М.З.КОАОВСКИЙ
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
ВИБРОЗАЩИТНЫХ
СИСТЕМ
М. 3. коловскии
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ
ВИБРОЗАЩИТНЫХ
СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966
531
К 61
УДК 534.1
2-4-2
162-66
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................................... 5
Введение ............................................................................ 9
Глава I. Некоторые приближенные методы анализа не-
линейных систем...................................... 23
§ 1.	Метод гармонического баланса.............................................. 23
§ 2.	Свободные колебания массы на нелинейной пружине 31
§ 3.	Гармоническая линеаризация................................................ 41
§ 4.	Линеаризация по критерию минимума среднеквадра-
тичного отклонения................................... 46
§	5.	Линеаризация по функции распределения. 50
§	6.	Метод Галеркина............................................. 72
§	7.	Метод статистической линеаризации......... 78
§	8.	Устойчивость стационарных решений......... 90
Глава II. Упругие амортизаторы и их динамические ха-
рактеристики ........................................ 99
§ 9.	Динамические характеристики упругих амортизаторов 99
§ 10.	Некоторые формы динамических характеристик . . . 104
§ 11.	Линеаризация и экспериментальное исследование ди-
намических характеристик ........................... 112
Глава III. Нелинейные системы с одной степенью сво-
боды ................................................119
§ 12.	Вынужденные колебания при гармоническом вибра-
ционном воздействии и силе сопротивления, пропор-
циональной скорости..................................119
§ 13.	Вынужденные колебания при гармоническом вибра-
ционном воздействии и силе сухого трения.............138
§ 14.	Вынужденные колебания в системе с внутренним
трением. Сравнение различных форм демпфирования 148
§ 15.	Вынужденные колебания при полигармоническом воз-
мущении .............................................158
§ 16.	Резонансы дробного порядка в виброзащитных си-
стемах ..............................................172
§ 17.	Субгармонический резонанс в системе с жесткими
упорами..............................................187
§ 18.	Вынужденные колебания при случайных воздействиях 195
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Нелинейные системы с несколькими степе-
нями свободы.......................................204
§ 19.	Статика нелинейного упругого подвеса ........... 204
§ 20.	Малые колебания твердого тела на упругом подвесе 211
§ 21.	Колебания амортизируемого объекта на нелинейных
упругих амортизаторах...........................221
§ 22.	Свободные колебания нелинейной	виброзащитной	си-
стемы 	232
§ 23.	Резонансные колебания.......................243
§ 24.	Вынужденные колебания в	системах с сухим	трением	251
§ 25.	Вынужденные колебания упругих тел................258
Глава V. Колебания виброзащитных систем при удар-
ных воздействиях ................................. 271
§ 26.	Удар в нелинейной системе с одной степенью сво-
боды ...............................................271
§ 27.	Примеры расчета систем с одной степенью свободы 286
§ 28.	Системы с несколькими степенями	свободы......295
§ 29.	Некоторые вопросы синтеза противоударных устройств 306
Литературные указания....................................  312
Литература.................................................314
ПРЕДИСЛОВИЕ
Создание эффективных средств защиты от вибраций и
ударов является одной из важных проблем современной тех-
ники. Особенно большое значение приобретают вопросы
виброзащиты в современных транспортных объектах: лета-
тельных аппаратах, автомобилях, морских судах. Поскольку
интенсивность вибраций и ударов обычно возрастает с уве-
личением скорости, движения, развитие транспортных средств
сопровождается непрерывным повышением требований к ви-
брозащитным устройствам.
Применение упругих амортизаторов является одним из
наиболее распространенных способов виброзащиты. В на-
стоящее время существует большое число конструктивных
разновидностей амортизаторов, предназначенных как для за-
щиты приборов и оборудования, устанавливаемых на колеб-
лющихся ^основаниях, так и для защиты оснований и фунда-
ментов от динамических воздействий. Создание амортизи-:
рующих устройств, способных защитить объекты от вибраций
и ударов и, вместе с тем, обладающих ограниченными раз-
мерами, является сложной технической проблемой, правиль-
ное решение которой возможно только при всестороннем
учете характера возмущений и конструктивных свойств
амортизаторов. В связи с этим первостепенное значение
приобретают вопросы теории и расчета виброзащитных
систем.
Теории виброзащитных систем посвящено большое число
работ. В первую очередь следует отметить моногоаЛин
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ю. И. Иориша [9] и Ч. Е. Крида [56], а также книги
В. С. Ильинского [8] и У. Кер Вильсона [4]. В этих работах
наибольшее внимание уделяется развитию линейной теории,
основанной на приложении методов классической теории
малых колебаний к исследованию виброзащитных устройств.
Линейная теория, разработанная как для простейших систем
с одной степенью свободы, так и для общего случая коле-
баний твердого тела на упругом подвесе, рассматривает
упругий амортизатор как фильтр низких частот; задача
виброзащиты сводится при этом к выбору таких параметров
системы амортизации, при которых ее собственные частоты
оказались бы значительно ниже частот, содержащихся
в спектре внешнего воздействия. В настоящее время методы
линейной теории широко применяются при исследовании и
проектировании виброзащитных устройств.
Вместе с тем в последнее время все в большей степени
стала проявляться ограниченность линейной теории, ее не-
пригодность для объяснения ряда явлений, возникающих
в виброзащитных системах. Ю. И. Иориш, по-видимому,
впервые обратил внимание на это обстоятельство и иссле-
довал одно из таких явлений — субгармонический резонанс
в системе с упругими упорами. Дальнейшие исследования
показали, что возникновение нелинейных эффектов, часто
приводящее к резкому ухудшению качества виброзащиты,
является не случайным конструктивным недостатком отдель-
ных систем, а неизбежным следствием увеличения интенсив-
ности вибрационных и ударных воздействий. С другой сто-
роны, применение амортизаторов с нелинейными характери-
стиками в ряде случаев может оказаться полезным.
Указанные обстоятельства привели к развитию нелиней-
ной теории виброзащитных систем, составляющей содержание
настоящей книги.
Стремясь сделать эту теорию доступной широкому кругу
специалистов, автор предпочел излагать ее, основываясь не
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
на классических методах теории нелинейных колебаний, а на
некоторых приближенных методах, широко использовавшихся
в последние годы главным образом для анализа нелинейных
систем автоматического управления. Не являясь математически
строго обоснованными, эти методы отличаются вместе с тем
исключительной ясностью физических концепций, лежащих
в их основе, и сравнительной простотой математического
аппарата. Эти два преимущества делают их незаменимыми
при проведении инженерных расчетов, не претендующих на
высокую точность и предназначенных главным образом для
качественной оценки поведения системы.
Изложению приближенных методов посвящена первая
глава книги. Наряду с широко известными методами гармо-
нического баланса, гармонической линеаризации, вариацион-
ным методом Галеркина, в ней излагается сравнительно
новый метод линеаризации по функции распределения, при-
менение которого оказывается особенно полезным при ана-
лизе полигармонических колебаний, характерных для совре-
менных виброзащитных систем. Изложен также метод стати-
стической линеаризации, позволяющий исследовать поведение
нелинейных систем при случайных воздействиях.
Применение приближенных методов к исследованию
виброзащитных систем оказывается возможным в тех слу-
чаях, когда динамические характеристики упругих амортиза-
торов удовлетворяют определенным условиям, сформулиро-
ванным в главе второй. Здесь рассмотрены также «типовые»
формы статических и динамических характеристик и методы
их экспериментального определения.
В третьей и четвертой главах методы теории нелинейных
колебаний применяются для исследования виброзащитных
систем. В третьей главе исследуются системы с одной сте-
пенью свободы; при этом особое внимание уделяется вы-
явлению физической природы нелинейных явлений, анализу
условий их возникновения и подавления. В четвертой главе
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
рассматриваются системы с несколькими степенями свободы.
Здесь исследована задача о колебаниях твердого тела на
упругом подвесе и, в простейшей постановке, рассмотрена
задача об амортизации упругого объекта.
Особые методы анализа необходимы для исследования
нестационарных процессов в нелинейных системах. В пятой
главе изложены методы исследования одного важного класса
нестационарных процессов — колебаний виброзащитных си-
стем при ударных воздействиях. Рассмотрены также неко-
торые вопросы синтеза противоударных устройств.
Книга предназначается для инженеров и научных работ-
ников, занимающихся исследованием и проектированием
виброзащитных систем. Предполагается, что читатель знаком
с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и ря-
дов Фурье в объеме обычного вузовского курса, с основами
линейной теории колебаний в объеме курса Л. Г. Лойцян-
ского и А. И. Лурье f30], или И. М. Бабакова [2], а также
с основами теории вероятностей. Необходимые сведения
из теории случайных процессов приведены в § 7, впрочем,
изложены они весьма кратко, и для лучшего понимания
материала, содержащегося в этом параграфе и § 18, чи-
тателю полезно более подробно ознакомиться с теорией
случайных процессов, например, по книге А. А. Свешни-
кова [47]. В ряде случаев для сокращения письма использо-
ваны матричные обозначения; для чтения соответствующих
разделов вполне достаточно сведений, содержащихся, на-
пример, в приложении I к книге А. И. Лурье [31].
Автор выражает глубокую благодарность И. Б. Бартеру,
с которым он неоднократно советовался при написании этой
книги, А. Е. Кобринскому, ознакомившемуся с рукописью
и сделавшему ряд важных замечаний, и В. И. Бабицкому,
проделавшему большую работу по ее редактированию.
ВВЕДЕНИЕ
В этой книге будут рассматриваться виброзащитные си-
стемы, основными элементами которых являются упругие
амортизаторы (3 на рис. 1), устанавливаемые между
основанием 1 и амортизируе-
мым объектом 2. Виброзащит-
ные системы такого рода могут
быть разделены на две группы.
К первой группе относятся актив-
ные системы, в которых внеш-
ние, переменные во времени силы,
приложены к амортизируемому
объекту, а задачей упругих амор-
тизаторов является защита основа-
ния от действия этих сил. В пас-
сивных системах, составляющих вторую группу, динамиче-
ские воздействия вызываются движением основания с пере-
менным ускорением. Задачей амортизаторов в таких системах
является защита амортизируемого объекта от этих динами-
ческих воздействий.
На рис. 2 приведены принципиальные схемы простейших
виброзащитных систем с одной степенью свободы, активной
(рис. 2, а) и пассивной (рис. 2, б). В обоих случаях поло-
жение амортизируемого объекта относительно основания
определяется координатой и. Начало отсчета выбирается
таким образом, чтобы в положении статического равнове-
сия и равнялось нулю. Используя второй закон Ньютона, со-
ставим уравнения движения амортизируемого объекта, имею-
щего массу т. Для активной системы получим
mu — Q(t) — U>
(1)
10
ВВЕДЕНИЕ
где и — ускорение объекта, —U — реакция упругого амор-
тизатора, Q(t)— внешняя сила, приложенная к объекту.
Для пассивной системы
+	=	(2)
Здесь £(0— закон движения основания, а и — относительное
ускорение объекта.
В активной системе на основание передается сила U\
уменьшение динамической (переменной) составляющей этой
б)
Рис. 2.
силы — основная задача виброзащитной системы. В пассивной
системе, как это видно из уравнения (2), реакция амортиза-
тора — U представляет собой силу, приложенную к амор-
тизируемому объекту; поэтому и здесь виброзащитная система
должна уменьшать динамическую составляющую этой силы.
Реакция идеально упругого амортизатора является функ-
цией его деформации й; в реальных амортизаторах дефор-
мация всегда сопровождается рассеянием энергии, вызванным
либо внутренним трением в деформируемом материале, либо
применением специальных демпфирующих устройств, о на-
значении которых речь будет идти ниже. Если учитывать
демпфирование, то оказывается, что величина реакции зави-
сит не только от деформации, но и от ее производных
по времени. В большинстве случаев при проведении практи-
ческих расчетов достаточно ограничиться учетом только
первой производной, то есть принять, что
t/ = t/(a, и).	(3)
ВВЕДЕНИЕ
11
При этом уравнения (1) и (2) могут быть записаны в сле-
дующей общей форме:
mu + k) = Q(O.	(4)
причем в случае пассивной системы
q(0==_^(0.	(5)
Поведение системы (4) определяется характером внеш-
него воздействия («вынуждающей силы») Q(Z). В теории
виброзащитных систем рассматриваются два класса внешних
воздействий. К первому классу относятся вибрационные
воздействия, классическим примером которых может слу-
жить гармоническая вынуждающая сила
Q (t) — Qq cos со/.	(6)
Вибрационные воздействия, с которыми приходится иметь
дело при исследовании современных виброзащитных систем,
обычно являются полигармоническими, то есть могут быть
представлены в виде суммы конечного или бесконечного
числа гармонических компонент
N
Q(0= 2^/005(0/ + ^).	(7)
/=1
Второй класс вынуждающих сил, рассматриваемых в тео-
рии виброзащитных систем, образуют ударные воздействия.
Классическим примером ударного воздействия может служить
силовой импульс — воздействие бесконечно большой силы
в течение бесконечно малого интервала времени, вызывающее
изменение количества движения системы на конечную вели-
чину. Такой «мгновенный» удар является, разумеется, идеа-
лизацией, которая далеко не всегда пригодна для описания
реальных ударных воздействий. В теории виброзащитных
систем термин «удар» имеет более широкий смысл: ударом
называется обычно кратковременное воздействие на систему
сравнительно больших внешних сил. Ударное воздействие
характеризуется законом изменения Q(Z); некоторые возмож-
ные формы этой зависимости показаны на рис. 3. Во всех
случаях
<2(0 ¥= О при	1
Q (/) = 0 при t > т. )
12
ВВЕДЕНИЕ
Интервал времени т, в течение которого прикладывается
к системе ударное воздействие, называется длительностью
удара; зависимость Q(t) часто называют формой удара.
Классическая линейная теория виброзащитных систем ис-
ходит из возможности замены реального упругого амортизато-
ра его идеализированной моделью — линейным амортизатором.
Напомним основные положения и выводы этой теории.
Предполагается, что динамическая составляющая реакции
амортизатора складывается из упругой силы, пропорциональ-
ной деформации, и силы сопротивления, пропорциональной
скорости деформации
U(u, и) = си-\-Ьи.	(9)
Коэффициент с называется жесткостью амортизатора,
b—коэффициентом демпфирования. Подставляя (9) в урав-
нение (4), получаем
mu-j-bu 4- си —Q (/).	(10)
Вводя обозначения
ВВЕДЕНИЕ
13
приводим уравнение (10) к следующей- форме: 
••	•	О	1
и -J-	Q(0*	(11)
Общее решение этого уравнения, как известно, складывается
из общего решения соответствующего однородного уравне-
ния и частного решения неоднородного уравнения. При на-
чальных условиях
t = 0, и = uQ, и= uQ
общее решение уравнения (11) имеет такой вид [30]:
и = e~nt ^Ocos--sin Л/] +
t
-Ь-4^- J r^sinl^-W)^, (12)
1 о
где	____
х, = Ухо — П2.
Исследуя поведение виброзащитной системы при вибра-
ционном воздействии, обычно ограничиваются определением
установившегося движения, соответствующего достаточно
большим значениям t. Поскольку при наличии демпфирова-
ния (п > 0) свободные колебания, соответствующие первому
слагаемому в выражении (12), затухают, установившееся
движение оказывается не зависящим от начальных условий
и полностью определяется видом вибрационного воздействия.
При гармоническом вибрационном воздействии (6) устано-
вившиеся вынужденные колебания также оказываются гармо-
ническими. При этом
и
Qo
т/(^-(о2)2 + 4п2®2
cos (со/ — 0),
(13)
где 0 — сдвиг по фазе между колебаниями и вибрационным
воздействием, определяющийся по -формуле:
2лг<л)
72 72 *
Лф — tt>
tg0
(14)
Подставляя (13) в формулу (9), можно определить усилие,
14
ВВЕДЕНИЕ
передаваемое амортизатором при вибрационном воздействии:
V Хл-|-4п2<1>2
U=:Qo~^r 242, 22eosH-e + e),	(15)
У(^ — о2)2 + 4п2©2
где
Коэффициент
. 2псо
л0
“ У(Л2_(й2)2_|_4п2Ш2
(16)
представляет собой отношение амплитуды гармонической
силы U к амплитуде гармонического вибрационного воздей-
ствия и называется обычно коэффициентом динамичности.
Этот коэффициент характеризует качество виброзащитной
системы. Если К < 1, виброзащитная система эффективна,
она снижает амплитуду вибра-
ционного воздействия, при/(> 1
применение упругого аморти-
затора становится нецелесооб-
разным. В самом деле, если
крепить объект к основанию
жестко, без амортизаторов,
то динамическое воздействие,
передаваемое таким жестким
креплением, будет, очевидно,
равно Q(0* Таким образом, для
жесткого соединения К = 1.
Вводя в формулу (16) без-
размерные параметры
получаем
I \Т 2	3  г	/1+4у2г2
Рис. 4.	/(1 — 22)2 + 4у222 
На рис. 4 приведены графики зависимости К (z) при разных
значениях v. Из этих графиков видно, что независимо от
ВВЕДЕНИЕ
15
значения v, при г > У 2 коэффициент динамичности меньше
единицы, причем его величина тем меньше, чем меньше
При полигармоническом вибрационном воздействии вида (7)
вынужденные колебания являются полигармоническими. Ис-
пользуя принцип суперпозиции, получаем
лг
у Qi
iff т V— ®?)2 + 4лМ
cos (<ог/ — 0Z),
(18)
где
tg0z =
*0~®< ’
(19)
Аналогично, для силы U имеем
N
Z = 1
>, —=42=4= cos
(20)
причем
л0
(21)
Очевидно, что если для всех I выполняется условие (fy > ]/2Х0,
то амплитуда каждой из гармонических составляющих силы U
меньше, чем амплитуда соответствующей гармоники вибра-
ционного воздействия, и виброзащитная система окажется
эффективной.
При ударном воздействии обычно исследуется движение,
соответствующее нулевым начальным условиям
t
и =	| е~" sin (t — t') Q (f) dt'.	(22)
0
Подставляя это выражение в формулу (9), получаем
t
и = 2- | е-п«-<') [(11 — л2) sin li (t — t') 4-
о
-f 2nll cos 1, (t — /')] Q (t') dt'. (23)
16
ВВЕДЕНИЕ
Качество виброзащитной системы при заданном ударном
воздействии может быть оценено коэффициентом дина-
мичности при ударе Ку, равным отношению максималь-
ного значения усилия U к максимальному значению Q
В линейной теории рассматриваются обычно виброзащит-
ные системы со слабым демпфированием; в таких системах
при исследовании удара можно с достаточной степенью точ-
ности принять п = 0. При этом формулы (22) и (23) при-
нимают такой вид:
t
И =	j sin 10 (f -1') Q (f) df,	(25)
t
U = hof sink0(t — t')Q(t')dt’.	(26)
0
Найдем значение Ky для удара «прямоугольной» формы
Q Ю = Qm ~ COnst ПрИ	|
Q (t) == 0	при t > T, J
предполагая, что n = 0. Из выражения (26), произведя ин-
тегрирование, получим
и — Q/nU —cos Х0О	при /<т,	(28)
U — Qm Icos Хо (t — т) — еозХ0Л при* £>т.	(29)
Первое из этих выражений достигает максимума при / = /1=
= л/10. Этот максимум, равный 2Qm, может быть достигнут
только в том случае, если
Хот > л.	(30)
Если же
Хот <	(31)
то максимальное значение U определяется по формуле (29):
^щах — ^Qm sin •	(32)
ВВЕДЕНИЕ
17
Оно достигается при
'=(>=i-+b	<33>
Таким образом,
гл гь	«П» I
/С = 2 sin-5— при т < у-,
’	£	Ап 1
; <34>
Ку = 2	при т>7-. ।
Для того чтобы амортизатор уменьшал ударное воздействие,
должно быть Ку < 1, что обеспечивается при
(35)
Этот вывод остается справедливым для ударного воздействия
любой формы. В самом деле, определим значения и (т) и
и(х) для удара произвольной формы. Дифференцируя выраже-
ние (25), находим
t
й (/) = -L J cos Хо (t — t') Q (f) dt'.
0
Таким образом,
т
и (т) = -±- J sin Хо (т — f) Q (f) dt',	(36)
° о
т
и (т) = -1- У cos (т — Г) Q (f) dt'. (37)
О
При t > т в системе происходят свободные колебания, ампли-
туда которых, равная максимальной деформации амортиза-
тора, определяется, как известно, следующим образом:
Ц2 (т)
При отсутствии демпфирования максимальное усилие соот-
ветствует максимальной деформации. Поэтому
= V «2(т) + -^.	(38)
Г	Aq
2 М. 3. Коловский
18
ВВЕДЕНИЕ
При выполнении условия (35) ядра интегралов (36) и
’(37) положительны при всех значениях t'. Поэтому, если
I Q (О |max ~ Q/n»
«(*)<-%-(! — cos Лот),
и СО sinХпт.
Учитывая эти неравенства, получаем
i/max = С |/'«2 (О +	< Qm /(l-COsX0T)2-|-Sin2X0T=
= 2Qmsin-^.
Таким образом, при заданных значениях Qm и т величина
максимального усилия, передаваемого амортизатором, оказы-
вается наибольшей, если удар имеет прямоугольную форму.
Отсюда, в частности, следует, что при выполнении усло-
вия (35)/Су окажется меньше единицы, какова бы ни была
форма удара.
Учет демпфирования не изменяет сколько-нибудь суще-
ственно полученных результатов. При ударе прямоугольной
формы для усилия U (и, и) получаем
=	—e~nt (cos\/ —	при t	(39)
U = Qme-nt / cos	Гenx (cosXjt +	sin — 11 +
-j-sinA,^ (sinXfr — cos + у”] } ПРИ * > T- (40)
Если отношение n/Z0 является малым, то, пренебрегая членами
порядка л2Д02, можно получить следующие выражения для
коэффициента динамичности при ударе:
г-	лп\	. л — 2л
—2Л0) ПРИ Т> Хо ’ I
.. о (. лл \ . Лот	„ л — 2л * '
*y*2V~2jdsin_i- при T<_v
ВВЕДЕНИЕ
19
Исследование поведения линейной системы с одной сте-
пенью свободы при вибрационном и ударном воздействии
позволяет сделать следующие выводы:
1) Уменьшение жесткости амортизатора, а следовательно,
и собственной частоты системы приводит к улучшению ее
виброзащитных и ударозащитных свойств. Для того чтобы
линейная система защищала от вибрационных воздействий,
должно выполняться условие
.	(42)
где (omin — наименьшая из частот гармонических компонент,
имеющихся в вибрационном воздействии. Для защиты от
ударных воздействий достаточно, чтобы выполнялось усло-
вие (35).
2) Если выполнено условие (42), то увеличение демпфи-
рования может только ухудшить виброзащитные свойства
системы. С этой точки зрения введение сильного демпфиро-
вания является нежелательным; слабое демпфирование, обес-
печивающее затухание свободных колебаний, возникающих
в системе при ударных воздействиях, оказывается вполне
достаточным для виброзащитных систем.
Эти выводы, составляющие основу линейной теории вибро-
защитных систем, могут быть распространены и на системы
с несколькими степенями свободы. В гл. IV будет показано,
что основные рекомендации (желательность снижения собст-
венных частот системы и нецелесообразность введения в си-
стему сильного демпфирования) сохраняют силу и в этом
случае.
Казалось бы линейная теория предлагает универсальный
метод эффективного решения задач, связанных с защитой от
вибраций и ударов: необходимо создавать достаточно мягкие
линейные системы со слабым демпфированием. Однако опыт
проектирования и эксплуатации реальных виброзащитных
систем показал, что в большинстве случаев этот метод не
приводит к желаемым результатам. Более того, в последние
годы развитие конструкций виброзащитных систем пошло
в направлении, противоречащем рекомендациям линейной
теории. Появились и получили широкое применение жесткие
и сильно демпфированные системы. Причиной такого несоот-
ветствия является ограниченность линейной теории, ее
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
непригодность для описания ряда явлений, происходящих
в виброзащитных системах.
Ограниченность линейной теории связана в первую оче-
редь с ограниченностью размеров виброзащитных устройств.
Любой реальный амортизатор может иметь линейную упру-
гую характеристику лишь в некоторой области значений
деформации, называемой обычно областью линейности}
в любой реальной виброзащитной системе должны сущест-
вовать «ограничители хода», устанавливающие предельно
возможные размеры области линейности. Естественно, что
использование линейной 'теории для анализа виброзащитной
системы возможно лишь в том случае, если при заданных воз-
действиях деформации амортизаторов не выходят за пределы
области линейности. Однако во многих задачах выполнение
этого условия оказывается практически невозможным. Рассмо-
трим следующий пример. Пусть мы желаем защитить объект
от удара, вызванного движением основания с ускорением
|=150 м/сек? в течение времени т = 0,05 сек. Максималь-
ное ускорение объекта, равное, очевидно, отношению ит^/т,
не должно превышать 50 м/сек2. Попытаемся применить для
защиты линейную систему без демпфирования. Поскольку
в рассматриваемом случае Qm—т^, получаем
is _ б^тах __ б^шах _ 1
У“ Qm “ тЦ “3-
Отсюда из выражения (34) находим
2 Ку 2
Хо — у arcsin-у = QQg-arcsin 0,167 — 6,6 1 /сек.
Найдем величину наибольшей деформации такого амортиза-
тора при заданном ударном воздействии. Используя фор-
мулу (32), получаем
«max- с ~Ку	- 1,15
Такая величина «свободного хода», разумеется, практи-
чески неприемлема; поставленная задача оказалась невыпол-
нимой, во всяком случае при использовании амортизаторов
с линейной характеристикой.
ВВЕДЕНИЕ
21
Не менее существенными оказываются размерные («габа-
ритные») ограничения при вибрационных воздействиях. Наи-
более четко их влияние сказывается в тех случаях, когда
частота вибрационного воздействия оказывается настолько
низкой, что не удается избежать резонанса. При <о = Х0 фор-
мула (13) дает
_______ Qo _____ Qo
“max — m2nXQ — 2cv ‘
(43)
Для того чтобы ограничить максимальную амплитуду при
резонансе, не допустить выхода системы за пределы линей-
ной области, приходится увеличивать коэффициент v, то есть
вводить более сильное демпфирование.
Однако влияние габаритных ограничений этим не исчерпы-
вается. Они приводят к возможности возникновения ряда
явлений, носящих ярко выраженный «нелинейный характер»
и не обнаруживаемых при линейном анализе. Дело в том, что
в силу ограниченности линейного участка упругой характе-
ристики становится уже неправомерным предположение о не-
зависимости установившегося движения от начальных условий;
в реальных виброзащитных системах оказывается возможным
существование нескольких установившихся колебательных ре-
жимов при одном и том же вибрационном воздействии.
При колебаниях, выходящих за пределы области линей-
ности, виброзащитная система уже не защищает от вибрацион-
ных воздействий; поэтому во всякой удовлетворительно
работающей системе возможность возникновения таких коле-
баний должна быть исключена. Как будет показано ниже, это
достигается в первую очередь за счет увеличения демпфи-
рования. Вместе с тем, как мы видели, с ростом демпфи-
рования ухудшаются виброзащитные свойства системы при
высокочастотных воздействиях; в связи в этим возникает
задача о выборе оптимального демпфирования, решение ко-
торой становится одной из главных проблем теории вибро-
защитных систем.
В свою очередь введение интенсивного демпфирования
является еще одной причиной нелинейности реальных вибро-
защитных систем. Практически сложно осуществить доста-
точно эффективные демпферы, сила трения в которых была бы
пропорциональна скорости; значительно более простыми
22	ВВЕДЕНИЕ
в конструктивном отношении оказываются нелинейные демп-
феры, например, использующие сухое трение.
Чем выше уровень вибрационных и ударных воздействий,
тем сильнее сказываются перечисленные выше обстоятельства,
приводящие к ограниченности линейной теории. Именно
поэтому в последнее время с появлением новых интенсивных
источников вибраций и ударов стала особенно актуальной
необходимость исследования виброзащитных систем нелиней-
ными методами. Изложению этих методов и их приложению
к расчету виброзащитных систем посвящена эта книга.
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Метод гармонического баланса
Метод гармонического баланса служит для разыскания
приближенных периодических решений нелинейных дифферен-
циальных уравнений.
Рассмотрим, например, систему с одной степенью сво-
боды, движение которой описывается дифференциальным
уравнением
х + /(х, k) = F(Qt),	(1.1)
где f (х, х) — нелинейная функция, F (Qt) — периодическая
функция времени, имеющая частоту Й. Предположим, что
уравнение (1.1) имеет периодическое решение частоты (о
^очевидно, что должно быть (0 ——, где р — целое число),
и попытаемся искать это решение в виде ряда Фурье
со
х = а0 4“ S (az cos + bisin ^0»	(1-2)
i = l
co
x = (o 2 j (— ai	tart). (1.3)
r = l
Для определения неизвестных коэффициентов aQi bL под-
ставим (1.2) и (1.3) в (1.1) и разложим периодически^
24
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
функции /(х, х) и F(Qt) в ряды Фурье
f aQ + S (Pi cos tert + bt sin /соО»
со 2 * sin/со/cos tert) =
oo
= /о + S (fci tos last -+- fsl sin tof).
Z = 1
oo
F (Qt) — F (p®t) = ^o+ 2 (A cos sin ^0-
i = l
(1.4)
(1.5)
Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1.1) по-
стоянные составляющие и коэффициенты при coszW и sin zW,
получим систему уравнений для определения коэффициентов
а0, ау h- В общем случае каждый из коэффициентов Д,
Др fsi зависит от всех коэффициентов Фурье функции х (t)\
поэтому система уравнений принимает такую форму:
Д(а0» aV •..» &V • • •) — ^0’
—со^+Д, (а0, ах.by ...) = Ai (Z=l, 2, ...),
-со2^+Д/(ао, ....)	= BZ.
(1.6)
Эту систему бесконечного числа трансцендентных уравнений
с бесконечным числом неизвестных в общем виде решить
невозможно. Только в том случае, когда
/(х, х)==ах + Р*»
то есть когда уравнение (1.1) является линейным, система (1.6)
записывается в более простом виде
аа0 — До; — ay^Fa^aa^^b^ =
— aFFbi +	— te$at = Bt
G=l, 2, ...), 1
(Z=l, 2, ...). f
(1.7)
Для каждого значения l получается независимая система
линейных алгебраических уравнений; это позволяет последо-
вательно определять коэффициенты aQ; by Ь^ ..,
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
25
§ И
Для нелинейных систем приходится ограничиться прибли-
женным определением коэффициентов Фурье, а следовательно,
и приближенным решением уравнения (1.1). Такое прибли-
женное решение можно получить, если оставить в (1.2)
конечное число гармоник, отбросив остальные. Пусть
/ /2* •••» 1т — номера оставленных гармоник; тогда
т
х х — а0 + S (aZr cos Zr(oZ -f- bir sin	(1.8)
г —1
x & x = co 2 tr(— alr sin Ir(i)t -^bir cosZr(dZ). (1.9)
r=l
Подставив (1.8) и (1.9) в f(x, x), получим периодическую
функцию, содержащую, вообще говоря, все гармоники. От-
бросим в этом разложении все гармоники, кроме тех, кото-
рые оставлены в х, то есть примем, что
.	т
f(x, х)^ fo+'Si (fcircoslrG>t+fslr sin irat). (1.10)
r — 1
Приравнивая коэффициенты при одних и тех же гармониках
в левой и правой части уравнения (1.1), получим в этом
случае систему конечного числа уравнений для определения
неизвестных а0, ап, biv . .., ainv bim. Это, вообще говоря,
система трансцендентных уравнений, которую практически
удается решить только при оставлении в х весьма неболь-
шого числа гармоник. Чаще всего ограничиваются отыска-
нием решения в виде
х — aQ 4- ах cos со/ -|~ bx sin со/,	(1 • 11)
то есть оставляют в (1.8) только постоянную составляющую
и первую гармонику периодического решения. Именно в такой
форме рассматриваемый метод разыскания периодических
решений и называется обычно методом гармонического
баланса.
26	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
Уравнения для определения коэффициентов aQ, ах и
записываются в следующем виде:
2л
/о(^о* #1» ^1)=2л J f (ао4“ а\ cos^-h bx зшф,
о
— 6ZiCO sin тр —|— ^icocosip) с?ф = Ло,
2л
— ®Ч-|“ / 7(«о + «icos 1|> + ^Sint.	. (1 12)
— ах(о sin ф + cos Ф)cos Ф ^Ф = А»
2л
— со2&14“7“ / (а0 + cos ф +
Jl J
о
—sin ф + cos ф) sin ф с/ф = Bv
где ф = со/. Введя вместо ах и Ьх амплитуду а и фазу <р
первой гармоники, то есть положив
х = aQ 4- a cos (со£ 4~ ф)«	(1.13)
где
«=/«1 + ^1.	tg(p = —4.	(1-14)
можно упростить выражения (1.12):
2л
/о(«о- a) = ^J /(«oH-ficost. — a®sint)rft = ^o>
О
— со2а cos q>4~
2л
+	/(0°4~acosФ» — а©81пф)со8ф^ф = Лр ^‘15)
о
2л
(02asincp4~ I /(^о+ас08Ф’ ~“аЮ81пф)81пф^ф===В1.
Из этих уравнений можно определить а0, а, ср, если
известна частота периодического решения со. Частота может
считаться известной, если система (1.1) неавтономна, то есть
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
27
§ И
если F (2/) Ф 0. В этом случае, как уже указывалось выше,
частота решения со должна быть в целое число раз меньше 2
(или равна 2); в противном случае при подстановке решения
левая и правая части уравнения (1.1) будут иметь различ-
ный период. Если же система (1.1) автономна (F (2/) = 0),
то частота периодического решения является неизвестной.
Однако в этом случае фаза <р может быть выбрана произ-
вольно, поскольку решение автономной системы вообще
определяется с. точностью до произвольной фазы. Поэтому
в случае автономной системы уравнения (1.15) позволяют
определить л0, а, <о.
Применяя метод гармонического баланса, следует иметь
в виду, что он является математически нестрогим. Прибли-
женное решение вида (1.8) или (1.11) может иметь смысл
только в том случае, если существует точное периодическое
решение уравнения (1.1), в котором амплитуды всех отбро-
шенных гармонических составляющих действительно доста-
точно малы.
Обратное заключение является неверным: из существова-
ния приближенного периодического решения, найденного по
методу гармонического баланса (то есть из существования
вещественных решений системы (1.12)), не следует существо-
вание близкого к нему точного решения той же частоты.
Предположение о существовании периодического решения
должно быть дополнительно обосновано какими-либо иными
соображениями, не связанными с методом решения.
Этот недостаток присущ всем приближенным методам,
рассматриваемым в этой главе. Во всех этих методах заранее
предопределяется форма искомого решения, то есть выби-
рается некоторое семейство функций, зависящее от конечного
числа параметров, и предполагается, что решение принадлежит
этому семейству. В (1.11) такими параметрами являются
av bx. Естественно, что найденное таких путем решение
может оказаться достаточно точным только в том случае, если
форма его «угадана» правильно, то есть если среди функций
семейства существует такая, которая мало отлйчается от
точного решения.
Выбор формы решения чаще всего производится на основе
физических соображений, то есть на основе некоторых априор-
ных представлений о свойствах рассматриваемой системы.
В частности, при анализе виброзащитных систем обычно
28
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
оказывается допустимым пренебрежение высшими гармони-
ками в периодическом решении. Это происходит потому, что
любая виброзащитная система является механическим филь-
тром низких частот. Переписав уравнение (1.1) в форме
Х = ~/(х, x)H-F(20,	(1.16)
нетрудно заметить, что даже если функции F(Qt) и /(х, х)
содержат существенные по величине высшие гармоники,
решение для х может оказаться мало отличающимся от гар-
монического, поскольку амплитуды всех гармоник будут при
двухкратном интегрировании делиться на квадрат номера
гармоники. Записав уравнение (1.1) в форме (1.16), можно
построить систему последовательных приближений к иско-
мому решению на основе рекуррентного соотношения
х(,л)= —/(х(/л-1), x^-^+F^).	(1.17)
Не рассматривая здесь вопрос о сходимости этого ите-
ративного процесса к точному периодическому решению,
отметим только, что, приняв в качестве первого приближе-
ния гармоническое решение (1.11), подставив его в правую
часть соотношения (1.17) и произведя интегрирование, можно
получить так называемое «улучшенное первое приближе-
ние», содержащее уже, вообще говоря, все гармоники
со
ху=-2	cosiv>t +	Sin Zoz) + a0. (1.18)
z = 1
Нетрудно видеть, что коэффициенты при cos со/ и sin со/
в этом выражении совпадают с аг и таким образом,
улучшенное первое приближение не приводит к уточнению
первой гармоники и постоянной составляющей по сравнению
с первым приближением.
Часто при разыскании улучшенного первого приближения
в функции /(х, х) выделяют линейную часть. Пусть
f(x, x) = k2x-j-g(x, х),	(1.19)
где
₽ = -g-(0. 0);	£(0.0) = 0.
§ 1]	МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА	29
Тогда уравнение (1.1) можно записать в таком виде
x-±-k2x = — g(x, x)4-F(2/).	(1.20)
Если
^(а0+ cosco/-}-/^ sin со£, — ajCd sin со/4-^(0 cos со/) =
= go + 2j (gCi cos i&t + gsl sin l&t),
то для улучшенного первого приближения получается сле-
дующее выражение:
оо
Ху = -2	cos ZW+	Sinzw) + a0. (1.21)
Z = 1
Подставляя (1.11) в (1.19), легко убедиться, что при
fci = Sci и fsi = gsi> поэтому выражения (1.21) и (1.18)
дают различные значения для коэффициентов Фурье при
высших гармониках решения. Выражение (1.21) оказывается
предпочтительнее в тех случаях, когда нелинейная часть
является заведомо малой, то есть когда мы имеем дело
со слабо нелинейной системой. Впрочем, при анализе вибро-
защитных систем обычно рассматриваются такие периодиче-
ские режимы, для которых k. Тогда при Z^>2, /2(о2^>£2,
и различие между (1.18) и (1.21) становится несущественным.
Метод гармонического баланса легко обобщается на системы
более общего вида. Для произвольной динамической системы
х = Х(х, О,	(122)
где X и х— n-мерные векторы, а X—периодическая функция t
частоты Й, можно искать решение периода ю = — в виде ряда
Фурье
х = а0 2 cos sin ZCd^’ (1.23)
i -1
где а0, а/, Ь[ — л-мерные векторы, составляющие которых являются
коэффициентами Фурье периодических функций xit ..., хп. Под-
ставляя (1.23) в (1.22) и раскладывая периодическую функцию X
в ряд Фурье, получаем бесконечную систему векторных уравнений
для определения неизвестных векторов а0,	а2» •••>	Ь2, ...
Ограничиваясь постоянной составляющей и первой гармоникой,
то есть разыскивая приближенное решение в виде
л == а0 + cos ctf-|-di sin ©Л	(1.24)
30	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. 1
получаем систему трех векторных уравнений с тремя неизвест-
ными. Как и в случае системы с одной степенью свободы, допусти-
мость пренебрежения в решении высшими гармониками опреде-
ляется фильтрующими свойствами линейной части системы, харак-
терными для виброзащитных систем, у которых спектр собственных
частот лежит обычно ниже спектра частот внешних воздействий.
Следует отметить, что ошибка, допускаемая при отбрасывании
высших гармоник, существенно зависит и от вида нелинейной
функции Х(х, /). Эта зависимость определяется следующей тео-
ремой. Пусть функция Х(х, t) непрерывна и имеет непрерывные
частные производные по х и t вплоть до s-го порядка (это означает,
dXj dXj д2Х; d2Xj
что непрерывны производные	gg-gf и т. д„
где Xj — составляющие вектора X). Тогда для остатка ряда Фурье,
получающегося при отбрасывании первых т гармоник в перио-
дическом решении уравнения (1.21), справедлива оценка
(1.25)
а для коэффициентов — оценка
^-2,	^Т2.	(1-26)
nms+z
Здесь Rmi — остаток ряда Фурье для составляющей х/ периоди-
ческого решения x(t)\ amh bmi — коэффициенты Фурье; Vi— неко-
торая постоянная, не превышающая величины полного изменения
(s + l)-M производной по t от х/. Доказательство этой теоремы
основывается на том, что оценки (1.25) и (1.26) справедливы, если
Xi имеет по t непрерывные производные вплоть до (s -f- 1)-го по-
рядка. Это — известное положение теории рядов Фурье, доказа-
тельство которого имеется, например, в [52].
Остается показать, что х (t) имеет непрерывные производные
вплоть до ($-|-1)'го порядка. Действительно, подставляя решение
x(t) в уравнения (1.22), получим тождество
х (/) = Х(х (/),/)•	(1-27)
Справа стоит непрерывная функция от /, поэтому и х (t) непре-
рывна. Продифференцировав (1.27) по /, получим
= # + (L28)
Вследствие принятых допущений и непрерывности x(Z), в правой
части (1.28) стоит непрерывная функция t. Следовательно, х не-
прерывна. Продифференцировав (1.28) еще s—1 раз, легко пока-
зать аналогичным способом, что х (t) имеет непрерывные произ-
водные вплоть до (s-f-l)-ro порядка.
§ 2]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАССЫ НА ПРУЖИНЕ
Из доказанной теоремы следует, что чем более «гладкими»
являются нелинейные функции, входящие в дифференциальные
уравнения, тем с большим основанием можно предполагать, что
метод гармонического баланса даст положительные результаты.
Более глубокие обоснования метода гармонического баланса,
основанные на рассмотрении интегральных уравнений, содержатся
в работах Е. Н. Розенвассера [45» 46].
§ 2. Свободные колебания массы на нелинейной пружине
В качестве примера применения метода гармонического
баланса рассмотрим задачу о свободных колебаниях массы,
имеющей одну степень свободы, на пружине с нелинейной
упругой характеристикой (рис. 5). Как будет показано ниже,
эта задача имеет прямое отношение к теории ви-
брозащитных систем.
Выберем начало координат в положении ста-
тцческого равновесия; тогда уравнение свободных	х
колебаний массы т запишется в следующей форме:	р
х + /(х) = 0,
(2.1)
пружины к массе.
Если исследуются колебания, происходящие Рис*
вблизи положения равновесия, и функция /(х)
имеет непрерывную первую производную в точке х — 0, то
уравнение (2.1) может быть линеаризовано, то есть функ-
ция /(х) может быть заменена на
&x = f (0) х.
При этом общим решением полученного линейного уравне-
ния будет гармоническая функция времени частоты k.
Если, однако, мы не ограничиваемся исследованием малых
колебаний или если при х = 0 /(х) не имеет непрерывной
производной, то обычная линеаризация становится недопу-
стимой.
Уравнение (2.1) интегрируется в квадратурах при помощи
подстановки
32
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Интегрируя получающееся уравнение по х, найдем
4 + j/(x)dx = C,
О
(2-2)
где С — произвольная постоянная.
Система (2.1) консервативна, и (2.2) является интегралом
энергии. Величина С представляет собой полную энергию
колеблющейся системы, отнесен-
ную к единичной массе. Уравне-
нию (2.2) соответствует замкну-
тая кривая на плоскости v — х
(рис. 6); изменяя величину С, по-
лучим семейство кривых, называе-
мых фазовыми траекториями.
Изменению х и v в процессе
движения соответствует переме-
щение изображающей точки по
фазовой траектории. Замкнутость
фазовых траекторий означает, что движение в рассма-
триваемой системе будет периодическим. Из (2.2) получаем
откуда
х	I	х	\
t —t0 = f	|П(х) = f f(x)dx\. (2.3)
0 J /2 [С — П (х)] I J /
Обратив интеграл (2.3), получим закон движения системы
при начальных условиях
9	^0
Г
t=-t0. х = х0,	С==у-4- j f(x)dx. (2.4)
О
Отметим, что если ср(/) есть решение уравнения (2.1),
то ф (t + т) будет также решением этого уравнения при любом
вещественном значении т. Это следствие автономности си-
стемы. Все решения, соответствующие различным значениям т,
изображаются одной и той же фазовой траекторией.
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАССЫ НА ПРУЖИНЕ	33
Точная зависимость х(/), как правило, не выражается
в элементарных функциях; это существенно усложняет иссле-
дование закона движения. В частности, из (2.3) и (2.2) трудно
получить в явном виде зависимость частоты свободных коле-
баний от амплитуды. Значительно удобнее исследовать при-
ближенное решение, которое может быть получено методом
гармонического баланса. Поскольку система автономна, час-
тота периодического решения заранее неизвестна. Обозначим
ее через Л и будем искать решение вида
х = а0 4" a cos (М 4- ф).	(2.5)
Как уже отмечалось, в силу автономности системы фаза ф
может быть выбрана произвольно (введение фазы ф экви-
валентно сдвигу решения во времени на x = Поэтому
можно ограничиться разысканием частного решения, соответ-
ствующего ф = 0:
х = а04- a cos kt.	(2.6)
Подставив (2.6) в /(х), представим полученную периоди-
ческую функцию в виде ряда Фурье. Поскольку решение
(2.6) зависит только от cos И и не содержит члена с sin X/,
оно является четной функцией времени. Но тогда и /(х)
должно быть четной функцией Л то есть разложение /(х)
в ряд Фурье должно содержать только члены с косинусами
кратных гармоник:
/(х) = /о+ SAcos/U	(2.7)
i = l
где
2л
/о = 27 J / («о + a cos Ф)	(2.8)
О
2л
ft = J /(а0+ а cos ф) cos/ф б/ф. (2.9)
о
Следуя методу гармонического баланса, отбрасываем в (2.7)
все члены разложения, кроме постоянной составляющей и
первой гармоники, то есть полагаем
/(x)^/0 + /iCosU.	(2.10)
3 М- 3. КоловскиЙ
34
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. I
Подставляя (2.10) в (2.1), получаем
— Х2а cos V + /о + /i cos = 0.	(2-И)
Приравнивая нулю постоянную составляющую и коэффициент
при cosM, получаем два соотношения, связывающие неиз-
вестные а0, а, X:
2Л
f0(a, а0) = Д-J/(а04-«созф)(/ф = 0,	(2.12)
о
2л
^2 = -^-/1(«. «о) = -з^- I /(«0 + « созф)со8ф</ф. (2.13)
о
Первое из этих соотношений связывает функциональной зави-
симостью смещение середины размаха колебаний aQ и ампли-
туду а. Несовпадение середины размаха с положением равно-
весия является характерной особенностью свободных колебаний
——а ——
—-----2а
Рис. 7.
метричной функции f (х) это
в нелинейной системе. Это явле-
ние легко объяснить с энерге-
тической точки зрения. Потен-
циальная энергия, накопленная
упругой пружиной (функция
П(х) в (2.3)), графически вы-
ражается площадью, ограничен-
ной кривой /(х), и ординатой
(рис. 7). В крайних положе-
ниях, в силу консервативности
системы, потенциальная энер-
гия должна быть одинаковой
(площади треугольников ОАА'
и ОВВ' равны); для несим-
возможно только при смещении
середины размаха.
Если с помощью (2.12) выразить а0 через а и подставить
в (2.13), то получится соотношение, связывающее квадрат
частоты свободных колебаний с амплитудой первой гармоники:
2л
X2 = J / [«0 («) f « cos ф] cos ф </ф.
о
(2.14)
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАССЫ НА ПРУЖИНЕ	35
Это соотношение выражает вторую характерную особенность
свободных колебаний в нелинейной системе — зависимость
частоты от амплитуды. Оно имеет фундаментальное значение
в теории виброзащитных систем и поэтому заслуживает более
подробного исследования.
Графическое изображение зависимости к (а) называется
скелетной кривой. Соотношения (2.12) и (2.14) устанавли-
вают однозначное соответствие между функцией / (х) и фор-
мой скелетной кривой.
Значение X при а == 0 совпадает с собственной частотой
линеаризованной системы, то есть
Х(о) = л = у7чб),
если только f (х) непрерывна при х — 0. Это — частота
малых свободных колебаний нелинейной системы.
Пусть /(х)—нечетная функция, то есть/(х)= — /(—х).
Тогда решение уравнения (2.1) не должно содержать четных
гармоник; в частности, ао = О (кривая f (х) симметрична
относительно положения равновесия). При этом
л
2л	2
1 Г	4 Г
Х2 =— f (a cos ф) cos ф ^ф = — f(a соэфЧозфб/ф.
ли J	ли j
о	о
Интегрируя по частям, получим
л
Т
X2 —/' (a cos ф) sin2 ф^/ф.
1 6
Следовательно,
л
2
/7	4 Г
— (Д2) —— f"(a cos ф) sin2 ф cos ф с/ф. (2.15)
и и	«ГС
о
В интервале 0<Сф<^-у, 81пф^>0, созф>0. Следовательно,
знак производной d (k2)/da совпадает со знаком при
х > 0.
3*
36
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Если при х
называется жесткой
й
Мягкая
Линейная
Жесткая
О
К
Рис. 8.
О /"(х)>0, то упругая характеристика
(жесткость /' (х) растет с ростом х);
если знак /" (х) противоположен
знаку х, упругая характеристика на-
зывается мягкой.
Таким образом, в случае жест-
кой симметричной упругой характе-
ристики частота свободных колебаний
растет с ростом амплитуды, а в слу-
чае мягкой — убывает. В дальней-
шем мы будем условно говорить
о «жесткой» или «мягкой» скелетной
кривой в зависимости от знака dk/da
(рис. 8). Для линейной упругой ха-
рактеристики
/ (х) = №х
л
скелетная кривая превращается в прямую, параллельную оси
ординат k — k (здесь частота колебаний не зависит от ампли-
туды). Если производная dkjda при одних значениях а поло-
жительна, а при других — отрицательна, то скелетная кривая
называется кривой смешанного типа.
Рассмотрим как изменяется форма скелетной кривой при
равновесия в системе с симметрич-
ной упругой характеристикой. Пусть
упругая характеристика является
жесткой (рис. 9). Тогда при положе-
нии равновесия х = 0 скелетная кри-
вая также будет «жесткой» (рис. 10,
кривая У). Она будет выходить из
точки
а = 0, X = k = ]//'(0).
Сместим положение равновесия в точ-
ку Ov В этой точке значение /'(х)
больше, чем /' (0); поэтому для
смещенного положения равновесия
к (0) > k. Поскольку упругая харак-
теристика несимметрична относительно точки Ор при а > 0
середина размаха будет смещаться. Из условия равенства
площадей треугольников ОгАА' и ОХВВ' очевидно, что сме-
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАССЫ НА ПРУЖИНЕ	37
щение будет происходить в сторону прежнего положения
равновесия. Это означает, что скелетная кривая будет при-
ближаться к прежней; в результате она примет форму, пока-
занную на рис. 10 (кривая 2). Получилась кривая смешан-
ного типа. Характерная особенность систем со скелетными
кривыми смешанного типа — возможность существования двух
и более режимов свободных колебаний с различной ампли-
тудой и одинаковой частотой
(Xj на рис. 10).
Найдем теперь улучшенное
первое приближение. Для этого
подставим (2.7) в (2.1)
•£“F/o~F
+ 2 ficosixt = 0. (2.16)
f = l
Для того чтобы х было
периодической функцией вре-
мени, должно выполняться
условие (2.12); в противном
случае появляется член /0А Предполагая, что условие (2.12)
выполнено и интегрируя (2.16), найдем
х = а04-	cos iM.	(2.17)
Очевидно, что выражение для коэффициента Фурье при
первой гармонике
2Л
ai = jr /1 =	/ /(а04-асо511>)со51НФ
о
совпадает с (2.13). Таким образом, значения aQ и ах — а
в улучшенном первом приближении не изменились.
Если принять, что
f (х) = k2x 4- g (х)	(k2 = f (0)),	(2.18)
то уравнение для определения улучшенного первого прибли-
жения получится в следующей форме:
х 4- k2x + 2 Si cos + So = 0»	(2.19)
f=i
38
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
где
2л
go =	[ g (flo+ a cos 1|))
6
2л	(2.20)
gt = J g (а0 + a cos ф) cos /ф яГф.
о
Отсюда
оо
х =	/2Х2^— k2 Cos	(2-21)
i = \
Таким образом,
2л
а0 = —-||= —2^ J £(a0+acosi|)) Ji|), (2.22)
о
2л
а = ах = j2glk2 = л	J (ао+ я c°s ф) cosфdty.
о
(2.23)
Рассмотрим некоторые примеры:
1.	f (х) = k2x + ух3.
В силу симметрии характеристики коэффициенты Фурье
при четных гармониках решения обращаются в нуль (по-
скольку g2p = 0). Для коэффициентов при нечетных гармо-
никах получаем
2л
^41 = ^] y(acosxp)3cos(2p+1)фбГф =
о
= -^- ( (cos -|—3 cos ip) cos (2/?I) Ip rftp.
9
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАССЫ НА ПРУЖИНЕ
39
Если р =£ 0 и р 1, то g2p+i
2л
gj = J (cos Зф + 3 cos ф) cos ф t/ф = уа3,
о
2л
g3 — ¥£— j (cos 3i|? —J— 3 cos ф) cos Зф r/ф = ya3.
о
Следовательно, по формуле (2.21)
Ху = —( ^2 — k2 C0S 9Д2___________k2 C0S 3^) •
Амплитуда а связана с частоте
(2.23):
____ 3 уа3
а~^ I2 — k2 '
или
a2 = -^-(l2-fe2).	(2.24)
Скелетная кривая, определяемая этим
уравнением, является частью гиперболы
при у > 0 и частью эллипса при у < 0.
Таким образом, для кубической ха-
рактеристики улучшенное первое при-
ближение содержит только первую и
третью гармонику. Вообще можно по-
казать, что если f (х)— полином сте-
пени /и, то улучшенное первое приближение содержит
гармоники кратности не выше т.
2.	/ (х) =/г2х 4" sign х (рис. 11).
Здесь sign х — функция х, равная -ф-1 при х > 0 и — 1
при х < 0. В этом случае g2p также обращаются в нуль, а
2Л
^+i = v J sign (cos ip) cos (2р-|-1)ф dip = (— 1/--^^.
(2.25)
Следовательно,
Рис. 11.
p=0

cos (2/>-h 1) ф
&p + 1) [V (2/? 4“ 1)2-F] *
(2.26)
40
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 1
Уравнение скелетной кривой:
__________________________ 4с
а ~ л (V — Л2) 
Форма кривой показана на рис. 12.
3.	f (х) — k?x	при
f (x) — k2x &2)(|х| — Ь) sign х при
(2,27)
И <ft. |
| XI > ft. J
Рис. 12.	Рис. 13.
В этом случае g2p = О,
л
2
4 f
g2p<\=~ I g (л COS ф) cos (2р 4- 1)ф</ф =
о
л
7
=I (М — /г2) (a cos 4 — ft)cos(2p 4 1)4>бЛ|> (а > ft),
&
ГДе
4% = arccos —.
T1	а
Ограничимся вычислением коэффициента при первой гармонике
л
2
~ л” f * ~ соз2ф~ ft cosф)^4? =
Ф»	_______
= a (k\ — £') 11 - V a2 — ft2 — — arcsin —) .
4	7 \ ла2	л	a)
§ 3J	ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ	И
Уравнение скелетной кривой (рис. 13)
’•! = Т- + ‘! =
= *' + « -	('	- -J arcsin |) . (2.28)
§ 3. Гармоническая линеаризация
В гл. II будет показано, что уравнения движения вибро-
защитных систем, при некоторых предположениях о свой-
ствах упругих амортизаторов, могут содержать нелинейные
функции, зависящие только от одного скалярного аргумента
и, может быть, еще от его производной по времени. Не-
линейности такого вида
/ = /(*, х)	(3.1)
будут в дальнейшем называться простыми.
Предположим, что мы разыскиваем по методу гармони-
ческого баланса периодическое решение частоты (D системы
уравнений, содержащей простую нелинейность вида (3.1).
Подставляя в (3.1)
х = а04- acosfttf, х = — aosincot (3.2)
получим периодическую функцию частоты со. По методу
гармонического баланса мы должны в разложении этой функ-
ции в ряд Фурье отбросить все гармоники, кроме нулевой
(постоянная составляющая) и первой. Очевидно, что если
существует такая функция /*(х, х), которая при подста-
новке (3.2) раскладывается в ряд Фурье, отличающийся от раз-
ложения /(х, х) только высшими гармоническими составляю-
щими, то замена в уравнениях движения функции / на
функцию f* не изменит решения, полученного по методу
гармонического баланса. Постараемся выбрать /*(х, х) таким
образом, чтобы отыскание гармонического решения системы
дифференциальных уравнений не вызывало затруднений.
С этой целью выберем /* в виде функции, линейно зави-
сящей от х и х:
/♦ (х, х) = <?х 4-гх Ч- s,	(3.3)
где rt s—некоторые коэффициенты.
42	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
Подставляя (3.2) в (3.3), получим
/*(^0+^coscoZ, — flcosinco/)—
= qa cos со/ — racosin со/ —f— s —f— qa$. (3.4)
Для дальнейшего удобно ввести обозначения
х° = х — aQ = a cos со/, х° = х, s qa$ = /0.
Тогда (3.3) запишется в форме
/* (х, х) = qx° + гх° + /0.	(3.5)
С другой стороны, подставляя (3.2) в (3.1) и отбр.асывая
высшие гармоники, получим
/(л0+я cosco/, — acosinco/)^ + fXc cos со/ 4- fXs sin со/.
(3.6)
Здесь
2л
1 Г
/0—2^ I /(«o+«cos4>, —а(>)sini|>)di]>,	(3.7)
о
2Л
fic = ^ J/(«o+ a costy, —fltosini|>) cosij>di|), (3.8)
о
2л
/ь — — J f (ao+ я cos ф, —acosinip) sinxpcZtp. (3.9)
о
Для того чтобы при отыскании решения гармонического
вида можно было заменить нелинейную функцию (3.1) линей-
ной функцией (3.5), необходимо и достаточно выбрать
коэффициенты q, г, /0 следующим образом:
2л
/о = f'o = J f («о+ a cos 11). — ао sini|))	= /0 (а0, а, о).
0	(3.10)
q =	=
а
2л
= J /(я0+ас°5ф»—асо sin ф) cos ф d^ — q(aQt а, со),
Q
(3.11)
§ 3]	ГАРМОНИЧЁСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ	43
__ f is
2л
J /(^о+ л cos гр, — лсо sin гр) sinip= г (бг0, а, со),
о
(3.12)
Коэффициенты линейной функции оказались зависящими от
параметров искомого решения. В этом — коренное отличие
метода гармонической линеаризации от обычной линеаризации,
принятой в теории малых колебаний. Коэффициенты q, г, /0
могут считаться постоянными только при отыскании реше-
ния вида (3.2).
Для определения параметров колебательного процесса
необходимо решить линеаризованное уравнение, полученное
при замене / на /*. Если система автономна, то в результате
решения будут получены зависимости а0, а и со от /0, q и г;
«о=ао(/о- 7. г),
а = а (/0, q, г),
® = ®(/0, q, г).
(3.13)
Подставляя сюда /0> q, г из (3.10) — (3.12), получим три
уравнения с тремя неизвестными, решение которых дает
искомые значения а0, а, со.
Если система неавтономна, то частота со должна считаться
известной. Однако в этом случае появляется новый неизвест-
ный параметр — сдвиг по фазе между решением и периодиче-
ской функцией времени, входящей в уравнение.
Пусть
/(х, х) = /<1Чх) + /(2)(х, X),	(3.14)
причем
/(2) (х, х) =— /(2) (х, —х).
В механических системах представление нелинейной силы
в форме (3.14) соответствует обычно выделению в ней упру-
гой и диссипативной составляющей.
44
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Нетрудно видеть, что
f /(2)(«о + a cos ip, —a® sinip) dip =
о
л
= f f(2) («о + л cosip, —acosinip) dip-{-
o
2л
J* —/(2) («о+ # COS Ip, «(OSinip)dlp = O,
л
2л
J/(2,(«o + acosip, —асо sin ip) cos ip dip ==
о
Л
= ff(2) («o + a cos ip, —aco simp) cosip dip 4-
o
2л
-+ j* — y(2) (до _|_ a cos acd sjn cos дЧр — 0,
я
2л
0
2л
= J* /(1) (flo+a C0SIP) I—(cos ip)] = 0.
о
Поэтому для данного случая
2л
J /(,>(a0+«cos^)^ = /o(«o. «)<	(3.15)
о
2л
<7 = —	/(1) (flo+ а cosip) cosip dty = q ((z0, a),	(3.16)
ла j
о
2л
r~~ по®/ /(2) («о + ° cos г1’> ~ ao>sin4>)sini|)di]) =
о
= r{a0, a, co). (3.17)
§ з]
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
45
Применим метод гармонической линеаризации к некоторым
частным задачам.
Рассмотрим сначала систему (2.1). Заменяя f (х) функ-
цией /* (х) = /0+ qxQ, получаем «линейное» уравнение
i'° + /o+^° = O>	(3.18)
где /0 и q определяются по (3.15) и (3.16). Решая уравне-
ние (3.18), получаем
/оОо- а) = 0,	(3.19)
х°—acosX./, Х2 = ^(а0, а).	(3.20)
Полученные соотношения совпадают с (2.12) и (2.13), что
и следовало ожидать, поскольку метод гармонической линеа-
ризации является, по существу, модификацией метода гармо-
нического баланса.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания в нелинейной
системе с одной степенью свободы при вынуждающей силе,
содержащей гармоническую и постоянную составляющие
х + /(х, х) — ДоЧ- A cos со/.	(3.21)
Решение уравнения ищем в виде
х = а0Ч~ a cos (со/Ч“ ф)» х =— а(О51п(со/-|-ф). (3.22)
Линеаризуем нелинейную силу /(х, х):
х0Н-<7Х° + гх° + /0 = До+Д cosctf. (3.23)
Подставляя (3.22) в (3.23), получаем
a (q — со2) cos (со/ 4“ ф) — г асо sin (со/ Ч~ ф) + /0 =
= До Ч A cos [(со/ + ф) — ф] =
= A [cos (со/ ф) cos ф Ч- sin (со/ Ч~ ф) sin ф! + ^о-
Отсюда
/о (ао» а) — ^0*
a(q — со2) — A cos ф,
— гаы = А зтф.
(3.24)
46
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. 1
Из двух последних соотношений находим
V[q2 (а0, а) — и2]2 + г2 (<zQ, а) <о2 ’
(3.25)
tgq>
г (aQ, а) (д
(о2 — q (а^а)
(3.26)
Решая систему уравнений (3.24)*—(3.26), можно найти aQ, а, ср.
§ 4. Линеаризация по критерию минимума
среднеквадратичного отклонения
В виброзащитных системах часто происходят колебания
полигармонического вида
N
х = а04- 2 azcos(<o/ + i|)z) = a0-|-x0(0.	(4.1)
i = l
Если частоты являются целыми кратными некоторой
частоты со, то функция (4.1) будет периодической; если среди
частот имеются такие, отношение которых выражается
иррациональным числом, то (4.1) относится к классу так
называемых почпги-периодических функций.
С решениями вида (4.1) приходится иметь дело, например,
при исследовании вынужденных колебаний, вызванных воз-
действием на систему нескольких независимых периодических
возмущений. В этих случаях уже нельзя пользоваться методом
гармонической линеаризации, поскольку в х(/), а следова-
тельно, и в f[x(t), x(t)] может не быть одной превалирую-
щей гармонической составляющей. ,
Вместе с тем во многих задачах оказывается допустимой
линеаризация нелинейной функции f (х, х), основанная на
других критериях «близости» к ней линейной функции
вида (3.5). Одним из таких критериев может служить вели-
чина среднеквадратичного отклонения /*(х, х) от /(х, х)
на бесконечном интервале времени
г, f0) =
т
{/ [X (0. X (01 ~ qx° (/) - rx°(t) — /0}2 dt.
(4.2)
§ 41
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
47
Линеаризация по критерию минимума среднеквадратичного
отклонения заключается в выборе таких значений q, г, fQ,
при которых Ф имеет минимальную величину.
Для разыскания минимума приравниваем нулю первые
частные производные
т
4г~ “— Иш -L [ [/(*’ х)—гх°—fg]xQdt = О,
т
дФ ___ дг дФ _ <>f0		Нт 4 1 [f(x, х)—qx°—гх°—/0] х° dt — O, т Пт -Г | [/ (х, х) — qx° — rx°—f0] dt = 0. T->oo 7 J	(4.3)
Если	x(t) имеет форму (4.1), то т		•
Игл Т -»оо	1 , т	x°xo<ft=lim 414-1-*° (DI2 — 4- [х°(0)]4 о	Т->оо T I 2	2	1	= 0,
		т	т	
		lim 4 f x°^ = 0, Нт ’ f k°dt = O. 7 J	T->oo 7 J ^0	0	
Учитывая		эти соотношения, из (4.3) получаем	
		г	
		q— X* lim — 1 /(х, х)х°б/Л Г->оо Г J	(4.4)
		Т г = -4- Нт -4 1 /(x> x^x^dt, Г-»со J J	(4.5)
где		Г f0 = lim -L 1 f(x, x)dt, г! Т	т = lim 4 1 (x^dt, ol— lim 4 f (x°)2dt T-^-co 'J	v	‘ J	(4.6) (4-7)
48
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. I
Известно (см., например, [52]), что выполнение неравенств
д2Ф
dq2
О,
д2Ф
dq2
д2Ф
dq dr
d2®
dq dr
д2Ф
dr2
>0,
d2®	д2Ф	д2Ф
dq2	dq dr	dqdfo
d2<b	<Э2Ф	д2Ф
dq dr	dr2	drdfo
д2Ф	а2Ф	д2Ф
dq dfQ	dr df0	dft
> 0 (4.8)
является достаточным условием минимума функции (4.2) при
значениях q, г, /0, найденных из (4.3). Эти условия выпол-
няются, поскольку
г	т
= J =	-^=^7 J =
о	о
т
d2<b ..	1 f - д2Ф д2Ф д2Ф n
—5-= lim -=r	dt—\,	„ = - - = --	—0.
dfl r->oo 7 J	дЧдг	drdfo
Таким образом, линейная функция х и х с коэффициен-
тами q, г, /0, определяемыми выражениями (4.4)—(4.6),
является наиболее близкой к f(x, х) в смысле среднеквадра-
тичного отклонения на бесконечном интервале времени.
Естественно, что близость по среднеквадратичному откло-
нению не эквивалентна близости в каждый момент времени,
поэтому линеаризация по минимуму среднеквадратичного
отклонения, как и гармоническая линеаризация, является
методом, не вполне корректным в математическом отношении.
Существование полигармонического решения линеаризованного
уравнения, вообще говоря, не гарантирует существование
близкого к нему точного решения нелинейного уравнения.
Как и при применении метода гармонического баланса, про-
блема существования решений, близких к полигармоническим,
решается обычно на основе физических соображений.
При применении метода линеаризации по минимуму средне-
квадратичного отклонения частоты coz в разыскиваемом реше-
нии вида (4.1) обычно являются заданными. Тогда коэффи-
циенты (4.4) — (4.6) являются функциями параметров а0,
...» aN> фр фдр С другой стороны, при решении
линеаризованного уравнения параметры aQ, ..........aN,
§ 4]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
49
фр ...» фдг оказываются функциями коэффициентов q> г и /0.
Подставляя эти функции в выражения (4.4) — (4.6), получим
систему трех уравнений с тремя неизвестными
q = q(a0, а{.......aN, ..........Флг)-
г = г(а0, а{,	aN, ..........Фдг),
/о = /о(«о> ai.......aN< 4’1.......Флг)>
(4-9)
где
«1 =«;(<?. Г, /0) (i = 0, 1, .... N),
Ф1 = Ф1(?. Г, Л) (/=1.........Ю-
Из этих уравнений могут быть определены значения коэффи-
циентов линеаризации, а затем, из линеаризованных уравне-
ний, и значения параметров и фр
Покажем, что метод гармонической линеаризации обеспе-
чивает минимизацию среднеквадратичного отклонения функ-
ции (3.5) от функции (3.1) на решении гармонического вида.
Действительно, подставив (3.2) в (4.4) — (4.6), получим
т
q — -~ Hm ~ I /(а04~ a cos(o/, — acosincof) dt =
ах т+ м j
2я
а г
2^2”	/(#о + асоэф, — а(д$1пф)со8ф^ф,
х Q
т
lim— f f (a0-|-acos(dt—a<osin<of)(—acosin(D/)^ =
г->оо T J
о
2л
=— Г / (а0 4-а cos ф, — асд81пф)81пф^ф,
2ла; J
о
т
= Пт 4г Г /(а0+ a cos со/, — асо sin (at) dt=*
Т-^оо *
2Л
= J / (а0 + a cos ф, — а(д sin ф) б/ф.
о
4 М. 3. Кисловский
50
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
1ГЛ. I
Поскольку в этом случае
2л
(О
2 G) I z	„э ,, а2
ох = — J (a cos (dt)2 dt==-^
о
2л
(0
2	® f ,	•	U2(j)2
ov = -^—	(aoisincoO2 dt = —5—
0
полученные соотношения для q, г и /0 тождественно со-
впадают с (3.10) — (3.12). Таким образом, метод гармонической
линеаризации может считаться частным случаем метода ли-
неаризации по критерию минимума среднеквадратичного
отклонения.
Линеаризация по минимуму среднеквадратичного отклоне-
ния редко применяется в приведенной форме. Зависимости
коэффициентов линеаризации от параметров полигармониче-
ского процесса оказываются обычно весьма сложными. Во
многих случаях получение этих зависимостей в явной форме
вообще не представляется возможным. (например, при ку-
сочно-линейных функциях /(х, х)). Чрезвычайно громозд-
кими получаются и уравнения (4.9). Для упрощения рас-
сматриваемого метода требуется уменьшить число параметров
полигармонического процесса, от которых существенно зависят
коэффициенты линеаризации. Один из способов уменьшения
числа параметров рассматривается в следующем параграфе.
§ 5. Линеаризация по функции распределения
Функцией распределения W (и) полигармонического про-
цесса (4.1) будем называть относительную продолжительность
интервалов времени, в течение которых выполняется нера-
венство
x(t)^u.	(5.1)
Производную dW[du назовем плотностью вероятности
процесса x(t).
§ 5]
Линеаризация по функции распределения
51
Для аналитического
смотрение «единичную»
представления W (и) введем в рас-
функцию 'п(х)
Ч W= •
1 при
1/2 при
О при
х > О,
х = О,
х < 0.
(5.2)
Производная d^dx представляет собой функцию особого
вида — дельта-функцию б(х). Эта функция равна нулю
всюду, кроме точки х = 0; в этой точке она обращается
в бесконечность, причем при любом сколь угодно малом £
е
j 6 (х) dx — т] (е) — т] (— е) = 1;
-£
о	е
J b(x)dx — [ b(x)dx — .
-8	Ъ
(5.3)
Свойства б-функции подробно рассмотрены в [43]. В даль-
нейшем будет использовано только одно из них, непосред-
ственно вытекающее из (5.3). Для любой непрерывной
функции f (х) имеем
ь
j /(х)б(х — xQ)dx = f(xQ) (a<xQ<b)t
а
х>	Ь
J /(x)d(x — x^dx = [/(x)d(x — x0)dx —у/(Хо).
а	х0
(5.4)
Пользуясь определениями единичной и б-функции, получаем
т
W(u)= lim 4г | г] [и — х (/)] dtt	(5.5)
т
=	= *im 4 f 5I« — X(t)\dt. (5.6)
/->oo i J
0
4*
52	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	(ГЛ. 1
Нетрудно видеть, что W (и) представляет собой вероятность
выполнения неравенства (5.1) при случайном выборе значе-
ния t (то есть если t — случайная величина, равномерно рас-
пределенная на бесконечном интервале). Этим и объясняется
применение «вероятностных» терминов для нее и ее произ-
водной.
Функция w(w) обладает всеми свойствами, характерными
для плотности вероятности случайной величины. В частности,
х2
Jw(w)da=l.	(5.7)
Здесь Xi — наименьшее, а х2—наибольшее значение функ-
ции х(/). Если для полигармонической функции (4.1)
N
а== 2 ai>
i=i
то
—а> Х2 ’С а0 + а-
Центральным моментом k-го порядка процесса x(f)
будем называть среднее по времени значение [х° (t)\k
т
Ж*{х(0}= Нт 4- f {xMttfdt. (5.8)
о
В силу (5.6) эти центральные моменты совпадают с цент-
ральными моментами случайной величины, имеющей плотность
вероятности
Х2
Ml {х} = | (« — тх)к w («) du =
Х2	Т
(и — mx)k limi d[«—x(t)]dt =
S
т
= limI [x(0— dt. (5.9)
г*°°' i
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 53
Здесь тх — среднее значение х (t), равное а0,
а0.	(5.10)
Перечислим некоторые свойства нескольких первых цент-
ральных моментов полигармонического процесса.
а) Центральный момент второго порядка называется дис-
персией и обозначается
Л1Цх}=о£.	(5.11)
Если в (4.1) все coz различны (что всегда можно предполо-
жить), то дисперсия не зависит от фаз x|)z и выражается
через амплитуды следующим образом:
N
=	(5.12)
4 = 1
б) Центральный момент третьего порядка ТИз обращается
в нуль, если среди частот coz нет таких, которые удовлет-
воряли бы одному из следующих соотношений:
2coz = со?, ozсо, = сой, coz — 0у = сой. (5.13)
Если же такие частоты существуют, то зависимость /Из от
амплитуд и фаз выражается следующим образом:
= cos (2Ф<~Ф/>+
(5Л4)
Здесь в 2г S2* 2з суммирование производится по тем
сочетаниям чисел j, I и k, для которых выполняются соот-
ветственно первое, второе или третье из соотношений (5.13).
в) Центральный момент четвертого порядка не зависит
от фаз q)z, если среди частот coz нет удовлетворяющих одному
из соотношений:
3(oz = (Dy; 2coz - (Оу ± cda = 0; G)z ± (Оу—-со* ± <oz = O.
(5.15)
54
некоторые приближенные методы
(ГЛ. t
При этом зависимость момента четвертого порядка от ампли-
туд определяется выражением^
(5.16)
Здесь штрих при знаке суммы означает, что суммируются
только члены с j.
Легко определить, что для любого полигармонического
процесса, для которого определяется соотношением (5.16),
отношение М®/вх лежит в следующих пределах:
3	м2	3
-<-4- = е<3------
2	я4	2N
(5.17)
где N — число гармоник в процессе. Наименьшее значе-
ние е, равное 3/2, соответствует гармоническому процессу,
при котором только одна из амплитуд отлична от нуля;
наибольшее значение е принимает в том случае, когда ампли-
туды всех W гармоник одинаковы.
Можно показать, что центральные моменты более высо-
кого порядка тоже могут зависеть от фаз только при наличии
в полигармоническом процессе частот, отношение которых
является рациональным числом. Если же все частоты a>i таковы,
что отношения любых дву^ из них выражаются иррациональ-
ными числами, то все центральные моменты нечетного по-
рядка обращаются в нуль (функция w(u) симметрична отно-
сительно ординаты и = а0), а четные центральные моменты
зависят только от амплитуд. Приведем выражение для момента
шестого порядка
N
Х =	+ 4	а/а/4.	(5.18)
/, j, Л = 1
Здесь суммирование производится по всем членам, для
которых Z, J и k различны.
Отношение ц == Л4б/с& лежит в пределах
5 .	6N2 — 92V + 4
(5.19)
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 55
Наименьшее значение р соответствует гармоническому про-
цессу; наибольшее — полигармоническому процессу с равными
амплитудами гармоник.
Пусть задана нелинейная функция вида f (х). Найдем
по формулам (4.4) — (4.6) коэффициенты линеаризации q, г, /0,
используя соотношения (5.6) и (5.4)
т
q = -\- lim 4 f f(x)x°dt =
О у Т ->оо Т J
О
Т Xz
— —у lim — [ dt f — a0)6[w — x(t)]du =
Г->оо Г J J
0 x{
X2
= f /(w)(w— a0)w(«)rf«,	(5.20)
Gx
Xx
T
r = -L lim — Г /(х)х°^ = 0,	(5.21)
T->oo T J
0
T	X2
f0— lim 4 f f(x)dt= f f (u)w(a)du. (5.22)
T + eo 1 J	J
0	Xi
Таким образом, коэффициенты линеаризации, найденные из
условия минимума среднеквадратичного отклонения, могут
быть определены, если известна плотность вероятности ре-
шения.
При линеаризации по функции распределения выбирается
семейство функций вида
w(x, /пх, Ох, Л4з» ТЙ4’ •••)	(5.23)
и предполагается, что плотность вероятности искомого ре-
шения принадлежит этому семейству. При подстановке (5.23)
в (5.20) и (5.22) коэффициенты линеаризации выражаются
через моментные характеристики решения
q = q(mx, <£• А1з> .. •); /о = /о(отх> <&’	• • •)’
(5.24)
56
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Эффективность метода объясняется тем обстоятельством,
что значения коэффициентов линеаризации в основном
определяются несколькими первыми моментами и слабо зависят
от моментов высокого порядка. Действительно, аппроксими-
руя функцию /(х) на интервале Xj<^x<;x2 полиномом
степени т
т
f (х)	х — а^,
1=0
получаем
1 г m	1 т
^ = -4" У Ci(u — a0)l^w(u)du = -5-У С/МД.1.
О'«г J	Оу ляш
х, 1=0	х /=1
/0= J ^Ct(u~ a0)lw(u)du= ^cz41? + с0.
г, /=0	/=2
При такой аппроксимации замена w(x) любой другой функ-
цией, имеющей такие же первые т + 1 моментов, не повлияет
на значения коэффициентов линеаризации. В силу этого,
выбор вида функции (5.23) является в значительной мере
произвольным.
Число первых моментов, учитываемых в законе распре-
деления, зависит от желательной точности расчетов. На прак-
тике обычно достаточно бывает ограничиться учетом первых
четырех или шести моментов. Если можно предположить,
что /Из =2145 = 0, то количество неизвестных параметров
в (5.23) уменьшается до трех или четырех: тх> <& е или
тх> вх* е» И-
Для упрощения расчетов удобно выбирать ступенчатую
функцию распределения W (й):
WZ (И) = 2 «/П (« — xi),	(5.25)
что соответствует выбору плотности вероятности w (й) в виде
линейной комбинации д-функций:
w (й) = 2 (й — xz).	(5.26)
z=i
Здесь xv .... х9 — некоторые значения х» лежащие между
§ 5]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
57
х{ и х2, аР .... аз— положительные числа, связанные
соотношением
j w(tt)^ = r(x2)=l.	(5.27)
/_1	Г,
Определив моментные характеристики закона распреде-
ления, по формуле (5.9) получим
s
тх = aQ = 2 azxz*	(5.28)
/=i
MQk = 2az(xz-	(& = 2, 3, ...). (5.29)
z = i
С помощью полученных соотношений можно выразить па-
раметры az и xt через моменты. Если мы хотим учесть
в законе распределения первые р моментов, то количество
уравнений оказывается равным р -f- 1. При 5 = у(р4~1)
число неизвестных равно числу уравнений; в некоторых
случаях число ступеней требуется увеличить для того, чтобы
обеспечить вещественность значений и положительность az.
В дальнейшем мы будем иметь дело с такими полигар-
моническими процессами, плотность вероятности которых
с точностью до моментов шестого порядка может считаться
симметричной функцией (/Из = Мз = О)- Тогда плотность
вероятности (5.26) может быть выбрана в такой форме
= щ [д(я - a0 — Pi)4~6(« — aQ + pt)] +
+ a2 [6 (и - a0 - ₽2) + д (и - aQ + ₽2)]	(₽2 > pt). (5.30)
Здесь принято, что
*! = ло4-0р х2 = а0 —рр
*3 =	+ 02* х4 = ао ” 02-
Учет первых шести моментов приводит к следующим
уравнениям тля определения параметров аР а2, рр р2:
2 (а1 + а2) = 1
2 (cii^i 4* OL2&2) === 1 •
2(ai£? 4 а2^) = е,
2 (аА&? -4- а^2) = Ц.
(5.31;
58
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Здесь
= k2 = ^-.	(5.32)
Решая систему (5.31), находим, что ki и являются корнями
уравнения
<5-33)
Параметры и а2 выражаются через е, k\ и kl следующим
образом:
— £ £ —
“1== 2kl(kl-k[) '	“2= 2^-*?) '	(5>34)
Можно показать [20], что при е и ц, лежащих в пределах
(5.17) и (5.19), ^i, и а2 получаются положительными.
Если ограничиться приближением по первым четырем
моментам, то можно выбрать трехступенчатую функцию
распределения, приняв
w (и) = а06 (и — а0) + ctj [д (и — а0 — ₽i) + 5 (« — а0 Ч~ ₽ 1)1 •
(5.35)
Значения а0, ар pj определяются из уравнений:
Од 2ct = 1, |
20^1=1. *	(5.36)
2а[/г1 — е, j
откуда находим
$ = а, —а0=-^=-!-.	(5.37)
В дальнейшем, при линеаризации мы будем пользоваться
законами распределения в форме (5.30) или (5.35). Под-
ставляя w(u) в (5.20) и (5.22), получаем следующие формулы
для коэффициентов линеаризации:
а) при приближении по шести моментам
7 =	{Mi If («о4- ^ох) — f(a0— k&J] +
+ а2А!2[/(а0 + Л2ол.) —/(а0 —А2ох)1}. (5.38)
/о = а11/ («о — М4 + / («о 4" Мх)14-
4- «2 I/ («о — k2ax) 4- / (<*о 4- *2°Л; (5.39)
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 59
б) при приближении по четырем моментам:
? =	oj —/(а0—/е oj], (5.40)
/0 = 7	°л)4--у/(ао+/е aj+(e-l)/(ao)].
(5.41)
При нечетной / (х) и ао = О получаем /0 — 0 и соответ-
? = 7- IM/ (MJ 4- а2/г2/ (МЛ	(5.42)
ИЛИ
q = -7L-f^ax).	(5.43)
yeax
Полученные формулы позволяют выразить коэффициенты
линеаризации через моментные характеристики искомого реше-
ния. С другой стороны, заменив в уравнениях движения /(х)
на /0 + ^(х — тл)’ можно найти полигармоническое решение
линеаризованного уравнения. При этом амплитуды и
фазы ф/ окажутся функциями коэффициентов линеаризации.
Далее можно, выразив моменты решения через амплитуды
и фазы, получить уравнения для определения численных
значений моментов.
При симметричном законе распределения и учете первых
шести моментов эти уравнения могут быть записаны в сле-
дующей форме:
a0=a0(q, /0), .
N
N
X — у <4 = 4 2	/o)a5(9./о).
Х-5<4(Х-<4) = 4	a*(q, f0)ai(q, fjaltq.fj
i, J, ft=i
(5.44)
(<7 = v(«0. & X- X). /0 = /0(a0. Ox, X. X)).
60
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
При решении удобно пользоваться методом последова-
тельных приближений. Для этого задаемся предварительно
значениями параметров е и ц; учитывая соотношения (5.17)
и (5.19), можно, например, принять
& — 2 е
_ 1 ,	,	5 7N2 — 97V + 4
Н 2 vM'min т“ Нтах/ — 2
(5.45)
N2
Тогда остаются неизвестными только aQ и о^.; эти пара-
метры можно определить из
первых двух уравнений (5.44).
Определив, далее, амплитуды
полигармонического решения
линеаризованного уравнения,
можно найти по ним новые
значения е и ц и принять их
в качестве исходных для сле-
дующего приближения.
Покажем теперь, что гармо-
ническую линеаризацию нели-
нейной функции f (х) можно
рассматривать как частный слу-
чай линеаризации по функции
распределения.
Действительно, вычислим
непосредственно функцию рас-
пределения для гармонического процесса (3.2) (рис. 14).
W(u)	=
Т— (—------— arcsin ———) 4- — arcsin ———
\ <х>	co	а / 1 со	а
~	Т	~
1.1 и — ап
= _j---------arcsin----£.
2 1 л	а
Следовательно,
W («) = - I,.........	, 02 = 4 •	<5-46)
луа2-~(и — aQ)2 х 2.
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 61
Подставляя (5.46) в (5.20) и (5.22), получаем
q = -^2	I	/(#)(# — ао)----7=	 • — =
v	J	J	°' л у a2 — (u — aQ)2
а0-а
2л
(О
— J f (ао + « cos ®/) cos at dt, (5.47)
о
Г	du
fo J f (tt) я уa2-----(и — a^2
a0-a
2л
co
= -^-J f (aQ~]~ a cosait) dt. (5.48)
о
Эти выражения совпадают с (3.15) и (3.16).
Изложенные выше соображения позволяют существенно
упростить вычисление коэффициентов гармонической линеа-
3	5
ризации. Для гармонического процесса е== у, [i — —. Решая
уравнения (5.31), находим
*1=]/'	*2=}/1+-^--	а1 = а2 = т-
Следовательно,
*.a = kl-^= « 0,383a,	k2or = k. -?= « 0,924a,
1 x 1 y2	1 x 2 i/o
и формулы (5.38) и (5.39) дают для гармонического процесса:
<7 =	{0,924 [f (a0 + 0,924a) - / (a0 - 0,924a)] +
+ 0,383 [f (a0+ 0,383a) — f (a0 — 0,383a)], (5.49)
/о =41/ («о - 0.924a) -f- f (a0- 0,383a) +
+ /(aoH-0,383a)4-/(a0H-0,924a)]. (5.50)
Если ao = O, a f (x) —нечетная функция, то /о = О и
<7 = 4 [0,924/ (0,924a) + 0,383/ (0,383a)].	(5.51)
62
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ I
Если ограничиться приближением по первым четырем
моментам, то формулы (5.40) и (5.41) дадут:
Я —	[/ (ао + а) — f (ао — ~~~ я)] ,	(5.52)
яУЗ I/ \	2	/	\	2/J
/о = |[/(«о) + /(«о+^ «)+/(««-^«)]> (5-53)
а для нечетной функции при а0 — 0
/о = О.
(5.54)
Формулы (5.49) — (5.54) будут в дальнейшем использо-
ваться при гармонической линеаризации нелинейностей
вида /(х). Очевидно, что все, сказанное выше, остается
справедливым и для линеаризации нелинейных функций
вида <р(х).
В качестве примера применения метода линеаризации
по функции распределения рассмотрим задачу о вынужден-
ных колебаниях в нелинейной системе с одной степенью
свободы при полигармоническом внешнем воздействии. Урав-
нение движения в этом случае может быть записано в та-
кой форме
N
х +2ях + f (х) — Ао 4- S 4zcos(®zf + <pz). (5.55)
/=1
В первом приближении ищем решение этого уравнения в виде
N
x — aQ-\- 2 ai cos (<ozZ —|-i|7z) — a0-|-x0,	(5.56)
i-1
то есть оставляем в решении гармонические составляющие
только тех частот, которые имеются во внешнем воздействии.
Заменим в (5.55) /(х) на fQ-]~qxQ и подставим (5.56)
в линеаризованное уравнение. Приравнивая коэффициенты
при sin (со/Н-ф/ и cos (со/ + Ф/) в левой и правой части,
находим
(<7 — аг = At cos (q>z -	|	.....N>
2па^\ = /4, sin (<pz — ф^), J
/о = ^0’
§ 5)
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
63
Из первых 2^ уравнений находим
а =_______At_____
а‘ /(9_.^ + 4пМ ’
(5.57)
q — <*i
откуда
N	N
2 2 »	<5-58)
2 ^1	2	(<?-“;) +4п Ш1
Выберем значения е и ц в соответствии с (5.45) и найдем
зависимости о£) и /0(л0, (формулы (5.38) — (5.43)).
Теперь необходимо определить а0 и ох из (5.58) и соотно-
шений
Ч = Я(%,о^	/0(а0.^) = Л0.	(5.59)
Сначала из уравнений (5.59) исключаем а0. Для этого
строится семейство кривых /0(а0, ^)» соответствующих
различным значениям а0 (рис. 15). Проводится линия /0==Л0;
Рис. 15.	Рис. 16.
по абсциссам точек пересечения ее с кривыми и значениям aQ
строится зависимость а0(о^ (рис. 16).
Построим теперь кривую o2x(q), соответствующую урав-
нению (5.58) (рис. 17), и кривую q(ox)* получающуюся при
подстановке в первое из уравнений (5.59), зависимости
Ординаты точек пересечения этих кривых определяют значе-
ния (j2, являющиеся решением системы уравнений (5.58)—
(5.59); соответствующие значения а0 найдутся из графика
на рис. 16.
64
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Таким образом, в этом случае мы получаем несколько
полигармонических решений, что вообще характерно для
нелинейных систем.
Абсциссы точек Dt на рис. 17 дают значения коэффи-
циентов линеаризации для каждого из этих решений. Под-
ставляя эти значения в (5.57), можно определить амплитуды
гармонических составляю-
щих az, а затем по форму-
лам (5.16) и (5.18) уточнить
значения параметров е и ц.
Затем, в соответствии с опи-
санным выше методом после-
довательных приближений,
графический расчет повто-
ряется; при этом кривая
о*((?) на рис. 17 остается
Ч прежней, а кривые а0(о^)
и строятся вновь.
Графический расчет ста-
новится особенно простым,
если Ло = 0, a f (х) является нечетной функцией. В этом
случае ао = О и первое из уравнений (5.59) непосредственно
определяет зависимость
Рассмотрим численный пример. Найдем приближенное поли-
гармоническое решение уравнения
х 0,1х + х + 0,1х3 a cos +0,5 cos КЗ t + cos 2t
Здесь / (x) = x + 0,1л*3 — нечетная функция, а Ло =» 0; поэтому а0 = 0.
Для кубической нелинейной функции коэффициент линеариза-
ции q при любой функции распределения одинаково выражается
через параметры решения:
? = I* (X + №) xw (х) dx =+<4-|-pM4)=l-|-pee’. (5.60)
Очевидно, что в этом случае достаточно ограничиться учетом пер-
вых четырех моментов.
В рассматриваемом примере N = 3; по формуле (5.45) получаем
г!	2; следовательно,
q = I 4- 0,2с* .
(5.61)
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 65
Строим кривую (5.58) (рис. 18)
,2=1 Г 1	_|_	°’25	+	1	1
х 2 L (^ — 2)2 0,02 (q — З)2 * * 5+ 0,03	(? —4)’ + 0,04 J
(5.62)
и определяем ее точки пересечения с прямой (5.60). Получаем
три
решения, соответствующих трем точкам пересечения:
($1 = 0,78;	($2 = 2,88;	($8 = 6,27.
По формуле (5.57) находим амплитуды гармонических составляю-
щих первого решения:
($! = 1,366; («2)1 = 0,073; ($1 = 0,123.
Пользуясь формулой (5.16), уточняем значение е:
(e2)t —
М4°	3
2 [(ai)i (аз)1 + (аг)1 (аз)1 + (аз)1 (ai)i]
i(«?).+«).+oai2
Строим прямую (рис. 18)
?=1 +0,1 ($!<£ = 1+0,1842$
Определяя точку пересечения ее с кривой (#), уточняем значе-
нне ($!:
($1 = 0,77.
5 М. 3. КоловскиЙ
66	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
Второе приближение оказалось очень близким к первому, поэтому
можно ограничиться найденным приближенным решением.
Найдем амплитуды гармонических составляющих третьего ре-
($3=11,834, ($3 = 0,426, ($3 = 0,324.
Уточняем значение параметра е
, . _ _3 . 2 [(аТ)з ($з+(аг)з ($з + ($з «] _ .
( 2>3 ” 2 +	[($з + ($з + ($з]2	’
Строим прямую
<7=1 4-0,1 (е2)34= 1+0,16734
и уточняем значение (<j2)3 и q
(4)3 = 7,36, q = 2,23.
Значение (а^.)3 существенно отличается от исходного; поэтому про-
цесс последовательных приближений должен быть продолжен. На-
ходим новые значения амплитуд в третьем решении
($3=13,7,	($з = 0,402,	($з = 0,318,
и уточняем значение е:
(е3)3= 1,639, 9 = 1+0,1 (е3)34= 1+0,16394-	(5.63)
Решая совместно (5.62) и (5.63), находим
(4)3 = 7,48, q = 2,225, ($3 = 14,24,
($3 = 0,401,	($з = 0,318.
Это приближение уже достаточно хорошо совпадает с предыдущим,
поэтому можно им ограничиться. Аналогичным путем можно уточ-
нить и второе решение.
Метод линеаризации по функции распределения легко
обобщается на нелинейные функции вида /(х, х). Назовем
совместной функцией распределения полигармонического
процесса х (/) и его производной х (/) функцию W (ut v),
представляющую собой относительную продолжительность
интервалов времени, в течение которых одновременно
выполняются неравенства
х (/)<«, х (/)<>	(5.64)
§ 5]
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
67
или, в аналитической форме,
W (и, v)= lim
Т ->оо
х (Z)] П — x(t}\dt. (5.65)
Совместной плотностью вероятности х и х назовем
частную производную
т
w (а' = ^udvv) — д™ 4' J61и—х	6 -х dt-
(5.66)
Центральные моменты совместной функции распределения
совпадают со средними по времени значениями произведения
Гх° (0]* lx (01Z
*2 Ъ
Л1 v2
mx)kvl<w(u, v)dudv =
т
— lim
Г->оо
yr j [x (0 — mx\kxl (t) dt,
0
(5.67)
где и v2 — наименьшее и наибольшее значения х (t).
При линеаризации нелинейная функция /(х, х) заменяется
функцией /о+^х° + гх°» причем коэффициенты /0, q, г
определяются по формулам (4.4) — (4.6), которые с помощью
соотношения (5.66) записываются в следующей форме:
т
<7==Д- Ит -1- /(х, x)x^dt —
Qx ' J
xz
= -у J J (и—mx)f(u, v)dudv, (5.68)
5*
68
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. I
Т
г = —V- lim -i- I /(х, x)xQdt =
Ot Т-±оэ 1 ?
fo = lim y
r-»°° J
*2 ?
=I vf(u, v)<w(u, v)dudv, (5.69)
OZ. J *
v *i vt
T	x2 v2
J* f(x, x)dt — J f /(и, v)w(u, v)dudv.
Xx vx
(5.70)
Если полигармонический процесс x(f) имеет симметрич-
ный закон распределения, то, как нетрудно видеть, функ-
ция w(m, v) также будет симметричной относительно осей
и = а0 и v — 0. В этом случае среди центральных момен-
тов, порядок которых не превышает четыре (k-^l^.4), не
равными нулю будут только следующие:
220	40	40	22
^40 —	^04	AI22 — &xv&x&v• (5.7 1)
Зависимость Ж40 от амплитуд ai дается формулой (5.16);
аналогичной является зависимость /Ио4 от амплитуд гармо-
ник х(/), равных az(oz:
(N
z, 7=1
(5.72)
Значения могут лежать в тех же пределах, что и значе-
ния е (неравенство (5.17)).
Момент /И22 для полигармонического процесса (4.1) вы-
числяется по формуле (5.67):
(N	\
• <5-73)
J=1	/
При этом предполагается, что среди частот а>1 нет таких,
которые удовлетворяли бы одному из условий
— Оу = 2ол.
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 69
Анализируя формулу (5.73), нетрудно установить, что пара-
метр елг, может изменяться в пределах
(5.74)
Плотность вероятности удобно задавать в виде линей-
ной комбинации дельта-функций. Можно выбрать, например,
следующую форму зависимости w(w, v):
w = dj [6 (ц — a0 — kax) 6 (v) + 6 (u — a0 + kox) 6 (cf)] 4-
4-a2[6(a—a0—aJ)d(v — ar) + 6(« — a0-|-ar)6(t,--ar)-|-
+ 6 (« — a0 — oj 6 (v + ov) -I- 6 (a — a0 + ox) d (v + a^)] -f-
+ «з I6 (« — ao)6 — eav) (« — a0) 6 (y + eoo)] +
-|- a46 (« — a0) 6 (v). (5.75)
Здесь предполагается, что t»(a, v) не равно нулю лишь
в нескольких точках плоскости и — v (рис. 19), что соот-
ветствует ступенчатой функции распределения W (и, v).
70
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Значения параметров ар а2, а3, е> k, а4 найдутся из сле-
дующей системы уравнений:
2ctj —1~ 4<х2 —р 2ct3 -j— сц = 1,
2а1&2+ 4а2 = 1,
2а3е2 4“ 4а2 — 1,
2а^4 + 4а2 = ел,
2а3е44-4а2 = ег),
4а2 = ехг/.
Решая эту систему, находим
п __ G ew)2 п ________ гху п _____ О £лгг/)2
1	2(ev —е^) ’	2	4 ’	3 2(ev — ехг>) ’
£2 , £* exv ^2 _ еР
1 £гг, 1 £xv
&  О (£х£® £х £г> 4” 2^xv £хг>)
4	(вдг &xv) (£Р гху)
Подставляя (5.75) в (5.68) — (5.70), получаем следующие
выражения для коэффициентов линеаризации:
ч =4"{М[/(ао+^°х> 0) —/(«о—°)14-
их
4-a2I/(floH-ax> °®) —/(«о —°ж> °®) +
+ /(а0 + ах. — ov)~/(«о — °х> ~ °®)])- (5-78)
/ ==^-{а2[/(«о + Ох> oc)4-<U —
—/(а04-ож, — oo) — f(a0 — ох, —0^)1 +
+ а3е [f (а0, eav) — f (а0, — eov)]}. (5.79)
/о—ai[/(«о4-	О)4~/(ао —	0)14“
4“ а2 I/ (а0 4“ °х< ffo)4“/(a0	°х> °г») + f (а0 4~ °Х’ —ат>)4“
-|-/(а0—Ох, — ао)]4-аз[/(а0> ^) + /(«0. -*<U14-
+ а4/(«о> 0). (5.80)
Пользуясь этими соотношениями, можно упростить опреде-
ление коэффициентов гармонической линеаризации для нели-
нейной функции /(х, х). Если %(/) — гармоническая функ-
ция времени, то
— —1 —1
2 ’	’ 2 *
(5.76)
(5.77)
§ 5] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
71
При этом уравнения (5.76) имеют следующее решение:
a1 = a2 = a3 = -g-, a4 = 0, ^2 = ^2 = 2.	(5.81)
Характерно, что при этом точки, в которых w(«, v) =# О,
располагаются на фазовой траектории, соответствующей про-
цессу (3.2).
Формулы (5.78)—(5.80) при подстановке в них (5.81)
дают

O)-/2/(ao-fl, 0) +
а а<д \
W W/
“ф + тг
а(д \	; /	а	а(д \ ,
/2/	7Т’
-l-/2/(a0. а®) —У2/(а0, —а®)],	(5.83)
/о — рЧао + а • 0) + / (ао а’ 0) 4~ / («о 4~ у= ’
-hf(a0 — -£=, -^U+/(ao + -7=.-
\°	/2	° К2 К2
. т I	a	acd\ir/ xij-z
(5.84)
Эти соотношения могли бы быть получены и непосред-
ственно как формулы для приближенного вычисления инте-
гралов (4.4) — (4.6) при гармоническом x(t).
В дальнейшем нам придется иметь дело с функциями
f (х, х), четными по хи нечетными по х. Для таких функций
f(x, x) — f(~X, x) = — f(x, ~ X)—~f (—X, —X).
п
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ 1
Если при этом еще ао = О, то по формулам (5.78) — (5.80)
получаем
/о = 0, д = °,	г=^~ (2а2/(ox. av)4-еаз/(°- «U1- (5-85)
Для гармонического процесса
/«=0. ?=» ' =	7Й+Ж »“>’•
(5.86)
§ 6. Метод Галеркина
Линеаризуя нелинейное уравнение любым из рассмотрен-
ных выше способов, можно приближенно определить только
те его решения, которые близки к решениям линеаризован-
ного уравнения. Однако нелинейные уравнения могут иметь
периодические решения иного вида, для разыскания которых
удобно пользоваться вариационным методом Галеркина.
Пусть движение некоторой системы с п степенями сво-
боды задано уравнениями Лагранжа второго рода:
d [ dL \
dt \dqk)
dL
dqk
Qktgi.....4n> <ii.....яп> t)
(k= 1.n),
(6.1)
где L—функция Лагранжа, представляющая собой разность
между кинетической и потенциальной энергией системы;
Qk—неконсервативные обобщенные силы, являющиеся перио-
дическими, с периодом Г, функциями явно входящего вре-
мени t.
По методу Галеркина периодические решения системы
уравнений (6.1) ищутся среди периодических функций пе-
риода Г, принадлежащих некоторому семейству, зависящему
от I параметров:
9* 9ft = Ф* (*> «1...az) (k=l..........п).	(6.2)
Для отыскания решения используется вариационный прин-
цип Гамильтона—Остроградского, в соответствии с которым
для любого точного периодического решения системы (6.1),
§ 6]
МЕТОД ГАЛЕРКИНА
73
имеющего период Г, должно быть справедливо соотношение:
Здесь
? п
bqk dt = - Г V Qk bqk dt. (6.3)
at оаь /	J f"
является действием по Гамильтону, взятым вдоль замкнутой
траектории в пространстве координат qit . . ., qn, соответ-
ствующей точному периодическому решению; 6qk—вариации
координат, являющиеся периодическими непрерывными функ-
циями времени.
Используем условие (6.3) для выбора приближенного
решения среди функций семейства (6.2). Варьирование функ-
ций сводится к варьированию параметров о,-. При этом
<м>
;=1 /=1
где через 5 обозначено действие по Гамильтону, получаю-
щееся при подстановке qk и qk в функцию Лагранжа L и
являющееся функцией параметров а у. Подставляя (6.4) в (6.3)
и учитывая независимость вариаций бау, получаем систему I
уравнений для определения значений параметров, соответ-
ствующих приближенному периодическому решению системы
(6.1)
~	л П	~
р>^.......= = ° ^'=‘................................
О £ = 1	J
(6.5)
Если уравнение движения системы с одной степенью сво-
боды задано в форме (1.1), а приближенное решение ищется
в виде
* = <|>(А Oj...........ар,
(6.6)
74	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
то условия (6.5) приводятся к такому виду:
т
.... «z)=f {ф(*. ai......а<) + /[ф(^.а1.......аг),
О
Ф(Л О1.....az)]-F(Q/)}	= ° (/=1.........О- (6.7)
Для того чтобы метод Галеркина оказался достаточно
эффективным, необходимо, чтобы хотя бы одна из функций,
принадлежащих семейству (6.2), была близка к точному ре-
шению. Существует обширный класс систем, для которых
может быть указан метод выбора формы семейства (6.2),
обеспечивающий выполнение этого условия.
Рассмотрим, например, систему с малыми неконсерватив-
ными силами
d / dL \ dL
— Нт- — — = nQfe(?i.........qn, <11.....qn< t)
dt \dqk] dqk
(ft=l......n),	(6.8)
отличающуюся от (6.1) наличием малого параметра р в пра-
вой части. Пусть при ц — О имеется семейство периодиче-
ских решений периода Т
$ = Ф*(*- at.....az).	(6.9)
Учитывая малость неконсервативных сил, можно предполо-
жить, что периодическое решение уравнения (6.8) будет
близким к одной из функций (6.9), то есть искать при-
ближенное периодическое решение в форме
?4 = Ф»(*> “1....................(6-Ю)
Поскольку при любых значениях а, (6.10) является реше-
нием для консервативной системы, должно быть выполнено
условие
д$ = 0,
а это означает, что производные dS/dcij тождественно обра-
щаются в нуль, и уравнения (6.5) принимают более простой
вид
Г п
P^i........az)= f	= 0 (У==1.......Z>-	<6Л1)
0 Л = 1	J
МЕТОД ГАЛЕРКИНА
75
§ 6]
При р = 0 система (6.8) становится автономной, поэтому
если она имеет хотя бы одно периодическое решение пе-
риода Tt то существует и семейство решений
<7°s = q>ft (* + «)•	(6-12)
При этом условие (6.11) сводится к следующему:
г п
(6.13)
О k = l
поскольку
Условие (6.13) имеет простой физический смысл: работа не-
консервативных сил за период на искомом решении прирав-
нивается нулю. Строгое математическое обоснование необ-
ходимости выполнения условий (6.11) для существования
периодического решения системы (6.8) может быть получено
с помощью метода малого параметра (метод Пуанкаре). Из-
ложение этого классического метода теории нелинейных
колебаний можно найти, например, в книге И. Г. Малкина!34].
С его помощью можно также доказать, что если а*........а*—
изолированное решение системы уравнений (6.11), то есть
если
дР{	дР{
004....... 0а/
:	: * °*
dPt	dPj
..... ау=а*
то значения а* действительно определяют приближенное ре-
шение системы (6.8), стремящееся к точному при ц—>0.
Метод гармонического баланса в случае системы с одной
степенью свободы может рассматриваться как частный слу-
чай метода Галеркина. Действительно, выражение (1.11)
определяет семейство периодических решений, в котором а0,
Ьг являются параметрами. Условия (6.7) при подстановке
76	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	(ГЛ. 1
в них (1.11) вместо ф(Л аР az) оказываются условиями
равенства постоянных составляющих и коэффициентов при
sinco£ и cosatf в левой и правой частях уравнения (1.1).
В качестве примера применения метода Галеркина иссле-
дуем уравнение
х + 2nx 4~ k2x + с sign х = A cos (о/,	(6.14)
описывающее вынужденные колебания в системе с началь-
ным натягом. Покажем, что при достаточно малых значениях
Лип это уравнение может иметь решения, частота кото-
рых в целое число раз меньше со. Для этого обозначим
n = nl[i> Л = Л1ц и перепишем уравнение в такой форме:
х + k2x + с sign х = ц (— 2пхх -|- Ах cos art). (6.15)
Мы получили уравнение вида (6.8). Правая часть его является
периодической функцией времени с периодом Т — 2л/со; оче-
видно, что ее периодом является также и Тх = тТ, где
m — любое целое число.
При ц = 0 уравнение (6.15) имеет решение (2.26)
_ 4с у р cos[(2/>+l)M* + a)]
Xq~ л Zr (2p + l)[A2(2p+l)2-*2] ’
p=0
где a — произвольный параметр; X — частота колебаний, ко-
торая может принимать любое значение, превышающее k
(рис. 12).
Пусть-—= А, > &; тогда существует решение (6.16),
имеющее частоту Найдем условия существования близ-
кого к нему решения уравнения (6.15). Для этого необхо-
димо найти параметр а из условия (6.13), которое в рас-
сматриваемом случае принимает такую форму:
тТ
Р(а) — — J* [2^1 xQ (t -J- a) + Ах cos со£] х0 (t + a) dt — 0.
о
(6.17)
Первое слагаемое выражает работу силы сопротивления на
периодическом решении х0. Его величина не зависит от а,
Н1
МЕТОД ГАЛЕРКИНА
11
она может быть найдена подстановкой (6.16) в (6.17):
Л
= - J 2Л1(*0)2<« =
О
sin [(2р + 1) А, а + а)]
V (2/? + 1)2 — k2
2
dt =
со
ИГ niK2 [А2 (2/>+1)2 —А2]2 •	18)
р=0
Второе слагаемое в (6.17) выражает работу вынуждаю-
щей силы на свободном колебании х0. Подставляя в него х0,
получаем
г.
Wb = j Aj cos mkt xQ (t -\-ti)dt =
о
л*	00
= - J »S(-l/S'X++ll„VL+°,h>.
0	p=0
Учитывая, что
Л
J cos mV sin [(2/?-|“ 1)^<X~Het)] dt —
0
О при
4- sin mXa при
A
получаем

2/j-|-1 =/= m,
2p -f-1 = m,
(6.19)
Подставляя (6.18) и (6.19) в уравнение (6.17), находим
т-1
2
sinmla— 4сХ2 п V (А2т2-А2)(-1)
sinmAa— я2 л 2j (А2(2/> + 1)2 —А2]2
р=0
т-1
=(-1) 2 •
4с(д2пт2 уч (д2 — k2
А Zd [d)2(2p+\)2 — k2]2 ’
р=0
(6.20)
78
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Значения а получаются вещественными только в том случае,
если модуль выражения, стоящего в правой части, не пре-
вышает единицу.
Вынужденные колебания, частота которых в т раз
меньше, чем частота вынуждающей силы, называются суб-
гармоническими порядка т. Возможность возникновения
таких колебаний является одной из существенных особен-
ностей нелинейных систем, которая будет подробно иссле-
дована ниже.
§ 7. Метод статистической линеаризации
Колебания, возникающие в виброзащитных системах, ча-
сто приходится рассматривать как случайные процессы,
при которых координаты системы являются случайными функ-
циями времени.
Случайной функцией называется совокупность конеч-
ного или бесконечного числа детерминированных функций
(реализаций), связанных некоторыми вероятностными соот-
ношениями. Основными вероятностными характеристиками
случайной функции являются функции распределения.
Функция Wx(ux, ^), равная вероятности того, что зна-
чение случайной функции X (t) *) в момент времени tx не
превышает их, называется одномерной функцией распре-
деления
1F(«P Q = P{X (ЛХ«1)	(7.1)
(Р — знак вероятности).
Деумерной функцией распределения	й2» *г)
называется вероятность совместного выполнения неравенств
Х(/2)<«2.	(7.2)
Аналогичным образом определяется n-мерная функция рас-
пределения
r„(«p t,.....и„, г„) = Р{Х(Л)<И1........х (*„)<«„}.
_______________ (7.3)
*) Случайные функции (процессы) будут обозначаться про-
писными буквами; их реализации — строчными.
§ 7]	МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ	79
Случайный процесс называется стационарным в узком
смысле, если
^Я(«Р ti.....«».	*i+T......««> *«-Н)
(7.4)
для любых t1.....tn, т и для любого п.
Одномерная функция распределения стационарного в уз-
ком смысле процесса не зависит от времени, а двумерная
зависит от т — t2 — tx*.
Г1 = Г1(«1); Г2 = Г2(яр и2, т).	(7.5)
Очевидно, что каждая из реализаций стационарного слу-
чайного процесса должна быть определена на бесконечном
интервале времени при — oo < t < -|-оо.
Отметим, что одномерная функция распределения ста-
ционарного случайного процесса, вообще говоря, не имеет
ничего общего с функцией распределения детерминирован-
ного процесса, определенной в § 5. Действительно, в од-
ном случае речь идет о распределении значений случайной
функции на различных ее реализациях в один и тот же мо-
мент времени; во втором случае—о распределении значе-
ний одной детерминированной функции на бесконечном ин-
тервале времени.
Моментами п-го порядка случайного процесса X (/)
называются математические ожидания произведений значений
случайной функции в моменты времени /р .. ., tn
М„ (<,....tn) = М [X (А). X (/2) •... • х о =
оо	оо
= J . . . J H!«2 • •  UnVDn (Ир tx, u2, t2, ...
— OO	—oo
..., un, t^duxdu2 ... dun, (7.6)
где функция
.....un tn) = ди°удип (7.7)
называется n-мерной плотностью вероятности случайного
процесса.
80	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ I
В дальнейшем нас будут интересовать моменты первого
и второго порядка. Момент первого порядка
оо
mx(t) = Jt)du	(7.8)
— ОО
называется математическим ожиданием случайного про-
цесса X (t). Если	процесс называется центри-
рованным. Момент второго порядка центрированного слу-
чайного процесса
определяющийся по формуле
Кх (tv t2) = М {[X (tj - тх (^)] [X а2) - тх (f2)]} =
ОО оо
= J f №1— тх (Z1)] [и2 — тх (/г)] w2 (ии t{, и2, t2) du{ du2,
-ОО —оо
(7.9)
называется корреляционной функцией случайного про-
цесса. Если тх не зависит от времени, а Кх зависит только
от разности t2 — tx
тх (0 --=тх = const; Кх (tv = Кх (t2 — tx) = Кх (т),
(7.Ю)
то случайный процесс называется стационарным в широ-
ком смысле. Очевидно, что всякий стационарный в узком
смысле процесс является стационарным в широком смысле,
но не наоборот.
Полагая в (7.9) t2 = tv получаем
К(^, 0=Л1{На1)-^(0]2}=о2(^1). (7.11)
Эта величина называется дисперсией случайного процесса.
Для стационарного в широком смысле процесса
('1) =	('1 - М = Кх (0) = const. (7.12)
Спектральной плотностью центрированного стацио-
нарного в широком смысле случайного процесса <¥°(Z) на-
§ 7]
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
81
зывается функция Sx(g>), получаемая преобразованием Фурье
корреляционной функции
со
Sx(&)= fe-J^Kx(T)dr =	(7.13)
— оо
С помощью обратного преобразования корреляционная^функ-
ция может быть выражена через спектральную плотность:
со
= К	(7.14)
— ОО
Полагая в (7.14) т = 0, получаем
оо
«х (°) = f sx (®)	(7-15)
Случайный процесс X (/) называется нормальным или
гауссовым, если его n-мерная плотность вероятности при
любых значениях . .., tn является нормальной относи-
тельно переменных их, . .., ип. В дальнейшем нам понадо-
бится только выражение для одномерной плотности вероят-
ности нормального стационарного процесса:
^1 («) = -г-=-  ехР —		(7.16)
V 2л |_	2а^ J
Показано [43], что все вероятностные характеристики нор-
мального процесса полностью определяются, если известны
его математическое ожидание и корреляционная функция.
Это обстоятельство существенно упрощает анализ нормаль-
ных случайных процессов. Как видно из формулы (7.16),
при нормальном процессе допустимы реализации, в которых
переменная величина достигает сколь угодно больших зна-
чений. Поскольку в реальных системах все координаты
остаются ограниченными, очевидно, что нормальный процесс
должен рассматриваться как некоторая идеализация реальных
процессов. Примечательно, что сумма большого числа ста-
тистически независимых случайных процессов всегда близка
к нормальному процессу, если только ни одна из компо-
нент не превалирует над остальными [43]. В силу этого,
§ М. 3. Коловс^иЯ
82	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
например, можно считать нормальным вибрационное возму-
щение, вызванное совместным действием большого числа
независимых источников.
Вероятностные характеристики определяют статистиче-
ские свойства совокупности (ансамбля) детерминированных
функций, образующих случайный процесс, но ничего не го-
ворят о свойствах отдельных реализаций. Однако при реше-
нии практических задач обычно имеется возможность на
основе представлений о физической природе случайного про-
цесса сделать некоторые заключения о свойствах его реа-
лизаций (их непрерывности, дифференцируемости и т. п.).
Стационарные случайные колебания, возникающие в вибро-
защитных системах, во многих случаях могут считаться по-
лигармоническими функциями времени, в которых амплитуды,
частоты и фазы являются случайными величинами
N
a/Cos(®^ + ^) + fl0-	(7-17)
Очевидно, что любая из реализаций этого процесса — не-
прерывная и дифференцируемая любое число раз функция
времени.
Стационарный процесс, спектральная плотность которого
является постоянной при всех значениях со от — сю до + оо,
называется белым шумом. По формуле (7.14) находим
оо
(т)=ё JeJe,t dv>=s°6 (T)i <7-18)
— оо
то есть корреляционная функция белого шума является
дельта-функцией. Из формулы (7.15) видно, что белый шум
должен иметь бесконечно большую дисперсию, то есть
является физически нереализуемым. Подобно нормальному
процессу, белый шум — удобная идеализация широкополос-
ных стационарных случайных процессов, то есть таких про-
цессов, у которых спектральная плотность близка к по-
стоянному значению So в широком диапазоне значений со.
Особый класс стационарных случайных процессов со-
ставляют так называемые эргодические процессы. Пусть
задана некоторая функция f (х). Вычислим математическое
ожидание случайной величины / [X (^)] для любого момента
§ 7]	МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ	83
времени tv производя усреднение по всем реализациям слу-
чайного процесса X (I), и определим среднее по времени
значение / [х (/)] для какой-либо одной реализации. Если
окажется, что
г
lim ' f/[х(О]Л	(7.19)
T->oo
-Г
для любой функции f (х) и для любой из реализаций, то
стационарный случайный процесс называется эргодическим *).
Положив /(х) = т](к1 — х) (г] — единичная функция (5.2))
и учитывая, что
Wl(ul)= М {П[«1- Л-(0]},	(7.20)
получаем для эргодических процессов
г
^1(«1)= Um i f г] [«! — х (01 dt, (7.21)
Г->оо2У yr
то есть одномерная функция распределения стационарного
случайного эргодического процесса тождественна функции
распределения любой из его реализаций, найденной в соот-
ветствии с определением, данным в § 5.
При f (х) = х получаем
т
mx — М {АГ(О) = lim f x(t)dt, (7.22)
Т -> оо * * J
то есть математическое ожидание эргодической случайной
функции совпадает с ее средним по времени значением на
любой из реализаций. Очевидно, что (7.22) можно рассмат-
ривать как следствие (7.21).
Наконец, для корреляционной функции, приняв
/[х(0] = х(0-х(/ + т),
*) Точнее, выполнение равенства (7.19) требуется почти для
всех реализаций; могут существовать отдельные «нетипичные» реа-
лизации (образующие «множество меры нуль»), для которых это
соотношение несправедливо.
6*
84
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. t
находим
т
Кх (т) = lim [ х (0 х (t 4- т) dt. (7.23)
Г->оо 27
Это соотношение используется обычно для вычисления кор-
реляционной функции эргодического стационарного случай-
ного процесса по экспериментально полученной записи одной
из его реализаций. При этом усреднение производится на
конечном интервале времени, в течение которого произво-
дилось измерение; поэтому получаемое выражение для кор-
реляционной функции является приближенным.
Если все реализации случайной функции X (/) k раз
дифференцируемы по Л то выражение
где Lk(p) — полином &-й степени от оператора дифферен-
цирования	определяет случайную функцию Y (£).
При этом Y (t) является стационарным процессом, если
X (t)— стационарный процесс.
В теории стационарных случайных процессов выводятся
соотношения, позволяющие выразить вероятностные харак-
теристики Y (0 через вероятностные характеристики X (t).
Нам понадобятся в дальнейшем только выражения, связы-
вающие математические ожидания и спектральные плотности:
my = L6(0)mx,	(7.24)
Sy (о) = | Lk (» |2SX (со).	(7.25)
Эти соотношения остаются в силе и в тех случаях, когда
оператор Lk (р) представляет собой дробно-рациональную
функцию р
=	<7-26)
где Мк(р) и ОДр)—полиномы, степень которых не пре-
вышает k. При этом выражение (7.25) остается справедли-
вым для всех значений со, при которых Ол(усо) не обра-
щается в нуль.
§ 7]	МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ	85
В теории виброзащитных систем приходится иметь дело
с нелинейными функциями стационарных случайных про-
цессов вида
Г(0 = /Н(01	(7.27)
или
Г(О = /[Х(О. *(0Ь	(7.28)
Метод статистической линеаризации [п] является наи-
более распространенным способом приближенного иссле-
дования систем, содержащих нелинейные функции такого вида.
Этот метод сводится к замене нелинейных функций (7.27)
и (7.28) линейными
Y*(t) = +	(0-/о + <7*°	(7.29)
или
г* (0 = /о + 7	(0 - тх] + гХ (0 = /0 + qx<>+ гХ*.
(7.30)
Коэффициенты /0, q, г определяются из условия минимума
дисперсии случайной функции
АГ(0 = Г(0—	(7.31)
В силу стационарности случайного процесса (7.31) его
дисперсия не зависит от времени и может быть найдена
следующим образом:
оо
М {[АГ (f)]2} = f [/(«) — /о - 0 (« - «х)12 («) (<*«)• (7.32)
— оо
если Y* выбрана в форме (7.29);
Ж{[АГ(012} =
оо оо
— J J [/ («. ®) — /о —* Я (м — тх) ~ r‘°]2 wi (и’ da dv,
—оо —оо
(7.33)
если V* выбрано в форме (7.30). В выражении (7.32)
wi 00 — плотность вероятности стационарного случайного
процесса X (Z); в (7.33) w^u, v)— совместная плотность
86
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
вероятности процессов X (/) и X (t)
=	Р-34)
Подобно тому, как это делалось при линеаризации по
функции распределения, предполагается, что плотность ве-
роятности процесса (или совместная плотность вероят-
ности ^(я, т/)) принадлежит некоторому семейству функ-
ций, зависящему от нескольких первых моментов. Часто,
например, принимают, что закон распределения случайного
процесса X (/) близок к нормальному, то есть что плотности
вероятности могут быть выбраны в следующей форме:
W1 (м) = 77F- ехр [—	’	(7'35)
]/2лал [	2а' J
{и, V) = —-— ехр	—-^-1. (7.36)
2лахог, L	J
Здесь — дисперсия процесса X (/); учитывается, что для
стационарного процесса среднее значение скорости mv должно
равняться нулю.
Условия минимума функционала (7.32) приводят к сле-
дующим выражениям для коэффициентов линеаризации:
оо
Ч = ~2 ] /(«)(«— mx)'wi (и) du, (7.37)
—оо
оо
/о= f f(4) ®i(«) du.	(7.38)
— ОО
Аналогично, минимизируя функционал (7.33), получаем
ОО оо
=	/(я, ^)(« —	tydudv, (7.39)
х —оо —оо
оо оо
г = -у /(и, v)v • ^(zz, v)dudv, (7.40)
V	*
с' —оо —оо
оо оо
/0= J f f (и,	v)dudv.	(7.41)
§ л
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ линеаризации
87
Коэффициенты линеаризации оказываются функциями тх,
о2, В тех случаях, когда выбирается нормальный закон
распределения, можно пользоваться готовыми зависимостями
д, г, /0 от тх, о2, о2, вычисленными для некоторых наи-
более часто встречающихся нелинейных функций f (х) и
/(X, X) [43].
Получив линеаризованное уравнение, можно найти мате-
матическое ожидание и спектральную плотность его стацио-
нарного решения по математическому ожиданию и спектраль-
ной плотности внешнего воздействия, пользуясь соотноше-
ниями (7.24) и (7.25). Соотношение (7.25) при Lx(p) — p
определяет спектральную плотность производной
Sv (со) = co2Sx (со).
(7.42)
Естественно, что при этом тх, Sx(a>) и Sv(a)) оказываются
функциями коэффициентов линеаризации q, г, f0, а следо-
вательно, функциями моментов тх, о2, о2. Выражение (7.24)
и соотношения
оо
—оо
оо
—оо
(7.43)
(7.44)
составляют систему уравнений, из которых можно опреде-
лить моменты.
Рассмотрим, например, следующее уравнение:
X 4- 2пХ + &Х + уХ* = Z (0 = mz + Z° (0, (7.45)
где Z0 (0 — нормальный белый шум
S2(co) = So	(—оо<со<оо).	(7.46)
Если бы уравнение (7.45) было линейным, его стацио-
нарное решение непременно являлось бы нормальным про-
цессом, поскольку всякое линейное преобразование не
нарушает нормальности процесса. Решение нелинейного
уравнения (7.45), строго говоря, не является нормальным
процессом; можно, однако, предполагать, что при малых
88
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. I
значениях у его закон распределения будет мало отличаться
от нормального и, в первом приближении, искать плотность
вероятности процесса в форме (7.35).
Подставляя (7.35) в (7.37) и (7.38), получаем после
интегрирования следующие выражения для коэффициентов
линеаризации нелинейной функции f (Х) = уХ3:
? = 3у(т2+о2); f0 = ymx(m2x-{-3a2xy (7.47)
Линеаризованное уравнение
Х° + 2й1Х0+ (А2 + q) Х° + k2mx + f0 = Z<> (t) + тг (7.48)
равносильно двум уравнениям для постоянной и центриро-	
ванной случайной составляющих:	
&тх + h=mx р2 + Y (4 + 4)1 =	mz, (7.49)
ГО — 	1	 70 л — ^ + 2п1Р + & + 9 * •	(7.50)
По формуле (7.25) получаем	
Sx (О)	1 О)2 + 2л, (>) + А2 + q Р •	(7.51)
Следовательно, в силу (7.15)
2	1 f	So d&	_
2л J |(/®)2 +2л, (>) + **+ ?|2 —
— ОО
1 f	So d®
— 2Й J [(/®)2 + 2л, (/®) + А2 + 4П(- /®)2 + 2л, (- » + А2 + ?]'
— оо
(7.52)
Интегралы вида
г _ 1 f gn О)
'я~2л J А„(»Лл(-/©)’
— ОО
где gn и hn — полиномы
Лл(Р) = «оРЛ + а1Р'г“1+ ••• +ал>
^(/’)=М2л'2+г'1/,2л"4+ ••• +
§ 7]
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
89
часто встречаются в задачах теории случайных процессов.
Они выражаются в явной форме через коэффициенты поли-
номов gn и hn\ соответствующие зависимости приводятся,
например, в [40] и [43]. В рассматриваемом случае п = 2;
а0=Г, a1 = 2n1; a2 = k2-\-q*> £о = О; /?1 = 50. Из таблиц
интегралов находим
j ___ #0^1 -#2^0 _ $0
2	2я0я1я2 .	^(W-^-q) ‘
Таким образом,
(7-53>
Решая систему уравнений (7.49) и (7.53), можно определить
значения тх и ох.
Пусть, например, /п2 = 0; тогда, в силу симметрии ха-
рактеристики, имеем
тх = о, /о = °-
Уравнение (7.54) приводится к виду
02 = -------$2------ф
х. 4п1(й2-|-Зуа2)
(7.54)
Решая это уравнение, находим
(7.55)
Между методом статистической линеаризации и методом
линеаризации по функции распределения имеется много
общего; в обоих методах используется фактически один и
тот же формальный аппарат для определения моментных
характеристик искомого решения. Различие между этими
методами заключается в том, что в одном из них моментные
характеристики получены в результате усреднения детерми-
нированной функции на бесконечном интервале времени,
в другом — усреднением по множеству реализаций случай-
ного процесса. Кроме того, при линеаризации по функции
распределения мы ищем полигармоническое решение и имеем
возможность, определив это решение, уточнить форму закона
распределения; при статистической линеаризации мы, вообще
говоря, ничего не узнаем о форме отдельных реализаций
90
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
решения и не имеем возможности уточнить выбранный закон
распределения.
Все эти различия связаны с тем обстоятельством, что
в одном случае внешнее воздействие на систему является
детерминированным, а в другом — случайным процессом.
§ 8. Устойчивость стационарных решений
Между реальной динамической системой и ее математической
моделью — системой дифференциальных уравнений — не может быть
полного соответствия. Дифференциальные уравнения могут лишь
с той или иной степенью приближения описывать поведение реаль-
ной системы; неизбежные неточности в определении параметров
системы и внешних воздействий, наличие малых сил, не учитывае-
мых при составлении уравнений, неточности в задании начальных
условий и другие возмущающие факторы приводят к расхожде-
ниям между решениями уравнений и действительными законами
изменения координат системы.
В связи с этим важное значение приобретает исследование
устойчивости решений дифференциальных уравнений. Устойчивое
решение мало изменяется при воздействии достаточно слабых воз-
мущающих факторов. Неустойчивое решение претерпевает с тече-
нием времени существенные изменения даже при малых возмущаю-
щих воздействиях, а так как такие воздействия неизбежно суще-
ствуют в реальной системе, то оно оказывается физически не
реализуемым.
Пусть дифференциальные уравнения движения системы заданы
в форме (1.22). Для исследования устойчивости какого-либо его
решения
х = М0	(8.1)
сделаем замену переменных, положив
х-МО + У	(8-2)
Подставив (8.2) в (1.22), получим так называемое уравнение воз-
мущенного движения:
У Х[?о (0 + у, t] - Х[?о (0, Л*	(8.3)
Исследуемому решению (8.1) уравнения (1.22) соответствует нуле-
вое решение уравнения (8.3).
Согласно Ляпунову [33], нулевое решение уравнения (8.3) назы-
вается устойчивым, если для любого сколь угодно малого поло-
жительного числа е может быть найдено такое положительное
число т] (е), что для всякого решения уравнения (8.3), удовлетво-
ряющего условию
I .У (4)1 СП,	(8-4)
в любой момент времени t > /0 выполняется, условие
Ц»(0|<е.	(8.5)
§ 8]	УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ	91
Здесь модуль (норма) вектора у определяется как корень квадрат-
ный из суммы квадратов его составляющих.
Если для всех решений уравнения (8.3), удовлетворяющих
условию (8.4), выполняется условие
lim |^(0 | = 0,	(8.6)
/~>оо
то нулевое решение этого уравнения называется асимптотически
устойчивым.
Решение (8.1) уравнения (1.22) считается устойчивым (асимпто-
тически устойчивым), если устойчиво (асимптотически устойчиво)
нулевое решение уравнения (8.3).
В силу определения, устойчивое по Ляпунову решение мало
изменяется (для любого t) при малых изменениях начальных усло-
вий. Доказано, однако, что решение, асимптотически устойчивое по
Ляпунову, остается устойчивым и по отношению к другим возму-
щающим факторам [35]. Поэтому достаточно ограничиваться иссле-
дованием устойчивости по Ляпунову.
Пусть функция X (х, t) имеет непрерывную производную по х;
тогда уравнение (8.3) может быть линеаризовано по у. Получаю-
щееся при этом линейное уравнение
; = -|£[?о(0,^	(8.7)
называется уравнением первого приближения, или уравнением
в вариациях для решения (8.1) уравнения (1.22).
Ляпунов показал, что в большинстве случаев суждение об
устойчивости или неустойчивости решения (8.1) может быть сделано
на основе анализа устойчивости нулевого решения уравнения в ва-
риациях. Исключение составляют лишь так называемые критиче-
ские случаи, которые при анализе колебаний в виброзащитных
системах практического значения не имеют.
В общем случае исследование уравнения в вариациях (то есть
системы скалярных линейных уравнений с переменными коэффи-
циентами) связано с большими математическими трудностями. Наи-
более просто эта задача решается в тех случаях, когда уравне-
ние (1.22) является автономным, а исследуемое решение (8.1) пред-
ставляет собой положение равновесия
х = х0.	(8.8)
Тогда уравнение (8.7) становится линейным с постоянными коэффи-
циентами
У =	(*о) У	.	(8.9)
и вопрос об устойчивости решается анализом корней соответствую-
щего характеристического уравнения
|^(*о)_£х|=О,	(S.10)
где £ —единичная матрица.
92
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Уравнение (1.22) в случае автономной системы эквивалентно
системе п скалярных уравнений
xs = xs (*i........(s == 1, ..п).	(8.11)
Система уравнений в вариациях для положения равновесия xs =
записывается в форме
п,
ys = 2	(*10...хпо)Уь (5 = 1..........«)•	(8-12)
k
Соответствующее характеристическое уравнение:
\ дхх /о \ д*2 /о ‘	\ дхп /о
= 0	(8.13)
является скалярной формой уравнения (8.10).
Если все корни уравнения (8.10) имеют отрицательные веще-
ственные части, то положение равновесия (8.8) является асимпто-
тически устойчивым.
Исследование устойчивости стационарных (периодических или
почти-периодических) решений нелинейных дифференциальных
уравнений приводит к уравнениям в вариациях с периодическими
или почти-периодическими коэффициентами. Уравнениям с перио-
дическими коэффициентами посвящена обширная литература, однако
эффективные методы исследования устойчивости разработаны лишь
для некоторых классов уравнений ([34], [35]> [53]). Анализ уравне-
ний с почти-периодическими коэффициентами является еще более
сложным. Следует также иметь в виду, что для нелинейных систем
обычно удается определить лишь приближенное решение, поэтому
и уравнение в вариациях для этого решения является приближен-
ным, а выводы об устойчивости решения на основе анализа
приближенного уравнения в вариациях часто не являются кор-
ректными.
Поэтому на практике часто пользуются другими методами
анализа устойчивости, которые непосредственно связаны с рассмо-
тренными выше методами определения приближенных решений.
Как уже отмечалось в § 1, все эти методы сводятся к разы-
сканию приближенного решения среди функций, принадлежащих
некоторому семейству, зависящему от конечного числа параметров.
В методе гармонического баланса такими параметрами являются
амплитуды первой гармоники и постоянные составляющие искомого
решения, в методах, связанных с линеаризацией нелинейных функ-
ций,— коэффициенты линеаризации, в методе Галеркина — пара-
метры аь ..., а/ и т. п.
§ 8]	УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ	93
Иными словами, приближенное решение уравнения (1.22) ищется
в форме
₽ь ₽/).	(8.14)
При исследовании устойчивости предполагают, что возмущен-
ное движение (8.2) может разыскиваться также в форме (8.14), но
параметры ру должны уже рассматриваться не как постоянные,
а как неизвестные функции времени, так что
I
X = ? (6 ₽1.....₽»)	+ 2	₽»•	(8.15)
Подставляя (8.15) в (1.22), получают дифференциальные уравнения
для неизвестных функций рь pz
z
У h = X [? (t, р,..........pz), и - ? (Л Р1.....Pz). (8.16)
k=\
Приближенному стационарному решению уравнения (1.22)
вида (8.14) соответствует «приближенное положение равновесия»
системы (8.16). Стационарное решение (8.14) считается устойчивым,
если устойчивым оказывается это «положение равновесия».
Нетрудно видеть, однако, что такой метод анализа наталки-
вается на ряд затруднений, одним из которых является, например,
несоответствие порядка системы (8.16) (п) числу неизвестных функ-
ций времени (/).
Полное преодоление всех затруднений в рамках приближенной
теории является принципиально невозможным. В каждом конкрет-
ном случае используются различные частные приемы; некоторые
из них будут рассмотрены ниже. Поскольку метод исследо-
вания является математически нестрогим, полученные с его по-
мощью результаты следует использовать с большой осторожностью.
Выведем критерии устойчивости приближенных решений урав-
нения (3.21), найденных методом гармонической линеаризации. Как
было показано в § 3, при линеаризации это уравнение сводится
к системе:
/о (^0, Л) =	(8*17)
-|- гх° -|- qxQ = A cos (at.	(8.18)
Уравнение (8.17) является конечным соотношением, связывающим
параметры а0 и а\ уравнение (8.18) может быть записано в виде
системы двух уравнений первого порядка
= у,	1
.	1	(8.19)
у = — гу — qxQ -|- A cos (at. J
Эта система имеет решение
л° == a cos (art + Ф), у == — a® sin (©/ -|- ф).	(8.20)
94
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Исследуя устойчивость этого решения, предполагаем, что пара-
метры а и <р являются функциями времени. Поскольку в данном
случае число переменных параметров равно порядку системы, соот-
ношения (8.20) определяют преобразование координат, то есть пере-
ход от переменных xQ и у к переменным а и ф.
Подставляя (8.20) в (8.19), получаем
a cos (со/ -f- <р) — а (со -|- ф) sin (со/ + ф) = — асо sin (со/ -|- ф),
—	am sin (со/ + Ф) —	(° + Ф) cos № + Ф) =“
= га sin (со/ -f- ф) — qa cos (mt ф) + A cos mt,
или, после элементарных преобразований,
a cos (mt + ф) — #Ф sin (©/ + ф) = 0,
—	a sin (mt -|- ф) — аф cos (mt + ф) =
1	А
= га sin (со/ -|- ф) — — (q — т2) a cos (mt + ф) + — cos mt.
Из этих уравнений находим а и ср:
а = — га sin2 (со/ + ф) + (q — со2) a cos (со/-)~ф) sin (со/-|-ф)—
^4
— — cos mt sin (со/ -|- ф),
Ф = — г sin (со/ + ф) cos (со/ + Ф) +
1	А
Ч----(Q — ©2) cos2 (со/ + ф)-----cos mt cos (со/ ф).
(О	6^(0
Легко проверить, что эта система уравнений имеет решение
А	.гео
а* = г	..- -, tg ф* =------------,
]/(9— а2)2-|-Г2Ш2	О2-/
(8.21)
(8.22)
(8.23)
которое может рассматриваться как «положение равновесия» на
плоскости параметров а, ф. Поскольку при этих значениях а и ф
производные а и ф обращаются в нуль, надо полагать, что в не-
которой достаточно малой окрестности «положения равновесия»
они остаются малыми. Это означает, что для движений, близких
к периодическому решению (8.20), параметры а и ф являются мед-
ленно меняющимися функциями времени. Учитывая это обстоя-
тельство и исследуя поведение системы в достаточно малой
окрестности «положения равновесия», можно заменить правые части
уравнений (8.22) их средними за период Т = — значениями. При
со
этом получаем
• га А • А / X
а =---у — sin ф = А (а, ф),
< „ 2 л	(8-24)
ф = --- - .°-----— cos ф =- Ф (а, ф).
Y 2© 2ат	\ > v/ i
§ 8]
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
95
Формулы (8.23) определяют положение равновесия автономной
системы (8.24); при исследовании устойчивости этого положения
равновесия необходимо учесть, что коэффициенты линеаризован-
ного уравнения являются функциями а0 и а, или, поскольку я0
выражается через а с помощью уравнения (8.17), — функциями
амплитуды а.
Приняв
« = «» + «.	ф = ф. + 5,	(8.25)
составляем уравнения первого приближения в форме (8.7):
dA , ч \ дк. , ч s
а = ~да (а*'	(а*’ S’
дФ	, дФ
Ъ =	а +	Ф*)6-
Находим
dA ,
да (а*’
<ЭА .
dq> (й*’
дФ .
~да^а*’
дФ ,
5<р (а*’
v	1 Г 1 dr , . I
Ф*)	2	‘ da Л*] ’
ч A	(q — (о2) я
2й)	2(о
X 1 Г dq . ч ?* —• G)2!
Ф*) — 7Г~ ~т~ (а*) — —------------ ;
т 2(о \_da v *' a* J
А	г
Ф*) — ъ----sin ф* = —- —,
2а#(0	2
где qt = q (а„), r* = r (аг).
Подставляя (8.27) в (8.26), получаем
1	Г	। dr t ч	I (а* — (о2) a*
а = __ _ г -р (а ) я а — —*- т;—д,
2	|_ da J	2(0
.	1 Г dq / ч ?*-“ (О21 г* я
$ = — (л ) — -------------- а---6.
2(о L da *	j 2
(8.26)
(8.27)
(8.28)
Для устойчивости системы линейных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами (8.26) должны выполняться
следующие условия, обеспечивающие отрицательность веществен-
ных частей корней характеристического уравнения:
дк , дФ	Л дк дФ	дФ дк	Л /о
да 1 Оф	да Оф	да оф
Это приводит к окончательным выражениям для критериев устой-
чивости решений гармонического вида уравнения (1.1):
2Г»+•£(".)«.> °-	(8-3°)
(q* - <о2) [?, -	+ at (а,)] + г, [г, + ~ (а,)] > 0. (8.31)
96
НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. I
Исследуем теперь устойчивость полигармонических решений
уравнения (5.55), найденных методом линеаризации по функции
распределения. Так же, как и в предыдущем случае, линеаризован-
ное уравнение распадается на два уравнения:
/о (^о, 0) — Ло,	(8.32)
N
х° 2nxQ 4- q*Q = 2 cos “H “W*	(8.33)
/ = 1
Предполагая, что и в неустановившемся режиме сохраняется зави-
симость aQ от q, определяемая конечным соотношением (8.32), огра-
ничиваемся анализом устойчивости решения уравнения (8.33)
N
Х° = У, a, cos (®it -f- + 0;).	(8.34)
1 = 1
Полагая, что в этом выражении az и 0/ являются функциями вре-
мени, находим
N
XQ = 2 C0S № + + 0‘> а1 Sin	(8’35)
Z = 1
АГ
*о = 2 C0S W + 0^	Sin + 0/) ““
Z = 1
— a. (0/ + 0.)2 cos (со/ + Ф, + 0z) — sin + % + Gz)]- (8-36)
Подставляя (8.34), (8.35) и (8.36) в уравнение (8.33), получаем
TV
2 {““	+0/)2+2n“i+cos +0*) ~
Z = 1
— lafll + 2az (со/ + 0/) + 2nai (js>i 4- 0/)] sin (co/Z 4" Ф/ + 8/)} =
N
= 2 icos +0/)cos 0*+sin №+^+0^sin 0<i’ <8-37)
i = l
Введя 2^ неизвестных функций вместо одной, мы вправе наложить
на них 2^ — 1 условий. В качестве таких условий выберем сле-
дующие:
az — ai (®/ 4- 8/)2 +	+ Яа1 == Л/ cos 0Z
(Z-1,
afol 4- 2я/ (©/ 4~ 8») Н- 2л (ю/ 4" 8/) л/ == — Л/ sin 0/
(Z = 1.....1).
(8.38)
Тогда, в силу уравнения (8.37), должно удовлетворяться условие
aN^N +	(aN + 6N) + 2П (“N + 6УУ) aN~ ~ AN Sin QN- <8-39>
§ 8]
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
97
Соотношения (8.38) и (8.39) образуют систему дифференциальных
уравнений, содержащую неизвестные функции времени а/ и 0/.
Эта система обладает «положением равновесия», которое может
быть найдено, если в уравнениях (8.38) и (8.39) принять dj =	—
= 0/ == 0/ = 0. При этом для а[ и 0£ получаются выражения, сов-
падающие с (5.57).
Итак, полигармоническому решению линеаризованного уравне-
ния соответствует «положение равновесия» системы (8.38)— (8.39).
Исследуя его устойчивость, составляем уравнения возмущенного
движения, учитывая при этом, что коэффициент линеаризации q
зависит от амплитуд а/. Предполагается, что форма зависимости
коэффициента линеаризации от амплитуд сохраняется такой же, как
для полигармонического решения
(N \
(8-40)
Z = 1	/
При этом уравнения возмущенного движения записываются в такой
форме:
N
(р2 + %пр + q — «г + а1 У akak — ‘lafitipbi =
iTi
= — А( sin 0z6z,
> (8.41)
2®/ (P + n) a(- -|- at (p2 + 2np) 6,- = — A[ cos 0Д.
Здесь p — оператор дифференцирования, а/ и б/ — вариации ампли-
туд и фаз. Коэффициенты этого уравнения вычисляются для значе-
ний 0/ и q, соответствующих полигармоническому решению.
Учитывая, что
sin 0Z — — 2nal(ait Ai cos 0t« — (q — co?) ait
и обозначив
d4 .^c
4^) ’
можно записать систему (8.41) в ином виде:
N
(р2 +2np + q — rf) а( + atc 2	— 2az®(- (n + р) = О,
k = l
2®, (« + р)а( + (р2 2лр— ®2) 6, = 0.
(8.42)
Нулевое решение линейной системы (8.42) устойчиво, если
отрицательны вещественные части корней ее характеристического
7 М. 3. Коловский
98	НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	[ГЛ. I
уравнения. Как показано в [18], это характеристическое уравнение
может быть записано в следующей форме:
. , 0 V 2	р2 + 2пр + д-е?1___________
(.Р^ + ^Р + я — ®?)2 + 4<о?(р + п)2
В рассматриваемом случае порядок полученного дифферен-
циального уравнения для параметров и 0/ не совпадает с поряд-
ком исходного дифференциального уравнения. Устойчивость по
Ляпунову полигармонического решения исходного уравнения обес-
печивается в том случае, если при малых возмущениях остаются
малыми вариации х и х\ устойчивость «положения равновесия»
системы (8.38)—(8.39) означает малость вариаций всех амплитуд и
фаз. Учитывая это, следует весьма осторожно использовать полу-
ченный критерий устойчивости. Как показано в [18], на практике
полезно использовать лишь одно из необходимых условий устой-
чивости системы (8.42) — условие положительности свободного
члена характеристического уравнения
N	__ 2
1 + с У а2 г \2^ 22 > 0.	(8.44)
Мы ограничимся рассмотренными здесь примерами исследова-
ния устойчивости стационарных решений нелинейных дифферен-
циальных уравнений. Более подробно этот вопрос рассмотрен
в ряде работ Р* 3’35], где использованы более строгие математиче-
ские методы.
Отметим, что в теории виброзащитных систем вопрос об устой-
чивости стационарных решений не имеет такого значения, как, на-
пример, в теории автоматического управления. Ниже будет пока-
зано, что при исследовании резонансных явлений в виброзащитных
системах основное внимание должно уделяться анализу условий
существования, а не условий устойчивости.
ГЛАВА II
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
§9. Динамические характеристики упругих амортизаторов
Основными элементами виброзащитных систем, рассмат-
риваемых в этой книге, являются упругие амортизаторы.
Известно большое число конструктивных разновидностей
амортизаторов. Наиболее существенной частью виброзащит-
ного амортизатора 'любой конструкции является упругий
элемент — деталь, обладающая большой податливостью
и способная служить механическим фильтром низких частот.
Любой амортизатор обладает также устройствами для крепления
упругого элемента к амортизируемому объекту и к колеблю-
щемуся основанию (рис. 20—22).
Простейшими амортизаторами могут служить обычные
цилиндрические витые пружины, или резиновые шнуры, на
которых амортизируемый объект подвешивается к колеблю-
щемуся основанию. Широко распространены резино-метал-
лические амортизаторы различной конструкции (рис. 20),
7*
100
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
в которых резиновый упругий элемент («резиновый массив»)
привулканизирован к металлическим деталям крепления.
Недостатком резиновых упругих элементов является
их чувствительность к температуре окружающей среды,
влажности, способность к окислению и т. п. Под влиянием
всех этих факторов резино-металлические амортизаторы
изменяют свои упругие свой-
ства. От этих недостатков
свободны металлические
пружинные амортизаторы.
В последние годы все
большее распространение
получают демпфированные
амортизаторы, снабженные
специальными устройствами
для рассеяния энергии
колебаний — демпферами.
В амортизаторах серии AD
(рис. 21) использован воз-
душный демпфер. При де-
формации амортизатора, вы-
званной перемещением што-
ка 7, происходит сжатие резинового баллона 2; воздух
выходит из него через калиброванное отверстие 3. При этом
создается сила сопротивления, обеспечивающая демпфирова-
ние. В амортизаторах серий АФД и АПН (рис. 22) уста-
новлены демпферы сухого трения. Пластмассовые сегменты 1
§ 9] ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АМОРТИЗАТОРОВ Ю1
изменениям
прижимаются к корпусу 2 кольцевой пружиной 3. При пе-
ремещении штока 4 возникает демпфирование.
Демпфирование колебаний осуществляется и в аморти-
заторах, не снабженных специальными демпферами; там оно
происходит за счет внутреннего трения в упругом элементе.
Однако такое демпфирование обычно является слабым, осо-
бенно в амортизаторах с металлическими упругими элемен-
тами. Стремление увеличить демпфирование в цельнометал-
лических амортизаторах, нечувствительных к
внешних условий, привело к появлению амортизаторов
с демпфером из металлической сетки и амортизаторов
с упругими элементами из прессованной металлической про-
волоки.
Упругий элемент соприкасается с деталью, соединяющей
амортизатор с объектом, по некоторой поверхности, назы-
ваемой площадкой крепления. При практических расчетах
можно обычно пренебречь размерами
площадки крепления и говорить
о точке крепления амортизатора
к амортизируемому объекту (рис. 23).
Перемещения точки крепления
при колебаниях и ударных воздей-
ствиях вызывают деформацию упру-
гого элемента, которая определяется
вектором и — перемещением точки
крепления относительно основания.
Силовая реакция амортизатора
вызванная его деформацией, вообще
говоря, не противоположна по на-
правлению вектору и. Однако в любом упругом амортиза-
торе могут быть определены три взаимно перпендикулярных
направления, обладающие тем свойством, что перемещение
точки крепления в одном из этих направлений вызывает реак-
цию только противоположного направления. Такие направле-
ния будут называться главными.
Проекции вектора и на главные направления амортиза-
тора будут обозначаться через и, v и w, а проекции век-
тора /?, представляющего собой силу, действующую на
амортизатор, — соответственно через U, V, W.
Учитывая упругие и демпфирующие свойства реальных
амортизаторов, мы будем в дальнейшем предполагать, что
102
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
составляющие силы R по главным направлениям могут
зависеть только от соответствующих составляющих век-
тора а и от первых производных по времени.
Соответствующие функциональные зависимости
U = U (и, и)>
V = V(v, v),
W = W (w, w)
(9.1)
называются динамическими характеристиками аморти-
затора.
Зависимости (9.1) носят приближенный характер. В дей-
ствительности, деформации упругого элемента в одном
из главных направлений вызывают изменение динамических
характеристик в других направлениях. Однако в большинстве
практических задач, особенно в тех случаях, когда стати-
ческое нагружение амортизатора происходит в одном из
главных направлений, характеристики могут приниматься
в форме (9.1).
В дальнейшем, при анализе динамики виброзащитных
систем, предполагается, что в положении равновесия
U =	=	0.	(9.2)
Тем самым исключаются из рассмотрения статические на-
грузки и статические реакции амортизаторов.
Для проведения статического расчета необходимо знать
статические характеристики амортизаторов, определяющие
зависимость статической реакции амортизатора Rs от его
статической деформации us\
Rs = Rs(us).	(9.3)
Проектируя вектор Rs на главные направления и предпо-
лагая, что величины проекций зависят только от соответ-
ствующих компонент вектора статической деформации, по-
лучим статические характеристики в следующей форме:
Us — Us(ti^, Vs = Vs(ys), Ws = Ws{ws), (9.4)
Динамические характеристики амортизатора (9.1) суще-
ственно зависят от его статических характеристик; в боль-
§ 9]
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АМОРТИЗАТОРОВ
103
шинстве случаев можно принять, что
U (и, 0) (as + и) — Us(us),
V (v. 0) = Vs (vs + v) - Vs (vs),
W (w, 0) = Ws(ws -+w)—Ws(ws),
(9.5)
то есть что полная динамическая реакция амортизатора при
и = 0 не отличается от его статической реакции при той же
деформации.
Динамические и статические характеристики амортизато-
ров являются, вообще говоря, нелинейными. Их нелинейность
может обусловливаться:
а)	нелинейными упругими свойствами материала, из кото-
рого изготовлен упругий элемент (например, резины);
б)	конструктивными особенностями упругого элемента,
приводящими к нелинейности его характеристик (например,
использованием в качестве упругого элемента фасонной витой
пружины, жесткость которой зависит от деформации);
в)	наличием внутреннего трения в материале упругого
элемента, которое всегда носит нелинейный характер;
г)	применением нелинейных демпферов (например, демпфе-
ров сухого трения);
д)	ограниченностью габаритных размеров амортизатора,
приводящей к неизбежному появлению упругих или жестких
ограничительных упоров.
В классической линейной теории виброзащитных систем
рассматриваются малые .колебания амортизируемого объекта
вблизи положения равновесия. Предполагая, что составляющие
вектора и и их производные по времени являются малыми,
можно произвести линеаризацию динамических характеристик,
основанную на разложении функций (9.1) в ряд Маклорена
и пренебрежении членами разложения, имеющими порядок
малости выше первого
U (и, V (-и, v) я	^(0, 0)« + ди ^(0, 0)v + dv	^-(0. 0) и = с и-j-fiua, ди	
		^(0, dv	0) v = cvv 4- bvv,
U7 (w, w) -	cW	пч 	(0, 0) w - UW	1 &W ,Г\	*	1 1	* +-	(0,	= с dw	
(9.6)
104
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
(ГЛ. It
Коэффициенты са> с^ cw называются жесткостями амор-
тизатора в главных направлениях, a bu, bv, — коэффи-
циентами демпфирования. Очевидно, что при нелинейных
динамических характеристиках жесткости и коэффициенты
демпфирования зависят от статических деформаций. Для
некоторых видов амортизаторов жесткости и коэффициенты
демпфирования остаются постоянными, если значения us, vs,
удовлетворяют неравенствам
(9.7)
В этих случаях говорят, что условия (9.7) определяют
область линейности амортизатора.
Линеаризация динамических характеристик допустима,
ди
как известно, в том случае, если производные ,
dU
—г-,.. . существуют и непрерывны при нулевых значениях
ди
аргументов. Это условие в некоторых практически важных
случаях не выполняется (например, в амортизаторах с сухим
трением). В этих случаях мы будем говорить, что аморти-
затор является существенно нелинейным. В системах
с существенно нелинейными амортизаторами даже малые
колебания не могут быть исследованы с помощью класси-
ческой линейной теории.
Учет нелинейности динамических характеристик является
необходимым при исследовании колебаний большой ампли-
туды. Как уже отмечалось выше, в виброзащитных системах
такие колебания являются обычно нежелательными, а нели-
нейность динамических характеристик часто является при-
чиной их появления.
§ 10. Некоторые формы динамических характеристик
Расчет нелинейных виброзащитных систем является обычно
приближенным. Поэтому и динамические характеристики
амортизаторов могут задаваться в приближенном виде,
аппроксимироваться простыми аналитическими зависимостями.
Мы рассмотрим теперь некоторые, часто встречающиеся на
практике, формы нелинейных динамических характеристик
и укажем, какие аналитические зависимости могут быть
использованы для их приближенного аналитического пред-
§ 10] НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Ю5
ставления. При этом мы ограничимся рассмотрением одной
характеристики U (и, и), имея
могут иметь аналогичные формы.
Функцию U (и, и) обычно мо-
жно представить в виде суммы
U (и, u) = Uy(u)-\-
-\-Ud(u, и). (10.1)
Здесь иу (и) — упругая характе-
ристика (упругая сила); в соответ-
ствии с (9.5) можно принять
Uy(u) = Us(us-^-u) —
-Us(us), (Ю.2)
в виду, что две другие
то есть упругая характеристика может быть получена из
статической характеристики переносом начала координат
в точку (us, Us) (рис. 24). Упругая сила Uy(u) является
консервативной; при деформации амортизатора работа этой

Рис. 25.
силы переходит в потенциальную
энергию:
и
П(и) = J Uу (и) du	(10.3)
о
Второе слагаемое в (10.1) назы-
вается диссипативной силой; оно харак-
теризует демпфирующие свойства амор-
тизатора, его способность рассеивать
механическую энергию колебаний, пре-
вращая ее в тепловую энергию. Если
произвести последовательно нагружение и разгружение амор-
тизатора (рис. 25), то работа упругой силы за цикл будет
равна нулю (потенциальная энергия в начальном и конечном
состоянии одинакова). Рассеянная энергия (соответствующая
площади S «гистерезисной петли») будет равна работе дис-
сипативной силы
S — & Ud(u, и) du.	(10.4)
Разделение усилия, действующего на амортизатор, на упру-
гую и диссипативную силу носит во многих случаях условный
106
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
характер. Если, например, диссипативная сила представ-
ляет собой силу внутреннего трения в материале упругого
элемента, отделение ее от упругой силы оказывается физи-
чески неосуществимым. Тем не менее представление реакции
амортизатора в форме (10.1) оказывается удобным при ана-
лизе динамических явлений.
Рассмотрим некоторые наиболее типичные формы упругих
характеристик.
а) Если в качестве упругого элемента используется ме-
таллическая пружина (витая или плоская), зависимость упру-
гой силы от деформации на не-
котором участке носит линейный
характер
Uy(u) = cu. (10.5)
Область линейности всегда
ограничена, поскольку ограничены
габариты амортизатора, его «сво-
бодный ход».
б) При применении упругих
ограничителей хода зависимость
упругой силы от деформации изо-
бражается ломаной линией (рис. 26). Аналитическое выраже-
ние этой зависимости:
Uy (и) — с и
Uy (и) — cf{u — d)-Y cd
иу (и) — с" (и + dx) — cdx
при
при
при
— dY d,
d,
и < — dv
(10.6)
Жесткости ограничителей с' и с" обычно во много раз
больше жесткости основного упругого элемента с. Иногда
они настолько велики, что могут считаться бесконечно боль-
шими (рис. 27). В этих случаях при работе амортизатора
могут происходить жесткие удары об ограничитель, сопро-
вождающиеся «мгновенным» изменением скорости и.
Для симметричного амортизатора с упругими упорами
(с' — с" — %2с, d — d^ имеем
Uy(u)~cu	при
Uy(u) — y?cu—(х2—1) cd sign и при j#|>d.
(10.6')
§ 10] НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 107
в)	Переход от линейной области к ограничителям может
носить плавный характер (рис. 28). Характеристика такого
вида получается при использовании фасонных витых метал-
лических пружин (например, конических). Точные аналити-
ческие выражения упругих сил для пружин различной формы
приводятся в [41]. Однако они слишком сложны для практи-
ческого использования.
С достаточной для практики точностью упругую силу
этого вида можно описать одной из следующих зависимостей:
£/у — си	при —
ц, = ы +2tй<g_(»_j) пр. й<«<д.
I/, = - cd. +	tg	+ d.)
при — Aj < и < —
(Ю.7)
или
Uy = си	при
Uy = cd + -^£7^ (“ —	ПРИ
Uy = — cdx — "£'^--(“ + ^1) при
d < и < Д,
— Д, < и < — dp
(10.8)
108
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. IT
Нетрудно убедиться, что при этом сохраняется непре-
рывность производной U' при u — d и и = — dv
Для симметричных амортизаторов (Д = Др d — dx) полу»
чаем соответственно
Uy = cu	при
у т , .	. 2с (А— d) . Г л ,	, .
t/y = cd sign и Н-tg [ 2(д^Та)	~ d S1£n “)]
при d < | и | < А
(10.7')
или
Uy — cu
U„ — cd sigil и +	~ -(и — d sign и)
у &	1 A — usignir ь 7
при
при Д>|и|>^.
(10.8')
г)	У амортизаторов с резиновым упругим элементом
область линейности практически отсутствует. Упругая сила
может быть аппроксимирована соотношениями вида (10.7)
или (10.8), если в них положить dv —d —0. Для характе-
ристики (10.7) получаем при этом:
2сА .ли	а	л
t/y = —tg— при А > и > 0.
11 2c&i .ли	л	л
t/y = -^tg^- при ~А1<«<0.
Для симметричного амортизатора
у 7 2сД 1 ли	I I л
^y= —tg2T При 1“1<А-
Соответственно для характеристики вида (10.8)
(10.9)
(10.9')
и,
с \и
-Г---- при
А — и	г
cAiW
--Гл	ПРИ
и -L- л.	г
и в симметричном случае
У ___ с \и
У А — и sign и
Д > и > 0,
—	< и < 0,
при | и | < Д.
(10.10)
(10.10')

§ 10] НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 109
д)	В некоторых задачах удобно аппроксимировать упру-
гую силу полиномом. При этом обычно можно ограничиться
трехчленным выражением
Uy (и) — си-[-du2-}-ей3.	(10.11)
Для симметричных амортизаторов следует принять d — 0
Uу (и) = си + ей3	(10.11')
или умножить квадратичный член на sign и
Uу (и) — си	du2 sign и -\-еи3.	(10.11")
е)	Упругая характеристика амортизатора с начальным
натягом (см- § 2):
П — c'uA-f при и > 0, )
,,„	,	(10.12)
Uy = с и — при и < 0. J	7
Для симметричного амортизатора (с' = с" = с; f = Д):
Uy — си-\- f sign и.	(10.12')
Рассмотрим некоторые виды диссипативных сил, встре-
чающихся в реальных амортизаторах.
а)	Выражения (9.6) показывают, что для малых колебаний
можно считать диссипативную силу линейной функцией
скорости
Ud(u, и) = Ьи,	(10.13)
если только она не является существенно нелинейной. Для
больших деформаций выражение (10.13) может считаться
справедливым только при использовании в системе демпфера
вязкого трения. Однако такие демпферы в виброзащитных
амортизаторах применяются редко: они конструктивно сложны
и слишком чувствительны к изменениям внешних условий.
Линейную характеристику вида (10.13) имеют и демпферы
индукционного типа, в которых диссипативная сила возни-
кает при перемещении проводника с током в магнитном поле:
такие демпферы также редко применяются в виброзащитных
системах.
б)	Диссипативная сила, возникающая в демпфере сухого
трения, вследствие закона Амонтона — Кулона, имеет сле-
дующую характеристику:
Ud(ut и) — Н sign и,	(10.14)
но
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
где Н — сила сухого трения, пропорциональная силе нор-
мального давления на соприкасающихся поверхностях.
Многочисленными опытами установлено, что коэффициент
пропорциональности (коэффициент трения) зависит от ско-
рости скольжения, материала и ка-
н	чества обработки соприкасающихся
I	поверхностей.
Нд	------- Примерный вид зависимости
коэффициента трения от скорости
показан на рис. 29. В первом при-
ближении можно считать, что при
	и =# 0 сила трения постоянна (тре-
0	й ние движения /7^); при относитель-
Рис. 29.	ном покое (к = 0) сила трения может
равняться любой величине от нуля
до некоторого значения Нп (трение покоя), соответствую-
щего началу движения. Как известно, трение покоя обычно
больше трения движения.
В работе I28] показано, что величина трения покоя суще-
ственно зависит от интервала времени, в течение которого
соприкасающиеся поверхности нахо-
дились в состоянии относительного
// —,-------------- покоя (время выстоя т на рис. 30).
п [	Если движение происходит без оста-
Ид	новок (например, по гармоническому
закону), то есть если время, в те-
чение которого скорость скольжения
близка к нулю, является достаточно
малым, то можно принять, что
Нп = Нд = И. Такое предположение
Рис. 30.	в дальнейшем будет принято при
исследовании колебательных режи-
мов без остановок. При исследовании движений с останов-
ками (а такие движения, как будет показано ниже, возможны
в системах с сухим трением) приходится различать трение
движения и трение покоя.
в)	Исследованию диссипативных сил, возникающих за счет
внутреннего трения в материале, посвящена обширная лите-
ратура I38]. Однако аналитические зависимости, выражающие
диссипативную силу через мгновенные значения деформации
§ IUJ НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Щ
и ее скорости, в литературе отсутствуют. Более того, в ре-
зультате многочисленных экспериментов установлено, что
получение таких зависимостей вообще не представляется
возможным.
Действительно, эксперименты, проводившиеся при дефор-
мации упругих элементов по гармоническому закону, пока-
зали, что для большинства материалов величина силы вну-
треннего трения практически не зависит от частоты гармо-
нического процесса (если только эта частота не слишком
мала). Этот факт можно было бы удовлетворительно согла-
совать с динамической характеристикой вида £/<э(я, и) только
в том случае, если бы последняя имела такую форму:
и) = UT (и) sign и.
(10.15)
При характеристике иного вида неизбежна зависимость силы
от частоты колебаний. Для характеристики вида (10.15)
гистерезисные петли будут иметь
рис. 31, то есть ширина петли по
оси ординат не будет зависеть от
амплитуды деформации. Однако это
расходится с экспериментами, кото-
рые свидетельствуют о существен-
ном влиянии амплитуды на ширину
гистерезисной петли.
Удовлетворительное объяснение
экспериментальных фактов, по-види-
форму, показанную на
Рис. 31.
мому, возможно лишь при предпо-
ложении, что величина силы внутреннего трения зависит не
от мгновенных значений и и и, а от всего закона измене-
ния u(t) на протяжении некоторого интервала времени, пред-
шествующего рассматриваемому моменту. Такая трактовка
внутреннего трения не противоречит существующим взглядам
на его физическую природу.
Практически все это означает, что функция UT(u) в (10.15)
должна зависеть от некоторых параметров, характеризующих
процесс и (/) в среднем на некотором интервале времени.
Для гармонического процесса такого рода параметром
является амплитуда.
Различными авторами предложено большое число формул,
выражающих зависимость силы внутреннего трения от ампли*
112
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
туды гармонической деформации. Многие из этих формул
приведены в работе [38]. Впрочем, при приближенном анализе
колебательных явлений, при которых деформация изменяется
по гармоническому закону, или близка к гармонической,
нас обычно интересует не сама сила, являющаяся периоди-
ческой функцией времени, а лишь ее первая гармоника.
Как было показано в гл. I, это означает, что в выборе
формы зависимости Ud(u, и) допустим некоторый произвол.
В связи с этим Е. С. Сорокин и Я. Г. Пановко предложили
такую формулу для силы внутреннего трения, которая суще-
ственно упрощает анализ:
ид(и, и) = рац у 1 — sign и, (10.16)
Здесь р и р—параметры, характеризующие свойства мате-
риала, а—амплитуда гармонических колебаний.
Следует подчеркнуть, что формула (10.16) пригодна
только для анализа колебаний, близких к гармоническим.
Учитывая, что при этом
/ц2
1--^2“ = I C0S | »
• /
и= a® cos — аа> V 1 — sign и,
можно записать формулу (10.16) в более простом виде
ид(и, =	(10.17)
то есть произвести гармоническую линеаризацию диссипа-
тивной силы.
Вопрос о выражении силы внутреннего трения через
параметры полигармонического процесса до сих пор в лите-
ратуре не рассматривался.
§11. Линеаризация и экспериментальное исследование
динамических характеристик
При исследовании многих колебательных процессов, воз-
никающих в виброзащитных системах, динамические характе-
ристики амортизаторов могут быть линеаризованы с помощью
одного из методов, описанных в гд. J.
§ 11] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗ
Выбор метода линеаризации определяется характером
исследуемых колебательных явлений. При анализе малых
колебаний вблизи положения равновесия динамические харак-
теристики, если только они не являются существенно нели-
нейными, могут быть линеаризованы в соответствии с фор-
мулами (9.6). При исследовании установившихся колебаний,
сопровождающихся значительными деформациями, линеари-
зованная характеристика может быть записана в форме:
и {и, ii)=UQ + c^-\-bMu.	(11.1)
Здесь н°—разность между деформацией и и ее постоянной
составляющей а0; £/0, гда, ^„--коэффициенты, зависящие
от параметров колебательного процесса.
В дальнейшем UQ будет называться динамической постоян-
ной составляющей; сда— динамической жесткостью; Ьда — ди-
намическим коэффициентом демпфирования. Пока речь идет
только о характеристике в направлении оси и, индексы
при сди и Ьди могут быть опущены.
Если предполагается, что колебания, возникающие в вибро-
защитной системе, близки к гармоническим (такое предпо-
ложение часто оказывается справедливым, если на систему
действует гармоническое вибрационное возмущение), то коэф-
фициеты сд, Ьд являются коэффициентами гармонической
линеаризации.
Полагая в этом случае
и — а0+ a cos со/	(11.2)
и учитывая, что динамическая характеристика может быть
представлена в форме (10.1), по формулам (3.15) — (3.17)
получаем
2Л
ио = ^ / t/y(a0+acosip)^ = L70(a0, а),	(11.3)
о
2Л
=	£/у (а0+ a cos ф) cos ф dty = сд (aQ, а),	(11.4)
6
2л
#д =— J Ud (а0Ч“ а соэф, —асо$1пф)81пф^ф =
о
= ^д(а0, а, со). (11.5)
§ М. 3. Коловский
114
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. И
Формула (11.5) может быть преобразована:
2Л
^д—“^2 j* (Ло+ а cos^> —a(osinA|))tf (acosi|)) =
б
= —i-y (£	u)du = —, (11.6)
шоя2 j 04	7 шоа2 v 7
где S — площадь петли гистерезиса, соответствующей на-
гружению по гармоническому закону с амплитудой а и
частотой со.
Таким образом, величина коэффициента Ьл зависит только
от площади петли гистерезиса, амплитуды и частоты коле-
баний. Именно по этой причине при исследовании колебаний,
близких к гармоническим, можно не интересоваться формой
гистерезисной петли.
При исследовании полигармонических колебательных про-
цессов удобно пользоваться методом линеаризации по функ-
ции распределения. Для линеаризации нелинейной упругой
силы можно воспользоваться формулами (5.20) и (5.22):
и2
иу0== f Uy(u)w(u)du,	(11.7)
w,
И2
(«)(«—«о)(“)(И.8)
При линеаризации диссипативной силы, в соответствии
с формулами (5.68) — (5.70), получаем
и2 v2
Uq — J J Ud(u, v)w(u, v)dudv,	(11.9)
«, v,
«2 V2
=	| I (« — a^Ud(a, v)w(u, v)dudv, (11.10)
V J
*• «1 t'l
u2 v2
#д = -4- vUd(a, v)w(u, v)du dv.	(11.11)
v «1 vl
§ 11] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 115
Для всех видов диссипативных сил, рассмотренных выше,
имеем
= cJ = o.
Следовательно,
Uo=Ul сл = с[.
Выражение для динамического коэффициента демпфиро-
вания можно преобразовать, учитывая соотношение (5.66):
U.2 ^2	Т
| I (и, v) lim b[tt—u(t)]b[v—u(t)]dtdudv==
у J	Г->оо %
j t/!	О
Г
1	1 Г •	• М-о
= 4- lim 4- «(/)£/Я«(0. u)}dt = -^-, (11.12)
% Гч-со Т J	о'
где Ncp — средняя мощность диссипативной силы про-
цесса и (/), вычисленная для бесконечного интервала времени.
Во многих случаях динамические характеристики упругих
амортизаторов не могут быть получены на основе теорети-
ческого анализа и должны определяться экспериментальным
путем. Очевидно, что при этом
функциональных зависимостей
вида (9.1), а непосредственно
определять динамические коэф-
фициенты линеаризации.
На практике удается опре-
делить коэффициенты гармони-
ческой линеаризации (11.3)—
(11.5). Для их определения мо-
жет быть предложено несколько
способов.
а) По первому способу
амортизатор деформируется по
можно не разыскивать форму
гармоническому закону (например, при помощи пульсационной
машины). При этом производится запись законов изменения
во времени деформации и усилия (рис. 32). Затем произво-
дится гармонический анализ функции U (/), причем вычисляются
постоянная составляющая и коэффициенты Фурье при первых
8*
116
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. И
гармониках. Как было показано в § 3, имеют место следую-
щие соотношения:
2л
J u^tt.
о
2л
о
с =— f U (/) cos ®tdt>
д па J 7
о
2л
со
= — ± J U (t) sin at dt.
О
(11.13)
Коэффициенты UQ, сл, Ьл определяются для различных зна-
чений а0, а, со. Результаты эксперимента позволяют по-
строить графики зависимости коэффициентов линеаризации
от параметров.
б) Второй способ основан на анализе свободных колеба-
ний массы, установленной на исследуемом амортизаторе.
________ Установив некоторую массу на несколь-
ких одинаковых, симметрично располо-
г	женных амортизаторах, получим систему,
-------- которая при колебаниях, направленных
по оси симметрии (ось и на рис. 33), мо-
.------жет рассматриваться как система с одной
। степенью свободы.
и £ Дадим системе начальное отклонение
Рис. 33. и запишем возникающие при этом сво-
бодные колебания. Если диссипативные
силы, действующие в системе, достаточно малы, то колеба-
ния будут медленно затухать, так что в пределах одного
периода процесс может считаться близким к гармоническому
(рис. 34). Анализируя каждую волну, ,можно определить
смещение середины размаха а0, амплитуду а, частоту со,
то есть построить скелетную кривую. Сравнивая величины
двух последовательных размахов, можно определить (для
соответствующих значений амплитуды и частоты) величину
динамического коэффициента демпфирования. Действительно,
§ И] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 117
на протяжении одного периода может считаться постоян-
ным, то есть уравнение затухающих колебаний в течение
периода запишется в форме
mtP +	+ сли* + UQ = 0,	(11.14)
где tn — масса, приходящаяся на один амортизатор, сл — ди-
намическая жесткость, — динамический коэффициент демп-
фирования. Решая уравнение (11.14), находим (для движения
где az, az-1—значения амплитуды на данном и на преды-
дущем периоде.
в) Такой способ пригоден только для систем со слабым
демпфированием; при наличии более эффективных диссипа-
тивных сил приходится определять коэффициенты линеари-
зации в режиме вынужденных колебаний при гармоническом
вибрационном воздействии.
Движение системы в этом случае описывается следующим
линеаризованным уравнением:
coscot (11.15)
Определив экспериментальным путем амплитуду а и фазу <р
возникающих при этом «гармонических» колебаний, можно
найти сл и Ьл из уравнений, аналогичных (3.25) и (3.26):
та2 А	Ьл(д
а= 7-..-............, f€T<p—---------------. (11.16)
у (сд — ттгсо2)2 +	W — с д
118
УПРУГИЕ АМОРТИЗАТОРЫ
[ГЛ. II
Решение этих уравнений значительно упрощается, если
найти такой режим (то есть выбрать такие значения А и со),
чтобы сдвиг по фазе между вынужденными колебаниями и
вынуждающей силой равнялся у. При этом tgcp = oo и, сле-
довательно,
ед = то)2,
, /псоЛ
=-----------
(И-17)
ГЛАВА III
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
§ 12. Вынужденные колебания
при гармоническом вибрационном воздействии
и силе сопротивления, пропорциональной скорости
Рассмотрим виброзащитные системы с одной степенью
свободы, принципиальные схемы которых приведены на
рис. 2, а и б. Уравнение движения каждой из этих систем
может быть записано следующим образом:
та-\-и(и,	—	(12.1)
Здесь т—масса амортизируемого объекта; а — деформация
упругого амортизатора, отсчитываемая от положения стати-
ческого равновесия; U — сила, приложенная к амортизатору
в направлении оси u\ Q(t) — вибрационное воздействие, пред-
ставляющее собой либо активную силу, либо силу инерции
объекта в его переносном движении (то есть произведение
массы на ускорение основания, взятое с обратным знаком).
В этой главе будут исследованы некоторые частные слу-
чаи виброзащитных систем с одной степенью свободы, дви-
жение которых описывается уравнением (12.1).
Предположим сначала, что диссипативная сила пропор-
циональна скорости деформации амортизатора; тогда сила,
действующая на амортизируемый объект, может быть пред-
ставлена в следующей форме:
U(u, u) = Uy(u)-+-bu,	(12.2)
где b — постоянный коэффициент.
120 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Предположим также, что вибрационное воздействие
является гармонической функцией времени:
Q (f) = F cos со/.	(12.3)
Такое воздействие имеет место при вибрационных испытаниях
различных объектов с помощью гармонических вибраторов
и вибрационных стендов, при наличии в системе вращаю-
щейся неуравновешенной массы и во многих других случаях.
Подставив (12.2) и (12.3) в уравнение (12.1), получим
(к) = F cos соЛ	(12-4)
Решение этого уравнения будем искать в форме
и = а0+ ifi (/) — а0+ a cos ((о/ + ф) (12.5)
с помощью метода гармонической линеаризации. Используя
формулы	(11.3) и (11.4), линеаризуем нелинейную	упругую
силу	L7y«l/0(a0, а) + сд(а0, а)«°,	(12.6)
где	2 л и°=БГ1 (ао + «cos 4'W	(12.7)
	0 2л сд = -I- J Uy	a cos ip) cos 4> ^4- 0	(12.8)
Подставив (12.6) в (12.4), получаем линеаризованное урав-
нение
тк0 + bifl +1/0 + сдй° = F cos	(12.9)
имеющее ту же форму, что и уравнение (3.23).
В соответствии с (3.24) — (3.26), получаем следующие
уравнения для определения смещения середины размаха а0,
амплитуды колебаний а и сдвига по фазе между колебанием
и вибрационным воздействием ф:
я)— 0»
(12.10)
У(Х2 —w2)2 + 4n%2 да2 —Л2 ’	(12.11) (12.12)
1
§ 12]	ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	121
где
2 2	(л0> а)
т
b	F
Очевидно, что связь между смещением середины размаха и
амплитудой, определяемая уравнением (12.10), остается та-
кой же, как и при свободных колебаниях. Сравнивая выра-
жения (12.8) и (2.14), легко убедиться, что А,(а0, а)—частота
свободных колебаний, имеющих амплитуду а и смещение
середины размаха а0. Если с помощью уравнения (12.10) вы-
разить а0 через а, можно получить в явном виде зависи-
мость X (а), то есть уравнение скелетной кривой
2л
С 1 С
=	) ^у[«о(а)+аcosi|>]cos-фйГф. (12.14)
о
Подставив А, (а) в уравнение (12.11), можно определить ампли-
туду. Решение этого уравнения
графическим способом. По-
строим для этого график зави-
симости а (1), рассматривая X
в выражении (12.11) как неза-
висимый параметр. При малых
значениях п (что, кстати говоря,
характерно для большинства
виброзащитных систем) этот
график будет иметь форму, по-
казанную на рис. 35.
Нанесем на этот же гра-
фик скелетную кривую Х(а).
Точки пересечения обеих кри-
удобнее всего производить
вых определяют решения урав-
нения (12.11). Из рис. 35 видно, что в случае нелинейной
упругой силы уравнение (12.11) может иметь несколько ре-
шений. Это означает, что в рассматриваемой системе возможно
установление различных колебательных режимов, близких
к гармоническому, отличающихся амплитудой и фазой. Какой
из этих режимов будет устанавливаться в действительности,
зависит от начальных условий. В практических задачах на-
чальные условия обычно не являются определенными, они
зависят от многих случайных факторов; поэтому приходится
122 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
считаться с возможностью возникновения любого из найденных
режимов.
Множественность установившихся решений — одна из ха-
рактерных особенностей неавтономных нелинейных систем,
с которой нам в дальнейшем придется неоднократно иметь
дело.
Во многих виброзащитных системах частота вибрацион-
ного воздействия может принимать различные значения. Так,
например, неуравновешенная масса может вращаться с раз-
личной угловой скоростью, стол вибростенда может колебаться
с различной частотой и т. п. Если изменять величину со и
для каждого ее значения определять амплитуду а из урав-
нения (12.11), можно получить амплитудно-частотную
характеристику системы а (со). Графическое изображение
этой зависимости называется обычно резонансной кривой.
Прежде чем перейти к исследованию формы резонансных
кривых, отметим, что в реальных системах амплитуда выну-
ждающей силы F является обычно функцией частоты со.
Если, например, Q(t) представляет собой составляющую
центробежной силы, вызванной вращением неуравновешенной
массы со статическим моментом р, то F — рю2, то есть ампли-
туда вибрационного воздействия пропорциональна квадрату
частоты. Такая же зависимость имеет место и в случае пас-
сивной виброзащитной системы, если амплитуда колебаний
основания не зависит от частоты и равна £0. При этом
F=m^^2. Возможны и другие формы зависимости F от со.
Поэтому в общем случае уравнение амплитудно-частотной
характеристики должно быть записано в таком виде:
Л1(—*------- (12.15)
а /[A,2 (a) — со2]2 + 4п2со2 ’
Это уравнение и определяет резонансную кривую.
Найдем точки пересечения резонансной и скелетной кривых.
Если в уравнении (12.15) принять, что А, = ю (в точке пере-
сечения должно, разумеется, выполняться это равенство), то
получится следующая зависимость амплитуды от частоты:
и 2па
Это уравнение определяет на плоскости (а, ю) некоторую
кривую, являющуюся геометрическим местом точек пересече-
(12.16)
§ 12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
123
ния резонансных кривых со скелетными. Эта линия пересекает
скелетную кривую, соответствующую заданной упругой харак-
теристике, в тех же точках,
что и резонансная кривая
(точка А на рис. 36).
Поскольку ?г (со) > О,
а знаменатель выражения
(12.15) при любых значе-
ниях X и (о превышает 2лсо,
точки резонансной кривой
должны располагаться (при
тех же со) ниже точек кри-
вой (12.16).
Покажем теперь, что
кривые (12.15) и (12.16)	Рис. 36.
касаются друг друга в тех
точках, где со = Х. Для этого найдем производную
рассматривая (12.15) как зависимость а от со, заданную в неяв-
ной форме:
= (Р - Л+4» { <и> - <°v+4» vf- _
— 2Ft (со) [(V — co2)2 + 4n2w2]~’/2 X
+	02-17)
Отсюда
/ da \ F'i (X) 2лЛ — ?г (X) 2л F{(X) К —	(X)
\'5йГ/(д=к=	4л*Л2	=	2л2?	*
Это совпадает с выражением для производной от функ-
ции (12.16) по со при (о = Х.
Таким образом, построив скелетную кривую и линию (12.16),
можно судить о форме резонансной кривой в окрестности
точек пересечения ее со скелетной (точки Л и В на рис. 37).
Поведение резонансных кривых вдали от этих точек суще*-
ственно зависит от вида функции ^(со) и формы скелетной
кривой. Пусть, например,
Fj (со) = ?! = const.	(12.18)
Тогда кривая . (12.16) является гиперболой. С «жесткой»
124 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
скелетной кривой эта гипербола может пересечься только один
раз (рис. 38); с «мягкой» скелетной кривой она может иметь
две точки пересечения (рис. 39) или не иметь ни одной
(рис. 40). Приравняв производную (12.17) нулю, найдем, что
экстремальные (минималь-
ные и максимальные) значе-
ния амплитуда может при-
нимать при
=	2/г2. (12.19)
Если 2n2<^Z2, то(о*^ X,
то есть экстремальные зна-
чения достигаются вблизи от
точек пересечения резонанс-
ной кривой со скелетной.
Теперь легко показать,
что в зависимости от числа
точек пересечения скелетной
кривой с гиперболой (12.16) могут существовать резонанс-
ные кривые трех видов (рис. 38—40). Наиболее типичным
является случай, показанный на
Рис. 38.
рис. 38 и соответствующий
«жесткой» скелетной кри-
вой. Случаи, показанные на
рис. 39 и 40, на прак-
тике встречаются значитель-
но реже.
Предположим, что ча-
стота вибрационного воздей-
ствия медленно изменяется,
так что при каждом ее зна-
чении успевает установиться
режим вынужденных коле-
баний. Определяя при каж-
дом значении частоты ампли-
туду колебаний а, можно
построить резонансную кривую. Если при этом со увеличи-
вается (рис. 38), можно определить точки резонансной кри-
вой, соответствующие участку AM, В точке М произойдет
срыв колебаний, амплитуда резко уменьшится до значения,
соответствующего точке М', При уменьшении частоты от
значения, соответствующего некоторой точке В, удается по*
§ 12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
125
строить точки резонансной кривой на участке BN. В точке W
произойдет резкое увеличение амплитуды до значения, соот-
ветствующего точке N'. Получить колебательные режимы,
соответствующие точкам участка MN, вообще не удается,
поскольку, как будет показано ниже, соответствующие режимы
являются неустойчивыми.
«Срывы» резонансных коле-
баний и «скачки» амплитуды
при изменении частоты воз-
мущения характерны для не-
линейных систем и часто на-
блюдаются на практике.
Предположим теперь, что
амплитуда вибрационного
воздействия пропорциональ-
на квадрату частоты:
А(«) = ^2. (12.20) 0
Рис. 39.
В этом случае амплитуда
принимает экстремальные
значения также вблизи от точек пересечения резонансной и
скелетной кривой. Действительно, приравнивая нулю производ-
ную da/d(d, найдем в этом
случае
* X2
(0* = -у==,
/Л2 —2л2
(12.21)
так что при 2n2 X2 имеем
Подставив (12.20) в
(12.16), получаем уравнение
прямой
(12.22)
которая может пересекаться	Рис. 40.
с «мягкой» скелетной кривой
только в одной точке (при п =# 0); число точек пересечения
с «жесткой» скелетной кривой может быть различным. В ра-
боте [21] показано, что в зависимости от числа точек пересе-
чения прямой (12.22) и скелетной кривой резонансные кри-
вые могут принимать различную форму. Некоторые наиболее
126 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
типичные варианты показаны на рис. 41—43. В этом случае
характерной особенностью резонансных кривых является воз-
никновение дополнительных ветвей, соответствующих колеба-
ниям большой амплитуды. Появление этих ветвей означает,
Рис. 41.
что в системе с нелинейной
упругой силой и диссипа-
тивной силой, пропорцио-
нальной скорости деформа-
ции, гармоническое вибра-
ционное воздействие может
вызвать колебания большой
амплитуды даже в тех слу-
чаях, когда частота этого
воздействия значительно пре-
вышает частоту малых сво-
бодных колебаний («соб-
ственную» частоту системы).
Естественно, что при этом
упругий амортизатор не
только не защищает амортизируемый объект от вибрацион-
ного воздействия, но даже усиливает это воздействие.
Существенно отметить, что такие явления могут возникать
и в тех случаях, когда результаты расчета, проведенного на
основе линейной теории, казалось бы, свидетельствуют о про-
тивоположном. Действительно, рассмотрим в качестве при-
мера амортизатор с линейным упругим элементом и симме-
§ 12]	ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	127
трично расположенными упругими упорами. Упругая сила
такого амортизатора имеет характеристику (10.6'). Скелетная
кривая для этого случая была определена в § 2. Изменяя
в формуле (2.28) обозначения в соответствии с (10.6'), по-
лучаем
%2(а) = Хо[1+(х2 — 1) (1 -^.ya^Zd2_2arcsin|\l
при а > d,
А, (а) = Хо при а < d.
(12.23)
А 2 с
где Zo = —.
Скелетная кривая построена на рис. 44. Предположим
теперь, что прямая (12.22) проходит так, как показано на
рис. 44, то есть пересекает скелетную кривую в трех точках.
Это может произойти в том случае, если
Jo .
2п Хо
(12.24)
Резонансная кривая при этом распадается на две ветви. Ниж-
няя ветвь целиком располагается в области линейности упру-
гого амортизатора; расчет по формулам линейной теории
приводит поэтому к неверному заключению о том, что уп-
ругие упоры не играют никакой роли, поскольку даже в
128 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 111
резонансном режиме колебания не выходят за пределы линей-
ного участка упругой характеристики. Существование замкну-
той дополнительной ветви ВС остается при этом незамеченным.
Между тем в действительности при < со < со2 в системе
могут возникать опасные колебания большой амплитуды,
может происходить «стук об упоры» — явление, хорошо из-
вестное тем, кто имеет дело
с виброзащитными систе-
мами.
Характерно, что поведе-
ние системы при медленном
изменении частоты и ампли-
туды вибрационного воздей-
ствия также может в этом
случае существенно отли-
чаться от того, что наблю-
дается при F = const. Если
резонансная кривая имеет
такой вид, как на рис. 43
и 44, то при постепенном
изменении частоты резкие
скачки амплитуды колебаний
могут и не происходить;
можно пройти весь диапазон частот от 0 до отах, находясь
на нижней ветви резонансной кривой, и не выйти на верхнюю
ветвь. Возбуждение колебаний большой амплитуды, соответ-
ствующих точкам верхней ветви, может произойти в резуль-
тате случайного толчка, удара и т. п. Поэтому можно не
обнаружить возможности возникновения колебаний большой
амплитуды не только при проведении расчетов, но и при ла-
бораторных испытаниях.
Для устранения опасных резонансных явлений необходимо
при проектировании виброзащитной системы прежде всего
исключить возможность появления дополнительных ветвей
резонансных кривых. Из рис. 44 легко видеть, что для этого
следует либо уменьшить угол наклона линии (12.22) к оси
абсцисс, либо изменить форму скелетной кривой, сделав ее
более крутой. Но уменьшение угла наклона прямой (12.22)
означает (при заданном значении £0) увеличение коэффи-
циента п, то есть увеличение интенсивности диссипативных
сил; увеличение крутизны скелетной кривой неизбежно при-
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
129
§ 12]
водит к увеличению «свободного хода» амортизатора, а сле-
довательно, и к увеличению габаритов виброзащитной системы.
Определим величину коэффициента демпфирования п*, при
которой устраняется опасность возникновения дополнитель-
ной ветви резонансной кривой в системе с упругими упо-
рами. Для этого проведем из начала координат касательную
к скелетной кривой (рис. 44); если со* и а* — координаты
точки касания, то
=	(12.25)
При п > п* прямая (12.22) пересекается со скелетной кри-
вой в одной точке и дополнительная ветвь перестает суще-
ствовать. Тем самым устраняется опасность возникновения
«стука на упорах».
Во многих случаях упругая характеристика ограничитель-
ных упоров амортизатора заранее неизвестна; тогда предста-
вляет интерес следующая задача: выбрать величину расстоя-
ния до упора d и коэффициента демпфирования п с таким
расчетом, чтобы при любой
упругой характеристике огра-
ничительных упоров стук на
упорах не мог возникнуть.
Если известна собственная
частота Хо, то участок скелет-
ной кривой, соответствующий
линейной части упругой харак-
теристики, есть прямая, парал-
лельная оси ординат (линия АВ
на рис. 45). Форма скелетной
кривой на нелинейном участке
Рис. 45.
зависит от упругой характеристики упоров; однако во всех
случаях скелетная кривая располагается выше линии ВС,
Можно сказать, что эта линия соответствует случаю «беско-
нечно жестких» упоров.
Проведя прямую (12.22), легко убедиться, что при жест-
ких упорах возможны два вида резонансных кривых. Если
эта прямая не пересекает ломаную АВС (случай малого п),
то ветви резонансных кривых будут иметь такой вид, как
на рис. 45, то есть при этом стук на упорах будет возможен
на любой частоте, превышающей kQ. Если же прямая (12.22)
9 М. 3. КоловскиЙ
130 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
пересечет ломаную АВС, то появится дополнительная ветвь,
совпадающая с линией ВС на участке DC (рис. 46).
В реальных системах амплитуда вибрационного воздей-
ствия не может возрастать безгранично; соотношение (12.20)
остается справедливым только для значений (о, не превы-
значение сотах известно, то
сформулированная выше за-
дача решается просто. Не-
обходимо, чтобы абсцисса
точки D превышала comax,
тогда стук на упорах не бу-
дет возникать. Аналитически
это условие выражается
в следующей форме:
. (12.26)
2л ®тах
Рис. 46.	Эта формула может быть
использована как для опре-
деления величины свободного хода d, так и для определения
коэффициента сопротивления п.
Очевидно, что если частота со не изменяется от 0 до сотах,
а имеет некоторое фиксированное значение соо, то в фор-
муле (12.26) следует положить (отах = <оо.
Для того чтобы устранить стук на упорах, часто при-
ходится делать свободный ход во много раз большим, чем
это требуется в соответствии с расчетом, выполненным по
формулам линейной теории. Проиллюстрируем это численным
примером.
Пусть на систему амортизации с собственной частотой
в 10 гц (Х0 = 62,8 1/сек) действует вибрационное возмущение
с частотой 100 гц (со = 628 Х/сек) и амплитудой £0 =
= 0,1 мм. Коэффициент сопротивления п = 6 \/сек. Тре-
буется определить величину свободного хода d (упоры рас-
положены симметрично).
Если основываться на линейной теории, то можно опре-
делить амплитуду деформации амортизатора по формуле
д = И8--------------.
/(X02-W2)2 + 4nV
(12.27)
получающейся при подстановке в (12.11) Х = Х0, Fx = ^о(о2.
§ 12]	ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	131
Подставляя в (12.27) значения 10, п, со, получаем а =
= 0,101 мм. Для того чтобы при колебаниях с такой ам-
плитудой не происходило ударов об упоры, расстояние до
упора должно быть больше, чем амплитуда. Отсюда, каза-
лось бы, можно принять: б7 = О,15 — 0,25 мм.
Однако этот вывод неправилен. В действительности
требуемая величина d должна определяться по формуле (12.26),
которая дает (при сотах = со0):
d> ig> = .^628	5,2 мм.
Требуемый зазор в 50 раз превышает амплитуду дефор-
мации, найденную по формуле (12.27)! Если же, например,
принять d = 0,25 мм, то для исключения возможности воз-
никновения стука об упоры необходимо в 20 раз увеличить
диссипативную силу.
При проведении практических расчетов обычно наиболее
трудной задачей является построение скелетной кривой, осо-
бенно в тех случаях, когда упругая характеристика аморти-
затора является несимметричной (а0 =# 0). Для того чтобы
показать, каким образом могут быть преодолены возникаю-
щие трудности, рассмотрим еще один пример.
Амортизируемый объект массой в 1 кг установлен на
линейном упругом амортизаторе, жесткость которого с =
= 40 н/см\ ограничительные упоры установлены на рас-
стояниях:
верхний — d = 5 мм, нижний — dx = 3 мм от положения
равновесия; их жесткости соответственно равны с' — 1000 н/см
и с" = 640 н/см. Амплитуда гармонического вибрационного
воздействия зависит от частоты следующим образом:
Fx — О,1со2 см/сек2 при со 60л \/сек (£0=1 мм — const),
7^ = 360л2 с м/сек2 = const при со > 60 л \/сек.
Требуется определить величину коэффициента сопротивле-
ния п, необходимую для исключения «стука на упорах».
В зависимости от значений а0 и а в системе с несимме-
тричными упорами могут возникнуть следующие колебатель-
ные режимы:
а) колебания без ударов об упоры
Ло+л<^» ао—а>—dy	(D
9*
132 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
б) колебания с ударами	только О	верхний упор	
а0+ я > d,	а0— а \		(II)
в) колебания с ударами	только о	нижний упор	
aQ 4~ а	d>	а0 —а <	Z-dy	(П1)
г) колебания с ударами	о верхний	и нижний упоры	
aQ 4" а d,	а0 — а <	Z—dx.	(IV)
Для дальнейшего исследования удобно в системе коор-
динат (а0, а) построить линии aQ-\-a = d и а0 — а — — dlt
разделяющие полуплоскость а > 0 на четыре области, в каж-
дой из которых выполняется одно из условий (I) — (IV)
(рис. 47).
Далее, в тех же координатах следует построить кри-
вую (12.10); для этого необходимо знать в явном виде
аналитическую зависимость UQ(aQ, а). При этом удобно
пользоваться приближенным соотношением, полученным
с помощью формулы (5.50):
Uy (aQ - 0,924а) + иу (а0 — 0.383а) 4~ Uy (а0+ 0,924а) +
-Т	(а04~ 0,383а) = 0. (12.28)
§ 12]	ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	133
При выполнении условий (I), очевидно, должно быть
а0 = 0 (упругая характеристика линейная). Поэтому
в области (I) линия (12.10) совпадает с осью абсцисс (уча-
сток ОА). Далее мы попадаем в область (III), то есть
начинаются удары о нижний упор. При а < все че-
тыре точки упругой характеристики, в которых определяются
значения упругой силы, входящие в формулу (12.28), лежат
на линейном участке. Поэтому линия (12.10) на участке
^<а<оЖ <3 < * <3>25)
по-прежнему совпадает с осью абсцисс (участок АВ). Далее
первая точка (а = а0— 0,924а) попадает на участок упругой
характеристики, соответствующий нижнему упору; остальные
точки продолжают оставаться в области линейности. Уравне-
ние (12.28) принимает при этом такую форму:
с" (а0 — 0,924а + dx) — cdx + c (а0 — 0,383а) +
с (а0 —|— 0,924а)	с (cLq —|— 0,383а) = 0,
или
а0 (За + а") — 0,924а (а" — с) + dx (с" — с) = 0.
Это — прямая линия (участок ВС):
а0 = 0,73а — 2,37.	(12.29)
Координаты точки пересечения ее с линией a0-f-a = d — 5:
а = 4,25 мм, aQ = 0,75 мм
определяют значения амплитуды и смещения середины раз-
маха, при которых начинаются удары о верхний упор. С этого
момента линия (12.10) попадает в область (IV).
Построим теперь прямые
а0 — 0,924а =— dx (а), а00,924а = d (у),
а0 —0,383а = — (₽), а0 + 0,383а = d (6).
При каждом пересечении линии (12.10) с одной из этих пря-
мых изменяется форма уравнения (12.28), поскольку при этом
одна из четырех точек, в которых определяются значения
упругой силы, переходит на другой участок упругой харак-
теристики.
134 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Первый излом линии (12.10) происходит в точке D:
а — 4,45 мм, ао = О,88 мм.
На следующем участке получаем уравнение:
с" (а0 — 0,924а + dj) — cdr + с (а0 — 0,383а) +
+ сг (ад —|— 0,924а — яГ) —j— cd —j— с (ад —{— 0,383а) = 0
или
а0 (2с + с' + с") + 0,924 а (г' — с") +
+ c"dx — с'd +с (d — dj = 0.
Подставляя численные значения параметров, получаем уравне-
ние участка DE:
а0 = —0,193а+ 1,75;	(12.30)
в точке Е
а = 8,25 мм,	ао = О,11 мм.
Дальнейшее исследование формы кривой (12.10) не тре-
буется, поскольку большие значения амплитуды нас не будут
интересовать. Отметим, что в точках В, D, Е линия (12.10)
терпит разрыв; значения а0 в этих точках изменяются скач-
ками. Эти небольшие скачки объясняются тем, что уравне-
ние (12.28) является приближенным.
Теперь, зная зависимость а0(а), вытекающую из уравне-
ния (12.10), можно строить скелетную кривую. Для этого
удобно использовать формулу (5.49), которая в. принятых
здесь обозначениях может быть записана следующим образом:
X2 = -2^- {0.924 [Uy (а0 + 0.924а) — Uy (а0 — 0,924а)] +
Н-0.383 [t/y(aoH-0,383а)— (7у(а0 —0,383а)]}. (12.31)
Очевидно, что при значениях а, соответствующих участку ОВ:
0 < а < 3,25 мм,
следует принять:
№ = — = 4000 \/сек2> А, = 63,5 1/сек = const.
§ 12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
135
На участке BD, используя уравнение (12.29), получаем
V = -Л- [0,924 [е (1,654а - 2,37) —
ffl'
— с" (— 0,194а — 2,37 + 3) + Зс] +
+ 0,383 [с(1,11 За — 2,37) — с фМ1а — 2,37)]} =
== — (2,34— —
т \	а )
На участке DE, учитывая (12.30), находим
X2 = 2^- [0,924 \с' (0,731 а +1,75 — 5) +
+ 5с— с"(— 1,117а + 1,75 + 3) + Зс] +-
+ 0,383 [с (0,19а + 1,75) — с (— 0,576а + 1,75)]} =
= — (16,68—
т \	а /
Таким образом, получается скелетная
на рис. 48. Проведя из начала коор-
динат касательную к ней, находим
требуемое значение коэффициента
сопротивления п:
я >12,5 \1сек.
До сих пор речь шла об опре-
делении амплитуды деформации амор-
тизатора; в практических задачах
более важно определить реакцию
амортизатора.
Как указывалось во введении,
отношение амплитуды реакции к
амплитуде вибрационного воздейст-
вия характеризует виброзащитные
свойства системы.
кривая, построенная
Динамическая составляющая реакции складывается из упру-
гой и диссипативной силы:
/? = —и) = — bu — Uy (а).	(12.32)
В первом приближении для определения амплитуды реак-
ции можно воспользоваться линеаризованным выражением для
136 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
упругой силы (12.6), Учитывая, что £70 —О, получаем
Яшах ~ I Ьи + сди° |max = a VbW+c\ = та /Х4+4и2(о2 . ]
(12.33) 
Следует иметь в виду, что значение Z?max, полученное по
формуле (12.33), является весьма приближенным. Дело в том,
что эта формула определяет лишь амплитуду первой гармо-
ники силы и не учитывает высших гармоник. По соображе-
ниям, изложенным достаточно подробно в § 1, пренебрежение
высшими гармониками обычно допустимо при определении
деформации, но не при вычислении нелинейной силы.
Более точное значение /?тах может быть получено непо-
средственным вычислением функции R(t) по формуле
R (t) — baa sin (i)t—Uy(aQ-\- a cosart). (12.34)
. При малых диссипативных силах (baax^ Uy max) можно’
принять, что амплитудное значение реакции совпадает с ам-
плитудным значением упругой силы, то есть что	!
ЯгааХ~^у(*о±	(12.35)
причем выбирается наибольшее из этих двух значений Uy.
В заключение исследуем устойчивость периодических решений, I
соответствующих различным точкам резонансной кривой. Для этого >
воспользуемся критериями устойчивости решений гармонического
вида, найденными в § 8 (формулы (8.30) и (8.31)). В рассматривае-
мом случае
г = 2п, q (а) = %2 (а).
Очевидно, что условие (8.30) выполняется тождественно, поскольку
п > 0. Условие (8.31) запишется в такой форме:
4п2+— <o2][v(a)— <о24-в—> 0. (12.36)
(0	L	Л $ I
Если значения а и о, соответствующие приближенному реше-
нию уравнения (12.4), удовлетворяют этому условию, решение
является устойчивым.
Граница области устойчивых решений на плоскости (а, со) опре-
деляется, таким образом, уравнением
[/.2 (а) — и2] [л2 (а) — ю2 + а] + 4/г2о>2 = 0.	(12.37) :
Покажем, что это уравнение определяет геометрическое место точек,
в которых касательные к резонансным кривым параллельны оси
ординат. Для этого перепишем уравнение (12.15) в форме
а2 [(А2 — ®2)2 + 4nVl = р\ («)	(12.38)
§ 12]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
137
и продифференцируем его по а2, рассматривая со как неявную функ-
цию амплитуды:
(V-®2)2-|-4n2®2 + 2<z2 (А2 — ®2)
d (®2) 1
d(a2)J
4~4п2а2
d (®2)
d(a2) “
= <12-39>
В тех точках, где касательная
должно быть
Поэтому уравнение геометри-
ческого места таких точек за-
писывается в следующем виде:
(\2^а2)2 + 4п2(д2 +
+2a2^-e>2)4w=°-
(12.40)
Поскольку
d (Л2) _ d (Л2)
d (а2) 2а da
уравнения (12.37) и (12.40) то-
ждественно совпадают. При
п = 0 получаем уравнение гра-
ницы области устойчивости
в такой форме:
(Л2-®2) р-®2-^	= °-
(12.41)
Очевидно, что в этом случае
одной из границ будет скелет-
ная кривая Л (а) = о, а уравне-
ние другой границы
(12.42)
к кривой параллельна оси ординат,
а
Рис. 49.
Рис. 50.
Эта линия (рис. 49 и 50) так же, как и скелетная кривая, начинается
в точке со = Хо, а — 0 и проходит левее скелетной кривой при
d (A2)/da < 0 («мягкая» скелетная кривая) и правее — при
d (№)/da > 0 («жесткая» скелетная кривая).
Теперь можно выделить на рис. 38—44 участки резонансных
кривых, соответствующие устойчивым и неустойчивым решениям.
Нетрудно видеть, что в тех случаях, когда существует единствен-
ное решение гармонического вида, оно оказывается устойчивым.
138 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Если же существует несколько решений, имеющих одинаковую ча-
стоту, то некоторые из них оказываются неустойчивыми. При трех
решениях устойчивы режимы с наименьшей и наибольшей ампли-
тудой. Этот анализ показывает, что среди решений, соответствую-
щих дополнительным ветвям резонансных кривых, одно всегда
является устойчивым. Соответствующие режимы являются, таким
образом, физически реализуемыми и представляют реальную опас-
ность.
§ 13. Вынужденные колебания при гармоническом
вибрационном воздействии и силе сухого трения
Пусть диссипативной силой, действующей в амортизаторе
с нелинейной упругой характеристикой, является сила сухого
трения. Тогда уравнение вынужденных колебаний при гармо-
ническом вибрационном воздействии имеет следующий вид:
mu + Н sign и +	(и) = F cos (dt (F = F (co)), (13.1)
где H—сила трения, которая будет считаться постоянной
(см. § 10).
Разыскивая приближенное решение в форме (12.5) и при-
меняя метод гармонической линеаризации, получаем
t/y(«)	{704-^дй°, Н signu^b^u. (13.2)
Коэффициенты линеаризации определяются по формулам
(11.3)—(11.5). Для коэффициента Ьл получаем
2л
\ =	f # sign (—0(0 sin ф) sin =	(13.3)
О
Решая линеаризованное уравнение
/пд°4- zz°+cAzz°-|- UQ — F cosart, (13.4)
получаем уравнения для определения параметров решения:
£70(a0, а) = 0,
(сд—/?ш2) а = Feos ср,	5ч
§ 13] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 139
Отсюда	находим Vf? <»)-»* а |Л2(«) — ®21 ’	3,6) tg(p = —Assign («2-V),	(13.7) Ул2—л2
где	F (со)	4Н	Сп ^(0) = ——,	h =	, V = —. 1 v 7	тп	лт	т
Выражение (13.6) представляет собой амплитудно-частотную
характеристику системы, заданную в неявной форме. Иссле-
дуем форму резонансных кривых, являющихся графическим
изображением зависимости амплитуды деформации от частоты.
Анализируя выражение (13.6), замечаем, что оно не всегда
дает для а вещественные значения; при
^((оХЛ	(13.8)
вещественных значений для а не существует, то есть в этом
случае не удается, пользуясь методом гармонической линеа-
ризации, найти приближенное решение гармонического вида.
Нетрудно понять физический смысл этого результата. Если
сила сухого трения Н превышает амплитуду вынуждающей
силы F (со), движение объекта относительно основания не может
начаться; амортизатор, как говорят в таких случаях, остается
«запертым». Можно показать, что если дать такой системе
начальный толчок, задать ненулевые начальные условия, си-
стема в конце концов придет в положение равновесия. Дей-
ствительно, пусть при некоторых начальных условиях дви-
жение системы (13.1) определяется следующей функцией
времени:
и = ф (/).
Тогда работа силы трения за некоторое время от мо-
мента tx до момента t2 определяется выражением
6
140 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
С другой стороны, работа вынуждающей силы за то же
время составит
h
^вын = F (©) J* cos (0 dt.
tx
Но
F (со) < Н, cos (оАр (/)	| ip (t) |.
Таким образом, рассеиваемая энергия все время превы-
шает энергию, поступающую в систему; поэтому система не-
пременно должна прийти в состояние относительного покоя.
Условие запирания
F((o)</7	(13.9)
не совпадает с условием (13.8). Решение гармонического вида
не получается и в тех случаях, когда
(13.10)
Анализ колебаний, возникающих в этом случае, показал, что
здесь имеют место движения с остановками, при которых
в течение некоторых периодически повторяющихся интервалов
времени система остается в состоянии относительного покоя.
В виброзащитных системах такие режимы колебаний встре-
чаются редко и здесь анализироваться не будут.
Предположим теперь, что
Тогда система остается запертой при
(13.11)
Решения гармонического вида получаются при
9 h-
"’>й-
При А, = со амплитуда становится бесконечно большой, поэтому
резонансные кривые, вообще говоря, не пересекаются со ске-
летной кривой. Исключение возможно только на частоте
со* — уh/^0‘, при этом и числитель и знаменатель выражения
(13.6) могут одновременно обращаться в нуль.
§ 13] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ {41
Найдем значения частоты со', при которых амплитуда при-
нимает экстремальные значения. Для этого приравняем нулю
производную
d(a?) _
d (со2)
а’ -»!)! - (й»’-»2) 2 а2^2) [4{Sy
—'	(Л2 —со2)4
Это условие дает
г h
(0 ~ Ч / / •
(#)
Подставляя (13.13) в (13.6),
деления экстремальных зна-
чений амплитуд:
/л2-^4(а')
(13.14)
Значения аг могут быть
определены графически, как
ординаты точек пересече-
ния кривой (13.14) со ске-
летной кривой.
Вводя обозначения
а
а —V
_ h
11 — go^(O) ’
„ Х(д)
р- МО) ’
получаем уравнение для опре-
(13.14) в безразмерной форме:
(13.15)
можно записать выражение
/т)2 — Р4 *
d(a2)	,1
<Ф») J_o
(13.12)
(13.13)
(13.16)
Графики зависимости а(р) (р— независимый параметр), соот-
ветствующие различным значениям т), построены на рис. 51.
142 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
Все кривые выходят из точки /? = 0, а = 1 и асимптотически
приближаются к прямым р =
Установим теперь некоторые свойства резонансных кривых
(13.6) при Рх (о) = £осо2.
а)	Очевидно, что, если £0(о2 = /г, амплитуда обращается
в нуль; при £,0со2 < h вещественных значений а не суще-
ствует. Поэтому резонансные кривые выходят из точек
(0=1/	, а — 0 и располагаются правее линии со= 1/ у-.
г So	г эО
б)	Если	то можно приближенно считать, что
Очевидно, что с увеличением частоты со резонансные кривые
асимптотически приближаются сверху к прямой а — £0.
в)	Решая (13.6) относительно со2, получаем
aV ±	+
значению а может соответствовать
не более двух вещественных зна-
чений со. Если
Таким образом, каждому
Рис. 52.
При
а2(^Х4-/г2) + П2<0, (13.17)
то вещественных значений со не
существует. Условие (13.17) экви-
валентно двум условиям:
£о<о2<Л,	(13.18)
а > -f~k- =. (13.19)
Этим условиям удовлетворяет об-
ласть значений а и Z, лежащая
на плоскости (X, а) выше ли-
ах < а < а2 резонансная кривая
нии (13.14) (рис. 52).
не имеет вещественных точек.
Отсюда непосредственно следует, что точки, в которых
скелетная кривая пересекает линию (13.14), снизу вверх соот-
ветствуют максимумам резонансных кривых, а точки пересе-
чения типа точки В (рис. 52) ~ минимумам.
§ 13] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 143
Найденные свойства резонансных кривых позволяют опре-
делить их форму в зависимости от числа точек пересечения
линии (13.14) и скелетной
кривой.
Если линия (13.14) не
пересекается со скелетной
кривой, то резонансные кри-
вые принимают форму, по-
казанную на рис. 53 (для
h < £сЛ2 (°)) и Рис- 54 (для
л>£(Л2(0))- Если эти ли‘
нии пересекаются в одной
точке, резонансные кривые
принимают вид, показанный
на рис. 55. При двух точ-
ках пересечения (что воз-
можно только для «жест-
кой» скелетной кривой при
h > £0Х2 (0)) резонансные
кривые распадаются на две ветви (рис. 56), при трех точках
пересечения получается картина, показанная на рис. 57, и т. д.
Рис. 54.
Если амплитуда вибрационного воздействия не зависит от
частоты, введение сухого трения не меняет характера резо-
нансных кривых. Сравнивая формулу (13.6) при (со) = const
144 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
с уравнением резонансной кривой при отсутствии трения
а~ (Л2(а)—со2| ’
(13.20)
легко заметить, что введение сухого трения в этом случае
эквивалентно уменьшению амплитуды вибрационного воздей-
ствия в	- раз. Это уменьшение оказывается суще-
V F2 — h2
ственным, если h приближается по величине к Fv Вместе
с тем легко видеть, что увеличение трения отрицательно
сказывается на виброзащитных свойствах амортизатора. Дей-
ствительно, амплитуда полной реакции амортизатора (если
его деформация не равна тождественно нулю, то есть если
амортизатор не «заперт» сухим трением) может быть найдена
из соотношения
^niax ~ I (й) Н Sign й Imax*
Очевидно, что ее величина ни при каких условиях не может
быть меньше Н. Поэтому, для того чтобы амортизация была
полезной, во всяком случае должно быть Н <^F (со).
Таким образом, при очень малом трении виброзащитные
свойства системы ухудшаются из-за развития резонансных
явлений; при очень большом трении они также оказываются
§ 13] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 145
плохими из-за воздействия силы трения на амортизируемый
объект. Естественно предположить, что существует некоторая
оптимальная величина силы трения, при которой наибольший
коэффициент динамичности системы оказывается минимальным.
Покажем это на примере амортизатора с линейной упру-
гой характеристикой, для которого
X (й) = X (0) = Xq.
Следовательно, при F1 = £oco2
(13.21)
|М—°> I
Прямая Х = Х0 пересекается с кривой (13.14) не более чем
в одной точке; поэтому амплитуда может иметь только одно
экстремальное значение (максимум), равное (в соответствии
с (13.14))
/ = ftu	(13,22)
При этом со' .
Ю М. з. Коловскч^
146 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Резонансные кривые, построенные в координатах
и соответствующие различным значениям л = —* показаны
на рис. 58.
Пользуясь теми же обозначениями, можно переписать
формулу (13.22) в таком виде:
Л
а = —г===г.
W-i
(13.23)
График этой зависимости построен на
рис. 59. При л 1
максимальная амплитуда вынужденных колебаний может стать
сколь угодно большой,
если z приближается к
единице. Практически это
означает, что стук об
упоры будет неизбежен
при любом свободном хо-
де амортизатора и что
нижняя ветвь резонансной
кривой, соответствующая
линейному участку упру-
гой характеристики, не ос-
танется изолированной, а
сомкнется с дополнитель-
ными ветвями. При л > 1
значение а сразу резко
уменьшается, и уже при
Л = 1,5 имеем а =1,34;
с дальнейшим ростом л
значение а асимптоти-
чески приближается к еди-
нице.
Таким образом, увели-
чение силы трения умень-
шает величину максимальной деформации амортизатора в резо-
нансном режиме, а тем самым и амплитуду упругой силы.
Вместе с тем при этом происходит увеличение диссипативной
сиды. Определим теперь величину силы трения, при которой
§ 13] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 147
достигается минимум максимальной амплитуды реакции амор-
тизатора
Яшах = I т^>а cos + ф) — Н sign sin (W+ ф) |max «
—р- /Y.
Поделив на /пХо|о» находим коэффициент динамичности си-
стемы
>>* __ ^max ___ Л__________________________я
У л2 — ! "Г” 4
(13.24)
Зависимость К (л) построена на рис. 59. Оптимальное зна-
чение
нулю
т|, при котором К минимально, найдем, приравняв
dKjdx\. При этом получим
П'==1,47. Kmln = 2.52.
(13.25)
оптимальное значение силы сухого трения, обеспечи-
Итак,
вающее защиту от гармонического вибрационного воздействия
с амплитудой, пропорциональ-
ной квадрату частоты, равно
Рис. 59.
Н =	1.15/п^0,
(13.26)
Это соотношение должно при-
ниматься во внимание при вы-
боре демпфирующего устрой-
ства амортизатора.
При высокочастотном воз-
действии полная реакция амор-
тизатора практически равна
силе трения. Действительно,
амплитуда вынуждающей силы
поэтому с ростом частоты £0 всегда убывает, приближаясь
к нулю. Вместе с £0 убывает и амплитуда деформации, по-
скольку lim а = £0. В результате упругая сила амортизатора
®->оо
также уменьшается, и полная реакция приближается по ве-
личине к силе сухого трения.
не может расти безгранично,
ю*
148 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
Исследуем устойчивость движений, близких к гармоническим,
в системе с сухим трением, пользуясь критериями (8.30) и (8.31).
Условие (8.30) выполняется, поскольку
2&д («) + « —
87/
лясо
лясо
Условие (8.31) принимает такую форму:
4/7 7 4/7
ЛЯ(0 \ лясо
47/ \ . 1 м2 2. Г.2	, . d (X2)] л
а—2~ Н--------г (^ ~ ® ) X2 — со2-4-я —J—- > 0,
ля2со / 1 со2 v ' L	da J
или
(A2 — со2) [к2 — со2 4- а ] > 0.
(13.27)
Таким образом, скелетная кривая и линия (12.42) всегда
являются в этом случае границами области устойчивости (см.
рис. 49 и 50).
§ 14. Вынужденные колебания в системе
с внутренним трением.
Сравнение различных форм демпфирования
Предположим теперь, что демпфирование осуществляется
только за счет внутреннего трения в материале. Поскольку
по-прежнему речь будет идти о колебаниях гармонического
вида, можно линеаризовать силу внутреннего трения в соот-
ветствии с формулой (10.17):
Ud(ut =	—и,	(14.1)
где а — амплитуда, а со — частота гармонических колебаний.
Подставляя (14.1) и (12.6) в уравнение (12.1), получаем
линеаризованное уравнение
ти®	_[_ с^р	_ р cos tot.	(14-2)
Разыскивая приближенное решение этого уравнения в форме
(12.5), получаем следующее выражение для амплитуды коле-
баний:
а =——  fl(fl>)	(14.3)
/[X2(a)_<02]2+p2a2(H-D
где
Р
Р1 т '
§ 14]	СИСТЕМА С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ	149
Исследуем форму резонансных кривых; для этого, прежде
всего, определим экстремальные значения амплитуды а! >
Уравнение (14.3) запишем в такой форме:
a2 (Х2 — ®2)2 4- р?а2ц = F\ iffy.	(14.4)
Продифференцируем это выражение по со2, рассматривая
квадрат амплитуды (а2) как функцию квадрата частоты (со2):
+2»г -1 ]+
Приравнивая нулю производную d (a2)/d (со2), получаем
(14.5)
dF
Если Fi (со) = const, то ., ^- = 0 и» следовательно,
1	7	а (от)
Х(а') = (о,	(14.6)
то есть в этом случае экстремальные значения амплитуда
принимает в точках пересечения резонансной кривой со
скелетной.
Если же Fj (со) = £о(о2, то из (14.5) находим
Г С2 1
12(a') = G)2[l(14.7)
Обычно экстремальные значения а' значительно пре-
вышают £0. Поэтому и в этом случае можно считать, что
экстремумы достигаются вблизи от точек пересечения резо-
нансных кривых со скелетными (исключением является только
точка а = 0, со = 0, которая, как нетрудно убедиться, тоже
является точкой экстремума).
Для того чтобы найти точки пересечения резонансной
кривой со скелетной, следует положить в (14.3) Х = со.
Тогда получаем
Таким образом, достаточно определить точки пересечения
скелетной кривой и линии (14.8). Количество точек пере-
сечения определяет, как и в ранее рассмотренных случаях
число ветвей резонансной кривой.
150 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 111
Уравнение (14.4) разрешается относительно со2:
При
С02 = %2±|/р2а2(ц-!) .	(14.9)
(14.10)
подкоренное выражение в (14.9) становится отрицательным.
Это означает, что резонансная кривая не может иметь точек
с такими ординатами, то есть что вся она располагается
ниже кривой (14.8).
Форма кривой (14.8) зависит от величины коэффициента р
и вида зависимости ^(со). При
(со) — const это — прямая,
параллельная оси абсцисс
(рис. 60), которая с любой
скелетной кривой может
иметь не более одной точки
пересечения. При этом ре-
зонансные кривые имеют
такой вид, как на рис. 60.
Если (Fj/Pj)1^ превышает
величину амплитуды, допу-
стимую габаритами аморти-
затора (рис. 61), линия (14.8)
не пересекается вообще со
скелетной кривой, что означает возможность резонансных
явлений при любом значении со > Хо.
§ 14]	СИСТЕМА С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ
151
При Fj (со) = £0со2 форма кривой (14.8) зависит от вели-
чины коэффициента ц. При 0 < ц < 2 эта кривая является
вогнутой и касается оси абсцисс; со скелетной кривой она
может иметь различное число
точек пересечения — от нуля
до трех и более (рис. 62).
В соответствии с этим по-
являются дополнительные
ветви резонансных кривых.
При р > 2 кривая (14.8) ста-
новится выпуклой и касается
оси ординат. В этом случае
также возможно различное
число точек пересечения со
скелетной кривой, но с ро-
стом р наиболее вероятным становится существование только
одной точки пересечения (рис. 63). При р = 2 линия (14.8)
превращается в прямую. В этом
случае можно сказать, что
внутреннее трение, по степени
влияния на развитие резонанс-
ных колебаний, становится
эквивалентным линейному тре-
нию. Впрочем, эта эквивалент-
ность не является полной, по-
скольку тангенс угла наклона
прямой к оси абсцисс равен при
линейном трении , а при
внутреннем трении
При ц = 0 линия (14.8) параллельна оси ординат; ее
уравнение
^2 = Р1
показывает, что в этом случае внутреннее трение становится
эквивалентным сухому трению, причем /г = рР
Анализ устойчивости приближенных решений в случае внутрен-
него трения приводит к тем же результатам, что и при других фор-
мах демпфирования: границей области устойчивости оказывается
геометрическое место точек, в которых касательные к резонансным
кривым параллельны оси ординат.
152 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Условие (8.30) всегда выполняется; условие (8.31) принимает
следующий вид:
ир2д2Щ-1)^_ [д2	__ to2] ^2	___ 02 а ) j > Q (14.11)
Теперь можно сравнить различные виды демпфирования
и сделать некоторые выводы о целесообразности их приме-
нения в виброзащитных системах. Как мы уже убедились,
влияние демпфирования на развитие вынужденных колебаний
в системе существенно зависит от формы упругой характе-
ристики (точнее, от формы скелетной кривой) и от вида
функции Fx (со). Здесь сравнительный анализ влияния дис-
сипативных сил будет проводиться при следующих пред-
положениях, наиболее характерных для большинства вибро-
защитных систем.
1)	Будет предполагаться, что скелетная кривая имеет вид,
показанный на рис. 64, а, б, в, г или д. Во всех этих случаях
Рис. 64.
возможная амплитуда деформации амортизатора ограничена
упорами и не может превышать величины Д. Это обстоя-
тельство, как нетрудно понять из анализа, проводившегося
выше, имеет решающее значение. Форма скелетных кривых
на рабочем участке упругой характеристики не является
§ 14]	СИСТЕМА С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ
153
столь существенной. Скелетные кривые, показанные на рис. .64,
соответствуют упругим характеристикам следующего типа:
а) — линейная характеристика с симметричными жесткими
упорами,
б)	— линейная характеристика с упругими упорами, жест-
кость которых растет с ростом деформации,
в)	— нелинейная симметричная характеристика типа (10.9')
и (10.10'),
г)	— нелинейная несимметричная характеристика типа (10.9)
или (10.10),
д)	— характеристика с начальным натягом и ограничитель-
ными упорами.
2)	Будут рассмотрены следующие формы зависимостей
Л (<0):
a) Ft (о) = Fj = const при oraln < w < ®max, (14.12)
б) ^ («>) = £#
При	(14.13)
В каждом из этих вариантов нам придется рассмотреть
два случая: когда comIn меньше собственной частоты Хо или
имеет тот же порядок, что и %0, и когда о)п1п^>Х0.
Как уже отмечалось ранее, демпфирование в виброзащит-
ной системе необходимо только для подавления резонансных
колебаний, характеризующихся большой амплитудой дефор-
мации; при малых амплитудах оно является вредным, увели-
чивая полную реакцию амортизатора и тем самым ухудшая
его виброзащитные свойства. Поэтому очевидно, что наи-
более подходящей для виброзащитных систем является такая
форма зависимости величины диссипативной силы от ампли-
туды, при которой с ростом амплитуды происходило бы
быстрое увеличение силы сопротивления. Из рассмотренных
выше видов демпфирования этому условию в наибольшей
степени удовлетворяет внутреннее трение при больших значе-
ниях параметра ц. Наихудшими свойствами обладает сила
сухого трения, величина которой вообще не зависит от
амплитуды колебаний.
Если зависимость F\ (со) определяется формулой (14.12),
линии (12.16) или (14.8) пересекутся со скелетной кривой
рассматриваемого типа только в одной точке (рис. 65). Для
того чтобы исключить стук на упорах, необходимо, чтобы
эта точка пересечения лежала на рабочем участке упругой
154 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
характеристики, то есть чтобы выполнялись условия
2лЛо	\ Pi /
(14.14)
где А — расстояние от положения равновесия до упоров.
Выполнение этих условий становится совершенно необхо-
димым при comln < Хо; если же comIn Хо, то достаточно,
чтобы точка пересечения имела абсциссу, меньшую чем comIn.
Сухое трение в этом случае вообще не следует применять.
При нем амортизатор либо останется «запертым», то есть
не будет защищать от вибрации (если < /г), либо будет
возможен стук об упоры на любой частоте (если > h).
Этот вывод непосред-
ственно вытекает из ана-
лиза, проведенного в § 13.
Сравним влияние вну-
треннего и линейного тре-
ния на виброзащитные
свойства амортизатора
При больших значе-
ниях со (со^>Хо) можно
приближенно принять
а
(д2
Поэтому амплитуда силы сопротивления, пропорциональной
скорости, будет равна
=	(14.15)
а амплитуда силы внутреннего трения
1^2| max тР1а»* = _Ц1	(14.16)
tt>
Отсюда ясно, что при достаточно больших значениях со
амплитуда силы внутреннего трения при ц > окажется
меньшей, чем амплитуда силы линейного трения, то есть
виброзащитные свойства системы в первом случае окажутся
выше (для одного и того же значения амплитуды деформации).
§ 14]
СИСТЕМА С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ
155
Теперь рассмотрим тот случай, когда /^(со) задано фор-
мулой (14.13). Характер резонансных кривых определяется
числом точек пересечения со скелетной кривой линий (12.22)
(для линейного трения), (14.8) (для внутреннего трения) или
прямой со2 — у- (для сухого трения). Построив эти линии
So
(рис. 66) и выбрав, например, скелетную кривую, соответ-
ствующую линейной упругой
характеристике с жесткими
упорами, убеждаемся, что
в этом случае «стука на упо-
рах» можно избежать только
одним способом: добиться
того, чтобы точка пересече-
ния построенных линий с ли-
нией а = Д имела абсциссу,
превышающую (отах:
> ^тах*
При сухом трении это обес-	Рис. 66.
печивается только в том слу-
чае, когда амортизатор остается «запертым» вплоть до сотах,
то есть должно быть

(14.17)
Для линейного трения получаем необходимое условие
в форме (12.26). Наконец, для внутреннего трения должно
быть
/ Е to2
А>( °р/Х/ '	(14.18)
Очевидно, что чем больше ц и рр тем легче выполнить это
условие.
Если условия (12.26) или (14.18) выполнены, то при
Хо ® < G>max амплитуды диссипативных сил определяются
по формулам (14.15) и (14.16), в которые следует под-
ставить =
При этом
I Udi Imax = ЪтпуА,	(14.19)
|4»L,„="W-	lH-20)
156 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Здесь уже при любом значении р виброзащитные свойства
оказываются более высокими, если в системе используется
внутреннее трение.
Подводя итоги, можно сказать, что наилучшим способом
борьбы с резонансными колебаниями в виброзащитных си-
стемах является применение демпферов внутреннего трения.
Если на практике приходится использовать другие формы
демпфирования (в том числе и сухое трение), то это проис-
ходит потому, что создание демпферов с интенсивным внутрен-
ним трением является чрезвычайно трудной конструкторской
задачей. Для большинства конструкционных материалов зна-
чение параметра р является очень малым.
Наиболее эффективным в этом отношении оказывается
использование таких материалов, как резина (в резино-метал-
лических амортизаторах) и специальным образом спрессован-
ная металлическая проволока, однако и в этих материалах
внутреннее трение оказывается недостаточным, например,
для подавления резонансных колебаний в виброзащитных
системах современных летательных аппаратов.
Эффективность внутреннего трения часто характеризуется
так называемым коэффициентом поглощения ф [38], равным
отношению площади петли гистерезиса к максимальной потен-
циальной энергии деформации. Для упругого элемента с ли-
нейной характеристикой имеем
^=2^==2я^а>1_1	(14.21)
саг	Х-о
где с — жесткость упругого элемента. Если воспользоваться
выражением (14.21), можно формулу (14.3) представить
в виде
поскольку в линейной системе Х = А,0. При co=Zo получаем
а' = £ТТ--	(14.23)
Для обычных конструкционных материалов величина ф
не превышает 0,3—0,5; если (со) = £осо2, то формула
СИСТЕМА С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ
157
§ 14]
(14.23) дает
а 0,08
то есть коэффициент динамичности при резонансе оказы-
вается весьма значительным. В современных системах пас-
сивной виброзащиты амплитуда £0 достигает 1 —1,5 мм,
поэтому, если ограничиться внутренним трением, то потре-
буется «свободный ход» амортизатора увеличивать до
25—40 мм, что часто недопустимо по габаритным сообра-
жениям.
Сочетание различных форм демпфирования часто позво-
ляет более успешно решить проблему борьбы с резонанс-
ными колебаниями. Мы здесь ограничимся рассмотрением
совместного действия внутреннего и сухого трения. В этом
случае
Ud(ii, ti) = H sign^ + p^^"1	(14.24)
и, следовательно,
(14.25)
Для амплитудно-частотной характеристики получаем сле-
дующее уравнение:
Уг2(<о)-Л2
а =	—	(14.26)
Легко показать, что и здесь амплитуда принимает экст-
ремальные значения вблизи от точек пересечения резонансной
кривой (14.23) со скелетной. Для того чтобы найти эти
точки, полагаем в (14.26) X = со; тогда
__________ _£
, / //=?(<»)—л2 У
а = \ К ) •
(14.27)
Следовательно, достаточно найти точки пересечения линии
(14.27) со скелетной кривой со = А,(а). Рассмотрим тот слу-
чай, когда скелетная кривая имеет форму, показанную на
158 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
рис. 64, а, и F\ (со) = £осо2. При этом линии (14.27) начи-
наются в точке	__
со —	, а — О
V ьо
и при различных значениях ц имеют форму, показанную на
рис. 67. Если при этом h > |о^о> то линии (14.27) пересе-
каются со скелетной кривой в одной точке (точка В на
а
рис. 67) и необходимо только,
чтобы абсцисса точки пересе-
чения была больше, чем сотах.
Если это условие выполнено,
резонансные колебания в си-
стеме оказываются подавлен-
ными.
Рассматривая условия воз-
никновения резонансных коле-
баний в системах с жесткими
упорами, мы считали, что эти
колебания будут сохранять
форму, близкую к гармониче-
ской. Такое предположение,
вообще говоря, является неверным; при ударах об упоры
высшие гармоники играют очень существенную роль. Поэтому
результаты, полученные для таких систем в предыдущих
параграфах, носят лишь ориентировочный характер. Более
строгое исследование явления удара об упоры, учитывающее
также и диссипацию энергии при ударе, будет дано ниже.
§ 15. Вынужденные колебания при полигармоническом
возмущении
Во многих задачах теории виброзащитных систем при-
ходится иметь дело с полигармоническими вибрационными
воздействиями. При амортизации машин с поступательно
движущимися частями, двигателей внутреннего сгорания,
поршневых компрессоров, как правило, необходимо учиты-
вать высшие гармонические составляющие периодических
вынуждающих сил, исследовать условия возбуждения резо-
нансных колебаний высшими гармониками. Вибрации авто-
мобилей, судов, летательных аппаратов всегда являются
§ 15]	ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	159
полигармоническими; поэтому виброзащитные системы для при-
боров и аппаратов, устанавливаемых на этих объектах, также
приходится рассчитывать на полигармоническое внешнее
воздействие.
Итак, предположим, что в уравнении (12.1) правая часть
является полигармонической функцией времени:
N
Q(0= 2 Fjcos^ + q,,).	(15.1)
£ = 1
Эта функция может оказаться периодической, если все гар-
моники возбуждаются одним источником или несколькими
кинематически связанными источниками вибрации; она будет
почти-периодической функцией, если имеется несколько не-
зависимых источников возмущения и частоты колебаний,
возбуждаемых этими источниками, являются несоизмеримыми.
И в том, и в другом случае стационарное (периодическое
или почти-периодическое) решение уравнения (12.1) должно
быть полигармоническим.
Поскольку уравнение (12.1) является нелинейным, это
решение должно содержать, вообще говоря, не только гар-
моники частот (oz, но и другие гармонические составляю-
щие: кратных частот (pcoz, где р—целое число), комбина-
ционных частот ^2 и т-
В этом параграфе приближенное решение мы будем
искать в форме
N
« = «о4- S «icos((0/ + <pz),	(15.2)
/=1
сохраняя в нем гармоники только тех частот, которые
имеются в вибрационном воздействии. Выбор такой формы
решения является естественным, если уравнение (12.1) близко
к линейному, поскольку решение линейного уравнения имеет
именно такую форму. Для отыскания решения вида (15.2)
воспользуемся методом линеаризации по функции распре-
деления, изложенным в § 5.
Рассмотрим сначала несколько конкретных примеров.
1. Исследуем поведение системы с нелинейной упругой
силой и силой сопротивления, пропорциональной скорости
160 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. HI
деформации. Для такой системы уравнение движения запи-
сывается в следующей форме:
N
mu-\-bu^Uy(u)— 2	cos (®jt + <pz).	(15.3)
Z = 1
Линеаризуем нелинейную упругую силу
t7y(«)=i7o+^«o.	(15.4)
где и° = а — а коэффициенты t/0 и сд определяются по
формулам (11.7) и (11.8).
Выбираем плотность вероятности в форме (5.26) и огра-
ничиваемся приближением по первым четырем моментам;
тогда Uo и сА могут быть определены по формулам, ана-
логичным (5.40) и (5.41):
= 7 [4 У У («о- /еЧ)+4 ^у(«о+ /еЧ)+
+ (8- 1)1/у(а0)],	(15.5)
сд= [^у(а0+ Уёо„)— Uy(a0~ /еов)].	(15.6)
V е °и
Подставляя (15.4) в (15.3), получаем линеаризованное урав-
нение; приравнивая постоянные составляющие и коэффици-
енты при sin((o/4-ipz) и cos((oz/ + ipz), приходим к следую-
щей системе уравнений:
С70(а0, ов. е) = 0.	(15.7)
[V(a0. е) -ft>2]az = 4zcos(<pt.	-ФО	(Z=l. ..	.. АО.
2tfaz<oz = A-t 81п(ф/ -	-ф/)	(Z=l, ..	(15.8) .. АТ).
где сл	b М = — , 2п — — т	т	. Al	т	(15.9)
Из уравнений (15.8) и (15.9) получаем
_	At tg(q>/ Ф/)“Х2 ‘^2- Л — tt>z	(15.10)
§ 15]
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
161
Отсюда
At
у_шу+4А; =<т <15“>
— 2
N
N
е —
3
2
3
3,3 Д.
7+^-1“?“? =
u hj = l
N
Л?Л2
задаваться первоначально
Z7
есть
Рис. 68.

М К1’-“У+4«М] [(зг—5)2+<А}] 
(15.12)
Уравнения (15.7), (15.11) и (15.12) позволяют- определить
неизвестные aQ, о^ и е, после чего можно определить V и
найти по формулам (15.10) амплитуды и фазы отдельных
гармоник решения. Параметры а0, о^ и е удобно искать так,
как это делалось в § 5, то
величиной 8, используя пер-
вую из формул (5.45), а за-
тем методом последователь-
ных приближений искать а
и и уточнять величину е.
Покажем теперь, каким
образом можно определить
величину коэффициента со-
противления п, необходимую
для подавления резонансных
колебаний в системе.
Если задаться величи-
ной 8, можно из уравне-
ния (15.7) определить а0 как
функцию оп. Подставив затем эту функцию в выражение
для Л, получим зависимость Х(сг), графическое изображение
которой на плоскости (X, оа) является своего рода аналогом
скелетной кривой. Используя формулы (15.5) и (15.6) не-
трудно построить семейство таких кривых, соответствующих
различным значениям 8. Построив в соответствии с форму-
лой (15.11) зависимость Ф(Л) (рис. 68) и наложив на полу-
ченный график кривую соответствующую выбранному
Ц М. 3. Коловский
162 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
значению е, можно получить значения ои и X, соответствую-
щие первому приближению. Далее можно уточнить значение е
по формуле (15.12) и, выбрав другую- кривую найти
значения ои и X во втором приближении.
Графики функций Ф(А) при не слишком больших зна-
чениях п имеют форму, показанную на рис. 68. Кривая
^(аи) может пересекать кривую Ф(А) в нескольких точках
(£)р . . ., £)5), определяя тем самым несколько стационарных
решений исходного нелинейного уравнения. Одно из этих
решений может быть нерезонансным (точка D} на рис. 68);
другие решения представляют собой резонансы на гармо-
никах частот coz.
Резонансные решения располагаются попарно вблизи от пря-
мых А —со,; легко показать, что в каждой паре решений имеется,
по крайней мере, одно неустойчивое. Для этого воспользуемся ус-
ловием устойчивости в форме (8.44); в данном случае q = А2;
= ад.
Вычислим, производную £?Ф/б?А
"Ф- -У
(15.13)
Сравнивая (8.44) с (15.13), видим, что условие устойчивости
может быть записано в форме:
*»>0.	(,5.Н)
2А d(o£) dX d(a£) dk
Но в точках £>2 и £>4
d® dl	d® d
------7-^= — :-^->l;	(15.15)
d).	d(o‘)	dX dX
поэтому в этих точках необходимое условие устойчивости не вы-
полняется. В точках £>ь £>з, £>5 выражение (15.15). меньше еди-
ницы, поэтому эти точки могут соответствовать устойчивым ре-
шениям. Вообще, для всех точек пересечения кривых Ф (А) и
^ (а«)/в который	'
7; / .7 ,	;
dX ’ ’.	. -
нёобходимбе условие устойчивости не выполняется.
Для того чтобы подавить резонансные колебания,..доста-
точно выбрать такую величину п, при которой вершины
§ 15]
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ* ВОЗМУЩЕНИЕ
163
кривой Ф(Х) будут располагаться ниже линии Х(о^. При»
малых значениях п максимумы кривой Ф (А,) - располагаются-’
вблизи от прямых	Исходя из этого, можно предло-
жить следующий метод выбора коэффициента п.
Задавшись предварительно значением 8, строим кривую
и определяем ординаты этой кривой, соответствую*
щие значениям X = (рис. 69). Для «жестких» кривых до-
статочно ограничиться значениями
Далее, в уравнении (15.11) пола-
гаем последовательно	-
Х==(о., и в каждом случае вы-
числяем значения коэффициента и.
Выбираем из всех этих значений
наибольшее. При этом п кривая.
Ф (X) будет пересекаться с кривой
А только вблизи одной из вер-
шин, соответствующей X == соу. По-
ложив теперь — Ф(соД А = со,.,
уточняем по формуле (15.12) ве- ;
личину 8 и строим кривую
Рис. 69.
соответствующую новому значе-
нию этого параметра. Если эта новая кривая располагается
ниже ранее построенной, необходимо" соответственно увели-
чить значение п с тем, чтобы значение Ф(соу) было меньше^
чем ордината кривой при А = (оу..
Рассмотрим следующий численный пример. Уравнение
вынужденных колебаний виброзащитной системы задано в
форме
..	. 2АлД ла
u-\-2nu-\--—	= ^(c°s^iW+cos^2 W)* (15.16)
причем	-	-
Д =	^ = 1/5,	^ = 2/2.-
А0	....
Требуется найти величину - отношения л/А0, при , которой
исключается возможность возникновения резонансных коле-
баний. '	*	4
Ищем решение в форме
U = CL1 COS (^|Zq/	ф1) —|— ^2 cos (^Aq^	^2)	(15.17)
11*
164 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
(а0 принимаем равным нулю, поскольку нелинейная функ-
ция является нечетной). По формуле (15.6) находим
2Л0Д
Х2(е, ов) =	_ -
л У еаа
(15.18)
Поскольку N — 2, по формуле (5.45) имеем
81= 1,875.
Подставляя ех в (15.18), получаем зависимость Х(ои). На-
ходим значения о2и при X = и X = <г2Х0. Для этого ре-
шаем уравнения
2Х^Д
nV^aB
tg
2^Д
л VWu
(15.19)


Здесь удобно обозначить
л _
-"2Д	'
Тогда уравнения (15.19) принимают такую форму
tg s = z^s, tgs = z^s.
Решая эти уравнения, находим
$1= 1,432;	$2= 1,487.
Запишем теперь уравнение (15.11):
,	4$2Д2
и n26j
или, после сокращений и подстановки чисел:
52 = 2>31 Гт-2--242 , л гг+п-------2\2 , л 2 2]- (15-2°)
L(p2—*i)+4v4 (r-^2+4vMJ
где
§ 15]	ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	165
Подставляя в (15.20) соответственно p = zv s = s1 и
р = z2, s = s2, находим в обоих случаях значение v:
^ = 0,248, v2 = 0,211.
Большее значение v соответствует резонансу на ча-
стоте zfa поэтому необходимо уточнить расчет именно
этого режима; для этого уточняем значение параметра 8:
__ 3	3 л4е|	Х^Д4
82 = 2 +1 ' ЙЗД^ ’ 4^[(г|-г|)2 + ^]%8 = 1 -637•
(15.21)
Приняв е = е2, определим новое значение vt. При этом, как
нетрудно видеть, величина не изменится; изменится только
коэффициент в правой части уравнения (15.20). Решив это
уравнение, найдем
Vi = 0,246.
Это значение Vj настолько мало отличается от предыдущего,
что в дальнейших приближениях уже нет необходимости.
Рассмотренный пример был сравнительно простым; по-
этому нам удалось обойтись без применения графических
методов решения, которые в более сложных случаях ста-
новятся необходимыми.
2. Рассмотрим действие полигармонического вибрацион-
ного возмущения на систему с линейной упругой силой и
сухим трением.
В уравнении движения
7V
mu + Н sign и + си — 2 Pi cos (®;t + ф,)	(15.22)
z=i
линеаризуем силу сухого трения.
По формуле (11.12) находим
^2	V2
= I У# sign у • w(y)dy =	[ |y|w(y)dy, (15.23)
где w(y) — функция распределения полигармонического про-
цесса v = u(ty, (>2 — дисперсия v(t).
166 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
Покажем, что коэффициент линеаризации всегда мо-
жет быть представлен в форме

(15.23')
где г|—коэффициент, величина которого зависит только от
отношений центральных моментов четного порядка к соот-
ветствующей степени ov. Действительно, симметричный за-
кон распределения w (у) всегда можно с любой степенью
приближения представить в виде линейной комбинации
6-функций
w (у) = 2 2 (у — У/)-	(15.24)
/=0
Подставив это выражение в (15.23), получаем
°® “	2/7 V а	П atk( 1 . »=о	v
где	S
4, = Ж П	= 2Н^аЛ.	(15.25) / = 0
Значения az и kt должны	определяться из уравнений
вида (5.28) и (5.29), которые в	рассматриваемом случае при-
нимают такую форму:	
2 2j«z = 1.	(P=l. 2, ...).,
Поделив все эти уравнения, кроме первого, на о^р и учи-
тывая соотношения (15.25), непосредственно приходим к
выводу, что коэффициент т| зависит только от отноше-
Линеаризуя уравнения (15.22), получаем
	N « + у- «4- Ци'2 At cos+ Ч>;),	(15.26)
где	1 — 1 /2^;А	А = — т 1	-0 т '	1 т *
§ IS]
ПОЛИ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЁНИЕ
167
Решая линеаризованное уравнение, находим
n	У
и
Aj cos	4- ф,)
V2 2
< 1
(15.27)
причем
Y®Z
= Ф/ + arctg -у-2--------2V •
(15.28)
Составим выражение для сф
 N : iv

Э2+4»!
%
(15.29)
Значения о?, удовлетворяющие, этому уравнению, можно
определять графическим методом. Для этого строится график
функции	.
%(^) — 7"	772	2\2 I 2
2 + г(д/
'	• - .	(15 30)
и гипербола ,	“ "
(15.31)
Точка ,пересечения линий .
(15.30) и (15.31) определяет д
значение с^, соответствую-
щее решению уравнения
(15.29) (рис. 70). Естественно., .что длялостроения линии (15.31),
нужно знать значение коэффициента Если ограничиться
приближением по первым шести моментам функции распре-
деления- процесса* ^(/), коэффициент линеаризации можно
определять по формуле (5.42). При этом
_ ,	с)}-} ' ‘ ' *' '
№	(15.32)
Коэффициенты ар aj2, йР\Л2 выражаются через пара-
метры е и р с помощью уравнения ,(5.33) и формул (5.34).
168 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
Задавшись предварительно значениями е и ц, например,
в соответствии с формулами (5.45), можно затем произво-
дить их уточнение по методу последовательных приближений.
Линия (15.30) может не иметь с гиперболой (15.31) общих
точек; это означает, что решение вида (15.27) не существует.
Здесь следует различать два случая:
а)	если кривая (15.30) располагается ниже гиперболы (15.31)
(в этом случае обе линии, формально говоря, пересекаются
в точке о2 = 0, z = oo), то это означает, что вибрационное
воздействие недостаточно для преодоления силы трения; амор-
тизатор «заперт», или происходят движения с остановками;
б)	если кривая (15.30) располагается выше гиперболы
(15.31) (это возможно только в том случае, если 1 совпа-
дает с одной из частот coz; в противном случае при z = 0
имеет конечное значение, и кривая (15.30) не может ле-
жать выше гиперболы), то это означает, что величина не
является ограниченной, происходят резонансные колебания,
характерные для линейной системы с сухим трением.
Исследуем более подробно уравнение (15.29) в' случае,
когда М=2. При этом получаем
Л?®?	Л&Оо
2а’=-------U—,----------------^—5------.	(15.33)
м—гу+л-»;	к—
°v	av
2 / (A2 —w2)2,
Y2®i®2
Преобразуя это выражение, приходим к квадратному урав-
нению относительно о^:
/ Л? \ о? ( Ап \ о?
04 J v2--------L L-.-- -U I v2--------1 I 2 п2 __U
’ lV 2/(^-ш2)2
/ n “F* ^2 \
(15'34)
Нетрудно видеть, что это уравнение имеет решение
о2 > 0, если
Y 2
(15.35)
Если же
4+Al -
2
§ 15]
ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
169
то тогда и подавно
А2
Y2>
А2 '
Л2
2 ’
то есть оба коэффициента в уравнении (15.34) являются
положительными, и положительных решений оно иметь не
может. Условие (15.35) является поэтому необходимым для
существования решения вида (15.27).
Рассмотрим особо тот случай, когда одна из частот гар-
моник вынуждающей силы совпадает с собственной частотой.
Пусть, например,	тогда уравнение (15.30) прини-
мает такую форму
2 — 2. f Л1 I__________л2ю2
V 2 \ z (Лц — ©г)2 Н- г®2
(15.36)
Очевидно, что при
Y2,
линия (15.36) будет расположена выше гиперболы (15.31),
то есть будет иметь место неограниченное увеличение о£.
Если же
Л2
-у- < У2.	(15.37)
то кривая (15.36) либо целиком располагается ниже линии
(15.31), либо пересекается с ней в точке, соответствующей
конечному значению о^. Таким образом, условие (15.37) обе-
спечивает отсутствие резонансных колебаний, какова бы ни
была величина амплитуды Л2. Это положение, полученное
здесь приближенными методами анализа, подтвердилось при
моделировании уравнения (15.22) на электронной машине.
3. Рассмотрим теперь в более общей форме задачу об
отыскании полигармонических решений. Пусть уравнение дви-
жения системы задано в виде
л
/пи + £/$(#, и) 4- t/v(n)=S cos (со^ + Ф/)- (15.38)
/=Ж1
Если при отыскании совместной плотности вероятности про-
цессов ц ц ц ограничиться приближением по моментам
170 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
первого и второго порядка, то коэффициенты UQ, и Ьл
в линеаризованном уравнении
•	АГ '
т«-|- г>д« + Ц)4-сди0= 2	(15.39)
будут являться функциями а0, о2и и о2; они могут быть опре-
делены по формулам (11.9) — (11.11).
Разыскивая решение линеаризованного уравнения в форме
(15.2), получим
а, = -	Л‘	(1S.40)
где
Следовательно,
N	Л?
= 4 S 142 / 24	212 j л 2/ 2 2V-2. = Ф(15 41)
- Iх (°«)+ 4(4 44
=Ч,(Ч' <15'42)
Непосредственное определение о^ и о2 из этих уравне-
ний является обычно весьма трудоемкой задачей. ОднаЙопри
исследовании виброзащитных систем обычно в первую оче-:
редь требуется определить, могут ли в системе возникнуть
резонансные колебания, или же имеющееся в ней демпфи-
рование обеспечивает их подавление. Если ограничиться
только таким исследованием, то можно применить метод рас-
чета, аналогичный рассмотренному выше, в первом примере.
Уравнения (15.41) и (15.42) Определяют в2и и
функции параметров К и Дд. При малых величинах пд (слабое
демпфирование) можно принять, что максимумы этих функ-
ций соответствуют значениям параметра X, совпадающим
е (oz. Положив = найдем по графику кривой Цо*)
соответствующие максимальные значения (а2^ Для каждого
§ 15]	ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ	171
из них определяем из уравнения
Из рис. 71 ясно, что при этом значении пд кривая Ф(Х)
точке с абсциссой % = (oz.
(пд)/ в Уравнение (15.42) и
коснется скелетной кривой в
Подставим найденное значение
найдем (о2). из соотношения
/ 2\ _ у
(15.44)
Определим теперь значение ядР
соответствующее
— 2т
. (15.45)
Если оказывается, что пд/> ид/»
то это означает, что значе-
ние Ф((0/) в действительности меньше, чем (o2)z, то есть
что кривая Ф(Х) располагается вблизи точки X = coz ниже
скелетной кривой. При этом гармоника частоты coz не может
вызвать резонансных колебаний. В противном случае
(/г*. < пд.) опасность резонанса сохраняется.
В качестве примера рассмотрим вновь систему, описы-
ваемую уравнением (15.16), предположив, однако, что ли-
нейное трение заменено диссипативной силой, имеющей сле-
дующую характеристику:
Ud(ut и)~$Уk?(5% — zz2sign и,	(15.46)
где k — отношение итах к ои.
Если совместную плотность вероятности и и и искать
в форме (5.75), то коэффициент линеаризации Ьд можно опре-
делить по формуле (5.85):
\ f (2«2 У + *«зЧ) “	> (15.47)
172 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕЙЁЙЫО СЁОЁОДЫ [ГЛ. lit
где С—коэффициент, зависящий от а2, а3, kt е, то есть,
в конечном счете, от и емт>.
Найдем величину С» при которой обеспечивается подавле-
ние резонансных колебаний.
Сначала решение производится тем же путем, что и выше,
в примере 1. Определив значения и v2 из уравнения (15.20),
мы должны затем найти и о* по формуле
/ 2\	*1
	
(Z=l, 2).
Получаем
0^1:==z 0,99 AXq, o^2=== 1 >51 AXq.
С другой стороны,
ов1 = -^ = 0,66Д, .ов2 = ^= = 0,69Д.
Л У 61	Л У 6J
Для подавления резонансных колебаний должны выпол-
няться условия
*Л1 _ C*«i 2 ,	*д> с<тв2
т —	> 2W
Подставляя найденные значения vx, v2, а„, av, получаем
$> 0,7421g и £> 0,921g.
Очевидно, что должно быть выполнено второе условие, как
более сильное.
В заключение напомним, что формулы для коэффициентов
линеаризации, использованные в этом параграфе, являются
справедливыми лишь в том случае, если среди частот нет
таких, которые удовлетворяли бы условиям (5.13) и (5.15);
в противном случае необходимо учесть зависимость моментов
третьего и четвертого порядка от фаз фР
§ 16. Резонансы дробного порядка в виброзащитных
системах
В этом параграфе излагается общая теория резонансов,
которые могут возникать в системе с одной степенью сво-
боды при периодическом вибрационном воздействии.
$ 161	РЁЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА	173
В физике резонансами принято называть колебания боль-
шой амплитуды, вызванные относительно слабыми внешними
воздействиями на систему. Для того чтобы глубже разо-
браться в природе резонансных колебаний, напомним сначала
некоторые характерные особенности резонанса в линейной
системе с одной степенью свободы, уравнение движения кото-
рой записывается в форме (11). Пусть
±-Q(t) = F0cosy,	(16.1)
то есть вибрационное воздействие является гармоническим,
а частота его совпадает с собственной частотой системы.
Разыскивая установившееся решение уравнения (11) в форме
и = a cos (Л{/4"0)»	(16.2)
получаем, после подстановки (16.2) в (11)
— cos 4-0) — 2na%0 sin 4~ 0) 4~
+ аЦ cos [у 4- 0) = Fo cos	(16.3)
Очевидно, что упругая сила тождественно равна и противо-
положна по знаку произведению массы на ускорение, со-
вершенно так же, как при свободных колебаниях системы
в отсутствие сил сопротивления. Отсюда следует, что внешнее
воздействие должно в любой момент времени равняться силе
сопротивления
— 2naX0 sin (Х</ 4- 0) =	cos W*
откуда сразу получаем
Таким образом, при достаточно слабой диссипативной силе
(п<^Х0) в системе могут возникать колебания большой
амплитуды, при которых амплитуды упругой силы и силы
инерции будут значительно превышать амплитуду внешнего
воздействия. Действительно,
|«]	=|Х*И|	=	(16.5)
1 ’max I 0 |тах 0 2п	и	.
Все изложенное позволяет рассматривать резонанс в линей-
ной системе с одной степенью свободы как свободные ко-
лебания, поддерживаемые внешним воздействием. Возможность
174 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. lt[
существования резонанса обусловлена здесь тем; что в иде-
альной консервативной системе, при отсутствии сил сопро-
тивления, могут происходить гармонические колебания сколь
угодно, большой амплитуды, если соответственно выбраны
Начальные условия, В реальной системе свободные колебания
затухают из-за. рассеяния энергии силами сопротивления.
Внешнее гармоническое воздействие способно* поддерживать
амплитуду свободных колебаний на таком уровне, при ко-
тором влияние диссипативной силы полностью компенсируется.
Аналогичное по физической природе явление может иметь
место и в нелинейных системах. Рассмотрим вновь систему
с одной-степенью свободы (уравнение (12.1)), полагая, что
вибрационное воздействие Q (f) является периодической функ-
цией времени с периодом Т. Представим реакцию аморти-
затора в виде суммы упругой и диссипативной силы и пере-
пишем уравнение (12.1) в следующей форме:
— Ud(ii, tf) + Q(0-	(16.6)
Обобщая понятие «резонанс» на нелинейные системы,
будем называть резонансными такие колебания системы (16.6),
при которых амплитуды упругой силы и силы инерции суще-
ственно превышают амплитуду вибрационного воздействия.
При резонансных колебаниях силы, стоящие в правой части
уравнения (16.6), являются малыми. Это позволяет предпо-
ложить, что периодические решения этого уравнения будут
близки к периодическим решениям уравнения
^о + ^у(«о) = О,	•	(16.7)
то есть к свободным колебаниям системы при отсутствии
сил сопротивления. Таким образом, и в этом случае речь
идет о «свободных колебаниях», поддерживаемых вибрацион-
ным внешним воздействием.
Для определения периодических решений уравнения (16.6)
воспользуемся результатами, полученными в § 6. При малых
силах Uq и Q(t) система (16.6) «близка» к консервативной
системе (16.7) и условия существования периодических реше-
ний могут быть записаны в форме (6.13). .
Уравнение (16.6) может иметь периодические решения
с периодом, равным или кратным Т\ в силу основных поло-
жений метода Галеркина нас должны, интересовать периоди-
ческие решения уравнения (16.7), имеющие такие же периоды.
§ 16]
РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
175'
Пусть уравнение (16.7) имеет периодическое решение'
периода рТ, где р — некоторое целое число; тогда, вслед-
ствие автономности, оно имеет семейство таких .решений
вида
^0 = ф(/4-а, рТ),	(16.8)
где а — произвольный вещественный параметр.
Легко показать, что решение (16.8) может быть -разло-
жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных
гармоник; это следует хотя бы из того, что уравнение (16.7)
не изменяется при замене t на —Л ' -	'
• Таким образом,
«0 = 2
/=0
9jr
at cos 1—^ (/-|-a).
(16.9)
Значение параметра a, определяющего сдвиг по фазе
между вибрационным воздействием и вынужденными "колеба-
ниями, должно определяться из уравнения (6.13), которое
в рассматриваемом случае может быть записано в следующей
форме:
рТ	рТ
Р(а) = — j иа(иф иа)и0<и + J Q(0»o<tf = O. (16.10)
0	‘	о- -	'	'
Первый из интегралов представляет собой работу дисси-
пативных сил на свободном колебании консервативной си-
стемы; величина его, очевидно, не зависит от параметра а и
равна площади петли гистерезиса
Wc — J Ud (я0, мо)^0^ = £б/^(«, и) du. (16.11)
В случае линейного трения
рТ
Wc — f bu^dt^
о
Г оо
' 	9 И-I	J
п2
^2	(16.12)
р 1’1
176 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Для сухого трения
рТ	рт
Н sign UqUq dt = J* H |w0| dt = Wat (16.13)
о	0
где a — амплитуда свободных колебаний (предполагается,
что перемена знака скорости при свободных колебаниях
происходит лишь дважды в течение одного периода).
Обычно при практических расчетах можно ограничиться
определением приближенного значения Wc, найденного в пред-
положении, что свободные колебания близки к гармоническим.
При этом для случая линейного трения имеем
We^^-al	(16.14)
где — амплитуда первой гармоники.
Аналогичным образом можно определить Wc и для других
форм демпфирования.
Исследуем теперь второй интеграл в уравнении (16.10),
выражающий работу вибрационного воздействия на свобод-
ном колебании консервативной системы. Разложим периоди-
ческую внешнюю силу в ряд Фурье:
оо
Q(0 = S(Qcycos/^/ + Qsysin/^-/).	(16.15)
/=1
где Qcj и QSj—коэффициенты Фурье. Предполагается, что
постоянная составляющая в силе Q(t) отсутствует.
Подставив выражения (16.9) и (16.15) в (16.10) и учи-
тывая, что
рт
J cos J t sin I (t a) =
о
0
pT . . 2ла
Vsiny~
при i + jp,
при l — Jp>
pt
j sin/-y/sinZ-^-|-a) =
e
0	при I ¥= Jp,
pT . 2ла	,	.
COS / при i = jp,
§ 16]
РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
177
получаем
рт
wb= J Q(0«o(0^ =
О
оо
= —лр 2sin/а 4-cos/а), (16.16)
7=1
где индекс pj — произведение числа р на номер у, по кото-
рому производится суммирование. Таким образом, параметр а
должен определяться из уравнения
оо
^ +• яр 2 JaPJ (QcJ sin j a + cos / y1 a) = 0. (16.17)
/=1
которое, как мы видели, имеет простой физический смысл:
работа вибрационного воздействия за один цикл колебаний
должна равняться работе диссипативной силы за тот же
период.
Анализируя выражение (16.17), нетрудно понять, в чем
состоит основное различие в условиях возникновения резо-
нансных колебаний между линейной и нелинейной системой.
В линейной системе с одной степенью свободы свободные
колебания являются гармоническими и всегда происходят
с собственной частотой. Здесь
Uq — a cosZ(^-|-a),
причем а и а могут выбираться произвольно. Выраже-
ние (16.16) не обращается в нуль только в том случае, если
J • -у = Л, то есть если частота одной из гармоник вибра-
ционного воздействия совпадает с собственной частотой си-
стемы. Только эта гармоника вибрационного воздействия
способна произвести не равную нулю работу на свободном
колебании системы и тем самым поддержать свободные коле-
бания, возместить рассеяние энергии, вызванное наличием
диссипативных сил.
В нелинейной системе свободные колебания не являются
гармоническими. Поэтому гармоническое вибрационное воз*
действие способно произвести не равную нулю работу и
в том случае, когда его частота кратна частоте свободно^
Л|. 3. Коловс^а
178 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
колебания, то есть совпадает с частотой одной из его выев-
ших гармоник.
Резонансные колебания, период которых в р раз пре-
вышает период вынуждающей силы, называются субгармо-
ническими резонансами порядка р или дробными резонан-
сами порядка 1/р. При этом рассмотренные в предыдущих
параграфах резонансные колебания, период которых совпа-
дает с периодом внешнего воздействия, могут быть названы
резонансами порядка 1. Часто их называют основными резо-
нансными колебаниями.
Вообще, при совпадении частот r-й гармоники вибра-
ционного воздействия с р-й гармоникой свободных колеба-
ний, в выражении (16.16) появляется не равный нулю член.
Это означает, что в системе ив этом случае становится
возможным возникновение резонансных колебаний, частота
которых относится к частоте вибрационного воздействий
как г/р. Такой резонанс называется дробным резонансом
порядка г/р. Для того чтобы резонансные колебания имели
период, равный или кратный периоду вибрационного воз-
действия, необходимо, чтобы отношение р/r являлось целым
числом.
Рассмотрим теперь более подробно условия возникнове-
ния дробных резонансов при гармонической вынуждающей
силе
Q (t) = F cos со/.	-	(16.18)
Очевидно, что, поскольку в этом случае возбуждение является
гармоническим, в системе возможно возникновение только
резонансов порядка 1/р. Уравнение (16.17) принимает при
этом такую форму (/=1)
P(a) = lTtf4-rcpapFsinoa —0.	(16.19)
Чтобы значение а получилось вещественным, должно выпол-
няться	условие	>
lSin®«l=|-^F|<1	<16-20>
ИЛИ
1^1 <	.(16.21)
Это неравенство	и является условием возможности возникно-
вения субгармонического резонанса порядка р. Проандлизи,
руем его более подробна,
РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
179
§ 161
>- Левая часть неравенства зависит от интенсивности и вида
демпфирования. С увеличением интенсивности диссипативных
сил наступает момент, когда неравенство (16.21) нарушается;
при таком демпфировании возникновение субгармонического
резонанса становится невозможным; Правая часть неравенства
пропорциональна произведению рар, где ар— коэффициент
Фурье при /?-й гармонике свободных колебаний. Величина
этого произведения убывает с ростом р во всех случаях,
когда функция Uy (и) имеет непрерывные частные производ-
ные первого порядка. Вообще, чем более гладкой является
Рис. 72.
упругая характеристика амортизатора (то есть чем выше
порядок производных функции Uy (й), остающихся непре-
рывными), тем быстрее убывают величины коэффициентов ар
и, следовательно, тем менее вероятным является возникнове-
ние субгармонических резонансных колебаний. Поэтому такие
резонансы чаще всего возникают в виброзащитных системах
с ограничительными упорами, дающими разрыв функции U' (и).
Опасность возникновения субгармонических резонансов уси-
ливается с ростом амплитуды вынуждающей силы F.
Поскольку субгармонические резонансные колебания близки
к свободным, решение (16.8) может быть использовано не
только для определения условий существования этих колеба-
ний, но и для оценки их амплитуды. В первом приближении,
как и в случае основных резонансных колебаний, можно
считать, что амплитуда субгармонических колебаний совпа-
дает с амплитудой свободных колебаний, имеющих ту же
12*
180 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ш
частоту. Практически для оценки амплитуды субгармониче-
ского резонанса порядка р удобно использовать скелетную
кривую X (а) (рис. 72). Поделив частоту вынуждающей силы
на р, непосредственно находим величину амплитуды а.
Из рис. 72, а и б легко видеть, что в системе с «жесткой»
скелетной кривой субгармонические резонансы порядка р
возможны при (£4 > а в системе с «мягкой» скелетной
кривой — при (ох < рА,0.
А. М. Кац [15] показал, что условие устойчивости решения
уравнения (16.6), найденного описанным выше способом, может
быть представлено в следующей форме:
(16.22)
Здесь а* — корень уравнения (16.10), соответствующий исследуемому
решению, а значение d^lda определяется по скелетной кривой, для
значения X, совпадающего с частотой этого же решения.
Отсюда, в частности, следует, что по крайней мере одному из
корней уравнения (16.19) всегда соответствует устойчивое решение.
В самом деле, это уравнение имеет два корня ах и а^, причем произ-
водная
COS 6X1
при этих значениях а* принимает противоположные знаки, а значе-
ние d'k/da в обоих случаях одинаково. Следовательно, для одного
из решений условие (16.22) безусловно удовлетворяется.
Перейдем теперь к исследованию условий существования
субгармонических резонансов в некоторых частных случаях.
Прежде всего, запишем условие (16.21) для различных видов
демпфирования.
Для линейного трения, подставляя (16.12) в (16.21), полу-
чаем
о . P2\ap\Pi
(16.23)
где
§ 16]	РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА	181
Условие (1р.23) можно упростить, если использовать при-
ближенное выражение для работы диссипативной силы (16.14)
Отсюда можно, в частности, получить условие существования
основных резонансных колебаний, соответствующих
р=1, ар = ах.	(16.25)
При этом получаем
2»<Д..	(16.26)
Этот результат полностью совпадает с тем, что было полу-
чено в § 12. Формула (16.26) означает, что резонансные
колебания с амплитудой а* и частотой со могут возникнуть
в том случае, когда линия (12.16) пересекает скелетную кри-
вую выше точки а*.
При сухом трении получаем, используя формулу (16.13):
np\ap\F
п < ——
4а
или
р I aD | Fi -
(16.27)
где
тип
Для основного резонанса получаем
h <
что соответствует условию существования решений, близких
к гармоническим, полученному в § 13.
Наконец, для внутреннего трения, при гармоническом
внешнем воздействии, можно пользоваться формулой (14.1).
При этом работа диссипативной силы за период свободных
колебаний выражается площадью петли гистерезиса, соответ-
ствующей амплитуде а:
=	(16.28)
182 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
Следовательно, для существования субгармонических резо-
нансов должно быть
__ Р P^pPi
₽1“ т <	+ 1
(16.29)
При исследовании конкретных виброзащитных систем
использование полученных результатов сводится к определе-
нию таких параметров демпфирования, при которых суще-
ствование субгармонических резонансных колебаний полностью
исключается, то есть неравенство (16.21) выполняется с об-
ратным знаком. Наиболее трудной частью исследования
является определение коэффициента Фурье при р-й гармо-
нике свободных колебаний. Каким образом он определяется,
мы покажем на конкретных примерах. В этих примерах
удобно ввести безразмерное время
r = V,	(16.30)
где Хо—собственная частота упругого амортизатора, а также
безразмерную частоту свободных колебаний и вибрационного
воздействия:
В качестве первого примера рассмотрим амортизатор с сим-
метричной кубической характеристикой, свободные колебания
которого описываются уравнением
ти-\- си ей? — 0.	(16.32)
Переходя к безразмерному времени, получаем
•g + « + Y«3 = 0,	(16.33)
где
Уравнение (16.33) интегрируется в квадратурах. Для этого
следует использовать «интеграл энергии» (см. формулу (2.3)):
1	(du\2 . и2 .	и4, а2 . а4
2	Ы +t- + Y-4- = -2-+Y-4-	<16-34>
где а — амплитуда свободных колебаний.
§ 16]
РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
183
.Из (16.34) находим
(fl2-«2)+ Y(fl4_M4) =
= «]/ 1+|«2У(1-Ч2)(1+^2),
где	-
2 _ уд2 г _ £
— 24-уа2 ’ а*
Теперь интегрируем уравнение (16.34)
и
. Г	du
T + T0=J -/”	=
0 1/ («2 —«2)+у («4 —и<)
= l/i"7"v" 2	(1-С2) (1+еТ) • (16'35)
у 1+fa 0
Решение исходного уравнения (16.32) является обращением
этого интеграла и представляет собой эллиптическую функцию
и — асп [/1+т«2(т + то)].	(16.36)
Теперь, пользуясь известным разложением эллиптической
функции в ряд Фурье, находим
« = а———V 	cos(2 л? —I— 1)ф
хКЫ ~01 + <7Р+
L— yf Ч“г )
k V 2+2уа2Г
(16.37)
Здесь и — модуль эллиптического интеграла (16.35), Л?(н) —
значение полного эллиптического интеграла первого рода,
соответствующее этому модулю, Ф = у(т4-То), а величина
определяется выражением
у = ехр< —л
K(/r=7j?)
ад
184 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Разложение (16.37) позволяет выразить коэффициенты Фурье
через амплитуду свободных колебаний
2л q
аР~а v.K(x) 1 + ^
ар = 0
при р — нечетном,
при р — четном,
(16.38)
Необходимо еще выяснить, как связана частота свободных
колебаний с их амплитудой. Для этого проинтегрируем (16.35)
по и в пределах от 0 до а, приняв то = О; тогда получим
Т /<(х)
4	Xo/l+Y^2
или
v= "И+уй2 (16.39)
2К (х)
Теперь можно построить скелетную кривую, выражающую
зависимость безразмерной частоты свободных колебаний от
амплитуды, а затем по формуле (16.38) найти р-ю гармо-
нику свободных колебаний. Разумеется, при приближенном
решении можно заменить точное выражение для скелетной
кривой (16.39) приближенным, определяемым по методу гар-
монической линеаризации.
Определим величину силы сухого трения, обеспечивающую
подавление субгармонических резонансов третьего порядка.
Подставляя (16.38) в (16.27), получаем
_з
4>^)-TTFf'-	(,e'40)
Если частота вынуждающей силы равна со, то для третьей
субгармоники Х = со/3 или v=z/3. Определив из этого
соотношения v, можно по формуле (16.39) найти а, а затем
из (16.40) — h.
Отметим, что приближенный анализ, основанный на опре-
делении высших гармоник свободных колебаний методом
гармонического баланса (улучшенное первое приближение;
см. § 1), в рассматриваемом случае дал бы весьма грубое
приближение. Так, например, при v = 1, 2 = 3, величина силы
сухого трения получается бесконечно большой, поскольку
отношение стремится к бесконечности, если под аг
понимать амплитуду первой гармоники.
Рассмотрим теперь амортизатор с симметрично располо-
женными упругими упорами (характеристика (10.6')), После
$ 161
РЕЗОНАНСЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
185
перехода к безразмерному времени уравнение свободных ко-
лебаний записывается в такой форме
d2u
dr2
при
|w| > d.
u — Q
-|- и2и = d(n2 — 1) sign и при
(16.41)
Найдем свободные колебания, безразмерная частота которых
равна V. Для этого используем метод «припасовывания»,
часто применяющийся в теории нелинейных колебаний при
исследовании кусочно-линей-
ных систем.
Поскольку фаза свободных
колебаний может выбираться
произвольно, примем для опре-
деленности, что при т = 0,
я = 0, 4£>°- В силу сим-
метричности упругой характе-
ристики, свободные колебания
должны иметь форму, пока-
занную на рис. 73, где каждая
относительно своей максимальной
из полуволн симметрична
ординаты. Поэтому доста-
точно определить закон движения в интервале О т .
Пусть —момент времени, соответствующий u = d\
интегрирование линейных уравнений (16.41) дает
sin т Н- Bi cos т
при 0
м2 = ^2SinxT+^2COSXT+^(x2-~l) ПРИ
(16.42)
Для определения постоянных Др Вр Д2, В2 и момента вре-
мени Ti используем начальные условия и условия «припасо-
вывания», являющиеся в данном случае условиями непре-
рывности и и du/dx при т = Тр
Начальные условия: т = 0,	—
Условия припасовки: 1) т = Тр u{ — d\ 2) т = т1, и{ = и2;
3) т = тр = Наконец, используем условие макси-
мума при r = n/2v:
т 	du>2 j-v
2v ’ dx
186 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
Определяя постоянные из этих условий, находим
(16.43)
Величина определяется при этом из следующего уравнения:
—*1)=».	(16.44)
На рис. 74 приводится зависимость от v при различных
значениях %.
Подставляя (16.43) в (16.42), получаем
(16.45)
(16.46)
Амплитуда колебаний, очевидно, равна значению
T = n/2v; поэтому
й2 при
(16.47)
Теперь можно найти коэффициенты Фурье функции я(т).
Коэффициенты при четных гармониках равны нулю в силу
симметрии; для коэффициентов при нечетных гармониках
получаем
2л •	’	'
v	т
V . Г
ар= — \ и • cos pvx dx =
о	'	•
(	Л	\
т, .	.	2v"	\
f	, I С	, ]
cos pvT —|—	w2.cos P^dx =, -
° *1
_ 4d (и2 — 1) (cos pvxi • tg Tt -- pv - sin pvtQ < fi ~
Л p (p2v2 — 1) (p2v2 — И2) tg Tj ’	*	*
§ 17]
СУБГАРМОНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
187
Пусть, например, х = 2; амплитуда вынуждающей
силы-Fm, безразмерная частота z = 4,5. Определим интен-
сивность сил сопротивления, необходимых для подавления
резонансных колебаний.
По рис. 74 определим, что безразмерная частота свобод-
ных колебаний при х=2 ограничена пределами l<v<2.
Единственное целое р, удо-
влетворяющее условию z == pv,
равно трем; поэтому в системе
возможен только субгармони-
ческий резонанс третьего по-
рядка, причем v=l,5.
Для v=l,5 из рис. 74
находим Ti = 0,35. По форму-
лам (16.47) и (16.48) опреде-
ляем
а —	а3~ 0,4М.
Теперь, например, по формуле
(16.24) получаем коэффициент
линейного трения, при котором
нанса не выполняются
условия существования резо-
9.0,41d.f
П > 4,5Л0  2,242</2
= 0,16-^
AqU
Для сухого трения по формуле (16.27):
. . 3• 0,41 rf• F п
*>	2.2М	-°'”'-
§ 17. Субгармонический резонанс в системе
с жесткими упорами
Выше было показано, что чем больше жесткость огра-
ничительных упоров, чем резче переход упругой характери-
стики амортизатора от основного упругого элемента к упорам,
тем сильнее опасность возникновения субгармонических резо-
нансов. В связи с этим особый интерес представляет иссле-;
дование системы с жесткими упорами. В большинстве случаев*
можно утверждать, что если диссипативные силы, имеющиеся
в системе, достаточны для подавления субгармонических
188 нелинейные системы с одной СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
резонансов, возникающих при введении жестких ограничитель-
ных упоров, то они и подавно достаточны при том же
«свободном ходе», если упоры имеют любую другую упругую
характеристику.
Рассмотрим свободные колебания системы с линейной
упругой характеристикой и жесткими упорами.
В дальнейшем мы будем различать «верхний» упор, рас-
положенный на расстоянии d от положения равновесия в поло-
жительном направлении, и «нижний» упор, координата кото-
рого равна —Таким образом,
t/y(4z) = cw при —dx < и < d. (17.1)
Для дальнейшего необходимо ввести какое-либо предположе-
ние о характере удара об упор; поскольку мы хотим
рассматривать свободные колебания, предположим, сначала,
что удар является абсолютно упругим, то есть происходит
без потери энергии. В этом случае в момент удара скорость и
меняет знак, сохраняя свою
величину, и закон движения
имеет форму, показанную на
рис. 75. Введя безразмерное
время, можно записать диффе-
ренциальное уравнение движе-
ния в промежутке между уда-
рами в таком виде
^- + « = 0.	(17.2)
Период колебаний, равный
промежутку времени между
ударами об один и тот же
упор, обозначим через 2n/v, где
v — безразмерная частота. Закон движения за период симме-
тричен относительно ординаты t = «/v; поэтому достаточно
определить его только в интервале 0<^т<^л/у.
Интегрируя (17.2), получаем
и — A cos т + В sinx.	(17.3)
Граничные условия:
т = 0, и — — dy т = —, u — d
1 v
§ 17]	СУБГАРМОНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС	189
позволяют определить постоянные А и В:
d -|- dY cos —
Д^-tZp В=------------JL.	(17.4)
sin —
V
Отсюда
и =—-—psinr — dx sin (— — tY|	V (17.5)
sin — L	\v /J \	*	' v/
V
Теперь можно определить коэффициент Фурье при р-й гар-
монике:
л
V
2v Г
а„ =—	acospvrdT =
** Л J
о
sin т
. л
sin —
V
2v(d — d{) л
—тг r-K-ig-FT- при четном р,
л(1 — p2v2) 2v r	г
2v(6? + ^i) . л
Д(1-^у/) с^27 при нечетном Р-
Если d — dv то есть если упоры расположены симметрично,
коэффициенты при четных гармониках обращаются в нуль.
Мы предполагали, что происходит удар об оба упора;
однако это имеет место не при всяких значениях dt dx и v.
Определим dujdx на участке 0 < т ~
du 1 Fj i j (ft
__ =-------- dcosr-4-di cos т .
dx . л L ’ \v /J
sin —
v
(17.7)
Для того чтобы при т = 0 произошел удар о нижний упор,
должно быть du,[dx^fy в противном случае система просто
190 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
не может дойти до нижнего упора. Аналогично для удара
о верхний упор должно выполняться условие du/dx'^Q
Рис. 76.
прит = ^- Учитывая (17.7),
получаем условие удара о верх-
ний упор:
cos —>--4 (17.8)
и условие удара о нижний упор
cosv>-7r. (17.9)
На рис. 76 построены обла-
сти значений v и отношения
6d 1
=	, при которых происхо-
дят удары только о верхний,
только о нижний и об оба
упора. Отрицательные значе-
ния б означают, что оба упора расположены по одну сторону
от положения равновесия, то есть что в положении равно-
весия система прижата к одному из упоров.
Рис. 77.
При ударе только о верхний упор постоянные А и В
в (17.3) определяются из условий (см. рис. 77, а)
Л	J	г\	du р.
т——, u = d;	т = 0,	-у-- = 0.
v	dx
§ 17]
СУБГАРМОНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
191
Получаем
U = d-^^-.		(17.10)
COS —
V
Отсюда легко определить
COST	_	,	/ IMP 2dv , л
------cos pvv- dx = (—1г • —7-2-5—rrtg —.
л г	4	7 л (p2v2 — 1) V
cos —
(17.11)
Амплитуда колебаний в этом случае равна
2а = иф —a(0) = d (1
(17.12)
При ударе только о нижний упор имеем (рис. 77, б)
л	j	л	du	л
т — 0, я =— d}\ т = —,	~0.
р	v	dx
Отсюда
cos f—— tj
u = -dv-------(17.13)
cos —
V
Соответственно,
л
cos —
V
cos pvt dx
W . л
л(рМ — 1) ® v ’
(17.14)
(17.15)
Теперь нетрудно определить величину диссипативной силы,
необходимой для подавления субгармонических резонансов.
Рассмотрим, например, такую задачу. На. систему действует
возмущение, безразмерная частота которого z = (o/Xo —5,
а амплитуда равна т • F. Расстояние до нижнего упора
192 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОВОДЫ [ГЛ. Ill
dx — 0,5d. Определить силу сухого трения, достаточную для
подавления субгармонических резонансов.
Поскольку z = pv, a v> 1, в системе возможны суб-
гармонические резонансы следующих порядков:
р —2,	V —2,5;
р = 3,	v=l,67;
р = 4,	v=l,25.
Обращаясь к рис. 76 и учитывая, что 6 =“ = 0,5,
находим, что в первых двух случаях будут происходить
удары об оба упора, а в последнем случае — только о нижний
упор. Пользуясь формулой (17.6), получаем
прир = 2	v = 2,5,	а2 —	tg| = 0,024rf;
при р-3	v=l,67, д3 =	c<g з5з=0’047й?-
В обоих случаях а = у (^ + ^0 = 0,75йГ.
По формуле (16.27) получаем
а = — 0,25d
р = 2,	—0.064F,
р —3,	Л>-^£р = 0,188Л
Для р==4 по формуле (17.14) и (17.15):
2 • 0,5d • 1,25 ,	л n nqnq ,
=-----М25-ТГtg Т25 = ОЗ(Ж
---1----l\ = 0,56d.
COST25 )
Следовательно, должно быть
й>-°’^°--Г = 0,214А
О,оо
Сравниваем полученные значения h и выбираем наибольшее
из них: h = 0,214F. При этом значении h все субгармони-
ческие резонансы будут подавляться. Этот пример показывает,
СУБГАРМОНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
193
§ 17]
что более опасными могут оказаться субгармонические резо-
нансы более высокого порядка (в данном случае р — 4),
если один из ограничительных упоров расположен значительно
ближе к положению равновесия, чем другой.
До сих пор мы не учитывали, что удары об упоры
в реальных системах всегда сопровождаются потерями энер-
гии. Эти потери можно определить, пользуясь известной теоре-
мой Карно, которая в рассматриваемом случае удара мате-
риальной точки о преграду приводит к следующей формуле:
ДЦ7 =	„2
(17.16)
Здесь ДМ7 — потеря энергии при ударе; иу— скорость дви-
жущейся точки перед ударом, k — коэффициент восстановле-
ния, величина которого зависит от механических свойств
соударяющихся тел и может принимать значения от 0 до 1.
Возникает вопрос, можно ли в случае удара вычислять
потери энергии исходя из решения уравнения (16.7),
то есть подставляя в (17.16) значения скоростей найденные
из интегрирования уравнения свободных колебаний. В ра-
боте [27] показано, что это можно делать в тех случаях,
когда коэффициент восстановления близок к единице, то есть
когда удар близок по своему характеру к абсолютно упру-
гому. При этом величина должна быть прибавлена
к работе сил сопротивления за один цикл колебаний, то есть
условие существования субгармонического резонанса по-
рядка р в системе с упорами может быть записано в такой
форме (вместо (16.21)):
|rcH-AUZ| < \ЯрарЕ\.	(17.17)
При ударе об оба упора по формуле (17.7) находим
13 М. 3. Коловский
194 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
где и ив—скорости при ударе о нижний и о верхний
упоры. Отсюда находим
A^ = y(l-fe2)(«2H+«2B)-
= m(1 — fc2) [(rf2+rfi)cos ^4-2^cos y] • Xo. (17.18)
Очевидно, что если
|ДГ| > \npapF\,	(17.19)
то есть если потери энергии при ударе превышают работу
вынуждающей силы на свободном колебании, то соответ-
ствующий субгармонический резонанс в системе вообще
не может возбудиться; в этом случае резонанс подавляется
ударами об упоры. Отметим, что потери энергии при ударах
пропорциональны квадратам расстояний до упоров, а правая
часть формулы (17.19) — только первым степеням. Поэтому
раздвигая упоры всегда можно добиться устранения субгар-
монических резонансных колебаний.
В случае удара только о верхний упор получаем
=	— fc2)X^2tg2-J,	(17.20)
при ударе только о нижний упор:
= | m(l - *2)Z^tg2	(17.21)
Определим, например, какое значение должен иметь коэф-
фициент восстановления, для того чтобы обеспечить подавле-
ние субгармонического резонанса четвертого порядка в рас-
смотренной выше задаче. Используя формулу (17.21), получаем
условие (17.19) в такой форме (v—1,25)
у т (1 — &2) к2а2 • 0.7 252 > л • 4 • О.ОбОб^Р.
Отсюда получаем
fe2< 1 — 0,345-А- •
Если принять, например, что dx = 5 мм; 70~62,8 1/сек;
F = 4g 40 м/сек2, то получаем
/г2 <0,31; k < 0,55.
§ 18] КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ	195
§ 18. Вынужденные колебания при случайных
воздействиях
Существует обширный класс задач теории виброзащитных
систем, в которых вибрационное воздействие удобно рас-
сматривать как стационарный случайный процесс. К этому
классу принадлежат задачи об амортизации «повозок» (авто-
мобилей, тракторов, танков и т. п.), движущихся по дороге
со «случайным» профилем, приборов и аппаратов, устано-
вленных на самолетах и ракетах, где имеется большое число
независимых источников вибрации, и, в частности, такой
мощный источник, как реактивный двигатель, задачи о вибро-
защите корабельных механизмов и приборов при качке
корабля и многие другие.
Во всех этих задачах факторы, определяющие характер
вибрационных воздействий (профиль дороги, физические про-
цессы, протекающие в двигателе, высота морской волны),
не являются детерминированными; поэтому и сами воздействия
не могут быть описаны какими-либо детерминированными
функциями времени, и должны рассматриваться как случай-
ные процессы.
В большинстве случаев вероятностные характеристики вибра-
ционных воздействий не могут быть получены априорно, например,
на основе анализа физических свойств источника вибрации. Такой
анализ оказывается, как правило, практически неосуществимым,
и вероятностные характеристики случайного процесса определяются
в результате статистической обработки некоторого конечного числа
реализаций, измеренных на конечном интервале времени. Следует
отметить, что при этом можно было бы вообще отказаться от ве-
роятностной постановки задачи и ограничиться исследованием пове-
дения виброзащитной системы при детермированных воздействиях,
соответствующих каждой из известных реализаций; при этом
безусловно имеющаяся информация о вибрационном воздействии
была бы использована с наибольшей полнотой. Однако такой подход
связан обычно с большими вычислительными трудностями и в пер-
вую очередь с необходимостью представления в аналитической
форме каждой из реализаций, полученных экспериментальным путем.
Вероятностная постановка задачи оказывается в таких случаях
удобным приемом, упрощающим решение задачи, а в тех редких
случаях, когда известны только вероятностные характеристики
вибрационного воздействия, она является единственно возможным
методом исследования.
С другой стороны, знание лишь конечного числа реализаций
случайного процесса (из возможного бесконечного множества)
оказывается, вообще говоря, недостаточным для однозначного
13*
196 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
определения его вероятностных свойств. Неполнота информации при-
водит к возможности постулирования таких свойств случайного
процесса, как эргодичность и стационарность.
Вынужденные колебания, возникающие в виброзащитных
системах при стационарных случайных вибрационных воздей-
ствиях, также представляют собой стационарный случайный
процесс. Анализ вынужденных колебаний сводится к опре-
делению их вероятностных характеристик по вероятностным
характеристикам вибрационного воздействия.
Займемся исследованием вынужденных колебаний вибро-
защитной системы с одной степенью свободы при случайном
вибрационном воздействии. Пусть в уравнении (12.1) Q(t) —
центрированный нормальный случайный процесс. Для опре-
деления вероятностных характеристик деформации амортиза-
тора и (/) воспользуемся методом статистической линеариза-
ции, описанным в § 7. Для статистической линеаризации
нелинейной функции U (и, и) необходимо знать законы распре-
деления случайных процессов и (t) и и (/). Предполагая, что
они также имеют нормальное распределение, получаем выра-
жения для коэффициентов линеаризации, подставляя (7.36)
в (7.39) —(7.41):
Ц)=——
2яаИа0 _
2О2
(и — т„)2 v2 1 . .
---------------5- du dv,
J
(18.1)
= J* f ®)X
X exp [-----------------’ j fa' (18.2)
L 2q2	2<4J
oo
f i z /	\ Г (“ — тиУ V2 1 j ,
vU (u, v) exp — ---------------du dv.
t	I 2°o	2®^ J
(18.3)
OO
1 f
2iiffX _
Здесь и — дисперсии деформации амортизатора и ее
скорости, ти—среднее значение деформации, отсчитываемой
от положения статического равновесия.
§ 18] КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ	197
Уравнение (12.1) после линеаризации принимает следую-
щий вид:
тиЦ	= Q (/),	(18.4)
где iP = и — ти~ центрированный случайный процесс.
Выражения для коэффициентов линеаризации упрощаются
в тех случаях, когда нелинейная функция представима в виде
суммы
U(а, и) = £/у(«)+£/д(«)т	(18.5)
При этом получаем
со
<18-6)
оо
Сд== / иу(а) (ц ~ Отв) ехр |~ <и 7/и)21da' (18 7)
оо
if	f	V2 \
Ьл =	J I Ud(v)vvwl——?\dv.	(18.8)
у ZJI О7, ч>	\	/
Линеаризованное уравнение позволяет определить момент-
ные характеристики деформации и ее скорости по спектраль-
ной плотности (или корреляционной функции) вибрационного
воздействия Q (/). Сначала находим спектральные плот-
ности и и и:
Sq (о)
(,8'9)
o2So (о)
w =	<'810>
Теперь по формулам (7.43) и (7,44) находим дисперсии:
. lf_	1 f So (®) d&
^« = •7- SB(co)d«> = —	----Q 2 , , ,, (18.11)
“ 2л J “	2л J (c. —
-оо	-оо \ д	/	' Д

©2Sd (©) d<a
- Ч2/.2 2- О8’12)
198 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ, ПТ
Наконец, приравнивая нулю постоянную составляющую в левой
части уравнения (18.4), получаем
£70 —0.	(18.13)
Выразив в уравнениях (18.11) — (18.13) коэффициенты ли-
неаризации £70, с& и Ьл через о2и, о2 и ти, с помощью соот-
ношений (18.1) — (18.3) получим систему трех уравнений,
из которых можно определить неизвестные моменты.
Для оценки качества виброзащитной системы наиболее
интересным является получение вероятностных характеристик
силовой реакции амортизатора. Из линеаризованного уравне-
ния находим
4/(zz, Д)=[/0 + сд^ + ^°.	(18.14)
Отсюда получаем среднее значение и спектральную плот-
ность U:
— 0»
„ ч _ I у»I2  -Sq (®)	(<~д + *>2) $ Q (<»)
U & |сд —+V®|2 (сд —/п“2)2 + 6д®2
(18.15)
Следовательно,
оо
J 5fz(0))
— оо
1	(сд + ^д®2)^0 (®)
2л J (с — та2)2
— со х А	/ А
dd).
(18.16)
Перейдем теперь к решению некоторых примеров. Пусть
спектральная плотность нормального вибрационного воздей-
ствия задана следующим выражением:
$о(®) = 1----,2 •	(18.17)
Q I7!— со2 + |3/(d I2	7
Спектр такого вида получается, например, в том случае,
когда широкополосный процесс, близкий к белому шуму,
пропускается через линейную систему второго порядка
(фильтр). В виброзащитных системах таким фильтром может
служить упругое основание. Такой же характер может иметь
спектр процесса и в том случае, когда среди источников
возмущения имеется один доминирующий, создающий вибра-
цию, близкую к гармонической. Параметр rj в (18.17) при-
близительно равен квадрату преобладающей частоты, а пара-
метр р определяет ширину «полосы пропускания» фильтра.
§ 181
КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
199
Подставляя (18.17) в (18.11), получаем
.. оо
а«=2^ J 2^°с 1л—®2+₽>12|сд —т®2+*д>|2 • <18-18)
— оо
Для вычисления интегралов такого вида, как уже указы-
валось ранее, можно воспользоваться готовыми выражениями,
имеющимися во многих руководствах (например, в [43]). Про-
изведя вычисления, получим .
2_ 2	+ *дСд + Ш*д + >»₽)	. .
— °<? Ьлсл [(Сд - mn)2 + (*д+ «₽) (*Сд + М)] ‘ U }
Аналогично найдем
2____Г	(Cfl + ^a>2)-2Pr]g2Q-rfa>__
2л J | г] и2 P/и I21 сд — то26дУ® |2
_ 2 (М^д +Wn) + M^ + «P)(M + P<ji)] /1Я9т
М(Сд-^1)2 + (*д+«₽)(₽Сд+М)1	’ U '
о   1 f п„ 2	C02rf®	_
°г’	2л J I r'°Q I Г] — ®2-f-р/и I21 сд — то2 4-6дУ® I2
_ 02 _________________________________ ,, о ОН
Q бд[ел-^)2+(бд+«Р)(₽сд+М)] • u ’
Таким образом, коэффициент динамичности К, равный отно-
шению среднеквадратичного значения силовой реакции амор-
тизатора к среднеквадратичному значению силового вибра-
ционного воздействия, определяется выражением
„2 __ М*дСд + от^ + М*д+»»Р)(М + ₽Сд) /<о 99х
—	М(Сд-^)2 + (*д+/П₽)(Сд₽ + М)]	• (	’
При малых р и Ьл и переменном rj максимальное значение К
С д
достигается приблизительно при т] — —. При этом
(18.23)
(18.24)
200 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ill
Исследуем теперь действие вибрационного возмущения
вида (18.17) на систему с симметрично расположенными
упругими упорами и линейным трением.
Полагая, что mQ = 0, и учитывая симметричность упру-
гой характеристики, находим
”»„ = 0,	£/о = О.
Кроме того, очевидно, что b^-b — const.
Подставляя (10.6') в (18.7), получаем после интегриро-
вания
С, = с{1+»>[1-2ф(А)]|	=	(18-25)
где Ф(«)— функция Лапласа,
Ф(и) — у= J ехр(— —jcfu. (18.26)
По формуле (18.24) получаем ,	И 	 /		4”»	(18 27)
v	г	/ d \1 14-Х2 1 — 2Ф —) 1	\ а«* / J	1 г*	Ъ (Ь 4- /Ир) с /	»	(1	J
Определив ои* из этого уравнения и подставив его в (18.25),
найдем значение сд, а затем из уравнения (18.23) — значе-
ние к2*
^=1 + >(4%)-{'+,‘г[|~2ФШ]}- (18-28)
На рис. 78 и 79 построены зависимости ои*/1^Н и от
безразмерного параметра	При этом принято, что
₽ = —= 0,2 1/ —.
г т	У т
Из графиков видно, что при достаточно большом зазоре
даже сравнительно жесткие упоры практически не влияют
на вероятностные характеристики вынужденных колебаний
амортизированного объекта. Если при проектировании амор-
тизатора обеспечить выполнение условия

§ 18]
КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
201
то вероятностные характеристики с большой степенью точ-
ности можно считать такими же, как при отсутствии упоров.
График на рис. 79 показывает, что увеличение зазора при-
водит к уменьшению величины К* то есть улучшает вибро-
защитные свойства системы в «резонансном» режиме, не-
смотря на то, что среднеквадратичное значение деформации
при этом возрастает.
Рассмотрим вынужденные колебания, вызванные тем же
возмущением, при линейной упругой характеристике аморти-
затора и наличии сухого трения. В этом случае сл = с = const;
по формуле (18.8) находим
V л '
(18.29)
где Я — величина силы сухого трения.
Подставляя (18.29) в (18.21), приходим к уравнению для
определения 0V:
g9_ + (1830)
? Я [°2 (с —	+ {Я + PW<M (Pcav + ЯП)] ‘
202 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. III
Это уравнение приводится к квадратному
°1[(с — тЛ)2 +ст&2]+% (—д-- p/»n4-	4-
4-(<72—°г(?)11 = 0.
из двух корней которого только положительный имеет смысл.
Поэтому
(pg —?2)pwn —?2Рс ,
°®	2<? [(с — mi])3 + cmP2] 4“
, V l(aQ - fl'2) P'nTl + ?2PC]2 + 4<72t) (°q - 92) (c - raTl)2 ,,a ,n
4“	2q[(c — mr])2 + cmp2]	’
Положительное значение ov существует, очевидно, при
oQ>?.	(18.32)
В резонансе, при с — mv\, среднеквадратичное значение
остается конечным по величине; в этом — одно из отличий
рассматриваемой задачи от случая гармонического вибрацион-
ного воздействия. Подставляя с — тх\ в (18.31), получаем
а л — О*	Q $
Ьл*= —= -?—« тр. (18.33)
^mp	0V» oQ — q
Пользуясь этими соотношениями, находим
(а y_g2 .. (c + ^)w...=
VM —UQ Ьдс2 (Ьд-\-т$)
а2п — 0^
<18-34>
(2	2 '
Оп	Ч \
-4- —4- .	(18.35)
Ч	’с? /
Если параметр т] (квадрат доминирующей частоты вибрацион-
ного воздействия) достаточно велик, так что	можно
получить из (18.31), пренебрегая малыми членами,
Ж - я2)	+ 4/nW (°2Q - ч2)
29^	~ тУч •
§ 18] КОЛЕБАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ	203
Следовательно,
яУт\ т
Подставляя это значение Ьл в (18.20) и переходя к пределу
при т]->оо, получим
limo2/ = ^2 (при т|->оо).
Это означает, что если спектр вибрации лежит в высокоча-
стотной области, то среднеквадратичное значение реакции
амортизатора в у^/2 раз меньше силы сухого трения.
ГЛАВА IV
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 19. Статика нелинейного упругого подвеса
Рассмотрим общий случай движения амортизируемого
объекта, подвешенного на упругих элементах.
В дальнейшем всюду, кроме § 25, будет предполагаться,
что амортизируемый объект может рассматриваться как абсо-
известно, это предположение
является допустимым, если низ-
шая собственная частота упру-
гих колебаний объекта суще-
ственно превышает максималь-
ную частоту вибрационного
воздействия.
Пусть объект связан с осно-
ванием N упругими аморти-
заторами. Для сокращения
записи удобно обозначить со-
ставляющие деформаций амор-
тизаторов в главных направле-
ниях через ult и2..u3N вме-
сто Яр vlt ..., uN, vN, wN.
Тем самым мы как бы условно
лютно твердое тело; как
Рис. 80.
заменяем каждый из амортизаторов тремя простыми упругими
элементами, прикрепленными к объекту в одной и той же
точке (рис. 80). Ось каждого простого элемента совпадает
с одним из главных направлений амортизатора, его реакция
всегда направлена вдоль оси и зависит только от соответ-
ствующей составляющей деформации и ее производной по
времени. Таким образом, статические и динамические харак-
§ 19] СТАТИКА НЕЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ПОДВЕСА	205
теристики упругих амортизаторов (9.4) и (9.1) могут быть
записаны в такой форме:
Usl = Usi (usl),	(19.1)
(7г = Ц(«р «z) (Z=l...........3N).	(19.2)
Простые элементы будут условно изображаться в виде пру-
жинок (рис. 80); однако их не следует отождествлять
с обычными упругими пружинами. В частности, следует пом-
нить, что перемещение точки крепления в направлении, пер-
пендикулярном оси элемента, не влияет на величину его
реакции; между тем известно, что для обычной пружины
учет поперечных перемещений часто оказывается необ-
ходимым.
Остановимся сначала на некоторых вопросах, связанных
со статическим расчетом упругого подвеса, то есть с опре-
делением статических усилий Usi и статических деформа-
ций usi. Выберем начало системы координат xyz в центре
инерции амортизируемого объекта. Обозначим через az, 0Z, yz
косинусы углов, составляемых осью /-го простого элемента
(то есть одним из главных направлений амортизатора), соот-
ветственно с осями х, у и z. Статические нагрузки, дей-
ствующие на амортизируемый объект, складываются обычно
из сил веса и сил инерции, вызванных постоянной составляю-
щей ускорения основания. Равнодействующая этих сил Р
приложена в центре инерции. Пусть xz, yz, zt — координаты
точки крепления Z-го элемента к объекту. Составим уравне-
ния статики:
3N	ЗАГ	3N
^и^=Рх,	^Us^ = Py,	^и51Ъ = Рг,	(19.3)
i = 1	I = 1	i -1
3N	3/V
S Usi (УМ ~ zfii) = 0, 2 Usi (Zidi — xzYz) = 0,
(19-4)
2 USi (Xtpt — yzaz) = 0.
Эти 6 уравнений содержат 3N неизвестных, что при N > 2
приводит к статически неопределимой системе.
Предположим, что в ненагруженном состоянии (в отсут-
ствии статических нагрузок) деформации простых элементов
206 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
равнялись tPsi. Эти предварительные деформации принято на-
зывать монтажными. При приложении статических нагрузок
объект получит некоторое перемещение, которое может быть
представлено как сумма поступательного перемещения вместе
с центром инерции 8 и поворота на угол ф. Если предпо-
ложить, что угол поворота является малым (в реальных виб-
розащитных системах это предположение допустимо, по-
скольку расстояния между точками крепления амортизаторов
во много раз превышают их деформации), можно найти пере-
мещения точек крепления следующим образом:
= 8 +	(19-5)
где rt—радиус-вектор точки крепления. Определим дефор-
мацию Z-ro элемента
+	(/==1............(19.6)
Здесь ni—единичный вектор, направленный по оси Z-ro
элемента. Раскрывая выражение (19.6), получаем
“si =	+ 6Z А +	=
=	+(6х+%zi ~ Vz) «/ + (6У+V/ - ^zi) +
+ (^ + Vz-Vz)Yz а=1.............. ЗЛО.	(19.7)
Решая совместно уравнения (19.1), (19.3), (19.4) и (19.7),
можно определить 6^ -ф- 6 неизвестных — статические уси-
лия Usi, статические деформации usi и параметры, опреде-
ляющие перемещение объекта как твердого тела (dx, 6у,
фх, фу, ф2). Естественно, что, поскольку статические харак-
теристики (19.1) могут быть нелинейными, решение этой
системы уравнений является весьма нелегкой задачей.
Однако в действительности решать ее и не требуется.
Дело в том, что обычно выбор тех или иных упругих амор-
тизаторов производится на основе статического расчета. По-
этому при проведении статического расчета характеристики
амортизаторов вообще неизвестны. Только определив вели-
чину статической нагрузки в каждом из главных направлений,
можно выбрать упругий амортизатор, пригодный для этой
нагрузки.
§ 19]
СТАТИКА НЕЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ПОДВЕСА
207
Это обстоятельство существенно облегчает статический
расчет системы, который может производиться в следующем
порядке.
1)	Наложим произвольно 3^— 6 линейных условий на
величины статических усилий Usi\ тогда все 3/V усилий
определятся из этих условий и
уравнений статики (19.3) и
(19.4).
2)	По найденным усилиям вы-
берем упругие амортизаторы; тем
самым определятся их статические
характеристики (19.1).
3)	По статическим характери-
стикам определим значения usii
соответствующие ранее найден-
ным значениям усилий.
4)	Остается определить мон-
тажные деформации из уравне-
ний (19.7). Эта часть расчета
является, вообще говоря, наиболее
сложной, поскольку необходимо
так распорядиться значениями дл,
6у, б2, фл, фг, чтобы стати-
ческие усилия, соответствующие
монтажным деформациям, удовле-
Рис. 81.
творяли уравнениям статики при
Р = 0. Как будет показано ниже, во многих практически
важных случаях могут быть предложены простые методы
решения этой задачи.
Монтажные деформации амортизаторов, полученные рас-
четным путем, должны выдерживаться при монтаже аморти-
зируемого объекта за счет смещений точек крепления амор-
тизаторов к основанию. Только при выдерживании монтажных
деформаций можно обеспечить совпадение действительных
значений статических усилий и деформаций с расчетными
а тем самым и совпадение динамических характеристик, фээча
которых, как уже указывалось ранее, существенно зависит
от статических деформаций.
Рассмотрим несколько простых примеров.
1.	В схеме, показанной на рис. 81, амортизируемый
объект установлен на четырех амортизаторах, эквивалентных
208
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1\
12-ти простым упругим элементам. Сила Р направлена по
оси z, то есть Рл = Ру = 0; Pz — P. Главные направления
амортизаторов параллельны осям координат, так что
ai = Pi = а4 = р4 = а7 = р7 = а10 = р10 = р2 = у2 = р5 =
= У5 = ₽8 = Ye = Pi 1 == Yi 1 = «з = V3 = аб = Ve =
= а9 y9 = «12 = Y12 = °’
у1 = а2 = Рз== у4 = а5 = р6 = у7 = а8 = р9 =
~ Y10 — аи = ₽12 “ 1 •
В этом случае можно наложить на статические усилия сле-
дующие условия, не противоречащие уравнениям статики:
^2 = ^3 = Us3 = UsQ = Us3 = Us9 = Usn = l/,12 = 0, (19.8)
то есть предположить, что реакции всех четырех амортиза-
торов параллельны оси z.
Схема статического нагружения, в которой статические
нагрузки и статические реакции амортизаторов образуют си-
стему параллельных сил, называется однонаправленной.
Для однонаправленных схем число уравнений статики сокра-
щается до трех. В данном случае эти уравнения записываются
в такой форме:
usX+usi+usl + usW=p,
(Usl + Us4) ai - (Us7 + L410) a2 = 0,
(^i + ^io) - (^4 + *2 = 0.
(19.9)
Поскольку число неизвестных превышает число уравнений,
система остается статически неопределимой.
Наложим на усилия Usl, Us4, Us7, Usl9 дополнительное
условие, например, в такой форме
^54^1^2*4“ Sla2^2 U$10^2^1 ~ 0* (19.10)
Решая систему линейных уравнений (19.9) и (19.10), опре-
делим значения Usl, Us4i Us7, UsiQ (можно показать, что при
принятом дополнительном условии все усилия будут поло-
жительными). Далее выберем упругие амортизаторы так,
чтобы найденные усилия лежали в пределах, допустимых
для этих амортизаторов, и определим значения и^, us4, us7,
§ 19]	СТАТИКА НЕЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ПОДВЕСА	209
#510. Обратимся теперь к уравнениям (19.7). В однонапра-
вленных схемах всегда должны выполняться условия
\ = 6у = Фх = ^у =	= °-
(19.11)
в противном случае не будут выполняться условия (19.8).
Иными словами, в положении равновесия амортизируемый
объект должен устанавливаться без перекосов и иметь посту-
пательное смещение только в направлении оси z. Монтажные
деформации в этом случае могут
быть выдержаны, например, с по-
мощью прокладок.
Подставляя (19.11) в (19.7),
находим
4 =	“% = М^-62. ’
^7 = US7-^’	“"1 = ".10-6г-
= Т (Us 1 + Us4 + Us7 + ИЯо)- .
(19.12)
Условие (19.10) можно было бы
изменить, например, следующим
образом:
^4 = 4-
Значения статических усилий по-
лучились бы при этом иными;
амортизаторы. Однако
иными могли оказаться и выбранные
и в этом случае можно было бы определить значения стати-
ческих деформаций, обеспечивающих выполнение усло-
вий (19.11). Произвол в выборе дополнительных условий
позволяет в практических задачах обеспечить выполнение тех
или иных конструктивных требований.
2.	Рассмотрим однонаправленную схему статического
нагружения с W амортизаторами (рис. 82). Запишем урав-
нения статики:
N	N	N
= З^Л = 0,	2^уг = 0.	(19.13)
Z = 1	Z = 1	Z = 1
J4 М. 3. КоловскиЦ
210
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Здесь Usi — усилие, действующее на Z-й амортизатор в главном
направлении, параллельном оси z. Выберем дополнительные
условия в форме
...	(19.14)
то есть потребуем, чтобы реакции всех амортизаторов были
одинаковыми по величине. Количество условий (N—1) пре-
вышает число лишних неизвестных в уравнениях (19.13);
поэтому эти условия выполнимы лишь при определенных
соотношениях между координатами точек крепления. Под-
ставляя (19.14) в (19.13), получаем
N	N
Usl= 	=	=	£У/ = 0. (19.15)
Z=1	Z = 1
Если все выбранные амортизаторы одинаковы, то очевидно,
что их статические деформации также будут одинаковыми,
и выравнивание системы при монтаже не потребуется.
3.	Рассмотрим схему нагружения, показанную на рис. 83.
Она не может быть однонаправленной, поскольку сила Р и
Рис. 83.
параллельные ей реакции амортизаторов образуют момент,
который вызывает появление сил, направленных вдоль оси у.
Учитывая симметрию системы относительно плоскости ycz,
выбираем дополнительные условия следующим образом:
---	= ^12 = 0. ил = Us5=^11-
^1 = ^4-	^7 = ^10-
(19.16)
§20] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПОДВЕСЕ 211
Часть уравнений статики при этом выполняется автомати-
чески; остальные уравнения дают

us^us^-usl=-usK^p-^.
(19.17)
Очевидно, что амортизаторы 1 и 4 работают на растяжение,
а 7 и 10—на сжатие. Для компенсации перекосов необхо-
дима установка прокладок под амортизаторы 7 и 10, тол-
щина которых равна разности статических деформаций амор-
тизаторов 1 и 7:
U^sl “	“ as\ ~~~ ttsT	(19. 1 8)
§ 20. Малые колебания твердого тела
на упругом подвесе
Рассмотрим теперь малые колебания амортизируемого
объекта. Предполагается, что динамические характеристики
всех упругих элементов могут быть линеаризованы
U i =	btUi (Z=l.........ЗА/),	(20.1)
где ut — деформации упругих элементов, отсчитываемые
от положения статического равновесия; ct и bt — соответ-
ственно жесткость и коэффициент демпфирования /-го эле-
мента. При этом предположении мы приходим к системе
линейных дифференциальных уравнений движения с постоян-
ными коэффициентами, методы исследования которой под-
робно рассматриваются в классической линейной теории
колебаний. Мы ограничимся здесь весьма кратким изложе-
нием некоторых основных положений линейной теории,
которые будут использованы ниже; более подробное изло-
жение приводится в многочисленных монографиях (см., на-
пример, [2’ 6> з°]).
Предполагается, что начало неподвижной системы коор-
динат совпадает в положении статического равновесия с цен-
тром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат
выберем главные центральные оси инерции амортизируемого
твердого тела х, у, z\ неподвижные оси i], С в положе-
нии равновесия совпадают с подвижными.
14*
212
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Рассматриваемая система обладает шестью степенями сво-
боды. В качестве обобщенных координат выберем коорди-
наты, характеризующие перемещение объекта относительно
основания. В случае активной виброзащитной системы отно-
сительные перемещения совпадают с абсолютными; при рас-
смотрении пассивных систем можно, используя известное
положение динамики относительного движения, учесть дви-
жение основания, вводя силы инерции в переносном дви-
жении и кориолисовы силы инерции. Последние при рассмо-
трении малых колебаний могут быть отброшены, как имеющие
второй порядок малости (они пропорциональны произведениям
малых переносных угловых скоростей на малые скорости
в относительном движении).
Перемещения амортизируемого объекта относительно осно-
вания будем отсчитывать от положения статического равно-
весия и характеризовать вектором смещения центра инер-
ции 5 и вектором малого угла поворота 0.
Кинетическая энергия объекта в его движении относительно
основания определяется выражением
Т = 1 Ш (S* + $2 Ч- «2 + р2 02 + Р2у02у + p202),	(20.2)
где пг — масса объекта; рл, ру, р2— его радиусы инерции
относительно осей х, у, z.
Займемся определением потенциальной энергии. С этой
целью найдем перемещение точки крепления /-го простого
элемента	»(=«+exr(.	(20.3)
Проектируя	это векторное равенство на оси	координат,
находим	six = sx-rQyzl — Qzyit | = +	— 0^- j 81г ~	^yxl-	J	(20.4)
Найдем теперь деформацию Z-го простого элемента:
ui = sixai + Siy$l + SizVl — Sxai +	+ szVi +
-i- 0Л (У/Yz — ?/₽/) + 9y (ztai — W) + 0г (xfit — у Pl) (20.5)
(1=1...............................3N).
§ 20] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПОДВЕСЕ 213
Подставив (20.5) в выражение для потенциальной энергии
п =	(20.6)
1=1
найдем
П = i (с $2 4- с $2 Ч- £ s2 + 2с s $ 4-2с s $ 4-
Н“ 2cxzsx$z “h ^xxsx^x Н” ^xysx^y ~t” ^xzsx^z 4“ ^yxsy^x "“b
4“ 2/уу$у0у	2/y(25yOz -f- 2lzxszGx	2lzyszQy ^zzsz^z ~b
+ МгхвлЧ” Л^уубуЧ” Mzz6%-]- 2Л4лу0лгОу-|- 2AJy20y0(? +
+ 2MZXQXQZ). (20.7)
Здесь введены следующие обозначения:
1! siJ	3N Cy — 2 Cz₽p	3N 0,= ^^., Z = 1
3^	3N	3N
cxy ~ 2 ^Za/Pi»	суг=2 cz₽zYz-	cXz= 2 czYzaz.
i = l	1 = 1	Z = 1
3N	3N	
lxx = ^i^i (УМ	hy — 21 i = l	czaz {z^-x^i),
3N
1Хг= 2 CiditXi^— yflj)-,
1 = 1
3N	3N
I = 2 сz₽z (УМ -zfii), lyy = 2
1=1	1=1
3W
^г=2с,Рг (л-а—уа);
3N	3N
Izx = 2 С/Y/ (y/Yz-^/Pz). lZy = 2 С1У1
3N
^=2czy/(xz₽z—уа);
(20.8)
Mxx = 2 ct (y?Y2+z^. Myv = 2 ct	+xM).
л1гг=2сг(4₽И-у?а/):
214
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
37V
мху = 2 (Ул — zfii) {Zfli — x/Y/).
1 = 1
3N
Myz = 2 Ci (ZiO-i — W) (.xfii — у A).
3N
Mxz = 2 ct (xfii — У Pi) (У/Yz — zfii).
Z = 1
(20.8)
Определим диссипативную функцию Релея [30]:
(2°-9>
/=1
Определив из (20.5) и подставив в (20.9), найдем
ф=i (Ml+"Л+»Л+2\/А + 2Мл+2	+
~Ь~ ^ХХ^Х^Х Н“" 2еху$х^у 4“ ^XZSX^Z Н~ ^вух^у^х 4“ ^вууЗу^у ~F
+2vA+Ч>А+2wA+Ч/А+°,Л+
+ °, Л + 0 я Л + 2О„9А + 20, А6. + 20„ W <20.10)
Формулы для Ьх. Ъх. .... гХ: е1Х......ехг; Ох1, - ...Ох1
могут быть получены соответственно из формул (19.26),
если в последних заменить cz на Ьг
Для того чтобы в дальнейшем пользоваться более компакт-
ной формой записи, введем векторные и матричные обозначе-
ния. Координаты, определяющие положение объекта, обозна-
чим вектором-столбцом q, имеющим шесть составляющих:
41— sx* 42 — 5у»	7з = 5г>	41	 ®лг*	45 =	0у, <76 = 02. (20.11)	
Вводя матрицы:					
а) коэффициентов инерции					
	т 0	0	0	0	0	
	0 т	0	0	0	0	
	0 0	т 0	0	0	
А =	0 0	0 znpj	. 0	0	.	(20.12)
	0	0	0	0	т(>у	0	
	0 0	0	0	0	/пр2	
§ 20] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПОДВЕСЕ 215
б) коэффициентов жесткости
	сх	сху	cxz	Ixx	Ixy	Ixz	
	сху	Су	cyz	lyx	lyy	lyz	
с =	cxz	cyz	cz	Izx	Izy	lzz	,	(20.13)
	1хх	lyx	lzx		^xy	^xz	
	1 .	1	I	M v		M 1 rJ	
	^ху	ГУУ	^zy	'rixy	УУ		
	Ixz	lyz	lzz	Mxz	My,		
в) коэффициентов демпфирования
	b* bxy	ЬХУ by	^xz byz	^xx eyx	exy eyy	^xz eyz	
B =	bxz	byz	bz	ezx	ezy	ezz	(20.14)
	exx	eyx	ezx	Gxx	@xy	Gxz	
	exy	eyy	ezy	^xy	Oyy	Gyz	
	exz	^yz	ezz	Gxz	Оуг	Gzz	
можно представить выражения для кинетической и потен-
циальной энергии и функции Релея в виде квадратичных
форм	T = ^q*Aq,	(20.15) П =	(20.16) <& = Lg*Bq,	(20.17)
где q*— вектор-строка. Теперь можно записать уравнения
малых колебаний системы в виде уравнений Лагранжа вто-
рого рода:
d дТ	дТ  дП	дФ । $
dt dq	dq	dq	dq
(20.18)
где Q — вектор внешних сил, действующих на амортизируе-
мый объект. В случае активной виброзащитной системы-
составляющими вектора Q являются проекции на оси координат
216
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
главного вектора и главного момента приложенных внеш-
них сил
h	h	h Qi = 2 Fkx, Qz = 2 Fkr - 2 Ft„ k=\	*=1	£=1 h	h «4=2 (FkzYk-FkyZk), Q5 = 2 (V>-W Л=1	ft=l	(20.19)
h Q6=2(F^ft-Fftxrft). k = 1	
Здесь Fkx, Fky, Fkz — проекции &-й внешней силы на оси
координат; Xki Yk, Zk — координаты точки приложения этой
силы. В случае пассивной виброзащитной системы Q — век-
тор сил инерции в переносном движении амортизируемого
объекта вместе с основанием. Если основание движется как
абсолютно твердое тело, его перемещения можно характери-
зовать вектором смещения § той его точки, которая в поло-
жении равновесия совпадает с центром инерции объекта, и
вектором малого угла поворота £. Тогда
Q1 —	Q2 —	Q3 —	mi*,
Q4 = — rnp$x, Qs — —	Q6== —	(20.20)
Подставляя выражения (20.15) — (20.17) в уравнение (20.18)
и учитывая, что
— = Aq, — = С<7,	— = 0, (20.21)
dq 4 dq 4 dq 4 dq
получаем
Aq + Bq + Cq = Q (t).	(20.22)
Это уравнение эквивалентно системе шести скалярных неодно-
родных линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний.
Полагая
В = 0,	<? = 0,
Получаем
Aq^-Cq — 0.
(20.23)
§ 20] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЁЛА НА ПОДВЕСЕ
217
В соответствии с общей теорией линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, частное
решение этого уравнения ищем в форме:
q = gr0cos XG	(20.24)
то есть предполагаем, что все координаты системы изме-
няются по гармоническому закону с одной и той же часто-
той и фазой.
Тогда при подстановке (20.24) в (20.23) получаем сле-
дующее уравнение, эквивалентное системе шести алгебраи-
ческих линейных однородных уравнений:
(С — ХМ)?о±=О.	(20.25)
Для того чтобы это уравнение имело ненулевое решение,
необходимо, чтобы его определитель обращался в нуль:
Д (V) = | С — ХМ | = 0.	(20.26)
Мы получили так называемое частотное уравнение системы.
Пользуясь выражениями для матриц А и С, перепишем его
в скалярной форме:
А(Х2) =
сх—mA2	сху	cxz	IXX	Ixy	^xz	
сху	Су—тХ2	Cyz	iyx	/yy	1уг	
cxz	cyz	cz—m№	hx	Gy	Izz	
?хх	lyx	lzx	^xx~m^x^2		^xz	=
^ху	1УУ	lzy	Mxy	Myy—mpyX2		
XZ	1уг	1 zz	MXz	MyZ	Mzz—	
= 0. (20.27)
Это — уравнение шестой степени относительно X2. В теории
колебаний [6] доказывается, что оно всегда имеет шесть поло-
жительных корней (необходимо только, чтобы положение
статического равновесия было устойчивым). Значения ХР
Х2, ...» Хб, удовлетворяющие этому уравнению, называются
собственными частотами системы. Существуют многочислен-
ные способы решения уравнения (20.27), они подробно опи-
саны в литературе и здесь рассматриваться не будут.
218 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Если в уравнение (20.25) подставить вместо Z одну
•из собственных частот системы то оно будет иметь бес-
численное множество решений. Показано [6], что при не-
кратных корнях частотного уравнения все эти решения отли-
чаются произвольным скалярным множителем, то есть что
q^ =	(20.28)
Свободные колебания, при которых каждая из координат
системы изменяется по гармоническому закону, называются
главными колебаниями. Выражение (20.28) показывает, что
отношения между амплитудами координат при главных коле-
баниях не зависят от начальных условий и определяются
только параметрами системы. Вектор q^s\ компонентами ко-
торого являются отношения амплитуд колебаний к некото-
рому произвольно выбранному числу, называется формой
главного колебания, происходящего с частотой или $-й
собственной формой.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания системы при
отсутствии сил сопротивления. Поскольку для линейных си-
стем справедлив принцип суперпозиции, достаточно рассмо-
треть тот случай, когда все составляющие вектора Q(t)
являются гармоническими функциями времени, имеющими
одну и ту же частоту и фазу
Q (/) = Qo cos со/,	(20.29)
где Qq—некоторый постоянный вектор.
Решение дифференциального уравнения вынужденных
колебаний
Aq -^-Cq — Qacosat,	(20.30)
как известно, складывается из общего решения однородного
уравнения (20.23), определяющего свободные колебания си-
стемы, и частного решения уравнения (20.30). В реальных
системах действие диссипативных сил приводит к затуханию
свободных колебаний, в силу чего наибольший интерес пред-
ставляет частное решение, характеризующее установившиеся
колебания системы. Это частное решение ищется в форме
q = a cosq/;	(20.31)
где а — вектор, компонентами которого являются амплитуды
колебаний по каждой из обобщенных координат»
§ 20] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПОДВЕСЕ 219
Подставляя (20.31) в (20.30), получаем для определения
вектора а следующее уравнение:
(С — Дсо2) а = Qq,	(20.32)
эквивалентное системе шести скалярных уравнений.
Решение уравнения (20.32) может быть записано в таком
виде:
а —(С — До2)-1 Qo,	(20.33)
то есть для определения вектора а необходимо построить
матрицу, обратную (С — Лео2). Как известно, это возможно
сделать только в том случае, если определитель
А(®2) = |С—Л(о2|=#О,
то есть если (о=£А,5 ($=1......6).
При совпадении частоты вибрационного воздействия со
с одной из собственных частот системы уравнение (20.32)
не имеет решений. Этот случай соответствует резонансу
в линейной системе. Если со близка по величине к одной из
собственных частот, амплитуды колебаний достигают больших
значений. Действительно, решение системы скалярных алге-
браических линейных уравнений, соответствующих векторному
уравнению (20.32), легко найти с помощью формул Крамера:
Здесь А (со2) — определитель (20.27), в который вместо А,2
подставлено со2; А* (со2) получается заменой Л-го столбца
определителя А (со2) компонентами вектора Qo. Поскольку
Д(Л^) = 0, можно сделать ak сколь угодно большим, если
разность (о2 — X2 сделать достаточно малой.
Таким образом, в линейной системе с шестью степенями
свободы область резонансных колебаний охватывает всю
ширину спектра собственных частот. Для того чтобы по
возможности сузить эту область, следует стремиться к сбли-
жению максимальной и минимальной собственных частот,
выбирая соответствующим образом координаты точек креп*
ления и жесткости упругих амортизаторов.
220
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Для исследования вынужденных колебаний в линейной
системе удобно перейти к так называемым главным коорди-
натам с помощью преобразования:
q — Rf>	(20.35)
где f—вектор главных координат системы, R — матрица,
столбцами которой являются векторы q^............0<6). При
переходе к главным координатам в выражениях для кинети-
ческой и потенциальной энергии остаются только члены
с квадратами координат и скоростей
6	6
т = у 2 И Л’ П =4 2	(20.36)
5=1	5=1
где
t,=№'W’ л,=(,(->)• с,
и уравнение (20.30) распадается на шесть скалярных урав-
нений, каждое из которых содержит только одну из главных
координат
(20-37)
Здесь — компоненты вектора 0, который определяется
следующим образом:
0 = Я*<2о.
где R* — матрица, полученная транспонированием матрицы R.
Решая уравнения (20.37), найдем, что в линейной системе
без трения коэффициент динамичности по каждой из главных
координат
<2°'38)
становится меньше единицы, если <о>Х5	Если ©>X5max У2.
то коэффициенты динамичности по всем шести главным
координатам меньше единицы; в этом случае виброзащитная
система становится эффективной.
Учет демпфирования приводит к усложнению исследо-
вания, поскольку в этом случае использование главных коор-
динат не дает разделения переменных в уравнениях движе-
ниях. Не проводя подробного анализа, отметим только,
что введение демпфирования дает здесь тот же эффект, что
§ 21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 221
и в системе с одной степенью свободы: максимальные ампли-
туды колебаний в резонансной области уменьшаются, вместе
с тем несколько ухудшаются виброзащитные свойства си-
стемы при высокочастотном вибрационном воздействии
(т. е. при «> > Zmax У2).
§ 21. Колебания амортизируемого объекта
на нелинейных упругих амортизаторах
Выведем дифференциальные уравнения колебаний твердого
тела, подвешенного на нелинейных упругих амортизаторах,
динамические характеристики которых заданы в форме (19.2).
Выбрав те же обобщенные координаты, что и в преды-
дущем параграфе, составим уравнения движения в форме
уравнений Лагранжа второго рода:
(r==1.......6)- (21Л)
dt \ dqr / dqT
Выражение для кинетической энергии (20.2), очевидно, не
изменится; с учетом обозначений (20.11) его можно перегТи-
сать в такой форме:
7^ —G 1 +^2Ч-^з + Рж^4 + Ру^5 + р1^б)-	(21.2)
Для определения обобщенных сил Sr составим выражение
для элементарной работы всех сил, действующих на амор-
тизируемый объект: реакций упругих элементов — Ui (uit uL)
и внешних сил Qr. Получим
6	3N	6
+	(21-3)
г=1	z = l	г=1
Если по-прежнему считать, что углы поворота твердого тела
являются малыми, деформации zzz будут выражаться через
обобщенные координаты по формулам (20.5). Определив из
этих формул 6fzz й подставив их в (21.3), получим
3N
sr......................?e).	....9б)1х
Z = 1
X К tyi + 0Z 6?2 + Ъ 67з + (УМ — z&i) +
6
+ (Zfli — xtf) d<76+ (xfa — yzaz)6<76] + 2 Qr(21 -4)
222 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Отсюда находим
3N
5i = Qi —................ft)- «/(ft....ft)] ft-
1 = 1
3N
S2^Q2-^Ul[ui(q1..........ft)- «/(ft....ft)l ₽/•
злг
53 = Q3 — 2 ^/l«/(ft.....ft). «/(ft....ft)lY/-
i = l
3N
S4 = Qi~^tUi [ut (qt.....ft), iit (qx...ft)] (y^—zfii),
1 = 1
3N
s5 = Q5- 2Uil“i(<7i......q6), uttii....96)](2A—x^t),
3N
S6 = Q6—2tUi [ft (qv .... q6), u-t (qx.ft)] (xz₽z—yzat).
Z = 1
(21.5)
Исследование уравнений движения, которые получаются
при подстановке выражений (21.2) и (21.5) в (21.1) оказы-
вается обычно практически невозможным. Это объясняется
тем, что нелинейные функции Ut имеют чрезвычайно сложную
структуру: они зависят от всех шести обобщенных коорди-
нат и их производных. Поэтому нам придется перейти к иной,
более простой, форме дифференциальных уравнений движения.
С этой целью выберем в качестве обобщенных координат
деформации очевидно, что в общем случае число их ока-
жется большим, чем число степеней свободы системы. По-
этому нам придется применить особую форму уравнений
Лагранжа второго рода— уравнения с «лишними» коорди-
натами, которые иногда называются также уравнениями Фер-
рерса I44]. Прежние обобщенные координаты, вообще говоря,
могут быть выражены с помощью соотношений (20.5) через
деформации любых шести упругих элементов. Не нарушая
общности рассуждений, можно дать этим элементам номера
с 1 до 6. Очевидно, что для разрешимости первых шести
уравнений (20.5) относительно координат ..., qQ необ-
ходимо и достаточно, чтобы определитель правых частей
не обращался в нуль. Легко показать, что это эквивалентно
§ 21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 223
требованию фиксации объекта выбранными шестью упругими
элементами; недопустимо, чтобы объект, подвешенный на
элементах 1,	6, сохранял возможность перемещения без
деформации элементов. В самом деле, если определитель
первых шести соотношений (20.5) равен нулю, то при =
^0 (f—1, ..., 6) эта система линейных алгебраических
уравнений будет иметь ненулевые решения для коордш аг
...» 7б-
Если условие фиксации выполнено, то координаты qx, ...
. .., 76 однозначно выражаются через ..., z/6. Соответ-
ствующие зависимости оказываются линейными:
6
^ = 3^“*	(г=1.......6).	(21.6)
Й = 1
Подставив эти выражения в остальные 3/V—6 соотношений
(20.5), можно выразить я7, ..., zz3/y через uv ..., я6:
6
=	а = 7........ЗА/).	(21.7)
Это выражение удобно записать в иной форме:
6
фД«1.......«6> ui) = ui ~ 3 Vikak = °	(/==7.......ЗУ).
k = 1
(21.7')
Из (21.6) находим
6
<7г = 2	е=1........6);	(21.8)
& = 1
подставляя эти выражения в (21.2), получим: .
6
Г = \ikrukur,	(21.9)
k,r=\
причем, если ввести обозначения
т^= т2= т3= т, = т5 = рЬп, tnQ = phn,
(21.10)
224
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ {ГЛ. IV
то выражения для записываются в симметричной форме:
6
Hftr = 2	= iirk.	(21.11)
Z = 1
В выражении для элементарной работы (21.3) первое сла-
гаемое не изменяется; во втором слагаемом Qr — заданные
функции времени, а для вариаций bqr имеем вследствие (21.6)
6
(* 1 2Ы2)
А = 1
Таким образом, обобщенная сила Щ. соответствующая ко-
ординате uL, определяется следующим образом:
6
и] = - Ui (uit Uf) + 2 Qr°ri U = 1.......6).	(21.13)
r=l
t/* = —t/z(zzz, ut)	(1 — 7.	(21.14)
Уравнения Лагранжа с «лишними» координатами могут
быть записаны в такой форме:
Здг
(/==1......3N)’ (21Л5)
dt dui	диi	dui
1 = 7
где Az — новые неизвестные функции времени (множители
Лагранжа). Воспользовавшись выражениями (21.9), (21.7'),
(21.13) и (21.14), получаем
б	.	3;V	6
2 Нл А (ai* ui) 2	2 Qr^ri О' ~ 1......6)»
k = l	1=7	r=l
(21.16)
zzt)--•А/ = 0	(/= 7, ..., 3Af). (21.17)
Эти соотношения и выражения (21.7') образуют систему
67V — 6 уравнений с 3N — 6 неизвестными функциями вре-
мени (йр ..., u3N. Л7, ..., Азлг). Таким образом, количество
неизвестных и число уравнений увеличилось по сравнению
с первоначальной формой (21.1). Однако нелинейные функ-
ции, входящие в новые уравнения, имеют простую форму:
они зависят только от одной координаты и ее производной,
то есть могут быть линеаризованы одним из способов, рас-
смотренных в гл. I.
§ 21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 225
Во многих практических задачах количество дифференци-
альных уравнений может быть уменьшено. Это происходит,
прежде всего, в тех случаях, когда на движение амортизи-
руемого объекта заранее накладываются некоторые ограни-
чения, уменьшающие число степеней свободы системы. Если,
например, движение объекта является плоским, то число
степеней свободы уменьшается до трех, объект, вращаю-
щийся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы
и т. д. Часто, даже при отсутствии дополнительных связей,
можно заранее утверждать, что при заданном направлении
вибрационного воздействия будут изменяться только некото-
рые из обобщенных координат. Обычно это имеет место,
если виброзащитная система симметрична относительно тех
или иных координатных плоскостей, а вибрационное воздей-
ствие направлено по одной из осей координат (см. табл. 1).
Во всех этих случаях мы будем условно называть объект
частично амортизируемым.
Таблица 1
Обобщенные координаты, изменяющиеся
при вынужденнных колебаниях
Плоскости симметрии виброзащитной системы	Направление вибрационного воздействия		
	ПО ОСИ JC	ПО ОСИ у	ПО ОСИ z
хСу	। Syt ®z	sx> sy* ®z	SZ> ^Х> ®y
yCz	sx> 0у» ®z	Sy» SZ> Qjr	Sy, sz, 9r
zCx	sx> sz* ®y	Syt	SZi Oy
хСу и уCz	sx> ®z		sz>
yCz и zCx	sx> 9y	5y> ®x	sz
zCx и хСу	sx	Sy,	sz> 0y
хСу, yCz, zCx	sx	sy	sz
Пусть р — число степеней свободы частично амортизи-
руемого объекта; qv ..., qp — его обобщенные координаты.
В такой системе обычно некоторые из упругих элементов
не деформируются вследствие наложенных на движение
системы ограничений. Поэтому число работающих упругих
элементов в этом случае не обязательно втрое больше
числа амортизаторов, и мы обозначим его через N'.
15 М. 3. Коловский
226 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Обобщенные координаты могут быть выражены через
деформации элементов с помощью соотношений, аналогич-
ных (21.6):
р
2 огкак	(г=1........Р).	(21.18)
k=l
На деформации uk(k—lt ..., N') должно быть наложено
ДТ— р условий связи, аналогичных (2Г.7'):
р
<р,(«1. .... «р, «z) = «г — 2	= 0.	(21.19)
Выражения для кинетической энергии и коэффициентов
также могут быть получены из формул (21.9) и (21.11):
= | 2	(21-20)
2 й,г=1
р
(21.21)
Проделав все необходимые преобразования, получаем сле-
дующие уравнения движения:
р	АГ'	р
2 ^kiuk + (Ui> Ul) + 2 ^lvli — 2 Qr°rl (21-22)
*=1	l=p+l	r=l
(*= 1......P)>
uJ-A^O (i = p±l................N'). (21.23)
В следующих параграфах будут рассмотрены общие методы
решения дифференциальных уравнений движения, заданных
в форме (21.16) и (21.17) или (21.22) и (21.23). Здесь мы
рассмотрим некоторые частные случаи, в которых уравнения
движения существенно упрощаются.
Пусть число упругих элементов равно числу степеней
свободы системы. В полностью амортизированной системе,
при применении обычных упругих амортизаторов, допуска-
ющих смещения объекта относительно основания во всех
трех направлениях, этот случай практически нереализуем,
поскольку он соответствует установке объекта на двух
амортизаторах. В частично амортизируемых системах совпа-
дение числа упругих элементов с числом степеней свободы
§21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 227
не только возможно, но и целесообразно, посколько оно
соответствует наиболее простой в конструктивном отноше-
нии схеме амортизации, использующей минимально допусти-
мое количество упругих элементов.
При N' = р уравнения (21.22) упрощаются, поскольку
все Az = 0, а уравнения (21.23) пропадают. Если к тому же
точки крепления отдельных упругих элементов и направле-
ния их осей выбраны таким образом, что обеспечивается
выполнение условий
Hftr = 0 при &=£г,	(21.24)
то переменные в уравнениях (21.22) разделяются. При этом
для деформации Z-ro элемента получаем следующее независи-
мое уравнение:
р
М/ + (Ui, Ut)== 2 QrOrf (21.25)
r=l
которое может быть исследовано методами, подробно рас-
смотренными в предыдущей главе.
Разделение переменных в уравнениях (21.22) означает,
что каждый из упругих элементов может рассчитываться
независимо от остальных так, как если бы он был нагружен
массой |xzz. В случае пассивной виброзащиты правые части
уравнений (21.25) могут быть представлены в более удобной
форме. Для этого введем следующие обозначения:
?>2» %>z	zni пе\
₽x = U ₽у - Ь = Ъ	(	}
При этом выражения (20.20) с учетом обозначений (21.10)
принимают такую форму:
=	(^l.........6).	(21.27)
Обозначим через (Z = 1............N')	проекцию перемещения
точки крепления Z-ro упругого элемента в переносном дви-
жении вместе с основанием на ось этого элемента (то есть
на направление az); очевидно, что %г могут быть выражены
через т]й (й=1.......р) с помощью соотношений, аналогич-
ных (21.18),
р
(г-1........J»).	(21.28)
15»
228
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ (ГЛ. IV
Тогда
Рис. 84.
р	р ..	р р
5 Qr^n = — 5	= — S тг°г1 S °гЛ =
r=l	r = l	r«l fe=l
P
— — 2 HzjJh* (21.29)
ы
При выполнении условий (21.24) имеем
р
X Qr°ri ~ — M'zzrlz-	(21.30)
r=l
Таким образом, вибрационное воздействие на Z-й элемент
полностью определяется переносным движением точки крепле-
ния его к объекту. Такая «автоном-
ность» каждого из упругих элемен-
тов во многих случаях оказывается
полезной.
Условия (21.24) носят чисто гео-
метрический характер; они не зави-
сят от динамических характеристик
амортизаторов и в одинаковой сте-
пени пригодны как для нелинейных,
так и для линейных систем. В послед-
нем случае координаты являются
главными. Отметим, что при этом
наличие диссипативных сил не пре-
пятствует разделению координат; это
оворя, не имеет места, если главными
координаты qlt ..., qp. Поскольку
количество условий (21.24), равное уР(Р—1)» всегда
меньше числа коэффициентов огй, выполнение их обычно не
вызывает существенных затруднений. Рассмотрим, каким
образом могут быть выполнены эти условия в некоторых
частных случаях.
а) Пусть твердое тело с массой tn, имеющее малые
размеры («материальная точка»), крепится к основанию тремя
упругими элементами («пружинами») (рис. 84). Очевидно,
что здесь число упругих элементов совпадает с числом сте-
пеней свободы системы.
обстоятельство, вообще
являются обобщенные
$ 21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 229
Поскольку
получаем
= аА>,
Определитель
Я1 = «х = «1«! + «2°2 4" и3а3>
Яг = Sy = и 1₽1 + «2р2 4- «зРз-
Яз — sz = «17! 4- «2у2 4- м3у3,
а2* — ₽*• °з» — Y* — 1.2, 3).
(21.31)
(21.32)
<*11
I |3
I °rk 11 — а21
°12	а13
°22	°23
¥=0,
°31	а32	°33
если оси всех трех упругих элементов не лежат в одной
плоскости. Условия (21.24) выпол-
няются, если
Н12 = т (0102 4- Р1Р2 4- уху2) = 0.
|i13 = т (Oia3 4- Р1Р3 4- У1Уз) = О,
Нгз = т (<¥*з + РгРз 4“ Y2Y3) = °>
(21.33)
то есть если оси упругих элементов
взаимно перпендикулярны.
Рис. 85.
б) В схеме, показанной на рис. 85,
твердое тело обладает двумя степе-
нями свободы (предполагается, что движение может происхо-
дить только в плоскости yz, причем 5^ = 0). Положение
его определяется координатами у и 0/, при этом
Яг = У = ~92 = 0ж = -^р/« «1 = /». m2 = mp2.
(21.34)
Следовательно,
„ _ b	1	„ а	1
““а-Н* а21— а+1>’ а12~"а4& ’ а^~ ~
Определитель | огк |j не обращается в нуль:

b
л + b ’
____1__
Ъ ’
а
а-\-Ь
I

230
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Условие разделения координат:
Г ab	р’
Р12 = wl°Tl°12 т2°21°22 — т [ (а
выполняется, если
При этом
Н11 = т1°11 + ОТ2°21 = т
аь = р*.
(21.35)
Ь2
р!
. (<z+*)2 “г (а + ЬУ J а+Ь ’
г 2	2
«	, ₽х
mb
та
. (а-Н)2 "Г" (a-|-ft)2 J — а-\-Ь '
(21.36)
Попутно отметим, что При произвольных нелинейных зави-
симостях	«О и U2(u2, «2) разделение переменных
И22=«1О12+«2а22= т
Рис. 86.
(21.37)
в уравнениях движения, записанных в координатах у и 0Ж:
ту + Ц (у + aQx, у 4- аЬх) -|-
+ U2 (у - bQx, у - bQx) = (0.
+	+	УЧ“а0*) —
bU2 (у — bQx, у - bbx)=Q2 (0,
не может быть достигнуто ни при каком расположении
точек крепления упругих элементов.
в) Найдем условия разделения переменных в случае
установки объекта на трех упругих элементах (рис. 86);
§ 21] КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ АМОРТИЗАТОРАХ 231
на систему наложены ограничения — не допускается поворот
объекта вокруг оси z и движение центра инерции в напра-
влении осей х и у. В этом случае, обозначив
^1 = S2, 92 = 0*. % = 0у
получаем, в соответствии с формулами (20.5),
=	— xi<h G = l. 2, 3).	(21.38)
Отсюда находим
_ «, (Х8у2—Х2Уз)+«2(Х|Уз—Х3У!)4-и3 (Х2У1—Х|У2)
¥1-----------------------Р
_ Ui(x2 — x3)4-u2(x3 — x1) + «3(x1— х2)
q2--------------------р------------------.
„ __ «i(y2 — Уз) + «2 (Уз — У1) + «з(У1— Уг)
q3--------------------5,
1
> (21.39)
где
О = х3у2 — х2у3 4- Х1У3— Х3уг + Х2У! — Х^.
Условия разделения переменных:
(*зУ2 — *2Уз) (*1Уз - *зУ1) + Рх (хз — *2) (х! - *з) +
+ Ру(Уз~ У2)(У1-Уз) = °-
(*»Уз — хзУ 1) (*2У 1 — *1У2)+Рх (*1 — хз) (хг — х1) +
+Ру(У1“Уз)(У2--У1) = 0>
(х2У1— х^х^ — х2Уз) + Р2(х2 — Х1)(х3- х2)-Ь
+^(У2-У1)(Уз-У2) = °-
(21.40)
Если, например, точки крепления расположены симметрично
относительно центра инерций, так что
1	1	1	л	/3	/3
Х1=1,Х2 = —у, х3 = у; У! = О, у2 = —Ху-, Уз = ^у,
то условия (21.40) дают
Рл = Ру — 1^2 ’
232
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
то есть для разделения координат радиус окружности, на
которой расположены точки крепления, должен в ]/2 раз
превосходить радиусы инерции рл и ру.
§ 22. Свободные колебания нелинейной виброзащитной
системы
Дифференциальные уравнения свободных колебаний твер-
дого тела, установленного на упругих амортизаторах и
обладающего шестью степенями свободы, могут быть полу-
чены из уравнений (21.16) и (21.17), если принять, что
Qr = 0(r=l, .... 6), ui) = Uiy{ui) (/= 1.............ЗЛО,
(22.1)
то есть если рассматривать движение при отсутствии сил
сопротивления и вибрационных воздействий..
При этом получаются следующие уравнения движения:
6 .. 3N
2 Нл/^л + ^у(й/) + 2vzzAz==O (Z=l, ..., 6), (22.2)
* = 1	Z=7
Uiy (zzz) — Az = 0 (I = 7, ..., ЗЛО, (22.3)
к которым необходимо добавить уравнения связей (21.7)
или (21.7').
Целью исследования свободных колебаний, как и
в случае нелинейной системы с одной степенью свободы,
является получение зависимостей между частотами и ампли-
тудами деформаций упругих элементов. Как будет показано
ниже, эти зависимости оказываются весьма полезными при
исследовании условий возникновения резонансных колебаний.
С помощью уравнений (22.3) можно исключить из урав-
нений (22.2) неизвестные функции Az и тем самым сократить
число	неизвестных	до	ЗМ(Ир	..., излг):
6	..	3N
2	+ ^Лу (ai) + 2 Цу (ai) Vu — V (1, ..., 6) (22.4)
k = 1	/= 7
Мы будем разыскивать приближенные решения системы
уравнений (22.4) и (21.7) вида
= aai -|- at cos X/,	(22.5)
§ 22] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ 233
предполагая тем самым, что в рассматриваемой системе
могут существовать такие движения, при которых деформа-
ции всех упругих элементов изменяются по законам, близким
к гармоническому.
Напомним, что при исследовании свободных колебаний
в системе с одной степенью свободы было сделано анало-
гичное предположение, основывавшееся на существовании
точных периодических решений уравнения (2.1). В случае
системы с несколькими степенями свободы существование
периодических решений, вообще говоря, не может быть
гарантировано. Оно доказано лишь для некоторых систем
частного вида, например, для так называемых систем Ляпу-
нова [34], к которым рассматриваемая консервативная система
принадлежит в случае аналитичности функций и1у(а{).
Впрочем, существование периодических колебаний с до-
статочно малой амплитудой может быть доказано и для кон-
сервативных систем с неаналитическими упругими характе-
ристиками; существование периодических колебаний большой
амплитуды доказывается методом малого параметра лишь для
слабо нелинейных систем, в которых упругие характеристики
мало отличаются от линейных. В дальнейшем предполагается,
что периодическое решение существует и тем самым является
обоснованным применение приближенных методов для его
определения.
В выражении (22.5) отсутствует член с sin/U; это всегда
допустимо для консервативной системы, инвариантной к из-
менению знака времени.
Для разыскания решений вида (22.5) применим метод
гармонической линеаризации; линеаризуя нелинейные функции,
полагаем
+ ч, («, - М =	(22.6)
где UQi и — коэффициенты гармонической линеаризации,
зависящие от параметров aQi и
Подставляя (22.6) в (22.4), получаем линеаризованные
уравнения
6	3N
2/„«;+k,„+?,«;+2(wb+^)v„ <г='...................6>-
(22.7)
234 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Теперь подставим (22.5) в уравнения (22.7) и (21.7). Вы-
деляя в полученных выражениях постоянные и гармонические
члены, придем к 6N уравнениям, сьязявающим 6М-|-1 пара-
метров (а10....a31V>0; av .... a3N, X):
6	3/V — X2 2 \kkiai~\~4iai~3r S <7zflivn *=i	1=1	= 0 (Z—1,	.... 6).	(22.8)
’ll H*|yJ 02 а? аг	(1 = 7, ..	.. 3/V),	(22.9)
32V			
+ S — о Z=7 6	(Z—1, ..	.. 6),	(22.10)
^/0 = 2 vik^kQ fc=l	(i=7, ..	.. 3N).	(22.11)
Рассмотрим сначала систему уравнений, содержащих (7/0;
подставив (22.11) в (22.10), уменьшим число уравнений
до шести:
6	3N
Цо+2^2ВД, = О (Z=l................6). (22.12)
k = l	Z=7
Покажем, что эта система линейных однородных уравнений
может иметь только нулевые решения. Действительно, нену-
левые решения возможны только в том случае, если опре-
делитель системы (22.12) равен нулю. Но тогда эта система
будет иметь бесчисленное множество решений, причем одно
из значений UiQ можно будет назначать произвольно. С другой
стороны, очевидно, что уравнения (22.12) совпадают с урав-
нениями статического равновесия системы (22.2) — (22.3).
Таким образом, при обращении в нуль определителя урав-
нений (22.12) система должна обладать бесчисленным мно-
жеством положений статистического равновесия, что невоз-
можно, если выполнены условия фиксации амортизируемого
объекта.
Отсюда следует, что
Цо(аог Д/) = 0	(/=1, ...» ЗЛГ), (22-13
то есть упругие силы всех амортизаторов не имеют постоян
ной составляющей. Таким образом, зависимость смещения
середины размаха а0/ от амплитуды колебаний aL сохраняется
§ 22] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ 235
для каждого из амортизаторов такой же, как и при свобод-
ных колебаниях в системе с одной степенью свободы (разу-
меется, при соответствующих значениях статистических де-
формаций usi). Это позволяет выразить aoz через at и рас-
сматривать коэффициенты линеаризации как функции
только от ait то есть использовать при решении системы
уравнений (22.8) — (22.9) скелетные кривые, построенные
предварительно для каждого из амортизаторов.
При этом система уравнений (22.8)—(22.9) содержит
32V —1 неизвестных — амплитуды ..., a3N и частоту X.
Поскольку число неизвестных превышает число уравнений,
одно из них может задаваться произвольно (разумеется,
в известных пределах, с тем, чтобы система имела вещест-
венные решения).
Полученные уравнения являются, вообще говоря, транс-
цендентными; их решение связано обычно с вычислительными
трудностями, для преодоления которых оказывается целесо-
образным использование цифровых вычислительных машин.
При этом удобно пользоваться изложенным ниже алгоритмом,
позволяющим свести решение к последовательности операций,
имеющих стандартную программу, — решению алгебраического
уравнения шестой степени и решению системы линейных
алгебраических уравнений.
Предположим, что характеристики Uiy(Ui) имеют при
= 0 непрерывные производные; тогда можно при иссле-
довании малых колебаний принять, как обычно,
то есть в уравнениях (22.8) положить
При этом получается система линейных алгебраических урав-
нений:
6	злг
+	Wn = ° (/=1...........6).	(22.15)
Л=1	Z=7
6
= 2 vikak (z = 7..........3yV)>	(22.16)
A = 1
236 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
или, после подстановки az(Z>6) из второго уравнения
в первое,
6	/	злг	\
2 I cfikl —	2 cPlkvll I ak ~ 0 (Z = 1»•••» 6), (22.17)
й = 1 \	i=i	/
где — символ Кронекера
{1	при	I =	ft,
О	при	Z =/=	ft.
Эта система имеет ненулевые решения при значениях X,
обращающих в нуль ее определитель. Из получающегося
при этом частотного уравнения могут быть определены соб-
ственные частоты Хр ..., Хб, которые, разумеется, совпадают
с рассмотренными выше, в § 20.
Соответствующие гармонические решения представляют
собой главные колебания системы. Уравнения (22.17) позво-
ляют определить форму каждого из главных колебаний,
то есть величины амплитуд a[s\ ..., с точностью до
произвольного множителя у(5):
=	(Z ===== 1.6).	(22.18)
Далее, используя выражение (22.16), можно найти амплитуды
деформаций остальных амортизаторов:
6
-ж у(*) 2 Уц,а^ (1 = 7........3/V).	(22.19)
k = l
Тем самым решается линейная задача: определяются собст-
венные частоты и формы; это решение отличается от рас-
смотренного в § 20 только выбором обобщенных координат.
Зададимся теперь некоторым значением параметра
При этом амплитудам найденным по формулам (22.18)
и (22.19)
будут соответствовать определенные значения qiv вообще
говоря, не совпадающие с (22.14). Подставим эти значения qn
вместо сг в уравнения (22.17); решив эти уравнения, найдем
новые значения «собственных» частот и новые «коэффициенты
§ 22] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНОИ СИСТЕМЫ 237
форм» а$» которые также будут отличаться от первоначальных
а$ ¥= а^.
Подставив эти коэффициенты в выражения (22.18) и (22.19),
найдем новые значения амплитуд и по ним — значения q$.
Продолжая таким образом итеративный процесс, можно
с любой степенью точности определить решение системы
(22.8)—(22.9). Можно доказать, что при достаточно малых
значениях процесс последовательных приближений схо-
дится и тем быстрее, чем меньше величина и чем меньше
характеристики t//y(wz) отличаются от линейных.
Расчет необходимо произвести для всех шести форм
(5=1......6) и для нескольких значений лежащих
в интересующем нас диапазоне. При этом целесообразно для
каждого из последующих
значений выбирать в ка-
честве исходного приближе-
ния значения коэффициентов
формы, найденные методом
итераций для предыдущего,
меньшего значения.
В результате опреде-
ляются зависимости всех ше-
сти «собственных» частот
системы от параметра у, ха-
рактеризующего в некотором масштабе амплитуды деформа-
ций амортизаторов. Эти зависимости в определенном смысле
аналогичны скелетным кривым (рис. 87).
Все изложенное в этом параграфе является справедливым
и для частично амортизированных систем; изменяется только
число уравнений и неизвестных. В частности, если число
степеней свободы системы равно р, а число упругих эле-
ментов N', уравнения для определения амплитуд колебаний
принимают такую форму:
р	N*
— Д-2 2	+	+ 2 9/аЛи“0(/= 1, .. .,р), (22.20)
Л=1	/=р+1
р
= 2 vikake	(22.21)
k = i
Рассмотрим простой пример.
238
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ (ГЛ. IV
В схеме, показанной на рис. 88, амортизируемый объект
совершает плоское движение (в плоскости хсу). Обобщенные
координаты объекта:
Координаты точек крепления упругих элементов:
x1==x3 = — ai х2 = х4 = а, у1 = у2 = у3 = у4 = — h.
Деформации упругих элементов выражаем через обобщенные
координаты:
их — sy — aQz,
u2 = sy-\-aQz,
и3 —и4 = hGz.
Осюда находим
h /
qi = sx = u3—	(я2 — «0,
o __ « __Ul +W2
72 — sy —	2	’
Рис. 88.	^ = 0 =£flZ^L.
По формулам (21.21) определяем
2	2
т । h2 . рг\	т Л h2 oz \
Р11 = Р22=7Г(1	Н12— 4-J1—
____ mh _______ mh __________
Н13— “2а“>	^23—	2а~» Нзз—т*
Переменная и4 связана с новыми обобщенными координатами
zzp «2 и йз простым соотношением и3 = я4. Таким образом,
v41 = v42 = 0, v43=1. Составляем уравнения типа (22.20)
и (22.21):
— ^-2 (Milа 1 Ч* ^12а2 Ч~ Рлз^з) Ч~ #1^1 — 0,
— № (Р12а 1 + Р22«2 + Р23йз) + ?2Й2 = °>
—	(Р13а1 4* Р23а24“ РзЗлз) 4“ Яза3 ~\~-4ia4 О’
а4 = а3.
Предположим, что
±____J.	Рг	/3~
а	2 ’	а	2
(22.22)

§ 22] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ 239
тогда
___________________________ т ___________п	т
М-и — М22 — У’ М12 — и» М-13 —
/и
М23 — д“ ’ М-зз — т •
Предположим также, что все элементы имеют упругие харак-
теристики вида (10.9')
и^У~ п 2Д ’	л g 2Д ’
(22.23)
jj ___ j. ЛЦ3 г г ______4.0. л-ц4
и*У~	2А?’ и^~ л Xg 2At ’ .
причем
с А А
С1 - 2 • Д! “ ~2 •
Коэффициенты линеаризации определяем по формуле (5.54):
_	2 2сА + / л
91 — УТа, ' ™ gV2A
с

где
Подставляя эти выражения в уравнения (22.22), получаем
(22.24)
где г = т/с — безразмерная частота.
При малых амплитудах ар а2» аз
При этом уравнения (22.24) становятся линейными.
240
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Из условия обращения в нуль определителя системы
1	o. 2 ’ 4 o,	1 — T’ z2	z2	4 4 ’	4 ’	1 — Z2	= 0
находим собственные частоты:
z\ = 0,845,	4 = 2,	4=3,155.
Определяем собственные формы, подставляя значения
собственных частот в линеаризованные уравнения (22.23):
Отсюда находим
«0) = —41> = 0,36баО).
а<2) = 42), а(32> = 0,
= — af = — 1,365а(33).
Легко видеть, что вторая форма соответствует поступатель-
ным колебаниям амортизируемого объекта в направлении
оси у. В рассматриваемой схеме эти колебания при любых
амплитудах являются независимыми, так что для них ске-
летная кривая может быть построена как для системы с одной
степенью свободы. Поэтому в дальнейшем мы будем инте-
ресоваться только первой и третьей формами, определяю-
щими связанные колебания по оси х и вокруг оси z.
Учитывая, что при этих колебаниях всегда а2 = —
можно упростить систему (22.24), сведя ее к двум уравне-
ниям с двумя неизвестными
Г d . ( а{ \ z2l z2 л )
hrtghr-^fli"Ta3==0’
г2 Г d 12а\	1	<22-25>
§ 22] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ 241
Эти уравнения и будут в дальнейшем использованы для
определения зависимости частот свободных колебаний от
амплитуд деформаций упругих элементов.
Рассмотрим сначала колебания низшей частоты. Зададимся
каким-либо значением одной из амплитуд, например, при-
мем, что
aP = 0,25d.
□
Тогда в соответствии с первой формой, полученной при
исследовании линейной системы, найдем
а^ = 0,366 • 0,25d = 0,0915d.
При этом
d	_ tg 0.0915
tg \d~) ~~ 0,0915
tgO,5
—----=1,092.
0,5
Подставив эти выражения в уравнения (22.25), приходим
к новому частотному уравнению:
г2
2 ’	4
—	1,092—г2
решая которое, находим
4 = 0,904,	4 = 3,22.
Нас интересует, разумеется, только значение меньшей ча-
стоты, поскольку при составлении уточненного частотного
уравнения мы исходили из первой формы колебаний.
Уточняем форму колебаний
Таким образом, выбранному значению соответствует
ар = 0,412 • 0,25d = 0,103d.
16 М. 3. Коловский
242 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Впрочем, это практически не влияет на частотное уравнение,
поскольку по-прежнему .
d trr(a^ te0-103
Up tg / ~~ 0,103
Итак, можно принять, что при а(31) = 0,25;	= 0,904
аО) = 0,412аО) = 0,103d.
Примем теперь, что
a^ = 0,4d.
Выбрав в качестве первого приближения форму колебаний,
w	соответствующую	= 0,25d, по-
4- .г	лучаем
И
получаем z\ = 1,02. Это дает
следующее уточнение формы
колебаний:
*1
(D =---------1—
1	2 (2,02 — tty
0,51 а*1).
Таким образом, а(11)==0,51 • 0,4d = 0,204d. При этом
d
(1)
tg 0,204
0,204
1,014.
§ 23]	РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ	243
Изменение частоты, вызванное этой поправкой, оказывается
практически несущественным (отличие в четвертом знаке);
поэтому можно принять — 0,4tZ; ^|=1,02; а(11> = 0,204d.
Совершенно аналогично могут быть найдены значения
низшей частоты свободных колебаний, соответствующие дру-
гим значениям амплитуды На рис. 89 построены графики
зависимостей z* [а^] и [в^]. :
Анализ свободных колебаний наиболее высокой частоты
(третья форма) не отличается от рассмотренного выше. Ре-
зультаты вычислений, выполненных для двух значений
приведены в табл. 2.
Таблица 2
№ п/п	43)	4	
1	0,25d	3,32	—0,335J
2	0,4d	3,45	—0,56d
§ 23. Резонансные колебания
Разнообразные резонансные явления, подробно исследо-
ванные в гл. III, могут иметь место и в нелинейной системе
с несколькими степенями свободы. В отличие от линейной
системы, резонансные колебания могут возникать в тех слу-
чаях, когда частоты вибрационного воздействия существенно
превышают собственные частоты. Такие резонансы, разу-
меется, являются недопустимыми; в правильно спроектиро-
ванной виброзащитной системе возможность их возникновения
должна быть исключена.
Физическая природа резонансных явлений — та же, что и
в системе с одной степенью свободы (см. § 16). Всякий ре-
зонанс представляет собой движение, близкое к свободным
колебаниям консервативной системы, и может рассматриваться
как «свободные колебания», поддержанные вибрационным
воздействием. Именно в связи с этим обстоятельством и при-
обретает важное практическое значение исследование свобод-
ных колебаний, изложенное в предыдущем параграфе.
Рассмотрим вновь уравнения движения амортизируемого
объекта, например, в форме (21.22)—(21.23) (уравнениям
16*
244 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
вида (21.16), (21.17) соответствует /? = 6, М' = 3?7). Исклю-
чая из уравнений (21.22) Az, с помощью уравнений (21.23)
получим
р	. лг	р
&kiuk 4” Щ (ul> ul) 4“ Zj	(23.1)
Л=1	z=p+l	f=l
G=1.......P)-
В дальнейшем предполагается, что вибрационное воздействие
~ 2л
является периодическим с периодом Т = —.
Выделив упругую и диссипативную составляющую сил Ul9
перепишем уравнение (23.1) в следующей форме:
р ..
2j ^kiUk + ^ly 4“ 2 ^Uty («z) = — Uid Ui) —
k = l	l-p+1
N'	P
- 2	(/=1.......P)-	(23.2)
z=p+l	r=l
К этим дифференциальным уравнениям необходимо добавить
уравнения связей
«/-2vzA = 0	(/ = Л-1.......N').	(23.3)
*=1
Положив правые части уравнений (23.2) равными нулю, по-
лучим уравнения свободных колебаний. Поскольку резонанс-
ные колебания близки к свободным, можно искать перио-
дическое решение системы (23.2) — (23.3) на семействе перио-
дических решений частоты со уравнений свободных колебаний,
пользуясь методом Галеркина.
Пусть
^=Ф/а+«) a=i...............к')	(23.4)
— семейство периодических решений периода Т уравнений
свободных колебаний системы. Как уже указывалось выше,
существование семейства решений, зависящего от параметра а,
обусловлено автономностью уравнений. Тогда, в соответствии
с формулой (6.13), значение параметра а соответствующее
§ 23]
РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
245
приближенному решению системы (23.2) — (23.3), близкому
к свободным колебаниям, должно определяться из уравнения
т
р
2
U id 1фг (/ + «), Ф/ (* + а)1 +
/=1
о
N'
+	^1ф/(^ + а)* Ф/ (^ + а)1	—
Р
(О
Г=1
Ф/ (/ + a)d/ = 0.
(23.5)
Если это уравнение имеет вещественные корни, то резо-
нансные колебания периода Т могут возникнуть в системе.
При отсутствии вещественных значений а, удовлетворяющих
уравнению (23.5), возможность возникновения резонансных
колебаний исключается.
Так же, как и для системы с одной степенью свободы,
уравнение (23.5) представляет собой условие баланса энергии:
работа диссипативных сил на свободном колебании должна
быть равна работе вибрационного воздействия.
Пусть известно приближенное гармоническое решение
уравнений свободных колебаний, имеющее частоту со:
ui = aoz + at cos со (t -f- «)»	= — coaz sin co (t + a). (23.6)
Предположим также, что все вынуждающие силы Qr (/)
являются гармоническими той же частоты
Qr (/) = Ar cos со/.	(23.7)
Подставив (23.6) и (23.7) в уравнение (23.5), получим
Uidlaoi~+~ at cos со (/ + «), —coaz sin со (£ —|— a)] —J—
о l
лг
+ vuUidlaoi~+~ 0/Cosco(f+ a), —coazsinco(/4-a)] —
/=p+i
p
Ar cos co/ • orZ
[— coaz sin co (/ -f- a)] dt = 0.
(23.8)
246
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ (ГЛ. IV
Учитывая, что в силу выражений (11.5)
т
— I £/w[ao/ + a/c08®>(*4-a)’
<Г
— ©az sin ©(/ + «)] sin [<*>(/—}-a)] dt =
2л
= — -i- J Vid (aQi + cos гр, — (dai sin гр) sin гр z/гр =
o'
и поскольку
т
J cos (o/sin [<o(/—|—a)] dt = ~ sincoct,
упростим выражение (23.8):
p I 2 N	P	1
2 г + 2	+ S ^Arai sin coa . orЛ = 0.
Z = 1 I	Z=P+1	r=l	j
(23.9)
Отсюда находим
p /	N'	\
M+ _S
sin(oa =----:.	(23.10)
22
Z=lr=l
Поскольку в силу соотношений (23.3)
р N'	N'	р	N'
X 2 bliflialVli — 2	aPli~ Zj
Z=p+1	Z=p+1	Z=1	Z=p+1
получаем окончательно
®2Mz
sinoa =-------.
22 Ar^i^rl
i=lr=l
(23.11)
(23.12)
Резонансные колебания могут возникнуть, если |sin(oa|<Jl,
то есть если
ZV'	р р
© 3	2 2	(23.13)
i=l	Z=lr=i
§ 23]	РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ	247.
Очевидно, что, обеспечив достаточно интенсивное демпфиро-
вание в амортизаторах (то есть достаточно большие значе-
ния #/д), можно нарушить условие (23.13) и тем самым
исключить возможность возникновения резонансных колебаний
частоты со.
Аналогичным путем могут быть выведены условия суще-
ствования резонансных колебаний и в случае периодического
вибрационного воздействия; если не учитывать наличия высших
гармоник свободных колебаний, то условия существования
в этом случае совпадают с (23.13), поскольку дополнитель-
ной работы на гармоническом свободном колебании высшие
гармоники внешних сил не дадут. Определив высшие гар-
моники свободных колебаний, можно получить условия су-
ществования резонансов дробного порядка. При гармоническом
вибрационном воздействии это — субгармонические резонансы.
Установив возможность возникновения каких-либо резо-
нансов, мы в то же время получаем возможность прибли-
женно оценить их амплитуды, поскольку близость резонанс-
ных колебаний к свободным означает и близость по амплитуде.
Более точные оценки обычно не требуются.
Проанализируем теперь более подробно условия (23.13),
при которых могут возникать резонансные колебания, совпа-
дающие по частоте с вибрационным воздействием. Очень
часто именно такие колебания оказываются наиболее опасными.
Рассмотрим сначала систему с диссипативными силами,
пропорциональными скоростям деформаций упругих элемен-
тов, то есть предположим, что все Ь1л — постоянные коэф-
фициенты. Предположим также, что амплитуды вибрационных
воздействий Аг сохраняются постоянными, а частота со может
изменяться в некотором диапазоне от до <отах, охваты-
вающем спектр собственных частот системы.
Для определения «опасных» значений со, при которых
могут возникать резонансные колебания, удобно использовать
«скелетные кривые» системы, выражающие зависимость частот
свободных колебаний от амплитуды деформации одного из
упругих элементов (рис. 90).
Левая часть неравенства (23.13) пропорциональна квадра-
там амплитуд az, а правая часть зависит от амплитуд линейно.
Поэтому при достаточно малых значениях at неравенство
всегда будет выполняться. Это означает, что в системах
с силами сопротивления, пропорциональными скоростям,
248
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
резонансные колебания безусловно будут иметь место при зна-
чениях со, достаточно близких к собственным частотам си-
стемы (см. рис. 90). Насколько широкой окажется каждая
из таких полос, зависит от значений Ьи, Аг, формы колеба-
ний на выбранной частоте.
В виброзащитных системах собственные частоты обычно
стремятся сблизить с тем, чтобы уменьшить общую ширину
резонансной полосы; при этом области существования резо-
нансных колебаний обычно сливаются, так что они могут
а	наблюдаться при любом зна-
Рис. 90.
чении со в интервале Хт|П <
<G)<^max. Как видно из
рис. 90, в таких случаях при
одном и том же значении
со — со' могут возникать раз-
личные по форме резо-
нансные колебания, соответ-
ствующие точкам различных
скелетных кривых.
Левая часть неравенства
(23.13) пропорциональна ча-
стоте со; поэтому с ростом со опасность возникновения резо-
нансных колебаний уменьшается. Этот вывод справедлив,
разумеется, только в случае постоянных амплитуд Аг\ если же
с ростом частоты эти амплитуды растут (например, пропор-
ционально квадрату со), то опасность возникновения резонансов
может возрастать на высоких частотах. Здесь могут иметь
место те эффекты («затягивание» резонанса в область высо-
ких частот, появление дополнительных ветвей резонансных
кривых и т. п.), которые подробно рассматривались в § 12.
Покажем на примере, как можно использовать получен-
ные соотношения для определения интенсивности диссипатив-
ных сил, необходимой для подавления резонансных колебаний.
Пусть в системе, показанной на рис. 88, основание со-
вершает гармонические колебания в направлении оси х
с амплитудой £0 и частотой
со== 1/3,45 — = 1,86 \f — .
У т	У т
Как было показано в § 22, свободные колебания этой частоты
имеют следующие амплитуды (см. табл. 2): ах — — 0,56d,
§ 23]	РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ	249
я3 = 0,4^. По формуле (21.30) получаем
Ф1ап 4“ @заз1 = — Pn^i =
<?1О13 4~ <2з°зз = — НззПз = — cos ©t
Отсюда
-^1^11 4“ Л3^1 = 0»	4~ Л<*зз =
I р
S S Лг°на1 =	= 1,38с d£0.
i-1r=l
Для подавления резонансных колебаний необходимо, чтобы
неравенство (23.13) выполнялось с обратным знаком:
“(Mi+Mi+МН Mi) > 1 -38с
Поскольку аг = а2,	= л4, то, полагая />1Д = Л2д, />3д = #4д,
имеем
1186 Vi 2йР(0,31д1д+0,16д3д)>1,38с^.
Примем, что коэффициенты демпфирования пропорциональны
корню квадратному из жесткости соответствующего упругого
элемента
^ЗД	A l/n А
-^=- = ~Гг= или ^1д = V 2 й3д- .
ус V С[
При таком предположении коэффициент поглощения при ма-i
лых колебаниях у всех упругих элементов оказывается оди-
наковым.
При этом
2.23d yf ^>1,38^
или
Ь3л > 0,62 у/Тт^-.
Несколько иными оказываются условия возникновения
резонансных колебаний в системе с сухим трением. Здесь
'’‘•“StV	<23J4>
и условие (23.13) принимает следующий вид:
АГ'	р р
Aratori. (23.15)
1 = 1	1 = 1 r-i
250 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Обе части неравенства пропорциональны величинам ампли-
туд aL\ поэтому при достаточно больших значениях HL ко-
лебания, близкие к свободным, не могут возникнуть, как бы
малы ни были их амплитуды. Практически это означает, что
либо система оказывается «запертой» силами сухого трения,
либо в ней возникают движения с остановками. .
Следует отметить, что в системе с несколькими степенями
свободы «запирание» может осуществляться не по всем коор-
динатам; при этом сухое трение как бы умёньшает число
степеней свободы системы.
Если в примере, рассмотренном выше, предположить, что
силы сухого трения, условия по-
давления резонансных колебаний
примут такую форму:
4
— (/A l #i| -1“ Н21 а2| 4- Я3| а3| +
+ tf4|a4|)> 1,38с ^0.
При Нх = Н2, Н% = Н4 имеем
1(0,56Я1 + 0,4Я3)> 1.38^.
(23.16)
При выполнении этого неравен-
ства движения, близкие к связан-
ным свободным колебаниям по
координатам х и 02, не могут возникнуть. Однако это не
означает, что система окажется запертой. В самом деле, пусть
/73 = 0,	H1>-^|-cgo = O.97^.
Тогда неравенство (23.16) выполнено. Более того, система
будет заперта по координате 0г, поскольку амплитуда вы-
нуждающего момента, равная произведению амплитуды вы-
нуждающей силы w£0<o2 на плечо ht не превышает момента
сил трения (рис. 91)
/п^0со2/г =	• 3,45 h —
2Нха = 4/zHj > 3,88c£0/z >
Таким образом, в системе будут происходить поступательные
колебания по координате х. Для определения амплитуды
§24] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 251
9Тих колебаний необходимо исследовать систему с одной
степенью свободы, получающуюся при абсолютно жестких
элементах и w2. Уравнение свободных колебаний такой
системы
ти3 4- 2Uiy («3) = 0.
Линеаризуя нелинейную упругую силу, получаем уравнение
скелетной кривой
*2 — _ 4 fn- ( 2аз\
Z ~ 2а3 g V d )9
из которого при z1 = 3,45 находим
а3 = 0,68^ = 0,49Д.
Величина а3 оказалась близкой к предельно возможной
* деформации упругих элементов 3 и 4. Это означает, что
свободные колебания с такой амплитудой будут сопрово-
ждаться сильным стуком об упоры. Естественно поэтому,
что принятые значения Нг и Н3 неприемлемы.
Приняв
Я = 2//3>0,72^0,
мы вновь удовлетворим условию (23.16), однако при этом
резонансные колебания по координате х уже не смогут воз-
никнуть, поскольку условие запертости по углу 02 не будет
выполняться.
§ 24. Вынужденные колебания в системах
с сухим трением
Если установлено, что в исследуемой виброзащитной си-
стеме при заданном вибрационном воздействии не могут воз-
никнуть резонансные колебания, то в принципе эта система
может считаться пригодной для использования. Для уточне-
ния ее виброзащитных свойств требуется исследование выну-
жденных колебаний, возникающих при вибрационном воздей-
ствии и не носящих резонансного характера. При этом
исследовании обычно можно ограничиться линеаризацией
нелинейных характеристик по формулам (9.6), поскольку
при нерезонансных колебаниях деформации амортизаторов
могут считаться малыми. Исключение составляют системы
с существенно нелинейными характеристиками, из которых
252 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
особого внимания заслуживают системы с сухим трением,
получившие в последнее время широкое распространение.
С некоторыми особенностями анализа таких систем мы по-
знакомимся на конкретном примере.
Рассмотрим вновь систему, показанную на рис. 88, пола-
гая, что в элементах 1—4 имеются силы сухого трения:
<Ad = Hzslgn^ (Z=l............4).	(24.1)
В дальнейшем принимается, что
Пусть основание совершает гармонические колебания в на-
правлении оси х с амплитудой £0 и частотой со. Ограничи-
ваясь рассмотрением нерезонансных колебаний, считаем упру-
гие характеристики амортизаторов линейными с жесткостями с
(элементы 1 и 2) и (элементы 3 и 4).
Составим дифференциальные уравнения движения в форме
(21.22); учитывая (21.29), получаем
|1ц«1 + H12«2 + Н1з“з +	+ Hl Sign «1 = H13^O®2 cos at,
И12«1 + Ц22«2 + ^з“з + са2 + Sign «2 = COS at.
Игз“2 Ч- Рзз“з + 2с1«з + 2Я3 sign й3 =	cos©/.
(24.2)
При составлении этих уравнений учтено уравнение связи
«з=«4-
Подставив в (24.2) найденные ранее выражения для
найдем
14-Г2 1 у2 ..	1_Г2__у2.. Y .. Ь2	Н	.
--Т 4:Г  «1Ч-----4—~ «2 + f «з + — «1 + -^ sign ux =
=-¥-£() Ю2 COS О/,
----—L«i +	4	“2- f «3 +"2-«2 + -^sign «2 =
= — j Bq©2 COS©/,
-2- И, — »2 + «3 + fci«3 + Sign «3 = fco®2 cos at.
(24.3)
§ 24] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ
253
Здесь
= Pz
а ’
Y = -. & = — ,	=	(24.4)
1 а	т 1 т v 7
При заданном вибрационном воздействии в системе возникнут
вынужденные колебания по координатам х и 0г, при которых
Уе = 0,	«! = —И2.
Учитывая это соотношение, при котором первые два урав-
нения (24.3) оказываются тождественными, приходим к си-
стеме двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными:
(г2 + №) «1 + Y«3 + А2«1 ч- Sign = yIo®2 cos ,
••	2 2НЛ	<24-5>
Y«i + «3 4- £j«3 +	Sign «3 = So®2 cos о/.
Приближенное периодическое решение полученной системы
нелинейных дифференциальных уравнений разыскиваем в гар-
монической форме:
и\ — aoi + aicos	+ Ф). «з = аоз+азс°8(<^4-^)- (24.6)
Постоянные составляющие в рассматриваемом случае оказы-
ваются равными нулю, в чем нетрудно убедиться, подставив
(24.6) в (24.5).
Производим гармоническую линеаризацию сил сухого тре-
ния, по формуле (13.3) находим
2НХ .	• 8/fj •
------------ Sign «----— ult
m----------------------1 jimaj© 1
2/f3 ,	’	8/73 •
—2- sign
tn b 3 jima3td 3
(24.7)
В линеаризованных уравнениях удобно одну из неизвестных
фаз ввести в правые части, записав эти уравнения в такой
форме:
(Г2 _|_ Y2)	+ уй3 _|_ pU' 4-	«!= YSo®2 008(0/ — Ф) ,
У»! 4- «з4~ *1«3 +	“з = So®2 C0S (®* — <Р) •
где
8/7t	8Я3
41 =	» Лз =	»
•* л/п ° лт
(24.8)
254
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
(24.10)
а решение должно разыскиваться в форме
K1 = a1cos(o/, w3= a3cos(co^ + 4?).	(24.9)
Подставляя (24.9) в (24.8) и приравнивая в левых и правых
частях уравнений коэффициенты при cosco/ и sin соЛ получим
конечные соотношения, из которых могут быть определены
неизвестные параметры а3, ср, ф:
— о? (г2 -Ь у2)] аг — ш2уа3 cos ф — y£0(o2cos ср,
©2уа351пф — T|i = y^c^sinq),
— усо2^ + (£2 — со2) cos фа3 — т]3 sin ф = ^(о2 cos <р,
— (&2 — со2) а3 sin ф — т|3 cos ф — ^(й2 sin <р.
Решение этой системы в общем виде требует сравнительно
громоздких выкладок. Целесообразно в первую очередь ис-
ключить фазы. С этой целью умножим третье и
уравнения на у и вычтем их соответственно из
второго:
уА2а3 cos ф — ут]з sin ф = (k2 — орг2) аь
ут]3 cos ф + Y^a3 sin ф = т]1.
четвертое
первого и
(24.11)
(24.12)
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим
соотношение, связывающее ах и а3:
®1~	(Л2—®2Г2)2
С другой стороны, решая систему (24.11) относительно sin ф
и соэф, получаем
. u	т11й1аз — (*2 — ^г2)^
Slni]) ——	4 2 ।	2	• •
(Л2 — ®2г2)£?а3411111з
cosi|> =-------.	2	•	(24.13)
уфз+УЛз
Возводя в квадрат первые два уравнения (24.10) и складывал
их, находим
{k2— со2 (г2 -|- У2)]2 «2 + У2®4^ 4* Л] —
— 2у©2 \k2 — со2 (г2 4- у2)] аха3 cos ф — 2у®2а3т]1 sin ф =s у2^о4.
(24.14)
§24] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 255
Подставляя (24.13) в (24.14), получаем второе соотношение,
связывающее и а3:
[Y2®2 - 2 (fe2-®2/-2)] + a2\v^{k2-^+k\ (n|-$»4)] +
4- а4 — о2)2 4~ а2а2 р2у2<в4 — 2®2 (fe2—<о2) (fe2—®2r2)] k2 4~
: 4-2«1Д3411Ч3®4 + т1з(т12—<о®4) = °- (24.15)
Исключив из (24.15) ах с помощью (24.12), получим сле-
дующее уравнение четвертой степени относительно а|:
(a4*4 [(fe2 — ®2) (й2 — о2/-2) — Л^со2]2 -j- а| |y2^I [Y2®4 —
— 2®2 (А2 - ®2г2)] В2 4- (А2 — ®2г2)2 [л2 (k2 — со2)2 4-
+•	~ So®4) *i] + k\ М — Л i) [Y2®4*2 —
— 2<о2 (fe2 — ®2) (k2 — ®2r2)]} + (Y2n| — Л2) [Y2®4 —
— 2<в? (k2 — ®2r2)] 4- г]2 (r)2 — I2®4) (k2 — c^r2)2)2 =
= 4a^T]2(d12 (k2 — aPr2)2y2 + 4a2T]2T]2G)8 (k2 — o2r2)2(y2r]2—т]2у
\	(24.16)
Отсутствие положительных корней у этого уравнения оз-
начает, что рассматриваемая система при соответствую-
щем вибрационном воздействии остается полностью или
частично запертой. Истинное значение а2 может характери-
зовать только такой положительный корень, который при
подстановке в (24.12) дает для а2 также положительное
значение, то есть удовлетворяет условию
у2^а2 + у2т]| — т] 1 > 0.	(24.17)
Определив значения амплитуд и фаз, можно оценить каче-
ство виброзащитной системы. Для этого в случае пассив-
ной виброзащитной системы определяется абсолютное уско-
рение какой-либо точки амортизируемого объекта, чаще
всего — центра инерции. При этом, как и в случае системы
с одной степенью свободы, не следует пользоваться линеа-
ризованными уравнениями, необходимо непосредственно опре-
делять ускорение ИЗ'уравнений-движения.
256
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
В рассматриваемом примере абсолютное ускорение центра
инерции направлено по оси х:
х = и3 — £о(о2 cos (о/.	(24.18)
Из второго уравнения (24.5) получаем
х = —	— kills—sign «3.	(24.19)
тп
Определяя их из первого уравнения (24.5) и подставляя
в (24.19), находим
х = 74^ (Y* +	sign “0 — — slgn “3
или
* = 7? (*2“i + si£n »i) —	sign “3) •
(24.20)
При высокочастотном вибрационном воздействии амплитуды аг
и а3 оказываются обычно малыми. Поэтому при определении
амплитуды х можно пренебречь в выражении (24.20) членами,
линейными относительно и и3> и принять в первом
приближении:
”1 -X 2//i
х |тах ~ г2 ‘ т
у* + г* 2/73
г2 ' ГЛ *
(24.21)
В этом выражении оба слагаемых арифметически сум-
мируются, поскольку при ф =/= 0 всегда найдется такой момент
времени, в который они будут иметь одинаковый знак.
Вернемся вновь к уравнению (24.16). Если коэффициент
при старшем члене этого уравнения стремится к нулю,
то один из корней стремится к оо, причем этот корень
безусловно удовлетворяет условию (24.17). Таким образом,
при частоте со, удовлетворяющей уравнению
(*! - • (О2) (л2 — <в2г2) — fe?Y2®2 = 0,	(24.22)
в рассматриваемой системе возникает резонанс, причем ампли-
туды колебаний неограниченно возрастают, и в конце концов
колебания выходят за пределы области линейности упругих ха-
рактеристик. Если такие колебания недопустимы, система
§ 24] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ СУХОМ ТРЕНИИ 257
должна оставаться запертой на всех частотах, удовлетво-
ряющих уравнению (24.22), которое, как нетрудно убедиться,
совпадает с частотным уравнением линейной системы. Легко
показать, что подобными свойствами обладает любая система
с линейными упругими характе-
ристиками и демпферами сухого
трения: если при частоте вибра-
ционного воздействия, совпадаю-
щего с одной из собственных
частот, система оказывается не
запертой, то в ней развиваются
колебания с теоретически неогра-
ниченно возрастающей амплиту-
дой. Учитывая это обстоятельство,
Рис. 92.
обычно выбирают силы сухого трения с таким расчетом,
чтобы система оставалась запертой на всех собственных ча-
стотах.
Предполагая, что в рассмотренном выше примере должно
выполняться это условие, получаем из уравнений (24.5)
— > 'ИМ,
(24.23)

2
Решая частотное уравнение (24.22), определяем Хтах*
^ + ky + ^+V^ + ky + k^-4kW r94 _
^тах —	2f2	•
Теперь условие (24.21) дает
Й„„ >	= (1 +'^) W,.,- <24-25)
Таким образом, как и в системе с одной степенью свободы,
сухое трение существенно ухудшает виброзащитные свойства
системы при высокочастотном вибрационном воздействии.
Улучшение виброзащитных свойств может быть достигнуто
изменением конструкции амортизатора с сухим трением.
В амортизаторах, схематически изображенных на рис. 92,
демпфер сухого трения соединяется с объектом через допол-
нительный упругий элемент. Подробный анализ работы таких
амортизаторов выполнен в [25].
17 М. 3. Коловский
258
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ОТЕЙЕЙЯМИ СВОБОДЫ (ГЛ. tv
§ 26. Вынужденные колебания упругих тел
До сих пор амортизируемый объект рассматривался как
абсолютно твердое тело; однако в реальных виброзащитных
системах приходится иметь дело с упругими объектами.
В этом параграфе излагаются методы анализа виброзащитных
систем, содержащих амортизируемые объекты, обладающие
линейными упругими характеристиками. Предположение о ли-
нейности упругих свойств оказывается
в большинстве случаев приемлемым,
поскольку деформации амортизируемых
тел обычно не выходят за пределы
области линейности их характеристик.
Мы ограничимся анализом простей-
шей системы, состоящей из упругого
тела, соединенного упругим амортиза-
тором с основанием (рис. 93). Пред-
полагается, что точка крепления амор-
тизатора к объекту может переме-
coso>r щаться только в направлении оси х;
в том же направлении может поступа-
тельно перемещаться и некоторый ма-
лый элемент упругого тела, примыкаю-
щий к точке крепления. Предположим также, что основание
колеблется в направлении оси х по гармоническому закону
£(0 = £oCOSfirf-
Если бы амортизируемый объект был абсолютно твердым
телом, мы имели бы в этом случае систему с одной степенью
свободы, подробно рассмотренную в гл. III. В случае упругого
объекта число степеней свободы системы определяется выбо-
ром расчетной модели упругого тела, которое обычно пред-
ставляется в виде совокупности нескольких твердых тел,
соединенных упругими элементами, или в виде системы
с распределенными параметрами. Методы выбора расчетной
модели линейной упругой системы подробно изложены
в имеющейся литературе и здесь рассматриваться не будут.
Отметим только, что выбор той или иной модели упругого
тела в значительной степени определяется спектром частот
вибрационного воздействия. Если эти частоты существенно
меньше, чем собственные частоты упругого тела, можно
§25]	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ	259
считать последнее абсолютно твердым: чем выше частоты
вибрационного воздействия, тем более сложной оказывается
расчетная модель амортизируемого объекта.
Уравнения движения виброзащитной системы будут в рас-
сматриваемом случае содержать одну нелинейность — харак-
теристику упругого амортизатора, так что их можно будет
решать методами, изложенными выше. Однако такой путь
решения часто оказывается слишком сложным. Это относится,
прежде всего, к таким упругим объектам, для которых
затруднительно выбрать простую расчетную модель, и, вместе
с тем, имеется возможность экспериментального анализа
частотных свойств. В таких случаях оказывается полезным
применить другой метод анализа, основанный на описании
частотных свойств линейной системы с помощью так назы-
ваемых матриц переноса. Мы ограничимся здесь изложением
лишь самых элементарных сведений об этом методе, необхо-
димых для решения сформулированной выше простейшей
задачи. Метод матриц переноса, получивший ----------
в последние годы широкое распростране- А	£_
ние, подробно излагается во многих работах <	.Л
(см. р], р]).
Рассмотрим некоторую сколь угодно	рис> 94
сложную линейную систему, которая связана
с другими системами в точках А и В (рис. 94). Предполо-
жим, что перемещение каждой из этих точек ограничено
связями и определяется одной координатой (хА или хв).
Пусть известно, что в системе происходят гармонические ко-
лебания с частотой со. Это означает, в частности, что хА и хв
изменяются по гармоническому закону
*д = £дСО8(®/ 4-фл), xB = ^cos(G)^ + <pB). (25.1)
По гармоническому закону изменяются и усилия, возникающие
в точках Л и В и представляющие собой силы взаимодей-
ствия между рассматриваемой системой и системами, свя-
занными с ней:
^д = рлс08(йНМ	XB = PBcos(®Z + \|)B). (25.2)
Поскольку частота со предполагается известной, перемен-
ные хА, хв, Xл, X в полностью определяются заданием так
17*
260
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
называемых комплексных амплитуд ^А, %в, РА, Рв> опреде-
ляемых следующим образом:
аг£1д = фд: 1Ь1=Ь- а^в = Фв;
|Рд1 =РА’ аг§Рд=1|)д; |РВ| =РВ, argPB = ^B.
Метод матриц переноса основывается на том, что между
введенными таким образом комплексными амплитудами всегда
существуют следующие линейные зависимости:
% в — $11 (°) %>А 4“ $12 (°) ^д*
?в — $21 (°) £д 4“ $22 С®) ? А'
(25.3)
Здесь $п, $12, $21, $22 — некоторые комплексные числа, зна-
чения которых для заданной линейной системы являются
функциями со. Матрица, составленная из этих чисел, назы-
вается матрицей переноса линейной системы
$ав (0) —
$ц ((d)	$12 (О) II
$21 ((О) $22(«)|Г
(25.4)
Матрицы переноса могут быть введены и в более общих слу-
чаях, когда перемещения на «входе» (точка Л) и «выходе»
(точка В) системы определяются несколькими параметрами,
так что хА и хв оказываются векторами, однако эти случаи
нам не понадобятся в дальнейшем. Определение матриц пере-
носа для различных линейных систем рассматривается в упо-
мянутых выше работах. Обычно для определения матрицы
переноса сложную систему разбивают на ряд последовательно
расположенных «участков», для каждого из которых строится
матрица переноса. Матрица переноса всей системы опре-
деляется как произведение матриц переноса участков.
Рис. 95.
Рассмотрим, например, линейную систему, состоящую из
нескольких масс, соединенных упругими элементами. На
рис. 95 приведена система, состоящая из трех масс, тх, т2,
соединенных упругими элементами, с жесткостями сх и с2-
§ 25]	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ	261
В дальнейшем удобно будет вместо жесткостей ввести обрат-
ные им величины — податливости Ег = 1/сг и Е2 = 1/с2- Разо-
бьем систему сечениями /—IV на участки. Первый участок —
масса т1. Если она совершает гармонические колебания
с амплитудой 1А и частотой со, то очевидно, что
Р/ = Рд —/П1<оЧд.
(25.5)
Таким образом, определяется матрица переноса для массы тх:
А 1	| — тха?
(25.6)
На участке /—II получаем
и, следовательно,
llt=l/+EPl
Ри = Р.
(25.7)
(25.8)
Аналогично находим
Sn-iii ~ J _	! I > sin-iv ~ | 0
1	0 II
S/v — в—	2	.
— /П3(02	1 [I
(25.9)
Связь между Рв и РА записывается в матричной
форме следующим образом:
(25.10)
Матрица SAB определяется как произведение матриц пере-
носа для отдельных участков:
Sab = S/y^B-Sni-iv •	• Sj-ц • 5д_/ =
S11	512
S21	S22
262 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
После умножения матриц получаем:
(о) = (1 — пг jfjco2) (1 — т2Е2®2) — E2mxa?t
sX2 (со) = Ех + Е2 — Е&т^2,
s2i (со) = — (ml + /п2+ /п3)со2 + (т1т2Е1 + т1т3Е2 +
+ т1т3Е1 + тзш2^2)0)4 — /п^з/Пз^^со6,
s22 (со) — (1 — т2Е^2) (1 — т3Е2®2) — т3Егау2,
Все элементы матрицы переноса оказались вещественными
числами; это произошло потому, что не учитывалось демп-
фирование, имеющееся в линейной системе.
Составим матрицу переноса для упругого элемента с ли-
нейным трением. Деформация этого элемента и связана с дей-
ствующими на него силами ХА и Хв следующим образом:
ХА = Хв = bit + си.	(25.11)
Если XА — РАе^, то из (25.11) находим
<25J2)
С другой стороны, Хв = хА-\- и, поэтому
+ bj® + c ’
Рв = РА>
то есть матрица переноса имеет следующий вид:
II 1 Ё||
5дв = |о 1|’	(25.13)
где Е = 1 /Ь/со + с называется обычно комплексной податли-
востью линейного элемента с трением.
Одной из модификаций метода матриц переноса является
метод динамических податливостей. В рассматриваемом про-
стейшем случае динамической податливостью линейной системы
в точке А называется отношение амплитуды перемещения этой
точки к амплитуде действующей силы
ел(о» = ^-.	(25.14)
§ 25]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
263
Разделив первое из уравнений (25.3) на второе, получаем
~	In sn (©)**л (®) + sio (®)
ев (со) =	= 11 v	.	(25.15)
РВ S21(a>)eA(®) + S22<®)
Таким образом, динамические податливости на входе и вы-
ходе линейной системы связаны между собой некоторым
дробно-линейным соотношением.
Для сосредоточенной массы из (25.5) находим
Для упругого элемента с трением
=	(25.17)
С помощью этих двух соотношений можно выразить дина-
мическую податливость в точке Bi для рассмотренной выше
трехмассовой системы. Выражение для динамической подат*
ливости представляет собой цепную дробь:
ев = е'У _ —	1	—__________1________
1 m^eiv — т3а>2 -=5—	— т3й>2 ------—
e/v	+ еП/
1
2_L	1
— «з®4-----------р
Е,+-----5-----г
— т2а>2 -}-•=—
еп
=--------1----г	(25.18)
— m3a>2 Н--------т~
Es +-----5----г
— т2<»2-|--------р-
£< + —5— ,
— «(СО2 -|-	.
еА
Рассмотрим теперь, каким образом метод матриц пере-
носа может быть использован при исследовании виброза-
щитных систем.
264
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Предположим, что вынужденные колебания, возникающие
при гармоническом вибрационном воздействии в системе «ли-
нейное упругое тело 4* нелинейный амортизатор», близки
к гармоническим. Пусть мы желаем определить амплитуду
колебаний некоторой точки В объекта в определенном на-
правлении (рис. 93). Тогда связь между выходом линейной
системы хв и входом хА определяется соотношениями (25.3).
Если, как это показано на рис. 93, перемещение хв не
вызывает появления силы Xв (система имеет «свободный»
выход), то
Рв = *21 («) L + *22 («) РА = 0.	(25.19)
Проведем гармоническую линеаризацию динамической харак-
теристики упругого амортизатора
U (и, и) t/0 +	+ Ьлй<\	(25.20)
где t/0, сд, Ьл определяются по формулам (11.3) — (11.5) и
являются функциями постоянной составляющей а0, ампли-
туды а и частоты со деформации и.
Если на амортизируемый объект не действуют постоян-
ные внешние силы (это будет всегда, когда объект пол-
ностью амортизирован и не имеет неподвижных точек), то
должно быть
Ц>(а, ло) = О,
то есть aQ выражается через а, и коэффициенты са и Ьл
могут считаться известными функциями амплитуды а.
Составим теперь матрицу переноса для линеаризованного
элемента. Имеем
L = E.+ ^fc5-=J.+5.(«..)P..l (25 21)
Рд ~ Рв*
где	J
(а> °) Сд (а)(а, о) у© ’
Подставляя выражения (25.21) в условие (25.19), получаем
*21 (ю) £о + 1*21 (°>)	+ *22 (®)1 Л)= °- (25.22)
§ 25]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ
265
Отсюда
р	(<о)________= —?___________!________
°	S0 £д(а,<в)521(®)4-522(®)	50 ЁЛа ш) I $гг(й>) '
«21 (®)
(25.23)
С другой стороны, из соотношения (25.12) ясно, что
fl~l Сд+6д/®|-|£д(а’ ®)ро|-£о -	сД22(0>)
Сп —I---——
1 + [Сд (а) + Ьл (а' а) У®1
SU (СО)
(25.24)
Из этого выражения можно определить амплитуду деформа-
ции амортизатора.
Поскольку, в силу условия (25.19),
2^ = _ А = _ ё (со),	(25.25)
S21 И РА
выражения (25.23) и (25.24) могут быть записаны в следую-
щей форме:
а =------=------------------------(25.27)
| 1 ~ еА (®) [сд (^) + \ со) J(d] |
Во всех этих формулах £0 является вещественным числом,
то есть фаза вибрационного воздействия принята равной
нулю.
Учитывая, что при свободных колебаниях системы £о = О;
Ро¥=О, можно из (25.26) получить уравнение для определе-
ния частот свободных колебаний системы:
Ел(а, со) — еА (со) = 0.	(25.28)
Обычное частотное уравнение получается отсюда при />д = 0:
ёл((о)сд(а)= 1.	(25.29)
266
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Решая его, можно определить зависимость частот свободных
колебаний системы от амплитуды деформации амортизатора.
Определив амплитуду а из уравнения (25.27) и подставив
ее значение в Ел, можно затем из (25.23) и (25.21) найти
Ро, и РА, а из (25.3) определить решив тем самым
поставленную задачу.
Аналогичным путем можно определить амплитуду пере-
мещения любой «свободной» точки амортизируемого объекта;
некоторые особенности решения в случае «несвободного»
выхода будут рассмотрены ниже при решении конкретных
примеров. Мы видим, что при исследовании вынужденных
колебаний системы в первую очередь необходимо знать дина-
мическую податливость упругого объекта еА (а>) в точке креп-
ления амортизатора. Эту характеристику нетрудно получить
экспериментальным путем. Для этого достаточно установить
амортизируемый объект на вибрационном стенде, закрепив
его в точке А без амортизатора, и измерить амплитуду силы
взаимодействия, возникающей между столом стенда и объек-
том при гармонических колебаниях стола с частотой со и
амплитудой При этом, в силу (25.19), имеем
е А (®) =	•
Если при том же эксперименте замерить также амплитуду £в,
то можно будет определить, какой будет эта амплитуда при
установке объекта на амортизаторе.
Действительно,.
£в — 5п (°) 1д + 512 (°) Рд —
ж Ни (<о) ёА (®) + 512 Ра = (®) Ра- (25.30)
Величина е' (со) не зависит от свойств амортизатора. Поэтому,
определив при эксперименте, ее значение, можно затем, учи-
тывая выражение (25.26), определить ^в для амортизирован-
ной системы следующим образом:
н РА =Ге' (0)РО = -	*'(й>)_	. (25.31)
Ьл(а, о) — еА (to)
Амплитуда деформации а должна быть предварительно опре-
деленд из уравнения (25.27).
§ 25]	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ	267
в
Рис. 96.
«Выходом» системы.не обязательно должно быть переме-
щение одной из точек амортизируемого объекта. В качестве
выходной координаты может быть выбран любой
интересующий нас параметр, например, напряже-
ние в одном из элементов конструкции упругого
тела; или даже электрическое напряжение, если
амортизируемый объект представляет собой элек-
тромеханическую систему. Необходимо, конечно,
чтобы выходной параметр обнаруживал линейную
зависимость от входного воздействия — вибрации
точки А. Экспериментальная проверка линейности
объекта не вызывает обычно каких-либо затруд-
нений.
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
1. Найдем матрицу переноса для.двухмассового упругого
тела (рис. 96). Разбивая систему на участки и используя
формулы (25.6) и (25.8), получим
II 1	° Illi1 Fllll	1 Е II
$АВ II—w2°2 1 III 0 1 1111 —	1—£/п1(о2|
II ’	1— Ет{(я2	' Е
II —	— т2со2 Ц-Fzn1m2(O4 1 — Ет2а>2
Отсюда определяем динамическую податливость в точке Д:
_	___ 1	Ет,2(д2	__ $22 (®) /пс оп\
'	/И1<л>2-|-т2(д2 — Ет{т2&* s2i (со)	'
Тот же результат можно получить и иным методом; исполь-
зуя выражения (25.16) и (25.17), имеем
; ч  1 1
е в (©) =---------р  ---------------—
~«2®2+—	-m2e>2+-g-T-?
11 * 1
1
(25.33)
— т2о)2	1
£+J-----------
С другой стороны, ^в((о) = оо, поскольку Рв = 0. Следо-
вательно, знаменатель выражения (25.33) должен равняться
268
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
нулю. Отсюда получаем для еА выражение, совпадающее
с (25.32).
Предположим теперь, что амортизатор имеет линейный
упругий элемент и демпфер сухого трения. Тогда
_J-----= с -I- — j<s> = с -4- J, (25.34)
£д (а, со)	ла®	а
Составим уравнение (25.27):
а = ----------к--------- =
So
У [1-<*д(®)р +От-
решая это уравнение, получаем
а =------------------------.
(25.35)
(25.36)
Тем самым определяется амплитудно-частотная характеристика
системы. Из (25.36) легко получить условие запертости амор-
тизатора
• П-	(25.37)
При Е = 0 (жесткое соединение масс) формула (25.32) дает
еА (со) = ----:-—т.
А v	-|- Шг) 0)2
Подставляя это значение в (25.36) и (25.37), приходим к вы-
ражениям, соответствующим амортизации абсолютно твердого
тела с массой /п1Н-/п2.
Теперь можно определить амплитуды колебаний различ-
ных точек амортизируемого объекта. Для этого сначала опре-
деляется Ро по формуле (25.26):
р _____________ьо________ ________\___а /________п
*0	1	/ П \	“А'
—---------ед(о) 1_ед(шЦс + 1у)
с+т'
I 25]	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ	269
Определим амплитуду %А из (25.21):
% А — So	^д^О — So —
So
Теперь можно определить %в:
$в — su (°) 1а + si2 (®) Ра =
1Ы = Во1^дт1ш2 —
= (1 —Ет.^)
Не составляет труда определить и амплитуду какого-либо
другого параметра системы. Найдем, например, амплитуду
усилия в упругом элементе Е:
Р^Ра — ш^а^
= ------/ n \ (т^еА ~ D. (25.40)
'-'Д'Ч') ___________
)Лч-у
|Р,I = UI“1»2«л - 11 ,	,  (23.41)
270
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
2. Рассмотрим
казанный на рис.
b	в'
Рис. 97.
теперь трехмассовый упругий объект, по-
97, причем ограничимся только определе-
нием динамической податливости в точке А,
поскольку остальные выкладки не будут
принципиально отличаться от рассмотрен-
ных выше.
Для определения еА (со) воспользуемся
методом динамических податливостей. При
этом учтем, что при параллельном соеди-
нении двух ветвей их суммарная
ческая податливость может быть
лена по формуле
_L = _L+_L.
С I //
В и В
динами-
опреде-
(25.42)
В точках
этому
еА — -
динамические податливости равны
оо. По-
1
— т<д2 Ч~ —	— тсо2 Ч—— Ч- —
с	III
1
1
1
1
2	1
2+ —
ев
— т(д2 Ч-----
£14
1
eiV “I"
__________1_________
£2+---------5----г-
— т2в)2 Ч----
ев>
1
= (1 — Е{тх&2) (1 — £2m2co2) [т 1сд2 (Е2т2®2 — 1) +
Ч- m2®2 (/Ji/Hi®2 — 1) — ты2 (Ехт^2 — 1) (Е2т2о2 — 1]“1.	(25.43)
Знак минус поставлен при еА по той причине, что при опре-
делении податливостей мы шли от точек В и В' к точке А,
в то время как в ранее полученных формулах было вы-
брано противоположное направление.
Разумеется, что для рассмотренных простейших систем
можно было бы пользоваться и обычными методами соста-
вления уравнений движения и их интегрирования. Преиму-
щества рассмотренных здесь методов проявляются при реше-
нии более сложных задач.
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ
ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
§ 26. Удар в нелинейной системе
с одной степенью свободы
Как уже указывалось во введении, под ударом мы пони-
маем кратковременное воздействие на виброзащитную систему
сравнительно больших сил. Ударные воздействия часто встре-
чаются в современных виброзащитных системах, причем во
многих случаях они оказываются более опасными, чем вибра-
ционные.
Колебания, возникающие в виброзащитной системе при
ударных воздействиях, являются нестационарными; они, во-
обще говоря, не могут быть описаны с помощью полигармо-
нических (периодических или почти-периодических) функций
времени. Поэтому для анализа ударных явлений не могут
быть использованы приближенные методы, рассмотренные
в гл. I. Кратковременность колебаний, возникающих при
ударе, позволяет применить другие методы, основанные на
непосредственном интегрировании дифференциальных уравне-
ний движения.
Рассмотрим сначала методы исследования ударных явле-
ний в системе с одной степенью свободы, движение которой
описывается уравнением
u) = Q(t).	(26.1)
Это уравнение по форме не отличается от уравнения (12.1),
только функция Q (/), определяющая внешнее воздействие
на систему, носит иной характер. При ударном воздействии
272
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
(26.2)
принимают, что
Q (0 ¥= 0 при 0 <7 < т,
Q(/) = 0 при t > т,
где т — длительность удара.
Нас будет интересовать решение уравнения (26.1), соот-
ветствующее заданным начальным условиям. Обычно пред-
полагается, что ударное воздействие прикладывается к си-
стеме, находящейся в положении статического равновесия,
то есть при нулевых начальных условиях:
и = О, ZZ —0 при Z = 0.	(26.3)
Поскольку при t > т вынуждающая сила обращается
в нуль, в системе происходят свободные колебания, зату-
хающие вследствие рассеяния энергии. Поэтому практически
достаточно определить движение на некотором конечном
интервале времени То, в течение которого деформация амор-
тизатора и может принимать сравнительно большие значения.
При этом особенно важно определить наибольшие значения
реакции амортизатора, определяющие в конечном счете ка-
чество виброзащитной системы, ее способность защищать
объект, или основание, от ударных воздействий. Наиболь-
шее значение реакция — U (и, и) может принимать как во
время удара (то есть при t < т), так и после его окончания
(при t > т). В последнем случае наибольшими всегда являются
первые максимумы, поскольку при свободных затухающих
колебаниях амплитуда реакции уменьшается. В дальнейшем
определение наибольшего значения реакции амортизатора мы
будем считать основной задачей анализа ударных явлений и
в соответствии с этим выбирать величину интервала вре-
мени То, на котором должно быть определено решение
уравнения (26.1). Если демпфирование в системе является сла-
бым, то наибольшее значение U (и, и) приблизительно сов-
падает с U(янаиб, 0)» то есть вместо определения наиболь-
шей реакции можно определять наибольшую деформацию
амортизатора.
Решать уравнение (26.1) можно различными способами.
Наиболее универсальным приближенным методом является
численное интегрирование; этот метод будет подробно рас-
смотрен в следующем параграфе применительно к исследо-
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 273
ванию систем с несколькими степенями свободы. Для системы
с одной степенью свободы целесообразнее пользоваться гра-
фическими методами, связанными с построением фазовых
траекторий; при этом наиболее удобным является так назы-
ваемый дельта-метод [12>39].
Уравнение движения запишем в следующей форме:
и 4~(Оо^ + ф(«,	—	(26.4)
Здесь
«►?« + ф («, «) =	, F (0 =	.	(26.5)
Величина соо выбирается в известной 'степени произвольно;
она может быть принята рав-
ной собственной частоте си-
стемы
! /^(0)
(о0 = Х0— |/ т »
или несколько большей, с тем,
чтобы линейная характеристика
U = была ближе «в сред-
нем» к упругой характери-
стике амортизатора (рис. 98).
Введем безразмерное время 0:
примет такой вид;
ц/; тогда уравнение (26.4)
. <р (и, й) _ 1 р / 0 \
9 ] Ч J	п	"1	9*1	) •
©О \ ©о /
(26.6)
Обозначив
du	d2u _ dv _ dv
~d№ ~~~dQ ~~~duV’
(26.7)
®o
получим
dv = b(u, v, t) — u
При применении дельта-метода полагают, что в течение
некоторого достаточно малого интервала времени значение
18 М. 3. Коловскцй
274	КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. V
функции 6 (к, ф, t) может быть принято постоянным и рав-
ным ее значению в начале этого интервала. Разбив интер-
вал [0, Т'о], на котором ищется решение, на N малых интер-
валов [О, /J, [^, t2], ..., То], принимают для £-го
интервала
6 (и, V, Г) = Ък =	<M(*fe-i>)	(26.9)
®о
Интегрируя теперь уравнение (26.8), получаем уравнение
участка фазовой траектории, • соответствующего &-му интер-
валу времени:
^ + («--6,)2 = q.	(26.10)
Это — дуга окружности, координаты центра которой
и = t/ = 0,	(26.11)
а радиус
Rk = ск =
=	vk_{ = v(tk_x)), (26.12)
поскольку фазовая траектория проходит через точку и =
— uk_v v = vk_x. Угол Дуй (рис. 99), соответствующий
простой зависимостью с интерва-
лом времени \tk = tk — tk_v В са-
мом деле, из подобия треуголь-
ников OkAk_1Bk_l и A^A^D
имеем
Ah-i^k " Rk
Поскольку \uk ж со0 \tkvk_v
Ak-iAk ж &ykRk, т0 отсюда сле-
дует, что
Дул«(ОоД^ = Д0л. (26.13)
Таким образом, начав построе-
ние в точке uQ = 0, vQ = 0, можно
построить по участкам фазовую траекторию, соответствую-
щую искомому решению. . Точки пересечения траектории
с осью абсцисс будут соответствовать максимумам и ми-
нимумам деформации и. Определив наибольшую по абсо-
лютной величине реакцию, соответствующую при слабом
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 275
демпфировании одному из экстремальных значений деформа-
ции, можно оценить качество виброзащитной системы при
заданном ударном воздействии. Критерием качества может
служить, например, коэффициент динамичности при ударе:
Ки
I U Imax
1 Q Imax
При-вычислении значений по формуле (26.9) действи-
тельный ударный импульс Q(t) заменяется ступенчатой функ-
цией времени (рис. 100, а). При такой замене эффективность
удара во время нарастания импульса уменьшается, а при
спаде— увеличивается. Чтобы избежать этого искажения
формы удара, целесообразно строить ступенчатую функцию
так, как это показано на рис. 100, б. Здесь высота £-й
«ступеньки» принята равной
Еще более точное приближение может быть получено, если
в формулу (26.9) подставить вместо	следующую
величину:
lQ®dt' (26.14)
(k-l
то есть определить Fk как среднее значение F (f) на k-м
интервале. Используя формулу (26.14), можно ударный
импульс любой формы заменить последовательностью
15*
2ft	КОЛЕБАНИЯ ПЕИ УДАРНЫХ ЁОЗДЕЙСТВЙяК (ГЛ. V
прямоугольных импульсов (рис. 101), причем каждую из «полу-*
волн» заменить одним прямоугольным импульсом. Такая замена
при не слишком длительных
интервалах, соответствую-
щих каждой «полуволне»,
мало влияет на результаты
расчета, в чем нетрудно убе-
диться на следующем при-
мере.
Рассмотрим линейную си-
стему с одной степенью сво-
боды без демпфирования.
Пусть ударное воздействие имеет форму полуволны сину-
соиды. Уравнения движения системы
ти -|- cu — Qq sin 1
mu 4- cu — 0
при t T,
при t > т
(26.15)
при нулевых начальных условиях имеют следующее точное
решение:
и =--------------г sin Хо£ - - Xosin—
при t т,
и ==-----7^------7“ lsin + sin Ml
тХот
при t > т,
где
Анализируя это решение, нетрудно определить
мальное значение деформации их
(26.16)
макси-
И = -2»_ wmax	-2 ttzAq	-ф 2m|) cos y л2 — ф2 u.sln 2Jt^	при		£ л,
« umax —	- 2 ZWAq	11,810 л + И> л — ф	при		> л,
(26.17)
где ф = Хот.
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 277
Заменим теперь синусоидальный импульс эквивалентным
по площади прямоугольным:
= Q^m^tdt = lQ(3
О
Qi(0 = 0
при t т,
при t > т.
(26.18)
В этом случае, интегрируя уравнения движения, получим
и — и* =	” (1 — cos Z0O	при
20
и = U* = —-^5- [COS Хо (t — Т) — COS 1(/J При
лтЦ
Определяя максимальную деформацию, находим
м* _ J?o_ . ±
гаах тк20 л
при ф л,
при ф > л.
(26.20)
Относительная ошибка в величине максимальной деформации,
вызванная заменой действительного ударного импульса им-
пульсом прямоугольной формы, составит:
__ | цтах цтах |
wmax
Зависимость у(ф) определяется следующим образом:
7=1 —
7=1 —
2tg|-(«2-4>2)
л2ф
4 (л — ф)
лф sin
2л ф
л+ ф
при ф Л,
при ф > л.
(26.21)
Из графика этой зависимости, построенного на рис. 102,
видно, что при т < л/Х0, то есть если длительность удара
меньше, чем полупериод свободных колебаний системы,
278	КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ (ГЛ. V
ошибка не превышает 20%. Учитывая, что в практических
случаях форма ударного импульса обычно известна лишь
приблизительно, такую точность можно считать достаточной.
Если ударный импульс может быть заменен одним экви-
валентным прямоугольным импульсом, а диссипативными си-
лами можно пренебречь, уравнение движения системы суще-
ственно упрощается. Вместо (26.1) имеем.
ти-\- Uy(u) = QQ при
rnu-\- Uy(u) — 0 при t > т.
(26.22)
Первый интеграл этого уравнения
и
тй2 । Г тт /,А . I
2 J Uy (ц) du — । £
о	'
при
при
(26.23)
является интегралом энергии. Постоянная С равна работе
Рис. 102.	В этом случае наиболь-
шее значение и обычно
совпадает с его первым максимумом. Условимся в дальнейшем
называть удар «длительным», если первый максимум дефор-
мации достигается в момент t — t* < т, то есть во время удара,
и «коротким», если максимуму деформации соответствует
t — t* > т. Для «длительных» ударов значение ятах можно
найти из уравнения (26.23). Поскольку при я = ятах должно
быть и = 0, получаем
J иу (и) du = Q0Braax.	(26.25)
О
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 279
Это уравнение для ятах может решаться графическим мето-
дом. Необходимо определить точку пересечения кривой
П(«) = J t/y(«)d«,	(26.26)
О
выражающей зависимость потенциальной энергии амортиза-
тора от его деформации, с прямой
O(u) = Q0zz.	(26.27)
Для некоторых форм характеристик уравнение (26.25) легко
решается аналитически. Для линейного амортизатора имеем
и
п (и) = | cudu = —	(26.28)
О
и, следовательно,
«тах = “-	(26.29)
Мы получили известное соотношение между величиной дина-
мически приложенной силы Qo и максимальной деформацией
линейного элемента.
Для амортизатора с упругими упорами, имеющего упру-
гую характеристику вида (10.6'), находим
П(«) = -^.
при и d,
П(я)
cd2
2
cd (и — d) + -у- (и — d)2 при к > d.
(26.30)
Подставив это выражение в уравнение (26.25), получим
и = шах	с		при Qos	cd ^"2"’	
и ~dA~ шах	I	[Qo ~~ cd		cd >”2’*	(26.31)
+ V(QoC ~	-d^ + (2Q0-cd)c'dl	при Qo^		
Для амортизатора с упругой характеристикой (10.9')
П, ч 2сД f . тш
Q
4А2С . Л«	олч
-^2-|псо§2д	(26.32)
280	КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. V
и, следовательно, ятах может быть определено как корень
трансцендентного уравнения
Qo«max + ^lncos^g^ = 0.	(26.33)
В случае характеристики (10.10х)
П(«)=сД |-г^г = Сд(Д1п(26.34)
о
и итах определяется из уравнения
<2635>
При «коротких» ударах величина ятах может быть опре-
делена из уравнения
|	(«)</«== Qo« (т),	(26.36)
о
если известно значение и (т). Для определения последнего при-
ходится строить фазовую
траекторию системы с помощью
дельта-метода. В ходе построе-
ния определяется зависимость u(t).
а следовательно, и значение и (т).
Применяя дельта-метод для ре-
шения уравнения (26.22), можно
предварительно построить график
функции
(26.37)
Тогда построение становится бо-
лее простым (рис. 103). Макси-
мальную деформацию при «корот-
ком» ударе можно приближенно
искать, пользуясь также другим
сической теории удара. В этом
тиЦх)
2
методом, известным из клас-
методе полагают, что
_ Qo2T2
2m ’
(26.38)
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 281
то есть удар рассматривается как мгновенное приложение
к системе импульса силы Qor, сообщающего системе началь-
ную скорость, равную QqX/гп. При этом wmax определяется
из условия равенства потенциальной энергии при и — ятах
и кинетической энергии, сообщенной объекту при ударе:
Г	QqT2
J u,W““ = ^r-
о
(26.39)
Этот метод пригоден для импульсов любой формы: требуется
только, чтобы знак Q(t) при ударе оставался постоянным.
Для произвольной функции Q(f) получаем уравнение (26.39)
в таком виде:
итах
Г
(7V (и) du = -5— ,
J У4 7 2т
о
(26.40)
где
S = fQ(t)dt.	(26.41)
о
На примере линейной системы (26.15) оценим ошибку
рассмотренного метода. В этом случае имеем
t
s = J Qosin Y t dt = 2- Qor,	(26.42)
0
2	a 2 2
J Uy (u) du —	.	(26.43)
Подставляя эти выражения в (26.40), находим
2Q0r Qq 2i|)
(26.44)
Сравнивая эту формулу с точным значением йтах (фор-
мула (26.17)), получаем, что ошибка приближенного решения
282
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
зависит от параметра ф следующим образом:
Y
Y
л2 — ф2
ф 1
л2 cos
2 (Л — Ар) 1
2лф
Л Sin---г2--
л + ф
при ф л,
при ф > л.
(26.45)
Величина ошибки оказывается в этом случае несколько ббль-
шей, чем при замене импульса эквивалентным прямоугольным,
и достигает 20% при ф=2,8.
Исследование колебаний, возникающих при ударе, может
производиться другим методом, основанным на линеаризации
нелинейной реакции амортиза-
тора. Изложим сначала этот
метод в приложении к част-
ной задаче — решению уравне-
ния (26.22). Движение системы
при t <t* (то есть до достиже-
ния максимальной деформации)
удовлетворяет следующим усло-
виям:
/ = 0, й = 0, я = 0,
t = /*, и — zzmax, и = 0.
При этом закон движения
системы можно принять в форме,
показанной на рис. 104, и приближенно описать гармони-
ческой функцией
и —а — a cos Kt — а (1 — cos Kt), (26.46)
где
а = ^, Х =	(26.47)
Нетрудно видеть, что при / —0 и t = t* значения и и и для
действительного закона движения и для функции (26.46)
совпадают.
Линеаризуем упругую характеристику амортизатора, по-
ложив
U (а) + сл (а) (и, — а) = UQ (а) + сл (а) Л (26.48)
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ система с ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 283
Подставляя (26.46) в нелинейную функцию Uy(u) и в линеа-
ризованную характеристику (26.48) и приравнивая в получен-
ных выражениях постоянные составляющие и первые гармо-
ники, получаем
2Л
(а) = J Uy [а (1 — cos ф)] dty,	(26.49)
О
2Л
сл(а) —— J Uy[a(l— cos ф)] cos ф б/ф. (26.50)
о
Эти соотношения могут быть получены непосредственно
из формул (11.3) и (11.4), если в последних заменить а0 на а
и созф на —соэф.
Найдем теперь решение линеаризованного уравнения
при t т,
0 при t>x (26'51)
при начальных условиях
£ = 0, иР = и—а =— a, zz° = O. (26.52)
Используя формулу (12), получаем
я°== —a cosZ^-|-
t
+ i J {<3о l1 - n - т)1 - Uo (a)} sin X (t -1') dt'. (26.53)
0
Здесь T) (f) — единичная функция (5.2), X связано с сд обыч-
ным соотношением
Z = X(a)=V —
4 7 г т
Произведя интегрирование, находим
u — uQ-\-a = ^a —	m^2°^](l— cos V) при t (26.54)
и а Uo (g)  Г л ^0 (д) I Qo 1 соч a / I
U~a тп№ [ mW	cosiU +
-|--^2 cos X (^ —- т) при / > т. (26.55)
284
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Если удар является «длительным», то для определения
максимальной деформации следует пользоваться форму-
лой (26.54). При этом, сравнивая выражения (26.54) и (26.46),
получаем
Qo Uq (а) = О
или
2л
A- J Uy [а (1 - cos ф)]	= Qo. (26.56)
О
Из этого уравнения можно определить амплитуду а. Под-
ставляя ее значение в формулу (26.50), можно найти сл, а
затем по формуле
=	(26.57)
определить момент, при котором выражение (26.54) дости-
гает максимума. Если при этом окажется, что t* < т, то удар
действительно является длительным, и тогда максимальная
деформация равна удвоенной амплитуде. Если же л/Х > т,
то удар является «коротким» и для определения максимума
деформации следует пользоваться формулой (26.55).
Отметим, что в этом случае форма решения линеаризо-
ванного уравнения уже не является гармонической; график
движения состоит из двух синусоид, сопрягающихся в точке
с абсциссой т. При этом использование метода гармонической
линеаризации носит несколько необычный характер: близость
первоначально выбранного и полученного решения обеспечи-
вается приравниванием максимальных значений и (/). Пред-
ставляя формулу (26.55) в виде
и = а —[аЧ~ ДтО +C0S^T)—""‘MrF'l cos +
ml2 ‘ L т^2	т^2 J
+ sin Хт sin Xt (26.58)
находим максимум этого выражения:
_a_(WL ,
“max — и т^2
V[т^а — ^0 (а) + Q, (1 + cos А.т)]2 + Qjj sin2 Хт
тК2	* )
§ 26] НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 285
Приравнивая его максимуму и, полученному из (26.46) и
равному 2а, получаем уравнение для определения а:
X а — Uо (а) -J— Qo (1 -|- cos Хт)] —J” Qo sin Хт =
= [/пХ2а + (70(а)]2, (26.60)
которое может быть преобразовано к более удобному виду
Qo (1 4- cos Хт) [mX2a — t/0 (a) + Qo] = 2/nX2at/0 (a). (26.61)
Изложенный метод может быть применен и для решения
уравнений более общего вида. Если уравнение движения
задано в форме (26.1), то, разыскивая решение вида (26.46)
и полагая
U(и, и) ^Uo+	(26.62)
можно получить следующие формулы для коэффициентов
линеаризации:
2л
^0~2л~] t7[a(l—cos гр), Xa sin гр] dty, (26.63)
о
2л
сл = — J U [a (1— cos гр), Ха sin гр] cos гр б?гр, (26.64)
о
2л
= J —cos ф), Ха sinip] sin'ipt/'ip. (26.65)
о
Решая линеаризованное уравнение
тuQ + £да° + сда° + UQ = Q (/),	(26.66)
при начальных условиях
£ = 0, а° = — а, а° = 0
получаем
а ~ а0 4“ a — a (1 — cos Х^Ч-
t
+ 4r J — Ц>1 е~я sin Xi (/-/')<#'. (26.67)
1 о
286
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Здесь
n=4i-- = ]А2 — «2
2т 1 г
зависят от амплитуды а. Определив максимум выраже-
ния (26.67) и приравняв его 2а, можно получить уравнение
для определения а. В общем случае это уравнение получается
сложным, и для его решения требуется значительная вычи-
слительная работа. Только в наиболее простых случаях,
примеры которых будут рассмотрены в следующем пара-
графе, удается получить сравнительно простые уравнения.
§ 27. Примеры расчета систем с одной степенью свободы
1. Определим максимальную деформацию и максимальную
упругую силу, возникающие при ударе в системе
«« + — tg-2A- = Qosln —	(27.1)
если
w=10 кг, £ = 40 000 н/м, Д = 0,015 м, Qo = 6OO н,
т = 0,02 сек.
Для решения задачи воспользуемся дельта-методом. Сна-
чала выберем величину соо. Поскольку, как указывалось
выше, желательно, чтобы выполнялось условие
«0 > Хо =	= 63,5 \/сек,
принимаем
соо = 77,5 \/сек\ «2 = 6000 {/сек.
Запишем выражение для функции 6 (a, ty
х / .z\	1 / Qo * л j	2сД i ли 1 л \ zo*7
6(«, t) = — — sin— t-----------tg —4-(02и . (27.2)
®o \ m т лт 2Д /
Вводя обозначения
n Qo	c f и f u
m<dQ	Д	До0
получаем
= ₽ sin t - tg -J u! + u'.	(27.3)
§ 271
Примеры расчета
287
В рассматриваемом случае
» ВОР"................... n R....... -40000 п о о -
Р — 10 • 77,52 • 0,015 — °’	 Н ~ 10 • 77,52 — °’68,
—= 0,424-, “
Л
поэтому
6 (|р1 = 0,68 sin— 0.424 tg-1 «' + «'. (27.4)
Построение фазовой траектории будем производить в без-
размерных координатах и' и vr. Шаг времени выбираем
равным Д/ = 0,002 сек, то есть принимаем tk = 0,002k.
В формулу (27.4) подставляем значения sin — t при
t I /	т
t —	~ • Радиус соответствующего участка фазовой
траектории определяем графически (рис. 105). Вычисления
функции 6 (и, t)/& сведены в табл. 3, столбцы которой за-
полняются в ходе построения. Угол &yk, соответствующий
/г-му участку фазовой траектории, определяется по фор-
муле (26.12)
Дул = со0 Д/ == 0,155.
В результате построения определяется величина итах, как
абсцисса точки пересечения фазовой траектории с осью и.
Из рис. 105 находим
«тах= 0,715Д = 0,0107 м =10,7 мм.
288
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Таблица 3
t	. л sin	t т	р sin /	и'	л , — и 2	tg — «'	2 — tg — и' л 6 2	6 (и, t) А
0,001	0,156	0,106	0	0	0	0	0,106
0,003	0,454	0,309	0,003	0,0047	0,0047	0,002	0,310
0,005	0,707	0,481	0,010	0,0157	0,0157	0,007	0,484
0,007	0,891	0,606	0,025	0,039	0,040	0,017	0,614
0,009	0,988	0,673	0,055	J.086	0,086	0,036	0,692
0,011	0,988	0,673	0,095	0,150	0,151	0,064	0,704
0,013	0,891	0,606	0,150	0,236	0,240	0,102	0,654
0,015	0,707	. 0,481	0,220	0,348	0,363	0,154	0,549
0,017	0,454	0,309	0,300	0,471	0,509	0,216	0,393
0,019	0,156	0,106	0,380	0,603	0,689	0,292	0,198
0,021	—	—	0,470	0,735	0,904	0,383	0,085
0,023	—	—	0,545	0,855	1,150	0,487	0,058
0,025	—	—	0,610	0,958	1,422	0,603	0,007
0,027	—	—	0,660	1,035	1,685	0,714	—0,054
0,029	—	—	0,695	1,09	1,917	0,811	—0,116
Определяем максимальное усилие, передаваемое амортиза-
тором при ударе
Uy max =~ tgtg (1,57.0,715) = 800 н.
Таким образом, максимальная сила превышает Qo на 33%,
то есть в данных условиях амортизатор не защищает от
удара.
Построение фазовой траектории можно было бы произ-
водить только до точки Д1о, соответствующей моменту вре-
мени / = т. Определив из графика значение и(х) и я(т),
можно затем найти атах из уравнения
итах	.	и (Т)
j Uy(u)du = ~^- + f Uy (a) du. (27.5)
о	о
Левая часть этого уравнения представляет собой потенциаль-
ную энергию, соответствующую и = ктах. После окончания
удара система становится консервативной, поэтому макси-
мальная потенциальная энергия должна равняться полной энер-
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
289
§ 27)
гии системы при t — x. Произведя интегрирование в (27.5),
получим
л2 in /л , \ —	2--------•
Из графика находим, что и' (т) = 0,47, У(т) = 0,5. Решая
уравнение (27.6), определяем величину яшах:
2Д	I	Гя
= — arccos) cos -н- и (т) ехр
л	I	L *	J
2^2	и 1
СОлЛ	II
sH” <’)>!В=
= 0,695Д= 10,4 мл.
Таким образом, ошибка графического построения на участке
т < 7 < 7* составляет приблизительно 3%.
2. Решим теперь ту же задачу, применяя метод линеари-
зации. Находим решение линеаризованного уравнения
ти° + t/0(a)4-ca«° = Q0sin-Y* при
(27.7)
/пя° + и^(а)-^сЛи() — 0	при />т .
при начальных условиях
7 — 0, й°= — а, и° = 0.
Используя формулу (26.67) и учитывая, что в рассматри*
ваемом случае п == 0, получаем
w° =— acosW +
t
+ ^Г n<?Osinvf П-пР'—r)]-t/0}sinX(f—t)df. (27.8)
/71Л J \	l	J
0
19 M. 3. Коловский
290	КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. V
Производя интегрирование, находим
и = «°+ а = (1 — cos It) [а —	4-
-|------------ (JL-sinX/ — Xsin — /1 при	(27.9)
'х Х 7
п = (1 — cos М) (а —	+
“I------------HsinX(f— х) —sin A.Z] при £>т. (27.10)
Из проведенного выше расчета нам известно, что удар является
«коротким», то есть, что /* > т, и величину итах следует
определять по формуле (27.10), которую можно привести
к следующей форме:
nQoSinAt \сп„1# ।
' ! (я2 W +
4- JtQo<1+cosXTl sinU (27.11)
«Ат fe-X2)
Максимальное значение и равно сумме постоянной составляю-
щей и амплитуды колебаний; приравнивая его 2а, получаем
уравнение для определения а:
4~ у	а —С (a)sin Хт]2 4-С2 (а) (1 4-tCosXt)2 = 2а,
(27.12)
где
£(“) =------------Г.
„X, (•2Г~4
Это уравнение легко преобразуется к более простому виду
m№ =	[(а т№) S*n (л) О 4“ cos • (27.13)
§27]
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
291
В этом уравнении следует представить Уо и X как функ-
ции а. Используя формулы (5.52) и (5.53), определяющие
коэффициенты гармонической линеаризации с точностью до
моментов четвертого порядка, и учитывая, что в рассматри-
ваемом случае а0 = а, получаем
— 2с [tg (2 + К 3) ла _	(2 — К 3) ла 1
л/иа Y 3 L 4	4 J
Ц, = 4 [t/у (в) + Uy (« + й) + Щ а)] =
— 2сА Г+сг па । + (2 + К 3) ла I (2— Y 3) ла ]	/О7
“ “Зл" L g ”2" ' g 4 Г g 4 J *
где
Вводя обозначения
fa яа ।	(2 + / 3)ла 1(2-f3)na
mk2	. (2 + /3)ла	(2—К3)ла /3 W’
g 4	g 4
ф = 1т,
приводим уравнение (27.13) к следующему виду:
2а20 (а)	лф0т2	Г /	а0 (а) \ . , .
ТГ-'	[(° - -рт)s,n*+
+ wffi-w(1+C0S,4 <27Л6>
292
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Это уравнение удобнее всего решать графически, вычисляя
при различных значениях а функции:
л ч 2а20 (а)
ф(а) = -ГГ'
Чг (а) =-------------Г/а _	\ sin ф +
Дтф (л2 — ф2) [\ V 3 /
-J- *л-^Г°2--Г2\ О + cos ф)1,
1 Д/иф (л2 — ф2) 4 ’	•
и определяя абсциссу точки пересечения кривых Ф(а) и Т(а).
Выполнив расчет и построив
эти кривые (рис. 106), полу-
чаем а=0,357. Следовательно,
ятах=2аД=0,714Д=10,7 мм,
что совпадает с результатом,
полученным дельта-методом.
3. Найдем значение ятах
в той же задаче, рассматривая
удар как мгновенное приложе-
ние импульса силы
г
S== f —
я
о
Используя формулу (26.40), получаем
4Д2с
л2
In cos
явтах	4<?от2
2Д пт
(27.17)
Решая это уравнение, находим
2Д Г I Qo*2 \]
«шах = V arccos [exp (-	=
 2- 0,015 arccos jexp (— 0.8)] = 0,0100 м = 10,0 мм.
Таким образом, в рассматриваемом примере все три прибли-
женных метода дают близкие значения для «тах.
4. Исследуем поведение системы с кубической нелиней-
ной характеристикой и сухим трением при ударном воздей-
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
293
§ 27]
ствии, имеющим форму полной волны синусоиды
+	+	=	—Л(^—T)L (27.18)
приняв следующие значения параметров:
дп = 10 л;г, с = 40 000 н/м, е = 2-108 н/м3, //=150 я,
Qo = 6OO я, т = 0,03 сек.
Если ограничиться определением первого максимума де-
формации, то учет сухого трения не вызывает затруднений.
Поскольку во всем интервале времени 0 t t* знак и
сохраняется постоянным, сухое трение может рассматриваться
как постоянная сила, которая должна вычитаться из внеш-
него воздействия. Следует только учесть, что система остается
запертой до тех пор, пока
и движение начинается в момент времени /0, который может
определяться из условия
Q(t0) = H.	(27.19)
Решим задачу с помощью дельта-метода.
Из условия (27.19) находим
tQ — ~ arcsin	arcsin 0,25 = 0,0024 сек.
С этого момента следует начинать построение фазовой траек-
тории, принимая при этом
Как и в предыдущем примере, принимаем:
со0==77,5 Х/сек, ©2 = 6000 Х/сек2.
Составляем выражение для функции 6(w, f)
6(и, 0 = 4J—sin —— «3 + Н-Х2)«1, (27.20)
сор l т т т т v / J
где
Zo=4^4000
294
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Введем новую переменную:
/ и и 9
тогда
d (и!, t)
А
2л	Н
sin — t-------
*	Qo
eb?	/
—2-(“)3 + И
I2 \
ло 1 ,
— Hz
®о/
В рассматриваемом примере имеем:
А =-% = 0,01 м, — = 0,25,
«®о	Qo
eb?	Aq
—5-= 0,333,	1 -----£- = 0,333.
©g
Таким образом,
6 (и'.'t} = sin — t — 0,25 +
А	т	'
+ 0,333 [a' — (zz')3]. (27.21)
Это выражение справедливо при
и > 0; если и < 0, то знак при Н
в (27.20) следует изменить на про-
тивоположный; соответственно изменяется и формула (27.21):
6(t^’ Z) = sin 14- 0,25 4- 0,333 [и' — (и')3]. (27.21')
На рис. 107 построена фазовая траектория в координатах и'
и У = zz/cooA. Из графика находим
ZZmax = 0>ЗЗД = 0,33 СМ.
Максимальная сила, передаваемая амортизатором, в этом
случае равна сумме максимальной упругой силы и силы
сухого трения
^Апах (#»	= Uy (^max) ~F Н =
= 4 • IO4 - 3,3 • 10-3-|- 2- 108- З.З3 • 10~9+ 150 = 289 «.
В этом примере амортизатор уменьшает амплитуду ударного
воздействия приблизительно в два раза.
§ 28] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 295
§ 28. Системы с несколькими степенями свободы
Перейдем теперь к исследованию ударных явлений в вибро-
защитных системах с несколькими степенями свободы. При
выводе дифференциальных уравнений движения твердого тела,
подвешенного на упругих амортизаторах, мы не делали каких-
либо предположений о характере вынуждающих сил Qs(t);
поэтому уравнения движения в форме (21.16)—(21.17) или
(21.22) — (21.23) остаются справедливыми как для вибра-
ционных, так и для ударных воздействий. Однако при ана-
лизе ударных явлений нас будет интересовать не стационар-
ное решение, соответствующее установившемуся движению
системы, а решение задачи Коши, описывающее движение
при заданных начальных условиях, которые, как и в случае
системы с одной степенью свободы, будут предполагаться
нулевыми:
к. —О, wz = 0 при £ = 0	(f—1, .... N'). (28.1)
Здесь ЛГ — число простых упругих элементов.
Исключив из уравнений (21.22) и (21.23) неизвестные
функции Az и добавив к ним уравнения связей в форме (21.7),
получим следующую систему:
р	. ЛГ'	р
2	+	«/)+ 2 ^гЦ(иг, «г)=2<М?,(0 (28.2)
k=l	l=p+l	5=1
(/=1......p)>
p
ui=2ivikuk 0 =	.....N').	(28.3)
fc = l
Единственным универсальным методом .решения такой си-
стемы дифференциальных уравнений является численное инте-
грирование. Из разнообразных приемов численного интегри-
рования, описанных в литературе, наиболее удобным для
решения рассматриваемой задачи является, пожалуй, метод
Блесса [54>64], специально приспособленный для интегрирова-
ния систем уравнений второго порядка.
При применении метода Блесса уравнения (28.2) следует
разрешить относительно старших производных uk\ это всегда
возможно, поскольку — коэффициенты определенно поло-
жительной квадратичной формы (кинетической энергии
296
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
(ГЛ. V
системы), и определитель матрицы М, составленной из этих
коэффициентов, не может обращаться в нуль. Обозначим
через Mtj алгебраическое дополнение элемента Z-й строки
и /-го столбца определителя | М |; умножая Z-e уравнение
системы (28.2) на (/= 1..........р) и складывая эти урав-
нения, получаем
1 Г "1	• N'
мч	i(ui> ai)— 2 Nnu^ui' “i>
Z=1	.$=1
p	p M	N'
Ui)~ 2 zuui^<28-4)
^=1	i=i	i=p+i
(7 = 1.......P)-
Здесь
1	j p
= |M|	ez; “ I MI	(28.5)
z=i	z=i
При составлении уравнений (28.5) иногда более удобно пользо-
ваться другим выражением для коэффициентов $sj. Пусть S — мат-
рица, составленная из коэффициентов Тогда правые части урав-
нений (28.2) образуют вектор S*Q, где Q — вектор обобщенных сил,
а звездочка — знак транспонирования матрицы. С другой стороны,
формулы (21.21) могут быть записаны в матричной форме следую-
щим образом:
М ==
где А — диагональная матрица, составленная из коэффициентов пц.
Отсюда, если В — матрица, составленная из коэффициентов Р/у, то
BQ = Af-1S*Q = Л-1 (S*)"1 S*<? = А~ 1S~lQ.
Таким образом,
в = л_,з-1
и, следовательно,
=	(28.5')
где ssj — элементы матрицы S
Выберем величину «шага» интегрирования А/; предпола-
гается, что в течение этого интервала времени правые части
уравнений (28.4) могут быть приближенно приняты постоян-
ными и равными их значениям в начале интервала. Тем самым
» И
§ 28] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 297
истинное движение на интервале А/ заменяется движением
С ПОСТОЯННЫМИ вторыми производными функций
Пусть нам известны значения и (Z=l...............N')
в начале r-го интервала, то есть при t = tr_1 — (r—1)ДЛ
Определив значения Ul в этот момент времени
Ц (А-1) = Щ	и^г^} (I = 1............N')
и подставив их в уравнения (28.4), получаем
р	р М	N'
ty = 2 Р.А ('г-1)-£ -лг и‘ (^-1)- S ('г-1) (28-6)
5=1	1 = 1	1=р + 1
(7=1.......Р).
Поскольку в течение r-го шага значения Uj считаются по-
стоянными, в конце интервала имеем
«Ср = и. (t \ = tty + «<;- ’> М + «<;- ’>	(28.7)
У	< X /	J £	J	*
(7=1.......Р).
uy = Uj(t;) = uyiM + iq-V	(/=1.........р).	(28.8)
Далее, используя соотношения (28.3), находим
р
vljUy (Z = р 4- 1........N'),	(28.9)
р
=	(1 = р-|-1.....N').	(28.10)
Таким образом, по значениям и в начале r-го интер-
вала могут быть определены их значения в конце интервала.
Это позволяет, исходя из начальных условий (28.1), после-
довательно определить значения деформаций и их производ-
ных по времени при /==ДЛ 2ДЛ ЗД£ и т. д.
Естественно, что при применении такого способа числен-
ного интегрирования может происходить постепенное нако-
пление ошибок, так что точность решения может уменьшаться
с ростом времени. Для того чтобы избежать этого, Блесс
предложи^ эд эдждом эдтрм ццге интегрирования рврдить
298	КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Ц'Л. V
поправки в значения iij и tip величины которых могут быть
получены следующим образом:
= a(5k)	(Д/)2	_]_ 2О«(5*-3) _ 29м<“-4)), (28.11)
~(5Л) = и(5й)_|_ Дф 1 и(5Л + 1) _|_ 5а(5*-3) _ 16н<5й-4)у (28.12)
Здесь и — уточненные значения деформации и ее
производной в конце 5&-го интервала.
При расчете ударных явлений промежуток времени, на
котором ищется решение, обычно оказывается небольшим и
содержит немного «шагов» интегрирования; с другой сто-
роны, точность расчетов требуется невысокая. Поэтому, при-
меняя метод Блесса, можно в этих случаях обходиться без
введения поправок. При этом целесообразно, как и при рас-
чете систем с одной степенью свободы, заменить в выра-
жениях (28.6) значения вынуждающих сил в начале г-го
«шага» их средними значениями на r-м шаге:
=	(28.13)
*т-\
Естественно, что в этом случае выражения для поправок
(28.11) и (28.12) становятся уже несправедливыми, и поль-
зоваться ими не следует.
Точность численного интегрирования существенно зависит
от выбора «шага» А/. Учитывая практически достижимую
точность определения динамических характеристик вибро-
защитной системы, следует выбирать его с таким расчетом,
чтобы деформация каждого из простых элементов за время AZ
не превышала 1—2 мм. Исходя из этого условия и исполь-
зуя формулу (28.7), можно оценить допустимую величину
по вычисленным значениям и№ и и^~^. При этом не обяза-
тельно А/ должно быть постоянным, его можно уменьшать
в тех случаях, когда скорость деформации увеличивается и
увеличивать при уменьшении скорости.
Целью расчета может являться определение максимальных
усилий, передаваемых амортизаторами, или максимальных
ускорений отдельных точек амортизируемого объекта. В пер-
59М случае при слабом демпфировании достаточно огрдодг
§ 281
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
29g
читься определением максимальных деформаций; это может
быть сделано непосредственно в ходе численного интегриро-
вания уравнений движения. Для определения ускорений точек
объекта необходимо от координат ut перейти к абсолютным
ускорениям по обобщенным координатам, характеризующим
перемещения амортизируемого объекта как твердого тела.
Для этого удобнее всего воспользоваться соотношениями
(21.18). Дифференцируя их дважды, получаем
=	(«=1........Р)-	(28.14)
Подставляя в эти выражения значения найденные по
формулам (28.6), можно определить значения то есть
найти законы изменения qs. Абсолютные ускорения (линей-
ные и угловые) по обобщенным координатам могут быть
получены сложением переносных
и относительных ускорений.
В случае полностью амортизиро-
ванного объекта (р = 6) имеем
&х — ?4 4“ Рж»
еу = ?б + РГ
ез = £б + ₽*г .
(28.15)
= +
% с == ?3 +
Здесь хс, ус, zc—проекции	Рис. 108.
абсолютного перемещения центра
инерции амортизированного объекта на оси координат;
8Ж, еу, — составляющие вектора углового ускорения.
В качестве примера рассмотрим виброзащитную систему,
схема которой приведена на рис. 108. Найдем движение си-
стемы при ударе, вызванном перемещением основания с по-
стоянным ускорением А в направлении оси х, Длительность
удара — т. При этом будем считать, что упругие характе-
ристики простых элементов определяются формулами (22.23),
а диссипативными силами можно пренебречь.
Система обладает тремя степенями свободы. Единственное
уравнение связи вида (28.3)
«4 = w3
(28.16)
300
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
выражает деформацию «лишнего» элемента через деформа-
ции остальных элементов. Таким образом,
v41~V42 = 0,	V43=l.
Выражая обобщенные координаты системы qY = sx, q2 = sy1
q3 = Qz через деформации упругих элементов и2, и3,
получаем
h , ч	+ и2	w2 — «1
=	?2=-LT—•	93 = ^2^-
Следовательно,
Л _	h _ 1	_ 1
°11—2а’ °12 ——2а’ °21 — Т’	°22-Т’
,	1	1	Л
013—°31---------2а ’	°32—2а’	°23 — 033 —
Если т — масса объекта, р — его радиус инерции относи-
тельно оси у, то т1~ т2 = т, т3=т.р2. Отсюда по фор-
мулам (21.21) получаем следующие выражения для коэф-
фициентов
Hn = H22=T<1+V2+r2)’ Hl2 = -?d-Y2-r2).
т	т
Hi3=2“Y’	^2з=~уУ’ Нзз=^»
где
Составив из этих коэффициентов матрицу Л4, найдем значе-
ние ее определителя:
|Л1| = 4-г’
и алгебраических дополнений М1}-:
Л111 = 2И22 = 4-<1+г2)’	^12 = —Т(1 ~г2)’
Л113 = -^у.	=	4433 = -^ (У2 + ^-
§ 28] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 301
Теперь по формулам (28.5) определяем коэффициенты
и е/у:
Р11 ~ Р12 = ₽23 = 0»	Р13 ~ Р21 == ?22 = >
п	1 п 1 о У
Рз1	mr2a	» Рз2	тг2а	’ Рзз “	тг2а	»
у	Y	Y2 + г2
mr2 ’	е42 mr2 ’	е43 тг2 •
Наконец, по формулам (20.20) находим обобщенные силы
Qi — —mA,	Q2 = 0, Q3 = 0.
Составим теперь уравнения движения системы (28.4):
"1 = (1 + - гЪ>+
“Ь Y^3y (из) + У^4у (Й4)Ь
«2 =	«1 ~ г2)	~ d + иЪ <«2) ~	. -
— У^зу(«з) — 7^4у(«4)Ь
«з = — *+tY^iy («1) — Y^y («2) —
- (Y2 + г2) (Из) - (у2+Г2) t/4y («4)J.
Решение этой системы при условии (28.16) и нулевых началь-
ных условиях: t — 0, их = и2 = и3 = 0, иг — и2 — u3 = Q
будет удовлетворять соотношению
и2 = — uv	(28.18)
В самом деле, поскольку упругие характеристики Uly и U2y
нечетны и имеют тождественную форму, имеем при усло-
вии (28.18) t/ly(M1) = — U2y(u2). При этом первые два урав-
нения системы (28.17) оказываются тождественными, и эта
система сводится к двум уравнениям:
«1 = -^2 [— Цу (“1) + Y^3y («з)Ь
«3 = - Д + -^ [уЦу (И1)	(Y2 + г2) t/3y (Из)).
(28.19)
В этих уравнениях учтено, что и3 = я4 и элементы 3 и 4
имеют одинаковые упругие характеристики.
Таблица 4 g
№ шага k	4*-’) см	«<й- о СМ	«<»-*> см/сек	см!сек	•ц»> см fee к*	ф см!секг	см!сек	дЦА) см!сек	см	д«<3*> см
1	0	0	0	0	0	—6000	0	—12,0	0	—0,012
2	0	—0,012	0	—12,0	—48	—5900	—0,096	—11,8	—9,6.10”5	—0,036
3	-9,6-10"5	—0,048	-0,096	—23,8	—191	—5620	—0,382	—11,2	—5,7 • 10~4	—0,059
4	—5,8 • 10-4	—0,107	—0,478	—35,0	—427	—5140	—0,852	—10,3	—1,8.10-3	—0,080
5	—2,4 • 10 ~3	—0,187	—1,33	—45,3	—760	—4460	—1,52	—8,9	-4,2 - IO-3	—0,091
6	—6,9 • 10"3	—0,278	—2,85	—54,2	—1150	—3640	—2,30	—7,3	—0,008	—0,115
7	—0,0146	—0,393	—5,15	—61,5	—1730	—2420	—3,46	—4,8	—0,0138	—0,128
8	—0,0284	—0,521	—8,61	—66,3	—2560	—687	—5,09	—1,4	—0,022	—0.134
9	—0,050	—0,655	—13,7	—67,7	—3960	+2320	—7,9	+4,6	—0,035	—0,130
10	—0,085	—0,785	—21,6	—63,1	—6750	8180	—13,5	16,4	—0,056	—0,110
11	—0,141	—0,895	—35,1	—46,7	—14900	24900	—29,8	49,8	—0,100	—0,040
12	—0,241	—0,935	—64,9	3,1	—23880	43740	—48,1	87,5	—0,178	+0,094
13	-0,419	—0,841	—113	90,6	—7450	12500	—15	25,4	—0,240	0,206
14	—0,659	—0,635	—128	116	+275	5750	+3,8	11,0	—0,252	0,242
15	—0,911	—0,393	—124	127	5390	0	10,9	0	—0,240	0,254
16	—1,15	—0,140	—113	127	12900	—5610	26	—11	—0,200	0,243
17	—1,35	4-0,103	—87	116	34000	—17600	68	—35	—0,106	0,197
18	—1,456	0,300	—19	81	126000	—61160	19	— 9	—0,003	
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. V
§ 28] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 303
Произведем численное интегрирование уравнений (28.19)
при следующих значениях параметров системы: г2 = 0,75;
у = 0,5; с/т = 2000 1/сск2; с^т = 3000 1/ссл:2; Д = 1,5 см\
At = 1 см\ А = 6000 см!сек2\ х — 0,026 сек. Подставляя
значения с, ср	Л и	в формулы	(22.23),	получаем
^iv(^i)	2сЛ	ли,
—------=-----tg-—— = 1910tg(1 ,047л/!) см/сек2,
т	лт	2А	ь	1/	/
t73v(u3)	2с, Ai	ли3
-^-£ = ^Г^-2Г=1910^(,’57йз) ^2-
В эти выражения следует подставлять значения их и и3 в сан-
тиметрах. Таким образом, уравнения (28.19) записываются
в следующем виде;
= — 5100 tg 1,047«! + 2550 tg 1,57я3,
и3 = — 6000 + 2550 tg 1,047//х — 5100 tg 1,57zz3.
(28.20)
В табл. 4 приведены результаты численного интегрирования
этих уравнений при шаге Д^ = 0,002 сек без введения попра-
вок по Блессу; результаты интегрирования при внесении
поправок приведены в табл. 5. Как видно из этих таблиц,
введение поправок слабо влияет на значения я1тах и я3тах.
На последнем этапе шаг
интегрирования уменьшен;
его величина определена из
условия
и^
и^~
в конце послед-
их обращалось
с тем, чтобы
него шага
в нуль, то есть прини-
мало наибольшее значение.
Графики яДО и и3(0»
соответствующие интегриро-
ванию с введением попра-
вок, показаны на рис. 109. На этом же рисунке приведен
закон изменения абсолютного ускорения центра инерции амор-
тизируемого объекта, найденный по формуле
(«г — НР —	+ Ъ- <28.21)
Таблица 5
№ шага k	„(ft-о см	см	см/сек	из см/сек	•«<*) см/сек2	О см/сек2	см/сек	А“3Й> см1сек	д«<*> см	ДЯ<*» см
1	0	0	0	0	0	—6000	0	—12,0	0	—0,012
2	0	—0,012	0	—12,0	—48	—5900	—0,096	—11,8	—9,6 • 10"5	—0,036
3	—9,6 • 10-5	—0,048	—0,096	—23,8	—191	—5620	—0,382	—11,2	—5,7 • 10~4	—0,059
4	—5,8 • 10-4	—0,107	—0,478	—35,0	—427	—5140	—0,852	—10,3	—1,8 -10"3	—0,080
5	—2,4 • 10-3	—0,187	—1,33	—45,3	—760	—4460	—1,52	—1 8,9	—4,2- Ю-3	—0,091
		=	—0,0032;	6и3 =	0,0066;	dttj = -	-1,07;	6Д3 = 2,21		
6	—0,0108	—0,271	—3,92	—52	—1070	—3770	—2,37	—7,54	—0,010	-0,111
7 '	—0,0208	—0,382	—6,29	—59,1	—1630	—2570	—3,26	—5,14	—0,015	-0,123
8	—0,035	—0,505	—9,55	—64,2	—2420	—890	—4,8	—1,78	—0,024	—0,130
9	—0,059	—0,635	—14,3	—66,0	—3660	1800	—7,32	3,60	—0,035	—0,129
10	—0,094	—0,764	—21,0	—64,1	—6000	6850	—12,0	13,7	—0,056	—0,114
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ.
£
HibtseoiroM i 'W 0%
Продолжение
№ шага k	а(*-1) см	V СМ	др-*) см/сек	• (*-1) из см/сек	см/сек2	::(*) «з см.'сек2	ж» см/сек	дй<*> о см/сек	см	ДВ<*> см
		ди| =	—0,023;	6и3 = -	-0,0017;	Ъих — -	-11,8;	д«3 = 21.5			
11	—0,173	—0,878	—44,8	—41,6	—13740	19130	—27,5	38,3	—0,117	—0,045
12	—0,290	—0,921	—72,3	—3,27	—19100	34600	—38,2	69,2	—0,183	0,063
13	—0,473	—0,858	—105	66,0	—8440	15020	—16,9	30	—0,227	0,162
14	—0,700	—0,696	—122	96,0	—340	7600	—0,68	15,2	—0,243	0,207
15	—0,943	—0,489	—122,7	80,8	5300	1020	10,6	2,05	—0,234	0,164
			= 0,026;	би3 = 0,061;	би1=21,7;	6и3 =				= —15,2		
16	—1,151	—0,264	—90	67,6	12400	—4510	24,8	2,05	—0,155	0,126
17	—1,305	—0,138	—65,2	58,6	24400	—11400	49	—9,0	—0,081	0,095
13	—1,386	—0,043	—16,2	35,8	44400	—22000	16,2	—8	—0,003	0,006
	—1,389									
§ 28] СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
306
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
причем
(А при /<т,
[0 при t > т.
Из графика видно, что при заданном ударном воздействии
введение амортизаторов приводит к увеличению максимального
абсолютного ускорения центра инерции более чем в 5 раз.
§ 29.	Некоторые вопросы синтеза
противоударных устройств
В начале этой книги (стр. 20) на конкретном примере
было показано, что в ряде случаев защита от удара с по-
мощью линейных амортизаторов может оказаться практически
невыполнимой из-за слишком больших относительных пере-
мещений амортизируемого объекта. В этом параграфе мы
попытаемся выяснить, в какой степени возможности противо-
ударной защиты могут быть расширены за счет использова-
ния амортизаторов с любыми нелинейными динамическими
характеристиками. При этом мы будем предполагать, что
защита от удара является единственной целью применения
амортизации и поэтому виброзащитные свойства системы
могут не приниматься во внимание.
Рассмотрим простейшую систему, в которой амортизи-
руемый объект обладает одной степенью свободы, а форма
удара является прямоугольной
Q (/) = Qo при t < Т, ]
<2(0 = 0	при />г. J	<29J)
Пусть требуется, чтобы коэффициент динамичности при ударе
не превышал некоторого числа ц:
I ^max I HQo-	(29.2)
Определим, каким минимальным «свободным ходом» должна
обладать рассматриваемая система, для того чтобы усло-
вие (29.2) могло выполняться. При этом мы не будем пока
накладывать какие-либо ограничения на конструкцию амор-
тизирующего устройства; оно может быть сколь угодно
сложным, использующим любые технические средства. С ма-
тематической точки зрения это означает, что реакция аморти-
зирующего устройства — СЦ/) может быть любой кусочно*
§ 29]	СИНТЕЗ ПРОТИВОУДАРНЫХ УСТРОЙСТВ	307
непрерывной функцией времени, удовлетворяющей усло-
вию (29.2). Тем самым мы приходим к следующей формулировке
поставленной задачи. Задано уравнение движения объекта:
mu = Q(t) ~ U(t).	(29.3)
Среди всех кусочно-непрерывных функций U(/), удовлетво-
ряющих условию (29.2), требуется найти такую, при которой
максимальное значение абсолютной величины функции я(£),
являющейся решением уравнения (29.3), при нулевых началь-
ных условиях оказалось бы наименьшим. Требуется также
определить величину этого наименьшего из максимумов
Amin = minmax | и (/) |,	(29.4)
которая, очевидно, и будет равна наименьшему свободному
ходу.
Интегрируя дважды уравнение (29.3) и используя извест-
ную формулу преобразования двойного интеграла (см., на-
пример, I48]), получаем
t t
“ = i f dt f
0	0
t
=i J(/ - e)[Q - u dt'=
0
r	t
= Jdt'- i J {t~ u^dt'“i-
Q	0
где
T
m1==A |
0
^t2	при
= о	(29.5)
^-n2 — (t — T)2] при />т,
t
u2 = ± $	(29.6)
о
20*
308
КОЛЕБАНИЯ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ГЛ. V
Очевидно, что при задача имеет решение
t7(/) = Q(/).
(29.7)
Действительно, в этом случае функция U (t) удовлетворяет
условию (29.2), a u(t) тождественно равна нулю. Этот
результат означает, что в тех случаях, когда не требуется
уменьшить ударное воздействие, передаваемое на объект,
всегда можно создать систему амортизации со свободным
ходом, равным нулю, независимо от того, какова длитель-
ность ударного воздействия. Выполнение условия (29.7) может
быть достигнуто самым тривиальным способом — жестким
креплением объекта к основанию. Таким образом, относи-
тельное перемещение становится необходимым только при
ц < 1, то есть если ударное воздействие должно быть умень-
шено амортизатором.
В этом случае |t7(0l < Qo и поэтому при / <т относи-
тельное ускорение и является положительным, a«(Z)— моно-
тонно возрастающей функцией времени. Отсюда ясно, что
первый экстремум относительного перемещения окажется
положительным и будет достигаться при / = /*>т. Для того
чтобы этот первый максимум был наименьшим, следует сде-
лать наибольшим слагаемое «2- Поскольку, вследствие усло-
вия (29.2),
t	t
Q	0
следует принять
U (0 = pQ0 при

При этом — и2 будет принимать при любом t наименьшее
возможное значение
Ц=:и{~ U2
(1 — ц)
2т 4
при
и = их—и2
н)—(f—т)2] при
(29.8)
Значение t* определяется из условия обращения и в нуль:
« = ~ К (1 - Н) - (t - т)] =	(Т -	= °.
§ 29]	СИНТЕЗ ПРОТИВОУДАРНЫХ УСТРОЙСТВ	309
Отсюда
t* = -
“max — « ( ц ) —
И
<?от2(1 — I*)
2тр.
(29.9)
Таково наименьшее возможное значение первого максимума
относительного перемещения. Остается выбрать функцию U (/)
при / > t* таким образом, чтобы все последующие экстре-
мальные значения и не превосходили по абсолютной величине
первого максимума. Это можно сделать не единственным
способом. Можно, например, принять
U (t) = 0 при t > /*,
тогда при / > t* и, (t) будет оставаться постоянным и равным
первому максимуму.
Таким образом, при заданных условиях свободный ход
амортизатора не может быть сделан меньшим, чем
д _<?от2(1~н)
^ш,п —	2/И|х
(29.10)
если же удар (29.1) может быть приложен в любом напра-
влении, величина Amln должна быть увеличена вдвое. Однако,
определив минимально возможное значение свободного хода,
мы еще не решили задачу оптимального синтеза противо-
ударного устройства. Неизвестно, реализуема ли практически
система амортизации, в которой свободный ход равнялся бы
найденному минимальному значению. Задача заключается
в определении такой динамической характеристики упругого
амортизатора U (и, и), для которой решение уравнения
mu + U (и, tt) — Q (t)
при t < t* оказалось бы тождественным выражению (29.8),
а при t> t* было по абсолютной величине не больше А.
Покажем, что в рассматриваемом случае эта задача может
быть решена по крайней мере двумя способами.
а)	Пусть
U (и, и) = pQ0 sign и.
(29.11)
310
колебания при ударных воздействиях
[ГЛ. V
При и > 0 U =^= pQ0, что и требуется по условию. При t >
система будет совершать свободные колебания с амплитудой,
равной Amin; поэтому условие
max ^mln
будет выполнено.
б)	Примем теперь, что
U(tt, я) = yQ0 sign я.
(29.12)
Поскольку при t < и > 0, и в этом случае получаем
t/ = |xQ0-
При t > t* относительное перемещение останется постоянным
и равным Дт|П.
Для получения динамических характеристик (29.11) и (29.12)
необходимо использовать начальный натяг или сухое трение.
В обоих случаях характеристика реального амортизатора
будет несколько отличаться от требуемых. В системе с на-
чальным натягом реальная характеристика будет иметь такой
вид
U(и, u) = [iQQslgnu^ си,
где с — жесткость пружины, создающей натяг. В систему
с сухим трением также придется ввести пружину, возвра-
щающую объект в исходное положение равновесия. Это
означает, что действительное значение |я|тах окажется всегда
несколько большим, чем ДП11П.
Найдем теперь, какой эффект дает применение любых
амортизирующих устройств по сравнению с линейными уп-
ругими амортизаторами. Из соотношения (34) находим зна-
чение собственной частоты линейной системы 10, при кото-
ром передаваемое воздействие не превышает pQ0:
Хо = -| arc sin Ь.	(29.13)
При этом
= 22» sin
2
I # I шах
Qpt2 у '•
2/и 2 (arc sin-^)2
(29.14)
§29]	СИНТЕЗ ПРОТИВОУДАРНЫХ УСТРОЙСТВ	311
Сравнивая формулы (29.10) и (29.14), определяем отношение
максимальных деформаций:
-------г—гит-	<29Л5>
mIn 2 (1 — ц) Гаге sin-^J
При ц < 1 можно принять arcsin ~ у; тогда
(29.16)
Если р близко к единице, это отношение может быть весьма
большим, с уменьшением ц оно уменьшается, приближаясь
к двум. Таким образом, чем существеннее должно быть
уменьшено ударное воздействие, тем меньшее преимущество
может дать использование нелинейных амортизирующих
устройств.
Рассмотрим численный пример. Пусть QJm= 150 м!сек\
т = 0,05 сек, ц = 0,33. Подставляя эти значения в формулу
(29.10), получаем
Л	150 • 25 • 10~4 • 0,67
Aniin 2-0,33	0,375 м.
Ранее, для того же случая, но при использовании ли-
нейных амортизаторов, мы получили ятах = 1,15 м (см. стр. 20).
Уменьшение свободного хода за счет использования нели-
нейных амортизаторов может на первый взгляд показаться
значительным, тем не менее и уменьшенное его значение
остается достаточно большим.
В более общем случае задача оптимального синтеза про-
тивоударных устройств рассматривалась в работах В. В. Гу-
рецкого [7]. В этих работах приводится методика определе-
ния Ат|П для ударного воздействия произвольной формы.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Подробное изложение линейной теории виброзащитных
систем, а также некоторых вопросов нелинейной теории,
содержится в книгах, упомянутых в предисловии [4»8>9» 56],
Обширный справочный материал содержится во втором
томе справочника [63]; там же имеется библиографический
указатель, охватывающий главным образом работы амери-
канских авторов.
К главе I
С основами классических методов теории нелинейных
колебаний читатель может ознакомиться по книгам А. А. Андро-
нова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина р], Н. Н. Боголюбова
и Ю. А. Митропольского [3], И. Г. Малкина [34], Дж. Сто-
кера [50], Г. Каудерера [13]. Подробное изложение методов
гармонического баланса и гармонической линеаризации со-
держится в книге Е. П. Попова и И. П. Пальтова [42].
В работе А. И. Лурье и А. И. Чекмарева [32] изложен ме-
тод Галеркина в применении к задачам теории нелинейных
колебаний. Метод линеаризации по функции распределения
рассматривался в работах А. А. Первозванского и ав-
тора р8’19’20], а метод статистической линеаризации — в рабо-
тах И. Е. Казакова [п], книгах В. С. Пугачева [43] и
А. А. Первозванского [40]. Некоторые основные положения
теории устойчивости стационарных решений содержатся
в книгах Дж. Стокера [50] и Т. Хаяси [53J; более подробное
изложение теории устойчивости движения можно найти,
например, в книге И. Г. Малкина [35]. Подробное изложение
приближенных методов теории нелинейных колебаний содер-
жится также в книге В. Каннингхэма р2].
К главе II
Имеется большое число работ, рассматривающих влияние
внутреннего трения на развитие колебаний. Цаибод^е HeTKQf
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
313
изложение основных результатов можно найти в книге
Я. Г. Пановко I38], где имеется и обширный библиографи-
ческий указатель. Следует упомянуть также работу Е. С. Со-
рокина [49]. Некоторые вопросы, связанные с физической
природой сухого трения, рассмотрены в книге И. В. Кра-
гельского и В. С. Щедрова [28].
Описания конструкций упругих амортизаторов можно
найти в книгах Ю. И. Иориша [9], В. С. Ильинского [8],
справочнике [63], а также в книге Ч. Морроу [61].
К главе III и IV
Исследованию вынужденных колебаний в системах с од-
ной степенью свободы посвящены работы А. М. Каца [14> 15»1б].
Субгармонические колебания впервые были исследованы
в работе Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси [36].
Подробный анализ субгармонических колебаний содержится
в книгах Дж. Стокера [50] и Т. Хаяси [53]. Колебания в ме-
ханических нелинейных системах при случайных воздействиях
рассмотрены в работах Р. Лайона [59>60], С. Крендалла и
У. Марка J29»55], С. Кауфмана, У. Лапинского и Р. Мак Кеа [58].
Колебания в системах с жесткими упорами рассмотрены точ-
ными методами в работе А. Е. Кобринского [17].
Теория малых колебаний в линейной системе с многими
степенями свободы излагается в книгах И. М. Бабакова [2],
Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье [30], Ф. Р. Гантмахера [6].
К главе V
Удар в нелинейной системе исследуется в книге Ч. Крида [55],
работе Фына и Бэртона [57] и ряде других работ. Проблеме
оптимального синтеза противоударных устройств посвящена
работа В. В. Гурецкого [7].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э., Теорйя коле-
баний, изд. 2-е, Физматгиз, 1959.
2.	Бабаков И. М., Теория колебаний, Изд-во «Наука», 1965.
3.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптоти-
ческие методы в теории нелинейных колебаний, изд. 2-е, Физ-
матгиз, 1958.
4.	Вильсон У. Кер, Вибрационная техника, Машгиз, 1963.
5.	В е н т ц е л ь Е. С., Теория вероятностей, изд. 2-е, Физматгиз, 1962.
6.	Г а н т м а х е р Ф. Р., Лекции по аналитической механике, Физ-
матгиз, 1960.
7.	Г у р е ц к и й В. В., О предельных возможностях защиты обору-
дования от воздействия ударов, Изв. АН СССР, ОТН, Механика,
№ 1 (1965).
8.	И л ь и н с к и й В. С., Вопросы изоляции вибраций и ударов,
«Сов. радио», 1960.
9.	Иориш Ю. И., Защита самолетного оборудования от вибрации,
Оборониздат, 1949.
10.	Иориш Ю. И., Субгармонический резонанс в системе с упру-
гими ограничителями хода, ЖТФ, т. 16, № 6 (1946).
11.	Казаков И. Е., Некоторые вопросы теории статистической
линеаризации и ее приложений, Труды 1 Международного конг-
ресса по автоматике, изд. АН СССР, т. 3, 1961.
12.	Кан'нингхэм В., Введение в теорию нелинейных систем,
Госэнергоиздат, 1962.
13.	Каудерер, Нелинейная механика, ИЛ, 1961.
14.	Кац А. М., Бигармонические колебания диссипативной нели-
нейной системы, вызываемые или поддерживаемые гармониче-
ской возмущающей силой, ПММ, т. XVIII, вып. 4, 1954.
15.	Кац А. М.» Вынужденные колебания нелинейных систем с одной
степенью свободы, близких к консервативным. Прикладная мате-
матика и механика, т. XIX, вып. 1 (1955).
16.	Кац А. М., О вынужденных нелинейных колебаниях. Труды
Ленингр. индустриального ин-та, ГОНТИ, 1939.
17.	Кобринский А. Е., Механизмы с упругими связями, Изд-во
«Наука», 1964.
18.	Коловский М. 3., Первозванский А. А., О линеариза-
ции по функции распределения в задачах теории нелинейных
колебаний. Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение,
№ 5 (1962).
ЛИТЕРАТУРА
315
19.	Коловский М. 3., Первозванский А. А., Применение
метода функций распределения для определения полигармониче-
ских решений нелинейных уравнений. Изв. вузов. Машино-
строение, № 4 (1963).
20.	К о л о в с к и й М. 3., О выборе закона распределения при ли-
неаризации нелинейных дифференциальных уравнений. Труды
Ленингр. политехи, ин-та, № 235, Изд-во «Машиностроение», 1964.
21.	Коловский М. 3., Вынужденные колебания в нелинейных
амортизаторах при наличии силы сопротивления, пропорцио-
нальной скорости относительного перемещения. Труды Ленингр.
политехи, ин-та им. М. И. Калинина, № 210, Машгиз, 1960.
22.	Коловский М. 3., Вынужденные колебания в упругих амор-
тизаторах при наличии силы сухого трения. Труды Ленингр.
политехи, ин-та им. М. И. Калинина, № 210, Машгиз, 1960.
23.	Коловский М. 3., О расчете нелинейных упругих амортиза-
торов с одной степенью свободы. Изв. АН СССР, ОТН, Меха-
ника и машиностроение, № 4 (I960).
24.	К о л о в с к и й М. 3., О колебаниях твердого тела на нелинейных
упругих амортизаторах. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и ма-
шиностроение, № 2 (1961).
25.	К о л о в с к и й М. 3., О некоторых разновидностях виброизолирую-
щих амортизаторов, Научно-технич. информационный бюллетень
Ленингр. политехнического ин-та им. М. И. Калинина, № 8,
Изд-во Ленингр. политехи, ин-та, 1959.
26.	Коловский М. 3., Вынужденные колебания амортизированного
объекта при случайных воздействиях, Изв. АН СССР, ОТН,
Механика и машиностроение, № 1 (1963).
27.	Коловский М. 3., О применении метода малого параметра
для определения разрывных периодических решений. Труды
Международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т. 1,
Изд-во АН УССР, 1963.
28.	К р а г е л ь с к и й И. В.» Щ е д р о в В. С., Развитие науки
о трении, Машгиз, 1955.
29.	К р е н д а л л С., Случайные колебания нелинейной системы
с предварительно поджатой пружиной, Сб. переводов «Механика»,
№ 3, 1962.
30.	Л о й ц я н с к и й Л. Г. и Лурье А. И., Курс теоретической
механики, т. II, Гостехиздат, 1938.
31.	Лурье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, 1961.
32.	Лурье А. И. и Чекмарев А. И., Вынужденные колебания
в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух
прямолинейных отрезков, ПММ, т. 1, вып. 3, 1937.
33.	Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения,
Гостехиздат, 1950.
34.	Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных коле-
баний, Гостехиздат, 1956.
35.	Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат,
1952.
36.	М а н д е л ь ш т а м Л. И., П а п а л е к с и Н. Д., О явлениях
резонанса n-го рода, Мандельштам Л. И. Полное собрание тру-
дов, т. II, Изд-во АН СССР, 1947.
316
ЛИТЕРАТУРА
37.	Николенко Г. И., Теория амортизации вибрационных машин,
Сб. «Механика и расчет машин вибрационного типа», Ин-т ма-
шиноведения АН СССР, 1957.
38.	П а н о в к о Я. Г., Внутреннее трение при колебаниях упругих
систем, Физматгиз, 1960.
39.	П а н о в к о Я. Г. и Г у б а н о в а И. И., Устойчивость и коле-
бания упругих систем, Изд-во «Наука», 1964.
40.	П е р в о з в а н с к и й А. А., Случайные процессы в нелинейных
автоматических системах, Физматгиз, 1952.
41.	П оном арев С. Д., Расчет и конструирование витых пружин,
ОНТИ, 1938.
42.	Попов Е. П. и Пальтов И. П., Приближенные методы ис-
следования нелинейных автоматических систем, Физматгиз,
1960.
43.	Пугачев В. С., Теория случайных функций и ее применение
к задачам автоматического управления, изд. 3-е, Физматгиз, 1962.
44.	Розе Н. В., Лекции по аналитической механике, изд, ЛГУ, 1938.
45.	Р о з е н в а с с е р Е. Н., Вариационный подход к оценкам ме-
тода гармонического баланса, Изв. АН СССР, ОТН, Техническая
кибернетика, № 1 (1964).
46.	Розенвассер Е. Н., О применении интегральных уравнений
к теории нелинейных колебаний, Доклад на Втором Всесоюз-
ном съезде по теоретической и прикладной механике, 1964 (в пе-
чати).
47.	Свешников А. А., Прикладные методы теории случайных
функций, Судпромгиз, 1961.
48.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. II, изд. 16-е,
1958.
49.	Сорокин Е. С., Метод учета неупругого сопротивления ма-
териала при расчете конструкций на колебания, Сб. «Исследова-
ния по динамике сооружений», Госстройиздат, 1951.
50.	Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и элек-
трических системах, ИЛ, 1953.
51.	Т р о и ц к и й В. А., Матричные методы расчета колебаний
стержневых систем. Труды Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Ка-
линина, № 210, Машгиз, 1960.
52.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. I—III, Гостехиздат, 1949.
53.	X а я с и Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, ИЛ,
1957.
54.	Blaess V., Zur angenaherten Losung gewohnlicher Differential-
gleichungen, Zeits. VDI, Bd. 81, 1937.
55.	Crandall S. H., Ma r k W. D., Random vibration in mechanical
systems, N. Y. — London, 1963.
56.	C r e de Ch. E., Vibration and Shock Isolation, John Willey and
Sons, N. Y. — London, 1952.
57.	Fung I. C., Barton M. V., Shock response of a nonlinear
system, Trans. ASME, E29, 3, 1962.
58.	К a u f m a n S., Lapin ski W. L., Me C a a R. C., Response of
a single-degree of freedom isolator to a random disturbance, J. of
the Acoust. Soc. of Amer., v. 33, N 8, 1961.
ЛИТЕРАТУРА	317
59.	Lyon R. H., Equivalent linearisation of the hard-spring oscillar
tor, J. of the Acoust. Soc. of Amer., v. 32, N 9, 1960.
60.	Lyon R. H., On the vibration statistics of a randomly excited
hard-spring oscillator, J, of the Acoust. Soc. of Amer., v 32, N 6,
1960; v. 33, N 11, 1961.
61.	Morrow Ch. T., Shock and vibration engineering, John Willey
and Sons, N. Y. — London, 1963.
62.	О к u m u r a A., On a method for vibration problems of branchtype
systems, Proc. 2nd Japan Nat. Congr. Applied Meeh., 1952, Tokyo,
1953.
63.	Shock and vibration handbook, v. I—II, McGraw-Hill, 1961.
64.	Zurmiihe R., Zur numerischen Integration gewohnlicher Diffe-
rential-gleichungen zweiter und hdherer Ordnung. Zeits. fur angew.
Math, und Meeh., Bd. 20, 1940.
Михаил Захарович Коловский
Нелинейная теория виброзащитных систем
М., 1966 г., 320 стр. с илл.
Редактор В. И. Бабицкий
Техн, редактор Я. Ш. Аксельрод
Корректор Г. Г. Желтова
Сдано в набор 21/Х 1965 г. Подписано к пе-
чати 11/1 1966 г. Бумага 84хЮ8’/82« Физ. печ. л. 10.
Условн. печ. л. 16,80. Уч.-изд. л. 15,55. Тираж 4500 экз.
Т-01417. Цена книги 1 р. 18 к. Заказ № 1949.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Измайловский проспект, 29.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Карачаров К. А. и ПилютикА. Г., Введение в тех-
ническую теорию устойчивости, 1962, 143 стр., 73 коп.
Кирпиче в В. Л., Беседы о механике. Изд. 5-е, 1951,
360 стр., 87 коп.
Купрадзе В. Д., Методы потенциала в теории упру-
гости, 1963, 472 стр., 1 р. 70 к.
Лурье А. И., Аналитическая механика, 1961, 824 стр.,
2 р. 70 к.
П а н о в к о Я. Г., Внутреннее трение при колебании упру-
гих систем, 1960, 193 стр., 62 коп.
П а р к у с Г., Неустановившиеся температурные напря-
жения. Перевод с немецкого, 1963, 252 стр., 82 коп.
Прагер В., Проблемы теории пластичности. Перевод
с немецкого, 136 стр., 63 коп.
Ройтенберг Я. Н., Некоторые задачи управления дви-
жением, 1963, 140 стр., 10 000 экз., 38 коп.
Синг Дж. Л., Классическая динамика. Перевод с англий-
ского, 1963, 448 стр., 1 р. 27 к.
Фрейденталь А. и Гейрингер X., Математиче-
ские теории неупругой сплошной среды. Перевод с английского,
1962, 432 стр., 1 р. 27 к.
Требуйте вышедшие книги в магазинах Книготорга. На
печатающуюся литературу принимаются предварительные
заявки. В случае отсутствия перечисленных книг на месте и
при отказе от приема предварительного заказа следует обра-
щаться в областные, краевые или республиканские магазины
«Книга — почтой», высылающие литературу наложенным пла-
тежом (без задатка).
-	=	—а—   —~=~ _-----------м
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
Айзерман М. А., Теория автоматического регулиро-
вания.
В о л ь м и р А. С., Устойчивость деформируемых систем.
Изд. 2-е, перераб. и дополн.
Ивлев Д. Д., Теория идеальной пластичности.
Коган М. Н., Динамика разреженных газов.
Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи
математической теории упругости. Изд. 5-е, дополн.
Р а б о т н о в Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций.
Ройтенберг Я. Н., Гироскопы.
Запросы можно направлять отделу технической литера-
туры В/О «Союзкнига» по адресу: Москва, В-71, Ленинский
проспект, 15, «Союзкнига».