0, ад = 0 в D.
Таким образом, уравнение (3) можно рассматривать без граничных
условий, и его можно было бы рассматривать поэтому так, как
в § VII.2 рассматривались уравнения во всем пространстве.

Здесь имеется только одно препятствие, а именно, матрица
гр (6'>) коэффициентов при вторых производных в уравнении (3)
не может быть, вообще говоря, представлена в виде (а‘*ст>*), где
о'* — гладкие функции. Для того чтобы такое представление было
возможно, нужно, чтобы ф представлялась в D как сумма квад-
ратов функций с ограниченными производными, а тогда ф стре-
милась бы к нулю при приближении аргумента к dD как квадрат
расстояния аргумента от dD, то же самое было бы верно для
решения задачи (1), (2), и это наложило бы очень нетривиальное
ограничение на f. Это препятствие удается обойти, например,
умножением (3) на ф, однако тогда условия (VII.2.15), (VII.2.16)
делаются совершенно невыполнимыми. Поэтому был использован
другой путь. «Над» областью D искалась поверхность, на нее
«поднималась» функция ф и требовалось, чтобы «поднятая» функ-
ция была квадратом гладкой.

Подходит, например, поверхность в Еа+1, задаваемая уравне-
нием г2 = ф(х), г е[0, оо), хе Понятно, что и функцию о
и уравнение (3) мы должны «поднять» на эту поверхность. Иначе
говоря, должны найти функцию w (х, г) такую, что v (х) =
= w(x, ]/ф(х)). Последняя формула позволяет выразить произ-
водные v через производные w. Например, при г2 = ф(х)

/д .	1	. д\/ д t 1	. д \

=(w + 57? Sr Дм + 57? SS) ” "

-	+F ♦Л'. + i ♦Л'.+V*	'fJ'/Wr-

Эти формулы в силу (3) позволяют написать уравнение, которому w
должна удовлетворять на поверхности г2=ф(х). Оказывается, что
это уравнение, несмотря на то, что в него входят разные произ-
водные по х, г, является уравнением именно на поверхности
г2 = ф(х), иначе говоря, функция, удовлетворяющая ему на поверх-
ности г2 = ф(х), однозначно на этой поверхности восстанавли-
вается. Такой спецификой обладают далеко не все уравнения.
Например, если при d = l мы знаем, что <р'(х) = 0 только при
х = ±1, то ничего нельзя сказать о значениях <р при х = ±1.
Отмеченная специфика, разумеется, является следствием того,
что если w удовлетворяет на множестве г2 = ф (х) нашему уравнению,
то и>(х, Уф(х)) удовлетворяет (3) в D.

Неприятной особенностью уравнения, которому удовлетворяет а>,
является то, что его коэффициент при wr на множестве г2 = ф(х)
не ограничен. Удалось, однако, заметить, что если после подста-
новки (4) в (3) объединить член, содержащий wrr, с членами,
содержащими то получится у|фх |2^Гг + у w^. Здесь w„+
, з

+ — wr является радиальной частью четырехмерного оператора
Лапласа. Стало быть, если г интерпретировать как ((х^+1)2.
...+(xd+4)2)1/2> то

d-f-4
wrr + yw,= У wxvxv,
v = d+ 1

При такой интерпретации поверхность г2 = ф(х) является уже
поверхностью в Ed+i, уравнение для функции w, сферически сим-
метричной по xd+1, ..., xd+4, пишется на этой новой поверхности,
и оказывается, что его коэффициенты являются гладкими и огра-
ниченными. Могло показаться, что в ходе этих преобразований
мы могли бы потерять то, чего хотели достичь на первом шаге,
т. е. представления матрицы коэффициентов при вторых производ-
ных в уравнении для w в виде (aikaJb) с гладкими ст'*. Однако
этой потери не произошло. Действительно, нужное представление
означает просто, что главная часть оператора представляется
в виде суммы вторых чистых производных вдоль некоторых векто-
ров, гладко зависящих от своих аргументов. В то же время
в силу (4), заменяя многоточием члены с первыми производными,
на поверхности г2=ф(х) находим

'h'x'z/==xVxVw^+i ^x^xJxv+

+1 tx/xvwxix^ 4-1	+• • • =

/ v Э , 1 , d \ / v d , 1 , d\

= (x +	у Vgs)“’ + •••»

где no v, p предполагается суммирование от d-}-l до d-f-4. Эти
вычисления, очевидно, показывают существование нужного нам
представления.

После того как уравнение для w записано в координатах
х1, ..., xrf+4, можно забыть, что оно является уравнением на неко-
торой поверхности, и его можно исследовать как уравнение во всем
пространстве с помощью методов предыдущей главы. Именно
так мы и поступили в § 1. В оставшейся же части книги мы
будем очень существенно использовать тот факт, что уравнение
для w можно рассматривать только на поверхности.

Сформулируем теперь в виде теоремы наше правило сведения
уравнения в области к уравнению на вспомогательной поверхности.
Примем соглашения, введенные в доказательстве теоремы 1.1.
Напомним, что там мы договорились Ed представлять себе как
подпространство {xeEd+4: х^+1 = ... = х^+4 = 0} пространства Е4+4;
все функции от t, х, где x^Ed, мы также считаем функциями
от t, х1, .... Xм, не зависящими от Xм, ..., Xм, греческие
индексы у нас принимают целые значения от d-J-1 до d-J-4
и по повторяющимся греческим индексам предполагается суммиро-
вание в этих пределах. По повторяющимся латинским индексам,
если не оговорено противное, суммирование ведется от 1 до d.
На определим [х] по формуле (1.4). Положим также

Ltflu — [х]2 w,	(5)

LiW = [х]2 Wj + у tyxiXvWxv + tyxiw —

=*v (xv^- 4- ’ Ф/ w+Фхда, (6)

Ldw = (xV i	£*) (xV & +11V A)w+W®’ (7)

Наконец, возьмем T e (0, оо) и обозначим Q = (0, T)xD,
U = {x^Ed^: 0<[х]2 = ф(х)}, t/r = (0, T)XU.

1. Теорема. Пусть | фж | > 0 на dD, D — ограниченная область,
и е С2 (Q) П С (Q), и = 0 на dxQ. Пусть функция F (иу, ut, и, z)
задана при z^Q и deUcmeumeAbHUX ui}, щ, и, z. Предположим
еще, что

ut + P(uxtx/, uxt, и, z)=»0	(8)

в Q. BeedeM функцию

w(t, x) = u(i, x)ty~l(x).	(9)

Toeda wx^C (Q) и на UT

[x]2 wt + F (y (Lt/+Lfl) w, Ltw, фо», t, xj = 0.	(10)

Если, кроме того, ux e C2 (Q), ф e C8 (£rf), mo wt, wx, wxx e C (Q).

Доказательство Равенство (10) на Ur выводится из ра-
венства (8) в Q с помощью элементарных вычислений. Непре-
рывность ®х в Q очевидна. Для доказательства ограниченности шх
вблизи dxQ возьмем какую-нибудь точку х0 е dD и с помощью
преобразования класса С2 распрямим в ее некоторой окрестности
границу D так, чтобы ф (х) в окрестности перешла в х1, а рас-
прямленный участок границы D лежал в плоскости х1 = 0. Тогда
в новых координатах при х, лежащих в окрестности распрямлен-
ного куска границы, формула (9) приобретет вид

1

w (t, х) = (х1)-1 и (t, х) = J uxi (t, гх1, х2, ..., x^dr,
о

откуда видна ограниченность градиента w по х в новых коорди-
натах, а значит, и в старых координатах, когда х лежит вблизи х0.
Аналогично доказывается последнее утверждение теоремы, в кото-
ром условие ip е= С8 (Ed) накладывается для того, чтобы при рас-
прямлении границы с помощью преобразования класса С3 выраже-
ния их, utx, ихх, иххх остались ограниченными. Теорема доказана.

§ 4.	Перестановка операторов дифференцирования

с эллиптическим оператором на многообразии

Как объяснялось в § 3, уравнение (3.10) является уравнением
относительно w на множестве Ur- Здесь мы несколько формали-
зуем этот факт и сделаем, как в § VII.1, первый шаг для того,
чтобы, как в § VII.2, оценивать первые и вторые производные w
на Ut-

I.	Определение. Пусть область V cr Ed и при xeV,
i, /=!,..., d определены действительные функции дО (х) = ail (х), -
Ь‘ (х), с (х). Пусть множество U с V. Будем говорить, что оператор

Lu: = аУих1х/ 4- bluxi 4- си	(1)

действует на множестве U и писать Le«S?(t/), если Lu — Она U
для любой функции и е С?ос (V) такой, что и = 0 на U.

2.	Лемма. Пусть ф1, ..., ф*еCLc(£<*)» Л1 = {х: ф‘(х) = ...
... = ф*(х) = 0}, U -- (непустое) открытое в относительной топо-
логии М подмножество М, rank (ф^; i = 1, ..., k, j=l, ..., d'j =k
на U, a‘i, bl, с заданы в некоторой окрестности множества U,
(a‘i) = (a4)* SsO на U, L —оператор из (1), £фг = L (фг)2 = 0 на U
при г = 1, ..., k. Тогда L^X(U). Если, кроме того, некоторая
функция и класса С3, заданная в некоторой окрестности множе-
ства U, в некоторой точке xn<=U достигает своего локального
в относительной топологии U максимума, то £и(х0)—е(хо)и(хо)«сО.

Доказательство. Фиксируем некоторую точку хое(/
и ее достаточно малую окрестность V (в Ed), без ограничения
общности будем считать, что матрица (ф*/ (х0); i, невырож-
дена и что замена координат в V: х->X = (ф1 (х), ..., ф* (х), х*+1,...
..., х*) обратима и обратная замена дважды непрерывно диффе-
ренцируема. Тогда любая функция и класса С2 (V) может быть
записана как й(ф1(х), ..., ф*(х), х*+1, ..., х**) и

Lu — й~г уа£/ф^ф^ 4- 2u~r~qaii^rxi 4-

4- й~г (L—с) фг 4- амй~Р~д 4- &₽й~Р 4- ей	(2)

в соответствующих точках, где суммирование производится в
еледующих пределах: г, s=l,..., k, р, q = k+1, ..., d, I,
/=1,..., d. Если u = 0 на V f| U, то на V f| U последние че-
тыре члена пропадают, так как й(0, ..., 0, х*+1, ..., х</) = 0 и
(L — с) ч|/ = — сфг = 0. Кроме того,

L (ф92 = 2фгЛф^ + 2а'7ф'?ф'/ - с (ф^2 *)	(3)

и из равенств Li|/ = L (ф1")2 = 0 на U следует, что Д^ф'/ф'/ = 0
на U. Так как (а‘>)^0,	= то a‘A|)'t =0 на U и, стало

быть, правая часть (2) равна нулю на U П V.

Мы доказали первое утверждение, а также то, что на U f| V
выражение Lu всегда совпадает с суммой последних трех членов
в (2). Применение обычного принципа максимума дает второе
утверждение леммы. Лемма доказана.

3.	Замечание. Первое утверждение леммы вытекает из ее
второго утверждения, а условия Ly = £(фг)2 = 0 на U, очевидно,
необходимы для того, чтобы L е X (U).

4.	Замечание. Рассуждения по поводу (3) показывают, что
условия Аф1 = LСф1)2 = 0 и Аф1 =	= 0,	d на U

эквивалентны.

В оставшейся части параграфа мы фиксируем некоторую функ-
цию ф е Cioc (Ed), обозначим М = {х: ф (х) = 0} и предположим,
что U — (непустое) подмножество М, открытое в относительной
топологии М, причем | фж | > 0 на U. Фиксируем также некоторую
окрестность (в Ed) V множества U. Далее, символами |, т>, как
в § VII. 1, обозначаются пары (|, £rf+1), (т), T|rf+1)> гДе 5»
gd+i, r)rf+1 s Ev Положим

U' = {(x,	xt=U, фш(х)=0},	(4)

U" = {(x, I, rj) e= ESd+a: x <= U, ф(6) (x) =

=Ф(Ш) W + t(n) W = 0}-	(5)

Отметим, что (/'—касательное многообразие к U, (/" — некоторая
часть второго касательного многообразия к (/. Нам понадобятся
также следующие объекты, с двумя из которых мы уже встреча-
лись в § VII.1 (см. (VII.1.5), (VII.1.14)):

d(£)=^ + ... + ^ + ^+1, д($, т))=52(5)+5(<]),

5(5) = 51 —+ ... + 5rf^, 5(5, ii)=52(5) + 5(T)),

n(x) = ^^(x)|-^x(x),	(x)nJ (x)-£j,	(6)

5(t) = 515i4-..- + 5<,5d + 5d+1, 5(1 f])=5(t)d(|)+d(fj),

5(5) = ^i + ... + ^</, 5(1, T))=d(5)5(£)+d(ri).

•)• Без суммирования по г.

11 Н. В. Крылов
Понятно, что п (х) при х е U является вектором нормали к U
в точке х, а & —оператор дифференцирования вдоль вектора,
который получается проектированием i-ro базисного вектора на
касательную плоскость к U в точке х. Очевидно, что любой опе-
ратор, записанный в терминах будет действовать на U. Обратное
утверждение формулируется в следующей лемме, которую читатель
без труда докажет непосредственными вычислениями с примене-
нием замечания 4.

5.	Лемма. Пусть оператор L из (1) принадлежит X(U).
Тогда Lu—aVdidju + b'diU + cu на U для любой функции и е С\ос (V).

Понятно, что многообразие U' определяется только по U.
Оказывается, то же самое верно для {/*, и это сразу вытекает
из второго утверждения следующей леммы.

6.	Лемма, а) При (х, |, л) s U" имеем

д(1)и(х) = д(1)и(х), д(|, fj)«(x) = 0(|, fj) и (х)

для любой и е С{<к (V).

б) Пусть x<=U, (, fjeErf+'i, тогда, для того чтобы (х, £, fj)
принадлежало U", необходимо и достаточно, чтобы для всех
иеС*ос(Ю> равных нулю на U, выполнялись равенства

0(5, ц)а(х)=0(£)и(х) =0.	(7)

Д ока зательство. Утверждение а) — следствие элементарных
вычислений. Для доказательства достаточности в б) нужно взять
ы=ф. Чтобы доказать необходимость, заметим, что0(|)и==О
на U для любого 5 е Ем и для любой функции и, равной нулю
на U, в силу того, что было сказано выше перед леммой 5 про dt.
Отсюда сразу следует, что равенства (7) имеют место для любых
|, fj s Erf+i, если в них заменить д на д. По первому утверждению
при (х, 5, fj) е U” в такой замене нет необходимости. Лемма до-
казана.

Ознакомившись с многообразиями U, U’, U” и свойствами
операторов, действующих на U, перейдем теперь к вопросу о пере-
становке операторов 0(5), 0(5, fj) с оператором L.

7.	Теорема. Пусть целое di 1 и при i — 1, ..., d, k = 1,...
..., di в V заданы функции oik(x), bl(x), с(х), непрерывно диффе-
ренцируемые по х. Положим ад = ~ возьмем произвольную
функцию Я1(х, 5) со значениями в Edl и по формулам (VII. 1.2) —
(VII. 1.4) введем операторы L, L. Тогда:

а)	для aeCfoo(V) на VxEd+1 имеем Lu = Lu;

б)	0(5) Lu = L0(t) ы на VxEd+u если меС(ос(У);
в)	если Лф = Лф2 = 0 на U и е Cioc (£rf), то
и если еще некоторая функция v (х, |) класса Cioc (V х £<*+i)
в точке (х0, |о) достигает своего локального в относительной mono-
логии W максимума, то Lv—cv^O в точке (х0, to)-

Доказательство. Утверждения а), б) являются соответст-
венно утверждениями а), в) леммы VII. 1.1, они не связаны ни
с какой структурой многообразий '/, U'. Для доказательства
в) в силу леммы 2 достаточно проверить, что градиенты функций
ф(х),	(х), как функций от (х, (), линейно независимы на

и что £ф = Лф2 = £д(|)ф = £[д(()ф]а = 0 на У. Независимость
градиентов обеспечивается, очевидно, предположением, что | фх |>0
на U, равенства £ф = £ф2 = 0 на У даны по условию и по утвер-
ждению а). Кроме того, из утверждения б) имеем L д (|) ф = д (|)£ф,
причем последнее равно нулю на У, поскольку Дф = 0 на '' и £
касается U в точке х, если (х, t) е У- Наконец, формула типа (3)
показывает, что на У

L (5 (!) ф]2 = (д (|) ф)(5Л) (д (t) ф)(5»).

Здесь, как показывают прямые вычисления, при хе У, £ е

(Е)Ф)(5»> = <*<£) (Ф<о*))

и последнее равно нулю в точках (х,	так как по заме-

чанию 4 2afA|>/i|)x/ = ^(о*уф(а*) = 0, %j*) = 0 на U и вектор £ каса-
ется U в точке х. Теорема доказана. •

8.	Теорема. Пусть целое dx^\ и при i = l,..., d, k = 1,...
..., di в V заданы функции oik (х), Ь1 (х), с (х), дважды непрерывно
дифференцируемые по х. Положим	возьмем произ-
вольные функции Л1(х,	Л), л2(х, rj) со значениями в Edl и по

формулам (1), (VII. 1.3), (VII.1.13) и формуле (VII.1.4), в которой
заменим ok(x, £), fe(x, |) на о*(х, £, л), Ь(х, |, л), определим
операторы L, L. Тогда*.

а)	на гладких функциях и(х, £) оператор L дает тот же ре-
зулыпат, что и оператор L из теоремы

б)	3(|, fj)Lu = £d(|, л) и на Vx£trf+2, если u^C\QQ(V)\

в)	если £-ф = Лг|)2 = 0 на U и ^С\ос(Еа), то	и

если еще некоторая функция v(x, л) класса (V х Е2а+2^
в точке (х0, to, Ло) <= U" достигает своего локального в относи-
тельной топологии U" максимума, moLv — cv^O в точке (х0, to, Ло)-

Доказательство. Утверждения а), б) опять нам известны
из § VII. 1. Для доказательства в) по лемме 2 достаточно прове-
11*
рить независимость градиентов гр, д(£)гр, д(£, л) гр на [/* как
функций от (х, fj) и доказать, что £лр/==/др? = 0 при £==1,2, 3
на U”, где гр1 = гр, гр2 = д(|)гр, гр8 = д(£, fj) гр. Независимость гра-
диентов—опять элементарное следствие условия | г|> | > 0 на U.
По утверждению а) и по теореме 7 из нужных нам равенств
остается рассмотреть только равенства с гр3. Наконец, равенство
£грз = О на U" по лемме 6 б) и в силу утверждения б) настоящей
теоремы вытекает из того, что 1гр8 = д (|, fj) £гр, а равенство
1лр| = О на 1Г следует из формулы

й» = №	П) Ф)(5*),

верной на U" в силу равенвтва Li])8 = 0, из формулы

(д(1, т))ф)(^) =d(L П) (Ф(а*)).

проверяемой непосредственно при (х,	tj е Ed+1, из

леммы 6 б) и из равенства гр<аЛ)=О на Р, установленного в пре-
дыдущем доказательстве. Теорема доказана.

§ 5. Оценки производных решения
нелинейного уравнения на многообразии

Пусть бе(0, 1), К, /<1>0, грCfoc(Еа), область VczEd9
[ фх I > 0 на И, целое dt 1. Предположим, что множество
t7 := V П Ф (*) = 0} непусто. Фиксируем также некоторое
абстрактное множество й, и пусть при всех шей, i=l, ...» d,
fe=l, ...» dj в V заданы действительные функции а/л(со, х),
х), с (со, х), /(со, х), непрерывно дифференцируемые по х и
ограниченные по со при каждом xeV. Мы будем следовать рас-
суждениям из § VII.2, поэтому примем обозначения (VII.2.1) —
(VI 1.2.3), в которых г заменим на х, и будем считать, что для
всяких хе (У, uit и нижняя грань в (VII.2.3) достигается
при некотором <о0 = <«о (и*/, щ, и, х) е Q.

В § VI 1.2 мы оценивали выражение через евклидову
норму ? и, стало быть, оценивали евклидову норму градиента и.
Это было еовершенно естественно делать; рассматривая уравнения
в евклидовом пространстве. Рассматривая же уравнения на много-
образии, совершенно естественно ввести на нем подходящую рима-
нову метрику и оценивать норму градиента и в соответствии с этой
метрикой. Мы не будем последовательно развивать наш подход
с точки зрения теории римановых пространств, однако, имея ее
в виду, зададимся в V неотрицательной симметричной матрицей
В (х) ® (BV(х)) размера dxd и предположим, что В eCioc(V). На
протяжении всего параграфа также считается, что

L (со) г|) = L (со) гр2» 0
иа U при всех со s Q. Как обычно, положим

L° (<о) = L (со) — с(со),

без пояснений будем использовать обозначения U', д(|) и т. п.,
введенные в предыдущем параграфе, и обозначим

a-2(B(.»,E. Я;и)-(Ва;Е,, ay-
d\

- 2 (Bl, b^) - (2 - 6) c (Bl, t) + К (Bl, g*)8.	(1)

1.	Лемма. Пусть при всех wsQ, x^U, 1_]_фх(х), l=£Q
выполнены неравенства

Г1©>0, (Bl, l)^ (|/a,| + 1^1)^^!©,
(Bl, g)|/|, (Bl,

Тогда существует постоянная X = X(K, 6)2^1 такая, что
функция

<Р(х, |):=[1(В(х)|, g)+|^+ip + lp,

где у = (2 —б)-1, на множестве

U'(]{(Bl, g)=s|^42+u	(2)

при всех <о е Q удовлетворяет неравенству

1(<>>)ч + д(1)Цв>)<Ь,	(3)

где L(co) при всяком со строится по п* = К(В1, о* (со)), о* (со),
b (со), с (со), как в теореме 4.7.

Доказательство. Аналогично (VII.2.18)

у-1ср1/,'’-1£ф	-f- y-1c<pl/Y.	(4)

Непосредственные вычисления с использованием (VII. 1.9), (VI1.1.11)
показывают, что правая часть (4) равна

- ХГх © + X (К - X) 2 (Bl, о*)2 +	+ (2 - б) с (| 1™ |2 +1).

При на множестве (2) это выражение по нашим предполо-
жениям не превосходит

-ХГ1© + 2(В^, §)^|	| + 2 (В1, ^с^.Н/С-Л)^©.

С другой стороны, на (2) имеем (предполагаем, что X.2sl)
q><2V(Bg, Е)\ <p1/Y-i^4xi-Y(Bg,

£)1/2IM) 1 + (B£, gii/D^ieKV-vr!©.

Отсюда следует, что левая часть (3), умноженная на y+pW-1, не
превосходит (4К — А-+ 167<X1-V) П и последнее отрицательно при
подходящем 1 (К, 6)^1. Лемма доказана.
Функция <р из леммы I будет играть роль барьера при оценке
первых производных решения нелинейного уравнения на U. Для
оценки вторых производных нам понадобятся следующие обозна-
чения и соображения. Положим (см. (1))

Н = Н (х) = (S'> - п* (х) п' (х)), В = НВН,

f1! © = Г1 © — 6	о^)),	(5)

Г.©-(В5,	+	5)]-

-42
t —1

Понятно, что Н (х) при х е U является оператором проектиро-
вания на плоскость, касающуюся U в точке х. Поэтому, например,
(£?, 5) = (В£, £) на U', бп = 0,
&(ak)n = — ^п(о*) = — НВп(^

(^(0*)«‘ %*))---(Sn(o*)’ "(<?)) на и-

Отметим также, что Hok — a1' на U,
кх|-дФ(жи = (/г(1). 5) на U',	(7)

и отдельно выделим

2.	Замечание. Если $eCi'oc(V), то правая часть Л) на U*
не изменится при замене в ней В на В,

В самом деле, два последних слагаемых в (1) не меняются,
так как HI = 5, Но* = о*, а сумма оставшихся по формуле (VI1.1.11)
совпадает с — £°(В|, £), если взять Л1=0. Разумеется, при за-
мене В на В в рассматриваемых членах их сумма даст — L° (Bg, g).
Наконец, L(Bg, g) = £(^g, g) на ''' по теореме 4.7 в), так как
(В1, £) = (В£, £) на //'.

3.	Лемма. Пусть о*, Ь, о, t дважды непрерывно дифферен-
цируемы по х на V, i|)sCioc(V), х(<°» х)—некоторая неотрица-
тельная функция, заданная на Q*U, и при всех шей, (х, (),
(х, fi) е U', выполнены следующие неравенства

0<Г2(|), Х(В£, £)а^ЯГ8(£), с^О, |/|«с/Сх. (8)
((£»Й)Я, д)2 + (Вп(<?),	(£°^. n)2«£/tfi©, (9)

(п<б). 5)2 + (^©а», ^©о*)<ЯГ2©,	(Ю)

(£^©ь, д*©&)<;ад©,	(II)

(Bg, i) I £ © c I, (Bl, I) © f ЛГг ©,	(12)

(Bl, I) | C(6) I* + (Bl, I) | /(U P < ад (В),	(13)

© Oft) W (51)	©.	(14)
Тогда существует постоянная Х = Х(/<, 6)^1 такая, что
функция

<Р (X, М) := [V (В (х) g, g)2 4- * (В (х) Т], л) ч- % I g™1« +1	I2 + 1JV,

где у = (2 — б)-1, на множестве

{ГП{(В|Л)22э=(&Ь П) +11*4-1nrf+1l2 + 1}	(15)

при всех и G й удовлетворяет неравенству

L(<o)<p4-5(f, fj)/(®)<0,	(16)

где L(co) строится, как в теореме 4.8, и nlt « выбираются не-
которым специальным образом.

Доказательство Из формул (VII. 1.10), (VII. 1.12),
(VII. 1-15), (VII. 1.16) получаем, что L°<p1/V совпадает с li + I* +
+ К + h, где

/1 = -2X2r2(g)-(2-6)X2c(Bg, g)24-

4-2X2K(Bg, g) £ (Bl, ст*)2-2Х2б(Йст*6), CT*5))(Bg, g),

/, = Ш(ВП) т])4-2Х.(ВП, <?(g, q)b) +

4-X(^5(g, и) ст*, д (g, Tj)<j*)4-2A.(£(ff*)T], д (g, трст*),
У, = —4Х2 (Bg, g) л* (Bl, о*) - 4Хл* (бц, ст*5)) -

— 2т)<<+1Л! |2 4- 6Л | gd+1121 Л| ;2 — 21л2 (£г), о*) 4-1 л2 |а.

/4 = 4Mgd+1)3ca)4-2r]d+ld(g, г]) с.

Дальнейшие вычисления проводим при фиксированных Х^1,
(х, g, f|), взятых из множества (15), ее(0, б). Будем обозначать
через N постоянные, зависящие только от К, б, и положим
(ср. (7), (4.5))

£i:=n + (na), 1)п = Нтц.

Заметим, что (x,gi)et/z nd(g, q)=52(g)4-d(gi) по лемме 4.6а).
Отсюда с помощью (6), (9), (10), (14) и неравенства Коши —Буня-
ковского находим

(й(о.)Л, дч. ^^=(6^1,. a;tJ)+(/i(E„ Е)(й„(Л. »!,.,)+
+ (П(6„ £)(ЙП1Л, *(Е)а*)+(Й|0.>Е1. >©<>•)«;
Покажем, как оценивается еще один член, входящий в /а2
(Вд(1, «ро*. д(1, п)о*)^

<(1+.)(Во«Ь), o«SiJ + (l +1)(В#©о*,

«П +	»L)+v“-‘r'®-

Аналогично с использованием еще (8), (11) *) оцениваются
другие слагаемые, входящие в /2, и оказывается, что
к-Ч^^В)^, ё1)4-2(В(о*)ё1,	+	°?5,)) + 2(^<ь>» М+

4~ 8 (В<Т(51)Э <г*е,>) + Ve-1^ (I) 4~ «Г 1 (11).

По замечанию 2 здесь в квадратных скобках можно заменить В
на В, а тогда, вспоминая (1), (5), заключаем:

к-Ч^-П -8)Г1(|1)-(2-б)в(ВЬ, ^ + К%(В1-и"Ч* + №Г&).

Перед оценкой 1В фиксируем значения параметров лъ л8:
л* — кя(Вал, ё), л‘я»А,(Во*, ч)=»к(Вол, Ei).

Мы договорилиаь, что Х^1 и (х, ё, fi) лежит в множестве (15).
Поэтому

/,-е» (61 |^+Ч2 - 2nd+1) кг S (Во*, 1)*-4'к»(В1, 1)^(В<з», ё)2-
- 4eV (Во*, |) (£ц, о*6))- V £ (Во*, ё1)2 <
^_(4eV-6Ve2-2V82) (Вё, ё)2(Во*. ё)24-

4- 4rV (Bl, I) 2 (Bo*, g) (Bo*£), o^,)*/* - V X (Bo*, gi)2

-1* (2« - 8s2) (Bl, I) 2 (Bo*, I)* + 28V (Bl, I) (Bo?5), ofo) -
-V£(Bo*. Ei)».

Аналогично последним вычислениям с использованием нера*
венств (12), (13) и (8) показывается, что

Ц 4к (В1, ё)»'’ | e(l) 14- 2 (Вё, ё) | в(51) 14- 2 (Вё, ё) I Э» (5) с | <
N (14- 1) Га (ё) 4- 2 (Вё, ё) (КхГ1 (ёх))1/8 < ад (ё)4- Л(Г1(ё1),
гЪр'П (2 - 6) eV (Вё, ё)2 4- (2 - б) ск (£ё1, 51),
Т))/^

^Nk^(Bl,l) [О (ё)/)+ 4- 2| 5d+V(l)| 4-1/(6.) I + (I ^+1 Is +-I nrf+1 DI f IX
< (VV-*vr2 (I) 4- Nk^y (Bl, I) I /u>) I
Л/Х*-2*Г2 (I) 4- (Bl, I) (Kxf1! (5i))1/2

^^2-2v(r1(g1)4-r2(l)).

*) Используются еще очевидное неравенство Г2^(В£, ^)fi и х(^1>
причем последнее из них верно в силу (8)«
Окончательно, пользуясь еще неравенством (4), получаем, что
левая часть (16), умноженная на у-Чр17*-1, не превосходит
(Ne-4.-2K) Г2(|) +

4- (2№К - X3 (2в - 8е2)) (Bg, g) £ (Ba*, g)2 4-

(МЛгу _ X(j _K)) t\ (k) + (M_ 12) 2 (Ba*, gi)3.

Отсюда видно, что при * = 8-J Д 6 можно подобрать столь
большое Х =	6)^5 1, чтобы последнее выражение стало отри-

цательно. Лемма доказана.

Условия лемм 1, 3, связанные с функциями Гь 1\ Г2, выгля-
дят достаточно громоздко. Поэтому в следующих замечаниях при-
ведем несколько более простые условия. Эти замечания выделяют
две основные для дальнейшего возможности: когда положитель'
норть функций Гь Гь Г2 обеспечивается отрицательностью коэф-
фициента с и когда она обеспечивается первым слагаемым в (1),
если с = 0.

4/ 3 а м е ч а н и е. Предположим, что для всех со е U на U*
при

L“(Bg, B) + 2(B(^g, пу + (Ва*ф, a*5)) +

4-2(Bg, &a))<-2(1 — 6)c(Bg, g)4-K 2 (Bg, a*)2,	(17)

(Bg, g)1/2(|/mi + |ca)|) + (Bg, g)(|/|4-c+X
(41	V

— c(Bg, g)4-/( £ (Bg, o*)2).	(18)

t = i	/

Тогда предположения леммы 1 выполняются с некоторой постоян-
ной А((Л, 6) вместо К.

Справедливость этого замечания — простое следствие неравен-
ства r1(g)>d(-о (Bl, g) + /C£(Bg, а*)2), совпадающего в (17),
если в определении (1) функции Ft взять (14-6)К вместо К.

5.	Замечание. Предположим, что существуют постоянная
6ie(0, 1) и функция fieCfoc(V) такие, что й^О на V и для
всех со е Q на U' при | g | — 1 выполнены неравенства

ЙКа(6>’	+	+	£)<

41

< - (1 - S1) [Ь°й 4- (2 - 6) ей] 4- КЙ2 2	Э*.	(19)

1

“1/2 (I /(1) I + 1С(%> I) +“ (IЛ+с+)

_£0Д_(2_б)са+ Кй2 2» (алэ	(20)

Тогда при (В£, £}:=й|£|2 предположения леммы 1 выполняются
е некоторой постоянной N (К9 61) вместо /<.
Здесь при |g|==l неравенство (19) эквивалентно тому, что
если в определении Гх взять (14-61) Л вместо /(, то Гх окажется
строго больше 6Ъ умноженного на содержимое внешних круглых
скобок в правой части (20). Соображения же однородности пока-
зывают, что условия леммы 1 достаточно проверить только при

6.	Замечание. Пусть о, b, с. f дважды непрерывно диффе-
ренцируемы по х на V, феС?ос(У), сумма квадратов всех вели-
чин alft, b\ f,	квадратов всех их первых и вторых про-

изводных и квадратов всех первых и вторых производных с на U
не превосходит К. Пусть также при всех ш е Q на U'

(Bl, g)[L°(B£, D + 2(B{ak)l, 0*&)+(В<%г O^)+2(Bbw, g)] +

di

+I2('w+2B4>. 5)'<
ft—1

(Bl, &)2s6i|g|2,	с<-6ъ

(21)

(22)

где 6i —некоторая строго положительная постоянная. При этих
условиях оказываются выполненными и условия леммы 3, если
в формулах (1), (5) и в лемме 3 вместо К, 6, х взять N, 62, 1,
где N, 62 зависят только от К, 6, 6Ъ d, причем 62 е (0, 1).

Действительно, из первого предположения и из (22) более или
менее непосредственно следует, что неравенства (9)—(14) имеют
место, если в них х. К, (5). Г2(£) заменить на 1, N (К, 6, 6Ъ d),
I ? I2» II !*• Кроме того, будем считать, что формулы (1), (5) нам
задают Гъ tx, Г2 как функции от К, 6, £. Тогда неравенство (21)
приобретает вид

Г2(К, б2, g)^[(|d2-6)c(B|, |)-в,(&^,	I).

При d,<26 последнее выражение больше

|?|*6г[-(1д2-б)б?-62Л/(К, 6Ь d)],

за счет выбора малого 62 его можно сделать больше 62|||*, и
тогда Г2(К, 62, |) 6г 111* Наконец, при любом В из неравен-
ства cagO следует, что Г2^(В^, g)fi, значит, в нашем случае
еще и ЛТ2(К, l)^(Bl, £)2, Aft, (К, 62, |)^|||2. Этим и до-
казана справедливость замечания.

7.	Замечание. Пусть a, b, с, f дважды непрерывно диффе-
ренцируемы по х на V, феС3(У), х(ш. х) —некоторая неотри-
цательная функция, заданная на £2x1/, постоянная 61 е (0, 1),
функция йеС2(У). При хеУ,	|£|=1 обозначим'

। л	з

М=М(х, Е) = --Ц^-[£°Й + (2-6)сЙ] + Кй2	(о*, i)8

feel

и предположим, что при всех w е Q, х е U и единичных
выполняются неравенства

й[(Ц-б)(<4, ay+2(g, М+2 2 (о‘6), d +
feel	j

+ 2"(<?)(CTk>-	(23)

|фх|^бь MssSj., X>°>	. «>o,

ХЙ^КМ, c«s0, i/Ч =sS ^X» l&l + tra^K,
~	.	(24)

%(d2 (I) o*. d2 (g) o*) +!d2 (I) b |2+x Id2 (g)c | +

+ X & (?) /)++1 c(p I’ +1 I2 < KyM.

Допустим еще, что норма й1/2 в С2 (7) не превосходит К. Тогда
предположения леммы 3 выполнены при В := й1/3 (6‘J) и некото-
рой постоянной N вместо К, причем N зависит только от К, 6Ь
d и нормы ф в С3 (V).

В самом деле, из наших условий сразу следует, что неравен-
ства (8) —(14) имеют место при |£| = |5i| = l, если в их правых
частях К, Г2(£), Tug), Л (gi) заменить на Af, Л4 (g), М (g), М (gi).
Кроме того, если в определении Гъ fi, Г, вместо К взять
(1 — di)-1 К, то после простых вычислений мы приходим к экви-
валентности неравенства (23) и неравенства

г. © М+6й [(<$„ а*,,) - (Ла?!1, <$,)].

Здесь второе слагаемое положительно и Га (5) gs. М. На-
конец, Г2^(В£, g)fi, Гх(5)й1/2^а условия (8) —(14)
достаточно проверить только при единичных 5» Bi-

Мы привели несколько случаев, в которых знак Гх (5) опреде-
ляется двумя слагаемыми в (1). Имеется еще целый ряд важных
для приложений случаев, когда главную роль играет (В£, Ь^).
Мы их, однако, ради краткости изложения приводить не будем
и перейдем к выводу из лемм 1, 3 оценок производных решений
уравнений.

8.	Теорема. Пусть ф, и eCio< (V), выполнены предположе-
ния леммы I (ср. замечания 4, 5), с^О, | и |К, j |2
^Л42(В£, В) на U' для некоторой постоянной М^О, (В£, 5)>0
при g#=0 на U'. Пусть на U

F{u^xi(x), uxi(x), м(х), х) = 0.	(25)

Предположим также, что дана некоторая неотрицательная функ-
ция i|?ieCioc(V) такая, что L (со) sg 0 на U при всех соей.
При т=1, 2, ... обозначим

Um = {x^U: ij>i(x)<m};	(26)

допустим, что Um ограничено, и, д,и, В при всяком т продолжа-
ются до функций, непрерывных в относительной топологии Um, и

I g-’ dtu (х) +	(х) |2 sc Kt [X (В (x) g, g) +1 Iм I2], (B (x) g, g) > 0

при всех x^Um\U, g±ipx(x), g^=0, g^eBi, m^\, где k
берется из леммы 1. Тогда

I д (|) и |2 < (Kj V ЛГ1) [X (Bg, g) +1 g^1 |2]	(27)

на U', где N^ — NitK, 6). В частности, |И(^|2^Х(/С1 V Nx) х
х (Bg, g) на Uf

Доказательство. Фиксируем в>0, возьмем функцию ср
из леммы 1 и на U' рассмотрим функцию

v (х, |): = д (g) и (х) — ср (х, g) — ефх (х).

Может представиться только одна из трех возможностей:
1) tXO на (/': 2) ц>0 в некоторых точках U', но v не дости-
гает своей верхней грани на (/'; 3) существует точка (х0, go) е
е V', в которой v принимает свое наибольшее значение на U' и
v(x0, to)>O.

Изучим сначала третий случай. Покажем, что

(B(x0)g0, go)< god + 1|4 1.	(28)

В самом деле, в противном случае в точке (х0, go) при подходя-
щем со ей мы бы в точности, как в доказательстве леммы VII.2.1,
в силу теоремы 4.7 имели (ср. (VI 1.2.12), (VI 1.2.14))

O^L (со) V — си, O^L(co)v, еВ(со)ф1-|-£ (co)cp^L5(g) и,
0 = L (со) 5(g) м + 5 (g)/, еЛ(со)ф1 + £(со)<р + 5(|)/(со)^0;

последнее, однако, невозможно в точках из множества (2) в си-
лу (3).

Далее, дифференцируя v по g вдоль (/', для любых g I фх (х0)
находим

М(?) (Хо) = 2Ху<р (Хо, go)1-1/v (В (Хо) go, 5),
u(Xo) = 2y<p(Xo, go)1"1^o+l.	( }
Отсюда, разумеется, следует, что

»(х0, to) = 2W(xo,	Ы + '£о + Т1-

— ф (Хо, to) — 8ф1 (Хо) «S (2у — 1) ф (Хо, So)

Из (28), (29) следует, что

Ф1"=сач-1)(|й+,1Ч1),
№&2Y|to + ' |[(Х+ 1)(|^ + 1|2 + 1)Г-1, |^+11^У(К, S).

Стало быть, на U'

v(x, t)^v(Xo,toX(2y-l)(X+l)v[||o+,|8+ir^(V,	(30)

где N = N (К, 6). Если считать, как мы и делаем, что Л' 0, то
неравенство (30) имеет место и в первом случае.

Посмотрим, что происходит во втором случае. Пусть (xn, tn) —
произвольная последовательность точек из U', максимизирую-
щая и на (/'. Заметим, что д(|) и (Bt, %)1п 4- К | trf+11, а у>
> 1 /2. Значит, из соотношения v (хя, tn) -ь- — оо следует, что
(B(Xn)tn, tn), ltn+l|, d(t„)«(Xn) ограничены. Кроме того,
и(хя, 1п)>0, d (fn) u (xn) eipt (хЛ|, начиная с некоторого номера,
4»! (Хп) ограничено и хя <= Um для некоторого т и всех п. По на-
шим предположениям, (В (х) t, £) > 0 при х е Um, t L (х),
t¥=0- Так как Um — компакт, то (В (х) t, |) 5s 6т | t |г при хбУт,
t±*l'x(x) для некоторой постоянной бот > 0, и ограниченность
(B(Xn)Bn, tn) влечет за собой ограниченность Itnl- Теперь уже,
не теряя в общности, мы можем и будем считать, что последова-
тельность (хя, |п) имеет предел, скажем, (х0, to)- Ясно, что (х0, to)e£

U' (случай 2), t|5(ge)(Xo)=O, х0^(7, x0^Um\U и на 47'

v(x, t)*£ Ит о(хя, tn) / (Ki) := sup - (/2 4-1)Y]*).	(31)

п —* ОО	4^0

В результате рассмотрения трех случаев получили, что в каж-
дой точке (х, |) е U' выполняется или (30), или (31), т. е.

Так как здесь е произвольно, то 5(f) и —<р^
г^/V V f (Ki) на U'. Эквивалентной записью последнего неравен-
ства является Pt — (t2 + 1 )v /V V / (Ki), где t 0, t2 = X (В£, |) +
+ llrf+1|2, P==P(x, g)==|d(|)u|H. Отсюда, разумеется, следует,
что	V I (Ki)- Для окончания доказательства неравенства

(27), эквивалентного неравенству Р ^KiV Wi/2, остается заметить,
что функция I (Л\) в силу строгой выпуклости (f2+DY строго

♦) При выводе второго неравенства (хо)	o) + (6q + 1 [' интерпрети-

руется как
возрастает по Ki при Ki> Ко, где Ко определяется тем свойст-
вом, что прямая Kot служит касательной к графику ((2 + 1)Y. Тео-
рема доказана.

Перейдем к оценке вторых производных. Здесь мы дадим
оценку более грубого вида, чем (27).

9.	Теорема. Пусть ф, иеС|ос(У), и удовлетворяет урав-
нению (25) на U, выполнены предположения леммы 3 (ср. замеча-
ния 6, 7),	!2, о2 (5) и М (Bg, 5) на U' для неко-

торой постоянной М, (Bg, g)>0 пРи В #= 0 на U' Пусть фхе
eCioc(V), фх2г0, £(ю)ф1^0 на U при всех со ей. Возьмем Um
из (26) и предположим, что Um ограничено, и, dtu, д^и, В при
всяком т продолжается до функций, непрерывных в относитель-
ной топологии Um, и для всякого т^ 1

||'<Э/«(х)|\ l%Jd'idfU(x)<,K(B(x)l, g), (B(x)g, g)>0,

если хеОщ\и, £_1_фх(х), g¥=0- Тогда на "*

| Н(6) |2, З2 (g) и (х) N (К, 6) (В (х) g, g).	(32)

Доказательство. Прежде всего отметим, что, как пока-
зывает сноска на стр. 320, в условиях леммы 3 выполнены также
предположения леммы I, и поэтому первая оценка в (32) выте-
кает из предыдущей теоремы. Далее, фиксируем к>0, возьмем
функцию <р из леммы 3 и на U" рассмотрим функцию

v(x, g, f)):=d(g, f))u — ф(х, g, П) —вф,(х).

Опять может представиться только один из трех случаев, ана-
логичных выделенным в предыдущем доказательстве, и мы опять
начнем с изучения третьего из них. Покажем, что

(В (х0) go, go)2 <(В Uo) По, г0) + g? +' * + г),+' |2 + I.	(33)

В самом деле, в противном случае точка (х0, go, По) лежит
в множестве (15) и в этой точке по лемме 4.6, теореме 4.8 и
лемме 3

O^L(co)v — c(w)t>, 0^L/«)o,

(со) фх + £ (®) Ф 2= £ (co)d(g, f))u = d(g, ц)Ц<о)и,

eL(<o)i|h>d(g, n)[L(<o)u + /(<о)|	(34)

при любом аей. При <о = <оо=со0 (хо), иг«(х0), и(х0), х0)
неравенство (34) невозможно по лемме 4.2, так как, очевидно,
д(|, Т|)(ф*) = О на (/ при всех k=l, 2, ..., g, iieEi+i и, кроме
того, функция L(g>0) «(х) + / («о, х) в точке х0 принимает свое
наименьшее на U значение, равное нулю.
Доказав (33), далее заметим, что v (х0, to, По) есть наибольшее
значение v (х0, й) не только по (х0, |, й) е 'J", но и по всем |»
Й таким, что только t I фж (х0). Этот факт является следствием
очевидного равенства (Н введено в (5))

о(х, g, grf+1, г;, nrf+’) = p(x, t, td+1, Н (х)п, xg U (35)
и того, что для любых В I фж (х), г] е Еа формула Hi = Н (х) п —
— Фамб)(х)1ф*1"2Ф*(х) определяет вектор Пь для которого
(х, t. trf+1, Hi. nd+1) *= Нт\1 = Нц. Отсюда с помощью диффе-
ренцирования v в точке максимума по |, й для любых £_1_фх(Хо),
ti е= Ed находим

и (х0) = 2у<р (Хо, to, Йо)1-17’ По+1 =: РИо+1»

2^+,U(xo) + 2d(to)u(xo)= p2X(to + ')8,

<Э(£1)ы(хо) = рМ£(Хо)По, Si),	(36)

+ to^) didju (Хо) + 2to+ *3 (0 и (Хо) =

= p212(B(xo)to, to)(B(*o)to,t).

Подставляя в третье и четвертое равенства в (36) соответст-
венно ti = Ho, t = to, получаем

д (to, Йо) и (х0) = р (ф177 — 1) sC 2у<р (х0, to, Йо),

(37)
V(xo, to, Йо)^(2у— 1)ф(Хо, to, йо).

Кроме того, как выше отмечено, оценка dtu уже имеется, и
из (33), (36) поэтому заключаем

1По + *! «S Л^о*1, (£(хо)Но, По) «S Л/р-11 д (т|0) и (х0) | =sS

Л/р-1 (В (х0) По, По)172, I д (to) и (х0) | N (В (х0) to, to)1/2 «S

р1^+'Г<#(!Й*,1+р-1/2+1),

(р172 I to +' I)3 (V (PV« |od+' I + 1) *), | to +1 i < Wp"1'2,
Ф^^Д) (p-2+ 1), (2y)2 ф2-1^ = pV/v«SW, 2— | = 6, <f^N,
где N = N (К, 6), ф = ф(х0, to, По)- Вместе c (37) это дает

d(t, Й)«(х)=^ф(х, I, Й) + еф1(х) + М

при всех (х, t) U', n^£<m- Такое неравенство очевидно и
в первом случае, и оно без труда с использованием (35), как
в предыдущем доказательстве, устанавливается и во втором слу-
чае (ср. (31)). Полагая в нем в|0, П = 0, t'*41 — О, (В%, t)=l,
видим, что второе неравенство в (32) справедливо, если (Bt, t)= 1.ч

*) 1—у~*<0, <p2sl, поэтому 1 + Кр 1 + К2у.
Из-за его однородности оно справедливо при всех значениях
(Bg, g). Теорема доказана.

Теоремы 8, 9 об оценках производных решения уравнения (25)
на многообразии будут использованы в следующих параграфах:
теорема 8 используется в § 6, теорема 9 —в § 8. В § 7, кроме
того, понадобятся варианты теорем 8, 9, когда для проверки усло-
вий лемм 1, 3 применяются замечания 5, 7 и когда множество U
является открытым подмножеством Ed. Случай, когда (/ — область
в может быть совершенно формальным образом вложен в схему
настоящего параграфа. Действительно, достаточно Ed рассмотреть
как гиперплоскость ...» xrf+1) = 0} в Еа±ъ где ф:=х^+1, и
взять У=[/х(—оо, оо). При такой интерпретации, кстати го-
воря, в лемме 3 отпадает необходимость в проверке условий (9),
так как левые части этих неравенств равны нулю. Поэтому в за-
мечании 7 можно не требовать гарантированной ограниченности b
(см. (24)) и вторых производных й1/2. Отметим также, что если
бы й была постоянной, то при В=й1/2(6Г7; левая часть (14) была
бы нулем и не нужны были бы ни ограниченность tra, ни нера-
венство М 61 (см. (24)).

Мы обсудили замечание 7, ситуация с замечанием 5 много
проще и, суммируя сказанное выше, из теорем 8, 9 и замеча-
ний 5, 7 получаем следующие результаты.

10.	Теорема. Пусть D —область в Ed и при всех соей
i = 1, ..., d, k = 1, ..., di в D заданы действительные функции
oik. Ы, с, f. непрерывно дифференцируемые по х и ограниченные
по о при всяком х. Примем обозначения (VII.2.1) —(VII.2.3) и
предположим, что для всяких x^D. Uy. ui9 и нижняя грань
в (VI 1.2.3) при замене г на х достигается на некотором <о. Пусть
также даны функции и. ^С'\осф), й^Сф). Предположим,
что при всех w е fi, х g D, g е Ed. | =/= 0 выполнены неравенства
(19), (20) и. кроме того, /С^й^бь с^О, ipi^O, Ефх^О, где
постоянная 6xs(0, 1). Предположим, наконец, что и^Схф){\
ПС1ос(£)), и удовлетворяет уравнению (25) на D. \и\^К в D.
каждое из множеств Dm : = D Q {ф1 (х) <т} ограничено. \их\^К

Тогда \ux\*^N (К. 6, 6t) в D.

11.	Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 10,
а, Ь. с. f дважды непрерывно дифференцируемы на D. Возьмем
функцию М (х. £) из замечания 7 и потребуем, чтобы для неко-
торой неотрицательной функции х(со, х) при всех weQ, хе£)
и единичных ^^Ed выполнялось неравенство (23), а также*)

Х>0, %й^КМ.	(38)

%(айх. йх) + х(а(Ь(£ь а<£) (£)) +1 (fc) |2 +

+ xl £($)($) I+ Х (Afc)(s))+ +1 £(&) 12 + 1 /\£) |2 *С^хМ. (39)

♦) Ясно, что выполнение неравенств (38), (39), и неравенства (23)
влечет за собой выполнение неравенств (19), (20) с другой постоянной К.
Предположим, наконец, что и еС2(D)f]C|OC(^b	на

Dm\D при всех единичных gе Ed. m^l.

Тогда \их\. u^^^N (К. 6, 60 на D при всех единичных
£eErf.

12.	Замечание. Типичный случай применения теоремы 11
получается, когда D ограничена и 0. Тогда априорная огра-
ниченность \Ux\.	в теореме 11 требуется на dD. Иногда

требовать их ограниченности на всей dD не нужно. Например,

г

если операторы L имеют вид суммы и оператора, не содержа-
щего производных по х1, то мы имеем дело с параболическим
уравнением. Для D = (0, 1) х {[х* |< 1, i2}, как известно из
теории параболических уравнений, относительно решений ничего
не надо требовать на dD(] {х1 = 0}. Использование функции ф1 =
= (х1)-1 позволяет включить этот случай в общую схему.

13.	Замечание. В формулировке теоремы И условия, свя-
занные с неравенствами (23), (38), (39), можно заменить требова-
нием, чтобы при всех « е Q, х е D и единичных g е Ed

*1	dt

(1+ S) 2 '<*(&) j2 + 2 (6(£), £) + 2 2 (B> <y?a>)8 <
fe==l	= l

C-O-S)^/^, g),	(40)

Sla^)^l2+lc(^)^)l + (/(^)(^))+^^ (|cl + fa£> B)b	(41)

k

(^)(^l2 + l^)l2 + l^)l2<^ld(|c| + (ag, £)), \f\^-Kc. (42)

Справедливость этого замечания легко вытекает из теоремы 9,
если очевидным образом видоизменить рассуждения из замеча-
ния 6 в случае, когда В — единичная матрица, 62 = 6, х = — с>
a U — область в Ed. Отметим еще, что условия (40) —(42) слабее
условий (VII.2.15), (VII.2.16), особенно если (afj, |)^6|||2 при
всех £. Кроме того, строгое неравенство в (40) нельзя заменить
нестрогим, что хорошо видно, если все a, b. с. f равны нулю.

§ 6. Оценки вторых смешанных производных
на границе области

Пусть у, х, 6е(0, 1), /С^1, целые d. di^l, феCfoc(Ed).
D := {х Ed: ф (х) > 0} — непустая ограниченная область, ф <=
^C\oc(D). |фх|>0 на dD. Q —некоторое множество и при (оей,
1=1, ..., d. k=l. .... d19 x^D определены действительные
функции aik((d. х), bl (со, х), с (со, х), /(о, х), ограниченные по (о
при всяком xeD. Примем обозначения (VII.2.1) — (VII.2.3) и
будем считать, что при всяких xeD, и^, щ. и нижняя грань
в (VII.2.3) достигается (естественно, в (VII.2.1) — (VII.2.3) мы г
заменяем на х).
Нам понадобится еще матричная функция В (х) = (ВЧ (х); i, I
/ = 1, .... d) такая, что В = В* 5=0, BeCi20c(£>). Обозначим:	I

ДхО={х: 0<ф(х)<х[.

Основные результаты этого параграфа связаны со следующей (
теоремой	|

I.	Теорема. Пусть ы е С2 (ДХО) Q С(ог (ДХО) А С (ДХО), |и|=С I

-С/Сф в и

F(uSxi< их„ и, х) = 0	(1)

в ДХО. Предположим также, что выполнены следующие условия-.
а) а, Ь, с, f непрерывно дифференцируемы по х в &HD;

б)	при всех х е g е Ed, w е Q

0<Ш^Л, |Bg|<.K|g|, С:=Ьф<0,	(2)

tra4-ib|4-|c! + ./K^ie|,	(3)

(4>, оф)+Ф7 L° (Bg, g) i < К । c | [(Bg, g) +1 Фа» H *), (4>
|(Bg, g),|<K[(Bg, g) + |if(l,i2b	(5)

|b(vl + IC(6)l + l/(6)l+l^»lI’Bg, B) + IW]1/2. (6>
2traB + L°i|)«s2(l-6) |с|Н-К(афж, фх),	(7)

42l(o*’ Ms.i2 + 2(BS. (афДр) + 'аф,. (Bg, gW^

^(l-S)|c|[(Bg, g) + K!ip(V|2];	(8)

в)	в матрица В +	,ф“1'ф^ имеет обратную С, кото-

рая ограничена в &KD.

Тогда существуют постоянные рое(О, х), 7Vb	зави-

сящие только от у, х, S, Л, такие, что при р^ро в 4PD

(сши)+о!^

(9>

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, мы
обсудим ее утверждения и предположения.

2.	Замечание. Множитель ф7 перед вторым слагаемым
в левой части (4) введен для того, чтобы можно было рассматри-
вать функции В, вторые производные которых стремятся к бес-
конечности при x-^dD.

*} L° = L—c.
3.	Замечание. Пусть выполнены все предположения тео-
ремы 1, кроме неравенства (8), а вместо него имеет место нера-
венство

4	(1 + б) I « Мб) I2 + 2 Ж, (mfc)(l))

^(1-6)| С | [(В|, g) + Klt(6)l’].	(Ю)

Тогда утверждение теоремы 1 продолжает оставаться верным,
нужно только в качестве С брать матрицу, обратную к

(1 — /V34>) В -ь

где /V8=/V3(6, К), и ро выбирать так, чтобы 1—М8р0^1/2.

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что
если в (2) —(8) заменить В на (1 — N0p)B, то эти условия при
подходящем W(6,	будут выполняться в AX,D с некоторой

постоянной вместо К, зависящей, как и xlt только от х, б, К, и
с б вместо б.
4

Из (2), (3), (5) следует, что в АК,О при xj^x Л Afa*, N» —
= 6-J№

(афх, [(1 — ЛМО (В£, 1)Ь) =

= (1 - Л/ятр) (афх, (Bi, i)*) — N»(atyx, qx)(Bl, g)<

(mfe, фЛ1'2	1 C [(Bi, i) +1 Mu, I2] - N» (afr, фж) (Bi, i) <

41 с I [<Bi, g) + l^)|2] + 6-1№(a1|)x, iW[(Bi, S)+IW1-

- Na (афх. Ф J (Bi, i) 4 | c | [(Bi, i) + (1 + 26-2№) | ф(1) |21.

Отсюда и из (10) при хь удовлетворяющем неравенству
(1 — Л/з*1)“1г^ 1+$, получаем, что в ДХ1£) левая часть (8) после
подстановки в нее (1 — N^)B вместо В не превосходит

(1 - зд (i-б) | с | [(Bi, i)+к I 1*1 + 41с । № ®+N* ।	1’1

<(l-J)|c|[(BL 5) + (vBiWl.

Если еще xi удовлетворяет неравенству (1 — у) (1 — (VaXi)"1^
1 — ~, то последнее в ДХ1Д оценивается сверху через

(1 - 4) IС I [(1 - N^) (Bl, i) + tfa 11(6) I8].

Фиксировав	и наибольшее хь для которого выпол-

нены неравенства Хх^хДЛ'^', (1 — (V8Xi)-1s^ 14-6, (1 —-|-)х
х (1 —	1— , мы в \HiD проверили условие (8) для

(1 — Мз'ф) (Bg, В) с 6/4 вместо бис Л/5 = Мб(6, К) вместо К. Отно-
сительно остальных условий (2) —(7) возможность аналогичных
замен читатель проверит самостоятельно без какого-либо труда,
если при рассмотрении (4) заметит, что

ZL°(1 — Л/ят|?) (Bg, £) =

= (1 — Л/Згр) Ь° (Bg. |) — 2Л/3 (афх, (Bg, Е)х)—AMBg, Е)(С-п|>).

Продолжим обсуждение условий теоремы. Наиболее жесткими
из них являются, безусловно, неравенства (7), (8). Поэтому отме-
тим, что (7) иногда удается удовлетворить за счет увеличения
постоянной Л. Оказывается, что «помогающее» выражение
можно ввести и в другие неравенства.

4. Теорема. Пусть постоянная /С±>-0, выполнены все усло-
вия теоремы 1, кроме условия б), а вместо него при всех x^K^D,
g 6= Ed, oj е Q пусть выполнены неравенства

0<|г|)х|^К,	с —2/<! (афж, гРж)<0, (11)

tra+\b\ + \c\ + \f\^K\c\,	(12)

(<4, <4) + ф* I L° (В£, L | К |с | [<Bg, I) +1ф(6)I2].	(13>

|(Bg,	B) + IW1.	(14>

I I +1 c(l) I +1	I +1 (В (ф — Ki4>2))(6) |

^K\c | [(Bg, L + l Wl1/S. (15)

(гаВ + |в°ф^(1 — 6)|с 14-Л (афх, 4>ж),	(16)

(1+ 6) 4 21 (tr*’	|8 + 2

^(l-6)|c|[(BL 5) + Klt(4)l8l- (17)

Тогда существуют постоянные poe(O, x), N\, W2, Независя-
щие только от у, х, 6, Л, такие, что 1 — 2Kip0^ 1/2, 1 —
— Л^зр0^1/2 и при р^Ро » ДрО имеет место неравенство (9),
в котором в качестве С берется матрица, обратная к (1—W8$)B +
+ 4 где

ф := ф — /<хфг.

Доказательство. Найдем сначала такое Xi = Xi (х, 6, К, Хх),
чтобы для функции ф, взятой вместо ф, в ДН1О выполнялись не-
равенства (2) —(7), (10) с 6/4 вместо 6 и с N (6, К, Кд вместо/С.
Для того чтобы это сделать, заметим, что

Аф = с— 2К1фВф + К1ф2о=с (1 — 2Х1ф) — 4К?ф(афх, фЛ-К1фав,
= (1 — 2^1Ф)	(«Ф*»	= (1 — 2К1ф)2 (афж. фх).
Отсюда и из (12) видно, что для всякого ее (1/2, 1) можно
взять xi = xi(%, 6, К, Ki, е) е (0, х] так, чтобы 1 — 2/^jXi 3/4
и чтобы в ДХ1О выполнялись неравенства

Вф^ес, |фа) | «Sу 1ф(5) I, (афх, фх) 2 (афх, фх). (18)

Это показывает, что в ДХ1£> неравенства (12) —(15) останутся
справедливыми, если в них с, К заменить на Lty, 2К, причем
Лф<0. В частности, в ДХ1Р для функции ф вместо ф и постоян-
ной 4 К вместо К имеют место неравенства (2) —(6). Кроме того,
из (12), (18)

£°ф = В°ф 4- Вф — с ф- Кхф2с — 2К i (афх, фж) -С

Л°Ф + (1 - 8) | с I + Охф21 с I В°ф + (1 - 8 + КЫ) I с |.

Следовательно, учитывая (16), (18), находим

tr аВ +1 В°ф < (1 - 6 + 1 - в + KKtnl) 8-11 Вф | + 2К (афх, фж). (19)

Перейдем, далее, к неравенству (10). Из (11), (12) получаем

S(a*, Ф*)2 = 2(афх, фх)^21га|ф*|2<2№|с |,
k

!(«'*. Ми I2 (1 + 4) 21(ст*’ Md I2 + w 2
k	k	k

< (i+4+21 (<A md,2 + N151 • । I2*
k

где (и ниже) через N мы обозначаем постоянные, зависящие только
от К, Ki, 6. Заметим еще, что в силу (11), (12) ] (Bg, афЛ^
< |афж|-	|c|(£g, g)^.

Поэтому в AX1D

(Bl, (афД^) = (1 - 2^ф) (В1, (афж)(6)) — 2К1ф(^ (Bg, афх) ag

< (1 - 2Л\ф) (Bg, (афД6)) +11 с | (Bg, 5) + (V | с М ф(5) |2,
| (1 + 4) 21 И» Ml) I2 + 2 (Bl, (афД6))
k

^ (1 - 2К.Ф) [1 (1 + 4) (1 + 4 + *Ф2) (1 - г/Сгф)-1 X

X 21 Ml) I2 + 2 (Bl, (афД6))] + 41 с I (Bg, g) + NI c I • I ф(6) |2^

^1(1- 2К,ф) [(1+ 4) (1 + 4 +	(1 -	- (1 + 6)] х

X 21 Ml) i2 + (1 -	IС I [(Bg, g) + NI ф(6) I2].

k
Без ограничения общности можно считать, что xj удовлетво-
ряет неравенству

(1 + 6/4) (1 + 6/4 4- W ,х?) (1 - 2/CiXtH - (1 + 6) < О,
а тогда из (18) в ДХ1Р окончательно получим

|(1+6/4)2	«4>x)(6)X

k

 8-1 (1 - 6/2) I £ф I [(В|, g) + АГ I фх Pl. (20)

Наконец, из (19), (20) видно, как нужно выбирать в, хх, чтобы
в ДХ1Р мы имели

tr аВ 4-1 Рф < (1 - 6/4) | Lty 14- N (а|ж, фж),
1(14- 8/4) 21 (°*’	I2 + 2 (В|, (a$J(v)

(1 - 6/4) | Lfy 11 (Bg, g) 4- А/ I (Г-ш I2].

Для окончания доказательства теоремы мы хотим применить
замечание 3. Здесь имеется только два препятствия: D может
не иметь вида {ф>0}, &KlD может не иметь вида |0<i|)<xJ.
В связи с этим на (—оо, оо) определим бесконечно дифференци-
руемую функцию х (О так, чтобы = t — при
X(0 = (8^i)-* при	х'>0- Тогда, очевидно, D —

— {х(Ф)>0}- Кроме того, так как x1^(8Ki)-1, то ДХ1Р = {0<
<ф<хх} = {0<7.(ф)<Х(*1)} и на Дх,D имеет место равенство
Х(ф)=ф- Стало быть, на множестве {0<х(фХхг} ПРИ Xj = X(xi)
выполнены все условия замечания 3 для х(Ф), j8, N (6, К, Ki)
вместо ф, 6, К. Теорема доказана.

В приложениях результатов этого параграфа основную роль
играет

5.	Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4, ue
е С2 (ДХЛ), I и» X К, | ф* |	6 на ДИО. Тогда существует постоян-

ная N такая, что |\^N для любых x^dD и единичных
g _|_Ф*(Х), Л i фх (х)- При этом N зависит только от у, х, 6, К, Къ
(УТ нормы ф в С2(ДХ£>) и от постоянной, ограничивающей сверху
в ДХВ собственные числа матрицы, обратной к В + | ф^фуф*.

Докажем это. Воспользуемся утверждением теоремы 4 при
р = р0, обозначив через С матрицу, обратную к (1 — А/Зф) В +
+ j ф-1фхф*- По теореме 4 в ДРвО

(С (и/ф)ж, (и/ф)х) 4- Nl (м/ф)2

< max [(д(и/ф)ж, (ы/ф)х) 4-А/х (u/ф)2] V Л/2. (21)
Х-. ф (X) = ро
Так как 1 —/V31oo5= 1/2, 1 — 2Л\р0Э= 1/2, то правая часть (21)
оценивается сверху постоянной, зависящей лишь от указанных
в следствии величин. Кроме того, как в теореме 3.1, легко дока-
зать, что функция аф-1 продолжается до функции класса (^(Др.О),
равной по правилу Лопиталя (их, фх) |фхН на dD. Далее, возьмем
xee=dD, xnf=D, хп->х0, £±фх(х»), |Ё| = 1, П = фх | фх Uo) I’1,
положим tn = (иф-1)^) и выберем так, чтобы	J_ tyx(x„).

По неравенству Коши — Буняковского и из (11) при любом
t е (— оо, оо)

(C(x„)U U^2((U Ъ)-Р((С(хаУг'1а, £•„) =

= 2/ (С,, и - Р (1 -	(х„)) (В (х„) tn, In) => 2t (tn, 5») - РК 1I2-

Возьмем здесь верхнюю грань по t. Тогда мы увидим, что
нижний предел левой части (21) в точках х„ не меньше значения
в точке х0 выражения

К-1 [((их, фх) | фх На)]2 = К-1 [“аил) I Фх I-1 + («х, (Фх I Фх hah))P-

Этим утверждение следствия, очевидно, доказано.

Теперь приступим к доказательству теоремы I. До конца
параграфа предположения теоремы 1 считаются выполненными.
Мы будем пользоваться методикой из § 3, позволяющей свести
уравнение в области к уравнению на многообразии, и результатами
§ 5 об оценках первых производных решений уравнений на мно-
гообразии. В соответствии с этим, как в § 3, введем вспомога
тельное пространство Ed+i, примем соглашение о греческих
индексах, введем обозначения (1.4), (3.6), (3.7) и положим V (р)=
= |xe£i+4: 0<ф(х)<р}, U (р) = {х <= Ed+i: 0<(х]2 = ф(х) <р},
ф (х) = ф (х) — [х]2, а = иф-1, Z = Z (со) = а'7 (со) Lu4-bl (со) Lt4-с (со) ф,
Z° = Z — Z1.

Оператор Z нам нужно представить в виде (VII. 1.2), и из фор-
мул (3.6), (3.7) естественным и простым образом возникают
следующие "Объекты (ср. (1.7)):

<Г’т* = хУа1кг	= 6»*v ~ (ak, фх).

\	Ь1 = 2аУф / 4- [х]2 Ъ1,	= 4- х^ТЛф,

где ( = 1, ...» d, k — 1, ..., di, v, p=d4-l, •••» d + 4. Функцию?
берем из (2). Отметим, что 71=£ф = ?, Z° = Z — с. Следующая
лемма доказывается непосредственными вычислениями.

6.	Лемма, а) |фх|>0 на V(%);

б)	£аф = £а(ф2) = 0 на U (и) при a = i, if, в частности, 7ф =
= Z (ф2) = 0 на и (и);

в)	если t/eCMVlx)), то на V (%)

Lv=^	(оИг, 4- v(b) + cv;
г)	если v (х1, ..., ха) <= Cfoc (Дх£>), то на U (х)

~ (Lif + La) v =	Цо = (фо)?, Lv = L (фо),

Z°t> = фА°о + 2 (афх, vxy,

д)	(Ly + L^a, LtU, фй) = 0 на (7(x).

По матрице В = (В1>\ i, j=l, d) введем также матрицу
B = (B‘7;	d-|-4) так, чтобы В'7 = В'7 при i, j^d,

= ПрИ р, v = d-f-l, .... d-f-4, B‘i = 0 при остальных зна-
чениях I, /е{1, .... d-{-4}. Еще несколько результатов прямых
вычислений мы оформим в виде еледующей леммы, в которой
и далее при £ е Bd+4 или при | е Ed под BE понимается элемент Еа
с координатами

(В£)‘ = £В^/ и (В1,1>= £ BW.
/=’ . /=»1

7.	Лемма. При | е Ed+4 на (/(х)

L4BI, Е) = ф£«(В£, |) + 2(офх, (В$, |)х),
(W’ ^)=^(в(а*£.	+

(бз**, 3}*) = [SF (Во*, а*) + 2|vxv (Во*, о*5)) ч-

+ ф(Во*5), <Т(Е))+S 1 (а*> 1,’Лъ12.

(В?, 5а)) = (В|, (2афж + М» b)(-s)) + ОД» L4 +	(£>(6),

2	(В^, с**Г = ф^(В5, о*)2 +

/? = 1 v=d-M

+	(В|, о*) (О*,	+ 1 [£]г V (аА,

к
dt d ^-4

S 2 (W+zs’a. S)‘“
fe=l v«=d + l

“tSK'W. i)+2(B|, oyr +

+ 2х^[(В(аЪ|, |) + 2(Bg, o*5))].[2(B|, o*)-M<t*.	,14-

+UTS12(BS, +

k
Перед формулировкой следующей леммы определим еще один
объект. При	t^Q пусть

x, L 0 = Ф^°(В|,	+ (BL g)x) +

Ч-'Ьб) (£(<?)£’ а*)+2Ф(в(<?Л аа)) + Ф(^(в<7*. °м)+
+ф(Во*5), a^)+ Ц I «т*. 1ЫЫ2 + 2(В|, (2афж + фЬ)(5)) +
к

+ 1ф(6) (£°ф)а) +1 ((Во*, а») + А °ф].	(22)

8.	Лемма. Пусть ре (О, к). Для Z0, В, с, Ь, с на U'(р)
при всех oeQ, (Б1,..., Iм) ¥= 0 неравенство (5.17) выполнено
тогда и только тогда, когда при всех ш е Q, хе ДРО, В е Еа,
* I I2 Ф-1» I £ I2 + * > 0 выполнено неравенство

j<2(1 -6)ifim g)+o+/c ф2(В^’ аА)2+

4- 1ф(6) (Bg, а*) (а*, ф,) + 1*2(а*’ 'М •	(23)

<?

Доказательство. Лемма 7 показывает, что для Z0, В, о,
J, с неравенство (5.17) на U (р) выглядит следующим образом:
оно получается из (23), если там и в определении (22) функции J
всюду вместо ф($), t, фб написать 2|vxv, [g]2, [х]2 b соответственно.
Тот факт, что неравенство (5.17) нас интересует только на U' (р),
означает, в частности, что х, £ е Ed+4 связаны еще соотношением
ф(5)(х)=0, т. е. (х) = 2|vxv. Это подтверждает правильность
замены 2|vxv на ф(^ и (х]2 b на фб. Кроме того, из неравенства
Коши — Буняковского для (х, |)е(7'(р) имеем |ф<£>(х)| =2|£vxv|<
<2(£] J/ ф (х). Поэтому, трактуя t как (У2, видим, что если (23)
выполнено при всех 11 ф(%> рф-1, то выполнено и (5.17). С дру-
гой стороны, для всяких хе ДРО, |eErf, 1Ф(6>РФ_1 можно,
и многими способами, подобрать xd+1, ..., х^44, |rf+1, ..., £d+4 так,
чтобы ф(х\ .... xrf+4) = 0, ф(х\ .... xd) = xvxv, 5'фг< +	= О,

ф(5)(х1, ..., xd) = 2gvxv, £v£v = /. Значит, в свою очередь усло-
вие (5.17) влечет за собой условие (23). Лемма доказана.

9.	Лемма. Существует постоянная рое(О, х), зависящая
только от у, х, 6, К, такая, что неравенство (23) с заменой
в нем 6, К на у 6, 2К имеет место при всех oe Q, хе Др,£>,
JeE,. t11ф(6)|2ф-\ |£|S-M> 0.

Доказательство. Обе части (23) линейны по t, поэтому
неравенство между ними при всех *^-|-|ф(у Рф-1 будет верно,
если оно верно при t= ^-| tyvl*1!’-1 и при	При /->-оо

оно имеет место с 2К, 6/2 вместо К, 6 в силу (7). Кроме того, из (7)
следует, что при х е ДрР, t = 1 г|>(|2 ty-1 имеем

/(©, х, — х, |, 0) — [2 (1 — 6/2) I г | + Л (m|)x, i}>x)]/==g
^-6|г;/^-1бр-Мг|-1^) Is.

Поэтому для доказательства леммы достаточно найти подхо-
дящее р так, чтобы

J(w, х, &, 0)^2(1 -6/2)|r|(Bg, £) +

+ Ki|>(6) (В|, ст*) (о*, ife) +16pJ | с | • 11(6) |2 (24)

при всех ией, хеДРО, IеЕа. Оценим с помощью (2) — (6)
различные члены, входящие в /(©, х, 5, 0). Через W будем
обозначать постоянные, зависящие только 'от 6, К, и положим

g) + lt(6)l*.

При х е APD, р sg х имеем
фВ°(В£, g)<p*-YK|e|/,

Фев (В^, а*) < N | г Г 1| i B((jft) g |^2

ф(В(а*)^.	р (S	rf (SI /)1/г < АГр I г I /,

х|)а)(Вст*,	/1/2^ЛГИ-1Ч,а>12+ гИЛ

CT(S))^^ lf I7’

(Bl, (фад^лчвв, £)v2[|d-l^)i+pid/1/2l^
1г+(|+А'р)|НД

фа) (^“Ш)=Ф(£)г(б) — Ф<5) ИОа»

c/VI^, |-Id 71/2+/V]f	1г+| Id7-

Кроме того,

-Кф(6)(В£, <у*)(а\ iM<S/V|W-|B||.|d<

^^lll>а)|.|d/1/2^^ld•lФш 12 + |и/.

*) Если матрицы А, В симметричны, В > 0 и | (Л£, g) । Л (В$, при
всех t а £<, то | AJ |» «S № | В | (Sg, g) при всех £ е Еа,
Отсюда и из (8) заключаем

J (W, х, 0) —	(В|, о*) (о*,

^(2-6-|-6 + /Vpi-v)|ci(Bg, g)4-An*l-^a)|2-

Это неравенство и показывает, каким надо взять р, чтобы удов-
летворить неравенство (24). Лемма доказана.

10. Доказательство теоремы 1. В силу (3), (6) для /,
с, В, Ъ, а на W (р0) при подходящем ро = ро(у, х, б, К.) выпол-
нено не только условие (5.17), но и условие (5.18) (с некоторой
постоянной N (К) вместо /С). Кроме того, из предположения в)
теоремы 1 следует, что для некоторой постоянной ц>0 в ДХР
и в ДРоО для geEd имеем (Bg, g)4- | |ф(^	|а. Так как

при хе(7(р0), g €= Ed+i, ф(5)(х) = 0 справедливо неравенство
I Фа> (х) I < 2 [g] VФ (х), то

(Bg, g)^R]2,

a	d-M

(Bg, g) р 21 ? I2*	® -4-^ 2 i2-

<=i	=

Следовательно, для гр, я, В, О, Ь, с, f, U' (ро) выполнены предпо-
ложения первой фразы в формулировке теоремы 5.8. В качестве
функции ф1 возьмем ф-1/а. Тогда (лемма 6) на U (р0) получим
7фг = L J/ф у ф_1/2Е°ф 4- сф1/а = 1 (г 4-сф) Ф_1/2, причем последнее
будет меньше нуля на U (р0) по условию (3), если при необхо-
димости несколько уменьшить р©. Для выбранной функции ф1
в соответствии с (5.26) обозначим

Um *Ро) = {х е U (ро): ф1(х)<т}.

Очевидно, а, непрерывны на Z7OT(po), Um (pe) \ U (р0) —
= {х е V (х): ф (х) = ро}. При х е U (х) обозначим далее

Р (х) = sup ЦХ (В (х) g, g) 4-1	i2]~l/2 d (g) fl (x): (x, g) e U' (x)},

Г

где X берется из леммы 5.1, применяемой к ф, В, б, Ь, с, f, U' (р0).
Величину Р (х) легко вычислить, если заметить, что

д (g) й = У (иф-1)^' 4- |',+8«ф+’,

1 SSB 1

(Bg, g)=(Bg, ю4-га2э= 2	2

й/==’	i,/ = 1

и что для всяких	можно подобрать £d+1, grf+4

так, чтобы в последнем неравенстве достигалось равенство (ср.
доказательство леммы 8). Оказывается, что

= (Сйх, ах) + (а)2.

Наконец, по теореме 5.8 при хе[/'(р0)

Р2 (х) Л/i V max {Р2 (#): y^U(n), ф(^=р0}.

Поскольку Р (х) = Р (х1, ..., х**), то при х е Ap„D

P2(x)^Ni\/ max{P2(z/): у = (у\ ..., у*), ip(z/) = p0}.

Этим доказано (9) для р = р0, а так как приведенные рассуждения
очевидным образом справедливы для любого р^Сро, то теорема
доказана.

§ 7. Существование решений уравнений,
слабо невырожденных по нормали

Рассмотрим ситуацию, описанную в начале предыдущего пара-
графа, однако откажемся от требования, чтобы нижняя грань
в (VII.2.3) достигалась, и предположим, что о, ft, с, f заданы
при всех х eD, непрерывны в D, дважды непрерывно дифферен-
цируемы по х в D и ограничены по (со, х). Пусть еще ipeC3(D).
Для пояснения некоторых идей предположим на время, что
| и | Кф в D для любого достаточно гладкого решения уравне-
ния (6.1) в D с нулевым данным на dD, Это предположение
иногда выполняется за счет того, что —Кг, где с :=Лф. Из
неравенства | и | Кф, конечно, вытекает, что | их | К | ф* | на dD,
и мы имеем оценку нормальной производной и на dD, Кроме
того,' по теореме Менье о кривизне сечений поверхности для
x^dD, В_1_фх(х) справедлива формула

где п = ф^| фх)-1* Следовательно, оценка также имеется.
Оценку Ц(£)(Л) в этом параграфе мы будем получать из следст-
вия 6.5, а тогда появляется возможность оценивать щП)(п) (на dD)
из самого уравнения (6.1), грубо говоря, разрешая его относи-
тельно и(л)(л). Для того чтобы это сделать, нужно, чтобы и(л)(л>
«входило» в уравнение (6.1). Мы уже неоднократно сталкивались
с необходимостью оценивать меру вхождения производных в урав-
нение (см., например, § II.2), когда нужно было, имея оценки
чистых вторых производных решения сверху, оценивать их и снизу.
Теперь же мы должны оценивать щпцп} сверху, исходя из урав-
нения, формулы (1) и оценок и(^)(л|. Поэтому и «мера вхождения»
н(Л)(Л) в уравнение здесь измеряется не с помощью р (/) (см. фор-
мулу (11.2:5)), а некоторым другим способом, связанным со сле-
дующим определением.
1.	Определение. Пусть существуют постоянные X, v>О,
е0 е (0, 1) такие, что для любого е е (0, е0) и любого решения
м8 е С2 (D) задачи

в2 Ди —выF (uuxi, и, х) = 0 в D,	(2)

и = 0 на dD	(3)

выполняется неравенство

^x)^x>t/ + ^nJ, l^l-2 (и8,	°. x)=sv. (4)

Тогда скажем, что оператор F (и.*,*,, uxt, и, к) елабо невырожден
по нормали к dD.

Обсудим данное определение. При c«gO из принципа макси-
мума вытекает, что задача (2), (3) может . иметь только одно
решение из класса С2 (D). При тех условиях на о, b, е, t, которые
будем накладывать в теоремах существования, эта задача при
всяком в е= (0, 1), кроме того, будет на самом деле иметь решение
из С2 (D). Вообще же в определении 1 не предполагается сущест-
вования решения задачи (2), (3). Требуется только, чтобы нера-
венство (4) выполнялось на dD всякий раз, когда существует
решение задачи (2), (3) в классе C2(Z5). Иногда бывает полезно
иметь в виду, что по определениям F, с неравенство (4) может
быть переписано следующим образом:

inf[H*|~2(u8, ifjc (w>-|-X(a(e>) л, п)-Н (со)|^уГ (5)
б)

Отметим несколько простых условий, достаточных для того,
чтобы оператор F был слабо невырожден по нормали.

2.	Замечание. Если с 0 и в« <= (0, 1), |/|	— К (L-|-e2A)i|>

при всех в е (0, е0), х е D, wgQ и оператор F равномерно
невырожден по нормали к dD, т. е. если

а11 (а, X) (х)г|\/(х) 2s vlt	(6)

где постоянная Vj > 0, при всех х е dD, о> <= Q, то F и слабо
невырожден по нормали.

Действительно, из принципа максимума следует, что |u8|s^/uj5
в D, |и8 |	|^х| на dD, значит, левая часть (5) при Х = 0на5Р

ограничена постоянной, не зависящей от в, а при любом Х^=0
по свойству нижней грани суммы она больше суммы своего зна-
чения при Х = 0 и величины

1 inf rfW,
б)

которая больше Xvi |	|2 по условию (6). Поэтому при достаточно

большом X можно удовлетворить неравенство (5) (с любым v).

3.	Замечание. Если Q состоит из одной точки, т. е. мы
рассматриваем линейные уравнения, если вторые производные и8
ограничены на dD равномерно по в и если оператор F слабо не-
вырожден по нормали, то он и равномерно невырожден по нормали.

В самом деле, если в какой-либо точке x0^dD левая часть (6)
равна нулю, то тогда в точке xQ левая часть (4) не зависит от X
и в силу (1) равна

F (и®,г/(х0), u*i(Xo), иг(х0), х0).

Последнее по формуле (2) совпадает с (—82Ды8(хв)) и не может
быть больше v>0 для всех ее(0, е0). Совершенно аналогично
доказывается, что в общем случае верхняя грань левой части (6)
по ш ей строго больше нуля в каждой точке х еdD, если опе-
ратор F слабо невырожден по нормали к dD и вторые производ-
ные и8 ограничены на dD равномерно по е.

Замечания 2, 3 показывают, что для линейных уравнений
в практически интересных случаях понятия слабой и равномерной
невырожденности по нормали совпадают. Совершенно иначе выгля-
дит дело для нелинейных уравнений.

4.	Замечание. Пусть /э=0,	—vx при x^dD, оей,

где постоянная vi>0. Пусть также для ы8 может быть установ-
лена априорная оценка: (и®, Фх)^ —vi на dD. Тогда оператор F
слабо невырожден по нормали, причем в (4) можно взять 1 = 0.

Справедливость этого замечания вытекает из того, что левая
часть (4) на dD при 1 = 0 и больше или равна

— I фх I-2 («». Фж) inf (— г (®)) X фх |-а vf.
й>

5.	Замечание. Пусть область D связна и в D существует
гладкая функция g^O, g^=0 и постоянная Vi>0 такие, что при
всех xeD, му = м;Ь uit и имеет место неравенство

F(utj, ut, и, x)^v16Vuiy4-g(x).	(7)

Тогда существует постоянная v2>0 такая, что (и8, фх)< —v2
на dD при е е (0, 1).

Для доказательства при ее(0, 1) определим гладкие функ-
ции ц8 так, чтобы (82 -|- Vi) Дц8 — ev8 g = 0 в D, t>8 = 0 на dD.
Используя элементарные барьеры, гладкость dD и связность D,
можно без труда доказать, что	— v2 на dD, где v2 не зависит

от х, е; vj >• 0. Из (7) вытекает, что 0^82 Ди8 — ea8-|-Vi Дм84-я,
откуда с помощью принципа максимума заключаем u8^u® в и,
(“*♦ •Фж)<(0*» Фх) — фх i на dD, что и требовалось.

Из приведенных рассуждений следует, что условие (7) можно
значительно ослабить. Например, достаточно, чтобы существовала
точка cooeQ такая, что с(соо)^0 и уравнение (е2Дф-£ (®0)) v —
— et>4-f(a>0) = 0 в D с нулевым данным на dD имело бы решение
из С*(Ь), для которого и(П)«С — va на dD, где v2>0 и v8 не за-
висит от х, в. Кстати говоря, при выполнении условия (7) всегда
можно расширить множество й, добавив к нему точку © ф □
и определив L (©) и + f (ш) = V! Ди + g. При этом расширении в си-
лу (7) функция F не изменится.

Замечания 4, 5 позволяют построить большое количество при-
меров нелинейных операторов слабо невырожденных, но не равно-
мерно невырожденных по нормали. Проще всего это делать, считая,
что f = 0 при xedD, соей. Возвращаясь еще к замечанию 3
о линейных уравнениях, отметим, что если й состоит из одной
точки, то условие (7) сразу описывает оператор Л(ш): L(<o) = viA.
Для нелинейных уравнений подобного свойства нет, что и приво-
дит к отличию понятий слабой и равномерной невырожденности
по нормали.

6.	Замечание. Условие /^0 на QxdD из замечания 4
иногда оказывается слишком ограничительным. От него можно
отказаться в следующем случае. Пусть й — метрический компакт,
о, Ь, с, f непрерывны по (ш, х) на QxdD, 80s(0, 1). Обозначим

Р = {(ш, х): шей, x<=dD, а‘>(ш, х) п* (х) nJ (х) = 0},

Г = {x^dD: (со, х)еР для некоторого шей}

Если бы замкнутое множество Р было пусто, то оператор F
был бы равномерно невырожден по нормали к dD. Поэтому пред-
положим, что Рфф. Пусть также /^0 на Р и для некоторой
постоянной vi>0 на Р имеем	Наконец, предположим,

что для некоторой области G, содержащей замкнутое Г, для
любого ее(0, 80) и любого решения ueeC2(D) задачи (2), (3)
на Gf)dD справедливо неравенство (u«,	—vr Оказывается,

что и в этом случае оператор F слабо невырожден по нормали
к dD.

Для того чтобы это доказать, предположим противное. Тогда
неравенство (5) на dD не выполняется ни при каких X, v, а сле-
довательно, для всякой последовательности Хг->оо найдутся
ег е (0, 80), vr>0, xr^dD такие, что vr~>0npn г->оо, и нера-
венство (5) нарушается, если в него подставить е = ег, Х = ХГ,
v = vr, х=хг. Разумеется, можно считать, что последовательность х,
сходится к некоторой точке xoedD. Кроме того, так как й —
компакт и о, b, с, f непрерывны по ш, то нижняя грань в опре-
делении F достигается. Обозначим через шг ту точку, в которой
достигается нижняя грань в (VII.2.3), когда в качестве агрумен-
тов F берутся выражения из (4) при е = 8г, Х = ХГ, х = хг. Не
ограничивая общности, предположим, что шг->ш0 при г->оо.

При каждом г имеем

vr Sa | (хг) |-2 (ие/, (хг) с (ыг, хг) +

4- (а (со,, хг) п (хг), п (хг)) 4- f (©„ хг). (8)

Деля в этом неравенстве обе части на Кг, полагая г -* оо и поль-
зуясь непрерывностью а по (со, х), получаем, что (®0, х0)^Р.
После этого в (8) опустим второе слагаемое, положим г-*оо и
воспользуемся нашими предположениями. Тогда увидим, что

О I (Хо) |“2 Vt (— Г(СОО, х0))+/(со0, Хо) | фж (Хо) к2 vj.

Так как это неверно, то справедливость замечания доказана.

Рассмотрим простой и, как читатель понимает, далеко не един-
ственный пример применения замечаний 5, 6.

7.	Пример. Пусть d^2, функция ф строго выпукла вверх
на D, g (х) — гладкая функция на D, g=C0, g-^0, Q — множество
всех неотрицательных симметричных матриц размера dxd, след
которых равен единице. В качестве F возьмем оператор

inf [ ay^Uij + у/ det со g (х) d],

функции о, b, ct f определим очевидным образом. Так как ф
строго выпукла вверх, то — Vi при всех со, х, где постоян-
ная vi>0. Кроме того, здесь при (со, х)еР, очевидно, det со = О,
а значит, / := yfdet cogd = 0 на Р Наконец, поскольку (/л(^)ей,
то условие (7) выполнено, если в нем взять Vi=d-1. По замеча-
ниям 5, 6 рассматриваемый оператор слабо невырожден по нор-
мали к dD.

Основной результат этого параграфа содержится в теореме 9.
Для ее доказательства нам потребуется следующая лемма, перед
формулировкой которой напомним, что предположения, высказан-
ные в начале этого параграфа, постоянно считаются выполненными

8.	Лемма. Пусть о, &, с, f дважды непрерывно дифференци-
руемы по х в D, ограничены по со, х вместе с первыми и вторыми
производными по х. Пусть даны некоторые функции В = (В1/) =
= В*^0, BeCfoc(O), йе=С2(£>)АС(£), й^О, х(со, х)^0
и числа 61, 62 е (0, 1), Ki>0. Определим функцию М(х, |), как
в замечании 5.7, и предположим, что при всех соей, xeD
и единичных 1-^Ed выполняются неравенства (5.23), (5.38), (5.39),
а также

Si^u^K, с^О, г:=Вф^ —62, \f\^ — Kc. (9)

Допустим еще, что при всех х е AXD, Е s Brf, (о е й выполнены
неравенства (6.11) — (6.17), |фх| 6Х, (Bg, g) 6i|g|2,
фУ-ц (В£, 1)хх || «с К1512. Тогда найдется е0 е (0, 1), для которого
при всяком е е (0, во) задача (2) — (3) имеет и притом единствен-
ное решение и^С2(и), и для этого решения

\и (х)|<№|>(х),	|«(П)(С)(!/)|<М,

(Ю)

при /:=sup(u(n)(n))+, хеО, y^dD, всех единичных & т),
dD

п1ФжС£0» €-L фж (f/)» N* АМО зависят только от норки ч|>
в С9 (D) и от К, К.1, 6, 61, у, х (Ni еще зависит от выделенного
аргумента t\ N, Ni не зависят от в, д2).	_

Доказательство. Существование решения и е С2 (D) нам
известно из теоремы VI.4.2, единственность — простое следствие
принципа максимума. Первая оценка в (10) также вытекает из
принципа максимума, если в2Дф — еф4-^ф^-| с, что верно во
всяком случае при достаточно малых е в силу (9) и конечности
нормы -ф в С3 (D). Разумеется, из неравенства | u | =С Nty следует,
что | их | N1фж | на dD.

Далее, мы хотим к и применить теоремы 5.10, 5.11. Для
этого, прежде всего, необходимо преобразовать уравнение (2)
к виду (5.25), где функция F строится по некоторым ое, be, се, fg
в соответствии в формулами (VII.2.1) — (VI 1.2.3). Делается это
весьма просто, достаточно положить o® = oift при Л=1, ..., db
i— 1, ..., d, о1’ + * = |^2s6rt при i, k= 1, ..., d, be — b, fa — f,
Cg — c — e.

Кроме того, положим 68 = j (2 — 6) 6i (1 — 6г), y_a — x 4- 68e и
построим Ma no og, ba, ca. Легко видеть, что Хв^б8е, и в силу
конечности нормы « в С2 (D) также М8 Ss М 4- 68е	68в при всех

достаточно малых е>»0. При малых 8 для ое, be, се, fa, Хе» Me,
очевидно, выполнены неравенства (5.23), (5.38), (5.39). Теперь,
если бы мы знали, что и е С\ос Ф) и если бы нижняя грань
в (VII.2.3) достигалась для исходных о, b, с, f (а значит, и для
о8, ba, ca, /8), то тогда по теореме 5.10 (см. также замечание 5.12)
мы бы имели и второе неравенство в (10). А если бы мы знали
еще, что ueC’oc(D), то по теореме 5.11 могли бы написать

sup (и(лНл))+)	(И)

для | е Еа, ||| = 1. Затем мы бы заметили, что при достаточно
малых в условия (611) —(6.17) выполняются для а8, be, се, fa,
если 6, К заменить на 6, 2К, а поэтому из последней формулы
с помощью следствия 6.5 и (1) мы получили бы третье и четвер-
тое неравенства в (10).

Предыдущие рассуждения показывают, как нужно выбрать в0.
После этого все упирается в отсутствие достаточной гладкости и
и в то, что нижняя грань в (VII.2.3) может не достигаться.

Для преодоления этих трудностей воспользуемся схемой рас-
суждений из § VII.3. Сначала, пользуясь преобразованиями из
доказательства леммы VII.3.2, мы доказываем лемму, когда мно-
жество Q конечно, о, b, с, f бесконечно дифференцируемы по х
в D. Разумеется, мы пользуемся предельным переходом по р->оо,
функцией и формулами (VII.3.16) — (VII.3.20), в которых опу-
скаем член щ, так как рассматриваем здесь эллиптические урав-

12 Н. В. Крылов
нения. Кроме того, разумеется, мы обращаем внимание на то, что
в этом случае постоянные V и функция Ni(t) из (10) никоим
образом не зависят от числа элементов в й.

На следующем шаге настоящая лемма доказывается только
в ее предположениях для конечных й. Здесь используется пре-
дельный переход от бесконечно дифференцируемых а„, b„, са, fn
к исходным, причем, так как Ме %8^688, ф7|(В|,

К | £ |2 и В равномерно невырождена в ДХО, то совершенно все
равно, как строить бесконечно дифференцируемые приближения,
лишь бы они равномерно на D вместе с производными первого и
второго порядков сходились к исходным функциям. Кстати говоря,
предельный переход в соответствующих уравнениях не вызывает
никакого труда, так как по теореме VI.4.2 при всяком 8>0 имеем
оценки норм в С24® (D) решений допредельных уравнений, не зави-
сящие от п, и число ае(0, 1) (свое для всякого в) не зависит
от п. Предельный переход по числу элементов Й доказывает лемму
для счетных й, а эквивалентность уравнения (2) такому же урав-
нению, построенному по некоторому счетному подмножеству й
(ср. доказательство теоремы VI. 1.5 г)), позволяет получить утвер-
ждение леммы в общем случае. Лемма доказана.

Основным результатом параграфа является

9.	Теорема. Пусть выполнены условия леммы 8 и оператор F
является слабо невырожденным по нормали. Тогда на D найдется
функция и такая, что:

a)	ueC.(D), и = 0 на dD, в D существуют соболевские произ-
водные их и меры ихх',

б)	[и | Nty,	(п. в. D), u{t}^(dx)^N dx в D при

всех единичных | е Еа, где N зависит только от у, х, 6, К., Ki, бь
нормы ф в C*(D) и постоянных X, v из определения 1;

в)	ад (со) u/xj (dx) dx при всех шей,

F(u^'xJ, uxi, и, х) = 0 (и. в. D).

Функция и с описанными свойствами единственна. Кроме того,
если область DoaD, l^. Ed, 111 = 1 и функция р (/), определяемая
по формуле (VII.3.30), отделена на Do от нуля, то обобщенная
производная u(l}w ограничена на Do. Если же функция р из
(VII.3.31) отделена на Do от нуля, то все обобщенные производ-
ные вида ихх ограничены на Do.

Доказательство. Обсудим сначала вопрос о единственно-
сти. По лемме III.6.2 функция и удовлетворяет уравнению

А [ад (со) • uxixJ 4- (&' (со) uxi 4- с (со) и4-f (со)) • Л] = 0,

где Л —мера Лебега в D. Так как и не зависит от t, то такое же
уравнение можно написать в Q:=(0, oo)xD для u(t, х):=и(х)
и в него еще можно добавить производную и по t. После этого
единственность вытекает из следствия Ш.7.10, если положить
ф((, х) = ty(x)eM и воспользоваться тем, что ф/+£ф=е<"(с+аф)<0
при малом а>0.

Перейдем к существованию решения. Уменьшим при необхо-
димости е0 из определения 1 так, чтобы оно годилось для леммы 8,
и при ее(0, во) через и* будем обозначать функцию и из этой
леммы, отвечающую данному 8. Фиксируем некоторую точку х0 е dD
и. выберем единичные &Хфх(*р)> 1 = 1, .... d — 1, так, чтобы
(&,	= i,	В результате простых вычислений из (1),

(10)	при малых 8 в точке хв находим

e2Au£ + Lue = | фж |-2 (и®, фж) (в2Д-)-£.) ф +

+ 2	л)[^)<Н%|4(“!- t)W]+

i >2

+ (в2 + (an, n)) [ы«я) (я) -1 фж j-2 (и®, фж)ф(я)(я)|

> |	Р («?’ ’l’,) с “ J + <82 +	«)) [“<«) («, “ *о| *)’

где Vo зависит нужным образом от исходных данных. По опреде-
лению 1 (см. также (5)) отсюда следует, что и®я)(я>^14-Л(онад£),
а вместе с леммой 8 это приводит к оценкам |ы® | «с #ф, | и* | «С N,
«ф(Ю<АГ,- равномерным по 8>0, хеОи единичным
Теперь существование функции и, обладающей свойствами а) — в),
доказывается, как в лемме VII.3.4. Последние утверждения тео-
ремы получаются, как в доказательстве теоремы II.2.6. Теорема
доказана.

Проверка условий леммы 8 может оказаться в тех или иных
случаях довольно сложной задачей, состоящей в нахождении под-
ходящих В, й. Поэтому в следующей теореме мы укажем два про-
стых случая, в основе которых лежит конкретное задание В, й.
Для удобства читателя в формулировку теоремы включены и те
необходимые условия, которые подразумевались в этом параграфе.

10. Теорема. Пусть у, 6 <= (0, 1), ф е CLc (ЕД D-
= {х: ф (х) > 0} — ограниченная область, ф е С3 (D), | фж | > 0 на dD.
Пусть также о'*, с, f непрерывны в D, дважды непрерывно
дифференцируемы по х в D, они сами и каждая их производная
по хГ, хГх* ограничены на QxD. Предположим, что выполнена
одна из следующих групп условий а) или б):

а)	при всех x^D, <о е Q, единичных | е имеет место нера-
венство (5.40), с^ — S, £ф«^ —б, а, кроме того, (афж, ф*)^б на
QxdD‘,

б)	а, Ь не зависят от х, функция ф строго выпукла вверх,
ф е С® (D) ПEk (D), (b, фх) + 2 (1 —б)£ф«сО на QxdD, при всех

*) Используем еще, что 2 |(а&, п)|==:р(а^, £г)+ ,-1(ап> л) ПРИ любом 0>О,
12*
(го, л)ейх£> и единичных %,v\^Ed.

1<К» с<°>	(12)

а, кроме того, оператор F слабо невырожден по нормали к. dD.

Тогда имеют место все утверждения теоремы 9 без уточнения
исходных объектов, от которых зависит N в утверждении б) тео-
ремы.	j

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда выпол-
нено условие а). Здесь возьмем й= 1, х= 1. Тогда (5.23) окажется
следствием (5.40); неравенства (5.38), (5.39), (9) будут выполнены
с некоторыми бд, б2>0. Кроме того, почти очевидно, что для
некоторого х>0 найдется'сначала большая постоянная Ки а затем
большая постоянная N такие, что в AXD будут выполнены нера-
венства (афж, трж) у 6, (6.11) —(6.17) с заменой в последних ВУ
на W, К на N. Наконец, в случае а) оператор F равномерно
невырожден по нормали (ср. замечание 2) и, таким образом, все
Предположения теоремы 9 выполнены.

Если выполнены условия б), то возьмем й = ф-}-1, и
положим В =— уфхх. Тогда в (9) можно взять б2 = б, а левая
часть (5.23) равна нулю и условия (5.38), (5.39) удовлетворяются
очевидным образом. Далее, для Ki=0b(6.11) имеем с = с «с — 6,,
а так как (В^, £) ——у	I SI2 для некоторой постоянной

v>0 в силу строгой выпуклости ф, то неравенства (6.12) —(6.15)
выполняются в подходящей постоянной К. Первое неравенство
в (6.11) легко удовлетворить в AXD за счет выбора достаточно
малого к ,(| фл I > 0 на dD). Кроме того, левая часть (6.16) равна
(Ь, (|>), что меньше (1 — б)|С| на dD, по предположению, и
меньше (1 — уб)|С| в Дх£>, если х мало. Наконец, левая часть
(6.17) есть б (афж(6), фх(5>). и это в AXD может быть сделано меньше
(1-б)Сф(Ь,($) за счет выбора малого 6 в (6.17). Таким образом,
’И в случае б) условия теоремы 9 выполнены. Теорема доказана.

Доказанная теорема как в случае выполнения условий а), так
и в случае выполнения условий б) вместе с замечанием 6 позво-
ляет рассмотреть большое количество конкретных примеров.
В частности, в примерах эллиптических уравнений из § 2 можно
добавлять младшие члены (при выполнении подходящих условий).
Мы здесь рассмотрим только исторически наиболее важный пример
простейшего уравнения Монжа — Ампера.

11.	Пример. Пусть ф строго выпукла вверх, феС4(О), f
дважды непрерывно дифференцируема в D, f^O, d^2. Тогда
простейшее уравнение Монжа — Ампера (2.2) с нулевым данным
на dD имеет и притом единственное непрерывное в D выпуклое
вниз решение с ограниченными обобщенными производными вида
их, ихх. Показывается это приведением уравнения (2.2) к виду
(2.3), использованием примера 7 и того, что, как отмечено в обсу-
ждении примера 7,	— для некоторой постоянной Vi>0.

При желании можно повысить гладкость решения так, как это
сделано в примере 2.2.

12.	Замечание В предыдущем примере можно условия на ф
заменить условиями на D и получить несколько более сильный
результат. Действительно, если D — строго выпуклая область
с границей класса C*~v, то можно построить строго выпуклую
вверх функцию ф так, чтобы ф е C4~Y (D) f) Cfoc (О), О = {ф>0}
и чтобы выполнялось первое условие в (12) (с тем же у, хотя
вполне достаточно было бы, если бы в (12) у пришлось изме-
нить, см. по этому поводу лемму 1.1.1).

13.	3 а меч а и и е. В некотором смысле теорема 10 своими
условиями а), б) выделяет две крайние ситуации. Легко себе
вообразить, что возможны и промежуточные ситуации, когда на
одной части границы D выполнение условий (6.11) — (6.17) дости-
гается за счет равномерной невырожденности по нормали, -а на
другой — за счет выпуклости границы «наружу». Вариант теоремы 10
с условиями а) читатель найдет в замечании 8.8.

14.	Замечание. Теорема 10 далеко не исчерпывает всевоз-
можные применения теоремы 9. Так, в доказательстве теоремы 10
мы всегда полагали х = 1 • Использование других функций х по-
зволяет рассмотреть множество задач со «свободными границами».
Укажем здесь только одну из задач подобного рода, перед рас-
смотрением которой отметим, что лемма 8 справедлива также
в том случае, когда ее условия заменены на следующие (априор-
ные) предположения:

а)	любое решение ue еС2 (D) задачи (2) — (3) при достаточно
малом 8>0 в ДХО удовлетворяет также уравнению

е2Ды — ей + fi (uxixh uxi, и, х) = 0,	(13)

где fi строится по некоторым о, b, с, I, заданным на Ох ДХО;

б)	| и81 «5 Kty в D, исходные о, b, с, f, В, й, %, 6Ь б2 удов-
летворяют условиям леммы 8, перечисленным в начале ее фор-
мулировки перед условиями (9); кроме того,	с^О;

в)	о, Ь, с, f дважды непрерывно дифференцируемы по х в ДХО,
ограничены по «>, х в £2хДх£) вместе с первыми и вторыми про-
изводными по х;

г)	при всех х е ДХО, £ s Ed, аеО для a, b, с, f выполнены
неравенства (6.11) —(6.17), а также |ф»|^61, (В£, £) Ss 6i | £ |2,
ф’|(В£, 1)хх|| К | £ |2, с<0и построенное по Ki, д, b, с выраже-
ние с из (6.11) меньше (—ба).
Теорема 9 также имеет место, если условия леммы 8 заменить
на условия а) —г) и сохранить требование слабой невырожден-	-}

ности по нормали оператора F (последнее можно заменить оче-	$

видным условием на оператор Р).

Докажем это. Вывод теоремы 9 из леммы 8 не меняется, поэтому
достаточно обсудить лемму 8. Существование и единственность
к8 6 (? (D) получаются, как в лемме 8. Из б) имеем | и® [ К | ф*|
на dD. Отсюда при малых «>0 второе неравенство в (10) и не-
равенство (11) для и = ие выводятся с помощью теорем 5.10, 5.11,
опять как в лемме 8. При достаточно малом е>0 для уравне-
ния (13) условия (6.11) —(6.17) выполняются в силу г), если
в них S, К заменить на S, 2К Следовательно, если бы мы
знали, что u8 е Cta (AXD) и что нижняя грань в определении F
достигается, то по следствию 6.5 из (11) вывели бы и остальные
оценки в (10).

Справиться с этим препятствием можно, опять как в доказа-
тельстве леммы 8. Именно, заменим Q в определении F конечным
подмножеством {«>х, ..., затем нижнюю грань по {©i,..., <ог}
преобразуемо помощью функции Чгр и формул (VII.3.16)—(VII.3.20)
и, таким образом, построим уравнения с параметрами г, р, «при-
ближающие» при р->оо, г->оо уравнение (13) в AXD. Допре-
дельные уравнения рассмотрим в AXD с граничным данным u=u8
на dAxD. По теореме VI.4.2 решения «®гР допредельных уравне-
ний, как и и8, лежат в С2+а(АхО) для некоторого а е (0, ^(зави-
сящего, разумеется, от в), их нормы в C2+“(AZD) ограничены
общей постоянной. При р->оо, г->оо функции иегр сходятся
к и8 вместе с первыми и вторыми производными по х равномерно
на AXD в силу единственности (с^0) решения (13). Далее, как
в лемме 1.3.2, показывается, что uerp е Cfoc (AXD) (и здесь нет	1

необходимости дополнительно сглаживать а, Ь, с, f). Следствие	|

6.5 теперь дает оценку сверху величин | «^(л) (х) | при хе 3D,	|

g, r)eErf, 151 = 1111 = 1» £_1_фх(*)» ПIФ* (х) через постоянную,
зависящую при больших р только от у, х, 6, К, Ki, 61, нормы ф
в C*(D) и от верхних граней по AXD функций |и8/7’ф-1|, | и%р |.
Последние верхние грани при р->оо, г-»-оо сходятся к выше •
уже оцененным верхним граням |м8ф-1|, | и®, (исследование и8г₽ф-1
можно провести, например, как в доказательстве теоремы 3.1). i
Таким образом, на dD мы вывели нужные оценки j u®S) | и тем
закончили доказательство оценок (10).

15.	Пример. Пусть ф строго выпукла, феС4(О), функция	j

gе С8(D)ПС(D), g>0 вблизи dD, g<0 в некоторых точках D.	I

Рассмотрим задачу, состоящую в том, чтобы на график £ и кон- *
тур dD натянуть выпуклую вниз оболочку, наиболее «тесно» при-
легающую к графику g, т. е. такую, чтобы объем, ограниченный |
ею и «крышкой» D, был наименьшим из возможных. Эта задача
сводится к задаче нахождения функции и, равной нулю на dD и
удовлетворяющей условиям

u^g, (g — u)det(uxx) = 0 (п. в. D).	(14)

Оставляя в стороне вопрос об эквивалентности этих задач,
докажем только существование и единственность решения, системы
(14) в классе функций, равных нулю на dD и имеющих ограни-
ченные обобщенные производные вида их, ихх.

Для этого фиксируем целое р^2 и положим
»

F(ut/, ui, х) = inf	®-(gr_ u)l,

bsQ, fle(0. 1 —p-*)L	,	1—8 J

где Q —множество из примера 7. Функция F попадает в нашу
схему, если взять в качестве (<о, 6) Ai-й столбец матрицы j/2<o,
b — 0, с(<о, 6) = — fl (1 — fl)-1, f (co, 0) = 0 (1 — fl)-1#. Определим еще
хе(0, 1) так, чтобы в ДХО выполнялись неравенства #>0,
|фл 1>0, и пусть а* (со, б)=а*((о) —А-й столбец матрицы ]Л2о),
Ьг = с = /=О. Проверим, что введенные объекты удовлетворяют
условиям а) —г) замечания 14.

Условие в) выполнено очевидным образом, проверка условия
г) (с y = 1/j, В =— 1/8фхж и с некоторыми К, Ki, б, di, б») про-
изводится, как в доказательстве теоремы 10. Для дальнейших
рассуждений возьмем £ е С“ (D) так, чтобы 0	£ «С 1/2, ?# =С О,

и определим о8 как решение задачи в’До —ео+^НДпЧ-
+С (1 — О"1 (g — п) = 0 в D, и = 0 на dD.

Понятно, что o’eC^D), и°=с0 в D, (ц£, фж)аС — 2vi на dD,
где постоянная Vi>0. Понятно, кроме того, что при всех доста-
точно малых е>0 также о®=с0 в D, (о®, фх)<; — vi на dD. Так
как	— ?)J(# —и), то (ср. замечание 5) ue^tf

в D, (ы®,	—vi на dD.

Отсюда по замечанию 4 вытекает, что оператор F слабо невы-
рожден по нормали. При малых 8, кроме того, ы8=^и®^0 в D,
g — ueZ>0 в ДХО, нижняя грань выражения 0(1 — flrl(g — ие) по
бе(0, 1— р-1) равна нулю на Дх£)и ие удовлетворяет в ДХО
уравнению (13), т. е. выполнено условие а). Отметим еще, что
левая часть (2), вычисленная на и — — Npfy, очевидно, положи-
тельна, если g4-Wii|>2sO в D. По принципу максимума и® —А/1ф,
| и81 А/1ф при всех достаточно малых «. Для проверки оставшихся
условий в б) достаточно положить й= 1, х = б (1 — fl)-1 и заметить,
что тогда функция М будет больше у (1 — 6i)(-2 — б)х, левая часть
(5.23) равна нулю, а неравенства (5.38), (5.39) легко удовлетво-
.рить, выбирая достаточно большое /С.
Обратим теперь внимание на то, что нужные нам постоянные
у, х, о, К, Kit 61, A, v могли быть выбраны независимо от р.
По теореме 9 при каждом целом р^2 существует функция ир,
обладающая свойствами а), б) из теоремы 9, имеющая ограничен-
ные обобщенные производные ирх, ирхх и такая, что

inf [(1— 8) <oVu ;, + 8 (g — Ир)1 = 0 (п. в. D).	(15)

аеВ, В<=(0, 1-р-*)1	р	1

Из последнего соотношения и равномерных по р оценок ир(^^
сверху, как обычно (см., например, теорему II.2.6), следует, что
|«ржл| равномерно ограничены на D. Далее, например, как в дока-
зательстве VII.4.4, с помощью теоремы Ш.5.9 (или теоремы III.6.3)
в (15) легко совершить предельный переход при р->оо и найти
функцию и е С (D) с ограниченными обобщенными производными
Ux, ихх, равную нулю на dD и такую, что

inf 1(1 — 8)	, ,-|-е — u)l = 0 (п. в. D).	(16)

<оеа, ее(0,ц1	1

Для доказательства существования решения системы (14)
остается заметить, что она эквивалентна одному уравнению (16).
Единственность решения (16) сразу следует из теоремы III.4.7
(или, как в теореме 9, выводится .из следствия Ш.7.10).

§ 8. Существование решений вырожденных уравнений
в области

Результаты § 7 оказываются эффективными только тогда, когда
на 9D вторые производные решения по нормали оцениваются не-
посредственно из уравнения через остальные производные. В этом
параграфе даются методы оценки вторых производных в некото-
рых случаях, когда рассматриваемое уравнение не обладает опи-
санным свойством. Основным результатом этого параграфа является
теорема 1, сводящая, по существу, вопрос о разрешимости урав-
нения к вопросу о разрешимости некоторых неравенств. Эти нера-
венства имеют довольно сложный вид, поэтому мы приводим также
теоремы 4, 7 о разрешимости уравнений с постоянными коэффи-
циентами в шаре и об уравнениях с «большим» коэффициентом
при и.

Теоремы 4, 7 получаются из теоремы 1 в результате решения
упомянутых неравенств в частных случаях. *

Пусть бе (0, 1), К^О, целые d, di^sl, феСьс (Ed), D :=(хе
е Ed: ф (х) > 0} — непустая ограниченная область, ф е С* (D),
IфжI>0 на dD, Й — некоторое множество и при соей, 1 = 1, ...
..., d, k—l, ..., dj, xeD определены действительные функции
<jik (со, х), bf (со, х), с (со, х), f (со, х), дважды непрерывно диффе-
ренцируемые по х в D и ограниченные на Й х D вместе со своими
первыми и вторыми производными по х. Как обычно, будем поль-
зоваться обозначениями (VII.2.1) —(VII.2.3) (в которых г заме-
няем на х). Нам понадобится также матричная функция В (х) =
=(B^(x);'i, / = 1, ..., d) такая, что В = В* 5^0, ВеС2(О).

Перед формулировкой теоремы 1 напомним еще, что функция
J = J(g), х, g, t) введена формулой (6.22).

I.	Теорема. Пусть при всех х, со, /, удовлетворяющих
условиям

x&D. шей, 4ф (х) t | фт (х) |\ (Bg, g)+/ = l,

выполнено также неравенство

л*. х, ё,	1)+2(^. <4)Г+

k

+ Т*,и(В<„‘Л 5) + 2(В5. а‘Е1)]• |2(В1, а‘) + (о‘. t,),s,| +

• «

+К к£(Вё,
k

а*)2 + у Ф(б) ФВ. ст*>	Ф«) + у * 2(а*’ ^ж)2

k

(1)

Пусть, кроме того, | фх |2 +ф 62, (Вё, I) 61 ё |2,	— 8 при

всех (о ей, ё е Еа, хед. Тогда имеют место все утверждения
теоремы 7.9 без уточнения объектов, от которых зависит N
в утверждении б) этой теоремы.

Для доказательства теоремы нам понадобится

2.	Лемма. Пусть выполнены предположения теоремы 1 (и
предположения начала параграфа), а также допустим, что ниж-
няя грань в (VII.2.3) достигается. Тогда, если и <= С®(О)П C(D) П
f|Cfoc(D), и —решение уравнения (6.1) в D, и=0 на dD, то
|«|sSAhf>, |их| N, U(i)№^N на D для всех единичных %&Ed,
где N зависит только от d, К, 6 и постоянных, ограничивающих
сверху норму в С* (D), нормы B'f, bl, с, f в С2 (D) и суммы квад-
ратов aik и их производных по xf, хгх* на D.

Доказательство. Будем обозначать через N различные
постоянные, зависящие только от исходных объектов, указанных
в формулировке леммы. Заметим, что оценка | и | «g Nty сразу сле-
дует из принципа максимума. Далее повторим построения, прове-
денные после доказательства следствия 6.5. На этот раз, правда,
нет надежды из локальных оценок «склеить» глобальную, и поэтому
мы берем х = 14-гпах{ф, D} и опускаем к в обозначениях U (х),
U' (и) Отметим, что I фх i2 = | ф* |2 + 4 [л]2 и это выражение больше S2
на U, так как | фж |2 + 4ф 6® на D по предположению. Для
использования результатов § 5 формально нужно, чтобы | фж | >0
на V, а так как это неверно, если область V брать из § 6, то мы
здесь полагаем

V :=|xeEw: 0<чр(х), | ф (х) — [х]2 | < 64,
причем постоянную 61 е (О, 1) подбираем так, чтобы | фж | >0 на V.

Разумеется, все вычисления, которые привели нас к леммам 6.6,
6.7, остаются в силе. Далее, к ip, в, б, c,f,Bn функции й=иф-1,
удовлетворяющей уравнению

inf [Z (®) й+f (®)] = 0

G)

на U, мы хотим применить теорему 5.9, когда при проверке усло-
вий леммы 5.3 используется замечание 5.6. Первое предположение
замечания 5.6 будет иметь место для ф, б, б, С, f, В в силу
наших условий, если постоянную К из этого предположения заме-
нить на некоторую постоянную Л\ Условие (5.22) на £/' выпол-
нено очевидным ббразом при 6] = 6. Неравенство (5.21) при (В?, |)= 1
на (/', как показывает лемма 6.7, в терминах исходных о, Ь, с, В
записывается в виде (1), если только в определении (6.22) функ-
ции J и в (1) всюду заменить ф(5), t, фб на 2xv?v, [?]2, [х]2б.
Поскольку неравенство (5.21) нас интересует только при (х, I) е (/',
а при этом ф(р=0, ф(1) —2xv?v = 0, |ф(1)|2^4[х]2[?]2 = 4ф[£]2,
то из (1) следует, что условие (5.21) для ф, в, б, с, В выпол-
няется на U' Л {(В|, ?) = !}. Ввиду однородности по § оно выпол-
няется и при произвольных (В£, ?).

Займемся теперь проверкой других условий теоремы 5.9. Мы
уже отметили, что |й|^А^. По теореме 3.1 и в силу неравенств
|фж|^б, (В%, ?) 5= б | £ |2, верных на U*, на этом множестве также
| й(5) |2, д2 (?) й «g М (В?, ?) для некоторой (конечной) постоянной М.
В качестве ф1 из теоремы 5.9 возьмем ф-® и подберем ае(0, 1)
так, чтобы на U иметь (см. лемму 6.6 г))

7ф-“ = £ф*-“ = (1 — а)ф-“^-^£Сф-}-£ф) —

— (1 — а) аф-®-1 (аф„ ф,) < 0.

При такой функции ф1 множества Um\U пусты, и по теореме 5.9
заключаем, что на U'

d -1- 4	2 а 4-4	rf-f-4

Ё	5 |?Р.	(2)

' = >	’./=«	1=1

Ректор (д1й(х), ...» да^й{х)} при хе и получается из гра-
диента й ортогональным проектированием на касательную плоскость
к U в точке х. В частности, он лежит в касательной плоскости
и из справедливости первой оценки в (2) для любых
вытекает, что квадрат его длины не превосходит /V. Этот квадрат
длины легко найти с помощью теоремы Пифагора, если учесть,
что й не зависит от х*+1,	х**4 и первые d координат единич-
ного вектора нормали к поверхности U в точке х даются форму-
лой фк< (х) (|	(х) |* 4- 4ф (х))~1/2. Учитывая сказанное, находим

d -f- 4	d

> Ё I w = .SIй? i’ -	Ф*)2 (I Ф* I2+4t)J=

1=1	C=1

= Ф’2 (I Ф* I2 + 4Ф)-1 [4ф | ux - £ фж |2 +1 фх I2 • I ux Is - («X, фх)2], (3)

откуда | и* — «ф-1фхI2 = I ы* — Яфх[2=^^ф, а так как	то

| и* | N на U или, что то же самое, на D.

Для вывода следствий из второго неравенства в (2) применим
сначала лемму 6.6 г), б), а затем определение (3.7) и леммы 4.2,
4.5. Тогда для любого | е Еа на U получим

d	d	d-^4	d-^-4.

Ё ^1их>х/= S	s	Ё

l,/=l	I, /=1	v = d + l i, /=1

d	d-H

+2 У	уф^хр У ху<М+йф(|)(|).

«./=1	v = d + l

где вектор 5v = (^> •••> ^+4) ПРИ v = d+l, ..., d-|-4 опреде-
ляется формулами Vv = *v^ при i^d,	jtmtx) при

p=d+l, ..., d4*4. Так как, очевидно, £v_Lipx, то из (2), (3)
заключаем	|£|2 на 1/ и на D. Лемма доказана.

3.	Доказательство теоремы 1. В теореме 7.9 утвер-
ждается единственность и ограниченность некоторых производных
при выполнении известных условий. В нашем случае эти утвер-
ждения доказываются теми же рассуждениями, которые приведены
в доказательстве теоремы 7.9.

Остается доказать только существование функции и, для кото-
рой были бы справедливы утверждения а) — в) теоремы 7.9.' Как
обычно в подобных случаях, возьмем е>0и рассмотрим сначала
задачу (7.2), (7.3). К доказательству ее разрешимости мы хогим
применить теорему VI.4.2, имея в виду ситуацию, описанную
в примере VI. 1.8. Формально мы не имеем права это сделать, так
как у нас нет предположения об отрицательности с и условие
(VI. 1.8)'может не выполняться (при малых е) Разумеется, пред-
положение csgO не сильно повлияло бы на общность результата,
однако оно помогло бы только в этом месте, а с подобной труд-
ностью мы уже встречались в примере VI.4.7 и в примере 2.2.
Поступая, как при обсуждении последнего, в (7.2) сделаем замену
неизвестной функции: о = и(у + ф)-1» где у>0. Без труда уста-
навливается, что в силу неравенства £ф «g — 6 при всех достаточно
малых е, у уравнение для v попадает в схему примера VI. 1.8.
Поэтому уравнение для v, а вместе с ним и уравнение (7.2) с гра-
яичным условием (7.3) при достаточно малых е будут иметь реше*
ние из C?+a(D), где а>0.

Пусть ие— решение задачи (7.2), (7.3) из класса C2+“(D). Сле-
дующий шаг заключается в применении леммы 2 к ие. Здесь опять
имеются трудности, связанные с тем, что уравнение (7.2) не имеет
вида (6.1) и и8, вообще говоря, не принадлежат С3 (D) (]С\„с (D).
Однако при достаточно малых е эти трудности преодолеваются
в точности так же, как в доказательстве леммы 7.8, и мы избежим
повторения уже проведенных рассуждений.

Наконец, как в доказательстве теоремы 7.9, предельный пере-
ход при в|0 с использованием аргументов из доказательства
леммы VII.3.4 и дает нам нужную функцию и. Теорема доказана.

Приведем один простой пример использования теоремы 1.

4.	Теорема. Пусть D — {х еEd: |х| < 1}, ф = 1 — |х |2, а'>, ft*
не зависят от х, с^О, 2|b|sg(l — 6)tra, 6sg;trа^К при всех
юей. Тогда имеют место все утверждения теоремы 7.9, кроме
указания объектов, от которых зависит постоянная N в утвер-
ждении б) этой теоремы.

Доказательство. Возьмем в качестве ст* fe-й столбец мат-
рицы ]^2а, k = \,...,d. Заметим, чтоЛф =—2tra — 2(х, 6)Ч-сф^
sg —(1 4-6) tra. Пусть еще В = (6'/). Тогда левая часть (1) равна

—2[(х, £)(&, b) + t(x, Ь)]^2 (| £ |2-Н) |Ь I

<(|£12 + 0(1 - 6) tra-c-Ш+Od - «НФ-

Стало быть, условие (1) при (BS, £) + / = 1 выполнено. Остальные
условия теоремы 1 выполнены очевидным образом, и теорема
доказана.

5.	Замечание. Теорема 4 обобщает теорему 1.1 и позволяет
рассматривать уравнения в шаре с младшими членами. Обобщение
теоремы 1.1 на произвольные гладкие строго выпуклые области
мы дадим в замечании 9.

6.	Замечание. Результаты этой и предыдущей глав можно
применять к исследованию линейных уравнений. В некоторых
случаях при этом удается исследовать ситуации, которые не охва-
тываются теорией, изложенной в работе Олейник, Радкевич [1].
Примером может служить задача

их> + «х'х« + --- + и/ха=/ в D, и = 0 на dD, (4)
где feCPiP), D = {|x|<l}. При d^4 теорема 4 гарантирует
существование решения задачи (4) со всеми вторыми производными,
ограниченными сверху, а в силу линейности задачи — и снизу.
Отметим еще, что при d = 2, f(—1,0)=?^ О у решения задачи (4)
и** будет неограничено вблизи точки (—1, 0).

Для небольшой модификации задачи (4), а именно для задачи
— |uxi| + ux»x’-|---- + «t<ix<i = / в D, и = 0 на dD с теми же f, D
при d^4 теорема 4 ввиду формулы (—| иЛ« |) = min (uxi, —uxi)
дает существование решения, у которого все вторые производные
ограничены сверху, а производные вида uxt, » = 1, ..., d, uxixj, i,
ограничены.

В заключение проведем анализ условий теоремы 1 в том слу-
чае, когда с^О и величину |с| мы можем брать сколь угодно
большой. Оказывается, что тогда неравенство (1) нужно проверять
только на границе.

7.	Теорема. Пусть множество Q является метрическим
компактом, о, Ь, В и их первые производные по х непрерывны на
QxD. Предположим, что (В1, £)	611|2 при всех l^Ed, x^D.

Пусть также при всех шей, хеdD, t^O, g <= Ed, удовлетво-
ряющих условиям Н _L фж (х), (В(х)£, £) + (=!, (а(ю, х)фж(х),
фж(х)) = 0 *), имеют место также неравенства

Т°ф — 6,	(5)

SI (а‘, ФД6) I2 +4 (В1, (афД6)) +
k

+	о*) +	+12 (2 (Bl, <т‘) + (о*, фД v)s

I	*

«С-(1 -б)£°ф.

(6)

Тогда существует постоянная т0, зависящая только от D, Q,
ф, о, Ь, 6, d, с такая, что при любом т^т0 все утверждения
теоремы 7.9 имеют место, если в них опустить перечисление
объектов, от которых зависит N, и в определении F заменить
с (<в, х) на с(<в, х) — т.

Доказательство. Определим на [0, оо) бесконечно диффе-
ренцируемую функцию r(s) так, чтобы Hs) = s —s2 при малых s,
(s)<;2, r"(s)<0 при всех s^O. При п=1, 2, ... положим
фл = п-1л(пф) и докажем, что Лфл — пфл^ — на QxD при до-
статочно больших п. Если допустить противное, то для бесконеч-
ного числа значений п должны найтись точки (<ол, хл), в которых
имеет место обратное неравенство: г' (мф) £°ф сфл + пг" (пф) х
Х(афх, фд)^пфл — j6.

Из этого неравенства ввиду ограниченности его левой части
сверху следует, что пфл (хл) ограничено, а так как ф sg 2фл sg 4ф,
то пф(хл) ограничено, пг" (пф (хл)) -► — оо и для любой предельной
точки (<1>о, х0) последовательности (<ол, х„) имеем ф (х0) = 0, хи <=dD,

(а(<оо, Хо)фх(Хо), фх(хо)) = 0,

L° (®о, Хо) ф (Хо) Ss lim (— у б) (г' (пф (хл)))-х	— у 6.

п —►ОО \	* I	А

*) Если не найдется о) eQ, xg dD, удовлетворяющих последнему условию,
то выполнение неравенств (5), (6) не требуется ни при каких со, я,
Последнее невозможно в силу (5). Кроме того, при x&dD,
Е JL Фх (х), как нетрудно видеть, (ст*, фх)(£1 = (ст*, ф»х)а).
—L°i|?nSs — £°ф.

Следовательно, уменьшая 6 и переходя при необходимости от
с, ф к с — п, фл для подходящего п, мы можем, а потому и будем
считать, что вместе с предположениями настоящей теоремы выпол-
нено также второе предположение теоремы 1. Разумеется, можно
считать, что с «С 0, а тогда рассмотрение той же функций фл по-
зволяет сохранить уже достигнутое, а также показывает, что
в силу (6) при больших п будет выполнено неравенство

2 Wr, (Bl, l)x) + 2 | (ст*, фЛх)(5> |2 4-4 (Bl, (aiMm) <
k

<-(1-6/2)£“фл,

если |±фх(х), хеД (Bl, g) = l. Короче говоря, мы можем
считать, что выполнено второе условие теоремы 1, условия настоя-
щей теоремы и

2 (аф„ (В1, 1)х) 4- 2 | (ст*, ф,)(6) |2 4- 4 (В1, (афД6))
о

^-(1-б)Ь°ф	(7)

при x<=dD, Ц_фх(х), (В(х)1, |) = 1.

Теперь нам остается установить, что если в (1) заменить с, 6, К
на с — т, g б, т, то при достаточно больших т будет выполнено
и первое предположение теоремы 1'. Опять предположим против-
ное, и тогда для всякого т = 1, 2, ... найдутся xme.D, <om^Q,
lm е Ed, tm^0 такие, что при (®, х, I, t) = (<от, хт, gm, tm) имеем
4ф/^|ф^)|2, (В1, £)4~/=1 и левая часть (1) больше или равна
— (1 — |)£ф + (1 — 4)тФ +

+т ^Ф 2+У	Ф*) + 4 1 (аФ*’	•

Так как эта последовательность, в частности, будет ограничена,
то тф (хт) ограничено, ф (хт) -> 0, 4ф (хт) tm I ф(5т) (хт) |2 -> 0 при
т->оо и для любой предельной точки (®0. Хо, go» to) последова-
тельности (сот> хт, 1т, tm) заключаем, что в ней

t0 (а (<оо, Хо) фх (Хо), фх (Хо)) = 0, ф(хо) = О, ф(5о>(хь) = О,
(В(хо)1о, £о)4-*о=1,

2(аф*, (Bio, go)J4-Z; 1«т*. фхЬ> I2 4- 4 (В1о, (стфх)(Е.)) +
k

4-	to I (Вст*, о*) 4- £«ф 4-12 (2 (В1о, ст*) 4- (ст*, фх)(ь>)2] >

L	*	I
Если здесь to=O, то (В£о, £о) = 1 и (8) противоречит (7).
Если же /0>0, то (а$х, ф*) = 0 и (8) противоречит (6). Теорема - .
доказана.

8.	Замечание. Предположим, что Q — метрический компакт,
о, b и их первые производные непрерывны на QxD, £,°ф<:-—6
на Q х dD и при всяком со е Q множество Г (со): = {х е dD: (а (со, х) X
Хфх(х), |жй) = 0} является замыканием множества своих отно-
сительно (в топологии dD) внутренних точек. Тогда утверждение
теоремы 7 остается в силе.

Действительно, на Г (со), по определению, (а*, фх) = 0, афх=0.
Следовательно, в любой относительно внутренней точке хеГ(ш)
при £_1_фх(х) имеем (о*, фх)($)=0, (яфх)(^ = 0- Эти же равенства
по непрерывносги переносятся на любые точки х еГ (со) и (х).
В частности, левая часть (6) при В = (61’/), xsdD, £_1_фх(х),
(а (со, х)фх(х), фж(х)) = 0 равна /2 tr а + /Л°ф + 4/ (а£, £), и она
может быть сделана меньше	у) £°ф просто с помощью замены ф

на #ф, где N — достаточно большая постоянная.

9.	Замечание. Предположим, что Q — метрический компакт,
о, b не зависят от х и непрерывны на Q, ф строго выпукла вверх
на D, (5, фх) — (1 — 6) £°ф, £°ф — 6 при х е dD, со е Q. Тогда
утверждение теоремы 7 также остается в силе.

Для доказательства достаточно заметить, что при В:= —фхх
левая часть (6) равна t (b, фх). Это замечание легко применить
к рассмотрению примера (4) в области, отличной от шара. Тот
факт, что там с==0, не играет роли, так как уравнение является
параболическим и замена н-^иехрХх1 приводит к появлению
любого с. Отметим еще, что если Ь = 0, то все условия из фор-
мулировки замечания, очевидно, можно заменить двумя: о не зави-
сит от х и непрерывна на компакте Q, D — строго выпуклая область
класса С4.

Примечания

§§	1—3. Идеи, результаты и некоторые примеры этих параграфов взяты из
статьи Крылова [17], написанной на вероятностном языке, в которой к тому же
даются оценки решений только в С2. Наиболее сильные результаты о разрешимости
вырождающихся параболических уравнений Беллмана в гладком цилиндре
общего вида принадлежат Сафонову [1] — [3], где требуется, чтобы рассматри-
ваемые операторы были равномерно невырожденными по нормали к границе
(см. по этому поводу примечания jc § V.1). Рассуждения из замечания 1.3 ти-
пичны для теории управляемых диффузионных процессов (см. Крылов [10]).
Пример 2.6 взят из работы автора [23]. Уравнение (2.6) ранее при d—2 рас-
сматривал Погорелов [1], который допускал, чтобы Л, / зависели от их. Пара-
болическое уравнение Монжа—Ампера ввел автор в [8], [9], [17]. Пример 2.2
мы обсудим ниже.

§§	4—6. Материал этих параграфов взят из работ автора [22], [23]. Для спра-
ведливости многих из приведенных результатов не нужно требовать, чтобы изу-
чаемое уравнение имело структуру уравнения Беллмана, в частности функция F
из (5.25) может не быть выпуклой (или вогнутой) по иу (см. Крылов [22])* По
сравнению со статьей автора [23] существенно усилена лемма 5.3, справедли-
вость которой для той или иной функции В теперь зависит только от того,
как В действует на касательные векторы.

§ 7. Понятие слабой невырожденности по нормали здесь вводится впервые,
хотя в несколько неявной форме оно использовалось автором в [22], [23].
Теорема 9 является некоторым обобщением соответствующего результата авто-
ра из [23]. Теорема 10 в условии а) принадлежит Сафонову [1] (см. также
Лионс [2], где, по-видимому, требовалась равномерная невырожденность опера-
торов на dD). Если операторы L (со) равномерно невырождены на dD, то вбли-
зи dD решение лежит в С2+а (см. гл. VI) и внутренние оценки производных
могут быть получены по теоремам 5.10, 5.11. Существование решения простей-
шего уравнения Монжа—Ампера в классе С2+а (D) в гладкой строго выпуклой
области доказано автором в [20], [22]. Тот же результат в шаре в классе функций
с ограниченными вторыми производными вероятностным способом был получен
ранее (Крылов [17]). Исследованию уравнения Монжа—Ампера посвящено
большое количество работ (см., например, Александров [2], Погорелов [1]—[3],
Бакельман [1], Сабитов [1], Ченг, Яу [1], Ивочкина [1] и литературу в этих
работах). За исключением двумерного случая, до результатов автора
[20] —[22] разрешимость этих уравнений устанавливалась или в обобщенном
смысле (Александров [2]), или в классе (D), что впервые удалось сделать
Погорелову [2], [3]. В настоящее время наиболее полную информацию о разре-
шимости уравнения Монжа—Ампера в классах Cn*a(D), когда f = }(ux, и, х)>0
можно получить из работ Ивочкиной [1], Кафарелли, Ниренберга, Спрука[1].

$ 8. Результаты этого параграфа взяты из работы автора [23], в которой
указаны и другие применения теоремы 1а
Приложение 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ IV. 1.6

В § I V.1 мы пользовались одним фактом, относящимся к теории меры
в евклидовом пространстве. Речь идет о лемме IV. 1.6. Напомним, что в ней
измеримое Г о: Cbl, q, т), е (0, 1), 33 — система всех множеств Q вида
</0. *о)+Ср2 р, лежащих в Citl и таких, что A (Q f] Г) >= б/А (Q). Если Q =
= (tOi x0) + Cpt, р е 03, то мы полагаем Q°=Q,

Q1 = (zo’ *о) СтНр*. р* $2=Со хо)“Ь	рС*

Кроме того, пусть

Г'= J Q',	i=0, 1, 2,

Доказательство леммы IV. 1.6 состоит в объединений утверждений следую-
щих ниже лемм 1 —4, в доказательстве которых мы следуем Крылову, Сафо-
нову [1], [2], Сафонову [4].

1.	Л е м м а. Л (Г \ Г°) = 0 и если Л (Г)	(Си), то Л (Г°)

Доказательство. Первое утверждение сразу вытекает из теоремы
о том, что почти всякая точка измеримого множества является его точкой
Лебега и того, что <?<1 (см. Гусман [1]). Докажем второе утверждение.

Обозначим:

33<> = {Qg=33: A(QnD=gA(Q)}.

Возьмем некоторый цилиндр Qe33 и при 0е[О, 1] произвольным образом
определим расширяющиеся цилиндры Q(6) стандартного вида так, чтобы Q(0) = Q,
Q(l) = Ci,i и чтобы Q(0) непрерывно зависело от 9. Тогда функция
<р (0) :== Л’(Q (б) П Г) Л-1 (Q (&)) непрерывна на [0, 1], <р(0)^^, ф(1)^</. Следо-
вательно, ф(0)=^ для некоторого 0 и QczQ(6)eQ3°, Так как цилиндр Qe33
можно взять произвольно, то

Г°= U Q.	(1)

Далее, построим (счетную или конечную) последовательность цилиндров Qi
следующим образом. При Q = (/o, x0)-j-Cp8 еЗЗ° обозначим p(Q) = p, и пусть
p1 = sup{p(Q): Qe 330}. Из теоремы о мажорируемой сходимости легко сле-
дует, что существует цилиндр Qx е 33° такой, что p(Q1) = p1. Предположим,
что Qi при 1=1, 2, ..., k уже построены при некотором	Обозначим:

33*={Qe33«: QnQf = 0, i=l......k}.

Если 33* непусто, то обозначим: pft+1 = sup {р (Q): Q е $3*}. Как и выше,
находим, что эта верхняя грань достигается при некотором	е 33*. В том

случае, когда множества 33* непусты при всех г = 1 2, ..., мы получаем счет-
ную последовательность цилиндров Q/, г = 1, 2, ... Если же ЗЗ1’ =# ф при t =
= 1, 2, ...» k и ^А+1=ф, то имеем конечную последовательность цилинд-
ров Qi, f=l, 2, ...,&+1. В последнем случае положим, по определению,
рл+2=...==0. Заметим, что по построению цилиндры Qi не пересекаются между
собой и р/ 4 0 при i -> оо.

Обозначим теперь через ф цилиндр, который получается растяжением в Erf+l
в три раза цилиндра Qi с центром растяжения, совпадающим с геометрическим
центром Q^ Мы утверждаем, что

г’ С U Qt.	(2)

Допустим противное. Тогда в силу (1) для некоторого Q е 53° имеем
QgtQb 2, ... При Pi^p(Q) это, как нетрудно видеть, означает, что
Q П Qi = Ф• Кроме тог о, при некотором k, очевидно, рх	р (Q) > р*+1.

Стало быть, (?f|Ci = 0 ПРИ *==1» ...»	и тогда, по определению

Р*+1 должно выполняться неравенство р (Q)	p*+i. Полученное противоречие

с неравенством р (Q) > p*+i доказывает (2).

Из (2) вытекает

Л (Г»)< 3rf+12 A (Qi),
i

Кроме того, так как цилиндры Qi попарно не пересекаются и Л((Г°\Г)П
nQi) = A(Qi)-A(Qinr)«(l-^)A(Q^ то

Л(Г°\Г)=&2 А «Г°\Г)ПQi)=(1-9) 2 л (Qi),
i	i

Отсюда

Л (Р) == Л (Г) + Л (Г° \ Г)	Л (Г) + (1 -(/) З^Л (Г®).

Лемма доказана.

Оценки Л(Г°) через Л (Г1), Л (Г2) получаются с помощью следующей леммы.

2.	Лемма. Пусть х 1, —оо < /2 оо, 2—множество всех откры-
тых подынтервалов интервала (/1Э /2), о cz 2 и определена функция g: 2 -> 2
такая, что |f(Z)|^x|Z| при I е 2, где \g(I) \, \ I \ —(одномерные) меры
Лебега g (/), /. Пусть еще g (ZJ eg (Z2), если !г е Z2. Тогда

(J g (/)|=s£x| (J /

/ео I |/еа

Доказательство. Множество U{/- Zea} открыто и представимо
в виде суммы некоторых непересекающихся интервалов 1п. Поэтому

что и требовалось.

3.	Лемма. А(Г°)(1 +n) А(Р).

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что А(Г°UГ1)

(14-т)) А (Р), а для этого в силу теоремы Фубини достаточно доказать, что
для любого х одномерная мера Лебега множества {/: (t, xJePur1} не пре-
восходит произведения (14~т1) на меру {/: (/, х) е Р}. Для доказательства
последнего возьмем в лемме 2 х = 1+т),	—/2 =— оо, a={{/: (t, х) е Q1}:

и определим g (Z) как результат растяжения Z в х раз с центром в ле-
вом конце Z, После этого нужное утверждение будет следовать из леммы 2 и
того, что

g({t: (I, *)<= (?}) = {/: (t, *)sQiUQ},

[J / = {<: (t, х)еП}.

Лемма доказана.

4.	Лемма. А (П)< g^A (Г2).

Доказательство. Множество Г2 можно получить из Г1 в результате
d-f-l-ro последовательного сжатия, из которых первое происходит по оси t
с коэффициентом £~2, а все последующие делаются вдоль каждой координатной
оси в отдельности с коэффициентом С"1. Первое сжатие приведет к уменьше-
нию объема Г1 не более чем в раз. Это показывается, как в предыдущей
лемме. Каждое из сжатий по координатным осям приведет к уменьшению
объема не более чем в £-1 раз. Докажем это с помощью леммы 2. В силу тео-
ремы Фубини достаточно доказать, что если о—некоторое множество интерва-
лов, лежащих в (—1, 1), g(/) — интервал с тем же центром, что и /, нов £-1 раз

длиннее, то

. Это очевидным образом вытекает из

леммы 2. Лемма доказана.

Приложение 2

ТЕОРЕМА АЛЕКСАНДРОВА - БУЗЕМАНА - ФЕЛЛЕРА

В нескольких местах книги использовалась теорема 1.2.1 и ее обобщение
на функции, зависящие от t. Теорема Александрова — Буземана—Феллера и
ее обобщение имеются только в журнальной литературе, и поэтому для удоб-
ства читателя мы приведем* здесь соответствующие доказательства, следуя
статьям автора [15], [16].

Пусть в области Q=(—1, l)xSi задана ограниченная борелевская функ-
ция и (t9 х), выпуклая вниз по х. Положим v(t9 x) = Var{w(s, х): se(- 1, /]}
при t < 1, п(1, х) = о(1—, x) и будем считать, что р(1, х) конечна и сумми-
руема по Si (в обозначениях § II 1.6 и е (Q)). Заметим, что последнее
условие имеет смысл, поскольку v(t9 х) возрастает и непрерывна справа по t9
u^t +~- —, xj->n(/, х), v(t—, х) полунепрерывна снизу по (/, х), а стало быть,
v(t—, х), v(t9 х)—борелевские функции от (/, х). Для функций а, не Завися-
щих от /, теорема 1.2.1 вытекает из следующей теоремы, в которой входящие
в ее формулировку величины существуют в силу леммы II 1.6.1.

1.	Теорема. Положим

P(t, X, s, y)=u(t, x)+u<t0'{t, x)s+uj(t, +	X)y»yl.

Тогда для почти всех (t9 x)eQ имеем и (f-f-s, x+#) = P(f, x, s, у)+о(|$1+'У I2)
при (s,

Для доказательства 'теоремы нам потребуется несколько вспомогательных
утверждений. Первое из них является вариантом известной теоремы Лебега.

2.	Лемма. Положим Q(r) = (— г2, r2)xSr, и пусть р—мера в Q. Тогда
для почти всех (по Лебегу) точек (t9 x)eQ имеем |р —р(0) (t9 х) А | ((/, x)+Q (<))=
a=0(frf+2) при г-+0.

Это утверждение заведомо хорошо известно в теории дифференцирования
мер, хотя точную ссылку автору найти не удалось. Тем не менее ограничимся
только указаниями относительно доказательства. Поясним, что р(0‘ (/, х) А —
мера Лебега в Q, умноженная на постоянную р<0) (/, х). Если бы вместо Q (г)
мы взяли Q' (г) = (—/-, г)х$ги вместо o(rd+2) поставили о(г^+1), то получили бы
просто утверждение теоремы Лебега. Поэтому утверждение леммы естественно.
Однако известно, что если вместо Q(r) брать (—rz, rz)xSr, где г1—любое число
из [г2, г1/2], и вместо o(rrf+2), естественно, написать о(г'гй?), то получившееся
утверждение будет просто неверно (см. Гусман [1J, добавление IV). Поэтому
утверждение леммы заслуживает внимания. Лемму можно вывести из теорем
7.2, 6.12, 8.12 работы Морса [1], результаты которого в теоремах VI.2.2,
IV.2.5, 11.3.2 книги Хейеса, Паука [1] оформлены так, что наша лемма йз
них вытекает непосредственно. По мнению автора, легче всего убедиться
в справедливости леммы 2, если почти буквально повторить доказательства
теорем III.12.6, III.12.8, леммы III.12.5 из книги Данфорда, Шварца [1],
используя для доказательства последней не теорему III. 12.3 этой книги, а про-
стые рассуждения из доказательства теоремы 3.1 гл. I книги Гусмана [1] (см.
там же замечание 1 в § 3 гл. I).

3.	Лемма. Пусть целое п^1, функция h(x) локально суммируема в Sx,
имеет все Соболевские производные до порядка и—1 включительно, а все ее про-
изводные в смысле теории обобщенных функций вида h i t являются мерами
х 1 ... х п

в Sx. Обозначим

р (х, y)=h W+-+(^i)T/Vi...Л-!(х)+

Тогда при почти всех х0 е Sx имеем r~n [h (xQ~^ry) — P (х0, г^)]	0 в (S2)

при г 10.

Доказательство. Рассмотрим только случай п=2. При других п^ 1
рассуждения совершенно аналогичны.

Напомним следующее понятие, связанное с теоремой Лебега. Говорят, что
точка хо есть точка Лебега некоторой меры р в Si, если

IН—И'0’ (Хо) А; (xo+s,)=p И).

Если мера ц задается как г (х) dx, то говорят о точках Лебега функции г. По
теореме Лебега для всякой меры р, почти любая точка является точкой Лебега.
Поэтому утверждение леммы достаточно доказать во всякой точке, которая
является общей точкой Лебега для h, h^, hФиксируем такую точку х0.
Без ограничения общности будем считать, что хо = О. Кроме того, поскольку
из h можно вычесть подходящий полином, то можно считать, что h (х0) ==
=(х0)=Л^^/-(х0) ==0. Возьмем, далее, некоторую функцию

так, чтобы Jgdx=l, $(х) = 5('х ). При т>0 обозначим/i(T) (х) =
=й (х) * т^ £ (хт-1) и аналогично определим Л^у. Отметим, ,ТО(Л?х/)<Х,=Я
=	Наконец, пусть (у) := Л(Т) (у) —hlX} (0)—(0) у1.

Выражение (гу) при фиксированном у является остаточным членом
в формуле Тейлора для Л(Т) (гу). Записывая его в интегральной форме Лагранжа,
затем интегрируя по у и используя теорему Фубини, получаем

>Ь(гу)[ dy = lim	( (гу) \dy^

___т*°

lim	(	(г—р) р-^-^ I	у (у) у1 у/1 dp d

^lim4rV ( p-d \h i i\(X'dpdy =

Tio	1

==lim 4r
t|o
где т)г (у) =1 у при | у |	2г, qr (t/) = 0 при | у | > 2г. Заметим, что т)«» (у)

у	причем последнее равно т1^	|1-^ * £ (г/х) в точке у^утг1.

Поскольку I yr |1-d * £ (у^	(d) ; yi то t)(t> (у) N | у ji-* Значит, из (1)

находим

J \h{ry) dy^Nr^ j	ft , |(dy) =

|sl<2	i.f ul^4r ' vr \

~Nr-£ J р-"|Л t^(dy)dp =

i, I | у I (4r)Ap 1 y 1

' ” Nr 2 J P-* | hvlyJ | (S(4r)Ap) dp « Nr* £ pesup^ p-“ | hyly/1 (Sp).

Последнее есть о (г2) по выбору х0, и лемма доказана.

Ниже используется еще следующий стандартный факт из теории меры.

4.	Лемма. Пусть при всяком t е (—1, 1) в Si задана мера ц (/, dx) такая,
что (х) ц (/, dx)—бор-левская функция от t, суммируемая на (—1, 1) для
любой f eCj° (Sr). Тогда в Q существует мера v (dt dx)==p (t, dx)dt. Для этой
меры va (dt dx) «»	(t, dx) dt, i v (dt dx) (® । p, (t, dx) I dt.

Обратимся теперь к изучению функций и, v, введенных перед теоремой 1.
При каждом xeSj по возрастающей непрерывной справа функции v(t,x)
естественным образом вводится мера х) в (—1, 1). По лемме 4, в которой
нужно поменять роли t, х, в Q определена мера

v (dt dx) = p (dt, x)dx

5.	Лемма. v<0> (t, x) = |uj0’ (t, x) | почти всюду в Cl no мере Лебега.

Доказательство. При всяком х е S] обобщенная производная и по t
в смысле теории обобщенных функций является мерой на (—1, 1). Дифферен-
циал этой меры обозначим iit (dt, х). Пусть iif(dt, х), (dt, х) — абсолютно
непрерывные составляющие мер ut (dt, х), р. (dt, х) относительно одномерной
меры Лебега. Их производные Радона— Никодима, как известно, почти всюду
на (—1, 1) совпадают с обычной производной и (t, х) по t и ее абсолютной
величиной соответственно. Поэтому р° (dt, х) = | й, (dt, х) |. Кроме того, из
определений и из теоремы Фубини легко вывести, что ut (dt dx) = S/ (dt, x)dx.
По лемме 4 заключаем va (dt dx) = | uf (dt, x) j dx =' (dt dx) (= | uf} | dt dx,
что и требовалось.

Из леммы 5 по лемме 2 следует, что

lim Л-1 (Q)	( Var и (s, y)dy = \ u'Q (t, x) I (2)

при почти всех (t, x) s Q. Естественно, что это утверждение сохранится, если
в нем и (s, у) заменить на u(s, у)~gs и при этом u(tQ> (t, х) заменить на
uj° (t, х) —£, где £ —любое число. Конечно, множество (t, х), на котором теперь
будет выполняться (2), зависит, вообще говоря, от £. Но так как допредель-
ные выражения и правая часть в обсуждаемом варианте (2) очевидным образом
удовлетворяют условию Липшица по g с постоянной, равной единице, то суще-
ствует одно и то же множество полной лебеговой меры, которое подходит для
всех = сразу. Отсюда при |=up)) (t, х) вытекает

6,	Лемма. Для почти всех (t, х) е Q при г 10

\	Var [и (s, у)— suf' (t, x)ldy=o(rd+«).	(3)

ц,_2| <,<»-/*. < + <•>*	J
Перед формулировкой следующей леммы обозначим

w(tt х, t>, p) = u(/ + s, x+y) — P(t, x, s, у). G = (—4, 4)xS2.

7.	Л e м м а. При почти всех (t, x)^Q имеем r~*w (t, x, r2s, ry) -> 0 при
г j 0 в Хг (G).

Доказательство. Положим wr (t, х, s, у)=и (£+«, х+у)—и (t, x-j-y) —
— mJ01 (f, x)s, w2(t, x, р) = и(Л х+$г) — Р(/, х, 0, у), так что w — Wi + o'a-

Заметим, что функция не зависит от s. Кроме того, при фиксированном t
функция и (t, х) выпукла вниз по х. Поэтому в существуют меры j (t, dx).
По теореме Фубини u^ldt dx) — u^i^(t, dx)dt, и по лемм? 4 uxixj(l* х) при
почти всех (/, х) совпадает с (/, dx)/dx. Значит, для почти всякого t это
совпадение имеет место при почти всех х, и его можно учесть при построении
Р (/, х, 0, у). Для почти всякого t чъгм по лемме 3	(/> х, гу) ->0 в Хг (S2)

и в Xi (G) при г j 0 для почти всех х. Иначе говоря, (t, х, гу) -> О
в Xi (G) при г 4 0 для почти всех (/, х) е Q.

Далее, возьмем £ О, £ е (Erf+1), так, чтобы j £ dt dx — 1, и положим
х) = и (t, х) * г^“х£ (/т-i, хт х). Так как функциям ограничена на Q,
то и(Т‘->м в Xi (Г) при т40 для любого компакта Г с: Q. Отсюда вытекает
существование последовательности тл 40, для которой (t, -)~+и(1, •)
в Xi (Г) для любого компакта Г с Sj при почти всех i. Для доказательства
леммы теперь остается показать, что r~^wx (t0, х0» r*s, гу)-+О в Хх (G), если
точка (/0. Хо) такова, что

I ut - ut' (<о- *о)л I (('о- *о) + Q (О) = о (^).

С	у)_«(/0, y)|dy->o.

\У 1<!/2

Для удобства обозначений пусть (/0> хо) = О. Кроме того, можно считать,
что и(/0, Xo)==w/O> (f0, хо) = О, так как из и можно вычесть подходящую линей-
ную функцию. Понятно, что при малых г

^(0, 0, r*s, ry) tdsdy= 1
п

и(хп) (r2s> Гу^_И(М (Q> ry)\dsdy—

lim г"4”2 f I (	(р, у) dp dsdy^

Q(2r)|o

lim г4*”2 ( (4r2—I s I) I ufr> (s, y) ldsdy^4r~d I ut I (Q (2r)).
n -*^00 Q

Поскольку последнее выражение есть о (г2) по выбору (/0, х0), то лемма до-
казана.

8.	, Доказательство теоремы 1. Нужно доказать, что х, s, р)=
0(|’$ j-|_j у 12) при (s, р)-*0 для почти всех (/, х) е Q. Нетрудно видеть, что
в эквивалентной форме это означает, что (t, х, r*st гу) 0 равномерно по
(s, у) е Q Для почти всех (t, х) е Q. По леммам 6, 7 последнюю равномерную
сходимость достаточно доказать только при тех (/, х), для которых имеют
место утверждения этих лемм. Фиксируем подходящую точку (/, х) и обозначим

(У) = у «X/	*) У1У^

Подберем гп 4 0 так, чтобы

lim sup г*2 ( w <it Xt r2s> ry) \^= lim supr~2|w(/, x, r^s, rny) (4)
По выбору точки (?, г) для функции

«„(«> У);=/7г[“(г+Ф> *+'.!/)—«(«. *)—х)'’’ —=
х. r*s, '„y) + ₽0^i

имеем

Рл(«);=	(	ил($, у)—в <£^—4, 4).	(5»

|И<?

В силу (?) вариация pn (s) по se (—4, 4) стремится к нулю. Это вместе
с (5) показывает, что рл (s) -> 0 равномерно на (—4, 4). Поскольку же ип (s, у)
выпуклы вниз по yt то из ограниченности рл (/я) для всех tn е (—4, 4) выте-
кает равномерная ограниченность ип (tni у) на $3/2, В меньшей облас!И
это дает равномерную ограниченность постоянных Липшица по у функций
ип (tn, у), un(tn, y) — Po(y)t гак как ограниченные в совокупности выпуклые
функции, заданные в некоторой ограниченной области, в любой внутренней
подобласти удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной.
Отсюда и из сходимости ип	•)—Ро к нулю в (S^ легко следует рав-
номерная сходимость цл(/л, у) — Ро (У) -► 0 при	Ввиду произвола в вы

боре tn заключаем, что ип — Pq-+6 равномерно на Q. Значит, правая часть (4)
равна нулю, и теорема доказана.

9.	Замечание. Для доказательства только теоремы Александрова —
Буземана —Феллера 1.2.1 леммы 2, 4—7 оказываются лишними. После дока-
зательства леммы 3 достаточно с очевидными упрощениями повторить преды-
дущее доказательство. Обратим внимание читателя также на то, что эту схему
легко приспособить для доказательства теоремы Радемахера о дифференцируе
мос и почти всюду функций, удовлетворяющих условию Липшица (лемму 3
нужно применить при п«=1 и заметить, что г^и (х+ry), как функция от у
удовлетворяет тому же условию Липшица, что и а).

10.	Замечание. Утверждения, близкие к лемме 3, с похожими дока-
зательствами можно найти в работе Кальдерона, Зигмунда [1].

11.	Замечание. Пусть и (г)—функция, выпуклая вниз в Тогд
в каждой точке хеона имеет правую производную по любому х’. Обозна-
чим эту производную ut (х). Александров в [1] доказал, что для почти всех
хе$! выполнено равенство щ (х+у)=»и/ (x)-f-a^ (х) у^+о (i у |2) при у->0.
В частности, (х)—°бычная частная производная щ по х/, и это дает
«прямой» способ вычисления по и.

Упомянутый результат Александрова получается следующим образом.
Известно, что если монотонные на отрезке функции сходятся к непрерывной,
то сходимость равномерна. В одномерном случае правая производная выпук-
лой функции определяет правую касательную прямую к графику этой функ-
ции, и если есть последовательность выпуклых функций fn (0, сходящаяся на
отрезке [я, к непрерывно дифференцируемой f (0, то касательные прямые
к графикам fn (0 в точке t е (a, Ь), разумеется, сходятся к касательной пря-
мой для / (0, а правые производные fn (Л, как монотонные функции, стало
быть, равномерно на любом отрезке [az, £г], лежащем строго внутри в [а, 6],
сходя 1ся к производной / (0. Рассматривая выражения вида хя» хя)
и рассуждая, например, от противного, отсюда получаем, что если последова-
тельность выпуклых функций ип сходится равномерно на кубе D2 к непре-
рывно дифференцируемой и, то	равномерно в

Заметим еще, что является не только правой производной и по х‘, но
и является соболевской производной вида что легко следует из теоремы
Фубини,
Теперь возьмем любую точку хо s Sb в которой

« (*о+«/>=« (xQ) + ui (XoHr+ \ u*ix/ У1У'+о(\у№

при ^->0. Тогда выпуклые пог/ функции г"» \и ОМ-п/) —и (х0)—и( (х0) rtf]
при г|0 сходятся равномерно на кубе D2 к у (х0) yty, которая- непре-
рывно дифференцируема. Их правые производные по уъ т. е. г”1 («х (Хо4-л/) —
— «1 (хо)]» сходятся равномерно на Dx к (х0) tf *). Следовательно,
+ /Ub)yz4-o(ly!) при $/->0. Аналогично рассматри-
ваются г'^2.

Обобщение этого результата Александрова на произвольные монотонные
отображения имеется в работе автора [18].

*) (Л dx) = ux/j^ (dt dx), uyxJ=u^}xl (п, в.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А г мои С., Дуглис А., Ниренберг Л.

1.	Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных
производных при общих граничных условиях. I. — М.: ИЛ, 1962, 205 с.
Александров А. Д.

1.	Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции
и некоторые связанные с ним свойства выпуклых поверхностей.—Уч. зап.
ЛГУ. 1939, т. 37, вып. 6, с. 3—35.

2.	Задача Дирихле для уравнения Det|гг/|| = (р(гъ .... гл, г, ...» хп).
1. —Вести. ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия, 1958, № 1,
вып. 1, с. 5—24.

3.	Исследования о принципе максимума. VI,—Изв. высш, учебн. завед.
Сер. мат. 1961, № 1, с. 3—20.

4.	Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле. — Вести. ЛГУ.
Сер. математика, механика, астрономия, 1963, № 13, вып. 3, с. 5—29.

5.	Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка.— Вести.
ЛГУ Сер. математика, механика, астрономия, 1966, № 1, вып. 1, с. 5—25.
Б аке ль м ан И. Я.

1. Геометрические методы решения эллиптических уравнений.—М.: Наука,
1965, 340 с.

Белопольская Я. И., Далецкий Ю. Л.

1. Марковские процессы, связанные с нелинейными параболическими систе-
мами.—ДАН СССР, 1980, т. 250, № 3, с. 521—524.

Бисмут (Bismut J. М.)

1. Martingales, the Malliavin calculus and hypoellipticity under general Hor-
mander’s conditions. —Z. Wahrsch., 1981, v. 56, p 469—505.

Благовещенский Ю. H., Фрейдлин M. И.

1. Некоторые свойства диффузионных процессов, зависящих от параметра.—
ДАН СССР, 1961, т. 138, с. 508—511.

Бони (Bony J. М.)

1. Principe du maximum dans les espaces de Sobolev.—C. R. Acad. sci.
Paris, 1967, v. 265, № 12, p. 333—336.

Б резне, Эванс (Brezis H., Evans L. C.)

1. A variational inequality approach to the Bellman—Dirichlet equation for
two elliptic operators.—Archive Rat. Meeh, and Anal., 1979, v. 71, № 1,
p. 1—13.

Генис И. Л., Крылов Н. В.

1. Пример одномерного управляемого процесса.—Теория вероятностей и ее
применения, 1976, т. 21, № 1, с. 147—151.

Гихмаи И. И.

1. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Ч. 1.—Укр.
мат. журн., 1950, т. 2, № 4, с. 37—63; Ч. 2, 1951, т. 3, № 3, с. 317—339.
Гусман М.

1. Дифференцирование i нтегралов в Rn.—М.: Мир, 1978, 200 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Т.

1. Линейные операторы, общая теория.—М.: ИЛ, 1962, 895 с.
ДеДжорджиЭ.

1. О дифференцируемости и аналитичности экстремалей кратных регулярных
интегралов.—Сб. перев. Математика, 1960, 4 : 6, с. 23—38.
Жаков В. В., Козлов С. М.» Олейник О. А.

1. О G-сходимости параболических операторов.—Успехи мат. наук, 1981,
т. 36, № 1, с. 11—58.

Жиков В. В., Сиражудинов М. М.

1.	О 6-компактности одного класса недивергентных эллиптических операторов
второго порядка. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, №4, с. 718—
733.

Иванов А. В.

1.	Априорные оценки производных решений нелинейных уравнений второго
порядка на границе области.—Зап. научных семинаров ЛОМИ АН СССР,
1977, т 69, с. 65—76.

2.	Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и парабо-
лические уравнения второго порядка.—Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова.—Л.: Наука, 1982, 285 с.

Ивочкина Н. М.

1.	Классическая разрешимость* задачи Дирихле для уравнения Монжа —Ам-
пера.—Зап. научных семинаров ЛОМИ АН СССР, 1983, т. 131, с. 72—79.
Ильин А. М.

1.	Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения. — Научи,
доклады высшей школы, 1958, т. 1, № 2, с. 48—53.

2.	Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения.—Мат. сб.»
1960, т. 50, № 4, с. 443—498.

Кальдерон, Зигмунд (Calderon А. Р., Zygmund А.)

1. Local properties of solutions of elliptic partial differential equations. —Studia
Math., 1961, v. 20, № 2, p. 171—225.

Камынин Л. И.

1. Принцип максимума граничные a-оценки решения первой краевой
задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области. —
Журн. вычисл. математики и мат физики, 1967, т. 7, № 3, с. 551—567.
Камынин Л. И., Химченко Б. Н.

1. О локальном поведении решения параболического уравнения 2-го порядка
вблизи нижней крышки параболической границы. —Сиб. мат. журн.,
1979, т. 20. № 1, с. 69—94.

Кафарелли, Ниренберг, Спрук (Caffarelli L., Nirenberg L., SpruckJ.)

1. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations I.
Monge —Ampdre equation.—Comm. Pure and Applied Math., 1984, v. 37,
№ 3, p. 369—402.

Кон, Ниренберг (Kohn J J., Nirenberg L.)

1. Degenerate elliptic-parabolic equations of second order.—Comm. Pure and
Appl Math , 1960, v 13, p 551—585
Конвей, Хопф (Conway E., Hopf E.)

1. Hamilton’s theory and generalized solutions of the Hamilton —Jacoby
equation.—J Math. and Meeh., 1964, v. 13, p. 939—986

К ранда л, Лионс (Crandall M. G., Lions P.-L.)

1 Viscosity solutions of Hamilton —Jacobi equations.— Trans. Amer. math,
soc., 1983 v 277, № 1, p 1—42.

Красносельский M. А., Забрейко П. П., Пустыльник E. И.,
Соболевский П. Е.

1.	Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. —М.:
Наука. 1966, 499 с
Кружков С. Н.

1.	Нелинейные уравнения с частными производными, я. 2. — М.: изд-во МГУ,
1970, 133 с

2.	Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоб » типа эйконала. I,—
Мат. сб., 1975 т. 98, с. 450—493

Кружков С. Н., Олейник А.

1. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими
независимыми переменными. — Успехи мат. наук, 1961, т. 16, вып. 5,
с. 115—155
Крылов Н. В.

1.	Об уравнениях минимаксного типа в теории эллиптических и параболи-
ческих уравнений на плоскости.—Мат. сб., 1970, т. 81. № 1, с. 3—22.

2.	Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения
на плоскости.—Мат. сборник, 1970, т. 82, № 2, с. 99—НО.

3.	К теории нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений.—ДАН
СССР, 1971, т. 201, № 6, с. 1279—1281.

4.	Об управлении решением стохастического интегрального уравнения. —
Теория вероятностей и ее применения, 1972, т. 17, № 1, с. 111—127.

5.	Об управлении решением стохастического интегрального уравнения при
наличии вырождения.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1972, т. 36, № 1,
с. 248—261.

6.	On the control of diffusion type processes. — Second Japan —USSR symp.
on probability theory, Kyoto, august, 1972, v. 1, p. 126—137.

7.	Несколько оценок из теории стохастического интеграла.—Теория вероят-
ностей и ее применения, 1973, т. 18, № 1, с. 56—65.

8.	Некоторые оценки плотности распределения стохастического интеграла.—
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, т. 38, № 1, с. 228—248.

9.	Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения
параболического уравнения. —Сибирск. мат. журн., 1976, т. 17, № 2,
с. 290—303.

10.	Управляемые процессы диффузионного типа.—М.: Наука, 1977, 400 с.

11.	0 принципе максимума для нелинейных параболических и эллиптических
уравнений.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, т. 42, № 5, с. 1050—1062.

12.	О предельном переходе в параболических уравнениях Беллмана.—Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1978, т. 42, № 6, с. 1417—1425.

13.	О предельном переходе в вырожденных уравнениях Беллмана. II. —
Мат. сб., 1978, т. 107, № 1, с. 56—68.

14.	Некоторые новые результаты из теории управляемых диффузионных про-
цессов.—Мат. сб., 1979, т. 109, № 1, с. 146—164.

15.	О традиционном выводе уравнения Беллмана для управляемых диффу-
зионных процессов.—Литов, мат. сб., 1981, т. 21, № 1, с. 59—68.

16.	Об управляемых диффузионных процессах с неограниченными коэффици-
ентами.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, № 4, с. 734—759.

17.	Об управлении диффузионным процессом до момента первого выхода из
области.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, № 5, с. 1029—1048.

18.	Некоторые свойства монотонных отображений.—Литов, мат. сб., 1982,
т. 22, № 2, с. 80—87.

19.	Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравне-
ния.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1982, т. 46, №’3, с. 487—523.

20.	О нелинейных уравнениях в области.—Успехи мат. наук, 1982, т. 37,
№ 4, с. 91.

21.	Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения
в области.—Известия АН СССР. Сер. мат., 1983, т. 47, № 1, с. 75—
108.

22.	О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях. I—Мат. сб.,
1983, т. 120, № 3, с. 311—330.

23.	О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях. II.—Мат. сб.,
1983, т. 121, N* 2, с. 211—232.

24.	Об оценках производных решений нелинейных параболических уравне-
ний.—ДАН СССР, 1984, т. 274, № 1, с. 23—26.

Крылов Н. В., Сафонов М. В.

1.	Оценка вероятности попадания диффузионного процесса в множество поло-
жительной меры. — ДАН СССР, 1979, т. 245, № 1, с. 18—20.

2.	Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми
коэффициентами.—Изв. АН СССР, 1980, т. 44, № 1, с. 161—175.

Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н;

1.	Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.—М.: Наука,
1973, 576 с.
2.	Оценка гёльдеровской нормы решений квазилинейных эллиптических
уравнений второго порядка общего вида.—Зап научных семинаров
ЛОМИ АН СССР, 1980, т. 96, с. 161—168.

3.	Об оценке константы Гёльдера для решений квазилинейных параболиче-
ских уравнений недивергентного вида.—Успехи мат. наук, 1981, т. 36,
№ 4, с. 230.

4.	Estimates of Holder constants for bounded solutions of second order quasi-
linear parabolic equations of nondivergent form. —LOMI Preprints, E—11—
81—Leningrad, 1981, 35 p.

Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н.

1. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—М.: Наука,
1967, 736 с.

Ландис Е. М.

1. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.—
М.: Наука, 1971, 287 с.

Л е н а р т (Lenhart S.)

1.	Bellman equation for optimal stopping time problems. —Indiana Univ.
Math. J., 1983, v. 32, № 3, p. 363—375.

Лионс (Lions P.-L.)

1.	Controle de diffusions dans RN-— Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, ser.
A—B, 1979, v. 288, p. 339—342.

2.	Equations de Hamilton —Jacobi—Bellman degenerees.—Comptes Rendus
Acad. Sci. Paris, ser. A, 1979, v. 289, № 5, p. 329—332.

3.	Control of diffusion processes in RN.—Comm. Pure and AppL Math.,
1981, v. 34, p. 121—147.

4.	Resolution analytique des problemes de Bellman—Dirichlet.—Acta Math.,
1981, v. 146, № 3—4, p. 151—166.

Лионс, Менальди (Lions P.-L., Menaldi J.-L.)

1. Optimal control of stochastic integrals and Hamilton — Jacobi — Bellman equa-
tions. I, II.—SIAM J. Control and Optimization, 1982, v. 20, №1, p. 58—95.
Мамедов И. T.

1. Об априорной оценке нормы Гёльдера решений квазилинейных парабо-
лических уравнений с разрывными коэффициентами. — ДАН СССР, 1980,
т. 252, № 5, с. 1052—1054.

Мозер (Moser J.)

1. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for
elliptic differential equations.—Comm. Pure Appl. Math., I960, v. 13,
p. 457—468.

2. A Harnack’s inequality for parabolic differential equations.—Comm. Pure
Appl Math., 1964, v 17, p. 101—134.

Mope (Morse A. P.)

1.	A theory of covering and differentiation. — Trans. Amer. Math. Soc., 1944,
v. 55, № 2, p. 205 — 235.

H и с и о (Nisio M.)

1.	Remarks on stochastic optimal controls.—Japan J. Math 1975, v. I,
p. 159—183.

2.	On nonlinear semigroup associated with optimal stopping for Markov pro-
cesses.— Apll. Math. Opt., 1978, № 4, p. 143—169.

Новрузов A. A.

1.	Об оценке нормы Гёльдера решений квазилинейных эллиптических урав-
нений с разрывными коэффициентами.—ДАН СССР, 1980, т. 253, № 1,
с.31—33.

2.	Об одном подходе к исследованию качественных свойств решений неди-
вергентных эллиптических уравнений второго порядка.—Мат. сб., 1983,
т. 122, № 3, с. 360—387

Нэш Дж.

1. О непрерывности решений параболических и эллиптических уравнений,—
Сб. перев. Математика, 1960. 4:1, с. 31—52.
Олейник О. А., Радкевич Е. В.

1 Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической фор-
мой. Итоги науки. Мат. анализ. 1969, М.: ВИНИТИ, 1971.

Погорелов А. В.

1.	Об уравнениях Монжа — Ампера эллиптического типа.— Харьков: Изд-во
ХГУ, 1960.

2.	Задача Дирихле для многомерного аналога уравнения Монжа—Ампера.—
ДАН СССР, 1971, т. 201, № 4, с. 790—793.

3.	Многомерная проблема Минковского. —М.: Наука, 1975, 92 с.
Прагараускас Г.

1.	Об уравнении Беллмана в структуре мер для общих управляемых слу-
чайных процессов. I, II.—Литов, мат. сб., 1981, т 21, №4, с. 169—184;
1982, т. 22, № 1, с. 138—145.

2.	О единственности решения уравнения Беллмана в случае общих управ-
ляемых процессов.—Литов, мат. сб., 1982, т. 22, № 2, с. 137—156.
Сабитов И. X.

1.	Регулярность выпуклых областей с регулярной в классах Гёльдера мет-
рикой.—Сиб. мат. журн., 1976, т. 17. № 4, с. 907—915.

Сафонов М. В.

1.	On the control of diffusion processes in a multidimensional cylindrical
domain.—Abstr. Comm Intern. Symp. Stoch. Diff. Eq. Вильнюс: Ин-т
мат. и кибернетики. Лит. АН, 1978, с. 168—172.

2.	О задаче Дирихле для уравнения Беллмана в многомерной области. —
ДАН СССР, 1980, т. 253, № 3, с. 535—540.

3.	Управление диффузионными процессами в ограниченной области: Дис. на
соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук: М.: МГУ, 1980, 130 с.

4.	Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гёльдеровость
их решений.—Зап. научных семинаров ЛОМИ. 1980, т. 96, с. 272—
287.

б. Пример диффузионного процесса с сингулярным распределением в фикси-
рованный момент времени.—Abstr. Comm. Third Intern. Vilnius Conf, on
Probab Th. and Math. Stat. v. II, 1981, p. 133—134.

6. Граничные оценки в C2+a для решений нелинейных эллиптических урав-
нений.—Успехи мат. наук, 1983, т. 38, № 5, с. 146—147.

Скрынник И. В.

1.	О топологической характеристике общих нелинейных эллиптических опе-
раторов.-ДАН СССР, 1978, т. 239, № 3, с. 538—541.

Трудингер (Trudinger N. S.)

1.	Local estimates for subsolutions and supersolutions of general second order
elliptic quasilinear equations.—Inventiones math. 1980. v. 61, № 1,
p. 67—79

2.	Fully nonlinear, uniformly elliptic equations under natural structure condi-
tions.—Trans. Amer. Math. Soc., 1983, v. 278, № 2, p. 751—769.

Феллер В.

1. Введение в теорию вероятностей, т. 2.—М.: Мир, 1967, 752 с.
Филлипс, Сарасон (Phillips R. S., Sarason L.)

1. Elliptic-parabolic equations of the second order.—J. Math, and Meeh.,
1968, v. 17, № 9, p. 891—917.

Флеминг, Риш ел (Fleming W. Ho Rishel R. W.)

1. Deterministic and stochastic optimal control.—Springer, 1975, 222 p.

Ф p e й д л и н M. И.

1.	О гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений.—Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1968, i. 32, № 6, с. 1391—1413.

2.	О факторизации неотрицательно определенных матриц.—Теория вероят-
ности и ее применения. 1968 । 13. № 2. с. 375—3?8
Фридман А.

1. Уравнения с частными производными параболического 1ипа.—М.: Мир,
1968, 427 о.
X а у см а н (Hausman U.)

1. On the integral representation of functionals of Ito processes.—Stochastics,
1979, v. 3, p. 17—27.

Хейес, Паук (Hayes С. А., Раис C. Y.)

1. Derivation and martingales. —Berlin. Springer, 1970, 203 p.

Ченг, Я у (Cheng S. Y., Yau S. T.)

1.	On the regularity of the Monge—Ampere equation det (Фи/дх* dxJ) =
— F (xt a).—Comm. Pure and Appl. Math., 1977, v. 30, № 1, p. 41—68.
Эванс (Evans L. C.)

1.	A convergence theorem for solutions of nonlinear second order elliptic
equations.— Indiana Univ. Math. J., 1978, v. 27, № 5, p. 875—887.

2.	Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equati*
ons. —Comm. Pure and Appl. Math., 1982, v. 35, № 3, p. 333—363.

3.	Classical solutions of the Hamilton—Jacobi —Bellman eqaution for uni-
formly elliptic operators.—Trans. Amer. Math. Soc. 1983, v. 275, № 1,
p. 245—255.

Эванс, Лионс (Evans L. C., Lions P.-L.)

1.	Resolution des equations de Hamilton—Jacobi —Bellman pour des opera-,
teurs uniformement elliptiques.—Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, ser.
A—B, 1980, v. 290, p. 1049—1052.

2.	Fully nonlinear second order elliptic equations with large zeroth order
coefficient.—Ann. Inst. Fourier, 1981, v. 31, № 2, p. 175—191.

Эванс, Фридман (Evans L. C., Friedman A.)

1. Optimal stochastic switching and the Dirichlet problem for the Bellman
equation.—Trans. Amer. Math. Soc., 1979, v. 253, p. 365—389.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Множества

102
ПО
113

113
р 15
Ср 15
25 10, 13

К
%™

ОеСР 11

£>л 12
2$ 12
D# 152
D(x) 11
dD 10, 13
d,Q 14
dxQ 14
dtxQ 14
d'Q 14, 62

& (e, K, D) 218
У (e, к, Q) 209
Л (e, К, Q) 208

f (8, K, D)	224
(e. K, Q)	224
(e, K, D)	223
(e, K, Q)	223
X (в, K, Q) G(z, p) 179 J?(D) 312 P(M) 20	251
P(M, Q) 20,	223

QTR 14, 133

<$’ л 14, 133

Q(4> x0) 63

Q+ (<0. x0) 67

Sr 9
U' 313
U" 313

Ax (D) 330

S„ 12
2» 152
2tr 14, 169

Пространства

ВС (Q, Ea) 27
С(Г) 10, 13
С1ос(Г) н
С“(Г) 10, 13
С2 (Г) 14
СР (Г) 11

Скс(Г) 11

(Г) 14

CP(D) 10
CP(D) 10

Cfoc(D) 11

C°°(D) 11

C~(D) 10
C«(Q) 14
C?(Q) 14
C*+“(Q) 14
и

Cfoc(Q) 14
C?ot“(Q) 14

C„ (Ea) 27
&916
cZ/p ID
W? 16
.	16

w p, loc 10

IF1’ 2 20

njoc 20
82

Wb0' + (CTR) 89
£*°’ + (Cr,₽j91
W9^ (Q) 98

+ (Q> 98

+ (Q) 98
П-ЛосЭв

Функции, операторы
a. 15
a. 15

°1 A ••• л an 15

<4 V-15
|Bi 9

b (x, I) 257

S (x, j, Г)) 259
cm[u| 43

^l“l 43

с°» (wif) 43
c"(«>rs) 43
Diwy) 43
d(x, Г) 11

dt 313
d(l) 313
8(|) 258, 313
3(g) 313
3(1) 313
8(g, n) 261, 313
8(|, ij) 260, 313

8(6, ri) 313

3(6, r[) 313

V/ 19

L° 259

L° 259

Lt 311

Ln 311

M (x, 5) 323

M? 223

M^, i 2s 1 209
iWf 223
Alf 251, 252
m (x, q) 113
mV> x, q) 102
n(x) 313
Pk 31
P[u| 77
p(x, q) 113
p (t, x, q) 110

Rf 29

30

П 30
376	УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

и« 29	l«te~ 16	p(z, Г) 13
их 10, 13 Ю» 13	l«Ir* 16	Xr I9
ut 13	l«lj„ 20	Меры
ю, 13  tt<Vw Ю’ 13  1 f“J lc« <n 101 13	Г1 ©₽317 f,® 318 Г2© 318	uxv. 17, 90  ut .90 A 17
' u С{Г> |0» 13  «“W> ,0’ 13	223  252	1** 17, 91  p" 17, 91  u'0, 17, 91
1 u 11 л io	H(0 37, 279	[pl >7, 91
1 'cp(D) !aica(Q) 14	5* (x, () 257  a* (x, £, r|) 259	p+ 17  p_ 17  V U 19
!i И	~ 14  C2+a(Q)	p (Zi, %) 13, 116	Др 19
[xj 296	p(z), р(г) 119	g»p 17, 91