УЧЕБНИК
ПО ГАТЕМАТИЧЕ
ДЛЯ IV ГОДА
БУЧЕНИЯ
ЮНЫМ
УРАЛОГИЗ 1S32

ЮНЫМ СТРОИТЕЛЯМ
УРАЛА
УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ 4-го ГОДА ОБУЧЕНИЯ
ШКОЛ I СТУПЕНИ
'ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
П. С Ы Р Н Е В А
'Реко чендован Учебно-методи чес.. им
сектором Ур ало но
ОГИЗ
УРАЛЬСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
СВДРДЛОВСК	'932	МОСКВА
Главный редактор С. Аносов
Оформлено бригадой техредов им. „Внигэу* '.Вс Щепи^ „
В. Новиков

НЛУЧН.-.Г1
ГИЧ₽а# д •»
ОТЙНА
Гог -ит К В—287
Издание ОГЮ
Свердлове!;, Уралгазеттрест, тип. «Гранит». Заказ J4 Б8Э7 (327)-
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
УПРАЖНЕНИЯ В УСТНОМ СЧЕТЕ.
Начнем нашу работу по математике с повторения пройден-
ного в прошлом году.
Проверьте себя, умеете ли вы устно решать задачи.
На тех примерах, которые даются ниже, подумайте, как проще
решить каждый из них.
Вспомните правила устного решения примеров.
После решения примеров запишите эти правила в свои тетра ди.
1.	84 + 37+ 16 = 124 + 324 + 76 = 255 -j-128 + 45 =		387 + 235 + 113 = 475+ 156+125 = 356 + 286 + 235 =
2.	98+ 46 = 723 + 196 = 299 + 324 =	524 + 202 = 398 + 299 = 824+ 98 =	624 + 301 = 402 + 198 = 603 + 297 =
3.	195 + 197 + 199 = 189 + 202+ 198 = 201 + 198+ 197 =	296 + 298 + 299 = 496 + 502 = 98+ 110+ 97 + 96 =	
4.	698 — 124 = 205—137 = 402 — 225 =	896 — 237 = 502 — 398 = 574 — 399 =	823 — 405 = 628 — 302 = 999 — 765 =
5.	134— 69 = 712 — 398 = 718 - 655 =		526-375 = 28' —178 = 177 —.58 =
6.	17 X 9 = 48 X 99 =	63 х 99 = 24 X 9 =	315 х 9 = 6 х 99 =
7.	74 X 5 =	24 х 68 X 5 =	62 X 124 x 5= 126 X	50 =	84 X 500 =~=	150 х	5 = 50=	16 x 500=	312 x	5 = 50=	12x500=	306x	5	=	
3
8.	15 х	5 =	121 х	5 =	93 х	5 =
	25 х	5 =	65 х	5 =	75 х	5 =
	9					
9.	56 х	25 =	120 х	25 =	104 х	25 =
	48 х	25 =	96 х	25 =	256 X	25 =
	36 X	25 =	224 х	25 =	448 X	25 =
Ю.	18 х	15 =	•	120 х	15 =	68 х	15 =
	24 х	15 =	224 х	15 =	256 х	15 =
11,	84 х	125 =	64 X	125 =	16 X	125 =
	32 х	125 =	72 х	125 =	24 х	125 =
12.	28 х	35 =	36 х	35 =	28 X	35 =
	64 х	35 =	56 х	35 =	84 X	35 =
13.	24 х	11 =	72 х	11 =	37 х	11 =
	63 х	11 =	52 х	11 =	48 х	11 =
	35 х	11 =	43 X	11 =	65 X	П =
Указание: Когда нужно умножить двухзначное число на 11, то
можно упростить это вычисление следующим образом. Положим,
нам надо перемножить числа 53 и 11. Это значит—53 взять де-
сять раз и еще один раз, т. е.:
53
х 10
530
+ 53
*	583	
14. 256: 8 =	1296:144 =	125:25 =
375;15 =	225: 15 =	1225:35 =
576:24 =	256: 16 =	2025:45 =
Напишите в свои тетради цифрами следующие числа:
Восемьсот сорок шесть тысяч триста двадцать четыре.
Шестьсот двадцать четыре тысячи двести два.
Триста сорок шесть тысяч двадцать два.
Двести двадцать тысяч сорок один.
Пятьсот шесть тысяч сорок семь.
Четыреста тысяч шестьсот два.
Девятьсот тысяч сто девять.
Восемьсот тысяч один.
Один миллион.
4
Придумайте по нескольку чисел и запишите в свои тетради.
Проверьте, все ли учащиеся умеют записывать цифры до
миллиона.
Решите письменно следующие примеры:
15.	4	248.485 451.213	+	312.924 373,448	405.302 293,409
	4-	724.609 220.003	+	700.001 234.506	202.303 + 132,000
16.		849.849 623.524	—	472.319 361.232	324.502 232.907
	—	605.404 294.578	—	324.008 202.307	800.000 349.279
17.	X	4.242 8	X	43.028 24	35.408 343
	X	21.978 108	X	36.646 10	209.750 100
18.		884.886: 2 = 804.944:32 = 405.610:10 =		707.176:112 = 333.320:104 = 308.308:308 =	
Проверьте, правильно ли вы решили эти примеры.
Вспомните, как нужно проверять правильность решения за"
дач на сложение, вычитание, умножение и деление.
Придумайте сами численные примеры на все четыре действия.
Решите их и проверьте.
Решите такие задачи:
1. В 1922 г. в нашем Союзе было 57.000 инженеров и 55.000
техников. В 1932 г. количество инженеров увеличилось до 164000
человек, а количество техников до 138.000. На сколько увеличи-
лось количество специалистов в нашем Союзе за 10 лет?
2. На сколько больше в СССР студентов во втузах (высшие
технические учебные заведения) по сравнению с Германией
Японией и Францией, если к концу 1931 г. студентов было
в СССР 394.000, в Германии 140.000, в Японии 110.000 н во Фран*
ции 67.000.
Во сколько (приблизительно) раз в СССР студентов больше,
чем в каждой из этих стран в отдельности?
.НУЖНО ДОБИТЬСЯ ТОГО, ЧТОБЫ у РАБОЧЕГО КЛАССА
БЫЛА СВОЯ СОБСТВЕННАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ТЕХНИЧЕ-
СКАЯ ИНТЕЛЛИГЕНЦИЯ".
СТАЛИН.
НУМЕРАЦИЯ В ПРЕДЕЛАХ МИЛЛИАРДА.
Цо сих пор мы встречались с числами, старшие разряды ко-
хорых были миллионы. Для чтения и записи чисел мы их раз-
бивали на разряды, пользуясь для обозначения числа единиц
каждого разряда цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,0. Одна и та
же цифра, в зависимости от места, где она написана, имеет раз-
ные значения.
На первом месте справа ставятся простые единицы,
на втором месте „	„	„	десятки,
на третьем „	„	„	„	сотни,
на четвертом,,	„	„	„	тысячи,
на пятом	„	„	„	„ десятки тысяч,
на шестом „	„	„	„ сотни тысяч,
на седьмом „	„	„ тысячи тысяч, или единицы
миллионов
на восьмом „	„	„ десятки миллионов,
на девятом „	„	„ сотни миллионов.
Удобнее представить это значение цифр по месту их в числе
при записи больших чисел, пользуясь или обыкновенными рус-
скими торговыми счетами, или такой табличкой:
III класс			II класс		I к л а с с	I		
Миллионы (километры)			Тысячи (метры)		Простые единицы (миллиметры)		
Сот- ни	Десятки	Единицы	Сотни |«ecs,T- | КН	Единицы	Сотни	Десятки	Еди- ницы
Каждые десять единиц низшего разряда составляю.’ одну
единицу следующего высшего разряда.
Кроме разрядов, числа распределяются еще по классам: каж-
дые три разряда числа, начиная с единиц, составляют один класс.
Первые три разряда справа составляют 1-й класс единиц,
вторые „ в в	„	2-й класс тысяч,
третьи ввп	„	3-й класс миллионов.
Тысяча миллионов, или десять сотен миллионов, называются
миллиардом. Ктасс, в который войдут миллиарды, называется
классом миллиардов.
Если за единицу измерения (счета) принять миллиметр (ты-
сячная доля метра), то километр составит миллион миллиметров,
га тысяча километров составит миллиард миллиметров.
Прочитайте следующие числа:
'8.624.162;	2.5О2.601;	2.005.028;
3.268.473;	2.0241847;	3.287.567;
7.628.366.534;	12.654.326.865;	5.024.381.024.
Пои задней многозначных чисел классы чисел, для удобства
чтения, отделяются небольшими промежутками.
На которой проволоке (снизу) на классных счетах отклады*
гааются миллиарды, сотни миллионов, десятки тысяч, сотни?
Положите на счетах:
/2.643.424; 30.249.091; 4.503.291; 3.269.494; 8.909.324; 5.627.329.
Придумайте сами несколько примеров и положите их на сче-
тах. Напишите в своих тетрадях следующие числа:
Восемь миллионов триста двадцать четыре тысячи пятьсот
тридцать три.
Сто семь миллионов четыреста три тысячи двести один.
Двести пять миллионов четыреста десять тысяч двадцать во-
семь.
Сто миллионов пятьсот пять тысяч шестьсот шесть.
'Сто миллионов четыреста десять.
•Сорок миллионов двести два.
Один миллиард.
Придумайте сами несколько чисел и запишите их в свои тет-
ради. Проверьте друг у друга, верно ли вы записали.
Сокращенная запись больших чисел.
Во многих случаях, когда нам приходится встречаться с боль-
шими числами, запись их можно упростить. Если, например, в
/каком-нибудь городе население по переписи на определенный
7
день составляет 128.629, то обычно счет населения при срас*х»-
нии с другими городами округляют в тысячах и говорят: „На-
селение этого города 128—129 тысяч." Округлгя таким образом»,
берут то число, которое ближе к действительному. В нашем
примере ошибка будет меньше, если мы вместо 128.629 всзъмз.-*
129 тысяч, чем если бы взяли 128 тысяч.
Принято, вообще, поступать так. Если первая из отбрасываемых
цифр пять или бопьше пяти, то последнюю остающуюся
увеличивают на единицу.
Округлите в тысячах:
12.267;	745 728;	36.157; ' 45.564:	324.389-
Округлите в миллионах числа:
69.236.124;	82.926.519;	35.162.988;	36.724.112.
Часто при округлении в каких-либо крупных единицах бы-
вает необходимо учесть десятые доли этих единиц (разрьдоь)..
Например, советская промышленность за 1931 год дала стране-
продукции на 27.090.000.000 рублей; в том числе «тяжелая про-
мышленность дала И.ЬиО.000.000 рублей, легкая промышлен-
ность 7.600.000 рублей, лесная промышленность 2.500.000.000 руб-
лей, промышленность Нарк эмснаба 5.000.000.000 рублей.
Запишите эти данные, выразив их в миллиардах, с точностью,
до десятой.
Примечание: точностью называем тот наименьший разряд»
который сохраняем. Так, если в числе 72.424 мы сохраним только»
72.000, то ошибка не превысит 1000, и потому говорят: „Вы1 ;исле-
"Ние произведено с точностью до тысячи".
Округлите 17.263.824.126 с точностью до 1 миллиона, с •«•оч-
. ностыо до 1 тысячи.
Округлите число 2.568.32.4 с точностью до 1 миллиона; е.
точностью до 1 тысячи; с точностью до 1 CO1HH.
ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С БОЛЬШИМИ ЧИСЛАМИ.
Сложение и вычитание многозначных чисел.
Решите примеры, пользуясь известными вам ноавилами сло-
жения и вычитания многозначных чисел:
87.454.128	82.900.512
*•	+ 13.247,169	+ 61,000.488
8
2.	__270.127.312	_1.000 000.000
56.027.305	“ 275.163.524
3.	(16.274.386.005 — 2.004.312.545)—(6.121.112.385—4.627.513.418) =-
( 9.124.528.735 — 1.024.617.839)— (5.172.453.218—3.634.000.815) =
( 4.485.167.273 — 2.615.436.027)—(6.824.345.778—4.956.286.135) =
( 3.824.512.436— 201.567.584) —(6.287.365.122—3.543.363.112) =
Произведите вычисления и определите, чему равен X:
4.	5.637.486.115 —X = 8.312.657.324
X — 1.604.328.756 = 102.863.517
(3.267.324.516 — 120.735.548) + X = 5.001.312.305
Как называются числа, которые мы складываем?
Как называется число, которое получается от сложения?
Какое число мы называем вычитаемым, уменьшаемым?
Какое число мы называем разностью?
Придумайте сами несколько примеров в пределе миллиарда-
на сложение и вычитание. Решите их и Проверьте правильность
решения.
Умножение и деление многозначных чисел.
Как называются числа, которые мы перемножаем?
Как называется число, получаемое от умножения?
Произведите умножение следующих чисел:
46S.568.008 х 5 =
2.524.000 х 8 =
32.000.000 х 6 =
260.000 х 12 =
3.140.000 х 15 =
8.260.000 х 17 =
Обратите внимание, какие наименьшие значащие разряды мы?
имеем в множимых и какие наименьшие значащие разряды по-
л}чаем в произведении.
Значащими разрядами называются те, которые выражаются
любой цифрой, кроме нуля. Так, в первом примере первой знача-
щей цифрой множимого является 8. Значит, наименьший знача-
щий разряд в этом ’числе—разряд тысяч.
Произведите умножение следующих чисел'
5.	• 300 х 20 =
3000 х 200 =
30000 х 2000 =
324.000 у 2.400 =
816.000 х 3.200 =
720.000 х 41.000 =
6.	Как проще всего перемножать числа, оканчивающиеся
«нулями?	>
Сделайте вывод и запишите его у себя в тетрадях.
7.	Как называются числа, которые мы делим? на которые де-
лим? которые получаются от деления?
8.	Разделите следующие числа:
8.824.000 : 4 =
62.576.000: 16 =
65.895.000:23 =
43.452.000:34 =
146.625.000:51 =
71.456.000:22 =
Обратите внимание—какие наименьшие значащие рязряды
’мы имеем в делимом и какие наименьшие значащие разряды
"получаем в частном.
9.	Разделите следующие числа:.
800 : 20 =	25.000 :	500=	100.000:1000 =
770: 70 =	625.000:25.000=	810.000: 900 =
5.400:900=	324.000:18.000=	864.000: 900 =
8.4U0:800 =
Результат деления проверьте умножением.
10.	Какой можно сделать вывод о делении чисел, оканчиваю-
енихся нулями? Запишите его в тетрадях.
II.	Перемножьте числа:
348 х 2.006 =
Помножить 348 на 2.006—значит взять 348 2.006 раз. Поэтому
при умножении 348 на 2.006 надо 348 взять 2.000 раз да еще
<6 раз.
Запись производится следующим образом:
348
Х 2.006
2.088
+ 696
698.088
Умножая на 2000, мы получаем тысячи. Нужно это произ-
ведение подписать в разряде тысяч, как указано в решенном
.дримере.
12.	Перемножьте следующие числа:
627 X 504=	8.005 X 207=	12.005x3.008=
806 X 908=	9.015X3.009=	2.408x3.005=
Г .546 X 7.004=	8.002 х 5.006=	63.001 X 4.007=
10
13.	Выполните вычисление в примерах:
[1.124.586—(786.457+ 192.563)] X 205=
(247 724 + 302.226) X103+(628.754—426.815) X 203=
[(2.005.832—1.568.343)—(235.208—156.436)] X 302=
[115.100—(73.519+35.873)] х 205=
14.	Произведите деление числа 396.824 на 897.
Вспомните, как поступали раньше при определении цифр
частного. Для упрощения делимое нужно округлить в еди-
ницы старшего разряда. В нашем примере—в сотни. Округляя
$97 в сотнях, будем иметь 900. Для определения цифр частного
-будем делимое делить на 9 сотен. Сначала делим 39 на 9 и на-
ходим первую цифру частного — 4. Также поступаем и дальше»
снося к каждому из остатков одну цифру.
Результат деления всегда можно проверить умножением. Как
это сделать? Что нужно делать с остатком при проверке?
_396.824	| 897
3588	442
3802
"" 3588
2144
—	1794	•
350
Пользуясь способом округления делителя, решите следующие
примеры:
15.	30.870:315 =	83.468:308 =	59.285:835 =
14.587	:503 =	43.092:342 =	57.021: 687 =
41.286	:983 =	120.631:907=	25.032:447 =
1Б. Разделите число 11.881 на 109. Результат деления про-
верьте умножением. Почему второй цифрой частного является
нуль?
17.	Разделите числа:
1.165.141:563 =
219.184:721 =
159.192:198 =
1.209.812:4.006 =
1.520.555:2.525 =
628.992:3.024 =
649.296:324 =
10.036.018:2.006 =
3.10^.863:621 =
2.521.575:315 =
2.099.668:524 =
1.033.758:2.043 =
2.112.515:3.005 =
2.041.224:5.003 =
12.823.205:3.205 =
4.024.036:4.012 =
11
18.	Разделите следующие числа:
2-6.400 : 200 =	80 000: 1.600 =	289.000:1.700 =
275.000:25.000=	100.000:4.000=	504.000:56.000 =
336.000:4.200=	18.000:4.500=	728.000:18.200 =
19.	В следующих примерах найдите неизвестное X:
X- (1.980—520) = 3000	625 х X = 212.500
(2-! 00 + 600)—Х= 1700	724 х X = 596.780
209.100 : X = 510	245.024: Х= 806.
Гадами на целые числа.
». Ряды партии ВКП(б), передового отряда рабочего клас-
са, растут и крепцут. В 1922 г. в партии состояло 659.000 чле-
нов. К началу первой пятилетки число членов партии было
1.200.000, а к 1932 году число членов и кандидатов партии до-
стигло 3.000.000 членов.
Смена партии — комсомол — в те же годы имел: в 1922
415.000 членов, в начале первой пятилетки —1.960.000, в 1932 г,—
6.000.000 членов. Подсчитайте: а) на сколько увеличилось число
членов партии в 1932 г. по'сравнению с 1922 г. и по сравнению
с первым годом пятилетки; б) насколько увеличилось число
членов комсомола в 1932 г. по сравнению с 1922 г. и первым
годом пятилетки; в) во сколько раз число членов комсомола
больше числа членов партии в 1932 г; г) начертите ломаную
линию—график роста партии и комсомола.
7. Профсоюзы являются организатором трудящихся в борь-
бе за успешное выполнение социалистического строительства*
Наши профсоюзы в начале 1922 г. имели 4.566.000 членов, к
концу 1928 г. (начало первой пятилетки) профсоюзы имели
10.994.600 членов, в 1932 г. число членов профсоюзов достигло
17.000.000 человек. Сравните: насколько увеличилось число чле-
нов профсоюзов в 1932 г. по сравнению с 1922 г. и по сравне-
нию с 1928 г.
РОСТ ПАРТИИ, КОМСОМОЛА И 5ЧИСЛО ЧЛЕНОВ ПРОШСОЮ’
ЗОВ СВИДЕТЕЛЬСТВУЕТ О РОСТЕ МОЩИ И ОБОРОНОСПО-
СОБНОСТИ СОВЕТСКОГО СОЮЗА.
3.	В намечаемом плане второй пятилетки по Урало-Кузбассу
намечается в 1937 г. выплавить 11.000.000 тонн чугуна.
Подсчитайте, сколько вагонов и поездов потребуется для
перевозки этого чугуна, если в один вагон погружать 16 тоны
и если поезд будет иметь 60 вагонов.
12
4.	Добыча угля по Урало-Кузбассу в проекте плана на 1937 г.
намечена в 110.000.000 тонн. Подсчитайте, сколько нужно ваго-
нов и поездов для перевозки этого угля при погрузке в один
вагон 10 тонн и если в составе поезда 40 вагонов?
5.	Успешное построение социализма в нашей стране и значи-
тельное улучшение существования трудящихся зависят исклю-
чительно от того, как будет выполняться отдельными предпри-
ятиями намеченный план работы. По целому ряду отдельных
промышленных предприятий Урала работа идет еще недостаточно
успешно. В отчетном докладе на областном с'езде профсоюзов
указывалось, что уральская промышленность в 1931 г. должна
была дать стране продукции на 1.036.000.000 рублей,а в действи-
тельности дала только на «55.000.000 рублей. Высчитайте, на
сколько рублей недовыполнен план 1931 г. уральской промыш-
ленностью.
а)	Узнайте, как выполнен план работы завода, совхоза или
колхоза, к которым прикреплена школа.
б)	Если план недовыполнен, узнайте—почему.
ТОЛЬКО УДАРНОЙ РАБОТОЙ МЫ СМОЖЕМ ОБЕСПЕЧИТЬ ПО-
БЕДУ СОЦИАЛИЗМА. ВСЕ В РЯДЫ УДАРНИКОВ-НА БОРЬБУ
С ПГОРс'ВАМИ!
6.	Мы еще не изжили полностью прогулы. Несознательные
учащиеся прогуливают учебные занятия. Есть прогулы на заво-
дах, фабриках и в колхозах. Высчитайте, какой убыток государ-
ству принесут ваши школьные прогульщики, если в результате
прогулов двадцать пять человек останутся на второй год и если
содержание каждого ученика в год стоит 105 рублей.
7.	Высчитайте, какой убыток государству был нанесен про-
гульщиками уральской промышленности в 1931 г., если всего за
год было прогуляно 2.400.000 человеко-дней и если каждый про-
гулянный человеко-день приносил убытка 23 рубля. Узнайте:
а) есть ли прогулы на заводе (совхозе, колхозе), к которому
прикреплена школа: б) что делается в борьбе с этими прогула-
ми; в) подсчитайте, какой убыток несет завод (совхоз, колхоз)
от прогулов за каждый месяц, г) составьте диаграмму убытков и
поместите ее в стенгазете завода.
8.	За последние два года на Урале вновь выстроенные жи-
лые помещения дали 1.U4.000.0C0 квадратных метров жилой
площади. Сколько приблизительно человек поместилось во вновь
13
выстроенных жилых помещениях, если принять норму 5 кв.
на человека.?
9.	Одним из показателей культурного роста рабоче-колхозных.
масс является читаемость газет. Следующая таблица показывает
как увеличивается тираж (тиражом называется количество печа-
таемых экземпляров газеты) центральной газеты «Известия ЦИК»,
Годы Тираж
1913	105.500
1925	521.200
1930	701.500	t
1931	1.31.700
1932 1.650.000
Подсчитайте: а) насколько увеличился тираж „Известий" с
1918 г. до 1925 г., с 1918 г. до 1930 г., с 1918 г. до 1932 г.; б) на-
сколько увеличился тираж „Известий" за последний год; в) во-
сколько (приблизительно) раз тираж 1932 г. превышает тираж
1918 г.?
10.	Советская воздушная эскадрилья 9 сентября 1930 г. в
7 ч. 25 мин. вылетела из Тифлиса в Тегеран, где спустилась в
13 ч. 40 мин., покрыв, таким образом, расстояние в 1.075 км
Определите скорость полета эскадрильи (т. е. сколько кило-
метров проходила эскадрилья в 1 час).
11.	На сколько километров в час скорость советской эскад-
рильи (найденная в предыдущей задаче) больше скорости цеппе-
лина, если путь в 642 км от Себежа до Москвы цеппелин совер-
шил в 6 часов?
12.	По плану на 1932 г. на Урале совхозы должны засеять
картофелем 30.000 га., колхозы — площадь в 3 раза большую по
сравнению с совхозами. Какой ожидается урожай картофеля в
совхозах и колхозах, если средняя урожайность предполагается в
9.400 кг. с 1 га?
13.	Правительством СССР выпущен новый выигрышный го-
сударственный заем с ежемесячными тиражами (розыгрышами).
В каждом тираже разыгрываются: 1 выигрыш в 25.000 руб., 5 выиг-
рышей по 10.000 рублей, 10 выигрышей по 5.000 рублей, 5С
выигрышей по 1.000 рублей, 100 выигрышей по 500 руб. и 759
выигрышей по 300 рублей. Подсчитайте: а) на какую сумму ра-
зыгрывается выигрышей в каждом тираже; б) чему равна сумма
всех выигрышей в течение года; в) какую сумму составляют все
выигрыши за 10 лет?
ВСЕ СВОБОДНЫЕ СРЕДСТВА—В ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ЗАЙМЫ
14
14.	Буржуазные правительства соседних с нами стран на За-
паде усиленно готовятся к войне против нас. Им помогают ка-
питалисты крупных государств—Франции, Англии и Италии. Сле-
дующая таблица показывает, как идст эта подготовка в отно-
шении роста численности армии западных государств.
Численность армий западных государств:
Государства	Численность армий			Численность | 1 населения 	.	
	1923 г.	1929 г.	1932 г.	
Финляндия		32.000	33.000	33.000	3.47CG00
Румыния 		153.000	198.000	240.000	18.000.000
Эстония		12.000	13.000	13.U00	1.084.01 X)
Латвия		20.000	20.000	20.000	1.845.00С
Литва		20.000	20.000	20.000	2.222.000
Польша		265.000	3G0.000	306.307	30.000.000
СССР		708.000	562.000	562.000	148.000.000
(В этой таблице численность армий в 1932 г. по Финляндии,
Эстонии, Латвии. Литве неизвестна, и количество приведено то
же, что и в 1929 г., хотя в действи тельности численность больше'
Подсчитайте: а) общую численность армий и населения запад-
ных государств в 1923 г. и в 1929 г. и на сколько человек за-
падные соседи СССР увеличили численность своих армий с 1923 г.
по 1932 г.; б) на сколько человек советская власть уменьшила
численность Красной армии за это же время; в) сколько солдат
приходится в 1932 г. на 1000 человек населения западных госу-
дарств и сколько красноармейцев у нас. Кроме регулярной армии,
во всех соседних буржуазных странах существуют фашистские
организации. Члены фашистских организаций также обучаются-
военному делу и готовы в любой момент выступить против
СССР и своих рабочих. Бот численность этих организаций:
ГОСУДАРСТВА		Численность армий		
		1923 г.	1925 г.	.1929 г.
Финляндия		120.000	100.000	100.000
Эстония . .	- 		 . • •	10.000	25.000	27.00)
Латвия . . .	*	15.0W	25.000	40 0 0
Польша . . .		150.000	300.000	1.300.000
15
Подсчитайте: а) численность фашистских организаций по годам
во всех государствах вместе; б) насколько увеличилась числен-
ность фашистских организаций в 1929 г. по сравнению с 1925 г.
Проверьте, как работает ячейка Осоавиахима у вас в школе»
в колхозе, на заводе.
' 15. Кирпич, требующийся для постройки дома в количестве
450.000 штук, доставляется на 15 подводах, при чем каждая
лошадь делает в день 3 поездки и везет за один раз, в среднем,
по 800 кг. Сколько времени продолжается возка, если средний
вес кирпича равен 4 кг?
16.	Для прокатки железнодорожных рельсов заготовлены сталь-
ные болванки в количестве 4.500 штук, весом по 240 кг каждая.
Прокатываемые из этих болванок рельсы должны иметь вес
30 кг в погонном метре. Определите общую длину железно-
дорожного участка, на котором можно уложить эти рельсы, пред-
полагая, что путь устраивается в одну колею.
17.	Рельсопрокатный завод получил от железной дороги заказ
на прокатку рельсов для 320 км пути двойной колеи. Вес заказан-
ных рельсов—30 кг в погонном метре. За какое время завод
может выполнить этот заказ, если он пустит 20 прокатных ста-
нов, при чем каждый стан за рабочий день будет пропускать
76 тонн 800 кг рельсов?
18.	Благодаря соцсоревнованию и ударничеству на Балахнин-
• ской бумажной фабрике пущена в ход вторая гигантская машина
на 2 месяца раньше срока. Машина, работающая пока не на пол-
ную нагрузку, дает 180 м бумаги в минуту. Сколько метров
бумаги дала машина за те 2 месяца, которые были выиграны,
благодаря досрочному пуску машины, если завод работал 48 дней
по 24 часа в сутки.?
19.	За заготовку 367.924 к. м древесины уплачено 183.962 руб.
за вывозку — 551.886 руб. Сплав обошелся в 220.754 руб.
40 коп., и - накладные расходы составили 147.169 руб. 60 коп-
Определите стоимость 1 куб. м древесины.
29. На лесопильном заводе имеются две рамы: одна выпускает
и смену 36 куб. м лесоматериалов, другая 40 куб. м в смену.
Завод работает в 3 смены. Какое количество лесоматериалов
выпускает завод в месяц (25 рабочих дней)?
Какое количество выпускает за год?
21. В течение 23 дней требуется перевезти 9.384 куб. м дров.
Сколько потребуется возчиков, если каждый кладет на воз 3 к. м
дров и делает в день три поездки?
22. К железнодооожной Станции в декабре месяце подвезено
16
672 куб. древесины, в январе—в 2 раза больше, а в феврале—в
3 раза больше, чем в январе. Всяьдревесина погружена в вагон
при средней погрузке в вагон 29 куб. метров. Сколько вагонов
потребовалось для погрузки всей древесины?
?3. В готовящейся буржуазными странами войне большое
значение будет иметь воздушный флот. Следующая таблица
дает картину роста количества военных самолетов некоторых
буржуазных стран.
Воздушный флот:
ГОСУДАРСТВА	Количестьо самолетов			
	1914 г.	1923 г. {1928/29 г.		32 г.
Франция		138	1350	1350	4.623
Италия		40	250	9С0	1.834
Англия		150	385	850	2.065
САСШ		37	420	950	1.809
Япония 		—	250	475	1.312
Км
Подсчитайте: а) сколько самолетов имели все эти страны по каж-
у^дому году; б) насколько возрос воздушный флот этих стран к
4193*2 г. по сравнению с 1923 г.; в) во сколько раз приблизительно
^увеличился воздушный флот в 1932 по сравнению с 1914 годом?
24. Размер пайка красноармейца на 1 день слагается из сле-
дующих продуктов:
НАЗВАНИЕ ПРОДУКТОВ	Количество
1. Муки			750 гр.
2. Макарон				ю .
3. Крупы	*	. 	150 .
4. Жиров	-		35 .
5. Мяса		250 .
6. Муки подбоя		20 .
7. Перцу		0,7 .
8. Соли 		30 ,
9. Сахару		35 .
Подсчитайте: а) месячную потребность в продовольствии отряда
в 4000 человек; б),А сколько псвизок нужно для ежедневной
ьибл»отеид
‘.Учебник яо лагсзатахчдэя 4 года —2
17
доставки продовольствия из склада, если под'емная сила ловсзкв
525 кг.
26.	Фашистский парламент Италии на 1931-32 год утвердил
следующий воздушный бюджет:
Обилие расходы .	..... 33.802.000 лир
Пенсии ...	.	•.......... 1.520.000	„
Боевые воздушные силы . . 643.768.000 „
Гражданская авиация ..... 73.800.00и в
Подсчитайте воздушный бюджет Италии на 1931—32 год и
переведите на наши деньги, принимая стоимость лиры в 8 коп.
27.	Втжное значение в деле перевозки грузов и пассажиров
имеет'речной транспорт, отстававший в своем развитии по срав-
нению с другими отраслями народного хозяйства. В 1932 г. на этот
участок народного хозяйства обращено должное внимание. В нави-
гацию 1931 г. по одной из рек Урала работало 62 парохода, с
общей вместимостью 24.468 пассажиров и грузопод'емвостыо
11.642 тонны. В навигацию 1932 г. на реке будет работать 71 паро-
ход, с общей пассажиро-вместимостью 27.204 человека и гру-
юпод'емностью 14.515 тонн. Насколько увеличивается перевозка
пассажиров и грузов в 1932 г. по сравнению с 1931 г.?
28.	Для обрабс гки’ 1 га зерновых культур (начиная с посева
и кончая молотьбой) при обычном ручном и конном труде
необходимо затратить 120 часов. При механизированном способе
(при помощи усовершенствованных машин) на обработку 1 га
требуется 3 часа. Колхоз имеет 1526 i а под зерновыми культу-
рами. Сколько дней Сэкономит колхоз при машинной обработке?
29.	Из 18 новых металлургических заводов, намеченных к
постройке Востокосталью в Урало-кузнецком комбинате, конеч-
ная мощность каждого из заводов по чугуну намечается следую-
щая: 1 завод — 4.500.000 тонн, 4 завода в 2.500.000 тонн, 10 за-
водов в 2.000.000 тонн и 3 завода 4.000.000 тони. Какова общая
мощность новых металлургических заводов Уралс-Кузбасса?
а
1S
ДЕЛИМОСТЬ ЧИ^ЕЛ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА ПРОСТЫХ
2.11 МНОЖИТЕЛЕМ. ЧИСЛА ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ.
V
Можно ли разделить число 12 на какие-нибудь числа?
На какие числа можно разделить 12 без остатка?
Можно ли разделить число Л на какие-нибудь числа?
Напишите все целые числа от 1 до 100 и подчеркните из
них те, которые не делятся ни на какие числа, кроме самого
себя и единицы.	v
Те числа, которые не делятся ни на одьо из чисел, кроме
> самих себя и единицы, называются простыми числами.
Все же остальные числа, то-есть числа, делящиеся на какие
либо числа, кроме единицы и самих себя называются числами
составными.
Признаки делимости чисел.
Для того чтобы определить, делится ли число на другие
числа, т. е. является ли оно составным, нужно знать признаки
делимости. Познакомимся с наиболее простыми и часто при"
меняемыми признаками делимости.
Пркс^аки делимости на 2.
Рассмотрим сначала признаки делимости на ?.
Заметим, чтс числа, делящиеся на 2, называются числами
четными, а числа, не делящиеся на 2, называются числами
нечетными.
В последовательном ряде чисел, идущих в порядке увеличе-
ния на единицу, называемых натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
нечетные и четные числа чередуются.
Э Десять делится на 2, а потопу всякое число, оканчивающееся
нулем, состоящее из .десятков, на 2 делится. Например, 620,
5300, 2050 при делении на 2 дадут целые частные, без остатка.
Проверьте это.
Возьмем теперь какие-нибудь числа с значащими единицами,
наоример: 216 и 247. Делятся ли эти числа на 2?
Представим каждое из них в виде суммы десятков и единиц:
246 =240 -|- 6247 — 240 + 7.
• В первом слагаемом (2 кб) и 240 и 6 на 2 делятся, а во втором
слагаемом S40 делится на 2, а 7—не делится. ч
•ч
19
Что же определяет делимость ччгга на 2?
На 2 делятся такие числа, которые оканчиваются или четной цифрой.	или нулем
Укажите какие из следующих чисел разделятся на 2 324;	860;	353;	287;	562;	8.600,	3.054;	3255; . 1.000;	8.008;	3.059;	8.756;	1.025;	3.156;	5.765. Придумайте числа, которые делятся на 2, и числа, которые, не делятся на 2.	
Признаки делимости на 5.
Делятся ли на 5 числа 20, 30, 60, 500, 600, С.000?
Что можно сказать в отношении делимости на 5 про числа,
оканчивающиеся ну»Лм или нулями?
Какие из однозначных чисел делятся на 5?
7 Определите,—какие числа делятся на 5, помня, что каждое
число мы можем представить как сумму десятков и единиц,
например: 625 = 620 + 5.
Укажите какие из следующих чисел делятся на 5:
325;	420;	555;	562;	2020; 3.457;	821;	925;	750;
1025;	1000;	926;	503;	805;	285;	875.
На 5 делятся тйкге числа, которые оканчисаготся нулем или
цифрой 5.
Признаки делимости на 10 и 108.
Укажите, какие из следующих чисел делятся на 10 и на 100:
320; 3.500; 2.600; 750; 825; 920; 10.500; 6.250;
6.000; 7.500; 8.050; 7.255; 6.200, 3.800; 4.200.
В чем состоят признаки делимости на 10 и 109?
Запишите.
Признаки делимости на. 25
Какие числа первой сотни (двухзначные числа) делятся на 25
В. пишите эти числа.
Делятся ли на 25 числа, состоящие только из сотен?
Проверьте это, разделив на 25 числа: 1и0; 200; 3000; 5400,
8200; 10000; 12500.
20
Всякое многозначное число можно представить в виде суммы
сотен и двухзначных чисел. Например:
3525 = 3500 + 25;	13.675 = 13600 + 75.
Представьте в таком виде числа: 8.275; 3.660; 5.025; 17.265;
18.750; 9.025; 7.250; 8.550.
Какие из этих чисел делятся на 25? Можно ли это опре-
делять сразу, не производя деления.
На 25 делятся те числа, у которых последние две цифры —
или нули или число, делящееся на 25.
Признаки дэлимэсти на 4.
Проверьте, делятся ли на 4 числа, состоящие только из
сотен. Разделите на 4 числа: 300; 500; 3000; 700; 1200; 1800.
Чтобы судить о делимости чисел на 4, представьте эти числз
так же, как в предыдущем случае, в виде суммы сотен и двух-
значного числа. Например, представим так числа 348 и 235:
348 Ц 300 + 48;	235 = 200 + 35
Которое из этих чисел разделится на 4?
То, в котором второе слагаемое разделится на 4. Если
второе сла1аемое не разделится на 4, то и все число не раз-
делится.
Таким же образом определите, какие из следующих чисел
делятся на 4:
456; 182; 672; 1.024; 528; 726; 15.260; 924; 232;
636; 785; 921; 1.524.
Признаки делимости чисел на 9 и на 3.
Делятся ли на 9 и на 3 числа: 99; 999; 9.999; 99.999?
Делятся ли на 9 и на 3 числа: 10; 100; 1.000 10.000? Сколько
единиц будет в остатке от деления этих чисел на 9 и 3?
Каков будет остаток от деления на 3 и на 9 чисел: 20,
20Я 20GC?
На 3 или на 9 делятся те числа, сумма цифр которых
делится на 3 или на 9.
Проверьте на следующих числах это правило, определив
отдельно, какие числа делятся на 3, какие делятся только ла
9, и какие не делятся ни на 3, ни на 9.
21
861;	624;	7236;	522;	486;	3834;	753;
1024;	2253;	252;	186;	6454;	827.
РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫХ СОМНОЖИТЕЛЕЙ
Для нахождения общих делителей двух или нескольким
чисел удобнее всего записывать эти числа в форме, при
которой сразу было бы видно, на какие числа они делятся
Если какое-нибудь число делится на другое, то оно буд"
равняться произведению второго числа на полученное частное
Так, например, число 34 делится на 2, и его можно записал'
так: 34 = 2 х 17. В таком виде можно представить только со
ставные числа. Всякое составное число, следовательно, можно
всегда представить в форме произведения простых чисел.
Нам требуется разложить на простых множителей (принято
называть „сомножителей") какое-нибудь составное число, напри-
мер, 420. Для этого по признакам делимости находим наименьшее
простое число (кроме 1), на которое разделится 420. Такое чи-
сло 2. Разделим 420 на 2 = 420:2 = 210, следовательно, 420 j-*
210 х 2.	.	
Дальше находим наименьшее простое число (кроме 1), на
которое делится составное число 210. Таким числом является 2.
Разделим 210 на 2; 21G -.2 = 105 [Следовательно, 210 = 105 х 2.
Заменим в предыдущем равенстве 210 равным ему произведе-
нием 420 — 105 X 2 х 2.	Я»
~ Дальше опять найдём наименьшее простое число, на которое
делится составное число 105. На 2 это число уже не делится,
□ потому определяем делимость 105 на следующее число, т. е
на 3. Применяя признак делимости на 3, убеждаемся, что 3 явля-
ется делителем 105.
105: 3=35 — следовательно, 105 = 35 х 3.
Заменяя в предыдущем равенстве 105 произведением 35 на
для 420 получаем:
420=35 х 3x2x2
С 35 поступаем так же. Находим наименьшее простое число,
на которое разделится 35. Число 35 можно представить в виде
произведения 7x5. Заменяя 35 = 7x5 в предыдущем равенстве
получим: 420=7 x 5 x 3 x 2 x 2.
Это и есть искомое разложение, так как теперь все сомножи
тели — числа простые. Обычно сомножителей составного числ!
записывают в порядке возрастания величины делителей, т. е. та J
420=2x2 ,3x5x7
28
Располагается запись разложения числа на множителей так:
-420
210
195
> 35
7
1
2 f то-есть пишут данные числа и проводят спра-
2 У ва от него прямую линию. Справа от прямой ли-
3 нии помещают * наименьшее простое число, на
5 которое делится данное число, и делят на него
7 данное число. Частное подписывают под делимым.
1	• С этим частным поступают так же, как с данным
числом. Действия продолжаются до тех поо, пока в частное
не получится единица. Тогда все числа, стоящие вправо от
прямой линии, будут простыми множителями данного числа.
Разлэжите таким же приемом на простых сомножителей
числа:	&
С’
630,	576,	720,	112,	421,	512,	728.
Каждый из простых сомножителей данного числа, как мы
видели раньше, является делителем этого числа. Произведение
нескольких простых сомножителей также будет делителем дан-
ного числа (почему?). Проверьте, разделив разложенное выше
нами число 420 на различные произведения его сомножителей.
2.2=4; 4.3=12; 4.5=20; 5.7=35; 4.7=28 и т. д.
Общие делители чисел.
Пользуясь разложением чисел на множителей, мы теперь
легко сумеем найти одинаковых или общих делителей этих чисел
Для нахождения общих делителей нескольких чисел, надо раз-
ложить их на множителей и выделить одинаковых множителей
этих чисел. Эти множители, а также их произведения и будут
общими делителями рассматриваемых чисел.
Например, найдем общих делителей чисел 72, 90 и 112.
Разложим каждое на сомножителей:
72 36	СЧ СЧ	90 45	2 3	112 56	2 2	Общий делитель этих чи- сел должен состоять из сомно-
18	о	15	3	28	2	жителей, входящих в каждое
9	3	5	5	14	2	из взятых чисел. В нашем
3	3	1	1	7	7	примере сомножителем, вхо-
1	1			1	1	дящим в каждое из чисел,
: вляется		только 2,		следовательно и общим делителем этих		
чисел служит только 2.
Рассмотрим еще один пример. Найдем общий делитель чисел
420. 180 и 120.
Разложим каждое из них на множителей:
420	Ж-	180	2	120	2	Выписываем 4 общих со-
210	О	90	2	60	2	множителей, входящих в каж-
105	3	45	3	30	2	дое из данных чисел. Такими
35	5	15	3	15	3	сомножителями будут числа
7 1	7 1	5 1	5	5 1	1	5 1	2, 2, 3, 5.
Общими дений этих 2.2 =		делителями будут сомножителей: 4;	2.3=6;			числа, составленные из произве- 2.5 =10; 2.2.3 = 12.
2.2.5 =		20;	2.2. 3.5 =	60;	2.3.5 = 30; 3.5 =15.
Найдите 84 120 60		всех общих делителей чисел: 60 и	108;	420,	630,	10; 252, и	30s;	75,	120,	150; 72 и	96;	96,	144,	240;			
У множ ₽н и г и деление десятичных дробей на целоп число
Вспомните,
пых дробей.
как производится сложение и вычитание десятич-
1.	Сложите следующие дробные числа:
2,4	3,45	,	5,09	18,32	, 0,01
+4,8	+	6,93	2,10	+ 0,45	5, 4
2.	Произведите ьычитание следующих дробных чисел:
8,24	_	9,33	_	4,01	_	2, 1	 32,01
3,14	2,07	2,32	0,42	16 ^2
3.	Решим задачу: вес куб. см. меди равен 8,8 гр. Сколько
весят 4 куб. см. этой меди?
Чтобы решить эту задачу, нам надо 8,8 гр. взять (или повто-
рить) 4 раза. Такое решение приводит нас к умножению 8,8
на 4. Подробно производя подсчет, будем иметь:
8,8
_ 8,8
' 8,8
8,8
35,2
При подсчете сложение производится так же, как складыва-
ются целые числа 8 + 8-}-8 4-8 . А это все равно, что каждую
цифру десятичной дроби умножить на данное целое число 4.
21
Поэтому проще производить подсчет и запись так
35,2
при этом самое умножение производится так же, как умножение
целых чисел, и только в полученном произведении отделяема
запятой справа одну цифру, т. е. столько же цифр, сколько их
имели во множимом.
4.	Решим еще одну задачу. Вес 1 куб. см. чугуна равен 7,45 гр.
Сколько весят 9 куб. см. чугуна?
Решение этой задачи выполним сразу, умножая 7,45 на 9.
Чтобы получить произведение, умножаем 745 на 9, тс-есть
не обращаем внимания или просто отбрасываем запятую.
745
X 9
6705
Но, производя умножение сстык долей, мы и в произведении
должны получить сотые доли, поэтому в полученном произведении-
должны отделить справа запятой две цифры. Значит, 7,45 х 9 =
= 67,05.
Чтобы умножить десятичное число на целое, надо пере-
множить числа, как целые, не обращая внимания на запятую.
В полученном произведении обязательно отделить справа сколь-
ко цифр, сколько десятичных знаков во множимом.
5. Произведите умножение:
2,5 X	3 =	5,125	X	3 =	15,005 х	4 =
2,83 X	4 =	12,114	X	8 =	2,055 х	8 =
6,07 х	8 —	0,076	X	9 =	6, 07 X	7 =
1,005 X	95 =	8,256	X	25 =	10,025 X	40 =
6.24 X	25 =	12,02	/С.	50 =	5,185 X	35 =
12,048 X	9 =	0,012	X	485 =	4, 02 X	625 =
104,12 X	40 =	0,СЭ8	X	120 =	1,405 X	4080 =
0,735	120 =	0,806	,<	К)4 =	6,003 X	1200 =
Рассмотрим теперь деление десятичного числа (числа с десятич-
ной дробью) на целое число. Положим, нужно 21,6 разделить на Зг
21,6 | 3
21	7,2
_ 6
9

Этб деление производится так и:е, как деление целых чисел,
т. е. начинаем делить сначала старшие разряды числа, пои чем,
если оказывается остаток, то его раздробляем в единицы низ-
шего разряда. Например
20,7 | 3
—18	6,9
27
I. Произведите деление:
2, 75: 5 =	3,75:75 =	28,25:25 =
5,525:13 =	232,08.23 =	32,48: 8 =
4, 25: 5 =	1, 2:16 =	31, 8:25 =
Правильность произведенного деления проверьте умножением.
Умножение н деление десятичной дрпби на 18 и 180.
Умножение или делен/е чисел на 10 или на 100 представляет
частный случай умножения и деления десятичного числа на
целое число, при чем результат пол)чается особенно просто.
Стоит только вспомнить что происходит с числом от переме-
щения запятой.
Рассмотрите числа 245; 24,5; 2,45; 0,245.
Эти числа записаны одними и теми же значащими цифрами,
расположенными в одном и том же порядке. Сравните их по
величине—первое со вторым, первое с третьим, первое с четвер-
тым.
Которое из них больше и во сколько раз? Чем отличается
«х запись?
о Эти сопоставления и сравнения приводят нас к выводу:
Если в десятичном числе переносить запятую справа налево
на одну цифру, то мы уменьшаем число в 10 раз; при переносе
справа палево на две цифры уменьшаем число в 100 раз.
*
Обратно—при сравнении этих чисел, сопоставляя нижние
числа с вышестоящими, приходим к заключению, что
При переносе в десятичном числе запятой слева направо
на одну цифру, мы число увеличиваем в 10 раз; переноси
же запятую слева направо на две цифры, мы увеличиваем число
в 100 раз.
20
Таким образом видим, что умножение и деление на 10 или
на 100 производится очень просто—перемещением запятой: при
умножении слева направо, а при делении обратно—справа налево
1. Умножьте	на 10 числа:		
5,25,	62,75;	0,63;	15,2;	875,15.
2. Умножьте	на 100 числа:		
8,756;	5,125;	0,128;	15,12;	0,62.
3. Разделите	на 10 числа:		
27,5;	524,5;	62,15;	825;	84,5.
4. Разделите	на 100 числа:		
124,8;	6225;	JC25;	267,3;		384,4;	/25,3.
Если при перемещении запятой влево перед запятой цифр
не останется, то нужно написать нуль, например: 61а5.100 = 0,615.
Если же надо переместить запятую влево на две цифры, а
мы перед запятой имеем только одну цифру, то перед этой
первой цифрой надо поставить два нуля, отделив первый нуль
(слева) запятой, например: 6,2:100 = 0,062.
5.	Разделите на 190 числа:
24,5; 32,4; 7,1; 83; 12,6; 60,7; 5,5; 0,2; 0,5.
6.	Разделите на 10 числа:
2,17;	34,1;	5,2;	1,7;	60,5;	0,2;	0,15.
7.	Решите следующие примеры:
(31,2+ 26,7). 0, 1 +(02,8 —30,5). 0,1 =
(75,5 + 112,7). 0,01 +(81,5 — 26,8). 0,01 =
(148,15 + 62,25) . 0, 1 — (24,6 + 48,2) . 0,0? =
(894,5 — 328,75) . О, 1 + (63,7 — 21,5). 0,01 =
(24,3. С,1 + 86,7.0,01) — (83,5.0,01 — 2,6) . 0,1 =>
(36,5.4—42,3.2) . 0,1 + (32,6.5 — 12,8. 4) .0,1 =
(286.0,01 + 35,01). 5 — (543.0,01 — 37 .0,1). 2 =
(1024.0,01 — 48,5.0,1) .3 + (В7,5 .0,1 + 328.0,01). 3 =»
8.	Найти неизвестное X в следующих примерах:
БхХ=2,5;	9,6:Х = 12,	Х:0,6 = 12;
ЗхХ= 7,2; X : 5 = 0,8;	21,5:Х = 43:
12 х X = 96,6;	72 : X == 2,4;	Х:0,4 = 2э
ПРОЦЕНТЫ.
Нахождение процентов от данного •пела.
I)	Вспомните, что называется „процентом
2)	Сколько процентов по отношению к 1 рублю составляет
5 коп., 20 коп., 12 коп.?
Процентом называется сотая «асть какого-нибудь числа.
Процент обозначается значком %.
3)	Запишите в процентах следующие дробны? числа:
0,01;	0,08;	0,13;	025;	0,285;	0,354.
Рассмотрим теперь, как решать задачи, условия которых тре-
буют нахождения части числа, выраженной в процентах.
I.	Решим такую задачу:
Рабочий вложил в сберкассу 30 рублей. г5еркасса платит
вкладчику 8 % годовых (за год). Сколько дохода получит ра-
бочий вкладчик через год с вложенной суммы?
Решение: Если бы сберкасса платила в 1 год 1 % с вложен-
ной суммы, то рабочий получил бы доход, равный 0,1 вложен-
ной им суммы — в данном случае 30:100 =0,3 рубля. Но так как
v6ephacca платит 8 %, или 0,08, то надо взять в 8 раз больше,
г. е. 0,3 X 8 = 2,4 рубля.
Решите подобным же приемом следующие задачи:
2.	При полировке металлических изделий брак не должен
превышать 3 %. Сколько изделий из 300 штук должны быть год-
ными, чтобы не превысить допускаемый процент брака?
3.	Для изготовления подшипниковых вкладышей приготовили
сплав (бронзу) весом в 300 кг., содержащий 77 % меди, 15 %
свинца и 8 % цинка. Сколько кг. каждого металла в отдельности
вошло в сплав?
4.	На заводе 8400 рабочих, 65 % от этого числа соётавляют
мужчины, 25 % женщины, а остальные — подростки. Определите
число мужчин, женщин и подростков, работающих на заводе?
5.	В 1930 г. продукция всей советской промышленности оце-
нивалась в 22,3 миллиарда рублей. Прирост продукции всей про-
мышленности в 1931 г. по отношению к 1930 г. составляет 21 %.
Иакой суммой выражается продукция промышленности 1931 г.
(огвет округлить в целых миллиардах).
® 6. По первому пятилетнему плану намечалось к концу пяти-
летки выработать тракторного сельскохозяйственного инвен-
28
т фя на 286 миллионов рублей. Уже за первые гри года пяти-
летки выработка превысила пятилетий план на 32 %. На какую
сумму выработано тракторного инвентаря за 3 года? (Ответ
округлите в миллионах рублей).
7.	По плану на 1931 г. для железных дорог СССР намечено
было выпустить 660 новых паровозов. В действительности вы-
лущено больше, приблизительно на 23 %. Сколько новых паро-
возов было выпущено в 1932 г.? (ответ нужно округлить в це-
лых числах, т. к. проценты даны приближенно — немного меньше
действительного увеличения).
Узнайте: а) как выполнен производственный плач завода (кол-
хоза или совхоза), прикрепленного к школе; б) каков процент
перевыполнения или недовыполнения; в) хорошо ли работал
этот завод (колхоз).
8.	В 1930 г. железнодорожным и водным транспортом всего
перевезено 180 миллионов тонн грузов, из них железнодорож
ным 82 %, водным 18%. Сколько грузов перевезено железно-
дорожными и водными путями в отдельности за 1930 г.
9.	В последний год первой пятилетки общий грузооборот
(количество перевозимых грузов) по СССР намечалось в 250 мил-
лионов тонн; 70 % этого количества предполатлось перевезти
по железнодорожным путям, 80 % по водному транспорту. Сколь-
ко грузов намечалось к перевозке по железнодорожным и вод-
ным путям?
10.	Для удобрения полей употребляются минеральные удоб-
рения следующих видов:
Сернокислый аммоний 1,5 центнера на 1 га
Фосфоритная мука .	.	6	„	,
Суперфосфат..........3	„	.
Костяная мука ...	4	,	„
Калийная соль ... 1,8	.	. „
Зола.................6	а	.
Молотый известняк	.4,8	,
Сколько минеральных удобрений каждого рода нужно вложить
в землю колхоза с площадью в 110 га, если калийной солью
удобряли B/i6 всей площади, сернокислым аммонием 13 га, супер-
фосфатом 7/ю всей площади, костяной мукой 7,25 га, золой 12,35 га,
молотым известняком 0,15 всей площади и остальную часть фос-
форитной мукой?
11.	Следующая таблица дает сведения о главных капитали-
стических странах и их колониях:
2»
СТРАНЫ	Площадь стран в тыс. кв. км.	Я		Население колоний в 1 млн. чел.
		Население в млн. чел.	Площади колоний в тыс. кв. км.	
Англия			45	354СЭ	420
Франция		551		12052	59
Голландия 		34	8	20,2	51
Япония 		385	62	298	25
Соедиис иные штаты . .	7887	120	1845	14
	310	41	2073	2
				
Сравните площадь Англии с площадью ее колоний и пока-
жите это сравнение на диаграмме.
Сравните площадь Франции с площадью ее колонии и пока-
жите это сравнение на диаграмме.
12.	Все совхозы СССР по плану должны дать продукции н»
следующую сумму:
в 1931 г. на 0,6 миллиардов рублей
. 1932 г. „ 1,1
. 1933 г. „ 2,1
а)	Узнайте на какую сумму дадут продукции совхозы СССР за
эги три года вместе?
б)	Насколько увеличится продукция в 1932 г. по сравнению
с 1931 г. ? в) Насколько увеличится продукция в 1933 г. по срав-
нению с 1932 г.? г) Составоте диаграмму роста продукции совхозов
За три года.
13. Все совхозы СССР по плану должны дать следующее
количество мяса:
в 1931 г. 106,5 тыс. тонн.
Ч?	. 1932 г. 327,6 .
„ 1933 г. 737,1 .
а) Насколько увеличится количество мяса, полученного из
совхозов СССР в 1932 г., по сравнению с 1931; б) насколько
увеличится количество мяса, полученного из совхозов СССР
в 1933 г., по сравнению с 1932 г.; в) какое количество мяса дадут
совхозы за три год?; г) составьте диаграмму роста количества
мяса за три года.
с>	*
30
14. Согласно пятилетнему плану, намечается следующий рост
продукции электротехнической промышленности (в миллионах
рублей).	—
ИЗДЕЛИЯ	1930/3? г.	1931/32 г.	1932/33 г.
э Машины и аппараты .	165	230	360
Кабели и провода . - .	100	156	207
Изделия слабого тока *	ПО	135	188
Найдите для каждого года прирост в процентах к преды-
дущему году.
’5 За рабочий день 1 га картофеля убирают 20 копальщиков
В колхозе под картофелем 7,5 га. По намеченному плану
работы картофели нужно убрать в 5 дней. Сколько рабочих надо
поставить на работу, чтобы выполнить ее в намеченный срок?
16.	В колхозе 231 га пшеницы. Для уборки колхоз поставил
на работу 2 тракторных сноповязалки н 5 конных. Во сколько
дней будет убрана пшеница, если известно, что одна трактор-
ная сноповязалка убирает в день 8 га посева, а конная 4,5 га?
'17. Товарный поезд весит 1086,8 т. Паровоз и тендер весят
£6,5 т., остальное весят 40 груженых вагонов. Сколько весит
груз каждого вагона, есчи пустой вагон весит 8,5 т?
18.	Простая крестьянская курицы дает в год 50 яиц, весом 50
грамм каждое. У породистой куоицы яйца в 1,6 раза тяжелее, а
количество яиц она дает в 2,5 раза больше, чем крестьянская
курица. Сколько кур простой породы может заменнтп одна поро-
дистая курица?
19.	Лесоруб-одинсчка дает 3,56 куб. метров в день, а каждый
член бригады лесорубов дает 8,8 куб. метров. Насколько лесо-
руб-член бцигады вырабатывает больше лесопуба-одиночкн?
28.	Коксовая печь (Магнитогорск) емкостью 15,8 тонн угля
дает 12 тонн кокса. Сколько требуется угля для получения одной
тонны кокса?
21. В Магнитогорском комбинате предпс лакается построить
8 батарей по 69 коксовых печей в каждой. Каждая нечь имеет
в ширину 0,42 м, в длину 12,9 м.	<&'
Какую площадь земли занимает 1 печь? 69 печей? 8 батарей?
л 22. 12 тракторных машин заменяют на лесозаготовках тыся-
чекоьный обоз. Сколько лошадей может заменить каждая трак-
торная машина?	л
'’•j
31
23 3 рабочем городке Н-Тагильского завода застраивается
‘8 кварталов. Каждый квартал занимает площадь шириною 0,25 км
длиною 0,4 км.
Вычислите площадь одного кварта та н площадь всех застраи-
ваемых кварталов.
24.	Коксовая печь старого устройства (в Магнитогорске) да-
вала 5 тонн кокса при 24-часовой работе; печь новой конструк-
ции дает при 16-часовой работе в сутки 15,8 тонн.
Насколько больше вырабатывает кокса печь новой конструк-
ции?
25.	За время разработки Мурзинских копей (в 100 км. от
-Свердловска) добыто до 16 тонн рудных самоцветов. Разработка
началась с 1927 г. Сколько (в среднем) добывалось самоцветов
в год (до 1932 года)?
26.	На Урале, в Свердловске, 16 марта 1932 г. открылся совет-
ский базар из 40 ларьков магазинного типа. Каждой ларек имеет
в длину 3,5 м, в ширину 2,75 м. Вычислите площадь каждою
ларька н пле цадь всех ларьков.
27.	В Челябинском Шахтстрое в сутки добывают угля 750—8С0
тонн. Какова выработка угля в час?
28.	Размер коксовой печи Магнитогорского комбината: ширин..
9,42 см, высота 4,2 м, длина 12,9 м.
Вычислите об'ем коксовой печи.
29.	Для маскировки продвижения пахотных и других частей
-применяются дымовые завесы. Шашка весом 4 кг. горит 5 минут.
На каждый метр притяжения необходимо 0,4 шашки Сколько
шашек необходимо для завесы протяжением в 1 км. 3 км, 5 км?
33.	Уборочная машина комбайн продвигается со скоростью
3,2 км. в час, скашивая полосу посева в б м шириною. Сколько
та посева убирает комбайн за 10 часов работы в день?
31.	Трактор убирает в день 8,8 га, пароконная жатвенная
машина на 4,5 га меньше. В колхозе 2% дня работал трактор,
а затеи три дня жатвенная машина. Сколько осталось еще не-
<жатого хлеба, если весь посез на данном участке был равен
57 га?
32.	Требуется побелить комнату длиною в 7,5 м, шириной
4,8 м и высотой 3,2 м. В комнате два окна, размерами 1,5 м х 0,8 м
каждое н одна дверь размером 2,5 м. X 1,4 м. Сколько нужно
купить мелу, если его требуется на каждый кв. м поверхности
2 > гр.
33.	Комната имеет в длину 9,5 м, ширину 7 м и высоту 3,5 м.
В ней 3 окна размером 2 м < 1,25 м каждое и 2 двери размером
2,5 м X 1,5 м каждая. Сколько метров обоев надо купить для
оклейки стен этой кохнаты» если ширина ебоед 6,5 м?
34.	Колхоз имеет 9 га сеяной тразы со средней урожайно-
стью 4,5 тонны готового сена с каждого га. Для хранения сена
колхоз наметил построить сарай. Определите необходимым
об'ем сарая, если известно, что ₽ 1 куб. м пространства поче-
щается 67,5 кг сена.
35.	Человек делает в минуту в среднем 15 вдыханий; при
каждом вдыхании взрослый человек поглощает 0,5 литр<. аог-
духа. В одной из комнат клуба, длина которой 9,5 м, ширит м
и высот» 3,2 м, собралось 46 человек. На сколько времени хва-
тит им воздуха для нормального дыхания? (Литр—1 куб: дм).
3S.	Пе плану на Урале предполагается довести в последьи.ч год
первой 5-летки выработку черновой меди до 103,5 тыс. т< ;н, а
в середине второй пятилетки до 175 тыс. тонн. На сколько уве-
личится выработка меди ьо 2-й пйтилетке?
37.	Запасы железняка в горе Магнитной (по р. Урал) опреде-
ляются в 275 млн. тонн; запасы железной руды на г. Благодать
определяются в 35,8 млн. тонн. Во сколько раз больше желез-
няка в г. Магнитной?
38.	На 65 торфяных болотах Урала добыто 1,5 млрд. куб. м.
сорфа-сырца. Сколько в среднем добыто с каждого болота?
39.	При ручном и конном труде для обработки 1 га льна
(без переработки) необходимо затратить 240 часов. При при-
менении механизированной обработки на обработку 1 га льна
требуется 1-1,5 часа. Сколько времени экономит замена ручного
способа механизнройанным при обработке 235,5 га льна?
КУБИЧЕСКИЕ Е42РЫ.
Возьмите и внимательно
рассмотрите кубик.
I.	Подсчитайте, сколько у
кубика стенок, считая и боко-
вые стенки, и верхнюю, и ни :к
нюю (дно и крышку)? Эти сте<
ки называются гранями. Какоь
форма кажцой грани? Сравни,.
на-глаз, разны ли они межд;
собою.	J
2.	Подсчитайте, сколько у
\уба углов; сколько ребер.
Учебник по математике - Г*
33
3.	Начертите на бумаге (лучше на толстой бумаге или на
г ртоне) выкройку куба, как это показано на чертеже (см.
стр. 33) Такая выкройка называется разверткой куба.
Вырежьте начерченную развертку куба по сплошным линиям
и согните по прерывистым (пунктирным) линиям. Затем намажьте
клеем заштрихованные каемки и склейте куб.
4.	Измерьте площадь какой-нибудь стенки (грани).
5.	Измерьте поверхность всего куба. Нужнл ли для этого
находить площадь каждой стенки?
Кубик с ребром в 1 см называется кубическим сантиметром.
Если коробочку в форме кубика, с ребром (внутри коробки),
равным 1 см, наполнить чистой водой, то вес воды будет равен
одному грамму-.
Куб, ребро которого равно одному дециметру, называется
кубическим дециметром.
Кубический ящик, ребро которого внутри разно I дм, называют
литром. Про посуду (кружка, бутылка и др.), вмеш-’ющую то
же количество воды (или другой жидкости), ксл помеща-
ется в кубическим ящике с ребром в 1 дм, гв >лт: емкость
этой посуды равна 1 литру.
Литр чистой воды вескт ©дин килогро&м.
6.	Изготовьте из плотной бумаги ("аргона) кубический
дециметр.
7.	Определите скотько (приблизительно) литров в ведре.
Подсчет производите, наполняя ведро водой посредством
литра.
S. Определите, сколько литр© t в четверти.
9.	Куб, ребро которого равно метру, называется кубическим
метром. Изготовьте кубический метр из палочек длиною каждая 1м.
Кубический сантиметр (куб. см), кубический дециметр
куб.дм) и кубический метр (куб. м) являются мерами для опреде-
аеиия вместимости пли, как иначе говорят, об'ема или емкости.
10.	Заготовьте кубики по 1 куб. см, вырезав их из картофе-
лины. Если есть в школе маленький арифметический ящик, то
можно воспользоваться его кубиками в 1 куб. см.
а) Сколько в кубическом тгцимгтре вместится кубических
сантиметров? б) Сколько в кубическом метре вместится куби-
ческих дециметров? в) Сколько в кубическом метре вместится
кубических сантиметров?
11.	Вес чистой воды, вмещающейся в ящик емкостью 1 куб.
дм, равен 1 килограмму. Чему равняется вес воды, вмещающей-
ся в ящик емкостью в 1 куб. м?
84
12.	Один кубический дециметр сырой сосны весит 8S0 гр., а
сухой 450 ip. Сколько стаканов веды теряет куб. дм сырой
сосны при высыхании, если стакан воды весит 215 гр.?
13.	Вычислите полную поверхность куба, если его ребро
равно 10 см.
!4- Узнайте площадь одной грани куба, если полная поверх-
ность куба равна 54 кв. см.
15.	Сколько лигров бензина поместится в жестяном баке
к бической формы, если глубина бака равна 5 дм?
16.	Ребоо одного куба равно 8 см., ребро другого куба рав-
но 4 см. Вычислите об'емы этих кубов. Узнайте: 1) во сколько
раз об'ем пеового больше об'ема второго; 2) ьо сколько рЯз
ребро первого больше ребра второго; 3) во сколько раз поверх-
ность первого больше поверхности второго.
17.	Яма в леднике имеет 3 м длины, 3 м ширины и 3 м глуби-
ны. Сколько подвод надо, чтобы за день перевезти весь лед
для этого ледника, если подьода успеет обернуться 6 раз и
будет брать каждый раз есреднем 810 кг льда и если вес 1 куб.м
льда равен 933 кг?
t
Ч А Л т Ь ВТО Р А .
СБЪЗЮЮБЕННЫЕ ДРСкИ.
В очень многих практических вопросах нам приходится из- ।
мерять различные величины и результаты этих измерений выра. 1
жать числом. Так, мы измеряем длину комнаты, расстояние 1
одного города (или деревни) до другого города (или деревни).
Эги величины выражаем в метрах, километрах; измеряем площа-
ди,—величины выражаем в квадратных единицах (см, м); измеря-
ем об'емы, измеряем вес, время и т. д.
Что значит определение какой-либо величины в соответствую-
щих мерах? Например, что значит—„длина комнаты 5 метров"?
Это значит, что, откладывая по длине комнаты метр (условную
величину, принимаемую за единицу измерения), мы метр сможем
у не жить точно 5 раз. Следовательно, длина комнаты в 5 раз
больше 1 метра.
Если мы выражаем вес какого-либо предмета или продуктов
в килограммах, например, 5 кг, то опять-таки это значит, что
предмет или продукт в 5 раз весит больше J кг — единицы веса.
Таков же с-мысл и всех других „именованных" чисел.
Однако в практике измерений пользование целыми единица-
ми оказалось недостаточным. Тах, например, если длина комнаты
больше б м и меньше 6 м, то, чтобы получить истинную величи-
ну, мы должны метр — единицу измерения — разделить или, как
говорят, раздробить на части и полученной частью продолжать
измерение.
Положим, метр разделили на 4 части. Четвертую часть назовем
1
четвертью метра, записывая ее, как мы знаем, так:—-м. Если
1
теперь -^-м уложится сверх 5 м по длине комнаты 3 раза, то
3
получаем еще три четверти, или — м. Таким образом, излишек
сверх 5 м выразился новым числом—дробным, или дробью.
36 *
Дроби и дробны^ числа мы получаем при измерении какой-
либо в 'личины в долях определенной единицы, п
основу .о при измерении.
1.	Для наглядности возь-
'пте" какую-нибудь полоску
0} магиипримите ее за единицу.
Затем эту полоску разделите
на 2, 4, 3, 6, 12 равных частей
На к это сделано на чертеже.
наглядное
Полученные части дают нам
* 1 1
изображение -g-,——
1	1	1г-
и-jQ-. Если мы возьмем,
разделена на трети) и выделим
„	2
будем иметь две трети
например, третью полосу (она
2 деления (или части;, тогда
2.	Таким же образом покажите на чертеже, в которой полоске
5 3 5 7 п
о'гдет находиться12’’~рГ -Покажите эти отрезки, заштри-
ховав их.
2	5 3 5 7
3.	Дробиг—,——,-—и т. д выражают часть целого
3 и	4 12 12
ч .ела (в нашем примере полос.»!, длину которой мы принимаем
за единицу) и запис-ваются двумя числами—одно стоит над
чертой, другое под чертой.
4.	Что выражает число, стоящее по ц чертой^
5.	Что выражает число, стоящее над чертой?
Р, мате>^атике условились называть число, показывающее на
с. > частей разделена единица, знаменателем Число,
./о .„зыкающее, сколько каких-либо частей берется или содержит-
ся ] данной величине, называется числителем дроби.
Ч ’так ' дроби так: , 1 „пять двенадцатых 1-,-тН „восемь пят*
)12 \	/ 15 \
и т. д.
о гл	-	5	3	12 21 16 „
6.	.Прочитайте дроои:— -,у^ ’Т’'’'3'^'’~27' ’ ” каждои из ДР°°ей
назовите числитель и знаменатель и определите, как нужно по-
нимать каждую из дробей.
7.	Пользуясь полосками бумаги, разделенными на части (см.
1	3
ч^ртс сравч »тй дробн-^-и -уу. Обратите внимание на то, что
знаменатели этих дробей одинаковы. Которая из этих величин
полосок; Оольше и рогсколько раз? Как различаются меж ту
собою числители этих дробей; у которой дроби числитель бо.т 
ше и во сколько раз? Что можно сказать про дроби, в которых
знаменатели одинаковы и лишь различны числители? Что про-
исходит с дробью, если станем изменять только числителя, не
изменяя знаменателя? увеличивая числителя? уменьшая числитель?
5
8.	Увеличьте дробь-^-в 2 раза. Запишите результат.
а	О
9.	Уменьшите дробь _ в 2 раза. Запишите результат.
12	12	3	4
10.	Увеличьте в 3 раза дроби: л > f » ,£-
II.	Уменьшите в 4 раза дроби:---,-ттр,
zjJ, j_v 2--”) О
12.	Сравним теперь дроби, у которых одинаковы чистители
и различны знаменатели.
Пользуясь полосками бумаги, разделенными на части, сопо-
ставьте дроби -4—,~,-^-(полоски I, И, V).
Z 4	1Z
а) Чем отличаются между собою эти дроби? Которая из дро-
бей выражает большую величину? б) Во сколько раз первая
дробь больше по сравнению со второй? в') У которой из этих
дробей меньше знаменатель и во сколько раз? г) Сравните
вторую и третью дроби. Которая из этих дробей больше и ро
сколько раз? (Сравнение производите при помощи сопоставле-
ния бумажных полосок II и V). У которой из этих дробей
больше знаменатель и во сколько раз?
13.	На основании рассмотренных сравнений дробей опреде-
лите и запишите, как изменяется дробь, если числитель остает-
ся тот же, а знаменатель увеличивается в несколько раз?
14.	Как изменяется дробь, если числитель остается тот же
а знаменателя уменьшаем в несколько раз?
15.	Рассмотрим теперь, что произойдет с дробью, если одно
временно станем изменять и чьслигеля, и знаменателя дроби
увеличивая пли уменьшая их в одно и то же число раз.
Для этого сравните полоски бумаги, разделенные на части
(смотри чертеж). Возьмите половину всей полоски, эта полови
1	2
на в I поло ске выражаетсяво II полоске-^—, в IV полоске
3	6
,bV полоске^-- Значит, одна и та же величина может быть
б	12
„	1236	.1	2	3	6
записана дробями:-^—т. е.-^- = —— - -
1
12 '
S8
16.	Чем различаются эти дроби между собою? Во сколько
раз больше числитель и знаменатель 2-й дроби по сравнению
с числителем и знаменателем 1-й дроби? Во сколько раз больше
числитель и знаменатель 3-й дроби по сравнению с числителем
и знаменателем 1-й дроби?
Таким образом мы можем сказать, что:
Величина дроби нс изменяется, если числителя и знаменателя
ее умножим на одно и то же число.
На основании только что установленного свойства дроби мы
любую дробь можем выразить в более мелких долях; так, напри
1
мер, -~=-можем выразить, как это уже проделывали в 4-х, 6-х,
1 2 3 4 5 6
8-х, 12-х я т. А. долях: — _ —„-j.— —
17.	Поставьте числителей в дробях, в которых записаны толь-
ко знаменатели: 20	14	16	13.	111
!8. Выразите в более мелких долях дроби ——.
о -Э о
Возьмем опять ряд равных дробей, но расположим их в по-
рядке, обратном тому, в котором мы писали их раньше, а именно
8	4	2	1 18	9	3	1
"16	~ 8	~ 4~~	2’36	18	6~ =~2~'
Написанные дроби между собой равны, и если будем их чи-
тать в том порядке, как они написаны, то можно подметить
доугое свойство дробей, обратное первому,а именно:
Величина дробл не изменится, если числитепя и знаиенателя
дроби разделить ria одно и то же число.
Пользуясь этим свойством, можно заменить дробь другой
получаемой нз первой. В результате деления числителя и зна-
менателя дроби на одно и то же число, эта последняя дробь
будет иметь более простой вид, так как числитель и знамена-
тель у нее будет ’меньше, чем у первой дроби.
Такое упрощение называется сокращением дроби.
_	35 12 24 15 16 30 20
19. Сократите дроби _ —
14 12 16 18 _10
'46 ’ 38 ’ 52 ’ ад ’ 34 ’
Примечание: для сокращения дробей нужно применять при-
знаки делимости.
Смешанное число. Правильная и неправильная дробь.
Мы уже видели и знаем, что дроби нужны для выражения
величин, меныпдх принятой единицы измерения. Например, ве-
личина, меньшая метра, выразится дробным числом метров.
Если же измеряемая величина содержит'единицу измерения,
о	‘	1
полежим, 3 раза и еще получается остаток в — - единицы, то
О
измеряемую величину можно написать так: 3-i—
Такие числа, состоящие из соединен ?я целого числа с дробью,
принято называть смешанными числами. Записываются смешан-
1	1
ные числа так:	а знак сложения (+) между целым
числом и дробью опускается.
Если измеряемая величина, например прямая линия, не выра-
жается цель» и единицами, то, выражая ее дробью, мы умень-
шаем единицу меры. Так, если единицей измерения будет у нас
первый отрезок на чертеже, а нужно измерить второй отрезок,
меньший чем первый, то мы измеряем его только частью, нап-
ример четвертой частью или четвертью первого отрезка. В этом
случае единицей измерения (счета) является и величина вто-
I________I________I________L2_______I рого отрезка будет
।	।	|	।	содержать три чет-
3
верти или-4- первого.
1. Измерьте теперь первый отрезок четвертями. Эта прямая,
4
равная 1, содержит четыре четверти, то-есть 1=—
Следовательно," единицу всегда можем представить в виде
дроби с одинаковыми числителями и знаменатели.
Если будем делить единицу на 12 частей, то ее можно запи-
12
сать -2.
л Измерим теперь отрезок прямой линии, больший единицы,
но меньший двух единиц (см. чертеж). Единицей измерения служит
вторая прямая.
В измеряемой прямой эта единица измерения уложится 1 раз,
1	о
И останется еще остаток, который составляет — единицы. Зна-
10
ччт, первая линия будет равна 1-^- и выразится, как мы рань-
ше говорили, смешанным числом. Если же станем эту прямую
измерять четвертями, то, оказывается, что она содержит пять
„ 5
четвертей—^—.
, 1	5
Следовательно, можно написать 1—^- = —^—. Смешанное число
можно выразить дробью. Особенностью такой дроби является
то, что числитель ее больше знаменателя.
Такие дроби, у которых числитель больше знаменатэля, на-
зываются неправильными дробями. Дроби у которых числитель
меньше знаменателя, называются правельными дробями.
3.	Выпишите из следующих дробей правильные дроби в одну-
строчку, неправильные в другую:
2___8	6___5_ 11 11 J_____5 12
5 ’ 3 ’7 ’ 12 ’ 8 ’ 10 ’ 2’8 ’ 15 '
4.	Сколько шестых долей в единице? Ответ запишите в виде
дроби.
5.	Сколько шестых долей в трех единицах? Ответ запишите
в виде дроби.
Исключение целого числа кз неправильной дроби.
Превращение смешанного числа в неправильную дробь
Неправильная дробь, как мы видели на примере измерения
прямой линии, является величиной, большей единицы. Поэтому
из такой дроби всегда можно выделить целое число или целую
5
часть. В рассмотренной нами раньше задаче—получилось при
измерении линии „четвертями"; при измерении той же линии
, 1	4
единицей, мы имели 1 —единицы; единица составляет ——, по-
этому для выделения из неправильной дроби целого числа надо
числитель разделить на знаменатель и получившееся частное
и частное и будет давать целое число.
12
Например, из требуется выделить или, как говорят, ис-
ключить целое число, делим 12 на 5, получим в частном 2 и в ос-
12	2	2
татке 2, т. е. -— = 2 -|—=- или 2 .Правильность получен-
5	о	е>
ного результата мы, всегда меж'-м
смешанного числа неправильной
прог ; ить обрати заменой
тайное число неправильной дробью, нам нужно целое числе
выразить в долях знаменателя, в нашем примере в пятых долях.
Каждая единица содержит пять пятых долей, 2 единиц^ содер-
2 „ 3
жат десять пятых и, следовательно, все число 2 —— будет co-
z' 10 >	( 2 \
стоять из десяти пятых да еще из двух пятых т- е.
12
зсего будет иметь ~g~-
7.	Исключите из следующих неправильных дробей целые
ад ела:
J.0 12 12 18	14 J5 ‘25 30 24
3’8 ’ 5 ' 7’9’8
2.	Обратите в неправильную дробь каждое из следующих
чисел;
1 _L.3-A.7^_.4A.2J -о L
1 3	6	4 ’4 8 ’2 2 ’8 15 '
3.	Какую часть часа составляют 10 минут, 20 минут, 45 минут’
Ответ напишит^е в виде дроби.
4.	Урок в школе продолжается 45 минут, выразите продол-
жительность урока в часах.
5.	Выразите в часах продолжительность двух уроков (перемену
во вниманиие принимать не следует).
8. Какую часть суток составляет 3 часа, 9 часой, 12 часов?
7. Выразите в сутках 30 часов, 36 часов, 43 часов.
8. Одна кнпга стоит 7-5 коп, другая 125 копеек. Выразите
стоиглос’гь каждой книги в рублях.
Слежение и гыччтгние о5ьжнсе2нкых дрзНек.
1.	Решим задачу. При смазке машины потребовалось в пер-
вую смену 3/8 кг мази, а во вторую смену % кг. Сколько мази
израсходовано в обе смены?
Здесь количества израсходованной мази выражены в одних
и тех же долях килограмма. Если за единицу измерения при-
нять % кг, то можно сказать, что в первую смену израсходо-
вано таких единиц 3, а во вторую одна, всего же за обе смены
3-J-l = 4. Это будут восьмые'доли килограмма, или */8 кг, и
самое вычисление можно записать так: sl8 4- *'в = 4/8.
Из решенной задачи можем вывести что:
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями, нужно
сложить их числителей и под полученной суммой написать
общего знаменателя.
2.	Разберем теперь другую задачу. Вспашку п©ля производили
двумя тракторами. Перзым было вспахано 8 га, а вторым 1/1 га.
Сколько гектаров было вспахано обоими тракторами?
Чтобы узнать, сколько вспахали оба трактора, нужно сло-
жить дроби: 6/8 4- г/4 =
В предыдущей задаче мы видели, что дроби просто можно
скадывать тогда/ когда они выражены в одних и тех же долях.
В данном случае у нас доли разные. Но всегда можно дроби,
выражая их в более мелких долях, как это мы делали раньше,
представить с одинаковыми знаменателями. Первая дробь выра-
жена в восьмых долях, вторая же в четвертых. Последнюю
дробь мы можем также выразить в восьмых долях, умножив числи-
теля и знаменателя на 2. (Почему мы это можем сделать?
Изменится ли при этом величина дроби?).
3.	Произведем такую замену. Будем иметь:
5 '
-б’ + 2	га-
- ,8+	8-	8
Произведенном преобразованием мы привели дроби к пре-
дыдущему случаю сложения дробей с одинаковыми знаменате-
лями.
Обратите внимание при сложении этих дробей ла то обстоятель-
ство, что знаменатель одной из дробей целиком делится на зна-
мена геля второй дроби. Дроби же после преобразования нами
выражены в долях дроби с большим знаменателем. Отсюда можем
сделать такой вывод: при слежении дробей с такими знамена-
телями, из которых един из зиам енателей делится на другие,
вег дроби вь-рахсаем в долях этого (большого) знаменателя.
Такое преобразование дробей, когда мы дроби выражаем
в одинаковых долях, называется приведением дробей к общему
знаменателю. ,
4.	Произведите сложение
следующих дробей: 1-2
3.4
б 4.1’	__ 11 4- б 	_
12	3 —	9	18
4,2	__ 5Ji3 _________
б ~	/7^	11 —
3 б —	2 Б ------
8	16 —	7 «	< 29 —
4
₽ т
6 + 1 3
5. Решите следующие примеры:
1л+1-8 +1/S2=	3/4+1/13+1,'б =
1 8 + \б +S/12~	Vs + ®/1в + 5 32 —
17б + ‘/15+7зО =	6/8+1/з+318 =
При решении задач у примеров, в которых приходится произ-
водить вычитание дробей, нужно поступить так же, как и при
сложении, то-есть вычитать только числители одной дробл из
43
числителя j>, угой, когда знаменатели дробей ©данаковы,, или,
в случае разных знаменателей, препаритедьнс дроби привести
к общему знаменателю (выразить в одинаковых долях).
6. Для прши-ера решим задачу.
Запас бензина в автомобиле имелся в количестве 8 9 кг,
после некоторого времени езды осталось s/9 кг. Сколько бен-
зина израсходовал автомобиль? Для решенья задачи нам надо
произвести вычитание.
Дроби здесь зыражают одинаковые доли, а потому вычитание
будет соответствовать вычитанию из 3 долей 2 долей, т. е,
8 — 2 = 6, но при этом мы получаем не просто 6, а шесть девя-
тых долей. Запись производится так:
®, э — 2,'в = -—-= 6 9 = 8/3 (последняя дробь поту-
9
чается после сокращения ®/9).
7. Производите вычитание следующих дробей:
13’ ____5 , —
18	18 —
17 1  7 —
20 I20
6	_2 —
15	'15 —
дробей:
27	_3г ___
60	15 —
9/ ___2/
/10	15 —
14 '
124
5/ __ 31 ___
18	,8 —
-	13  9  
15	15  
20' ___в _____
25	25 —
8. Производите вычитание
11	3/	  22
14	/7 —
15/	 21 _
18	. 9 ~
21'	_31 _
24	/4 —
следующих
___3' ___
з__s —
19_____3' __
'32	8 —
17	___1/ —
,20	,4 —
в
9. Решите следующие примеры:
3/ i 7’	_.19'	—	2/ _ 3' _r V —
14 г 12	/24—	3	18	9—
5/___V ц_ 4/	—	4 __ б/ _ь 51	—
9	13	27 —	6	/24	/12 —
4+ 7/М- 4 25 =	15 16 + 1'8-3/4 =
21/2+11'4=	125U + 32/3 =
5®4 + 2\8=	|7;20 + 8 2/5 =
73/i5 + 6V3=	28,14+1^/4 =
Указание: при сложении смешанных чисел сначала складыва-
ются целые числа, затем дроби; нри этом, если сумма дробей
окажется неправильной дробью, то следует выделить целее число
и прибавить его к сумме целых чисел, например:
2 3/4+ 31 8 = 5 3Д + \12 = 5 % + 2/4 4 5 6/4 = 6 74.
При вычитании смешанных* чисел поступаем так же, как и
при сложении, т. е. вычитаем дробь из дроби и целое число
из целого числа, при этом дроби предварительно нужно при-
вести к общему знаменателю, например:
б3/4 -2У2 = 584-284 = ЗЙ.
В случаях, когда дробь вычитаемого больше дроби умень-
44
Ш8Е ого, берут одну едини::;,- из ц л <о чисш уменьшай ого,
аз побляюг ее в доли ебшего зиа еиатёля и прибавлю t к
дроои уменьшаемого. Например:
ft 1   93   h 2 Д О 31	£ С   93 — Д 3
" а  6 4 — ° 4 “ 4 ^4 "4 — 0'4-
Таким же образом производите"! и в- читаинс дроби из целого
числа.
Например: 5 —2 3 4= 44/4 — 2 3 4 = 21 4.
1 . Решите следующие примеры:
3 12^214-1®;4=	2 4-0 -5-21s'15-
1 + 38-17/а4-	S1 а З3'4-б38
5 4/7 + 23/7 —45/,=	3— 1®5+2713 =
11.	Решите следующие примеры
( 83'7^12li14)-(69/14+21,) =
(152'9-
Pis- 8's)+(3 V5-l’15)=
(6r‘25- 2 ) +(41/5-2^/£5>
Рассмотрим теперь такой пример, когда требуется, напри-
мер, ^сложить 2 5 кг и 34 кг.
В1 предыдущих примерах мы уже видели и убедились, что
дчя сложения и вычитания дробей необходимо их выразить в
одинаковых долях или, как говорят, привести их к общему зна-
менателю. Так, в рассматриваемом примере знаменатели не оди-
наковы, и мы должны отыскать такие доли, в которых могли
бы быть выражении пятые и четвертые доли. Подумаем, в каких
доля- могут быть выражены пятые доли. Это будут десятые,
пятнадцатые, двадцатые доли. Таким же образом четвертые доли
выразятся в восьмых, двенадцатых, пятнадцатых, двадцатых
долях. Следовательно, и та и другая дробь могут быть выражены,
в общих двадцатых долях, или общим знаменателем их будет 23
2 I 3/ — 8-	_1_ 15/	—23	— 13/
5	/4 —	20— Ю— * /20*
12.	Сложите подобным же приемом CfleflvionxHe дроби:
1/з + 1-'2 =	^	+ 75=	4 + % =
1/3+^4 =	3/4	+ г/'з=	Ч+1/8 =
<3. Решите следующие примеры на вычитание:
3/ _1	—	I1	_1/ -- 3' _______1/ —
/4	/□,—	ia	/3—•	,7	/4 —
5/ _2 —	4 __2/ —	3 __1	—
12 б —	/В /3—	/3/7 —
14.	Решите следующие примеры:
23/6+3*/в =	83/7 —44/s =
3^4-51/3=	36в + 22'5 =
71/3 + 3^=	25/е—13/5 =
2*/а—1\'Б = 4<„4-в/,=
- 45
15.	Одну треть суток рабочий провел на предприятии, 1/11
часть был занят в клубе общественной работой, остальное время
провел дома. Какую часть суток он провел дома?
16.	От стальной болванки весом в 5*/з кг при обточке ушло
на стружку ®/4 кг. Сколько весит полученная деталь?
. Рассмотрим еще такой пример:
з' . ?/
/4 • .10-
Для сложения этих дробей надо опять-таки привести их к обще-
му знаменателю, т. е- отыскать те общие доли, в которых
может быть выражена каждая из этих дробей.
Поступаем так же, как и раньше. Первая дробь может быть
выражена в 8, 12, 16, 20, 24, 28 и т. д. долях, вторая дробь
может быть выражена в 20, 30, 40 и т. д. долях. Наименьшие
общие доли будут двадцатые. Запись удобнее вести так:
3;_.	=_ = __	_
4	8Гь12 16 20 24 “28
7	= _ =	=
10 20	30	40	и т. д.
Таким образом мы легче может подметить наименьшие общие
знаменатели.
Представляем 3 и 7 в 20-х долях.
4	“10
	3 4	, 7 _ 15	14 __15 + 14	- 29 20	= 1-1- 20 ’
		10	20	20	20		
17.	Решите следующие примеры: 5 д. 1	3 _		2	' + СО I  - 4- сл|ы> I II
	6 5	'2'8 2	7 -+ + —	3 1 4	
	9 3 •	6	12 + 2 + 1 -	С» +-  .	8	12 -JL+J_= 6	10 7	8
S	10 5	15	5 _ Ъ	5	
	8 1	12 1		12	15 15	7
	4 14	6 “ 2 _		16	.24 3	5 _
	20 3	15 1 _		14	21 5	1
18. 3	5	6	12	4 Решите следующие примеры: 1 4-9 7	1	—	3 4. с * 	л 7 - 6	2 2	1 8	3 8 + 5 6 ~ 12			
46
1	1 — 1 _ ’ -	St5 5 -
2	4	6	18	16 + 8 — 6
c 5	, 5 , _ 7	л 2 , 5	5
Gt ,-8-+,0i2-=	2^-+-8—12 =
19. На токарном станке обтачивают вал. В первый раз сни-
мают \5 см, во второй—Vioсм-в третий—125 см. и в четвертый—
Woo см. На сколько уменьшилась толщина зала?
23. Стена сделана в два ело? кирпича по краям, а пустота
между кирпичами заполнена сухим мусором. Толщина кирпич-
ной кладки с каждой стороны 131(2 см., пространство между кир'
п щами имеет ширину 13W см. Найдите толщину стены.
21. При изготовлении детали машины затрачено на строгаль-
ном станке Is,8 часа, на токарном Зу2 часа и на фрезерном 23,4
часа. Сколько времени затрачено непроизводительно (бесполезно;,
если по норме на всю работу полагалось 63/8 часа.
22 Рабочий 2/а своего заработка затрачивает на содержание
(пи .ание, одежду, квартиру), 1Z12—н? заем „пятилетка в 4 года“
остальная часть идет на культурные потребности (газеты, книги
театр, кино). Какая часть заработка рабочего идет на культур
ные потребности?
23. В одном закроме было насыпано 18—^-тонны ржи, в дру-
5
гом на 3— тонны меньше. Сколько ржи было в обоих закромах?
О
Уюжзж и деление дроби на целое чиегз.
Вспомним, как мы умножали целые числа. Когда требовалось
умножить, например, 5 на 3, мы говорили, что это значит 5 взять
3 раза или 5 + 5+5=15.
1. То же самое приложимо и к умножению дрсби на целое
1 1
число. Ес пи нужно умножить на 3, то это значит, что ——
О
1 , 1 1
нужно взять три раза, или вычисляя, получим	—I——I—-.=
Вычисление сводится к сложению дробей с одинаковыми
1113
числителями: получим——Ь--—I—=-=-р—
О э э э
т.	1_3
Кото же самое вычисление можем записать так:——хЗ=-г.—;
з 5
2. Разберем еще решение такой задачи: поезд движется раь-
4
номерно со скоростью -у— км. в минуту. Определить, какой путь
л	о
поезд прейдет в 40 минут
47
Ясно, что в 2 минуты поезд пройдет в 2 раза больше, в 3
мин’ты в 3 раза больше и т. д.,—следовательно, весь пройден-
4	4
ный rijib больше в 40 раз. Для решения этой задачи - км
нужно увеличить в 40 раз, а для этого, как мы уже знаем, нужно
4	4 40
увеличить в 40 раз числитель. Следовательно,-^—? 40=—=
э	о
160 QO
= -=32 км.
5
Но с другой стороны, чтобы найти пройденный путь, надз
4	4	4	4
•=- повторить слагаемым 40 раз:——I—=—|—--и так далее (слагае-
Э	3	о	о
мых будет 40). Следовательно, сложение одинаковых дробей
равносильно умножению дроби на целое число, и при этом
изменяется только числитель, знаменатель же остается без
изменения.
Поэтому мы можем вывести такое пправило“ умножения
дроби на целое число:
Чтобы умножить дробь на целое число, надо умножить на
это число числителя дроби, а знаменателя оставить без изме-
нения.
1. Произведите таким же приемом вычисления:
-?-хЗ= 5 с 12 Х5~	J-X5=	-5-Х6- -|~Хб=	-^-Х2= 4	15 1 z „	1 ~ЁГх2_ ПГх5^
3. Погонный метр	з - железа весит — кг. Сколько весит кусок
3
в 6 м длиной? Средний шаг человека составляет-^—м. От шко-
лы до дома учитель делает 2500 шагов. Сколько это составляет
метров?
4
4. Один литр керосина весит -g— кг. С юлько весят 10 лит-
ров, 6 л. 8 л?
5. Рассмотрим решение следукицей задачи: на участке железно-
*	20
дорожного пути длиной в -я— км. нужно заменить шпалы. Вся
о
раоота распределяется между тремя партиями рабочих. Какая
длина пути падает на каждую партию?
Если изобразить весь путь отрезком, то на каждую партию
_______!_________I________I падает третья часть этого
4	* I	отрезка.
Поэтому и решение этой задачи сводится к разделению все-
го пути на три части.
Если бы мы путь измеряли-^-км, то таких единиц иа данном
«5
участке получилось бы 20. В этом случае для решения задачи
20
(нужно только 20 разделить на 3, т. е. 20: 3=	-
20
по это будут не километры, а третьи доли километра.
О
Чтобы выразить результат в километрах, т. е. в прежней едини-
це, полученный результат надо
Это будут уже километры. Итак,
„	20	20
уменьшить в 3 раза-^ * =-^-
20
мы произвели деление-^—на 3
О
*1ЛИ
20
3
3=
20	20
з?з~9
Рассмотрение решения этой задачи приводит нас к выводу
Чтобы разделить дрооь на целое число, нужно числителя
дроби оставить без изменения, а знаменателя умножить на
данное целое число.
Произведите деление:		
11 „	3 о	4 „
т:2=	т:3~	8 :2~
р	5	8
	• X — —	— :4—	—: 4=
8	8	К
4	3 „	
J7' =	17	5-:3=
9 „	2 „	3 о
. ' 6 =	«-:2=	—: 8=
13	3	4
27 Ь	27 г<	12 о
28:9"	32:54“	1з:3_
Найдите неизвестное X	в следующих	примерах:
„ 1	3“	5	.. 1	„ 1
х+-==4-	4-	— -	X —1-„-=
2	4	6	2	2
Учебник по математике для 4 года—4
49
х+4-	1	2	- Х=	1	X —	7	1	
3	2	3		6		8	4	
1	3	7		1		„ 5		I
4 5	4	15	-х=	1Г	X —	2Т	—5	V
4--Х=5	Х:ф=20
2	4
Ч	1
-|~-Х=12	Х:5=2у-
5.Х=2-^	Х:2-*-~4
6.	8 железных крюков весят кг. Сколько весит каждый
крюк?
7.	В колхозе один огород занимает ~ га, другой на Й- - га
3
больше, чем 1-й, а 3-й огород на га больше того, что занимают
первый и второй огороды вместе. Сколько всего га земли в
колхозе под огородом?
5	I
8.	Один мешок муки весит —центнера, другой на - центнера
меньше первого. Сколько центнеров весят оба мешка вместе?
9	Сад имеет форму прямоугольника, длина которого 25-^
Л
з
м., а ширина составляетдлины. Определите длину всей изгоро-
ди вокруг сада.
3	1
10.	Одна бочка с керосином весит 5 -т- ц., а пустая бочка-.-
ц., другая бочка с керосином весит 4 ~ ц , пустая -i- ц. Сколь-
2	3
ко всего керосину в двух бочках?
3	1
II.	В одном участке 8—га, в другом в 1-g-раза больше, чем в
о 1
первом, в третьем участке на 3 —га меньше, чем в первых двух
вместе Сколько га земли во всех трех участках?
12.	Рабочий, работая сдель но, из партии в 56 штук изделий
3
- раооты испортил. Сколько он получит зарплаты, если за каж-
ь	I
дое годное изделие ему платят 33 копейки?
50

весит
з
т^огонный метр стальной полосы весит 4-^-кг. Сколько
О
с 2
такая полоса длиною в 6—-м.
О
И.
Сколько груза перевезет в год один грузовой 3-^- - тонный
автомобиль, если в году имеется 300 рабочих дней, степень
загрузки равна 0,8 и автомобиль делает 3 поездки ежедневно?
15.	В 2-^- часа автомобиль прошел расстояние в 250 км.
Определить скорость автомобиля в 1 час.
16.	Гоночная машина (легковой автомобиль) проезжает расстоя-
3
ние 5 км в течение 1-^-минуты. Определить среднюю скорость
машины в 1 час.
17.	На 240 рублей куплен материал по 1-р руб. за метр.
3
Сколько метроз можно купить на ту же сумму по цене в 1-р-
О
раза больший?
18.	При перевозке 15 тонны муки-^ тонны дорогой рас-
сыпалась. Сколько килогра лмов чистого веса муки привезли на
склад, если мука была в 187 мешках, а каждый мешок весил
1
л-кг?
19.	Жатвенная машина убирает в день при 10-часевой работе
5 га. Серпом удается нажать за это же время на-,.- га меньше
О
того, что сделает машина в 1 час. На сколько га больше маши-
на уберет за день?
20.	Посевная площадь Урало-Кузбасса в 1931 г. составляла
25000000 га. По плану 2-й пятилетки в 1937 посевная площадь
4
должна быть увеличена в 2 раза по сравнению с площадью
1931 г. Какая намечается посевная площадь в 1937 году?
ПРЯМСУГЭЛЬНйЯ ПРЙ2МД.
Самой распространенной формой ящиков, плит, коробок—,
комнат является форма прямоугольной призмы. Моделью (и ; t
образцом) такой призмы может служить обычно употребляющая-
ся у вроб.тз, например, спичечная коробка.
51
Возьмите какую-нибудь коробку или брусок. Рассмотрите и
подсчитайте, сколько у прямоугольной призмы стенок или граней.
Чем отличаются грани прямоугольной призмы от граней
куба. Какую форму имеют грани куба и какую форму имеют
'грани прямоугольной призмы?
Все ли гоани призмы одинаковы?
Две грани АБВГ и ДЕЗЖ
называются основанием (см.
рис. Ns 4); остальные грани
называются боковыми граня-
ми. Сколько боковых граней
у прямоугольной призмы.
Пересекающиеся грани
образуют прямую линию, назы
ваемую ребром.
•я
ft
ПодсчИ1^., ее. сколько реоер у прямоугольной призмы? За-
пишите все ребра призмы (рис. № 4), записывая каждое двумя
буквами, поставленными в начале и в конце ребра. Например АБ
Пересечение трех граней образует точку, которую называют
вершиной призмы.
Сколько вершин у прямоугольной призмы?
Поставьте друг на друга два или несколько одинаковых
кубиков,—какое тело получится при этом?
I.	Начертите на толстой бумаге или па картоне выкройку
(она называется разверткой) прямоугольной призмы. как это
показано на чертеже. Вырежьте на-
черченную развертку прямоуголь-
ной призмы по сплошным линиям
и согните
наметьте
каемки и
призму.
Длина,
угольной
измерениями.
2.	Нййдите в прямоугольной
призме одинаковые ребра. Сравните протизоимложкые грани
прямоугольной призмы. Сравните его основания. Что можно
сказать про противоположные грани прямоугольной призмы?
Вывод запишите у себя в тетрадях.
3.	Что можно сказать про основания прямоугольной призмы?
Выводы запишите в тето'-дях.


по пунктирным. Затем
клеем заштрихованные
склейте прямоугольную
ширина и высота прямо-
призмы называются ее
52
4.	что можно сказать про противоположные ребра? Проверь-
те все выводы на модели.
Сумма площадей боковых граней называется боковой поверх-
ностью прямоугольной призмы.
Сумма площадей всех граней (боковых и оснований называ-
ется полной поверхностью прямоугольной призмы.
5’" Дана приз-ra, размеры которой: длина 10 см., ширина 5 см,
высота 15 см.
Надо вычислить ее боковую поверхность.
6. Начертите развертку боковой поверхности этой прямо-
угольной призмы. Какую форму она имеет? Из скольких прямо-
угольников она составлена? Как вычислить площадь каждой
грани (прямоугольника)?
7. Как найти боковую поверхность прямоугольной призмы?
Решение: Боковая поверхность=10х15+5х15+10х15+5х
Х15=450 кв. см.
3. Вычислите полную поверхность той же яризмы.
Решение: чтобы вычислить полную поверхность прямо-
угольной призмы, необходимо к величине боковой поверхности
прибавить площади двух оснований (нижней и верхней).
Площади оснований равны 10x5 4-10x5 = 100 кв. см.
Следовательно, полная поверхность будет 450 кв. см.+ 100
кв. см. = 550 кв. см.
9.	Начертите развертку прямоугольной призмы, размеры ко-
торой 4 см, 3 см, и 10 см. Вычислите боковую и полную по-
верхность этой призмы.
10-	Нужно изготовить открытую жестяную коробку прямо-
угольной формы, размеры которой 13 дм., 8 дм., 4 дм. Сколько
квадратных дециметров жести пойдет на ее изготовление, если
на обрезки уйдет 20 кв. дм?
II.	Требуется устроить досчатый сарай прямоугольной формы,
размеры которого 12 м, 8 м, и 6 м. Какое число досок следует
заготовить для его стен, если длина досок 6 м, ширина 3 дм?
Вычисление об'ема прямоугольной призмы.
1.	Возьмите коробку из-под спичек и уложите в нее кубики
каждый в 1 куб. см. Подсчитайте, сколько кубиков уложилось
в коробке.
Посмотрим, нельзя ли узнать, сколько кубических единиц
поместится в прямоугольной призме, не производя непосред
ственного укладывания. Пусть нам дана прямоугольная призма
58
размеры которой 4 см. 3 см. и 6 см. (см. чертеж № 6). Из чер-
тежа видно, что эта прямоугольная призма разделилась на 6 слоев,
высотой в 1 см. Каждый из этих слоев
содержит 4 бруска, шириной в 1 см.
и каждый брусок составлен из 3 ку<|
тнтиметров. Сосчитайте, сколько ку-
бических сантиметров содержит эта
прямоугольная призма.
Разобрав прием вычисления об'ема
прямоугольной призмы, можем сде-
лать такой вывод:
иб ем прямоугольной призмы равен произведению трех его
измерений.
2.	Вычислите об‘ем прямоугольной призмы, измерения ко.о-
рой 4 см., 5 см. и 6 см.
3.	Вычислите об'ем прямоугольной призмы, в основании ьо-
горой находится квадрат со стороной, равной 2 см., а высота
призмы 5 см.
4.	Сосчитайте, сколько кубиков в бруске на рис. 7.
5.	Измерьте в кубических санти-
метрах объемы разных коробочек и
брусков.
6.	Измерьте и вычислите (прибли-
зительно) об‘ем классной комнаты в
кубических метрах.
7.	В нормальном классе на каждого учоника должно прихо-
диться не менее 7 куб. метров воздуха. Каков ваш класс—выше
или ниже нормы и насколько?
Каковы должны быть размеры класса, чтобы в нем могли
учиться без вреда для здоровья 48 учащихся?
8.	Измерьте и высчитайте в куб. метрах об'ем комнаты, в ко-
торой вы живете.
Ь. Определите ширину прямоугольной призмы, если длина ее
6 см., высота 8 см. и об'ем равен 144 куб. см?
10. Смогут ли нести трое рабочих дубовый брус размеры
которого 35 см. 25 см. и 6 см. Каждый рабочий в среднем мо-
жет поднять 70 кг., 1 куб см. дуба весит 0,7 грамма.
i I. Бак для керосина имеет форму куба, ребро которого 3 м.
Определить, сколько весит керосин в этом баке, если один куб.
метр весит около С,8 тонны.
54
12.	Колодец глубиною в 12 м. имеет поперечное сечение i кв.
«. глубина воды в колодце 8 м. Сколько ведер воды в колодце,
если один кубический метр содержит 32 ведра?
13.	Земленосный мешок, употребляющийся для укрепления
откосов, насыпей и т. д., имеет форму прямоугольной призмы
со следующими размера,ми: высота 5 дм., ширина 2,5 дм. длина 2 дм.
Вычислить вес 150 таких мешков с землей, если 1 куб. м земли
весит ),3 тонны.
14.	На уральских нефтепромыслах в буровой скважине № 15
на глубине 378 м. оказалась нефть, которая заполнила скважину,
поднявшись в ней на 200 м. Каков вес этого столба нефти, если
площадь сечения буровой скважины 2 кв. дм. вес же одного
куб. метра столба нефти равен 850 кг?
15.	Мартеновская печь имеет вид четырехугольной ванны
длиною в 8 м. шириною в 3 м., глубиною 0,3 м. Найти об'ем
^вместимость) печи.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЗАВИСИМОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТА АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЕЛ, НАД КОТОРЫМИ ПРО-
ИЗВОДЯТСЯ ДЕЙСТВИЯ.
I. Вспомните, как называются те числа, которые мы склады-
ваем.
Как называется число, получающееся в результате сложения?
3.	Как называется число, из которого вычитаем? Как назы-
вается число, которое вычитаем?
4.	Как называется число, получающееся от вычитания?
Рассмотрим, как изменяются сумма и разность от изменения
слагаемых, уменьшаемого и вычитаемого.
5.	Возьмите сумму каких-либо двух чисел, «апример 25 и <3.
25 + 43 = 68
а)	Прибавьте к первому слагаемому 5. На сколько увеличит-
ся сумма?
б)	Оставьте теперь первое слагаемое, т. е. 25 без изменения.,
а второе увеличьте на 3. На сколько увеличатся сумма?
в)	Прибавьте теперь од:юаре**ен»о к первому слагаемому 5>
единиц, ко второму 3 <диницы. Подсчитайте сумму и сравните,,
на сколько опа становится больше первоначатьной (т. е. 66).
Что можно сказать об иэмевении суммы от изменения отдель-
но наждог-о из слагаемых и от изменения одновременно обоих
слагаемых? Вывод запишите у себя в тетрадях.
6.	Возьмите разность каких-либо двух чисел, например 46 и 24:
46 — 24=22.
а)	Прибавьте к уменьшаемому 5 единиц, подсчитайте, како-
ва будет разность, и сравните ее с прежней. Как изменилась раз-
ность и йга сколько единив?
б)	Прибавьте теперь 3 единицы к вычитаемому, подсчитайте,,
какова будет разность, как она изменилась по сравнению с преж-
ней и на сколько единиц?
в)	Вычтите из уменьшаемого 5 единиц и сравните, как и на сколь,
ко единиц изменится новая разность по сравнению с прежней.
56
г)	Вычтите из уменьшаемого 5 единиц и сравните, как и на
сколько единиц изменится новая разность по сравнению с преж-
ней.
д)	Вычтите из вычитаемого 3 единицы, не изменяя уменьшае-
мого; подсчитайте разность и сравните, как и на сколько она
изменится по сравнению с прежней?
7.	Что можно сказать об изменении разности от изменения
уменьшаемого (когда его'увеличиваем или уменьшаем на несколь-
ко единиц) и от изменения вычитаемого (когда его увеличиваем
или уменьшаем на несколько единиц)? Выводы запишите у себя
в тетрадях.
8.	Разберите еще вопрос — что произойдет с разностью, если
одновременно увеличим или уменьшим и уменьшаемое и вычи-
таемое на одно и то же число единиц? Вывод также запишите-
в тетрадях.
9.	Вспомните, как называются числа, которые мы перемножаем.
10.	Как называется число, получающееся в результате умно-
жения? Разберем вопрос об изменении произведения от измене-
ния сомножителей.
Решим для этого такие задачи:
а)	Тетрадь стоит 3 коп. Один ученик купил 3 тетради. Сколь-
ко он заплатил? Другой ученик купил тетрадей в 2 раза боль-
ше. Сколько денег заплатил другой ученик?
Запишем эти решения: 3x3=9 коп.; 3x6=18 к.
б)	Начертите в тетради квадрат со стороной в 4 клетки и рядом с
ним другой квадрат со стороной в 3 раза длиннее. Во сколько'
раз площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?
II.	Запишем вычисления: площадь первого квадрата равна-
4x4=16 квадратиков, площадь второго квадрата 12x12=144кв.
144 больше 16 в 9 раз. Почему?
В этих двух решенных задачах мы имеем: в первой увеличе
ние одного из сомножителей и произведения, во второй увели-
чение каждого из сомножителей и произведения.
12.	Ответьте на вопросы: во сколько раз увеличен один из
сомножителей в первой задаче?
13.	Во сколько раз увеличилось при этом произведение?
14	Что происходит с произведением при увеличении в не-
сколько раз одного из сомножителей?
15.	^Что происходит с произведением с уменьшением в не-
сколько раз одного из сомножитечей?
16.	Во сколько раз увеличился каждый из сомножителей во-
второй задаче?
О 4
17.	Во сколько раз увеличилось произведение при увеличе-
нии каждого из сомножителей?
18.	Во сколько раз уменьшится произведение, если одновре-
менно уменьшим в несколько раз (на одинаковое число раз) каж-
дый из сомножителей’
Проверьте полученные выводы еще на ряде примеоов. Снача-
ла скажите, как изменится произведение, а затем проверьте под-
счеты вследующих примерах.
6x4 = 24;	8x5 = 40;	5x3=15
*9. Как изменится произведение, если первый сомножитель уве-
личим в 3 раза?
20.	Как изменится произведение, если 2-й сомножитель уве-
личим в 3 раза?
21.	Как изменится произведение, если 1-й сомножитель уве
лич им в 2 раза, а второй увеличим в 3 раза?
22.	Сделайте общий вывод — как изменяется произведшие
от изменения (увеличения или уменьшения в несколько раз) от
дельных сомножителей и обоих сомножителей одновременно?
Вывод запишите в тетради.
23.	Вспомните, как называется число, которое мы делим. Как
называется число, на которое мы делим? Как называется число,
•получающееся в результате деления?
24.	Рассмотрим, что происходит с частным при изменениях
делимого или делителя или одновременно того и другого.
Возьмем такую задачу: из 60 листов бумаги надо сшить тет-
ради, беря по 4 листа на каждую тетрадь. Сколько выйдет тет-
радей? 60:4=- 15 тетрадей.
Сколько получим из 60 листоз бумаги толстых тетрадей, бе-
ря на каждую тетрадь по 12 листов? 60:12 = 5 тетрадей.
Сколько получим тетрадей, если возьмем 120 листов бума-
ги, употребляя на каждую тетрадь по 4 листа?
120:4 = 30 тетрадей.
Сколько получим тетрадей, если из 120 листов будем изго-
товлять тетради, беря на каждую по 8 листов?
120:8 = 15 тетрадей.
£5. Сопоставляя решения этих задач, сравните, что происхо-
дит с частным, когда увеличивается только делимое? Во сколько
раз увеличилось делимое? Kl'x и во сколько раз изменилось ча-
стное?
28. Что происходит с частным, когда увеличивается только
делитель? Во сколько раз увеличится делитель? Как и во сколь-
ко раз изменилось частное?
58
2Л. что происходит с частным, когда увеличивается или умень-
шается в одно и то же число раз и делимое, и делитель одно-
временно (первый и четвертый вопросы)?
28.	Определите, изменится , ли, и как частное в следующих
примерах.
Э 24:3 = 8	36:6 = 6	18:3 = 6
а)	При увеличении в 2 раза делимого?
б)	При увеличении в 2 раза делителя?
в)	При одновременном увеличении и делимого, и делителя
в 2 раза?
23.	Ответ дайте сначала, не производя вычислений, а затем
проверьте вычислением правильность своих соображений.
30.	Сделайте общие выводы — как и во сколько раз изменяется
частное при увеличении (или уменьшении) в несколько раз толь-
ко делимого или только делителя; при одновременном увеличе-
нии (или уменьшении) в одно и то же число раз и делимого и де-
лителя.
Выводы запишите у себя в тетра тях.
Пользуясь полученными выводами, а именно, что частное не
пзменится при одновременном уменьшении в одно и то же чис-
ло раз, делимого и делителя мы .можем упростить деление чи-
сел, окончивающихся нулями, зачеркивая одинаковое число ну-
лей в конце делителя и делимого. Например, 245000:5000 можем
замелить через действие 245:5.
Проделайте деление в том и другом случае и сравните полу-
ченные частные.
31.	Что происходит с делимым и с делителем в отдельности
при отбрасывании справа по два нуля?
32.	Измените в следующих примерах делимое илн делителе
так, чтобы частное увеличилось в 4 раза.
16:4 = 4;	15:3 = 5;	18:2 = 9;	24:4 = 6.
60:15 = 4; 48:4 = 12; 96:24 = 4; 72:12 = 6.
33.	Измените в следующих примерах делимое или делителя
гак, чтобы частное уменьшилось в 3 раза.
45:3 = 15;	£1:9 = 9;	90:6 = 15;	96:8 = 12.
135:15 = 9;	144:24 =6; 126:21=6;	243:27=9.
34.	Измените делимое и делителя так, чтобы частное осталось
без изменения.
8:4 = 2;	27 : 9 = 3;	72:18 = 4;	64.-16 = 4;
105:7 = 15; 573:24 = 24; 256:8 = 32;	324:9 = 36.
$9
км, в—~ часа он прейдет в 2 раза
О
задачи сводилось- к двум вычисли-
бы мы находили путь, пройденный
ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРЗБИ.
Умножение и деление целого числа на дробь.
I.	Рассмотрим решение следующей задачи. Поезд в час про..
2
ходит 42 км. Какой путь он пройдет в часа?
Мы такие задачи уже встречали и решали так: если поезд
в час проходит 42 км, то в одну треть часа он пройдет в три
42
раза меньше, т. е. 42:3 = -—
©
42
больше, т. е. —х2. Решение
О
тельным действиям. Но, если i
в целое число часов, например в 2 ч., 3 ч., то решение задачи
свелось бы только к одному действию — умножению. Для реше-
ния задачи в этих случаях нам нужно 42 взять 2 или 3 раза
т. е. 42x2 или 42x3.
Для получения ответа в этих задачах мы расстояние, прохо-
димое поездом в один час, умножаем на время движения поезда.
Так как
следующие,
расстояние,
первая задача такая же по содержанию, как и ло-
то, конечно, и ее надо решать также, т. е. умножая
проходимое поездом в 1 час на время.
42 х-|-
задачи, следовательно, сводится к умножению це-
на дробь. Вычисляя по частям, мы целое число де-
Решение
лого числа
лим на знаменателя дроби и затем полученную величину умно
жаем на числи ;еля. Записывая эти вычисления получим-
.„	2	42 X 2
42 X	- -
О	о
Записанное вычисление можно прочитать и так:
Чтобы умножить целое число на дробь, нужно целое число
умножить на числителя и затем полученное произведение раз-
делит» на знаменателя дроби.
Решение этих задач можно истолковать еще так. Нам,дано
целое число (42 км), и нужно узнать, какой будет результат
если мы данное число возьмем несколько раз или возьмем часть
этого числа.
В обоих случаях этот результат находится умножением.
Отсюда можем сделать вывод: Для нахождения части числу
вычисление сводится к умножению на дробь.
co
При умножении на дробь возникает недоумение, вызывае-
мое противоречием в представлении об умножении. Раньше»
когда мы умножали на целые числа, в произведении получали
число, большее множимого. При умножении же на дробь в яро-
изведении получаем число, меньшее множимого, т.-е. результат
обратный. Чтобы убедиться в возможности и действительности
таких результатов, т.-е. получения в произведении чисел и боль-
ших и меньших множимого, рассмотрим на примерах вычисления
площадей прямоугольников.
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению
чисел, выражающих длину и ширину (стороны) прямоугольника.
2.	Вычислим площади прямоугольников со сторонами 6 см.
« 4 см. Начертите этот прямоугольник в тетрадях. Площадь это-
го прямугольника 6 X 4=24 кв. см.
3.	Начертите и запишите вычисление площади прямоуголь-
ника со сторонами 6 см. и 1 см. Площадь его 3 X 1=6 кв. см.
4.	Теперь последний прямоугольник (6x1) разрежьте попо
лам, как показано на чертеже.
Вычислим площадь
половины этой поло-
ски. Площадь всей по-
лоски 6 кв. см. Поэто-
му площадь половины полоски равна 3 кв. см. но, с другой сто-
роны, эта полоска—также прямоугольник со сторонами 6 см. и г/г
см. Вычисляя площадь его по правилу вычисления площади
прямоугольника, запишем 6XJ/2 =3 кв. см.
Таким образом, на этих примерах видим, что произведение
может быть и больше множимого, и равно множимому, и нако-
нец, может быть и меньше множимого, и это не противоречит
действительности, в чем мы могли убедиться на примерах вы-
числения площадей прямоугольников.
5.	Решите задачу. Грузовой автомобиль при нагрузке в 5 тонн
требует 1 кг. бензина на каждый километр пройденного пути.
Сколько бензина выйдет на пути в 10 км, в 20-^-км., в * км.,
3	7
В — км., в км.
4	8
Решение задачи запишите в форме таблицы.
На расстоянии	. Надо бензина
1 км.	1 X 1 = 1 кг.
10 >	1ХЮ= 10 кг.
61
6-	3 колхозе вспахано 2170 га.—земли вспахано тракторами,
остальная часть земли—лошадьми. Сколько земли вспахано трак-
торами и сколько лошадьми? -	,
2
7.	Килограмм сахару стоит 69 коп. Сколько стоят кг.?
8.	Один погонный метр железа весит 9 кг. Сколько весит
2
кусок в-^-м?.
О
Трактор движется с средней скоростью 8 км в час. Какой
з
путь он пройдет в-часа?
3
9.	В ящике 2000 штук яиц, из них оказалось испорчен-
ными и разбитыми. Сколько годных яиц в ящике?
Умможенлэ целого числа на смотанное.
В ряде задач нам приходится умножать целое число на смешан,
ное. Например, возьмем задачу:
3
I.	Один метр сукна стоит 4 рубля. Сколько стоят 2-^- м?
3
Для решения задачи нам нужно 4 умножить на Умноже-
ние можно производить двумя способами: или
1)	(4х2)4-^4х-^-^=8-рЗ = Н р., или
2)	смешанное число превращаем в неправильную
* ’ 3 11 . о 3	. 11 4.11	,,	. „
дробь 2 — =	4,.2-^-=4х-^=—= И рублей.
И тот и другой способы верны и дают одинаковый результат,
однако практически лучше пользоваться вторым способом.
2.	Покупатель купил 2 отреза сукна в 3 —j м. по 6 р. за метр
и в 4-^-м по 12 р. за метр. Сколько он должен заплатить за все
О Л
сукно, если ему сделают скидку в 5%? (Вспомните, что называ-
ется процентом).
3.	Какое количество золы потребуется для удобрения 5-^-
2
га пахотной земли, если на один га вносится в среднем 4 цент-
нера?
4.	Какое расстояние пройдет поезд за З^-часа, если ок, в
среднем, проходит 42 км в час?
Умножение целого числа на десятичную дробь.
Умножение целого числа на десятичную дробь можно произ-
водить так же, как умножение на обыкновенную дробь, рас-
сматривая десятичную дробь, как частный вид обыкновенной
дроби.
3	25
В самом деле: 0,3 есть - или 0,25 Всякая десятичная
дробь может быть представлена или рассматриваема, как такая
дробь, у которой знаменатель состоит из чисел 10, 100, 1000 и
т. д., т. е. представляет единицу со столькими нулями, сколько
имеется десятичных знаков (цифр) после запятой. Числителем
же дроби является число, стоящее вправо от запятой.
32	"i
0,32= 1м;оо,5=А
1. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,35; 0,2; 0,4; 0,415;
0,06; О,Ь15; 0,305; 0,275.
Пусть нам нужно умножить 5 на 0,3. Заменяя 0,3 дробью^
применим правило умножения на обыкновенную дробь.
с л ч ч 3	5.3 15___ 5 - _
5-0,3 = 5-10=ТГ“Т0- ho’1’5
Рассмотрим, как мы произвели умножение. Мы 5 умножили
на 3, а это есть множитель, превращенный в целое число от-
брасыванием запятой. Полученное таким образом произведение
раздели и на 10. Деление на 10 представляет собою уменьшение
числа в 10 раз, что мы можем сделать отделением запятой спра-
ва одной цифры.
Отсюда можно наметить такой прием умножения на десяти
чную дробь: целое число умножаем на множителя, как на це-
лое число, не обращая внимания на запятую, а затем в получен-
ному произведении справа отделяем столько цифр, сколько нх
было в десятичной дроби справа от запятой.
Посмотрим еще, почему такой прием мы можем применять?
Если нам нужно умножить 5 на 0,3, а мы умножаем 5 на 3,
то мы этим самыц, увеличиваем множителя в 10 рзз. Но, как мы
• знаем, при увеличении в 10 раз множителя мы и произведение
получаем увеличениям в 10 раз. Для того, чтобы получить истин-
ное произведение, мы должны най ценное произведение умень-
шить в 10 раз, т. е. отделить справа запятой одну цифру.
5x0,3 = 1,5.
Если будем умножать таким же образом 5 на 0,03, то, умно-
, жая числа без обращения внимания на запятую, мы множитель
и, следовательно, произведение увеличиваем в 100 раз. Поэтому
в найденном произведении должны сперва отделить запятой две
цифры. Получим:
5x0,03 = 0,15.
Таким образом, сделанный выше вывод оказывается вполне
справедливым и сригодным для вычислений. Запишите этот
вывод в тетрадях.
2. Решите следующие примеры:
3x0,8 =
12x0,5 =
62x0,6 =
75 х 0,5 =
125x0,4 =
25 0,25 =
5x0,5 =
7 X 0,24 =
8x0,12 =
(84 X 0,5) — (25 X 0,3) =
(6,87 + 24,13) . 0,4+(63,15 + 27,85) . 0,5 =
(5,35 + 6,65) . 0,25 — (1,05 + 2,95) . 0,3 =
12 . (8,15 — 5,25) + 15 . (3,2 —1,7) =
15X1,7 =
20x2,5 =
150x6,2 =
65x1,3 =
8x1,25 =
48x3,05 =
82x2,02 =
75x3,01 =
100x4,25 =
3 . Один метр ткани стоит 0,65 рубля. Сколько стоят 8 м?
4. Какова площадь комнаты, одна из сторон которой 5 м, а
другая 3,25 м?
Нахождение процента от числа.
Умение умножать на десятичную дробь используется для на-
хождения процента от числа. Вспомним, что называется процен
том. Процент есть сотая часть числа. Когда нам нужно найти
несколько процентов от числа, это значит найти несколько со-
тых числа. Нахождение части числа производится умножением.
Следовательно, если нам нужно найти 5% какого-нибудь чис-
ла, эти значит найти от него 0,65, что мы можем произвести
умножением на 0,05.
Так, 5% от 350 будет 350x0,05 = 17,5,
12% от 48	„	48 к 0,12 = 5,76
I.	В школе учится 120 учеников, из иих пионеров 25%. Сколь-
ко в школе пионеров?
2.	Сберегательная касса начисляет 8% в год. Сколько дохода
от сбережений получит вкладчик на 200 рублей, на 250 рублей,
на 25 рублей, на 80 рублей?

3.	Латунь это сплав мели с цинком, при чем цинк составляет
26%. Сколько меди входит в латунную гирю весом в 200 гр., в 50 гр.?
4	В Америке, одной из наиболее богатых капиталистических
стран, к концу 1931 г. на 40 миллионов человек наемного труда
безработных приходилось до 30%. Сколько в 1931 г. было без-
работных в Америке?
Есть ли безработные в СССР?
5.	За период времени с 1929 г. по 1931 г. доход (заработок)
лиц наемного труда в Америке с 45 миллионов долларов сни-
зился на 37%. Какую сумму составлял заработок трудящихся
Америки в 1931 г.?
6.	В СССР фонд заработной платы в 1929 г. составлял 10,5
миллиардов руб. К 1931 г. заработная плата возрос ia на 100%
Kai ев был фонд, заработной платы в 1931 г.? >
Только уничтожение капиталистического строя улучшит положе*
иие трудящихся и ликвидирует безработицу.
7.	В настоящее время вместо литья при изготовлении дета-
лей машин применяется электросварка. Этот способ дает боль-
шую экономию материалов. Так, раньше литая плита для турч
богенератора весила 780 кг., а теперь плита, изготовляемая
электросваркой, требует металла на 22% иеиьше, чем прч литье.
Сколько весит плита, получаемая электросваркой?
8.	В угольной промышленности тяжелый труд шахтеров об-
легчился применением механизированной добычи (при помощи
машин). По плану на 1932 г. в СССР таким механизированным
путем будет добыто 72% всего угля. Сколько угля будет до-
быто механизированным способом, если всего намечено к добыче
87.a0U.000 тонн угля.
9.	Кузнечный уголь должен содержать не более 3% влаги
8% золы, 0,8% серы и 17% летучих веществ. Определите весовое
количество каждого из этих веществ в 1 тонне угля?
10.	Из 4.355 рабочих, работающих на заводе, вовлечено в соц-
соревнование 86%. Определите число рабочзх, не вовлеченных
в соцсоревнование.
II.	Общее число учащихся в высших учебных заведениях
СССР достигло 258.000 человек. По социальному состагу они
распределяются так: студенты-рабочие составляют 51,4%, кре-
стьян 22,2%, остальные категории (служащих) составляют 2t>,4%_
Вычислите, сколько студентов-рабочих, крестьян и служащих
в отдельности.
65
’ чеСанк по математике для 4 года — 5
’2. При. помощи сепаратора можно переработать 25 ведер
молока в час. Сколько можно переработать молока при помощи
сапаратора в 1 3|4 часа, в 11,'2 часа, в 3*/2 ч.?
13. На каждый километр пробега паровоза идет в среднем
Vae тонны угля. Сколько тонн угля расходуется на годовой про-
бег паровоза на расстоянии 35.600 км?
Деление целого числа на дробь.
1.	Рассмотрим,как решить следующую задачу. Для раздачи
нескольким красноармейцам было выделено 12 кг. сахару. Сколько
было красноармейцев, если ка:<дому выдавалось по 3'4 кг. сахару?
Такие задаче нам уже встречались. Для решения задали нуж-
но узнать, скочько раз в 12 кг. содержится по 3'4 кг. Сначала
мы узнавали, сколько раз в 12 кг. содержатся по г/4 кг. В каж-
дом килограмме четвертей—четыре, в 12 кг. четвертей будет
в 12 раз больше, т. е. их будет 48.
Каждому красноармейцу выдавали по три четверти, слег
довз,ельно, чтобы узнать сколько было красноармейцев, нужно
определить, сколько в 48 четвертях содержится ко три чет-
верти. Получаем: 48:3= 16. Значит, красноармейцев было 16
человек.
Задачу эту мы решили двумя вычислительными действиями.
2.	Посмотрим, как решается такая же задача при других
числсвых величинах.
Пусть задача будет та же. но норма выдачи будет не 3/4 кг., а
2 кг. Чтобы узнать, на сколько красноармейцев хватит сахару,
нужно определить, сколько раз в 12 кг. содержится по 2 кг.,
получаем 12:2 =6.
Беле бы раздавали по 3 кг., то для определения числа кра-
сноармейцев мы делчли бы 12 на 3; 12:3 = 4.
Сравнивая эти дге последние задачи с первоначальной, за-
мечаем, . что они совершенно одинаковы по содержанию. Но
если они одинаковы по содержанию, то едьим и тем же приемом
должны быть л решаемы. Для определения числа красноармей
цев в постедчих двух задачах мы делич- 12 кг. (все количество
сахара) на 2 кг. или 3 кг. (на количество, выдаваемое каждому
красноармейцу). Таким действием должна решаться и первая
задача, т. е. тагже 12 нужно разделить на 3/4. При вычислении
(первым способом) мы 12 умножаем на 4, а затем полученное
произведение делчм на 3. Следовательно:
G6
Отсюда вывод: Чтобы разделить целое «него на дрсбь, нужно
целое число умножить на знаменателя дроби (это будет чи-
слитель частного), получайте же произъедешге разделять на
числителя дроби (это будет знаменатель частного).
1. Решите следующие примеры:
II 00	30:4- = 6	8‘ 13 ~
*3	12	1
12:-,- =	20:-^- =	17: -,—=
4	25	о
. -	5 1о : — — =	20: — - =	20'—— —
18	15	
Правильность полученных решений проверьте умножением.
Почему так мы можем проверять?
Решите следующие примеры:
	8 _	5	Л 2
21:	“И	19:-у- =	1С:~з- =
	9 =	6	7
27:	1ТГ	24:- р- = 1о	14:-^ =
	4	15	9
12:		25--ТХ-=	Зб : ——— =
	7	19	10
В тех случаях, когда приходится делить на смешанное число,
нужно сначала его обратить в неправильную дробь Так, напри-
мер:
8:2-f-= 8
1
11 _ 8.4_32 „Ю_
4 - 11 11 -211
3.	Решите следующие примеры:
9	15
18:1—=—=	13:5 - =	12:4 ~-=
5:1-?—=	15:3-t-=	21:2
8	5	5
35:24-=	15:5-4-=	28:14==
а	7	4	'
4.	Отрез сукна в 23/4 м. куплен за 22 руб. Сколько стоит
один метр сукна?
5.	В какое время пешеход пройдет 18 км., если он в среднем
в час прсгодиг 4х, 2 км?
Рассмотрим решение задали.
За 3/4 м. сукна уплачено 6 рублей. Сколько стоит 1 м. сукна?
В этой задаче нам нужно по стоимости 3 4 м. найти стоимость
целого метра, то-есть по части числа (стоимости 1 м.) найти это
число.
С7
Раньше мы такую задачу решали двумя действиями; сначала
находили стоимость одной четверти, затем стоимость четырех
четвертей или цепого метра. Но если бы мы знали стоимость не3/4,
а, положим, двух метров, то задачу решили бы одним действием—
делением. В саком деле, если нам известно, что 2 м. сукна стоят
16 рублей, то для определения стоимости 1 м. мы 16 рублей
должны разделить на 2; 16:2=8 рублей.
Первоначально поставленная задача по содержанию ничем не
отличается от только-что решенной: в том и другом случае нам
даны стоимость определенного количества сукна и количества
ei о. Если же задачи одинаковы по содержанию, то решаться они
должны также одинаково. При решении второй задачи мы стои-
мость всего суйна делим на количество. Следовательно, и при
с 3 с 6.4
первом условии должны поступить так же, т. е. 6:-^—— 6.—^- =
= 8 руб. Но только-что решенная задача нами уже разобрана,
как задача, в которой по части числа приходится находить все
число. Таким образом, мы гложем сделать вывод: прч нахождении
числа по его части задача решается деление», данной величины
на часть искомого числа.
6.	Заработок ученика на производстве составляет 2/5 зара-
ботка взрослого рабочего. Сколько заработал взрослый рабочий,
если ученик получил 48 рублей?
7.	Рабочий положил в сберегательную кассу ®'8своей получки,
что составило 45 рублей. Чему равна получка?
8.	Деталь обрабатывается на токарном ста нке и вручную. На
токарном станке р ’бота продолжается 40 минут, что составляет
4 9 времени, необходимого для обработки вручную. Сколько
времени потребуется на обработку всей детали вручную?
9.	Землекоп, копавший канаву, выполнил 7/и работы, и ему
осталось еще прокопать 9 м. Определите длину всей канавы.
19. На фабрике работают мужчины, женщины и подростки.
Мужчины составляют 2,'5 всего числа работающих, женщины 1/2,
в подростков 40 человек. Сколько всего рабочих на фабрике?
11. Деталь машины снята в 8/и натуральной величины. Ее
длина на фотографическом снимке 18 см., а ширина 15 см. Оп-
ределите ее натуральные размеры?
12. В школе пионеры составляют а октябрята—^-всего ко
личества учащихся. Сколько в школе пионеров и сколько октя-
брят, если всего учащихся было 140 человек?
Высчитайте процент пионеров и октябрят в вашей школе.
6 3
Деление целого числа на лесятичкую дробь.
э
При делении целого числа на десятичную дробь мы можем ее
рассматривать, как обыкновенную дробь, как это мы делали при
умножении на дробь.
Пусть нам нужно разделить 6 на ОД Заменяя ®,2 обыкновен-
2
ной дробью 1Q-, разделим по установленному правилу деления
2	6 1?У
целого на дробь. Получим 6:0,2= 6:	—=30.
Но проще деление на дробь свести к делению на целое чис-
ло. В самом деле, мы знаем, что десятичную дробь можно пре-
вратить в целое число, отбросив запятую. При этом увеличи-
вается делитель. Вспомните, что произойдет с частным при уве-
личении в несколько раз делителя?
Чтобы избежать изменения частного, зная, что частное не
изменится при одновременном увеличении в одно и то же чис-
ло раз и делимого и делителя, нужно, увеличивая делителя,
увеличить в то же число раз и делимое.
Разберем тот же поимер: 6:0,2.
Превращаем делителя в целое число, отбрасывая запятую.
В этом случае мы его увеличиваем в 10 раз. Чтобы частное не
изменилось, нужно и делимое увеличить в 10 раз. Будем иметь:
6:0,2= 60:2=30.
Следовательно, приходим к такому выводу: при делении це
логэ числа на десятичную дробь в делителе зачеркиваем (отки-
дываем) запятую, а к целому ч лслу-делиыому справа пра-п исы-
ваем столько нулей, сколько было цыфр после запятой в де-
лителе.
1. Произведите деление:
5:0,25 =	: 0,5 =	12: 0,8 =
6: 0,3 =	16: 0,4 =	4:0,25 =
18: 0,9 =	3: 0,6 =	32:0,08 =
15: 0,3 =	7:0,14 =	3 :0,06 =
3: 1,5 =	8: 2,5 =	4: 2,5 =
45: 1,5 =	9: 1,8 =	15: 2,6 =
2. Для прокатки круглого пруткового железа заготовлены бол-
ванки весом в 9 кг. каждая. Какой длины после прокатки полу-
чатся прутки, если вес 1 м. прутка равен 1,5 кг?
3. °абочий подписался на заем и уплатил за облигации 30 ру-
блей, чго составляет 0,4 их стоимости. Сколько ему еще нужно
доплатить за облигации?
С9
Н«.хгмкдеиие ч:сла по данным прэцелтам.
Так как процентом мы называем сотую честь какого-либо
-числа, то нахождение числа по известным процентам этого чис-
ла сводится к определению числа по его части. Нахождение же
числа по части производится делеупем. Для большой ясности это.
го вывода разберем решение такой задачи:
1.	За последнюю пятидневку месяца завод зыпустпл продук-
ции на бО.иОО рублей, что составило 20%„ стоимости продукции,
выпущенной за весь месяц. Определите, на какую сумму выпу-
щено заводом продукции за весь месяц.
Задачу эту можно истолковать так: выпущенная за послед-
нюю пятидневку продукция составляет 20% или 0 20 стоимости
месячной продукции; иначе—0,20 искомого числа составляет 50.00b
рублей, найдите это число. Для нахождения числа по его части
н\ жио 50000 :0,20 = 2'0.000 рублей.
.Можем сделать такой простой вывод:
Чтобы найти числе по данным его процентам, нужно извест-
ную часть числа разделять на число процентов, выраженных
десятичной дробью.
2.	В школе 234 пионера, что составляет 65% от всего числа-
учащихся. Сколько всего в школе учащихся?
3.	После обработки вала на гокарном станке вес Снятой струж-
ки оказался равным 500 гр„ что составляло 2% от первоначаль-
ного веса вала. Определить вес вала до обработки.
4.	В 1930/31 г. прирост продукции электротехнической про-
кышленности по отношению к предыдущему 1929 30 г. составляет
39,%. Какова продукция 1929.30 г., если в 1930 31г. она состав-
л । ia 460 миллионов рублей?
-. Новые машины, нужные для осуществления лозунга „дог-
нать и перегнать капиталистические страны*, требуют усиления
производства „качественной стали*. В этом отношении мы име-
ем значительные успехи: при сравнении производства стали в
1930 пив 1931 г. оказывается, что производство стали в 1930 г.
составляет только 32,5% по отношению к производству 1931 г.
Сколько было выпущено „качественной стали* в 1931 г., если
в 1930 г. мы имели 65.000 тонн?
Начертите диаграмму производства стали.
6. В 1931 году единоличные хозяйства иыели около 66 миллионов
га, что составляет 72% площади, принадлежавшей единолични-
ка?" в 1930 г. Какую площадь земли имели единоличники в 1930 году?
Э?- Из полученной зарплаты рабочий уплатил в профсоюз 2%
7 ч)
на покрытие долга по рабочему кредиту 12,5%, за квартиру
8,5% -и за коммунальные услуги 3,5%, после чего у него оста-
лось /О р. 56 к. Как велика была получка рабочего и сколько
он уплатил по каждой статье расхода в отдельности?
8; В 1929 30 г. в СССР было добыто 17.103-000 тонн нефти,
что составило 185% количества нефти, добытой в 1913 году.
Определите, какова был? добыча нефти в 1913 году.
9.	На заводе 1462 человека состоят в ударных 'бригадах.
Сколько всего человек работает на заводе, ести число ударни-
ков составляет 86% от всего числа работающих на заводе?
10.	По сведениям Союзрыбы, за весеннюю путину 1930 года
было выловлено всего 5120 тыс. центнеров рыбы, что составило
78% программы лова в первом полугодии. Сколько центнеров
рыбы было намечено выловить весной 1930 года?
И. В конце 1931 г. в Англии работа по 70 доменных печей,
что составляет только 17,5% общего количества всех печей
Англии. Сколько доменных печей Англии бездействовало?
Что вы знаете о развитии и росте количества доменных пе-
чей в СССР, где и какие печи пущены в ход за последний год
на Урале?
12.	Нормой кладки огнеупорного кирпича на строительстве
считалось 0,5 тонны на человека. Французские специалисты на
кузнецком строительстве эту норму считали наибольшей. Од-
нако, ударники-строители выдвинули первый встречный план
в 1 тонну, а в действительности выполнили в отдельных ударных
бригадах до 3 и 4 тонн. Во скольке раз превышав норму встречный
план и во сколько раз превысила нормы действительность?
3. На строительстве Магнитостроя соревнующиеся бригады
земпе сопов достигли больших успехов. < Две соревнующиеся
бригады вырыли: первая, в среднем, па человека по 16 кубо-
метров в 4 х/4 часа, вторая—22 кубометра в 4 2'6 часа. Которая
из бригад вышла победительницей, и на сколько кубометров
больше выполнил каждый член этой бригады, по сравнению
с нормой, выполненной каждым членом соревнук щейся бригады?
14.	Мировой рекорд укладки огнеупорного кирпича показал
американский рабочий Карл Штречкель, об явивший себя удар-
ником на строительстве в Кузнецке, который за 8 '/а часов ра-
боты уложил 1400 штук кирпича. Сколько приблизительно кир-
пичей укладывал он в 1 час.
Найти неизвестное X в следующих примерах:
I. 0.5 * X=2,t5	X —0,75=1,25	Х+3,2 — 1,5=6,7
5,2 —Х=2,<5	Х + 3,18=4,56	0,54 Х-, 3,2=1,7
71
	0,24 Е X=0,S5	X —1,24=3,48	2,б+Х=2,8+1,4
	>^5.Х=1,75	6,25:Х=2,5	12,6:Х=0,3
	Э^.Х=3,12	3,2: Х О,4	0,75. X—4,5
	X : 0,2 4-5,76	3,15:Х=0,9	0,12.Х = 1,44
	2. 4-+Х=3,5;	t-2 x^ 4-;	5,2 —Х=2-^—, 4
	х	^-=1,25; 4	X: 2,5 = 3 —;	7 х- 4-=1,25; <5
	3,5-Х- Э А; О	бЦ-: Х=2,5;	12—^-+Х=20,8; J
	Ах	— 1.2 А 3	=-4 74-+2+х=124;	
	О 2,6. X—6— 5	—-О.1;	5 Х|-2 1 —5-^ о	о	
может
15.	Огородный участок имеет форму прямоугольника. Длина
3
его рагна 90 м., ширина составляет-^длины. Половина участ-
э
1
ка засажена картофелем,—--морковью и остальная часть разными
О
огородными овощами. Какая площадь занята каждым видом
озощей?
16.	Средняя загрузка одного вагона дров равна 29,35 куб.
метра. Определите, сколько вагонов потребуется для перевозки
2054,5 кубометров дров?
17.	На лесном участке заготовлено 1343,75 куб. мет. дров.
Определите, сколько потребуется возчиков для перевозки этих
дров в течение 15 дней, если каждый возчик в дено
перевезти 6,25 куб. м?
18.	На пионерский галстук требуется-Д- м. Сколько
6
галстуков из 2 м., из 3 м.?
3
19.	Рабочий положил в сберкассу—-своей получки,
О
ставило 42 рубля. Чему равна его получка?
7
20.	В школе, прикрепленной к заводу, учится 240 человек,—-от
О
этого числа дети рабочих прикрепленного завода. Сколько в
школе детей рабочих завода?
21.	Большую экономию во время ремонта паровоза дает
горячая промывка. Если прежд; промывка отнимала 25 часов
выйдет
что со-
73
4
то при гсрячеи промывке времени идет иа —меньше затрачи-
ваемого ранее времени. Сколько времени требуется для го-
рячей промывки паровоза?
22	Во вновь выстроенном доме полезной жилой площади
(площадь без коридоров, кухонь, чуланов и т. д.) 546 кв. м.
Сколько жителей может быть размещено в этом доме прикор-
ме 9 кв. м. на человека и на сколько увеличится число размещае-
„ 1
мых жильцов при сокращении нормы до 7—кв. м. на чело^ а?
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНЯ.
I.	Русский писатель Н. В. Гоголь родился 19 марта (ст. с ить)
1809 г., а умер 21 февраля (ст. стиль) 1852 г. Сколько времени
он жил?
Решаем так. От начала летоисчисления (эры) до дня рожде-
ния Гоголя прошло полных 180о лет, 2 месяца и 18 дней; or
начала эры до дня смерти Н. В. Гоголя прошло полных 1851
год, 1 месяц и ‘20 дней. Для определения времени жизни Н. В.
Гоголя записываем и вычитаем так:
1851 г. 1 мес. 20 дней.
1808 г. 2 мес. 18 дней.
42 г. li мес. 2 дня.
Так как число месяцев в уменьшаемом оказалось меньше
числа месяцев в вычитаемом, то пришлось год раздробить в
месяцы и 2 мес. вычитать из 13 мес.
2.	Первая железная дорога была построена в Англии мелщу
городами Манчестером и Ливерпулем в 18-5 г. Сколько лет
существования насчитывает история железных дорог?
3.	Первый пароход, построенный Робертом Фультоном, был
пущен в Америке по реке Гудзон 11 августа 1807 г. Сколько
времени прошло от этого События до настоящего момента?
4.	Расстрел ленинградских рабочих, так называемое „крова-
вое воскресенье", раскрывшее рабочим глаза на подлинное
отношение царя к народу, было 22 января (нов. стиля) 1905 г.
Свержение же самодержавия было 12 марта 1917 г. Какой про-
межуток времени прошел между этими двумя событиями?
5.	Расстрел на Ленских приисках (в Сибири) рабочих, высту-
пивших с требованиями улучшить невыносимое положение ра-
бочих, произошел^ 17 апреля 1912 г. Сколько времени прошло
от этого события до настоящего времени?
6.	Международный праздник / Мая впервые был установлен
73
з 1890 г. Сколько раз пролетариат провел этот праздник до
настоящего времени?
7.	Вождь ^пролетариата Вл. И. Ленин родился 27 апреля
1870 г., а умер 21 января 1924 г. Сколько, времени прожил Вла-
димир Ильич?
8.	Всесоюзная коммунистическая партия (большевиков) 80
июля 1928 года справляла 25-летие своего существования. Ког-
да была основана партия большевиков?
£. Первый день Парижский коммуны был 18 марта 1871 г.
а) Скольку времени прошло с первого дня Парижской, коммуны
до 7 ноября 1917 г.—дня Октябрьской революции? б) Сколько
времени прошло с 1-га дня Парижской коммуны до настоящего
времени?
10.	Первое восстание против ига царизма было устроено
декабристами 14 декабря 1825 г. а) Сколько времени прошло с
момента этого события до свержения самодержавия 12 марта
♦ 27 февраля ст. стиля) 1917 г.? б) Сколько времени прошло с
Февральской революции до Октябрьской революции 1917 года?
II.	ВКП(5), передовой отряд рабочего класса, в своей работе
исходит из решений с'ездов партии, устанавливающих определен-
ные задачи на каждый период деятельности партии. До 1932 г.
партийных с'ездов было 16; 6 из них относятся к периоду до
Октябрьской революции и происходили большей частью за грани"
цен. Эти с'езды происходили:
I с'сзд 1 марта	1898 г.
II „ 30 июля	1903 г.
Ш „ 25 апреля	1905 г.
IV „ 23 апреля	1906 г.
V я 13 мая	1907 г.
VI „ . в августе	1917 г.
VII „	6 марта	1918 г.
VIII „ 23 марта 1	1919 г.
IX „ 29 марта	1920 г.
X „	8 марта	1921 г.
XI , 27 марта	1922 г.
XII „ 17 апреля	1923 г.
XIII „ 13 мая	1924 г.
XIV „ 19 декабря	1925 г.
XV „	2 декабря	1927 г.
XVI „ в июне	1930 г.
Определите а) промежутки времени между каждым из-с'ез-
<ов партии; б) промежуток между первым и XIV с'ездами, в)
между первым с'ездом партии и первым съездом партии i осле
Октябрьской революции.
12.	Первый номер первой большевистской газеты „Искра" вы*
шел 24 декабря 1900 г. Сколько времени прошло с момента
выхода первого номера „Искра" до настоящего времени?
13	25-летие газеты „Правда", центрального органа нашей пар-
тии, праздновалось 5 мая 1932. Когда вышел первый номер
„Правды"?
„11 Ученик ложится спать в 10 ч. вечера и спит 91 I часов.
Когда он встает?
15. Ученик школы I ступени приходит в школу в 8 ч. 50 м.
и уходит из шкалы в 1 ч. 15 м. дня. Сколько времени он про-
водит в школе?
16. Учащиеся школы отправились на экскурсию в 8 ч. 50 м.
и возвратились обратно в 2 ч. 15 м.. Сколько времени продол-
жалась экскурсия?
I?. В отрывном календаре? февраля указывается восход солн-
ца в 7 ч. 19 мин., заход в 16 час. 20 мин. Определите продол-
жительность дня.
В отрывном календаре от 1 декабря указано время захода
солнца 15 час. 01 [мин., продолжительность дня 7 час. 25 мин.
Определите время восхода солнца.
18.	Телеграмма из Свердловска отправлена в Пермь в 11 ч.
23 м. получена адресатом (так называется тот, кому посылается
письмо или телеграмма) в 7 ч. 12 м. вечера. Через сколько вре-
мени после отправки телеграмма была получена?
19.	ЦК ВКГ\б) свое историческое постановление о начальной
и средней школе вынес 5то сентября 1931 г. а) Сколько вре-
мени прошло с того дня, как вышло это постановление? б) Ка-
кие результаты имеет ваша школа по перестройке работы со-
гласно этому постановлению? в) На сколько процентов сокра-
тилась неуспеваемость, на сколько процентов увеличилось ко-
личество ударников учебы, тюнеров, октябрят?
20.	Постановление СПК РСФСР об упорядочении внутрен-
ней жизни школы вынесено 15 февраля 1932 г. а) Сколько меся-
цев и дней прошло с этого времени? б) Как перестроилась ваша
школа на новый внутренний распорядок? в) Как вы боретесь за
правильный режим дня, за чистоту в школе?
НОВЫЙ ВНУТРЕННИЙ РАСПОРЯДОК В ШКОЛЕ ОБЕСПЕЧИТ
ВЫПОЛНЕНИЕ ПОСТАНОВЛЕНИЯ ЦК ВКЛ(б) О НАЧАЛЬНОЙ
И СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.
75
КРУГ И ОКРУГЛЯОСТЬ.
1.	Возьмите тонкий, но достаточно плотный картон (можно
использовать корешок использованного блокнота) или взять кар-
тон от какой-либо коробки. Вырежьте полоску шириной в 1 см.
и длиной в 10 или 12 см. Длину полоски разделите иа санти-
метры и сделайте отверстия в точках деления, проткнув поло-
ску шилом так, чтобы в отверстие входил конец карандаша.
Теперь полоску наложите на бумагу и один конец укрепите
неподвижно, воткнув в крайнее отверстие булавку (см., как по-
казано на рисунке № 9); в одно же из других отверстий, напри-
мер 5-е, вставьте карандаш и вращайте (вместе с полоской)
около неподвижной булавки. На бумаге у вас получатся кру г.
Линия. ограничивающая круг, называется окружностью.
2.	Нарисуйте (говорят: „начер-
тите“) еще несколько окружнэ-
f	л. г'тей, вставляя карандаш в раз-
\	\	I ичные отверстия полоски.
<	(	/7	I Та полоска, которой вы поль-
\	//	/ ’ались для вычерчивания ок-
'Ч. I7/	S' ружностей, является простей-
------------шим самодельным прибором для
***---------черчения окружностей и назы-
вается циркулем.
Настоящие циркули устраиваются иначе и представляют
собой прибор с раздвигающимися ножками. В конец одной из
ножек вставляется карандаш или перо, а другая ножка заменяет
булавку нащ^го простейшего циркуля
3.	Возьмите теперь первую из начерченных окружностей и
отметьте карандашом след от воткнутой булавки (поставьте
точку) и измерьте сантиметровой линейкой нескочьких, напр.
3-х или 4-х точек, лежащих на окружности.
а)	Чему равно каждое из этих расстояний?
б)	Что можно про них сказать?
в)	На каком расстоянии от каждой из точек окружности
находится точка, отмеченная вами раньше (отверстие от булавки).
г)	Не будет ли находиться на таком расстоянии от этой
точки и любая точка окружности? (Если явится сомнение, про-
верьте измерением).
76
Та точка, которая находится на одинаковом расстоянии от
каждой точки окружности, называется центром очружности или
центром круга.
Прямая, соединяющая центр с любой точкой окружности,
называется радиусом окружности или круга.
/Аы уже убедились, что расстояния любой точки окружности
от центра одинаковы,—поэтому можем сказать, что радиусы од-
ного и того же круга равны между собою. __
4. Продолжите теперь один из ра-	1
диусов за центр до пересечения с окруж- f
ностью (см. чертеж). Получившаяся f	X
таким путем прямая АБ называется ди- л	\
аметром окружности иди круга. Сколь- *4——;—.-«i	—р
ко радиусов составляет диаметр? Ответ -I	/
запишите у себя в тетрадях.	\	/
Соотношение дл1ны скрутлности	-s'
с диаметром и радиусом.
Во многих практических задачах встречается необходимость
вычислить длину окружности. Например, нуж^о рассчитать, ка-
кой длины должна быть полоска железа для изготовления шины
на колесо определенного диаметра.
Чтобы определить длину окружности по диаметру или ра-
диусу, проделайте следующий опыт:
I. Возьмите несколько круглых предметов, по возможности
различных диаметров, например круглую коробку, стакан, монету,
пузырек и т. д. Каждый предмет оберните плотно полоской
бумаги тек, чтобы концы этой полоски налегали один на другой.
а)	Сделайте прокол булавкой на каком-нибудь месте, где
один конец налегает на другой.
37
б)	Разверните теперь полоску и измерьте расстояние меж-у
двумя проколами (измерения произведите возможно то^тсе).
Это расстояние есть длина развернутой окружности.
в)	Затем тот круглый предает, длину которого вы измерили,
зажгите между двумя брусочками, как это показано на рисунке:
тогда расстояние между этими брусочками, показанное прямой-
'лилией се стрелками, будет определять диаметр круга.
* г) Произведите также возможно точнее измерение длины
этого диаметра.
д) Произведенные измерения занесите в следующую табличку:
НАЗВАНИЕ КРУГЛЫХ ПРЕДМЕТ QL	Длина L ОКруЖНОС! И-	Диаметр	Число, показывающее, го сколько раз длина окружности больше диаметра
Коробка - . .	...			
Стакан	.			
Монета				
	г		
е) Окончив измерение, займетесь вычислением. Узнайте, во
сколько раз длина вкружности больше диаметра. Для этого
первое число разделите на второе с точностью до 0,01.
ПРИМЕЧАНИЕ: Вследствие неточности измерения, результаты, получен*
ные из опыта,' будут разл"чны, но все же близки к одной величине. Каждая
окружность больше своего диаметра в три с небольшим раза. Более точные
измерения и почечеты показали, чт о длина окружности больше своего дта-
метра в 3,14 раза (с точностью до в,Э1).
ж) Установив, что окружность больше своего диаметра в
3,14 раза, можно легко решать задачу о вычислении длины
окружности, зная ее диаметр или радикс. Например,если радиус
круга равен 5 см., те диаметр равен 10 см., а длину окружности
найдем, умножив диаметр па 3,14, т. е. 10 см., на 3,14 = 10	3,14
= 31,4 см.
I.	Сколько метров надо купить шинного железа, чтобы об-
тянуть шинами 2 передних колеса диаметром в 08 м. и 2 зад-
них—диаметром ь 0,9 м., если ка сварку каждой шины нужно по
8 см?
2.	Определите диаметр колеса велосипеда, еейи при полном
обороте колеса велосипедист перемещается на 219,8 см?
3.	Под'ем груза часто производится наматыванием каната на
талик (барабан) лебедки, диаметр которого равен 36 см. На
78
кадую высоту поднимется груз при 15 полных оборотах в*
минуту?
4.	Какой путь пройдет велосипед за 10 минут, если диаметр
его колеса равен 70 см. и колесо делает 126 оборотов в минуту?
5.	Минутная стрелка башенных часов (такие часы устанав-
ливаются на башнях или колокольнях в больших городах) имеет
в длину 1,27 м. Какое расстояние проходит ее конечная точка
за сутки? за час? за 3 часа?
6.	Совхозу нужно дерево для мельничного вача толщиною
не менее 45 см. в диаметре. В лесничестве нашлась сссна в 150
см. в окружности. Годится ли это дереве для мельничного вала,
если толщина коры равна 1 см?
•
Деление «крунсцости на равные части.
Во многих случаях, когда нужно изобразить сравнение двух
или нескольких величин, составляющих часть одного целого
количества, например, распределение учащихся на мальчиков и
девочек (по полу) или распределение учащихся на пионеров,
октябрят и „беспартийных11, выражая это соотношение в про-
центах, изображают диаграммой в виде круга. Д чя этого нужно
уметь делить круг и окружность на равные*
Деление окружности на 2 и на 4
равных части производится просто.
Возьмите начерченный на бумаге круг
и вырежьте его возможно аккуратнее
Согните вырезанный круг пспола?
так, чтобы каждая половина кру:.
точно совместилась с другой поле
виной. После этого разогните. При
этом оказывается, что линия сгиба
проходит через центр, т. е. является
диаметром. Следовательно, для того,
чтобы разделить окружность или круг на две рагные части —
достаточно провести диаметр. На чертеже диамеч ром АВ окруж-
ность разделена на две равные части.
Если теперь тот же, вырезанный из бумаги, круг перегнете
пополам и затем эту половину—еще раз пополам, и после этого
круг распрямите, то он окажется разделенным на 4 равные части.
При этом вторе 1 линия сгиба тэжг^кляется диаметром, образую-
щим с первым диаметром прямые уклы; стороны прямых углов
мы называем перпендикулярными. Отсюда можем сделеть такой
вывод:
79
Чтобы разделить окружность (и круг) на четыре равгые
части, нужно в окружности провести два перпендикулярных
диаметра; точки пересечения этих диаметров с окружностью
и бу; ут точками, саяшг.я «ифу'кг >сть на 4 равные часта.
На ч?ртеже такими точками являются точки А, Б, 3, Г — концы
двух перпендикулярных диаметров.
I. Начертите в тетрадах какую-либо окружность и разделите
ее на 4 равных части, как это указано выше. Получите точки
А, Б, В, Г. Соедините эти 4 точки
окружности последовательными
прямыми лБ, ВБ, БГ, ГА. Полу-
чается квадрат. Деля окружность
ла 4 равные '^асти, мы можем
построить четырехугольник с
равными сторонами и равными
углами (квадрат); такой четырех-
угольник сЩс называют правиль-
ны# в отличие от других четы-
рехугольников, в которых не все
стороны равны между собой.
Так как 1/2 составляет 50%>
1’4 составляет 25%, то для изображения диаграммы, определя-
ющей 50% или 25%, достаточно окружность указанными выше
способами разделить на 2, на 4 равные части и закрасить или
заштриховать г/2 или % круга.
Далекие < крутости нм & и на 3 рапные части.
I.	Начертите в тетрадях окружность и затем, не изменяя рас-
твора циркуля (расстояния между ножками циркулях поставьте
одну ножку циркуля в произволь-
ную точку окружности, например
А (на чертеже № 1), второй же
зжкой (с карандашом) зачертите
пересечения с окружностью в точ-
ках Б и Д. Затем циркуль пере-
местите в точку Б и также зачер-
тите пересечения с окружностью
® точке В. Далее, перенесите цир-
f ь в точку В и произведите пере-
сечение с окружностью в точке Г
и так далее. Продолжая перемещать циркчло и делать .засечки’,
при аккуратном исполнении с такой засечкой придем, в точку А.
Подсчет точек указывает, что окружность разделяя на 6 рав-
ных частей.
Если эти точки последовательно соединить прямыми линиями
АБ, БВ, ВГ, ГД, ДЕ, ЕА, то мы получим шестиугольник.
2.	Измерьте каждую из сторон получившегося шестиуголь-
ника и сравните их между собой.
3.	Что можно сказать на основании этого сравнения.
4.	Сравните сторону получившегося шестиугольника с радиу-
сом окружности.
5.	Что можно сказать относительно этого сравнения? Ответы
запишите у себя в тетрадях.
Если в многоугольнике все стороны равны между собою, то
такой многоугольник называют правильным многоугольником.
Деля окружность указанным способом, мы можем начертить
правильный шестиугольник.
Форму шестиугольника, напр., имеют гайки. Где еще вы встре-
чали шестиугольник? Перечислите все известные вам предметы
этой формы.
Точки А, Б, В, Г, Д, Е шестиугольника называются верши-
нами шестиугольника.
6.	Соедините каждую из вершин шестиугольника с центром
окружности. Получаются треугольники, а) Сколько получим тре-
угольников? б) Чему равна каждая из сторон треугольника? в)
Как называется треугольник, у которого все стороны равны
между собою?
7.	Можно ли правильный шестиугольник составить из тре-
угольников?
а) Какие и сколько нужно взять треугольников? б) Составьте
из треугольников правильный шестиугольник, сторона которого
равнялась бы 5 см.
Умея разделить окружность на 6 равных частей, мы можем
разделить ее и на три равных части. Как это сделать?
Если мы соединим точки А, Б, В, Г, Д, Е через одну, как
это указано на чертеже, то получим треугольник АБД.
8.	Измерьте стороны этого треугольника и сравните их между
собою. Что можно сказать про стороны треугольника? Какой
это треугольник?
Треугольник, у которого все стороны равны между собою,
называется правильным треугольником.
На основании наших рассуждений можем сделать такой вывод:
Для построения правильного треугольника достаточно окруж-
УчсЗник по математике для 4 года — 6
81
ность разделить на шесть равных частей и соединить точки
деления через одну.
9.	Укажите, где вы встречали предметы в форме правиль-
ных треугольников.
Знакомство с процонт:.ым транспортиром. Круговые
диаграммы.
Мы уже знаем, что длл вычерчивания диаграмм, изображаю-
щих процентные отношения, или просто для сравнения двух или
нескольких величин, составляющих части одной целой величины,
используются круги, разделенные на части. Такие диаграммы
называются круговыми диаграммами.
Для составления коугоьых диаграмм полезно иметь процент-
ный транспортир. Процентным транспортиром называют круг,
разделенный на 100 равных частей. Такой транспортир можно
построить самому. Возьмите клетчатую бумагу. Длина клеточек
в ней равна х/2 см. Отмерьте циркулем длину, соответствующую
16 клеткам. Проведите окружность радиусом, равным взятой
длине. Тогда, раздвинув циркуль на расстояние одной клетки
бумаги, отделим на окружности часть, соответствующую изоб-
ражению одного процента (если соединить эти две точки с цен-
тром Kpyia). Если вы, не сдвигая циркуля, отложите точки,
одинаково удаленные друг от друга, то число их будет 100, и
каждая точка будет соответствовать одному проценту. На чер-
теже изображен такой транспортир.
1. Рассмотрим пример исполь-
зования процентного транспор-
тира для построения круговых
диаграмм. Известно, что средний
вес человека 65 кг. Из них при-
ходится на долю мышц 45%, ко-
стей—18%, крови — 7%, внут-
ренностей — 9%, кожи — 7%, мо-
зга— 2% и жира —12% общего
веса.
2. Изобразим это соотноше-
ние в диаграмме, пользуясь про-
центным транспортиром. Для
этого начертим круг. На начерченный круг наложим процентный
транспортир так, чтобы центры кругов (начерченною и тран-
спортирного) совместились. После этого, произведя отметки
соответствующего количества процентов на начерченной окруж-
ности, соединим отмеченные точки с центром. Полученные части
83
круга будут давать относительную величину веса отделных
частей человека. Диаграмма будет такова:
S. Вычислите сколько кг.
весит каждая часть в отдель-
ности. На данном черт, диа-
граммы представлено распре-
.еление дней в году по по-
годе. Выразчте это распреде-
ление в процентах и в числах.
4. В г- в СССР будут построены и пу-
щены 24 новых домны, из них 10 печей прихо-
дится на Магнитогорский и Кузнецкий заводы.' Какой процент
новых доменных печей составят печи Урало-Кузбасса? Изобра-
зите это на круговой диагра.м,ме.
5. В 1931 г. пущен в ход ряд новых электростанций общей
мощности на 1.000.000 киловатт. Важнейшие из них следующие
Штеровка (дополнительная) на 93.000 квт (киловатт):
Каширская..................„	44.000	„
Ивгрэс.....................,	72.000	„
Нигрэс......................  94.000	„
Ленинградская вторая . . .	„ 48.000	„
Зуевская...................„	150.000	„
Ч лябинская................„	48.000	„
Магнитогорская............ „	36.000	„
Кизеловская............... „	22.000	„
Стальгрэс.................... 24.000	„
Вычислите в процентах мощность каждой станции в отдель-
ности и начертите круговую диаграмму (при подсчете, кроме
перечисленных станций, остальные об'едините вместе, назвав
их—„остальные").
Пользуясь процентным транспортиром, можно очень просто
начертить правильную советскую звезду. На сколько частей ну-
жно будет разделить окружность. Сколько частей для этого
нужно будет взять на процентном транспортире. Полученные
деления соедините прямыми линиями через одну. В результате,
получите звезду, как это указано на чертеже.
6. Для разрешения острой нужды в электроэнергии для на-
ших промышленных районов, прави-
тельством СССР постановлено по-
строить три крупных гидроэлек-
тростанции: около Ярославля на
Волге, около Чебоксар на Волпе
и около Перми на Каме. Мощность
этих станций намечается: Ярослав-
ской— 80-100 тыс. квт. Чебоксар-
ской—400 тыс. квт, Пермской — 400
тыс. квт. Изобразите на диаграмме
сравнительную мощность новых
гидростанций.
СССР в 1931 г. 15.023.000 человек
7.	Из 18.100.000 рабочих
переведены на 7-часоврй рабочий день. Вычислите, какой это
составляет процент и изобразите на круговой диаграмме.
8.	Производство цемента на Урале вырастает за -пятилетие
с 718 тыс. бочек (в 1927-28 г.) до 2.300 тыс. бочек (в 1932-33 г).
Во сколько раз увеличится выработка цемента в 1932 г.
Изобразите это на диаграмме.
9.	В Уральской области общая численность туземного насе-
ления равна 500.000 чел. ( округленно), что составляет 7,5% об-
щего населения области. Какова численность населения всей
Уральской области.
Начертите диаграмму, показывающую численность туземного
населения по национальностям:
Финские	племена:	Тюркские племена:
Пермяки . .	. . 126.000 чел.	Татары	 195.000	чел.
Мари . . .	. . 18.000 »	Башкиры .... 59.000 >
Удмурты	. . 14.000 »	Нагайбаки . . . 11.000 »
Мордва . . .	. . 6.000 »	Казаки	 9.000	> Чуваши .	.	.	5.000	» Мещерики	.	.	4.000	»
84
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
V»
ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.
Умножение обыкновенной дроби на обыкновенна? дробь.
Решим следующие задачи:
I. Кусок железа весит—кг. При обточке на стружку ушла
— -часть его веса. Сколько весит снятая стружка?
3 этой задаче нам нужно найти одну шестую часть от кг.
Для решения этой задачи поступим так: возьмем квадрат и вы-
о л 1
делим его полоззну. Затем, чтобы получить— - ст пологины, эту
(заштрихованная полоска). Какую часть всего квадрата состав-
ляет эта полоска? Запишите (чертеж).
Вспомним, каким действием мы находили часть какого-либо
числа. Для нахождения части числа мы данное число умножали
на дробь, определяющую искомую часть. В нашем примере нам
1	1
н\жно, следовательно,—^— помножить на—.
2	о.
1 1 1
результат— X -g- = у^-.
Запишем найденный
4
2. Один литр керосина весит- - кг. Сколько
п	.34
* Рассуждаем так: нам нужно наити—-от-т—
4 О,
3
умножить на-4-. Вычислим постепенно: найдем
4	4	3	4
— ч., она равна—.,-. Теперь найдем ——, т. е. - _ х
о	2U	4	20
3
весят —л.
4
4
это значит —т-
э
1
сначала —— от
12 ь
-0-. Запи-
вая вычисления вместе, получим:
4	3__4x3	12
5 Х 4 — 5х4~20
Поясним последний результат на чертеже. Возьмем квадрат
(см. чертеж), сторону которого будем считать равной единице.
Разделим одну из сторон квадрата на 5 равных частей, а другую
на 4 части. Выделим теперь прямоугольник со сторонами, рав-
4	3
НЫМИ—— и —
5	4
как указано на чертеже. Вычислим площадь об-
разовавшегося пр тмоугольника и найдем, какую часть площади
всего квадрата составляет площадь этого прямоугольника. Не-
посредственно по чертежу видим, что заштрихованная часть со-
12
ставляет —— всего квадрата. Но площадь прямоугольника, как
мы знаем, вычисляется путем перемножения его сторон. Следо-
вательно, площадь выделенного прямоугольника будет равна
4	3 _ 12
5 ’Х 4 “ .20’
„	4	3
Сравнивая результат умножения с данными—— и-—, заме-
О 4
чаем, что его числитель получается от умножения числителей,
а знаменатель — от умножения знаменателей данных дообей.
Поэтому можем сказать: -
Чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числителя
на числителя и знаменателя на знаменателя; первое произведе-
ние сделать числителем, а второе знаменателем.
Если полученную в произведении дробь можно сократить,
то такое сокращение надо произвести. Но гораздо удобнее со-
86
кращение производить до перемножения числителей и знаменате-
5	9	13	3
лей. Производится это так:—— х =	--—------
и 1и 2	2	4
I. Найдите произведения, сокращая дроби, где это возможно.
72	46	2	7	57	56	53
'8Х3^	7Х 7	3'10	6Х10	9ХГЗ^	12Х'8	=
2 3_ 4 А== 11 А-
~9 Х 5 ~ ТХ 9	90Х40 —
Если один или оба сомножителя — смешанные числа, то пред-
варительно их нужно превратить в неправильные дроби, а затем
уже производить умножение.
3 _ 3	3 13	3 . 13	39	19
Например: у . 2 -у = -= у-у- =	= 1
или 2у.З-|-- 2 . 5 -
2. Решите следующие примеры:
i2A5A=
4	7
2	6
14—3— =
О I
Аб1-=
32-2
в 2 А
3 2 • 9
9 -3_._А
4 13
5 18	1.9
1 . 1 — 9
, 3 16
6—-28- =
3 - - 4 -А. =
9	8
Ю -А. 7 -1-
6	5
з-АтА
5 1С
2—А.1-А =
о 3
3. Длина окружности в 3-1- раза
Найти длину окружности, диа-
метр который равен 15—3-см.
4. Зубчатое колесо пере-
д ет движение рейке (см. чер-
те. ). Шаг зацепления (з^бец
вместе с впадиной) равен
6 ~ мм. На колесе 14 зубьев.
На какое расстояние продви- __	. ____ .
„уяась рейка, если колесо еде
•тало 1-С оборота?	М1" 111,11 И Е Й Г. Д
О	-
больше своего диаметра.
6 4 ' 12
1 3
87
Б. Два поезда в 10-^- утра вышли друг другу навстречу aft
J
двух городов, расстояние между которыми 432 км. Один про-
2	4
кодит в час 40——км., а другой — 34-—км. На каком расстоя-
О	о
нии друг от друга будут поезда в 3 часа дня?
6.	Квартира имеет три комнаты. Размеры первой комнаты
1	13	—
5 м. X 4— м., размеры второй — 4 — м. X 3 -т-м.; размеры треть-
Л	2	4
3	3
ей — 3 — м. X 2 — м. Сколько надо заплатить за месяц квартир-
ной платы, если за. 1 кв. метр взимается 52 коп?
7.	Прямоугольное поле длиною в 625 м. и шириною в 280 м.
1
колхоз засеял рожью, при чем на каждый гектар высеял-^- тон-
2
ны. Урожай получился сам-шесть. Из собранной ржи —остави-
ли себе, а остальное сдали на ссыпной пункт по 75-^-руб. за
тонну. На какую сумму сдал ржи колхоз?
2
8.	Гайка навинчивается на болт. Шаг нарезки болта-^-дюй-
ма (шагом нарезки называется высота, на которую ввинчивается
болт при одном полном обороте гайки). Насколько продвинулась
гайка, если она сделала 2-^- поворота?
Умножение десятичной дрс^м на десяткчную дрсЗэ.
Умножение десятичных дробей можно производить двумя
способами: или рассматривать десятичные дроби как частный
вид обыкновенных дробей, или превратить каждую из дробей
в пелые числа путем отбрасывания запятой; при последнем спо-
собе произведение у нас увеличится, и мы его должны соответ-
ственно уменьшить, чтобы получить действительную (верную)
величину произведения.
Рассмотрим оба приема.
Положим, нам надо перемножить числа 0,4 и 0,6. Запишем
каждую из дробей в форме обыкновенной дроби и перемножим
по правилу умножения обыкновенных дробей. Будем иметь:
4	6	4X6	24 Zn.
о, хо,б— 10 х 10-10х10 юо 0,24
8S
Но то же умножение мы можем произвести иначе, поступая
так, как мы делали при умножении целого числа на десятичную
дробь,—а именно, превратная ее в целое число.
Отбрасывая запятые в каждом из сомножителей, мы увеличи-
ваем в данном примере и множимое и множителя в 10 раз каж-
дое. Раньше мы рассматривали и установили, что при увеличе-
нии каждого из сомножителей в 10 раз произведение увеличится
в 10ХЮ раз. Поэтому полученное произведение .'пя должны умень-
шить в этом случае в 100 раз. Запишем так: 0,4x0,6=0,24, т. к.
4X6=24, но это число мы должны уменьшить в 100 раз=0,24.
Таким же образом 1,5.0,5=0,75
3,87.2,6=10,062
Всматриваясь в результаты разобранных наян призеров умно-
жения десятичных дробей, видим, что умножение производились
как умножение целых чисел, без обращения внимания на запятые
а в полученном произведении должны были отделить запятой
справа столько десятичных знаков (цифр), сколько иг имеется
в обоих сомножителях вместе.
Таким образом можем установить следующее правило умно-
жения десятичных дробей:
Чтобы умножить десятичные дроби, достаточно отбросить
в них запятые, перемножить полученные целые числа и в
произведении отделить с правей сторолы столько десятичных
знаков, сколько их есть в множимое i во мнегщтеле вместе.
Результат умножения десятичных дообей так же, как это
делали для обыкновенных дробей, можно пояснить на чертеже
путем выделения из квадрата со стороной, равной единице
прямоугольника, стороны которого выра-
жаются десятичными дробями, например
0,3 и 0,4. Непосредственно из чертежа
видно, что площадь выделенного прямо-
угольника содержит 12 квадратиков, пло-
щадь же каждого из квадратиков состав-
ляет 0,01 площади всего квадрата. Следо-
вательно, действительно 0,3x0,4 = 0,12.
«Лы еще раз получаем подтверждение полученного нами вы-
вода.
8»
f. Решите следующие примеры:
0,5.0,5=	120,5.10,6=	1,05. 1,5 =
1,5.2,8=	1,65. 0,2=	0,3.0,17 =
6,3.0,2=	0,02. 0,3=	24,5. 1,6 =
2. Решите следующие примеры:
(1,28.1,25) — (0,9.0,64) =	(3,14 5,5). 6,3 — (8,7 — 5,24)=
(52,3 — 50,8) . 1,5=	(24,5.3,1) — (6,8+ 2) 0,4=
(3,75+ 2,25). (1,32+ 2,73)=	(2,81 — 6,31).6,2+(0,2-г3,7). 0,5=
(3,12+0,9). (1,4 —0,8)=
3.	Вычислите площадь комнаты, если ее размеры 5,5 м и 3,75 м.
4.	Ведро во цы содержит приблизительно 12,3 л. Скольким
литрам равны 1,5 ведра, 0,6 ведра?
5.	Раньше измерение длины производили так называемыми
„русскими мерами'. Одна из „русских мер"—аршин, приблизи-
тельно равна 0,71 м. Сколько метров в 2,25 ^аршина? — в 3,5
аршина?	'
Деление обыкновекдой дрдб.2 на обыкновенную дробь.
Рассмотрим решение такой задачи:
2
I. На один километр пробега паровоз расходуеттонны уг-
„	*	15
ля. Какой путь прошел паровоз, если он израсходовал-—тонн
угля?
Чтобы найти ответ на поставленный вопрос, нужно узнать
л 15,	, 2
во сколько раз дробь больше дроби —, то-есть разделить
А о
15	2
18~ НЭ '2Г'
Дроби удобно сравнивать тогда, когда онн выражены в одина-
ковых долях или, как говорят, приведены к общему знаменате-
лю. Приведем входящие в задачу дроби к одному знаменателю,
получим:
2.18	15.23
23.18 ” 18.23
Когда же дроби выражают одинаковые доли, то для определе-
ния, во сколько раз одна дробь больше другой, достаточно опреде-
лить, во сколько раз числитель одной дроби больше чистителя
другой. Поэтому, чтобы определить, во сколько раз вторая из
написанных дробей больше первой, нужно разделить числителя
второй дроби на числителя первой (приведя их предварительно
15 23
к одному знаменателю) 15.23:2.18= - '
зо
Нам нужно было Tg:23 .получили-^- ,т.
Всматриваясь в результат, замечаем, что его числитель пред-
ставляет собою произведение числителя первой дроби (которую
нужно было делить), на знаменателя второй дроби, а знаменатель
результата есть произведение знаменателя первой дроби на числи-
теля второй.
Таким образом, можем сделать такой вывод:
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числителя первой
дроби умножить на знаменателя второй дроби, затем знамена-
тель первой дроби уж.ожить на числителя второй; первое про-
изведение будет числителем, а второе знаменателем частного.
ся
Если в частном при делении дробей получается сокращающая-
дробь, то ее нужно сократить, например:
8 2	4.1	4
"27: 3 “ 9.1 ~ 9
Решите следующие примеры:
?) 25'48: 5 8==	7 9:’ 9 5 =	3 5: 9 20 =
18 25: 3 5=	2 3: 5 11 =	24/27: 7 9 =
12/17:6/11 =	4,9:11/18=	25 32: 5 8 =
27 32: 3 4=	5 7: 8 9=	3 14:12 21 =
Полученные результаты проверьте умножением.
В тех случаях, когда нам приходится или делить смешанное
число
на дробь, или делить
но
необходимо
на смешанное число, предваритель-
смешанное число представить
в виде неправиль-
ной
дроби.
„	о 3	1	11 3	11.1	11	. 5
Нв[тример:2—:. 2=	1 —
б) 22 i/f: 3 3 4=	61 4:12/25	151 '3:3 6 '6=
93б:23,5=	3/4-.23;s=	123!:3s6=
41,2;33 5=	Зв'6:27,'8=	73/6:1‘15=
в) (4 3 '10 — 2 7/15) : (8 —6 7/s)=
(7-2Vle):(8i„-43,3)=
(5 —23 7) : (4 — 3 5 6)=
1
г) (4 - 2%): 6* 4 + (40- 38 */5) . 5 =
(3^2-1%)  1 х/3 +(15-123/8):% =
(2У2+3/8):21;4+(6 + 314).г/3 =
5	5
2. Железный стержень длнисю---м весит—-кг. Определить
v	8
м железного стержня.
91
8. —сплава никелина составляет медь. Моди на сплав иош-
а
ло 124 кг. Сколько весит весь сплав?
4.	Для укрепления телеграфных столбов имеются снятые при
смене рельсы длиною в 8% м. Сколько таких рельсов потребуется
для укрепления 420 столбов, если для укрепления каждог о стол-
ба нужно 2 куска рельсов длиною в 21г8м?
5.	Длина железного прута 4 4/Б аршина; выразить длину пру-
та в метрах, считая, что 1 м равняется 1 3/8 аршина.
6.	С поля в 2 2,'6 га собрано 16% центнеров овса. Каков уро-
жай с 1 га?
7.	Отряд городских пионеров до подшефного колхоза, отсто-
ящего от города на расстоянии 15 3/4 км, дошел в 3% часа. С
какой средней скоростью шел отряд пионеров?
8.	Вода легче платины в 19% раз, а железо тяжелее воды в
7 * 5 раза. Во сколько раз железо легче платины?
9.	Трактор, сцепленный с плугом в 4 лемеха, участок поля в
83/4 га вспахал в течение 20 часов. Сколько вспахивает трактор
в 1 рабочий день, считая рабочий день в 8 часов?
5
10.	С -^2 га собрали 16% тонн картофеля. Каков урожай
картофеля с одного гектара при этих условиях?
11.	В мануфактурном магазине получили 2 кипы мануфакту-
ры, общим количеством 845% м, всего на сумму 877% руб. Од-
на кипа в 521 м ситца ценою 3,'4 руб. за метр, а вторая — полот-
но. Сколько стоит один метр полотна?
Деление деся.-чмых дроСей
1.	Рассмотрим решение задачи:
Для группы учащихся были закуплены журналы-учебники
стиямсстью по 0,25 руб. За всю покупку, уплачено 6 руб. Сколь
ко куплено журналов-учебников?
Для решения задачи нужно 6:0,25. Такие вычисления мы уже
производили, изменяя делимое и делитель так, чтобы делитель
стал целым числом, а частное не изменилось (т. е. увеличивали
делимое и делителя в одно и то же число раз) 6:0,25 = 600:25 = 24
учебника.
Тот же прием распространим и на случай деления дроби на
дробь.
2.	Решим еще такую задачу: Сколько куплено сукна деною
по 4,25 р., если за всю покупку уплачено 12,75 рубля? •
D2
Для решения этой задачи нужно стоимость всей покупки по-
делить на цену 1м, т. е. 12,75:4,25. Для нахождения частного
поступим так же, как и в предыдущей задаче, а именно: сде-
лаем делителя целым числом, отбросив запятую, но при этом
увеличим и делимое в то же число раз, в какое увеличился у нас
делитель с таким расчетом, чтобы частное от этих изменений
не изменялось.
Получим: 12,75:4,25 — 1275:425 = 3 метра.
Возможность и правильность такого решения этой задачи
очень просто выясняется, если мы стоимость и цену выразим
в копейках. В самом деле, 12,75 р. = 1275 коп. 4,25 руб. = 425 коп.
и для получения ответа мы должны 1275 :425 — 3 м.; результат тот
же, что получили и раньше.
3.	Решим такую задачу. Школой куплены карандаши на 1,5 ру-
бля ценою 0,05 руб. каждый карандаш. Сколько куплено каран-
дашей?
Для решения нужно 2,5:0,05. Поступаем так же, как в пре-
дыдущих задачах. Обращаем сначала делителя в целое число.
Дтя этого отбрасываем в нем запятую н тем самым увеличива-
ем в данном случае в 100 раз; чтобы не изменилось частное мы
и делимое должны увеличить в 100 раз. Получим: 2,5:0,05 = 250
250:5 = 50 карандашей.
Этот же результат получим, если предварительно рубли вы-
разим в копейках. 2,5 р. = 250 коп, 0,05 р. = 5 коп. Решение
задачи сведется к делению 250:5 = 50, т._ е. к тому же, что мы
уже имели. Рассмотрим, наконец, еще один вид деления. Пусть
нам нужно разделить 3,75 м на 2,5.
Пуступая так же, как и в предыдущих случаях, мы, отбра-
сывая запятую у делителя, увеличиваем его в 10 раз, а потому
и делимое нам нужно увеличить тоже только в 10 раз. Для
этого достаточно перенести запятую вправо на один десятич-
ный знак (цифру). Будем иметь 3,75:2,5 = 37,5:25 = 1,5.
При этом мы производим замену одних единиц другими,
более мелкими 3,75 м = 37,5 дм и 2,5 дм. 25. Задача сводится к
определению, сколько раз в 37,5 дм может уложиться 25 дм. На
основании решении всех рассмотренных нами задач лож. о сде-
лать такой общий вывод:
Для того, чтобы разделять десятичную дробь на десятич-
ную, достаточно в делителе отбросить запятую, а в делимом
перенести запятую направо на столько десятичных знаков,
сколько их было в делителе.
93
Если в делимом после запятой было меньше десятичных зна-
ков, чем в делителе, то к делимому, нужно справа приписать
нули так, чтобы в делимом до перекоса запятой число десятич-
- ных знаков было бы равно числу десятичных знаков после
запятой в делителе, и дальше производить деление по обыч
ному правилу.
i. Решите следующие примеры:		
2,5: 0,25 =	2R,9:0, 34 =	0,2:0, 25 =
4,25:0,05 =	35,2:0, 64 =	0,9:0, 32 =
4:0,05-=	 6,3:0,035 =	3,75:3,125 =
Полученные результаты проверьте умножением.
2. Решите следующие примеры:		
0,084:0, 4 =	0,45:3,6 =	146, 88: 4,8 =
35, 34: 5, 7 =	8,05:2,5 =	г6,018: 0,9 =
0,068:0,16 =	35,16:0,16 =	42,681:12,3 =
i. (20,88:18) 4- (45 :0,36) + (5,472 : 0,24) =
(15 :0,25) — (0,12:1,6) — (2,4:0,32) =
(17,8.0,65) :0,08 — (86,775: С) =
(0,068:0,16) . 2,8 + (3,2.0,4) =
(7,16:0,8) 4- (0,16:2,5) + (0,042 l0,15) =
(25,7 — 3,725): (0,01 4- 0,005) =
(14.0,7). (0,4:5) 4- (2,1:1,75). (0,6:0,24) = •
(86,9 4- 667,6): (37,1 + 13,2) =
( 8,4: 3,5) 4- (3,825:1,02) + (0,034:0,04) =
(1,14 4- 0,76): (1,14 — 0,76) -4- 0,054:0,012) =
4.	Тесемка длиной в 13,5 м разрезана на куски длиной в
1,125 м каждый. Узнайте, сколько ьышло кусков?
5.	Для повышения урожайности употребляется минсра ьное
удобрение—суперфосфат. Завод, вырабатывающий суперфосч ат,
на Урале находится около Перми. На каждый гектар пахотной
земли требуется 2,7 центнера суперфосфата. Какую площадь^,
пахотной земли можно удобрить 17,28 центнерами суперфосфата?
6.	Для прокатки круглою пруткого железа заготовпены бсл-
ванки весом 9,3 кг каждая. Какой длины после прокатки полу-
чатся прутки, если вес 1 м прутка равен 1.5 кг?
7.	За изготовление нескольких деталей рабочий получил
27,2 руб. Сколько деталей он изготовил, если за каждую ему
плавили 0,8 руб?
8.	С поля в 5,4 га собрали 5,13 т. овса. Определить урожай
1 га?
9.	Сколько нужно заплатить бригаде из 2 квалифицирован-
ных и 3 подручных рабочих за 4,5 дня, если квалифицированный
рабочий получает 6,6 руб. в день, а подручный рабочий в 1,5
раза меньше?
10.	Когда нужно вступить воинской части, находящейся на
расстоянии 24,9 км от места предполагаемого боя, если бой
должен начаться в 5 ч. утра и перед боем необходимо дать отдых
на 4,5 часа, скорость движения ночью 2,4 км в час, днем 3,75 км-
в час, темнеет с 9 час. вечера?
II	. Механическая пила делает 124 хода в минуту и продви-
гается с каждым ходом на 0,и045 м. Сколько времени потре
буется, чтобы распилить бревно длиною в 4,67 м?
Перевод обыкновенных дробей в десятичные.
При различных измерениях могут получиться и простые дро-
би, десятичные. Встречаются и задачи, для решения которых
приходится производить различные вычисления и с простыми
и с десятичными дробями. Для этого нужно дроби представить
или все в виде обыкновенных дробей, или все в виде десятич-
ных.
Так как при пользовании метрическими мерами удобнее поль-
зоваться десятичными дробями, то нужно уметь обыкновенные-
дроби выразить в виде,десятичных дробей.
17
Пусть требуется дробь —^—представить в виде десятичной
о
17
дроби. Число —можно рассматривать, как частное деление
О
17 на 8. По частное отделения целых чисел можно представить
в виде десятичной дроби, если будем последовательно делить
раздробляя остатки в десятичные доли. Рассмотрим как это произ-
17
водится на взятом примере. Для перевода дроби—g— будем чи-
сло, стоящее в числите те, делить иа число, стоящее в зна мена-
теле, раздробляя остатки в десятичные доли: —17| _8_
В этом примере частное получилось точное, т. е. 16 2,125
деление доведено до конца без остатка.	Ю
8
_2О
16
_1О
40

о
но не всегда при таком преобразовании обыкновенной дроби
з десятичную удается довести деление до такого конца. Напри-
*©	5
мер, пусть требуется обратить -у в десятичную дробь. Посту-
пим так же, как и в предыдущем примере:
'	Если станем продолжать делить и дальше, раз-
__42 0,357 дробляя остатки в более мелкие десятичные доли, то
___SO все же оказывается, что разделить без остатка не
70 сможем. В подобных случаях ограничиваемся при-
100 ближенным результатом, останавливаясь на опоеде-
. '_ ленных долях, например, тысячных. Таким образом,
2 скажем, что 5,14 приближенно равны 0,357. Это бу-
дет .несколько меньше истинной величины, но ошибка
5
«е превышает 0,001 говорят:-^- равны 0,357 с точностью до
0,001.
I. Представьте в виде десятичных дробей следующие обык-
новенные дробь: 1'2, 2/6, s/4, 3/;8, в/25, 8го, 13'to-
2. Представьте в виде десятичных дробей’с точностью до 0,01
(ограничиваясь сотыми долями) следующие дроби: 113, 3/7, 6/п
10	. 12	. 5/ . 1 О
13«	/17> /14> I»-’-
Превращение десятичной дрэби и обыкновенную.
При одновременно и вычислении обыкновенных дробей с де-
сятичными во многих случаях бывает проще и выгоднее десятич-
ную дробь представить в форме обыкновенной дроби. Это
делается просто, так как десятичная дробь представляет собой
частный случай дроби, у которой знаменателем являются числа
10, Ю0, :1000 и т. д., т- е. числа, записываемые единицей с ну-
лями. Числителем же являются числа вправо от запятой. Так,
например, 0,5 = ®/и; 0,37 = 37/100; 0,08 = ?/100.
I.	Представьте в вид£ обыкновенных дробей следукнп”2
десятичные дроби: 0,8; 0,35; 0,016; 0,28; 0,125; 0,пог.
2.	Представьте в виде смешанных чисел с обыкновенными
дробями 3,12; 16,875; 9,032; 26,14; 5,025.
Действия над простыми л десятичными дробями, встре-
чающимися в одной и той же задаче.
I. Вычислите выражения (71/7-0,56 —1,6 :1в/„).0,5—=
Для вычисления этого выражения нужно каждое из чисел
представить или в виде обыкновенных дробей, или в виде де-
сятичных дробей и лишь тогда производить вычисление. Так
36
как в этом примере такую дробь, как—, точно выразить де-
сятичной дробью нельзя, то лучше все дроби обратить в обык-
,	r 1 14	3 16 1	1
човенныг дроои. Будем иметь
Представленные в виде обыкновенных дробей десятичные дроби
14	__13	• 16
‘	25	5 •	27
( 1
предварительно сократим, получим: l7—-J
40
Далее смешанные числа представляем в виде неправильных
робей и производим указанные действия:
7 50 14 __8_. 16\ J__ 1 _ /2 %	_27\ J_— JL = (a _ 27 т
\ 7'26	5'27/2 40 \ 1 1	5‘ 16/ 2 40	( lnb
= i3 i _v = 13 1 26-1 25_5
40	10' '2	40	20 40	40	40	8
Произвести вы«исление:
(0,125 + 3,8) . 4,26 — (0,75 — \2) . 4 =
(1,25 -»/4). V/2 + (^/з - Vis)0,5 =
(3\ з.2 'e - 2,25 . i/9) + (62/3:0,5 - 1,5 :3 4 )=
(e e.0,l + 23):3 + 7,2.1/4 =
(63,40 - 513/24): 1,28 + (12,5 - C27) . 38,'» =-
В следующих примерах найдите неизвестные X:
1, 45;
>, 08;
35;
2
2.
3.
4.
0,84+ Х = 1,32;	8Ч2—Х = 2
1,04 —Х = 0,53;	6,25 —Х = 0
X + 21 з = 5,36;	73У4 + X = 5,
31/2.Х =	12,25;	Х:22'е = 3, 5;
13/4. х =	4,025;	X: 3/4 = 3,975;
3.9: Х =	31/4 ;	24/6:Х = 1,12 ;
не разрешается грузовикам, общий вес
I. Проезд через мост
которых превышает 5 тонн. Какое наибольшее количество водо-
проводных труб, весом 51,7 кг. каждая может взять грузовик,
весящий 21 4 тонны, чтобы общий вес его не превысил указанной
нормы?
2. Совхоз сдал 10-^-тонны хлеба по руб. за тонну. 70%
вырученных денег совхоз израсходовал на покупку 10 косилок,
а иа остальные деньги купил материи для рабочих совхоза по
0,9 руб. за метр. Сколько сюит каждая косилка  сколько мет-
ров материи куплено совхозом?
Учебник по математике для 4 го.’а— 7.
97
3.	В кооператив привезли 2 ящи^г. яиц. В одном было 10С-0 шт.
а в другом в 2,5 раза меньше.— всех яиц оказалась разбитыми,
О
а остальные проданы по 1,25 руб. за десяток. Сколько выручено
•денег от продажи?
4.	Два аэроплана вылетают, один в 4 ч. 20 м., другой в4ч.
35 м. навстречу друг другу с аэродромов, расстояние .между кото-
рыми 720,3 км. Первый делает в час 161,2 км, второй 148,5 км.
На каком расстоянии друг от друга будут аэропланы в 6 часов?
5.	На мельницу привезли молоть 38 тонн пшеницы. При г.о-
моле получилось отрубей всего количества и 1% пошел на
распыл. Полученную муку рассыпали в 403 мешка. Сколько при~
близительно в среднем весил каждый мешок?
Быргжаняе одного числа в долях и процентах другого
числа.
Рассмотрим следующую задачу:
I.	В одной группе школы 32 ученика, из них пионеров 12
человек; в другой группе учащихся 40 человек, в том числе пио-
неров 14 человек. В которой группе больше пионеров?
Для решения этой задачи нам надо определить, какую час ты
всего количества учащихся в каждой группе составляют пионеры
и которая из этих частей больше?
Рассуждаем так: в первой группе всего 32 ученика, 1 ученик
составляет^— часть всей группы; 12 пионеров составят 12 та-
<5Z
12
ких частей или-^-. Следовательно, пионеры в первой группе
oZ
составляют 12,'32 всего класса.
Во второй группе учатся 40 человек, каж7”-” .сник соста-
вит 1;ы часть группы, 14 пионеров составят 14/40 всей группы
Для определения, в которой из групп относительно больше
пионеров, нужно сравнить доли 12/32 и 14 и- Дроби можем срав-
нить тогда, когда они выражены в одинаковых долях или, иначе
говоря, когда они приведены к общему знаменателю. Лучше всего,,
как обычно и делают, сравниваемые дроби обращать в десятич-
ные дроби изаменять процентами, помня, что процентом
называются сотые доли числа. Обратим наши дроби, выража_
ющие какую часть каждой группы составляют пионеры, в десятич.
ные дроби.
V8
120-32	140|40
96 0,375	120 0,35
240	_ 200
224	200
_ 160
160
Получаем: число пионеров в первой группе составляет 0,375
числа всех учащихся группы; число пионеров второй группы
составляет 0,35 числа всех учащихся группы.
Следовательно, в первой группе пионеров относительно боль-
ше (они составляют большую . часть группы).
Выразим эти же части в процентах. Это значит—надо опреде\
лить, сколько сотых составляют пионеры в каждой группе.
В первой группе 0,375 или 37,5%, во второй группе 0.35 или
35%. На основании разобранного решения задачи можно сделать
такой вывод:
Для того, чтобы определить, сколько процентов составляет
одно число по отношению к другому, нужно первое число
разделить на второе, выражая частное в сотых долях. Число
сотых долей и будет выражать проценты первого числа по от-
ношению ко второму.
ПРИМЕЧАНИЕ: Для нахождения процентов при делении чисел или
ограничиваемся только сотыми долямЛ частного, или определяем еще и тысяч-
ные, которые будут составлять уже десятые доли процентов.
2.	Например, решим еще такую задачу. В группе 35 учащихся,
из них девочек 16 человек. Определить, какой процент всей
группы составляют девочки.
Вычисляем по установленному правилу. ___160|35
Если ограничимся только целыми процеи- 140 0,45 или 45%
тами, то деление „оборвем" на сотых долях 200
частного. Получаем, что процент девочек 185 .
приблизительно равен 45.	15
3.	При стрельбе в цель красноармеец, сделав 50 выстрелов
попал в цель 45 раз. Определить процент попадания.
4.	Из 800 тонн руды выплавлено 496 тонн железа. Опреде-
лить процентное содержание железа в этой руде.
5.	Успехи нашего социалистического строительства опреде-
ляются ростом производства продукции и выражаются обычно
в процентах. Рабочий класс, стремясь в возможно короткий
9S
срок выполнить задачу—перегнать капиталистические страны
в отношении техники и экономики, соцсоревнованием и ударни-
чеством перевыполняет намеченный производственный план.
Например, в 1931 г. должно было быть выпущено 660 паровозов,
а- выпущено 812 штук. Каков процент перевыполнения?
. Вместо намеченных по плану 660 паровозов, паровозострои-
тельные заводы выпустили 812, т. е. сверх плана изготовили
152 паровоза. Нам нужно опеределить, какую часть за гания со-
ставляют эти выпущенные сверх плана паровозы.
1520|660
4	“1320 0£У 23%
_ 2000
1980
20
Таким образом, план перевыполнен на 23% (если органичимся
целыми процентами) или выполнение плана выразилось в 123%
от задания.
6.	На XVII партконференции т. Орджоникидзе в докладе от-
метил" ряд отраслей производств, перевыполнивших в 1931 г.
задания по пятилетному плану. Следующая таблица содер-
жит данные по перевыполнению намеченного плана. Заполните
последнюю графу.
Названия отраслей промышленности	Должно быть вы- полнено по плану	Выполнено в действительности	Процент пере- выполнения
Электроэнергия - . .	5 млрд, киловатт	6,4 млрд.	
Каменный уголь . . .	53 млн. тонн	56 млн. тонн	
Торф		9 млн. тонн	9,5 млн. тонн	
Тракторы		8000	40000	
Паровые котлы 	145000 кв. м.	206000 кв. м.	
Обувь		60 млн пар	76,8 млн. па»	
Калоши		51 млн. пар	53,9 млн. пар	
Турбины .	ЗОСООО квт.	753000 квт.	
Составьте сравнительные диаграммы перевыполнения отдель-
ных отраслей производства.
7.	Одним из важнейших условий роста промышленности яв-
ляется расширение сети электростанций. В 1931 г. был введен
в строй ряд новых электростанций, общая мощность которых
определяется в 1 миллион киловатт. В числе многих станций по
100
СССР на Урале вступили в строй Челябинская на 48.000,квт ч
(сокращенная запись киловатт), Магнитогорская на 36.000 квт и
Кизеловская на 22.000 квт. Определите, какой процент мощно-
сти вновь пущенных в J.931 г. электростанций приходится на
новые уральские станции? Начертите диаграмму.
8.	За последнее время в СССР широко развернулась совер-
шенно новая отрасль промышленности, которой раньше у нас
почти не было,— это автотракторное машиностроение. Следу-
ющая таблица показывает, насколько быстро идет развитие этой
отрасли промышленности.
Заполните последнюю графу:
Было выпущено в 1930 г. ।	Было выпущено	1931 г.	Процент уве- личения по от- нош. к 30 г.
Тракторов 12.727 Автомашин 8.? 00	40000 20500		
9. За 1931 г. особенно сильно развилось производство отдель-
ных видов инструментов, нужных при выполнении плана соц-
сгроительства. Следующая таблица показывает рост этого произ-
водства важнейших видов инструмента (в тысячах штук):
НАЗВАНИЕ	Выпушено в 1930 г.	Выпущено в 1931 г.	Процент производства 1931 по отиош. к 1930 г.
Сверла		4300	90-10	
Метчики . .	461	800	
Плашки круглые .	121	250	
Фреза ......	39	•	44	
Микрометры . . .	15	39	
Развертки ....	577	813	
Штаигеля .	80	113	
Контрольно-мери- тельные ....	40	83	J
Заполните последнюю графу.
10. Октябрьская революция дала возможность поднять об-
щий культурный уровень трудящихся масс, что, между прочим.
\
101
выражается в повышении потребности рабочего класса в таком
простом продукте, как мыло. Следующая табличка дает рост
производства хоз. мыла.
Заполните последнюю графу. Ответьте на вопросы:
•	Года	Тысяч тонн	Процент по откэ- шению к 1913 г.
	1913	94	
	1925	90	
	1930	176	
	1931	182	
1)	Во сколько раз приблизительно увеличилось производство
хоз. мыла в 1931 г. ио сравнению с 1913 годом?
2)	Почему все-таки наблюдается часто недостаток мьцга?
3)	Какие задачи стоят перед этой отраслью промышленности?
11 Продукция, выпущенная в 1931 г. промышленностью
Перми (Уралобласть), оценивалась в 49 млн. руб. По плану на
1932 г. пермские заводы должны дать продукции на 139 мил-
лионов руб. Какой процент увеличения продукции пермских
заводов намечен на 1932 г.
12.	В борьбе за выполнение намеченных планов в порядке
соцсоревнования рабочий класс выдвигает встречный план, но в
работе и этот план перевыполняют. Златоустовские рабочие, на-
мечая по встречному плану выплавить чугуна 245 тонн, 8 апреля
1932 г. выплавили 250 тонн. На сколько процентов златоустов-
цы перевыполнили свой встречный план?
13.	Ударники домны № 1 Магнитогорска в ответ на привет
ственную телеграмму т. Сталина 3 апреля 1932 г. вместо задан-
ных по плану 900 тонн литейного чугуна добились выплавки
1062 тонн чугуна. На сколько процентов '.еревыполнен суточ-
ный план магнитогорцев?
14.	Товарная продукция хлопка ^ССР увеличивается в сле-
дующих размерах: в	1929	г	.	.	•	.	.	.	260.000	тонн
.	1930	г.... 410.000	„
„	1931	г	.	-	....	667.000	„
„	1932	г.... 893.000	в
I. Высчитайте, как увеличивается из года в год в тысячах
тонн продукция товарного хлопка в СССР. 2) Выразите это
7 (¥>
увеличение в процентах. 3) Составьте диаграм ту относительно
продукции товарного хлопка в СССР за эти 4 года.
15.	На каждом та сплошцого березового леса насчитывается
до 3000 деревьев. Одно дерево дает 1,5 кг. берёсты (коры). Вы-
сыхая, береста теряет 10% своего начального веса. Из сухой
бересты гонят деготь, при чем выход дегтя составляет 28%
веса сухой бересты. Сколько кг. дегтя дает каждый гектар бере-
зового леса?
16.	Лен дает с га 3 тонны сырца. При обработке сырца в
среднем получается 3% волокна, 10% семян и 4% пакли. Цент-
нер волокна стоит 30 рублей, центнер пакли 10,6 руб. и центнер
семян 8,5 р, Определите общую стоимость всей продукции га
льна.
17.	При ручной молотьбе цепами невыход зерен из колосьев
равен 15%. При молотьбе конной молотилкой невыход зерен
равен 6%, а при молотьбе электромотором невыход зерен со-
ставляет всего лишь 3%. Совхоз имеет под посевом пшеницы
и ячменя 1000 га. Каждый га дал в среднем 1,5 тонны зерна
в снопах. Подсчитайте, сколько получится всего зерна при об-
молоте урожая цепом, конной молотилкой и электромотором?
Какова будет разница между умолотом цепом и электромотором?
18.	Сколько экономит в зимний месяц (25 учебных дней)
школа, если будет строго следить за тушением электрических
лампочек во время перемен, продолжительность которых при-
близительно составляет 2 3 часа. В школе 1б классных комнат,
в каждой горит по 4 лампочки в 50 ватт. Плата за электри-
ческую энергию 16 коп. за киловаттчас.
19.	В январе Уралуглем добыто 331.422 тонны угля (за 31 д.),
в феврале 310.790 (за 29 дней). Сколько добывали (в среднем)
в январе и ь феврале в день? Когда шла работа лучше?
*
20.	Рост военных заводов: в Польше, Румынии, Финляндии,
Чехо-Словакии:
ГОСУДАРСТВА	1923 г.	1931 г.	% увелнч
Польша .	. .	в	33	
Румыния . . .	5	17	
Финляндия . .	2	13 4	
Чехо-Словакия . <	21	4S	
Заполните последнюю графу.
21. Месячное производство пулеметов, танков, самолетов и
О В (отравляющих веществ;.
1	Пулеметы			| Таы<и			1 Самолеты			О. В. в тоннах		
[ Государства	1923	1931	•/»	’1923	1931	%	1923	1931	%	1923	1931	%
	год.	год.	ув.	!ГОД.	год.	ув.	год.	год.	ув	год.	год.	ув
Франция . .	7000	8000		1000	2000		3000	4500		1 <000	1000	
Англия . . . 1	7000	90Ю		1000	2500		13000	4500		' 4000	10000	
САСШ - . .	16000	20000		500	3500		2500,	6000		10000	40010	
Заполните пустующие графы.
22. Железнорудные богатства Урало-кузнецкого комбината
исчисляются в 1200 млн. тонн, что составляет 35% всех желез-
норудных запасов СССР. Каков запас руды СССР?
21.	Магнитогорск будет иметь 8 доменных печей. Произ-
водительность каждой домны намечается в 1,5 тонны в день.
Какова будет производительность магнитогорских домен за
месяц, за год?
24.	На 10 декабря 1931 г. трудоспособного населения в 13?
районах Урала имелось 1207,3 тысячи человек, из них находи-
лось в отходе (на заработках, вне дома) 316,9 тысячи человек.
Какой процент населения находился в отходе?
25.	На 1 января 1928 г. членов ВКП(б) было на Урале
66.455 человек, на 1 декабря 1931 г. членов ВКП(б) было 185732
человека. Во сколько раз увеличилось за этот промежуток вре-
мени количество членов партии на Урале? Выразите эти увели-
чения в процентах и составьте диаграмму роста членов партии.
26.	Общая лесная плошадь Урало-кузнецкого комбината опре-
деляется в 151,5 миллиона га. По отдельным районам она рас-
пределяется так: Западная Сибирь 46,8%, Урал — 43,5%, Баш-
кирия 6,5%, Казакстан (в пределах УКК) 3,2%. Вычислите лесную
площадь каждого из районов в га.
Графики.
Изучая при помощи математики различные жизненные явле-
ния, мы постоянно встречаемся с изменяющимися или, как их на-
зывают, переменными величинами, изменение которых зависит
от других величин. Например, среднее количество осадков (дождь,,
снег) меняется по месяцам; средняя температура также изменя-
ется по месяцам; срок выполнения определенной работы зависит
ет количества работников и времени ежедневной работы и т. д.
104-
Такие изменения одной величины с изменением другой очень
удобно представить в виде черт ежа-графика, где наглядно по-
казано изменение величин. Рассмотрим такой пример:
I. Ученики, измеряя ежедневно среднюю суточную темпера
туру, получили за 10 дней такие числа:
1-й день 5°	4-й день 9°	7-й день 9°
2-й	„ 7°	5-й	„ 10,5°	8-й день 4°
3-й	„ 4°	6-й	„ 3°	9-й „	6°
Ю-й „ S°
Начертим график изменения температуры. Дпя этого возь-
мем клетчатую бумагу и начертим на ней слева прямой угол.
На горизонтальной линии отметим точками по порядку дни
(например, через одну клетку) и от этих точек проведем взерх
вертикальные столбики, соответствующие показанию термомет-
ра, считая условно 1 клетку за 1 градус. Если вершины этих
столбиков соединим ломаной линией (см. чертеж)гто эта ломаная
линия и носит название графика. График удобнее диаграммы тем,
что на нем заметны все промежуточное моменты изменения.
2. Добыча каменного угля в СССР и в капиталистических
странах выражается следующей таблицей (в миллионах тонн)
Добыча угля (в млн. тонн)
НАЗВАНИЕ СТРАН	1913 г.	1924 г.	1930 г.	1931 г. |
Америка 		517,1	552,3	482,0	"I 397.0
Анг.-ия		>,92	262	247,7	223.7
Германия 		140.7	163,4	142.7	*8,8 р
Франция		43,8	53,8	53,9	51
СССР		28,9	41.7	47,1	56

а)	Построите грсфики изменения добычи угля в капитали-
стических странах (для каждой отдельно) и для СССР.
Г рафики наглядно показывают, как идет изменение добычи
угля в буржуазных ст занах и у нас.
б)	Подсчитайте, насколько добыча угля в СССР в 1931 г.
зревысила довоенную.
3.	По пятилетному плану были намечены следующие коли-
чества добычи нефти в миллионах тонн:
1927 г.—12; 1929 г. —14; 1930 г. —16; 1931 г. —18; 1932 г. —20
Действительная 5ке добыча и контрольные цифры на 1931'32
год говорят следующее:
1928 г. —12; 1929 г. —14; 1930 г. —19; 1991 г. —26; 1932 г. —37.
Постройте графики. 06‘едините в одном графике план и
•выполнение плана, при чем намеченный тан изобразите тонкой
линией, а выполнение плана—толстой линией.
4.	В настоящее время Советский союз из страны мелкого
земледелия превратился -в страну самого крупного земледелия,
в котором с каждым днем расширяется применение передовой
техники. Особенно большую роль играют машинотракторные
станции. Следующая таблица дает рост числа МТС.
Весной 1929 г. существовала 1 МТС				
Осенью	1930 г. 1930 г.	я я	158 , Я	360 МТС
Весной	1931 г.	7!	существовало	— 1228 МТС
Осенью	1931 г.	»	я	— 1400 ,
Весной	1932 г.			— 2100 „
Начертите график роста машинотракторных станций с 1929 г.
«io 1932 г.
5.	Успешное развитие всех отраслей народного хозяйства
СССР сопровождается увеличением численности рабочего класса.
Число рабочих и служащих в СССР было: 1931 г.—11,3 млн., в
1929 г. —12,4 млн., в 1930 г. —14,5 млн., в 1931 г. — 18,1 млн.
Начертите график роста численности рабочих и служащих
СССР.
6.	В то время как у нас не только нет безработниды, но даже
чехватает рабочей силы, в буржуазно-капиталистических стра-
нах наблюдается кризис в промышленности и в сельском хозяй-
стве ,и вследствие этого рост безработицы. Следующая табли-
ца дает рост безработицы в капиталистических странах.
1 лл
л -- хЭ
НАЗВАНИЕ СТРАНЫ •	Число безработных в тысяча?		
	1929 г.	1930 г.	1931 г.
Англия		1413	1538	2617
	2433,9	3040,8	4743,9
Италия		489	457	765
Австрия . . - . . . . •	246,1	284,5	334
Чехо-Словакия		55,2	86,2	3-14
Начертите график роста безработицы в каждой из этих
стран.
7. Добыча железной руды в У рало-кузнецком комбинате на-
мечается такая: в 1931 г. . 1932 г. .	- 4,5 . . 7,9	МЛН. я	тонн я
1933 г. .	. .	13,1	я	я
1934 г. .	. .	25	я	я
1935 г. .	. -	27,7	я	я
1936 г. .	. . . 39,2	я	я
1937 г. .	50	я	я
Подсчитайте, сколько	будет добыто		железной руды в Ура
ло-Кузбассе за 7 лет (с 1931 г. по 1937 г.) Начертите график
добычи руды, намеченной планами.
8. Добыча цветных металлов на Урале с 1931 г. по 1937 на-
мечается (в тысячах тонн) следующая:
	Медь	Цинк	Свинец
в 1931 г.	60	—	— !
» 1932 г.	95	10	—
» 1933 г.	128	40	—
\			
» 1934 г.	178	53	5
» 1935 г.	240	58	12
» 1936 г.	270	65	17 *
» 1937 г.	320	80	22
Подсчитайте, сколько будет добыто на Урале за 7 лет
(1931 — 1937 г.) отдельно меди, цинка и свинца.
Начертите графики роста добычи меди, цинка и свинца на
Урале.
9. Одной из главных причин успешного выполнения и пере-
выполнения планов соцстроительства являются ударничество и
соцсоревнование. Рост ударного движения и соцсоревнования на
Урале определяется следующими данными:
На 1 октября 1931 г. на Урале было 16275 ударных бригад
<j 203835 ударниками.
На 1 янв. 1932 г. на Урале было 31600 ударн. бр. с 414826 ударя.
На 1 апр. 1932 г. „	37692	„	„	822600 „
а)	Подсчитайте, во сколько приблизительно раз увеличилось
количество ударников Урала с 1 октября 1931 г. по 1 апреля 1932.
б)	Постройте график движения роста ударничества на Урале.
в)	Узнайте, как идет рост ударничества на прикрепленном
к школе, заводе .или колхозе. Сравните этот рост с общеураль-
ским.	•
108
О Б Щ И Й ОТДЕЛ.
камнммм
1.	Парусное судно проходит расстояние между двумя порта-
ми в Ю час. 20 мин., делая по 15 км. в 2 часа. Во сколько вре-
мени сделает тот же путь другое судно, которое идет по 22 км.
в 3 часа?
3	1
2.	Турксиб проходит на—по Казакстану, на по Киргиз-
ской автономной республике СССР, и остальная часть по Сиби-
ри. Определите, сколько километров Турксиб проходит по Ка-
закстану, Киргизской республике и по Сибкраю, если общая дли-
на пути 1500 км.
3.	Полуторатонный грузовик „АМО“ одновременно может пе-
ревезти 1,5 т. и может сделать в сутки 200 км. Одноконная под-
вода берет т. груза и может сделать в сутки 30 км.
Сколько одноконных подвод могут заменить три грузовика?
4.	Посевная площадь под пшеницей в СССР занимала в 1930 г.
32.530.000 га; в 1931 г. посевная площадь достигла 37.261.000 га.
Вся площадь распределяется между тремя группами хозяйств
следующим образом (в процентах):
	1930 г.	1931 г.
Совхозы ....	- 6,4	12,4
Колхозы ....	. 42,5	68,5
Единоличники	. 51,1	19,1
Определите: а) На сколько процентов возросла посевная пло-
щадь в 1931 г. по сравнению с 1930 годом.
б)	На сколько га изменилась и в какую сторону посевная
площадь у каждой из отдельных групп хозяйств в 1931 г. по
сравнению с 1930 г.?
в)	Кто является главным производителем хлебов?
5.	На открытой платформе длиной в 4,91 м. и шириною в 2,54 м.
нагружен гравий (речной песок) по 43 см. в вышину. Опреде-
лить вес 1 куб. метра гравия, если вес груженой платформы
равен 16350 га, а вес одной только платформы равен 6200 га.
16У
в. Большие железнодорожные четырехосные вагоны, вмести-
мостью на 80 пассажирских мест для сидения, или 64= спальных
места, имеют размеры: в длину 16,87 м, в ширину 2,85 м и в вы-
шину 2,2 м. Определить об‘ем воздуха, приходящегося в среднем
на каждого пассажира в таком спальном вагоне?
7.	Через 4 4 часа после отправления товарного поезда, иду-
щего со средней скоростью 20,4 км. в час, выходит с той же
станции пассажирский поезд, делающий в среднем по 25,8 км.
в час. На каком расстоянии от начальной станции находится
оаз'езд, на котором пассажирский поезд догонит товарный?
8.	В каменный уголь входит в среднем 4'5 углерода, в торф
же углерода входит 56 %. Сколько надо взять торфа, чтобы в
ием было углерода столько же, сколько его содержится в од-
ной тонне угля.’
9.	О среднем составе, молока и разных молочных продуктов
можно составить понятие из -следующей таблицы:
П р о д у к ты	Воды	Жира	Казеина	Альбу- мина	Молоч- ного сахар	Золы
Молоко цельное .	87,75	3,40	3,15	0,30	4,60	0,75
Снятое молоко . .	00,55	0,25	3,10	0,40	4,90	0,80
Сливки 		73,31	19,44	3,20	0,20	3,15	0,70
Масло		15,00	83,50	0,50	0,10	0,77	0,13
Сыр бакштейн . .	73,10	2,80	19,00	0,80	2,20	2,10
а)	Сколько жира дадут 1000 кг. цельного молока?
б)	Сколько жира содержат 2500 кг снятого молока?
в)	Сколько жира содержат 380 кг. сливок?
г)	Сколько жира содержат 2,5 центнера бакштейна?
д)	Сколько жира содержат 4,05 центнера масла?
е)	Составьте диаграмму содержания молочного сахара во
всех этих продуктах.
10.	Реконструкция сельского хозяйства зависит от количества
сельскохозяйственных машин. За последние годы рроизводство
с.-х. машин в СССР выражается такими данными:
В 1929 г. с.-х. машин изготовлено на 204,6 млн. руб.
- 1930 г. . . . „	„	396,5 „
в 1931 г. . . . „	„	441	„
Подсчитайте, на какую сумму произведено с.-х. машин в СССР
за эти три года; на сколько процентов увеличилось производ-
ство 1931 г. по сравнению с 1929 г.
110
11.	Выполняя план социалистического строительства, СССР
вводит в действие ряд новых промышленных «игантов. 3 ап-
реля 1932 г. пущена в Кузнецке домна № 1. В то же время
в крупнейших капиталистических странах тушится все большее
число доменных печей В САСШ из 302 доменных печей в янва-
ре 1931 г. в действии было 116, в январе 1932 г. —56, во Фран-
ции из 211 доменных печей. В январе 1931 г. в действии было
138, в январе 1932 г. — 90, в Англии из 348 печей в январе
1931 г.— 83, в январе 1932 г. — 70, в Германии из 155 печей в ян-
варе 1931 г. — 61, в январе 1932 г.—-48. В феврале 1932 г. в Гер-
мании действовали уже только 42 печи.
Подсчитайте, какой процент печей был в действии в каждой
из капиталистических стран в 1931 и 1932 г., начертите диаграм-
мы числа действующих домен в капиталистических странах в 1931
и 1932 голу.
12. В стране наиоолее мощного парив^.»^ риепн.т— в севе-
роамериканских соединенных штатах, вследствие промышленно-
го кризиса и сокращения количества грузов, число выпущен-
ных новых паровозов непрерывно уменьшается: в 1929 г., в сред-
нем, в месяц.заводами САСШ был отгружен 71 паровоз, в 1930 г.—
64 паровоза, в 1931—-12 паровозов. В то же время у нас в СССР
выпуск паровозов составлял:
в 1929 г. — 548 паровозов в год
» 1930 г. 587
„ 1931 г. 812
Сравните, в какой стране и насколько выпускалось больше
иаровозов в 1929 г., в 1930 г., в 1931 г. Составьте две сравнитель-
ные диаграммы, показывающие увеличение паровозостроения в
СССР с 1929 по 1931 г. и уменьшение в САСШ с 1929 по 1931 г.
111
13. Добыча нефти в 4 крупнейших нефтедобывающих странах:				
		(в тыс.	тонн).	
		1929 г.	1930 г.	1931 г.
	САСШ . .	. 143.812	128.287	122.245
	СССР . . .	. 14.105	18.375	22.335
	Венецуэла.	. 19.845	20.236	18.473
	Мексика .	.	6.384	5.792	4 661
	Мировая добыча нефти без СССР			
	в 1929 г.		в 1930 г.	в 1931 г.
	197095		182775	172683
а)	На сколько тонн и процентов уменьшилась мировая добы-
ча нефти (без СССР) в 1930 г. и 1931 г. по сравнению с 1929 годом?
б)	Какую часть мировой добычи нефти в процентах состав-
ляет нефть СССР в 1929 г., в 1930 и в 1931 г? в) Начертите гра-
фик этого роста.
14. Решением Совнаркома РСФСР на коммунальное (город-
ское) строительство Уральской области утверждена сумма
в 48.300.000 рублей. Из всей этой суммы получаю/: Свердловск
14.000.000 рублей, Челябинск 10.500.000 рублей, Магнитогорск
€ 000.000 рублей, Пермь и Молотово 2.550.000 рублей, Нижний
Тагил —1.510.000 рублей. Березники 1.665.000 рублей, Златоуст
2 500.000 рублей, Кизел 860.000 рублей. Вычислите в процентах,
какую часть общей суммы, отпущенной на коммунальное строи-
тельство, получает каждый из городов Уральской области, и
изобразите это соотношение на круговой диаграмме.
15 План добы«и каменного угля в СССР на Ц932 г. и намет-
Кс. на последний год 2-й пятилетки (1937 г.) такова (в миллионах
тонн).
Место добычи	План 1932 г.	Наметка на 1937 г.
Донбасс 	 Подмосковный уголь . Урал	 Кузбасс 	 Караганда .	... Восточная Сибирь - . ДВК	 f	*  Средняя Азия .... РСФСР . • Прочие бассейны - -	56 5,7 5,9 И 2.5 3,7 3 1.4 0,3 0,9	1Г2 25 28 50 15* 10 10 10 о 11
Всего по СССР •		—
112
а)	Какое количество каменного угля намечено в СССР по
плану 1932 г. и какое намечается на 1937 г?
б)	Во сколько млн. тонн намечается годовая добыча угля
к концу 2-й пятилетки?
в)	Во сколько4-'раз намечается увеличение годовой добычи
каменного угля в Урало-Кузбассе?
г)	Какой процент общесоюзной добычи каменного угля при-
ходится по Урало-Кузбассу в 1932 г. и в 1937 г?
16.	По плану на 1932 г. на развитие районных электростанций
затраты определяются в следующем виде: Кизеловской гидро-
электростанции 17,5 миллионов рублей, Челябинской ГРЭС (гид-
роэлектростанция) 18 млн. рублей, среднеуральской ГРЭС 22 млн.
рублей, Егоршинской станции 2,5 млч. рублей, Чусовской гидро-
станции 4 млн. рублей, линия электропередач и подстанций 30 млн.
рублей.
Определите, сколько всего рублей намечено на развитие рай-
онных электростанций в 1932 г. и какой процент всей суммы
приходится на каждую из станций.
17.	Новые электрические станции, особенно гидроэлектростан-
ции, дадут электроэнергию, стоящую значительно дешевле по
сравнению с старыми станциями. Так, Челябинская станция
1ЧЕГРЭС) даст электроэнергию себестоимостью в 2,8 коп. кило-
ватт час, в то время, как например, Златоустовская станция
дает ток стоимостью 4 коп. киловаттчас, Челябинская город-
ская Ю коп., станция Карабашских завода и рудников—28 коп.
Во сколько'раз электроэнергия ЧЕГРЭС дешевле других станций
^каждой из перечисленных)?
> чебник по математике для 4 года — 8.
113
IB.	Количество выплавки чу!уна по плану строительства
Урало-Кузбасса определяется следующей таблицей:
годы	Намечается по У рало-кузнец, i комбинату	В том числе на Урале
1931	1,7 млн. тонн	1,645 тысяч тонн
1932	4,5	3,575	,	„
1933	7,3	5,718
1934	11,5 .	8,222	.	„
1935	15,2 ,	9,596
1936	21,9	10,925
1937	28,0 .	14,030
а)	Сколько стргна получит чугуна от Уралэ-кузнецкого
комбината за 7 лет (1931—1937 г.г.)?
б)	Сколько из общего количества чугуна, которое дает Ура-
ло-Кузбасс, приходится на долю Урала?
в)	Какую это составит часть общего количества чугуна УКК?
Начертите график роста выплавки чугуна в Урало-Кузбассе,
и на Урале в частности, за время с 1931 по 1937 г.
19.	Запасы каменного угля СССР распределяются следующим
образом: (в миллионах тонн):
Кузнецкий бассейн 400000
Минусинский я 14000
Всего по Зап. Сиб.
Кизеловский бассейн 1390
Челябинский „•	1936
Прочие уральские
районы	94
Всего по Уралу
Караганда________100000
Всего по У рал о-Кузбассу
Донецкий бассейн 69133
Восточная Сибирь 98275
Подмосковский район 6000	\
Прочие районы_______11837
Всего по СССР
114
подсчитайте: а) каковы общие запасы каменного угля СССР?
б)	Какую долю в процентах составляют запасы угля Урало-
Кузбасса по отношению к общим запасам угля в СССР?
в)	Какую долю в процентах составляют запасы каменного
угля на Урале по отношению к запасам СССР; по отношению
к запасам Урало-Кузбасса?
г)	Составьте диаграммы, относящиеся к последним дв\м
вопросам.
д)	Найдите на приложенной в конце книги карте Урало-
Кузбасское месторождение каменного угля и по указанному
масштабу определите между ними расстояния.
20.	В связи с успешнььм и быстрым выполнением строитель-
ства промышленных предприятий сильно увеличивается город-
ское население и потребность в жилище. Помещенный гоафик
указывает рост затраты на жилищ-
ное строительство: а) определить
затраты на жилищное строитель-
ство в 1931,1930 и в 1929 гг., если
в 1932 г. эти затраты составят 1800
миллионов рублей.
б) Сравните рост жилищного
строительства СССР со строитель-
ством Германии и САСШ (Аме-
рики). О чем говорят эти сравне-
ния?
ЗАДАЧИ—ШУТКИ И ГОЛОСО-
ЛОМКИ.
21.	Как разделить 6 яблок меж-
ду 6 лицами так, чтобы каждый
получил по яблоку и одно яблоко
остатось в корзине?
1929л 1936* 195k 1532г.
22.	К числу 243 приписать одну, две или три цифры в сре-
дину и по краям его, но так, чтобы получившееся число было
меньше 243.
23.	6 кошек в 6 минут уничтожают 6 мышей, сколько по-
ребуется кошек, чтобы в 100 минут уничтожить 100 мышей?
24.	Из 15 спичек построить 5 равных, прилегающих друг к
другу, квадратиков. Затем снять с этих квадратиков три спич-
ки так, чтобы осталось всего три равных квадратика.
25.	Из 24 спичек составить 9 прилегающих один к другому
квадратиков, затем снять 8 спичек так, чтобы осталось только
два квадрата.
26.	На столе лежат 5 спичек таким образом:
Прибавьте к этим спичкам еще 5 спичек, чтобы получилось
три.
27.	Двоим требуется разделить поровну 8 л. молока, нахо-
дящегося в 8-литровой посуде. Но у них имеются только две
пустые посуды, при чем в оцну из них вмещается 5 л., а в дру-
гую 3 л. Спрашивается, как разделить поровну это молоко,
пользуясь только этими тремя посудами.
28-	В одном кооперативе было 4 гири общим весом в 40 кг.
Продавец отвешивал при помощи этих четырех гирь любое
количество товара в целых килограммах от 1 до 40 кг. Какие
4 гири были в кооперативе? Отвесьте этими гирями 7 кг, 15 кг.
22 кг, 35 кг.
29.	Из 10 спичек сложен дом. Пере-
ложите 2 спички, так чтобы дом повер-
нулся к нам другой стороной.
30.	Напишите нуль тремя тройками
31.	Изобразите чисто 100 при по-
мощи 6 девяток.
32.	Напишите 2 тремя пятерками.
33.	Напишите пять тремя пятерками
34.	У портного есть кусок сукна
в 21 м. Каждый день он отрезает по 3 м.
На который день кусок будет изрезан?
35.	Разрезать квадрат в
два приема так, чтобы из
полученных частей соста-
вилось два квадрата одина-
ковой величины.
36.	Из 12 спичек соста-
влено три квадрата так:
Требуется переложит!
шесть спичек так, чтобь
получилось два неравны\
квадрата.
116
МЕТРИЧЕСКИЕ МЕРЫ
Линейные меры
Километр..................... 1000	метрам
Метр........................... 10	дециметрам
Дециметр ...................... 10	сантиметрам
Сантиметр...................... 10	миллиметрам
Меры площади
Гектар......................... 100 арам
Ар.................... .	100 кв. метрам
Гектар ...................... 10000	кв. метрай
Кв. метр.......... ...	ЮО кв. дециметрам
Кв. дециметр................... 100	кв. сантиметрам
Меры об'ема и емкости
Куб. метр....................
Куб. дециметр или литр . . . .
Гектолитр................  .	.
1000 куб. дециметрам
1000 куб. сантиметрам
100 литрам
Меры веса
Тонна........................ 1000	килограммам
Центнер ...................... 100	килограммам
Килограмм.....................1000	граммам
Грамм.........................100Э	миллиграммам
117
/
СОДЕРЖАНИЕ.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.
*	Стр.
Упражнения в устном счете...................................   3
Нумерация в пределах миллиарда: ...	...................... 6
Сокращенная запись больших чисел...................... 7
Все действия с большими числами:
Сложение и вычитание многозначных чисел............... 8
Умножение и деление многозначных чисел................ 9
Задачи на целые числа...............................  12
Делимость чисел. Числа простые и составные -	•	............. 19
Признаки делимости чисел...................................   19
Признаки делимости иа 2 и на 5.	. •..............19
Признаки делимости на 10 и на 100.....................20
Признаки детимости на 26..........................  .	20
Признаки делимости на 4.............................. 21
Признаки делимости на 9 н иа 3........................21
Разложение чисел на простых сомножителей......................22
Общие делители чисел .......................................  23
Десятичные дроби
Умножение и деление десятичных дробей на целое числи ... 24
Умножение и деление десятичных дробей на 10 и на 100 . . 26
Проценты.
Нахождение процентов от данного числа................ 28
КУБИЧЕСКИЕ меры.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
Обыкновенные дроби .	. .	................................36
Смешанное число. Правильная и неправильная дробь......40
Исключение целого числа из неправильной дроби. Превращение
смешанного числа в неправильную дробь.................41
Сложение и вычитание обыкновенных дробей..............42
Умножение и деление дроби на целое число............. 47
Прямоугольная призма..........................................51
Вычисление об‘ема прямоугольной призмы................53
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
Зависимость изменения результатов арифметических действий от измене-
ния чисел, над которыми производятся действия................ 56
Обыкновенные и десятичные дроби...............................6G
Умножение и деление целого числа иа дробь............ 60
118
умножение целого числа иа смешанное......................62
Умножение целого числа на десятичную дробь............ .	63
Нахождение процентов от числа..........................  64
Деление целого числа на дробь...................... ....	66
Деление целого числа на десятичную дробь................ 69
Нахождение числа по данным процентам.................... 70
Задачи на вычисление времени.................................... 73
Круг и окружность..............................................  76
Соотношение длины окружности с диаметром и радиусом ... 77
Деление окружности на равные части...................... 79
Деление окружности на 6 и 3 равные части.................80
Знакомство с процентным транспортиром Круговые диаграммы.........82
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ.
Обыкновенные и десятичные дроби.
Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь ... 85
Умножение десятичной дроби на десятичную дробь...........88
Деление обыкновенной дроби на обыкновенную дробь .... 90
Деление десятичных дробей............................... 92
Перевод обыкновенных дробей в десятичные............	95
Превращение десятичной дроби в обыкновенную..............96
Действия над простыми и десятичными дробями, встречающи-
мися в одной и той же задаче............................ 96
Выражение одного числа в долях и процентах другого числа........ 98
Графики..................................................    ,	. 104
ОБЩИЙ ОТДЕЛ
Задачи — шутки и головоломки............................115
•Метрлческие меры...............................................117

119
Сдано в производство I7tyf I 32 г
Подписано к печати 26t VII 32 г
Горлит В-287. Уралгиз 5271 Индекс Ч В-287 формат бумаги 62X94/16.
^ираж 100.U0U. "	41сч. листов 71/j. Зн.^в печ. л- 47.400 ~ jau. As 33&7