Ф. Р. ГАНТМАХЕР и М. Г. КРЕИН
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ
МАТРИЦЫ И ЯДРА
И МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
ИЗДАНИЕ 2-е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1950 ЛЕНИНГРАД

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко 2-му изданию 5
Введение 7
Глава I. Основные сведения о матрицах и квадратичных формах 16
1. Матрицы и действия над ними 16
2. Тождество Сильвестра 19
3. Характеристические числа и собственные векторы матрицы 22
4. Вещественные симметрические матрицы 29
5. Приведение квадратичной формы к главным осям 32
6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов .... 38
7. Положительные квадратичные формы 45
8. Неравенство Адамара 48
§ 9. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме
квадратов 54
§ 10. Минимаксимальные свойства характеристических чисел пучка
форм 63
§ 11. Приведение матрицы к треугольному виду 75
§ 12. Многочлены от матрицы 78
§ 13. Ассоциированные матрицы и теорема Кронекера 79
Г лава II. Осцилляционные матрицы 82
§ 1. Якобиевы матрицы 82
§ 2. Осцилляционные матрицы 90
§ 3. Примеры 93
§ 4. Теорема Перрона 100
§ 5. Характеристические числа и собственные векторы осцил-
ляционной матрицы 105
§ 6. Основное детерминантное неравенство 111
§ 7. Критерий осцилляционности 117
§ 8. Свойства характеристического определителя осцилляционной
матрицы 127
§ 9. Характеристические числа осцилляционной матрицы как функ-
функции ее элементов 131
Глава III. Малые колебания механической системы с п степе-
степенями свободы 135
§ Ь Уравнения малых колебаний 135
§ 2. Колебания штурмовых систем 140
§ 3. Второй метод составления уравнений малых колебаний меха-
механических систем 153
§ 4. Функция влияния 156
§ 5. Системы функций Чебышева 161
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
§ 6. Осцилляционность функции влияния сегментного континуума 168
§ 7. Функция влияния струны 173
§ 8. Функция влияния стержня 175
§ 9. Малые колебания упругого континуума с п сосредоточенными
массами 186
§ 10. Малые колебания сегментного континуума 190
§ 11. Колебания системы сосредоточенных масс, расположенных на
многопролетной балке 193
Глава IV. Малые колебания механической системы с бесконеч-
бесконечным числом степеней свободы 196
§ 1. Основные положения 196
§ 2. Колебания сегментного континуума и осцилляционные ядра 208
§ 3. Осцилляционные свойства колебаний повсюду нагруженного
континуума 213
§ 4. Колебания произвольно нагруженного континуума 225
§ 5. Гармонические колебания многоопорных стержней 242
§ 6. Осцилляционные свойства вынужденных колебаний 248
§ 7. Колебания упруго опертой струны 260
§ 8. Вынужденные колебания струны 263
§ 9. Резольвента осцилляционного однопарного ядра 265
§ 10. Уравнения Штурма-Л иувилля , 276
Глава V. Знакоопределенные матрицы 289
§ 1. Основные определения 289
§ 2. Осциллирующие системы векторов • . • • . 291
§ 3. Системы векторов Маркова 305
$ 4. Характеристические числа и собственные векторы знако-
определенных матриц 309
§ 5. Аппроксимация знакоопределенной матрицы строго знакоопрс-
деленной 316
Дополнение1. Метод приближенного вычисления характеристи-
характеристических чисел и собственных векторов осцилляционной ма-
матрицы 324
Дополнение II. Об одной замечательной задаче для нити с бу-
бусинками и о непрерывных дробях Стильтьеса 332
Примечания 350
Цитированная литература 356

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание этой книги имеет по сравнению с первым
изданием, вышедшим в 1941 г., в начале Великой Отечественной
войны, под названием «Осиилляционные матрицы и малые колебания
механических систем», следующие отличия.
Существенно переработана глава II, посвященная теории осцил-
ляционных матриц. Изложение теории сделано более доступным и
целеустремленным. В главе II сохранен лишь тот материал, который
имеет прямое отношение к осцилляционным матрицам и используется
в приложениях этих матриц в теории колебаний механических систем
(главы III и IV).
В главе III, посвященной малым колебаниям систем с п степе-
степенями свободы, существенно переработан параграф, в котором вы-
выясняются механические свойства, обусловливающие осцилляционность
матрицы коэффициентов влияния линейного континуума (струны,
стержня). Кроме того, в эту главу включен новый параграф (§ б),
в котором излагаются свойства функций, образующих системы
Чебышева. Эти системы функций используются в главах III, IV.
Глава IV по существу является новой. Основные положения этой
главы в обзорной форме без доказательств излагались в первом
издании книги в Дополнении I. Глава IV является естественным про-
продолжением и обобщением глав II и III. В ней трактуются вопросы
колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы. Если для
главы III математической основой служила теория осцилляционных
матриц, то для главы IV естественным математическим аппаратом
является теория нагруженных интегральных урапнений с симметри-
симметрическим осцилляционным ядром. Эта теория в ее полном виде впер-
впервые излагается здесь.
В главе V собраны различные обобщения и дополнения к алгебра-
алгебраическим исследованиям предыдущих глав. В первом издании эти
результаты частично излагались в главе II, частично — в отдельных
Дополнениях в конце книги.
Два Дополнения в конце книги содержат новый материал, кото-
которого не было в старом издании.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-МУ ИЗДАНИЮ
В Дополнении I дано развитие итерационного метода приближен-
приближенного вычисления характеристических чисел и собственных векторов
для класса осцилляционных матриц.
Дополнение II посвящено применению непрерывных дробей к об-
обратным задачам теории колебаний—построению механической системы
с конечным числом степеней свободы по ее спектральным характе-
характеристикам.
Мы не упоминаем здесь различных более мелких дополнений,
уточнений и исправлений, проведенных в различных частях книги.
Для понимания всего материала книги, за исключением главы IV,
требуется только, чтобы читатель владел основами дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления и теорией определителей. Глава IV
предполагает у читателя знакомство и с теорией линейных интеграль-
интегральных уравнений (хотя бы с симметрическим ядром).
В главе V авторы использовали ряд ценных замечаний покойного
докторанта Академии Наук СССР Витольда Львовича Шмульяна,
погибшего на фронте Великой Отечественной войны. Эти замечания
по поводу первого издания книги были присланы им с фронта в августе
1942 г.
Авторы пользуются случаем отдать последний долг светлой памяти
этого талантливого математика и патриота.

ВВЕДЕНИЕ
Теория малых колебаний всегда служила источником различных
алгебраических исследований. Достаточно вспомнить, что, отправляясь
от задачи о колебании нити с п бусинками, Штурм (в 1828—1836 гг.)
открыл свою известную теорему из высшей алгебры и разработал
в теории якобиевых форм вопросы, явившиеся алгебраическим про-
прообразом его исследований по дифференциальным уравнениям.
В связи с теорией малых колебаний (и некоторыми вопросами
геометрии) была доказана вещественность корней векового уравнения
симметрической матрицы и разработана теория приведения квадратичной
формы к главным осям.
Много новых алгебраических фактов было открыто в связи с иссле-
исследованиями влияния изменения инерции и жесткости на частоты колеб-
колеблющейся системы.
Исследования устойчивости малых колебаний привели Рауза A877),
А. М. Ляпунова A895) и Гурвица A895) к различным признакам и
критериям того, чтобы корни алгебраического уравнения имели отри-
отрицательную вещественную часть и т. п.
К ряду тонких алгебраических исследований привел советских мате-
математиков получивший широкую известность метод академика А. Н. Кры-
Крылова A931) раскрытия векового определителя, корнями которого служат
частоты колебаний.
Цель настоящей книги — ввести читателя в новый круг алгебраи-
алгебраических идей, который, по нашему мнению, составляет естественную
математическую основу для изучения так называемых осцилляционных
свойств малых гармонических колебаний линейных упругих конти-
континуумов (поперечных колебаний струн, стержней, многопролетных балок,
крутильных колебаний валов и др.).
Поясним подробней, что имеется здесь в виду.
Рассмотрим поперечные малые колебания линейного упругого кон-
континуума (струны, стержня), простирающегося вдоль оси х от точки
* = а до точки х = b и не имеющего никаких закреплений (опор)
внутри (а, Ь) {сегментный континуум). Тогда собственное гармони-
гармоническое колебание континуума будет задаваться формулой
)Ч*, © = *(*) «in (р/-И),

8 ВВЕДЕНИЕ
Здесь у (л:, t) — прогиб в точке х в момент времени /, <р (х) — ампли-
амплитудная функция, р— частота колебания. В общем случае существует
бесконечное множество собственных колебаний с различными частотами
Po<Pi<Pz<- •
Если вся масса континуума состоит из конечного числа сосредо-
сосредоточенных масс, то число этих частот будет конечным.
Сегментный континуум обладает следующими основными осцил-
ляционными свойствами:
1° Все частоты pj являются простыми (т. е. амплитудная функ-
функция собственного колебания данной частоты определяется с точностью
до постоянного множителя однозначно).
2° Собственное колебание с наименьшей частотой р0 (основной
тон) не имеет узлов (<р (х) Ф О при а<х < ?).
3° Собственное колебание с частотой pj (J-й обертон) имеет
точно j узлов.
4° Узлы двух последовательных обертонов перемежаются.
5° В колебании^ получающемся путем наложения собственных
колебаний с частотами рк < рг < ... < рт, число перемен знака
прогиба с течением времени колеблется в пределах от k до т1).
Рассмотрим сначала поперечные колебания системы п масс тъ
Щ> •••> *пп, сосредоточенных в подвижных точках (#<)si<s2<
< ... < sn (< b) упругого сегментного континуума. Пусть К (х, s)
(а^Сх, s^.b) — функция влияния, т. е. прогиб в точке х под
действием единичной силы, приложенной в точке s, a aik — K(si9.5^)
(iK &= 1, 2, ..., п) — так называемые коэффициенты влияния для
данных п масс; уи у2У ..., уп — прогибы этих масс. Согласно прин-
принципу Даламбера, приложим к массе тк фиктивную силу инерции
—rrtk dfi" (^ ^ 1? 2, ..., я)
и используем линейную независимость действия сил. Для прогиба у (х, f)
получим равенство:
Придавая х значения sl9 s2, ..., sn, получим
(/=1,2,...,«)
*) Эти осцилляционные свойства могут быть несколько дополнены (см.
§ 10 гл. III; § 4 гл. IV). В случае многоопорного стержня имеют место видо-
видоизмененные осцилляционные свойства (см. § 11 гл. III; § 5 гл. IV).

ВВЕДЕНИЕ
Поэтому для амплитудных прогибов щ = ср (л^) (/ = 1, 2, ..., л)
гармонических колебаний
) (/=1, 2, ...,я)
получится система линейных уравнений
(/=1,2, ...,Л), (*)
откуда частота р* найдется из уравнения
— pqm^nl —Р*Щап2
= 0.
ils сказанного видно, что свойства колебаний полностью опреде-
определяются заданием матрицы коэффициентов влияния
Между тем, до последнего времени алгебра малых колебаний не
располагала достаточными средствами для вывода осцилляционных
свойств 1°—5° колебаний континуума из свойств матрицы коэффи-
коэффициентов влияния ||«^||. Нужна была новая алгебраическая теория.
Такой теорией и явилась теория осцилляционных матриц.
В 1934 г. М. Г. Крейном было обнаружено, что существование
осцилляционных свойств колебаний связано со следующим свойством
матрицы ||а^||: все миноры любых порядков этой матрицы (главные
и не главные) неотрицательны.
В связи с этим авторы настоящей книги предприняли ряд иссле-
исследований по вполне неотрицательным матрицам (т. е. матрицам, у кото-
которых не только сами элементы, но и все миноры любых порядков
неотрицательны) *).
В результате этих исследований [9а, б, в]2) был выделен важный
класс осцилляционных матриц — вполне неотрицательных квадратных
матриц Л, некоторая степень которых Ак является вполне положитель-
положительной. При этом обнаружился замечательный факт: оказалось, что основ-
основные спектральные свойства этих матриц (вещественность, положи-
положительность и простота характеристических чисел, определенные законы
чередования знаков у координат собственных векторов и др.) никакие
связаны с симметрией матрицы и являются общими как для сим-
симметрических, так и для несимметрических осцилляционных матриц.
х) Аналогично определяются вполне положительные матрицы.
2) Цифры в квадратных скобках относятся к списку цитированной лите-
РатУры, помещенному в конце книги.

10 ВВЕДЕНИЕ
Выбор авторами термина «осцилляционная матрица» вызван сле-
следующим обстоятельством:
Коль скоро для любой конечной системы масс, сосредоточен-
сосредоточенных на данном линейном упругом континууме, матрица коэффи-
коэффициентов влияния является осцилляционной (как оно всегда и бывает
для струны и стержня, обычным образом закрепленных на кон-
концах), то этим самым обеспечивается наличие свойств 1° — 5°
у колебаний континуума при любом распределении масс на нем.
Этот факт выясняется в результате подробного анализа.
Обычно результатам из теории матриц и квадратичных форм
отвечает некоторый аналог в теории интегральных уравнений. В нашем
случае теории осцилляционных матриц отвечает теория нагруженных
интегральных уравнений
ъ
do(s) (**)
с осцилляционным ядром. Определение последнего тесно связано
с определением осцилляционной матрицы, а именно: непрерывное ядро
К (х, $) называется осцилляционным, если при любых (а <) хх < х2 <
<...<*«(<*) матрица \\K(xi9 xk)\\ (I, ft=»l, 2,..., n) является
осцилляционной1). Из этого определения вытекает, что осцилляцион-
ное ядро характеризуется следующими неравенствами:
I. det\K(xi9 ^)li>0 (я = 1,2, ...) при а*
где знак равенства отпадает при xi = si (/=1, 2, ..., п)\
II. К(х, s)>0 (a<x, s<b).
Интегральные уравнения (**), в которых ядра симметричны и
удовлетворяют условию I (но не обязательно II) при do = ds9 были
изучены О. Д. Келлогом [22 а, б]. Его результаты, однако, могут
быть установлены и в случае несимметрического ядра при растущей
функции о (s) [8].
В самом общем случае, при произвольной неубывающей функции
о ($) осцилляционные теоремы имеют место, если ядро К (х9 s) удовле-
удовлетворяет двум условиям I и II, т. е. является осцилляционным, причем
условие II здесь существенно.
Подобно тому, как колебания я сосредоточенных масс математи-
математически исследовались при помощи системы линейных уравнений (*) с
матрицей Ца^Ц, составленной из коэффициентов влияния, колебания
линейного упругого континуума при произвольном (непрерывном,
х) При этом мы не даем здесь дополнительных условий, относящихся
к значениям К(х, s) иа концах интервала [а, Ь] (см. § б гл. III; § 2 гл. IV).

ВВЕДЕНИЕ 11
дискретном и комбинированном распределении масс) исследуются при
помощи нагруженного интегрального уравнения (**), где К (х, s) —
функция влияния континуума, do — масса, приходящаяся на элемент ds
континуума, р2 и ср (х) — соответственно квадрат частоты и амплитуд-
амплитудная функция исследуемого собственного гармонического колебания.
Было установлено, что при обычных закреплениях на концах
функции влияния струны, стержня являются осцилляционными ядрами
и, следовательно, в этих случаях имеют место осцилляционные свойства
1°—5 при любом распределении масс на континууме. Таким образом,
при помощи нагруженных интегральных уравнений с осцилляционным
ядром была создана общая теория колебаний линейного упругого кон-
континуума [246, в,д, е, ж; 25].
Если распределение масс вдоль континуума непрерывно и, более
того, в каждой точке имеется плотность массы, то свободные коле-
колебания континуума описываются обычно некоторым уравнением в част-
частных производных с граничными и начальными условиями.
В случае уравнения 2-го порядка (поперечные колебания струны,
продольные колебания стержня, крутильные колебания вала) Штурмом
[54] был предложен простой метод для установления осцилляцион-
ных свойств 1°—5° собственных колебаний.
В случае уравнения 4-го порядка из свойств 1°— 51 были уста-
установлены лишь первые три, причем это произошло значительно позже.
О. Давидоглу [14 а, б] установил свойства 1°—3° для случая про-
простейших граничных условий, а затем С. А. Янчевский [56]—для
весьма обширного класса граничных условий.
Установление даже первых трех осцилляционных свойств методами
этих авторов значительно усложняется (в особенности для уравнений
4-го порядка), если не делать специальных предположений относительно
«гладкости» распределения масс вдоль континуума.
Между тем, весь комплекс осцилляционных теорем для краевых
задач 2-го и 4-го порядка, изучавшихся упомянутыми авторами, так
же как для многих других типов уравнений, получается как след-
следствие общей теории интегральных уравнений с осцилляционным ядром,
поскольку функции Грина этих дифференциальных уравнений являются
осцилляционными ядрами.
Настоящая книга имеет своей целью ввести читателя в очерчен-
очерченный выше круг вопросов. Так как авторы желали, чтобы эту книгу
мог прочесть не только математик, но и инженер, интересующийся
математической теорией колебаний, то они стремились сделать книгу
возможно более доступной и построили весь материал (за исключением
главы IV) в предположении, что читатель владеет лишь основами диф-
дифференциального и интегрального исчисления и теории определителей.
Глава IV требует от читателя дополнительно знакомства с теорией
линейных интегральных уравнений с симметрическим ядром.
Основной текст книги состоит из пяти глав.

12 ВВЕДЕНИЕ
Глава I содержит общие сведения о матрицах и квадратичных
формах, необходимые для понимания следующих глав. Мы поместили
эту главу еще и потому, что хотя каждый излагаемый в ней вопрос
можно найти в том или ином курсе, однако мы затрудняемся указать
книгу, где бы все эти вопросы были собраны вместе. Читатель, зна-
знакомый с теорией матриц, может сразу приступить к чтению главы II.
Глава II посвящается теории осцилляционных матриц. § 1 этой
главы носит вводный характер: в нем на сравнительно простом и
притом важном примере якобиевых нормальных матриц, независимо
от дальнейшей общей теории, устанавливаются осцилляционные тео-
теоремы. Для этого класса матриц они, повидимому, были известны
еще Штурму. Дальнейшее изложение главы II не опирается на этот
параграф.
Заметим, что для теории малых колебаний нужны только симметри-
симметрические осцилляционные матрицы. Однако существование класса несим-
несимметрических матриц, определяемых некоторыми неравенствами и обла-
обладающих тем свойством, что их характеристические числа всегда раз-
различны и положительны, а собственные векторы осциллируют опре-
определенным образом, — является принципиально новым фактом в теории
матриц и представляет большой интерес с чисто математической сто-
стороны. Поэтому в главе II мы дали полную теорию осцилляционных
матриц (не обязательно симметрических), тем более, что это не вызы-
вызывает существенных усложнений в изложении.
Глава III посвящена изучению колебаний системы п масс, сосре-
сосредоточенных на некотором линейном упругом континууме; но этими
немногими словами ни в какой мере не характеризуются отличительные
особенности этой главы.
В частности, центральным местом в этой главе являются §§ 6, 7, 8,
в которых выясняется простой механический смысл осцилляционности
функции влияния континуума, одновременно позволяющий в различных
конкретных случаях установить, обладает ли свойством осцилляцион-
осцилляционности функция влияния того или иного конкретного континуума.
Коль скоро функция влияния данного континуума является осцил-
ляционной, то осцилляционные теоремы для колебаний системы п
сосредоточенных масс на таком континууме получаются уже без труда
из теорем главы II.
Интересно отметить, что осцилляционность функции влияния, как
показано в § 6, эквивалентна следующему простому механическому
факту.
Под действием п сосредоточенных сил линия прогиба меняет
свой знак не более п — 1 раз.
Таким образом, из этого простого статического факта вытекают
уже все осцилляционные динамические свойства континуума.
Заметим, что первые два параграфа главы III содержат известные
вещи: общие уравнения колебаний систем с п степенями свободы и
разбор колебания систем (названных нами штурмовыми) на основе

ВВЕДЕНИЕ 13
свойств якобиевых матриц, изложенных в § 1 гл. II. Впрочем, изло-
изложение последнего вопроса, насколько нам известно, трудно найти
в каком-либо курсе теории колебаний или теории матриц.
Глава IV посвящается исследованию малых колебаний упругого
континуума, несущего бесконечное количество масс.
В § 1 этой главы, на основе теории интегральных уравнений,
дается общая трактовка свободных и вынужденных колебаний упругого
континуума, а также явления резонанса. Попутно мы напоминаем основ-
основные положения теории интегральных уравнений с симметрическим ядром,
формулируя их в той форме, в какой они переносятся на нагружен-
нагруженные уравнения с произвольной монотонной функцией распределения
масс. Несомненно, что в общих вопросах теории вибраций аппарат
теории интегральных уравнений является наиболее естественным со
всех точек зрения и, в частности, наиболее физически осмысленным.
В этой книге это обстоятельство особо подчеркнуто: дифференциаль-
дифференциальные уравнения в ней почти не фигурируют — они появляются лишь
тогда, когда речь заходит о построении функции влияния того или
иного континуума.
Одновременно в § 1 основные понятия теории интегральных урав-
уравнений с симметрическим ядром получают «вибрационную» интерпре-
интерпретацию, которой мы в дальнейшем непрерывно пользуемся, независимо
от того, соответствует ли рассматриваемое интегральное уравнение
некоторой задаче на колебания или нет.
§ 2 носит вводный характер по отношению к последующим §§ 3 и 4.
В нем формулируются основные осцилляционные свойства сегментного
континуума и ставится задача их математического обоснования при
помощи интегральных уравнений с осцилляционным ядром.
В §§ 3 и 4 излагается сначала с некоторыми дополнениями принад-
принадлежащая самому Келлогу теория его класса интегральных уравнений,
а затем — более тонкая теория интегральных уравнений с осцилляцион-
осцилляционным ядром при любой функции распределения с (s) (в случае интеграль-
интегральных уравнений с ядром Келлога (§ 3) предполагается, что До > О
при Дз > 0, а тогда вся теория развивается так, как если бы do = ds).
В этих параграфах широко используются системы функций Чебы-
шева и ряды функций Маркова [3; 24 л], обычно встречающиеся
в проблемах интерполяции и приближения и которыми с таким большим
искусством пользовался академик А. А. Марков в своих замечательных
исследованиях о предельных величинах интегралов [33а, б].
В § 5 исследуются колебания многоопорных стержней и выясняется
°Дно максимальное характеристическое свойство узлов собственных
колебаний стержня.
В § 6 исследуются вынужденные колебания сегментного континуума
под действием гармонически пульсирующей сосредоточенной силы.
Вопрос сводится к изучению осцилляционных свойств резольвенты
°сцилляционного ядра. Здесь интересно отметить, что в процессе
Доказательства основной теоремы приходится догружать исходное

14 ВВЕДЕНИЕ
дифференциальное уравнение одной массой, т. е. вводить для данной
функции распределения дополнительный скачок. Таким образом, здесь
выясняется, что введение нагруженных интегральных уравнений не
только является естественным шагом, диктуемым механическими при-
приложениями этих уравнений, но что оно также представляет нам новые
средства для установления различных теорем общей теории интеграль-
интегральных уравнений (в том числе и ненагруженных).
В следующих трех параграфах изучение вынужденных колебаний
(т. е. свойств резольвенты) углубляется для случая континуумов типа
струны, функция влияния которых является однопарным осцилляцион-
ным ядром (крутильных колебаний валов, продольных колебаний стерж-
стержней, упруго опертых струн и т. д.).
В § 10 показывается, что всякая краевая задача Штурма-Лиувилля
после некоторой «сдвижки» параметра эквивалентна некоторому инте-
интегральному уравнению с осцилляционным однопарным ядром: тем самым
показано, что исследования самого Штурма в нашем общем плане
занимают лишь очень частное подчиненное положение.
Это обстоятельство стало бы еще более выпуклым, если бы
в этой книге были изложены исследования по приложениям теории
интегральных уравнений с осцилляционным ядром к краевым задачам
высших порядков, где впервые для таких систем устанавливаются
осцилляционные теоремы [24 г, и, к, л, м; 27]. Но содержание этих
исследований должно, повидимому, составить предмет отдельной
книги.
В главе V мы снова возвращаемся к вопросам алгебры матриц.
Здесь изучается общая теория знакоопределенных матриц осцилляци-
онного типа — естественное обобщение осцилляционных матриц. В этой
теории большую роль играют системы векторов, названные нами
«системами Маркова» (аналог рядов функций Маркова из гл. IV).
Изучению систем векторов Маркова посвящен отдельный § 3. В конце
главы даются «обратные» теоремы, устанавливающие осцилляционность
матрицы и ядра по их спектральным характеристикам.
К основному тексту даны два дополнения и примечания.
В Дополнении I показывается, что итерационный метод приближен-
приближенного вычисления характеристических чисел в применении к осцилля-
осцилляционным матрицам (и некоторым более общим классам матриц) допу-
допускает существенное развитие. Последовательные итерации позволяют
получать оценки сверху и снизу для характеристических чисел, причем
не только для первого, но и для последующих.
В Дополнении II решается задача об определении масс п бусинок
и их расположения на нити по заданным частотам колебаний этой
нити с бусинками. Оказывается, что если нить закреплена на концах
симметричным образом, то при требовании симметричности располо-
расположения бусинок относительно середины нити (причем симметрично рас-
расположенные бусинки должны иметь равные массы) задача имеет всегда
решение, и притом единственное (получаемое с помощью одних рацио-

ВВЕДЕНИЕ 15
нальных операций), каковы бы ни были заданные 2п различных
значений для частот.
В связи с этой задачей выясняется механический смысл известных
исследований Стильтьеса по непрерывным дробям. Оказывается, что
эти изыскания Стильтьеса можно трактовать как исследования с опре-
определенной точки зрения колебаний нити, на которую насажена беско-
бесконечная последовательность бусинок, сгущающихся к одному из кон-
концов нити; при этом как длина нити, так и суммарная масса бусинок
могут быть бесконечными (какие-либо подробности по поводу этих
последних случаев в дополнении отсутствуют).
В примечаниях в конце книги приводятся литературные указания
относительно оригинальных работ, имеющих то или иное отношение
к трактуемым вопросам.

'ЛАВА
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ
И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ
§ 1. Матрицы и действия над ними
Пусть дана некоторая прямоугольная матрица (таблица)
0)
с т горизонталями и п вертикалями, элементы которой а,1к
(/==1,2, .,., т; ft = l, 2, ..., п) являются комплексными числами.
Для миноров этой матрицы мы введем следующие обозначения:
ipki aip7c2 • • • alpkp
В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно квад-
квадратные матрицы (т = п). В этом случае мы будем матрицу A) со-
сокращенно обозначать через ||а^[|ь а ее определитель — через | Л |
или |дл|*
Всяким двум квадратным матрицам A=\\aifc\^ и B = \\bikfl отне-
отнесем матрицу C = ||^|fi> называемую их суммой (С = Л + В), у ко-
которой
Ciu — aik + *« (/, * = 1, 2, ..., /г),
и матрицу ? = 11^1^, называемую их произведением (D =
у которой элемент diJc получается как «произведение» /-й горизон-
горизонтали матрицы А на &-ю вертикаль матрицы 5, т. е.
* + о,а*9й + •.. + о<я*пй (/, А = 1, 2, . .., /?).

g 1] Матрицы и действия над ними 17
Кроме того, если А =||я<*[|ь а \—число, то под произведением ХА
понимают матрицу ||Ха<Л||?. Очевидно также определение разности
двух матриц:
A~B^\\aik-t>ik\\l
Легко проверяются следующие свойства действий над квадрат-
квадратными матрицами одного и того же порядка:
IL (AB)C = A(BC), (А + Я)С—4С + ВС, C(A-\-B) = CA-]-CB.
Подчеркнем, что, вообще говоря, А В Ф В А. В случае, когда АВ — ВА,
матрицы А и В называются перестановочными.
Напомним также, что, согласно известной теореме об умножении
определителей, из матричного равенства С — АВ следует детерми-
нантное равенство | С | = | Л 11 В |.
Матрица
1 0 ... О
О 1 ... О
О 0 ... 1
называется единичной. Легко видеть, что всегда АЕ = ЕА =* Л.
Матрица В называется обратной для Л (З^гЛ-1), если АВ = Е.
Из АВ = Е вытекает, что | Л | | В | = | Е | = 1 и, следовательно,
| А | Ф О, Обратно, нетрудно показать, что если | Л | Ф О, то для ма-
матрицы Л существует одна и только одна обратная матрица Z? =; || #^ || i\
причем
/1 2 ... k — l fc + l ... п\
\ 1 ^w ... * ~— 1 * ~у" 1 ... it I
Отсюда видно, что равенство АВ — Е влечет за собой равенство
ВА = Е9 т. е. из 5== Л-1 вытекает, что А = В~1.
Заметим, что сформулированное ранее определение произведения
Двух матриц годится и тогда, когда сомножителями являются прямо-
прямоугольные матрицы, если только число вертикалей в первом со-
сомножителе равно числу горизонталей во вторе м.
Теорема об умножении определителей является частным случаем
следующей теоремы Бине-Коши *) об умножении удлиненной матрицы
на укороченную.
.« 1) См., например, А. К. Сушке в ич [45], § 38, а также В. Ф. Каган
U8], § 49.
2 Зак. 1951. Гантмзхер и Крейн.

18 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ.
Пусть даны две прямоугольные матрицы
л\\
И # =
'1!
ЬпЛ ... bn
B)
где /»-<«. Составим произведение этих матриц, т. е. квадратную
матрицу C = \\cik\\i, где
Тогда
('. * = 1.2,...,
... m
«
12 ... »/'
где сумма, стоящая в правой части, распространяется на все воз-
возможные сочетания (otjO^ . . . <*т) по т из п индексов 1, 2, ..., п.
Если же при т<Сп составим произведение матриц B) в обратном
порядке, т. е. умножим укороченную матрицу В на удлиненную ма-
матрицу А, то получим квадратную матрицу D = ||^fe||i с элементами
т
2 С, * = 1, 2, .. ., я),
определитель которой равен нулю:
г»
I П
/1
Пусть теперь Л = ||я^1 и ? = ||#a||i—Две квадратные матрицы
одного и того же порядка и пусть С = АВ. Тогда матрица минора
представляет собой произведение двух прямоугольных матриц
Поэтому, в силу теоремы Бине-Коши,
«2
1«р
«2
где сумма распространяется на все возможные сочетания (аг а2 ... а^)
по р из й индексов 1, 2, ..., п. Эта формула дает нам выражение

g 2] ТОЖДЕСТВО СИЛЬВЕСТРА 19
для миноров произведения двух матриц через миноры сомножителей.
Сделаем из нее еще следующий вывод.
Пусть гА, гв и гс обозначают соответственно ранги матриц
А В и С; тогда из C) вытекает*), что
ГС<ГА> ГВ-
Если матрица В неособенная, то Л —СЯ-1 и, значит,
га<гс> гв~*>
откуда
ГС = ГА*
Таким образом, при умножении квадратной матрицы на неосо-
неособенную ее ранг не изменяется.
§ 2. Тождество Сильвестра
В настоящем параграфе мы приведем доказательство известного
предложения о минорах взаимной матрицы и, опираясь на это пред-
предложение, выведем важное для нас тождество Сильвестра, которое
трудно найти в распространенных курсах.
Несколько изменяя обычное определение, назовем матрицу
А=||ал||1 взаимной для матрицы А = ||fl«||i, если aik является
минором элемента aik, т. е.2)
Для миноров взаимной матрицы имеет место следующая формула:
hk ... tnp
/ j так
где система индексов ix < /3 < ... < ip, jx </9 < ... <jn_pt >™
же, как и система индексов kt < А2 < ... < ?р, /j < /2 < ... < /п__р,
совпадает с полной системой индексов 1, 2, ...,#.
Эту формулу мы докажем для минора
/12...М
\12 ...р)
Как легко проверит читатель, общий случай получается из этого
путем надлежащей перестановки горизонталей и вертикалей в ма-
матрице А.
х) Через г0 < гА, гв мы сокращенно обозначаем систему двух не-
неравенств ГЛ<Г4 И - '-
сА
*) При обычном определении я^ является алгебраическим дополнением
элемента aih, т. е. равно минору элемента ai1c, умноженному на ( —1)<+*

20
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Введем в рассмотрение алгебраическое дополнение Ail{, =» (—1)*+* aik
элемента aik (/, ? = 1, 2, ..., ri). Умножая /-ю строку (/=1, .. .,р)
определителя Л ( I на (—1)* и k-ft столбец (? = 1, ...,/?)
на (—l)fe, мы можем представить этот определитель в виде
1 2 .....
О ... О 0 0 ... 1
Умножим обе части этого равенства на определитель
ап ... а1п
1п\ • •• апп
причем определители в правой части перемножим по горизонталям;
тогда получим
\А\ О ... О 0 ... О
О \А\ ... О 0 ... О
6
0
О
... О
\п
... а.
рп
... п
E)
Но определитель в правой части равен
\A\pA
поэтому, если | А \ Ф О, то
-/12 ... р\ t /p + l ... п\
А — \А {Р-1 А
\1 2 ... W ! j \p + l ... п)
Из соображений непрерывности ясно, что это равенство сохраняет
силу также, если | А \ == 0.
Итак, формула D) доказана.
Заметим, что для р = п формула D) принимает вид
1-А | = | -Л I*»-1. F)
Из формулы для миноров взаимной матрицы получим известную
формулу для миноров обратной матрицы.

2] ТОЖДЕСТВО СИЛЬВЕСТРА 21
Если А= IK/HI? и 5 = Л-1, то
\Jh ^/
l 2 ... it
где /t < /2< ... < ^ вместе с j\ <y2 < ... < /w_,p, a ^ < fta < ...
... < &p вместе с /j < /2 < ... < 1п„р дают полную систему ин-
индексов!, 2, ..., я.
В самом деле, В= ||*<*|1ь гДе #а —rfi^C—1)*+*т~
(/, &= 1, 2, ,.., й). Поэтому
I L L ... i.\ У, f. + ^ft. Л f
h ... kpj \A\P
2l отсюда уже, в силу D), следует формула G).
Теорема 1 (Сильвестра). Пусть А — ||a<fc||i—произволь-
||a<fc||i—произвольная матрица и пусть 1^р</г. Положим
/I 2 ... р i\
\ 1 2 ... /i ft/
+ l ... л/ \1 2 ...p/ \l 2 ... n)
Доказательство. В силу тождества D), имеем
1 ••• г'~г г + 1 ••• л\ _
1 ... S — 1 S + 1 ... Л/
\jt7
= А (l 2 '.!! р
С другой стороны, матрица ||ere||J}+i, где
~(р + 1 ... г—1 г + 1 ... л\
Г8 \р+1 ... 5-1 5-f 1 ... П)
является взаимной для матрицы i|«*fc!|J}+1. Следовательно, в силу F),
(р + 1 ... п\ ~(р + 1... п\п—р—1
= Л , t . (Ю)
р + \ ... п) \р + 1 ... п] v ;
Но согласно (9)
\р + 1 ... п) \р + 1 ... я/1 ' '

22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
а согласно D)
Приравнивая, в силу A0), правые части этих равенств и сокращая
на | Л \<п—р—1)(п—р) (в предположении, что \А\Ф0), придем к тож-
тождеству Сильвестра (8). Из соображений непрерывности следует спра-
справедливость этого тождества и при |Л| = 0.
В дальнейшем мы будем пользоваться формулой
\*1 ... *,/ \1 2 ... Р) \\ 2 ... Р ky ... kg)'
которая, очевидно, является тождеством Сильвестра для матрицы
определителя
/12...,*... ,,Ч
\1 2 ... р kt ... kj
§ 3. Характеристические числа и собственные векторы матрицы
1. Систему п комплексных чисел х19 х2,...,хп, заданных
в определенном порядке, будем называть вектором х, а сами числа
jfy(/=l, 2, ...,я) координатами этого вектора; будем писать
х = (xl9 xq, ..., хп). Вектор @, 0, .. ., 0) будем обозначать через 0.
Из любых k векторов х = (л^, лг2, ..., хп), у = (у19 у2, ..., уп),.. •
... 9 v = (vu v%, ..., vn) и k чисел a, b, ..., / можно образовать
вектор ?а> = ах -\- by -\~ ... -|- /v, координаты которого определяются
по формуле
wi = axi~\- by^-]-... -4~/v< (i=l9 2, ..., n).
Векторы х9 у, ..., v называются линейно зависимыми (независимыми),
если существует (не существует) такая система не равных одновре-
одновременно нулю чисел ау Ь, ..,,/, что
ах-\-Ьу-\- ...4-/0 = 0.
Из теории определителей следует, что для линейной независи-
независимости k векторов ху у у ..., v необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы
Ух У2 • • • Уп
составленной из координат этих векторов, был равен k.

§ 3] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ 23
Будем говорить, что вектор х преобразуется в вектор х' матри-
матрицей А — ||л**||?, и будем писать
х/ = Ах,
если
*<= 2*<*** (/=1, 2, ...,«).
Очевидно, что
Пусть, далее,
л;" = Ах;' и х' = ?лг,
где Л =Ыь ^=11*«ИГ. Тогда
x'i = 2 S'^' ^i = 2 bjltxk (/, У = 1, 2, .... я),
откуда
п
Xi = 2 ***** ('' = ^ 2. • • •> «)»
где
п
Cik ¦= S «*Л* й * =" ^ 2' • • * > ")>
т. е.
Другими словами, последовательное преобразование вектора сперва
с помощью матрицы В, затем с помощью матрицы А приводит к тому
же результату, что и преобразование вектора с помощью матрицы С,
равной произведению матриц А и В:
В частности (при АВ = Я), отсюда получаем:
Если |Л| ФО, то из х' = Ах следует х=*А~1х'.
При изучении матриц особую роль играют те векторы, которые
преобразуются с помощью данной матрицы в коллинеарные им век-
векторы. Если
Ах^Хх A2)
и х Ф 0, то вектор х называется собственным вектором, а число X
соответствующим характеристическим числом матрицы А.
Равенство A2) в координатах может быть записано в виде системы
равенств
п
х*< ('=1, 2, ,.., п),

24 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. 1
или, с помощью символа Кронекера bik (о{7{ = 1 при / = k и bi1c = О
при / Ф &), в виде
2(%<-Я'*)** = 0 (/-1,2,..., п). A3)
Последняя система уравнений имеет нетривиальное решение (л: Ф 0)
тогда и только тогда, когда определитель
равен нулю. Д (к) называется характеристическим определителем,
а уравнение Д (К) = 0 — характеристическим уравнением 2) ма-
матрицы А.
Таким образом, число X является характеристическим числом
матрицы А в том и только в том случае, когда оно совпадает
с одним из корней характеристического уравнения. Так как характе-
характеристическое уравнение есть алгебраическое уравнение я-й степени,
то оно имеет п (не обязательно различных), вообще говоря, комплекс-
комплексных корней. Следовательно, всякая матрица имеет, по крайней мере,
один собственный вектор.
2. Очевидно, если вектор и является собственным, то и вектор си
(где с — число, отличное от нуля) является собственным и соответствует
тому же характеристическому числу. Вообще, если характеристи-
характеристическому числу Хо соответствует несколько собственных векторов и,
if,..., ©, то и любая их линейная комбинация аи -\- bv 4- . •. +/ш,
если только она отлична от нуля, дает собственный вектор для того
же числа Хо.
Возникает вопрос: каково максимальное количество dQ линейно
независимых собственных векторов, соответствующих данному харак-
характеристическому числу Яо?
Из известной теоремы о решениях системы линейных однородных
уравнений8) вытекает, что это число d0 равно дефекту матрицы
системы уравнений A3) (при Х = А0^ т. е. дефекту матрицы
напомним, что под дефектом квадратной матрицы понимают разность
между ее порядком и рангом.
1) Легко видеть, что Sx = JJ аф S2 =
и т. д., т. е.
I
(k=\, 2,..., n) есть сумма всех главных миноров &-го порядка матрицы А.
а) Иногда вековым уравнением.
ЛЛ1 3) См-> например, Г. М. Ш а п и р о [51], гл. VIII, а также А. Г. К у р о ш
[29J, гл. IV, § 21,

§ 3J ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ 25
Обозначим, кроме того, через т0 кратность Хо, как корня харак-
характеристического уравнения А (X) = 0. Тогда имеет место неравенство
Действительно, положив
будем иметь
= Х — Х
о,
где Тр есть сумма всех главных миноров порядка р матрицы В
(/?=1, 2,..., п). Но так как эта матрица имеет ранг п — dQ, то
а, следовательно,
Отсюда кратность т0 корня Хо не меньше d0. В дальнейшем мы пре-
преимущественно будем иметь дело с матрицами, для которых d0 = т0.
Но чтобы оградить читателя от предубеждения, «то всегда d0 = т0,
приведем пример противоположного.
Пусть
г» 1 0 ... 0
Л =
тогда
Следовательно, в данном случае яго = я. С другой стороны, матрица
0 1 0 ... О
О 0 1 ... О
О 0 0 ... 1
о о о ... о
имеет ранг п—1 и, значит, tfo=l.
3. Пусть А — произвольная матрица. Покажем, что как бы ни
были выбраны собственные векторы и, *?,..., ад, соответствующие
0
0
0
0
хо
0
0
0
1
*0
0
0
... 0
... 0
... 1
... х0

26 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. т
различным между собой характеристическим числам X, |i.,...,v,
они всегда линейно независимы.
Пусть
+ dv-j- ... 4-/^ = 0; A4)
покажем, что в этом соотношении любой коэффициент, например /,
равен нулю. Применим для этого к обеим частям равенства A4) пре-
преобразование с матрицей А; получим
\си + pdv +...-]- v/«> = 0. A5)
Исключая из A4) и A5) вектор и, найдем
где // = (/.—v)/. Исключая далее аналогичным образом из послед-
последнего равенства вектор v и последующие за ним, получим, наконец,
(X — v) (ji — v) ... fw = 0, откуда / = 0.
Пусть теперь
X, н>, .. ., v
— все различные между собой характеристические числа матрицы А
и пусть du d2y ..., dp — дефекты матриц А — \Е, А— у.Е, ...
..., А— v?; пусть далее
в1, и2, ..., и*ч v\ v%, ..., v^; ...; w1, w%, ..., w*p A6)
—система собственных векторов матрицы Л, состоящая из dt линейно
независимых векторов, соответствующих числу X, d2 линейно не-
независимых векторов, соответствующих числу fi, и т. д. Так как, кроме
того, по доказанному собственные векторы, соответствующие разным
характеристическим числам, между собой линейно независимы, то,
как легко видеть, векторы системы A6) линейно независимы. Так
образованную систему векторов A6) будем называть полной системой
собственных векторов матрицы А.
4. Мы будем говорить, что матрица А имеет простую струк-
структуру, если она имеет п линейно независимых собственных векторов,
где п — порядок матрицы. Так как dj^mj (/ = 1,2,..., /?), где т$ —
кратность соответствующего характеристического числа, и ^т.}=*п,
i-i
то матрица А тогда и только тогда имеет простую структуру, когда
d3 = mo (/=*> 2, ..., р),
так как в этом и только в этом случае полная система собственных
векторов A6) состоит из п векторов.
Пусть матрица А имеет простую структуру. Перенумеруем соб-
собственные векторы полной системы A6) в том порядке, в котором они
стоят, введя для них единообразное обозначение
и\ и*, ..., ип\

§ 3] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ 27
соответствующие этим векторам характеристические числа обозначим
через
В этом ряду, очевидно, каждое характеристическое число повто-
повторяется столько раз, какова его кратность, и, следовательно,
Д(Х)-(Х1-Х)(Хв-Х)...(Хп-Х).
Введем в рассмотрение координаты векторов Ф.
Ui= («у, Ид,-, . . ., Unj) (/ = 1,2,..., й).
Матрицу
будем называть фундаментальной матрицей матрицы А.
Еще раз подчеркнем, что j-я вертикаль фундаментальной ма-
матрицы состоит из координат вектора Ш (/=1, 2, . •., я). Так
как эти векторы линейно независимы, то
О. A7)
Запишем каждое из п векторных равенств
в координатах:
п
Давая здесь j значения 1, 2, ..., п9 мы получим л2 равенств, кото-
которые в своей совокупности, как легко видеть, эквивалентны одному
матричному равенству
Отсюда, в силу A7),
х 0 0 ... О
Хо 0 ... О
A8)
О 0 0..Л,
'кп
Так как все наши рассуждения обратимы, то, имея для некоторой
матрицы А представление A8), где U—какая-либо неособенная ма-
тРица (\и\фО)у a Xlt Х2, ..., Хм — какие-либо комплексные числа,
можно утверждать, что U есть фундаментальная матрица для А, а
^i» Х2, ..., \п суть соответственно расположенные характеристические
числа. Таким образом, представление A8) характеризует матрицы
пРостой структуры.

28 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
5. В дальнейшем нам придется встретиться с понятием транспони-
транспонированной матрицы. Матрица Ar = || a'ik \\ ™ называется транспонирован-
транспонированной матрицей по отношению к матрице Л= |]#<&||ь если
«<fe = *w 0\ *=1, 2, ..., п).
Матрица А = || aile || i называется симметрической, если она совпадает
со своей транспонированной, т. е. если
«<* = <**< С *=1, 2, . .., л).
Очевидно, что для любых матриц я-ro порядка А к В
Кроме того, предоставляем читателю проверить, что
(АВ)' = В'А*. A9)
Отсюда, в частности, следует, что если 5 = Л-1, то В'А' = Е, т. е
(A-i/^A')-1. B0)
Определим матрицу 1/= ||^||? равенством
у =({/-!)' B1)
и перейдем в соотношении A8) к транспонированным матрицам; в силу
свойств транспонирования A9). B0), получим
Отсюда заключаем, что матрица V является фундаментальной для
транспонированной матрицы А\ Таким образом, векторы
*/ = (*„, vy, ..., vnj) (/ — 1, 2, ..., /г)
образуют полную систему собственных векторов матрицы А', причем
(/=1, 2, ..., л).
6. Как обычно, скалярное произведение (лг, дг) двух любых век-
векторов х = (хр х^ ..., хп) и у — (уи у2У .. ., уп) определим равен-
равенством
п
(, J
а длину вектора х = (хи лт2, ..., лт„) — равенством

§ 4] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 29
Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = О.
Две системы векторов х1, х*, ..., хр и у1, у2, ..., ур называются
биортонормированными, если
(X*,y*)=**ik (i, Л=1, 2, ..., /г).
В частности, если система векторов л;1, х2, ..., хр биортовормиро-
вана сама с собой, т. е.
(х*9 x*) = bik (/, А = 1, 2, ..., л),
то она называется ортоноржированной.
Заметим, что если две системы векторов х1, х2, ..., хр и
У1у У^> • • • 9 УР биортонормированы, то каждая из этих систем состоит
из линейно независимых векторов.
Действительно, в этом случае из соотношения
р
2 <?,*< = О
путем почленного умножения на ук получаем
** = 0 (*=1,2, ..., р).
Возвращаясь теперь к равенству B1), заметим, что из него
следует
U'V = Ef
или, что то же,
(U\ Ф) = 2 Wak = *ilc (/, А = 1, 2, . . ., Л).
l
Таким образом, системы векторов и1, и2, ..., ип и vl, v2, ..., vn
биортонормированы.
Укажем два важных случая, когда матрица А заведомо имеет
простую структуру.
а) Характеристическое уравнение матрицы Л = \\aik\\i имеет
п различных корней. В этом случае матрица А имеет п различных
характеристических чисел, которым соответствует п линейно незави-
независимых собственных векторов матрицы А.
б) Матрица А вещественна и симметрична.
Разбору последнего случая посвящается следующий параграф.
§ 4» Вещественные симметрические матрицы
1. Пусть i4=||a<fc||?—произвольная матрица. Тогда для любых
Двух векторов x = {xv дга, ..., хп) и y = (yv y2> ..•, уп) имеет
Место соотношение
п
(Ах, у) = 2 аИгх-кУ% — (х, Агу)у B2)
где А' — транспонированная матрица для Л.

30 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Если матрица А симметрична, то для любых векторов х и у
имеем
(Ах, у) = (х, Лу).
Докажем теперь:
1° Все характеристические числа вещественной симметри-
симметрической матрицы вещественны.
В самом деле, пусть
Ах = \х, B3)
где вектор х =Jxv х2, ..., хп) отличен от нуля. Пусть х —
= (xv x2, ..., хп), где черта обозначает переход к комплексно
сопряженной величине. Умножая скалярно обе части равенства B3)
на х, найдем:
21 *< |2 = Ь (х> х) =
п
= 2 ««I ^ I2+2
Так как последнее выражение вещественно, то и X вещественно.
2° Собственные векторы вещественной симметрической ма-
матрицы, соответствующие различным характеристическим числам,
ортогональны между собой.
В самом деле, если
Ах = 1х (х Ф 0),
Ау = ру (уф 0),
то
а, следовательно, при X Ф
3° Каждому характеристическому числу Хо вещественной
симметрической матрицы А соответствует столько линейно
независимых собственных векторов, какова его кратность.
Если обозначить через т кратность характеристического числа Хо,
а через d дефект матрицы 5 = А — Хо?, то наше утверждение сво-
сводится к тому, что rf = m. Так как (см. § 3, стр. 24—25)
то нам остается доказать, что Тг Ф 0. Напомним, что здесь Тк
обозначает сумму главных миноров порядка k матрицы В, которая

с 4] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 31
в данном случае вещественна и симметрична, a r-=-n — d есть ранг
этой матрицы.
Не нарушая общности, мы можем считать, что в матрице
В= ||?|fc||y первые г строк линейно независимы. Тогда любая строка
\)i sss (bil9 bi29 ..., bin) представляется в виде линейной комбинации
первых г строк, т. е.
или, в развернутом виде,
*л = 2 *<А* (/, Л = 1, 2, ..., /^ B4)
В силу симметрии матрицы В, такие же соотношения имеют место
для столбцов, с теми же коэффициентами cip:
Ьщ = 2 ckpbip (/, к = 1, 2, ..., л). B5)
В силу теоремы об умножении определителей, из B4) и B5) следует:
1 2 ...г/ U
M /12... г
U3 J \ 2 jB
откуда
1 2 ... г\
^... kr) \l2...r
\j \l2...r) \l2...r
Так как все миноры
... *r
не могут одновременно обращаться в нуль, то
1 2 ... л\
Далее, из B6), в частности, следует, что
U, rj L \ /J \ 2 ... r/
Иными словами, все главные миноры матрицы, не равные нулю
U такие есть в силу B7)], имеют один и тот же знак, и, следова-
следовательно, их сумма Тг Ф 0, что и требовалось доказать.
2. Предложение 3° выражает тот факт, что вещественная сям-
мвтоическая матрица имеет всегда простую структуру или, что то же,

32 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
что ее полная система собственных векторов состоит из п векторов,
где п — порядок матрицы. При этом, так как все характеристические
числа так же, как и матрица, вещественны, то и собственные векторы
этой полной системы могут быть выбраны вещественными. Более того,
имеет место следующая
Теорема 2. Всякая вещественная симметрическая матрица
А— \\ctik\\i имеет п вещественных собственных векторов, образую-
образующих ортонормированную систему.
Доказательство. Так как, согласно предложению 2°, собствен-
собственные векторы, отвечающие различным характеристическим числам, между
собой ортогональны, то нам остается показать, что для каждого
характеристического числа X кратности т можно построить ортонор-
ортонормированную систему из т соответствующих этому числу собственных
векторов.
Для этого заметим, что если й1, и2, ..,, ик (k < т) — некоторая
ортонормированная система собственных векторов, соответствующих
характеристическому числу X, а х — собственный вектор, соответ-
соответствующий тому же X и линейно независимый с й1, и2, ..., ик, то
вектор
к
х'^х — %с4и*, где <?, = (*, uf) (/=1, 2, ..., ft),
отличен от нуля и ортогонален каждому из векторов и1, и2, . .., иК
Поэтому, если положить
то получим ортонорхМИрованную систему й1, й2, ¦.., йл+1 из ft-j-1
собственного вектора.
Возьмем теперь произвольный собственный вектор й, соответствую-
соответствующий данному характеристическому числу X, и построим нормированный
вектор
Отправляясь от него, мы указанным выше процессом последовательно
построим ортонормированную систему из т собственных векторов
й1, й2, ..., йш, соответствующих данному характеристическому числу
X кратности т. Тем самым теорема доказана.
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям
Под квадратичной формой от п переменных xv х2, ..., хп пони-
понимают всякий однородный многочлен второй степени от этих пере-
переменных; квадратичную форму от xv ..., хп можно всегда записать

§ 5] ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ 33
в виде
п
2j
где А = \\(кн\\г—некоторая симметрическая матрица.
Обозначая через х вектор с координатами xv х29 ... f хп> мы для
квадратичной формы введем сокращенное обозначение
п
А (X, X) = 2 aikxixk* B8)
ikl
Мы будем рассматривать исключительно вещественные формы, т. е.
будем всегда предполагать, что коэффициенты aik (/, &= 1, 2, ..., п)
вещественны. Вместе с формой B8) мы будем рассматривать соот-
соответствующую ей билинейную форму
п
А (х, у) = 2 а«ЧУ*. B9)
i,k=l
Пользуясь векторной символикой и скалярным произведением, форму
Л (я, у) можно определить так:
А (х, у) = {Ах, у) - (*, Ау) 1). C0)
Определитель | А | = | а^|? называется обычно дискриминантом
квадратичной формы А (х, х). Если дискриминант | А | равен нулю,
то квадратичная форма А(х, х) называется сингулярной.
Заметим еще, что, в силу билинейности формы А (х, у\ для любых
векторов хх, х2, ..., хг; уг> у2, ¦ •., ут и скаляров ?1э са, ¦ .., сх\
dv d%, . .., d,m имеет место тождество
i т г т
А ( 2 cixif 2 ^^) = 2 2 ?^-Л (л:^ ^). C1)
Выясним теперь, как изменятся коэффициенты формы B8)t если
подвергнуть в ней переменные преобразованию
п
а* — ^V^ re 5 (i -l 1 О *»Ч
Х^ :=— j?j^ QiJc^k \r "*~" > ^» • • • э **</»
Вводя векторы gk=z(glki g^kt ¦.., ^Л&) (Ы, 2, ..., л), мы
сможем это преобразование записать одним векторным равенством
Здесь (Л^, j/) обозначает скалярное произведение вектора Ах на
у.
3 Зак. 1951. Гангмахер и Крейн.

34 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. j
Отсюда, в силу C1),
А{х% x)^A(tlpgP9 2$rf*) = 2 apq^q.
где
~ n
<*pq = A (gP9 g*) = ^ g^ ViKgipgjeq (p, 0 = 1, 2, . . ., Л).
Выражения для коэффициентов ^g преобразованной формы Пока-
Покали Лч<
зывают, что матрицы At A = ||fl*fc||i и 0= ||^fc||i связаны соотно-
соотношением
А == О'АО, C2)
где G7 — матрица, транспонированная с матрицей G. Отсюда
т. е. при преобразовании формы дискриминант формы умножается
на квадрат определителя преобразования*
Из C2) также следует (см. § 1), что при неособенном преобра-
преобразовании переменных (| G | ф 0) ранг матрицы коэффициентов не
меняется. В силу этого ранг симметрической матрицы А называют
рангом формы А(х, х). Среди неособенных преобразований особый
интерес представляют так называемые ортогональные преобразования,
т. е. преобразования с ортогональной матрицей коэффициентов.
Матрица G = ||g^&|* называется ортогональной, если имеет место
равенство
GG'=:E. C3)
Таким образом, в ортогональной матрице любые две строки ортого-
ортогональны между собой и сумма квадратов элементов каждой строки
равна единице:
п
l&gihgjk = 8tf (/, У = 1, 2, ..., п).
Аналогичные соотношения имеют место для столбцов, ибо из C3)
вытекает, что G'~G-1 и, следовательно,
G'G = E. C4)
Теорема 3 (о приведении квадратичной формы
к главным осям). Для каждой вещественной квадратичной формы
п
А(х, х)= 2
i &

§ 5] ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ 35
существует ортогональное преобразование
п
*<= 2 ««** (*'=1, 2, •.., /г),
приводящее ее к сумме квадратов:
А (х, х) = 2
i
w*ft|ii обязательно какая-либо ортогональная фундамен-
фундаментальная матрица матрицы А, а \4 (/== 1, 2, ..., /г)—соответ-
/г)—соответственно занумерованные характеристические числа матрицы А.
Доказательство. Пусть
и1, и*, •.., ип
— полная ортонормированная система собственных векторов веществен-
вещественной симметрической матрицы Л, а Х1э Х2, ..., Xw—соответствующие
характеристические числа:
AuJ^Xjttf (/ = 1, 2, ..., я), C5)
(в/, ^) = 8^ (/, А = 1, 2, .... я). C6)
Из координат векторов
uf = {uli% и%, •.., e^) (/ = 1, 2, ..., я)
составим фундаментальную матрицу
В силу соотношений C6), U U = E, т. е. матрица ?/ ортогональна.
С другой стороны, согласно A8),
или
и так как U—ортогональная матрица, то окончательно
\\hbiic\\i = ^AU. C7)
Но как мы знаем из C2), U'AU есть матрица преобразованной
формы, если переменные хг (/=1, 2, ..., п) подвергнуть преобра-
преобразованию
п
^=2«<л5л Св If 2, ..., я).
Поэтому после такого преобразования наша квадратичная форма при-
примет вид
п

36 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. 1
Так как все проведенные здесь рассуждения обратимы, то мы
убеждаемся также в справедливости второй части теоремы 3.
Доказанная теорема допускает интересную геометрическую интер-
интерпретацию, объясняющую ее название.
Будем в /г-мерном эвклидовом пространстве Rn отстраивать векторы
из начала координат. Тогда каждый вектор x — {xv лг2, ..., хп)
определит точку с координатами xv лг2» ..., хп*
Пусть дана произвольная центральная гиперповерхность второго
порядка с центром в начале координат О @, 0, . ¦., 0). Ее уравнение
может быть записано так:
п
п
где 2 aikxixk есть некоторая квадратичная форма от координат
itk=l
xv х2, ..., хп, или, в сокращенной символике,
А(х, х) = 1. C8)
Рассмотрим все хорды гиперповерхности C8), параллельные не-
некоторому вектору а Ф 0. Пусть л*1 и х2 суть радиусы-векторы концов
одной из таких хорд. Тогда
х2 — л;1—[ли (ji скаляр).
Х1 4- л:2
—2— есть радиус-вектор середины хорды. Так как каждый из
векторов х1 и х2 удовлетворяет уравнению C8), то, как легко видеть,
в силу C1),
Заменяя здесь х2 — х1 коллинеарным вектором а, получим, что радиус-
X1JL Х2
вектор х = —^— середины хорды удовлетворяет уравнению
А (и, х) = (Аи, лг) = О, C9)
которое в координатах запинлется так:
п п
= 0 (*< = 2 атиь\ /=1, 2, ..•, я). D0)
Таким образом, середины всех хорд, параллельных одному и
тому же вектору и% лежат в некоторой гиперплоскости^ про-
проходящей через центр гиперповерхности C8) и записываемой урав-
уравнением C9) или D0). Эта гиперплоскость называется диаметральной
гиперплоскостью, сопряженной с направлением и.
Вектор (направление) и называется главным для гиперповерх-
гиперповерхности C8), если он ортогонален к сопряженной с ним диаметральной
гиперплоскости.

§ 5] ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ 37
Из уравнения C9) видно, что вектор Аи ортогонален к каждому
вектору х, лежащему в диаметральной гиперплоскости, сопряженной
с и, и, следовательно, ортогонален к самой этой гиперплоскости.
Поэтому для того, чтобы вектор и был главным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы он был коллинеарен с вектором Аи:
Аи = \и.
Мы видим, что главный вектор есть не что иное, как собственный
вектор симметрической матрицы А. Ввиду этого теорема 2 выражает
следующий геометрический факт:
Центральная гиперповерхность второго порядка в п-мерном
пространстве имеет п взаимно ортогональных главных направлений.
Выберем теперь эти направления за направления осей новой системы
координат. Обозначим орты этих главных осей через и1, #2, ..., ип
(uk — (u1Jc, и2Ъ ..., tfnfe); & = 1, 2, ..., п) и координаты вектора
x = (xv х2, ..., хп) в новой системе координат через %v ?2, ..., in.
Тогда
или
п
к==1
Так как координатные гиперплоскости ^ = 0 (/=1, 2, ..., п)
являются гиперплоскостями симметрии, то уравнение гиперповерхности,
отнесенное к главным осям, не должно содержать произведений раз-
различных координат и поэтому имеет вид
Мы получили геометрическое доказательство первой части тео-
теоремы 3.
Из второй части теоремы следует, что полуоси гиперповерхности а$
находятся из формулы
k
где \{ (i= 1, 2, . .., я) суть характеристические числа матрицы
Ы
Положительным Х^ соответствуют действительные, отрицатель-
отрицательным — мнимые и нулевым — бесконечно большие оси гиперповерхности.
Если нулевые характеристические числа существуют, т. е. форма А (х, х)
сингулярна, то для соответствующих собственных векторов и имеем
Лй = о, и потому уравнение C9) вырождается в тождество. Хотя
в этом случае нельзя говорить о сопряженной к и диаметральной ги-
гиперплоскости, все же вектор и называют главным, полагая величину
соответствующей полуоси а равной бесконечности.

38 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Заметим, что попутно нами выяснен геометрический смысл орто-
ортогонального преобразования. Именно, на всякое ортогональное преоб-
преобразование можно смотреть как на преобразование, задающее переход
от данных координат х{, х2, ..., хп к некоторым новым прямо-
прямоугольным декартовым координатам ?,, 52> ..., $м. Ввиду этого гео-
геометрически ясно, что при ортогональном преобразовании сохраняется
сумма квадратов координат:
Алгебраически это доказывается следующим образом:
2 *?=*(*.*) = B *,«*, i м*)= 2 («*, «*)М*= 2 &
4 = 1 i=z\ fc = i a«i **=*i
Легко убедиться в том, что указанное свойство является харак-
характеристическим для ортогонального преобразования.
§ в. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
1. В некоторых вопросах представляется важным определить знаки
характеристических чисел вещественной симметрической матрицы
Д= ||a<ft||?, не прибегая к их вычислению.
Так как характеристические числа являются корнями векового
уравнения
и так как для симметрической вещественной матрицы эти числа ве-
вещественны, то для определения их знаков можно воспользоваться
правилом Декарта *). В силу этого правила, имеем:
Число положительных (соответственно отрицательных) ха-
характеристических чисел вещественной симметрической матрицы А
равно числу постоянств {соответственно перемен) знака в ряду
1, Sj, 52, . • •, Sn.
Несмотря на то, что это правило звучит весьма просто, оно ока-
оказывается мало пригодным в приложениях по той простой причине,
что определение величин Sv S2, .,., Sn обычно связано с большой
вычислительной работой.
Значительно более удобные приемы определения знаков характе-
характеристических чисел можно получить, опираясь на некоторые общие
предложения теории приведения квадратичных форм к сумме квадратов.
2. Если не ограничиваться ортогональными преобразованиями пе-
переменных, то тогда бесчисленным множеством способов можно будет
!) См, Граве [13], § 14, стр. 352-355,

§ 6] ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ 39
представить квадратичную форму А (х, х) в виде
г
А (X, X) = 2 aiXh
4 = 1
где а4 =?0 (*= 1, 2, ..., г) и
*<= 2 ««** (/= !• 2, ..-, >')
суть независимые линейные формы от xv x2% ..., хп (и, следова-
следовательно, г < п). Однако, при этом всегда имеет место
Теорема 4 (закон инерции квадратичных форм).
При представлении квадратичной формы А (х, х) в виде суммы
линейно независимых квадратов:
А(хух)= 2 atX]f D2)
число положительных квадратов 1) и число отрицательных квадра-
квадратов (а значит, и число г) не зависят от способа представления
формы в указанном виде.
Доказательство. Действительно, пусть в представлении D2)
, а2>0, ..., ав>0,ави<0, ..., аг < 0
и пусть в некотором другом представлении формы А {х, х) в виде
суммы независимых квадратов:
Л (*,*)= 2 hYl D3)
имеют место неравенства
Будем вести доказательство от противного. Допустим, например,
что а<$. Тогда v = о-|-(г — ^)<г^л, а следовательно, система
из v</2 уравнений с п неизвестными хи х2, ..., хп
1^1 = 0, К2 = 0, ..., К, = 0, Хш=0, ..., ^. = 0D4)
имеет нетривиальные решения. Рассмотрим, с другой стороны, си-
систему уравнений
Хх = 0, Х2 = 0, ...э Хг = 0. D5)
Так как она состоит из г независимых уравнений, то она не может
быть эквивалентной системе из v < г уравнений D4). Поэтому най-
найдутся такие значения х% что при х = х4 (/=1, 2, .. ., п) система D4)
будет удовлетворяться, и вместе с тем одно из Xj (/=1,2, .. ., s)
Т, е, число положительных

40 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
х%,
п) в силу D2)
Мы пришли
будет отлично от нуля. Но тогда при х° = (,
А (хР, х°) > 0, а в силу D3) имеем А (х°, л:0) < 0.
к противоречию.
Закон инерции позволяет ввести следующую терминологию:
Число положительных (соответственно отрицательных) чисел аг
в представлении D2) будем называть числом положительных (соот-
(соответственно отрицательных) квадратов формы А (х, х).
Припоминая теорему 3, мы приходим к выводу:
Правило. Число положительных {соответственно отрица-
отрицательных) характеристических чисел вещественной симметрической
матрицы А равно числу положительных {соответственно отри-
отрицательных) квадратов формы А (х, х).
Заметим, кроме того, что так как для матрицы простой струк-
структуры число ненулевых характеристических чисел равно рангу мат-
матрицы, то в представлении D2) число квадратов г есть не что иное,
как ранг матрицы Л.
3. При определении числа положительных или отрицательных квад-
квадратов формы А (х, х) можно пользоваться различными приемами. Все
основные приемы могут быть получены из формулы Сильвестра,
открытой им в 1851 г.
В этой формуле мы будем пользоваться сокращенными обозначе-
обозначениями:
п
Лг{х)= ^aikxk A=1, 2, ..., п).
Формула Сильвестра. Пусть А = \\а4к\\" — симметрическая
матрица и пусть при некотором р A < р < п)
Тогда имеет место тождество
ап ... а1р Ах(х)
А (х, х) = —
;
а
да
Ар(х)
Ах(х) ... Ар(х) О
i 2 л(!22:::)^ ^
Доказательство. Равенство D6) эквивалентно следующему:
flu • • • ain Ах (х)
пр\ ••• a>pV Ар(х)
^Лх) ••• ^»W Л(х,х)
- V АГ 2 ¦¦¦ Р 1

§ 6]
ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ
41
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, следует левую
его часть записать в развернутом виде:
а\кхк
2 ар
Л1
2 a*
il
n
2
i,k = 1
aikxixk
D7)
и разбить последнюю горизонталь на п горизонталей, а последнюю
вертикаль на п вертикалей. Тогда, по теореме сложения определителей,
определитель D7) разобьется на сумму п2 определителей
(I, ft=l, 2, ..., п\
а41х4
aipxi aikxixk
соответственно равных ЛA "# ь)хгхк
Заметим, что в правой части формулы Сильвестра D6) суммиро-
суммирование нужно распространять лишь на значения ink, большие р,
= 1, 2, ..., п).
ибо, если / или ^/?, то Л ( * 1=0.
\1 2.../? А/
4. Теперь перейдем к рассмотрению отдельных способов приведе-
приведения формы к сумме квадратов.
Способ Лагранжа. Этот способ состоит в последовательном
выделении одного или двух независимых квадратов. При этом при-
приходится различать два случая:
1) Пусть в матрице Л = ||^Л|Р элемент апФ0. Полагая в фор-
формуле Сильвестра D6) р=1, найдем, что
D8)
Таким образом, из формы А {х, х) выделен один квадрат и при-
притом так, что оставшееся выражение
(! *)*«**

42 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
содержит только лишь переменные х2, лг3, ..., хп. Поэтому, если
нам удастся представить R (х, х) в виде суммы независимых квадратов
R (х,
% а{х1 (а< Ф 0),
где Х{ (/=2, 3, ..., т) зависит лишь от х2, л:3, ..,, хп% то, так
как Ах (x) содержит хи представление
т
А(х, *) = -^М, (*)!»+Jja,*?
будет одним из искомых представлений формы А (а:, х) в виде суммы
независимых квадратов.
Очевидно, что такой способ выделения одного квадрата применим
вообще, если отличен от нуля какой-либо элемент адд главной диа-
диагонали (а не только ап). Именно, если адд=?0, то
Л(х,
1ЛФ9
адд адъ
aig aik
2) Пусть яи = а22 = 0, но а12 Ф 0. Положим теперь в формуле
Сильвестра D6) р = 2; тогда получим
1
0
(дг)
Ах(х) А2(х) 0
или
А (х, х) = ^-
._L
где
, D9)
зависит только от дг8, .
Так как
1 (л:) = а12х2 + а|8
2 (л:) == а21хг + а23д
... + а2пхП9
то функции At(x) и Л2(дг) независимы, а следовательно, независимы
и первые два квадрата в представлении D9).
Очевидно, что этот способ выделения двух квадратов применим
вообще, если для некоторых g Ф h имеем адд = аш = 0, адП Ф 0,

§ 6] ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВАДРАТОВ
и тогда вместо D9) будем иметь
А(х, х)^^-[Ад{х)-\~Аь\
43
Если форма А (х, х) не равна тождественно нулю, то либо при неко-
некотором g A < g < п) имеем адд ф 0, либо ап = а22 = ... = апп = О,
и л h ф о для некоторых g и h (g Ф h). Отсюда мы заключаем, что
последовательным комбинированием приемов 1) и 2) можно с по-
помощью рациональных операций привести любую форму к сумме
квадратов.
5. Способ Якоб и. Положим для сокращения
п а12
2i a22
ап
... ах
... ап
ьч\ • • • **пп
Еще Якоби заметил, что если ни один из последовательных главных
миноров ДЛ(А=1, 2, ..., п) не равен нулю, то
А(х,х)=
xl
где
ап •••
E0)
E1)
D = 2, 3, ..., я).
Докажем несколько более общее предложение:
Если форма А (х,х) имеет ранг г и
Дй^0 (ft = l, 2, ..., г),
то
E2)
Положим для этого в формуле Сильвестра D6) /? = г; мы полу-
получим тогда тождество, известное под именем тождества Кронекера:
Аг(х)
*и
... а
Лг
Аг{х)
Аг (х) ... Аг (х) 0

44 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Положим
Р*(х, *) =
... aik At(x)
=1, 2, ...,/•).
«w • •• аы Ак{х)
Ах(х) ... Ак(х) О
Но для любой матрицы C=||<ty||i+1 порядка k -\-1 имеет место сле-
следующее тождество:
Л 2...*\ /12...*-1*+1
" \1 2... k) \1 2...AJ —1 ^ + 1
\1 2...А —1 Л + 1/ \1 2 ... Л— 1 к )
мы
2... k
2...*
/1 2...Л —1 у\
Действительно, полагая fy, = С I 1 (/, / = А,
\ 1 ? »• • к ~~~ 1 * у
(ife k ~\~ 1 \
I, так что E3) есть
k k+ I/
частный случай детерминантного тождества Сильвестра, приведенного
в § 2 (формула (8)). В частности, для симметрического определителя
Рк(х, х) из E3) находим, что
или
Рк(х9х)
k-l\x> x)&k — лк-—ak~l
v2 p / ч
, х)
= 1, 2, ...,я; Я0 = 0).
Отсюда, на основании приведенного выше тождества Кронекера,
Итак, формула Якоби установлена.
Вставляя в E1) вместо Л^(лг) (/= 1, 2, ..., п) их выражения
через хи х2, ..., хп и пользуясь теоремой сложения определителей,
мы найдем, что
:=1, 2, .... г).

§ 7] ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 45
Так как Дл Ф 0, то формы Хк (k — 1, 2, ..., г) линейно незави-
независимы1), ибо если итти с конца, то каждый новый квадрат содержит
новую переменную.
Таким образом, формула Якоби E2) дает представление формы
Л (л:, х) в виде суммы независимых квадратов, а отсюда:
Теорема 5. Если симметрическая матрица A = \\aik\fl имеет
ранг г и последовательные главные миноры
До=1, Alf A2, ..., Аг E4)
этой матрицы все отличны от нуля, то число положительных
(соответственно отрицательных) квадратов формы А (х, х) равно
числу постоянств (соответственно перемен) знака в ряде E4).
Заметим, что правило Якоби можно обобщить на тот случай,
когда в ряде E4) некоторые (не крайние) члены равны нулю, но
никакие два соседних члена одновременно не равны нулю. В этом
случае, если некоторое Aft = 0 A < k <r), то непременно Aft_1 и Afc+1
имеют разные знаки. Действительно, применяя тождество E3) к ма-
матрице ||dty||?+\ найдем, что
12...Л-1 *+П Г /1 2...Л —1 k
и следовательно, если Д& = О, ДЛ-1 Ф О и Aft+1 Ф 0, то AA:_1Aft+.1 < 0.
В этом случае (когда никакие два соседних члена в ряде ^54)
не равны одновременно нулю) число перемен (или постоянств) знака
в ряде E4) не зависит от того, какие мы припишем знаки нулевым
членам ряда E4). Из соображений непрерывности нетрудно убедиться
(предлагаем это читателю провести самостоятельно), что теорема 5
сохраняет силу и в рассматриваемом случае.
§ 7. Положительные квадратичные формы
Вещественная квадратичная форма
А (х, *) =
называется неотрицательной, если для любого вектора х
А(х> *)>0, E5)
1) Впрочем это непосредственно следует из того, что г есть ранг формы
А (х, х), ибо если бы Хк были линейно зависимы, то А (х, х) можно было
бы представить в виде суммы квадратов, число которых меньше г, т. е. г
не могло бы быть рангом формы А (лг* х).

46 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
и положительной, если для любого вектора x~(xv х2, ..., хп) Ф О
А (х, х) > 0. E6)
Из представления формы
А(х, *)=2ХД
где X* (/=1, 2, . .¦, п) — характеристические числа матрицы А (см.
§ 5, стр. 35), непосредственно усматриваем справедливость следую-
следующей теоремы:
Теорема 6. Для того чтобы форма А(х, х) была неотри-
неотрицательной {соответственно положительной), необходимо и доста-
достаточно, чтобы все характеристические числа \1У Х2, ..., \п мат-
рицы А были неотрицательны (соответственно положительны).
Таким образом, положительная квадратичная форма А (х, х) всегда
представима в виде суммы п независимых положительных квадратов,
а неотрицательная форма —в виде суммы г положительных незави-
независимых квадратов, где г — ранг этой формы.
Теорема 7 (критерий положительности квадратич-
квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма Л (л*, х)
была положительной^ необходимо и достаточно^ чтобы все после-
последовательные главные миноры ее матрицы были положительны^ т. е.
0
ап
Доказательство
#12
а22
ап ... а1п
. Положим
Aц ... а^
аы
... акк
(U 1 о
Если квадратичная форма А(х, х) положительна, то все А^>0 (/== 1,
2, ..., п) и, следовательно, дискриминант формы АП = Х1Х2 ... Хл> 0.
С другой стороны, если xv дг2, ..., хр не равны одновременно нулю,
а лгри = ... =л;п = 0, то из E6) получим
> 0
= 1, 2, ..., л—1),
т. е. «урезанные» формы 2 aikxixk(P — 1> 2, ..., я — 1) также
положительны, а поэтому их дискриминанты Ар > 0 (/? = 1, 2,..., п—1).
Обратно, если
), Д2>0, ..., Д„>0,
E7)

§ 7] ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 47
то по формуле Якоби E0)
п X?
А{ху *) = 2jvfcL>0>
если только не все ^Q = 0 (i=l, 2, ..., п). Но в силу линейной
независимости форм Хг (/=1, 2, ..., п) эти формы обращаются
одновременно в нуль лишь при лг< = 0 (/=1, 2, ..., п).
Следствие. Если в симметрической, матрице А=^\\а4к\([
последовательные главные миноры E7) положительны, то все ее
главные миноры положительны.
Действительно, из E7) вытекает, что форма А(х, х) положи-
положительна. С другой стороны, меняя надлежащим образом нумерацию
переменных хь а значит, нумерацию строк и столбцов, мы можем
любой главный минор включить в цепочку последовательных главных
миноров. Значит, все главные миноры положительны.
Теорема 8 (критерий неотрицательности квадра-
квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма А (х, х)
была неотрицательна, необходимо и достаточпоу чтобы все глав-
главные миноры матрицы А были неотрицательны.
Доказательство. Положим
Тогда
п
а%{х, *)= 2
Следовательно, если форма А (х, х) неотрицательна, то форма
Аъ(х, х) положительна и, значит, положительны ее главные миноры.
Так как Аг~* А при s->0, то главные миноры матрицы А неотри-
неотрицательны.
Обратно, если все главные миноры матрицы А неотрицательны,
то для дискриминанта формы Аг(х, х) при s>0 имеем
и аналогично убеждаемся в том, что все главные миноры матрицы Аг
положительны. Отсюда форма Аг{ху х) положительна, а значит,
форма А(х, л:)=:НтАг(х, х) неотрицательна.
е-Н)
Обратим внимание читателя на то, что из неотрицательности
последовательных главных миноров симметрической матрицы А не
вытекает, вообще говоря, неотрицательность формы А (лг, х), а следо-
следовательно, неотрицательность других главных миноров.

48 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Действительно, возьмем для примера произвольную заведомо не-
нега
неотрицательную форму 2 aikxixk и будем ее рассматривать как
'/ к=2
квадратичную форму от п переменных хи х2, ..., хПУ положив
яи = а<1=0 (/=1, 2, ....л). Тогда все последовательные миноры
а112-р]
-Р) (р = 1, 2, ..., й)
... Р J
будут равны нулю (и, значит, неотрицательны), в то время как
п
квадратичная форма 2 ai%xixk не будет неотрицательной.
§ 8. Неравенство Адамара
Наиболее простые и вместе с тем наиболее точные оценки для
детерминантов были предложены впервые Адамаром.
Теорема 9 (неравенство Адамара). Если форма А(х,х)
положительна, то для ее дискриминанта имеет место неравенство
E8)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
aik~® пРи l Ф * (*. А = 1, 2, . •., п).
Доказательство. Для доказательства неравенства E8) доста-
достаточно показать, что
2 ... п\ /1 2 .¦¦ п—-
)<А[
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
ain = а2п = ... = ап_1%п = 0. Действительно, если форма А (лг, лг)
положительна, то и урезанные формы
р
2 *<**<** (Р = 1, 2, ..., л)
все положительны. Применяя к ним неравенство E9), получим
/1 2 ... п\ /1 2 ... л —
4J<4
1 2 ... л—2
Очевидно, кроме того, что знак равенства в E8) возможен лишь
только тогда, когда во всех соотношениях F0) имеет место знак равен-
равенства, а это приводит к условиям а41с = 0 при / Ф k (*, & = 1, 2, ..., п).

§ 8]
НЕРАВЕНСТВО АДАМАРА
49
Для доказательства неравенства E9) рассмотрим все те 8, при
которых форма
Аь(х, х) = А(х, х) — Ьх1
положительна. Согласно критерию положительности квадратичной
формы, форма Аь(х, х) положительна, если последовательные глав-
главные миноры матрицы Аь положительны. Но все эти миноры, кроме
последнего, совпадают с соответствующими минорами матрицы Л,
которые по условию (в силу того же критерия) положительны. Таким
образом, рассматриваемые 8 должны удовлетворять единственному
условию
а*
Следовательно, величина j-2*- является точной верхней границей рас-
рассматриваемых значений 8. С другой стороны, если форма Ab{xt x)
положительна, то все главные миноры ее матрицы положительны и,
в частности, апп — 8 > 0. Таким образом, величина апп является
верхней (но, вообще говоря, не точной верхней) границей для рас-
рассматриваемых чисел 8. Отсюда
пп
или
F1)
что и дает неравенство E9).
Выясним теперь, когда в E9) возможен знак равенства. Если
в E9) имеет место знак равенства, то апп есть точная верхняя гра-
граница тех 8, при которых форма Аь(х, х) положительна. Следова-
Следовательно, форма
D \Х9 X) = Л уХ9 X) —
получаемая из формы Аь(х, х) при 8
тогда главные миноры матрицы В
i апп, неотрицательна. Но
hu
akk
(А —1, 2, ..., л—1)
неотрицательны и, следовательно,
#fc» = 0 пРи А—1, 2, ..., п—1.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Неравенство E9), из которого получилось неравенство Ада-
мара E8), является частным случаем более общего неравенства,
устанавливаемого в следующей теореме:
4 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

50 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Теорема Ю(обобщенноенеравенствоАдамара). Если
п
форма А {х, х) = 2 &ikxixk положительна, то для ее дискри-
минанта имеет место {при любом р < п) неравенство
/1 2 ... п\ /1 2 ... р\ //7 + 1 ... п\
А[ )<А\ \А\ Ь F2)
\l 2 ... п) ^ U 2 ...р/ \р + \ ... л/1 ^ ^
причем знак равенства имеет место в том и только в том
случае, когда
aa = aw = 0 при /=1, 2, ..., р; Л = р+1, . .., л. F3)
Доказательство. Доказательство этой теоремы не зависит
от доказательства предыдущей теоремы; тем самым мы получаем
одновременно новый вывод этой последней.
Справедливость теоремы при п = 2 усматривается непосредственно,
ибо в этом случае непременно р == 1 и
/1 2\
А1 1 =лиляа —
причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда а12 = 0.
Докажем теорему индукцией относительно п. Если #>2, то одно
из чисел р или я—р больше 1; не нарушая общности, мы можем
предположить, что р> 1.
Положим
1 2 ... р — \ А
Так как в силу тождества Сильвестра (см. § 2, стр. 21)
в('р + 1-Л-
\р р + \ ... q)
2 ... » —1\Ъ_» /1 2 ...
то форма
•я
В (а:, а?)= 2
положительна. Следовательно, по предположению индукции,
рр + 1 ... я/^ ** \р+1 ... и
П2...МГ /12...,-lXp-W12...,_!, + ! ...„X
\12...рЯ \12.../;-l/J \12... р-1 p+l ...nf K '
С дрзггой стороны, если в форме А(х, х) положить хр = 0, то
мы получим снова положительную форму от я—1 переменных

§ 8] НЕРАВЕНСТВО АДАМАРА 51
xlt х2, , xp_v хр+1> ..., х„ с дискриминантом
/1 2 ... р-1 р+\ ... п\
\1 2 ... p — ip + i ... п)'
Применяя к этому дискриминанту обобщенное неравенство Адамара
(что возможно по предположению индукции), найдем:
/I 2 ... р— 1 о+1 ... п\ /12...»—1\ /р+1...п\
А\ )<М \М ). F5)
Л\12...р-\р+1 ...п}** \\2...р~\) \р + 1...п) К }
Следовательно,
12.../Л
и так как в силу тождества Сильвестра
/„ + 1....Х Г /12...р_1Хр /12....Ч
\р/»+1 ...«/ L \12 ...p-1/J \12 ... а)'
то мы приходим к требуемому неравенству
12...ЯХ /12...р\ /P+1...I.
Здесь знак равенства возможен только лишь в том случае, если
в F4) и F5) имеет место знак равенства. Но если в F5) имеет
место знак равенства, то, по предположению индукции,
лл = лм = 0 при /=1, 2, ..., р—1 и ?=/?+1, ..., п. F6)
С другой стороны, если в F4) имеет место знак равенства, то, по
предположению индукции,
2 ... р — \ k\
)° * + 1 + 2 я
Но в силу F6), раскрывая определитель Ьур по последней горизон-
горизонтали, найдем
2 ... р — \ k\ /1 2 ... /? —
а потому
акР = аръ = Ъ при Л=р+1,..., я. F7)
Условия F6) и F7) в совокупности дают F3).
Теорема доказана.
Обычно под детерминантным неравенством Адамара понимают
не E8), а неравенство, устанавливаемое следующим предложением:
Теорема 9'. Для каждой вещественной неособенной матрицы
С= \\cik\\i имеет место неравенство
cll • • • с\п
^w1
F8)

52 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. 1
причем знак равенства имеет место здесь в том и только в том
случае^ когда строки матрицы С ортогональны между собой,
т. е.
п
2 cikcjk = 0 при / Ф j (i, j = 1, 2,..., п) >). F9)
Доказательство. Покажем, что неравенство E8) влечет за
собой неравенство F8), так же, как и обратно. Для этого, отпра-
отправляясь от матрицы C=||^fc|lb положим
п
% =2 cikcjk (/, j = 1, 2,...,n). G0)
&=я 1
Так как при таком определении чисел atj форма
п п
2 ацхгх$ = 2 (с#хх + с2кх2 +...+• спкхпJ G1)
ij i fei
положительна, то для построенной матрицы Л = Ця#||? имеет место
неравенство E8). Но в силу теоремы о перемножении определителей
(по строкам)
и, следовательно, неравенство E8) совпадает с F8). Кроме того,
в силу G0), условия а^ = 0 при / Ф j (/,/=1,2, ¦.., п) совпадают
с условиями F9).
Так как, обратно, любую положительную форму А(х, х) можно
представить в виде суммы п линейно независимых квадратов с поло-
положительными коэффициентами, а следовательно, в виде G1), где
| cik |? ф 0, то из F8) вытекает E8).
Неравенство F8) допускает простую геометрическую интерпрета-
интерпретацию. Введем в рассмотрение п линейно независимых я-мерных векто-
векторов ск = (ски скъ..., скп) (k=l, 2,..., л). Тогда определитель
|c/ft|i оказывается равным объему (взятому с тем или иным знаком)
гиперпараллелепипеда, построенного на этих векторах, а
х) Неравенство F8) остается верным также и для неособенных матриц
С= HcflfcJlJ* с комплексными элементами, если только фигурирующие в нем
квадраты в левой и правой части заменить квадратами модулей; при
этом условия F9) необходимо заменить следующими:
= 0 при 1ф] (/,У=1,2,..., п).

§ 8J НЕРАВЕНСТВО АДАМАРА 53
(/=1, 2, •.. , п) дает длину вектора с1 (/==1, 2, ..., п). Таким обра-
образом, неравенство F8) приобретает следующий простой геометриче-
геометрический смысл:
Объем гиперпараллелепипеда, построенного на п векторах^ не
превосходит произведения длин этих векторов. Равенство дости-
достигается в том и только в том случае, когда все векторы попарно
ортогональны.
Предоставляем читателю сформулировать геометрический смысл
более общего неравенства F2).
Заметим, что равенство G0) в матричной форме можно записать так:
Л = СС. G3)
Отправляясь от этого равенства, можно получить новое доказательство не-
неравенства F2) и, следовательно, третье доказательство неравенства Адамара.
Покажем, как это проделать. Для этого заметим, что в силу теоремы
Бине-Коши о перемножении прямоугольных матриц (см. § 1) из G3) выте-
вытекает, что
...П П.
\p + lp + 2) ДД U Л //J
С другой стороны, раскрывая определитель \С\ по правилу Лапласа
по первым р и последним п —р строкам, найдем, что
{\1'"пУ
...n \
¦¦¦Jn-pJ
G6)
i<*t<t?.<tp<P р h JpJ
гДе /i <h< ••• <?jn-p — дополнительная система индексов к системе
*it h> •••> ip> так что совокупность индексов lit lb..., lp, jh }г jn-p
совпадает с системой индексов 1, 2, ..., п.
Применяя к сумме G6) известное неравенство Буняковского-Шварца:
найдем, что
откуда в силу G2), G4), G5) и приходим к неравенству F2). Однако, идя
таким путем, трудно вывести, когда именно в F2) наступает знак равенства,
и мы этот вывод опустим.

54 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Ввиду важности неравенства Адамара (в особенности для теории
интегральных уравнений) ему и различным его обобщениям посвящено
свыше двух десятков статей, основная часть которых была опублико-
опубликована до 1912 г. *). Вместе с тем и сейчас часто переоткрывают это
неравенство или неравенство F2J).
§ 9. Одновременное приведение двух квадратичных форм
к сумме квадратов
1. В теории малых колебаний механических систем играет важную
роль вопрос об одновременном приведении двух квадратичных форм
к сумме независимых квадратов. Ввиду этого мы приведем следую-
следующую теорему:
Теорема 11. Пусть заданы две квадратичные формы от
одних и тех же переменных х1} лг2,..., хп:
п п
А(хух)= 2 <ДО<*ь С(х, х)= 2 cikx4xk.
Если форма С(х, х) положительна, то существует неособенное
вещественное преобразование
п
**= 2 "<kh, G7)
преобразующее одновременно формы А (лг, х) и С (л:, х) к виду
Л (*, *) = 2 \SJ, <?(*,*)= JU|. G8)
При этом числа \и Х2,..., \п не зависят от преобразования G7)
и определяются однозначно как корни обобщенного векового
уравнения
Ч1о
Доказательство. Если форма С(х, х) положительна, то она
представима в виде
С(х, *) = glx*i>
где
S С-1» 2,..,,п) G9)
1) См.. ХеллингериТеплиц [50], стр. 1356—1357.
2) См., например, Бицено и Граммель [5]

§ 9] ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 55
— некоторые линейно независимые формы от хь лг2, ...,хп. Решая
систему G9) относительно хи х2, ..., хПУ получим
*4=* 2S А*Л (/=1,2,..., п). (80)
&i
Проделаем теперь над формой А(х> х) преобразование (80):
Как нам уже известно (см. § 5), существует ортогональное пре-
преобразование
*< = 2«<*** (*— 1, 2, ... ,л), (81)
приводящее форму А (X, X) к сумме квадратов, т. е. такое преобра-
преобразование, что
Таким образом, выражая х+ (I = 1, 2,..., п) с помощью (80) и (81) через
?Л (fcrrsl, 2, ..., л), мы получим искомое преобразование G7).
Для доказательства второй части теоремы мы рассуждаем следую-
следующим образом. При совершении над формой А(х, х) преобразова-
преобразования G7) матрица А формы преобразуется в матрицу
U'AU~ HXAftlli (82)
(см. § 5, стр. 34). Аналогично
. (83)
Следовательно,
V (А-КС) U= lift — X) 8Л||?. (84)
Переходя в (83) и (84) к определителям (принимая во внимание, что
t/'| = |?/|), найдем:
|| — Х)...(ХЛ — X),
или окончательно
ХЛ — X),
что и доказывает последнюю часть теоремы.
Следствие. Если А(х, х) и С(х, х) — две квадратичные
формы от одних и тех же переменных xt, х2>..., хп и форма

56 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
С (л:, л:) положительна, то обобщенное вековое уравнение
\А — ХС| = О
имеет только вещественные корни. При этом кратность любого
из этих корней Х^ совпадает с дефектом соответствующей
матрицы А — Х^С
Вторая часть этого утверждения вытекает из формулы (84)
и того, что диагональная матрица \\(\4 — Х)8^|(? при X, равном
одному из \4, имеет дефект, равный кратности Х^ (см. также ска-
сказанное в конце § 1 о ранге произведения матриц).
2. Исследуем подробней строение преобразования G7). Для этого
введем в рассмотрение векторы
«* = («!*, u2i, ..., uni) (/=1, 2, ...,/!)•
С помощью этих векторов преобразование G7) можно записать
в виде
*-$1в» + «9«Ч- ... + ^«». (85)
Отсюда
А (х, х) = 2 А («*, и*) Uh и С(х, х) = 2 С(««, в»
<»1 *& !
Сопоставляя эти представления форм Л (л:, л:) и С(х, х) с G8),
заключаем, что
А(и\ и*) = ^8« (/, ft=l, 2, ..., /г) (86)
С(ц<, «*) = 8,, (/f ft = 1, 2, ..., я). (87)
Впрочем, эти же соотношения немедленно следуют из (82) и (83).
Действительно, если мы, например, от матричного равенства (82)
перейдем к равенствам между соответствующими элементами, то
получим соотношения
п
2 V^i*858^ (*, А=*1, 2, ..•, л),
l
выражающие то же, что и соотношения (86).
Из (85) и (87) следует, что
?< = <?(*, «О ('=*> 2, ..., я). (88)
Умножая (при фиксированном / (/=1, 2, ..., я)) обе части равен-
равенства (87) на Х^ и почленно вычитая полученное равенство из (86),
получим:
и*) = {Аи* — Х|С«*, и*) = 0 (ft == 1, 2, ..., п\
Здесь мы имеем систему из п линейных однородных уравнений
относительно координат вектора АФ — Х^Ся*; детерминант этой си-

§ 9] ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 57
стемы | U\ = \ujk\^ 0. Поэтому Ли*—\{Си* = 0 (/= 1, 2, ..., я) или
Аи**=г\Си* (/=1, 2, ..., я). (89)
Применяя к обеим частям (89) преобразование С, получим равенства
С-М«г* = Х,й* (/ = 1, 2, ..., я),
из которых вытекает, что векторы и* и числа Х^ (/ = 1, 2, ..., я)
являются соответственно собственными векторами и характеристи-
характеристическими числами матрицы С А*
Легко видеть, что и обратно, если некоторые векторы и* =
s= («и, u2if ..., «я<) и числа \$ (/=1, 2, ..., я) выбраны так, что
выполняются соотношения (89) и (87), то преобразование
приводит формы А(х, х) и С (а:, л:) к виду G8).
Таким образом, задача о построении преобразования G7) сводится
к задаче о построении системы векторов и1 (/= 1, 2, ..., я), удовле-
удовлетворяющих условиям (89) и (87).
3, Чтобы лучше осмыслить эту последнюю задачу, введем спе-
специальную терминологию.
Пусть С(х, х) — положительная квадратичная форма. Под С-про-
С-произведением двух векторов х и у условимся понимать значение би-
билинейной формы С (л:, у).
Два вектора х и у назовем С-ортогональными, если С (х, у) = 0.
Под С-длиной вектора х условимся понимать -f- У С (х, х). Заме-
Заметим, что так как форма С(ху х) положительна, то С(х, х) > 0
при х Ф 0.
Систему векторов еи е2У ..., ет будем называть С-ортоноржиро-
С-ортоноржированной, если
ек) = Ъш (/, fc = l, 2, ..., т\
Рассмотрим теперь векторное уравнение
Ах = \Сх, (90)
которое в развернутом виде изображается следующей системой урав-
уравнений :
^ + (а19
(ап1 — Xcni) хх
Очевидно, что уравнение (90) имеет нетривиальные решения х {х Ф 0)
в том и только в том случае, когда X есть корень обобщенного
векового уравнения

58 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Так как при этом число линейно независимых решений х уравне-
уравнения (90) равно дефекту матрицы А— ХС, то приведенное выше след-
следствие теоремы 11 выражает следующие два факта:
1° Векторное уравнение Ах — \Сх имеет нетривиальные реше-
ния только при вещественных значениях X, число которых не
превосходит п.
2° Число линейно независимых решений х уравнения Ах = \Сх
равно кратности числа X как корня обобщенного векового уравне-
уравнения \А — ХС| = 0.
Соотношения (87) и (89) показывают справедливость также сле-
следующего утверждения:
3° Пусть Х1? Х2, ..., Хш суть все различные корни уравнения
\А — ХС| = О, соответственно кратностей pl9 р2, ..., рт (рг4-
+ р2 "Ь • • • Н~ Рт = п)- И3 решений векторного уравнения Ах =
==s \4Cx (i = 1, 2, ..., т) можно выбрать р4 решений (i = 1, 2, ..., т)
так, чтобы совокупность всех полученных таким образом решений
давала С-ортонормированную систему.
В частности, отсюда вытекает предложение
4° Любые два решения векторного уравнения Ах = \Сх> отве-
отвечающие двум различным значениям X, С-ортогональны между собой.
Заметим, что предложения 1° и 4° можно доказать непосред-
непосредственно почти так же, как мы это сделали в § 4 (см. там предложе-
предложения 1° и 2°) для того частного случая, когда С = Е.
Покажем, например, как доказать непосредственно предложение 4°.
Пусть
Ах = 1Сх, Ау = {д.Су (х ф 0, у ф 0).
Тогда, в силу симметрии матриц А и С,
X (Сх, у) = (*, Ау) = р. (х, Су) = ^ (Сх, у),
и поэтому, если X Ф (х, то С (х, у) sss {Сх, у) = 0.
Заметим также, что коль скоро предложения 1°, 2Э и 4° установлены,
предложение 3^ может быть выведено из них.
Действительно, чтобы построить систему векторов, о которой идет речь
в предложении 3° (и по которой, как мы знаем, строится искомое преобра-
преобразование G7)), следует построить для каждого отдельного Х^(^'= 1, 2,..., т)
какую-либо С-ортонормированную систему из pi решений уравнения
Ах — liCx в 0, и тогда все эти решения, собранные вместе, автоматически
дадут, в силу предложения 4°, С-ортонормированную систему, состоящую
из п векторов. Что же касается построения такой системы векторов для
каждого отдельного Х$, то тут можно поступить совершенно аналогично
тому, как это было указано в § 4 (стр. 32) для того частнохо случая,
когда С — Е; нужно только всюду там, где у нас фигурировало обыкновен-
обыкновенное скалярное произведение, заменить его С-произведением.
4. Полученные результаты приобретают особенную наглядность
и естественность, если мы перейдем к геометрической интерпретации.
Прежде всего приведем геометрическую интерпретацию положи-
положительной формы С(х, х).

§ 9] ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 59
Рассмотрим я-мерное пространство Rn вещественных векторов
Х — (Х19 Х2, ..., Хп), в котором скалярное произведение двух
векторов Х = (Хи Х2, ..., Хп) и К=(К1, К2, ..., Yn) определено
по обычной формуле:
(X, Y) = Xi Yx + X9Y2 + ... И- XnYn.
Возьмем в пространстве Rn произвольную систему линейно неза-
независимых векторов g1, g*2, ..., gn. Тогда каждый вектор X можно
будет однозначно представить в виде
На числа х19 х2, ..., хп можно будет смотреть как на координаты
вектора X в косоугольной системе координат, направление осей
которой задано «координатными» векторами g1, g\ ..., gn, причем
на каждой оси величины координат измеряются в масштабе, равном
длине соответствующего вектора g.
Скалярное произведение двух векторов
в новой системе координат изобразится билинейной формой:
2 (=С(х, у)),
где
Cik = D4, gk) (i, *=1, 2, ..., л);
следовательно, длина |Jf| вектора X найдется из формулы
\Х\* = (Х, Х) = С(х, х).
В частности, если векторы gi образуют ортонормированную
систему, т. е.
(Л «*) = «« ft *-1, 2,.-., л),
то и в новой системе координат мы получим обычные формулы
Возвращаясь к общему случаю, отметим очевидный факт, что
С (л;, л:) является положительной формой.
Легко видеть, что и обратно, какова бы ни была положительная
форма
п
С (*, X) == S

60 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
всегда в пространстве Rn можно построить косоугольную систему
координат, в которой форма С(х, х) дает квадрат длины вектора
Х—(Хи Х29 ..., Хп) из Rw имеющего в построенной косоуголь-
косоугольной системе координат координаты хи ..., хп.
Действительно, если форма С (л:, лг) положительна, то ее можно
представить (и притом бесчисленным множеством способов) в виде
С(х, *) = 2*| = (*, Х)у (91)
где *=х
*i= Д^Л (/=1, 2,..., /г) (92)
— некоторые линейно независимые формы (| gik jf Ф 0), а X =
= (Хг, ..., Хп). Вводя в рассмотрение векторы из Rn
gi = (gib g*i> ..-, gni) ('=1, 2, .¦., /г),
мы видим, что линейное преобразование (92) выражает геометрическое
равенство
*» a+ (93)
т. е. что числа хА, д:2, ..., л:п суть координаты вектора X из #w
в косоугольной системе координат, задаваемой координатными векто-
векторами g1J е2, . • м i?"w. При этом формула (91) показывает, что С(ху х)
есть квадрат длины вектора X, выраженный через его новые коорди-
координаты хи х2, . •., хп.
Из (91) и (93) вытекает, что
а следовательно, вообще
Таким образом, С-произведение двух векторов Л' = (лг1, х2, ..., хп)
и K = (yt, ^g, .., ^у^, которое мы ввели раньше, можно рассматри-
рассматривать просто как обычное скалярное произведение двух векторов
п п
X ва 2 «^^ и У s= 2 Л?* из ^п* выраженное через их косоуголь-
il 4 1
ные координаты xi и yfi (/= 1, 2, ..., л).
Так как представление формы в виде суммы квадратов неодно-
неоднозначно, то и косоугольная система координатных векторов g\g*> .., g71
определяется неоднозначно. Читателя, конечно, не должно удивлять
это обстоятельство. Ведь если, например, систему векторов
gly g*> • • •» gn повернуть как твердое тело, т. е. сохранив их величины
и углы между ними (иначе говоря, сохранив скалярные произведения

§ 9] ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 61
(?*! ?к) 0\ Л=1, 2, ..., л)), то естественно, что и в новой системе
координат квадрат длины сохранит свое выражение в координатах.
Перейдем теперь непосредственно к геометрической интерпретации
одновременного приведения двух квадратичных форм к сумме квадра-
квадратов. Фиксируя координатные векторы gl, g*, . ¦., gn, будем равенством
х=[хи лг2, ..., хп] выражать, что * = 2л:*?%^ тем самым отпадет
необходимость введения X. Вместе с тем сохраним обозначение С (л:, у)
п
для билинейной формы 2 сисх<Ук> равной, как мы видели, (X, К).
Поставим следующую задачу:
Найти величины и направления главных осей центральной ги-
гиперповерхности F второго порядка, имеющей в рассматриваемой
косоугольной системе координат уравнение
А(х9 х)= S аах,хк=\. (94)
4к1
чим чере
р главных
Пусть
4,к=*1
Обозначим через и*=[ии9 и^,*.., uni] («=1, 2, ..., п) иско-
искомые орты главных направлений этой поверхности.
Пусть
т. е. пусть ?,: (/=1, 2, ..., п) обозначают координаты вектора х
в прямоугольной системе координат, образованной из главных осей
поверхности F.
Уравнение поверхности F, отнесенное к главным осям, должно
иметь вид
п е2
т. е. должно иметь место тождество
я
=НГ> '=1, 2, ..., я).
Так как главные орты и1 (i = 1, 2, ..., п) должны образовывать орто-
нормированную систему, т. е. С (и*, uk)=^bik (/, А=1, 2, *.., я),
то
С(*, л:)= 2 й
Таким образом, поставленная нами задача свелась к рассмотренной
ранее задаче об одновременном приведении двух форм А(х, х) и
С(х, х) к сумме квадратов.

62 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. 1
Мы видим, что величины -^- (/= 1, 2, ..., п) суть корни обоб-
ai
щенного векового уравнения, а главные орты и1 поверхности F опре-
определяются из уравнений
Аи* — ±Си* = 0 (/=1, 2,..., я),
а<
как это и было указано выше. Таким образом, число положительных,
отрицательных и нулевых корней уравнения \А — кС | = 0 дает соот-
соответственно число вещественных, мнимых и бесконечных осей гипер-
гиперповерхности F.
Заметим еще, что одновременное приведение к сумме квадратов
двух форм А (х, х) и С(х, х) равносильно приведению к сумме ква-
квадратов пучка форм Л(х, х) — кС(х, х), где к— вещественный пара-
параметр. Поэтому уравнение \А — кС \ — О называют характеристическим
уравнением, а числа ki и векторы и1 (/= 1, 2, ..., п) соответственно
характеристическими числами и главными векторами пучка форм
А(х, х) — \С(х, х).
В заключение отметим одно интересное свойство двух положитель-
положительных квадратичных форм.
п
Теорема 12. Если А (х, х) = 2 aikxixu и В (х, х) ==
i,k = l
п
— 2 bikxixk — &ве положительные квадратичные формы, то из
тождественного соотношения
А(х, *)<?(*, х) (95)
вытекает тождественное соотношение
Л-Ч*, х)>В-*(х, х).*) (96)
Если при этом для любого х Ф 0 в (95) исключается знак ра-
равенства, то при х Ф 0 знак равенства исключается и в (96).
Доказательство. Одновременным неособенным преобразова-
преобразованием х = Ui (х{ — 2j й*^ъ / = 1, 2, ..., л; | U\ = | «<ft|M # 0) при-
приведем обе формы А(х, х) и В(х, х) к сумме квадратов; соотноше-
соотношение (95) при этом сохранится:
А (х, х) = 2 ^<й, В (*, л:) == 2 5?, (97)
(98)
«'«1
и В" (л:, jc) суть квадратичные формы, соответствующие
матрицам л-1 Л ^

§ 10] МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 63
При этом
u'AU=\\uik\\l и'ви^\\ъа\\1 №
Но из (98) с необходимостью вытекает:
Х,<1 (/=1, 2, ..., я), A00)
и следовательно,
Ъ7Х>1 (/=1, 2, ..., л). A01)
Поэтому
Теперь заметим, что из (99) следует:
^1?^ ^ (юз)
Поэтому, полагая % = и~1г E< = 2 %*?*> *=1, 2, ¦ .., /г), мы
из A02) получим:
А-Цг, г)>В-Цг, г\ A04)
или, обозначая произвольный вектор г через х, получим соотноше-
соотношение (96).
Если в (95) ни для одного х ф 0 не имеет места равенство, то
знак равенства исключается и из последующих соотношений (98),
п
A00), A01), A02) (при 2 $ > О) и> наконец, (96) (при л: =? 0).
Теорема доказана.
§ 10. Минимаксимальные свойства характеристических чисел
пучка форм
1. Так же, как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать
две формы:
п п
А(х, х)= 2 aaxixk. и С(лг, а:)=
и будем предполагать, что форма С(х, х) положительна. Тогда корни
уравнения
будут все вещественны. Обозначим их в порядке возрастания через
Х1Э Х.2, ..., Кп; таким образом,
^i<^<..- <К- A05)

64 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
При изменении коэффициентов одной из форм А (х9 х) и С(х9 х)
числа ки А2, ..., Хп, вообще говоря, будут меняться. Следующие
теоремы, устанавливающие различные экстремальные и минимаксималь-
ные (илимаксиминимальные) свойства чисел ^(/=1,2, . •., п)9 позво-
позволяют во многих случаях чрезвычайно просто выяснить характер изме-
изменения чисел \г при тех или иных изменениях форм А(х9 х) и С(х9 х).
Теорема 13. Наименьшее характеристическое число kt пучка
А (х, х) — XC(jc, я) является минимумом^ а наибольшее число \п —
максимумом отношения двух форм А(х9 х) и С(х9 х)9 т. е.
Минимум (соответственно максимум) достигается на тех и
только тех векторах х, которые являются главными векторами
пучка форм А(х> х) — кС(х, х)9 принадлежащими характеристи-
характеристическому числу \1 (соответственно Xw).
Доказательство. Пусть векторы и1, и*, ..., ип образуют
С-ортонормированную систему главных векторов пучка форм А (х, х) —
— \С(х9 х), т. е.
AW> = \<Си\ С (а*, я») = 8Л (/, k = 1, 2, ..., п).
Выбирая векторы «*(/= 1, 2, ..., я) за координатные орты, положим
Тогда
А(х9 *)== 2 Ml с(х> *)= 2 й- 0°7)
Следовательно, в силу A05), будем иметь
п
А(х, *)<Хл Ц Й = ^(х, х). A09)
Таким образом,
\Х9 X)
Так как, кроме того, знак равенства достигается в A08), например,
при ^ = 1, 52= ... =Sw = 0, т. е. при х = иг9 а в A09), например,
при ij ===== 52 ===== ... == 5Л_! = 0, f-n = 1, т. е. при л; = aw, то равенства
A06) доказаны.
Остается выяснить полностью, для каких именно векторов х до-
достигается знак равенства в формулах A08) и A09). Пусть \х
есть корень уравнения \А — ЛС| ===== 0, имеющий кратность р, т. е.

§ 10] МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 65
\t = Х2 = ... = Хр < Хл при k > р. Очевидно тогда, что в A08) будет
иметь место знак равенства в том и только в том случае, если
*р+1 = *Р+2 = • • • =: «п == О,
и, следовательно,
*= jb^ (ПО)
Но так как Аи* = Х^Ся* (/ = 1, 2, ..., п) и векторы w1 (i = 1, 2, ..., р)
образуют полную систему линейно независимых решений уравнения
Ах — XxCa: = O,
то равенство (ПО) равносильно тому, что х есть главный вектор
пучка форм А(х, х) — КС(х, х), соответствующий корню Хх.
Совершенно аналогично разбирается случай равенства в A09).
Теорема полностью доказана.
Соотношения A06) допускают геометрическую интерпретацию,
принимающую особенно простой характер, если форма А (х, х) поло-
положительна, а следовательно, все Хг- (/==1, 2, ..., п) положительны.
Рассмотрим для этого случая, например, первое из соотношений A06).
Его можно теперь представить так:
или
1 = тахС(лг, х) A11)
при дополнительном условии
А(х, *) = 1. A12)
Но уравнение A12) в косоугольной системе координат, порождае-
порождаемой формой C(xf x) (см. конец предыдущего параграфа), задает ги-
гиперэллипсоид F с полуосями а^ ===== — (/=1, 2, ..., /г). Так как
С (л:, х) в этой системе координат дает квадрат длины вектора с коор-
координатами хи x2f ..., хп> то равенство A11) выражает не что иное,
как то, что наибольшая полуось гиперэллипсоида F совпадает с наи-
наибольшим из радиусов-векторов точек поверхности F. Факт — геомет-
геометрически совершенно очевидный.
Равным образом и все остальные предложения этого параграфа
имеют простой геометрический смысл, но мы предоставим выяснение
этого самому читателю.
Теорема 14. Пусть известны С-ортонормированные главные
векторы ut (/= 1, 2, ..., h) пучка форм А (х9 х) — \С(х, х), соот-
соответствующие первым h характеристическим числам Х1э Х2, .,., \h;
А* \\ С{\ «*) = 8^ (/, *=1, 2, ..., А).
5 Зак. 1951. Гантмахер и Креин.

66 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Тогда следующее по величине характеристическое число \п±г мо-
может быть получено как относительный минимум, а именно:
при условии, что варьируемый вектор х подчинен ограничениям
(связям)
С(и\ х) = С(й2, *)=...= С(«\ х) = 0. A14)
Относительный минимум достигается на тех и только тех
векторах л:, удовлетворяющих связям A14), которые являются
главными векторами пучка форм А(х9 х) — \С (х, х), соответ-
соответствующими характеристическому числу Хл+1.
Доказательство. Дополним систему векторов и* (*'= 1,2, .. ., h)
с помощью некоторых векторов ah*1, ..., ип до полной С-ортонор-
мированной системы главных векторов пучка форм А (х, х) — ХС(лг, х)
и воспользуемся снова представлением любого вектора х в виде (ПО).
Тогда
С(ц\ х) = S С(и\ и*) U = h (*=1, 2 А),
и, следовательно, связи A14) выражают не что иное, как то, что
вектор х представим в виде
X Т7Г-;
Но для такого вектора х
п п
А(х, х)— 2 М?^^л+1 2 й = Хл+1С(л:, л:), A15)
т. е.
X, X)
Если Xft+1 = Хл+2 = •.. = \р < Xft при * > /?, то знак равенства
в A16), а следовательно, и в A16) будет достигаться тогда и только
тогда, когда
х= 2 W*
in+i
чем и заканчивается доказательство теоремы.
2. Мы показали, что характеристические числа Х^ и главные
векторы и* (/= 1, 2, ..., п) пучка форм Л (л:, *) — ХС(лг, *) могут
быть получены путем последовательного решения ряда минимум-про-
минимум-проблем, причем для постановки каждой последующей проблемы нужно
знать решения предыдущих проблем. Очевидно также, что, расположив

§ 10J МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 67
числа \€ по убыванию их величины, мы могли бы получить их как
решения уже ряда максимум-проблем.
Ниже мы приведем теорему, согласно которой каждое промежу-
промежуточное число Xft (I < ft < n) может быть получено непосредственно
(независимо от прочих характеристических чисел) как решение неко-
некоторой комбинированной минимум-максимум-проблемы (сокращенно:
минимаксималъной проблемы) или максимум-минимум-проблемы (со-
(сокращенно: максиминимальной проблемы).
Для удобства дальнейших формулировок условимся через Цх)
обозначать линейную форму от хи лг2,..., хп. Следовательно, равенством
будем обозначать какую-либо линейную связь между переменными
xv дг2> .. ., хп, т. е. любое соотношение вида
Введем теперь понятие о наложении h связей на пучок форм
А(х9 х) — ХС(х, х).
Пусть заданы h линейно независимых связей
L€(x) = 0 (/=1, 2, ..., h). A17)
Эти же связи можно всегда задать в параметрической форме
т
где zl9 z2, ..., zm — произвольные параметры и матрица ||а^.|| имеет
ранг т. Для этого достаточно, например, в качестве zl9 z2, ..., zm
выбрать некоторые т из xi (/=1, 2, ..., ri), так чтобы через эти
т переменных можно было бы выразить, исходя из связей A17),
h остальных переменных х^
Вставляя в А(х, х) — ХС(лг, х) вместо хг (/==1, 2, ..., п) их
выражения через zi (i~ 1, 2, ..., т), мы получим некоторый новый
пучок форм Л* (г, *) — ХС*(г, г) уже от т переменных zi
(/=1, 2, ..., т), в котором С*(г, z) опять положительная форма.
Характеристические числа Х^' (/== 1, 2, ..., т) не будут зависеть от
того, в какой именно параметрической форме заданы связи A17).
Действительно, если
т
**=2аа4 (/===1> 2> •••' ")
есть другое параметрическое задание связей A17), то, выражая
zi A= 1,2,..., т) через некоторые из хг (/=1, 2, ..., п), а эти
последние через z% (k = 1, 2, ..., /w), мы выразим ^ (/= 1, 2, ..., /»)
5Ц

68 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
через zk (A = l, 2, ..., т):
Так как, и обратно, г'к (? = 1, 2, ..., /ю) можно выразить через
г, (/cal, 2, •••, /ю), то преобразование A18) неособенное. Таким
образом, чтобы преобразовать пучок форм А (х, х) — кС(х, х) к пере-
переменным z'v z'v ..., z'm, достаточно в пучке форм A* (z, z)-— ХС* (г, z)
произвести неособенное преобразование A18), а от такого преобра-
преобразования, как мы уже знаем, характеристические числа X* не меняются.
Ввиду всего этого о характеристических числах X* (/= 1, 2, ..., т)
можно говорить как о характеристических числах пучка А(х, х) —
\С(х, х) при наложенных связях A17).
Теперь мы можем сформулировать следующее свойство чисел
*»+i @<*<я—1):
Теорема 15. Характеристическое число X7i+1 @<!AO—1)
пучка А (х, х) — ХС (лг, х) совпадает с наибольшим среди всех зна-
значений, которые может принимать первое характеристическое
число X* пучка А(х, х) — ХС(лг, л:) при произвольно наложенных
h связях.
Сформулированное здесь свойство числа ХЛ+1 является мини-
максимальным свойством. Чтобы это пояснить, заметим, что первое
характеристическое число пучка А(х, х) — ХС(дг, л;) при наложенных
связях A17) согласно теореме 13 находится по формуле
Но минимум, стоящий справа, очевидно, совпадает со следующим
относительным минимумом:
= относительномУ min
при связях Ц(х) = 0 (/=1, 2, ..., А).
Таким образом, по теореме 15 число Хл+1 совпадает с наибольшим
значением этих относительных минимумов:
Хл+1. max (х (Lu ..., Lh; ?) A20)
(варьируются связи ?<(*) = () (/=1, 2, ..., А)).
Доказательство. Так как, согласно предыдущей теореме,
) при
, х) A-1, 2,..., А),

§ 10] МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 69
то для доказательства теоремы остается показать, что при всяком
ином выборе форм Lt(x) (/=1, 2, ..., А)
1,.... la
Для этого заметим, что как бы ни были выбраны формы Ц(х)
(I = 1, 2, ..., А), можно всегда так подобрать числа Ъи ?а, ..., ?л+1,
чтобы вектор
х в 2?*«*^0 A21)
удовлетворял уравнениям связей A17), т. е. так, чтобы
S*A(«*) = 0f (/«1, 2, ..., A).
Но для вектора х вида A21) имеем
Л (л:, х) = S Ml < Хл+1 Д 51 = К+хС{х, х).
Таким образом, для выбранного вектора
Л(х, х) ^х
С (х, х) ^ Ал+15
а следовательно, и подавно
К1* •••¦л*; 4);
что и требовалось доказать.
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 15'. Характеристическое число ln_h @<; А<!л — 1)
пучка А (х, х) — ХС (лг, х) совпадает с наименьшим среди всех зна-
значений, которые может принимать последнее характеристическое
число К—п пучка А(х, х) — ХС(лг, л:) при произвольно наложенных
h связях.
3. Выведем некоторые простые следствия из теоремы 15.
Пусть нам, кроме форм А(х9 х) и С(лг, л:), заданы еще формы
А(х, х) и С(х, х), причем и здесь вторая форма положительна.
Пусть отношение второй пары форм больше отношения первой пары
форм, точнее при любом х Ф 0
Ag^ A22)
С(дг, лг)
и при некоторых х имеет место строгое неравенство.

70 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Обозначим через А1^Х2«^.. #^Х^ корни уравнения
\А —
Из A22), очевидно, следует, что
для любых ?j, ..•, Lhy а это в свою очередь, в силу A20), влечет
неравенство
{h=l, 2, ..., /г).
Мы пришли к следующей теореме:
А (х х)
Теорема 16. При увеличении отношения ~^—т характери-
L, \Х, X)
стические числа пучка A(xf х) — \С(х, л:), т. е. корни уравнения
\А — ХС| = 0, могут только возрастать.
Пусть теперь С (л:, х)===С(х, х); тогда неравенство A22) будет
обозначать, что форма А (л:, х) — А (х9 х) неотрицательна. Если г —
ее ранг, то она представима в виде суммы г квадратов, т. е.
А(х, х) = А(х,х)+%х1(х),
где Хг{х) (/==1, 2, ..., р) — линейно независимые формы. Знание
числа г дает возможность ограничить часть чисел lh сверху.
Теорема 17. Если форма А(ху х) получается из формы А(*, х)
путем прибавления г квадратов, то последовательные корни ^ и
\г (*=1, 2, ..,, п) уравнений \А — КС\ = О и \А — ЛС| = О свя-
связаны неравенствами
(*=1, --• п), *ХЛ<ХЛ+Г (А=1, 2, ..., п — г).
Замечание. Можно также доказать, что хотя бы при одном h
Ал > Х& (см. второе доказательство этой теоремы).
Доказательство. В силу предыдущей теоремы остается
доказать только вторую группу неравенств. Для этого воспользуемся
С-ортонормированной системой главных векторов и* A= 1, 2, .. .,л)
пучка А(х, х) — 1С(х, х). Положим для заданного h*Cn — г
Ц{х) = С(и*,х) (/=1,2 А — 1),
Wi (*) = **(*) 0 = 1, 2, г).

§ 10] МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 71
Тогда по теореме 14
г*= min
A23)
так как при увеличении числа связей минимум может только увели-
увеличиться. Так как А (х, х) = А (х, х) при
W-i С*) -*/(*) = ° (/=1,2,..., г),
ТО
С другой стороны, по теореме 15,
Из сопоставления A23) и A24) получаем требуемое неравенство
Приведем еще одно доказательство этой теоремы, отличающееся своим
калькулятивным характером.
Так как от формы Л (х, х) к форме А (х, х) можно перейти путем
последовательных прибавлений по одному квадрату, то достаточно теорему
доказать для случая г= 1.
Итак, пусть
А (х, х) = А (х, х) + X* (х)\ A25)
докажем, что в этом случае
П
Полагая в A25) х = ^^и*, получим
<—1
Л (
где
п [ п V
(/=1,2,..., л).
Составим вековое уравнение для пучка Л (*, л:) — 1С (х, х), исходя из выраже-
выражений для форм А (х, х) и С (х, х) в координатах Si,..., Sw; получим

72 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Положим А(Х) = (Х1 — X) ... (Хм—X). Раскрывая определитель А(Х), легко
найдем
ИЛИ
Так как правая часть имеет только простые полюсы, то мы заключаем,
что если некоторый корень Хо многочлена Д (X) имеет кратность к, то он
является корнем многочлена Д (X) кратности k, где k^k—1. Для того
чтобы ?>?, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
ог- = 0 для Х* = Х0.
Обозначим через d (X) общий наибольший делитель многочленов Д (X)
и Д (X) и пусть
где
Тогда, объединяя в A26) подобные члены, получим
Так как
At
то отношение ~ монотонно растет в каждом интервале, свободном от
чисел fifc (&=1, 2, ..., т). С другой стороны, когда X меняется от \^
до fXft+1 (& = 1, ...,m—1), то отношение ~ меняется от —со до + оо.
Следовательно, внутри каждого такого интеграла многочлен Aj(X) имеет
один и только один корень ^ (?=1, ..., т — 1). Так как, кроме того,
когда X меняется от \хш до + °°> отношение •— меняется от — со до 1, то
многочлен Ai(X) имеет еще один корень \хт внутри интервала (pw,co). Таким
образом,
_ ^1<^1<Н<Н<^'<^т<^ A27)
Так как ряды
по изъятии из них общих чисел переходят в ряды

§ 10] МИНИМАКСИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 73
то из неравенств A27) следуют доказываемые неравенства между числами
X* и%.
Так как по крайней мере одно из чисел а$(/=1, 2, ..., п) не равно
нулю, то т>1, и мы заключаем, что найдется такое h, что Хд>Х/ь. Это
же можно было получить и из общих минимаксимальных предложений.
Совершенно аналогично (и притом также двумя способами) может
быть доказана
Теорема 18. Если форма С{х> х) получается из формы
С(х, х) путем прибавления г квадратов> то последовательные
корни \i и Х^ (/== 1,2, .. ¦, п)уравнений \А —ХС| ===== 0 и |Л—ХС| = 0
связаны неравенствами
\<h (*-1,2,...,я), h-
Как и для предыдущей теоремы, можно, кроме того, утверждать,
что всегда найдется такое А, что Xh < \h.
Следующая теорема может быть рассматриваема как обобщение
теоремы 15.
Теорема 19. Пусть Xj<;X2^ .•• <^XW— характеристические
числа пучка форм А (дг, л:) — ХС (х, х), a Xi <; Хз <]•..<; Х^_р —
характеристические числа того же пучка, получающиеся при
наложении некоторых р независимых линейных связей. Тогда
числа Xi, Х2,.. -,Xn— p не меньше соответствующих чисел ряда
\v Х2, .. .,Хм__р и не больше соответствующих чисел ряда Хр+1>.. .Хп:
h<-^h<^p+h (A=li 2, ...уп—р).
Доказательство. Пусть заданы р независимых связей
Л,(*) = 0 (/ = 1,2 р),
и пусть
п--р
*ie S «<Л (/=1,2, .... л) A28)
— их параметрическое задание. Обозначим через Л* (z, z) и С* (г, z)
формы, получающиеся из А(х, х) и С(х, х) при подстановке вместо
хс (/ = 1, 2, ...,/г) их выражений из A28). Тогда по теореме 15
Х? = max ц (l*u ..., Lj_i; ^) (A == 1, 2,..., n—p).
Но очевидно, что каждым h — 1 связям вида
l5(*) = 0 (/=1,2,...,А — 1)
отвечают эквивалентные им связи вида
/,,(*) = () (/=1,2, ...,й— 1),

74 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
так же, как и обратно, и при этом
jt \L*U . .mZ,J_i; ?•)
Таким образом,
Хй = max [x (llt ..., Lb^\ А1э ..., A^; g.) A29)
(варьируются Z,$ (/=1, ...,*—1)). Но по теореме 15
A
Lv ..., Lh_t; Aj,..., A^;
следовательно,
*ft<W (A=l, ...,«— p).
С другой стороны, так как при уменьшении числа связей минимум
уменьшается, то
, ...,Lft; Alf ...,А,; g-)>
а, следовательно, в силу A29) и теоремы 15
Xft> max jj.\LU .. .,Lfc-1; -g-J = Хл.
4. Воспользуемся доказанной теоремой для выяснения взаимного
расположения корней многочленов
= l, 2,. ..,/!).
Так как вместе с формой С (л:, л:) все урезанные формы
к
также положительны, то вековой определитель ДЛ(А) (А = 1,2, . • .,я)
имеет только вещественные корни. Обозначим их через Х^ ^ Х^ ^
<; ... <!>4ft) (А== 1, 2, .. .,я). Имеет место следующее предложение:
Теорема 20. Корни двух последовательных многочленов Дл (X)
(k = 1, 2, ..., /г) перемежаются, т. е.
|?Ч1?> A30)
Доказательство. Числа Х^(/= 1 ,...,&) суть характеристи-
характеристические числа пучка форм
2 (a4J —

§ И] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ 75
а числа Х^~^(г=1, 2,...,k — 1) суть характеристические числа
того же пучка, но при наложении одной связи хк = 0. Поэтому
соотношение A30) есть простое следствие предыдущей теоремы.
Многочлен АА(Х) может быть представлен в следующем виде:
В том случае, когда многочлены Aft(X) и A/^-iOO не имеют общих
корней (а для этого необходимо, но отнюдь не достаточно, чтобы
у Д7<(^) не было кратных корней), и только в этом случае числа
Х^ и Х^"^ строго перемежаются, т. е.
М»> < Xf-1)
В этом случае из формулы A31) и неравенства |^.|*>0
(& = 1, 2, ...,«) вытекает, что при обращении одного из проме-
промежуточных многочленов
1 A32)
в нуль соседние с ним полиномы имеют противоположные знаки *).
Так как, кроме того, lim (— 1)Й;ДЙ;(Х) = оо, то в рассматриваемом
Х->оо
случае (и только в этом случае) ряд A32) является рядом Штурма
(о рядах Штурма см. § 1 гл. II, стр. 83 и далее). В общем же случае
ряд A32) не является рядом Штурма2).
§ 11. Приведение матрицы к треугольному виду
В этом и следующем параграфе мы снова возвращаемся к рас-
рассмотрению произвольных матриц (вообще говоря, несимметрических)
с комплексными элементами.
Матрица Л называется подобной матрице В (А~В)У если суще-
существует неособенная матрица Р (| Р \ Ф 0) такая, что
Л = РВР-1. A33)
Если А~В> то В~А, ибо из A33) вытекает, что
В = РгАР-\ где Р^Р-К
Если А ~ В, а В — С, то А ~ С. Действительно, из соотношений
2) Это же вытекает из обобщенного правила Якоби (см. § б, стр. 45).
2) Уиттекер в своей известной книге «Аналитическая динамика» (русский
перевод, 1937, стр. 207), неточно формулируя обобщенное правило Якоби,
приходит к выводу, что ряд A32) есть ряд Штурма, если корни многочлена
&п (К) все простые. Но это, вообще говоря, неверно, даже в предположении,
что корни каждого из многочленов Д^ (К) являются простыми.

76 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
вытекает, что
Если А~В, то
а, следовательно,
где
PQ.
А — \Е =
т. е. подобные матрицы имеют одинаковые характеристические
многочлены.
Матрицу Г= Ц ^ И у будем называть треугольной, если tik = 0
при />&, т. е.
<«.
О
*22
о о ...tnn
В § 3 мы видели, что всякая матрица простой структуры подобна
некоторой диагональной матрице ||\8<fc|lf.
Теорема 21. Произвольная матрица подобна некоторой тре-
треугольной матрице.
Доказательство. Доказательство будем вести по индукции.
При п = 1 утверждение тривиально. Допустим, что наше утверждение
справедливо для матриц (п — 1)-го порядка. Докажем, что оно спра-
справедливо для любой матрицы Л= Цд«||1>
Пусть и — (их, .. ., ип)—некоторый собственный вектор матрицы А:
г (/= 1,2, ...>Л). A34)
Построим какую-либо неособенную матрицу Р= ||р^||ь у которой
первая вертикаль состоит из координат вектора и, т. е.
рн = ик {к = 1, 2, ..,, /г). A35)
Пусть
Тогда, в силу A34) и A35),
Следовательно, Л^^^, где
1} f 2
\fet
=* 2 p^7a)^i=

§ 11]
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДу
77
Рассмотрим матрицу ?i=||^fc||2* порядка (л—1). По предполо-
предположению индукции существует неособенная матрица Q{ такая, что
где Тх— некоторая треугольная матрица (п— 1)-го порядка. Положим
1 0 ... О
о
о
и, как легко видеть,
; тогда Q-1 =
1 0 .__^_. О
о
-1
Q-43Q =
1 0 . . . О
QT1
х ¦ . . . *
О
X * . . .
о
Qi
1 0. . . О
о
здесь звездочками * мы обозначили неинтересующие нас элементы.
Так как 7\— треугольная матрица, то из последнего равенства выте-
вытекает, что и матрица T=Q-1BQ треугольная. Но А~В, а В—Г;
следовательно, А ~ Т, и наше утверждение доказано.
Если А подобна некоторой треугольной матрице Г, то
Следовательно, числа tu, /22, ..., tnn дают всегда полную систему
корней характеристического многочлена матрицы А и поэтому в своей
совокупности определяются однозначно матрицей Л. Таким образом,
мы доказали, что каждая матрица А допускает представление вида
О Х2 *
О 0 0 ... Х„
где Р—некоторая неособенная матрица, а Х19
характеристических чисел матрицы А.
A36)
.,ХЛ—полная система

78 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ [ГЛ. I
Представление A36) не является однозначным, его можно дальше
специализировать либо за счет элементов, обозначенных звездочками
(например, треугольной матрице можно придать так называемую нор-
нормальную форму Жордана х)), либо за счет матрицы Р (например, по
теореме Шура 2) в качестве Р можно выбрать так называемую унитар-
унитарную матрицу). На всем этом мы не останавливаемся, так как в даль-
дальнейшем специализация представления A36) нам не понадобится.
§ 12. Многочлены от матрицы
В дальнейшем нам понадобится связь, существующая между харак-
характеристическими числами и собственными векторами данной матрицы и
ее степени.
Теорема 22. Пусть числа Х1? ..., Хп образуют полную систему
т
характеристических чисел матрицы А= \\aik\\i и /(#) = ^jjCkxk
ьо
(ст Ф 0)— произвольный многочлен; тогда числа /(Xj), /(X2), ...
• ••> /(Xw) образуют полную систему характеристических чисел
т
матрицы f (А) = 2 ck^k (А0 = Е). Если, кроме того, матрица А
является матрицей простой структуры, то таковой является
и матрица /(Л); при этом фундаментальная матрица для А
всегда является фундаментальной для f (А) 8).
Доказательство. Как нетрудно проверить, из A36) следует,
что
* *
A37)
0 /(Х2) ... *
0 0 ... f(ln)
а отсюда, как уже было выяснено в § 11, вытекает, что числа
/(Х2), ..., /(Хте) образуют полную систему характеристических чисел
матрицы f{A).
Вторая часть теоремы следует из того, что в случае матрицы про-
простой структуры в формуле A36), а следовательно, и в формуле A37)
все элементы, отмеченные звездочками, будут равны нулю, если в ка-
качестве матрицы Р взять фундаментальную матрицу для А.
Приведем еще одно доказательство первой части теоремы 22. Это дока-
доказательство принадлежит Фробениусу и не опирается на представление A36).
х) См., например, И. М. Гельфанд [10] гл. III и А. И. Мальцев [32]
гл. IV.
2) П. А. Широков [53], стр. 428-429.
3) Заметим, что обратное не всегда имеет место.

§ 13] АССОЦИИРОВАННЫЕ МАТРИЦЫ И ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА 79
Разложим данный многочлен f(x) (в котором, не нарушая общности
доказательства, примем старший коэффициент равным 1) и характеристический
многочлен матрицы на линейные множители:
/ (х) . (х - Ч) (х - а2)... (х - аж), A38)
? (х) = \А-хЕ\ = (\х-х) (Ц-*).. .(ХЛ-*). A39)
Подставляя в тождество A38) вместо х матрицу Л, получим
ПА)~(А —atf (A-aJS).-•&-
откуда, принимая во внимание A39), имеем
XI
i, к
Последнее равенство показывает, что определитель 1/(Л)| является резуль-
результантом многочленов f{x) и <р(лг). Этот результант в силу A38) может быть
записан так:
\fiA)\ =/(^)/(Х2) ... /(Х„). A40)
Равенство A40) нами установлено для любого многочлена f(x). Заменяя
в этом равенстве f(x) на f(x) — X, получим выражение для векового много-
многочлена матрицы / (А):
из которого непосредственно следует, что числа /(Хх), ...,/(Xw) образуют
полную систему характеристических чисел матрицы f(A).
§13. Ассоциированные матрицы и теорема Кронекера
Пусть А ===== ||я<*||? — некоторая матрица п-ro порядка. Введем
понятие о /7-й ассоциированной с матрицей А матрице %р.
Рассмотрим для этого всевозможные сочетания (iv /3, ...9ip)
по р из п индексов 1, 2, ..., п, причем в каждом сочетании мы будем
располагать индексы в порядке их возрастания: tt < /2 <... < 1р.
Расположим все сочетания в ряд так, чтобы сочетание (iu i2, ...,fp)
предшествовало сочетанию (kl9 k2, ..., kp) тогда и только тогда,
когда первая отличная от нуля разность в последовательности
положительна. Таким образом, каждое сочетание (il9 /2, ..., ip) будет
занимать определенное место и, следовательно, будет иметь опреде-
определенный номер s, который может пробегать значения 1, 2, ,..,iV,
где М=(п\ Пусть, например, я = 5, р=3, тогда мы получим
такой ряд сочетаний:
A23), A24), A25), A34), A35), A45), B34), B35), B45), C45).
Таким образом, сочетание A45) имеет номер 6, а сочетание B45)
номер 9.
Для миноров р-го порядка матрицы А введем обозначения

80 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ ?ГЛ. I
где s vl t соответственно номера сочетаний (/\, ...,*') и (kx, ..., kp).
Матрицу
будем называть р-й ассоциированной с матрицей А.
Пусть С = АВ, тогда, как мы знаем из § 1,
Введем в рассмотрение ассоциированные с матрицами А, В, С матрицы typ,
23Р, dp- Тогда соотношение A41) может быть записано в виде
N
где s, t, r соответственно номера сочетаний A19 ..., ip)9 (ki9 . .., kp)
и @4, ...ар). Следовательно, QLp = \%$р. Таким образом,
Г Матрица, ассоциированная с произведением, равна произве-
произведению матриц, ассоциированных с сомножителями.
Применим это предложение к двум взаимно обратным матрицам А
и В (АВ = Е). Тогда получим %р fdp = 6у Но легко видеть, что 6^,
р-я ассоциированная с Е матрица, также есть единичная матрица:
6р= ||8e$||f. Таким образом,
2° Матрица, ассоциированная с обратной, равна обратной
от ассоциированной.
Теперь докажем следующую теорему:
Теорема 23 (Кронекера). Пусть Х„ Х2, ..., \п — полная
система характеристических чисел матрицы А. Тогда полная
система характеристических чисел ассоциированной матрицы 91р
состоит из всевозможных произведений по р из чисел \г, ..., \п.
Доказательство. Согласно §11, матрица А допускает пред-
представление
А = РТР-г, A42)
где
X * ... *
0L ... *
Г= 2
. i . . •
о о ... хп
Применяя предложения 1° и 2°, получим из равенства A42)
Нетрудно видеть, что Zp=\\t8t\\i —треугольная матрица. Действи-
Действительно, пусть
*st —
k± ... kp

§ 13J
АССОЦИИРОВАННЫЕ МАТРИЦЫ И ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА
81
Но тогда
t Последнее условие означает, что при некотором г <р
h
0
0
0
*
ч
0
0
*
*
... к
... 0
* .
* .
о ..
*
*
*
*
о о
о о
= 0.
Для элементов t88 главной диагонали имеем
Так как элементы главной диагонали треугольной матрицы %р дают
полную систему характеристических чисел матрицы %ру то теорема
Кронекера доказана.
Для матриц простой структуры теорема Кронекера может быть
существенно дополнена. Всякая матрица А простой структуры допу-
допускает представление
где U—фундаментальная матрица для А. Переходя в этом соотно-
соотношении к ассоциированным матрицам, получим
где
К =
если ^ есть номер сочетания Aи /2, ... ip). Таким образом,
3° Матрица \Хр9 ассоциированная с фундаментальной, является
фундаментальной матрицей для ассоциированной матрицы %р.
Отсюда следствие:
4° При фиксированном сочетании (ki, ?2, ..., kp) и переменном
сочетании (а1э а2, ..., ар) миноры
p
дают все координаты собственного вектора матрицы %р% соот-
соответствующего характеристическому числу ^•••^«
6 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

ГЛАВА II
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ
В дальнейшем рассматриваются исключительно матрицы с веще-
вещественными элементами.
§ 1. Якобиевы матрицы
Прежде чем приступить к изучению осцилляционных матриц общего
типа, мы рассмотрим нормальные якобиевы матрицы. Для этих матриц
можно независимо от общей теории элементарными средствами
получить все основные свойства, характерные для осцилляционных
матриц. Кроме того, самостоятельное исследование якобиевых матриц
представляет еще интерес потому, что эти матрицы играют важную
роль при исследовании малых колебаний различных механических
систем (например, крутильных колебаний системы дисков, наса-
насаженных на вал), а также в теории ортогональных многочленов, в про-
проблеме моментов и т. д.
1. Матрица J = ||яю||? называется якобиевой, если aik = 0 при
| / — k | > 1. Вводя обозначения
а$ = пц (/ = 1, 2, ..., #),
(i=l, 2, ..., я —1),
мы запишем матрицу J в виде
0 —
Положим
0
0
о
о
0 ...
—сп-1 ап
A)
Таким образом, Dn (А) есть характеристический многочлен матрицы J.

§ 1] ЯКОБИЕВЫ МАТРИЦЫ 83
Нетрудно видеть, что для многочленов Dk(k) имеет место рекур-
рекуррентная формула
Я*(Х)в(«* — *)*>*-! (*) — **-A-i*W*) (*==2, 3, ...). B)
Так как Z)ossl, a ZI(X) = a1 — X, то с помощью этой формулы
последовательно вычисляются все многочлены Dk(X) (k = 2, 3, . •., ri).
Отсюда мы заключаем, что в выражении Dk(K) (k = 0, 1, ..., п)
числа Ьк и сА (&=1, 2, ..., я—1) входят только произведе-
произведениями ftfccft (Л= 1, 2, ..,, я— 1).
Дальнейшие рассуждения мы будем проводить лишь для случая,
когда
0 (Л=*1, 2, ..., л —1).
В этом случае, в силу рекуррентной формулы B), ряд многочленов Dm>
Дя_1, ..., А> (я* О) обладает первыми двумя свойствами ряда Штурма:
1° D0(X) сохраняет всюду знак (?>0 = 1).
2° При обращении Dk (X) в нуль A < А < т) многочлены Dk^t (X)
я Dk+1 (X) отличны от нуля и имеют разные знаки.
Как показал Штурм, при выполнении условий 1° и 2° приращение
числа перемен знака в ряду
Dm, ?>„_!, ..., Do C)
при переходе от X = а к X = [J (а < р, Dm(a) Ф 0, ?)ш ф) ^= 0) равно
разности между числом корней многочлена Dm(X) в интервале (а, р),
при переходе через которые1) произведение Dm(K)Dm^1(X) меняет
знак с -{- на —, и числом корней многочлена Dm (X) в том же интер-
интервале, при переходе через которые произведение Dm (X) /)W-1(X) меняет
знак с — на -[*•
Приведем простые рассуждения, устанавливающие правило Шту-
Штурма2).
При непрерывном изменении X от а до р число перемен знака
в ряде C) может меняться лишь при переходе через корни много-
многочленов Dfc(X) (Ав»1, ,,,, т). Однако, если одна из промежуточных
функций Dk(k) A <А</я) обращается в нуль при некотором значе-
значении Хо (а < Хо < р), то два соседних многочлена при X = Хо принимают
значения разных знаков; следовательно, при X достаточно близком к Хо
(как большем, так и меньшем Хо) в ряду
имеется точно одна перемена знака.
Таким образом, на число перемен знака в ряду C) может оказать
влияние лишь переход через корень многочлена /Эт(Х), и очевидно,
г) Здесь и в дальнейшем, говоря о переходе через некоторое значение,
мы будем подразумевать переход от меньших значений к бблыпим.
2) См. также Граве [13] стр. 391 и далее.
6*

84 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. И
что если при таком переходе произведение Dm(k) Dmmml(k) меняет
знак с + на —, то в ряду C) приобретается одна перемена знака
(доставляемая первыми двумя членами ряда Dm и Dmmmi); если произ-
произведение меняет знак — на +, то в ряду C) теряется одна перемена
знака; наконец, если это произведение не меняет знака, то в ряду C)
сохраняется число перемен знака.
Применим правило Штурма к ряду C) в интервале (—оо, -}-оо).
Так как
то при изменении X от —со до -[-оо ряд C) приобретает точно т
перемен знака, и поэтому, в силу правила Штурма,
3° Все корни многочлена Dm(k) вещественны и различны.
4° При переходе X через корень Dm(\) произведение DmDm_x
меняет знак с -f на —.
Сочетая 4° с правилом Штурма, мы находим:
5° Число корней многочлена Dm{k) внутри интервала (a, (J) (а<C)
равно приращению числа перемен знака в ряду C) при переходе
от X = а к X = р.
Из свойств 3° и 4° вытекает также, что
6° Между каждыми двумя соседними корнями многочлена Dm (X)
лежит один и только один корень многочлена Dm_x(k) (m =
= 2, 3, ..., п).
Обозначим через \х < Х2 < ¦.. < \п все различные характеристи-
характеристические числа матрицы У, иначе говоря, все корни Dn(k). Покажем,
что
7° Ряд
при X = Xj имеет ]—1 перемен знака.
Так как корни многочлена Dn(\) разделяют корни многочлена
DW-1(X), то в интервале (—с», \j) находится j — 1 корней много-
многочлена Dn^.1(\)f расположенных соответственно внутри интервалов
(*i> *а)> • • •» (V-it *i)' Следовательно, приращение числа перемен знака
в ряду D) при изменении X от — оо до Х^ должно быть равно j— 1.
Но при X «я — оо в ряду D) нет перемен знака. Тем самым наше
утверждение доказано.
2. Покажем теперь, как вычислить координаты собственного век-
вектора и = (uv и29 . •., un)t соответствующего характеристическому
числу X (?>w(X) = 0). Запишем векторное уравнение Ju — Ха = О в ко-
координатах:
E)
¦Х)#2 — Ьфь = 0,

§ 1] ЯКОБИБВЫ МАТРИЦЫ 85
Так как при рассматриваемом значении X определитель этой системы
Д*(Х) = 0, а следовательно, в силу 6°, Оп^г(к)Ф0, то первые я— 1
уравнений E) линейно независимы, а последнее есть их следствие.
Рассмотрим поэтому сначала при любом X первые я— 1 уравнений:
(А—1, 2, ..., я —1; ^=^0 = 0).
Произведя замену
*i=«i> «Ъ —*А-«-*ifc-i** (* = 2, 3, ..., я),
получим
«км —(** — *)«* — 4к-Л-Л-1 (fe=1> 2, •••> л —1; «о — О). F)
Так как рекуррентное соотношение F), из которого определяются vky
совпадает с соотношением B), служащим для определения Dkmml(X),
причем, как легко проверить,
vx = CD0 (X), <о% = CDl (X) (С = const ф 0),
то
vk = CDk^t (X) (k = 1, 2, ..., л).
Отсюда
t1±W (&= 1,2,..., я). G)
Придавая теперь X значение Х^ (/=1, 2, ..., п), получим для &-й
координаты пщ у-го собственного вектора и$ следующее выражение:
^ = C/r1..-^i/)ft-i(Xi) (*—1, 2, ..., я; у—1,2, .... л). (8)
Определение L Якобиеву матрицу /будем называть нормаль-
нормальной, если
*л>0, ск>0 (А=1, 2, ..., п—1).
Почти во всех вопросах приходится иметь дело с нормальными
матрицами.
Из формулы (8) и из 3°, 7° получаем следующую теорему:
Теорема 1. Нормальная якобиева матрица обладает следую-
следующими свойствами:
1° Все ее характеристические числа вещественные и простые.
2° В ряду координат j-го собственного вектора имеется точно
j — 1 перемена знака.
Заметим теперь, что свойство 1° весьма просто следует также из
общей теории симметрических матриц. Действительно, так как в выра-
выражении для Dn(\) величины Ьк и ск (k = l> 2, .., я — 1) входят
только в виде произведения Ькск (Д= 1, 2,..., п — 1), то, заменяя
в матрице J числа Ьк и ск на ]/Ькск (ft —19 2, ..., я—1), мы
тем самым симметризуем матрицу 7, не меняя ее векового уравнения.

86 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Отсюда следует вещественность характеристических чисел. С другой
стороны, в силу рекуррентного характера системы E), каждому харак-
характеристическому числу соответствует с точностью до скалярного мно-
множителя один собственный вектор. Следовательно, характеристические
числа симметризованной (см. предложение 3° § 4 гл. I), а значит, и
данной матрицы суть простые корни многочлена Dn(k).
Однако свойство 2° не может быть получено из общих положений
теории симметрических матриц: оно связано со специальной структу-
структурой матрицы 7.
3. Для дальнейшего изучения спектральных свойств нормальных
матриц J введем понятие об и (Х)-линии матрицы J.
Определение 2. Пусть и = {иь и2, ..., и^—некоторый век-
вектор; тогда под и-линией будем понимать ломаную в плоскости декар-
декартовых координат Xt Y с вершинами Ри Р3, ..., Рп, где точка Ри
имеет координаты
** = *, Уь = Ч (*=1> 2, ..., я).
Очевидно, что для того, чтобы все точки я-линии, общие с осью X
внутри интервала A, я), были точками пересечения, необходимо и
достаточно, чтобы при обращении в нуль какой-либо координаты
ик A <& < п) вектора и две соседние координаты ик_г и #йи всегда
имели противоположные знаки.
Определение 3. Пусть и — (их, ..., #„) — некоторый вектор;
точки пересечения «-линии с осью X будем называть узлами и-линии
или также узлами и-вектора.
Зафиксировав в формулах G) произвольно значение постоянной С
(положив, например, С=1), мы получим некоторый вектор и(Х) =
= (ut(k), ..., ип(\)), координаты которого суть функции от X:
«iM-l, Ч^^ЬГ1 bjl .. .buiiDu^iK) (A = 2, 3,-.., л).
Этому вектору, согласно определению 2, будет отвечать а (А)-линия,
уравнение которой можно задать следующим образом:
у(х; \)=z(k — x)uk
при k — 1 < х < k (k = 2, 3, .,., п).
Ниже мы займемся исследованием вида #(Х)-линии и поведения ее
узлов при изменении X.
В силу свойства 2° многочленов Dh (X) (k = 0, 1, ..., п — 1) каж-
каждая точка #(Х)-линии, общая с осью X внутри интервала A, п),
является узлом я(Х)-линии.
В силу теоремы 1, и(\)-линия при X = Xj имеет точно у—1 узел.
Вообще же при произвольном X в силу 5° число узлов я(Х)-линии
равно—числу корней многочлена Dn_l(k)i лежащих внутри интер-
интервала (— со, X). Если мы симметризуем матрицу / путем замены Ьи

§ I* ЯКОБИЕВЫ МАТРИЦЫ 87
и ск на Y^kck > 0 (ft ===== 1, 2, . ¦., п— 1), то роль ик(\) будут играть
величины
Ч 00 = С\ГЬг1Ь;1 .. .biltc^ct1.. .cjli/)fc.г (X)
Симметризованной матрице будет отвечать своя Х-линия Рг...Рп>
отличная от Х-линии Рх .. • Рп. Однако из формул (9) следует, что:
1) число узлов у этих Х-линий всегда одинаково; 2) если одна из
этих Х-линий имеет узел между точками х = к — 1 и x^k, то и
другая Х-линия имеет между этими точками узел; 3) если при изме-
изменении X у одной Х-линии узлы сместились влево, то то же имеет
место и для другой Х-линии, и т. д.
Поэтому при доказательстве нижеследующих теорем мы без огра-
ограничения общности можем сразу предполагать, что матрица J сим-
симметрична:
** = ** (* = 0, 1, ..., п— 1),
и что, следовательно, величины ик\к) (& = 0, 1, ..., п) связаны ра-
равенствами
(& = 0, 1, ,.., п— 1).
Выведем из этих равенств основное для дальнейшего тождество.
Заменим для этого в равенстве A0) X на ja и исключим из двух
полученных равенств коэффициент ак; получим
«*+i 0*) — Ч 00 Ч v г (Щ = (Р- —
Давая здесь к значения р, р + 1, ..., q A<р<^<«—1) и по-
почленно суммируя полученные таким образом равенства, найдем:
ЬР-х [в,., (*) «р (I») — «р-! (V-) ир(X)] _
— *« Г«а (X) «а+1G») — в, ((*) «9+, (X)] = S 0» — X) и* (X) вА (jt). A1)
В частности, при р = 1 формула упрощается:
— *а [вв (X) иа+1 ((*) — вд (ji) иа+1 (X)] =
= 2((* —X)afc(X)«ft(ix) A<?<я_1). A2)
С помощью этих формул без труда доказываются следующие
теоремы»

88 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Теорема 2. Если X < jx, то между каждыми двумя узлами
и (\)-линии лежит по крайней мере один узел и (^У линии.
Доказательство. Пусть а, C (а<Р) — два соседних узла
я(Х)-линии и
р — 1<
Следовательно,
(Р —«)S-i
и ,у (я; X) =? О при a < a: < p. Для определенности предположим, что
у(х; Х)>0 при а<*<р, A4)
а следовательно,
A5)
Допустим теперь, в противоположность тому, что мы желаем
доказать что
у(х; |х)=?0 при а<х<р.
Не нарушая общности, мы можем считать, что
у(х; 1х) >0 при а<д:<р, A6)
ибо в противном случае мы вместо у(х; р.) рассматривали бы—у(х;р),
заменив и4(р) на —«<0*M ПРИ этом формула (И), из которой мы
будем исходить, сохранила бы силу.
Из A6) вытекает, что
(р) + (а—р + 1)и(р)>0 |
A8)
Исключая из A3) и A7) величины аир, получим
Ч W "(у* 1 W — ^g (V)
Следовательно, левая часть A1) неположительна. В то же время пра-
правая часть A1) в силу A5) и A8) положительна. Мы пришли к про-
противоречию, и теорема доказана.
Замечание. При доказательстве того, что между а и р лежит
по крайней мере один узел к(|х)-линии, мы пользовались лишь тем,
что аир суть два нуля и (Х)-линии, т. е, у (а; X) —у (Р; X) = 0.
Поэтому этот факт остается также верным и в том случае, когда

§ 1] ЯКОБИБВЫ МАТРИЦЫ 89
а есть узел и (Х)-линии, а C = п и ап (X) =j/ (л; Х)= 0. Это замечание
мы используем при доказательстве теоремы 4.
Теорема 3. При непрерывном возрастании X узлы и (к)-линии
непрерывно смещаются влево.
Доказательство. Обозначим через @ <) at (X) < а2 (Х)<...
последовательные узлы и (Х)~линии. Так как, по предыдущей теореме,
при |а>Х между двумя соседними узлами <*Й(Х) и оел+1(Х) должен
лежать по крайней мере один из узлов <хх (р) < а8 ([i) < •.., то для
доказательства неравенств
«*(W <**(*) ПРИ ^<^ (k = h 2> •••)
достаточно доказать первое из них.
Ведя доказательство от противного, допустим, что
Пусть
Я<«1
Так как тождественно иг (X) г 1, то тогда
0, ..., ^1({t)>0, ^
0.
Исключая из соотношений, содержащих а19 величину а1э получим
«2 (Х) ад+1 (Iх) — tf« W Ч
Следовательно, в формуле A2) левая часть неположительна, в то
время как правая часть положительна.
Мы пришли к противоречию, и теорема доказана.
Теорема 4. Узлы двух последовательных собственных век-
векторов перемежаются.
Доказательство. По теореме 1 собственный вектор uf, или,
иначе, и(Х^)-линия, имеет/—1 узлов:
t(*i)< ••• <Л--1(ху) С/ = 2, 3, ..., я).
В силу теоремы 3
Поэтому, если мы докажем, что
то, приняв во внимание теорему 2, мы получим требуемые нера-
неравенства:

90 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Для доказательства неравенства A9) выберем произвольное поло-
положительное Ьп и положим
Дополним нашу и (X)-линию еще одним звеном РпРп±и где
имеет координаты
Так как в силу B0) равенство A0) имеет теперь место и для k — n,
то к удлиненной а (к)- линии РХР^ ... РпРп\-г приложимы все преж-
прежние результаты. В частности, применяя к удлиненной #(^)-линии ска-
сказанное в замечании к теореме 2 (имея в виду, что an+i (Kj) = 0), мы
убеждаемся в том, что между узлом fy_iOy) и точкой я-)-1 лежит
по крайней мере один узел удлиненной й(^+1)-линии. Но так как
«w+1 (X.j+1) =я 0, то удлиненная и (kj+ ^-линия имеет те же узлы
ai (Vn)<а2(^+iX • • • < ai(^i+i)» что и первоначальная «(^+,)-ли-
«(^+,)-линия. Отсюда
Теорема доказана.
Кроме тех свойств, которые сформулированы в теоремах 1 и 4,
собственные векторы и$ (/ = 1, 2, ..., #) нормальной якобиевой ма-
матрицы обладают еще рядом других замечательных осцилляционных
свойств, которые мы позже получим вместе с установленными уже
свойствами из более общих соображений.
При выводе предыдущих теорем мы пользовались симметризуе-
мостью матрицы У. Однако более тонкий математический анализ при-
природы осцилляционных свойств матриц показывает, что существование
этих свойств вовсе не связано с симметричностью или симметризуе-
мостью матриц.
В следующих параграфах мы и переходим к изучению общего
типа несимметрических матриц, обладающих основными осцилляцион-
ными свойствами нормальных якобиевых матриц.
§ 2. Осцилляционные матрицы
1. Начнем с определений.
Определение 4. Матрицу А = [|aik\\" будем называть вполне
неотрицательной (сооответственно вполне положительной), если
все ее миноры любого порядка неотрицательны (соответственно
положительны):
>0(>0) при l<4<*l<-<''<
(р=1, 2, ..., й).

§ 2] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ 91
Отметим некоторые простейшие свойства вполне неотрицательных
матриц.
1° Произведение двух вполне неотрицательных матриц есть
матрица вполне неотрицательная.
2° Произведение вполне положительной матрицы на неособен-
неособенную вполне неотрицательную матрицу есть матрица вполне
положительная,
В справедливости этих предложений убеждаемся, вспоминая выра-
выражение для миноров произведения двух матриц через миноры сомно-
сомножителей (см. § 1 гл. I). Если С=Л?, то
*<b<<k^
)
При этом для доказательства предложения 3° необходимо обратить
внимание на то, что из неособенности, скажем, матрицы В следует,
(аг а2 ... ар \
что по крайней мере один из миноров В\ 1 отличен от нуля,
\^1 h • • • bp/
так как в противном случае по теореме Лапласа мы имели бы | В \ = 0.
2. Пусть А = ||а«||5*. Через А* = \\с%к\\" обозначим матрицу с эле-
элементами
<4 = (— 1)'+Чй (/, *= 1, 2, ..., п).
Легко видеть, что:
а) Если С=А±В, то С* = А*±В:К
б) Если С= АВ, то С* = А*В*.
в) Если В = А-\ то В* = (А*)-К
Определение 5. Матрицу А = \\aik\\" будем называть знако-
регулярной, если матрица Л* вполне неотрицательна, или, что то же,
если
р v
(—II 1 A I >0 при 1
(p = 1, 2, ...,я).
Если, кроме того, все миноры любого порядка знакорегулярной
матрицы А отличны от нуля, то мы эту матрицу А будем называть
строго знакорегулярной.
Имеют место следующие предложения:
3° Если неособенная матрица А вполне неотрицательна, то
обратная матрица 5 = Л-1 знакорегулярна^ и наоборот^ если

92 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
неособенная матрица А знакорегулярна, то обратная матрица
В = А" вполне неотрицательна.
4° Если матрица А вполне положительна, то обратная ма-
матрица В^А строго знакорегулярна, и наоборот, если матрица А
строго знакорегулярна, то обратная матрица В = А~1 вполне
положительна.
Это предложение следует из известной формулы для миноров обрат-
обратной матрицы (см. § 2 гл. I, стр. 19):
\hh-JnJ
здесь система индексов 1Х < /2 < ... < ip; j\<j^< ... <Jn-p> как
и система индексов kt < А2 < ... < kp\ lx < /2 < ... < /n-i,, совпадает
с системой индексов 1, 2,..., /г.
Предложения 3° и 4° могут быть еще сформулированы так:
5° Если неособенная матрица А вполне неотрицательна, то
и матрица С==(Л*) вполне неотрицательна. Если матрица А
вполне положительна, то и матрица С—(А*) вполне положи-
положительна.
В § 5 этой главы мы увидим, что характеристические числа и
собственные векторы вполне положительной матрицы обладают рядом
замечательных свойств. Однако эти свойства не переносятся на класс
вполне неотрицательных матриц. В то же время класс вполне поло-
положительных матриц недостаточно широк с точки зрения приложений.
Можно указать хотя бы на то, что исследование малых колебаний
ряда механических систем, например, крутильных колебаний системы
дисков, может быть приведено к исследованию спектра вполне неотри-
неотрицательных якобиевых матриц, которые, конечно, не являются вполне
положительными матрицами. Эти соображения побудили нас ввести
в рассмотрение новый класс матриц — класс осцилляционных матриц, —
промежуточный между классом вполне положительных и классом вполне
неотрицательных матриц.
Как мы увидим ниже, осцилляционные матрицы, с одной стороны,
обладают всеми спектральными свойствами вполне положительных
матриц, а с другой стороны, охватывают все вполне неотрицательные
матрицы, встречающиеся в разнообразных приложениях.
Определение 6. Матрицу Л=||а«||1 мы будем называть
осцилляционнойу если А вполне неотрицательная матрица и при этом
существует такое целое положительное число х, что Ах вполне поло-
положительная матрица. Наименьший такой показатель х будем называть
показателем осцилляционной матрицы.
Согласно этому определению вполне положительные матрицы
являются осцилляционными матрицами с показателем 1.

§ 3] примеры 93
Отметим некоторые простейшие свойства осцилляционных матриц.
Так как |Л|* = |ЛХ| и (АрУ = {А*)р, то:
6° Осцилляционная матрица есть матрица неособенная.
7° Степень осцилляционной матрицы А? (р=1, 2, ...) есть
также осцилляционная матрица.
Из предложения 2° следует:
8° Если А есть осцилляционная матрица с показателем х, то
при любом целом k^% матрица Аи вполне положительна.
Далее,
9° Если А— осцилляционная матрица, то и (Л*) есть осцил-
осцилляционная матрица.
Это предложение вытекает из 5° и свойства б).
В следующем параграфе приводятся примеры вполне неотрицательных
и вполне положительных матриц. Примеры осцилляционных матриц,
не являющихся вполне положительными, будут даны в § 7 на основе
помещенного там критерия осцилляционности матрицы.
§ 3. Примеры
1. Обобщенная матрица Вандермонда
А = flei*||i @ < ах < а2< ... < ап- ах<*2<...< ап) B1)
вполне положительна.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующего пред-
предложения:
Функция
f(x) = c1x*> + c2x«> + ... + спх«п B4>0) B2)
имеет не более чем п—1 положительный нуль1).
Докажем это предложение по индукции. При п = 1 оно очевидно.
Допустим, что оно справедливо, когда число слагаемых < п. Тогда,
если бы функция B2) имела п положительных нулей, то функция
по теореме Ролля имела бы п — 1 положительных нулей. Но в силу
предположения индукции это невозможно, так как fx {х) есть функция
того же вида, что и /(*), с числом слагаемых, равным п—1. Пред-
Предложение таким образом доказано.
Поскольку числа аи а2, •.., ап, в силу доказанного предложе-
предложения, не могут одновременно быть нулями функции B2), то система
*) Из последующих рассуждений следует и более общее предложение:
число положительных нулей функции B2) не превосходит числа перемен знака
в ряду коэффициентов с1э с2,..., сп.

94 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
однородных относительно ск уравнений
^**«?* = О ('•=!, 2, ..., /г)
имеет только тривиальное решение сг = с2 ==...= ?п = 0. Поэтому
С другой стороны, при afc = A—l(A=l, 2, ..., п) определи-
определитель |Л| является определителем Вандермонда. Пользуясь известной
формулой для определителя Вандермонда, на основании неравенств
О < аг < а2 < ... < aw заключаем, что рассматриваемый определитель
Вандермонда имеет положительное значение. Так как по доказанному
определитель |Л| всегда отличен от нуля, то из соображений непре-
непрерывности делаем вывод, что |Л|>0 при произвольных a1<a2<...
... < an. Далее, всякий минор матрицы А имеет ту же структуру,
что и | А |; поэтому миноры матрицы А положительны, т. е. А есть
вполне положительная матрица.
2. Матраца
о>0) B3)
вполне положительна.
Как и в предыдущем примере, достаточно показать, что | А \ > 0.
Но
Определитель | е2аоА |* положителен, ибо он получается из опреде-
определителя матрицы B1) заменой а4 на ?2<7а* и ай на |3Л.
Положим в B3) <х4 = % = i (/ = 1, 2,..., п) и полученную вполне
положительную матрицу обозначим через /%:
<х= Ik Hi- B4)
Отметим одно свойство матрицы Fa, которое понадобится нам в даль-
дальнейшем: диагональные элементы матрицы F9 равны единице, прочие
же элементы при о-*-|-оо стремятся к нулю. Поэтому
lim /% = ?
(Е — единичная матрица).

§3]
ПРИМЕРЫ
95
3. Согласно известной формуле Коши1),
П (*<-**) П (Л-Л)
1 1
+\
?<*
Отсюда матрица
вполне положительна.
4..Рассмотрим матрицу
П
B5)
B6)
Полагая Х( = е
легко получим
Сравнивая эту матрицу с матрицей B5), заключаем, что и матрица B6)
вполне положительна,
5. Однопарные матрицы. Однопарной матрицей будем
называть симметрическую матрицу 1= Ц/^Ц? с элементами
B7)
где фи •••> $п*> Xi> •••> Ьг—произвольные числа. Покажем, что
миноры матрицы L могут быть вычислены по следующему правилу:
а) Если
то
где
б) Если 1
нено, то
а, = min (/v, А,), Р, = max (/„,
v B9)
*,) (v = l, 2, ..., р).
п, но условие B8) не выпол-
Lf^-M-O.
\«2 «2 • • • ^р/
C0)
J) См., например, ПолиаиСеге [37], стр. 105 и 303.
2) Неравенства /1( Лх<«г» *г и т- Д- означают, что каждое число из
первой пары меньше каждого числа из второй пары.

96
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ
[гл. н
Докажем сначала утверждение а). Так как L — симметрическая
матрица, то, не нарушая общности доказательства, можно считать,
что в B8) /а-<&2, т- е* а2 = *2 и Ра — ^з- Тогда
Вычитая из первой строки этого определителя вторую строку, умно-
женную предварительно на ~9 найдем:
**2
C1)
Здесь мы использовали очевидное равенство ф<1ф*1 = фа$&-
Последовательно применяя формулу C1) и учитывая равенство
Vv получим
Переходя к доказательству утверждения б), допустим, что
в то время как, например, йг>/г+1A
формулы C1) имеем:
k ... ip
k* ... К
« Тогда на основании
Но в миноре L[r " р ) в силу неравенства 6r>/r+i первые две
\kr ... Л^/
строки пропорциональны. Поэтому этот минор, а значит, и минор C0),
равен нулю. Из а), б) следует:
в) Однопарная матрица L= ||/«||i с элементами
C3)
где все числа фи ..., фЛ, yl9 ..., уп отличны от нуля> тогда и
только тогда является вполне неотрицательной, когда все числа

§ 3]
ПРИМЕРЫ
97
X»
C4)
Ранг г матрицы L равен увеличенному на единицу числу зна-
знаков < в неравенствах C4).
Из в) следует, между прочим, что матрица
вполне неотрицательна и неособенная.
6. Рассмотрим якобиеву матрицу У=
aik — 0 при \1 —
Полагая
= ** (* = Ь 2, ..., л —1),
мы матрицу У запишем в виде
сх
0
bt 0 ..
а% b2 ..
с% аь
. 0
. 0
. 0
0
0
0
О О О ... сл-1 ал
Установим следующую формулу для миноров матрицы J:
а) Если
1<
C5)
C6)
C7)
то1)
C8)
*) Если 1хФкь то в C8) следует положить
7 3**. 1951. Гантмахер и Крейн.
ft::: У-

98 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. И
Для установления этой формулы достаточно показать, что при
выполнении неравенств C7) и при /v Ф &v
,k k ... h\=j{h - «ЛуЛ« - ',\ C9)
Kk h k/ W v \k v v '
h k ... ip\j(ll — '•-iw'» ••• 1P
Очевидно, достаточно доказать первое из этих равенств. Если /? < k4,
то, в силу C5),
а^ = 0 (X—1, 2, ..., v; ^ = v+ 1, ...,/;).
Если же i, > *v, то
^х^" (x = v+b •••, PI [i — l, 2, ..., v).
В том и другом случае разложение Лапласа определителя
по первым v вертикалям дает равенство C9). Таким образом, фор-
формула C8) установлена.
Из формулы C8) вытекает:
б) Всякий неглавный минор j(l 2 ' р\, для которого
К-М<1 0> = 1, 2> "мА D1)
может быть представлен по формуле C8) в виде произведения
некоторых главных миноров и некоторых из чисел Ь, с. Если
условие D1) не выполнено, т. е. хотя бы при одном v
то
Из б) следует
в) Для того чтобы якобиева матрица C6) была вполне неот-
неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все числа Ь, с и
все главные миноры этой матрицы были неотрицательны.
Вполне неотрицательной матрице У соответствует знакорегулярная
матрица У*, и наоборот. В данном случае У* получается из У изме-
изменением знаков у чисел Ь, с. При этом главные миноры матрицы не
меняются, так как в них числа Ь, с входят только произведениями bkck
(см. предыдущий параграф). Поэтому из в) следует
г) Для того чтобы якобиева матрица C6) была знакорегуляр-
ной, необходимо и достаточно, чтобы все числа Ь, с были непо-
неположительны, а все главные миноры неотрицательны. В частности,
нормальная якобиева матрица (см. § 1 этой главы, определение 1

§ 3]
ПРИМЕРЫ
99
на стр. 85) тогда и только тогда знакорегулярна, когда все ее
главные миноры неотрицательны.
В случае неособенной матрицы У можно упростить критерии в\
г). Так как главные миноры у симметризованной матрицы J8 (ср. § 1,
стр. 86) и у данной У совпадают, то из неотрицательности главных
миноров У следует, что квадратичная форма J8(x9 x) неотрицательна.
Но так как, кроме того, ранг У, а следовательно и У^, равен п9 то
форма J8(x, x) положительна. Отсюда, — все главные миноры положи-
положительны. Обратно, если известно, что последовательные главные ми-
миноры У положительны, то отсюда уже вытекает положительность
формы J8(x9 x) и, следовательно, положительность всех главных
миноров У8, а значит, и У. Таким образом,
д) Для того чтобы неособенная якобиева матрица была вполне
неотрицательна^ необходимо и достаточно, чтобы все элементы Ь, с
были неотрицательны и чтобы последовательные главные миноры
были положительны:
Ьг 0 ... О О
Ч h
ч ьх о
С\ #2 ^2
0 с% а§
>о,...,
О
О
О
О
О 0 0
0 0 0
п_! ап
D2)
е) Для того чтобы неособенная якобиева матрица У была
знакорегулярной, необходимо и достаточно, чтобы все элементы ду с
были неположительны, а все последовательные главные миноры D2)
были положительны.
В частности^ неособенная нормальная якобиева матрица тогда
и только тогда знакорегулярна, когда все ее последовательные
главные миноры положительны.
Пусть У — неособенная якобиева матрица и Z,= ||/^||i ==У-1, т. е.
/(!:::*-! *Л:::Э
I 2
Тогда по формуле C8) будем иметь:
1) При
Л—
/ГГ." «n
М2...Я/
\1 2 ...п>

100 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. И
2) При / > k
/12... я\
М 2 ... п>
ft—
, „)
J\l 2... n
В частности, если J — симметрическая матрица (Ь{ = с4 для /==1,2,.
..., п — 1) и д4 Ф 0 (/=1,2, ..., п — 1), то, полагая
D3)
сможем написать:
(«¦<*).
Таким образом,
ж) ?сл« J — неособенная симметрическая якобиева матрица C6)
с отличными от нуля числами ?, то обратная матрица У-1 =
я» L =? || /^й || ^ ?с/яб однопарная матрица
с отличными от нуля числами ^, у^ (/=1,2, ..•,«), опреде-
определяемыми по формулам D3).
Можно показать, что и обратно, если L — неособенная однопарная
матрица с отличными от нуля числами fy, х< (*' — 1,2, ..., я), то обратная
матрица L~x будет симметрической якобиевой с отличными от нуля
числами Ь. Для этого достаточно воспользоваться формулами B9), C0).
§ 4. Теорема Перрона
В настоящем параграфе мы установим теорему Перрона [36J
о максимальном характеристическом числе и соответствующем соб-
собственном векторе матрицы с положительными элементами. Эта теорема
будет положена в основу изучения характеристических чисел и соб-
собственных векторов осцилляционных матриц. Для симметрической
матрицы теорема Перрона может быть доказана значительно проще

§ 4] ТЕОРЕМА ПЕРРОНА 101
(нежели в общем случае), исходя из «энергетических» соображений
(из максимального свойства первого характеристического числа ква-
квадратичной формы). Поскольку в приложениях (гл. III) встречаются
только симметрические осцилляционные матрицы, то наряду с общим
доказательством теоремы Перрона, принадлежащим Фробениусу [48а,б],
мы приведем и доказательство для случая симметрической матрицы*).
Теорема 5 (Перрона). Если все элементы матрицы А= ||a«||i
положительны^ то у этой матрицы существует положительное
простое*) характеристическое число р, превосходящее модули
всех других характеристических чисел. Этому «максимальному»
характеристическому числу соответствует собственный вектор
с положительными координатами.
Первое доказательство (для симметрической матрицы).
Обозначим через р наибольшее характеристическое число симметри-
симметрической матрицы А, т. е. наибольший корень уравнения \А — Х??| = 0.
Тогда согласно теореме 13 § 10 гл. I (полагая в ней С = ?):
п п
А (*, х) = 2 aikxiXk] (*, *>) = ]g 4) D4)
И этот максимум достигается на любом собственном векторе # =
=?=: (^i> %> •••> zn) Матрицы А, отвечающем максимальному характе-
характеристическому числу р:
Введем в рассмотрение вектор u = (uv и2, . ..,,лл), где ui=\i\
(/=1,2, ...,/г). Так как по условию квадратичная форма А(х> х)
имеет положительные коэффициенты, то
Л (*,*)< Л («,«), D5)
в то время как (и, и) = {z, z). В силу D4), в соотношении D5) дол-
должен стоять знак равенства, и, следовательно, интересующий нас
максимум достигается и на векторе и:
Следовательно (см, § 10 гл. I),
Аи == рм,
или в более подробной записи
п
— Риг (/=1,2,
1) Читатель, интересующийся главным образом механическими приложе-
приложениями осцилляционных матриц, может ограничиться этим доказательством,
2) Т, е. являющееся простым корнем характеристического уравнения.

102 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Так как в левой части каждого из этих равенств все слагаемые
неотрицательны и по крайней мере одно из этих слагаемых положи-
положительно (и Ф 0), то
Р>0, «<>0 (/=1,2, ...,*). D6)
С другой стороны,
*<**«**<««*«<«* О', А =1,2, ... .,*), D7)
а
п п
= 2 ад«*. D8)
Отсюда вытекает, что в каждом из соотношений D7) имеет место
знак равенства, т. е. все гг имеют один и тот же знак и
г*=*±п. D9)
Таким образом, доказано (см. D6) и D9)), что у произвольного
собственного вектора г, отвечающего характеристическому числу р,
все координаты отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Сле-
Следовательно, среди этих собственных векторов нет двух, ортогональ-
ортогональных между собой, т. е. р — простое характеристическое число. Этому
характеристическому числу р соответствует собственный вектор и
с положительными координатами.
Осталось показать, что наибольшее характеристическое число р
превосходит абсолютную величину любого отрицательного характе-
характеристического числа У матрицы А, если, конечно, таковое имеется.
Обозначим через w = (w1,w2, ..., w^) собственный вектор мат-
матрицы Л, соответствующий характеристическому числу X'.
Так как (я, w) = 0, то вектор w имеет координаты разных знаков.
Полагая w' = (| <wx |, | w% |, ..., | wn |), будем иметь:
n,i\A(w,w)\ A (w\ wf)
(w, w) ^ («', wr)
что и требовалось доказать.
Второе доказательство (для общего случая). Обозначим
через Aik(X) алгебраическое дополнение элемента \bik — aik матрицы
\Е—A=\\\bik — aik\\i. Коль скоро будет доказано существование
максимального характеристического числа р, то для второй части
теоремы Перрона достаточно будет доказать, что
Aik(p)>0 (/, Л—I, 2, ..., п).
Действительно, в этом случае, полагая, например,
«l—^nfr), я2 = Л12(р), ..., ип = А1п(р)9
будем иметь
п
S — а{к) ик = 0 G=1,2,..., п),

§ 4] ТЕОРЕМА ПЕРРОНА 103
а следовательно, и = (ut9 ..., ап) будет собственным вектором с поло-
положительными координатами, соответствующим числу р.
Можно утверждать, что более того,
Aik(b)>0 при Х>р. E0)
Докажем теорему Перрона, вместе с дополнительным утвержден
нием E0), индуктивно от я — 1 к я.
При п = 1 мы можем считать теорему верной.
Положим Dm (X) = | Щк— aik \? (/я—1, 2, ...,«). Раскрывая Dn (X)
по элементам последней горизонтали и вертикали, получим
/>„(*) = (Х-О^n-i (*)- ,2 4Г1}(X) атапк> E1)
где i4j*) (X) обозначает алгебраическое дополнение элемента Щк — а{к
в определителе ?>w_i(X).
Предполагая теорему (вместе с E0)) установленной для матриц
порядка < пу обозначим через рт максимальное характеристическое
число укороченной матрицы Am^z \\аш\\Т (w=l, 2, ...? я—1),
Из E1) при X = pw_j находим:
я—t
A. <Pn -l) = - 2 ^^Х) (Pn- l) **п*п% < ^
С другой стороны, имеем
lim Dn(k) = \\m (X»+ ..-) = + оо,
а следовательно, уравнение Drt(X) = 0 имеет некоторый положитель-
положительный корень внутри интервала (рп_и оо).
Наибольший положительный корень уравнения Д^(Х) = 0 обо-
обозначим через рп. Таким образом, рп>рп„г. Аналогично pw_i>
> Рп-2 > • • •; следовательно, pw > рш (w < n). Число pw является
«максимальным» корнем главного минора Ът (X) в определителе Dn (X).
Переставляя горизонтали и соответственно вертикали в определи-
определителе Dn(k), мы можем добиться того, чтобы любой его главный
минор порядка т<п играл роль минора Dm (X). Следовательно,
рп больше максимального корня любого главного минора определи-
определителя Dn(\). Так как, кроме того, старший коэффициент в разложе-
разложении любого главного минора по степеням X в определителе Dn(\)
равен 1, то все главные миноры в Dn(k) при Х^рп положительны.
В частности,
Лй(Х)>0при X>pw «=1, 2,..., п).

104 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Отсюда
т. е. ря является простым корнем характеристического уравнения
Ож(Х)-0.
Рассмотрим теперь Aik(k) при i Ф к. Раскрывая Aik(k) по элемен-
элементам горизонтали и вертикали, которые в Dn(K) имели соответственно
номера к и /, найдем:
Aik (X) - аы С(Х) + 2 С*д (X) а„ав* (р, q Ф /, А); E2)
Р> <L
здесь С(Х) обозначает главный минор (я— 2)-го порядка, получен-
полученный из /)Л(Х) вычеркиванием горизонталей и вертикалей с номерами /
и к, a Cpq(k) (p, q Ф /, к), обозначает алгебраическое дополнение
элемента \bpq — apq в С(Х). Так как теорема Перрона (вместе с до-
дополнительным утверждением E0)) применима к матрице определи-
определителя С(Х) и максимальный корень уравнения С(Х) = 0 меньше рП9 то
С(Х)>0 и См(Х)>0 при X>pw.
Следовательно, в силу E2),
Aik (X) > 0 при X > рп.
Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что
?п Ж1>
где Хо — любое отличное от рп характеристическое число матрицы
Полагая, как прежде, и{ = Ан(рп) (/=1, 2, ..., п), будем иметь
п
2 а<Л = РЛ (/ = 1, 2, ..., я). E3)
ы
Пусть t; = (Vj, v2, ..., tfw) — какой-либо собственный вектор транс-
транспонированной матрицы А', соответствующий характеристическому
числу Хо:
п
^2 <*ikVi — V* (А =» 1, ..., ^). E4)
Тогда
J^^l^^l^oll^l (A-1,...,*). E5)
Из E3) и E5) находим, что
п п п
S д«иаК1>1*<>1 2 «

§ 5] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 105
Отсюда рп !> | Хо |. Знак равенства может иметь здесь место тогда и
только тогда, когда он имеет место в каждом из соотношений E5),
а следовательно, в единственном случае, когда все не равные нулю
комплексные числа *f< (/= 1, 2, ..., п) имеют один и тот же аргумент.
Но в этом случае, в силу E4), Хо > 0 и, значит, Хо = рп> что про-
противоречит допущению. Таким образом, рп > | Хо |.
Теорема Перрона доказана полностью.
§ 5. Характеристические числа и собственные векторы
осцилляционной матрицы
В настоящем параграфе мы установим ряд важных свойств харак-
характеристических чисел и собственных векторов осцилляционной матрицы.
Предварительно введем некоторые новые понятия и обозначения.
Пусть
uv и2, ..., ип E6)
— ряд вещественных чисел. Если некоторые из членов этого ряда равны
нулю, то мы им припишем произвольно выбранные знаки. После этого
можно будет подсчитать число перемен знака в ряду E6). Это число
будет меняться в зависимости от нашего выбора знаков для нулевых
членов ряда E6). Наибольшее и наименьшее значения этого числа
мы будем называть максимальным, соответственно минимальным
числом перемен знака в ряде E6) и будем обозначать через S*, со-
соответственно S".
В том случае, когда S* = S~, мы говорим о точном числе пере-
перемен знака в ряду E6), обозначая его просто через Su. Очевидно, этот
случай может представиться тогда и только тогда, когда соблюдаются
следующие два условия: 1) игип Ф О и 2) если некоторые щ = О
A</<л), то и^и{+1<0.
Заметим еще, что S~ есть число перемен знака в ряду E6) после
удаления всех нулевых членов.
Отметим также, что если все и{ — 0 (/=1,2»..., п\ то S" = О,
a S* = n—1; если же среди членов ui (г=1, 2, ..., п) есть k
(О ^ k < п) нулевых членов, то 5^ ^ п — к — 1, a S* ^ k.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему о спектраль-
спектральных свойствах осцилляционной матрицы.
Теорема 6. Г Осцилляционная матрица A=^ai1t\\x всегда
имеет только простые и притом положительные характеристи-
характеристические числа:
X1>X2>...>Xw>0. E7)
2е Если ии = {ихъ и21с, ..., unJe) — собственный вектор осцил-
осцилляционной матрицы Л, соответствующий k-му по величине харак-
характеристическому числу lh (k = 1, 2, ..., я), то при любых числах

106 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. I!
q
Ср> ср+ и • • • f са О <Я < Я*Сп> 2j <%> 0) число перемен знака среди
i^sp
координат вектора
заключается между р — 1 и q — 1;
p-l<5;<5^<flf—1. E8)
В частности^ среди координат вектора иь F=1, 2, ¦•., п)
имеется точно k — 1 перемена знака:
Suh = k—\ (*«1, 2,..., п). E9)
3° Узлы двух последовательных собственных векторов осцилля-
ционной матрицы ик и ик+* (? = 2, 3, ..., п—1) перемежаются.
Доказательство. Докажем теорему, — сначала для случая,
когда А — вполне положительная матрица.
Доказательство 1°. Если А — вполне положительная матрица,
то для любого q < n все элементы q-Ш ассоциированной матрицы 21^
(см. § 13 гл. I), т. е. миноры #-го порядка матрицы А, положительны.
Поэтому к матрице %q применима теорема Перрона. С другой стороны,
согласно теореме Кронекера (§13 гл. I), характеристическими числами
матрицы 9tg являются всевозможные произведения по q из характери-
характеристических чисел матрицы А. Если характеристические числа матрицы А
занумерованы в порядке невозрастания модулей | \х \ ;> | Х21 >.. ;>( \п |,
то наибольшим по модулю характеристическим числом для %q будет
произведение XjX2.. .Х^. Поэтому применение теоремы Перрона к ас-
ассоциированным матрицам %q (q=l, 2,..,, п) сразу дает:
Х1Ха...Х(Г>0 (?=1, 2,..., п),
ЬА'-Л>1М2--Л-Л-н1 (я==в1у 2,..., п — 1).
Из первого неравенства следует
после чего из второго —
^>Ади (9—1» 2,..., п— 1),
т. е. неравенства E7).
Доказательство 2\ Мы доказали, что вполне положитель-
положительная матрица не имеет кратных характеристических чисел. Поэтому
собственный вектор ик = (и1к, вять •• •» enft)> соответствующий А-му
характеристическому числу Хк9 определяется однозначно с точ ностью
до множителя. Покажем, что эти множители могуг быть выэраны

§ 5]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
107
так, чтобы все миноры
2 "'*)
фундаментальной матрицы ?/ = ||«ю||? были положительны.
Действительно, миноры F0) при фиксированном q являются ко-
координатами собственного вектора ассоциированной матрицы 9lfl, отве-
отвечающего наибольшему характеристическому числу Х^.. Ла D° § 13
) П П F)
у у ^а (
гл. I). Поэтому по теореме Перрона все миноры F0) отличны от
нуля и при любом q^.n имеют один и тот же знак sq. Умножая
последовательно векторы а1, я2, ..., ип на множители tj, ~, .. ¦-^L-,
е1 ея-1
получим требуемые неравенства:
0 (l</|<i»<...</*<*, ?«1,2,...,я). F1)
Пусть при некотором целом q
й
и ¦
Ti^\
Докажем, что из F1) следует:
Допустим противное, т. е. что
такие
координат
щ
?>0). F2)
F3)
>q. Тогда можно указать
вектора а, что
1, 2,...,
F4)
При этом
>,iti не могут одновременно равняться нулю,
2
так как в этом случае числа ск (А= 1, 2, .. ,,q, 2 4 > 0) удо-
удовлетворяли бы системе однородных уравнений
= 1, 2,...,
с отличным от нуля определителем системы F0).
Рассмотрим теперь заведомо равный нулю определитель
«i,
= 0.

108 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. И
Раскрывая этот определитель по элементам последней вертикали,
будем иметь:
«=1 ^ q '
Но такое равенство невозможно, так как в силу F1) и F4) все
отличные от нуля слагаемые в левой части (а такие заведомо имеются)
имеют один и тот же знак.
Таким образом доказано, что из F1) и F2) следует F3),
Чтобы закончить доказательство предложения 2°, рассмотрим
вектор
+
Тогда С—вполне положительная матрица (см. 5° § 2).
С другой стороны, из
По доказанному
Положим теперь (см. § 2)
1 =Я*= \\bl\\ = ||(-
атрица (см. 5° §
=1, 2,..., п\
следует:
Вик = 1ъ1ик (Л=1, 2,..., п\
или в подробной записи
п
2 Vj* = ^* «л (/, А = 1, 2, ..., /г). F5)
Каждому вектору а = (а19 и2>..., йм) отнесем вектор и* =
— («;, «;,..., i?), где«; = (- 1L- C=l» 2, ..., п). Тогда из F5)
следует
2 д1мк = Х^1 л« Dл = (- 1)*+Ч*; /, * = 1, 2, .. •, п\
или
Сик* = 1пХик* (А=1, 2,..., л).
Таким образом, и*п, и*п1> ..., и\ — полная система собственных
векторов вполне неотрицательной матрицы С. Соответствующие харак-
характеристические числа расположены в порядке убывания: Х^1 > X^i >

§ 5J ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 109
Поэтому, поскольку
мы можем для вектора и* написать соотношение, аналогичное F3)
(при этом роль числа q будет играть число п — /?-f-l):
S+.<n-p. F6)
Но, как легко видеть, всегда
SZ + S$ = n-l. F7)
Из F6) и F7) следует
\. F8)
Соединяя F3) и F8), получим E8). Предложение 2° полностью
доказано.
Доказательство 3°. Напомним, что согласно определению 3
(§ 1, стр. 86) под узлами вектора и мы понимаем узлы соответ-
соответствующей я-линии (см. там же, определение 2). Кроме того, так как,
согласно 2°,
F9)
то все нули й^-линии и «*+*-линии являются узлами.
При доказательстве предложения 3° мы будем опираться лишь на
следующие факты, вытекающие из 2Э:
Suk = k—l9 Suk+i = k G0)
и для вектора
+ Ж1 G1)
при произвольных с, d (с2 -f- (P > 0)
G2)
Допустим теперь, что между какими-либо двумя последовательными
узлами аир я^-линии нет узлов ий-линии. Тогда внутри (а, C)
функции ак(х) и ак+г (х) (ординаты ал-и ик+1 -линий) отличны от нуля
и сохраняют постоянный знак. Не нарушая общности доказательства,
можем считать, что
> 0, «*+*(*)> 0 («<^<Р). G3)
Положим для удобства в G1) d = — 1 и рассмотрим функцию
Покажем сначала, что ик(а)=?0 и и*ф)фО. В самом деле, пусть,
например, ик(<*) — 0. Тогда при любом с имеем я(ос) = 0. Выберем

110 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. Н
некоторое y> удовлетворяющее неравенствам
a<T<min {M« + l]}>
где [а-]-1] есть Ц^ая часть числа а~[- 1, и положим с= М(™ *
И \ \f
Тогда и a fr) = 0, т. е. одно звено «-линии лежит на оси х. Значит,
две последовательные координаты вектора а равны нулю. В этом
случае S+ — S~ >- 2, что противоречит G2). Таким образом, показано,
что ик-линия и ик+х -линия не имеют общих узлов.
Заметим теперь, что в силу G3), при достаточно больших с
u(x)>0
Будем с уменьшать до некоторого значения с0, при котором впер-
впервые и{х) обратится в нуль хотя бы в одной точке y интервала
a < х < р. Как легко видеть, с0 > 0. Кроме того, функция
не обращается в нуль при д: = а и при * = Р; следовательно, ко-
корень ^ этой функции лежит внутри интервала (*, р). Таким образом,
ломаная у = #0 (х) расположена по одну сторону от оси # и имеет
с осью х общую точку Р (f, 0) (a < f < Р).
Может случиться, что целое звено нашей ломаной у = и0 (х)
легло на ось х> но тогда, как мы уже выяснили, S?o — 5^0^-2, что
противоречит G2). Если же ломаная имеет с осью х только общую
вершину P(f, 0), то два звена, исходящих из этой вершины, рас-
расположатся по одну сторону от оси х9 что означает, что в ряду ко-
координат вектора и0 одна координата обращается в нуль, а две смеж-
смежные с нею имеют одинаковые знаки. В этом случае, как легко видеть,
опять Sua — Swo^-2, т. е. опять имеем противоречие с G2),
Таким образом, между двумя последовательными узлами
нии лежит по крайней мере один узел я^-линии. Но, согласно G0),
#*-линия имеет k — 1 узлов, а «7f+1-линия k узлов. Значит, между
двумя последовательными узлами я^-линии лежит только один узел
и7{-линии, и узлы ик-линии и ик+* -линии перемежаются.
Таким образом теорема доказана для случая, когда А — вполне
положительная матрица.
Если А — произвольная осцилляционная матрица с показателем х,
то матрицы Лх и Лх|-* вполне положительны (см. § 2); характери-
характеристическими числами этих матриц будут соответственно А*, Х]|, .. •, Х? и
^!+1> Аз,~^., *я+1# Применяя предложение 1° к вполне положитель-
положительным матрицам АК и Лх+1, получим
Отсюда легко следует E7)*

§ 6] ОСНОВНОЕ ДЕТЕРМИНАНТНОЕ НЕРАВЕНСТВО 111
Матрицы А и Лл имеют одни и те же собственные векторы, при-
причем вектор ик отвечает ?-тым по величине характеристическим числам
\к и Xfc матриц А и Ах.
Поэтому предложения 2° и 3° имеют место также для собствен-
собственных векторов осцилляционной матрицы Л.
Теорема доказана полностью.
§ в. Основное детерминантное неравенство
Рассмотрим минор матрицы Л= Но^Н?
kk... M/ 4<*<...<l, \
Если G4) есть главный минор, то для него 2|'» — &*| = 0.
Определение 7. Минор G4) будем называть почти-главным,
если для него
<75)
Всякий почти-главный минор имеет вид
/*! ... /a_i 4 4+1 ... /р\
Ui ... 4-i 4^1 4+1 ... *J
и получается из некоторого главного минора путем замены в нем
какой-либо одной горизонтали или вертикали смежным рядом.
Теорема 7. Если в матрице А= ||л«||? все главные и почти-
главные миноры неотрицательны, то для любого р < п имеет
место неравенство
G6)
Доказательство 1. Установим сначала справедливость нера-
неравенства G6) для матриц, у которых все главные миноры положи-
положительны, а почти-главные — неотрицательны.
При п = 2 мы сразу получаем утверждение теоремы:
11 12 = апап— а12а21 < а1Ха^ G7)
а21 а22
так как по условию

112 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Будем доказывать теорему по индукции. Если я>-2, то одно из
чисел р и п — р больше 1; не нарушая общности доказательства,
примем р > 1*).
Введем в рассмотрение матрицу D=\\dik\\p9 элементы которой
определяются равенствами
а<*=А(\ ../pZl'k) ft k=-p> ¦••' «)• <78>
В силу тождества Сильвестра (§ 2 гл. I):
о(Ыш.~ М /12...,-I\«-i V12...,-l k h... 1А
V*!**... V \12...P-Ij \l 2 ...p-1 kyk% ... kg) '
в матрице D также все главные миноры положительны, а почти-глав-
почти-главные неотрицательны.
Так как, согласно предположению индукции, доказываемая теорема
верна для матриц порядка <^п, то, дважды используя тождество
Сильвестра, можно написать:
РР + 1 ...
-\у-р
/1 - п\ D[PP + l...n) /»D[P + l...
\i ...„] м ...p-iy-p^ п ...р-\у
\l ...p-l) \l ...p-l)
/1...PW1...P-1P + 1....V
\l ...pj \\ ...p-lp+l ... n)
...p-l
2. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда среди
главных миноров имеются равные нулю.
Покажем, что произвольную матрицу с неотрицательными глав-
главными и почти-главными минорами можно с любой степенью точности
аппроксимировать матрицей, у которой все главные миноры поло-
положительны, а почти-главные — неотрицательны. Действительно, опреде-
определим аппроксимирующую матрицу равенством:
(80)
*) В противном случае мы перенумеровали бы в противоположном по-
порядке все горизонтали и вертикали матрицы А.

§ б] ОСНОВНОЕ ДЕТЕРМИНАНТНОЕ НЕРАВЕНСТВО 113
Для главных миноров матрицы Аг имеет место соотношение:
(it, ..., ^=1, 2, .. ., л; р = 1, 2, ..., л).
С другой стороны, для любого почти-главного минора
\/i ... /v_j i=tl /vfl ... /^/ V/i ... /,_! tz?\ i^x ... /p/
В справедливости этого неравенства легко убедиться, если заметить,
что величина е входит в диагональные элементы почти-главного ми-
минора матрицы Аг. Нужно написать для этого минора разложение по
степеням е, аналогичное (81). Для матрицы Лв выполняются условия
п. 1, и
/1 п\ /1 р\ //? +1 п\
(Щ
1 ... п\ /1 ... р\ //? +1 ... п\
1 ... п) ^ г\\ ... р) е\р+1 ¦.. п)
Переходя к пределу при s->0 и замечая, что при этом Аг-> А,
мы из (83) получим G6). Теорема доказана полностью.
Теорема 8. Если А = ||aiJf\\? — вполне неотрицательная ма-
тршщ% то для любого р < п имеет место неравенство G6):
/I...;. /.4-1...,Л
\\ •.. р) \р + \ ... п)
2 ...
При этом равенство достигается лишь в следующих очевид-
очевидных случаях:
1) Один из множителей в правой части равен нулю.
2) Все элементы aiJf (i = 1, ..., р\ k = p -{- 1, ..., п) либо все
элементы aik {i = p-\-\9 .. ., п; к = 1, . .., р) равны нулю.
Доказательство. Для вполне неотрицательной матрицы
выполняются условия предыдущей теоремы и потому имеет место
неравенство G6).
Для доказательства второй части теоремы нам понадобится сле-
следующая лемма, которая имеет и самостоятельный интерес.
Лемма 1. Если А = || aik ||?—вполне неотрицательная матрица
и
(84)
то либо
:0,
к1 2 ... Р-\ Р
8 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

114
либо
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ
[гл. п
aqk = ® (*= Ь 2, .. .,/?)¦
Доказательство. Допустим, что
/1 2 ... р — \ р\
В силу G6) имеем
/12 ...р-1/Л 1\2...р-\\
А \ I ^ Л I la,
\1 2 ... р-\р)^ \\ 2 ... j^-1/ J
^рр
и, следовательно,
2 ... р —
1\
.>о-
(85)
Из (84) и (85) вытекает, что в матрице
. .. ап
первые p — 1 строк линейно независимы, а <7-я строка есть линейная
комбинация этих р — 1 строк:
N=1
Покажем, что все Xv = 0. Действительно, для любого v (I ^v<]/?—1)
/12 ... v-1 ,+ 1 .../7-1 q \
\1 2 ... v-1 v ... p-2 /?-~l/
л2...,-.,+...., л irXA
\l2...v —1 v ...p — lp) \l2...p
Так как все миноры матрицы Л неотрицательны и при этом миноры,
стоящие в правых частях равенств (86) и (87), положительны, то
одновременно
(—1)Р-'-1Х,>0 и (-l^Xv>0,
т. е.
Xv = 0 (v=l, 2, ...,/?—1).
Лемма доказана.
Теперь мы имеем возможность приступить к доказательству вто-
второй части теоремы 8, т. е. к доказательству того, что в G6) знак
равенства имеет место лишь в случаях 1), 2) теоремы 8.

§ 6] ОСНОВНОЕ ДЕТЕРМИНАНТНОЕ НЕРАВЕНСТВО 115
При п = 2 это очевидно, так как в этом случае
#и #1
и, следовательно, 1
Будем доказывать наше утверждение по индукции, предполагая,
что оно справедливо для матриц порядка < п. Так же как и при
доказательстве теоремы 7, не нарушая общности доказательства,
можно принять, что р > 1.
Покажем теперь, что при любом я, если
/1 ... п\ /1 ... р\ /р + 1 ... п\
Л\ )=А\ )Л( ]=?0, (88)
то имеет место случай 2). Заметим, что из (88)
(89)
так как в противном случае не могло бы выполняться неравенство
(частный случай установленного нами неравенства G6), в примене-
применении к вполне неотрицательной матрице ||#м||?). Теперь мы можем
выписать цепочку соотношений G9) из теоремы 7. Так как во всех
звеньях этой цепочки должен иметь место знак равенства, то учи-
учитывая (88),
1РР + Х-ЯIР+] -П) (90)
рр + 1 ... п) рр \р-{ \ ... п
/р р + 1 ... п\
Применяя к определителю D \ I вторую часть доказывае-
\р р + 1 ... п)
мой теоремы, получаем одну из двух систем равенств:
dip = 0 (i = p+1, ...,л), (91)
dpk = 0 (ft=p+l, ...,я). (92)
Пусть, например,
Тогда, принимая во внимание (88), на основании леммы 1, находим:
«« = 0 (^ = Р + 1. •••»«; * = Ь2, ...,р).
Точно так же из (92) следуют равенства
в« = 0 (/=1, 2, ...,/?; А=р+Ъ ..., л).
8*

116 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Теорема 8 доказана полностью.
В теореме 7 неравенство G6) было установлено в предположении,
что все главные и почти-главные миноры матрицы Л=||л<л[|"
неотрицательны. В § 8 гл. I это же неравенство было установлено
в предположении, что Л=||а^]|? — симметричная матрица, соста-
составленная из коэффициентов положительной квадратичной формы
п
2 aikxixk (обобщенное неравенство Адамара). Эти различные усло-
условия не перекрываются друг с другом, а включаются как частные
случаи в более общие условия, при которых имеет место неравен-
неравенство G6).
Теорема 9. Если в матрице А = \\aik\\i 1) все главные миноры
положительны:
и 2) произведение любых двух симметрично расположенных отно-
относительно главной диагонали почти главных миноров неотрица-
неотрицательно'.
хк%...
¦ ¦ • < 's
то для любого р < n имеет место неравенство G6).
Доказательство. Для доказательства этой теоремы предла-
предлагаем читателю слово в слово повторить доказательство теоремы 7
для случая, когда главные миноры положительны (п. 1).
Замечание. Покажем, как из теоремы 9 вытекают теорема 10
§ 8 гл. I и теорема 7 настоящего параграфа.
Если А — симметрическая матрица и при этом квадратичная форма
п
2 ^ihxixk положительна, то, как легко видеть, условия 1) и 2)
\й4
п
выполняются, и потому имеет место G6). Если же форма 2 aikxixk
неотрицательна, то ее можно рассматривать как предел последователь-
последовательности положительных форм, а при предельном переходе неравенство
G6) сохраняется.
Если А — произвольная матрица с положительными главными и
неотрицательными почти-главными минорами, то условия 1) и 2) вы-
выполняются и потому имеет место G6). Если же А — произвольная
матрица с неотрицательными главными и почти-главными минорами,
то ее можно с какой угодно степенью точности аппроксимировать

§ 7J КРИТЕРИЙ ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТИ 117
матрицей, у которой главные миноры положительны, а почти-главные
неотрицательны (см. доказательство теоремы 7, п. 2). Поэтому снова
имеет место G6).
Следствие. При выполнении условий одной из теорем 7, 8, 9
всегда имеет место неравенство:
.Р p + \.*.q q + \ ...n\ lp+\ ...
.pp + \...qq+\...n) \p + l...
^ \l...pp + l...q/ \p + l...qq + l...n ) K '
Доказательство. При доказательстве мы можем считать, что
| А | Ф О, так как при | А \ = 0 неравенство (93) очевидно.
Введем в рассмотрение матрицу А = \\Л4к\\^ взаимную с матрицей
А = ||Дю||?, так что
/1.../—1 /+1... п\
AiJc = A [i ^ — 1^ + i п) (!>Ь=*\,2,...,п). (94)
На основании известной формулы для миноров взаимной матрицы
(формула D) гл. I) имеем:
h'v-K-
(95)
где h[, ..., tin_p и ?ъ.. .,4-р соответственно дополнительные системы
индексов для систем индексов ht9..., hp и lv...,lp. Отсюда заклю-
чаем, что для матрицы Л выполняются условия той же из теорем 7,
8, 9, что и для матрицы А. Эти условия выполняются также и для
матрицы
114*11 (<> *~1,...,к ?4-1, ...,л).
Поэтому
1-"+1~-*)Г~>I' + 1-В) (96)
Выражая здесь миноры матрицы А по формуле (95) через миноры
матрицы А и сокращая обе части неравенства на | А\п+р-я-\ полу-
получим неравенство (93).
§ 7. Критерий осцилляционности
В этом параграфе мы установим критерий осцилляционности для
вполне неотрицательных матриц. Этот критерий играет фундаменталь-
фундаментальную роль при определении осцилляционности конкретных матриц,
встречающихся в приложениях.
1. Предварительно мы докажем ряд вспомогательных предло-
предложений.

118 осцилляционные матрицы [гл. и
1° Если Л «а ||я«Цу — осцилляцаонная матрица^ то осцилля-
ционной будет также всякая урезанная матрица^ aik\\ % A<р <?<«).
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать это пред-
предложение для матрицы В= ||л«||у. Пусть матрица А* вполне поло-
положительна; покажем, что вполне положительной будет также и Вх;
другими словами, покажем, что для любых двух систем индексов
2<а'<...<«'
1 "'i ) (97)
1 ...kp j
положителен. Для этого рассмотрим соответствующий минор матрицы
Так как этот минор положителен, то по крайней мере одно из слагае-
слагаемых в правой части положительно. Пусть этим слагаемым будет про-
произведение
Тогда на основании детерминантного неравенства § 6 и произведение
положительно. Но это произведение входит в качестве одного из
слагаемых в сумму (97). Следовательно, эта сумма положительна, что
и требовалось доказать,

§ 7] КРИТЕРИЙ ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТИ
Лемма 2. Если прямоугольная матрица
/1 = J
К ая* I - - - а
вполне неотрицательна1) и ее строки с индексами 1 — it < i2 < •••
... < /р = т линейно зависимы, в то время как первые и последние
р — I из этих строк линейно независимы^ то ранг матрицы А
равен р — 1.
Доказательство. Очевидно, надо рассмотреть лишь случай
Из условия леммы вытекает существование таких чисел \v X2,...,
Vi> что
%ь = *2 Ка^и (А = 1, 2, ..., я). (99)
При этом \х Ф 0, так как в противном случае система равенств (99)
давала бы линейную зависимость между строками с номерами
^2> • • •» */?•
Пусть теперь /ft<;< in+1. Тогда
A (^-W»«-../,\ =(_1)Р.1ХЛ /'1-'»/<*Н.../,-1 \ A00)
и
где ^j < й2 < ... < /?р —• произвольная система индексов, а индексы
? K.. • < kp^i выбраны так, чтобы
Так как все миноры а(' ') в A0°) и Aо1) неотрицательны, то
из A01) находим, в силу A02),
Но тогда из A00) заключаем, что
W'iWb+i.../,-,\ 0 для
J) Прямоугольная матрица, как и квадратная, называется вполне неотри-
неотрицательной, если все ее миноры неотрицательны.

120 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Отсюда следует, что у-я строка есть линейная комбинация строк
с номерами iv i2,..., ip^v Hoy—произвольный индекс, отличный
от iv /2, ..., ir Так как по условию леммы ip-n строка также есть
линейная комбинация строк с номерами iv i2, ..., tpmmU то из сказан-
сказанного вытекает, что ранг матрицы равен р — 1. Лемма доказана.
Лемма 3. Если прямоугольная матрица
(/ = 1,.. •> т\ *= 1,..., п)
вполне неотрицательна и если некоторый минор
k h •¦• ip \ Q
(
wo раяг матрицы А равен р — 1.
В справедливости этой леммы убеждаемся двукратным примене-
применением леммы 2. Сначала применяем лемму 2 к матрице
II««II (/=1,2,..., т; k = kv ?2,..., kp),
а затем к матрице Л\ транспонированной для А.
2. Теперь мы уже имеем возможность установить критерий
осцилляционности для вполне неотрицательных матриц.
Предварительно дадим еще одно определение, в котором обоб-
обобщается понятие о главном и почти-главном миноре матрицы.
Определение 8. Минор А I1 а р) матрицы i4=||a||
\kxk2 ... kpf
будем называть квази-главным, если
( ,
h— *il<l, |/в —**|<li •-., |^-*р|<1- I
Теорема 10 (критерий осцилляционности). Для того
чтобы вполне неотрицательная матрица А= \\ai1e\\i была осцил-
ляционнойу необходимо и достаточно, чтобы: 1) А была неособен-
неособенной матрицей и чтобы 2) с<,^1>0во< + 1,<>0 (/=1, 2, ..., «—1).
Доказательство. Докажем сначала необходимость условий
1) и 2). Если А — осцилляционная матрица, то из 6° § 2 следует
условие 1), Условие 2) вытекает из предложения 1° настоящего па-
параграфа. В самом деле, в силу 1°, матрица
_ В ан ait
1
осцилляционная. Нам известно, что я*,< + 1^0 и а^ +1,^^-0. Если бы,
например, a^ + ieO, то и в любой степени At соответствующий

§ 7J критерий осцилляционности 121
элемент был бы равен нулю, между тем как у некоторой сте-
степени А} все элементы должны быть положительны.
Покажем, что условия 1) и 2) являются и достаточными.
Сначала установим, что при выполнении условий 1), 2) все квази-
квазиглавные миноры матрицы А положительны.
Квази-главными минорами первого порядка являются элементы
ai,i + t и а*4-1,< ('=1> 2, ..., п—1) и диагональные элементы
% (/=1, 2, ..., п). По условию теоремы a^-fi>0 и fl* + i,<>0
(f — 1, ..., /г— 1). Диагональные элементы также положительны, так
как из условия 1) и детерминантного неравенства § 6 вытекает:
(Х 2 ".'. )
°<А(Х
Предположим теперь, что все квази-главные миноры порядка </?
положительны, и докажем положительность квази-главных миноров
порядка р. Допустим противное, т. е. что соотношения A03) выпол-
выполнены, а
;H. A04)
.. kp/
В силу предположения индукции,
Равенство A04) и неравенство A05) позволяют применить лемму 3
к прямоугольной матрице
в силу чего ранг этой матрицы равен р—1.
Пусть А == max (/„ kx); тогда из неравенств A03) следует, что
iv ЛХ<А, А+Р —1<*р, *р. (Ю7)
Поэтому определитель
/й й + 1 ... h+p — l\
\h h j~ 1 ... h -\-p — 1/
является минором р-го порядка матрицы A06) и, следовательно, ра-
равен нулю. Но тогда, в силу детерминантного неравенства § 6, и
| А | = 0, что находится в противоречии с условием 1) теоремы.
Докажем теперь, что матрица В = АПшт1 вполне положительна.
В силу тождества
В

122 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. 11
и положительности квази-главных миноров, для этого достаточно пока-
показать, что для любых двух систем индексов /1</2<».»</р и
^i < *з<' • • <^j> можно всегда выбрать такие промежуточные
системы индексов <х[ < а2 <. .. <оу, а[ <aj < ... <оу, ... ;
а{я~а) <<4п~а* < ... <а^-2^, чтобы в соответствующем слагаемом
суммы A09) все миноры были квази-главными. Построение этих про-
промежуточных систем индексов можно осуществить Следующим образом.
Над каждым из индексов 1Ч ставим значок -f"» — или °
+ - о
(rv, /v или Q в зависимости от того, будет ли ^<?v, /v>&, или
/v = &v; тогда система индексов 119 /2, ..., ip разбивается на после-
последовательные группы, в каждой из которых индексы имеют одинако-
одинаковые значки, а любые две соседние группы имеют разные значки;
в зависимости от значков будем эти группы называть положительными,
отрицательными или нулевыми. В каждой положительной группе по-
последний индекс увеличиваем на 1; в каждой отрицательной группе
первый индекс уменьшаем на 1; все остальные индексы оставляем
без изменения. Полученную систему индексов обозначаем через
аь а2, . . ., <*р.
Сравнивая систему индексов аъ а2у . .., ар снова с системой
Ад, k2, ..., kp, мы разбиваем систему индексов aj, o4 ..., ар на по-
положительные, отрицательные и нулевые группы. В каждой положи-
положительной группе увеличиваем каждый из двух последних индексов
на 1, в каждой отрицательной группе уменьшаем каждый из первых
двух индексов на 1; остальные индексы не изменяем. Полученную
систему индексов обозначаем через а1у а2, ..., а^.
И вообще для получения системы индексов а^, 4J), ..., а^ мы
предыдущую систему ai5-1), аB^1}, ..., а^3""^ ($= 1, 2, ...; а? = iif
аз = /2, ..., а^ = ip) разбиваем на положительные, отрицательные и
нулевые группы, в каждой положительной группе увеличиваем послед-
последние s индексов на 1, в каждой отрицательной группе уменьшаем
первые 5 индексов на 1, а все остальные индексы оставляем без из-
изменения 1).
Нетрудно убедиться в том, что миноры
являются квази-главными.
х) Если в группе меньше, чем s индексов, то нужно изменять, разумеется
только эти индексы.

§ 7] КРИТЕРИЙ ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТИ 123
Покажем, что в (п — 1)-ом миноре нижняя система индексов со-
совпадает с kv k2, ..., kpi т. е. что
а<?-г)=Ъ (v=l, 2, ..., р). A11)
Заметим для этого, что так как
v</v, *,</! — p + v (v=l, 2, ..., р), A12)
то
К —*,|<л —/> (v=-l, 2, ..., р). (ИЗ)
Из нашего правила следует, что если 1Ч Ф к„ то v-й индекс, пробегая
(п\ Г It
значения /v = ai , <xv, av, ..., до некоторого места сохраняет постоян-
постоянное значение /v, а потом на каждом переходе приближается к k4
на 1 и при этом приближение начинается не позже р-го перехода.
Так как всех переходов у нас п—1, то, в силу A13), при некото-
некотором t^.n—1 имеем а^ = /г„ а, значит, и a^"* =&v.
Тем самым теорема доказана.
Попутно мы установили следующие два предложения.
2° Показатель осцилляционной матрицы всегда <Ся — 1.
Ниже будет указано, что эту верхнюю границу для показателя
нельзя снизить, т. е. будет дан пример (якобиева осцилляционная
матрица), где этот показатель равен п — 1.
3° В осцилляционной матрице все квази-главные (в частности,
все главные) миноры положительны.
Из этого предложения следует:
4° Произведение A = AtA2 ... Ат (т^п—1) осцилляционных
матриц Ai (/= 1, 2, ..., т) есть матрица вполне положительная.
В справедливости этого предложения убеждаемся, повторив для
матрицы А те рассуждения, которые были применены к матрице В
при доказательстве теоремы 10.
Пусть С^АВ. Тогда С^=АВАВ ... АВ (т = 2»Г-^
т
*^>п — 1J. Поэтому, в силу 4°,
5° Произведение двух осцилляционных матриц есть также
осцилляционная матрица и притом с показателем ^С -тт > г^г
п-—порядок матриц.
Это предложение в своей первой части может быть несколько
обобщено:
6° Произведение осцилляционной матрицы на неособенную
вполне неотрицательную матрицу есть матрица осцилляционная.
В самом деле, пусть С = АВ, где А — осцилляционная, В — вполне
неотрицательная неособенная матрица. Тогда
\ = \А\\В\>0. A14)

124
Далее,
ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТрИЦЫ
[ГЛ. I!
••> я —1).
В правой части этого равенства стоит сумма неотрицательных сла-
слагаемых, причем одно из них
ибо #^*+1>0 в силу критерия осцилляционности,
в силу неравенства
(/=1, 2, ..., «—1).
A15)
Значит,
Аналогично устанавливаем, что
*<+!.<> О (««I, 2, ..., /г—1). A16)
Пользуясь критерием осцилляционности, из A14), A15) и A16) за-
заключаем, что С есть осцилляционная матрица.
3. Применим критерий осцилляционности для получения некото-
некоторых важных примеров осцилляционных матриц.
Рассмотрим матрицу Якоби:
J =
ci
0
0
a2
c2
0
0
b%
a.
0
0 .
0 .
ьь.
0 .
.. 0
... 0
.. 0
0
0
0
1 a
A17)
Теорема 11. 1) Для того чтобы якобиева матрица A17)
осцилляционной, необходимо и достаточно, чтобы все числа
&> с были положительны и чтобы последовательные главные миноры
были положительны:
О
а„ /7. *
*1>0,
ах
с,
ах Ьх 0 ... О
сг а2 Ь2 ... О
О ...
• • • ип-\
>0. A18)

§ 7]
КРИТЕРИЙ ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТИ
125
2) Показатель осцилляционной якобиевой матрицы всегда равен
п—1, где п порядок матрицы.
Доказательство. 1. Необходимость и достаточность условий
теоремы следует из критерия осцилляционности, если принять во
внимание предложение д) примера 6 § 3 (стр. 99).
2. Согласно 2° показатель любой осцилляционной матрицы
<]я—1. С другой стороны, полагая /= ||Л^||?, замечаем, что при
х<я — 1 элемент AJn==0, и, значит, У* не является вполне поло-
положительной матрицей. Следовательно, показатель J равен п—1.
Теорема 12. Для того чтобы однопарная матрица L =
-И'лОь где
('<* A,9)
была осцилляционной, необходимо и достаточно, чтобы были вы-
выполнены следующие условия:
1) 2п чисел <h, ф9, ..., фя> Xi> Xs> • • > 7w« отличны от нуля
и одного знака)
2) h.<h
' Xl X2
1м
Доказательство. Условия необходимы. В самом деле,
если L осцилляционная матрица, то все главные миноры у L поло-
положительны. Значит,
0
(i'=l, 2, ..., я),
hi
НИ 1-1
HU
A20)
A21)
Из luc'^'Q (i, A=l, 2, ..., я) на основании A19) и A20) следует,
что все элементы lik > 0 (/, k = I, ..., я); отсюда получаем усло-
условие 1). Условие 2) вытекает из неравенства A21).
Условия достаточны. Действительно, при выполнении этих
условий, в силу предложения в) примера 5 § 3 (стр. 96), заключаем,
что L — вполне неотрицательная матрица. Кроме того,
и, в силу формулы B9) (стр. 95), для миноров однопарной матрицы
?п-1 Хп
х«>о.
Хз Хз
Ф2 Фз
Тогда, согласно критерию осцилляционности, L—осцилляционная
матрица.
Пусть J есть осцилляционная якобиева матрица. Тогда и матрица
М = (J*)~l является осцилляционной (см. § 2, 9°). В случае симме-

126 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ ГЛ. II
трической матрицы У, матрицами является однопарной (см. предложе-
предложение ж) примера 6, § 3, стр. 100). В общем же случае, когда J не
обязательно симметрическая матрица, матрицу М можно рассматривать
как некоторое обобщение однопарной матрицы.
Отметим следующие свойства матриц J и М:
7° В осцилляционной якобиевой матрице J те и только те
миноры
отличны от нуляу для которых
11 /г I <Г 1 | / h I <С 1 ... I / k I <С 1 A22)
8° В осцилляционной матрице M = (J*)-1 me и только те
миноры
отличны от нуля, для которых
/,, kx<U, k%< ... <ip, kp. A23)
Доказательство предложений 7° и 8°. Как было уста-
установлено в § 3 (пример б, стр. 98), минор матрицы J, для которого
не выполняются соотношения A22), равен нулю, а минор с индексами,
удовлетворяющими неравенствам A22), разлагается в произведение
некоторых главных миноров и некоторых чисел д, с. Так как
у осцилляционной матрицы все главные миноры и все числа ?, с
положительны, то отсюда вытекает предложение 7°.
Предложение 8° следует из предложения 7° в силу формулы
Ik к
М '
... ip\ \hh~-Jn-pl
... V у/1 2---М
VI 2 ... л/
(см. § 2 гл. I,), где как система индексов i1 < /2 < ... < ip;
У1 ^ч /о <^ • • • <х Jn-p> 1<1К и Л1 ^ч ^2 ^ * * # ^ КР> 1 ^ 2 ^s • • • ^ч *w-p
совпадает с системой индексов 1, 2, ..., л. При этом предоставляем
самому читателю доказать, что если системы индексов /, к удовле-
удовлетворяют условию A23), то дополнительные системы индексов у, /
удовлетворяют неравенствам A22).
Предложения 7°, 8° представляют известный интерес, если вспом-
вспомнить, что у произвольной осцилляционной матрицы отличны от нуля
миноры, одновременно удовлетворяющие условию A22) и условию A23)
(квази-главные миноры).

§ 8] СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 127
§ 8, Свойства характеристического определителя
осцилляционной матрицы
Пусть дана произвольная осцилляционная матрица Л =
Подобно тому, как мы это делали в § 1 этой главы для якобие-
вых матриц1), введем в рассмотрение и(А)-вектор, координаты кото-
которого
суть алгебраические дополнения соответственных элементов послед-
последней горизонтали матрицы \\Щк— я^И?; в частности,
ип (А) = | Xbik — aik |i . A24)
Очевидно, что
п
^ik — aik)uk(K) = 0 (/=1, 2, ..., я—1) A25)
2 №пъ — апк) Ч W ^ D (X), A26)
где
При \ = \j (;=1, 2, ..., п) вектор и(л) = (иг (А), ..., «л (X))
превращается в собственный вектор uf матрицы Л, соответствующий
числу Xj, а поэтому ряд
имеет точно у — 1 перемену знака.
Докажем следующую теорему:
Теорема 13. Ряд многочленов
«»(*), e«-iW, •••> «iW О27)
обладает в интервале @, оо) тремя характеристическими свой-
свойствами обыкновенного ряда Штурма^ а именно:
1° Многочлен и1(Х) сохраняет знак при 0<А<оо.
2° Если для некоторого X > 0 внутренний член иг (\) A < / < /г)
обращается в нуль, то соседние члены ui_l{k)uuiJrl{\) принимают
значения противоположных знаков.
3° Когда К, возрастая, проходит через корень ип(К)> произведе-
произведение un(k)un_l(X) меняет знак с— на +•
2) При сопоставлении результатов этого параграфа с аналогичными ре-
результатами § 1 читатель обнаружит некоторые различия. Они объясняются
тем, что если нормальная якобиева матрица J имеет положительные характе-
характеристические числа, то, согласно теореме 11 (стр. 124), не матрица У, а ма-
матрица У* является осцилляционной.

128 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. И
Доказательство. Для доказательства свойства 1° заметим,
что
и1(\) =
#22 * Ч
... а%п^
Чь — ^ • • • аъ>п-\
ап-1,2 ап-1,$ ••• лп-1,»-1 — * ап-1,п
'22—^ Й23 ••* Ч,П-\
Чп
Чп
••• ая-1,п-1 * ал-1,л
а следовательно,
йц Cli.
аН аШ аЬп
Все коэффициенты многочлена их (к) неотрицательны. Кроме того,
многочлен их (к) не равен тождественно нулю, так как из того, что
в ряде A27) при Х = Х?. имеется точно j— 1 перемена знака, следует,
что иг (kj) ФО (/ = 1,2, ..., я). Таким образом, по крайней мере
один из коэффициентов многочлена их (X) положителен и их (X) > О,
при 0 < X < -}- оо.
Свойство 2° означает не что иное, как то, что при ип (X) Ф О
вектор и (к) = (w1 (X), . .., ип (к)) имеет вполне определенное число
перемен знака, т. е.
а при ип (к) = 0 укороченный вектор а (к) = (их (X), ..., ип_г (к)) имеет
вполне определенное число перемен знака, т. е.
Рассмотрим три случая:
1) Число X = Хо > 0 таково, что ип (Хо) Ф 0 и
A28)

§ 8] СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 129
Обозначим через At матрицу, получающуюся из матрицы А путем
замены элемента апп на ann-\-t. Так как />0, то
lkl'"^)>A(l'"^) при 1<k<kk<"'<ik<n
и, следовательно, матрица Л^ также является осцилляционной. Из A28)
следует также, что Хо является характеристическим числом матрицы Аь
ибо
С другой стороны, так как матрицы At и А отличаются только одним
элементом последней горизонтали, то из A25) следует, что вектор
а (Хо) = (ut (Хо), ..., ап (Хо)) является собственным вектором мат-
матрицы At> соответствующим числу Хо. В силу теоремы 6, Sи (\л) — S7i (\0) •
2) Число X = Хо > 0 таково, что ип (Хо) ^0 и
Обозначим через А{т) матрицу, получающуюся из матрицы А путем
деления всех элементов ее последней горизонтали на 1 -j- т. Очевидно,
А^ — осцилляционная матрица. Легко видеть, что
| ХЕ-А™ | = D (X) + хХ«й (X),
и, следовательно, Хо есть характеристическое число матрицы Л(Ч По
тем же соображениям, что и в случае 1), вектор и(Х0) является
собственным вектором матрицы Al и, следовательно, снова 5^ ^—SZ^y
Рассмотрим последний случай.
3) Число X = Хо > 0 таково, что ип (Хо) = 0. Тогда из соотноше-
соотношений A25) следует, что укороченный вектор и (Хо) = (иг (Хо),..., иПтт1(\^)
является собственным вектором укороченной осцилляциокмэй мат-
матрицы || aik || Г1, а следовательно, S^=S^.
Для доказательства свойства 3° заметим, что, как следует уже из
доказанных свойств 1°, 2° (см. § 1 этой главы), число перемен знака
в ряде A27) при переходе от к = а к Х = р (<*п(а) ^ °> ип($)Ф®
и а < Р) получает приращение, равное разности между числом корней
функции ип(к) в интервале (а, р), при переходе через которые про-
произведение ип(\)ип_1(к) меняет знак с -f- на —, и числом корней
в том же интервале, при переходе через которые это произведение
меняет знак с — на -j-. Так как при X = XW ряд A27) имеет точно
п — 1 перемену знака, а при X = Х2 > кп ни одной перемены знака,
и многочлен ип(к) имеет степень п—1, то это возможно лишь при
условии, что все корни многочлена ип(к) лежат между Хп и Хх и при
9 Зак. 1951. Гантмахер и Крейи.

130 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ 1ГЛ. II
переходе через корень ип{\) произведение иПтт1(\) ип{\) меняет свой
знак с — на +•
Теорема доказана.
Следствие. Число нулей функции ип(к) в каком-либо интер-
интервале (а, р) @ < а < р, ип (а) Ф 0, ип ф) Ф 0) равно потере числа
перемен знака в ряде A27) при переходе \ от а к $.
В частности, так как при X = Х^+1 (J = 1, 2, ..., п — 1) ряд A27)
имеет точно у перемен знака, а при Х = А^ точно j—1 перемену
знака, то многочлен ип(Х) имеет между Xj+l и lj один и только один
корень. Таким образом, корни многочленов D(k) и ип(К) перемежаются.
Припоминая выражение A24) для многочлена ип(к), а также то, что
вместе с матрицей ||%||i также и все матрицы \\ац\\ \ (к = 1, 2, ..., п)
являются осцилляционными, мы приходим к следующей теореме:
Теорема 14. Если матрица А = \\а^||" является осцилля-
ционной, то корни каждых двух последовательных многочленов
ряда
DiW, ZJ(X), ..., Dn(X)9
где
(k = l, 2, .... я),
перемежаются *).
Из перемежаемости корней многочленов Dn(X) и Dn_1(k) вытекает
в свою очередь следующая
Теорема 15. Если G*^=[]^ft||i—фундаментальная матрица
осцилляционной матрицы А =\\ацс\\и a V=(U'у1 =\\vik\\i9 то
первые и последние координаты каждой пары векторов из =
= К'> *w •••> *nj) и ^' = (^ *ф •••» *>nj) (j = h %> ..., я)
имеют одинаковые знаки> т. е.
"ijVij > °> ипРщ > ° ПРИ У = 1, 2, ..., /г. A29)
Доказательство. В силу соотношения
имеем
А — ХЕ = Щ0ч —
а, следовательно,
Эту теорему интересно сопоставить с теоремой 20 § 10 гл. I.

§ 9] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОСЦИЛЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ 131
Отсюда, приравнивая элементы, находящиеся на пересечении последней
вертикали и горизонтали, находим
Так как, в силу перемежаемости корней многочленов D (X) =
= (— \)п-\- ... и Dn_t (X) = (— X)»-1 -|- ¦.., отношение этих много-
многочленов Дач' пРи переходе X через корень X, (/ = 1, 2, ..., п) пере-
ходит от — оо к + оо, то все произведения unjvnj (j = 1, 2, «. #, п)
положительны.
Из соображений симметрии (или того, что векторы и$ и *Ы
(/=1, 2, ..., /г) имеют одинаковое число перемен знака) вытекает
также, что
(/ = Ь 2, ..., /г).
§ 9. Характеристические числа осцилляционной матрицы
как функции ее элементов
1. Теорема 16. Если \ и \п соответственно наибольшее и
наименьшее характеристическое число осцилляционной матрицы
ЛНЫь то
0 (/,, = 1?2,...,я).
Доказательство. Как и в предыдущем параграфе, введем
в рассмотрение матрицы U и V; тогда
отсюда
п
\j= 2 ar8a8JVrj (/=!> 2, ,.., П).
Дифференцируя обе части этого равенства по aik, получим
rs 83 да*ъ ' ^ пг
Г,« = 1 Г,в=1
В силу соотношений
п п
находим:
^ 2л "rjVrj = ЧРц, A30)
9*

132 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
поскольку из равенства U'V=E, следует:
Согласно теореме 6 все числа ulv #21, ..., ипХ отличны от нуля
и имеют один и тот же знак ем. То же можно сказать и о числах
vlv v21, ..., vnV поскольку матрица V=(U/)~1 является фундамен-
фундаментальной для осцилляционной матрицы А' (см. § 3 гл. I, стр. 28).
Общий знак чисел vll9 v21, ..., vnl обозначим через ev. Из A31)
(при /=1) следует 8^ = 8^. Поэтому из A30) вытекает:
С другой стороны, на основании теоремы 6 (стр. 105) среди коор-
координат векторов e» = (elft, u2n, ..., ипп) и v^ = (vln> v2n, ..., vnn)
имеется точно п — 1 перемена знака. Поэтому
sign икп = (— l)*-i sign uln, sign vin = (— I)*-1 sign vin.
Отсюда, в силу A30) и теоремы 15 предыдущего параграфа,
sign gj = sign [(- 1)«**«1|ЛJ = (-1У+К
Теорема доказана.
Теорема 17. Если Л == ||aik\\± — осцилляционная матрица
с характеристическими числами \t > Х2 > ... > \п, то
(; = 1, 2, ..., п).
Доказательство, Первое неравенство следует непосредственно
из A29) и A30). Второе неравенство переходит в первое, если поме-
поменять нумерацию горизонталей и вертикалей на обратную; при этом
матрица остается осцилляционной и характеристические числа ее не
меняются. Третье и четвертое неравенства получаются, если заметить,
что, в силу A30),
и, кроме того,
sign vnj = (— iy-isignv1Jf |
ip | (/«1, 2, ..., n).
Теорема доказана.

§ 9]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОСЦИЛЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ
133
2. Рассмотрим теперь нормальную якобиеву симметрическую ма-
матрицу (см. § 1)
а1 — bi 0 ... О О
— Ьх а% — Ь2 ... О О
О — Ь2 аъ ... О О
О 0 0 ... — bn_t t
Обозначим через Xt < Х2 < ... < кп характеристические числа
матрицы У, а через U= ||#до||* ee фундаментальную матрицу. Мат-
Матрица J не является, конечно, осцилляционной (в случае, когда
J(x, x) — положительная форма, нормальная якобиева матрица ста-
становится осцилляционной при замене — Ьк на bk (k=l, 2, ..., п — 1));
тем не менее, мы можем к матрице J применить формулу A30), по-
поскольку при ее выводе мы опирались лишь на то, что матрица имеет
простую структуру. Так как для симметрической матрицы J матрицу U
можно выбрать ортогональной, то V = ({У')-1 = U. Поэтому A30) дает:
A32)
= h 2, ..., я),
= — ukjuk+lfj (/=1, 2, ..., п; А =1,2, ..., п— 1). A33)
ет:
j (/=1, 2, ..., п) есть неубы-
неубы*)
Из A32) следует:
1° Характеристическое число j
вающая функция от av а2, ..., ап
Возьмем частные случаи формулы A33) для у = 1 и / = я. В § 1
было установлено, что в ряду координат у-го (/= 1, 2, ..., п) соб-
собственного вектора их^ и2р ..., unj имеется точно J — 1 перемена
знака. Поэтому
1, 2, . ., п—\\
и, значит, в силу A33),
~i<0, §^>0 (k
т. е.
2° Наименьшее характеристическое число Xt нормальной сим-
симметрической якобиевой матрицы есть убывающая функция от bit
b2, ..., bn_v
3° Наибольшее характеристическое число кп нормальной сим-
симметрической якобиевой матрицы есть возрастающая функция от
Ь» Ь2, ..., bn_v
1) В силу теоремы 15 гл. I (стр. 68), это предложение верно для любой
симметрической матрицы А = || aik || *\ т.
1,2, ...,

134 ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. II
Из предложений 1°, 2°, 3° следует, что, заменяя все аг на наи-
наибольшее среди них (max а), либо наименьшее (min а) и поступая ана-
аналогично с числами Ьк9 мы получим верхние и нижние границы для Кх
и \п.
Для того чтобы вычислить эти границы, мы найдем Xj и Х^ для
матрицы Уо, в которой
#i == я2 = • • • = ап = а> bi = *2 = • • • = *n-t = *•
С этой целью выпишем уравнения для координат у-го собственного
вектора:
«о = «1+1-0), A34)
где XJ (/= 1, 2, ..., п) — характеристические числа матрицы /0. По-
Полагая
^S-cos6, A35)
приведем уравнение A34) к такому уравнению в конечных разностях
икшт1 — 2созв^+ ик+1 = 0.
Общее решение такого уравнения получается по формуле
ик = A sin kbj 4- В cos kHj.
Примем во внимание дополнительные условия а0 = ип±х = 0. Из
и0 = 0 следует 5 = 0, и так как тогда А Ф 0, то условие ап+1 = 0
влечет за собой равенство
sin (я+!)ву по-
последовательно, можно положить
Из A35) получаем
5 ^T (у=1, 2, ..., я).
Пользуясь этими выражениями для характеристических чисел ма-
матрицы Уо, мы, в силу предложений 1°, 2°, Зэ, получаем следующие
оценки для характеристических чисел Xj, \n матрицы J:
min а — 2 cos—rrniax6<;Xt <;maxa — 2 cos ^
я-(-1 ^ i ^
min a 4- 2 cos —^ min * < XM <; max a + 2 cos -4-r max
1 /Z+l ^At^ | /1 —J— 1

ГЛАВА III
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С П СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 1. Уравнения малых колебаний
1. Пусть S — некоторая механическая система с п степенями сво-
свободы, способная колебаться вокруг своего положения устойчивого равно-
равновесия. Пусть qv ..., qn — обобщенные координаты системы S; не
нарушая общности, мы примем, что координаты выбраны так, что
в положении равновесия
Исходя из допущений, которые обычно принимаются при исследо-
исследовании малых колебаний системы, мы можем считать, что кинетическая
энергия Т и потенциальная энергия V изображаются квадратичными
формами с постоянными коэффициентами:
п п
где д{=^~Я± (/=1, 2, ..., п) есть обобщенная /-я скорость.
Так как при движении системы кинетическая энергия положительна,
то Т есть положительная форма от qv ...,qn.
В силу положительности формы Г, по теореме 11 гл. I (стр. 54)
существует преобразование координат qi (i== I, 2, .•.,#) к некото-
некоторым новым координатам 0^ (/= 1, 2, .. ., п)
п
?(=2«Л ('=1> 2, ..., я), A)
приводящее одновременно обе формы Т и V к сумме квадратов г):
А2- B)
*) В указанной теореме речь шла об одновременном приведении форм
А (х, х) и С (х, х) от одних и тех же переменных х\, х%, ,.., хп\ в формах

136
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
При этом вещественные числа Х^ (/= 1,2,..., п) суть корни обоб-
обобщенного векового уравнения \aik — X^fe|? = 0, которое более по-
подробно записывается так:
•Хс<
1п
ьт
I """"—" "^<и 1 ^*эО """"— i
апп
= 0.
C)
Что же касается матрицы ||#м||ь то она составляется из координат
векторов в* = (вн, ..., uni) G=1, 2, ..., п), которые, во-первых,
являются решениями систем уравнений
D)
при соответствующем значении Х = Х^ (/= 1, 2, ..., п) и которые,
во-вторых, так выбраны и нормированы, что
, «*)== 2 «А =
E)
Напомним также, что дефект d = n — г (где г—ранг) системы
уравнений D) при X = Х4 равен кратности \i9 как корня уравнения C).
Поэтому, если корень Х^ является простым, то числа uk(k— 1, ..., п)
определяются из системы D) при X = Х4- с точностью до пропорцио-
пропорциональности, и, отбрасывая то из уравнений D), которое линейно зави-
зависит от предыдущих, мы получим, что
где Д< (t=l, 2, •.., л) суть алгебраические дополнения последова-
последовательных элементов отброшенной строки в матрице Ца^ — Х^&||5\
Коэффициент y определяется из условия нормирования:
п
(»> «)=т 2
l
же Г и V переменные разные. Но если мы подвергаем переменные
qi (г=1, ..., л) преобразованию A) с постоянными коэффициентами щ^
(i, k<= I, ..., п), то производные по времени q^ (t = 1, 2, ..., /г) подвергаются
преобразованию
п
<7*= 2
с той же матрицей коэффициентов ||и$&11?* и поэтому имеет место B).

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 137
Координаты Oj, ..., Ьп называются главными или нормальными 1)
координатами системы.
Составляя уравнения Лагранжа движения нашей системы в главных
координатах:
±^+™=0 (/=1,2,...,,),
dtdbi dbi
получим систему из п дифференциальных уравнений
('=1. •••> *)¦ F)
Если некоторое Х^>0, то решение /-го уравнения имеет вид
6^ = Аг cos VМ + Bisin Vh t- (?)
Если же Х^ < 0, то в этой формуле следует заменить обычные коси-
косинусы и синусы гиперболическими. Если же Х^ = 0, то общее решение
уравнения F) будет иметь вид 0^ = Аг -\- B4t В последних двух слу-
случаях возможны движения со сколь угодно малыми начальными дан-
данными, при которых bi неограниченно растет вместе с временем t.
Поэтому, если, как мы предположили, положение системы qi=*O
(/=1,2,..., п) является устойчивым положением равновесия, то
все числа
Х,>0 (/=1, 2, ..., я), (8)
т. е. форма V является положительной.
Последнее условие является не только необходимым, но и доста-
достаточным (для устойчивости положения ^ = 0 (*"=1> 2, ..., п)\ ибо
при его выполнении % (/=1, 2, ..., п) находятся по формулам G),
где
J? (/=1, 2, ...,*), (9)
а из этих равенств и G) вытекает, что при достаточно малых началь-
начальных данных 6? и Щ (/= 1, 2, ..., п) координаты 0г- (/= 1, 2, ..., п)
будут оставаться сколь угодно малыми в течение всего движения.
Формулу G) можно записать еще так:
) (/=1, 2, ..., п),
*) Иногда нормальные координаты понимают несколько шире, а именно,
как такие координаты 0А, ¦.., 0И, при которых Т и V имеют вид
п п
Очевидно, что в этом случае Х$ = — (I = 1, 2, ..., л).

138 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ill
где R{ — амплитуда гармонической величины 0, (/=1, 2, ..., п)}
а с^ — ее начальная фаза; при этом
«< = arctgg7 ('=1. 2, ...,я).
Вставляя в A) найденные выражения для б< (/=1, 2, ..., /г), мы
получим выражение для qi G= 1, 2, ..., п) как функций от времени t.
Найденное таким образом решение можно представить в более ком-
компактном виде, если перейти к векторной символике. Вводя в рассмо-
рассмотрение вектор q = (<f\, Я& ..., #w), мы запишем преобразование A)
сокращенно так:
1- ... +6пя» A0)
а, следовательно, окончательно:
п
? = .2 я«sin
Мы видим, что вектор q является суммой векторов
qi = я, sin (VTi *+ а<) * A=1,2,..., л). A2)
Этот факт выражают словами: общее свободное колебание системы
получается наложением гармонических колебаний системы, взятых
с произвольными фазами и амплитудами.
Одновременно мы видим, что найденные нами ранее числа
\i (/= 1, 2, ..,, п) и векторы и1 (/= 1, 2, ..., п) имеют следующий
механический смысл:
Число Xi (/= 1, 2, ..., п) есть квадрат частоты pi(pi=^ "jA^)
i-го гармонического колебания A2) системы, а вектор и1 (/=1,
2, ..., п) задает «направление» этого колебания.
Покажем теперь, как можно выразить произвольные постоянные
интегрирования Л^ и Bi (/—1, 2, ..., п), а значит, и величины /^ и
ai (/=1, 2, ..., я) непосредственно через начальные данные q^ и
q\ (/=1, 2, ..., *).
Составим для этого С-произведения обеих частей равенства A0)
с вектором W* (v= 1, 2, ..., п)\ в силу E), получим
п
= 2
Следовательно, принимая во внимание (9), находим:
А,= С(и\ qO) и Вч = ^=С{и\ f) (v= 1, 2, ..., я).
Таким образом, задача об определении движения системы 5 пол-
полностью решена.

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 139
Прежде чем перейти к установлению некоторых общих законов
механических колебаний, заметим еще, что обычно к уравнению частот C)
и системе уравнений D) приходят таким путем:
Составляя уравнения Лагранжа
d дТ . dV A /• 1 о ^
^+%=0 ('=1J п)
исходя из выражений Т и V в заданных координатах qi (i = 1, 2, ..., п),
получим
+2
й=1
i,2,..., я). A3)
Имея в виду составить общее решение этой дифференциальной си-
системы из частных гармонических решений, ищем решение q вида
# = u$in(pt-\-a), т. е. полагаем в A3)
qi = uisin(pt-\ra) A=1, 2, ..., п).
После этой подстановки и сокращения на sin(p/-{-a) придем к урав-
уравнениям
п
uk = Q (*'=1, 2, ..., п),
совпадающим с уравнениями D) при X = р2. Приравнивая определитель
этой системы нулю, получим уравнение частот C):
Исторически этот путь был первоначальным и именно таким
образом, отправляясь от задач механики, математики пришли к теории
векового уравнения и вообще к исследованию свойств пучка квадра-
квадратичных форм.
2. Расположим частоты pi гармонических (или, как еще говорят,
собственных) колебаний по возрастанию их величин:
Собственное колебание с наименьшей частотой рх обычно называют
основным тоном системы, а собственные колебания с частотами р2,
/?8, .. . — соответственно первым, вторым и т. д. обертонами си-
системы.
В § 10 гл. I мы установили ряд минимаксимальных свойств
характеристических чисел \{ (/ = 1, 2,..., п). Эти свойства при-
приобретают теперь для чисел pi = Yh простой интуитивно очевидный
механический смысл; мы их сформулируем в виде законов.
Закон I. При увеличении инерции системы без изменения ее
жесткости частоты системы не увеличиваются и по крайней
мере одна из них уменьшается.

140 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
При этом под увеличением инерции систем мы понимаем пере-
переход от нашей системы с кинетической энергией Т = -^ V с^^к
к системе с большей кинетической энергией V = -j V tytftf& (так
что форма V — Т неотрицательна и не равна тождественно нулю).
Под сохранением (соответственно увеличением) жесткости системы
мы понимаем сохранение (соответственно увеличение) ее потен-
потенциальной энергии. Естественность этой терминологии станет ясной,
если мы вспомним, что при увеличении инерционной массы тел рас-
рассматриваемой системы кинетическая энергия этой системы возрастает.
Если же увеличивается жесткость упругой системы или ее закреплений,
то при данной деформации увеличивается ее потенциальная энергия.
Закон I является, очевидно, следствием теоремы 16 гл. I. Его
можно уточнить, если воспользоваться теоремой 18 гл. I. Из той же
теоремы 16 вытекает
Закон II. При увеличении жесткости системы без изменения
ее инерции частоты системы не уменьшаются и по крайней мере
одна из них увеличивается.
Теорема 19 гл. I может быть теперь сформулирована как
Закон III. При наложении на систему k связей последова-
последовательные частоты р[^Ср'2^. .. . ^P^fc связанной системы не
меньше соответствующих частот рх ^/?2^С • • • ^СРп-ъ и не
больше соответствующих частот р&+1 ^Рь+ъ^С • • • ^Рп свобод-
свободной системы.
Мы не оговариваем здесь, что связи линейны, ибо при малых
колебаниях мы пренебрегаем членами второго и высших порядков
относительно координат, и поэтому каждую связь рассматриваем как
линейную (кроме того, она должна быть однородной, так как она
удовлетворяется при значениях <7г- = 0 (/= 1, 2, . .., п)).
Следующий закон является дополнением к закону III и является
переводом на язык механики теоремы 15 гл. I.
Закон IV. р-й обертон колеблющейся системы S совпадает
с наивысшим из всех основных тонов механических систем, полу-
чающихся из системы S путем наложения на нее р каких-либо
связей.
В следующем параграфе мы дополним эти законы рядом новых,
но уже при некоторых ограничениях относительно вида форм для
кинетической и потенциальной энергии.
§ 2. Колебания штурмовых систем
Определение 1. Механическую систему мы будем называть
штормовой *), если в форме Т отсутствуют произведения различных
х) Штурм, как выяснилось из рукописей, обнаруженных после его смерти
(см. Бохер [76]), впервые детально изучил колебания таких систем. Более

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 141
обобщенных скоростей, а форма V является нормальной якобиевой
формой, т. е.
п—1
(Ь4 > 0, /=1, 2,..., п—1).
Уравнения Лагранжа в этом случае будут иметь вид
Следовательно, для амплитудного вектора u = (uv ..., ип) гармони-
гармонического колебания
q = и sin {pt~\- a)
получатся уравнения:
или
где
ai — ~?: (/= 1, 2, ...,#),
т«=^- О' = о, 1,..., «-1).
Приравнивая определитель системы A4) или A5) нулю, полу-
получим уравнение частот системы, которое, как мы видим, оказы-
оказывается вековым уравнением некоторой якобиевой матрицы. Вспоминая
результаты § 1 гл. II, относящиеся к якобиевым матрицам, мы можем
сформулировать следующую теорему:
Теорема 1. Частоты гармонических колебаний штормовой
системы все различны между собой. При этом:
1° Амплитудный вектор основного тона имеет все координаты
одного знака,
2° Амплитудный вектор k-го (&=1, 2,..., п — 1) обертона
имеет точно k узлов,
3° Узлы амплитудных векторов двух соседних обертонов пере-
перемежаются *).
того, отправляясь от свойств таких систем, Штурм открыл свою знаменитую
теорему из высшей алгебры. Изучение алгебраической системы уравнений
A5) теснейшим образом связано с исследованиями того же Штурма [54]
по дифференциальным уравнениям второго порядка, названным уравнениями
Штурма-Лиувилля.
х) Более того, в силу теоремы 2 гл. II, между каждыми двумя узлами
?-го обертона лежит по крайней мере один узел всякого следующего
обертона.

142 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Заметим еще, что если положить
[ГЛ. Ш
О • ••—*ft_i Ч — ^к
\=\, 2, ..., я),
то для функций
ношение:
имеет место следующее рекуррентное соот-
соот/,-^ ViW-*LiA*-2 (X) A6)
(ft = 2, 3,..., я; Ао=1).
С помощью этого соотношения можно вычислить многочлен Aw(a),
корни которого суть квадраты частот А^ = /^ (/= 1, 2, . .., л)
нашей системы.
Координаты амплитудного вектора u*=(ut,..t, un) гармониче-
гармонического колебания с частотой р (p = pv p2, ..., рп) определяются из
формул
«* = Т^Г1^1... А*Л А*-! (р11) (*=1, 2,..., я), A7)
где f — произвольная константа. Эти выражения для ик (k ==1, 2,..., п)
проверяются путем непосредственной их подстановки в A4); при этом
следует принять во внимание рекуррентное соотношение A6). Впрочем,
формулы A6) и A7) следуют также из формул B) и G) § 1 гл. II.
Рассмотрим некоторые конкретные задачи, приводящие к штур-
штурмовым системам.
1. Колебания нити с бусинками. Исследуем поперечные
колебания невесомой идеально гибкой нити с п бусинками. Этой
задаче принадлежит совершенно особая роль в истории механики и
математики. Пожалуй, она была первой задачей на исследование
малых колебаний системы с п степенями свободы. В связи с ней
Даламбер предложил свой метод интегрирования системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отпра-
Отправляясь от нее, Даниил Бернулли высказал свое знаменитое предпо-
предположение, что решение задачи о свободном колебании струны можно
представить в виде тригонометрического ряда, что вызвало между
Эйлером, Даламбером, Д. Бернулли и др. дискуссию о природе три-
тригонометрических рядов, затянувшуюся на несколько десятилетий.
Впоследствии Лагранж показал более строго, как можно пре-
предельным переходом из решения задачи о колебании нити с бусинками
получить решение задачи о колебании струны.

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 143
Наконец, как мы уже отмечали (см. сноску на стр. 140), этой
задачей (и аналогичной задачей из теории теплопроводности) руко-
руководствовался Штурм в своих замечательных исследованиях по высшей
алгебре и теории дифференциальных уравнений.
Итак, пусть на некоторую нить длины /, натянутую между своими
неподвижными концами с натяжением а, насажено п бусинок. Обо-
Обозначим через т19 т2, ..., тп массы этих бусинок и через /0, lt ..., ln
длины последовательных участков, на которые нить в положении
равновесия подразделяется бусинками.
Мы будем рассматривать малые поперечные колебания бусинок
и будем, следовательно, пренебрегать их сдвигами в направлении
линии равновесия нити. Выбрав какое-либо положительное направление
оси Y, перпендикулярное к линии равновесия нити, обозначим через
Ух-, Уъ • • • > Уп перемещения бусинок, параллельные оси Г. Тогда для
кинетической энергии будем иметь следующее выражение:
Принимая натяжение нити при перемещениях бусинок (ввиду
малости этих перемещений) постоянным (==а), мы можем написать,
что V = а А/, где Д/ — удлинение нити, вызванное перемещениями
бусинок. Но при заданных перемещениях^ О'=1> 2,..., п) удли-
удлинение участка /^ (/ = 0, 1, ..., я) найдется, очевидно, по следующей
формуле:
= щ(Ум —лJ+... (/« о, 1,..., «; л=л»+1 = <>)•
Так как, очевидно, Д/ = 2 ^ь т0 с точностью до малых величин
четвертого порядка будем иметь для V следующее выражение:
п
т (у*+> -^ Оо=Упи = о). A9)
Из A8) и A9) видно, что нить с бусинками является штурмовой
системой и, следовательно, к колебаниям нити приложима тео-
теорема 1. Из этой теоремы следует, что при гармонических колебаниях
нити с наименьшей частотой (т. е. при основном тоне) нить выпу-
выпучивается всеми своими частями одновременно то в одну, то в другую
сторону; при гармонических же колебаниях, издающих k-fi обертон,
нить имеет k неподвижных узлов.
Если мы вспомним еще, как определялись в § 1 гл. II й-линия
вектора и — (uv ..., ип) и ее узлы, то станет ясно, что и в утвер-

144 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
ждении Зэ теоремы 1 вместо узлов амплитудного вектора можно
говорить об узлах самой нити (если только она не в нулевой фазе).
Таким образом, можно утверждать, что узлы соседних обертонов
колеблющейся нити перемежаются и, даже более того, что между
каждыми двумя узлами одного обертона лежит по меньшей мере один
узел всякого следующего обертона.
Позже мы выясним также (см. § 10 этой главы), как ведут себя
переменные узлы колеблющейся нити с бусинками при сложном
колебании, получающемся наложением нескольких гармонических
колебаний.
Если один из концов нити не закреплен и может, неся некоторую
массу /яо^О, свободно скользить по направлению, перпендикуляр-
перпендикулярному к линии равновесия нити (представим себе, например, что левый
конец нити скреплен с колечком массы т0, свободно скользящим по
продетой через него идеально гладкой проволоке), то мы снова будем
иметь штурмову систему, для которой уже
п п
rO^i-лJ 0«+i = o). B0)
г
Если мы пренебрегаем массой т0 (массой колечка), то форма Т
не положительна (отсутствует один квадрат). Но в этом случае из
уравнения Лагранжа:
d дТ , дУ
мы, ввиду то = О, получаем уо=у1; поэтому мы снова можем рас-
рассматривать нашу систему как штурмову, но уже с п (а не с п-\- 1)
степенями свободы, выбрасывая в формулах B0) для Т и V первые
(нулевые) слагаемые.
Если оба конца нити несут некоторые массы шо^О и/й„+1^>0
и могут свободно скользить по направлениям, перпендикулярным
к линии равновесия нити, то мы также будем иметь штурмову
систему, для которой уже
п + 1 п
4
Однако в этом случае система неустойчива (нить, как целое, может
двигаться по инерции в одном направлении), и это выражается мате-
математически в том, что форма для V, будучи неотрицательной, не
является положительной (так как теперь переменных л-)-2, а квад-
квадратов л+1, и V=0 при уо=у1 = ...=уп=уп+1фО).
В этом случае при формулировке теоремы 1 нужно различать
«истинные» частоты колебаний нити от «формальных». Мы подробно

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 145
разъясним, что мы здесь имеем в виду, при разборе аналогичной
задачи на крутильные колебания валов.
Вернемся опять к первой задаче, когда концы нити закреплены, и про-
проделаем до конца все необходимые вычисления для того частного случая,
когда массы бусинок равны и бусинки делят нить на равные части, т. е.
В этом случае из A8) и A9) получаем:
Уравнения Лагранжа теперь примут вид
¦. а (п + 1)
ту. . (У4+1-2у$ + У4-д=0 (/=1, 2,..., п: Уо=
Отыскивая гармонические колебания
у4 = щ sinQtf + а) (/» 1, 2,..., /г),
получим
о (л +1)
— „ipSji, (ц+1 — 2И, + и^-i) = 0 B2)
(/«1, 2,..., п\
. o(i + l)
Деля левую часть этих уравнении на j и полагая
где 0 —вещественное или комплексное число, мы приведем уравнения B2)
к виду
Ui-1 — 2uiQOsQ + ui+1 = 0 (/= 1, 2,..., п; я0 = им+г == °)« B4)
Не принимая сперва во внимание граничные условия
«0 = ^+1 = 0, B5)
мы сможем представить общее решение системы B4) в виде
щ = С] cos /б -f C2 sin /6. B6
Из граничных условий B5) найдем затем, что С\ = 0 и что
С2 sin (n + 1H = 0,
откуда
# с/-±ь±*...)-
Следовательно, в силу B3), искомые частоты/?1<р2<...</?й нахо-
находятся по формуле
с27)
Ю Зак, 1951. Гантмахер и Крейн.

146
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Ш
Из B6) и С± = 0 вытекает, что амплитудный вектор uf = (иц, u2j,..., unj),
соответствующий частоте pj (/= 1, 2,..., п), имеет координаты
с. sin
(/ = 1, 2, ..., п). B8)
Так как колебание в общем случае записывается в векторной форме так:
п
2^ (aj cos p$
то, переходя здесь к координатам, получим:
п
C0S
'Sinp& Sln 7Г+Т
Ь 2. • • •. л),
где /7^ (/ = 1, 2, ...,«)—- частоты, определяемые из B7).
Постоянные А$ и By (/= 1, 2, ..., й) определяются из начальных данных
=У< ПРИ ^ =
а именно, из B9) имеем:
п
—I
(/=!, 2,..., и).
C0)
Легко видеть, что для амплитудных векторов и? (j — 1, 2, ..., л) имеют
место равенства
Zj, п-\~ 1 ' я 4-1
4 У-*).
которые при j Ф k выражают просто ортогональность векторов
(j = 1, 2, ..., п). Отсюда и из C0) следует, что
a=i, 2,...,п). C1)
Поставленная задача решена полностью.
Покажем теперь, следуя Лагранжу, как можно получить из найденных
результатов путем предельного перехода частоты и форму гармонических
колебаний, а также общий вид свободного колебания однородной струны.
Итак, пусть нам задана струна х) 5 длины /, концы которой закрепле-
закреплены. Заменим струну нитью Sn той же длины / с закрепленными концами,
*) Струна отличается от идеально гибкой нити тем, что имеет массу.

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 147
расположив на этой нити на равных расстояниях —--у бусинки массы
р/
т = —,
п
где р — масса единицы длины струны, а п — число бусинок.
Перейдя затем к пределу при /г->оо в формулах для нити Snt мы полу-
получим точные решения для струны.
Начнем прежде всего с частот. Согласно B7), для частоты р№ (/=1,2,...
..., п) нити Sn, имеем:
¦TV~j(n + l)n&laT(?TT) С'2 »>•
Переходя здесь к пределу при я->оо, получим известную формулу для ча-
частот рА струны:
У (/=1,2,...),
которая показывает, что частоты обертонов суть целые кратные частоты
основного тона и что частота каждого тона прямо пропорциональна
корню квадратному из натяжения и обратно пропорциональна длине
струны и корню квадратному из плотности р (закон Мерсенна).
Обозначим теперь через иЛх) @<;лг<!/) амплитудный прогиб в точке х
струны S при /-м гармоническом колебании:
Координата иц приближенно выражает величину и А—т~ТГ СлеД°вательН0>
мы можем написать, что
м. (х) = НТП иц При П ~* ОО И —-г-у -> X (О < X < /).
J J п -f- 1
Подставляя сюда выражение иц из B8), найдем, что
Uj (х) » Cj sin 5Й. (; = 1, 2, ...). C2)
Таким образом, при гармонических колебаниях струна имеет вид сину-
синусоиды.
Совершая тот же предельный переход при
л-»оои >y @<*-<0
в формуле B9), получим выражение для общего колебания в виде бесконеч-
бесконечного ряда (конечно, такой предельный переход в сумме с неограниченным
числом слагаемых нуждается в специальном обосновании):
%( ? )n^,rAe «-j/|. C3)
10*

148 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
При этом, если совершить также предельный переход в формулах C1), то
мы найдем, что
I
2 С
° [/=1, 2, ....и), C4)
где y° (x) @ < x < /) — начальный прогиб струны, a j/0 (x) @ < x < 0 — на-
начальная скорость струны в точке с абсциссой х*
Так как из C3) следует, что
0) = У> (*) = ^ Aj sin
(вторая формула получается путем формального дифференцирования ряда C3)),
то формулы C4) совпадают с формулами Эйлера для определения коэффи-
коэффициентов Фурье.
2. Крутильные колебания валов. Представим себе вал,
на котором заклинено некоторое число вращающихся вместе с ним
дисков, и пусть этот вал может равномерно вращаться. Рассмотрим дви-
движение этого вала, вызванное некоторым начальным импульсом. Если
бы вал был абсолютно жестким, то при его движении угловые ско-
скорости и углы поворота всех дисков были бы одинаковы. Так как
в действительности этого нет, то различные диски будут поворачи-
поворачиваться друг относительно друга и на вращение вала в целом будут
накладываться относительные колебания дисков. Составим выражение
для кинетической и потенциальной энергии этих колебаний.
Обозначим для этого через It, /2, ..,, 1п моменты инерции дисков,
а через <?и <р2» • • • > 9п их Углы поворота. Тогда, если пренебречь
кинетической энергией самого вала в предположении, что его момент
инерции очень мал в сравнении с моментами инерции дисков, то кине-
кинетическая энергия системы получит следующее выражение:
Обозначим теперь через kb k2, . ..,йя-1 жесткости на кручение
последовательных участков между дисками. Тогда потенциальная энер-
энергия будет иметь следующее выражение:
п-1
4*Дф,Ч1~ср^. C6)

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 149
Из выражений C5) и C6) для Т и V мы видим, что имеем
дело с штормовой системой. Эта система математически тождественна
с той системой, которую мы получили, рассматривая задачу на коле-
колебание нити с бусинками, со свободно скользящими концами, нагру-
нагруженными массами (для полной тождественности следует в B1) заме-
заменить индексы 0, 1, ... , я-j-l на 1, 2, ¦ .., п, коэффициенты tnj
на Ij и коэффициенты Ц на kj).
Переходя к подробному разбору этой системы, составим для нее
уравнения Лагранжа; получим:
>-Ь*2(?2--тв/ —-> C7)
Между прочим, эти уравнения можно было бы составить сразу,
пользуясь законом моментов, если заметить, что на любой промежу-
промежуточный диск с номером i действуют справа и слева стремящиеся воз-
возвратить его в положение равновесия крутящие моменты —&f-.i(?*—%-i)
и —&*(?*— Ti+i); Для крайних дисков один из моментов отпадает.
Если мы составим теперь уравнения для координат амплитудного
вектора и в гармоническом колебании
a), C8)
то они будут иметь следующий вид:
1хрЧх — ki (ut — tfjj) = О,
— «2) — k2 {Ч — «a) = °>
InP*Un + K-1 («n-1 — «я) = 0-
Очевидно, что эти уравнения удовлетворятся, если мы положим
р = 0 и «J = «2 = .. • = ип Ф 0. Но «частоте» р = 0 соответствует
уже не колебание C8), а вращение системы как целого:
ср^ = о)^+сро (/=1, 2, ...,/&)¦
Конечно, здесь нет никакого противоречия с утверждением § 1
о том, что всегда X = р2 > 0, ибо в рассматриваемой задаче система
неустойчива (вал при малейшем толчке будет вращаться в одном
направлении по инерции; действием сил трения пренебрегаем).
Так как форма V неотрицательна и ранга п—1, то все остальные
частоты pi>0 (/=2, 3, ..., п).

150 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Таким образом, общий вид движения системы из п дисков в век-
векторной форме изобразится следующим образом:
п
у = (а^-|- ср0) е + 2 tit (Ai cosp^ -f- Вг sin р^)9
4 = 2
где е —A, 1, ..., 1), и, значит,
ибо условия нормирования для вектора и теперь записываются сле-
следующим образом:
Так как при исследовании норхмальных якобиевых форм мы не
налагали никаких ограничений на знак характеристических чисел этих
форм, то к нашей системе приложима теорема 1 этого параграфа. При
ее применении нужно, конечно, считать основным тоном «частоту»
рх = О, хотя «истинным» основным тоном является частота р2> «истин-
«истинным» первым обертоном частота ръ и т. д.
Таким образом, в силу теоремы 1, истинный основной тон имеет
один узел, истинный первый обертон имеет два узла и т. д. (при этом,
конечно, узлы двух соседних тонов перемежаются).
Идя несколько иным путем, можно было бы составить уравне-
уравнения, которым удовлетворяли бы только «истинные» колебания. Именно,
складывая уравнения C7), получим
откуда
A?i +'*?*+•••+ /»?» = с- C9)
Это уравнение, между прочим, можно было бы сразу написать,
так как оно выражает, что при свободных движениях вала с дисками
главный момент количеств движения этой системы остается постоян-
постоянным. Считая, что в начальный момент ? = 0
мы из C9) получим
(Л+/а+... +/„)» = с.
Мы можем теперь считать, что ф° = 0 и w = 0, иначе мы заме-
заменили бы ?, на у{ — mt—ср0 (i=l, 2, ..., ri). Но тогда
Рассматривая это равенство как связь, наложенную на нашу си-
систему, и исключая с его помощью в выражениях для Т и V один

§ 2] КОЛЕБАНИЯ ШТУРМОВЫХ СИСТЕМ 151
из углов ?$ (/==1, 2, ¦ .., п), мы получим систему сп — 1 степенью
свободы, частоты которой будут совпадать с частотами истинных
колебаний нашей системы дисков.
Но этот путь неудобен для исследования свойств системы, ибо
при исключении одного из углов форма для V потеряет свой якобиев
вид, а форма для Т будет содержать произведения углов.
Укажем, наконец, что если одно из сечений вала неподвижно за-
закреплено (или, в более общем случае, приведено в состояние равно-
равномерного вращения; в этом случае угол поворота диска нужно отсчи-
отсчитывать от угла поворота сечения), то никаких нулевых частот у системы
не будет, так как она уже будет устойчивой.
Пусть, например, левый конец вала неподвижно закреплен (мы
считаем, что диски занумерованы слева направо). В этом случае
вместо выражения C6) для V мы будем иметь выражение
где k0 — жесткость участка вала между левым концом и первым
диском. Конечно, здесь V — положительная форма и, следовательно,
все частоты положительны. Таким образом, в этом случае1) основ-
основной тон не будет иметь узлов, т. е. все диски будут одновременно
поворачиваться в одну сторону; первый обертон будет иметь точно
один узел, т. е. диски разобьются на две последовательные группы,
причем когда одна группа поворачивается в одну сторону, то другая
поворачивается в противоположную, и т. д.
3. Малые колебания сложного математического
маятника. Пусть PiPn^1— идеально гибкая невесомая нить, сво-
свободно подвешенная в точке Pn+V Пусть в точках Рь Р2, ..., Рп
этой нити закреплены весомые массы ти т2, ..., тп. Исследуем
малые колебания этой нити с массами (сложный маятник), совершаю-
совершающиеся в плоскости KZ, где ось Z проходит через вертикальное
положение равновесия нити; при этом мы можем пренебрегать верти-
вертикальными перемещениями масс и рассматривать лишь поперечные
перемещения, параллельные горизонтальной оси Y.
Обозначим через /$ длину участка нити Я*Р<+1, а через <з^ его
натяжение (/=1, 2, ..., п)\ очевидно, что
г
где g — ускорение силы тяжести.
*) Впрочем этот случай математически тождественен со случаем колеб-
колеблющейся нити с бусинками, один конец которой может свободно скользить
по направлению, перпендикулярному к нити, а другой неподвижно закреплен.

152 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Кинетическая энергия имеет следующее выражение:
а потенциальная энергия, на основании тех же соображений, что
и приведенные на стр. 143, запишется так:
Мы видим, что наша задача мало отличается от задачи опреде-
определения свободных поперечных колебаний нити с бусинками и, конечно,
снова приводит нас к штурмовой системе.
Для координат щ (/=1, 2, ..., п) амплитудного вектора гармо-
гармонического колебания у = и sin (pt -j- а) будем теперь иметь такие
уравнения:
()° D0)
0=1, 2,..., я; °0 = 0; ио =
Рассмотрим частный случай равных и равноотстоящих масс:
В этом случае ^^zmgi (/==1, 2, ..., л), и уравнения D0) прини-
принимают вид:
(«— 1) «,_, + (S — 2/ + 1) «< + /й,+1 = 0 D1)
(/=1, 2, ..., я; яо = й„н = О),
где S-ig.
С другой стороны, многочлены Чебышева-Поссе1):
(& = о, 1, ...), удовлетворяют таким соотношениям:
***-! © + («— 2* - 1)I*(?) + (*+!) 4-ы ® - 0 D2)
(t = 0, 1, 2, ...).
Сопоставляя соотношения D1) и D2), найдем, что
= const. Z,^!(?)== const. ц_г(?-Л (/=1,2,..., /!
х) Эти многочлены до последнего времени неправильно назывались много-
многочленами Лагерра (по этому поводу см. интересный обзор Я. Л. Герони-
муса [11]).

§ 3J ВТОРОЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 153
Так как яп+1 = 0, то для частот pj (у = 1, 2, ..., п) мы получаем
следующее уравнение:
MS
Поэтому общий вид колебания нашего маятника можно записать так:
п
Л-Ц ^.Д^)з1п(р/+^) (/-1, 2, ..., п).
Подобно тому как решение задачи о свободных колебаниях одно-
однородной струны может быть получено предельным переходом из ре-
решения задачи о колебаниях нити с равноотстоящими бусинками рав-
равных масс, так же точно решенная нами задача о колебаниях сложного
я-кратного математического маятника с равными и равноотстоящими
массами позволяет решить путем предельного перехода задачу о ма-
малых колебаниях тяжелой однородной цепи, подвешенной за один
конец. При этом приходится опираться на связь, существующую
между многочленами Чебышева-Поссе и функциями Бесселя нулевого
рода. За подробностями отсылаем к статье О. Боттема [6J.
Заметим еще, что путем иного выбора масс mi и расстояний
14 (/=1, 2, ..•, п) можно добиться, чтобы решение задачи о коле-
колебании сложного маятника выражалось через другие классические орто-
ортогональные многочлены, например, многочлены Чебышева-Эрмита.
§ 3. Второй метод составления уравнений малых колебаний
механических систем
Рассмотрим поперечные колебания системы масс на балке. Пусть
на балке, массой которой мы пренебрегаем, в сечениях A), B), ..., (я)
расположено п сосредоточенных масс mv m2, ..., тп. Требуется
исследовать свободные колебания этой системы, происходящие вслед-
вследствие изгиба балки.
Обозначим через у19 у29 *..ууп прогибы в сечениях A), B),..., (п),
отсчитываемые от положения равновесия системы. Тогда кинетическая
энергия системы будет
Чтобы найти потенциальную энергию
п
v-i
нужно найти ту энергию, которую запасает балка при изгибе под
действием сил Fv •.., Fn, сосредоточенных в сечениях A), B), ...,(«)

154 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
и вызывающих в этих сечениях прогибы у19 ..., уп. Для этой цели
нужно привлечь уравнение изгиба балки и условия закрепления на
концах. В общем случае выражение для потенциальной энергии вы-
вычисляется не просто; отметим только, что всегда
а4к~0 при \i— k\>2.
Что же касается коэффициентов щк при \1—А|<2, то они, вообще
говоря, отличны от нуля. Таким образом, рассматриваемая механическая
система не является штормовой. Вместе с тем эта система обладает,
как мы покажем дальше, всеми основными свойствами штормовых
систем, и к ней, в частности, приложима теорема 1.
Полное исследование рассматриваемой задачи мы приведем в дру-
другом месте (см. §§ 6, 8). Здесь мы только укажем, что наш путь
будет итти через исследование не матрицы 4 = ||aaifi> а обратной
матрицы A'1 =||aift||^.
Уравнения Лагранжа для нашей системы имеют вид
п
ЩУг + 2 <НъУъ = 0 (/ = 1, 2, ..., я). D4)
Решая эту систему относительно у$ (г= 1, 2, ..., п), получим
п
Уг = - 2 «лЯ1*У* (/= 1, 2, ..., я), D5)
fci
где \\ai1cfl — матрица, обратная по отношению к матрице (|^&|ji. Таким
образом, для гармонических колебаний
а) (/ = 1, 2, ..., п)
получатся уравнения
п
и, следовательно, квадраты частот р2 будут собственными числами
(обратными значениями характеристических чисел) матрицы Ца^/»л||?'
В следующем параграфе мы покажем, что матрица ||a<fc||i\ а значит,
и матрица || <**&*#* Hi» является осцилляционной. Отсюда мы и выведем
осцилляционные свойства колебаний нашей системы.
Матрица ||e<fc||? имеет простой механический смысл. Если сосредото-
сосредоточенные в сечениях A), ..., (п) силы Fu ..., Fn вызывают прогибы
Уь • • •> Уп> то в силу линейной зависимости между ук {k == 1, 2, ..., п)
jFi (/=»!, 2, ..., п) потенциальная энергия V, запасенная балкойэ

§ 3] ВТОРОЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 155
выразится так:
п
i% D6>
(более подробно об этом см. в следующем параграфе). Сопоставляя
это выражение с D3), мы видим1), что
^= J^i*y* (/=1,2,..., п). D60
Решая эту систему относительно у{ (* = 1, 2, ..., п), мы получим
что
Л= 2 ««Л (/==1, 2, ..., /г). D60
Если мы в этих равенствах положим все Fk = 0, кроме некоторого F^
которое положим равным 1, то получим, что
Л = °Ц/ (/=1, 2, ..., л).
Таким образом, коэффициент а^ (/, 7 = 1, 2, ..., я) е?//г& прогиб
в сечении (/), вызванный действием единичной сосредоточенной силы,
приложенной в сечении {]). Коэффициенты a{J называются коэффи-
коэффициентами влияния балки.
Представим себе, что центральная ось балки расположена вдоль
оси х, например, от точки 0 до точки лг = /, введем в рассмотрение
функцию влияния К (х9 s) @<л:, $</) балки, понимая под К(х, s)
прогиб сечения с абсциссой х под действием единичной сосредоточен-
сосредоточенной силы, приложенной в сечении с абсциссой s. Тогда
<ty = K(s{, sj) (/, j = 1,2, ..., л),
где Si — абсцисса сечения (/) (/=1, 2, ..., п).
Мы видим, что для изучения структуры матрицы коэффициентов
влияния ||«ij||? нужно предварительно изучить структуру функции
влияния К(х, s), к чему мы и перейдем в следующем параграфе.
Заметим, что уравнения движения D5) представляют еще то удобство
по сравнению с уравнениями D4), что они естественным образом пере-
переходят в интегральные уравнения в случае, когда на балке массы распре-
распределены сплошным образом (см. гл. IV).
Обратим внимание еще на следующее обстоятельство. Пользуясь
формулами D6), D6') и D6';), мы можем написать выражения для
потенциальной энергии через прогибы и через сосредоточенные силы
1) Это рассуждение не совсем строго; более строго все это будет про-
проведено в следующем параграфе.

156 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
в виде двух положительных квадратичных форм
п
п
/о.
При сравнении потенциальных энергий двух систем 5 и 5t всегда
необходимо оговорить — сравниваются ли энергии при одних и тех же
прогибах или при одних и тех же силах, так как, как было выяснено
в гл. I (стр. 62), из тождественного соотношения
следует тождественное соотношение
Так, например, из двух различных закреплений концов балки мы
называем более жестким то, которому соответствует большая потен-
потенциальная энергия при одних и тех же деформациях, т. е. при одних и
тех же прогибах. Если же при сравнении возьмем одни и те же силы,
то более жесткая система будет иметь меньшую потенциальную энер-
энергию. Именно из этой силовой характеристики удобно исходить при
определении более жесткой системы в случае систем с бесконечным
числом степеней свободы, так как в этом случае не всегда предста-
представляется возможным сравнивать потенциальные энергии при одних и
тех же деформациях, поскольку деформации, возможные при одних
закреплениях, могут оказаться невозможными при других.
§ 4. Функция влияния
1. Пусть 5 означает упругий линейный континуум, например,
струну, стержень, многопролетную балку, решетку из стержней или
струн и т. д. Мы будем предполагать, что точки этого континуума
способны перемещаться параллельно некоторому фиксированному на-
направлению под действием сил, параллельных тому же направлению.
Для удобства дальнейшего изложения мы будем исходить из схемы
поперечных перемещений, параллельных оси К, и в соответствии с этим
перемещение точки х будем обозначать через у(х) и называть проги-
прогибом. Однако все наши рассуждения сохраняют силу для общего случая
(в частности, для случая продольных перемещений).
В этом параграфе мы через х, s и т. д. будем обозначать сами
точки континуума (а не их координаты). В случае континуума, прости-
простирающегося вдоль оси, мы одновременно будем понимать под лг, s, ...
также координаты соответствующих точек.

§ 4J функция влияния 157
Точку континуума, независимо от того, имеется ли в ней связь
или нет, мы будем называть подвижной, если она способна переме-
перемещаться. Так, например, точка, в которой поставлена упругая опора,
будет называться подвижной.
Обозначим через К{х, s) прогиб в точке х, вызванный действием
единичной силы, приложенной в точке $. Функция К(х, $) называется
функцией влияния (данного упругого континуума).
Мы будем предполагать, что все наши перемещения достаточно
малы, а следовательно, имеет место закон независимости действия сил.
Таким образом, сосредоточенные силы Fv F2, ¦.., Fn, приложенные
в точках sv s29 ..., sn вызовут в точке х прогиб
jtSj). D7)
Предположим далее, что континуум S является консервативной
системой. Тогда работа V, необходимая для приведения S в положе-
положение D7), вполне определится формой этого положения и, следовательно,
будет зависеть только от величин /3}(/== 1» 2, ..., п). Таким обра-
образом, V= V(FV ..., Fn) есть потенциальная энергия, которую запасает
континуум 5 в состоянии D7).
Дадим теперь силам Fj (у = 1, 2, ..., п) элементарные приращения
dFx, ..., dFn\ тогда прогибы yi—y^sj) получат приращения dyt\
;?(* j) j (/=1,2,..., n).
Следовательно, для соответствующего приращения dV, равного
элементарной работе сил Fu ..., Fn на перемещениях dyv ..., dynf
получим следующее выражение:
^= S K(*i, s^FtdF^
<ji
[? ] D8)
откуда
п
Записывая далее, что
получим:
К (si9 Sj) — K(sjf 84) (/,/ = 1,2,..., л). D9)

158 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Так как ^ (/= 1, 2, ..., я) — произвольные точки континуума 5, то
мы приходим к выводу, что функция К (х, s) симметрична, т. е.
К{х9 s)=>K(s9 x). E0)
Это равенство выражает так называемый принцип взаимности Макс-
Максвелла:
Прогиб в точке х под действием единичной силы, приложен-
приложенной в точке $, равен прогибу в точке s под действием единичной
силы, приложенной в точке х.
Равенства D9) являются не чем иным, как условием того, чтобы
правая часть D8) была полным дифференциалом. Интегрируя D8) при
условии V@, 0, ..., 0) = 0, получим:
Предположим теперь, что все точки sv ..., sn являются подвиж-
подвижными. Так как энергия V по своему смыслу — величина положитель-
положительная (если не все /7< = 0 (*= 1, 2, . •., я)), то мы приходим к выводу,
что квадратичная форма
является положительной, как бы ни была выбраны подвижные
точки $и . • ¦, sn.
Введем следующее обозначение:
K(xi9 sx)...K(xu sn)
К(хъ, st)...K(x29 sn)
K(xn9sx)...K(xn9$n)
(n — произвольное натуральное число; xv ..., хп> sl9 ..., sn — произ-
произвольные точки континуума).
Как известно из § 7 гл. I, необходимые и достаточные условия
положительности формы E2) могут быть выражены следующими нера-
неравенствами:
Так как здесь подвижные точки s{, s%, ..., sn континуума произ-
произвольно взяты в любом количестве, то мы приходим к неравенству
К(*1 ?""?)> 0, E3)
имеющему место для любых подвижных точек
х19х2, ..., хп (п—1, 2, ...).

§ 41
ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ
159
Отметим, в частности, что подвижность точки
неравенством
К(с, с) > 0.
выражается
2. Покажем теперь, что неравенства E3) сами по себе имеют про-
простой механический смысл.
Введем в р произвольно взятых подвижных точках си с2, ..., ср
шарнирные опоры, ббозначим через S* континуум с этими новыми
дополнительными связями, а через К* (х, &) соответствующую функ-
функцию влияния (т. е. прогиб в точке х континуума S* под действием
единичной силы, сосредоточенной в точке s).
Найдем выражение для /С* (дг, s). Заменим для этого опоры в точ-
точках си с2, ..., ср их реакциями /?lf ..., Rp . Тогда К* (х, s) будет
давать нам прогиб в точке х под действием сил /fj, ..., Rp и еди-
единичной силы, приложенной в точке s. Отсюда
:*, cj).
E4)
Реакции /?^(/=1, 2, ..., р) определяются из условий, что про-
прогиб 5* в точках c4(i =19 2, ..., р) равен нулю, т. е. из условий
AT* (ei9 s)=K(ch s) + ^ RjK(ci9 ^0A-1,2,.,., p). E5)
Для исключения из E4) и E6) реакций Rj представим эти равенства
в следующем виде (полагая /?0=1):
#о [К (х, s) - К* (х, s)l + 1 RSK (x, cj) = О,
Приравнивая определитель этой однородной системы нулю, полу-
получим
К(х, s) — K*(x, s) K(x, с,) ... К(х, ср)
К(си s) К(си с,) ... К(си ср)
К(ср,
К(ср,ср)
.0,

160 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
откуда
Ktxct...cp\
K4xs)= '1-X-
<?1 ... Ср)
E6)
Ср)
Обозначим через уп(п=19 2, ¦..,/?) прогиб, получаемый в
точке сП9 если в этой точке приложить единичную силу, а в точках
с,, с29 ..., сПат1 ввести шарнирные опоры. Из E6) после замены р
на п—1 получаем
\сх ... сп
Следовательно, в силу неравенства E3), Yn>0. Таким образом,
из неравенств E3) вытекает следующий механически очевидный факт:
независимо от того, сколько введено шарнирных опор, при приложе-
приложении к S одной сосредоточенной силы прогиб в точке приложения
сплы (если только эта точка является подвижной) отличен от нуля
и направлен в сторону действия сил.
Обратно, этот простой механический факт влечет неравенства E3).
Действительно, из него прежде всего следует, что
затем
и т. д.
Механически очевидно также, что у» (прогиб в точке сп> где
приложена единичная сила после введения опор в точках cv с2, ..., сп^1)
будет меньше прогиба К (сп> сп) в точке сп до введения опор, а сле-
следовательно,
Отсюда следует, что
*(?i 2.'.'.' 5) < *(*»Ci) K{c» c')-' К[с»>Сп)' E7)
С помощью аналогичных рассуждений, вводя последовательно две
группы опор cv ..., ст\ dv ..., dn> можно получить неравенство
... cmdt ... dj \сх ... cmj \dx ...
В 1937 г. Г. Бицено и Р. Граммель [5] посвятили этому неравен-
неравенству отдельную статью, придавая, очевидно, ему особое значение и

§ 5] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА 161
считая его новым1). Однако это неравенство является не чем иным*
как давно известным обобщенным неравенством Адамара (см. § 8 гл. 1)>
записанным для дискриминанта положительной квадратичной формы
В следующем параграфе мы будем рассматривать сегментный кон-
континуум без промежуточных опор, простирающийся вдоль оси х от
точки х — 0 до точки х==1. В этом случае после более тонкого
анализа структуры функции влияния К{х, s) мы обнаружим новые
неравенства2):
E9)
/ <*<*<•••<*»<,, Яв1,2, ...V
\ «1<«2<...<«п /
Как мы увидим, эти неравенства дают возможность строго матема-
математически установить существование целого ряда важных «осцилляцион-
ных» свойств колебаний сегментного линейного упругого континуума.
Неравенства E9) являются выражением того, что матрица
вполне неотрицательна. Но тогда по теореме 8 гл. II (стр. 113) имеет
место неравенство
(
)<к((
. . . SHJ \SX ... SpJ \Sp^± . . . S
<<
содержащее в себе, как частный случай, и неравенства E7), E8).
Прежде чем приступить к исследованию функции влияния сег-
сегментного континуума, нам нужно будет познакомиться с некоторыми
свойствами специальных систем функций, носящих название систем
Чебышева.
§ 5. Системы функций Чебышева
В этом параграфе мы установим ряд вспомогательных предложе-
предложений, которые нам понадобятся в дальнейшем.
х) Во введении к своей работе эти авторы, имея в виду неравенства E7),
E8), писали: «Dabei sind einige ailgemeine Satze wichtig, die zum grdsten
Teil bisher unbekannt zu sein sctieinen und daher hier aufgestellt und bewie-
sen werden sollen» (стр. 364). Неравенство E8) можно также найти у
С. А. Бер нштейна[4].
2) При наличии промежуточных неподвижных опор неравенства E9) заме-
заменяются иными, которые можно получить, пользуясь формулой E6).
11 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

162 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
1. Лемма 1. Для того чтобы функции <?х(х), <р2(#)> •••
...,срм(д:), определенные в интервале 71), были линейно зависимы
в этом интервале, необходимо и достаточно^ чтобы определитель
равнялся нулю тождественно относительно всех х$ (/= 1, 2, ..., п)
из интервала L
Доказательство. Условие необходимо. В самом деле, если,
например, при некоторых с1У с%, ..., сп_х
?п (*) = *I?1 (*) + • • • + *п-1?»-1 (*)>
то последняя горизонталь в определителе А всегда будет линейной ком-
комбинацией остальных горизонталей, что влечет тождество А э 0.
Достаточность условия докажем по индукции. При п = 1 доста-
достаточность условия очевидна, так как оно просто означает, что <pj (x) = 0
(<)
Итак, пусть п > 1 и
= 0 при любых *,€/2) (/=1,2, ...,«). F0)
А ЛГ2 . . ¦ Xп J
Докажем, что функции <?t(x), <?ъ(х)9 ..., <рп(х) линейно зависимы;
при этом, конечно, мы можем предположить, что функции <?i(#)>
ср2(л:), ...,?w_i(^) линейно независимы. А так как мы доказываем
лемму по индукции, то мы ее можем применить к системе <Pi(*)>
<Рд(л;), ..., ?w.-i С*;) и таким образом утверждать, что найдутся такие
числа х°1у х% ..., x«_i в /, что
Положим тогда в F0) x^ = x\, х2 = xl, ..., л;Л_ t = x^-i,
а д:м == х и раскроем определитель в F0) по элементам последней
горизонтали. Тогда получим
где, как легко видеть, коэффициент Ап совпадает с определителем F1)
и, следовательно, отличен от нуля.
Лемма доказана.
2. Определение 2. Система непрерывных функций ®х{х),
DW (X€J) называется системой Чебышева в интер-
*) Здесь и вообще в этом параграфе / обозначает любой замкнутый,
полузамкнутый или открытый интервал с концами а и Ь (а<^Ь)
2) х?/ означает, что число х принадлежит интервалу /.

§ 5] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА 163
вале /, если любая линейная комбинация этих функций
?(*)~2<VP<(*) B «'><>) F2)
обращается в интервале / в нуль не более, чем п — 1 раз.
Нам понадобится следующая характеристика систем Чебышева
(см. монографию С. Н. Бернштейна [3J; там же можно найти много
других свойств этих систем).
Лемма 2. Для того чтобы непрерывные функции cpi 0*0>
?2(*)> ...,?ЙМИ 0 составляли систему Чебышева в I, необ-
необходимо и достаточно, чтобы определитель
\хх хг...хп
был отличен от нуля (а следовательно, сохранял один и тот
же знак) при всевозможных хх < х2 < ... < хп из I.
Доказательство. Если определитель А обращается в нуль
при некоторых хг < х2 < ... < хп из /, то в этом и только этом
случае система уравнений
п
Д*<?<(**) = 0 (ft == 1, 2, ..., п) .
будет иметь ненулевое решение (cv ?2, ..., сп)-} соответствующая же
этому решению линейная комбинация F2) будет обращаться в нуль
в точках xv х2, ..., хп.
Неравенство нулю определителя Д на множестве М я-мерных
точек хх < х% <... < хп из / влечет сохранение знака А на М,
так как М — связное множество, а Д есть непрерывная функция на Ж.
Лемма доказана.
Пусть дана функция ©(*), определенная в интервале {а, Ь) и
обращающаяся в нуль в некоторой внутренней точке с этого
интервала.
Точку с мы будем называть узлом функции <?(х), если в любой
окрестности точки с по разные стороны от точки с найдутся две
точки хг и х2 (xt < с < х2) такие, что
Точку с мы будем называть нуль-пучностью функции <р(дг),
если в любой достаточно малой двухсторонней окрестности точки с
функция <р(л;) не меняет знака и по каждую сторону от точки с не
равна тождественно нулю.
Таким образом, каждый отдельный нуль1) функции внутри (а, Ь)
является либо узлом, либо нуль-пучностью.
х) Т. е. такой нуль, в некоторой окрестности которого нет других нулей
функции.

164 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Из определения 2 и леммы 2 вытекает
Следствие. Если функции cpt (#), <р2 (х), ..., <?п (х) образуют си-
п п
стему Чебышева в интервале I и функция <р (х) = 2 c<9i (х) ( 2 <% > о)
имеет г нулей в I и в том числе q нуль-пучностей, то
{т. е. при оценке числа нулей каждая нуль-пучность может быть
засчитана за два нуля).
Доказательство1). Условимся говорить, что s точек хх < х2<
<... < xs из / обладают свойством Z, если при некотором целом h
(—1)*+*?(**)>0 (Л-1, 2, ..., s),
т. е. максимальное число перемен знака в ряду ср (xt), ср (д:2), ..., ср (xs)
равно $— 1.
Если точки хи х%9 ..., хв обладают свойством Z и а — от-
отличная от этих точек нуль-пучность функции ср(лг), то можно
дополнить данную систему точек двумя точками а — г и а или
а и а -J- s (г — достаточно малое положительное число) так> чтобы
полученные s -+¦ 2 точки снова обладали свойством Z.
Действительно, пусть
Тогда, если (—1)Л+р+1<р(а —в)>0, то
)>0, (_lf
(а) = о, (- 1)*^+89 (^+1) > О,
в противном же случае,
T (a + s) > 0, (-
Так же будет обстоять дело и при а < хг или х8 < а.
Докажем, что всегда существует г-4-y+l точек х1<л:2<
< .. • <*rfgn б А обладающих свойством Z, если г — число всех
нулей функции ср в интервале /, a q — число нуль-пучностей. В самом
деле, пусть функция ср(х) имеет р узлов в (а, Ь). Тогда существуют
такие точки р2 < р2* • •< Pjp+i внутри (а, Ь), что
(* = 1, 2, ..., р).
х) Другое доказательство см. в [3].

§ 5] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА 165
Так как точки Cj, |32, ..., рр+1 обладают свойством Z и функция у(х)
имеет q нуль-пучностей в (а, Ь), то можно указать систему из
р -\- 2д 4* 1 точек внутри (а, ?), обладающую свойством Z. Эту
систему мы пополним концевыми нулями функции у(х), принадлежа-
принадлежащими интервалу /, если таковые имеются, и получим искомую систему
из г + Я + 1 точек хх < л:2 <... < #r4.g+1 из ^
Допустим, что r-\-q^ п. Тогда при некотором целом /г
= 1, 2, ..., л+ 1). F3)
Поскольку функция <р(х) есть линейная комбинация функций
W () W
= 0.
Раскрывая этот определитель по элементам последней горизонтали,
содержащей значения функции ?(*)> будем иметь
0.
В силу F3) и леммы 2 в сумме, стоящей в левой части равенства,
нет слагаемых разных знаков. Поэтому все слагаемые равны нулю.
Поскольку, согласно лемме, все определители А отличны от нуля, то
должны равняться нулю все значения функции ср(х) в точках xv
х%, ..., хп+1. Это невозможно, так как функции *о1 (х), <р2 (х)> -м?»М
образуют систему Чебышева, и потому число нулей функции <р(х)
не превосходит п — 1.
Таким образом, доказано, что всегда г + ^</г — 1.
3. Лемма 3. Пусть непрерывная и не равная тождественно
нулю в интервале [а, Ь] функция <р (х) меняет в этом интервале
знак не более, чем п — 1 раз, a L (x9 s) (a <! x, s <; ft) — непре-
непрерывное ядро, обладающее тем свойством^ что
"+1 /?t Ъ ... ^п \
2 (—l)»+*+i<p(*j)A( 1
Тогда функция
обращается в интервале [а, Ь] в нуль не более, чем п — 1 раз.
При этом мы говорим, что функция <?(*), определенная в интер-
интервале [а, д]9 меняет в этом интервале k раз знак (что записывается

166 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
так: S9 = ?), если в интервале [а, Ь] можно указать k-\-\ точек
*i<*a< • • • <хъ+х таких, что
<р(лг,)«р(*,+ 1)<0 (/=1, 2, ..., ft)
и не существует k -j- 2 точек, обладающих этим свойством.
Если непрерывная функция в интервале [а, д] меняет k раз знак,
то она внутри этого интервала имеет k узлов.
Доказательство леммы 3. По предположению существуют
точки
такие, что в каждом из интервалов
&-&) (/=1, 2, .... п)
функция 9 (*) не меняет знака и не равна тождественно нулю.
Положим
Ф«(*)«= f /,(*, s)?(s)rfs (/= 1, 2, ..., я).
Тогда
*(*)=.?*«(*).
Для любых
определитель
... Фп
п 1
отличен от нуля, ибо подинтегральное выражение не равно тожде-
тождественно нулю и его ненулевые значения имеют один и тот же знак.
Таким образом, функции ф<(х) (/=1, 2, ..., п) образуют си-
систему Чебышева в замкнутом интервале [а, Ь], а следовательно, функ-
функция Ф (х) обращается в нуль в этом интервале не более п — 1 раз.
Лемма доказана.
Этой леммой мы будем пользоваться в применении к ядру теории
теплопроводности:
Ь(х,8) = ±г-е (/>0),
которое, согласно § 3 гл. II, при любом п удовлетворяет условию
леммы (ядро вполне положительно).
Это ядро обладает одним замечательным свойством.

§ 5] СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА 167
Пусть <р (х) (а ^ л: ^Ь) — некоторая непрерывная функция. По-
Положим
ъ
Ф(х^) = $ Lt(x,s)<?(s)ds (a<*<?; t>0).
а
Доопределяя функцию <р(х), как равную нулю вне интервала [а, Ь],
будем иметь:
Ф(х, 0--^- J i"^±-<f{s)ds = -^L- J «-*?(* +V*)*
а —оо
Отсюда, как известно, получается, что
Ф(лт, *)->?(*) при t->-\-0 F4)
для всякой внутренней точки х интервала (а, Ь).
Пользуясь этим, мы докажем основную для последующего лемму.
Лемма 4. Пусть о1 (х), <р2 (х)> • • • > ?w W — линейно независимые
непрерывные функции в интервале [а, #].
Для того чтобы при любых числах с{(I = 1, 2, ..., п; 24> 0)
4
меняла знак в интервале [а, Ь] не более чем п — 1 раз} необходимо
и достаточно, чтобы определитель
/<Р1 Ъ . •. Ъг
Д
... хп
при всевозможных
при которых он отличен от нуля, имел один и тот же знак.
Доказательство. Если при некоторых ct(i= 1, 2, ...,«;
п п
Функция ?(#) = 2 *<?<(*) меняет знак в интервале [а, Ь\
i
не более чем п—1 раз, то, согласно лемме 3, при любом
функция
и
^=i
обращается в интервале [а, Ь] в нуль не более чем п — 1 раз.
В силу F4), очевидно, что и обратно — указанное свойство функ-
функции Ф(лг, f) при любом *> 0 влечет указанное свойство функции <p(x).

168 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Отсюда следует, что функции <pi (#)> ?9 (х)> • • • > 9п (х) будут обла-
обладать свойством, о котором идет речь в лемме 4, в том и только том
случае, если при любом t > О функции
образуют систему Чебышева в [а9 Ь].
Последнее же будет иметь место, если определитель
Ф2 ... Фп\
при
сохраняет один и тот же знак.
С другой стороны, согласно F4),
) = ШпД
при любых (а О Да < л;2 < • • • <*п(^*)« Отсюда вытекает необхо-
необходимость условия леммы в отношении определителя Д.
Достаточность этого условия вытекает из легко доказываемого
тождества:
f ;
В самом деле, при выполнении условия леммы при (a
< ... < ,гте«^) подинтегральное выражение будет сохранять один
и тот же знак и не будет, согласно лемме 1, тождественно равняться
нулю. Следовательно, функции Фг (х9 t), Ф2 (х9 t), ..., Фп (х, t) при
любом ^>0 будут давать систему Чебышева в [a, b]. Отсюда вы-
вытекает, что функция ср (х) = lim Ф (х9 t) не может менять знак в [а, Ь]
более чем п — 1 раз1).
§ 6. Осцилляционность функции влияния сегментного
континуума
В дальнейшем / обозначает совокупность всех подвижных то-
точек континуума S.
1. В^этом параграфе мы будем предполагать, что линейный упругий
континуум 5 является сегментным континуумом, т. е. что S имеет
форму прямолинейного отрезка и внутренние точки 5 свободны от
внешних связей (промежуточных опор, упругого основания и т. п.).
Мы будем считать, что сегментный континуум простирается вдоль
оси X от точки л* = 0 до точки х = 1.
Таким образом, интервал / для сегментного континуума 5 пред-
представляет собой: 1) замкнутый интервал [О, /J, если оба конца 5 по-
*) Лемма 4 может быть доказана чисто алгебраически на основании
теоремы 4 гл. V (стр. 297).

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТЬ ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ СЕГМЕНТНОГО КОНТИНУУМА 169
движны, 2) полузамкнутый интервал [0, t) или @, /], если один из
концов 0 и / является подвижным и, наконец, 3) открытый интер-
интервал @, /), если оба конца подвижны.
Интуитивно ясно, что сегментный континуум обладает следующими
двумя свойствами, математическое обоснование которых мы отложим
до последующих параграфов.
Свойство А. Под действием одной сосредоточенной силы,
приложенной к внутренней точке сегментного континуума, прогиб
во всех подвижных точках континуума отличен от нуля и имеет
то же направление (знак), что и сила.
Если воспользоваться функцией влияния К(х, s) @<!л:, $</), то,
очевидно, свойство Л записывается в виде неравенства
К(х9 $)>0 @<х<1, s€/). F5)
Конечно, это неравенство соблюдается и в том случае, когда х и s
совпадают с одним и тем же подвижным концом (см. E3)). Однако
это неравенство может не иметь места для х = 0 и s = /, когда оба
эти конца являются подвижными. Так, например, если 5 есть стер-
стержень, шарнирно закрепленный на двух упругих опорах, и мы к одной
из опор приложим сосредоточенную силу, то прогиб на другой опоре
будет равен нулю, т. е.
К (О, /) = 0.
Свойство Б. Под действием п сосредоточенных сил прогиб
у (х) может менять знак не более чем п — 1 раз.
При действии п сосредоточенных сил Fv F2,...,Fn, приложен-
приложенных в точках @<M1<52< ... < sn«/;, прогиб у(х) имеет
выражение
где
<р< (л:) = К(х, s^ (/ = 1, 2, ..., п).
В этом случае
\ Л-i Ло * » • Ям/ \^1 ^2 * * • ТЬ/
Применяя лемму 4 предыдущего параграфа, заключаем, что свой-
свойство Б эквивалентно следующему свойству функции влияния:
Все определители F6) при фиксированных @ <) st < $2 <... <
< sn « /) й переменных @ <!) ^ < д:2 < • • • < *w (<^ 0 яе меняют
знака.
Но при jtye»Sjf7= 1, 2, ..., я), в силу положительности квадра-
квадратичной формы 2 К (si> sj) FiFp определители F6) положительны.

170 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Значит, все определители F6) неотрицательны:
<*») F7,
«2 •••
Введем теперь следующее
Определение 3. Функцию влияния К(х, s) @<д:,
континуума 5 будем называть осцилляционной, если выполняются
следующие 3 условия:
1° К(х, 5)>0 при 0 <х </; s €/,
(Хл X* ... Хп\
2° К\ >0 при 0
\5i Sa ••• 5w/
ПрИ Хл < ЛГо < . . . < Хп ИЗ
\хх
Пользуясь этим определением, мы можем сформулировать следую-
следующий вывод из предыдущих рассуждений.
Теорема 2. Функция влияния К(х, s) @<;дг, s<7) сегмент-
сегментного упругого континуума S, обладающего свойствами А и Б,
является осцилляционной.
2. Отметим, что при выводе из свойств А и Б осцилляционности функ-
функции влияния была использована положительность формы E1), выражаю-
выражающей потенциальную энергию, запасаемую континуумом 5 под статиче-
статическим действием сосредоточенных сил, что соответствует устойчивости
равновесного положения континуума при рассматриваемых условиях
его закрепления. Именно, отсюда были получены неравенства E3).
Представляет большой интерес еще следующее обстоятельство.
Если принять, что прогиб у(х) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению
Hy]=f(x) @ <*</),
в котором правая часть f(x) есть интенсивность нагрузки в точке х,
то свойство А получается как следствие из свойства Б и из по*
ложительности энергии V.
В самом деле, допустим противное, т. е. что при наличии свой-
свойства Б существуют такие две подвижные точки х0 и s0, не со-
совпадающие одновременно с концами 0 и /, что
В силу равенств E3), х0 ^s0; на основании симметрии функции К(х, s),
мы можем принять, что л*0 < s0.
Рассмотрим сначала тот случай, когда х0 Ф 0. В силу свойства Б
имеют место неравенства F7), в частности,
К(х, s)>0 @O, 5</),
К
X X
s s(
K(x,s0)
>0
S0

§ 6) ОСЦИЛЛЯЦИОННОСТЬ ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ СЕГМЕНТНОГО КОНТИНУУМА 171
Отсюда, поскольку К(х0, s0) равно нулю, находим
— К(х09 s)K(x, <g>0
и, следовательно,
K(xOi s)K(x, *o) = O (V< *^*<l)- F8)
Так как х0 < $0, то здесь можно положить 5 = х0. Но, в силу
неравенств E3), К(х0, х0) > 0 и потому из F8) следует, что
К(х, so) = O при 0<x<x0«s0).
С другой стороны, функция К(х, sQ) как прогиб, вызванный со-
сосредоточенной силой, приложенной в точке s0, удовлетворяет в интер-
интервале @, sQ) однородному дифференциальному уравнению
Но если некоторая функция удовлетворяет в каком-либо интервале
линейному однородному дифференциальному уравнению и в некоторой
части этого интервала обращается в нуль, то эта функция тожде-
тождественно равна нулю (так как тождественный нуль есть единственное
решение при нулевых начальных условиях). Поэтому
К(х9 so) = O @<x<s0)
и, в силу непрерывности прогиба K(xf s0),
что и противоречит неравенствам E3).
Если х0 = 0, то s0 Ф L Поэтому, полагая х0 < х <1 /, s0 < 5
мы получаем соотношение, аналогичное F8):
К(х, so)K(xo, s) =
Заменяя здесь х на sOi найдем
К(х0> s) = 0 (so<s<?t).
Так как К(х0, s) (a:0<5</) есть снова решение уравнения
] = 0 при нулевых начальных условиях (в точке 5 = %), то
К(х0, s)== 0
и отсюда из соображений непрерывности
что противоречит неравенствам E3).
Таким образом наше утверждение доказано.
Так как, в дальнейшем, прогиб всегда будет удовлетворять неко-
некоторому линейному дифференциальному уравнению, то мы видим, что

172 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
для доказательства осцилляционности некоторой функции влия-
влияния достаточно проверить наличие свойства Б у рассматривае-
рассматриваемого сегментного континуума.
3. Заметим, что осцилляционность функции влияния К(х, s) по-
позволяет доказать свойство Б упругого континуума в следующей
усиленной форме:
Если к сегментному упругому континууму S в последователь-
последовательных точках (О <) st < s2 < ... < sn« I) приложены силы Fit
F<& • • •» Fn, то прогиб у (х) меняет свой знак не более, чем
т раз, где т — число перемен знака в ряду
р р р
При доказательстве усиленного свойства Б предположим для кон-
конкретности, что число перемен знака т = 3, а следовательно, силы
Pj, ^g, ..., Fn разбиваются на четыре группы:
Fi>0,..., Fp>0; Fpn<0,...,Fq<0; Fg+t>Q9...
..., Fr>0; />+1<0, ..., Fn<0.
Образуем соответственно этим группам функции:
K(x,
= 2 KiXtSJtFj,
=- 2 K{X% 8j) Fj.
Тогда
С другой стороны, для любых
как легко видеть, будем иметь:
д /<Р1 Ъ <РЗ ?4 \
\Х^ Х<ь Х$ Хд/
Следовательно, согласно лемме 4 § 5, функция .у (л*) меняет знак
в интервале @, /) не более чем 3 раза.

§ 7] функция влияния струны 173
Утверждение доказано.
Замечание. Можно доказать, что если прогиб у(х) меняет
знак ровно т раз, где т — число перемен знака в ряду Fx, F^..., Fn,
то прогиб у (х) осциллирует одинаково с силами, т. е. знак про-
прогиба у (х) в начале континуума совпадает со знаком первой силиРх.
Мы не приводим здесь доказательства этого предложения, обра-
обращая внимание читателя на то, что оно непосредственно следует из
теоремы 5 § 2 гл. V.
4. Понятие осцилляционности функции влияния тесно связано
с понятием осцилляционной матрицы. Это явствует из следующего
второго возможного определения осцилляционности функции влияния.
Определение 3'. Функция влияния К{х, s) @<лг, s^.1) кон-
континуума S называется осциляционной, если для любых подвижных
точек континуума st < $2< • • • < sn (n = 1, 2, ...), из которых
(при п == 2) по крайней мере одна является внутренней, матрица
является осцилляционной.
Покажем, что оба определения Зи 3' эквивалентны. Действительно,
пусть матрица \\K(si9 sk)\\i осцилляционна. Тогда она вполне неотри-
неотрицательна, т. е. любой ее минор неотрицателен; в силу произволь-
произвольности чисел sv s2, ..., sn^ этот факт может быть записан в виде
условия 2° определения 3. Кроме того, определитель осцилляционной
матрицы положителен — это дает условие 3°. Наконец, согласно кри-
критерию осцилляционности матрицы (см. теорему 10 гл. II) K(si9 s$f i)>0,
откуда, ввиду произвольности чисел si9 si+v получаем условие 1°.
Обратно, из условий 1°, 2°, 3° определения 3, в силу того же
критерия осцилляционности, вытекает осцилляционность матрицы
§ 7. Функция влияния струны
Пусть 5 означает теперь струну, закрепленную в точках О и /
с натяжением Т.
Линия прогиба струны под действием п сосредоточенных сил
Fv ..., Fn будет ломаной линией с концами в точках О и / оси X
и с вершинами на линиях действия сил Fv ..., Fn (черт. 1). По-
Поэтому в данном случае имеют место свойства Л и ? и, следовательно,
можно утверждать, что функция влияния струны является осцилля-
осцилляционной функцией.
В этом можно также убедиться непосредственными вычислениями,
составив выражение для К (лг, s).
В самом деле, под действием единичной силы линия прогиба
струны принимает форму, указанную на черт. 2. Обозначим сокращенно
стрелку прогиба K(s, s) через /. Так как натяжения Т в точке С

174
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
[гл. ш
должны уравновесить единичную силу F, то из уравнений проекций
сил на ось Y найдем:
Ввиду малости углов а и р мы можем здесь положить
sina = ^, sin ?===?
f
Тогда найдем
Из подобия треугольников мы получаем для прогиба в точке х два
Черт. 1.
различных выражения, в зависимости от того, будет ли х < s
или х > s:
К(х,
Tl
Tl
S).
F9)
Возьмем теперь произвольную систему чисел @<) д-'j <л:2<... <
<хп«1); тогда
I to (*>*)»
где
Таким образом, матрица
G0)

§ 8]
ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ
175
является однопарной, причем для нее
«W>0» Xi>° (г=1, 2, ..., я) и iL<Jb.<...< 4».
/Л Х2 Х.П
В силу теоремы 12 гл. II (стр. 125), матрица G0) является осцилля-
ционной, что и требовалось доказать.
Мы предполагали, что оба конца струны закреплены неподвижно.
Если один из концов, напри-
например второй, может свободно
скользить вдоль линии, па-
параллельной оси Г, то осцил-
осцилляционность функции влияния
следует и для этого случая
из аналогичных соображений.
Нетрудно получить для этого
случая следующее выражение
для функции влияния:
У (X < в),
•у (x>s).
G1)
Черт. 2.
Если, наоборот, первый конец скользящий, а второй неподвиж-
неподвижный, то
G2)
Матрица \\K(xi9 xk)\\i снова является однопарной осцилляционной-
Итак, нами установлена
Теорема 3. Функция влияния струны при обычных условиях
закрепления концов является осцилляционной.
§ 8. Функция влияния стержня
1. В настоящем параграфе мы докажем осцилляционность функ-
функции влияния стержня б1 при всех встречающихся в технике условиях
закрепления концов. Доказательство будет заключаться в проверке
наличия свойства Б у стержня 5. При этой проверке нам придется
пользоваться некоторыми уточнениями теоремы Ролля, с которых мы
и начнем.
Пусть <р (х) — некоторая функция, непрерывная в замкнутом интер-
интервале [а, Ь]. Рассмотрим множество всех нулей этой функции. Это
множество будет состоять, вообще говоря, из сплошных интервалов
и точек, не принадлежащих ни одному из этих сплошных интервалов.

176 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Каждый из сплошных интервалов, а также каждую из этих отдель-
отдельных точек мы будем называть нулевым местом функции <?(х).
Нулевое место функции <?(х) мы будем называть узловым, если
при переходе через него функция <р (я) меняет знак 1). Таким образом,
по смыслу определения узловое место должно лежать всеми своими
точками внутри интервала [а, Ь]. Очевидно также, что число узловых
мест функции <?(х)9 меняющей знак конечное число раз, совпадает
с числом перемен знака функции <?(х) в интервале [а, Ь].
Нетрудно видеть, что для функций у{х), имеющих непрерывную
производную, имеет место следующее уточнение теоремы Ролля:
1° Между каждыми двумя нулевыми местами функции <p(#)
лежит по крайней мере одно узловое место ее производной <р' (х).
В силу этой теоремы, если производная у'(х) имеет п различных
нулевых мест, то функция <р (х) имеет не более чем я+1 узловых
мест.
Докажем теперь, что имеет место следующее предложение:
2° Если производная <р' (л:) непрерывна а замкнутом интервале
[а, Ь] и имеет внутри него, п узловых мест, то функция <р(х)
имеет в замкнутом интервале [а, Ь] не более п нулевых мест
при выполнении хотя бы одного из условий
<р(я)?»>0, ? (А) ?'(*)< 0 G3)
и не более п — 1 нулевого места при одновременном выполнении
обоих этих условий.
Действительно, пусть, например, выполняется первое из нера-
неравенств G3) и при этом
Пусть а — ближайший к а узловой нуль2) функции <р'(*)• Тогда
<fr(x)^0 внутри интервала (а, а), а следовательно, в этом интер-
интервале функция о(х) не убывает и, значит, остается больше, чем
<р (а) > 0. С другой стороны, внутри интервала (а, Ь) функция ср' (*)
имеет, очевидно, п—1 узловое место; следовательно, ср(дг) в замкну-
замкнутом интервале [ос, 6], а значит, и в интервале [а, Ь] имеет, согласно 1°,
не более п нулевых мест.
Аналогично разбирается тот случай, когда выполняется другое из
условий G3) или оба эти условия одновременно.
2. Перейдем теперь к непосредственному рассмотрению интере-
интересующего нас вопроса. Мы будем исходить из известного в теории
*) Т. е. в любой окрестности этого нулевого места найдутся две точки,
лежащие по разные стороны от него, в которых функция ср(*) принимает
значения противоположных знаков.
2) Т. е. нуль, принадлежащий узловому месту. Узловой нуль является
узлом функции (см. стр. 163) в том частном случае, когда узловое место
состоит из одной точки.

§ 8] ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ 177
упругости дифференциального уравнения изгиба:
(Е//У = ?(*), G4)
где EI—так называемая жесткость стержня (вообще говоря, завися-
зависящая от х), a q (к) dx—нагрузка, приходящаяся на элемент стержня dx.
Кроме того, в этом уравнении мы предполагаем непрерывность функ-
функций у(х), у'(х), Ely", что же касается квазипроизводной (Ely")',
то предполагаем, что она непрерывна всюду за исключением тех
точек, где приложены сосредоточенные силы, и именно, если в точ-
точках $4 приложены сосредоточенные силы Fi9 то
^-о-^ ('=1> 2, ..., п). G5)
Почленное интегрирование уравнения G4) от 0 до х с учетом
условий G5) приводит к уравнению
(EIy"Y = Q(x), G6)
где Q(x) — так называемая перерезывающая сила в сечении х (сумма
всех сил, приложенных слева от сечения х):
(#о — реакция в конце лс = О).
Вторичное интегрирование уравнения G6) в тех же пределах дает
Е1у" = М(х), G7)
где
О
х
0 S.< X
— изгибающий момент в сечении х (сумма моментов относительно
точки х всех сил, приложенных слева от этой точки).
Выясним, какую форму имеет упругая линия стержня под дей-
действием п сосредоточенных сил. При этом Q(x) является кусочно
постоянной функцией, а М(х) кусочно линейной функцией. Таким
образом, график М (л:), т. е. эпюра изгибающих моментов, будет ломаной
линией с вершинами на линии действия сосредоточенных сил.
Рассмотрим сперва тот случай, когда оба конца стержня шарнирно
оперты, что записывается в виде условий
В этом случае концы ломаной, изображающей эпюры моментов,
будут находиться на оси х в точках х = 0 и х =» /. Следовательно,
функция М(х) @<^л:^/) будет иметь не более чем п — 1 узловое
12 Зак. 1951. Гаитмахер и Крейн.

178 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
место, откуда, согласно уточненной теореме Ролля, прогиб у(х)
будет иметь не более чем п-\-\ нулевое место в замкнутом интер-
интервале [0, /], и так как ^@) =^(/) == 0, тоне более чем п—1
нулевое место внутри интервала @, /).
Таким образом, в этом случае имеет место свойство Б, и функ-
функция влияния является осцилляционной. Пусть теперь оба конца
стержня жестко защемлены:
В этом случае концы ломаной, изображающей эпюру моментов, уже
не лежат, вообще говоря, на оси X, и поэтому мы можем лишь
утверждать, что функция М(х) имеет не более чем я + 1 узловое
место. Но тогда, в силу теоремы Ролля, у'(х) будет иметь не более
п + 2 нулевых мест в замкнутом интервале [0, /]. А так как два из
этих мест падают на концы л==0, л: = / (у'@)=у(/)«= 0), то
У (х) будет иметь внутри интервала @, /) не более чем п нулевых
мест. Тогда у (х), в силу тех же соображений (у @) =j/(/) = 0),
будет иметь внутри интервала @, /) не более п — 1 нулевого и
подавно не более п—1 узлового места, что и требовалось доказать.
Аналогично могут быть разобраны смешанные случаи, когда один
конец жестко защемлен, а Другой конец либо шарнирно оперт, либо
является свободным (на свободном конце у" = (Е1у")' = 0).
Рассмотрим теперь тот общий случай, когда на каждом конце мы
имеем одновременно упругую опору и упругое защемление; это выра-
выражается в виде условий
[{Ely")' + *оу)\атО = 0, (?//'-O(y)U=0 = 0 G8)
для конца х = О и в виде условий
+ «i/)U = <> G9)
для конца х = /. Здесь коэффициенты х жесткости опор и коэффи-
коэффициенты а упругости защемления неотрицательны; кроме того, мы
допускаем также бесконечные значения для коэффициентов, понимая
под этим, что х = оо влечет за собой равенство у = 0 (на соответ-
соответствующем конце), а о = оо влечет равенство у' = 0. Этим мы охва-
охватили все ранее рассмотренные случаи, которые получаются при нуле-
нулевых или бесконечных значениях х и а.
Покажем, что и при этих общих условиях закрепления концов
стержня имеет место свойство Б и, следовательно, функция влияния
есть осцилляционная функция. При доказательстве мы можем пред-
предположить, что все коэффициенты х и а конечны и положительны,
ибо прочие случаи можно получить из общего предельным перехо-
переходом, а свойство Б при таком переходе, очевидно, не нарушится.
Итак, пусть к нашему стержню приложены п сил Fv ..., Fn
в точках @ < )sx < s2 < ¦. . <Csn(<il)t При исследовании прогиба

§ 8] ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ 179
у (х) мы будем последовательно применять предложения 1° и 2°
(стр. 176) к функциям
(Ely")', Ely", у', у. (80)
Так как (Ely")' — кусочно постоянная функция с точками разрыва
^(/=1, 2, ..., п), то к первой паре функций в ряде (80) непосред-
непосредственно не применимы предложения 1°, 2°. Однако, если в местах
разрыва функции (Ely")' соединить соответствующие точки графика
отрезками, параллельными оси К, и, исходя из этого, определять узло-
узловые места этой функции, то, исследуя характер ломаной, дающей
эпюру Ely", нетрудно усмотреть применимость предложений 1°, 2°
и к этому случаю.
Рассмотрим теперь два ряда чисел:
=*• yU> Л-р (82)
и предположим, что все эти числа отличны от нуля. В силу усло-
условий G8), крайние члены в первом ряду имеют разные знаки, а сред-
средние— одинаковые, а во втором ряду, в силу условий G9), — наоборот.
Отсюда в первом ряду есть два постоянства знака, а во втором —
две перемены знака.
Так как функция (Ely")' имеет, очевидно, не более п узловых
мест, то троекратное применение предложения 1° к последовательным
парам в ряду (80) показывает, что у (х) имеет в замкнутом интервале
не более #-|-3 нулевых мест. Однако, ввиду того, что ряд (81)
имеет два постоянства знака, а ряд (82)—две перемены знака, то,
заменяя в соответствующих случаях предложение 1° на 2°, мы смо-
сможем утверждать, что у (х) имеет в интервале @, /) не более п — 1
нулевого, а значит, и узлового места, что и требовалось показать.
Если одно из чисел в ряду (81) или (82) равно нулю, то равно
также нулю симметрично расположенное с ним число, и в этом слу-
случае нужное снижение числа узловых мест у у (х) достигается ком-
комбинированием применения предложения 2° с соображениями, исполь-
использованными при рассмотрении предыдущих частных случаев. Кроме
того, этот случай может быть рассматриваем как предельный
по отношению к ранее разобранному общему случаю, а неравен-
неравенства F7), выражающие свойство Бу при предельном переходе, конечно,
сохраняются.
Резюмируя все предыдущее, мы можем сформулировать следующую
теорему:
Теорема 4. Функция влияния стержня при употребитель-
употребительных условиях закрепления его концов является осцилляционной
функцией.

180 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ill
3. В силу осцилляционности функции влияния стержня, все
определители
***) (*<*<<*) (83)
неотрицательны. Выясним, какие среди них положительны и какие
равны нулю.
Пусть в определителе (83) числа хъ $к из / (k = 1, 2, ..., я)
удовлетворяют дополнительно неравенствам
1| 2,...,/г —2) (84)
и по крайней мере одно из этих 2п чисел лежит внутри @, /).
Докажем, что в этом случае определитель (83) положителен. Дока-
Доказательство будем вести путем индукции относительно п. При п = 1
наше утверждение имеет место, так как, в силу осцилляционности
функции К(х, s),
К(х, s)>0 @<x<t; sti).
Предположим теперь, что наше утверждение справедливо для опреде-
определителей (п—1)-го порядка, и докажем его для определителей я-го
порядка. Допустим противное, т. е. что при некоторых числах
*J, ..., х°п; sj, ..., s°, взятых в / и удовлетворяющих условию (84),
4 4 ...4/
К\ L * п\ = 0. (85)
\S1 S2 ••• Snj
Согласно предположению индукции,
У" t* l86)
(л:0 х° \ fx° x°\
У" и г°" К\У" tr*
SL • • ' 5»-1 / \S2 •'• Snj
Выберем теперь произвольные числа (*?<;) хх < лг2< ... <
и E? <! ) sx < ^2 < ... < sn ( <; 5w) и перенумеруем как числа л:?,
a:< (/ = 1, 2, ..., п), так и числа 4, ^ (/= 1, 2, ..., я) в порядке
возрастания: A:i < х'г < ... < х2п и ^ < ^ < ... < s2n. Тогда
получим вполне неотрицательную матрицу
\, s;)||f, (87)
в которой, в силу (85) и (86), можно применить лемму 3 § 7 гл. II
(стр. 120). На основании этой леммы ранг матрицы (87) равен
п— 1, и потому

§ 8] ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ 181
Если интервалы (#?, л;°) и (sj, s°) имеют общую внутреннюю
точку, то они имеют и п общих внутренних точек xv х2, ..., хп,
для которых, в силу (88),
Х\ Х2
х± х2
... хп)
что противоречит осцилляционности функции К(х, s). Поэтому можно
считать, что эти интервалы не имеют общей внутренней точки и, не
нарушая общности, положить
*?<*;. (89)
Так как числа .xrj, s°x удовлетворяют условию (84), то соотноше-
соотношение (89) возможно лишь при п = 2.
Обозначим через tyt(x) и \(х) @ <;*<;/) два линейно незави-
независимых решения дифференциального уравнения
= 0, (90)
удовлетворяющих граничным условиям G8) на конце х = 0 *). Оче-
Очевидно, функции фх (л:) и ф2 (х) сУть линейно независимые решения
уравнения (90) в любой части @, s) интервала @, /).
Так как К(х, s) при любом фиксированном @ <) 5«I) является
в интервале @, s) решением уравнения (90), удовлетворяющим тем
же граничным условиям G8) на конце л; = 0, то существуют постоян-
постоянные Аг и А%, зависящие от s, такие, что
(91)
!) Здесь и в дальнейшем, говоря о решении уравнения (90) в интервале
(О, /), мы будем понимать под этим функцию <!*(*)¦ непрерывную вместе
с ф'(л:), Elk" (х) и (EIY* (х)У в интервале @, /) и удовлетворяющую в этом
интервале уравнению (90). Общее решение дифференциального уравнения (90)
содержит четыре произвольных постоянных. Поэтому при наличии двух гра-
граничных условий на конце х = 0 всегда существуют два линейно независимых
решения, удовлетворяющих этим условиям. Трех таких линейно независимых
решений не существует, так как в противном случае, обозначая эти решения
через <|>! (*), ф2 (х) и ф3 (л:), мы могли бы подобрать не равные одновременно
нулю постоянные с^ е2» сп так« чтобы для решения ф (х) г с^г (х) +
+ С2^2 (х) + с3фз (х) выполнялись те два из равенств
Ф@) = а <]/(<>) = о, ?/ф^@)-о, (г/^-оя<>, (*)
которые не являются следствиями граничных условий G8). Но тогда, так как
ф (х) удовлетворяет, кроме того, граничным условиям G8), ф (х) удовлетво-
удовлетворяло бы всем четырем условиям (*) и, следовательно, как решение уравне-
уравнения (90) было бы тождественно равно нулю.

182 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Тогда равенство (91) дает:
/ xi х2\ А (ь\) Ло(^,) Ф, (хЛ ФаО*^)
М J= л ,\ л , \ , 1 \ ; / ч (92)
Но
и следовательно, один из множителей в правой части (92) равен нулю.
Если бы имело место тождество
= 0
(93)
то из него следовало бы, что
что невозможно, так как функции tyi(x) и ^(х) линейно независимы
в интервале (*?, л^). Значит, при некоторых числах (xl <) xt < л;2 (О®)
определитель (93) отличен от нуля; но тогда из (92) следует то-
тождество
т. е. функции Лг(^) и Л3E) линейно зависимы в интервале (si, si).
Пусть
Ах (s) — сА2 (s) (si < s < 4). (94)
Будем теперь рассматривать функцию К(х, s) для значений х к s
из интервала (sj, si); на основании (91) и (94) можем написать:
К (х, s) = ^ (л:) х ($) E? -^ л: ^ 5 ^ 5г), (95)
где ^(х)=с^1(х)-\'^2(х) есть снова решение уравнения (90), а у (^) ^=Л2E).
В силу симметрии функции К(х, s), из (95) вытекает:
К(х, s) = ty(s)-?(x) ($2<б'<д;<$2). (96)
Так как К(х9 s) при х > s есть решение уравнения (90), то и ч(х)
есть решение этого уравнения внутри интервала (si, st)> ибо для
любого х (si < х < s?) можно выбрать s (si < 5 < я) так, чтобы
ty E) Ф 0 и, следовательно,
7J

§ 8] ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ 183
Пользуясь формулами (95) и (96), запишем условие непрерывности
Кх(х, s) на участке (s°ly $%:
Из этого равенства вытекает, что функции <К#) и X (x) линейно зави-
зависимы в интервале (s?, sj). Пусть
Тогда как при х ^> s, так и при х
К(х, s) = С^(хЦ(8) (*}<*, s<s°2).
Но в таком случае квазипроизводная (EIKx(x9 s))x должна быть
непрерывна при х = s, где s^ < 5 < $1, и мы пришли к противоречиюх).
Пусть теперь в определителе
iXl<-<X") (97)
St 52 ...
условие (84) не выполняется. Пусть, например, при некотором k
Тогда, согласно формуле (91),
\з —
Отсюда вытекает, что матрица
,...,я) (98)
имеет ранг -^ 2. Будем теперь по теореме Лапласа разлагать опреде-
определитель (97) по минорам (k -f- 2)-го порядка, содержащимся в первых
k -{- 2 горизонталях. Каждый такой минор будет равен нулю, так как
в его состав войдут по крайней мере три вертикали матрицы (98),
а ранг этой матрицы <i 2. Таким образом, определитель (97) равен
нулю.
Пусть теперь по крайней мере одна из точек xl9 sl9 xn> sn> напри-
например х19 не принадлежит /, т. е. является неподвижной. В этом случае
при любых Si (i = 1, 2,..., п)
K(Xl9Si) = 0 (/=1,2,..., л)
и, следовательно, определитель (83) равен нулю.
Из равенств G5) следует:

184 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Мы пришли к следующему предложению:
Теорема 5. Для осцилляционной функции влияния К(х, s)
(О < х, s <; /) упругого стержня определитель
отличен от нуля {т. е. положителен) в том и только в том
случае, когда все точки хъ slt (& = 1, 2, ..., п)у среди которых
имеется хотя бы одна внутренняя, являются подвижными и
выполняются условия
*k<Sk+2i sn<4^2 (A = l,2,..., л —2).
Обратим внимание читателя на механическую интерпретацию уста-
установленного нами факта. Обозначим через у1У у%9 ..., уп прогибы
в точках хх<х%< ... <,хп под действием сил Fl9 F2, ..., Fn, при-
приложенных в подвижных точках st < s% < ... < sn. Тогда
yi~2>K(x{,sk)Fk (/=1,2,..., я).
k=l
Задавшись произвольными величинами прогибов уи у%9 ..., уп и
фиксируя точки xi9 st (/=1,2,..., ri), мы сможем из этой системы
линейных уравнений определить силы Fu F2, ..,, Fn в том и только
в том случае, если определитель этой системы
u
будет отличен от нуля, т. е. если будут выполняться условия
(/=1, 2,..., я — 2).
Таким образом, теорема 5 может быть сформулирована еще так:
Теорема 5'. Пусть заданы подвижные точки стержня
хх < ... < хп и s1 < ... < sw среди которых имеется хотя бы
одна внутренняя. Для того чтобы в точках хи х29 ..., хп можно
было получить любые наперед заданные прогибы уи у2> ..., уп за
счет надлежащим образом подобранных величин сил Fl9 F2, ..., Fn9
приложенных в точках s]9 s29 ..., sn, необходимо и достаточно,
чтобы расположение точек xl9 ...9xn; sv ..., sn удовлетворяло
условиям
*i<Si+2> s4<xih2 (/=1,2,..., п — 2). (99)
Заметим, что если бы мы аналогичный вопрос поставили относи-
относительно струны, то вместо условий (99) появились бы условия
(/=1, 2,...,л—1). A00)

§ 8] ФУНКЦИЯ ВЛИЯНИЯ СТЕРЖНЯ 185
Это следует из того, что (как было показано в § 7) функция влияния
струны К(х, s) является однопарной:
причем
>0 @<*<Q
и (I монотонно возрастает (в узком смысле) в интервале @, /).
В самом деле, возьмем две произвольные системы чисел в /:
*i < Х2 < • • • < хп и si < 52 < • • • < $п и все не равные между со-
собой из этих 2я чисел обозначим в возрастающем порядке через tx < /2 <
< ,.. < tm% Тогда определитель
) A01)
будет минором осцилляционной однопарной матрицы L == || /^ || Г, где
Поэтому, опираясь на предложение 8° § 7 гл. II (стр. 126) или при-
припоминая формулы для миноров такой матрицы (§ 3 гл. II), получим,
что определитель A01) отличен от нуля (т. е. положителен) в том
и только в том случае, когда выполняются условия A00).
Заметим, что различие условий (99) и A00) для стержня и струны
объясняется тем, что функция влияния стержня является уже не одно-
однопарной, а двупарной функцией, т. е. имеет вид
где фх (х) и %(х), равно как и ул(х) и х^(х)^ СУТЬ линейно незави-
независимые решения однородного уравнения
)" = 0.
Читатель легко придет к формуле A02), если вспомнит фор-
формулу (91) и симметрию ядра К(х, s).
В заключение отметим, что для произвольной осцилляционной
функции К(х, $) все определители A01), удовлетворяющие усло-
условию A00), т. е. условию
отличны от нуля, если все точки xk, sk (?= 1, 2,..., п) являются
подвижными и по крайней мере одна из них является внутренней.

186 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
Действительно, обозначим через /i<^< • • • <4» все не равные между
собой среди чисел xi9 ..., хп; sl9 ..., sn; тогда при условии A00)
определители A01) являются квазиглавными минорами (см. опреде-
определение на стр. 120) осцилляционной матрицы \\K(t$9tj)\\^ и потому
(см. стр. 123) отличны от нуля. Таким образом, те определители A01),
которые отличны от нуля в случае, когда К(х, s) есть функция
влияния струны, отличны от нуля и для произвольной осцилляцион-
осцилляционной функции К (х, s).
§ 9. Малые колебания упругого континуума
с п сосредоточенными массами
1. Пусть в п подвижных точках si < s2 < ... < sn упругого
континуума 5 сосредоточены п масс: mv /л2, ..., тп. Пренебрегая
массой самого континуума 5, изучим малые свободные колебания
этой системы (системы Sn).
Мы пойдем по пути, намеченному в § 3.
Согласно принципу Даламбера, приложим в точке si фиктивную
силу инерции массы т/.
— А4& \ i — 1 у 2, ..., п);
здесь yi^zy(si) есть прогиб в точке s{ (/=1, 2,..., /г). Тогда
для прогиба у (х, t) в любой точке в момент времени t получится
выражение
у (х, t) = - Д К(х, s,) mkyk, A03)
где К(х, s) — функция влияния континуума S. Полагая здесь последо-
последовательно л? = ^ (/=1, 2,..., п), получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
п
У< = — 2 ЪиЩУн (l = U 2, ..., п), A04)
где
<*ък — K(S(, $*) (i, * = 1, 2, ..., п)
суть коэффициенты влияния. Если бы мы решили систему A04) отно-
относительно щуъ (к = 1, 2, ..., п), то привели бы ее к виду
2 <*аук = - mtyt (i = 1, 2, ..., п), A05)
знакомому нам из § 3 этой главы. Однако, как мы уже там указы-
указывали, система уравнений A04) имеет ряд преимуществ перед систе-
системой A05); в частности, как мы покажем в главе IV, она допускает

§ 9j МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО КОНТИНУУМА 187
непосредственное обобщение на случай упругого континуума с беско-
бесконечным числом масс. Поэтому мы здесь не будем исходить из общих
положений § 1 и исследуем систему A04) независимо.
Найдем сперва все собственные колебания системы Sn, т. е.
гармонические колебания вида
Л— «,«in(/>/+«) (/=1, 2,..., п), A06)
где u = (uv ..., ип) — амплитудный вектор, р — частота колебания и
а — начальная фаза.
Вставляя в уравнения A04) выражения A06) для у4 (I — 1, ..., п)
и сокращая на sin (/??-{-а)> получим:
п
2 «<**»*«* = j* ui (/= 1, 2, ..., n\ A07)
или, в векторной символике,
Aa^jpu, A08)
где
Матрица Л системы уравнений A07), вообще говоря, не является
симметрической. Однако система уравнений A07) легко симметри-
зуется. В самом деле, положив
v. = Ущи{9 р«л = a^YHii Vmk (/, к =» 1, 2, . . ., п\ A09)
мы сможем систему A07) переписать в следующем виде:
п
ЦМ* = 7Г^ (/=1,2, ...,//).
Очевидно, матрица ||P^||i симметрична, и ей соответствует поло-
положительная квадратичная форма
п п
; « = ь 2,..., п).
Припоминая основные свойства симметрических матриц (§§ 4 и 7
гл. I), заключаем, что матрица ||р«||? имеет л положительных харак-
характеристических чисел Xj>X2> ... > Хл > 0, которым соответствует
ортонормированная система собственных векторов
0'= 1, 2, ..., я),
(v\ «*) = 2 ^v,fc = 5f7? (/, А = 1, 2, ..., я).

188 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Вводя с помощью A09) соответствующие векторы и1 (/== 1, 2, ...
. .., п), мы получим полную систему собственных векторов ма-
трицы А:
lu^^u* (/=1, 2, ...,я). (ПО)
При этом векторы ui = (uli, ..., uni) (/== 1, 2, ..., п) ортонормиро-
ваны по отношению к системе масс ти ..., тП9 т. е.
п
S ntfyUju = 8lfc (/,?=1,2,..., й). A11)
э—*
Сопоставляя (НО) с A08), мы заключаем, что у нашей системы Sn
существует п собственных колебаний с частотами
Pi = y= (*=1, 2,..., л) A12)
и соответственными амплитудными векторами w1 (*'= 1, 2, ..., п), для
которых выполняются условия обобщенной ортонормированности A11).
Буквой f) обозначим /г-мерный вектор (у19 у2, ..., ^J. Тогда систему
уравнений A04) можно записать в виде одного векторного уравнения:
9 =— Др. A13)
Повторяя, по сути, соображения из § 1, покажем, что произволь-
произвольное колебание системы получается наложением отдельных собствен-
собственных колебаний, т. е.
п
V = 2 С4и* sin (р^ + а,),
ИЛИ
if = 2 D* cos p^+ 5^ sin p4t) ик A14)
i
Действительно, разлагая вектор t) на компоненты по и1
(/== 1, 2, ...,«), получим:
i;=2M* (9, = 6,@; /=1, 2 л), A15)
будем иметь, в силу A15), (ПО) и A12):
п п п ..
Таким образом, уравнение (ИЗ) эквивалентно системе уравнений
0 (/=1, 2, ..., я).

§ 9]
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО КОНТИНУУМА
189
Из этих уравнений находим, что
8^ = Ai созр^-\-В4*\пр^ (= сг sin
где А4 и B.t{i= 1, ..., п) — произвольные постоянные. Подставляя
найденные выражения для 64 (/=1, 2, ..., п) в A15), получим A14).
Покажем еще, как определяются произвольные постоянные по
начальным данным
v(o) = o!,...,A v(o) = Cv? у°п).
В силу соотношений A11), из A14) следует
А4 cos p^ -\-В4 sin p€t =
^=
откуда, дифференцируя, получаем
w
p, (— A4 sin />,*+ 5* cos p^) = 2
A16)
С117)
Полагая в A16) и A17) ?=0, найдем:
п п
Ai = S тЛ'Л9' 5**= 77
Таким образом, задача об определении движения системы масс
mv ..., /яп полностью решена. Для определения движения любой точки
континуума остается подставить в правую часть формулы A03) вместо ук
найденные их выражения как функций от времени.
Заканчивая этот параграф, выпишем подробней уравнение, из
которого определяется квадрат частоты А = /?2 свободных колебаний.
Из A07) находим, что
Многочлен А(Х), стоящий в левой части этого уравнения, имеет
следующее разложение:
где
СР=...?
= 1),
иц1...ацр
A18)
A19)
Если учесть, что aik = K($i, s^) (i, k— 1, ¦. ¦ , я), то можно послед-
последнюю формулу записать еще так:
ср л?
A20)
здесь сумма распространяется на всевозможные размещения iu
из индексов 1, 2,..., п по р.

190 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
§ 10. Малые колебания сегментного континуума
Пусть теперь упругий континуум 5 является сегментным и про-
простирается вдоль оси X от точки х — 0 до точки х = / и пусть в по-
подвижных точках его st < $2 < ... < $п *) сосредоточены п масс.
В этом случае функция влияния К{хл s) (О^х, s</) является
осцилляционной, и так как тк > 0, то и матрица
является осцилляционной. Поэтому здесь соображения о симметриза-
симметризации системы уравнений A07) становятся излишними, так как харак-
характеристические числа осцилляционной матрицы (даже если она не сим-
симметрична) вещественны, положительны и просты:
Так как амплитудные векторы uf (J = 1, 2, ..., /z) собственных
колебаний системы Sn являются собственными векторами матрицы Л,
а соответствующие частоты р19 ..., рп находятся по формуле A12),
то, припоминая спектральные свойства осцилляционных матриц (§ 5
гл. II), мы приходим к следующей теореме:
Теорема 6. Сегментный континуум^ нагруженный п сосредо-
сосредоточенными массами, имеет п различных между собой частот
Р\ < Р2< • • • < Ры пРи этом у гармонического колебания с часто-
частотой pj G = 1, 2, ..., п) амплитудные прогибы uv и2> ..., ап
в точках приложения масс ти ..., тп образуют ряд, имеющий
точно j — 1 перемену знака.
Исследуем теперь форму линии прогиба при гармоническом коле-
колебании с частотой р. Так как в этом случае ук = ик sin (pi -j- a)
(А«1, 2, ...,л), то
в) (А « ], 2, ..., я).
Поэтому формула A03) для рассматриваемого гармонического колеба-
колебания дает нам
y(x,f) = tt(x)dn(pt-\-*)t A21)
где амплитудный прогиб и(х) определяется по формуле
и (х) = р2 2 /С (л-, ^) шл||й. A22)
Л1
Так как K{x,s)>0 при 0<x</; s?l, то из формулы A22) вы-
вытекает первая часть следующей теоремы:
*) При л = 2 мы предполагаем, что по крайней мере одна из точек Si, s$
является внутренней.

§ 10] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЕГМЕНТНОГО КОНТИНУУМА 191
Теорема 7. 1. У сегментного континуума, нагруженного
п сосредоточенными массами, амплитудная линия и {х) основного
тона (p=pt) не имеет общих точек с осью X в интервале 1.
2. Амплитудная линия }-го обертона (p—pj+i) имеет точно
j узлов и никаких других общих точек с осью X в интервале I не
имеет.
Для доказательства второй части теоремы заметим, что, в силу
теоремы 6, для /-го обертона в ряду чисел
u(st), u(s2), ..., u(sn)
имеется точно j перемен знака. Пусть, например,
ukl = и (ski) > 0, uki = и ($7^ < 0, . ¦.
...,(- 1/ ukj+1 = (- 1/ и (skui) > 0.
Тогда между каждыми двумя соседними точками в ряду sk , ¦.., ski
имеется по крайней мере один узловой нуль х) амплитудного про-
прогиба и(х). Обозначим эти узловые нули через xv ..., л*'.; тогда
= l, 2,...,
A23)
Допустим теперь, что функция и {х) обращается в нуль еще в неко-
некоторой подвижной точке, отличной от х'1У...9х'а пусть, например,
и (**) = (), A24)
где
/). A25)
Обозначим числа x'v ..., л:'., хц\ расположенные в порядке возраста-
возрастания, через хх < х2 < . ¦. < Xj+t и подставим последовательно эти
числа вместо х в формулу A22); будем иметь
Мы получили систему из / -{-1 однородного линейного уравнения
относительно ткик (&= 1, 2, ..., п), причем матрица коэффициентов
этой системы имеет ранг /+1, так как, в силу A23) и A25),
См. сноску 2) на стр. 176.

192 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
и потому на основании замечания, сделанного в конце § 8 (стр. 185),
к{2 2'.'Т1)Ф0' A26)
Так как в ряду чисел ии и2, ..., ип число перемен знака точно
равно у, то эти числа можно разбить на у + 1 групп
так, чтобы в каждой группе все числа были одного знака
Ч = ч\ч\, 4-\<k<4 (* = !» 2, ..., у + 1; vo = O, v/+1 = A)
и в каждой группе имелись бы числа, отличные от нуля. Положим
Тогда
2 Ллвл = 0 (/=1, 2, ...,
и, следовательно,
2 1
Но это невозможно, так как, в силу A26) и A27),
/12...У + П
U 2 ...У+1/
Г
Таким образом равенство A24) нас привело к противоречию и
теорема доказана.
Теорема 6 гл. II (стр. 105) позволяет доказать следующее пред-
предложение:
Теорема 8. Если свободное колебание сегментного контин4'
умау нагруженного п сосредоточенными массами, получается н,
ложением собственных колебаний с частотами рп < рг <... < рт,
то число перемен знака у линии прогиба во время движения ко-
колеблется между k — 1 и т — 1.
Доказательство. Введем снова в рассмотрение вектор
9 = 0>i, Уъ> •••> Уп)' Для рассматриваемого колебания
откуда, в силу теоремы 6 гл. II, число перемен знака в ряду ко-

§ 11] КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МАСС 193
ординат вектора ty так же, как и в ряду координат вектора
9 = — plCksin(pkt+<xk)uk— ... — p2mCmsin (pMt+aJ um,
колеблется в пределах от к— 1 до т — 1.
Так как
Л—.У(*<> 0 ('=1, 2, ..., /г),
то отсюда заключаем, что в любой момент t число перемен знака
у линии прогиба у(х9 t) не меньше к— 1.
С другой стороны, так как согласно принципу Даламбера (см.
формулу A03)) на прогиб у(х, t) в любой момент времени t можно
смотреть как на статический прогиб, вызванный силами инерции
Fi^ — miyi (/=1, 2, •.., я),
то в силу усиленного свойства Б сегментного континуума (см. стр. 172)
число перемен знака у линии прогиба у(х, f) не превосходит числа
перемен знака в ряду Fu ..., Fn. Так как число перемен знака в
ряду Fl9 ..., Fn совпадает с числом перемен знака в ряду уь ..., уп и,
следовательно, не превосходит т—I, то прогиб у (х, t) меняет свой
знак не более т — 1 раза.
Теорема доказана.
В главе IV (§ 4, теорема 5) будет доказано, что при произволь-
произвольном распределении масс вдоль континуума (а значит, и в случае п
сосредоточенных масс) узлы амплитудных линий двух соседних
обертонов перемежаются между собой. Там же будет доказано
следующее усиление теоремы 8 настоящего параграфа:
Если свободное колебание сегментного континуума получается
наложением собственных колебаний с частотамиpk<Pi< • • • <рт>
то при движении линия прогиба в любой момент времени имеет
не менее к — 1 узловых мест и не более т — 1 нулевых мест
в интервале /.
§11. Колебания системы сосредоточенных масс, расположенных
на многопролетной балке
Пусть S* есть (р 4" 1)-пролетная балка, промежуточные опоры кото-
которой расположены в точках сх < с2 < ... < ср. Пусть в подвижных
точках st <sa< ... <$„, отличных от опорных точек балки 5*,
сосредоточены п масс т19 ..., тп. Пренебрегая массой балки, ис-
исследуем малые свободные колебания этой системы.
Предположим сперва, что условия закрепления на концах таковы,
что по удалении промежуточных опор балка не может перемещаться
как твердое тело (нет консольных концов или, если один конец кон-
консольный, то другой конец жестко закреплен, и т. д.). Обозначим
через К(х, s) @<лг, s</) функцию влияния однопролетной балки 5,
13 Зак. 1951. Гантмахер и Крейя.

194 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ш
получающейся из 5* удалением промежуточных опор в точках си
?д> • • • I ср* Тогда, как мы видели в § 4, функция влияния К* (х, s)
балки 5* будет
*»(*,«)- 7"'^ A28)
CpJ
Обозначая через yi прогиб балки в точке ^ (/=1, 2, ..., п),
мы будем иметь для у^у^> •••> Уп (см> § 9) систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
2^г с=ь 2> •••' й)>
где
4fc===/C*(% 5ft)/»fc (/, ft = l, 2, ..., л).
В силу A28), матрица Ца*й||?, в отличие от разобранного в § 10
случая однопролетной балки (или струны), уже не является осцил-
ляционной. Ввиду этого нам придется несколько преобразовать си-
систему уравнений A29).
Точки cl9 с2, . •., ср делят балку на р -J- 1 пролетов. Положим
е^ (f=l, 2, ..., п) равным -j- 1 или —1 в зависимости от того,
принадлежит ли точка s4 нечетному или четному по порядку пролету,
и сделаем замену переменных
Л = ЧУ* ('=1. 2> •••» л).
Тогда система уравнений A29) примет вид
где
Vsftci^^/ (/, ?=1, 2, ..., я) A31)
В системе уравнений A30) матрица Ио^Ц? является осцилляцион-
ной. В самом деле, так как К(х, s) — осцилляционная функция, то,
в силу тождества Сильвестра и выбора знаков 8^(/=1, 2, ..., /г),

§ 11] КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МАСС 195
имеем:
\kt...kg) *» *«*i кч *i кч Jef~ep\
причем здесь знак равенства отпадает, если /л = й1? ..., /fl = &а.
Кроме того, согласно теореме 5 гл. III (стр. 184)
«<*>0 (^ * = 1, 2, ..., /г). A32)
Ввиду осцилляционности матрицы Ца^Ц? трансформированной
системы A30), все результаты предыдущего параграфа сохраняют
силу, если в них прогибы уг заменить на yi = &iyi (/= 1, 2, ..., /г),
амплитудные прогибы щ на иi = е^ (/ == 1, 2, ..., п) и амплитуд-
амплитудную линию и(х) на
где з (х) равно -{- 1 или — 1 в зависимости от того, принадлежит ли
точка х нечетному или четному по порядку пролету. При этом тео-
теорема 7 § 10 должна быть теперь сформулирована так:
Функция Z(x) = e(x)u(x), где и(х) амплитудная функция j-zo
гармонического колебания, имеет ) — 1 узлов {некоторые из кото-
которых могут прийтись на опоры) и никаких других нулей между
опорами не имеет.
Обратим внимание читателя на следующее обстоятельство. Так
как теорема 6 § 10 сохраняет здесь силу, то как бы ни были рас-
расположены опоры и массы, частоты всех гармонических колебаний
все различны между собой.
При этих рассмотрениях мы исключили те случаи, когда закреп-
закрепления на концах таковы, что после удаления промежуточных опор
балка может передвигаться как твердое тело. Однако все исключен-
исключенные случаи можно трактовать как предельные случаи по отношению
к разобранным. Поэтому и для них матрица ||а^|| будет вполне не-
неотрицательной. Поскольку |?ali = la*A;|il> 0 и имеет место A32),
то матрица || а^Ц? является осцилляционной, и все результаты этого
параграфа сохранят силу.
13*

ГЛАВА IV
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
В главе III мы изучили колебания невесомого линейного упругого
континуума с п сосредоточенными массами. Полученные результаты
естественным образом могут быть распространены на общий случай
колебаний линейного упругого континуума, несущего как сосредото-
сосредоточенные массы, так и массы, распределенные сплошным образом. При
этом придется только заменить систему обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений, определяющих колебания, одним интегро-
дифференциальным уравнением, а систему алгебраических уравнений,
из которых определялись амплитудные прогибы в точках сосредото-
сосредоточения масс, — линейным интегральным уравнением для амплитудных
функций.
Предполагая здесь знакомство читателя с теорией линейных
интегральных уравнений (хотя бы с симметрическим ядром) *), про-
проведем исследование колебаний линейного упругого континуума с лю-
любым распределением масс, не ограничиваясь только свободными коле-
колебаниями, а рассматривая также и вынужденные колебания.
§ 1. Основные положения
1. Интегро-дифференциальное уравнение колеба-
колебаний. Пусть S обозначает тот же линейный упругий континуум,
что и в § 4 гл. III, и пусть К(х9 s) — его функция влияния. Если
к континууму 5 приложены внешние силы, то, в силу принципа
независимости действия сил, прогиб у{х) выразится по формуле
A)
в
где dQ($) — сила, приложенная к участку ds, и интеграл берется по
всему протяжению системы.
1) См. И. Г. Петровский [35] и И. И. Привалов [38], см. также
Курант-Гильберт [28] и С. Г. Михлин [34].

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 197
В формуле A) интеграл понимается в смысле Стильтьеса1), и
потому эта формула, являясь обобщением формулы D7) гл. III,
годится в самом общем случае, когда имеются как сплошные, так
и сосредоточенные силы.
Аналогично на рассматриваемый общий случай обобщается фор-
формула E1) гл. III для энергии V, запасаемой континуумом под дейст-
действием п сосредоточенных сил:
/ K(x>s)dQ(x)dQ(s). B)
а а
Пусть теперь к континууму S приложены возмущающие силы,
зависящие от времени: dQ (s) = dQ (s, t). Для составления уравнения
движения воспользуемся принципом Даламбера и заменим в формуле A)
dQ ($) на dQ (s,f) — -— do (s), где do (s) — масса, приходящаяся на
элемент ds континуума. Тогда получим следующее интегро-дифферен-
циальное уравнение:
9%li*J K(x, s)dQ(s, f). C)
При отсутствии внешних сил уравнение C) упрощается:
у (*, t) = - JV(x, s) *^J> rfa (,). C0
2. Собственные колебания. Прежде чем перейти к реше-
решению уравнений C) или C') при некоторых начальных данных, иссле-
исследуем сперва собственные гармонические колебания континуума S,
т. е. колебания вида
где ср(д:) — амплитудная функция, а р — частота колебания.
Вставляя в C') это выражение для у (лг, t)9 найдем, что
ср (х) = kfK(x, s) <p (s) do (s) (X = p% D)
x) Изложение элементов теории интеграла Стильтьеса читатель может
найти в книге: И. П. Натансон, Теория функций вещественной перемен-
переменной, Гостехиздат, 1950. Более подробные сведения об интеграле Стильтьеса
можно найти в книге В. И. Г л ив ен к о, Интеграл Стильтьеса, ОНТИ, 1936.
См. также Л. В. Канторович, К теории интегралов Стильтьеса-Римана,
Ученые записки Ленинградского университета, т 37 A939), стр. 52—68.

198 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Мы видим, что квадраты искомых частот являются собствен-
собственными числами интегрального уравнения D), а искомые ампли-
амплитудные функции являются соответствующими фундаменталь-
фундаментальными функциями. Как мы знаем (см. гл. III, стр. 158), в силу прин-
принципа взаимности Максвелла, К(х, $) является симметрическим ядром.
Так как в уравнении D) стоит da(s), а не ds, то D) является нагру-
нагруженным интегральным уравнением с симметрическим ядром. К нагру-
нагруженному интегральному уравнению приложима полностью вся теория
обыкновенных интегральных уравнений, если в этой последней всюду,
где стоят обыкновенные дифференциалы ds, dr, ..., поставить соот-
соответствующие дифференциалы Стильтьеса da (s), do (г), ... Так, напри-
например, собственные числа \4 (/== 1, 2, ...) уравнения D) являются кор-
корнями целой трансцендентной функции (носящей название детерминанта
Фредгольма)
Д(*)-2 (-*)*'* E)
fr = 0
где
J^s^) (я-1,2, ...)• E0
S 8
Равенством
определяется целая трансцендентная (относительно X) функция, нося-
носящая название минора Фредгольма.
Если X не является собственным числом уравнения D), то неод-
неоднородное уравнение
<р (х) - \f K(x, s) 7 (s) do (я) +/ (Jf) G)
а
имеет единственное решение, определяемое по формуле
ср (х) -/(*) + X J Г(х9 s; \)f(s) do E), (8)
а
где
- (9)
—резольвента интегрального уравнения G).
При достаточно малых по модулю значениях X резольвента пред-
представляется сходящимся равномерно относительно х, s степенным

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 199
рядом
Г (х, S) X) = К(х, s) 4- Х/СС^> (х, s) + JWP» (х, $
где
л;, *)/ J
(л —2,3, ...)
— /г-е итерированное ядро для ядра /С(лт, s).
Из представления в виде степенного ряда вытекает функциональ-
функциональное уравнение для резольвенты:
ъ
)do(t). A0)
Если ядро симметрическое, то числа Х$ (/=1, ...,я) все веще-
вещественны и ряду собственных чисел {Х^} (в котором каждое число
фигурирует столько раз, какова его кратность1)), можно сопоставить
ряд фундаментальных функций {<?i(x)}:
1i(x)=*\ifK(x9s)<ri(s)da(8) (/=1,2, ...), A1)
дающих ортонормированную систему (по отношению к дифферен-
дифференциалу da):
{J * (U = i,2. ...); A2)
при этом всякая иная фундаментальная функция, не попавшая в ряд
{?i(x)\i выражается в виде линейной комбинации конечного числа
функций этого ряда.
Так как двойной интеграл B) по своему механическому смыслу
всегда положителен (если только dQ (s) Ф 0 хотя бы для одной по-
подвижной точки s2)), то ядро К(х, s) является положительно опреде-
определенным в усиленном смысле2) на множестве / подвижных точек
х) Как корня уравнения D (X) = 0.
а) Т. е. не существует окрестности точки s, в которой dQ (s) тожде-
тождественно равно нулю.
3) Часто под положительно определенным ядром К(х, $) (в случае его
непрерывности) понимают симметрическое ядро, для которого в соотноше-
соотношении A3) вместо знака > стоит >. В нашем случае выполняется усиленное
условие положительной определенности. Из усиленной положительной опре-
определенности, в силу одной теоремы Ф. Рисса (см. С. Банах [2], стр. 48—49),
вытекает, что любую непрерывную функцию <р (s), обращающуюся в нуль
в неподвижных опорах, можно равномерно аппроксимировать линейными
комбинациями фундаментальных функций щ(х) (/=1,2, ..., п).

200 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ, IV
континуума 5, т. е.
$JK(x,s)dQ(x)dQ(s)>0 A3)
при
f\dQ(s)\>0.
Поэтому все \4 > 0 (/= 1, 2, .. .)> чт<> впрочем доказывается следую-
следующими соотношениями:
Я
K{x, а)Ъ (х)9i(s)da(х) da(s)> 0
(/-=1,2,...),
вытекающими из A1), A2) и A3) при dQ (s) = <р* da (s).
Так как частоты pt (г= 1, 2,...) гармонических колебаний
y=*V,(x)tlu<ptt+ad (/==1,2,...), A4)
составляющих полную систему линейно независимых гармонических
колебаний, находятся по формулам
Pi = Vh 0=1,2,...),
то, в силу положительности всех \i9 мы видим, что р< вещественны
и, следовательно, колебания A4) являются гармоническими устойчи-
устойчивыми колебаниями, как и следовало ожидать.
Для симметрических положительно определенных интегральных
ядер в обыкновенной теории интегральных уравнений по теореме
Мерсера имеет место билинейное разложение
, A5)
сходящееся абсолютно и равномерно в области определения ядра К {х, s).
Для нагруженных интегральных уравнений теорема Мерсера пол-
полностью сохраняет силу при условии, что do (s) Ф 0 для всякой
подвижной точки $.
В общем же случае, когда в S есть участки, свободные от масс,
разложение A5) имеет место (и притом абсолютно и равномерно) для
всех х и для тех насел s, где da (s) Ф 0.
Для детерминанта Фредгольма в случае положительно определен-
определенного ядра имеет место формула:

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 201
Мы уже отмечали, что формулы A) и B) для прогиба и потенци-
потенциальной энергии являются обобщениями соответствующих формул § 4
гл. III. Обратим также внимание читателя на то, что уравнение Д (к) = 0
в § 9 гл. III (стр. 189) получается как частный случай уравнения
когда do (s) отлично от нуля лишь в п точках sly $2У ..., $п. С дру-
другой стороны, читателю нетрудно будет обнаружить, сопоставляя
с формулами E) формулы A18) и A20) на (стр. 189), что D(k) может
быть получено предельным переходом из Д (X).
Отметим еще, что при непрерывном симметрическом ядре в на-
нагруженных интегральных уравнениях (как и в обычных), собственные
числа обладают минимаксималъными свойствами1). В дальнейшем
нам придется использовать только максимальное свойство наимень-
наименьшего положительного собственного числа.
Интегральная форма
ъ ь
среди значений которой имеются положительные числа, на множестве
нормированных функций, т. е. на «единичной сфере»
ъ
а
достигает своего наибольшего значения. Это наибольшее значение
равно г~, где Хо — наименьшее положительное собственное число
уравнения F) и любая нормированная функция <р (•**)> на которой
достигается это максимальное значение, является фундаментальной
функцией уравнения F) при \ = Хо.
3. Решение интегро-дифференциального уравне-
уравнения. После этих предварительных замечаний перейдем к исследова-
исследованию интегро-дифференциального уравнения C) вынужденных колеба-
колебаний. При этом мы, не уменьшая общности, можем ограничиться только
тем случаем, когда силы приложены лишь к таким точкам и участкам,
где есть массы; иными словами, мы можем предполагать, что если на
некотором участке отсутствуют массы, то к этому участку не прило-
приложены и возмущающие силы. Действительно, если бы у нас были силы,
приложенные к участкам, свободным от масс, то мы могли бы выде-
выделить эти силы в одну группу и найти прогиб уг (ху f) для колебания,
*) Эти свойства аналогичны минимаксимальным свойствам характеристи-
характеристических чисел квадратичных форм, изложенным в гл. I, § 10, см. Курант-
Гильберт [28], т. I, стр. 122, 383.

202 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
вызываемого этой группой сил, пользуясь статической формулой:
где S± есть та часть 5, на которой нет масс.
Найдя затем прогиб у2 (х> t) для колебания, вызванного оставшейся
группой сил, мы получим искомый прогиб у (л:, () полного колебания,
сложив ух (х, t) и у% (х, t) (в силу принципа независимости действия
сил).
Итак, предполагая, что dQ($, ^) = 0 там, где do($) = 0, вставим
в уравнение C) вместо К (х> s) его разложение A5). Так как разло-
разложение A5) сходится и притом равномерно относительно х и множе-
множества точек s, где do ($) Ф 0, то такая подстановка законна. После под-
подстановки получим
где
h j <?i(s)dQ(s,f) A70
8
8 8
(г = 1, 2,.,.).
Таким образом, прогиб у(х, t) в исследуемом колебании разла-
разлагается в равномерно сходящийся ряд по фундаментальным функциям
Ъ(х) (/-1, 2,...).
В силу ортонормированности системы фундаментальных функций
<?i(x) (i=l, 2, ...), из A7) находим, что
Ti(t) = §y{xyf)b(x)do{x)y A8)
откуда
Сопоставляя эти равенства с равенствами A7'), приходим к следую-
следующим дифференциальным уравнениям:
(/=1,2,...), A9)
где
fi(t)*=\<9i{s)dQ(s,t) (/=1,2,...).
s
Из A9) находим, что
(pt = Vh 5 i = 1, 2,...). B0)

§ 1]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
203
где Ai и В{ (/=1, 2,,,.) — произвольные постоянные, a Ti(t)
(/=1,2, ...) — какое-либо частное решение уравнения A9). В каче-
качестве такого частного решения иногда удобно брать решение
t
удовлетворяющее нулевым начальным условиям:
7f@) = 7t@) = 0 (/=1, 2,...). B1)
Таким образом, окончательно для искомого перемещения у(х, f)
получаем следующее выражение:
у(х, Q
B2)
Чтобы определить произвольные постоянные, необходимо задать
еще некоторые данные. Обычно задают начальные данные, т. е.
начальное перемещение
у(х90) = щ(х) B3)
и начальную скорость
У(*.0)-Ч1(*). B30
Для определения постоянных А4 и В4 (/ = 1, 2, ..., п) по задан-
заданным функциям ч\0(х) и ^hC*) поступим следующим образом. Из A8)
и B0) следует, что
Aicospit+Bis\npit+fi(t)=
(/=1,2, ...)•
Полагая здесь /=0, мы определим А4 (/=1, 2, .. •); продифферен-
продифференцировав обе части предыдущего равенства по t и положив после этого
снова t = 0, мы определим Bi (/=1, 2, .. .)•
Таким образом, принимая во внимание B1), находим, что
(/=1,2, ...),
B4)
чем и заканчивается задача решения интегро-дифференциального урав-
уравнения C) при начальных данных B3) и B37).
Приведенный вывод формулы B2) является обоснованием так назы-
называемого метода Фурье, который в его обычной форме содержит
элементы произвольности, оставляет вопрос о существовании фунда-
фундаментальных функций открытым и требует в каждом конкретном случае
своего обоснования к posteriori. Укажем еще на то, что в методе Фурье,

204 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
в том виде, как его разработали и как им пользовались классики—Фурье,
Пуассон и позже Пуанкаре, — приходилось исходить из дифференци-
дифференциального уравнения колебания. Однако не всегда интегро-дифферен-
циальное уравнение C) может быть заменено эквивалентным диффе-
дифференциальным уравнением в частных производных с граничными условиями
(а при наличии сосредоточенных масс или сил, с дополнительными
условиями разрывности). Для этого необходимо, чтобы распределение
масс и возмущающих сил удовлетворяло ряду условий (существование
плотности, отсутствие бесконечного числа сосредоточенных масс и т. д.).
Следует подчеркнуть, что наше исследование интегро-дифферен-
циального уравнения C) с математической точки зрения не является
полным. Действительно, с помощью всего предыдущего анализа
мы только показали, что если существует решение интегро-дифферен-
циального уравнения C) при начальных данных B3) и B3'), то оно
единственно и выражается равномерно сходящимся рядом B2), где Ai
и Вг (/= 1, 2, ...) находятся из B4).
Можно поставить вопрос: каковы должны быть функции тгH(лт)
и щх (х) и возмущающие силы dQ (s), чтобы действительно существовало
решение уравнения C), удовлетворяющее начальным данным B3) и B3')
(при этом, конечно, следует уточнить, в каком именно классе функ-
функций требуется существование производной jp-J? Из B2) при *=
следует, что '
Это одно уже показывает, что в качестве функции rio(x) не может
быть выбрана любая непрерывная функция точки х, а только такая
функция, для которой обобщенный ряд Фурье в разложении по фун-
фундаментальным функциям <?i(x) (/=1, 2,...) сходится равномерно.
Кроме этого условия, функция ч\0(х), а также функция ч\{ (х) и диф-
дифференциал dQ(s9 t) должны удовлетворять целому ряду других усло-
условий, в силу которых функция у (х, t)y определяемая из B2), между
прочим, должна иметь вторую производную по времени.
Все эти вопросы с нашей точки зрения еще не исследованы доста-
достаточно полно, и мы их касаться не будем.
4. Случай пульсирующих внешних сил. Остановимся
подробней на том случае, когда система возмущающих сил имеет
пульсирующий характер (т. е. гармонически зависит от времени), что
математически записывается так:
dQ (s, t) = sin (pt+a) dQ]($).
Уравнение (З) можно будет теперь переписать так:
— J К (х, s) *у$ 3 do {s) -f F (x) sin (pt+ a), B5)

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 205
где
B6)
Попытаемся найти частное решение уравнения B5) в виде
y(x$t) — u(x)An(pt+a). B7)
После подстановки в B5) и сокращения на sin(pt-j~<x) получим
для и(х) следующее уравнение:
J, 8)tt(s)do(s). B8)
Предполагая, что частота р не совпадает ни с одной из собственных
частот, а следовательно, р2 не есть собственное число интеграль-
интегрального уравнения B8), мы получим решение а(х) этого уравнения
по формуле:
$(x, *; p*)F(8)do(s), B9)
где Т(х, s; X) есть резольвента нагруженного интегрального уравне-
уравнения B8) и, следовательно, удовлетворяет соотношению
Г (х, s; К) = К(х9 s) J- X f Г (*, г; К) К (г, s) rfa (г). C0)
s
Вставляя в B9) выражение для F(x) из B6) и пользуясь тожде-
тождеством C0) для резольвенты, легко получим после небольших пре-
преобразований, что
u{x) = JT(x, s; P*)dQ(s). C1)
8
Если теперь воспользоваться известным разложением резольвенты
положительно определенного ядра
которое в данном случае сходится абсолютно и равномерно при
любых х и тех $, где da (s) Ф 0, то мы получим также следующее
выражение для и(х):
где
f<fi(s)dQ(s) (/=1,2,...). C4)
Очевидно, что общее решение линейного интегро-дифферен-
циального уравнения B5) в силу его линейности может быть

206 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. TV
представлено в виде
у(х9 t) = u(x)sin(pt+a)+Y(x9 f), C5)
где Y(x, 0 есть решение соответствующего однородного уравнения
и, следовательно, имеет вид
00
Y(x, 0= 2(Atcosptt + B4sinptf)?<(*).
Для определения произвольных постоянных At и В* (/== 1, 2, ...)
по начальным данным B2) и B3) следует заметить, что
1, 2, ...), C6)
где
Пользуясь выражением C3) для и(х), мы можем представить
у(х, f) еще так:
оо
v(x, f)= V-MjCOS/^-j-B^sin/?^-] Ci 9sin(pt-{- a)) ^(x). C8)
К этому выражению можно непосредственно притти, пользуясь
общим методом, изложенным в п. 3.
Действительно, в рассматриваемом случае пульсирующей систе-
системы сил
U @ = / ?< W ^Q E> 0 = sin (/rf + а) [ ср, E) dQ (s) = ^ sin (p4t+ а)
(/=1, 2,...),
и следовательно, общее решение 7^(/)(/=1, 2, ...) уравнения A8)
имеет следующее выражение:
a C9)
0=1, 2, ...),
а так как
то мы снова приходим к C8).

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 207
Колебание, задаваемое уравнением B7), называется вынужденным
колебанием. Это колебание отнюдь не совпадает с колебанием конти-
континуума, первоначально находившегося в равновесии и затем приведен-
приведенного в движение рассматриваемой пульсирующей системой сил. Дей-
Действительно, как показывают формулы C6) и C7); при тH (х) ез щ (х) гэ 0
коэффициенты Аг и В{ (/=1, 2, ...) не могут одновременно все
быть равны нулю. Для объяснения названия «вынужденные колебания»
следует заметить, что практически колебания происходят при наличии
сил сопротивления. Если же допустить наличие сил сопротивления,
пропорциональных, например, первой степени скорости с очень малым
коэффициентом пропорциональности, то можно показать, что и в этом
случае колебание разлагается на два:
у(х, t) = «(*) sin ^+а)+Г(дг, t),
где и(х) и а будут мало отличаться от и(х) и а, в то время как
колебание Y(x, t\ мало отличаясь от колебания Y(x, t) в первые
моменты, с течением времени быстро затухает (по показательному
закону). Таким образом, практически по истечении некоторого про-
промежутка времени остаются всегда колебания, задаваемые первым членом
правой части уравнения C5). Эти колебания не зависят от начальных
данных, они вызваны и поддерживаются пульсирующей системой
внешних сил и поэтому естественно называются вынужденными коле-
колебаниями.
Рассмотрим теперь тот частный случай, когда на континуум дей-
действует только одна сосредоточенная в точке 5 пульсирующая сила:
F sin (pt-{- а). Тогда по формуле C1) амплитудный прогиб и(х)
вынужденного колебания, будет
Таким образом, мы получили следующую механическую интерпретацию
резольвенты:
Резольвента Т(ху si Р2) дает амплитудный прогиб в точке х
вынужденного колебания, вызванного сосредоточенной в точке s
пульсирующей силой с единичной амплитудой и частотой р.
5. Явление резонанса. Остановимся теперь на том случае,
когда частота р пульсирующей системы возмущающих сил совпадает
с одной из собственных частот р4 (/==1, 2, ...). Здесь могут пред-
представиться два случая:
1° Дифференциал dQ(s) не ортогонален ко всем амплитудным
прогибам собственных колебаний с частотой Pi — p, т. е. по крайней
мере одно из чисел
отлично от нуля.

208 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
В этом случае формула C8) теряет смысл, ибо в ней слагаемые,
соответствующие частотам pi — p, обращаются в бесконечность. Чтобы
получить правильную формулу колебаний для этого случая, заметим,
что уравнение
при pi=p имеет решение, даваемое не выражением C9), а выра-
выражением
Поэтому формула для колебаний запишется теперь так:
+ 2 (^cosp,/+i5,sinA/-|^cos^+a))cp,(x). D0)
Pi=p
Мы видим, что прогиб с течением времени неограниченно воз-
возрастает (явление резонанса).
2° Дифференциал dQ(s) ортогонален ко всем амплитудным про-
прогибам собственных колебаний с частотой pi = /?, т. е.
\ <?i(s)dQ(s) = 0 при всех /^~Р« D1)
s
В этом случае, как следует из формулы D0), сохраняется в силе
старая формула C8), если в ней опустить члены, где pi=p (с4 = 0).
В этом случае резонанса нет; иногда этот случай называют квази-
квазирезонансом.
Заметим, что если возмущающие силы сводятся к одной сосредо-
сосредоточенной пульсирующей силе, то, как показывают условия квази-
квазирезонанса D1), явление квазирезонанса наступит тогда и только
тогда, когда точка приложения силы является узлом для всех соб-
собственных колебаний с частотой /^=/?.
§ 2. Колебания сегментного континуума
и осцилляционные ядра
В том случае, когда континуум является сегментным (см. § 6 гл. III),
собственные колебания обладают рядом замечательных свойств. Отметим
из них в первую очередь следующие:
I. Частоты собственных гармонических колебаний все различны
между собой: р0 < рх < •..
II. Основной тон (р=р0) не имеет узлов.
III. J-й обертон (p=pj) имеет точно j узлов (/= 1, 2,...).
IV. В колебании, получающемся наложением собственных коле-
колебаний с частотами рк < рг < ... < рт, прогиб в любой момент

§ 2] КОЛЕБАНИЯ СЕГМЕНТНОГО КОНТИНУУМА И ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ЯДРА 209
времени имеет не менее k узловых и не более т нулевых мест
в 1A—множество подвижных точек континуума).
V. Узлы двух соседних обертонов перемежаются.
Все эти свойства, кроме V, были уже доказаны нами в главе Ш
с помощью теории осцилляционных матриц для того частного слу-
случая, когда вся масса, которую несет континуум, сосредоточена
в конечном числе его точек1)*
Переходя к общему случаю, напомним, что амплитудная функ-
функция 9 (х) собственного колебания с частотой р является фундаменталь-
фундаментальной функцией нагруженного интегрального уравнения
ь
s) D2)
и соответствует собственному числу Х = р2(см. § 1). Здесь ядро
К (х, s) @ <;*,?<;/) есть функция влияния континуума, которая
при обычных закреплениях концов континуума является осцилляцион-
ной (см. §§ 6—8 гл. III).
Для того чтобы сформулировать теорему, относящуюся к инте-
интегральным уравнениям D2), из которой непосредственно вытекают
осцилляционные свойства I — V континуума, мы предварительно дадим
определение осцилляционного ядра, к которому естественным образом
приходим, исходя из понятия осцилляционности функции влияния
континуума (см. определения 3 и 3' на стр. 170—173).
Здесь и в дальнейшем мы с каждым ядром К (х, $)(а^х, s^b)
будем связывать интервал /, содержащий: 1) все внутренние
точки интервала (а, Ь), 2) конец а в случае, если К {а, а)Ф0,
и 3) конец b в случае, если К (b, b) Ф 0.
При механической интерпретации интервал / представляет собой
совокупность всех подвижных точек сегментного континуума, прости-
простирающегося от а до д, для которого ядро К(х, s) (a <; х, s <; b) является
функцией влияния.
Определение 1. Ядро К(х9 s) (а < х, s<;b) называется осцил-
ляционныму если выполняются следующие три условия:
1° К(х, s)>0 при *,*€/, [х, s} Ф {а, Ь) % D3)
S2...
"тХ*)>0 при
1) При этом свойство IV было там доказано в более слабой формули-
формулировке (см. теорему 8 гл. III, стр. 192).
2) {х, s} Ф {а, Ь} означает, что х и s не могут одновременно равняться
двум концам интервала а и Ь. В случае симметрии ядра это можно записать
и так: C<J ^1
14 Зак. 1951. Гантмахер я Крейн.

210 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Проведем некоторый анализ условий 1°, 2°, 3°.
Из непрерывности ядра К(х, $) в замкнутом интервале [а, Ь]
непосредственно следует, что неравенство D4) сохраняет силу и тогда,
когда а<*!,$! и xn,sn^,b.
Совсем нетривиальным является тот факт, что из неравенств 2°
и 3° следует возможность расширения неравенства 3°, а именно, мы
покажем, что это неравенство имеет место для любых точек хх <
< х2 < t • • < хп из ^ При этом дополнительного рассмотрения
требуют лишь случаи, когда хх = а или хп = Ь или одновременно
хх — а, хп = д. Пусть, например, хх — а € /, т, е. К (а, а) Ф 0. Дока-
Докажем, что символы Фредгольма положительны:
К
(а х2 ... хп\ о (а<х2<...<хп<Ь). D6)
\а х2-..хп/
Будем вести доказательство по индукции относительно порядка п
символа Фредгольма. При п = 1 неравенство D6) сводится к нера-
неравенству К (ау а)>0, которое, согласно условию, выполняется. Допу-
Допустим, что неравенство D6) справедливо для символов порядка п — 1
и что в то же время, вопреки тому, что мы хотим доказать, суще-
существуют такие числа (а <)с2 < ... < fn« b), что
Выберем число сх так, чтобы а < сх < с2, и положим а = с0.
Тогда, в силу 2°, матрица
является вполне неотрицательной. В то же время, в силу 3° и пред-
предположения индукции,
(
0) 1с,...сп^сЛ
СХ ... Сп
Применяя лемму 3 гл. II (стр. 120), заключаем
\сх с2 ... cj
что невозможно, в силу D5).
Таким образом, справедливость неравенств D6) установлена. Со-
Совершенно аналогично проходит доказательство неравенств D6) в слу-
случаях, когда хп = Ь€1 или когда хх = а € /, a xn = b€L
Таким образом, из неравенств 1°, 2°, 3° следуют неравенства:
1. К(х9 s)>0 (x,st/, {x, s} Ф {a, b}). D7)
2. К\
D9)

§ 2] КОЛЕБАНИЯ СЕГМЕНТНОГО КОНТИНУУМА И ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ЯДРА 211
Такими неравенствами определялась осцилляционность функции
влияния в § 6 гл. III. Из этих неравенств на основании критерия осцил-
осцилляционности матрицы (§ 7 гл. II) вытекает следующее эквивалент-
эквивалентное определение осцилляционного ядра (см. аналогичное утверждение
на стр. 173).
Определение 1/. Ядро К(х, s) (а<;х, s<;b) называется осцил-
ляционним в том и только в том случае, если для любых точек
xl9 x%, ..., хп из /, среди которых имеется по крайней мере одна
внутренняя1), матрица
является осцилляционной.
Отметим еще, что для произвольного осцилляционного ядра имеет
место следующее предложение, которое было нами установлено
в гл. III (стр. 185) для осцилляционной функции влияния:
Если К(х, s) (а <; х, s <; b) — осцилляционное ядро, то всегда
(хгх, ... хп\ fxi,s1<x2ts2<...<xntsn\
\sls2...sn) \xh ...,х„> sif ...,sn6/ /
В справедливости этого утверждения убеждаемся, повторив
дословно соответствующее доказательство, приведенное на стр. 186
для осцилляционной функции влияния.
Теперь мы имеем возможность сформулировать следующие основ-
основные свойства нагруженного интегрального уравнения вида
ь
tf(x, s)<?{s)da(s) E1)
с непрерывным симметрическим осцилляционным ядром К(х, s)
(а^х, s ^ Ь), из которых непосредственно вытекают осцилляцион-
ные свойства I — V сегментного континуума при произвольном
(дискретном, сплошном и комбинированном) распределении масс:
а) Собственные числа уравнения E1) все положительны и
простые: 0 < Хо < Хг < Х2 < ...
б) Фундаментальная функция <?0(х), соответствующая наи-
наименьшему собственному числу Хо, не имеет нулей в интервале 1.
в) При любом у = 1, 2, ... фундаментальная функция <fy(*),
соответствующая j-му по величине собственному числу kj, имеет
точно j узлов в I и никаких других нулей в интервале I не имеет.
г) При любых целых k и т @ <&</») й произвольных числах
съ си+ь • • •> ст1 2 c2i > 0 \ линейная комбинация <р (х) = #2 *<?<(*)
имеет в интервале I не более т нулевых мест и не менее k
узловых мест.
х) Эта оговорка существенна лишь при п « 2.
14*

212 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
д) Узлы двух соседках фундаментальных функций fy(**) tt
Ъ+i (*) (/ ^ 1> 2, •..) перемежаются.
В следующем параграфе мы установим свойства а)—д) для слу-
случая повсюду нагруженного сегментного континуума, т. е. для того
случая, когда do Ф О во всех точках интервала (а, Ь) (функция о ($) не
имеет интервалов постоянства в (а, ЬI). В этом случае при доказа-
доказательстве свойств а) — д) из трех определяющих условий 1°, 2° и 3°
осцилляционного ядра используются только условия 2° и 3° (см.
определение 1). При этих двух условиях для обычных интеграль-
интегральных уравнений (Л = Л) свойства а) — д) были установлены Кел-
логом [22а, б].
Таким образом в случае, когда всюду do Ф О, осцилляционные
свойства интегрального уравнения E1) устанавливаются для формально
более широкого класса ядер, нежели осцилляционные, — для ядер
Келлога. Однако следует* обратить внимание на то, что это
расширение класса ядер при переходе от осцилляционных ядер
к ядрам Келлога может оказаться фиктивным, так как до сих пор
не известно ни одного примера ядра, для которого выполнялись бы
неравенства D4) и D5) и не выполнялось бы неравенство D3).
Другими словами, все известные ядра Келлога одновременно являются
и осцилляционными. Более того, установлено [24ж, 27], что при
некоторых общих условиях (именно, если ядро Келлога есть так на-
называемая функция Грина какого-либо линейного дифференциального
уравнения при каких-то граничных условиях) такое ядро обязательно
осцилляционно.
В самом общем случае, при произвольной монотонно неубываю-
неубывающей функции o(s) осцилляционные свойства а)—д) интегрального
уравнения E1) с симметрическим осцилляционным ядром будут уста-
установлены в § 4 (теорема 5). При этом будут существенно использо-
использованы все три определяющих условия осцилляционного ядра (опреде-
(определение 1).
В заключение отметим, что в настоящей книге мы ограничились
рассмотрением симметрических ядер, поскольку только с такими
ядрами приходится иметь дело в вопросах колебаний консервативных
механических систем. Однако все осцилляционные свойства а) — д)
имеют место и для интегральных уравнений с непрерывным несим-
несимметрическим осцилляционным ядром [8]. Это обстоятельство позво-
позволило обнаружить [24к, л] существование обширного класса несамосо-
несамосопряженных краевых задач любого порядка п ^>2 со спектром и фун-
фундаментальными функциями, обладающими свойствами а) — д).
Все это стало возможным после того, как соответствующие
результаты были получены в более простом случае — для самосопря-
самосопряженных краевых задач [24г — и].
г) В этом случае, формулируя свойство г)» можно вместо «нулевых мест»
и «узловых мест» говорить о «нулях» и «узлах» функции <р (х).

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 213
Кстати, заметим, что самому Келлогу оставалось неизвестным,
что функция влияния (функция Грина) многочисленных самосопряжен-
самосопряженных задач (Келлог рассматривал только симметрические ядра) при-
принадлежат к классу рассмотренных им ядер.
§ 3. Осцилляционные свойства колебаний повсюду
нагруженного континуума
1. Введем предварительно некоторые понятия.
Напомним (см. гл. III, стр. 162), что непрерывные в [а, Ь] функции
?оD ?iD •••»?»-iW образуют систему Чебышева внутри
интервала {а, Ь), если при любых числах с4 (/==0, 1, ...,п—-1;
п—1 w—1
функция ^с^(х) имеет не более чем п—1 нулей
внутри интервала (а, Ь).
С понятием системы Чебышева тесно связано понятие о рядах
Маркова. Эти ряды функций играли фундаментальную роль в иссле-
исследованиях академика А. А. Маркова о предельных величинах интегралов
[33а, 6], в которых впервые были установлены многие важные их свойства.
Определение 2. Ряд функций (конечный или бесконечный)
<PoW> ?i(*)> %(*)>•••
мы будем называть рядом Маркова внутри интервала {а, Ь), если
для любого п (п = 1, 2, ...)*) Функции <ро (*)> ?i (*)> • • •> Уп-1 (х)
образуют систему Чебышева внутри (а, Ь).
Из леммы 2 гл. III (стр. 163) непосредственно следует, что ряд
функций ср0 (х)у vt (х), ... тогда и только тогда будет рядом
Маркова, когда все определители
\Xi X2 ... Xn I
E2)
отличны от нуля и одного знака еп (л=1, 2, ...).
2. Для установления осцилляционных свойств колебаний в случае,
когда континуум повсюду загружен (любой отрезок континуума несет
положительную массу), докажем следующие две теоремы (ср. с [22а, б]):
Теорема 1. Если для непрерывного симметрического ядра
К(х, s) (а^х, $«<?) выполняются неравенства
s2 ... sn) \хх х2 ... x
(,<*<*¦<•••<*•<* « = 1,2,...),
1) Не превосходящего числа функций в ряду (если это число конечное),

214 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
а функция о {$) (а<; s <; b) монотонно возрастает, т. е. do ФО
всюду в (а, Ь), то
1° Все собственные числа интегрального уравнения
(x, s)<t(s)do(s) E4)
положительны и простые:
О < Хо < \г < Х2 < ...
2° Соответствующие фундаментальные функции
<Ро(*)> Ч\(х
образуют ряд Маркова внутри (а, Ь).
Теорема 2. Если ортонормированный ряд функций
ь
i(x)(?k(x)d°(x)=ibik,i,k = O, 1,...)
является рядом Маркова внутри {а, Ь) и do ФО всюду в (а, 6), то
1° Функция ч>о(х) не имеет нулей внутри (а, д).
2° Функция <?j(x) имеет ровно j узлов в (а, Ь) и никаких дру-
других нулей внутри (а, Ь) не имеет (/ = 1, 2, ...).
3° Для любых целых чисел k и т @ < fe Km) и произвольных
т
сг (i = k, k -f-1, ..., m\ 2 4 > 0) линейная комбинация <р (л:) =
m
= 2 ?<?* (Jc) имеет не менее чем k узлов и не более чем т нулей
внутри {а, Ь) {при этом каждая пучность засчитывается за два
нуля)\ в частности, если функция ср {х) имеет т различных
нулей внутри {а, Ь), то все эти нули являются узлами.
4° Узлы любых двух соседних функций <?j{x) и fy+i(*) пере-
перемежаются (/ = 1, 2, ...).
Прежде чем приступить к доказательству этих теорем, мы
установим некоторые вспомогательные предложения, которые могут
иметь и самостоятельный интерес.
3. Следующая лемма является аналогом теоремы Перрона для
случая симметрической матрицы (см. § 4 гл. II), эта аналогия сохра-
сохраняется и в самом доказательстве.
Лемма 1. Если в интегральном уравнении E4) для непрерыв-
непрерывного симметрического ядра К{х> s) {a^x, s^ib) выполняются
неравенства
К{х, *)>0, К(х, х)>0 {a<x7s<b), E5)

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 215
то наименьшее по абсолютной величине собственное число Хо
уравнения E4) положительно, является простим и не равно абсо-
абсолютным значениям остальных собственных чисел] фундаменталь-
фундаментальная функция %(х), соответствующая собственному числу Хо,
не имеет нулей внутри (а, Ь).
Доказательство. Мы будем пользоваться сокращенными обо-
обозначениями:
ь ь
К[% ?]= f ]>(*, s)*(x)<?(s)do(x)do(s),
а а
Ъ
а
На основании максимального принципа (см. стр. 201) интегральная
форма /С[ср, <р] на «сфере» (<р, <р)=1 достигает своего максимума ^0>0а)
на фундаментальной функции <?0(х) интегрального уравнения E4) и
этой фундаментальной функции соответствует наименьшее положи-
положительное собственное число Хп = —:
j*o = f = max К\ъ ?] = К[<?0, ср0] > 0, E6)
ь
?о (х) = Kf K{x9 s) cp0 (s) do (s). E7)
а
Покажем теперь, что функция ср0 (л:) не имеет нулей внутри (а, Ь).
Для этого заметим, что
|?оЬ 1?о1Ь E8)
Из максимального свойства числа jx0 = т- вытекает, что в E8) имеет
место знак равенства и, следовательно, функция | <р0 (х) | также является
фундаментальной функцией интегрального уравнения E4) и соответ-
соответствует тому же собственному числу Хо:
ъ
I %(*)I = хо J K(xf s)\9o(s)\do(s). E9)
a
Допустим теперь, что функция <р0 (х) обращается в нуль внутри (а, 6),
и обозначим через хг {а < хх < Ь) тот нуль функции <р0 (х), в любой
1) Если ср(д:)>0 (а<дг<^), то, в силу неравенств E5), К[ь <р]>0;
поэтому максимум ja I>0

216 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
окрестности которого имеются такие значения х9 для которых <р0 (х) Ф 0.
Тогда на основании неравенства К{хи хг) > 0 и непрерывности ядра
можно выбрать такое значение st вблизи хи что
К{*и Sj)>0> ?o(^)^°-
Мы приходим к противоречию, так как при x — xt левая часть равен-
равенства E9) равна нулю, а правая положительна (подинтегральное выра-
выражение неотрицательно в (я, Ь), а при s = sx — положительно).
Таким образом доказано, что произвольная фундаментальная
функция, соответствующая собственному числу Хо, не имеет нулей
внутри (а, Ь).
Из доказанного сразу следует, что фундаментальные функции,
отвечающие числу Хо, сохраняют знак в (а, Ь) и потому среди этих
функций нет двух ортогональных между собой, т. е. Хо<—простое
собственное число.
Далее, из максимального принципа следует, что Хо меньше всех
других положительных собственных чисел интегрального уравнения E4),
Покажем, что
где X'—любое отрицательное собственное число. Обозначим через 6 (л*)
нормированную фундаментальную функцию, соответствующую собствен-
собственному числу X':
ъ
<t (х) = У J K(X, s) ф (s) da (s) [(ф, ф) = 1]. F0)
п
Отсюда
ь
№ (х) | < | *' I J К(х, s) I «1» (s) | do (s). F1)
а
Заметим, что в соотношении F1) имеет место знак < при любом
значении л; (а<*<#), для которого $(х)Ф0. Действительно, в про-
противном случае при этом фиксированном значении х произведение
К(х, s)ty(s) не должно было бы менять знак в (а, д). При s = x это
произведение имеет тот же знак, что и число ф (х), так как К(х, х) > 0.
Но тогда интеграл, стоящий в правой части равенства F0), имел бы
тот же знак, что и ty(x). Это невозможно в силу этого же равен-
равенства F0), поскольку X' < 0.
Умножая обе части неравенства F1) на |^(дг)|^о(лг) и интегрируя,
получим:
откуда следует Х0<|Х/|в
Лемма доказана.

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 217
Замечание. Лемма без изменения переносится на более общий
случай, когда аргументы х и s изменяются не в интервале, а в про-
произвольном я-мерном симплексе.
4. Введем теперь в рассмотрение ассоциированные ядра для
ядра К(х, s), по аналогии с ассоциированными матрицами (см. § 13 гл. I).
п-е ассоциированное ядро $п(Х} S) определим равенством
Каждая из точек J(=(xl9 x2, ..., хп) и S = (sl9 s2, ..., sn) пробе-
пробегает л-мерный симплекс Мп, определяемый неравенствами
а < хх < х2 < ... < хп < Ь.
Если А' = (xv х2, ..., а:л) — внутренняя точка симплекса Жя, то
Отметим два свойства ассоциированных ядер, которые нам пона-
понадобятся в дальнейшем.
а) Если три ядра I((x, s), L(x, s) и N(x9 s) (a^x, s^d) свя-
связаны соотношением
ъ
N(x9s) = f K(x, QL(t, s)da(f)y
a
TO
*1-**)- f ... f if(*1-'')l('1-'")*(O...*(U F2)
т. e.
эгЛ(^,5)=|^п(^П2п(г,5)^(г) (л(Г)-лй)...л(д>. F20
ж*
В частности,
б) Если К®(х9 s) — ^-е итерированное ядро для К{х, s):
то
т, е. п-е ассоциированное ядро от q-го итерированного равно q-му
итерированному от п-го ассоциированного,

218 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Утверждение а) следует из интегрального тождества для двух
систем функций ф4 (f), ..., tyn (t) и Xi (t), ..., tn (t):
/A ( 'rt| Д n I do (/j)... do (tn) =
\ t\ ... tn) \h ...tn J
-^/•••/AC;:::I1A(t.:";)rf3(/i)-rf6(g==
f, F3)
1
a
если в этом тождестве положить
i) (/=1,2,..., я).
Утверждение б) непосредственно вытекает из а).
Докажем теперь следующую лемму [55]:
Лемма 2. Если <?0(х), <j>i (¦*)» ?2D-"—полная ортонорми-
рованная система фундаментальных функций интегрального урав'
нения E4) с симметрическим ядром К (х, s) (а <; л:, 5 <! ?)
J^) (/ = 0, 1,2,...), F4)
а
то функции
А (Л)-А("»**-М ( °<^<^<-<'- ) F5)
образуют полную ортонормарованную систему фундаментальных
функций интегрального уравнения с ассоциированным ядром
(do(S) = da(st)da(s2) ...do(sn)). F6)
При этом
ИЛИ
S). F70

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 219
Таким образом, всевозможные произведения ц Хг- .. Л* (О <;
<С h <*2 < • • • < гю) по п из чисел Хо, Х1? Х2, ... образуют полную
систему собственных чисел уравнения F6).
Доказательство. Положим в интегральном тождестве F3)
¦* @ - * (*» 0, х*(<) = bk С) (* = 1, 2,..., я).
Тогда сразу из F4) получим F7).
При помощи того же интегрального тождества F3) легко про-
проверяется ортонормированность функций F5).
Остается доказать полноту системы функций F5).
Рассмотрим сначала случай, когда K(x9s)— положительно опре-
определенное ядро (между прочим, только этот случай будет встречаться
в дальнейшем).
Возьмем разложение Мерсера
Из него легко получаем:
/хгх2...хп\
ИЛИ
Если бы система фундаментальных функций F5) интегрального
уравнения F6) не была полной, то существовала бы фундаментальная
функция этого интегрального уравнения, ортогональная ко всем функ-
функциям F5). В силу F8) эта функция должна бы быть ортогональной
к самому ядру ®n(X,S), что невозможно.
В общем случае, когда ядро K(x9s) не является положительно
определенным, мы рассмотрим итерированное ядро
к
которое является положительно определенным. Ядра К (х, s) и К^ (х, $)
имеют одну и ту же полную систему фундаментальных функций <р0 (#),
?i(*)> ТгС*)» • • • Поэтому на основании предыдущего имеет место
полнота системы функций F5) относительно ядра $®(X,S). Так как
ядра $n(X,S) и &W(X,S) имеют одни и те же фундаментальные
функции, то система фундаментальных функций F5) является полной
и по отношению к ядру ®п(Х, S).
Лемма доказана.

220 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
5. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим я-е ассоци-
ассоциированное ядро (л = 1, 2, .. .).
) (,) F9)
Неравенства E3) показывают, что это ассоциированное ядро удовле-
удовлетворяет условиям леммы 1 (см. замечание к этой лемме).
Перенумеруем собственные числа интегрального уравнения E4)
в порядке неубывания абсолютных величин: | Хо | ^ | Xj | ^ | Х21 ^ ...,
и соответствующие ортогональные между собой фундаментальные
функции обозначим через <ро (*)> 9i (х)> ?а \х)> • • •
Тогда (см. лемму 2) собственными числами ассоциированного
ядра F9) будут всевозможные произведения по п из Хо, Xt, Х2, ...;
наименьшим из них по абсолютной величине будет произведе-
произведение XqXj ... Xn_t. Собственному числу \0\{ ... Хм_, соответствует
фундаментальная функция
G0)
xtxt...xn I
Применяя лемму 1 к ассоциированным ядрам, мы сможем утверждать:
14 11 1 **sNk. (\* 1 11 ^" 1 1 1 II (pi i 1 О 4 м
1J *vjA^ • • • Л^__^ „^ ", Лл • • • ^^j_2 w — 3 ^* I 0 * " * tl 2 1Ь I \ """"~ ' ' * * • /
2) все определители G0) при а < jcj < л^2 < • • • <¦*«<* отличны
от нуля и одного знака.
Из 1) следует: 0< Хо< \х < Х2< •.., а из 2) вытекает, что
функции ф0 (jc), ср 1 W> <?2 (х)> • • • образуют рад Маркова внутри интер-
интервала (а, Ь).
Теорема 1 доказана.
6. Доказательство теоремы 2. Докажем сначала предло-
предложение 3°. Согласно условию теоремы, функции уо(х), <pt (x),.. .,?*»(*)
образуют систему Чебышева внутри (а, Ь). Поэтому функция <р(х) =
т
— 2 c*?i W имеет не более чем т нулей внутри интервала (ау Ь\
считая каждую пучность за два нуля (см. следствие на стр. 164).
Пусть функция ср (х) имеет всего р узлов Ьх < &2 < ... < Чр
внутри (а, Ь). Покажем, что p^k. Для этого определим функцию ф (х)
равенством
Из того, что все определители E2) при # = p-f-.l отличны от
нуля и имеют один и тот же знак гр+и следует, что функция ty(x)
отлична от нуля при х-фЪь 52» • • -ЛР и меняет знак при переходе
через каждую из этих точек.
Таким образом функции ср (х) и ty (x) имеют одни и те же узлы Е15
h> • • • > %р и> следовательно, (<р ф) Ф 0,

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 221
Отсюда следует: p^>k> т. е. число узлов функции у(х) не
меньше k.
Предложение 3° доказано полностью.
Предложение 2° получается из 3°, если положить там k = m=j.
Предложение 1° непосредственно следует из условия теоремы.
Доказательство 4° основывается на следующей лемме:
Лемма 3. Если две непрерывные в интервале (а, Ь) функ-
функции f(x) и g(x) обладают следующими свойствами:
1. Функции f(x) и g(x) имеют соответственно р и p-fl
узлов в (а, Ь) и никаких других нулей внутри (а, Ь) не имеют.
2. При любом t число нулевых мест в {а, Ь) функции ft{x) —
=/(л:) — tg(x) заключено в пределах от р до р + 1 и все эти
нулевые места являются узловыми^ то нули функций f(x)
и g(x) перемежаются.
Доказательство. Пусть (а<) а2< аа<... <«:Р+1« Ь) суть
узлы функции g (х). Эти узлы разбивают весь интервал (а, Ь) на р 4~ 2
интервалов
К<*м) (* = 0, 1,...,
Внутри каждого из интервалов G1) функция
непрерывна и монотонна (т. е. не убывает или не возрастает).
Непрерывность функции ф(*) внутри интервалов G1) следует из
того, что внутри этих интервалов нет нулей знаменателя g(x).
Допустим теперь, что функция ф (х) не монотонна в каком-либо
интервале (с^, ot*+1).
Тогда внутри этого интервала найдутся три точки хг < лг2 < х%
такие, что
— ¦ W1 < 0. G2)
Не нарушая общности рассуждений, мы можем принять, что ф (л^) <
< Ф (*2)*)• Тогда: ф (*8) < ф (х2).
Поэтому наибольшее значение функции ф(лг) в замкнутом интер-
интервале [х19 хъ] достигается в некоторой внутренней точке х0 этого ин-
интервала, причем это наибольшее значение t0 — ф (л:0) отлично от ф (xj
и ф(л^8). Тогда функция
сохраняет знак в окрестности того своего нулевого места, коюрому
принадлежит х = х0. Но тогда это нулевое место не будет узловым
*) В противном случае мы поменяли бы знак у одной из функций / (лг),
g(x) и, следовательно, у ф(*).

222 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [Г/Г. IV
и для функции
поскольку функция g(x) сохраняет знак внутри (о^, a^+i). Мы пришли
к противоречию. Таким образом доказано, что функция ф (х) монотонна
внутри каждого из интервалов (<х4, а*+1).
Из монотонности функции <J> (*) вытекает существование конечных
или бесконечных ( = ±:со) пределов
lim <
lim i
a->a,.—-О
0,
*) —*Г (/=1,2, .... р+2;
Докажем, что ни один из внутренних пределов
IT, it (/-I, 2, ...,р + 1) G3)
не может иметь конечного значения. Допустим противное. Пусть, напри-
например, при некотором i A <;*<!/? + 1) предел 17 имеет конечное значение.
Это возможно лишь тогда, когда /(а^ = О, т. е. когда щ является
а)
Черт. 3.
общим узлом функций f(x) и g(x). В этом случае при переходе через
х = сс| функция ^ (*) не меняет знака, и потому оба предела IT и it
имеют один и тот же знак. Здесь могут представиться следующие случаи
(см. черт. 3): a) it имеет бесконечное значение, б) It имеет конечное
значение и if Ф it, в) tj~ = lt% и при переходе через х =» а4 не нару-
нарушается монотонность функции ф (•*)> г) IT = itt и в точке л: = at-
функция ф(дг) имеет экстремальное значение.

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ПОВСЮДУ НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 223
В случаях а), б), &) можно так выбрать число tu чтобы в окрест-
окрестности точки х = о^ график функции ф (х) располагался по разные
стороны от прямой у = tt (см. черт. 3). В этом случае функция
обращается в точке х = а* в нуль, но не меняет знак при переходе
через эту точку, что невозможно, поскольку все нулевые места функ-
функции Д (а:) должны быть узловыми.
В случае г) мы полагаем tx = IJ" = н» Сдвигая несколько прямую
y = tt (до положения y = t^)9 мы сохраняем все узлы функции Д(#)
и приобретаем два новых узла (см. черт. 3, г), что опять же невоз-
невозможно, так как число узлов каждой из функций Д(#) Д(#) ко-
колеблется в пределах от р до р-\- 1.
Таким образом показано, что внутренние пределы G3) бесконечны.
Отсюда следует, что между двумя соседними узлами аг и а,+1(/ =
f (х)
= 1, 2, ..., р) функции g(x) функция 4>(#)=iy4 монотонно изме-
изменяется от — оо до -\- оо или от + °° до — °°> и, следовательно,
в некоторой промежуточной точке ^(«i<^<«*+i) Функция ty(x),
а значит, и f(x) обращается в нуль:
/Ф<) = 0 (а, < h < ai+1) (/=1,2,..., р).
Лемма доказана.
Возвратимся теперь к теореме 2. Очевидно, что, в силу доказан-
доказанных предложений 2° и 3°, при любом j (J = 1, 2, ...) функции <?j(x)
и <fy+i(.x;) удовлетворяют условиям леммы 3 и потому узлы этих функ
ций перемежаются.
Теорема 2 доказана полностью.
7. Из теорем 1 и 2 следует, что фундаментальные функции ин-
интегрального уравнения E4) при условиях теоремы 1 обладают свой-
свойствами 1°, 2°, 3J и 4° теоремы 2. Однако при этом остается откры-
открытым вопрос о том, когда фундаментальные функции обращаются в нуль
на концах интервала [а, Ь\.
Пусть К (а, а) = 0. Тогда из неравенства
следует:
К(а, s) = 0 (a<s<&).
Отсюда
ъ
K{a, s)<?n(s)do(s) = 0 («==0, 1, 2, ...).
Таким образом, в этом случае все фундаментальные функции обра-
обращаются в нуль на конце л: = а. Точно так же из K(t>, b) = 0 сле-
следует: срл (Ь) = 0 (л = 0, 1, 2, .. .)•

224 СИСГЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Пусть а€/, т. е. К (а, а)ФО. Тогда (см. предыдущий параграф)
(а<Хь<Хя< ... <хп<Ь). G4)
\а х2 ... xnj
Воспользуемся теперь равенством F7), положив в нем хг = a, ix = О,
1% = 1, ..., 1п=^ ft 11
?0 ?1 ••• <Pn-l\
Д ЛР2 . . . Хп )
-^)(*-М. G5)
Так как, по доказанному, функции <?0(х), ^(х), •.., 9n-i
образуют систему Чебышева внутри (а, д)у то все определители
отличны от нуля и одного знака. С другой стороны, если точки
sl9 ss, ..., sn выбрать достаточно близкими соответственно к точкам
а, хя, • •., хп, то, в силу непрерывности ядра К(х, s), из G4) будет
следовать
52 ... Sn
Поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства G5), отличен
от нуля, т. е.
a:2... хп
Точно так же, если ?€/, т. е. K{b, b) Ф 0, то
\ХХ Хъ . .. Хп-х О
и если а, ?€/, т. е. К(а,а)фО, К{Ь, Ь)ФО9 то
О (a<xt<xb<...<xn.l<b).
Таким образом, все определители
д / То Ti ••• <Pw-i \
\ «^1 «^2 • • • хп I
отличны от нуля и одного знака при любых х1 < х% < •.. <Цхп
из /, т. е. (см. лемму 2 гл. Ill, стр. 163) функции <р0 (х), <pi (х),..., ^.^(л:)
образуют систему Чебышева в интервале /. Отсюда следует, что
т
любая линейная комбинация <р(лг)= 2 с<?< W не может иметь более т
i0

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЁННОГО КОНТИНУУМА 225
нулей не только внутри (а, 6), но и в интервале /. В частности,
функция ?Дл;), поскольку она имеет J нулей внутри (а, b) (j узлов),
не может обращаться в нуль на конце х = а, если а € /, т. е. К{а, а) Ф О,
и на конце х = Ь, если b €/, т. е. К (b, b) Ф 0.
Все сказанное здесь вместе с теоремами 1 и 2 дает следующую
основную теорему, из которой непосредственно следуют осцилляциои-
ные свойства I—V (см. § 2) повсюду нагруженного континуума.
Теорема 3. Если для непрерывного симметрического ядра
К(х, $) (а < лг, s < Ь) выполняются условия Келлога
(n=h 2,...),
а функция o(s) (a-tCs^Cb) монотонно возрастает, то нагружен-
нагруженное интегральное уравнение E4) обладает следующими свойствами:
1° Все собственные числа уравнения E4) положительны и
простые:
0 < Хо < I, < Х2 < ...
2° Фундаментальная функция <?0(х), соответствующая наи-
наименьшему собственному числу Хо, не имеет нулей в интервале I.
3° Фундаментальная функцияcfy-(л:), соответствующая}-\~\-му
по величине собственному числу Xjy имеет ровно j узлов в (а, Ь) и
никаких других нулей в интервале I не имеет (/ = 1, 2,...).
4° При любых целых k и т (O^k^ m) и произвольных
т т
числах с4 (I = A, k 4-1,. •., щ 2 4 > 0) функция <р (#) =2 ci^i {x)
имеет не более чем т нулей в интервале I и не менее чем k
узлов в (а, Ь).
5° Узлы двух соседних фундаментальных функций <?j(x) и
?i+i (х) перемежаются (/ = 1, 2,...).
Эта теорема устанавливает осцилляционные свойства сегментного
континуума I — V (см. предыдущий параграф) для случая, когда <1<зфО
всюду в (а, Ь), причем в этом случае свойство IV имеет место в уси-
усиленной форме (см. 4° теоремы 3).
§ 4. Колебания произвольно нагруженного континуума
В этом параграфе мы установим осцилляционные свойства а)—д
(см. § 2) интегрального уравнения
ъ
<р (х) = X J K(x, s) <р (з) da (s) G6)
а
с непрерывным симметрическим осцилляционным ядром К (х, s) в самом)
15 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

226 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
общем случае, для произвольной неубывающей функции о (s), и тем
самым мы установим осцилляционные свойства произвольно нагружен-
нагруженного континуума (с дискретным, сплошным и комбинированным рас-
распределением масс). При этом будут существенно использованы все
три определяющих условия осцилляционного ядра (см. определение 1
на стр. 209).
Мы покажем, как должны быть видоизменены и обобщены поня-
понятия и предложения предыдущего параграфа для рассматриваемого
общего случая.
1. До сих пор мы под интервалом / понимали интервал, полу-
получающийся из замкнутого интервала [а, д] путем исключения «непо-
«неподвижных» концов, т. е. конца а, если К (я, я) = 0, и конца Ь, если
К (Ь, 6) = 0.
Если К(х, s) (а^.х9 s^.b)— положительно определенное ядро
(а таким всегда является симметрическое осцилляционное ядро), то
= № а) К(х,х) — К*(а,х)>0 (а <
Отсюда из К (а, а) = 0 следует тождество К (а, х) = 0 {а < х <! Ь).
Аналогично из К (Ь, Ь) = О вытекает тождество К(Ь, х) = О
<<)
Если же ядро К(х, s) не является положительно определенным,
то, например, условия К (а, а) = 0 и К (а, х) = 0 (а<л:<?) могут
быть уже неравносильными.
Мы теперь видоизменим определение интервала / и будем считать,
что интервал / содержит все точки замкнутого интервала [a, b\ за
исключением точки а — в случае, если К {а, л:) = 0 (а<л;<?), и
точки b — в случае, если К (Ь, х) = 0 (а <; х <; Ь).
Для симметрического осцилляционного ядра новое определение
интервала / совпадает со старым» В то же время для формулиров-
формулировки вспомогательных предложений, в которых не предполагается
осцилляционность ядра, видоизмененное определение является более
удобным.
Обозначим через /д совокупность веек точек из /, являющихся
точками роста функции о (s). В дальнейшем всегда предпола-
предполагается, что множество /„ не является пустым.
Теперь вместо леммы 1 предыдущего параграфа докажем следую-
следующую лемму.
Лемма 4. Если для непрерывного симметрического ядра K(x,s)
выполняются условия
№ s)>0 (a <*,*<*), G70
К(х, s)>0 (х
то наименьшее по абсолютной величине собственное число Хо

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 227
интегрального уравнения G6) является положительным, простым
и отличным от абсолютных величин всех других собственных
чисел этого уравнения. Соответствующая этому числу Хо фун-
фундаментальная функция % (х) не меняет знака в {а, Ь) и отличнг
от нуля на 19.
Доказательство. Как и в лемме 1, положим
— = ^0= шах
Отсюда, в силу G7') и G7"), следует: А0>0. Обозначим через <?0(х)
нормированную функцию, на которой достигается этот максимум.
Тогда, на основании максимального принципа, функция сро(дг) является
фундаментальной для X = Хо:
ь
?о (*) = К j К (*> *) <?0 (в) do (в). G8)
а
Как и в лемме 1, из соотношения К?ср0, <?0]<;К I|<?оН?оII заклю-
заключаем, что
Т? = Л>
и, следовательно, снова в силу того же максимального принципа,
ъ
I % (*) I = *о J К (х, s) | ?0 (s) | do (s). G9)
а
При этом обращаем внимание на то, что в интегралах, стоящих в равен-
равенствах G8) и G9), следует учитывать только те интегральные слагае-
слагаемые, которые соответствуют точкам роста функции о($)у принадле-
принадлежащим /0. Действительно, если, например, точка а, будучи точкой
роста, не принадлежит к 1а, то соответствующие слагаемые в этих
интегралах К (х, а) <р (a) da я К (х, а) \ <р (а) | do равны нулю, в силу
имеющего место в данном случае тождества К (а, дг) = О (а^лг <^#).
Функция <ро(лг) не может равняться нулю в какой-либо точке х€1а9
так как тогда, в силу G7), из равенства G9) следовало бы, что
фо($) = О для всех s €/в и, следовательно, согласно G8), функция
%(х) должна тождественно равняться нулю.
Далее, из сопоставления равенств G8) и G9) заключаем, что
в интеграле
ь
/¦
подинтегральная функция К(х, s)yo(s) при фиксированном произволь-
произвольном х (а^х^Ь) не меняет знака, когда s пробегает /а. Если мы
теперь возьмем *€/„, то, согласно G7"), отсюда следует, что все
значения функции o0(s) на /а имеют один и тот же знак. В силу
15*

228 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
равенства G8) этот же знак имеет значение функции <?0(х) в произ-
произвольной точке х, если только это значение не равно нулю,
Таким образом доказано, что фундаментальная функция уо(х) не
меняет знака в (а, Ь) и отлична от нуля на /в. Отсюда следует, что
две такие функции не могут быть ортогональны друг другу, т. е.
Хо — простое собственное число.
Доказательство того, что \0 < 1X' |, где X' — любое отличное от Хо
собственное число, проводится совершенно аналогично тому, как это
сделано в лемме 1. При этом только неравенство а < х < b заменяется
соотношением х€10, а неравенства E5) — неравенствами G7).
Замечание. Лемма без изменения формулировки и доказатель-
доказательства переносится на более общий случай, когда аргументы х и $ про-
пробегают вместо интервала [а, Ь] некоторый «-мерный симплекс. В этом
случае под / следует понимать совокупность точек, которая полу-
получается из данного «-мерного симплекса, если из него выбросить те
граничные точки с, для которых имеет место тождество К (с, х) = 0.
Отметим еще следующее обстоятельство. Лемма не охватывает
того случая, когда оба конца а и b континуума являются подвижными,
в любой окрестности каждого из них имеются массы и /С (а, 6) = 0
(см. стр. 169).
Между тем, утверждения леммы остаются справедливыми и для
этого случая, если только предположить наличие каких-либо масс
внутри континуума.
Поэтому мы приведем вторую формулировку леммы с несколько
измененными условиями.
Лемма 4'. Если для непрерывного симметрического ядра К (х, s)
С, s^b) выполняются условия
K(x,s)>0 (а<*,*<6), (80')
K(x,s)>0 (x,sZlc> a<$<b), (80")
и функция о (s) имеет по крайней мере одну точку роста внутри (a, ft),
то наименьшее по абсолютной величине собственное число Хо инте-
интегрального уравнения G6) является положительным, простым и отлич-
отличным от абсолютных величин всех других собственных чисел. Соот-
Соответствующая фундаментальная функция <р0 (а:) не меняет знака в (а, Ь)
и не имеет нулей на /в.
Доказательство в точности подобно доказательству леммы 4.
Следствие. Если в лемме 4' заменить условие (80") усилен-
усиленным условием
„ a<s<b), (81)
то можно утверждать, что функция <ро(лг) не имеет нулей
в интервале I.
Действительно, подставляя в G8) произвольное #€/, согласно (81)
получим: <ро(лг) =?0.

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 229
2. Для дальнейшего нам необходимо несколько обобщить понятия
о системе Чебышева и ряде Маркова (см. § 5 гл. II и § 3 гл. IV).
Определение 3. Будем говорить, что функции <р0(х), <Pi (х),...
¦ ••> Ти-iW образуют систему Чебышева в интервале I относи-
Я—1
темно /„ если при любых сг (/ = 0, 1, ..,, п — 1; 2 4>0)функ-
ция 2 с&4 (х) в интервале / меняет знак не более чем п — 1 раз и
4о
4=о
на множестве 10 имеет не более п — 1 нулей.
Определение 4. Ряд функций
называется рядом Маркова в интервале I относительно /в, если при
любом /1=1, 2, ... функции уо(х), <$х(х), ..., ?n-i(Jc) образуют
систему Чебышева в / относительно /а.
Для формулировки дальнейших предложений нам удобно будет
внести следующее обозначение: для любого я=1, 2, ... через/™
обозначим совокупность всех тех точек Х=(хи х2, ..., хп) из
Мп {X € Мп9 если а ^ х^ ^ х2 <! ... <] уп <16), у которых каждая
из координат xi (/= 1, 2,..., п) принадлежит /а.
Следующая лемма представляет собой обобщение леммы 2 гл. III
(стр. 163).
Лемма 5. Для того чтобы функции ф0 (х), ъг (х),..., ©n-1 Ос)
составляли систему Чебышева в 1 относительно /а, необходимо и
достаточно, чтобы определитель
) (82)
«^ менял знака в Мп и был отличен от нуля на 1%.
Доказательство. В самом деле, если определитель (82) не
меняет знака в Мп9 то, согласно лемме 4 (стр. 167), функция ?(*) =
«—1 /го—1 Ч
8=8 2 ci'*i W ( 2 с? > 0) может менять знак в (а, Ь) не более чем
й — 1 раз. С другой стороны, <р (д:) не может обращаться в нуль в п
точках xv х2, ..., хп из /0, так как тогда соответствующее значение
определителя (82) равнялось бы нулю.
Из той же леммы следует таким же образом и обратное пред-
предложение.
Следствие. Если функции 90 (> )> ?i (х), • • •> ?n-1 (¦*) образуют
систему Чебышева в интервале I относительно /0, г/го /грй произ-
п—1
^ > 0) и произвольных
точках хх < лг2 < ... <х8 из 19 максимальное число перемен знака

230 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
п~ X
функции <р(*) = 2 ci'?i(x) в лючках х19 х2, ..., х8, т. е. макси-
мальте число перемен знака в ряду *)
не превосходит п — 1. Утверждение этого следствия мы будем ко-
коротко формулировать так: максимальное число перемен знака функ-
ции <?(*)= S ci9i (х)\ 2 4 > 0 ) на /„ не превосходит п — 1:
Доказательство. Допустим противное, т. е. что существуют
такие п -|- 1 точек в /а
хг< х%<1 ... < xn+v
что при некотором целом h
(_1)ьи?(*.)>0 (/=1, 2, ..,, я+1). (83)
Тогда раскроем равный нулю определитель:
<Pt • • • Ъъ-\
Из леммы 5 и из (83) следует, что в стоящей здесь сумме нет
слагаемых разных знаков. В то же время одно из слагаемых заведомо
отлично от нуля, поскольку числа о C^i)? ? {х<д> • • • > ф (хп) не могут
одновременно равняться нулю, так как тогда был бы равен нулю опре-
определитель (82) при хх < х2 < i.» < хп из /а. Таким образом приходим
к противоречию. Следствие доказано.
3. Теперь мы отметим одно важное свойство осцилляционных ядер,
которое будет использовано в дальнейшем.
Пусть попрежнему
\$i s2 ... sn
обозначает символ Фредгольма для q-ro итерированного ядра
ъ ь
K(q)(x, $)^f,,.f K(x, tx)K{tv t2) ... K(tg_v s)d9(tt) ... do(tq_t).
a a
*) Определение максимального числа перемен знака в ряду чисел см. на
стр. 105.

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 231
Тогда справедливо утверждение:
Если К(х, s) (я О, s-tCfy — осцилляционное ядро, и функция
о (s) имеет по крайней мере п точек роста в /, то при q >> п >> 2
(84)
, пользуясь ассоциированным ядром, при q^n (см. стр. 217)
, 5)>0 (Jf, 5 6/?). (840
Доказательство, Пусть X = (л^, л:2, ..., хп) и 5 =
= Ej s2, •.., 5W)—две произвольные точки из /?. Тогда (см. § 3,
стр. 217)
<¦'¦>! ¦¦¦Ki-'d-
Vi ••• 'J \Ч •¦• sn
или
f, 5)-/...
q—1 раз
где
= i, 2,..., ?-
Подинтегральное выражение в (85) всегда неотрицательно. Покажем,
что можно так выбрать точки V, 7!, ..., 7* в /J, чтобы при
Ti = TV, ..., 7(г-.1 = Г^_1 подинтегральное выражение было поло-
положительно.
Для этого мы используем то обстоятельство, что для осцилляцион-
ного ядра всегда
f х2 ... хп
если точки хг < х2< ... < хп\ sx < s2 < ... < sn принадлежат / и
удовлетворяют условию:
*i, Si < л*2, s2 < ... < хм, sn. (87)
Данные нам две точки X = (xv х2, ..., хп) и 5 = (si9 s2, ..., sn)
взяты произвольно в /I1 и потому, вообще говоря, не удовлетворяют

232 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
условию (87). Покажем, что можно так выбрать промежуточные точки
Ti, ..., Tq_i из У?, чтобы каждые две соседние точки в ряду
«л> /i, /2? • • •> * q-Ъ *¦* \*ч)
удовлетворяли условию (87). Над каждым из данных чисел х{ поста-
поставим значок +, — или 0, в зависимости от того s4 > xi9 s{ < л^
или $4 = х{ (/=1, 2, ..., п). Тогда система чисел л^, л:2, .,., a:w
разобьется на последовательные «положительные», «отрицательные» и
«нулевые» группы чисел.
Теперь мы сможем сформулировать правило построения то-
точек Т*, Tl, ..., tJ_i следующим образом:
Точка Ti получается из X путем замены в каждой положительной
группе последнего, а в каждой отрицательной группе первого #-а на
соответствующее 5. Вообще точка т\ получается из X путем замены
в каждой положительной группе последних &, а в каждой отрица-
отрицательной группе — первых k я-ов на соответствующие 5; при этом,
если группа содержит /<А чисел, то заменяются, конечно, только
эти / чисел (k — 1, 2, ..., п).
Пример:
+ + 4- — — о
X = (ATj аг2 лг3 лг4 д;5 лг6),
X* /V v о с v о^
'1 — \л\ Л2 дЗ ^4 Л5 лв/»
71* f'v- с ос с с ^
i2 — v 1 2 63 64 5б *6/>
При этом всегда (не только в этом примере)
Из правила построения точек 74*,..., Г* t вытекает, что любые
две соседние точки в ряду (88) удовлетворяют условию (87) и, по-
поскольку все эти точки принадлежат У^, то при Тх = 7*,..., Tq_t = T* t
подинтегральная функция в (85) принимает положительное значение.
Отсюда следуют неравенства (84) и (84').
4. Теперь мы имеем возможность доказать теорему:
Теорема 4. Если К(х, s) (a^Cx, s^b) — непрерывное симме-
симметрическое осциллчционное ядро, а функция о (s) имеет по крайней
мере одну точку роста внутри (а, Ь), то
1° Интегральное уравнение G6) имеет бесконечное множество
собственных чисел, если функция o(s) имеет бесконечное число
точек роста в I. Если оке Уа содержит конечное число р точек,
то уравнение G6) имеет р собственных чисел.

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 233
2° Все собственные числа уравнения G6) положительны и про-
простые:
0<Х0<Я1<Х2<... (89)
3° Соответствующие фундаментальные функции
образуют ряд Маркова в интервале I относительно IQ.
Доказательство 1°. Если функция o(s) имеет всего р точек
роста sx < s2 < ... <^ в / со скачками т< (/= 1, 2, ..., р)в этих
точках, то интегральное уравнение G6) эквивалентно уравнению:
Т (*) = X ? * (*, **) /ВД (sk) (a < * < *). (90)
Давая здесь переменной х значения sl9 s2t ..., s^9 получим систему р
линейных алгебраических уравнений:
п
МР <*i) = S^ Ei> **) ^ft? (^) (l* = r) («= 1, 2, ..., я), (91)
с осцилляционной матрицей коэффициентов \\K(sif 5j)/»A||J. Величины,
обратные характеристическим числам этой осцилляционной матрицы
(число их равно р) и будут собственными числами интегрального
уравнения G6). Никаких других собственных чисел уравнение G6)
в данном случае не имеет. Значения фундаментальной функции в точ-
точках роста sl9 s29 ..., $р определяются из системы (91), а после этого
все другие значения находятся по формуле (90).
В рассматриваемом случае осцилляционные свойства собственных
чисел и фундаментальных функций могут быть получены как из тео-
теории осцилляционных матриц (гл, II и III), так и из общей теории
интегральных уравнений с осцилляционным ядром (см. ниже).
Если функция a (s) имеет бесконечное число точек роста, то
интегральное уравнение G6) должно иметь бесконечное множество
собственных чисел. В противном случае, из конечного ряда Мерсера
(см. § 1) следовало бы, что все главные символы Фредгольма доста-
достаточно большого порядка в точках роста равны нулю, а это противо-
противоречит осцилляционности ядра К(х, s).
Переходим к доказательству 2° и 3°. Перенумеруем соб-
собственные числа в порядке неубывания абсолютных величин, выписывая
каждое собственное число столько раз, какова его кратность:
Соответствующие фундаментальные функции обозначим через
» *t(*)» **(*)» ••• (92)

234 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Осцилляционное ядро удовлетворяет условиям леммы 4' и след-
следствия из этой леммы. Поэтому
0<Х0<|Х1| (93)
и функция 'fo(jc) не имеет нулей в /.
Рассмотрим сначала случай, когда o(s) имеет бесконечное мно-
множество точек роста. Тогда ядро ffl$(XyS) (X, S?Mn) для любого
п = 2, 3, . ,, и любого q^n удовлетворяет условию леммы 4, так
как
(X, SZM%
(X,
Поэтому (ср. аналогичные рассуждения при доказательстве теоремы 1)
..XL2X?| (л = 2, 3, ..., 0>д). (94)
Беря в качестве q нечетное число, мы из (93) и (94) получим нера-
неравенства (89). Кроме того, функция
(95)
является фундаментальной функцией ядра ffl$(X, S), отвечающей
наименьшему собственному числу X0\t.. Лп_г. Поэтому, в силу той
же леммы 4, при я>-2 определитель (95) не меняет знака в Мп и
отличен от нуля на /". Это имеет место и при п =? 1, когда Д = уо(х).
Согласно лемме 5, функции (92) образуют ряд Маркова в / относи-
относительно /0.
Если функция о (s) имеет конечное число р точек роста в /, то
все наши рассуждения сохраняют силу, пока п<р, т. е. для всех/?
собственных чисел и соответствующих фундаментальных функций
(см. 1°). Теорема доказана полностью.
5. Пусть
(96)
— полная ортонормированная система фундаментальных функций
интегрального уравнения G6) с осцилляционным ядром К(х9 s)
(а О, s*Cb), соответствующих собственным числам @ < ) Хо <; Xj <...
Так как функции (96) образуют ряд Маркова в / относительно /ff,
то определитель (95) не меняет знака в Мп и отличен от нуля на /Jf.
Множество точек X=(xv x2, ... хп)€Мп, для которых имеет
место неравенство
А Г**-*--1)* 0, (97)

§ 4]
КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА
235
в общем случае значительно шире, нежели /*. Из интегрального ра-
равенства
мп
(
(cm. F7) при /|8ssO9 /a= 1, ..., /w = #—1) вытекает, что неравен-
неравенство (97) имеет место в точке X=(xl9 х%, ..,, хп)€Мп тогда и только
тогда, когда существует точка 5 = (sv s2, ..., sn) € /^ такая, что
В частности, неравенство (97) имеет место для тех точек
Х=*(хи х2, ..., л:л) (^ < х2 < ... <хп из /), для каждой аз
которых можно подыскать такую точку S = (sl9 s2, ..., 5Л)
из /J, ^wo
A^l, *l < АГ2, 5а < . . . < АГЛ,5П. (98)
Если К (х, $) — функция влияния струны, то этим условием ис-
исчерпываются все точки X = (х1У х& ..., хп) € Ж«, для которых
выполняется неравенство (97), так как в этом случае при наруше-
нарушении условия (98) все символы Фредгольма равны нулю (см. гл. III,
стр. 184).
В случае, когда К(х, s) — функция влияния стержня, условия (98)
заменяются условиями (см. гл. III, стр. 184):
**+* su<Xh42 F=Ь 2, ..., п — 2). J
В этом случае неравенство (97) имеет место, если для точки Х=
— (xv х& • • •» хп) (xi> Х2> • • • * хп из ^) существует хотя бы одна
точка 5==(^, sa, ...,^n) из /^ такая, что выполняются соотноше-
соотношения (99).
Пусть теперь снова /C(-v, 5) — произвольное осцилляционное ядро.
Отметим следующее важное свойство определителя:
<Ро <Pi • • • ?n
.. <Xn ИЗ /). A00)

236 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Если в определителе A00) при некотором р<п главные миноры
А ?=0, Д =0, A01)
то для любого числа л;*, удовлетворяющего неравенствам
хр^Сх* ^Cxpri> Ряд значений функций <рД*) в точке х*:
<?о(**)> <Pi(**)> •••> ?n-i(**)»
есть линейная комбинация первых р вертикалей определителя A00).
Б частности, в определителе A00) р+1-я вертикаль есть ли-
нейная комбинация предыдущих р вертикалей.
Действительно, из A01), как было отмечено выше, следует, что
Составим матрицу
К(хр, «,) ...К{хр>
ИЗ
Из осцилляционности ядра /("(х, s) вытекает, что эта матрица
вполне неотрицательна и что в последней горизонтали этой матрицы
имеются элементы, отличные от нуля. Поэтому, применяя лемму 1
гл. II (стр. ИЗI), получаем
X Х^" \
Sp
Но тогда, в силу формулы F7), в которой положим п = р -\- 1 и
заменим хр+1 на х*, найдем:
( п). A02)
Поскольку, согласно условию A01), первые р вертикалей определи-
определителя A00) линейно независимы, то из A02) следует наше утверждение.
6. Для дальнейшего исследования свойств фундаментальных функ-
функций нам понадобится следующее обобщение леммы 3 § 5 гл. III.
Лемма 6. Пусть
ь
Ф
г) В лемме 1 речь идет о квадратных матрицах. Однако мы сможем
применить эту лемму к нашей матрице, приписав к ней справа еще раз
последнюю вертикаль.

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 237
где ер @ — непрерывная в [а, Ь] функция, не обращающаяся в нуль
одновременно во всех точках 19 и меняющая п — 1 раз свой знак
на /а, а К{х, s) (a<#, s<?) — непрерывное ядро. Тогда, если
... <хп
") A03>
то число нулей функции Ф (х) в интервале I не превосходит п — 1;
если же
/х* Хп ... х~\ / *% <^ х.л.^ ... <? х~ \
A04)
и при некоторых xl9 ..., х„; sv .,., $п имеет место здесь знак >,
то число перемен знака функции Ф(х) в интервале (а, Ь) не пре-
превосходит п — 1, т. е. ^>'ф<;5?а.
Доказательство. Выберем в 19 такие точки s[ < s'2 < ... < s'ni
что
<р(^) ф(^' х) < 0 (*=1, 2,..., п — 1).
Между s't и s'i + i имеется узловое место функции <?(#), пусть ^
принадлежит этому месту: ^ < Ь€ < st f x (/ = 1, 2, ..., п — 1). Тогда
мы разбиваем интервал (а, Ь) на части F<шв1, 6^> (i= 1, 2, ..., я; &0 = а,
5,4 = Ь), Каждый из этих частичных интервалов содержит точки из /а
(во всяком случае, одну из точек s'v ..., s'n), причем функция <р (л:)
не меняет знака на точках из /ff, попадающих в интервал (^ v ii)
(/=1, 2,..., п).
Дальше доказательство первой части теоремы совершенно анало-
аналогично доказательству леммы 3 § 5 гл. III. Мы вводим функции
i)clo(s) (i— I, 2, ..., п\
и, пользуясь интегральным тождеством
Д
*i
-/"••• А
на основании леммы 2 § 5 гл. III (стр. 163) заключаем, что функции
Ф^л;), Ф2(*)> • • ¦» Фп(л) образуют систему Чебышева в интервале /.

238 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
п
Поэтому число нулей функции Ф (х) = 2 Ф< (х) в интервале / не пре-
ВОСХОДИ1 П 1.
Вторая часть теоремы получается из первой путем аппроксимации
ядра К(х, s) ядром
ь ъ
Nt(x, s)=f$Lt(x, и)К(щ v)Lt(v,s)do(u)da(v) (a<*, s<ft),
а а
где Lt (х, s) — вполне положительное ядро теории теплопроводности,
введенное нами на стр. 166.
Если для ядра K(xf s) выполняются условия A04) второй
части теоремы, то для ядра Nt(x> s) выполняется неравенство A03),
так как
--J4i- 0х
Х L
Xl<*2< •••<¦«» \
a<s1<Si<. ..<sn<bJ-
Поэтому, применяя первую часть теоремы к ядру Nt {x, $) и замечая
(см. § 5 гл. III, стр. 167), что
получаем утверждение второй части теоремы.
7. Теперь мы имеем возможность, опираясь на теорему 4, дока-
доказать следующую основную теорему:
Теорема 5. Если К(х, s) (a*Cx, s^.d) — непрерывное сим-
симметрическое осцилляционное ядро, то нагруженное интегральное
уравнение G6) с произвольной монотонной неубывающей функ-
функцией a(s)9 имеющей хотя бы одну точку роста внутри (а, Ь),
обладает следующими свойствами:
1° Все собственные числа уравнения G6) положительны и
простые:
2° Фундаментальная функция <?0(х), отвечающая наименьшему
по величине собственному числу Хо, не имеет нулей в интер-
интервале L
3° Фундаментальная функция <рД*), отвечающая ]-\-1-му
по величине собственному числу X,-, имеет ровно j узлов в (а, Ь)
и никаких других нулей в интервале I не имеет (/= 1, 2, ...).

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 239
т
4° При произвольных ck9ck+v ...5^B4>0; 0<;к<;т)
т
функция 2 c№i (х) имеет в интервале I не более чем т нуле-
вых и не менее чем k узловых мест; если число нулевых мест
равно т> то все эти места являются узловыми.
5° Узлы функций <?j(x) и <?j+t(x) перемежаются (/= 1, 2, .. .)•
Доказательство. Предложение 1° было доказано в теореме 4.
Предложение 2° непосредственно следует из леммы 4' и следствия из
этой леммы.
Доказательство 3°, На основании теоремы 4 для любого
у = 1, 2, ... функции <?q(x), <pi (x)> • • •? 9j(x) образуют систему Чебы-
шева в / относительно 19. Отсюда непосредственно следует, что функ-
функция <pj(x) имеет не более чем j перемен знака в (а, Ь) и не более
чем ] нулей на /б.
Обозначим через р (р ^ j) число перемен знака функции ф? (х)
на /0. Тогда равенство
ь
а
позволяет нам применить вторую часть леммы 6 и заключить, что
число перемен знака функции <fy(X) во всем интервале (а, Ь) также
равно р.
Докажем, что р =у. Выберем в /9 такие точки ^<^< ... <s'+ь
что
В каждом из интервалов (s\, s'i+1) имеется одно и только одно
узловое место функции <?j(x); какую-либо точку на этом узловом
месте обозначим через л;4- (*=1, 2, ...,р):
s\<C.Xi<C.s% <С лг2<С • • •<С5р<Слгр<С?р+г (lUo)
Рассмотрим определитель
с<ъ(х). (Ю6)
Покажем, что этот определитель не равен нулю при любом значе-
значении * = **€/, отличном от хг, лг2, ...,хр. Для этого расположим
числа xv ..., хр, х* в порядке возрастания и в этом порядке обо-
обозначим их через х[, хъ ..., хр+1. Тогда, в силу A05),
х[> s[<x'2, s'2< ---<хр+1> sp+1
и, поскольку sj, sj, ..., s?+1€/a, имеем (см. замечание на стр. 235)
й' - ... х.

240 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Таким образом, функция A06) в точках хи дг2, ...,хр (т. е. в нулях
функции <?ИГ)) имеет узлы и других нулей в интервале / не имеет.
Поэтому произведение
Ц ' A08)
не меняет знака в (а, д) и не обращается в нуль в тех точках 199 кото-
которые отличны от нулей функции <fyO*) *).
Следовательно, в произведении A08) сомножители не ортогональны
друг другу, что возможно (поскольку р<У) лишь если р=/.
Теперь неравенство A07) перепишется так:
(То Vi • • • Tj-i ?Д /<Ро ЧЧ • • • fy-A
Л = Д «.(**)=? 0. A09)
^л:2^ **у \xxxt xj /ч\ >^ к >
Поскольку в определителе A09) последняя горизонталь, содержащая
числа v>j (хг), ..., <?j (xj), <?j (л;*), не может состоять сплошь из ну-
нулей, то
Здесь л:* — произвольная точка в /, отличная от х19 лг2, ..., Xj.
Таким образом доказано, что никаких других нулей в интервале /,
помимо xv х29 ..., х^ функция <?j (x) не имеет. Этим самым пока-
показано, что узловые места функции <?j(x) сводятся к изолированным
узлам в точках xv х2, ..., х^ Предложение 3° доказано.
т
Доказательство 4°. Пусть <р (лг) = V с^ (х) ( V с?>°)«
i=k i=k
Допустим, что функция ср (х) имеет т -|- 1 нулей в интервале /:
ф(х4) = 0 (/«=1, 2, ..., m+1; xt<x2< ... <
Это возможно лишь тогда, когда
д( х х ) = о.
Идя от/й-fl к w, от m к /я — 1 и т. д., мы найдем такое
]w, что
Но тогда, как было установлено выше (стр. 236), для любого л:* из
интервала [хр, хр+1] можно будет найти такие числа dv d2, ..., dp,
1) Такие точки в /а существуют, если /„ содержит хотя бы ;+¦ 1 точек
(см. теорему 4, п. 1°), поскольку число нулей у (х) на /а не превосходит /.

§ 4] КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОГО КОНТИНУУМА 241
что
jt ) (f = 0, 1, ..., m).
Умножая обе части равенства A10) на с4 и суммируя в пределах
от k до т, получим
?(*•) = 2
Таким образом, любое число л;* из интервала \хр, хр+1] является
нулем функции <р(лг), т. е. числа хр и хр-\-\ принадлежат одному и
тому же нулевому месту функции <?(*)• Из того> чт0 /ю+1 нулей
функции 9 0*0 не могут принадлежать /и •+1 различным нулевым
местам, вытекает, что функция ср (х) имеет не более чем т нулевых мест.
Рассмотрим тот случай, когда функция о(х) имеет максимальное
число т нулевых мест в /. Пусть хг < х2 < • • • < *т из / принад-
принадлежат различным нулевым местам функции ®(х). Тогда, на основании
предыдущих рассуждений,
A(?0'fl-"?M-1Wo. (ПО)
В этом случае системой линейных уравнений, которой удовлетво-
удовлетворяют коэффициенты со = О, ..., ck__t = 0, съ ск+1, ..., сш функции
т
<р (х) = 2 ci?i W» является
о
) = O (У=Ь 2, ..., «).
2o
Эта система имеет ранг m и потому определяет линейную комбина-
комбинацию ср с точностью до постоянного множителя однозначно. Поэтому
\ххх2 ... хт ;
Из этого представления видно, что все нулевые места функции ср (л:),
лежащие внутри интервала (а, Ь), являются узловыми.
Для того чтобы закончить доказательство 4°, нам осталось ПОКа-
ти- т
зать, что функция ср (х) = 2 ci?i (х) B <% > °) всегда имеет не менее
k узловых мест. При этом без нарушения общности доказательства
можно принять, что ск Ф 0.
Введем обозначения:
ь
а
16 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

242 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
и, вообще,
ъ
%(*) = f K(x> *№n-i(s)do(s) (л = 1,2, ...; ф0 (*) = <р (х)). A11)
а
Тогда
к т
Согласно лемме 6,
.. A13)
Но
Поскольку предельная функция ck<pk(x), согласно 3°, имеет ровно
k узлов, то, начиная с некоторого достаточно большого п,
и, следовательно, в силу A13), S^^k. Предложение 4° доказано.
Доказательство 5°. Из 3° и 4° вытекает, что при лю-
любом у = 1, 2, ... функции <pj(x) и <fj+i(x) удовлетворяют условиям
леммы 3 § 3 (стр. 221). Поэтому нули этих функций перемежаются.
Теорема доказана полностью.
Замечание. Попутно (см. A09)) нами установлено, что
j
если хх < х2 < ... < Xj — узлы функции <р^ (х).
Отсюда вытекает существование такой точки S =
что
и следовательно, в случае стержня
а в случае струны
§ 5. Гармонические колебания многоопорных стержней
1. Если в п произвольно взятых подвижных точках сх < с2 < • • • < сп
континуума 5 ввести неподвижные (шарнирные) опоры, то функция влия-
влияния К* (х, $) континуума 5* с этими дополнительными связями выра-
выразится через функции влияния К(х, s) континуума 5 по формуле E6)
§ 3 гл. III, т. е.
к(х сх с2 ... сп
К*(х s\=^L?h?

§ 5] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГООПОРНЫХ СТЕРЖНЕЙ 243
Квадраты собственных частот л* = р*2 (/ = 0, 1, 2, ...) и соответ-
соответствующие им амплитудные функции ср*(лг) (/ = 0, 1, 2, ...) контину-
континуума S* найдутся как собственные числа и соответствующие фундамен-
фундаментальные функции интегрального уравнения:
г
ср(*) = Х /**(*, s)<?(s)do(s), A14)
о
где do(s)— масса, приходящаяся на элемент ds.
Если предположить, чго 5 — стержень (а не струна), причем за-
закрепленный так, что он обладает свойствами Л, Б (§ 6 гл. III), и,
следовательно, обладает осцилляционной функцией влияния, то 5*
будет я-пролетной балкой, для которой можно будет установить ряд
осцилляционных теорем, аналогичных тем теоремам для сегментного
континуума, о которых шла речь в предыдущих параграфах. Для
этого можно воспользоваться приемом, указанным в § 11 гл. III,
основанным на применении разрывной функции е (х), равной поочередно
it: 1 в последовательных пролетах многоопорного стержня S*.
Полагая
9 (х) = е(х)<р(х), К(х, s) = г(х)г(s)K(x, s),
мы сможем переписать уравнение A14) в виде
г
Z (х) = X J К (х, s)Z (s) do (s). A15)
О
Поскольку
р; /; y = l, 2, ..., п\
то ядро К(х, s) @<;лг, $¦</) всюду непрерывно.
Естественно обобщая введенное в § 6 гл. III и в этой главе (§ 2)
понятие осцилляционного ядра, можно утверждать, что и ядро К(х9 s)
также является осцилляционным, а именно, в том смысле, что:
Г 7((х} s)>0 при х,
*2т"Хп)>0 при хх<х%<...<хп\
х2 ... xj
~ (Х\ Хп ... Хп\
г° к * >о при о<
\ St S2 ... SnJ
где / — множество всех подвижных точек стержня 5*.
Свойства 1°, 2°, 3° имеют место в силу того, что при любых
числах хх < х% < ... < хт из I матрица || K(xi9 xk) \\xm является
осцилляционной (см. § 11 гл. III).
Нетрудно видеть, что на уравнение A15) переносятся результаты
предыдущего параграфа об интегральных уравнениях с осцилляцион-
10*

244 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ* IV
ными ядрами, если их соответствующим образом переформулировать
(см. по этому поводу также § 11 гл. III).
Таким образом получается
Теорема 6. При любом расположении опор последовательные
частоты р* (/= 0, 1, 2, ...) собственных колебаний многоопор-
многоопорного стержня 5* все различны между собой.
Соответствующие этим колебаниям амплитудные функции
<Pj(x) (/ = 0, 1, 2, ...) обладают следующими свойствами:
1° Функция Ф/(*) = s (х) Ъ (х) С/ = 0> 1> 2, ...) имеет точно
j узлов1) и никаких других нулей, кроме как в неподвижных точ-
точках2), не имеет.
2° Узлы двух последовательных функций <?j (х) и <fy+ i (х) (/ =
= 0, 1,2, ...) перемежаются.
Имеет место, конечно, и свойство, соответствующее свойству 4°
теоремы 5 предыдущего параграфа. Мы его не формулируем, так как
нам не придется им пользоваться.
2. В дальнейшем 5 будет означать либо стержень, опертый только
по концам, с осцилляционной функцией влияния, либо стержень, полу-
получающийся из такого путем введения ряда шарнирных неподвижных
опор в точках Ьх < ?2 < ... < Ьт.
Теорема 7. Пусть pj = р](с)(j = 0,1,2, ...) — последователь-
последовательные частоты стержня «S*, получающегося из стержня S путем
введения дополнительной опоры в подвижной точке с (К(с,с)>0).
Тогда
Pj<Pi<PHri U = 0,1,2,...), A16)
где pj (j = 0, 1, 2, ...) — последовательные частоты стержня S.
Равенство
*
Pj — Pj+i
при данном] имеет место в том и только в том случае, если точка с
совпадает с узлом гармонического колебания стержня S частоты pj+v
Доказательство. В силу тождества Сильвестра (см. § 2 гл. I)
соотношение
АГ(с, с) [/С(с, s) К (с, с)
между функциями влияния К(х, s) и К*(х, s) стержней S и S*
влечет соотношения8)
х*\s=s —i— /Сfc Xi*2 '** *п\
sn) К {с, с) \с $х s2 ... snj'
!) Некоторые из них могут прийтись на опоры сьс2, ...,сп; такой случай
возможен.
8) Т. е. в опорах cltc2f ...,cn и неподвижных концах.
V См. на стр. 159 вывод соотношений типа A17) при более общей зави-
зависимости между К*(х, $) и К(*> ^)«

§ 5] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГООПОРНЫХ СТЕРЖНЕЙ 245
Отсюда для детерминанта Фредгольма
J
П=1 6 О
ядра К* (х, s) получаем следующее выражение:
tt = l 0 6
Таким образом,
где ^(jc) (у = 0,1,2,...) — ортонормированная последовательность
амплитудных функций стержня S.
Предположим сначала, что все
Ъ(с)фО U = 0,1,2,...). A19)
Тогда из A18) следует
Т(с, с; Xj— 0) = + оо, Г (с, с; ^ + 0) = — оо (/ = 0, 1, 2, ...)
Так как, кроме того, всегда
И
Г (с, с; X) > 0 при — оо < X < Хо,
то мы заключаем, что внутри каждого из интервалов
(Wm) (/ = 0,1,2,...)
детерминант D* (X) имеет один и только один нуль
tf(c)=P?(c) G = 0,1,2,...)
и никаких других нулей он больше не имеет.
Таким образом, в предположении A19):
А, < А,' (с) < Х/+1 (j = 0, 1,2,...). A20)
Рассмотрим теперь случай, когда <fy (с) — 0 для некоторых J.
Согласно A18), равенство <f>j(c) = O имеет место тогда и только
тогда, если ?)*(Х^.) = 01).
Если еще учесть, что при X = h в этом случае гг ¦ .\ч > 0, то можно
ал
утверждать, что кратность нуля Х^ относительно D* (X) совпадает либо пре-
превосходит на единицу кратность Х^ относительно D (X).

246 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Если в последовательностях нулей {\j }?° и {Xj }S° вычеркнуть
общие элементы, то оставшиеся «просеянные» последовательности
будут перемежаться по закону A20).
Отсюда
<Vi U = 0,1,2,...).
Нам осталось показать, что в первом соотношении знак равен-
равенства исключается.
Для этого заметим, что если Xj = Xj(i) или =X^»i(c), то
Ъ (с) = h / к fo s) Ъ (s)dQ W = °
0
и тогда <?j{x) является амплитудной функцией не только стержня S,
но и стержня 5*:
г
Согласно предыдущей теореме, функция yj(x), соответственно ее
номеру как амплитудной функции стержня S или стержня S*, должна
иметь определенное поведение в смысле перемен знака. Поэтому она
не может иметь один и тот же номер по отношению к S и S*, т. е.
равенство ^=Xj(c) исключается.
Теорема доказана.
Замечание. Из приведенных рассуждений легко заключить, что
теорема 7 в ослабленной форме, когда вместо A16) утверждается
лишь, что
Pj<P*j<Pj+i (У = 0, 1, 2, ...), A21)
справедлива не только для стержня S с осцилляционной функцией
влияния, но и для любого упругого континуума S.
Если же, кроме того, все частоты этого произвольного континуума
являются простыми: р0 < pt < р2 < ..., а точка с не совпадает ни
с одним из узлов его гармонических колебаний, то также
Pj<Pi<Pj+i V = °> Ь 2> •¦¦). 022)
Неравенства A21), конечно, являются также непосредственными
следствиями минимальных свойств частот континуума.
3. Из теоремы 7 получается следующее характеристическое свой-
свойство узлов собственных колебаний стержня 5.
Теорема 8, При введении п шарнирных опор в подвижных
точках сг < с2 < .., < сп стержня 5, его основной тон (j-й обер-
обертон) повышается^ но при этом не превосходит п-го обертона
[соответственно (я+/)-го обертона до введения опор). Основной

§ 5] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГООПОРНЫХ СТЕРЖНЕЙ 247
тон (j-й обертон) после введения опор достигает величины этого
п-го (соответственно (п +у)~го) обертона в том и только том слу-
случае, когда опори расставлены в узлах последнего.
Доказательство. Обозначим через Sk (k = I, 2, .. ., п) стер-
стержень, получающийся из 5 путем введения в точках си с2, ..., с1с
шарнирных опор; через pf)(J^= О, 1, 2,...) обозначим последова-
последовательные частоты стержня Sk9 а через yf\x) (/ = 0, 1, 2, . ¦.) — соот-
соответствующие ортонормированные амплитудные функции этого стержня.
Согласно предыдущей теореме,
Р?~1) <№<?№ (/-О, 1, 2, ...; *- 1. 2, ..., я; pf = Pj).
Отсюда
Pj<pT<PHn (/ = 0,1,2,...).
Для какого-либо j равенство
Т A23)
будет иметь место в том и только в том случае, если
Но равенство Pj^n — pjln-x означает (см. конец доказательства
теоремы 7), что опора сг находится в узле амплитудной функции
<?j+n(x) и, следовательно, <pj+n(x) = ±(?fln^1(x).
Аналогично, равенство pfln-ъ —pf+n-i означает, что опора с2
находится в узле функции cpJ+n-iM и> следовательно, <$+w-i (х) =
Рассуждая так далее, мы придем к выводу, что все опоры сь с2,..., сп
находятся в узлах функций
Теорема доказана.
Замечание. Если по правилу, указанному в п. 1, составить функ-
функцию <ря (х) = в (л:) <pw (л:), то она будет иметь п узлов <xt < а2 < ... < ап
внутри интервала (О, /). Если ни один из этих узлов не совпадает ни
с одной из точек дг < Ь2 < ... < Ьм шарнирных опор стержня 5,
то точки аг < а2 < ... < ап будут также узлами амплитудной функ-
функции <рп(лг). В этом случае равенство
рР = Рп A24)
будет иметь место по доказанной теореме в том случае, когда ci = a{
(г=1, 2, ..., я).

248 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Если же хотя бы один из узлов а4 совпадает с одной из точек
опор Ьх < Ь2 < ... < Ьт> то равенство A24) не будет достигаться ни
при одном размещении дополнительных опор в подвижных точках
стержня S.
Однако, если условиться под помещением дополнительной опоры
в имеющейся уже шарнирной опоре Ьг понимать жесткое заще-
защемление стержня в точке biy то попрежнему можно будет утвер-
утверждать, что равенство A24) достигается тогда и только тогда, когда
^ = а* (/=1, 2, ..., л).
Подробнее развивать это мы здесь не будем.
Аналогичное замечание может быть сделано и относительно общего
равенства A23), которое таким образом всегда достигается при неко-
некоторых размещениях п дополнительных опор в подвижных или непо-
неподвижных внутренних нулях амплитудной функции yn+j(x), и таких
размещений будет ровно 'я |~./'* (число сочетаний из n-\-j по п).
§ 6. Осцилляционные свойства вынужденных колебаний
1. Пусть S — сегментный континуум с осцилляционной функцией
влияния.
Имеет место
Теорема 9. Если какой-либо конец континуума S является
подвижным, то при любом гармоническом колебании S амплитуда
колебаний этого конца отлична от нуля. Более того, при любом
свободном колебании континуума S этот конец не может оста-
оставаться в покое в течение всего времени.
Доказательство. Предположим для конкретности, что конец
х = О является подвижным (К @, 0) > 0). Тогда по теореме 5 все
амплитудные функции стержня 5 в точке л; = 0 отличны от нуля, т. е.
0 (у = 0, 1, 2, ...),
что и дает первое утверждение теоремы 9.
Согласно § 1 при свободном колебании прогиб у=у(х, f) имеет
выражение:
где ряд справа сходится абсолютно и равномерно в полосе: 0 ^ х ^ /,
0</<оо.
В частности,
оо
У @; /)=2 С ft, @) sin (p/+ *? @ < / < со),

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 249
откуда
т
Таким образом, если у @; f) s=s О @ <! t < оо), то все Cj = О
(J = О, 1, 2, ...) и, следовательно, у (х, t) =s 0 @ < х < /; 0 < / < со).
Теорема доказана.
Используя более мощные аналитические средства (в частности, ре-
результаты статьи Б. Я. Левина [31]), можно показать, что:
а) в случае стержня подвижный конец не может оставаться в покое
на протяжении сколь угодно малого промежутка времени;
б) в случае струны (произвольным образом нагруженной массами)
подвижный конец не может оставаться в покое в течение промежутка
времени, большего некоторой величины %.
Если величина % выбрана так, чтобы иметь возможно меньшее
значение1), то она оказывается не зависящей от условий закреплений
струны на концах.
Величину 1\% можно было бы назвать средней скоростью распро-
распространений возмущений по струне (при заданном натяжении и распре-
распределении масс).
Наоборот, утверждение а) можно истолковать как то, что, при
принятой идеализации явления поперечных колебаний стержня, попе-
поперечные возмущения передаются вдоль стержня мгновенно.
Доказательство предложений а) и б) увело бы нас слишком далеко
в сторону, и мы его опустим.
2. Если на подвижном конце континуума S ввести шарнирную
опору, то, по теореме 7 (см. также замечание к ней), получающиеся
при этом частоты р) (J = 0, 1, 2, ...) будут перемежаться с прежними .
частотами S:
Основная задача этого параграфа заключается в установлении сле-
следующего предложения:
Теорема 10. Вынужденное колебание, возникающее при при-
приложении к подвижному концу континуума S сосредоточенной силыу
пульсирующей гармонически с нерезонансной частотой р, имеет
ровно столько узлов, каков номер первой частоты р], большей /?,
и никаких других неподвижных точек в /2) не имеет.
Кроме того: а) если
л) При этом ?>0 в том и только в том случае, если о' @>0 на мно-
множестве положительной меры.
2) /—множество подвижных точек континуума 5 в смысле определения
из § 2.

250 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
то фаза колебаний рассматриваемого подвижного конца совпадает
с фазой возмущающей силы;
б) если
Pj<P<P*J>
то указанные фазы прямо противоположны, и, наконец,
в) если при некотором J
P—Pj*
то рассматриваемый конец неподвижен.
Утверждение в) представляется, на первый взгляд, весьма парадо-
парадоксальным: точка приложения возмущающей силы пребывает в покое,
в то время как другие точки находятся в движении!
Однако эта парадоксальность исчезает, если вспомнить, что, во-
первых, вынужденное колебание — это колебание, остающееся после
затухания свободных колебаний (при наличии ничтожных сил сопро-
сопротивлений), и, во-вторых, что pj есть частота у-го собственного коле-
колебания континуума при введении шарнирной опоры, а следовательно,
при /? = #/ пульсирующая сила как бы заменяет реакцию отсутствую-
отсутствующей опоры.
Теорема естественным образом обобщается на случай многоопор-
многоопорного стержня. Это обобщение получается при помощи приема, осно-
основанного на использовании функции е(л:) и достаточно разъясненного
в предыдущем параграфе, поэтому мы ограничимся формулировкой и
доказательством теоремы 10 только для случая сегментного конти-
континуума.
Как было показано на стр. 207, амплитудный прогиб и (х) вынужден-
вынужденного колебания под действием сосредоточенной в точке 5 пульсирующей
силы F sin (pt~\~ а) имеет следующее выражение:
и(х) = Р-Т(х9 $; р%
где Г(х, s; X) — резольвента интегрального уравнения колебаний кон-
континуума 5.
Таким образом, в теореме 10 утверждается некоторое свойство
резольвенты Г (х, $; X) для случая, когда аргумент 5 совпадает с по-
подвижным концом континуума.
Для доказательства теоремы 10 мы покажем, что этим свойством
при s = с (где с = а или Ь и К (с, с) > 0) обладает резольвента
Г (лг, $; X) любого нагруженного интегрального уравнения *)
ь
(x, s)*(s)do(s) A25)
с осцилляционным ядром К(х, s).
*) Предполагается, что <j (s) имеет хотя бы одну точку роста внутри (я, Ь).

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 251
Роль чисел \*j = p*f (/ = 0, 1, 2, ...) при такой общей постановке
будут играть последовательные корни уравнения:
Г (с, <^)=Sra = °> <126)
или, что одно и то же (см. п. 2 предыдущего параграфа), собственные
числа интегрального уравнения:
ь
<P(a:) = xJ>*(x, s)<t(s)do(s),
а
где
кчх л _
A 1А, S)-
J
c, с)
к(с> s) к(с> с)
Таким образом, в общей теории нагруженных интегральных урав-
уравнений A25) с осцилляционным ядром К (х, s) основному утверждению
вибрационной теоремы 10 отвечает следующая
Теорема 10'. Резольвента Т(х, s; X) нагруженного интеграль-
интегрального уравнения A25) с осцилляционным ядром К(х, s), отличным
от нуля в точке x — s = c, где с = а или Ь, обладает следующим
свойством:
Для всякого X Ф \j из интервала
Х*_1<Х<Х* (У = 0, 1, 2, ...)
функция переменной х Y(x, с; X) имеет между а и b точно j
узлов и никаких других нулей в I не имеет.
Так как Xj (у = 0, 1, 2, ...) суть простые корни уравнения A26) и
Г(<?,<?; Х)>0 при — оо<Х<Х0,
а
Т(с, с; Х^-0)= + оо, V(c, с; Х^ + 0) = —оо,
то
1Чс<;х,>0 при *-*<>¦ <Ъ , A27)
<0 при \j<k<Xj (у = 0, 1,2, ...; Xi==0). ;
Для случая, когда К(х, s) есть функция влияния сегментного кон-
континуума, а о (л:) задает распределение масс на нем, неравенство A27)
и дает утверждения а), б), в) теоремы 10.
Доказательство общей теоремы 10' требует сравнительно простран-
пространных рассуждений. Эти рассуждения имеют своим источником некоторые
простые механические представления.
Механическая канва доказательства проступит ясней, если сделать
следующее предварительное замечание.

252
СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Если К(х, s) — функция влияния континуума S, а х =
торая его точка, то ядро
неко-
неко1
К(х9 s) К(х, с)
К (с, s) К (с, с
(Л>0) A28)
есть функция влияния континуума Sa> получающегося из «S путем
введения в точке х = с упругой опоры (пружины), реакция которой R
пропорциональна прогибу в точке л? = с:
R = ±y(c). A29)
В самом деле, функция влияния L(x, s) континуума Sa задает
прогиб в точке х континуума 5 под действием единичной силы,
приложенной в точке s и реакции R = R(s) в точке х — с; сле-
следовательно,
/. (х, s) = K (x, s) — RK (х, с). A30)
На основании A29) при этом
L(c, $) = AR, т. е. К (с, s) — RK(cy c) = AR.
Определяя отсюда R и внося его значение в A30), мы найдем,
что L{x, s) совпадает с La(x, s).
Заметим, что при А = 0 ядро La {x, s), как и следует ожидать,
переходит в известную нам функцию влияния континуума 5*, полу-
получающегося из 5 путем введения неподвижной опоры в точке х = с.
Если К (х, s) — осцилляционная функция влияния, а точка с сов-
совпадает с одним из концов S, то естественно ожидать, что и La (x, s)
будет осцилляционной функцией.
В самом деле, имеет место следующая общая
Лемма 7. Если К(х, s) (a^x, s^b) — осцилляционное ядро
и К (с, с)>0(с — а или Ь), то ядро La(x, s)D>-0), определяе-
определяемое равенством A28), также является осцилляционным.
Доказательство. Действительно, если в тождестве Сильвестра:
ain пи ... я*
10 ап
где
положить
ai0 aik
(/, A=l, 2,
h h h
un\ un2 *•• unn
= 1,2,..., я),
)ik — K{Cj sk), a{
•.., n),

К (с, с)+А
§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫБ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 253
то получим
)+А , Y . '. . .
(xn,sx) ...K(xn,sn)
т. е.
К(с,с) + А K(c,st) ...K(c,sn)
K(xti с) K(xv st) ...K(xlfsn)
С/ Jb\ « • • *^/2 1 Т^ / *^1 *^2 * * • *
. _ CSt ... gj . Л V^S2 ... Sn) (m)
г /4 + AT(c. с) ' v y
... s
c)
В частности, как это непосредственно следует из A28):
s)
A310
Отсюда явствует, что при Л > 0 подвижный конец интервала
(a, ft) для ядра К(х, s) будет подвижным и для ядра Ьд(х, s).
Наоборот, при А = 0 это имеет место только для конца, отличного
от с; что же касается конца с, то он, будучи подвижным для
К(х, s) (К (с, ?)>0), будет неподвижным для L0(x, s)(lo(c, c) = 0).
Учитывая это, нетрудно на основании формулы A31) и неравен-
неравенства E0) (стр. 211) убедиться в осцилляционности ядра La(x, s) при
любом А ^ 0.
После всех этих предварительных соображений изложим
Доказательство теоремы 10'. Параллельно с интегральным
уравнением A25) рассмотрим интегральное уравнение:
6
ср (х) = X J LA (х, s) cp (s) do ($). A32)
а
Внося сюда вместо La(x, s) его выражение из A28), мы найдем,
что это уравнение эквивалентно системе:
<р(*) — X JK(X, 8L(8) do (8) ~ —IK (X, С),
c, s)9(s)do(s).
A33)
Эта система не имеет нетривиальных решений {<?(х), 5} с ? = 0.
В самом деле, если 5 = 0, а ср (х) щк 0, то из первого уравнения
заключаем, что X = \j, а <р (х) = Gfy {x) (С Ф 0); но тогда второе
уравнение A33) даст: <pj(c) = O, что невозможно по теореме 5.
Заметим теперь, что при X, равном одному из собственных чисел X
уравнения A25), система A33) имеет только тривиальное решение

254 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
ср == О, (• = О. Действительно, если X = \j9 то, умножая первое из
уравнений на <pj(s)do($) и интегрируя по (я, Ь\ найдем, что
— &&(')/** = 0» т- е' 6 = 0.
Поэтому, разыскивая нетривиальные решения {<р (х), 5} системы A33),
мы можем предположить, что ЬФО и k=?\j (/ = 0, 1, 2, ...). Но
в таком случае первое из уравнений разрешимо относительно <р при
любом I (любой правой части). Разрешая его по известным правилам,
находим
ъ
T(xts; \)K(s, с)tfo(s)] = -$Г(*,г,X). A34)
а
Внося это выражение для <p(*) во второе уравнение A33) и сокра-
сокращая на ?, получаем для собственных чисел X уравнения A32) следую-
следующее уравнение:
ъ
J$, с;
а
ИЛИ
А+Т(с, с; Х) = 0,
или еще иначе1)
Обозначим левую часть этого уравнения через Ф(Х). В силу
теоремы 5,
?|(с)>0 (/ = 0,1,2,...).
Поэтому
Ф(Х, —0) = + оо, Ф(Х,. + 0) = -оо (/ = 0,1,2,...)-
Кроме того,
1
х) Уравнение A35) можно получить еще иначе: а именно, вычисляя непо-
непосредственно на основании формулы A31) детерминанты Фредгольма DA(K)
уравнения A32) подобно тому, как это было проделано в предыдущем пара-
параграфе для случая А = 0, получим
[А + К (С с)] DA (X) = D (cf с; X) + A D (X).
Таким образом, левая часть уравнения A35) есть не что иное, как

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 255
Таким образом, в интервале (—оо, Хо) функция Ф(Х) монотонно
возрастает от А>-0 до +°° и, следовательно, внутри этого интер-
интервала нулей не имеет.
В каждом из интервалов (\j, kj+t) (j — 0, 1,2, ...) функция Ф(Х)
монотонно возрастает от — оо до -f- со и, следовательно, имеет один
и только один нуль ^(Л)(/ = 0, 1, 2, ...), так что
*о< К(А) <Х1<Х1 (А)<Х2 < ...
Все \j (А) суть монотонно убывающие функции от A *), так как
из уравнения A35) следует, что
dA ~~ Ф' (X) ^ *
Согласно определению чисел \3- (/ = 0, 1, 2, ...),
Nf(O) = Xj 0 = 0, 1, 2, ...).
Таким образом, вследствие монотонности функций ХДЛ) (Д!>0)
Из уравнения A35) явствует также, что
НтХДЛ) = Х. С/ = 0, 1, 2, ...).
Д->оо
Таким образом, каждое Kj (А) убывает от xj до \j, когда А воз-
возрастает от 0 до оо.
Подставляя в A34) вместо X число Х^(Л), мы получим соответ-
соответствующую этому характеристическому числу фундаментальную функ-
функцию <р^}(л;) уравнения A32):
4Л)(*) = const. Г(*, с) \j(A)) (/ = 0, 1, 2, ...).
С другой стороны, так как Ьд(х9 s) является осцилляционным
ядром, то функция 9^ Ч^) имеет точно j узлов между а и Ь. Изме-
Изменяя А от 0 до оо, мы приходим к выводу, что для каждого X в ин-
интервале
Х,.<Х<х; (/ = 0, 1, 2, ...)
резольвента Г (jc, с\ X), как функция от х, имеет между а иЬ точно j
узлов и никаких других нулей в / не имеет.
Для окончания доказательства теоремы 10' нам осталось исследо-
исследовать поведение Г (х, с\ X), как функции переменной х, для значений X
из интервала
Х?-1<Х<Х/ (/' = 0, 1, 2, ...; Х!_1 = О).
*) С возрастанием А уменьшается жесткость упругой опоры в точ-
точке с (см. A29)).

256 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Для этого «догрузим» интегральное уравнение A25) в точке
л; = с некоторой массой М>0, т. е. рассмотрим интегральное
уравнение:
ъ
? (х) = X J K(x, s) <p (s) [do (s) + Mdx (s)l A36)
а
где т(лг) определяется тем условием, что для любой непрерывной
функции F(x) (a^^b)
и
J
Уравнение A36) можно переписать в виде
ь
<? (х) - X J K(x9 s) <p (s) do (s) = ХЖср (с) К (х9 с). A37)
а
Если ср (х) {ф 0) — некоторое решение уравнения A36) при каком-то
значении X, то, по теореме 5, ср (с) Ф 0.
Уравнение A36) или, что одно и то же, уравнение A37) не может
иметь собственных чисел, общих с уравнением A25). В самом деле,
если бы при Х = Х/. уравнение A25) имело нетривиальное реше-
решение <р ф 0, то, умножая его почленно на <fj (s) do (s) и интегрируя по
интервалу (а, Ь)у мы получили бы
ь
О = fyW? (с) j К (с, s) Ъ (s) da (s) = М<? (с) ь (с),
а
что невозможно.
Следовательно, при X, равном некоторому собственному числу
уравнения A37), мы можем решить это уравнение относительно <р,
выразив его через правую часть: f(x) — \M<p(c)K(x, с). Тогда
получим
9(х) = \Щ(с)Т(х> с; X). A38)
Полагая здесь х = с и сокращая на <р(с), мы получим уравнение
для собственных чисел интегрального уравнения A36):
1 = ШТ(с, с; X). A39)
Нетрудно видеть, что и обратно, всякий корень X = X (/И) урав-
уравнения A39) является собственным числом уравнения A36) и ему
соответствует с точностью до множителя только одна фундаменталь-
фундаментальная функция, получаемая по формуле
у (л;) = const. Г (л:, с; Х(Ж)).

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 257
Уравнение A39) иначе можно переписать в виде
3
i-o 3
Обозначая правую часть этого уравнения через Ч?"(Х), будем иметь:
и
4F (X) > 0 при — оо < X < 0; Г (kj — 0) = + °°> Г (Х^ + 0) = —со
(; = -1, О, 1, 2, ...; Х^ = 0).
Отсюда заключаем, что внутри каждого из интервалов Х^_1<Х<Х^
(/ = 0, 1, 2, ...) функция Ф(Х) имеет один и только один нуль и
никаких других нулей не имеет.
Обозначая через Хо (AI), lt (М), ... последовательные корни урав-
уравнения A40) (т. е. последовательные собственные числа интегрального
уравнения A36)), будем иметь
Так как из A40) следует, что
jA
dM~
то hj(M) (/==0, 1, 2, ...) суть убывающие функции от М1).
Простой анализ уравнения A40) показывает также, что
lim X,. (М) = X,-, lim Х.< (М) = Xj__x G = 0, 1,2, ...; Х_! =
Таким образом, при возрастании М от 0 до оо число
убывает от \j до kj-i (/ = 0, 1, 2, ...).
Соответствующая ему фундаментальная функция <р^ (^) получается
по формуле A38), в которую вместо \(М) следует вставить \-(М)
(У = 0, 1,2, ...). Так как фундаментальная функция ^Ж)(аг) имеет
точно j узлов между а и Ъ и никаких других нулей не имеет, то
отсюда и заключаем, что резольвента Г (х, с; X) имеет точно j узлов
между а и b при Х}__!<Х<Х^ (/ = 0, 1, 2, ...).
Теорема доказана.
Замечание 1. В доказанной теореме функцию Г(х7 с; X) можно
заменить функцией D(x, с; X) == Z) (X) Г (а:, с; X), и тогда можно
отбросить условие X Ф \j (j = 0, 1, 2, .. .)•
J) При увеличении массы континуума его частоты убывают.
17 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

258 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Предположим для конкретности, что с = 6, а следовательно,
X*. (/ = 0, 1, 2, ...) — последовательные корни уравнения
D(b> ?;Х) = 0.
Проследим, как меняется при непрерывном изменении X от 0 до оо
минор D(x9 b; X) как функция переменной х.
При О<Х<Хо
D(x,b; Х)>0 (а<
При X = Хо у минора появляется нуль в точке х — Ъ; при даль-
дальнейшем увеличении X этот нуль превращается в узел си1(\)9 переме-
перемещающийся некоторым образом между а и ft;
(Xo<X<-foo).
Этот узел будет единственным внутренним нулем D(x, b; X), пока
Х<ХХ; при X = Xi у минора D(x9 a; X) снова появляется нуль в точке
х = Ь9 который при дальнейшем увеличении X превращается в узел
<*2 М> перемещающийся между ах (X) и Ь:
*iQ)<<*2(K)<b.
Эти два узла будут единственными внутренними нулями D (х9 Ь; X),
пока X < Х2, и т. д.
Таким образом, когда X проходит через Х^-г (/ = 1, 2, ...), из
точки b выходит узел си3 (X), и пока X остается в пределах
Xj~i < X < Xj,
единственными внутренними нулями функции D(x9 b; X) будут узлы
(а <) ах(Х) < а2(Х) <.. .<
Для случая, когда D (х, Ь; X) есть минор для произвольным
образом нагруженной струны (струна может также лежать на
упругом основании)^ в § 9 будет доказано, что узлы осДХ)при воз-
возрастании X монотонно убывают (передвигаются к концу а).
Остановимся еще на том вопросе, как ведет себя минор D (х9 Ь; X)
в точке лс = #.
Если это неподвижная точка (К (а9 а) = 0), то тогда К (а9 $) = 0,
Г (ау s; X) = 0 (а ^ s <; b) и, следовательно,
D(a9 b;X) = O (— оо <Х < -f-oo).
Если же а — подвижная точка (К(а9 а) > 0), то, в силу теоремы 10г,
D(a9b; X)> О (Х>0). A41)

§ 6] ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 259
Это утверждение получается также непосредственно из формулы
так как
b s\ ... snj \sx ... snb]
(/1=1, 2, ...),
и в случае AT {a, b) = 0
)/C(>*)>° при <
Неравенство A41) имеет следующий механический смысл:
2?сля обя конца континуума S являются подвижными, то в вы-
вынужденном колебании, возникающем под действием пульсирующей
силы, приложенной к одному концу ь амплитуда второго конца
всегда отлична от нуля.
Замечание 2. Стоит подчеркнуть, что при доказательстве
теорем 10,10' мы попутно показали, что вынужденное колебание
континуума S под действием сосредоточенной пульсирующей силы
есть одновременно собственное гармоническое колебание конти-
континуума либо при догружении его одной массой в точке х = с,
либо при упругом опирании его в этой точке, в зависимости от
того, в каком интервале лежит частота возмущающей силы.
Замечание 3. При доказательстве того, что резольвента
Г (х, с; X) при xj_i < X < Xj имеет точно j узлов между а и b и
никаких других нулей в подвижных точках не имеет, мы, как
легко усмотреть, нигде не использовали того, что с = а или Ь,
а только лишь то, что Чэ{с)Ф0. Напомним, что как было выяснено
в теореме 7 § 5, при ^(<0 = О (и только в этом случае) X]L1 = X,..
Очень вероятно, что для внутренней точки с {а < с < Ь) число
нулей в / резольвенты Г (х, с; X) при Xj < X < Xj всегда колеблется
в пределах от; доу + 1, если нуль-пучность считать за двойной нуль.
Однако мы не видим, как можно было бы получить этот пред-
предполагаемый факт с помощью изложенных методов.
Тем более интересно, что в случае струны, как это будет пока-
показано в следующем параграфе, теорема 10' полностью сохраняет силу,
независимо от того, в какой подвижной точке (внутренней или кон-
концевой) прилагается пульсирующая сила.
Заканчивая этот параграф, заметим, что предложения § 8 гл. II
находятся в тесной связи с теоремой 10'; в частности, они содержат
ее обобщение на случай несимметрического ядра в частном предпо-
предположении, что функция о (я) имеет конечное число точек роста.

260 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
§ 7. Колебания упруго опертой струны
1. Как мы знаем (§ 7 гл. III), функция влияния струны принад-
принадлежит всегда к классу однопарных ядер К (х, s), имеющих вид
К(х, $)=z\ A42)
где ф(дг) и %(х) — некоторые непрерывные функции.
Из теоремы 12 гл. II непосредственно вытекает
Критерий А. Для того чтобы однопарное ядро К(х9 s)
(а < х, s <; Ь) было осцилляциоиныМу необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись два условия:
1° ф (*) X (х) > ° ПРИ а<х<Ь.
2° Функция -(I монотонно растет внутри интервала {а, Ь).
Этим критерием мы фактически пользовались при доказательстве
осцилляционности функции влияния струны (обычным образом закре-
закрепленной).
Заметим, что условия 1°, 2° эквивалентны следующим двум
условиям:
I'. К{х,х) >0 (а<х<Ь).
В § 6 было показано, что если ядро К(х, $) есть функция влия-
влияния некоторого континуума, а лг = г — некоторая его подвижная
точка, то ядро
г г ч 1
*(*,*) К(х9с)
K(c,s) К(с,с) + А К }
при любом Л>0 будет функцией влияния континуума $*, получаю-
получающегося из 5 путем введения в точке х = с упругой опоры (пружины)
жесткости х=1/Л.
Ввиду этого представляет интерес следующее предложение (ср.
с леммой 7 § 6).
Лемма 8. Если К(х, $) (а<^.х, s-^b) является однопарным
осцилляционным ядром, то таковым будет и ядро Ьд(х, $) при
любом Л>0 й любой точке с (а^Сс^Ь).
Доказательство. В силу леммы 7 § 6, это предложение
представляет интерес только для случая внутренней точки с (а < с < Ь).
Непосредственными вычислениями убеждаемся в том, что если
ядро К(х, s) имеет вид A42), то

КОЛЕБАНИЯ УПРУГО ОПЕРТОЙ СТРУНЫ 261
С другой стороны, согласно формуле A31) § 6,
(х1х%...хп\_ \сх1...хп
AUxxJ~ Л + К(с,с) +Л А + К(с,с)
откуда явствует, что условия 1', 2' для ядра La(x, s) также выпол-
выполняются.
Нетрудно также убедиться в осцилляционности ядра La (х, s)
путем непосредственной проверки выполнения для него условий 1°, 2°.
Из леммы непосредственно вытекает
Теорема 11. Осцилляционность функции влияния струны
сохраняется при введении упругих опор любой жесткости и
в любом количестве в подвижных точках струны.
Доказательство. В самом деле, пусть в подвижных точ-
точках си с2) . •., сп струны 5 введены упругие опоры жесткостей х1=ЛГ1,
х2 = Л^, ..., ъп=Ап1. Если Ко (лг, 5) — функция влияния первоначаль-
первоначальной струны, a Ki (x9 s) — функция влияния струны, получающаяся при
введении в точках си с2, ..., ct упругих опор жесткостей х1=ЛГ1, ...
..., %г = Ai1 (/=1,2, ..., я), то каждое ядро Ki {x> s) будет связано
с предыдущим ядром соотношением типа A43), а следовательно,
согласно лемме, вместе с ядром Ко (х, $) и все ядра Kt (x, s), ...
..., К(х, s) будут осцилляционными однопарными ядрами.
2. Теорема И сохраняет силу при гораздо более широком толко-
толковании слов «в любом количестве» в ее формулировке.
В частности, она сохраняет силу для струны, скрепленной со
сплошным упругим основанием и, кроме того, имеющей в отдельных
точках «сосредоточенные» упругие опоры.
К этому более широкому толкованию теоремы приводят следующие
рассмотрения.
Пусть К (х, s) — функция влияния некоторого континуума 5
E — не обязательно струна).
Если в точках сх, с2, ..., сп ввести упругие опоры жесткостей х1э
*2>---> *»» то прогиб у{х) континуума 5 будет находиться по

262 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
формуле
где dQ (s) — нагрузка, приходящаяся на элемент ds, a Rv /?2, ... > Rn—
реакции опор в точках си с2, ..., сп, и, следовательно,
Таким образом,
j,(*) = f *(*, 5)^Q(s) _ | х,*(*. €}y(cj). A44)
Придавая здесь л; значения си с2, ..., cw, мы получим систему урав-
уравнений, из которых определяется прогиб y(cj) (/= 1, 2, ..., л), а после
этого найдется и j/ (л:).
Если ввести в рассмотрение кусочно-постоянную функцию ъ(х),
имеющую скачки только в точках с19 с2, ..., сп, причем эти скачки
соответственно равны %v x2, ..., хл, то соотношение A44) можно
будет записать в виде интегрального уравнения для у {х)\
y(x) = f K(x, s)dQ(s)—fK(x, s)y (s)dx(s). A45)
8 8
В общем толковании понятая об упругом опирании струны мы
можем представить себе, что т (х)—произвольная неубывающая функция;
и при прогибании струны, благодаря некоторому устройству, в напра-
направлении, противоположном прогибу у (s)9 действует на элемент ds упру-
упругая реакция, равная у (s) dx (s), так что прогиб у (х) под действием
активных сил dQ(s) будет определяться из уравнения A45).
Уравнение A45) является частным случаем нагруженного интеграль-
интегрального уравнения:
f(x9 s)y(s)dx(s)+f(x), A46)
8
соответствующим
J A47)
При X, отличном от собственных чисел, уравнение A46) решается
по формуле
y(x)=f(x) + \fl*x)(x. ^; X)/(s)rfx(s), A48)
8
где Г<т)(л-, 5; X) — резольвента уравнения A46).

§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 263
Внося в A48) вместо X и f(x) их значения A47) и используя
для Х = —1 функциональное уравнение резольвенты:
8
найдем, что
у(х)= f Г(т) (х, s; - 1) dQ (s). A49)
s
Отсюда заключаем, что функцией влияния упруго опертого кон-
континуума является резольвента Г<т> (л:, $\ — 1) уравнения A46).
В следующем параграфе мы покажем, что резольвента Г(т) (х, $; X)
однопарного ядра К(х, s) при любой функции распределения ъ($)
есть всегда однопарное ядро. Если же, кроме того, К(х, s) — осцил-
ляционное ядро, то и Г^ (х, s; X) будет осцилляционным ядром при
любом X, меньшем наименьшего собственного числа х?* уравнения A46)>
и, в частности, при всех отрицательных X.
Отсюда уже будет вытекать справедливость теоремы 11 для упру-
упругого опирания струны самого общего типа.
§ 8. Вынужденные колебания струны
1. Если с помощью однопарного ядра К(х, s) составить ядро
КЧх s)- I K(x,s)K(x,s)
* i*. s)-wmf К(с> s) к(с> с)
где с — некоторая внутренняя точка: а<с<^, то ядро К* (х, s)
будет обладать тем свойством, что
/О* (х, s) = /С* (s, х) = 0 при х < с< $. A50)
Если К (х, s) — функция влияния струны 5, то /С*(х, s) будет
функцией влияния струны 5*, получающейся из 5 путем введения
неподвижной опоры в точке с. Но при введении этой опоры струна S
делится на две части: St и 52, изгибающиеся независимо друг от
друга, что и выражается равенством A50).
Пусть Pq<Pi<P2< • • • —последовательные частоты собственных
колебаний струны S, apo^Pi^Pa^ • • • —последовательные частоты
собственных колебаний 5*, т. е. частоты сегментов St и 52, распо-
расположенные в одну последовательность по возрастанию.
Согласно замечанию к теореме 7 § 5 имеют место неравенства
< ••• A51)
Если же точка с не совпадает ни с одним из узлов собственных
колебаний 5, то (см. § 5, теорему 7 и замечание к ней).
Po<pl<Pi<Pt<p2< •••

264 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Таким образом, в этом случае сегменты St и 59 не могут иметь
общих частот. Это и так понятно: если бы St и 52 имели общую
частоту р*, то, «нормируя» соответствующим образом гармонические
колебания сегментов St и 52 с частотой р*, можно было бы составить
из них гармоническое колебание всего 5* «без излома» в точке с,
которое одновременно являлось бы и собственным колебанием S с узлом
в точке с.
Обратно, если мы поместим опору в узле некоторого собственного
колебания 5 с частотой р9 то оно останется колебанием 5* и таким
образом породит некоторое собственное колебание St и собственное
колебание 52. Учитывая A51), в этом случае будем иметь
ft-i = Pj = Pf
Таким образом, всегда ро< pi и
(/=1,2,...),
причем в каждом таком соотношении либо все три величины различны,
либо все три равны, и последнее имеет место в том и только том
случае, если опора помещается в узел колебания с частотой pjl).
2. Теорема 10 для случая струны допускает такое обобщение:
Теорема 12. Если подвижная точка с не является узлом
собственного колебания данной частоты р$ (/ = 0,1, 2,...) струны 5,
то у вынужденного колебания, возникающего под действием при-
приложенной в точке с силы, пульсирующей с частотой р, где
p)-t <P<P*> рФРр
есть точно j узлов.
Доказательство. Как мы знаем (см. замечание 2 § 6), ампли-
амплитудная функция Г(лг, с; р2) одновременно является /-й амплитудной
функцией струны 5, либо догруженной некоторой массой в точке с
(если р*_г <р <pj), либо упруго опертой в точке с (если р-%
х) Отсюда, подобно тому как для стержня была доказана теорема 8, для
случая струны можно доказать следующее предложение:
Пусть струна 5 путем введения п промежуточных опор разбита на п + 1
частей Sk (k = 0,1,...,/?) с основными тонами р^ (k = 0, 1,..., /г). Тогда
л-й обертон рп струны S удовлетворяет следующим неравенствам:
при этом знак = слева или справа имеет место в том и только в том случае,
если опоры поставлены в узлах л-го обертона S, и тогда
Это предложение обобщается соответствующим образом и на все следую-
следующие обертоны pn+j (j =1,2,...) (см. теорему 8).

§ 9] РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА 265
В том и другом случае (в силу теоремы 11) эта амплитудная функ-
функция будет /-й фундаментальной функцией нагруженного интеграль-
интегрального уравнения с некоторым осцилляционным ядром. Отсюда и полу-
получается теорема.
Если проанализировать математическую сторону доказательства
теоремы 12, то мы легко убедимся, что по существу нами доказана
некоторая общая теорема о резольвенте интегрального уравнения
с однопарным осцилляционным ядром.
Формулировка этой теоремы не представляет труда; мы ее не
приводим, так как утверждаемое в ней свойство резольвенты содер-
содержится в других более глубоких ее свойствах, излагаемых в следую-
следующем параграфе (см. теоремы 14, 15 и формулу A64)).
В частности, из теоремы 14 следующего параграфа будет вытекать,
что в вынужденном колебании струны под действием пульсирую-
пульсирующей силы, приложенной в точке с, при возрастании частоты
пульсирования р узлы, находящиеся слева и справа от с, моно-
монотонно расходятся от точки с к концам интервала; при этом
при прохождении частоты р через значения р* из точки с г)
выходит узел, движущийся к левому или к правому концу струны,
в зависимости от того, является ли р* частотой левой или пра-
правой части струны (при р=р* соответственно правая или левая
часть струны в вынужденном колебании остается в покое).
§ 9. Резольвента осцилляционного однопарного ядра
1. Покажем прежде всего, что у нагруженного интегрального
уравнения с непрерывным однопарным ядром
резольвента Г (х, s; X) также является однопарным ядром.
С помощью ядра
V(x, s) = ф (х) у. (s) — ф (s) у. (*) (а < s < х < *)
однопарное ядро K(x,s) может быть представлено в виде
2) Если эта точка не является узлом У-го обертона (pj =fcpj)\ в против-
противном случае из точки с выйдут два узла, движущиеся в противоположные
стороны.

266 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
В силу этого представления, интегральное уравнение
ь
<?(х) = \ f K(x9s)<f(s)do(s)+f(x) A52)
а
эквивалентно системе двух уравнений:
X
' ь \ A53)
а
Уравнение Вольтерра:
X
? (х) + X J V (х, s) cp (s) d* {s) = F (x), A54)
а
для любой непрерывной функции F(x) имеет единственное решение,
которое может быть выражено в следующем виде1):
X
9 (х) = F {х) — X J V (х, s; X) F (s) do (s), A55)
a
где
l/(*, s; X) = 2 (- Ц» V{n+i) (x} s)9 A56)
при этом
a?
= J V(x, r) V(»-D (r, s) do (г) (я = 2, 3, .. .)•
8
Так как V (s, s) ss 0 (a <; 5 <; ^), то, как легко видеть, все
ядра V(n)(x, s) (л=1, 2, ...) непрерывны и удовлетворяют усло-
условию VW E,s)sO (a < s < 6).
С другой стороны, так как при любом X ряд A56) равномерно
сходится в треугольнике а<><; #<^2)> то и резольвента
*) См. Привалов [38], стр. 31.
2) Ряд A56)
р [], р
A56) мажорируется сходящимся числовым рядом.
оо
где
iW= max I V (х, s)\.

§ 9]
РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА
267
V(x, s; X) (а
непрерывна и
V(s9s; Х)=зО (а
Отсюда заключаем, что и решение <р(х) уравнения A54) с непре-
непрерывной функцией F(x) всегда непрерывно.
Решая по формуле A55) первое из уравнений A53), найдем, что
X
? (х) =/(*) -X J V(x, s; X)f(s) do (s) + Q)(x; X), A57)
где
*; X) =«}, (x) - \ J V(x, s; X) f (s) do (s).
A58)
Подставляя затем выражение A57) для <р(х) во второе уравне-
уравнение A53) и решая его относительно Q, получим:
ь
где
A59)
Заметим, что непрерывные функции $(х; X) и ^(^; X) суть реше-
решения уравнений Вольтерра:
A61)
х («; х)=х (*)—*• J ^(*, Ю х (*;
Кроме того, в силу A58) и A60),
ь ъ
f ф (^, ^) х E)rfo (fi) -/*(*) х («;
A62)
Пусть теперь ? — произвольное фиксированное число из интер-
интервала а < л* < д.
Для f{x) — K{x9 5) решением уравнения A52) будет резоль-
резольвента Г (я, 5; X).

268
СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Вычисляя таким образом по формуле A57) резольвенту для значе-
значений х<;$ и учитывая, что теперь /($) = ф($))г(?) при $<!?;, найдем
где, согласно A59) и A62),
ъ
;Мх (¦*)*(*)
:<t>/
и, следовательно,
;X)rfa(s)+ фE) X («) X («! ^) Л (*)
1
X (ft
Таким образом, у нагруженного интегрального уравнения A52)
с однопарным ядром резольвента Г (х9 s\ X) = Г (^, х\ X) также
есть однопарное ядро, а именно:
г(^ s. х) =
(х
гд^ функции ty(x\ X) « ^(^; X) определяются из союзных уравнений
Вольтерра A61) с ядром V(x, s)~t/(x)x(s) — ty(s)x(x).
Оказывается, кроме того, что знаменатель в A64) есть не что
иное, как детерминант Фредгольма ?>(Х) уравнения A52):
ъ
D(X)=1-X J<K*'. X)X(s)da(s), A65)

§ 9] РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА 269
а следовательно, числитель в A64) есть минор D(x, s; К):
Для получения A65) заметим, что, согласно правилу вычисления
определителя однопарной матрицы (см. § 3 гл. II, стр. 95),
S2 ... Sn
(aOiO2<-••<>*<*; и =2, 3,...),
а следовательно, в силу E')
ъ ь
с^ j K(s,
а
J J
а а а а
Ъ х
J / X(*) УЫ-1) (x, s) ф (s) do (s) do (x) (n = 2, 3,...),
a a
откуда, согласно E) и A56):
со
Ь X
— 1 —X J" х(jc) [ф(дс) —X J V(x, s; X)i((s)do
a a
что и даст A65).
Между прочим, таким же методом, путем непосредственного вы-
вычисления коэффициентов разложения D(x, s; X) по степеням X, можно
было бы вывести и формулу A66).
2. Из разложения резользенты:
учитывая A66), найдем1):
b;j = O, 1, 2,...). A67)
i) Равенство A67) получается в предположении, что Х^ —простое соб-
собственное число. Для однопарного ядра это всегда имеет место, так как если

270 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Отсюда заключаем о существовании таких констант Ср d,j
(у = 0, 1, 2,...), что
?Д*) = *Ж*; ^)=<*д(*; Ч (/=о. ь 2,...). 068)
3. Теперь мы без труда докажем следующее предложение:
Теорема 13. У нагруженного интегрального уравнения A52)
с однопарным осцилляционным ядром резольвента Г (а:, $\ X) также
является однопарным осцилляционным ядром при всех значениях
параметра X, меньших наименьшего характеристического числа Хо
уравнения A52).
Доказательство. Так как однопарность ядра Г(лг, $\ X) уже
установлена, то для доказательства его осцилляционности при Х<Х0
согласно критерию А (стр. 260) остается показать, что при X < Хо
квадратичная форма
Ф= 2 Г(*,,**;Х)М* (*<*!<**<...<*
положительна*).
При 0 < X < Хо для Ф имеет место разложение
в котором первый член положителен (в силу осцилляционности ядра
К(х, s)), а все следующие неотрицательны.
При — оо < X < 0 имеем ?>(Х) > 0 и
D (X) • Ф =
бы некоторое собственное число lj имело кратность, большую единицы,
то вместо A67) мы имели бы
D(x,s;lj)==<\>(x; X,-) х(s; X,) = 0
а отсюда легко заключить о существовании такого с (а < с <! b)t что
Отсюда и из A61) находим, что ty(x) = 0 при х < с и х (*) = 0 при л: > с,
а тогда К(х, s) = 0 (а < дг, 5 < ?).
х) Согласно критерию А достаточно это показать для значений т = 1, 2.

§ 9] РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА 271
причем первое слагаемое положительно, а все следующие неотрица-
неотрицательны, так как при любых si9 S& .. ,,sn из (а, Ь):
Теорема доказана.
Как было выяснено в § 7, из этой теоремы вытекает справедли-
справедливость теоремы 11 в расширенном толковании.
4. Исследуем теперь осцилляционные свойства функции ty(x\ X)
в интервале а^х-^Ь в их зависимости от значений X.
Для этого отметим следующее свойство нагруженного интеграль-
интегрального уравнения A52) с однопарным ядром:
1° Если 5с(?) = 0, то
A69)
В самом деле, если ^(^) = 0, то
а следовательно,
ь
Пусть теперь а < \ < b и рассмотрим интегральное уравнение:
(х, s) ср (s) do (s), A70)
где
Легко видеть, что
где
Замечая, что
находим, что для уравнения A70) определение функции ф(*, X) в интер-
интервале а^х^Ь остается тем же, что и для уравнения A52).

272 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Так как ^($)==0, то мы можем воспользоваться формулой A69)
в применении к функции <{>(?; X) и детерминанту Фредгольма
уравнения A70).
Таким образом,
Если К (х, s) (a-^Xy s^b) — осцилляционное ядро, то таковым
будет и ядро Kt(x, s) (аО, $•<?). В этом случае Д(Х) будет
иметь только простые положительные нули:
и их будет бесконечная последовательность, если мы предположим,
что в любом интервале (а, ?) функция а (л:) имеет бесконечное число
точек роста.
Поэтому в указанных предположениях (см. § 1, формулу A6))
Имеет место предложение:
2° При непрерывном убывании \к а каждое Xj (S) (/ = 0, 1, 2, ...)
непрерывно возрастает, стремясь к -j-oo.
В самом деле, пусть а < v\ < 6 и рассмотрим параллельно с урав-
уравнением A70) уравнение:
ср (х) = X J /С* (х, s) ? (s) do F), A72)
где
/С* (л:, s) ss тг-7 ч г, / ' ч г, / ' \ (^ <! л:, 5 <! Е).
Если обозначить через X* (/= 0, 1, 2, ...) последовательные
собственные числа уравнения A72), то, согласно п. 2 § 5,
h© < х; < Xi+1 E) (/ = 0, 1, 2, ...). A73)
С другой стороны, так как /f* (x, s) = 0, если л: и 5 лежат по
разные стороны от г\, то уравнение A72) распадается на два уравне-
уравнения (см. п. 1 § 8), из которых одно получается путем замены верх-
него предела на т] и, следовательно, имеет вид
а другое получается путем замены нижнего предела на Y).

§ 9] РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА 273
Таким образом, последовательность {kj} образуется путем соеди-
соединения последовательностей характеристических чисел этих двух инте-
интегральных уравнений.
Простое вычисление показывает, что
/С* (х, $)==К^(х9 s) при я<л;, s<y).
Стало быть, последовательность [kj\ содержит в себе последова-
последовательность {АД-/))} и, в силу A73), ^(&)<Х,(т|) (/ = 0, 1, 2, ...).
Как мы знаем (см. стр. 244), если г\ не совпадает с узлом фунда-
фундаментальной функции ср?) (х) уравнения A70), то в A73) знак равенства
невозможен, а следовательно, Х^ (?) < \j (yj). А так как всегда можно
выбрать т]', не совпадающее ни с одним узлом функции так, что
ч\ < ч' < Е и тогда X, (Ц) < Х^ (yj') <; X,- (tj), to мы заключаем, что
^©<^(т|)приа<4<? (/ = <>, 1, 2, ...)•
Из непрерывности функции ty(?; X) по S вытекает непрерывность
ее корней ХД|) (/' = 0, 1, 2, ...).
Нам осталось доказать, что
lim Xj (Q = оо (/ = 0,1,2,.. .)¦ A74)
Предположим сначала, что х (Ь) Ф 0, а следовательно, К (Ь, Ь) =
Ф(*)()
()х()
В этом случае в предыдущих рассуждениях % можно было также
придавать значение, равное Ь* Согласно замечанию в § 5
*»-i (*)<*•<*»(») (л = 0, 1, 2, ...). A75)
Воспользуемся соотношением A71). В силу него и формулы A68),
?„© = const. П
При убывании 6 от b к а функция сри($) меняет знак точно п раз
и, когда она меняет знак, то обязательно некоторое Х^($) проходит
через значение Хм. В силу A75) заключаем, что через значение кп
пройдут Хо(?), Xj®, ..., Хм-1($) и только они.
Следовательно, при ?, достаточно близком к а, \>(?)>^п> а так
как Xw->-|~ °° ПРИ л-^оо> то A74) доказано для рассматриваемого
случая.
Так как при замене исходного интервала (а, Ь) каким-либо дру-
другим (а, ?'), где a<bf <Ь, функция ф (л:; X) в интервале а <^ л: <; У
остается той же, а х(Ь')фО, то A74) всегда имеет место»
Предложение 2° доказано»
К изложенным рассуждениям нужно очень немного добавить, чтобы
получить следующую теорему.
Теорема 14. Если К{х, s) — однопарное осцилляционное ядро
и ty{b) Ф 0, то при
К-АЪ)<\<К(Ь) (п = 09 1, 2, ...; Хв1 —-оо) A76)
18 Зак. 1951. Гаитмахер и Крейн.

274 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
функция ф (л:; X) имеет внутри (а\ Ь) точно п нулей: аг (X) <
< а2 М < • • • < ап М> которые являются узлами и монотонно
убывают с возрастанием X, при этом \п(р) (я = 0, 1, 2, ...) су/я&
последовательные корни уравнения
Ш х) = °- A77)
Доказательство. Без ограничения общности можно считать,
что х (Р) Ф О, ибо в противном случае мы заменили бы в определении
ядра К(х, s) функцию у(х) на Xi (•*) = ¦(*) +Х(*)> для которой
уже Xi (Ь)фО и при этом осцилляционность ядра сохранится, а функ-
функция ф(я; X) не изменится.
Следовательно, представление A71), как уже отмечалось, будет
иметь место для всех значений ? ^ Ь и > а. Если X удовлетворяет
неравенству A76), то из всех ХД?) (/ = 0, 1, 2, ...) только Хо(?),
Xj (?), ..., Хя-1(?) при убывании \ от & до а, возрастая, пройду
через значение X. Отсюда вытекает, что функция <Ь (х\ X) при указан-
указанных значениях X имеет внутри (а, (?) точно п узлов <х1(\), а2(Х), ...
..., сип (X) и никаких других нулей внутри {а, Ь) не имеет, причем
эти узлы являются соответствующими корнями уравнений
Х (/ = 0, 1, 2, ..., «—1).
Из предложения 2° одновременно вытекает монотонное убывание
функций а/(Х) (j = 0, 1, 2, ..•) при возрастании X.
Замечание 1. Так как D(x, b\ X) = y(b)& (x; X), то из тео-
теоремы 14 вытекает соответствующее утверждение для резольвенты
Г (х, Ь\ X) для случая, когда К (Ь, Ь)Ф0. В применении к резольвенте
струны это дает утверждение, высказанное в конце § 8.
Замечание 2. Если ф(Ь) — 0, то также х (Ь) = 0 (в силу моно-
монотонного роста отношения - /(), а следовательно,
V(b,s) = 0 (
и
ь
b(Ь; К) = ty(b)+ l JV((>,$)<!?(s; К)d,(s)^0 (-oo<X< -foo)..
Таким образом, определение чисел ХД?) (j = 0, 1, 2, ...) как
корней уравнения A77) теряет всякий смысл. Но их можно опреде-
определить как соответствующие пределы:
= Нш X,. F) (/ = 0, 1, 2, ...). A78)
Так как положительное отношение х(х)/$(х) есть убывающая
функция х, то существует предел

§ 9] РЕЗОЛЬВЕНТА ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ОДНОПАРНОГО ЯДРА 275
а следовательно, независимо от того, будет ли К (Ь, Ь) = О или Ф О
всегда имеет смысл осцилляционное ядро Къ (х, s) при следующем
его определении:
Ит Кь(х98)=*К(х,8) — ВЪ(хЩ$) (а<*, s<b).
S6
Числа lj(b) (/ = 0, 1, 2, ...), определенные равенствами A78),
легко видеть, одновременно будут характеристическими числами инте-
интегрального уравнения
ь
fs). A79)
После всего сказанного легко заключить, что при указанном опре-
определении чисел hj(b) (i=0, I, 2, ...) теорема сохраняет силу и при
Н)
)
5. Очевидно, что функция у(х; X) обладает свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам ty(x; X). Таким образом, х(х; X) отвечает некоторая
последовательность чисел [aw(# = 0, 1, 2, ...) таких, что при
t*ft-i<*On (« = 0, 1,2, ...; ja-1= —оо)
эта функция имеет внутри (а, д) точно п нулей, притом узлов ^ (X) >
> ?2 М > • • • ^ Р« М> К0Т0Рые монотонно возрастают с возраста-
возрастанием X. Если 1 (а) Ф ^> то числа \ъп определяются как последователь-
последовательные корни уравнения
Независимо от того, будет ли х (а) Ф 0 или =я 0, эти числа можно
определить, как собственные числа интегрального уравнения, полу-
получающегося из уравнения A79) путем замены ядра Къ(х, s) ядром
Ка{х, s) = K(x, s) — Ax(x)x(s)
где
/\ '¦¦' ¦« ИГЛ
Имеет место
Теорема 15. При X, равном одному аз характеристических
чисел интегрального уравнения A52), узлы функций ф (л:; X) и
Х(х; X) совпадают; при прочих же значениях X узлы этих функ-
функций перемежаются.
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосред-
непосредственно вытекает из формул A68).
Учитывая монотонность узлов a (X) и {3 (X), для доказательства
второго утверждения достаточно обнаружить, что при X, не равном
ни одному из X,- (/ = 0, 1, 2, ...), функции ty(x; X) и у (а:; X) не
могут иметь общего нуля внутри (a, b).

276 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Допустим противное, т. е. что при некотором X = Х° (ф Х^;
j = 0, 1, 2, ...) и некотором а (а < а < д)
Тогда функция
— х
имеет в точке Х° нуль по крайней мере второго порядка, а это не-
невозможно, так как
Теорема доказана.
С помощью теорем 14, 15 можно дать другое доказательство
теоремы 12.
Из теорем 14, 15 легко вытекает также то утверждение относи-
относительно вынужденных колебаний струны, которое было сделано
в конце § 8.
Заканчивая этот параграф, заметим, что доказанные здесь свойства
функций Ь(х; X) и х(х; X) можно было бы получить, не опираясь
нигде на общую теорию интегральных уравнений с осцилляционными
ядрами, используя лишь систематически тот факт, что выполнение
условий 1°, 2° критерия А (стр. 260) обеспечивает положительную
определенность однопарного ядра, а также специальную структуру
его резольвенты и опорных ядер К$(х, s).
После этого можно было бы независимо от общей теории получить
все осцилляционные свойства фундаментальных функций интегральных
уравнений с однопарным осцилляционным ядром.
В алгебраическом случае аналогичное было проделано, так как
в § 1 гл. II теория осцилляционных свойств якобиевых матриц, яв-
являющихся обратными к однопарным матрицам, была построена неза-
независимо от общей теории осцилляционных матриц.
§ 10. Уравнения Штурма-Лиувилля
1. Если на струну S действуют поперечные силы с интенсивностью
f(x) @ ^ х ^ /), то зависимость между прогибом у и интенсивностью /,
как известно, выражается в виде
где Т—натяжение струны.
Если струна скреплена с некоторым упругим основанием, действую-
действующим на элемент dx с силой —k{x)ydx, то зависимость между у и
/ получится путем замены в A80) функции f(x) на f(x) — k{x)y(x),

§ 10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 277
что даст
Если предположить, что распределение масс вдоль струны имеет неко-
тор>ю плотность р(х), то по принципу Даламбера уравнение свободных
колебаний струны напишется в виде
-T% + k(x)y = -9{x)d-?%. A80)
Относительно концов нити сделаем предположение, что они скре-
скреплены с невесомыми колечками, свободно скользящими по некоторым
идеально гладким контурам Со и Сх.
Через А В мы обозначим прямолинейное положение равновесия
струны (при действии на нее только силы натяжения). Таким образом,
отрезок А В нормален в точках А и В к контурам Со и Ct.
Для малых колебаний струны из положения АВ ее прогиб у (х, t)
будет удовлетворять двум граничным условиям, вытекающим из того
механического факта, что силы, действующие на колечки с нулевыми
массами, уравновешиваются (реакция нити уравновешивается реакцией
гладкого контура). Последнее возможно лишь в том случае, если ли-
линия прогиба нити все время остается в своих концах нормальной
к контурам Со и Cv Нетрудно показать, что в дифференциальной
форме эти условия записываются следующим образом:
где х0, Xj — кривизны контуров Со и Ct в точках А и В соответ-
соответственно.
Случай неподвижного конца мы будем трактовать как случай ра-
равенства соответствующего коэффициента х бесконечности (соответствую-
(соответствующий контур С обращается в окружность нулевого радиуса).
Из A80) и A81) вытекает, что для гармонических колебаний
струны S: у(х, /) = <р С*0 sin (/tf-|-а), амплитудная функция ®(х) и
частота р определяются из краевой задачи:
° \
A82)
2. Получившаяся краевая задача мало чем отличается от регуляр-
регулярной краевой задачи Штурма-Лиувилля самого общего вида:
A83)
где а и р — некоторые вещественные числа.

278 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Регулярность здесь означает неотрицательность почти всюду функ-
функции г (х), необращение функции р (х) в тождественный нуль ни в одном
подинтервале и интегрируемость в (а9 Ь) трех функций: r(x\ q(x) и
р-Нх).
Очевидно, что краевая задача A81) в предположении интегрируе-
интегрируемости функций k(x) p(x) есть частный случай краевой задачи A83).
С другой стороны, условие интегрируемости функции р~г(х) по-
позволяет произвести в A83) замену переменной
J
-4^ , 084)
р{х)> к J
а
после чего система A83) приводится к виду A82) с
ъ
7=1, /=J^?-, xo = — ctga, x1==ctgp
а
И
b(s) = p{x)q(x), p(s)=p(x)r(x),
при этом условие интегрируемости функций q{x) и г(х) по х даст
интегрируемость функций k(s) и р (s) no s.
Отметим, что условие интегрируемости функции r(s) для задачи
со струной вполне естественно, так как оно означает конечность общей
массы струны.
С чисто математической стороны интегрируемость функций k(s)
и г ($) важна тем, что она обеспечивает при любом \ существование
и единственность решения системы
каковы бы ни были числа с0, си точка s0 @ ^ s0 ^ I) и функция g (s),
на доказательстве чего, однако, мы останавливаться не будем.
Ввиду всего сказанного, единственное серьезное отличие, которое
можно усмотреть в системах A82) и A83), заключается в том, что
в системе A82), если она соответствует реальной механической задаче,
всегда А(дг)>-0, хо!>О и Xj^O, в общей же системе A83) ника-
никаких ограничительных предположений относительно знака функции q (x)
и чисел ctga, ctgj3 не делается.
Последнее обстоятельство может повлечь существование у крае-
краевой задачи A83) отрицательных характеристических чисел. Однако,
как это будет показано в п. 4, таких характеристических чисел у лю-
любой краевой задачи A83) может быть только конечное число.
Поэтому, если выбрать достаточно большое f и проделать в A83)
подстановку \->\ — f, то краевая задача A83) преобразуется в за-

§ 10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА- ЛИУВИЛЛЯ 279
дачу, имеющую только положительные характеристические числа.
А мы покажем, что краевая задача с положительными характеристи-
характеристическими числами всегда эквивалентна некоторому нагруженному ин-
интегральному уравнению с однопарным осцилляционным ядром.
Этим самым будет показано, что осцилляционные теоремы Штурма
для фундаментальных функций краевой задачи A83) естественно по-
получаются в плане наших общих исследований, а именно, они выте-
вытекают из соответствующих теорем для интегральных уравнений с про-
простейшим осцилляционным ядром (однопарным).
3. Обозначим через L [<р] оператор х)
фигурирующий в системе A83).
Для исследования краевой задачи A83) введем в рассмотрение
два решения ^(л:) и у(х) однородного уравнения
Ы?] = о,
причем первое из них выберем так, чтобы оно удовлетворяло первому
граничному условию, т. е.
а второе — второму граничному условию, т. е.
Из
получается известное тождество:
х) Оператор L [<р] мы будем считать применимым к некоторой функ-
функции у(х); если эта функция абсолютно непрерывна, а ее почти всюду суще-
существующая производная <р' (л:) после умножения на р (х) почти всюду совпа-
совпадает с некоторой абсолютно непрерывной функцией. Иначе эти условия можно
сформулировать как требование того, что функция ср (л:) (а < х < Ь) после
выражения переменной х через переменную ^(исходя из A84)) должна всюду
обладать абсолютно непрерывной производной по s.
Для таких функций ср(лг) (я<лг<6) под р~ мы будем понимать непре-
непрерывную функцию, определяемую равенством
р dx ~~ ds '
Собственно, только после этого пояснения приобретают точный смысл
граничные условия в A83), да, впрочем, и само дифференциальное уравнение
задачи.

280 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Здесь константа С равна нулю в том и только в том случае,
когда функции ф и ^ линейно зависимы. В этом случае X = 0 является
характеристическим числом краевой задачи A83) (функция ф удовлетво-
удовлетворяет системе A83) при Х~ 0) и граничные условия в A83) называются
особенными.
Предполагая, что этот случай не имеет места, путем домножения
функции ф (или у) на О1 мы добьемся того, что
*)¦ 085)
Образуем после этого ядро
Это ядро обладает важным свойством: оно позволяет получить
для любой интегрируемой функции f(x) (а^х^ Ь) решение <р(л:)
соответствующей дифференциальной системы:
по следующей простой формуле:
ь
ds. A87)
Не приводя общего определения функции Грина, заметим, что
в силу указанного свойства ядро К {х, s) называется функцией Грина
оператора L (<р), соответствующей рассматриваемым граничным условиям
(иначе еще — функцией Грина краевой задачи A83)). В случае, когда
дифференциальной системой A83) выражается зависимость прогиба <р
струны от интенсивности / действующих на нее поперечных сил,
функция Грина будет не чем иным, как функцией влияния струны.
Формулу A87) иначе еще можно записать так:
и после этого нетрудно убедиться непосредственной подстановкой
в A86), что она дает всегда решение этой системы.
Единственность решения при любой интегрируемой правой части
f{x) вытекает из существования единственного решения <р = 0 одно-

§ 10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 281
родной системы (при / = 0) согласно условию неособенности гранич-
граничных условий.
Так как краевая задача A83) получается из A86) путем замены
f(x) на \г (х) с? (х), то, произведя соответствующую подстановку
в A87), мы найдем, что эта краевая задача эквивалентна повсюду
нагруженному интегральному уравнению
ъ
<р (х) = X J К (х, s) ? (s) do (s), A88)
а
где
do (х) = г (х) dx.
Ввиду этого представляется важным выяснить, когда функция
Грина будет осцилляционным ядром. Ответ на это дает
Теорема 16. Для того чтобы функция Грана K(x,s) (a^.x,
s<*Cb) краевой задачи A83) была осцилляционным ядром, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
К{х, х)*=$(х)х(х) > 0 (а <х < Ь). A89)
Это условие эквивалентно условию положительной определен-
определенности функции Грина или, что одно и то же, условию положи-
положительности всех характеристических чисел краевой задачи A83) *).
Доказательство. В самом деле, так как функция Грина К (х, s)
есть однопарное ядро, то, согласно критерию Л § 7, это ядро будет
осцилляционным в том и только в том случае, когда, кроме усло-
условия A89), будет еще выполнено условие монотонного возрастания
отношения Ф(аг)/х(аг) при возрастании х. Последнее же условие для
функции Грина всегда выполняется на любом интервале, где у (л:) 0
так как, согласно A85),
Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.
Второе утверждение вытекает из следующих двух замечаний.
Для симметрического ядра требование осцилляционности всегда
включает в себе требование положительной определенности.
Для однопарной функции Грина К (х, s) имеет место и обратный
факт: из положительной определенности ядра вытекает его осцил-
осцилляционность.
*) Так как функция Грина не зависит от выбора функции г (х), то отсюда
можно сделать следующий вывод: если при одном выборе функции г(х) все
характеристические числа краевой задачи положительны, то это же бу-
будет иметь место при всяком ином выборе почти всюду положительной
функции г (х).

282 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
В самом деле, если К (х, $)—положительно определенное ядро,
то во всяком случае
К(х, х) ^> 0 при а < л; < ?
и, как мы это неоднократно показывали (см. стр. 223), если при неко-
некотором х0 (а < х0 < Ь) значение К(х0, х0) = 0, то тогда тождественно
относительно s:
К(х0, 5)вО (
а, в силу однопарности ядра, это означает, что должно иметь место
одно из трех соотношений:
2) фE) = 0 (a<s*Cx0),
3) x(s) = O (*о <*<*)>
что противоречит A85).
Теорема доказана.
4. Покажем теперь, что краевая задача A83) всегда имеет конеч-
конечное число отрицательных характеристических чисел и, следовательно,
после достаточно большой сдвижки параметра X ~> X — y она стано-
становится эквивалентной интегральному уравнению с однопарным ядром.
Если Ха и Хр — два различных вещественных характеристических
числа краевой задачи A83), а сра и ор — соответствующие им фунда-
фундаментальные функции, то, как это легко устанавливается интегриро-
интегрированием по частям,
ъ ь
(К — h) / ?«(х) <ре (х) г (х) dx = J (?pL Ы — <ол1 fop]) dx = 0.
a a
А так как попарно ортогональных вещественных функций может
быть не более чем счетное число, то отсюда вытекает, что веще-
вещественных характеристических чисел у краевой задачи A83) не более
чем счетное число.
Поэтому при исследовании краевой задачи A83) без ограничения общ-
общности можно предположить, что граничные условия в A83) не являются
особенными (т. е. Х = 0 не является характеристическим числом).
Действительно, если бы это условие не было выполнено, то можно
было бы добиться его выполнения, произведя в системе A83) сдвижку:
X ~* X — f, где 7 — любое вещественное число, не являющееся харак-
характеристическим для системы A83).
Таким образом, согласно изложенному в п. 3, мы можем исходить
из того, что у системы A83) существует однопарная функция Грина
и эта система эквивалентна интегральному уравнению A88).
Следовательно, нам остается показать, что это интегральное урав-
уравнение имеет конечное число отрицательных собственных чисел.
Для этого сперва заметим, что у функций ф и у, как у всякого
решения <р(л;)^?О однородного уравнения L[cp] = O, число нулей

§ 10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 283
в интервале (а, Ь) конечно1). Кроме того, у функций ^ и •/ эти нули
перемежаются. В самом деле, общих нулей у ф и / нет, и между
всякими двумя нулями функции у (функции ф) отношение ф/jr (соот-
(соответственно yjty) монотонно изменяется от — оо до -f- со (соответ-
(соответственно от -|~°° до —оо).
Ввиду всего этого требуемое свойство системы A83) будет до-
доказано, и, более того, мы приобретем правило для точного опреде-
определения числа отрицательных характеристических чисел этой системы,
если докажем следующее общее предложение.
Теорема 17. Пусть К(х, $) (а^х, s^b) — некоторое одно-
парное ядро, у которого функции ty(x) и %(х) обладают следую-
следующими свойствами:
1° Функции ty(x) и у(х) имеют конечное число нулей в (а, д),
причем нули их различны.
2° Во всяком подинтервале, где х (х) Ф 0, отношение ф (х)/у (х)
есть монотонно растущая функция.
Тогда число N отрицательных собственных чисел повсюду
нагруженного интегрального уравнения
ь
? (jc) » a J К (х, s) о (s) do (s) A90)
а
будет совпадать с числом узлов функции у^ (х) или будет больше
его на единицу в зависимости от того, положительно или отри-
цательно К{ху х) при значениях х ф аи достаточно близких к а2).
Доказательство. Пусть
(а<)а1<а2< ... <av (<*)
— все внутренние нули функции у (х) (а ^ х <^ Ь).
В силу условий 1°, 2°,
Иш Н^)_ , lim t(f)_ r/_ i о V4
и, таким образом, aj (У=Ь 2,..., v) суть узлы функции
Выберем число в > 0 так, чтобы
а<(хх — s, ^ + 8<а^+1 —в (/=1, 2, ..., v— 1), а
л) В самом деле, если бы у некоторого решения у(х)фО было бы
бесконечное число нулей в (at b), то в их предельной точке функция <р (х)
и ее производная /? ~- обращались бы в нуль, что по теореме единствен-
единственности невозможно.
2) Из доказательства теоремы будет явствовать, что если интегральное
уравнение не повсюду нагружено (функция a (x) имеет интервалы постоян-
постоянства), то можно будет лишь утверждать, что iV^v или, соответственно,
Af<-|-1 (v — число узлов функции >;).

284 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
И
4 Ы <«*(/=l>2,...,v). A91)
Пусть теперь
a<st<s2< ... <$n<t>
— произвольная система точек, отличных от узлов
«,(/=1, 2, ..., v),
среди которых содержатся точки
(/=Ь 2, ..., v),
и пусть ф (st) Ф 0.
Рассмотрим квадратичную форму
Последовательные главные миноры А1? Д2, ¦.., Ате этой формы
имеют следующие значения (см. пример 5 § 3 гл. II):
i = Ф W У. (*Л Д7. = Ф (*i) ^ E2, SX) V (SZ9 Sj ... V (Sk9
(ft = 2, 3, ..., n),
где
Число отрицательных квадратов формы F равно (согласно тео-
теореме 5 § 7 гл. I) числу отрицательных чисел в ряду
? а?»
где
Заметим, что
Vto, ^-1)-1CWX(^[^-^]>O A92)
(ft = 2,3, ..., п).
В самом деле, если между sk_t и 5fc нет нуля х(х), то A92) сле-
следует из условия 2°; если же между sk_t и sfc имеется некоторый
нуль 0^, то числа sk_t и 5fe лежат в интервале [cxj — г, O/-j~s] и не-
неравенство A92) будет следовать из A91) и того, что в этом случае
fa)(H

§ 10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 285
Этим самым доказано, что число v отрицательных квадратов
формы F равно числу v или v+1 в зависимости от того, будет ли
Lx = K(Si9 st) положительно или отрицательно. Заметим, что если sx
+
достаточно близко к а, то число v совпадает с тем числом, отно-
относительно которого мы желаем доказать, что оно равно iV. Пусть теперь
Х<!> < № < ... < Х<«> « 0) A93)
— некоторые из отрицательных собственных чисел уравнения A90),
а срС1)^), срB)(лг), ..., <?(*») (х)— соответствующие им фундаменталь-
фундаментальные функции, так что
ь ь
?(р) (х) = ХЫ JK(x, s) ©<р> (s) da (s); f <p(P) (s) <рй> (s) da (s) = bp
bpq
(p, ? = 1, 2, ..., m).
Тогда для любой функции
справедливо неравенство
I J ЛЧх,
Воспользуемся сейчас тем, что система точек s^ о которой гово-
говорилось раньше, может быть всегда выбрана настолько густой, чтобы
все разности
а/аЛ - ^ (р, 9 - 1, 2, ..., т)
(Д^ = °(^) —0E/-i); У = 1. 2, ..., л; 50 = а)
были сколь угодно малыми по абсолютной величине.
Это позволяет утверждать, что при достаточно густой системе точек
si < S2 < • • • < ^п квадратичная форма переменных iq^ tj3, ..., т|от
является отрицательно определенной и, таким образом, разлагается
в сумму яг отрицательных квадратов. С другой стороны, эта форма
получается из формы F путем линейной подстановки
%¦ = A«i 2 ?№) (*у) ъ (; = 1, 2,...,

286 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
а при любой линейной подстановке число отрицательных квадратов
формы (равно как и положительных) увеличиться не может *).
Таким образом, /я<>, а следовательно, ввиду произвольности
набора A93), интегральное уравнение A90) имеет некоторое конеч-
конечное число jV отрицательных собственных чисел и при этом 7V<v.
Так как по условию в уравнении A90) функция о (л:) монотонно
растет, то (см. § 1, стр. 200) имеет место разложение:
в котором можно считать
Хо < \ < ... < X* _г <
Но тогда
00 Z2 iV~~1 Z3
F= S if = S *f
Где 7i = 0 7г = 0 *J=1
» со „2 **
f2?i (* = 0, 1, 2, ...)•
Таким образом, форма F получается из некоторой неотрицатель-
неотрицательной формы путем вычитания N квадратов, а значит, по теореме 17
+
гл. I имеет не более N отрицательных собственных чисел, т. е. v <^ N.
Теорема доказана.
Замечание I. Для интегрального уравнения A90), удовлетво-
удовлетворяющего условиям теоремы 17, в обобщение теоремы 13 § 9 можно
доказать, что при всех X, меньших наименьшего характеристического
числа Хо этого уравнения, его резольвента Г (л*, 5; X) является осцил-
ляционным однопарным ядром.
Так как при любом вещественном регулярном значении f ядро
Г (л:, 5; —f) имеет те же фундаментальные функции, что и исходное
х) В самом деле, если в некоторой форме
Д
имеющей v отрицательных квадратов, проделать линейное преобразование
от переменных fy (J в 1, 2, ..., п) к переменным т1р (р = 1, 2, ..., m; m es^n),
то при этом линейные функции Xi (I = 1, 2, ..., г) перейдут в некоторые
линейные функции К< (/ = 1, 2, ..., г) (возможно и зависимые), и новая форма
г
во всяком случае получится из неотрицательной формы 2 ^? путем вычита-
ния v квадратов KJ (/=1, 2, ..., v) и, следовательно, по теореме 17 гл. I
будет иметь не более чем v отрицательных характеристических чисел.

§10] УРАВНЕНИЯ ШТУРМА- Л ИУ ВИЛ Л Я 287
ядро К(х, s), а собственные числа этих ядер X. и X' (/==0, 1, 2, ...)
связаны соотношениями X'. = Х. -j-f (/ = 0, 1, 2, ...), то последова-
последовательные фундаментальные функции уравнения A90), удовлетворяю-
удовлетворяющего условиям теоремы 17, обладают всем комплексом осцилляцион-
ных свойств.
Если Tt {х, s\ X) — резольвента, соответствующая ядру Kt (х, s) =
= Г(аг, 5; —?) (ПРИ той же Функции распределения масс о(х)), то
Tt(x, s; Х) = Г(дг, 5; X—f), в частности К(х, s) — Y1(x> s; 7).
Пользуясь этим, а также теоремами 14 и 15 § 9, можно доказать,
что для однопарного ядра К(х, s) условия 1°, 2° теоремы 17 суть
необходимые и достаточные условия того, чтобы повсюду нагружен-
нагруженное интегральное уравнение A90) имело резольвенту Г (лг, s; X), являю-
являющуюся хотя бы при одном значении X (а тогда и при всех значениях,
меньших наименьшего собственного числа уравнения A90)) осцилля-
ционным ядром.
Замечание И. Если в интегральном уравнении A90) ядро
К(х, $) есть функция Грина краевой задачи A83), a dz (х) = г ix) dx,
то в представлении A64) § 9 резольвенты Г (л:, s; X) функции §{х\ X)
и У.(х> ^) определяются при любом X как решения дифференциаль-
дифференциального уравнения
/, [ср] — >чг (л:) ср = О
при начальных условиях
ах х=а ах \х=а
для функции 6 (л;; X) и условиях
для функции х(х; X).
Это легко получается из уравнений A58), A60) § 9, определяю-
определяющих функции ф(л*; X) и хО*; ^)> если учесть, что в рассматриваемом
случае функция V (л:, s) есть функция Коши оператора L [<р]. Послед-
Последнее означает, что для любой интегрируемой функции f(x) интеграл
х Ь
fv(x, s)f(s)ds (соответственно fv($, x)f(s)ds)
а я?
дает решение уравнения
с нулевыми значениями <р и р~ в точке а (соответственно Ь).
Вследствие этого теоремы 14, 15 § 9 для рассматриваемого слу-
случая интегрального уравнения A90) дают известные осцилляционные
теоремы Штурма о решениях дифференциальных уравнений 2-го по-
порядка при наличии линейно входящего параметра X.

288 СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [ГЛ. IV
Заканчивая параграф, заметим, что, хотя мы рассмотрели краевую
задачу Штурма-Лиувилля в достаточно общей постановке (обычно
задача рассматривается при более жестких ограничениях относительно
коэффициентов уравнения р(х)> д(х), г(х))9 мы на этом пути не
исчерпали всех открывшихся возможностей в результате наших инте-
гро-алгебраических исследований.
В самом деле, если взять, например, интегральное уравнение A90)
с функцией Грина К (х, s) оператора L [ср], то оно будет иметь смысл
при любой монотонной функции распределения о (л:) (без требования
ее абсолютной непрерывности), и мы располагаем определенной тео-
теорией таких уравнений. Если исходить от такой произвольной функ-
функции распределения о(х), то интегральное уравнение A90) будет экви-
эквивалентно не дифференциальной системе A83), а при определенном
ее толковании интегро-дифференциальной системе *):
dy
Р dX
X X
l~jq (х)у (х) dx + kjy (x) do (x) = О,
0, (sinC-<p-}-cos |
=0.
Если, кроме того, мы вспомним общее толкование из § 7 поня-
понятия об упругом опирании струны, то дальнейшим естественным шагом
на пути обобщения будет замена интегро-дифференциального уравне-
уравнения в A94) следующим уравнением:
X
(x) + X jy (x) do(x) - 0,
где г(х) — произвольная функция ограниченной вариации.
Утверждение, сформулированное в конце замечания I, позволяет
утверждать, что фундаментальные функции так общо поставленной
краевой задачи также будут обладать полным комплексом осцилляци-
онных свойств, если только а(х) есть монотонно растущая функция.
Через /|J обозначается f(x) -~f(a).

ГЛАВА V
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ
В настоящей главе помещены различные обобщения и дополне-
дополнения к теории осцилляционных матриц, изложенной в главе II.
§ 1. Основные определения
Определение 1. Прямоугольную матрицу А = \\aik\\
G=1, 2, ...,w; &=1, 2, »..,я) будем называть знакоопределен-
ной класса d (d^.m, n), если для любого p^.d все отличные от
нуля миноры р-го порядка имеют один и тот же знак гр. Если при
этом для любого р ^.d все миноры р-го порядка отличны от нуля,
то мы будем называть матрицу А строго знакоопределенной.
В частности, при гх = е2 =.».== га = 1 знакоопределенная (строго
знакоопределенная) матрица класса d называется вполне неотрица-
неотрицательной (соответственно вполне положительной) класса d.
Понятие об осцилляционной матрице обобщается следующим
образом.
Определение 2. Квадратную знакоопределенную матрицу
А — || aik||"класса d(d^.n) будем называть матрицей класса d+, если
некоторая степень матрицы А является строго знакоопределенной
класса d.
Очевидно, осцилляционная матрица ^==я||^й.||^ является вполне
неотрицательной матрицей класса я+.
Замечание. В случае, когда d = min(m, n)> мы слова «класса d»
будем опускать и будем говорить просто о знакоопределенных,
строго знакоопределенных, вполне неотрицательных и вполне положи-
положительных матрицах.
Приведем некоторые примеры знакоопределенных матриц.
Пример 1. Всякая вполне неотрицательная (вполне положи-
положительная) матрица является знакоопределенной (соответственно строго
знакоопределенной) матрицей.
Пример 2. Если в любой вполне неотрицательной (соот-
(соответственно вполне положительной) матрице А перенумеровать все
]9 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

290 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
горизонтали (либо все вертикали) в обратном порядке, то получится
знакоопределенная (соответственно строго знакоопределенная) матрица.
При этом для любого р -^.т, n будем иметь
ip—1)
.,-(-1) 2 •
Пример 3. Однопарная матраца L— ||/^||Г в элементами
где все числа ф1? ..., фи; /и • • •> Хп отличны от нуля, тогда и
только тогда является знакоопределенной, когда все числа tyv
ф2, ..., tyn имеют один и тот же знак е^, все числа ул, ^2, .. .,х»
имеют один и тот же знак гу и выполняется одна из двух
систем неравенств
либо
Zi 7.2 Хп
В случае а) ?р = Ц?у, в случае б) ер = (—1)р~1е^г
Ранг г матрицы L равен увеличенному на 1 числу знаков <
(соответственно » в неравенствах а) (соответственно б)).
Справедливость этого утверждения вытекает из формул, выражаю-
выражающих миноры произвольного порядка однопарной матрицы через числа
'Ь • • •> Фп> Xi> • • •> Хп (см- пример 5 § 3 гл. И).
В § 5 будет доказано существование знакоопределенных матриц
класса d с любым наперед заданным распределением знаков миноров
Отметим простейшие свойства знакоопределенных матриц класса d.
1° Произведение двух знакоопределенных (строго знакоопреде-
знакоопределенных) матриц класса d также является знакоопределенной
(соответственно строго знакоопределенной) матрицей класса d.
2° Если i4=||fl|fc||i—знакоопределенная (строго знакоопреде-
знакоопределенная) матрица класса d, то А2 есть матрица вполне неотри-
неотрицательная (соответственно вполне положительная) класса d.
3° Если Л= ||a<fc||i—знакоопределенная матрица класса d,
а степень А1 — строго знакоопределенная матрица класса dy то
при любом т> I матрица Ат будет строго знакоопределенной
класса d.
В § 4 будет доказано, что если Л= ||a<ft||i— знакоопределенная
матрица класса d+, то первые d наибольших по модулю характери-

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 291
стических чисел и отвечающие им собственные векторы матрицы А
обладают теми же свойствами, что и соответствующие характери-
характеристические числа и собственные векторы осцилляционной матрицы
(см. теорему 6 § 5 гл. II).
§ 2. Осциллирующие системы векторов
Введем следующее определение:
Определение 3. Условимся говорить, что система векторов
и* = (uli9 u2i, ..., uni) (/= 1, 2, ..., т)
обладает свойством (Г+) (или (Г"")), если при любых ср с2, ...
• • • t ?*» B °2г > OJ для вектора
выполняется неравенство 1)
Su ^.m — 1 (соответственно Su ^.m — 1).
Теорема 1. Для того чтобы заданная система векторов
ик = (и11с, и2Ъ ..., ип1с) F = 1,2, ..., т\т^.п) обладала свойством
), необходимо и достаточно, чтобы все миноры
отличны от нуля и одного знака.
Доказательство. Докажем сначала необходимость условия
теоремы. Прежде всего заметим, что если бы минор A) был равен
нулю, то можно было бы определить не равные одновременно нулю
числа ск (А = 1, 2, ..., т) из системы уравнений
S**«<,* = о <v==1> 2> ••" /lf)-
Тогда, определив вектор и = (их, и2, ..., йп) равенством и== ^скик,
1
мы имели бы
и, следовательно, S?^m. Таким образом, все миноры A) отличны
от нуля.
Для того чтобы доказать, что все миноры A) имеют один и тот
же знак, достаточно показать, что один знак имеют w+1 мино-
миноров m-го порядка, порождаемых любыми т + 1 горизонталями матрицы
IK*В ('=1, 2, ..., я; А=1, 2, ..., да),
Относительно обозначений Su и $и см. гл. II, стр. 105.

292 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
Без нарушения общности можем считать, что интересующие нас
миноры суть
так как всякий другой случай будет отличаться от этого лишь иной
нумерацией строк. Для того чтобы показать, что любые два из этих
миноров Ug и Uh (g < h) имеют одинаковые знаки, определим
числа в!,ж+1, И2,т+и •••> «»+i,»+i равенством
(— 1H-1 (/А для / = g*,
(—1)^ для / = Л, B)
О для / =И= Л, g"-
Тогда
1„./й4 1' <-i
Поэтому можно определить не равные одновременно нулю числа
cv c2, ...,?w+i, удовлетворяющие системе однородных уравнений
О (/ = 1, 2, ...,да + 1)-- C)
Рассмотрим теперь вектор и = сги1-\-с^-\- . ¦. -\-cmtim\ координаты
его обозначим через и19 й2, -..9ип. Равенства B) и C) показывают,
что
и9 = -
Отсюда прежде всего следует, что все числа cv ...,cm не могут
быть одновременно равны нулю, так как тогда бы и ип = 0, а зна-
i с/
чит, и ?m+i = 0. Поэтому, по условию теоремы, SZ-^m—1. Далее,
ст v 1 Ф °> так как в противном случае т -{-1 координат вектора и
были бы равны нулю, а тогда 5^ ^> т. Но в таком случае из тех
же равенств D) следует, что Ug и Uh имеют один и тот же знак,
так как в противном случае, приписав каждому нулевому и{ знак
мы среди рассматриваемых т+1 координат вектора и уже имели бы
т-\-\ перемену знака. Таким образом, необходимость условия
теоремы доказана.
Переходим к доказательству достаточности условия. Допустим,
что условие теоремы недостаточно, т. е. что все миноры A) отличны

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 293
т
от нуля и одного знака и в то же время для вектора и = 2 скик
при некоторых значениях ск (k = 1, 2, ..., т\ 2 ?*> 0) имеет место
S^ ^- *я. Тогда можно указать такие т -f-1 координат вектора #:
что
<0 (Х=1, 2, ...,
E)
При этом ui9 Uj, ..., И/ не могут быть одновременно все равны
12 "•
нулю, так как в этом случае числа ск <k=l, 2, ...,т) удовле-
удовлетворяли бы системе однородных уравнений
с отличным от нуля определителем A).
Рассмотрим теперь заведомо равный нулю определитель
= 0.
Раскрывая этот определитель по элементам последней вертикали,
будем иметь
0.
X = l
Но такое равенство невозможно, так как, в силу E) и условия
теоремы, все отличные от нуля слагаемые в левой части (а такие
наверное имеются) одного знака.
Теорема доказана.
Определение 4. Условимся говорить, что система векто-
векторов ак = {а[Ъ а2Ъ ..., anJt) (k = 1, 2, ..., т) обладает свой-
свойством (D+) (или свойством (D~)), если при любых cv c2, ...,ст
т
( 2 С1 > 0) Для вектора
fti

294 ЗНАК00ПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
выполняется неравенство*)
(соответственно Sa < SG ).
Теорема 2. Для того чтобы заданная система векторов
ak = (alfc, a%k, ..., апГ{) (k = 1, 2, ..., т\ т < я) обладала свой-
свойством (Ь+), необходимо и достаточно, чтобы матрица Л= ||atA.||
(/=1, 2, ..., п\ /5=1, 2, ..., т) была строго знакоопределенной.
Доказательство. Условие необходимо. В самом деле,
выберем произвольную систему индексов 1 <; k1 <k2<i .. ¦ < kp ^ m,
1 < р •< /я, положим все ск = 0 при ?, отличном от каждого
A, (v = l, 2, ...,/?), и пусть
Так как здесь SJ" <р—1, то 5а <!/?— 1. Поэтому векторы afes..., акР
обладают свойством (Т+) и, в силу предыдущей теоремы, все миноры
при выбранных нами к19к29...9кр отличны от нуля и одного
знака, который мы обозначим через е (kvk2, ..., kp). Остается
показать, что знак s(kv ..., кр) не зависит от выбора kl9 k2, ..., kp
и определяется только числом р. В случае р — т существует только
одна система индексов А. < k2 < •.. < km, а именно, ki = l,
k2 — 29 ..., km = т. Поэтому остается рассмотреть только случай,
когда р < т.
Возьмем произвольные индексы 1 ^ k1 < к% < ... < kp < kp+t
Покажем, что при любом v = 1, 2, . •., р
Для этого рассмотрим систему из р векторов
где rfv и rfv+1 — произвольные положительные числа. Пусть
При этом, очевидно,
2) Здесь SJ обозначает минимальное число перемен знака в ряду чисел
с2, ...,cw.

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 295
и потому evcv+1 >0. Следовательно, 5^<р — 1 и S« <5<Г </? — 1.
Таким образом, векторы а\> ...,<*!> *?+а, ..., о?+1 обладают свой-
свойством (Г4") и потому, согласно теореме 1, все миноры
отличны от нуля (A*=||ajfc||, a* = (aj*, -.., a"nk), / = 1,2,..., я;
* = 1, ...,v, v+2, ..., p+l).
Если бы равенство F) не имело места, то можно было бы так
подобрать положительные числа йч и </v+1, чтобы один из миноров G)
равнялся нулю, а это невозможно.
Таким образом, имеет место равенство F), т. е.
е (Аа, . . ., кр+1) = s (kv &3, . . ., kpH) ==...= е (kl9 ..., кр).
Отсюда заключаем, что г(к19 k2, ..., kp) не изменится, если в нем
изменить один из индексов, а значит, вообще не зависит от выбора
«j, #2» • • • 9 Яр'
Условие достаточно. Действительно, пусть матрица Л
строго знакоопределенная и пусть 57 = р. Предположим для опре-
определенности, что первая отличная от нуля координата вектора с поло-
положительна. Тогда координаты вектора с разбиваются на р -J--1 группу
следующим образом:
Ч-Н > °> 4+2 > 0 и т. д. B ^ > 0).
Положим теперь
S||* * S ||*и т. д.
Тогда вектор а = 2 Cjcak можно представить в виде
С другой стороны, пользуясь теоремой о сложении определителей,
легко убедиться в том, что миноры (р + 1)-го порядка матрицы
U=\\uiU\\ D=1,2, ...,р+1;< = 1,2, ...,л; e*=-(elfe ...,«,*))
отличны от нуля и того же знака, что и миноры (р + 1)-го порядка
матрицы Л. Отсюда? в силу теоремы 1,
Теорема доказана.

296 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
Очевидно, что эту теорему можно формулировать еще так:
Теорема 2'. Пусть задано линейное преобразование
? (*=1>2, .,., п\ т<п).
Тогда для того, чтобы для любого вектора x~(xv лг2, ..., хт)
B x%i > о) ял/ело место неравенство
Sy<SZ, (8)
необходимо и достаточно, чтобы матрица A—\aik\ была строго
знакоопределенной.
Замечание. При т^п строгая знакоопределенность матрицы А
не является необходимой для того, чтобы система векторов а1с
(А = 1,2, ..., т) обладала свойством (?>+) или (что то же), чтобы
имело место (8).
Действительно, рассмотрим преобразование:
Л = 2^ + 2**
Здесь яг = я —2. Для этого преобразования всегда (при х\-\- л|>0)
<Г5^; в то же время матрица
2 2
1 1
не является строго знакоопределенной.
Рассмотрим еще преобразование (т = 3, п = 2):
Для этого преобразования всегда 5^ < Sx. В самом деле, пусть Sy = 1,
например, ^>0, а.у2<0. Тогда ^—Л;=л;1 + ^з>0> а отсюда
З ( + )< °
Рассмотрим первый случай: лга<0. Тогда 2
и, следовательно, либо л^ > 0, либо лг8 > 0, а значит, 5^ = 1 или 2.
Рассмотрим второй случай: лг2 = 0. Тогда xt-\-xs=y2 — ^±, a,
следовательно (так как уг > 0, a j/2 < 0), л^ + *3 = 0. Поэтому если
не все Xi*=0(i= 1, 2, 3), то л:1аг8< 0 и 5»= 1.
Однако матрица
II 2 3 2 |
1 1 3 I
очевидно, не является знакоопределенной.

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 297
При т^п теоремы B) и Bх) сохранят силу, если условие
«матрица А является строго знакоопределенной» заменить усло-
условием «матрица А является строго знакоопределенной класса п — 1».
Достаточность этого условия следует из того, что при Sc^n—1
всегда Sa <^SC, так как вектор а имеет п координат и потому Sa ^.п—1,
а при ос < л—1 сохраняют силу рассуждения, приведенные в дока-
доказательстве теоремы 2.
Необходимость условия доказывается совершенно так же, как это
сделано при доказательстве теоремы 2.
Теорема 3. Для того чтобы заданная система линейно неза-
независимых векторов и1( = (и*:Ь и^ъ ..., unk) (k = 1, 2, ..., т) обла-
обладала свойством (Т~) х), необходимо и достаточно, чтобы все
отличные от нуля миноры
были одного знака 2).
Доказательство. Условие необходимо. Введем в рас-
рассмотрение вполне положительную матрицу /7e = |e""e(*""ftI|f (о > 0)
(см. пример 2 § 3, стр. 94) и построим векторы
«<(o) = f>< A = 1, 2, .... т).
Так как F9^>-E при о->4"°°> то
0 ^ _[_ qq (/=1,2,..., т).
т
Рассмотрим вектор и = 2 ciut* Тогда
т
и (о) = F,u = F, ( 2й *««*) = Д ^а* (о).
Так как по предположению 5J<^w—1, то по теореме 2'
^m — 1, т. е. максимальное число перемен знака у вектора
_ (?)
не превосходит т—1. Следовательно, по теореме 1 у матрицы
Ua=\\uik(o)\\ (/=1, 2, ..., п\ k = l, 2, ..., т) все миноры
Ц(Н /,...i-\ {i<i1<i2<...<im<n) (9)
2) См. определение 3 на стр. 291.
2) Из этой теоремы непосредственно следует лемма 4 §5 гл. II (стр. 167).

298 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
одного знака. Поэтому, замечая, что
„ (к к--- 1щ\ tr(h h--im\ .
мы приходим к необходимости условия теоремы.
Условие достаточно. Вводя снова векторы и1 (а) = F^W1
(/=1, 2, ..., т)9 заметим, что, в силу теоремы Бине-Коши о про-
произведении двух прямоугольных матриц, будем иметь
= V
Так как по условию все миноры
отличные от нуля (а таковые имеются, ибо векторы я1, я2, ..., ит
линейно независимы), одного знака, а матрица F^ вполне положи-
положительна, то все миноры (9) отличны от нуля и одного знака. Отсюда
по теореме 1 Su(o)^m — 1. Переходя к пределу при о->-оо, полу-
получим, что SZ^.tn—1-
Теорема доказана.
Теорема 4 (Шенберга [52а]). Для того чтобы заданная
система линейно независимых векторов
& = (alk, а2к, ..., апк) (k = 1, 2, ..., т\ т < п)
обладала свойством (/)""), необходимо и достаточно^ чтобы ма-
матрица А = || aih || (/ = 1, 2, ..., щ k = 1, 2, ..., т) была знакоопреде-
ленной.
Эту теорему, очевидно, можно сформулировать еще так:
Теорема \г. Пусть задано линейное преобразование
т
Уг == 2j aihxk (/= 1, 2, . ¦ ., Я),
матрица которого имеет ранг т (т <^ /г). Тогда, для того чтобы
для любого вектора х = (хи ..., хт) имело место неравенство
A0)
необходимо и достаточно, чтобы матрица А = || ain || была знако-
определенной.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, мы будем
пользоваться матрицей Fo. Положим

§ 2J ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 299
тогда
т
Л() S
и
aik{o)-+aik при в-*-|-оо (/=1, ..., я; й=1, ..., /и).
Пусть л: = (*!, л;2, ..., хт) Ф 0. Тогда и у = (yl9 j/8, ..., ^yj =? 0.
Так как матрица Fa вполне положительна, то по теореме 2' получаем
Sy(o) <i Sy , а следовательно, если имеет место A0), то
$у (а) *< Sos .
Но тогда, в силу той же теоремы 2' (см. также замечание к этой
теореме), матрица А (о) = || aik (o)|| строго знакоопреде ленная (при т<п)
либо строго знакоопределенная класса п—1 (при т = п). В обоих
случаях, переходя к пределу при а -> -|~ оо, заключаем, что матрица А
знакоопределенная.
Обратно, пусть дано, что матрица А знакоопределенная. Тогда
матрица А (о) будет строго знакоопределенной, ибо
Ik fc-.-
U
«i 1 О
р === 1? А » . •>
и все отличные от нуля миноры
А\
(а таковые имеются при любом сочетании индексов kb k2, ..., kp
в силу того, что ранг матрицы А равен т) при фиксированном р
имеют один и тот же знак.
Следовательно, по теореме 2'
Переходя к пределу при о-*-|-оо, получим, что
О у ^. Ох »
Теорема доказана.
Замечание. В процессе доказательства достаточности условия
мы использовали ограничение, наложенное на ранг матрицы А (ранг
равен т) при построении строго знакоопределенной матрицы Л (а),
стремящейся при о->-|-оо к данной матрице Л.
В дальнейшем (см. § 5) будет показано, что произвольную знако-
определенную матрицу можно всегда с любой точностью аппро-
аппроксимировать строго знакоопределенной матрицей. Поэтому часть

300 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
теоремы 4 — достаточность условия— имеет место при любом
ранге матрицы А»
Определение 5. Условимся говорить, что два вектора
х = (х19 #2, ..., хт) и у = (yv у2> ..., уп) осциллируют одинако-
одинаковым образом, если S& — Sy и первые отличные от нуля коорди-
координаты у этих векторов имеют одинаковые знаки.
Теорема 5. Пусть задано линейное преобразование
=1, 2, ..., п), A1)
матрица которого имеет ранг т (т^п). Для того чтобы всегда
A2)
и чтобы при этом в случае равенства SZ = Sy векторы х и у
осциллировали одинаковым образом, необходимо и достаточно,
чтобы матрица Л = ||а^[| (/==1, 2, ... п, А=1, 2, ..., т) была
вполне неотрицательной.
Доказательство. Условие необходимо. Действительно,
из A2) по теореме Шенберга следует, что матрица \ai1s\ знакоопре-
деленная. Обозначим через гр знак ненулевых миноров порядка р
матрицы А. Нам нужно доказать, что s1 = s2==: ... =ew= 1. Поло-
Положим в A1) xt = l, лг2==^3= ... =д:т = 0. Тогда 5^ = 5^ = 0.
Так как вектор у = (ап, а21, ..., ап1) Ф 0 осциллирует одинаково
с вектором д: = A, 0, ..., 0), то мы заключаем, что все координаты
этого вектора, а следовательно, и все элементы матрицы А неотри-
неотрицательны. Таким образом, е1 = 1.
Возьмем теперь произвольное р A < р ^ т) и выберем индексы
h < h < • • • < 1р и k\ < *2 < • • • < kP так>
Положим
\^1 &2 ••• kpl
Положим, далее, ^=0 при А, отличном от kv k& ..., kpi и опре-
определим Xk , xk^ ..., хк из системы уравнений
(-1)*-1 = 2 v/*, о*-1, 2,..., р). A3)
После этого определим остальные yi из системы уравнений A1).
Будем иметь SZ <<р — 1, a Sy^p—1; отсюда, в силу A2),
Sx =Sy — Р 1 •
Следовательно, векторы у и х осциллируют одинаковым образом
и. значит, Л ^ Л
^/г! > 0, дгЛа < 0, ... и т. д.

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 301
С другой стороны, из A3) находим, что
Р ,: :
Отсюда
Л1>0 (р = 2, 3, ..., m).
^ l
Так как е{ = 1, то и е2 = ... = гш = 1.
Условие достаточно. В силу теоремы Шенберга, из того,
что матрица А вполне неотрицательна, следует неравенство A2),
Для доказательства второй части утверждения рассмотрим сначала
случай, когда матрица А вполне положительна.
Пусть для некоторого х
Sy = Sx = fit — 1.
Предположим для определенности, что
И Т- Д-
Пусть yix есть первая отличная от нуля координата вектора у. Так
как Sy —т — 1, то найдутся такие индексы (ьг <) и2 < /3 < • • • <^w>
что
sign(—l)^^v = 3 (v=l, 2, ..., m), A4)
где е — постоянный знак, не зависящий от v. Из системы равенств
найдем, что
... т
il 2 ,„ «j
Отсюда и из A4) находим, что sign хх = е, т. е. е=1, а зна-
значит, у<г > 0.
Общий случай
может быть сведен к рассмотренному. Действительно, если, например,
*v,+i>0, ... и т. д. B

302 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
то мы можем положить
bij= __2j aik\xk\ (У = !,•••»/>; vo==:=o> i= Ь 2> ••¦>/?)>
^• = (—ly-1 (У = 1, 2, ...,/?)
и тогда
Так как матрица В=||^.|| (/=1, 2, ..., п; 7=1, 2, ...,
||^|| ( р)
вполне положительна и S~ =<% = /?— 1, то мы имеем разобранный
уже случай, и следовательно, вектор у одинаково осциллирует
с вектором 5, а значит, и с вектором х.
Пусть теперь матрица А не является вполне положительной,
но вполне неотрицательна. Пусть для некоторого х Ф 0 имеет
место A5). Введем в рассмотрение вполне положительную ма-
матрицу F9s=s [|e~*(*~7<;J||? (о>0) и построим вектор
Так как у (а) -> у при а ->-{-оо, то при достаточно большом а
Но так как матрица Лб = FffA вполне положительна!), то по
теореме 2' 5^} < 5^) < SZ, а следовательно,
и, значит, по доказанному ранее вектор ^(а) одинаково осциллирует
с вектором х. С другой стороны, вектор у (о) осциллирует одинаково
с вектором у. Следовательно, и вектор у одинаково осциллирует с век-
вектором дг.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть задана система п независимых однород-
однородных уравнений с т переменными (т > п)
Для того чтобы любое ненулевое решение х = (хи л:2> ..., хт) этой
системы обладало свойством
х) Так как матрица FQ вполне положительна, а А вполне неотрицательна
и имеет ранг т.

§ 2] ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 303
необходимо и достаточно^ чтобы все миноры п-го порядка ма-
матрицы Л= || аде|| были отличны от нуля и одного знака.
Доказательство. Условие необходимо. Действительно,
если бы при некоторых 1 ^ kx < &2< ... < kn ^ m
/1 2 ...п \ /17Ч
А[ = 0, A7)
то существовало бы ненулевое решение системы A6), в котором все
xi = 0 при /, отличном от kv k2, ..., kn\ но тогда Sx < л. Таким
образом, равенство A7) невозможно. Для того чтобы доказать, что
все миноры
/1 2...ПХ
\kx ^2 ... kn)
имеют один знак, достаточно показать, что при любых 1 <; kt <
k ... < Ал+1 <Г т все миноры
одного знака.
Для этого заметим, что, полагая xi = 0 при /, отличном от
kv ..., ?w+i> и xftv = (— 1)^А? (v = l, 2, ..., л+ l)i мы получим
некоторое решение системы A6). Так как для этого решения мы
должны иметь SZ — ny то заключаем, что все Av (v=l, 2, ..., п)
одного знака.
Условие достаточно. Действительно, при его выполнении
среди координат любого решения # = (xv х2, ..., хт) Ф 0 системы A6)
по меньшей мере п ~j- 1 координат отлично от нуля, ибо в противном
случае, отбрасывая т—п нулевых чисел xi} мы для оставшихся
п чисел хкх, хк2, ..., хк получили бы систему уравнений
0 (/el» 2> •••' ^
имеющую только нулевое решение.
Если бы теперь 5^ было меньше п, то можно было бы разбить
все числа л^ (/= 1, 2, ..., т) на /г групп:
так, чтобы в каждой группе все числа были одного знака:
xk = *j\xk\> vi-1<^<vi (j =1, 2, ..., /г; vo = 0),
причем в каждой группе имелись бы числа, отличные от нуля.
Положим
(*> -/el» 2, ..., а/).

304 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
Тогда
2<л (> >> )
С другой стороны,
2... л\ V, / 1 2 ... п
V, / 1
Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 7. Пусть задана система из п независимых одно-
однородных уравнений с т переменными (т > п)
т
S *<*** = 0 (i=l, 2, ..., д). A8)
Для того чтобы любое ненулевое решение х = (х19 дг2, ..., хт) этой
системы обладало свойством
необходимо и достаточно, чтобы все отличные от нуля миноры
п-го порядка матрицы Л=||а^|| были одного знака.
Доказательство. Введем в рассмотрение матрицу Fff =
= ||<Г*(*~*K||Г @ 0). Положим
5 (а) = F7\ ИЛИ X = F? (а).
Вставляя в A8) вместо х^ их выражения через 5Д, получим
2д**(вM* = 0 (/=1, 2, ..., /г), A9)
где
Л.= 11^(^I1=^.
Если 5+>-л для любого ненулевого решения л; системы A8), то
по теореме 2' S^)^n для любого ненулевого решения 5(а) си-
системы A9), а следовательно, по предыдущей теореме, все миноры
я~го порядка матрицы AQ отличны от нуля и одного знака. Переходя
к пределу при о -> -[- оо, мы получаем необходимость условия
теоремы.
Обратно, если условие теоремы выполнено, то все миноры я-го по-
порядка матрицы AQ отличны от нуля и одного знака, откуда, по пре-
предыдущей теореме, S^Q)^п. Переходя к пределу при a ->-f-oo,
получаем St^-n.
Теорема доказана.

§ 3] СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ МАРКОВА 305
§ 3. Системы векторов Маркова
1. Введем понятие о системе векторов Маркова, которое ана-
аналогично понятию ряда функций Маркова (см. гл. IV, стр. 229).
Определение 6. Мы будем говорить, что векторы
и\ и\ u
образуют систему Маркова, если для любого k^p векторы
и1, и2, ..., ик обладают свойством (Т+).
Из этого определения и теоремы 1 вытекает
Следствие. Для того чтобы система векторов
и\и\...,и? [ui = (ulj9u2j,...,unj); /—1,2, ...,р]
была системой Маркова, необходимо и достаточно^ чтобы при
любом k^p все определители
были отличны от нуля и имели один и тот же знак еь т. е.
B0)
Оказывается, что не все неравенства B0) независимы между собой.
Фекете [48] показал, что можно ограничиться только теми неравен-
неравенствами B0), в которых фигурируют миноры, образованные последо-
последовательными горизонталями и вертикалями.
Переходим к выяснению этого вопроса.
2. Определение 7. Под плотностью минора.
некоторой матрицы |а^||? будем понимать число ft, определяемое
равенством
р-1 р-1
р = 2 (*.+!—К — i)+2(^v+i—К—1) =
, — *i — 2(p — 1).
Согласно этому определению, миноры нулевой плотности—это
миноры, образованные последовательными горизонталями и последова-
последовательными вертикалями:
В следующей лемме устанавливается тождество, которое позволяет
выражать миноры данной плотности через миноры меньшей плотности.
20 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

306
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ
Лемма 1. Для произвольной матрицы \и^\ с
талью и k вертикалями имеет место равенство
[гл. v
горизон-
/12 ... *-1 *Ч /2 ... *_1 *+1
\1 k) \1 ... . *-1
1к2 ... k—\k+\\l2... *—1 1
^ \l к ) \l ... . k-1
+"Г':::':")"С:::':1
-!*
Доказательство. Рассмотрим определитель
«11 ... йц. Ип ... Mi,
= 0. B1)
*-if* 0 ... 0
Этот определитель равен нулю, так как все миноры (k -j- l)-ro
порядка, содержащиеся в первых k -|-1 горизонталях, равны нулю.
Выписывая разложение Лапласа для этого определителя по минорам
первых k вертикалей, получим тождество B1).
Пусть дана матрица
?/ = ||%|| (/=1, 2, ...,«; j = 1, 2, ..., р; р <й). B2)
Возьмем в этой матрице произвольный минор А-го порядка
u J:::':) »<»
с плотностью |х > 0. Тогда при некотором h < k
и, следовательно, можно выбрать индекс i так, чтобы
Используем теперь тождество B1), установленное в лемме, заме-
заменив в нем горизонтали с номерами 1, 2, ..., k — 1, k, k-\-\ соответ-
соответственно горизонталями с номерами tu /2, ..., /л-1, /, 1к. Получим

§ 3J
откуда
СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ МАРКОВА
307
\...k-\
lк ••• kUh+i ••• i-Ti-i \
\\ ... k-l I
B3)
Это равенство дает нам выражение для миноров &-го порядка
1,2, ..., р) B4)
матрицы B2) с плотностью у>, образованных несколькими первыми
последовательными вертикалями и произвольными горизонталями через
подобные же миноры порядка k — 1 и миноры порядка k, но с плот-
плотностью < }х. Из B3) следует, что если все миноры B4) порядка k — 1
и миноры порядка к, но с плотностью < ja отличны от нуля и имеют
знак е, зависящий только от порядка минора, то этим же свойством
будут обладать все миноры B4) порядка k с плотностью ^ ja. Отсюда
с помощью индукции по А и [л приходим к следующей теореме:
Теорема 8. (Фекете). Для того чтобы система векторов
uj = Qiip 4j> • • •> unj) С/ = h 2, • •., Р)> (Р<п)
была системой Маркова или, что то же, для того чтобы в
матрице
Чх
все миноры
U
ипр
(Р<п)
k= 1, 2,..., р) B5)
были отличны от нуля и знака г1п зависящего только от порядка
минора kt достаточно, чтобы этим свойством обладали миноры
B5) нулевой плотности, т. е. миноры
; А=1»2 р).
Следствие. Если в матрице A — \\aik$ для любого
где гр (р = 1, 2, ..., п) — некоторые знаки, то А—строго знакоопре-
деленная матрица. В частности, если eL = ... = вп = 1, то А —
вполне положительная матрица.
20*

308 ЗНАКООПРЕДЕЛВННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
3. Докажем две леммы о продолжении цепочек векторов, являю-
являющихся системами Маркова, Эти леммы будут использованы в сле-
следующем параграфе.
Лемма 2. Систему векторов Маркова и$ = (игр и^, ..., unj)
(j = 1, 2, ..., р) при р<п всегда можно продолжить, т. е. можно ука-
указать такой вектор up*1, чтобы система векторов и1, а\ ..., up, up+x
снова была системой Маркова.
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно дока-
доказать существование такого вектора up*1, что
111 + 1 ... i+p\
U\\ 2 .../7 + 1/>° (<= i»2» •••¦ * — />)•
Обозначив координаты искомого вектора аР+г через xlt х%, ..., хп,
мы эти неравенства запишем так:
ui+Ptl ..
Определители, стоящие в левых частях последних неравенств, пред-
представляют собой линейные формы относительно хх, х2, ..., хп. Эти
формы линейно независимы, так как форма, соответствующая данному
значению индекса /, содержит переменную xiirp с коэффициентом
в то время как предшествующие формы (соответствующие меньшим
значениям индекса /) эту переменную не содержат. Из линейной
независимости этих форм следует, что можно так подобрать значения
переменных х19 х2, ..., хп, чтобы эти формы приняли любые наперед
заданные и, в частности, положительные значения.
Лемма доказана.
Лемма 3. Всякие две баортонормированные системы векторов
Маркова а1, и\ ..., и? и v1, *>2, ..., vp [u3=*(ulj9 ..,, unj), v**=*
= (vlj9 ..., vnj)9 (и*9 v?) — by (/, j = 1, ..., p)] всегда можно про-
продолжить, если только р < я; иными словами, при р < я можно
указать такие векторы uP+1 = (uhp+l9 ..., ип,р+$ и
vP+i^a('yi^+i? •••> vn,#-и)> что и системы векторов и1, ..., up,
up*1 и V1, ..., vp, VP+1 биортонормированы и являются систе-
системами Маркова.
Доказательство. Согласно предыдущей лемме, существуют
векторы иР+г и VP+1 такие, что системы векторов
и v\ ...,^

§ 4J ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 309
являются системами Маркова. Для того чтобы биортогонализировать
эти системы векторов, заменим здесь векторы и%+1 и г?+1 векторами
±
При произвольных ci9 di (/= 1, 2, ..., р) системы векторов и1, ...,
UP+1 и v1, ..., VP+1 являются системами Маркова. Положим
Тогда, как легко проверить, вектор иР+х будет ортогонален ко всем vi9
a vp*1 ко всем и* (/= 1, ..., р):
(иР*г, v{) = (й*, t>0+1) = 0 (I = 1, 2, ..., р). B6)
Согласно тождеству Бине-Коши (см. § 1 гл. I)
>. ?/ 1 К • B7)
Так как каждая из систем векторов я1, ..., up*1 и г/1, ...,
является системой Маркова, то все миноры, стоящие в правой части
равенства B7), положительны. С другой стороны, из условий биорто-
биортогональности векторов и1, ..., up и г*1, ... vp\
(и\ Ы) = Ъц (/,/«=1,2,..., р) B8)
и из B6) следует
\(и\ ^)|f+1 = (^^, W-^). B9)
Таким образом, в силу B7) и B9) имеем (tf*+1, ^+J) ^ 0.
Умножив один из векторов UP+1 и ^+1 на надлежащим образом
выбранный положительный скаляр, будем иметь
(UP + 1, ^+1)=1- C0)
Равенства B6), B8), C0) показывают, что системы векторов и1, ...
..., UP+1 и v1, ..., г>Р+1 биортонормированы.
Лемма доказана.
§ 4. Характеристические числа и собственные векторы
знакоопределенных матриц
1. Мы установим теперь наиболее общую теорему о характе-
характеристических числах и собственных векторах знакоопределенной
матрицы класса d+, которая охватывает, как частный случай,
соответствующую теорему (теорема 6 § 5 гл. II) для осцилляцион-
ной матрицы.

310 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
Теорема 9. Пусть Л= ||a<fr||i—знакоопределенная матрица
класса d осцилляционного типа и ер — знак миноров р-го порядка
матрицы А (р = 1, 2, ..., d). Тогда
1° Первые d наибольших по модулю характеристических чисел
матрицы А вещественны, отличны от нуля и имеют абсолютные
величины^ различные между собой и отличные от модулей осталь-
остальных характеристических чисел. Если характеристические числа
Xj, Х2, ..., Хя матрицы А занумеровать так, чтобы
1Ч>1Ч> ••¦ >IM>l\*+il> ...>Kl>o, C1)
то
sign \р = j^L (р = 1, 2, ..., d; е0 - 1). C2)
2° Собственные векторы иЗ = (и1з-, Щр ..., unj)(J = 1, 2, ..., (rf
матрицы Л, соответствующие первым d наибольшим по модулю
характеристическим числам \19 Х2, ..., \ф обладают тем свой-
ствоМу что при любых целых г us (I ^.r-^s^d) и произвольных
S
ci (i = r, г-{-1, ..., s; 2 4> 0) число перемен знака среди коор-
в
динат вектора и= 2 ciui заключается между г — 1 и 5 — 1:
i
г—1<5«<5J<5 —1. C3)
В частности, среди координат собственного вектора из (/ =
= 1, 2, ..., d) имеется точно j — 1 перемен знака
3° Узлы двух последовательных собственных векторов и$ и u$+i
(j = 1, 2, ..., d— 1) перемежаются.
Мы докажем сначала теорему для того случая, когда А есть строго
знакоопределенная матрица класса d.
Доказательство 1°. Расположим характеристические числа
матрицы А в порядке неубывания модулей:
Рассмотрим р-ю ассоциированную матрицу 2^(/?<!яО (см. § 13
гл. I). Очевидно, все элементы матрицы ер%р положительны, и по-
потому к этой матрице применима теорема Перрона. С другой стороны,
согласно теореме Кронекера (§13 гл. I), характеристическими числами
матрицы 9tp являются всевозможные произведения по р из характе-
характеристических чисел Xj, X2, ..., \п матрицы А; наибольшим по модулю
среди этих произведений будет XjX2 ... Х^. Таким образом, совмест-

§ 4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 311
ное применение теоремы Перрона и теоремы Кронекера дает нам
Sphh • • • lp > ° (Р = 1» 2, ..., d) C4)
и
| XjX2 ... Хр | > | XjX2 ... ^p-iX^+i| (р ~ 1, 2, ..., rf). C5)
Сопоставляя C4) с неравенством
получаем
а из C5) находим
(р = 1, 2, ..., rf).
Отсюда следует C1) и C2).
Доказательство 2°. Пусть снова p^d. Наибольшему по
модулю характеристическому числу Х^...^ матрицы ep4Lp отвечает
собственный вектор с координатами
1\\\Ц) 0<'i<^< •••<'*<«) C6)
(см. § 13 гл. I).
Так как при р <; d все элементы матрицы гр%р положительны, то,
снова применяя к этой матрице теорему Перрона, заключаем, что
при р ^.d все определители C6) отличны от нуля и имеют один и
тот же знак, т. е. векторы и1, и2, ..., аа образуют систему Маркова
и, следовательно, для вектора
s<d) C7)
имеем:
St^s— 1.
Допустим теперь, что для этого же вектора a: Su~q<r—1.
Пусть a=:(av u2, ..., ип). Не нарушая общности доказательства,
можно принять, что at ^ 0. Тогда координаты вектора и можно
разбить на q -j~ 1 последовательных групп так, чтобы в каждой группе
не было двух координат разных знаков:
q >0. C8)
Теперь рассмотрим собственные векторы гл? = {v^, v2J, ..,, t^)
(/== 1, 2, ..., rf) транспонированной матрицы Л', отвечающие харак-
характеристическим числам Хх, Х2, ..., Xrf. Так как Аг — также строго

312 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
знакоопределенная матрица класса rf, то, по доказанному, век-
векторы vl, v2, ..., vd тоже образуют систему Маркова, причем
(и\ ^) = 0 AФК /,7 = 1, 2, ..., d). C9)
Определим теперь вектор v ===== (vv v29 ..., vn) равенствами
Из D0) следует, что
К Г), D1)
где
так как векторы tr1, tf2, ..., ^ обладают свойством (Т+).
Поскольку векторы v1, v2, ..., vd образуют систему Маркова
то все определители
отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Поэтому (см. D0))
в ряду координат
*„ v29 ..., vn D2)
только координаты vkv v1c.)y ..., vk равны нулю и перемена знака
в ряду D2) может произойти только при переходе через один из
этих нулей. Отсюда, в силу C8), находим:
п
(и, v) = 2 «Л Ф 0, D3)
так как в сумме 2*W нет Двух слагаемых разных знаков, а одно
из слагаемых заведомо отлично от нуля (вектор и имеет по крайней
мере q -\- 1 координат, отличных от нуля). Неравенство D3) противо-
противоречит равенствам C7), C9) и D1). Таким образом,
Su>r—\.
Предложение 2° доказано.
Предложение 3° вытекает из 2°. Это было показано при доказа-
доказательстве теоремы б § 5 гл. II. Соответствующие рассуждения (стр. 109)
следует дословно повторить и в данном случае.
Теорема доказана для случая, когда А — строго зиакоопределен-
ная матрица класса d.

§ 4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 313
Пусть теперь А — знакоопределенная матрица класса d и А* —
строго знакоопределенная матрица класса d. Тогда (см. 3° § 1) и
матрица А%+1 будет строго знакоопределенной класса d. Снова пере-
перенумеруем характеристические числа матрицы А так, чтобы I^O*
^> |^2|^ • • • ^|ХЛ|. Применяя нашу теорему к матрицам Лх и Лч+1,
сможем заключить, что как числа XJ, ..., X*, так и числа Х*+1, ..., Х*+1
вещественны, отличны от нуля, различны между собой и
Отсюда следует, что все Хи Х2, ..., ld вещественны, отличны от
нуля, различны между собой и
Так как матрицы А и Лх имеют одни и те же собственные векторы
а1, и2, ..,, ud, отвечающие первым d наибольшим по модулю харак-
характеристическим числам, то предложения 2° и 3°, поскольку они верны
для Лх, будут иметь место и для матрицы А.
Теорема доказана полностью.
2. Нам нужно будет несколько дополнить теорему об осцилля-
ционных свойствах знакоопределенных матриц класса d.
Пусть А = || Ям!)?—знакоопределенная матрица класса d+. Согласно
теореме 9 для характеристических чисел такой матрицы А имеют
место неравенства
где ци ifJ, ..., ч\п равны± 1х). Тогда Х^ (/ = 1, 2, ..., d) являются
простыми вещественными характеристическими числами как для мат-
матрицы Л, так и для транспонированной матрицы А' и им отвечают опре-
определенные (с точностью до скалярных множителей) собственные век-
векторы Ш = (aip a2j9 ..., anj) и <Ы = (vip v2j, ..., vnj) матриц А и А':
AuJ = XjU39 A'vo = 1рэ (Ш =^=0, vij*0; ./=1,2,..., d).
Согласно теореме 9, системы векторов и1, и2, ..., ud и v1, v2, ..., v(l
являются системами Маркова. Поэтому при любом p^d все миноры
отличны от нуля и имеют один и тот же знак г (р= 1, 2, ..., d).
*) rij -' еЛ-1 G = 1» 2, ..., rf; t<> = 1). где sj — знак миноров /-го порядка
матрицы А,

314 ЗНЛКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
Точно так же все миноры
отличны от нуля и имеют один и тот же знак е^ (р = 1, 2, ..., d).
Умножая векторы и1, #2, . ¦., иа и vx > v2, ..., vd на -\-1 или
— 1, мы можем добиться того, чтобы
т. е. чтобы выполнялись неравенства
\\2...р)^ \\2...р)^ \ p = l,2,...,rf / 1 >
Далее, поскольку
^Ф1д при jфg> D5)
(и/, «*)=»0 при j^g (J, g=l,2, ..., п). D6)
С другой стороны, согласно тождеству Бине-Коши (§ 1 гл. I),
и, значит, \(uf, v9)\p>0. Но, в силу D6),
| (V, ^) |f = (я1, г/1) (й2, ^2)... (ш>, vp),
и, следовательно,
{и\ vx){u\ ^)...И, vp)>0 (p = l, 2, ..,,d).
Но тогда
(а1,Ы)>0 (/ = 1, 2, ..., rf).
Умножая векторы #?' на положительные множители с4 «= —:—г
(при этом соотношения D4) и D6) сохранятся) и обозначая получен-
полученные векторы снова через Ш (/ = 1, 2, ..., d), будем иметь
(а/, ^) = 1. D7)
Равенства D6) и D7) выражают собой биортонормированность
систем векторов и1, и2, ..., ud, и vx, v2, ..., ^й.
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 10. Если Л=||а^||? — знакоопределенная матрица
класса d+ с характеристическими числами \v ..., Хп
(\h\>\h\> ••• >lxdl>lxd+il> ••• >\К\)> то можно вы-
выбрать собственные векторы и$ и vi матриц А и А', соответ-

§ 4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 315
ствующие характеристическим числам Xj (/=1, 2, ..., d) так,
чтобы системы векторов
и1, ..., ud и v1, ..., vd
были биортонормированными:
(at, V9) = bjg (j,g = l, 2, ..., d)
и выполнялись неравенства
Примечание. Теорема 10 применима к произвольной осцил-
ляционной или строго знакоопределенной матрице А = ||#m||i (в этих
случаях следует положить d—n).
3. Пусть теперь Л= [|0<fc||?—знакоопределенная матрица класса rf+
и ранга я?, у которой, следовательно, некоторая степень является
строго знакоопределенной матрицей класса rf. Тогда характеристиче-
характеристическое число 0 матрицы А имеет дефект п — d. Следовательно (по-
(поскольку кх Ф 0, ..., \d Ф 0; см. теорему 9);
*ч*+1 = • • • — К = 0-
Характеристическому числу 0 отвечает п — d линейно-независимых
собственных векторов ud+1, ..., ип матрицы А и п — d линейно не-
независимых собственных векторов z>d+1, ..., vn матрицы А'. Мы эти
векторы получим следующим образом.
В силу равенств D5), собственные векторы и и v соответственно
матриц А и А\ отвечающие различным характеристическим числам X и |х
(\ ф jj,), ортогональны между собой. Таким образом, искомое под-
подпространство («d+1,... ,ип) ортогонально к подпространству (гг1,... ,vd).
Так как размерности этих подпространств п — d и d, то подпростран-
подпространство (ud+1, ..., и11) состоит из всех векторов, ортогональных
к (v1, ..., t;d). Другими словами, всякий вектор, отличный от нуля
и ортогональный к векторам vl, ..., vd, является собственным векто-
вектором матрицы А, отвечающим характеристическому числу 0. Аналогич-
Аналогичное положение имеет место для матрицы А'.
Опираясь на лемму 3 § 3, продолжим системы векторов и1, ..., иа
и v1, ..., vd до систем и1, ..., ип и Vх, ..., vn так, чтобы эти
системы были биортонормированными и системами Маркова. В силу
сделанного только что замечания эти системы векторов представляют
собой полные системы собственных векторов матриц А и Л', отве-
отвечающие характеристическим числам Х1; ..., Xw.
Если Ф = (и1Ъ ..., unk), v* = (vn, ..., vnk) (ft — 1, 2, ..., п),
то фундаментальные матрицы U= ||я**||1* и 1/= ||г>^||? матриц А
и А' связаны между собой (в силу биортогональности систем

316 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
векторов и1, ..., ип; v1, ..., vn) соотношением
V'U = E,
откуда
Таким образом, нами доказана
Теорема 11. Знакоопределенная матрица А = ||aik||? класса
d+ и ранга d всегда имеет простую структуру. Если характери-
характеристические числа матрицы А перенумерованы в порядке невозра-
невозрастания абсолютных величин, то
и можно так выбрать фундаментальную матрицу ?/
чтобы имели место неравенства
0 D8)
A </!<...< /р < л; р == 1, ..., /г),
§ 5. Аппроксимация знакоопределенной матрицы
строго знакоопределенной
В этом параграфе разбирается вопрос об аппроксимации знако-
знакоопределенной матрицы с помощью строго знакоопределенной и, в част-
частности, вопрос об аппроксимации вполне неотрицательной матрицы
с помощью вполне положительной; здесь же доказывается существо-
существование строго знакоопределенных матриц с наперед заданным распре-
распределением знаков миноров. В конце параграфа приведены теоремы,
в некотором смысле обратные основным теоремам (теорема 6 § 5 гл. II
и теорема 5 § 4 гл. IV), устанавливающим осцилляционные свойства
спектра осцилляционной матрицы и осцилляционного ядра.
1. Теорема 12. Произвольная знакоопределенная матрица А=
= IK&II У— 1, 2, .. •, /я; ft= 1, 2, ... я) класса d и ранга r^d
может быть как угодно близко аппроксимирована с помощью
строго знакоопределенной матрицы класса d и ранга г.
Доказательство. В § 3 гл. II (стр. 94) мы в качестве при-
примера построили вполне положительную матрицу FQ> зависящую от
параметра о и при о -> 4~ °° стремящуюся к единичной матрице Е.
Обозначим две такие матрицы порядков тип соответственно через F^
и FW. С помощью этих матриц составим матрицу
А = FMAFW. D9)
Тогда, очевидно,
lim А9=*А. E0)
4

§ 5] АППРОКСИМАЦИЯ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ 317
С другой стороны, имеет место тождество
(р = 1, 2, ...,<*).
В матрице Л для любого порядка р ^.d имеются миноры, отлич-
отличные от нуля, причем все эти миноры имеют один и тот же знак гр;
все же миноры в А порядка > г равны нулю. Если принять еще во
внимание, что Ff^ и F&)— вполне положительные матрицы, то из
тождества E1) можно заключить, что матрица AQ при любом а>0
имеет ранг<>, причем в Ао все миноры любого порядка p^d от-
отличны от нуля и имеют знак ер. Очевидно, что при достаточно боль-
большом о ранг матрицы Аа равен г. Теорема доказана.
Следствие. Всякая вполне неотрицательная матрица
класса d и ранга r^d может быть как угодно близко аппрок-
аппроксимирована вполне положительной матрицей класса d и ранга г.
В частности, всякая вполне неотрицательная матрица ранга г
может быть как угодно близко аппроксимирована вполне поло-
положительной матрицей класса г и ранга г.
На основании теорем 9 и 12 из соображений непрерывности
получаем:
Теорема 13. Если А = ||aik||i — знакоопределенная матрица
класса d и ер—знак миноров р-го порядка этой матрицы
(р = 1, 2, ..., d), то первые d наибольших по модулю характери-
характеристических чисел матрицы А вещественны.
Если все характеристические числа матрицы А перенумерованы
в порядке невозрастания модулей^ то
На основании теорем Ни 12 из соображений непрерывности
находим:
Теорема 14. Знакоопределенная матрица А = ||aik||? всегда
имеет вещественные характеристические числа. Если ранг этой
матрицы г, то при надлежащей нумерации характеристических
чисел
где ер — знак миноров р-го порядка матрицы А (р = I, 2, ..., г).
Частным случаем этой теоремы является
Теорема 15. Все характеристические числа вполне неотри-
неотрицательной матрицы Л= [|а<Л||? вещественны и неотрицательны*

318 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
2. Опираясь на следствие из теоремы 12, мы сможем дать интерес-
интересное обобщение одного детерминантного неравенства, вытекающего из
основного детерминантного неравенства § 6 гл. II.
Введем сокращенное обозначение для миноров п — 1-го порядка
матрицы А= \\aik\\x:
Пользуясь этими обозначениями для миноров п — 1-го порядка,
мы можем для вполне неотрицательной матрицы А написать следую-
следующее неравенство, являющееся частным случаем основного детерминант-
детерминантного неравенства (§ 6 гл. II):
\12...й/
< «не-
«несущественное обобщение этого неравенства дает
Теорема 16. Если A=\\aik\\1 — вполне неотрицательная
матрица, то
апАп — a A2^J
— «iHi2+ ••• +ei.2a-i<4i.a«-i E4)
Доказательство. Очевидно, что это неравенство нужно уста-
установить лишь в случае, когда матрица А имеет ранг ^>я — 1. В этом
случае, как было показано в теореме 12, можно матрицу А аппроксими-
аппроксимировать вполне неотрицательной матрицей, у которой все миноры
порядка 4^п — 1 положительны. Так как при предельном переходе
неравенства E4) сохраняются, то достаточно установить неравенства
E4) в предположении, что все миноры матрицы А порядка <; п—1
положительны.
Заменим в матрице А элементы аи, а12, ..., als нулями; получен-
полученную матрицу обозначим через As (s = 1, 2, ..., п). Тогда неравен-
неравенства E4) можно записать так:
>0 E=1, 2,..., /г). E5)
Будем доказывать E5) индукцией относительно п. При п = 2 не-
неравенство E5) очевидно. Предположим, что E5) справедливо для мат-
матриц порядка < /г и выпишем тождество Сильвестра (см. § 2 гл. I):
/3 ...л \ л /1 З.../i
/13...Я /23...й v
8\23...л/ \1 2...Я-1/ V '

§ 5] АППРОКСИМАЦИЯ ЗНАКООПРБДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ 319
Из предположения индукции следует, что
1 З...л
Поэтому, умножая обе части E6) на (— l)s и замечая, что все входя-
входящие в E6) миноры матрицы А положительны (так как их порядок < /г),
получим E5). Таким образом, теорема доказана.
Замечание. Теорема 16 находится в некоторой связи с одной
интерполяционной теоремой академика А. А. Маркова [33а,б].
3. Пусть А = U^ftll?—строго знакоопределенная матрица класса г
и ранга г. Тогда (см. теорему 11)
где Vn= ••• — ^i===0> a Для матриц U и V выполняются нера-
неравенства D8). При произвольно заданных цг+1, у|г+2,..., ч\ПУ равных± 1,
определим матрицу Ар (р > 0) равенством
А? = и\\^Ь4к\\ V, E7)
где
Очевидно,
lim Лр = А.
р->0
С другой стороны, из E7) вытекает, что
E=1, 2, ..., /г — r).
При достаточно малом р знак суммы будет совпадать со знаком
члена, содержащего наименьшую степень р:
т. е. со знаком
sr+s=^+i ••• Vbssign^ ... Xr). E8)
Таким образом, при достаточно малом р > 0 все миноры мат-
матрицы А9 порядка r + s E = 1, 2, ..., л—1) отличны от нуля и
имеют знак E8). С другой стороны, при достаточно малом р миноры
порядка <гв матрице А? будут отличны от нуля и тех же знаков,
что и соответствующие миноры в матрице А. Следовательно, при

320
ЗНАК00ПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ
[ГЛ. V
достаточно малом р > 0 матрица Л? будет строго знакоопределенной,
причем знаки E8) ее миноров порядка >г могут быть сделаны лю-
любыми за счет подбора знаков r\v тгJ, ..., yjs.
Вспоминая теперь, что любую знакоопределенную матрицу ранга г
можно с любой степенью точности аппроксимировать строго знако-
знакоопределенной матрицей ранга г и класса г, а последнюю, как мы
показали, можно аппроксимировать строго знакоопределенной мат-
матрицей Лр класса п, мы приходим к следующей теореме:
Теорема 17, Всякую знакоопределенную матрицу Л= ||д^||"
ранга г можно с любой точностью аппроксимировать при помощи
строго знакоопределенной матрицы с любыми наперед заданными
знаками для миноров порядка > г. В частности^ вполне неотри-
неотрицательную матрицу всегда можно аппроксимировать вполне по-
положительной матрицей.
Рассуждения, с помощью которых мы доказали теорему 17,
позволяют также доказать следующую теорему:
Теорема 18. Пусть заданы две произвольные биортонормиро-
ванные системы векторов Маркова uf=(uxj9 ,.., unj) (/ = 1,2, ..., п)
и v3 = (vtp ,.., vnj) (/=1, 2, ..., /г). Тогда, каковы бы ни были
Q^^) д
знаки ei9 ва,
)
всегда существует матрица
= \\а^к\\^ранга г, обладающая следующими свойствами: 1° любой
минор порядка р <1 г отличен от нуля и имеет знак гр; 2° матрицы
U=\\uik\\" и V=\\vik\\i являются фундаментальными матри-
матрицами соответственно для А и А\
Доказательство. Действительно, легко видеть, что при до-
достаточно малом р > 0 матрица
о
о о ... о
о о ... о
0
0
о о ... о
E9)
где Yifc = ©7ceA;-i (А=1>2, ...,г;ео=1), обладает свойствами 1°и2°,
указанными в теореме.
4. Аналогичными рассуждениями мы докажем и следующую тео-
теорему.
Теорема 19. Если матрица Л=||ал||? имеет п различных
по абсолютной величине и отличных от нуля вещественных ха-
характеристических чисел Х1? Х2, ..., \п
0 F0)

§ 5] АППРОКСИМАЦИЯ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ 321
и собственные векторы матриц А и А\ отвечающие этим харак-
характеристическим числам, u$=(u{j, u2j, •.., unj) и ttf=(t^, v2j9 .. .,vnj)
(/=1, 2, ..., n) образуют две системы Маркова, то некоторая
степень матрицы А является вполне положительной.
Доказательство. Аналогично тому, как это было сделано
при доказательстве теоремы 10, можно так пронормировать век-
векторы я1, и**, ..., ип и v1, v2, ..., vn9 чтобы эти системы векторов
стали биортонормированными:
и чтобы одновременно выполнялись неравенства
Далее,
A
Положим теперь В = Л2мг, где т — целое положительное число.
Тогда
= У ^m x«m • • • xfl ^fх '2"'lp )v (kl k*'''kp) F2)
1 < ; p = 1, 2, ..., и).
При достаточно большом /» знак суммы, стоящей в правой части
равенства F2), будет определяться знаком своего «старшего» члена:
.12 ---j
который, в силу F1), положителен.
Следовательно, при достаточно большом т матрица В = А2т вполне
положительна. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает
Следствие. Если для вполне неотрицательной матрицы А —
= [|л<к|* выполняются условия: 1) все характеристические числа
положительны и различны между собой и 2) собственные век-
векторы матриц А и Аг образуют две системы Маркова, то мат-
матрица А является осцилляционной.
Это предложение показывает, что выбранный нами промежуточный
класс между классом вполне положительных и классом вполне неотри-
21 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

322 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ [ГЛ. V
дательных матриц — класс осцилляционных матриц — не является слу-
случайным. Он однозначно определяется, если потребовать, чтобы матрицы
этого класса обладали осцилляционными свойствами, сформулирован-
сформулированными в теореме 6 § 5 гл. II. Попутно нами показано, что все эти
свойства следуют из двух свойств, указанных в следствии к тео-
теореме 19, в чем можно и непосредственно убедиться из доказательства
более общей теоремы 9 § 4.
Аналогичная теорема имеет место для осцилляционного ядра:
Теорема 20. Если К(х, s) (а <! лг, 5 ¦< Ь) — непрерывное симме-
симметрическое вполне неотрицательное ядро
и нагруженное интегральное уравнение
ъ
<р (х) = X J/C (х, s) <р (s) da (s) F3)
а
при любой монотонной функции <з($), имеющей конечное число
точек роста {среди которых хотя бы одна внутренняя), обладает
следующими свойствами:
1. Все собственные числа интегрального уравнения F3) поло-
положительны и простые:
0<Х0<Х1<Х2<...
2. Соответствующие фундаментальные функции
образуют ряд Маркова в интервале I относительно /в*), то
К(х, s) — осцилляционное ядро и потому интегральное уравнение
F3) обладает всеми осцилляционными свойствами (в том числе свой-
свойствами 1) и 2) при любой неубывающей функции а($) (a^.s^.d),
имеющей хотя бы одну точку роста внутри (а, д)).
Доказательство. Напомним, что интервал / получается из
[а, Ь] путем исключения конца а, если К {а, а) = 0, и конца Ь, если
)
)
Выберем в / произвольно числа хг < х2 <... < хп (при п = 2 по
крайней мере одно из чисел х19 х2 берем внутри (а, Ь)) и рассмот-
рассмотрим монотонную неубывающую функцию, которая в этих и только в
этих точках имеет точки роста со скачками, равными 1.
Тогда интегральное уравнение F3) запишется так:
;). F4)
) См. определение 4 гл. IV на стр. 229.

§ 5] АППРОКСИМАЦИЯ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ 323
Давая аргументу х значения xv х2, ..., хп, получим систему алге-
алгебраических уравнений для определения о(к^)у ср(дг2), ..., ®(хп):
п
K(xt, хк) ср (хк) = {<? (х{) (/ = 1, 2, ..., п). F5)
В данном случае интегральное уравнение имеет п собственных
чисел (О <)Х0 < лх < ... <XW-1 с соответствующими фундаменталь-
фундаментальными функциями ч>0(х), ?i(x), • • •> ?n.iW fCM- теорему 4 § 4 гл. IV].
Согласно F5), числа -г- , г-,..., ? будут характеристическими
числами матрицы \\К(х{, х1{)\$ и числу j- будет соответствовать собст-
собственный вектор аэ={ихр u2j, ..., unj), где ^ == ^ (**) (/==°> 1, •.., л—1).
Эти векторы образуют систему Маркова, так как из условия 2° дай-
дайной теоремы следует, что все определители
То
/1
отличны от нуля и одного знака ер.
Поэтому, применяя следствие из теоремы 19 к симметрической
вполне неотрицательной матрице j; К (xi9 Arfc)|f, заключаем, что при лю-
любых хх < х2 < ¦.. < хп из I эта матрица является осцилляционной.
Это означает, что К (х9 $) — осцилляционное ядро.
21*

ДОПОЛНЕНИЕ I
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
ОСЦИЛЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ
Известный итерационный метод определения характеристических
чисел и собственных векторов матрицы допускает ряд существенных
дополнений в случае осцилляционной матрицы.
1. Если А = || aik||у—матрица с неотрицательными элементами, то А
имеет вещественное неотрицательное наибольшее по модулю характе-
характеристическое число А15 которому отвечает собственный вектор с неотри-
неотрицательными координатами. Существование этого максимального
характеристического числа следует из того, что матрица с неотрица-
неотрицательными элементами всегда может быть как угодно близко аппрокси-
аппроксимирована матрицей с положительными элементами1); у последней же
в силу теоремы Перрона (§ 4 гл. II) существует положительное макси-
максимальное характеристическое число, которому соответствует собствен-
собственный вектор с положительными координатами.
Докажем следующую лемму 2):
Лемма. Если А ~||я«.||? — произвольная матрица с неотрица-
неотрицательными элементами, а Хх — её максимальное характеристиче-
характеристическое число, то
(^fk ^ A)
здесь х = (хи a:2, ..., xn) —произвольный вектор с положитель-
положительными координатами, а
п
(A*)i = У, <*ikXk (/ = 1, 2, ..., /г)
— координаты вектора Ах.
*) См. следствие из теоремы 12 гл. V (стр. 316).
Л< См. Collatz, L., Math. Zeitschrift, 4», 2, стр. 221—226.

ДОП. I] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 325
Доказательство. Транспонированная матрица Аг также имеет
неотрицательные элементы и имеет то же самое характеристическое
число Xj, что и матрица Л.
Пусть
ЛЧ>==Х^[г> = A^2, ...,*„)?• О, *,>0(/~1,2, .... л)].
Тогда
^ _ (А'у, х) _ (р,^) _ vi (Ах)г + v9 (АхJ 4- ... 4- vn(Ax)n ^
1 («Г, X) (V, X) ViXX + V2X2 + ... + VnXn l '
или
где
г< = У& (/-1,2,..., я).
Эта формула показывает, что если на числовой оси в точках г^
сосредоточить неотрицательные массы v^ (i = 1, 2, . •., л), то
точка хг будет центром этих масс. Поэтому
min ^^X^ гп'Х Zi,
что и требовалось доказать.
2. Пусть «* = (elfr, и2к,..., ипк) (% = 1, 2, ..., я) и *» =
===(% va», ..., ^wfr) (A==l, 2, ..., я) — две полные биортонорми-
рованные системы собственных векторов осцилляционной матрицы А
и транспонированной матрицы А', отвечающие характеристическим
числам Xt > l2 > ... > 1п > 0:
{^jiJ C)
D 6=1, 2, ..., я).
Для элементов матрицы Л== Цяяк1'" имеют место соотношения
п
2 D)
Далее, мы можем считать, что
«« >0, vn>0 0 = 1, 2, ..., я).
Для произвольного вектора х имеет место следующее разложение:
*= 2 (*<>*)**• (б)
Л1

326 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ [ДОП. I
Применяя к обеим частям равенства линейное преобразование с ма-
матрицей Лш, получим
т
А™х — 2 *2* (х vk) ик (т = 1, 2, ...).
Отсюда вытекает, что при т -> оо
\-»А*х = (х v1) и1 + (д)т (х v2) и* + ... +
+ (Ь)ш(* *») а» -» (х v1) и\ F)
Пусть теперь х — произвольный вектор с положительными коор-
координатами. Тогда
с = (лгг;1) > О
и, в силу D), все координаты любого из векторов
х{т)= Атх = DW). 4m\ • • •, *$Г) (/« = 1,2....)
положительны:
х}т)>0 (/=1, 2, ..., я; w=l, 2, ...)•
В координатной форме соотношение F) запишется так:
XTm(^при w -+ оо,
откуда:
(w-D-»^i ПРИ fn^oo, G)
^:4'"):...:^>^«11:%:...:й„1. (8)
Согласно лемме, для любого т
^. (9)
7
Таким образом, наибольшее характеристическое число кх и коорди-
координаты соответствующего собственного вектора «1==(^11, #21, ..., ип1)
осцилляционной матрицы А могут быть вычислены по следующему
правилу.
Пусть х = (xv х$у ..., хп) — произвольный вектор с положи-
положительными координатами и
Л (Jj , Л2 , • • • , X)(t J \ttl = 1, /, . . .j.

ДОИ. l] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 327
Тогда
) i
т->оо
при этом для любого т
Щ=п С- и,..., п), A1)
х(т) х(т)
* < X < max _1_==:L ; A2)
«^-JS.-^v-1-*••••* <13>
Неравенства A2) позволяют получать приближенные значения
для Xj /еде с избытком, так и с недостатком.
Замечание. Можно доказать, что установленное правило со-
сохраняет силу при значительно более общих условиях, а именно,
правило справедливо для произвольной матрицы А с неотрицатель-
неотрицательными элементами, достаточно высокая степень которой имеет положи-
положительные элементы.
Если такая матрица имеет простую структуру (например, матрица
симметрична), то приведенный вывод правила сохраняется без изме-
изменений.
В общем же случае приходится использовать имеющее место при указан-
указанных условиях представление преобразования Ах в следующем виде:
Ax = l(v, x)u + Atx, A4)
где X > 0 — наибольшее по модулю характеристическое число матрицы 1),
и, v — соответствующие собственные векторы:
Аи =в \хи, Afv = liV (г/, v) Ф О,
а А\ — линейное преобразование, обладающее следующим свойством:
Аги = A[v = 0. A5)
Представление A4) геометрически означает, что по отношению к преоб-
преобразованию хг =г Ах пространство Еп л-мерных векторов распадается в пря-
прямую сумму двух инвариантных подпространств: одномерного {Хи} и гипер-
гиперплоскости (v,x) =0.
Отсюда, характеристическими числами At будут характеристические
числа А, отличные от X, и, кроме того, число 0. Из A4) и A5) вытекает, что
Атх = lm (v, х) и + А™х (/« = 1,2, ...),
!) Возможность такого представления можно было бы доказать, поль-
пользуясь теоремой Перрона.

328 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ [ДОП. I
и так как все характеристические числа А\ по модулю меньше X, то
lim \~тА™х = 0,
откуда и вытекает утверждение.
3. Переходим к вычислению второго характеристического числа Х2
и соответствующего ему собственного вектора и2 = (и12, #22, ..., я п2)
осцилляционной матрицы А. Рассмотрим ассоциированную матрицу 212.
Ее элементами будут миноры
<'
<»)¦
Наибольшее характеристическое число матрицы 912 равно \г\2.
Этому характеристическому числу соответствует сообственный век-
вектор с координатами
«ftl u
Пусть x = (xt, x2, ..., xn) — снова произвольный вектор с по-
положительными координатами, ay = (yvy2> •••>.Уп) — вектор, выбран-
выбранный так, чтобы все определители второго порядка
A<*<*<л; /,* —1, 2, ..., п) A6)
были положительными.
Как и в п. 2, положим
хк ' — А х = (Хг , х2
(in)
2
=1, 2, ...)•
Как легко видеть,
(W-1) /»—1)
К матрице 5t2 мы можем применить все рассуждения и выводы
п. 2. При этом в качестве исходного произвольного вектора х с по-
положительными координатами мы возьмем вектор с координатами A6).
Роль величин x(in) из п. 2 теперь будут играть определители
<л; /, 6=1, 2, ..., п).

ДОП. I] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 329
Таким образом, получаем
Hm-j&y, A7)
max
¦ik\
1 2)
«11 «121
l
lim
Из A2) и A8) получаем оценки для Х2:
max
A8)
A9)
B0)
Заметим, что в оценках A8) и B0) мы можем уменьшить число рас-
сматриваемых отношений (т__п > ограничившись только отношениями
(ffl_D (/ == 1, 2, ..., /г—1); но при этом оценки могут стать не-
+
сколько более грубыми.
В самом деле, пусть / < J < k. Тогда
0 =
откуда
= 1, 2, ...),
Jm)
- 1. 2, .. •)•
B1)
Формула B1) выражает минор А^ плотности k — i—1 через миноры
МУ и Д}^ меньших плотностей j — /—1 и k—]—1, причем это
выражение представляет собой линейную комбинацию с положительными
коэффициентами 1) (относительно определения плотности минора см.
гл. V, стр, 305).
!) Это равенство является частным случаем более общего тождества
Фекете (§ 3 гл. V, стр. 306).

330 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ [ДОП. I
Из B1) следует
<max
Пользуясь обозначениями неравенства A2), из B2) получаем:
Применяя это неравенство несколько раз, мы сможем выразить
границы оценки XtX2 через миноры нулевой плотности:
"« -Sf, B4)
и, следовательно, оценка B0) заменится неравенством
max %±f. B5)
В неравенствах B4) и B5), как легко видеть, целое число v опреде-
определяется из соотношения
2V~1O — 2<2"- B6)
Сделаем еще замечание по поводу того, как практически выбирать
вектор у, с помощью которого составляются миноры А^ A <1 / <
< k ^ я). Для того чтобы все эти миноры были положительны, до-
достаточно, чтобы были положительны миноры нулевой плотности
Д^, ^+1 (г == 1, 2,..., п—1), поскольку при помощи формулы B1)
остальные миноры могут быть выражены через них в виде линейных
комбинаций с положительными коэффициентами, причем коэффициенты
этих зависимостей содержат только координаты вектора х. Условия
Д</, <+i > 0 (/=«1, 2, ..., п—1) дают неравенства
позволяющие последовательно выбирать у2, уь, ..., уп, после того
как ^j > 0 выбрано произвольно.
Перейдем теперь к определению координат вектора и2. Коорди-
Координаты собственного вектора и2, т. е. числа и12, %2, ..., ит, удовле-
удовлетворяют системе уравнений

ДОП. l] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 331
где правые части, в силу A9), заданы с точностью до множителя,
~п(п — 1) уравнений B7) не являются независимыми, так как все
о) с положительной плотностью {k — / — 1 > 0) линейно
выражаются через миноры UL ~ j нулевой плотности, причем коэф-
коэффициенты этих зависимостей будут содержать только уже найденные
координаты вектора и1. Таким образом приходим к рассмотрению
системы из п—1 уравнения:
/+1) (/=1, 2, ..., п—\), B8)
2
которую следует дополнить уравнением
B9)
Координаты вектора V1 с точностью до множителя определяются из
соотношений, аналогичных A3):
— = "т ^ёп" [A'^^(xtl.. Лт) (»=1, 2, ...)]• C0)
/г уравнений B8) и B9) независимы; их правые части определены
с точностью до множителя. Поэтому из этой системы п уравнений
с точностью до нормирующего множителя определятся координаты
искомого вектора и2.
В случае симметрической матрицы Л =* А1 вектор v1 следует
считать равным вектору и1.
Сделанное ранее замечание позволяет также утверждать, что указан-
указанные правила определения первых двух характеристических чисел и
соответствующих собственных векторов применимы к вполне неотри-
неотрицательным (и даже знакоопределенным) матрицам класса 2+ (см.
определения 1 и 2 гл. V).
Нетрудно также догадаться, как будет формулироваться правило
определения первых р характеристических чисел и соответствующих
им собственных векторов для знакоопределенных матриц класса р + .

ДОПОЛНЕНИЕ II
ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ
И О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ СТИЛЬТЬЕСА
1. Условимся говорить, что для нити с 2п бусинками выполнено
условие симметрии, если ее концы одинаковым образом закреплены
и если каждой бусинке отвечает симметрично с ней расположенная
(относительно середины нити) бусинка той же массы.
Нас будет интересовать следующая задача:
Рассматривается нить S длины 2U натянутая силой 7\ не-
несущая 2п бусинок и одинаково закрепленная на своих концах.
Требуется определить^ соблюдением условия симметрии)массы
бусинок и их расположение так, чтобы частоты нити имели на-
наперед заданные значения рг < р2 < ... < р%п.
Сперва мы рассмотрим задачу для случая нити с неподвижными
концами. Мы покажем, что в этом случае задача всегда имеет реше-
решение и притом единственное при любом выборе положительных чисел
Более того, мы покажем, что искомые массы бусинок и длины
отрезков, на которые разделяется нить бусинками, выражаются в виде
рациональных функций с целыми коэффициентами через числа
Pi A=1, 2,...,2п), I и Т.
Из соображений о симметрии и характере расположения узлов
последовательных собственных колебаний нити легко вытекает, что
если рассматриваемую нить закрепить в ее средней точке, то часто-
частотами колебаний каждой из половинок нити будут числа р2<р4<...</7271.
Наоборот, если нить разрезать посредине и разрезанный конец,
например, левой половинки скрепить с невесомым колечком, позволив
ему скользить по идеально гладкой проволоке, расположенной пер-
перпендикулярно к равновесному положению нити, то частотами левой
половинки будут уже числа /?, </?s <... < /?2w-f
Отсюда легко заключить, что в случае нити с неподвижными
концами поставленная нами задача эквивалентна следующей.
Задача I. Рассматривается нить с неподвижно закрепленным
левым концом, несущая п бусинок. Длина I и натяжение а нити
заданы.

ДОП. И] ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 333
Для этой нити задано 2п положительных чисел
Р[<Р1<Р'2<Р2<.-. <Р'п<Рп-
Требуется определить массы и расположение бусинок так, что-
чтобы при закрепленном правом конце частоты нити равнялись
Pi» P2>'"> Pn> a пРи свободно скользящем правом конце они рав-
равнялись pv р'2,...,р'п1).
В п. 6 этого параграфа мы приведем решение поставленной общей
задачи для случая нити с двумя скользящими концами, соответствую-
соответствующим образом переформулировав ее для половинки нити (см. задачу II).
При решении этих задач мы используем одно алгебраическое
предложение, явившееся для Стильтьеса [43] одним из отправных
пунктов его исследований по проблеме моментов и непрерывным функ-
циннальным дробям.
Одновременно мы получим механическую интерпретацию ряда
результатов Стильтьеса и естественно придем к возможности обобще-
обобщений его исследований в различных направлениях.
2. Условимся говорить, что два многочлена одной и той же
степени п:
заданных в определенном порядке, образуют положительную пару
{ А (X), В (\)} степени п, если они представимы в виде
где
0<Pi<h<Vb<h< ...<рья<Хп B)
и при этом
А0>0, В0>0. C)
Таким образом, у многочленов А (А), В(\) положительной пары
все коэффициенты положительны, а корни этих многочленов отрица-
отрицательны первой кратности и перемежаются в определенном порядке,
как указано в B).
Понятие положительной пары мы распространим и на случай,
когда многочлены А (X) и В (\) нулевой степени: А (\) а Ло, В (k) ss Bo.
В этом случае положительность пары {Ао> Во] будет означать поло-
положительность каждого из чисел АОу Во.
1) Из предыдущего ясно, что указанное расположение чисел pit p^
(i «1, 2,..., п) является единственно возможным, при котором задача имеет
смысл. Иным образом это будет пояснено в п. 4.

334 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. II
Лемма. Положительной паре {А (к), В (к)} степени п
соответствуют единственные постоянные a, b такие, что
где А$)(к) и Ж1) (к)—многочлены степени меньшей п, при этом
всегда
E)
а многочлены ЛО)(Х), В^ (к) при определенной их нормировке1)
также образуют положительную пару, но уже степени п — 1.
Доказательство. В самом деле, переписывая разложение D)
в виде
В(\) ~ ' ВЫ (К) + ЫАЫ (К)
и принимая во внимание, что по условию степень В^1) (к) не превос-
превосходит п—1, мы приходим к выводу, что если представление D)
возможно, то 2)
t
а многочлены ЛС1) (X) и ВО) (к) (при определенной их нормировке)
удовлетворяют соотношениям:
ЛО)(Х) = Д(Х) — аВ(к), G0
?(i) (X) + bkAV) (X) = В (X). {Г)
Пусть
ЛA) (X) = АЫ kn
Сравнение коэффициентов при X** в G") дает
С другой стороны, сравнение коэффициентов при X**-1 в G') дает
Л@1) = Л1-а51 = Л02 X, — аВ0 2 ^ = i40 2 (^ — Ш) > °-
Таким образом, по заданной положительной паре {А (к), В(к)}
из соотношений G') и G") одназначно определяются многочлены
) Соотношение D), очевидно, не изменится, если многочлены А^ (X) и
(X) умножить на один и тот же численный множитель.
2) Степень знаменателя во втором члене правой части предыдущей фор-
формулы равна п (см. нижеследующую формулу G"))> а степень числителя не
превосходит п — 1. Следовательно, при Х->-оо этот член стремится к нулю.

ДОП. II] ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 335
и — 1-й степени Л(г)(Х) и fiA) (X) и числа а и Ь9 причем последние
оказываются положительными.
Для доказательства того, что многочлены ДA) (X) и Ва) (X) образуют
положительную пару, перепишем соотношение G') в виде
Л (К) ,
и исследуем поведение правой части F (X) при изменении X в пределах
от —оо до 0.
В силу A), B) и C),
lim ЖШ = + °° lim
а следовательно,
/Ч—Ш + 0)с= + оо, F{—b — 0) = — оо (у = 1, 2, ..., л).
Таким образом, внутри каждого интервала
(—!Vh> — b) U=h % •••> л—1)
функция ^(Х) меняет знак, а значит, многочлен ЛA)(Х) имеет внутри
этого интервала нуль —Х^- (у = 1, 2, ..., /г—1), т. е.
(8)
причем
Ь < kJ < i*i+i С/= !' 2' • • м я— 1). (9)
Перепишем теперь соотношение G") в виде
и исследуем поведение функции /^(Х), аналогично тому, как это
было проведено с функцией ^(Х).
Из (8) и (9) легко найдем, что
Ит ^-со, lim
откуда
= —оо, Fi(— x;-0) = + oo (/=1, 2, ..., я-1).

336 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. II
Следовательно, в каждом из интервалов
(-Vn>— *i) U = h 2, ..., п — 2)
числитель В^(Х) имеет по крайней мере один нуль.
Замечая, что Ft(—ХА —{— 0) == — оо, а
мы заключаем, что, кроме того, ВA)(Х) имеет нуль внутри интервала
(-4 0).
Таким образом,
где
0 < [М < \[ < р2 < Хз < . . . Ог-1
Из неравенства A0) также вытекает, что
Лемма доказана.
3. Заметим, что многочлены ЛA*(Х) и В^(Х) получаются из много-
многочленов А (X) и В (к) с помощью рациональных операций — путем
двукратного применения первого шага, совершаемого при обычном
делении одного многочлена на другой, по следующей схеме:
n В (X) n ' В (X) n
Вместо а и ?, в целях дальнейшего, мы пишем теперь ап и &п.
Представляя аналогичным образом отношение ЛA) A)
" "
и произведя соответствующую подстановку в D), мы найдем, что

ДОП. И] ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 337
Продолжая так далее, мы после п шагов развернем отношение
А (к)/В (к) в непрерывную дробь, в которой последним неполным
частным будет дробь А('П)(к)/В(п^(к)9 числитель и знаменатель которой
будут составлять положительную пару нулевой степени и, следова-
следовательно,
В(п> (X)
Мы доказали, таким образом, следующую теорему Стильтьеса:
Теорема. Для всякой положительной пары {А(А), В (к)} сте-
степени п ^ 1 существует одно и только одно разложение отношения
А (к)/В (к) в непрерывную дробь вида
1
л(х) " м+ *-
4"+W+(
A1)
В этом разложении всегда
*,>0 (* = 0, 1, ..., л); *<>0 (/=1, 2, .•., л). A2)
Стильтьес показал, что и обратно, если с помощью произвольных
положительных чисел а^ и Ь$ составить непрерывную дробь (И), то ее
числитель А (к) и знаменатель В (к), получаемые по известному пра-
правилу *), образуют положительную пару многочленов.
Мы получим этот результат попутно при решении поставленной
задачи I.
4. Возвращаясь к задаче I, напомним (см. § 2 гл. III), что кине-
кинетическая энергия Т и потенциальная V для натянутой нити S, несу-
несущей п бусинок масс ти т29 ..., тп, имеют следующие выражения:
где в предположении неподвижных концов следует положить
1) Непрерывная дробь приводится к виду Ajk)lBj)C) путем формального
выполнения всех указанных в символе дроби действий без каких-либо допол-
дополнительных умножений или сокращений числителя и знаменателя на один и
тот же множитель, так что числитель А (к) и знаменатель дроби В (к) оказы-
оказываются многочленами с положительными коэффициентами от 2п неполных
частных а,} (/ = 0, 1, .,., л) и ^Х (/= 1, 2, ..., п).
22 Зак« 1961. Гантмахер и Крейн.

338 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. I
Заметим, что за счет изменения единицы длины можно всегда
добиться того, чтобы натяжение о стало равным единице, при этом /
и все 14 (/=:0, 1, ..., п) изменят свои численные значения на значе-
значения, в а раз меньшие. Поэтому без ограничения общности для придания
нашим формулам более простого вида мы большей частью будем всюду
принимать о=1. Заменяя в любой получаемой при о=1 формуле /
на Ijo и 14 на h/G О'—1, 2, ..., п), мы сделаем ее пригодной для
общего случая.
Составляя уравнения Лагранжа для нити 5 и полагая затем в них
у4sssUisin(pt +a) (/=»1, 2, ..., л), мы получим для частоты р и
амплитудных перемещений #{(/=1, 2, ..,, п) следующие уравнения
(ср. с уравнениями A4) на стр. 141):
^0 (i-1,2,..., it), A3)
К» О, «л+1 = 0. A4)
Так как яо = О, то из рекуррентных соотношений A3) можно
последовательно определить щ (I = 2, 3, ..., /z —J— 1) в виде:
^ = V2W«i (* = i> % •••> * + i; * = —A A5)
где /?2*_2 М — некоторый многочлен степени /-—1 (/= 1, 2,..., я -}-* 1).
Частоты р1 < /?2 < ... < рп нити определятся тогда из уравнения
Введем, кроме того, в рассмотрение многочлены
Rv-xQ)**»®-*"-*® (/-1, 2, ..., я), A6)
так что
^fL—»/?w-iW«t (/=1, 2, ..., й + 1).
Таким образом, при определенных значениях X многочлены с чет-
четными индексами /?2 (X), /?4 (X), ..., #2w (X) задают с точностью до
пропорциональности амплитудные перемещения бусинок tnl9 m2i. f., тп
соответствующего гармонического колебания, в то время как много-
многочлены с нечетными индексами Rt (X), /?3(Х), ..., /?2w+i (X) задают с точ-
точностью до пропорциональности углы наклонов (точней, тангенсы углов
наклонов) последовательных отрезков 14 (/=0, 1, ..., п) нити.
Многочлены Rk (&==0, 1, 2, ..., 2п) могут быть последовательно
определены по следующим рекуррентным формулам:
(/=1,2, ...,*;*_i(X) = i,

ДОП. И] ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 339
Первая система соотношений получается путем подстановки выра-
выражений A5) для координат щ (/==2, 3, ..., я + 1) в A3), а вторая
система выражает то же, что и A6).
Следовательно,
Отсюда заключаем, что
¦•¦+
A8)
5. Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда левый
конец нити закреплен, а правый свободно скользит по направлению,
перпендикулярному к равновесному положению нити.
Уравнения A3) и в этом случае сохранят силу, только вместо
«граничного» условия ип+1 = 0 мы будем иметь условие
Согласно A5), для
уравнение
= — р2, в силу этого условия, получится
или, что то же,
«2»-,W = 0. A9)
Пусть р'х < р[} < ... < р'п — частоты рассматриваемой теперь нити
со скользящим концом, т. е. пусть
Г^-pf (у = 1, 2, ..., п)
— все корни уравнения A9).
При закрепленном правом конце потенциальная энергия V нити
имеет выражение
п
а при скользящем правом конце — выражение
22*

340 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. II
Таким образом, форма V получается из формы V путем приба-
прибавления одного квадрата (в первом случае закрепление более жесткое,
чем во втором *)). Согласно теореме 15 гл. I (дающей здесь более
точный результат, чем закон II § I главы III):
v\<p^<p',< ... <р'п<рп-
Легко видеть, что знак равенства здесь всюду исключается.
В самом деле, допущение противного означает, что многочлены
W и Яап-iM имеют общий корень Хо. Но тогда в силу рекур-
рекуррентных соотношений A7) Хо было бы общим корнем и для /?2й-2(А),
/?2те_3(Х), ..., /?0(Х), а это невозможно, так как /?0(Х) = 1.
Таким образом,
Р'1<Р1<Р'2< •-. <Рп<Рп- B0)
В силу рекуррентных соотношений A7) все коэффициенты много-
многочлена Rt положительны.
Таким образом,
B1)
Принимая во внимание B0), мы заключаем, что многочлены R2n
и R<2U_t образуют положительную пару.
Так как массы ть ..., тп и длины /0, lv ..., ln могут быть
выбраны произвольно, то тем самым доказана обратная теорема
Стильтьеса, о которой шла речь в конце п. 3.
6. Мы получили все ключи к решению интересующей нас задачи.
Решим задачу методом ложного положения.
Отправляясь от заданных величин
P[<Pl<P2<P2< ••' <Рп<Рп>
составим многочлены
выбирая AQ > 0 и Во > О произвольно.
*) См. § 3 гл. III, стр. 156.

ДОП. И] ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 341
В силу B2), они образуют положительную пару и, следовательно,
для них имеет место разложение A1).
Если бы нам удалось подобрать нить с бусинками, дающую реше-
решение задачи, то, составив для этой нити многочлены #9w(A), -/?2n-i(ty
мы имели бы, согласно B1)
где р — некоторый положительный множитель. Но легко видеть, что
при умножении левой части A1) на р все числа at умножаются на р,
а все числа bt делятся на р. Учитывая это обстоятельство и вспоми-
вспоминая разложение A8), мы заключаем, что искомые mi9 l4 имеют сле-
следующие значения:
/* = ря* (i — 0, h ••¦, «), mi = p-lbi (/=1, 2, ..., п).
Мы еще нигде не использовали условия
где /—заданная длина нити. Из него находим:
Если еще учесть сказанное в начале п. 1 о натяжении о, то при
1 окончательные формулы для /$ и т^ будут выглядеть так:
/=0, 1, . . ., я),
'=1> 2, ..., Я).
B4)
Задача решена.
Заметим теперь, что за счет специального выбора коэффициентов
Ао и Во в B3) можно добиться упрощения формул B4).
В самом деле, если частное А (к)/В (к) двух многочленов
допускает разложение A1)> то в силу этого разложения при \ = I

342 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. II
Поэтому, если положить
л(А)=пA+рг); ям-ПО+т*)' B5)
то будем иметь
Таким образом, получается следующее правило решения задачи I.
По формулам B5) составляем положительную пару {А (А), В (л)}
и для нее находим разложение A1). Тогда
17=U ZlizV B6)
7. Совершенно аналогично решается следующая
Задача II. Рассматривается нить со скользящим левым кон-
концом, несущая п бусинок, из которых одна помещена на левом
конце *). Длина I и натяжение нити о заданы.
Кроме того, заданы 2п чисел
Требуется найти массы и расположение бусинок так, чтобы
при закрепленном правом конце частоты нити равнялись рх,
Ръ> • • •» Рп> а пРи свободно скользящем правом конце они равня-
равнялись р[, р'#..., рп.
В рассматриваемом теперь случае уравнения для координат ампли-
амплитудного вектора и частот запишутся в виде (с=1):
Щ — Щ*1
t1 ¦+
B7)
к этим уравнениям нужно присоединить еще одно из двух «граничных»
условий на правом конце:
"п+1 = 0 или «п = «»ц.1>
в зависимости от условий его закрепления.
2) Эту бусинку лучше представлять себе в виде колечка массы mv
свободно скользящего по продетой через него идеально гладкой проволоке
(см. § 2 гл. III).

ДОП. И] OB ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 343
Уравнения B7) получаются, если в уравнениях Лагранжа для рас-
рассматриваемой системы подставить вместо у4 выражение и^ sin (/??-{-а)
(*= 1, 2, ..., п).
Но их можно получить и из уравнений A3), присоединив к ним
вместо «граничного» условия на левом конце иоз=О условие и^=и{.
Это объясняется тем, что связь, налагаемую на колечко mv можно
осуществить также, убрав продетую через него проволоку и соеди-
соединив его натянутой нитью произвольной длины /0 со вторым невесомым
колечком, свободно скользящим по параллельной проволоке.
Из рекуррентных соотношений A3) опять найдем, что
где Q2iW — многочлен степени / (/=0, 1, ..., п).
Аналогично предыдущему, вводя еще многочлены
—Qtf-ift) /,_i 9
получим следующие рекуррентные соотношения:
(/=1, 2, ..., n; Qoft)eal, Q-i(i)sO).
Эти рекуррентные формулы совпадают с формулами A7) для много-
многочленов Ri9 но, в то время как там /?< (Х) = у-> здесь
Нетрудно видеть, что поэтому
, , 1
'n-J + ;
п~\^ "t" .
Из уравнения
Q2n(X)^0 (Х = — р2)
будут находиться частоты рх < /?2 < ... < рп рассматриваемой нити
при закреплении ее правого конца, а из уравнения
частоты 0=р{<>2< ••• </;«~~ПРИ скользящем правом конце.

344 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. П
Так же, как в предыдущем случае, устанавливается, что
Pl<Pi<P*<P*< • • • <Р'п<Рп-
Решение задачи II заключается в следующем:
Составляем многочлены
CQ) = СоД (X +р% D{\) = Do Д (X + ft*) (Со, Do > 0).
Находим разложение
С (к) __ л , I
Тогда
п{ I
(*«al, 2, ..., /г).
Возможность разложения B8) и положительность в этом разложе-
разложении всех ai9 bi (/= 1, 2, ..., п) доказывается совершенно аналогично
тому, как это было проделано для разложения A1).
Замечание. Если для многочленов
С(Х) = Сокп + ... + Сп> D (X) = ?>0Х« + ... -f
имеет место B8), то
D 0) _ 1
Устремляя X к нулю, найдем, что
масс:
Поэтому, если бы вместо длины / нити задавалась сумма всех
сс:

ДОП. II] OB ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 345
то, полагая
j=i\ Py *-.\ Pi
и затем, составляя разложение B8), мы получим величины /;,/#,: (/= 1.
2, ..., п) по формулам
_, /у 19 /Л
8. Механическая интерпретация исследований
Стильтьеса.
Рассмотрим непрерывную дробь
wjX
Числители и знаменатели последовательных подходящих дробей
этой непрерывной дроби будут удовлетворять тем же рекуррентным
соотношениям, что и рассмотренные ранее многочлены /?ДХ) (X)
(/=1, 2, ...). Более того, так как первые два многочлена
совпадают соответственно со знаменателями первой и второй подхо-
подходящих дробей для B9), то, вообще, многочлены Q*(X) (/ ===== 1, 2, ..., п)
являются не чем иным, как знаменателями последовательных подхо-
подходящих дробей непрерывной дроби B9).
Пусть, таким образом, Pi/Qi есть /-я подходящая дробь для B9):
Нетрудно показать, что многочлены /?^ (X) выражаются через много-
многочлены Р4, Qi по формуле
^--jr Я,(*) + (?«(*) (/=1, 2, ...).
Мемуар Стильтьеса [43], доставивший ему столь большую славу,
как раз посвящен исследованию бесконечных непрерывных дробей
вида B9), где mif l? (/=1, 2, 3, ...)—произвольные положитель-
положительные числа.
Но, повидимому, Стильтьесу не была известна та механическая
интерпретация, которую можно дать его исследованиям, отправляясь от

346 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. II
предыдущих рассмотрений. После этой интерпретации многие тонкие
алгебраические и теоретико-функциональные теоремы Стильтьеса при-
приобретают непосредственную механическую очевидность.
Так, например, на стр. 15—20 своего мемуара Стильтьес доказы-
доказывает, что корни Хх, Х2, ..., \п знаменателя Qm(ty (/ю = 2я или 2п—1)
ал-й подходящей дроби для B9) суть неубывающие функции вели-
величин mi9 k (/=1, 2, ..., п).
Но если вспомнить, что взятые с обратным знаком корни Х4.
(/ = 1, 2, ..., п) дают квадраты частот нити, определенным образом
закрепленной на концах и несущей п бусинок масс т19 ..., тп, раз-
разделяющих ее на п последовательных отрезков длин 1Р /2, ..., /м, то
утверждение Стильтьеса становится очевидным.
В самом деле, при увеличении хотя бы одной из масс mt кинети-
кинетическая энергия нити возрастает, а при увеличении хотя бы одной из
длин li потенциальная энергия нити падает, как явствует из выраже-
выражений этих двух энергий. Остается вспомнить законы II, III § 1 гл. III.
Стильтьес показывает, что может случиться, что один из корней Xj
не будет вовсе зависеть от одной из масс т^ или одной длины /ft. Это
также ясно с механической стороны.
Если в гармоническом колебании нити, соответствующем корню А^,
один из узлов случайно приходится на бусинку с массой mi9 то при
любом изменении этой массы число pj = ]/ —Х^ все равно будет оста-
оставаться частотой нити.
Точно так же, если при гармоническом колебании какой-либо
отрезок нити 1к колеблется, оставаясь параллельным самому себе, то
это же колебание будет возможно при любом изменении длины 1Ъ
т. е. Х^ не будет зависеть от 1к.
Дадим набросок механической интерпретации некоторых результатов
стильтьесовского анализа свойств бесконечной непрерывной дроби B9).
В исследованиях Стильтьеса естественно выделяется тот важный
случай, когда дробь B9) расходится хотя бы для одного (а тогда
и для всех) положительных X.
Этот случай характеризуется тем, что
Этому случаю мы сопоставляем нить 5 конечной длины / = 2Х-,
на которую насажена бесконечная последовательность бусинок масс
I»!, т29 ..., тп, ... (общей конечной массы М = 2 mi)> сходящихся
к ее правому концу, при этом первая бусинка помещается на левом
конце и может свободно скользить по направлению, перпендикуляр-
перпендикулярному к равновесному положению нити.
Стильтьес показывает, что в случае C0) при я->оо многочлены

ДОП. IlJ ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 347
сходятся равномерно в каждой конечной части плоскости к некоторой
целой функции ?>(Х), в то время как многочлены
сходятся равномерно в каждой конечной части плоскости к некоторой
другой целой функции
Легко разъяснить смысл целых функций D(X) и А (А).
Представим себе, что правый конец нити 5 закреплен. Тогда
квадраты X ее частот будут собственными числами интегрального
уравнения (см. гл. IV);
i
<t(x) = \JK(xfs)<f(s)dQ(s), C1)
о
где К(х, s) — функция влияния нити S с закрепленным правым кон-
концом и скользящим левым, т. е. (см. G2) гл. III, при Т— 1)
— s (*<$)
а о (л*) (<з@) = 0) — функция распределения масс нити S, т. е. функ-
функция чистых скачков с единственными скачками в абсциссах
*п= 2'« (*=!> 2,...; ^ = 0)
масс тпп (я = 1, 2 ...):
G(xn — 0)=»i»n (Л==1> 2, . .. ).
Легко догадаться, что целая функция ?>(А) будет не чем иным,
как детерминантом Фредгольма уравнения C1).
Коль скоро это установлено, можно дать явное выражение всех
коэффициентов целой функции D (X), которые Стильтьесу не были
известны.
При этом, в силу специальной структуры (однопарности) ядра К(х, s),
обычные фредгольмовы формулы для вычисления D(k) могут быть
заменены более простыми, как это было выяснено в § 9 гл. IV.
Таким образом,
где pj (/=1, 2, ...) — частоты нити S с закрепленным правым
концом.

348 ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ [ДОП. И
Аналогично
7
i-«Pj
где р' (J=l, 2, ...; /?^ = 0) — частоты нити S со свободно сколь-
скользящим правым концом.
Можно показать, что Д(Х)/Х также есть детерминант Фредгольма
интегрального уравнения C1), в котором только К(х, s) уже опре-
определяется не по формулам C2), а по некоторым другим, и является
уже обобщенной функцией влияния (обобщенной функцией Грина)
нити 5 с двумя скользящими концами; но на этом мы останавливаться
не будем.
Обозначим через {fy(*)}JJ° ортонормированную систему фундамен-
фундаментальных функций уравнения C1) (иначе амплитудных функций нити 5
с закрепленным правым концом):
I
/*(*)?*(*)*(*) = ** (A * = о, 1, ...)•
о
Тогда резольвента
будет задавать амплитудный прогиб вынужденных колебаний нити S
под действием пульсирующей с частотой р силы единичной ампли-
амплитуды, сосредоточенной в точке s.
Оказывается, что при я-» оо многочлены Ры(—X) также сходятся
равномерно в каждой конечной части плоскости к некоторой функ-
функции Я(Х) и
Таким образом,
Z)(O, 0;X),
где D(x, s\ X) — минор Фредгольма уравнения C1).
Для нити S с двумя подвижными концами понятие резольвенты
также имеет смысл, и здесь можно утверждать, что

ДОП. Il] OB ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НИТИ С БУСИНКАМИ 349
где. $(к) — равномерный предел в каждой конечной части плоскости
многочленов P2n-iW> a {fy(*)}—ортонормированная система ампли-
амплитудных функций нити 5 со свободными концами.
Механическая интерпретация исследований Стильтьеса услож-
усложняется, если одно из двух условий C0) или одновременно оба эти
условия не выполнены.
В этом случае либо нить имеет бесконечную длину, либо суммар-
суммарная масса бусинок бесконечна, либо имеет место и то и другое.
Однако можно построить теорию колебаний полубесконечной
(или даже бесконечной) струны, каждая конечная часть которой на-
нагружена конечной массой, которая может распределяться как сплошным
образом, так и дискретным.
В этой теории все результаты мемуара Стильтьеса [43] будут
получаться как некоторые частные выводы.

ПРИМЕЧАНИЯ
К главе I
Глава I содержит результаты из теории матриц и квадратичных форм
(см., например, курсы П. А. Широкова [53], Р. Куранта и Д. Гильберта [28],
А. И. Мальцева [32], И. М. Гельфанда [10], Д. А. Граве [13] и др.).
Приведенный в § 8 индуктивный вывод обобщенного неравенства Ада-
мара примыкает к доказательству более общих теорем, излагаемых в § 6 гл. II.
Укажем на недавнее обобщение теоремы Адамара в другом направлении,
полученное М. К. Фаге [47].
К главе II
1. Теория осцилляционных матриц впервые была разработана авто-
авторами [9а, б, в]. В этом издании книги изложение теории осцилляционных
матриц в гл. II отличается очень немногим от изложения этой теории, данной
авторами в их основной статье [9в].
Отметим некоторые из имеющихся в гл. II дополнений по отношению
к этой статье.
а) В качестве введения в общую теорию осцилляционных матриц в § 1
дано независимое изложение основных свойств нормальных якобиевых ма-
матриц — родоначальных по отношению к осцилляционным матрицам.
Основные факты теории якобиевых форм были получены еще Штурмом,
но он не опубликовал своих результатов (см. по этому поводу [76], а также
сноску на стр. 140 в § 2 гл. III). Повидимому, первым восстановившим резуль-
результаты Штурма был Е. Рауз [39а,б]. При составлении § 1 авторы исполь-
использовали также статьи М. Г. Крейна [246, в].
б) Детерминантное неравенство G6) для вполне неотрицательных матриц
было впервые получено авторами в их статье [9а], там же приводилось
применение этого неравенства в теории интегральных уравнений с вполне
неотрицательными ядрами, чему мы посвящаем отдельное примечание. В пер-
первом издании книги были указаны обобщения этого неравенства, содержащие
в себе одновременно и обобщенное неравенство Адамара. Недавняя статья
Д. М. Котелянского [23], содержащая дальнейшие исследования по этому
вопросу, побудила авторов пересмотреть выводы, к которым приводит их
метод в смысле их возможной общности. В результате обнаружилась воз-
возможность установления общих теорем § 6.
в) В § 10 добавлены предложения из статьи М. Г. Крейна [246] о поведе-
поведении спектра нормальной якобиевой матрицы при изменении ее коэффициентов.
Теоремы 16 и 17 § 10 появились как обобщения этих предложений.
2. В цитировавшейся статье Д. М. Котелянского [23] имеется интересное
исследование структуры произвольной вполне неотрицательной матрицы,
в частности, там показано, что всякая неособенная симметрическая вполне
неотрицательная матрица является прямой суммой нескольких осцил-
осцилляционных матриц.

ПРИМЕЧАНИЯ 351
3. После Перрона [36] ряд исследований о матрицах с неотрицательными
элементами был предпринят Фробениусом [49а, б]. В последнее время
в связи с изучением в теории вероятностей цепей Маркова интерес к этим
матрицам очень оживился, и советскими математиками получено много суще-
существенно новых результатов по теории этих матриц. По этому вопросу укажем
на книгу В. И. Романовского [40], где приведена дальнейшая литература,
а также на недавние статьи Н. А. Дмитриева и Е. Б. Дынкина [16а,
В. Г. Калагастова [19], X. Р. Сулеймановой [44], Ф. И. Карпелевича [21],
К главе III
1. Основные идеи этой главы принадлежат М Г. Крейну. Как указы-
указывалось в введении, в 1934 г. им впервые [24д, е] было обнаружено (из других
соображений, чем здесь), что функция влияния сегментного континуума при
наиболее употребительных условиях закрепления его концов является ядром
Келлога (теорию которых М. Г. Крейн получил, не зная о работах этого автора),
и именно это обстоятельство послужило толчком к дальнейшим исследованиям
авторов по теории осцилляционных матриц [9а, б, в], ядер [24ж,з] и диф-
дифференциальных операторов [24г,и, к, л] (см. также П. Д. Калафати [20а, б, в]).
Позже, в 1937 г., М. Г. Крейн ом был установлен механический смысл осцил-
осцилляционности функции влияния, сформулированный в теореме 2 § 6, и в связи
с этим было обнаружено значение теоремы Ролля в этих вопросах. В первом
издании этой книги теорема 2 § 6 доказывалась с помощью чисто алгебраи-
алгебраических теорем, излагаемых теперь в гл. V. В этом издании восстановлено
первоначальное доказательство М. Г. Крейна.
Основанное на теореме 2 и теореме Ролля простое доказательство
того, что при всех употребительных условиях закрепления концов упругого
стержня его функция влияния есть осцилляционное ядро (теорема 4 § 8),
впервые проведено авторами в этой книге. В первых работах М. Г. Крейна
этот факт доказывался для случая только наиболее употребительных усло-
условий закрепления концов стержня, исходя из конкретных выражений в том
или ином виде функции влияния стержня. Последний метод доказательства
интересен тем, что он позволил для ряда граничных условий исследовать
пучности и точки перегиба собственных колебаний стержней (см. [24ж]).
2. Как это показано для случая упругого континуума, нагруженного п
массами, в § 7 гл. III и для случая произвольно нагруженного континуума
в § 4 гл. IV, из осцилляционности функции влияния континуума следуют
уже все осцилляционные свойства его собственных колебаний. Укажем, что
теоремы о простоте спектра частот стержня и о числе узлов его амплитуд-
амплитудных функций впервые были доказаны О. Давидоглу [14а, б] (методом
Е. Пикара). Давидоглу рассмотрел лишь простейшие случаи закрепления на
концах и предполагал, что масса имеет непрерывную плотность. Такого же
рода теоремы в указанном предположении для весьма большого числа слу-
случаев граничных условий другим методом получил С. А. Янчевский [5о].
Однако методы, которыми пользовались первый и второй авторы, не позволяют
доказать, что амплитудные функции стержня при рассмотренных этими авто-
авторами условиях образуют ряд Маркова — основное свойство, из которого для
ортогональных функций весь комплекс осцилляционных свойств вытекает уже
как простое следствие. В своих исследованиях С. А. Янчевскому пришлось
расклассифицировать граничные условия и рассмотреть много отдельных
случаев. Метод, основанный на применении теоремы 2 § 6 и теоремы Ролля,
позволяет в немногих строчках показать, что во всех случаях, рассмотрен-
рассмотренных С. А. Янчевским (когда два граничных условия относятся к левому
концу, а два — к правому), и во многих других случаях функция влияния
стержня, соответствующая этим условиям, является осцилляционным ядром.
Этот метод с успехом может быть также применен к доказательству
осцилляционности для различных граничных условий функций Грина осцил-

352 ПРИМЕЧАНИЯ
ляционных дифференциальных операторов любого порядка, введенных в рас-
рассмотрение М. Г. Крейном. В частности, с помощью этого метода очень просто
были получены результаты, которые почти одновременно, но с помощью
сравнительно сложной аналитической выкладки получил П. Д. Калафати
[206] (его дальнейшие исследования см. в [20в]).
3. Теорема 5 § 8 есть частный случай общей теоремы М. Г. Крейна и
Г. М. Финкельштейна [27] о символах Фредгольма осцилляционных функций
Грина дифференциальных операторов,
К главе IV
1. Трактовка задачи о колебаниях^ упругого континуума в плане теории
нагруженных интегральных уравнений хорошо известна, но, возможно, что
в этой книге она впервые проведена в общей форме с надлежащим выяс-
выяснением и акцентировкой всех возникающих здесь математических моментов.
2. Данное в § 2 определение осцилляционного ядра (находящееся в пол-
полном согласии с новым определением осцилляционности функции влияния
в § б гл. III) отличается от того определения, которое было принято в первом
издании книги. Новое определение содержит дополнительные требования для
случая, когда один или оба конца основного интервала являются подвижными.
Для случая функции влияния и функции Грина вообще, как это следует из
статьи [27], оба определения совпадают. В общем же случае вопрос об экви-
эквивалентности старого и нового определения остается открытым. Новое опре-
определение осцилляционного ядра оказалось совершенно необходимым для
построения законченной теории нагруженных интегральных уравнений, изло-
изложенной в § 4.
3. В § 3 излагается теория Келлога интегральных уравнений с его ядрами
(у Келлога только da (х) = dx). Здесь эта теория пополнена лишь в том
отношении, что поведение фундаментальных функций в отличие от того, что
было у Келлога, рассматривается не только внутри основного интервала, а на
множестве всех его «подвижных» точек.
4. Изложенная в § 4 теория интегральных уравнений с осцилляционным
ядром и произвольной функцией распределения а (х) разработана авторами
книги и излагается впервые.
5. В §§ 5—10 в основном излагаются результаты М. Г. Крейна.
Сделаем замечания к некоторым из них.
а) Теорема 8 § 5 для основного тона была высказана в форме предполо-
предположения Ван-ден-Дунгеном (Corns de technique des vibrations, Fasc. 2, p. 47)
для случая, когда стержень имеет постоянное сечение и не только внутренние,
но и крайние опоры шарнирные. В общей форме это утверждение сформу-
сформулировал К. Гогенемзер [12]. Однако его наивное и не содержащее ничего
нетривиального доказательство ни в какой мере не является убедительным.
Правильное доказательство теоремы для основного тона было указано
М. Г. Крейном и Я. Л. Нудельманом [25]. В § 5 приведен более простой
прием доказательства теоремы, позволивший ее установить в самой общей
форме (для основного тона и обертона).
б) Основное содержание § б заимствовано из статьи М. Г. Крейна [24з].
В этой статье можно также найти теорему об узлах вынужденного колебания
стержня под действием пары с пульсирующим моментом, приложенной
к шарнирно опертому концу стержня. Эта теорема получается на основе
некоторых общих теорем о фундаментальных функциях и резольвенте осцил-
осцилляционного ядра, имеющего непрерывные первые производные и непрерывную
вторую смешанную производную (см. [24з]).
в) Подобно тому как нормальные якобиевы матрицы являются родо-
начальными по отношению к осцилляционным матрицам, однопарные осцил-
ляционные ядра следует рассматривать как родоначальные по отношению
к произвольным симметрическим осцилляционным ядрам (в особенности тем.

ПРИМЕЧАНИЯ 353
которые являются функциями Грина дифференциальных операторов). Теория
однопарных осцилляционных ядер впервые была изложена М. Г. Крейном
в его докладе на Втором Всесоюзном съезде математиков [24а], причем она
была построена независимо от общей теории осцилляционных ядер, тогда
еще неизвестной авторам (на началах, указанных в конце § 9).
Формулы A65) и A66) § 9 для детерминанта и минора Фредгольма одно-
парного ядра впоследствии были обобщены авторами [9г] на случай ^-парных
ядер. При выводе формулы A64) для резольвенты однопарного ядра был
использован метод, указанный в их статье.
г) Содержание § 10 представляет собой некоторое развитие первых двух
параграфов статьи М. Г. Крейна [24д). Теорема 16 публикуется впервые.
Методы ее доказательства тесно примыкают к более общим методам, изло-
изложенным в статьях [24м, н]. С помощью последних эта теорема может быть
обобщена на случай /г-парной симметрической функции Грина, резольвента
которой при некотором отрицательном значении параметра X является осцил-
ляционным ядром.
д) С помощью теории четных и нечетных ядер Келлога можно иссле-
исследовать краевую задачу для уравнения Штурма-Лиувилля также для нештур-
мовских граничных условий (т. е. линейных граничных условий, из которых
хотя бы одно задает некоторую связь между значениями функции и ее про-
производной не только в одном и том же конце интервала, но и в разных
концах). Симметрическое или несимметрическое непрерывное ядро К(х, s)
(<! <!&) называется четным (нечетным) ядром Келлога, если условия
X '" n<b\
(Хл X» . . . Хп\
sx s2 ... snj
(Х\ Xq .. . Хп \
х х х)
х± х% •.. лп/
выполняются только для четных (нечетных) значений я.
М. Г, Крейн заметил, что краевая задача Штурма-Лиувилля с граничными
условиями периодичности:
dy
1Я
при всех значениях X, меньших некоторого числа, приводит к нечетным
ядрам Келлога. Если же условия периодичности заменить на условия полу*
периодичности:
d у __ __ dy
х^а— о?=Ь' dx ^a ax _
то резольвента при всех X, меньших некоторого числа, будет уже четным
ядром Келлога.
После этого П. Д. Калафати с помощью тонкой выкладки исчерпывающим
образом выяснил, каковы должны быть самосопряженные или несамосопря-
несамосопряженные граничные условия, чтобы отвечающая им резольвента при некоторых
значениях X была четным или нечетным ядром Келлога. Осцилляционные
теоремы Биркхофа (Trans. Amer. Math. Soc*, 10 A909)) для краевых задач
второго порядка с самосопряженными нешт^рмовыми граничными условиями
получаются как весьма частные следствия результатов П. Д. Калафати (см. его
диссертацию [206], а также статью: «К теории функций Грина линейных диф-
дифференциальных систем 2-го порядка» (передается в печать)).
23 Зак. 1951. Гантмахер и Крейн.

354 ПРИМЕЧАНИЯ
К главе V
Кроме двух теорем Фекете и Шенберга, все результаты главы V при-
принадлежат авторам. В первом издании книги они частично излагались в главе II,
частично в двух дополнениях.
К Дополнению I
Для случая симметрических матриц с положительными элементами изло-
изложенное в дополнении правило составления приближенных значений (с избыт-
избытком и недостатком) наибольшего характеристического числа, повидимому,
давно известно. Для произвольных матриц с неотрицательными элементами
оно было установлено L. Collatz'oM (Math. Zeitschrift, 48,2). Все остальные ре-
результаты дополнения получены в порядке обобщения этого правила.
К Дополнению II
В этом дополнении излагаются некоторые из результатов М. Г. Крейна
по механическому истолкованию и применению исследований Стильтьеса
о непрерывных дробях специального типа, связанных с проблемой моментов.
Относительно применения непрерывных дробей к исследованию колебаний
см. работы В. П. Терских [46], а также работу Ф. М. Диментберга [15].
Об одном применении детерминантного неравенства
для вполне неотрицательных матриц
В статье [9а], в которой авторы впервые получили детерминантное не-
неравенство G6) § 6 гл. II, было указано (для случая da = ds) следующее при-
применение неравенства в теории интегральных уравнений:
а
с вполне неотрицательным, вообще говоря, несимметрическим ядром К(х, s)
(я<*, s<6)
Если
— детерминант Фредгольма этого уравнения, то в силу неравенства, о котором
идет речь,
ъ ь
а а
где
*п--\ f ••• IV?? '¦' ?i
а а
Ь о
1 Г Г
<¦— | ... | /Cfe, Sj) ... K(slb, Sn)
' a
ь
Ax - J K(s> s) d* (s) (я » 1, 2, .. .)>

ПРИМЕЧАНИЯ 365
откуда при любом комплексном I
Этот результат можно дополнить следующим замечанием.
Так как уравнение (*) можно толковать как предельное для некоторой
системы линейных алгебраических уравнений с вполне неотрицательной ма-
матрицей, то из теоремы 6 гл. II можно вывести, что все характеристические
числа уравнения (*) положительны. Обозначим их через Хо < \х < Х2 < ...
Из неравенства (**) следует сходимость ряда
К теореме Перрона и ее интегральным аналогам
Как указывалось в § 2 главы IV, теорема 3 переносится на случай не-
несимметрических ядер, и именно это обстоятельство позволяет обобщить все
основные результаты § 3 на случай повсюду нагруженных интегральных
уравнений с несимметрическими ядрами Келлога (см. об этом статью
Ф. Р. Гантмахера [8]). Так, обобщенную теорему § 3 гл. IV следует рас-
рассматривать как один из интегральных аналогов алгебраической теоремы
Перрона. Здесь возможны различные аналоги в зависимости от того, рас-
рассматриваются ли обыкновенные или нагруженные интегральные уравнения и
к какому классу относится ядро уравнения в смысле интегрируемости, непре-
непрерывности и т. д. Первый простой интегральный аналог теоремы Перрона
был указан Р. Йенчем [17].
Теорема Перрона, очевидно, справедлива не только для матриц с поло-
положительными элементами, но и для матриц с неотрицательными элементами,
некоторая степень которых имеет только положительные элементы. Этому
факту также соответствуют свои интегральные аналоги, и по этому поводу
см. статью М. Г. Крейна и М. А. Рутмана [26], где приведена дальнейшая
литература: из самых последних работ по этому вопросу см. статью
Т. А. Сарымсакова [42].
Интересно, что теорема Перрона и ее интегральные аналоги допускают
топологическое доказательство с помощью принципа неподвижной точки
(см. [30]). Для самой теоремы Перрона это было указано в известной книге
П. Александрова и Г. Хопфа [1]. Для случая ее интегральных аналогов топо-
топологическое доказательство было найдено М. А. Рутманом [41], который одно-
одновременно получил и первые обобщения теоремы Перрона на случай опера-
операторных уравнений в пространствах Банаха. Дальнейшие исследования в этом
направлении можно найти в цитировавшейся статье [26]; там же приведена
подробная литература по этому и смежным вопросам.
23*

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П. С. и Хопф Г. (Hopf H.), Topologie, Berlin
A935).
2. Б а н а х С. С, Курс функционального анал!зу, КиТв A948).
3. Б е р н ш т е й н С. Н., Экстремальные свойства полиномов, ОНТИ
A937).
4. Б е р н ш т е й н С. А., Новый метод определения частот колебаний
упругих систем (гл. I), Военно-инжен. акад. РККА, Москва A939).
5. Б и цен о Г. и Граммель P. (Biezano G. u. Grammel R.):
а) Die Eigenschaften der Determinanten aus Maxwel'schen Einflusszahlen
tmd thre Anwendung bei Eigenweriproblem, Ing.-Archiv, VIII A937),
364-372.
б) Техническая динамика, Гостехиздат A950).
6. Боттема О. (Bottema О.), Die Schwingungen eines zusaramengesetz-
tin Pendels, Jahresber. der deutsch. mathem. Vereinigung, 42, 1—4 A932).
7. Б о x e p M. (B6cher M.):
а) Lemons sur les raethodes de Sturm dans la theorie des. equations dif-
ferentielles lineaires et leurs developpements modernes, Paris, Gauthiers—
Villars A917).
б) The publisched and unpublished works of Charles Sturm on algebraic
and differential equations. BuU. Amer. Math. Society, 18,1 A911), 40—51.
8. Г а н т м a x e p Ф. Р., О несимметрических ядрах Келлога, ДАН, I (X)
A936), 3-5.
9. Г а н т м а х е р Ф. Р. и К р е й н М. Г.:
а) Об одном специальном классе детерминантов в связи с интеграль-
интегральными ядрами Келлога, Матем. сб., 40 A933), 501—508.
б) Sur les matrices oscillatoires. Comptes Rendus de l'Acad, des Sciences,
Paris, 201 A935) 577-579.
в) Sur les matrices oscillatoires et completement non negatives. Compositio
Mattumatica, 4 A937), 445-476.
г) Об интегральных ядрах типа функций Грина, Труды Одесск. Гос.
ун-та. Математика, I A935), 39-50.
10. Гел ьф анд И. М„ Лекции по линейной алгебре, Гостехиздат A948).
11. Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, Гостех-
Гостехиздат A950).
12. Гогенемзер К. (Hohenemser К.), Praktische Wege zur angenaher-
ten Schwingungsberechnung elastischer Systeme, Ingenieur-Archiv, 1,
3 A930), 271-292.
13. Граве Д. А., Элементы высшей алгебры, Киев A914).
14. Дави дог л у О. (Davidoglou О.):
а) Sur liquation des vibrations transversales des verges elasitques, Annales
de ГЁс. Norm. Superieure C), 17 A900), 359—444.
б) Etude de liquation difierentielle (Ъу"У=*К*(х)у, ibidem C), 22 A905),
539—565.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 357
15. Д им ентб ерг Ф. М., Метод «динамической жесткости» в приме-
применении к определению частот колебаний систем с сопротивлением, ИАН,
отд. техн. наук, 10 A948), 1577-1597.
16. Дмитриев Н. А. и Дынкин Е. Б.:
а) О характеристических числах стохастических матриц, ДАН, XLIX
A945), 159-162;
б) Характеристические корни стохастических матриц, ИАН, матем. серия,
10 A946), 167—194.
17. Йенч P. (Jentzsch R.), Ober Integralgleichungen mit positivem Kern,
Journal fur reine und angew. Mathematik, 141 A912), 235—244.
18. Каган В. Ф., Основания теории определителей, Гос. Изд-во Украины
A922).
19. К ал аг а с то в В. Г., Исследование по матрицам с неотрицатель-
неотрицательными элементами (Диссертация), Моск. гос. педаг. институт им. В. И. Ле-
Ленина A946).
20. К а л а ф а т и П. Д.:
а) ФункцИ Гр1на та 1нтерполяцшш властивост! фундаментальних функ-
Ц1Й л1н1йно! диференц!альноТ системи 2-го порядку, Труды Одесского
гос. ун-та, Математика, II A938), 45—61.
б) О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений, ДАН,
XXVI, 6 A940), 535—539.
в) О функциях Грина обыкновенных квазидифференциальных операто-
операторов ДАН, LIX 3 A948), 427—430.
21. К а р п е л е в и ч Ф. И., О характеристических корнях матрицы с не-
неотрицательными элементами, ИАН, матем. серия (в печати).
22. Келлог О. Д. (Kellogg О. D.):
а) The ostitlation of functions of an orthogonal set, Journal of Mathema-
Mathematics, 38 A916), 1—5.
б) Orthogonal functions sets arising from integral equations, ibidem, 40 A918),
145—154.
23. К о т е л я н с к и й Д. М., К теории неотрицательных и осцилляцион-
ных матриц. Украинск. матем. жури., II A950), 2, 94—101.
24. Крейн М. Г.:
а) Об интегральных уравнениях с осциллирующими фундаментальными
функциями, Труды 2-го Всесоюзн. матем. съезда, т. II A936), 259—262.
б) О спектре якобиевой матрицы в связи с теорией крутильных колеба-
колебаний валов, Матем. сб., 40 A933), 455—466.
в) Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого
специального типа, там же, 41 A934), 339—348.
г) Об одном специальном классе дифференциальных операторов, ДАН,
II, 5—6 A936), 345-349.
д) Sur quelques applications des noyaux de KeNog aux problemes d'oscil-
lalion. Сообщ. Харьк. матем. об-ва D), 11 A935), 3—19.
е) Sur les vibrations propres des tiges dont l'une des extremites est enca-
slree e!: l'autre libre, ibidem D), A2) A935), 3—11.
ж) Sur quelques propriefes des noyaux de Kellog, ibidem D), 13 A936),
15—28.
з) Про деяш властивост1 резольвенти ядра Kfcllog'a, там же D), 14 A937),
61—73.
и) Об осцилляционных дифференциальных операторах, ДАН,- IV (XIII),
9 A936), 379-382.
к) О несимметрических осцилляционных функциях Грина обыкновенных
дифференциальных операторов, ДАН, XXV, 8 A939), 643—646.
л) Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных дифференциаль-
дифференциальных операторов произвольного порядка, ДАН, XXV, 9 A939), 717—720.
м) Sur les operateurs difierentiefs autoadjoints et leurs fonctions de Green
symetriques, Матем. сб., 2 D4) A937), 1023—1072.

358 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
н) Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых
операторов и ее приложения, И, Матем. сб., 21 F3) A947), 363—402.
о) О краевой задаче Штурма-Лиувилля в интервале @, оо) и об одном
классе интегральных уравнений, ДАН, LXXIII, б A950).
п) Идеи П. Л. Чебышева и А. А. Маркова в теории предельных величин
интегралов и их дальнейшее развитие. (Доклады, записанные П. Г. Рехт-
маи) (передается в печать).
25. К рей н М. Г. и Нудельман Я. Л., Про мш1максимальн! власти-
восп вузл1в обертошв в!бруючого стрижня, Труды Одесского гос. ун-та,
Математика, II A938), 193—226.
26. К р е й н М. Г. и Р у т м а н М. А., Линейные операторы, оставляю-
оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН, III, 1 B3)
A948), 2—95.
27. Крейн М. Г. и Финкельштейн Г. М., О вполне неотрицатель-
неотрицательных функциях Грина обыкновенных дифференциальных операторов,
ДАН, XXIV, 3 A939), 220—223.
28. Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики,
т. I, ГТТИ A932).
29. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат A950).
30. Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А., Курс вариационного
исчисления, Гостехиздат A950).
31. Л евин Б. Я.» О функциях, определяемых своими значениями на не-
некотором интервале, ДАН, LXX, 5 A950), 757—760.
32. М а л ь ц е в А. И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат A948).
33. Марков А. А.:
а) О предельных величинах интегралов в связи с интерполированием,
Записки Акад. Наук, Петербург, VI, 5 A898), 1—69.
б) Избранные труды, Гостехиздат A948).
34. Михлин С. Г., Интегральные уравнения и их приложения к неко-
некоторым проблемам механики, математической физики и техники. Гостех-
Гостехиздат A949).
35. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений,
Гостехиздат A948).
36. Перрон О. (Perron О.), Jacobischer Kettenbruchalgorithmus, Malhem.
Annalen, 64 A907), 1—76.
37. Полна Г. и Cere Г., Задачи и теоремы из анализа, ч. II, ОНТИ
A938).
38. Привалов И. И., Интегральные уравнения, ОНТИ A935).
39. Р а у з Е. Г. (Routh E. G.):
а) On functions analogous to Laplace's functions, Proceedings of the Lon-
London Mathem. Society, XI A880), 92-102.
б) Dynamik der Systeme starrer Кбгрег, Bd. 2 (§§ 433—441), 1892.
40. Романовский В. И., Дискретные цепи Маркова, Гостехиздат
A948).
41. Рутман М., Sur les operateurs totalements continus lineaires laissant
invariant un certain сбпе, Матем. сб. 8 E0), I A940), 77—96.
42. Сарымсаков Т. А., Об одном свойстве характеристических чисел
интегрального уравнения с неотрицательным непрерывным ядром, ДАН,
LXVII, 6 A949).
43. С т и л ь т ь е с Т. И., Исследования о непрерывных дробях, ОНТИ
A936), 1-155.
44. С у л е и м а н о в а X. Р., Стохастические матрицы с действительными
характеристическими числами, ДАН, XVI, 3 A949), 343—345.
45. С у ш к е в и ч А. К., Основы высшей алгебры, 3-е изд., ГОНТИ A937).
46. Т е р с к и х В. П.
а) Крутильныз колебания в диззлзны* усганозкас. Труды первой дизель-
1 | Н 1331

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 359
6) Метод расчета вынужденных крутильных колебаний силовых уста-
установок. Сб. Динамическая прочность деталей машин, АН СССР> 1946.
47. Ф а г е М. К., Обобщение неравенства Адамара для определителей,
ДАН, LIV, 9 A946).
48. Фекете М. (Feckete M.), Ober ein Problem von Laguerre, Rendi-
conti del Circ. Mat. di Palermo, XXXIV A912), 89—100.
49. Ф р о б е н и у с Г, (Frobenius G.):
а) Ober Matrtzen aus positiven Elementen, Sitzungsberichte der Preussi-
schen Akademie der Wissenschaften, Phys.*math. Kiasse A908), 471—476;
A909), 514-518.
б) Ober Matrizen aus nicht negativen Elementen, ibidem A912), 456—477.
50. Хеллинтер Е. и Теплиц О. (Hellinger E. und Toeplitz O.), Intc-
gralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Enz.
der Math. Wiss, Bd. II, 3, H. 9 A927), 1356—1357.
51. Шапиро Г. М., Высшая алгебра, 4-е изд., Учпедгиз A938).
52. Ш е н б е р г И. (Schoenberg J.):
а) Ober variationsvermindernde lineare Transformationen, Matliem. Zeit-
schrift, 32 A930), 321—328.
б) Zur Abzahlung der reellen Wurzeln algebraischer Gleichungen, 38 A933),
546.
53. Широков П. А., Тензорное исчисление, ГТТИ A934).
54. Штурм Ш. (Sturm С), Stir les equations a differences partielles, Journ.
des Math. A836), 1—72.
55. Шур И. (Schur I.), Zur Theorie der linearen homogenen Integralglei-
chungen, Ma them. Annalen, Bd. 67, H. 3 A909), 306—339.
56. Янчевский С. A., Oscillations theorems for the differential boun-
boundary value problems of the fourth order. I, Ann. of Math. 29 A928),
521—542; ibidem II, 31 A930), 663-680.