подготовительные
задачи
К ОЛИМПИАДАМ
ПО ФИЗИКЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Рекомендовано
Министерством просвещения БССР
MHHCg «НАРОДНАЯ АСВЕТА» 1984
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов . i ь г
Механика
Молекулярная физика и термодинамика ....
Электричество и магнетизм ........
Оптика и квантовая физика . . ..................
Ответы и решения ...............................
Задачи, предлагавшиеся на республиканской олимпна/
1984 году .................................
-Геннадий Станиславович Кемеровский.
Николай Иванович Лазаренко,
Дмитрий Григорьевич Лин,
Владимир Федорович Шолох
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
к ОЛИМПИАДЕ ПО ФИЗИКЕ
Пособие для учителя
Редактор К. М. Лукашевич. Обложка художника М. Ф.
к о. Художественный редактор Г. И. Красннскнй. Техн
дактор Л. П. Сопот. Корректор А. И. Пыльчен
ИБ № 1533
Сдано в набор 21.06.83. Подписано в печать 07.08.84. Формат 8J
мага тип. № 3. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл.
Усл. кр.-отт. 7,93. Уч.-изд. л.' 6,7. Тираж 48 000 экз. Заказ 3800.
Издательство «Народная асвета» Государственного Комитета Б
лам издательств, полиграфии и книжной торговли. 220600 Мне
Машерова, 11.	.
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомб!
им. Я. Коласа. 220005 Минск, Красная. 23.
ОТ АВТОРОВ
В последние годы заметно возрастает роль олимпиад по физи-
ке, которые способствуют повышению интереса учащихся город-
ских и сельских общеобразовательных школ к физике; активиза-
ции работы факультативов, кружков, научных обществ учащихся
ц других форм внеклассной и внешкольной работы по физике; ока-
занию помощи учащимся старших классов в выборе профессии,
Олимпиады способствуют также развитию физического мыш-
ления, воспитанию настойчивости и целеустремленности, расширя-
ют и углубляют знания учащихся, полученные на уроках физики,
помогают выявить наиболее способных и одаренных школьников.
Опыт проведения олимпиад показывает, что, как правило, наи-
большего успеха добиваются учащиеся тех школ, где ведется спе-
циальная подготовка к олимпиадам. Она 'заключается в том, что
учащимся по мере усвоения тех или иных тем курса физики пред-
лагаются для решения не типовые задачи, а задачи, предлагав-
шиеся в прошлые годы на районных, областных, республиканских
и всесоюзных- олимпиадах.
Подготовительные задания к олимпиадам следует подбирать
таким образом, чтобы уровень знаний учеников, предусматриваемый
программой, был достаточным для их выполнения. Важно, чтобы
решение задач способствовало воспитанию творческого мышления
учащихся, умению применять законы физики в- незнакомой конкрет-
ной ситуации.
В пособии содержатся задачи по всем разделам школьного
курса физики и в основном не выходят за рамки действующей про-
граммы? Однако авторы сочли возможным включить в сборник ряд
задач, связанных с вопросами, которые не изучаются в школе
в полном объеме, но доступны наиболее сильным ученикам, а так-
же задачи, для решения которых необходимо применять известные
учащимся элементы высшей математики.
При пользовании пособием следует рекомендовать учащимся сна-
чала самостоятельно решить задачу, а затем сверить свое решение
с помещённым в конце книги. При этом надо учитывать, что некото-
рые задачи могут быть решены и другими способами.
Все предложения и замечания по книге просим направлять по
адресу: 220600 Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Народ-
ная асвета», редакция литературы по физике и математике.
3
МЕХАНИКА
/1. Небольшое тело соскальзывает без трения из точ-
ки Л в точку В один раз по выпуклой дуге, второй раз по
вогнутой, В каком случае тело быстрее достигнет точки
В, если начальная скорость тела t’o=0, а радиусы обеих
дуг одинаковые?
2. Моторной лодкой, плывущей вниз по течению реки,
легко управлять с помощью руля, установленного на кор-
ме лодки. Почему это не удается делать при выключен-
ном моторе?
^3. Две частицьгЛ и В движутся с постоянными ско-
ростями bi и и2 по двум взаимно перпендикулярным пря-
мым к точке их пересечения О. В начальный момент вре-
мени частицы от точки О находились на расстояниях
Si и s2. Через какой промежуток времени t расстояние s
между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
4. Мальчик плывет со скоростью в два раза мень-
шей скорости течения воды в реке. В каком направлении
он должен плыть к другому берегу, чтобы его снесло те-
чением как можно меньше? На какое расстояние Smin его
снесет в этом случае, если ширина реки /г=100 м?
4 5. Парашютист, прыгая с самолета, некоторое время
падает не раскрывая парашюта, а затем его раскрывает.
Начертить приблизительные графики скорости v и уско-
рения а парашютиста.
v 6. Машинист пассажирского поезда, шедшего,со ско-
ростью 01 — 30 м/с, увидел впереди товарный-поезд, иду-
щий на расстоянии s=180 м с постоянной скоростью
fir59,0 м/с в том же направлении. Машинист сразу же
затормозил, причем тормоза вызвали ускорение, величи-
на которого а=»1,2 м/с2. Произойдет ли столкновение по-
ездов?
* 7. Если с летящего самолета запустить ракету в на-
правлении, противоположном его движению, то ракета
разворачивается на, 180°,и, догнав самолет, поражает его.
Как объяснить это явление?
8. Сравнить время падения шарика с некоторой вы-
соты в двух случаях: а) шарик падает свободно; б) на
4
половинё пути он упруго
ударяется о наклЪнную пло-
скость с углом при основа-
нии а = 45° (рис. 1).
v 9. Тело, брошенное вер-
тикально вверх, возвращает-
ся в точку на высоте /г через
промежуток времени At
Найти начальную скорость^
тела Vo и время его движе-*
ния t.	"
4110. С какой скоростью	рнс i
Vo нужно бросить вертикаль-
но вверх тело, чтобы оно прошло путь s= 100 м за время
*=6,0 с?
’'И. Вверх по гладкой ндклонной плоскости, образую-4
щей угол а с горизонтом, пустили шайбу с начальной
скоростью Когда шайба достигла половины макси-
мальной высоты подъема, из той же начальной точки с
такой же скоростью и в том же направлении пустили вто-
рую шайбу. На каком расстоянии х от начальной точки
встретятся шайбы?
\ 12. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до
потолка' Я = 2,7 м, начала двигаться вертикально вверх
с постоянным ускорением а =1,2 м/с2. Спустя время
/в=2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал
падать болт. Найти время свободного падения болта t,
его перемещение h и пройденный путь $ за это время в
системе отсчета, связанной с шахтой лифта.
13.	Легковая машина движется по горизонтальному
шоссе за грузовиком. Между двойными шинами заднего
колеса грузовика застрял камень. На каком расстоянии
s от грузовика должна ехать легковая машина, чтобы
камень, вырвавшийся .из колеса грузовика, не долетел до
нее? Машины движутся со скоростью v=50 км/ч. .
14.	Из точки А под углом а к горизонту брошен ша
рик со скоростью По- Он упруго ударяется в расположен-
ную на расстоянии х от точки бросания вертикальную
стенку. При каком значении х шарик вернется в точку Л?
15.	С берега реки, высота которого h, под углом а к
горизонту брошен камень с начальной скоростью и0. При
каком значении угла а камень упадет на максимальном
расстоянии от берега?
^16. Велосипедист движется по окружности со ско-
ростью п = 6 м/с. Из центра окружности в некоторый мо-
5
77777777777777777ZT77777
Рис. 3
т
’ мент времени начинает двигаться пешеход, который дол-
жен передать вымпел велосипедисту. Под каким углом а
к прямой, соединяющей положение велосипедиста с цент-
ром окружности, в данный момент должен двигаться пе-
шеход, чтобы передать вымпел за кратчайшее время,
если первую половину пути он проходит со скоростью
01 = 1 м/с, а вторую — со скоростью 02=1,5 м/с?
^17. Гладкий диск, плоскость которого горизонтальна,
а радиус равен вращается вокруг своей осн. От поверх-
ности диска отрывается небольшое тело, которое затем
скользит по диску. На каком расстоянии г от оси оторва-
лось тело, если за время его скольжения диск совершил
один полный оборот?
18.	Фонарь, находящийся на расстоянии R от верти-
кального плоского экрана, бросает на него узкий пучок
света. Фонарь равномерно вращается вокруг вертикаль-
ной оси с угловой скоростью <о. Найти скорость о движе-
ния пятна света на экране спустя время t после того, как
луч был перпендикулярен к нему,
19.	На валик диаметром d за время / наматывается
бумажная лента длиной $. Наружный диаметр образо-
вавшегося при этом цилиндра D. С какой угловой ско-
ростью со вращается валик?
20.	Кинопроектор проектирует 8 кадров в секунду. На
экране виден движущийся автомобиль, колеса которого
вращаются вперед. Изображение колес совершает
2,0 об/с. Какой была скорость автомобиля во время
* съемок, если радиус его колес /?=0,5 м?
21.	По горизонтальной поверхности начинает дви-
гаться брусок, график ускорения щ которого представ-
лен на рисунке 2. На этом бруске находится второй бру-
сок. Коэффициент трения между брусками ц=0,5. На-
6
чертить качественно графики скоростей брусков сч и
а также график ускорения а2 второго бруска.
22..	Вагон после толчка, сообщенного ему теплово-
зом, поднялся вверх по уклону в течение времени ti и
до остановки прошел путь s. После остановки вагон на-
чал спускаться вниз и тот же путь прошел за время t2.
Найти коэффициент трения р,.
23.	Поезд, подъезжая к станции со скоростью
о = 72 км/ч, начал тормозить. Каково наименьшее время
t торможения поезда до полной остановки, безопасное
для спящих пассажиров (пассажиры не падают с по-
лок)? Каков минимальный тормозной путь s? Ускоре-
ние при торможении считать постоянным, коэффициент
трения пассажиров о полки у.=0,2.
24.	Поезд массой М=500 т шел равномерно по го-
ризонтальному пути. От поезда отцепился задний вагон
массой /п = 20 т. После этого поезд прошел расстояние
$ = 200 м и тогда прекратили подачу пара в машину. На
каком расстоянии L друг от друга остановятся вагон и
остальной состав поезда?
25.	На главком горизонтальном столе лежит доска
массой /ni = l кг, а на ней брусок массой т2—2 кг. К до-
ске с помощью горизонтально расположенной легкой
Нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешена
Гиря массой /н3=3 кг. При каких значениях коэффици-
ента трения ц между доской и бруском последний будет
Перемещаться относительно доски? Массой блока и тре-
Нием в нем пренебречь.
26.	Система, состоящая из двух связанных брусков
и подвижного блока, находится на гладком горизонталь-
ном столе (рис. 3), При какой минимальной силе F брус-
ки будут проскальзывать друг относительно друга,
ёсли коэффициент трения между ними у? Масса верхне-
го бруска т, нижнего — М (М > т).
27.	На доске лежит шайба. Один конец доски мед-
ленно поднимают. Начертить'график зависимости силы
трения F-гр от угла а, который доска образует с горизон-
том. Масса шайбы т, коэффициент трения между шай-
бой и доской ц.
28.	На горизонтальной плоскости стоят два одинако-
вых кубика массой М каждый. Между кубиками встав-
ляют гладкий клин массой т с углом при вершине 2 а.
С каким ускорением а будут двигаться кубики, если '
коэффициент трения между кубиком и плоскостью р.?
. 29. В сосуд массой т, находящийся на гладкой гори-
7
зонтальной плоёкбсти, налита вода массой М. На сосуд
в горизонтальном направлении действует постоянная
сила F. Какой будет поверхность жидкости в движу»
щемся сосуде?
30.	В автомобиле закреплен герметически закры-
тый бак с бензином, имеющий форму прямоугольного
параллелепипеда, две грани которого перпендикулярны
продольной оси автомобиля и находятся на расстоянии
/ друг от друга. Какова разность давлений Др бензина
на одном горизонтальном уровне у этих граней во время
разгона автомобиля, если он развивает скорость v за
время /? Движение автомобиля равноускоренное, бак
заполнен бензином полностью.
31,	По озеру движется водометный катер. Опреде-
лить установившуюся скорость движения катера и, счи-
тая» что сила сопротивления воды пропорциональна ско-
рости движения катера (коэффициент пропорциональ-
ности k). Скорость выбрасываемой воды относительно
катера и, площадь поперечного сечения потока посту*
пающей в двигатель воды S, плотность воды р.
32.	Мячик брошен горизонтально со скоростью и0.
На расстоянии s от точки бросания находится вертикаль-
ная стена. После удара о стену мячик отскакивает в го-
ризонтальном направлении со скоростью Vi. Определить
коэффициент трения мячика о стену ц. Сопротивление
воздуха не учитывать.
33.	По горизонтально расположенному проволочно-
му кольцу могут скользить две бусинки массами Ш\ и т2.
Вначале бусинки были соединены ниткой (длина нитки
меньше диаметра кольца) и между ними находилась
сжатая пружина. Нитку пережгли. Как только бусинки
начали двигаться, пружину -убрали. Найти отношение
расстояний, проходимых бусинками между n-м и п+1-м
столкновениями. Столкновения бусинок считать упруги-
ми, трение не учитывать. '
34.	Однородная веревка  длиной L соскальзывает
без трения со стола. В начальный момент времени дли-
на свешивающегося конца была равна £0 и веревка нахо-
дилась в покое. Определить скорость веревки v в тот
момент, когда она вся соскользнет со стола. Считать, что
длина веревки L меньше высоты стола.
35.	Тяжелый шарик, подвешенный на легком рези-
новом жгутике, растягивает его на Д/=5 см. Каким -бу-
дет максимальное растяжение х, если шарик поднять и
затем отпустить с высоты h«0,2 м, отсчитанной от ниж-
8
 [ЯЬ
z-s	в _ 3s [jf t
е>-т—
Рис. 4
Рис. 5
него конца нерастянутого жгутика? Длина недеформи-
рованного жгутика больше h.
36.	В детском пистолете пулю кладут на пружину,
закрепленную внутри ствола. Пружину сжимают, а за-
тем отпускают, направив ствол вертикально вверх. Пуля
поднимается на высоту h. Найти максимальное ускоре-
ние а пули, считая, что она отрывается от пружины в тот
момент,, когда пружина полностью распрямляется. На-
чальная деформация пружины L.
37.	ДваЧщинаковых шара массой т каждый покоят-
ся касаясь друг друга (рис. 4). Третий шар массой М
налетает на них, двигаясь по прямой АВ со скоростью
п0- С какой скоростью v будет двигаться налетающий
шар после столкновения? Удар считать упругим, радиу-
сы шаров одинаковыми.
38.	Два пластилиновых шара, массы которых относят-
ся как 1:2	Y подвешены на нитях так, что
касаются друг друга. Шары развели в противоположные
стороны до горизонтального 'расположения нитей и одно-
временно отпустили. На какой угол а от вертикали откло-
нятся нити после удара, если при ударе шары слиплись?
р
Какая часть кинетической энергии — при ударе перейдет
Е
в другие виды энергии?
39.	Два тела массами т и 2т .движутся по взаимно
перпендикулярным направлениям с равными по величи-
не скоростями. После соударения легкое тело останови-
лось. Какую часть его энергии составляет выделившаяся
при ударе теплота?
40.	Ящик с пружиной (рис. 5) находится на гладкой
горизонтальной поверхности. Какой должна быть мини-
мальная скорость шарика v для того, чтобы он при уда-
ре сжал пружину на величину х0? Масса ящика вместе
с пружиной Л4, масса шарика т, жесткость» пружины k.
41.	На гладком столе лежит пробирка длиной I и
массой ть В открытый конец пробирки параллельно ее
оси влетает шарик массой zn2 и упруго ударяется о ее
9
Рис. 6
дно. Какой путь s пройдет пробирка к тому моменту вре-
мени, когда шарик выскочит из нее? Трение не учиты-
вать.
42.	Два одинаковых шарика массой т каждой, со-
единенные легкой пружиной жесткостью k и длинной I,
лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе.
Третий такой же шарик движется со скоростью Oq по ли-
нии, соединяющей центры двух первых шариков, и упруго
сталкивается с одним из них. Определить максимальное
Ттах и минимальное 1тш расстояния между шариками,
связанными пружиной, при их дальнейшем движении.
43.	Человек массой М прыгает вдоль путей с непо-
движной тележки массой т, стоящей на рельсах. При
этом тележка перемещается в сторону, противополож-
ную направлению прыжка, на расстояние а,- Коэффици-
ент трения тележки, о рельсы р. Какую энергию Е рас-
ходует человек при прыжке?
44.	Кубик и? пенопласта массой .4=100 г лежит на
горизонтальной подставке. Ребро кубика h =10 см. Сни-
зу кубик пробивает вертикально летящая пуля массой
/и=10 г. Скорость пули при входе в кубик Ui = 100 м/с,
при выходе Us = 95 м/с. Подпрыгнет ли кубик?
45.	Сани массой Л!=120 кг скатываются с горы, угол
наклона которой к горизонту а = 30°, и, пройдя по гори-
зонтальной плоскости расстояние $ = 60 м, останавлива-
ются. При движении саней от трения полозьев о снег
расплавилось т=30 г снега. Найти коэффициент тре-
ния р. Считать, что все выделяющееся тепло идет на
плавление снега. Температура снега /=0°С, его удель-
ная теплота плавления А=3,35- 10s Дж/кг.
46.	Пробирка массой М лежит на горизонтальной
плоскости. В пробирке на расстоянии I от края находит-
ся тонкий поршень, прикрепленный с помощью неде-
формированной пружины к стене (рис. 6). Газ в про-
бирке медленно нагревают. Какую работу А надо со-
W
вершить газу, чтобы вытолкнуть поршень из пробирки?
Начальное давление газа в пробирке равно атмосфер-
ному, жесткость пружины k, коэффициент трения между
пробиркой и плоскостью ц. Трением поршня о стенки
пробирки пренебречь.
47.	По горизонтальной трубе с помощью насоса
перекачивается жидкость. Во сколько раз нужно увели-
чите мощность насоса для того, чтобы за то же время
количество перекачиваемой жидкости возросло в п раз?
Трение не учитывать.
48.	Вверх по наклонной плоскости поднимают тело
массой т так, что оно движется равномерно со скоростью
V. Определить, при каком угле а затрачиваемая мощ-
ность будет максимальной. Каково значение максималь-
ной мощности Коэффициент трения р. Сила, с ко-
торой тянут тело, направлена вдоль наклонной плоско-
сти.
49.	На двух одинаковых автомашинах установлены
двигатели различной мощности. Какая из машин на го-
ризонтальной дороге с места быстрее набирает ско-
рость? Сопротивление воздуха не учитывать.
50.	Небольшое тело, покоившееся в высшей точке А
(рис. 7) выпуклой полусферической поверхности, начи-
нает соскальзывать вниз. При каком угле <р тело ото-
рвется от поверхности? Трение не учитывать.
51.	Небольшой тяжелый шарик массой т вращается
на нити в вертикальной плоскости. Какую силу натяже-
ния Т должна выдерживать используемая для этого
нить?
52.	Найти наибольшую силу давления F человека на
качели, если его масса т=70 кг, а наибольший угол от-
клонения качелей от вертикали а = 60°.
53.	В ракете, движущейся вертикально вверх с по-
стоянным ускорением й0, вращается по окружности в
горизонтальной плоскости подвешенный на нити - шар.
Найти период вращения Т, если угол между нитью и
вертикалью а, а радиус окружности /?. Изменением си-
лы тяжести с высотой пренебречь.
54.	Тело соскальзывает из точки А в точйу В один
раз по дуге АМВ, другой раз по дуге ALB (рис. 8).
Коэффициенты трения и радиусы дуг в обоих случаях
•одинаковы, начальная скорость тела о0 = 0. В каком слу-
чае скорость тела в точке В будет больше?
55.	Сосуд, имеющий форму расширяющегося кверху
усеченного конуса с диаметром дна В = 20 см и углом
11
Рис. 10	Рис. 11
наклона стенок к горизонту а=60°, вращается вокруг
вертикальной оси конуса. При какой угловой скорости
вращения м шарик, лежащий на дне сосуда, будет вы-
брошен из него?
56.	Гантелька представляет собой невесомый стер-
жень длиной I с двумя небольшими шариками на кон-
цах, масса каждого из которых равна т (рис. 9). Ган-
телька стоит в углу, образованном двумя взаимно пер-
пендикулярными гладкими стенками. От содрогания
гантелька начинает падать. С какой силой F действует
шарик А на вертикальную стенку в тот момент, когда
стержень составляет угол а с вертикалью?
57.	Шарик массой т, надетый на жесткую неподвиж-
ную пружину, ось которой вертикальна» скользит без
трения по ее виткам (рис. 10). С какой силой F шарик
будет действовать на пружину после совершения п пол-
ных оборотов? Начальная скорость шарика Оо=0, ради-
ус витков пружины R, ее шаг h.
12
58.	Поверхность полости, сделанной в однородном
шаре радиусом /?, касается поверхности шара и прохо-
дит через его центр (рис. 11). Масса сплошного шара М.
.С какой силой Fo шар с полостью будет притягивать ма-
ленький шарик массой т, находящийся на расстоянии
I от центра большого шара и расположенный так, как
показано на рисунке 11?
59.	В воде на расстоянии I друг от друга располо-
. жены воздушный пузырек и железный шарик одинако-
вого объема V. Определить силу F гравитационного
взаимодействия между ними.
69.	Человек, стоящий на'Земле, сгибая колени, опу-
скает свой центр тяжести на расстояние 1=50 см. За-
тем он прыгает вертикально вверх, поднимая центр
тяжести на высоту Л = 60 см выше естественного уров-
ня. На какую высоту Н человек может подпрыгнуть та-
ким образом на Луне? Радиус Луны /? = 0,27/?о, а ее
’ плотность р = О,6Оро, где Ro и р0— радиус и плотность
Земли.
61.	Оценить минимальный период Тщщ обращения
спутника нейтронной звезды. -Плотность нейтронной
’звезды р~ 1017 кг/м3.
62.	С какой минимальной скоростью v должна бы-
ла бы двигаться Земля, чтобы покинуть Солнечную си-
стему? Орбиту Земли вокруг Солнца принять за круго-
вую радиусом /?о= 150 млн. км.
Примечание: если потенциальную энергию в бесконечности
Принять равной нулю, то потенциальная энергия гравитационного
Взаимодействия двух тел массами Мит, расположенных на рассто-
s	Af/Ti
янии R друг от друга, определяется формулой Ер= —G —-
R
63.	Шарообразная планета, состоящая из вещества
плотностью р, имеет сферическую полость. Какую ми-
нимальную скорость Гют необходимо сообщить телу на
поверхности планеты для того, чтобы оно удалилось в
бесконечность? Радйус планеты R, радиус полости г =
=0,5/?, расстояние между центрами планеты и поло-
сти $=0,25/?.
64.	Определить кинетическую'Энергию Eh искусст-
венного спутника Земли массой т=1,5>103 кг, движу-
щегося по круговой орбите на высоте /i=300 км от по-
верхности Земли. Радиус Земли /? = 6,4-103 км.
65.	При взвешивании на неравноплечих весах на од-
13
.Рис. 14	Рис, 15	Рис. 16	(
ной чашке масса тела получилась равной mit на дру-
гой — т2. Какова истинная масса тела т?
66.	Для того чтобы провод трамвайной линии был
натянут, конец провода прикрепили к столбу так, как
показано на рисунке 12. Масса груза т=100 кг. Столб
стоит в бетонном цилиндрическом колодце. Найти силы,
действующие на столб в точках А и В. Высота столба
Я = 10 м, глубина колодца h=* 1,5 м.
67.	Катушка покоится на горизонтальной поверхно-
сти (рис. 13). Небольшая горизонтально направленная
сила F действует на нитку так, что катушка катится без
скольжения. В каком направлении катится катушка?
Ответ обосновать.
68.	При подъеме тела по наклонной плоскости егс
равномерно тянут с силой, направленной вдоль этой
плоскости. При этом выигрыш в силе в 1,5 раза (п = 1,5)
дает проигрыш в расстоянии в 2 раза (р=2,0), Опреде
лить коэффициент трения р.
14
69.	Однородный шар радиусом Я и массой т нахо-
дится перед ступенькой высотой h(h^.R), Какую ми-
нимальную горизонтально направленную силу F нужно
приложить к центру tuapa, чтобы он поднялся на сту-
пеньку? К этой задаче даны три ответа:
f=4J5S,
• R — h	R
D	27? — h
^^-rTT-
Среди них есть верный. Не {&шая задачи, найти этот
ответ.
70.	Катушка за намотанную на нее нить подвешена
около стены (рис. 14). Масса катушки т, малый ее ра-
диус г, большой — /?, коэффициент трения катушки о
стену рг. При каком наименьшем угле а катушка не бу-
дет скользить по стене? Какова при этом сила натяже-
ния нити Т?
71.	Три одинаковых однородных цилиндра, оси ко-
торых параллельны, соприкасаются друг с другом по
образующим. Два цилиндра лежат на горизонтальной
плоскости, третий покоится на них (рис. 15).. При каком
минимальном коэффициенте трения ц1Пт между цилинд-
рами и плоскостью цилиндры не будут расходиться?
72.	К резиновому жгутику, укрепленному в точках
Л и В, в средней его точке С подвесили груз массой
т=500 г (рис. 16), Определить жесткость жгутика.k,
если его длина в недеформированном состоянии
.= |АВ] =50 см. Угол а=90°.
73.	На цилиндрический столб намотан один виток
кйната. Для того чтобы канат не скользил, когда за
один из его концов тянут с силой F, за другой конец ка-
ната нужно тянуть с силой f. Как изменится эта сила,
если на столб будет намотано п витков каната?
74.	К водопроводному крану с помощью резиновой
трубки присоединена стеклянная трубка длиной /=
= 100 см, оканчивающаяся коротким прямоугольным ко-
леном. На какой угол а от вертикали отклонится труб-
ка, если из нее будет вытекать вода со скоростью v—
=200 см/с? Масса трубки т = 80 г, площадь ее внутрен-
него поперечного сечения S = 30 мм2,
75.	В два сообщающихся сосуда налита однородная
жидкость. Площади поперечных сечений сосудов раз-
ные, В каждый из сосудов опустили по одинаковому
15
деревянному шару, которые плавают на поверхности
жидкости, В каком из сосудов жидкость установится на
более высоком уровне? Рассмотреть случай, когда шар
опустили только в один сосуд. Зависит ли результат от
формы опущенного тела?
76.	Полностью заполненный водой и герметически
закрытый бак движется горизонтально с ускорением а.
Найти давление р на глубине h. в точке, удаленной от
передней стенки бака на расстояние I.
77.	Горизонтально расположенный шприц заполнен
водой. Найти давление р, с которым поршень действует
на воду, если скорость вытекания струи из отверстия
шприца равна о. Трение не учитывать.
. 78. Сосуд высотой Н полностью заполнен однород-
ной жидкостью. На каком расстоянии h от верха сосуда
необходимо сделать в боковой стенке небольшое отвер-
стие, чтобы дальность полета струи s была наиболь-
шей? Какова эта дальность? Силы трения не учиты-
вать. -
79.	В условиях невесомости уровни однородной не-
смачивающей жидкости в сообщающихся сосудах мо-
гут быть равными. Означает ли это, что в этих условиях
не выполняется закон Паскаля?
80.	Под каким давлением р бьет нефть из вертикаль-
ной скважины, если высота фонтана равна Я? Силы
трения не учитывать.	-
81.	В узкую трубку, имеющую вид перевернутой бук-
вы П, налита однородная жидкость. Найти разность
уровней жидкости Д/i в коленах трубки при ее враще-
нии с угловой скоростью о вокруг вертикальной оси,
удаленной на расстояние г\ от одного колена и на
г2 — от другого.
82.	Два одинаковых шарика связаны легкой нитью,
перекинутой через легкий неподвижный блок, причем
один из шариков погружён в жидкость. С какой уста-
новившейся скоростью v будут двигаться шарики, если
известно, что установившаяся скорость падения одного
шарика в той же жидкости vft? Силу сопротивления в
жидкости считать пропорциональной скорости движе-
ния; плотности жидкости р и материала шариков р0 —
известными. Трением в блоке пренебречь.
83.	Небольшой шарик из*пенопласта погрузили вво-
ду на глубину h и отпустили. На какую высоту Я над
водой он подпрыгнет? Силы трения и поверхностного
натяжения не учитывать.
16
84.	Куб из неизвестного материала плавает на по-
верхности ртути. Поверх ртути наливается вода, при
этом половина объема И. куба находится в воде, а по-
ловина во ртути. Найти плотность материала куба р.
85.	Каким должен быть объем полости Vi внутри
железного буя, чтобы он мог плавать на поверхности во-
ды? Объем буя V.
86.	Парафиновый шар, начиненный свинцовой дро- *
бью, плавает так, что над водой находится п-я часть его
объема. Во сколько раз объем, занимаемый свинцом,
меньше объема парафина?
87.	Однородный алюминиевый цилиндр подвесили
на пружине и опустили, полностью погрузив его в воду.
При этом- растяжение пружины уменьшилось в п=1,6
раза. Рассчитать по этим данным плотность алюминия р.
88.	В сосуде с водой плавает кусок льда, внутри ко-
торого находится кусочек свинца. Изменится ли поло-
жение уровня поверхности воды в сосуде, если лед рас-
тает? Что будет с уровнем поверхности воды, если вну-
три льда вместо свинца будет воздух?
89.	На камень, выступающий над поверхностью воды
Йа высоту Н, верхним концом опирается однородная
доска длиной L, частично погруженная в воду. При ка-
ком минимальном коэффициенте трения ц между кам-
Йем и доской она будет находиться в равновесии? Плот-
ность дерева р, воды — р0.
90.	Плоская льдина площадью 5 и толщиной Н пла-
вает в воде. Какую минимальную работу А нужно со-
вершить, чтобы льдину полностью погрузить в воду?
91.	Математический маятник за .некоторый проме-
жуток времени совершает П1 = 12 колебаний. После из-
. менения его длины на Д/=28 см он совершает за то же
время п2=-16 колебаний. Какова первоначальная дли-
на маятника/?	|
92.	На легкой нити длиной Г подвешен маленький
тяжелый шарик. Его выводят из положения равновесия
так, что нить отклоняется от вертикали на небольшой
угол, и отпускают. Спустя какое минимальное время /щщ
угол между нитью и вертикалью уменьшится вдвое?
93.	Ракета стартует и движется вертикально вверх
с постоянным ускорением а. По истечении времени t,
определенного по маятниковым часам/ установленным в
ракете, двигатели выключились. Определить высоту
Подъема Н и скорость v ракеты в этот момент.
~ 94. Для создания искусственной тяжести две части
17
Рис. 17
космического корабля (отношение масс mi:	1: 2)
разводятся на расстояние L и приводятся во вращение
вокруг их общего центра масс. Определить период вра-
щения Т, если маятниковые часу в кабине космонавта,
расположенной в более массивной части корабля, идут
вдвое медленнее, чем на Земле.
95.	Механическая модель двухатомной молекулы
представляет собой два шарика массами /И] и т2, соеди-
ненных легкой пружинкой. Предположим, что такая
«молекула» возбуждена — пружинка сжата. Найти пе-
риоды колебаний и Т2 каждого из «атомов» (шари-
ков), если жесткость пружинки k.
96.	На гладком горизонтальном столе лежит шар
массой М, прикрепленный к вертикальной стене пружи-
ной жесткостью k (рис. 17). Пуля массой т, летящая
горизонтально со скоростью v, попадает в шар и застре-
вает в нем .-Определить период Т возникших колебаний,
их амплитуду А и максимальную скорость vmax колеб-
лющегося шара.
97.	На грунтовой дороге имеются углубления, нахо-
дящиеся на расстоянии I друг от друга. По этой дороге
движется автомобиль, имеющий четыре одинаковые рес-
соры, каждая из которых прогибается на величину h
под действием груза массой m. С какой скоростью v
движется автомобиль, если от толчков на углублениях
он, попав в резонанс, начал сильно раскачиваться? Мас-
са автомобиля М.
98.	Две одинаковые пружины, закрепленные в точ-
ках Л и В, растянулись под действием груза так, что
система пришла в равновесие при | ЛС| = |ВС| = |ЛВ| =»
18
«=«2/о (рис. 18). С какой цикли-	л
ческой частотой о будет коле- х; — ~ ' >  J-----
баться груз, если его немного	))
сместить из положения равно- Vs	-—гу
веси я в вертикальном направ-
лении и отпустить?	рИр. 19
99.	Брусок находится на
горизонтальной плоскости. Легкая пружина одним кон-
цом прикреплена к бруску, другим — к стене. В началь-
ном положении пружина не деформирована и располо-
жена горизонтально. Трение между бруском и плоскостью
таково, что при смещении бруска, из начального положе-
ния на расстояние он остается неподвижным (зо-
на застоя). Брусок сместили, растянув пружину на рас-
стояние Хо>а, и отпустили. Чему равна величина макси-
мального смещения бруска хп после того, как он « раз
пройдет через начальное положение? Где остановится
брусок, если Хо~4,5 а? Начертить примерный график дви-
жения бруска в этом случае.
100.	Кузов вагона массой М находится на тележке
о колесами, масса которой т. Определить наибольшую
Ап»х и наименьшую Гтш силы давления вагона на рель-
сы горизонтального, прямолинейного пути, если на ходу
кузов-совершает на рессорах вертикальные колебания
по закрну у=Asin at.
101.	В [/-образную стеклянную трубку налита ртуть,
суммарная длина столба которой в обоих коленах ив.
изогнутой части равна I. Выведенная из равновесия
ртуть совершает малые колебания, переходя из одного
колена в другое и обратно. Найти период этих колеба-
ний Т.
102.	Для определения частоты звуковых колебаний
применяется интерференционный прибор, изображенный
на рисунке 19, где А — источник звука, В — слуховая
Трубка. Одно из колен интерферометра, представляюще-
го собой полую металлическую трубку, выдвижное.
В зависимости от положения выдвижного колена реги-
стрируется усиление или ослабление звука. Определить
частоту звуковых колебаний v, если для перехода от од-
ного ослабления звука к следующему пришлось пере-
. местить выдвижное колено на расстояние /. Скорость
звука в воздухе о.
19
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
103,	Молекулярный пучок падает на стенку и отра-
жается от нее по закону упругого удара. Найти давление
 р, оказываемое молекулярным пучком на стенку, если
вектор скорости молекул v составляет угол ср с норма-
лью к стенке. Масса каждой молекулы т, а их число в
единице объема п. Рассмотреть случаи: а) стенка не-
подвижна; .6) стенка движется в направлении своей нор-
мали со скоростью и.
104,	G помощью эффузии — истечения газа через ма-
ленькое отверстие в вакуум — можно обогащать газы.
Пусть через сосуд, в# котором имеется маленькое отвер-
стие, прокачивают смесь дейтерия и трития (изотопы
водорода). Газ, который проходит через отверстие, со-
бирается в другом сосуде, откуда откачивается специ-
, альным насосом. Каким компонентом будет обогащен
этот газ?
.	105. С какой скоростью v должна двигаться ракета,
.чтобы кинетическая энергия воздуха в кабине, обуслов-
ленная поступательным движением ракеты, была равна
его кинетической энергии, обусловленной "хаотическим
поступательным движением молекул? Температура воз-
духа в кабине Т=300 К.
106.	Два сосуда, соединенных краном, содержат оди-
наковое число атомов гелия. Средняя скорость атомов
гелия в первом сосуде Vi, во втором — v?. Какой будет
установившаяся температура газа Т, если открыть кран?
107.	С какой скоростью растет толщина покрытия
стенки серебром при его распылении, если атомы сереб-
ра оказывают на стенку давление р? Средняя кинетиче-
ская энергия одного атома серебра Е^.
108.	Тонкий диск массой Af0 и радиусом г падает в
воздухе вертикально вниз с постоянной скоростью так,
что плоскость диска все время остается горизонтальной.
Найти скорость движения диска v. Считать массы моле-
кул газа одинаковыми, скорости их равными средней
квадратичной, давление р и температуру Т постоянными.
109.	Во сколько раз изменится число ударов z, испы-
тываемых участком единичной площади стенки сосуда
за единицу времени, при двукратном увеличении объема
сосуда? Рассмотреть случаи изотермического и изо-
барного расширения.
20
Сосуд заполнен идеальным одноатомным газом.
ПЛ. Сосуд с газом разделен подвижной перегородкой
на две части, отношение объемов которых — = —.
V02	3
Температура газа в меньшем объеме Т01 = 450 К, в боль-
шем Гм = 540 К. Давление в обеих частях сосуда одина-
ково. Какое будет отношение объемов если температу-
ры. выравняются?
Теплообмен возможен только через' перегородку.
Трение не учитывать.
111.	Сколько качаний п поршневого насоса надо сде-
лать, чтобы накачать пустую камеру футбольного мяча
объемом V=3 дм3 до давления, превышающего атмос-
ферное в три раза? За каждое качание насос захваты-
вает из атмосферы объем воздуха Vo=15O см3. Темпера-
туру мяча считать постоянной.
112.	Сколько качаний п поршневого насоса потребу-
ется, для того, чтобы давление в баллоне объемом Vo=*
— 1,5 дм® уменьшить в k раз (6=100)? Объем камеры
Засоса У=100 см®. Изменением температуры при откачи-
Вании газа пренебречь.
113.	При выпускании из баллона части находящегося
газа абсолютная температура газа в баллоне умень-
шилась в п раз, а давление — в k раз. Какая часть массы
раза была выпущена из баллона?
. 414. Цилиндрический сосуд объемом 2V разделен на
равные части тонким легким подвижным поршнем, пло-
. Щадь которого S. В отсеках сосуда находится одинаковый
газ. Вначале давление в отсеках одинаково, а температу-
ры различны, причем их отношение = п. На какое
Тг
расстояние х сместится поршень при выравнивании тем-
пературы? Считать, что теплообмен происходит только
через поршень, его трением о стенки сосуда пренебречь.
115.	При расширении газа его объем увеличился в три
раза. Определить максимальную температуру Ттах , кото-
рую имел газ при расширении, если его начальный объем
Vo, начальное давление р0, количество газа v. Давление
(V \
1,25 —0,25—-р0.
Vo/
116.	На рисунке 20 представлен график изменения
-21
состояния водорода в координатах р, Т. Изобразить гра-
х фики тех же процессов в координатах p,V и Масса
газа/и = 1,00 кг. /
117.	С газом проведен замкнутый процесс (рис. 21).
Кривые 2—3 и 4—1 являются изотермами, а продолже-
ния участков 1—2 и 3—4 проходят через начало коор-
динат. Представить этот процесс на графике в коорди-
натах Т, V.
118.	В предыдущей задаче найти объем газа Vi, если
объемы V2, Кз,К4 известны.
119.	В задаче 117 доказать, что давление газа р^ —
=рз, если объем V2—V4.
120.	На рисунке 22 изображен график некоторогс
процесса в координатах р, Т, Как изменялся объем га-
. за V?
121.	С некоторым количеством кислорода проведег
замкнутый процесс (рис. 23). Известно, что максималь-
ный объем, который занимал газ в этом процессе, Vmax=
= 16,4 дм3. Определить массу кислорода m и его объем
Vi в первом состоянии.
22
122.	Цикл, совершаемый газом, состоит из адиабаты
(уравнение адиабаты pV"* = const, где у> 1), изотермы и
изобары. Изотермический процесс протекает при мини-
мальной температуре газа, Изобразить этот цикл на
графике в координатах p,V,
123.	Нагребается или охлаждается газ при расширении,
если его давление р и объем V связаны соотношением
k
уп ’
гдеп>1, a k — постоянная величина? Коли-
чество газа остается постоянным.
124.	В сосуде — смесь азота и водорода. При темпе-
ратуре Т, когда оба газа находились в молекулярном
состоянии, давление в сосуде было р0. При температуре
2/, когда все молекулы азота распались на атомы, а во-
дород находится еще в молекулярном состоянии, давле-
ние смеси Зро. Каким будет давление р при температу-
ре ЗТ, когда все молекулы водорода также распадутся
на атомы? Каково отношение количеств азота и водоро-
да в смеси в рассматриваемых трех состояниях?
Объем сосуда считать достоянным.
125; В цилиндре под поршнем находится гелий, мас-
са которого т=20,0 г. Газ перевели из состояния /
(pi=4,10«105 Па, К1 = 32,0 дм3) в состояние 2 (р2=15»5х
Х Ш5 Па, V2 = 9,00 дм3). Найти максимальную температу-
ру газа Тщах в этом процессе, если известно, что график
зависимости давления от объема — прямая линия.
126.	Определить плотность смеси р, состоящей из во-
дорода и кислорода, при температуре t = 7°C и давле-
нии р=9,3>104 Па. Масса водорода в смеси т^О.50 г,
кислорода /п2=32 г.
. 127. Вакуумированный сосуд разделен перегородка-
ми на три равных отсека (рис. 24). В средний отсек вве-
ли одинаковые массы кислорода, азота И' водорода, в
результате чего давление в этом отсеке стало р~ 1,01 XI
X.ltf Па, Перегородка I проницаемая только для моле-
кул водорода, перегородка II — для молекул всех га-
зов.. Найти давления р\, р% и рз, установившиеся в каж-
дом отсеке, если температу-
ра газов поддерживалась
постоянной.
128, Сосуд разделен пе-
регбродкой на два отсека
объемами Vi=20 дм3 и
У2=40 дма, В одном отсеке
I S
!	2	3
Рис. 24
23
находится гелий массой mi = 3,0 г, в другом — кислорШ
массой т2=64 г. Найти давления pi и р2, установившиеся
в отсеках, если перегородка проницаема только для
лекул гелия. Температура газов 1=27 °C поддержива-
лась тюстоягшой.	, .
129.	Вт стальном баллоне находилась смесь водоро-'
да с кислородом при температуре Л =-27 °C, Масса вода*
рода mi = 0,20 г, кислорода /«2=3,2 г. После реакция
соединения водорода с кислородом давление в баллоне
увеличилось в 3 раза. Какой стала температура газа
Т2? Считать, что водяной пар в баллоне не конденсиро-
вался.
130.	Некоторая масса молекулярного азота находит-
ся в сосуде объемом Vi = 0,75 м3 при температуре 71 =
*=4,5-102 К. При температуре 7'2 = 3,0-103 К та же массй
азота занимает сосуд объемом У2=1,0 м3. В каком из
сосудов давление больше и во сколько раз? Считать, что
при температуре Т2 молекулы азота полностью диссо-
циировали на атомы.
131.	Почему коэффициент объемного расширения а
для всех газов одинаков, а для разных жидкостей и ве-
ществ в твердом состоянии заметно различается?
132.	Два стеклянных шара разных объемов, напол-
ненных воздухом, соединены длинной тонкой стеклянной
трубкой. Посередине трубки, находится капля ртути.
Можно ли с помощью этого прибора измерять темпера-
туру окружающей среды? Рассмотреть случаи горизон-
тального и вертикального расположения прибора.
133.	Стеклянная трубка длиной I с запаянным верх-
ним концом медленно опущена в ртуть в вертикальном
положении так, что ее верхней конец находится на од-
ном уровне с поверхностью ртути. При этом длина воз-
душного столба в трубке h. Найти атмосферное давле-
ние р.
134.	В сосуд с водой при температуре 7\ вертикаль--
но опущена запаянная сверху стеклянная трубка. Дли-
на столбика воздуха в трубке L, причем длина I этого
столбика находится ниже уровня воды в сосуде. До ка-
кой температуры Т2 нужно охладить воздух в трубке для
того, чтобы уровень воды в ней и в сосуде сравнялись?
Атмосферное давление р, давлением водяных паров ц
трубке пренебречь.	'	?
135.	Пузырек воздуха медленно поднимается со дн<?
водоема глубиной Н. Найти зависимость радиуса nys
зырька г от глубины h его местонахождения в данщф
24	
момент времени, если объем пузырька на дне Vo- Ат-
мосферное давление ра. Температуру воды считать по-
стоянной.
136.	Воздушный шар, представляющий собой баллон >
постоянного объема, наполненный гелием, поднимается
до максимальной высоты Но. Через отверстие в нижней
части шар сообщается с атмосферой. На какую величи-
ну ДЯ изменится максимальная высота подъема шара,
если гелий нагреть до температуры Т и поддерживать
ее неизменной во время полета? Температуру атмосфе-
ры считать постоянной и равной То, а давление изменя-
ющимся по закону p^p0(l—ah), где а — известная по-
стоянная величина, h — высота подъема. Изменением
ускорения силы тяжести с высотой пренебречь.
137.	Тонкий цилиндрический стакан массой т«* 50 г
ставят вверх дном на поверхность воды и медленно по-
гружают так, что-он все время остается в вертикальном
положении. Высота стакана Л =10 см, площадь дна S =
= 20 см2. На какую минимальную глубину Н надо опу-
стить стакан, чтобы- он утонул? Атмосферное давление
ро нормальное, давлением паров воды в стакане и тол-
щиной его стенок пренебречь, температуру воды счи-
тать постоянной,
138.	В длинной узкой горизонтально расположенной
трубке на расстоянии I от запаянного конца имеется ко-
роткий столбик ртути. Масса ртути т. С какой-угловой
скоростью со нужно вращать трубку вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через запаянный конец,'чтобы ртуть
достигла конца трубки? Длина трубки L, площадь ее по-
перечного сечения 5, атмосферное давление р0. Явле-
нием смачивания, трением и влиянием вращения на рас-
пределение давления газа в трубке пренебречь.
139.	Поршень массой т и площадью поперечного се-
чения S делит цилиндр с газом на две равные части.
Длина цилиндра 2d. Поршень сместили на небольшое
расстояние и отпустили. Считая процесс изотермиче-
ским, определить циклическую частоту со колебаний
поршня. Начальное давление газа в отсеках цилиндра р.
Трением пренебречь.
140.	Какую работу А совершил газ при нагревании
от температуры Т\ до температуры Т%, если при этом
квадрат его объема изменялся прямо пропорционально
абсолютной температуре? Количество таза v.
141.	Сравнить работы, совершенные при расширении
газа в процессах 1—2 и 3—4 (рис. 25).
25
A
О
2^	3
1 it
rT vT?
Рис. 27
,142. Давление газа при изохорном охлаждении
уменьшилось в п раз. Затем при изобарном расширении
температура газа доведена до начального значения Т.
Какую работу А совершил газ, если его количество v?
143.	В цилиндре под поршнем находится воздух при
температуре £=0&С, его масса ги=58 г. Какую работу
А надо совершить, чтобы изотермически изменить объем
воздуха на 1 % Х«=0,01)? Трение не учитывать.
144.	В закрытом баллоне находится газ при темпе-
ратуре 1\. При охлаждении давление газа уменьшилось
в и раз (п>1). Найти изменение внутренней энергии гаJ
за AU, если его теплоемкость С. Изменением объёма
сосуда при охлаждении пренебречь.
145.	Некоторое количество воздуха нагревается при
постоянном давлении р от температуры Ti до темпера-
туры Т2, поглощая при этом теплоту Qj. Нагревание воз-
духа при постоянном объеме при тех же начальной и
конечной температурах требует затраты теплоты Q2. Ка-
ков начальный объем воздуха
146.	Объем азота при изобарном охлаждении умень-
шился в п раз .(^>1). Найти изменение внутренней
26 .
энергии газа Д£/, если его масса т, а начальная темпе-
ратура 1\,
147.	Одноатомному газу при изобарном расширении
сообщено количество тепла Q. Определить работу А, со-
вершенную газом.
148.	Цилиндрический теплоизолированный сосуд за-
полнен гелием. Сверху сосуд закрыт поршнем, масса ко-
торого т. Поршень закреплен на расстоянии h0 от дна
сосуда. Объем газа Уо, его давление р0 равно атмосфер-
ному. Затем поршень отпускают, и он под действием си-
лы тяжести опускается вниз. Определить расстояние h
от дна сосуда до поршня в конечном его положении. Тре-
ние не учитывать. _
149.	Сообщающиеся цилиндры с поршнями пло-
щадью Si и S2 (рис. 26) заполнены одноатомным газом
с параметрами р0, Уо и То. На левый поршень действуют
с силой, возрастающей от нуля до F, совершая работу А.
Правый поршень сжимает упругую пружину. Какое
максимальное количество тепла Qmax может при этом
выделиться в окружающую среду? До какой максималь-
ной температуры Ттал может нагреться газ? Жесткость
пружины k.
150.	С одноатомным газом проведен замкнутый про-
цесс, состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 27).
Определить т] КПД теплового двигателя, работающего по
этому циклу.
151.	С одноатомным газом проведён цикл (рис, 28).
Найти КПД т] тепловой машины, работающей по этому
циклу, и сравнить т| с максимально возможным Цтах,
если температуры нагревателя и холодильника равны
соответственно максимальной и минимальной темпера-
турам газа в реальном цикле.
152.	За время 1=2 ч автомашина прошла путь $==
— 160 км. Двигатель при этом развил среднюю мощ-
ность jV=70 кВт при КПД ц = 25 %. Сколько горючего
сэкономил водитель за эту поездку, если норма расхода
топлива ш0=36 кг на 100 км пути? Теплота сгора-
ния топлива g=4,2-107 Дж/кг.
153.	В высотных (~1000 км), очень сильно разре-
женных слоях атмосферы скорости движения молекул
газа соответствуют температурам в несколько; тысяч
кельвинов. Почему спутники и ракеты, летающие на та-
ких высотах, не расплавляются?
154.	Два шара одинаковой массы и размера покра-
27
шены в один цвет. Один из них алюминиевый, другой —
железный. Как различить шары?
155,	Вода, поставленная в холодильник, охладилась
от температуры /=10°С до /о=0°С за время т— 10 мин.
Через какое время ti она вся превратится в лед?
156.	Определить массу воды т, которая может быть
превращена в лед при температуре / = 0°С испарением
эфира, масса которого М = 0,1 кг. Теплообмен происхо-
дит только между эфиром и водой. Начальная темпера-
тура эфира и воды/о== 20 °C.
157.	В сосуде объемом У=100 дм3 находился сухой
воздух. В сосуд ввели воду, масса которой tn = 60 г, и
герметически закрыли его. Вся ли вода превратится в
пар, если сосуд нагреть до температуры /=100 °C и под-
держивать эту температуру постоянной? Изменением
объема сосуда'при нагревании пренебречь.
158.	Будет ли кипеть вода в условиях, предыдущей
задачи?
.159. Каким будет давление р в сосуде в условиях за-
дачи 157, если первоначальное давление воздуха было
нормальным ро=1,ОЫО5 Па, а температура /о=0°С?
160.	Взрывная камера заполнена смесью метана и
кислорода при комнатной температуре и давлении ро=
= 1,01-105 Па. Парциальные давления метана и кисло-
рода одинаковы. После герметизации камеры в ней про-
исходит взрыв. Найти установившееся давление р внут-
ри камеры после охлаждения продуктов сгорания до„
первоначальной температуры, при которой давление на-
сыщенных паров воды рн=2,3-103 Па.
161.	Воздух с относительной влажностью <pi = 40 %,
занимавший объем Vi = 2,0 м3, смешали с воздухом с-
влажностью ф2=50 %, занимавшим объем К2=3,0 м3.
Найти относительную влажность смеси ф, если ее объем
Кз = 5,0 м3, а температура обеих порций смешиваемого
воздуха одинакова.
162.	Когда масса водяных паров в воздухе больше —
после месяца затяжных дождей с мокрым снегом в но-
ябре при температуре /f=0oC и относительной влажно-
сти ф1 = 95 % или после месяца сухой погоды в июле при
температуре t2=35°C и влажности ф2 = 40 %? Давление
насыщенного пара при 0°С рй1 = 6,1 гПа, при 35 °C
Рн»=56 гПа.
163.	В здание подается кондиционированный воздух
объемом К=8,3-104 м3 при температуре 6 = 20°С и от-
носительной влажности ф1=70 %. Забирается воздух с
28
улицы при температуре /2=— 2 °C и относительной
влажности ср2 = 90 %. Какую массу воды Am нужно до-
полнительно испарить 9 подаваемый воздух? Давление
насыщенных водяных паров при 20 °C рН1=23 гПа, а
при —2 °C — рн,=5,2 гПа.
164.	Масса водяных паров в воздухе комнаты т\^
= 1,2 кг при относительной влажности <pi=70 %. Масса
дополнительно испаренной в воздух воды ГП2 = 2ОО г. Ка-
кой стала относительная влажность <р2, если температу-
ра воздуха в комнате практически не изменилась?
165.	Кристаллы поваренной соли NaCl кубической
системы состоят из чередующихся ионов Na+ и С1~. Оп-
ределить наименьшее расстояние а между их центрами,
если молярная масса соли М = 58,5. г/моль, а плотность
р = 2,2 г/см3.
166.	В тонкостенном сферическом баллоне должен
храниться газ при температуре Т. Определить массу
баллона т, если плотность материала, из которого он
изготовлен, р, разрывающее материал напряжение о, ко-
личество газа в баллоне v.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
167.	Могут ли тела, заряженные зарядами одинако-
вого знака,, притягиваться вследствие электростатиче-
ского взаимодействия?
168.	Как известно, при разбрызгивании струи воды
капли электризуются. С какой силой F9 будут взаимодей-
ствовать две капли массами /п=3-10-5 кг каждая' на
расстоянии r= 1 м друг от друга, если при разбрызгива-
нии капли потеряли (или приобрели) n-ю часть (п=
= Ы0~10) электронов от общего их количества в капле?
Сравнить силы гравитационного Fr и электрического Fa
взаимодействия капель.
169.	Два одинаковых маленьких шарика подвешены
на одинаковых нитях в одной точке. Когда шарики заря-
дили, нити разошлись на угол 2сц. При погружении ша-
риков в жидкий диэлектрик этот угол стал- 2аг. Найти
диэлектрическую проницаемость диэлектрика 8.
170.	Два небольших шара с зарядами +Q каждый
закреплены на расстоянии 2L друг от друга (рис. 29).
Посередине между ними находится узкая гладкая труб-
ка из диэлектрика. Определить период малых колеба-
29
Рис. 29
Рис, 30
ний Т шарика, находящегося в трубке, если его масса
т, а заряд — Qt.
 171. Оценить порядок величины периода малых ко-
лебаний Т полярной молекулы около положения устой-
чивого равновесия в однородном электрическом поле
напряженностью £=104 В/м. Полярную молекулу можно
рассматривать в виде жесткой гантельки длиной I (1=
= 10-10 м), на концах которой находятся равные точеч-
ные массы m (т=10~27 кг), несущие на себе заряды
+е и — е (е= 10'19 Кл).
172.	Гантелька расположена, вдоль силовых линий
однородного электрического поля напряженностью £ =
= 1,0-104 В/м (рис. 30). Длина гантельки /=10 см, мас-
са каждого шарика /п = 2,5 г. Шарики заряжены одина-
ковыми по величине, но противоположными по знаку за-
рядами (7=5,0-10-8 Кл). На какой максимальный угол
а повернется гантелька, если шарикам сообщить на-
чальные скорости у =10 см/с направленные так, как по-
казано на рисунке? Массой стержня и трением пре-
небречь.
173.	Исходя из анализа -наименования (размерно-
сти), найти с точностью до безразмерного множителя на-
пряженность поля Е, созданного бесконечной заряжен-
ной нитью. Заряд единицы длины нити р.
174.	Два точечных заряда qi — ~9-10-9 Кл и q2=
= +4*10-9 Кл находятся на расстоянии 1=1 м друг от
друга. Определить положение точки вблизи этих заря-
дов, в которой напряженность поля равна нулю.
175.	Тонкому проволочному кольцу, радиус которо-
го
Рис. 31
го R, сообщен заряд Q. В центре кольца покоится части-
ца массой т и зарядом q. При освобождении частицы
вследствие отталкивания зарядов она движется, удаля-
ясь от неподвижного кольца. Какую наибольшую вели-
чину скорости v может иметь частица?
176.	Тонкое проволочное кольцо, радиус которого R,
заряжено зарядом Q. Определить напряженность поля Е
на оси кольца в его центре и на расстоянии h от
центра.
177.	Точечный положительный заряд Qi помещен в
центре металлической оболочки, внутренний радиус ко-
торой г, а внешний — R (рис. 31). Найти напряженности
Ел и Ев поля в точках А и В, находящихся около внут-
ренней и внешней поверхностей оболочки.
178.	Между обкладками плоского конденсатора, за-
ряженного до напряжения (7=1,2 кВ, зажата стеклян-
ная (е = 6,0) пластинка толщиной d=4,0 мм. Какова по-
верхностная плотность поляризационного заряда оп на
стекле?
179.	Для измерения диэлектрической проницаемости
стекла е квадратная стеклянная пластинка со стороной
(=30 см и толщиной d~2 мм зажата между обкладка-
ми плоского конденсатора (рис. 32). Конденсатор через
баллистический гальванометр (прибор для . измерения
заряда) подключен к аккумулятору с ЭДС $ = 12 В. При
выдергивании стеклянной пластинки из конденсатора
через баллистический гальванометр прошел заряд Q =
= 2,4-10-8 Кл. Каким получится на основании этих
данных значение в для стекла?
180.	Два заряженных металлических шара радиуса-
ми Ri и R2 соединены тонкой проролочкой. Найти отно-
31
„	U1
шение-поверхностных плотностей зарядов — на шарах.
Электростатическую индукцию и электроемкость про-
волочки не учитывать.
181.	Два металлических шара радиусами Ri = 60 мм
и R2=30 мм соединены тонкой проволочкой. Шары за-
ряжены до потенциала <р= 1,5 кВ. Какими станут заря-
ды на шарах QJ и Q2, если первый шар полностью по-
грузить в керосин (£ = 2,0)? Электростатическое влияние
и электроемкость проволочки не учитывать.
182.	Две заряженные металлические сферы с не-
большими отверстиями соединены проводниками так,
что внешняя поверхность каждой сферы соединена с
внутренней поверхностью другой сферы, где заряд, как
известно, равен нулю. Таким образом, казалось бы, "Соз-
дан вечный двигатель. Заряд будет стекать по провод-
нику с внешней поверхности одной сферы на внутреннюю,
поверхность другой, затем переходить на ее внешнюю
поверхность и т. д. В цепи будет непрерывно существо-,
вать электрический ток. Найти ошибку*в рассуждениях.^
183.	Металлический шар, окруженный проводящей
концентрической сферической оболочкой, заряжен до по-»
тенциала фь Каким станет потенциал шара <р, если*обо-
лочку заземлить? Радиус шара Ri, оболочки R2.
184.	Два полых металлических шара радиусами
Ri и R2 заряжены до потенциалов epi и <р2 соответствен;.
но. Определить заряды Qj и потенциалы qpj и <р'
(шаров после того, как внешнюю поверхность второго
шара проволочкой соединили с внутренней поверхно-
стью первого шара. Электростатическую индукцию и
электроемкость проволочки не учитывать.
185.	Радиусы концентрических металлических сфер
Ri = 20 см, R2= 40 см (рис. 33). Заряд внешней сферы
Q«l-10-8 Кл, внутренняя сфера не заряжена. -Какой
заряд Q' протечет через гальванометр, если ключ К зам-
кнуть?
186.	Металлический шарик окружен концентриче-
ской проводящей оболочкой. Радиус шарика Rit оболоч-
ки R2. Систему заряжают двумя способами. Один раз
подают на шарик заряд +Q, а затем заземляют оболоч-
ку. Другой раз подают на оболочку заряд —Q, а потом
заземляют шарик. Равноценны ли эти два способа за-
рядки?
187.	Различные заряженные частицы разгоняются в
одном и том же электрическом поле. Показать, что ве-
.32
дичина отклонения h для всех частиц, влетающих в за-
ряжённый плоский конденсатор параллельно его пласти-
нам, будет одинаковой.
188,	.Электрон влетает со скоростью в заряженный
плоский конденсатор параллельно его пластинам
(рис. 34). Напряжение на конденсаторе U, длина его
пластин I, расстояние между пластинами d. Под каким
углом а к первоначальному направлению движения
лектрон вылетит из конденсатора?
189.	На пути прямолинейно летящей частицы уста-
новлен барьер 'В виде трех плоских сеток, перпендику-
лярных к направлению полета частицы. Крайние сетки
заземлены, а на среднюю подан положительный потен-
циал ф; Пролетит ли частица через такой барьер? Зави-
сит ли скорость частицы v при выходе из системы сеток,
а также время пролета барьера t от знака, заряда ча-
стицы? Масса частицы т, ее заряд Q, скорость перед
барьером о0.
190.	Одна пластина конденсатора неподвижна, вто-
рая Может перемещаться, растягивая пружину (рис. 35).
Площадь каждой пластины S, начальное расстояние
между ними d. Конденсатор заряжается до напряжения
U. Какой должна быть жесткость пружины й, чтобы не
произошло касания пластин? Трением и смещением пла-
стины за время зарядки пренебречь.
191,	N одинаковых заряженных капелек ртути соеди-
няют в одну каплю. Определить потенциал большой
капли ф, поверхностную плотность заряда на ней о и
изменение электрической энергии &W, если потенциал
каждой маленькой капельки фЬ а радиус д Считать фор-
му большой капли шарообразной. До соединения капель-
ки находились далеко друг от друга.
192.	Однородная проволока длиной /=1,4 м имеет
сопротивление -R=0,7 Ом. На какие отрезки /Ги /г нуж-
2 Зак. 3800
33
S ЗВ
А JL
н—j~t~i__
в
Рис. 36
D но разрезать эту проволоку, чтобы,
% соединив обе части параллельно, по-
лучить сопротивление /?1=1/7 Ом?
193.	Определить сопротивление
/?1 соединения проводников, пока-
занного на рисунке 36.
194.	Из однородной проволоки
сделали каркас в форме куба, каж-
дое ребро которого имеет сопротив-.
ление R. Определить сопротивле-
ние /?! между точками, лежащими
на одной грани в противоположных ее углах.
195.	Определить сопротивление R между точками А
и В очень' длинной цепочки сопротивлений, показанной
на рисунке 37,
196.	Определить сопротивление R^ участков цепи АВ
и Л#! (рис. 38). Сопротивление каждого проводника R.
197.	Постоянный ток течет в однородном проводни-
ке, форма которого показана на' рисунке 39. Одинакова
ли напряженность электрического поля в проводнике в
местах его узкого и широкого сечения?
Рис. 40
Рис. 39
34
198.	Два вольтметра с внутренними сопротивлениями
/?1 = 6,0 кОм и /?2=4,0 кОм соединены, как показано
на рисунке 40. Сопротивление /?з=Ю,0 кОм, напряже-
ние t/=180 В. Определить показания вольтметров Ut и
U2 при разомкнутом и при замкнутом ключе К и уста-
новке движка D на середине сопротивления R3. На ка-
кие части R'3 и R& будет делить движок сопротивление
R3 при одинаковых показаниях вольтметров?
199.	Бесконечная сетка имеет квадратные ячейки
(рис. 41). К узлу А подводят ток 7, от соседнего узла С
отводят такой же ток 7. Какой ток Ц протекает по про-
воднику АС?
200.	Определить токи Ц, 72 и 7з, текущие через ам-
перметры Аь А2 и Аз соответственно (рис. 42). Напря-
жение U—10 В, сопротивление /? = 100 Ом. Сопротивле-.
шеи амперметров пренебречь.
201.	Амперметр, вольтметр и резистор включены по
двум схемам (рис. 43, а и 43, б). Ток, текущий через
амперметр в первом случае, 71 = 1,96 А, во втором — 72 =
= 2,06 А. Напряжения на вольтметре [71=50,0 В и U2=*
=49,6 В. Определить сопротивления резистора R, ампер-
метра Ra, вольтметра Rv- Напряжение на клеммах счи-
тать постоянным.
202.	На рисунке 44 показана схема электрической
цепи, позволяющей производить операцию перемноже-
ния двух напряжений Ui и U2. Для этого на клеммы 1
и 2 подается напряжение Ui + U2, а на клеммы 2 и 3—
напряжение Ui — U2. В цепи используются два варистора
(полупроводниковые резисторы) с квадратичной вольт-
амперной характеристикой: l=BU2. Показать, что ток
7а, текущий через амперметр, прямо пропорционален
произведению напряжений U\U2. Параметр В для обо-
их варисторов одинаков.
2*
35
Рис. 45
5]=Ю0в	&z=2Q0B
Рис. 47
203.	Электрическая цепь (рис. 45) в тачках А, В,
С и D размыкается, и в разрывы включаются одинако-
вые резисторы. Как при этом нужно изменить расстоя-
ние между пластинами воздушного конденсатора, что-
бы его заряд остался прежним? Внутреннее сопротивле-
ние источника тока и сопротивления всех резисторов в
цепи одинаковые.
204.	Как определить сопротивление резистора Rx,
если имеются: резистор с известным сопротивлением R,
соединительные провода, амперметр и источник тока?
ЭДС и внутреннее сопротивление неизвестны. Сопротив-
ления амперметра, и соединительных проводов считать
пренебрежимо малыми.
205.	Стеклянная пластинка толщиной d зажата меж-
ду обкладками плоского конденсатора, подключенного
к аккумулятору, ЭДС которого <g (рис. 46). Какой ток 1
36
Вудет течь через амперметр, если стеклянную пластинку
ыдвигать так, чтобы ежесекундно площадь взаимного
Перекрытия обкладок конденсатора и стеклянной пла-
; Стинки уменьшалась на величину So?
206.	Если потенциал анода фотоэлемента фд выше
потенциала катода фк, то через фотоэлемент течет ток
насыщения /о»1О мА (рис. 47). В противном случае
ток через фотоэлемент не течет. Найти напряжение на
фотоэлементе U. Внутренними сопротивлениями бата-
рей пренебречь.
207.	Цилиндрический образец диаметром Ь изготов-
лен из металла, удельное сопротивление которого р.
Образец свободно падает с высоты Н и останавливает-
ся, ударившись торцом о препятствие. Найти величину
заряда AQ, прошедшего через поперечное сечение образ-
ца при торможении.
208.	Катушка с намотанной на нее проволокой вра-
щается вокруг своей оси. Концы проволоки с помощью
скользящих контактов соединены с гальванометром. Ка-
кой заряд AQ пройдет через гальванометр при резкой
остановке катушки? Радиус катушки г, угловая ско-
рость ее вращения и, площадь поперечного сечения про-
волоки S, удельное сопротивление металла проволоки р.
209.	Можно ли две соединенные последовательно
лампочки различной мощности, рассчитанные на напря-
жение!/^ 110 В каждая, включать в цепь с напряже-
нием С/2=220 В?
210.	Электрическая лампочка опущена в сосуд с во-
дой. За время т=5,2 мин температура воды повысилась
на Д/=4,5°С. Какая часть энергии п, потребленной лам-
почкой, рассеивается? Мощность лампочки Р=60 Вт,
масса воды в сосуде /п=600 г. Теплоемкостью сосуда пре-
небречь.
211.	Какая длина никелиновой проволоки I пойдет
на изготовление кипятильника, в котором вода массой
т должна закипать за время т?-Начальная температура
воды t, диаметр проволоки D, напряжение на клеммах
кипятильника U, его КПД т).
212.	Со дна водоема глубиной h с помощью подъем-
ного крана на высоту h над поверхностью воды медлен-
но, и равномерно за время t подняли железную плиту.
При движении плиты ъ воде сила натяжения троса F.
Определить токи 1\ и /2. проходящие через электродви-
гатель крана при подъеме плиты в воде и в воздухе. На-
пряжение на клеммах двигателя U, его КПД ц.
37
Рис. 48
Рис. 49
. 213. Электроны, ускоренные напряжением 1М100 В,
движутся затем в эквипотенциальном пространстве, об-
разуя узкий однородный цилиндрический пучок длиной
L = 50 см. Определить электрический заряд пучка, если
на коллекторе электронов выделяется тепловая мощ-
ность Р—1,0 кВт.
214.	Во сколько раз изменится мощность, выделяе-
мая в цепи, при перемене полярности на клеммах 1 и 2
(рис. 48)? Величину напряжения на клеммах считать
постоянной, диоды идеальными, сопротивления резисто-
ров Rv= 10 Ом, /?2=/?з=5 Ом.
215.	После соединения проводниками точек А и С,
В и D тепловая мощность, выделяющаяся во внешней
цепи, осталась неизменной (рис. 49). Найти внутреннее
сопротивление источника тока г, если сопротивление
каждого резистора в цепи R.
216.	В аккумуляторной батарее автомобиля, состоя-
щей из шести одинаковых последовательно соединенных
элементов, внутреннее сопротивление г одного из них
возросло в 10 раз. При каком соотношении между со-
противлением внешней цепи R и внутренним сопротив-
лением одного элемента г полезная мощность останется
неизменной, если клеммы поврежденного элемента со-
единить проводником?
217.	При никелировании пластинки через водный
раствор азотнокислого никеля пропускают ток плотно-
стью /. С какой средней скоростью h0 растет толщина
покрытия пластинки?-
218.	В течение времени t ток через водный раствор
медного купороса равномерно возрастал от значения Zt
до ?2. Определить прошедший за это время заряд Q и
массу выделившейся на катоде меди т.
219.	Неоновая лампочка зажигается при напряже-
нии (7=160 В. Определить энергию ионизации атомов
неона если среднее расстояние между двумя после-
довательными столкновениями электрона с атомами нео-
38
на L = 0,4 мм. Электроды имеют вид боль-
ших пластин, расположенных на расстоянии
d=3,4 мм друг от друга. Столкновения
электронов с атомами неона считать не-
упругими.
220.	Частица влетает в однородное маг-
нитное поле перпендикулярно вектору ин-
дукции В (рис. 50). Протяженность поля в
направлении полета частицы (толщина «маг-
нитной стенки») d, заряд частицы Q, ее мас-
са т. При каких скоростях v частица будет
«отражаться» от «магнитной стенки»? Най-
ти максимальное значение этой скорости
Ртах- На какой угол а изменится направление
частицы после пролета «магнитной стенки»,
рость. частицы и=2 omax?
Рис, 50
движения
если ско-
221. Селектор скоростей заряженных частиц пред-
ставляет собой устройство со взаимно перпендикуляр-
ными однородными электрическим и магнитным полями.
При определенных величинах напряженности электри-
ческого и индукции магнитного полей, через селектор
прямолинейно пролетают электроны с кинетической
энергией Ее. Какую энергию Ер должны иметь протоны,
чтобы пролететь селектор по той же прямой?
222.	Заряженный шарик, подвешенный на нити дли-
ной I, совершает в горизонтальной плоскости равномер-
ное движение по окружности радиусом R. После вклю-
чения однородных электрического и магнитного полей,
направленных вертикально, период обращения шарика
и радиус окружности движения не изменились. Найти со-
отношение между напряженностью электрического полу
Е и индукцией магнитного поля В.
223.	Индукция однородного магнитного поля, направ-
ленного вдоль оси катушки, равномерно изменяется со
скоростью —= 1Тл/с. На катушку в один слой плотно
д/
расположенными витками намотана изолированная прово-
лока. Радиус витков г— 10 см, число витков п — 1000. Най-
ти тепловую мощность тока Р в резисторе сопротивлением
R — 1 кОм, подключенном к концам катушки. Сопротивле-
нием витков проволоки пренебречь. Какой заряд Q будет
на конденсаторе емкостью С~ 10 мкФ, если его подклю-
чить к катушке вместо резистора?
39
224.	В простейшей схеме магнитного гидродинами-
ческого генератора (МГД-генератора) плоский конден-
сатор с площадью пластин S и расстоянием между ними
d помещен в поток проводящей жидкости с удельным
сопротивлением р, движущейся с постоянной скоростью
v параллельно пластинам. Конденсатор находится в од-
нородном магнитном поле, вектор индукции-В которого
перпендикулярен вектору скорости о. Какая тепловая
-мощность Р выделяется во внешней цепи сопротивле-
нием R (рис. 51)?
225.	Схема, поясняющая принцип действия электро-
магнитного расходомера жидкости, изображена на ри-
сунке 52. Трубопровод с протекающей в нем проводящей
жидкостью помещен в однородное магнитное поле.
Определить объем жидкости V, протекшей через попе-
речное сечение трубопровода за время /=60 мин, если
индукция магнитного поля В=1,0-10“2 Тл, расстояние
между электродами (внутренний диаметр трубопрово-
да) d=50 мм, а возникшая при этом ЭДС <§=0,25 мВ.
226.	Контур MON имеет вид сектора (рис. 53). Ра-
диус дуги MN г=10 см, сопротивления проводников ОМ
и ON $1=1 Ом и R?=2 Ом. В точке О шарнирно закреп-
лена перемычка ОС, конец которой может скользить по
проволочной дуге MN, сохраняя с ней контакт. Сопро-
40
ft
Рис. 56
тивление перемычки /?з=3 Ом. Индукция однородного
магнитного поля, в котором находится контур, В=0,2Тл.
Вектор В перпендикулярен плоскости контура. Найти
силу тока / в перемычке при ее скольжении по дуге MN
с постоянной угловой скоростью ©=11 рад/с. Сопротив-
лением дуги пренебречь.
227.	В однородной магнитном поле индукцией В рав-
номерно вращается металлический диск (рис. 54). Ра-
диус диска г, угловая скорость вращения со, вектор В
перпендикулярен плоскости диска. При помощи сколь- -
зящих- контактов диск подключен в цепь, сопротивление
которой R, Определить ЭДС индукции <g, возникшую при
вращении диска, и количество теплоты Q, выделившееся
в цепи за время /. • 
228.	Из однородной проволоки; сопротивление еди-
ницы’ длины которой р, изготовлено кольцо с перемыч-
кой по диаметру ab (рис. 55). Какие токи /ь /2 и /3 будут
протекать через амперметры Л», Л2 и Лз, если индукция
перпендикулярного к плоскости кольца однородного
магнитного поля будет изменяться с течением времени
по линейному закону В=а/+р, где а и 0 —известные
постоянные величины? Радиус кольца г, сопротивление
амперметров не учитывать.
229.	Контуры I и II находятся в переменных магнит-
ных полях (рис. 56). Магнитный поток через площадь,
ограниченную первым контуром, изменяется по закону '
Ф1==Л1/, вторым контуром — по закону Ф2=A2t, где At
и Л2 — известные постоянные величины. На остальных
участках цепи магнитных полей нет. Найти токи Л, /2 и
/3. Величины сопротивлений и /?2 считать известными,
сопротивлением соединительных проводов пренебречь. .
230.	Из куска'меди массой иг изготовили однород-
ную проволоку. Какой максимальный ток /тах можно по-
лучить в контуре из этой проволоки? Считать, что кон-
41
тур помещен в однородное магнитное поле, индукция
которого с течением времени изменяется по закону В =
— ktr где k — известная постоянная величина.
231.	Контур в виде квадрата из изолированной про-
волоки помещен в однородное магнитное поле, индук-
ция которого изменяется по закону B=at, где а — по-
стоянная величина. Плоскость контура перпендикулярна
направлению вектора индукции поля. Как изменится те-
кущий в цепи ток I, если квадратный контур изогнуть в
виде двух квадратов, отношение длин сторон которых k?
232.	Проволочное кольцо диаметром D и сопротив-
лением R расположено в' однородном магнитном, поле
перпендикулярно вектору индукции В. Кольцо вытяги-
вают в сложенную вдвое прямую так, что площадь, огра-
ниченная контуром проволоки, уменьшается равномер-
но. Какой заряд Q пройдет при этом через поперечное
сечение проволоки?	
233.	В колебательном контуре с индуктивностью
L ~ 1 мГн сила тока / = 0,02 cos ’40* t + -yj А. Какая
ёмкость С включена в этот контур? В какой части конту-
ра сосредоточена энергия в момент начала отсчета време-
ни?
234.	Проволока рамки, ограничивающей площадь S =
= 1 дм2, имеет сопротивление R = 0,45 Ом. Рамка вра-
щается с угловой скоростью ® — Ю0 -а— в однород-
С
ном магнитном поле индукцией В = 0,1 Тл. Ось враще-
ния совпадает с плоскостью рамки и перпендикулярна к
вектору индукции В. Какое количество теплоты Q выде-
лится в рамке за время, в течение которого она совершит
N = 1000 оборотов? Самоиндукцией пренебречь.
235.	Неоновая лампочка была включена в городскую
осветительную сеть на время т=30 мин. Известно, что
лампочка зажигается и гаснет при напряжении на ее
электродах в два раза меньшем, чем амплитуда напря-
жения в сети. Найти время М, в течение которого горе-
ла лампочка.
236.	Определить отношение энергии магнитного поля
тока WM к энергии электрического поля конденсатора W3
т
в колебательном контуре спустя время	:— после на-
6 '
чала колебаний, если в начальный момент (/ = 0) заряд
i
42
конденсатора был максимальным. Потерями энергии пре-
небречь.
237.	В схеме, показанной на рисунке 48,	10 кОм,
кОм, а на клеммы подано гармонически из-
меняющееся напряжение, действующее значение кото-
рого 1/=220 В. Определить тепловую мощность тока Р
в резисторе Ръ Диоды считать идеальными.
238.	На какую длину волны X настроен радиопри-
емник, если в его колебательном контуре при резонансе
отношение максимальных значений напряжения на кон-
денсаторе и тока в катушке индуктивности равно tn: п,
а электроемкость конденсатора С? Потерями энергии
пренебречь.
и*
ОПТИКА И-КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
239.	Плоское зеркало вращается с угловой скоро-
стью ® вокруг оси цилиндрического экрана. С какой
скоростью v перемещается зайчик по экрану, если ось
вращения лежит в плоскости зеркала, а луч, падающий
от источника света, расположенного на поверхности эк-
рана, перпендикулярен этой оси? Радиус экрана R.
240.	Какова толщина И плоскопараллельной стек-
лянной пластинки,-если точку, нанесенную на нижней
стороне пластинки, наблюдатель видит на расстоянии
h=5 см от верхней плоскости пластинки? Луч зрения
перпендикулярен поверхности пластинки. Показатель
преломления стекла п=1,6. Для малых углов tga«
«sin а«а.
241.	Во сколько раз истинная глубина водоема Н
больше кажущейся h, если смотреть по вертикали вниз?
242.	Луч света падает на горизонтально располо-
женную плоскопараллельную стеклянную пластинку и
преломляется в ней под углом р. На пластинку налили
слой жидкости. Найти новое значение угла преломле-
ния <р в стекле.
243.	Пластинка состоит из нескольких плоскопарал-
лельных слоев различных веществ. Свет падает из возду-
ха на первый слой пластинки под углом а. Найти угол
преломления ф в веществе k-ro слоя, если его показатель
преломления nh.
244.	В стеклянном сосуде с плоскопараллельным
дном находится раствор соли, концентрация которого
увеличивается с глубиной, луч света падает на поверх-
1.43
ность жидкости под углом а. Под каким углом ф выйдет
зтот луч из дна сосуда?
245.	На какой угол 6 отклонится луч света, пройдя
через-стеклянную (п=1,5) треугольную призму с пре-
ломляющим углом ф=2°, если угол падения луча на
первую грань <х=0°?
246.	На стеклянный клин с углом q>=2,0° нормально
К его грани падает луч белого света. На какой угол б
вследствие дисперсии разойдутся после выхода из кли-
на красный и фиолетовый лучи, если показатель прелом-
ления стекла для красных лучей пж=1,74, а для фщэле-
товых— Пф=1,80?	-
247,	Параллельный пучок монохроматического света
падает нормально на боковую поверхность треугольной
призмы с преломляющим углом ф = 30°. Вторая грань
призмы посеребрена. Определить угол б между падаю-
щим и вышедшим из призмы пучками. Относительный
показатель преломления вещества призмы «=0,60,
44F
248.	Луч света падает нормально на грань треуголь-
ной стеклянной (показатель преломления п) призмы.
Найти преломляющий угол призмы <р, если отраженный
и преломленный лучи на второй ее грани оказались вза-
имно перпендикулярными.
, 249. Луч света, падающий нормально на одну из
граней треугольной призмы,с преломляющим углом <р =
«=30°, выходит из нее, отклоняясь на угол 6 = 30°. Найти
предельный угол полного отражения «о для материала
призмы.
250.	На воду налит слой кедрового масла. Можно ли
подобрать такой угол падения света а из воздуха на
масло, чтобы на границе масло1— вода произошло пол-
ное отражение? Показатель преломления воды цв—1,33,
масла — Пм=1,52.
251.	Стеклянный шар освещается параллельным
пучком света (рис. 57). Определить максимальный по-
казатель преломления стекла nmax, при котором все лу- •
чи, попадающие .на шар, выходят из него по направле-
ниям, составляющим с первоначальным углы <р, не пре-
вышающие 90°.
252.	Длинная, очень тонкая нить — световод — изго-
товлена из прозрачного материала с показателем пре-
ломления п=У 1,25. Один из концов нити прижат к ис-
точнику рассеянного света 5 (рис. 58). Другой конец ни-
ти размещен на расстоянии £=5,0 см от экрана. Найти
диаметр D светового пятна на экране. Считать, что диа-
метр световода d^.D.
253.	Продолжение луча, падающего на рассеивающую
линзу, пересекает ее главную оптическую ось в некото-
рой точке А. Преломившись в линзе, этот луч пересе-
кает ту же ось в точке В. Найти расстояние I от линзы
до точки Л, если фокусное расстояние линзы F, расстоя-
ние между точками Л и В г=0,9£.
254.	Продолжение луча, падающего на рассеиваю-
щую линзу, пересекает ее главную оптическую ось в не-
которой точке Л. Продолжение преломленного в линзе
луча пересекает ту же ось в точке В. Найти расстояние
I от линзы до точки Л, если фокусное расстояние линзы
F, а расстояние между точками А и В r=4,5F.
255.	Луч света, пройдя через рассеивающую линзу,
фокусное расстояние которой F=40 см, пересекает глав-
ную оптическую ось линзы на удалении г=60 см от нее.
На каком расстоянии х от линзы пересечет этот луч
45
главную оптическую ось, если рассеивающую линзу за-
менить собирающей с таким же фокусным расстоянием?
256.	Светящаяся точка находится в фокусе рассеи-
вающей линзы. Круговая, диафрагма, расположенная
вплотную к линзе, имеет отверстие диаметром Dlt Най-
ти диаметр светлого пятна на экране, установлен-
ном за линзой в ее фокальной плоскости.
257.	Точечный источник света находится на главной
оптической оси собирающей линзы, фокусное расстоя-
ние которой F. Пучок преломленных лучей в фокальной
плоскости линзы имеет диаметр в п (п>1) раз больше,
чем диаметр отверстия круговой диафрагмы, располо-
женной вплотную к линзе. На каком расстоянии d от
линзы расположен источник света?
258.	Круговая диафрагма, расположенная вплотную
к собирающей линзе, имеет отверстие некоторого диа-
метра. Сходящийся пучок лучей собирается линзой в
точку на экране, установленном от нее на расстоянии /.
Если линзу убрать, то на экране оказывается светлое
пятно диаметром в k раз меньшим, чем диаметр отвер-
стия диафрагмы. Найти фокусное расстояние линзы F.
259.	Собирающая линза дает мнимое увеличенное в
два раза (Fi = 2) изображение предмета. Каким будет ли-
нейное увеличение Г2, если, не изменяя положения пред-
мета, собирающую линзу заменить рассеивающей, с та-
ким же фокусным расстоянием? \
260.	Цилиндрический пучок лучей, падающий на рас-
сеивающую линзу параллельно ее главной оптической
оси, имеет-диаметр Dt=7 мм. На экране за линзой пу-
чок дает светлое пятно диаметром О2 = 28 мм. Каким бу-
дет диаметр пятна D на экране, если рассеивающую лин-
зу заменить собирающей с таким же фокусным расстоя-
нием?
261.	Главные оптические оси собирающей (Л =
*=48 см) и рассеивающей линз совпадают. Цилиндри-
ческий пучок лучей, параллельных оптической оси,
пройдя через обе линзы, остается параллельным, но
его диаметр увеличивается в п=1,2 раза. Найти фокус-
ное расстояние рассеивающей линзы ?2.
262.	Перемещая линзу между неподвижными экра-
ном и предметом, получают два четких изображения вы-
сотой /Л = 36 см и Я2=4 см. Какова высота предме-
та /г?
263.	Предмет расположен на расстоянии I от фокаль-
ной плоскости собирающей линзы, фокусное расстоя-
43
ние которой F. Найти линейное увеличение линзы Г.
Считать, что 1<F.
264.	Предмет расположен в фокальной плоскости со-
бирающей линзы. Линзу по диаметру разрезали на две
половины и симметрично развели их вдоль главной оп-
тической оси так, что обе половины остались по одну
сторону от предмета. В какой из половинок линзы из-
ображение предмета будет большим и во сколько раз?
265.	На главной оптической оси на расстоянии d~
— 60 см от собирающей линзы, фокусное расстояние ко-
торой /?=40 см, расположен точечный предмет. Линзу
по диаметру разрезали на две половины и симметрично
развели их. на расстояние г=Г.см в направлении, пер-
пендикулярном главной оптической оси. На каком уда-
лении I друг от друга будут изображения предмета, по-
лученные в половинках линзы?
266.	Точечный источник света находится на главной
оптической оси на расстоянии di = 50 см от собирающей
-линзы, фокусное расстояние которой А = 30 см. По дру-
гую сторону линзы на расстоянии /=65 см расположе-
на рассеивающая линза с фокусным • расстоянием F2=
= 15 см. Где будет находиться изображение источника,
если главные оптические оси линз совпадают?
267.	Оптические оси двух собирающих линз, фокус-
ные расстояния которых Fi п F2, совпадают. Показать,
что, если расстояние между линзами L = Fi + F2, то ли-
нейное увеличение такой системы линз Г не зависит от
расстояния между предметом и ближайшей к; нему
линзой.,
. 268. Светящаяся точка находится на главной опти-
ческой оси собирающей линзы на расстоянии d=80 см
от нее. За первой линзой вгее фокальной плоскости рас-
положена вторая линза такой- же оптической силы.
Главные оптические оси линз совпадают. Фокусное рас-
, стояние первой линзы Г=60 см. На каком расстоянии г
от второй линзы получится изображение точки?
269.	Оптическая система состоит из рассеивающей и
собирающей линз, фокусные расстояния которых F] =
= Г2=10 см. Главные оптические оси линз совпадают.
Расстояние между линзами Л=50 мм. При каких поло-
жениях предмета его изображение будет действитель-
ным?
270.	Поперечное сечение туннеля метро имеет форму
круга. В самой верхней точке свода находится лампоч-
ка, Сравнить освещенности в самой нижней точке тун-
47
Ряс. 59
неля и на стене в точке, лежащей на горизонтальном
диаметре сечения туннеля.
271,	При помощи линзы на экране последовательно
получены изображения небольшого светящегося диска с
линейными увеличениями Г1 = 5 и Г2 —2. Как при этом
изменилась освещенность экрана в месте полученных
, изображений? Потерями энергии при отражении и по-
глощении пренебречь..
272.	Световой поток, созданный источником света в
виде круглого отверстия диаметром £)=10 см, покрыто-
го матовым стеклом, равномерно распределяется по эк-
рану. На расстоянии d=4,5 м от источника поместили
собирающую линзу радиусом г—12 см и фокусным рас-
стоянием Л—1,8 м. При этом на экране получилось чет-
кое изображение источника. Во сколько раз изменилась
освещенность экрана в месте изображения? Потерями
энергии при отражении и поглощении пренебречь. .
273.	На горизонтально движущейся тележке закреп-
лены неподвижный источник света и линза на пружине
(рис. 59). С каким ускорением а должна двигаться те-
лежка для того, чтобы пучок света, выходящий из лин-
зы и падающий на вертикальную стенку, создавал бы на
ней неизменяющуюся освещенность? Фокусное расстоя-
ние линзы F, масса линзы с оправой т, длина недефор-
мированной пружины /0, ее жесткость k; Трением и мас-
сой пружины пренебречь.
274.	В 1798 году Лаплас отметил, что в случае мас-
сивной звезды лучи света не смогут ее покинуть в силу
их притяжения звездой и что «по этой причине самые
большие светящиеся тела ,во Вселенной будут для нас
невидимыми». Лаплас исходил из ньютоновой механики
и представлений корпускулярной теории света. Каким,
с точки зрения Лапласа, должен быть предельный ра-
диус rg звезды массой Mt чтобы ее поверхность стала
невидимой?
49
275.	Угол расходимости светового пучка лазера ф=»
= 1,0-10~3 рад. Излучение регистрируется глазом на рас-
стоянии JL= 1,5-105 км. Определить необходимую для
этого мощность излучения лазера Р, если известно, что
для надежной регистрации в глаз должно попадать не
менее ста квантов в одну секунду («=100 квантов/с).
Диаметр зрачка глаза d=5,0 мм, длина волны света
лазера Л=6,65-10_7 м. Рассеяние и поглощение излуче-
ния не учитывать.
276.	Параллельный пучок света падает перпендику-
лярно на полностью поглощающую поверхность, произ-
водя давление р=1,2-10-5 Па. Определить концентра-
цию п фотонов в потоке. Длина волны падающего све-
та Л =5,5-10~7 м.	:
277.	Рубиновый лазер излучает в импульсе длитель-
ностью Д/=5;0-10~4 с энергию Е=р 1,0 Дж в виде почти
параллельного пучка света площадью поперечного се-
чения S = 1,0 см2. Определить давление р светового им-
пульса на полностью поглощающую площадку, располо-
женную перпендикулярно к пучку.
278.	Найти давление света р на стенки сферической
колбы электрической лампочки мощностью W=100 Вт.
Стенки лампочки ^отражают 4% (щ=0,04) и пропуска-
ют 85 % (t|2 = 0>85) падающего на них света. Радиус
колбы лампочки R=5 см. Считать, что на излучение
идет 10 % (п = 0>0 потребляемой лампочкой энергии.
279.	Найти изменение импульса ДР металлической
пластинки при вылете из нее одного фотоэлектрона. Ра-
бота выхода А = 4,5 эВ, энергия кванта света е=4,9 эВ.
"Считать, что свет падает на пластинку нормально, а фо-
тоэлектрон вылетает перпендикулярно к пластинке.
- 280. До какого максимального потенциала <р может
зарядиться удаленный от других тел платиновый шарик
при облучении его электромагнитным излучением дли-
ной волны 0,14 мкм?
§ 281. Найти красную границу фотоэффекта vm, если
поверхность металла облучается светом длиной волны
X, а задерживающее напряжение V3.
282.	Почему в случае легких элементов (дейтерий
rjH, тритий 1Н) энергия выделяется при слиянии ядер,
а в случае тяжелых (уран 2^U, плутоний ^Ри)—при их
делении?
283.	В состав ядер атомов входят нейтроны. Этот
вывод следует, в частности, из того, что при  делении
49

ядер выделяются нейтроны. Свободный • нейтрон распа-
дается на протон, электрон и антинейтрино. Можно ли
на этом основании делать вывод о том, что нейтрон со-
стоит из этих частиц?
284.	При столкновении фотона с ядром атома воз-
можна аннигиляция фотона и образование электронно-
позитронной" пары. Почему это превращение наблюдает-
ся только для фотонов достаточно больших энергий? "
285.	Почему невозможен «распад» свободного про-
тона на нейтрон, позитрон и нейтрино подобно тому,
как свободный нейтрон «распадается» на протон, элек-
трон и антинейтрино?
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Механика
1.	Во втором. В точке В величина скорости тела в
обоих случаях одинаковая. Пути, пройденные телом, так-
же одинаковые. Из графиков скорости движения тела при
этих условиях следует, что время движения во втором
случае меньше, чем в первом.
2.	Если вода относительно руля не движется, то она
на руль не давит.
3.	Задачу удобно решать в системе отсчета, в кото-
рой одна из частиц (например В) покоится, а вторая (Л)
движется с относительной скоростью п, величина ' кото-
рой о= ]/ Vi + и! (Ри<3- 60). В этом случае задача сво-
дится к нахождению кратчайшего расстояния между ча-
стицей В и траекторией частицы А, т. е. к определению
ЬА'\.
Из подобия треугольников АСА7 и A'DB получим:
$2 -ч» v%t
где I — время, за которое частица А достигнет точки А'„
Отсюда t =	Тогда s => \ВА'[ =>
р? + р2
=/|ВР|а + |ВД\|а = lS2P1 ~81°й_.
4.	Направление скорости мальчика Vj зададим углом а
50
(рис. 61). Уравнения за-
висимости координат ма-
льчика от времени имеют—»
вид: № (иа ficos (%)£="
(2—cos a) Uif, у =>
= u^sina, где и2—
скорость течения во-
ды в реке.
При достижении про-
тивоположного берега
х «= s, у = h. Тогда s =
=за (2 — cos a) v^t, h =а
= Vit sin a. Отсюда s =
2 — cos a ,
:==-------h.
sin a
Условие минимально-
,	1 — 2 cos a
сти s: s *=---------- x
sin2 a
X h ~ 0, или 1 — 2 cosa33
= 0. Следовательно,
cosa = 0,5 и a = 60°.
При этом условии smin—
=^173 м.
5. Графики изобра-
жены на рисунке 62.
А и' В — точки, соответ'
ствующие моментам ра-
скрытия парашюта, 1 и
У — раскрытие парашю-
та до достижения пре-
дельной скорости, 2 и
2' — после достижения
предельной скорости.
6.	Выбрав за начало
системы координат точ-
ку начала торможения
и направив ось X вдоль
траектории движения
поездов, запишем урав-
нения для ' координат
начала пассажирского
поезда и конца товарно-
го: Xi =; Vjt —^-at2,x2 =
=5 s
О
51
Предположим, что столкновение произойдет спустя
время /о после начала торможения. В этот момент коорди-
наты обоих поездов одинаковые. Следовательно, —
—2_а/о =5+1^0- Откуда 10 — 15 с и t0 = 20 с. Столкно-
2
вение произойдет через 15 с.'
7.	Хвостовое оперение ракеты служит рулями, которые,
взаимодействуя с потоком воздуха, обеспечивают устойчи-
вое движение ракеты вперед головной ‘ частью. В нашем
случае ракета на самолете до запуска движется вперед
хвостовым оперением. Отделившись от самолета, она про-
должает это движение Взаимодействие хвостового опере-
ния с воздухом разворачивает ракету на 180°. Ее двига-
тели ускоряют движение, ракета догоняет самолет.
8.	Время свободного падения шарика с высоты h ti=-
_ рЛ— При ударе о наклонную плоскость время
падения t2 = t' + гДе и '— вРемя полета шарика
до и после удара соответственно.
Так как f = t" = 1/"—» то	= 2 l/—• Следова-
g	у g
тельно, =з 1^2
9.	Уравнение движения тела запишется в виде: у =
В некоторые моменты времени ti и t2 коорди-
ната у = h, т. е. h = vji—h = Vof2—~~gtl
Отсюда найдем u0 =	/g (8h + g&t2) t t =	%-	gA—,
2	r ' g
где Д/== 4 — 4-
10.	Возможны три случая.
а)	Телу сообщена такая начальная скорость и0, что
оно пройдет путь, s, не достигнув максимальной высоты
подъема Н. Тогда п0 =	м^с
б)	Тело достигнет высоты Н, не успев пройти путь $.
В этом случае s = Н + sb где Si — путь, проходимый те-
лом при движении вниз. Тогда И =  — gt\, «в
= —t = 4J- 4, ^’o — gti- Здесь 4 —время подъема
52
тела, tz — время прохождения пути sx. Из записанных
уравнений найдем 
+ м/0
2
_го „/о.
2
Второй ответ соответствует случаю, когда тело в конце
пути s опустится ниже точки бросания.
11.	Совместим начало системы координат с точкой
запуска шайб, ось X направим вверх вдоль наклонной
плоскости, время будем отсчитывать с момента начала
движения второй шайбы.
Проекция ускорения а обеих шайб на ось X ах =
«—gsina. Уравнения движения шайб имеют вид:
*1 = *о + vt — -J-gt* sin a, x2 « vot ’-[—gP sin a, где x0=
a	z
O2
== 4X1°—' И V ~	~ кооРдината и CK0P0CTfa первой"
шайбы в момент запуска второй.
_ 		'	.(5 4-2/2’)^
При встрече шайб хх = хг = х. Тогда х ------------
16# sin а
• 12. В системе отсчета, связанной с шахтой лифта, болт
будет двигаться равнозамедленно (начальная скорость
v0 = atn, ускорение — g), а лифт — равноускоренно (на-
чальная скорость с0, ускорение а). Если h^ — перемещение
лифта за время t, то h — ht — Н, h — vj -—}rgta, ft1=o0<4-
+ ~~at\ Тогда i = ]/= 0,7 c, h = д/от/LffC...
2	у s+a	У g-j-a
2
-----&L = -0,7 M, s = —g/2 + — — a//0 = 1,3 m.
ff + a	2 g
13.	s> —= 20m.
g
c? sin 2a
14. x = ———. Указание. Шарик вернется в точ-
ку А, если удар о стенку произойдет в момент его мак-
симального подъема.
15. Уравнения зависимости координат камня от вре-
у == h 4- uot sin a---
0, a x — s, где s — даль-
мени имеют вид: х = cos a,
В момент падения камнял/ —
53
ность полета. Следовательно,
tga=—I 1 ±1 / 1+ 2 г4 •
gs \ V ”0	0 /
Это выражение имеет смысл только при
2g/i	gas2
1 4- "3~ — ~г~ > 0. Отсюда
»5	v0	
условии:
smax —]/ Vq 4- 2gh •
 t'o
При максимальной дальности полета а0 = arete --~
«arctg—
V ^+2gh
16.	Пусть в момент выхода пешехода из точки О ве-
лосипедист находился в точке Л (рис. 63). Угол а == — t,
R
где R— радиус окружности, по которой движется вело-
сипедист, t—промежуток времени между началом дви-.
жения пешехода и моментом передачи вымпела. Величина
t будет минимальной, если пешеход и велосипедист при-
дут в точку В одновременно.
m х 7? / 1	,	1 \	О (fl +	-	(
Тогда 1 = -(-- + -) и <х = 	- 5 рад
17.	г=-рХ=.	/ ’
У1 4- 4ла	•	...
18.	Скорость у = гДе — поворота
светового луча за время t (рис. 64)е
64
Линейная скорость светового пятна п0 =	= ———•
cos nt
~	o»R
Тогда V—------——
COSa GH
. _ ,г	2лп	D — d
19.	Угловая скорость ® = —где п~~~^--------число
оборотов валика за время t,h — толщина бумажной ленты.
Отрезки ленты, намотанной на валик в результате
первого, второго и т. д. оборотов, соответственно равны:
Si = nd, sa = nd + 2nh, ..., sK = nd + (k — 1)2nh'
Длина ленты, намотанной за п оборотов, s = nnd +
। z	. T-	4s4-2n(D — d)
+ n (n — 1) nh. Тогда ® =? —-—*-------
'	'	(D+d)t
20.	На каждом кадре по сравнению с предыдущим
изображение колеса повернуто «вперед» на ~ оборота.
1	4
Изображение колеса автомобиля на экране будет вра-
щаться
акова,
«вперед», если скорость движения автомобиля
что за время t — — с его колеса совершают п
полных и еще — оборота. Тогда скорость v = a>R —
т(’+т)«
Для п = 0, 1, 2, ... получим tz0 = 6,3 м/с, Vi=
=s 31,5 м/с, ... '
55
Понятно, что скорости, соответствующие большим зна-
чениям п, на практике не реализуются.
Предлагаем читателю самостоятельно разобрать слу-
чай вращения изображения колес «назад».
F
21.	Ускорение движения второго бруска аа.= —^==
тг
=pg = 0,5 g, его скорость t>a = a2t — 0,5 gt.
Направление вектора а* определяется направлением
силы трения FTp- Направление силы трения в свою оче-
редь зависит от направления вектора относительной ско-
рости второго бруска и = и3 — i^.
Графики представлены на рисунке 65.
22.	При движении вагона вверх по уклону’ с углом а
второй закон Ньютона в проекции на направление наклон-
ной плоскости запишется в виде: mg sin а 4- pmg cos а ==
= malt где т — масса вагона.
При движении вагона вниз mg sin а — pmg cos а = та?
2s	2s
Ускорение движения вагона Qi = и а2 — ~~т. 1огда
ч. ‘
s / 1	1 \ / ’ s* / 1 , 1 \3\ —г
н =   |--------Щ--------—  + —-] I * ,
g \ 4	4 Д \ 4 4 / /
23.	Сила трения покоя сообщает пассажиру массрй /п,
лежащему на полке, ускорение а. В предельном случае
pmg — тат!Л (при а>атах пассажир упадет).
Тогда £ = — « 10 а и s =	« 100 м.
pg	2Pg
На практике для обеспечения безопасности пассажиров
торможение осуществляется на большей длине пути.
24.	Расстояние £ = s + sa — Si, где — путь, пройден-
ный отцепившимся вагоном, sa — путь, пройденный поездом
после прекращения подачи пара
После расцепления состава равнодействующая силы тя-
ги F и силы трения FTp уже не равна нулю. Поэтому
путь s поезд прошел о ускорением а =   , где р —
М — т
коэффициент трения.
„	.	12
По закону сохранения и превращения энергии — mvo
-	2
= p/ngSi и —m)u2 = p(M — m)gs2, где v0—ско-
в
56
рость поезда в момент его расцепления, и = V °о 4- 2os __
скорость состава в момент прекращения подачи пара.
Тогда
«210 м.
М — т
25.	В проекциях на оси координат уравнения движе-
ния гири, доски и бруска имеют вид: m^g ^-Т = тяа,
Т— Frp тха, FTpf^rn2a, где Т — сила натяжения нити,
Ftp =* p/flag — сила трения между доской и бруском, а —
ускорение движения гири (рис. 66).
Отсюда ----------------=0,5.
mi -г т2 + т3
26.
п л jW 4- т
F = 2Mng-±-.	• •	
М — т	-
27.	При изменении угла а от 0 до некоторого значе-
ния а0, шайба по доске не движется. Следовательно,
FTp = mg sin а (сила трения покоя). При а а0 FTp =
= p/ngcosa (сила трения скольжения)
Значение угла а0, при котором начнется скольжение,
найдём приравняв оба выражения для силы трения: а0 =
= arctgp.
Определение предельного угла а0 используется на
практике для нахождения коэффициента трения.
График представлен на рисунке 67. .
28.	На основании второго закона Ньютона для правого
иубика можно записать (рис. 68) N 4- Mg 4- F 4~ А-р = Ма.
Аналогичное уравнение для клина имеет вид: 4- W2 4-
+ mg = tnaiy	'
Здесь jVx и JV2— силы, действующие на клин со сто- '
роны правого и левого кубиков, а3— ускорение клина.
В проекциях на оси координат имеем: F cos а — FTp =
sfe Ma, N — F sin а — Mg = 0, mg — 2A\ sin а = maly, где
F = Nb F^p — и, как видно из рисунка, aly = alx ctga,
. где au = a.
Решая полученную систему уравнений, найдем
n — g m (ctg a — р) — 2цЛ4
т (ctg а — р) ctg а -|- 2Л4
Ускорения кубиков равны по модулю и направлены
вдоль осн X в противоположные стороны.
57,
29.	Пусть сосуд движется вдоль оси X (рис. 69). На
любую частицу воды массой /п0, расположенную у поверх-
ности жидкости, действуют сила тяжести mog и резуль-
тирующая сила давления со стороны окружающей жид-
кости (сила нормальной реакции опоры) Fg= N.
Уравнений движения частицы в проекциях на оси коор-
динат имеет вид: mog — Л/cos а = О, N sin а = тоа, где
' F
а —---------ускорение движения всей системы.
т + м
Отсюда	=# arctg—-— = const, т. е. поверхность
g (т + М)
жидкости есть плоскость о указанным углом наклона к
горизонту а.
30.	Др = — — где S — площадь боковой грани ба-
58

if

X
S
Рис. 70
ка, F = tna = у- — сила, _
сообщающая бензину мае-
сой т ускорение а; р— ।
плотность бензина. ।
31.	По второму закону ।
Ньютона при установив- ]
шемся движении катера I
kvt = m[(u — v), где т= |
— pStrf*-—масса воды, вы- 
брасываемой двигателем за
время t.
Qrwtojfr v — u— -—
PS
82. По второму закону Ньютона (mg + N + FTp) Д/==
=	—v<j)> гДе mS— сила тяжести мячика, N —сила
нормальной реакции стенки при ударе, FTp— сила трения,
Д/ .— продолжительность удара, v2 — скорость мячика не-
посредственно перед ударом, vt — после удара (рис. 70).
В проекциях на оси координат имеем: NAt — mhvx,
(Frp — mg) А/ = mkvy, где FTp = pAf, &vx = t>i + v0, &Vy =
~ gt = g ~, t — время полета мячика до стенки.
'	t)0
Следовательно, ц=-------’
Ро + ^1
Обычно удар бывает кратковременным, т. е. Д/<^/.
Тогда	.
1>о («о + »1)
Последнее приближение эквивалентно пренебрежению
силой тяжести mg по сравнению с силой трения FTp, в
чем предлагаем читателям убедиться самостоятельно. Для
этого достаточно в решении задачи положить F^— mg ж
Fjp.
33. После пережигания нитки бусинки приобретают
импульсы, отношение которых — ~ 1. Отношение рас-
Рз
стояний, пройденных первой и второй бусинками до пер-
ового столкновения, — = — =	.
п	' Sa Из miPi mi
Поскольку столкновения бусинок упругие, то отноше-
ние импульсов будет сохраняться постоянным, т. е.
59
— — 1 после любого числа столкновений. Следовательно,
Рг
отношение расстояний, пройденных первой и второй бу-
синками между п-м и п+ 1-м столкновениями, будет равно
отношению расстояний, пройденных бусинками до первого
столкновения, т. ё. —.
34. Горизонтальный уровень, проходящий через центр
масс полностью соскользнувшей веревки, примем за на-
чальный для отсчета потенциальной энергии. Тогда по
закону сохранения и превращения энергии m(L — L0)g~ 4-
2
+ mLo/i_ls\g =
\ *< - * /
ны веревки. Отсюда о
35. По закону
mg(h-f-x)=—, где
Л
mLv*
----, где т — масса единицы дли-
2
= ]/ Х(У-Ц)‘ .
сохранения механической . энергии
т — масса шарика, k — жесткость
жгутика.
Величину k найдем из условия первоначального равно-
весия: k «=s ^7. Тогда х = А1 + У (ДГр 4- 2Д/Л — 0,2 м.
д/
(«л	\
	11	Указание. Ускорение пули мак-
7.-----------------------------------------J
симально в момент начала ее движения.
37. Из соображений симметрии следует, что после'со-
ударения налетающий шар будет двигаться вдоль оси X
и У1 = оа (рис. 71). Используя закон сохранения импульса
и закон сохранения механической энергии, запишем Mv0 =
«= Ми 4- 2/nvx sin a, Mvl = ДЬ2 4- 2/nvf.
Отсюда, учитывая, что a = 60°, получим
3
« • .	Al — —— m
M — 2m stn2 a	2
. V =s --------------- Ц»-----------'
M 4- 2m sin2 a	3
A14- —m
'	3
При M > — m налетающий шар не изменит направле-
ния движения. В частности, при М т он «не заметит»
расположенных на его пути шаров (и== v0). .
При М — т налетающий шар после столкновения
остановится.
60
Рис. 71
Рис. 72
1	3
При Л1<;— т налетающий шар после столкновения
будет двигаться в обратном направлении. В частности,
при М т покоящиеся шары играют роль отражающей
стенки (и = — v0).
38. По закону сохранения механической энергии для
'	miv?	тц£
каждого шара до столкновения rn^gl =------ и tn^gl—>
2	2
к где / — длина нити, vr и v2 — скорости шаров в момент
столкновения в точке А (рис. 72).
По • закону сохранения импульса при ударе шаров
= (т.1 4- т2),и, где v — скорость слипшихся
шаров после удара.
По закону сохранения механической энергии для ша-
ров, слипшихся после удара, (mt + /п2) gh =*	,
rA<erh<=l(l— cos а) — высота подъема шаров после удара.
Из системы записанных уравнений найдем а ==
.= arccos ——— « 27°.
(«+1)а
Величина —	4п _£
£	miu® + m2vl	(n + 1)’	9 ’
Любопытно заметить, что величина — = cos а, т. е.
значение cos а является в данном случае мерой превра-
щения кинетической энергии шаров . при ударе в другие
виды энергии.
39.	0,5.
40.	° =	Л<" + Л|1 .
У тМ
л „ 2/та
41.	s = —-2—t если гпх т2, s ~
ffli ffti
^2-
2lm3
Зт3 — mi
если/пх^.
6]
42.	По закону сохранения импульса ти0 = 2mv, где
v— скорость движения центра масс связанных шаров.
9
ttlVn
По закону сохранения механической энергии =
=--------1----, где х — величина деформации пружины.
2	2	j
Отсюда X = ± Vo 1 / ~~ • ТогДа ^niax = I + ffl] / ~
I/ 2k	I/ 2k
И Emin
43.	Энергия Е, расходуемая человеком при прыжке,
распределяется между человеком и тележкой. На основа-
нии законов сохранения энергии и импульса запишем:
Mv? mvl
Е =s	MVi — mv2 = 0, где vx и v2 — скорости че-
ловека и тележки сразу после прыжка.
Работа против силы трения А = p/ngs =? —. Следова-
2
тельно, с = p/ngsl 1 + —I.
44.	Кубик подпрыгнет, если F>Mg, где F— сила,
действующая на кубик со стороны пули, Mg — сила
тяжести кубика.
По закону сохранения механической энергии, с учетом
третьего закона Ньютона, можно записать:.—
— mgh = Fh.
Определив отсюда величину F, придем к выводу, что
F~>Mg, т. е. кубик подпрыгнет.
45.	р =--—---------« 0,11.
Afgs + Xmctg а
kx2
46.	Работа, совершенная газом, А == — + pAlg (Z — х),
где х—изменение длины пружины к моменту начала
движения пробирки., Движение начнется при условии:
kx =: iiMg.
Тогда А
А=—.
2
47.	Насос совершает работу, увеличивая кинетическую
энергию жидкости. Мощность насоса при работе в первом
при />х. Если I^.х, то
62
^жнме Ni — где т — масса жидкости, перекачивае-
мой за единицу времени (например, за 1 с), о — скорость
движения жидкости.
'	*7 пт (nv)2
Во втором случае мощность насоса =я —=
= n9Ni_, ф. е. « и’.
48- « «= arcctgp, Nmax -= tngvVrl + ^ \
49. Время разгона автомобиля до некоторой скорости
v определим по второму закону Ньютона: t •«= где
т —, масса автомобиля, F — сила трения покоя между
шинами и дорогой.
Максимальное значение этой силы (предполагается,
что автомашина имеет два ведущих колеса и нагрузка
равномерно распределена на все четыре колеса) Finsx =.
где р— коэффициент трения между шинами и
дорогой.
Вели мощность двигателя, раскручивающего ведущие
колеса, обеспечивает использование предельной силы тре-
,	2t>
ния, то время разгона t = —, т. е оно определяется ко-
pg
эффициентом трения р и не зависит от мощности двига-
теля N. При попытке использовать для разгона большую
-мощность ведущие колеса будут пробуксовывать.
‘ Если мощность двигателя меньше некоторого предель-
ного значения ^пр» то время разгона будет меньшим у
машины в двигателем большей мощности;
. Е ти2
I —--- ==---,
N 2N
где Е—кинетическая энергия автомашины в конце раз-
гона.
- Приравняв два полученных выражения для времени t,
найдем предельную мощность
--- ^пр----—•
Таким образом, время разгона t будет уменьшаться, с
увеличением мощности двигателя только до определенно-
го ее значения N = jViip. Дальнейшее увеличение мощ-
ности бесполезно: она не может полностью использовать»
ся для разгона. Однако, как видно из полученных фор-
ез
мул, время разгона можно уменьшить за счёт увеличе-
ния коэффициента трения ц (специальные шины) или
увеличения нагрузки на задние ведущие колеса, что ис-
пользуется, например, в спортивных гоночных автомаши-
нах..	,
50. В точке отрыва на тело действует только сила тя-
жести т g Уравнение движения в проекции на радиаль-
- .	mv2
ное направление (см. рис. 7) имеет вид: m£cos<p =
где v — скорость движения тела в момент отрыва, /? —
радиус полусферы.
По закону сохранения и превращения энергии -у- =»
®= mg (R — Я cos ф).
Следовательно, ф = arccos ~ .«= 48’.
51. Пусть у<> и о—-скорости шарика в высшей и низ-
шей точках траектории соответственно. Обрыв нити мо-
жет произойти в низшей точке траектории, где скорость
шарика максимальна Из второго закона Ньютойа Т =
«=	-f- mg, где 7? — радиуа окружности, т — масса ша-
рика	’
В высшей точке траектории mg < -2^-.
Согласно закону сохранения механической энергии
4. 2mgR, Следовательно, Т > 6tng.
2	2
Нить должна выдерживать силу натяжения, превы-
шающую силу тяжести не менее чем в шесть раз. В про-
тивном случае произойдет разрыв нити.
52. Сила давлейия максимальна при прохождении ка-
челями положения равновесия: F — mg(3— 2cosa)=*
m 1,4 - Ю’Н.
53. На шарик действует сила тяжести mg и сила натяжения
нити F (рис. 73) Уравнение движения шарика mg +F = та
в проекциях на вертикальное и горизонтальное направле-
ния примет, вид: F cos a—mg та^ F sin a = moFR
«а - где ю—угловая скорость вращения,
Отсюда Т == 2л 1 / - 	- ctg a.
V (?+««)
64
Рис. 74
_ Рис. 73
v 54. В соответствии с законом сохранения механичес-
энергии скорость тела в точке В будет больше в том
^^чае, когда будет совершена меньшая работа против
.Трения. Для этого необходимо, чтобы меньшей была
реакции опоры N. Величина этой силы при двйже-
ФЙДИ тела изменяется. В произвольной точке Q на выпук-
|л6й дуге (рис. 74) по второму закону Ньютона Nt ««
fingcos at—	гда т— масса тела, Oj —его скорость,
м О1С11 — радиус дуги.
£ На вогнутой дуге найдется такая точка С, (расстоя-
ния между точками В и Са и точками Л и Ci одинако-
вые), в которой ая -= и, следовательно, = mg cos а8 Ц-
Такое неравенство справедливо для любой пары соот-
ветствующих точек обеих дуг. Поэтому скорость тела в
точке В при спуске по дуге AM В будет больше.
55. На шарик, находящийся на стенке вращающегося
-сосуда, действуют силы: тяжести mg и реакции- стенки
сосуда .JV (рис. 75). Согласно второму закону Ньютона,
записанному в проекциях на горизонтальное и вертикаль-
ное направления, шарик будет выброшен из сосуда, если
$ sin а = m<j>2R и № cos а > mg.
Отсюда найдем «в > р/”~~а •
Теперь видно, что шарик, находящийся на дне у
• ^енки сосуда, перестанет давить на дно при ш =
Рис. 76
дальнейшем увеличении угловой ско-
=s 13 рад/с, ша-
рости вращения, т. е. при ©>
рик будет выброшен из сосуда.
"Ъб. На шарик А действуют силы: тяжести mg, реак-
ции. вертикальной стенки Nt, реакции горизонтальной
стенки давления стержня N3 (рис. 76).
По третьему закону Ньютона искомая • сила F ** Nt,
По второму закону Ньютона (для шарика Д) в проек-
ции на горизонтальное направление « Na sin а.
По второму, закону Ньютона (для шарика В) в проек-
ции на направление стержня mg cos а — N s=s где
./V = jV3 — сила реакции опоры (стержня), о — скорость
шарика в данный момент времени.
По закону сохранения и превращения энергии —
*= mgl (1 — cos а). Тогда = mg (3 cos а — 2) sina.
Отсюда видно, что существует такой предельный угол
arip == arccos -у-, при котором еила обращается в нуль.
При углах a^anp шарик А будет скользить, удаляясь
от вертикальной стенки. Следовательно, при таких углах
= 0.
Поэтому F — mg (3 cos a— 2) sin а при a arccos-^- и
3
2
F — 0 при	arccos—. -
3
66
87, Мысленно развернем
пружину (рис, 77), Согласно
второму закону Ньютона Для
составляющей сиЛы реакций
пружины Ni, лежащей в плоо
кобти развертки и состав*
ляющей силы реакции гфу»
жины ориентированной
перпендикулярно • плоскости
развертки, получим Afi “
.,	т (v cos а)’
— mg cos а и Л 2 =*	~
R
Рис, 77
Здесь v — скорость ша*
рика после совершения п полных оборотов; ее найдем
mv* .
из, закона сохранения и превращения энергии; —-— **
а
sf mgnh.
По третьему закону Ньютона
F ж=г N «= -р \
где М — сила реакции пружины.
Тогда	'	t
F ТЧБгКт /4л2/?2 + (1 + 16л2ла’)Лт»
58. Мысленно поместим вырезанную , часть шара на
свое место/
Тогда
? = ?»+?„,
где F, • ?о и Fn — силы притяжения маленького шарика
т всем сплошным шаром, шаром с полостью, и шаром, за-
полняющим полость, соответственно. .
Искомая сила
?о- F~h,
Она направлена вдоль прямой 00', (см. рис. 11), так как
вдоль этой прямой направлены силы F и Fn.
Следовательно,- Fo »= F — Fn или
Р, _ 0	_ о ...	L 0Мт (±
v—т)
2 *
.4,	’
___________I \
. 2 (21 - /?)а
в:
Здесь Мп ₽ —— масса шара, заполняющего полость ра-
8
R
диусом —
*	•	ч
Полученный результат позволяет для решения подоб-
ных задач ввести формальный метод, который приводит к
правильному ответу: полость можно рассматривать как те-
ло с «отрицательной» массой. Тогда шар с полостью
можно формально заменить системой двух шаров: сплош-
ным шаром массой М с центром в точке О и шаром с
м
«отрицательной» массой — Мп  -------с центром в точке
8
О'— и применять закон всемирного тяготения к такой
системе (см. рис. 11).
69.	Пузырек воздуха можно рассматривать как шарик
с «отрицательной» массой (плотность его равна плотности
воды р), а шарик из железа считать телом с плотностью,-
равной разности плотностей железа р0 и воды р (см.
задачу 58).
Шарик и пузырек будут взаимодействовать б силой
— G РЗнак минус означает, что F — сила
отталкивания.
60.	Будем считать, что человек, прыгая на Земле и
Луне, отталкивается с одинаковой силой. Тогда работы,
совершаемые человеком против сил тяготения Земли и
Луны, тоже одинаковы: mg (Н 4-1) — mg0 (h 4- /), где т —
масса человека, g0 =-y^GPo#oBg — -у лбр/? — ускорения
Свободного, падения на Земле и Луне соответственно.
Тогда /7 = ^!(й + /) — / = 6,3 м.
61.	Период обращения спутника Т ~	* где
R — радиус звезды, Л—высота полета спутника над ее
поверхностью, о —линейная скорость движения спутника
по орбите.
По второму вакону Ньютона -4- G 	=* —
3	(л 4- «г	R 4- Л
где /п —масса спутника.
Тогда Т -
У GpR*
«8
При й *= О период обращения минимальный и не вави-
Зя
сит от размеров звезды: Tmln e 1 / ---~ 10~3 с.
к °Р ,	-
62.	По закону сохранения механической, анергии
—— q	в о, где т — масса Земли, М. — масса Солн-
2 Rq
ца, G — гравитационная постоянная.
Отсюда о »	2	~ «1^2 f0, гДе о0 »	—
Ro	Т9
скорость Земли на своей орбите спутника Солнца. Здесь
То — 1 год —период обращения Земли вокруг Солнца.
Следовательно, о =»	= 40 км/с.
63.	Пусть тело массой m расположено в точке Л (рис.
78). Заменим гравитационное поле планеты полем, создан-
4 о	4
ным сферическими массами М = — я/гр и Mi» ——л^р
с центрами в точках О и соответственно (см. 8 а дач у
58). По закону сохранения и превращения энергии
=» -Ерю — Ерл, где Ера, — потенциальная энергия бесконечно
удаленного тела,
4	/	г®	\
Евл ==---— лб/лр I	. ::	— I
р 3	VRa4-si — 2Rscosa	)
— потенциальная энергия тела массой m в точке Л.
Тогда v ® 1 /± яср (Я2—	~	) •
У 3	\	VRa +sa — 2Rscos а /
Отсюда видно, что скорость о будет наименьшей при
запуске тела из точки С (угол а = 0). В этом случае
Pmln ““ ~r~ R V*"5лбр«
о
64.	Ек =*. = 4,6 • 1010 Дж. 
2 + h)
65.	т == Vmi * пц-
66.	Из рисунка 12 видно, что сила натяжения провода
трамвайной линии F — 4mg. Такая же по величине, но
Противоположно направленная сила Т действует на столб
в его верхней точке (рис. 79). В точках А и В на столб
действуют силы реакции опоры (цилиндрического колод-
ца) Na и Nb- Величины этих сил найдем из уравнений
моментов относительно осей, проходящих через точки А
и В:
Amg (И + h) = Nsk, 4mgH = МаЬ-
Отсюда
Na = 4mg—& 27 кН, NB = 4mg fl + —) « 31 кН.
Л	\ h j
67.	При качении катушка поворачивается вокруг
мгновенной оси, проходящей через точку А (см. рис. 13).
Из всех сил, действующих на катушку, лишь Одна сила
F имеет отличный от нуля момент относительно указан-
ной оси вращения. Следовательно, вращение будет проис-
ходить по часовой стрелке, т. е. катушка катится в на-
правлении действия силы F.
Очевидно, что такой же результат будет, если силу
F приложить в верхней части катушки.
68.	По второму закону Ньютона
F—mgsin a —pmgcos а = 0,
где F — внешняя сила, пг — масса тела, а — угол накло-
на плоскости к горизонту.
Выигрыш в силе п = —t проигрыш в расстоянии р =
F
— ~ = —1— f Где / и h — длина и высота наклонной 
h sin а
плоскости соответственно.
Тогда
|х=—= 0.19.
а -1
7»
Рис. 81
69.	Так как все три ответа имеют правильную размер-
ность, то необходимо проверить, правильно ли они опи-
сывают поведение шара в различных предельных случаях.
’ Из условия задачи следует, что при h = 0 должно
выполняться равенство F«0,a при h*~R —F-+<x>.
Третий ответ не удовлетворяет первому условию, вто-
рой — второму. Следовательно; верен первый ответ.
. 70. На катушку действуют силы: натяжения нити Т,
' тяжести mg, реакции опоры и трения покоя FTp (рис.
По второму закону Ньютона в проекциях на оси ко-
ординат при равновесии катушки Т sin а — /V 0, Teas а+
-f-'F-rp—=
Уравнение моментов сил, действующих на катушку
относительно ее оси, при равновесии запишется в виде:
Тг — FTp •/?=().
Тогда, учитывая, что в предельном случае, Frp = рУУ,
получим а = arcsin — и Т »--------,
Н*	|ЛГ + у ~ г*
71. Для примера рассмотрим .правый цилиндр, лежа-
щий на плоскости (рис. 81). На него действуют силы:
тяжести mg, реакции плоскости N, трения FTp и Fjp, а также
давления со стороны других цилиндров Ft и F2.
Р
Минимальный коэффициент трения pm]n =«в где сила
N определяется равенством bmg 22V.
71
Е
Условия равновесия цилиндра за-
пишутся в виде:
Fi + cos ф = FTp + F^ sin ф,
I N = mg + Fa з!пф 4- Fipcos ф,
•	- FipR—.F'TpRt
где R — радиус цилиндра, а угол
Рис. 82	ф = 60°.
При минимальном коэффициенте трения минимальной
трения FTp, что реализуется при условии,
будет и сила
когда Ft == 0.
Тогда
72. ft
COS Ф	л лп
pmln — „7. , :	'	0,09,
3(1 + sin ф)
--------— «17Н/м.
2/вИ — sin —J
73.	Каждый виток каната уменьшает силу f в раз
«	₽	г
(например, при двух витках — = —, при трех — — =а
hr. h
ит. д). Следовательно, сила, действующая на ко-
t -г f ef f V»-1
нец n-го витка, fa ==	— == Н —| , т. е. искомая сн-
F \ F /
I F \"-1
ла уменьшится в j раз.
74.	Отклонение трубки определяют две силы: реакции
струи F и тяжести (m + /n0)g, где m0 = p/S —масса во-
ды, находящейся в трубке (рис. 82).
Условие равновесия трубки запишется в виде: FI =»
«= -у (т + m0) g/sin а.
При равномерном истечении жидкости согласно вто-
рому закону Ньютона Ft = mjV, где fnl = QvSt—масса
воды, вытекающей из трубки за время t.
Тогда а = arcsin—— = 13°,	’
g (т + p/S)
75.	Во всех случаях в обоих сосудах жидкость уста-
72
новится.на одном уровне. Если бы это было не так, то
нарушался бы закон сохранения энергии. Действительно,
по наклонной трубке, которой можно соединить сосуды
в верхней их части, жидкость непрерывно переливалась
бы- из того сосуда, где уровень жидкости выше, в тот, где
он ниже. Это был бы вечный двигатель.
76.	р = р (gh 4- al), где р — плотность -воды.
77.	Давление р =	, где F — сила, действующая на
поршень, S — площадь поршня.
По закону сохранения и превращения энергии F ♦ х =*
mv*
где х — величина некоторого перемещения поршня,
т — масса воды,- вытекшей при этом из шприца.
УЧИТЫВАЯ, что т = pSx. (р — плотность воды), полу-
чим р = Отсюда следует, что для увеличения ско-
рости вытекания жидкости в п раз, давление нужно уве-
личить в па раз. Это учитывается при - транспортировке
' жидкостей по трубопроводам, в пожарных брандспойтах
и т. д.
.78. Скорость вытекающей жидкости v и давление р в
жидкости на уровне отверстия связаны соотношением:
р = где р — плотность жидкости (см. задачу 77).
Учитывая, что гидростатическое давление р = pgh, по-
лучим известную формулу Торричелли: v = У 2gh.
Дальность полета струи s =» vt, где I — р/ -	—
время полета. Следовательно, s~ 2)^/1 (//— h) . Отсю-
да при Л =-у Smax=//. Это можно получить разными спо- _
собамц, например из графика зависимости s от h (в до-
лях Я), что предлагается читателю сделать самостоятель-
но.
79.	Нет, не означает. Закон Паскаля связан с упру-
гими свойствами жидкости или газа (с\ электромагнитны-
ми силами взаимодействия между молекулами), которые
сохраняются и в невесомости.
80.	Давление р — -—-, где р-—плотность нефти, а —
скорость ее вытекания из скважины (см. задачу 77).
Так как о2 =< 2gH, то р == pgH.
Из ответа задачи видно, что высота фонтана прямо
73
Рис. 84
пропорциональна давлению, под которым бьет фонтан.
Это учитывается на практике, например в управлении
фонтанами в каскадных ансамблях.
81,	разность давлений в точках А и В Лр ~ рл — рв
можно Найти двумя способами (рис. 83). Во-первых,
Др =« р (r2aa — riaO = ,ptt>2 (Г2 — г?),
где Р — плотность жидкости, а2 = ®гг2 иа1 = <о2г1 — цент-
ростремительные ускорения движения жидкости в точках
Ли£ соответственно (см. задачу 76). Во-вторых,
Др = р#Дй.
Следовательно,
"дА==^.(^_4 . .
g
Ответ не изменится и для случая, когда ось враще-
ния будет расположена вне плоскости трубки.
82.	По второму закону Ньютона при падении одного
нжэрика В жидкости
P0Vg = pVg + Hi
где V — объем шарика, k — коэффициент пропорциональ-
ности.
Аналогично при установившемся движении системы
для шарика в воздухе и для шарика в жидкости можно
записать: Т — p0Vg, Т 4-pgV=P0V£ + здесь Т — сила-йа-
тяжения нити.
.Отсюда найдем v = п0---------.
ро —р
74
S3. По законам равноускоренного движения и® =* 2аЙ =•
— 2g Н, где о — скорость шарика у поверхности воды,
а — ускорение его движения в воде.
По второму закону Ньютона F— mg = ma, где F —
выталкивающая сила/т — масса шарика.
По закону Архимеда F = PigV, где pt — плотность
воды, V — объем шарика. Масса шарика т « p2V, где ps —
плотность пенопласта.
Из записанных уравнений найдем Н =;	ft,
Ра
84.	Вдоль вертикальной оси на куб действуют три
силы: тяжести G == pgP, давления на верхнюю грань Ft =?
(I \	ri	I3
ft---—j I2, давления на нижнюю грань Fs = Pig —+
+ P2gWa, где Pi и р2—плотности ртути и воды соответ-
ственно (рис. 84).
Условие равновесия куба запишется в виде: G И- Ft =
= Fr Тогда р = _е1±й..
Ответ, задачи не зависит от формы плавающего тела.
Предлагаем читателю доказать это.
85.	Из условия плавания тел следует, что /ng^Fmax,
где тг— масса буя, Fmax— выталкивающая сила при пол-
ном погружении буя.
По закону Архимеда Fmax = PigV, где рх — плотность
воды.
Масса буя m = p2V2, где р2— плотность железа, V2 —
объем железа, причем + V2 = V.
Тогда объем полости будет определен неравенством
\ Ре/
86.	— = -Р1 -  — — р~, где V2 и Vt — объемы пара-
Vi	{1-п)ро-Р2	2	1	и
фина и свинца, pOf Pi и р2 — плотности воды, свинца и
парафина соответственно.
87.	Из условия равновесия цилиндра в воздухе и в воде
следует, что mg-kx^ и mg — p0Vg = kx2, где т =pV — масса
цилиндра, V — его объем, k — жесткость пружины, х* и •
х2— ее растяжения в обоих случаях соответственно, при-
чем — = п; Ро—плотность воды,
*2
Тогда р = —-— Ро = 2,7« 103 кг/м3, что согласуется
п — 1
в табличными данными.
75
Описанный в задаче способу используется для опреде-
ления плотностей веществ, из которых изготовлены тону-
щие тела. Предложите способ измерения плотностей
плавающих тел.
88.	Условие равновесия плавающего тела pV'g*^
“ PiVi£ + PjVjg. где р, ръ р2 — плотности воды, льда и
свинца соответственно, Vi — объем льда, Va — объем свин-
ца, V' — объем погруженной части тела.
Пусть объем воды в сосуде до погружения льдины
равен V. Тогда объем, занимаемый. водой и частью льди-
ны, расположенной ниже уровня воды, Vo — V + V'. Ес-
ли лед растает, свинец опустится на дно и объем, зани-
маемый вэдой и свинцом, станет райным Vo =» V 4- Vj 4- Va,
где Vi «-fii-Vj. — объем воды, образовавшейся в резуль-
тате таяния льда.
Из записанных уравнений найдем Vo — V0=V2p —
— — I < 0- Следовательно, уровень воды в сосуде понизится.
Р/	'
Если вместо свинца в льдине содержится пузырек
воздуха, то вес вытесненной воды равен весу льда. Поэ-
тому вода, образовавшаяся в результате таяния льда,
займет объем, равный объему погруженной части льда.
Положение уровня поверхности воды не изменится.
89.	На доску действуют силы: тяжести mg, реакции
76
опоры (камня) N, сила трения Атр и .выталкивающая си-
ла F (рис. 85).
Условия равновесия доски аапишутся в виде: Nsina^e
— Fncos a, f( I + -\cos а — —cos а, где I « —--------
\	2 /	2	sine
длина части доски, находящейся над водой, а — угол
между доской и поверхностью воды. Масса доски т =»
pSL, где S — площадь поперечного сечения доски.
В предельном случае FTp в рЛ/. По закону Архимеда F =»
p„g(L-Z)S.
Из системы записанных уравнений найдем р «=»
e w ч /*_______Р°
]/ /Л (ро — Р) —//’Ро 
90.	При плавании льдиры P0SHg = pShg, где р0 и р —
плотности льда и воды, h— глубина погружения льдины.
Для дальнейшего медленного погружения льдины на
нее надо действовать переменной по величине силой F .=«
»=pSA/ig, где АЛ — дополнительная глубина погружения.
Отсюда видно, что с увеличением Дй сила F растет
по линейному закону (рис. 86).
При полном погружении льдины Дй0 » Н — h. Совер-
шенная при этом' работа будет минимальной. Она равна
площади треугольника ОВС:
л_ (p-p0)^Sg
 2р ‘
л2
91.	/  ---X-=- Д/ = 64 см.
. ’	„2	„2
п2 —"1
92.	Малые колебания шарика являются гармонически-
ми. Его смещение иа положения равновесия в любой мо-
2л
мент времени х~ A cos — t, где А — амплитуда колеба-
ний, Т = 2л р/"~ — период колебаний.
Л
В момент времени i — ?т|Я х •=» —. Следовательно,
/min == ~ I / X, что соответствует одной шестой части
8 У е
4	7
периода:
D
п
•I
, Рис. 86	Рио. 87
а/л
93.	Высота подъема Н = —, а скорость ракеты и =*
«= at0, где t0 — время работы двигателей, отсчитан*
ное fto часам, расположенным на Земле. За это
Время маятник на Земле совершит
колебаний, в ракете — п—— 1/ колебаний, где
2п у	- I
.	™	t п	гт agP
I — длина маятника. Так как —= —, то п =—*—-
_____	to tto	2(а -f- g)
и v = at 1 / —.
У g + a
, 94. Пусть точка С — центр тяжести системы (рис. 87).
Тогда mL {L — г) — т2г. Центростремительное ускорение
части корабля массой т2 а =----. По условию задачи
2 * 2л р/" — =» 2л р/~—, где I — длина маятника часов.
Тогда 7 = 4л |/А. .
93. Период колебаний тела массой т на пружине,
жёсткость которой k, определяется выражением: Т =**
2л р/'Система «два шарика — пружина» является
замкнутой, и при колебании шариков центр тяжести сис-
темы остается неподвижным. Поэтому период колебаний
шарика должен определяться жесткостью куска пружины,
находящегося между ним и центром тяжести. Так для
первого шарика Тх = 2л рЛ~t где kx— жесткость куска
пружины длиной II между первым шариком и центром
тяжести системы.	’
78
Пусть длина всей пружины I. Тогда т$ (/ — lj) т^,
= kL Из записанных уравнений получим Tj =*
в= 2л р/"'^4 Период колебаний второго шарика
Ta = 7Y
96.	7 = 2311/	л =	----.	=
|/	/ft(m-|-A4)	m H-Af
97.----Условие резонанса запишется в виде: i = Т, где
i -----	промежуток времени между двумя последова-
тельными толчками автомобиля, Т = 2л 1 / — — период
у 4k
его собственных колебаний. Жесткость одной пружины
k = —. Следовательно, v = — 1 f .
ft	л у Mh
98.	Из симметрии системы следует, что груз будет со-
вершать колебания вдоль вертикальной прямой — оси X
(риа. 88). Циклическая частота таких колебаний ю
79
м i / —, где tn — масса груза, ka — жесткость системы
у т
его подвеса.	'  ,
Малое смещение х груза из положения равновесия вы-
зовет удлинение каждой пружины на величину Д/««
= xcosa и появление в ней дополнительной силы упру*
гости /7! «/гх cos а, где k — жесткость пружины. Тогда
сила, возвращающая груз в положение равновесия, F =»
2kx cos2 a « kax, где kQ	2 k cos2 a.	__
/2k ,
—
m
Из условия равновесия груза в точке С следует, что
mg = 2 kl0 cos а. Поэтому <в = 1 /	—L.
, ,	г 2	.
99.	Пусть начало координат, точка О, соответствует
положению бруска при недёформированной пружине; ко-
лебания бруска начинаются из точки А; точка В соответ-
ствует первому максимальному смещению бруска х/ в
сторону стенки (рис. 89, а).
Тогда по закону сохранения и превращения энергии
kx$ kXi
—	~- + (xe — Xj) Ftp, где k — жесткость пружины, гТ!,=»
«= ka — сила трения. Отсюда хх = — хв 4-- 2a.	•	-
Рассуждая аналогично, получим хя = (— 1)" (х0 — 2a/t),
где п =« О, Ь 2, ... —число прохождений бруском начала
координат.
Из полученной формулы видно, что амплитуда колеба-
ний будет уменьшаться. При |xn | ^а колебания прекра-
тятся.
Если х0«-4,5а, то брусок дважды пройдет через на-
чальное положение, т. е. п <= 2; это нетрудно получить
из условия |хл |Са-
Координата точки остановки бруска ха - (—I)2 (х0 —
— 4a) « 0,5 a.
График движения бруска приведен на рисунке 89,6.
100.	/'шах — (т 4- М) g + Л/и<в2; Fmjn = (m 4- М) g —:
— AMw1. -
101.	Пусть OOi — начальный равновесный уровень
ртути (рие. 90). При понижении уровня в левом колене
на величину х возникает возвращающая сила F, равная
силе тяжести &mg ртутного столбика высотой 2х правого
колена: F « Amg == 2pgSx, где р — плотность ртути, S —
площадь поперечного сечения трубки. Следовательно, си-
80	‘
Рис. 90
ла, переливающая ртуть, прямо пропор-
циональна смещению уровня ртути от#'
положения равновесия F — kx, где k~ ~т
» 2pgS.
Под действием такой силы возника-
ют колебания с периодом Т =» “р
где m — масса колеблющейся системы;
в нашем случае m = рЗ/ — масса всей .
ртути.
Следовательно, Т — 2л 1 / —.
Г 2g
102.	Условие ослабления звука при интерференции
звуковых волн в слуховой трубке запишется в виде: d =
= (26+1)А, где k-0, ±1, ±2,
d — разность хода
.	А	V
интерферирующих волн, л =----------длина волны.
V
Перемещение выдвижного колена интерферометра на
расстояние I изменяет разность хода звуковых волн на
величину 21: d^ — dl= К (k2 — kJ — 21.
Для соседних ослаблений звука k2— k2 = 1. Следова-
V
тельно, v = —.
21
Молекулярная физика и термодинамика
103 а) Так как отражение происходит по ' законам
упругого удара, то тангенциальная составляющая скорости
молекул в пучке щ не изменяется (рис,. 91). Число мо-
лекул, которые столкнутся за время t с участком стенки
площадью S, будет N = nS'tv cos ф.
В результате удара импульс одной молекулы изменит-
ся на величину ДР = 2mv cos <р. Изменение импульса всех
молекул, столкнувшихся с выделенным участком стенки
за время t, N&P = 2mntSv3 cos8 ф. Используя второй и тре-
тий законы Ньютона, запишем Ft = l№Pt где F — сила, с
которой молекулярный пучок действует на стенку.
р
Тогда давление р = — = 2/ww8.cos8 <р.
б) Давление, оказываемое молекулярным пучком^на
стенку, перемещающуюся со скоростью и в йаправлении
нормали, р' = 2mn (о cos ф ± w)a. Знак плюс соответствует
4 Зак. 3800	81
Рис. 91
случаю, когда стенка движется навстре-
чу пучку, а знак минус — когда она
удаляется от него.
104.	Количество молекул любого ком-
понента, которое вылетает через отвер-
стие, прямо пропорционально скорости
движения молекул. При одинаковой тем-
пературе газов в смеси молекулы
меньшей массы движутся быстрее. По-
этому газ, прошедший через отверстие,
будет обогащен более легким компо-
нентом. Это дейтерий.
где
Р —
v —
105.	v = у = 5,1 • 102 м/с, .где М - 29 X
X IO-3 кг/моль — молярная масса воздуха, R =
8,31-Дж/моль-К—универсальная газовая постоянная.
106.	Т =	+ VI).
107.	На участке стенки площадью S за произвольное
время t образуется слой серебра толщиной И —
пг — масса осажденного на участке стенки серебра,
его плотность.
По второму закону Ньютона pSt = mv, где
— । /---------средняя скорость осаждаемых атомов се-
у м
ребра, М — его молярная масса, —постоянная Авогадро.
За единицу времени толщина напыленного слоя воз-
. Н	р Г м
растает на величину /г = —- — — л /	-.
‘	Р |/ л
108.	Скорость, диска будет постоянной при условии:
F = Л1о£, где F — F,, — Ft — сила сопротивления движе-
. нию диска со стороны молекул атмосферы, F2 и Ft — си-
лы со стороны молекул, действующие на нижнюю и верх-
нюю плоскости диска соответственно.
По второму закону Ньютона Fi&t~2m (и — о)гД/,
F2A/ — 2m(u + v) гЫ, где m — масса одной молекулы,
1 F 3RT
и — у ------ее средняя скорость, г — число столкнове-
ний молекул с одной стороной диска в единицу времени:
z = -^-илга (п — концентрация молекул).
Из записанных уравнений с учетом того, что плотность
82
атмосферы р = тп = получим v =
Отсюда видно, что при увеличении температуры ат-
мосферы скорость падения предметов буде,т возрастать.
109.	z~nu, где п— концентрация молекул в сосуде,
и — средняя скорость молекул. Так как и ~ У Г > а /г ~
1
'"'-у то	где V — объем сосуда, Т — температу-
ра газа.
Пусть TbVi и Та, V2 == 2Vj — параметры начального и
конечного состояния газа в сосуде соответственно. Тогда
-И 1/5
21 - V2 V Л ’
При изотермическом расширении ~ =: -к-, т. е. число
21 Z
столкновений уменьшится в два раза.
При изобарном расширении согласно закону Гей-Люс*
Vi 71	za	-ж ГVT	1
сака -тг- = Следовательно, |/ тг = тяг-
Va /а	21 Г Vi у 2
lle.Z!=J4A=±
V.	5-
111. Согласно закону Бойля—Мариотта парциаль-
ное давление каждой порции воздуха, нагнетаемой насо-
сом, р ~ где ро — атмосферное давление.
После п качаний давление в мяче Зр0 равно сумме
парциальных давлений: Зр0 = пр = п -р р0. Отсюда п =*
ЗГ „„
~ П“60’ *
112. По закону Бойля—Мариотта давление газа в бал-
лоне после первого качания насоса pi — Ро—ууу'» где
Ро — начальное давление.
Аналогично после
р7_Е-_у.
" v. + и /
Отсюда
второго качания р2
_ п ( Уо \п
рп~ Ро v v0 4- v I ’
____ = 69
/ v0 + v \
lg Кг-,
После п качаний
п —
,113.	1 —J
т	k
83
1Н. Записав уравнение Менделеева—Клапейрона для
начальных состояний газа в обоих отсеках, получим — ==
Т\	1
= -яг- =* п, где mt и т2 — массы газа в первом и втором
* 2 -
отсеках соответственно.
Аналогично из уравнений, записанных для конечных
состояний (температуры
. найдем 41 а
второго отсеков, причем
Изменение объема
газового состояния, найдем
Т от его объема V: T(V) —
газа
в обоих отсеках выравнялись),
где и Уа— объемы первого и
Vi + V2 = 2V.
второго отсека Д V — V2 — V — '
п — 1-	Д V п — 1
= --г-? V, а величина смещения поршня х = -^-- ——г х
П -4- 1	О tl -4- 1
X_L
х s •
Смещение произойдет в ту часть сосуда, температура
в которой была более высокой.
115.	Используя уравнение
зависимость температуры
= (1,25 — 0,25 4-1ТГ--
\	’ VaJ Rv
Анализ этой функции на
при У ~ 2,5Vo Т = Ттах == 1,56
116.	Рис. 92.
117.	Для участка 1—2 (рис. 21) можно записать р —
~ k^V, где кг — коэффициент пропорциональности. С уче-
том уравнения Менделеева — Клапейрона pV = -jj-j-RT по-
лучим Т = c^V2, где «! =	— постоянный коэффициент.
экстремум показывает, что
~ РоУо
Rv ’
84
Рис. 94
V этот участок будет
Следовательно, в координатах Т,
параболой с вершиной в начале координат (рис. 93).
Аналогично для участка 3 — 4 Т — а2Уа, где коэффи-
циент aj Cap Поэтому соответствующая парабола будет
менее крутой.
Полностью' цикл приведен на рисунке 93.
118.	Для участков 2 — 3 и 4—1 (рис. 21) в. соответ-
ствии с законом Бойля — Мариотта — —и — =-тХ
г рз Vt Pl Vi
Для участков 1 — 2 иЗ — 4 — ~ и — = (пря-
Рз	* 4
мая пропорциональная зависимость между давлением газа
р и его объемом V).
Перемножив почленно все четыре уравнения, получим
v Vt-Vi
V1 = “ЙГ- ’
119.	Перемножив почленно первое и третье уравнения,
записанные в задаче 118, и разделив результат на вто-
рое и четвертое уравнения с учетом равенства V2 = Vt,
получим Pi = р3.
120.	Проведем изохору, проходящую через точку 1
(рис. 94). Из уравнения Менделеева — Клапейрона полу-
чим р = Т = kT, где коэффициент пропор циональнос-
ти k = tga, a — угол между изохорой и осью аб-
сцисс.
Отсюда видно, что состоянию с большим объемом V соот-
ветствует меньший угол а. Так как точка 2~лежит выше про-
веденной изохоры, а точка 3 — ниже, то V2<Vi<V3.
Следовательно, при переходе из состояния 1 в состоя-
ние 2 газ сжимался при постоянной температуре до объ-
85
ема V2, а при переходе из состояния
2 в состояние 3 расширялся до объ-
ема У3.
121.	V3^-« 12,3 дм3; т =
1 г
- М « 16 г.
з
О *—-----------*; Указание: газ занимал макси-
- Рис. 95 мальный объем в состоянии 3: Утах^
= V3 (см. задачу 120).
122.	Проведем изотерму ДВ (рис. 95). Из сравнения
уравнений изотермы pV = const и адиабаты pV? = const
(у > 1) следует, что при одних и тех же значениях давления р
и объема V, т. е. в одной и той же тойке графика, адиабата идет
круче изотермы (пунктирные линии на рисунке 95).
Поскольку температура газа при изотермическом про-
цессе была минимальной, из двух адиабат следует вы-
брать ту, которая проходит через точку В. Тогда изобара
будет лежать правее точки А.
Начальное состояние газа (точка 1 на графике) и на-
правление хода процесса определяются исходя из порядка
процессов, указанного в условии задачи.
123.	Подставив значение давления р = — в уравне-
ние Менделеева — Клапейрона, получим ~ ~ RT.
Отсюда с учетом неравенства п — 1 >• 0 следует, что
с увеличением объема V температура газа Т уменьшает-
ся—газ охлаждается.
124.	р = 6р0; в первом состоянии — = 1, во втором
* 2
= 2, в третьем ~ = 1.
125.	Процесс 1—2 описывается уравнением p=aV4-
4- £, где а и £ — постоянные коэффициенты.
Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, полу-
чим функцию Т (У)~ (aV2 4- £У), которая имеет мак-
симум при V = — -J-. Следовательно, Ттах .= —
Значение коэффициентов а и £ найдем, из исходного
уравнения: a =	> Р =	у**' Тогда
max~
= 490 К.
86
126.	Плотность смеси p = W , где V — объем, за-
нимаемый газом, который легко определить из уравнения
газового состояния pV — I ~ 4- ЦТ. Тогда р =*
\ Mi М2/
„ (mi + m2) р fm-i	= । q КЦ
RT \Л4! "Г mJ ~ ,и м3’
127.	Согласно закону Дальтона начальное давление
в отсеке 2 р =	f — + — + —Y где V — объем одного
v \Mi Мъ Мз /
отсека, т — масса одного из введенных газов, М2,
М9— молярные массы водорода, азота и кислорода соот-
ветственно.
В результате диффузии через перегородки произойдет
перераспределение газов. В отсеке / будет только водо-
род, в отсеках 2 и 3 будут все газы, причем парциальные
давления соответствующих газов в различных отсеках бу-
дут одинаковыми. Это означает, что в отсеке 1 будет -у-
водорода, в отсеках 2 и 3 — по -ту- водорода, кислоро-
т
да и -g- азота.
Давления в отсеках равны соответственно
1 mRT
Pi — ----— =
H 3 MiV
Pa = Рз = P
+ J- + -M 1=3,0-104Па,
3Mt\Mi Ма Мз/
—1
2М2 2Мз / \
= 3,6-10* Па.
Давления р2 и р3 можно найти и как величину р 2 pl-
128.	= 3,1-104 Па, р2 = (-^ + -^—=
r 3Afir \ 3Afx Мз I Уз
= 16-104 Па.
129.	Уравнение реакции имеет вид: 2Н2 + О2 = 2НаО.
Из анализа числовых данных следует, что после реак-
ции в баллоне остался непрореагировавший кислород. До
реакции в баллоне было: водорода кислорода^-; пос-
т,	тз
ле реакции стало: водяных паров кислорода
Давления в баллоне до реакции и после нее равны
87
[mi . mi\RT\	f mi . m2 \
соответственно	. H--j —7- и p2 = I ——f- —— X
mJ v * \Mt 2m2/ 
RT '
X^, где V — объём баллона.
Отсюда T2-=7^+—Y—+ “V‘ —Л == 1.2-Ю3 К.
2	\М1 mJ\Mi 2MJ pi
130.	Давление во втором сосуде в 10 раз больше, чем
в первом.
131.	Среднее расстояние между молекулами газа за-
метно больше их размеров. Поэтому особенности мажмо-
лекулярных сил взаимодействия для разных газов в этих
условиях практически не проявляются: кривые зависимос-
ти силы взаимодействия между различными молекулами
на больших расстояниях почти одинаковые.
132.	В случае горизонтального расположения трубки,
при изменении температуры от до Т2, уравнение газо-
вого состояния для газа в одном шаре запишется в виде:
л1^1	^2^1 Гт	Р1^2	-^2^2 г,
-tJ- = -7f—. Для газа в другом шаре:	Отсю-
12	.	12
f
, т. е. капля перемещаться не будет. Такое
устройство служить термометром не может.
При вертикальном положении трубки аналогичные
уравнения для верхнего я нижнего шаров имеют вид:
Pivi ' ₽2Vi (pi + Po)V2 (р2 + Ро) И2
-7	— =	и ----— == ---------=-^—, где ро. — давление,
J1	12	* 1	12
v'
обусловленное весом капли ртути. Отсюда —г =
^2
V1P2 (Pl + Ро) ‘	'
~	' у р ( ql—) ’ т‘ е‘ ПРИ изменении температуры от 7\
до Т2 капля будет перемещаться. Следовательно, устрой-
ство может служить термометром.
133.	Для воздуха, оказавшегося в трубке, в соответ-
ствии с законом Бойля — Мариотта можно записать: Sip =
= Sh,(р + pg/i), где S—-площадь поперечного , сечения
трубки, р — плотность ртути. Отсюда р =
134.	Для воздуха в трубке из закона Менделеева —
Клапейрона следует, что SL +	~ р , где
* 1	4 2
S — площадь поперечного сечения трубки, р — плотность
воды.
88
о™»	
135.	Согласно закону Бойля —Мариотта для газа в
пузырьке можно записать p0V0 => рхУъ где р0 = Ра
и Pi — Ра +	— давления газа в пузырьке на глубинах
Huh соответственно, р — плотность воды, Vi — -у № —
объем пузырька на глубине h. Тогда
13/~ 3(Р. + М») „
|/ 4л (ра + pgh) ° *
136.	Условия равновесия шара, достигшего максималь-
ной высоты подъема, в первом и во втором случаях име-
ют вид: mg 4- pxgV = p^V, mg + pJgV = PsgV, где tn —
масса оболочки шара, V — его объем, pi, р2, Pi, р2— плот-
ности гелия и воздуха на высотах Нои Н- соответственно.
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона рх =»
Л1,р, М2р. , М.р2 , М2р2
= ~RT^'>	р1 = ~РГ"’ р2=='Р77* ГДе Р1 и Р*~~
давления атмосферного воздуха на высотах Яо и //, Mi и
/И2— молярные массы гелия и воздуха соответственно.
Учитывая, чТо pj = р0(1 — аН0), р2 «= р0(1 — аН), най-
дем
д п__ tj jj _ Mi (Т — Тр) (1 — g/fp)
l\tl ~ П По- a^T-MjTo) ’
137.	На стакан действуют сила тяжести и сила Архи-
меда.
Стакан начнет тонуть, если mg — pgV, где V — объем
воздуха в стакане на глубине Н, р — плотность воды.
Применяя закон Бойля — Мариотта к воздуху, находяще-
муся в стакане, запишем: pohS = рхУ, где рх = р0 + pg// —
давление воздуха на глубине Н,
Из. записанных уравнений получим Н ~ ! —-----—) х
\ т р j
X = 30 м.
£
138.	Согласно второму закону Ньютона при макси-
мальном удалении ртути от оси вращения mts^L ь= (р0—
— p)S, где р —давление воздуха внутри трубки, которое',
найдем по закону Бойля — Мариотта: р =* Отсюда
(о = 1/
V , mL*
89
Рис. 96
139.	При изотермическом изменении объема газа pSd =
= ptS (d — х) = p2S (d + x), где x — смещение поршня из
положения равновесия, рг и р2 — давления в отсеках в
момент окончания смещения поршня.
Сила, действующая на поршень при его смещении на
расстояние х, F ~ (рг — p2)S ..в общем случае
является негармонической. [
При малом начальном смещении поршня (х <£ d)
2pS	л J
{^-~-х, т. е. колебания происходят по гармоническому
закону с частотой <в	» гДе = ““ —
коэффициент жесткрбти системы. *
140.	По условию задачи V* = a.T, где а — постоянная
величина. Параметры газа в состояниях, соответствующих
началу и концу процесса, равны соответственно =«
= /«Л. л=^. V,-	₽, = ^-
График процесса в координатах р, V изображен на
рисунке 96. Работа газа численно равна площади трапе-
ции ABCD, т. е. 4= ‘ (p, + p1)(V,-rV1)=4-v«(7’s-
£t	лл
-Л).
141.	Точки 1 и 3 лежат на одной изохоре. То же мож-
но сказать о точках 2 и 4. Значит, в обоих процессах
1 — 2 и 3 — 4 увеличение объема одинаковое. Давление в
процессе 1 — 2 в два раза меньше, чем в процессе 3 — 4
(оба эти процесса изобарные). Следовательно, работа, со-
вершенная в процессе 3 — 4, в 2 раза больше работы,
совершенной в процессе 1 — 2.
142.	Диаграмма процесса приведена на рисунке 97.
В процессе 1 — 2 объем газа не изменяется, следователь-
90
но, работа совершается только при изобарном процессе
2 — 3: А = р2 (V3 — Vx) = paVs (1-Lj. Поскольку точки
1 и 3 принадлежат одной изотерме, то по закону Бой-
ля-Мариотта: piVt — pzVa. Учитывая, что р^ = vRT,
найдем А = -я- ~ *• vRT.
143.	На рисунке 98 изображен график изотермическо-
го процесса, в ходе которого давление изменилось от р,
до Работа, совершаемая при этом, численно равна пло-
щади заштрихованной фигуры, которую, при малом изме-
а (2 — а) т
2 (Г—а; М Х
нении объема, можно считать трапецией: А =
X RT = 46 Дж.
144.	По первому закону термодинамики AU ~ Q — А, где
Q CAT— теплота, полученная газом при изменении его
температуры на АТ, Д=0 — работа, совершенная газом.
Используя закон Шарля и учитывая, что — = п, найдем
Р2	•
ДГ = - п Тх и Д(7 = Ц^С7\. Величина AU <0, т. е.
внутренняя энергия газа уменьшилась, что соответствует
охлаждению газа.
145.	По первому закону термодинамики = AL\ +
-|-p(Va— Vi) и Q2~AU2, где Д171 и Д[72— изменение
внутренней энергии газа в первом и втором процессах со-
ответственно, причем AUt = Д172.
По закону Гей-Люссака V2^i — ViT2. Тогда =
__ (01 — Qi) тi
“ (T’2-T1)P<
146.	По первому закону термодинамики AU = Q — А,
где Q = CptnAT — теплота, полученная газом, ДГ — изме-
нение его температуры, ср — удельная теплоемкость азота
при постоянном давлении, А = RAT — работа, совер-
шенная газом. По условию задачи ~ п. По закону
Гей-Люссака — = —. Тогда AU = 1 ~ п (ср--------— 'j шТх.
V2 T2 А	п \ р М /
Поскольку газ охлаждается, величина AU должна быть
отрицательной, что действительно следует из полученного
ответа.
147.	По первому закону термодинамики 4 = Q — AU,
где AU =	/?ДТ — изменение внутренней энергии га-
за при изменении его температуры на АТ,.
91
Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, най-
дем, что RAT = рДУ. Следовательно, Д£/ рДУ =
«= -у А. Тогда А Q.
148.	Процесс сжатия газа протекает быстро, а значит,
без теплообмена с окружающей средой. Следовательно,
А = AU, где А — работа поршня по сжатию газа, AU ~
з
>= -у vRAT — изменение внутренней энергии газа, АТ — из-
менение температуры газа, v — его количество.
Работа А mg (ft0 — h).
Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, полу-
чим vRAT = piVt —p0V0> где Vx = и рх = р0 + ~ —
объем и давление газа после опускания поршня, S
va	„
= "fto — площадь и0?011151’ Тогда
h _ / ЗроРо-+ 2ff!g/t0 \
\ ЗроУо -J- J
149.	Работа силы F приводит к увеличению энергии
пружины, внутренней энергии газа и рассеянию тепла в
окружающее пространство. По закону сохранения энер-
гии А =~2~ -|- AU + Q. где х—деформация пружины.
Максимальное количество тепла выделится при изо-
термическом (AU = 0) процессе:
п д________к**
Чшйх ------
Из равенства- давлений, действующих на поршни, най-
дем № Следовательно,
kSi
п _ л______—(г —Y
Утах Л	2k\ Si)‘
Максимальное увеличение температуры газа произойдет
при адиабатном процессе. В этом случае Q = 0,а измене-
ние внутренней энергии газа ДС/тах определяется тем же
выражением, что и для Qmax- Следовательно,
Т т1 I ^^гпах гр ,	I / S2 ,2
1 max “ I 0 + —---— = I 0 + г-=- А-------[F —	,
3 vg	3vR 2k \ S, / J
где v — количество газа в сообщающихся сосудах.
92
снользуя уравнение Менделеева — Клапейрона, по-
Ttnan —



Ц‘
2 ( .	F2S22
------ А------------
3p0V0 I 2kS2
То.
\ >50. В.ходе процесса 1—2 объем газа не изменялся
-(см. рис. 27). Следовательно, работа, совершенная газом,
«= 0. Давление газа возросло, значит, его температура
.'повысилась; Это означает, что газ получил от нагревателя
^ некоторое количество теплоты Q12 = ДТ/12, где Дб/)2— из-
1ение внутренней энергии газа в результате процес-
процессе 2—3 газ совершил работу A.^^p^V^—V^).
аие газа не Изменилось, его" объем увеличился. Это
НО только при повышении температуры газа. Сле-
зно,он получил от нагревателя какое-то количест-
ВШп-ЛОТЬ* Си = ^И + Д^23-
Процессе 3—4 объем газа не изменялся, работа
Давление уменьшилось, значит, температура газа
^Зйлась. Газ отдал холодильнику некоторое количест-
Веплоты Q3l — A3i + Д7734.
^Процессе 4—1 газ был сжат, его объем уменьшил-
Н* давление не изменилось. Значит, температура газа
Дались, он отдал холодильнику некоторое количество
Qu = Л41 4- ДUa, где = pj. (Vi — V2) —• работа,
рф^ршенная газом. Эта работа отрицательная (Vj < V2),
.что'соответствует положительной работе внешних сил по
газа.
?' у Работа, совершенная газом за весь цикл, А = Л23 4-
= (Ра “ Pl) f^2 Р1)- Теплота, полученная от нагре-
41Шгеля. за весь цикл, Q = Qt2 + Q23 = Л23 4- Д(/13, где
'Фи Я (Т3 —7\) =	(p2V2 — p^i) — изменение вну-
тренней энергии газа при переходе из состояния 1 в со-
стояние 3.
Тогда
-
(pg — Pl) (Vg—V1)
3
Pi Уз— Vi)4-	(Ра^а — PiVj.)
- 151. Учитывая,-что точки 2 и 3 лежат на одной изо-
терме, для КПД получим (см. задачу 150) значение
93
з
л. + л., = -nV°-”>V° _ j_
Д1/1г + Л23 з	3	6
— PoVo + “PoVo
Т ~_Т 
Максимальный КПД т)тах =  1пах ——", где Ттах и
Т'тэх
T’min соответственно максимальная и минимальная темпе-
ратуры газа в реальном цикле.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона и рисунка 28
следует, что газ имеет минимальную температуру в состо-
янии 1, причем Tmin = ^2. Температура газа была наи-
vZ?	•
большей в процессе 2—3, где функция зависимости тем-’
пеоатуры от объема T(V) = (3---—— имеет максимум
\ VJvR
3
при V —— У0(см. задачу 125). Следовательно, Tmi*.=
= Тогда = 0,3.
4vR	Л max
152.	Зная КПД т]= —, найдем массу сгоревшего топ-
qm
лива m = —. Норма расхода топлива на весь путь
Ч<?
то = — а. Тогда масса сэкономленного топлива Лт =
So
•	mas Nt п ~
то— tn — —--------— 9,6 кг.
So 47	'
153.	Сильно разреженный воздух не может передать
спутнику (ракете) то количество теплоты, которое необхо-
димо для его нагревания и плавления. -
154.	Калориметрическим способом. Удельная теплоем-
кость алюминия почти в два раза больше удельной тепло-
емкости . Железа. Можно также использовать различие
упругости, магнитных свойств шаров и др.
155.	Если q—’количество теплоты, отводимое от во-
Q	Хт
ды в единицу времени, то = — =------------= 79 мин,
q	—
где Q «= кт — количество теплоты, которое необходимо
отнять от воды при температуре /0 = 0 °C, чтобы превра-
тить ее в лед при этой же температуре, т— масса воды,
к — удельная теплота плавления льда,, с — удельная теп-
лоемкость ЕОДЫ.
94
156.	т = ~= 82 г,
X 4- Cj (/0 — t)
где г—-удельная теплота парообразования эфира, X —
удельная . теплота плавления льда, сг и с.2 —- удельные
теплоемкости воды и эфира соответственно.
157.	Максимальную (при насыщении) массу водяных
паров тн в сосуде найдем из уравнения Менделеева—
г	PuVM
, Клапейрона: тн = —----= 59 г, где ри = 1,01 • 105 Па-
рт'
давление насыщенных водяных, паров при температуре
t = 100, °C, V — объем сосуда, Т = 373 К — температура
пара.
Из неравенства тн < т следует, что испарится не
вся вода. •*
158.	Нет, не будет, так как полное внешнее давление р
(давление на поверхности жидкости) больше, чем р0 =
= 1,01 • 105 Па, т. е. того давления, при котором вода
кипит при температуре i — 100 °C.
Действительно, в соответствии с законом Дальтона
Р = Pi 4- рн > Ро, где pi — давление воздуха, рн = р0 — дав-
ление водяных паров при температуре t= 100 °C.
159.	По закону Дальтона давление р = pi 4-р™ где
Pi — давление воздуха при температуре Т = 373 К, рн =
= Ро — давление насыщенных водяных паров при той жб
температуре. •
Учитывая закон Шарля р^Г = ptT0, найдем
р = (1 + —\ Ро = 2,38 • 105 Па. ‘
160.	Парциальные давления метана и кислорода до
реакции одинаковы и равны -у-. Следовательно, количест-
ва этих- газов также одинаковы. Обозначим количество
одного газа v.	.
Из уравнения реакции СН4 4- 2О2 — 2Н2О + СО2 сле-
дует, что после реакции половина метана, т. е. оста-
лась в камере непрореагировавшей. Парциальное его дав-
лений р4 =
Кислород израсходован полностью.
Количество, образовавшегося углекислого газа
Значит, его парциальное* давление р2 = -у-.
95
Количество полученной воды v. Если бы вся вода бы-
ла в виде паров, то ее парциальное давление было бы
— = 5,06 • 104 Па, что больше давления насыщенных
паров рн = 0,23 • 104 Па. Это означает, что часть водяного
пара сконденсировалась, а оставшийся пар имеет парци-
альное давление р3 = ра. Жидкая вода практически не
изменяет объем, занимаемый газом. Поэтому давление в
камере р = 4- р2 -F р3 = — -Ь рк = 5,3 • 104 Па.
2
161.	Относительная влажность смеси <р = — • 100 %,
;	Ро
где р — давление водяных паров в смеси, р0 — давление
паров при той же температуре, если бы они были насы-
щенными.
Аналогично для каждой порции воздуха влажность
<Pi = — • 100 % и ф2 - — > 100 %. Используя уравнение
Ро	Ре
Менделеева — Клапейрона для паров воды в каждой пор-
ции и во всей смеси plVl = — RT, pzV3 » — RT, pV =
м	м
= —'	гДе и mz — соответствующие массы
 л	,	фт VI "4— фо1^а
паров, М —молярная масса воды, получим<р =	4 *=«
= 46 %.
162.	Массу водяного пара, содержащегося в произволь-
ном объеме воздуха V, найдем из уравнения Менделее-
ва *- Клапейрона:
т _ М(Р1РнЛ т
1 . Rl\ • 100 % ’	2 RTi • 100 % ’
где М — молярная масса воды.
Разделив первое ^равенство на второе, получим — =
ЪР-Лг'т\
Следовательно, масса водяных паров в июле месяце '
больше, чем в ноябре.
163.	Величина А/п = ш2 — mlt где — масса паров
воды в воздухе в помещении, т2 — в воздухе, забираемом
с улицы. Уравнение Менделеева — Клапейрона для. этих
паров запишется в виде:
p,V, = -^RT*
96
где pi и р2 — давления водяных паров в воздухе в поме-
щении и на улице соответственно, V2— объем воздуха,
забираемого с улицы для получения объема V кондицио-
нированного воздуха, М молярная масса воды.
По закону Гей-Люссака (атмосферное давление в поме-
щении и на улице одинаково) V • Т2 = V2 - 7\.
> Здесь мы пренебрегли некоторым изменением количес-
тва воздуха за счет увеличения в нем водяных» паров.
Допустимость такого приближения видна из сравнения
соответствующих давлений: атмосферного ~ 105 Па и во-
дяных паров (даже при насыщении) — 103 Па.
Л4У /	\
Тогда кт =----- -- Н1 ' Нг = 7 • 102 кг. -
/??х \ юо %	1
164.	фа = |'1 + ^')ф1«82 %;
k , mJ
165.	Кубическая ячейка NaCl состоит из четырех
ионов Na+ и четырех ионов С1_, находящихся в ее вер-
шинах. Каждый из ионов входит в состав восьми ячеек.
Поэтому в кристалле число кубических ячеек равно сум-
марному числу ионов Na+ и С1~. Следовательно, в 1 моль
соли содержится 2Na ячеек (Na— постоянная Авогадро).
Объем, занимаемый одним молем соли, V « —.
_____	_____ Р
Тогда а = 1 К v . = I м «= 2,8 • 10~10 м.
166.	Определим максимальную массу баллона, который
еще будет разрушен находящимся в нем газом: /Пх = рУ,
где V — 4№d — объем материала, из которого сделана
стенка баллона, г — радиус полости внутри баллона, d —
толщина стенки.
Разрушающая баллон сила F лг2р ==. oS, где р =
— 3vRT — давление газа в баллоне при температуре Т,
4пг®
S = 2nrd — площадь поверхности разрушения.
3vRT п ~	3vRT „
Следовательно, mt «-------р. Тогда m > —— р,
2<т	2а
Электричество и магнетизм
167.	Могут, если заряды расположены на проводящих
протяженных телах, и величины зарядов заметно различа-
ются. Вследствие электростатической йндукции на бли-
жайших друг к другу поверхностях тел- соберутся заряды
97
противоположных знаков. Их взаимодействие будет опре-
деляющим.
 „ _ I / (2z. -|- г,,) hemN. \а	.
168.	F9 =------ --- -— -------— = 4  10~4 Н, где
4ле0 \ Mr •	/
?! и ?, — порядковые номера водорода и кислорода в таб-
лице Менделеева, е — заряд электрона, Na— постоянная
Авогадро, М — молярная масса воды, е0 — электрическая
постоянная. F3: Fr = 4 • 1016.
169.	е = tg S1'n2 Kt
tg cc2 sin® a/
170.
V Q-Qi
171.	Период малых колебаний гантельки можно опре-
делить как период колебаний математического маятника
I	f I	еЕ
длиной Т = 2л 1/ —, где ускорение а = —.
' Тогда Т = 2л 1 f ~ = 10-11 с.
V 2еЕ
172.	Из рисунка 99 следует, что cosa= 1 — -у-.
По закону сохранения и превращения энергии
— - qta. Тогда a — arccos 1--------= 60 .
2	\ qE 1/
173.	Из физических соображений следует, что напря-
женность Е должна зависеть от величины р и расстояния
г от нити до точки, в которой определяется напряжен-
ность. При этом с увеличением р должна увеличиваться
и напряженность Е и, наоборот, с увеличением г напра-
женность Е должна уменьшаться. Поэтому функциональ-
ную зависимость Е — £(р, г) следует искать в виде:
г- 4 pa	k	, ,
Е = — -£-—, где------коэффициент пропорциональности, в
е0 , е0
котором выделен множитель —, поскольку задача реша-
ло
етея в единицах СИ, аир — неизвестные показатели
степени.
Найдем наименования левой и правой частей записан-
н ... Кла • н • м2	,
ного равенства: — = [я] -----------. Отсюда a = 1 и
Кл	мам₽Кл2
Р = 1, А — безразмерный множитель.
Следовательно, Е — k —.
-	ЕдГ
98
Рис. 99
Если заряд нити положительный, то вектор Е направ-
лен от нити, если отрицательный, — то к ней; в обоих
случаях (из соображений симметрии) он направлен по
прямой, перпендикулярной к нити и проходящей через
точку, в которой определяется напряженность.
174.	Точка расположена на прямой, соединяющей за-
ряды; от второго заряда на расстоянии
г = ?2 + К|?1|-?2 г = 2 м.
|<7il — <?2
175.	По закону сохранения и превращения энергии
l^-=qq,v№ хр—-потенциал поля в центре кольца. Потенциал
найдем, используя принцип суперпозиции полей; Мыслен-
но разделим кольцо на очень малые участки, заряды AQ
на которых можно считать точечными. Тогда потенциал
поля в центре кольца, созданного одним зарядом AQ,
Аф =
4neeR
По принципу суперпозиции хр = —-—.	Тогда v =
________ 4nCoR
= 1/" - - .
V 2ле0т/?
176.	Начало координат поместим в центре кольца, ось
X направим по его оси (рис. 100). Мысленно разделим
кольцо на столь малые участки, чтобы заряды AQ на них
можно было считать точечными. Тогда напряженность
поля в точке А, созданного одним зарядом AQ, ХЕ =
—
— 4Л80{№4-/12) ‘
99
Рис. 101
Из соображений симметрии следует, что напряжен-
ность Е направлена вдоль оси X и вклад в нее дают
только проекции векторов Д£ на ось X Л.ЕХ
Знак плюс соответствует значениям х> 0, а знак минус—
значениям х < 0.
По принципу суперпозиции Е = ±~.
4ле0(/?2 + й2)3/2
В центре кольца й = 0 и Е = 0.	-
' 177. Вследствие электростатической индукции на внут-
ренней поверхности металлической оболочки сосредоточится
отрицательный заряд Q2, а на внешней — положительный
Q3 (рис. 101, а). Оболочка в целом электронейтральна,
поэтому |Q2| = Qa. Эти заряды не точечные. В силу сим-
метричного расположения заряда Qt и оболочки индуци-
рованный заряд Qa будет сферически симметричным, т. е.
равномерно распределенным по поверхности сферы радиу-
са г. Заряд Qa распределен равномерно по поверхности
сферы радиуса R.
Покажем, что |QJ «= Для этого по принципу супер-
позиции определим напряженность поля внутри оболочки,
например в точке С: Ес = Е1С 4- Е^ -Ь Е3с, где Е1С, Е.^ и
Е^ — напряженности в точке С полей, созданных заряда-
ми Qx, Q2 и Q3 соответственно.
Заряд Qi точечный, следовательно Е1С = ———. На-
4ле04
100
правлен вектор Е1С радиально от центра оболочки (так
как заряд Qx положительный).
Для определения величины Е2с учтем, что сферически
симметричный заряд, например, равномерно распределен-
ный по поверхности шара • (или сферы), вне' этого шара
(сферы) создает такое же электрическое поле, как и то-
чечный заряд той же величины, но сосредоточенный в
центре шара (сферы). Следовательно, Е2С =	_где
4ле0г£
г с — расстояние от центра оболочки до точки С. Направ-
лен вектор Е2с радиально к центру. оболочки (так как
заряд Q2 отрицательный).
Напряженность Е3с = 0, так как любой неподвижный
заряд, расположенный на металлической поверхности,
внутри этой поверхности электрического поля не создает
(поля, создаваемые всеми элементами поверхностного за-
ряда, компенсируют друг друга).
• Тогда Ес^Е^-Е^Я1-^-.
С другой стороны, Ес = 0 (поле внутри проводника
отсутствует). Следовательно, |Q2| = Qv
Аналогично, применяя принцип суперпозиции полей в
точках А и В, найдем Еа = и Ев = —. Напра-
4леога	4лв0Я*
вления этих векторов указаны на рисунке 101, а.
Из решения задачи следует, что сферическая проводя-
щая оболочка не изменяет электрического поля централь-
ного заряда. Это утверждение относится к полю вне
металла оболочки. Поле в толще самой оболочки (внутри
металла) отсутствует.
Картина силовых линий поля изображена на рисун-
ке. 101, б.
Можно показать, что вне оболочки поле останется
прежним при 'произвольном расположении заряда Qx внут-
ри^эболочки.
178. Напряженность поля Е в стекле определим как
суперпозицию двух полей: Е ~ Е& — Еа, где Ео = еЕ —
напряженность поля свободных зарядов обкладок конден-
ст
сатора, Еп = —. — напряженность поля, созданного поля-
Е0
ризационными зарядами, расположенными на. поверхностях
стекла.
101
i-
IL-
Тогда с учетом того, что Е ~ —,	получим оп =
d
-	= 1,3 - 1 о—5 Кл/м2.
d
£r>S
179.	Первоначальный заряд конденсатора Qj = --------.
d
Заряд конденсатора после выдергивания пластинки Q2 =’
Л*
= ——Заряд, прошедший через баллистический гальва-
d
нометр, Q = Qt — Q2. Тогда е = 1 +	« 6.
е0/г<8
'180. Электрические заряды на шарах Qi и Qa будут
в равновесии при равенстве потенциалов шаров: срх = <р2-
Учитывая, что <Pj = k—, <р2 = k—, Qi = и Q2
J?1	/?2
— 4л7?2Ог2» получим — = —, т. е. при равновесии (при
а2 /?1
равенстве потенциалов) поверхностные плотности зарядов
обратно пропорциональны радиусам шаров Вот почему
на остриях, где радиус кривизны поверхности очень ма-
ленький, скапливаются большие электрические заряды.
181.	В воздухе заряды на шарах Qt — 4лад/?1 и Q2 =
= 4neoq>7?2. Пусть после погружения первого шара в ке-
росин установился потенциал ср'. Тогда Qi = 4л£о£ф и
Q2 = 4ле0<р /?2. По закону сохранения зарядов
Qi + Qz — Qi 4" Qz*
Тогда Qi =	= 1,2 • 1CTS Кл и Q'2=
__ 4ле0<р7?а (/?! -|- J?a) _ g . IQ—9 Кд
zRi H-
182.	Ошибка в предположении, что ток должен течь
от мест, где заряд отличен от нуля, в места, где он ра-
вен нулю. Условие существования электрического тока
состоит в наличии разности потенциалов. На внутренних
и внешних поверхностях сфер потенциалы одинаковы. Ток
будет течь только.в начальное время, пока потенциалы
сфер не выравняются, что осуществляется практически
мгновенно.
183.	Пусть Qj заряд шара. Вследствие электро-
статической индукции после заземления оболочка приобре-
тет заряд Q2 = — Qx.
Потенциал шара ф будет складываться из потенциала
Фн обусловленного собственным зарядом и потенциала
102
Ф2, обусловленного наведенным на внешней сфере заря-
дом Q2. Потенциал фх =	. Для нахождения потенциа-
4лео/?!
ла ф2 представим себе уединенную металлическую сферу,
заряженную .зарядом —‘Qv Напряженность поля внутри
такой: сферы равна нулю. Следовательно, перемещение
пробного заряда внутри сферы не требует совершения
работы. Это означает, что потенциал внутри сферы посто-
янен и равен потенциалу самой сферы, т. е. фа =
-_______&_
4ле0/?а
Тогда ф = Ф1 + ф2 = Ф1 f 1----^-1
\ /
184.	Заряд Q-2 = 0, a Qi +, Q2 == 4ле0 (q>x/< + ф2Я2),
где Qi = йлеоф]^/?! и Q2 = 4л£0ф2/?2 — заряды шаров до их
»-г	'	'
соединения. Потенциал <pi = ф2 = т -	—
Ri
185.	По принципу суперпозиции потенциал внутрен-
ней сферы после заземления Ф = Фх + ф2, где фх =
— —— — потенциал, обусловленный зарядом внешней
4ле0/?г
сферы, Ф2 = —--------потенциал, обусловленный зарядом,
4ne0R1
наведенным на внутренней сфере (этот заряд и протечет
через гальванометр).
С другой стороны, в результате заземления потенциал
Ф = 0. Следовательно, Q' — ——Q — —5 • '10~9 Кл.
^2
186.	Нет, не равноценны (см. задачи 177 и 185).
, о_ ~	at*	QE
187.	Отклонение п =—, где а = --------ускорение час-
2	пг '
тицы массой т и зарядом Q в поле конденсатора напря-
, женностью Е (рис. 102). Время движения t = —,	где
Ро
s — произвольно выбранное расстояние вдоль оси X. Ско-
рость и,,, с которой частица влетает в конденсатор, най-
дем из закона сохранения и превращения энергии:
ЛК»?
Q£/=—г, где U — разность потенциалов разгоняющего
£s2
поля. Тогда = т- е- не зависит ни от заряда час-
тицы Q, ни от ее массы т, а полностью определяется
напряженностью поля конденсатора Е, расстоянием s и
103
разгоняющей разностью потенциалов U, которые одинако-
вы для всех частиц.
188.	Угол а — arctg — (рис. 103). Здесь vx—vQ и
vx
vy — проекции вектора скорости v на оси. координат при
вылете электрона из конденсатора. Величина — at, где
eU
а=-------ускорение движения электрона, е — его заряд,
md
т — масса электрона, t — —------время полета электрона в
1>о
конденсаторе. Тогда
eUl
mdvq
d = arctg
189.	Отрицательно заряженная частица пролетит барьер'
при любом значении скорости и0, положительно, заряжен-
2 2Q<p
. ная—только при условии:-Это следует из за-
т
кона сохранения и превращения энергии.
При вылете из системы сеток, независимо от знака
заряда частицы, ее скорость и — и0. Причем для отрица-
тельной частицы скорости vOt на входе и выходе из барье-
ра являются минимальными на всем пути пролета, а для
положительной — максимальными. Поэтому время пролета
барьера t в первом случае меньше, чем во втором (при
одинаковых для обеих частиц начальных скоростях и0).
Все приведенные выводы не зависят от местоположе-
ния средней сетки.
190.	По закону сохранения и превращения энергии
йх® = F • х, где х — смещение пластины конденсато-
ра (рис. 104).
104
Сила F является результа-
том действия поля одной пла-
стины ^его напряженность Ег =»
1 и \	_
~ — 1 па заряд другой пла-
стины	е. F=Q ♦ Et.
« e0SU2 8oSt/s
Тогда k = —— > -т------,
xd2 d3
Этот же результат можно получить, записав закон сохра-
нения и превращения энергии в виде:-у kx2 — Sxiv, где w =
= — е0£2 =	— плотность энергии электрического по-
ля конденсатора.
191.	Заряд большой капли Q-*qN, где q » 4тсе(/-ср1 —
4	O	n
заряд маленькой капельки. Потенциал	, где R—
4Л8О₽
радиус большой капли. Из условия постоянства объема
ртути следует, что — М. Тогда	.
Sb——
Плотность заряда а — —-— =
5	4ле0/?а г
Изменение электрической энергии при соединении ка-
пелек AF = фр — Л^7Ф1 = 4лрогМф? (j/Tv7 — 1). Отсюда
видно, что AW7 > 0, что и следовало ожидать, так как для
соединения одноименно заряженных капелек внешние силы
должны совершить работу.____
192.	— l 1 4-1 f 1 — -‘Uhi и /а° — X
2 V К F /	а 2
X (i — j/* 1—	"0,4 м.
193.	Мысленно на участок CD (см. рис. 86) подадим
постоянное электрическое напряжение. Потенциалы точек
А и В будут одинаковы. Поэтому в резисторе R между
этими точками ток течь не будет. Этот резистор не вно-
сит вклад в общее сопротивление цепи: его можно убрать.
Тогда /?х = R.
5
194.	Мысленно между точками А и В (см. рис. 105)
подадим постоянное электрическое напряжение. Тогда пол-
ный ток в цепи АВ I» 2/г4- /2, где /а — 2/а. Напряже-
105'
ние на участке 'АВ можно найти двумя способами: 2/\<R ==
= 2(4 + /3) Я Тогда R. =	= 4-Я
Задачу можно решить путем замены схемы каркаса
куба эквивалентной схемой.
195.	Расчет начнем вести с'конца цепочки. Увеличивая
число подсоединений вида
fyU подсчитывая каждый
раз сопротивление цепи, в пределе получим R — 2 Ом.
196.	В случае участка цепи 1 точки входа и выхода
тока, а также все сопротивления расположены симметрич-
но оси ас (рис. 106, а). Поэтому точки а, & и с, лежащие
на этой оси, имеют одинаковые потенциалы и их можно
соединить в одну (сопротивление току останется прежним).
Тогда Я = 4" Я
В участке цепи 2 осью симметрии является ось 00
(рис. 106, б). Точки а, b и с имеют одинаковый потен-
циал, их можно разъединить. Тогда Rt = 4- R.
5
' Во втором варианте участка цепи 2 ось симметрии ас
(рис. 106, в). Точки одинакового потенциала а, b и с мож-
но соединить в одну, убрав проводники аЬ и Ьс. Тогда
4
106
Рис. 108
Участок цепи 3 можно
(рис. 106, г). Тогда —
6
Во втором варианте участка
197. Неодинакова. В узкой
жецность больше.
198. t/i = —= 108 В,
т?1 $2
заменить эквивалента ым
цепи 3 7?г = — R.
15
части проводника напря-
... RiU = 72 В,
7?1


/?1 (2Р2 + J?3) и  в и R1 (2^1 +Кз) и
47?i1?2 4" 7?з (7?i + 7?г)	4.R1R2 ~Ь 7?з (7?i -р Т?2)
= 81 В,
7?з — Т?2 = 4,0 кОм, 7?з = 7?! = 6,0 кОм.
199.	Если ток I подводить к узлу А, а отводить в
бесконечности, то из симметрии следует, что по провод-
нику АС будет течь ток — (рис. 41). Если ток I подво-
дить к сетке в бесконечности, а отводить в узле С, то по
проводнику АС также будет течь ток —. Тогда при под-
4
ведении тока 1 в узле А и отведении такого же тока в
узле С по проводнику АС будет течь суммарный ток
(1 = Л. .
200.	Удобно схему,, представленную на рисунке 42,
заменить эквивалентной (рис. 107).
Л = ^=0,16 А, /,= ^- = 0,10 А, /,=^.= 0,14 А.
5R	к	5R
201.	По закону Ома t/j = (7?л 4- 7?), U2~
7?v +7?
107
.при этом Ut — Z2Z?2 + Тогда R	—~=25,3 Ом;
•1 ‘i ‘i
д 0,2 Ом; Rv = -^-(1 — -Ml —
/»	/#-/Д /Д uJ)
«= 496 Ом.
202.	Ток — где It = В (C7X + t/2)\ Z2 =
= B(U} — Z/2)3 — токи, текущие через варисторы. Тогда
Ia^BU^.
203.	Первоначальный заряд конденсатора дг = CjfZj =
»= e°S/—, где S— площадь пластины конденсатора, rfj — пер-
воаачальное расстояние между пластинами, Z2— ток, теку-
' щий в резисторе сопротивлением R.
По закону Ома Zx = ~f где — ЭДС источника тока.
Тогда 71
• После включения в цепь дополнительных резисторов
ЗВло & j
заряд конденсатора <?2«	, где аг — новое расстояние
4d2
между пластинами конденсатора.
Из равенства зарядов = дг следует, что — = 1,5,
т. е. расстояние между пластинами конденсатора нужно
увеличить" в 1,5 раза.
204.	Можно собрать две цепи (рис. 108, а и б). Если
Zx и Z2— токи, текущие через амперметр в этих случаях,
то Rx=h-R
205.	Ток I будет определяться величиной заряда, еже-
секундно стекающего с обкладок конденсатора: Z == (о2 —
~~o2j So, где ог = еое: — и о2 = е0 ——поверхностные пло-
d	d
тности заряда на обкладках конденсатора при -наличии
стеклянной пластинки и без нее соответственно; е — ди-
электрическая проницаемость стекла. Тогда I =в£(е~
d
206.	Вначале необходимо выяснить, течет ли ток через
фотоэлемент. Предположим, например, что не . течет (см.
рис. 47). Тогда потенциал точки К (катода) ниже потен-
циала точки М на 100 В, т. е. ф* = — 100 В. Потенциал
точки А (анода) ниже потенциала точки В (точки Л4) на
р р
величину -ъ-г 5~	67 В, т. е. <рл « —67 В. Следователь-
А1 “Г *Х8
108

электроны,
но, потенциал анода выше потен-
циала катода. Значит, ток через
фотоэлемент должен течь (предпо- ।----
ложение оказалось неверным). I
Обозначим токи и выберем для
них направления 6 отдельных уча-	|	]
стках цепи (рис. 109). Тогда
по правилам Кирхгофа Д = /0 + Д, Рис- 109
<S i == A/?i + L/» <§г-ГЛ +
 Отсюда	-27 В.
207.	Пусть продолжительность удара Д/. Тогда при
торможении образца е ускорением а «
Г продолжая двигаться по инерции, приобретут относитель-
; но проводника ускорение — а. Такое же ускорение элек-
^тронам можно сообщить электрическим полем напряжен-
? Юностью Е = (т не — масса и заряд электрона), т. е.
2 2 если создать на концах образца напряжение U E-L
(L— длина образца). Тогда ток в образце	где
Я =	— сопротивление образца. Следовательно, заряд
£	Д<? — /А< -
k 208. Задачу можно решить аналогично предыдущей,
но мы используем другой метод — энергетический.
При остановке катушки свободные электроны в метал-
ле будут двигаться по инерции до тех пор, пока их ки-
нетическая энергия, обусловленная вращением катушки, не
превратится в тепло: -^nSL =	где т — масса
электрона, o = wr — линейная скорость движения прово-
локи, п — концентрация свободных электронов, L — длина
проволоки, R = р-|—ее сопротивление, Ц-----средний ток .
В проводнике за все время торможения. Ток в начале тор-
можения I = envS, где е — заряд электрона. Тогда заряд
ДО =
ер '
209.	Отношение падений напряжений на лампочках
и2	, х,
рр- = — =jA 1. Следовательно, включать лампочки нельзя:
109

Рис. ПО
одна из них будет гореть с перекалом и может перегореть.
210.	л =« 1 —с-?~ ~ 0,4, где с — удельная теплоем-
кость воды.
I ~ 4pCffl (ioo° —/) '♦ где с — удельная теплоемкость
воды, р — удельное сопротивление никелина.
212.	Работа, совершенная при поднятии плиты в воде,*
At =	= Fh, в воздухе, — Д2 = г1^— = mgh, где т =
= рИ — масса плиты, (р — плотность железа, V — объем
плиты). Учитывая, что F = (p— Po)gV, где р0 — плотность
годы, найдем Л -и /, =
213.	Заряд пучка Q = It, где / — ток в пучке, t~
= ——время пролета электронами со скоростью о рас-
стояния L.
гт	mv2
11о закону сохранения и превращения энергии -j- =
= eU и IU — Р, где т — масса электрона, е — его заряд.
Тогда Q =	= 8,4-10-’ Кл.

214.	На рисунке ПО, а и б приведены эквивалентные
схемы, соответствующие обоим случаям. 9 первом случае
мощность Pi — U*(— 4- —	— V во втором — Pg —
\ Ri Rt Rs I
Ui
= - D , '"в", d > где U — напряжение на клеммах.
Al ПТ Л1 T" АЗ
Тогда (j?1 + ^ + ^з)	= I0/ T &
мощность уменьшится в 10 раз.
215.	В первом случае тепловая мощность Рх =
=	где — ЭДС источника тока.
110
После включения перемычек тепловая мощность Р2 =*
(/? + Зг)*-
Из равенства = Р2 следует, что г =* R.
216.	Полезная мощность не изменится, если ток в це-
пи  останется прежним. Следовательно,	=*
= ’ д, , где (g — ЭДС одного элемента. Отсюда R —
= 45 г. •
217.	Масса выделившегося при электролизе никеля
m = klt = pS/г, где k — электрохимический эквивалент ни-
келя, р —его плотность, / — ток, проходящий через раст-
вор при электролизе, t — время прохождения тока, S—•
площадь пластинки, h — толщина осевшего слоя никеля
за время t.	,
~	, h k / k .
Тогда ft. =
218.	Q = —1	/, ffi = fe 71 7а I, где k — электро-
химический эквивалент меди.
219.	По закону сохранения и превращения энергии
W. ~ Ек= eEL, где Ек—кинетическая энергия электрона,
₽ и
е—его заряд, Е= — напряженность электрического поля.
Тогда № =	= ЗЛО-18 Дж.
220.	Частица движется по окружности (рис. 111) под
действием силы Лоренца F — QvB = Если- радиус
ркружности R то произойдет «отражение» частицы.
Следовательно, v^~~> а ^шах=-^-- Из рисунка 111
видно, что sin а = Тогда при v = 2ymax а arcsin-^ =
Л	V
= 30°.
221.	Траектория частицы будет прямолинейной при. ус-
ловии: еЕ = evB, где е — заряд частицы, v — ее скорость,
Е — напряженность электрического поля, В — индукция
магнитного поля.
£
Отсюда v =	= const, т. е. скорости любых частиц,
пролетающих селектор прямолинейно, одинаковы (откло-
ненные полями частицы устройство не проходят, поэтому
оно и называется селектором).
111
Тогда	и Ер — ^Ее = 1836 Ее.
се те	mf
222.	Предположим, что вектор напряженности электри-
ческого поля Е направлен вертикально вниз, а заряд ша-
рика положительный (рис. 112). Тогда по второму закону
Ньютона в проекциях на оси координат 7\ cos а = Fe Н- mg,
Ту sin а = Fm + ma^R, где Тх—сила натяжения нити,
Fs = QE — сила, действующая на заряд шарика Q со сто-
роны электрического поля, Fm — QwRB— со стороны.маг-
нитного поля, w — циклическая частота вращения ша-
рика.
В случае отсутствия полей Т2 cos а = mg, T2s in а =
= maPR. Тогда — = 1 +	= 1 + —. Отсюда Д- = —.
• Т»	mg ' mco	B oj
О	•
Из чертежа tg а = —из уравнений движения
tg а = Следовательно, — = У
Случай отрицательного заряда шарика, а также на-
правления вектора Е вверх предлагаем читателю рас-
смотреть самостоятельно.
223.	Тепловая мощность Р--^~, где & — п8~ —
R .	&.1
ЭДС индукций, возникшая в витках проволоки; S = яг2 -г
площадь поперечного сечеция катушки.
Тогда Р =	(— V = 1Вт,
/? \ д/ /
112
— — скорость
dB
поперечного се-
возникает ЭДС
площадь, сометае-
Тогда ток в перемычке
Заряд конденсатора Q = ппг2С— « 3 • 10-4 Кл.
д/
224.	Тепловая мощность Р = PR, где 7 — ток в цепи
При движении проводника (в данном случае жидко-
сти) в магнитном поле на его концах (в данном случае на
пластинах конденсатора, они играют роль клемм генера-
тора) возникает ЭДС индукции g — vdB. Тогда по закону
 л г vdB	d
„Ома I  -----, где г = р—- — сопротивление	жидкости
i, R + г	S
^(внутреннее сопротивление генератора).
Г Тогда	fa
V RS + pd }
225.	Объем жидкости V~ptS, где v =
с псР
движения жидкости, S =---------площадь
? '	.4
чения трубопровода.
Тогда V =	= 3,5 м’
•;	4В
226.	При вращении перемычки в ней
_ SAS . о шг,Д/
индукции £ = 	, где AS =
Дг
мая» перемычкой за время А/.
7 _------------------- = 3 мА.
\	Al -f" AJ /
227.	Задача аналогична предыдущей. Здесь движу-
щимся проводником, входящим в состав цепи, является
радиальная часть диска между точками А и D(cm. рис 54).
ЭДС индукции не зависит от вещества проводника и его
сечения, ее величина
. Если пренебречь сопротивлением участка AD по срав-
нению с сопротивлением R, то теплота Q-= —~—
228.	Из симметрии следует, что /а = 0 и = /в = /.
По закону Ома
где Sa —ЭДС индукции, возникшая в кольце, 5 =
«= лг2 — площадь, охваченная кольцом; 7? «я 2лгр — сопро-
тивление кольца.
5	'♦Зак. 3800	ИЗ
f F-.	.
I . fe- -	.  _ .
Rt J3 ' Тогда
I 1	/ = -?’
2p
Tj U j[ | >	229. Эквивалентная cxe-
--------1— -------' i ма представлена на рисунке
Рис. 113	ИЗ, где §1= А и £г = А2.
Направления ЭДС 51й 6 г
в соответствии с условием задачи могут быть различны-
ми, в схеме выбран один из вариантов (другие предлага-
ем читателю рассмотреть самостоятельно).
По правилам Кирхгофа
72 — Л 72/?2 — 6 2» 11^1 Ч" ^2^2 — €1*
Отсюда Д =	I - Л /
Ri 2 Ri	R1R2
АЛЛ Т»	**	f i?S cosot
230. Индукционный ток в контуре 7 =------------, где
jR
S — площадь, охваченная контуром, R — его сопротивле-
ние, а—угол между нормалью к плоскости контура и
направлением вектора индукции магнитного поля.
Ток 1 будет максимальным, когда площадь S будет
наибольшей,-сопротивление R— наименьшим, а угол а =
= 0°. Этим условиям удовлетворяет плоский контур в ви-
де окружности, расположенный перпендикулярно к векто-
ру индукции поля.
Пусть радиус окружности г. Тогда площадь S = яг2,
п I
сопротивление R — р —,
Si
где I — 2лг — длина
проволоки,
Sx — площадь ее поперечного сечения, р — удельное со-
противление меди. Масса проволоки т = где d —
-Т’	t	ktn
ПЛОТНОСТЬ меди. 1огда /тах =----------•
4.4pzf
Отсюда видно, что ток /тах не зависит ни от длины
изготовленной проволоки, ни от ее поперечного сечения.
' 1 '
231. Первоначальный ток в цепи 1 = аа2.где а —
сторона квадрата, R— сопротивление проволоки. Возможны
два вида изменения формы контура (рис. 114). *В первом
случае (рис. 114, а) ток в цепи Ц =	4)	, где дх
и а2— стороны двух квадратов. Учитывая, что а2 = а
И •— — л,
а»
получим
/
Л
(1 + 6)2
I ф и*
, т. е.
114
Рис. 114
(» + *)»
14-
Следовательно, ток в цепи уменьшится в
Минимальное значение тока Л = — при
раз.
когда
At = а2, т. е. когда квадраты одинаковые.
Во втором случае (рис. 114, б) ток в цепи /2 =
= а (af —	- - «а2 —А	-—- В зависимости от значения
v R R k+l R
коэффициента k этот ток может быть как положительным,
так и отрицательным, т. е. течь в двух возможных на-
правлениях. В частности, ток /2 может быть равным ну-
лю (при k= 1, одинаковые квадраты); в этом случае ЭДС
индукции, возникшие в двух квадратах, точно компенси-
руют друг друга.
г>	, / А 1	I Г I т
Величина— = —1, т. е. |/2|<;/.
It А — 1
А4- I
Во втором случае ток в цепи уменьшится в ——
раз.
232.	Площадь, ограниченная проволокой, изменяется
равномерно. Поэтому ЭДС индукции <§ и созданный в
контуре ток I в течение всего времени t вытягивания
контура будут постоянными. Тогда заряд Q =s It. Ток
где Ф=—-—В — магнитный поток через по-
верхность, ограниченную кольцом. Следовательно,
0= яР*й
4 4R	,
233.	Электроемкость С —	== 1 • 10-«Ф.‘
При значении t — О ток I — 0. Следовательно, в на-
чальный момент времени вся энергия сосредоточена в по-
ле конденсатора.
234.	При вращении рамки в ней возникает ЭДС ин-
дукции е ~ BSo>sin<o/, где gm — BS(o— максимальное ее
значение.
115
о	, 2лМ
За время t —----- в
<0
_ Q = —L t =
2Д
рамке выделится теплота
л<вВ*^ 0 7 Дж.
R
235.	Напряжение в сети U — Ums\n — t, где Т — пе-
-риод колебания напряжения.
7
В течение одного полупериода, т. е. за время ~,
произойдет одно зажигание лампочки и одно ее гашение.
Определим, сколько времени
колебания до этих моментов:
да Т и /а = -5-Т.
1	12	2	12
и /4 пройдет от начала
sin — t — — ~	. Отсю-
Т	2
Следовательно, в течение полупериода ^времени
продолжительность горения лампочки Д/х =/2— tt =
_ 2 I Т\
~ 3 \ 2 )'. -
Тогда за любое время т, содержащее целое число по-
лупериодов, продолжительность горения лампочки Д/ =
-2
— — т = 20 мин.
3
236.	— = tg2 —/х = 3.
Г9 s Т 1
Тепловая мощность Р = -у-, где
делившаяся в резисторе Rx за период Г.
лившаяся за время одного полу периода, — Qx =
U
237.
Q —теплота, вы-
Теплота, выде-
£!. т
R1 ’ 2 ’
за время второго пол у периода — Q8 = .	..	.
\4* /?2 4" /?3 /	2
Тогда Р =	= £.7_L _|_ _—5 = 3 Вт. .
т 2 \ Ri (7?14* Rt + Кз)*/	.	-
238. Длина волны А, = v0T, где v0 — скорость распро-
странения электромагнитных волн в воздухе, Т — период
электромагнитных колебаний, совпадающий при резонанс-
ной настройке с периодом собственных электрических ко-
лебаний в колебательном контуре.
По формуле Томсона Т — 2л J^LC, где L — индук-
тивность катушки контура.
11S
По закону сохранения и превращения энергии I/L ==
= где-?> = -2-. Тогда X =
1тах п п
Оптика и квантовая физика
239.	Геометрическое построение приведено на рисунке
115, где S —источник. света, Si и Sa —положения зайчи-
ка в некоторый начальный момент времени и спустя про-
извольное время t, П1 и па — нормали к зеркалу в эти
же моменты времени.
Из рйсунка следует, что угол поворота отраженного
луча р = 2а, где а = cat — угол поворота зеркала за то
же время t. Следовательно, v = — R — 2<oR.
240.	Для определения кажущегося местоположения
-точки А проведем из нее два луча (рис. 116). Пусть
один из лучей перпендикулярен поверхности пластинки,,
а второй падает на поверхность пластинки под углом а.
После преломления он выходит из пластинки под углом
р Лучи попадают в глаз наблюдалеля, и ему кажется,
что точка А занимает положение точки А'.
Из рисунка следует, что Н = h « h = hn =
tga sina
= 8 см.
/7	4	—
241.	— = п =—, где п — показатель преломления
h	3
воды (см. задачу 240).
242.	По закону преломления sina = nesinp, sina»
nMsiny и пжз!пу == па sinq>, где a — угол падения
луча из воздуха на поверхность пластинки и из воздуха
на поверхность жидкости, у — угол преломления луча в
жидкости, пв И пж — показатели преломления стекла и
жидкости.	•
Следовательно, <р = р, т. е. угол преломления остался
неизменным. Он не зависит от наличия промежуточного
плоскопараллельного слоя любого вещества. Легко обоб-
щить задачу на любое количество плоскопараллельных
слоев любых прозрачных веществ: ответ останется преж-
ним.
243.	По закону преломления sina = л* sintp (см. зада-
чу 242). Отсюда <р = arcsin
117
Рис. 115
244.	Мысленно разобьем слой жидкости в сосуде на
множество плоскопараллельных слоев (параллельных дну
сосуда), столь тонких, что в каждом слое концентрацию
соли, а следовательно, и показатель преломления можно
считать неизменяющимися. Получим многослойную плоско-
параллельную пластинку, в которой последним слоем бу-
дет воздух. Поэтому, используя вывод задачи 242, полу-
чим <р = а.
245.	По условию задачи на первую грань призмы (в
точке Л) луч света паДает перпендикулярно (рис. 117).
Поэтому в соответствии с законом преломления направле-
ние распространения света в стекле останется прежним.
Из рисунка видно,, что угол падения света на вторую
грань призмы (в точке В) равен <р, где ф —преломляю-
щий угол призмы, т. е. угол между двумя гранями приз-
мы, на которых происходит преломление луча.
Преломившись на второй грани призмы, луч выйдет в
118
Рис. 119
воздух. Угол преломления р при этом будет больше угла
падения ф. В результате луч света отклонится от перво-
начального направления распространения на угол 6 =
= р —<р.
Для определения угла р воспользуемся законом пре-
ломления света в точке В: nsincp = ship.
Для малых углов sin<p «<р и sinp « р. Поэтому пф = р.
Тогда 6 = (п — 1) <р = Г.
246.
б = (пф — пк )<р = 0,12°.
247.	Искомый угол б == л—у (рис. 118). Учитывая
закон преломления в точке В: siny = nsin2<p, найдем б =
= л — arcsin (nsin2q>) =; 149°.
248.	<p = arctg —.
п
249,	Искомый угол av= arcsin—, где п — показатель
п
преломления вещества призмы. По закону преломления
nsfn<p = sinp, где <р и р = ф + б — углы падения и пре-
ломления на второй грани призмы соответственно (см.
рис. 117).
 Следовательно, а0.= arcsin —— = 35®.
250.	Предположим, что можно. Тогда при угле паде-
ния (иа границе масло—вода), равном предельному углу
полного отражения р0, угол преломления У =-7-. По за-
кону преломления на границе воздух — масло sina =
— нм sin на границе масло — вода п№ siп ро = пи sin у=лв-
119
Отсюда sin а = пВч> 1, что невозможно. Следовательно,
наше предположение неверно. Требуемый угол а подобрать
нельзя.
251.	По мере удаления падающего луча от оси шара АВ
угол отклонения <р возрастает. Для крайнего луча, па-
дающего в точку С, он наибольший и равный 90° (рис. 119).
В этом случае угол падения 0 — 90°. Угол преломления
а = 45°, так как это соответствует минимальному значению
а (а значит, максимальному и), при котором еще удовлет-
воряетс^ условие задачи <р <1 90°.
. По закону преломления sin 0 = nmax sin а. Отсюда nmax =
= sinA. 1,4.
sin а
252.	Через световод пройдут только те лучи, которые
падают на границу раздела под углом <р, большим угла
полного отражения (рис. 120). Остальные лучи при каж-
дом отражении будут терять энергию вследствие прелом-
ления и к концу световода практически не дойдут. Гра-
ница освещенного пятна будет определяться лучами, иду-
щими под предельным углом полного отражения и выхо-
дящими из торца световода усамой боковой поверхности.
Для этих лучей sin <р = cos а == —. По закону преломле-
Л
ния siny — п sina. Следовательно, у= arcsmj/n2— 1.
Тогда, пренебрегая диаметром световода d, получим
D « 2L tg (arcsin V п2 — 1 ) = 5,8 см.
253.	Если точку В принять за предмет и воспользо-
ваться свойством обратимости лучей, то точка А будет его
120
мнимым изображением (рис.
121). По формуле линзы
1=1,1_
F I -|- f I
Тогда первое решение
h = 0.6F.
Второе решение /2 ==
— 1,5F соответствует дей-
ствительному изображению
и поэтому ответом данной
задачи быть не может.
254. Если точку А (рис.
122) принять за мнимый
предмет, то точка В будет
его мнимым изображением.
= —--------— и соотношения г = f -f-1 найдем два решения:
I,	= 3F и /2 = 1,5F.
255.	Если точку А (рис. 123, а) принять за предмет,
то точка В будет его мнимым изображением (рис. 123, а).
ГТ ж	1	1	1
По формуле линзы-------— —--------
Если для собирающей линзы точка С — предмет, то точ-
ка В — его' мнимое изображение (рис. 123, б). Тогда
— = —------—. Отсюда х =——= 15 см.
F х I	2r + F
256-	По формуле линзы (рис. 124)-------— = J----—
F d t
где d — F.
т л	^2 F f
Из рисунка также следует, что — =---------Следова-
j
тельно, D2 — 3Dt..
257.	d = —.
n	’
258.	Ход лучей показан на рисунке 125. Если точку
пересечения лучей на экране (точку Л) принять за источ-
ник и воспользоваться свойством обратимости лучей, то
точка В будет его мнимым изображением.
Тогда по формуле линзы ~- = -1-------L, Из чертежа
также следует, что —-— *=	= k, где Dt — диаметр от-
/ — I
121
верстия диафрагмы, Da — диаметр светлого пятна на экране
в отсутствие линзы.
Тогда F — kl.
259.	Ход лучей показан
на рисунке 126, а и б. Из
формул линейного увеличения
г2 = А и Гг = А а так-
d	d
, 1	1
же формул линз — =---------
F d
г*	1 1	*
лу,им
Величина Га< 1, изображе-
ние во втором случае умень-
Рис. 124	шенное.
122
260.	Из. рисунка 127, а следует, что — =
£>i	F
где I — расстояние от линзы до экрана.
Так как D2 — 4£>х, то I > F (этот случай и представлен
на рисунке 127, б. Из этого рисунка следует, что — =
Di
I__р I
-----== —— 1. Следовательно, D = Z?, — 2£>i = 14 мм.
F F
123
261.	Для того чтобы цилиндрический пучок лучей,
проходящих через систему, состоящую из собирающей и
рассеивающей линз, оставался параллельным, а его диа-
метр увеличивался, необходимо, чтобы он падал со сто-
роны рассеивающей линзы (рис. 128), Из чертежа сле-
F*	Ой	I	гч	*
дует, что —-= — = — где Di— диаметр пучка лучей,
Fi	Di	п
прошедшего через линзы, Ог —диаметр пучка лучей, па-
дающего на линзы.	
Fi
Отсюда = — = 40 см.
п
262.	По формуле линейного увеличения линзы — =
di
«= ~ и — где di и — расстояния от предмета
ft rfi А
до линзы, а и fa — расстояния от изображения до лин-
зы в первом и во втором случаях соответственно.
Из свойства обратимости лучей следует, что <4 =
и d2 — fv Тогда h =	= 12 см.
263.	Возможны два варианта: 1) предмет расположен
дальше фокуса (изображение действительное); 2) предмет
расположен между фокусом и лицзой (изображение мни-
мое). В обоих сдучаях увеличение одинаково и равно
г = А.
i
264.	Из решения предыдущей задачи следует, что линей-
ные увеличения обеих половинок линзы одинаковые: Fj=Г8=
-у, где F — фокусное расстояние линзы, I — расстояние,
на 'которое смещены половинки линзы от прежнего ее
положения.
124
Рис. 129
Следовательно, изображения будут одинакового разме-
на.
265.	Ход лучей показан на рисунке 129. Расстояние
1 = iSiSj-l- 2Н + г.
Из подобия треугольников Л15Л и NO^i следует,
2Н F —	. rd о
что — =--------. Тогда I --------- 3 см.
г d — F	d — F
266.	Для определения положения изображения в опти-
ческих системах можно использовать следующий общий
метод: находится изображение в первом элементе (в дан-
ном случае в собирающей линзе) системы в предположе-
нии, что все остальные элементы отсутствуют; получен-
ное изображение принимается за предмет для второго
элемента (в данном случае для рассеивающей линзы)
ит. д., пока не будет найдено изображение в последнем
элементе системы Оно и будет искомым изображением.
Тогда, используя формулу линзы, найдем, на каком
расстоянии от собирающей линзы было бы изображение
источника в отсутствие второй линзы:	=75 см.
Следовательно, на рассеивающую линзу падает сходя-
щийся пучок лучей (рис. 130) Расстояние d2 его точки
пересечений (точки Si) до рассеивающей линзы меньп.е
ее фокусного расстояния	—/ = 10 cm<F2).
Поэтому пучок лучей, преломившись в рассеивающей
линзе, все же пересечется в точке S8, которая и будет
искомым изображением.
125
 j Тогда по формуле линзы (предмет Зг мнимый)
____L + _L
d2 fa’
где fi— расстояние от второй линзы до изображения.
Отсюда
f, = f,(„,г,	= 30
(I + f.) (dt - F t) -dj.
Для определения положения изображения S2 в рас-
сеивающей линзе можно было бы воспользоваться прави-
лом обратимости лучей, приняв. S2 за предмет (рис. 130)-
Тогда точка Si была бы его мнимым изображением. Фор-
мула линзы в этом случае записалась бы в том же виде-
Г
267. Линейное увеличение системы Г = —: Оно не
Fi
зависит от положения предмета.
Этот результат можно получить аналитически, исполь-
зуя общий метод (см. задачу 266) Но проще в этом убе-
диться путем построения изображения.
268. Задачу можно решить по общему методу (см.
задачу 266), но ее решение существенно упрощается,
если воспользоваться искусственным приемом: заменить
точку S вспомогательным предметом AS произвольного
линейного размера h и построить его изображение в лин-
зах (рис. 131).
Из подобия треугольников ASO и Л/ОхО, а также
Н	F
треугольников МООг и	следует, что — — и
h	d
— = —, где Н — линейный размер изображения.
h F
Fa
Отсюда г = — — 45 см.
126 .
•	V 269. Возможны два случая.
	1) Предмет расположен со стороны рассеивающей'лкп-
зы. Тогда изображение будет действительным, если
d2 = L 4- >> F2, где ft — расстояние от рассеивающей
1 линзы до мнимого изображения предмета в этой линзе,
— расстояние от собирающей линзы до этого изображе-
ния,
' n	111	.
По формуле линзы------------------, где аг — рас-
Fi	fi
	стояние от рассеивающей линзы до предмета.
Тогда di >•	---- = 10 см, т. е. в этом случае
Fi — F г +
предмет должен быть удален от рассеивающей' линзы
более чем на 10 см.	4
2) Предмет расположен со стороны собирающей лин-
зы. Изображение будет действительным, если выполня-
ются два условия (см. задачу 266):
а) лучи, вышедшие из одной точки предмета и пре-
ломившиеся в собирающей линзе, будут падать на рас-
сеивающую линзу сходящимся пучком (т. е. предмет для
, рассеивающей линзы должен быть мнимым);
б) точка пересечения этого пучка в отсутствие рас-
сеивающей линзы должна находиться ближе фокуса рас-
сеивающей линзы, т. е. f2<L4-F1, где f2 — расстояние
от собирающей линзы до изображения в этой линзе.
По формуле линзы-—  ----И —, где ^—расстояние от
F% di fi
собирающей линзы до предмета.
(F f /1
Тогда da> —— 30 см, т. е. в этом случае
Fi — F2 + L
предмет должен быть удален от собирающей линзы более
чем на 30 см.
к. 127.,
<SBM
Рис. 132
270. Освещенность в точке At (рис.
132) Е, ==—-—.где/ — сила света
1	(2/?)»
лампочки, /? —радиус туннеля.
Освещенность в точке Л2 Е2 —
/ cos а	' У 2
где cos а - -----косинус
угла падения лучей света на стенку.
Тогда — == У 2 « 1,4, т. е.
освещенность стенки больше в 1,4
раза.
271. Освещенность экрана в первом случае Ех = —,
' " .	Si
где Фх— световой поток, падающий от источника на лин-
зу и распределяющийся после прохождения через нее на
площади изображения Sx.
Световой поток Фх = /®х, где I—сила света источника,
юх — телесный угол, в котором распространяется световой
поток Фх, падая на линзу.
$
Для малого диска и осевых лучей телесный угол «вх
“i
где S — площадь линзы, — расстояние от линзы до
диска.
Используя формулу линзы — = — — и формулу
.	F di h
ее увеличения Гх=:~, получим <4 == 1 +1 ft где к—
. di	Гх
фокусное расстояние линзы.
г,	/5Г?
Следовательно, Е< = —-----------.
	Si (П 4-1)1 F’
Л	' /sri
Аналогично для второго случая Et =»--------——.
S» (Ft + l)1 F*
Тогда с учетом того, что — “I-—), получим — =*
Sj \ Fj /	Е.
/П4-П2
= к  - =4, т. е, освещенность экрана увеличится в
’•1 «т V
4 раза.
272.	Световой поток Ф, падающий на линзу, после
прохождения через нее распределяется на экране на пло-
щади круга диаметром D2, создавая освещенность £.
(рис. 133).
128
на площадь
£i.
и формулу
Без линзы тот же световой поток падал
круга диаметром D± и Создавал освещенность
Следовательно, ~ = f—У.
Et • \Dj
Используя формулу ЛИНЗЫ — =	4- -у
увеличения Г = — = —, найдем О4 = -£2—.
D d	d — F
Из подобия треугольников АВС и AMN следует, что
1 d — F
' Тогда =s /— —1Г = 25.  Освещенность увеличи-
Ei \FD j
лась в 25 раз.
273. Освещенность на стенке не будет изменяться, ес-
ее
ли источник света все время будет находиться в фокусе
линзы, т. е. длина пружины I при движении тележки бу-
дет равна фокусному расстоянию линзы F. Тогда по вто-
рому закону Ньютона и закону Гука k (10 — F) =* та. Сле-
довательно, о = - (/0 — F).
/те .
Отсюда следует:
1	Если длина недеформированной пружины равна фо-
кусному расстоянию линзы (/0 « F), то ускорение а = О,
т. е. тележка должна двигаться равномерно..
2.	Если l0 > F, то освещенность стенки не изменится
при равноускоренном движении тележки в сторону стенки
.или при равнозамедленном движении в противоположном
направлении, т. е вектор а должен быть направлен к
стенке.
3.	Если /0 < F, то тележка должна двигаться, равно-
ускоренно удаляясь от стенки или равнозамедленцр при-
ближаясь к ней. Вектор а направлен от стенки.
1-29
274.	Из закона сохранения и превращения энергии
следует, что корпускула света массой т сможет удалиться
от звезды массой /И с расстояния г от ее центра в бес-
то2^ „тМ
конечность при условии, если — Z>G—, где G^-гра-
витационная постоянная, и —скорость корпускулы света.
Полагая скорость корпускулы равной скорости света:
v — с, получим условие невидимости поверхности звезды
и оттуда найдем rg =? — М. Радиус rg называется грави-
тационным радиусом тела.
275.	Мощность лазера Р = пое, где п0 — число квантов
света, излучаемое лазером за время
he
Т
t — 1 с, е =
энергия одного кванта, h — постоянная Планка, е — ско-
рость света.
При регистрации глазом п0^ п где D = 1.<у — ди-
аметр поперечного сечения пучка света на расстоянии L
от лазера (рис. 134).
Тогда	= 2,7 • 10-2 Вт.
276.	Пусть за время А/ на поверхность падает N фо-
тонов. Тогда по второму закону Ньютона FA/ = где
F — сила, действующая со стороны фотонов на поверх-
ность, h— постоянная Планка. \
Число фотонов = где S—площадь поверх-
ности, на которую падает свет. Давление р~~. Тогда
П =	- 3,3- 1013 м~3.
Лс
Е
277.	р =>-» 6,7 • 10~2 Па, где в — скорость света.
130
Интересно отметить,’ что полученное выражение пред-
ставляет собой энергию электромагнитного поля в едини-
це объема, т. е. плотность энергии поля у площадки, на
которую оказывается давление. Не трудно показать, что
этот вывод справедлив во всех случаях, а не только для
полностью поглощающей поверхности. При частичном от-
ражении света плотность энергии поля у поверхности бу-
дет равна сумме плотностей энергии падающего и отра-
женного излучений.
278.	При отражении от колбы фотон сообщает ей им-
пульс 2тс, а при поглощении — тс, где т— масса фото-
на, с — скорость света.
Давление, оказываемое фотонами на колбу лампочки,
р — . Fi + /? t Где s = 4л/?2 — площадь колбы, Ft =
— —--------сила давления, оказываемая фотонами, отра-
да
женными за произвольное время Д/, F2 — - ~~ ~	—
сила давления, оказываемая фотонами, поглощенными за
это же время А/, п — число фотонов, испущенных нитью
накала лампочки за время А/.	.	>
Мощность излучения — = ryv, где 8 ~ тс. — энергия
ДТ
одного фотона.
Тогда р =	= 2 . ю_7 Па
4л7?2с
279.	Изменение импульса пластинки ДР = ?! + Р2, где
= —-----импульс, сообщенный пластинке падающим фо-
с
гоном, Ра = mv — импульс, сообщенный пластинке фото-
электроном. Здесь с — скорость света, т — масса электро-
на, v—скорость фотоэлектрона.
По закону сохранения и превращения энергии е =
= А + —. Тогда ДР = — + К2щ(е —Л) = 3,4 X
2	с
X 10-25 к*м/с
280.	По закону сохранения и превращения энергии
— — Л + «?ф, где h — постоянная Планка, с — скорость
света, е — заряд электрона, А—работа выхода электрона
из платины
Отсюда ф =
3,6 В
еК
131
281.	По закону сохранения и превращения энергии
hv — А 4- где Л — постоянная Планка, v — частота
света, облучающего металл, А—работа выхода электрона
из металла, tn — масса электрона, и — скорость электрона,
вылетевшего из металла.
Учитывая, что v = hvm = А и = eU3, где с-~
скорость света, е — заряд электрона, получим vm =
__ с
X • Л
282.	.Наиболее стабильными являются ядра элемен-
тов средней, части таблицы Менделеева. Удельная
энергия связи (энергия связи, приходящаяся в среднем
на один нуклон) у этих ядер наибольшая. Для легких
и тяжелых ядер она меньше. Поэтому слияние легких и
расщепление тяжелых ядер сопровождается увеличе-
нием энергии связи получаемых продуктов ядерных ре-
акций и, следовательно, выделением энергии.
Ядерные силы взаимодействия короткодействующие
(10-12—10~13 см). Поэтому нуклоны на поверхности ядра
взаимодействуют с меньшим количеством соседей, чем
нуклоны внутри ядра. Другими словами, энергия связи
поверхностных нуклонов меньше, внутренних — больше.
Для малых по размерам ядер дбля поверхностных
нуклонов от общего их количества в ядре, оказывается
большей. Поэтому энергия связи одного нуклона в сред-
нем меньше.
В случае тяжелых ядер удельная энергия. связи не-
сколько уменьшается по второй причине: увеличивается
энергия кулоновского отталкивания большого количе-
ства протонов ядра. Кулоновские силы стремятся разо-
рвать ядра. В итоге средняя энергия связи одного нукло-
на в тяжелых ядрах также меньше, чем в средних.
283.	Нет, нельзя. Для элементарных-частиц свойст-
венно явление взаимного превращения, т. е. ацигиляция
одних частиц и рождение других, а не разделение бо-
лее сложных частиц на менее сложные составные части.
284.	Во всех процессах превращения частиц выпол-
няется закон сохранения энергии. Поэтому масса аниги-
лирующего фотона должна быть больше суммы масс по-
коя электрона и позитрона.
285.	Масса покоя нейтрона больше массы покоя про-
тона. Поэтому предлагаемый «распад» противоречит
закону сохранения энергии,.
132
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА РЕСПУБЛИКАНСКОЙ
|	ОЛИМПИАДЕ В 1984 году
I	8 класс
I 1. Флюгер на корабле, предназначенный для опреде-
| ления скорости ветра, образует угол ai-»120° с курсом
| корабля при скорости его движения Vi=20 км/ч и угол
I 02=150° при скорости корабля р2=2рь Определись ско-
I рость ветра и.-
Г Решение. Пусть направление оси X (рис. 1) совпа-
Е дает, с направлением движения корабля. Направление век-
I тора и зададим углом р. Модуль и — ul 4- , где «ж
и иу — проекции вектора и на оси координат. -Флюгер в
* первом случае направлен вдоль АВ, во втором — вдоль СВ.
Из чертежа следует, что ——— = tg (л — ах) = а,
— их
— = tg (л — а2) = Ь, где а = tg (л — aj = V 3 и
b = tg (л — а2) =	.
;	V °
Из системы полученных уравнений находим их =»
а — 2b	ab	д/~ 2 , 2
=------и иу —------------Тогда и = V ux-f-Uy^
а — b	а — Ь
'	= ^(а —	+ д8^ у _ 20 км/ч. Из треугольника О АВ с
,	а — b
учетом равенства и = ^„следует, что Р —60°.
?	2. На гладком жестком неподвижном в пространстве
стержне О А (рис. 2), образующем угол а с горизонтом,
удерживается в положении равновесия кольцо массой
mi, к которому с помощью невесомого стержня АВ при-
креплен груз массой т2. Кольцо отпустили при верти-
кальном положении стержня АВ. Определить силу натя-
жения Т стержня АВ в первый момент движения.
Решение. На кольцо А (рис. 3} действуют силы:
тяжести mtg, нормальной реакции orfopbi N и натяже-
ния стержня На груз действуют силы: тяжести m2g,
натяжения стержня Т2. В первый момент после освобо-
ждения кольцо движется вдоль стержня с ускорением
яь а груз — вертикально вниз с ускорением а2.
Запишем уравнение движения кольца в проекциях
на направление стержня ЛО: (mig+Ti}sine=n?]a1.
Уравнение движения груза в проекциях на вертикаль-
ное направление запишется в виде: m2g—T2=m2a2. При
этом aisina=fl2 и 1\ = Т2=Т.
Из системы записанных уравнений следует, что
21 __
mx -f- m2 sin2 «
3.	Однородное тело кубической формы перемещается
по горизонтальной поверхности на одинаковые расстоя-
ния один раз равномерно волоком под действием гори-
зонтально направленной внешней силы, а второй раз —
кантованием через его ребро. Определить коэффициент
трения скольжения р., если затраты механической энер-
гии в обоих случаях одинаковы.
Решение. При перемещении тела волоком (рис. 4)
на него действуют силы: тяжести mg, нормальной реак-
ции опоры N, трения скольжения FTV и внешняя сила F,
134
При равномерном скольже-
нии уравнение движения те-
ла в проекциях на оси коор- - i __________С с*~~ЛГдй
динат запишется в виде:	"xlz”
/П£-М=О и F— FTp=0. Си- 7777777777777777777777
ла трения FTP = p7V. Если реб-	рИс 5
ро куба I, то работа при
перемещении тела на расстояние I равна A=Fl=^mgl.
| Во втором случае, т. е. при кантовании через ребро,
’. затрата механической энергии связана с увеличением
потенциальной энергии Д£р тела при подъеме его центра
тяжести (точка С) на высоту Ah (рис. 5). При этом пред-
k полагается, что подъем производится медленно, и поэто-
I му изменением кинетической энергии тела можно пре-',
| небречь. Величина АЕР — mg Ah, где Ah = (У 2—
t	1/ 2	1 '
: Так как по условию задачи А = АЕР, то ц = -----=0,2.
4.	Подвешенное на пружине однородное тело полно-
стью погружено в жидкость. Определить энергию Е
упруго деформированной пружины, если ее жесткости
объем тела V, плотность жидкости ро, а материала
тела р.
kx^
Решение. Энергия Е = —, где х — деформация пру-
жины. На тело действуют силы: тяжести mg, уцругости
пружины F и выталкивающая сила Архимеда Fa- Первая
сила направлена вертикально вниз, остальные — вертикаль-
но вверх. Из условия равновесия тела следует, что mg =
= f + fa.
По закону Архимеда FA = PogV. По закону Гука F —
- = kx. Масса тела т — pV. Следовательно,
£_: (Р-Ро)2^2
2k
5.	Проволочный резистор сопротивлением /?о=5 Ом
состоит из п—10 витков. Его витки намотаны вплотную
друг к другу на цилиндрическом каркасе. После нару-
шения изоляции провода в одной точке между двумя
соседними витками сопротивление резистора стало /? =
=4,75 Ом. Определить сопротивление Ra3, возникшее в
точке нарушения изоляции.
13а
витка. Сопротивление
Отсюда
Решение. Схема электри-
ческой цепи при нарушенной
изоляции между двумя сосед-
ними витками представлена на
п
рисунке 6, где 5 — со-
противление проволоки одного
«1 Т «из
Язз
— 1) Ro) Ro _ Q,5 QM.
(Ro — R) na
9 класс
1.	Три упругих шара одинаковых радиусов лежат на
гладкой горизонтальной поверхности так, что их центры
расположены на одной прямой. Первому шару массой mi
сообщается скорость в результате чего он сталкива-
ется со вторым шаром, который затем сталкивается с
третьим шаром массой т3. При какой массе т2 второго
шара третий шар после удара приобретет максимальную
скорость? Удары шаров считать центральными.
Решение. При упругом соударении первого и вто-
рого шаров выполняются законы сохранения импульса и
механической энергии. Следовательно, '= тхиг ш2«2
/ПО? ' /П.Ы? /ПоПо
и — =--------1-----, где и и2 — скорости первого и вто-
2	2	2.
рого шаров после их соударения. Отсюда и2 = ———
Применим законы сохранения импульса и механической
энергии ко второму и третьему шарам. Тогда получим
•,	/При? m9(uo)2 m,u?
т2и2 = т^2 4- т3и3 и -у = —у- + где «2 и и3 —
скорости второго и третьего шаров, после их соударений.
Из последних двух уравнении следует, что и3 =------——«а,
mi + т2
а с учетом предыдущего равенства
4»1
/п2 тя т3
trii /п2
Wg —
136
!i Введем обозначение f(mj = 1 4- — 4- —? 4- —. Тогда
i»i tnt mi
из условия экстремума	----— =0 получим
\ т2^= Ут1т3. :	'
2.	В предварительно откаченный сосуд объемом V=
i = 1,0 л ввели небольшое количество воды, и измерили
.давления pi==l,92-104 Па, р2=4,20-104 Па и р3 =
=4,55-ГО4 Па при температурах соответственно Л = 60°С,
: /2 = 90°С и /3=120°С. Определить массу т введенной в
сосуд воды. Каким стало бы давление р'3, если бы массу
йводы уменьшили на га = 20 %? Изменением объема сосу-
| да при нагревании пренебречь.
. Решение. Из анализа приведенных в условии зада-
чи числовых данных следует, что — = —..Это бзначает,
Pt ‘2
что ео втором и в третьем состояниях масса водяного па-
ра в сосуде была одинаковой, т. е. пар был ненасыщен-
ным Для первого- состояния пара подобные соотношения
не выполняются. Поэтому при температуре в сосуде
находились насыщенный водяной пар и жидкая фаза.
Из уравнения Менделеева—Клапейрона следует, что
Mp2V Mp3V ..	n
т —  	=..... —, где М — молярная масса воды, R —
RT %	RT3
молярная (универсальная) газовая постоянная. После
подстановки числовых данных получим т=0,25 г.
При уменьшении массы воды при температуре t3 водя-
 кой пар останется ненасыщенным. Поэтому в соответствии
’ лл	iz	'	/100%—л\
с уравнением Менделеева—Клапейрона р3 = I——1р =
== 3,64 • 104 Па. -
3.	Одноатомный идеальный газ, содержащийся при
температуре Т в закрытом баллоне, охладили, так, что
его давление уменьшилось в п раз. Определить, измене-
ние внутренней энергии ДС7 газа, если его количество v.
Решение. Изменение внутренней энергии одноатом-
ного идеального газа &.U = — vR&T, где R—молярная
(универсальная) газовая постоянная, ДТ — изменение абсо-
лютной температуры газа.
Уравнение Менделеева—Клапейрона для начального и
конечного состояний газа запишется в виде:
py = vRT и p3V = vR(T — кТ), где pt и р2— давления
газа в соответствующих состояниях. Отсюда уменьшение
137
1 • --
t>,r
Рис. 7
абсолютной температуры газа
ДГ	Тогда "уменьше-
п
ние внутренней энергии газа
Д{/ = 3(n ~1)- vRT.
2п
4. Зная величины, указан-
ные на схеме (рис. 7), опреде-
лить силу тока, протекающего
сразу после замыкания ключа К,
через батарею: а)
б) спустя достаточно большой промежуток времени по-
сле его замыкания.
Решение. Сразу после замыкания ключа' разность
потенциалов на конденсаторах равна нулю. Поэтому в
первом случае ток /х =	.
После зарядки конденсаторов токи в ветвях, содержа-
щих эти конденсаторы, отсутствуют. Поэтому во втором
случае ток /в = ^---.
5.	Внешняя цепь Ротребляет максимальную тепло-
вую мощность от аккумулятора при силе тока / = 6 А.
Определить силу тока /к при коротком замыкании акку-
мулятора.
Решение. Тепловая мощность тока во внешней цепи
равна Р — PR, где R — сопротивление внешней цепи. По
закону Ома / =	, где <g — ЭДС аккумулятора, г —
его внутреннее сопротивление. Следовательно,
Мощность Р максимальна, если P'(R) = 0. Поскольку
P'{R) = ~	=0, то R — г. Тогда г = —. Ток ко-
роткого замыкания
/к=	= 21= 12 А.
10 к л а с с
♦
1._Два спутника Земли движутся по одной и той же
орбите, при этом расстояние между ними изменяется от
наименьшего значения /1=2,0 км до наибольшего /2=
— 10 км. Определить Лакеи-	a2j^""
мальное и и минимальное ^£3'______________г>
г2 удаления спутников от
центра Земли, если период
их движения по орбите Т= 	'----:---	’
= 30 ч. Радиус Земли /?0=	Рис. 8
= 6,4Х106 м, ускорение сво-
бодного падения на ее поверхности go=9,8 м/с2.
Решение. В'соответствии с условием задачи и пер-
вым законом Кеплера спутники движутся вокруг Земли
по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой
находится Земля (рис. 8). Наименьшее расстояние Л =
= |hi&i] между спутниками будет вблизи перигелия
(точка 77), наибольшее /2=|н2^2|—вблизи афелия
(точка Л).	г	*•
Если первый спутник за некоторое время переместил-
ся из точки О] в точку а2, то-второй спутник за это же
время переместился из точки bt в точку &2- Тогда по
второму закону Кеплера площади секторов О13а2 и д]3&2
равны между собой. А это означает, что 'равны между
собой и площади заштрихованных секторов ат3&1 и а2ЗЬг.
Поскольку величины и /2 намного меньше Г] и то
это условие можно записать в виде равенства: /1Г1 = ^2-
По третьему закону Кеплера
где Т.— период вращения спутника по орбите, лежащей в
непосредственной близости к поверхности Земли. Этот пе-
риод То = где г'о — линейная скорость спутника на
Vo
околоземной орбите. Ее можно определить из соотношения
Sq = А. Тогда То = 4^. Используя это соотношение и
первые два уравнения, получим
=- 1,6- 10’ м,
_ 21_r — ft 1/	1П7
3“ /з 1 4 + А "	~Ю ж
й*
139 .
и
ъ
Рис. 9
2. Проводящая перемычка г ab
(рис. 9) может скользить без тре-
ния по параллельным горизонталь-
ным рельсам, соединенным между
собой через резйстор сопротивлени-
ем R. Система помещена в однород-
ное магнитное поле, вектор ин-
перпендикулярен ее плоскости,
внешней силы F, направленной
a =
дукции которого
Под действием
параллельно рельсам, перемычка движется с посто-
янной скоростью у. Определить силу тока I в резисторе.
Сопротивлением рельсов, и перемычки пренебречь.
Решение. 1-й способ, В перемычке ab при ее дви-
жении в магнитном поле возникает ЭДС индукции £ =
— в/usina, где В —модуль вектора индукции магнитного
поля, / — длина перемычки (расстояние между точками а
и b), a — угол между векторами о и В (в нашем случае
—1 Под действием этой ЭДС в замкнутом контуре
2 J	z
возникает индукционный ток / = — = Тогда на пе-
R R
ремычку е током / будет действовать сила Ампера Fa —
= 1В1 sin 0, где Р — угол между направлением тока и век-
тором индукции (в.нашем случае р= —). Сила Ампера
Fa направлена противоположно внешней силе F и в соот-
ветствии с правилом Ленца препятствует движению пере-
мычки. Перемычка движется равномерно. Поэтому Fa = F
и, следовательно, В1 ~ Тогда ток Г —
2-й способ. По закону сохранения и превращения энер-
гии механическая мощность внешней силы, равна мощности
электрического тока, т. е.
Fv — PR.
Отсюда
Энергетический способ решения задачи короче, по-
этому он более предпочтительный.
3.	Оба конца легкой пружины, жесткость которой /?0,
закреплены так, что пружина расположена вертикально
.140
и находится в недеформироваиЯф| 'состоянии
(рис. 10). К середине пр^жи^ы морепйЖ*®*0 g
массой т. Определить период^ верт-нкаДЬ»ых £
гармонических колебаний тела. Массой пружины 9т
пренебречь.	’	• S
Решение. Под Действием силы тяжести JI
тела mg верхняя половина пружины несколько
растянется, а нижняя сожмется. В равновесном Рис. .10
положении возникшие в деформированной- пру-
жине силы упругости скомпенсируют силу тяжести тела.
Малое вертикальное смещение х тела из положения
равновесия вызовет появление в каждой половинке пру-,
жины дополнительной силы упругости F± ^k^x, где k{—•
жесткость половины пружины. Тогда сила, возвращающая
тело в положение равновесия, будет равна Яйоэвр. s 2Fi==*
= 2kxx. Под действием этой силы тело будет совершать
гармонические колебания с периодом Т = 2л
Для определения жесткости половины пружины -
воспользуемся законом Гука: —	где I — длина
I Е S
растягиваемого (или сжимаемого) упругого тела, Е—модуль
продольной упругости (модуль Юнга) материала тела, S—
площадь его поперечного сечения. Отсюда F = — х = kx.
. SE	.
k = т. е. -жесткость обратно
длине деформируемого тела. Поэтому
Следовательно,
пропорциональна
для пружины
^0 = //2	_1_
I ~ 2
Тогда k± «= 2#0, а период колебаний
Т = л
4.	Ось конуса расходящихся световых лучей,, падаю-
щих на тонкую линзу с фокусным расстоянием F, совла-
дает с ее главной оптической осью. Диаметр пучка па-
дающих лучей на передней фокальной плоскости линзы
равен диаметру пучка преломленных лучей на ее задней
фокальной плоскости. Определить расстояние I между
вершинами конусов падающих и преломленных лучей.
, Ж
Рис. 11	Рис. 12
Решение. По условию задачи диаметры Ь\ и D2
(рис. 11) падающего и преломленного пучков света со-
ответственно на передней и задней фокальных плоско-
стях линзы равны между собой. Из этого следует, что
линза собирающая, а изображение Si источника света S
действительное. Тогда расстояние l=d+f, где d — рас-
стояние от источника света до линзы, f — расстояние от
линзы до изображения.
Из симметрии относительно плоскости линзы падаю-
щего и преломленного пучков света следует, Что d=f
(к этому выводу можно легко прийти и из рассмотрения
соответствующих подобных треугольников). Тогда, ис-
пользуя формулу линзы
получим, что d — 2F i\.f = 2F, Следовательно,
Z = 4F.
5.	Радиоактивный препарат излучает поток у-кван-
тов в количестве ЛГ=6,0- 107с~* Безопасная интенсивность
облучения составляет По=30 квантов (с-см2). Определить
толщину d свинцовой защиты, если человек находится
на расстоянии Lo=l,0 м от препарата, а слой свинца
толщиной /=15 мм ослабляет поток у-квантов в два ра-
за. Поглощение у-квантов в воздухе не учитывать. На
каком наименьшем расстоянии Lmin от препарата можно
находиться в безопасности без использования свинцовой
защиты?
Решение. На произвольном расстоянии L от препа-
рата площадь части сферы, стягивающей центральный
угол, равный одному стерадиану, равна S — L2 (рис. 12).
На таком расстоянии интенсивность облучения п = — х
4л
1	N
X — =------. Подставив в эту формулу вместо гГзначение
142
п0, определим минимальное безопасное расстояние Lmin »>
2	у лпо
Для определения толщины d свинцовой защиты запит
шем закон ослабления интенсивности у-излучения в свин-
! 1 це: п0 = п /—1 . lg / 4л«о£о\ .	\ N / но, а =	-		 1g Ш к 2 7	Отсюда \ 2 / - 1 = 4! = 60 мм.
ББК 74.265.1
П 44
УДК 53(07.07)
Г, С. Кембровский, *Н. И. Лазаренко, Д. Г. Лин, В, Ф. Шолох
Рецензент
Л. М. Гинзбург, заслуженный учитель БССР
Подготовительные задачи к олимпиадам по фи-
П 44 зике: Пособие для учителя/[Г. С. Кемеровский,
Н. И. Лазаренко, Д. Г, Лин, В. Ф, Шолох].—Мн.:
Нар. асвета, 1984.—144 с., ил.
30 к.
Пособие ставит своей целью помочь учителям в выборе задач
для подготовки и проведения теоретических туров физических олим-
пиад. Оно может быть использовано на факультативных занятиях,
в кружковой работе, а также учащимися при самостоятельной под-
готовке к олимпиадам.
Ко всем задачам, включенным в сборник, даны решения, крат-
кие указания или ответы. '
4306030000—098 _
П М 303(05)—84 115—83	*	ББК 74.265.1
(g Издательство
«Народная асвета», 1984.