Text
                    Издательский Дом
ИНТЕЛЛЕКТ
Б. САЛЕХ, М. ТЕЙХ
ОПТИКА И ФОТОНИКА
ПРИНЦИПЫ И ПРИМЕНЕНИЯ
Том 1

Б. САЛЕХ, М. ТЕЙХ ОПТИКА И ФОТОНИКА ПРИНЦИПЫ И ПРИМЕНЕНИЯ Том 1 Перевод с английского В.Л. Дербова л Издательский Дом ИНТЕЛЛЕКТ ДОЛГОПРУДНЫЙ ---
Б. Салех, М. Тейх Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Т. 1 / Б. Салех, М. Тейх — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2012. — 760 с.: цв. вкл. ISBN 978-5-91559-038-9 Сравнительно новый термин «фотоника» возник по аналогии с хорошо известным терми- ном «электроника». Это современное состояние науки о взаимодействии света и вещества и многочисленных технологических приложениях. Этот термин отражает квантовую (фотонную) природу света и включает широкий круг физических явлений, методов и устройств, используемых для генерации света, управления его свойствами, передачи, регистрации, воздействия светом на вещество и оптической диаг- ностики материальных сред. В учебной литературе на русском языке, рассчитанной на сту- дентов физических и технических специальностей, в настоящее время отсутствует книга, объе- диняющая указанный круг проблем. Данный пробел призван восполнить перевод на русский язык второго издания книги известных американских специалистов. Содержание книги охватывает оптику лучей, волн и пучков, фурье-оптику, электромагнит- ную теорию света, поляризационную оптику, оптику фотонных кристаллов, волноводов и резонаторов, элементы статистической и квантовой оптики, взаимодействие фотонов с ато- мами, лазерные усилители и лазеры, оптику полупроводников, полупроводниковые источ- ники и приемники фотонов, акусто- и электрооптику, основы нелинейной оптики, включая оптику ультракоротких импульсов света, а также основные сведения об оптических системах связи и их элементах — оптических соединителях и переключателях. Начиная с элементарных основ оптики, авторы достаточно быстро подводят читателя к самым современным научным достижениям и техническим решениям. Математический ап- парат изложен лаконично, но достаточно строго, наглядность обеспечивается большим ко- личеством иллюстраций. Каждый раздел книги снабжен хорошо продуманным набором задач, что делает ее весьма полезной как для преподавателей, так и для самостоятельной работы студентов. Огромный объём материала, охватывающего все разделы оптики, потребовал выпустить книгу на русском языке в виде двухтомника. FUNDAMENTALS OF PHOTONICS SECOND EDITION BAHAA E. A- SALEH Boston University M ALVIN CARLTEICH Boston University Columbia Unive rsity ISBN 978-5-91559-038-9 ISBN 978-0-4713-5832-9 (англ.) © 2007, John Wiley & Sons © 2012, 000 Издательский Дом «Интеллект», перевод на русский язык, оригинал-макет, оформление
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.................................... 10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.................................... 18 Глава 1 ОПТИКА ЛУЧЕЙ......................................................21 1.1. Постулаты лучевой оптики..................................23 1.2. Простые оптические элементы...............................27 1.2.1. Зеркала..............................................27 1.2.2. Плоские границы......................................31 1.2.3. Сферические границы и линзы..........................34 1.2.4. Световоды............................................38 1.3. Оптика сред с градиентным показателем преломления.........40 1.3.1 Уравнение луча....................................... 41 1.3.2. Оптические элементы с градиентным показателем преломления............................................43 *1.3.3. Уравнение эйконала...................................48 1.4. Матричная оптика..........................................50 1.4.1. Матрица передачи луча................................51 1.4.2. Матрицы простых оптических элементов.................52 1.4.3. Матрицы каскада оптических элементов.................54 1.4.4. Периодические оптические системы.....................57 Глава 2 ОПТИКА ВОЛН.......................................................69 2.1. Постулаты волновой оптики.................................70 2.2. Монохроматические волны...................................72 2.2.1. Комплексное представление и уравнение Гельмгольца....73 2.2.2. Элементарные волны...................................75 2.2.3. Параксиальные волны..................................80 *2.3. Связь между волновой и лучевой оптикой....................82 2.4. Простые оптические элементы...............................84 2.4.1. Отражение и преломление..............................84 В конце каждой главы приведены литература, рекомендуемая авторами, и задачи. — Прим, издательства.
4 Оглавление 2.4.2. Прохождение через оптические элементы................85 2.4.3. Оптические элементы с градиентным показателем преломления................................................93 2.5. Интерференция.............................................94 2.5.1. Интерференция двух волн..............................94 2.5.2. Многоволновая интерференция........................ 101 2.6. Полихроматический и импульсный свет......................105 2.6.1. Временное и спектральное описание...................106 2.6.2. Световые биения....................................... 110 Глава 3 ОПТИКА ПУЧКОВ................................................... 116 3.1. Гауссов пучок........................................... 117 3.1.1. Комплексная амплитуда.............................. 117 3.1.2. Свойства........................................... 119 3.1.3. Качество пучка..................................... 129 3.2. Прохождение через оптические элементы................... 130 3.2.1. Прохождение через тонкую линзу..................... 130 3.2.2. Формирование пучка..................................133 3.2.3. Отражение от сферического зеркала.................. 137 *3.2.4. Прохождение через произвольную оптическую систему. 138 3.3. Пучки Эрмита—Гаусса..................................... 141 3.4. Пучки Лагерра—Гаусса и Бесселя.......................... 145 Глава 4 ФУРЬЕ-ОПТИКА.................................................... 151 4.1. Распространение света в свободном пространстве.......... 154 4.4.1. Пространственные гармоники и плоские волны......... 154 4.1.2. Передаточная функция свободного пространства....... 164 4.1.3. Функция отклика на импульсное воздействие для свободного пространства............................................. 168 4.1.4. Принцип Гюйгенса—Френеля........................... 170 4.2. Оптическое преобразование Фурье......................... 170 4.2.1. Преобразование Фурье в дальней зоне................ 171 4.2.2. Преобразование Фурье с помощью линзы............... 174 4.3. Дифракция света......................................... 178 4.3.1. Дифракция Фраунгофера.............................. 180 4.3.2. Дифракция Френеля.................................. 184 4.4. Формирование изображения................................ 189 4.4.1. Лучевая оптика однолинзовой изображающей системы....189 4.4.2. Волновая оптика формирования изображения в 4/1системе. 191 4.4.3. Волновая оптика однолинзовой изображающей системы..... 195 4.4.4. Формирование изображения в ближнем поле.............200 4.5. Голография...............................................203
Оглавление Глава 5 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА...........................................221 5.1. Электромагнитная теория света.............................223 5.2. Электромагнитные волны в диэлектрических средах...........227 5.2.1. Линейные, нелиспергируюгцие, однородные и изотропные среды.......................................................228 5.2.2. Нелинейные, диспергирующие, неоднородные, или неизотропные, среды.....................................230 5.3. Монохроматические электромагнитные волны..................236 5.4. Элементарные электромагнитные волны.......................239 5.4.1. Плоские, сферические и гауссовы электромагнитные волны.239 5.4.2. Связь между электромагнитной и скалярной волновой оптикой.....................................................245 5.4.3 Векторные пучки.......................................246 5.5. Поглощение и дисперсия....................................247 5.5.1. Поглощение...........................................247 5.5.2. Дисперсия............................................251 5.5.3. Резонансная среда....................................253 5.5.4. Оптика проводящих сред...............................260 5.6. Распространение импульсов в средах с дисперсией...........265 5.7. Оптика магнитных материалов и метаматериалов..............274 Глава 6 ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ ОПТИКА............................................283 6 1. Поляризация света........................................285 6.1.1. Поляризация..........................................285 6.1.2. Матричное представление..............................290 6.2. Отражение и преломление...................................298 6 3. Оптика анизотропных сред ................................306 6.3.1. Показатели преломления...............................307 6.3.2. Распространение вдоль главной оси....................310 6.3.3. Распространение в произвольном направлении ..........312 6.3.4. Дисперсионные соотношения, лучи, волновые фронты и перенос энергии...........................................314 6.3.5. Двулучепреломление...................................319 6.4. Оптическая активность и магнитооптика.....................322 6.4.1. Оптическая активность................................322 6.4.2. Магнитооптика: эффект Фарадея .......................326 6.5. Оптика жидких кристаллов..................................328 6.6. Поляризационные устройства................................332 6.6.1. Поляризаторы.........................................332 6.6.2. Фазовые пластинки ...................................333 6.6.3. Вращатели плоскости поляризации......................335 6.6.4. Невзаимные поляризационные устройства................336
6 Оглавление Глава 7 ОПТИКА ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ.......................................343 7.1. Оптика многослойных диэлектрических сред.................346 7.1.1. Матричная теория многослойной оптики...............346 7.1.2. Эталон Фабри—Перо..................................357 7.1.3 Решетка Брэгга......................................361 7.2. Одномерные фотонные кристаллы............................372 7.2.1 Моды Блоха..........................................373 7.2.2. Матричная оптика периодических сред................377 7.2.3 Фурье-оптика периодических сред.....................386 7.2.4. Границы между периодическими и однородными средами..389 7.3. Двумерные и трехмерные фотонные кристаллы................392 7.3.1. Двумерные фотонные кристаллы.......................393 7.3.2. Трехмерные фотонные кристаллы......................396 Глава 8 ОПТИКА ВОЛНОВОДОВ................................................406 8.1. Планарные зеркальные волноводы...........................408 8.2. Планарные диэлектрические волноводы......................418 8.2.1. Волноводные моды...................................419 8.2.2. Распределения полей................................423 8.2.3. Дисперсионные соотношения и групповые скорости.....426 8.3. Двумерные волноводы......................................429 8.4. Фотонно-кристаллические волноводы ..............434 8.5. Оптическая связь в волноводах............................436 8.5.1 Устройства ввода....................................436 8.5.2. Связанные волноводы................................439 8.5.3. Периодические волноводы............................446 8.6. Металлические волноводы с размерами меньше длины волны (плазмоника).................................................447 Глава 9 ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА................................................452 9.1. Направляемые лучи .......................................454 9.1.1. Волокна со ступенчатым профилем показателя преломления...............................................454 9.1.2. Градиентные волокна................................458 9.2. Направляемые волны.......................................460 9.2.1. Волокна со ступенчатым профилем показателя преломления...............................................461 9.2.2. Одномодовые волокна................................471 9.2.3. Квазиплоские волны в волокнах со ступенчатым и градиентным профилем показателя преломления.............474
Оглавление -J 7 9.3. Затухание и дисперсия.......................................481 9.3.1. Затухание.............................................482 9.3.2. Дисперсия.............................................485 9.4. Микроструктурные и фотонно-кристаллические волокна..........496 Глава 10 ОПТИКА РЕЗОНАТОРОВ.................................................504 10 1. Резонаторы с плоскими зеркалами...........................507 10.1.1 . Моды резонатора.....................................507 10.1.2 . Внеосевые моды резонатора...........................518 10.2. Резонаторы со сферическими зеркалами.......................519 10.2.1. Удержание лучей......................................520 10.2.2. Гауссовы моды........................................523 10.2.3. Резонансные частоты..................................528 10.2.4. Моды Гаусса—Эрмита...................................529 10.2.5. Конечные апертуры и дифракционные потери.............531 10.3. Дву- и трехмерные резонаторы ..............................533 10.3.1. Двумерные прямоугольные резонаторы...................533 10.3.2. Круговые резонаторы и моды шепчущей галереи..........535 10.3.3. Трехмерные резонаторы в виде прямоугольной полости.........537 10.4. Микрорезонаторы............................................540 10.4.1. Прямоугольные микрорезонаторы........................541 10.4 2 Резонаторы в виде микростолбиков, микродисков и микроторов................................................542 10.4.3. Микросферические резонаторы..........................543 10.4.4. Фотонно-кристаллические микрорезонаторы..............545 Глава 11 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИКА..............................................551 111. Статистические свойства случайного света....................553 11.1.1. Оптическая интенсивность.............................553 11.1.2. Временная когерентность и спектр.....................555 11.1 3. Пространственная когерентность.......................562 11.1.4. Продольная когерентность.............................567 11.2. Интерференция частично когерентного света .................570 11.2.1. Интерференция двух частично когерентных волн.........570 11.2.2. Интерференция и временная когерентность..............571 11.2.3. Интерференция и пространственная когерентность.......575 11.3. Прохождение частично когерентного света через оптические системы.579 11.3.1. Распространение частично когерентного света..........580 11.3.2. Формирование изображений в некогерентном свете.......582 11.3.3. Приобретение пространственной когерентности при распространении.........................................586 11.4. Частичная поляризация......................................591
8 ~Оглавление Глава 12 ОПТИКА ФОТОНОВ......................................................602 12.1. Фотон......................................................604 12.1.1. Энергия фотона.......................................606 12.1.2. Поляризация фотона...................................607 12.1.3. Положение фотона.....................................610 12.1.4. Импульс фотона.......................................612 12.1.5. Интерференция фотона.................................615 12.1.6. Временная локализация фотона.........................617 12.2. Потоки фотонов.............................................620 12.2.1. Средний поток фотонов................................621 12.2.2. Случайность потока фотонов...........................624 12.2.3. Статистика числа фотонов.............................626 12.2.4. Случайное разбиение фотонных потоков............... 634 *12 3 Квантовые состояния света...................................637 12.3.1 . Когерентные состояния света.........................641 12.3.2 . Сжатые состояния света..............................642 Глава 13 ФОТОНЫ И АТОМЫ......................................................652 13 1. Уровни энергии............................................653 13.1.1 . Атомы...............................................654 13.1.2 . Молекулы............................................660 13.1.3 . Твердые тела........................................663 13.2. Заселенность уровней энергии...............................674 13.2.1. Распределение Больцмана.. 674 13.2.2. Распределение Ферми—Дирака...........................676 13.3. Взаимодействие фотонов с атомами...........................677 13.3.1. Взаимодействие одномодового света с атомом...........677 13.3.2. Спонтанное излучение.................................682 13.3.3. Вынужденное излучение и поглощение...................685 13.3.4. Уширение линий.......................................689 *13.3.5. Усиленное спонтанное излучение.......................695 *13.3.6. Лазерное охлаждение атомов и лазерные ловушки........696 13.4. Тепловое излучение.........................................698 13.4.1. Тепловое равновесие между фотонами и атомами.........698 13.4.2. Спектр излучения черного тела........................700 13 5. Люминесценция и рассеяние света .. 703 13.5.1. Виды люминесценции...................................703 13.5.2. Фотолюминесценция....................................705 13.5.3. Рассеяние света......................................708
Оглавление -i\r 9 Глава 14 ЛАЗЕРНЫЕ УСИЛИТЕЛИ..................................................716 14.1. Теория лазерного усиления..................................719 14.1.1. Коэффициент и ширина полосы усиления.................720 14.1.2. Фазовый сдвиг........................................724 14.2. Накачка усилителя..........................................725 14.2.1. Скоростные уравнения.................................726 14.2.2. Схемы накачки........................................730 14.3. Распространенные лазерные усилители..................736 14.3.1. Рубин................................................736 14.3.2. Стекло с неодимом....................................738 14.3.3. Кварцевое волокно, легированное эрбием...............739 14.3.4. Волоконные ВКР-усилители ............................742 14.3.5. Таблица избранных лазерных переходов................ 745 14.4. Нелинейность усилителя ....................................745 14.4.1. Насыщение усиления в однородно-уширенной среде......745 *14.4.2. Насыщение усиления в неоднородно-уширенной среде......751 *14.5. Шум усилителя..............................................754
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ С момента выхода первого издания в 1991 г. книга «Основы фото- ники» переиздавалась около 20 раз, была переведена на чешский и японский языки и использовалась по всему миру как учебник и справочник. За этот период продолжалось быстрое развитие фотоники, открывшее путь новым тех- нологиям, таким как телекоммуникации и применения в промышленности и медицине. Второе издание обобщает эти достижения, сохраняя однотомный формат книги в пределах разумного объема. (В русском переводе книга выхо- дит в двух томах. — прим, пер.) В своей новой структуре «Основы фотоники» продолжают служить самодо- статочным, стоящим на уровне современных требований учебником вводного уровня, обеспечивающим логическое сочетание теории и приложений. Многие читатели первого издания были удовлетворены его обильными иллюстрация- ми. Это качество усилено во втором издании за счет введения цветных иллюс- траций по всей книге, обеспечивающих наглядность и облегчающих ее чтение. Притом, что все 22 главы первого издания существенно обновлены, для второго издания принципиально добавление двух новых глав: одна о фотонных кристаллах, а другая — об оптике ультракоротких импульсов. В них отражают- ся достижения, оказывающие существенное и растущее влияние на фотонику в последние десять лет. Новая глава об оптике фотонных кристаллов дает основу для понимания оптики слоистых сред, включая решетки Брэгга, с помощью матричного под- хода Распространение света в одномерных периодических средах изучается с использованием мод Блоха с помощью матричного метода и метода Фурье Вводится понятие фотонной запрещенной зоны. Разрабатывается теория рас- пространения света в двух- и трехмерных фотонных кристаллах и получаются соответствующие дисперсионные соотношения и структуры запрещенных зон. Добавлены также разделы о фотонно-кристаллических волноводах, дырчатых волокнах и фотонно-кристаллических резонаторах в соответствующих местах других глав. Новая глава об оптике ультракоротких импульсов содержит разделы о пико- и фемтосекундных оптических импульсах, их описании, формировании и сжа- тии, а также об их распространении в оптических волокнах в пределах приме- нимости линейной оптики. Разделы о нелинейной оптике таких импульсов включают импульсные параметрические взаимодействия и оптические солито-
11 Предисловие к второму изданию ны. Дается обзор методов регистрации ультракоротких оптических импульсов с использованием доступных сравнительно медленных приемников. Кроме добавления двух новых глав, была полностью переписана глава об оптических межсоединениях и коммутаторах, дополненная такими темами, как маршрутизация и переключение по времени и длине волны и новые типы оп- тических переключателей. Глава об оптоволоконной связи также была суще- ственно обновлена и дополнена материалом по сетям, использующим уплотне- ние с разделением сигналов по длине волны; в ней теперь даются лаконичные обзоры таких проблем, как компенсация дисперсии и управление ею, а также оптическая связь с применением солитонов. Продолжающееся развитие технологии изготовления оптических устройств породило нанофотонику, имеющую дело с оптическими процессами, происходя- щими на субволновых (нанометровых) пространственных масштабах. Нанофо- тонные устройства и системы включают квантоворазмерные структуры, такие как квантовые точки, наночастицы и периодические наноструктуры, используе- мые для синтеза метаматериалов с экзотическими оптическими свойствами, такими как отрицательный показатель преломления. К ним также относятся конфигурации системы, в которых свет (или его взаимодействие с веществом) ограничен нанометровыми (а не микромстровыми) областями вблизи границ, как в оптике поверхностных плазмонов. Нераспространяющиеся поля, такие как создаваемые вблизи поверхности, где происходит полное внутреннее отраже- ние, также имеют такое ограничение. Нераспространяющиеся поля присут- ствуют в непосредственной близости от апертур субволновых размеров, таких как открытый конец конического волокна (тейпера). Их применение делает возможным получение изображений с разрешением, превосходящим дифрак- ционный предел, и образует основу оптики ближнего поля. Многие из этих развивающихся областей описаны в соответствующих местах во втором изда- нии данной книги. Новые разделы были добавлены в процессе обновления различных глав. К новым темам, добавленным в ранее написанные главы, относятся: пучки Ла- герра—Гаусса, получение изображений с помощью ближнего поля, уравнение Зельмейера, быстрый и медленный свет, оптика проводящих сред и плазмоника, дважды отрицательные метаматериалы, сфера Пуанкаре и параметры Стокса, поляризационная модовая дисперсия, моды типа шепчущей галереи, микроре- зонаторы, оптическая когерентная томография, орбитальный момент фотона. В главах по оптике лазеров новые темы включают: волоконные усилители на основе редкоземельных элементов и комбинационного рассеяния, лазеры крайнего ультрафиолетового излучения, рентгеновские лазеры и лазеры на свободных электронах, химические лазеры и лазеры со случайной генерацией. В области оптоэлектроники добавлены: структуры и устройства на основе нит- рида галлия, суперлюминесцентные диоды, органические светодиоды и свето- диоды белого света, квантово-размерные лазеры, квантово-каскадные лазеры, лазеры с микрорезонаторами, фотонно-кристаллические лазеры, матричные приемники, низкошумящие лавинные фотодиоды, лавинные фотодетекторы одиночных фотонов, инфракрасные фотодетекторы на квантовых ямах.
12 —Предисловие к второму изданию Глава о нелинейной оптике была дополнена материалом по перестроечным кривым параметрического взаимодействия, устройствам с фазовым квазисинх- ронизмом, двухволновому смешению и кросс-модуляции фазы, генерации те- рагерцового излучения, а также другим нелинейно оптическим явлениям, свя- занным с короткими оптическим импульсами, включая усиление импульса с чирпом и генерацию суперконтинуума. Глава об электрооптике теперь содер- жит обсуждение модуляторов на основе электропоглощения. Приложение В о модах линейных систем было расширено и теперь предла- гает читателю полный обзор концепции мод, появляющихся в книге множе- ство раз. Наконец, добавлены новые задачи и упражнения, причем их нумера- ция разделена во избежание недоразумений. В настоящем полноцветном издании в большинстве иллюстраций исполь- зован цветовой код, отраженный в нижеприведенной карте. Пучки и распреде- ления света изображены розовым (кроме многоцветных пучков, как, напри- мер, в нелинейной оптике). Стекло и стеклянные волокна изображаются свет- ло-голубым. Полупроводники окрашены фиолетовым, причем яркость отражает различную степень легирования, металлы показаны красно-сиреневым. Схемы уровней и зон энергии изображены серым или темно-синим цветом, а фотон- ные запрещенные зоны — красным. Карта цветов Организация книги В своем новом воплощении книга «Основы фотоники» содержит 24 главы, сгруппированных в шесть частей, как показано на диаграмме ниже. Форма книги модульная, так что она может использоваться читателями, имею- щими различные потребности; она также дает возможность преподавателю выбрать темы для различных курсов. Существенный материал одной главы ча- сто кратко повторяется в другой, чтобы сделать каждую главу максимально самодостаточной. Например, в начале гл. 24 «Волоконно-оптические системы связи» дается краткий обзор необходимого материала предшествующих глав, касающийся волокон, источников света, приемников и усилителей. Таким об- разом, в распоряжение читателя предоставляются сведения об элементной базе
Предисловие к второму изданию Дг 13 сетей прежде, чем перейти к обсуждению структуры и функционирования всей системы связи, где указанные элементы применяются. Основы Распространение волн Лазерная оптика Элементная база оптической связи 1 Оптика лучей 7, Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10 Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп-" тические систе- мы связи Оптоэлектроника Системы оптической связи Осознавая различную степень математической подготовки потенциального читателя, мы решили представлять трудный материал в два приема: на вводном уровне, обеспечивающем понимание физического смысла и мотивации, а затем на уровне более глубокого и строгого анализа. Примером такого подхода являет- ся гл. 20 («Электрооптика»), в которой рассмотрение сначала проводится в рам- ках скалярной модели, а затем — с помощью тензорного формализма. Мы старались использовать общепринятые символы и обозначения везде, где это возможно. Ввиду широкого круга рассматриваемых проблем большое число символов имеет по нескольку значений: в конце книги прилагается спи- сок обозначений и символов, помогающий внести ясность в этот вопрос. По всей книге важные формулы выделены рамками, чтобы облегчить последую- щее их использование. Разделы повышенной сложности отмечены звездочка- ми и могут быть при желании пропущены. Краткие сводки полученных резуль- татов даются всюду, где этого требует сущность излагаемого материала. Каждая глава содержит также упражнения, набор задач и список литерату- ры для чтения. Примеры реальных систем включены для того, чтобы подчерк- нуть идеи, лежащие в основе актуальных практических применений, а в прило- жениях приводятся свойства одно- и двумерного преобразования Фурье, тео- рия линейных систем и моды линейных систем.
14 Предисловие к второму изданию Типичные курсы Главы этой книги можно комбинировать различным образом для использования в семестровых или полусеместровых учебных курсах. Типичные примеры таких курсов приведены ниже. Некоторые из них могут быть частью цикла курсов. Возможны и другие варианты выбора, подходящие к конкрет- ным целям преподавателя и студента. Оптика/фотоника 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- змческие систе- мы связи Первые шесть глав книги подходят для вводного курса «Оптика» или «Фо- тоника». К ним можно добавить гл. 11 «Статистическая оптика» для введения некогерентного и частично-когерентного света или вводные разделы гл. 8 и 9 «Оптика волноводов» и «Волоконная оптика» для знакомства с приложениями. Оптическая обработка информации 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи
Предисловие к второму изданию —I 15 Курс «Оптическая обработка информации» можно начать с основ волновой оптики и оптики пучков с включением Фурье-оптики (когерентное формирова- ние и обработка изображений), а также некогерентное и частично-когерентное формирование изображений в статистической оптике. Затем можно включить материал по устройствам, используемым для обработки аналоговых данных (раздел «Акустооптика»), а закончить рассмотрением коммутаторов и логических эле- ментов, используемых при обработке цифровых данных. Оптика волноводов 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9 Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23.Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи Курс «Оптика волноводов» можно начать с введения в распространение волн в слоистых и периодических средах (гл. 7 «Оптика фотонных кристал- лов») и продолжить с использованием глав «Оптика волноводов», «Волоконная оптика» и «Оптика резонаторов». Дополнительные темы могут включать «Элек- трооптику» и «Оптические межсоединения и коммутаторы». Лазеры 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4 Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоедине ния и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи
16 -V Предисловие к второму изданию Курс «Лазеры» можно начать с оптики пучков и резонаторов, затем следует теория взаимодействия света с веществом (гл. 13), лазерного усиления и гене- рации (гл. 14 и 15) с включением полупроводниковых светоизлучающих диодов и лазеров (гл. 16 и 17). Введение в физику фемтосекундных лазеров можно обеспечить путем включения соответствующих разделов из главы «Оптика сверх- быстрых процессов». Оптоэлектроника 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика <) к ионов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи Три главы, посвященные оптике полупроводников, полупроводниковым источникам, усилителям и детекторам, образуют основу для курса «Оптоэлек- троника». Этот материал можно сопроводить основами оптики из предыдущих глав и расширить путем включения таких тем, как устройства на жидких кри- сталлах (разд. 6.5 и 20.3), полупроводниковые модуляторы на основе электро- поглощения (разд. 20.5) и введение в использование фотонных устройств для коммутации и/или связи (гл. 23 и 24, соответственно). Фотонные устройства 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23 Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи
Предисловие к второму изданию —J 1 Другая возможная тема курса лекций, совмещающего устройства на основе фотонных кристаллов и волноводов с электрооптическими, акустооптически- ми и нелинейно-оптическими устройствами, с включением оптики ультрако- ротких импульсов, оптических средств связи и переключателей — это «Фотон- ные устройства». Волоконно- оптическая связь 1. Оптика лучей 7. Оптика фотон- ных кристаллов 13. Фотоны и атомы 19. Акустооптика 2. Оптика волн 8. Оптика волно- водов 14. Лазерные уси- лители 20. Электрооптика 3. Оптика пучков 9. Волоконная оптика 15. Лазеры 21. Нелинейная оптика 4. Фурье-оптика 10. Оптика резо- наторов 16. Оптика полу- проводников 22. Оптика сверх- быстрых про- цессов 5. Электромагнит- ная оптика 11. Статистическая оптика 17. Полупроводни- ковые источни- ки фотонов 23. Оптические межсоединения и коммутаторы 6. Поляризацион- ная оптика 12. Оптика фотонов 18. Полупроводни- ковые детекто- ры фотонов 24. Волоконно-оп- тические систе- мы связи Курс «Волоконно-оптическая связь» мог бы включать оптические волново- ды и волокна, полупроводниковые источники и усилители света (возможно, также подразд. 14.3.3 и 14.3.4 о волоконных и рамановских волоконных усили- телях) в качестве базового материала для главы «Волоконно-оптическая связь» (гл. 24). Если требуется выделить волоконно-оптические сети, можно также включить разд. 23.3 о фотонных переключателях. Бостон, Массачусетс 19 декабря 2006 г. Бахаа Е.А. Салех Малвин Карл Тейх
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Оптика — старая и уважаемая наука, охватывающая генерацию, распространение и регистрацию света. Три основных достижения способство- вали обновлению оптики в последние тридцать лет и ее возрастающей важно- сти в современной технологии: изобретение лазера, изготовление оптических волокон с низкими потерями, появление полупроводниковых лазерных уст- ройств. В результате развития этих достижений появились новые научные дис- циплины и вошли в употребление новые термины: электрооптика, оптоэлект- роника, квантовая электроника, квантовая оптика, оптическая технология. Хотя нет полного единства в вопросе о точном значении этих терминов, в общем и целом согласие на этот счет существует. Фотоника Термин «электрооптика» применяется для оптических устройств, в которых играют роль электрические эффекты (например, лазеры, электроопти- ческие модуляторы и переключатели). Оптоэлектроника относится к устрой- ствам и системам существенно электронной природы, но включающих в себя свет (примерами являются светодиоды, дисплеи на основе жидких кристаллов, матричные фотоприемники). Термин «квантовая электроника» употребляется в связи с устройствами и системами, принципиальную основу которых составляет взаимодействие света с веществом (примерами служат лазеры и нелинейно-оп- тические устройства, используемые для усиления и смешения волн). Исследова- ния квантовых и когерентных свойств света лежат в области квантовой оптики. Термин «оптическая технология» применялся для описания приборов и систем, используемых в оптической связи и оптической обработке информации. В последние годы в употребление вошел термин «фотоника». Возникший по аналогии с электроникой, он отражает растущие связи между оптикой и электроникой, усиливаемые возрастающей ролью, которую играют в оптических системах полупроводниковые материалы и устройства. Электроника включает в себя управление потоками электрических зарядов (в вакууме или веществе); фо- тоника — управление фотонами (в свободном просгранстве или материальной среде). Обе дисциплины очевидно перекрываются, поскольку электроны часто управляют потоком фотонов и, наоборот, фотоны управляют потоками элект- ронов. Термин «фотоника» отражает также важность фотонной природы света для описания действия многих оптических устройств.
Предисловие к первому изданию -J Г 19 Тематика книги Данная книга вводит читателя в основы фотоники. Термин «фото- ника» широко используется и охватывает все вышеупомянутые области, вклю- чая нижеперечисленные. • Генерация когерентного света лазерами и некогерентного света люминес- центными источниками, такими как светодиоды. • Передача света в свободном пространстве, через обычные оптические эле- менты, такие как линзы, диафрагмы и изображающие системы, а также через волноводы, например оптические волокна. • Модуляция, переключение и сканирование света с использованием элект- рически, акустически или оптически управляемых приборов. • Усиление и преобразование частоты света с использованием взаимодей- ствия волн в нелинейных материалах. • Регистрация света. Эти области нашли постоянно растущее применение в оптической связи, обработке сигналов, зондировании, отображении информации, печати и пере- даче энергии света. Авторский подход и представление материала Фундаментальные основы фотоники представлены в ряде глав, которые в сжатой форме содержат: • четыре теории света (каждая из которых является более общей, чем пре- дыдущая): лучевую, волновую, электромагнитную и фотонную оптику; • теорию взаимодействия света с веществом; • теорию полупроводниковых материалов и их оптические свойства. Эти главы служат основным строительным материалом, используемым в дру- гих главах для описания генерации света (лазерами и светодиодами), передачи света (оптическими пучками, при дифракции, формировании изображений, в оптичес- ких волноводах и волокнах), модуляции и переключении света (с использованием электрооптических, акустооптических и нелинейно-оптических устройств) и реги- страции света (с помощью фотоприемников). Приводится множество приложе- ний и примеров, так что книга представляет современное состояние как теории, так и практики. Заключительная глава посвящена исследованию волоконно-опти- ческой связи, которая дает особенно богатый ассортимент примеров, в которых генерация, передача, модуляция и прием световых сигналов являются частями единой фотонной системы, предназначенной для передачи информации. Теории света представлены в порядке возрастания их сложности. Так, свет вначале рассматривается как лучи, затем как скалярные волны, затем как элек- тромагнитные волны и, наконец, как фотоны. Каждое из этих описаний имеет свою область применимости. Наш подход состоит в том, чтобы для каждого приложения использовать простейшую теорию, обеспечивающую его адекват- ное описание. Поэтому оптика лучей используется для описания систем по- лучения изображений, а также для объяснения их ограничения в волноводах и резонаторах. Скалярная волновая теория обеспечивает описание оптических луч-
20 Предисловие к первому изданию ков, существенное для понимания лазеров, а также Фурье-оптики, полезной для описания когерентных оптических систем и голографии. Электромагнитная тео- рия обеспечивает основу описания поляризации и дисперсии света, оптики на- правляемых волн, волокон и резонаторов. Оптика фотонов служит для описания взаимодействия света и вещества, объясняя такие процессы, как генерация и детектирование света, а также смешение света в нелинейных средах. Аудитория, на которую рассчитана книга Книга «Основы фотоники» адресована: • студентам, специализирующимся в области электротехники или приклад- ной физики на старших курсах; • в качестве пособия, содержащего все необходимые сведения широкому кругу специалистов для самообразования; • специалистам, желающим продолжить профессиональное образование в соответствии с потребностями промышленности, университетов и профессио- нальных обществ. Предполагается, что читатель имеет базовый уровень образования в инженер- ной или прикладной физике, включая современную общую физику, электриче- ство и магнетизм, движение волн. Знание линейных систем и элементарной кван- товой механики полезно, но не существенно. Нашей целью было дать такое введе- ние в фотонику, которое фокусирует внимание на понятиях, составляющих основу наиболее актуальных приложений. Поэтому книгу не следует рассматривать как справочник, охватывающий все фотонные устройства и системы. На самом деле некоторые области фотоники совсем не вошли в нее, а многие отдельные главы легко могли бы быть расширены до самостоятельных монографий. Задачи, списки литературы и приложения В конце каждой главы приводится набор задач. Задачи пронумеро- ваны в соответствии с разделами главы, к которым они относятся. Довольно часто задачи посвящены идеям или приложениям, не упоминаемым в тексте, аналитическим выводам и численным расчетам, иллюстрирующим значения важ- ных величин. Задачи, отмеченные звездочкой, имеют повышенную сложность. В тексте каждой главы имеется также множество упражнений, помогающих чи- тателю приобрести более глубокое понимание материала или расширить его. В приложениях даны свойства одно- и двумерных преобразований Фурье, элементы теории линейных систем и моды линейных систем (важные для по- ляризационных устройств, оптических волноводов и резонаторов); ссылки на приложения даны в соответствующих местах на протяжении всей книги. Каж- дая глава заканчивается списком литературы, включающим избранные важные книги, обзорные статьи и небольшое количество классических оригинальных статей особой важности. Мадисон, Висконсин Нью Йорк, 3 апреля 1991 г. Бахаа Е.А. Салех Малвин Карл Тейх
ГЛАВА ОПТИКА ЛУЧЕЙ Сэр Исаак Ньютон (1642—1727) выдвинул оптическую теорию, в которой свет пред- ставляет собой набор частиц, движущихся прямолинейно Пьер Ферма (1601—1665) сформулировал принцип, согласно которому свет выбирает траекторию своего движения Свет можно описать как электромагнитное волновое явление, под- чиняющееся тем же теоретическим принципам, которые управляют всеми дру- гими видами электромагнитного излучения, такими как радиоволны и рентге- новские лучи. Эта концепция света называется электромагнитной оптикой. Элек- тромагнитное излучение распространяется в виде двух взаимосвязанных векторных волн: волны электрического поля и волны магнитного поля. Однако многие оптические явления можно описать с помощью упрощенной теории скалярных волн, в которой свет описывается одной скалярной волновой функцией. Это приближенный способ рассмотрения света называется скалярной волновой оптикой или просто волновой оптикой. Когда свет распространяется через объекты, размеры которых намного боль- ше, чем его длина волны, или вокруг таких объектов, волновая природа света слабо проявляет себя, и поведение света адекватно описывается с помощью лучей, подчиняющихся набору геометрических правил. Эта модель света назы- вается лучевой оптикой. С математической точки зрения лучевая оптика являет- ся пределом волновой оптики при длине волны, стремящейся к нулю.
22 Глава 1. Оптика лучей Таким образом, электромагнитная оптика включает волновую оптику, ко- торая, в свою очередь, включает оптику лучей, как показано на рис. 1.1. Луче- вая и волновая оптика являются приближенными теориями, справедливость которых определяется успешной аппроксимацией результатов более общей элек- тромагнитной теории. оптика Рис. 1.1. Теория квантовой оп- тики дает объяснение почти всех оптических явлений. Электро- магнитная теория света (элект- ромагнитная оптика) обеспечи- вает наиболее полное описание света в границах классической оптики. Волновая оптика явля- ется скалярным приближением электромагнитной. Лучевая оп- тика — предел волновой оптики в случае очень малых длин волн Хотя электромагнитная оптика обеспечивает наиболее полное описание света в границах классической оптики, некоторые оптические явления существенно квантовы по своей природе и не могут быть описаны классическим образом. Эти явления описываются квантовой версией электромагнитной теории, изве- стной как квантовая электродинамика. Применительно к оптическим явлениям эта теория называется также квантовой оптикой. Исторически оптические теории развивались примерно в такой последова- тельности: (1) лучевая оптика —> (2) волновая оптика —> (3) электромагнитная оптика —> (4) квантовая оптика. Каждая следующая модель совершеннее и слож- нее предыдущей, и ее появление вызвано необходимостью объяснения резуль- татов более тонких и точных экспериментов. Оптимально выбирать простей- шую из моделей, описывающих данное частное явление, однако это бывает трудно сделать a prion и достигается в результате опыта. Из педагогических соображений начальные главы настоящей книги следу- ют исторической последовательности, предоставленной выше. Каждая модель света начинается с набора постулатов, принимаемых без доказательства, из которых выводятся различные конкретные результаты. Показано, что постула- ты каждой модели выводятся из модели более высокого уровня в качестве час- тных результатов. В данной главе мы начинаем с оптики лучей. О данной главе Лучевая оптика — простейшая теория света. Свет описывается лучами, распространяющимися в различных оптических средах согласно на- бору геометрических правил. Лучевая оптика называется также геометричес- кой оптикой. Лучевая оптика — приближенная теория. Хотя она адекватно описывает большую часть нашего повседневного опыта, касающегося света,
23 1.1. Постулаты лучевой оптики -J существует много явлений, которые она не способна описать. Многочислен- ные подтверждения этого читатель найдет в последующих главах настоящей книги. Лучевая оптика связана с положением и направлением лучей. Она, следова- тельно, полезна при изучении формирования изображений — лучи от каждой точки предмета собираются и направляются оптическим элементом в соответ- ствующую точку изображения. Лучевая оптика позволяет определить условия, при которых свет направляется данной средой, такой как стеклянное волокно. В изотропных средах лучи указывают направление, в котором распространяет- ся энергия света. Можно построить пучки лучей таким образом, чтобы плот- ность числа лучей была пропорциональна плотности потока энергии света. Например, если свет изотропно испускается точечным источником, то энер- гия, связанная с лучами внутри некоторого конуса, пропорциональна охваты- ваемому этим конусом телесному углу. Можно проследить за распространени- ем лучей от источника через некоторую оптическую систему, чтобы опреде- лить оптическую энергию, проходящую через данную площадку. Данная глава начинается с набора постулатов, из которых выводятся простые правила, определяющие распространение лучей в оптических средах. В разд. 1.2 эти правила применены к простым оптическим элементам, таким как зеркала, плоские и сферические границы раздела двух сред. Распростране- ние лучей в неоднородных средах с плавно меняющимся показателем прелом- ления рассмотрено в разд. 1.3. Оптика таких сред является основой техноло- гии, которая стала важной частью современной оптики. Оптические элементы часто центрированы относительно оптической оси, вдоль которой лучи распространяются с небольшими отклонениями. Такие лучи называются параксиальными лучами. Данное предположение составляет основу параксиальной оптики. Изменение положения и наклона параксиального луча в процессе его распространения через оптическую систему можно эффективно описать с помощью алгебр матриц 2 х 2. В разд. 1.4 рассказывается о данном алгебраическом методе, называемом матричной оптикой. 1.1. ПОСТУЛАТЫ ЛУЧЕВОЙ ОПТИКИ Постулаты лучевой оптики • Свет распространяется в виде лучей. Лучи испускаются источниками света и могут наблюдаться, когда они достигают оптического приемника. • Оптическая среда характеризуется величиной п > 1, называемой по- казателем преломления. Показатель преломления равен п = с0/с, где с0 — скорость света в свободном пространстве; с — скорость света в среде. Таким образом, время, затрачиваемое светом на прохождение расстояния d, есть d/c = nd/c^. Оно пропорционально произведению nd, известному как оптическая длина пути.
24 Глава 1. Оптика лучей • В неоднородной среде показатель преломления п(г) является функ- цией координат г = (х, у, z). Следовательно, оптическая длина пути вдоль данной кривой между двумя точками А и В есть в Оптическая длина пути = | п (г) d.s; (1.1) А где d,s — элемент длины кривой. Время, затрачиваемое светом на проход от А до В, пропорционально оптической длине пути. • Принцип Ферма. Оптический луч распространяется между двумя точ- ками А и Вт линии, вдоль которой затрачиваемое время (или оптическая длина пути) имеет экстремум по отношению к соседним кривым. Матема- тически это выражается как в dfn(r)ds = 0, (1.2) А где символ Считается как «вариация величины». Условие (1.2) означает, что оптическая длина пути на указанной кривой имеет максимум, мини- мум или точку перегиба. Обычно это минимум, т. е. Луч света распространяется по линии наименьшего времени. Иногда минимальность времени распространения обеспечивается не- сколькими путями, вдоль которых свет идет одновременно. Пример мак- симального времени распространения рассмотрен в задаче 1 к разд. 1.2. В данной главе мы используем постулаты лучевой оптики для вывода пра- вил, определяющих распространение световых лучей, их отражение и прелом- ление на границах между различными средами и их прохождение через различ- ные элементы оптических систем. Изобилие результатов, применимых к мно- гочисленным оптическим системам, получается без необходимости каких-либо других предположений или правил, касающихся природы света. Распространение в однородной среде В однородной среде показатель преломления везде одинаков, как и скорость света. Линия наименьшего времени, требуемая принципом Ферма, следовательно, есть линия минимальной длины. Принцип пути наименьшей длины известен как принцип Герона. Линия наименьшей длины между двумя точками есть прямая, так что в однородной среде лучи света распространяются вдоль прямых линий (рис. 1.2). Отражение от зеркала Зеркала изготовляются из металла с хорошо отполированной по- верхностью или металлических или диэлектрических пленок, нанесенных на
1.1. Постулаты лучевой оптики Д' 25 такую подложку, как стекло. Свет отражается от зеркала в соответствии с зако- ном отражения: Отраженный луч лежит в плоскости падения; угол отражения равен углу падения. Рис. 1.2. Лучи света распространяются по прямым линиям. Тени представляют собой точное изображение препятствий Рис. 1.3. Отражение от поверхности искривленного зеркала (а); геометрическое построе- ние для доказательства закона отражения (6) Плоскость падения — это плоскость, образованная падающим лучом и нор- малью к поверхности зеркала в точке падения. Углы падения и отражения оп- ределяются рис. 1.3, а. Для доказательства закона отражения используем прин- цип Герона. Рассмотрим луч, попадающий из точки А в точку С в результате отражения от плоского зеркала, как показано на рис. 1.3, б. По принципу Геро- на для зеркала бесконечно малой толщины расстояние АВ + ВС должно быть минимальным. Если С' — зеркальное изображение точки С, то ВС = ВС', так что АВ + ВС' должно быть минимальным. Это происходит, если линия АВС' прямая, т. е. если В совпадает с В', так что в = в'.
26 Глава 1. Оптика лучей Отражение и преломление на границе между двумя средами На границе между двумя средами с показателями преломления пх и п2 пада- ющий луч расщепляется на два — отраженный и преломленный (прошедший) лучи (рис. 1.4). Отраженный луч подчиняется закону отражения. Преломлен- ный луч подчиняется закону преломления: Преломленный луч лежит в плоскости падения, угол преломления 02 связан с уг- лом падения 0Х законом Снелла и, sin /9, = я2 8*п ^2 • (1.3) Закон Снелла Пропорция, в которой луч отражается и преломляется, не описывается лу- чевой оптикой. Упражнение 1.1 ------------ Доказательство закона Снелла Доказательство закона Снелла — упражнение на использование прин- ципа Ферма. Для лучей, показанных на рис. 1.5, найдем минимум опти- ческой длины пути пхАВ + п2ВС между точками А и С. Таким обра- зом, имеем задачу оптимизации: ми- нимизировать ntdx sec 0Х + n2d2 sec 02 по отношению к углам 6X и 62 при условии, что dx tg вх + d2 tg 02 = d. Покажите, что решение этой задачи минимизации с ограничением дает закон Снелла.
1.2. Простые оптические элементы 27 Три простых правила — распространение по прямой и законы отражения и преломления — применяются в разд. 1.2 к нескольким геометрическим конфи- гурациям зеркал и прозрачных оптических элементов без необходимости воз- вращаться к принципу Ферма. 1.2. ПРОСТЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ 1.2.1. Зеркала Плоские зеркала Плоское зеркало отражает лучи, вы- ходящие из точки Р] так, что отражен- ные лучи выглядят выходящими из точ- ки Р2 за зеркалом, называемой изобра- жением (рис. 1.6). Рис. 1.6. Отражение света от плоского зеркала Параболические зеркала Поверхность параболического зеркала — параболоид вращения. Он имеет полезное свойство фокусировать все лучи, параллельные его оси, в одну точку, называемую фокусом. Расстояние PF = f показанное на рис. 1.7, назы- вается фокусным расстоянием. Параболические зеркала часто используются в качестве элементов, собирающих свет в телескопах. Они также служат для по- лучения параллельных пучков света от источников, таких как лампа- вспышка. Рис. 1.7. Фокусировка света параболичес- ким зеркалом
28 Глава 7. Оптика лучей Эллиптические зеркала Эллиптическое зеркало отражает все лучи, выходящие из одного из двух его фокусов, например Рр и собирает (отображает) их в другой фокус Р2 (рис. 1.8). В соответствии с принци- Сферические зеркала пом Герона расстояния, проходимые светом между точками и Р2, оди- наковы. Рис. 1.8. Отражение от эллиптического зер- кала Сферическое зеркало легче изготовить, чем параболическое и эл- липтическое. Однако оно не обладает ни фокусирующим свойством параболи- ческого зеркала, ни отображающим свойством эллиптического зеркала. Как показано на рис. 1.9, параллельные лучи после отражения пересекают ось в различных точках, их огибающая (штриховая линия) называется каус- тической кривой. Однако параллель- ные лучи, близкие к оси, приблизи- тельно фокусируются в одну точку F на расстоянии (—R)/2 от центра зер- кала С. По соглашению, R считается отрицательным для вогнутого зерка- ла и положительным для выпуклого. Рис. 1.9. Отражение параллельных лучей от вогнутого сферического зеркала Параксиальные лучи, отраженные от сферических зеркал Лучи, образующие малые углы (такие, что sin 0~ 0) с осью зеркала, называются параксиальными лучами. В параксиальном приближении, где рассмат- риваются только параксиальные лучи, сферическое зеркало обладает фокуси- рующим свойством, как параболическое, и отображающим свойством, как эл-
1.2. Простые оптические элементы липтическое. Совокупность правил, вытекающих из этого приближения, обра- зует параксиальную оптику, называемую также оптикой первого порядка, или гауссовой оптикой. Сферическое зеркало радиусом R, таким образом, ведет себя как пара- болическое зеркало с фокусным рас- стоянием /= R/2. В самом деле по- нятно, так как в точках, близких к оси, параболу можно аппроксимиро- вать окружностью, радиус которой равен радиусу кривизны параболы (рис. 1.10). Рис. 1.10. Сферическое зеркало аппрокси- мирует параболическое зеркало для пара ксиальных лучей Все параксиальные лучи, выходящие из любой точки, лежащей на оси сфе- рического зеркала, отражаются и фокусируются в единственную соответствен- ную точку оси. Это можно увидеть (рис. 1.11), рассматривая луч, испущенный под углом из точки расположенной на расстоянии z, от вогнутого зеркала радиуса Я, и отражающийся под углом (—6*2), чтобы затем пересечь ось в точке Р2, лежащей на расстоянии z2 от зеркала. Угол 02 отрицательный, поскольку луч отклоняется вниз. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, име- ем 0, = 0t) — в и (—02) = 0О+ 0, так что (—02) + 0Х = 20о. Если угол 0О достаточно мал, справедливо приближенное равенство tg 0й ~ 0й, так что 0й ~ y/(—R), откуда (1'4) где у — высота точки, в которой происходит отражение. Напомним, что R отрицательно, поскольку зеркало вогнутое. Аналогично, если 0} и 02 малы, то <1 <2 так что (1.4) дает У ! У . z} z2 (-R) ’ т. е. окончательно — + — = —. (1.5) z{ z2 (-R)
30 Глава 1. Оптика лучей Это соотношение не сдержит у (т. е. не зависит от 0^ до тех пор, пока справедливо параксиальное приближение. Это означает, что все параксиаль- ные лучи, начинающиеся в точке Д, приходят в точку Р2. Расстояния z, и z2 измеряются в системе координат с осью z, направленной влево. Точки с отри- цательными z, следовательно, лежат правее зеркала. Рис. 1.11. Отражение параксиальных лучей от вогнутого сферического зеркала радиусом R< О Согласно (1.5), лучи, испущенные из точек, удаленных от зеркала на боль- шое расстояние (z = °°), фокусируются в точку /"на расстоянии z2 = Это означает, что в рамках параксиального приближения все лучи, идущие из беско- нечности (параллельные оси зеркала), фокусируются в точку на расстоянии f от зеркала, называемом фокусным расстоянием: J 2 (1-6) Фокусное расстояние Сферическое зеркало Уравнение (1.5) обычно записывается в виде *1 Z2 /’ (1-7) Уравнение изображения (параксиальное приближение) которое известно как уравнение изображения. Для справедливости этого урав- нения как падающий, так и отраженный лучи должны быть параксиальными. Упражнение 1.2 ---------------------------------------- Формирование изображения сферическим зеркалом Покажите, что в рамках параксиального приближения лучи, исходящие из точки Р] = (ху, yz), отражаются в точку Р2 = (ху, уг), где zt и z2 удовлетворяют (1.7) иу2 = —yxz2/Z\ (рис. 1.12). Это означает, что лучи из каждой точки плоско-
1.2. Простые оптические элементы Л-31 сти z = Z) пересекаются в единственной соответствующей точке на плоскости Z = z2, так что зеркало ведет себя как система, формирующая изображение с увеличением ~zjzv Отрицательное увеличение означает, что изображение пе- 1.2.2. Плоские границы Связь между углом падения 0} и углом отражения 02 на плоской границе раздела между двумя средами с показателями преломления п} и п2 опре- деляется законом Снелла (1.3). Эта связь показа на рис. 1.13 для двух случаев. • Внешнее преломление (пх < п2). Когда луч падает из среды с меньшим пока- зателем преломления, 02 < 0V и преломленный луч отклоняется в направлении от границы. • Внутреннее преломление (п} > п2). Если падающий луч находится в среде с большим показателем преломления, 02 > 0{, и преломленный луч отклоняется в сторону границы. Внешнее преломление Внутреннее преломление Рис. 1.13. Связь между углом преломления и углом падения Преломленные лучи отклоняются таким образом, чтобы минимизировать оптическую длину пути, т. е. увеличить расстояние, проходимое в среде с более
32 Д' Глава 1. Оптика лучей низким показателем преломления за счет уменьшения расстояния, проходимо- го в среде с большим показателем преломления. В обоих случаях, когда углы малы (т. е. лучи параксиальны), соотношение между углами 0} и 02 приблизи- тельно линейно, П\0\ ~ п202, или 02 ~ (п1/п2)0г Полное внутреннее отражение Для внутреннего преломления (л, > п2) угол преломления больше угла падения, 02 > 0V так что с ростом 0Х угол 02 раньше достигает 90° (см. рис. 1.13). Это происходит при 0 (предельный угол), при этом nt sin 0пр = n2sin (яг/2) = п2, так что 0пр = sin-1 (1.8) Предельный угол Когда 6») > 0 , закон Снелла (1.3) не выполняется, и преломление не проис- ходит. Падающий луч полностью отражается, как если бы поверхность разде- ла была идеальным зеркалом (рис. 1.14, а). На основе явления полного внут- реннего отражения создано много оптических устройств и систем, таких как отражающие призмы (рис 1.14, б) и оптические волокна (см. подразд. 1.2.4). С использованием электромагнитной оптики можно показать (формулы Фре- неля в гл. 6), что вся энергия передается отраженному свету, поэтому процесс полного внутреннего отражения высокоэффективен. Рис. 1.14. Полное внутреннее отражение на плоской границе (а). Отражательная призма (б). Если л, > д/2 и п2 = 1 (воздух), то 0 < 45°; поскольку 0, = 45°, луч полностью отражается. Лучи направляются за счет полного внутреннего отражения от внут- ренней поверхности оптического волокна (е) Призмы Призма с показателем преломления п и углом а при вершине (рис. 1.15) отклоняет луч, падающий под углом 0 на угол 0d = 0-а + arcsin \!п2 + sin2 0 sin a - sin 6>coscr (1-9)
1.2. Простые оптические элементы Л 33 Это можно показать, дважды используя закон Снелла на двух преломляю- щих поверхностях призмы. Если угол а очень мал (тонкая призма) и угол в также очень мал (параксиальное приближение), то (1.9) приближенно дает Рис. 1.15. Отклонение луча призмой. Угол отклонения 0d показан как функция угла паде- ния <9 при различных фиксированных углах при вершине призмы «для п = 1,5. Когда «и 0малы, 0d ~(п- 1)«и приближенно не зависит от в. Когда «= 45° либо 0 = 0°, происходит полное внутреннее отражение, как показано на рис. 1.14, б Светоделители Светоделитель — это оптическое устройство, которое расщепляет па- дающий пучок на отраженный и проходящий пучки, как показано на рис. 1.16. Светоделители также часто используются для сведения двух пучков света в один пучок (рис. 1.16, в). Часто светоделители изготавливаются путем нанесе- ния тонкой полупрозрачной металлической или диэлектрической пленки на стеклянную подложку. Тонкая стеклянная пластинка или призма также могут служить светоделителями. Частично отражающее зеркало а Тонкая стеклянная пластинка б Рис. 1.16. Устройства для разделения и сведения пучков Объединитель пучков в
34 Глава 7 Оптика лучей 1.2.3. Сферические границы и линзы Теперь изучим преломление лучей на сферической границе радиу- са R между двумя средами с показателями преломления пх и л2. По соглашению R считается положительным для выпуклой и отрицательным для вогнутой гра- ницы. Применим закон Снелла, связывающий углы падения и преломления относительно нормали к поверхности, определяемой радиусом-вектором, про- веденным в точку преломления из центра сферы С. Эти углы следует отличать от углов и вг, определяемых относительно оси Z- Если рассматривать только параксиальные лучи, образующие малые углы с осью системы, такие что sin в ~ в и tg в ~ в, можно обнаружить следующие свойства: • луч, образующий угол с осью z и пересекающий границу на высоте у, где он образует угол 6>0 с радиусом-вектором (рис. 1.17, а), изменяет направле- ние таким образом, что преломленный луч образует угол в2 с осью z и угол 03 с радиусом-вектором. Угол падения, таким образом, равен + 6V в то время как угол преломления равен так что = л2 - и, у . «2 Л2 R (111) Рис. 1.17. Преломление на выпуклой сферической границе (R > 0)
1.2. Простые оптические элементы —/ 35 • все параксиал ьные лучи, исходящие из точки Р, = (у,, z,) в плос кости z — Z,, пересекаются в точке Р2 = (у2, в плоскости z = г2, где + (1.12) z} z2 R У2=-—-J'l- (1-13) «2 Плоскости z = zt и z = ^называются сопряженными плоскостями. Каждая точка первой плоскости отображается в соответствующую точку (изображение) второй плоскости с увеличением — (nJn^(z^Z\)- Как и раньше, отрицательное увеличение означает, что изображение перевернуто. По соглашению положе- ние точки Р} определяется в системе координат с осью, направленной влево, а Р2 — в системе координат с осью, направленной вправо (т. е. если точка /2 лежит левее границы, то г2 отрицательно). Сходство перечисленных свойств со свойствами сферического зеркала оче- видно. Важно помнить, что описанные свойства, позволяющие формировать изображения, являются приближенными. Они имеют место только для пара- ксиальных лучей. Лучи, образующие большие углы, не подчиняются этим па- раксиальным законам; отклонение от них приводит к искажению изображе- ния, называемому аберрацией. Упражнение 1.3 ------------------------------------------- Формирование изображения Выведите (1.11). Докажите, что параксиальные лучи, исходящие из Р,, про- ходят через Р2, когда выполняются (1.12) и (1.13). Упражнение 1.4 ------------------------------------------- Изображающая поверхность, свободная от аберраций Найдите уравнение выпуклой асферической (несферической) поверхности раздела между двумя средами с показателями преломления л, и п2, такой, что все лучи (не обязательно параксиальные), исходящие из точки Рр лежащей на оси на расстоянии zt слева от поверхности, пересекаются в точке Р2, лежащей на оси на расстоянии z2 справа (см. рис. 1.17, о). Примечание. В соответствии с принципом Ферма оптические длины пути между двумя точками равны для всех лучей. Линзы Сферическая линза ограничена двумя сферическими поверхностя- ми. Таким образом, она полностью описывается радиусами поверхностей R] и Л2, толщиной А и показателем преломления п материала (рис. 1.18). Стеклян- ная линза в воздухе может быть рассмотрена как комбинация двух сферичес- ких границ раздела: воздух—стекло и стекло—воздух.
36 Глава 1. Оптика лучей Рис. 1.19. Лучи, преломляемые тонкой линзой (а); формирование изображения тонкой линзой (б) Рассмотрим луч, образующий с осью z угол вх и пересекающий первую поверхность на высоте у (рис. 1.19, а). Применим (1.11) к первой поверхности, что даст угол наклона в для преломленного луча, который мы продолжим до пересечения со второй поверхностью. Затем еще раз применим (1-11) с заме- ной вх на 6, что даст угол наклона в2 луча на выходе из линзы. Результат, вообще говоря, имеет сложный вид. Однако, если линза тонкая, можно счи- тать, что падающий луч выходит из линзы приблизительно на той же высоте у, на которой он входит в нее. При этом предположении получаем следующие соотношения: • углы наклона преломленного и падающего лучей связаны соотношением (1.14) где f называемое фокусным расстоянием, определяется формулой (1-15) Фокусное расстояние Тонкая сферическая линза
37 1.2. Простые оптические элементы • все лучи, исходящие из точки Рх = (ур zt), пересекаются в точке Р2 = (у2, z2) (рис. 1.19, б), где -----'-----= ----- 5 Zl Z-2 f Z2 У1- <1 (1.16) Уравнение изображения (1.17) Увеличение Эти результаты идентичны результатам для сферического зеркала [см. (1.7) и упражнение 1.2]. Полученные уравнения отражают тот факт’, что каждая точка плоскости z~Z\ отображается в соответственную точку плоскости z = z2 с фактором увеличе- ния ~Z2lzv Увеличение равно единице при zt =z2 = 2f. Таким образом, фокус- ное расстояние линзы f полностью определяет ее действие на параксиальные лучи. Как отмечалось выше, положение точек Pt и Р2 задается в системах координате осями, направленными влево и вправо, соответственно, а радиу- сы кривизны положительны для выпуклых и отрицательны для вогнутых по- верхностей. Для двояковыпуклой линзы, показанной на рис. 1.18, Rt положи- тельно, a R2 отрицательно, так что оба члена в (1.15) складываются и дают положительное f Упражнение 1.5 ------------------------------------------- Доказательство формул тонкой линзы Используя (1.11) вместе с определением фокусного расстояния (1.15), до- кажите (1.14) и (1.16). Рис. 1.20. Непараксиальные лучи не пересекаются в параксиальном фокусе Подчеркнем, что все вытекающие отсюда выражения справедливы только для параксиальных лучей. Присутствие непараксиальных лучей приводит к аберрациям, как показано на рис. 1.20.
38 -V Глава 1. Оптика лучей 1.2.4. Световоды Свет можно направлять из одного места в другое с помощью набо- ра линз или зеркал, как схематически показано на рис. 1.21. Поскольку пре- ломляющие элементы (такие как линзы) обычно частично отражают свет, а зеркала частично его поглощают, накапливающиеся потери оптической мощ- ности будут значительны, когда число направляющих элементов велико. Мож- но изготовить элементы, в которых эти эффекты минимизированы (например, линзы с противоотражательным покрытием), но система получается сложной и дорогой. в Рис. 1.21. Направление света линзами (а) зеркалами (б), с помощью полного внутренне- го отражения (в) Идеальным механизмом для направления света является полное внутрен- нее отражение на границе между двумя средами с различными показателями преломления. Лучи многократно отражаются, не испытывая преломления. Стек- лянные волокна высокой химической чистоты используются для направленно- го распространения света на расстояния в десятки километров со сравнительно низкими потерями оптической мощности. Оптическое волокно представляет собой «трубопровод» для света, состоящий из двух концентрических стеклянных (или пластиковых) цилиндров (рис. 1.22). Внутренний, называемый сердцевиной, имеет показатель преломления л а наружный, называемый оболочкой, — несколько меньший показатель прелом- ления и2 < пг Лучи света, распространяющегося в сердцевине, полностью отра- жаются от оболочки, если угол их падения больше критического угла 0 х^криг =arcsin p- . \п2 J
1.2. Простые оптические элементы 39 Следовательно, лучи, образующие угол в = 90° — в с оптической осью, не выходят из волновода, если в < 0крит, где ^крит = 90‘ - 0крит = arccos Оптические волокна используются в оптических системах связи (см. гл. 9 и 24). Некоторые важные свойства оптических волокон предлагается вывести в уп- ражнении 1.6. Рис. 1.22. Оптическое волокно. Лучи света направляются за счет многократного полного внутреннего отражения. Здесь в — угол наклона луча по отношению к оси во- локна, так что в = 90 -в — угол падения на границу раздела двух диэлектриков Упражнение 1.6 ----- Числовая апертура и угол приема оптического волокна Оптическое волокно освещается светом от источника [например, светоизлу- чающего диода (СИД)]. Показатели преломления сердцевины и оболочки равны й] и л2 соответственно, показатель преломления воздуха равен 1 (рис. 1.23). По- кажите, что половина угла при вершине 0а конуса лучей, принимаемых во- локном и распространяющихся в нем без преломления на границе между сер- дцевиной и оболочкой, дается выражением NA = sin ва = . (1.18) Числовая апертура Оптическое волокно Угол 6а называется углом приема, а параметр NA = sin 6а — числовой апертурой волокна. Вычислите числовую апертуру и угол приема для волокна из кварце- вого стекла с и, = 1,475 и п2 = 1,460. Рис. 1.23. Угол приема опти- ческого волокна
40 Глава 1. Оптика лучей Пленение света в средах с высоким показателем преломления Свет, образующийся внутри среды с высоким показателем прелом- ления, часто не может выйти наружу, особенно если поверхности среды парал- лельны друг другу. Это происходит потому, что некоторые лучи претерпевают многократное полное внутреннее отражение без преломления на границе с воз- духом. Принцип иллюстрируется упражнением 1.7. Упражнение 1.7 ----------------------------------------- Свет, плененный в светоизлучающем диоде 1. Предположим, что свет генерируется во всех направлениях внутри мате- риала с показателем преломления и, вырезанном в форме параллелепипеда (рис. 1.24). Материал окружен воздухом с единичным показателем преломле- ния. Этот процесс происходит в светоизлучающем диоде (см. гл. 17). Чему равен угол конуса внутри материала, внутри которого лучи света могут выйти наружу с каждой стороны? Что происходит с другими лучами? Каково числен- ное значение этого угла для GaAs (и = 3,6)? Рис. 1.24. Пленение света в параллелепи- педе с высоким показателем преломления 2. Предположим, что когда свет генерируется изотропно, величина опти- ческой мощности, связанная с лучами внутри данного конуса, пропорциональ- на соответствующему телесному углу. Покажите, что отношение оптической мощности, выходящей наружу к полной мощности света, генерируемого внут- ри материала, равно з(1 - д/1 - 1/л2) при условии, что п > V2. Чему равно чис- ленное значение этого отношения для GaAs? 1.3. ОПТИКА СРЕД С ГРАДИЕНТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ Материал с градиентным показателем преломления (ГПП) имеет показатель преломления, который меняется от точки к точке как непрерывная функция п(г). Такие материалы часто изготавливаются путем добавления при-
1.3. Оптика сред с градиентным показателем преломления Л 41 месей (легирующих добавок) в регулируемых концентрациях. В среде с ГПП оптические лучи следуют искривленным, а не прямолинейным траекториям. При надлежащем выборе п(г) плоскопараллельная пластинка с ГПП может оказывать на лучи света такое же действие, как и обычные оптические элемен- ты, такие как линза или призма. 1.3.1. Уравнение луча Для определения траектории светового луча в неоднородной среде с показателем преломления п(г) используем принцип Ферма в <*>[ n(r)ds = О, А (1.19) где di — бесконечно малый элемент длины вдоль траектории луча между точ- ками А и В. Если траектория описывается функциями x(s), y(s) и z(s), где s — длина вдоль траектории (рис. 1.25), то, используя вариационное исчисление, можно показать1, что x(s), y(s) и z(s) должны удовлетворять трем дифференци- альным уравнениям в частных производных d ds dxA и— ds ) дп Эх ’ d ( djA “Г п~Г ds < ds J дп ду’ d ( dz'l ds V ds J дп dz' (1.20) Вводя вектор r(s), компонентами которого являются x(s), y(s) и z(s), уравнения (1.20) можно записать в компактном векторном виде d f dr') — п— ds V ds J = V«, где Vn — градиент n, т. e. вектор с де- картовыми компонентами дп/дх, дп/дуи dn/dz. Уравнение (1.21) называется урав- нением луча. Рис. 1.25. Траектория луча описывается либо параметрически тремя функциями Л'(.т), y(s) и l(s), либо двумя функциями л(Д, y(z) (1-21) Уравнение луча 1 Этот вывод выходит за рамки настоящей книги. Подробнее см., например, R. Weinstock. Calculus of Variations, Dover, 1974.
42 Глава 1. Оптика лучей Один из подходов к решению уравнения луча состоит в описании траекто- рии двумя функциями x(z), y(z), тогда элемент длины равен d.v = dz 11+«2+гм V <dzj <dzj Подставляя это выражение в (1.21), приходим к двум дифференциальным урав- нениям в частных производных для функций x(z), y(z)- В общем случае соот- ветствующие вычисления достаточно сложны, однако они сильно упрощаются в параксиальном приближении. Параксиальное уравнение луча В параксиальном приближении траектории лучей почти параллель- ны оси z, так что d.v = dz (рис. 1.26). Уравнения луча (1.21) в этом случае упро- щаются d ( dx^ дп d ( dyA дп — п— ~; — и— =—. dzl dz) Эх dz< dz) ду (1-22) Параксиальные уравнения луча При заданном п(х, у, z) эти два дифференциальных уравнения в частных производных можно решить относительно определяющих траекторию функ- ций x(z), y(z)- Рис. 1.26. Траектория параксиального луча в среде с градиентным показателем пре- ломления В предельном случае однородной среды, когда п не зависит от х, у, z, урав- нения (1.22) дают = 0; = 0, dz dz откуда следует, что х и у — линейные функции z, так что траектории лучей представляют собой прямые линии. Более интересные случаи будут рассмотре- ны далее.
1.3. Оптика сред с градиентным показателем преломления Д' « 1.3.2. Оптические элементы с градиентным показателем преломления Слой с градиентным показателем преломления Рассмотрим плоский слой материала, показатель преломления ко- торого п = п(у) не зависит от х и z и непрерывно меняется в направлении у (рис. 1.27). Траектории параксиальных лучей в плоскости у—z описываются параксиальным уравнением луча d ( dy) dn — n~ = —> dz v dz) dy из которого следует d2y _ I d/г (у) dz2 n (y) dy (1.23) Показатель преломления Рис. 1.27. Рефракпия в слое с градиентным показателем преломления При заданном и(у) и начальных условиях (у и dy/dz. при z = 0) уравнение (1.24) можно решить относительно функции y(z), которая описывает траекторию луча. Вывод параксиального уравнения луча в слое с ГПП с использованием закона Снелла Уравнение (1.24) можно вывести также непосредственно из закона Снелла (см. рис. 1.27). Пусть dz есть угол наклона луча относительно оси z в точке (у, z). После прохождения слоя толщиной Ду этот угол меняется и становится равным 0(у + Ду). Эти два угла связаны законом Снелла, где 0, как видно из рис. 1.27, есть угол, дополни- тельный к углу падения (преломления) n(y)cos6*(y) = л(у + Ду)соь#(у + Ду) = / \ dn А «(у)+^гду dy do cos 0 (у) - — Ду sin 0 (у) , (1.25)
44 Д- Глава 1. Оптика лучей где мы применили разложение /(у + Ду) = /(у) + ^Ду к функциям f(y) = п(у) и Ду) = cos 0(у). В пределе Ду -» 0 после исключения члена с (Ду)2 получаем дифференциальное уравнение dn d0 п - = п — \%0. dy dy (1-26) Для параксиальных лучей 6 очень мало, так что tg 6 ~ 0. Подставляя 0 = dy/dz в (1.26), получаем (1.24). Пример 1.1 --------------------------------------- Слой с параболическим профилем показателя преломления Важным частным случаем распределения показателя преломления в слое является п2 (у) = -а2у2). (1-27) Рис. 1.28. Траектория луча в слое с ГПП параболического профиля (SELFOC) Это симметричная функция у, имеющая максимальное значение при у = О (рис. 1.28). Стеклянный слой с таким профилем известен под коммерческим названием SELFOC. Обычно «выбирается достаточно малым, так что «2у2 <к 1 для всех представляющих интерес значений у. При этом условии «(у) = Лоф-а^у2 = «о [1 - |«2У2 т. е. п(у) представляет собой параболическое распределение. Поскольку и(у) — п0 = и0, относительное изменение показателя преломления очень мало. Если вычислить производную от (L27), правая часть (1.24) принимает вид 1 dn n dy Л2 «0 12 2 — а у = -а у, n J
1 3 Оптика сред с градиентным показателем преломления Дг 45 так что (1.24) сводится к уравнению d2y 2 —у = -а1у. dz (1-28) Решения этого уравнения — гармонические функции с периодом 2л/а. Пред- полагая, что луч имел начальное положение у(0) = у0 и начальный наклон dy/dz = 30 при < = 0 в среде с ГПП, находим траекторию луча y(z) = Уо cos az +—sin az, (1-29) для которой наклон ведет себя как 0 (z) = -Д = -уоа sin az + 6й cos az- dz (1.30) Луч колеблется вокруг центра слоя с периодом по координате 2л/а, кото- рый называется шагом, как показано на рис. 1.28. Максимальное отклонение луча У max а максимальный угол наклона луча 0тах = «утах- Справедливость данного приближенного анализа гарантирована, если #тах <к 1. Если 2утах меньше, чем толщина слоя, то луч остается внутри слоя, который служит светово- дом. На рис. 1.29 показаны траектории множества лучей, передаваемых по слою SELFOC. Обратите внимание, что все лучи имеют один и тот же шаг. Такой слой с ГПП можно использовать как линзу, что демонстрируется в упражнении 1.8. Рис. 1.29. Траектории лучей от внешнего точечного источника в слое SELFOC
46 Глава 1. Оптика лучей Упражнение 1.8 - Слой с ГПП как линза Покажите, что слой SELFOC длиной d < л/2а с показателем преломления (1.27) ведет себя как цилиндрическая линза (линза, фокусирующая лучи в плос- кости у—z) с фокусным расстоянием ---• (1.31) n(lda sin а Покажите, что главная точка (ее определение видно из рис. 1.30) лежит на расстоянии АН ----tg — n^a 2 Волокна с градиентным показателем преломления Волокно с градиентным показателем преломления представляет собой стеклянный цилиндр, показатель преломления которого непрерывно за- висит от расстояния до его оси. В параксиальном приближении траектории лучей определяются параксиальным уравнением лучей (1.22). Рассмотрим, на- пример, распределение показателя преломления и2 = t^[l-a2(x2 +/)]. (1.32) Подставляя (1.32) в (1.22) и предполагая, что а2(х2 + у2) « 1, для всех пред- ставляющих интерес х и у, получим d2x dz2 2 ~ -а х; d2y 2 —у = -а2у. dz (1.33)
1.3. Оптика сред с градиентным показателем преломления 47 Таким образом, х и у являются гармоническими функциями z. с периодом 1л/а. Начальное положение (х0, у0) и наклон луча *0 dx dz ’ вУ. dy dz при z = 0 определяют амплитуды и фазы этих гармонических функций. Ввиду осевой симметрии можно без ограничения общности положить х0 = 0. Тогда решение уравнений (1.33) имеет вид / X x(z) = —sin az; a g У (z) = — sin az + y0 COS az. a (1-34) Если 6Хй = 0, т. е. падающий луч лежит в меридиональной плоскости (плос- кости, проходящей через ось цилиндра, в данном случае это плоскость у—z), то луч останется в этой плоскости и будет распространяться по синусоидальной траектории, так же как в слое с ГПП параболического профиля (рис. 1.31, а). Рис. 1.31. Меридиональный (а) и винтовой (б) лучи в волокне с градиентным показателем преломления параболического профиля С другой стороны, если вуо = 0, а вХо = ау0, то X (z) = Уо sin az; y(z) = Уо cos az, (1.35)
48 Глава 1. Оптика лучей так что луч распространяется по винтовой линии, лежащей на поверхности цилиндра радиуса у0 (рис. 1.31, б). В обоих случаях луч остается внутри волок- на, которое служит световодом. Для разных падающих лучей получаются раз- личные винтовые траектории. Волокна с градиентным показателем преломления и их использование в оптических линиях связи обсуждаются в гл. 9 и 24. Упражнение 1.9 ----------------------------------------- Числовая апертура волокна с градиентным показателем преломления Рассмотрим волокно радиусом а с градиентным показателем преломления, профиль которого задан формулой (1.32). Луч падает из воздуха в центр торца волокна, образуя внутри него угол б*0 с его осью (рис. 1.32). В параксиальном приближении покажите, что числовая апертура равна NA = sin<9fl ~ noaa, (1.36) Числовая апертура Волокно с градиентным показателем преломления где 6 — максимальный угол приема, для которого траектория луча остается внутри волокна. Сравните результат с числовой апертурой волокна со ступен- чатым показателем преломления, рассмотренным в упражнении 1.6. Для пра- вильного сравнения возьмите показатели преломления сердцевины и оболочки равными, соответственно, п} = п0 и Рис. 1.32. Угол приема оптического волокна с градиентным показателем преломления *1.3.3. Уравнение эйконала Траектории лучей часто характеризуются поверхностями, по от- ношению к которым они нормальны. Пусть S(r) — скалярная функция, такая, что поверхности ее равных значений S(r) = const всюду нормальны к лучам
1.3. Оптика сред с градиентным показателем преломления Д ® (рис. 1.33). Если функция S(r) известна, то траектории лучей можно легко по- строить, поскольку нормалью к поверхности равных значений функции в точ- ке г является направление градиента V5(r). Функ- ция 5(т), называемая эйконалом, аналогична потен- циальной функции И(т) в электростатике; роль оптических лучей в этом случае играют силовые линии электрического поля Е = —V V. Рис. 1.33. Траектории лучей нормальны к поверхностям рав- ных значений S(r) S(r} = const Чтобы удовлетворить принципу Ферма (который является главным посту- латом лучевой оптики), эйконал S(r) должен удовлетворять дифференциально- му уравнению в частных производных, известному как уравнение эйконала: asf fas? (ds}2 2 дх J V Эу J у Эг J которое обычно записывают в векторной форме |VS|2 = п2, (1.37) (1.38) Уравнение эйконала где [VS]2 = VS- VS. Вывод уравнения эйконала из принципа Ферма — математи- ческое упражнение, выходящее за рамки настоящей книги2. Можно также по- казать, что принцип Ферма (и уравнение луча) следует из уравнения эйконала. Поэтому в качестве основного постулата лучевой оптики можно брать либо принцип Ферма, либо уравнение эйконала. Интегрируя уравнение эйконала (1.38) вдоль траектории луча между точка- ми А и В, получим в в Ягд) - s (<4) = J|VS| Ф = J нФ = оптическая длина пути между А и В. (1.39) Л А Это означает, что разность S(rB) — S(rA) представляет собой оптическую длину пути между А и В. В электростатическом аналоге роль оптической длины пути играет разность потенциалов. 2 См., например, Борн М., Вольф Е. Основы оптики. М. Наука, 1973.
50 —Глава 1. Оптика лучей Чтобы определить траектории лучей в неоднородной среде с показателем преломления п(г), мы можем либо решить уравнение луча (1.21), как мы дела- ли выше, либо решить уравнение эйконала для S(r), а затем вычислить гради- ент VS. Если среда однородна, т. е. п(г) постоянно, величина V5 также постоянна, так что нормали к волновому фронту (лучи) должны быть прямыми линиями. Поверхности S(r) = const могут быть параллельными плоскостями или концен- трическими сферами, как показано на рис. 1.34. Рис. 1.34. Лучи и поверхности постоянного S(r) в однородной среде Уравнение эйконала вновь рассматривается с точки зрения соотношения между лучевой и волновой оптикой в разд. 2.3. 1.4. МАТРИЧНАЯ ОПТИКА Матричная оптика представляет собой метод для расчета хода па- раксиальных лучей. Предполагается, что лучи распространяются в одной плос- кости, поэтому данный формализм применим к системам с планарной геомет- рией и к меридиональным лучам в системах с аксиальной симметрией. Луч описывается положением и углом наклона по отношению к оптичес- кой оси. Эти переменные меняются по мере распространения луча через опти- ческую систему. В параксиальном приближении положение и угол наклона луча в плоскости входа и выхода связаны двумя линейными алгебраическими уравнениями. Таким образом, оптическая система описывается матрицей 2x2, которая называется матрицей передачи луча. Удобство матричных методов состоит в том, что матрица передачи луча для каскада элементов (или систем) есть произведение матриц передачи луча от- дельных элементов (или систем). Таким образом, матричная оптика обеспечи- вает удобный формализм для описания оптических систем в параксиальном приближении.
7.4. Матричная оптика -i\r 51 1.4.1. Матрица передачи луча Рассмотрим аксиально-симметричную оптическую систему, обра- зованную последовательностью преломляющих и отражающих поверхностей, центрированных на одной оси (оптической оси). Выберем ось z вдоль оптичес- кой оси в направлении общего хода лучей. Рассмотрим лучи, лежащие в плос- кости, проходящей через оптическую ось, например, в плоскости у— z. Будем следить за ходом луча через систему, т. е. за тем, как он пересекает каждую поверхность на том или ином расстоянии от оси. Луч, пересекающий попереч- ную плоскость при данном z, полностью характеризуется координатой пересе- чения у и углом наклона в (рис. 1.35). Рис. 1.35. Луч характеризуется сво- ей координатой у и углом наклона О Рис. 1.36. Луч входит в опти- ческую систему в точке ?. на расстоянии у, от оси и с уг- лом наклона б*, и выходит в точке z2 на расстоянии у2 от оси и с углом наклона 0г Оптическая система представляет собой совокупность оптических элемен- тов, расположенных между двумя поперечными плоскостями при zl и zv на- зываемых входной и выходной плоскостью соответственно. Система полнос- тью характеризуется ее действием на входящий луч с произвольным положе- нием и наклоном (ур 6*,). Система направляет луч таким образом, что на выходе он имеет новое положение и наклон (у2, 02) в выходной плоскости (рис. 1.36).
У1 Л. (1-42) 52 —Глава 1. Оптика лучей В параксиальном приближении, когда все углы достаточно малы, так что sin в~ в, соотношение между (у2, 6*2) и (ур вх) линейно и может быть записано в общем виде у2 = Аух + В6\; (1.40) 02=Су{ + Ввх, (1.41) где А, В, С и D — действительные числа. Уравнения (1.40) и (1.41) удобно записать в матричном виде &2\ |_С В Матрица М с элементами А, В, С и В полностью характеризует оптическую систему, поскольку она позволяет выразить (у2, 6*2) для любых (у,, б*,). Она называется матрицей передачи луча. Как будет видно на примерах, приведенных в подразд. 1.4.2, углы, получающиеся отрицательными, указывают на наклон луча вниз по отношению к оси z- Отрицательные радиусы соответствуют вогну- тым поверхностям, а положительные радиусы — выпуклым. Упражнение 1.10------------------------------------------ Частные виды матриц передачи луча Рассмотрите следующие ситуации, в которых один из элементов матрицы передачи луча исчезает. 1. Покажите, что если А = 0, то все лучи, входящие в систему под одним и тем же углом, выходят из нее в одной и той же точке, т. е. параллельные лучи на входе фокусируются в одну точку на выходе. 2. Каковы особые свойства систем, у которых В = 0, С = 0 или В = 0? 1.4.2. Матрицы простых оптических элементов Распространение в свободном пространстве Поскольку лучи распространяются вдоль прямых линий в средах с однородным показателем преломления, таких как свободное пространство, луч, прошедший расстояние d, преобразуется в соответствии с формулами у2 — yt + 0{d и 6*2 = Матрица передачи луча, соответственно, имеет вид 1 о d 1 М = (1.43)
1.4. Матричная оптика 53 Преломление на плоской границе На плоской границе раздела двух сред с показателями прелом- ления п, и п2 угол наклона луча изменяется в соответствии с законом Снелла л, sin 0t = n2sin 02. В параксиальном приближении пхвх ~ п202. Положение луча не меняется, у, = у2. Матрица передачи луча имеет вид (1.44) Преломление на сферической границе Связь между углами 0} и 02 для параксиальных лучей, преломляю- щихся на сферической границе раздела двух сред, дается соотношением (1.11). Высота луча не меняется, yt ~ у2. Матрица передачи луча есть R> 0 для выпуклой и R< 0 для вогнутой поверхности м = 1 о 0*2 ~ ”1) Th n2R п2 (1-45) Прохождение через тонкую линзу Связь между 0t и 02 для параксиальных лучей, проходяших через тонкую линзу с фокусным расстоянием/, дается соотношением (1.14). По- скольку высота луча остается неизменной (у, = у2), имеем О 0 для выпуклой и f < 0 для вогнутой поверхности 1 О (1-46)
54 Глава 1. Оптика лучей Отражение от плоского зеркала При отражении от плоского зеркала положение луча не меняется, yt = уг Принимая соглашение, что направление оси z следует направлению хода лучей, т. е. к зеркалу для падающего луча и от зеркала — для отраженного луча, приходим к заключению, что 6*2 = вг Следовательно, матрица передачи луча — единичная матрица mJ1 (1.47) о о 1 Отражение от сферического зеркала Используя (1.4) и соглашение, что ось z направлена по ходу луча при отражении от зеркал, аналогично получаем М= 2 (1.48) 1 L7? о 1 Отметим аналогию между матрицами передачи луча для сферического зеркала (1.48) и тонкой линзы (1.46). Зеркало с радиусом кривизны R пре- ломляет лучи таким же образом, как и тонкая линза с фокусным расстояни- ем f= —R/2. 1.4.3. Матрицы каскада оптических элементов Каскад из N оптических элементов или систем с матрицами пере- дачи луча Мр М2, ..., Мд, эквивалентен одной оптической системе с матрицей передачи луча, равной произведению матриц -> М, М2 -> ... -> МЛ, М = Мд,, ..., М2Мр (1.49)
1.4. Матричная оптика -Д/. 55 Обратите внимание на порядок перемножения матриц справа стоит матри- ца первого элемента по ходу луча, которая первой преобразует вектор-столбец падающего луча, и так далее. Произведение матриц в общем случае не комму- тативно, хотя и ассоциативно. Упражнение 1.11 ---------------------------------------- Набор параллельных прозрачных пластин Рассмотрите набор из N параллельных плоских прозрачных пластин с по- казателями преломления nt, п2, nN и толщинами d}, d2, ..., dN, расположен- ных в воздухе (и = 1) перпендикулярно оси г. Используя метод полной матема- тической индукции, докажите, что матрица передачи луча системы есть (1.50) Заметьте, что порядок следования пластин не влияет на полную матрицу передачи луча. Какова будет матрица передачи луча для неоднородной про зрачной пластины толщиной d0 с показателем преломления n(z)? Упражнение 1.12------------------------------------------- Участок свободного пространства и линза Покажите, что матрица передачи луча для участка свободного пространства длиной </, за которым следует линза с фокусным расстоянием f есть 1-- (1.51) 1 d Упражнение 1.13------------------------------- Изображение тонкой линзой Выведите выражение для матрицы передачи луча для оптической системы, состоящей из двух участков свободного пространства с тонкой линзой между ними, как показано на рис. 1.37. Покажите, что при выполнении условия фор- Л ( 1 1 И мирования изображения — + — = — все лучи, выходящие из одной точки 1/1 f)
56 ~^v Глава 1. Оптика лучей входной плоскости, пересекают выходную плоскость в одной точке у2, незави- симо от их наклона. Покажите также, что если d2 = f то все параллельные падающие лучи фокусируются линзой в одну точку в выходной плоскости. Рис. 1.37. Однолинзовая изображающая система Упражнение 1.14-------------------------------------------- Изображение толстой линзой Рассмотрите стеклянную линзу с показателем преломления п толщиной d с двумя сферическими поверхностями одинакового радиуса R (рис. 1.38). Опре- делите матрицу передачи луча системы между двумя плоскостями на расстоя- нии (/] и d2 от вершин линзы. Линза находится в воздухе (показатель преломле- ния равен 1). Покажите, что система является изображающей (т. е. входная и выходная плоскости сопряжены друг другу), если —+ ~ = 4 или =/2, (1.52) *1 *2 f где zx=dx+h. sx=zx-f', (1.53) = d2 + h, s2 = z2-f (1-54) h = -nR-’ (L55) l = (1.56) f R L n ' Рис. 1.38. Формирование изображения толстой линзой: Рх и Р2 — главные точки; Т7, и F2 — фокальные точки
1 4 Матричная оптика Дг 57 Точки Ft и F2 называются передней и задней фокальными точками системы. Точки Рх и Р2 называются первой и второй главными точками соответственно. Покажите важность этих точек путем построения хода лучей, падающих парал- лельно оптической оси. 1.4.4. Периодические оптические системы Периодическая оптическая система представляет собой каскад из одинаковых оптических элементов. Примером является последовательность равноотстоящих идентичных передающих линз, используемых в качестве све- товода, как показано на рис. 1.21, а. Другим примером является отражение света между двумя зеркалами, образующими оптический резонатор (см. под- разд. 10.2.1), в этом случае луч снова и снова проходит один и тот же оптичес- кий элемент (обход резонатора с отражениями). Даже однородная среда, такая как стеклянное волокно, может рассматриваться как периодическая система, если ее разделить на прилегающие друг к другу идентичные участки одинако- вой длины. Перейдем к формулировке общей теории распространения лучей в периодических системах на основе матричных методов. Разностное уравнение для положения луча Периодическая система состоит из каскада идентичных элемен- тарных систем (ступеней), каждая из которых имеет матрицу передачи луча (А, В, С, D), как показано на рис. 1.39. Луч входит в систему, имея начальное положение у() и наклон 6*0. Для определения положения и наклона луча (у , 0т) на выходе т-й ступени применим матрицу ABCD т раз Ут1 = ГЯ БТТу° 0т\ |_С D] |_0о (1.57) Можно также повторно применять соотношения ym+i = Aym + B0m; (1.58) <9m+i = СУт + *4. (1.59) чтобы по (у0, б>0) найти (ур 0Х), затем по (у,, Д) найти (у2, 02) и так далее с помощью компьютерной программы. 1 2 т - 1 т т + I Рис. 1.39. Каскад идентичных оптических систем
58 Глава 1. Оптика лучей Интересно вывести уравнения, которые описывают динамику положения ут, т = 0, 1, независимо от угла вт. Это достигается исключением вт из (1.58) и (1.59). Из (1.58) получаем ет = Ут-пАУт-- (1-60) £> Замена т на т + 1 в (1.60) дает D Подставляя (1.60) и (1.61) в (1.59), находим Ут+2 = Ж,+ 1 -^2Ут,| (1.62) Рекуррентное соотношение для положения луча где F1 = AD- ВС = det[M], (1.64) a det |М| — определитель М. Уравнение (1.62) — линейное разностное уравнение, определяющее поло- жение луча ут. Его можно решить методом итераций, определяя у2 по ув и затем у3 по у, и уг и так далее. Величина yt может быть найдена по у0 и 0О с использованием (1.58) с т = 0. Полезно, однако, вывести явное выражение для ут посредством решения разностного уравнения (1.62). Как и для линейных дифференциальных уравне- ний, решение, удовлетворяющее линейному разностному уравнению и данным начальным условиям, единственно. Поэтому разумно попытаться угадать вид такого решения для уравнения (1.62). Используем пробное решение в виде геометрической прогрессии Ут=У^т, (165) где h — постоянная. Подставляя (1.65) в (1.62), немедленно убеждаемся, что пробное решение подходит при условии, что h удовлетворяет квадратному ал- гебраическому уравнению й2 - 2bh + F2 = 0, (1.66) из которого й = й ± ;Vf2 - ь1. (1.67)
1.4. Матричная оптика —J 59 Результаты можно представить в более компактном виде, если ввести пере- менную $9 = arccos[I (1.68) V г J таким образом, чтобы b = Feos<р\ у!F2 - b2 = Fsin (р и, следовательно, h = F (cos <р + j sin <р)= F exp (± J<p), после чего (1.65) превращается в Ут = Уорт exp(±jw<?). Общее решение можно построить из двух решений с положительным и отрицательным знаком в виде их линейной комбинации. Сумма двух экспо- ненциальных функций всегда может быть записана в виде гармонической (три- гонометрической) функции, так что Ут = ym-MFm sin {пир + $90), (1.69) где утах и (рй — постоянные, определяемые из начальных условий у0 и уг В част- ности, полагая т = 0, получим у = _^_ max sin (р0 Параметр F связан с определителем матрицы передачи луча для одного элемента соотношением F = 7det [М]. Можно показать, что, независимо от вида элемента, det[M] = —, «2 где я, и п2 — показатели преломления начального и конечного сечения элемен- тарной системы. Этот общий результат несложно проверить на всех рассмотрен- ных нами примерах оптических элементов. Поскольку при перемножении мат- риц их определители перемножаются, полученное соотношение det |MJ = пх/п2 применимо к любому каскаду из таких элементов. Например, если det[M,] = —; det[M2] = —, «2 Л3 ТО det[M1M2l = ^-^- = -^-. «3 «2 «3
60 Глава 1. Оптика лучей В большинстве приложений первая и последняя ступени каскада — воздух (и = 1), и, = п2, так что det |М] = 1 и F = 1. В этом случае решение уравнения для положения луча есть Ут =JmaxSin(^ + <Z70). (1.70) Положение луча Периодическая система Далее мы будем предполагать, что F = 1. Соответствующее решение для угла наклона луча получается с использованием соотношения у», - Аут J т +1 J tn которое следует из (1.58). Условие гармонической траектории Для того, чтобы ут было гармонической, а не гиперболической фун- кцией, величина ср = arccos b должна быть действительной. Для этого требуется |Л| < 1 или 1|Л + О|<1. (1.71) Условие устойчивости Рис. 1.40. Примеры траек- торий в периодических оп- тических системах: a — неустойчивая траектория (b > 1); б — устойчивая перио- дическая траектория 6я/\ 1, период равен И ступеням); в — устойчивая непериодичес- кая траектория (гр= 1,5) Если, напротив, |/>| > 1, то мнимое, и решение является гиперболической функцией sh или ch, которая неограниченно растет, как показано на рис. 1.40, а. Гармоническое решение гарантирует ограниченность ут для всех т с макси- мальным значением утах. Таким образом, ограничение |/>| < 1 обеспечивает ус- ловие устойчивости (ограниченности) траектории луча.
61 1.4. Матричная оптика Поскольку ут и ут + j — гармонические функции, то гармонической функ- цией является и угол наклона, что можно показать, используя (1.70), (1.60) и несложные тригонометрические преобразования. Таким образом, °т= °n,a.xSin<'^’+ ^1)5 где постоянные 0тах и определяются из начальных условий. Максимальный угол наклона 0тах должен быть достаточно малым, чтобы не выходить за преде- лы параксиального приближения, лежащего в основе данного анализа. Условие периодичности траектории Гармоническая функция (1.70) периодична по т, если можно най- ти такое целое число s, что Ут~ У„, . s для любого т. Наименьшее из таких чисел есть период. В этом случае ход луча повторяется через каждые 5 шагов. Данное условие выполняется, если s<p— 2nq, где q — целое. Таким образом, необходимое и достаточное условие периодичности траектории заключается в том, чтобы (р/2п было рациональным числом q/s. Например, если <р = 6я/11, то <р/1л = 3/11, и траектория периодична с периодом в 11 ступеней. Этот случай иллюстрируется рис. 1.40, б. Мы вернемся к рассмотрению периодических оптических систем в гл. 7. Резюме Параксиальный луч (0тах « 1), проходя через каскад одинаковых элементарных оптических систем, каждая из которых характеризуется мат- рицей передачи луча с элементами (А, В, С, D), для которой AD — ВС = 1, распространяется вдоль гармонической (и, следовательно, ограниченной) траектории, если выполняется условие 2 называемое условием устойчивости. Тогда положение луча на т-й ступе- ни каскада ут = утах sin (т<р + <д0), т = 0, 1, 2, где |Л+О| <р = arccosi--L. 2 Постоянные у|Пак и определяются начальными положениями у0 и у, ~ 4>'о + В0О, где 60 — начальный наклон луча. Углы наклона луча связа- ны с его положениями формулой „ Ут^~АУт =—в— и подчиняются гармоническому закону 0т — 0max sin {тер + ^). Траектория луча периодична с периодом s, если (p/lrt — рациональное число q/s.
62 -Hr Глава 1. Оптика лучей Пример 1.2---------------------------------------- Последовательность равноотстоящих одинаковых линз Набор одинаковых линз с фокусным расстоянием /, разделенных расстоя- нием d, как показано на рис. 1.41, можно использовать для передачи света между двумя пунктами. Элементарная ступень — участок свободного простран- ства длиной d, за которым следует линза, — имеет матрицу передачи луча (1.51); А = 1, В = d, С = —\/f, D = 1 — d/f. Параметр ».И1£1=|_А 2 2/ ср = arccos (1-73) и определитель равен единице. Условие устойчивости траекто- рии луча |/>| < 1 или — 1 < b < 1 в этом случае 0<J<4/, (1.72) так что расстояние между лин- Рис. 1.41. Периодическая последовательность линз _ зами должно быть меньше, чем четыре фокусных расстояния. При этом условии положения параксиальных лучей описываются гармонической функцией ут = + a Рис. 1.42. Примеры устойчивых траекторий лучей в периодической системе линз: a-d=2f-6-d=f Когда d = 2/, ер = л/2 и ср/Тл = 1/4, так что траектория произвольного луча периодична с одинаковым периодом, равным четырем ступеням. Когда d = f <р = л/Ъ и (р/2л = 1/6, так что траектория повторяется через каждые шесть ступеней. Эти случаи показаны на рис. 1.42.
1.4. Матричная оптика Д г 63 Упражнение 1.15------------------------------------------ Периодическая последовательность пар различных линз Исследуйте траектории параксиальных лучей, проходящих через систему пар линз с различными фокусными расстояниями и f2, как показано на рис. 1.43. Покажите, что траектория ограничена (устойчива), если (1.74) Рис. 1.43. Периодическая последовательность пар линз Упражнение 1.16----------------------------------------- Оптический резонатор Параксиальные лучи многократно отражаются между двумя сферически- ми зеркалами с радиусами А] и /?2, разделенными расстоянием d (рис. 1.44). Рассматривая эту систему как периодическую, у которой элементарная сту- пень представляет собой полный обход между зеркалами, определите условие устойчивости траектории луча. Оптические резонаторы подробно рассматри- ваются в гл. 10. Рис. 1.44. Оптический резонатор как периодическая оптическая система
64 Глава 1. Оптика лучей Рекомендуемая литература ОБЩАЯ Pedrotti F.L., Pedrotti L.M. and Pedrotti L.S. Introduction to Optics. Prentice Hall. 3rd ed. 2006. Sharma K.K. Optics: Principles and Applications. Academic Press, 2006. Walther A. The Ray and Wave Theory of Lenses. Cambridge University Press, 1995; paperback ed., 2006. Moeller K.D. Optics: Learning by Computing with Examples Using Maple, MathCad, Mathematica and MATLAB. Springer-Verlag, 2nd ed. 2006. Poon T.-C. and Kim T. Engineering Optics with MATLAB. World Scientific, 2006. Siciliano A. Optics: Problems and Solutions. World Scientific, 2006. Chartier G. Introduction to Optics. Springer-Verlag, 2005. Strong J. Concepts of Classical Optics. Freeman, 1958; Dover; paperback ed. 2004. Brooker G. Modem Classical Optics. Oxford University Press, 2003. Born M., Wolf E. Principles of Optics. Cambridge University Press, 7th expanded and corrected ed. 2002. Hecht E. Optics. Addison-Wesley, 4th ed. 2002. Mansuripur M. Classical Optics and Its Applications. Cambridge University Press, 2002. Keating M.P. Geometric, Physical, and Visual Optics. Butterworth-Heinemann, 2nd ed. 2002. Young M. Optics and Lasers Including Fibers and Optical Waveguides. Springer-Verlag, 1977, 5th ed. 2000. Meyer-Arendt J.R. Introduction to Classical and Modem Optics. Prentice Hall, 1972, 4th ed. 1995. Blaker J. W., Rosenblum W.M. Optics An Introduction for Students of Engineering. Macmillan, 1993. Moore D. T., ed. Selected Papers on Gradient-Index Optics. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 67), 1993. Jenkins F.A. and White HE. Fundamentals of Optics. McGraw-Hill, 1937, 4th revised ed. 1991. Banerjee P.P., Poon T.-C. Principles of Applied Optics. Aksen Associates, 1991. Guenther R D. Modem Optics. Wiley, 1990. Hecht E., Zajac A. Optics Addison-Wesley, 1974; 2nd ed. 1990 Welford W.T. Optics, Oxford University Press, 1976, 3rd ed. 1988. Wood R. W. Physical Optics. Macmillan, 3rd ed. 1934; Optical Society of America, 1988. Klein M.V., Furtak T.E. Optics. Wiley, 1982, 2nd ed. 1986. Marchand E.W. Gradient-Index Optics. Academic Press, 1978. Carlson F.P. Introduction to Applied Optics for Engineers. Academic Press, 1977. Ditchburn R.W. Light. Academic Press, 3rd ed. 1976. Hecht E. Schaum’s Outline of Optics. McGraw-Hili, paperback ed. 1974. Rossi B.B. Optics. Addison-Wesley, 1957; reprinted 1965. Stone J.M. Radiation and Optics. McGraw-Hili, 1963. Sommerfeld A. Lectures on Theoretical Physics: Optics. Academic Press, paperback ed. 1954. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА Kravtsov Yu.A. Geometrical Optics in Engineering Physics. Alpha Science, 2005. Greivenkamp J.E. Field Guide to Geometrical Optics. SPIE Optical Engineering Press, 2004. Wolf KB. Geometric Optics on Phase Space. Springer-Verlag, 2004.
Рекомендуемая литература -J 65 Katz М. Introduction to Geometrical Optics. World Scientific, 2002. Ditteon R. Modern Geometrical Optics. Wiley, 1998. Colombini E, Lerner N., eds. Geometrical Optics and Related Topics. Birkhauser, 1997. Mouroulis P., Macdonald J. Geometrical Optics and Optical Design. Oxford University Press, 1997. Loshin D.S. The Geometrical Optics Workbook. Butterworth-Heinemann, 1991. Fry G.A. Geometrical Optics. Chilton, 1969; reprinted 1981. Welford W.T., Winston R. The Optics of Nonimaging Concentrators. Academic Press, 1978. Stavroudis O.N. The Optics of Rays, Wavefronts, and Caustics. Academic Press, 1972. Zimmer H.-G. Geometrical Optics. Springer-Verlag, 1970. Nussbaum A. Geometric Optics: An Introduction. Addison-Wesley, 1968. Luneburg R.K. and Herzherger M. Mathematical Theory of Optics. University of California Press, 1964; reprinted 1966. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Gross H., ed. Handbook of Optical Systems. Wiley, 2005. Malacara D. and Malacara Z. Handbook of Optical Design. Marcel Dekker, 1994; 2nd ed. 2004. Fischer R.E., Tadic-Galeb B. Optical System Design. McGraw-Hill, 2000. Smith W.J Modern Optical Engineering: The Design of Optical Systems. McGraw-Hill, 1966; 3rd ed.2000. Nussbaum A. Optical System Design. Prentice Hall, 1998. O’Shea D.C. Elements of Modem Optical Design. Wiley, 1985. Kingslake R. Optical System Design. Academic Press, 1983. Levi L. Applied Optics: A Guide to Optical System Design. Wiley. Vol. 1, 1968; Vol. 2, 1980. МАТРИЧНАЯ ОПТИКА Gerrard A., Burch J.M. Introduction to Matrix Methods in Optics. Wiley, 1975; Dover, paperback ed. 1994 BlakerJ.W. Geometric Optics: Tire Matrix Theory. Marcel Dekker, 1971. Brouwer W. Matrix Methods in Optical Instrument Design. Benjamin, 1964. ИСТОРИЧЕСКАЯ И ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА Weiss R.J. A Brief History of Light and Those that Lit the Way. World Scientific, 1996. Hall A.R. All was Light: An Introduction to Newton’s Opticks. Clarendon Press/ Oxford University Press, 1993. Kingslake R. A History of the Photographic Lens. Academic Press, 1989. Sobel M.l. Light. University of Chicago Press, 1987. Sabra A.I. Theories of Light from Descartes to Newton. Cambridge University Press, 1981. Newton I. Opticks or a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections & Colours of Light. 4th ed. 1704; Dover, reissued 1979 van Heel A. C.S., Velze C.H.F. What is Light? McGraw-Hill, 1968; reprinted 1978. Ronchi V. The Nature of Light: An Historical Survey. Harvard University Press, 1970. Tolansky S. Revolution in Optics. Penguin, 1968. Tolansky S. Curiosities of Light Rays and Light Waves. Elsevier, 1965. Bragg W.H. Universe of Light. Dover, paperback ed. 1959. Riichardt E. Light, Visible and Invisible. University of Michigan Press, 1958.
66 Глава 1. Оптика лучей Задачи К РАЗДЕЛУ 1.1 1. Принцип Ферма с максимальным временем. Рассмотрим эллиптическое зеркало, показанное на рис. 1, а, фокусы которого обозначены А и В. Геомет- рические свойства эллипса таковы, что длина пути АРВ равна длине путей АР'В и АР"В для соседних точек эллипса. а. Теперь рассмотрим другое зеркало, радиус кривизны которого меньше, чем у эллиптического зеркала, которое касается его в точке Р, как пока- зано на рис. 1, б. Покажите, что путь луча АР В между точками А и В соответствует максимальному времени распространения, т. е. его длина больше, чем у соседних путей AQ'B и AQ"B. б. Наконец, рассмотрим зеркало, которое пересекает эллипс и при этом ка- сается его в точке Р, как показано на рис. 1, в. Покажите, что возможные пути луча AQ'B, APB и AQ"B демонстрируют наличие точки перегиба. Рис. 1. Отражение от эллиптического зеркала (а)\ отражение от вписанного касательного зеркала большей кривизны (6); отражение от касательного зеркала с кривизной, меняющейся от выпуклого к вогнутому (в) К РАЗДЕЛУ 1.2 1. Прохождение через плоскопараллельные пластины. а. Используя закон Снелла, покажите, что луч, входящий в плоскопарал- лельную пластину толщины d с показателем преломления ир находя- щуюся в воздухе (п ~ 1), выходит из нее параллельно первоначальному направлению. Луч не обязательно параксиальный. Выведите выражение для поперечного смещения луча в зависимости от угла падения в. Объяс- ните результат с точки зрения принципа Ферма. б. Если пластина представляет собой пачку N плоскопараллельных слоев, плотно прилегающих друг к другу и имеющих толщины dt, d2, ..., dN и показатели преломления ир п2, ..., nN, покажите, что выходящий луч параллелен входящему. Для угла вт в слое с номером т покажите, что пт sin вт = п sin в, т = 1, 2, .... 2. Линза в воде. Определите фокусное расстояние f двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны 20 см и 30 см и показателем преломления п = L,5. Како- во будет фокусное расстояние этой линзы, если ее погрузить в воду (и = 4/3)?
3. Числовая апертура волокна без оболочки. Определите числовую апертуру и угол приема оптического волокна с показателем преломления сердцевины л, = 1,46, лишенного оболочки (ее заменяет воздух с п2 ~ 1). 4. Шарики для связи с волокном. Маленькие стеклянные шарики часто ис- пользуются как линзы для ввода света в волокно или вывода из него. Торец волокна расположен на расстоянии f от шарика. Для шарика радиуса а = 1 мм с показателем преломления п = 1,8 определите такое /, для которого луч, иду- щий параллельно оптической оси на расстоянии у = 0,7 мм, фокусируется в волокно, как показано на рис. 2. Рис. 2. Фокусиров- ка света в оптичес- кое волокно с по- мощью стеклянно- го шарика Волокно Линза 5. Вывод света из среды с высоким показателем преломления. Предположим, что свет изотропно излучается во всех направлениях внутри образца материала с показателем преломления п = 3,7, вырезанного в форме параллелепипеда и находящегося в воздухе (л = 1) (см. упражнение 1.7). а. Если все грани, кроме передней, покрыты идеально отражающим мате- риалом, определите долю света, выходящего через переднюю грань. б. Поможет ли извлечению большей доли плененного света покрытие пере- дней грани прозрачным материалом с показателем преломления п = 1,4? К РАЗДЕЛУ 1.3 I. Пластина с аксиальным градиентом показателя преломления. Пластина тол- щиной d ориентирована перпендикулярно оси ?. Показатель преломления и(г) меняется в направлении оси г. Покажите, что луч, входящий в пластину с углом падения 0О в плоскости y—z, образует с осью z угол 0(z), определяемый условием n(z) sin 0(z) = sin 0O. Покажите, что луч выходит из пластины парал- лельно направлению падающего луча. Указание. Используйте результаты задачи I к разд. 1.2. Покажите, что поло- жение луча y(z) внутри пластины подчиняется дифференциальному уравнению dz 2. Траектория луча в волокне с ГПП. Рассмотрим градиентное оптическое волокно с осью z в качестве оси симметрии и показателем преломления п(р), р = у]х2 + у2.
68 Глава 1. Оптика лучей Пусть (р, ер, г) — координаты точки в цилиндрической системе. Перепишите параксиальные уравнения луча (1.22) в цилиндрической системе и выведите дифференциальные уравнения для р и <р как функций Z- К РАЗДЕЛУ 1.4 1. Матрица передачи луча системы линз. Определите матрицу передачи луча для оптической системы, образованной тонкой выпуклой линзой с фокусным расстоянием f и тонкой вогнутой линзой с фокусным расстоянием —разделен- ных расстоянием f Обсудите изображающие свойства такой составной линзы. 2. Матрица передачи луча пластинки с ГПП. Определите матрицу передачи луча для пластинки SELFOC, т. е. пластинки из материала с градиентным по- казателем преломления 2 2 ! « У 2 л(у) = «о толщиной d. 3. Пластинка с ГПП как периодическая система. Рассмотрим траектории параксиальных лучей в пластине SELFOC, ортогональной оси z- Система мо- жет быть рассмотрена как последовательность одинаковых смежных пластин толщины d. Используя результаты задачи 2 к разд. L4, определите условия устойчивости траектории луча. Зависит ли это условие от выбора J? 4. Рекуррентное соотношение для резонатора с плоскими зеркалами. Рассмот- рите оптический резонатор с плоскими зеркалами, расстояние между которы- ми равно d, как периодическую оптическую систему. Определите элементар- ную матрицу передачи луча одной ступени, покажите, что b = 1 и F= 1. Пока- жите, что у квадратного уравнения (1.66) всего один корень, так что положение луча выражается как а + т/3, где а и (Г — постоянные. 5. 4x4 матрица передачи для косых лучей. Матричный метод можно обобщить на случай косых параксиальных лучей в системах с осевой симметрией и на астигмати- ческие (не обладающие осевой симметрией) системы. Луч, пересекающий плос- кость z = 0, в общем случае характеризуется четырьмя переменными — координатами (х, у) его положения на плоскости и углами 0х, ву между осью z и проекциями луча на плоскости х—z и y—z- Выходящий луч также ха- рактеризуется четырьмя переменными, которые линейно связаны с начальными четырьмя переменными. Таким об- разом, оптическая система в рамках параксиального при- ближения полностью характеризуется матрицей 4x4. а. Определите 4x4 матрицу передачи луча для уча- стка свободного пространства длиной d. б. Определите 4x4 матрицу передачи луча для тон- кой цилиндрической линзы с фокусным расстоянием f фокусирующую лучи в плоскости y—z и не фокуси- рующую В ПЛОСКОСТИ X— z.
ГЛАВА ОПТИКА ВОЛН Христиан Гюйгенс (1629—1695) выдвинул несколько новых концепций распростране- ния световых волн Томас Юнг (1773—1829) отстаивал волно- вую теорию света и открыл принцип опти- ческой интерференции Свет распространяется в виде волн. В свободном пространстве световые волны распространяются с постоянной скоростью с0 = 3,0 • 108 * 10 * * * * * м/с (30 см/нс, или 0,3 мм/пс, или 0,3 мкм/фс). Как показано на рис. 2.1 (см. цв. вклейку), диапазон оптических длин волн включает три области: инфракрас- ную (от 0,76 до 300 мкм), видимую (от 390 до 760 нм) и ультрафиолетовую (от 10 до 390 нм). Соответствующие частоты простираются от 1 ТГц в дальнем инфракрасной области до 3 1016 Гц в вакуумном ультрафиолете. Рис. 2.2. Волновая оптика включает в себя оп- тику лучей. Оптика лучей является пределом волновой оптики в случае очень малых длин волн Волновая теория света включает в себя лучевую теорию (рис. 2.2). Строго говоря, оптика лучей представляет со- бой предельный случай волновой опти- Волновая оптика Лучевая оптика
70 Глава 2. Оптика волн ки, когда длина волны бесконечно мала. Однако, на самом деле длина волны не должна быть равна нулю, чтобы можно было пользоваться лучевой оптикой. Пока световая волна распространяется сквозь объекты или вокруг объектов, размеры которых много больше длины волны, лучевой теории вполне доста- точно для описания большинства оптических явлений. Поскольку длина вол- ны видимого света намного меньше размеров обычных предметов, встречаю- щихся в повседневной жизни, проявления волновой природы света неочевид- ны без внимательного наблюдения. О данной главе В данной главе свет описывается скалярной функцией, которая называется волновой функцией и удовлетворяет дифференциальному уравне- нию второго порядка, известным как волновое уравнение. Обсуждение физи- ческого смысла волновой функции отложим до гл. 5, где рассматривается элек- тромагнитная оптика и где мы увидим, что волновая функция представляет одну из компонент электрического или магнитного поля. Волновое уравнение и соотношение между плотностью оптической мощности и волновой функци- ей являются постулатами скалярной теории, известной как волновая оптика. Следствием этих простых постулатов является несметное множество фактов. Волновая оптика дает основу для описания обширного круга оптических явле- ний, выходяших за рамки оптики лучей, включая интерференцию и дифрак- цию, как будет показано в этой и следующих двух главах. Волновая оптика, однако, имеет свои ограничения. Она не может обеспе- чить полное описание отражения и преломления света на границах раздела диэлектрических сред, а также учесть оптические явления, требующие вектор- ного формализма, такие как поляризационные эффекты. Эти проблемы будут освещены в гл. 5, так же как и условия, при которых скалярная волновая опти- ка дает хорошее приближение для электромагнитной оптики. Данная глава начинается с постулатов оптики волн (см. разд. 2.1). В разд. 2.2—2.5 мы рассмотрим монохроматические волны; полихроматический свет обсуждается в разд. 2.6. Элементарные волны, такие как плоские и сферические волны, вводят- ся в разд. 2.2. В разд. 2.3 показывается, как оптика лучей вытекает из оптики волн. Взаимодействие оптических волн с простыми оптическим элементами, такими так зеркала, призмы, линзы и решетки, изучается в разд. 2.4. Интерференция как важное проявление волновой природы света является предметом разд. 2.5 и 2.6. 2.1. ПОСТУЛАТЫ ВОЛНОВОЙ оптики Волновое уравнение Свет распространяется в виде волн. В свободном пространстве све- товые волны распространяются со скоростью с0. Однородная прозрачная сре- да, такая как стекло, характеризуется единственной постоянной — показателем
2.1. Постулаты волновой оптики -\г 71 преломления л (>1). В среде с показателем преломления л свет распространяет- ся с уменьшенной скоростью с = ^ л (2.1) Скорость света в среде Оптическая волна математически описывается действительной функцией координат г = (х, у, z) и времени t, обозначаемой u(r, t) и называемой волновой функцией. Она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных про- изводных, которое называется волновым уравнением v2«-±^ = o, с2 dt2 (2.2) Волновое уравнение где V2 — оператор Лапласа, который в декартовых координатах имеет вид V72 _ Э2 Э2 & V — —— ч----— ч---у. Эх2 ду2 dz2 Любая функция, удовлетворяющая (2.2), представляет возможную оптическую волну Поскольку волновое уравнение линейно, справедлив принцип суперпозиции: если и,(г, г) и ы2(г, f) представляют возможные световые волны, то u(r, t) = ut(r, t) + u2(r, t) также представляет возможную световую волну. На границе раздела между двумя средами волновая функция меняется в зависимости от показателей преломления сред. Однако законы, которым под- чиняется это изменение, зависят от физического смысла, приписываемого вол- новой функции, которая, как будет показано в гл. 5, является компонентой электромагнитного поля. Лежащий в основе физический смысл показателя преломления получается из электромагнитной оптики (см. подразд. 5 5.3). Волновое уравнение приближенно применимо и к средам с показателем преломления, зависящим от координат, если эта зависимость медленная на пространственных масштабах, сравнимых с длиной волны. В этом случае среда называется локально однородной. Для таких сред ив (2.1) и св (2.2) просто заменяются функциями координат п(г) и с(г) соответственно. Интенсивность, мощность и энергия Оптическая интенсивность /(г, /), определяемая как оптическая мощность, приходящаяся на единицу площади (единица измерения Вт/см2), пропорциональна среднему квадрату волновой функции I(r, t) = 2(u2(r, Г)}. (2.3) Оптическая интенсивность
72 Глава 2. Оптика волн Операция () означает усреднение по временному интервалу, намного больше- му оптического периода, но намного меньшему, чем любые другие интересую- щие нас времена, например длительность светового импульса. Оптические пе- риоды чрезвычайно малы, например для света с длиной волны 600 нм период равен 2 10“15 с = 2 фс. Данное понятие будет уточнено в разд. 2.6. Физический смысл волновой функции u(r, t) не был введен нами явно, однако важной представляется ее связь (2.3) с физически измеримой величи- ной — оптической интенсивностью. Существует некоторый произвол в опреде- лении волновой функции и ее связи с интенсивностью. Например, формула (2.3) могла быть записана без множителя 2, а в волновую функцию мог быть введен масштабный множитель J2, при этом интенсивность осталась бы неиз- менной. Однако выбор множителя 2 в (2.3) удобен, что будет показано ниже. Оптическая мощность Р(г) (единица измерения ватт, Вт), протекающая че- рез поверхность А, нормальную по отношению к направлению распростране- ния света, равна интегралу от интенсивности /’(/) = ]’/(г, Дс1/1. (2.4) А Оптическая энергия (единица измерения джоуль, Дж), накопленная за дан- ный промежуток времени, есть интеграл от оптической мощности по указан- ному промежутку времени. 2.2. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Монохроматическая волна представляется волновой функцией с гармонической зависимостью от времени д(т, /) = я (г) cos [2т4 + #>(г)], (2-5) как показано на рис. 2.3, а, где а(г) — амплитуда; <р(г) — фаза; г — частота (колебаний/с или Гц); (о= 1лv ~ угловая частота (радиан/с или с-1); Т= 1/и = = 1л/а) — период (с). а Im {£/) Re{Z7} Рис. 2.3. Представление монохроматической волны в фиксированной точке г: а — волновая функция «(/) является гармонической функцией времени; б — комплексная амплитуда U= aexp(j<p) — постоянный вектор на комплексной плоскости; в — комплек- сная волновая функция U(f) = Uexp(j2nvt) — вектор на комплексной плоскости, враща- ющийся с угловой скоростью а = 2 я г радиан/с
2.2. Монохроматические волны Л-73 Как амплитуда, так и фаза в общем случае зависят от координат, однако во всех точках пространства волновая функция является гармонической функци- ей времени с частотой и Оптические волны имеют частоты, лежащие в диапа- зоне от 3 10" до 3 • 1016 Гц, как показано на рис. 2.1. 2.2.1. Комплексное представление и уравнение Гельмгольца Комплексная волновая функция Удобно представлять действительную волновую функцию u(r, t), входящую в (2.6), с помощью комплексной функции U (г, г) = а(г)ехр[у^(/-)]ехр(у2ящ), (2.6) так что и (г, t) = Re{U(r, г)} = |[(/(г, t) + W(r, ?)], (2.7) где символ «*» обозначает комплексное сопряжение. Функция U(r, t), называ- емая комплексной волновой функцией, полностью описывает волну; волновая функция u(r, t) является просто ее действительной частью. Как и волновая функция u(r, I), комплексная волновая функция U(r, t) должна удовлетворять волновому уравнению -4Л = о. с2 Э?2 (2.8) Волновое уравнение Обе функции удовлетворяют одинаковым граничным условиям. Комплексная амплитуда Уравнение (2.6) можно записать в виде U(г, t) = С7(г)ехр(у2ящ), (2.9) где не зависящий от времени множитель U(r) = a(r) exp 17<р(г)| называется комплексной амплитудой волны. Волновая функция u(r, t), таким образом, свя- зана с комплексной амплитудой как и (г, t) = Re {U (r)exp(j’2flvz)} = = (г)exp(у2ящ) + U* (r)exp(-j2mT)]. (2.Ю) В данной точке г комплексная амплитуда U(r) является комплексным чис- лом, изображенным на рис. 2.3, б, у которого модуль |t/(r)| = a(r) — амплитуда волны, а аргумент arg {(/(/•)} = ф(г) — ее фаза. Комплексная волновая функция
74 Глава 2. Оптика волн U(r, t) графически изображается как вектор на комплексной плоскости, вра- щающийся с угловой скоростью а)= 2лтрадиан/с. Его начальное значение при t = 0 есть комплексная амплитуда U(r). Уравнение Гельмгольца Подставляя U(r, t) = U(r) exp (J2nvt) из (2.9) в волновое уравнение (2.8), получаем дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды U(r) \2U + k2U = О, (2.П) Уравнение Гельмгольца известное как уравнение Гельмгольца, где , 2nv со к =------- — с с (2.12) Волновое число называется волновым числом. Различные решения получаются при различных граничных условиях. Оптическая интенсивность Оптическая интенсивность определяется подстановкой (2.5) в (2.7): 2ы2 (г, t) = 2я2 (r)cos2 [2jrvt + ^(r)] = \U (r)|2 {1 + cos(2[2tzv? + ^(r)])}. (2.13) При усреднении (2.13) по времени, много большему оптического периода 1/г, второй член обращается в нуль, поэтому I(r) = \U(rf. (2.14) Оптическая интенсивность I Оптическая интенсивность монохроматической волны есть квадрат модуля ее комплексной амплитуды. Интенсивность монохроматической волны не зависит от времени. Волновые фронты Волновые фронты — это поверхности равной фазы (p(r) = const. Постоянные часто выбираются кратными 2я, так что <p(r) = 2лд, где q — целое. Нормаль к волновому фронту в точке г параллельна вектору градиента V^(r) (вектору с компонентами —, —, — в декартовой системе координат). Она дх ду dz представляет направление, в котором скорость изменения фазы максимальна.
2.2. Монохроматические волны Л 7 Резюме • Монохроматическая волна частоты v описывается комплексной вол- новой функцией U(r, t) = U(r) exp (jljtvt), которая удовлетворяет волново- му уравнению. • Комплексная амплитуда U(r) удовлетворяет уравнению Гельмгольца; ее модуль |£/(г)| и аргумент arg {U(r)} представляют собой амплитуду и фазу волны соответственно. Оптическая интенсивность есть 1(c) = |(/(г)|2. Вол- новые фронты — поверхности постоянной фазы <p(r) = arg {(/(г)} = Inq, где q — целое. • Волновая функция u(r, t) есть действительная часть комплексной волновой функции, u(r, t) = Re {V(r, г)}. Волновая функция также удов- летворяет волновому уравнению. 2.2.2. Элементарные волны Простейшие решения уравнения Гельмгольца в однородной среде — это плоские и сферические волны. Плоская волна Плоская волна имеет комплексную амплитуду U (г) = Лехр(-/Л • г) = А ехр[-у(Лхх + kyy + (2.15) где А — комплексная постоянная, называемая комплексной огибающей; к = (кх, к , к_) называется волновым вектором. Подставляя (2.15) в уравнение Гельмгольца (2.11), получаем кх + ку + Л2 = к2, так что модуль волнового вектора к есть волновое число к. Поскольку фаза волны есть arg {(/(/•)} = arg {Л} — к г, поверхности постоян- ной фазы (волновые фронты) подчиняются уравнению к - г = кх + к у + к 7 = Inq + arg {Л}, где q — целое число. Это уравнение описывает систему параллельных плоско- стей, перпендикулярных волновому вектору к, откуда и происходит название «плоские волны». Соседние плоскости разделены расстоянием А = 2лк, где А. определяется формулой Л = - (2.16) ____г| Длина волны и называется длиной волны. Плоская волна имеет постоянную интенсивность 1(f) = |Л|2 во всех точках пространства, поэтому она переносит бесконечную
76 -V Глава 2. Оптика волн мощность. Ясно, что такая волна является идеализацией, поскольку она суще- ствует повсюду и всегда. Если ось z направить вдоль волнового вектора к, то U(r) = A exp (~jkz) и соответствующая волновая функция, полученная из (2.10), есть w(r, г) = |Л|со8[2лтД - kz + arg {Л}] = Ulcos 2^rvf t - — ] + arg {Л} . (2.17) у с) Таким образом, волновая функция периодична во времени с периодом 1/v и периодична в пространстве с периодом 2л/к, равным длине волны Я (рис. 2.4); с называется фазовой скоростью волны. U(x,z, Г,) HI-— Рис. 2.4. Плоская волна, распространяюща- яся вдоль оси z, является периодической функцией z с пространственным периодом А и периодической функцией t с времен- ным периодом 1/и НИ u(x,z, $ A В среде с показателем преломления волна имеет фазовую скорость п с = £о п и длину волны Я = - = -^ v nv так что Яо Л = — п где Ло — длина волны в свободном пространстве, Таким образом, при заданной частоте и длина волны в среде уменьшается в п раз по сравнению с длиной волны в свободном пространстве. Волновое число к = 2л/Л, соответственно, увеличивается по сравнению с его значением в сво- бодном пространстве кй = 2л/Ло в п раз.
2.2. Монохроматические волны Д 77 |При распространении монохроматической волны через среды с различным по- казателем преломления ее частота остается неизменной, а скорость, длина вол- ны и волновое число меняются: О) о 1 I с = —; Л. = —; к = пк0. п п (2.18) Длины волн, показанные на рис. 2.1, относятся к свободному пространству (« = 1). Сферическая волна Другим простым решением уравнения Гельмгольца (в сферичес- ких координатах) является сферическая волна U (г) = — exp (-ikr), г (2-19) где г — расстояние от начала координат; к — волновое число, , 2яи т к = = —; с с Ай — постоянная. Интенсивность г обратно пропорциональна квадрату расстояния. Принимая для простоты, что arg {Л()} = 0, по- лучаем, что волновые фронты являются поверх- ностями кг = или г = qA, где q — целое. Это концентрические сферы, разделенные ра- диальным расстоянием Л = In/k, радиус кото- рых растет с фазовой скоростью с (рис. 2.5). Сферическая волна, выходящая из точки г0, имеет комплексную амплитуду U (г) = , . exp (- jk |г - г0 |). к-'ь| ' Ее волновые фронты — сферы с центром в точ- ке г0 Волна с комплексной амплитудой Рис. 2.5. Сечение волновых фрон- тов сферической волны U (г) = — exp (+jkr) называемая сферической, распространяется не наружу (из центра), а внутрь (по направлению к центру).
78 —Глава 2. Оптика волн Приближение Френеля для сферической волны: параболоидальная волна Исследуем сферическую волну, исходящую из точки г = 0, в точках г = (х, у, z), достаточно близких к оси z, но удаленных от начала координат, так что л/х2 + у2 « Z. Если бы эти точки были концами лучей, исходящих из начала координат, к ним можно было бы применять параксиальное приближение лучевой оптики (см. разд. 1.2). Введем обозначение и воспользуемся приближением, основанным на разложении Тейлора: г = jx2 + у2 +z2 = + 02 = = z х2 + у2 Z + ——— 2z (2.20) Подставим полученное выражение в фазу сферической волны U(r), описываемой формулой (2.19). Более грубое приближение г ~ z используем для амплитуды, поскольку она менее чувстви- тельна к ошибке, чем фаза. Результат известен как приближение Френеля для сферической волны U (г) = — exp (-jkz) exp - jk Х *У z L 2г (2.21) Приближение Френеля для сферической волны Это приближение играет важную роль в упрощении теории распространения оптических волн через отверстия (дифракции), которое обсуждается в гл. 4. Комплексную амплитуду в (2.21) можно рассматривать как амплитуду плос- кой волны Аоехр (~jkz), модулируемой множителем 1 —ехр z 2 2 "1 -jk^p- 2z J включающим фазу k(x2 + y2)/2z. Роль этого фазового множителя состоит в искривлении плоских волновых фронтов с превращением их в параболоидаль- ные поверхности (рис. 2.6), поскольку = const 2 2 X + у
2.2. Монохроматические волны Л-79 является уравнением параболоида вращения. В данной области сферическая волна хорошо аппроксимируется параболоидальной волной. Когда z становит- ся очень большим, параболоидальная добавка к фазе в (2.21) стремится к нулю, так что полная фаза становится равной kz- Поскольку величина A()/z медленно меняется с ростом z, сферическая волна постепенно превращается в плоскую волну ехр(—jkz), как показано на рис. 2.6. Рис. 2.6. Вблизи оси z и вдали от источника сфе- рическая волна аппрокси- мируется параболоидаль- ной волной. В точках, значительно удаленных от источника, сферичес- кая волна превращается в плоскую волну Однако условие применимости приближения Френеля не сводится просто к 02« 1. Хотя третий член степенного разложения 04/8 может быть очень мал по сравнению с первым и вторым членами, будучи умножен на kz, он может стать сравнимым с л. Поэтому приближение, используемое в дальнейшем, вер- но при условии , 6>4 kz— л о или х2 + у2 « 4^3Л Для точек (х, у), лежащих внутри круга радиусом а с центром на оси z, это условие принимает вид а4 = 4z3A или 4 (2.22) где 0т = a/z — максимальный угол; — число Френеля, TVF = — F Az (2.23) Число Френеля Упражнение 2.1 ----------------------------------------- Применимость приближения Френеля Найдите радиус круга, внутри которого сферическая волна с длиной волны 2 = 633 нм, источник которой удален на расстояние 1 м, может быть аппрокси- мирована параболоидальной волной. Определите максимальный угол 0т и чис- ло Френеля Nf.
Глава 2. Оптика волн 2.2.3. Параксиальные волны Волна называется параксиальной, если нормали к ее волновым фронтам представляют собой параксиальные лучи. Один из путей построения параксиальной волны — взять плоскую волну A exp (~jkz), которую мы будем рассматривать как «несущую», и модифицировать или «модулировать» ее ком- плексную огибающую А, сделав ее медленно меняющейся функцией координат А(г). Комплексная амплитуда получающейся волны есть U (г) = А (г) exp (- jkz). (2.24) Изменения огибающей Л(г) и ее производной по координате г должно быть малы на расстояниях порядка длины волны Л = Тя/к, так чтобы волна по своей природе оставалась приблизительно плоской. Волновая функция параксиальной волны u(r, t) = |Л(г)| cos [2nvt — kz+ arg {Л(г)}] изображена на рис 2.7, а как функция z при Г = 0их = у = 0. Это синусоидаль- ная функция z с амплитудой |Л(0, 0, г)1 и фазой arg {/1(0, 0, z)}, обе из которых медленно меняются с ростом z- Поскольку фаза argM(x, у, z)} мало меняется на расстоянии порядка длины волны, плоские волновые фронты kz = 2nq несу- щей волны лишь слегка искривляются, так что нормали к ним представляют собой параксиальные лучи (рис. 2.7, б). Рис. 2.7. Зависимость волновой функции параксиальной волны от z при х = у = 0 (с); волновые фронты параксиальной волны и нормали к ним в плоскости х—z (б) Параксиальное уравнение Гельмгольца Для того, чтобы параксиальная волна (2.24) удовлетворяла уравне- нию Гельмгольца (2.11), комплексная огибающая Л(г) должна удовлетворять другому дифференциальному уравнению в частных производных, которое по- лучается путем подстановки (2.24) в (2.11). Предположение, что Л(г) медленно меняется с ростом z, означает, что на расстоянии &z = Л изменение ДЛ <к А. Это
2.2. Монохроматические волны J\y 81 неравенство нужно применять отдельно к действительной и мнимой частям комплексного числа А. Поскольку д „ дА 4 ЗА , дл = — Дг = — Л, dz dz получаем, что ЗА А Ак — <к — = — 3z Л 2я и, следовательно, dA , „ —- « кА. dz (2.25) г ЭЛ _ сама производная — также должна мало меняться на расстоянии А так чтобы 3z д2А , ЗА —г « dz2 dz что даст д2 A I 2 л —- « к А. dz2 (2.26) Подставляя (2.24) в (2.11) и пренебрегая —5- по сравнению с к-—, получаем dz dz дифференциальное уравнение в частных производных относительно комплек- сной огибающей А(г) V2A-j2k — = 0, 1 dz (2.27) Параксиальное уравнение Гельмгольца где vj, — поперечный оператор Лапласа, .2 d2 d2 V —----7 ---7 Т Эх2 Эу2 Уравнение (2.27) представляет собой уравнение Гельмгольца в приближении медленно меняющейся амплитуды. Мы будем называть его просто параксиаль- ным уравнением Гельмгольца. Оно имеет некоторое сходство с уравнением Шредингера в квантовой физике [см. (13.1)|. Простейшим решением параксиаль- ного уравнения Гельмгольца является параболоидальная волна (упражнение 2.2), которая представляет собой параксиальное приближение сферической волны. Одним из наиболее интересных и полезных решений является гауссов пучок, которому посвящена гл. 3.
82 Глава 2. Оптика волн Упражнение 2.2 ------------------------------------------ Параболоидальная волна и гауссов пучок Проверьте, что параболоидальная волна с комплексной огибающей А (г) = — ех₽ ~J'k * z L J-Z _ [см. (2.21)] удовлетворяет параксиальному уравнению Гельмгольца (2.27). По- кажите, что волна с комплексной амплитудой . , х 4 Г .. X2 + у2 А(г) = —^ехр ~jk , Q{Z) L J где q(z) = z + j'Zq', Zq — постоянная, также удовлетворяет параксиальному урав- нению Гельмгольца. Такая волна, называемая гауссовым пучком, рассматрива- ется в гл. 3. Постройте график распределения интенсивности в гауссовом пуч- ке в плоскости z = 0. *2.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВОЛНОВОЙ И ЛУЧЕВОЙ оптикой Покажем теперь, что оптика лучей вытекает из волновой оптики как предельный случай при длине волны, стремящейся к нулю. Рассмотрим монохроматическую волну, длина которой в свободном пространстве равна 2(|, распространяющуюся в среде с показателем преломления и (г), который доста- точно медленно меняется от точки к точке, так что среду можно считать ло- кально однородной. Запишем комплексную амплитуду в (2.9) в виде U(г) = л(г)ехр[-/Л05(г)], (2.28) где a(r) — абсолютная величина; — k0S(r) — фаза; k0 = — волновое число в свободном пространстве. Предположим, что а(г) меняется в зависимости от г достаточно медленно и может считаться постоянной на расстояниях порядка длины волны 2(1. Волновые фронты представляют собой поверхности S(f) = const, а нормали к ним направлены вдоль вектора градиента VS. В окрестности заданной точки г(| волну приближенно можно считать плоской с амплитудой я(г0) и волновым вектором к, абсолютная величина которого к = и(г0)&0, а направление парал- лельно вектору градиента VS в точке г(1. Различным точкам в окрестности дан- ной точки соответствуют локальные плоские волны с различными амплитуда- ми и различными волновыми векторами. В оптике лучей было показано, что лучи направлены по нормали к поверх- ностям равных значений функции S(r), названной эйконалом (см. подразд. 1.3.3). Свяжем локальные волновые векторы (нормали к волновым фронтам) в волно- вой оптике с лучами в лучевой оптике, тогда функция S(r), пропорциональная
2.3. Связь между волновой и лучевой оптикой Л-83 фазе волны, есть не что иное, как эйконал в оптике лучей (рис. 2.8). Как будет вскоре показано, такая связь имеет формальную математическую основу. В рам- ках данной аналогии оптика лучей может служить для приближенного опреде- ления того, как те или иные оптические элементы влияют на нормали к волно- вым фронтам (см. рис. 2.8). Рис. 2.8. Лучи в лучевой оптике ортогональны к волновым фронтам в волновой оптике (с) (см. также рис. 1.34); влияние линзы на лучи и волновые фронты (б) Уравнение эйконала Подстановка (2.28) в уравнение Гельмгольца (2.11) дает М2 _ IV.SI2 a + V2a - jk0 [2V5 • + aV2S] = 0, (2.29) где a = a(r) и 5 = S(r). Действительная и мнимая части выражения, стоящего в левой части (2.29), должны обращаться в нуль. Приравнивая действительную часть к нулю и используя рвенство к0 = 2я//0, получаем z 2 2 |VS|2 =и2+Мм —. (2.30) ) a Предположение о том, что а мало изменяется на расстояниях порядка Ло, озна- чает, что Л2У2я ------« 1, a так что вторым членом в правой части можно пренебречь в пределе Л(, —> 0, тогда |VS|2 ~д2.| (2.31) Уравнение эйконала Это уравнение эйконала (1.38), которое можно рассматривать как основной постулат оптики лучей (из этого уравнения можно вывести принцип Ферма и наоборот). Таким образом, скалярная функция S(r), пропорциональная фазе в волновой оптике, есть эйконал в оптике лучей. Это согласуется также с тем фактом, что в оптике лучей S(rB) — 5(гл) равно длине оптического пути между точками гА и гв.
84 Глава 2. Оптика волн Уравнение эйконала является предельным случаем уравнения Гельмгольца при Ло —> 0. При заданном п(г) можно использовать уравнение эйконала для определения S(r). Приравнивая к нулю мнимую часть (2.29), мы получим связь между а и S, что дает возможность найти волновую функцию. В< сс ВС ср 2.4. ПРОСТЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ В данном разделе мы исследует действие оптических элементов, та- ких как зеркала, прозрачные пластины, призмы и линзы, на оптические волны. Р» HI С< гр щ 2.4.1. Отражение и преломление Отражение от плоского зеркала Р* вс Пусть плоская волна с волновым вектором к, падает на плоское зеркало, расположенное в свободном пространстве в плоскости z = 0. Образу- ется отраженная волна с волновым Рис. 2.9. Отражение плоской волны от плос- кого зеркала. Согласование волновых фрон- тов на поверхности зеркала требует, чтобы углы падения и отражения были равны вектором kr Углы падения и отражения равны вх и в2, как показано на рис. 2.9. Сумма двух волн удовлетворяет уравне- нию Гельмгольца, если волновые числа одинаковы, т. е. kx = к2 = к0. На поверх- ности зеркала должны выполняться неко- торые граничные условия. Поскольку эти условия одинаковы во всех точках (х, у), необходимо, чтобы волновые фронты обе- их волн совпадали, т. е. к. г = к, г (2.32) для всех г = (х, у, 0). Подставляя в (2.4) г = (х, у, 0), кх = = (к0 sin вх, 0, к0 cos 0,) и к2 = (к0 sin в2, 0, —k0cos 02), получаем Aflxsin 0Х = A(|xsin 02, откуда 0Х = 02, так что углы падения и отражения равны. Таким образом, закон отражения в оптике лучей применим к оп м Г г ( г Е С 1 Г волновым векторам плоских волн. Отражение и преломление на плоской границе раздела диэлектриков Рассмотрим теперь плоскую волну с волновым вектором кх, пада- ющую на плоскую границу раздела между двумя однородными средами с пока- зателями преломления пх и п2. Граница лежит в плоскости z = 0 (рис. 2.10). 1 (
2.4. Простые оптические элементы Л 85 Возникают преломленная и отраженная волны с волновыми векторами Л2 и А3 соответственно. Комбинация трех волн удовлетворяет уравнению Гельмгольца во всех точках, если каждая из волн имеет соответствующее волновое число в среде, где она распространяется (А, = к2 = пк0 и к2 = п2к{). Рис. 2.10. Преломление плоской вол- ны на границе раздела диэлектриков. Согласование волновых фронтов на границе: расстояние Рх Р2 для падаю- щей волны, 2] _ Ло sin f)x пх sin б*, ’ равно таковому для преломленной волны ^2 _ А) sin в2 «2 sin в2 ’ откуда следует закон Снелла Так как граничные условия инвариантны по отношению к х и у, необходи- мо. чтобы волновые фронты всех трех волн совпадали, т. е. А, г = А2 г = к3 г для всех г = (х, у, 0). (2.33) Поскольку кх = («jAosin 0Х, 0, H^pCos 0Х)-, к3 = (пхк0sin 03, 0, — nxk0cos 03У, к2 = (л2А0 sin 02, 0, п2к0 cos 02), где 0Х, 02 и 03 — углы падения, преломления и отражения соответственно, из (2.33) следует, что 0Х = 03 и пх sin 0Х = п2 sin 02. Это закон отражения и закон преломления (закон Снелла) из оптики лучей, которые теперь применимы к волновым векторам. В рамках скалярной волновой оптики невозможно определить амплитуды отраженной и преломленной волн, поскольку граничные условия не полнос- тью определены в этой теории. Это будет сделано в разд. 6.2 в рамках электро- магнитной оптики (см. гл. 5 и 6). 2.4.2. Прохождение через оптические элементы Перейдем к изучению прохождения оптических волн через про- зрачные оптические элементы, такие как пластины, призмы и линзы. Мы бу- дем пренебрегать отражением от поверхностей этих элементов, поскольку его нельзя должным образом учесть в рамках скалярной волновой теории света. Не будем мы учитывать и поглощение материала, оставив это до разд. 5.5. Прин-
86 —Глава 2. Оптика волн ципиальный акцент здесь будет сделан на фазовом сдвиге, вносимом указан- ными элементами, и соответствующем искривлении волнового фронта. Прохождение через прозрачную пластину Рассмотрим вначале прохождение плоской волны через прозрач- ную пластину с показателем преломления п и толщиной d, окруженную сво- бодным пространством. Пусть поверхности пластины — плоскости z = 0 и z = d, а падающая волна распространяется вдоль оси z (рис. 2.11). Пусть U(x, у, z) — комплексная амплитуда волны. Поскольку внешние и внутренние отражения не учитываются, функция U(x, у, z) предполагается непрерывной на границах. Тогда отношение . . U (х, у, d) t(x, у) = ; л( V и(х, у, 0) представляет собой комплексный амплитудный коэффициент пропускания плас- тины; он позволяет определить U(x, у, d) для произвольного 1Г(х, у, 0) на входе. Влияние отражения рассмотрено в разд. 6.2, а эффект многократного отраже- ния внутри пластины — в разд. 10.1. Рис. 2.11. Прохождение плос- кой волны через прозрачную пластину Поскольку внутри пластины волна продолжает распространяться как плоская вола с волновым числом nk0, величина U(x, у, z) пропорциональна exp (—jnk^z). Таким образом, отношение U (х, у, d) , . . U(x,y, 0) ~ так что t(x, у) = exp(-/7/A:0J). Видно, что пластина вносит фазовый сдвиг nkod = 2л—. (2.34) Пропускание Прозрачная пластина
87 2.4. Простые оптические элементы —* Если плоская падающая волна образует угол в с осью z и имеет волновой вектор к (рис. 2.12), то преломленная и прошедшая волны также плоские с волновыми векторами Л, и к и углами в{ и в соответственно, причем &х и в связаны законом Снелла sin е = п sin вг Комплексная амплитуда U(x, у, z) внутри пластины теперь пропорциональна exp (~jkx г) = exp [-jnk0{zcos вх + xsin #,)], так что комплексный амплитудный коэффициент пропускания пластины Щх, у, d)/U(x, у, 0) есть t (х, у) = exp (-jnkod cos вх). (2.35) Рис. 2.12. Прохождение на- клонной плоской волны через тонкую прозрачную пластину Если угол падения в мал (т. е. падающая волна параксиальная), то вх ~ в/п также мало, и приближение /э2 cos в, ~ 1 —— ' 2 дает t(x, у) = ехр(-уиА;от/)ехр1 jkQ — Если пластина достаточно тонкая, а угол 6 достаточно мал, так что к,.-----<к 2 или 2и Ло 2п то коэффициент пропускания пластины приближенно определяется формулой (2.34) При этих условиях коэффициент пропускания пластины практически не зависит от угла 6.
88 —Глава 2. Оптика волн Тонкая прозрачная пластина переменной толщины Найдем теперь амплитудный коэффициент пропускания для тон- кой прозрачной пластины, толщина которой d(x, у) плавно меняется в зависи- Рис. 2.13. Прозрачная пластина пе- ременной толщины мости от х и у, на которую падает произволь- ная параксиальная волна. Пластина находится между плоскостями z = 0 и z = d0, которые будем рассматривать как границы, заключаю- щие в себе оптический элемент (рис 2.13). В окрестности точки (х, у, 0) падающая параксиальная волна может рассматриваться как локально плоская волна, распространяю- щаяся под небольшим углом к оси Z- Она про- ходит через тонкую пластину толщиной d(x, у), окруженную с обеих сторон тонкими слоями воздуха, полная толщина которых d0 — d(x, у). В соответствии с приближенным соотношени- ем (2.34) локальный коэффициент пропуска- ния является произведением коэффициентов пропускания тонкого слоя воздуха толщиной d0 — d(x, у) и тонкого слоя материала толщи- ной d(x, у), так что t(x, у) ~ exp \-jnkod(x, у)] exp {Jk0[d0 - d(x, у)]}, откуда t (х, у) ~ kg exp [-/ (л - 1) kad (х, у)], (2.36) Коэффициент пропускания Пластина переменной толщины где hg = exp (—jkodg) — постоянный фазовый множитель. Это соотношение спра- ведливо в параксиальном приближении (при малых углах 0), где толщина d0 достаточно мала, так что (4>/А>)02 2п « 1. Упражнение 2.3 ---------------------------------------- Прохождение через призму С помощью (2.36) покажите, что комплексный амплитудный коэффициент пропускания тонкой перевернутой призмы толщиной d0 с углом а <к 1 при вершине (рис. 2.14) есть t(x, у) = йоехр \-j(n - 1)&0«х],
2.4 Простые оптические элементы Л- 89 где й0 = ехр(-jkodo). Какое действие оказывает призма на падающую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси г? Сравните ваши результаты с полу- ченными в модели оптики лучей [см. (1.10)]. Рис. 2.14. Прохождение плоской волны через тонкую призму Тонкая линза Применим общее выражение (2.36) для комплексного амплитуд- ного коэффициента пропускания тонкой прозрачной пластины переменной толщины к плосковыпуклой тонкой линзе, пока- занной на рис. 2.15. Поскольку линза представляет собой сегмент шара радиусом R, ее толщина в точ- ке (х, у) есть d(x, y] = d0-PQ = d0-(R-QC) или d(х, у) = d0 - [/? - ./у?2 -(х2 +/)]. (2.37) Это выражение можно упростить, если рассматри- Рис. 2,15. Плосковыпуклая линза вать только точки, в которых хи у достаточно малы по сравнению с R, так что х2 + у2 = R2. В этом случае __________________ I 2 2~ -(х‘ +Л.'2) - «J1-Д V 2 2 1 х +У 2R7 (2.38) где использовано такое же разложение в ряд Тейлора, как в случае перехода к приближению Френеля для сферической волны (2.21). Используя приближе- ние (2.37), получаем 2 2 d (х, у) ~ d0 - - 1 > Л/ о 2R (2.39)
90 -\r Глава 2. Оптика волн Подстановка в (2.36) окончательно дает t (х, у) = А,, ехр х2 + у2 7 0 2/ J’ (2-40) Коэффициент пропускания Тонкая линза где R п -1 (2.41) есть фокусное расстояние линзы (см. подразд. 1.2.3), а Ло = exp — постоянный фазовый множитель, обычно не играющий какой-либо роли. Поскольку линза вносит в фазу исходной плоской волны добавку, пропор- циональную х2 + у2, она преобразует плоские волновые фронты в параболои- дальные с центром, расположенным на расстоянии f от линзы, что предлагает- ся показать в упражнении 2.4. Упражнение 2.4 ------------------------------------------ Двояковыпуклая линза Покажите, что комплексный амплитудный коэффициент пропускания дво- яковыпуклой линзы (называемой также сферической линзой), показанной на рис. 2.16, определяется формулой (2.40), в которой 1_) у = (л-1) 1 Я, (2.42) Вы можете доказать это либо используя общую формулу (2.36), либо рас- сматривая двояковыпуклую линзу как последовательность двух плосковыпук- Рис. 2.16. Двояковыпуклая линза лых линз. Не забывайте, что по соглашению радиус выпуклой/ вогнутой поверхности положите - лен/отрицателен, так что для линзы, показанной на рис. 2.16, 1?! положительно, a R2 отрица- тельно. Параметр f определяет фокусное расстояние линзы [см. (1.15)]. Упражнение 2.5 ---------------------------------------- Фокусировка плоской волны тонкой линзой Покажите, что когда плоская волна проходит через тонкую линзу с фокус- ным расстоянием f в направлении оси линзы, она превращается в параболои- дальную волну (приближение Френеля для сферической волны) с центром вблизи
2.4. Простые оптические элементы Л-91 точки, удаленной от линзы на расстояние / как показано на рис. 2.17. Каково действие линзы на плоскую волну, падающую под малым углом в к оси? Рис. 2.17. Тонкая линза преоб- разует плоскую волну в парабо- лоидальную Упражнение 2.6 ----------------------------------------- Формирование изображения линзой Покажите, что параболоидальная волна с центром в точке Pi (рис. 2.18) преобразуется линзой с фокусным расстоянием f в параболоидальную волну с центром около Р2, где ------1------= — <3 f (это уравнение известно как уравнение формирования изображения). Рис. 2.18. Линза преобразует одну параболоидальную волну в другую параболоидальную волну. Центры волн находятся на расстояниях, удовлетворяю- щих уравнению формирования изображения Дифракционные решетки Дифракционная решетка — оптический элемент, служащий для периодической модуляции фазы или амплитуды падающей волны. Она может быть изготовлена в виде прозрачной пластины с периодически меняющейся толщиной или показателем преломления (см. подразд. 2.4.3). Повторяющиеся наборы элементов, на которых может происходить дифракция, таких как диаф- рагмы, препятствия или поглощающие элементы (см. разд. 4.3), также можно использовать для этой цели. Отражательные дифракционные решетки часто изготовляют из напыленной на стеклянную подложку тонкой пленки алюми- ния с периодически нанесенными штрихами.
92 Глава 2. Оптика волн Рассмотрим дифракционную решетку, изготовленную из тонкой прозрач- ной пластинки, расположенной в плоскости z = 0. Толщина пластинки перио- дически меняется в направлении х с периодом Л (рис. 2.19). Как предлагается показать в упражнении 2.7, такая пластинка преобразует падающую плоскую волну с длиной 2 « Л, падающую под небольшим углом 6t к оси z в несколько плоских волн, распространяющихся под малыми углами к оси z- 2-=f,+<4 (2.43) Уравнение решетки где 9 = 0, ±1, ±2, ... — порядок дифракции. Соседние волны, получившиеся в результате дифракции, разделены по углу на величину в = Д/Л, как схематичес- ки показано на рис. 2.19. Рис. 2.19. Тонкая прозрачная пластинка с периодически ме- няющейся толщиной служит дифракционной решеткой. Она расщепляет падающую плоскую волну на много плос- ких волн, распространяющих- ся в различных направлениях Упражнение 2.7 ---------------------------------------- Прохождение через дифракционную решетку а. Толщина тонкой прозрачной пластинки меняется синусоидально в на- правлении х. d(x, y) = ^d0 1 + cos как показано на рис. 2.19. Покажите, что комплексный амплитудный коэффициент пропускания равен /(х, у) = /^ехр ~J ^(n ~ cos где ho = exp -j^n + Dkodo
2.4. Простые оптические элементы -Д/. 93 б. Покажите, что плоская волна, падающая под малым углом к оси z, после прохождения пластинки превращается в сумму плоских волн, рас- пространяющихся под углами 6q, определяемыми формулой (2.43). Указание. Разложите периодическую функцию t(x, у) в ряд Фурье. Уравнение (2.43) справедливо только в параксиальном приближении (когда все углы малы). Это приближение применимо, когда период решетки Л много больше длины волны Я. Более общий анализ тонких дифракционных решеток без применения параксиального приближения показывает, что падающая плос- кая волна превращается в несколько плоских волн, направления которых удов- летворяют уравнению1 sin# = sinft +q—. <7 ' ’ Л (2.44) Дифракционные решетки используются как фильтры и анализаторы спек- тров. Поскольку углы в зависят от длины волны (и, следовательно, от часто- ты), падающая полихроматическая волна разделяется решеткой на спектраль- ные компоненты (рис. 2.20, см. цв. вклейку). Дифракционные решетки нашли многочисленные применения в спектроскопии. 2.4.3. Оптические элементы с градиентным показателем преломления Действие призмы, линзы или дифракционной решетки на падаю- щую оптическую волну состоит в придании ей фазового сдвига, который при- водит к искривлению волнового фронта некоторым установленным образом. Этот фазовый сдвиг управляется изменением толщины материала по мере уда- ления от оптической оси (линейным, квадратичным или периодическим в слу- чае призмы, линзы и дифракционной решетки соответственно). Вместо этого такой же фазовый сдвиг может вноситься прозрачной плоской пластинкой фиксированной толщины, но с переменным показателем преломления. Такая возможность следует из того, что толщина и показатель преломления появля- ются в виде произведения. Комплексный амплитудный коэффициент пропускания тонкой прозрач- ной плоской пластины толщиной <10 с градиентным показателем преломления п(х, у), согласно (2.34), равен t(x, у) = ехр[->(х, у)М0].| (2.45) Коэффициент пропускания Тонкая градиентная пластина Подбирая соответствующее распределение п(х, у) по х, у, можно воспроизвести действие любого тонкого оптического элемента, как показано в упражнении 2.8. 1 См., например, Hecht Е., Zajac A. Optics. Addison-Wesley, 2nd ed. 1990.
94 -V Глава 2. Оптика волн Упражнение 2.8 --------------------------------------- Линза с градиентом показателя преломления Покажите, что тонкая пластина одинаковой толщины (рис. 2.21) с квадра- тичным профилем показателя преломления действует как линза с фокусным расстоянием (см. упражнение 1.8). Рис. 2.21. Пластина с градиентом пока- зателя преломления действует как линза 2.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ Когда две или более волн одновременно присутствуют в одной и той же области пространства, полная волновая функция представляет собой сумму волновых функций отдельных волн. Фундаментальный принцип супер- позиции следует из линейности волнового уравнения. Для монохроматических волн одной и той же частоты принцип суперпозиции распространяется на их комплексные амплитуды, что следует из линейности уравнения Гельмгольца. Принцип суперпозиции неприменим к интенсивностям волн, поскольку интенсивность суммы двух или более волн не обязательно равна сумме их ин- тенсивностей. Это связано с интерференцией волн. Явление интерференции нельзя объяснить на основе лучевой оптики, поскольку оно зависит от соотно- шения между фазами наложенных друг на друга волн. В данном разделе мы исследуем интерференцию двух и более монохрома- тических волн одной и той же частоты. Интерференция волн с различными частотами будет обсуждаться в разд. 2.6. 2.5.1. Интерференция двух волн При наложении двух монохроматических волн с комплексными амплитудами Ц(г) и t/2(r) получается монохроматическая волна с той же час- тотой и комплексной амплитудой U(r) = Ц(г) + Ц(г). (2.46) В соответствии с (2.14) интенсивности составляющих волн равны = |Щ2 и /2 = | Щ2, в то время как интенсивность полной волны есть I = lf/12 =|t7, +f/2|2 =|f/,|2 +|f/2|2 +u;u2 + UtU*2. (2.47)
2.5. Интерференция _1\/. 95 Явная зависимость от г для простоты не показана. Подставляя и} = Та ехр(ж); и2 = Та ехр(Д?2), (2.48) в (2.47), где <р} и <р2 — фазы волн, получаем I = а + а + 2ТАА cos Ф, (2.49) Уравнение интерференции где <Р= <Р2~ <Р\- (2.50) Это уравнение, называемое уравнением интерференции, можно интерпретиро- вать геометрически с помощью векторной диаграммы на комплексной плоско- сти, рис. 2.22, а, которая показывает, что длина вектора U на комплексной плоскости зависит не только от длин составляющих векторов, но и от разности их фаз <р. Рис. 2.22. Диаграмма векторов на комплексной плоскости для суперпозиции двух волн с интенсивностями /, и /2 и разностью фаз <г>(о); зависимость полной интенсив- ности I от разности фаз <р (б) Ясно, что интенсивность суммы двух волн не есть сумма их интенсивнос- тей (рис 2.22, б): в (2.49) присутствует дополнительный член, обязанный своим происхождением интерференции двух волн. Этот член может быть положитель- ным или отрицательным, что соответствует конструктивной или деструктив- ной интерференции. Если, например, /, = 12 = /(), то (2.49) дает I = 21(| (1 + cos<p) = 4 A cos2 (у), так что для (р = 0 имеем I = 4/(| (т. е. полная интенсивность в четыре раза больше интенсивности каждой из интерферирующих волн). С другой стороны, при <р = п налагающиеся волны гасят друг друга и полная интенсивность I = 0. Полное погашение волн в некоторой области пространства в общем случае невозможно, если интенсивности налагающихся волн не равны друг другу точ- но. Когда ф= я/2 или Зя/2, интерференционный член исчезает и I = 27О. Для
96 -V Глава 2. Оптика волн этих особых случаев полная интенсивность равна сумме интенсивностей со- ставляющих волн. Сильная зависимость интенсивности I от разности фаз <р позволяет измерять разности фаз по интенсивности света. Этот принцип ис- пользуется в многочисленных оптических системах. Интерференция сопровождается пространственным перераспределением оптической интенсивности без нарушения закона сохранения энергии. Напри- мер, обе волны могут иметь однородные распределения интенсивности и 12 в некоторой плоскости, однако в результате того, что разность фаз ^зависит от положения точки наблюдения, полная интенсивность может быть меньше /, + 12 в одних точках и больше — в других, при этом полная мощность (интеграл от интенсивности по поверхности) сохраняется. Интерференция не наблюдается при обычных условиях освещения, посколь- ку случайные флуктуации фаз <рх и <р2 делают их разность случайной величиной, равномерно распределенной в интервале от 0 до 2л, так что усреднение cos <р дает ноль и интерференционный член исчезает. Свет, обладающий такими слу- чайными свойствами, называется частично когерентным, и его изучению по- священа гл. 11. Здесь мы ограничимся рассмотрением когерентного света. Интерферометры Рассмотрим суперпозицию двух плоских волн, каждая из которых имеет интенсивность /(|, распространяющихся в направлении оси z, и предпо- ложим, что одна из них отстает от другой на расстояние d, так что Ux = J/g exp (-yfe); U2 = exp [- jk (z - </)]. Интенсивность / суммы этих двух волн определяется подстановкой It = 12 = 10 и <р= kd = Ind/2. в уравнение интерференции (2.49) (2.51) Рис. 2.23. Зависимость интенсивности I суперпо- зиции двух волн, каждая из которых имеет интен- сивность /(|, от расстояния d. Когда d равно цело- му числу длин волн 2, интерференция конструк- тивна, когда оно равно нечетному целому числу полуволн Я/2 — деструктивна Зависимость I от расстояния d изображена на рис. 2.23 Когда задержка равна целому кратному Л, имеет место конструктивная интерференция и пол- ная интенсивность равна I = 4/0. С другой стороны, когда d равно нечетному
2.5 Интерференция -\r 97 целому числу Я/2, происходит полная деструктивная интерференция и I = 0. Средняя интенсивность есть сумма интенсивностей двух волн, т. е. 2/0. Интерферометр — это оптический прибор, который расщепляет волну на две волны с помощью светоделителя, задерживает их на неодинаковые рассто- яния, перенаправляет их с помощью зеркал, совмещает с помощью другого (или того же самого) светоделителя и обеспечивает измерение интенсивности их суперпозиции. На рис. 2.24 приведены схемы трех важных примеров интер- ферометров: интерферометра Маха—Цендера, интерферометра Майкельсона и интерферометра Саньяка. Мах—Цендер а Майкельсон б Саньяк в Рис. 2.24. Интерферометры: волна Uv рас- щепляется на две волны Ц и U2 (для на- глядности показаны темными и светлыми параллельными полосами, на самом деле совпадают в пространстве). После прохож- дения различных путей волны совмещают- ся и образуют суперпозицию U = Ui + U2, интенсивность которой регистрируется. Расщепление и совмещение волн осуще- ствляются светоделителями В интерферо- метре Саньяка обе волны проходят по од- ному пути, но в противоположных направ- лениях Поскольку интенсивность I чувствительна к фазе <р = 2я— = 1лп— = 2лпу — , Л Ло с0 где d — разность расстояний, проходимых каждой из волн, интерферометр можно использовать для измерения малых изменений расстояния <7, показателя преломления п или длины волны Яо (или частоты г). Например, если <//Я() = 104, изменение показателя преломления всего лишь на Ди = 10-4 соответствует лег-
98 Глава 2. Оптика волн ко наблюдаемой разности фаз = 2я. Фаза ср меняется также на 2я при изме- нении d на величину длины волны Я. Приращение частоты Д v= c/d дает тот же эффект. Интерферометры имеют многочисленные применения. Сюда входит опре- деление расстояний в метрологических приложениях, таких как измерение де- формаций и профилирование поверхностей, измерение показателей преломле- ния, а также спектрометрия для анализа полихроматического света (см. под- разд. 11.2.2). В интерферометре Саньяка пути волн одинаковы, но проходятся в противоположных направлениях, поэтому вращение интерферометра приводит к появлению фазового сдвига, пропорционального угловой скорости враще- ния. Поэтому данная система может использоваться как гироскоп. Ввиду вы- сокой точности оптическая интерферометрия используется также в экспери- ментах по обнаружению гравитационных волн. Наконец, покажем, что закон сохранения энергии в интерферометре требу- ет, чтобы фазы волн, отраженной от светоделителя и прошедшей через него, различались на л/1. Каждый из интерферометров, показанных на рис. 2.24, создает на выходе волну U= Ux + U2, выходящую с одной стороны светодели- теля, и волну U' = Ut' + U2 с противоположной стороны. Закон сохранения энер- гии требует, чтобы сумма интенсивностей этих двух волн была равна интенсив- ности падающей волны, так что если одна из выходящих волн имеет высокую интенсивность благодаря конструктивной интерференции, то другая должна иметь низкую интенсивность из-за деструктивной интерференции. Эта допол- нительная функция может быть достигнута, только если разности фаз ср и ср’, соответствующие волнам Uи U', различаются на л. Поскольку разности хода и число отражений от зеркал одинаковы для компонент U и U’, разность фаз л необходимо приписать различию фаз, вносимых светоделителем при отражении и пропускании. Исследование трех интерферометров, показанных на рис. 2.24, приводит к выводу, что для одной выходящей волны каждая из компонент один раз проходит через светоделитель и один раз отражается от него, так что разность фаз не вносится. Для другой же выходящей волны одна из компонент дважды проходит светоделитель, а другая — дважды отражается от него, что и вносит разность фаз л. Следовательно, фазы отраженной и прошедшей через светоделитель волн различаются на л/1. Это важное свойство светоделителя более подробно описано в разд. 7.1 (см. пример 7.2). Интерференция двух наклонных плоских волн Рассмотрим интерференцию двух плоских волн равной интенсив- ности, одна из которых С, = ТА? exp(-yfe) распространяется вдоль оси z, а другая. Uг = -fto exp [- j (k cos 0z + k sin 0x)]
2.5. Интерференция Л-" под углом в к оси z в плоскости x—z, как показано на рис. 2.25. В плоскости Z- 0 разность фаз между волнами равна <р = Л sin Ох, и уравнение интерферен- ции (2.49) дает полную интенсивность / = 2/0[1 + cos (Л sin to)]. Рис. 2.25. Интерференция двух плоских волн, распространяющихся под углом Г? друг к другу, порождает синусоидальное распределение ин- тенсивности вдоль оси х с периодом /./sin О (2.52) Получается картина полос, на которой интенсивность синусоидально ме- няется вдоль оси х с периодом — sin в = Я sin в, к как показано на рис. 2.25. Если, например, в — 30°, этот период равен 2Л Таким образом можно напечатать с высоким разрешением синусоидальную структуру для применения в качестве дифракционной решетки. Можно также использовать полученный результат в качестве метода для мониторинга угла наклона в путем смешивания исследуемой волны с опорной волной и записи получающейся интерференционной картины. Обсуждение в разд. 4.5 показы- вает, что этот принцип лежит в основе голографии. Упражнение 2.9 ----------------------------------------- Интерференция плоской и сферической волн Плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z с комплексной амплиту- дой А} exp(—jkz), и сферическая волна с центром в точке z = 0, аппроксимиру- емая параболоидальной волной с комплексной амплитудой —ехр(-Дг)4 ехр|-ДХ *у [см. (2.21)], интерферируют в плоскости z = d. Получите выражение для пол- ной интенсивности 1(х, у, d). Предполагая, что обе волны имеют одинаковую интенсивность в плоскости z = d, проверьте, что точки, в которых интенсив- ность равна нулю, образуют систему концентрических окружностей, как пока- зано на рис. 2.26.
100 Глава 2. Оптика волн Рис. 2.26. Интерференция плос- кой и сферической волн создает систему концентрических колец (показаны в плоскости z= d) Рис. 2.27. Интерференция двух сферических волн равной интенсивности, выходящих из точек Р, и Р2. Две такие волны можно получить, пропуская плоскую волну через два микроотверстия в непрозрачном экране. Интенсивность света в плос- кости наблюдения на большом расстоянии d от отверстий принимает вид сину- соидальной интерференционной картины с периодом «Л/в вдоль направления линии, соединяющей отверстия Упражнение 2.10 ------------------------------------------ Интерференция двух сферических волн Две сферические волны одинаковой интенсивности 10, исходящие из точек (—а, 0, 0) и (а, 0, 0), интерферируют в плоскости z = d, как показано на рис. 2.27. Эта схема двух точечных источников аналогична схеме, использованной Тома- сом Юнгом в его знаменитом опыте с двумя щелями, где он впервые проде- монстрировал существование интерференпии. С использованием параболой-
2.5. Интерференция 101 дальной аппроксимации сферических волн покажите, что интенсивность в плос- кости z = d определяется выражением 7(х, у, d) = 270 1 + cos Я )’ (2.53) где угол, под которым видны источники с плоскости наблюдения, равен в ~ 2а/d. Распределение интенсивности периодично с периодом Я/в. 2.5.2. Многоволновая интерференция Наложение М монохроматических волн одинаковой частоты с комплекс- ными амплитудами Uv U2, ..., UM порождает волну той же частоты с комплекс- ной амплитудой U = Ц + Ц + ... + UM. Знание интенсивностей отдельных волн Iv 12,..., 1М недостаточно для определения полной интенсивности 7 = 177|2, поскольку требуется знать также относительные фазы волн. Роль фазы ярко иллюстрируют следующие примеры. Интерференция М волн равной амплитуды с равными разностями фаз Вначале рассмотрим интерференцию М волн с комплексными ам- плитудами (7га = ^/T^expty(w-1)^], m = 1, 2, ..., М. (2.54) Эти волны имеют одинаковую интенсивность 70 и разность фаз <р между после- довательными волнами, как показано на рис. 2.28, а. Для вывода выражения для интенсивности суперпозиции волн удобно ввести величину h — exp (j<p), тогда ит = ^~1. м б Рис. 2.28. Сумма М векторов на комплексной плоскости с равными величинами и разностя- ми фаз (dy, интенсивность / как функция <р(б). Пики интенсивности имеют место, когда векторы на комплексной плоскости параллельны, в этом случае интенсив- ность в М раз больше, чем средняя интенсивность М10. В данном случае М = 5
102 Глава 2. Оптика волн Комплексная амплитуда суперпозиции равна t/ - 7^(1 + А + Л2 +... + йм 1) = 74 = ^~ еХР , (2.55) 1-й l-exp(j^) а соответствующая интенсивность 7 _ I r |2 _ J exp (- jMtp/l) - exp (jM<p/2)2 1 ~М ’ 4 -^(-jW2)-exp(yW2) ’ (2 56) откуда r sin2 (Мр/2) 0 sin2 (<z>/2) (2.57) Интерференция Мволн Интенсивность I, очевидно, сильно зависит от разности фаз <р, как показа- но на рис. 2.28, б при М = 5. Когда <р = 2nq, где q — целое, все векторы на комплексной плоскости выстраиваются параллельно, так что амплитуда пол- ной волны в М раз больше амплитуды каждой из волн и интенсивность имеет максимальное значение, равное М71й. Интенсивность, усредненная по равно- мерному распределению <р, - 1 2? I = — f Id<p = М10, 171 о что совпадает с результатом, получаемым в отсутствие интерференции. Макси- мальная интенсивность, таким образом, в М раз больше средней интенсивнос- ти. Чувствительность интенсивности к разности фаз очень велика при боль- шом М. Интенсивность в максимуме увеличена в М раз, однако она резко падает при малом отклонении <р от 2nq. В частности, когда ср = 2п/М, интен- сивность обращается в нуль. Поучительно сравнить рис. 2.28, б, где М = 5, с рис. 2.23, где М= 2. Упражнение 2.11------------------------------------------- Брэгговское отражение Рассмотрим свет, отраженный под углом бот М параллельных отражающих плоскостей, разделенных расстоянием Л, как показано на рис. 2.29. Предполо- жим, что от каждой плоскости отражается только небольшая часть света, так что амплитуды отраженных волн приблизительно равны. Покажите, что отраженные волны имеют разность фаз ср = /с(2Л sin 0) и что угол 0, при котором полная интенсивность отраженного света максимальна, удовлетворяет соотношению п /. sin 0 = — 2Л (2.58) Угол Брэгга
2.5. Интерференция 103 Оно определяет угол Брэгга в. Такая ситуация встречается при отражении света от многослой- ных структур (см. разд. 7.1) или когда рентгено- вские лучи отражаются атомными плоскостями кристаллической структуры. Такое же отраже- ние света происходит от периодической струк- туры, созданной в среде акустической волной (см. гл. 19). Строгое рассмотрение брэгговско- го отражения содержится в подразд. 7.1.3. Рис. 2.29. Отражение плоской волны от М параллель- ных плоскостей, разделенных расстоянием Л. Отражен- ные волны конструктивно интерферируют, когда угол в равен углу Брэгга. Обратите внимание, что угол в от- считывается от параллельных плоскостей 1 2... М Интерференция бесконечного числа волн убывающей амплитуды с равными разностями фаз Теперь рассмотрим суперпозицию бесконечного числа волн с рав- ной разностью фаз и амплитудами, убывающими по закону геометрической прогрессии: U2 = hUt; U3 = hU2 = НЧ\; ..., (2.59) где h = |Л| < 1; /0 — интенсивность первой волны. Амплитуда m-й волны меньше амплитуды (т — 1)-й в |Л| раз, а фаза отличается на <р. Диаграмма векторов на комплексной плоскости показана на рис. 2.30, а. Рис. 2.30. Сумма бесконечного числа комплексных векторов, величина которых убывает по закону геометрической прогрессии, а разности фаз (р одинаковы (о); зави- симость интенсивности / от разности фаз ^>для двух значений Пиковые значения достигаются при <р = 2лд. Полная ширина максимума по полувысоте примерно 2л/у, когда jfs» I. Острота пиков растет с увеличением
104 Глава 2. Оптика волн Суперпозиция волн имеет комплексную амплитуду U = Ui+U2+U3+... = JL(l + h + hi + ...) = = . 123 V ° 1-й \-\h\eJV (2.60) Тогда полная интенсивность ______________Л)____________ || - |й|еЛ'|2 (1 - |й|cos<pf + |/z|2 sin2 <p (2.61) откуда (1 - |/z|)2 + 4|й| sin2 <z?/2 (2.62) Удобно переписать это соотношение в виде _________ шах__________. 1 + (2 J/я)2 sin2 (^/2)’ (2.63) Интенсивность суперпозиции бесконечного числа волн где величина (2.64) Параметр резкости называется параметром резкости. Интенсивность I— периодическая функция <рс периодом 2л, как показано на рис. 2.30, б. Она достигает максимальных значений 1тт при <р = 2nq, где q — целое. Это происходит, когда векторы на комплексной плоскости выстраива- ются в одном направлении. (Этот результат не отличается от показанного на рис. 2.28, б в случае интерференции последовательности М волн одинаковой амплитуды с постоянной разностью фаз.) Когда параметр резкости 'J велик (т. е. множитель |й| близок к 1) функция 1(<р) имеет острые пики. Рассмотрим в качестве типичного примера значения ср вблизи пика (р= 0. Для |<р| «г 1 • <Р Ч> sm — ~ — 2 2 и (2.63) можно переписать как ____________ 1 + (J/^)2 <Р7 (2.65)
2.6. Полихроматический и импульсный свет 105 Видно, что интенсивность I убывает до половины своего максимального значения при <9 = n/J, так что полная ширина на уровне полумаксимума (ПШПМ) (2.66) Ширина интерференционного максимума В режиме J» 1 имеем А</? <к 2л, и применимо приближение ср <к 1. Пара- метр резкости J7 — это отношение периода 2 л- к ПШПМ пиков интерференци- онной картины. Следовательно, он является мерой резкости интерференцион- ной картины, т. е. чувствительности к отклонениям ср от значений 2лц, соот- ветствующих пикам интенсивности. Полезным устройством, основанным на данном принципе, является интер- ферометр Фабри—Перо. Он состоит из двух параллельных зеркал, между кото- рыми свет претерпевает многократные отражения. В течение каждого обхода свет испытывает фиксированное ослабление амплитуды |Л| = |г|, связанное с потерями на зеркалах, и фазовый набег ср = k2d = Anvd с 2лк связанный с распространением волны, где d — расстояние между зеркалами. Полная интенсивность света зависит от фазового сдвига ср в соответствии с (2.63), достигая максимума, когда <р/2 кратно л. Пропорциональность фазового сдвига 07оптической частоте (/приводит к тому, что коэффициент пропускания интерферометра Фабри—Перо по интенсивности имеет пики, отстоящие друг от друга по частоте на величину с/2d. Ширина этих пиков равна (с/ЪХУУ, где параметр резкости ^определяется потерями [см. (2.64)]. Интерферометр Фаб- ри—Перо, который служит также анализатором спектра, рассмотрен далее в подразд. 7.1.2. Он обычно используется в качестве резонатора в лазерах, что обсуждается в разд. 10.1 и подразд. 15.1.1. 2.6. ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИЙ И ИМПУЛЬСНЫЙ СВЕТ Поскольку волновая функция монохроматического света есть гар- моническая функция времени на всей оси (от — °° до +°°), она является идеали- зацией и в чистом виде не встречается в реальных ситуациях. Этот раздел по- священ волнам с произвольной зависимостью от времени, включая оптические импульсы конечной длительности во времени. Такие волны являются поли- хроматическими, а не монохроматическими. Более подробное введение в оп- тику световых импульсов дано в гл. 22.
106 Глава 2. Оптика волн 2.6.1. Временное и спектральное описание Хотя полихроматическая волна описывается волновой функцией u(r, t) с негармонической зависимостью от времени, ее можно разложить в суперпозицию гармонических функций, каждая из которых представляет мо- нохроматическую волну. Поскольку мы знаем, как монохроматическая волна распространяется в свободном пространстве и через различные оптические элементы, можем определить действие оптической системы на полихромати- ческий свет с помощью принципа суперпозиции. Метод Фурье позволяет представить произвольную функцию времени «(/), представляющую волновую функцию «(г, t) в фиксированной точке г, в виде интегральной суперпозиции гармонических функций различной частоты, амп- литуды и фазы u(t)= j r(r)exp(j27rv/)di/, (2.67) где v(v) определяется путем преобразования Фурье v(v) = J и (/) exp (- jlmt) dt. (2.68) Обзор свойств преобразования Фурье представлен в разд. А.1 приложения А. Разложение (2.67) распространяется как на положительные, так и на отрица- тельные частоты. Однако, поскольку «(/) действительна, v(— г) = v*(v) (см. разд. А.1). Таким образом, отрицательно-частотные компоненты не являются независимыми, они являются просто комплексно сопряженными по отноше- нию к положительно-частотным компонентам. Комплексное представление Удобно представить действительную функцию u(t) в (2.67) комп- лексной функцией U (/) = 2|г(и)ехр(у2лгГ)би, (2.69) о которая включает только положительно-частные компоненты (умноженные на 2), а отрицательно-частотные компоненты подавлены. Фурье-образ U(t) равен К( и) = 2v( v) при v > 0 и 0 при и < 0. Действительная функция и(/) может быть определена по своему комплекс- ному представлению U(t) просто путем взятия действительной части: «(/) = Re {£/(/)} = 1[сл(/) + £/*(/)]. (2.70)
2.6. Полихроматический и импульсный свет Комплексная функция U(t) называется комплексным аналитическим сигна- лом В справедливости (2.70) можно убедиться, разбивая интеграл в (2.67) на две части: в пределах от 0 до и от —<*> до 0. Первый интеграл равен U(t)/2 благодаря (2.69), а второй вычисляется как о °° J r(i/)exp(j2^v/)di/ = Jr(-i/)exp(-j2?ri'/)dv = — СО 0 (2-71) = | v* (и) ехр (-у2яг7) d v = — U* (z). о Здесь на первом шаге делается простая замена переменной v на — и, на втором шаге используется соотношение симметрии г(~ и) = г*(0. Окончательный ре- зультат состоит в том, что «(/) представляется как сумма комплексной функ- ции 17(0/2 и ее комплексно сопряженной, что и подтверждает (2.70). В качестве простого примера отметим, что комплексное представление дей- ствительной гармонической функции есть комплексная гармоническая функция (/(/) = exp (jcot). Это комплексное представление, введенное в подразд. 2.2.1 для монохроматических волн. Действительно, комплексное представление полихрома- тической волны, как оно описано в настоящем разделе, есть просто суперпозиция комплексных представлений каждой из монохроматических компонент Фурье. Комплексный аналитический сигнал, соответствующий волновой функции u(r. t), называется комплексной волновой функцией U(r, t). Поскольку каждая из Фурье-компонент удовлетворяет волновому уравнению, удовлетворяет ему и комплексная волновая функция U(r, t) Рис. 2.31. Модуль |v(r, v)| Фурье-образа волновой функции u(r, t) (а); модуль |И(г, г)| Фурье-образа соответствующей комплексной волновой функции U(r, t) (б) На рис. 2.31 показаны модули Фурье-образов волновой функции u(r, t) и комплексной волновой функции U(r, f). На этой иллюстрации оптическая вол- на квазимонохроматическая, т. е. имеет Фурье-компоненты, частоты которых ог- раничены узкой полосой ширины Дне центральной частотой v0, причем Дг= м0.
108 Глава 2. Оптика волн Интенсивность полихроматической волны Оптическая интенсивность связана с волновой функцией соотно- шением (2.3): I(r, t) = 2{u2(r, /)) = 2^|[t/(r, t) + U*(r, /)]| у = Ц(С/2(г, 0) + l(tr2(r, /)) + (Г(г, Г) + Г*(г, /)). Для квазимонохроматической волны с центральной частотой с(| и спект- ральной шириной Av« г(| среднее (•) берется по временному интервалу много больше оптического периода l/i/0, но много меньше, чем l/Аг (см. разд. 2.1). Поскольку U(r, t) задается выражением (2.70), член U2 в (2.73) имеет компо- ненты, осциллирующие на частотах =2г(|. Аналогично, компоненты U*2 осцил- лируют на частотах 21/0. Эти члены, следовательно, при усреднении обраща- ются в нуль. Однако третий член содержит только разности частот, имеющие порядок Аг « кп. Он меняется медленно, и на него не действует процедура усреднения по времени. Таким образом, третий член в (2.73) после усреднения остается, и интенсивность оказывается равной l(r, t) = \U(r, tf. (2-74) Оптическая интенсивность Оптическая интенсивность квазимонохроматической волны есть квадрат моду- ля ее комплексной волновой функции. Простота этого результата фактически оправдывает введение понятия ком- плексной волновой функции. Импульсная плоская волна Простейшим примером светового импульса является импульс плос- кой волны. Его комплексная волновая функция имеет вид U (г, /) = Л11 - — | exp у2лг0 [ t - — 1 " 1 с. (2-75) с где комплексная амплитуда Л(/) есть функция времени; г(| — центральная оп- тическая частота. Монохроматическая плоская волна является частным случа- ем (2.75), для которого Л(/) постоянна, т. е. U (г, t) = Л ехр /2лг011 - — У с. Л exp (- jkQz) exp (- , где к0 = о)0/с и со0 = 2?n/().
2.6. Полихроматический и импульсный свет 109 Поскольку U(r, t) в (2.75) есть функция (t — z/c), она удовлетворяет вол- новому уравнению (2.72), независимо от вида функции Л (при условии, что (РЛ/Л2 существует). Это можно проверить прямой подстановкой. Если Л(7) имеет конечную длительность т, то в любой фиксированной точ- ке z волна продолжается в течение времени г, а в любой момент времени t имеет пространственную протяженность ст. Следовательно, это волновой пакет фиксированной протяженности, бегущий вдоль оси z (рис. 2.32). Например, импульс длительностью т = 1 пс занимает в свободном пространстве область длиной ст = 0,3 мм. о Рис. 2.32. Временные, пространственные и спектральные характеристики импульса плос кой волны: а — волновая функция в заданной точке имеет длительность т\ б — волновая функция как функция координаты в моменты времени г и t + Т. Импульс движется со скоростью с и занимает в пространстве длину ст\ в — модуль Фурье-образа комплексной огибающей |Л( 0|; г — модуль |К(0| Фурье-образа комплексной волновой функции |И(0| с центром на частоте v0 Фурье-образ комплексной волновой функции (2.75) И (г, Z) = Л (и - v0)exp^~ (2.76) гдеЛ(и) — Фурье-образ A(t). Это можно показать с использованием свойства частотного сдвига преобразования Фурье (см. разд. А. 1 приложения А). Комп- лексная огибающая J4(Z) часто является медленно меняющейся по сравнению с оптическими колебаниями, поэтому ее Фурье-образ А(й) имеет спектральную ширину Ди много меньшую, чем центральная частота и(). Спектральная ширина Аг обратно пропорциональна временной длительности т. В частности, если функция J1(Z) гауссова, то ее Фурье-образ Л( г) — тоже гауссова функция. Если
110 Глава 2. Оптика волн временную и спектральную ширину определить как среднеквадратичные шири- ны по мощности, то их произведение равно 1/4я(см. разд. А.2 приложения А). Например, если г= 1 пс, то Ди = 80 ГГц. Если центральная частота и0 состав- ляет 5 • 1014 Гц (что соответствует Ло = 0,6 мкм), то Av/v(J = 1,6 - 10~4, так что свет квазимонохроматичен. На рис. 2.32 показаны временные, пространственные и спектральные характеристики импульса плоской волны. Распространение импульса плоской волны через среду с зависящим от ча- стоты показателем преломления (т. е. с зависящей от частоты скоростью света с = с0/и) обсуждается в подразд. 5.5.2, а гл. 22 освещает другие аспекты оптики импульсов. 2.6.2. Световые биения Зависимость интенсивности полихроматической волны от време- ни можно объяснить интерференцией образующих ее монохроматических ком- понент. Сейчас мы продемонстрируем это на двух примерах: интерференция двух монохроматических волн и интерференция конечного числа монохрома- тических волн. Интерференция двух монохроматических волн с различными частотами Оптическая волна, образованная двумя монохроматическими вол- нами с частотами и, и и2 и интенсивностями и /2, имеет в некоторой точке пространства волновую функцию U(/) = exp(y2^Vj/) + д/77ехр(у2лт2/), (2.77) где фазы взяты равными нулю, а зависимость от г для удобства не показана. Интенсивность полной волны определяется уравнением интерференции (2.49) I (/) = /1 + /2 + 2л//|/2 cos [2 л (и2 - ц) г]. (2.78) Видно, что интенсивность изменяется во времени синусоидально на разно- стной частоте |ц — и2|, называемой частотой биений. Данное явление известно под несколькими названиями: оптические биения, оптическое смешение, фото- смешение и оптическое гетеродинирование. Уравнение (2.78) аналогично уравнению (2.52), которое описывает простран- ственную интерференцию двух волн одинаковой частоты, распространяющих- ся в различных направлениях. Это можно понять на основе векторной диаг- раммы на комплексной плоскости (см. рис. 2.22). Два вектора Ц и Ц враща- ются с угловыми скоростями а>х = 2лц и со2 = 2ли2, так что разность их углов наклона равна ср = ср2 — срх = 2л(и2 — ц)/ в соответствии с (2.78). Волны с разными частотами, распространяющиеся в разных направлениях, проявляют пространственно-временную интерференцию.
111 2.6. Полихроматический и импульсный свет —J В электронике говорят, что биения или смешение происходят, когда сумма двух синусоидальных сигналов регистрируется нелинейным (например, квад- ратичным) устройством, которое называется смесителем, вырабатывающим сигналы на разностной и суммарной частотах. Такое устройство используется в гетеродинных радиоприемниках. В оптике фотоприемники регистрируют оп- тическую интенсивность (см. гл. 18), которая, согласно (2.74), пропорциональ- на квадрату абсолютной величины комплексной волновой функции. Оптичес- кие приемники, следовательно, регистрируют только разностную частоту. Аналогично тому, как (2.52) позволяет определить направление волны по интерференционной картине на экране, (2.78) дает возможность определить оптическую частоту по временной интерференционной картине на выходе фо- топриемника. Использование оптических биений в оптических гетеродинных приемниках обсуждается в разд. 24.5. Другие виды оптического смешения по- зволяют нелинейным средам служить источниками излучения на суммарных и разностных частотах, как описано в гл. 21. Упражнение 2.12-------------------------------------------- Оптический доплеровский радар За счет эффекта Доплера монохроматическая волна частоты н, отразившись от движущегося объекта, составляющая скорости которого вдоль линии на- блюдения равна v, претерпевает частотный сдвиг Av= +(2v/c)v, причем знак зависит от того, приближается объект к наблюдателю (+) или удаляется от него (—). Предполагая, что исходная и отраженная волны налагаются друг на друга, выведите выражение для интенсивности образующейся волны. Предложите метод измерения скорости объекта с помощью этого принципа. В случае если одно из зеркал интерферометра Майкельсона (см. рис. 2.24, 6) движется со скорос- тью ±г, покажите с помощью (2.51), что частота биений равна ±(2v/c)i'. Интерференция М монохроматических волн с одинаковыми интенсивностями и равноотстоящими частотами Интерференция большого числа монохроматических волн с оди- наковыми интенсивностями, одинаковыми фазами и равноотстоящими часто- тами может приводить к генерации коротких импульсов света. Рассмотрим нечетное число волн М = 2L + 1, интенсивность каждой равна /0, фаза равна нулю, а частоты образуют ряд v, = v0 + qvF, q = —L, ..., О, ..., L, (2.79) с центром на частоте v0 и разностью соседних частот vF <к н0. В данной точке полная волна имеет комплексную волновую функцию U (t) = yfTo £ exp [J2n (v0 + qvF) /]. (2.80) « = -£
112 _Глава 2. Оптика волн Она представляет собой сумму М комплексных векторов равной длины и пос- ледовательностью фаз, отличающихся друг от дуга на величину ср = 1nvFt. Ин- тенсивность вычисляется точно таким же образом, как в подразд. 2.5.2. Ис- пользуя (2.57) и рис. 2.28 и подставляя <р = 17tt/TF, где TF = l/vf, для полной интенсивности находим /(/) = |Z7(/)|2 = 10 sin2 (Mat/Tp) sin2 (jri/Tp) (2.81) Как показано на рис. 2.33, интенсивность /(/) представляет собой периоди- ческую последовательность импульсов с периодом TF, пиковой интенсивностью М710 и средней интенсивностью I = М10. Таким образом, пиковая интенсив- ность оказывается в М раз больше средней. Длительность каждого импульса примерно TF/M, так что при больших М импульсы становятся очень коротки- ми. Если, например, vF = 1 ГГц, то TF = 1 нс, и для М = 1000 получаются импульсы длительностью в 1 пс. Рис. 2.33. Временная зависимость полной интенсивности /(/) поли- хроматической волны, образо- ванной сложением М монохро- матических волн с одинаковыми интенсивностями, одинаковыми фазами и последовательными частотами, отстоящими друг от друга на vF. Интенсивность /(/) представляет собой периодичес- кую последовательность импуль- сов с периодом TF = \/vF, пико- вая интенсивность которых в М раз больше средней интенсив- ности I. Длительность каждого импульса в М раз меньше перио- да следования. В данном приме- ре М = 5. Сравните эти графики с изображенными на рис. 2.28. На нижнем графике показан модуль Фурье-образа |Р(г)| Этот пример убедительно показывает, как с помощью М монохроматичес- ких волн можно получить цуг очень коротких оптических импульсов. В под- разд. 15.4.4 мы увидим, как моды лазера можно синхронизировать описанным образом для генерации последовательностей ультракоротких лазерных им- пульсов.
Рекомендуемая литература 113 Рекомендуемая литература КНИГИ ПО ВОЛНОВОЙ ОПТИКЕ И ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ См. также список литературы для чтения к гл. 1. Pierce J.R. Almost All About Waves. MIT Press, 1974; Dover, reissued 2006. Pain H.J. The Physics of Vibrations and Waves. Wiley, 6th ed. 2005. Webb R.H. Elementary Wave Optics. Academic Press, 1969; Dover, 2005 Hariharan P. Optical interferometry. Academic Press, 2nd ed. 2003. Mansuripur M. Classical Optics and its Applications. Cambridge University Press, 2002. Lipson S.G., Lipson H., and Tannhauser D.S. Optical Physics. Cambridge University Press 3rd ed., 1998. Akhmanov S.A., Nikitin S.Yu. Physical Optics. Oxford University Press, 1997. Mickelson A.R. Physical Optics. Van Nostrand Reinhold, 1992. Vaughan J.M. The Fabry-Perot Interferometer. Adam Hilger, 1989. Young H.D. Fundamentals of Waves, Optics, and Modern Physics. McGraw-Hill, paperback 2nd ed. 1976. Tolansky S. An Introduction to Interferometry. Wiley, 2nd ed. 1973. Francon M., Krauzman N, Matieu J.P., May M. Experiments in Physical Optics. Gordon and Breach, 1970. Francon M. Optical Interferometry. Academic Press, 1966. КНИГИ ПО СПЕКТРОСКОПИИ Hollas J.M. Modern Spectroscopy. Wiley, 4th ed. 2004. Kauppinen J., Partanen J. Fourier Transforms in Spectroscopy. Wiley-VCH, 2001. Christy A.A., Ozaki Y. and Gregoriou V.G. Modem Fourier Transform Infrared Spectroscopy. Elsevier, 2001. Pavia D.L., Lampman G.M., Kriz G.S. Introduction to Spectroscopy. Brooks/Cole. paperback 3rd ed. 2000. Smith B.C. Fundamentals of Fourier Transform Infrared Spectroscopy, CRC Press, 1996. КНИГИ ПО ДИФРАКЦИОННЫМ РЕШЕТКАМ Palmer C. Diffraction Grating Handbook. Richardson Grating Laboratory (Newport Corporation/Spectra-Physics, Irvine, CA) 4th ed. 2000. Loewen E.G., Popov E. Diffraction Gratings and Application. Marcel Dekker, 1997. ПОПУЛЯРНАЯ И ИСТОРИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА Buchwald J.Z. The Rise of the Wave Theory of Light: Optical Theory and Experiment in the Early Nineteenth Century. University of Chicago Press, paperback ed. 1989. Kock W.E. Sound Waves and Light Waves. Doubleday/Anchor, 1965. Huygens C. Treatise on Light. 1690, University of Chicago Press, 1945. СТАТЬИ Bell T.E. Waiting for Gravity. IEEE Spectrum. Vol. 43, № 7, 2006. P. 40—46. Kamerman G.W., ed. Selected Papers on Laser Radar. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 133), 1997. Maystre D., ed. Selected Papers 011 Diffraction Gratings. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 83), 1993. Hariharan P., ed. Selected Papers on Interferolnetry. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 28), 1991.
114 Глава 2. Оптика волн Задачи К РАЗДЕЛУ 2.2 1. Сферические волны. Пользуясь сферической системой координат, про- верьте, что комплексная амплитуда сферической волны (2.19) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2.11). 2. Интенсивность сферической волны. Получите выражение для интенсивности /сферической волны на расстоянии гот ее центра через оптическую мощность Р. Какова интенсивность на расстоянии r= 1 м от источника мощностью /’=100 Вт? 3. Цилиндрические волны. Выведите выражения для комплексной амплиту- ды и интенсивности монохроматической волны, волновые фронты которой пред- ставляют собой цилиндрические поверхности с осью, направленной по коор- динатной оси у. 4. Параксиальное уравнение Гельмгольца. Выведите параксиальное уравне- ние Гельмгольца (2.27), используя приближения в (2.25) и (2.26). 5. Сопряженные волны. Сравните монохроматическую волну с комплексной амплитудой U(r) с монохроматической волной той же частоты, но с комплексно сопряженной амплитудой U*(r), по интенсивности, форме волновых фронтов и расположению нормалей к ним. В качестве примеров используйте плоскую волну U (г) = A exp - jk Х V2 и сферическую волну U(r) = exp (~jkr). К РАЗДЕЛУ 2.3 1. Волна в слое с градиентом показателя преломления. Нарисуйте волновые фронты волны, распространяющейся в слое SELFOC с градиентом показателя преломления, описанном в примере 1.8. К РАЗДЕЛУ 2.4 1. Отражение сферической волны от плоского зеркала. Сферическая волна отра- жается от плоского зеркала, расположенного достаточно далеко от ее источника, чтобы выполнялось приближение Френеля. Рассматривая сферическую волну ло- кально как плоскую волну с медленно меняющимся направлением, используйте закон отражения плоской волны для определения природы отраженной волны. 2. Оптическая длина пути. Плоская волна распространяется в направлении, нормальном к тонкой пластине, состоящей из N тонких параллельных слоев толщины dqc показателями преломления nq, q = 1, 2, ..., N. Пренебрегая всеми отражениями, определите комплексный амплитудный коэффициент пропуска- ния пластины Если заменить пластину слоем свободного пространства, то ка- кой должна быть его толщина d, чтобы получить то же комплексный амплитуд- ный коэффициент пропускания? Покажите, что это расстояние есть оптичес- кая длина пути, определенная в разд. 1.1. 3. Дифракционная решетка. Повторите упражнение 2.7 для тонкой прозрачной пластины, толщина которой d(x, у) — квадратная (вместо синусоидальной) пери-
115 Задачи одическая функция х с периодом Л » Л. Покажите, что угол 0 между дифрагирую- щими волнами по-прежнему равен 0 ~ Л/\. Для нормального падения плоской волны на решетку определите амплитуды различных дифрагирующих плоских волн. 4. Отражение от сферического зеркала. Покажите, что комплексный амплитуд- ный коэффициент отражения г(х, у) (отношение комплексных амплитуд отражен- ной и падающей волн) тонкого сферического зеркала радиуса R дается выражением г(х, у) = МХР где й0 — постоянная. Сравните это с комплексным амплитудным коэффициен- том пропускания линзы с фокусным расстоянием /= — R/2. К РАЗДЕЛУ 2.5 1. Стоячие волны. Выведите выражение для интенсивности / суперпозиции двух плоских волн с длиной волны Л, распространяющихся навстречу друг дру- гу вдоль оси z- Постройте график / от z- 2. Видность полос. Видность интерференционной картины, такой как опи- санная (2.49) и изображенная на рис. 2.22, определяется как отношение _ Апах ~ Anin Апах + ^min где Апах и Anin — максимальное и минимальное значения /. Выведите выраже- ние для V как функции отношения /,//2 интенсивностей интерферирующих волн и определите величину при которой видность максимальна. 3. Интерферометр Майкельсона. Если одно зеркало интерферометра Май- кельсона (см. рис. 2.24, б) наклонено на малый угол Д0, опишите форму интер- ференционной картины в плоскости регистрации. Что происходит с картиной при движении другого зеркала. К РАЗДЕЛУ 2.6 1. Импульс сферической волны. а. Покажите, что импульс сферической волны имеет комплексную волно- вую функцию вида U(г, /) = —a[t - —\ Г \ CJ где a(t) — произвольная функция. б. Ультракороткий оптический импульс имеет комплексную волновую функ- цию с центральной частотой, соответствующей Ао = 585 нм, и гауссовой сред- неквадратичной длительностью = 6 фс (1 фс = 10~15 с). Сколько оптичес- ких колебаний содержится в пределах длительности импульса? Если импульс распространяется в свободном пространстве в виде сферической волны, ис- пущенной из начала координат в момент времени t = 0, опишите радиальное распределение интенсивности в пространстве в момент времени t = 1 пс.
ГЛАВА ОПТИКА ПУЧКОВ Гауссовы пучки носят имя великого немец- кого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) Лорд Рэлей (Джон Вильям Страт) (1842—1919) внес вклад во многие области оптики. Глуби- на резкости гауссова пучка названа в его честь Можно ли пространственно ограничить свет и передавать его в свободном пространстве без угловой расходимости? Хотя волновая природа света препятствует такой идеализированной передаче, свет на самом деле мо- жет быть сформирован в виде ограниченного пучка, который как угодно близ- ко приближается к пространственно локализованной и не расходящейся волне. Два предельных случая углового и пространственного ограничения — это плоская волна и сферическая волна. Нормали к волновому фронту (лучи) плос- кой волны совпадают по направлению с направлением распространения вол- ны, так что угловая расходимость отсутствует, но энергия распространяется, заполняя все пространство. Напротив, сферическая волна берет начало из од- ной точки, но нормали к ее волновым фронтам (лучи) расходятся во всех на- правлениях. Волны, у которых нормали к волновым фронтам образуют малые углы с осью z, называются параксиальными волнами. Они должны удовлетворять па- раксиальному уравнению Гельмгольца, выведенному в подразд. 2.2.3. Гауссов пучок — важное решение этого уравнения, демонстрирующее характеристики
117 3.1. Гауссов пучок пучка, которые можно определить так. Мощность пучка главным образом со- средоточена внутри малого цилиндра, окружающего ось пучка. Распределение интенсивности по любому поперечному сечению представляет собой симмет- ричную гауссову функцию с центром на оси пучка. Ширина этого распределе- ния минимальна в перетяжке пучка и постепенно растет вдоль оси пучка с удалением от перетяжки в обоих направлениях. Волновые фронты, почти плос- кие вблизи перетяжки, постепенно искривляются по мере удаления от нее и в конце концов становятся приблизительно сферическими вдали от перетяжки. Угловая расходимость нормалей к волновым фронтам принимает наименьшее значение, разрешаемое волновым уравнением при данной ширине пучка. При этом нормали к волновым фронтам образуют тонкий пучок лучей. В идеальных условиях многие типы лазеров излучают свет в виде гауссовых пучков. О данной главе Выражение для комплексной амплитуды гауссова пучка предложе- но в разд. 3.1, при этом проводится подробное обсуждение его физических свойств (интенсивности, мощности, ширины, расходимости, глубины резкости и фазы). Формирование гауссовых пучков (фокусировка, преобразование, кол- лимирование и расширение) различными оптическими элементами является предметом разд. 3.2. В разд. 3.3 мы вводим более общее семейство оптических пучков, называемых пучками Гаусса—Эрмита. Наконец, в разд. 3.4 обсуждают- ся пучки Лагерра—Гаусса и Бесселя. 3.1. ГАУССОВ ПУЧОК 3.1.1. Комплексная амплитуда Понятие параксиальных волн было введено в подразд. 2.2.3. Пара- ксиальная волна — это плоская волна exp (~jkz), распространяющаяся вдоль направления z, с волновым числом к = Т-л/Л. и длиной волны 2, модулирован- ная комплексной огибающей Л(г), медленно меняющаяся в зависимости от координат (см. рис. 2.7), так что комплексная амплитуда записывается как U(г) = А (г) exp (-jkz). (3.1) Огибающая берется почти постоянной в пределах длины порядка Л, так что волна остается локально плоской, а нормали к ее волновым фронтам представ- ляют собой параксиальные лучи. Чтобы комплексная амплитуда U(r) удовлетворяла уравнению Гельмгольца V2!/ + к7 U = 0, комплексная огибающая Л(г) должна удовлетворять паракси- альному уравнению Гельмгольца V2 Л-/2^ = 0, oz (3.2)
118 Глава 3. Оптика пучков где V?. — поперечный оператор Лапласа, Простое решение параксиального уравнения Гельмгольца дает параболи- ческую волну (см. упражнение 2.2), для которой Л(г) = АеХр[-д£-|; р2=х2+у2. (3.3) где А, — постоянная. Параболоидальная волна является параксиальным при- ближением сферической волны U (г) = — exp (-ikr), если х и у много меньше z (см. подразд. 2.2.2). Другое решение параксиального уравнения Гельмгольца приводит к гаус- сову пучку. Оно получается из параболоидальной волны путем простого преоб- разования Поскольку комплексная огибающая параболоидальной волны (3 3) является решением параксиального уравнения Гельмгольца (3.2), то таковым же является результат ее сдвига, т. е. замены z на z ~ %, где £ — постоянная: л I А (г) = —ЗЦ exp - jk q(z) Ч (3.4) Это выражение представляет собой параболоидальную волну с центром в точ- ке z = £ вместо z = 0. Функция (3.4) остается решением уравнения (3.2) и в случае, когда Е,— комплексное, однако, свойства этого решения резко меня- ются. В частности, если — чисто мнимое, скажем, Е = —j'Zq, где z^ — действи- тельное, то (3.4) даст комплексную огибающую гауссова пучка А (г) = -^-rexpf -jk q(z) I (3.5) Комплексная огибающая Величина q(z) называется ^-параметром пучка, а параметр z$ — рэлеевской длиной. Для выделения амплитуды и фазы комплексной огибающей запишем дей- ствительную и мнимую части комплексной функции q (г) z + jz0 с помощью двух новых действительных функций R(z) и Ж(г), таких что 11_. А q(z) R(z) J nW2(z)' (3.6)
3.1. Гауссов пучок Л 119 Ниже будет показано, что Ж(г) и R(z) определяют ширину пучка и радиус кривизны волнового фронта соответственно. Зависимость Ж(г) и R(z) от z и определяется выражениями (3.8) и (3.9). Подстановка (3.6) в (3.5) с использова- нием (3.1) приводит непосредственно к выражению для комплексной амплиту- ды U(r) гауссова пучка w £/(r) = 4)HZ\exP И7 (г) Р2 W2(z)_ ехр 2 1 [-tkZ-jk2R(zr,az)\’ (3-7) Комплексная Ж(г) = ж0 R(z) = z •7 f(z) = arctg—; амплитуда (3.8) (3.9) (3.10) (З.П) Параметры пучка Здесь для удобства введена новая константа 4» - 4 Л ’ Выражение для комплексной амплитуды гауссова пучка, приведенное выше, является центральным для данной главы. Оно содержит два независимых пара- метра Ло и Z& которые определяются из начальных условий. Все остальные параметры связаны с z<t и длиной волны Л соотношениями (3.8)—(3.11). Значе- ние этих параметров станет ясно из дальнейшего изложения. 3.1.2. Свойства Используем соотношения (3.8)—(3.11) для определения свойств гауссова пучка. Интенсивность Оптическая интенсивность 1(г) =|С/(г)|2 есть функция аксиальной z и радиальной р = ^/х2 + у2 координат точки 2 г -1 Ла Л = Л ехр ’ (3л2) L^u)J [ w2(z)J
120 Глава 3. Оптика пучков где /() = |Л0|2. При любом значении z интенсивность является гауссовой функци- ей радиальной координаты р — отсюда название «гауссов пучок». Гауссова фун- кция имеет максимум на оси z, при р = 0, и монотонно убывает с ростом р. Ширина гауссова распределения интенсивности в пучке Ж(г) растет с увеличе- нием аксиальной координаты z, как показано на рис. 3.1. Рис. 3.1. Нормированная интенсивность пучка 1/10 как функция радиальной координаты р при разных значениях аксиальной координаты: а — z = 0; б — z = z0; в — z = 2z0 I/k Рис. 3.2. Нормированная интенсивность пучка 1/70 на оси пучка (р = 0) в зависи- мости от продольной координаты z На оси пучка (р = 0) интенсивность в (3.12) выражается формулой ' WD f W(z)_ l+(z/z0)2 (3.13) /(0, z) = I0 Она имеет максимальное значение /0 при < = 0 и плавно убывает с ростом z, достигая половины максимального значения при z = ±Z0 (рис. 3.2). Когда kl»z0; /(0, z)~I0^, z
3.1. Гауссов пучок -hy. 121 так что интенсивность убывает с расстоянием обратно пропорционально его квадрату, как у сферических и параболоидальных волн. Центр пучка (z = 0, р = 0) есть точка наибольшей интенсивности 7(0, 0) = /(). Мощность Полная оптическая мощность, переносимая пучком, есть интеграл от оптической интенсивности по любой поперечной плоскости z = const Р = z)2лрdp, о (3.14) вычисление которою дает Р = |/>Ж02). (3.15) Таким образом, мощность пучка равна половине максимальной интенсив- ности, умноженной на площадь сечения пучка. Как и ожидалось, этот резуль- тат не зависит от z- Поскольку оптические пучки часто описываются своей мощностью Р, полезно выразить через нее 10 с помощью (3.15), после чего (3.12) можно переписать в виде т, х 2Р Г 2р2 ЛА Z>= Аехр nW (z) W'(z) (3.16) Интенсивность пучка Отношение мощности, переносимой через площадь круга радиуса р0 в по- перечной плоскости к полной мощности в точке Z'- I РО — J I(p, z}2np&p = 1 - exp * о 2Ро2 ж2и) (3-17) Мощность, проходящая через круг радиусом р0 = W(z), составляет пример- но 86 % полной мощности. Около 99 % мощности сосредоточено внутри круга радиусом 1,5 W(z). Ширина пучка В любой поперечной плоскости интенсивность пучка принимает свое максимальное значение на оси пучка и спадает до 1/е2 ~ 0,135 максималь- ного значения на расстоянии р = W(z) от оси. Поскольку 86 % мощности пере- носится внутри круга радиуса ИД), мы будем рассматривать ИД) как радиус (или ширину) пучка. С другой стороны, среднеквадратичная ширина распреде- ления интенсивности выражается как о= W(z)/2 (см. различные определения ширины в приложении А, разд. А.2).
122 Глава 3. Оптика пучков Зависимость ширины пучка от z определяется (3.8) жи) = и; (3.18) Ширина пучка (радиус пучка) Она принимает минимальное значение Wo в плоскости z = 0. Это перетяжка пучка, поэтому Wo известно как радиус перетяжки. Диаметр перетяжки 2И^ называется также размером пятна. Ширина пучка монотонно растет с увеличе- нием z и принимает значение V2 WQ при z = ±Zq (рис. 3.3). Рис. 3.3. Ширина пучка ИДг) принимает свое минимальное значение в перетяжке пучка (z = 0), достигает V2 при z = и растет пропорционально z при больших z Расходимость пучка При z» Zq первым членом (3.18) можно пренебречь, что приводит к линейному соотношению JC(z) = ^z = 0(1z. (3.19) Z0 Как видно на рис. 3.3, пучок расходится как конус с половиной угла при вершине в°=~ = ^Г' (320) Z0 zrW0 где было использовано (3.11). Примерно 86 % мощности пучка ограничено этим конусом в соответствии с (3.17). Выражая (3.20) через размер пятна, можем записать угол расходимости как 2^() =£ — ° л-2Ж0 (3.21) Угол расходимости Угол расходимости прямо пропорционален длине волны Wo и обратно про- порционален размеру пятна 2W0. Сжатие пятна, таким образом, приводит к увеличению расходимости пучка. Ясно, что высоконаправленный пучок можно сформировать, используя малую длину волны и делая перетяжку достаточно широкой.
3.1. Гауссов пучок -J\г 123 Гпубина резкости Поскольку пучок имеет минимальную ширину при z = 0, как вид- но на рис. 3.3, то в этой точке он достигает наилучшей фокусировки. В обоих направлениях пучок постепенно «выходит из фокуса». Расстояние вдоль оси, на котором ширина пучка не более чем в V2 превышает минимальное значе- ние, так что площадь пучка удваивается по сравнению с минимальной, называ- ется глубиной резкости, или конфокальным параметром (рис. 3.4). Из (3.18) и (3.11) ясно, что глубина резкости равна удвоенному числу Рэлея: _2^ 0 Л (3.22) Глубина резкости Рис. 3.4. Глубина резкости гауссова пучка Таким образом, глубина резкости прямо пропорциональна площади сече- ния пучка в перетяжке kWq и обратно пропорциональна длине волны А. Пу- чок, фокусируемый в малое пятно, имеет малую глубину резкости, так что установление положения фокальной плоскости требует повышенной точности. Малый размер пятна и большая глубина резкости могут быть одновременно достигнуты только при малой длине волны. Например, при Я() = 633 нм (обыч- ная длина волны Не—Ne-лазера) размер пятна 2И^ = 2 см соответствует глуби- не резкости 2zq~ 1 км. Намного меньший размер пятна в 20 мкм соответствует малой глубине резкости 1 мм. Фаза Согласно (3.7), фаза гауссова пучка есть <р(р, z) = kz-^z) + ^^. (3.23) На оси пучка (р = 0) фаза включает два слагаемых: НО, z) = kz-£(z). (3-24) Первое из них, kz, есть фаза плоской волны. Второе представляет собой запаздывание фазы g(z), выражаемое формулой (3.10), которое меняется в пре- делах от —л/2 при z = ~°° до +л/2 при z — как показано на рис. 3.5. Это
124 Глава 3. Оптика пучков запаздывание фазы соответствует дополнительной задержке волнового фронта по отношению к плоской или сферической волне (см. также рис. 3.8). Полное запаздывание фазы, накапливающееся при распространении гауссова пучка от Z = —сю до z = равно л. Это явление известно как эффект Гюи1. Рис. 3.5. Функция £"(?) представляет задержку фазы гауссова пучка по отношению к одно- родной плоской волне в точках оси пучка Волновые фронты Третье слагаемое в (3.23) отвечает за искривление волнового фрон- та. Оно представляет собой отклонение фазы в точках, лежащих вне оси пучка в данной поперечной плоскости, от ее значения на оси пучка. Поверхности постоянной фазы удовлетворяют уравнению Z + р1 2R(z) -f(z) = Так как f(z) и R(z) — сравнительно медленно меняющиеся функции, они по- чти постоянны в точках, лежащих в пределах ширины пучка на каждом волно- вом фронте. Следовательно, р2 , — = qA + —, 2R 2я где R= R(z) и = f(z). Это уравнение параболоидальной поверхности с ради- усом кривизны R. Таким образом, R(z), график которого показан на рис. 3.6, есть радиус кривизны волнового фронта в точке z на оси пучка. Как видно из рис. 3.6, радиус кривизны R(z) бесконечен при z — 0, так что волновой фронт плоский и кривизны нет. По мере увеличения z радиус снача- ла уменьшается до минимального значения 2zt) при z = Zq, где волновой фронт имеет наибольшую кривизну (рис. 3.7). Затем радиус кривизны постепенно растет, и при z » Zq R (z) ~ Z- При этом волновые фронты приблизительно такие же, как у сферической волны. Картина волновых фронтов одинакова для поло- жительных и отрицательных z, за исключением смены знака (рис. 3.8). Примем 1 См., например, Siegman А.Е. Lasers. University Science, 1986.
3.1. Гауссов пучок 125 соглашение, что фронт расходящейся волны имеет положительный, а фронт сходящейся — отрицательный радиус кривизны. Рис. 3.6. Радиус кривизны /?(г) волнового фронта науссова пучка как функция положения вдоль оси пучка. Штриховая линия — радиус кривизны сферической волны Рис. 3.8. Волновые фронты: о — однородной плоской волны; б — сферической вол- ны; в — гауссова пучка. В точках, лежащих вблизи центра пучка, гаус- сов пучок напоминает плоскую волну. При больших z пучок ведет себя как сферическая волна, за исключением того, что его фаза задер- жана на л/2 (четверть расстояния между двумя соседними волновыми фронтами)
126 Глава 3. Оптика пучков Параметры, необходимые для характеристики гауссова пучка Предполагая, что длина волны Л известна, поставим вопрос: сколько параметров необходимо для описания плоской волны, сферической волны и гауссова пучка? Плоская волна полностью задается своей комплек- сной амплитудой и направлением. Сферическая волна задается своей комп- лексной амплитудой и положением источника. Напротив, задание гауссова пучка требует больше параметров. Для этого нужны максимальная амплиту- да [определяемая параметром Ао в (3.7)], направление (ось пучка), положе- ние перетяжки и еще один дополнительный параметр, такой как радиус пе- ретяжки Жо либо рэлеевская длина Zq- Таким образом, если максимальная амплитуда и ось известны, для полного задания пучка требуется еще два дополнительных параметра. Если известен комплексный параметр q(z) = z + j’Zq, то расстояние z до перетяжки пучка и рэлеевская длина г(| легко определяются как его действи- тельная и мнимая части. Например, если q(z) есть 3 + /4 см в некоторой точке на оси пучка, можно сделать вывод, что перетяжка пучка расположена на рас- стоянии z = 3 см слева от этой точки, а глубина резкости составляет 2^ = 8 см. Радиус перетяжки Жо затем определяется по формуле (3.11). Таким образом, величины q(z) достаточно для полного описания гауссова пучка с известной максимальной интенсивностью и заданной осью. Если q(z) задано в одной точ- ке, линейная зависимость от z позволяет определить его во всех точках: пусть q(z) = и q(z + d) = q2, тогда </2= q{+ d. Для только что приведенного примера в точке z = 13 см очевидно q = 13 + 4/. Если ширина пучка W(z) и радиус кривизны R(z) известны в произвольной точке оси пучка, пучок можно полностью описать, решая (3.8), (3.9) и (3.11) для z, Zq и Wo. Наоборот, пучок можно определить путем нахождения q(z) из W(z) и R(z) с использованием (3.6). Резюме Свойства гауссова пучка в особых точках • При z~ Zq- На расстоянии z0 от перетяжки пучка волна имеет следу- ющие свойства: — интенсивность на оси пучка равна половине максимальной ин- тенсивности; — ширина пучка в 41 раз больше ширины в перетяжке, а площадь сечения пучка больше в 2 раза; — фаза на оси пучка отстает на я/4 по сравнению с фазой плоской волны; — радиус кривизны волнового фронта достигает минимального зна- чения, R = 2zq, так что волновой фронт имеет наибольшую кри- визну.
3.1. Гауссов пучок J г 127 • Вблизи центра пучка. В точках, где |z| « и р « величина Г 2 1 Г 2 Л Р \ Р > exp----= exp —~ = 1, L ^2u)J ч ж02; так что интенсивность пучка, пропорциональная квадрату этой величины, приблизительно постоянна. Также A(z) = ^-; <(z) = 0, z так что фаза равна k Z + Tni \ kz\\ + -~\^ kz, L 2ВД] 2z§ J если Zq »1- Таким образом, вблизи центра гауссов пучок можно аппрокси- мировать плоской волной. • Вдали от перетяжки. В пределах радиуса перетяжки по поперечной координате (р < Wo), но вдали от перетяжки (z » Zo) волна ведет себя приблизительно как сферическая. В этой области = p<w0, Zo так что Г р2 1 1 ехр----V— » 1 L wj и интенсивность пучка приблизительно однородна. Поскольку в этой об- ласти /?(z) « z, волновые фронты приблизительно сферические. Таким образом, если не говорить о фазовой задержке Гюи ^(z) ~ л/2, с ростом z комплексная амплитуда гауссова пучка приближается к комплексной ам- плитуде параболоидальной волны, которая, в свою очередь, дает все более точное параксиальное приближение сферической волны. Упражнение 3.1 ------------------------------------------- Параметры гауссова лазерного пучка Гелий-неоновый лазер мощностью 1 мВт генерирует гауссов пучок с дли- ной волны Л = 633 нм и размером пятна 2 Wo = 0,1 мм. а. Определите угловую расходимость пучка, глубину резкости и диаметр пучка при z = 3,5 105 км (приблизительное расстояние до Луны). б. Каков радиус кривизны волнового фронта при z = 0, z = Zq, z = 2Zq?
128 Глава 3. Оптика пучков в. Какова оптическая интенсивность (в Вт/см2) в центре пучка (z = 0, р = 0) и в точке z = z<} на оси? Сравните результат с интенсивностью при z = Zq сферической волны мощностью 100 Вт, создаваемой малым изотропно излучающим источником света, расположенным в точке z = 0. Упражнение 3.2 ------------------------------------------ Справедливость параксиального приближения для гауссова пучка Комплексная огибающая А(г) является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца (3.2), однако соответствующая ей комплексная ампли- туда U(r) = A(r) exp (—jkz) лишь приближенно удовлетворяет уравнению Гельм- гольца (2.11). Это происходит потому, что параксиальное уравнение Гельм- гольца само является приближенным. Приближение удовлетворительно, если условие (2.25) выполняется. Покажите, что если угол расходимости 0О гауссова пучка мал (0О <к 1), то условие (2.25), необходимое для справедливости пара- ксиального приближения, действительно выполняется. Упражнение 3.3 ------------------------------------------ Определение пучка по данной ширине и кривизне Рассмотрим гауссов пучок, ширина и радиус кривизны волнового фронта известны в некото- рой точке оси (рис. 3.9). Покажите, что пере- тяжка пучка находится слева на расстоянии И р Д б Рис. 3.9. По данным Ни R ч, 2 ’ \ + (AR/kW2) а ее радиус равен (3.26) д/1 + (я1И2/Я/?) Упражнение 3.4 Определение ширины и кривизны в одной точке по данной ширине и кривизне в другой точке Предположим, что ширина и радиус кри- визны гауссова пучка с длиной волны Л = 1 мкм в некоторой точке на оси пучка составляют = 1 мм и /?] = I м соответственно (рис. 3.10). Определите ширину пучка W2 и радиус кри- визны R2 на расстоянии d = 10 см справа от данной точки. Рис. 3.10. По данным Wv Rx и d определите и R2
3.1. Гауссов пучок —' 129 Упражнение 3.5 --------------------------------------- Идентификация пучка по значениям кривизны в двух точках Гауссов пучок имеет радиусы кривизны R, и й2 в двух точках оси, расстояние между кото- рыми равно d, как показано на рис. 3.11. Убе- дитесь, что положение центра пучка и его глу- бину резкости можно определить по формулам Рис. 3.11. По данным R и Г2 опре- делите Zp z2, to и Шо -dfa-d) _ Л, - R, - 2d ’ (H2-Rl-2d)2 3.1.3. Качество пучка Гауссов пучок является идеализацией, которую можно только при- близительно встретить на практике даже в хорошо сконструированных лазер- ных системах. Мерой качества оптическою пучка является отклонение его про- филя от гауссовой формы. Для пучка с диаметром перетяжки 2Wm и угловой расходимостью 20т полезной мерой качества является фактор М2, определяе- мый как отношение произведения 2Wt2Qm фактических значений диаметра перетяжки и угла расходимости к ожидаемому значению этого произведения для гауссова пучка, которое равно 2W0 20о = ЬХ/л. Таким образом, м2 = Ж«М_ (3 29) 42/я Если оба пучка имеют одинаковый диаметр, то фактор М2 есть просто от- ношение углов расходимости 1 в М2 = (3.30) где |см. (3.21)]. Поскольку гауссов пучок имеет наименьшую возможную расходимость из всех пучков с таким же диаметром перетяжки, М2 > 1. Задание фактора М2 для оптического пучка означает, таким образом, тот факт, что у этого пучка расходи- мость в М2 раз больше, чем у гауссова пучка с тем же диаметром перетяжки.
130 _Глава 3. Оптика пучков Оптические пучки, создаваемые обычными гелий-неоновыми лазерами, имеют ' М2 < 1,1. Для ионных лазеров типичный диапазон значений М2 от 1,1 до 1,3. Коллимированные ТЕМ00 пучки диодных лазеров обычно имеют М2 = 1,1—1,7, а мощные многомодовые лазеры характеризуются высокими значениями М2 до 3 или 4. Для приблизительно гауссова оптического пучка фактор М2 можно опре- делить с использованием ПЗС-камеры для измерения профиля интенсивнос- ти пучка в различных его сечениях. Пучок фокусируется высококачественной длиннофокусной линзой примерно до размера ПЗС-матрицы. Вначале нахо- дится центр пучка по минимальному размеру пятна, затем измеряется диа- метр перетяжки 2^. Расстояние вдоль оси от центра пучка до плоскости, в которой диаметр пучка увеличивается в >/2 раз, дает рэлеевскую длину zm- Оценка угловой расходимости 26т получается с помощью соотношения для гауссова пучка получаемого из (3.11) и (3.20). Окончательное вычисление фактора М2 произ- водится с помощью соотношения (3.29). 3.2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Перейдем к обсуждению действия различных оптических элемен- тов на гауссов пучок. Мы покажем, что если гауссов пучок походит через сис- тему из оптических элементов, обладающих осевой симметрией и центриро- ванных относительно оси пучка, то пучок остается гауссовым при условии, что система сохраняет параксиальную природу волны. Изменения формы пучка сводятся к изменению его перетяжки и радиуса кривизны волнового фронта. Результаты данного раздела важны для проектирования оптических приборов, рассчитанных на работу с гауссовыми пучками. 3.2.1. Прохождение через тонкую линзу Комплексный коэффициент амплитудного пропускания тонкой линзы с фокусным расстоянием f пропорционален exp (jkp2/2f) [см. (2.40)]. Когда гауссов пучок проходит через такой элемент, его комплексная амплиту- да в (3.7) умножается на этот фазовый множитель. В результате ширина пучка остается неизменной (W = W), а волновой фронт меняется. Рассмотрим конкретно гауссов пучок с центром в точке z = 0 и радиусом перетяжки Wo, который проходит через тонкую линзу, расположенную в точке z, как показано на рис. 3.12. Фаза падающей волны в плоскости линзы есть kz + kp7/2R — Г, в соответствии с (3.23), где R = R(z) и Q— g(z) даются выраже-
3.2. Прохождение через оптические элементы Дг 131 ниями (3.9) и (3.10) соответственно. Следовательно, фаза выходящей волны получается равной 2 2 2 kz + k^-C-k^kz+k^-C, (3.31) 2л Z J 2л где Видно, что прошедшая волна представляет собой гауссов пучок с шириной W' = Жи радиусом кривизны R', удовлетворяющим уравнению формирования изображения 1_±-1 R R'~ Г Величина R положительна, поскольку волновой фронт падающего пучка расходящийся, а величина R’, соответствующая сходящейся волне, отрицательна. Параметры выходящего пучка определяются с помощью результатов уп- ражнения 3.3, в котором параметры гауссова пучка определяются по его шири- не и кривизне в данной точке. Уравнение (3.26) дает радиус перетяжки W Щ = р—— ==, (3.33) Д + (яЖ2/ЛК') а из (3.25) находим, что центр пучка удален от линзы на расстояние -Z' = —— --------у. (3.34) 1 + (ЛК'/яЖ2) Знак «минус» в (3.34) отражает тот факт, что перетяжка пучка находится справа от линзы. Подставляя W = W0 R = z из (3.8) и (3.9) в (3.32)—(3.34), получаем набор формул, связывающих парамет- ры гауссова пучка, падающего на линзу (без штрихов) с параметрами гауссова пучка, выходящего из линзы (со штрихами), как показано на рис. 3.12: Радиус перетяжки W0'=MW0- (3.35) Положение перетяжки (z'-f) = M2 (z-f); (3.36) Глубина резкости 2zi = M\2z0); (3.37)
132 Глава 3. Оптика пучков Рис. 3.12. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу Важную роль, очевидно, играет фактор увеличения М. Радиус перетяжки увеличивается в М раз, глубина резкости — в Мг раз, а угол расходимости уменьшается в М раз Предел применимости лучевой оптики Рассмотрим предельный случай, когда (z — f) » Zq, т. е. линза достаточно удалена от фокуса падающего пучка (рис. 3.13). Пучок можно апп- роксимировать сферической волной, при этом в соответствии с (3.39) и (3.39а) г« 1, так что М ~ Мг. В этом случае формулы (3.35)—(3.39а) сводятся к 1 1 — + — ~ Z' Z М = Мг (3.40) (3-41) (3.42) Формулы (3.40)—(3.42) в точности совпадают с соотношениями лучевой оптики для положения и размера светового пятна диаметром 2Wo, расположен- ного на расстоянии z слева от тонкой линзы (см. подразд. 1.2.3). Действитель- но, увеличение Мг точно такое, как в оптике лучей. Поскольку (3.39) дает М< Мг, максимальное увеличение М для гауссова пучка есть предельное значение Мг, даваемое геометрической оптикой. По мере увеличения г2 увеличение снижа-
3.2. Прохождение через оптические элементы 133 ется и отклонение от геометрической оптики становится больше. Уравнения (3.40)—(3.42) согласуются также с результатами, полученными в рамках волно- вой оптики для фокусировки сферической волны в параксиальном приближе- нии (см. подразд. 2.4.2). Рис. 3.13. Отображение пучка в пределе лучевой оптики 3.2.2. Формирование пучка Линза или последовательность линз может использоваться для из- менения формы гауссова пучка без нарушения его гауссовой природы. Конеч- но, этой же цели можно добиться с помощью элементов с градиентом показа- теля преломления. Фокусировка пучка Для линзы, помещенной в перетяжку гауссова пучка, как показано на рис. 3.14, соответствующие формулы преобразования параметров получают- ся простой подстановкой z = 0 в (3.35)—(3.39). Прошедший пучок в этом слу- чае фокусируется в перетяжку радиусом на расстоянии z' yll + lzo/f)2’ f 1 + (Ж)2 (3.43) (3.44) В частном случае, когда глубина резкости падающего пучка 2^ много боль- ше фокусного расстояния /линзы, как показано на рис. 3.15, формула (3.43) сводится к виду Zo Используя _^02 z°~ Л
134 Глава 3. Оптика пучков из (3.11), а также (3.20), получаем простой результат W' = f = 0nf; ° яЖ0 J °J (3.45) (3.46) Рис. 3.14. Фокусировка гауссо- ва пучка линзой, расположен- ной в перетяжке Рис. 3.15. Фокусировка кол- лимированного пучка Прошедший пучок тогда фокусируется в фокальную плоскость линзы, как и следовало ожидать для коллимированного пучка параллельных лучей, падаю- щих на линзу. Этот результат возникает в силу того, что вблизи перетяжки падающий гауссов пучок хорошо аппроксимируется плоской волной. Волновая оптика гарантирует, что радиус фокусируемого пучка в перетяжке Жо' прямо пропорционален длине волны и фокусному расстоянию и обратно пропорцио- нален радиусу падающего пучка. Размер пятна в оптике лучей, конечно, равен нулю. Этот результат действительно получается из формул волновой оптики при Л —> 0. Во многих приложениях, таких как лазерное сканирование, лазерная пе- чать, прожигание компакт-дисков (CD) и лазерная сварка, желателен возмож- но меньший размер пятна. Из (3.45) ясно, что достичь этого можно за счет уменьшения длины волны, расширения падаюшего пучка и использования ко-
3.2. Прохождение через оптические элементы 135 роткофокусной линзы. Поскольку линза должна перекрывать падающий пу- чок, ее диаметр D должен быть, по крайней мере, 2И/0. Полагая D = и используя (3.45), для диаметра пятна фокусировки получим 4 2^' = -^; F#~ D (3-47) Размер пятна фокусировки ще F# — относительная апертура линзы. Для получения возможно меньшего размера пятна часто используются объективы микроскопов с малыми относи- тельными апертурами. Поскольку формулы (3.45) и (3.46) являются прибли- женными, их применимость всегда должна быть подтверждена перед их ис- пользованием. Упражнение 3.6 ------------------------------------- Релейная передача пучка Гауссов пучок радиуса с длиной волны Л многократно фокусируется последовательностью одинаковых линз с фокусным расстоянием f разделен- ных расстоянием d (рис. 3.16). Радиус перетяжки преобразованного пучка ра- вен радиусу перетяжки падающего, т. е. Wo' = Пользуясь (3.36), (3.39) и (3.39а), покажите, что это условие может быть выполнено, только если d < bf. Обратите внимание, что это то же самое условие ограничения, которое было выведено в примере 1.10 в лучевой оптике. Рис. 3.16. Релейная передача пучка Упражнение 3.7 Коллимирование пучка Гауссов пучок пропускается через тонкую линзу с фокусным расстоянием f а. Покажите, что положения перетяжек падающего и прошедшего пучков z, и z’, соответственно, связаны соотношением z' t . z/7-i f (z/f-tf+(z0/f)2’ (3.48) Эта связь изображена графически на рис. 3.17.
Глава 3. Оптика пучков б. Коллимирование пучка достигается смещением новой перетяжки z' на возможно большее расстояние от линзы. Для этого используется наименьшее возможное отноше- ние Zg//(малая глубина резкости в сочетании с большим фокус- ным расстоянием). Для данного отношения z0//по кажите, что оп- тимальное значение z для кол- лимирования есть z = f + Zo- = 0 1 Рис. 3.17. Связь между поло- жениями перетяжек падаю- щего и прошедшего пучков 7-1 ного пучка. в. При данных Л = 1 мкм, Zg = 1 см и f= 50 см определите оптимальное значение z для колли- мирования, а также соответствующие увеличение М, расстояние z' и ширину Жо' коллимирован- Упражнение 3.8 ------------------------------------- Расширение пучка Гауссов пучок можно расширить и коллимировать с помощью двух линз с фокусными расстояниями/! и/, как показан на рис. 3.18. Параметры исходно- го пучка (И^, Zg) преобразуются первой линзой в (Ид", Zg'), а затем второй линзой в (Жд", Zg). Первая линза с малым фокусным расстоянием служит для Рис. 3.18. Расширение пучка с помощью двух линз
3.2. Прохождение через оптические элементы Л137 уменьшения глубины резкости пучка 2z". Это готовит пучок к коллимирова- нию второй линзой, которая имеет большое фокусное расстояние. Система функционирует как обращенный телескоп Кеплера. а. Предполагая, что fx <к z и z ~f} » Zq, используйте результат упражнения 3.7 для определения оптического расстояния d между линзами, обеспечива- ющего наибольшее возможное расстояние z' до перетяжки результирую- щего пучка. б. Найдите выражение для полного увеличения М = Wq/W0 системы. 3.2.3. Отражение от сферического зеркала Исследуем теперь отражение гауссова пучка от сферического зер- кала. Комплексный амплитудный коэффициент отражения зеркала пропорци- онален exp (—jkp2/R) (см. задачу 4 к разд. 2.4), где по соглашению R > 0 для выпуклого и R < 0 для вогнутого зеркала. Действие зеркала на гауссов пучок ширины И7 с радиусом кривизны R} состоит в отражении пучка и изменении его фазы на —kp^/R, в то время как ширина пучка остается неизменной. Отра- женный пучок остается гауссовым и имеет параметры Ж2 и Rv которые опреде- ляются как Ж2 = И7; 11 2. R^ R\ R (3-49) (3.50) Уравнение (3.50) совпадает с (3.32) при условии, что f= —R/2. Таким обра- зом, гауссов пучок преобразуется так же, как и в линзе, за исключением обра- щения направления распространения. Рис. 3.19. Отражение гауссова пучка с радиусом кривизны от зеркала радиусом R. а — R = б — о°; в — R{ = —R. Штриховые линии показывают, что получится, если зеркало заменить линзой с фокусным расстоянием f = —R/1 Представляют интерес три частных случая, изображенные на рис. 3.19. • Если зеркало плоское, т. е. R = <*>, то R2 = R{, так что зеркало обращает направление распространения пучка без изменения кривизны волнового фронта, как показано на рис. 3.19, а.
138 Глава 3. Оптика пучков • Если R} = т. е. если перетяжка пучка совпадает с зеркалом, то R2 = R/1. Если зеркало вогнутое (К < 0), то R2 < 0, так что отраженный пучок приобрета- ет отрицательную кривизну и становится сходящимся. В этом случае зеркало фокусирует пучок в пятно меньшего размера, как показано на рис. 3.19, б. • Если А] = —R, т. е. падающий пучок имеет ту же кривизну, что и зеркало, то Л2 = R. Волновые фронты падающей и отраженной волн совпадают с зеркалом, и волна повторяет свой путь, как показано на рис 3.19, в. Это вполне ожидаемо, поскольку нормали к волновому фронту являются также нормалями к зеркалу, так что зеркало точно обращает волну. На рис. 3.19, в зеркало вогнутое (R < 0), падающая волна расходящаяся (7?, > 0), а отраженная волна сходящаяся (R2 < 0). Упражнение 3.9 ------------------------------------------ Зеркала с переменным коэффициентом отражения Сферическое зеркало радиусом R имеет переменный коэффициент отраже- ния по интенсивности, задаваемый формулой = exp 2/Л ^У который является гауссовой функцией радиального расстояния р. Коэффици- ент отражения равен единице на оси и плавно спадает по мере удаления от нее, уменьшаясь в е2 раз при удалении на р = Wm. Определите действие зеркала на гауссов пучок с радиусом кривизны R{ и шириной W\ на зеркале. *3.2.4. Прохождение через произвольную оптическую систему В параксиальном приближении лучевой оптики оптическая систе- ма полностью характеризуется 2 х 2-матрицей передачи луча, которая связыва- ет положение и наклон луча на выходе и на входе (см. разд. 1.4). Рассмотрим, как произвольная параксиальная оптическая система, характеризуемая матри- цей М с элементами (А, В, С, D), преобразует гауссов пучок (рис. 3.20). Рис. 3.20. Преобразование гауссова пучка произвольной параксиальной оптической сис- темой, описываемой матрицей ABCD
3.2. Прохождение через оптические элементы —Мл 139 Закон ABCD Параметры qt и q2 падающего и прошедшего гауссовых пучков на входной и выходной плоскостях параксиальной оптической системы, описыва- емой матрицей (А, Б, С, D), связаны как Aq. + В ~Cqt + D ’ (3.51) Закон ABCD Поскольку комплексный параметр q определяет ширину W и радиус кри- визны R гауссова пучка (см. упражнение 3.3), это простое выражение, называ- емое законом ABCD, определяет влияние произвольной параксиальной систе- мы на гауссов пучок. Закон ABCD будет установлен путем проверки на частных случаях, его общность будет немедленно доказана по индукции. Прохождение через свободное пространство Когда оптической системой является участок свободного простран- ства (или произвольной однородной среды) протяженностью d, то элементы матрицы передачи луча М таковы: А = \, В = d, С = О, £> = 1 [см. (1.43)]. Поскольку ранее было установлено, что в свободном пространстве q = z + jz(l, то параметр q преобразуется оптической системой по закону q2 = q + d. Это очевидно равно (1 • qt + d)/(0 q{ + 1), так что закон ABCD выполняется. Прохождение через тонкий оптический элемент Произвольный тонкий оптический элемент не меняет положения луча, так что У2=У1, (3.52) но меняет угол наклона в соответствии с 02=Cyl+D0l, (3.53) как показано на рис. 3.21. Таким образом, А = 1, В = 0, но С и D произвольные. Однако у всех тонких оптических элементов, описанных в подразд. 1.4.2, D = njnr По причине исчезающей малой толщины элемента ширина пучка не меняется, т. е. Ж2=ЖГ (3.54) Далее, если пучки в плоскостях входа и выхода элемента аппроксимировать сферическими волнами с радиусами Д, и R2 соответственно, то в параксиаль- ном приближении, когда 0Х и 02 малы, 0Х = yJR} и 02 ~ yJR^ Подставляя эти выражения в (3.53), с помощью (3.52) получаем D (3.55)
140 Глава 3. Оптика пучков Используя (3.6), выражающее q как функцию Л и W, и замечая, что D = ^ = ^, «2 Л можно скомбинировать (3.54) и (3.55) в одно уравнение — = С + —, (3.56) из которого _ 1g,+0 Cqt+D’ так что закон ABCD снова выполняется. Рис. 3.21. Преобразование гауссова пучка тонкой оптической системой Инвариантность закона ABCD по отношению к образова- нию каскадов Если закон ABCD выполняется для каждой из двух оптических сис- тем с матрицами М(. = (Д., Вп Ct, D/), i = 1, 2. он должен также выполняться для каскадной системы, имеющей матрицу М = М2М,. Это можно показать прямой подстановкой. Общность закона ABCD Так как закон ABCD применим к тонким оптическим элементам, а также к распространению в однородной среде, он применим и к любой комбина- ции указанных элементов. Все представляющие интерес параксиальные оптические системы являются комбинациями участков однородной среды и тонких оптических элементов, например тонких линз или зеркал. Поэтому очевидно, что закон ABCD применим ко всем таким системам. Более того, поскольку неоднородная среда с плавно меняющимися параметрами может рассматриваться как каскад бесконечно тонких элементов, разделенных тонкими же слоями однородной среды, можно зак- лючить, что закон ABCD применим и к таким системам тоже при условии, что все лучи (нормали к волновым фронтам) остаются параксиальными.
3.3. Пучки Эрмита—Гаусса Г 141 Упражнение 3.10 --------------------------------------- Прохождение гауссова пучка через прозрачную пластину Используйте закон ABCD для исследования прохождения гауссова пучка через находящуюся в воздухе прозрачную пластину толщины d с показателем преломления и. Ось пучка считать направленной по нормали к пластине. 3.3. ПУЧКИ ЭРМИТА—ГАУССА Гауссовы пучки — не единственные пучковые решения параксиаль- ного уравнения Гельмгольца (3.2). Особый интерес представляют решения, ко- торые имеют негауссово распределение интенсивности, но при этом их волно- вые фронты сохраняют параболоидальную форму, как у гауссовых пучков. Такие пучки имеют замечательное свойство — их волновой фронт можно согласовать по кривизне со сферическими зеркалами большого радиуса, например зеркала- ми оптических резонаторов, в результате чего они многократно отражаются между зеркалами без изменения своей формы. Такие самовоспроизводящиеся волны называются модами резонатора. Оптика резонаторов обсуждается в гл. 9. Рассмотрим гауссов пучок с комплексной огибающей [см. (3.5)] у, z)=—.гЦсхр q(z) -jk х2 + у2 2? U) (3-57) где q(z) = z + JZq- Ширина пучка H^(z) и радиус кривизны волнового фронта R(z) определяются выражениями (3.8) и (3.9) соответственно. Рассмотрим теперь волну, комплексная амплитуда которой имеет дополнительную модуляцию по сравнению с гауссовым пучком Ж(г). W(z). ехр[уг(г)]Лс (х, у, z), (3.58) где Х( -), ), Z( •) — действительные функции. Такая волна, если она суще- ствует, обладает следующими двумя свойствами: 1. Фаза у нее такая же, как и у исходной гауссовой волны, за исключением добавки Z(z), не зависящей от х и у. Если Z(z) — медленно меняющаяся функ- ция z, то обе волны имеют параболоидальные волновые фронты с одинаковым радиусом кривизны R(z)- Обе эти волны, следовательно, фокусируются тонки- ми линзами и зеркалами совершенно одинаково. 2. Величина 4Л э - ^u)JL^u)jexp х2 + у2 JE2(z) (3.59) ^0 где Ао = A}/jz^, является функцией переменных x/W(z) и y/W\z), поперечный масштаб которых зависит от z и определяется одним и тем же масштабным
142 Глава 3. Оптика пучков множителем H^(z). С ростом z поперечное распределение интенсивности со- храняет свой вид, меняется только масштаб J4^(z). Это распределение представ- ляет собой гауссову функцию, промодулированную в направлениях х и у фун- кциями Х2( ) и у2( •) соответственно. Таким образом, модулированная волна представляет собой пучок с распре- делением интенсивности, отличным от гауссова, но с такими же волновыми фронтами и угловой расходимостью, как у исходной гауссовой волны. Существование такой волны будет доказано, если удастся найти такие дей- ствительные функции Х( ), У(-), Д •), чтобы (3.58) удовлетворяло параксиаль- ному уравнению Гельмгольца (3.2). Подставим (3.58) в (3.2), используем тот факт, что сама Ас удовлетворяет (3.2), и определим две новые переменные >/2x _ \2у Ш V~H4z)' Тогда 1 (э2х ДэИ2 ди) + /cW2(z)— = 0. dz (3.60) У ^Эг2 dv J Так как левая часть этого уравнения есть сумма трех слагаемых, каждое из которых — функция одной независимой переменной и, v и z соответственно, то каждое из слагаемых должно быть постоянной величиной. Если первый член равен постоянной — 2др а второй —2д2, то третий должен равняться 2(/zt + д ). Этот метод, называемый методом разделения переменных, позволяет свести дифференциальное уравнение в частных производных (3.60) к трем обыкно- венным дифференциальным уравнениям для Х(и), У(г), Z(z) соответственно: 1 d2X dX ~^ZTT + U^~ = 2 du2 du (3.61a) 1 d2V d\) .. ~ i+v~r~ = ^У'> 2 dr2 dz; (3.616) ^0 z \2" l + f—1 dZ (3.61b) где использовано выражение JV(z), данное в (3.8) и (3.11). Уравнение (3.61а) представляет собой задачу на собственные значения, ре- шение которой дает = I, где I = 0, 1, 2,... Соответствующие собственные функции представляют собой полиномы Эрмита Х(и) = И;(н), I = 0, 1, 2,... Эти полиномы определяются рекуррентным соотношением Н/+1(и) = 2иН/(н)-2/НГ1(п), (3.62)
3.3. Пучки Эрмита—Гаусса 143 и первыми двумя полиномами Н0(и) = 1; Hj (и) = 2и. (3.63) Отсюда Н2(м) = 4м2 - 2; И3(м) = 8и3 - 12и; .... (3.64) Аналогично, решения (3.616) д2 = m и \)(v) = Hm(i>), где m = 0, 1, 2, ... . Таким образом, получается семейство решений, нумеруемых индексами (/, т). Подставляя д, = I, — т в (3.61 в) и интегрируя, получаем Z{z) = (l + m)C{z), (3.65) где = arctgf—1 Таким образом, добавочная фаза медленно меняется от —(/ + т)л/2 до +(/ + т)тг[2, по мере того как z изменяется от — <*> до +°о [см. (3.10) и рис. 3.5]. Комплексная амплитуда Окончательно подстановка в (3.58) дает выражение для комплекс- ной огибающей пучка с индексами (/, т). Перегруппировка членов и умноже- ние на exp (~jkz) приводит к выражению для комплексной амплитуды ut, т (X, у, z) = 4, т JP(z)_ G, л/2х Ж(г) <4, у/2у f^(z) X х ехр - jkz - jk: к2+у2 2А(г) + j(/ + m + l)f(z) , (3.66) Пучок Эрмита—Гаусса где функция ( G,(m) = Н;(м)ехр —— , Z = 0, 1, 2, ... (3.67) известна как функция Эрмита—Гаусса порядка I, a А, т — постоянная. Поскольку Н0(м) = 1, функция Эрмита—Гаусса нулевого порядка есть просто гауссова функция. Переходя к более высоким порядкам, находим: Gt(«) = 2и ехр (—п2/2) — нечетная функция; G2(w) = (4м2 — 2) ехр (—и2/2) — четная; G3(m) = (8и3 — 12м) ехр (—м2/2) — нечетная и т. д. Эти функции схема- тически показаны на рис. 3.22. Оптическая волна с комплексной амплитудой, определяемой выражением (3.66), называется пучком Эрмита—Гаусса порядка (/, т). Пучок Эрмита—Гаус- са порядка (0, 0) есть просто гауссов пучок.
Глава 3. Оптика пучков Рис. 3.22. Функции Эрмита—Гаусса низших порядков: о — G0(u); б — (ЕДи); в — G2(u); г — G3(«) Распределение интенсивности Оптическая интенсивность It m = |Ц J2 пучка Эрмита—Гаусса по- рядка (/, т) имеет вид К г) |4,т| G? ж(г) G” и-U) (3.68) На рис. 3.23 показана зависимость интенсивности от нормированных попе- речных координат х/2х х/2у W)’ v'W) для нескольких значений I и т. Пучки более высокого порядка имеют боль- шую ширину, чем пучки более низкого порядка, что очевидно из рис. 3.22. Независимо от порядка, ширина пучка пропорциональна РИ(г), так что с ростом z поперечный размер распределения интенсивности увеличивается в раз, сохраняя форму профиля. Единственный аксиально-симмет- ричный член семейства пучков Эрмита—Гаусса — это сам элементарный гауссов пучок. (0,0) (0,1) (0,2) (1,1) (1,2) (2,2) Рис. 3.23. Распределения интенсивности для нескольких пучков Эрмита—Гаусса низших порядков в поперечной плоскости. В каждом случае указан порядок (/, т)
3.4. Пучки Лагерра—Гаусса и Бесселя -J Г 145 Упражнение 3.11------------------------------------------ Кольцевой пучок Рассмотрим волну в виде суперпозиции двух пучком Эрмита—Гаусса поряд- ков (1, 0) и (0, 1) одинаковой интенсивности. Пучки имеют независимые случай- ные фазы, так что их интенсивности складываются без интерференции. Пока- жите, что полная интенсивность описывается распределением в виде аксиально- симметричного кольца («бублика»). Предполагая, что Wo = 1 мм, определите радиус окружности, на которой интенсивность максимальна, и радиусы окруж- ностей, на которых она в <?2 раз меньше максимальной в перетяжке пучка. 3.4. ПУЧКИ ЛАГЕРРА—ГАУССА И БЕССЕЛЯ Пучки Лагерра—Гаусса Пучки Эрмита—Гаусса образуют полный набор решений паракси- ального уравнения Гельмгольца. Любое другое решение можно записать в виде суперпозиции этих пучков. Альтернативный полный набор решений, извест- ный как пучки Лагерра—Гаусса, получается при решении параксиального урав- нения Гельмгольца в цилиндрических координатах (р, ф, z) с помощью разде- ления переменных р и ф, а не х и у. Комплексная амплитуда пучка Лагерра—Гаусса Uhm(p, Ф, ^) = Л Lfr(z)J{fr(z)J (z)J W (z)J xexp - )1ф + /(/ + 2?n + l)C(z) (3.69) где L^(-) — обобщенный полином Лагерра2, а величины B^(z), R(z), C(z) и IPJ, даются формулами (3.8)—(3.11). Пучок Лагерра—Гаусса наименьшего порядка (/ = 0, т = 0) — просто гауссов пучок. Интенсивность пучка Лагерра—Гаусса является функцией р и z, т. е. обла- дает аксиальной симметрией. Для 1*0 интенсивность в центре пучка (р — 0) равна нулю и имеет распределение интенсивности в виде концентрических колец. Фаза имеет такую же зависимость от р и z, как и у гауссова пучка, но содержит дополнительный член, пропорциональный азимутальному углу ф, а также фазу Гюи, которая в (/ + 2w? + 1) раз больше. Из-за линейной зависимо- сти фазы от ф (при 1*0) волновой фронт имеет форму винтовой поверхности, 2 Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулой Родригеса „ 1 „х jm TLl(x)=X et d (xl+mex). m m\ dxm Например, |Ц(х) = 1; LjCx) = 1-x; = 1 ~2x + x2/2.
Глава 3. Оптика пучков как видно из рис. 3.24. Пучки с такой винтовой фазой интересны тем, что они обладают орбитальным угловым моментом (см. разд. 5.1 и подразд. 12.1.4), и могут передавать вращательный момент облучаемой системе. Рис. 3.24. Распределение интенсивности и волновой фронт пучка Лагерра—Гаусса с / = 1 Пучки Бесселя и Бесселя—Гaycca В поисках волн, имеющих вид пучков, естественно попытаться конструировать волны, волновые фронты которых плоские, однако распреде- ление интенсивности неоднородно в поперечной плоскости. Например, рас- смотрим волну с комплексной амплитудой l/(r) = A(x,y)e^z. (3.70) Чтобы эта волна удовлетворяла уравнению Гельмгольца (2.11), V2f/ + k2U = 0, величина А(х, у) должна удовлетворять V2TA + k^A=0, (3.71) где kT+/32=k2-, у2т=^— + ^— Т дх2 ду2 являются поперечными операторами Лапласа. Уравнение (3.71), известное как двумерное уравнение Гельмгольца, можно решить методом разделения пере- менных. В полярных координатах (х = pcos ф,у = psin ф) результат оказывается следующим А(х, y) = Air,Jm(kTp)eJm\ ш = 0, ±1, ±2, ..., (3.72) где Jm( ) — функция Бесселя первого рода порядка т; Ат — постоянная. Реше- ния (3.70), сингулярные в точке р = 0, не включаются в рассмотрение.
3.4. Пучки Лагерра—Гаусса и Бесселя 147 При т = 0 волна имеет комплексную амплитуду U(r) = Vo (кгР)е^ (3.73) и, следовательно, имеет плоские волновые фронты. Нормали к волновым фрон- там (лучи) параллельны оси Z- Распределение интенсивности /(р, а г) = |Л|2/02 (ктР) обладает осевой симметрией, меняется в зависимости от р и не зависит от г, поэтому расплывание оптической мощности не происходит (рис. 3.25). Такая волна называется пучком Бесселя. Рис. 3.25. Распределение интен- сивности в пучке Бесселя в попе- речном сечении не зависит от г; пучок не расходится Полезно сравнить пучок Бесселя с гауссовым пучком. В то время как комплексная амплитуда пучка Бесселя есть точное решение уравнения Гель- мгольца, комплексная амплитуда гауссова пучка есть лишь приближенное решение (ее комплексная огибающая есть точное решение параксиального уравнения Гельмгольца). Распределения интенсивности в этих двух пучках графически сравниваются на рис 3.26. Видно, что асимптотическое поведе- ние этих распределений в пределе больших значений радиальной координаты существенно различается. Интенсивность гауссова пучка убывает с ростом р экспоненциально как exp f—2p2/W2(z)\. Интенсивность пучка Бесселя, напро- тив, убывает как Л? (ктР) ~ £ 2 —----COSZ яктр ктр-^ что представляет собой осциллирующую функцию, наложенную на медленное затухание обратно пропорционально р. Вследствие этого поперечная средне- квадратичная ширина гауссова пучка <т = |(И(г)
Глава 3. Оптика пучков конечна, в то время как для пучка Бесселя она бесконечна при любом значении z (см. определение среднеквадратичной ширины в приложении А, разд. А.2), и пучок переносит бесконечную мощность. Очевидно, существует альтернатива между минимальным размером пучка и расходимостью: хотя расходимость пучка Бесселя равна нулю, его среднеквадратичная ширина бесконечна. В то время как генерация пучков Бесселя требует специальных схем3, гауссовы пучки яв- ляются модами сферических резонаторов и, следовательно, естественно гене- рируются лазерами, в которых такие резонаторы используются. Рис. 3.26. Сравнение радиальных распределений интенсивности гауссова пучка и пучка Бесселя. Параметры выбраны так, чтобы пиковые интенсивности и ширины на уровне 1 /е2 были одинаковы в обоих случаях Еще один класс пучков — пучки Бесселя—Гаусса4, которые представляют собой пучки Бесселя, промодулированные гауссовой функцией радиальной координаты р. Гауссова функция играет роль ограничителя, ускоряющего мед- ленный радиальный спад пучка Бесселя. Рекомендуемая литература книги См. также книги по лазерам в списке литературы для чтения к гл. 15. Dickey F.M., Holswade S.C., Shealy D.L. Laser Beam Shaping Applications. CRC Press, 2006. Dickey F.M., Holswade S.C., eds. Laser Bealn Shaping: Theory and Techniques. Marcel Dekker, 2000. Goldsmith P.F. Quasioptical Systems: Gaussian Beam Quasioptical Propagation and Applications. Wiley, 1998. Oraevskiy A.N. Gaussian Beams and Optical Resonators. Nova Science, 1996. Arnaud J.A. Beam and Fiber Optics, Academic Press, 1976 3 Cm.: Milonni P.W., Eberly J.H. Lasers. Wiley, 1988, sec. 14.14. 4 Cm.: Gori F., Guattari G., Padovani C. Bessel—Gauss Beams. Optics Communications. Vol. 64, 1987. P. 491-495.
Задачи -l\r 149 СТАТЬИ Special issue on propagation and scattering of beam fields. Journal of the Optical Society of America A. Vol. 3, № 4, 1986. Kogelnik H., Li T. Laser Beams and Resonators. Proceedings of the IEEE. Vol. 54, 1966. P. 1312-1329. Boyd G.D., Gordon J.P. Confocal Multimode Resonator for Millimeter Through Optical Wavelength Masers. Bell System Technical Journal. Vol. 40, 1961. P. 489—508. Fox A.G., Li T. Resonant Modes in a Maser Interferometer. Bell System Technical Journal. Vol. 40, 1961. P. 453-488. Задачи К РАЗДЕЛУ 3.1 1. Параметры пучка. Свет, излучаемый Nd:YAG-aa3epoM на длине волны 1,06 мкм, представляет собой гауссов пучок с оптической мощностью 1 Вт и углом расходимости 26>0 = 1 мрад. Определите радиус перетяжки пучка, глуби- ну резкости, максимальную интенсивность и интенсивность на оси пучка на расстоянии z — 100 см от перетяжки. 2. Идентификация пучка по двум значениям ширины. Гауссов пучок с длиной волны Ло = 10,6 мкм (излучаемый СО2-лазером) имеет ширину И7, = 1,699 мм и 1И2 = 3,380 мм в двух точках, расстояние между которыми d = 10 см. Опреде- лите положение перетяжки и ее радиус. 3. Эллиптический гауссов пучок. Параксиальное уравнение Гельмгольца до- пускает решение в виде гауссова пучка с интенсивностью 1(х, у, 0) = |4|2 ехр 2 + в плоскости z =0 с размерами перетяжки WGx и в направлениях х и у соот- ветственно. Линии постоянной интенсивности у такого пучка — эллипсы, а не окружности. Напишите выражения для глубины резкости, угловой расходимо- сти и радиусов кривизны в направлениях х и у в зависимости от и дайны волны Л. В случае = 2№0у нарисуйте форму пятна в плоскости z = 0 и в дальней зоне (z намного больше глубины резкости в обоих поперечных на- правлениях). К РАЗДЕЛУ 3.2 1. Фокусировка пучка. Аргонный ионный лазер генерирует гауссов пучок с дайной волны А = 488 нм с радиусом перетяжки Wo = 0,5 мм. Спроектируйте однолинзовую оптическую систему для фокусировки света в пятно диаметром 100 мкм. Каково наименьшее фокусное расстояние линзы, пригодной для этого? 2. Размер пятна. Гауссов пучок с числом Рэлея z,, = 50 см и длиной волны Я = 488 нм преобразуется в гауссов пучок с радиусом перетяжки Жо' с помо- щью линзы с фокусным расстоянием f = 5 см на расстоянии z от перетяжки, как показано на рис. 3.13. Напишите компьютерную программу для построс-
150 Глава 3. Оптика пучков ния графика 1К0' как функции z. Убедитесь, что в пределе г —/» ^ справедли- вы формулы (3.40) и (3.42), а в пределе z « Zq — формула (3.43). 3. Рефракция пучка. Гауссов пучок падает из воздуха (п = 1) в среду с плос- кой границей и показателем преломления и = 1,5. Ось пучка направлена по нормали в поверхности раздела, перетяжка пучка расположена на поверхности. Нарисуйте прошедший пучок. Если угол расходимости пучка в воздухе 1 мрад, то каков он в среде? *4. Прохождение гауссова пучка через слой с градиентным показателем пре- ломления. Матрица ABCD слоя SELFOC с квадратичной зависимостью показа- теля преломления (см. подразд. 1.3.2) ( 2 2 \ / \ , а у и толщиной d есть А = cos ad, В = (1/а) sin ad, С = — a sin ad, D = cos ad для параксиальных лучей, направленных вдоль оси z- Гауссов пучок с длиной вол- ны Ло, радиусом перетяжки в свободном пространстве входит в слой вдоль оси z так, что его перетяжка совпадает с границей раздела. Используйте закон ABCD для нахождения ширины пучка в направлении у как функции d. Нари- суйте форму пучка, распространяющегося в среде. К РАЗДЕЛУ 3.3 1. Ограниченность пространственного распределения мощности в пучках Эр- мита-Гаусса. Определите отношение мощности, заключенной внутри круга радиуса IV(z) в поперечной плоскости к полной мощности у пучков Эрмита- Гаусса порядка (0, 0), (1, 0), (0, I) и (1, I). Каково отношение мощности, заключенной в круге радиуса lK(z)/10, к полной мощности для пучков Эрми- та-Гаусса порядка (0, 0) и (1, 1)? 2. Суперпозиция двух пучков. Нарисуйте интенсивность суперпозиции пуч- ков (1,0) и (0, 1) Эрмита—Гаусса, предполагая, что комплексные коэффициен- ты At 0 и Ад ] в (3.66) равны друг другу. 3. Фаза на оси. Рассмотрим пучки Эрмита—Гаусса всех порядков (/, т) с числом Рэлея Zq — 30 см в среде с показателем преломления п = 1 Определите частоты в пределах полосы и= 1014 ± 2 • 109 Гц, для которых задержка фазы на оси между плоскостями z = ~Zq и z = Zq есть целое кратное п. Эти частоты суть моды резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами, расположен- ными в плоскостях z = ±Zo, как описано в подразд. 10.2.4.
ГЛАВА ФУРЬЕ-ОПТИКА Йозеф фон Фраунгофер (1787—1826) создал диф- ракционную решетку и внес большой вклад в наше понимание дифрак- ции. Его эпитафия гласит: «Approximat'd sidera» («Он приблизил звезды») Жан-Батист Жозеф Фурье (1768-1830) показал, что периодические функции можно конструировать в виде сумм синусоид. Гар- монический анализ лежит в основе Фурье-оптики, имеющей многочисленные Денис Габор (1900—1979) изобрел голографию и внес большой вклад в ее разви- тие. В 1947 г. он получил первую голограмму, а в 1971 г. — Нобелевскую премию приложения Фурье-оптика описывает распространение световых волн на осно- ве гармонического анализа (преобразования Фурье) в линейных системах. Ме- тод гармонического анализа доказал свою эффективность при описании сигна- лов и систем во многих дисциплинах. Гармонический анализ основан на раз- ложении произвольной функции времени /(/) в суперпозицию (сумму или интеграл) гармонических функций времени с различными частотами (см. при- ложение А, разд. А.1). Гармоническая функция F(v) ехр (Jlnvf) с частотой и и комплексной амплитудой Г(г) является элементарным «кирпичиком» теории. Несколько таких функций, каждая со своей амплитудой F(v), при сложении дают функцию /(/), как показано на рис. 4.1. Комплексная амплитуда F(v), являющаяся функцией частоты, называется Фурье-образом /(/). Такой подход полезен при описании линейных систем (см. приложение Б, разд. Б. 1). Если
152 Л- Глава 4. Фурье-оптика известен отклик системы на каждую из гармоник, то отклик на произвольную функцию легко определяется с помощью гармонического анализа на входе и суперпозиции на выходе. = AAA 1 А/\ЛА + wx/v'?*- Рис. 4.1. Произвольную функцию можно представить как сумму гармонических функций с различными частотами и комплексными амплитудами Произвольная комплексная функция f(x, у) двух переменных х и у, пред- ставляющих пространственные координаты на плоскости, может быть анало- гично представлена в виде суперпозиции гармонических функций от х и у, каждая из которых имеет вид vy) ехр 1-у2л(ухх + vyy)], где F(vjc, v,) — комплексная амплитуда; vx, vy — пространственные частоты (число колебаний на единицу длины, в типичном случае число колебаний на 1 мм) в направлениях х и у соответственно1. Гармоническая функция F(vx, тр ехр j2>t( vx + vyy)] является элементарным двумерным «строитель- ным блоком» теории. Ее можно использовать для генерирования произвольной функции двух переменных f(x, у), как показано на рис. 4.2 (см. приложение А, разд. А.З). f(x, у) Рис. 4.2. Произвольную функцию f(x, у) можно разложить на сумму гармонических фун- кций с различными пространственными частотами и комплексными амплитуда- ми; на рисунке эти функции схематически показаны в виде полос с плавно меняющейся яркостью Плоская волна Щх, у, z) = Я ехр \~J(kxx + kyy +kzz)] играет важную роль в волновой оптике. Коэффициенты кх, ку, к^ — компонен- ты волнового вектора к; А — комплексная постоянная. В точках произволь- 1 В отличие от временных пространственные гармоники определяются со знаком «минус» в показателе экспоненты (см. приложение А, разд А.З). Такой выбор знаков соответствует виду плоской волны, распространяющейся вперед.
4.1. Распространение света в свободном пространстве -J\^ 153 ной плоскости U(x, у, z) является пространственной гармонической функцией. В плоскости z — 0, например, U(x, у, 0) есть гармоническая функция Дх, у) = А ехр \-]2л(ухх + где гх и v — пространственные частоты (колеб./мм), 2л’ у 2л кхику — пространственные угловые частоты (радиан/мм). Между плоской вол- ной U(x, у, z) и пространственной гармонической функцией f(x, у) = U(x, у, 0) существует взаимно однозначное соответствие, поскольку знания кх и ку доста- точно, чтобы определить к? с помощью соотношения кх + ку + kf со1 ~г Однако, как будет показано ниже, кх и ку не могут быть больше, чем со/с, т. е. пространственные частоты vx и vy не могут превышать обратную длину волны 1/2. Поскольку произвольная функция Дх, у) может быть представ- лена как суперпозиция гармонических функций, произвольная бегущая волна (7(х, у, z) может быть представлена как сумма плоских волн (рис. 4.3). Плоская волна является элементарным «строительным блоком» для конструирования волн произвольной сложности. Более того, если известно, как линейная опти- ческая система преобразует плоские волны, то с помощью принципа суперпо- зиции можно определить действие системы на произвольную волну. Рис. 4.3. Принцип Фурье-оптики: произволь- ная волна в свободном пространстве может быть представлена как суперпозиция плос- ких волн Поскольку Фурье-анализ играет важную роль в описании линейных сис- тем, полезно описать распространение света через линейные оптические эле- менты, включая свободное пространство, в терминах общей теории линейных систем. Комплексные амплитуды в двух плоскостях, перпендикулярных опти- ческой оси z, будем рассматривать как вход и выход системы (рис. 4.4). Линей- ную систему можно охарактеризовать либо функцией отклика на импульсное воздействие (отклик системы на импульс или точку на входе), либо передаточ- ной функцией (отклик на пространственную гармоническую функцию), как описано в приложении Б.
154 Л- Глава 4. Фурье-оптика плоскость z = О плоскость z = d Рис. 4.4. Прохождение оптической волны U(x, у, z) через оптическую систему между входной плоскостью z = 0 и выходной плоскостью z= d. Оптическая система рассматривается как линейная система, вход и выход которой характеризуются функциями f(x, у) = U(x, у, 0) и g(x, у) = U(x, у, d) соответственно О данной главе Глава начинается с Фурье-описания распространения света в сво- бодном пространстве (см. разд. 4.1). Определяются передаточная функция и функция отклика на импульсное воздействие для свободного пространства. В разд. 4.2 показано, что линза может осуществлять пространственное преоб- разование Фурье. В разд. 4.3 обсуждается прохождение света через отверстия; здесь с точки зрения Фурье-оптики рассматривается явление дифракции, ко- торое в курсах оптики для начинающих обычно описывается с помощью прин- ципа Гюйгенса. Раздел 4.4 посвящен формированию изображений и простран- ственной фильтрации. Наконец, в разд. 4.5 представлено введение в гологра- фию, запись и восстановление оптических волн. Для понимания материала данной главы необходимо знание основных свойств преобразования Фурье и линейных систем в одном и двух измерениях, обзор которых приведен в при- ложениях А и Б. 4.1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 4.4.1. Пространственные гармоники и плоские волны Рассмотрим плоскую волну с комплексной амплитудой U(x, у, z)= A exp [~j(kxx + kyy + kzz)\, волновым вектором к = (кх, ку, к^, длиной волны Л, волновым числом к = >!^+^у+ % =
4.1. Распространение света в свободном пространстве 155 и комплексной огибаюшей А. Вектор к образует с плоскостями y—z и х— z углы 0Г = arcsin кх к ву = arcsin к, к соответственно, как показано на рис. 4.5. Так, если 0х — 0, компонента к в направлении х отсутствует. Комплексная амплитуда в плоскости z = 0, U(x, у, 0) есть пространственная гармоническая функция f(x, у) = А ехр [—у2тг( + v у)] с пространственными частотами _ кх. _ ку 1л ’ 1л (пространственная частота выражается в колебаниях на миллиметр, а времен- ная — в колебаниях в секунду или герцах, см. разд. 2.2). Таким образом, углы направления волнового вектора следующим образом выражаются через про- странственные частоты гармонической функции: 0Х = arcsin Avx, 0у - arcsin Avy. (4-1) Пространственные частоты и углы Рис. 4.5. Гармоническая функция с пространственными частотами v. и v в плоскости z = 0 согласуется с плоской волной, распространяющейся под углами = arcsin (Яих) и 0у = arcsin (Лиу) Обозначая периоды гармонической функции (мм/колебание) в направле- ниях хи у через видим, что углы 0Г = arcsin л Л = arcsin А
156 Глава 4. Фурье-оптика определяются отношениями длины волны к соответствующему пространствен- ному периоду гармонической функции в каждом направлении. Эти геометри- ческие соотношения вытекают из согласования волновых фронтов волны с периодическим распределением гармонической функции в плоскости z = О, которое иллюстрируется рис. 4.5. Если kx<n ки ку« к, так что волновой вектор к является параксиальным, то углы 0.. и 0у малы (sin 0х - 0х, sin 0у ~ 0у) и 0х-Лух; (4.2) Пространственные частоты и углы (параксиальное приближение) Углы наклона волнового вектора в этом случае пропорциональны простран- ственным частотам соответствующей гармонической функции. Очевидно, что между плоской волной U(x, у, z) и гармонической функцией Дх, у) имеется взаимно однозначное соответствие. Если дана одна из них, другая легко опре- деляется при условии, что известна длина волны гармоническая функция получается, если взять значения U(x, у, z) в плоскости z — 0, т. е. £7(х, у, 0). Если же, наоборот, дана гармоническая функция Дх, у), то плоская волна вос- станавливается по ней с помощью соотношения U(x, у, z) =Дх, у) ехр (~Jk_z), где к^+^-к^-к2, к = ^. (4.3) Условие справедливости этого соответствия: к2 + к2 < к2, что обеспечивает действительность kz. Это условие подразумевает, что 2vx < 1 и Avy < 1, так что углы 0х и 0у, определяемые формулой (4.1), существуют. Знаки «+» и «—» в (4.3) представляют волны, бегущие в прямом и обратном направлени- ях соответственно. Далее мы будем рассматривать только волны, бегущие вперед Пространственный спектральный анализ Когда плоская волна единичной амплитуды, бегущая вдоль оси z, проходит через тонкий оптический элемент с комплексным амплитудным ко- эффициентом пропускания Дх, у) = ехр [~J2n(yxx + иуу)], волна модулируется гармонической функцией, так что U(x, у, 0) =Дх, у). Пада- ющая волна преобразуется в плоскую волну с волновым вектором, направление которого характеризуется углами 0х = arcsin (Avx) и 0у = arcsin (Avy) (рис. 4.6).
4.1. Распространение света в свободном пространстве А157 Следовательно, такой элемент действует как призма, отклоняющая волну вверх на данном рисунке. Если комплексный амплитудный коэффициент пропуска- ния задать в виде Дх, у) = ехр [+/2л(ухх + v у)|, то углы направления волнового вектора будут — 0х и — 0 так что волна будет отклоняться вниз. Рис. 4.6. Тонкий элемент с комплексным амплитудным коэффициентом пропускания, являющимся гармонической функцией с пространственной частотой v (период Лх = 1/гу), отклоняет плоскую волну с длиной волны Л на угол вх = arcsin (Лц) = = arcsin (Л/Лх). Фиолетовым цветом подчеркивается то обстоятельство, что эле- мент представляет собой фазовую решетку, которая меняет только фазу волны Свойство оптического элемента с гармоническим комплексным амплитуд- ным коэффициентом пропускания изменять направление волны можно понять как интерференционное явление. В направлении, характеризуемом углом 0х, две точки элемента, отстоящие друг от друга на период создают волны с относительной разностью хода Asin0x = — Av = А, равной длине волны. Следовательно, все участки элемента, отстоящие друг от друга на период, вносят вклад в конструктивную интерференцию в данном направлении. Если коэффициент пропускания оптического элемента Дх, у) есть сумма нескольких гармонических функций с различными пространственными часто- тами, прошедшая волна также представляет собой сумму соответствующего числа плоских волн, отклоненных в различных направлениях; каждая пространствен- ная частота отображается на соответствующее направление согласно (4.1). Ам-
158 Глава 4. Фурье-оптика плитуда каждой волны пропорциональна амплитуде соответствующей гармо- нической компоненты функции f(x, у). Примеры -------------------------------------------------- ♦ Элемент с комплексным амплитудным коэффициентом пропускания вида f (х, у) = cos (2лгхх) = [exp (~j2nvxx) + exp (+у2лухх)] расщепляет падающую плоскую волну на компоненты, направленные под уг- лами ±arcsin (Яих), т. е. вверх и вниз. ♦ Элемент с коэффициентом пропускания, меняющимся как 1 + cos (2яс у), ведет себя как дифракционная решетка (см. упражнение 2.7); падающая волна расщепляется на компоненты, отклоненные вправо и влево, и часть, распрос- траняющуюся в прямом направлении. ♦ Элемент с коэффициентом пропускания f(x, у) = l/[cos (2avxx)], где 'U(x) — единичная ступенчатая функция ('U(x) = 1 при х > 0 и 'U(x) = 0 при х < 0), ведет себя как периодическая система щелей, внутри которых f(x, у) = 1, проделанных в непрозрачном экране с f(x, у) = 0. Эта периодическая функция раскладывается в ряд Фурье, состоящий из гармонических функций с частота- ми 0, ±их, ±2их, ... , которым соответствуют волны, распространяющиеся под углами 0, ±arcsin (Яих), ±arcsin (22vx), ..., амплитуды которых пропорциональ- ны коэффициентам разложения Фурье. В указанных направлениях волны, про- шедшие через щели, интерферируют конструктивно. В общем случае, когда f(x, у) представляет собой интегральную суперпози- цию гармонических функций f(x, у)= J J F(vx, г>,)ехр[-;2я(слх +^yjjd^dv^,, (4.4) с частотами (ух, vy) и амплитудами F(vx, v ) прошедшая волна Щх, у, z) есть суперпозиция плоских волн U (х, у, z) = ~ “ (4-5) = J J F(vx, vy)exp[-J(2^v'xx + 2^v),y)]exp(-/^z)dvxdvJ„ с комплексными огибающими F(vx, i/.), где kz = jk2 -k2x-k2 = 2я J/Г2 Заметим, что F(yx, v ) представляет собой Фурье-образ функции f(x, у) (см. приложение А, разд. А.З).
4.1. Распространение света в свободном пространстве —/\^ 159 Поскольку в результате преобразования Фурье произвольная функция мо- жет быть представлена в виде интегральной суперпозиции (4.4), свет, прошед- ший через тонкий оптический элемент с произвольным коэффициентом про- пускания, можно описать как суперпозицию плоских волн (рис. 4.7), при усло- вии что v2 + vy < Л2. Рис. 4.7. Тонкий оптический элемент с амплитудным коэф- фициентом пропускания /(х, у) разлагает падающую плоскую волну на множество плоских волн. Плоская волна, бегу- щая в направлении, задавае- мом углами вх = arcsin (2vz) и в = arcsin (Avy), имеет комплек- сную огибающую F(vx, г) — Фурье-образ f(x, у) Описанный процесс «пространственного спектрального анализа» близок к угловой дисперсии различных частотно-временных компонент (различных длин волн), обеспечиваемой призмой. Распространение в свободном пространстве служит естественной «пространственной призмой», чувствительной к простран- ственной, а нс временной частоте оптической волны. Амплитудная модуляция Рассмотрим транспарант с комплексным амплитудным коэффици- ентом пропускания f0(x, у). Если Фурье-образ F0(vx, v.) занимает область ±Лс. и ±Лг в направлениях х и у, то транспарант будет отклонять падающую плоскую волну на утлы вх и 0у в пределах ±arcsin (2. Av.) и ±arcsin (ЯА и ) соответственно. Рассмотрим второй транспарант с комплексным амплитудным коэффици- ентом пропускания у) = f0 (х, у)ехр[-у2я-(иХох + т^у)], где^(х, у) — медленно меняющаяся функция по сравнению с ехр у'2я (vY(| х + vyo у)], так что Avx с t'A(j и t\vy «. v Можно рассматривать f(x, у) как амплитудно- модулированную функцию с несущими частотами vA(| и vyg и модулирующей функцией f0(x, у). Фурье-образом f(x, у) является Fo (vx - vXo, vy - ), что сле- дует из свойства сдвига частоты преобразования Фурье (см. приложение А). Транспарант будет отклонять плоскую волну в направлениях вокруг = arcsin (2гло); 0yg = arcsin (2vyo)
Глава 4. Фурье-оптика (рис. 4.8). Это можно легко увидеть, если рассматривать f(x, у) как транспарант с коэффициентом пропускания f0(x, у), на который наложена решетка или при- зма с коэффициентом пропускания ехр|^-у2я(иХох + вносящая отклоне- ние на углы и . J *0 Го Рис. 4.8. Отклонение света транспарантами f0(x, у) и /0 (х, у)ехр(-у2л-сХ(.х). «Несущая» гармоническая функция ехр (-у2лтХо х) действует как призма, отклоняющая волну на угол 0Хо = arcsin ) Эту идею можно использовать для записи двух изображений f(x, у) wffx, у) на одном транспаранте с использованием схемы пространственно-частотного мультиплексирования /(х, у) = fx (х, у)ехр[-у2я(иЛ1х + vyix)] + /2 (х, у)ехр[-у2я(иХ2х + рГ2%)]. Два изображения легко разделяются при освещении транспаранта плоской волной, при этом изображения отклоняются на разные углы и таким образом пространственно разделяются. Этот принцип окажется весьма полезным в го- лографии (см. разд. 4.5), где часто желательно разделить два изображения, за- писанных на одном транспаранте. Частотная модуляция Теперь исследуем прохождение плоской волны через транспарант, представляющий собой «коллаж» из нескольких участков, коэффициент про- пускания каждого из которых есть гармоническая функция с некоторой про- странственной частотой, как показано на рис. 4.9. Если размеры каждого уча- стка намного больше периода, каждый из них действует как дифракционная решетка или призма, отклоняющая волну в некотором направлении, так что различные порции исходного волнового фронта отклоняются в разных направ- лениях. Этот принцип можно использовать для создания карт оптической связи. Транспарант может также иметь гармонический коэффициент пропуска- ния, пространственная частота которого плавно и медленно (по сравнению с Л)
4.1. Распространение света в свободном пространстве меняется от точки к точке, что в значительной степени напоминает медленные изменения частоты сигнала во времени при частотной модуляции (ЧМ). Рас- смотрим, например, фазовую функцию /(х, у) = ехр |-у2я^(х, у)], где ф(х, у) — непрерывная медленно ме- няющаяся функция х и у. Вблизи точки (х0, у0) можно использовать разложение в ряд Тейлора <№, У) = Ф<х0, Уо) + (х - х(1)и + (у - y0)vy, где производные vx = дф/дх и v = дф/ду вычисляются в точке (х0, у0). Локальное изменение/(х, у), таким образом, пропор- ционально величине exp (-j2n(vxx + иуу)], которая является гармонической функци- ей с пространственными частотами Рис. 4.9. Отклонение света транспаран- том, состоящим из кусков гармонических функций (фазовых решеток) с разными пространственными частотами дф Эх дф ду Поскольку производные — и — меняются от точки к точке, то же самое делают и Эх Эу пространственные частоты. Таким образом, транспарант/(х, у) = ехр [—)2лф(х, у)] отклоняет часть волны в точке (х, у) на зависящие от координат углы = arcsin у ( 1 дфЛ 6V = arcsin Л— . I ду) Пример 4.1 Сканирование Тонкий транспарант с комплексным амплитудным коэффициентом про- пускания ( ' 2 А /(х, у) = cxp(j^y-J вносит фазовый сдвиг 2лф(х, у), где 0(х, у) = - 2Л/’ так что волна в точке (х, у) отклоняется на углы a ( X вг = arcsin Л — = arcsin------ х I dxj V / 6У =0.
Глава 4 Фурье-оптика Если \x/f | « 1, то вх~ —x/f, и угол отклонения прямо пропорционален попереч- ной координате х. Такой транспарант можно использовать для отклонения тон- кого пучка света. Если двигать транс- парант с постоянной скоростью, пучок будет отклоняться на линейно возрас- тающий угол, как показано на рис. 4.10. Рис. 4.10. Использование частотно-модули- рованного транспаранта для сканирования оптического пучка Пример 4.2 ----------- Формирование изображения Если транспарант в примере 4.1 освещать плоской волной, каждая ее часть будет отклоняться на свой угол, в результате волновой фронт деформируется. Локальный волновой вектор в точке х отклонится на угол —x/f, в результате чего все лучи встретятся на оптической оси на расстоянии f от транспаранта, как показано на рис. 4.11. Транспарант действует как цилиндрическая линза с фокусным расстоянием f Аналогич- но, транспарант с коэффициентом пропускания Рис. 4.11. Транспарант с коэффициентом про- пускания f(x, у) = ехр отклоняет вол- ну в положении х на угол вх ~ —х/f так что он действует как цилиндрическая линза с фокус- ным расстоянием f f (х, у) = ехр уя(х2 +у2) Af действует как сферическая линза с фокусным расстоянием f. Действитель- но, это выражение для комплексного амплитудного коэффициента пропус- кания тонкой линзы [см. (2.40)]. Упражнение 4.1 ---------------------------------------- Цилиндрическая линза из бинарной пластинки Используйте гармонический анализ вблизи точки х, чтобы показать, что транспарант с комплексным амплитудным коэффициентом пропускания, рав- ным бинарной функции f(x, у) = '11 cos (4.6)
4.1. Распространение света в свободном пространстве 163 где Д(х) — единичная ступенчатая функция (И(х) = 1 при х > 0 и 1/(х) = О при х < 0), ведет себя как цилиндрическая линза с множественными фокусами на расстояниях о», ±f, ... (рис. 4.12). Рис. 4.12. Бинарная пластинка как ци- линдрическая линза с множественны- ми фокусами Зонная пластинка Френеля Двумерное обобщение бинарной пластинки из упражнения 4.1 есть аксиально-симметричный транспарант с комплексным амплитудным коэффи- циентом пропускания Ж у) = 11 cos (4-7) известный как зонная пластинка Френеля. Она представляет собой систему чере- дующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, ширина кото- рых убывает с ростом радиуса так, что площадь остается постоянной (рис. 4.13). Луч, падающий в некоторую точку пластинки, расщепляется на множество лу- чей; прошедшие лучи пересекаются в множестве фо- кусов, расположенных на расстояниях +f, +f72,...; часть света проходит через пластинку без отклонения. Рис. 4.13. Зонная пластинка Френеля Действие зонной пластинки Френеля можно объяснить как интерференци- онный эффект (см. подразд. 2.5.2). Центр /л-го кольца имеет радиус рт в т-м максимуме косинуса, т. е. при 2 = т2л.
164 Глава 4. Фурье-оптика Расстояние Rm от фокальной точки z = /до /и-го кольца дается выражением ^=/2+Р2„ так что /?,„ = J/2+2W//'. Если/достаточно велико, так что углы, под которыми видны кольца, малы, то Rm~f+ тЛ. Таким образом, волны, прошедшие через соседние кольца, имеют разность хода, равную длине волны, в силу чего в фокальной точке они интер- ферируют конструктивно. Аналогичное рассуждение справедливо для других фокальных точек. 4.1.2. Передаточная функция свободного пространства Рассмотрим теперь распространение монохроматической световой волны с длиной волны Л и комплексной амплитудой U(x, у, z) в свободном простран- стве между плоскостями z = 0 и z = d, которые будем называть плоскостями входа и выхода соответственно (рис. 4.14). По данной комплексной амплитуде волны на входе f(x, у) = U(x, у, 0) определим комплексную амплитуду на выхо- де g(x, у) = U(x, у, d). Рис. 4.14. Распространение света между двумя плоскостями рассматривается как линей- ная система, у которой входной и выходной сигналы — комплексная амплиту- да волны в двух плоскостях Будем рассматривать f(x, у) и g(x, у) как входной и выходной сигналы линейной системы. Система является линейной, поскольку уравнение Гельм- гольца, которому удовлетворяет Щх, у, z), линейно. Система обладает инва- риантностью относительно сдвига, поскольку свободное пространство инвари- антно по отношению к смещению системы координат. Как показано в приложе- нии Б, разд. Б. 2, линейная система, инвариантная относительно сдвига, может характеризоваться функцией отклика на импульсное воздействие h(x, у) или передаточной функцией Н(ух, г). Перейдем к выводу выражений для этих функций. Передаточная функция JRvx, i^) есть множитель, на который нужно умно- жить амплитуду входной пространственной гармонической функции на часто-
4.1. Распространение света в свободном пространстве 165 тах vx, vy, чтобы получить амплитуду соответствующей гармоники на выходе. Рассмотрим входную гармоническую функцию Дх, у) = А ехр [-у2я(ихх + ну)]. Как объяснялось ранее, она соответствует плоской волне U(x, у, z) = А ехр |-ДЛхх + куу + kyz)l, где кх = 2nvx, ку = 1nvy', к7 = ^к2 - к2- к2 = 2 -v2-v2. (4.8) Выходной сигнал: g(x, у) = Л ехр [-j(kxx + куу + k^d)], так что можно записать Н и) = SJX’ Jj = ехр (~jkzd), v ' f\x, у) v ' откуда н = ехр -j2^dyl '/T2-v2-v2). Рис. 4.15. Модуль и фаза передаточной функции H(vx, и.) для распространения в свободном пространстве между двумя плоскостями на расстоянии d друг от друга (4.9) Передаточная функция свободного пространства Таким образом, передаточная функция H(vx, vy) — кругообразно симмет- ричная комплексная функция пространственных частот vx и vy. Ее модуль и фаза изображены на рис. 4.15.
Глава 4. Фурье-оптика Для пространственных частот, удовлетворяющих условию и2 + и2 <Л 2 (т. е. частоты лежат внутри круга радиусом 1/Л), модуль |Я(их, vy)| = 1, а фаза arg {Жvx, vj} есть функция и v. Следовательно, гармоническая функ- ция с такими частотами претерпевает при распространении пространственный фазовый сдвиг, амплитуда же ее остается без изменений. На более высоких пространственных частотах, для которых и2 + v2 < Я-2, подкоренное выражение в (4.9) отрицательно, так что показатель экспоненты становится действительным, и передаточная функция ехр^-2лт/(и2 + и2 - Л 2)'2] представляет собой коэффициент ослабления2. Волна в этом случае называется нераспространяющейся (эванесиентной) волной. Когда vp = (и2 + и2)1 превышает Я-1 не намного, т. е. vp ~ Я1, коэффициент ослабления: ехр ^-2лД (и2 - Я 2 )'/2 ] = ехр ^-2лД [ур - Я 1 )'/2 + Я 1 )'/2] = ~ ехр[^- 2яс/ - Я 1 )'/2 (2Я~* )'/2 J, что равняется ехр (—2л), когда э1 Л v-A~ —или р 2d2 ур - 1М 1 р? 1/Я 2ldJ ' Для d » Я коэффициент ослабления резко спадает, когда пространственная частота слегка превышает Я-1, как показано на рис. 4.15. Таким образом, мож- но рассматривать Я-1 как пространственную частоту отсечки (пространствен- ную ширину полосы) системы. Итак, пространственная ширина полосы при распространении света в свободном про- странстве составляет приблизительно Я-1 колебаний на мм. Особенности, заключенные в пространственных частотах выше, чем Я-1 (соответствующие деталям с размером меньше Я), не могут передаваться опти- ческой волной с длиной волны Я на расстояния много больше, чем Я. Приближение Френеля Выражение для передаточной функции в (4.9) можно упростить, если входная функция f(x, у) содержит только пространственные частоты, много меньшие частоты отсечки Я-1, так что и2+и2 «Я2. Составляющие плоские волны распространяющегося света в этом случае отклонены на малые углы 0х ~ Яих и 6у ~ Avy, что соответствует параксиальным лучам. 2 Знак «—» в (4.3) выбран потому, что знак «+» соответствует экспоненциально растущему решению, что физически неприемлемо, поскольку система пассивная.
4.1. Распространение света в свободном пространстве 167 Вводя обозначения в2 = О2 + 02 = Я2 (v2 + и2), где в — угол между волновым вектором и оптической осью, можно записать фазовый множитель в (4.9) как 2ndJA 2 - и2 - и2 = -в2 = 1 + (4.10) л л 2 о J Пренебрегая в этом разложении малыми членами, начиная с третьего, можно приближенно записать (4.9) в виде (4.11) Передаточная функция свободного пространства (приближение Френеля) где Яо = ехр (—jkd). В этом приближении фаза является квадратичной функци- ей о vy, как показано на рис. 4.16. Данное приближение известно как при- ближение Френеля. Рис. 4.16. Передаточная функция распространения в свободном пространстве для низких пространствен- ных частот (много меньше 1/Я колебаний на мм) име- ет постоянный модуль и квадратичную фазу Условие применимости приближения Френеля состоит в том, что третий член в (4.10) мал по сравнению с я для всех в. Это эквивалентно условию 6Ad --с 4Л 1. (4.12) Если а — наибольшее радиальное расстояние в выходной плоскости, то наи- больший угол в ~ a/d, и (4.12) можно записать в виде [ см. (2.22)] /□2 TVF « 1, 4 TVF = — F Ad (4.13) Приближение Френеля Условие применимости (4.14) Число Френеля
Глава 4. Фурье-оптика где AF — число Френеля. Например, если а = 1 см, d = 100 см и 2 = 0,5 мкм, то вт = 10~2 радиан, NF = 200 и NF62/4 = 5 I03. В этом случае приближение Френеля применимо. Соотношение «вход—выход» Если дана входная функция f (х, у), то выходную функцию g(x, у) можно определить следующим образом. 1. Найдем Фурье-образ »$)= J f Z(x’ j)exp[y'27r(vxx + vyy)]dxdy, (4.15) который представляет комплексные огибающие составляющих плоских волн во входной плоскости. 2. Произведение Я(г , г,) дает комплексные огибающие составля- ющих плоских волн в выходной плоскости. 3. Комплексная амплитуда в выходной плоскости есть сумма вкладов этих плоских волн: g(x, у)= J / Щух, vy)F{vx, иу)ехр[-у2^(ихх + lyyjjd^diy (4.16) Используем для H(vx, и ) приближение Френеля (4.11), тогда = М J д(их, vjexp g(x, у) = jndX^y} +v2)]exp - J 2я (vxx + у)] d d . (4-17) С помощью формул (4.17) и (4.15) можно выразить выходную функцию g(x, у) через входную функцию f(x, у). 4.1.3. Функция отклика на импульсное воздействие для свободного пространства Для свободного распространения функция отклика на импульсное воздействие h(x, у) системы представляет собой отклик g(x, у), когда входная функция f(x, у) есть точка в начале координат (0, 0). Она является результатом обратного преобразования Фурье передаточной функции H(vx, vy). Используя результаты разд. А.З и табл. А.2.1 приложения А, а также то, что к = Т-л/Л, находим обратное преобразование Фурье выражения (4.11) в виде h{x, y}~\ exp Г 2 2 “I 2a (4.18) Функция отклика на импульсное воздействие Свободное пространство (приближение Френеля)
4.1. Распространение света в свободном пространстве 169 где А) = Т7ехР(-Л^)- Эта функция пропорциональна комплексной амплитуде параболоидальной вол- ны с центром в начале координат (0, 0), взятой в плоскости z = d [см. (2.21)]. Таким образом, каждая точка входной плоскости создаст параболоидальную волну; все такие волны накладываются друг на друга в выходной плоскости. Распространение в свободном пространстве как свертка Альтернативная процедура установления связи комплексных амп- литудДх, у) и g(x, у) состоит в том, что f(x, у) рассматривается как суперпози- ция точек (дельта-функций), каждая из которых создает параболоидальную вол- ну. Волна, берущая начало в точке (х', у'), имеет амплитуду/(*', у') и центр в точке (х', у'), так что она создает волну с амплитудой fix', y')h(x — х',у — у') в точке (х, у) выходной плоскости. Сумма таких вкладов есть двумерная свертка g(x, у) = f J f(x', y')h(x-x', y-y')dx'dy', (4.19) которая в приближении Френеля превращается в g(x, у) = Ло f J /(х', у')ехр (х-х')2+(у-у')2 L Ad J dx'dy', где А) =Т7ехР(-А^)- Ла Итак, в пределах применимости приближения Френеля существует два подхо- да к определению комплексной амплитуды g(x, у) в выходной плоскости по данной комплексной амплитуде f(x, у) во входной плоскости: 1) формула (4.20), основанная на пространственном представлении, в кото- ром входная волна разлагается по элементарным параболоидальным волнам; 2) формула (4.17), основанная на частотном представлении, в котором вход- ная волна разлагается на сумму плоских волн. Упражнение 4.2 ------------------------------------------- Гауссовы пучки с новой точки зрения В случае если функция Z 2 2 А /(х, у) = А ехр - х + У
170 А Глава 4. Фурье-оптика представляет комплексную амплитуду оптической волны U(x, у, z) в плоскости Z = 0, покажите, что U(x, у, z) есть гауссов пучок (3.7), обсуждавшийся в гл. 3. Используйте как пространственное, так и частотное представление. 4.1.4. Принцип Гюйгенса—Френеля Принцип Гюйгенса—Френеля утверждает, что каждая точка вол- нового фронта является источником сферической волны (рис. 4.17). Огибаю- щая этих вторичных волн образует новый волновой фронт. Их суперпозиция образует волну в следующей плоскости. Функция отклика на импульсное воз- действие системы для распространения между плоскостями z = 0 и z = d\ Рис. 4.17. Принцип Гюйгенса—Френеля. Каждая точка волнового фронта генерирует сферическую волну (4.21) В параксиальном приближении сферическая волна (4.21) аппроксимирует- ся параболоидальной волной (4.18) (см. разд. 2.2.2). Наш вывод функции от- клика на импульсное воздействие, таким образом, согласуется с принципом Г юйгенса—Френеля. 4.2. ОПТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Как было показано в разд. 4.1, распространение света в свободном пространстве удобно описывать с помощью Фурье-анализа. Если комплексная амплитуда монохроматической волны с длиной волны Я в плоскости z = О есть функция f(x, у), состоящая из гармонических компонент с различными пространственными частотами, то каждая гармоническая составляющая со- ответствует плоской волне. Плоская волна, распространяющаяся под углами вх — arcsin (Avx) и ву = arcsin (Avy), соответствует компонентам с пространствен- ными частотами vx и v и имеет амплитуду F(vx, vy), являющуюся Фурье-обра-
171 4.2. Оптическое преобразование Фурье зом f(x, у). Отсюда следует, что свет может служить для осуществления преоб- разования Фурье двумерной функции/(х, у), для чего нужно просто изготовить транспарант с амплитудным коэффициентом пропускания f(x, у), через кото- рый пропускать однородную плоскую волну с единичным модулем амплитуды. Так как каждая плоская волна бесконечно простирается в пространстве и, следовательно, перекрывается с другими плоскими волнами, необходимо най- ти метод разделения этих волн. Мы покажем, что на достаточно больших рас- стояниях только одна плоская волна вносит вклад в полную амплитуду в каж- дой точке выходной плоскости, так что Фурье-компоненты оказываются раз- деленными естественно. Более практичный подход состоит в использовании линзы для фокусировки каждой плоской волны в одну точку, как будет описа- но далее. 4.2.1. Преобразование Фурье в дальней зоне Перейдем к доказательству того, что если длина распространения d достаточно велика, единственной плоской волной, дающей вклад в комплекс- ную амплитуду в точке (х, у) выходной плоскости, является волна, направление которой образует углы с оптической осью (рис. 4.18). Это волна с компонентами волнового вектора -?к к, ~-к-, d ку и амплитудой F(vx, vy) с У Ad' vy X ~Ad Цх, у) Рис. 4.18. Если расстояние d достаточно велико, то комп- лексная амплитуда в точке (х, у) плоскости z = d пропорци- ональна комплексной амплитуде плоской волны с углами наклона вх = x/d ~ Avx и ву ~ y/d = Av, т. е. Фурье-образу E(vx, vf) функции f(x, у) с vx = x/Ad и v = у/Ad 9(х, у) (х, у) d
172 А Глава 4. Фурье-оптика Комплексные амплитуды g(x, у) и f(x, у) одной волны в плоскостях z = d и Z = 0 связаны соотношением (4.22) Распространение в свободном пространстве как преобразование Фурье (приближение Фраунгофера) где F(vx, vp — Фурье-образ f(x, у); = -^-ехр(-уЫ). Вклады всех других волн взаимно уничтожаются из-за деструктивной ин- терференции. Это приближение называется приближением Фраунгофера. Как будет видно из дальнейших рассуждений, условием применимости при- ближения Фраунгофера является Nf <к 1 и Nf <к 1. (4.23) Приближение Фраунгофера Условие применимости /VF = —; Nr Ad F b1 Ad Таким образом, приближение Фраунгофера применимо при малых числах Френеля TVF и N'v. Это условие более жесткое, чем условие применимости при- ближения Френеля, которое требует, чтобы [см. (4.13)]. Поскольку вт 1 в параксиальном приближении, условие Френе- ля можно выполнить и без 1. г Доказательства свойства распространения в свободном пространстве в приближении Фраунгофера Начнем с соотношения между g(x, у) и f(x, у) в (4.20). Фаза в аргументе экспоненты [(х - х')2 + (у - у')2 ] = [(х2 + у2) + (х'2 + у'2) - 2 (хх' + уу')]. Ли Ли Если/(х, у) сосредоточена в малой области радиуса Ь, а расстояние d доста- точно велико, чтобы число Френеля
4.2. Оптическое преобразование Фурье было мало, то фазовый множитель + У'2) Ь1 Ad пренебрежимо мал, и (4.20) можно аппроксимировать выражением f 2 2 \ 00 00 / / /\ g(x, y) = h0 ехр -j7tX +у Г J f(x', у')ехр dx'dy'. (4.24) I Ad IJ J I Ad I Множители х/Ad м у/Ad можно рассматривать как частоты vx = x/Ad и v = у/Ad, так что ( 2 2 / Л g(x, у) = ехр -jnX +у- F , (4.25) Ad ) \Ad Ad) где F(vx, v>;) — Фурье-образ функции f(x, у). Также можно пренебречь фазо- вым множителем ехр [-улЧх2 + у2)/Ad] в (4.25), тогда (4.22) получается, если рассматривать только точки выходной плоскости, лежащие в круге радиусом а с центром на оси z, так что Это выполняется, если число Френеля Другое доказательство основано на формуле (4.17), которая выражает ком- плексную амплитуду g(x, у) в виде интеграла, содержащего плоские волны раз- ных частот. Если d достаточно велико, чтобы фаза в интеграле была много больше 2я, то, используя метод стационарной фазы3 *, можно показать, что только одно значение vx вносит вклад в интеграл. Это то значение, для которого про- изводная фазы nAdv7x - 2тп\.х по vx обращается в нуль, т. е. vA = x/Ad. Аналогич- но, единственное значение vy, дающее вклад в интеграл, есть v = у/Ad. Это доказывает утверждение, что для дальней зоны лишь одна плоская волна вно- сит вклад в поле в данной точке. Упражнение 4.3 ----------------------------------------- Условия применимости приближений Френеля и Фраунгофера: сравнение Покажите, что приближение Фраунгофера накладывает более сильные ог- раничения, чем приближение Френеля. Пусть длина волны света А = 0,5 мкм, 3 См., например, Born М., Wolf Е. Cambridge University Press, 7th expanded and corrected ed., 2002, Appendix III.
Глава 4. Фурье-оптика точки объекта лежат в пределах круговой апертуры радиуса b = 1 см, а точки наблюдения — в пределах круговой апертуры радиуса а = 2 см. Определите диапазон расстояний d между предметной плоскостью и плоскостью наблюде- ния, для которых применимо каждое из этих приближений. Резюме В приближении Фраунгофера комплексная амплитуда g(x, у) волны с длиной Л в плоскости z- dпропорциональна Фурье-образу F(vx, vy) ком- плексной амплитуды f(x, у) в плоскости z = О при значениях простран- ственных частот vx — x//.d и vy = y//.d. Приближение применимо, если функция /(х, у) на входной плоскости локализована внутри круга радиу- сом Ь, удовлетворяющего условию а точки наблюдения на выходной плоскости лежат внутри круга радиусом а, для которого 4.2.2. Преобразование Фурье с помощью линзы Плоские волны, составляющие данную волну, можно разделить также с помощью линзы. Тонкая сферическая линза преобразует плоскую вол- ну в параболоидальную волну, которая фокусируется в точку на фокальной плоскости линзы (см. разд. 2.4 и упражнение 2.5). Если плоская волна прихо- дит под малыми углами 0х и 0у, центр параболоидальной волны лежит вблизи точки (0xf, 0yf), где f— фокусное расстояние (рис. 4.19). Таким образом, линза отображает каждое направление (0Л, 0у) в единственную точку (0xf 0 f) фо- кальной плоскости и таким образом разделяет вклады различных плоских волн. Рис. 4.19. Фокусировка плоской волны в точку Направление (6Х, 6) отображается в точку (х, у) = (вх/ Of) (см. упражнение 2.5)
4.2. Оптическое преобразование Фурье А175 Пусть для оптической системы, показанной на рис. 4.20, f(x, у) есть комп- лексная амплитуда оптической волны в плоскости z = 0. Свет разлагается на плоские волны, причем волна, бегущая под малыми углами вх = Avx и ву = Avy, имеет комплексную амплитуду, пропорциональную Фурье-образу F( vx, v ). Эта волна фокусируется линзой в точку (х, у) фокальной плоскости, где х = 6xf= Afvx и у = 0yf= Afvy. Следовательно, комплексная амплитуда в точке (х, у) выход- ной плоскости пропорциональна Фурье-образу функции f(x, у), вычисленному при vx = x/Afw v = y/Af, так что g(x, у)« fU-, \AJ Л]) (4.26) Рис. 4.20. Фокусировка плоских волн, связанных с Фурье-гармониками входной функ- ции f(x, у), в точки фокальной плоскости. Амплитуда плоской волны с направ- лением (0Х, /.у) пропорциональна Фурье-образу F(vx, iz,) и фокуси- руется в точку (х, у) = (6J, 6yf) = (Л/гх, 2fvy) Для определения коэффициента пропорциональности в (4.26) разложим входную функцию f(x, у) на Фурье-компоненты и проследим за прохождением плоской волны, соответствующей каждой компоненте, через оптическую систе- му. Затем сложим вклады этих волн на выходной плоскости и получим g(x, у). Считая волны параксиальными и применяя приближения Френеля, получим g(x, у) = h, ехр j7i + У2)(^-/)ЪГ х V2 J U/’ vJ’ (4.27) где /г, = Я(Д = J-exp[-jk(d + /)]. А/ Таким образом, коэффициент пропорциональности в (4.26) содержит фазовый множитель, являющийся квадратичной функцией х и у.
176 _jГлава 4. Фурье-оптика Поскольку Ы = J7 > -V из (4.27) следует, что оптическая интенсивность в выходной плоскости есть I (х, у) = ^_F(x_ Н (V)2 Ur vj (4.28) Интенсивность света в выходной плоскости (задней фокальной плоско- сти линзы) пропорциональна, таким образом, квадрату модуля Фурье-обра- за комплексной амплитуды волны во входной плоскости, независимо от рас- стояния d. Фазовый множитель в (4.27) исчезает, если d = f так что g(x, y) = /j/F(~, (4.29) Фурье-преобразующее свойство линзы где hi = ехр (-у 2 А/). Л/ Рис. 4.21. 2/-система. Фурье-компонента функции f(x, у) с пространственными частотами и v порождает плоскую волну, направленную под углами вх = Av* и 0у = Avy, которая фокусируется линзой в точку (х, у) = (6xf, 0yf) = (Afvx, Afvy), так что функция g(x, у) пропорциональна Фурье-образу F(x/Af y/Af) В системе с такой геометрией, известной как 2/-система (рис. 4.21), комп- лексные амплитуды в передней и задней фокальных плоскостях линзы связаны преобразованием Фурье как по амплитуде, так и по фазе.
4.2. Оптическое преобразование Фурье —*\г 177 Резюме Комплексная амплитуда света в точке (х, у) задней фокальной плоско- сти линзы с фокусным расстоянием /пропорциональна Фурье-образу ком- плексной амплитуды в передней фокальной плоскости при значениях ча- стот vx = x/Af, v = у/А/. Это соотношение верно, если применимо прибли- жение Френеля. Без линзы преобразование Фурье можно получить только в приближении Фраунгофера, которое является более ограничивающим. * Доказательство Фурье-преобразующего свойства линзы в приближении Френеля Доказательство включает следующие четыре шага. 1. Плоская волна, направление которой характеризуется углами Зх = Avx и = Avy, имеет комплексную амплитуду Щх, у, 0) = F(и , vy) ехр [-/2л-(ихх + В ПЛОСКОСТИ z — 0 и Щх, у, d) = Н(ух, vy)F(vx, up ехр \-J2n:(vxx + vyy)] в плоскости z = dнепосредственно перед линзой, где H(vx, vy) — передаточная функция слоя d свободного пространства, Н (ух, vy) = Яо ехр [jnAd (v* + v2)]; Ho = exp (-jkd). 2. После прохождения линзы комплексная амплитуда умножается на вно- симый линзой фазовый множитель ехр [jn(x2 + y2)/Af] (при этом фазовый множитель ехр (—/АД), где Д — толщина линзы, игнорируется). Тогда U (х, у, d + д) = / 7 7 u . X + у = Но ехр Jn—ту— ехр [уяЛ d (v2 + v2)] F (ux, (4.30) vy)exp[-j2^(uxx + иуу)]. Это выражение упрощается путем преобразования 91/ v А _ х2 ~ - (х~Ло)2 ~Хр х If Af Af где х0= Avxf, аналогичное соотношение получается для у с у0= Av / тогда С/(х, у, Д + Д) = Л(их, иу)ехр ул-(х х0) +(У Уо) (4.31) где Л(их, иу)= Hoexp[jnA(d-f)(v2 + ^)]f(ux, uy). (4.32)
178 Глава 4. Фурье-оптика Выражение (4.31) представляет собой комплексную амплитуду параболоидаль- ной волны, сходящейся в точку (х0, у0) фокальной плоскости линзы z = d + Д + f 3. Теперь рассмотрим распространение волны в свободном пространстве между линзой и выходной плоскостью, чтобы определить U(x, у, d + Д + /). Применим к (4.10) формулу (4.20), используем соотношение dx' = Af8(x - х0) и получим U(x, у, d + 8 + f} = h0(Af)2 А{ух, ^)<5(х-х0)£(у-у0), (4.33) где = ду ехр(-^)‘ Действительно, плоская волна фокусируется в точку с координатами х0 = Avxfw Уо = ^yf- 4. Последний шаг состоит в интегрировании по всем плоским волнам, т. е. по всем vx и v С использованием свойств дельта-функции £(х-х0) = 8(х- Afvx) = х 3 w интегрирование дает #(х, у) = ИцА(^-, -^1. '-J ) Используя (4.32), окончательно получаем (4.27). Упражнение 4.4------------------------------------------- Обратное преобразование Фурье В однолинзовой оптической системе, изображенной на рис. 4.21, распределе- ние поля в передней фокальной плоскости (z = 2f) отличается масштабом от Фу- рье-образа распределения поля в задней фокальной плоскости (z — 0). Убедитесь, что при инверсии координат в передней фокальной плоскости (х, у) —> (—х, —у) получающееся распределение поля дает обратное преобразование Фурье. 4.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Когда оптическая волна проходит через отверстие (апертуру) в не- прозрачном экране и далее распространяется в свободном пространстве на не- которое расстояние, ее распределение интенсивности называется дифракцион- ной картиной. Если свет рассматривать как лучи, дифракционная картина пред-
4.3. Дифракция света ставляет собой геометрическую тень отверстия. Из-за волновой природы света дифракционная картина может слегка или существенно отличаться от тени отверстия, в зависимости от расстояния между экраном и плоскостью наблю- дения, длины волны и размеров отверстия. Пример показан на рис. 4.22. Труд- но точно определить, как экран из- меняет падающую волну, но распрос- транение в свободном пространстве после прохождения отверстия всегда подчиняется законам, описанным ра- нее в данной главе. Рис. 4.22. Дифракционная картина от зубьев пилы (из Cagnet М., Franc)on М., Thrierr J. С. Atlas of Optical Phenomena. Springer-Verlag, 1962) Простейшая теория дифракции основана на предположении, что падающая волна проходит без изменения в точках отверстия, но обращается в нуль на обратной стороне непрозрачной части экрана. Если U(x, у) nf(x, у) — комп- лексные амплитуды волны на левой и правой сторонах экрана (рис. 4.23), то в соответствии с нашим предположением /(х, y) = U (х, у)р(х, у), (4.34) где р(х, у) = внутри отверстия, вне отверстия (4.35) 1 О называется апертурной функцией. При заданном/(х, у) комплексная амплитуда g(x, у) в плоскости наблюдения на расстоянии d от экрана можно пределить методами, описанными в разд. 4.1 и 4.2. Дифракционную картину 1(х, у) = |g(x, у)|2 называют дифракцией Фраунго- фера или дифракцией Френеля, если распространение волны в свободном про- странстве описывается приближением Фраунгофера или приближением Фре- неля соответственно. Хотя такой подход в большинстве случаев дает разумно точные результаты, он не является точным. Справедливость и непротиворечивость предположения о том, что комплексная амплитуда f(x, у) исчезает за пределами отверстия на задней стороне экрана, вызывает сомнения, поскольку прошедшая волна рас- пространяется во всех направлениях и, следовательно, достигает указанных точек. Теория дифракции, основанная на строгом решении уравнения Гельмгольца с граничными условиями на отверстии, математически сложна. Лишь для не- скольких геометрических структур удается получить точные решения. Однако разработано множество различных теорий дифракции, использующих те или
Глава 4. Фурье-оптика 180 иные допущения и дающие различную степень точности. Точная теория диф- ракции не входит в круг вопросов, рассматриваемых в данной книге. Рис. 4.23. Волна U(x, у) проходит через апертуру с амплитудным пропусканием р(х, у), создавая волну с комплексной амплитудой f(x, у) = U(x, у)р(х, у). После про- хождения расстояния d в свободном пространстве комплексная амплитуда вол- ны g(x, у), а интенсивность 1(х, у) = |g(x, у)|2 4.3.1. Дифракция Фраунгофера Теория дифракции Фраунгофера основана на умножении падаю- щей волны на апертурную функцию и использовании приближения Фраунго- фера для описания последующего распространения волны в свободном про- странстве. Приближение Фраунгофера справедливо, если расстояние d между экраном и плоскостью наблюдения достаточно велико, так что число Френеля tv; = — «1, F Ad где b — наибольшее радиальное расстояние в пределах отверстия. Предполагая, что падающая волна плоская, имеет интенсивность и рас- пространяется вдоль оси z, так что и (х, у) = , имеем /(*> У) = ^Р^ у)- В приближении Фраунгофера [см. (4.22)] g(x, -£-1 {Ла Ла) (4.36)
4.3. Дифракция света —‘\г 181 где p(vx, vy}= J J p(x, y)exp[j2^(vxx + vyy)]dxdy (4.37) есть Фурье-образ функции р(х, у); А) = ~exp(-jkd). Ad Тогда дифракционная картина /(х’ (Яг/) Р / \ 2 х <Яг/’ Ad) (4.38) Итак, интенсивность дифракционной картины Фраунгофера в точке (х, у) пропорциональна квадрату модуля Фурье-образа апертурной функции р(х, у), вычисленного при пространственных частотах —; v = -^. Ad у Ad Упражнение 4.5 -------------------------------------------- Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии Убедитесь, что картина дифракции Фраунгофера от прямоугольного отвер- стия высотой Dx и шириной Dy на расстоянии d I (х, у) = /„sine2 sine2 , (4.39) Ла Ла где 10 — максимальная интенсивность, , ч sinGrx) sinc(x) =-------. Проверьте, что первые нули этой картины получаются при Яг/. Dx ' Ad У = ±— Л так что угловая расходимость дифрагирующего света определяется формулами ех-±- Х Dx' у Dy (4.40)
Глава 4. Фурье-оптика Если D < Dx, то дифракционная картина шире в направлении у, чем в направлении х, как показано на рис. 4.24. Рис. 4.24. Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии. Центральный ник кар- тины имеет угловые полуширины 6х = Л/Dx, 0} = A/Dy Рис. 4.25. Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия дает картину Эйри с радиусом центрального диска, соответствующим углу 6 = 1,222/D У п раж не н ие 4.6 ---------------------------------- Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии Проверьте, что картина дифракции Фраунгофера на круглом отверстии ди- аметром D (рис. 4.25) имеет вид I (х, у) = 10 2J} (лDp/Ad) л Dp/Ad р = ^х1 + у2, (4.41)
4.3. Дифракция света J\r" где /0 — максимальная интенсивность, 2 •) — функция Бесселя первого порядка. Преобразование Фурье функций с круговой симметрией обсуждается в приложении А, разд. А.З. Картина (4.40) с круговой симметрией, известная как картина Эйри, состоит из центрального диска, окруженного кольцами. Проверьте, что радиус центрального диска, из- вестного как диск Эйри, равен 1 А = 1,22 — s D а половина угла, под которым этот диск виден с центра отверстия, равна 0 = 1,22—. D (4.42) Половина углового размера диска Эйри Приближение Фраунгофера обычно справедливо для предельно больших расстояний d. Это условие выполняется в приложениях, связанных с дальней оптической связью в свободном пространстве, таких как лазерный радар (ли- дар) и спутниковая связь. Однако, как показано в подразд. 4.2.2, если для фо- кусировки света, испытывающего дифракцию, использовать линзу с фокусным расстоянием /, то распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы будет пропорционально квадрату модуля Фурье-образа апертурной функции р(х, у) при значениях Наблюдаемая картина, таким образом, идентична получаемой из (4.38) с заменой расстояния d на фокусное расстояние f. Упражнение 4.7 ----------------------------------------- Размер пятна сфокусированного оптического пучка Пучок света фокусируется с помощью линзы с фокусным расстоянием f с круговой апертурой диаметра (рис. 4.26). Приближенно считая пучок внутри апертуры плоской волной, проверьте, что распределение интенсивности в фо- кусируемом пятне дается выражением I (*, у) = 4 2J] {дРр/Af) nDp/Af р = у]х2 +у2, (4.43)
Глава 4 Фурье-оптика где 70 — максимальная интенсивность. Сравните радиус пятна фокусировки ps =1,22/4, 5 D (4.44) с размером пятна при фокусировке гауссова пучка с радиусом перетяжки №0 идеальной линзой бесконечной апертуры (см. (3.45)]. Рис. 4.26. Фокусировка плоской волны, прошед- шей через круглое отвер- стие диаметром D 4.3.2. Дифракция Френеля Теория дифракции Френеля основана на предположении, что па- дающая волна умножается на апертурную функцию р(х, у) и распространяется в свободном пространстве в соответствии с приближением Френеля. Если па- дающая волна плоская, имеет интенсивность I. и распространяется вдоль оси z, то комплексная амплитуда непосредственно после апертуры есть /(*, у) = ^ ?)• Пользуясь (4.20) для дифракционной картины Цх, у) = |g(x, у)|2 на расстоянии d, получаем I (х, у) = г п2 7 7/ \ (.К - х')2 + (у - у')2 f Г р(х , у )ехр -jn±-dx'dy' „' L Ad i . (4.45) Удобно нормировать все расстояния, используя yfAd в качестве единицы длины, так что X и X’ — нормированные расстояния (аналогично для у и у'),
4.3. Дифракция света Г 185 Тогда формула (4.45) дает- У) = J J р(Х\ У')ехр[-А(Х- X')2 + (Y -Y'fJdX'dY' (4.46) Интеграл в (4.45) представляет собой свертку р(Х, Y) и ехр [-)л(Х2 + У2)]. Графики действительной и мнимой частей ехр (—улХ2), т. е. cos лХ2 и sin лХ2, показаны на рис. 4.27. Они осциллируют с возрастающей частотой, и их первые дифракционные максимумы лежат в интервалах |Х| < I/V2 и |Л"| < 1 соответ- ственно. Полная площадь под графиком функции ехр (—jnX2} равна 1, причем основной вклад дают несколько первых дифракционных максимумов, посколь- ку вклады последующих максимумов компенсируют друг друга. Если а — ради- ус отверстия, то радиус нормированной функции р(Х, У) составляет a/y[Ad. Результат свертки, зависящий от относительного размера двух функций, опре- деляется числом Френеля NF = a2/Ad. cos яХ' 3 X Рис. 4.27. Действительная и мнимая части ехр (ДяХ2) 1 Если число Френеля велико, нормированная ширина апертуры а/yfAd много больше, чем ширина главного максимума, и свертка приближенно дает более широкую функцию р(Х, У). При этом условии картина дифракции Френеля представляет собой тень отверстия, как следует ожидать, исходя из лучевой оптики. Заметим, что лучевая оптика применима в пределе А —> 0, который соответствует пределу TVF —> °о. В противоположном пределе, когда число Фре- неля мало, становится применимым приближение Фраунгофера и наблюдается картина дифракции Фраунгофера. Пример 4.3 ----------------------------------------- Дифракция Френеля на щели Предположим, что апертура представляет собой щель шириной D = 2a, так что р(х, у) = 1 при |х| < а и 0 в противоположном случае. Нормированная координата равна Х= х/ jAd и О в остальных случаях, (4.47)
186 Глава 4. Фурье-оптика где NP — число Френеля.'Подставляя это в (4.45), получаем I(X, Y) = 1^(Х)\2, где g(X)= J ехр[-/л-(Л" - X')2 jdA'' = J exp[-jXX'2JdX'. -Jffp X-yfNp (4.48) Этот интеграл выражается через интегралы Френеля С(х) = Jcos^—d<z; 5 (х) = J sin d<z, (4.49) о 2 о 2 программы для вычисления которых входят в состав стандартных компьютер- ных математических библиотек. Рис. 4.28. Дифракция Френеля на шели шириной D = 2а: а — затенная область — геометрическая тень апертуры. Штриховая линия — ширина пуч- ка за счет дифракции Фраунгофера; б — дифракционная картина на четырех расстояниях от щели, отмеченных стрелками на рис. 4.28, а и соответствующих числам Френеля NF = 10; I; 0,5 и 0,1. Затенные области показывают геометрическую тень щели. Штриховыми лини- ями на уровне |х| = (2./D)d показана ширина дифракционной картины Фраунгофера в дальней зоне. Там, где штриховые линии совпадают с краями геометрической тени, число Френеля составляет 1УГ = а1/2d =0,5
187 4.3. Дифракция света Комплексную функцию g(X) можно вычислить также с помощью преобразо- вания Фурье. Поскольку g(X) представляет собой свертку прямоугольной функ- ции с шириной y/Np и экспоненциальной функции ехр (—jnX2), ее Фурье-образ: G (их) °= sine {^NF vx) ехр (~jftvx) (см. табл. А.1 в приложении А). Таким образом, g(X) можно вычислить путем нахождения обратного преобразования Фурье функции G(vx). Если Аг » 1, ширина функции sine(y]NFvx) намного меньше ширины первого дифракцион- ного максимума функции ехр (-jnvx) (см. рис. 4.27), так что G (vx) sine (jN^vx) и g(X) представляет собой прямоугольную функцию, описывающую геометри- ческую тень апертуры. Дифракционная картина от щели построена графически на рис. 4.28 для различных значений числа Френеля, соответствующих различным расстояни- ям d до апертуры. На очень малых расстояниях (очень большие Аг) дифракци- онная картина представляет собой идеальную тень апертуры. С ростом рассто- яния (уменьшением NF) волновая природа света начинает проявляться в виде небольших колебаний интенсивности по краям тени (см. также дифракцион- ную картину на рис. 4.22). Для очень малых NF получается картина Фраунгофе- ра, описываемая формулой (4.39). Это функция sine с первым нулем под углом Л-Л D 2a Пример 4.4 —-----------------------------------—--------- Дифракция Френеля на гауссовой апертуре В случае, когда апертурная функция р(х, у) представляет собой функцию Гаусса р(х, у) = ехр 2 21 X + у <4.50> выражение (4.44), описывающее дифракцию Френеля, можно получить в точ- ном аналитическом виде путем вычисления свертки функций ехр А) ехр -jn X + у Ad . с помощью, например, преобразования Фурье (см. приложение А). В результа- те дифракционная картина описывается формулой г Т 1(х, у) = 2 2 ехр -2—z-i— , iE2 (d) где Ж2(Д) = Жо2+02Д2; 0О=^~
Глава 4. Фурье-оптика Дифракционная картина описывается гауссовой функцией с полушириной PK(d) на уровне 1/е2. Для малых d имеем W(d) = Wo, однако по мере роста d величина W(d) приближается к 0od, когда d достаточно велико, чтобы можно было применять приближение Фраунгофера, так что угол, под которым видна картина дифракции Фраунгофера, равен в0. Эти результаты проиллюстрирова- ны на рис. 4.29, аналогичный рис. 4.28 для дифракции на щели. Волна, испы- тывающая дифракцию на гауссовой апертуре, представляет собой гауссов пу- чок, подробно описанный в гл. 3. Рис. 4.29. Дифракция Френеля на гауссовой апертуре радиуса на расстояниях d таких, л W1 что параметр----5-, 2 Ad аналогичный числу Френеля Nr на рис. 4.28, равен 10; 1; 0,5 и 0,1. Эти значения соответствуют W(d)/Wf, = 1,001; 1,118; 1,414 и 5,099. Дифракционная картина является гауссовой на всех расстояниях Резюме По мере возрастания расстояния от апертуры дифракционная картина представляет собой: • тень апертуры; • дифракционную картину Френеля: свертка нормированной апертур- ной функции с ехр [—jn(X2 + У2)];
4.4. Формирование изображения 189 • картину дифракции Фраунгофера: квадрат модуля Фурье-образа апер- турной функции. В дальней зоне угол расходимости пропорционален 1/D, где D — диаметр апертуры. 4.4. ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ Идеальная система, формирующая изображение, — это оптическая система, которая воспроизводит распределение света в одной плоскости — плоскости предметов — на другой плоскости — плоскости изображений. По- скольку процесс оптической передачи не бывает идеальным, изображение ни- когда не является точной копией предмета. Помимо изменения масштаба, свя- занного с увеличением системы, изображение размывается из-за неидеальной фокусировки и дифракции оптических волн. Данный раздел посвящен описа- нию систем для формирования изображений и их качества. Для характеристи- ки формирования изображения используются методы описания линейных сис- тем, такие как метод функции отклика на импульсное воздействие и метод передаточной функции (см. приложение Б). Вначале представлен простой под- ход на основе лучевой оптики, затем последовательно развивается описание на основе оптики волн. 4.4.1. Лучевая оптика однолинзовой изображающей системы Рассмотрим изображающую систему с одной линзой, имеющей фокусное расстояние/и удаленной на расстояния и d2 от плоскости пред- метов и плоскости изображений соответственно, показанную на рис. 4.30. Когда 1 1 _J_ dx + d2 f ’ система сфокусирована таким образом, что параксиальные лучи, исходящие из каждой точки плоскости предметов, собираются в одну точку плоскости изоб- ражений. В рамках лучевой теории света отображение «идеально» в том смыс- ле, что каждая точка предмета дает единственную точку изображения. Функ- ция отклика на импульсное воздействие системы представляет собой импульс- ную функцию. Теперь предположим, что система не сфокусирована (рис. 4.31), причем ошибка фокусировки составляет (4.51) Ошибка фокусировки
190 Глава 4. Фурье-оптика Точка предмета создает световое пятно на плоскости изображений, которое является тенью апертуры линзы. Распределение света в этом пятне является функцией отклика на импульсное воздействие системы. Для простоты рассмот- рим точку предмета, лежащую на оптической оси, и определим распределение света й(х, у), которое она создает в плоскости изображений. Рис. 4.31. Ход лучей в несфокусированной изображающей системе (а); функция отклика на импульсное воздействие изображающей системы с круговой апертурой диа- метром D отлична от нуля и постоянна в круге радиусом ps = ed-fi/l, где е — ошибка фокусировки (б) Предположим, что плоскость сфокусированного изображения лежит на рас- стоянии с/2о, удовлетворяющем условию 1 1 J_ +dx~ f Тень точки на краю апертуры на расстоянии р от оси есть точка плоскости изображений на расстоянии ps от оси, для которого р Vf-M V4- с
4.4. Формирование изображения 191 Если р(х, у) — апертурная функция, называемая также функцией зрачка |^(х, у) = 1 для точек внутри апертуры и 0 во всех остальных точках], то h(x, у) отличается от нее масштабным преобразованием с коэффициентом — = ed2, Р т. е. (4-52) Функция отклика на импульсное воздействие (в лучевой оптике) Например, круговой апертуре диаметра D соответствует функция отклика на импульсное воздействие, отличная от нуля и постоянная в круге радиусом Ps =^Ed2D, (4.53) Радиус пятна размытия как показано на рис. 4.31. Радиус ps пятна размытия является обратной мерой разрешающей силы системы и качества изображения. Низкие значения ps оз- начают способность системы разрешать мелкие детали. Поскольку ps пропор- ционально диаметру апертуры D, качество изображения можно улучшить, ис- пользуя меньший диаметр апертуры. Малая апертура соответствует понижен- ной чувствительности системы к ошибкам фокусировки, т. е. повышению «глубины резкости». 4.4.2. Волновая оптика формирования изображения в 47-системе Рассмотрим теперь двухлинзовую изображающую систему, показан- ную на рис. 4.32. Эта система, называемая 4/-системой, служит для получения изображений с увеличением, равном единице, как легко видеть из хода лучей. Анализ распространения волн в такой системе становится простым, если рассматривать ее как последовательность двух подсистем, осуществляющих преобразование Фурье. Первая подсистема (между плоскостью предметов и Фурье-плоскостью) производит прямое преобразование Фурье, а вторая (меж- ду Фурье-плоскостью и плоскостью изображений) — обратное преобразование Фурье, поскольку система координат в плоскости изображений инвертирована (см. упражнение 4.4). В результате в отсутствие апертуры изображение являет- ся точной копией предмета. Пусть/(х, у) — комплексный амплитудный коэффициент пропускания транс- паранта, помещенного в плоскости предметов и освещаемого плоской волной ехр (-Jkz), распространяющейся вдоль оси z, как показано на рис. 4.33, a g(x, у) —
192 Глава 4. Фурье-оптика комплексная амплитуда волны в плоскости изображений. Первая линза осуще- ствляет пространственное преобразование Фурье функции f(x, у) и разделяет ее Фурье-компоненты таким образом, что каждая точка Фурье-плоскости со- ответствует единственной пространственной частоте. Затем эти компоненты воссоединяются с помощью второй линзы, и исходное распределение полнос- тью восстанавливается. Плоскость предмета Плоскость Фурье Плоскость изображения Рис. 4.32. Изображение в 4/-системе. При использовании инвертированной системы ко- ординат в плоскости изображений увеличение равно единице Плоскость 4/-систему можно использовать как пространственный фильтр, в котором изображение g(x, у) есть фильтрованная копия предмета f(x, у). Поскольку Фурье-компоненты функции f(x, у) доступны в виде точек Фурье-плоскости, для их селективного отбора можно использовать маску, блокирующую одни компоненты и пропускающую другие, как показано на рис. 4.34. Фурье-компо- нента f(x, у) с пространственной частотой (г., локализуется на Фурье-плос- кости в точках х = Afvx, у = Afvy. Для реализации фильтра с передаточной функцией Н(ух, г.) комплексный амплитудный коэффициент пропускания маски
4.4. Формирование изображения 193 р(х, у) должен быть пропорционален H(x/Af y/Af). Таким образом, передаточ- ная функция фильтра, использующего маску с пропусканием р(х, у), *7) = P(Afvx, Afvy), (4.54) Передаточная функция 4/-системы где мы пренебрегли фазовым множителем j ехр связанным с каж- дым преобразованием Фурье [аргументов (4.29)]. Фурье-образы G(vx, vy) и F(vx, v) функций g(x, у) и f(x, у) связаны между собой соотношением G('x’ Vy) = Я(Гх> Vy)- Это весьма простой результат: передаточная функция имеет ту же форму, что и функция зрачка. Соответствующая функция отклика на импульсное воз- действие h(vx, е) получается из H(vx, vy) обратным Фурье-преобразованием /?(х, j) = 1 pf * Н (Л/)2 U/’ Af)’ (4-55) Функция отклика на импульсное воздействие 4/-системы где P(vx, v ) — Фурье-образ р(х, у). Рис. 4.34. Пространственная фильтрация. Транспаранты, расположенные в предметной и фурье-плоскости, имеют комплексные амплитудные коэффициенты пропуска- ния f (х, у) и р(х, у). Плоская волна, распространяющаяся в направлении оси z, модулируется предметным транспарантом, подвергается Фурье-преобразованию первой линзой, умножается на коэффициент пропускания маски, расположен- ной в Фурье-плоскости, после чего вторая линза производит обратное преоб- разование Фурье. В результате комплексная амплитуда g(x, у) в плоскости изоб- ражений представляет собой фильтрованную версию f(x, у). Система имеет передаточную функцию H(vx, и ) = p(Afvx, Afv)
Глава 4. Фурье оптика Примеры пространственных фильтров ♦ Идеальный кругообразно-симметричный фильтр нижних частот имеет передаточную функцию Я(их, и ) = 1 при v2 + < vs2 и H(vx, г.) = 0 в осталь- ных случаях. Он пропускает пространственные частоты, меньшие частоты от- сечки v, и блокирует более высокие частоты. Этот фильтр представляет собой маску в виде кругового отверстия диаметром D = 1Afvs. Например, если D = 2 см, Л = 1 мкм и/= 100 см, частота отсечки (пространственная ширина полосы) vs = DI1Xf= 10 линий/мм. Этот фильтр подавляет пространственные частоты больше, чем 10 линий/мм, так что наименьший размер различимых деталей фильтрованного изображения составляет примерно 0,1 мм. Предмет Маска б Рис. 4.35. Примеры объектов, масок и фильтрованных изображений для трех простран- ственных фильтров: а — фильтр нижних частот; б — фильтр высоких частот; в — фильтр вертикальных компонент. Черный цвет означает, что коэффициент пропускания равен нулю, а белый — единице
4.4. Формирование изображения _J 195 ♦ Фильтр высоких частот является дополнением фильтра низких частот. Он блокирует низкие частоты и пропускает высокие. Маска представляет со- бой прозрачный транспарант с непрозрачным кругом в центре. Выходной сиг- нал фильтра велик в областях, где интенсивность быстро меняется от точки к точке предмета, и мал в областях плавного изменения. Таким образом, фильтр полезен для усиления краев при обработке изображений. ♦ Фильтр вертикальных компонент блокирует частоты горизонтальных компо- нент и пропускает частоты вертикальных. Передаются только изменения в на- правлении х. Если маска представляет собой вертикальную щель шириной D, то наибольшая пропускаемая частота: D/2 Примеры этих фильтров и их действие на изображения иллюстрирует рис. 4.35. 4.4.3. Волновая оптика однолинзовой изображающей системы Рассмотрим формирование изображения однолинзовой системой, показанной на рис. 4.36, с точки зрения волновой оптики. Вначале определим функцию отклика на импульсное воздействие, а затем получим передаточную функцию. Эти функции определяются ошибкой фокусировки е, которая дается формулой (4.50), и функцией зрачка р(х, у) (коэффициентом пропускания апер- туры, расположенной в плоскости линзы). Функция зрачка в такой однолинзо- вой системе играет ту же роль, которую играет функция маски в 4/-системе, описанной в предыдущем разделе.
196 Глава 4. Фурье-оптика Функция отклика на импульсное воздействие Для определения функции отклика на импульсное воздействие рас- смотрим предмет, состоящий из одной точки (импульс) на оптической оси с координатами (0, 0), и проследим за распространением испущенной оптичес- кой волны от источника до плоскости изображений. Результирующая комп- лексная амплитуда и есть функция отклика на импульсное воздействие h(x, у). Точка (импульс) на плоскости предметов создает в плоскости апертуры сферическую волну, приближенно описываемую формулой [см. (4.18)]: U (х, у) = Л, ехр -Jk 2 2" X + у 2dx (4.56) где =^гехР(-М)- При прохождении апертуры и линзы U(x, у) умножается на функцию зрачка р(х, у) и вносимый линзой квадратичный фазовый множитель ехр [jk(x2 + у2)/2/], превращаясь в 2 2 Л + у Uf (х, у) = U (х, у) ехр jk р(х, у). (4.57) Образовавшееся поле Ux (х, у) затем распространяется в свободном простран- стве на расстояние <72. В соответствии с (4.20) оно дает функцию отклика на импульсное воздействие вида h(x, у) = Л, J J Ux (х', у') ехр -jn (х - х')2 + (у - у')2 Ad2 dx'dy', (4.58) где th = -^-exp(-jW2). Подставляя (4.55) и (4.56) в (4.57) и рассматривая интегралы как преобразо- вания Фурье, получаем 2 + у2' /W2 , й(х, у) = hlh2 ехр - jjr х У Ad2 ’ Ad-} (4.59) где P(vx, v>;) — Фурье-образ функции Pl (х, у) = р(х, у) ехр ( 2 2 Л X + У JKE . , х. Л ) (4.60) Обобщенная функция зрачка
4.4. Формирование изображения Лл197 известной как обобщенная функция зрачка. Множитель е — ошибка фокусиров- ки, определяемая соотношением (4.51). Для изображающих систем высокого качества функция отклика на импуль- сное воздействие имеет вид узкого пика, т. е. отлична от нуля только в малом интервале значений х и у. Если добавка я(х2 + y2)/Ad7 к фазе в (4.58) много меньше единицы для всех х и у, лежащих в этом интервале, ею можно пренеб- речь, так что У Ad2 , й(х, у) = ИоД Ad2 (4.61) Функция отклика на импульсное воздействие где /г0 = й]й2 — постоянная величины (\/Adx)(\/Ad.^. Следовательно, функция отклика системы на импульсное воздействие пропорциональна Фурье-образу обобщенной функции зрачка рх(х, у), взятому при х у v =----; v = —-— х ЯД2 у Ad2 Если система сфокусирована (г = 0), то рх(х, у) = р(х, у) и Л(х, у) = № У Ad2 (4-62) где Р(ух, vy) — Фурье-образр(х, у). Этот результат аналогичен соответствующе- му результату (4.54) для 4/-системы. Пример 4.5 - Функция отклика на импульсное воздействие для сфокусированной изображающей системы с круговой апертурой Если апертура представляет собой круглое отверстие диаметром D, так что р(х, у) = 1 при р = д/х2 + у2 < у (4.63) и 0 в остальных случаях, то функция отклика на импульсное воздействие равна h(x, у) = л(о, о)2/| , Р = 7*2 + у2 ; nDp/Ad2 Это функция с круговой симметрией, сечение которой показано на рис. 4.37. Она спадает к нулю при радиусе ps = 1,22Л^ (4.64)
Глава 4. Фурье-оптика и слегка колеблется, прежде чем обратиться в нуль. Следовательно, радиус ps является мерой диаметра круга размытости. Если система сфокусирована на бесконечность, то = °о, a d2 = /и ps = 1,22ЛГ„,| (4.65) Радиус пятна где F# = f/D — /’-число линзы. Таким образом, системы с меньшим F* (боль- шей апертурой) дают изображение более высокого качества. При этом, конеч- но, предполагается, что линза большего диаметра не вносит дополнительных геометрических аберраций. Передаточная функция Передаточная функция линейной системы может быть определе- на, только если система инвариантна относительно сдвига (см. приложение Б). Очевидно, однолинзовая изображающая система не обладает инвариантностью относительно сдвига, поскольку сдвиг А точки в плоскости предметов сопро- вождается другим сдвигом Л/А точки в плоскости изображений, где М = —d2/dx — увеличение. Изображение отличается от предмета по двум признакам. Первое, изобра- жение есть увеличенная копия предмета, т. е. точка (х, у) предмета отображает-
4.4. Формирование изображения —J 199 ся в новую точку (Л/х, Му) изображения Второе, каждая точка размывается в пятно в результате неточной фокусировки или дифракции. Таким образом, формирование изображения можно приписать каскаду двух систем — одна обес- печивает идеальное увеличение, а другая размывает изображение, как показано на рис. 4.38. По своей природе система увеличения неинвариантна относитель- но сдвига. Для точек, лежащих вблизи оптической оси, размывающая система приближенно инвариантна относительно сдвига и, следовательно, может быть описана передаточной функцией. Рис. 4.38. Изображающая система (а) рассматривается как комбинация идеальной изоб- ражающей системы (б), обеспечивающей только увеличение, за которой следу- ет обладающая сдвиговой инвариантностью система, размывающая каждую точку изображения в пятно с распределением, равным функции отклика на импульсное воздействие Передаточная функция /7(vx, г.) размывающей системы определяется путем получения Фурье-образа функции отклика на импульсное воздействие h(x, у) в (4.61). В результате имеем Н(ух, vy}~ px(Ad2vx, Ad2vy\ (4.66) Передаточная функция где р,(х, у) — обощенная функция зрачка, поэтому можно пренебречь постоян- ным фазовым фактором ехр (—jkdt) ехр (—jkd^). Если система сфокусирована, то Н{ух, P(*d2vx, Ad2vy), (4-67)
Глава 4. Фурье-оптика где р(х, у) — функция зрачка. Этот результат идентичен полученному для ^систе- мы [см. (4.53)]. Если, например, апертура представляет собой круг диамет- ром Z), то передаточная функция постоянна в пределах круга радиусом vs, где D 's ~ 2Ad2 ’ (4.68) и равна нулю во всех остальных точках, как показано на рис. 4.39. Если линза сфокусирована на бесконечность, т. е. d2 = f то 1 2ЯГ/ (4.69) Пространственная ширина полосы где F# = f/D — f-число линзы. Например, для F-2 линзы с F,: = f/D = 2 при Л = 0,5 мкм ц = 500 линий/мм. Частота vs представляет собой пространствен- ную ширину полосы, т. е. наибольшую пространственную частоту, передавае- мую изображающей системой. 4.4.4. Формирование изображения в ближнем поле В разд. 4.1 было показано, что пространственная ширина полосы света, распространяющегося в свободном пространстве, при длине волны Л равна Я-1 периодов/мм. Фурье-компоненты предмета с пространственными ча-
стотами больше /Г1 порождают нераспространяющиеся волны, которые быст- ро затухают и исчезают на расстояниях порядка длины волны от него, так что детали предмета меньше длины волны невозможно передать. Более того, в под- разд. 4.4.3 было показано, что изображающая система, состоящая из линзы с заданным F#, имеет функцию отклика на импульсное воздействие, радиус кото- рой равен 1,22/^, так что точки, отстоящие друг от друга на расстояние меньше 1,22F#, невозможно различить (рис. 4.40, а). Другой способ получения изображе- ний, использующий для сканирования объекта лазерный пучок, сфокусирован- ный линзой (рис. 4.40, б), имеет те же ограничения. Разрешение этой системы диктуется размером пятна фокусировки, которое имеет радиус 1,22/^, как было показано в примере 4.5. В обоих этих случаях детали предмета, размеры кото- рых меньше длины волны, не передаются в его изображении. Этот фундамен- тальный предел разрешающей способности изображающих систем часто назы- вают дифракционным пределом. Импульсный отклик Сфокусированное пятно \ Апертура Линза Предмет Освещение Предмет Предмет Рис. 4.40. В однолинзовой изображающей системе пространственные детали предмета меньше длины волны размываются при формировании изображений одной линзой (а) или системой со сканированием сфокусированного лазерного пуч- ка (б). Сканирующая изображающая система (в), в которой освещение пред- мета производится светом, пропущенным через отверстие диаметром меньше длины волны, сохраняет детали предмета размером меньше длины волны при условии, что плоскость предмета удалена от плоскости апертуры на расстоя- ние, также меньшее длины волны Однако дифракционный предел можно преодолеть. Свет можно локализо- вать в пятно размером много меньше длины волны в одной плоскости. Труд- ность состоит в том, что нераспространяющиеся волны полностью затухают на малых расстояниях от этой плоскости, сразу после чего пятно расплывается и приобретает размеры больше длины волны. На еще больших расстояниях вол- на в конце концов становится сферической. Следовательно, дифракционный предел можно преодолеть, если предмет расположить в непосредственной бли- зости к осветителю субволновых размеров. Это можно реализовать в сканиру- ющей конфигурации путем пропускания пучка через апертуру с диаметром, много меньшим длины волны, как показано на рис. 4.40, в.
202 __Глава 4. Фурье-оптика Предмет располагается на расстоянии меньше длины волны от отверстия (обычно это менее половины радиуса отверстия), так что освещению подверга- ется участок, много меньший длины волны. После прохождения сквозь пред- мет распространяющиеся компоненты волны образуют сферическую волну, амплитуда которой пропорциональна локальному коэффициенту пропускания в месте освещения. Разрешение такой системы порядка размеров отверстия, которое намного меньше длины волны. Изображение строится путем растро- вого сканирования поверхности отверстием предмета и регистрации оптичес- кого отклика с помощью обычной изображающей системы дальнего поля. Эта методика известна как оптическая ближнеполевая визуализация, или сканиру- ющая оптическая микроскопия ближнего поля (СОМБП). Она относится к обла- сти нанофотоники, поскольку формирование изображения характеризуется суб- волновым (нанометровым) пространственным масштабом. Металлическое Рис. 4.41. Оптическое волокно с за- остренным концом, имеющим ме- таллическое покрытие, для ближне- полевой визуализации Обычно для реализации СОМБП свет подводится по оптическому волок- ну, конец которого заострен и покрыт алюминием, как показано на рис. 4.41. Свет распространяется внутри волокна за счет полного внутреннего отраже- ния. Когда диаметр волокна начинает уменьшаться, свет удерживается в нем за счет отражения от металлической поверхности, которая действует как ко- ническое зеркало. Когда вблизи острия диаметр волокна становится еще мень- ше, волна перестает быть направляемой (см. разд. 8.1) и становится нерасп- ространяющейся. Распределение освещающей волны в области острия слож- но и требует численного описания. Диаметр апертуры и пространственное разрешение составляют десятки нанометров и достигаются СОМБП в види- мом диапазоне. Поскольку острие световода при сканировании предмета дол- жно находиться на расстоянии всего в несколько нанометров от его поверх- ности, требуется весьма сложная система обратной связи, чтобы поддержи- вать это расстояние постоянным для предметов с произвольной топографией. Приложения СОМБП включают неразрушающее определение характеристик неорганических, органических, композитных и биологических материалов и наноструктур.
4.5. Голография -J Л 203 4.5. ГОЛОГРАФИЯ Голография включает запись и восстановление оптических волн. Голограмма представляет собой транспарант, содержащий зашифрованную за- пись оптической волны, включая ее амплитудные и фазовые свойства. Рас- смотрим монохроматическую оптическую волну, комплексная амплитуда ко- торой в некоторой плоскости, скажем z ~ 0, равна U0(x, у). Если каким-либо образом можно было бы изготовить тонкий оптический элемент (транспарант) с комплексным амплитудным коэффициентом пропускания t(x, у), равным U0(x, у), то он обеспечил бы полную запись волны. Затем можно было бы восстановить волну просто путем освещения транспаранта однородной плоской волной, распространяющейся вдоль оси z и имеющей единичную амплитуду. Про- шедшая волна в этом случае имела бы в плоскости z = 0 комплексную ампли- туду U(x, у) = 1 • t(x, у) = U0(x, у). Исходная волна, такими образом, была бы воспроизведена во всех точках плоскости z — 0 и, следовательно, восстановле- на во всех точках полупространства z > 0. В качестве примера рассмотрим известный случай: однородная плоская волна, распространяющаяся под углом в к оси z в плоскости х—z, имеет комплексную амплитуду U0(x, у) = ехр [—jfcrsin 0]. Записью этой волны бу- дет транспарант с комплексным амплитудным коэффициентом пропуска- ния Цх, у) = ехр [-jkx sin 0]. Такой транспарант действует как призма, откло- няющая падающую волну ехр [—jkz] на угол 0(см. подразд. 2.4.2), воспроизво- дя, таким образом, исходную волну. Вопрос состоит в том, как изготовить транспарант t(x, у) по исходной волне U0(x, у). Ключевая трудность состоит в том, что оптические детекторы, включая фотоэмульсии, применяемые для изготовления транспарантов, реа- гируют на интенсивность света | Ц,(х, у)|2 и, следовательно, нечувствительны к фазе arg{t^(x, у)}. Однако фазовая информация существенна и не может быть упущена. Например, если фаза наклонной волны С/0(х, у) = ехр [-jkx sin 0] не была бы записана, то не было бы записано и направление распростра- нения волны. Для записи фазы U0(x, у) необходимо найти способ ее коди- рования путем преобразования фазы в интенсивность. Тогда для восста- новления волны записанная информация могла бы быть декодирована оп- тическим путем. Голографический код Голографический код основан на смешении исходной волны (здесь и далее будем называть ее предметной волной) Uo с известной опорной волной Ur и записи картины их интерференции в плоскости z = 0. Интенсивность суммы двух волн регистрируется фотографическим способом. Получается транспарант с комплексным амплитудным коэффициентом пропускания t, пропорциональ-
Глава 4. Фурье-оптика 204 ным интенсивности (рис. 4.42, а). Коэффициент пропускания определяется формулой t -1*70 + иг\2 = |Z7012 + |t7r I2 + и;и0 + urir0 = (4 70) =/r +/n + =/г +/0 + 2Т?Л cos [arg {t7r}-arg {t70 }], где Ir и /0 — интенсивности опорной и предметной волн, соответственно, в плоскости z = 0. Транспарант, называемый голограммой, очевидно, несет закодированную информацию как об амплитуде, как и о фазе волны Uo. Действительно, будучи записью интерференционной картины, транспарант обладает коэффициентом пропускания, весьма чувствительным к разности фаз обеих волн, как было показано в разд. 2.5 (временной аналог голографии — это гетеродинирование, обсуждавшееся в разд. 2.6). Как отмечалось ранее, обычная фотография чув- ствительна только к интенсивности падающей волны и не записывает фазовую информацию. Опорная Г олограмма б Рис. 4.42. Голограмма — транспарант с записью картины интерференции исходной (пред- метной) и опорной волн (а); исходная волна восстанавливается путем освеще- ния голограммы опорной волной (б): а — запись; б — восстановление Для декодирования содержащейся в голограмме информации и восста- новления предметной волны голограмма вновь освещается опорной волной Ur (рис. 4.42, б). В результате получается волна с комплексной амплитудой и = tur - UrIr + UrI0 + IrU0 + u?u* (4.71) в плоскости голограммы z = 0. Третий член в правой части — исходная волна, умноженная на интенсивность 1г опорной волны. Если 1Г распределена одно- родно (не зависит от х и у), то этот член представляет собой искомую восста- новленную волну. Однако его нужно выделить на фоне остальных трех членов.
4.5. Голография 205 Четвертый член представляет собой комплексно сопряженную исходную вол- ну, умноженную на Uj. Первые два члена описывают опорную волну, модули- рованную суммой интенсивностей обеих волн. Если в качестве опорной выбрать однородную плоскую волну, распростра- няющуюся вдоль направления оси z, ехр(- jkz), то в плоскости z = О l/Дх, у) = постоянна и не зависит от х и у. Деля (4.71) на Ur = , получаем £7(х, у) ос /г + /0 (х, у) + JFrU0 (х, у) + (х, у)7| (4.72) Восстановленная волна в плоскости голограммы Значение различных членов в (4.71) и методы выделения исходной волны (третьего члена) поясняются на ряде примеров. Пример 4.6 - Голограмма наклонной плоской волны Если предметная волна плоская и падает под углом в (рис. 4.43, а), UQ (х, у) = у/Iq ехр (-jkx sin 0), то (4.71) дает U (х, у) ос 1г + 10 + ехр {-jkx sin 0) + Д/г/0 ехр (+jkx sin 0). Рис. 4.43. Голограмма наклонной плоской волны — синусоидальная дифракционная ре- шетка: а — запись; б — восстановление Первые два члена постоянны и соответствуют волне, распространяющей- ся в направлении оси z (продолжение опорной волны). Третий член соответ- ствует исходной предметной волне, а четвертый представляет собой сопря-
206 —Глава 4. Фурье-оптика женную волну — плоскую волну, распространяющуюся под углом —в. Таким образом, предметную волну можно выделить среди остальных. Фактически данная голограмма — не что иное, как запись интерференционной картины от двух плоских волн, распространяющихся под углом в друг к другу. Она служит синусоидальной дифракционной решеткой, которая расщепляет па- дающую опорную волну на три волны под углами 0, в и —в (см. рис. 4.43, б и разд. 2.4.2). Пример 4.7------------------------------------------------ Голограмма точечного источника В этом случае предметная волна сферическая с началом в точке г0 = (0, 0, — d), как показано на рис. 4.44, так что ехр(-#|г-г„|) “(’Й |г )1| , где г = (х, у, 0). Первый член в (4.71) соответствует плоской волне, распростра- няющейся в направлении оси z, а третий член пропорционален амплитуде ис- ходной сферической волны с началом в точке (0, 0, — d). Четвертый член про- порционален амплитуде сопряженной волны . ехр(Л|г-г0|) UAX- У}- к--0| ’ которая представляет собой сферическую волну, сходящуюся в точку (0, 0, — d). Второй член пропорционален 1/|г — г0|2, соответствующая ему волна распрост- раняется вдоль оси z с очень малой угловой расходимостью, поскольку ее ин- тенсивность медленно меняется в поперечной плоскости. Рис. 4.44. Голограмма сферической волны от точечного источника. Сопряженная волна формирует действительное изображение точки: a — запись; б — восстановление
4.5. Голография 207 Внеосевая голография Один из способов разделения четырех компонент восстановлен- ной волны основан на том, что они меняются на далеко отстоящих друг от друга пространственных частотах и поэтому имеют сильно отличающиеся на- правления. Этот вид мультиплексирования (разделения) пространственных ча- стот (см. подразд. 4.1.1) обеспечивается при условии, что направления прихода предметной и опорной волн различаются достаточно сильно. Рассмотрим случай, когда предметная волна имеет комплексную амплиту- ду Щх, У) =f(x, у) ехр |—JAcA sin 0]. Это волна с комплексной огибающей f(x, у) и таким же фазовым множителем, как тот, который вносит призма с углом отклонения 0. Предполагается, что функция f(x, у) меняется медленно, так что ее максимальная пространственная частота ц, соответствует углу 0s = arcsin Лу, = 0. Тогда направления предметной волны распределены в небольшой окрестности угла 0, как показано на рис. 4.45. Формула (4.71) дает U (х, у) ~ Ir+ \f(x, у)|2 + jl^f(x, у) ехр (-Дх sin 0) + ГТ/-*/ \ / .. • (4-73) +yjfrf y)exp(+jfocsine). Рис. 4.45. Голограмма внеосевой объектной волны. Объектная волна отделяется от опор- ной и сопряженной волн: a — запись; б — восстановление Третий член, очевидно, представляет собой копию предметной волны, па- дающей под углом 0. Присутствие фазового множителя ехр [+JAxsin 0] в чет- вертом члене отражает тот факт, что соответствующая волна отклоняется в направлении —0. Первый член соответствует плоской волне, бегущей вдоль оси г. Второй член, известный как неопределенная волна, соответствует неодно- родной квазиплоской волне, направления которой лежат внутри конуса с ма- лым углом 20s вокруг оси z- Разница направлений предметной и опорной волн
208 _/ Глава 4. Фурье-оптика приводит к естественному угловому отделению предметной и сопряженной волн друг от друга и от других двух волн, если в > 30s, что позволяет однозначно восстановить исходную волну. Альтернативный способ уменьшить влияние нео- пределенности — сделать интенсивность опорной волны много большей, чем у предметной. Тогда волна, вносящая неопределенность [второй член в (4.71)], становится намного меньше других, поскольку в соответствующее слагаемое входит только амплитуда предметной волны, в силу чего им можно пренебречь. Голография Фурье-образа Фурье-образ F(vx, и ) функции /(х, у) можно получить оптическим путем с помощью линзы (см. разд. 4.2). Если /(х, у) — комплексная амплитуда волны в одной фокальной плоскости линзы, то F(x/Af y/Af) — комплексная амплитуда в другой фокальной плоскости, где/— фокусное расстояние линзы, а А — длина волны. Поскольку Фурье-образ — как правило, комплексная фун- кция, его невозможно записать непосредственно. Фурье-образ F(x/AF y/Af} можно записать с помощью голографии, рас- сматривая его в качестве предметной волны смешивая с опорной волной Uf(x, у) и записывая суперпозицию в виде голог- раммы (рис. 4.46, а). Как обычно, восстановление осуществляется путем осве- щения голограммы опорной волной. Затем можно произвести обратное преоб- разование Фурье с помощью той же линзы и восстановить исходную функцию Дх, у) (рис. 4.46, б). Рис. 4.46. Голограмма волны, комплексная амплитуда которой представляет собой Фу- рье-образ функции f(x, у) (п); восстановление Дх, у) с помощью линзы, осу- ществляющей преобразование Фурье (6): а — запись; б — восстановление
4.5. Голография -*\j- 209 Голографические пространственные фильтры Пространственный фильтр с передаточной функцией Н( vx, vy) мож- но реализовать с помощью оптической 4/-системы с маской, имеющей комп- лексный амплитудный коэффициент пропускания р(х,у) = н[—, — и помещенной в Фурье-плоскости (см. подразд. 4.4.2). Поскольку передаточ- ная функция Н(ух, vy) обычно принимает комплексные значения, коэффици- ент пропускания маски р(х, у) должен иметь фазовый множитель. Такую маску трудно изготовить с помощью обычной печатной техники. Однако, если функ- ция отклика фильтра на импульсное воздействие h(x, у) действительная, можно создать голограмму ее Фурье-образа. Для этого производится голографическая запись Фурье-образа U0(x, у)=н[—, При использовании Фурье-образа входной функции f(x, у) в качестве опорной волны U ,(х, у)= f(—, -^Д м U/ vj голограмма создает волну y)U0(x, у) = fU-, (4.74) /-J ) {AJ AJ ) Обратное преобразование Фурье восстановленной предметной волны с по- мощью линзы с фокусным расстоянием / (рис 4.47, б) дает комплексную амп- литуду g(x, у), Фурье-образ которой есть G(vx, i/,) = H(vx, vy)F(vx, vy). Таким образом, g(x, у) есть свертка f(x, у) с h(x, у). Система в целом, называемая фильтром Ван дер Люгта, осуществляет операцию свертки, лежащую в основе пространственной фильтрации. Если вместо U0(x, у) взять для обратного преобразования Фурье сопряжен- ную волну Сг(х, у)£/0‘(х, у)=тГ-^-, \ A J ) 2L У "I Я/’ Af)’ то вместо свертки функций Дх, у) и h(x, у) получим их корреляцию. Операция корреляции полезна в приложениях, связанных с обработкой изображений, включая распознавание образов.
210 —Цг Глава 4. Фурье-оптика Рис. 4.47. Голографический фильтр Ван дер Люгта: а — записывается голограмма Фурье-образа функции h(x, у); б — Фурье-образ функции fix, у) пропускается через голограмму и подвергается обратному преобразованию Фурье с помощью линзы. В результате получается функция g(x, у), пропорциональная свертке функций Дх, у) и h(x, у). В итоге получается пространственный фильтр с функцией откли- ка на импульсное воздействие h(x, у) Горографическая аппаратура Важным условием успешного изготовления голограммы является наличие монохроматического источника света с минимальными фазовыми флуктуациями. Присутствие фазовых флуктуаций приводит к случайному сдвигу интерференционной картины и размыванию голограммы. По этой причине когерентный источник света (обычно лазер) является необходимой частью обо- рудования. Требования к когерентности для интерференции световых волн об- суждаются в гл. 10. Рис. 4.48. Запись и восстановление голограммы: a — запись; б — восстановление На рис. 4.48 показана схема типичной экспериментальной установки для записи голограмм и восстановления оптических волн, рассеянных поверхнос-
4.5. Голография тью физического объекта. С помощью светоделителя лазерный пучок расщеп- ляется на две части, одна из которых используется как опорная волна, а другая рассеивается объектом и образует предметную волну. Оптическая разность хода между этими волнами должна быть как можно меньше, чтобы гарантировать сохранение неслучайной разности фаз [член arg{{/} — arg {Uo} в (4.69)]. Поскольку интерференционная картина, образующая голограмму, состоит из тонких линий, расстояние между которыми порядка Я/sin в, где в — угол между направлениями опорной и предметной волн, фотографическая пленка должна иметь высокое разрешение, а система не должна испытывать вибраций во время экспозиции. Чем больше угол в, тем меньше расстояние между лини- ями голограммы и тем более строгими являются указанные требования. Пред- метная волна восстанавливается при освещении голограммы опорной волной, так что наблюдатель видит предмет, как если бы он в самом деле находился в нужном месте, при этом сохраняется его трехмерный характер. Объемная голография До сих пор предполагалось, что голограмма представляет собой тонкий плоский транспарант, на котором записана картина интерференции предметной и опорной волн. Рассмотрим теперь запись голограммы в сравни- тельно толстом слое среды и покажем возникающие при этом преимущества. Рассмотрим простой случай, когда предметная и опорная волны плоские с волновыми векторами кг и Ло. Записывающая среда находится между плоско- стями z - 0 и z — А, как показано на рис. 4.49. Теперь интерференционная картина описывается функцией трех координат х, у и z: I (*> У, z) = ехр (-jkrr) + 7Z? ехр (-= = Ir + /0 + 2yJlrI0 cos(ft0r - Лгг) = Ir + Io + 2y]lrI0 cos^r), (4.75) где kg = fc0 — kr. Это синусоидальное распределение с периодом и поверхностями одинаковой интенсивности, перпендикулярными вектору kg. Например, если опорная волна распространяется вдоль оси z, а предметная волна образует с ней угол в, то ( f) |*g| = 2fcsin|j и период равен 2 sin (в/2) ’ (4-76) как видно из рис. 4.49.
Рис. 4.49. Интерференционная картина в случае, когда предметная и опорная волны плос- кие. Поскольку |ЛГ| = lAgl = 1л/Х и || = 1л/К, из векторной диаграммы следует, что 2я/Л = 2(2я/2) sin (6/1), так что Л = 2/2 sin (0/2) Записанная в фотоэмульсии, эта картина представляет собой толстую ди- фракционную решетку — объемную голограмму. Вектор kg называется вектором решетки. При освещении опорной волной, как показано на рис. 4.50, параллель- ные плоскости решетки отражают волну только при выполнении условия Брэгга . * sin й = —, 2Л где ф — угол между плоскостями решетки и падающей опорной волной (см. упражнение 2.11). В нашем случае ф= 0/2, так что Л 2Л Ввиду (4.75) условие Брэгга действительно выполняется, так что опорная волна действительно отражается. Как очевидно из геометрии, отраженная волна яв- ляется продолжением предметной волны, так что восстановление успешно осу- ществлено. Рис. 4.50. Опорная волна отражается по условию Брэгга от объемной голограммы, пред- метная волна восстанавливается
4.5. Голография -V213 Теперь предположим, что голограмма освещается опорной волной с другой длиной волны Л'. Очевидно, условие Брэгга Л’ 2К не будет выполняться и волна не отразится. Это значит, что предметная волна восстанавливается, только если длина волны источника, используемого при восстановлении, точно совпадает с источником, использованным при записи. Если для восстановления используется свет с широким спектром (белый), то лишь свет с «правильной» длиной волны будет отражаться и обеспечивать ус- пешное восстановление. Итак, хотя для процесса записи нужен монохроматический свет, восста- новление можно осуществить с белым светом. Это является очевидным пре- имуществом во многих приложениях голографии. Другие схемы записи и вос- становления объемных голограмм показаны на рис. 4.51. б Рис. 4.51. Схемы записи и восстановления объемных голограмм: а — эта голограмма записывается с опорной и предметной волнами, падающими с одной стороны, и восстанавливается с использованием обращенной опорной волны; восстанов- ленная волна представляет собой сопряженную волну, распространяющуюся в направле- нии, противоположном по отношению к исходной предметной волне; б — отражающая голограмма записывается с опорной и предметной волнами, приходящими с разных сто- рон; предметная волна восстанавливается за счет отражения от решетки Еще одним типом голограммы, которую можно рассматривать в белом све- те, является радужная голограмма. Эта голограмма записывается через узкую щель, так что восстановленное изображение, естественно, также выглядит как рассматриваемое через щель. Однако, если длина волны при восстановлении отличается от использованной при записи, то восстановленная волна выглядит как приходящая от смещенной щели из-за вносимого увеличения. При восста-
214 Глава 4. Фурье-оптика новлении в белом свете восстановленная волна выглядит так, как будто пред- мет виден через множество смещенных друг относительно друга щелей, каждая с различной длиной волны (цветом). В результате получаем радугу изображений, видимых через параллельные щели. Каждая щель отображает предмет с эффек- том параллакса в направлении щели, но не в ортогональном направлении. По- мимо научных, радужные голограммы имеют многочисленные практические применения в рекламе, полиграфии, защите документов от подделки и т. п. Рекомендуемая литература ФУРЬЕ-ОПТИКА И ОПТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ Goodman J. ПК Introduction to Fourier Optics. Roberts, 3rd ed. 2005. Steward E.G. Fourier Optics: An Introduction. Halsted Press, 2nd ed. 1987; Dover, reissued 2004. Lauterbom UK, Kurz T. Coherent Optics: Fundamentals and Applications. Springer- Verlag, 2nd ed. 2003. O’Neill E.L. Introduction to Statistical Optics. Addison-Wesley, 1963; Dover, reissued 2003. Abushagur M.A., Caulfield H., eds. Selected Papers on Fourier Optics. SP1E Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 105), 1995. Hooijmans P.W. Coherent Optical System Design. Wiley, 1994. Yu F.T., Yin S., eds. Selected Papers on Coherent Optical Processing. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 52), 1992. Reynolds G., DeVelis J. B., Parrent G.B., Thompson В J. The New Physical Optics Notebook: Tutorials in Fourier Optics. SPIE Optical Engineering Press, 1989. Homer J.L., ed. Optical Signal Processing. Academic Press, 1987. Papoulis A. Systems and Transforms with Applications in Optics. McGraw-Hill, 1968; Krieger, reissued, 1986. Yu F.T.S. White-Light Optical Signal Processing. Wiley, 1985. Duffieux P.M. Fourier Transform and Its Applications to Optics. Wiley, 2nd ed. 1983. Stark H., ed. Applications of Optical Fourier Transforms. Academic Press, 1982. Gaskill J.D. Linear Systems, Fourier Transforms and Optics. Wiley, 1978. Carlson F.P. Introduction to Applied Optics for Engineers. Academic Press, 1977. Harbum G., Taylor C.A., Welberry T.R. Atlas of Optical Transforms. Cornell University Press, 1975. Cathey W.T. Optical Information Processing and Holography. Wiley, 1974. Lipson H.S., ed., Optical Transforms. Academic Press, 1972. Cagnet M., Francon M., Mallick S. Atlas of Optical Phenomena. Springer-Verlag, reprinted with supplement 1971. Mertz L. Transformations in Optics. Wiley, 1965. Cagnet M., Francon M., Thrierr J.C. Atlas of Optical Phenomena. Springer-Verlag, 1962. ДИФРАКЦИЯ Ersoy O.K. Diffraction, Fourier Optics, and Imaging. Wiley, 2007. Nieto-Vesperinas M. Scattering and Diffraction in Physical Optics. World Scientific, 2nd ed. 2006. Sommerfeld A. Mathematical Theory of Diffraction. Mathematische Annalen, 1896; Birkhauser, 2004. O’Shea D.C., Suleski T.J., Kathman A.D. and Prather D.W. Diffractive Optics: Design, Fabrication and Test. SPIE Optical Engineering Press, 2003.
Рекомендуемая литература J 215 Cowley J.M. Diffraction Physics. Elsevier, 3rd revised ed. 1995. Nussenzyeig H.M. Diffraction Effects in Semiclassical Scattering. Cambridge University Press, 1992. Oughstun K.E., ed. Selected Papers on Scalar Wave Diffraction. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series Volume 51), 1992. Solimeno S., Crosignani B., Di Porto P. Guiding, Diffraction, and Confinement of Optical Radiation. Academic Press, 1986. Francon M. Diffraction: Coherence in Optics. Pergamon, 1966. ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ Novotny L., Hecht B. Principles of Nano-Optics. Cambridge University Press, 2006. Barrett H., Myers K. Foundations of Image Science. Wiley, 2003. Courjon D. Near-Field Microscopy and Near-Field Optics. Imperial College Press, 2003. Williams C.S., Becklund O.A. Introduction to the Optical Transfer Function. Wiley, 1989; SPIE Optical Engineering Press, 2002. Kawata S., ed. Near-Field Optics and Surface Plasmon Polaritons. Springer, 2001. de Fomel F. Evanescent Waves: From Newtonian Optics to Atomic Optics. Springer- Verlag, 2001. GuM. Advanced Optical Imaging Theory. Springer-Verlag, 1999. Herzig H.P., ed. Micro-Optics: Elements, Systems and Applications. Taylor & Francis, 1997. KufnerM., Kufner S. Micro-Optics and Eithography. VUB Press, 1997. Fillard J. Near Field Optics and Nanoscopy. World Scientific, 1996. Francon M. Optical Image Formation and Processing. Academic Press, 1979. Dainty J.C., Shaw R. Image Science: Principles, Analysis and Evaluation Of Photographic- Type Imaging Processes. Academic Press, 1974. Barnes K.R. The Optical Transfer Function. Elsevier, 1971. ГОЛОГРАФИЯ Saxby G. Practical Holography. Institute of Physics, 3rd ed. 2004. Schnars U., Jueptner W. Digital Holography: Digital Hologram Recording, Numerical Reconstruction and Related Techniques. Springer-Verlag, 2004. Yaroslavsky L. Digital Holography and Digital Image Processing: Principles, Methods, Algorithms. Kluwer, 2004. Hariharan P. Basics of Holography. Cambridge University Press, 2002. Bjelkhagen H.I., Caulfield H.J., eds. Selected Papers on Fundamental Techniques in Holography. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 171), 2001. Kasper J.E., Feller S.A. Complete Book of Holograms: How They Work and How to Make Them. Wiley, 1987; Dover, reissued 2001. Sirohi RS., Hinsch K.D., eds. Selected Papers on Holographic Interferometry Principles and Techniques. SPIE Optical Engineering Press (Milestone Series. Vol. 144), 1998. Hariharan P. Optical Holography: Principles, Techniques and Applications. Cambridge University Press, 2nd ed. 1996. Soifer V.A., Golub M. V. Laser Beam Mode Selection by Computer Generated Holograms. CRC Press, 1994. Smith H.M. Principles of Holography. Wiley, 2nd ed. 1975, reprinted 1988. Schumann W., ZurcherJ. -P., Cuche D. Holography and Deformation Analysis. Springer- Verlag, 1985. Abramson N. The Making and Evaluation of Holograms. Academic Press, 1981.
216 _Глава 4. Фурье-оптика Ostrovsky Yu.Г, Butusov М.М. and Ostrovskaya G.V. Interferometry by Holography. Springer-Verlag, 1980. Soroko L.M Holography and Coherent Optics. Plenum, 1980. Caulfield H.J., ed. Handbook of Optical Holography. Academic Press, 1979. Schumann W., Dubas M. Holographic Interferometry. Springer-Verlag, 1979. Vest CM. Holographic Interferometry. Springer-Verlag, 1979. Collier R.J., Burckhardt C.B., Lin L.H. Optical Holography. Academic Press, paperback ed., 1977. Francon M. Holography. Academic Press, 1974. Caulfield H.J., Sun L. The Applications of Holography. Wiley, 1970. Задачи к РАЗДЕЛУ 4.1 1. Соответствие между гармоническими функциями и плоскими волнами. Комплексные амплитуды монохроматических волн с длиной волны А в плос- костях z = 0 и z = d равны /(х, у) и g(x, у) соответственно. Предполагая, что d = 104Я, с помощью гармонического анализа определите g(x, у) в