/
Text
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ
5! (О??)
С. С. ДЕРЖАВИН
4 мь
УЧЕБНИК МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ВОСЬМОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ
Допущено научно-педагогической секцией
Госу дарственного ученого совета
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА * 1929 * ЛЕНИНГРАД
ГО®. НА>ЧНйК .
ьИБЛИО”>КА
им.
н. д. Ушинекегэ |
^ОО^А
'’[/о^Аа^Сйв£иио£* j?
n^>UjLkam£4b6m0o
гпнпогрлфи я
печатный
fe-anO АвОР
Л«ш дский Областлит bs 36.125.
15 л. Тираж 5.0Q0.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Предлагаемый учебник математики составлен применительно
к программе ГУСа.
Объем и порядок расположения учебного материала опре-
делены упомянутой программой и объяснительной запиской к ней.
Та часть учебного материала, которая выходит за пределы
программы и рассчитана на любознательность учащегося, напеча-
тана мелким шрифтом.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Отдел I. Краткий обзор действий над целыми многочленами и многочлен-
ными дробями.
Глава I. Действия над целыми многочленами. стр.
§ 1. Законы сложения и умножения................................ 11
§ 2. Законы обратных действий................................... 12
§ 3. Понятие о тождественном преобразовании..................... 14
§ 4. Некоторые свойства многочленов.............................. —
§ 5. Действия над многочленами.................................. 15
§ 6. Умножение и деление расположенных многочленов.............. 17
§ 7. Формулы сокращенного умножения............................. 20
§ 8. Преобразование многочленов в произведение.................. 22
Глава II. Действия над многочленными дробями.
§ 9. Сокращение многочленных дробей и приведение их к общему знаме-
нателю............................................................ 24
§ 10. Действия с дробями......................................... 26
Отдел II. Извлечение корней.
Глава I. Понятие о корне n-ой степени.
§ 11. Определение................................................ 29
§ 12. Некоторые свойства арифметического корня................... 30
§ 13. Правила извлечения корней.................................. 32
*
Глава II. ^Тождественные преобразования иррациональных
выражений.
§ 14. Преобразование иррациональных одночленов................... 38
§ 15. Приведение корней к простейшему виду....................... 40
§ 16. Действия над иррациональными одночленами................... 4j
§ 17. Действия над иррациональными многочленами.................. 43
§ 18. Преобразование сложных радикалов: и yf а____у/~в- • 45
§ 19. Уничтожение иррациональности в знаменателе................. 46
5
Отдел III. Логарифмические вычисления. стр.
Глава I. Расширение понятия о показателе степени.
§ 20. Нулевой показатель......................................................................................................... 48
§ 21. Отрицательный показатель................................................................................................... 48
§ 22. Действия над степенями с отрицательными показателями....................................................................... 49
§ 23. Дробный показатель......................................................................................................... 50
§ 24. Действия над степенями с дробными показателями.......................................................................... 51
Глава II. Общие свойства логарифмов.
§ 25. Понятие об арифметической и геометрической прогрессиях. 53
§ 26. Определение понятия о логарифме............................................................................................ 55
§ 27. Некоторые свойства логарифмов.............................................................................................. 56
§ 28. Логарифм произведения, частного, степени и корня........................................................................... 58
§ 29. Различные системы логарифмов............................................................................................... 61
Глава III. Десятичные логарифмы.
§ 30. Свойства десятичных логарифмов............................................................................................ 61
§ 31. Нахождение логарифма данного числа................................................ 65
§ 32. Нахождение антилогарифма данного числа................................................ 67
§ 33. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками ... 70
§ 34. Вычисления с помощью логарифмов................................................ 71
Глава IV. Показательная и логарифмическая функции.
§ 35. Свойства показательной функции.........t................................................................................... 74
§ 36. График функции: у = ах ............................ 75
§ 37. Свойство графиков взаимно-обратных функций................................................................................. 76
§ 38. Логарифмическая функция и ее график........................................................................................ 77
Отдел IV. Квадратная функция.
Глава I. Функции: _у = х2 и у = ах*.
§ 39. Функция: у = х* и ее график................................................................................................ 79
§ 40. Функция: у = ах* и ее график............................................................................................... 80
§ 41. Геометрическое определение графика функции: у = ах*........................................................................ 81
Г л а в а II. Фу н к ци я: у = ах* + с. f
§ 42. Нахождение нулей функции: у = ах* + с.................. 84
§ 43. Исследование функции: у = ах* + с..................... 86
§ 44. Перенесение начала координат.................................................................... 87
§ 45. График функции: у — ах1--}- с................ 89
6
Глава III. Функция: у = ах* -\-bx-\- с. стр
.§ 46. Нахождение нулей функции: у = ах* + Ьх + с............................. 92
.§ 47. Исследование функции: у = ах* + Ьх + с ................. 100
§ 48. График функции: у = ах* -\-bx-\- с...................................... 103
49. Свойство корней квадратного уравнения вида: ах* Ьх-\- с = 0. . . ПО
§ 50. Следствия.............................................................. 111
л 51. Разложение функции: у = ах*Ьхс на линейные множители. . . 112
Отдел V. Некоторые сведения из геометрии.
Глава I. Пропорциональные линии в круге.
§ 52. Пропорциональные линии в круге......................................... 114
Глава II. Числовая зависимость между некоторыми
элементами треугольника.
§ 53. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника..................... 118
§ 54. Числовая зависимость между элементами в косоугольном треуголь-
нике и в параллелограмме...................................... 119
§ 55. Вычисление площади треугольника в зависимости от трех его_сторои. 121
ГлаваШ. Построение простейших формул.
§ 56. Построение простейших формул ......................................... 123
Отдел VI. Решение уравнений, приводимых к уравнениям первой
или второй степени с одним неизвестным.
Глава I. Теоремы о равносильных уравнениях и их
следствия.
§ 57. Равносильные уравнения................................................. 127
§ 58. Доказательство теорем о равносильности уравнений. 128
§ 59. Следствия...................................................... 129
§ 60. Умножение уравнения на нуль........... 131
§ 61. Умножение и деление уравнения на выражение, содержащее не-
известное .................................................... 132
§ 62. Решение уравнений, содержащих дробные члены относительно не-
известных............................................1........ 133
Глава П. Уравнения, приводимые к квадратным или
к уравнениям первой степени.
§ 63. Решение иррациональн) гх уравнений..................................... 136
‘ 64. Решение биквадратного уравнения........................................ 139
7
Глава III. Система уравненийвторой степени с двумя стр
неизвестными.
§ 65. Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными. 141
§ 66. Общий вид системы двух уравнений, из которых одно первой, а
другое второй степени......................................... 142
§ 67. Общий вид системы двух уравнений второй степени........................................................ 143
§ 68. Решение системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
в простейших случаях.......................................... 143
Отдал VII. Относительное положение прямых и плоскостей в пространстве.
Глава!. Определение положения плоскости.
§ 69. Определение понятия о плоскости................. 146
§ 70. Теорема................. 146
§ 71. Следствия..................................................................................... 147
Глава II. Относительное положение прямой и плоскости.
§ 72. Прямая и плоскость взаимно-перпендикулярные................. 143
§ 73. Прямая и плоскость, взаимно-пересекающиеся, но не перпенди-
кулярные ..................................................... 151
§ 74. Теорема о трех перпендикулярах................. 152
§ 75. Прямые, параллельные в пространстве. 153
§ 76. Прямая и плоскость, параллельные между собою. 154
Глава III. Относительное положение плоскостей.
§ 77. Пересекающиеся плоскости............... 156
§ 78. Свойства пересекающихся плоскостей............... 158
§ 79. Перпендикулярные плоскости. 160
§ 80. Параллельные плоскости. 162
Глава IV. Многогранные углы.
§ 81. Понятие о многогранном угле............... 165
§ 82. Соотношение между плоскими углами трегранного угла. 166
§ 83. Теорема о сумме плоских углов многогранного угла. 167
Глава V. Скрещивающиеся прямые.
§ 84. Понятие об угле между прямыми в пространстве............... 168
§ 85. Некоторые свойства скрещивающихся прямых................. 169
Глава VI. Краткие сведения из проекционного черчения.
§ 86. Общие свойства параллельных проекций............... 172
§ 87. Прямоугольное проектирование точки на две плоскости. 174
8
СТР.
§ 88. Прямоугольное проектирование прямой на две плоскости.......... 175
89. Изображение плоскости посредством ее следов................... 178
§ 90. Прямоугольное проектирование многоугольников.................. 179
§ 91. Понятие о косоугольном проектировании......................... 179
§ 92. Понятие о перспективном проектировании........................ 182
Глава VII. Основные свойства призм и пирамид.
§ 93. Понятие о призме.............................................. 185
§ 94. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.................. 187
§ 95. Боковая поверхность призмы.................................... 189
§ 96. Понятие о пирамиде............................................ 191
§ 97. Свойства параллельных сечений в пирамиде...................... 192
§ 98. Боковая поверхность правильной пирамиды....................... 198
Отдел VIII. Некоторые сведения о тригонометрических функциях.
Глава I. Тригонометрические функции тупого угла.
§ 99. Определение понятия о синусе и косинусе; синус и косинус тупого
угла............................................................. 197
§ 100. Понятие о тангенсе и котангенсе............................... 200
§ 101. Формулы приведения для дополнительных углов................... 201
§ 102. Приведение тригонометрических функций тупого угла к тригоно-
метрическим функциям острого угла................................ 202
§ 103. Изменение синуса в связи с изменением угла от 0° до 180°...... 205
§ 104. График изменения синуса....................................... 205
§ 105. Изменение косинуса в связи с изменением угла от 0° до 180 .... 206
§ 106. График изменения косинуса..................................... 207
§ 107. Изменение тангенса и котангенса в связи с изменением угла
от 0° до 180°.................................................. 207
§ 108. График изменения тангенса..................................... 210
Глава II. Логарифмо-тригонометрические таблицы и
их применение к различным вычислениям.
§ 109. Таблицы логарифмов тригонометрических функций................. 210
§ НО. Нахождение логарифма тригонометрической функции данного угла. . 212
§ 111. Нахождение угла по логарифму тригонометрической функции .... 216
Глава III. Некоторые случаи решения косоугольных
треугольников.
§ 112. Теорема об отношении хорды к диаметру окружности.............. 218
§ 113. Теорема синусов............................................... 219
§ 114. Теорема косинусов............................................. 222
Таблицы логарифмов............................................. 225
ОТДЕЛ I. КРАТКИЙ ОБЗОР ДЕЙСТВИЙ
НАД ЦЕЛЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ И
МНОГОЧЛЕННЫМИ ДРОБЯМИ
ГЛАВА I.
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ.
§ 1. Законы сложения и умножения.
/. Переместительный закон:
a b = b —1~ ft,
ab ~ ba,
т. e. от перемены порядка слагаемых (сомножителей) сумма
(произведение) не изменяется.
Упражнения.
1. Проверить справедливость переместительного закона для следую-
щих числовых значений букв:
а) а = 27, 6=18;
б) а = 6 = -±;
Z о
в) a = 7Y’ 6==3Т'
II. Сочетательный закон:
abc = (ab) с=а (Ьс),
т. е. сумма (произведение) не изменится, если любую группу
слагаемых (сомножителей) заменить их суммой (произведением).
Упражнения.
2. Проверить справедливость сочетательного закона для следующих
числовых значений букв:
a) « = 3, 'b = 7, с = 5;
6) »=+4" 6=~Т' е= + Т'
11
III. Распределительный закон (для умножения):
(а -|- Ь) с = ас 4- Ьс,
т. е. чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, достаточно
умножить на это число каждое слагаемое отдельно и получен-
ные результаты сложить.
Упражнения.
3. Проверить справедливость распределительного закона для следую-
щих числовых значений букв:
а) а =10, 6 = 3, с = 5;
1 Z । 1 1
6) »=--з, S=+T, «= —
§ 2. Законы обратных действий (вычитания и деления).
I. Переместительный закон:
а) для сложения и вычитания:
а-\-Ь — с = а — с-\-Ь,
б) для умножения и деления:
а • (6 : с) = а: с • Ь,
в) для вычитания:
а — b — с —а — с — Ь,
г) для деления:
а: b: с = а : с: Ь.
Упражнения. *
4. Проверить справедливость переместительного закона для следующих
числовых значений букв:
%
а) а = 32, 6=17, с = 20;
б) а — — 40, 6 = 23, с = —35;
ч 2 , 1 5
•’*—г »_т, с=-.
II. Сочетательный закон:
а) для сложения и вычитания':
а-\-Ь — с=а-\-(Ь— с),
а — Ь-\-с = а — (Ь — с),
12
6) для умножения и деления:
ab : с=а • {Ь : с),
а: b • с=а: (Ь: с),
в) для вычитания:
а—b — с —а—
г) для деления:
а: b: с —а: {Ьс).
Примечание. Алгебраические действия делят, как известно,
на три ступени:
1 ступень: сложение и вычитание, ,
2 ступень: умножение и деление,
3 ступень: возведение в степень и извлечение корня.
Условились:
а) действия одной и той же ступени производить в том по-
рядке, в котором они обозначены;
б) при выполнении действий различных ступеней производить
сперва действия высшей ступени, а затем уже низшей;
в) для изменения упомянутого порядка действий употреблять
скобки.
Упражнения.
5. Проверить справедливость сочетательного закона для следующих
числовых значений букв:
а) а = 24, Ь = 10, с = 8;
в) а = —18, b =12, с = —9.
III. Распределительный закон (для деления):
{а Ь): с=а: с 4- Ъ: с.
Упражнения.
6. Проверить справедливость распределительного закона для следующих
числовых значений букв:
а) а =10, Ь = 6, с = 2;
§ 3. Понятие о тождественном преобразовании.
Два алгебраических выражения называются тождествен-
ными, если они состоят из одинаковых букв и при всяких
13
произвольно взятых числовых значениях этих букв имеют оди-
наковую числовую величину.
Если преобразование данного выражения приводит к другому-
выражению, тождественному с первым, то такое преобразование
называется тождественным.
Тождественные преобразования основываются на законах дей-
ствий.
Упражнения.
7. Будут ли тождественными следующие выражения:
а) а* 4~ Ь2 и а3 * — Ь3 (а 4-ft)2;
• б) 7“ и а — b а2 4- aft 4- ft2;
-в) а2-]-«ft и а («4-й);
г) а® bs a2 — aft 4~ ft2 и а 4~ Ь.
§ 4. Некоторые свойства многочленов.
Вопросы и задачи.
' 1) Чем отличаются друг от друга многочлены:
За — 5ft4с и За-]-4с—5ft?
2) На основании законов действий докажите справедливость равен-
ства:
За — 5Ь -|- 4с - За -|- 4с — 5ft.
3) На основании каких законов действий произведены следующие
преобразования:
8а 4~ ЗЬ— а — 4Ь — За = 8а — а — За -|- ЗЬ — 4Ь — (8а —а — За) 4~
±(ЗЬ — 4Ь) = 4а—Ь.
Каждый многочлен допускает следующие тождественные пре-
образования:
1. Члены многочлена можно переставлять с их знаками:
а— Ь-]-с = а -^-с— Ь.
Это преобразование по существу выражает переместительный
закон для сложения и вычитания.
2. Подобные члены многочлена можно соединять в один:
8а ЗЬ — а — 4Ь — За = (8а — а — За) 4~ (ЗЬ — 4Ь) ==4а — Ь.
Это преобразование выражает переместительный и сочета-
тельный законы для сложения и вычитания.
14
§ 5. Действия над многочленами.
Вопросы и задачи.
1) Перечислить законы действий, на основании которых произведены
следующие преобразования :
a) (5а —36 + 6с) + (96 —4с—6а) = (5а —36 + 6с) +
4~ [(96 — 4с) — 6а] = (5а — 36 + 6с) + (96 — 4с) — 6а =
— 5а — 36 +6с+ 96—4с — 6а =5а — 6а— 36 + 96 + 6с — 4с =
= (5а — 6а) — (36 — 96) + (6с — 4с) = — а + 66 + 2с;
б) (2а + 76 — 9с) — (8а + 56 — 4с) = (2а + 76 — 9с) — [(8а +
+ 56) — 4с] = (2а +76 — 9с) —(8а + 56) + 4с = 2а +
+ 76 — 9с — 8а — 56 + 4с = 2а — 8а + 76 — 56 — 9с + 4с =
= (2а — 8а) + (76 — 56) — (9с — 4с) = — 6а + 26 — 5с.
2) Перечислить законы действий, на основании которых произведены
следующие преобразования:
а) (За + 26 + 5с) • 6х = За • 6х + 26 • 6х + 5с • 6х = За 6 • х +
+ 26 • 6 • х 5с • 6- х= 3.6-а-х + 2- 6- 6- х + 5- 6- с>х =
= (3 • 6) • а • х + (2 • 6) -6 • х 4~ (5 • 6) • с • х= 18ах+ 126х + 30сх.
б) (10а3 — 15а2 + 20а) : 5а = 10а3: 5а— 15а2: 5а + 20а: 5а =
= 10а3: 5: а — 15а2: 5 : а + 20а: 5:а= 10:5 • а3: а—15: 5 • а2: а +
+ 20:5-а:а = (10:5).(а3:а) —(15:5) • (а2: а) + (20 : 5) • (а:а) =
= 2а2 — За + 4.
3) Перечислить законы действий, на основании которых произведены
следующие преобразования:]
(За — 26 + 5с) • (4х —7у) = (За — 26 + 5с) • 4х — (За — 26 +
+[5с) • 7у = (За • 4х — 26 • 4х + 5с • 4х) — (За • 7у—2Ь 7у +
+ 5с • 7у) = (21ах— 86х+ 20сх) — (21ау— 14ду + 35су) =
= 21ах — 86х + 20сх — 21ау + 146у — 35су.
1. Сложение и вычитание^многочленов.
Оба действия основываются на сочетательном законе для сло-
жения и вычитания и производятся по следующим правилам:
Правило 1. Чтобы прибавить к какому-нибудь выражению
многочлен, достаточно приписать к этому выражению последо-
вательно все члены многочлена с их знаками, после чего сделать
приведение подобных членов, если они окажутся.
Правило 2. Чтобы вычесть многочлен из какого-нибудь выра-
жения, достаточно приписать к этому выражению все члены
многочлена с обратными знаками, после чего сделать приведение
подобных членов, если они окажутся.
15
2. Умножение и деление многочлена на одночлен.
Оба действия основываются на распределительном законе для
умножения и деления и производятся по следующим правилам:
Правило 3. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно
умножить на этот одночлен каждый член многочлена и взять
алгебраическую сумму полученных произведений.
Правило 4. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно
разделить на этот одночлен каждый член многочлена и взять
алгебраическую сумму полученных частных.
Примечание. Алгебраической суммой называется такая сумма, в
которой слагаемыми служат не только положительные, но и отрицатель-
ные числа.
Например, сумма: а4~(—6)4“с (равная выражению: а — b -[- с), где
а, b и с — относительные числа, будет алгебраической.
Очевидно, всякий многочлен можно рассматривать как алгебраическую
сумму.
3. Умножение многочлена на многочлен.
Это действие состоит в двукратном применении распредели-
тельного закона для умножения:
(а — b 4- с) (т — п) = а(т — п) — Ь(т — п) + с (т — п) =
= ат — ап — bm-\-bn-\-ст — сп
и производится по следующему правилу:
Правило 5. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно
каждый член множимого умножить на каждый член множи-
теля и взять алгебраическую сумму полученных произведений.
Упражнения.
8. Преобразовать:
1) 4а2-|-(—2а24~3ах—2х2)
2) х2— (—2х2-|-5х)
3) (х2— ах -|- За2) -|- (—хч-|-ах— а2)
4) (5а‘ — 4а36) — (2а4 — 6а36 f- а2#2)
5) (Зах3 — йх2 4- 4сх) 4~ (бах3 4~ З&х2 — Зсх)
6) (— 2m2n 4~ 5/пл2) — (— 5т2и — тл2 — л3).
9. Преобразовать:
1) (За26 — 5а62 4- 263) • 4а362
2) (6а3х — 12а2х2 4~ 18ах3) Зах
3) (_ 5а2от _]_ 4ат3 — Злг‘)----2а2лг2
4) (— 15с3ля 4- Юс4 л3 — 20с6л2) : — 5с3л2.
16
10. Преобразовать;
1) (4а — 3 b) - (5с—2d)
2) (5т — 4п) • (Зт 4п)
3) (За24-2х2).(2а2 —Зх2)
4) (Зх — 2y-]-z) • (2а — ЗЬ).
§ 6. Умножение и деление расположенных многочленов
Расположить многочлен по степеням какой-нибудь буквы зна-
чит написать его члены в таком порядке, чтобы показатели этой
буквы в последовательных членах многочлена постепенно увели-
чивались или уменьшались.
Буква, по степеням которой располагается многочлен, назы-
вается главной его буквой.
Если показатели главной буквы постепенно уменьшаются, то
говорят, что многочлен расположен по убывающим степеням;
в противном же случае говорят, что многочлен расположен по
возрастающим степеням.
Член, содержащий главную букву с наибольшим показателем,
называется высшим членом многочлена; член, содержащий
главную букву с наименьшим показателем или вовсе ее не содер-
жащий, называется низшим членом многочлена.
1. Умножение расположенных многочленов.
При умножении расположенных многочленов множимое и мно-
житель располагают одинаково.
Рассмотрим примеры на умножение расположенных много-
членов.
Пример 1.
Произведение
(2ха -|- Зх -|- 1) (2х2 + х 4-1) множимого;
4х4 4- бх3 4- 2х2 .. ~ ... .. ........на 1-й чл. множителя
4- 2х3 4 Зх2 + х . . . ... . . на 2-й чл. множителя
4- 2х2 4- Зх 4-1 ... .... на 3-й чл. множителя.
4х* 4- вх3 4- 7х2 4- 4х + 1
Множимое и множитель в этом примере расположены по убы-
вающим степеням х.
При умножении подобные члены подписаны под подобными
Для удобства приведения.
Высший член произведения (4х4) получен от перемножения
высшего члена множимого (2х2) и высшего члена множи-
теля (2х2).
2 С. С. Державин. ! j-qq. ;.. г | 17
I БИБЛИОТ»{ Р |
Низший член произведения (-}- 1) получен от перемножения низ-
шего члена множимого (-]- 1) и низшего члена множителя (4* 1).
Первый член каждой строки представляет собою произведе-
ние высшего члена множимого на тот член множителя, номеру
которого соответствует номер строки.
Пример 2.
(х2 — ах -|~ а2) • (х а)
Xs--ОХ2 4“ а*х
4- ах2 — а2х 4~ а3
х3 4- а3
Наименьшее число членов произведения после приведения по-
добных оказалось 2; высший и низший члены произведения, не
имея подобных, исчезнуть из произведения не могли.
Пример 3.
(х2 4- ах 4- а2) • (х — а)
х3 4- ах2 4- а*х
' — ах2 — а2х — а3
х3— а3
2. Деление расположенных многочленов.
Деление расположенных многочленов для большей ясности
будем сопоставлять с умножением.
Рассмотрим деление многочленов, расположенных по убыва-
ющим степеням.
Выше мы видели, что высший член произведения получается
от перемножения высшего члена множимого и высшего члена
множителя (см. пример 1). Следовательно, желая получить выс-
ший член частного, мы должны разделить высший член делимого
на высший член делителя (см. пример 4).
Умножив найденный член частного на делитель, мы получим
то, что при умножении расположенных многочленов составляет
первую строку (см. примеры 1 и 4).
Вычтя этот результат из делимого, мы получим совокупность
всех строк произведения, кроме первой; следовательно, первый
член первого остатка есть произведение высшего члена делителя
на второй член частного. Поэтому, деля первый член остатка
на высший член делителя, мы получим второй член частного
(см. пример 4).
Умно^рв найденный член частного на делитель, мы получим
то, что при умножении расположенных многочленов составляет
вторую строку (см. примеры 1 и 4).
18
Вычтя этот результат умножения из первого остатка, мы по-
лучим совокупность всех строк произведения, кроме двух пер-
в ы х; следовательно, первый член второго остатка есть произ-
ведение высшего члена делителя на третий член частного, и
т. д.
Действие продол'жают до тех пор, пока деление нацело выс-
ших членов получаемых остатков представляется возможным. В
противном случае действие приостанавливают, рассматривая по-
лученный остаток, как остаток от деления многочленов.
Если деление многочленов не выполнено без остатка, то, обо-
значая делимое через А, делитель через В, частное через Q и
остаток от деления через /?, получим следующее соотношение
между этими величинами: A=B-Q
Пример 4.
4xi + 8х3 + 7х2Д-4х 4-1 ] 2ха4- 3x4-1
ч2 4х* ч2 6х3 ч2 2х2 ] 2х24- х4-1
2х3 Ц- 5х2 4- 4х 4- 1............................. . 1-й остаток
ч2 2х3 ч= Зх2 ч2 х
2х* 4- Зх 4-1................................ . 2-й остаток
ч2 2х2 ч2 Зх ч= 1
О..................................... . . . 3-й остаток
Пример 5.
X3 4- Я3 х 4- и
~ьх>~|~ ах^____ х2 — ах 4- я2
--ОХ2 4- °3
dr ях2 dr я2х
Я2Х 4- я3
ч2 Я2Х ч= я3
О
X — я
Пример 6.
х3 — я3
ч2 х3 dr ях2
ях2 — я3
ч2 ях2 dr я2х
я2х — я3
ч^я^гЕя3
О
19
Полагая в 4-ом примере х— 10, будем иметь:
4 • 104-{-8 1034-7 * Ю2 -J- 4 • 10+ 1 2 • 102 + 3 • 10+1
+ 4 10s 4= 6 • 1034=2 • 10® 2 • 10®+ 1 • 10+ 1
2 - Ю3+ 5 • 10®+ 4- 10 + 1
4=2 - 103=ьЗ • 10® 4= 1 . Ю
2?Ю® + 3 • 10 + 1
4=2 • 10®4=3 • 104=1
или
48741 231
— 462 211
2541 — 231 *
231 — 231
0.
Отсюда мы в праве сделать вывод, что деление расположенных много-
членов можно рассматривать, как обобщение деления многозначных
чисел.
Упражнения.
11. Преобразовать:
1) (За® — ах + 2х®) • (За® — 2х)
2) (7х® — 3%+ 4) • (4х® — х — 5)
3) (а® — 2 ах + х®) • (а® + 2ах — х4)
4) (аг1 — т3п 4 - пг®а® — ши3 + и4) (аг + а)
5) (х® + ху+у®) • (х® —ху+>'2)-
12. Преобразовать:
1) (2lx4 — 17х3 — 6х® + 9х — 5): (Зх® — 2х + 1)
2) (20а4 х3 + 7а3х4 — 11 а2х5 + 2ах6) : (5а®х® — 2ах3)
3) (8а3— 27х3): (2а — Зх)
4) (а12 + а6+1): (а6 + а3+1)
5) (х6 — а6): (х® + ах + а2).
§ 7. Формулы сокращенного умножения.
1. Произведение суммы двух чисел на их разность равно раз-
ности квадратов этих чисел:
(х+а) (х — а) = х® — а®.
20
2. Квадрат суммы, двух чисел равняется квадрату первого
числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе,
плюс квадрат второго числа:
(х —|— а )2 = х2 4~ 2ах -|— а2.
3. Квадрат разности двух чисел равняется квадрату первого
числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе,
плюс квадрат второго числа:
(х — а)2 = х2 — 2ах ~j- а2.
4. Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс ут-
роенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс
утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс
куб второго числа:
(х -f- cl)3 — х3 -|- За2х 4~ Зах2 + а3.
5. Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус
утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс
утроеннное произведение первого числа на квадрат второго, ми-
нус куб второго числа:
(х — а)3 = х3 — Зах2 -f- За2х — а3.
6. Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их
разности равняется сумме кубов этих чисел:
(х а} (х2 — ах + а2) = х3 -f- а3.
7. Произведение разности двух чисел на неполный квадрат
их суммы равняется разности кубов этих чисел'.
(х — а) (х24-.ах-{-а2) = х3 — а3.
Упражнения.
13. Преобразовать по формулам:
1) (3x4- 1) (Зх—1)
2) (a2m4-fen2) (a2m —fen2)
3) (2a-|~3fe)2
4) (Зх3-{-1)2
I 1 \ ®
5)
6) (5x2 —3y3)2
7) {a 4-2fe)3
8) (—+ Z)3
\y X /
9) (afe—I)3
I x \ з
10) (3a2----
\ a /
11) (a-{-2) (a2 —2a-|-4)
12) (x -j- 3y) (x2 — 3xy + ЯГ2)
13) (1—x) (1 -|- x x2)
14) (2m2 — 1) (4m2 4-2m2 4-1).
21
. 14. Преобразовать по формулам:
П (х+у) (х—у) (х2—у2)
2) (а -]—£>-)—<") (а'+ — с)
3) (а — Ь-\- т — п) (а -)- Ь -)- т -|- п)
4) (а—2^ + Зс) (a-j-26 —Зс)
5) (х2-)-ху-)-у2) (х2 — ху-)-у2)
6) (За2 — 2а+1) (За2-)-2а — 1).
15. Произвести умножение простейшим способом, соединяя для этой
цели множитези наивыгоднейшим образом:
1) (a-pi) (а—1) (а—1) (а-|- 1)
2) (а-)-х)2 (а—х)2
3) (ах2 — а2х) (а2х4 -|- а*х2) (ах2 -|- а2х)
4) (а Зля) (а -)- п) (а — Зт) (а -)- а)
5) (*+у) (b-y) (fe2 + fey_j-J2)
6) (с -)- 2х) (с2 -|- 2сх -)- 4х2) (с — 2х) (с2 — Чех -|- 4х2)
7) (а24-а-|-1) (а2 —а—|— 1) (а1 -|-а2-)- 1)
8) (а -)- Ь с) {а -|- Ь —с) (а — Ь -|- с) (а— Ь— с).
§ 8. Преобразование многочленов в произведение.
Вопросы и задачи.
1) Перечислить законы действий, на которых основаны следующие
преобразования:
а) ат -)- Ьт — ст = (а -\-Ь — с) т\
б) а2 -|- ab = а(а -|- Ь);
в) fl(x+j) + ^(x4-y) = (a-)-^)(x + y).
2) Перечислить законы действий, на которых основаны нижеуказан-
ные последовательные преобразования:
а) ах -|- bx -|- ay -}- by = (ах Ьх) 4- (ау -)- by) = х(а -|- Ь) -)-
+ У(а 4- Ь) = (а 4- Ь) (х -)-у);
б) ат Ьт — ап — bn = (ат -|- Ьт) — (ап -)- Ьп) =
= т(а-\-Ь) — п(а Ь) — (аЬ) (т — п);
в) ас — Ьх-[-Ьс — ах = ас — ах -)- Ьс — Ьх = (ас — ах) -J-
4~ (Ьс — Ьх) = а(с — х) -|- Ь(с — х) — (а -]- Ь) (с — х).
Существует три способа преобразования многочленов в про-
изведение:
1. Вынесение общего множителя за скобку.
Дан многочлен: ат-{-Ьт— ст.
Все члены этого многочлена имеют одинаковый делитель т.
Поэтому, согласно распределительному закону для умножения.
ат -{-Ьт — ст = (а-{-Ь — с) т.
22
Данный многочлен представлен в виде произведения двух
множителей: а-)-& — с и т.
2. Вынесение общего множителя за скобку с предварительной
группировкой.
Дан многочлен: ат-\-Ьт— ап—Ьп.
Согласно сочетательному закону для сложения и вычитания
имеем:
ат 4 Ьт — ап — bn = (am 4 Ьт) — (ап -|- Ьп).
Но ат-\-Ьт = (а-\-Ь)т и an 4 Ьп = (а 4 Ь) п.
Поэтому
ат -\-brn — ап — Ьп = (а-)-Ь)т — (a-j-b)n.
Выражение: (a-j-b) является общим множителем; вынесем его за
скобку:
ат-[-Ьт — ап —-Ьп — (а4Ь) (т — п).
Данный многочлен представлен в виде произведения двух мно-
жителей: а-{-Ь и т — п.
3. Преобразование многочлена в произведение по формулам.
Пользуясь формулами сокращенного умножения, получаем:
х1 2— a2 = (x-j-a) (х— а),
х2 ± 2ах 4 а2 - (х± а)2,
х3 ± Зах2 |- За2х ± а3 = (х ± а)’,
х3 ± а3 = (х ± а) (х2 ч2 ах 4 а2).
Упражнения.
16. Преобразовать в произведение:
1) ат-\-Ьп
2) 2х —2
3) а2х2 4 х4 5
4) 4а2х — бах2
5) ах-[-Ьх— сх
6) а2 (а 4 х) 4- х2 (а -)- х)
7) а (т 4 п) 4 т 4 п
8) fe(x4j) — сх — СУ
9) а (х 4- I)2 4 (х 4 1)
10) т(п —у) — ху 4 пх
11) ах 4 ау 4 Ьх 4 by
12) ах 4 аУ — Ьх — by
13) а3 4 2а2—2а — 4
14) 6а3— 6а2х — Зах24^Лг8
15) 4а2с — 4а2х — 2сх® 4 2сх4.
t
17. Преобразовать в произведение по формулам:
1) 4х2 —9
2) a2b2 — 1
3) 9a2412aj»44j;2
4) 25х2— 10x41
5) a34-6a2x4 12ax248x3
6) агйя — 3a2fc2 4 Sab — 1
7) a348x’
9) 8x3 — 27y3
8) x«4125y3
10) a3b3 — 64.
23
18. Преобразовать в произведение:
1) 18а3х — 50ах 9) а2 4~ ^ах 4-—У2
2) За’ + 6а2 -|- За Ю) Ь2 — т2-\-2тп — п2
3) 4ах2 — 4а2х®— х И) 16 —9а2-]- 12ах —4х*
4) (а6)2 — с2 12) 32а‘х — 4ах4
5) х2 — (у4-?)’ 13) а3 4- 27 4- 9а2 4- 27а
6) (а — 2х)2 — 9х2 14) а® — а3 — а2 4- 1
7) 4Ь2 — (Ь—у)2 15) а4 — Xs
8) (х24- I)2— 4х2 16) а6-—х®
17) х* -)- х2у2 4~yi
18) а2х2 -|- b2y2 — a2b2 — х2у2 — 4abxy
19) 4(ат -J- Ьп)2 — (а2 — Ь2 + т2 — п2)2
20) а3(х—а)-\-ах(х2 — а2)-|-х(х3— а3).
ГЛАВА 11. '
ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЧЛЕННЫМИ ДРОБЯМИ.
§ 9. Сокращение многочленных дробей и приведение их
к общему знаменателю.
Если оба члена дроби умножить или разделить на одно и
то же число, то величина дроби не изменится.
На этом свойстве дробей основано их сокращение и приве-
дение к общему знаменателю.
Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель ее членов.
Чаще всего бывает целесообразнее найти общий наиболь-
ший делитель.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти
общее наименьшее кратное их знаменателей.
В первом случае оба члена дроби, а во втором случае знаме-
натели дробей, разлагают на простейших множителей, т. е. пред-
ставляют их в виде произведения таких выражений, которые, в
свою очередь, уже не могут быть представлены в виде произве-
дения других выражений.
Разложив члены дроби на простейшие множители и желая
найти общий наибольший делитель, выписывают все общие
множители, содержащиеся в разложении числителя и знаме-
нателя; произведение этих множителей и составляет общий наи-
больший делитель.
Так как общее наименьшее кратное знаменателей должно со-
держать в своем составе все делители каждого знаменателя, то,
24 *
разложив знаменатели на простейшие множители и желая найти
их общее наименьшее кратное, выписывают разложение первою
знаменателя целиком, а из остальных разложений недостающих
множителей; произведение всех выписанных множителей и со-
ставляет общее наименьшее кратное.
Найдя общий знаменатель, умножают оба члена каждой из
данных дробей на дополнительные множители, получаемые
делением общего знаменателя на знаменатель рассматриваемой
дроби.
Пример 1.
а^х -I- аР
Сократить дробь: —х- — -.
ах3 — а3х
Решение.
Разлагаем оба члена данной дроби на простейшие множители:
сРх -|- а3 = аР (х -J- а),
ах3 — а3х=ах(х2— о2) = ах(х-)-а) (х — а).
Выписываем общих множителей из обоих разложений:
а(х-\-а).
Сокращаем данную дробь на а(х-)-а):
п2х—|—о3 а2(х-|-а) __ а
ах3 — а3х ах (х -J- а) (х— а) ~ х'г -|- ах '
Пример 2.
Привести к общему знаменателю следующие дроби:
х а 1
ах2—а3’ х2 — ах’ а2х2‘
Решение.
Разлагаем знаменатели данных дробей на простейшие множи-
тели:
ах3 — а3 = а(х3 — а2) = а (х -)- а) (х — а),
1 х2 — ах = х (х — а).
Выписываем первое разложение целиком, а из остальных раз-
ложений недостающих множителей:
а (х -|- а) (х—а) • х • ах
или
а2х2(х + «) (х — а).
25
1
Оба члена каждой дроби умножаем на соответствующих допол-
нительных множителей:
х - х • ах2 ах?
ax'1 — а3 а(х-^-а)(х — а)-ахг а2х2(х-\-а) (х—а) ’
а а • а2х (х + а) а?х (х 4~ а)
Xs — ах х(х — a)a2x(x-j-a) а2х2(х-\-а) (х — а) ’
1 (х4-«) (х—а)
а2х2 а2х2(х~1~а) (х — а)
Упражнения.
19. Сократить дроби:
а2 + Зах Ьт2 — Ьп2
1) ах 4- Зх2 5) т3 — 2т2п 4- тп2
2) ат 4- тх — ап— пх 6) с3 — 2с2п 4~ сп2
Ьт 4~ ту — Ьп — пу с3 — Зс2л 4- Зсп2 — п3
3) / х2у — ху2 7) х3 — ах2 4- а2х
х2-—у2 х3-\-а3
4) а2 4- ат 8) ах3 — 2а2х2 4- а3х
а2т 4~ 2ат2 4~ т3 ах1 — а‘х
§ 10. Действия с дробями.
1. Сложение и вычитание.
Сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями
заключается в составлении такой дроби, числитель которой равен
сумме (разности) числителей данных дробей, а знаменатель равен
знаменателю этих дробей.
Если дроби имеют разных знаменателей, то прежде чем вы-
полнить сложение или вычитание, их приводят к общему знаме-
нателю.
Пример 1.
п х , а х — а
Преобразовать:-----—? -------.
r ах -j- а2 1 х2— ах ах
Решение.
х , а х — а _ л . а х — а
ах-[-а2' х2— ах 'ах ~ а (х + а)'х (х—а) ах
х2(х—a)-j-а2 (ха)— (х—а) (х2— а-) _
ax(x-j-a) (х — а) •
_ х3 — ах2 Ц- а2х + а3 — х3 4~ ах2 -J- а2х — а3 _
ax(x-j-a) (х—а)
_ 2а2х _____________ 2а
ах (х -f- а) (х — а) х2 — а2
26
2. Умножение и деление.
Умножение и деление алгебраических дробей производится
по тем же правилам, как умножение и деление арифметических
дробей.
Если данные дроби — многочленные, то до выполнения дей-
ствия (умножения или деления) их члены следует разложить на
множители.
Пример 2.
Преобразовать:
ахф-о2 . о2хф-а3
х2 — ах ’ х2 — 2ахф-о2
Решение.
ахфс2. о2хф-п3 _________а(х^-а) о2(хф-п)
х2 — ах ’ X2 — 2ах-±-а2 х (х—а)' (х — а)2
а (х ф- «) (х — о)2 х — а
х(х — а)-а2(х-^-а) ах
Упражнения. 20. Произвести сложение и вычитание дробей:
1) _J1_ + о 1— ат -j- т2 а2 ф- ат
2) а ф- пх а — пх а — пх а ф- пх
3) а За 2аЬ а — b'a-[-b а2—Ь2
4) а2 а* — х2 х2 х2 ф- ах ах ах ф- а2
5) 1 1 1 1 с2 ф- 2сп ф-л2 с2 — л2 с2 — 2сп ф- л2
6) аф-х . а — х а2—х2 а — х а ф- х а2 ф- х2
21. Произвести умножение и деление дробей:
1 \ ба2 а—у
и а2 —у2 2а
а2х — а3 х3 — а3х ,
х2 ф- ах 2а2
а ф- т а2 — 2ап ф- л2
а — п а3 ф- т3
ИД ас с2х
ax-j-x2 а- —|— ах
27
а2х2 _ ах
х3 — а3 ‘ х2 ах х2
a3, -f- ах х2 . а3—х3
аз_|_хз аз — ax-j-x3 '
22. Преобразовать:
ОТДЕЛ П. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕИ
ГЛАВА I.
ПОНЯТИЕ О КОРНЕ и-ой СТЕПЕНИ.
§ 11. Определение.
Вопросы и задачи.
1) Числа а и b связаны соотношением: а = &. Составьте таблицу
значений а для следующих значений Ь:
Ь = 0; ±0,5; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3.
2) Постройте ряд точек, абсциссы которых равны данным значениям Ь,
а ординаты — соответствующим значениям а (масштаб: 1 = 10 см).
3) Через полученные точки проведите плавную кривую. Не служит ли
эта кривая графическим изображением зависимости а от Ь?
4) Положив b = 1,3, найдите соответствующее значение а: а) вычи-
слением, б) с помощью графика.
5) Нельзя ли с помощью того же графика, наоборот, по данному
значению а найти соответствующее значение Ь?
6) Положив а) а =1,44, б) с = 1,21, в) а = 2, найдите с помощью
упомянутого графика соответствующие значения Ь.
Сколько значений имеет b для данного значения а?
7) Соотношение: а = № показывает, что b есть число, квадрат кото-
рого равен а. Как с помощью математической символики ту же мысль
записать иначе?
8) Решите уравнения:
а) х2 = 9, в) х3 = 8,
б) х2 = ‘/5, г)х3 =— 27.
Корнем п-ой степени из числа „а“ называется такое число,
п~ая степень которого равна „а“.
Например, корнем 5-й степени из 32 будет 2, так как 23 = 32.
Если b есть корень п-ой степени из а, то это записывается так:
j/ а = Ь.
29
Число п называется показателем корня, а число а, сто
ящее под знаком корня, — подкоренным числом.
Действие, посредством которого находится корень данной сте-
пени, называется извлечением корня.
Так как, согласно определению понятия о корне n-ой степени
{^аУ‘ = а,
телей,
то извлечение корня есть действие, обратное возвеоению в степень^
Положительное значение корня из положительного числа на-
зывается арифметическим корнем.
Упражнения.
23. Разлагая подкоренные числа на произведение одинаковых множи-
найти арифметические значения следующих корней:
1)
2)
3)
4)
§
у/ 125 р" 729 4 7) ]/ % 9) 10)
j/256 р<512 •
12. Некоторые свойства арифметического корня.
Теорема 1. Если целое арифметическое число ,а“ не есть п-ая степень •
другого целого числа, то и а не может быть выражен точно ни целыЛ
ни дробным числом.
Доказательство. Пусть число а не есть n-ая степень другого целого числа. I
Если допустить, что а в точности равняется какому-нибудь целому числу,
например, р, то тогда а=рп, т. е. число а при указанном допущении должно
быть n-ой степенью целого числа р, что противоречит условию теоремы.
Если допустить, что в точности равняется какой-нибудь несократимой
арифметической дроби, например, , то тогда а
Tniz vav пплАх. Т
г Я ‘ ,
«
или а = „ .
Qn
Так как дробь —--несократимая, то числитель и знаменатель ее — числа
рп
взаимно-простые. Взаимно-простыми должны быть и члены дроби а поточу
Я
рп не разделится нацело на qn.
Рп
Отсюда следует, что равенство между числами а и невозможно, так как
а — целое число.
Таким образом, рЛа не может равняться несократимой арифметической
Дроби .
Теорема 2. Если числитель и знаменатель несократимой арифметике-1
п ----------------------------------------------------------------
ской дроби не суть п-ые степени каких-нибудь целых чисел, то~\/ не
t F Ъ
может быть выражен точно ни целым ни дробным числом.
30
п -----
Доказательство. Если допустить, что -у- в точности равняется какому-
« а
нибудь целому числу р, то тогда —рп, что невозможно, так как —несокра-
тимая дробь, а рп — целое число.
п ---------------------------------
* г» а
Если допустить, что|/
в точности равняется какой-нибудь несократимой
арифметической дроби Р-
а р\п а рп Ьрп
тотогда-г-= - или откуда а= „ .
b \ q b qn J qn
Так как а — целое число, а
равенство возможно лишь в том
Но тогда
числа рп и qn— взаимно-простые, то последнее
Ь
случае, если qn~^ будет целым числом.
откуда
, . „ bpn kqnpn . _
b = kqn и а— —крп,
qn qn
О п Ь
Так как рп и qn — целые числа, то два последних равенства возможны только
в двух случаях:
а) когда k = 1,
б) когда дробь—----сократимая.
В обоих случаях получается противоречие с условиями теоремы.
Действительно, если А=1, то а=рп и b = qn, т. е. числа а и Ь суть точные
. , . в ,
п-ые степени других целых чисел; если же 1, то у—дробь сократимая:
а a: k рп
b b: k qn'
Теорема доказана.
Если корень из какого-нибудь числа не может быть выражен точно ви це-
лым ни дробным числом, то он называется несоизмеримым или иррацио-
нальным.
Несоизмеримые радикалы относятся к классу так называемых несоизме-
римых (иррациональных) чисел, о которых пойдет речь впоследствии.
Вопросы и задачи.
1) Из числа следующих корней выписать несоизмеримые:
1^9, j/9, р^32, ^31, j/25, )/27, ^27,
210. l/5-, I/51
227 I Й16’ \ 2 э16
2) Выписанные корни вычислить с точностью до 0,1.
3) Найти недостаточные приближенные значения квадратного корня из 3
с точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. и выписать их в ряд в порядке возраста-
ния степени точности. Какой при этом получается ряд: возрастающий или убы-
вающий?
31
4) Найти избыточные приближенные значения квадратного корня из 3 с точ-
ностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. и выписать их в ряд в порядке возрастания
степени точности. Какой при этом получается ряд: возрастающий или убываю-
щий?
5) Сравните между собою третьи члены, а также пятые члены обоих рядов,
Которые из них отличаются друг от друга меньше?
6) Назовите члены того и другого ряда, от которых ^3 отличается меньше,
чем на 0,0001, и напишите соответствующие неравенства.
7) К какому выводу можно притти, продолжая оба ряда до бесконечности и
сравнивая между собою соответственные члены обоих рядов?
И _ k k -р 1 .
Пусть у/ А — несоизмеримый радикал, и пусть — и — его приближе
1
ния с точностью до соответственно по недостатку и по избытку.
Принимая последовательно /п = 10, 100, 1000 и т. д., получим для прибли
женных значений по недостатку возрастающий ряд, а для приближенных значе
ний по избытку—убывающий ряд. Между соответственными членами этих рядов
заключается \/А.
Рели приближения по недостатку и по избытку взяты с точностью до ~, то
\/А отличается от каждого из них меньше, чем на —
г т
Для весьма больших значений т, т-ые члены рядов весьма мало отличаются
п/~а
друг от друга и от у А.
Таким образом, некоторая десятичная дробь с весьма большим, но произ
вольно выбранным, числом десятичных знаков с очень малой погрешностью вы
П ---------
ражает у Л.
§ 13. Правила извлечения корней.
Указанные ниже правила извлечения корней относятся к арифме
тическим корням.
1. Чтобы извлечь корень из произведения, достаточно извлечь
его из каждого сомножителя отдельно:
(1)
Так как
п
где abc — подкоренное число, то произведениеа- у
действительно, выражает корень n-ой степени из произведения
abc.
Пример 1.
1/8-27-61 = |/8 - j/27- |/б4 = 2 • 3 • 4 = 24.
32
Следствие 1.
Так как
то и
V~abc = п/~а.^~Ь. \Гс,
п/~~ Ks — пу— ——
у а- у Ь • у с— [/ abc,
т. е. произведение нескольких корней с одинаковыми показате-
лями равно корню той же степени из произведения подкорен-
ных чисел.
Пример 2.
з з г— з ~ —- з у—
|/7- /9= /7-9 = |/63.
2. Чтобы извлечь корень из дроби, достаточно извлечь его
из числителя и знаменателя отдельно:
Так как
(2)
а
Гао. — подкоренное число
то дробь я действительно, вы-
iZ b
ражает корень n-ой степени из дроби -у.
Пример 3.
V 27 3/27 3 ’
Следствие 2.
Так как
п /— п/—
I / а _ \/ а _
V b ^b'
то И
п .— п —
у а • а
п, — — г Т ’
У b °
т. е. частное от деления корней с одинаковыми показателями
Равно корню той же степени из частного от деления соответ-
ствующих подкоренных чисел.
3 С. С. Державин.
33
Пример 4.
з/е 6
3. Чтобы извлечь корень из степени, достаточно показатель
степени разделить на показатель корня, если такое деление
возможно нацело:
П /---—
I/ тп — тп: п — „т
а —-а - - а >
(3>
где
Так как
а>0.
(„т\п ~тп
а ) =а ,
где атп —подкоренное число, то число а"‘, действительно,
жает корень n-ой степени из атп.
Пример 5.
выра-
1^64 = V 26 = 26:3= 22 = 4.
Следствие 3.
Так как
то и
т. е. всякое положительное число можно написать под знаком
корня, возведя его предварительно в степень корня.
4. Чтобы, извлечь корень из корня, достаточно перемножить
показатели корней:
Действительно, пусть
где х— положительное число.
Тогда, согласно определению понятия о корне,
тп ,
х— I/ а.
i/o; хтп = а-
34
то
то
Так как
т ——
/ п у— тп >—
\/ V а= У а.
Следствие 4.
Так как
т. е. если нужно извлечь корень из корня, то порядок извлечения
корней можно менять.
Пример 6.
К 117649 = | 117649 = (/343 = ^7* = 7.
Следствие 5.
Так как
m г —
1/ nz тп г—
v \/ а = у а,
то и
т. е. всякий корень можно представить в виде корня из корня,
при том условии, если произведение показателей этих корней,
равняется показателю данного корня.
Пример 7.
|/ 8352 Г 83521 = /289 = 17.
5. Если над данным числом нужно совершить два действия:
' возведение в степень и извлечение корня, то порядок этих дей-
ствий можно менять:
(/«)=/«"'• ' (5)
4 Действительно,
( Пу—\т Пу Пу— пу- п у-— п у--— п —-
\у а) —уа-Уа-уа.... у а= у ааа ...а— у ат
т раз т раз
*
35
и, обратно,
Пример 8.
У^ = (}ГаГ.
(Уб)2= ^36.
6. Показатель корня и показатель подкоренного числа можно
умножить на одно и то же целое положительное число:
пр >--
Пусть
Гб)
V ат = х,
ь \ 1
где х — положительное число.
н Тогда, согласно определению понятия о корне,
хп=ат л'т
откуда ‘
,(л"У==(а”?Ч
ИЛИ
хпр—атр
и, следовательно,
Так как
.едКфй а
ТО Л'4"'с. ;
, £ т — £ j Ч
Ч 1 =и“»
WJJ\ Uk* < 3'?.’ДО IV ДИГ'Ц.
^а^ = п^й^. °’’-w 'v
Следствие 6.
Так как
ЛШегазйчЬ Мм <5Д«И1"Ср ^атРг J‘ UUit) I . H HV
то ,лдглб w ' or
’Л I'AWSV',
атр = с
И АН'ЭГ.Ч’.А'! а
ЙК’ЧЧVI. ‘JV. V OSK
т е. показатель корня и поь азатель подкоренного числа можно
разделить на одно и то же целое положительное число, если
такое деление возможно наиело.
Призер Я --п Ч . , . v. > • и । • п |
Упражнения.
24. Найти арифметические значения следующих корней, представляя
подкоренные числа в виде произведения нескольких множителей:
1) J/144 2) £<216 3) >/72-8 4) ут7^Бао££чЗоэчП .М g V 4 " дагердоз ,и тэдрондО
25. Упростить: , .ll’UJH
1) £<4 • £<2 2) |/2- j/3 , 3 _НЧ9ДР0НД0 энмбТ ) V (j< i EJi бслиН Л 4) £<2• £<4 • £/Д| ,ядоп ыдэЭ 1 а пн: о хноотол ен
26. Найти арифметические значения следующих корней
см ,О1\Т1КОПЭН
!)£<*. ' у 125 t эрудоп И ННЭПЭТЗ 3) у 0,343 NkiHdEBHOHnEqqi а qooaqn эолвТ 4) 1/ - 4 ‘ 54_ .Б R6 И ’ V 175 • 245
27. Упростить: 1) 1^75 у0?015 Л “|Zo4 *4 2) — У о,ооз r £ <pu.Ui\\A
28. Найти арифметические значения корней:
1) У 2™ 2) £/8-103 ъ/ « 3) £/1024 4) £<729
29. Представить числа 30. Упростить: „ >4 £ 2 и 3 в виде корней 3-й, 4-й и 5-й с гепсней. г (.5л
0 >т оюоо; 2) 32 j/7 тэ йо-j
31. Следующие корни привести к общему наименьшему показателю:
1) £<2 и уз 2) *£<5 и ‘jZlO 3) ’£<3 и *£<4 I И 1 J
32. Сократить показатели корней: вдо ыд
1) 5) £/0,125 -п м
2) 6) £/2,25
37
ГЛАВА JI,
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ.
§ 14. Преобразование иррациональных одночленов.
Одночлены, содержащие знак корня, называются иррациональ-
ными.
Такие одночлены допускают следующие преобразования:
1. Вывод из-под радикала группы множителей и делителей.
Если подкоренное выражение разлагается на два множителя,
из которых один представляет полную n-ую степень, а другой —
неполную, то из первого множителя можно извлечь корень л-ой
степени и полученное рациональное выражение умножить на
иррациональный корень n-ой степени из второго множителя.
Такое преобразование называется выводом из-под ради-
кала.
Пример 1.
J/ 75Л4х3 = j/25a4x2 • Зх= |/ 25а'х® • У‘3х=5а2х ]/Зх
Пример 2.
2. Уничтожение иррациональности знаменателя.
Если знаменатель подкоренного выражения не представляет
собою точной n-ой степени, то, выполняя преобразование корня
л-ой степени по формуле:
•мы получим в знаменателе иррациональное выражение.
Чтобы избежать иррациональность в знаменателе, умножают
оба члена подкоренной дроби на одно и то же выражение, вы-
бирая множитель так, чтобы знаменатель обратился в точную
n-ую степень, и лишь после этого применяют упомянутую фор-
мулу.
Такое преобразование называется уничтожением ирра-
циональности знаменателя.
38
Пример 3.
2 л/ 10а1 2 __ 2 1710а2^хУ _ 2 // 10а2ху
ху * ху ху* ху х2у3 4 ху * х3у3
= — У 10а2х2у- •
ху
3. Введение под радикал группы множителей и делителей.
Рациональный множитель, находящийся при корне n-ой сте-
пени, можно подвести под знак корня, возводя его для этого
в n-ую степень и умножая полученный результат на подкоренное
выражение.
Такое преобразование называется введением под ра-
дикал.
Пример 4.
Упражнения.
33. Выделить из-под радикала ту часть подкоренного выражения, ко-
торая допускает извлечение корня:
1)
2) J/ra8y'J
3) |/9а2^
4) р' 54а«с*
5) |7б4с8я“
«у?
3 /О'Т Л-
й. 1/(а* + 2а& + !’2)х
8) * 4W------------
34. Уничтожить иррациональность в знаменателе:
1) 1 / а X 3) |/ 5) 1 /За-^ 8т3х2
2) 1 / а X 4 1Ж V 4х2 i/O,^2 ) 256у8
35.
корне:
Подвести под радикал рациональный множитель, находящийся при
2) 2х
39
§ 15. Приведение корней к простейшему виду.
Чтобы привести данный корень к простейшему виду, нужно
последовательно выполнить следующие преобразования:
а) преобразовать подкоренное выражение в одночлен, если
такое преобразование не сделано и возможно;
б) сократить на общий множитель показатель корня и показа-
тели подкоренных сомножителей и делителей;
в) выделить из-под радикала ту часть подкоренного выраже-
ния, которая допускает извлечение корня;
г) уничтожить иррациональность знаменателя.
Конечно, указанная последовательность преобразований не обя-
зательна и ее можно изменять, сообразуясь с индивидуальными
особенностями задачи.
Пример.
Л*/а9 . За8' За7? у / а9 + За8х + За7*2 + а6х3
-1 У (а° 4-За2х-|-Зах24~х3) _ | У а6(а-}-х)3 , /а2 (а + х)
V £ 1 х3 —х ~
= «И —— = а И = -|/(а + х)х.
Если после приведения к простейшему виду корни имеют
показатели и подкоренные величины одинаковые, то они назы-
ваются подобными.
Так, Зхуа и “ у/а будут подобными корнями.
Упражнения.
36. Привести к простейшей форме следующие корни:
1 2
ю) anV + 1
р //“54 , 27х3
11) 10а2х|/ - - - s + —-s
’ * 125 а2 125 а5
12) -^(/(а+1)(а^-1) (1+2а+а*)
§ 16. Действия над иррациональными одночленами.
1. Сложение и вычитание.
Сложение и вычитание иррациональных одночленов обозна-
чается соответственно знаками -]- (плюс) и — (минус).
Обыкновенно эти действия сопровождаются приведением кор-
ней к простейшему виду с целью обнаружения их подобия.
Пример 1.
j/50 —- 3 jZ 42 )/б,5 == 1/25^2 — 3 ~=5у/2 —
— 31/2 4->/2 = 3 2.
2. Умножение и деление.
Умножение и деление корней с одинаковыми показателями
производится на основании следствий 1 и 2 § 10.
Если корни имеют разных показателей, то их сначала приводят
к общему показателю (на основании п. 6 § 10), а затем перемно-
жают или делят.
Если корни имеют коэффициенты, то последние перемножаются
или делятся отдельно, а результаты записываются перед получен-
ным общим корнем.
Пример 2.
За а* • 4а’ У~а? = 12а3 УаГ- а? = 12а3 У а7 = 12а3 • а р^а2 =
= 12а4 У а*.
Пример 3.
бр'а : 2р^а2 = 6рЛа3 :2 р^ а‘= 3 р<а3: а4 =3]/ -=3а р^ а5
3. Возведение в степень и извлечение корня.
Возведение корней в степень и извлечение из них корня про-
изводится по формулам (4) и (5) § 10.
Пример 4.
(5а jZ а2х)8 = (5а)2 р/(а2х)2 = 25а2 У aix9 = \
= 25а2 • а Уах9 = 25а3 У ах9.
40
41
Пример 5.
У X у X — У у x2 -x= У x3= y/x
Упражнения.
37. Произвести сложение и вычитание корней:
1) /18 — 10)/03 + 8 /0,25
2) /45 — /5 + /125 — J 180
3) 5J/-2 -7|/ з +/24
4) 10 /0,5 — 3/108 + 4/1
5) 2 /а3 + 4а / а — а /9а
6) / 27а4 + За У 8а— - / 125а7
7) /а3л— /243 и6За £ п
8) у/ т3 — т2п — / (т + п) (/и® — л2) — у/тп2 — п3
9) | y/3ty — ~ /12с6_у —с2 ]/3^
10) 3ab]/+4^1У—5а’/^
F ЬА г Ь2
38. Произвести умножение корней:
_ х 1 /а4 а । / 32а
7) — L - .-г-1/ —
а ' х 4 1 х3
8) /а3х~‘ • ’/ а7х®
9) 2а / а3х • Зх У ах*
10) 5ат2 у/Зсх • Зату/2а*с
1) /6 • /30
2) 2 /9- 5 /3
3) /2 • J/3
4) /3- /2
5) /а2с • а /ас4
6) 1 /Зла • а2 /9/и
CL
39. Произвести деление корней:
1) /20: / 5
2) / 4 : у/2
6) 1 а3 : у/ а
7) 10а у'х : 12 у/ах
1’ 16-+1/2
’ 27 3
Л / 2
5) / 12а8: / а2
О
9) 12а3х:4а2/х
1°) 1 : |/ тх
42
I
40. Возвести в степень:
1) (^у
/ 4 / VT3
3) (-3««J/^)
41. Извлечь корень:
1) У У а*
2) х у/ х
§ 17. Действия над иррациональными многочленами.
1. Сложение и вычитание.
Сложение и вычитание иррациональных многочленов произво-
дятся по тем же правилам, как сложение и вычитание рацио-
нальных многочленов.
Пример 1.
(3 р^х3 —4jZasx) + (— р/ х34-5 jZfi*x) = 3 р<х3 —4 |3/а‘х —
— рЛх3 5 [Ла2х = 2 ^х#+р^(г2х.
2. Умножение и деление многочлена на одночлен.
Оба действия производятся по тем правилам, которые были
установлены для рациональных многочленов.
Пример 2.
( у/х3 — 2а у/ Xе + а у/ х4) • (— За2j4x ) =
= — За2 у/~х3 • у/~х 4- 6а3 yf х2 - у/~х — За3 j/ х4 • |/х —
=—3a3 j/х3- х24- 6а3 р^х’Тх3 — S^’i/x8”- х® =
=—За2 jZx3 + 6а3 р/х7 — За3 'Vх13 =
= — За2х р х + 6а3х у/х — За2х'у/ х3.
Пример 3.
(a у/ a3xi — а3х у/ а3х2 — - |/ ах) : (—^*Р^ах2)=
= — х2( у/ a3xi -.'у/ ах2) + а2х3 ( | а3х2 -.'у/ах3) +
4 а9х ( у/ ах: lyf ах1) =—x^y/h^x16: а3х3 4- а2х3‘|Х а9х6: ах2 4~
4 а2х1р^а6хв Гах2 = — х23^1^ 4-а2х3‘р)<а8х4 4- ^х^а’х1 =
= а2х3 у/^х 4- а2х а3х* — х2 Зр^а17х1Ъ.
43
3. Умножение многочлена на многочлен.
Пример 4.
a7=p/’as-|-a — a'yfа2 — а'У а — а'^а-\-а^а2.
Упражнения.
42. Произвести умножение многочлена на одночлен:
О 1/10— /б)- J/30
2) (1/2 4- ^2 4- |Z 2). у/2
5) ( а1п3 — п у/ а2п — а У ап) • у-'a-tv*
6) ( У а* + 3 jZ&3 — а 'у/ 67) • а’ у/аЬ
43, Произвести деление многочлена на одночлен:
________________________ ___ 3 / Q
1) (4 р<6 —Зр<164-4р<12):2|/ -
О
2) (^6-21^4-6) :~|Z6 I
3) (х |/ т — am2 у/ х) : у/тх
4) (| ах — х • у/ а3 4~ 4а |Z х) ах
О
44. Произвести умножение многочлена на многочлен:
1) (2 у/а-)- 3 ^х) 4 ^х)
2) ( jZ4a 4- 2 у 2а— 1) • ( (/~4а? — >/а)
3) (а ]/~Ь 4- Ь ^а2) • (a 1/F— b \^а^)
45. Возвести в степень:
1) ( у/ 2 4-1/ З)2 3) (a J/ х — х у/ а)®
2) ( 4 - J/ 2)3 4) (аЕ^ а 4- уГс$
46. Рассматривая подкоренное выражение, как квадрат некоторого
другого выражения, найти следующие корни:
1) ]/~а2 4- 2а у/Ь4- b 3)^/9а 4-4х—12 j/ax
2) |/а4-Т4-21/^ 4) /9 4-6 3'4- ^9
44
§ 18. Преобразование сложных радикалов: лb и
i/'a-Vь-
Если а2 — b — точный квадрат, то сложные радикалы:
У а~У b и |/ а— |/ b
обыкновенно преобразовывают по формулам:
(и
+ (2
где n = lza2 — b.
Проверим формулу (1).
Возводя правую часть в квадрат, получаем:
(]/ф+|/^’=Ф + 2/ф-1/^ +
( а—п а-\-п-{-а—п , о ]/(« + «) (а — «) _
+ —27““ 2 1-2 Г 4 —
=аф- р'а2 — п2 = a-j-j/a3 — (а9 — 6) = а-|- j/n2 — а2 -|- b = a-]~yb,
что и доказывает правильность формулы (1).
Подобным же образом проверяется и формула (2).
Пример.
Представить сложный радикал: J/2 фр 3 в виде суммы двух
простых радикалов.
Решение. __
n = j/23 —3= 1;
_]/ X . 1/1- » 6 + У2
— к 4 4 2
Упражнения.
47. Преобразовать:
1) у/2— |/ 3 3) }/8 — 2 у 15
2) J/6 4-4J/2 4) ]/а—2уа — 1
5) |/2о+?4ог-х*
45
§ 19. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
Пример 1.
Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:
а
Решение.
а а - у Ь- _____ a у^Ь2__ а у/Ь2
t^bs = у/ь* • у/Ь2~ у/ bs ~ Г '
Пример 2.
Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:
а
yf с
Решение.
а а(УЬ—Ус) a(y/b—j/c)
Vb + ) с (у b + |/F) (yb —Ус) (у/Ь)’—(Ус)*
а(у Ь—у/с)
b — с
Пример 3.
Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:
а
ту b — пу с
Решение.-
а ______ a(myb У пУ с) _
ту b— пус (ту/ b — пУс) (тУ b + пу/ с)
а(ту/Ь-\-пу/с) '________а(туЬ-\-п у/с)
(ту Ь)*—(пу/ с У Ьт2 сп2
Упражнения.
48. Уничтожить иррациональность в знаменателе:
1) Дг J/3 7) V х
2) у т 8) о у/ х2
3) — 7 1/3 6) |/ №
У2 3—1'2 т 13) 14) 6 у 5 — у/ 2 15) 16) 6
3 р/2 -|-2 J/3 11— 4J/6
а— у/b а J/7- \/2 у/3 — 2 у 2
а + у/ах
49. Преобразовать:
1)--------= 4---------=
3 4- J/3 2 — у 3
ау'а/т тУ а — т 2т2
у/а — т уа-\-т у/а-— т1
50. Следующие выражения преобразовать в произведения:
1) у/ах— |/ а
2) |Z(a4-x7— Уа^—х*
3) х2
4) — у/х
51. Вычислить:
5) ау/а-\-хух
6) а — х2
7) х2— у/ах— 2а
ОТДЕЛ Ill. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
ГЛАВА I.
РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ.
§ 20. Нулевой показатель.
Возвести данное число в некоторую степень значит повторить
его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе сте-
пени.
Согласно этому определению, выражение: а0 не имеет смысла.
Но чтобы правило деления степеней одинаковых букв имело ।
место и в том случае, когда показатель делителя равен показа-
телю делимого, введено определение:
а°=1. (1)
Упражнения.
52. Вычислить:
( 1 V
(—1)°; (0,5)°; 3°; — 2—)
§ 21. Отрицательный показатель.
Выражение: а~т, где /п>0, само по себе не имеет смысла.
Но чтобы правило деления степеней одинаковых букв имело
место и в том случае, когда показатель делителя больше пока-
зателя делимого,-введено определение-.
(1)
а
Указанный символ иногда применяется к изображению чисел.
Пример 1.
Если данное чисто состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей,
то его можно изобразить так:
5 • 103 -р 7 • 10* + 2 • 10° — 0 • 10-1 + 9 • 10-’.
Пример 2.
Если данное число состоит из а десятков, b единиц, с десятых и d тысячных
долей, то его можно изобразить так:
а • 101 + Ь • 10° + с • 10-1 + d • 10-’.
48
Символом а~т нередко пользуются в физике и технике.
Пример 3.
Желая показать, что ускорение w в данном движении содержит а единиц
ускорения по системе CGS, пишут так:
w = а ему сек~г.
Пример 4.
Вес атома водорода приблизительно равен 0,00000000000000000000000163 г;
пользуясь символом 10—получаем: 1,63 10-24 (10-24— одна квадриллионная).
Упражнения.
53. Вычислить: •
/ ч \ —1 / 1 \ —2
(14) ; ( ——) ; 5-3; 0,2-\
\ 4 / ’ \ 2 / ’ ’
§ 22. Действия над степенями с отрицательными показате-
лями.
Покажем, что правила действий с положительными показате-
лями распространяются и на отрицательные показатели.
1. При умножении степеней одинаковых букв показатели
складываю тся.
1 ап
а) а'т ап= т- ап = —^ = ап~т = а~т+п-,
1 а а
1 ат
б) ат-а~п = ат- п^~п=ат-п=^атЛ^п^,
1 а ап
в) а'т -a~n=-m- -^=^=а-(т+п) = а~т~п = а~т+1~пК
1 а ап ат+п
2. При делении степеней одинаковых букв из показателя
делимого вычитается показатель делителя.
а) а~т-. ап = ±: «"= i = ^т~п-,
а а а а
б) ат: а~п = ат: ~ = ат • ап = am+"= ат~ ;
1 1 ап
в) а'т:а-п = -^-.-^ = -т= ап~т = а~т~С”).
ат а ат
3. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно воз-
вести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
(abc)-n = ^4u: = -7^ = -ln-4n-^n=a-m Ь~п с~п.
4 ’ (abc) a b сп a ft с
4 С. С. Державин.
49
4. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвесь
в эту степень отдельно оба члена дроби.
а\~п J 1_1 _. .п_±. _1__ ._„= £2
Ь / ' а'д' ^ап \ ап ап ап ‘ bn ' Ь п
5. При возведении степени в другую степень показатели аг
пеней перемножаются.
а) (а~тУ= =±-п=а-тп = а^Л
л \U- ! СХ- •
в) (0-")-"=( ' r”=-L=l:-L- = a”" = <I
\ СХ- / СХ- и-
Упражнения.
54. Освободить от отрицательных показателей следующие выражени
а~т 1
bn 3)(a + *)-(a — х)-1
К„3
2> эт 4) ^-п-
55. Следующие дроби представить без знаменателей:
2) С\ 3)44 а2с3 4)t+i. а — х
56. Преобразовать: 1) За-2 • 2а3 Q-i + ^-i + c-i ' a&-{-ac-j- be •
2) — 12а-3: 4а-1 чЧ 1 1 VI О1
3) 15а~3 . л2 п 10а-2 8) (хл + х-”)2 — (х” — х-”)2
4) 12а-3 4а—4 5х2 ’ 10х 9) (1 — а-2х2): (ах-2 — х-1)
5) а-[-х а~’ х—1 10) [(а-1)-2-1];[(а —1)-* —1
§ 23. Дробный показатель.
k
Если k не есть число кратное п, то выражение: ап не
смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени
50
место при любом значении показателя степени, введено опре-
деление:
д 2 ь
ап = V а • (1)
Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда
может быть заменено возведением в степень.
Упражнения.
57. В следующих выражениях заменить извлечение корня возве-
дением в степень:
|ЛЗ; jZo’.
58. Вычислить:
4*; 8’; 27’; 0,25~ •
§ 24. Действия над степенями с дробными показателями.
Действия над степенями с дробными показателями совер-
шаются по тем правилам, которые установлены для целых пока-
зателей.
При доказательстве этого почожения, будем сначала пред-
„ т р
полагать, что члены дробей: — и ~ , служащих показателями
степеней, положительны.
В частном случае п или q могут равняться единице.
1. При умножении степеней одинаковых букв дробные пока-
затели складываются.
р mq + пр
~ 71 /-та Ч /-« пЧ /-пЧ Г'—пЧ /—- 1 --—5——
ап-ач= у ат- у ар= у атд • у апр = у amg+np = a пд =
mq _упР т . P
= апч^ n4 — an^~ q *
2. При делении степеней одинаковых букв с оробными пока-
зателями из показателя делимого вычитается показатель де-
лителя.
ал-. ал = У~а™ ^ар=^ ~aFg :"l/7inp = . апр = а Р =
mq пр т р
= С1”Ч = а” ~ *
3. Чтобы возвести степень в другую степень в случае дроб
Hbix показателей, достаточно перемножить показатели сте-
пеней.
51
4. Чтобы извлечь корень из дробной, степени, достаточно по
казатель степени разделить на показатель корня.
т
п
: Р .
Правила действий применимы не только к положительным
дробным показателям, но и к отрицательным.
Упражнения.
59. Доказать справедливость равенств:
т т т т
1) (abc)'1 =ап Ьп сп
т т
( aY— Я”
’\b)
ьп
60. Пользуясь таблицей квадратных и кубических корней, вычислит!
з 1 2 1
1) З2 2) 233 3) 73 4) 542 .
61. Вычислить с точностью до 0,01:
1) 21’5 2) 21’75 3) З0,5 4) 21’5 .
X* 1|
62. Знак корня заменить дробными показателями:
1) у/ а 2) у/ ах1
а2 + &2
2а~ЧР
63.
64.
О
2)
3)
4)
Дробные показатели заменить знаком корня:
1 3 _2^ 1
1) ап 2) х4 3) а 3 4) х 2” .
Преобразовать:
_3_ 4 4
4 а ' 3 а
1 | 5 |
Та : 6 °
5) (а2 + Ь2) • (а2 — 52)
А А
а — Ъ а2 — Ь2
а — х а-]-х
') Т Т Т
а3 —х3 а 'А -|- х3
Л ± 1 1
а2х4 а4х2 а — х
8) Т Т ~ т тпт
а2 х2 а24~я4х4
3) |7за3
!
I
52
грессиях.
Арифл
разность
ГЛАВА II.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ.
§ 25. Понятие об арифметической и геометрической про-
'етической прогрессией называется ряд чисел, в котором
между последующим и предыдущим числом постоянная.
Разность эта называется разностью прогрессии, а числа,
составляющие прогрессию, называются ее членами.
Для обозначения арифметической прогрессии перед первым ее
членом ставят знак н , а остальные ее члены отделяют друг
от друга точкой с запятой (;).
Таким образом, ряд:
-Ь1; 3; 5; 7; 9;.
будет арифметической прогрессией.
Пусть дана прогрессия:
^2> • ап_^\ ап. (1)
Обозначая ее разность через г, будем иметь:
аг ai = а3 а% — а^ а^ =... — ап а,п_^ = г. (2)
Если разность прогрессии — положительное число (г>0),
то прогрессия будет возрастающей; если же разность про-
грессии — отрицательное число (г<0), то прогрессия будет
убывающей.
Пример 1.
Прогрессия:
-Ь1: 3; 5; 7; 9; . . .
будет возрастающей, а прогрессия:
4-10; 7; 4; 1; — 2; . . .
будет убывающей.
Геометрической или кратной прогрессией называется ряд
чисел, обладающих тем свойством, что каждое из них, начиная
со второго, равняется предшествующему числу, умноженному на
°дно и то же постоянное для каждого ряда число.
Это постоянное число называется знаменателем прогрес-
сии, а числа, составляющие прогрессию, называются ее чле-
нами.
Для обозначения геометрической прогрессии перед первым ее
членом ставят знак -Н-, а остальные ее члены отделяют друг
°т Друга точкой с запятой (;).
53
Таким образом, ряд:
” 1; 3; 9; 27; 81;. . .
будет геометрической прогрессией.
Пусть дана прогрессия:
и2; и3; . . и„. (3)
Обозначая ее знаменатель через q, будем иметь:
u2-..ui = u!t-.ui~ul-usi= . =un-.un^ = q. (4)
Если знаменатель прогрессии q больше 1,то прогрессия будет.1
возрастающей; если же q меньше 1, но больше 0, то прогрес-1
сия будет убывающей.
Пример 2.
Прогрессия
-Н-1; 3; 9; 27; 81;. . .
будет возрастающей, а прогрессия:
тг 10; 5; 272; Р/б %;. . •
будет убывающей.
Если q < 0, то все члены четного порядка будут отрицательными, когда пер-
вый член прогрессии — положительное число, и положительными, когда первый
член прогрессии—отрицательное число.
В этом случае прогрессия называется знакочередующейся или коле-
бательной.
Пример 3.
Прогрессии:
44 3; —6; 12; —24; 48; . . .
44—5; 15; —45; 135;—405; . . .
знакочередующиеся.
Вопросы и задачи.
1) Определите знаменатели прогрессий:
-44-2°; 2I/a; 21; 2s/»; 22; 26^; 2’ и т. д. (5)
-44- 2°; 2-1 а; 2—*; 2 —в/,а; 2—а; 2~в/а; 2-' и т. д. (6)
Какая из них будет возрастающей и какая убывающей?
2) Все выписанные члены прогрессий (5) и (6) представьте в виде
десятичных дробей с тремя десятичными знаками после запятой.
3) Между какими членами прогрессий (5) или (6) заключаются числа
0,7; 3,1; —1.2; 0,1; —1; 5,3; 4; 0,125; 0,5; 1,4?
Напишите соответствующие неравенства.
54
(9)
(10)
4) Определите знаменатели прогрессий:
;:0,5°; 0,5*А; 0,5*; 0,5^; 0,5s; 0,55А; 0,53 и т. д. (7)
-?0,5°; 0,5-*/*; 0,5-*; 0,5-’А; 0,5-2; 0,5 0,5-8 и т. д. (8)
Какая из них будет возрастающей и какая убывающей?
5) Сравните члены прогрессий: (5) и (8), а также (6) и (7).
Не имеют ли упомянутые прогрессии одинаковых членов?
6) Определите знаменатели прогрессий:
• д0. а0,001 • я0,002. я0,003 . flO,J04. д0,005 и т. д.
»* а—0,001» — 0,002» &— 0,003» —0,004. —0^005 pj -р д
При каком условии каждая из этих прогрессий будет возрастающей
и при каком — убывающей?
7) Предполагая а^>1, укажите наибольший и наименьший из выпи-
санных членов прогрессий (9) и (10).
8) Если а — положительное число (а^>0), то могут ли некоторые
из членов прогрессий (9) и (10) быть отрицательными?
9) Предполагая а 1, укажите прогрессию, среди членов которой
следует искать числа: 3,8; 0,9; 8; —5,3; 1,3; —0,3.
10) Чему равны первые члены прогрессий (5), (6), (7), (8), (9)
и (10)?
11) Обратите внимание на последовательность показателей в прогрес-
сиях (9) и (10). Не составляют ли эти показатели каких-либо прогрессий?
12) Предполагая а^>1, укажите, в какой связи находится возраста-
ние или убывание членов прогрессий с изменением абсолютной величины
и знака показателей степеней.
§ 26. Определение понятия о логарифме.
Вопросы и задачи.
1) Если показатели степеней в прогрессиях (9) и (10) назвать лога-
рифмами соответствующих членов, то чему будут равняться логарифмы
а) первых членов обеих прогрессий, б) пятых членов?
2) Пользуясь прогрессиями (5) и (6), определите логарифмы чисел
Р2; 2у/~2; 8; 0,5; >/2/2.
3) Сравните седьмые члены прогрессий (5) и (8). Не будут ли они
одинаковыми?
4) Найдите логарифм числа 8, пользуясь прогрессией (5), а затем
прогрессией (8). Чем обусловливается различие логарифмов данного числа.'4
Называя показатель степени логарифмом, мы основание степени будем
называть основанием логарифмов.
5) Таким образом, указывая логарифм данного числа, следует ли
т8кже указывать и основание, по которому он взят?
55
I
6) Желая показать, что логарифм 8-ми по основанию 2 будет 3, пишу^
так; log28 = 3. Запишите, чему равен логарифм 8-ми по основанию 0,5.
7) Определите log39, log2-g, log10 100, logic 0,001, logi/2 4, log0>5 0,25,
logo,2 0,125, logo, 110.
8) Пользуясь прогрессией (5), найдите промежуток, в котором заклю-
чается число 6,7. Нельзя ли 21/2 и 3 принять за приближенные значения
логарифма числа 6,7 по основанию 2?
9) Пользуясь прогрессией (6), найдите приближенные значения лога-
рифмов следующих чисел: 1,6; 4J/S; %; 0,89; 0,1.
Логарифмом числа Nпо основанию „а“ называется показателе,
степени, в которую надо возвысить „аи, чтобы получить N.
Желая показать, что х является логарифмом числа Л/по осно-
ванию а, пишут так:
logaN=x или lgaN=x.
Пример:
logm 1000 = 3, так как 103=1000.
Упражнения.
65. Найти N, зная, что:
1) log3JV=2
2) log2/V = 3
3) logB/V=—4
4) log,/V= —5
66. Найти а, зная, что:
1) logfl81=4
2) log„ 125 = 3
3) logo16 = 0,5
4) logc 3 = 0,2
67. Найти x, зная, что:
1) x = log3243
2) x = log168
5) log9 7V= 0,5
6) log4.ZV=2,5
7) logm П= — 0,25
8) log32TV= —0,4.
5) loga 0,16 = 2
6) logrt 0,064=3
7) logc 0,6 = 0,25
8) loga0,8 = l,5.
3) x = log0jS 0,3125
4) x = — log0'8 0,512,
§ 27. Некоторые свойства логарифмов.
Возьмем две геометрических прогрессии:
1 2 3 т т 4 1
-Н-1; ап ; аП; ап ;.. ; ап-, а п ;
_________2 3 т тп. -4-1
а п; а п; а________________а п
(1)
(2)
где а — положительное число.
56
Знаменателем первой прогрессии будет:
ап : 1 =ап,
а знаменателем второй:
J __L 1
а п : 1 = а п — г •
сГп
1 _ £
Если то ап^>1, а а " <4, и, следовательно, при а^> 1
первая прогрессия будет возрастающей, а вторая убывающей.
1 _________1
Если о<1, то й" <С1> а о п>1. В этом случае первая про-
грессия будет убывающей, а вторая — возрастающей.
Заметим, что:
а) обе прогрессии состоят из положительных членов;
б) показатели числа а суть логарифмы соответствующих сте-
пеней по основанию а.
С помощью прогрессий (1) и (2) легко доказать следующие
положения:
1. Всякое положительное число имеет логарифм и притом
только один.
Пусть 7V—положительное число.
Если N равняется одному из членов прогрессий (1) и (2), то
соответствующий показатель числа а будет его логарифмом.
Если же число N ни одному из членов прогрессий (1) и (2)
не равняется, то всегда можно найти два последовательных члена
той или другой прогрессии, между которыми оно заключается.
т т“Ь1
Пусть это будут числа: ап и а п . •
D т т -4-1
В таком случае -- и —Д— можно принять за приближенные
значения логарифма числа N.
2. Отрицательные числа не имеют логарифмов.
Прогрессии (1) и (2) состоят только из положи; ельных членов.
Поэтому, если М—-отрицательное число, его нельзя найти среди
членов прогрессий (1) и (2).
Между тем показатели при а в этих прогрессиях исчерпывают
всевозможные числа: положительные и отрицательные, целые
и Дробные.
Следовательно, нет такого значения для показателя числа а,
чтобы оно выражало логарифм отрицательного числа N.
57
3. Логарифм самого основания равен единице, а логарифм еди
ницы есть нуль.
Так как а1 —а и п° = 1, то loga а — 1 и logal = 0.
4. Если основание больше единицы, то логарифмы чисел, боль
ших единицы, положительны, а логарифмы чисел, меньших еди
ницы, отрицательны.
Пусть а ^>1. Если 7V^>1, то его нужно искать среди члене а
прогрессии (1), где показатели (логарифмы) положительны.
Если же N<^1, то его нужно искать среди членов про
грессии (2), где показатели (логарифмы) — отрицательны.
5. Если основание больше единицы, то большему логарифм^
соответствует большее число.
Пусть а > 1. Тогда с возрастанием показателя при а (логарифма)
в прогрессиях (1) и (2) возрастают и соответствующие степени (числа)
Члены прогрессии (1) и соответствующие показатели возра
стают слева направо, а члены прогрессии (2) и соответствующие
показатели — справа налево.
§ 28. Логарифм произведения, частного, степени и корня.
Пусть
log„M = Xi, logaM> = x2 и logaN3 = x3.
Тогда
N1 = axi, N., = ax^ и N3 = aX3.
Перемножая эти равенства, находим
NlN2N3=axl*x*+X3,
откуда следует,
т. е. логарифм
жителей.
Пример 1.
Зная, что log10 2 = 0,3010 и log10 3 = 0,4771, найти log106.
Решение.
logI0 6 = log10 (2 • 3) = log10 2 + log10 3 = 0,3010 -f- 0,4771 = 0,7781.
Пусть
logaM=*i и '.ogaN2 = xs.
Тогда
что
— Х1 Х-2 х3г
произведения равен сумме логарифмов сомно
yVj = axi и = ах*.
58
разделив первое равенство на второе, получим:
м
Кг
откуда следует, что
т. е. логарифм дроби равняется логарифму числителя без лога-
рифма знаменателя.
Пример 2.
Зная, что logm 12 = 1,0792 и logm 3 = 0,4771, найти logm 4.
Решение.
log10 4 = log10 (12; 3) = log10 12 - log10 3 = 1,0792 — 0,4771 =0,6021.
Пусть
logeN=x.
Тогда
N=ax. i
Возведя последнее равенство в степень т, получим:
Л^ = «Т,
откуда следует, что
logfl(2Vm) = mx,
т. е. логарифм степени равен логарифму основания степени,
умноженному на показатель степени.
Пример 3.
Зная, что log10 2 = 0,3010, найти log1032.
Решение.
logi0 32 = log!о (2s) = 5 login 2 = 5 • 0,3010 = 1,5050.
Пусть
log„N=x.
Тогда
N=ax.
Извлечем из обеих частей последнего равенства корень т-ой
степени; получим:
X
f / j. у т/~ —- ~
\/ у ах = ат,
откуда следует, что
59
т. е. логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делен-
ному на показатель корня.
Пример 4.
Зная, что log10125 = 2,0969, найти log105.
Решение.
log105 = log10 jZ 125 = ^-log10 125 =4- 2,0969=0,6990.
О о
Упражнения.
68. Зная, что log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771, log 5 = 0,6990 и log 7 =
= 0,8451, найти логарифмы следующих чисел:
1) 6; 10; 14; 15; 21; 30; 42; 70; 105;
2) 4; 8; 9; 25; 27; 49; 125; 243;
3) 12; 20; 28; 36; 45; 50; 63; 75; 98; 147; 157;
4) т; т; 1Т;3Т; 4Т; 42; 7Т: 8з’ 4;
5) J/2; |/3; J/5; |/7; )/б; р/Тб; ^15; j/21;
42.
69. Произвести логарифмирование следующих выражений:
1) 3ci> a2 7) Г bc 1/ a 12)^
„ 3a a
2)T ab 8)Сз 13> у be
3>s 9) a(b — c) a i4) —= b}/c
4) a2b u — C
m2 у c
5) ab2 3 / ’/ b2
6) 11) ]/ JL v b2c 16) а2Л/ V Cl/x
70. Найти х из следующих уравнений:
1) logх = log5-[-log3 — log 7
2) logx = log3—log 5 — log 7
3) logx =2log5-[-log2 — log7
4) logx= 2~log49 — 21og2 — log3
5) log x = log 3-[- 4 log 2 — log 7
6) logx = -i-log27 — ylog4-f-21og7.
60
§ 29. Различные системы логарифмов.
Если по одному и тому же основанию вычислить логарифмы
чисел натурального ряда, то совокупность этих логарифмов со-
ставит систему логарифмов.
Употребительны две системы логарифмов:
а) система натуральных, гиперболических или Непе-
ро в ы х логарифмов;
б) система обыкновенных, десятичных или Бриг-
совых логарифмов.
За основание первой системы принято число е, равное при-
близительно 2,7183. Натуральные логарифмы неудобны в практи-
ческих приложениях, но обладают многими теоретическими до-
стоинствами.
За основание второй системы принято число 10. Эти лога-
рифмы весьма удобны в практических вычислениях.
Условимся в дальнейшем для обозначения натурального лога-
рифма вместо log(,/V употреблять символ: ln/V, а для обозначения
десятичного логарифма вместо log10/V писать для краткости logN.
ГЛАВА III.
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ.
§ 30. Свойства десятичных логарифмов.
Теорема 1. Логарифм числа, изображаемого единицей с по-
следующими нулями, заключает в себе столько положительных
единиц, сколько нулей в изображении десятичного числа.
Доказательство. Так как
10=10», 100 = 102, 1000 = 103, и т. д.»
ТО
log 10=1, log 100 = 2, log 1000 = 3, и т. д.
Теорема 2. Логарифм одной десятичной доли заключает
8 себе столько отрицательных единиц, сколько нулей в изобра-
жении этой доли.
Доказательство. Так как
0,1 =^ = 10-*, 0,01=^=10-2, 0,001= —= 10-3, и т. д.
то
log0,l=—1, log0,01 = — 2, logO,001= — 3, и т. д.
61
Теорема 3. Логарифм числа, не изображаемого единицей
с нулями, не может быть выражен точно ни целым ни дробным
числом.
Доказательство. Пусть N—число, не изображаемое единицей
с нулями.
Оно не может иметь целого логарифма р, так как 10^ вы-
ражает число, изображаемое единицей с нулями.
Оно не может также иметь дробного логарифма —, так
р q /
как, если р не делится на q, то 10?=|/ 10р не выражается
точно ни целым ни дробным числом, а потому не может в точ-
ности равняться числу N.
Таким образом, логарифм числа, не изображаемого единицей
с нулями, может быть выражен лишь приближенно.
Целая часть такого логарифма называется характеристи-
кой, а дробная часть — мантиссой.
Если данное число А/—правильная дробь, то логарифм его —
отрицательный (см. § 28, п. 4) и может быть обращен в логарифм
с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой.
Пусть, например, log7V= — 2,7243.
Этот логарифм можно преобразовать так: ~
logN= —2 —0,7243 = —2 — 1 + 1 — 0,7243 = — (2+ 1) ф-
4- (1 — 0,7243) = — 3 + 0,2757 = 3,2757.
Разность: 1—0,7243 называется дополнением данной
мантиссы до единицы. Это дополнение получается, если
каждую цифру мантиссы, кроме последней значащей, вычесть из
9, а последнюю значащую из 10.
Таким образом, чтобы отрицательный логарифм обратить
в логарифм с отрицательной характеристикой и положитель-
ной мантиссой, нужно абсолютную величину характеристики
увеличить на единицу, а вместо данной мантиссы взять ее
дополнение до единицы, (правило 1).
Понятно, возможно и обратное преобразование.
Пусть, например, logN= 2,8751.
Этот логарифм можно преобразовать так:
log7V= —2 + 0,8751 = —2-^1 —1 0,8751 = — (2—1) —
— (1 — 0,8751 ) = — 1 — 0,1249 = — 1,1249.
62
Разность: 1—0,8751 будет дополнением данной мантиссы до
единицы.
Таким образом, чтобы, логарифм с отрицательной характе-
ристикой и положительной мантиссой обратить в отрица-
тельный, нужно абсолютную величину характеристики умень-
шить на единицу, а вместо данной мантиссы взять ее дополне-
ние до единицы (правило 2).
Вопросы и задачи.
1) Напишите наименьшее четырехзначное и наименьшее пятизначное
число. Определите их логарифмы.
2) Сколько цифр в целой части должны иметь числа, заключающиеся
между наименьшим четырехзначным и .наименьшим пятизначным числами?
3) Если в целой части числа содержится четыре цифры, то может ли
логарифм такого числа быть меньше логарифма наименьшего четырех-
значного числа? равняться или быть больше логарифма наименьшего пяти-
значного числа?
4) Таким образом, сколько единиц заключается в характеристике ло-
гарифма всякого четырехзначного числа?
5) Укажите, между какими членами прогрессии (1) заключаются числа:
42,8; 750,3; 4296,9; 5,49; 200. Напишите соответствующие неравенства.
6) Пользуясь прогрессией (1), укажите пределы, в которых заклю-
чаются логарифмы этих чисел.
7) Определите характеристику их логарифмов.
8) Нельзя ли по числу цифр в целой части числа определить число
единиц в характеристике его логарифма? Как?
Теорема 4. Характеристика логарифма десятичного числа,
большего единицы, содержит столько положительных единиц,
сколько в целой части числа находится цифр без одной.
Доказательство. Пусть данное число N= 4293,57.
Так как
1 000 <4293,57 <10 000,
то
log 1 000 < log 4293,57 < log 10 000
или
3< log 4293,57 <4, z
Откуда следует, что
log 4293,57 = 3 прав, полож. дробь.
Характеристика логарифма данного числа, содержащего в це-
лой части четыре цифры, заключает в себе три единицы.
63
Теорема 5. От умножения или деления числа на 10т (т-
целое число) характеристика его логарифма увеличивается или
уменьшается на т единиц, а мантисса остается без изменения.
Доказательство. Найдем логарифм произведения N- 10т ц
частного 7V: Ю”-. —
log(/V- 10m) = logTV-f-mlcg 10 = l°g?V-|-m
и
log(N: 10”’) = log TV—mlog 10 = log TV—m.
Так как m — целое число, то, прибавляя его к десятичному
числу, выражающему логарифм числа TV, мы изменяем только
целую часть этого числа (характеристику логарифма), увели!
чивая ее на т единиц.
Если же условиться отнимать целое число от целой части
смешанного десятичного числа, то, отнимая т от логарифма
числа N, мы. изменяем только характеристику логарифма,
уменьшая ее на т единиц.
Следствие 1. Мантисса логарифма десятичного числа не
изменяется от перенесения в числе запятой, так как перенесение
запятой равносильно умножению или делению данного числа!
на целую степень десяти.
Следствие 2. Если в целом числе приписать или зачеркнуть
справа несколько нулей, то мантисса его логарифма не изменится.
Вопросы и задачи.
9) Зная, что log 701 =2,8457, найдите логарифмы чисел: 0,701;
0,0701; 0,00701; 0,000701 (в нормальной искусственной форме). При
нахождении имейте в виду, что
0,701 =701 :1 000 = 701:103,
0,0701 = 701 :10 000 = 701:10s,
0,00701 = 701 :100 000 = 701 :105,
0,000701 =701:1 000 000 = 701: 10«.
10) Не стоит ли число отрицательных единиц в характеристике
найденных логарифмов в связи с числом нулей до первой значащей'
цифры в изображении данных дробей?
11) Таким образом, если логарифму правильной десятичной дроби
дать нормальную искусственную форму, то как определится число единип
его характеристики?
Теорема 6. Логарифм правильной десятичной дроби, если
мантисса его обращена в положительную, содержит в характе-
ристике столько отрицательных единиц, сколько имеется нулей
64
в изображении данной десятичной дроби, считая в том числе
и о целых.
Доказательство. Пусть А7= 0,0000725.
Перенесем в данном числе запятую на семь знаков вправо;
получим целое число 7^ = 725.
Логарифмы чисел N и Nt, на основании следствия 1, должны
отличаться друг от друга только характеристикой.
Так как число А4 образовалось из числа А7 перенесением за-
пятой вправо на семь знаков, то характеристика его логарифма
больше характеристики логарифма числа N на семь единиц.
А так как характеристика логарифма числа есть 2, то
характеристика логарифма числа N будет 2 — 7 = —-5, что и до-
казывает предложенную теорему.
Упражнения.
71. Зная, что мантиссы логарифмов чисел: 763 и 978 соответственно
равны: 8837 и 9903, найти логарифмы следующих чисел: 765, 76,5;
7,65; 7 650; 76 500; 978; 97,8; 9,78; 9 780; 97 800.
72. Следующие логарифмы, данные в нормальной искусственной
форме, преобразовать в отрицательные: 1,8976; 2,0101; 4,0099; 3,7009;
1,9994; 3,7300.
73. Следующие отрицательные логарифмы преобразовать в нормаль-
ную искусственную форму: — 1,7608; — 3,9400; —2,0102; — 1,8199;
— 0,7520; —0,3000.
74. Зная, что мантиссы логарифмов чисел 2 и 3 соответственно равны:
ЗОЮ и 4 771, найти логарифмы следующих чисел: 0,2; 0,02; 0,002;
0,0002; 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003.
75. Следующие логарифмы преобразовать в логарифмы с положи-
тельной характеристикой и положительной мантиссой: — 1,2975; —2,7999;
—С9009;— 3^9800.
§ 31. Нахождение логарифма данного числа.
При нахождении логарифмов данных чисел мы будем пользо-
ваться приложенной в конце книги таблицей четырехзнач-
ных логарифмов.
В первом (слева) столбце этой таблицы помещены двузначные
числа: на первой странице от 10 до 50, а на второй —от 51 до 99.
Далее следует группа десяти занумерованных столбцов.
В нулевом столбце содержатся мантиссы логарифмов двузнач-
ных чисел, стоящих слева. Например, мантисса логарифма 35 будет
десятитысячных.
В дальнейших столбцах помещены мантиссы логарифмов тех
5 С. С. Державин. 65
трехзначных чисел, которые могут образоваться от приписывания
к данному двузначному числу номера столбца. Например, май.
тисса логарифма числа 437 будет 6405 десятитысячных.
Для нахождения логарифма числа, количество значащих цифр
которого не превосходит трех, нужно:
а) записать характеристику логарифма данного числа, осно.
вываясь на теоремах 4 и 6 § 28;
б) перенеся запятую в числе так, чтобы образовалось целое
двузначное или трехзначное число, выписать из таблицы соответ-
ствующую мантиссу.
Пример 1.
Найти log 0,2.
Решение.
Характеристика искомого логарифма равна — 1 (см. § 28,
теорема 6).
При нахождении мантиссы перенесем в данном числе запятую
на два знака вправо (см. § 28, следствие 1); получим число 20.
Соответствующую мантиссу (ЗОЮ) выписываем из таблицы.
Таким образом, logO,2 —1,3010.
Пример 2.
Найти log 8,39.
Решение.
Характеристика искомого логарифма равна 0.
При нахождении мантиссы перенесем в данном числе запятую
на два знака вправо; получим 839. Соответствующую мантиссу
(9238) выписываем из таблицы.
Таким образом, log 8,39 = 0,9238.
Выясним на примерах, как найти логарифм числа, количество
значащих цифр которого больше трех.
Пример 3.
Найти log 0,003146.
Решение.
Характеристика искомого логарифма равна — 3.
При нахождении мантиссы перенесем в данном числе запятую
так, чтобы в целой числа оказалось три цифры; получим число 314,6-
Найдем мантиссу этого числа.
Так как
314 <314,6<315,
то
log 314 < log 314,6 < log 315.
66
Числа: 314 и 315 будут ближайшим меньшим и ближайшим
большим целыми числами по отношению к числу 314,6. Разность
между ними равна 1, а соответствующая логарифмическая раз-
ность („табличная разность") равна 4983 — 4969 = 14 десяти-
тысячных. Разность между числом 314,6 и ближайшим меньшим
к нему равна 0,6, а соответствующая логарифмическая разность
неизвестна, так как неизвестна мантисса логарифма числа 314,6.
Предполагая, что разности между числами пропор-
циональны разностям между их логарифмами, можно
написать следующую пропорцию:
1:0,6 = 14:х, (1)
где х— разность между логарифмами чисел: 314,6 и 314.
Получаем следующее значение для х:
х = 14 • 0,6 = 8,4 • 8 (десятитысячных).
Таким образом, прибавляя 0,6 к числу 314, мы должны при-
бавить к его логарифму 8 десятитысячных.
Поэтому
log 314,6 = 2,4977
и, следовательно,
log 0,003146 = 3,4977.
Логарифм данного числа можно вычислить проще, не прибегая
к составлению пропорции (1).
Для этого нужно воспользоваться таблицей поправок
(последние девять занумерованных столбцов).
В рассматриваемому случае нам нужно найти поправку на
четвертую значащую цифру данного числа. Ее следует искать
на пересечении 6 столбца (так как четвертая цифра данного
числа 6) и строки, заключающей первые две цифры (31) дан-
ного числа.
Упражнения.
76. Пользуясь таблицей,-найти логарифмы следующих чисел: 16; 24;
33 J 87; 2; 5; 9; 410; 500; 186; 429; 67,8; 7,83; 0,567; 0,00641; 0,0733.
77. Пользуясь таблицей, найти логарифмы следующих чисел: 3900;
8130; 9000; 6010; 5732; 8716; 35,29; 63,75; 843,6; 915,4; 5,413; 6,409;
°,03977; 0,8434; 0,005409; 0,7008. »
§ 32. Нахождение антилогарифма данного числа.
Антилогарифмом числа т по основанию b называется число,
л°г(1рифм которого по основанию b равен т.
67
Желая показать, что N является антилогарифмом числа щ
по основанию Ь, пишут гак:
ALhiv=N.
Например, АЛ103 = 1ООО, так как log101000 = 3.
При нахождении антилогарифмов данных чисел будем поль-
зоваться приложенной в конце книги таблицей антилога-
рифмов.
В первом (слева) столбце этой таблицы помещены первые две
стоящие после запятой цифры данного числа. Третья цифра
данного числа служит номером одного из следующих десятй
столбцов, заключающих в себе определенные для каждого числа
последовательности ‘цифр антилогарифмов.
Последние девять столбцов содержат таблицу поправок на
четвертую цифру числа.
Пример 1.
Найти AL 1,4470.
Решение.
Антилогарифм числа 1,4470 должен находиться в строке, со-
держащей первые две цифры числа, стоящие после запятой, и
в седьмом столбце (так как третья цифра в данном числе 7).
Так как данное число есть логарифм искомого антилогарифма,
то целая его часть будет характеристикой этого логарифма. Сле-
довательно, в целой части антилогарифма в рассматриваемом
примере должно быть две цифры.
Таким образом,
AL 1,4470 = 27,99.
Пример 2.
Найти АЛ 0,7126.
Решение.
Найдем сначала АЛ 3,7126.
По предыдущему имеем:
AL 3,7120 = 5152,
АЛ 3,7130 = 5164.
Так как
3,7120 < 3,7126 < 3,7130,
то
5152<АЛ 3,7126<5164.
Обозначая разность между АЛ 3,7126 и 5152 через х и прел
полагая, что разности между числами пропорций.
68
нальны разностям между их антилогарифмами, будем
иметь.
3,7130 —3,7120_5164 —5152
3,7126 — 3,7120— х W '
откуда
0,0010:0,0006 = 12:%
или
. 10:6=12:х
и следовательно,
х=По-=7’2=7'
Таким образом, прибавляя 6 десятитысячных к числу 3,7120,
мы должны прибавить к его антилогарифму 7 единиц.
Поэтому AL 3,7126=5159.
Отсюда следует, что AL 0,7126 = 5159.
Антилогарифм данного числа можно найти проще, не прибе-
гая к составлению пропорции (1).
Для этого нужно воспользоваться таблицей поправок.
В рассматриваемом случае нам нужно найти поправку на 4-ю
после запятой цифру числа 3,7126. Ее следует искать на пересе-
чении 6-го столбца поправок и строки, содержащей первые две
цифры после запятой (71).
Таким образом,
AL 3,7126 = 5152 Д- 7 = 5159,
откуда следует, что
AL 0,7126 = 5,159.
Пример 3.
Найти AL 2,3534.
Решение.
Так как
AL 3,3534 = 2254 4-2 = 2256,
то
AL 2,3534 = 0,02256.
Упражнения.
7%. Найти антилогарифмы следующих чисел, пользуясь соответствую-
щей таблицей:
1,2041; 1,5051; 1,9243;
2,3820; 2,5011; 2,8971;
69
3,7464; 3,7910; 3,9484;
0,8451; 0,7404; 0,9542;
0,3617; 0,6232; 0,8633;
1,3365; 1,4698; 4,6493;
1,9143; 1,7782; 2,6839.
79. Найти антилогарифмы щей таблицей: следующих чисел, пользуясь с
3,1572; 1,7584; 0,4565;
3,7918; 2,3271; 0,9453;
3,6009; 1,5429; 1,7642;
3,0405; 2,9846; 2,2607.
§ 33. Действия над логарифмами с отрицательными характе-
ристиками.
Пример 1.
Дано: log а = 3,8306 и logb = 1,3187.
Найти: log а -|- log b.
Решение.
log а = 3,8306
log b = 1,3187
loga Д- log6 = 1,1493.
Пример 2.
Дано log а =1,7241 и log b = 3,9053.
Найти: logo — logb.
Решение.
+1
log а = 1,7241
log b = 3,9053
loga — logfi = 1,8188.
К характеристике первого логарифма прибавлена отрицатель
пая единица, а к мантиссе положительная.
Вычитание логарифмов можно привести к сложению.
Действительно, так как
— log b = — 3,9053 = — (— 2,0947) = 2,0947,
то
log а — log b = log а (—log b) = 1,7241 -[-2,0947 = 1,8188.
70
Пример 3.
Дано: loga = 1,5639
Найти: 3 log а.
Решение.
Т.5639
хз
2,6917 = 3 log а.
Пример 4.
Дано: log а = 4,7128.
Найти: 4 log а
О
Решение.
1 —2 4-2 __
A- log а=4,7128 :3 = 2,9043.
О
При делении к характеристике первого логарифма прибавлено
—2, а к мантиссе -ф- 2.
§ 34. Вычисление с помощью логарифмов.
Пример.
Вычислить:
54,73 • j/0/)089
0,32-318,4.
Решение.
log N=log 54,73 ф- у log 0,0089 — 2 log 0,3 — log 318,4.
log 54,73 =1,7382
~ logO,0089 = 3,9494: 2 = 2,9747
2 log0,3 =1,4771 2 = 2,9542;
— 2 log 0,3 = — 2,9542 = — (—1,0458) = 1,0458
log 318,4 =2,5030
— log 318,4 = — 2,5030 = 3,4970.
log 54,73 =1,7382
* log 0,0089 = 2,9747
— 2 log 0,3 = 1,0458
— log 318,4 =3,4970.
log W = "1,2557.
AL 1,2557 = 0,1802; N = 0,1802.
71
Упражнения.
80. Вычислить с помощью логарифмов;
49,89 -7,306
> 16,07
оч 53,282-4,53
/ 651,8
3) 0,297 - / 0,3506
“ 0,01263 '
492301/0,7108
' ~ 93,852
сч 32,612 • 5,0063
0,2- /412,7
6) |79>5462
к 35,5/0,002
81.
Вычислить
с помощью логарифмов
1)
2)
0,2372 / 0,3
0,07986
1,242
9,008 ’
5,42
8,0911/6Д '
9,197/2
6,407v
3) 9Q723 0^5|/0;iT
3) 9,072 g 73В . 0 543.
1
4) у/ 7 + 0,83 V 0,03709
82. Вычислить с помощью логарифмов:
1) 0,7962°>57. 5) (log4,709)0>25.
1 1
2) ' /log24,07'
3) 5'0,2497. 7) 1Og7j795j63.
4) Vis»’ 8) (log°’79)log3,72-
83.
Количество лошадиных сил Р,
развиваемых электрическим двига
УС
телем, выражается формулой: Р = -у—, где V—разность потенциале!
в вольтах на бортах двигателя, а С—сила тока в амперах. Определит!
Р, если V=625 и С =57.
84. Индикаторная мощность машины (в лошадиных силах) вычисляете
2Р А • L - п
по формуле: W=————-—, где Р — давление пара в атмосферах
ои • /о
4 = та2— площадь поршня в кв. метрах, L — ход поршня (в метрах
ига — число оборотов махового колеса в минуту. Определить W, пола
гая Р=14, г=0,29, 7 = 0,67, «=121, тг = 3,14.
72
1 J . ,
85. Кинетическая энергия всего махового колеса Е = — • - - • аг кг/м.
1 R
иш=2птг. Определить Е, если Л1=:1935, г=0,8.
^.^3,14, п = 3 и £- = 9,8.
86. Зная, что 1 саж. = 2,1336 м, определить: а) сколько квадрат-
ных метров содержит квадратная сажень, б) сколько кубических метров
содержит кубическая сажень.
87. Зная, что 1 саж. = 2,1336 м, определить скольким саженям рав-
няется 1 метр.
88. Плотность воздуха при 0° и 760 мм давления равна 0,001293.
Вычислить вес кубической сажени воздуха.
89. Вычислить вес (в тоннах) земного шара, принимая среднюю плот-
ность его равной 5,54 г/см\ а величину радиуса 6371 км.
4
Примечание. Объем шара выражается формулой: V== —тг/?3;
О
где R—радиус шара, а тг = 3,14.
90. Если п — число оборотов некоторой водяной турбины в минуту,
Н—высота падения воды в метрах, R—средний радиус (в метрах)
места, где вода входит в турбину, и р— полная лошадиная сила воды
для данной запоуды, то п=ап р и R=bH р , где а и b —
постоянные, определяемые из опыта для данной конструкции турбины.
Вычислить а п Ь, полагая п = 50, 77=1,8, р=100 и R = 0,765.
Отв. а = 239,8; Ь = 0,07966.
91. Время t (в секундах) одного качания маятника связано с его дли-
ной I и ускорением силы тяжести g формулой:
7=тг1/
ё
Полагая тг = 3,14, 7 = 0,8075 м и £-=9,81 м/сек^, вычислить t.
92. Маховик, свободно вращающийся со скоростью 500 оборотов в
минуту, сам собою приходит в состояние покоя. Предполагая, что к концу
7 секунд скорость маховика выражается формулой:
w=500e“°'lz
найти скорость к концу 10-й сеЛунды.
93. Внутренний диаметр гребного колеса морского парохода выра-
^ается формулой: £>=1,12-
1 852г/
60, где v — скорость парохода, ал —
число оборотов колеса в минуту. Вычислить D, если v =12,3 и п = 20.
94. Чтобы удержать поезд на рельсовом пути, наружный рельс на
73
закруглениях укладывают несколько выше внутреннего рельса. ПовыцЯ
ние наружного рельса h, наибольшая скорость поезда v, ширина колеи
радиус кривой R и ускорение силы тяжести g связаны формулой
Q
А = —Найти h, если е= 1,524 м, v = 525 м/сек, ^-=9,8 м/сек\ I
/? = 600 м.
95. Число колебаний, соответствующее основному тону струны, выра.
1 - z~k
жается формулой: N = —- | -, где L — длина струны, k — сила на-
/jL tn
тяжения в килограммах и т — масса единицы длины струны. Опреде-
лить N, если Л = 59 см, k = 9,7 кг и т =0,4 мг.
96. Для любой высоты h дальность горизонта определяется по фор-
муле: d— ]/(2R-\-h)h. Как далеко видит летчик с высоты А =3,8 кд
(Z? = 6371 км)?
ГЛАВА IV.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ.
§ 35. Свойства показательной функции.
Функция, определяемая формулой:
У = а*. (1)
где а—постоянвое положительное число, называется показательной-
Полагая в формуле (1) последовательно
х = 0; 1; 2; 3; и т. д. 1 I
ИЛИ г, , п о г (1
х = 0;—1;—2;—3; и т. д. J
получим соответствующие значения у:
у = 1; а ; а2 ; а® ; и т. д. |
или У=1; в-1! а-2; а-®; и т. д. J
1
Последовательные значения х составляют арифметическую прогрессию
а соответствующие значения у — геометр ическую прогрессию.
Рассматривая эти прогрессии, обнаруживаем следующие свойства показатель-
ной функции:
а) при х= 0 функция:у = а* обращается в 1, а при х=1 она обращается в а,
б) для любых значений х функция: у = ах положительва;
в) если а > 1, то с возрастанием х в области отрицательных значений (Л®
нуля) функция у = ах возрастает (до единицы); с возрастанием х в области п<г
ложительных значений (от нуля) она'тоже возрастает (от единицы);
г) если а <_ 1, то с возрастанием х в области отрицательных значений (Я
нуля) функция у = а* убывает (до единицы); с возрастанием х в области ПО.Ю"
жительных значений (от нуля) она тоже убывает (от единицы).
74
§ 36. График функции: у—ах.
Вопросы и задачи.
1) Составить таблицу значений функции: у — 2х для следующих
значений аргумента:
х = 0; ±0,5; ±1; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3 и т. д.
Значения функции вычислить с точностью до 0,01.
2) С помощью составленной таблицы постройте график функции:
у^=2х (масштаб; 1 — 10 см). Обратите внимание, как расположена кривая
относительно оси абсцисс.
3) Определите отрезок, образуемый кривою на оси ординат.
4) Рассматривая график функции: у = 2х, перечислите ее свойства.
График функции:
у = ах
(1)
можно построить по точкам.
На оси абсцисс от точки О отложим ряд
чения аргумента х, а на
данные значения функции.
Проводя затем через
концы перпендикуляров
плавную кривую, получим
график данной функции.
На черт. 1 кривые
UU и служат со-
ответственно графиками
функций:
Так как а° = 1 при
всяком значении а, то
все показательные
кривые проходят
Через точку (0; 1).
Выше мы видели, что
Функция (1) убывает от
единицы в двух случаях:
а) при изменении х
в области отрицательных
значений от нуля, если
отрезков, выражающих данные зна-
б) при изменении х в области положительных значений от нуля, если а С1.
В этих случаях график функции (1), по мере возрастания х по абсолютной
величине, все более приближается к оси абсцисс, как бы касаясь ее в бесконечно
Учаленной точке.
75
Упражнения.
97. Представить графически функцию: у = 2*, давая показателю х значенм
а) целые и положительные,
б) целые и отрицательные,
в) полагая
_ 1_н 3 А
Х 2,’“ 2 ,=t 2 t
и т. д. и вычисляя при этом корни с точностью до 0,1.
§ 37. Свойства графиков взаимно обратных функций.
Если через у обозначить функцию, а через х— независимую переменную
то функции, получаемые одна из другой заменой у через х, и обратно, называют^
вз аимно обратными.
Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны отноа
тельно биссектрисы нормального координатного угла.
Доказательство. Пусть точка Мг (а, Ь) будет одной из точек графика первой
функции (черт. 2).
Тогда согласно определению понятия об обратной функции, точка М2 (Ъ, а)
должна принадлежать графику второй (обратной) функции.
Так как
Обц = = а
и
ММ = ON2 = b‘
то прямоугольные треугольники:
ДМОМ и ДМОМ
равны, откуда следует:
а) что 0М=0М>
и t
б) что а|=₽2 и ₽i = a2.
76
Так как
<Pi = ai—45‘
?2 __ 45° _ а, = 45° — 3, = 45° — (90° — ах) = 45“ — 90° + aL = at — 45°,
ТО
<Р1 = <?!•
Треугольники л1г0Р и МОР, имеющие по две равных стороны (МО =
=MSO и ОР — общая сторона) и по равному углу между ними, равны,
я потому
а MtP=M2P
и
M^^KL,
т е. точки М и М лежат на одном перпендикуляре к биссектрисе нормального
координатного угла и одинаково удалены от нее, что и служит признаком их
симметричности.
Упражнения.
98. Пользуясь доказанной теоремой, построить графики функций:
1) > = logs/2 х
2) y = log»x
3) у =log8x.
§ 38. Логарифмическая функция и ее график.
Вопросы и задачи.
1) Пользуясь теоремой § 37 и имея график функции: у = 2х, по-
стройте график функции: _y=log2x.
2) Для какого значения х ордината у -обращается в нуль? Укажите
в § 27 соответствующее свойство логарифмов.
3) Как расположена кривая относительно оси абсцисс для значений х,
меньших единицы? больших единицы? Укажите в § 27 соответствующее
свойство логарифмов.
4) Как расположена кривая относительно оси ординат для достаточно
малых значений х? Каковы ординаты кривой (логарифмы) для этих значе-
ний х? Чему равен логарифм нуля?
5) Имеет ли кривая точки в тех координатных углах, в которых
абсцисса отрицательна? Укажите в § 27 соответствующее свойство лога-
рифмов.
6) Как изменяются ординаты кривой при неограниченном возрастании х
в области положительных значений?
Если в формуле:
у = ах (1)
заменить у через х, а х через у, продолжая рассматривать у как некоторую
Функцию х, то функция, определяемая из уравнения:
х= аУ,
77
т. е. функция:
J' = log0^, I
г
будет обратной по отношению к показательной функции:
_у = ах.
Функция (2) называется логарифмической.
Так как логарифмическая функция является обратной по отношению к пока.
зательной функции, то ее график (логарифмику) можно построить, как крц.
вую симметричную кривой:
у=ах
относительно биссектрисы нормального координатного угла.
На черт. 1 построены две пары симметричных относительно LL кривых:
а) кривые UU и VV; первая из них служит графиком функции:
а вторая — графиком функции:
> = 1og3/s х-.
в этом случае
б) кривые UJJl и первая из иих служит графиком функции:
а вторая — графиком функции:
У = 1с€?>3 х'.
в этом случае
I
ОТДЕЛ IV. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
ГЛАВА I.
ФУНКЦИИ: Y = X2 и Y = AX2.
§ 39. Функция: у~~х- и ее график.
Функция:
У = (1)
представляет собою простейший вид квадратной функции.
Эта функция и ее график обладают следующими свойствами:
а) при х = 0 равняется нулю и у; следовательно, график рас-
сматриваемой функции должен проходить через начало коор-
динат;
б) для любых значений х функция (1) принимает только
положительные значения; поэтому ее график должен быть рас-
положен вверх от оси абсцисс; при х = 0 данная функция (орди-
ната) получает наименьшее значение;
в) для значений х, равных по абсолютной величине, но про-
тивоположных по знаку, функция (1) получает одно и то же
значение; поэтому ее график должен состоять из симметрич-
ных относительно оси у ветвей;
г) при неограниченном возрастании по абсолютной величине х
неограниченно возрастает и у; следовательно, ветви графика
Должны простираться в бесконечность.
График функции: у = х2 можно построить по точкам. С этой
Целью нужно составить таблицу значений данной функции для
последовательных значений аргумента, отличающихся, например,-
на 0,5.
Полагая
х = 0; ±0,5; ± 1; ±1,5; ±2; . . . .,
получим следующие значения для у:
_у = 0; 0,25; 1; 2,25; 4; . . . .
7S
Если на миллиметровой бумаге построить точки: (0; 0), (0,5-
0,25), (—0,5; 0,25), (1; 1), (—1; 1) и т. д. и провести чер^I
них плавную кривую, то и получится график функции (1).
Полученная кривая называется параболой. Точка О назы.
вается ее вершиной, а прямая OY—ее осью (черт. 3).
Если взять функцию:
Т = — х2, (2)
то кривая, ей соответствующая, будет параболой, симметрично!
параболе (1) относительно оси X (черт. 4).
Действительно, для одного и того же значения х функции (1)
и (2) имеют одинаковую абсолютную величину, но противопо-
ложный знак, и потому соответствующие точки должны быть
симметричными относительно оси X.
Упражнения.
99. Полагая х = 0, ±0,2, ±0,3, ....± 1,5, по данным точкам по-
строить график функции у = х2 в масштабе 1 = 10 см.
100. В каких координатных углах расположен график функции:
у = х2?
101. Пользуясь теоремой § 37, построить график функции:
у = ± j/x.
§ 40. Функция: у = ах2 и ее график.
Значения функции:
у = ах2 (|
80
получаются умножением значений функции: у — х2 на постоянное
число а.
Соотношение: у=ах? показывает, что у изменяется пропор-
ционально квадрату х, почему а и называется коэффициентом про-
порциональности.
График функции (1) может быть получен из графика функции:
у=х2 изменением ординат последнего в одном и том же отно-
шении, причем, если а<^0, то, кроме изменения масштаба орди-
нат, приходится изменять и направление их на противоположное.
Упражнения.
102. Мост через реку Аар в г. Берне (в Швейцарии) имеет среднюю
арку параболической формы; пролет арки 116,8 м, а высота 31,7 м.
Предполагай, что у этого моста
имеются вертикальные стойки,
отделяемые промежутком в 7,3 м, \
и считая, что проезжая часть
моста лежит на 9 м выше вер-
шины параболы, найти высоту
стоек.
103. В одном водостоке пара-
болический свод имеет в ширину у----
1,8 м, а в высоту 1,2 м. По- [)
строить десять точек этого свода.
104. Мост в г. Питсбурге (в Черт. 5.
Америке) имеет параболическую арку с прочетом в 108 я и подъемом
в 13,5 я. Начертите эту параболу.
§ 41. I еомегрическое определение графика функции:
у = ах~
Вопросы и задачи. '
1) Составьте таблицу значений функции: j = 0,5x2 для следующих
значений аргумента:
х = 0; ±0,5; ±1; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3.
Пользуясь этой таблицей постройте график данной функции (мас-
штаб: 1 = 1 сл), наклейте чертеж на картон.и аккуратно вырежьте ша-
блон. Запишите на чертеже масштаб и уравнение графика. Шаблон при-
годится в дальнейшей работе.
2) Постройте график функции: _у = 0,5х2. Отметьте на оси Y две
т°чки, отстоящие от начала координат на '/4 обратной величины пара-
метра 1 функции. Верхнюю точку обозначьте через F, а через нижнюю
* Параметром называется произвольно выбранная постоянная величина.
6 С. С. Державин. 81
проведите прямую DD параллельно оси абсцисс. Измерьте расстоянии
нескольких точек графика от точки F и прямой DD. К какому вывод-1
вы приходите? I
Возьмем на графике функции:
у = ах1
произвольную точку М (х, у) и -определим отношение ее расстояний от точщ
и прямой DD, выраженной уравнением: у = — (черт. 5).
Обозначая первое расстояние через г, будем иметь из прямоугольного тре.
угольника FMK:
Так как г и у — числа положительные, то
Г=у+Х4а-
Обозначая же расстояние точки М от прямой DD через d, находим, что
</=у+ j .
л 4а
Отсюда следует, что r = d, а потому r:d=l.
Таким образом, если некоторая точка принадлежит графику функции:
у = ах*, то отношение ее расстояний от точки Г , 0; и прямой:
1
у = — — равно единице.
Наоборот, если некоторая точка М обладает тем свойством, что отно.
шение ее расстояний от точкиF и прямой: у=—равно единице
то она принадлежит графику функции: у = ах?.
Пусть нам дана точка М (xt, yt). Обозначая ее расстояние от точки F через г,
а от прямой DD через d, будем иметь:
/ 1 Xя 1 1
=Х1‘+У,г-2а • л + 16? >
Так как согласно условию г = </, а следовательно, г* = d?, или
то
yi = axf,
т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению графика, а потому точка
принадлежит графику.
«2
Таким образом, график функции: у=^ах‘ есть геометрическое место то-
одинаково удаленных от данной точки F и от данной прямой DD.
•*“' / 1 \ J
Точка F10; 1 называется фокусом параболы, а прямая: у = — — — д и-
neктPиc0Й•
Отношение г: d обозначается буквой е и называется эксцентрисите-
том параболы.
Эксцентриситет параболы равен единице: е = 1.
Парабола: y = axs может быть вычерчена непрерывным движением.
Пусть DD (черт. 6) будет директрисой параболы, a F—ее фокусом. Возьмем
линейку и наугольник. Линейку (KL) приложим к директрисе, а наугольник (ЛВС)
невьшим катетом (АС) — к линейке. К вершине угла В наугольника прикреплена
одним концом нить, равная по длине катету АВ. Другой конец нити прикре-
п’яется в фокусе F. Если нить натянуть карандашом М и, касаясь им все время
катета АВ, перемещать наугольник вдоль линейки КВ, то карандаш вычертит
чараболу, так как
FM + МВ = AM + МВ,
«Куда
FM=AM.
Упражнение
ПцС(5^' ^сли рефлектор обыкновенного переднего автомобильного фоиаря рассечь
°Стью, проходящею через ось рефлектора, то в сечении получается пара-
₽аВен В Ф0КуСе К0Т0Р0^ находится источник света. Считая, что диаметр фонаря
11 25 см, а глубина 20 см, определить положение фокуса.
83
ГЛАВА II.
ФУНКЦИЯ: Y = AX2 + C.
§ 42. Нахождение корней функции: у = ах2^-с.
Функция: %
будет квадратной, так как содержит переменную х во втор,
степени.
Коэффициенты а и с могут быть как положительными, I
и отрицательными числами.
Значения переменной, обращающие данную функцию в нуд
называются ее нулями или корнями.
Чтобы найти корни функции (1), нужно решить следуют
квадратное уравнение:
ах2 с = 0. fl
Перенеся с в правую часть с обратным знаком и раздел
полученное уравнение на а, будем иметь:
2 с
х2 =-----,
а
откуда
с
а
Если коэффициенты а и с разного знака,
с
то — <7 0 и, следе
а
вательно, —^->0. ® этом случае уравнение (2) имеет дв
корня, одинаковых по абсолютной величине, но противополо
ных по знаку:
х2 — —
с
а
Если коэффициенты а и с одинакового
— >0и,
а
1 / с
i
знака, то
довательно, —^-<^0. В этом случае выражение:
имеет смысла. Чтобы выразить корни данного уравнения и в
84
лучае, в алгебру введены особые числа, носящие название м н и-
^]Х чисел. , „ ' .
Мнимые числа образуются при помощи мнимои единицы/,
связанной с действительной единицей следующим соотно-
шением:
i® = —1,
откуда
i = |/ — 1.
Число, состоящее из п мнимых единиц, выражается так:
z —i —J- i —. . . . —i ~ tri.
п раз
Таким образом, у—, где -^->0, может быть предста-
влен следующим образом:
Пример. 1.
Решить уравнение: 25xs—16 = 0.
Решение.
25х2 = 16; л2 = ~; x = zt j/-Jf = ±-|- = ±0,8;
25 25 5
Xi = 0,8; х2 —— 0,8.
Пример 2.
Решить уравнение: x2-j-9 = 0.
Решение.
х2=—9; х = ± \/ — 9 = ± /9 • — 1 = ±3/;
х, = 3/; х, = — 3i.
Упражнения.
1)6. Решить уравнения:
1)25х2—16 = 0 4) а — А = —
х т1 х
2) 64х24-81 =0 5)- ° =а+А
а-\- 1 ах
q; 5х J х4-3__о сч п-\-х , п — х_
у Z °'?? v ‘ и__|_ V »2 V-8
X —О X п -— X П -д— X п — X
85
§ 43. Исследование функции: у = ах*-\-с.
Дана функция:
у = ах2 с, I
где а и с — относительные числа.
При х = 0 она обращается в с.
Если положить xt = -}-m и ха =— т, где т^>0, то соотвЯ
ствующие значения функции (yt и у2) будут одинаковыми:
yt = ат2 + с,
у2 = а(— т)2 + с = ат* 4~ с.
Таким образом, по обе стороны от х = О функция у = их2 ф,
изменяется монотонно.
Выберем произвольно два каких-либо положительны;
значения аргумента: хг и х2. Пусть x1>xi.
Соответствующие значения функции выразятся так:
уг = ахг2 -|- с,
уг = ах%2 4- с,
откуда
У1 — Ь = a (х/—х22) = а (х! 4- х2) (хг — х2).
Так как при Xj>x2^>0 сомножители (х14~*2) и (-4—xj-
положительны, то знак правой части равенства (2) определяется
знаком а.
Следовательно, если а^>0, то _Vi^>_v2; если же a<Z^> т0
Уг^Уъ, т. е. с возрастанием х в области положительных зна
чений от нуля функция: у = ах2-\-с возрастает, если а^>0, и
убывает, если а<Д; с возрастанием же х в области отрицатель
ных значений до нуля1 (что соответствует убыванию х в область
положительных значений до нуля) она убывает, если а^>0, и
возрастает, если а<0.
При переходе х из области отрицательных значений в область
положительных через нуль, функция (1) переходит от убывания
к возрастанию, если «>0, или от возрастания к убыванию,
если а<0.
Таким образом, при х = 0 функция'. у = ах*-\-с имеет №
нимум (наименьшее значение), когда а^>0, или максимум (н№
большее значение), когда а<^0.
1 Не нужно забывать, что возрастание отрицательного члена ропряЖеЯ<’.
с уменьшением его абсолютной величины.
S6
Если функцию: y — axL-\-c представить так:
у = а
то легко убедиться, что для достаточно больших по абсолютной
Q
величине значений х выражение: х2+ а —положительно.
Следовательно, для достаточно больших по абсолютной ве-
личине значений х знак функции-, у == ах2 -ф- с определяется зна-
ком коэффициента а.
Упражнения.
107. Исследовать функции:
2) у = — 9х2 — 4
3) _у = 9х2 —4
4) у = —9ха + 4
108. Исследовать функции:
3) у=3х2 —7
4) у = — Зха4-7
2) у = — Зх2 — 7
§ 44. Перенесение начала
Возьмем на плоскости точку Р (черт, 7), координаты которой
относительно осей X и Y
пусть будут х и у.
Выбрав на плоскости
точку Oj (т, и), примем ее
за начало новой системы
осей Е и tq, соответственно
параллельных осям X и Y
старой системы.
Обозначая координаты
точки Р по новой системе
через Е и »], найдем соотно-
шение
Так
координат.
о,
Qi
A Q
Черт. 7.
и новыми координатами.
между ее старыми
как
OQ=OAAQ=OA -J-OjQj = (£-}-m) ед. дл.
в
о
р
х
и
то
QP=QQ1 + Q1P=^O1 + Q1P=:(7]4-n) ед. дл.,
(1)
87
т. е. каждая из старых координат представляет собою сумму
одноименной новой координаты и координаты нового начала ц0
старой системе.
Пример 1. Л
Какой вид примет уравнение прямой: = 3x4-5, если начало
координат перенести в точку (—1; 2)?
Решение.
Пользуясь формулами (1), получаем:
x=t — 1 |
_у = т)4-2 )’
где Е и т] — координаты произвольно выбранной точки данной
прямой относительно новой системы осей.
Заменяя в уравнении данной прямой х и у выражениями (2),
будем иметь:
Tj-J-2 = 3(£-1)4-5,
откуда
7) = 3е —34-5 —2
или
7] = ЗЕ.
Пример 2.
В какую точку следует перенести начало координат, чтобы
уравнение кривой: _у = 7х24~5 приняло вид: у = 7x^7
Решение. '
Пусть т и п будут координатами искомой точки.
Тогда по формулам (1)
*=*+"!, (3)
J>=7|+n '
где Е и 7} — координаты произвольно выбранной точки данной
кривой относительно новой системы осей.
Заменяя в данном уравнении х и у выражениями (3), будем
иметь:
7J + n = 7(£ + m)2-|-5,
откуда
т] — 7 (Е2 4- 2тЕ 4~,и2) + 5 — п
или
т; = 7? 4-14тЕ 4- (7/п2 4- 5 — п).
88
Желая привести уравнение: у = 7x2-j-5 к виду: у = 7х2, мы
д0ЛЖны, пользуясь произволом в выборе тип, положить:
14т = 0 и 7/д24-5 — п = 0,
откуДа
т = 0 и и = 5.
Данное уравнение примет вид:
т; = 7£2.
Таким образом, искомая точка будет (0; 5).
Упражнения.
109. В какую точку следует перенести начало координат, чтобы
уравнение кривой: у = 5х2— 10x-f-4 приняло вид: у = 5х2-|-3?
§ 45. График функции: у = ах~ -f- с.
Вопросы и задачи.
1) Постройте график функции: у = 0,5х2 и проведите две прямые:
хх и х"х", параллельные оси абсцисс и отстоящие от нее вверх и
вниз на расстояние 4,5.
2) Если одну из прямых х'х' или х"х" принять за ось абсцисс, то
изменится ли форма и геометрические свойства данной кривой или же
изменится ее положение относительно координатных осей?
3) Изменятся ли абсциссы точек данной кривой, если за ось абсцисс
принять х"х или х"х", а ось ординат оставить прежнюю?
4) Изменятся ли ординаты точек данной кривой, если за ось абсцисс
принять а) прямую х'х', б) прямую х"х"? Как изменятся?
5) Если ордината некоторой точки кривой относительно оси хх
равна 0,5х2, то как выражается ордината той же точки относительно
оси х'х'? Относительно оси х"х"?
6) Нельзя ли кривые: _у = 0,5х2 — 4,5 и у — 0,5х2 -}-4,5 рассматри-
вать, как параболу у — 0,5х2, параллельно смещенную вдоль оси уу?
7) Таким образом, имея график функции: _у = 0,5х2, как построить
гРафики функций: _у = 0,5х2 — *,5 и у = 0,5х24,5?
8) Построить графики функций:
у =—0,5х2, у = — 0,5х2Ц-4,5, у = — 0,5х2 — 4,5.
9) Укажите ближайшие к оси абсцисс точки парабол: у = 0,5х2 и
0,5х24,5. Не выражают ли их ординаты наименьшие значения
Функций?
Ю) Укажите ближайшие к оси абсцисс точки парабол: у = — 0,5х2
и У 5= — 0,5х2 — 4,5. Не выражают ли их ординаты наибольшие значения
ФункИци?
/
89
11) Найдите ординаты вершин парабол: I
_у = 0,5х2— 4,5 и у = — 0,5х2-]-4,5.
Не выражают ли они наибольших или наименьших значений даннья
функций ?
12) Чем изображается на графике наибольшее или наименьшее значе.
ние функции: у = ах2-}-с?
13) Определите графически максимум или минимум функций:
у = 0,5х2— 1, у = 0,5х2 -]- 1, у = — 0,5х2-|- 1, у = —0,5х2— 1.
14) Определите (измерением на графике) координаты точек пересече-
ния парабол: у = 0,5х2— 4,5 и у = — 0,5х24~1 с осью абсцисс.
15) Пересекаются ли с осью абсцисс кривые: у = 0,5х3 4,5 и
у = — 0,5х2 — 1?
16) Определите те значения х, при которых функции:
у = 0,5х2 — 4,5, у =:= — 0,5х2 -f- 4,5, у = 0,5х2 -|- 4,5, у — 0,5х2 — 4,5
обращаются в нуль.
17) Как следует истолковать графически решение уравнений вида:
ах2 с ~ 0 ?
Функция:
у = ах- с (1)
представляет собою сумму двух слагаемых: функции ах2 и по-
стоянного числа с. Поэтому ординаты ее графика можно рас
сматривать, как суммы соответствующих ординат графиков пара-
болы: у = ах2 и прямой: у = с.
Покажем, что график функции (1) представляет собою параболу:
у = ах*, (2)
смещенную в ее плоскости.
Заменим в уравнении (1) переменные х и у новыми переме!
ными Е и т], связанными с х и у следующими соотношениями: I
x = t-\-m и У = т\-\-п,
где т и п — числа нам пока неизвестные.
В геометрическом истолковании такое преобразование обозна-
чает перенесение начала координат в точку (т, п).
Уравнение (1) примет вид:
т] -|- п = а (Е -|- тп)2 4~ с
или
т] = аЕ2 4- 2/гЛ 4- («от2 4- с — п)-
90
Выбрав тип так, чтобы
ат24-с—п = 0 и 2ат = 0,
откуда
т = 0 и п = с,
получим:
= аЕ2. (Г)
Таким образом, график функции (1) действительно предста-
вляет собою параболу (2), смещенную вдоль оси Y вверх или
Чертежи 8 и 9 соответствуют тому случаю, когда а и с имеют
разные знаки, и чертежи 10 и 11 — тому случаю, когда а и с
имеют одинаковые знаки.
Рассматривая чертежи 8 и 9, видим, что в обоих случаях гра-
фик функции (1) пересекает ось абсцисс в двух симметричных
точках: Д1 и Д2. Следовательно, если а и с имеют разные
91
знаки, то существует два значения х, равных по абсолютной
величине, но противоположных по знаку, при которых ордината
(функция) обращается в нуиь.
Уравнение: йх24-с = 0 в этом случае, как мы видели выше,
имеет два действительных корня, равных по абсолютной величине]
- но противоположных по знаку.
Если же а и с имеют одинаковые знаки, то как видно
из черт. 10 и 11, график функции: у = ах^-]~с не имеет с осью
абсцисс общих точек, и, следовательно, если а и с имеют одина-
ковые знаки, то не существует таких значений х, при которых
ордината у (данная функция) обращалась бы в нуль.
Уравнение: ах24-с = 0 в этом случае не имеет действительны
решений.
Упражнения.
ПО. Построить графики функций:
1) _у = 2х2-|-1 5) у = 9х2 4- 4
2) j = —2х2+ 1 6) у= —9х2 —4
3) у = 2х2 — 1 7) _у = 9х2 —4
4) у — — 2х2 — 1 8) у = — 9х24-4.
111. Решить графически уравнения:
1) х24- 1=0 3) 4х24-1 = 0 !
2) х2—1=0 4) 4х2 — 1 =0.
* ГЛАВА III.
ФУНКЦИЯ: Y = АХ2 + ВХ + С.
§ 46. Нахождение корней функции: у = ах- 4- Ьх + с.
Вопросы и задачи.
1) Проверьте следующие преобразования:
Ь •
2'ТХ'1 4а2
Ь-___с
4а2 а) \
& . с
— х — —
а 1 а
b , Ь*
Та Х + 4а2
ft2 & с _
4а2 + ~а ~
b \2 Ь- — Ьас
~2а/ 4а2 '
2) Уравнение: ах- Ьх2 4т с — 0 с помощью подстановки: x = z— yz
« I
приведите к виду: Az2-j-C=0. Почему нужно думать, что подстановка
b
x = z— — приведет к цели? Сопоставьте с предыдущим.
92
3) Уравнение: 5х2— 7х—6 = 0 приведите к виду: Az-[-С —О с по-
мощью приемов, указанных в пунктах 1 и 2.
с/ 7 I2 169 п
4) Решите уравнение: 5^х—— ^д = 0.
5) Решите уравнение: ах- -{- Ьх с = 0, предварительно приведя его
к виду: Аг2-}-С=0. Сколько корней имеет квадратное уравнение вида:
дх2 + ^ + с = 0?
6) Напишите формулы корней уравнения: ах2 Ьх 4~ с — 0.
, — Ь ± 1/ & — 4ас
7) По формуле: х==—------------------решите следующие уравнения:
а) 12х2-|-х— 6 = 0,
14х2 — Зх — 5 = 0,
в) 100х2 +60x4-13 = 0,
б) 25х2 — 20x4-4 = 0,
16х«+ 56х-|-49 = 0,
2х2 — 2х -|- 25 = 0.
8) Укажите условие, при котором корни уравнения: ах*bxс = Q
будут а) действительные и различные, б) одинаковые, в) мнимые.
9) В формуле:
— £4-|/&2— 4ас Ь— у/Ь*— 4ас
2а 2а
— Ь—у/Ь*—4ас b-\-y/b*— 4ас
Х* 2а 2а
I
уничтожьте иррациональность в числителе, а затем положите,п = 0.
К каким значениям стремятся корни уравнения: ах2 -]- bx -J- с = 0
когда а приближается к нулю?
10) В уравнении: ах- -f- Ьх -ф с = 0 и в формулах его корней поло-
жите а = 1, Ь = 2т и с = п.
П) По формуле: х =— wztj/m2 — п решите следующие уравнения:
х« —2х—15 = 0, х2 -)-6х4- 10 = 0,
Xs—14x4-49 = 0, х* — (а — Ь)х— аЬ=$.
12) Решите уравнения;
Зх24-2х = 0,
4х2—9х = 0,
ах2 -}- йх = 0,
Разлагая на множители левую их часть.
Дана функция:
у = дх2 4- bx -j- с,
S3
коэффициенты которой а, b и с — относительные числа. Некоторые
из них (кроме а) могут равняться нуЛю.
Требуется найти корни функции (1), т. е. те значения х, при
которых данная функция обращается в нуль.
С этой целью решим квадратное уравнение;
или
ах2 + Ьх-\- с = 0
, , b .с п
х2 4- - х -4— = 0.
1 а а
'2)
(2')
Преобразовываем левую часть уравнения (2’) следующим об-
разом:
» . Й 1С 2 10^ I Ь* Ь2 . с
х Н— % Н— — % 2 • а- • х —]— т—а — л Н— —
а а 1 2а 4а2 4а2 а
( , . о b . Ь*\ (Ь* с\ ( . Ь\* Ь* — 4ас
\ * 2а 1 4а2/ \4а2 а/ \ 1 2а/ 4а2
Уравнение (2’) принимает вид:
откуда
или
(3)
т. е. неизвестное квадратного уравнения вида: ах2 Ьх-}-с = О
равно дроби, у которой числитель et ть коэффициент при неиз-1
вестном в первой степени с обратным знаком, плюс или минус
квадратный корень из квадрата того же коэффициента без
учетверенного произведения коэффициента при неизвестном во
второй степени на свободный член, а знаменатель есть удвоен-,
ный коэффициент при квадрате неизвестного.
Если выражение: й2— 4ас, называемое дис кр и м инантом
уравнения (2), величина положительная (й2— 4ас >0), то
94
рассматриваемое уравнение имеет два действительных и
различных корня: _______
__ —b + y/lF — 4ас ]
2а
_ —b — у/Ь*— 4ас
JCg —
(4)
2а
Если Ь*— 4ас<^0, то корни данного уравнения можно пред-
ставить следующим образом:
_ — b -|- i у 4ас—&
Х'~У 2а
— b -— I у/4ас — Ь*
(4')
2а
Выражения вида: A-f-Bi и А — Bi, определяющие соедине-
ние А действительных единиц с В мнимыми, называются ком-
плексными числами.
Таким образом, если № — 4ас<^0, то уравнение (2) имеет два
комплексных корня.
Если Л2 — 4ас = 0, то уравнение (1) имеет два одинаковых корня:
b
Xl ~ 2а
П- <4">
Х* 2а
Пример 1.
Решить уравнение: 6х2-|-5х— 4 = 0.
Решение.
Корни данного уравнения определим по формуле (3):
— 5±р/25±4-6-4 —5±1/121 —5±11
Х~' 12 ~ 12 — 12 ’
откуда
-54-11 1 < — 5 —11_ /1
Х1~ 12 ~ 2 ’ Х ~ 12 1 3 •
Пример 2.
Решить уравнение: 9х2— Зх4~1=0.
Решение.
По формуле (3) имеем-
_3~±)/9 —4-9- 1 3±l/=27_3=Ep — 1 - 3-9_
Х~ 18 ’ ~ 18 — 18
_3=E3Z]/3_ 1 ±/у'3
— _ 18 “ 6 ’
95
откуда
1-+/I/3 у_1—i|/3
х,— 6 , х2 — 6
Пример 3,
Решить уравнение: 9х2— 12х-[~4 = 0.
Решение.
По формуле (3) имеем:
12zLj/f44 —4-9^4 _ 12±j/144^144_ 2
Х~ 18 -- 18 ~3;
2
Xj — х2 — g .
Посмотрим, к каким значениям стремятся корни уравнения
ах- + Ьх + с — 0,
когда а приближается к нулю.
С этой целью преобразуем формулы (4) следующим образом:
__— Ь + — 4ас Ь — Vb'2— 4ас _ (b—Vb*—4acj (&4~ l^b* — 4ac|
2a ~ 2a ~ 2a (b 4- i/b2 — 4ac)
b2 — (bs — 4ac) _ 4ac _______ 2c
2a (b + Vb2 — 4ac) ~ 2a (6!4- — 4ac) ~ b 4-^ —4ac ’
x — b — УЬ2— 4ac b -\-\'b2 — 4ac (b-f- fb1—4ac)(b— v'b2—4ac}
2a 2a 2a(b—V bs—4ac) ]
62 — (b2— 4ac) _ 4ac 2c
2a (b— Vb2—4ac) 2a (b—b'2—4ac) b — Vb2— 4ac 1
Таким образом,
b + y'b2 — 4ac
b — f/b2 — 4ac
Приближая в формулах (4') а к нулю, мы значение радикала: у'Ь2 — 4ас пр
ближаем к b и, следовательно, при a = 0 получаем: <
__________________________________2с с
Xl~ b + b ~Ь'
____ 2с ______( 4- со, если с С 0,
2 Ъ — b 1 —со, если с>0.
Таким образом, при приближении а к нулю один из корней уравнения: ах'
4- Ьх 4- с=0 стремится к— , а другой по абсолютному значению бес^
дельно возрастает.
»6
* И
цистные случаи.
। Пусть в равенствах (1) и (2) а=1, Ь = 2т и с = п.
Тогда корни уравнения:
x24~2mx4~n—0
сразятся формулой:
х = — т ± — п,
(5)
е неизвестное квадратного уравнения вида: xa-j-2mx~l- п=0
Равняется половине коэффициента при неизвестном в первой
Степени с обратным знаком, плюс или минус квадратный ко-
рень из квадрата этой половины, без свободного члена.
Эту формулу можно получить из формулы (3), положив в
последней а=1, 6 = 2/п и с = п.
Пример 4.
Решить уравнение: х2 -}- 8х -f-15 = 0.
Решение.
По формуле (5) имеем:
откуда
хг = — 4 -ф 1 = — 3, х2 = — 4 — 1= — 5.
2. Если с = 0, то уравнение (2) имеет вид:
ах2 4- Ьх = 0.
Вынося х за скобку, можно представить левую часть
уравнения в виде произведения двух множителей:
x(ax-j-£) = 0.
Произведение двух множите пей может равняться нулю
в том случае, когда один из них равняется нулю.
Поэтому уравнение (6) имеет
(6)
этого
лишь
х, =0 и
следующие два корня:
b
Х^~а‘
Упражнения.
112. Решить уравнения:
2) х2 —6x4-13 = 0
3) х2 —10x4-25 = 0
4) х24-х—12 = 0
5) х2 —2х4-5 = 0
6) 6х24-19х —7 = 0
7) 81х2 —36x4-4 = 0
8) 2х2— 10x4- 13 = 0
9) 7х24-22х-|-3=0
10) 16х2 —56x4-49 = 0
11) 8х2 — 4х 4~ 5 = 0
12) 12х2 — 31x4-20 = 0
13) 25х2 20х 4- 4 = О
14) 5х2 — 6х4-5 = 0,
7
С- С. Державин.
97
113. Решить уравнения:
1) х2— 5ax-J-6a2 = 0 3) abx2— (a2-j-b2)x-j-ab = О
2) abx2 — (а -ф b)x -|- 1 = 0 4) {a — b)x2 — 2ax -|- (a -|- £) == q
114. Решить уравнения:
х— 1 . 1 ОХ 60 X
1) __ = 1 2 х 3) —~ . "7 — 7 х-ф4 X —8
1 3—х 1 7
36х“ —5 Зх 4)х-фЗ 29-фх
115. Решить уравнения:
1) а х — 2а 1 4х т ц_ п — 2
Зх 4п 6 7 х— п х — т
/и8х2 2тх . а а3 ас ' с2 511- 2С _ C2 + ^
7 х — а а! фх2 — 2ах
3) Х -4- 1~а =0 6) *2+J 1 -х.
а -ф 1 1 2а — х 7 л2х — 2п 2 — пх п
116. При каких положительных
значениях с корни уравнения:
6х2— 13х-фс = 0
действительны и при каких мнимы?
117. Найти условие, при котором трехчлен: (а — Ь)х2— (a -ф Ь)х ф
-ф (а — Ь) представляет полный квадрат?
118. Каковы должны быть знаки коэффициентов уравнения: ах8ф
-ф bx -ф с = 0 для того, чтобы оба корня этого уравнения были поло-
жительны?
119. Расстояние, проходимое в t секунд телом, брошенным верти-
кально вверх с начальной скоростью м/сек, выражается формулой:
h = vot \gt2~ Полагая -п0 = 24,5 и g ——9,8, определить, чеЯ
сколько секунд тело будет иа высоте 29,4 м над земной поверх-
ностью.
120. Равнодействующая двух взаимно-перпендикулярных сил равна
85 кг. Найти величину составляющих сил, если одна из них больше
другой иа 71 кг.
121. В вогнутом зеркале с фокусным расстоянием в 18 см предав
и изображение находятся на расстоянии 15 см один от другого. Опре-
делить их расстояние от зеркала.
122. Камень падает (без начальной скорости) на дно колодца глуб*1'
ной в 90 м. Через сколько времени на краю колодца будет слыш110
падение камня, если ^- = 9,8, а скорость звука ц = 333 м/сек)
98
123. Площадь кольца между двумя концентрическими окружностями
равна 565,2 кв. см. Определить радиус внутреннего круга, если он в
раза меньше радиуса внешнего^ круга (л = 3,14).
124. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 м, а гипоте-
нуза 35 м. Определить катеты.
125. Возможен ли такой прямоугольный треугольник, у которого сто-
роны выражаются тремя последовательными четными или нечетными чи-
слами ?
126. Возможен ли такой многоугольник, число всех диагоналей кото-
рого равнялось бы 14?
127. План дома имеет вид прямоугольника. Длина дома равна 23 м,
а ширина 11 м. Во сколько кирпичей построен дом, если внутренняя
площадь дома, включая перегородки, равна 220 кв. м?
Примечание. Ширина стены в кирпичах определяется числом
кирпичей, которые можно положить поперек стены, кладя кирпичи
их длинной стороной. Размеры кирпича: 25 CMt 12 см и 6 см.
128. Два крана наполняют бассейн в 2,4 часа. Один из них может
наполнить бассейн двумя часами скорее другого. Во сколько часов на-
полняется бассейн каждым краном отдельно?
129. Пароход прошел 72 км по течению реки и такое же расстояние
против течения, употребив на оба конца 6 часов. Определить скорость
парохода в стоячей воде, если течение реки равно 5 км в час.
130. Прямоугольная грядка, стороны которой содержат 4 м и. 6 м,
окружена полосою газона одинаковой ширины, площадь которого равна
площади грядки. Определить ширину газона.
131. Гипотенуза треугольника равна а, соответствующая ей высота
равна h. Определить отрезки гипотенузы. Вычислить отрезки, полагая
13 и h = 6.
132. Разделить линию а на такие две части, чтобы большая часть
была средней пропорциональной между меньшей частью и всей линией.
133. Тело, брошенное под углом в 45° к горизонту с начальной ско-
сг
Ростью ц01 движется по параболе: у = х----? $ х2. Определить дальность
полета.
134. На линии AB=d м, соединяющей два источника света А и В,
найти точку, одинаково освещенную этими источниками, зная, что силы
Освещеиия упомянутых источников на расстоянии одного метра от них
^ответственно равны а и Ь.
135. Материальная точка т притягивается по закону Ньютона двумя
Неп°ДВижными массами т1 и mit находящимися на расстоянии а. На ка-
99
ком расстоянии х эт т1 должна находиться точка т, чтобы ее притяже-
ние массами /«j и было одинаковым?
136. Два тела движутся по разным сторонам прямого угла со ско-
ростью v м/сек, причем первое тело движется к вершине, а второе уда.
ляется от нее. В некоторый момент первое тело находится на расстоянии
а м, а второе на расстоянии b м от вершины. Определить, через сколько
секунд, считая от данного момента, расстояние между селами будет с д.
137. Определить длину и ширину железного листа, из которого сде-
лана открытая сверху коробка так, что по углам листа вырезано по ква-
драту со стороной а см и края обрезов склепаны, зная, что длина листа
вдвое больше его ширины, а объем коробки оказался равным v куб. см.
§ 47. Исследование функции: у=ах* -\-bx-\- с.
Вопросы и задачи.
1) Докажите тождество:
, । . I । Ь\- Ь*— 4ас
ах- 4- bx - с = ах4~- 4--------.
11 \ Ча! 1 4а
2) Функцию: у — ах* -|~ Ьх с с помощью подстановки: x = z — ~\
приведите к виду: y — Az-j-C. Выразите А и С через а, b и с.
3) При каком значении аргумента функции ьида: у — 4z-|-Cs имеют
максимум или минимум?
4) Если z = 0, то чему равняется х?
5) При каком значении аргумента функция: у = ах* -|- Ьх -|- с имеет
максимум или минимум?
6) При каком условии функция: у = Az* С имеет максимум и при
каком минимум?
7) При каком условии функция: у = ах* -ф- Ьх -ф- с имеет максимум
и при каком минимум?
8) Определите максимум или*минимум функции: у = ах*~\~Ьх^с>
заменяя х через —Чем отличается максимум или минимум функции
от дискриминанта уравнения: ах* Ьх -|- с = 0?
9) Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:
у = 21 х -|- 4х — 1, у = 49х2— 28х -1- 29,
у = 36—Их — 5х3, у — — 9х2-|~30х—29.
Дана функция: '
у — ах*Ьхс,
где а, b и с — относительные числа.
100
Эту функцию можно привести к виду:
y = Az^C
помощью следующего преобразования:
Таким образом,
А =а,
Ь2 — 4ас 4ас — Ь2
4а 4а
. ъ
z=x-{-n-.
1 2а
Согласно § 43, функция (2) или, что то же,
z = 0 1т. е. при х——имеет минимум ^С = —
функция (]), при
Ь2 —4ос\
4а /
, когда
. _ /_ b — 4ас\
а>0, или же максимум (С=---I, когда а<^0.
Если й2— 4ас<^0, то функция: у — ах2-|-Ьх-|-с имеет поло-
жительный минимум, когда а^>0, или отрицательный
максимум, когда а<^0.
В первом случае функция (1) для любых значений аргумента
имеет* только положительные значения, а во втором случае —
только отрицательные значения. „
Если Ь2— 4ас^>0, то функция: у = ах2-f- Ьх-\- с имеет отри-
цательный минимум, когда а>0, или же положитель-
ный максимум, когда о<0.
В обоих случаях функция (1) принимает как положительные,
так и отрицательные значения.
Пример.
Найти минимум функции, у==7х2— Зх-|-8.
Решение.
Так как а = 7^>0, то данная функция действительно имеет
Минимум.
Для определения минимума т составляем выражение:
Ь2 — 4ас
т
4а
ЮГ
Таким образом,
4-7
9 —4-7-8 „19
т -------------= 7 —
Упражнения.
138. Исследовать функции:
1) у = — 16х24-24х— 13
2) у = 15 + 7х—4х2
3) у = Эх2 — бх + 5
139. Найти наибольшие и наименьшие значения функций:
1) j = 3x2—18х + 35 3) у=1 +20х — 2х®
2) у=х* + 8х+ 10 4)у = 3— 2х— х*.
4) у = 6х2 — 5х — 4
5) у = 20х2 + 23х —21
6) у = 8 — 5х — Зх2.
140. Определить стороны прямоугольника, имеющего при данном пе-
риметре 2р наибольшую площадь.
141. Отрезок в а ед. дл. разделить на два таких отрезка, чтобы
площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках, была наиболь-
шей.
142. Сумма основания и высоты треугольника равна а. При каком
условии площадь треугольника будет наибольшей? Определить это зна-
чение площади.
143. В треугольник, основание и высота которого соответственно
ванны а ед. дл. и h ед. дл., вписать прямоугольник с наибольшей пло-
щадью.
144. Определить, какой высоты достигает тело,
брошенное вертикально вверх с начальной ско-
ростью в0.
145. Окно состоит из прямоугольника, завер-
шенного полукругом (черт. 12). Определить, в каком
отношении должны находиться высота прямоуголь-
ника и радиус полукруга, чтобы при данной длине р
линии, ограничивающей окно, последнее пропускало наибольшее ко-
личество света.
146. Тело, брошенное под углом в 45° к горизонту с начальной
скоростью в0, движется по параболе:
Определить высоту наивысшего поднятия.
102
[ § 48. График функции: у = ах2 bx-j- с.
Вопросы и задачи.
функцию: у = 4х2-|-8х — 5 приведите к виду: у = Az2 С.
2) Начертите оси координат ЕЕ и tqtq. Отметьте точку Д(1; 9) и про-
ведите через нее прямые XX || ЕЕ и YY || цц.
3) Как выразятся координаты Е и т] точки М через ее координаты
X к. У относительно осей XX и YY?
4) Постройте график функции: т; = 4Е8.
5) В уравнении: т; = 4Е8 замените Е и •»] их выражениями через х и у\
яоЛученное уравнение упростите.
6) Таким образом, как нужно перенести оси координат, чтобы урав-
ление параболы: т; = 4Е8 приняло вид: _у = 4л'28х — 5?
7) Функцию: _у = 4л'2 — 8л--5 приведите к виду: у — Az2 = С.
8) Постройте точку В{— 1; 9) относительно осей ЕЕ и т]т] и про-
веди е через нее прямые XX || ЕЕ и YY || tqtq.
9) Как выразятся координаты Е и точки М через ее координаты
х и у относительно осей XX и YY?
10) Постройте график функции: i] = 4Е8.
11) В уравнении: 'п = 4Е2 замените Е и щ их выражениями через
х и у (см. п. 9); полученное уравнение упростите.
12) Таким образом, как нужно перенести оси координат, чтобы урав-
нение параболы: т) = 4Е8 приняло вид: у = 4х8 — 8х — 5?
13) Функцию: у = 4х8 — 8дс—|— 13 приведите к виду: у = Az2 -|- С.
14) Постройте точку С (— 1; —9) относительно осей ЕЕ и tqtq и про-
ведите через нее прямые XX || ЕЕ и YY || •»]•»].
15) Как выразятся координаты Е и т; точки М через ее координаты
х и у относительно осей XX и YY?
16) Постройте график функции: т] = 4Е8.
17) В уравнении: -»] = 4Е8 замените Е и т; их выражениями через
х и у (см. п. 15); полученное уравнение упростите.
18) Таким образом, как нужно перенести оси координат, чтобы урав
• чение параболы: т; = 4Е8 приняло вид: у = 4х2 — 8х -|- 13 ?
19) Функцию: j = 4x2-|-8jc-|- 13 приведите к виду: y = Az2-\-C.
20) Постройте точку D (1; —9) относительно осей ЕЕ и тдтд и про-
®едите через нее прямые XX || ЕЕ и YY || т]т;.
21) Как выразятся координаты Е и ц точки М через ее координаты
* и У относительно осей XX и YY?
22) Постройте график функции: т; = 4Е8.
23) В уравнении: т; = 4Е8 замените Е и т; их выражениями через х и у
- п. 21); полученное уравнение упростите.
103
24) Таким образец, как нужно перенести оси координат, чтобы у!
нение параболы: т) = 4$2 приняло вид: у = 4х! ф-8х-ф 13?
25) При каких значениях х функции:
у = 4х* ф- 8х — 5,
у — 4х2 — 8х — 5,
у = 4х2 — 8х ф- 13,
j = 4x24-8x-j-13
имеют минимум; сравните эти значения с абсциссами вершин их график
26) Найдите минимумы данных функций (п. 25) и сравните их с ор;
натами вершин графиков.
27) Относительно осей XX и YY возьмите точку О' (т, п). К
нужно выбрать тип, чтобы уравнения: I
а) у — — 4х2 — 8х — 13,
б) у = — 4х2ф-8х— 13,
в) у = — 4х2 ф- 8х ф- 5,
~ г) у - — 4х2 — 8х ф- 5
приняли вид: т] =—4£2? См. § 46, прим. 2.
28) Постройте графики функций, упомянутых в п. 27; сравните на
большие значения функций с ординатами вершин их графиков. I
29) Найдите корни функций, упомянутых в пп. 25 и 27. Укажи
соответствующие значения х на графиках.
Покажем, что график функции:
у = ах* 4~ Ьх 4- с
представляет собою параболу:
у — ах*,
смещенную в ее плоскости.
Заменим в уравнении (1) переменные х и у новыми переме
ными 5 и к], связанными с х и у следующими соотношениями:
х = Еф-т и д/ = т)ф-п,
где тип— числа нам пока неизвестные.
В геометрическом истолковании такое преобразование обозн
чает перенесение начала координат в точку (т, /г).
Уравнение примет вид:
т)4- п = а(Еф-/п)24-6(Еф-/п)4-с
104
ИЛИ
-г] = аЕ2 + (2am -j- b)\ -J- (am* bin-\-c — ii).
Выбрав
т и it так, чтобы
2azn 4-^ = 0 и атгЬтс—ii = G,
откуда
ь
2а
Ь*—4ас
4а
получим:
образом, гра-
Таким
фик функции (1) действи-
тельно представляет со-
бою параболу (2), сме-
щенную так, что вершина
ее находится в точке
/ b Ь'1— 4ас\
V 2а’ 4а Г
параллельна оси V.
Из сказанного следует,
что ордината вершины па-
раболы выражает макси-
мум или минимум функции: у = ах* -\-bx-\-c.
При получении графика функции (1) путем смещения пара-
болы (2) могут представиться следующие три случая:
1) й2 —4ас>0.
Если а^>0 и &^>0, то
, а ось
b
т = —
2а
№— 4ас
п =-----о---<0,
2а
и,
следовательно, параболу (2) для получения графика функции (1)
необходимо сместить (черт. 13)
°си х влево. ,
Если а>0 и Ь<^0, то
вдоль оси у вниз и вдоль
т =
и п = —
т =— X>0 и
2а
Ьъ — 4ас
п —---s——
2а
HV>
и, следовательно, параболу (2) для получения графика функции (1)
необходимо сместить (черт. 14) вдоль оси у вниз и вдоль
вдоль оси у вверх и вдоль оси
Если а<^0 и й<^0, то
оси х вправо.
Если а<0 и то
Л2 —
и
и, следовательно, парабо-
лу (2) для получения гра-
фика функции (1) необхо-
димо сместить (черт. 15)
х вправо.
Ь*—4ас
2а
Ь
т =— х-<Г0 и п = —
2а
О,
и, следовательно, параболу (2) для получения графика функции (1)
необходимо сместить (черт. 16) вдоль оси у вверх и вдоль
оси х влево.
Во всех рассмотренных случаях график функции (1) пересекает
ось абсцисс в двух точках (Д1 и Д3) и, следовательно, существует
два значения х, при кото-
рых функция (ордината)
у = ах* -|- Ьх с обра-
щается в нуль, т. е. квад-
ратное уравнение-. ах3-|-
~f- Ьх -|- с = 0 при Ь* —
— 4ас > 0 имеет два дей-
ствительных и различ-
ных корня-.
— Ь~\- ^Ь*—4ас
Х'~ 2а
и
_ — Ь — \/Ь*—4ас.
Ха — ~ ----*
106
2) ft2 — ^ac = 0
В этом случае и =
b*—4ас
2а °
и, следовательно, для полу-
чения графика функции
решается.
Если а и b — числа
одинакового знака,
то ш' 2а И’ сле'
довательно, параболу (2)
дЛя получения графика
функции (1) необходимо
сместить вдоль оси х
влево (черт. 17 и 18).
Если же числа а и b
разного знака, то т=
=—и, следова-
тельно, параболу (2) для
получения графика функ-
(1) парабола (2) вертикально не
ции (1) необходимо сместить вдоль осихвправо (черт. 19 и 20).
В обоих случаях ось х служит касательной к графику функ-
ции (1) в точке Р( —
2а
, 0). Эту точку можно рассматривать, как
две совпавших точки.
Следовательно, существует одно
Функция (ордината) у = ах2 - Ьх -ф с
значение х, при котором
обращается в нуль, т. е.
107
Если а
I
квадратное уравнение-, ах2 -ф + с = 0 при Ь2 — 4ас = 0 и
одно действительное решение.
В интересах общности говорят, что и в этом случае квадрат»
уравнение имеет два корня; только корни эти будут одинаковы
b 1
= =
будут одинаковы,
О
5
6 — 4«с = = О
b
2а
Черт. 19.
Ь > О, 62 — 4«с = О
Черт. 20
4ас
п==------2Г~
3) Ь2 — 4ас<0.
Если й>0 и Ь^>0, то
b
2а
Ь2—4ас
b
т = — „
2а
т =
и
" 2а
и, следовательно, параболу (2) для получения графика функции'
необходимо сместить (черт. 21) вдоль оси у вверх и в до:
осихвлево.
b
2ч
£2— 4ас
2а °’
следовательно, параболу (2) для получения графика функции (1)
^обходимо сместить (черт. 22) вдоль оси у вверх и вдоль
си х вправо.
и, следовательно, парабо-
лу (2) для получения гра-
фика функции (1) необхо-
димо сместить (черт. 23)
вдоль оси у вниз и
вдоль оси А' вправо.
Черт. 23.
и
Ь2 — 4ас .. л
п =------_----<0,
2а
и, следовательно, параболу (2) для получения графика функции (1)
необходимо сместить (черт. 24) вдоль оси у вниз и вдоль
оси х влево.
Во всех рассмотренных
случаях график функции (1)
не пересекается с осью
абсцисс, и, следовательно,
нет таких действительных
значений х, при которых
ордината (функция) обраща-
лась бы в нуль.
Квадратное уравнение:
ах2 -ф Ьх -ф с = О
при Ь2 — 4ас<^0 не имеет
действительных решений.
109
Упражнения.
147. Решить графически уравнения:
1) х2-|-х —6 = 0
2) х2 —4хфЗ = 0
3) х2 —4х4-4 = 0
4) х2 —2х4-2 = 0.
§ 49. Свойство корней квадратного уравнения вида: ах'
ф- Ьх ф- с = 0.
Выше мы видели, что корни уравнения: ах2ф-йхф-с = 0 вь
ражаются формулами:
__— ft ф- |/ft2— 4ас }
X1 2а f
_ — b— y/b2—4ас 1
Х*~ 2а J
Складывая эти равенства, получаем:
. __— ft-f-j/ft2—4ас . —b— у/&— 4ас
+ - 2гГ~------------+ -----=
__— Ь-\- \/Ь°- — 4ас—b—j/ft2— 4ас b
2а а ’
т. е. сумма корней квадратного уравнения вида: ах2 ф- Ьх ф- с=(
равна взятому с обратным знаком отношению коэффициенте
при неизвестном в первой степени к коэффициенту при неиз
вестном во 2-й степени.
Перемножая равенства (1), будем иметь:
_—b— 4ас —b— у/Ь* — 4ас (—ft)2 — (j/ft2—4ас)*_
*^2--- *----------------------------------------------—
4ft2
2а 2а 4а2
ft2 — (ft2 — 4ас) — ft2 ф- 4ас с
4а2 а ’
т. е. произведение корней квадратного уравнения вида: ах2 ф- ft
4-с = 0 равно отношению свободного члена к коэффициенту
неизвестном во второй степени.
Пример.
Обозначая через xt и х2 корни уравнения:
2х2 —7хф-3 = 0,
согласно сказанному выше, будем иметь:
. 7 _ 1 3,1
Xj ф х2 — g — 3 2 и XjXj; — 2 — 1 2 ‘
110
Действительно, так как
_ 7 -J- V49-4 • 2 • 9_7 + 5_ _
х,— 4 _ 4 _d
7 — 5 1
Х*~ 4 ~2’
. О 1 1 1 '
^1 + ^2 = 377 И Xp^l-jy.
Частный случай. Если коэффициент при второй степени
неизвестного равен единице (а = 1), то сумма корней квадрат-
ного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой
степени, взятому с обратным знаком, а произведение корней
равно свободному числу.
Упражнения.
148. Не решая уравнения: х2-ф2х—3=0, вычислить сумму квадра-
тов и кубов его корней.
149. Решить уравнение: № — 5х-|-</ = (), зная, что сумма квадра-
тов его корней равна 13.
150. Решить уравнение: х2 ф-рхф- 12 = 0, зная, что квадрат разности
его корней равен 1.
§ 50. Следствия.
1. Не решая квадратного уравнения, можно определить знаки
его корней.
Пример 1.
Дано уравнение:
24х2ф-2х—15=0.
Так как отношение свободного члена к коэффициенту при.
второй степени неизвестного в данном случае — число отрицатель-
ное, то корни данного уравнения имеют разные знаки. А так как
сУмма корней, равная взятому с обратным знаком отношению
коэффициента при первой степени к коэффициенту при второй
степени неизвестного, — также число отрицательное, то корень
с большей абсолютной величиной должен быть отрицательным.
2. По данным корням можно составить квадратное ура-
внение.
Пример 2.
Пусть
2 1
—3 И %2 = ~5’
11»
Так как
_ 2 . / П __10 /__3 \ __13__ *
3+\ 5/ — 15"*' 15/ ~ 15“ а
и
2 _ 1 _ 2 = _с
3 5 15 “ а
то, предполагая искомое уравнение в виде: х3 -ф — — = О,
будем иметь:
о I 13 I 2 п
Х + 15*+ 15~°’
откуда
15х3 +13x4-2 = 0.
Упражнения.
151. По данным корням составить квадратные уравнения:
1) Х]=— 1, л'2 = 3 5) a xi= h’ x2 b a
2) х j — — 4 ха — — 6 6) ab У. — ab
1 a-j-b’ * a — b
3) 1 1 х, — —-- хп — 7) a — b x9 — 1
Xl 2 3 3 ' 1 a -f- b'
4) xt = 2a, x2 — — 3b 8) Xj = 1, x2 = a 4~ b a — b
152. Полагая, что корни уравнения: х3 4~рх4“ Ч = 0 СУТЬ xi и х2>
* * 1 1
составить уравнение, корнями которого были бы— и-
153. Составить уравнение, которого корнями были бы сумма и про-
изведение корней уравнения: ха рх у = 0.
§ 5’. Разложение функции: у = «х34-Ьх4-с на линейные
множители.
Функция:
у=аха-\-Ьх-\-с х (1)
легко может быть представлена в виде произведения постоянного
числа а и двух лилейных функций с помощью следующих пре-
образований:
_р=ах34-йх4-с = гг (х34- |х + -^-) = а(х34-2х.^4-
"Г4о3 4о3 i~ о)~°|_Г+2о) к 2а ) _Г-/
z, I । b— У Ь-—4ас\ ( . й 4- УЬ-— 4ас\
= аН -а— Нх +----------------------23----Г
112
Так как
Ь— у/Ь2 — 4ас _
2а Х
— b -|- у/Ь2 — 4ас
b-f- у/b2 — 4ас
2а
— b— у/Ь2— 4ас
х----------%----- =х — х3,
где xt и х3 — корни данной функции, то равенство (2) принимает
вид
у — ах2Ьхс = а(х—хг)(х — х3).
Таким образом, квадратная функция: у = ах2 -f-bx-J-с может
быг^ь выражена в виде произведения постоянного числа а и раз-
ностей между переменной х и каждым из корней этой функции.
Пример.
Функцию: у — 12х24~5х— 3 представить в виде произведения
линейных функций.
Решение.
Найдем сначала корни данной функции:
_ —5± у/ 255 4-144 _ — 5±13
24 — 24 ’
-54-13 1 _ — 5 —13_ 3
24 “3s Х°*~ 24 ~ 4’
Данная функция может быть выражена в виде произведения
следующих линейных функций:
|=12х24-5х— 3 = 12 (х— ) (х-Ьт) =з(х — 4)' 4 (х4~ 4) =
= (3х—1) (4x4-3).
Упражнения.
154. Разложить на линейные множители:
1) у — х2—х — 6 3)у=10х2— х — 3
2)j = x2—6x4-5 4) j = 12x2 —23x4-5.
8
С С. Державин.
ОТДЕЛ V. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ И»
ГЕОМЕТРИИ
ГЛАВА I.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ В КРУГЕ.
§ 52. Пропорциональные линии в круге.
1. Проведем из точки А касательную AD и секущую At
(черт. 25).
Соединив точку D с точками В и С, получим два подобны}
треугольника: Д ABD и Д ACD. Эти треугольники подобны по-
тому, что Z, BAD у них общий, a Z ABD= L ADC, как измеряв
щиеся половиной одной
и той же дуги CD.
Из подобия тре
угольников следует, чт
AB-.AD = AD-.AC,
откуда
АВ- AC=AD2,
т. е. если секущая и
касательная проведен
к окружности из одной и той же точки, то произведена
секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательно.
(теорема 1).
Это положение применимо, конечно, ко всякой секущей, и
потому, например,
ABt- ACt = AD2.
Из прямоугольного треугольника AOD имеем:
AZ?S = AO2 — DO2.
Следовательно,
АВ • AC=ABt • ACl = AO2 — DO2,
т. е. для каждой секущей, проведенной цз данной точки, пр0113
114
ведение самой секущей на ее внешнюю часть есть величина по-
веянная, равная квадрату расстояния данной точки от центра,
уменьшенному на квадрат радиуса.
у 2. Проведем через точку т диаметр АВ и хорду CD
(черт- 26). ,
Соединив точки А и В соответственно с точками С и D,
получим два подобных треугольника: Д АтС и д BmD. Эти
греугольники подобны потому, что Z, A CD = Z, ABD (как впи-
санные, опирающиеся на дугу AD) и ВАС= Z, BDC (как впи-
санные, опирающееся на дугу ВС).
Из подобия треугольников следует, что
откуда
Ст-. Вт = Ат:Dm,
Ст • Dm = Ат- Вт,
т. е. если хорда и диаметр проведены через одну и ту же точ-
ку, гПо произведение отрезков хорды равно произведению отрез-
ков диаметра (теорема 2).
Это положение применимо, конечно, ко всякой хорде, и по-
тому, например,
Срп • Dpn == Ат- Вт.
Так как
Ат = АО — От
и
Вт = ВО~(- От - А О -|- От,
то
1 т. f)m — Срп • Dim = (Л О — От) • (А О -|- От) — АО^ — От9,
Т‘ е- если через данную точку проведено несколько хорд, тп про-
ведение отрезков каждой хорды есть величина постоянная,
115
равная квадрату радиуса, уменьшенному на квадрат расстоянц.
данной точки от центра окружности.
Пример 1.
К данной окружности из общей точки проведены касательца
и секущая (черт. 27). Определить длину секущей, если известие,
что касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секунд
соответственно на 5 см и на 3 см.
Решение.
Дано:
AD — ВС =5 см
AD — АС=3 см.
Найти АВ.
Пусть AD = x см.
Тогда ВС—(х— 5) см и АС=(х — 3) см.
Длина секущей выразится так:
АВ = ВСАС = (2х— 8) см = 2(х — 4) см.
По теореме 1 получаем:
АВ- AC=ADi
или
(2л —8) (х — 3) = х2.
Решая последнее уравнение, находим:
2х2 — 8х — 6х -|~ 24 = х2,
х2 — 14х 24 = О,
х = 7± ]/ 49 — 24 = 7 ±5,
Xj = 7 5 = 12; х2 = 7 — 5 = 2.
Второе решение непригодно (почему?).
Найдем секущую:
ДВ = 2-(12 — 4) слг= 16 см.
Пример 2.
Из двух пересекающихся хорд первая равна 8 см, а отрезки
второй хорды равны 3 см и 4 см. Определить отрезки первой
хорды.
Решение.
Дано: АВ = 8 см, СМ = 3 см, DM = 4 см.
Найти AM и ВМ (черт. 28).
Пусть АМ = х см\ тогда ВЛ4=(8 — х) см.
ив
По теореме 2 имеем:
AM • ВМ= CM • DM
или
x (8 — x) = 3 • 4.
Решая последнее уравнение, находим:
8х —х® = 12,
х®—8x4-12 = 0,.
х = 4± J/ 16 —12 = 4±2,
Xj = 4-|-2 = 6; х2 = 4— 2 = 2;
8 — Xj = 8 — 6 = 2; 8 — xg = 8 — 2 = 6.
Таким образом, хорда АВ разделена на отрезки в 2 см и
6 см.
Упражнения.
155. Из точки, взятой вне круга, проведены две секущие. Внутрен-
ний и внешний отрезки первой из них соответственно равны 8,5 см и
4 см. Внутренний отрезок второй секущей на
21 см больше внешнего ее отрезка. Определить 0
длину второй секущей. z' \
156. Из внешней точки к данному Kpyiy про- / \
ведены касательная и секущая. Касательная равна I \ |
60 м, образовавшаяся хорда равна 22 м. Опре- Ау \ /
делите длину секущей. \.
157. Из данной точки проведена к окружности '
секущая, равная а см, и касательная, равная внут- qepT 28.
ренней части секущей. Определить длину секущей.
158. Из одной точки проведены к окружности касательная и секу-
щая. Определить их длину, если касательная на 31 см меньше внутрен-
него отрезка секущей и на 15 см больше внешнего отрезка.
159. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая.
Сумма их равна 56 см, а внутренний отрезок секущей на 10 см меньше
касательной. Определить секущую и касательную.
160. Около равнобедренного треугольника описан круг, и через сре-
дины боковых сторон проведена хорда. Найти длину этой хорды, если
Основание треугольника равно 78 см, а боковая сторона 80 см.
161. Две хорды данной длины: АВ = а см и CD = b см пересе-
каются внутри круга так, что АС : BD — т : п. Определить отрезки хорд.
162. Около данного квадрата описан круг, и в один из полученных
Сегментов вписан квадрат. Определить его сторону, если сторона данного
Квадрата равна а см.
117
163. Хорды: АВ = а ед. дл. и CD = b ед. дл. пересекаются внут^|
круга так, что АС: BD = т'.п. Определить отрезки хорд.
т(ат — bn) _ п[Ът — ап)
т2 — л2 т2 — п1
164. Две хорды присекаются внутри круга. Одна из них делится 1
отрезки:1 18 см и 2 см. Определить отрезки второй хорды, если длинг
ее 13 см.
Отв. 9 см и 4 см.
165. Сумма высоты и основания равнобедренного треугольника равна
диаметру описанного круга. Определить высоту треугольника, если радиус
круга содержит 10 м.
Отв. 4 м.
166. Хорды в 26 см и 6 см продолжены до взаимного пересечения.
Определить длины их продолжений, зная, что они находятся в отно-
шении 3 :5.
Отв. 9 см\ 15 см.
Г Л А В А II.
ЧИСЛОВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.
§ 53. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Пусть AF (черт. 29) будет биссектрисой угла ВАС треуголь-
А ника АВС.
Проведем CD || АВ и продолжим бис-
сектрису до пересечения с этой линией.
/ \ Так как Z 1 = Z 2 (по условию) и
/ I \ Z 1 = Z 3 (как внутренние накрест-лежа-
у/ f' \г щие углы), то Z 2 = Z 3 и, следовательно,
В ; / AC—CD.
/ Из подобия треугольников ABF и CDF
имеем:
< / BF-. CF=AB: CD
,/ или
О BF-.CF=AB-.AC,
Черт. 29.
т. е. биссектриса внутреннего угла тре'
угольника делит противоположную сторону на части, пропоР'
циональные прилежащим сторонам.
118
упражнения.
167. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника обнару-
жить, рассматривая площади треугольников ABF и ACF (черт. 29).
168. Одна из сторон треугольника делится биссектрисой противопо-
ложного угла в отношении 5:7. Сумма двух сторон равна 84 м. Опре-
делите эти стороны.
Отв. 35 см; 49 см.
169. Периметр равнобедренного треугольника содержит 32 см. Бис-
£ектриса угла при основании делит высоту треугольника в отношении 5: 3,
считая от вершины. Определить стороны треугольника.
Отв. 100 см; 10 см; 12 см.
170. Стороны треугольника соответственно равны 30 см, 42 см и
60 см. Окружность, касающаяся двух его сторон, имеет центр на большей
стороне. Определить отрезки, на которые большая сторона делится центром.
Отв. 25 см и 35 см.
171. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части 65 см и
156 см. Определить катеты.
172. Стороны треугольника соответственно равны: 15 см, 21 см и
24 см. Определить отрезки, образуемые биссектрисой на большей стороне.
173. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит
высоту в отношении 15:17, а боковая сторона равна 85 см. Определить
основание.
174. В равнобедренном треугольнике высота равна 24 см, а осно-
вание относится к боковой стороне, как 10 : 13. Определить радиус впи-
санного круга.
175. В равнобедренном треугольнике боковая сторона содержит а см,
а основание b см. Определить длину линии, соединяющей концы биссек-
трис углов при основании данного треугольника.
176. В равнобедренном треугольнике боковая сторона содержит 30 см,
а основание 36 см. Определить расстояние точки пересечения биссек-
трис углов при основании от концов основания.
§ 54. Числовая зависимость между элементами в косоуголь-
ном треугольнике и в параллелограмме.
1. Дан треугольник АВС (черт. 30).
Условимся его углы называть большими буквами А, В, С, а
стороны соответственными малыми а, Ь, с.
Пусть / А — острый угол.
Тогда из треугольников BCD и ABD получаем:
а2==(6—т)2 + А2 = 62 —26т + т2Ц-/г2
и
№ = & — гп?
119
или
га2 = 4~ £2 — 2bm.
Таким образом, квадрат стороны, лежащей против octnp0i,
угла, равняется сумме квадратов двух других сторон без удв(1
енного произведения основания на его отрезок от вершив
острого угла до высоты.
Черт. 30. Черт. 31.
Тогда из треугольников BCD и ABD получаем:
а2 = (Ь 4- ту + h* = b2 + 2Ьт 4- /га2 4- Л2
и
* Л2 = с2 —гаг2,
откуда
а* = & + 2Ьт + /га2 4- с2 — /га2
или
а2 = Ьп- -|- с2 -j- 2Ът.
Таким образом, квадрат стороны, лежащей против тупого
угла, равняется сумме квадратов двух других сторон, сложенной
с удвоенным произведением основания на его отрезок от вер-
шины тупого угла до вы-
соты.
3. Дан параллелограмм
A BCD (черт. 32).
Пусть AD = BC= а ед-
дл., AB = CD = b ед- Дл->
BD = m ед. дл. и АС=п
ел- дл.
Так как AB = CD и BM = CN (ВМ и C7V—высоты паралле-
лограмма), то д АВМ= & CDN и потому AM—DN.
120
Полагая AM = DN—x ед. дл., из треугольников ABD и ACD
будем иметь:
BD2 = А В2 + А ГУ — 2ДD • А М,
АО = CD2 + AD2 + 2AD DN
ИЛИ
т2 = a2 -J- Ь2 — 2ах,
п°- = а2-\-Ь2 + 2ах,
откуда
т2-\ п2 = 2а2-\-2Ь2,
т. е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.
Упражнения.
177. Стороны треугольника соответственно равны: 65 см, 70 см и
75 см. Найти высоту, соответствующую большей стороне.
178. Боковые стороны треугольника равны: 41 см и 50 см, а высота
делит основание в отношении 3:10. Определить основание.
179. Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Определить его высоту.
180. Определить вид треугольника (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный), если стороны его выражаются числами:
1) а = 24; 6=17; с=15;
2) а = 6,5; Ь= 6; с = 2,5;
3) а = 19; 6=17; с =14.
181. Катеты треугольника соответственно равны 21 м и 20 м. Опре-
делить биссектрису прямого угла.
Отв. 12 у/ 2 м.
182. Периметр параллелограмма содержит 2р см, а диагонали т см
и п см. Определить стороны.
Отв. '/2(р + у т2 -|- п2 — р2).
183. Стороны параллелограмма равны: 33 см и 56 см, а диагонали
относятся, как 3 : 4. Определить диагонали.
184. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см, а разность
сторон равна 4 см. Определить стороны.
185. Определить высоту и диагонали трапеции, если основания и бо-
ковые стороны ее соответственно равны 16 см, 28 см, 17 см, 25 см.
§ 55. Вычисление площади треугольника в зависимости от
тРех его сторон.
Известно, что площадь S треугольника выражается формулой:
о 1 г.
S=y aha.
121
Определим ha в зависимости от трех сторон треугольника.
Так как
с2 = a2-f-b2 — 2ах
или
2ах = a2 -j- &2 — с2,
то
Из
a*-\-b2 — < i
2а
треугольника ACD имеем:
ha=\,'V~la-- %
1
— С‘
или
h«=\/ {b-}
_|/2afe + aa + fea —с2 2аЬ — а2^-^-^
* 2а
= 1/Ка2 + 2«’ W —с2] • [с2^ (а2 — 2аТ=Р&2)] =
2а
= 2а * + ^+0(« + ^ — с)(« + с — 6) (6 +с — а).
2а
а2 + fe2 - с2\
2а
2а
2а
• }/[(а + Ь)2 - с2] • [с2 — (а - Л)-] =
+ —с®
Полагая
a —j— Ь -ф с = 2^7,
Ь-}-с — а = 2р — 2а = 2(р— а),
а~\-с — Ъ = 2р — 2Ь = 2(р— Ь),
а-\-Ь — с = 2р — 2Ь = 2(р — с),
получим для ha следующее выражение:
2____________________________________________
ha=~ • Vp(p — а){р~b)(p — с).
Подставляя в формулу: 5 = aha найденное значение для hB,
будем иметь:
5 = —а) (д —й) (р — с). (1)
Если треугольник равносторонний, то а = Ь = с.
В таком случае
/ За а а а____а21/ 3
Л — Г ~2Г’ 2'2‘ 2~~'Г'’ ‘
122
Пример.
Найти площадь треугольника, стороны которого содержат:
см, 14 см и 15 см.
Решение.
/>=13+М+15=21.
s = |21 -(21 — 13) • (21 — 14) • (21 —15) = |/21 -8-7-6 =
= j/3 • 7 • 8 • 7 • 2 • 3 = j/9 -16 49 = 3 • 4-7 = 84 (кв. см).
Упражнения.
186. Найги площадь треугольника, стороны которого содержат:
1) а = 10; 6=15; с=17;
2) а = 13; 6 = 37; <7 = 40;
3) а=39; . 6=41; с = 50;
4) а = 65; 6 = 70; с = 75;
5) а = 78; 6 = 85; с=105;
6) а = 89; 6 = 99; с=100.
187. Стороны треугольника содержат 3,9 см, 4,1 см и 5 см. Найти
радиус круга, вписанного в данный треугольник.
Отв. 1,2 см.
188. Площадь треугольника содержит 120)/22 кв. м. Определить
стороны, если они относятся, как 15 : 19 : 26.
Отв. 30; 38; 52.
189. Радиусы двух пересекающихся кругов содержат 7,5 м и 8,5 м,
а расстояние между их центрами равно 7 м. Определить длину общей
хорды.
Отв. 12 м.
ГЛАВА Ш.
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМУЛ.
§ 56. Построение простейших формул.
1. Формула:
х= y/tf + b* (1)
выражает гипотенузу прямоугольного треугольника, у кото-
рого катеты соответственно равны а ед. дл. и b ед. дл.
Построение этого треугольника состоит в том, что на сторо-
Нах некоторого прямого угла откладывают отрезки в а ед. дл. и
123
в b ед. дл. (черт. 33); соединив концы этих отрезков прямой ли.
нией, получают искомую гипотенузу.
2. Формула:
х= у/а-— №
(2)
выражает к а т е т прямоугольного треугольника, у которого ги-
потенуза и другой катет соответственно равны а ед. дл. и Ь ед. дл_
Построение этого треугольника состоит в том, что на стороне
некоторого прямого угла откладывают отрезок в Ь ед. дл. (черт,
34) и из конца этого отрезка радиусом в а ед. дл. описывают
дугу, пересекающую другую сторону прямого угла; отре-
зок, получаемый на
этой последней, и будет искомым
катетом.
Черт. 35.
_ Черт. 34.
Черт. 33.
3. Формула:
ab
х =
с
выражает четвертую пропорциональную к прямым а, b и
Действительно, из равенства (3) находим:
сх= ab,
с.
(3)
откуда
ед. дл-,
с: а = b : х.
На сторонах некоторого угла отложим отрезки: АВ = с
ВС=а ед. дл. и AD = b ед. дл. (черт. 35).
Соединив В и D прямой линией и проведя СЕ || BD, получим
ab
искомый отрезок £>£ = —ед. дл.
4. Формула:
а2
Х~ b
(4)
выражает четвертую пропорциональную к прямым: Ь, а и а.
124
Действительно, из равенства (4) находим:
Ьх = а2,
откуда
b: а = а: х.
На сторонах некоторого угла отложим отрезки: AB^=b ед.
L и BC—AD = a ед. дл. (черт. 36).
Соединив В и D прямой линией и проведя СЕ || BD, получим
искомый отрезок DE '= ^-ед. дл.
5. Формула:
х= \/ab (5)
выражает среднюю пропорциональную между а и Ь.
Действительно, из равенства (5) находим:
= ab,
откуда
а: х = х: Ь.
На прямой XX (черт. 37) отложим последовательно два от-
резка: АВ = а ед. дл. и ВС=Ь ед. дл.
Восставив из точки В перпендикуляр, построим на отрезке Л С
полуокружность (как это сделать?).
Тогда по известной теореме:
BD = Vab ед. дл.
Упражнения.
Построить формулы:
190. х— |/аа —j—Z?2 -|-с2. Указание, j/а® Д- Ь2 с2 =
191. х = \/а2 — tP—c2.
abc .. abc (ab:m)c
192. х —---. . Указание. --=•------— .
тп тп п
125
193. abc х= 2 т2
194. a2b .. a2b (ab: с)а х = —. Указание. —о - = — , с2 с2 с
195. х = ]/а. Указание. }/а= |/а-1.
196. / abc .г । / abc / ab х— Iх . Указание. 1/ = I/ —-г. f т Т т т
179. Построить с помощью циркуля и линейки ряд точек, координаты
которых удовлетворяют соотношению: у — х2. Через эти точки провести
плавную кривую (параболу).
198. Построить с помощью циркуля и линейки ряд точек, коорди-
наты которых удовлетворяют соотношению: у = ± \/х. Через эти точки
провести плавную кривую.
ОТДЕЛ VI. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ,
ПРИВОДИМЫХ К УРАВНЕНИЯМ
ПЕРВОЙ ИЛИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
ГЛАВА I.
ТЕОРЕМЫ о равносильных уравнениях и <их след-
ствия.
§ 57. Равносильные уравнения.
Уравнения называются равносильными, если они имеют оди-
наковые корни.
Например, уравнения:
(х—1)2 = 3х— 5 и х2— 5х-|-6 = 0
равносильны, так как у них одни и те же корни: х—2 и х = 3
(убедитесь в этом подстановкой).
Относительно равносильности уравнений можно высказать
следующие два положения:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить или от них
отнять по одному и тому же числу или одному и тому же
алгебраическому выражению, то получится новое уравнение,
равносильное первому.
Пример 1.
Уравнение:
х2 Д-10 = 7х
имеет корни:
Xj = 5 и х2 = 2
(Убедитесь в этом подстановкой).
Прибавим к обеим частям данного уравнения, например, по
получим:
х2 Д- 13 = 7x-j-3.
Последнее уравнение будет равносильно первому, так как
имеет те же корни, как и первое уравнение (убедитесь в этом
Подстановкой).
127
Пример 2.
К обеим частям уравнения:
х2 + 10 = 7л:
прибавим, например, по 2х—1; получим:
л2 + 2х 9 = 9 л — 1.
Последнее уравнение будет равносильно первому, так как
имеет те же корни, как и первое уравнение (убедитесь в этом
подстановкой).
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же число или алгебраическое выражение, не равное
нулю и не содержащее неизвестного, то получится новое урав-
нение, равносильное первому.
Пример 3.
Обе части уравнения:
№ -|- 10 = 7х
умножим, например, на 3; получим:
Зх24-ЗО = 21х.
Последнее уравнение будет равносильно первому, так как
имеет те же корни, как и первое уравнение (убедитесь в этом
подстановкой).
Пример 4.
Уравнение:
ах3 1 = (а +1) х
имеет корни: jq = 1 и х2 — (убедитесь в этом подстановкой).
Разделим обе части данного уравнения, например, на п(а-|-1);
получим:
X3 ___ 1 __X
а -|- 1 а (a-f- 1) а ’
Последнее уравнение будет равносильно первому, так как
имеет те же корни, как и первое уравнение (убедитесь в этом
подстановкой).
§ 58. Доказательство теорем о равносильности уравнений-
Высказанные в предыдущем параграфе предложения о равносильности <Ра'
внений были выяснены на частных примерах.
Докажем их справедливость для всяких уравнений.
128
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить, или от них от
пять, п0 одному и тому же числу или одному и тому же алгебраическому!
сражению, то получится новое уравнение, равносильное первому.
Доказательство. Дано уравнение:
А = В, (1)
где А и В — выражения, зависящие от неизвестны с.
Корни данного уравнения делают выражения А и Ь равными.
Следовательно, прибавляя к обеим частям уравнения (1) по С или отнимая
оТ них по С, мы должны получить в обеих частях каждого из уравнений:
Ау-С=В ]-С, (2)
А— С=В — С (3)
после подстановки корней уравнения (1) одинаковые результаты.
Таким образом, корни уравнения (1) удовлетворяют уравнениям (2) и (3).
А так как уравнение (1) получается от вычитания из обеих частей уравне-
ния (2) по С или от прибавления к обеим частям уравнения (3) по С, то корни
уравнений (2) и (3) удовлетворяют уравнению (1).
Из сказанного следует, что уравнения (1), (2) и (3) равносильны.
Георема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же число или алгебраическое выражение, не равное нулю и не содер-
жащее неизвестного, то получится новое уравнение, равносильное первому.
Доказательство. Дано уравнение:
А = В, , (4)
где А и В — выражения, зависящие от неизвестных.
Корни данного уравнения делают выражения А и В равными.
Следовательно, умножая или деля обе части уравнения (4) на С (С—число
не равное нулю и не содержащее неизвестных), мы должны получить в обеих
частях каждого из уравнений:
АС=ВС, (5)
теле подстановки корней уравнения (4) одинаковые результаты.
Таким образом, корни уравнения (4) удовлетворяют уравнениям (5) и (6).
А так как уравнение (4) получается от деления обеих частей уравнения (5)
Ва С или от умножения обеих частей уравнения (6) на С, то корни уравнений
и (6) удовлетворяют уравнению (4).
Из сказанного следует, что уравнения (4), (5) и (6) равносильны.
§ 59. Следствия.
Из высказанных в § 57 положений следует,. что:
1- Если все члены уравнения имеют общий множитель, не
Равный нулю и не содержащий неизвестных, то на него уравне-
нче можно сократить.
9 С. G. Державин.
129
Пример.
Все члены уравнения:
6х2 + 60=42х
содержат общий множитель 6.
На него уравнение можно сократить; получим:
х2-|- 10 = 7*.
Зная, что *j = 5 и х2 = 2 суть корни первого уравнения, можно
убедиться подстановкой, что и второе уравнение имеет те же корни
(т. е. равносильно первому).
2. Уравнение можно освободить от дробных членов.
Пример.
Приводя все члены уравнения:
х2 . 1 __^Зх
60 'о ~ 10
к общему знаменателю (60) и отбрасывая его (что равносильно
умножению обеих частей уравнения на 60), получим:
х2 + 80 = 18х.
Зная, что Xj = 10 и х2 = 8 суть корни первого уравнения,
можно убедиться подстановкой, что и второе уравнение имеет
те же корни (т. е. равносильно первому).
3. Члены уравнения можно переносить из одной его части
в другую с обратными знаками.
Пример.
Если в уравнении:
х2Ц-80=18х
перенести 18х из правой части в левую с обратным знаком, то
получится уравнение:
X2—18x4-80 = 0.
Такое перенесение равносильно отнятию от обеих частей урав-
нения по 18х.
Зная, что х, = 10 и х2 = 8 суть корни первого уравнения,
можно убедиться подстановкой, что и второе уравнение имеет
те же корни (т. е. равносильно первому).
4. Если в обеих частях уравнения находится по одинаковой'
члену с одним и тем же знаком, то такие члены можно о’п'
бросить.
130
Пример.
В обеих частях уравнения:
х34-80х-|-5 = 18х2-|-5
м0жно отбросить одинаковые члены; получим:
х3 4- 80х = 18х2.
Зная, что х,=0, Xj, = 10 и х3 = 8 суть корни первого уравне-
ния, можно убедиться подстановкой, что и второе уравнение
имеет те же корни (т. е. равносильно первому).
5. Перед всеми членами уравнения можно переменить знаки
на обратные.
Пример.
Перед всеми членами уравнения;
— х2 —80 = —18х
изменяем знаки на обратные (что равносильно умножению на — 1);
находим:
х2 4~ 80х = 18х.
Полученное уравнение равносильно данному.
Процесс решения всякого уравнения основывается на двух
приведенных в § 57 положениях и состоит в последовательном
получении все более и более простых уравнений, равносильных
данному.
§ 60. Умножение уравнения на нуль.
Если уравнение умножить на нуль, то оно обращается в тожде-
ство, т. е. в равенство, верное при любом значении неизвест-
ного.
Пример.
Уравнение:
х2-|10 = 7Х
имеет корни: х, = 5 и х2 = 2.‘
Умножая его на нуль, получаем:
(х24- 10) • 0 = 7х-0.
Последнее равенство справедливо для любых значений х.
Действительно, полагая, например, х = 3, получаем:
19-0 = 21 • 0 или 0 = 0.
131
Таким образом, от умножения уравнения на нуль мы не под,
чаем равносильного уравнения.
Отсюда вывод: Желая найти корни данного уравнен^
нельзя умножать его на выражение, равное нулю.
§ 61. Умножение и деление уравнения
жащее неизвестное.
Пример 1.
Дано уравнение:
на
выражение,
содер.
_х2 х—1 _ 1
х 1 2 х —J-1
Для освобождения от дробных
на 2(х-|-1); получим:
членов умножим
обе его
час,
или
1
откуда
2х2— (х— 1) (хД-1) = 2
2х2 — х2 4-1=2,
х2=1
и, следовательно,
х = ± 1.
Таким образом, данное уравнение, невидимому, имеет два
корня:
Однако,
проверяя
X, = 1 и х2 = — 1.
полученные
корни
подстановкой
в данное
уравнение,
приходим
к заключению,
что
второй
корень
данному
уравнению не удовлетворяет.
Действительно, преобразовывая данное уравнение,
полагая х — —1, находим:
а затем
X2 J -0; , х — 1 х — 1— ——0:
х + 1 х-(-1 2 2 ’
X2—1 X—1 _* х — 1 _
. —а- =0: — 0:
X-J-1 2 2 -1-1 ,п 2 =#0.
Таким образом, корень х2 =—1 для данного уравнения бу'Де
посторонним.
Посторонние корни можно выделить, приравнивая нулю I
выражение, на которое умножают обе части уравнения, и реп12’
полученное уравнение.
132
Пример 2.
Дано уравнение:
x.-l=V-
Деля обе его части на х—1, получаем:
откуда
1
2*
Найденный корень удовлетворяет данному уравнению. Однако
последнее имеет еще корень х=1, не удовлетворяющий второму
уравнению.
Таким образом, разделив данное уравнение на х—1, мы по-
теряли один корень.
Потерянные корни легко определять, приравнивая нулю то
выражение, на которое делят данное уравнение, и решая полу-
ченное уравнение.
Выводы: 1. Умножая в процессе решения данное уравнение
на выражение, содержащее неизвестное, нужно это выражение
приравнять нулю и, решив полученное уравнение, проверить най-
денные корни -подстановкой в данное уравнение; корни, не удо-
влетворяющие данному уравнению, будут посторонними.
2. }Келая найти корни данного уравнения, нельзя делить его
на выражение, содержащее неизвестное.
§ 62. Решение уравнений, содержащих дробные члены отно-
сительно неизвестных.
Пример 1.
Дано уравнение:
—+-1- (1)
х-|-2 ' х—2 х '
Умножая все его члены на выражение: х(х-|-2) (х — 2) (про-
стейший общий знаменатель), получаем:
х(х—2)-|-х(х+2) = 3(х-|-2) (х— 2)
или
хг — 2 х д х2 2 х = 3 х - — 12
Откуда
х2 — 12 = 0.
133
Решая полученное уравнение, находим:
х, = 2 р 3 и х2 = —2 j/3.
Полученные корни необходимо испытать, подставляя в ура
внение (1).
Все они удовлетворяют данному уравнению.
Пример 2.
Дано уравнение:
Зх2 __ 19___________4 1
х2 — 7х-1- 16 х — 5 х — 2j
Умножая все его члены на выражение: (х — 2)(х— 5) (простейший
обший знаменатель), получаем:
Зх2 = 19(х— 2) — 4(х— 5)
или
Зх2 = 19х — 38 — 4х 20,
откуда
Зх2— 15x4-18 = 0
или
х2 — 5х + 6 = 0.
Решая подученное уравнение, находим:
х1 — 3 и х2 = 2.
Найденные корни необходимо проверить.
Подставляя в уравнение (2) корень хг = 3, получаем:
3 З2 19 4
З2 — 7 - 3-|-10 — 3 — 5 3 — 2
или
Корень xt = 3 данному уравнению удовлетворяет.
Подставляя в уравнение (2) корень xg = 2, получаем:
3 • 22 19 4
22 — 7.2+ 10 — 2 — 5 2 — 2
или
• 12_ 19_4
О — ~3~ О'
Полученное равенство имеет вид, по которому трудно судить о ПРИ‘
годности или непригодности испытуемого корня.
134
В таких случаях все члены данного уравнения собирают в одной его
части, приводят их к общему знаменателю, сокращают полученную дробь,
а затем уже делают подстановку.
Применяя указанный прием к данному случаю, находим:
Зх2 19 4 (х — 2) (х — 5) х — 5 ‘ х — 2 ’ Зх2—19 (х—2)4- 4 (х —5) = (х — 2) (х — 5) Зх2—15x4- 18 (х — 2)(х —5) ’ х2 — 5x4-6 „ х2 — 7x4-10“ U’ (*-2) (х-3) _ (х —2) (х —5) ’ х — 5 2-3=±^о 2 — 5 3 7
Корень х3 = 2 данному уравнению не удовлетворяет.
Упражнения.
199. Решить уравнения:
^х8 —4 х4-2 5х—10
1 15 , 5
.3)_2________L 2 __?_
7 х2-|-х х-|-2 х’4-2х
200. Решить уравнения:
2) 2.4__1_— х 4
х х — 2 х2—2х '
3) 10______2 27
х — l'x-f-2 х — 3'
тх nx-j- т
х -, - 3 х2 — 9 х — 3
xJio-s = -iT2-x
6) ™ =^+2.
’ х— 3 х '
I
Отв: х = 1.
Отв. х = — 2.
Отв. xt = 0, х3=— 3.
Отв. х= .
п
135
4
5> 1 +^+I
10
х— 2'
61 2 I 4 I 1 — 4x
7 % + 1 “l’x—2 ~~x* — x — 2
Отв. x, = 0, x2 = 3.
x. Отв. xt = 0, x2=l.
* ГЛАВА II.
УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ ИЛИ К УРАВНЕ-
НИЯМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
§ 63. Решение иррациональных уравнений.
Уравнение называется иррациональным, если неизвестное
находится в нем под знаком корня.
Если данное уравнение содержит квадратные радикалы, то
в процессе решения обе его части приходится возводить в квад-
рат. Вследствие этого могут получиться посторонние корни.
Действительно, ьозводя в квадрат уравнение: А = В, получаем;
Аа = В2, откуда
А2 — В* = 0
или
(А4--В)(А — В) = 0.
В число корней уравнения: А*=В1 входят корни уравнения:
А—В, а также корни уравнения: А= — В.
Таким образом, полученные при решении
уравнения корни необходимо всегда проверять
иррационального
подстановкой
в данное уравнение.
Пример 1.
Дано уравнение:
)/12х4-х2— х —4.
Перенося х в
будем иметь:
правую часть
уравнения
с обратным
знако.
у/ 12х + х2 — х -f- 4.
Возводя последнее уравнение в квадрат, находим:
12х-|-х2 = х24- 8x4-16
или
4х=16,
откуда
х=4.
136
Проверим полученное решение подстановкой в данное ура-
внение:
|/12 - 4-|- 4* —4 = р'48+ 16 —4 = 8 —4=4.
Найденный корень пригоден.
Пример 2.
Дано уравнение:
j/2x—1 + )/х-^1 = 1. (2)
Перенося второй радикал в правую часть с обратным знаком,
будем иметь:
)/ 2х — 1 = 1 — у/х— 1.
Возводя последнее уравнение в квадрат, находим:
2х—1 = 1 — 2 у/х— i-j-x—1,
откуда
2 у/ х— 1 = 1 —х.
Полученное уравнение снова возводим в квадрат:
4 (х— 1) = 1 — 2х 4-х -
или
- 4х — 4=1 — 2х 4 - х2,
откуда
х2 — 6х 4- 5 = 0.
Решая последнее уравнение, находим:
х = 3± У'9 — 5 = 3±2;
х5=34-2 = 5, х2 = 3 — 2=1.
Полученные корни необходимо проверить подстановкой в урав-
нение (2), так как среди них могут быть посторонние (вследствие
неоднократного возведения в квадрат данного уравнения).
Имеем:
у2-5— 1 + >/5=1 = 34-2 = 5^1;
1/2.1 — 14- J 1 — 1 = 14-0=1.
Второй корень пригоден, а первый нет.
Пример 3.
Дано уравнение:
j/^ 2 4-10 = 7 |/7=2. (3)
137
Положим
\/х — 2 =у.
Тогда
]/х — 2 = ({/ х — 2)2 = у*.
Уравнение (3) принимает вид:
j/2 + 10= 1у
или
J8 —7у-|-10=0,
откуда
7±3
2 ’
' п- ° с — 3 „
У1 = —= 5; у2= 2- =2.
Таким образом, или \/ х— 2 = 5 или у/~х—2 = 2.
Решая два последних уравнения, находим:
х — 2=16,
х2 = 18.
У =
2
х — 2 = 625,
%! £=627,
Пример 4. 4
Дано уравнение:
6х2+ j/3x2 f=8.
Прибавим к обеим его частям по 2; получим:
6х2 + 2 4- I/ ЗхЯ7^ = Ю
или
2(Зх24-1)4 1/зЭ+т=Ю-
Если положить У 3xs + 1 —у, то Зх2 -|-1 =
уравнение примет вид:
4-у—10^=0,
У , и
откуда
4 ’
—, . . „ 1—9 П1
Ь —V^4 —2; -У2“ 4 ~ 2 2
4
(4)
последнее
Таким образом, или |/Зх*-|-1=2, или 1/Зх24-1=—22*
138
Решая два последних уравнения, находим:
9е,
Зх2 4-4=4, Зх2 + 1=- ,
Х=2±1, Х = ±1/«]/7.
Упражнения.
201. Решить уравнения:
1) —1-{-у/х
п— у7 ах п — а
Ь) /=-.--=—_------
х + п у/ах-\-п
2) 1 + ух— 1 =х
3)-|/4=+^^ = S,2
6— у/х у/х
4) |/17 + х — у/17 —х = 2
5) Зх —(— у/ 5х —J— 6 = 10
7) di = nx-\-n у х2 + а”
у/а -|- х 4- 0*— х а
о) —— ----— = —
у/а-\-х—у/а— х х
9) р<8х + 4 —|/8х —4 = 2
10) у/ a-j-x-j- а— х=
202. Из двух маятников более коротки? совершает 5 колебаний, в то
время как более длинный делает 4 колебания. Один маятник длиннее
другого на 45 см. Найти длины маятников.
203. Гипотенуза треугольника равна а, а площадь равна т. Опреде-
лить отрезки, на которые разделена гипотенуза перпендикуляром, опу-
щенньы на нее из вершины прямого угла.
204. Диаметр шкива нефтяного двигателя равен 140 см, а расстояние
между его центром и центром ведомого шкива трансмиссии равно 550 см.
Опред 1ить диаметры ведомого шкива, если длина приводного ремня,
соединяющего оба шкива, равна 146,4 см.
Указание. Воспользоваться следующей приближенной формулой:
гДе D и d — диаметр шкивов, а — расстояние между центрами шкивов,
а I—длина приводного ремня (черт. 38).
205. Длины двух параллельных хорд равны 20 м и 24 м, а расстоя-
Ние между ними 11 м. Определить радиус круга.
§ 64. Решение биквадратного уравнения.
Уравнение вида:
ах*4^х2 + с = 0 (О
Называется биквадратным.
Если положить: х2—у, то х4=_у2, и уравнение (1) прини-
Хает вид:
оу2 + by с = 0,
139
откуда
— b ± }/ b2 — 4ас
у= - -^г ‘
Так как х = ±[ у, то
х = ± l/—^+W — *ос.
V 2а
Биквадратное уравнение имеет следующие четыре корня:
] ’ 2а
v \/ — b l~l/b2 — 4ас
2а---------------------
х, = +l/— ,
2а
• л/—b — г ’ Ь\— 4ас
2а
Пример.
Дано уравнение:
х4—13х24-36 = 0.
Полагая х2—у, будем иметь:
у2 — 13у + 36 = 0,
откуда
13±j Й" — 114 13±5
у =-------2-----= 2— >
140
и>
следовательно,
х =
'3±5
. 2 '
Данное уравнение имеет следующие четыре корня:
х, = + | >1^ = 3;
х,= -1/13 + 5- = -3;
x,=+j/ls;-'=2;
- - - -
_ / 1 Q С
Упражнения.
206. Решить уравнения:
1) х4 — 25х24~ 144 = 0
2) х4 — Зх4 4-2 = 0
3) х4 — 5х2 4- 4 = 0
4) 36х4— 13х24- 1 = 0
5) х4 4~ ах2 — 2 а2 = 0
6)xl_i+l\.+1=0
ab 1
7) - -- = 1 4- —
7 х-4-ь +х2’
207. Решить уравнения:
1) (х — З)4 — 8(х — j/З)2 4~ 4 = 0 (положить х — ]/3=у)
2) ]/ х 4~ 4 4~ 1^х 4" 4 = 2 (положить р/ х 4 =_у)
3) х3 4“ 4 |/хь = 32 (по пожить j/x3=j)
положить х1=у).
1
-3x4-30 = 0
ГЛАВА III.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ.
§ 65. Общий вид уравнения второй степени с двумя не-
известными.
Полное уравнение второй степени с двумя неизвестными после
Упрощений и перенесения всех членов в левую часть принимает
следующий вид:
ах* 4* Ьху 4- су2 + dx 4- еу +/= 0, (О
141
где коэффициенты: a, b, с, d, е и / — положительные или отрй^
цательные числа; в частном случае некоторые из них могут
равняться нулю или единице.
Уравнение (1) допускает бесчисленное множество решений. |
Действительно, подставляя в это уравнение вместо х произ-
вольные числовые значения и решая каждый раз полученное
квадратное уравнение, мы найдем для у соответствующие зна-
чения.
§ 66. Общий вид системы двух уравнений, из которых одно
первой, а другое второй степени.
Общий вид этой системы следующий:
«х2 4- Ьху -]- су* -|- dx -|- еу 4-/= О
тх -\-пу=р
Эту систему можно решить способом подстановки.
С этой целью выразим у через х из второго уравнения:
Подставляя полученный результат в первое уравнение, будем
иметь:
„ . . р~тх . [р — тх'\2 . , . р— тх . , „
ах2-4~Ьх-~-----Нс - -----\-X-dx-\-e-----47=0.
пупу 1 и 1 J
После упрощений получится квадратное уравнение, решая ко-
торое найдем два значения для х. Подставляя эти значения
в формулу (1), найдем соответствующие значения у».
Пример.
Решить систему уравнений:
Зх2 — ху 2_у2 — 5х -|-у — 6 = 0
Зх -|- j’ = 5.
Решение.
у = 5 — Зх;
Зх2 —х(5 —Зх) 4-2(5 —Зх)2 —5x4-5 —Зх —6 = 0;
Зх2 —5х4-Зх24-50 — 60x 4- 18х2 —5x4-5 —Зх —6 = 0;
24х2 — 73x4-49 = 0;
_ 73 ± )/532у — 4704 _ 73 ± ^625 _ 73 ± 25
Х~ 1» — 48 48 ’
73 4-25 о 1 73 — 25 ,
х- = Т8- = 2Й; х> = ^8-=1!
142
Л=5-3.2^=5-6±=-4;
у.2 = 5 — 3 • 1=2.
§ 67. Общий вид системы двух уравнений второй степени.
Общий вид этой системы следующий:
ax24-^J'4'cJ2 + ^ + O;+/=0 |
«i*2 + bxxy + с,_у2 4- dye -J- e.y = 0 |
В общем виде система двух уравнений второй степени сред-
ствами элементарной алгебры неразрешима, так как приводится
к полному уравнению 4-й степени.
Пример. /
Дана система уравнений:
2х2 — ху + 3_у2 -|- х — 5у — 2 = 0 )
х*-\-2ху— 2_у2 4~ 4х 4-3_у—17 = 0. |
Исключим член, содержащий у*.
С этой целью умножим первое уравнение на 2, а второе на 3
и полученные результаты сложим?
\ 4х2— 2ху4" бу2 4* 2х-—10_у— 4 = 0
3x24-6xy— бу2 4- 12x4* 9у — 51=0
7х2 4- 4 ху 4- 14х —у — 55 = 0.
откуда
7х2 4- (4х — 1)_у + 14х — 55 = 0
а
и, следовательно,
55—14х —7х2
У 4х—1
Подставляя найденное для у выражение в одно из уравнений
Данной системы, получим полное уравнение 4-й степени.
§ 68. Решение системы уравнений второй степени с двумя
неизвестными в простейших случаях.
В помещенных ниже примерах решение системы квадратных
Уравнений с двумя неизвестными приводится способом подста-
новки к решению квадратного или биквадратного уравнения:
Пример 1.
Решить систему уравнений:
x4-j = al
xy — b 1
143
Решение.
у —а — х\ х(а—х) = Ь\ ах — х2 — Ь", х2— ах\Ь = О
a zt j/a2 — 4Z>
х =
2
Зная х, можно найти у.
Подобно системе (1) решается система:
х—у—a1
ху = Ъ. |
Пример 2.
Решить систему уравнений:
х1—у2—-а |
х~1~у— Ь.
Решение-
у = Ь — х; х2 — (Ь — х)2 = а; х2— (b2— 2Ьх-\-х2) = а.
2Ьх = а-[- Ь2-,
а^Ъ2 и a-\-b2 2Ь2 — а—Ь2 Ь2 — а
х = 26 У = Ь~ ЪГ =--------26-----= —26" '
Подобно системе (3) решается система:
х2—у2 = а |
х—y — b. J
Пример 3.
Решить систему уравнений:
х2 +.v2 = а I
ху —Ь. I
Решение.
h h2
у = —-, х2+ -v = a-, Xs— ах2 + ^ = 0;
X ' X2
х = zt I а ± j/u2 — 4fe-.
’ 2
Зная х, можно найти у.
Упражнения.
208. Решить системы уравнений:
1)х+у = 71 4) х2— у2 = 40>
ху=12 ) х—у = 4 I
2) х—5) х2-|-у2= 10 |
ху — 20 J ху = 3 J
3) х2 —у'1 =21 ) 6) х2 —у2 = 16 1
х-|-у = 7 j ху = 15 I
144
209. Решить системы уравнений:
2) x2-j-xy = 16 |
j24-xy = 15 |
3) Xй— у2 — 15 /
ху—у2 = 3 |
4) х2у -|- ху2 = 2401
х'у 12 I
5) х2 — ху 4-у2 = 49 |
х* + *у+У* = 19 j
'6)x-f-y = 25 )
]/x-|- y/y = 7 |
7) x—у = 33 )
j/ x -f- Vy = 11 *
8) x® +y® = 9 1
xy = 2 |
9) x2+y2 = 45 |
x : у = 2 |
10) x2+ 3xy — 181
xy-|-4y2 = 7 j
x+y = 6
210. Отношение двух взаимно-перпендикулярных сил, приложенных
к одной и той же точке, равно 8 : 15. Определить эти силы, если равно-
действующая их равна 51 кг.
211. Площадь прямоугольника содержит 60 кв. см, а диагональ его
равна 13 см. Определить стороны прямоугольника.
212. Периметр прямоугольника содержит 46 см, а диагональ его равна
17 см. Определить стороны прямоугольника.
213. Из полосы железа длиной в 3 м согнута рама для скрепления
Дна с боковыми стенками ящика. Дно ящика имеет площадь 0,5 кв. м
Определить длину и ширину ящика.
214. Прямоугольное поле имеет в длину 150 м, а в ширину 20 м.
На сколько нужно уменьшить длину и на сколько ширину поля, чтобы
Площадь его уменьшилась вдвое, а периметр уменьшился на ПО м?
215. Два тела движутся по двум пересекающимся под прямым углом
Линият по направлению к точке их пересечения. В известный момент
первое тело отстоит от точки пересечения на 16 см, а второе на 6 см.
Vb одну секунду после этого взаимное расстояние двух тел 13 см,
’ Через 3 секунды — 5 см. Определить скорости двух тел.
ю
С. С Державин.
ОТДЕЛ VII. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛО
ЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ [
ПРОСТРАНСТВЕ.
ГЛАВА 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
§ 69. Определение.
Плоскостью называется такая поверхность, с которою со
впадает всякая прямая, имеющая с нею две общих .точки.
Вопросы и задачи.
1) В скольких точках прямая линия может пересечь плоскость?
2) Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?
3) Можно ли, вращая данную плоскость около лежащей на ней пря
мой линии, достичь того, чтобы она прошла через данную точку про
странства?
4) Начертите плоскость (в виде параллелограмма) и прямую, на не
лежащую.
5) Начертите прямую, пересекающую данную плоскость.
6) Совпадет ли с плоскостью прямая линия, пересекающая две пря
мых, лежащих в данной плоскости? Если совпадет, то почему?
§ 70. Теорема.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можы
провести плоскость и притом только одну.
Доказательство. Даны три точки: А, В и С (черт. 39), не Ж
жащие на одной прямой.
Проведем прямую АВ, а через нее некоторую плоскость f
Вращая плоскость Р около прямой АВ, можно достичь тоге
что эта плоскость пройдет через точку С.
Таким образом, через точки А, В и С можно провеет
плоскость.
Предположим, что через данные точки А, В и С, кроме плс
скости Р, можно провести, по крайней мере, еще одну пЛ1’
скость (У3,).
Тогда прямые АВ и АС, имеющие с плоскостями по две °
щих доч^и, будут совпадать с этими плоскостями.
146 И
Докажем теперь, что всякая точка М, принадлежащая пло-
скости Р, должна находиться и в плоскости Рг.
С этой целью в плоскости Р проведем прямую MN, прохо-
дящую через точку М и пересекающую прямую АВ и АС.
Очевидно, точки D и Е, находясь на прямых АВ и CD, бу-
дут принадлежать обеим плоскостям.
Поэтому прямая MN, а, следовательно, и точка М, лежит в
обеих плоскостях.
Таким образом, всякая точка плоскости Р принадлежит вместе
с тем и плоскости Ри и, следовательно, плоскости Ри Рх совпа-
дают, что и доказывает
предложенную теорему. ✓
Вопросы и задачи. ______ __________В/_________/В_______
1) Можно ли через пря- / /
мую линию и точку вне /
ее провести плоскость? /
Если можно, то сколько: N
одну или несколько?
2) Сколько достаточно Черт Зд '
иметь точек, чтобы опре-
делить положение двух пересекающихся прямых?
3) Можно ли через две пересекающиеся прямые провести плоскость?
Если можно, то сколько: одну’ или несколько?
4) Сколько достаточно иметь точек, чтобы определить положение
двух параллельных прямых?
5) Можно ли через две параллельные прямые провести плоскость?
Если можно, то сколько: одну или несколько?
6) Можно ли на кривой линии найти три точки, не лежащие на одной
прямой?
7) Почему нельзя предположить, что две плоскости пересекаются по
кривой линии? •
8) По какой линии должны пересекаться две плоскости?
9) Изобразите на чертеже две пересекающиеся плоскости и назовите
пинию их пересечения.
§ 71. Следствия.
1. Через поямую линию и точку вне ее можно провести пло-
скость и притом только одну.
Действительно, обозначая данную точку через А, а две какие-
нибудь точки данной прямой через В и С, можно через точки А,
& и С, а, следовательно, и через прямую ВС и точку А, провести
Плоскость и притом только одну.
147
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести пло.
скость и притом только одну.
Обозначая точку пересечения двух данных прямых через А и
взяв еще по одной точке на каждой прямой (точки В и С), можно
через точки А, В и С, а, следовательно, и через прямые АВ и
АС, провести плоскость и притом только одну.
3. Через две параллельные прямые можно провести плос-
кость и притом только одну.
Две параллельные прямые, согласно определению, должны
лежать в одной плоскости. Этой плоскостью, очевидно, будет та
единственная плоскость, которая проходит через одну из парал-
лельных прямых и через точку, взятую на второй из них.
4. Дее плоскости всегда пересекаются по прямой линии.
Действительно, если бы две плоскости пересекались по какой-
нибудь кривой линии, то через три точки, взятые на этой кри-
вой и не лежащие вместе с тем на одной прямой, проходили бы
две плоскости.
5. Всякую часть плоскости можно наложить всеми ее точ-
ками на другое место той же или другой плоскости.
Действительно, одну плоскость всегда можно наложить на
другую так, чтобы у них совпали три какие-нибудь точки, не
лежащие на одной прямой, вследствие чего совпадут и остальные
точки.
ГЛАВА II.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
§ 72. Прямая и плоскость, взаимно-перпендикулярные.
Пусть прямая XX (черт. 40), проходящая через точку пересе-
чения прямых АО и ВО, перпендикулярна к каждой из них.1 *
Откладывая МО — М^О и соединяя концы А и В отрезков АО
и ВО с точками М и /И, и между собою, получим следуюшие
три пары треугольников:
1 Пусть / АОВ и .7 А,ОВ — два совмещенных друг с другом прямых Угяа
(черт. 41).
Вращая второй из них около стороны ОВ, можно получить то положен
данных углов, которое указано на черт. 42.
Проведя через АО и А,0 плоскость Р, убеждаемся, что прямая, перпеЩНв
лярная к двум прямым, лежащим в некоторой плоскости, действительно в°3 * * *
можна.
148
а) ЛАОМ и & AOMX,
б) Д BOM и Д BOMit
в) А А МВ и Д AMiB.
Треугольники: Д АОМ и д АОМХ, имеющие общий катет
ДО и два других соответственно равных катета, равны. Точно
так же Д ВОМ= Д ВОМ^
Черт. 40.
Черт. 42.
Отсюда следует, что АМ ~ AMt и ВМ = ВМ}.
Рассматривая треугольники: Л АМВ и д АМГВ, приходим к
заключению, что они также равны (по трем сторонам).
Следовательно, Z МАВ = Z М^АВ.
Проведем в плоскости Р прямую ОС и соединим точку С
с точками М и Мх.
Треугольники: д АМС и Д АМГС равны вследствие соответ-
ственного равенства двух сторон {АС—общая сторона и АМ =
^А/И,) и углов между ними.
Следовательно, СМ — СМ^
Треугольники: Д СОМ и СОМХ равны (по трем сторонам), и
п°тому z СОМ— д СОМ,, откуда следует, что ATV±4OC.
Таким образом, прямая, проходящая через точку пересечения
°еУх прямых, лежащих в некоторой плоскости, и перпендику-
ЛяРная к ним, перпендикулярна также и ко всякой третьей
149
прямой, проходящей в той же плоскости через точку пересе-
чения двух первых прямых.
Если прямая, пересекаясь с плоскостью, образует прямые углы
со всеми прямыми, проведенными на плоскости через точку
пересечения, то она называется перпендикуляром к пло-
скости.
Из сказанного следует, что необходимым и достаточным ус.
ловием перпендикулярности прямой к плоскости служит перпен-
дикулярность ее к двум прямым, лежащим в данной плоскости и
проходящим через точку ее пересечения с этой плоскостью.
Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется
основанием перпендикуляра.
Примем без доказательства следующие два положения:
1. Через всякую точку пространства можно провести пер-
пендикуляр к данной плоскости и притом только один.
2. Через всякую точку пространства можно провести пло-
скость, перпендикулярную к данной прямой, и притом только
одну.
Упражнения.
216. Из точки А, отстоящей от плоскости на 8,4 см, проведены две
равных наклонных АВ и АС. Определить расстояние ВС, если известно,
что каждая из наклонных содержит 8,5 см, а их проекции взаимно пер-
пендикулярны.
Отв. 1,3 у2 см.
217. Из некоторой точки пространства проведены к плоскости две
наклонные длиною в 65 см и 70 см\ их проекции на эту плоскость от-
носятся как 11 : 14. Определить расстояние от данной точки до пло-
скости.
Отв. 56 см.
218. Из некоторой точки пространства опущен перпендикуляр на
данную плоскость и проведены две наклонные к ней. Определите длину
перпендикуляра, если наклонные соответственно равны 97 см и 90 см,
а разность их проекций содержит 11 см.
Отв. 72 см.
219. Стороны треугольника соответственно равны 20 см, 29 сМ и
36 см. Из вершины большего угла восставлен к плоскости треугольник3
перпендикуляр, длина которого 21 см. Определить расстояние от tf0
верхнего конца до большей стороны.
Отв. 29 см.
220. Из точки А на плоскость Р опущен перпендикуляр ЛО=21 С-Л
и проведена наклонная /1.6 = 29 см. В плоскости Р под углом в 60
150
qB проведена через точку О прямая, на которую из точки В опущен
перпендикуляр ВС. Определить АС.
Отв. |/541 см.
221. Концы отрезка, длиною в 17 см, отстоят от плоскости на 20 см
и 12 см. Определить длину его проекции на данную плоскость.
Отв. 15 см.
§ 73. Прямая и плоскость, взаимно-пересекающиеся, но не
перпендикулярные.
Прямая, пересекающаяся с плоскостью, но не перпендикуляр-
ная к ней, называется наклонной.
Точка пересечения наклонной с плоскостью называется осно-
ванием наклонной.
Если из одной точки провести перпендикуляр к плоскости и
наклонную к ней, то расстояние
ляра и наклонной называется
проекцией наклонной на
данную плоскость.
Пусть AM будет наклонной,
а АВ— ее проекцией (черт. 43).
Проведем на плоскости Р
через основание наклонной
произвольную прямую АХ.
Отложим АС=АВ и, сое-
динив точку С с точками В и
М, рассмотрим два треуголь-
ника: А А МВ и А АМС, имею-
между основанием^перпендику-
Черт. 43.
щие по две соответственно равных стороны (AM— общая сторона
и АС—АВ).
Так как ВМ<СМ (из прямоугольного треугольника ВМС), то
L МАВ< _ МАХ.
Таким образом, угол, составленный наклонной с ее проекцией,
меньше всякого другого угла, образованного наклонной с прямой,
проведенной на плоскости церез основание наклонной.
По этой причине углом прямой с плоскостью называют угол,
составленный этой прямой с ее проекцией на данную плос-
кость.
Упражнения.
222. Наклонная, длиною в а см, составляет с плоскостью угол а.
Определить длину ее проекции на эту плоскость.
Отв. a cos а.
151
223. Из точки, отстоящей от плоскости на h см, проведена накЯ
ная, образующая с этой плоскостью угол а. Определить длину наклонно^
h
Отв. — —. I
sin а
224. В плоскости Р находится прямая XX. Из точки А этой прямц
проведены прямые АВ и АС, перпендикулярные к прямой XX и соста.
вляющие с плоскостью Р углы в 48°32 и 31°53'. Определить угол ВД(
Отв. 16’39'.
225. Из точки, отстоящей от плоскости на h см, проведены дЕ1
взаимно-перпендикулярные наклонные, составляющие с плоскостью kJ*
в 45° и 30°. Найти расстояние между их концами.
Отв. h у 6.
226. Из точки, отстоящей от плоскости на h см, проведены две
наклонные, составляющие с плоскостью углы аир. Найти расстояние
между концами наклонных, зная, что проекции данных наклонных взаимно-
перпендикулярны. ____________ _
Отв. h ctg*a ctg2p.
227. Показать, что если в равнобедренном прямоугольном треуголь-
нике один катет находится в плоскости Р, а другой образует с ней угол
треугольников:
в 45°, то гипотенуза наклонена к плос-
кости Р под углом в 30°.
§ 74. Теорема о трех перпен-
дикулярах.
Пусть МВ будет перпендикуля-
ром к плоскости Р, AM — наклон-
ной, а АВ — проекцией наклонной
(черт. 44).
Проведем в плоскости Р через
основание наклонной прямую
перпендикулярную к проекции на-
клонной, и отложим на ней АС=АВ-
точками В и М, получим три парь
а) д АВС и д ABD,
б) Д ВСМ и д BDM,
в) А Л СМ и Д ADM.
Прямоугольные треугольники: л АВС и A ABD равны, таЬ
как у них АВ—общая сторона и AC=AD.
Отсюда следует, что BC = BD.
152
Прямоугольные треугольники: д ВСМ и д BDM, имеющие
обтую сторону ВМ и BC—BD, также равны и потому CM —DM.
Треугольники: Д АСМ и д ADM, имеющие общую сторону
дМ AC=AD (по построению) и CM = DM (по доказанному),
равны, и потому Д САМ — Д DAM, откуда следует, что ХХ^ЕАМ.
Таким образом, прямая, проведенная в данной плоскости
через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, пер-
пендикулярна и к самой наклонной.
Упражнения.
228. Основание ВС = а см равнобедренного треугольника АВС рас-
положено в плоскости Р, а высота AM наклонена к той же плоскости
под углом а. Зная, что АО — h см, найти площадь треугольника АВС.
„ ah
Отв. —-— .
2 sin а
229. Гипотенуза ВС треугольника АВС расположена в плоскости
р, а соответствующая высота (AM) наклонена к той же плоскости под
углом а. Основание О перпендикуляра АО соединено с вершинами В
и С. Определить площадь треугольника ВОС, зная, что площадь АВС
равна S кв. ед.
Отв. S • cos а.
230. Через диагональ основания и одну из вершин куба проведена
плоскость. Определить площадь полученного сечения, зная, что сторона
куба содержит а ед. дл.
Отв. ]/ 3.
231. Определить угол между диагональю и ребром куба.
Отв. sin а. = |/ 6.
§ 75. Прямые, параллельные в пространстве.
Теорема 1. Если плоскость перпендикулярна к одной из па-
раллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Доказательство. Пусть AYи BZ
(черт. 45) — две параллельные ли-
нии.
Проведем плоскость Р перпен-
дикулярно к линии A Y. Она пере-
сечет плоскость Q, проходящую
через прямые AY и BZ по пря-
мой АВ.
Так как AYE АВ, то и BZ±AB.
Если в плоскости Р провести
прямую XXtEAB, то по теореме
0 трех перпендикулярах она будет
153
перпендикулярна и к ВМ. Но прямые АВ и ВМ лежат в пл^
кости Q. Поэтому прямая ХХх будет перпендикулярна к плос
кости Q, а, следовательно, и к прямой BZ.
Таким образом, прямая BZ перпендикулярна к двум прямц^
(АВ и ХХ^), лежащим в плоскости Р. Следовательно, она пер,
пендикулярна и к самой плоскости.
Теорема 2 (обратная). Если две прямые перпендикулярны н
одной и той же плоскости, то они параллельны.
Доказательство. Пусть A Y± Р и BZ ± Р (черт. 46).
Если предположить, что прямая BZ не параллельна AY, то
через точку В можно провести прямую BZ,, параллельную AY
Но тогда BZrA_P, что невозможно, так как BZEP-
Черт. 46.
Следовательно, нельзя предположить, что прямая BZ не па-
раллельна прямой AY.
Теорема 3. Если две прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны между собою.
Доказательство. Пусть АХ || CZ и BY || CZ. Проведем плоскость
Р, перпендикулярную к CZ (черт. 47). Тогда прямые АХ и BY буду!
перпендикулярами к этой плоскости и, следовательно, АХ || BY-
§ 76. Прямая и плоскость, параллельные между собою.
Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются
параллельными, если при продолжении они не пересекаются.
Признаки параллельности прямой и плоскости следующие:
1. Если прямая и плоскость перпендикулярны к одной и
той же прямой, то они параллельны.
Пусть прямая АС и плоскость Р (черт. 48) перпендикулярны
к АВ.
Если через АВ и АС провести плоскость, то она пересечет
плоскость Р по линии ВХ.
154
Очевидно, BX_LAB._
Если предположить, что АС не параллельна плоскости Р, а
при достаточном
т0 тогда из точки
пендикуляра: AM
продолжении пересекается с нею в точке М,
М на прямую АВ были бы опущены два пер-
и ВМ, что не- . г
возможно.
Следовательно, прямая АС
параллельна плоскости Р.
2. Если прямая параллельна
какой-нибудь прямой, проведен-
ной на плоскости, то она парал-
лельна самой плоскости.
Черт. 48.
Пусть прямая АВ параллельна прямой CD, лежащей в пло-
скости Р (черт. 49).
Если предположить, что прямая АВ не параллельна плоскости
Р, а с нею пересекается, то это пересечение должно произойти
не иначе, как в плоскости Q, проходящей через АВ и CD. Но
тогда прямая АВ должна пересечься и с CD, что невозможно.
Следовательно, АВ || Р.
Пусть прямая XX (черт. 50) параллельна плоскости Р. Из
двух каких-либо точек ее А и В опустим перпендикуляры на
плоскость Р. Тогда AC\\BD. Фигура ABCD будет прямоуголь-
ником, и потому AC = BD.
Таким образом, все точки прямой, параллельной некоторой
плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.
Упражнения.
232. Дан параллелограмм со сторонами а см и b см, из которых одна
находится в плоскости Р. Определить диагонали параллелограмма, если
Проекции их на плоскость Р равны т см и п см.
155
233. Из концов отрезка АВ = а см, параллельного плоскости /
проведены к ней перпендикуляр AC — h см и наклонная BD — Ьс*
перпендикулярная к АВ. Определить расстояние CD.
234. Дан отрезок а см, параллельный плоскости Р. Линия, соедИщ
ющая один его конец с проекцией другого конца, составляет с пда
скостью Р угол а. Определить расстояние этого отрезка от плоскости /.
235. Прямая AD пересекает плоскость Р в точке D. Через точку д
делящую прямую AD (от А к D) в отношении т : п, проведен отрезу
ВС—а см параллельно плоскости Р. Через точки А и С проведена пря.
мая, пересекающая Р в точке Е. Определить DE.
ГЛАВА III.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ.
§ 77. Пересекающиеся плоскости.
Пусть Р и Q (черт. 51)—две пересекающиеся плоскости. Гово
рят, что они образуют двугранный угол. Плоскости Р и Q
называются сторонами или
гранями двугранного угла.
s' s^\ а линия АВ, по которой онг
s .s' пересекаются, — ребром дву-
А^_-___------------------- гранного угла.
х ^s'______________р \ Если через какую - нибудь
.х \ точку М ребра двугранного
ii~ * угла провести плоскость, пер-
Черт. 51. пендикулярную к этому ребру,
то она пересечет грани дву-
гранного угла по прямым СМ и DM, перпендикулярным к ребру АВ.
Угол, образованный этими прямыми, называется линейны»
углом двугранного угла.
Очевидно, величина линейного угла не зависит от положения
его вершины на ребре двугранного угла.
Действительно, пусть CMD и Z. CxMlDl — линейные углы
двугранного угла PABQ (черт. 52).1
Отложив МК= М^КХ и ML — М^ и соединив точки К и В
а также Ki и Llt—рассмотрим треугольники KML и КуМ^.
1 При чтении двугранного угла, обыкновенно, упоминают плоскости, его с°"
ставляющие (в данном случае Р и Q) и ребро (АВ). Обозначение ребра записи
вается между обозначениями плоскостей.
156
Так как МК # -MiA'i и ML # МДХ (# знак равенства и парал-
лельн°сти)» т0 0ТРезки AXi и равны и параллельны отрезку
VfAfi, а следовательно, и друг другу.
Следовательно, треугольники: A KML и A имеющие
п0 три равных стороны, равны, и потому Д KML= Д К^МД^.
Два двугранных угла считаются равными, если при вложении
оци совмещаются.
Примем без доказательства следующие два положения:
1. Равным двугранным углам соответствуют и равные линей-
ные углы, и наоборот.
2. Двугранные углы относятся, как соответствующие им
линейные углы.
Приняв за единицу двугранных углов такой угол, который
соответствует единице линейных углов, можно сказать, что дву-
гранный угол измеряется его линейным углом.
Двугранный угол будет прямым, если его линейный угол—
прямой.
Упражнения.
236. Через два боковых ребра куба проведено диагональное сечение.
Определить величину двугранного угла, составленного этим сечением
с боковой гранью.
Отв. 45°.
237. Через боковое ребро куба и средину одной из противополож-
Rblx сторон верхнего основания проведено сечение. Определить цвугран-
Rb,e углы, составленные этим сечением с каждой из боковых граней.
Отв. sin а = 0,4 |/ 5.
157
238. Определить площадь двускатной крыши, зная, что скаты
наклонны к основанию под углом а, а длина и ширина покрытого
мешения соответственно равны а м и b м.
„ ab
Отв.----.
cos а 1
f я
239. Катеты АС и ВС треугольника АВС соответственно paiL
6 см и 8 см. Над плоскостью этого треугольника взята точка М, от
стоящая от каждой из его вершин на 13 см. Определить двугранна
углы, составленные плоскостью данного треугольника с плоскостям
АМВ, АМС и ВМС.
Отв. 90°; tga = 3; tg₽ = 4.
§ 78. Свойства пересекающихся плоскостей.
Укажем следующие свойства двух пересекающихся плоскостей:
1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пере-
сечения параллельна первой прямой.
Пусть прямая АВ (черт. 49) параллельна плоскости Р и пусть
плоскость Q, проходящая через эту прямую, пересекает плоскость Р
по прямой CD.
Так Лак CD лежит в плоскости Р, то пересечение прямой АВ
с CD могло бы произойти не иначе, как в плоскости Р, а это
невозможно.
Следовательно, CD || АВ.
2. Если две прямые параллельны и через каждую из них про-
ходит плоскость, то линия пересечения этих плоскостей парал-
лельна первым прямым.
Пусть АВ |) CD (черт. 53) и пусть плоскости Р и Q проходят
соответственно через прямые АВ и CD.
Так как АВ || CD, то АВ || Q и CD || Р (см. § 76, п. 2).
Плоскость Р проходит через прямую АВ, параллельную пло-
скости Q.
Поэтому A4N || АВ (см. предыдущее свойство) и, следовательно-
MN || CD (см. § 75, теор. 3).
3. Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям
то она параллельна и линии их пересечения.
Пусть прямая АВ (черт. 54) параллельна двум пересекающим^
плоскостям Р и Q.
Проведем через линию АВ плоскости, пересекающие плоское'
Р и Q. Получим прямые ^4,5, и А%Вг, параллельные прямой
а, следовательно, и друг другу.
158
На основании предыдущего свойства прямая CD параллельна
прямым A1Bi и Д2В2, а следовательно, и прямой АВ.
упражнения,
240. Нижнее основание трапеции находится в плоскости Р, а верхнее
основание отстоит от этой плоскости на а см. Основания трапеции отно-
сятся, как т~, п (га /г). На сколько удалена от плоскости Р точка пе-
ресечения диагоналей?
241. Через вершину острого угла ромба проведена плоскость, парал-
лельная меньшей диагонали и образующая с большей диагональю угол а.
Определить площадь ромба, зная, что меньшая диагональ и расстояние
конца большей диагонали от данной плоскости содержит а см.
242. Из точки А проведены к плоскости Р две наклонные, проекции
которых равны друг другу и пересекаются под углом а. Зная, что угол
между наклонными равен [3, найти угол, который плоскость, проходящая
через эти наклонные, составляет с плоскостью Р.
243. Прямая АВ параллельна плоскости М и отстоит от нее на рас-
стояние а. Через АВ проходит плоскость Р, образующая с плоскостью
угол а. В плоскости Р проведена прямая под углом р к АВ. Найти
отрезок ее между АВ и плоскостью М.
244. Из точки А проведена наклонная АВ под углом а к плоскости
через АВ проведена плоскость Р под углом р к плоскости М. Опре-
делить угол между АВ и линией пересечения плоскостей М и Р.
245. Отрезок, длиною а, лежит в одной из двух пересекающихся пло-
скостей и образует с линией их пересечения угол а. Проекция его на
дРУгую плоскость равна Ь. Найти угол, образованный этими плоско-
стями.
159
§ 79. Перпендикулярные плоскости.
Две плоскости называются взаимно-перпендикуляр.
ными, если, пересекаясь, они образуют прямые двугран.
ные углы.
Теорема 1. Если плоскость проходит через перпендикуляр
к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая АВ перпендикулярна к пло-
скости Рп пусть плоскость Q проходит через линию АВ (черт. 55).
Проведем в плоскости Р прямую BCJlMN.
Так как АВА_Р, то AB1.MN и, следовательно, £ АВС будет
линейным углом двугранного угла,
Р и Q.
А так как ДВ±ДС (вследствие
скости Р), то / АВС—прямой.
Отсюда следует, что Q_LP.
составленного плоскостями
перпендикулярности к пло-
Следствие. Через всякую прямую, не перпендикулярную к дан-
ной плоскости, можно провести плоскость, перпендикулярную
к данной плоскости, и притом только одну.
Опустив из концов данной прямой АВ (черт. 56) перпендику
ляры на плоскость Р, проведем через эти перпендикуляры пло-
скость Q. Прямая АВ, имея с плоскостью Q две общих точки
(Д и В), лежит в этой плоскости. По доказанной теореме пло-
скость Q перпендикулярна к Р.
Теорема 2. Если две плоскости взаимно перпендикулярны «
к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку
с другою плоскостью, то он совпадает с этой плоскостью.
Доказательство. Пусть Р и Q — две взаимно-перпендикуляр-
ные плоскости (черт. 57).
Предположим, что прямая AD, не совпадающая с плоскостью
будет перпендикуляром, опущенным из точки А, принадлежат6®
плоскости Q, на плоскость Р.
Проведем ДВ_1_7ИА7 и ВС A_MN.
160
Очевидно, L АВС будет линейным углом двугранного угла,
бракованного плоскостями Р и Q. Он будет прямым, так как
соответствующий ему двугранный угол — прямой.
Таким образом, АВ1.ВС.
Но АВЛ-MN. Следовательно, АВ ДР. А так как из одной
тОчки нельзя опустить на плоскость двух перпендикуляров, то
fiD не может не совпадать с линией АВ.
Теорема 3. Две плоскости, перпендикулярные к тре-
тьей, пересекаются по прямой, перпе ндикулярной к этой по-
бедней.
Доказательство. Если через какую-нибудь точку М (черт. 58)
прямой АВ провести перпендикуляр к плоскости R, то, согласно
предыдущей теореме, он должен лежать и в плоскости Р и
в плоскости Q, т. е. должен совпасть с линией А В.
Упражнения.
246. Доказать, что диагональные сечения куба взаимно-перпенди-
кулярны.
247. Через одну и ту же вершину верхнего основания и каждую
Р Диагоналей нижнего основания проведены две плоскости: Р и Q. До-
дать, что PJ_Q.
248. Из точек А и В, лежащих в двух взаимно-перпендикулярных
Носкостях, опущены перпендикуляры АМ = а см и BN—b слгна линию
^Ресечения лоскостей. Зная, что MN = с см, определить длину линии
’ а также длину ее проекций на данные плоскости.
| 249. На линии пересечения двух взаимно-перпендикулярных плоско-
В и Q взяты две точки А и В, находящиеся друг от друга на
тоянии а см. Из точки В в плоскости Q проведена прямая АР под
I а к (а<^90°), а из точки В восставлен перпендикуляр ВС
I ** С. Державин. 161
к плоскости Q, длиною в h см. Определить расстояние точки С от пр,
мой AF.
Отв. }/а2^Гп2 а + Л2.
§ 80. Параллельные плоскости.
Две плоскости называются параллельными,
продолжении они не пересекаются-
Признаки параллельности плоскостей следующие:
1. Если две плоскости перпендикулярны к одной и той т.
прямой, то они параллельны.
Пусть плоскости Р и Q перпендикулярны к прямой /,
(черт. 59).
• Предположим, что они друг другу не параллельны, и пусть Cj
будет линией их пересечения.
если ц.
Плоскости Р и Q, перпендикулярные к прямой АА1г должны
быть параллельны.
В
Черт. 60.
Черт. 61.
Черт. 59.
Через прямую АВ и через точку М, принадлежащую линии Ci
проведем плоскость. Эта плоскость с плоскостями Р и Q пер
сечется по прямым AM и ВМ, которые должны быть перпеа»
кулярны к АВ, так как АВ ДР и ДЛ_1_ф.
Таким образом, в плоскости АМВ получаются два перпенд
куляра к АВ из одной точки, что невозможно.
Следовательно, Р || Q.
2. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соот^"
ственно параллельны двум прямым другой плоскости, то Ш
плоскости параллельны.
Пусть АВ || ED и АС || ЕЕ (черт. 60).
Опустим из точки А на плоскость Q перпендикуляр
проведем AlBi || ED и А1С1 || ЕР.
На основании теоремы 3 § 75, АДД || АВ и А^ || АС.
Так как ДД,±(2, то ДД^Д,/?, и ДД1±Д,С,,;а следовательно;
дД^ДАВ и АА,1АС.
Согласно § 72, AAtA.P.
Укажем следующие свойства двух параллельных плоскостей:
1. Две параллельные плоскости пересекаются третьей пло-
скостью по линиям параллельным (черт. 61).
Пусть Р || Q.
Прямые АВ и CD, очевидно, пересечься не могут, так как
в противном случае пересеклись бы и плоскости Р и Q, в кото-
рых они находятся.
2. Если прямая перпендикулярна к
одной из параллельных плоскостей, то
она перпендикулярна и к другой.
Пусть Р|| Q и ДДХ±Р (черт. 62).
Проведем через линию ДЛ, плоско-
сги R и /?,. Линиями их пересечения
с плоскостями Р и Q будут: AlBi || АВ
и С, || АС.
Так как ДД,±О, то ДД1±Д,В„ и
Ч±л,с,. » /
Следовательно, ЛД,_1_ЛВ и ДАНДАС. / Q
п Линия ДД„ перпендикулярная к двум Черт 62
Рямым, лежащим в плоскости Р, долж-
Яа быть перпендикулярна и к самой плоскости.
I 3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между па-
I дельными плоскостями, равны.
162
163
Пусть АС || BD и Р|| Q (черт. 61).
Если? через АС и BD провести плоскость, то линии ее пер*
сечения с'плоскостями Р и Q будут параллельны (АВ jj CD).
Отсюда следует, что AC=BD.
4. Два угла с соответственно ц
раллельными и одинаково направлен
ними сторонами равны и лежат
параллельных плоскостях.
Пусть АХИА^ и ДУ || (чер
63).
Отложив отрезки AB = AiBt и ДС=
= AtCi, соединим точки
ответственно с точками
также В с С и Br с С,.
Так как АВ#А1В„
то BBi# ^Ai и CCi#AAt, откуда следует, что ВВГ # CQ. От-
резки ВС и BxCi равны. Треугольники: А АВС и А АХВХСХ по
трем сторонам равны, и, следовательно, Z_BAC=Z_
Плоскости Р и Q параллельны на основании второго поизнам
параллельности плоскостей.
5. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей
то она пересечет и другую.
Пусть Р и Q — две параллельные плоскости (черт. 64) и пуси
прямая АВ пересекает первую из них (в точке В).
Опустим из точки В перпендикуляр на плоскость Q и чер-
две пересекающиеся прямые АВ и ВВХ проведем плоскость. Э:
плоскость пересечет плоскости Р и Q
параллельным между собою. Прямая АВ,
пересекая одну из параллельных пря-
мых (прямую ВЛ4), пересечет и другую
(В1Л41), а, следовательно, / плоскость Q.
Упражнения.
250. Отрезки двух прямых, заключенных
между двумя параллельными плоскостями,
равны 26 м и 37 м, а их проекции на одну
из этих плоскостей относятся, как 2 : 7. Найти
ными плоскостями.
в.
9J—-X,
-V
Черт. 63.
А, В и С со
A, Bi и Сьу
и ДС#Д1С„
по линиям ВМ и
Черт. 64.
расстояние между Д’*1
Оте. 24 М-
251. Между двумя параллельными плоскостями проведены две пря”1*
м h & ’
наклонная, образующая с ними угол а, и перпендикуляр, равный
164
расстояние между концами данных прямых в каждой плоскости равно
& cJii. Найти расстояние между срединами этих прямых.
Отв. а2-------— h2 ctg2 а.
ГЛАВА IV.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.
§ 81. Понятие о многогранном угле.
Неопределенная часть пространства, ограниченная несколь-
кими плоскостями, пересекающимися в одной точке, называется
многогранным углом (чеот. 65 и 66).
Точка пересечения плоскостей называется вершиной, а ли-
нии пересечения — ребрами многогранного угла.
Черт. 65. Черт. 66.
Два последовательных ребра образуют плоский угол, на
зываемый также гранью многогранного угла.
По числу граней многогранные углы могут быть трехгранными,
четырехгранными, пятигранными и т. д.
Многогранный угол называется выпуклым, если плоскость,
пересекающая все его грани, образует выпуклый многоугольник.
Угол, изображенный на черт. 65, будет выпуклым; угол же,
изображенный на черт. 66, не может быть назван выпуклым.
Вопросы и задачи.
1) Начертите и вырежьте из бумаги три неравных острых угла. При-
ложите эти углы друг к другу так, чтобы вершины их совпали, и чтобы
каждый угол имел по общей стороне с двумя остальными. Получается
при этом замкнутая часть пространства?
2) Начертите и вырежьте из бумаги три тупых угла, сумма котооых
была бы меньше 360°. Прикладывая эти углы указанным способом друг
и Другу, можно ли получить трехгранный угол?
165
3) Начертите три таких угла, чтобы сумма двух из них была рар,ца
или меньше третьего. Вырезав Гэти углы из бумаги, попытайтесь обр^
зовать трехгранный угол.
4) Имея трехгранный угол, что можно сказать о величине суммы д Л
плоских углов его сравнительно с величиной третьего угла?
5) Начертите и вырежьте из бумаги три тупых угла, сумма которые
была бы равна или больше 360°. Прикладывая эти углы друг к другу
попытайтесь образовать трехгранный угол.
6) Попытайтесь образовать четырехгранный угол, начертив и выре-
зав из бумаги четыре угла, сумма которых была бы меньше 360°.
7) Попытайтесь образовать четырехгранный угол, начертив и выре-
зав из бумаги четыре угла, сумма которых была бы равна или больше
360°.
8) Может ли вообще сумма плоских углов многогранного угла рав-
няться или быть больше четырех прямых?
9) Если все плоские углы трехгранного угла — прямые, то каковы
двугранные углы между его гранями?
§ 82. Соотношение между плоскими углами трехгранного
угла.
Теорема. Во всяком трехгранном угле каждый плоский угол
меньше суммы двух других плоских углов.
Доказательство. Предложенная теорема нуждается в доказа-
тельстве лишь в том случае, когда сумма двух плоских углов не
содержит наибольшего из плоских углов трехгранного угла.
Пусть угол ASB (черт. 67) будет наибольшим
из плоских углов.
Отложив Z_ASD = Z_ ASC, а также SD=SC,
проведем плоскость АВС, пересекающую грани
трехгранного угла.
Треугольники: Л ASC и A ASD, имеющие
общую сторону Л 5, а также SC=SD и
£ ASC=£ ASD, будут равны.
Поэтому AD=AC и, следовательно, АВ—
— AC=AB — AD = BD<BC.
Треугольники: Л BSC и д BSD имеют по
две равных стороны (SB— общая сторона и
третьи стороны их не равны, именно, bd<bc.
Отсюда следует, что Z BSD<^ Z BSC.
Сложив последнее неравенство с равенством: / ASD = ^ASC
получим:
Z ASD + Z BSD< Z Д5С+ Z BSC
S
Черт. 67.
SC=SD}. но
166
или
Z ASB< Z -4SC+ Z BSC.
Следствие. Из последнего неравенства получаем:
Z ASB — Z ASC< Z BSC и Z ASB — Z BSC< Z ASC.
Вообще, в трехгранном угле каждый плоский угол больше
разности двух других углов.
Упражнения.
252.
грани! 'е
Каждый из плоских углов трехгранного угла равен а; найти дву-
углы.
г, х 1
Отв. sm — =-------.
2 о а
2COS-
253. Каждый из плоских углов трехгранного угла равен а. Найти угол,
между ребром и противолежащей гранью.
Л cos а
Отв. Qosx—-------.
а
COSy
254. Каждый из двугранных углов трехгранного угла равен а; опреде-
лить плоские углы.
Отв. cos —
1 *
„ а'
2S1n-
§ 83. Теоре ма о сумме плоских 'углов многогранного угла
Теорема. Во всяком выпуклом многогранном угле сумма всех
плоских углов меньше 4d.
Доказательство. ПустьBCD... (черт.68)
будет выпуклый n-гранный угол: Сумму его
плоских углов при вершине обозначим че-
рез а.
Если грани данного угла пересечь какою-
нибудь плоскостью, то
а) в сечении получится п-угольник;
5) при вершине 5 получится п треуголь-
ников: д ASB, &BSC и т. д.
Сумма углов всякого треугольника равна2б/.
Если 2d умножить на п и от получен-
Ного произведения отнять а, то получится сумма углов при
°снованиях треугольников: Д ASB, Д BSC и т. д.
167
Так как при вершинах: А, В, С и т. д. образовались трР-
гранные углы, то, применяя предыдущую теорему, находим: I
LBAE< Z SAB + Z SAE,
Z ABC< Z SBA + Z SBC,
W j Z BCD <1 Z SCB Z SCD, и т. д.
Сложим полученные неравенства.
От сложения левых частей получается сумма углов л-уголь
ника, равная 2dn— 4d.
От сложения правых частей получается сумма углов при
основаниях треугольников: A ASB, A BSC и т. д., равная 2dn — ц,
Таким образом,
2dn — 4d < 2dn — а,
откуда
a<4d.
ГЛАВА V.
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ.
§ 84. Понятие об угле между прямыми в пространстве.
Если взятые в пространстве прямые не пересекаются и в то же
время не параллельны, то они называются скрещивающи-
мися.
Например, ребра куба и DtD (черт. 69) будут скреши-
Пусть АВ и CD (черт. 70) будут две скрещивающиеся пря
мые, направление которых дано и показано стрелкой.
168
Из произвольно выбранной точки О пространства [проведем
прямые ОК и OL, соответственно параллельны^ прямым АВ и CD.
угол K&L называется углом двух скрещивающихся прямых АВ и
£[). Очевидно, величина угла KOL не зависит от положения точки О.
Вопросы и задачи.
1) Укажите на черт. 40, 43, 44, 45, 57, 62 и 63 скрещивающиеся
прямые.
2) Даны скрещивающиеся прямые BjCj и DDt (черт. 69) и АВ и
/IjCi (черт. 62). Укажите плоскости (если они существуют), проходящие
через каждую из данных прямых и параллельные другой прямой.
3) Рассматривая чертежи 69 и 62, решите вопрос, нельзя ли через
две скрещивающиеся прямые провести пару параллельных плоскостей.
4) Через точку М, взятую внутри куба ДС, (черт. 69), и через
прямые ВС и DDt проведите две плоскости. Будет лн прямая пересе-
чения этих плоскостей: а) проходить через точку М, б) лежать с каж-
дой из двух скрещивающихся прямых в одной плоскости?
5) На черт. 69 и 62 укажите прямые, перпендикулярные к двум
скрещивающимся прямым.
скрещивающиеся прямые, а М—про-
§ 85. Некоторые свойства скрещивающихся прямых.
Теорема 1. Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно про-
вести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.
Доказательство. Пусть АВ и CD — две
извольная точка на прямой АВ (черт.
71).
Проведем через точку М прямую
CJh || CD.
Если через две пересекающиеся
прямые АВ и C1Dl провести плос-
кость Р, то она будет параллельна
прямой CD (см. § 79, п. 2).
Таким образом, через прямую АВ
можно провести плоскость, парал-
лельную прямой CD.
Предположим,' что таких плоско-
стей можно провести не с пну, а две:
РII CD и ЛЦСО.
Прямая АВ и точка М должны
лежать в ибеих плоскостях: Р и Р,.
• Если через прямую CD и точку М
Провести плоскость, то она пересечет плоскости Р и Pt по прямым, проходящим
через точку М и параллельным прямой CD. Но через точку М можно провести
лишь о пну прямую, параллельную CD. Следовательно, через прямую АВ можно
провести лишь одну плоскость, параллельную прямой CD.
Теорема 2. Через две скрещивающиеся прямые всегда можно провести
пару параллельных плоскостей и притом только одну.
169
Доказательство., Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые,
JV—две произвольно выбранные точки этих прямых (черт. 72).
Проведем через точку М
a 41
ft]
Черт. 72.
прямую ClDi || CD и через точку N
AtBt || АВ.
Плоскость Р, проходящая через
кающиеся прямые АВ и ftft, ^„тветствевцг
параллельные прямым AtBt и CD, будет парад,
лельна плоскости Q.
Таким образом, через скрещивающие^,
прямые АВ и CD можно провести пару Па.
раллельных плоскостей.
Предположим, что таких плоскостей можно
провести не одну, а например, две пары-
Р|| Q и ft || ft.
Прямая АВ лежит в плоскостях Р и Ph
а точка N — в плоскостях Q и ft.
Если через прямую АВ и точку W про-
пересечет плоскости Q и ft по прямым, проходящим
" >ЯМу-
nepeq
вести плоскость, то она
через точку N и параллельным прямой АВ. Но через точку N можно провести
лишь одну прямую, параллельную АВ. Следовательно, через скрещивающиеся
прямые АВ и можно провести лишь одну пару параллельных плоскостей.
Теорема 3. Через всякую точку пространства можно провести прямую
лежащую с каждой из двух скрещивающихся прямых в одной плоскости, и
при том только одну.
Доказательство. Проведем через прямые АВ и CD и точку М плоскости Р и
Q (черт. 73). Эти плоскости пересекутся по прямой EF, лежащей с АВ в пло-
скости Р, а с CD — в плоскости Q.
Так как прямая и точка определяет одну плоскость и так как две плоско*^
пеоесекаются по одной прямой, то существует только одна прямая, лежа'
лцая с каждой из скрещивающихся прямых в одной плоскости и проходят^
через данную точку.
170
Теорема 4. Если даны две скрещивающиеся прямые и точка, не лежащая
одной из параллельных плоскостей, проходящих через данные прямые, то
6чСреЗ этУ точкУ можно провести одну и только одну прямую, пересекаю-
шо обе скрещивающиеся прямые.
Доказательство. Пусть АВ и CD—две скрещивающиеся прямые, и пусть
!очка М лежит вне параллельных плоскостей 7? и S, проходящих через эти пря-
(черт. 73).
Если прямая, пересекающая АВ и CD существует, то с каждой из этих пря-
ных она должна лежать в одной плоскости.
Выше мы видели, что существует только одна прямая ЕЕ, проходящая
через данную точку М и лежащая в каждой из скрещивающихся прямых в одной
плоское -и.
Эта прямая не может быть параллельна прямым АВ и CD, так как в про-
тивном случае АВ и CD были бы друг другу параллельны.
Прямая ЕЕ не может быть
также параллельна только одной из
скрещивающихся прямых.
Действительно, если допустить,
например, что ДТЦЛВ, то тогда
EF || R. А так как 7? || S, то ЕЕ || S,
а следовательно, ЕЕ || CD.
Мы уже видели, что EF не
может быть параллельна прямым
ЛВ и CD.
Из сказанного следует, Что
прямая ЕЕ. находясь с каждой из
скрещивающихся прямых в одной
плоскости, должна пересечь их при
своем продолжении.
Теорема 5. Если даны две
скрещивающиеся прямые, то су-
ществует одна, и только одна, прямая, перпендикулярная к обеим данным
и их пересекающая.
Доказательство. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (черт. 74),
а Р и Q—параллельные плоскости, через них проходящие.
Проводя через прямую АВ плоскость 7? _[_(?, опустим из точки 7V перпенди-
кУ-яр на АВ.
Очевидно, и 7V7W_LQ, а также NM^_CD.
Таким образом, провести прямую, пересекающую две скрещивающиеся пря-
ные и перпендикулярную к ним, возможно.
Предположим, что таких прямых можно провести не одну, а две: ИЛ и ТЦМ*
Проведя через АВ и ММ плоскость, получим Л2В2 || /В.
Так как, по предположению, _\_АВ и M^^CD, то ММ I Л2б3 и,
с«едоватепьио> ТИА _]_<?-
Проведем через точку Mt пряную MtN.21| MN; она будет перпендикулярна
к плоскости Q.
Так как из точки можно опустить на плоскость Q только один перпевди-
iJIap, то предположить, что ММ служит вторым перпендику яром к скреши-
П1имся прямым, пересекающим их, невозможно.
А'.Р
2-+-J
D
Черт. 74.
171
Теорема 6. Отрезок общего перпендикуляра к двум"скрещивающимся
мым есть кратчайшее расстояние между ними.
Доказательство. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые, a Af,V
общий перпендикуляр к ним (черт. 74).
Если Р и Q — параллельные плоскости, проходящие через АВ и CD _
MN±PhMN±Q.
Предположим, что кратчайшим расстоянием между АВ и CD будет не Aft
а ММ-
Проведя ММ II MV, получим: ММ = MN и ММ I <?,' очевидно, MtNt к
дет наклонной из точки М и потому ММ> ММ-
Таким образом, нельзя предположить, чтобы кратчайшим расстоянием мехцц
АВ и CD была не линия MN, а какая-нибудь другая.
ГЛАВА VI.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРЧЕНИЯ.
§ 86. Общие свойства параллельных проекций.
Пусть нам даны прямолинейный отрезок АВ (черт. 75), пря-
мая ху и плоскость V.
Если из концов данного отрезка параллельно ху провести
прямые линии, то на плоскости V получатся две точки: а и Ь,
называемые проекциями точек А и В
на плоскость V.
Таким образом, проекцией данной
точки на данную плоскость назы-
вается та [точка этой плоскости,
в которой пересекается с нею пря-
мая, проведенная из данной [точки
параллельно данному направлению.
Прямые, проведенные из точек А и
В параллельно ху, называются проектирующими прямыми,
а плоскость V—плоскостью проекций.
Если точки а и b соединить прямой линией, то получится
проекция отрезка АВ на плоскость V.
Очевидно, отрезок ab представляет собою геометрическое
место проекций отдельных точек отрезка АВ и может быть по-
лучен также при пересечении плоскости V с плоскостью, прохо-
дящей через АВ параллельно ху, плоскость тАВп называется
проектирующей плоскостью.
Подобным же образом можно построить проекцию любой
геометрической фигуры на данную плоскость.
172
Пусть, например, требуется построить проекцию треугольника
(черт. 76) на плоскость V. Проводя из всех его точек ряд
параллельных прямых, получим на плоскости V треугольник abc,
который и будет искомой проекцией.
Таким образом, проекцией геометрической фигуры на данную
плоскость называется геометрическое место проекций [всех ее
[почек на эту плоскость.
Если проектирующие прямые, перпендикулярны к плоскости
проекций, то проекция называется прямоугольной или ортодо-
нальной-, в противном случае она будет косоугольной.
Вопросы и задачи.
1) Почему прямая ху параллельна плоскости, проходящей через АВ
и Ат (черт. 75)?
2) Почему прямые, проектирующие отрезок АВ, должны быть распо-
ложены в одной плоскости? Укажите эту плоскость,
3) Почем)? отрезок ab—прямолинейный?
4) Если прямая параллельна плоскости проекций, то какова ее проек-
ция? См. § 76, п. 1.
5) Если прямая параллельна направлению проектирующих линий,^то
какова ее проекция?
6) Проектируется ли в натуральную величину прямолинейной отрезок,
параллельный плоскости проекций? Почему?
7) Если прямолинейный отрезок не параллелен плоскости проекций,
ю проектируется ли он, вообще говоря, в натуральную величину?
8) Как должны быть направлены проектирующие лучи, чтобы прямо-
линейный отрезок, непараллельный плоскости проекций, проектировался
в натуральную величину?
9) Если отрезок разделен на т частей, то на сколько частей будет
Разделена его проекция? В каком отношении должны находиться части
его проекции? См. черт. 75.
10) Почему проекции параллельных прямых должны быть параллельны
173
(черт. 77)? См. § 80, второй признак параллельности плоскостей и
вое свойство параллельных плоскостей.
11) Должны ли проекции пересекающихся прямых пересечься? Проец
цией какой точки будет служить точка их пересечения?
§ 87. Прямоугольное проектирование точки на две плоскости
Пусть даны две взаимно-перпендикулярные плоскости:
горизонтальная и V—вертикальная (черт. 78). Опуская из точки
А на каждую из них по перпендикуляру, получим горизонталь-
ную (а) и вертикальную (а!) проекции точки А.
Плоскости Н и V называются плоскостями проекций
прямая ху — осью проекций, а перпендикуляры Аа и Аа'—
проектирующими перпендикулярами: первый—гори-
зонтально-проектирующим, второй—вертикально-проектирующим.
Вопросы и задачи.
1) Почему плоскость, проходящая через Аа и Аа! перпендикулярна
к плоскостям Н и V?
2) Не будет ли она также перпендикулярна к ху? Почему?
3) Докажите, что фигуры Ааа а"—прямоугольник.
4) Если была бы дана точка В, то как следовало бы обозначить ее
горизонтальную и вертикальную проекции?
Повернем горизонтальную плоскость (/7) около оси ху на 90°
вниз; получим развернутый чертеж или эпюр (черт. 79). Он со-
стоит из прямой ху (оси проекций) и двух точек: горизонтальной
проекции а и вертикальной а'.
Вопросы и задачи.
5) Докажите, что точка а и а' (черт. 79) расположены на одной
прямой.
6) Имея эпюр (черт. 79), поверните около ху одну из полуплоск°‘
стей на 90°. Какое построение следует выполнить в пространстве, чтоб11
получить точку Л?
174
7) По эпюру (черт. 80) определите положение точек А, В и С в
пространстве относительно плоскостей проекций.
§ 88. Прямоугольное проектирование прямой на две плоскости.
На черт. 81 изображены отрезок АВ и его проекции ab и rib'
на две взаимно-перпендикулярные плоскости.
Вопросы и задачи.
1) Объясните, как построены проекции отрезка АВ (черт. 81).
2) Докажите, что фигуры аа и bb'—прямоугольники.
3) Не будут ли плоскости Ab и АЬ' соответственно перпендикулярны
к горизонтальной и вертикальной плоскостям проекций? Почему?
Чтобы найти проекции неограниченной прямой, достаточно
найти горизонтальные и вертикальные проекции двух каких-
нибудь ее точек.
Черт. 81. Черт. 82.
Точка пересечения прямой с плоскостями Н и V называются
следами этой прямой. При пересечении с плоскостью Н образуется
горизонтальный след, а при пересечении с плоскостью V — вер-
тикальный след.
Вопросы и задачи.
4) На эпюре (черт. 82) изображены проекции прямой АВ. Докажите,
что линии аа' и bb' прямые, а не ломаные.
5) Имея эпюр (черт. 82), поверните около ху одну из полуплоскостей
на 90°. Какое построение следует выполнить в пространстве, чтобы по-
лучить прямую АВ?
6) На черт. 80 укажите расстояния концов отрезка АВ а) от гори-
зонтальной плоскости, б) от вертикальной плоскости.
7) Концы отрезка АВ отстоят соответственно:
а) от горизонтальной плоскости на 5 еж и 3 см,
б) от вертикальной плоскости на 7 см и 2 см.
Изобразите на эпюре проекции данного отрезка.
8) Изобразите на эпюре проекции отрезка АВ по следующим данным:
175
a) Aa=6 см, Ad = 4 cm, Bb' = 1 см и Bb=Q (конец />
отрезка AB находится в горизонтальной плоскости);
б) ’Ла = 8 см, ВЬ=3 см, ВЬ'=2 см и Ad=O (конец д
отрезка АВ находится в вертикальной плоскости);
в) Аа = 9 см, ВЬ —1 ом, Ad— Bb = 0 (отрезок АВ упираеТся
своими концами в плоскости проекций);
г) отрезок АВ—Ь см упирается концом А в горизонтальную
плоскость, перпендикулярен к ней, а от вертикальной плоскости
отстоит на 3 см;
д) отрезок АВ == 6 см упирается концом В в вертикальную
плоскость, перпендикулярен к ней, а от горизонтальной плоскости
отстоит на 9 см; f
е) отрезок АВ— |/ 2 см находится в плоскости, перпендику-
лярной к ху, и наклонен к плоскостям проекций под углом 45°, а
концы его отстоят от плоскостей проекций на 3 см;
ж) отрезок АВ —5 см параллелен горизонтальной плоскости и
отстоит от нее на 5 см; концы его А и В отстоят от вертикаль-
ной плоскости соответственно на 7 см и 3 см;
з) отрезок ЛВ = 10 см параллелен вертикальной плоскости и
находится от нее на расстоянии 3 см; концы его А и В отстоят от
горизонтальной плоскости соответственно на 10 см и 4 см.
9) На эпюре (черт. 83 и 84) указаны различные положения проекции
•отрезка АВ. Объясните для каждого случая, как расположен в простран-
<стве данный отрезок.
10) С какими точками совпадают горизонтальная проекция горизон-
тального следа и вертикальная проекция вертикального следа неограни-
ченной прямой?
11) Где находятся горизонтальная проекция вертикального следа й
вертикальная проекция горизонтального следа?
12) Начертите прямую ху и две точки по разные стороны от нее-
Принимая эти точки за следы прямой, постройте: а) горизонтальную j
176
оекцию вертикального следа и вертикальную проекцию горизонталь-
ного следа, б) проекции данной прямой.
13) Если прямая АВ параллельна горизонтальной плоскости, то об-
ра3уе ли она горизонтальный след?
об ее вертикальной проекции?
Что в этом случае можно сказать
ab Г"
Черт. 84.
14) Если прямая ЛВ^параллельна вертикальной плоскссги, то обра-
зует ли она вертикальный след? Что в этом случае можно сказать об ее
горизонтальной проекции?
15) Образует ли следы прямая, параллельная оси проекций? Что в
этом случае можно сказать об ее проекциях?
16) Даны две прямые, пересекающиеся в точке М. Пересекаются ли
Их проекции?
17) Если проекции тит' (черт. 85), точки пересечения двух пря-
*««, соединить прямой линией, то не будет ли тт' перпендикулярна к
*>? Почему?
18) На черт. 81 изображен отрезок АВ, а на чертеже 86 — его
12 С. С. Державин.
177
проекции ab и a'b', Вращением горизонтально-проектирующей плоскосЛ
около ab трапеция аАВЬ (черт. 81) может быть приведена в положен Л
указанное на черт. 86. На основании сказанного выясните, каким По
строением на эпюре может быть определена длина отрезка по дэнщ-
его проекциям.
§ 89. Изображение плоскости посредством ее следов.
Прямые, по которым данная плоскость пересекает плоскости
проекций, называются следами этой плоскости; прямая е (черт. 87)
называется горизонта, гьным -следом, а прямая е’— вертикальным,
следом.
Плоскость обыкновенно дается двумя ее следами.
Вопросы и задачи.
1) Плоскость Р перпендикулярна к Н, а к плоскости V наклонена
под углом а. Постройте ее следы, положив а = 30°.
2) Плоскость Р перпендикулярна к К, а к плоскости Н наклонена
под углом а. Постройте ее следы, положив а=45°.
3) Постройте следы плоскости, перпендикулярной к ху.
4) Плоскость Р параллельна горизонтальной плоскости и отстоит от
нее на 3 см. Постройте ее следы.
5) Плоскость Р параллельна вертикальной плоскости и отстоит от
нее на 4 см. Постройте ее следы.
6) Плоскость Р параллельна ху, но пересекает обе плоскости проек-
ций. Что можно сказать об ее следах?
Если какая-нибудь плоскость Р проходит через ху, то следы
ее сливаются с осью проекций. В этом случае одних следов плос-
кости недостаточно для определения ее положения.
Обыкновенно в таких случаях проводят плоскость, перпендй"
кулярную к ху, для получения профильного (бокового) вида.
Пусть эта плоскость пересекает плоскости проекций по прЯ'
мым F и F, а плоскость Р по прямой MN, составляющей с вертЯ'
кальной плоскостью проекций угол а.
178
Вращая плоскость (F, F1) около вертикального ее следа, при-
ведем ее к совмещению с вертикальной плоскостью проекций;
улучим на эпюРе профильный вид (черт. 88). *
К профильному изображению прибегают также и в тех случаях,
коГда проекцию какой-либо фигуры требуется изобразить яснее.
§ 90. Прямоугольное проектирование многоугольников.
Вопросы и задачи.
1) Достаточно ли для получения проекции многоугольника найти
проекции всех его вершин?
2) Дать проекцию равнобедренного треугольника АВС с основанием
ВС= Ю см и высотой AD= 12 см для следующих его положений:
а) [\АВС расположен в плоскости, параллельной Н и отстоя-
щей от нее на 3 см; ВС || V; вершина А находится в плоскости V;
б) /_.АВС расположен в плоскости,
F1 N
1 параллельнсй V и отстоящей от нее на
/ 2 см; ВС находится в плоскости Н;
Черт. 88- Черт. 89,
в) As АВС расположен в плоскости, перпендикулярной к ху;
ВС || И; ближайшая к ху вершина основания отстоит от плоскостей
И н V соответственно на 3 см и 5 см; нужен ли профильный
вид?
г) Л АВС наклонен к горизонтальной плоскости под углом в
60°; ВС || ху и находится в плоскости Н; вершина А расположена
в плоскости V;
д) As АВС наклонен к зер.икальной плоскости под углом 30°;
ВС_]_Н; вершина А лежит в горизонтальной плоскости;
е) А АВС расположен так, что одна из его боковых сторон
заходится в горизонтальной, а другая—в вертикальной плоскости;
основание ВС наклонено к горизонтальной плоскости под углом
в 60°. *
§ 91. Понятие о косоугольном проектировании.
Дан отрезок ab, перпендикулярный к плоскости V и в нее
Ширяющийся (черт. 89). Желая найти его косоугольную проекцию,
*
179
мы должны через конец b параллельно данному направлен^
провести проектирующую прямую и полученную на плоское-^
V точку соединить с концом а.
Вопросы и задачи.
1) На черт. 89 укажите проекции отрезка ab и соответствую^
направления проектирующих прямых.
2) Зависит ли величина и направление проекций отрезка ab от ца-
правления проектирующих прямых?
3) Под каким углом к плоскости V должны быть направлены проекти-
рующие лучи, чтобы проекция отрезка (ab) равнялась самому отрезку,
4) Из треугольника abc найдите выражение для тангенса угла acb.
Для каких значений /_асЬ проекция ab отрезка а) больше, б) меньше
самого отрезка.
5) Вычислить по таблице натуральных тригонометрических величин
угол, под которым следует направить к плоскости V проектирующие
лучи, чтобы проекция отрезка (ab) была а) вдвое, б) втрое меньше
самого отрезка (масштаб сокращения
1:2, 1:3).
Проведем через точку а гори-
зонтальную прямую ху. Легко
заметить, что в зависимости от
направления проектирующих пря-
мых проекций отрезка (ab) со-
ставляют с прямой ху различные
углы.
Обыкновенно из всех возмож-
ных направлений проектирующих
прямых выбирают такое, при ко-
тором проекция отрезка, перпен-
дикулярного к плоскости V, со-
ставляет с горизонтальной прямой
угол а = 30° или а = 45°.
Задача.
Дана ортогональная проекция
правильной трехгранной пирамиды
(черт. 90). Требуется построить косоугольную проекцию пирамид'
при сокращении 1 : 2 и при а = 30°. •
Решение.
Заметим, что при косоугольном проектировании ограничй
ваются проекцией на одну вертикальную плоскость.
180
Из чертежа .видим, что данная пирамида своим основанием
поставлена на горизонтальную плоскость.
Найдем сначала косоугольную проекцию ее основания.
Прямы аа', bb', сс' и оо' изображают перпендикуляры, проекти-
руюшие вершины и центр треугольника на вертикальную пло-
скость. Найдя их косоугольные проекции, мы тем самым найдем
косоугольные проекции вершин основания, а, следовательно, и
косоугольную проекцию самого основания.
Вопросы и задачи.
6) Зная, что — косоугольная проекция пирамиды и принимая
к сведению условия задачи, укажите величину угла, составленного пря-
мыми Ь^' с^с' и oto' с горизонтальной прямой ху?
7) Укажите величину отношений : а^а': аа', btb': bb', с,с: сс' и Ojo': оо'.
8) Почему нужно думать, что, соединяя последовательные косоуголь-
ные проекции вершин основания, мы получаем косоугольные проекции
сторон основания?
9) Зная, что центр основания пирамиды находится от вертикальной
плоскости на расстоянии оо', определите расстояние вершины пирамиды
от той же плоскости.
10) Не является ли S основанием перпендикуляра, проектирующего
на вертикальную плоскость вершину пирамиды?
11) Желая получить косоугольную проекцию этого перпендикуляра,
под каким углом к горизонтальной прямой нужно провести в плоскости V
прямую S5t?
12) Укажите величину отношения: : оо'.
13) Таким образом, как получить при указанных выше условиях косо-
угольную проекцию вершины пирамиды?
14) Зная, что высота данной пирамиды параллельна вертикальной
плоскости, укажите второй способ построения проекции вершины. См.
§ 86, вопр. 5.
Найдя косоугольную проекцию вершины пирамиды и соединив
ее с косоугольными проекциями вершин основания, получим
косоугольную проекцию данной пирамиды.
Вопросы и задачи.
15) Начертите горизонтальную прямую х}ух и отметьте на ней точки
с> Ь' и т. д., имеющиеся на черт. 90, а затем постройте косоугольную
пРоекцию данной пирамиды при сокращении 1 : 2 и при а=45°.
16) Начертите горизонтальную прямую ху и окружность радиуса
г==5 см, приняв за центр ее точку, отстоящую от прямой ху на
^=8 см. Отметив на окружности несколько точек (например, 20),
встройте их косоугольные проекции при сокращении 1 : 2 и при а =45°.
181
Через полученные точки проведите плавную кривую. Не будет ли L
кривая косоугольной проекцией круга?
Упражнения.
255. Построить косоугольную проекцию куба со стороной а = 8 с*
основание которого находится в горизонтальной плоскости, а одна ц
боковых граней — в вертикальной плоскости. Масштаб сокращения 1;
а = 45°.
256. Построить косоугольную проекцию куба со стороной а — 12 сА
основание которого находится в горизонтальной плоскости, а одно из
боковых ребер — в вертикальной плоскости; диагональ основания перпен.
дикулярна к оси проекций. Масштаб .сокращения 1:3, а = 30°.
§ 92. Понятие о перспективном проектировании.
По разные стороны от плоскости V (черт. 91) возьмем пря-
мую АВ и точку D. Желая изобразить на плоскости V прямую
АВ так, как она представляется
A (v \ глазу, помещенному в точке £>, мы
\ должны каждую точку данной пря-
А—1_____мой соединить с D; получим пря-
L---1—-р~~ г~~~^=а^п мую ab.
д "Д ь Г Плоскость V называется кар-
>----------J тинной плоскостью или экраном,
Черт. 91. а точка D — точкой зрения или
центром перспективы. Точки а и
b будут перспективами точек А, В, а прямая ab — перспекти-
вой А В.
Вопросы и задачи.
1) Почему нужно думать, что лучи, идущие к глазу из точек прямой,
расположены в одной плоскости? См. черт. 91.
2) Почему перспектива прямой должна быть прямая линия? См. § 71,
след. 4.
3) При каком положении прямой ее перспектива обращается в точку?
4) Почему перспектива прямой, параллельной экрану, параллельна
этой прямой? См. § 78, п. 1.
5) Если мы имеем несколько прямых, параллельных друг другу 11
экрану, то что можно сказать об их перспективах? tHe будут ли они
параллельны друг другу? Почему?
6) Где находится перспектива точки пересечения прямой АВ с экра‘
ном? См. черт. 92.
7) Прямая АВ в точке а пересекается с экраном. Назовите точьУ’
через которую должна проходить перспектива данной прямой.
Пусть прямая АВ пересекает плоскость V (черт. 92). ТогДа
182
перспективы точек, расположенных между а и А и далее, заклю-
чаются между а и Ь. »
Для бесконечно-удаленной точки прямой АВ луч зрения DDt
параллелен ДБ и, следовательно, перспективой бесконечно-удален-
Йой точки служит Ь. Точка b называется точкой схода прямой АВ.
Таким образом, если прямая пересекается с экраном, то ее
перспектива проходит через две точки: через след данной пря-
мой и через точку ее схода.
Вопросы и задачи.
8) Прямые ДД|, ВВХ и СС( (черт. 93) параллельны между собою, но
пересекают экран. Прямая Dd им параллельна. Укажите следы прямых
ААХ, BBt и ССр
9) Как получить точку схода прямых AAt, ВВХ и CCt? Почему дан-
ные прямые имеют общую точку схода? Укажите эту точку на чертеже.
10) Укажите перспективы прямых AAlf ВВХ и ССХ. Что можно ска-
зать о перспективах прямых, параллельных друг другу и пересекающихся
с экраном? В какой точке они пересекаются?
11) Прямые ААХ, ВВХ и ССХ перпендикулярны к экрану. На какой
прямой находятся точка их схода и глаз наблюдателя?
12) Через какую точку должны проходить перспективы пересекаю-
щихся в одной точке прямых?.
Возьмем две плоскости: вертикальную картинную плоскость
или экран и горизонтальную или земную плоскость (черт. 94).
Линия пересечения этих плоскостей (прямая ху} называется осно-
ванием картины.
Отрезок Dm, перпендикулярный к V, выражает расстояние
глаза от экрана.
Плоскость Н', проведенная через глаз наблюдателя (D} парал-
лельно земной плоскости Н, называется плоскостью горизонта,
а прямая — линией горизонта.
183
Точки D и D", лежащие на линии горизонта и находящиеся
от проекции глаза на таком же расстоянии, на каком глаз нах0
дится от экрана, называются точками расстояния или отоа.
ления.
Если плоскость Н (черт. 94) повернуть около ху на 90° вниз
то получится развернутый чертеж или эпюр (черт. 95).
Вопросы и задачи.
13) Можно ли всякую прямую, находящуюся в плоскости Н', назвать
горизонтальной ?
14) Укажите геометрическое место точек схода для всех горизонталь-
ных прямых.
15) Зная, что D'm = D"m=Dm, определите острые углы прямо-
угольных треугольников D'mD и D"mD.
т D" 16) Если прямые WW и W" W" — го-
Хг~‘ ! ‘ у' ризонтальные и наклонены к экрану под
х__________i__________у углом в 45°, то не будут ли прямые DD и
f DD" им соответственно параллельны?
; 17) Таким образом, где находятся точки
схода горизонтальных прямых, наклоненных
л к картинной плоскости под углом в 45°?
Черт. 95. Пример.
В земной плоскости дан квадрат
PQRS, стороны которого составляют углы в 45° с основанием
картины. По другую сторону экрана в данной точке D нахо-
дится глаз наблюдателя. Построить перспективу данного квадрата-
На черт. 96 изображен квадрат PQRS, а также указаны прямо-
угольная проекция (т) глаза на картинную плоскость и точки
расстояния (£>' и £>"); картинная плоскость совмещена с земной-
184
При построении перспективы данного квадрата примем к све-
дению, что перспектива прямой, пересекающейся с экраном, про-
водит через след данной прямой и через точку ее схода.
Вопросы и задачи.
1) Пересекают ли стороны квадрата PQRS картинную плоскость?
g каких точках? ~
2) Будут ли иметь общие точки схода прямые a) PQ и RS, 6) PS
„ Q/?? Почему?
3) Укажите точки схода прямых PQ и RS, а также прямых PS и QR.
4) Укажите прямые, на которых расположены перспективы сторон
квадрата.
5) Укажите перспективы вершин квадрата. Почему указанные вами
точки следует принять за перспективы вершин?
6) Укажите перспективу квадрата PQRS.
ГЛАВА VII.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИЗМ И ПИРАМИД.
§ 93. Понятие о призме.
Тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется
Многогранником.
Образующиеся от пересечения плоскостей многоугольники на-
зываются гранями, их стороны — ребрами, а вершины —
Аршинами многогранника.
Прямые, соединяющие две какие-нибудь вершины, не” лежа-
щие на одной грани, называются диагоналями многогранника.
.Призмою называется такой многогранник, у которого две
гРани — равные и расположенные в параллельных плоскостях
Многоугольника, а все остальные грани — параллелограммы
(Черт. 97 и 98).
185
Ограничивающие призму многоугольники(ABCDE hA1B1C1D1£
называются основаниями призмы, а расстояние между НИЛ
(OOt) — высотой призмы.
Призмы бывают: треугольные, четыреугольные, пятиугольны^
и т. д., смотря по тому, какой многоугольник находится в осно-
вании призмы.
Параллелограммы, ограничивающие призму, называются ее
боковыми гранями; их стороны, соединяющие соответствен-
ные вершины оснований призмы (например, называются
боковыми ребрами. Очевидно, боковые ребра призмы равны.
Плоскость, проведенная через какие-нибудь два боковых ребра
и не совпадающая с боковой гранью (например., AAt DXD), назы-
вается диагональной плоскостью.
Призма может быть прямой (черт. 98) или наклонной
(черт. 97), смотря по тому, будут ли ее боковые ребра пер-
пендикулярны или наклонны к ее основаниям.
У прямой призмы боковые ребра — прямоугольники, а высота
равна боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основа-
ния — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые
грани — равные прямоугольники.
Если в основании призмы находится параллелограмм, то такую
призму называют параллелепипедом.
Следует различать три вида параллелепипедов: наклонные,
прямые и прямоугольные параллелепипеды. >
Параллелепипед, ограниченный со всех сторон параллелограм-
мами, называется наклонным (черт. 99).
186
Параллелепипед, основания которого параллелограммы, а бо-
КОвые грани — прямоугольники, называется прямым.
Параллелепипед, ограниченный со всех сторон прямоугольни-
ками, называется прямоугольным (примером служит спичеч-
ная коробка). Три ребра такого параллелепипеда, сходящиеся
Б одной вершине, называются его измерениями.
Если все измерения прямоугольного параллелепипеда равны,
то он называется кубом.
Упражнения.
257. Основанием прямой призмы, боковое ребро которой содержит
8 см, служит треугольник со сторонами в 9 см, 1 см и 4 см. Построить
прямоугольную проекцию этой призмы по следующим данным:
а) основание призмы находится в горизонтальной плоскости;
б) большая сторона основания параллельна оси проекций и рас-
положена между этой осью и про-
тиволежащей вершиной;
в) вершина бблыпего угла осно-
вания отстоит от оси проекций на
5 см.
258. Основанием наклонной призмы,
боковое ребро которой содержит 10 см,
служит 10 см, служит прямоугольник со
сторонами 6 см и 8 см. Построить прямо- д
угольную проекцию этой призмы по еле- Черт. 99.
дующим данным:
а) основание призмы находится в горизонтальной плоскости;
б) одна из диагоналей основания параллельна оси проекций;
в) точка пересечения диагоналей основания отстоит от оси
проекций па 7 см\
г) боковые ребра призмы параллельны вертикальной плоскости
и наклонены к основанию под углом в 80°.
259. По данной прямоугольной проекции упомянутой призмы по-
строить ее косоугольную проекцию при сокращении 1 :2 и при а = 30°.
§ 94. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.
Теорема 1. Во всяком параллелепипеде противоположные
грани равны и параллельны (черт. 100).
Доказательство. Так как ААХ || DDX (как стороны параллело-
Дамма Д/ljDiD) и А^В^ || DjQ (как стороны параллелограмма
то:
а) плоскости граней AAiBiB и DD^C^C—параллельны;
б) L AAiBl = Z DDiCi.
187
А так как, кроме того, AA1 = D£)1 и А1В1 = £)1С1, то napafl
лелограммы ААХВХВ и DDXCXC равны.
Теорема 2. Диагонали всякого параллелепипеда пересекаются
в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство. Возьмем в параллелепипеде (черт. 101) диаго-
нали ADX и ВС\ (выходящие из вершин А к В основания).
Если провести через параллельные прямые АВ и ClDl пло-
скость, то в сечении получится параллелограмм ACxDtB (почему
параллелограмм?).
Отрезки ADX и BCi будут его диагоналями и разделятся
в точке О пополам.
Если же провести плоскость через параллельные прямые АС
и Sj/?!, то в сечении получится параллелограмм ACDXBX, диаго-
нали которого ADX и Д|С разделятся в точке О пополам (почему
в точке О?).
Точно так же, проведя плоскость через АХСХ и ВО, можно
убедиться, что и АХО пройдет через точку О и разделится в ней
пополам.
Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диаго-
нали равняется сумме квадратов трех его измерений (черт. 102Ь
Доказательство. Пусть CD = a ед. дл., ВС=Ь ед. дл., ССр=
= с ед. д., ACx=d ед. дл. и АС—т ед. дл.
Из прямоугольного треугольника АССХ имеем:
cP = т- 4- с2.
А так как из прямоугольного треугольника ACD
т? = а?-\-Ь\
188
то
(1'=а* + Ь* + cs.
Упражнения.
260. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 7 см, 8 см и
о см- Определить длину его диагонали.
261- Диагонали трех сходящихся граней прямоугольного параллелепи-
педа соответственно равны т см, п см н р см. Определить диагональ
параллелепипеда.
262. Сторона основания правильной четыреугольной призмы равна а см,
а высота h см. Определить диагональ призмы.
263. Ребро куба равно а см. Определить расстояние от вершины
куба до его диагонали.
Отв. -^-а р 6.
О
*
264. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания содержат
28 м и 45 м, а высота параллелепипеда равна 80 м. Определить пло-
щадь диагонального сечения.
Отв. 4 240 кв. М.
265. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 10 см, а сто-
роны основания содержат 3,3 см и 5,6 см. Диагонали основания отно-
сятся, как 5:12. Определить площади диагональных сечений.
266. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а см,
а боковое ребро h см. Определить площадь сечения, проходящего через
боковое ребро призмы перпендикулярно к противо-
положной грани.
267. В правильной четыреугольной призме пло-
щадь диагонального сечения равна Q кв. м. Опре-
делить площадь боковой грани.
§ 95. Боковая поверхность призмы.
Дана наклонная призма ABCDA1BlClD1
(черт. 103).
Проведем плоскость, перпендикулярную к
какому-нибудь боковому ее ребру (например,
к ребру AAt). Эта плоскость будет перпенди-
кулярна и к остальным боковым ребрам (по-
4ejl!yc>). Она образует многоугольник AWPQ,
называемый перпендикулярным сече-
нием призмы. Стороны этого многоугольника
параллелограммов, ограничивающих данную
Черт. 103.
служат высотами
призму сбоку (по-
189
Если вычислить площади упомянутых параллелограммов ц
сложить их, то получится боковая поверхность S призмы:
5= AAt • - NP4- CCt PQ + DDX QM=
=(MN + 7VP 4- PQ + QM) • A A n
j
так как AA1=BB1 = CCi = DD1.
Таким образом, боковая поверхность призмы равняется про.
изведению периметра перпендикулярного сечения на боковое
ребро.
Если призма прямая, то перпендикулярным сечением служит
ее основание (верхнее или нижнее).
Поэтому боковая поверхность прямой призмы равна произ-
ведению периметра основания на боковое ребро.
Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда с изме-
рениями а, b и с состоит (черт. 102):
а) из площадей двух прямоугольников со сторонами а и Ь;
б) из площадей двух прямоугольников со сторонами а и с;
в) из площадей двух прямоугольников со сторонами b и с.
Поэтому она выражается формулой:
Р= 2 (ab 4~ ас 4~ Ьс).
Упражнения.
268. Определить полную поверхность прямоугольного параллелепипеда
по трем его измерениям: 7 см, 8 см и 9 см.
269. Определить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда,
у которого стороны основания относятся, как 5:12, а площадь диаго-
нального сечения равна 11,7 кв. м.
270. В основании прямого параллелепипеда находится ромб с диаго-
налями 10 см и 24 см. Определить полную поверхность этого паралле-
лепипеда, зная, что диагональ его равна 25 см.
271. Стороны основания прямой треугольной призмы относятся, как
25 : 29 : 36. Боковое ребро ее равняется 5 см, а полная поверхность
52,2 кв. см. Определите стороны основания.
272. В основании прямой призмы находится треугольник со сторонами:
1,7 м, 2,5 м и 3,6 м. Определить полную поверхность этой призмы»
зная, что высота ее содержит 2 м.
273. Определить количество извести, необходимое для побелки здания,
стены которого представляют два прямоугольника с основаниями 8,4 -*
и 5,6 м и высотой 4,5 м, а площадь двери равна 4,2 кв. м. На 1 кв. *
идет 0,65 кг извести.
Отв. 79,17 кг.
190
274. Определить стоимость листовой меди, необходимой для покрытия
и стенок кубического сосуда с ребром в 2 м, зная, что 1 кв. м
медИ весит 3,66 кг, а 1 кг стоит 88 коп.
Отв. 64 р. 42 к.
§ 96. Понятие о пирамиде.
Если провести плоскость, пересекающую все грани многогран-
ного угла, то получится многогранник, ограниченный многоуголь-
ником и несколькими треугольниками (черт. 104). Этот много-
гранник носит название пирамиды.
Вершина многогранного угла называется вершиной пира-
миды, а расстояние ее от плоскости сечения—высотой пира-
миды.
Многоугольник сечения называется основанием пирамиды.
По числу сторон основания пирамида может быть треуголь-
ная, четыреугольная, пятиугольная и т. д. $
Черт. 104. Черт. 105. Черт. 106.
ный многоугольник, а высота проходит через центр основания,
то пирамида называется правильной. Очевидно, боковые грани
правильной пирамиды суть равнобедренные треугольники, рав-
ные между собою.
Высота каждого из таких треугольников, проведенная из вер-
шины пирамиды, называется апофемой правильной пира-
миды.
Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельною основа-
HlK°, то ее часть, заключенная между основанием и сечением
нзывается усеченной пирамидой (черт. 109).
Параллельные многоугольники называются основаниями
Ученной пирамиды, а расстояние между ними — высотой.
191
Упражнения.
275. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 3 cjh
4 см и 5 см. Высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного
в основание, и равна 12 см. Построить прямоугольную проекцию эгод
пирамиды по следующим данным:
а) основание пирамиды параллельно горизонтальной плоскости и
отстоит от нее на 2 см\
б) большая сторона основания параллельна оси проекций и рас-
положена между этой осью и противолежащей вершиной;
в) вершина большего угла основания отстоит от оси проекций
на 3,5 см.
276. По данной прямоугольной проекции упомянутой пирамиды по-
строить ее косоугольную проекцию при сокращении 1:2 и а = 30°.
§ 97. Свойства параллельных сечений в пирамиде.
Теорема 1. Если пирамида пересечена плоскостью параллель-
ного основанию (черт. 106), то
а) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на части
пропорциональные;
б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию,
в) площади основания и сечения относятся, как квадраты
их расстояний от вершины, пирамиды.
Доказательство. 1. Так как стороны многоугольника сечения
параллельны сторонам многоугольника основания (почему?), то
мы имеем ряд подобных треугольников: A ASB~ А^Вц
A BSC~ B'SQ, A CSD~ A CiSDt, A ASD~ kAtSD^ и &ASO~
A A,SOV
Из подобия треугольников следует:
Д5 _ BS _ АВ __
A,S~ B,S~ A,B^q’
BS CS _ ВС _
B'S~ CfS~ BtCi~ q>
CS _ D S _ CD =
C\S~DiS~ C,D~ q’
DS AS _ AD _
DtS~~ AXS~ AtD~ 4’
SO _ AS _
5О~А^~Я'
откуда
AS BS CS DS SO _ (1)
AB _ ВС _CD _ AD _
A,B, ~ B, Q ~ QD, ~ A,D,~q'
(2)
Отнимая от каждого из отношений (1) по единице, по-
дучим:
AS—A,S _ BS—-B{S CS—C,S _ DS—D,S
A,S ~ B,S ~ C,S ~ D,S ~
или
AA, _ BB, _ CC, _ DD, _ OO, _
A,S~ B,S C,S D,S SO, q
2. Так как стороны многоугольника сечения параллельны сто-
ронам многоугольника основания, то L А = Аъ В= Z
LC=AC„ LD=t_Dt.
А так как, кроме того,
АВ _ ВС _ CD _ AD
А,В, ~ В,С, ~ C,Dt ~ A,D,’
то многоугольник сечения подобен многоугольнику основания.
3. Площади подобных многоугольников относятся, как ква-
драты сходственных сторон.
Следовательно,
площ. ABCD АВ2
площ. A,B,C,D, А,В,2 '
Так как
АВ SO
A,B,~q И SO,~q’
ТО
АВ __ SO
A,B,~SOt
и> следовательно,
АВ2 _ SO2
ДД2— SO,2 ’
Таким образом,
площ. ABCD ____________________SO2
площ. AjBjCiOj SO,2'
Следствие. В правильной усеченной пирамиде верхнее осно-
edHtie — правильный многоугольник, а боковые грани—равные и
Равнобочные трапеции.
с. С. Державин.
193
Теорема 2. Если две пирамиды с равными высотами рассе.
чены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, п(1.
Черт. 107.
В и Ь, а во второй — В{ и Ьу (черт.
раллельными основаниям
то площади сечений про.
порциональны площадям
оснований.
Доказательство. Пусть
площадь основания и сече-
ния, проведенного на рас-
стоянии h, в первой пира-
миде будут соответственно
107).
Если высоту пирамид обозначить через Н, то на основании
первой теоремы:.
откуда
В_ТВ В^Н1
b~ h* И
В В. В b
b br Bi b,
Следствие. Если две пирамиды с равными высотами имеют
равновеликие основания, то равновелики и сечения, равноотстоя-
щие от вершины.
Действительно, если В = В1, то В:В1 = 1 и, следовательно,
b:bi = l, откуда b = bi.
Упражнения.
277. Боковое ребро правильной четыреугольной пирамиды содержит
26 см, а сторона основания 20 см. Определить высоту пирамиды.
278. Высота пирамиды равна 18 м, а площадь основания 576 кв. .«
На каком расстоянии от основания находится параллельное сечение, со-
держащее 400 кв. м.
279. В правильную четыреугольную пирамиду вписан куб так, что
вершины его верхнего основания находятся на боковых ребрах пирамиды,
а вершины нижнего — в плоскости основания пирамиды. Определить ре-
бро куба, зная, что сторона основания пирамиды содержит а см, а вЫ"
сота h см.
Отв.
а-\- п
280. Через диагональ основания правильной четыреугольной пирамид61
проведена плоскость, параллельная ее боковому ребру. Найти плoIДaJ1,’
194
(черт. 108).
Черт. 108.
^ученного сечения, если боковое ребро и высота пирамиды соответ-
ственно равны 50 м и 48 м.
Отв. 350 кв. м.
§ 98. Боковая поверхность правильной пирамиды.
Дана правильная «-угольная пирамида
Обозначая сторону ее основания
через а, а апофему через g, для пло-
щади треугольника ASB будем иметь
следующее выражение:
площ. ASB = у ag кв. ед.
Так как боковая поверхность S
данной пирамиды состоит из площа-
дей п таких треугольников, то 5=
1 1 . \ 1
= 2'апё==~2 g=z 2Pg’ ТЛ&Р —
периметр основания пирамиды.
Таким образом, боковая поверх-
ность правильной пирамиды рав-
няется произведению периметра основания на половину апо-
фемы.
Если взять правильную «-угольную усеченную пирамиду
то ее боковая поверхность будет состоять из площадей п равных
равнобедренных трапеций.
Так как площадь одной такой трапеции выражается формулой:
площ. AAlBiB = ^-(a-\-ai')g кв. ед., где а и аг — стороны осно-
ваний, a g—апофема усеченной пирамиды (MMt=g ед. дл.), то
r(« + «i)»g'=y («« + «!«) g= 2 (р+а)^- Через р и pt
обозначены периметры нижнего и верхнего оснований.
Таким образом, боковая поверхность правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих
Снований на апофему.
Упражнения. /
281. По высоте /г — 56 см и стороне основания а = 66 см опреде-
лить боковую поверхность правильной четыреугольной пирамиды.
282. Определить полную поверхность правильной треугольной пира-
'Иды по стороне основания а— 18 м и боковому ребру b = 41 м.
283. Определить боковую поверхность правильной четырехугольной
195
пирамиды, если сторона основания а =12 см, а двугранный угол пр|
основании а = 60°.
284. Определить полную поверхность правильной четырехугольной
пирамиды, зная, что сторона ее основания а = 8 см, а диагональное се-
чение равновелико основанию.
285. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна
•304 кв. м, а боковое ребро содержит 17 м. Определить сторону осно-
вания.
286. В основании пирамиды находится равнобедренный /реугольни1
у которого одна сторона содержит 14 см, а две другие по 15 см. Бо-
новое ребро, проходящее через вершину угла, образуемого равными сто-
ронами, перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Опре-
делить боковую поверхность пирамиды.
287. В основании пирамиды находится квадрат, а высота ее проходит
через одну из вершин основания. Определить боковую поверхность этой
пирамиды, если сторона основания содержит 5 см, а высота 12 см.
288. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 5 м и 12 л.
Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и
2
равна 6— м. Определить боковую поверхность пирамиды,
о
289. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны 5 м и 21 м, а боковое ребро равно 34 м. Определить
полную поверхность пирамиды.
ОТДЕЛ VIII. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
ГЛАВА I.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ТУПОГО УГЛА.
§ 99. Определение понятия о синусе и косинусе; синус и
косинус тупого угла.
Вопросы и задачи.
1) Произвольным радиусом /? начертите окружность и проведите два
взаимно-перпендикулярных диаметра: АС— горизонтальный и BD — вер-
тикальный, подобно тому как это сделано на черт. 109.
2) Принимая ОА за первую сторону центрального угла, постройте
острый угол АОР и тупой угол АОРХ.
3) Если М — проекция точки Р на горизонтальный диаметр, то, при-
нимая радиус окружности за единицу длины, а диаметр АС и BD за
ОМ МР
ось координат, нельзя ли величины отношений: ——- и —— принять за
R Р
координаты точки Р?
4) Определите координаты точки Р, предполагая, что а) X. АОР —30°,
б) Z. АОР = 45°, в) £ АОР =60°.
„ МР ОМ
о) Укажите тригонометрические значения отношений: — и —.
R R
6) Определите sin<p и cos® а) для <р = 30°, б) для ® = 45° и в) для
ф=60°.
7) Таким образом, нельзя ли синус и косинус острого угла рассматри-
«ать как координаты соответствующей точки окружности, при условии
принятия радиуса окружности за единицу длины?
8) Определите координаты точки Ри предполагая, что а) /_АОРХ =
= 150°, б) ZA0P! = 135o и в) /_АОР^= 120°.
9) Принимая радиус окружности за единицу длины и определяя синус
и косинус как ординату и абсциссу той точки окружности, которая со-
°Тветствует данному углу, определите sin<p и cos® а) для <р=150°,
6) для <р=135° и в) для <р=120°.
197
10) Возможен ли прямоугольный треугольник, заключающий тупОц
угол?
11) Таким образом, имеет ли определение синуса и косинуса, как
отношения противолежащего и прилежащего катетов к гипотенузе, смыц
для тупого угла?
12) Из треугольника /КГ,ОР1 найдите соотношение между абсолютными
величинами синуса и косинуса тупого угла.
13) Почему соотношение: sin2<р —|—со5а<р = 1, верное для абсолюты»
величин синуса и косинуса, будет справедливым и для данных значений
этих функций?
14) Проверьте справедливость равенства: sin2<p-|-cos2s= 1 а) для
<р=150°, б) для <р=135° и в) для <р=120°.
Возьмем окружность произвольного радиуса R (черт. 109)
и проведем в ней два взаимно-перпендикулярных диаметра,
приняв их за оси прямо-
угольных Декартовых ко-
ординат.
Если радиус окружно-
сти принять за единицу
длины, то отношения:
MP—ON
R~ R
NP ОМ
R~ R ~Х
(2)
и
выразят координаты не-
которой точки Р этой
окружности.
С другой стороны, из треугольника МОР мы видим, что отно-
шения (1) и (2) выражают соответственно синус и косинус угла <?’•
_y = sin<p и х — cos ср.
Таким образом, функции sin <р и cos<p можно рассматривать,
как координаты некоторой точки окружности с центром в на-
чале координат, при условии принятия радиуса окружности
за единицу длины.
Итак, для синуса и косинуса имеем два следующих опреДе
ления:
198
1) синус и косинус угла <р представляют собою отношения
противолежаще1 о и прилежащего данному углу катетов к гипо-
тенузе;
2) синус и косинус представляют собою ординату и гбсциссу
той точки окружности с центром в начале координат, которая
соответствует данному углу (при условии принятия радиуса
окружности за единицу длины).
Не трудно заметить, что последнее определение отличается
большей широтой и заключает в себе первое определение, как
частный случай.
Действительно, в то время как первое определение пригодно
только в том случае, если угол <р острый, второе определение
имеет смысл при всяком значении <р.
В дальнейшем изложении мы бу-
дем пользоваться вторым опреде-
лением.
Если <р заключается между 90°
и 180е, то точка Р находится в
пределах второго координатного
угла (черт. НО).
В этом случае ордината ее по-
ложительна, а абсцисса отрицатель-
на, и, следовательно, если 90°
<<р<180°, то sin<p>0 Hcos<p<^0.
Не трудно убедиться, что фор-
мула:
sin8<p cos8<p = 1,
(1)
выведенная для <р<90°, справедлива и в рассматриваемом случае.
Действительно, пусть абсолютные величины отношении-
и —— будут соответственно и уг.
Тогда из треугольника МОР
и, следовательно.
V+Jia=l
(- ^)а + (+^)2 = 1-
Но
— x1 = cos<p и = sin <р.
199
Следовательно,
sin8 ? -|- cos8 ? = 1.
§ 100. Понятие о тангенсе и котангенсе.
„ „ sin ? cos ?
Величины отношении: coS^ и являющиеся функциями
угла ?, условимся соответственно называть тангенсом и ко-
тангенсом угла ?:
у sin ?
tg?=--=--------— (П
X cos?
X cos? fl
ctg? =— = . . (2)
у sin ? v >
Вопросы и задачи.
1) Определите tg? и ctg? для ? = 30°, 45°, 60°, 120°, 135°, 150°.
2) Произвольным радиусом R начертите окружность и проведите два
взаимно-перпендикулярных диаметра: АС — горизонтальный и RD — верти-
кальный.
3) Принимая ОА за первую сторону центрального угла, постройте
острый угол АОР и тупой угол АОР,.
4) В правом конце (Л) горизонтального диаметра (АС) проведите
касательные АК и АК, до пересечения в точках К и К, с продолже-
ниями сторон ОР и ОР,.
5) Если радиус окружности принять за единицу длины, тоне выразят
АК АК
ли отношения: - и —ординаты точек К и К,? Какое из указан-
СЛ/Ч СЛ/Ч
ных отношений будет положительным? Отрицательным? Почему?
6) Докажите на основании подобия треугольников, что
_АК _ МР _MP:R
ОА R ом OM:R'
АК, _ _ АК, _М,Р, _М,Р,'. R
ОА R ом, ОМ,: R
7) Что выражают в тригонометрическом смысле отношения:
MP:R
a)MP:R, OM-.R»™^,
ЛД р • р
б) M,P,-.R. OM,:R и
С/ХГЛ J • л\
8) Таким образом, какое графическое истолкование можно ДаТЬ
функции tg??
200
9) В верхнем конце (В) вертикального диаметра (BD) проведите ка-
ртельные BL и BtLt до пересечения в точках L и Ц с продолжениями
сторон ОР и ОРХ.
10) Если радиус
разят ли отношения:
данных отношений будет положительным? Отрицательным? Почему?
11) Докажите, что
BL _BL _ ОМ _0M:R
~бв~ R ~ МР ~ MP:R’
ВЦ _ ВЦ _ lOMt _ OM,:R
ОВ~ R ~ MtPi ~ MtPi: R'
окружности принять за единицу длины, то не вы-
jE^Zr BL
—— и ‘-—г абсциссы точек L и Ц ? Какое из ука-
12) Что выражают в тригонометрическом смысле отношения:
a) MP-.R, IOM-.R и
6) M^-.R, OMt ;Rn
13) Таким образом, какое графическое истопкование можно даты
функции ctgcp?
14) Докажите, что tgcs • ctg<p = 1.
Следствие. Из определения понятия о тангенсе и котангенсе
следует, что
tg у -ctg? = l. (3)
§ 101. Формулы приведения для дополнительных углов.
Углы называются взаимно дополнительными, если их
сумма составляет 90е.
Пусть у = 90° — а, где а < 90°.
Углы 'р и а будут взаимно
Дополнит ельными.
Построив 21 АОР — а и
LAOPt — y (черт. 111), из ра-
венства треугольников: Д MOP X-
11 Д Mi О Р} убудем иметь:
М^^ОМ и ОМг = МР,
°ткуда
М.Р. ОМ О Mi МР
— - — —----и------- = —=—
R R R R
201
или
sin 9 = cos а и cos ср = sin a.
Так как cp = 90°—a, to
sin (90°—«) = cos«, (1)
cos (90° — «) = sin«. (2)
Разделив равенство (1) на равенство (2), а также равенство (2)
на равенство (1), получим:
sin (90° — a) cos a cos (90°—a) sin a
cos (90° —- a) sin a И sin (90° — a) cos a ’
откуда
tg (90° — a) = ctg«, (3)
ctg (90° — a) = tg a. (4)
Пример.
Привести тригонометрические функции угла 52° к тригоно-
метрическим функциям угла, меньшего 45°.
Решение.
sin 52° — cos (90° — 52е) — cos 38°, tg 52° = ctg 38°,
cos 52° = sin (90° — 52°) = sin 38°, ctg 52° = tg 38°.
Упражнения.
290. Следующие тригонометрические функции преобразовать в триго-
нометрические функции углов, меньших 45°.
sin 54°35'
cos72°15
tg79°28';
ctg58°4r
sin 63°43'.
cos 64°29'.
tg48°51'.
ctg70°2'.
1) sin 75°;
2) cos 80°;
3) tg53°;
4) ctg 61°;
291. Упростить:
1) 1 — sin 49° - cos 41°
2) 1-f-tg 42° • ctg 58°
3) tg2 a • sin8 (90° — a) -|- ctg8o • cos8 (90° — a).
4) sin a • cos (90° — a) cos a • sin (90° — a).
§ 102. Приведение тригонометрических функций тупого угла
к тригонометрическим функциям острого угла.
Пусть <р = 90° -|- а,1 где а <90°.
Принимая радиус окружности за единицу длины и обозначая
числа, измеряющие отрезки ТИР’и ОМ (черт. 112), соответственно
через yt и х„ а абсолютные значения чисел, измеряющих отрезки
202
и ОМЪ—через _у., и х2, будем иметь из равенства треуголь-
яиков: МОР и М^ОРр.
x2=_yf иу!=х1.
Так как
ТИР . THjPj . .опо . .
-D-=Ji = sina, —^-i=_y2 = sin(90 -фа),
и
СУИ ОМ,
—— =Xj=COSa, —=-1=—Х2 = COS (90° + в)
р р
то, принимая к сведению равенства: —ха =—у, на-
ходим:
sin (90° -|- а) = cos «, (1)
cos (9CF -[- g) = — sin a. (2)
Разделив равенство (1) на равенство (2) и, наоборот, получим:
tg(9(f + «) = -ctgg, (3)
ctg(90°4-g) = — tgg. (4
Пример 1. ,
1. Привести тригонометрические функции угла 132° к триго-
нометрическим функциям острого угла.
Решение.
sin 132° = sin (90°+ 42°) = cos 42°, tg 132° = —ctg 42°,
cos 132° = cos (90° +42°) = —sin 42°, ctg 132° = —tg 42°.
2. Пусть <p=180° — g, где ж^ЭСР.
Принимая радиус окружности за единицу длины и обозначая
числа, измеряющие отрезки МР и ОА1 .(черт, 113), соответственно
через уг и хъ а абсолютные значения чисел, измеряющих отрезки
MiPi и ОМ1г— через у2 и хз, будем иметь из равенства тре.
угольников: Л/ИОРи Л MtOPt:
и Х2 = Хр
Так как
МР
— — y1 = slna
—=уа = sin (180° — а),
К
и ОМ P = = Xt = COSa, —=— X2 = cos(180° —a), К
то, принимая находим: откуда Пример 2. к сведению равенства: y2—yi и — х2 =—х,, sin (180° — a) = sin a, (5) cos(180°-—«) =—cos a, (6) tg(180° —a) = —tga, (7) Ctg (180 —a) = — ctg a. (8)
Привести тригонометрические функции угла 150° к тригоно- метрическим функциям угла, меньшего 45°. Решение. sin 150° = sin (180° —30°) = sin 30°, cos 150° = cos (180°—30°) = — cos 30°, tg 150° = — tg 30°, ctg 150° = —ctg 30°.
Упражнения.
292. Следующие тригонометрические функции преобразовать в три-
гонометрические функции углов, меньших 45°;
1) sin 125°; sin 132°25'; sin 108°57'.
2) cos 114°; cos 121°46'; cos 105°32'.
3) tgll9°; tgl24°18'; tg 130°37'.
4) ctg 128°; ctg!06°10'; ctgl32°38'.
293. Следующие тригонометрические функции преобразовать в три-
гонометрические функции углов, меньших 45°:
1) sin 160°; sinl40°24'; sinl53°54'.
2) cos 150°; cosl39°3'; cos 142°39’.
3) tgl72°; tgl65°51'; tgl59°7'.
4) ctg 135°; ctgl43°56'; ctg 138°23'.
204
294. Показать, что
1) cos (90° 4- a) + sin (180° — a) + cos (90° — «) = sin a.
sin (90° — a)
2) cos (90° +a) ~~ctg
3) sin (90° -|- «) • ctg (90° — a) = sin a.
sin (180° —«) • tg(90°—<z) = _
' cos (90° -f- ot) g
5) ctg (90° — <z) 4- tg (180° — a) — ctg (90° 4- a) = tg a.
295. Упростить:
1) sin 155° • cos 115° 4- sin 65° • cos 155° 4~ tg 155° tg 115°.
sin 150° • cos 120° • ctg 60°
tg 120° • ctg 150°
§ 103. Изменение синуса в связи с изменением угла от 0°
до 180°.
Если угол <р увеличивать в пределах первой четверти
(черт. 114) от 0° до 90^, то sin«р возрастает. Когда угол w
обращается в 90°, линия МР совпадает с радиусом ОВ, и следо-
вательно,
sin 90°= 1.
Если угол уменьшать
в пределах первой четверти
от 90° до 0°, то sin<? убы-
вает. Когда же угол <р обра-
щается в нуль, точка Р совпа-
дает с осью абсцисс, и, следо-
вательно,
sin0p = 0.
Если угол увеличи-
вать в пределах второй
четверти от 90° до 180°, то
sinубывает. Когда угол ®
Черт. 114.
обращает в 180°, точка Р совпа-
дает с осью абсцисс, и, следовательно,
sin 180° = 0.
§ 104. График изменения синуса.
Ход изменения синуса можно представить наглядно, пользуясь
следующим построением (черт. 115).
205
Разделим полуокружность АВС на несколько равных частей
Зная, что катет, равный половине гипотенузы, лежит против
угла в 30°, построим М,РХ = ОРй — -^- R и, таким образом, отде
лим дугу АРХ, содержащую 30е.
Имея дугу в 30е, можно построить дуги в 60°, 90°, 120°, 150° и 180°
Отложим на продолжении диаметра СА ряд равных отрезков
КпКх, К'Къ, КгК и т. д., соответствующих дугам: АР,, Р,Р2, Р2В
и т. д.
В точках К,, К,, /С и т. д. восставим перпендикуляры и отло
жим на них K,Z, = М,Р,, K2Z2 — М2Р2, KZ = OB и т. д.
Соединив точки Ке, Zt Z2.....Lo плавной кривой, получим гра
фик функции sin v.
§ 105. Изменение косинуса в связи с изменением угла от 0
до 180°.
Если угол ф увеличивать в
пределах
первой
четверти
(черт. 114) от 0° до 90°, то cos? убывает. Когда угол ? обра
щается в 90°, точка М совпадает с О, и, следовательно,
tcos 90° = 0.
Если угол ? уменьшать в пределах первой четверти
90° до 0°, то cosф возрастает. Когда угол ?обращается в ну
точка'/5 совпадает с А, и, следовательно,
от
cos 0°= 1.
Если угол ? увеличивать
пределах .второй
четверти
от 90° до 180°,
то cos<р, оставаясь все время отрицательны
по абсолютной величине возрастает. Когда угол ф
в 180°, точка Р совпадает с С, и, следовательно,
обращается
в
м
cos 180° = — 1.
206
§ 106. График изменения косинуса.
Разделим полуокружность АВС (черт. 116) на несколько рав-
ных частей, например, на 6, и, проведя перпендикуляры М^Р^,
и т- Д-1 повернем чертеж около точки О на 90° против
движения часовой стрелки.
Отложим на продолжении диаметра BD (черт. 117) ряд равных
отрезков: КйК\, K,K<i, К^К и т. д., соответствующих дугам: АРХ>
pYPit Р^В и т. д.
В точках К1)г Ки К-, и т. д. восставим перпендикуляры и отло-
жим на них = — Кч£%~ОМг и т. д.
Соединив точки Zc, Zn Z2...Z0 плавной кривой, получим гра-
фик функции COS'f.
§ 107. Изменение тангенса и котангенса в связи с измене-
нием угла от 0° до 180°.
Пусть А АОР=у (черт. 118).
АК
С уменьшением ® до 0° линия АК, а, следовательно, и—^- =
уменьшается до нуля.
Таким образом, tgO° = O.
207
С возрастанием угла <р до 90е линия АК, а, следовательно, и
АК ,
R~‘g4> неограниченно возрастает, оставаясь все время поло-
жительно направленной.
Эту мысль на математическом
языке выражают так:
Черт. 118.
ig 90° = -|- со,
где оо — символ бесконеч-
ности.
К тому же результату
можно притти, рассматри-
sin?
вая Дробь c^ = tgT.
Таким образом, с возра-
станием угла от СР до 9СР
tg ср возрастает от 0 до
Пусть Z. АОР = ср (черт.
119).
С уменьшением <р до 90°
линия АК, а, следовательно,
АК . *
и —= tg <р, по абсолютному значению неограниченно увели-
чивается, оставаясь все время отрицательно направленной.
Эту- мысль выражают
так:
— tg? по
tg90° = — оо.
С возрастанием угла ср
до 180° линия АК, а, следо-
71 /С
вательно, и —D
К
абсолютному
уменьшается до i
ваясь все время отрица-
тельно направленной.
Таким образом, tg 180°=0.
К тому же результату
можно притти, рассматривая
,.sin<p
дробь - = tg<f.
значению X
нуля, оста-
А,
Черт. 119.
208
Таким образом, с возрастанием угла от 90° до 180° tg <р
еозрастает от — со до 0.
Так как ctg«p = T—то, зная изменение тангенса, легко про-
tg*P
следить за изменением котангенса.
0 (черт. 118); при возрастании угла от 9СР до 18СР он убы-
вает от 0 до — оо (черт. 119).
14 С. С. Державин
209
§ 108. График изменения тангенса.
Разделим полуокружность АВС (черт. 120) на несколько рав-
ных частей, например, на 12, и проведем через ее центр и через
точки деления прямые до пересечения с касательной Y' Y.
На продолжении диаметра АС отложим ряд равных отрезков:
Д/Ci, К1К3, К3К3 и т. д., соответствующих дугам: АР1г Р^Р^, PSP,
и т. д.
В точках Kt, К%, Кз и т. д. восставим перпендикуляры и от-
ложим на них KtZ-l=AMi, K’j.Z^^AM^, K3Z3 = AM3 и т. д.
Соединив точки A, Zlt Z2 и т. д. плавной кривой, получим
график функции tg®.
Заметим, что прямая Y'Y, соответствующая дуге АВ, равной
90°, служит как бы касательной к графику функции tg ® в бесЛ
нечно-удаленной точке.
Чтобы построить график изменения котангенса при изменении
угла от 0° до 180°, нужно, разделив полуокружность на несколько
равных частей, провести через ее центр и точки деления прямые
линии до пересечения с касательной, проведенной в верхнем
конце вертикального диаметра, а затем, повернув чертеж около
центра окружности против движения часовой стрелки на 90°,
произвести построение подобно тому, как это было сделано
для tg<p.
ГЛАВА п.
ЛОГАРИФМО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ИХ ПРИ-
МЕНЕНИЯ К РАЗЛИЧНЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.
§ 109. Таблицы логарифмов тригонометрических функций.
При изучении устройства логарифмических таблиц тригоно-
метрических функций и пользовании ими следует принять к све-
дению следующие свойства логарифмов тригонометрических
функций положительных острых углов:
1. С возрастанием угла логарифмы синуса и тангенса воз-
растают, с убыванием угла—убывают.
Действительно, если At>A, то s’inA,>sinA и tgAj>tgA
а потому log sinAtJ>log sin А и log tgAj>log tgA. .1
2. С возрастанием угла логарифмы косинуса и котангенс^
убывают, с убыванием же угла — возрастают.
Действительно, если At^>A, то cosA,<^cosA и ctgAj^-
<ctgA, а потому log cos At < log cos А и log ctg At log ctg
3. Логарифмы тригонометрических функций углов, больших
45°, приводятся к логарифмам тригонометрических функций
глов, меньших 45°.
Так как
sin (90 — Д) == cos А ,
cos (90е — А) = sin А ,
где А <45°, то
log sin (90°—4) = log соэД,
log cos (90° — yi) = log бшД,
tg (90°—Д) = ctg4 ,
ctg(90°— /4) = tg A ,
log tg (90°—4) = log ctg4,
log ctg (90° — ^) = log tg A.
4. Логарифмы синуса и косинуса всегда отрицательны, так
как синус и косинус — правильные дроби.
5. Логарифмы тангенса для углов, больших 45°, — положи-
тельны, а для углов, меньших 45°, — отрицательны.
Действительно, так как tg 45°= 1, то для значений угла А,
больших 45°, tg А1, а потому log tg^>0 (log 1=0).
6. Логарифмы котангенса для углов, больших 45°, — отрица-
тельны, а для углов, меньших 45°, — положительны.
Это следует из предыдущего свойства, так как ctg4 = -^^—
и, следовательно, log ctgH= — log tgA
7. Для одних и тех же значений углов разности логариф-
мов тангенсов и логарифмов котангенсов по абсолютной вели
чине равны.
Действительно, так как
tgA=- й и tg/l=- —„•
& 1 ctg4, 6 ctg4
го
logtg4! = — logctg4, и logtg4 = — logctg/l,
откуда
log tg/l j — log tg4 = log ctg4 — log ctg ДР
8. Приращение логарифмов как тангенса, так и котангенса, равно сумме
приращений логарифмов синуса и косинуса того же угла.
Пусть угол А, > А.
Тогда •
sin А, > sin А,
cos A, < cos А,
tg A>tg А.
Следовательно,
log sin А, > log sin A,
log cos A, < log cos A,
log tg At > log tg A.
211
а потому
log sin At — log sin A = +
log cos A, — log cos A = — dt,
log tg Д —log tg A = +dt,
где dt, dt и d, — абсолютные величины разностей.
Но
• log tg И, = log sin Л! —log созД,
log tg A = log sin A — log cos A.
Поэтому
log tg At — log tg A = (log sin A, — log sin A) — (log cos At — log cos A),
откуда
^« = — (— dt)
или
dt=dt + ds.
Упражнения.
296. Пользуясь таблицей логарифмов тригонометрических функций,
построить график функции: у = log sin х для значений х от 0° до 90°;
на том же чертеже построить график функции у = sin х для тех же зна-
чений аргумента.
297. То же сделать для- остальных тригонометрических функций.
§ ПО. Нахождение логарифма тригонометрической функции
данного угла.
При нахождении логарифмов тригонометрических функций
нужно различать два случая:
1. Данный угол содержится в таблицах.
Пример 1.
Найти log sin 42° 50'.
Ищем в таблицах число градусов в первом столбце слева,
а число минут во втором столбце слева.
Число: 9,8324, стоящее в одной строке с 50' и в столбце с
надписью sin наверху, есть log sin 42° 50', увеличенный на 10.
Таким образом, log sin 42° 50' = 9,8324—10 = 1,8324.
Пример 2.
Найти log cos 46° 20'.
Ищем в таблицах число градусов в первом столбце справа,
а число минут во втором столбце справа.
Число: 9,8391, стоящее в одной строке с 20' и в столбце
с надписью cos внизу, есть logcos46r 20', увеличенный на 10-
Таким образом, log cos 46° 20' = 9,8391 —10=1,8391.
2. Данный угол не содержится в таблицах.
Нахождение логарифма в этом случае основано на допущении,
что разности между аргументами пропорциональна
212
разностям между логарифмами тригонометриче-
ских функций этих аргументов.
Пример 3.
Найти log tg 41° 36'.
Найдем сначала logtg41°30', где угол 41е30' будет ближай-
шим меньшим по отношению к данному углу, содержащимся
в таблицах:
log tg41° 30' = 9,9468 —10 = f,9468.
Увеличению ближайшего меньшего угла на 10' соответствует
увеличение логарифма на 26 десятитысячных.
Увеличению ближайшего меньшего угла на 6' пусть соответ-
ствует увеличение логарифма на х десятитысячных.
На основании вышеуказанного допущения имеем:
26:х=10:6,
отк'71а х=“^=15,6.
i
Округляя, принимаем х=16 (десятитысячных).
Поэтому log tg 41° 36' = 1,9484.
Действие можно расположить так:
log tg 41 ° 30’ = Г,9468 I Ю' —26 [ 26:х = 10:6
+ 6’ _+1б| е'~* I х=?^е = 15,6.
log tg 41° 36'= 1,9484 1U
Пользуясь таблицей, помещенной справа от той таблицы, в ко-
торой найден log tg 41° 30', можно значение х определить проще;
оно содержится в 6-й строке (41° 36'—41° 30' = 6') и в столбце
с надписью „26“ (log tg 41° 40' — log tg 41° 30'= 26 десятитысячных).
Действие можно расположить так:
log tg 41° 30' = 1,9468
_______4-6'= 4-16
log tg 41° 36' = 1,9484
Пример 4.
Найти log etg 49° 28'.
Найдем сначала Iogctg49° 20', где угол 49° 20' будет бли-
жайшим меньшим по отношению к данному углу, содержа-
щимся в таблицах:
log etg 49° 2O' = 9,9341 —10=1,9341.
213
Увеличению ближайшего меньшего угла на 10' .соответствуй
уменьшение логарифма (см. § 109, п. 2) на 26 десятитысячных
Увеличению ближайшего меньшего угла на 8' пусть соотв
ствует уменьшение логарифма на х десятитысячных.
На основании вышеуказанного допущения имеем:
26:х=10:8,
откуда
x = 2®08 = 20,8.
Округляя, принимаем x=21 (десятитысячн.).
Поэтому log ctg 4Г 28'= 1,9320.
Действие можно расположить так:
log ctg 49° 20'= 1,9341
4-8' —21
10' — 26
8'— х
log ctg 49J28' = 1,9320.
26:x=10:8
, = 2-6108 = 20.8.
Пользуясь таблицей для нахождения х, можно log ctg 49° 28'
вычислить так:
log ctg 49° 20'= 1,9341
__________+8' —21
log ctg 49° 28' = 1,9320.
Упражнения.
298.
Найти по
таблицам:
1) logsin40°12'
2) iogsin37°56'
3) logsin62°39'
4) logsin53°48'
5) logtg27°8'
6) logtg41°36'
7) logtg54°18’
8) logtg72°46'.
299.
300.
Найти по таблицам:
1) logcos29°47'
2) log cos 36°49'
3) logcos67°8'
4) logcos58°32'
5) logctg34°54'
6) log ctg 28° 17'
7) logctg68°7'
8) logctg59°45'.
Вычислить:
49,86 • j/32,7 • sin 64°26'
’ ~~ 9,063 ctg23°59'
214
л , 6,0552 • jZsin35°8' -ctg50°24’
’ 36,09 • tg31°44*
3 А_ 3/3,076 cos 34°36'
V 0,2 J/tgf6c48'
301. Вычислить:
1
А = 32,8 |/0,75 sin 49°5' '
2) 4 = (sin38°51')“f24C34'.
ох л ( 5,86 ^0,0327 tg 50°2Г\с‘к53°г
3) Д=^ c()s24,26, J .
302. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /=47,23 м
наклонено к плоскости основания под углом а = 61°36'. Определить вы-
соту пирамиды.
303. Через диагональ основания куба под углом а = 32° 17' проведено
сечение. Определить его площадь, если ребро куба а = 51,8 м.
304. Определить боковую поверхность правильной , четырехугольной
пирамиды, зная, что сторона ее основания а = 43,86 м, а угол наклоне-
ния боковой грани к плоскости основания а = 54°27'.
305. Определить боковую поверхность правильной четырехугольной
пирамиды, зная, что сторона ее основания а = 38,7 м, а плоский угол
при вершине пирамиды а = 47°56'.
306. Определить боковую поверхность правильной треугольной пира-
миды, зная, что боковое ребро ее b = 54,7 м, а плоский угол при вер-
шине пирамиды а = 38°22'.
307. Показатель преломления сероуглерода (для желтых лучей) равен
1,63. Найти угол преломления луча, если угол падения равен 33°28'.
308. Радиус г зубчатого колеса или шестерни, шаг зацепления s и
180° „
число зубцов п связаны формулой: s = 2rsin - Вычислить $, если
г — 18 см и л = 24.
309. На наклонную плоскость, угол подъема которой а = 32°47',
положен шар весом в /? = 8,6 кг. Какую силу надо приложить парал-
лельно длине наклонной плоскости к шару, чтобы удержать его в рав-
новесии?
.310. Для поднятия тела вверх по наклонной плоскости требуется
сила /? = U'sina f-AU’cosa, где U''—вес тела, k — постоянная, завися-
щая от трения, а а—угол наклонения плоскости к горизонту. Найти R,
если 1^=475 кг, k = 1/.i, а а = 32°7'.
215
311. Остроконечная пуля при вылете из дула русской трехлинейной
винтовки имеет скорость v = 800 м/сек. Найти горизонтальную составляю,
щую скорости пули, если угол возвышения винтовки а = 45°37'.
312. Если тело способно скользить без трения вдоль гладкой наклон.
ной плоскости, то сила тяжести сообщает ему скорость v= 9,8/ sina м/сек.
где а — угол наклонения плоскости к гори-
зонту, a t — время движения. Найти скорость
данного тела в конце 3-ей секунды, если
а) а=18°25', б) а = 52°7'.
313. Если тело скользит без трения вдоль
гладкой наклонной плоскости, то пространство
пройденное им за t секунд, выражается форму-
лой: s = 4,9/2sina. Найти s, если а) а = 20°47’
и /=5, б) а = 49и14' и /=7.
314. К кронштейну подвешен груз Р=
= 594,8 кг (черт. 121). Угол, составленный
откосом АВ и упором ВС, равен а = 43°17'.
Вычислить растягивающее напряжение, вызывае-
Черт. 121. мое в откосе силой Plt и давление Р2 в го-
ризонтальном упоре.
§ 111. Нахождение угла по логарифму тригонометрической
функции.
Следует различать два случая:
1. Данный логарифм содержится в таблицах.
Пример 1.
log cos А = 9,8324—10; найти А.
Ищем данный логарифм в столбцах с надписью cos (вверху
или внизу). Находим его в столбце с надписью cos внизу; по-
этому градусы берем в первом столбце справа, а минуты — во
втором столбце справа.
Получаем: Л = 70°10'.
2. Данный логарифм не содержится в таблицах.
Пример 2.
log tg А = 0,0286; найти А.
Ищем данный логарифм в столбцах с надписью tg (вверху
мли внизу). Данного логарифма в таблицах нет.
Найдем ближайший меньший, подходящий к нему.
Получим: 0,0278 = log tg 46c5O'.
216
1
Так как надпись tg взята внизу, то число градусов взято
в первом столбце справа, а число минут — во втором столбце
справа.
Данный логарифм больше 0,0278 (0,0278 = log tg 46°50'), но
меньше 0,0303 (0,0303 = log tg 47°0').
Табличная разность равна 25 десятитысячных (0,0303 — 0,0278);
разность же между данным логарифмом и ближайшим меньшим
равна 8 десятитысячных (0,0286 — 0,0278).
Изменению логарифма на 25 десятитысячных соответствует
изменение аргумента на 10'.
Определим, какое изменение аргумента соответствует измене-
нию логарифма на 8 десятитысячных.
Так как, согласно допущению, разности между логарифмами
пропорциональны разностям между аргументами, то
25:8=10:*,
где х— искомое изменение аргумента (в минутах), соответствую-
щее изменению логарифма на 8 десятитысячных.
Определим х из этой пропорции:
25 5' 9
Округляя, можно принять * = 3 (минутам).
Таким образом, если к ближайшему меньшему логарифму
(0,0278) прибавить 8 десятитысячных, то к аргументу 46°50' сле-
дует прибавить 3'.
Поэтому искомый аргумент А = 46°53'.
Действие можно расположить так:
25:8=10:*
0,0278 = log tg 46°50'| 25 — 10'
4-8 +3'1 8— х
0,0286 = log tg 46c53'
A = 46°53'.
Пользуясь таблицей, помещенной справа от той таблицы, в ко-
торой найден ближайший меньший логарифм, можно значение *
определить проще; оно находится в первом столбце слева (')
и в той строке, в которой под данной табличной разностью
(0,0303 — 0,0278 = 25 десятитысячных) содержится ближайшее к
8 десятитысячным число (7,5 десятитысячных).
217
Действие можно расположить так:
0,0278 = log tg 46 50'
+ 8_________4-3'
0,0286 = log tg 46°53'.
A=46°53'.
'Упражнения. 4
315. Найти А, если
1) logsin А =1,6509
2) log sin А = 1,8250
3) log sin A = 1,9420
4) log sin A= 1,9867
316. Найти А, если:
1) log cos A = 1,9605
2) log cos A = 1,8528
3) log cos A = 1,6372
4) log cos A— 1,4251
5) logtg A = 1,4687
6) logtg A = 1,9561
7) log tg A = 0,3496
8) logtg A = 0,7160.
5) log etg A = 0,4438
6) log etg A = 0,0774
7) log etg Д= 1,7065
8) log etg A =1,4302.
отбрасывает тень в 16 л длиною
317. Мачта, высотою в 20 л,
Найти высоту солнца.
318. Найти угол вин
товой нарезки при диа
метре винта
в 7 мл.
в 2 сл и шаге
319. Подъем двускат
ной крыши равен ее вы
соте h (черт. 122), де
ленной на пролет 2а. Найти наклон крыши, зная, что ее подъем
равен х-
О
ГЛАВА III.
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕ-
УГОЛЬНИКОВ.
§ 112. Теорема об отношении хорды к диаметру окружности
Пусть хорда
ед. дл. (черт. 123).
содержит а ед. дл., а радиус окружности
Проведем через центр окружности ХХЛ.РР, и YY LXX.
1
218
Тогда MP=MPt и АР= APt.
Если L РГГ\ обозначить через а, то, очевидно, и /_АОР = а.
Так как
МР
sina= ОР'
то
откуда
1
2 Л
Sin а — ±____,
R
а
2/? —sina.
Таким образом, отношение хорды к диаметру окружности
равняется синусу вписанного угла, на нее опирающегося.
§ 113. Теорема синусов.
Дан треугольник АВС (черт. 124).
Условимся обозначать его углы большими буквами А, В, С,
а противоположные стороны-=
малыми буквами: а, Ь, с.
Если радиус круга, опи-
X—
Черт. 123.
санного около данного треугольника, обозначить через R, то со-
гласно предыдущей теореме
6 . о с .
2/? = s,nB’ 2R=*mC'
а .
2₽= ЯП А ,
откуда
a = 2R sin А,
b = 2RsinB и с = 2R sin С
и, следовательно,
а
с
ь
sin A sin В sin С ’
2)9
т. е. отношение сторон треугольника к синусам противопо-
ложных углов есть величина постоянная, равная диаметру
круга, описанного около данного треугольника.
Пример.
Решить треугольник по следующим данным: а = 37,4, А = 47с34'
В = 59с46'.
Решение.
Найдем С:
С = 180° — (Л + В) = 180° — (47°34' + 59°46') = 180° —
— 107°20'= 179450’ — 107 20' = 72°40'.
По теореме синусов имеем:
а b
sin Л sin б ’
откуда
b _ a sin В _ 37,4 • sin 59°46'
sin Л sin 47°34'
Вычислим Ь:
log b = log 37,4 + log sin 59°46' — log 47°34'.
log sin 59°40'=1,9361 I 10' —7 I 10: 6 = 7: x
6’ I 4 | 6'—x j x = 4,2
log sin 59°46’ = 1,9365
log sin 47°30' = 1,8676 10' —12 10:4 = 12:x
4-4' Ц-5 4' — x x= 4,8.
log sin 47°34' = T,8681
— log sin 47°34' = 0,1319.
log 37,4 =1,5729
log sin 59°46'=1,9365 ЛА 1,6413 = 43,78
-logsin 47°34' = 0,1319 b = 43,78.
log b =1,6413
Подобным же образом можно вычислить с.
Упражнения.
320. Решить треугольник по следующим данным:
1) а = 47,95; £ = 39°15'; С=72°53’
2) <z = 532,8; Л = 63с17’; fi = 48°55'.
220
321. Расстояние между точками А и В дано (АВ = а). Углы ВАС
й АВС измерены с помощью угломерного инструмента (/. ВАС = а и
АВС = Р). Определить расстояние недоступной точки С от точек
А и в-
Полученный результат вычислить при а = 23,79 м, а = 64°43' и
р = 69°18'.
322. Силу /? = 18,3 кг разделить на две составляющих, образующих
с нею углы а = 49°35' и р = 23°7'.
323. На берегу реки проведена прямая линия длиною в а метров. Лучи
зрения, направленные из концов ее к предмету на противоположном
берегу, образуют с ней углы а и р. Определить ширину реки.
Полученный результат вычислить при а = 102,7 м, а = 69°47' и
р = 64с52'.
324. Для определения высоты башни по направлению к ней проведен
горизонтальный базис длиною в а метров (черт. 125). Из концов этого
базиса вершина башни видна под углами аир. Определить высоту башни,
если высота угломерного инструмента равна h метров.
Полученный результат вычислить при а = 7,23 м, h = 1,45 м,
а = 35°2Г и р=18°43'.
325. Вершина горы видна из двух мест долины А и В (черт. 125),
находящихся на расстоянии 478,7 м под углами а = 33°49' и р=28°14'.
221
из
ее вершины и основания предмет, находя-
Вычислить высоту горы. Высоту угломерного инструмента при вычи-
слении во внимание не принимать (почему?).
326. На горе находится башня (черт. 126) вышиною в а метров. На-
блюдая последовательно
щийся в долине, видят
его ниже горизонталь-
ной плоскости на углы
я и р. Найти высоту
горы.
327. Края прямоли-
нейного железнодорож-
ного моста CD (черт.
127) видны с вершины А холма под углами а и (1 к горизонту. Пре-
небрегая высотою угломерного инструмента и зная, что высота холма
АВ = а метров, определить длину моста.
Полученный результат вычислить при а =
173,6 м, а = 41°28' и р = 29°32'.
328. Два наблюдателя А и В, находя-
щиеся на носу и на корме военного кораб я
длиною в 95 м, визируют предмет С под
углами 109°28' и 69°42' к прямой АВ. Опре-
делить АС и ВС.
329. Определить расстояние между точками А и В, находящимися
на противоположных берегах реки, зная, что расстояние между А и С,
находящимися на одном берегу, равно а м, а ABC — Q и /. АСВ = -\.
330. Требуется устроить канатную передачу грузов между карьером
в точке А и железнодорожной веткой в точке С по другую сторону
реки. Определить АС, если расстояние между точками А и В, находящи-
мися на одном берегу, с м, а Z. ВАС=а и £ АВС = $.
§ 114. Теорема косинусов.
Пусть сторона а в треугольнике АВС (черт. 128) лежит против
острого угла.
Тогда, согласно § 54,
а2 = й24-с2 —2ta.
Так как из прямоугольного треугольника ABD
х ~с • cos А,
то
а2 = Ь2 4- с2 — 2bc cos А
222
Пусть сторона а лежит против тупого угла (черт. 129).
Тогда, согласно § 54,
а2=^^ с2 + 2Ьх.
Так как из прямоугольного треугольника ABD
х = с • cos _ BAD = c cos (180° — А) =—с cos А,
то
а2 = й2 4- с2 — 2bc cos А.
Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме-
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих-
сторон на косинус угла между ними.
Пример.
Решить треугольник по данным сторонам: а = 13, />=14 и
г = 15.
Решение.
По теореме косинусов имеем:
в 132 = 142-|-152 —2 14 • 15 • cos А
Черт- 129’ Найдем А-.
log cos А = log 252 — log 420 = 2,1786 — 2,2630 = 1,9156 =
= 9,9156 — 10.
1,9151= log cos34° 40' I 9—10' I 9:5 = 10:x
-4-5 — 6' 5— x' 5-10 r 5
1,9156 = log cos 34° 34' 9 9
A = 34° 34’.
Подобным же образом можно найти В и С.
Упражнения.
331. Две силы Р, = 5,764 кг и Р2 = 9,47 кг действуют на матери-
альную точку под углом а = 52°36'. Найти их равнодействующую и углы,,
образуемые ею с силами Р, и Р2.
332. Три силы: Pt = 89 кг, Р2 = 99 кг и Р3=100 кг приложены
к одной точке и находятся в равновесии. Определить углы между ними.
333. Силу Р разложить на две составляющие так, чтобы угол между
ними был равен а, а отношение равнялось. 1 : т.
223
334. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм Со
сторонами а и Л и острым углом а. Определить боковое ребро паралле-
лепипеда, зная, что меньшая диагональ его равна большей диагонали осно-
вания.
Отв. 2|/aZ>cos'a.
335. Определить площадь параллелограмма, стороны которого соог-
ветственно равны а и b а угол между диагоналями а (а<^90°).
Указание. Искомая площадь равна 2 xysina, где х и у — половины
диагоналей. Пользуясь §§ 54 и 114, можно определить произведение ху.
Отв. */2 (a8 —tga.
I
ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ.
15 С. С. Державин.
I. ТАБЛИЦА ЛОГАРИФМОВ И АНТИЛОГАРИФМОВ ЧИСЕЛ.
ЛОГАРИФМЫ
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 9 13 4 9 13 4 9 12 4 8 12 17 22 26 17 21 25 16 21 25 16 20 24 30 35 39 30 34 38 29 33 37 28 32 36
1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 12 4 8 И 4 7 И 16 20 24 15 19 23 15 18 22 27 31 35 27 30 34 26 29 33
12 0792 0828 О8о4 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 11 4 7 И 3 7 10 14 18 21 14 17 21 14 17 20 25 28 32 24 2R 31 24 27 30
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 7 10 3 6 10 3 6 9 13 17 20 13 16 19 >3 16 19 23 27 30 23 26 29 22 25 28
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 .3 6 9 3 6 9 13 16 19 12 15 18 И 14 17 22 20 28 21 24 27 20 23 26
1S 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 9 3 5 8 11 14 17 11 14 16 20 23 26 19 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 3 5 8 11 13 16 10 13 15 19 21 24 18 20 23
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 3 5 8 2 5 7 10 13 15 10 12 15 18 20 23 17 19 21
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 2 5 7 9 12 14 9 11 13 16 19 21 16 18 20
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 2 4 6 9 11 14 8 И 13 16 18 20 15 17 19
20 ЗОЮ 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 2 4 6 8 И 13 8 10 12 15 17 19 14 17 19
21 22 23 3222 3424 3617 3243 3263 3284 3444 3464 3483 3636 3655 3674 3304 3324 3345 3502 3522 3541 3692 3711 3729 3365 3385 3404 3560 3579 3598 3747 3766 3784 2 4 6 2 4 6 2 4 6 8 10 12 8 10 12 7 9 И 14 16 18 14 15 17 13 15 17
24 25 26 3802 3979 4150 3820 3838 3856 3997 4014 4031 4166 4183 4200 3874 3892 39G9 4048 4065 4082 4216 4232 4249 3927 3945 3962 4099 4116 4133 4265 4281 4^8 2 4 5 2 3 5 2 3 5 7 9 11 7 9 10 7 8 10 12 14 '6 12 14 15 11 13 15
27 28 29 4314 4472 4624 4330 4346 4362 4487 4502 4518 4639 4654 4669 4378 4393 4409 4533 4548 4564 4683 4698 4713 4425 4440 4456 4579 4594 4609 4728 4742 4757 2 3 5 2 3 5 1 3 4 6 8 9 6 8 9 6 7 9 11 13 14 11 12 14 10 12 13
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 И 13
31 32 33 4914 5051 5185 4928 4942 4955 5065 5079 5092 5198 5211 5224 4969 4983 4997 5105 5119 5132 5237 5250 5263 5011 5024 5038 5145 5159 5172 5276 5289 5302 1 3 4 1 3 4 1 3 4 6 7 8 5 7 8 5 6 8 10 11 12 9 11 12 9 10 12
34 35 36 5315 5441 5563 5328 5340 5353 5453 >465 5478 5575 5587 5599 5366 5378 5391 5490 5502 5514 5611 5623 56: 5 5403 5416 5428 5527 5539 5551 5647 5658 5670 1 3 4 1 2 4 1 2 4 5 6 8 5 6 7 5 6 7 9 10 П 9 10 П 8 10 Н
37 38 39 5682 5798 5911 5694 5705 5717 5809 5821 5832 5922 5933 5944 5729 5740 5752 5843 5855 5866 5955 5966 5977 5763 5775 5786 5877 5888 5899 5988 5999 6010 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 6 7 5 6 7 4 5 7 8 9 10 8 9 10 8 9 Ю_
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 12 3 4 5_6 8 9 Ю
41 42 43 6128 6232 6335 6138 6149 6160 6243 6253 6263 6345 6355 6365 6170 6180 6191 6274 6284 6294 6375 6385 6395 6201 6212 6222 6304 6314 6325 6405 6415 6425 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 _9_
44 45 46 6435 6532 6628 6444 6454 6464 6542 6551 6561 6637- 6646 6656 6474 6484 6493 6571 6580 6590 6665 6675 6684 6503 6513 6522 6599 6609 6618 6693 6702 6712 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 7 8
N 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 3 4 5 6 7 8 9
226
ЛОГАРИФМЫ
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
гг 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
50 6990 6998"7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 5 6 6 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 5 6 6 7
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3- 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8474 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5;
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5}
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1V 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 о 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4
л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
227
АНТИЛОГАРИФМЫ
т 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.00 1000 1002 1005 1007 1009 1012 1014 1016 1019 1021 0 0 1 1 1 1 2 2 2
01 -02 03 1023 1047 1072 1026 1028 1030 1050 1052 1054 1074 1076 1079 1033 1035 1038 1057 1059 1062 1081 1084 1086 1040 1и42 1045 1064 1067 1069 1089 1091 1094 0 0 1 0 0 1 о о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 j 2 2 2 2 2 2
-04 05 06 1096 1122 1148 1099 1102 1104 1125 1127 ИЗО 1151 1153 1156 1107 1109 1112 1132 1135 1138 1159 1161 1164 1114 1117 1119 1140 1143 1146 1167 1169 1172 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-07 -08 -09 1175 1202 1230 1178 1180 1183 1205 1208 121' 1233 1236 1239 1186 1189 1191 1213 1216 1219 1242 1245 1247 1194 1197 1199 1222 1225 1227 1250 1253 1256 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3
-10 1259 1262 1265 1268 1271 1274 1276 1279 1282 1285 0 1 1 1 1 2 2 2 3
11 12 -13 1288 1318 1349 1291 1294 1297 321 1324 1327 135” 1355 1358 1300 1303 1306 330 1334 1337 1361 1365 1368 1309 1312 1315 1340 1343 1346 1371 1374 1377 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3
14 -15 -16 1380 1413 1445 1384 1387 1390 1416 1419 1422 1449 1452 1455 1393 1396 1400 1426 1429 1132 1459 1462 1466 1403 1406 1409 1435 1439 1442 1469 1472 1476 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3
-17 13 •19 1479 1514 1549 1483 1486 1489 1517 1521 1524 1552 1556 1560 1493 1496 1500 1528 Г531 1535 1563 1567 1570 1503 1507 1510 1538 1542 1545 1574 1578 1581 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3
•20 1585 1589 1592 1596 1600 1603 1607 1611 1614 1618 0 1 1 1 2 2 3 3 3
-21 • 22 -23 1622 1660 1698 1626 1629 1633 1663 1667 1671 1702 1706 1710 1637 1641 1644 1675 1679 1683 1714 1718 1722 1648 1652 1656 1687 1690 1694 1726 1730 1734 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
-24 25 26 1738 1778 1820 1742 1746 1750 1782 1786 1791 1824 1828 1832 1754 1758 1762 1795 1799 1803 1837 ‘841 1845 1766 1770 1774 1807 1811 1816 1849 1854 1858 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3ч 3 3 4 3 3 4
-27 28 -29 1862 1905 1950 1866 1871 1875 1910 1914 1919 1954 1959 1963 1879 1884 1888 1923 1928 1932 1968 1972 1977 1892 1897 1901 1936 1941 1945 1982 1986 1991 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 4 3 4 4 3 4 4
• 30 1995 2000 2004 2009 2014 2018 2023 2028 2032 2037 0 1 1 2 2 3 3 4 4
•31 -32 33 2042 2089 2138 2046 2051 2056 2094 2099 2104 2143 2148 2153 2061 2065 2070 2109 2113 2118 2158 2163 2168 2075 2080 2084 2123 2128 2133 2173 2178 2183 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 4 4 3 4 4 3 4
34 -35 36 2188 2239 2291 2193 2198 2203 2244 2249 2254 2296 2301 2307 2208 2213 2218 2259 2265 2270 2312 2317 2323 2223 2228 2234 2275 2280 2286 2328 2333 2339 j 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 4 4 5 4 4 5 4 4 5
37 •38 •39 2344 2399 2455 2350 2355 2360 2404 2410 2415 2460 2466 2472 2366 2371 2377 2421 2427 2432 2477 2483 2489 2382 2388 2393 2438 2443 2449 2495 2500 2506 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 4 4 5 4 4 5 4 5 5_
-40 2512 2518 2523 2529 2535 2541 2547 2553 2559 2564 1 1 2 2 3 4 4 5 5
41 -42 •43 2570 2630 2692 2576 2582 2588 2636 2642 2649 2698 2704 2710 2594 2600 2606 2655 2661 2667 2716 2723 2729 2612 2618 2624 2673 2679 2685 2735 274' >748 I 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 5 5 4 5 6 4 5 6
.44 •45 -46 2754 2818 2884 2761 2767 2773 2825 2831 2838 2891 2897 2904 2780 2786 2793 2844 2851 2858 2911 2917 2924 2799 2805 2812 2864 2871 2877 2931 2938 2944 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 3 4 3 3 4 3 3 4 4 5 6 5 5 6 5 5 6
-47 48 •49 2951 3020 3090 2958 2965 2972 3027 3034 3041 3097 3105 3112 2979 2985 2992 3048 3055 3062 3119 3126 3133 2999 3006 3013 3069 3076 3083 3141 3148 3155 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 3 4 3 4 4 3 4 4 5 5 6 5 6 6 5 6 6
т 0 1 2 3 .456 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
228
АНТИЛОГАРИФМЫ
tn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.50 3162 3170 3177 3184 3192 3199 3206 3214 3221 3228 1 1 2 3 4 4 5 6 7
-51 3236 3243 3251 3258 3266 3273 3281 3289 3296 3304 1 2 2 3 4 5 5 6 7
-52 3311 3319 3327 3334 3342 3350 3357 3365 3373 3381 1 2 2 3 4 5 5 6 7
• 53 3388 3396 3404 3412 3420 3428 3436 3443 3451 3459 1 2 2 3 4 5 5 6 7
.54 3467 3475 3483 3491 3499 3508 3516 3524 3532 3540 1 2 2 3 4 5 6 6 7
-55 3548 3556 3565 3573 3581 3589 3597 3606 3614 3622 1 2 2 3 4 5 6 7 7
-56 3631 3639 3648 3656 3664 3673 3681 3690 3698 3707 1 2 3 3 4 5 6 7 8
-57 3715 3724 3733 3741 3750 3758 3767 3775 3784 3793 1 2 3 3 4 5 6 7 8
58 3802 3811 3819 3828 3837 3846 3855 3864 3873 3882 1 2 3 4 4 5 6 7 8
.59 3890 3899 3908 3917 3926 3936 3945 3954 3963 3972 1 2 3 4 5 5 6 7 8
60 3981 3990 3999 4009 4018 Ю27 4030 4046 4055 4064 1 2 3 4 5 6 6 7 8
-61 4074 4083 4093 4102 4111 4121 4130 4140 4150 4159 1 2 3 4 5 6 7 8 9
62 4169 4178 4188 4198 4207 4217 4227 4236 4246 4256 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-63 4266 4276 4285 4295 4305 4315 1325 4335 4345 4355 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-64 4365 4375 4385 4395 4406 4416 4426 4436 4446 4457 1 2 3 4 5 6 7 8 9
65 4467 4477 4487 4498 4508 4519 4529 4539 4550 4560 1 2 3 4 5 6 7 8 9
66 4571 4581 4592 4603 4613 4624 4634 4645 4656 4667 1 2 3 4 5 6 7 9 10
-67 4677 4688 4699 4710 4721 4732 4742 4753 4764 4775 1 2 3 4 5 7 8 9 10
-68 4786 4797 4808 4819 4831 4842 4853 4864 4875 4887 1 2 3 4 6 7 8 9 10
-69 4898 4909 4920 4932 4943 4955 4966 4977 4989 5000 1 2 3 5 6 7 8 9 10
• 70 5012 5023 5035 5047 5058 5070 5082 5093 5105 5117 1 2 4 5 6 7 8 9 И
-71 5129 5140 5152 5164 -5176 5188 5200 5212 5224 5236 1 2 4 5 6 7 8 10 11
•72 5248 5260 5272 5284 5297 5309 5321 5333 5346 5358 1 2 4 5 6 7 9 10 И
73 5370 5383 5395 5408 5420 5433 5445 5458 5470 5483 1 3 4 5 6 8 9 10 11
-74 5495 5508 5521 5534- 5546 5559 5572 5585 5598 5610 1 3 4 5 6 8 9 10 12
• 75 5623 5636 5649 5662 5675 5689 5702 5715 5728 5741 1 3 4 5 7 8 9 10 12
76 5754 5768 5781 5794 5808 5821 5834 5848 5861 5875 1 3 4 5 7 8 9 11 12
• 77 5888 5902 5916 5929 5943 5957 5970 5984 5998 6012 1 3 4 5 7 8 10 11 12
78 6026 6039 6053 6067 6081 6095 6109 6124 6138 6152 1 3 4 6 7 8 10 11 13
79 6166 6180 6194 6209 6223 6237 6252 6266 6281 6295 1 3 4 6 7 9 10 и 13
-80 6310 6324 6339 6353 6368 6383 6397 6412 6427 6442 1 3 4 6 7 9 10 12 13
-81 6457 6471 6486 6501 6516 6531 6546 6561 6577 6592 2 3 5 6 8 9 11 12 14
-82 6607 6622 6637 6653 6668 6683 6699 6714 6730 6745 2 3 5 6 8 9 11 12 14
-83 6761 6776 6792 6808 6823 6839 6855 6871 6887 6902 2 3 5 6 8 9 11 13 14
-84 6918 6934 6950 6966 6982 6998 7015 7031 7047 7063 2 3 5 6 8 10 И 13 15
-85 7079 7096 7112 7129 7145 7161 7178 7194 7211 7228 2 3 5 7 8 10 12 13 15
-86 7244 7261 7278 7295 7311 7328 7345 7362 7379 7396 2 3 5 7 8 10 12 13 15
87 7413 7430 7447 7464 7482 7499 7516 7534 7551 7568 2 3 5 7 9 10 12 14 16
•88 7586 7603 7621 7638 7656 7674 7691 7709 7727 7745 2 4 5 7 9 и 12 14 16
89 7762 7780 7798 7816 7834 7852 7870 7889 7907 7925 2 4 5 7 9 И 13 14 16
-90 7943 7962 7980 7998 8017 8035 8054 8072 8091 8110 2 4 6 7 9 и 13 15 17
-91 8128 8147 8166 8185 8204 8222 8241 8260 8279 8299 2 4 6 8 9 и 13 15 17
92 8318 «Л37 8356 8375 8395 8414 8433 8453 8472 8492 2 4 6 8 10 12 14 15 17
•93 8511 8531 8551 8570 8590 8610 8630 8650 8670 8690 2 4 6 8 10 12 14 16 18
•94 8710 8730 8750 8770 8790 8810 8831 8851 8872 8892 2 4 6 8 10 12 14 16 18
95 8913 8933 8954 8974 8995 9016 9036 9057 9078 9099 2 4 6 8 10 12 15 17 19
96 9120 9141 9162 9183 9204 9226 9247 9268 9290 9311 2 4 6 8 11 13 15 17 19
97 9333 9354 9376 9397 9419 9441 9462 9484 9506 9528 2 4 7 9 11 13 15 17 20
93 9550 9572 9594 9616 9638 9661 9683 9705 9727 9750 2 4 7 9 и 13 16 18 20
•99 9772 9795 9817 9840 9863 9886 9908 9931 9954 9977 2 5 7 9 11 14 16 18 20
т 0 4 5 6 7 8 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9
229
II. ТАБЛИЦА ЛОГАРИФМОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
О sin d. tg d. c. ctg cos d. t о
0 0 — — — — — — — 0 90
10 7.4637 7.4637 2.5363 0.0000 50
7.7648 ЗОИ 3011 2.2352 0
20 7.7648 0.0000 40
зо 7.9408 1760 7.9409 1761 2.0591 0.0000 0 30
40 8.0658 1250 8.0658 1249 1.9342 0.0000 0 20
50 8.1627 969 8.1627 969 1.8373 0.0000 0 10
792 1
1 0 8.2419 8.2419 1.7581 9.9999 0 89
669 670
10 8.3088 8.3089 1.6911 9.9999 50
58С 580 0
2С 8.3668 8.3669 1.6331 9.9999 40
8.4179 511 512 0
зс 8.4181 1.5819 9.9999 30
ffr 45£ 457 1
40 8.4637 8.4638 1.5362 9.9998 20
413 415 0 10
50 8.5050 8.5053 1.4947 9.9998
378 378 1
2 0 8.5428 8.5431 1.4569 9.9997 0 88
348
10 8.5776 321 8.5779 322 1.4221 9.9997 50
20 8.6097 300 8.6101 300 1.3899 9.9996 0 40
30 8.6397 280 8.6401 281 1.3599 9.9996 1 30
40 8.6677 26; 8.6682 263 1.3318 9.9995 0 20
50 8.6940 8.6945 1.3055 9.9995 10
248 249 1
3 0 8.7188 8.7194 1.2806 9.9994 ° 87
235 235 1
—
10 8.7423 222 8.7429 223 1.2571 9.9993 о 50
20 8.7645 212 8.7652 213 1.2348 9.9993 1 40
30 8.7857 202 8.7865 202 1.2135 9.9992 1 30
40 8.8059 192 8.8067 194 1.1933 9.9991 1 20
50 8.8251 8.8261 1.1739 9.9990 10
185 185 1
4 0 8.8436 8.8446 1 1554 9.9989 0 86
177 178 0
10 8.8613 170 8.8624 171 1.1376 9.9989 1 50
20 8.8783 163 8.8795 165 1.1205 9.9989 1 40
30 8.8946 158 8.8960 158 1.1040 9.9987 1 30
40 8.9104 152 8.9118 154 1.0882 9.9986 20
50 8.9256 8.9272 1.0728 9.9985 10
147 148
2
0 8.9403 8.9420 1.0580 9.9983 0 85
1
о / COS d. Ctg d. c. tg 1 sin i d. О
230
о f sin d. tg d. c. ctg cos d. r о
5 0 8.9403 8.9420 1.0580 9.9983 0 85
- — 142 — 143 — 1 -
10 8.9545 137 8.9563 138 1.0437 9.9982 1 50
20 8.9682 134 8.9701 135 1.0299 9.9981 1 40
30 8.9816 129 8.9836 130 1.0164 9.9980 1 30
40 8 9945 125 8.9966 127 1.0034 9.9979 2 20
so 9.0070 9.0093 0.9907 9.9977 10
6 9.0192 122 9.0216 123 0.9784 9.9976 1 0 84
119 — 120 — 1 —
10 9.0311 115 9.0336 117 0.9664 9.9975 2 50
20 9.0426 ИЗ 9.0453 114 0.9647 9.9973 1 40
30 9.0.539 109 9.0567 111 0 9433 9.9972 1 30
40 9.0648 107 9.0678 108 0.9322 9.9971 2 20
50 9.0755 9.0786 0.9214 9.9969 10
— 104 — 105 — 1 -
7 0 9.0859 9.0891 0.9109 9.9968 0 83
102 — 104 — 2 — —
10 9.0961 99 9.0995 101 0.9005 9.9966 2 50
20 9.1060 97 9.1096 0.8904 9.9964 1 40
30 9.1157 95 9.1194 0.8806 9.9963 2 30
40 9.1252 93 9.1291 94 0.8709 9.9961 2 20
50 9.1345 9.1385 0.8615 9.9959 10
— — 91 — 93 1 —
8 0 9.1436 9.1478 0.8522 9.9958 0 82
— 89 — 91 - 2 —
10 91525 87 9.1569 0.8431 9.9956 2 50
20 9.1612 85 9.1658 87 0.8342 9.9954 2 40
30 9.1697 84 9.1745 86 0.8255 9.9952 2 30
40 9.1781 82 9.1831 84 0.8169 9.9950 2 20
50 9.1863 9.1915 0.8085 9.9948 10
— 80 — 82 — 2 —
9 0 9.1943 9.1997 0.8003 9.9946 0 81
— 79 — 81 — 2 —
10 9.2022 78 9.2078 80 0.7922 9.9944 2 50
20 9.2100 76 9.2158 78 0.7842 9.9942 2 40
30 9.2176 75 9.2236 77 0.7764 9.9940 2 30
40 9.2251 73 9.2313 76 0.7887 9.9938 2 20
50 9.2324 9.2389 0.7611 9.9936 10
- — 73 — 74 2 — —
10 0 9.2397 9.2463 0.7537 9.9934 0 80
с г COS d. Ctg d. c. 1 tg sin d. / о
231
О » 1 sin d. tg d.c. ctg COS d. 1 b 73 71 70 69 68 67 1 7.3 7.1 7.0 6.9 6.8 6.7 2 14.6 14.2 14.0 13.8 13.6 13.4 3 21.9 21.3 21.0 20.7 20.4 20.1 4 29.2 28.4 28.0 27.6 27.2 26.8 5 36.5 35.5 35.0 34.5 34.0 33.5 6 43.8 42.6 42.0 41.4 40.8 40.2 7 51.1 49.7 49.0 48.3 47.6 46.9 8 58.4 56.8 56.0 55.2 54.4 53.6 9 65.7 | 63.9 63.0 62.1 61.2 j 60.3 66 65 64 63 61 60 1 6.6 6.5 6.4 6.3 ' 6.1 6.0 2 13.2 13.0 12.8 12.6 12.2 12.0 3 19.8 19.5 19.2 18.9 18.3 18.0 4 26.4 26.0 25 6 25.2 24.4 24.0 5 33.0 32.5 32.0 31.5 30.5 30.0 6 39.6 39.0 38.4 37.8 36.6 36.0 7 46.2 45.5 44.8 44.1 42.7 42.0 8 52.8 52.0 51.2 50.4 48.8 48.0 9 59.4 58.5 57.6 56.7 54.9 54.0 59 58 57 56 55 54 1 5.9 5.8 5.7 5.6 5.5 5.4 2 11.8 11.6 11.4 11.2 11.0 10.8 3 17.7 17.4 17.1 16.8 16.5 16.2 4 23.6 23.21 22.8 22.4 22.0 21.6 5 29.5 29.0 1 28.5 28.0 27.5 27.0 6 35 4 34.8 34.2 33.6 33.0 32.4 7 41.3 40.6 39.9 39.2 38.5 37.8 8 47.2 46.4 45.6 44.8 40.0 43.2 9 53.1 52.2 1 51.3 50.4 49.5 48.6 53 52 51 50 49 48 1 5.3 5.2 5.1 5.0 4.9 4.8 2 10.6 10.4 10.2 10.0 9.8 9.6 3 15.9 15.6 15.3 15.0 14.7 14.4 4 21.2 20.8 20.4 20.0 19.6 19.2 5 26.5 26.0 25.5 25.0 1 24.5 24.0 6 ' 31.8 31.2 30.6 30.0 29.4 28.8 7 37.1 36.4 35.7 35.0 34.3 33.6 8 42.4 41.6 40.8 40.0 39.2 36.4 9 47.7 46.8 45.9 45.0 44.1 43.2
10 11 12 13 14 15 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 9.2397 9.2468 9.2538 9.2606 9.2674 9.2740 9.2806 9.2870 9.2934 9.2997 9.3058 9.3119 9.3179 9.3238 9.3296 9.3353 9.3410 9.3466 9.3521 9.3575 9.3629 9.3682 9.3734 9.3786 9.3837 9.3887 9.3937 9.3986 9.4035 9.4083 9.4103 71 70 68 68 66 66 64 64 63 61 61 60 59 58 57 57 56 55 54 54 53 52 52 51 50 50 49 49 48 47 9.2463 9.2536 9.2609 9.2680 9.2750 9.2819 9.2887 9.2953 9.3020 9.3085 9.3149 9.3212 9.3275 9.3336 9.3397 9.3458 9.3517 9.3576 9.3634 9.3691 9.3748 9.3804 9.3859 9.3914 9.3968 9.4021 9.4074 9.4127 9.4178 9.4230 9.4281 73 73 71 70 69 68 66 67 65 64 63 63 61 61 61 59 59 .58 57 57 56 55 55 54 53 53 53 51 52 51 0.7537 0.7464 0.7391 0.7320 0.7250 0.7181 0.7113 0.7047 0.6980 0.6915 0.6851 0.6788 0.6725 0.6664 0.6603 0.6542 0.6483 0.6424 0.6366 0.6309 0.6252 0.6196 0.6141 0.6086 0.6032 0.5979 0.5926 0.5873 0.5822 0.5770 0.5719 9.9934 9.9931 9.9929 9.9927 9.9924 9.9922 9.9919 9.9917 9.9914 9.9912 9.9909 9.9907 9.9904 9.9901 9.9899 9.9896 9.9893 9.9890 9.9887 9.9884 9.9881 9.9878 9.9875 9.9872 9.9869 9.9866 9.9863 9.9859 9.9856 9.9853 9.9849 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 4 0 50 40 30 20 10 0 50 40 30 20 10 0 50 40 30 20 10 0 50 40 30 20 10 0 50 40 30 20 10 80 79 78 77 76
С » COS d. Ctg d.C. tg sin d.
232
sin d. ,s d... ctg cos d. t о
9.4130 50 49 48 47
15 0 9.4281 0.5719 9.9849 0 75
1 5.0 4.9 4.8 4.7
2 10.0 9.8 19.6 9.4
9.4177 9.4331 3 15.0 14.7 14.4 14.1
10 46 50 0.5669 9.9846 3 50 4 20.0 19.6 19.2 18.8
20 9.4223 46 9.4381 49 0.5619 9.9843 4 40 5 6 25.0 30.0 24.5 29.4 24.0 28.8 23.5 28.2
30 9.4269 9.4430 0.5570 9.9839 30 7 35.0 34.3 33.6 32.9
9.4314 45 49 । 3 20 8 40.0 39.2 38.4 37.6
40 45 9.4479 48 0.5521 9.9836 4 9 45.0 44.1 43.2 42.3
50 9.4359 44 9.4527 48 0.5473 9.9832 4 10
16 0 9.4403 44 9.4575 0.5425 9.9828 3 0 74 46 45 44 43
10 9.4447 44 9.4622 47 0.5378 9.9825 4 50 1 2 4.6 9.2 4.5 9.0 4.4 8.8 4.3 8.6
20 9.4491 42 9.4669 0.5331 9.9821 40 3 13.8 13.5 13.2 12.9
9.4533 9.4716 47 4 4 18.4 18.0 17.6 17.2
30 43 46 0.5284 9.9817 3 30 5 23.0 22.5 22.0 21.5
40 9.4576 42 9.4762 46 0.5238 9.9814 4 20 6 7 27.6 32.2 27.0 31.5 26.4 30.8 25.8 30.1
50 9.4618 9.4808 0.5192 9.9810 10 8 36.8 36.0 35.2 34.4
41 45 4 9 41.4 40.5 39.6 38.7
17 0 9.4659 9.4853 0.5147 9.9806 0 73
41 45 4
10 9.4700 41 9.4898 45 0.5102 9.9802 4 50 42 41 40 39
20 9.4741 40 9.4943 44 0.5057 9.9798 4 40 1 4.2 4.1 4.0 3.9
30 9.4781 40 9.4987 44 0.5013 9.9794 4 30 2 3 8.4 12.6 8.2 12.3 8.0 12.0 7.8 11.7
40 9.4821 40 9.5031 0.4969 9.9790 20 4 16.8 16.4 16.0 15.6
9.4861 10 5 21.0 20.5 20.0 19.5
50 9.5075 0.4925 9.9786 6 25.2 24.6 24.0 23.4
39 43 4 7 29.4 28,7 28.0 27.3
8 33.6 32.8 32.0 31.2
18 0 9.4900 39 9.5118 43 0.4882 9.9782 4 0 72 9 37.8 36.9 36.0 35.1
10 9.4939 9.5161 0.4839 9.9778 50
20 9.4977 38 9.5203 42 0.4797 9.9774 4 40
38 ' 42 4 38 37 36 35
30 9.5015 9.5245 0.4755 9.9770 30
37 42 9.9765 5 1 3.8 3.7 3.6 3.5
40 9.5052 9.5287 0.4713 20 2 7.6 7.4 7.2 7,0
50 9.5090 38 9.5329 42 0.4671 9.9761 4 10 3 4 11.4 15.2 11.1 14.8 10.8 14.4 10.5 14.0
36 41 4 5 19.0 18.0 17.5
6 22.8 22,2 21.6 21.0
19 0 9.5126 9.5370 0.4630 0.9757 0 71 7 26.6 25.9 25'2 24.5
8 30.4 34.2 29.6 33.3 28.8 32.4 28.0
37 41 5 9 31.5
10 9.5163 9.5411 0.4589 9.9752 4 50
20 9.5199 36 9.5451 0.4549 9.9748 40
зо 9.5235 9.5491 0.4509 9.9743 30
35 40 4
40 9.5270 36 9.5531 40 0.4469 9.9739 20 2 3
50 9.5306 9.5571 0.4429 9.9734 5 10 1 2 0.2 0.4 0.3 0.6 0.4 0.8
35 40 4 0.6 0.9 1.2
4 0.8 1.2 1.6
20 0 9.5341 9.5611 0.4389 9.9730 0 70 5 1.0 1.5 2.0
6 1.2 1.4 1.8 2.1 2.4 2.8
— —~
8 1.6 2.4 3.2
* COS d. Ctg d. c. tg sin d. 9 1.8 2.7 3.6
233
О f sin d. tg d. c. 7 Ctg cos d. 1 D
— = j==
20 0 9.5341 9.5611 0.4389 9.9730 0 70
— — 34 — 39 — 5
10 9.5375 9.5650 0.4350 9.9725 50
20 9.5409 34 9.5689 39 0.4311 9.9721 4 40 39 38 37 36
30 9.5443 9.5727 0.4273 9.9716 30 1 3.9 3.8 3.7 3.6
40 9.5477 34 9.5766 39 0.4234 9.9711 5 20 2 7.8 7.6 7.4 7.2
38 5 3 11.7 11.4 11.1 10.8
5С 9.5510 9.5804 0.4196 9.9706 10 4 15.6 15.2 14.8 14.4
5 19.5 19.0 18.5 18.0
— 33 — 38 — 4 6 23.4 22.8 22.2 21.6
21 0 9.5543 9.5842 0.4158 9.9702 0 69 7 8 27.3 31.2 26.6 30.4 25.9 29.6 25.2 28.8
— 33 — 37 — 5 9 35.1 34.2 33.3 32.4
10 9.5576 9.5879 0.4121 9.9697 50
20 9.5609 33 9.5917 38 0.4083 9.9692 s 40
Зо 9.5641 32 9.5954 37 0.4046 9.9687 5 30
40 9.5673 32 9.5991 37 0.4009 9.9682 5 20 35 34 33 32
50 9.5704 31 9.6028 37 0.3972 9.9677 5 10 1 2 3.5 7.0 3.4 6.8 3.3 6.6 3.2 6.4
32 36 5 3 10.5 10.2 9.9 9.6
4 14.0 13.6 13.2 12.8
22 0 9.5736 9.6064 0.3936 9.9672 0 68 5 17.5 17.0 16.5 16.0
6 21.0 20.4 19.8 19.2
— 31 — 36 — r-— 5 7 24.5 23.8 23.1 22.4
10 9.5767 9.6100 36 0.3900 9.9667 50 8 9 28.0 31.5 27.2 30.6 26.4 29.7 25.6 28.8
20 9.5798 9.6136 0.3864 9.9661 40
30 9.5828 30 9.6172 36 0.3828 9.9656 5 30
40 9.5859 31 9.6208 36 0.3792 9.9651 5 20
50 9.5889 30 9.6243 35 0.3757 9.9646 5 10 31 30 29 28
30 36 6 1 3.1 3.0 2.9 2.8
9.6279 2 6.2 6.0 5.8 5.6
23 0 9.5919 0.3721 9.9640 0 67 3 9.3 9.0 8.7 8.4
4 12.4 12.0 11.6 11.2
— 29 35 — 5 5 15.5 15.0 14.5 14.0
10 9.5948 9.6314 0.3686 9.9635 50 6 18.6 18.0 17.4 16.8‘
30 9.6348 34- 6 7 21.7 21.0 20.3 19.6
20 9.5978 0.3652 9.9629 40 8 24.8 24.0 23.2 22.4
30 9.6007 29 9.6383 35 0.3617 9.9624 5 30 9 27.9 27.0 26.1 25.2
40 9.6036 29 9.6417 34 0.3583 9.9618 6 20
50 9.6065 29 9.6452 35 0.3548 9.9613 5 10
28 —
34 6 27 4 5 6
24 ° 9.6093 9.6486 0.3514 9.9607 0 66 1 2.7 0.4 0.5 0.6
— 28 34 — 5 2 3 5.4 8.1 0.8 1.2 1.0 1.5 1.2 1.8
10 9.6121 9.6520 0.3480 9.9602 50 4 10.8 1.6 2.0 2.4
20 9.6149 28 9.6553 33 0.3447 9.9596 6 40 5 6 13.5 16.2 2.0 2.4 2.5 3.0 3.0 3.6
30 9.6177 28 9.6587 34 0.3413 9.9590 6 30 7 8 18.9 21.6 2.8 3.2 3.5 4.0 4.2 4.8
40 9.6205 28 9.6620 33 0.3380 9.9584 6 20 9 24.3 3.6 4.5 5.4
50 9.6232 27 9.6654 34 0.3346 9.9579 5 10
— 27 33 — 6 —- —
25 0 9.6259 9.6687 0.3313 9.9573 0 65
=. — — =; —щ
О ! cos d. ctg d. c. tg sin d. r о
234
0 г sin d. tg d. c. ctg COS a. r °
25 0 8,6258 9.6687 0.3313 9.9573 0 65
27 33 6
10 9.6286 9.6720 0.3280 9.9567 50
20 9.6313 27 9.6752 32 0.3248 9.9561 6 40
30 8.6340 27 9.6785 33 0.3215 9.9555 6 30
40 50 9.6366 9.6392 26 26 9.6817 9.6850 32 0.3183 0.3150 9.9549 9.9543 6 6 20 10
26 32 6
26 0 9.6418 9.6882 0.3118 9.9537 0 64
26 32 32 31 32 31
10 20 30 40 50 8.6444 8.6470 9.6495 9.6521 9.6546 26 25 26 25 9.6914 9.6946 9.6977 9.7009 9.7040 0.3086 0.3054 0.3023 0.2991 0.2960 9.9530 9.9524 9.9518 9.9512 9.9505 6 6 6 7 50 40 30 20 10
24 32
27 0 9.6570 9.7072 0.2928 9.9499 0 63
25 7
10 9.6595 9.7103 31 0.2897 9.9492 6 50
20 9.6620 9.7134 0.2866 9.9486 7 40
30 40 9.6644 9.6668 24 9.7165 9.7196 31 0.2835 0.2804 9.9479 9.9473 6 7 30 20
50 9.6692 9.7226 0.2774 9.9466 10
24 31 7
28 0 9.6716 9.7257 0.2743 9.9459 0 62
24 30 6
10 9.6740 9.7287 30 0.2713 9.9453 7 50
20 9.6763 24 9.7317 0.2683 9.9446 7 40
30 9.6787 9.7348 30 0.2652 9.9439 7 30
40 9.6810 23 9.7378 30 0.2622 9.9432 7 20
50 9.6833 9.7408 0.2592 9.9425 10
23 30 7
29 0 9.6856 9.7438 0.2562 9.9418 0 61
22 7
10 9.6878 9.7467 0.2533 9.9411 50
20 9.6901 23 9.7497 30 0.2503 9.9404 7 40
30 9.6923 22 9.7526 29 0.2474 9.9397 7 30
40 9.694(> 23 9.7556 30 0.2444 9.9390 7 20
50 9.6968 22 9.7585 29 0.2415 9.9383 7 10
22 8
30 0 9.6990 9.7614 0.2386 9.9375 0 60
о Г COS d. ctg d. c. tg sin d. 9 1- о 1
33 32 31 30
1 3.3 3.2 3.1 3.0
2 6.6 6.4 6.2 6.0
3 9.9 9.6 9.3 1 9.0
4 13.2 12.8 12.4 12.0
5 16.5 16.0 15.5 15.0
6 19.8 19.2 18.6 | 18.0
7 23.1 22.4 21.7 21.0
8 26.4 25.6 24.8 24.0
9 29.7 28.8 27.9 27.0
29 28 27 26
1 2.9 2.8 2.7 2.6
2 5.8 5.6 5.4 5.2
3 8.7 8.4 8.1 7.8
4 11.6 11.2 10.8 10.4
5 14.5 14.0 13.5 13.0
6 17.4 16.8 16.2 15.6
7 20.3 19.6 18.9 18.2
8 23.2 22.4 21.6 20.8
9 26.1 25.2 24.3 23.4
25 24 23 22
1 2.5 2.4 2.3 2.2
2 5.0 4.8 4.6 4.4
3 7.5 7.2 6.9 6.6
4 10.0 9.6 9.2 8.8
5 12.5 12.0 11.5 11.0
6 15.0 14.4 13.8 13.2
7 17.5 16.8 16.4 15.4
8 20.0 19.2 18.4 17.6
9 22.5 21.6 20.7 19.8
6 7 8
1 0.6 0.7 0.8
2 1.2 1.4 1.6
3 1.8 2.1 2.4
4 2.4 2.8 3.2
5 3.0 3.5 4.0
6 3.6 4.2 4.8
7 4.2 4.9 5.6
8 4.8 5.6 6.4
9 5.4 6.3 7.2
235
О / sin d. tg d. c. etg COS l"- i о
30 0 9.6990 22 9.7614 30 0.2386 9.9375 7 0 t>0
—
10 9.7012 9.7644 0.2356 9.9368 50
20 9.7033 9.7673 29 0.2327 9.9361 7 40
30 9.7055 22 9.7701 28 0.2299 9.9353 8 30
40 9.7076 9.7730 29 0.2270 9.9346 7 20
50 9.7097 9.7759 29 0.2241 9.9338 8 10
21 29 7
31 0 9.7118 9.7788 0.2212 9.9331 0 59
21 28 8
10 9.7139 9.7816 0.2184 9.9323 50
9.7160 21 29 8
20 21 9.7845 0.2155 9.9315 40
зо 9.7181 9.7873 0.2127 9.9308 7 30
40 20 29 8
9.7201 21 9.7902 28 0.2098 9.9300 8 20
50 9.7222 20 9.7930 28 0.2070 9.9292 8 10
32 0 9.7242 9.7958 0.2042 9.9284 0 58
20 28 8 8
10 9.7262 20 9.7986 28 0.2014 9.9276 50
20 9.7282 20 9.8014 28 0.1986 9.9268 8 40
30 9.7302 20 9.8042 28 0.1958 9.9260 8 30
40 9.7322 20 9.8070 27 0.1930 9.9252 8 20
50 9.7342 19 9.8097 28 0.1903 9.9244 8 10
33 0 9.7361 19 9.8125 28 0.1875 0.9236 8 0 57
10 9.7380 20 9.8153 27 0.1847 9.9228 9 50
20 9.7400 19 9.8180 28 0.1820 9.9219 8 40
30 9.7419 19 9.8208 27 0.1792 9.9211 8 30
40 9.7438 19 9.8235 28 0.1765 9.9203 9 20
50 9.7457 19 9.8263 27 0.1737 9.9194 8 10
34 0 9.7476 18 9.8290 27 0.1710 9.9186 9 0 56
10 9.7494 9.8317 0.1683 9.9177 50
20 9.7513 19 9.8344 27 0.1656 9.9169 : 40
30 9.7531 18 9.8371 27 0.1629 9.9160 9 30
40 9.7550 19 9.8398 27 0.1602 9.9151 9 20
50 9.7568 18 9.8425 27 0.1575 9.9142 9 10
18 27
35 0 9.7586 9.8452 0.1548 9.9134 0. 55
2 г COS d. etg d. c. tg sin d. f 1 □ 1
30 29 28 27
1 3.0 2.9 2.8 2.7
2 6.0 5.8 5.6 5.4
3 9.0 8.7 8.4 8.1
4 12.0 11.6 11.2 10.8
5 15.0 14.5 14.0 13.5
6 18.0 17.4 16.8 16.2
7 21.0 20.3 19.6 18.9
8 24.0 23.2 22.4 21.6
9 27.0 26.1 25.2 24.3
22 21 20 19
1 2.2 2.1 2.0 1.9
2 4.4 4.2 4.0 3.8
3 6.6 6.3 6.0 5.7
4 8.8 8.4 8.0 7.6
5 11.0 10.5 10.0 9.5
6 13.2 12.6 12.0 11.4
7 15.4 14.7 14.0 13.3
8 17.6 16.8 16.0 15.2
9 19.8 18.9 18.0 17.1
18 9 8 7
1 1.8 0.9 0.8 0.7
2 3.6 1.8 1.6 1.4
3 5.4 2.7 2.4 2.1
4 7.2 3.6 3.2 2.8
5 9.0 4.5 4.0 3.5
6 10.8 5.4 4.8 4.2
7 12.6 6.3 5.6 4.9
8 14.4 7.2 6.4 5.6
9 16.2 8.1 7.2 6.3
236
О 1 sin d. tg d. c. etg cos d. •Э
35 0 9.7586 9.8452 0.1548 9.9134 0 55
27 9
10 9.7604 9.8479 0.1521 9.9125 50
20 9.7622 18 9.8506 27 0.1494 9.9116 9 40
30 9.7640 18 9.8533 27 0.1467 9.9107 9 3o
40 9.7657 17 9.8559 26 0.1441 9.9098 9 20
50 9.7675 18 9.8586 27 0.1414 9.9089 9 10
17 27
36 9.7692 9.8613 0.1387 9.9080 0 54
18
10 9.7710 9.8639 0.1361 9.9070 50
20 9.7727 17 9.8666 27 0.1334 9.9061 9 40
17 26 9
30 9.7744 9.8692 0.1308 9.9052 30
9.7761 17 26 10
40 9.8718 0.1282 9.9042 20
17 27 9
50 9.7778 9.8745 0.1255 9.9033 10
17 26 10
37 0 9.7795 9.8771 0.1229 9.9023 0 53
16 26 9
10 9.7811 9.8797 0.1203 9.9014 10 50
17 27
20 9.7828 9.8824 0.1176 9.9004 40
16 26 9
30 9.7844 9.8850 0.1150 9.8995 30
17 26 10
40 9.7861 9.8876 0.1124 9.8985 20
50 9.7877 9.8902 0.1098 9.8975 10
16 26 10
38 0 9.7893 9.8928 0.1072 9.8965 0 52
17 26 10
10 9.7910 16 9.8954 0.1046 9.8955 10 50
20 9.7926 9.8980 26 0.1020 9.8945 40
30 9.7941 15 9.9006 26 0.0994 9.8935 10 30
40 9.7957 16 9.9032 26 0.0968 9.8925 10 20
50 9.7973 16 9.9058 26 0.0942 9.8915 10 10
16 26 10
39 0 9.7989 9.9084 0.0916 9.8905 0 51
15 26 10
10 9.8004 9.9110 0.0890 9.8895 50
20 9.8020 16 9.9135 25 0.0865 9.8884 9 40
30 9.8035 15 9.9161 26 0.0839 9.8874 10 30
40 9.8050 15 9,9187 26 0.0813 9.8864 10 r20
50 9.8066 16 9.9212 25 0.0788 9.8853 9 10
15 26 10
40 0 9.8081 9.9238 0.0762 9.8843 0 50
о t COS d. etg d.c. tg sin d.
27 26 25
1 2.7 2.6 2.5
2 5.4 5.2 5.0
3 8.1 7.8 7.5
4 10.8 10.4 10.0
5 13.5 13.0 12.5
6 16.2 15.6 15.0
7 18.9 18.2 17.5
8 21.6 20.8 20.0
9 24.3 23.4 22.5
18 17 16 15
1 1.8 1.7 1.6 1.5
2 3.6 3.4 3.2 3.0
3 5.4 5.1 4.8 4.5
4 7.2 6.8 6.4 6.0
5 9.0 8.5 8.0 7.5
6 10.8 10.2 9.6 9.0
7 12.6 11.9 11.2 10.5
8 14.4 13.6 12.8 12.0
9 16.2 15.3 14.4 13*5
11 10 9
1 1.1 1.0 0.9
2 2.2 2.0 1.8
3 3.3 3.0 2.7
4 4.4 4.0 3.6
5 5.5 5.0 4.5
6 6.6 6.0 5.4
7 7.7 7.0 6.3
8 8.8 8.0 7.2
9 9.9 9.0 8.1
237
О » sin d. tg d. c. etg COS d. о
1 1
4( 0 I 9.8081 9.9238 0.0762 9.8843 0 50
26 11
10 9.8096 9.9264 0.0736 9.8832 50
20 9.8111 15 9.9289 25 0.0711 9.8821 11 40
30 9.8125 14 9.9315 26 0.0685 9.8810 30
40 9.8140 15 9.9341 26 0.0659 9.8800 10 20
50 9.8155 15 9.9366 25 0.0634 9.8789 11 10
26
41 0 9.8169 9.9392 0.0608 9.8778 0 49
25
10 9.8184 9.9417 0.0583 9.8767 50
20 9.8198 14 9.9443 26 0.0557 9.8756 11 40
9.8213 15 25 11
ЗС 9.9468 0.0532 9.8745 30
40 9.8227 14 9.9494 26 0.0506 9.8733 12 20
50 9.8241 14 9.9519 25 0.0481 9.8722 11 10
11
42 0 9.8255 9.9544 0.0456 9.8711 0 48
14 12
10 9.8269 9.9570 0.0430 9.8699 50
14 9.9595 25 11
20 9.8283 0.0405 9.8688 40
14 26 12
30 9.8297 9.9621 0.0379 9.8676 30
14 25 11
40 9.8311 9.9646 0.0354 9.8665 20
13 25 12
50 9.8324 9.9671 0.0329 9.8653 10
12
43 0 9.8338 9.9697 0.0303 9.8641 0 47
13 25 12
10 9.8351 9.9722 0.0278 9.8629 50
14 25 11
20 9.8365 9.9747 0.0253 9.8618 40
13 26 12 30
30 9.8378 9.9773 0.0228 9.8606
13 25 12
40 9.8391 9.9798 0.0202 9.8594 20
14 25 12 10
50 9.8405 9.9823 0.0177 9.8582
13 25 13
44 0 9.8418 9.9848 0.0152 9.8569 0 46
12
10 9.8431 9.9874 0.0126 9.8557 50
20 9.8444 13 9.9899 25 0.0101 9.8545 12 40
30 9,8457 13 9.9924 25 0.0076 9.8532 13 30
40 50 9.8469 9.8482 13 13 9.9949 9.9975 25. 26 0.0051 0.0025 ^852$ 9.8507 12 13 20 *•
25
45 0 9.8495 0.000 0.000 9.8495 0 45
.1
о 1 cos d. etg d.c. tg sin d. О
26 25
1 2.6 2.5
2 5.2 5.0
3 7.8 7.5
4 10.4 10.0
5 13.0 12.5
6 15.6 15.0
7 18.2 17.5
8 20.8 20.0
9 23.4 22.5
15 14 13
1 1.5 1.4 1.3
2 3.0 2.8 2.6
3 4.5 4.2 3.9
4 6.0 5.6 5.2
5 7.5 7.0 6.5
6 9.0 8.4 7.8
7 10.5 9.8 9.1
8 12.0 11.2 10.4
9 13.5 12.6 ll.7
12 11
1 1.2 1.1
2 2.4 2.2
3 3.6 3.3
4 4.8 4.4
5 6.0 5.5
6 7.2 6.6
7 8.4 7.7
8 9.6 8.8
9 10.8 9.9
238
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
Учебные книги
ДЛЯ ВТОРОГО КОНЦЕНТРА
Книга обладает большими методическими достоинствами и безупречна
в научном отношении. Знакомство с ней особенно полезно преподавателям,
нуждающимся в повышении своей квалификации, ее можно также рекомендо-
вать в качестве пособия для педтехникумов.
Киселев А. — Задачи и упражнения к „Элементам алгебры".
Допущ. Гусом. Стр. ИЗ. Ц. 60 к.1
Крогиус В. — Прямолинейная тригонометрия. Стр. 11.9. Ц. 60 к.
Книга может быть применена лишь во 2-м концентре школы II сту-
пени. Так как соответственных программ Гуса нет, то не приходится
говорить, насколько книга удовлетворяет программам Гуса.
Принимая во внимание, что учащиеся последних групп II ступени
имек!т некоторые тригонометрические познания, следует признать мате-
риал книги вполне доступным для 8 — 9-й возрастных групп, для кото-
рых она Iявляется весьма полезным пособием. ^Книга безукоризненна в
методическом и научном отношениях.
Рыбкин Н. — Сборник геометрических задач на вычисление.
Часть I. Планиметрия. Стр. 129. Ц. 55 к.
Часть^П. Стереометрия. Стр. 104. Ц. 45 к.
Рыбкин Н. — Учебник прямолинейной тригонометрии и собрание
задач. Стр. 175. Ц. 65 к.
Курс написан в дореволюционное время, а потому он и по содержа-
нию и расположению материала и по его объему не соответствует про-
граммам Гуса, хотя обладает несомненными достоинствами как в смысле
методической выдержанности, так и в отношении научности изложения.
Может быть использован и для самообразования, на рабфаках и для
повышения квалификации преподавателей.
ПРОДАЖА ВО ВСЕХ МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ ГОСИЗДАТА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА—ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
Учебные к н н i н
ДЛЯ ВТОРОГО КОНЦЕНТРА
Гебель В. — Сборник геометрических задач. Стр. 132. Ц. 90 к.
Сборник содержит геометрические задачи на вычисление, построение
и доказательство по курсу как планиметрии, так и стереометрии. Большая
часть задач — чисто геометрические, но имеются и практические. В общем
сборник довольно полный —1960 задач. Задачи в общем нетрудные и рас-
считаны на среднего учащегося. Книга может быть использована частично
во всех группах школ II ступени, кроме 5-й.
Державин С. — Прямолинейная тригонометрия. Стр. 168. Ц. 1 р.
По характеру изложения книга, представляющая собой оригинально
построенный курс, может быть использована в старших группах школ II
ступени, на рабфаках и в техникумах.
Может быть рекомендована вниманию учителей, нуждающихся в по-
вышении квалификации.
Киселев А. — Элементарная геометрия. Допущ. Гусом. Стр. 346.
Ц. 1 р. 40 к., в пер. 1 р. 65 к.
Киселев А. — Элементы алгебры и анализа. С приложением
четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и
антилогарифмов. Допущ. Гусом.,
Ч. I. Элементы алгебры. Ц. 2 р.
Ч. II. Элементы анализа. Ц. 1 р. 10 к.
Книга является капитальной переработкой основного курса алгебры
того же автора с дополнениями по началам аналитической геометрии и
анализа бесконечно-малых. Объем курса, в общем соответствующего по со-
держанию современным программным требованиям, несколько широк по
сравнению с тем, что может быть пройдено во 2-м концентре II ступени и
девятилетке.
ПРОДАЖА ВО ВСЕХ МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ ГОСИЗДАТА