Б. Б. КАДОМЦЕВ
КОЛЛЕКТИВНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ
В ПЛАЗМЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1988

ББК 22.333
К13
УДК 533.9
Рецензент
доктор физико-математических наук М. В. Незлин
КАДОМЦЕВ Б. Б. Коллективные явления в плазме. —2-е
изд., испр. и доп. —М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. —
304 с —ISB^N 5-02-014199-0.
Дано представление как о регулярных явлениях (нелинейных
волнах в слабодштергирующих средах, нелинейном затухании
Ландау, эхо в плазме, .взаимодействии волн и т. 4i.), так и о турбу-
турбулентности плазмы, т. е. о нерегулярных колебаниях .с возбуждением
•очень многих «степеней свободы. Рассмотрение проведено, по ;воз-
можностй, в доступной форме с привлечением примеров из других
областей физики. Новое издание дополнено изложением результатов
последних лет.
Для физиков — экспериментаторов и теоретиков, а также аспи-
аспирантов и студентов, интересующихся физикой плазмы.
Ил. 75. Библиогр.: 274 назв.
1704040000—123
о	Ю1-87	© Издательство «Наука».
o	Главная редакция фи-
физико-математической '
TSRNF ^-09 014 1QQ 9	литературы, 1976; с до-
1OD1N O-UZ-Ul^riyy-Z	полнениями, 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ГЛАВА 1
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
§ 1. Плазма как состояние вещества		7
§ 2. Магнитная гидродинамика		10
§ 3. Равновесие плазмы . ,		13
§ 4. Двухжидкостная магнитная гидродинамика		30
§ 5. Диффузия плазмы . ,		40
ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Альвеновские и магнитозвуковые волны		53
§ 2. Дисперсия волн в двухжидкостной гидродинамике ... *	65
§ 3. Линейные волны в диспергирующих средах		74
§ 4. Электромагнитные волны в плазме		85
§ 5. Энергия и импульс волн		100
§ 6. Волны в неоднородных средах		112
ГЛАВА 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простые волны 4 . *	t	120
§ 2. Нелинейные волны в слабодиспергирующих средах . . .	128
§ 3. Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов ...	155
§ 4. Взаимодействие волн t , 8	, . . , .	167

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Нелинейное затухание Ландау	186
§ 2. Эхо в плазме	197
§ 3. Рассеяние волн на частицах	207
ГЛАВА 5
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
§ 1. Неустойчивость плазмы		210
§ 2. Квазилинейное приближение		243
§ 3. Слабая турбулентность 		251
§ 4. Ионно-звуковая турбулентность 		257
§ 5. Ленпмюровская турбулентность		263
§ 6. МГД-турбулентность		270
§ 7. Эволюция бесстолкновительных систем		277
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ
Самоорганизация плазмы в токамаках		285
Пинчи с обратным полем		289
Заключительные замечания		290
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ		292

ПРЕДИСЛОВИЕ
Термин «коллективные явления в плазме» появился
довольно давно. На первых порах он еще не вполне при-
приобрел свое конкретное содержание, а всего лишь отра-
отражал то смутное ощущение, что в системе заряженных
частиц с дальнодействующими кулоновскими силами на-
наряду с парными столкновениями должно существовать
взаимодействие между частицами, имеющее некую осо-
особую коллективную природу. И лишь исследование
реальной плазмы с ее многочисленными неустойчивостя-
ми, самопроизвольно развивающимися шумам«и и коле-
колебаниями, сложными нелинейными процессами постепен-
постепенно вырисовывало круг тех явлений, которые стало при-
принято называть коллективными.
В настоящее время коллективными явлениями в
плазме называют сугубо нелинейные процессы, связан-
связанные с наличием колебаний или шумов конечной ампли-
амплитуды, взаимодействие которых с частицами существенно
влияет на макроскопические свойства плазмы. Чаще все-
всего эти шумы и колебания возникают самопроизвольно
вследствие различного рода неустойчивостей. Если воз-
возбуждается очень много степеней свободы и колебания
становятся нерегулярными, то такое состояние плазмы
называют турбулентным. Но кроме турбулентных состо-
состояний существует широкий .круг нелинейных регулярных
процессов, в которых взаимодействие между частицами
и волнами— коллективными возбуждениями системы —
может приводить к весьма своеобразным, подчас изуми-
изумительно красивым явлениям. К ним относятся, например,
эхо в плазме, нелинейное затухание Ландау, самосжа-
самосжатие и самофокусировка волновых пакетов, солитоны в
слабодиспергирующих средах. Изучение такого рода
нелинейных явлений само по себе очень интересно, но
еще более оно полезно с точки зрения развития общих
представлений о физике плазмы — этой своеобразной и

6	ПРЕДИСЛОВИЕ
весьма своенравной субстанции. Не будет преувеличе-
преувеличением сказать, что коллективные явления в плазме от-
отражают саму ее природу, ее главное свойство.
В предлагаемой книге, которая может служить вве-
введением в теорию коллективных явлений в плазме,
дается представление как о регулярных нелинейных
процессах в плазме, так и о ее турбулентности. Чтобы
облегчить чтение книги, в первой главе подробно рас-
рассматривается гидродинамический метод описания плаз-
плазмы, а во второй главе кратко 'излагается теория линей-
линейных волн в том объеме, который достаточен для свобод-
свободного чтения дальнейших глав. Изложение материала в
этих последующих главах проводится, по возможности,
в как можно более доступной форме, чтобы знакомство
с этой интересной областью физики плазмы не преврати-
превратилось в скучное «изучение формул. Поскольку нелинейные
явления в плазме сходны с 'нелинейными явлениями в
других сплошных средах, в книге широко используются
соответствующие аналогии.
В частности, нелинейные процессы в плазме, стар-
стартуя с линейных неустойчивостей, нередко приводят к
развитию слож.ных стационарных или изменяющихся со
временем структур. Их можно рассматривать как пред-
представителей широко распространенных в природе явле-
явлений самоорганизации. Структуры в диссипативных от-
открытых системах изучаются в рамках так называемой
синергетики, т. е. науки о самоорганизации. Для идей
самоорганизации плазма является, вероятно, одной из
наиболее продуктивных областей приложения, и на ее
базе можно развивать подходы к пониманию более ши-
широкого круга явлений самоорганизации.

ГЛАВА
1
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ
ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
§ 1. Плазма как состояние вещества
1. Четвертое состояние вещества. Если следовать
школьным .представлениям о том, что по мере нагрева-
•ния вещества оно испытывает последовательные превра-
превращения из твердого состояния в жидкость, а затем в газ,
то естественно возникает вопрос, что же будет происхо-
происходить с гаэом при'его нагревании. Ясно, что по мере уси-
усиления хаотического движения молекул газа они, стал-
сталкиваясь, начнут расщепляться на составляющие их атомы,
а затем и сами атомы начнут разрушаться, разби-
разбиваясь на электроны и ионы. Таким образом, при нагре-
нагревании любого вещества оно [должно в конце концов пре-
превратиться в плазму—сильно ионизованный газ. Именно
в этом смысле плазму иногда называют четвертым со-
состоянием вещества.
В отличие от резких фазовых переходов твердое те-
тело — жидкость, жидкость — газ, переход к ионизован-
ионизованному состоянию является непрерывным, так что степень
ионизации щ/щ, т. е. отношение плотности ионов щ к
плотности нейтральных атомов Ло, является плавной
функцией температуры. Даже в пламени свечи имеется
небольшое количество электронов и ионов, но вряд ли
это пламя можно считать настоящей плазмой. Ясно по-
поэтому, что определение плазмы требует еще некоторой
количественной характеристики, которая показала бы,
начиная с какой плотности заряженных частиц ионизо-
ионизованный газ можно считать плазмой.
Чтобы найти эту характеристику, нужно прежде все-
всего представить себе, чем же новое состояние вещества
отличается от обычного газа. Главная особенность кол-
коллектива заряженных частиц, составляющих плазму, со-

8	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
стоит в появлении нового типа взаимодействия частиц
этого коллектива — через электрические и магнитные
поля, т. е. посредством дальнодействующих сил. Имен-
Именно благодаря возможности этого типа взаимодействия
коллектив заряженных частиц приобретает новые каче-
качества. Фактически он образует нечто целое вместе с те-
теми электрическими и магнитными полями, которые с
этими частицами взаимодействуют (их и называют по-
поэтому самосогласованными полями). Таким образом,
плазмой можно назвать ионизованный газ при такой
плотности заряженных частиц, когда становится суще-
существенным iB3аимодействие этих частиц с самосогласо-
самосогласованными электрическими и магнитными полями (в том
числе — и с внешними полями).
Часто в качестве количественной характеристики то-
* го, что это взаимодействие становится существенным,
пользуются понятием квазинейтральности плазмы, т. е.
приближенного равенства плотности электронов пе и
ионов п{ (если последние однократно ионизованы) или
равенства пе=Хщ (в более общем случае ионов со сред-
средним зарядовым числом Z). В самом деле, при достаточ-
достаточно высокой ллотности пе (и соответственно щ) даже
малое пространственное разделение зарядов плазмы
привело бы к появлению очень сильных электрических
полей. Поэтому при всех протекающих в плазме явле-
явлениях с полями естественной величины (например, по-
порядка внешних полей) плотности ионов и электронов
оказываются близкими друг к другу. Таким образом,
плазма, т. е. достаточно 'плотная смесь электронов и
ионов, должна сохранять квазинейтральность даже при
достаточно бурно протекающих в ней процессах. Вмес-
Вместе с тем нужно ясно понимать, что квазинейтральность
есть не изначальная характеристика плазмы, а всего
лишь ее свойство, вытекающее из того, что главную
роль в плазме играют взаимодействия частигц через са-
самосогласованное поле.
2. Неравновесность плазмы, теоретические модели.
Тот факт, что частицы плазмы выступают вместе с соз-
создаваемыми ими электрическими и магнитными полями,
приводит к сильному усложнению протекающих в плазме
явлений. Часто речь должна идти скорее 'не о свойствах
вещества, а о свойствах сложного комплекса из веще-
вещества и электромагнитного поля. Наличие внешних по-
полей, иногда также достаточно сложных и неконтролиру-

§ 1. ПЛАЗМА КАК СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА	9
емых, еще больше запутывает всю картину. К этому сле-
следует добавить, что в лабораторных или природных усло-
условиях плазма часто является крайне неравновесной; она
требует для своего создания совершенно необычных ус-
условий (например, вспышка молнии, полярное сияние,
разряд в газовой трубке, вспышка в фокусе лазерного
луча и т. л.). В такой неравновесной плазме в силу вы-
высокой ее подвижности и наличия дальнодействующих
сил очень легко развиваются различного рода неустой-
неустойчивости и шумы.
В результате при -изучении протекающих в плазме
явлений часто приходится встречаться с ситуацией мно-
голараметричности, т. е. с наличием многих одновремен-
одновременно протекающих процессов, из которых выбрать наибо-
наиболее существенный часто бывает очень трудно. В этой
ситуации для понимания происходящих в плазме явле-
явлений и в особенности для теоретического количественно-
количественного или качественного их описания очень полезными ока-
оказываются упрощенные модели, нередко дополняющие
друг друга. Так, например, рассматривая движение за-
заряженных частиц в магнитных полях сложной формы,
например в магнитных ловушках, можно использовать
модель независимых частиц. Учитывая только парные
столкновения частиц и не принимая во внимание шумов
из-за неустойчивО'Стей, строят так называемую классиче-
классическую теорию плазмы. В пренебрежении взаимодействи-
взаимодействием с нейтральным газом можно получить приближен-
приближенную модель полностью ионизованной плазмы. Учиты-
Учитывая только наиболее существенную характеристику ио-
ионизованного газа — способность проводить ток, — полу-
получают магнитогидро динамическое приближение, также
моделирующее многие свойства плазмы.
В настоящей книге, центр тяжести которой лежит
не на описании конкретных протекающих в плазме яв-
явлений, а на знакомстве с основными нелинейными яв-
явлениями, будут использоваться только самые простые
модели. А именно, для коллективных эффектов, связан-
связанных с полями и волнами, но не с частицами, мы будем
пользоваться магнитогидродинамическим приближени-
приближением. Для эффектов же кинетических, где важно взаимо-
взаимодействие отдельных групп частиц с волнами, мы в ос-
основном будем использовать простейшую модель одно-
однородной неограниченной плазмы. Кроме того, как прави-
правило, плазму будем считать полностью ионизованной.

10 Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
§ 2. Магнитная гидродинамика
1. Уравнения магнитной гидродинамики. Шведский
физик X. Альвен первым обратил внимание на то, что
проводящие жидкость или газ при движении в магнит-
магнитном лоле обнаруживают исключительно интересные
свойства. Эти свойства связаны с тем, что при переме-
перемещении проводящих масс жидкости в них возбуждаются
токи индукции, которые совместно с магнитным полем
оказывают обратное воздействие «а жидкость. При этом
не так существенно, о какой именно жидкости идет речь,
важно лишь, чтобы она была электропроводной. Соот-
Соответственно и в плазме, которая может свободно прово-
проводить ток, могут легко разыгрываться те явления, которые
характерны для проводящих жидкостей. Собственно, в
применении к космической плазме и развивал свои идеи
Альвен.
Итак, мы познакомимся с тем классом явлений в
плазме, который описывается в .приближении магнит-
магнитной гидродинамики (точнее, газодинамики). В этом при-
приближении предполагается, что поведение плазмы сход-
сходно с поведением идеального газа с уравнением состоя-
состояния р = 2пТ, где р — давление, Т — температура (в эр-
эргах), а п — плотность электронов и равная ей плот-
плотность однозарядных ионов. Поскольку масса электронов
ше значительно меньше массы ионов miy то массовая плот-
плотность р=\гп1П. Пусть В есть магнитное поле, a j — плот-
плотность электрического тока.
Тогда уравнение движения жидкости с учетом силы
Ампера запишется в виде
m'nlT +vp= TUB].	(i.i)
К нему следует добавить уравнение непрерывности и
уравнения Максвелла, в которых мы пр-енебрежем то-
током смещения, считая, что все происходящие в плазме
движения медленные, т. е. протекают со скоростями
значительно меньше скорости света:
^	= 0,	A.2)
i,	A.3)

§ 2. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	11
divB = 0,	A.4)
Плотность тока j в проводящей среде равна j = c>E*, где
Е* — электрическое поле в системе отсчета, движу-
движущейся вместе с жидким элементом. При а<Сс это поле
равно
E E+B
j	с
Полагая Е*= — = ^го!В и подставляя выражение
для Е через Е* в A.5), мы приведем A.5) к веду
f^^B.	A.6)
Уравнения A.1) — A.4) и A.6) и составляют основ-
основную систему уравнений магнитной гидродинамики. В
этих уравнениях мы пренебрегли вязкостью. Что каса-
касается температуры Т, то для ее изменения со временем
можно воспользоваться условием адиабатичности Т~-
~пУ-*, где у — показатель адиабаты. Бели характе;рные
размеры возмущения в плазме невелики, то в силу вы-
высокой электронной теплопроводности более адекватным
является приближение изотермической плазмы 7i=const.
Уравнения магнитной гидродинамики достаточно хо-
хорошо описывают крупномасштабные движения в плаз-
плазме, для которых несущественно различие в движении
отдельных групп составляющих ее частиц. В частности,
эти уравнения хорошо описывают равновесие плазмы
в магнитном поле в условиях, когда несущественна ее
анизотропия, т. е. когда функция распределения частиц
по скоростям близка к максвелловской.
2. Вмороженность магнитного поля. Рассмотрим не-
несколько подробнее уравнение A.6) и постараемся выяс-
выяснить его физический смысл. Последнее слагаемое в
правой части этого уравнения описывает диффузионное
расплывание неоднородностей магнитного поля в прово-
проводящей среде вследствие конечной проводимости. Вели-
Величину Dm=c2/4jta можно условно назвать коэффициен-
коэффициентом диффузии магнитного поля. При достаточно боль-
большой проводимости диффузией поля можно пренебречь
и мы приходим к идеальной гидродинамике, в которой

12
Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
отсутствуют все виды диссипации. Уравнение A.6) тог-
тогда принимает вид
а в
— = rot[vB].
A.7)
В этом предельном случае уравнение («1.7) приводит
к эффекту «приклеенности» силовых линий магнитного
поля к плазме, или, как еще иногда говорят, к вморо-
женности магнитного поля в проводящую среду. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим произвольный замкнутый
контур L, движущийся вместе с плазмой, и введем в
рассмотрение магнитный поток Ф = J В d S через по-
поверхность, ограниченную контуром L. Поскольку
divB = 0 и силовые линии магнитного поля нигде не кон-
кончаются, величина Ф определяется лишь контуром L и
не зависит от формы поверхности, натянутой на L, Най-
Найдем теперь изменение потока (ДФ за время At:
f B'dS — J BrfS.
S'	5
A.8)
Здесь B'=B(t + At,r)—магнитное поле в момент t-\-At,
S'— смещенная поверхность (,рис 1), a dS— элемент
поверхности, рассматриваемый
как вектор, направленный по
нормали к поверхности. Как вид-
видно из рис. 1, поверхность S' мож-
можно считать состоящей из поверх-
поверхности 5 и узкой ленты AS ши-
шириной v At, соединяющей два
контура. Следовательно, первое
слагаемое в A.8) можно пред-
представить в виде суммы интегра-
интегралов по S и AS. Первый из этих
интегралов можно объединить
со вторым интегралам в A.8), и
с точностью до малых вели-
Сд В
чин второго (порядка их сумма равна Д *.) — dS. Что
5 о г
касается интеграла по AS, то он может быть записан
в виде интеграла по контуру L, так как элемент по-
Рис. 1. Движение кон-
контура с плазмой и вмо-
роженность поля

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ	13
верхности ленты AS равен dS = —[dl9 v dt]. Таким обра-
образом:
Но последний интеграл согласно известной формуле
t*
векторного анализа равен jrot[vB]dS. Устремляя
s
Д*->0 -и учитывая уравнение для В, получим d<bfdft=09
т. е. Ф = const. Поскольку это утверждение справедливо
для любого контура L, движущегося вместе с веществом,
то это и означает, что силовые линии магнитного поля
как бы «приклеены» к идеально проводящей жидкости.
Вмороженность силовых линий существенно упрощает
картину поведения магнитного поля при движения иде-
идеальной плазмы.
§ 3. Равновесие плазмы
1. Условие равновесия. Плазма является весьма под-
подвижной средой и в реальных условиях редко бывает
спокойной. Прежде чем изучать ее движение, естествен-
естественно рассмотреть более простую ситуацию, когда плазма
находится в покое. Разумеется, мы могли бы предста-
представить себе неограниченную, заполняющую все простран-
пространство, однородную плазму, находящуюся в тепловом рав-
равновесии. Такая предельная идеализация часто исполь-
используется при теоретическом анализе колебаний плазмы.
Но если все же смотреть на вещи более реально, то мы
должны ясно понимать, что в лабораторных условиях
плазма всегда неоднородна. Для достижения равновесия
неоднородной плазмы на нее должны действовать неко-
некоторые силы, препятствующие ее разлету. Ими могут
быть либо силы со стороны магнитного поля в случае
полностью <ионизованной .плазмы, либо трение о нейт-
нейтральный газ, если плазма слабоионизованная.
Мы начнем рассмотрение с полностью ионизованной
плазмы. При этом опять воспользуемся предельной иде-
идеализацией, а именно будем считать, что плазма пред-
представляет собой идеальный газ с уравнением состояния
р = 2пТ. В электрическом отношении будем считать ее
идеальным проводником с бесконечной проводимостью.

14	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Такая плазма, если к тому же допустить нулевую ее
вязкость, называется идеальной.
Согласно A.1) идеальная плазма может быть в
равновесии только ,в том ,случае, если градиент ее дав-
давления уравновешен силой Ампера:
VP=-f [jB],	С1-9)
где j —плотность электрического тока, В —магнитное
поле.
В предположении идеальной проводимости на плот-
плотность тока j не накладывается никаких ограничений,
кроме естественного условия непрерывности:
divj = O.	A.10)
Магнитное поле В и плотность тока j связаны уравне-
уравнением Максвелла A.3) и, кроме того, согласно A.4)
div В = 0. Как легко видеть, из уравнения A.9) выте-
вытекает, что
Эти соотношения можно рассматривать как условия по-
постоянства давления вдоль силовых лин'ий магнитного
поля й линий тока: по этим направлениям сила со сто-
стороны магнитного поля не действует, и плазма может
свободно расширяться вдоль направлений В и j. Вместе
с тем, поскольку VP направлен перпендикулярно по-
поверхности p=const, условия A.5) означают, что сило-
силовые линии и лийии тока должны лежать на поверхно-
поверхностях р=const.
В частности, если мы захотим изолировать плазму
от стенок магнитным полем — такая проблема, как из-
известно, возникла в связи с поисками путей достижения
управляемой термоядерной реакции, — то поверхности
/?=const должны быть замкнутыми и вложенными друг
в друга так, чтобы на границе плаэмы давление обра-
обращалось в нуль, а внутри нее достигало максимального
значения.
Уложить на эти поверхности силовые линии и линии
тока так, чтобы нигде не возникало особых точек (соот-
(соответствующих, например, «протыканию» поверхности
р=const проводником с током), можно только в том
случае, если они представляют собой систему вложен-
вложенных друг в друга тороидальных поверхностей. Таким

§ 3. РАВНОВЕОИЕ ПЛАЗМЫ	15
образом, мы приходим к задаче о (равновесии плазмы
в торах, которая будет рассмотрена несколько позднее.
Выражая j через В с помощью A.3) .и пользуясь
известным соотношением векторного анализа, уравнение
равновесия A.9) можно записать в виде
где второе слагаемое в левой части можно интерпрети-
интерпретировать как градиент давления магнитного толя.
Еще более наглядная запись уравнения равновесия
достигается, если ввести в рассмотрение единичный век-
вектор Ъ=Ъ/В вдоль магнитного поля:
Я2 Я2	Я2
,	A.13)
где у± = у—h(by) —поперечный градиент, п —нор-
—нормаль к силовой лийии, \R—ее радиус кривизны. Из
уравнения A.13) видно, что магнитное поле оказывает
давление ?2/8я в поперечном направлении и создает
дополнительную силу в направлении вогнутости сило-
силовых линий вследствие их натяжения.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкрет-
конкретных равновесных конфигураций.
2. Равновесие цилиндрического столба. Мы начнем
с самого простого случая равновесия плазмы при ци-
цилиндрической симметрии. Практически такое равнове-
равновесие достигается в ограниченных по длине системах пу-
путем сжатия плазмы либо продольным магнитным полем
F-пинч), либо собственным полем протекающего по
плазме тока (г-пинч). Теоретически удобно рассматри-
рассматривать плазменный шнур как не ограниченный по длине,
пренебрегая явлениями на его торцах.
В цилиндрической системе координат г, 0, z с осью г,
совпадающей с осью симметрии шнура, уравнение рав-
равновесия принимает вид
dp d ^ ^_l^e
77 + 77ъя+ г dr 4я в0-	<1Л4>
Так как мы имеем только одно уравнение для трех
функций р, BZy Be, то произвол очень'велик и существу-
существует большое разнообразие различных равновесных систем.

16	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
3.	Q-пинч. Рассмотрим сначала случай, когда про-
продольный ток jz отсутствует и соответственно Bq=Q. В
этом случае удержание плазмы достигается благодаря
азимутальному току /е, и поэтому соответствующую
конфигурацию принято называть 6-пинчем. При этом
из A.14) получаем
p+fk = const,	A.15)
8 я
т. е. давление плазмы уравновешивается магнитным дав-
давлением. Из A.15) следует, что плазма обладает свой-
свойством диамагнетика: в области, занятой плазмой, поле
ослабевает. Если р = ^/8я, где Во — поле вне плазмы,
то внутри плазмы магнитное поле вообще отсутствует;
удержание при этом достигается за счет тока, проте-
протекающего по поверхности плазмы. В другом случае так
называемой плазмы низкого давления /?<CB2/&rt маг-
магнитное поле внутри плазмы ославляется на малую ве-
величину
6В = — РВ/2,	A.16)
где ,р=8яр/?2. Если при этом давление плазмы внутри
шнура постоянно, а затем резко спадает до нуля на его
границе, то, интегрируя уравнение равновесия dp/dr=
= -*-A/c)jqBz поперек шнура и считая В ~ const, полу-
получим условие равновесия в виде
p = -(l/c)jsBy	A.17)
где js z=^jQdr— поверхностная -плотность тока.
Уравнение A.17) имеет смысл баланса сил на гра-
границе: давление плазмы внутри шнура уравновешивает-
уравновешивается силой Ампера, действующей на его границу.
4.	z-пинч. В другом частном случае В^=0 мы имеем
дело с обычным пинч-зффектом, т. е. со стягиванием
плазменного шнура собственным магнитным полем про-
протекающего по нему тока с плотностью
^	<1Л8>
Умножим уравнение равновесия на r2dr и проинтег-
проинтегрируем его по г от 0 до оо:
00
Г-

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ	17
При r->oo гйе=2//с, где / — полный ток, протекающий
по плазме, так что правая часть A.19) равна /2/2яс2.
Слева же после интегрирования по частям получим
§p.2rdr. Таким образом, окончательно находим сле-
следующее условие пинчевания, т.е. интегральное условие
равновесия:
4c2NT= I2,	A.20)
где N = \2izrndr — погонное 'число электронов (на еди-
единицу длины шнура), T=i/2{Ti + Te)—средняя темпера-
температура. Соотношение A.20) обычно называют условием
Бен-нета.
При наличии продольного магнитного поля соотно-
соотношение A.20) должно быть дополнено членом, учитыва-
учитывающим разность давлений продольного поля снаружи и
внутри шнура. В частности, если давление плазмы мало,
то стягивание шнура собственным магнитным полем
может компенсироваться за счет увеличения продоль-
продольного магнитного поля внутри шнура. При этом возни-
возникает своеобразный парамагнетизм плазмы.
5. Бессиловые конфигурации. В проводящей плазме
могут образовываться своеобразные равновесные кон-
конфигурации, когда давление плазмы пренебрежимо мало
по сравнению с давлением магнитного толя. Как следу-
следует ,из уравнения равновесия A.9), при этом ток должен
течь вдоль магнитного поля. Магнитные конфигурации
сур = 0 называются бессиловыми. В лабораторных ус-
условиях они осуществляются, когда велики потери энер-
энергии плазмой и она не нагревается. Бессиловые конфи-
конфигурации нередко возникают на Солнце, когда «магнитные
поля, генерированные внутри Солнца, «всплывают» на
его поверхность.
Естественно, что наиболее просто бессиловые конфи-
конфигурации выглядят в случае цилиндрической симметрии.
Так как при этом мы имеем одно уравнение для двух
функций Be(r), Bz(r), то существует все еще довольно
большой произвол в выборе конфигураций.
Мы рассмотрим здесь лишь один пример, представ-
представляющий интерес в связи с экспериментами по сильно-
сильноточным разрядам, стабилизированным умеренным про-
продольным полем. В таких разрядах давление плазмы
невелико из-за различного рода аномальных потерь
(усиленной диффузии и теплопроводности), так что

18
Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
распределение полей црактичеоки бесоиловое. Оказыва-
Оказывается, что экспериментально наблюдаемое распределение
полей близко к беосиловому, у которого плотность тока
пропорциональна <полю, т. е.
= const.
Отсюда вытекает
A.21)
A.22)
Se = Во
где /о, /i — функции Бесселя.
Обозначим через а радиус плазменного шнура. Как
видно из A.22), по мере повышения \ia продольное маг-
магнитное поле стягивается к оси, т.е. как бы появляется
«парамагнетизм». Затем, по достижении значения
[ха=ао«|2,4, т.е. первого корня /<>(*), поле Вг обраща-
обращается в -нуль на границе шнура, а далее, при jxa>ao,
даже меняет свой знак.
Вместо \ia удобно ввести интегральную величину
® = 2п1а/сФ,	-	A.23)
где / — полный продольный ток, а Ф — продольный маг-
магнитный поток. Легкю видеть, что ® = \ia/2. Обычно раз-
разряд заключен в кожух с
достаточно высокой про-
проводимостью, и поэтому
Ф = яа2?а, где Ва — на-
начальное значение про-
продольного магнитного по-
поля перед разрядом.
Согласно рассматри-
рассматриваемой бессиловой моде-
модели продольное поле на
периферии разряда дол-
должно менять знак при пе-
переходе G через значение
ао/2. Именно такая кар-
картина появления отрица-
отрицательных значений поля
Вг на периферии разряда
B0Ji(/ir)
Рис.
2. Распределение полей
диффузном пинче
рфр ррд
при увеличении в наблюдается экспериментально (рис. 2).
Достаточно хорошо совпадают я числовые значения
величины в, при которых происходит изменение знака
поля: эксперимент дает в» 1,4, а теория—-в» 1,2.

§ 3. РАВНЮВЕОИЕ ПЛАЗМЫ	19
Почему в эксперименте наблюдается такая бессило-
вая конфигурация, было теоретически пояснено Дж. Тей-
Тейлором [13]. Его аргументы сводятся к следующему. Бу-
Будем исходить из того, что в диффузном пинче раз-
развивается довольно интенсивная <магнитогидродинам|Иче-
окая турбулентность, как это показывают эксперимен-
эксперименты. При такой турбулентности энергия магнитного поля
и плазмы может .переходить в тепловую энергию, а затем
уноситься из шнура за счет потерь на стенку.
Плазма в таком шнуре обычно имеет достаточно вы-
высокую проводимость, и это накладывает определенные
ограничения на допустимые движения в плазме. При
идеальной проводимости изменения магнитного поля
связаны условием вмороженности A.7). Соответственно
для вектор-потенциала магнитного поля А, определяе-
определяемого соотношением В = rot А, вытекает
|7 = [vB] + vx,	0.24)
где % — произвольная скалярная функция.
Как можно показать, из соотношений A.7), A.24)
следует, что интеграл jA:Bdr, взятый по любому
объему, ограниченному силовыми линиями, не зависит
от времени, т. е. является интегралом движения.
При конечной проводимости это утверждение стано-
становится неправильным, так как силовые линии получают
возможность перезамыкаться. Но если проводимость до-
достаточно высокая, то при таком перезамыкании магнит-
магнитные поля меняются слабо, так что должен приближенно
сохраняться интеграл
Ко =fBAdr,
взятый до всему объему плазмы: в этом интеграле про-
происходит лишь перераспределение вкладов от отдельных
силовых трубок, а сумма остается приблизительно по-
постоянной.
Если искать минимум энергии магнитного поля при
/Со=const, то соответствующая вариационная задача при-
приводит к бессиловому полю, задаваемому выражением
A.21) с jx=const. Таким образом, наблюдаемое экспери-
экспериментально бессиловое поле в диффузных пинчах
связано с развитием мелкомасштабной магнитогидроди-

20	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
намической турбулентности, в которой энергия магнитно-
магнитного поля релаксирует к минимуму при Ко=const. Более
подробно этот вопрос будет рассмотрен *в § 6
п. 2 гл. 5.
6. Тороидальная плазма в поле с замкнутыми силовы-
силовыми линиями. Рассмотренные выше цилиндрические равно-
равновесные конфигурации являются, разумеется, идеализа-
идеализацией1: практически реализовать системы, бесконечно про-
протяженные в одном направлении, невозможно. Однако та-
такие равновесия можно осуществить приближенно, если
плазменный шнур замкнут в тор с очень большим радиу-
радиусом кривиз'ны R. Здесь сразу же возникает вопрос о том,
какое влияние оказывает на равновесие шнура его торо-
идальность. Чтобы выяснить это, мы рассмотрим сначала
простой предельный случай, когда продольный ток отсут-
отсутствует. При этом мы как бы искривляем однородное маг-
магнитное поле € плазменным цилиндром. В результате ис-
искривления поле перестает быть однородным: в круглом
торе оно убывает обратно пропорционально расстоянию
R от большой оси (оси симметрии) тора. Это следует из
того, что при осевой симметрии поле равно В = 21/сЯ,гце
I — полный ток, протекающий через круг радиуса R. Этот
ток постоянен, если только мы не пересекаем витков об-
обмотки.
Так как магнитное поле ослабевает к наружному об-
обводу тора, то плазма, будучи диамагнетиком, должна вы-
выталкиваться в радиальном направлении. Чтобы убедить-
убедиться в этом, рассмотрим плазменную трубку, образующие
которой совпадают с силовыми линиями, и допустим, что
давление плазмы р однородно'по сечению трубки и значи-
значительно меньше давления магнитного поля В2!/8я. Тогда,
как мы установили в п. 3, магнитное поле будет очень
слабо изменяться при пересечении границы плазмы. При
этом согласно A.17) давление плазмы уравновешивает-
уравновешивается силой взаимодействия поверхностного тока js с маг-
магнитным полем В. Но в простой тороидальной геометрии в
отсутствие продольного тока соотношению A.17) удовлет-
удовлетворить нельзя. В самом деле, в силу сохранения заряда
произведение поверхностного тока на длину сило-вой ли-
линии js-2nJR должно оставаться постоянным. Поэтому на
внутреннем обводе плазменной трубки поверхностный
ток js должен быть несколько больше, чем на внешнем.
Но магнитное поле В также больше на внутреннем обво-

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ
21
де, и, следовательно, сила, действующая со стороны маг-
магнитного поля на плазменную трубку, должна давать не-
некоторую равнодействующую, направленную наружу в
сторону убывания магнитного поля.
Чтобы скомпенсировать силу выталкивания, можно
пропустить поперек шнура параллельно оси симметрии
тора небольшой ток A./s~ (ajR)js, который даст силу, на-
направленную в сторону оси тора (рис. 3); здесь а — попе-
поперечный размер плазменной труб-
трубки. Практически такой ток мож-
можно создать с помощью хорошо
проводящей диафрагмы, которая,
замыкая токи, «замораживает»
силовые линии и не дает трубке
двигаться по большому радиу-
радиусу. Если магнитное поле В очень
сильное, то 'поперечный ток Ajs
мал, и при хорошей проводимо-
проводимости плазмы вдоль поля диаф-
Рис. 3. Удержание торо-
тороидального шнура диа-
диафрагмой
рагма может эффективно замыкать поперечный ток Ajs
со всего шнура [15].
7. Ловушка с гофрированным магнитным полем. Су-
Существует и другая возможность компенсации диамагнит-
диамагнитного выталкивания в тороидальной системе с замкну-
замкнутыми силовыми линиями. Она
связана «с отказом от осевой
симметрии. Допустим, что с
помощью дополнительных ка-
гушек создается такая конфи-
конфигурация, что внутренняя сило-
силовая линия становится несколь-
несколько длиннее наружной (рис.4).
Пусть опять давление плазмы
мало и постоянно. Тогда усло-
условие равновесия границы имеет
вид A.17), где js — компонен-
компонента поверхностного тока, нор-
нормальная к В, а следовательно,
и к силовой линии. Из условия
сохранения электрического заряда имеем
Рис. 4. Гофрирован-
-ный тор
= — ср<
dl
> — = const.

22	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Так как р = const, .то отсюда следует, что интеграл
вдоль любой замкнутой силовой линии на границе плаз-
плазмы должен иметь одно и то же значение. ;
Этот результат легко обобщается на случай произ-
произвольного распределения давления плазмы. В самом деле,
любое плавное распределение давления по некоторой ко-
координате -ф, нумерующей поверхности p=iconst, можно
приближенно представить в виде набора многих ступенек.
На каждой из таких ступенек величина U должна быть
постоянной. Другими словами, для равновесия необхо-
необходимо, чтобы давление р было постоянно на поверхности
?/=const, т. е. p=p(U).
Если давление плазмы мало, то под величиной В в ин-
интеграле для U можно понимать вакуумное магнитное по-
поле. В этом случае условие p=p(U) является необходи-
необходимым и достаточным условием равновесия.
Таким образом, если произвести гофрировку магнит-
магнитного поля, как показано на рис. 4, чтобы величина U
имела одинаковое значение на некоторых тороидальных
поверхностях, образованных силовыми линиями, то плаз-
плазма может быть в равновесии.
8. Равновесие плазмы в круглом торе. Перейдем те-
теперь к рассмотрению общего случая, когда в плазменном
шнуре имеются как продольное, так и азимутальное маг-
магнитные поля. Разумеется, в самой общей1 постановке за-
задача о тороидальном равновесии плазмы весьма сложна,
и решение ее требует громоздких математических выкла-
выкладок. Однако существует класс задач, интересных в прак-
практическом отношении, когда тороидальная кривизна мала,
т. е. малый радиус плазменного шнура а значительно
меньше радиуса кривизны тора Ro. При этом тороидаль-
тороидальный шнур близок к прямому и его равновесие можно
исследовать по теории возмущений, принимая за нулевое
приближение цилиндрический шнур и производя затем
разложение по малому параметру а/Ro. Этим методом
удается рассмотреть широкий класс тороидальных систем
[11]. Здесь мы рассмотрим в качестве примера только
круглый1 тор с сильным продольным магнитным полем,
что соответствует экспериментальным установкам «тока-
мак».

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ	23
Рассмотрим поперечное сечение плазменного шнура
(рис. 5). Если в прямом шнуре магнитные поверхности
в поперечном сечении представляли собой систему кон-
концентрических окружностей, то в торе эти окружности
будут смещены от оси тора и несколько деформированы.
В линейном по a/Ro приближении искажением окружно-
окружностей можно пренебречь, так что тороидальность сказыва-
сказывается лишь в смещении окружностей. Это смещение обоз-
обозначим через А (г), где г — малый радиус магнитной по-
поверхности. Будем считать, что
величина А определена таким
образом, что на внешнем про-
проводящем кожухе радиуса Ь она
обращается в нуль. В опреде-
лении А (г) и состоит основная
задача нахождения тороидаль-
тороидальной поправки к равновесию.
Наряду с г введем еще ази-
азимут 0 и продольную координа-
координату z — длину вдоль магнитной
оси. Теперь это будут уже не
цилиндрические координаты, а
криволинейные координаты на	_. ,.
v ,	г-{	Рис. 5. Машинные поверх-
торе (см. рис. 5), которые	ности в торе F
только при Ro-^oo переходят
в цилиндрические.
Смещение А магнитной поверхности по большому ра-
радиусу зависит от давления плазмы: с ростом давления
А увеличивается. Чтобы найти А, нужно учесть, что в то-
тороидальной геометрии компоненты магнитного поля не
постоянны, а слабо зависят от 0. Мы обозначим эти ком-
компоненты через Bq и Вт: компонента Bq в тороидаль-
тороидальной геометрии называется полоидальной, а тороидальная
компонента Вт является аналогом продольного поля
Bz в геометрии прямого шнура.
Особенно легко определить зависимость от 0 для ком-
компоненты 5Т. В самом деле, в силу осевой симметрии Бт=
= 2IJcR> где / — полный ток, протекающий через круг
радиуса R — расстояния от оси симметрии. Но так как
через магнитные поверхности ток не протекает, то вели-
величина / на магнитной поверхности постоянна, т. е. являет-
является функцией малого радиуса магнитной поверхности г.
Наряду с координатой г, нумерующей магнитные поверх-

24 Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
ности, удобно ввести в рассмотрение функцию полои-
дального магнитного потока i|) = ()
1
B	[
где В± —полоидальное магнитное поле, еф —единичный
вектор вдоль азимута ф цилиндрической системы коор-
координат R, ф, z. С учетом того что функции ф, / являются по-
постоянными на магнитных поверхностях, плотность тока
можно представить в виде
еФ	2 Г
д \ д д*	dl
где оператор Л* = /? — — — + —, а /' = — .
С помощью этого выражения проекцию уравнения
равновесия A.9) можно записать в форме
Д*<ф = —4я#2р' — ~1Г ,
где штрих означает производную по я|). Это скалярное
уравнение тороидального равновесия принято называть
уравнением Грэда — Шафранова. При j^o-^00 оно пере-
переходит в уравнение равновесия цилиндрической плазмы.
Сохраняя в нем малые члены порядка г'//?0, можно
получить уравнение для смещения А магнитных поверх-
поверхностей.
Это же уравнение можно получить и более прямым
путем непосредственно из уравнения равновесия в вектор-
векторной форме. Учитывая, что в пренебрежении смещением Д
величина R = Rq — г cos 6 (см. рис. 5), находим с точно-
точностью до членов первого порядка малости
BT = B°T(l+ ^cosG),	A.25)
^ о
где Вт — значение продольного поля в нулевом прибли-
приближении.
Азимутальная компонента поля Be также несколько
изменяется, так что можно положить
Be = B°0(l+ ~Лсо80),	A.26)

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ	25
где Д(г)—пока неопределенная величина. Ее можно
связать с А(г), если воспользоваться условием сохране-
сохранения магнитного потока между двумя близкими магнит-
магнитными поверхностями. Можно показать, что расстояние
между близкими поверхностями равно
dA
dl^dr — cos0dA = (l — — cos0)dr
(см. рис. 5). Так как элемент поверхности (ленточки)
dSy через который проходит азимутальный поток между
близкими поверхностями, равен
то из условия ?>е ac> = coinst легко находим
^7 = ^~(А— 1).	A.27)
Установив все необходимые геометрические соотно-
соотношения, вернемся к уравнению равновесия. Удобно вос-
воспользоваться перпендикулярной поверхности р=const
(т. е. r~const) компонентой уравнения равновесия в фор-
форме A.12). Учтем, что градиент по нормали равен
d A	\ д
так как расстояние между близкими магнитными поверх-
поверхностями
dt =(l-jf cos в) dr.
Следовательно, для нормальной компоненты поля имеем
,	A.28)
где п — единичный вектор нормали к магнитной поверх-
поверхности.
Здесь для В нужно учесть тороидальные поправки
согласно A.25), A.26). Нетрудно видеть, что (BTV)?T
направлено к оси симметрии тора и его числовое значе-
значение равно Вт2/#, так что n(BTv) Bt=cos6-St IR. Что ка-
касается (Вт'у)Ве и (Веу)Вт, то они не имеют составля-

26	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
ющих по п, а п(Веу,)Ве=—Be /г. Таким образом, урав-
уравнение A.28) может быть записано в виде
Т + -]соз0, A.29)
где в правой части мы воспользовались уравнением рав-
равновесия в нулевом приближении и исключили dp/dr. Если
подставить сюда A.25), A.26) и собрать малые первого
порядка, то с учетом A.27) можно получить уравнение
Для А:	. ¦?
<тКтА)-Ч??-?*. (L30)
Интегрируя это уравнение и учитывая, ччто при г=0
dAJd = 0, находим
8п(р — р)— ~Щ г
AЛ1)
аг	^е
где среднее значение
г
р=7*
и аналогично определено В%. Вторым интегрированием
отсюда нетрудно найти Л (О. Тем самым задача о торои-
тороидальном равновесии полностью решается, так как Bq вы-
выражается через А. Заметим, что согласно A.26) величи-
величина А зависит только от полоидальной компоненты поля
Be, а не от 5т.
Приведенные здесь соотношения, полученные впервые
Шафрановым [10], хорошо описывают результаты экспе-
экспериментов по равновесию плазмы в токамаках [23]. На
рис. 6, например, представлены результаты измерения
распределения плотности плазмы по сечению. Они на-
наглядно показывают, как происходит смещение плазмы в
торе в радиальном направлении. Величину А иногда назы-
называют просто смещением Шафранова.
9. Ре лансированные равновесия в токамаке. Уравнения
магнитогидродинамического равновесия допускают ши-
широкий набор профилей давления. Однако эксперимент
показывает, что в плазме токамака сами собой устанав-
устанавливаются некоторые оптимальные профили распределе-
распределения по радиусу давления, а также температуры и, следо-

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ
27
вательно, плотности тока. Эти профили оказываются до-
достаточно устойчивыми по отношению к внешним воздей-
воздействиям. Поэтому естественно возникает мысль о том, что
и в токамаке мы имеем дело с релаксированным состоя-
состоянием, подобно тому что имеет место в пинче с обращен-
обращенным полем.
Эксперимент показывает, что существует два типа
релаксированных состояний. Они получили название
L- и Я-мод. Я-мода соответ-
соответствует лучшему удержанию
плазмы, чем и объясняется
название режимов: L — low,
Я — high. Наиболее легко ре-
реализуется L-мода, что же ка-
касается Я-моды, то для ее до-
достижения требуется обеспечить
некоторые специфические ус-
условия на периферии плазмы.
Так, например, впервые Я-ре-
жим был обнаружен на уста-
установке Асдекс [22] при доста-
достаточно мощном дополнительное
нагреве плазмы. Существен-
Существенную роль при этом играло на-
наличие полоидального диверто-
ра, т. е. такой конфигурации
магнитного поля, когда внутри"
некоторой тороидальной маг-
магнитной поверхности, называе-
называемой сепаратрисной, имеются
вложенные друг в друга торо-
тороидальные поверхности, а за
пределами сепаратрисной по-
поверхности силовые линии разомкнуты и оканчиваются
на стенках камеры. Наличие сепаратрисы дает возмож-
возможность образования резкого скачка на периферии плазмы,
так что профиль температуры в основной области удер-
удержания плазмы оказывается более широким.
Существование релаксированных L- и Я-состояний
плазмы можно объяснить, используя примерно ту же
аргументацию, что и для диффузного пинча. Основная
идея здесь опять состоит в том, что плазма релаксирует
к состоянию с минимальной энергией при некоторых
Z0 х,см
Рис. 6. Распределение плот-
плотности плазмы по сечению
камеры в установке «тока-
мак» [23]

28	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
дополнительных связях. Только при этом и сама энергия,
и связи несколько отличаются от таковых для диффуз-
диффузного пинча.
Дело в том, что плазма токамака гораздо более устой-
устойчива, чем плазма диффузного пинча. Если в диффузном
пинче достаточно легко развивается процесс перезамыка-
перезамыкания силовых линий ко всему сечению плазменного шну-
шнура, то в токамаке аналогичный процесс реализуется толь-
только во время бурного срыва тока. В более спокойной фазе
стабильного удержания плазмы в токамаке наблюда-
наблюдаются лишь небольшие винтовые возмущения —так назы-
называемые осцилляции Мирнова. Они могут приводить к пе-
перезамыканию силовых линий1 только вблизи рациональ-
рациональных магнитных поверхностей, когда величина q = m/n,
где т, п — целые числа. На рациональных поверхностях
силовые линии замыкаются сами на себя после несколь-
нескольких оборотов, поэтому винтовые возмущения с тем же
шагом, что и силовые линии, оказываются резонансными
и приводят к расщеплению магнитных поверхностей с об-
образованием так называемых магнитных островов.
Наличие магнитных островов служит причиной уси-
усиления транспортных процессов: во-первых, внутри самого
острова перенос больше, а во-вторых, взаимодействуя
друг с другом, острова порождают множество островков
более высокого порядка. Все это приводит к тому, что и в
плазме токамака может развиваться процесс релаксации
к состоянию с более низкой энергией.
В токамаке продольное магнитное поле значительно
больше полоидального поля, поэтому энергию продоль-
продольного магнитного поля можно считать фиксированной.
Следовательно, достаточно учесть лишь энергию поло-
полоидального магнитного поля и энергию плазмы:
Здесь р — давление плазмы, у — показатель адиабаты.
Что касается связей, то их можно построить на основе
приведенных выше рассуждений о возможности развития
мелкоостровной структуры магнитных поверхностей1.
Вблизи каждого острова одновременно образуются
плоские участки на радиальных профилях р(г)9 /(г),
q(r)y где / — плотность продольного тока. Поэтому при
малых отклонениях от стационарного состояния эти ве-

§ 3. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ	29
личины можно считать функциями одна другой: напри-
например, р, ] можно считать функциями q. Другими словами,
в вариациях, которые минимизируют энергию, р и / можно
считать функциями q, что и играет роль наложенных свя-
связей.
Пренебрегая тороидальной кривизной, положим Be =
= di|)/dr, где я|э — полоидальный магнитный поток. При об-
образовании острова величина о|) варьируется только вбли-
вблизи острова, а вдалеке от него она остается той же самой в
силу вмороженности магнитного поля в плазму на боль-
больших масштабах. Аналогично ведет себя и плотность то-
тока /. Поэтому вариационная задача нахождения миниму-
минимума энергии при заданной связи может быть сформулиро-
сформулирована следующим образом:
Д(? + Я/Р) = О,	A.33)
где & — энергия, задаваемая выражением A,32), X —
множитель Лагранжа, fp — 2п § j rdr— полный1 ток
плазмы. При вариации A.33) можно принять простейшие
функциональные зависимости давления и плотности то-
тока от величины q: P~q~2\ j~q~2. Оказывается, что с
учетом соотношения
. 4я/?0?0 dg
1 ~* crq2 dr
эти простейшие зависимости являются и однозначными.
В токамаках, как правило, величина q на магнитной оси
близка к единице. С учетом этого обстоятельства вариа-
вариационный принцип A.33) приводит к однозначным про-
профилям:
/ = /о at (г* + а?)-2, р = роа1 (г2 + а\)- ,
1Де a*=2IpR0/cBT.
Эти профили соответствуют релаксированному состоя-
состоянию Я-режима. Строго говоря, профили /, р нигде не об-
обращаются в нуль. Это означает, что на периферии плаз-
плазмы нужно обеспечить скачки температуры и давления,
которые были бы достаточно устойчивы и не влияли бы
на релаксацию энергии. Такие скачки могут, например,
образовываться на сепаратрисной поверхности в тока-
маке с полоидальным дивертором. Если условия для та-
такого скачка отсутствуют и периферийная плазменная

30	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
шуба оказывается достаточно холодной, то Я-режим не
осуществляется, т. е. полной релаксации плазмы не про-
происходит. Однако и в этом случае более «шумной» плаз-
плазмы условный минимум энергии & опять может достигаться,
но на более узком классе вариаций. Сузить класс вариа-
вариаций можно, например, с помощью еще одной связи. Если
считать, что этот более интенсивный процесс перезамы-
перезамыкания силовых линий более сходен с релаксацией диф-
диффузного пинча, то в качестве дополнительной связи мож-
можно выбрать условие сохранения спиральности Ко—const.
Соответствующая вариационная задача позволяет най-
найти профили давления и плотности тока, плавно убываю-
убывающие до нуля на границе плазмы г=а. Эти профили сход-
сходны с экспериментальными профилями L-режима. Тем
самым как бы прослеживается непрерывный переход от
диффузного пинча к Я-режиму хорошего удержания
плазмы в токамаке.
§ 4. Двухжидкостная магнитная гидродинамика
1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики. Всюду
выше мы считали, что плазма покоится, т. е. ее скорость
v = 0. Но при этом неявно допускалось, что макроскопи-
макроскопическая скорость v — это скорость ионов. Если по плазме
протекает электрический ток плотностью /, то обе ско-
скорости — ионов Vi и электронов ve — одновременно в нуль
обратиться не могут просто потому, что } = en(Vi—ve).
Оценим скорость электронов ve. Допустим, что про-
продольный ток отсутствует. Тогда, как следует из уравне-
уравнения равновесия A.9), при наличии градиента давления по
плазме должен протекать ток плотностью
A-34)
где h=B/5. Если скорость ионов равна нулю, то отсюда
получаем для скорости электронов
]	A.35)
епВ
По порядку величины эта скорость (которую мы усло-
условимся называть дрейфовой) равна v±~cT/eBa~vTipi/a9
Где vn = VTlrrn — средняя тепловая скорость ионов,
/B их средний ларморовский ра-

§ 4. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	31
диус, Qi = eB/\triiC — ионная циклотронная частота, а —
характерный размер плазмы. В сильном магнитном поле
ларморовский радиус рг- очень мал и скорость v± мала.
Но дело даже не в числовом значении скорости, а
в том, что в рассмотренном выше приближении скорость
электронов нигде не выступала в явном виде, и поэтому
совершенно неясно, что за приближение мы сделали и
какие эффекты при этом потеряли. Чтобы выяснить эти
вопросы, приходится отказаться от взгляда на стацио-
стационарное состояние как на равновесие и рассматривать его
как некоторое стационарное течение и соответственно
ввести в рассмотрение макроскопические (гидродинами-
(гидродинамические) скорости для электронов и ионов. Если при этом
по-прежнему считать, что электроны и ионы представляют
собой отдельные взаимно проникающие жидкости, то мы
придем к так называемому приближению двухжидкост-
ной гидродинамики. Микроскопической основой для та-
такого приближения служит уже давно отмеченное Ландау
[28] обстоятельство, что равновесное максвелловское
распределение в каждой из компонент (электронной и
ионной) устанавливается гораздо быстрее, чем происхо-
происходит теплообмен между ними. С учетом небольшой силы
трения между электронами и ионами уравнения двухжид-
костной гидродинамики имеют вид
m' n djT7 + VPt = епЕ + — [у' В1 + — (у« - v')> О-36)
at	с	те
men^+VPe = -enE-e-^[veB)-t^(v,-v,). A.37)
at	с	хе
Здесь пц, тпе — массы соответственно ионов и электронов,
у», \е — их скорости, р{ = пТ{, ре=пТ^ — их давления, а
Гг-, Те — температуры, Е — электрическое поле, В — маг-
магнитное поле, %е — среднее время между электрон-ионными
столкновениями. Как обычно, мы считаем, что плотности
электронов и ионов равны (условие квазинейтральности).
В уравнениях A.36), A.37) под субстанциальными
производными dv/dt следовало бы понимать в одном слу-
случае dVi/cM+v/yVi, а в другом dve/dt+veyve- Но посколь-
поскольку масса электронов очень мала и в большинстве случаев
ее можно считать нулевой, то во втором уравнении мы
будем опускать инерционный член, так что d/dt всегда
будет субстанциальной производной для ионов.

32	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Складывая уравнения A.36), A.37) и пренебрегая
инерцией электронов, получим уравнение движения од-
ножидкостной гидродинамики
dv	1
w"*4f+VP = —U В],	A.38)
at	с
где р = ре+Ри j = еп (v* — ve), a v — скорость ионов.
В том же приближении уравнение A.37) можно за-
записать в виде
Vfh =-enE-— [vB] + — [jB]--^l, A.39)
С	С	G
где a=e2nre/tne — удельная проводимость. Это уравнение,
устанавливающее связь между током и электрическим
полем, можно рассматривать как обобщенный закон Ома.
Можно сказать, что двухжидкостная природа плазмы
учитывается дополнительными слагаемыми в законе
Ома A.39).
Уравнения движения A.38), A.39) должны быть до-
дополнены уравнением непрерывности
— +divnv = 0	A.40)
и уравнениями Максвелла (в которых мы опять пре-
пренебрежем малым током смещения)
rotB = —j,	A.41)
с
rotE = --!-47'	A-42)
С 01
divB = 0.	A.43)
Кроме того, к ним следовало бы добавить уравнения теп-
теплового баланса для электронов и ионов, которые описы-
описывали бы изменение Т% и Те со временем. Однако для ма-
малых промежутков времени, когда еще несущественны эф-
эффекты теплопроводности и тепловыделения, можно счи-
считать, что Ti, Te изменяются по адиабатическому закону.
Допустим, что плазма перемещается со скоростью,
значительно большей дрейфовой, ю±~сТ/еВа. Тогда в
обобщенном законе Ома A.39) второе слагаемое справа
будет значительно больше VРе и члена такого же поряд-
порядка величины (l/c)[jB]. Это значит, что в плазме должно
появляться довольно большое электрическое поле Е. Со-

§ 4. ДВ1УХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	33
ответственно для таких движений можно пренебречь ма-
малыми вторым и третьим слагаемыми в правой части
A.39), и мы приходим к обычному закону Ома в одно-
жидкостной магнитной гидродинамике. Таким образом,
для быстрых движений справедлива одножидкостная
гидродинамика. А как же быть с равновесием? Ведь в
этом случае согласно одножидкостной модели ионы по-
покоятся.
Чтобы разобраться в этом вопросе, постараемся сна-
сначала до некоторой степени устранить неравноправие
электронов и ионов в рамках одножидкостной магнитной
гидродинамики. Из уравнения движения A.38) видно,
что инерционный член mindw/dt становится существен-
существенным по сравнению с другими только в том случае, если
скорость ионов становится порядка звуковой. При малых
у, например порядка дрейфовой скорости, этим членом
можно пренебречь, и мы снова приходим к задаче о маг-
нитогидродинамическом равновесии. Далее, даже с уче-
учетом вморожеыности магнитного поля можно представить
себе такие течения плазмы, при которых она скользит
вдоль магнитных поверхностей, и магнитное поле при
этом не меняется. Подбирая продольную компоненту
скорости (вдоль магнитного поля), можно добиться,что-
добиться,чтобы это течение было несжимаемым. В частности, скорость
v можно выбрать равной \=]/еп — этот вектор действи-
действительно лежит на магнитной поверхности и div nv = 0. Но
в этом последнем случае весь ток будет переноситься
ионами, а электроны будут покоиться.
В более общем случае существует довольно большой
произвол для перераспределения электрического тока
между ионами и электронами, так что на самом деле од-
одножидкостная равновесная магнитогидродинамическая
конфигурация соответствует целому классу стационар-
стационарных состояний с медленным скольжением плазмы по
магнитным поверхностям.
2. Эффект Холла. Последние рассуждения кажутся
достаточно убедительными, однако у читателя может
возникнуть вполне законный вопрос. Выше мы установи-
установили, что одножидкостная магнитная гидродинамика и
следующее из нее условие вмороженности магнитного
поля справедливы только для скоростей значительно
больше дрейфовой. Почему же мы переносим их на тече-
течения с дрейфовыми скоростями и когда это можно делать?
2 Б. Б. Кадомцев

34	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вернуться к обоб-
обобщенному закону Ома, в котором явно учтена двухжид-
костная природа плазмы. Предполагая, что проводимость
очень велика, мы запишем его в виде
VPe ^—enE — ^- [vB] + -p [jB]. A.44)
Последнее слагаемое в этом уравнении можно назвать
холловским — именно оно приводит к известному эффек-
эффекту Холла в металлах и полупроводниках. Таким образом,
обобщенный закон Ома по сравнению с обычным учиты-
учитывает эффект Холла и градиент давления электронов.
Рассмотрим частный случай, когда температура
электронов постоянна в пространстве, Те = const. Тогда,
вводя снова скорость электронов ve, уравнение A.44)
можно записать в виде
с
Е =	L[Vj]_vp. \пп).	A.45)
Если это выражение для электрического поля под-
подставить в уравнение Максвелла A.42) и учесть, что вихрь
потенциального векторного поля равен нулю, то получим
If = rot [v. В].	A.46)
a t
Это уравнение остается верным и в том случае, когда Те
является функцией плотности, например когда Те и п по-
постоянны на магнитных поверхностях.
Уравнение A.46), как мы установили выше, означает,
что силовые линии магнитного поля вморожены в среду,
движущуюся со скоростью ve, т. е. в данном случае — в
электроны. Отсюда видно, что заметного расхождения
между одножидкостной и двухжидкостной гидродинами-
гидродинамикой можно ожидать в тех случаях, когда становится ощу-
ощутимым различие между \е и v*.
Это утверждение можно сделать несколько более кон-
конкретным. Допустим, что мы имеем дело с типичным рав-
равновесием в приближении магнитной гидродинамики, ког-
когда давление р, а также температуры 7\, Te (в силу боль-
большой теплопроводности вдоль магнитного поля) постоян-
постоянны на магнитных поверхностях. При этом электрический
ток j течет по магнитным поверхностям, и совершенно
несущественно, в какую из компонент вморожено поле —
в электронную или в ионную: магнитные поверхности все

§ 4. ДВУХЖИД1К0СТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	35
равно останутся на месте. Значит, вполне справедливы
рассуждения § 3.
Совсем другая ситуация возникает, когда точного
равновесия нет. Даже если опять имеются магнитные по-
поверхности и электроны не могут с них сдвинуться (в силу
вмороженности потоков в электроны), отсутствие полно-
полного равновесия (т. е. /? = /г7^const на магнитной поверх-
поверхности) должно привести к движению ионов с поперечны-
поперечными скоростями порядка дрейфовых. Ниже мы рассмот-
рассмотрим простейшие примеры такого движения.
3. Стационарный ток при эффекте Холла. Прежде чем
перейти к рассмотрению стационарных состояний вдвух-
жидкостной гидродинамике, постараемся сначала выяс-
выяснить, как выглядит течение электронов при вмороженном
в них магнитном поле, если ионы неподвижны. В качест-
качестве простейшего примера такой ситуации рассмотрим за-
задачу о протекании тока с учетом эффекта Холла по же-
жесткому гофрированному проводнику [29]. Впрочем, эта
задача может быть сформулирована и в плазменном ва-
варианте как задача о неоднородном по длине пинче в
очень разреженной плазме. Дело в том, что при доста-
достаточно малой плотности токовая скорость электронов v =
= —j/en может быть значительно больше скорости звука
cs = Y~T/m; . В самом деле, из условия Беннета A.20)
следует, что v/cs~H7xt\ где Ui = NmiC2/e2—ионное погон-
погонное число. Если П*<С1, то v^>cSy и тогда в течение неко-
некоторого времени, пока шнур еще не успевает заметно из-
изменить свою форму вследствие движения ионов со ско-
скоростями порядка cs, движение электронной жидкости
можно рассматривать при фиксированном распределении
плотности ионов (а следовательно, и электронов). Заме-
Заметим еще, что поскольку v имеет порядок величины дрей-
дрейфовой скорости cspi/a, то из условия v^$>cs следует р^ а,
т. е. действием магнитного поля на ионы можно прене-
пренебречь (оно слишком слабо и не искривляет траектории
ионов).
Итак, представим себе, что мы имеем неподвижный
гофрированный шнур с током, в котором плотность п(г, г)
является периодической функцией z, и рассмотрим воп-
вопрос о том, какие возможны стационарные течения элек-
электронов при заданной плотности n(r, z).
Проводимость мы будем считать бесконечной и Т =
=const, так что, по существу, нужно рассмотреть, как
2*

36	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
влияет эффект Холла, т. е. вмороженность магнитного
поля в электроны, на их скорость.
Предположим, что задача обладает осевой симмет-
симметрией, т. е. все величины зависят только от двух перемен-
переменных г и z в цилиндрической системе координат. Тогда из
уравнения сохранения заряда
divj==_L_i_r/r + JL^ = 0	A.47)
г дг	дг
следует, что компоненты плотности тока /г и \г могут быть
выражены через произвольную скалярную функцию
/(г, z):
2л г дг	2л г дг
Из выражения для jz вытекает, что
г
l=[2nrjzdr,	A.49)
J
О
т. е. / представляет собой функцию тока: она равна пол-
полному току, протекающему через круг радиуса г.
Учтем теперь условие вмороженности поля в электрон-
электронную компоненту. В рассматриваемом нами случае Bz=
=Вг = 0, так что достаточно учесть только 0-компоненту
уравнения A.46), которое в стационарном случае имеет
вид
JLVrBQ + J-vzBQ = 0.	A.50)
дг	дг
Если подставить сюда v = —j/en и выразить / через /
согласно A.48), а также учесть, что при осевой симмет-
симметрии Бе = 2/'/сг, то получим
L(Li!)o. A.51)
дг [ пг* дг) дг { пг* дг
Если наружные производные применять к / или к вну-
внутренним производным от /, то соответствующие члены
сократятся, так что достаточно дифференцировать лишь
величину пг2. Таким образом, находим
AL J_ ПГ2_ IL J_ nr2 = 0.	A.52)
дг дг	дг дг	v '

§ 4. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	37
Отсюда следует, что величина / должна быть функ-
функцией только пг2. Другими словами, эффект вморожен-
ности магнитного поля в электронную компоненту накла-
накладывает существенное ограничение на электронный поток.
Например, в случае однородного проводника с п = const
линии тока являются прямыми. Поэтому, в частности, ток
не может затекать в выпуклости гофрированного провод-
проводника — в область «тени», — он может течь только в цен-
центральной части, которую электроны «видят на просвет»
[30].
4. Равновесие плазмы в перекошенном магнитном по-
поле. Рассмотрим теперь более важный случай, когда маг-
магнитное поле велико и средний ларморовский радиус мал
по сравнению с характерным размером плазменного шну-
шнура. При этом дрейфовая скорость также мала, однако
могут существовать условия, когда ее следует учитывать.
В самом деле, допустим, что некоторая магнитогидроди-
намическая система очень близка к равновесию, так что
сила Ампера и градиент давления почти сбалансированы.
При этом разлет плазмы за счет неполного баланса сил
должен быть очень медленным, и если поперечная компо-
компонента скорости разлета становится сравнимой с дрейфо-
дрейфовой, то одножидкостной магнитной гидродинамикой с
упрощенным законом Ома пользоваться нельзя, обяза-
обязательно следует учитывать эффект Холла.
В качестве первого примера такой ситуации рассмот-
рассмотрим плазменный шнур очень низкого давления с |3 =
=8пр/В2<^1 в перекошенном однородном магнитном по-
поле (рис. 7,а). Предположим, что шнур является беско-
бесконечно протяженным, а магнитное поле равно В = В0+В/,
где Во направлено вдоль оси шнура, а В' — малая по-
поперечная компонента поля. При В'<^В® плазма почти
равновесна, но все же полного равновесия вдоль сило-
силовых линий нет. Поэтому в одножидкостном прибли-
приближении плазма должна была бы разлетаться вдоль сило-
силовых линий со скоростью порядка скорости звука cs. Внеш-
Внешне такой разлет выглядел бы как расширение шнура
в направлении вдоль Вг со скоростью v ± ~ (B'IBq)cs.
Если эта скорость становится порядка или меньше дрей-
дрейфовой, т. е. если
— <-^,	A.53)

оо	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
то^следует пользоваться двухжидкостной гидродинами-
гидродинамикой. Пусть В' не слишком мало, так что
В'
1L
а
^ - У _^—ш	A.54)
Тогда эффективная скорость разлета электронов
57#о) У~Те/те гораздо больше дрейфовой скорости. В
этом случае можно считать, что у электронов успевает
установиться равновесное распределение вдоль силовых
I
Рис. 7. Вращение плазмы в перекошенном однородном магнитном
поле
линии. Соответственно в электронном уравнении движе-
движения можно пренебречь инерционным членом, и уравне-
уравнение можно записать в виде A.45). Умножая A.45) на В
получим	*
Но в стационарном состоянии электрическое поле являет-
является безвихревым: Е = — уФ. Следовательно, уравнение
A.55) можно проинтегрировать вдоль каждой силовой
линии, и тогда получим
Ф = ~^~ 1пп + ф0,	A.56)
где фо — некоторая константа интегрирования, зависящая
от силовой линии. В рассматриваемом нами случае од-
однородного по оси z шнура щ может зависеть лишь от
координаты у (см. рис. 7,6, где изображен вид шнура с
торца; ось z направлена вдоль шнура, ось х — вдоль по-
поперечной компоненты поля В', а ось у — поперек магнит-
магнитных поверхностей # = const, на которых лежат силовые

§ 4. ДВУХЖИДКОСТНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА	39
линии). В стационарном состоянии с цилиндрической
симметрией фо следует положить равной нулю.
Таким образом, электрическое поле Е равно
Е = —уф = —-^-V/2.	A.57)
е п
Подставим это выражение в уравнение движения для
ионов
т,п— + упТ?=епЕ+ — [v В] A.58)
dt	с
и пренебрежем малым инерционным членом. Тогда, ум-
умножая A.58) векторно слева на h = B/5, найдем
()
Таким образом, в стационарном состоянии шнур
должен вращаться со скоростью, даваемой выражением
A.59), а азимутальная скорость электронов при этом рав-
равна нулю, поскольку они «приклеены» к силовым линиям
магнитного поля.
Вращение плазмы прекращает ее разлет вдоль сило-
силовых линий. В самом деле, под действием продольной ком-
компоненты градиента давления ионы в верхнем положении
(см. рис. 7,6) должны были бы ускоряться вправо, но,
не успев заметно сдвинуться, они за счет вращения попа-
попадают на нижнюю сторону шнура, где они ускоряются вле-
влево. Если скорость вращения достаточно велика,т.е.
CsPi/a^CsB /Во, то смещение ионов на верхней и нижней
сторонах компенсируются и разлета не происходит. Можно
сказать, что благодаря эффекту Холла вместо равновесия
устанавливается стационарное течение. Однако это те-
течение оказывается неустойчивым.
5. Вращение плазмы в Q-пинче. Описанная выше кар-
картина имеет место только в том случае, если давление
плазмы очень мало, т. е. |3<С1; точнее, плотность кинети-
кинетической энергии вращения плазмы т^2/г/2 много мень-
меньше плотности энергии поперечного поля В/2/8я, т. е.
8яр/В'2<Са2/р^ . В обратном предельном случае В/2<€.
<С8ярр f/a2 энергии поперечного поля не хватит для уско-
ускорения плазмы до скорости порядка дрейфовой, так что в
первом приближении ионы можно считать неподвижны-

40
Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
ми. Поскольку магнитное поле вморожено в электронную
компоненту, силовые линии вместе с электронами начнут
вращаться в сторону дрейфа электронов. Если для про-
простоты пренебречь зависимостью угловой скорости враще-
вращения электронов от радиуса, то силовые линии начнут по-
поворачиваться, как показано на рис. 8, а, б. После полу-
полуоборота плазмы ее внутреннее поперечное магнитное по-
поле полностью отрывается от внешнего, так что попереч-
поперечное поле снаружи от плазмы можно считать состоящим
Рис. 8. Вращение плазмы в 0-чшнче из-за эффекта Холла при нали-
наличии (Небольшого поперечного ,поля
из поля внешних обмоток, не проникающего внутрь плаз-
плазмы, и дипольного поля плазмы (рис. 8,в). Так как в пер-
первом полупериоде силовые линии были сцеплены с внеш-
внешней обмоткой, то плазме передается момент количества
движения и она приходит во вращение с некоторой ази-
азимутальной скоростью vq . Порядок величины ve можно
найти, приравнивая кинетическую энергию вращения
магнитной, т. е. vq ж В' (Ашщп) ~1/2.
Этот механизм вращения плазмы за счет внешних
рассеянных полей был рассмотрен Хайнсом [32, 33], а
затем Тонеманом и Колбом [34] в связи с эксперимента-
экспериментами на 6-пинчах, где иногда наблюдается центробежная
неустойчивость сжимаемого внешним магнитным полем
плазменного шнура, что явно указывает на его вращение.
§ 5. Диффузия плазмы
1. Плазма в однородном магнитном поле. Всюду вы-
выше мы предполагали, что проводимость а бесконечна, и
только в этом приближении были получены все равновес-
равновесные (или стационарные) состояния. Наличие конечной

§ 5 ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ	41
проводимости приводит к медленной диффузии плазмы
поперек магнитного поля. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим простой частный случай, когда плазма низкого
давления (р<С1) образует цилиндрически симметричный
шнур в однородном магнитном поле (мы пренебрежем
малым ослаблением поля за счет диамагнетизма плаз-
плазмы). Тогда из азимутальной компоненты обобщенного
закона Ома A.39) получим
с с	С .	С -	С2 dp	/1 пп\
vr — — ?е	/е = — Ее	—*- A.60)
В	Во J В	оВ* dr K }
Мы выразили здесь /е через dpidr с помощью уравнения
равновесия, Если магнитное поле не меняется со време-
временем, то Eq = 0, и согласно A.60) радиальная скорость
соответствует расширению плазмы. При r=const ско-
скорость vr пропорциональна градиенту плотности, так что
расширение плазмы носит характер диффузии с коэффи-
коэффициентом поперечной диффузии
о
D± =	 = р -^— = — ,	A.61)
те Q2e хе	8я; а	те
где $=8пр/В2, Qe = eB/mec — электронная циклотронная
частота, хе — среднее время между электрон-ионными
столкновениями, о=е2п%е/те — проводимость, р%=
= 2T/m^Q2e — квадрат среднего электронного лармо-
ровского радиуса. Выражение A.61) для коэффициента
диффузии имеет простой физический смысл: при каждом
столкновении электрон перемещается в среднем на рас-
расстояние порядка ларморовского радиуса.
Если р не мало, то в процессе диффузии плазмы маг-
магнитное поле само изменяется и Ее фО. При этом следует
скорее говорить о взаимной «диффузии» магнитного по-
поля и плазмы.
В другом предельном случае неподвижной плазмы
мы приходим к задаче о скин-слое, т. е. о про-
проникновении магнитного поля в проводящую среду с коэф-
коэффициентом диффузии Dm = c2/4no.
2. Диффузия плазмы в торе. При тороидальной гео-
геометрии процесс диффузии носит более сложный харак-
характер— он принимает форму своеобразной конвекции. Это
связано с тем, что даже в стационарном магнитном поле

42	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
компонента электрического поля Eq отлична от нуля из-
за перетекания тока вдоль винтовых силовых линий маг-
магнитного поля:
Ев = 4~ 1Г-	О'62)
Здесь /ц —переменная (зависящая от 9) часть продоль-
продольного тока, а а о —продольная проводимость плазмы, ко-
которая, вообще говоря, отличается от входящей в A.60)
поперечной проводимости (согласно кинетической теории
при кулоновских столкновениях в водородной и дейте-
риевой плазмах ац »2а±). Величину /ц можно найти из
уравнения div j = 0, выражая /± через градиент давления
с помощью уравнения равновесия:
—	L = — divj± = — div
гв ae	в2
BR0 dr	ч
Мы учли здесь, что ВжВт (считаем Be <С5т ); согласно
A.25) Вт хоть и слабо, но все же зависит от Э. Из A.62),
A.63) находим
EQ = -^*- ^- — cosB.	A.64)
B2Qa{l dr Ro
Введем в рассмотрение величину q = rBT/R0BQ, равную
отношению числа оборотов силовой линии вдоль тора к
числу оборотов по малому азимуту 0. Подставляя выра-
выражение A.64) для Eq в формулу A.60) для иг, мы видим, что
электрическое поле Eq приводит к течению со скоростью в
г>
— q2 раз больше, чем диффузионная скорость в пря-
г
мом цилиндре. Однако среднее значение этой скорости
по азимуту обращается в нуль, т. е. в первом приближе-
приближении поле A.64) не приводит к соответствующей диффузии
поперек магнитных поверхностей. Мы получаем как бы
стационарную ламинарную конвекцию: плазма вытекает
наружу от магнитной поверхности на внешнем обводе
(cos9<0) и втекает в эту поверхность на внутреннем об-
обводе.
В следующем приближении вследствие этой конвек-
конвекции все же возникает диффузионный поток. В самом де-

§ 5. ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ	43
ле, чтобы найти средний поток через магнитную поверх-
поверхность, нужно усреднить по 0 величину nvr с весом
1—(г/jRo) cos 0, поскольку элемент тороидальной по-
поверхности равен
dS = 2izRrdQ==27:R0(l	—cosв) rdd.
Производя усреднение с учетом малых членов поряд-
порядка r2/Ro, получим
Полагая сгц =2о± , находим для коэффициента диффу-
диффузии водородной или дейтериевой плазмы при тороидаль-
тороидальной геометрии:
+q%	A.66)
где Dj.o—коэффициент диффузии A.61) в прямом маг-
магнитном поле. Формула A.66) была впервые получена
Пфиршем и Шлютером.
Все приведенные выше соотношения справедливы
только в случае плотной плазмы, когда длина свободно-
свободного пробега электронов и ионов значительно меньше ха-
характерной длины силовой линии qR0 и гидродинами-
гидродинамическое приближение достаточно полно описывает пове-
поведение плазмы.
3. Неоклассическая теория переносов. Для целей уп-
управляемого термоядерного синтеза требуется высоко-
высокотемпературная плазма с не очень высокой плотностью.
В такой плазме длина свободного пробега частиц очень
велика, так что можно говорить о сильно разреженной
плазме. Если опять рассмотреть простой тор, т. е. гео-
геометрию токамака, то можно сказать, что практически
интересен случай, когда длина свободного пробега элек-
электронов и ионов больше характерной длины силовой
линии qRo. Ясно, что при этом гидродинамическое, приб-
приближение неприменимо. Теория переносов в разреженной
тороидальной плазме при наличии сильного продоль-
продольного магнитного поля была развита Галеевым и Саг-
деевым [41],. В упрощенном изложении она выглядит
следующим образом.
Рассмотрим прежде всего движение отдельной заря-
заряженной частицы в магнитном поле токамака. Как из-

44
Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
вестно, заряженная частица в сильном однородном
магнитном поле движется по траектории типа спирали:
вдоль поля — со скоростью v и, а поперек поля — по
окружности радиуса p = ux/Q, где Q = eB/mc — цикло-
циклотронная частота для частицы с зарядом е, массой т.
Если учесть неоднородность поля, то возникают два
дополнительных эффекта: величины v ц, v± могут из-
изменяться вдоль силовой линии и появляется возмож-
возможность дрейфа поперек поля. В токамаке тороидальное
поле значительно больше полоидального, поэтому имен-
именно неоднородность тороидального поля и является ос-
основной.
Рассмотрим поперечное сечение тороидальной маг-
магнитной поверхности с большим радиусом Ro и малым г
(рис. 9,а). Будем опять считать, что величина г = /Я
Рис. 9. а —Траектории запертой A) и (Пролетной B) частиц; б —
зависимость коэффициентов 'переноса от безразмерной частоты
столкновений v*=vqR!vr
мала. Тогда на магнитной поверхности приближенно
имеем В = ВоA—rcos8'/i?o), т. е. магнитное поле нес-
несколько слабее на наружном обводе и сильнее на внут-
внутреннем обводе по сравнению с полем в точке Rq.
При движении заряженной частицы в магнитном
поле ее полная энергия
в =mi; 2 /2+mv2± /2
сохраняется. Кроме того, сохраняется поперечный адиа-
адиабатический инвариант, имеющий смысл магнитного мо-
момента:
jxjl =mv I/2В = const.
Отсюда видно, что поперечная кинетическая энергия

§ 5 ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ	45
возрастает, а продольная энергия убывает при дви-
движении частицы в сторону более сильного магнитного
поля. Если продольная энергия достаточно мала по
сравнению с поперечной, то может возникнуть
зеркальный эффект: частица отражается от сильного
магнитного поля. Определим точнее, когда он возникает.
Пусть в точке 9 = 0, т. е. на наружном обводе тора,
скорости равны соответственно v0^ и v°±. При движе-
движении в сторону более сильного поля поперечная энер-
энергия будет возрастать пропорционально полю. Посколь-
Поскольку полная энергия сохраняется, то продольная энергия
будет изменяться пропорционально величине а2 =
= tPj* —еA—CO'SG)^°±2. Отсюда видно, что при условии
У],2 <.2ev°l частицы отражаются от сильного магнит-
магнитного поля и не достигают внутреннего обвода тора. Такие
частицы назыдают запертыми. Частицы с v°? >2ev02
называют пролетными: они совершают инфинитное
движение вдоль силовых линий.
Учтем теперь дрейф частиц в неоднородном магнит-
магнитном поле. Если рассматривать частицу как ларморов-
ский кружок, движущийся со скоростью v\\ вдоль си-
силовой линии, то можно сказать, что на такую частицу
действуют две силы вдоль большого радиуса: центро-
центробежная ma2 /R и сила диамагнитного выталкивания
ларморовского кружка
—ii±yB=--mv2± /2R.
Сила F ± , действующая на частицу в сильном маг-
магнитном поле В, приводит к дрейфу частицы поперек маг-
магнитного поля со скоростью ид такой величины, чтобы
F ± была уравновешена силой Лоренца:
F± =е
Другими словами,
Скорость дрейфа направлена вдоль вертикальной оси
симметрии тора. Это означает, что в верхней половине
тора частица выдрейфовывает наружу по отношению
к магнитным поверхностям, а в нижней половине —

46 Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
внутрь. Нетрудно видеть, что запертая частица опи-
описывает в проекции на поперечное сечение тора траек-
траекторию типа «банана» (см. рис. 9,а). Ширина «банана»
A = vnrt, где удг— проекция дрейфовой скорости на
малый радиус, a t — время пролета одной половинки
«банана». Для типичной запертной частицы со средней
тепловой энергией и продольной скоростью ?>ц~ г'Ох.
ширина «банана» оказывается порядка Д^#р/'г, где
р — средний ларморовский радиус, q — коэффициент
запаса устойчивости (напомним, что характерная дли-
длина участка силовой линии на внешнем обводе пропор-
пропорциональна qRo).
Траектории пролетных частиц также отклоняются
от магнитных поверхностей. У частиц, только-только
ставших пролетными (см. рис. 9,а), отклонения дос-
достигают того же масштаба, что и у запертых. Однако
для типичной пролетной частицы с продольной скоро-
скоростью порядка поперечной это отклонение составляет
величину всего лишь порядка qp.
Зная траектории частиц, можно оценить коэффи-
коэффициенты переноса. Удобно начать с предельного случая
сильно разреженной плазмы, когда длина свободного
пробега очень велика по сравнению с qRo. Оказывает-
Оказывается, что при этом главный вклад в переносы дают за-
запертые частицы, так что условно можно говорить о
теплопроводности и диффузии на «бананах». Область
очень редких столкновений выделена на рис. 9,6 циф-
цифрой /. Цифрой 3 отмечена гидродинамическая область
достаточно плотной плазмы, когда длина свободного
пробега меньше qR0, а область 2 относится к промежу-
промежуточным частотам столкновений. По оси ординат рис. 9,6
отложен соответствующий коэффициент, а по оси абс-
абсцисс — частота столкновений v, отнесенная к средней
пролетной частоте VT = vT/qR0) где vT — средняя теп-
тепловая скорость. Таким образом, условие v/vT=l озна-
означает равенство средней длины пробега и величины qRo.
Соответственно эта точка разграничивает области ред-
редких и частых столкновений.
Чтобы оценить коэффициенты переноса в области
очень редких столкновений, нужно учесть, что столк-
столкновения могут перевести запертую частицу в свобод-
свободную (и наоборот) и при этом характерное смещение
частицы составляет величину порядка А. Кроме того,

§ 5 ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ	47
очевидно, что для такого перехода достаточно изменить
продольную скорость запертой частицы на величину
порядка г ц ~Уе0х,	т. е. малую по сравнению
с v±. Для типичной частицы это означает измене-
изменение продольной скорости порядка У г от тепловой.
Напомним, что кулоновские столкновения в силу свое-
своего дальнодействующего характера приводят к процес-
процессу диффузии в пространстве скоростей. Поэтому можно
ввести эффективную частоту столкновений veff~v/s,
которая определяет темп переброса частиц из запертых
в пролетные путем диффузии по продольной скорости
на интервале порядка vjY~e . Учитывая, что доля
запертых частиц составляет величину порядка	У г ,
можно оценить температуропроводность % как \ е A2veff =
= 8~3/2 v q2 p2.
Это выражение относится как к ионной, так и к
электронной температуропроводностям, достаточно лишь
подставить соответствующие значения для v и р. Коэф-
Коэффициент диффузии имеет величину того же поряд-
порядка, что и электронная температуропроводность,
т. е. существенно меньше полной температуропровод-
температуропроводности.
Выражением для коэффициентов переносов в облас-
области очень редких столкновений, т. е. диффузии на «ба-
«бананах», можно пользоваться только до значений veff,
сравнимых с частотой колебаний запертых частиц меж-
между пробками по порядку величины, равной У г vT/q RQ.
Таким образом, граница между областями 1 и 2 лежит
при v/vT~e3/2 , а соответствующее значение % в этой
точке приближенно равно vT?2p2'. Очевидно, что пример-
примерно такое же значение х достигается в точке v = yT, т. е.
на границе между областями 2 и 3. Следовательно, в
области 2 промежуточных столкновений величина %
практически не зависит от частоты столкновений. Поэ-
Поэтому эту область частот иногда называют областью
плато. Область частых столкновений 3 называют также
областью Пфирша — Шлютера, имея в виду соотноше-
соотношение A.66) для коэффициента диффузии. Полный гра-
график зависимости коэффициентов переноса от частоты
столкновений представлен на рис. 9,6.
Неоклассическая теория не только показала нали-
наличие сложной зависимости коэффициентов переноса от

48	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
частоты столкновений, но и указала на существование
некоторых новых эффектов. Один из них, пожалуй наи-
наиболее интересный, получил название бутстреп-тока.
Речь идет о возможности поддержания тока в токама-
ке за счет диффузионного расширения плазмы i[25a,
256]. Нетрудно показать, что при достаточно большом
давлении плазмы по сравнению с давлением полоидаль-
ного магнитного поля неоклассический коэффициент
диффузии превышает коэффициент диффузии магнит-
магнитного поля сЩпа. Плазма при этом расширяется быст-
быстрее, чем магнитное поле проникает в плазму. Соответ-
Соответственно диффузионный поток может поддерживать ток.
Можно рассуждать и по-другому: запертые «бананы»
из-за тороидального выталкивания создают дрейфовый
тороидальный ток
о/о с dp
/д~е3/2
dr
Из-за столкновений с эффективной частотой veff~v/e за-
запертые частицы передают момент пролетным частицам,
которые теряют его на ионах с частотой порядка v.
Соответственно ток пролетных частиц составляет ве-
величину /~—?1/2-б	—, растущую с давлением р. Если
обеспечить непрерывный диффузионный поток плазмы
к периферии с помощью, например, инжекции крупи-
крупинок холодного вещества в центр плазменного шнура,
то можно воспрепятствовать затуханию тока из-за ко-
конечного сопротивления плазмы. Плазма как бы сама
поддерживает ток, магнитное поле которого ее удержи-
удерживает. Вспомнив эпизод из книги Л. Кэролла об Алисе,
которая смогла удержать себя в воздухе за тесемки
ботинок, английские физики и назвали этот эффект
бутстреп-током.
4. Амбиполярная диффузия слабоионизованной плаз-
плазмы. Если в полностью ионизованной плазме вопрос о
равновесии сводится к анализу возможности удержания
одной лишь плазмы магнитным полем, то при наличии
третьей компоненты — нейтрального газа — он усложня-
усложняется необходимостью рассмотрения поведения также и
нейтрального газа. Однако существует интересный пре-
предельный случай слабоионизованной плазмы, когда сте-
степень ионизации настолько мала, что давление плазмы

§ 5 ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ	49
много меньше (давления нейтрального газа и электрон-
ионные столкновения не играют никакой роли по срав-
сравнению со столкновениями заряженных частиц с молеку-
молекулами нейтрального газа. В этом случае газ представляет
собой неподвижную однородную среду, в которой диф-
диффундируют электроны и ионы. Соответственно задача о
стационарном или медленно изменяющемся состоянии
плазмы сводится тогда к исследованию ее диффузии.
Рассмотрим сначала случай без магнитного поля.
Будем считать, что электроны и ионы имеют максвеллов-
ское распределение с температурами Те и Г* соответст-
соответственно. Для каждой из этих компонент уравнения дви-
движения имеют вид
A.67)
где pj = nTj — давление, е$ — заряд, гп} — масса, %j —
среднее время между столкновениями с молекулами ней-
нейтрального газа, Vj — средняя скорость частиц сорта /.
Из этого уравнения при Tj=cdnst находим
O^=n\j = — Dj уя + — п\>>1 Е,	A.68)
где qj —поток частиц, Dj = TjXj/mj — коэффициент диф-
диффузии, \ij = exj/mj — подвижность частиц сорта / (мы бу-
будем считать fXj положительной как для электронов, так
и для ионов, при этом знак е$ учитывается в A.68) мно-
множителем ej/e). После подстановки выражения A.68) в
уравнение ' непрерывности получаем уравнение диф-
диффузионного типа
1± = Dj An — div ±L П\Х} Е.	A.69)
Рассмотрим, например, цилиндрически симметричный
столб плазмы. Тогда Е имеет только радиальную ком-
компоненту, которую можно исключить, если умножить
уравнение A.69) для электронов на \л%, а для ионов — на
\ie и затем сложить их. В результате получим
j^=DaAn,	A.70)
где величина
Da= DeH
И/ + Це

50	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
называется коэффициентом амбиполярной диффузии.
Обычно м,е>Ма\ так что DattDi+dii/^De. Физически
коэффициент Da выступает как результат возникновения
в плазме радиального электрического поля Ег, которое
удерживает электроны и не дает им «убегать» от ионов,
но при этом «подталкивает» ионы.
Если плазма заключена в цилиндр радиуса а, в пре-
пределах которого она рекомбинирует, то все решения
уравнения A.70) будут затухающими. Решение с мак-
максимальным временем затухания т при граничном усло-
условии п(а) = 0 (условие Шоттки) имеет вид n=noJo(aor/a)y
где по — плотность на оси, /0 — функция Бесселя нуле-
нулевого индекса, cto~2,4— первый корень Jo(x), причем
VD2\
Соотношение A.71) легко обобщается на случай
присутствия продольного магнитного поля; для этого
вместо Dj, \ij достаточно подставить их «замагниченные»
значения D±I =Dj/(l+Q2f *}), |г±/ = |х,-/A + 2/ т/)- Так>
^	1
например, при йете^> 1,йгТг<1 получаем
D± =	^	.	A.72)
В сильных полях Dj. убывает с полем как 1/В2.
5. Диффузия тороидальной слабоионизованной плаз-
плазмы. Рассмотрим теперь слабоионизованную плазму в то-
тороидальном б'аллоне радиуса а и радиуса .кривизны R и
предположим, что магнитное поле направлено вдоль бал-
баллона. Полностью ионизованная плазма в таком поле не
удерживается — она выбрасывается в сторону убывания
магнитного поля. Но для слабоионизованной плазмы
полного равновесия не требуется: все равно она диф-
диффундирует поперек поля за счет столкновений. Наша
задача состоит лишь в том, чтобы учесть влияние торо-
идальности на диффузию.
Направим ось х в сторону убывания магнитного поля
и рассмотрим некоторую плазменную трубку объема V,
образующие которой совпадают с силовыми линиями
магнитного поля. Такая трубка выталкивается вдоль х
с некоторой силой F. Чтобы найти F, учтем, что в отсут-
отсутствие трения о нейтральный газ плазменная трубка мо-
может перемещаться только таким образом, что заключен-
заключенный в нее магнитный поток Ф = Б5 (S — площадь попе-

§ 5. ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ
51
речного сечения трубки) остается постоянным. Но при
смещении на dx
dB
= — JA_dx+BdS,
dx	'	R
где R— радиус кривизны силовой линии. Отсюда dS =
= (S/R)dx. А так как длина трубки 2nR увеличивается
при этом на 2ndx, то объем трубки изменяется на dV=
то/т
1,6
Зависимость
жизни рас-
расРис. 10.
времени	р
падающейся плазмы от
коэффициента диффу-
диффузии в тороидальной
трубке (газ — гелий,
/?=!28 ом, а = 0,3 см)
при давлениях р: 1 —
0,025, 2 — 0,040, 3 —
0,055, 4—0,120 ммрт.ст.
А
\
•
>
• -1
X-J
\
is
*<
/
/
/
0,Z 0,k 0,60,81
= BV/R)dx. Приравнивая работу расширения pdV вели-
величине Fdx, находим обобщенную силу F, соответствую-
соответствующую координате х: F=2pV/R.
Для смещения по х не требуется изменения потока
Ф через сечение трубки. Поэтому сила F приведет к дви-
движению плазмы такому же, как и в отсутствие магнитно-
магнитного поля, т. е. со скоростью vx = 2DJR1 где Da — амбипо-
лярный коэффициент диффузии. Это легко усмотреть,
если сравнить vx с амбиполярным потоком q = nu =
= —D^s/n, возникающим под действием градиента дав-
давления Туп. Учитывая, кроме того, диффузию поперек
магнитного поля с коэффициентом О±,мы получим урав-
уравнение диффузии в виде
д tx , 2 D* д и т-ч а	/1 7о\
	— 	 — D\ & П. U-/o)
dt	R дх
Здесь второе слагаемое слева описывает перенос плазмы
как целого к наружной стенке.
Если, например, исследуется распад плазмы, т. е.
убывание ее плотности со временем вследствие диффу-
диффузии к стенкам, то при /->оо достаточно учесть лишь од-

52	Гл. 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ
но экспоненциально убывающее как ехр(—i\x) решение
уравнения A.73) с максимальным временем жизни т.
Это решение имеет вид
ф)() <L74>
где /о — функция Бесселя нулевого индекса, а ао~2,4—
ее первый корень. Постоянная распада дается выраже-
выражением
Как видим, постоянная распада 1/т сначала убывает, а
затем начинает возрастать по мере увеличения магнит-
магнитного поля, т. е. с уменьшением D±. Формула A.75) хоро-
хорошо согласуется с результатами экспериментов по распа-
распаду плазмы в тороидальном магнитном поле [40] (рис. 10).

ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Альвеновские и магнитозвуковые волны
1. Уравнение малых колебаний. Дальнодействующие
силы между заряженными частицами приводят к воз-
возникновению своего рода упругости плазмы, благодаря
которой в ней могут распространяться различного рода
волны. Среди них выделяются прежде всего' линейные
волны. Амплитуда таких волн настолько мала, что они
распространяются независимо друг от друга. Другими
словами, произвольные колебания малой амплитуды
могут быть представлены в виде суперпозиции отдельных
волн — собственных колебаний данной среды.
Общий принцип теоретического рассмотрения линей-
линейных колебаний состоит в следующем. В рамках того или
иного приближения, которому соответствует определен-
определенная система уравнений, описывающих поведение рас-
рассматриваемого объекта, находится некоторое стационар-
стационарное состояние. Затем на это состояние накладывается
возмущение. В предположении малости возмущения
уравнения движения линеаризуются. Полученная таким
образом система линейных уравнений и описывает ма-
малые колебания.
Рассмотрение малых колебаний плазмы естественно
начать в одножидкостном магнитогидродинамическом
приближении. Выпишем здесь еще раз уравнения маг-
магнитной гидродинамики в предположении идеальной про-
проводимости:
dv . 1 r , n
rtii n	 + у P —	 [r°t B,
dt 4я
	\- dwnv = 0,
a/
-^-B = rot [v B].
dt
B),
B.1)
B.2)
B.3)

54	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
К этой системе уравнений следовало бы добавить
уравнение переноса тепла для определения температуры,
а следовательно, и давления плазмы р = п(Те+Т{). Но
мы для простоты допустим, что давление определяется
плотностью плазмы, а именно:
-^- = const.	B.4)
Например, при y=1 уравнение B.4) эквивалентно изо-
термичности плазмы, а при y = 5/3 оно отвечает адиаба-
адиабатическим колебаниям плазмы. В общем случае B.4)
можно рассматривать как некоторое уравнение состоя-
состояния типа политропы.
Рассмотрим теперь самое простое равновесное состо-
состояние, предйолагая, что плазма равномерно заполняет все
пространство с плотностью п0 и давлением /?0, а магнит-
магнитное поле Во однородно и направлено вдоль оси z декар-
декартовой системы координат (х, у, г). Скорость плазмы
считаем равной нулю, vo=0.
Наложим на это равновесное состояние малое воз-
возмущение v7, р', п\ W и линеаризуем уравнения B.1) —
B.4), т. е. оставим лишь те слагаемые, которые содер-
содержат малые величины в первой степени. Тогда вместо
B.1) —B.4) получим
тп* "И" + VP' = -Г" trot В > Во1>	B-5)
at	4 я
4^' = 0,	B.6)
дв' =rot[v', Bo],	B.7)
dt
p =	.	\*-°)
Щ
Эту систему уравнений можно существенно упрос-
упростить, если вместо скорости v' ввести в рассмотрение сме-
смещение плазмы из положения равновесия ?, связанное с
у' естественным соотношением
V = ^-.	B.9)
dt	к '
Если подставить это выражение для v7 в уравнения B.6),
B.7), то после интегрирования по времени, т. е. попро-

§ 1. АЛЬВЕНОВОКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
55
сту после отбрасывания производных по времени, полу-
получим
п' = — divftol, В/ = rot \\ Во].	B.10)
Смысл первого из этих соотношений совершенно оче-
очевиден. Оно означает просто, что плотность в данной точ-
точке уменьшается пропорционально вытекшему из объема
количеству жидкости.
Рассмотрим теперь второе из соотношений B.10).
Заметим прежде всего, что в B.10) входит фактически
лишь поперечная компонента смещения \ ± , так как век-
векторное произведение коллинеарных векторов ?ц и Во
равно нулю. Воспользовавшись известным соотношением
векторного анализа
rot [a b] = (b у) а — (а у) b + a div b — b div a B.11)
и учитывая, что Бо=const, запишем выражение для В7
в виде
В' = -В0(Ну|х + В0^?!±_.	B.12)
Первое слагаемое здесь имеет точно такой же смысл, как
и выражение для п\ Оно показывает, что при расшире-
расширении вещества в плоскости (х, у) силовые линии разд'ви-
гаются, так что магнитное поле вдоль прежнего направ-
направления ослабевает (рис. 11, а). Второе слагаемое в B.12)
Рис. 11. Смещение плаз-
плазмы при магнитозвуковых
(а), альвеновских (б) и
иотю-звувдвых (в) ко-
колебаниях
также имеет простой смысл. Если |± изменяется с из-
изменением z, то силовые линии магнитного поля, вморо-
вмороженного в вещество, несколько искривляются (рис. 11,6).
В результате у магнитного поля появляется поперечная
компонента, пропорциональная d\Jdz.
Если выражения для п', В' и р' подставить в лине-
линеаризованное уравнение B.5), то можно получить одно

56	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
векторное уравнение для смещения |. Но сначала мы
несколько упростим выражение в правой части B.5).
Наиболее наглядно это можно сделать следующим об-
образом.
Вернемся опять к уравнению B.1) и вспомним, что
согласно A.13) выражение в правой части можно запи-
записать в виде
-±- [rot В, В] = - у. ПГ- + Т^ (h V) h, B.13)
где h = B/? — единичный вектор, направленный вдоль В.
Если линеаризовать это выражение, то в первое слага-
слагаемое вместо В2 мы должны подставить Во + 2В0В', так
что линейный член будет содержать только 2-компоненту
возмущения В', которая определяется первым слага-
слагаемым в B.12). Второе слагаемое в B.13) в линейном
приближении дает (B2/4n)dhf/dz, где h' — возмущение
направления магнитного поля.
Так как
h =
и в линейном приближении можно пренебречь
В'1 под корнем, то Н = Но+в1/Во, где ho — единич-
единичный вектор вдоль оси г. Таким образом, величина
h'=b'±/B0 определяется только вторым слагаемым в
выражении B.12) для возмущения магнитного поля.
Подставляя найденные выражения для возмущения си-
силы Ампера B.13) и возмущений п\ р' в уравнение дви-
движения B.5), получим
тд,ес8 = У^уро/По— скорость звука, сА = Во/У~4 п т; п0 —
альвеновская скорость. Уравнение B.14) описывает ма-
малые магнитогидродинамические колебания однородной
идеально проводящей среды.
2. Альвеновские волны. Одно векторное уравнение
B.14) соответствует трем скалярным, и поэтому оно опи-
описывает три типа волн. Среди них наиболее интересными
и существенными для понимания свойств проводящей

§ 1. АЛЬВЕНОВОКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
57
жидкости в магнитном поле являются альвеновские вол-
волны, названные так в честь X. Альвена.
Чтобы получить уравнение распространения альве-
новских волн, рассмотрим некоторый более узкий класс
смещений^, в котором смещение вдоль магнитного поля
отсутствует, igz=0, а движение в поперечном направле-
направлении является несжимаемым, divg 1 = 0. При этом, очевид-
очевидно, div 1 = 0, так что в правой части уравнения B.14) пер-
первое и второе слагаемые исчезают, и мы получаем урав-
уравнение только для g ±:
dt*
B.15)
Это уравнение точно совпадает с уравнением малых
колебаний струны. Любое его решение может быть пред-
представлено в виде суперпозиции волн, распространяющих-
распространяющихся вдоль оси z со скоростью ±Са- Аналогия со струной
возникает не только в связи с формальным сходством
уравнений малых колебаний, она имеет и более глубо-
глубокий физический смысл. В самом деле, послед-
последнее слагаемое в B.14) связано
с натяжением силовых линий,
которое описывается вторым
членом в выражении для силы
Ампера B.13). Это натяжение
создает квазиупругую силу,
возвращающую плазму к по-
положению равновесия.
Альвеновские волны, как
видно из уравнения B.15),
распространяются только вдоль
силовых линий. Если, напри-
например, в некоторой плоскости
мы будем производить смеще-
смещение плазмы типа кручения (рис. 12,а) или более
сложное несжимаемое движение с div?j_=0 (рис. 12,6),
то соответствующее возмущение побежит вдоль силовых
линий с альвеновской скоростью и будет локализовано
внутри цилиндра, в котором начальное смещение было
отлично от нуля.
3. Магнитозвуковые волны. Рассмотрим теперь два
Других типа колебаний, в которых ?z и divgi отличны от
Рис. 12 Смещение плаз-
плазмы в альвеновских вол-
-нах

58	Гл. 2 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
нуля. Удобно использовать уравнения именно для этих
величин. Для продольной компоненты смещения gz име-
имеем из B.14)
Уравнение для div I ± мы получим, взяв дивергенцию от
поперечной составляющей уравнения B.14):
a^divL_ = ^Adiv^ + ^divL. + с2Ах||*, B.17)
где A± di	^ ^+д2/д2
Рассмотрим сначала случай плазмы низкого	давле-
низкого	давления, Р~с*Д%<1. Тогда в уравнении B.17)	можно
пренебречь слагаемыми, пропорциональными с2,	и мы
приходим к волновому уравнению
c2bq	B.18)
где i|) = div gj.. Это уравнение описывает так называемый
магнитный звук. Упругость среды в магнитозвуковых ко-
колебаниях создается давлением магнитного поля, причем
альвеновскую скорость сА = V В2 /4 п mi n можно рас-
рассматривать как скорость звука cs =Уур/р в среде,
где давление равно В2/8я, плотность р = ШгП, а показа-
показатель адиабаты у = 2. Условие -у = 2 связано с вморожен-
ностью поля в плазму, благодаря чему при ?z = 0 магнит-
магнитное поле должно изменяться пропорционально плотно-
плотности, а его давление должно быть пропорционально квад-
квадрату плотности плазмы.
При div li^O уравнение B.16) позволяет найти ма-
малое (поскольку частота магнитного звука очень велика)
продольное смещение gz в магнитозвуковых волнах. Кро-
Кроме того, при C<Cl уравнение B.16) описывает самосто-
самостоятельную ветвь колебаний, в которых div gj. можно по-
положить равной нулю. Для этих колебаний имеем
_ 2
~ Cs
Такие колебания называются ионно-звуковыми. Они
представляют собой звук, распространяющийся вдоль

§ 1. АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	59
магнитного поля, причем смещение плазмы при р->0
происходит только вдоль магнитного поля.
Таким образом, трем типам волн соответствуют три
типа смещений (можно сказать — поляризаций). В аль-
веновских волнах смещение приводит к искривлению си-
силовых линий (рис. 11,6), в магнитозвуковых — к их сжа-
сжатию и разрежению (рис. 11,а), а в ионно-звуковых при
Р<С1 магнитное поле почти не возмущается (рис. 11,в)
и плазма как бы одномерна, т. е. каждая ее трубка «за-
«заключена в жесткие магнитные стенки».
Если р не мало, то разделения на магнитный и ион-
ионный звук провести нельзя. В этом случае нужно рассмат-
рассматривать уравнения B.16), B.17) совместно. Для их ре-
решения удобно воспользоваться плоскими волнами. Как
известно, в однородной среде произвольное возмущение
можно представить в виде суперпозиции плоских волн.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь плоскую волну
вида ехр (—Ш+ikr). Для такой волны уравнения B.16),
B.17) принимают более простой вид алгебраических
уравнений:
(со2 -с\ЩIг -кг c2s(k± 1±) = 0,	B.19)
— кг с\к\ Ь + К -с\№ -c\k\)(kL Ы - 0. B.20)
Чтобы эта система уравнений имела нетривиальные ре-
решения, ее детерминант должен обращаться в нуль. Это
условие приводит к некоторому соотношению между ча-
частотой о) и волновым вектором к, которое принято на-
называть дисперсионным уравнением. В данном случае,
как нетрудно убедиться, дисперсионное уравнение имеет
вид
со4 - (с\ + с2) к2 со2 + с\ с\ к\ к2 = 0.	B.21)
Больший корень этого уравнения ю+ соответствует так
называемой ускоренной магнитозвуковой волне, а мень-
меньший (о^ —замедленной. При с2 <С^ ускоренная волна
превращается в магнитозвуковую, а замедленная — в
ионно-звуковую.
Уравнение B.21) существенно упрощается в двух ча-
частных случаях — при продольном и поперечном распро-
распространении. При продольном распространении k2=fc2z и
из B.21) следует со^ =с\к2 для быстрой волны и
<«2_ =С2 щ для медленной волны (при cA>cs). При по-

60	-	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
перечном распространении kz=0 и согласно B.21) со^_ =
В общем случае выражения для со^_ и ©L легко
получаются из B.21), однако они трудно обозримы. Го-
Гораздо более наглядное представление дает полярная ди-
диаграмма фазовых скоростей.
4. Полярная диаграмма и диаграмма Фридрихса.
Фазовая полярная диаграмма представляет собой за-
зависимость фазовой скорости ?>ф = со/& от угла 0 между
вектором к и магнитным полем В в полярной системе
координат v$>, 0. Она имеет вид, показанный на рис. 13,а.
Для быстрой магнитозвуковой волны фазовая диаг-
диаграмма имеет вид овала, сплюснутого вдоль направления
магнитного поля, а для медленной — двух соприкасаю-
соприкасающихся овалов, сплюснутых в поперечном направлении
Рис. 13. Фазовая (а) и групповая (б) поляры: Л — альвеновская
волна, М—медленная, Б — быстрая магнитозвуковая волны
(рис. 13,а). При Р~^0 большой овал переходит в окруж-
окружность радиуса Са, а диаграмма для ионно-звуковой вол-
волны переходит в две соприкасающиеся окружности ди-
диаметра сь. В другом предельном случае cs/cA-^oo мы
переходим к несжимаемой жидкости и полярная диаг-
диаграмма для магнитного звука переходит в две соприка-
соприкасающиеся окружности диаметра Са. Точно такая же ди-
диаграмма соответствует альвеновской волне при лю-
любых р.
Наряду с фазовой полярной диаграммой можно по-

§ 1. АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	61
строить поверхность фазовых скоростей для любых зна-
значений к в трехмерном пространстве. Однако для простоты
мы ограничимся лишь двумерным случаем.
Как мы увидим ниже, практически более интересна
полярная диаграмма групповой скорости vr = da>/dk, т. е.
зависимость числового значения групповой скорости от
ее направления. Групповую поляру обычно называют
диаграммой Фридрихса (иногда диаграммами Фридрих-
са называют и фазовую, и групповую поляры).
Как известно, групповая скорость определяет ско-
скорость распространения волнового пакета. В случае не-
диспергирующих сред, когда частота со пропорциональ-
пропорциональна fc, групповая скорость не зависит от числового зна-
значения к. Это означает, что все возмущения, распростра-
распространяющиеся в данном направлении, имеют одну и ту же
скорость. В частности, если возмущение имело вид им-
импульса во времени, то оно все время будет иметь вид
нерасплывающегося импульса. Отсюда видно, что груп-
групповая полярная диаграмма представляет собой картину
импульса, распространяющегося от мгновенного точеч-
точечного источника: каждому участку диаграммы можно по-
поставить в соответствие небольшой волновой пакет, рас-
распространяющийся с групповой скоростью.
Диаграмму Фридрихса можно определить аналити-
аналитически, вычисляя дю/дк. Но гораздо более наглядным яв-
является ее графическое построение. Оно позволяет, кро-
кроме того, несколько по-иному взглянуть на картину рас-
распространения возмущения от точечного источника. Уч-
Учтем, что со=!&аф(к/&), где v$ зависит только от направ-
направления к, но не от его значения. Отсюда следует, что
дсо к
где составляющая vLT=kdv^dk перпендикулярна
волновому вектору к. Как мы видим, нормальная к
волновой поверхности составляющая групповой ско-
скорости совпадает с фазовой скоростью. Нагляд-
Наглядно можно представить себе, что некоторый выделенный
участок плоской волны распространяется в виде «ле-
«лепешечки», ориентированной перпендикулярно к (этотуча-
(этотучасток можно рассматривать как волновой пакет). Этот
пакет движется вдоль к со скоростью v$ и, кроме того,
«соскальзывает» в поперечном направлении со скоростью

62	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
v±r. (Для фазовой скорости поперечная по отношению
к к составляющая, разумеется, смысла не имеет.)
Соответственно всю групповую поляру можно рас-
рассматривать приближенно как «мозаичную», составлен-
составленную из отдельных плоских «лепешечек» — волновых па-
пакетов. С учетом этих соображений нетрудно сообразить,
как можно геометрически построить групповую поляру
по фазовой. Возьмем для этого произвольную точку М
на фазовой поляре и проведем линию а|3, перпендику-
перпендикулярную радиус-вектору точки М, т. е. вектору к (рис.
13,а). «Лепешечка» группового пакета к должна ле-
лежать где-то на этой линии. Возьмем теперь близкую к
М точку М' на фазовой поляре и проведем линию а'^З',
перпендикулярную радиус-вектору точки М\ Волновой
пакет, отвечающий набору плоских волн с волновыми
числами вблизи точки М\ должен лежать на линии
а'Р'. Но при близких М и М' волновые пакеты соответ-
соответствующих плоскостей должны сливаться, образуя еди-
единый волновой пакет. Таким образом, этот пакет должен
находиться на пересечении линий ар и ос'$\ соответству-
соответствующих близким точкам М, М'.
Итак, для построения групповой поляры по фазовой
достаточно провести семейство прямых, перпендикуляр-
перпендикулярных радиус-векторам точек на фазовой поляре и прохо-
проходящих через их концы, и найти огибающую семейства
этих прямых. Построенная таким образом диаграмма
Фридрихса изображена на рис. 13,6. Для быстрой маг-
нитозвуковой волны она имеет вид овала, для медлен-
медленной — двух «заостренных» треугольников, а для альве-
новской волны она вырождается в две точки на внешнем
овале. Групповая поляра показывает, как распростра-
распространяется импульс от мгновенного точечного источника:
соответствующее возмущение отлично от нуля в области
между быстрой и медленной полярами с повышенной
амплитудой вблизи границ, т. е. поляр.
Интересная особенность диаграммы Фридрихса воз-
возникает в случае Р = 8яр/В2=1, когда альвеновская ско-
скорость совпадает со звуковой [47]. Согласно B.21) при
этом -@^=^ &2(l±sinQ), где 0 — угол между к и В, т. е.
cosQ = kz/k. На фазовой поляре при этом образуется уг-
угловая точка при 0 = 0 и соответственно вектор групповой
скорости не стремится к горизонтальному направлению
при 0-^0, а составляет с ним конечный угол, равный

§ 1. АЛЬВЕНОВСКИЕ И МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
63
приблизительно 0о~26°. В этом случае в плазме долж-
должно наблюдатся явление, аналогичное внутренней кони-
конической рефракции в оптике: падающий вдоль Во нор-
нормально к границе «пучок» магнитогидродинамических
волн должен развернуться в конус с углом раствора 20о.
Нам не известно, наблюдал ли кто-нибудь это явление
экспериментально.
5. Обтекание малых тел. Диаграмма Фридрихса по-
позволяет легко рассмотреть картину обтекания тонкого
иглообразного тела, движущегося в поперечном к полю
направлении. Допустим, что длина тела настолько ве-
велика, что его можно считать бесконечным, а магнитное
поле направлено перпендикулярно оси тела. Кроме того,
примем, что электропроводность тела невелика и оно
не «наматывает» на себя силовых линий. При этом кар-
картина обтекания является чисто двумерной, и на далеком
расстоянии от тела возмущение можно считать малым.
Как и в обычной газодинамике, можно считать, что дви-
движущееся тело создает непрерывный ряд точечных мгно-
мгновенных возмущений, от каждого из которых расходятся
Рис. 14. Черенков'ское излучение в изотропной среде (а) и для
магнитной газодинамики (б)
импульсы в форме расширяющихся диаграмм Фридрих-
Фридрихса. Там, где эти импульсы складываются в фазе, воз-
возникнут расходящиеся от тела волны типа волн Маха, а
в остальных точках в результате интерференции оста-
останутся гораздо меньшие возмущения (рис. 14,а,б).
Чтобы найти волны Маха, достаточно на диаграмме
Фридрихса построить вектор скорости тела и из его
конца провести касательные к диаграмме Фридрихса,
как это изображено на рис. 15 для различных частных
случаев. Течения на рис. 15, а, в являются дважды ги-
гиперболическими, а течения на рис. 15,6,2 — гиперболи-
гиперболически-эллиптическими (только один тип излучаемых

Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Рис. 15. Четыре случая образования линий Маха, отходящих от те
ла, скорость которого дается жирным вектором

§ 2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН" В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 65
волн). Как видно из рис, 15,в,г, в магнитной гидроди-
гидродинамике возмущения могут распространяться вверх по
течению, т. е. впереди движущегося тела. Следует
подчеркнуть, что эти волны отвечают обычному черен-
ковскому излучению тела, движущегося со скоростью,
большей фазовой скорости излучаемых волн. Именно в
результате тс&Ч), что складываются импульсы, отвечаю-
отвечающие групповой, а не фазовой поляре, появляется необыч-
необычная возможность излучения волн впереди движущегося
тела.
§ 2. Дисперсия волн в двухжидкостной
гидродинамике
1. Ионный звук. Магнитная гидродинамика достаточ-
достаточно хорошо описывает крупномасштабные низкочастот-
низкочастотные движения в плазме, но она все же является лишь
некоторым приближением. Естественно, что в волновых
движениях плазмы могут проявляться эффекты, которые
не охватываются одножидкостной гидродинамикой. Од-
Одним из таких эффектов является дисперсия, т. е. зависи-
зависимость фазовой скорости от частоты.
Как мы установили выше, идеально проводящая
жидкость является хотя и анизотропной, но недисперги-
рующей средой: фазовая скорость распространения ма-
малых возмущений в ней зависит лишь от направления
волнового вектора, но не от его числового значения. Это
обстоятельство, как мы вскоре увидим, имеет сущест-
существенное значение для эволюции возмущений с конечной
амплитудой, и поэтому нужно ясно представлять себе,
до каких длин волн плазму можно считать недисперги-
рующей и какой характер имеет дисперсия при умень-
уменьшении длины волны.
Рассмотрим сначала ионный звук, предполагая, что
1 и, следовательно, возмущением магнитного поля
при колебаниях можно пренебречь. Это означает, что
электрическое поле в колебаниях можно считать потен-
потенциальным:
Чтобы определить дисперсию звука, следует восполь-
воспользоваться двухжидкостной гидродинамикой вместо более
грубой одножидкостной. В рассматриваемом здесь
3 Б. Б. Кадомцев

66	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
чае потенциальных колебаний уравнения существенно
упрощаются, поскольку не нужно рассматривать колеба-
колебания магнитного поля. Мы еще более упростим рассмот-
рассмотрение, сделав допущение, что ионы холодные, т. е. 7\=0
(фактически это означает, что ионная температура
много меньше электронной). Более общий случай раз-
разреженной плазмы с Ti?=0 требует, вообще говоря, кине-
кинетического рассмотрения, поскольку фазовая скорость
ионного звука невелика и при Т%~Те имеет порядок ве-
величины тепловой скорости ионов.
Итак, при 7\=0 в пренебрежении инерцией электро-
электронов и столкновениями их с ионами имеем
-O,	B.23)
епР
— -f [ve В],	B.24)
А ф = _ 4 я е (tii — пе).	B.25)
Уравнение Пуассона B.25) устанавливает связь ме-
между потенциалом <р и возмущением плотности ионов и
электронов.
Для простоты мы будем считать, что электроны име-
имеют постоянную температуру Те^const, что вполне до-
допустимо для рассматриваемых здесь волн, распростра-
распространяющихся с фазовой скоростью, значительно меньшей
тепловой скорости электронов. Из продольной компо-
компоненты уравнения равновесия B.24) для электронов
r.Jf-.*Jf	B.26)
следует, что вдоль силовых линий магнитного поля эле-
электроны имеют больцмановское распределение. Для рас-
рассматриваемых здесь малых колебаний в однородной
плазме из B.26) получаем
л; = "/ю^-.	B.27)
Найдем теперь возмущение плотности ионов п\. Для
этого воспользуемся уравнением движения B.22) и
уравнением непрерывности B.23). Для возмущения типа

§ 2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИД КОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 67
плоской волны вида ехр(—ico^+ikr) получаем из про-
продольной компоненты уравнения движения
Чтобы найти поперечную составляющую скорости
ионов, удобно ввести систему координат (х, у, z), ось z
которой направлена вдоль магнитного поля, а ось у
перпендикулярна к, так что к имеет только компоненты
kx = k± и #z. Тогда в проекциях на оси х, у уравнение
движения для ионов примет вид
— i®vx — QiVy = —Ex = —~ ik±<p, B.29)
QiVx — i(ovy = 0,	B.30)
где Qi = eB/ffiiC. Отсюда легко находим компоненты ско-
скорости
Е ^Vi^
а следовательно, и
Подставляя найденное выражение в уравнение непре-
непрерывности
— i со п. + По div Vj. + щ i kz v2 = 0	B.33)
и учитывая выражение B.28) для продольной скорости
ионов, получим возмущение плотности ионов
„; = Ki_AfLU^, B.34)
^ со2	Q? 2 у Т
где cf =
Подставим теперь найденные выражения для плот-
плотности электронов B.27) и ионов B.34) в уравнение Пу-
Пуассона B.25), которое для плоской волны можно записать
з*

68	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
в виде
k*d*n0 12-^rit — n,,	B.35)
где сР= Те/4пе2п0 — квадрат дебаевского радиуса. После
подстановки получим дисперсионное уравнение для оп-
определения частоты колебаний со:
B.36)
«2	Qf-co2
Рассмотрим сначала случай продольного распрост-
распространения, когда k± =0, k=\kz. При этом
B.37)
При kzd<^ 1 мы получаем обычное выражение для ча-
частоты ионного звука (o = cs&z, которое следует из одно-
жидкостной гидродинамики. Однако по мере увеличе-
увеличения kz частота медленнее растет с kz, и фазовая скорость
co/kz начинает уменьшаться. При 62->оо она стремится к
нулю. При этом колебания ионов происходят при прак-
практически неподвижных электронах, давление которых
противостоит действию электрического поля и не дает
электронам смещаться.
Аналогичная картина имеет место и в отсутствие
магнитного поля. Если положить в B.34) ?2* = 0, то мы
получим выражение прежнего вида лишь с заменой kz
на к:
k2 с2
s	B.38)
с
s
Рассмотрим теперь более общий случай ионно-зву-
ковых колебаний в магнитном поле при произвольных
значениях к. Если использовать обозначение со? для
квадрата частоты B.38) в отсутствие магнитного поля,
то дисперсионное уравнение B.36) можно переписать в
виде
со4 _ (Qf + со?) со2 + Й? со? \ - 0.	B.39)

§ 2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 69
Отсюда следует
о?) ± "/-
	-|- Qf со?. B.40)
При й->0 отсюда находим два корня: oJ==Q? и со2 = <
При увеличении волнового числа k фазовая скорость
медленной волны начинает зависеть от k. Для случая
плотной плазмы, когда са<с (с — скорость света), т. е.
при Q/ < <Ор/ = У~4 п е2 no/mi , зависимость частоты от
k имеет вид, представленный на рис. 16. При больших k
частота медленной волны стремится к Q* cos Q = Qikz/kf a
частота быстрой — к соь Дисперсия для медленной косой
волны в магнитном поле начинается значительно рань-
раньше, чем при продольном распространении, а именно при
k~Qi/cs. Бели волна рас-
распространяется вдоль маг-
магнитного поля, то диспер-
дисперсионная зависимость со =
= со(&) сводится к двум
пересекающимся кривым:
со = Йг и со = (оь как пока-
показано'пунктиром на рис. 16.
2. Магнитный звук
(поперечное распростра-
распространение). Рассмотрим те-
теперь дисперсию магнит-
магнитного звука. Допустим, что
волна распространяется
точно поперек магнитного поля, скажем, вдоль оси х.
В этом случае, как мы увидим, дисперсия связана с
инерцией электронов, которая должна быть учтена в
обобщенном законе Ома, в качестве которого мы ис-
используем электронное уравнение движения. В прене-
пренебрежении давлением электронов для плоской волны ви-
вида ехр (—Ш+гкх) оно имеет вид
Рис. 16. Дисперсия ионного
звука
_fa>v# = _-^E--^- [v.h]f
m	с
me
B.41)
где Ь = Во/Бо — единичный вектор вдоль оси г. Отсюда
с учетом того, что (o<^Qe=eBo/mecf получаем прибли-
приближенно

70	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ve = -^[Eh] + 4f -?-E.	B.42)
Если бы мы учли только первое слагаемое в правой
части B.42), отвечающее дрейфу электронов, т. е. пре-
пренебрегли инерцией электронов, то согласно B.41) это
соответствовало бы идеальной электронной проводи-
проводимости и, следовательно, вмороженности магнитного по-
поля в электронную компоненту. Но при чисто попереч-
поперечном распространении волны в квазинейтральной плазме
электроны должны смещаться вместе с ионами, поэтому
вмороженность поля в электроны автоматически соот-
соответствует его вмороженности в ионы. А это, как мы уже
установили в § 1, приводит к магнитозвуковой волне
без дисцерсии.
Таким образом, чтобы начала появляться дисперсия,
^-составляющая скорости электронов должна отличать-
отличаться от скорости дрейфа электронов. Другими словами, в
х-компоненте скорости электронов следует учесть малый
член, отвечающий так называемому инерционному
дрейфу:
vex=^L+^^.	B.43)
Что касается «/-компоненты скорости, то для нее можно
сохранить прежнее значение
Vey = --z-Ex.	B.44)
С помощью этого соотношения Ех можно выразить че-
через vey = —jy/enOj где ^/-компонента плотности тока свя-
связана с возмущением магнитного поля В' соотношением
llLl	B.45)
4я д х	4л;
Используя уравнение Максвелла db'/dt=—с rot E, лег-
легко выразить В' через Еу:
со
С помощью соотношений B.44) — B.46) можно вы-
выразить Ех через Еу и подставить затем в выражение для

§ 2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТВОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 71
скорости электронов B.43). В результате получим
ffL,	B.47)
в
где
— ленгмюровская частота.
Чтобы получить дисперсионное уравнение для часто-
частоты, воспользуемся еще линеаризованным уравнением
движения
trti п0 —*- =	— ,	B.49)
dt	дх 4я
представляющим собой фактически сумму уравнений
движения для ионов и электронов, в которой опущен ма-
малый инерционный электронный член. Для плоской вол-
волны вида ехр(—Ш + ikx) с учетом выражения B.46)
для В' получаем отсюда
vx = ^~ —^- .	B.50)
Так как в силу квазинейтральности плазмы скорости
vx и vex должны совпадать, то из B.47), B.50) полу-
получаем
„2
Эта зависимость со от k представлена на рис. 17. При
малых k частота линейно возрастает с увеличением вол-
волнового числа, затем при k~(?>pe/c скорость возрастания
уменьшается, и при &->-оо частота стремится к предель-
предельному значению Сл ®ре/с = Y&e &i у т. е. среднему
геометрическому из циклотронных частот электронов и
ионов. Эта частота называется нижней гибридной.
Рассмотренная картина относится только к случаю
плазмы низкого давления (Р<С1). При PxTl дисперсия
начинается гораздо раньше — при со~йг. Дело в том,
что в бесстолкновительнои плазме при со<Сйг показа-
показатель адиабаты для ионов 7 = 2, а при со^>?2г он стано-
становится равным 3 (в одном случае в колебаниях участву-

72
Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ют две степени свободы, а в другом — только одна).
Соответственно фазовая скорость начинает возрастать
в области со ~ Q.i. Этой частоте соответствует длина вол-
волны порядка ионного ларморовского радиуса.
3. Косая магнитозвуковая волна. В косой магнито-
звуковой волне, как и в косой ионно-звуковой волне,
дисперсия начинается гораздо раньше. Это связано с
Qpe/C
Рис. 17. Дисперсия магнит-
,ного звука при поперечном
распространении
тем, что в косой волне квазинейтральность может уста-
устанавливаться благодаря перетеканию электронов вдоль
магнитного поля, и дисперсия должна появляться, как
только становится заметным различие поперечных ско-
скоростей электронов и ионов. При этом инерция электро-
электронов еще не играет роли. Как мы установили при рас-
рассмотрении равновесия плазмы, в этом случае при 7е =
= const магнитное поле вморожено в электроны:
— = rot [v. В].	B.52)
д t
В пренебрежении давлением плазмы уравнение движе-
движения имеет вид
mi n
dv
dt
= -^UBi- _v^- + -i-
Так как ve = v— ]/еп9 то уравнение B.52) с учетом урав-
уравнения движения B.53) может быть записано в виде
—=rot[vB]——rot ~.	B.54)
dt	e dt	K '
Последнее слагаемое в этом уравнении, которое появ-
появляется из-за эффекта Холла, и приводит к дисперсии
магнитозвуковых волн.
Если линеаризовать уравнение движения B.53) и
уравнение B.54) для магнитного поля, то, вводя сме-

§ 2. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В ДВУХЖИДКОСТНОЙ -ГИДРОДИНАМИКЕ 73
щение плазмы 1 и используя выкладки § 1, получим
для плоской волны систему двух уравнений:
— т? по со21 = — i k±~-?+ -^ ikgh'±,	B.55)
4я 4л
CO/7Z/C
В/ = - Во ikl± +Bo ik2 Ъ± +-^-№ •	B.56)
Из первою уравнения видно, что |z=0, а уравнения для
%х и 1У могут быть получены, если вместо В7 подставить
его выражение через | B.56). Для плоской волны типа
ехр (-Ш+Ш л x+VkzZ)
с ^2/=0, kx=kL эти уравнения имеют вид
6jf = о,	B.57)
fo^6, +(»2 - с\ Ы% = 0.	B.58)
Приравнивая нулю детерминант этой системы, получим
дисперсионное уравнение:
(со* - &J? Ж - с\ 1ф - со2 ^ k\^/QJ= 0.	B.59)
Рассмотрим для простоты случай почти поперечного
распространения, когда k\ <C&2. Тогда для магнитозву-
ковой волны с u>*>cAkz получим
B.60)
Соответствующая дисперсионная кривая представлена
на рис. 18. Как мы видим, при малых k частота линейно
растет с &, а затем, начиная с &~?2гЛиЭ, где B = kz/k,
она начинает возрастать гораздо быстрее.
Если 6 = kz /k >У те /mi , то дисперсия косой вол-
волны начинается значительно раньше, чем дисперсия по-
поперечной волны с тем же значением k. Только в этом
случае и оправдано пренебрежение инерцией электро-
электронов. Именно волны с kz /k > ]/" те /mi мы будет назы-
называть косыми. Следует отметить, что при больших &,

74	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
когда в скобках B.60) единицей можно пренебречь, ча-
частота B.60) становится равной
cAckkz
Она не зависит от массы ионов nii. При этом колебания
происходят практически при неподвижных ионах, так
что колеблются только электроны с вмороженными в
них силовыми линиями. Эти колебания называют гели-
геликонами или свистами.
4. Альвеновская волна. Второй корень уравнения
B.59) соответствует альвеновской волне. Ограничимся
для простоты опять случаем почти поперечного распро-
распространения, когда k\ <C'&2. Тогда для этого корня с
k2 получим
"- B'62>
Это соотношение устанавливает закон дисперсии для
альвеновских волн. Как мы видим, при увеличении kz
зависимость со от kz начинает отклоняться от линейной,
и при kz-^oo частота стремится к циклотронной частоте
ионов Qi. Соответствующая зависимость частоты от k
также представлена на рис. 18. Альвеновские волны с
Рис. 18. Дисперсия магнит-
магнитного звука ()) и альве-
альвеновской волны B) при ко-
косом распространении
ОфАд . к
большими kz и частотой, близкой к ионной циклотрон-
циклотронной, иногда называют просто циклотронными.
§ 3. Линейные волны в диспергирующих средах
1. Дисперсия волн на глубокой воде. Когда мы рас-
рассуждаем о распространении волнового движения в сре-
среде на примере плоских волн, то их дисперсия кажется

§ Э. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	75
совершенно безобидной: ведь это всего лишь зависи-
зависимость фазовой скорости от длины волны. Но в реальных
условиях монохроматические волны возбуждаются ред-
редко. Скорее возбуждаются волновые пакеты или более
или менее локализованные возмущения, которые можно
представлять как суперпозицию плоских волн. В таких
образованиях дисперсия приводит к целому ряду весь-
весьма своеобразных и интересных эффектов.
Эти эффекты можно было бы рассмотреть непосред-
непосредственно д&я волн в плазме. Но, пожалуй, более нагляд-
наглядно можно с ними познакомиться на примере волн на во-
воде, тем более, что каждый из нас встречается с ними го-
гораздо чаще, чем с волнами в плазме.
Нам удобно будет начать с самого простого приме-
примера гравитационных волн на глубокой воде. Движение
идеальной несжимаемой жидкости описывается уравне-
уравнением Эйлера с учетом силы тяжести
dv
p^"+VP = Pg	B.63)
и уравнением непрерывности
divv = 0,	B.64)
где g — ускорение свободного падения, направленное
вниз.
В равновесии в жидкости устанавливается гидроста-
гидростатическое давление Ро(^), градиент которого равен pg.
Рассмотрим теперь малые колебания. Вместо v опять
введем смещение 1, и тогда линеаризованное уравнение
B.63) примет вид
jp—W-	B-65)
где р' — возмущение давления. Так как div ^=0, то, бе-
беря дивергенцию от уравнения движения B.65), получим
А// = 0.	B.66)
Если ввести систему координат с осью z, направленной
по вертикали, и осью х вдоль распространения волны,
то для волны вида ехр(—Ш + lkx) получаем
#p' = O.	B.67)

76	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Для случая очень большой глубины р' должно убывать
при z->—оо и, следовательно, зависимость от z должна
иметь вид exp kz.
Чтобы получить дисперсионное уравнение для ча-
частоты, учтем, что при возвышении поверхности на вели-
величину \г давление под ней увеличивается на p' = pglz;
Подставляя это значение в выражение для 2-компонен-
ты уравнения движения B.65), т. е. в соотношение
co2L = |//,	B.68)
получим
со2 = kg.	B.69)
Это и есть дисперсионное соотношение для гравитаци-
гравитационных волн на глубокой воде.
Для очень коротких волн наряду с силой тяжести
начинает играть роль поверхностное натяжение. Учи-
Учитывая, что вследствие поверхностного натяжения давле-
давление под искривленной поверхностью изменяется на ве-
величину p'=g/R=—>o d2lz/dzzy где а — поверхностное на-
натяжение, R — радиус кривизны, мы получим для возму-
возмущения давления вблизи поверхности (т. е. при z=0)
p/==pglz+(yk2lz. Подставляя это выражение в уравнение
B.68), найдем
со* = kg +-& .	B.70)
Отсюда видно, что при больших k гравитационные вол-
ны переходят в капиллярные с дисперсией <о =>V~o/pk3I2.
У воды переход от гравитационных волн к капилляр-
капиллярным происходит при k~ 10, т. е. при длине волны поряд-
порядка сантиметра.
2. Волны от мгновенного точечного источника. «Бро-
«Бросая в воду камешки, смотри на круги,-ими образуе-
образуемые...» — сказано у Козьмы Пруткова, и, право, стоит
потратить некоторое время на внимательное рассмотре-
рассмотрение кругов от брошенного в воду камешка. В самом де-
деле, очень интересно наблюдать, как от камешка, возму-
возмущающего поверхность воды только в очень маленькой
области, постепенно начинают отходить круги, их число
растет, они как бы зарождаются из ничего и заполняют
собой большой быстро расширяющийся круг. Это и есть

§ Э. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	77
один из наиболее простых и ярких примеров распрост-
распространения волн в диспергирующих средах.
С математической точки зрения вся эта картина до-
довольно проста. Начальное локализованное возмущение
можно рассматривать как двумерную 6-функцию, кото-
которую можно представить в виде суперпозиции плоских или
круговых волн. Со временем в силу дисперсии эти вол-
волны начинают расходиться друг от друга, и образуются
наблюдаемые нами круги. Короче говоря, мы имеем де-
дело с одной из простейших задач математической физики,
точное решение которой не представляет трудностей.
Но нас здесь интересует не столько количественная,
сколько качественная сторона явления. Хотелось бы
располагать простой и достаточно общей картиной, что-
чтобы ее можно было использовать для произвольных дис-
диспергирующих сред.
Будем рассуждать следующим образом. Подождем
некоторое время, пока от точечного источника не отой-
отойдет много волн. Разобьем затем круг, заполненный вол-
волнами, на совокупность таких колец, чтобы в кажд©м
кольце содержалось по крайней мере несколько гре-
гребешков. Любое из таких колец можно рассматривать
как волновой пакет, который распространяется незави-
независимо от других пакетов. Каждый из пакетов распрост-
распространяется с групповой скоростью vr = дю/д/г = (l/2)yg/k9
и к моменту времени t он придет в точку, удаленную от
источника на расстояние'" = vrt = A/2)]А(#/?)ЛОбернув
это соотношение, можно найти волновое число k для
волны, которая в момент t находится в данной точке г:
f>	B-71)
При фиксированном г это соотношение показывает, как
изменяется волновое число в данной точке со временем.
Мы видим, что оно квадратично возрастает с t. Можно
сказать, что из центра в данную точку, сменяя друг дру-
друга, приходят все новые и новые пакеты с возрастающи-
возрастающими значениями к. Эти пакеты набегают с групповой ско-
скоростью vr, равной, как мы видели выше, vr=r/t. Чем
больше /, тем более медленный пакет приходит в дан-
данную точку, так что он, естественно, должен быть более
коротковолновым. Заметим, что фазовая скорость гра-
гравитационных волн в два раза больше групповой, ?>ф —

78	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
= 2уг=2гД, так что гребешки волн проходят каждую
точку круга со скоростью, вдвое большей скорости па-
пакетов.
В фиксированный момент времени t выражение
B.71) показывает, как изменяется волновое число
в зависимости от г. Как мы видим, при малых г
волновое число k очень велико, а при увеличении г оно
быстро убывает, достигая значения k~\jr при r~gt2/4.
При больших значениях г никаких волн уже нет, так
как при этом kr становится меньше единицы. Таким об-
образом, величина ro~gt2/4 играет роль границы круга,
внутри которого имеются волны, т. е. она соответствует
видимому фронту возмущения. Этот фронт движется
равноускоренно, т. е. его скорость линейно растет с t.
Гребешки волн внутри круга бегут быстрее (так как
0ф = 2?>г) и, добегая до фронта, исчезают.
Кроме волнового числа, полезно найти также фазу
волны ф, которая определяется естественным соотноше-
^=со?— kr. Подставляя сюда выражения для © =
и k из B.71), получим
Ф = ^Г.	B-72)
Отсюда еще раз можно увидеть, что на очень боль-
больших расстояниях фаза остается малой, так что никаких
гребешков там нет: фаза не успевает «набежать» на
величину порядка я.
3. Черепковское излучение. Вероятно, многим прихо-
приходилось наблюдать либо с высокого берега, либо с само-
самолета красивую систему волн за движущейся лодкой или
кораблем. Она представлена на фотографии рис. 19, а и
на первый взгляд кажется очень сложной. Но на самом
деле это всего лишь черенковское излучение волн телом,
движущимся со скоростью, большей фазовой скорости, и
вся сложность картины возникает исключительно из-за
дисперсии.
Хорошо известно, что в среде без дисперсии черен-
черенковское излучение возникает как результат сложения
элементарных волн от отдельных импульсов, которые
создает пролетающая частица. На рис. 20, а показана
хорошо известная картина образования плоского фрон-
фронта при сложении этих элементарных волн. Если скорость
частицы равна v0, а фазовая скорость волн Vфi то, как

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	79
видно из рис. 20, а, волны излучаются под таким углом
9, что
п ^Ф	/О 7Q\
COS 6 = 	.	(Z.io)
Так как cos Q=*kz/k, (о = аф&, то это хорошо известное ус-
условие черенковского излучения можно записать в виде
o)_Azi;o=O, откуда, видно, что излучение имеет место
Рис. 19. а — Фотография волн от движущихся да^ параллельном
курсе кораблей; б — вид кривых постоянной фазы
при совпадении скорости частицы с продольной компо-
компонентой фазовой скорости:
Рассмотрим теперь черенковское излучение волн на
глубокой воде. Опять можно сказать, что движущееся
тело создает ряд точечных импульсов, от которых раз-
разбегаются волны. Но теперь эти волны заполняют целые
круги, и картина волнового поля становится более слож-
сложной. Тем не менее, располагая решением задачи об из-
излучении волн мгновенным точечным источником, мы
вполне можем в ней разобраться.
Заметим прежде всего, что те линии впадин и гре-
гребешков, которые мы наблюдаем за движущимся телом,
есть линии постоянной фазы. Следовательно, если мы
хотим построить сеть волн аналитически, нам нужно
найти уравнение для линий постоянной фазы тех волн,
которые получаются суперпозицией волн от отдельных

80
Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
импульсов. При этой суперпозиции опять амплитуда
волн не мала только там, где они складываются в одной
фазе, как и при обычном черенковском излучении.
-Рассмотрим рис. 20,6, на котором показано, как
складываются две близкие круговые волны с одной и
той же фазой. Если вторая волна излучена спустя про-
промежуток времени 1st после первой, то центр ее окруж-
окружности смещен на v0M влево, а радиус второй волны мень-
меньше радиуса первой на v$ht. Складываясь, волны усили-
усиливаются на касательной (огибающей) к волнам и унич-
уничтожаются из-за интерференции с волнами в других фа-
фазах в остальных точках. Как видно из рисунка, волновой
вектор опять направлен таким образом, что выполняет-
выполняется условие черенковского излучения QkJk vIV
Рис. 20. Сложение волн от движущегося источника в среде без дис-
дисперсии (а) и с дисперсией (б)
Мы видим, что это условие определяется только фазо-
фазовой скоростью. Но положение точки в пространстве, где
находится данный волновой пакет, задается групповой
скоростью, как видно из рис. 20, б. Следовательно, ра-
радиус окружности г, на которой находится волна, равен
г == vr t =
= —v0 tcos 0.
B.74)
Координаты рассматриваемой точки в системе, в ко-
которой излучающее тело находится в точке @, 0),
раины, очевидно, *=rsin0, z=v0t — r cos 9 (см.
рис. 20,6). Вспомним теперь, что фаза ф для волн, ухо-
уходящих за время t на расстояние г от источника, опреде-
определяется выражением B.72), т. е. q>=gt2/4r. Тогда с по-
помощью "этого соотношения и формулы B.74) мы можем

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ	81
выразить координаты точки наблюдения через фазу <р
в данной точке и угол 6, который образует волновой
вектор с осью z\
х = г sin 6 = -Д-51 sin 6 cos2 8,	B.75)
g
г = v01 — rsin6 = -^-B — cos2 0)cos 0. B.76)
g
Если мы теперь зафиксируем фазу <р, то эти соотно-
соотношения будут представлять не что иное, как уравнение
для волн в параметрической форме: при изменении 6
от я/2 до нуля мы прорисуем всю линию с данной фа-
фазой. Как видно из B.-75), B.76), при таком измене-
изменении 9 координата х сначала увеличивается, а затем
спадает до нуля. Сами кривые постоянной фазы имеют
вид, представленный на рис. 19, б. Все они подобны друг
другу, и если изобразить сетку гребней (т.е. линий с
интервалом Д<р=2я), то мы получим как раз ту карти-
картину, которая изображена на фотографии рис. 19, а.
Качественно эта картина выглядит как наложение
двух типов вол-н. Один из них соответствует коротко-
коротковолновым косым волнам, расходящимся от следа тела
к периферии. У этих волн фазовая скорость значительно
меньше скорости тела, и поэтому условие черепковского
резонанса cos 0=^ф/уо выполняется для них при почти
поперечном направлении, когда угол 0 близок к я/2.
Второй тип гребешков соответствует как бы одной вол-
волне, бегущей вслед за телом с фазовой скоростью Рф=1>о.
Для этой волны k=g/v%, она все время находится в
резонансе с телом и движется вместе с ним.
Как видно из рис. 20,6 и из формул B.75), B.76),
все волны заключены внутри некоторого угла 20о, ко-
который можно найти, приравнивая нулю dx/dQ и опреде-
определяя затем 0о из соотношения tg Qq=x/z. Оказывается,
что 0« 18°.
Таким образом, на глубокой воде, независимо от
размеров и скорости равномерно движущегося тела, за
ним всегда бежит одна и та же универсальная сетка
из черенковски излучаемых волн. Структура этой сетки
полностью определяется законом диспероии волн на
глубокой воде.

82	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Не менее интересная картина получается для черен-
ковского излучения капиллярных волн. Для них закон
дисперсии 'со2=(а/р)&3 приводит к обратному соотноше-
соотношению между групповой и фазовой скоростями, а именно
групповая скорость больше фазовой,ог =C/2)Уф =C/2)X
XVok/p. Соответственно вместо B.74) получаем г=
= C/2) i^ cos 0. С помощью этого соотношения и r/t =
= vr = C/2) У a k/p находим выражение для фазы:
Ф = — fi>f + ?r = prt;gcos2 6/3а. Теперь в соотношения
х=г sin 0, z=vot— г cos 0 мы можем подставить вмес-
вместо г, t их выражения через Ф, после чего получим
Заф sin8	аф 2 sin2 9 — cos2 9
х== 7^ z==p4 ' cos3e
Как мы видим, при 0-Я) х-+0, а координата z =
= — (ior/pu §) Ф отрицательна. Следовательно, капилляр-
капиллярная волна бежит впереди обтекаемого тела. Соответству-
Соответствующее ей волновое числоk=pv$fo9 т.е. при этом со/& = а0.
Другими словами, бегущая вместе с телом волна ока-
оказывается -не сзади, как в случае гравитационных волн,
а впереди тела. Разумеется, это не удивительно, так
как vг>Vф. При tg 0 =\\lY 2 координата z обращается
в нуль, а пр,и 0->-я/2 волна с ф=сопз! выглядит как
4. Ионный звук, слабая дисперсия. Возвращаясь к
волнам в плазме, рассмотрим в качестве простейшего
примера дисперсию ионного звука. Напомним его закон
дисперсии:
со2 = -^—г,	B.77)
где k\ =l/d2, d — дебаевская длина экранирования. Фа-
Фазовая скорость ионно-звуковых волн
V
убывает с увеличением k. Убывающей функцией волно-
волнового числа является и прушювая скорость
B79)

§ а. линейные волны в диспергирующих средах 83
Поэтому здесь, как и в случае гравитационных волн,
длинноволновые возмущения распространяются быстрее
коротковолновых.
Рассмотрим теперь, как этот новый закон дисперсии
проявляется в задаче о распространении волн от точеч-
точечного мгновенного источника. Воспользуемся опять при-
приближенным методом разложения возмущения на вол-
волновые пакеты. В точку г за время t может попасть
только тот пакет, у которого групповая скорость vT=r/ti.
Отсюда с помощью B.79) находим значение волнового
чис/ja в данной точке:
— 1.	B.80)
Как мы видим, выражение для k определено только в
дозвуковой области r<.cst, что вполне естественно. При
фиксированном t волновое число как функция г моно-
монотонно возрастает пр.и уменьшении г от сА до нуля.
С помощью B.80) нетрудно найти фазу <p=Grf—kr:
\2/3	13/2
Фаза в зависимости от радиуса при фиксированном t
представлена на рис. 21, а.
Если источник не вполне точечный, а несколько раз-
размытый, то гармоники с большими волновыми числами
в нем будут отсутствовать и в волновом пакете корот-
коротковолновой .медленно движущейся части не будет. Па-
Пакет будет выглядеть так, как показано на рис. 21,6.
Наиболее интересен случай протяженных возмущений,
когда практически все гармоники имеют волновые чис-
числа, много меньшие kOy — так называемый случай слабой
дисперсии. В этом случае весь пакет остается локали-
локализованным вблизи точки r=cst, так что на рис. 21,6
область с осщилляциями позади основного импульса
остается достаточно узкой.
При слабой дисперсии достаточно знать лишь закон
дисперсии при малых k, так что выражение ('2.77) мож-
можно приближенно представить в виде <o = csk(l—Щ1Ь\).
Нетрудно видеть, что при слабой дисперсии от конкрет-
конкретного типа волн уже мало что зависит, и для всех маг-
нитогидродинамических волн с малыми волновыми чис-
числами картина распространения волнового пакета, в

84
Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
смысле его расплывания и рассыпания на отдельные
волны, будет практически одной и той же. Различие
будет определяться только законом дисперсии: для про-
противоположной дисперсии возмущения с более короткими
длинам,и будут распространяться быстрее.
Условимся называть дисперсию отрицательной, если
фазовая скорость убывает с ky и положительной, если
фазовая скорость возрастает с k. По этой терминологии
Рис. 21. Зависимость фазы
(а) и амплитуды (б) от
расстояния до мшо|венного
точечного источника с уче-
учетом дисперсии при -распро-
-распространении ионного звука
дисперсию .ионного звука и гравитационных волн сле-
следует считать отрицательной, а капиллярных и косых
магнитозвуковых волн — положительной.
При слабой дисперсии, когда фазовая скорость на-
начинает зависеть от k только при достаточно больших
значениях &, фазовую скорость можно разложить в ряд
по k и ограничиться первыми членами .разложения. Так
как в изотропной среде фазовая скорость не зависит
от знака k, то в разложении должны присутствовать
только четные степени k и, следовательно, можно поло-
положить 1>ф=СоA±&2/2&о)> гАе ?о — фазовая скорость длин-
длинноволновых колебаний, a ko — некоторый параметр, ко-
который определяет характерную длину дисперсии. Знак
минус соответствует отрицательной, а плюс — положи-
положительной дисперсии. При этом групповая скорость vr=
= СоA±3&2/2&|) возрастает или убывает с увеличени-
увеличением k в соответствии со знаком дисперсии. Поэтому при
положительной дисперсии осцилляции обгоняют основ-
основной имоульс возмущения, а при отрицательной — отста-
отстают от него. Только в этом и состоит разница в поведе-

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	85
нии линейных волн в сла'бодиспергирующих средах с
разными знаками дисперсии.
Для слаббдиспергирующих сред значительно упро-
упрощается и задача о черенковском излучении (или обте-
обтекании малых тел). Действительно, в недиспергирующей
среде черенковское излучение проявляется в виде воз-
возмущения, локализованного на линии Маха (рис. 20,а),
где отдельные элементарные волны, складываясь, при-
приводят к распространению некоторого плоского импульса.
Если имеется слабая дисперсия, то этот импульс начи-
начинает медленно расползаться на отдельные гармоники,
так что от основного импульса начинают отходить не-
небольшие осцилляции (за фронтом волны при отрица-
отрицательной дисперсии и перед фронтом лри положительной
дисперсии). Этот отход осцилляции происходит точно
таким же образом, как в волне от импульсного плоско-
плоского источника. Другими словами, задача об обтекании
сводится к задаче о точечном мгновенном источнике.
§ 4. Электромагнитные волны в плазме
1. Диэлектрическая проницаемость, дисперсионное
уравнение. Выше при рассмотрении магнитогидродина-
мических волн в плазме у нас преобладал газодинами-
газодинамический подход: мы задавали смещения частиц плазмы,
затем находили силы, возникающие при таком смеще-
смещении, и, наконец, определяли тип колебаний. Но те же
колебания можно рассмотреть и с несколько иной точки
зрения — чисто электродинамической. В самом деле, при
любых движениях в плазме возникают электрические и
магнитные поля, и с точки зрения электродинамики
распространение волн в плазме можно рассматривать
как распространение электромагнитных полей в сплош-
сплошной среде. Формально математически это соответствует
просто другому порядку упрощения уравнений: вместо
определения полей и сил по смещениям компонент
плазмы мы должны сначала найти заряды и токи в
плазме из законов движения частиц при заданных по-
полях, а затем уже рассмотреть, как такие поля могут рас-
распространяться в плазме. Такой подход, разумеется,
вполне эквивалентен первому, но, будучи более общим,
он позволяет взглянуть на волны в плазме с более ши-
широкой точки зрения и дает возможность более полно
описать все ветви линейных колебаний в плазме.

86	Гл.. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Итак, будем рассматривать плазму как сплошную
среду, в которой .могут распространяться электромагнит-
электромагнитные волны. Выпишем снова уравнения Максвелла (на
этот раз с учетом тока смещения):
rotB=-f ff+vJ-	B-82)
1 д В
rotE = -Y^7>	B'83)
div В = О,	B.84)
div Е = 4 п р,	B.85)
где р —плотность заряда, удовлетворяющая уравнению
§fO,	B.86)
которое вытекает из B.82) „ B.85).
Бели речь идет о волнах малой амплитуды, т.е. ли-
линейных волнах, то величины р -и j могут быть выраже-
выражены линейно через поля Е и В с помощью уравнений
движения для заряженных частиц плазмы, так что
уравнения Максвелла будут линейными. Их можно за-
записать в более компактной форме, вводя -в рассмотре-
рассмотрение электрическое смещение D, которое определяется
соотношением
ар дЕ
Соответственно уравнения B.82), B.85) примут вид
rot В = -\~ |?	B.88)
div D = 0.	B.89)
Рассмотрим опять для простоты однородную среду,
когда (произвольное решение линейных уравнений пред-
представляет собой суперпозицию плоских волн вида
ехр (—icot+ikr). Для плоской волны уравнения Макс-
Максвелла становятся алгебраическими:
[к;В] = - f D,	B.90)
[к Е] = f- В.	B.91)

§ 4, ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	87
При этом уравнения B.84), B.89) удовлетворяются как
следствие уравнений B.90), B.91):
k D = 0, к В = 0.	B.92)
Бели с помощью B.91) выразить В через Е и под-
подставить в B.90), то легко получить
№ Е — к (к Е) — -J2 D = 0.	B.93)
Как мы уже упоминали, вектор D может быть выражен
через Е с помощью уравнений движения для заряжен-
заряженных частиц. В случае плоской волны линеаризованные
уравнения движения также являются алгебраическими
и, следовательно, D и Е должны быть связаны между
собой линейным соотношением. Как известно, в общем
случае „линейная связь между векторами может быть
записана в виде
D = е Е или, в компонентах, Da = ^еарЕр , B.94)
Э
/Лч	_	^%
где е — матрица еар. Тензор г называется диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью среды. При подстановке B.94) в
B.93) мы получим систему линейных однородных урав-
уравнений, которая имеет решение только в том случае,
если детерминант системы обращается в нуль:
11	(О2	11
Д = Det I k? бар — ka h — IT 8«0 || = °-	B-95)
Это дисперсионное уравнение определяет частоту соб-
собственных колебаний среды, т.е. волн, которые могут
распространяться в ней.
Особенно простым является случай изотропной плаз-
плазмы без магнитного поля. При этом для любой волны
вектор D должен быть направлен вдоль Е, так что
D='eE [но коэффициент пропорциональности 8 может
быть различным для продольной (Е вдоль к) и попе-
поперечной волн]. Для продольной волны согласно B.92)
имеем
е„=0,	B.96)
а для поперечной из B 93) получаем
*^-.А.	B.97)

88	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Согласно B.97) поперечная волна в среде распростра-
распространяется с фазовой скоростью (o/k = c/N, где N = У в± —
показатель преломления.
2. Ионный звук, пространственная дисперсия. В ка-
качестве простейшего примера продольной волны в плаз-
плазме рассмотрим ионный звук в отсутствие магнитного
поля. Дисперсионное уравнение для продольных волн
дается соотношением г\\ = 0, и, следовательно, нужно
найти 8 \\. Пусть плоская монохроматическая волна рас-
распространяется вдоль оси х. Воспользуемся для опреде-
определения 8 выражением ('2.87):
4 я i
еЕх=Ех +—jx.	B.98)
Плотность тока здесь равна \x=en{piX—vex), т.е. опре-
определяется ионной и электронной ^-компонентами скоро-
скорости. Скорость ViX для холодного ионного газа G\=0)
получаем из уравнения движения тг- dvki/d\t=eE:
vix = — Ех .	B.99)
lX W/ CD	V	'
Что касается электронов, то в ионном звуке они ус-
успевают принять распределение Больцмана, так что воз-
возмущение плотности электронов пе связано с потенциа-
потенциалом соотношением
Щ ^Х9	B.100)
где k — волновое число. Это возмущение связано со
скоростью vex соотношением непрерывности
— ia>n'e + iknVex = 0.	B.101)
Выражая с помощью B.100), B.101) скорость vex
через Ех и подставляя в B.98), получим
8 ~
где (оРг — плазменная ионная частота, a d — дебаевский
радиус. В B.102) второе слагаемое отвечает электрон-
электронному вкладу в е, а третье — ионному.

$ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	89
Приравнивая е нулю, мы получим уже известное
нам выражение для частоты ионного звука
Использованный здесь электродинамический подход
обладает тем преимуществом, что раз вычисленные вы-
выражения для вклада соответствующего сорта частиц в
е могут быть использованы затем при рассмотрении
других ветвей колебаний.
Из выражения B.102) видно, что диэлектрическая
проницаемость зависит как от частоты, так и от волно-
волнового числа. Зависимость от k возникает во всех случа-
случаях, когда существенную роль начинает .играть тепловое
движение частиц. Зависимость s от k -принято называть
пространственной дисперсией (по аналогии с частотной
дисперсией — зависимостью 8 от со).
3. Ленгмюровские волны. Ионный звук принадлежит
к числу ветвей колебаний, в которых существенным об-
образом принимают участие ионы. Нетрудно рассмотреть
более высокочастотные электронные ветви, в которых
движением ионов можно пренебречь. С одной такой
ветвью колебаний в магнитоактивный плазме — с гелико-
геликонами — мы познакомились. Рассмотрим наиболее простой
тип электронных колебаний — ленгмюровские волны.
Ленгмюровские волны возникают при нарушении ква-
квазинейтральности плазмы, т. е. при смещении электронов
относительно ионов. Возникающее при этом электриче-
электрическое поле создает квазиупругую силу, которая стремит-
стремится возвратить электроны в положение равновесия. Так
как электроны значительно легче ионов, то колебания
электронов под действием этой квазиупругой оилы про-
происходят при практически неподвижных ионах.
Если пренебречь тепловым движением электронов,
то выражение для е и дисперсионное уравнение легко
получить по аналогии с B.102). В самом деле, для ленг-
мюровских колебаний вкладом ионов в 8 можно прене-
пренебречь, а вклад электронов будет таким же, как вклад
в B.102) холодных ионов, — достаточно лишь заменить
Щ на те. Таким образом получаем
2
^ = i--s!- <2I04>
Величину соре называют ленгмюровокой частотой.

90	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Разумеется, для описания колебаний электронов мож-
можно воспользоваться и менее формальным гидродинами-
гидродинамическим языком. Пусть | — смещение электронов от по-
положения равновесия, которое мы будем считать малым.
Тогда уравнение движения для электронов запишется
в виде
^1=_^уф,	B.105)
где ф — потенциал электрического поля, определяемый
соотношением
B.106)
Здесь пг — возмущение плотности электронов — равно
л' = — ndivg.	B.107)
Беря div от B.105) и исключая |, ф с помощью B.106),
B.107), мы получим
д*'	\	B.108)
где	др
Из этого уравнения следует, что при любом нару-
нарушении квазинейтральности .возникают колебания элект-
электронов с частотой ,соре. Если начальное возмущение имеет
вид плоской волны с волновым числом k, то ленгмю-
ровская волна будет плоской, причем ее фазовая ско-
скорость ?>ф = КОре/&.
Видно, что по мере увеличения волнового числа фа-
фазовая скорость убывает и при k~l/d становится поряд-
порядка тепловой скорости электронов. Так как мы тепловым
движением пренебрегли, то выражение B.104) справед-
справедливо только при Ы<<1. При приближении фазовой ско-
скорости волн к тепловой следует пользоваться кинетиче-
кинетическим описанием плаамы.
4. Уравнение Власова. Для описания колебаний раз-
разреженной плазмы в условиях, когда парные столкнове-
столкновения не играют большой роли, Власов [56] предложил
использовать кинетическое уравнение с самосогласован-
самосогласованным полем и отброшенным членом столкновений. Для
частиц заряда е и массы т в отсутствие магнитного

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	91
поля это уравнение имеет вид
7
Здесь / — функция распределения частиц по скоростям,
имеющая смысл плотности числа частиц в фазовом про-
пространстве, так что fdrdv равно числу частиц в объе-
объеме dv со скоростями в интервале dv.
Самосогласованное электрическое поле Е, входящее
в B.109), согласно Власову должно находиться из урав-
уравнения
div Е = 4 я е (щ — пе),	B.110)
где
т = J ft d v, пе = J /* d v,
a fe, fi — функции распределения для электронов и ионов.
Если учесть еще магнитное поле В, то кинетическое
уравнение с самосогласованным полем для частиц сор-
сорта а должно иметь вид
(e	[Blji^-O, B.111)
a самосогласованные электрическое Е и магнитное В
поля должны определяться из уравнений Максвелла, в
которых в качестве плотностей электрического заряда
р и тока j должны быть подставлены соответственно
P=2e«G«dv, j=2e«fv/odv. B.112)
a v	а J
Разреженную плазму, в которой парные столкнове-
столкновения не играют роли, называют бесстолкновительной.
Соответственно бесстолкновительными называются кол-
коллективные процессы, в которых несущественна роль
кулоновских столкновений. Уравнения Власова с само-
самосогласованным полем служат основой для теоретиче-
теоретического описания таких процессов.
5. Затухание Ландау. Перейдем к рассмотрению ленг-
мюровских волн малой ам'плитуды в условиях, когда су-
существенную роль начинает играть тепловое движение
частиц. Как было показано впервые Ландау [57], в этих
условиях появляется совершенно новый специфический
механизм затухания волн, имеющий место даже в от-
отсутствие столкновений. Эффект затухания Ландау иг-
играет фундаментальную роль в коллективных процессах

92	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
в бесстолкнов'ительной плазме. Поэтому, чтобы не уп-
упрощать чрезмерно существа дела, нам придется восполь-
воспользоваться более строгим математическим подходом, чем
это было принято в предыдущих разделах.
Предположим, что ионы создают однородный непо-
неподвижный фон с плотностью п= const, и будем считать,
что ленгмюровская волна распространяется вдоль оси х,
так что задача является одномерной.
Для колебаний очень малой амплитуды уравнения
можно линеаризовать. Для этого достаточно положить
f=/o+f> где fо — равновесная функция, а ? — отклоне-
отклонение от равновесия, и пренебречь квадратичным членом
(e/m)Edf'/dv в B.109). В равновесном состоянии плаз-
плазма однородна и нейтральна, так что I fodv = n. В силу
однородности линейные уравнения могут быть написаны
для каждой компоненты разложения у и ф в интеграл
Фурье относительно переменной х, поэтому достаточно
рассмотреть лишь эволюцию отдельной гармоники. Счи-
Считая, что функции f и ф .имеют вид f (v, t) exp (ikx),
Ф (i) exp {ikx), запишем линеаризованные уравнения
в виде
—-—|- ikvff -\- iIkф	— = 0, B.113)
д t	me д v
k*y = — 4ne [f'dv.	B.114)
Естественно попытаться сначала найти собственные
колебания плазмы с некоторой частотой оз. Для этого
положим
/' (Р, t) = Д (v) exp (—i со f)t ф (t) = фх exp (—i a> t).
Тогда из уравнения B.113), казалось бы, имеем
л - —V — ¦§*¦ *• BЛ15)
Подставляя это выражение в B.114), получаем диспер-
дисперсионное уравнение, связывающее собственную частоту со
с волновым числом к:
8 (*, и)^
Г
J
0 (
kme J со — k v
Мы здесь снова воспользовались обозначением е для
диэлектрической проницаемости плазмы.

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	93
Как мы видим, выражение B.116) имеет особенность
под интегралом, и поэтому им нельзя пользоваться, пока
не указано,.каким образом следует устранять расходи-
расходимость. Власов [58] предложил проводить интегрирование
в B.116) в смысле главного значения, однако для этого
не было достаточных оснований.
Правильный подход к решению задачи о малых ко-
колебаниях плазмы, который одновременно разрешил и
трудность с расходимостью в B.116), указал Ландау
[57]. Он обратил внимание на то, что в реальной по-
постановке задачи о малых колебаниях плазмы приходит-
приходится иметь дело либо с заданными начальными данными,
либо с заданными граничными условиями, и показал,
как должны решаться обе задачи.
Рассмотрим, например, задачу с начальными данны-
данными. В этом случае следует считать, что при t<0 воз-
возмущение отсутствует и лишь в момент ?=0 включается
внешнее воздействие, которое создает некоторое началь-
начальное возмущение функции распределения g(v). Задача
состоит в определении временной эволюции возмущения.
Для этого следует воспользоваться уравнениями B.113),
B.114) с внешним источником g(v)8{t), добавленным
в правую часть B.113). Для решения этой системы урав-
уравнений можно воспользоваться методом преобразования
Лапласа, полагая
(v, t)dt	B.117)
и соответственно для <p(t)\
Умножая уравнение B.113) с источником g(v)8(t)
в правой части на ехр (—pi) и интегрируя по t, полу-
получаем
^L+_±_.i-.|/L9,. B.118)
p kv m dv
i p —
Как мы видим, это выражение отличается от B.115)
добавлением слагаемого с g и заменой со на ip. Под-
Подстановка B.118) в B.114) позволяет найти срр:
Аке С g (v) dv
Г s(v)dv	B.119)
J ip — kv

94	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
По известному фр теперь нетрудно найти q>{t):
a-f-/oo
Ф(О = ^- J exp(pt)<fpdp. B.120)
Здесь вместо р удобно перейти к переменной со = ф и,
так как по переменной р интегрирование проводится в
правой полуплоскости, по комплексной переменной со
следует проводить интегрирование в верхней полупло-
полуплоскости:
k* J e (?, со)
—oo-j-/a
г +оо
J
»—oo
B.121)
Это выражение полностью решает задачу о колебаниях
плазмы, создаваемых начальным возмущением g(v).
Из него видно, что, вообще говоря, не существует оп-
определенной зависимости со от k: -при заданном k интег-
интегрирование в B.121) производится но всем со. Однако
если g(v) не имеет особенностей, то асимптотика инте-
интеграла B.121) при больших i будет определяться нулями
е(А, со), т.е. <p(tf)~exp (—/со^), где &(k9 ша)=0. Таким
образом, при очень больших t из решения B.121) вы-
выделяется ветвь плазменных колебаний с собственной
частотой cob, определяемой соотношением
efc(*, со*) = 0.	B.122)
Так как интегрирование в B.121) проводится по гори-
горизонтальной прямой в верхней полуплоскости, при вычис-
вычислении ев B.116) частоту со следует считать находящей-
находящейся в верхней 'полуплоскости, т.е. при ш, близких к дей-
действительной оси, следует положить
11>iu6 (©
*u6 (
ш — kv о) — kv -\- iv	со — kv
где Р означает главное значение. Это правило обхода
полюса принято называть правилом Ландау. С его уче-
учетом диэлектрическая проницаемость B.116) оказывает-
оказывается комплексной:
= 1 |
4яв2 С Р djodv_4n^ ni df0
kme J со — /21; dv	kme \k\ dv
B.123)
Наличле мнимой части вей соответствует затуханию
Ландау, которое пропорционально призводной dfo/dv в
точке v = (u/k, где скорость частиц совпадает с фазовой

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	9,5
скоростью ©олны. Можно оказать, что затухание Лан-
Ландау связано с поглощением волны на резонансных час-
частицах. Если электроны имеют максвелловское распре-
распределение с температурой Г, то диэлектрическая прони-
проницаемость, даваемая выражением B.123), может быть
представлена в виде
8== 1 + ~^Г~ П +i^zW {z% BЛ24)
где соре — ленгмюровская частота, z = &/kvTe, vTe =
V
e— средняя тепловая скорость, а функция
z
W (г) = ехр (-г*) + -?=- J ехр (-г* + V) d g. B.125)
О
Приравнивая B.124) нулю, можно найти действи-
действительную и мнимую части комплексной частоты. При ма-
малых ^<Cl/d, где d — дебаевский радиус, величина 2>1
и интеграл в ('2.Г25) можно вычислить разложением по
обратным степеням z. После несложных выкладок на-
находим, что выражение для действительной части часто-
частоты имеет вид
0I = 0,2, + — #.	B.126)
а мнимая ее часть (т.е. декремент затухания у) равна
Как мы видим, при малых kd декремент затухания экс-
экспоненциально мал.
При очень больших t определенный вклад в интеграл
B.121) вносит также полюс со—kv = O, соответствующий
свободному разлету частиц от начального возмущения,
так что зависимость потенциала ф от времени может
быть довольно сложной.
6. Волны Ван-Кампена. Итак, ленгмюровские коле-
колебания, возбуждаемые некоторым начальным возмуще-
возмущением, должны затухать со временем. Однако это еще не
означает, что невозможны собственные незатухающие
колебания плазмы. В самом деле, вернемся к выраже-
выражению B.115), связывающему возмущение функции рас-
распределения /i с потенциалом ерь По правилу Ландау к

96	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ластоте <о в знаменателе следует добавить малую мни-
мнимую часть, ю-но-Kv, так что B.115) можно записать в
виде
со — kv me dv	те dv
Здесь Р означает, что лри вычислении различных инте-
интегралов, содержащих /ь особенность следует интегриро-
интегрировать в смысле главного значения. Выражение B.128)
описывает возмущение функции распределения потенци-
потенциалом электрического поля волны фЬ Как мы видим, это
возмущение тем больше, чем ближе скорость к фазовой
скорости волны o)/(fe. В непосредственной окрестности
этой точки основной вклад дает второе слагаемое, воз-
возникшее из-за мнимой части
Im	=	= — я6 (со— kv)
a'kv + iy	(со — kv)* + v*	ч	'
при v-^0.
Заметим, что учет затухания возмущений вследствие
столкновений, который в простейшем варианте можно
сделать, вводя малое слагаемое —vff в левую часть урав-
уравнения B.113), также привел бы к правилу Ландау для
обхода полюса и, следовательно, — к точно1 такому же
выражению ('2.128). Это вполне понятно, так как оба
эффекта — столкновения ,и конечное время нарастания
возмущения — приводят к качественно одинаковому ог-
ограничению возмущения в резонансной точке.
Если подставить B.Г28) в уравнение Пуассона
B.114), то как раз и получится дисперсионное уравне-
уравнение Ландау. Другими словами, в ленгмюровских колеба-
колебаниях при больших i остается лишь такое возмущение
функции распределения B.128), которое создается по-
потенциалом волны.
Допустим теперь, что в начальный момент наряду с
плавным возмущением g(v) в плазму вводится некото-
некоторый модулированный пучок со скоростью, в точности
равной фазовой скорости волны. Если нужным образом
подобрать -величину и фазу этого пучка, то можно в точ-
точности скомпенсировать возмущение резонансных элек-
электронов, описываемое вторым членом в B.128). Но при
этом мы получим выражение B.115) без б-,функции, а
следовательно, придем к дисперсионному уравнению
Власова с интегралом в смысле главного значения, опи-

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	97
сывающему ленгмюровокие волны без затухания. Таким
образом, решение Власова также имеет определенный
физический смысл: оно описывает волну с добавкой груп-
группы резонансных частиц.
Однако это решение является довольно частным: оно
соответствует некоторому вполне определенному выбору
плотности дополнительных частиц. Как показал Ван-
Кампен [59], уравнения B.113), B.114) описывают го-
гораздо более широкий класс собственных колебаний. Что-
Чтобы найти эти колебания, следует устранить ту некор-
некорректность, которая была допущена при получении выра-
выражения B.115) для возмущения функции распределения.
В самом деле, если со —действительная величина, то од-
однородное уравнение для /ь (со — kv)fi = O имеет нетриви-
нетривиальное решение вида Яб(со — kv)cpu где X— любая кон-
константа (точнее, функция от со и k). Это решение одно-
однородного уравнения должно быть добавлено к B.115).
Принимая для определенности (без нарушения общно-
общности), что интеграл от 1/(со— kv) берется в смысле глав-
главного значения, мы должны написать для собственных ко-
колебаний вместо B.115) соотношение
h = ^	^
(й — kv те dv
Подставляя это выражение в уравнение Пуассона, на-
находим дисперсионное уравнение
l+***_C_J.	dj^dv JU^Xz=:^ B130)
mek J w — kv dv	k2\k\	v	;
Так как это уравнение содержит две неизвестные ве-
величины со и X, оно не дает однозначной связи со с вол-
волновым числом k. Его скорее следует рассматривать как
уравнение для определения X при заданном со. Это зна-
значит, что при данном k частота может быть совершенно
произвольной, т. е. спектр собственных значений для со
непрерывен. Другими словами, для любой частоты со
можно подобрать такую величину X, т. е. плотность ре-
резонансных частиц, при которой решение будет иметь вид
незатухающей волны с данной частотой со. Это и есть
волна Ван-Кампена. Каждая из волн Ван-Кампена пред-
представляет собой модулированный поток частиц, движу-
движущийся со скоростью, равной фазовой скорости волны
^ф=со/й [этот пучок описывается вторым слагаемым в
B.129)], вместе с сопровождающим его поляризацион-
4 Б. Б. Кадомцев

98	Гл, 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ным облаком, возникающим в результате воздействия
пучка на электроны плазмы. Возмущение f\ в этом об-
облаке описывается первым слагаемым в B.129).
Если длина волны возмущения достаточно велика
(;Ы<С1), а частота со близка к плазменной частоте, вхо-
входящей в выражение B.124), то величина Я, определяе-
определяемая выражением B.130), очень мала, так как при этом
сумма первых двух слагаемых в B.130) близка к нулю.
В этом случае мы имеем дело с плазменной волной с
малой добавкой резонансных частиц. Собственно волна-
волнами Ван-Кампена целесообразно считать решения, замет-
заметно отличающиеся от ленгмюровских волн, когда второе
слагаемое в B.129) больше или сравнимо с первым.
Таким образом, грубо можно сказать, что собственные
колебания электронной плазмы состоят из волн Ван-
Кампена— модулированных пучков—и ленгмюровских
волн.
Ван-Кам1пен показал, что система функций B.129)
является полной, т. е. любое начальное возмущение g(v)
может быть разложено по этим функциям, и, следова-
следовательно, возбуждаемые в плазме волны можно рассмат-
рассматривать как суперпозицию собственных колебаний. Соот-
Соответствующее решение в точности совпадает с решением
Ландау.
При учете волн Ван-Кампена в несколько. ином све-
свете предстает и затухание Ландау. В самом деле, рассмот-
р,им, например, возмущение с характерной длиной вол-
волны, много меньшей дебаевского радиуса. Такое возму-
возмущение является суперпозицией собственно волн Ван-Кам-
Ван-Кампена, и не удивительно, что оно будет затухать со вре-
временем из-за расползания по фазам составляющих его
собственных колебаний. Можно сказать, что это зату-
затухание является следствием непрерывности спектра соб-
собственных значений со.
В ленгмюровских волнах картина несколько слож-
сложнее, так как большая часть частит совершает здесь сов-
совместное движение в колебаниях. Однако резонансные
частицы продолжают расползаться, и их вес в коллек-
коллективном движении настолько -велик, что они полностью
«растаскивают» ленгмюровскую волну по фазам, т. е.
волна опять затухает. Легко видеть, что это — снова ре-
результат непрерывности спектра собственных значений
частоты.

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	99
7. Волны в холодной плазме. До сих пор мы рассмат-
рассматривали продольные волны в плазме. Аналогичным обра-
образом можно рассмотреть и поперечные волны. В частно-
частности, в холодной плазме без магнитного поля диэлектри-
диэлектрическая проницаемость для поперечной волны имеет тот
же вид, что и для продольной, т. е. е=1—со^ /со2, и со-
согласно B.97) мы получаем
B.131)
е1.
ОJ	СО2
Отсюда находим выражение для частоты
co2 = c4> + c2?2.	B.132)
Как мы видим, распространяться в плазме могут
лишь волны с частотой, большей плазменной. В области
непрозрачности со<соре волновое число k согласно
B.132) является мнимым, т. е. ft = tx. Величина ус опре-
определяет толщину скин-слоя, который экранирует внешние
поля. Согласно B.132)
х2 = (©?. —©*)/<?,	B.133)
так что при со<Ссор<? глубина проникновения попереч-
поперечного поля в плазму равна с/(йре.
При наличии внешнего магнитного поля картина рас-
распространения электромагнитных волн в плазме сильно
усложняется, в особенности если фазовая скорость этих
волн мала и существенную роль начинает играть тепло-
тепловое движение частиц. Несколько проще картина распро-
распространения волн в холодной плазме. При этом
DeE E + 4nin I>aVa,	B.134)
CD
а скорости заряженных частиц могут быть найдены из
уравнений движения
_fCDve= -^- E + [VeOa], Оц = ~^- . B.135)
т	тс
С помощью B.134), B.135) нетрудно найти выражения
для компонент тензора 8. В системе координат с осью z
4*

100	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
вдоль магнитного поля тензор е имеет вид
/8 lg 0\
8 = l-rig е 0 ),	B.136)
\ 0 0 Ч)
где
~1 2 „2Го2 ' ^- 2"
ч-1-2
со2
а
Qa —циклотронная частота для частицы сорта а.
Мы не будем здесь подробно анализировать все вол-
волны, которые могут распространяться в плазме. Рассмот-
Рассмотрим лишь самый простой пример альвеновской волны,
распространяющейся вдоль магнитного поля. При этом
kx = ky=0, kz-=k. Для альвеновской волны со<С^г, сА<.су
так что выражения для 8 и g упрощаются: е^со^ t/Q\ =
= с2/с^ , g^O. Дисперсионное уравнение B.95) при этом
принимает вид
с* I \	с*
и частота альвеновской волны равна
co = ^L = cAk.	B.137)
Как мы видим, альвеновская волна в плотной плазме
соответствует сильно замедленной электромагнитной вол-
волне с огромным показателем преломления N=c/ca.
Нетрудно было бы рассмотреть и другие ветви элек-
электромагнитных колебаний, в частности электронные. По-
Поскольку этой теме посвящена обширная литература, мы
не будем детально разбирать этот вопрос в данной книге.
§ 5. Энергия и импульс волн
1. Волновой пакет. Физика принадлежит к числу точ-
точных наук, однако приближенные соотношения и даже
просто качественные соображения играют в ней не мень-
меньшую роль, чем точные количественные формулировки.
Иногда качественные соображения даже более нужны,

§ 6. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	.101
поскольку они, развивая физическую интуицию, позво-
позволяют быстро достичь понимания таких явлений, количе-
количественное описание которых потребовало бы гораздо боль-
больших усилий.
Именно с такой ситуацией мы встречаемся при рас-
рассмотрении волновых процессов. Решение линейных задач
методом Фурье, например разложением по плоским вол-
волнам для однородной среды, дает полное решение задачи,
но еще не позволяет прямым образом получить качест-
качественную картину процесса. Более адекватным для этого
является язык волновых пакетов, и с его применением мы
уже познакомились в предыдущих параграфах. Здесь мы
сделаем следующий шаг и от чисто качественной карти-
картины распространения волнового движения в терминах из-
изменения фазы в пространстве и времени перейдем к ко-
количественному, но опять-таки приближенному описанию
волновых явлений.
Будем опять рассуждать в терминах волновых паке-
пакетов, медленно меняющихся в пространстве и во времени.
Отдельный участок такого пакета приближенно можно
считать плоской волной. Электрическое поле такой вол-
волны имеет вид
E.= ek?exp(—ia>kt+ *кг) + к. с. B.138)
Здесь к — волновой вектор, со — собственная частота,
2Е — амплитуда колебаний электрического поля, ек —
единичный вектор поляризации волны, а к. с. означает
комплексно-сопряженную величину (чтобы Е было дей-
действительным). Собственная частота сок является реше-
решением дисперсионного уравнения B.95), т. е. Д(со, к)=0,
а вектор поляризации ек может быть найден из уравне-
уравнений B.93) при о) = сок. Вектор ек может включать мно-
множитель ехр(кро), соответствующий постоянному сдвигу
фазы ф0, так что в общем случае он является комплекс-
комплексным. Впрочем, для волнового пакета, достаточно протя-
протяженного в пространстве, сдвиг фазы ф0 является несу-
несущественным. Наиболее важными характеристиками та-
такого пакета являются величины к и < Ег > — среднее по
периоду колебаний значение квадрата электрического
поля, пропорциональное плотности энергии волны в дан-
данной точке.
Естественно, что уравнения, описывающие поведение
волновых пакетов со временем, должны формулировать-
формулироваться именно для основных величин к и <?2>. Первое из

102	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
этих уравнений получить довольно просто, в особенности
для однородной среды. В самом деле, если мы имеем
дело с почти синусоидальной волной, характеристики ко-
которой медленно меняются в пространстве и во времени,
то вместо к, сок удобнее ввести фазу ф, являющуюся
функцией г, /, так чт выражение B.138) для пакета бу-
будет иметь вид
Е = ek? exp (— i <р) + к с	B.139)
Скорость изменения фазы в данной точке, т. е. dcp/dt, оче-
очевидно, соответствует частоте колебаний, а градиент фазы
соответствует волновому числу, так как он устанавлива-
устанавливает величину и направление наискорейшего изменения фа-
фазы в пространстве. Таким образом, имеем
|	B.140)
Дифференцируя второе из этих соотношений по времени
и используя первое из них, находим
fff = -V«>.	B-141)
В однородной среде частота колебаний является функ-
функцией только k: co = o)k = co(k). Таким образом, уравнение
B.141) —дифференциальное уравнение относительно
k(r, t), и с помощью его можно найти, как эволюциони-
эволюционирует волновой вектор со временем в любой точке прост-
пространства. Например, в одномерном случае, когда волновое
число k зависит только от координаты х, уравнение
B.141) имеет простой вид
±L+Vr±!L = o9	B.142)
dt	дх
где vT=d(d/dk — групповая скорость. Как мы видим, вол-
волновое число пакета просто переносится с групповой ско-
скоростью.
Перейдем к нахождению уравнения для <?2> . Так
как эта величина пропорциональна плотности энергии
волны, то представляется более целесообразным исполь-
использовать именно последнюю величину как имеющую более
определенный физический смысл.
2. Энергия волны. Допустим, что в уравнении Мак-
Максвелла B.82), кроме самосогласованного тока j, который
согласно B.87) выражается через D, имеется еще неко-

§ 5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	103
тирый сторонний ток js, который может совершать рабо-
работу над волной. Тогда, используя обычную процедуру ум-
умножения уравнения B.87) на Е, B.83) —на В и их сло-
сложения, нетрудно получить уравнение вида
Здесь член справа соответствует мощности внешних ис-
источников, совершающих работу против поля волны Е.
Соответственно первое слагаемое в B.143) можно интер-
интерпретировать как изменение энергии электромагнитного
поля
dt	An dt	An dt
а второе — как перенос энергии с вектором Пойнтинга
П=— [ЕВ].	B.145)
Для простоты мы ограничиваемся здесь случаем про-
прозрачной среды, когда поглощение энергии не происходит.
В отсутствие внешних источников поля выражение
B.143) принимает вид закона сохранения энергии
—+ divII = 0,	B.146)
dt
откуда следует, что интеграл от плотности энергии & по
всему пространству есть величина постоянная,
f Щ d г = const.
Уравнение B.146) и соответствует искомому уравне-
уравнению для квадрата амплитуды волны; его следует лишь
привести к более простому виду, пригодному для описа-
описания переноса волнового пакета. Для волнового пакета
электрическое поле, и аналогично магнитное поле, имеет
вид почти монохроматической волны B.138) с медленно
меняющейся амплитудой E(r, t). Соответственно
— - (— — i cok E) ek exp (—i cok t -\- i k r) + к. с. B.147)
сt \d t	)
С другой стороны, электрическое поле Е можно было бы
разложить в интеграл Фурье
Е = feq?qft)exp(—ico* + tqr) dqdo) + к. с, B.148)

104	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
в котором «пакетность» волны, т. е. ее близость к плоской
монохроматической волне, учитывалась бы только тем,
что фурье-компоненты ?q@ были бы отличны от нуля в
малых окрестностях вблизи точек q=k, co = cok» Эти
окрестности тем уже, чем ближе пакет к монохромати-
монохроматической плоской волне. •
Из выражения B.148) видно, что дифференцирование
по времени означает в фурье-представлении просто ум-
умножение на — i со. В нулевом приближении, т. е. для мо-
монохроматической волны, этот множитель был бы равен
просто — i сок . Однако для пакета это не так, т. е. — i со +
+ ?cok#0, и, как видно из сопоставления с B.147), ве-
величина — г (со — о)к ) соответствует производной по вре-
времени от амплитуды волны (поскольку слева d/dt соответ-
соответствует— ко).
Аналогичным образом могут быть рассмотрены и бо-
более сложные операторы. Например, входящая в B.143)
производная dD/dt в фурье-представлении отвечает вы-
ражению —ш е Е, где е — квадратная матрица еар (&, со).
Для волнового пакета это выражение, очевидно, будет
равно
— i cok е (k, cok) + —— (e со) —- .
О СО	01
Если подставить его в соотношение B.144), то член, со-
содержащий —Шке(к, со к), при сложении с комплексно-со-
пряженным выражением исчезает, если среда является
прозрачной и матрица г эрмитова. Остаются только чле-
члены с производными по времени, и после снятия производ-
производных получаем выражение для плотности энергии волно-
волнового пакета
^^^, B.149)
где 8=е? sek. Или, так как В может быть выражено че-
через Е с помощью соотношения B.91), имеем
„> <?2> д (	с2 к2 с2 « 2\ ((? 1 гПч
8я д со \	со	со	у
Здесь производная по со от выражения в круглых скобках
берется при значении со = сок-

§ 5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	105
Итак, мы связали среднее значение квадрата электри-
электрического поля волны с более физичной величиной &к—
плотностью энергии волнового пакета. Соответственно и
для нормировки амплитуды волны можно выбрать вели-
величину более удобную, чем квадрат электрического поля.
Как будет видно из дальнейшего, удобно взять в качест-
качестве амплитуды волны величину аи, связанную с плотностью
энергии пакета соотношением
B.151)
где частота сок для случая положительно определенной
энергии волны считается положительной. Квадрат ам-
амплитуды а\ по аналогии с квантовой механикой удобно
также интерпретировать как число волн Nk с данным к.
Вернемся к уравнению B.146). По аналогии с тем,
как мы преобразовывали производные по времени, мож-
можно преобразовать и производные по пространству. Так,
например, производная дЪ/дх согласно B.138) равна
д „ I дЕ . ., ^ ekexp (—*©k* + *kr) + K. с,
дх \дх
а в фурье-представлении B.148) эта производная соот-
соответствует просто умножению на iqx. Следовательно, опять
величина iq — ik соответствует пространственной произ-
производной от амплитуды волны. В частности, величина
^	• / '"ч	д / ^\ д
— I СО 8 = — I (CO 8)k	(СО 8) 	,
как мы видим, при действии на поле волнового пакета
дает вклад, пропорциональный градиенту амплитуды ко-
колебаний. Соответственно при наличии пространственной
дисперсии уравнение B.146) принимает вид
divSk = 0,	B.152)
i^. + divk ,
д t
где в поток энергии Sk , кроме вектора Пойнтинга, дает
вклад пространственная часть первого слагаемого B.146).
Повторяя примерно те же выкладки, что и при вычисле-
вычислении #к , нетрудно найти выражение для Sk:
e_-**L + .*|kek|«). B.153)
СО	(X)	I
Как мы видим, Sk и Sk выражаются через производные

106	Гл. 2, ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
от одной и той же функции
^	2 + J	».	B.154)
При со=сок эта функция обращается в нуль, так как она
получается просто умножением уравнения B.93) на ве-
величину е?/Е. Можно сказать, что Л=0 вдоль всей диспер-
дисперсионной кривой (о=о)к. Таким образом, вдоль этой
кривой
dA=dAd(d+d±dk=0.
дсо	дк
Но вдоль этой же кривой отношение dca/dk равно груп-
групповой скорости, поэтому Sk = б к vr. Следовательно, урав-
уравнение переноса энергии B.152) волнового пакета в про-
прозрачной среде принимает простой вид
—- + div(vrffk) = 0.	B.155)
dt
Это и есть искомое уравнение для квадрата амплиту-
амплитуды волны. Оно легко обобщается на случай, когда волна
является слабо затухающей, т. е. когда у собственной
частоты появляется небольшая мнимая добавка, так
что co = o)k +iy\a (для затухающей волны уь <0). Это за-
затухание связано с антиэрмитовой частью тензора е, и
его можно найти либо непосредственно из дисперсион-
дисперсионного соотношения, например Л = 0, где А дается форму-
формулой B.154), либо с помощью уравнения переноса энер-
гии, в котором сохранена антиэрмитова часть е. В
приближении малого затухания (у<.(й), т.е. малой мни-
мнимой части у 8 = е? eel, с помощью B.154) при учете
А (сок, к) =0 получаем
ImA ©V
У—д	-—д	,	B.156)
где e/=Re (e? eek), e//=Im (e*k еек). Соответственно
уравнение B.155) в случае слабо поглощающей среды
принимает вид
% + div (vP &k) = 2Yk &ь.	B.157)
dt

§ 5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	107
Здесь стоит именно 2у, так как квадрат амплитуды за-
затухает вдвое быстрее самой амплитуды.
3. Импульс волны. Кроме энергии, волновой пакет
обладает определенным импульсом. Его можно было бы
также найти из общих соотношений электродинамики
сплошных сред, но мы используем здесь более простой
и не менее общий подход, основывающийся на гали-
леевой инвариантности физических процессов при ско-
скоростях, значительно меньших скорости света.
Пусть волновой пакет распространяется в среде, ко-
которая сама движется с постоянной скоростью V. Пусть
энергия пакета по отношению к среде, т. е. в движущей-
движущейся системе отсчета, равна 8к . В неподвижной системе
отсчета энергия пакета $к будет, вообще говоря, от-
отлична от $к, и связь между ними можно найти с помо-
помощью галилеевой инвариантности. Для этого наряду с
волной рассмотрим некоторую частицу массы т, движу-
движущуюся со скоростью Vo=v+V, где v — относительная
скорость. Энергия этой частицы равна $? =mvy2=
= mv2/2+mvV-\-\mV2l2. С точностью до постоянной ве-
величины mV2/2 энергия частицы равна $1 = $p+pV, где
$р — энергия в системе отсчета, связанной со средой, а
р = ту — импульс частицы.
Допустим теперь, что эта частица имеет возмож-
возможность обмениваться с волной энергией и импульсом.
Тогда, чтобы законы сохранения энергии и импульса
удовлетворялись одновременно и в движущейся, и в не-
неподвижной системах отсчета, соотношение между
энергией и импульсом пакета в движущейся среде дол-
должно быть в точности таким же, как и для частицы, т. е.
B.158)
Учтем теперь, что свободная частица может интен-
интенсивно взаимодействовать с волной только при выполне-
выполнении условия черенковского резонанса сок—kv = 0. При
этом изменение энергии частицы по отношению к рас-
рассматриваемой среде связано с изменением ее импульса
очевидным соотношением: 68p.=mv6v=v6p. Точно та-
таким же соотношением должны быть связаны прираще-
приращения энергии и импульса волнового пакета. Но так как
они просто пропорциональны квадрату амплитуды и,
стало быть, пропорциональны друг другу, то это значит,
что #к —vPk =0 при сок— kv=0. Так как поперечная по

108	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
отношению к к компонента скорости частицы может
быть произвольной, то отсюда следует, что импульс вол-
волны Рк направлен вдоль к и равен, поскольку vk = cok,
Pk = "^^k.	B.159)
Итак, мы нашли искомое выражение для Рк . Теперь мы
видим, почему имеет смысл введение величины Nk —
числа волн в пакете. С ее помощью энергия и импульс
пакета выражаются очень просто:
B.160)
Соответственно упрощается и связь между энергией
волны в движущейся и в неподвижной системах отсчета.
Сравнивая B.160) с B.158), мы видим, что энер-
энергия волны меняется в точности так же, как и частота
вследствие доплеровского сдвига, т. е.
go = соо Nk у где 0о = (ок + kV .	B.161)
Число волн Nk и импульс Рк при переходе из одной си-
системы отсчета в другую, естественно, сохраняются.
Обратим еще раз внимание на то, что отношение
энергии волны к ее импульсу равно фазовой скорости:
$к =УфРк. Таким образом, чем меньше фазовая ско-
скорость, тем более «тяжелым» является волновой пакет,
т. е. тем больше его импульс при одной и той же энер-
энергии. «Быстрые» волны являются и наиболее «легкими».
4. Волны с отрицательной энергией. На первый
взгляд кажется довольно естественным считать, что
энергия волнового пакета всегда положительна: ведь,
как правило, на возбуждение волны приходится затрачи-
затрачивать энергию. Для равновесных сред положительность
энергии волн может быть даже строго доказана [2]. Од-
Однако для неравновесных сред это не так, и поэтому в
плазме, которая очень часто бывает неравновесной, вол-
волны нередко обладают отрицательным знаком энергии.
Отрицательность энергии волнового пакета означает, что
для его создания требуется не ввести энергию, а отнять
некоторое количество энергии от среды.
Самый простой пример волны с отрицательной энер-
энергией возникает при рассмотрении волн в движущихся
средах. Пусть плоская волна распространяется вдоль
оси х, так что k=kx, и ее частота со = сок . Энергия такой

§ 5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	109
волны равна § = сокЛЛ Допустим теперь, что вся среда
приходит в движение со скоростью Vx=—v0 против на-
направления распространения волны, т.е. влево. При этом
произойдет доплеровский сдвиг частоты со? =0)&—kv0 и
соответственно уменьшится энергия §°=(соь—kvo)N.
Будем увеличивать скорость среды и0. Тогда при дости-
достижении скорости 1>о, равной фазовой скорости волны,
волна в неподвижной системе отсчета остановится, и ее
частота, а стало быть, и энергия обратятся в нуль. Если
же скорость v0 станет больше фазовой, то энергия вол-
волны изменит знак и станет отрицательной. При таком
сверхзвуковом движении среды (если волна звуковая)
волна сносится средой и распространяется влево, хотя
по отношению к среде она распространяется вправо.
Энергия такой «отстающей» волны отрицательна, т.е.
для ее возбуждения нужно не передавать энергию среде,
а отнимать энергию от среды.
Заметим, в частности, что известное условие Ландау
для предельной скорости сверхтекучего движения гелия,
Sfe—Pft^0>0, где &k —энергия, pk — импульс возбужде-
возбуждения в гелии, эквивалентно условию отсутствия возбуж-
ний с отрицательной энергией по отношению к лабора-
лабораторной системе отсчета, т. е. по отношению к стенкам
капилляра, по которому течет гелий.
Учитывая знак энергии волн, можно несколько по-
другому взглянуть и на явление черенковского излуче-
излучения, или обтекания тел потоком. Нетрудно видеть, что
условие черенковского излучения сок—kvo = O, где Vo —
скорость частицы, или обратная ей скорость обтекаю-
обтекающего потока, означает, что частота соответствующей
волны, а следовательно, и ее энергия обращаются в нуль
в системе отсчета, связанной с частицей. Можно сказать,
что при обтекании тела от него отходят только волны с
нулевой энергией. Это вполне естественно, так как по-
покоящееся тело работы не совершает.
Если же тело имеет еще внутренние степени свободы
и может совершать колебания, т. е. если это осциллятор
с частотой соо, то может происходить обмен энергией
между волной и осциллятором. Он происходит при усло-
условии резонанса:
со—kv0 = ©о или со — kv0 = — со0.	B.162)
В первом случае условие резонанса удовлетворяется

ПО	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
при положительной частоте со—kv0 волны и соответст-
соответственно положительной ее энергии. При этом говорят о
нормальном доплер-эффекте при резонансе. Во втором
случае резонанс осуществляется для волны с отрица-
отрицательной энергией, и соответственно такой резонанс
принято называть аномальным. При аномальном доплер-
эффекте осциллятор, излучающий волну, не теряет, а
набирает энергию, поскольку волна в его системе от-
отсчета имеет отрицательную энергию. У плазмы в маг-
магнитном поле такими осцилляторами являются заряжен-
заряженные частицы, совершающие циклотронное вращение.
При этом ©о может быть равна любой гармонике цикло-
циклотронной частоты, и соответственно условие резонанса
имеет вид
со — kzvz=nQa,	B.163)
где п — целое число, положительное для нормального и
отрицательное для аномального доплер-эффекта, a vz —
скорость частицы вдоль силовой линии (или взятая с
обратным знаком скорость обтекающей среды).
Мы рассмотрели только самый простой случай, свя-
связанный с движением среды, когда по отношению к среде
волна имела положительную энергию. В неравновесной
плазме могут встретиться и более сложные ситуации,
когда даже в неподвижной среде энергия волны, опре-
определенная общим выражением B.150), оказывается отри-
отрицательной. Разумеется, это может быть только в том
случае, когда плазма далека от равновесия. Например,
волны с отрицательной энергией могут существовать в
плазме, удерживаемой в зеркальной ловушке (с магнит-
магнитными пробками), в том случае, когда функция распреде-
распределения частиц отвечает инверсной заселенности из-за то-
того, что частицы с малой поперечной компонентой ско-
скорости в такой ловушке не удерживаются. Волны с отри-
отрицательной энергией могут быть также в плазме с пучка-
пучками заряженных частиц.
5. Параболическое уравнение. Полученные выше
уравнения B.141), B.157) для к и §к соответствуют
приближению геометрической оптики, когда длина вол-
волны считается исчезающе малой по сравнению с харак-
характерными размерами волнового пакета. Но в принципе
можно учесть малые члены порядка отношения длины
волны к размеру пакета и тем самым приближенно опи-
описать дифракцию волн. Для почти монохроматической

§ 5. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ВОЛН	111
волны эта процедура приводит к так называемому па-
параболическому уравнению, предложенному впервые
М. А. Леонтовичем [61].
Рассмотрим опять почти монохроматическую волну
и для простоты допустим, что среда является изотроп-
изотропной, так что частота зависит только от абсолютного зна-
значения волнового числа. Представим электрическое поле
волны в виде
Е == еко Е ехр (— /со01 + ik0 х) + к.с,	B.164)
который отличается от B.138) тем, что теперь в Е мы
учитываем медленное изменение как амплитуды, так и
фазы (со временем и в пространстве). Здесь k&—вол-
k&—волновое число, а соо= со (^о)—соответствующая ему собст-
собственная частота, ек0 —вектор поляризации, который мы
для простоты будем считать постоянным, что справедли-
справедливо для плавного пакета, когда k0 значительно больше
обратного размера пакета. Будем считать, что ось х
прямоугольной системы координат направлена вдоль k0.
Комплексную амплитуду Е9 медленно меняющуюся
в пространстве и со временем, можно разложить в ин-
интеграл фурье:
Е = J?xv ехр (— ivt + Ыт) d* dv,	B.165)
где область интегрирования по %~ 1/L, anov^ 1/Г, L —
характерный размер пакета, T~Llvr — характерное вре-
время его изменения.
Если B.165) подставить в B.164), то само поле Е
будет представлено в виде интеграла Фурье, причем его
компонента Ек© оказывается равной Ek© =eko?xv при
к=ко+и, (o = coo+v. Но в фурье-разложении Е могут при-
присутствовать лишь те гармоники, у которых частота w
совпадает с собственной частотой, т. е. (со — cok)EkQ=0.
Отсюда следует, что (co0+v — mo+>t)EKv=0 и, следо-
следовательно, имеет место соотношение
— соко + н + соко)?KVexp (— ivt + fxr) dv dn =0 .
B.166)
Так как % мало, то мы разложим соко+и — соко в ряд
по х и учтем члены до второго порядка включительно.

112	Гл. 2, ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
По предположению, сок зависит только от абсолютной
величины k, и поэтому
шко + к ж соко + ( | к0 -f х | —ko)vT +
+1|ко+х|-?о)Ч>	B.167)
где
| ко + х | =У №) +*х У + *\ « *о + х, f ±
Если подставить эти выражения в B.166) и учесть, что
v = id/dt, %=—idldx, то получим уравнение для ком-
комплексной амплитуды:
+ + А^+0
Это и есть параболическое уравнение. Если отбросить
два последних малых слагаемых, то мы получим урав-
уравнение переноса dE/dt-}-vrdE/dx=O в приближении гео-
геометрической оптики. С учетом же этих членов достига-
достигается более точное описание пакета, в которое прибли-
приближенно включаются дифракционные эффекты.
§ 6. Волны в неоднородных средах
1. Квазиклассическое приближение. Если плазма яв-
является неоднородной, то проблема описания ее колеба-
колебаний существенно усложняется. С математической точки
зрения это усложнение состоит в том, что теперь прихо-
приходится иметь дело с дифференциальными (или интеграль-
интегральными) уравнениями с переменными коэффициентами,
решение которых сопряжено с большими вычислитель-
вычислительными трудностями. Но кроме этого чисто формального
усложнения, которое заключается в более утомитель-
утомительном описании тех же ветвей колебаний, которые име-
имелись у однородной плазмы, проблема колебаний неод-
неоднородной плазмы структурно становится гораздо слож-
сложнее из-за того, что могут появиться, и действительно по-
появляются, новые, подчас довольно неожиданные, ветви
колебаний неоднородной плазмы, в частности неустой-
неустойчивые ветви. Поэтому в теорию колебаний неоднород-

§ 6,. ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ	113
ной плазмы должна быть включена вся теория неустой-
чивостей, представляющая к настоящему времени само-
самостоятельную обширную область теории плазмы. Ясно,
что ее содержание далеко выходит за рамки настоящего
параграфа, и здесь мы вынуждены ограничиться только
краткими комментариями.
Среди различных ветвей колебаний неоднородной
плазмы, естественно, содержатся и те ветви, которые
имеются у однородной плазмы. Если длина волны соот-
соответствующих волн значительно меньше характерных
размеров плазменного образования, то для описания их
распространения может быть использован формализм
волновых пакетов. Соответствующее приближение, хо-
хорошо известное под названием квазиклассического или
геометрически-оптического, является достаточно уни-
универсальным и применимо практически к любым волнам,
в особенности если речь идет о средах с одномерной не-
неоднородностью.
Пусть, например, параметры плазмы изменяются в
зависимости только от координаты z, а волновой вектор
к имеет компоненты kx и kz (так что ky = Q). Тогда соб-
собственная частота колебаний, которая может быть най-
найдена из локального дисперсионного уравнения в при-
приближении однородной среды, является функцией со =
= со (fee, fez, z). Допустим, что рассматривается задача о
распространении волны от гармонического источника,
совершающего колебания с частотой соо. После того как
соответствующее волновое поле установится в простран-
пространстве, волновое число должно быть стационарным в каж-
каждой точке пространства, так что согласно B.141) 9о =
= 0, т. е.
<u(kx , kz у z) = (о0 = const.
Если пакет очень широкий, то при фиксированном z
компоненты кх и kz должны быть постоянными и не дол-
должны зависеть от х. А так как волновое поле к является
безвихревым, к= у<р, то dkJdz = d2q)/dzdx = dkz/dx=0,
т. е. из независимости kz от х вытекает постоянство fee:
fec=const. Таким образом, из соотношения со (fee, fez, z) =
= @о вытекает, что kz является функцией z\ волновое
число kz все время «подстраивается» таким образом, что-
чтобы локальная частота колебаний равнялась внешней ча-
частоте.

114	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Обратимся теперь ко второму уравнению динамики
волновых пакетов—уравнению переноса энергии B.155).
В стационарном одномерном случае оно принимает вид
d(vrz$)/dz=0. Так как<о пропорционально квадрату ам-
амплитуды колебаний Е2, то отсюда следует E*~c<msi/Vrz.
Там, где групповая скорость стремится к нулю, проис-
происходит «сгущение» пакета, а его амплитуда стремится к
бесконечности. Эта точка соответствует точке поворота
пакета, т. е. его отражению от области непрозрачности.
Рассмотрим в качестве простейшего примера задачу
о падении на плазму поперечной волны из вакуума. В
данном случае
Пусть волна падает на плазму снизу вверх, а плот-
плотность плазмы возрастает с увеличением z. Тогда из дис-
дисперсионного соотношения находим
Как мы видим, по мере увеличения плазменной частоты
©ре =V 4тге2 п/Ше компонента kz уменьшается и в точ-
точке о)рв ==<0q — c2k2x обращается в нуль. Так как o)q =
= c2(k2+kl0), гДе ^zo — значение волнового числа в
вакууме, то эта точка соответствует частоте
«5. =юо-^тг=<^е,	B.170)
где 9 — угол падения волны на плазменный слой. Точка
kz—0 (при этом и vrz=0) соответствует точке отсечки
электромагнитной волны: в более глубокие слои волна
не может проникнуть из-за непрозрачности плазмы.
Если угол 0 близок к я/2, то эта точка близка к точке
плазменного резонанса @о = @ре, в которой внешняя ча-
частота совпадает с ленгмюровской.
В результате появляется возможность так называе-
называемой трансформации волны из поперечной в продольную.
Она заключается в следующем. Если электромагнитная
волна поляризована таким образом, что ее электриче-
электрическое поле лежит в плоскости (я, «г), то вблизи точки от-
отсечки, где kx^>kz и поперечная волна распространяется
почти вдоль оси х, ее электрическое поле оказывается на-

§ 6,. ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ	115
правленным вдоль z. За точкой отражения, где kz ста-
становится мнимым, электрическое поле экспоненциально
убывает с увеличением z9 однако какая-то малая его
часть успевает дойти до точки резонанса хоо=<оре. В этой
точке внешнее поле раскачивает ленгмюровскую волну,
так что часть энергии от поперечной волны передается
в продольную. Этот эффект и называется трансформа-
трансформацией волны. Аналогичного рода эффекты трансформа-
трансформации могут происходить и в других ветвях колебаний.
Квазиклассическое приближение применимо также
к задаче распространения магнитогидродинамических и
других типов колебаний плазмы. С учетом соответству-
соответствующих граничных условий таким образом могут быть по-
получены частоты собственных колебаний плазмы, когда
вследствие отражения от границ или точек поворота в
ней могут образовываться стоячие волны. Однако этот
метод по существу является ограниченным; так, он не
позволяет уловить одну из интереснейших особенностей
спектров собственных колебаний плазмы, в частности
на магнитогидродинамических ветвях, — возможность
существования непрерывных спектров.
2. Непрерывные спектры. Квазиклассическое прибли-
приближение, опирающееся на картину распространения вол-
волновых пакетов, хорошо применимо только в том случае,
если эти пакеты действительно распространяются через
плазму. Если же групповая скорость очень мала или
вовсе обращается в нуль, как тогда должна выглядеть
картина колебаний? Чтобы описать ее, начнем с самого
простого случая ленгмюровских колебаний в холодной
плазме. Частота со=|(Оре таких колебаний не зависит от
k, так что групповая скорость равна нулю. Посмотрим,
как будут выглядеть такие колебания в неоднородной
плазме.
Для описания колебаний воспользуемся уравнением
P + a^E = -c»rolrotE.	B.171)
Это уравнение нетрудно получить, если продифференци-
продифференцировать по времени B.82), затем исключить В с помощью
B.83), а для плотности тока воспользоваться линеари-
линеаризованным уравнением движения электронов
д)	dve еЧ

Цб	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Уравнение B.171) описывает как продольные, так и
поперечные волны в плазме. Для продольных волн Е =
= — \7ф> и если применить операцию ротора к B.171),то
получим fv<P, уп]=0. Это значит, что поверхности по-
постоянной плотности, строго говоря, должны быть экви-
эквипотенциальны.
Рассмотрим сначала именно такие колебания. Тогда
V? r=z^^n » и Уравнение B.171) запишется в виде
-?- *»- + о& ¦?-= °-	B.172)
dt2 дп	дп
Отсюда видно, что в каждой точке потенциал колеблет-
колеблется с частотой, равной локальной плазменной частоте.
Для любого значения co=ico^ можно построить разрыв-
разрывное решение уравнения B.172), когда dq>/dn = 8(n — пР),
т. е. потенциал является ступенчатой функцией с разры-
разрывом в точке, отвечающей выбранному значению собст-
собственной частоты. Колеблется только тонкий слой элект-
электронов вблизи поверхности м=const, отвечающей задан-
заданной частоте со, и при таких колебаниях он является гар-
гармонически колеблющимся двойным электрическим сло-
слоем. Итак, мы видим, что данной задаче отвечает непре-
непрерывный спектр колебаний, колебания могут происходить
на любой плазменной частоте от соретах до соретт, кото-
которые определяются соответственно максимальной и мини-
минимальной плотностями электронов.
Если в плазменном сгустке произвести некоторое на-
начальное возмущение, при котором все электроны сме-
смещаются в одну сторону, то сначала электроны будут
колебаться совместно около положения равновесия. Со
временем, однако, фазы колебаний отдельных слоев нач-
начнут расходиться друг от друга. Другими словами, со-
согласно уравнению ok/dt=^ со волновой вектор будет ли-
линейно возрастать со временем: к=?усоре, причем тем бы-
быстрее, чем больше градиент плотности в данной точке.
Образно говоря, возникает «ветер» в ^-пространстве.
Вследствие возрастания к амплитуда колебаний элект-
электрического поля будет монотонно падать, так как будет
уменьшаться область с одной фазой колебаний.
Рассмотренная картина является типичной для си-
системы с непрерывным спектром, каковой является неод-
неоднородный сгусток плазмы по отношению к ленгмюров-

§ 6,. ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ	117
ским колебаниям. Затухание же колебаний из-за разбе-
гания фаз сходно с затуханием Ландау, где то же явле-
явление имело место в пространстве скоростей, в котором
разбегались по фазам волны Ван-Кампена, также имев-
имевшие непрерывный спектр.
Рассмотрим теперь ленгмюровские колебания более
общего вида. Допустим, что длина волны таких колеба-
колебаний много меньше, чем с/(дре. Тогда в уравнении B.171)
правую часть формально следует считать большой по
сравнению с левой, и его можно решать методом после-
последовательных приближений. В нулевом приближении
имеем Е = —уф- Для получения следующего приближе-
приближения, как обычно, следует потребовать, чтобы малая ле-
левая часть удовлетворяла условию ортогональности к
решению однородного уравнения нулевого приближе-
приближения. В данном случае это условие сводится к равенству
нулю дивергенции левой части, т. е.
-^-Дф + div (а)*,уф) = 0.	B.173)
Допустим опять, что плотность п зависит только
от координаты 2, и будем искать решение в виде
фB)ехр(—Ш-\-Игх). Тогда для линейного профиля плот-
плотности n=/io[l—(z/L)] уравнение B.173) примет вид
AL2+i)ii.^2(v2 + i)(p,0) B.174)
dz \	L I dz	\	L I
где v2;= (со2 — ю<* )/©jg, ©°, = VlK#nJme. Это урав-
уравнение также имеет непрерывный спектр собственных
значений [64а].
Для ленгмюровских колебаний непрерывный спектр
является следствием нулевой групповой скорости. В ре-
результате этого все колебания носят локальный характер
и никуда не переносятся со временем. Оказывается, что
аналогичное явление может иметь место для других
вегвей колебаний, в частности для магнитогидродинами-
ческих.
В самом деле, рассмотрим, например, альвеновскую
волну. У такой волны, как мы знаем, групповая скорость
направлена вдоль магнитного поля. Поэтому в слое плаз-
плазмы, в котором альвеновская скорость зависит, скажем,
от поперечной координаты х (например, из-за зависи-
зависимости массовой плотности от л:), но слой однороден

118	Гл. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
вдоль магнитного поля, будет иметь место практически
такой же эффект, как для ленгмюровских волн. Дейст-
Действительно, поскольку поперечная компонента групповой
скорости равна нулю, волны в соседних слоях не будут
влиять друг на друга, распространяясь вдоль магнит-
магнитного поля каждая со своей локальной альвеновской ско-
скоростью.
В результате любое начальное возмущение будет
рассыпаться на отдельные разбегающиеся по фазам слои-
слоистые волновые пакеты и суммарная амплитуда колеба-
колебаний будет как бы затухать со временем.
Этот эффект был обнаружен экспериментально при
наблюдении распространения альвеновской волны на
плазменном шнуре, образуемом при G-пинчевом схлопы-
вании плазмы. С помощью небольшого импульсного воз-
возмущения поперечного магнитного поля можно создавать
начальное смещение плазменного шнура, которое потом
должно было бы разбегаться в стороны в виде импуль-
импульсов, соответствующих альвеновской волне. Однако в дей-
действительности возмущения очень быстро затухают и
практически не распространяются вдоль шнура. Этот
факт был объяснен неоднородностью плотности плазмы
поперек шнура [66], в результате которой возмущения
на разных расстояниях от оси бежали вдоль шнура с
разными скоростями и быстро разбегались по фазам.
Проведенные впоследствии специальные эксперименты
по эволюции во времени начальных периодических по-
поперечных возмущений плазменного шнура в магнитном
поле [67] показали хорошее соответствие с теорией, ос-
основанной на непрерывности спектра альвеновских
волн.
Оказывается, что непрерывность спектра собствен-
собственных колебаний неоднородной плазмы имеет место и для
других ветвей магнитогидродинамических волн [68, 68а,
686]. Этот результат может быть получен на примере
цилиндрического плазменного столба с током в продоль-
продольном магнитном поле. В таком шнуре магнитное поле
имеет продольную Bz и азимутальную 5в компоненты.
Если рассмотреть возмущение с винтовой симметрией
вида exp (ikzZ+UnQ) 9 то альвеновской волне будет со-
соответствовать частота
= —i-^ (кгВг + «- BeJ.

§ б,. ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ	119
Эти волны, как мы уже обсуждали выше, бегут неза-
независимо друг от друга в виде тонких цилиндрических
слоев. Оказывается, что и замедленная волна имеет не-
непрерывный спектр [68а]. Для такой сильно локализован-
локализованной волны в квазиклассическом дисперсионном уравне-
уравнении типа B.21) следует устремить k к бесконечности, и
тогда в пределе получается дисперсионное уравнение
замедленной волны
=0.	B.175)
Итак, вместе с альвеновской волной существуют две
ветви МГД-колебаний с непрерывным спектром. Эти
ветви, строго говоря, не могут быть описаны с помощью
квазиклассического приближения, поскольку они соот-
соответствуют особым поверхностям, где квазиклассическое
приближение неприменимо. Существование непрерыв-
непрерывных спектров принадлежит к весьма интересным свойст-
свойствам одножидкостной магнитной гидродинамики.
Мы здесь полностью обошли молчанием неустойчи-
неустойчивые ветви колебаний плазмы, обсуждение которых будет
отложено до гл. 5.

ГЛАВА 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простые волны
1. Пучок невзаимодействующих частиц. Нелинейные
колебания непрерывных сред являются, конечно, гораз-
гораздо более сложными, чем рассмотренные нами выше ли-
линейные. Прежде всего здесь отсутствует принцип супер-
суперпозиции, и поэтому, грубо говоря, нелинейных процессов
«гораздо больше», чем линейных. Соответственно и фи-
физика нелинейных явлений намного богаче.
Чтобы постепенно и естественным образом войти в
область нелинейных явлений, целесообразно начать с
самых простых нелинейных эффектов, являющихся обоб-
обобщением рассмотренных ранее линейных. Прежде всего
представляется естественным исследовать, что будет
происходить с плоскими бегущими волнами пю мере уве-
увеличения их амплитуды. Как мы увидим ниже, ситуация
здесь оказывается существенно различной для диспер-
диспергирующих сред и сред без дисперсии. Обращаясь к низ-
низкочастотным волнам в плазме, предпочтительнее начи-
начинать с волн без дисперсии, а затем, включив в рассмот-
рассмотрение слабую дисперсию, исследовать ее влияние на
нелинейные волны. Такой подход.является достаточно'об-
достаточно'общим, он применим ко всем ветвям колебаний со слабой
дисперсией, в частности ко всем магнитогидродинамиче-
ским волнам в плазме.
Прежде чем переходить к собственно волнам, удобно
рассмотреть следующую очень простую модель. Пусть
имеется неограниченный по оси х пучок невзаимодейст-
невзаимодействующих частиц. Скорость каждой частицы v остается
постоянной, так что
^- = -1^ + с^~ = 0.	C.1)
dt	dt	дх	v '
Совокупность невзаимодействующих частиц, разуме-
разумеется, не является нелинейной системой, однако уравне-

§ 1. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ
121
ние C.1) внешне выглядит как нелинейное и имеет, как
мы увидим, решения, обладающие характерными свой-
свойствами нелинейных волн.
Рассмотрим сначала малые колебания однородного
пучка с постоянной скоростью v0: v = vo-\-w'. Полагая
v' = v' exp(—iat-\-ikx) и линеаризуя C.1), получим дис-
пе;рсионное соотношение для линейных волн
<o = kv0.	C.2)
Отсюда видно, что в линейном приближении мы имеем
дело с недиспергирующей средой: иф = со/&=const. Допу-
Допустим теперь, что на пучок накладывается некоторое на-
начальное возмущение скорости, которое имеет вид
a sin kx. Эволюцию этого возмущения удобно рассмот-
рассмотреть в движущейся со скоростью v0 системе отсчета,
полагая
C.3)
x+oy	o + .
В этой системе имеем (опуская штрих у х')
du ди . ди
	=	U и
dt dt	дх
= 0.
Удобнее всего проследить за пучком с помощью фа-
фазовой плоскости (х, и), на которой каждая точка пере-
перемещается со временем
со своей собственной
скоростью (рис. 22). Та-
Таким образом,
полуплоскость
верхняя
движется
вправо, нижняя — влево,
причем скорость любой
точки пропорциональна
ее удалению от оси х.
Начальное состояние
пучка представляется на
э'той ^плоскости синусои-
синусоидой, а затем эта кривая
искажается, двигаясь
вместе с фазовой плоско-
плоскостью. Соответственно искажается и профиль волны:
частицы со скоростью иХ) забегают вперед, а
сй<0 отстают от волны. В результате волна постепен-
постепенно (становится круче, и в конце концов производная
ди/дх обращается в бесконечность на ее переднем
Рис. V22. Одрокидыва'ние вол-
волны в пуч-ке свободных частиц

122
Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
фронте. В следующий момент происходит опроки-
опрокидывание волны, и функция и(х) перестает быть
однозначной, у нее появляются точки поворота, т. е.
образуются встречные пучки. Со временем эти точки по-
поворота раздвигаются, и число встречных пучков неогра-
неограниченно возрастает. По прошествии достаточно большо-
большого промежутка времени число пучков с разными скоро-
скоростями становится настолько велико, что можно прибли-
приближенно говорить о функции распределения частиц по
скоростям f(u).
Интересно проследить за изменением плотности ча-
частиц п. Легко видеть, что, как только начинается иска-
искажение профиля волны, появляется возмущение плот-
плотности: в точках 1 и 2 рис. 22 частицы сгущаются и плот-
плотность возрастает. Возникает та самая бунчировка ча-
частиц, которая используется в клистронах для генерации
сверхвысокочастотных колебаний. Нарастание возму-
возмущения плотности продолжается до тех пор, пока произ-
производная ди/дх9 а вместе с ней и плотность в точках 1, 2
не обратятся в бесконечность. После опрокидывания
профиля и(х) на зависимости плотности от х появляет-
появляется удвоенное число особенностей (рис. 23). Затем, по
мере возрастания числа
встречных пучков, происхо-
происходит увеличение числа «пич-
ков» на графике плотности
одновременно с уменьшени-
уменьшением их амплитуды, и плот-
плотность опять стремится стать
однородной. В пределе мож-
можно приближенно говорить об
однородном распределении
частиц «с функцией распре-
распределения по скоростям f{u).
Итак, рассмотрение это-
этого простейшего случая об-
обнаруживает много эффек-
эффектов, которые явно выходят
за рамки процесса простого
распространения синусо-
без искажения. А именно,
Рис. 23. Многопотоковое тече-
течение модулированного по ско-
скорости пучка
идальной линейной волны
происходит генерация высших гармоник, доходящая
затем до «опрокидывания» волны, появляются и затем
быстро нарастают возмущения плотности. Как мы уви-

§ 1. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	123
дим ниже, эти процессы относятся к кругу типичных
проявлений нелинейности системы.
Эта нелинейность проявляется и непосредственно в
уравнении C.3), которое удобно переписать в виде
д	^	C.4)
dt	дх '
В линейном приближении правую часть C.4) можно
отбросить, что соответствует стационарному профилю
линейной волны в рассматриваемой системе координат.
Если теперь, действуя в духе метода последовательных
приближений, подставить в правую часть линейное при-
приближение uM^asinkx, то получим
C.5)
где через мB<) обозначена добавка второго порядка ма-
малости. Отсюда видно, что uW соответствует появлению
второй гармоники, причем и&) линейно нарастает со вре-
временем, и спустя время t~l/ka амплитуда второй гар-
гармоники дорастает до амплитуды первой. Ясно, что для
промежутков времени такого порядка и больше метод
последовательных приближений становится непримени-
неприменимым.
Из выражений C.4) и C.5) несколько с другой точ-
точки зрения видно, почему для описанного выше процесса
опрокидывания волны важно отсутствие дисперсии. Как
видно из C.5), вторая гармоника только потому и имеет
возможность нарасти до большой амплитуды, что она
все время покоится в рассматриваемой системе отсчета
(т. е. движется с той же скоростью, что и линейная
волна в лабораторной системе отсчета). Если была
бы дисперсия, так что фазовая скорость второй гармо-
гармоники отличалась бы от фазовой скорости первой гармо-
гармоники на А0ф==0фBй) — 0ф(А), то уравнение C.5) сле-
следовало бы записать
ди<2> , д
+At'
так что мы получили бы ограниченное по амплитуде
решение, удовлетворяющее начальному условию
*/B)|*=o=O:
uB) = a2 [cos 2 kx — cos 2 k (x — А ш> f)]. C.7)
4 А Уф
При малой амплитуде а эта величина все время имела

124	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
бы второй порядок малости. При Лг%->0 выражение
C.7) после раскрытия неопределенности переходит в
C.5), т. е. методом последовательных приближений
опять можно пользоваться только на ограниченном
промежутке времени. Отсюда ясно видна разница меж-
между недиспергирующими и диспергирующими средами.
В недиспергирующих средах все гармоники остаются в
резонансе друг с другом, и поэтому возможна сильная
перекачка энергии от одних гармоник к другим вплоть
до опрокидывания, т. е. появления бесконечных гармо-
гармоник, отвечающих возникновению особенности на профи-
профиле волны. В диспергирующих средах такая сильная пе-
перекачка, вообще говоря, должна отсутствовать.
Рассмотренная здесь простая модель пучка невзаи-
невзаимодействующих частиц дает возможность обсудить еще
один важный эффект, который нам встретится позднее
при разборе нелинейных кинетических явлений в плаз-
плазме. Мы имеем в виду обратимость во времени. Как было
установлено выше, при эволюции модулированного пуч-
пучка во времени возникает опрокидывание волн и возник-
возникновение многопучковых состояний, причем число пучков
со временем нарастает. Кажется, что в пределе образу-
образуется распределение, в котором уже почти невозможно
выделить отдельные пучки и которое лучше всего мож-
можно описать функцией распределения частиц по скоро-
скоростям f(u). Но это описание не является точным. Более
того, строго говоря, оно неправильно.
В самом деле, пучок невзаимодействующих частиц
не содержит каких бы то ни было механизмов диссипа-
диссипации и является точно обратимой системой. Поэтому если
в какой-то момент времени обратить все скорости, то мы
должны воспроизвести всю картину эволюции пучка в
обратном порядке. А именно, на однородном, казалось
бы, фоне почти непрерывного распределения частиц по
скоростям начнут образовываться нарастающие со вре-
временем сгустки плотности, число их будет уменьшаться,
а величина нарастать, затем возникнут большие сгуст-
сгустки, отвечающие профилю волны скорости вблизи опро-
опрокидывания, и, наконец, мы придем к однородному рас-
распределению плотности со скоростью, модулированной
по закону asinkx. Другими словами, мы должны вер-
вернуться к начальному состоянию, но с обратными скоро-
скоростями, которое затем будет эволюционировать так же,
как было описано ранее.

§ 1. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	125
Можно сказать, что в многопотоковом состоянии
пучка, функция распределения которого кажется почти
непрерывной, в действительности сохранена вся инфор-
информация о начальном состоянии, от которого он эволюцио-
эволюционировал, и при обращении скоростей частиц вся эта ин-
информация может быть извлечена. Реально, конечно, нет
возможности сразу заменить скорости всех частиц на об-
обратные. Оказывается, однако, что имеется другая воз-
возможность извлечь заключенную в многопотоковом пучке
информацию. Эта возможность — эффект эха, который
мы рассмотрим в гл. 4.
2. Простые волны. Перейдем теперь к рассмотрению
собственно простых волн в недиспергирующих средах.
Простыми волнами называются особые нелинейные вол-
волны, являющиеся самым простым обобщением бегущих
линейных волн. Фактически это просто бегущие волны
с учетом нелинейности, которая в недиспергирующих
средах приводит к их искажению со временем.
Так как мы не столько стремимся к общности и стро-
строгости изложения, сколько к выяснению качественной
стороны явлений, то как типичный пример простой вол-
волны рассмотрим частный случай распространения длинно-
длинноволновых возмущений ионно-звукового типа в электрон-
электронно-горячей плазме. Электронную температуру плазмы
можно считать постоянной в силу большой электронной
теплопроводности.
Соответственно уравнения для распространения волн
в такой плазме имеют вид
где Те — электронная температура, nti — масса иона
(температуру ионов считаем пренебрежимо малой!.
Уравнения C.8), C.9) обладают, разумеется, гораздо
более широким классом решений, чем одни лишь про-
простые волны. Поэтому прежде всего возникает вопрос,
как выделить искомое решение.
Для этого вспомним, что в линейном приближении
для возмущения плотности п' и скорости v' в бегущих
волнах мы имеем соотношения типа v'=asmk(x — cst),
n'=(bsin k(x— Cdt), где cs = VTe/nii —скорость зву-

126	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ка. Как мы видим, плотность изменяется по тому же за-
закону, что и скорость. Можно сказать, что одна величина
является функцией от другой: n=n(v). Естественно
принять, что и в нелинейной волне типа простой волны
профиль будет эволюционировать таким образом, что
одна из указанных величин будет оставаться функцией
от другой. Поэтому для выделения решения типа про-
простой волны положим n = n(v\. Тогда уравнения C.8),
C.9) могут быть записаны в виде
Tf + '-jn+rf-TT-r--0'	(ЗЛ0)
dt	дх	п dv дх
+ v)*!L + nlL = o.	C.11)
dt ^ дх) dv ^ дх	\ /
Умножая первое из этих уравнений на dn/dv и вычитая
из второго, найдем, что после сокращения на dv/dx
4(f-J=n*.	C.12)
\ dv J
Отсюда получаем csdn/dv=±n. Подставляя это значе-
значение в'уравнение (ЗЛО) или C.11), находим
+ (v±Cs)^0.	(з.13)
Таким образом, мы приходим к уравнению точно
такого же вида, как и для пучка невзаимодействующих
частиц, с той лишь разницей, что теперь перед нелиней-
нелинейным членом стоит множитель v±cs вместо v. Переходя
в систему отчета, движущуюся со скоростью звука, мы
получим в точности уравнение вида C.3) для пучка
невзаимодействующих частиц. Можно сказать, что в
данном случае мы имеем дело с «пучком» невзаимодей-
невзаимодействующих фононов — звуковых возбуждений.
Отсюда следует, что для профиля скорости звуковых
волн большой амплитуды также должно иметь место яв-
явление «укручивания» фронта. В обычной газодинамике
это «укручивание» продолжается все время, пока ско-
скорость v(x) остается однозначной. Но как только dv/dx
обратится в бесконечность, начинает формироваться
ударная волна, на фронте которой происходит диссипа-
диссипация энергии вследствие вязкости.
Заметим, что уравнение C.13) остается справедли-

§ 1. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	127
вым и для уравнений газодинамики, когда cs не является
постоянной, а сама может рассматриваться как функ-
функция п или v. Соответствующее обобщение уравнения
вполне очевидно, и мы не будем его здесь подробно рас-
рассматривать. Ясно, что при cs = cs(n) вывод об опрокиды-
опрокидывании волны остается в силе.
3. Магнитогидродинамические волны. Аналогичным
образом могут быть получены решения типа простых
волн и для других типов возмущений в проводящем га-
газе. Например, при поперечном распространении быстрой
магнитозвуковой волны в плазме низкого давления
имеем
i? + oiL+JL «* «О,	C.14)
dt	дх ^ пцп дх 8п
дВ +J-vB=0,	C.15)
dt дх
?+?.»-а	C.-6)
Эти уравнения аналогичны уравнениям газовой дина-
динамики с показателем адиабаты у = 2, поскольку из послед-
последних двух уравнений вытекает В/п=const и, следователь-
следовательно, В2]Ъп~пг. Соответственно все выводы обычной га-
газодинамики об опрокидывании нелинейных волн авто-
автоматически переносятся и на поперечные магнитозвуко-
вые волны.
Аналогичное рассмотрение может быть проведено и
для косого распространения магнитозвуковых волн с
тем же самым результатом: из-за наличия нелинейного
по скорости члена и увеличения фазовой скорости при
сжатии потока магнитного поля происходит «опрокиды-
«опрокидывание» волны. Несколько более своеобразная ситуация
возникает лишь в случае альвеновской волны. В такой
волне перемещение- среды происходит поперек направ-
направления распространения волны, так что нелинейный член
(\rv)v обращается в нуль (дифференцирование произ-
производится в плоскости постоянной фазы). Вследствие это-
этого в несжимаемой среде (В2,<^8кр) оказывается возмож-
возможным распространение альвеновских волн конечной ам-
амплитуды без искажения. Однако в более реальных слу-
случаях р~1 или Р<С1 альвеновская волна также «опро-
«опрокидывается» из-за перекоса силовых линий. Вследствие

128	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
перекоса к упругому натяжению силовых линий добав-
добавляется давление из-за их сжатия, так что фазовая ско-
скорость возмущений в этом месте несколько увеличивает-
увеличивается. В результате возмущения с большой амплитудой до-
догоняют возмущения малой амплитуды, и происходит
«опрокидывание». При этом образуется так называемый
вращательный разрыв — аналог ударных волн для аль-
веновской волны.
§ 2. Нелинейные волны в слабодиспергирующих
средах
1.	Нелинейность и дисперсия. Рассмотренный выше
процесс укручивания и опрокидывания волн существен-
существенно связан с отсутствием дисперсии. Именно из-за отсут-
отсутствия дисперсии все волны малой амплитуды с различ-
различными волновыми числами k распространяются с одина-
одинаковой -скоростью и имеют возможность длительное
время взаимодействовать между собой, так что даже не-
небольшая нелинейность рано или поздно должна приве-
привести к накоплению искажения (если нет затухания, ко-
которое может привести к исчезновению волн до того, как
успеет проявиться нелинейность).
В диспергирующих средах картина существенно из-
изменяется. Даже при малой дисперсии фазовая скорость
волн с различными k все же неодинакова, и дисперсия
может конкурировать с нелинейностью, в особенности
вблизи точки опрокидывания, где начинают превалиро-
превалировать высшие гармоники. Такие гармоники порождаются
при нелинейном искажении волны и вследствие диспер-
дисперсии будут обгонять основную волну или отставать от
нее в зависимости от того, растет или убывает группо-
групповая скорость с увеличением k. Поэтому еще до опроки-
опрокидывания волна может «расползтись» на отдельные вол-
волновые пакеты (вообще говоря, нелинейные), и ударная
волна не образуется. Чтобы проследить более детально
за физикой этого явления, не усложненного побочными
процессами, мы рассмотрим слабодиспергирующую сре-
среду без диссипации, в которой эволюция волн определя-
определяется только нелинейностью и дисперсией, и будем счи-
считать, что нелинейность невелика.
2.	Волны на мелкой воде. В природных условиях су-
существует объект, легко доступный для наблюдения рас-

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 129
пространения волн в слабодиспергирующих средах,—
мелкая вода. Рассмотрим слой жидкости высоты й0 над
твердой поверхностью и изучим в нем гравитапионные
волны с длиной волны, много большей й0. Для простоты
допустим, что волны распространяются вдоль оси х, так
что давление р и скорость v не зависят от переменной
у. Поскольку длина волны велика по сравнению с й0,
т. е. вода мелкая, горизонтальную составляющую ско-
скорости можно считать однородной по высоте (не завися-
зависящей от z), так что для vx=\v имеем
UL + vlJL+±AL = o.	C.17)
dt	дх р дх
Здесь давление р можно понимать в смысле среднего
его значения по высоте. Оно, очевидно, выше там, где
больше высота жидкости, на величину (й — ho)pg по
сравнению с давлением в невозмущенном слое. Таким
образом, уравнение C.17) принимает вид
¦ff + '-Sr+fc-r-0-	(ЗЛ8)
dt	дх	дх
Высота й в свою очередь определяется уравнением не-
непрерывности
ii + JL (гЧ_ о,	C.,9,
которое выражает тот факт, что скорость изменения вы-
высоты слоя dh/dt связана с разностью потоков hv через
бесконечно близкие сечения х и x+dx.
Уравнения C.18), C.19) по форме совпадают с урав-
уравнениями газодинамики с у=2. Это означает, что в ли-
линейном приближении волны на мелкой воде не имеют
дисперсии, а в нелинейной волне должен иметь место
эффект укручивания и опрокидывания.
Для этих уравнений также нетрудно получить реше-
решение типа простой волны. Для этого опять полагаем й=
= й(а) и, повторяя выкладки § 1, получаем
¦?-•>• <3-20>
Если амплитуда колебаний невелика, так что й=йо+й/,
где й0 — невозмущенная высота, а й'<Сй0, то в уравне-
5 Б. Б. Кадомцев

130	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
нении C.20) можно положить
h~ho+^-v = ho + yHv,	C.21)
dv	V g
после чего с точностью до квадратичных членов оно
приводится к виду
+ (v±Co)	0m
dt [ 2	°) дх
Здесь co~y~gho—фазовая скорость линейных волн.
Переходя в систему отсчета, движущуюся со скоростью
+ с0 или —сОу и вводя обозначение и=3/2У, мы опять
придем к уравнению
iH. + и *JL = о,	C.22)
dt	дх
с которым уже познакомились выше.
Таким образом, нелинейные эффекты, которые мо-
могут разыгрываться в недиспергирующих средах, можно
наблюдать в любом мелком водоеме.
3. Уравнение Кортевега — де Фриза. Фазовая ско-
скорость очень длинных волн на мелкой воде не зависит от
волнового числа к и равна просто V g h0. Однако при
увеличении k она должна начать изменяться, чтобы при
очень больших k^> l//ic< перейти в зависимость^ = V glk
для гравитационных волн. Так как при больших k фазо-
фазовая скорость убывает и, кроме того, ^ф является четной
функцией от &, то при малых k она может быть пред-
представлена в виде
iik) C-23>
где величина k0 определяет характерную «длину диспер-
дисперсии», на которой изменение ^ф становится порядка са-
самой этой скорости._Для волн на мелкой воде, как можно
показать, К = ]//V Напомним, что аналогичное раз-
разложение при малых k имеет место и для волн в плазме,
у которых Vф убывает с увеличением &, т. е. для ионно-
звуковой, альвеновской и поперечной магнитозвуковой
волн. Что касается косой магнитозвуковой волны, у ко-
которой фазовая скорость растет с увеличением &, то для
нее при малых k имеет место разложение вида C.23),
но со знаком плюс перед k/k^

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 131
Постараемся теперь учесть дисперсию в уравнении
для простых волн. Рассмотрим для определенности вол-
волну, распространяющуюся вправо, т. е. с ^ф>0, и начнем
с линейного приближения. В этом приближении для та-
такой волны в системе координат, движущейся со ско-
скоростью со, мы должны согласно C.23) получить частоту
со = —c0k3/2kl . Следовательно, соответствующее урав-
уравнение в переменных х, t должно иметь вид
д± +3-J^L = O.	C.24)
Второй член здесь учитывает дисперсию.
Но, с другой стороны, как мы установили выше, при
конечной амплитуде возмущения уравнение должно со-
содержать нелинейный член и ди/дх. В полном уравнении,
в котором учтены оба эффекта, должны содержаться и
нелинейный, и дисперсионный члены. Таким образом,
полное уравнение, описывающее нелинейные волны на
мелкой воде, а также в любой слабодиспергирующей
среде с отрицательной дисперсией, должно иметь вид
1± + и1± + ^^Л±^0.	C.25)
dt	дх 2kl дх*
Это уравнение было получено Кортевегом и де Фризом
в 1895 г.
Для сред с положительной дисперсией следовало бы
изменить знак перед последним слагаемым. Но если при
этом еще сделать замену #->-—х, и-*—и9 то мы снова
получим уравнение вида C.25). Так как х у нас отсчи-
тывается от точки c^t, то это значит, что в средах с по-
положительной и отрицательной дисперсией волны распро-
распространяются зеркально симметрично по отношению к точ-
точке Xo = Cot, движущейся со скоростью длинноволновых
возмущений. В силу этого достаточно рассмотреть лишь
случай среды с отрицательной дисперсией, например
мелкую воду, а для сред с положительной дисперсией
решение будет зеркально-симметричным.
4. Периодические волны, солитоны. Рассмотрим сна-
сначала некоторые частные решения уравнения Кортеве-
га — де Фриза типа бегущих волн и = и(х — ct), где с —
фазовая скорость. Точнее, с — это малая добавка к ос-

132	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
новной фазовой скорости со в лабораторной системе от-
отсчета. Для таких волн
ди __ ди
1Т~~с~д7'
так что C.25) становится обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнением. Его сразу можно проинтегрировать
один раз и получить
с° d^ = a + cu-^,	C.26)
2k% d*	2
где а — константа интегрирования, которую мы без ог-
ограничения общности положим равной нулю (это всегда
можно сделать при помощи перехода в движущуюся си-
систему координат). Тогда уравнение C.26) может быть
представлено в виде
с0 d?u	dW	,.. 97
@.27,
2$ jix2	ди
где
w;	си2 , иъ
w==—г + ~г-
Воспользуемся теперь очень удобной аналогией. Бу-
Будем рассматривать х как время, а и как координату не-
некоторой материальной точки. Тогда уравнение C.27)
описывает движение материальной точки массы cd/2k$
в потенциальной яме глубиной W. Другими словами,
C.27) можно интерпретировать как уравнение движе-
движения для нелинейного осциллятора. Потенциальная энер-
энергия W как функция и изображена на рис. 24. Она обра-
обращается в нуль при и = 0, и = 3с и достигает минимума
при и = 2с. При колебаниях вблизи минимума потен-
потенциальной энергии W волна является практически гар-
гармонической:
и = 2 с + и0 exp [I k0 V2c/c0 (x — с t)\.
Как мы видим, и колеблется около значения 2с, т. е.
в системе отсчета, движущейся со скоростью 2с, в кото-
которой колебания происходят около нулевого значения,
волна распространяется со скоростью —с влево, Как и

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 133
должно быть при отрицательной дисперсии. При этом,
поскольку волновое число k = k0V2c/c0, добавка к фа-
фазовой скорости—с равна — с$Щ2к\ , как это и следует
из дисперсионного соотношения.
По мере увеличения амплитуды колебаний волна ста-
становится все более и более несимметричной: как видно из
графика для потенциальной энергии, «частица» будет
дольше иметь малую скорость иу где упругость меньше,
и быстрее проскакивать значения с большим и (см.
W
2с
Рис 24. «Потенци-
«Потенциальная энергия» для
-периодических волн
Р,ис. 25. Солитеры в сре-
средах с отрицательной (а)
и положительной (б)
дисперсиями
рис. 24). И наконец, когда амплитуда увеличится на-
настолько, что станут возможными значения и = 0, появят-
появятся исключительно интересные решения типа уединен-
уединенного импульса (рис. 25, а). При этом «точка» и бесконеч-
бесконечно долго находится в положении и = 0, затем она «ска-
«скатывается» в потенциальную яму W9 достигает значения
ио=3с, где W второй раз обращается в нуль, отражает-
отражается от нее и снова возвращается в положение и = 0. Это
решение называют уединенной волной или солитоном
(от английского «solitary wave»). Можно проверить,
что решение для солитона имеет вид
и =	^		C.29)
ch2 [(x-ct)JA) '	V ;
где А —характерная ширина солитона. В самом деле,
если мы подставим эту функцию в уравнение C.26) с
а = 0, то получим
_ бар \	 с и0
ch2 у ch*y J ch2 у
2ch*y
C.30)

134	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
где у=(х — ct)/A. Видно, что уравнение C.30) удовлет-
удовлетворяется при
^	C.31)
откуда следует соотношение
^ = const,	C.32)
0 ^
т. е. произведение амплитуды солитона на квадрат его
ширины есть величина постоянная.
Таким образом, существует однопараметрическое се-
семейство решений типа солитонов. В качестве параметра
этого семейства может быть выбрана, например, их ам-
амплитуда. При этом ширина солитона однозначно связа-
связана с его амплитудой: чем больше амплитуда солитона,
тем он уже.
Следует заметить, что фазовая скорость солитонов в
рассматриваемой нами среде с отрицательной дисперси-
дисперсией согласно C.31) положительна, т. е. они движутся
быстрее скорости звука. В солитоне происходит как бы
точное уравновешивание нелинейности и дисперсии: из-
за нелинейности импульс имеет тенденцию опрокинуть-
опрокинуться, но дисперсия приводит к тому, что высшие гармони-
гармоники отстают от основной, и в результате солитон сохраня-
сохраняет постоянный во времени профиль.
Бели амплитуда и0 чуть меньше Зс, то скорость и до
нуля не доходит и решение становится периодическим;
оно соответствует как бы серии солитонов, следующих
друг за другом. Это периодическое решение также яв-
является сверхзвуковым.
Таким образом, по мере возрастания амплитуды пе-
периодических решений типа бегущих волн их фазовая
скорость из отрицательной становится положительной и
возрастает до значения ио/3 у уединенных волн (напом-
(напомним, что мы говорим о фазовой скорости в системе от-
отсчета, движущейся со скоростью звука с0).
5. Эволюция начального возмущения. Обсудим те-
теперь вопрос о временной эволюции колебаний, создан-
созданных начальным сосредоточенным возмущением конеч-
конечной амплитуды. Для простоты ограничимся одномерным
случаем, предполагая, что возмущение является беско-
бесконечно протяженным и однородным вдоль оси у.

§ 2, НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАЕОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 135
Пусть в начальный момент ^=0 создается некоторое
возмущение скорости с амплитудой и0 и шириной по-
порядка А. Если Ио<Ссо, то возмущение можно считать сла-
слабо нелинейным. В этом случае возмущение достаточно
быстро, пока еще не успеет проявиться нелинейность,
распадется на два, бегущих в разные стороны со ско-
скоростью, примерно равной со, и представляющих собой
простые волны. Поэтому достаточно проследить за мед-
медленной эволюцией лишь одной простой волны, т. е. до-
достаточно рассмотреть нестационарные решения уравне-
уравнения Кортевега—де Фриза с учетом дисперсии. Отсюда,
в частности, видно, почему простые волны имеют боль-
большее значение, чем какие-либо другие, быть может, даже
более общие нелинейные решения: в простой волне не-
нелинейность проявляется сильнее, так как все гармоники
долго движутся совместно.
Нестационарные решения уравнения Кортевега —
де Фриза вначале были исследованы численно, и только
позднее была построена их аналитическая теория. Не
качественная картина может быть изложена весьма
просто с помощью следующих рассуждений.
Допустим сначала, что начальное возмущение по фор-
форме в точности совпадает с солитоном, т. е. u(t=0, x) =
= uo/chz(xfA). Тогда это возмущение могло бы распро-
распространяться как солитон, если бы его амплитуда была
связана с шириной соотношением C.32):
= _^	C.33)
Другими словами, безразмерная величина
для солитона в точности равна 1. Но величина а про-
пропорциональна амплитуде, и поэтому ее можно рассмат-
рассматривать как параметр нелинейности волны: при кх<С 1 воз-
возмущение имеет очень малую амплитуду и его можно
считать линейным, при '(*= 1 образуется уединенная вол-
волна, а при ог> 1 амплитуда настолько велика, что вообще
не существует решений типа бегущей стационарной
волны.
Нетрудно видеть, почему в слабодиспергирующей

136	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
среде показателем нелинейности служит именно произ-
произведение амплитуды на квадрат ширины, а не более, ка-
казалось бы, естественная величина — отношение ампли-
амплитуды волны и0 к характерной фазовой скорости Со. Это
связано с тем, что в недиспергирующей среде одномер-
одномерная волна всегда является нелинейной: независимо от
амплитуды она обязательно рано или поздно «опроки-
«опрокинется» (разумеется, если нет диссипации и волна не за-
затухает). Именно дисперсия не дает этому произойти, и
поэтому амплитуду и0 следует сравнивать не с фазовой
скоростью Со длинноволновых возмущений, а с добавкой
Cok2/2k$ ~ co/k%A?f связанной с дисперсией, так что по-
показателем нелинейности служит их отношение, т. е. ве-
величина •СГ~И,оД2'.
Если начальное возмущение не совпадает по профи-
профилю с солитоном, а имеет вид импульса ширины Д. и ам-
амплитуды uOi to в качестве параметра нелинейности опять
можно принять величину а. При сг<С 1 мы имеем дело с
линейным возмущением. Характер распространения волн
от такого возмущения мы уже рассмотрели ранее: длин-
длинноволновая часть спектрального разложения возмуще-
возмущения движется со скоростью, близкой к со, а коротковол-
коротковолновые составляющие отстают от основного импульса.
Импульс в целом из-за дисперсии расплывается, и его
амплитуда падает. Заметим, что при этом, как следует
из закона сохранения энергии i% Д= const, амплитуда
убывает всего лишь как Щ ~ 1/]/"А. Отсюда видно, что
ча стадии расплывания нелинейного пакета параметр
а~и0Д? возрастает как Д3/2> и возмущение становится
все более и более нелинейным. В результате оказывает-
оказывается, что из линейного возмущения при определенных ус-
условиях (которые будут выяснены ниже) может сформи-
сформироваться один широкий солитон и дисперсионный линей-
линейный «хвостик».
Больший интерес представляет случай сильно нели-
нелинейного возмущения <т>1, когда ширина Д. велика. На
первой стадии эволюции такого возмущения дисперсия
не играет роли и его поведение определяется нелиней-
нелинейностью. Это значит, что в импульсе должно происходить
укручивание переднего фронта и он имеет тенденцию к
опрокидыванию. Однако при появлении более высоких
гармоник в игру вступает дисперсия, которая должна

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБО/ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 137
«разводить» возмущения с различными длинами волн.
Поэтому по прошествии достаточно большого проме-
промежутка времени возмущение должно «рассыпаться» —
разбиться на отдельные группы, аналогичные волновым
пакетам в линейном случае. Каждая из этих групп мо-
может приближенно рассматриваться как движущаяся с
постоянной скоростью. Но все решения, отвечающие бе-
бегущим волнам с постоянной скоростью, мы уже знаем:
это периодические волны с а<1 и солитоны с 'а.= 1, и
никаких других решений нет. Следовательно, началь-
начальный импульс с а> 1 должен «рассыпаться» на солитоны
и слабо нелинейный пакет. Все солитоны движутся со
сверхзвуковой скоростью Со+с, притом тем большей,
чем больше амплитуда солитона и0, а волновой пакет,
расплывающийся со временем и уменьшающийся по ам-
амплитуде, отстает от точки x=cot и является дозвуковым.
Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета,
которая движется со звуковой скоростью, все солитоны
расположены справа от начала координат, а расплыва-
расплывающийся и затухающий со временем практически линей-
линейный волновой пакет находится слева. По прошествии
достаточно большого промежутка времени практически
останутся только солитоны. Отсюда видно, что солито-
солитоны являются одним из наиболее существенных типов
нелинейных волн.
Вся эта качественная картина в точности совпадает
с результатами числовых расчетов, вернее, на результа-
результатах этих расчетов она и основана. На рис. 26, например,
Рис. 26. Солитоны от им-
импульсного возмущения с
8
А
представлены расчеты Березина и Карпмана [77], кото-
которые численно решали уравнение Кортевега — де Фриза
для начального импульса с кх.=8. Как мы видим, возму-
возмущение распалось на четыре солитона и коротковолновый
пакет малой амплитуды.
Другим примером процесса рассыпания волны на
солитоны может служить эволюция синусоидального

138
Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
возмущения большой амплитуды. Результаты числово-
числового решения етой задачи, полученного Забусским и Крус-
калом [78], представлены на рис. 27. На этом рисунке
изображен только один период по х, и ©ся картина
должна быть периодически продолжена в обе стороны.
Как мы видим, возмущение сначала эволюционирует
как простая волна—оно увеличивает свою крутизну и
(А)
(B)—t
(С)	t-Шв
ш 2>°
Рис. 27. Эволюция периодического возмущения в слабо диспергирую-
диспергирующей среде: t=tB — начало опрокидывания волны
приближается к опрокидыванию. Однако перед самым
опрокидыванием в игру вступает дисперсия, и от перед-
переднего фронта начинает отделяться первый солитон. Затем
к фронту опять набегает волна слева, и начинает фор-
формироваться второй солитон. Этот процесс .продолжается
до тех пор, .пока вся волна не распадается на совокуп-
совокупность солитонов. Интересно, что в этот момент верхушки
солитонов располагаются на одной .прямой (кривая С).
Аналогичный .эффект имел место и при рассылании
отдельного импуль'са (см. рис. 26). Этот факт имеет
простое объяснение. Дело в том, что солитоны образу-
образуются примерно в одном и том же месте — на переднем
фронте волны. Скорость же каждого солитона, как мы
знаем, равна Ио/3, т. е. пропорциональна его амплитуде.
Поэтому расстояние Ax=ct=Uot/3, пройденное солито-
ном за время t от точки их образования, пропорцио-
пропорционально tio. Другими словами, амплитуды солитонов и0
возрастают по линейному закону, пропорционально рас-
расстоянию от точки их образования. Заметим, что со вре-
временем огибающая солитонов эволюционирует как про-

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮПТТ"
стая волна, что при плавном изменении аь
х видно из условия постоянства амплитул
солитона:
du0 = ди0 . _uq_ д и0 _ п
dt 3
dt
дх
Это уравнение для огибающей имеет вид
простой волны. Для огибающей рис. zo -
глядит ,как пилообразная волна с разры
нем фронте, который отве-
отвечает солитону с наибольшей
амплитудой. Можно ска-
сказать, что на огибающей
имеется разрыв типа удар-
ударной волны без диссипации.
На рис. 27 волна огиба-
огибающей эволюционирует как
простая волна только до
тех пор, пока не начинается
образование многопотоко-
многопотокового состояния: солитоны с
большей амплитудой обго-
обгоняют более медленные, так
что происходит пересечение
траекторий солитонов, как
показано на рис. 28.
Числовые расчеты вы-
выявили очень интересный ха-
характер нелинейного взаимо-
взаимодействия солитонов друг с
другом. Если солитоны
сильно различаются по ам-
амплитудам, так что их относительная скорое
точно велика, то происходит как бы проз
одного солитона сквозь другой, как показано Не
Однако при пересечении солитонов суперпози
мущения нет: суммарная амплитуда двух ел*,
солитонов оказывается несколько меньше су.
амплитуд. При этом в некотором условном с
можно говорить о двухсолитонном состоянии:
возмущение при последующей эволюции pacna-z
только «на два солитона, притом в точности совпадг
с начальными. После такого распада получаются Кс
прошедшие друг сквозь друга солитоны. При N.
Рис. 28. Траекто-
,нов; TR — время

140	Гл\ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
разнице скоростей солитонов, когда их амплитуды близ-
близки, слияния не происходит. При этом солитоны подхо-
подходят на близкое расстояние и более быстрый солитон
через соединяющую их «перемычку», если можно так
выразиться, «шереливает» часть возмущения в находя-
находящийся перед ним более медленный со лито»; в результа-
результате медленный солитон ускоряется, а быстрый — замед-
замедляется. Примером такого «упругого» отталкивания
может служить взаимодействие солитонов 2 и € на
рис. 28 при \t=TR/4.
Интересно, что в рассматриваемом случае может
иметь место слияние большего, чем дваг числа солито-
солитонов. Например, при ?=Гд/2, как показано на рис. 28,
происходит слияние всех четных и отдельно всех нечет-
нечетных солитонов. А при t=TRj соответствующем как бы
времени возврата, каждый из солитонов, пройдя целое
чиюло периодов, вновь приходит к начальному состоя-
состоянию, так что все солитоны снова сливаются в один им-
импульс. Возмущение при этом становится близким к на-
начальной синусоиде. Однако поскольку скорости солито-
солитонов не соизмеримы, полного совпадения с начальным
возмущением нет, и в последующие моменты слияния
всех солитонов профиль все больше и больше отходит от
начальной синусоиды.
Следует иметь в виду, что солитоны могут образо-
образоваться лишь в том случае, .если начальное возмущение и
имеет положительную амплитуду (в среде с отрицатель-
отрицательной дисперсией). Если начальное возмущение всюду
имеет отрицательную амплитуду, то оно не может по-
породить солитоны. В этом случае оно эволюционирует в
нелинейный волновой «хвост», который затем расплы-
расплывается до малой амплитуды и становится линейным.
Bice сказанное выше относится и к средам с положи-
положительной дисперсией с соответствующей модификацией: в
таких средах солитоны отвечают не «горбам», а «впади-
«впадинам», причем все они движутся со скоростью, меньшей
с0, а волновой «хвост» малой амплитуды—со скоро-
скоростью, большей с0. В средах с положительной ди/сперсией
солитоны образуются лишь при отрицательной амплиту-
амплитуде возмущения (см. рис. 25,6).
Заметим, что к уравнению Кортевега — де Фриза
можно подойти с точки зрения теории классического по-
поля, т. е. получить его из вариационного принципа наи-
наименьшего действия. Для этого достаточно ввести в рас-

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИОПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 141
смотрение лагранжиан поля. Пусть ф — потенциал ско-
скорости, определяемый соотношением и = д<р/дх. Тогда
лагранжиан L записывается .в виде
г 1 С Гдф дф , 1 /Эф \з с0 (д2 ф
2 J [dt дх 3 \ дх I 2&Q \ д х2
Нетрудно проверить, что соответствующее уравнение
Лаграюка
	 	 —rQ
—— V/,
О t Оф/	О ф
где <pt = d(p/dt, в точности совпадает с уравнением Кор-
тевега — де Фриза C.25).
С помощью лагранжиана Lf опираясь на известные
теоремы Нётер, можно вывести законы сохранения им-
импульса и энергии. А именно, из инвариантности лагран-
лагранжиана по отношению к сдвигу системы по координатам
следует выражение для импульса
Р = —
А из инвариантности L по отношению к сдвигу по време-
времени следует выражение для энергии $о в рассматривае-
рассматриваемой нами системе отсчета, движущейся со скоростью с0:
Энергия в лабораторной системе отсчета <$ равна
g = #0 + со Р.
В этом выражении второе слагаемое много больше пер-
первого, так что <о&СоР.
Кроме Р и Ш уравнение Кортевега — де Фриза имеет
бесконечно много интегралов движения, а само уравне-
уравнение может быть записано в гамильтоновой форме с пол-
полностью разделяющимися переменными.
6. Об аналитическом решении уравнения Кортеве-
Кортевега — де Фриза. При рассмотрении эволюции пучка мы
познакомились с нелинейным уравнением
dt	дх
для простых волн. Как мы видим, по форме это дейст-
действительно нелинейное уравнение. Но по существу оно

142	г>. з. нелинейные волны
описывает просто свободное движение каждой частицы
пучка du/dt=0, т. е. в лагранжевой форме оно выглядит
как линейное уравнение и притом простейшего вида. Из
него следует, что скорость каждой частицы остается по-
постоянной, w=const, а координата линейно изменяется со
временем:
х — х0 + и t.	C.36)
Следовательно, по любой начальной зависимости
и(х, t = 0) =ио(х), которую удобно записать в виде обрат-
обратной функции х(и, О)=хо{и)у легко найти зависимость
х(и, t) для произвольного момента времени:
x=xo(u)+ut.	C.37)
Другими словами, для х как функции и, t задача яв-
является линейной и мгновенно решается, но для обрат-
обратного восстановления профиля и по х для произвольного
t следует решить алгебраическое уравнение C.37), в
общем случае нелинейное.
Уравнение Корт'евега— де Фриза, разумеется, го-
гораздо сложнее уравнения для простой . волны. Однако
нелинейный член в нем имеет тот же вид, и поэтому
возникает естественное желание поискать аналогичную
возможность решения уравнения в такой форме, чтобы
основная часть задачи сводилась к решению линейного
уравнения, а связь искомой функции и(х, t) с найден-
найденным линейным решением могла бы быть нелинейной.
Такая возможность в самом деле существует, и она
была обнаружена в работе Гарднера, Грина, Крускала и
Миуры [79]. Этими авторами был найден оригинальный
и чрезвычайно плодотворный метод аналитического ре-
решения уравнения Кортевега— де Фриза, который был
затем усовершенствован и распространен на целый
класс нелинейных дифференциальных уравнений (см.
работу Захарова и Фаддеева [81]).
Так как в основу этого метода положена вдея рас-
рассмотрения уравнения Кортевега—де Фриза как урав-
уравнения для некоторого оператора и используется анало-
аналогия с квантовой механикой, то мы напомним сначала
некоторые соотношения квантовой механики.
Пусть функция я|)(х, t) удовлетворяет некоторому
уравнению, имеющему вид уравнения Шредингера,
*7Г

§ 2, НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИОПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 143
где Н — эрмитов оператор, соответствующий гамильто-
гамильтониану рассматриваемой задачи. Как известно, если L —
эрмитов оператор, отвечающий некоторой физической
величине, то производная этого оператора по времени
определяется соотношением
dL dL +ЦН, L],	C.39)
dt	dt
где квадратными скобками обозначен коммутатор
[H,L] = HL — LH. Если dL/dt=0, то оператор -считается
не зависящим от времени, т. е. не зависят от времени
все его собственные значения Я, определяемые соотно-
соотношением
Z- -ф = X -ф.	C.40)
Оказывается, что уравнение Кортевега — де Фриза
можно (рассматривать как уравнение постоянства опе-
оператора dL/dt = O при определенном выборе операторов
Я, L. Прямой проверкой можно показать, что при выбо-
выборе операторов в виде
—L(uJL + JLu) (з.42)
2 \ дх дх ) У )
Яu +
k\ дх* 2 \ дх дх
условие сохранения оператора L совпадает с уравнени-
уравнением Кортевега — де Фриза:
dL dL L/r*/ n ди . ди , c° д*и -о
C.43)
Это обстоятельство позволяет развить схему аналитиче-
аналитического решения уравнения Кортевега — де Фриза. Но,
пожалуй, более .интересными и важными являются ка-
качественные -следствия утверждения C.43).
Вернемся к уравнению C.40) с оператором C.41),
которое мы запишем в форме,
-|f2-«1>—М».	C.44)

144	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
напоминающей обычное одномерное стационарное урав-
уравнение Шредингера. По аналогии с этим уравнением
первый член в C.44) можно интерпретировать как ки-
кинетическую, —и — как потенциальную, а —Я — как пол-
полную энергию. Если и достаточно быстро' убывает при
*->±оо, то положительные собственные значения X от-
отвечают дискретному спектру связанных состояний, а
КО — непрерывному спектру с положительной энер-
энергией.
Как мы указывали выше, собственные значения опе-
оператора L сохраняются со временем. Стало быть, при
эволюции любого профиля и(х) в соответствии с урав-
уравнением Кортевеога — де Фриза C.43) собственные зна-
значения уравнения C.44) все время будут оставаться не-
неизменными. В частности, они не изменятся и после того,
как начальное возмущение разобьется на далеко отста-
отстающие друг от друга солитоны, когда собственные значе-
значения уравнения C.44) будут определяться собственными
значениями C.44) для отдельных солитонов, вблизи
которых локализована соответствующая собственная
функция г|) для данного Я. Но для отдельного солитона
уравнение C.44) решается точно. Оказывается, что для
солитона с амплитудой и0 имеется только один дискрет-
дискретный уровень с собственным значением А,=Ио/2, а следу-
следующий вровень отпадает в точку Я=0 Несоответствую-
Несоответствующей собственной функцией i|5 = thx/A) и принадлежит
уже непрерывному спектру.
Итак, каждому солитону отвечает только* один дис-
дискретный уровень. Но так как при эволюции и(х) со
временем собственные значения X остаются постоянны-
постоянными, то по любому начальному профилю и(х> 0) можно
сразу найти, на какие солитоны он распадается. Для
этого достаточно определить все дискретные уровни Хп
для уравнения C.44). Тогда амплитуды солитонов, на
которые разобьется данный импульс, можно найти из
простого соотношен'Ия__ип = 2Лп, а число солитонов мож-
можно оценить как JV — "j/ia. Теперь видно, по-чему отрица-
отрицательный им-пульс в среде с отрицательной дисперсией не
может породить ни одного солитона: просто при этом
для уравнения C.41) нет ни одного дискретного поло-
положительного уровня. С другой стороны, любой положи-
положительный импульс, даже сколь угодно малый, обязатель-
обязательно породит хотя бы один солитон, поскольку в этом

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСГШРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 145
случае, как известно из квантовой механики, уравнение
C.44) имеет хотя бы оди'н дискретный уровень.
Таким образом, для нахождения амплитуд солито-
нов, которые образуются из данного начального импуль-
импульса, достаточно найти только собственные значения %п
линейного уравнения C.44) с начальным профилем
и(х,0).
Оказывается, что и полное решение уравнения Кор-
тевега —де Фриза находится в тесной связи с решением
уравнения C.44). В самом деле, предположим, что мы
интересуемся решениями, у которых и достаточно быст-
быстро убывает при л:-^±оо. Сюда относится, например,
задача об эволюции (начального импульса возмещения,
которую мы качественно обсуждали выше. Нетрудно
видеть, что в этом случае легко определить зависимость
от времени асимптотики функций if> при х-^оо. Действи-
Действительно, из уравнения C.44), полагая и->0, получаем
% = ап (t)exp(—ycnx)y
tyk = ak (t) exp (— ikx) + bk (t) exp (i k x). C.45)
Здесь Kn = k0Y\n/3c0t k = k0V—УЗс09 где <;W>0 —
собственные значения в дискретном спектре, а КО от-
отвечает непрерывному спектру оператора L.
Если мы теперь обратимся к уравнению C.38) в об-
области больших х, где величиной и в операторе C.42)
можно пренебречь, то легко найдем временную зависи-
зависимость амплитуд а, Ъ\
^)	C.46)
V Ч )
bk (t) = bk @) exp (- i
Но отношение bk(t)/ak(t)=Sk(t) можно рассматривать
как коэффициент отражения для падающей из беско-
бесконечности плоской волны на рассеивающий потенциал
и(ху t) в уравнении C.44). Из общей теории рассеяния
известно, что значения 5л как функции к для непрерыв-
непрерывного спектра и характеристик Хп, пп дискретного спект-

146	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ра вполне достаточно для «прощупывания» потенциала
и(х) и полного его восстановления.
Таким образом, можно наметить следующую про-
процедуру аналитического решения уравнения Кортевега —
де Фриза. По начальному профилю и(ху 0) находятся
дискретный спектр %п и начальное значение коэффици-
коэффициента отражения S/t(O), Затем по известной зависимости
ап и Sk от времени восстанавливается функция и(х, t)
для любого момента времени путем решения обратной
задачи теории рассеяния [82, 83]. Тем самым исходная
задача полностью решена.
Заметим, что обратная задача теории рассеяния сво-
сводится к решению линейного интегрального уравнения,
но мы здесь подробно этого рассматривать не будем.
Хотелось бы лишь отметить, что при таком аналитиче-
аналитическом подходе к решению уравнения Кортевега —де Фри-
Фриза на каждом этапе достаточно решать лишь линейные
уравнения, хотя полученное в результате решение не-
нелинейно зависит от начального профиля и амплитуд,
даваемых соотношениями C.46).
Возможность точного аналитического решения урав-
уравнения Кортевега—де Фриза показывает, что оно при-
принадлежит к классу полностью интегрируемых дифферен-
дифференциальных уравнений. В настоящее время найдено доста-
достаточно много практически интересных нелинейных урав-
уравнений, принадлежащих к этому классу.
7. Обтекание тел и стационарные солитоны. Для сла-
бодиспергирующих сред картина черенковского излуче-
излучения волн движущимся телом, или картина обтекания,
оказывается проще, чем при произвольной дисперсии. В
самом деле, если в первом приближении дисперсией пре-
пренебречь, то волны при обтекании должны излучаться
только вдоль линий Маха, идущих под углом 9, удовлет-
удовлетворяющим известному черенковскому условию cos 8 =
= Vty/v0. Вдоль линии Маха возмущение является почти
одномерным и соответственно должно эволюционировать
как одномерный начальный импульс в слабодиспергиру-
ющей среде. Мы уже знаем, что оно должно «рассыпать-
«рассыпаться» на один или более солитонов и дисперсионный «хво-
«хвостик». Этот «хвостик» довольно быстро затухает из-за дис-
дисперсионного расплывания, так что на достаточно боль-
большом расстоянии от тела вдоль линии Маха должны
остаться только одни солитоны, а картина временной

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 147
эволюции возмущения теперь полностью развертывает-
развертывается вдоль линии Маха по мере удаления от обтекаемого
тела.
Картину образования солитонов обтекания можно лег-
легко наблюдать после дождя на любом мелком ручье. Осо-
Особенно хорошо для этого подходят широкие мелкие ручьи
на асфальтовом покрытии. При первом же взгляде на
такой ручей бросается в глаза сетка уединенных волн,
перечеркивающих его под некоторым острым углом к
направлению потока. Это и есть солитоны. Они образу-
образуются обычно вследствие неровностей дна вблизи одного
из берегов ручья и пересекают ручей вплоть до другого
берега. Иногда нетрудно заметить и то возмущение, на-
например камешек, который послужил источником для
данного солитона. Если это возмущение достаточно
большое (например, большой камень в ручье), то от не-
него отходят два солитона под несколько различными уг-
углами 6, как это и должно быть согласно предыдущим
рассуждениям.
8. Ударные волны в слабодиспергирующих средах.
Выше мы предполагали, что диссипативные процессы
при распространении волн либо полностью отсутствуют,
либо не играют роли по сравнению с дисперсией. В реаль-
реальных условиях всегда имеется какая-то диссипация, на-
например вязкость, если речь идет о волнах на воде или в
плазме. Из-за диссипации все волны будут затухающи-
затухающими. Обсудим, как скажется это затухание на обсуждав-
обсуждавшихся выше волнах. Точнее, нас будет интересовать, не
приведет ли затухание к возможности распространения
других типов волн. Оказывается, что, в самом деле, из-
за затухания появляется возможность распространения
нового типа волн — ударных.
Учтем прежде всего затухание волн из-за вязкости.
Так как в уравнении Кортевега — де Фриза все эффек-
эффекты малы и учитываются аддитивно, то вязкость может
быть учтена просто добавлением нового члена в правую
часть этого уравнения:
+ u +	v±!L%	(з.47)
где v — кинематическая вязкость.
Попробуем опять поискать решение типа стационар-
стационарной бегущей волны и(х — ct). После подстановки этой

148
Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
функции в C.47) и соответственно замены d/dt на
—с djdx мы снова можем один раз проинтегрировать это
уравнение, после чего получим
си	— . C.48)
с0
2k\
du
dx
dW
ди
Как мы видим, это уравнение можно, как и раньше, ин-
интерпретировать как уравнение нелинейного осциллято-
осциллятора, но с затуханием, если координату —х рассматривать
как время т. С помощью этой аналогии нетрудно по-
построить решение на всей оси х. Оно начинается с нахо-
находящейся в начале координат «точки» при #= + оо, за-
затем эта точка соскальзывает в потенциальную яму
W(u) и совершает в ней затухающие колебания, дости-
достигая значения ио=2с при т=—л;->оо (рис. 29,а). В резуль-
результате образуется несимметричный цуг волн (рис. 29,6).
Рис 29. Потенциальная яма (а) и ударные волны в средах с
отрицательной (б) и положительной (в) дисперсиям»
Видно, что после прохождения такого цуга состояние
среды меняется: за ним вещество движется со скоростью
по —2с. Таким образом, мы получаем скачок — ударную
волну, но с осциллирующей структурой.
Если вязкость мала, то число осцилляции в волне
велико. По мере увеличения v эти осцилляции затуха-
затухают быстрее; наконец, при достаточно большом v про-
процесс становится апериодическим и мы получаем обыч-
обычную ударную волну без осцилляции с монотонным воз-
возрастанием и от нуля до Щ.
Картина, изображенная на рис. 29, б, относится к сре-
среде с отрицательной дисперсией, когда самый большой
солитон бежит впереди, а осциллирующий «хвост» ос-
остается позади фронта. В средах с положительной дис-
дисперсией, наоборот, осциллирующая структура находит-
находится перед фронтом волны, как это показано на рис. 29, в.

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 149
На рис. 30 представлены экспериментальные данные,
иллюстрирующие обе эти возможности. На рис. 30, а
приведена структура электромагнитной ударной волны
в коаксиально-спиральной нелинейной линии передачи
[84]. Нелинейным элементом этой линии является фер-
феррит, а дисперсия длинноволновых возмущений возникает
—J
Рис. 30. а — Электромагнитная волна в коаксиально-спиральной ли-
линии с ферритом; б — бесстолкновитель'ная ударная волна; в — элек-
электростатическая волна в плазме
из-за ограниченности линии в поперечном направлении.
В результате образуется нелинейная диспергирующая
среда. Волны в таких средах описываются уравнением
Кортевега—де Фриза с диссипацией типа C.47). На
рис. 30,6 приведен пример, более близкий к физике
плазмы. Здесь представлен профиль бесстолкновитель-
ной ударной волны в плазме [85]. Как мы видим, дисси-
диссипация в такой волне не настолько велика, чтобы не по-
позволить проявиться осциллирующей структуре. На
рис. 30, в представлен профиль электростатической
ударной волны, соответствующей ионно-звуковому воз-
возмущению [86а].
9. Опрокидывание волн. Вспомним, что мы начали
рассмотрение нелинейных волн с пучка невзаимодейст-
невзаимодействующих частиц и увидели, что в нем имеет место опро-
опрокидывание и образование многопотоковых состояний. В
частности, именно таким пучком являются ионы в неизо-
неизотермической плазме (Ti<^Te)y если в начальном возму-
возмущении скорости ионов настолько велики, что влиянием
электронов на их движение можно пренебречь. Очевид-
Очевидно, для этого скорость ионов должна быть значительно
больше звуковой, т. е. число Маха M = v/cs'^> 1.
Но, с другой стороны, в рамках слабой дисперсии и
применимости уравнения Кортевега—де Фриза мы ни-

150	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
когда не сможем встретить явление типа опрокидыва-
опрокидывания: как мы видели выше, возмущение любой амплиту-
амплитуды в конце концов «рассылалось» на какое-то количест-
количество солитонов. Возникает вопрос, как происходит пере-
переход от одного предельного случая к другому и почему
реальная дисперсия не может помешать образованию
«барашков» на волнах в мелкой воде или многопотоко-
многопотоковых течений в плазме, т. е. не может предотвратить оп-
опрокидывания?
Мы рассмотрим здесь в качестве примера ионный
звук в неизотермической плазме (Ti<^Te) в отсутствие
магнитного поля. Если учесть, что электроны в волне
успевают приобрести распределение Больцмана, то урав-
уравнения движения для одномерной волны примут вид
4f + t,-^ = -Cf4*,	C.49)
dt	дх	дх
—+ —(n't>) = 0,	C.50)
dt ^ дх к '	v '
<р*± = е+-п'.	C.51)
дх2	V '
Здесь v — скорость ионов, п'=т/по — их плотность, от-
отнесенная к невозмущенной плотности «о, <Ф=:б<р/71е, с\ =
= Te/nii, d2=Te/4ne2n0, е^ — платность электронов, отне-
отнесенная к щ.
Для периодической установившейся волны в системе
отсчета, где волна покоится, в уравнениях C.49), C.50)
следует опустить производную по времени, и тогда по-
получим:
v2 — 2с\ i|) = ?>| = const, n'v = Vф = const.
Величина щ, как видно из последнего соотношения,
имеет смысл фазовой скорости волны; в первом соотно-
соотношении мы выбрали const = у|, придав тем самым опреде-
определенное значение произвольной константе в потенциале
\|?: Подставляя найденные выражения для п\ v в C.51),
получим одно нелинейное уравнение второго порядка
для /ф:
= ^	VA	= _^]Lf C.52)

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИОПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 151
где
U7 = _**_-3LD- 2c\ г|;I/2	C.53)
снова имеет смысл потенциальной энергии осциллятора,
если х интерпретировать как время.
Из соотношений C.52), C.53) видно, что if» не мо-
может принимать значений, больших t>J/2cf: при i|) = fl| I2c\
ионы останавливаются в системе отсчета, движущейся
вместе с волной, а затем, при больших if», они должны
были бы отражаться от гребня волны и односкоростное
течение перестало бы существовать. С помощью C.52)
можно показать [4], что этому предельному случаю со-
соответствует число Маха М* = '0ф/с3 = 1,6. Другими слова-
словами, при М>1,6 односкоростных ионно-звуковых волн не
существует.
Аналогичная картина имеет место и для других ти-
типов волн в плазме. Например, при поперечном распро-
распространении магнитозвуковой волны в холодной плазме
даже при наличии конечной проводимости должно на-
наступать опрокидывание при Л1* = 1>ф'/са = 3, а при идеаль-
идеальной проводимости критическое число Маха равно М* = 2
[72].
Заметим, что при малых "ф в уравнении C.52) мож-
можно было бы произвести разложение функции dW/dty в
ряд по я|), и при учете только первых двух членов оно
свелось бы к уравнению Кортевега — де Фриза. Таким
образом, с формально математической точки зрения от-
отклонение от приближения слабой дисперсии начинается,
когда аналитическая зависимость dW/dty от г|) начинает
отличаться от квадратичной, т. е. в уравнениях движе-
движения начинает проявляться нелинейность, которая зави-
зависит от абсолютной амплитуды волны или числа Маха М.
Эта нелинейность более сильная, она уже не останавли-
останавливается дисперсией и приводит к опрокидыванию волны.
Для ионного звука такая опрокидывающаяся волна дол-
должна приводить к образованию многопотоковых течений,
а при v/Cs^l мы приходим к предельному случаю пуч-
пучка невзаимодействующих ионов.
10. Электрические домены. Уравнения C.52), C.53),
как и уравнение Кортевега—де Фриза, допускают ре-
решения типа солитонов. Форма этих ионно-звуковых со-
литонов не является столь универсальной, как солито-
солитонов при слабой дисперсии. Но, с другой стороны, они

152	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
примечательны тем, что, представляя собой новый вид
солитонов, демонстрируют общий характер этого явле-
явления для широкого класса нелинейных уравнений. В са-
самом деле, с решениями типа уединенных волн нам пред-
предстоит еще не один раз встретиться в последующих
главах.
Здесь нам хотелось бы привести еще один интерес-
интересный пример солитонов. Эти солитоны (они получили на-
название электрических доменов) образуются при опреде-
определенных условиях при прохождении тока через полупро-
полупроводник. Хотя соответствующее явление относится к фи-
физике полупроводников, по своей физической природе
оно очень близко к тому, что происходит иногда в плазме.
В 1963 г. Ганн обнаружил чрезвычайно интересный
эффект: при наложении на образец арсенида галлия гс-
типа электрического поля напряженностью около
3 кВ/см в нем появлялись когерентные колебания тока
Рис. 31. Профили электрического
пюля для стационарных свободно
распространяющихся доменов в
арсениде галлия. Домены бегут
влево со скоростью 1,2-107 см/с
с большой амплитудой [87]. Частота колебаний около
109 Гц изменялась обратно пропорционально длине об-
образца. Позднее Ганн экспериментально установил [88],
что эти колебания связаны с прохождением от катода к
аноду областей с сильным электрическим полем: каж->
дому периоду колебаний тока в цепи соответствовало
зарождение на катоде и прохождение через образец од-
одной такой области. Области с сильным электрическим
полем были названы электрическими доменами. Форма
такого домена представлена на рис. 31, где две кривые
соответствуют несколько различным напряжениям на
образце. Как видно из рисунка, домены несколько не-
несимметричны — их передний фронт более пологий, чем
задний. При уменьшении амплитуды доменов, т. е. раз-
разности потенциалов Va на домене, они становятся сим-
симметричными.
Возникновение электрических доменов в полупро-
полупроводниках было объяснено на основе представлений об

§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛАБОДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ 153
отрицательной дифференциальной проводимости. Допу-
Допустим, что образец имеет вольтамперную характеристику
с падающим участком (Ес\, Е^), на котором дифферен-
дифференциальная проводимость >Gd = dj/dE отрицательна (рис.
32). При заданном токе во внешней цепи, скажем /о, в
образце может установиться одно из трех значений по-
поля— Еи ?2, Ez. Одно из этих значений, Е2у оказывается
неустойчивым. В самом деле, допустим, что Е = Е2, и
предположим, что внутри образца появилась неболь-
небольшая флуктуация плотности электронов п'. В результате
флуктуации данный объем приобретает отрицательный
потенциал. Но в силу того, что (?d<0, электроны будут
не отталкиваться, а притягиваться к области отрица-
отрицательного потенциала, и флуктуация будет нарастать.
Из-за неустойчивости в образце должны самопроизволь-
самопроизвольно образоваться области пространственного заряда. По-
Поскольку отрицательная дифференциальная проводимость
создается только вдоль направления внешнего поля, то
эти области должны иметь вид плоских слоев, перпен-
перпендикулярных оси х, вдоль которой идет ток. Математи-
Математически эту неустойчивость, в предположении, что все ве-
величины зависят только от х, можно описать с помощью
уравнений
О X
^-t	C.54)
ох
= — Апе in — n0),	C.55)
/+-i?-4f =/о-const,	C.56)
4 Jt о t
где \х{Е)—подвижность электронов, D — их коэффи-
коэффициент диффузии, 8 — диэлектрическая проницаемость
среды, щ — плотность доноров, /о — внешний ток. В
уравнении C.56) мы сохранили ток смещения, так что
оно заменяет нам уравнение непрерывности. В линейном
приближении для возмущений вида ехр(—iat+ikx) из
C.54) — C.56) получаем выражение для частоты
a = ku-i *^*--iD&y	C.57)
8
где W = —\i(E0)/E0 — дрейфовая скорость электронов,

154
Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ed = enod(iiE)/dE—дифференциальная проводимость. Как
видно из C.57), при сх^<0 линейные возмущения с до-
достаточно малыми k нарастают во времени.
При увеличении амплитуды колебаний в игру всту-
вступают нелинейные эффекты — мы попадаем в области
Е<ЕС{ и Е>Ес2 (см. рис. 32}, где едХ) и колебания
должны стабилизоваться. Установившиеся колебания
Рис. 32. Вольтамйерная ха-
характеристика полупровод-
полупроводника с отрицательной диф-
дифференциальной проводимо-
стью
можно рассматривать с помощью тех же уравнений
C.54) — C.56), если считать, что возмущение имеет вид
бегущей волны Е(х — i><j>f). Исключая из этих уравне-
уравнений п и /, получим одно нелинейное уравнение второго
порядка для Е:
^ + frWE + v] дЕ
дх2
дх
4тсеп0
lx(E)-E-j0 = -
dW
C.58)
8 •	--	дЕ '
Как и при исследовании нелинейного уравнения Кор-
тевега — де Фриза, мы можем рассматривать C.58) как
уравнение для нелинейного осциллятора с силой трения,
которая описывается членом с первой производной в
левой части. Чтобы работа силы трения в среднем обра-
обращалась в нуль, Vф7 очевидно, должна иметь порядок
дрейфовой скорости электронов.
Эквивалентный потенциал W(E) в правой части
уравнения C.58) несколько изменяется в зависимости
от величины /о, как показано на рис. 33. При некотором
значении /о = /& . потенциал дважды касается нуля. В
этом случае можно построить решение типа широкого
солитона: вначале поле Е находится при значении Еи
затем оно переходит к ?"з и после длительного ппебыва-
ния в точке Ь быстро возвращается к прежнему значе-

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ
155
нию. При /о>/ь можно построить домен (солитон) силь-
сильного поля, а при /о</ь — солитон слабого поля. Кроме
того, существуют разного рода периодические решения
и решения типа ударных волн с диссипацией, но реаль-
реальному домену Ганна соответствует простой солитон силь-
сильного поля.
К настоящему времени электрические домены обна-
обнаружены во многих полупроводниках. Оказалось, что
w
Рис. 33. Потенциал W(E)
для домена: 1 — /о</ь,
2hj Sjj
существует много механизмов отрицательной дифферен-
дифференциальной проводимости. Например, в арсениде галлия,
в котором Ганн впервые обнаружил домены, условие
Gd<0 связано с разогревом электронов и переходом их
в долину поверхности Ферми с меньшей эффективной
массой. Более подробно с другими механизмами можно
познакомиться по обзору [91].
§ 3. Самофокусировка и самосжатие волновых
пакетов
1. Самофокусировка. Выше мы довольно подробно
познакомились с нелинейными волнами в диспергирую-
диспергирующих средах, но при этом все время ограничивались
одномерным случаем, когда все величины зависели толь-
только от одной координаты х и времени t. Чтобы полу-
получить более полное представление о динамике нели-
нелинейной упругой среды, следует отказаться от ограни-
ограничения одномерностью и перейти к общему случаю трех-
трехмерных или, по крайней мере, двумерных волн. Но
прежде чем переходить к достаточно сложному обще-
общему случаю, естественно начать с более простого класса
задач, когда волны слабо отличаются от плоских, т. е.
когда мы имеем дело с волной, амплитуда и фаза ко-
которой медленно меняются в пространстве и во времени.

156	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
При этом мы встречаемся с двумя чрезвычайно интерес-
интересными нелинейными явлениями — самофокусировкой и
самосжатием волновых пакетов. Рассмотрим сначала
самофокусировку.
Явление самофокусировки было предсказано Г. Ас-
карьяном [92] исходя из весьма простых соображений.
Допустим, что в оптически прозрачной среде распро-
распространяется мощный луч лазера. Вследствие ряда эффек-
эффектов (нелинейной поляризуемости, электрострикции, ра-
разогрева и т. д.) такой луч немного изменяет показатель
преломления среды. Если это изменение положительно,
т. е. среда становится оптически более плотной, то луч
создает сам себе нечто вроде линзы, которая будет его
фокусировать. Другими словами, центральная часть
волнового фронта несколько отстает от периферичес-
периферических, и волна становится сходящейся (рис. 34).
Рассмотрим это явление подробнее. Пусть k0 — вол-
волновое число волны, распространяющейся вдоль оси х,
Рис. 34. Самофокусировка
ky — малая поперечная добавка к волновому вектору,
возникающая из-за того, что фронт волны на рис. 34 не-
несколько поворачивается из-за неоднородности показате-
показателя преломления N. В первом приближении добавка 8N
к показателю преломления N пропорциональна интен-
интенсивности волны, т. е. квадрату ее амплитуды: 8N=qaW.
Величину ky, определяющую наклон луча по отно-
отношению к оси х, можно найти с помощью уравнения
B.141) для волнового вектора, т. е. dk/d/= —у». Здесь
(u = kv$(\—$N/N)=kv$—qkv$a2. Нам достаточно исполь-
использовать лишь ^/-компоненту уравнения движения для k9
при этом, нужно учесть, \что!
(kV)	X
ду v"w ~г ду '
где vr — групповая скорость. Но так как векторное по-

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И ОАМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ	157
ле k является безвихревым, то dkxfdy=dky/dxt поэтому
(/-компоненту уравнения B.141) с нелинейной добавкой
к частоте можно записать в виде
dk4^^	C.59)
dt ' * дх	и v" ду
Величину а2 можно определить с помощью уравнения
переноса энергии B.155) волнового пакета, которое с
учетом пропорциональности Ш и аг можно записать в
виде
-If+*г Т-+4- Hr-<H=0- <3-60>
dt	дх	ду \ k0	J
Мы учли здесь, что у групповой скорости имеется ма-
малая составляющая вдоль оси у, равная (ky/ko) vr> где vr—
невозмущенное значение групповой скорости.
В стационарном случае в уравнениях C.59), C.60)
можно опустить производные по времени, так что они
будут описывать процесс самофокусировки вдоль луча.
Дифференцируя соотношение C.60) по л: и исключая
затем производную дку/дх в последнем слагаемом (ос-
(остальные множители мы приближенно считаем постоян-
постоянными) с помощью соотношения C.59), мы получим одно
уравнение для квадрата амплитуды:
д2а2	уф
дх*	Ч vr ду* *
Отсюда видно, что вдоль луча интенсивность волны
удовлетворяет уравнению струны, но с отрицательным
квадратом скорости звука при q>0, когда в области
распространения светового пучка показатель прелом-
преломления возрастает. В результате и возникает самофо-
самофокусировка.
Эти рассуждения, совершенно прозрачные физически,
могут показаться все же недостаточно обоснован-
обоснованными, если учесть, что самофокусировка представляет
собой нелинейный и притом довольно медленный про-
процесс, и возникает вопрос, не проявляются ли раньше
более сильные эффекты нелинейного опрокидывания
волн (на языке оптики — умножение частоты). Но, как
показывает рассмотрение § 2, дисперсия легко предот-
предотвращает опрокидывание волн. Поэтому при наличии

158	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
даже небольшой дисперсии может и не происходить
сильного насыщения высокими гармониками, если амп-
амплитуда волны не очень велика. Впрочем, даже при до-
достаточно большой амплитуде качественные соображе-
соображения о самофокусировке сохраняют силу, если уста-
устанавливается определенная почти периодическая волна
по л: и имеет место равновесие гармоник при соревно-
соревновании между дисперсией и нелинейным опрокидывани-
опрокидыванием. В частности, эффекты самофокусировки проявляют-
проявляются даже в предельном случае одного-единственного со-
литона [95].
2. Колебания и самофокусировка солитонов. Рас-
Рассмотрим солитон, бегущий вдоль х на плоскости (л:, у),
так что сверху он будет выглядеть, как показано на
рис. 35. Если амплитуда и0 и фаза Хо (т. е. координа-
координата максимума скорости) не зависели бы от у, то это
был бы обычный одномерный солитон, например бегу-
бегущий по поверхности мелкого водоема.
Допустим теперь, что его амплитуда меняется в за-
зависимости от у (на рис. 35,а заштрихованы области
с повышенной амплитудой). В среде с отрицательной
дисперсией участки с большей амплитудой движутся
быстрее и солитон искривляется, как показано на рис.
35,6. Это искривление легко найти, если вспомнить, что
скорость солитона равна co+c — Co + ud/S, так что
Следовательно, если у солитона есть малая модуляция
амплитуды бщ, (у)> то он будет искривляться со време-
временем, так что его наклон дхо/\ду будет меняться:
д дх0	д 6«о	/о сп
C.61)
dt ду	ду 3 '
Но вследствие искривления возникает эффект фоку-
фокусировки, и амплитуда центральной части изображен-
изображенного на рис. 35,6 участка солитона начинает возрастать
Вследствие этого через некоторое время центральная
часть догонит периферийные области и форма солито-
солитона восстановится, но со сместившимися по оси у обла-
областями повышенной амплитуды (рис. 35,в). Отсюда вид-
видно, что солитон в среде с отрицательной дисперсией

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ
159
не испытывает самофокусировки — он колеблется, как
натянутая струна.
Если амплитуда солитона модулирована слабо, т. е.
6ио<Сио, то эти колебания можно рассмотреть в линей-
линейном приближении. Будем считать, что искривление соли-
Рис. 35. Колебания со-
солитона в среде с отри-
отрицательной дисперсией
тона слабое, dxo/'dy<^h Тогда ^-компонента скорости его
отдельного участка может быть записана как
S _ дх0 c.
U	ду
но из-за движения вдоль оси у будет меняться энергия
солитона $~&2Д<-
д
dt
==	б Цу
¦соиГ
д*х0
C.62)
Здесь в правой части мы положили и^2^const. Диф-
Дифференцируя соотношение C.62) по времени и исключая
Хо с помощью C.61), получим уравнение малых коле-
колебаний
6ц0	6и0.
dt*	9 ду*
Отсюда видно, что для среды с отрицательной диспер-
дисперсией, когда амплитуда солитона положительна (Wq>0),
мы получаем уравнение гиперболического типа, опи-
описывающее колебания струны.
Напротив, при положительной дисперсии ситуация
изменяется: амплитуда солитона отрицательна, и урав-
уравнение для 8и0 приводит к нарастанию малых колеба-
колебаний. Это ясно и из физических соображений. Участки
с повышенной амплитудой несколько отстают, и к ним

160	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
из-за искривления устремляются новые порции возму-
возмущения. В результате возмущение нарастает и солитон
разбивается на отдельные сгустки вдоль оси у.
Нетрудно вывести двумерное нелинейное уравнение,
описывающее нелинейную стадию развития колебаний
солитонов [95]. Это уравнение является обобщением
уравнения Кортевега — де Фриза на двумерные среды.
Удобно опять стартовать с линейного дисперсионного
соотношения
При наличии зависимости от переменной у значе-
значение волнового вектора к следует считать равным
^ = Vkl + k2y. Мы ограничимся возмущениями, медлен-
медленно изменяющимися вдоль оси у, т. е. будем считать
ky<^kx и положим
*»*, +J. iL
2 kx
в первом слагаемом для со. Тогда дисперсионное урав-
уравнение можно записать в виде
©** — cokl + — c0k2y—^-f- kx = 0. C.63)
Переходя в систему отсчета, движущуюся вдоль оси
х со скоростью со9 можно устранить второе слагаемое
в C.63). По аналогии с C.24) уравнение C.63) можно
записать в переменных х, t, а затем добавить нелиней-
нелинейный член, как это было сделано при переходе от C.24)
к C.25). В результате получим двумерное уравнение
для слабо нелинейной, слабодиспергирующей среды с
отрицательной дисперсией:
( + tt +	Co (з.б4)
Это уравнение получило название уравнения Ка-
Кадомцева — Петвиашвили. Для среды с положительной
дисперсией знак в правой части этого уравнения дол-
должен быть изменен на противоположный. Оказывается,
что для сред с положительной дисперсией уравнение

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ	161
C.64) имеет локализованные как по х, так и по у ре-
решения, которые представляют собой двумерные солито-
иы. Более того, двумерное уравнение C.64) является
полностью интегрируемым, так что оно, как и уравне-
уравнение Кортевега — де Фриза, сохраняет число солитонов
при их нелинейном взаимодействии друг с другом.
3. Самосжатие волнового пакета (модуляционная не-
устойчивость). Сжатие нелинейной волны может прои-
происходить не только в поперечном, но и в продольном на-
направлении по отношению к направлению распростране-
распространения волны. Чтобы описать этот эффект, рассмотрим
плоский волновой пакет с медленно меняющимися ампли-
амплитудой и фазой. Будем считать, что амплитуда волны не-
невелика, так что волна не сил^^п отличается от синусои-
синусоидальной, т. е. высшие гармоники, находящиеся в равно-
равновесии с основной, малы. Тогда волну можно характери-
характеризовать волновым числом k и частотой со основной
гармоники. Для такой волны основиым усредненным
нелинейным эффектом является зависимость фазовой
скорости или частоты от амплитуды а, та-к что при ма-
малой амплитуде, когда можно ограничиться лишь первой
неисчезающей поправкой,
со = со* + а а2,	C.65)
где cofe отвечает частоте линейной волны, а второе сла-
слагаемое— нелинейной поправке. Если k и а изменяются
с изменением х, т. е. со = со(х), то, как мы знаем, волно-
волновое число k = —ду/дх будет изменяться со временем:
д k	дсо	дk	да2	/о С12\
	=	= — vr	а	,	C.66)
dt	дх	дх	дх
где мы учли амплитудную добавку в выражении для чя~
стоты C.65) и обозначили через vv групповую скорость;
vr=dd)k/dk. Далее, в волновом пакете энергия, т. е. квад-
квадратичная по амплитуде величина, переносится с группо-
групповой скоростью. Тогда в качестве закона сохранения энер-
энергии можно принять уже знакомое нам уравнение
-^ + ^-(vra*)=0.	C.67)
д t д х
Из уравнений C.66), C.67) следует, что при опреде-
определенных условиях плоская волна оказывается неустойчи-
неустойчивой по отношению к разбиению на отдельные волновые
пакеты. В самом деле, допустим, что на монохромати-
6 Б. Б. Кадомцев

162	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ческую волну с волновым числом k0 и амплитудой а0
наложено малое возмущение
k = k0 + К ехр (—i vt-\-i xx)y
a = UQ + a' exp (—ivt + inx),
где v<Cco, x<C&o— частота и волновое число модуляции.
Тогда в линейном приближении из C.66), C.67) полу-
получим дисперсионное соотношение
v == vr х ± Va al v'r х,	C.68)
где v'r =dvr/dk. Как мы видим, при at/ <0 имеет ме-
место неустойчивость типа разбиения волны на пакеты
и самосжатия волновых пакетов. Этот результат был
получен впервые Лайтхиллом [93].
Физика этой неустойчивости поясняется на рис. 36.
Допустим, что а>0. Тогда в точках А, А' фазовая ско-
скорость волны больше, чем в точке В> ,и на участке Р вол-
волновое число, пропорциональное числу узлов на единице
А'
Рис. 36. Самосжатие волново-
волнового пакета (модуляционная не-
неустойчивость)
длины, будет возрастать, а на участке Q — убывать со
временем. Вследствие этого при v'T <0 волновой пакет
в области Р будет отставать и усиливать волну в точке
Л, а в области Q он будет забегать вперед и усиливать
волну в точке А'.
Условию av'T <0 удовлетворяют, -в частности, грави-
гравитационные волны на глубокой воде: у таких волн, как
оказывается, нелинейная поправка к фазовой скорости
(а следовательно, и к частоте) положительна, а произ-
производная v'T = —(l/4)y~g/k? отрицательна. В свое время вы-
вывод о неустойчивости периодических гравитационных
волн на воде произвел сенсацию в гидродинамике и ка-
казался неправдоподобным. Но затем он был получен за-
заново различными методами и подтвержден эксперимен-
экспериментально [94]. Теперь уже никто не сомневается в неустой-
неустойчивости гравитационных волн на глубокой воде, и, ста-

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ	163
ло быть, поверье о «девятом вале» имеет под собой оп-
определенные физические основания.
4. Параболическое уравнение. Как самофокусировка,
так и самосжатие волновых пакетов, и притом с учетом
дифракции, могут быть описаны с помощью параболиче-
параболического уравнения B.168). С учетом нелинейной добавки
к частоте это уравнение имеет вид
. дЕ . . 4 дЕ , vr А г? 1 ' д2Е in*г л
dt	дх ^ 2k0	^ 2	дх* ' '	C.69)
где v'r
Рассмотрим снова задачу о неустойчивости плоской
волны Ео = аоехр (—ivtft)> где ао — начальная амплитуда,
a vo — частота, которая согласно C.69) равна vo=aag.
Предположим, что волна Ео несколько возмущается, так
что ее амплитуда а и фаза <р слабо изменяются в про-
пространстве и со временем:
Е == (а0 + а') ехр (—ivot + iу').
Малые величины аг и фх следует считать действи-
действительными. После подстановки этого выражения в C.69)
и отбрасывании квадратичных по af, q/ членов мы по-
получим систему уравнений для а\ q/
да> +v4?aL<?' = 0,	C.70)
a0i+aovr
dt	д х
где L — оператор, равный
dt	дх
La'+ 2a ala' = 0, C.71)
2*o	2	a** '
Уравнения C.70), C.71) являются линейными, и их
решение можно искать в в.иде ехр(—Ш-\-Ыт). При этом
L можно считать равным числу
/ — Vr 2 , J_ ' 2
и как условие разрешимости C.70), C.71) находим сле-
следующее выражение для частоты:
v = vF кх ±VlBaao + L) .	C.72)
6*

164	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Если х± = 0 и кх мало, то получаем отсюда прежний ре-
результат C.68), т.е. неустойчивость по отношению к
самосжатию три av'T <0. Как видно из C.72), вывод
о самосжатии при at/ <0 справедлив только при до-
достаточно малых Кх- Если %2Х >—4aa%/v'r , то неустойчи-
неустойчивость по отношению к самосжатию стабилизируется ди-
дифракционным расплыванием волнового пакета. В дру-
другом предельном случае хх = 0 из C.72) следует самофо-
самофокусировка, есл.и а<0. Самофокусировка также начина-
начинается только с достаточно малых х±, а именно к\ <
<4|a|a2 ko/vr. Поскольку минимально возможное к±
имеет порядок обратного радиуса цилиндрического лу-
луча 1/)/?, то отсюда следует, что в рассматриваемом при-
приближении, когда учтена только квадратичная по ампли-
амплитуде поправка к частоте C.65), самофокусировка начи-
начинается лишь при достаточно большой мощности лазер-
лазерного пучка, пропорциональной a^R2.
Стабилизующая роль дифракции приводит к возмож-
возможности существования стационарных сфокусированных
пучков или самосжатых волновых пакетов [96, 97]. В
самом деле, рассмотрим, например, случай av'r <0 и
допустим, что зависимость от у и г отсутствует. Рас-
Рассмотрим решение типа бегущего пакета
Е = exp (—ivot) и [х- vrt).
Для функции и из C.69) получим
дх2
Но с уравнением такого типа мы уже встречались при
рассмотрении периодических решений уравнения Кор-
тевега — де Фриза. Мы опять можем рассматривать
C.73) как уравнение для нелинейного осциллятора с
потенциальной энергией
W =	— и* + -^- и2.
При av'r <0 и vov'r <0 потенциал W имеет вид ямы,
так что возможны как периодические волны огибающей,
так и локализованные пакеты типа солитонов. Анало-
Аналогичным образом для случая самофокусировки можно

§ 3. САМОФОКУСИРОВКА И САМОСЖАТИЕ ПАКЕТОВ	165
найти локализованные в поперечном направлении ре-
решения, если а<0. Эти решения соответствуют пучкам,
которые сами себе создают волновод и распространя-
распространяются в виде узких нитей. Впрочем, эти решения неус-
неустойчивы [112].
Эффекты самофокусировки и самосжатия волновых
пакетов должны проявляться и на магнитогидродинами-
ческих волнах, но экспериментально они пока не иссле-
исследованы.
5. Ленгмюровские солитоны. В плазме эффект само-
самосжатия болнобого пакета может проявляться на ленг-
ленгмюровских волнах [99]. Дело в том,-что локализованный
в пространстве ленгмюровский пакет волн оказывает
расталкивающее действие на плазму, так как высоко-
высокочастотные колебания выталкивают электроны из обла-
области, занятой волновым пакетом. В результате плотность
плазмы в области локализации волнового пакета не-
несколько понижается, и у собственной ленгмюровской
частоты появляется отрицательная добавка [коэффици-
[коэффициент а в формуле C.65) отрицателен].
Так как частота ленгмюровских колебаний равна
со ^ Щ + ЗТ k*
+	k
и, следовательно, v'T >0, то для ленгмюровских волн
критерий Лайтхилла указывает на возможность моду-
модуляционной неустойчивости.
Рассмотрим это явление более подробно. Пусть 8п —
возмущение плотности электронов, так что
«V* = соро + v ®» — + V^— к*>
2	п	2пге соро
где о)ро = У~4п е2 п/пге — невозмущенная ленгмюров-
ская частота.
Чтобы найти б/г, нужно знать выражение для так на-
называемой силы Миллера, т. е. силы, действующей на
электрон в неоднородном высокочастотном поле. Эта
сила легко получается из уравнения движения электрона
ше х = — е\Е =—е E0(x)cos со t,	C.75;
если представить координату х в виде суммы медленно
меняющейся х0 и быстрой х частей. Тогда для быстро
осциллирующей величины получаем из C.75) х=еЕ/те(й\

166	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
а для медленной составляющей х0 уравнение получается
усреднением C.75) по времени в предположении мало-
*,;?,«_/*_?*_ ;> = __*_ _J^_. (з.7б)
\ дх /	дх 4те(й*	V '
Таким образом, на электрон действует сила с потенциа-
потенциалом Lf=e?o/4meto2=e2<?2>/2meco2. В изотермической
плазме (Ti = Te=T) эта сила уравновешивается гради-
градиентом давления
	2Т Ьп = —
дх	д х
Отсюда находим возмущение плотности
8me«>2p0nT	4 8Я-ЗГ
(з.77)
т. е. 8п/п приблизительно равно отношению плотностей
высокочастотной и тепловой энергий. Теперь мы видим,
что нелинейная добавка к частоте C.74) имеет вид
оЕо, где а = —соРо/64яя7\
Для описания волны, близкой к -плоской, можно вос-
воспользоваться параболическим уравнением C.69), где
v'v =vr/ko=3T/me(OpQ. Мы опять будем искать решение
этого уравнения в виде бегущей с групповой скоростью
волны огибающей. Снова полагаем ? = ехр (ivot)u (x —
—vrt) и получаем уравнение C.73):
^ = _^>а + — и\	C.78)
дх*	„;	v-v
где 2alv'r =—е2/24Т2. Это уравнение имеет решения
типа солитона. В самом деле, будем искать решение в
виде u = Eo/ch(x/A). При этом
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и
в C.78), получим соотношения

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	167
Как мы видим, каждый солитон тем уже, чем больше
его амплитуда, Д~1/?о. Энергия солитона, пропорцио-
пропорциональная ?о А, тем больше, чем больше его амплитуда,
т. е.
&~Е0~ —.	C.80)
А
Поправка к частоте колебаний v0 также растет по абсо-
абсолютной величине при увеличении амплитуды солитона.
Еще раз подчеркнем, что при &оА> 1 рассмотренный
нами солитон является фактически солитоном огибаю-
огибающей. Фазовая скорость образующей его волны Уф='соро/&о
может изменяться в широких пределах в зависимости
от величины k0. Для рассматриваемого здесь солитона
с равновесным распределением плотности величина ko
ограничена сверху условием vr<.c8, т. е. требованием,
чтобы солитон был дозвуковым. Из этого условия вы-
вытекает kod<C.Vtne/nii , где d — дебаевская длина. Как
видно из C.78), величина ko явно в это уравнение не
входит. Поэтому ko снизу ничем не ограничена, и при
уменьшении k0 солитон огибающей непрерывно перехо-
переходит в простой ленгмюровский солитон. В частности, при
&о='О групповая скорость также обращается в нуль, и
солитон стоит на месте.
§ 4. Взаимодействие волн
1. Трехволновые процессы. Рассмотрим теперь общий
случай трехмерных нелинейных колебаний. Разумеется,
в самом общем случае вряд ли можно продвинуться
достаточно далеко: полной математической теории ре-
решения нелинейных дифференциальных уравнений в част-
частных производных пока не существует. Однако если пред-
предположить, что амплитуда колебаний не очень велика,
можно воспользоваться методом теории возмущений. В
первом приближении мы имеем просто линейную теорию
с принципом суперпозиции, так что произвольное воз-
возмущение можно представить в виде совокупности соб-
собственных колебаний.
В линейном приближении довольно безразлично, ка-
какую из величин брать в качестве основной для описания
колебаний, так как все величины (например, электриче-
электрическое поле, скорости частиц, их плотность и т.д.) про-

168	Гл>. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
пордиональны одна другой. Но поскольку все колебания
в плазме представляют собой электромагнитные волны,
то в качестве основной величины удобно принять элект-
электрическое поле Е.
Таким образом, в линейном приближении
ехр(—1"юк/ + *кг) + к. с, C.81)
где к. с. озирает комплексно-сопряженную величину.
Вспомним теперь, как выглядит уравнение для элект-
электромагнитной волны в плазме в фурье-представлении. Со-
Соответствующее выражение в линейном приближении
было получено >в гл. 2 [см. соотношение B.93)]. Если,
кроме самосогласованного тока, в плазме имеется еще
сторонний ток js, то уравнение для поля можно записать
в виде
coDk— -^-Ek+ ю k =—4ict]sk. C.82)
/N
Здесь, как мы знаем, D = eE, где 8 — тензор диэлектри-
диэлектрической проницаемости. У однородного уравнения C.82)
имеются решения только для значений частоты, совпа-
совпадающих с собственными частотами, о) = сок . Вблизи этих
собственных частот будет максимальной амплитуда и
для неоднородного уравнения C.82), и поэтому доста-
достаточно рассмотреть именно собственные волны. При
со = сок поляризация волны ек = Вк/?к принимает впол-
вполне определенное значение, и умножая уравнение C.82)
на ек, мы получим скалярное уравнение для определе-
определения амплитуды колебаний:
со 8	±-\Ек = — 47u/sk,	C.83)
где 8=e*^ek, *»± ^tf-l^kl», /sk = < jfk.
Вблизи со = (ок левую часть этого уравнения можно
представить в виде Л к (со—(Ок)Ек . Здесь для попереч-
поперечных волн
1 д	ck,
Лк =	—(ю2е), сок = —-— ,
(О 0@	у8
а для продольных волн с k± =0 само 8 обращается в
нуль при со==|сок и величина Лк=(оде/дсо. Таким обра*

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	169
зом, уравнение для Ек можно записать в виде
— i (со — сок) Ек = — 4тг jsk/Ak .	C.84)
Как мы видим, Ек действительно велико вблизи со = сои
и даже расходится в самой точке со = сок . Чтобы не ус-
усложнять ситуации этой расходимостью, можно несколь-
несколько видоизменить уравнение C.84), действуя в духе
теории волновых пакетов. Для этого вспомним, что
уравнение C.84) написано для фурье-компоненты Е®
волны вида E(t) exp (tkr), т.е. фактически зависимость
поля от времени дается выражением
f ?<о exp (—i со f) d со.
Представим это 'поле в виде E(t)=Ek (t) exp (—шк t),
где
@= f ?©exp(—t
— медленно меняющаяся амплитуда волны вблизи соб-
собственной частоты со. Для этой амплитуды умножением
C.84) на ехр[—й(со—cok)d и интегрированием по о) мы
получим уравнение
-~ = - -^ exp (i cok t) /sk @,	C.85)
где /sk —сторонний ток уже как функщия времени. За-
Заметим теперь, что при представлении любой реальной
величины, скажем, поля Еу в виде набора собственных
волн C.81) вместе с первой суммой всегда появляется
еще комплексно-сопряженная ей. Так как в этой второй
сумме стоят множители ехр (—ikr), то ее слагаемые
имеют смысл ?__кехр (—tco_k t — /кг), т. е. они как бы
соответствуют членам с —к. Таким образом, имеем
?__k = ?*k, co_k = -cok.	C.86)
Соответственно каждую плоскую волну можно с
одинаковым правом характеризовать как парой к, сок,
так и парой —к, —со^, инвариантной величиной является
лишь фазовая скорость уф = ксок/&2. Но мы ранее при-
приняли для энергии и импульса выражения й>к=сокЛ/к5
Рк =кЛ/гк , где Nk — число волн, стало быть, в этих вы-
выражениях можно пользоваться только одной из указан-
указанных пар. Представляется более целесообразным выби-
выбирать знак частоты в соответствии со знаком энергии, т. е.

170	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
положительный для волны положительной энергии и
тогда к совпадает с направлением импульса. При этом
сохраняет свою форму выражение <ок=сок А^к для
энергии. Но для импульса тогда тоже следует сохранить
выражение Рк = kNk, чтобы произведение импульса на
фазовую скорость Уф = ксок Ik2 совпадало с энергией.
Следовательно, в выражении для импульса Рк = kNk
волновой вектор к играет роль элементарной порции
импульса. Для волн с отрицательной энергией, таким
образом, мы используем пару сок, к с отрицательным
значением сок . Импульс волны с отрицательной энерги-
энергией, #ак мы видим, направлен против фазовой скорости,
ПОСКОЛЬКУ УфРк = <ок <0.
После этих предварительных замечаний вернемся к
вопросу о- поведении слабо нелинейных волн. Если амп-
амплитуда колебаний плазмы не очень мала, то в уравне-
уравнениях движения для частиц или в кинетических уравне-
уравнениях для функций распределения следует учесть нели-
нелинейные члены. Тогда при выражении тока в плазме j
через поля, кроме линейного члена, приводящего к тен-
тензору е, следует учесть дополнительные нелинейные чле-
члены. Эти члены будут входить в уравнения Максвелла
в виде добавки к току, т. е. в виде стороннего тока в
уравнении C.85). При слабой нелинейности достаточно
учесть лишь квадратичные члены, составленные из все-
всевозможных произведений отдельных слагаемых в выра-
выражении для js. Из этих членов нужно выбрать только та-
такие, пространственная зависимость которых имеет вид
exp (ikr), так как в уравнении C.85) выбрана уже толь-
только k-компонента поля. Такими членами будут ?V Еь» X
Xexp(ik/r+ik//r) при k' + k"-=k. При этом будут
еще коэффициенты, зависящие от к', к", явный вид ко-
которых определяется теми нелинейными членами, кото-
которые дают вклад в выражение нелинейного тока /s k-
Далее, уравнения удобно записать сразу для ампли-
амплитуд а к , так что Л^ = |^к|2. Связь между пк и Ек
устанавливается, очевидно, соотношением B.151) для
энергии волны.
С учетом высказанных замечаний уравнение C.85)
для пк можно записать в виде
--7ГГ- = 2 Vk k' к- ак> пк» ехр [—i (сок* + сок^ — сок) /],
к'
C.87)

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
171
где к"=к—к'. Временной множитель появился вслед-
вследствие того, что в нелинейные слагаемые было подстав-
подставлено поле в виде суперпозиции собственных волн.
Vkk'k" —некоторая функция от волновых векторов; яв-
явный вид ее определяется нелинейными членами уравне-
уравнений движения. Величину Vk k' к" естественно назвать
матричным элементом взаимодействия волн.
Итак, мы видим, что квадратичные слагаемые вида
ZTk/ ?k// exp [—i (cok/ + a>k")/ + i {kf + k")r],
которые входят в нелинейный сторонний ток, играют
роль вынуждающей силы с частотой о>к' + шк» и вол-
волновым вектором k'+k". Поскольку из-за действитель-
действительности Е в сумму обязательно должны входить попарно
сопряженные слагаемые, то наряду с указанной силой
должна присутствовать также вынуждающая сила с
разностными частотой сок' — сок" и волновым вектором
к'—к".
Наглядно появление «биений» на комбинационных
частотах сок> + оок" и волновых векторах k'±k" можно
продемонстрировать с помощью рис. 37, где показано
наложение двух плоских
волн. Каждую из штри-,
ховок рис. 37 можно рас-
рассматривать как волну
ступенчатого вида, в ко-
которой,амплитуда скачко'м
меняется от нуля до еди-
единицы: нуль, где черная
линия, и единица между
ними (см. нижнюю часть
рис. 37). При наложении
(пересечении) таких волн
образуется их произведе-
произведение — черные полосы,
где хотя бы одна из ам-
амплитуд «черная», и белое
поле между ними. На ри-
рисунке отчетливо видно,
что при наложении волн образуется муар —волна с вол-
волновым вектором к7—к". (Кроме того, появляется более
частая рябь на сумме к'+к".) Если этот движущийся
муар совпадет с одной из собственных волн, т.е. ком-
JUWUITLTUL
Рис. 37. «Биения» при нелиней-
нелинейном наложении двух плоских
волн

172	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
бинационная частота сок' ± сок" окажется равной соб-
собственной частоте Ok, отвечающей волновому вектору
биений k=k'±k", то нелинейная вынуждающая сила
приведет к раскачке волны к. При этом согласно C.87)
амплитуда аь будет медленно изменяться со временем.
Если расстройка Д = сок' + ®к»—и>к обращается в нуль
и наступает резонанс, то даже при малой нелинейности
по прошествии достаточно большого времени может
произойти сильное изменение амплитуд колебаний. Та-
Такие процессы, в которых во взаимодействие вступают
три волны, называются трехволновыми, а спектр (зави-
(зависимость частоты сок от к), для которого условие
Wk = сок' -+ сок" может быть удовлетворено, называется
распадным.
В плазме ввиду обилия различных ветвей колебаний
распадные условия легко реализуются. Например, в
сжимаемой плазме (fJ^oo) альвеновские и магнитозву-
ковые волны, хотя сами по себе ,и не являются распад-
ными, могут распадаться на пару из альвеновской и
магнитозвуковой волн. А геликоны (свисты) оказыва-
оказываются распадными даже сами по себе.
Трехволновые процессы приводят к возможности
трансформации одних волн в другие и тем самым порож-
порождают сложный процесс переноса энергии в фазовом про-
пространстве волновых чисел. Такие триадные процессы
осуществляются, в частности, в гидродинамических си-
системах [109].
2. Взаимодействие трех волн. Рассмотрим предельно
простой случай, когда имеются только три волны к, к'
и к" = к—к', связанные между собой резонансным усло-
условием. Обозначим их амплитуды через ас аг = ак, a^=a^ ,
а3=ак", и соответственно частоты — через соь cos, co3.
Будем считать, что все частоты положительны и притом
+
Из C.87) имеем для п\
4?	C.88)
где V\ = Vk, к', к".
Аналогичным образом можно получить уравнения
для а2 и а3. Для этого в первом случае мы в C.87) вмес-
вместо к подставим к', а к' заменим на к:
C.89)

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	173
а во втором — вместо к подставим к" и	к' опять заме-
заменим на к:
d	C.90)
dt
где V2=Vk>, к, -к-, V3*= Fk-, к, -к'.
В рассматриваемом здесь случае гидродинамическо-
гидродинамического приближения, когда тепловое движение частиц несу-
несущественно, уравнения C.87) — C.90) получаются в ре-
результате фурье-преобразования исходных дифференци-
дифференциальных уравнений движения в частных производных.
При этом коэффициенты Fkk'k" имеют одну и ту же
фазу — они либо чисто мнимые, либо действительные.
Для простоты будем считать их действительными (мни-
(мнимость можно всегда устранить введением дополнитель-
дополнительного множителя i в амплитуды аг-). В уравнениях
C.87) — C.90) динамическими переменными являются
амплитуды #к . В эти амплитуды можно свободно вво-
вводить дополнительные множители с целью упрощения
вида уравнений. Пронормируем опять амплитуды ак
таким образом, чтобы энергия k-й волны равнялась
$к = <ок / ^k |2. При этом ее импульс Рк будет равен
Pk—kjak |2, а величину Nk = \аъ |2 можно интерпре-
интерпретировать как число волн.
В силу законов сохранения энергии и импульса волн
при взаимодействии матричные элементы, входящие в
уравнения C.88) — C.90), не могут быть совершенно
произвольными. В самом деле, умножая эти уравнения
соответственно на ©»aj и k*aj (ki=k, k2=k/, k3=k") и
складывая их с комплексно-сопряженными уравнениями,
в силу законов сохранения энергии и импульса
«1 #i + co2 N2 + щ N3 = const	C.91)
ki Мг + k2 N2 + k3 N3 - const,	C.92)
получим
k2 (Уг + V2) + k3 (уг + Vs) = 0,	C.93)
где мы учли, что о)]=со2+соз, ki = k2+k3. Формула C.93)
представляет собой систему четырех скалярных одно-
однородных уравнений для двух величин Vi+Уг, 1Л+)^з.
Переопределенная система имеет только нулевые реше-

174	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ния и, следовательно, V\ =—У2=—Vs. Кроме того, по-
поскольку замена знака у всех к означает переход к ком-
комплексно-сопряженным величинам, а мы условились счи-
считать Vi ДеЙСТВИТеЛЬНЫМИ, ТО Vk, k', к" = V—к, —к', — к"«
Далее, как вадно из C.87), можно считать Vkk'k" =
= Vkk"k'. Таким образом, мы получаем цепочку
соотношений, выражающих свойства симметрии матрич-
матричных элементов:
Vk, k', к" = Vk, к", к' = V—k, -к', -к" =
= - Vk'. к, -к" = - Vk-, к, -к- C.94)
Соответственно и уравнения для амплитуд трех взаи-
взаимодействующих волн принимают очень простой вид:
д & т/	д а2	т/ *
	= V #2 аз> 	— — V п\ #з,
dt	dt
l2*. = —Vaxc?2%	C.95)
dt	v }
Теперь нетрудно установить, что эти уравнения име-
имеют еще один интеграл движения. В самом деле, если
первое из уравнений умножить на а*, а второе — на а*
и затем сложить их вместе с комплексно-сопряженными
соотношениями, то справа мы получим нуль и, следо-
следовательно,
'Nx + N2 =;const.	C.96)
Аналогичным образом можно получить
N1 + N3 = const.	C.97)
Но это соотношение является следствием C.91) и
C.96), если учесть, что со1 = со2+соз. Интегралы C.96),
C.97) называют обычно соотношениями Мэнли — Роу.
Итак, мы получили два интеграла движения C.91) и
C.96), наличие которых накладывает существенные ог-
ограничения на взаимодействие волн. Чтобы более ясно
представить себе эти ограничения, допустим, что ампли-
амплитуды п{ — действительные. Тогда соотношения C.91) и
C.95) могут быть представлены соответственно в виде
фх О\ + (о2 а\ + щ а\ = const, a\ +wat = const. C.98)
Первое из них представляет собой уравнение эллипсои-
эллипсоида в^координатной системе (аь а2, а3)с полуосями l/V<ov
1/|/"со2, ^1^со3, а второе соответствует цилиндру с осью

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
175
вдоль а3. Амплитуды щ при взаимодействии могут из-
изменяться только таким образом, чтобы точка (аи а2у а3)
перемещалась по линии пересечения этих поверхностей.
Если учесть, что со1>со2>со3, то линии пересечения
имеют вид, показанный на рис. 38.
Рис. .38. Траектории трех
взаимодействующих волн
с фиксированными фаза-
фазами
Как мы видим, вблизи осей а2 и а3 траектории пред-
представляют собой маленькие эллипсы, каждая из волн
#2, #з при малом возмущении совершает небольшие ко-
колебания вблизи начального значения (рис. 39,а). Что
касается волны с максимальной частотой ©ь то она мо-
может «распадаться», т. е. полностью передавать свою
N2
Рис. 39. Зависимость амплитуд взаимодействующих волн от 1Време-
ни |при устойчивом (а) и неустойчивом (б) начальных состояниях
энергию волнам а2, аз, даже если их начальная ам-
амплитуда мала, а2, аъ<.ах (рис. 39,6). Из рис. 38 и
39,6 видно, что процесс распада носит характер периоди-

176	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
ческой конверсии волны а\ в две другие а?, а3 и возвра-
возвращения к исходному состоянию.
3. Аналогия с уравнением, Эйлера. Рассмотренный
процесс сходен со свободным движением твердого тела.
В частности, процесс распада волны а{ в а2, а3 сходен
со свободным движением несимметричного волчка, при-
приведенного во вращение вокруг оси с промежуточным
моментом инерции /2, т.е. h>h>h (см. рис. 51 в [107]).
Сходны и сами уравнения.
Напомним, что для свободного тела механический
момент М, будучи постоянным, удовлетворяет уравне-
уравнению
Здесь производная по времени со штрихом соответствует
дифференцированию компонент М в системе отсчета,
связанной с телом, а второе слагаемое справа возникло
из-за дифференцирования ортов подвижной системы.
Так как в собственной системе отсчета М = {I\Qu /2^2,
/3Й3}, то компоненты угловой скорости согласно C.39)
удовлетворяют уравнениям
d &i	/3 — /2
dt	h
dQ, /3--/1
dt
C.100)
C.101)
-^-	!*—Ll- Qx Q2.	C.102)
dt	h
Эта система уравнений сходна с уравнениями C.95)
для амплитуд а*. Она обладает интегралами движения
2Е=М\ Ц\-\-М\ /12-\-Мз /Iz = const и М2=М2[ +М\ -f-
+Щ=const. Пересечение этих поверхностей в системе
с координатами (Qi, Й2<, Из) приводит к картине, очень
сходной с распадом волн: движение тела устойчиво при
вращении вокруг осей с экстремальными значениями
моментов инерции /ь /3 и неустойчиво при вращении
около оси с промежуточным значением момента инер-
инерции /2. Сходными оказываются и аналитические выра-
выражения для зависимости от времени компонент угловой
скорости Qi(t) и амплитуд щ(г) взаимодействующих
волн.

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	177
4. Взрывная неустойчивость. При рассмотрении вза-
взаимодействия трех волн мы предполагали, что энергия
всех волн положительна. Именно в этом предположении
и были получены условия симметрии для матричных эле-
элементов и упрощены уравнения для амплитуд аг-. Однако
в неравновесной плазме энергия волн может быть отри-
отрицательной и взаимодействие такой волны с волнами по-
положительной энергии приводит к нелинейной неустой-
неустойчивости «взрывного» типа [108]. Причина ее состоит в
том, что, передавая энергию волнам с положительной
энергией, волна с отрицательной энергией не уменьшает,
а увеличивает свою амплитуду.
Допустим для определенности, что отрицательной
энергией обладает волна аь которая по-прежнему обла-
обладает максимальной частотой. Так как мы условились со-
сохранить для энергии и импульса волн с отрицательной
энергией те же выражения #k =@k N^ , Рк =кЛ^к , но
при этом для сок , к брать пару с отрицательной часто-
частотой и волновым вектором, направленным против фазо-
фазовой скорости Уф = ксок М2, то теперь для резонанса имеем
% + со2 + со3 = 0, к + к' + к" = 0. C.103)
Соответственно из законов сохранения энергии и импуль-
импульса получаем для матричных элементов V\ = Т/2= V3, т.е.
уравнения для амплитуд трех связанных волн примут
вид
da	4	4	(ЗЛ04)
dt	* ° dt	dt
Если для простоты считать амплитуды действитель-
действительными, то видно, что все три амплитуды растут одновре-
одновременно. Поскольку эти уравнения сходны с уравнением
dx/dt = x2; то и их решения имеют вид, сходный с решени-
решением х= (to—t)~i, т. е. #г~ l/(fb—0- Таким образом, мы
имеем дело с нелинейной неустойчивостью, имеющей ха-
характер «взрыва»: амплитуды волн нарастают до беско-
бесконечно больших значений за конечный промежуток вре-
времени и.
5. Взаимодействие волн с хаотическими фазами. Из
уравнений для временной зависимости амплитуд трех
взаимодействующих волн видно, что характерное время
их изменения t~\/Va. Если амплитуды волн малы, то
это время очень велико, ив течение всего этого времени

178	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
для резонансно взаимодействующих волн должно вы
полняться условие синхронизма. Ясно, что чем меньше
амплитуда, тем меньше допустимая расстройка А, т.е.
А = 0I—С02—СО3<СУЯ.
Но в реальных условиях плазменного эксперимента
точный синхронизм осуществить очень трудно, поскольку
в плазме могут иметься небольшие неоднородности, ко-
которые будут несколько изменять собственные частоты
в пространстве или со временем, если эти неоднород-
неоднородности нестационарны. В этих условиях картина взаимо-
взаимодействия волн усложняется, но, вместе с тем, в услови-
условиях нерегулярности взаимодействия допустим другой
приближенный подход, использующий так называемое
приближение хаотических фаз. Поясним его на примере
трех взаимодействующих волн с положительной энер-
энергией.
Умножая каждое из уравнений для амплитуд aj на со-
соответствующее а*, и складывая с комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженными соотношениями, мы можем написать уравнения
для квадратов амплитуд:
dNl =^\а^ = Уа\аа + к. с, C.105)
dt	dt ' '
C.106)
д N
— = —V ax а2 а3 + к. с.
t
о t
Каждую из амплитуд а$ можно представить в виде
|#j|exp(wjpj), где cpj — фаза. Как видно из структуры
уравнений C.105), C.106), во все члены правой части
входит один и тот же фазо;вый множитель exp[±i(cpi—
—<р?—Фз)]. Разность фаз <pi—ф2—фз может меняться со
временем как из-за взаимодействия трех волн между со-
собой (с тем же характерным временем, что и амплитуды),
так и вследствие неоднородностей среды. Последняя при-
причина может привести даже к более быстрому изменению
фазы. Разумеется, неоднородности плазмы приводят к
флуктуациям амплитуды, так как при этом энергия вол-
волнового поля несколько перераспределяется в пространст-
пространстве. Однако можно полагать, что колебания амплитуды
будут значительно меньше колебаний фазы, так как с
квадратом амплитуды связана сохраняющаяся величина—

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	179
плотность энергии, — и поэтому речь может идти толь-
только о небольшом перераспределении энергии по волно-
волновому пакету. Что касается фазы, то ее изменения ничем
не ограничены, и в каждой точке пространства фаза лег-
легко изменяется на я простым перемещением участка вол-
волнового пакета на половину длины волны.
Таким образом, представляется разумным прибли-
приближение, в котором амплитуды считаются постоянными, а
фазы — быстропеременными случайными функциями вре-
времени. Другими словами, в уравнениях C.105), C.106)
можно положить щ ~ ]//~Nj exp (?ф/) и произвести ус-
усреднение по фазам <pj. Но при таком усреднении в пра-
правой части мы получим нуль. Это значит, что в правой
части нам нужно учесть малые добавки к амплитудам
нулевого приближения, т. е. положить
aj = 1/Л^ехр (i Ф;.) + Ъа,.	C.107)
Здесь 8uj — малая добавка, которая может быть полу-
получена из уравнений для амплитуд в первом приближении
N2 exp [I (cpx + ф2)],
д t
ЬЪг = VV~Njt* f exp [t (фх + ф2)] &U C.108)
и
где to — большое отрицательное значение времени, ко-
когда начальное значение 6#i можно считать нулем. В
C.108) мы вынесли YNXN2 из-под интеграла, считая,
что за время заметного изменения фаз Nj можно считать
постоянными. Подставляя теперь в правую часть урав-
уравнений C.105), C.106) для Nj попеременно вместо каж-
каждого из сомножителей его малую поправку Ьа^ и усред-
усредняя по фазам, мы получим уравнения для Nj в первом
неисчезающем приближении:
dN2 ж JHJ^ ^ _ jUJ^	C.109)
dt	dt	dt '

180	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
Здесь
t
W = 2V2т, т = < exp [i 9 (t) Г ехр [—/ 6 (f)] d f >,
—оо
О — сумма любых двух случайных фаз, например &==
= Ф1+ф2. Величина т определяет характерное время кор-
корреляции фаз.
Из уравнений для N в приближении хаотических фаз
опять следуют соотношения Мэнли — Роу Л^+Л/2=
=iconst, N\ + Ns = const, и соответственно опять выпол-
выполняются законы сохранения энергии и импульса. Эти
уравнения имеют стационарное решение Afj=const/coj,
соответствующее равнораспределению энергии по сте-
степеням свободы, т. е. закону Рэлея — Джинса:
#у = соу Nj = T0 = const.
Действительно, если в правую часть уравнения C.109)
подставить выражение Nj = Tq/(Oj9 вынося общий мно-
множитель NiN2NJT0, мы получим в скобках (o>i—со?—соз) =
= 0 в силу резонансного условия для частот.
Уравнения для Nj имеют простую квантово-механиче-
скую аналогию, если Nj интерпретировать как число
квантов (т. е. ввести постоянную Планка <8к = ^(^kN^
и положить ее затем равной 1 выбором соответствующей
системы единиц). Тогда для процесса комбинационного
рассеяния квантаЙсох в два квантаЙоJ+^(Оз и обратного
процесса слияния двух квантов в один можно написать
уравнение
J?- = W [N2 N3 (Nx + l)-Nx (N2 + 1)(N3 + 1)]. C.110)
Здесь W — вероятность перехода, а единицы в конечном
состоянии добавлены для учета спонтанного перехода
бозе-частиц из одного состояния в другое. Если числа
заполнения Nj значительно больше единицы, то в этом
уравнении достаточно сохранить только квадратичные
члены, и оно совпадет с C.109).
6. Взаимодействие высокочастотных волн с низкоча-
низкочастотной. До. сих пор мы рассматривали взаимодействие
только трех волн. В принципе число волн, участвующих
во взаимодействии, может быть значительно больше. В
приближении трехволнового взаимодействия мы име-
имеем дело с суперпозицией зацепляющихся троек, или трип-

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	181
летов, волн. При этом взаимодействие может быть либо
при фиксированных фазах, если условия резонанса со-
соблюдаются с хорошей точностью, либо со случайными
фазами, если волны не вполне регулярны или среда име-
имеет слабые нерегулярные неоднородности.
В качестве простого примера большого числа взаи-
взаимодействующих волн с фиксированной фазой рассмот-
рассмотрим взаимодействие высокочастотных волн с длинно-
длинноволновой медленной волной [ПО]. Например, это может
быть взаимодействие высокочастотной электромагнит-
электромагнитной волны с ионным звуком. Такой случай соответству-
соответствует рис. 37, когда муар от высокочастотных волн попада-
попадает в резонанс с собственной низкочастотной волной.
Обозначим амплитуду низкочастотной волны через
Ь, а ее волновой вектор и частоту соответственно через
х и v. Пусть волновое число основной волны равно k0,
причем ko^$>x. Тогда с основной волной может взаимо-
взаимодействовать волна ^!=&0+х, с ней в свою очередь мо-
может взаимодействовать волна &2=<&о+2>с и т.д. Таким
образом, кроме двух основных волн k0, х, во взаимодей-
взаимодействии может участвовать целый набор волн с волновыми
числами $п=<&01+яи> гДе п — произвольное положитель-
положительное или отрицательное целое число. Обозначим через ап
амплитуду волны ko+n%9 так что по соответствует ос-
основной высокочастотной волне. Будем считать, что вол-
волны находятся в точном резонансе, т. е. (on = con-i+v или
+
Так как по предположению х мало, то
— (dco/d?)x и условие резонанса можно приближенно за-
записать в виде
? = t>rx = v.	C.111)
д k
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае малых и
условие резонанса соответствует совпадению групповой
скорости высокочастотного пакета и фазовой скорости
низкочастотных волн. Поскольку х мало, то матричный
элемент в C.87) можно считать не зависящим от nt так
что уравнение для ап можно записать в виде
-%- = i V (ап+1 Ь* + а„_, Ь),	C.112)
О I
где V — некоторое число, которое мы будем считать дей-
действительным. (Как будет видно из дальнейшего, удоб-

182	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
но выбрать такую нормировку амплитуд, чтобы матрич-
матричный элемент взаимодействия iV был чисто мнимым.)
Аналогично для Ь имеем
— = iV%anan-i.	C.113)
dt	n
Мы считаем, что матричные элементы взаимодействия
в C.112) и C.113) совпадают, что имеет место при оп-
определенной нормировке амплитуд ап и Ь.
Допустим, что в начальный момент была возбуждена
только одна волна с амплитудой а$ и имелась малая
примесь низкочастотной волны с амплитудой Ь. Примем
для простоты, что Ъ — действительно (фаза волны за-
зависит от выбора начала координат). Тогда, воспользо-
воспользовавшись известным рекуррентным соотношением для
функций Бесселя
нетрудно проверить, что решением C.112) является
dt).	C.114)
Отсюда видно, что за счет взаимодействия с низкоча-
низкочастотной волной со временем появляются все более и бо-
более высокие гармоники аПу причем при ?->оо они в сред-
среднем выравниваются по амплитуде, _так как Jn(x) ~
~const/y.x; при больших х (при п <1х).Появление гар-
гармоник ап соответствует просто модуляции исходной вол-
волны, что видно из соотношения
Е ^
п
s= exp (— /©о t + iko ry^an exp (— invt + innr) =
n
= exp [ — i®01 + ik0 r — iX cos (vt — кг)] ,	C.115)
где Я = 2V\b dt . Таким образом, в рассматриваемом
случае x<Clfeo и не зависящего от п матричного элемента
модуляция волны является чисто фазовой.
Подставляя найденные выражения для ап C.114) в
уравнение C.113) для 6, получим
djL = -V%?n (Wn - 1(Я).	A3.16)
dt	п

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
183
Но выражение справа в силу известной теоремы сложе-
сложения для функций Бесселя обращается в нуль. Таким об-
образом, модуляция высокочастотной волны происходит
при постоянной амплитуде низкочастотной волны. Если
учесть небольшую несимметрию матричных элементов
взаимодействия, т. е. их зависимость от п, то амплитуда
низкочастотной волны также будет изменяться со вре-
временем — либо нарастать, либо испытывать низкочастот-
низкочастотные колебания. Все зависит от того, в какую сторону —
меньших или больших частот — преобладает трансфор-
трансформация высокочастотных волн.
Нелинейное взаимодействие высокочастотной вол-
волны с плазменными колебаниями наблюдалось экспери-
экспериментально в работе Стерна и Тцоара [111]. Соответству-
Соответствующие данные приведены на рис. 40. Как мы видим, при
^ Q
Рис. 40. Параметрическое возбуждение ионно-звуковой и ленгмю-
;ро1в<жой| волны при малой (а) и большой (б) амплитудах }волны
накачки; соо — частота накачки, Q — ионно-звуковая частота
таком взаимодействии в плазме возбуждаются ионно-
звуковые и ленгмюровские колебания (частота волны
накачки была близка к ленгмюровской), причем по мере
роста амплитуды накачки число сателлитов возрастает,
как это следует из теории взаимодействия волн.
7. Четырехволновые процессы. Если спектр нераспад-
ный, т. е. зависимость <ок от к такая, что удовлет-
удовлетворить соотношению сок =сок'+Юк-к' нельзя, то прихо-
приходится учитывать следующий, кубичный по амплитуде
член взаимодействия волн. В этом случае резонансная
перекачка энергии волн по спектру происходит за счет
четырехволновых процессов, когда выполнены ус-
условия
ki + k2 = k3 +k4, (Oi + co2 = co3 + (o4	C.117)

184	Гл. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
для рассеяния двух волн кь к2 в две другие к3, к4, либо
аналогичные условия для распада одной волны на три
или слияния трех волн в одну. В этом случае взаимо-
взаимодействие является малым третьего порядка по амплиту-
амплитуде, а в случае хаотических фаз — третьего порядка по
числу волн A/it. Разумеется, четырехволновые процессы
являются основными и в том случае, когда с самого на-
начала нелинейность является кубической, как, например,
в рассмотренном выше уравнении, описывающем само-
самофокусировку и самосжатие волновых пакетов. Сами эти
процессы можно рассматривать и на языке четырехвол-
новых взаимодействий волн с близкими волновыми век-
векторами к, к±х. Более подробно с четырехволновыми
процессами можно познакомиться в [73—75]. В плазме
они могут проявляться только в некоторых частных слу-
случаях, когда трехволновые процессы оказываются запре-
запрещенными.
8. Обращение волнового фронта. Еще один класс не-
нелинейных явлений связан с так называемым обращени-
обращением волнового фронта [112а]. Рассмотрим сначала про-
простой4 мысленный эксперимент. Пусть в сыпучей среде,
например в песке, распространяется монохроматическая
звуковая волна, которая может рассматриваться как на-
набор плоских волн вида ак ехр(—Ш+ikr). Если мы при-
приложим, кроме того, однородное электрическое поле с
той же частотой о, то появится квадратичный эффект
вида frkexp(ikr), где Ьк пропорционально Як, не зави-
зависящий от частоты. Это неподвижное волновое возмуще-
возмущение в сыпучей среде может запомниться, как застывшая
волна слабой деформации среды.
Если отключить оба сигнала, то застывшая волна со-
сохранится в песке в виде записанной информации. Если
через некоторое время мы опять приложим однородное
электрическое поле, то квадратичный эффект породит
волны вида Ск(±Ш + 1кг). Одна из этих волн будет
распространяться точно противоположно первоначально
излученной звуковой волне: происходит обращение вол-
волнового фронта. Датчики, расположенные на поверхности
песка, зарегистрируют отклик в тех точках, где перво-
первоначально находились излучатели.
Нетрудно видеть, что рассмотренный нами пример
запоминания застывшей волны сходен с известным в
оптике явлением получения голограммы: переменное
электрическое поле играет роль опорной волны, при ин-

§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН	185
терференции с которой звуковая волна образует возму-
возмущение типа голограммы.
Обращение волнового фронта может происходить и
при индуцированном рассеянии волн, т.е. в процессе,
сходном с распадом волн. Допустим, что электромагнит-
электромагнитная волна со, k распадается на две волны: электромаг-
электромагнитную о/, kf и низкочастотную Q, к. Если
частота Q мала, то о/=<(о—Q^co, т.е. ча-
частота рассеянной волны близка к частоте падаю-
падающей волны. Закон сохранения импульса k=k'+x удов-
удовлетворяется при l^l^l^l, если к'^Ё—к, а величина
х^2к. При этом рассеянная электромагнитная волна
распространяется в противоположном направлении по
сравнению с падающей волной: происходит обращение
волнового фронта.

ГЛАВА 4
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Нелинейное затухание Ландау
1. Резонансные частицы и их взаимодействие с волной.
Все предыдущее рассмотрение нелинейных волн носило
довольно общий характер и было применимо практичес-
практически к любой сплошной среде. Никакой специфики плазмы
как системы частиц с дальнодействующими силами в этом
рассмотрении учтено не было. Между, тем такая специ-
специфика существует и связана она прежде всего с тем, что
в нелинейных коллективных явлениях может происходить
не только взаимодействие волн с волнами, но и волн с ча-
частицами. Простейшим и достаточно важным явлением
такого вида является взаимодействие частиц с волной
конечной амплитуды, которое проявляется в так называ-
называемом нелинейном затухании Ландау [ИЗ—116].
Допустим, что в плазме возбуждена ленгмюровская
волна малой, но конечной амплитуды. Будем считать, что
длина волны достаточно велика по сравнению с дебаев-
ским радиусом экранирования d, так что фазовая скорость
волны иф = со/к значительно больше тепловой. В этих ус-
условиях, с одной стороны, мала тепловая поправка к частоте
и можно считать со = (оре, а с другой — мало число резо-
резонансных частиц.
Покажем сначала, что в холодной плазме амплитуда
плоской ленгмюровской волны может быть конечной, при-
причем волна остается гармонической. В самом деле, в этом
случае уравнение движения электронов можно написать
в лагранжевой форме
-*tu a = _ -E(x+l t)	D 1)
dt2 '	tne
где \ — смещение электрона, находившегося в равнове-
равновесии в точке х. Но при смещении слоя электронов, скажем,
вправо число электронов слева от смещенного слоя оста-
остается неизменным, если только не возникает многопото-
многопотокового движения. Поэтому электрическое поле будет оп-
определяться избыточным числом ионов, оказавшихся сле-
слева от рассматриваемого слоя электронов, т. е. Е(х-\-

§ 1. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	187
-|, t)=4nen<fc. Поэтому уравнение D.1) принимает вид
где (Ире — ленгмюров-ская электронная частота. Отсюда
видно, что в одномерном случае электроны соверша-
совершают гармонические колебания с частотой о)ре и с конечной
амплитудой, если толыко последняя не становится на-
настолько большой, что начинает происходить пересечение
траекторий и образование многопотоковых движений.
Итак, в приближении холодных электронов можно счи-
считать, что ленгмюровская волна имеет малую, но конеч-
конечную амплитуду и ее потенциал является гармонической
функцией вида (p = (p0cos(cDpe^—kx). С учетом теплового
разброса следует принять во внимание, что эта волна
может взаимодействовать с резонансными частицами,
скорость которых близка к фазовой скорости волны
(йре/k. Если фазовая скорость много больше тепловой
скорости электронов, то резонансных частиц будет экс-
экспоненциально мало, и, следовательно, можно ожидать,
что их влияние на волну конечной амплитуды будет ма-
малым. В этих условиях можно
действовать в духе теории воз-
возмущений. В первом прибли-
приближении мы будем считать волну
стационарной и рассмотрим
поведение резонансных час-^
тиц в такой волне, а затем
уже можно попытаться учесть
эффект обратного влияния ре-
резонансных частиц на волну. б
Итак, рассмотрим резо-
резонансные частицы. Для этого
удобно перейти к системе от-
отсчета, движущейся вместе с
волной. В этой системе отсче-
отсчета волна представляет со-
собой стационарное возмущение
электрического поля: (p = (p0icos&,v. Электроны в таком
поле можно разбить на два класса: захваченные, совер-
совершающие финитные колебания вблизи точек с макси-
максимальным потенциалом ф0, и пролетные, энергия которых
Рис. 41. Фазовые траекто-
траектории электронов в волне

188	Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
достаточно велика для преодоления потенциального
барьера.
Движение частиц удобно рассматривать на фазовой
плоскости (х, v). На рис. 41, а представлена зависимость
Ф от х, а на рис. 41,6 изображены фазовые траектории
электронов при их движении в волне. Электроны с ма-
малыми скоростями захватываются волной. На электрон,
захваченный, например, вблизи х = 0, действует сила
— еЕ = e~z~ = — аро k sin kx « — е фо k2 x ,
так что он будет совершать колебания с частотой
«Po	D.3)
щ
По мере увеличения амплитуды колебаний электронов
частота уменьшается, и на сепаратрисе, отделяющей за-
захваченные частицы от пролетных и изображенной пунк-
пунктиром на рис. 41,6, она обращается в нуль, так как со-
соответствующие электроны могут бесконечно долго
находиться на «вершине» А потенциальной энергии
—еф. Средняя скорость пролетных частиц вблизи сепара-
сепаратрисы также очень мала и возрастает по мере удаления
от сепаратрисы.
Так как полная энергия электрона
те (у— УфJ
	— еср = const,
а в точке А скорость v—Уф = 0, полуширина сепаратрисы
при х = 0 равна, очевидно,kv=2)/re(@/me,т. е. она убыва-
убывает с амплитудой волны гораздо медленнее, чем по ли-
линейному закону. Это значит, что в волне даже очень ма-
малой амплитуды может быть относительно много захва-
захваченных частиц.
Рассмотрим теперь, как будет эволюционировать фун-
функция распределения резонансных частиц со временем. Так
как ширина области взаимодействия Av велика, малым
линейным возмущением / в этой области можно прене-
пренебречь, т. е. можно считать, что начальная функция рас-
распределения резонансных частиц совпадает с невозму-

§ 1. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ
189
щенной. Мы будем считать, что она убывает с v так, как
показано на рис. 42, а сплошной линией.
Учтем теперь, что уравнение Власова
dt
df j_ dtp df
dx tne dx dv
D.4)
можно рассматривать как уравнение непрерывности для
некоторой1 субстанции с плотностью f при течении на фа-
Рис. 42. Образование быстрых осцилляции (а) и «плато» (б) на
функции распределения
зовой плоскости. Так как скорость v не зависит от ху а
ускорение — от v, то
| + A(JL|?j = 0>	D5)
т. е. это течение является несжимаемым. Следовательно,
величина / сохраняется вдоль линий тока. Зная эти ли-
линии и начальную функцию, нетрудно представить себе,
как будет изменяться f. Рассмотрим сначала захвачен-
захваченные частицы. Покажем сплошной штриховкой область
при меньших скоростях, где функция / больше (рис. 43, а).
Так как захваченные частицы совершают колебания
с частотой порядка Q, внутренняя часть фазовой области
захваченных частиц будет вращаться, так что через пол-
полпериода картина приобретает вид рис. 43,6. Частицы,
лежащие на сепаратрисе, не вращаются; поэтому эти ли-
линии остаются на месте, а для большей части частиц про-
происходит перестановка — плотность быстрых электронов
становится больше плотности медленных, т. е. производ

190
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
ная df/dv для захваченных частиц меняет знак. Затем
эта смена знака будет происходить через каждую поло-
половину периода, и по мере увеличения t картина будет при-
принимать вид все более и более мелких осцилляции (см.
рис. 43, в и пунктир на рис. 42,а). Аналогичное «разме-
«размешивание» имеет место и для пролетных «резонансных»
Рис. 43. Движение резонансных 'частиц в волне
частиц, находящихся близко от сепаратрисы (точечная
штриховка на рис. 43).
Благодаря эффекту «размешивания» довольно быстро
(по сравнению со средней частотой столкновений) долж-
должно достигаться настолько быстро осциллирующее на фа-
фазовой плоскости состояние /, что в игру могут вступать
кулоновские столкновения. Как известно, кулоновские
столкновения приводят к диффузии в пространстве скоро-
скоростей, и поэтому эффективное время релаксации мелких ос-
осцилляции в фазовом пространстве гораздо меньше среднего
времени столкновений для гладкой функции распределе-
распределения. Вследствие совместного действия «размешивания»
и кулоновских столкновений функция распределения в

§ 1. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	191
области резонансных частиц должна «сгладиться» около
некоторого среднего значения, т. е. на ней должно по-
появиться «плато» (см. рис. 42,6). Однако в течение дос-
достаточно большого промежутка времени затухание вол-
волны из-за столкновений можно считать еще малым,
так что волна длительное время будет чисто периоди-
периодической.
Заметим, что эта волна соответствует стационарному
решению линеаризованного уравнения Власова. В такой
волне особенность в точке со—!kv = O устраняется благо-
благодаря образованию «ступеньки» на функции распределения
с dfo/dv = O в резонансной точке, что автоматически при-
приводит к интегрированию особенности в смысле главного
значения в дисперсионном уравнении B.116).
Таким образом, стационарная волна физически мо-
может быть реализована как результат эволюции волны
с конечной амплитудой. Для стационарности достаточно,
чтобы функция распределения с принятой точностью
была постоянной вдоль линии тока в фазовом простран-
пространстве.
Мысленно можно представить себе возможность об-
образования сразу незатухающей волны: для этого дос-
достаточно одновременно с возмущением потенциала, созда-
создаваемым нерезонансными частицами, произвести такое
возмущение функции распределения резонансных час-
частиц, чтобы в последующие моменты времени она остава-
оставалась постоянной (в системе отсчета, движущейся с вол-
волной). Например, если функция распределения захвачен-
захваченных частиц внутри сепаратрисы на рис. 43 будет посто-
постоянна, то движение запертых частиц не будет менять функ-
функцию распределения (аналогичная картина имеет место
для пролетных частиц вблизи сепаратрисы). Отсюда вид-
видно, что стационарные ленгмюровские волны соответству-
соответствуют такой добавке резонансных частиц, при которой
сразу образуется что-то вроде плато. Такие волны на-
называют волнами Бернштейна — Грина — Крускала (со-
(сокращенно БГК) A17]. Если число дополнительных ре-
резонансных частиц увеличивать, то мы получим как бы
волну с модулированным в пространстве пучком, что
соответствует переходу к волне Ван-Кампена. Собственно
волны Ван-Кампена соответствуют стационарным мо-
модулированным пучкам, пронизывающим плазму.
Теперь, после того как мы познакомились с движе-
движением резонансных частиц, мы можем учесть их обратное

192
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
влияние на волну. Ясно, что к моменту первого полупе-
полупериода колебаний1 резонансных частиц (рис. 43,6), ког-
когда они отбирают энергию от волны, амплитуда
волны должна уменьшаться (рис. 44). Затем ре-
резонансные частицы начинают уменьшать свою
энергию, и амплитуда
волны должна возрас-
возрастать. В последующие мо-
моменты времени, когда за-
запертые частицы, соверша-
совершающие колебания с раз-
различными частотами от ну-
нуля до Й, приводят к «раз-
«размешиванию» функции
распределения в фазовом
п/п
Рис. 44. Затухание волн конечной
амплитуды
волны должен затухать,
пространстве, размах
колебаний амплитуды
а при /~>оо амплиту-
амплитуда стремится к некоторому предельному значе-
значению фоо,.
Чем меньше резонансных частиц, тем ближе к единице
отношение qw4o. Если амплитуда волны ф0 стремит-
стремится к нулю, то Й->0 и первый полупериод колебаний ам-
амплитуды (см. рис. 44) растягивается до бесконечности,
так что в линейном приближении осцилляции вообще от-
отсутствуют и амплитуда монотонно убывает. При этом,
разумеется, уже нельзя считать амплитуду постоянной,
как это мы делали при рассмотрении движения запертых
частиц в волне конечной амплитуды. Впрочем, и сами
запертые частицы не успевают совершить ни одного ко-
колебания — они только начинают свое движение в волне,
как показано на рис. 43, а штриховой линией, а их вклад
в плотность заряда оказывается уже настолько сущест-
существенным, что амплитуда волны заметно убывает. Можно
сказать, что резонансные частицы имеют слишком боль-
большой вес в волне малой амплитуды.
Нетрудно оценить, при какой амплитуде волну можно
считать линейной. Для этого достаточно сравнить плот-
плотность энергии волны
8я
~8лГ
с плотностью той энергии, которая передается захвачен-
захваченным частицам при образовании плато. Ширина плато по-

§ 1. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	193
рядка Av— у eq>0/me , а изменение энергии электрона
при увеличении его скорости на Av вблизи фазовой ско-
скорости co/k равно me(uAv/k.
Так как при образовании плато функция распределе-
распределения изменяется на величину
Д/ ~ ~т~ Av.
' dv v = Q/k
то изменение плотности энергии захваченных частиц по
порядку величины равно
А$ ~ те "тАу (AfAv) ~ те \ , * .
Сравнивая эту величину с плотностью энергии в вол-
волне, находим условие линейности ленгмюровской волны
в плазме с максвелловским распределением электронов
по скоростям:
Отсюда видно, что при очень малых Ы волна даже очень
малой амплитуды не может считаться линейной. Это свя-
связано с тем, что для таких волн число резонансных элек-
электронов экспоненциально мало и соответственно их зату-
затухание очень быстро прекращается. Напротив, при kd ^ 1
волна может считаться линейной даже при умеренных
значениях ецH/Те.
Рассмотрение затухания волны конечной амплитуды
проясняет и вопрос об обратимости во времени. Этот
вопрос состоит в следующем. С одной стороны, кинети-
кинетическое уравнение с самосогласованным полем в отсут-
отсутствие столкновений является полностью обратимым во
времени: оно сохраняет свой вид при замене t на —¦/ и
обращении скоростей частиц. Поэтому все процессы,
описываемые этим уравнением, должны быть обратимы-
обратимыми. Но, с другой стороны, наличие экспоненциального
затухания волн в линейном приближении, казалось бы,
указывает на явную необратимость: по прошествии до-
достаточно большого промежутка времени система заряжен-
заряженных частиц может полностью «забыть» о том, что в ней
распространялась волна. Чтобы выяснить этот вопрос,
обратимся опять к рис. 43.
7 Б. Б. Кадомцев

194
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
Если столкновений нет, то картина эволюции функ-
функции распределения резонансных частиц полностью обра-
обратима. При замене скоростей захваченных частиц на об-
обратные «змея» на рис. 43, в должна начать развертывать-
развертываться, затем она пройдет через состояние <=0 и снова нач-
начнет свертываться. Соответственно и на амплитуде фо(О
появятся сначала осцилляции, затем фо достигнет мак-
максимального значения, соответствующего f = 0, и вся кар-
картина затухания с осцилляциями вновь повторится.
Аналогичная картина обратимости должна иметь
место и в случае волны малой амплитуды, т. е. в случае
большого числа резонансных частиц. Разумеется, при
этом никакого захвата частиц не происходит: волна
затухает гораздо раньше, чем успеет произойти хотя бы
0,10 Г hiн
0,05
0,02
0,01
0,005
Рис. 45. Зависимость де-
декремента затухания от
квадрата отношения фа-
фазовой скорости к сред-
средней тепловой
О 5 10 15 20
одно колебание запертых частиц. Происходит как бы
расползание отдельных групп резонансных частиц, кото-
которое сопровождается отбором энергии у волны, так что в
конце концов вся энергия колебаний передается резо-
резонансным частицам. Но этот процесс также является об-
обратимым. Даже после затухания волны до крайне малой
амплитуды среда может длительное время (пока не нач-
начнут играть роль столкновения) сохранять «память» о на-
начальном возмущении, и при обращении скоростей частиц
весь процесс пошел бы в обратном направлении. Прак-
Практически, разумеется, нельзя обратить скорость всех час-
частиц, однако «память» о колебаниях может проявляться в
эффектах типа эха.

§ 1. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	195
2. Эксперименты по затуханию Ландау. Первым на-
наиболее подробным и прямым исследованием затухания
Ландау в продольных колебаниях, по-видимому, является
эксперимент Малмберга, Уортона и Драммонда [118]. В
этом эксперименте измерялось пространственное затуха-
затухание продольной электронной волны вида ехр(—ico/+
+ ikrx—fax), возбуждаемой с помощью высокочастотных
колебаний, подаваемых на ленгмюровский1 зонд. Плазма
с плотностью 108—109 см~3 и температурой от 5 до 20 эВ
создавалась с помощью плазмотрона. Для регистрации
колебаний служил второй ленгмюровский зонд. На рис.45
представлены результаты измерения затухания (отно-
(отношение мнимой части волнового числа h к действитель-
действительной kr) в зависимости от квадрата отношения фазовой
скорости Яф = а>/& к средней тепловой
vTe - i2TJme.
Так как ki пропорционально декременту затухания, вели-
величина kjkr должна экспоненциально убывать с (co/?i>reJ.
Видно, что такая зависимость действительно имеет ме-
место, причем экспериментальные точки хорошо ложатся на
теоретическую кривую.
Чтобы проверить, действительно ли это затухание
связано с резонансными электронами, авторы работы '[118]
изменяли потенциал торцевого электрода и тем самым
«обрезали хвост» максвелловского распределения, т. е.
устраняли наиболее быстрые электроны. Как только гра-
граница обрезания доходила до некоторого определенного
значения и*, наблюдалось резкое изменение затухания.
Величина а* оказалась близкой к фазовой скорости вол-
волны 0ф = со/&, что убедительно свидетельствует о затухании
волны на резонансных электронах.
В последующих экспериментах [119—122] было про-
проведено более подробное исследование дисперсионного со-
соотношения для плазменных волн. На рис. 46 представ-
представлены результаты Дерфлера и Симонена для зависимости
частоты колебаний со и затухания (мнимой части волно-
волнового числа ki) от kr, которые сравниваются с точным дис-
дисперсионным соотношением 8 = 0 [см. B.116)] при произ-
произвольных kd. (График рис. 46 следует рассматривать ско-
скорее как зависимость kr и ki от со.) Как мы видим, экспе-
экспериментальные точки хорошо ложатся на теоретические
кривые. Таким образом, в настоящее время не только
затухание, но и полное дисперсионное соотношение
7*

196
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
е(&, о))=0 можно считать надежно установленными в
эксперименте.
Позднее Малмберг и Уортон [123] провели исследо-
исследование затухания волн конечной амплитуды. Их резуль-
результаты приведены на рис. 47, где показана эксперимен-
Рис. 46. Дисперсионные кри-
кривые для ленгмюровских волн
тально измеренная зависимость амплитуды колебаний от
расстояния между зондом-излучателем и зондом-прием-
зондом-приемником.
Амплитуда отложена в относительных единицах. Кри-
ращать внимания на область расстояний меньше 5 см, где
вая 1 относится к волне малой амплитуды. Если не об-
еще не установилась плоская волна, то видно, что волна
20 U0
50
80 х,см
Рис. 47. Зависи-
Зависимость амплитуды
колебаний от рас-
расстояния между
зондом - излучате-
излучателем и зондом-при-
зондом-приемником при из-
изменении потенциа-
потенциала зонда-излучате-
зонда-излучателя V: 1 — 0,9; 2 —
2,85; 3 — 9 В
затухает монотонно по экспоненциальному закону. При
увеличении амплитуды волны на зависимости амплитуды
от расстояния появляются осцилляции, период которых
уменьшается по мере увеличения амплитуды. Экспери-

§ 2. ЭХО В ПЛАЗМЕ
197
мент показал, что волновое число К осцилляции ампли-
амплитуды при изменении потенциала^!/, подаваемого на зонд-
излучатель, возрастало как ]/~V. Эта зависимость хо-
хорошо согласуется с теоретической [см. D.3)], по которой
частота колебаний Q, а следовательно, и К должны воз-
возрастать как квадратный корень из амплитуды.
Итак, эффект затухания Ландау можно считать на-
надежно подтвержденным экспериментально.
Возникает еще вопрос, можно ли экспериментально
проверить, что затухание Ландау не приводит непосредст-
непосредственно к необратимости и что в бесстолкновительной
плазме сохраняется «память» о затухших колебаниях.
Такая проверка действительно была сделана в экспери-
экспериментах с эхом.
§ 2. Эхо в плазме
1. Спиновое эхо. Напомним сначала, что представля-
представляет собой эхо. Эффект эха был обнаружен Ханом [125] в
экспериментах по ядерному магнитному резонансу. Внеш
не он выглядит следующим образом. Если на частоте,
близкой к резонансной, приложить два коротких им-
импульса, разделенных промежутком т (рис. 48), то вслед
за вторым импульсом через время % появляется импульс,
соответствующий спонтан-	?
ному излучению ядерных
спинов на резонансной ча-
частоте. Этот эффект, который
носит название спинового
эха, был объяснен самим
Ханом.
Рассмотрим систему ядер-
ядерных спинов в сильном маг-
магнитном поле и допустим, что
в начальный момент все маг-
магнитные моменты направлены вдоль поля (ось z на рис. 49).
Как известно, наложение резонансных высокочастотных
колебаний приводит к тому, что спины начинают откло-
отклоняться от оси z. Допустим для простоты, что первый им-
импульс является 90-градусным, т. е. его амплитуда подоб-
подобрана таким образом, что спины отклоняются на 90° и пе-
переходят на ось х. После прекращения импульса вследст-
1
Рис. 48. Спиновое эхо

198
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
вие прецессии магнитного момента должно иметь место
излучение на резонансной частоте. Однако из-за малой
неоднородности внешнего магнитного поля это излуче-
излучение быстро прекращается. Так как частота прецессии со
немного меняется от точки к точке, фазы различных
Рис. 49. Поворот и разбе-
гание спинов при воз-
возбуждении 90-градусным
импульсом
спинов вскоре «разойдутся», и в среднем по образцу их
можно будет считать распределенными равномерно
(рис. 49).
Допустим теперь, что в момент t=% прикладывается
второй высокочастотный импульс. Картина выглядит про-
проще всег|о, если второй импульс имеет вдвое большую ам-
амплитуду, т.е. является 180-градусным. При этом «веер»
спинов на рис. 49 просто поворачивается «а 180° вокруг
оси у, что эквивалентно обращению времени: после этого
все спины будут вращаться в плоскости «веера» в обрат-
обратную сторону и через время т сойдутся на оси х. В этот мо-
момент и будет наблюдаться эхо — сильное излучение спи-
спинов в одной фазе.
Эффект эха меньшей амплитуды наблюдается и в том
случае, если импульсы не являются точно 90- и 180-гра-
180-градусными.
Нетрудно видеть, что эффект эха тесно связан с суще-
существованием непрерывного спектра собственных колеба-
колебаний. В самом деле, развертывание спинов в «веер» про-
происходит именно из-за того, что в каждой точке простран-
пространства частота прецессии спинов имеет свое значение со (г).
Частота со (г) является непрерывной функцией коорди-
координат, и если она меняется в пространстве, то колебания
спинов в разных точках со временем будут расходиться

§ 2. ЭХО В ПЛАЗМЕ	199
по фазам, так что в пространстве будет образовываться
все более часто изрезанное волновое поле со все боль-
большими волновыми числами. Действительно, согласно
B.141) получим
1 д со ,
дг
Именно из-за разбегаиия по фазам соседних возмуще-
возмущений и исчезает макроскопический эффект излучения волн
при прецессии спинов.
Приложение второго импульса приводит опять к
отклику второго порядка, сильно изрезанному в прост-
пространстве, но эволюционирующему таким образом, что
теперь волновое число убывает с возрастанием t и обра-
обращается в нуль при Д./=т после второго импульса.
2. Простая демонстрация эха. Чрезвычайно простая
демонстрация эффекта эха была предложена Веденовым
и Дыхне. Предположим, что мы имеем два растра с раз-
разным периодом (например, две расчески с разным
числом зубцов на единице длины). Пусть волновые чис-
числа этих растров, отвечающие основной гармонике, равны
kx и &2- Тогда если бросить на них рассеянный свет (на-
(например, от окна или матовой лампочки), то на расстоя-
расстоянии х от каждого растра распределение модуляции ин-
интенсивности света по углу будет, очевидно, равно
exp{iky + ikQx)f(Q), где k = k\ или fe a f @)~ распределе-
распределение интенсивности света перед растром (рис. 50). По
мере удаления от растра тень от него будет все более и
более размытой, так как распределение освещенности,
пропорциональное) exp(iky + ikQx)f(Q)dQ, будет из-за
размазывания по 9 приближаться к равномерному. Но
если расположить растры параллельно один за другим
на расстоянии d между ними так, чтобы тень от одного
растра падала на другой, то распределение освещенно-
освещенности будет равно
k1y + ik1Qx± [ik2y + ik2Q(x — d)]}f{Q)dQ. D.8)
Отсюда видно, что на расстоянии x = k2d/()k2—k\) от пер-
первого растра экспонента под интегралом перестает зави-
зависеть от Э. При этом на экране отчетливо проступает муар
на разности волновых чисел k2—k\. Из выражения для

200
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
положения экрана x=k2dl(k2— k\) видно, что эффект
возникает только при fe>^i-
Из рассмотренных примеров ясно, что эффект эха
возникает в том случае, когда имеет место затухание
линейных возмущений вследствие их «расползания» по
фазам. В случае спинового эха макроскопический эффект
исчезал из-за накопления разности фаз в разных точках,
а в примере с растрами — из-за расползания по оси у
Рис 50. Эхо на рассеянном свете
отдельных пучков света. Но совершенно аналогичный
эффект имеет место в случае затухания Ландау: элек-
электрическое поле волны затухает со временем из-за «рас-
«расползания» пучков резонансных частиц по скоростям.
Естественно поэтому ожидать эффекта типа эха на
плазменных волнах. Но сначала мы познакомимся с
циклотронным эхом в плазме, которое больше похоже
на спиновое эхо.
3. Циклотронное эхо в плазме. Циклотронное эхо в
плазме было обнаружено Хиллом и Капланом [127].
Эксперимент ставился следующим образом [127—129].
Поперек столба созданной высокочастотным разрядом
распадающейся плазмы, когда ток в ней практически
отсутствовал и она была достаточно спокойной, пропус-
пропускались два импульса высокочастотных колебаний с ин-
интервалом времени т. Плазма помещалась в магнитное

§ 2. ЭХО В ПЛАЗМЕ
201
поле около 3 кГс, а частота генератора была близка к
циклотронной частоте электронов. Амплитуда импульсов
была достаточно высокой, так что при циклотронном ре-
резонансе электроны могли приобретать энергию, значи-
значительно превышающую тепловую. После прохождения
1 Дбухимпульсное эхо
, г v
. -г _
. г ,
\Тршмпульсное эхо
Рис. 51. Циклотронное эхо
двух импульсов от внешнего генератора наблюдались
импульсы из плазмы на циклотронной частоте с интер-
интервалом времени т (рис. 51).
Кроме такого двухимпульсного эха, авторы наблю-
наблюдали трехимпульсное эхо, когда третий импульс пода-
подавался с большой задержкой Т, значительно превышаю-
превышающей время столкновения электронов с атомами ней-
нейтрального газа, но меньшей времени релаксации элек-
электронов по энергиям. Как показано на рис. 51, после это-
этого снова наблюдалась серия импульсов из плазмы.
Объяснение механизма циклотронного эха и его ос-
основных особенностей было дано Гулдом [130] (см.
также [131]). В принципе циклотронное эхо близко к
спиновому. Если при ядерном магнитном резонансе дей-
действие высокочастотного поля приводит к повороту спи-
спинов от оси г, то при циклотронном резонансе происходит
набор энергии электронами. Если продолжительность
импульса не слишком велика, то он имеет достаточно
широкий спектр, так что даже при наличии некоторой
неоднородности магнитного поля можно считать, что все
электроны (вначале холодные) приобретают одну и ту
же энергию. Пусть в пространстве скоростей (vx, vy),
г. е. в плоскости, перпендикулярной магнитному полю,
положение электронов сразу после первого импульса

202
Гл 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
отвечает точке (vp, 0) (рис. 52, а). В последующие мо-
моменты времени электроны будут вращаться с цикло-
циклотронной частотой, и при наличии малой неоднородности
магнитного поля они очень скоро достигнут однородного
распределения по фазам в среднем по образцу.
Рассмотрим теперь некоторую группу электронов А,
имеющих одну и ту же фазу перед вторым импульсом
Рис. 52. Распределение электронов по скоростям: а — при двухим-
пульсном эхе сразу после первого импульса; б — перед вторым им-
пульсом; в — ©разу после второго импульса; г — в момент первого
эха
(рис. 52,6). Точнее, в эту группу входят все электроны с
фазами ? + 2яд, где п — целое число. Во время второго
импульса электроны набирают или теряют энергию, в за-
зависимости от того, какова их фаза, и действие импульса
можно учесть простым сдвигом всей функции распреде-
распределения на одну и ту же величину vp, как и в первом им-
импульсе. Группа А выделенных нами электронов будет
иметь при этом скорость 2upcos(g/2), как видно из рис.

§ 2. ЭХО В ПЛАЗМЕ	203
52, в. Так как в эту группу входят электроны из различ-
различных точек пространства, которым соответствуют разные
циклотронные частоты, со временем частицы этой группы
начнут расходиться в пространстве скоростей. Однако,
поскольку электроны вращаются с той же угловой ско-
скоростью, что и прежде, они будут вновь группироваться
через интервалы времени т. Например, через время
Д/='т после второго импульса, т. е. к первому сигналу
эха, частицы этой группы соберутся в точке А с
фазой 3?/2, а все распределение электронов по скоро-
скоростям превратится в кривую, изображенную на рис.
52,2.
Это значит, что электроны, совершающие циклотрон-
циклотронные колебания, потенциально могут создавать эффект эха.
Однако фактически распределение рис. 52, г никакого
эха не дает: нетрудно проверить, что при таком распре-
распределении суммарный ток, выражающийся через средние
значения <цх)> <^>, равен нулю. Это не удивительно,
ведь рассмотренная нами система является линейной —
мы просто сложили эффекты от двух импульсов. Эхо же
представляет собой существенно нелинейный эффект:
суммарный сигнал не представляет суперпозицию откли-
откликов на каждый импульс, он определяется двумя импуль-
импульсами сразу.
Чтобы циклотронное эхо действительно проявилось,
в игру должен вступить какой-нибудь нелинейный меха-
механизм, который несколько нарушил бы картину рис. 52, г
и привел к отсутствию точной компенсации всех токов.
Таким нелинейным механизмом может быть, например,
зависимость массы от скорости (релятивистский эффект),
нелинейность волны и т. д. Но наиболее простым и есте-
естественным механизмом является просто зависящая от
скорости частота столкновений y(v). Столкновения
электронов с атомами нейтрального газа или между со-
собой приводят к тому, что часть электронов выбывает из
когерентного движения. Если частота столкновений за-
зависит от скорости, то число выбывших из кривой рис.
52, г электронов будет различно в разных точках, и, сле-
следовательно, появится макроскопический ток на цикло-
циклотронной частоте, т. е. возникнет эхо. Экспериментальные
данные хорошо согласуются с этим механизмом [ 134,
137]. Им же объясняется и трехимпульсное эхо.
Как уже отмечалось выше, для трехимпульсного эха
к моменту третьего импульса электроны успевают пол-

204
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
ностью потерять направленный импульс, но еще не успе-
успевают потерять энергию (при упругих столкновениях с
атомами нейтрального газа время релаксации энергии
в Ш\\те раз больше времени релаксации импульса). Это
значит, что электроны группы А на рис. 52 перед третьим
импульсом будут распределены равномерно по сфере
радиуса 2ypcos (g/2) (рис. 53, а). Сразу после третьего
Рис. 53. Распределение
x электронов по скорос-
скоростям: а — при ;т'рехим-
пульсном эхе перед
третьим им'пульсом; б —
сразу после третьего им-
импульса; в — в момент
первого эха; г — в мо-
момент второго эха
импульса эта сфера оказывается сдвинутой на величину
vp (рис. 53, б), а затем электроны этой группы «распол-
«расползаются» по фазам. Однако через интервалы времени т
будет происходить группировка в пространстве скоро-
скоростей со сдвигом фаз | от импульса к импульсу (рис. 53, в
иг). Но опять, чтобы суммарный ток был отличным от
нуля, должен действовать механизм зависимости часто-
частоты столкновений от скорости. И сам эффект, как нетруд-
нетрудно видеть, достигает максимума, когда частота столкно-
столкновений становится порядка обратного времени между им-
импульсами г. Эти выводы также удовлетворительно сог-
согласуются с экспериментальными данными.
Циклотронное эхо и само по себе представляет боль-
большой интерес как новый нелинейный эффект в плазме, но,
кроме того, оно может быть использовано для целей

§ 2. ЭХО В ПЛАЗМЕ	205
диагностики, в частности для исследования процессов
релаксации в плазме.
4. Эхо на плазменных волнах. Вернемся теперь к
плазменным волнам. Как было показано Гулдом,
О'Нилом и Малмбергом [134], в них также может про-
проявляться эффект эха. Рассмотрим сначала более про-
простой случай модулированных пучков Ван-Кампена, рас-
распространяющихся в виде плоских волн вдоль оси х. Та-
Такие волны могут возбуждаться в плазме с помощью сет-
сетки, на которую подается периодический сигнал. Пусть
частота этого сигнала значительно больше плазменной
частоты соре. Тогда диэлектрическую проницаемость
плазмы е можно считать равной единице, т. е. поляриза-
поляризацией среды в волнах можно пренебречь. В этих условиях
возмущение функции распределения электронов, про-
прошедших через сетку, просто равно
Д (х, vy t) = Д (v)ехр (—шгЦ-1 щ-i-j, D.9)
где fi (v) — амплитуда возмущения функции распреде-
распределения вблизи сетки. Вид возмущения D.9) следует из
того, что вдали от сетки f{ должно удовлетворять урав-
уравнению свободного движения частиц
Il^ + v-^-^0.	D.10)
dt	дх
Функцию распределения D.9) можно рассматривать как
набор модулированных пучков. Вблизи сетки все эти
пучки колеблются в фазе, но по мере удаления от нее
фазы пучков с разными скоростями сильно различают-
различаются, поэтому плотность заряда
dv	D.11)
должна быстро уменьшаться при увеличении х (f\ ста-
становится быстро осциллирующей функцией v). Это зна-
значит, что колебания электрического потенциала должны
быстро убывать при удалении от сетки, и этот эффект
вполне аналогичен расфазировке магнитных моментов
перед вторым импульсом при наблюдении спинового эха.
Допустим теперь, что на расстоянии d от первой сетки
расположена вторая, на которую подается переменный
потенциал с частотой сог, также большей о)ре. Тогда от
второй сетки также побегут волны Ван-Кампена, возни-

206
Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
кающие вследствие возмущения f. Но, кроме того, вто-
вторая сетка будет модулировать функцию D.9), так что
появится нелинейный отклик /2 на комбинационной ча-
частоте:
М*. v* *) = /,(t;)exp [- /сох (*-f-) ±iuj(t ~
При x = d
со2
0J — О
D.12)
экспонента, отвечающая частоте
О 20 U0 60 80 100 х,см
Рис 54. Эхо в плазме третьего порядка (т. е. 2f2—/.i=fa) [1361
o)i —оJ, перестанет зависеть от v. Это значит, что в точ-
точке
0J
__^i	d =	^—d	D.13)
С02 — СОх	0J — 0)i
должны наблюдаться заметные колебания плотности
заряда на частоте g/=o)i — 0J. Другими словами, элек-
электрический зонд, помещенный в эту точку, должен обна-
обнаружить эхо на комбинационной частоте. Именно такой
отклик и наблюдается экспериментально (рис. 54).

§ 3. РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА ЧАСТИЦАХ	207
Этот вывод сохраняется и в том случае, когда со~соре,
поскольку он связан с рассмотрением поведения только
резонансных частиц. Меняется лишь количественная
формулировка эффекта эха, поскольку, кроме возмуще-
возмущения резонансных частиц, приходится учитывать возмуще-
возмущение остальных электронов, и соответственно в выраже-
выражение для отклика второго порядка войдет 8 — диэлектри-
диэлектрическая проницаемость плазмы. Аналогичным образом
можно рассмотреть временное эхо, эхо на ионно-звуко-
вых волнах, на поперечных волнах и т. д. Кроме эха вто-
второго порядка, существуют также эффекты плазменного
эха высших порядков.
Предсказанный теоретически эффект эха на плаз-
плазменных волнах вначале наблюдался Малмбергом, Уор-
тоном, Гулдом и О'Нилом [136} на электронных коле-
колебаниях, а затем он изучался теоретически и эксперимен-
экспериментально для разнообразных типов волн в плазме [137—
142]. Эффекты эха показывают, что бесстолкновительное
затухание волн в плазме по существу представляет со-
собой обратимый процесс, связанный с «расползанием»
резонансных частиц по фазам и с соответствующим
уменьшением когерентного вклада в возмущение элек-
электрического поля.
§ 3. Рассеяние волн на частицах
При рассмотрении нелинейного затухания Ландау
мы ограничились одной гармонической волной конечной
амплитуды. Более сложная картина имеет место в том
случае, когда в плазме одновременно может быть нес-
несколько волн. Например, две распространяющиеся в одну
сторону волны при близких фазовых скоростях могут
обмениваться захваченными частицами, и тем самым
между ними будет осуществляться довольно сложное
косвенное взаимодействие.
Но если волны не параллельны, то такое взаимодей-
взаимодействие отсутствует или сильно ослаблено. Разумеется, оно
также очень мало, если обе волны имеют большие фазо-
фазовые скорости и захваченных частиц очень мало. Однако
и в этом случае может происходить взаимодействие волн
конечной амплитуды через резонансные частицы, но не
на прямом резонансе со — kv = 0, а на комбинаци-
комбинационном.

208	Гл. 4. ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ В ПЛАЗМЕ
Поясним, в чем тут дело. Как мы видели ранее, при
сложении двух слабо нелинейных волн к, соки к', сок'
из-за нелинейных членов возникают биения на комби-
комбинационных волновых числах и частотах k ± к', сок ± сок'.
Например, при близких волновых векторах к, к' волна
к —к' соответствует муару на рис. 37. Даже в том слу-
случае, когда в плазме не может распространяться собст-
собственная волна с частотой сок —сок' и волновым вектором
к — W (и соответственно со знаком плюс), т. е. распад
волн запрещен законами сохранения энергии и импуль-
импульса, вынужденные колебания с к — к', сок —сок' будут все
же присутствовать. Эти колебания также могут взаимо-
взаимодействовать с резонансными частицами, скорость кото-
которых совпадает с фазовой скоростью комбинационной
волны, т. е.
©к _ ©к, — (к — к7) v = 0	D.14)
(для определенности мы выбрали здесь знак минус, зна-
знаку плюс соответствует просто волна с — к', — ©к')-
Так как амплитуда вынужденных колебаний для сла-
слабо нелинейных волн, вообще говоря, мала, то соответ-
соответствующее взаимодействие частиц с этим колебанием
должно быть аналогично линейному затуханию Ландау.
Другими словами, при отрицательной производной df/dv
в точке резонанса частицы должны отбирать энергию у
комбинационной волны. Но амплитуда этой волны про-
просто пропорциональна произведению амплитуд исходных
волн пк и аи.'. Поэтому изменить амплитуду комбинацион-
комбинационной волны можно только путем изменения амплитуд,
т. е. числа исходных волн Nk, Nk.
Но этим волнам, как мы знаем, соответствуют сум-
суммарная энергия $ =сокМс +сок'Л^к' (частоты считаются
положительными) и импульс P = kyVk +к'#к'. При вза-
взаимодействии с резонансными частицами часть энергии и
импульса волн должна передаваться частицам. При
этом импульс частицам передается только в направле-
направлении движения комбинационной волны, вдоль которого
на часпшы действует иезоиаиспое поле волны. Таким
образом, поперечная по отношению к вектору к — к'
компонента импульса волн должна сохраняться, т. е.
[k-k', dPl^lkk'^Wk + tkkiS/Vk'-O. D.15)
Отсюда видно, что b(Nk +#k')=0» т. е.
Nk + Nk> = const.	D.16)

§ 3. РАССЕЯНИЕ ВОЛН НА ЧАСТИЦАХ	209
Это означает, что мы фактически имеем дело с рас-
рассеянием волн на частицах: при уменьшении числа волн
одного направления на столько же увеличивается число
волн другого направления. Поскольку при этом измене-
изменение энергии равно
6$= G)k6jVk + cDk,6;Vk, -((Ok — fi>k')*tfk, D.17)
то видно, что при передаче энергии от волн частицам,
т. е. при отрицательной производной df/dv для резонан-
резонансных частиц, рассеяние идет в сторону уменьшения ча-
частоты: число волн с большей частотой убывает, а с мень-
меньшей — возрастает.
Наряду с распадом волн их индуцированное рассея-
рассеяние на резонансных частицах составляет один из двух
основных механизмов взаимодействия слабо нелинейных
волн в плазме.

ГЛАВА 5
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
§ 1. Неустойчивость плазмы
1. Неустойчивость и турбулентность. Всюду выше
при рассмотрении нелинейных процессов в плазме мы
предполагали, что эти процессы являются вполне регу-
регулярными и, стало быть, точно воспроизводимыми. Но, к
сожалению, в плазме не все явления могут быть точно
воспроизведены. Очень часто при одних и тех же внеш-
внешних условиях в ней самопроизвольно возбуждаются коле-
колебания и шумы, т. е. проявляется неустойчивость плазмы.
Ситуация здесь опять сходна с тем, что имеет место в
жидкости. Как хорошо известно, при малых скоростях,
т. е. при малых числах Рейнольдса, течения в жидкости
являются ламинарными. Однако при больших числах
Рейнольдса, когда роль диссипации из-за вязкости ста-
становится малой, потоки жидкости становятся турбулент-
турбулентными, в них самопроизвольно развивается сложный
процесс возбуждения, взаимодействия и трансформации
вихрей.
В плазме, особенно в разреженной, диссипация из-
за столкновений также является незначительной, и по-
поэтому в ней легко создаются условия для нарастания
малых возмущений и соответственно для развития слож-
сложного хаотического движения. Любое состояние плазмы
с сильно развитыми шумами и колебаниями принято
называть турбулентным.
В отличие от жидкости, в плазме могут осуществ-
осуществляться и даже присутствовать одновременно многие ти-
типы турбулентных состояний. Это связано с тем, что у
плазмы гораздо богаче спектр возможных течений и ко-
колебаний. Соответственно можно говорить об отдельных
типах турбулентности плазмы (например, о ленгмюров-
(Екой турбулентности, если в основном возбуждаются
ленгмюровские колебания, ионно-звуковой турбулент-
турбулентности и т.п.). Как правило, эти турбулентные состояния
возникают вследствие развития соответствующих не-

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	211
устойчивостей. Отсюда видно, как следует продвигаться
в понимании турбулентных явлений в плазме: сначала
следует проанализировать все возможные механизмы
неустойчивостей плазмы, т.е. нарастания малых ее воз-
возмущений, классифицировать эти неустойчивости, а затем
исследовать возможные нелинейные механизмы либо
ограничения эти неустойчивостей, либо их развития в
турбулентные процессы.
При классификации неустойчивостей удобно исполь-
использовать тот же набор упрощенных теоретических моде-
моделей, который обсуждался нами ранее при рассмотрении
колебаний плазмы. Так, в приближении одножидкостной
магнитной гидродинамики мы получаем широкий класс
магнитогидродинамических (МГД), или гидромагнит-
гидромагнитных, неустойчивостей. Это наиболее опасный тип неус-
неустойчивостей для магнитного удержания плазмы, потому
что он связан <с макроскопическими перемещениями
больших участков плазмы как целого.
В зависимости от того, учитывается ли конечная про-
проводимость плазмы или считается бесконечной, можно
говорить о диссипативных или идеальных неустойчиво-
стях этого типа.
Для другого класса очень медленных перемещений
плазмы со скоростями, сравнимыми со скоростями дрей-
дрейфового движения заряженных частиц, необходимо, как
мы знаем, использовать двухжидкостную гидродинами-
гидродинамику. Соответствующие очень медленные неустойчивости
называются дрейфовыми.
Далее, в плазме могут раскачиваться такие колеба-
колебания и волны, для которых является существенным вза-
взаимодействие с отдельными группами резонансных час-
частиц. Такие неустойчивости называются кинетическими.
Легче всего кинетические неустойчивости развиваются
при взаимодействии с плазмой пучков заряженных час-
частиц, и этот подкласс неустойчивостей имеет свое наиме-
наименование пучково-плазменных неустойчивостей. Впрочем,
кинетические неустойчивости могут развиваться и в от-
отсутствие выделенных групп частиц типа пучков. Напри-
Например, при магнитном удержании плазмы в адиабатичес-
адиабатических ловушках такого рода неустойчивости на различных
ветвях развиваются из-за того, что функция распреде-
распределения частиц по поперечным скоростям соответствует
инверсной заселенности энергетических уровней. В то-
тороидальных системах магнитного удержания плазмы

212	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
кинетические неустойчивости могут развиваться на дрей-
дрейфовых волнах или из-за присутствия выделенных групп
частиц, например частиц, запертых в локальных магнит-
магнитных зеркалах, возникающих вследствие неоднородностей
магнитного поля.
Наконец, при прохождении через плазму сильных
электромагнитных волн причиной раскачки малых воз-
возмущений могут быть колебания заряженных частиц в
волнах. При этом могут развиваться различного рода
параметрические неустойчивости плазмы.
Ниже мы очень кратко познакомимся со всеми пере-
перечисленными неустойчивостями. Сначала заметим, что в
реальных условиях часто могут одновременно разви-
развиваться и играть определенную роль сразу несколько
различных типов неустойчивостей. Иногда между ними
возникает своего рода «соревнование». Рассмотрим, на-
например, разреженную высокотемпературную плазму,
удерживаемую в тороидальной магнитной ловушке.
Можно сказать, что такая плазма находится в крайне
неравновесном «метастабильном» состоянии. Неудиви-
Неудивительно, что в этом состоянии она будет «искать» воз-
возможные «каналы» для распада, т. е. для выброса на стен-
стенку (рис. 55). Наиболее быстрый распад происходит при
Рис. 55. Схема распада «метаста-
бильного» состояния плазмы при
магнитогидроди-намической (а),
диссипативной (б) и дрейфовой (в)
пеустойчивостях
развитии идеальной МГД-неустойчивости, когда выброс
плазмы на стенку может происходить отдельными ма-
макроскопическими сгустками. Если МГД-неустойчивость
стабилизирована, то может проявиться более слабая
диссипативная неустойчивость, а стабилизация послед-
последней может дать возможность проявиться еще более сла-
слабой дрейфовой неустойчивости и т.д. Поэтому, в прин-
принципе, могут осуществляться условия для проявления са-
самых слабых неустойчивостей. Естественно начать с изу-
изучения наиболее сильных из них.
2. Гидромагнитные неустойчивости. Идеальные гид-
гидромагнитные неустойчивости проявляются в условиях,
a t
1
J В
1
1
1
1
1

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	213
когда плазма неустойчива по отношению к быстрым
(так что не успевает сыграть роль конечная проводи-
проводимость) перемещениям макроскопических участков плаз-
плазмы как целого. Для описания таких перемещений вполне
пригодно приближение одножидкостной магнитной гид-
гидродинамики. В этом приближении плазма предполага-
предполагается термически равновесной с максвелловским распре-
распределением частиц по скоростям. Причиной неустойчиво-
неустойчивости плазмы в этом случае в конечном счете служит на-
наличие электрических токов, а в качестве энергетическо-
энергетического резервуара для раскачки колебаний может служить
либо неоднородность давления плазмы, либо неоднород-
неоднородность магнитного поля, либо обе они вместе взятые.
Удобно проанализировать эти причины порознь. При
этом целесообразно ограничиться случаем плазмы низ-
низкого давления, когда C = 8яр/В2<С 1.
а) Жело бковая неустойчивость. Неодно-
Неоднородность давления плазмы может приводить к так на-
называемой желобковой неустойчивости [157, 158]. В
наиболее чистом виде она проявляется в ловушках с
замкнутыми силовыми линиями (например, с гофриро-
гофрированным полем). Рассмотрим в такой ловушке отдельную
замкнутую трубку, образованную силовыми линиями
магнитного поля и заполненную плазмой с |3<С1. Так
как плазма стремится расшириться, то эта трубка вы-
выталкивается в сторону, где она увеличивает свой
объем.
Однако движение трубки в сильном магнитном поле
не является свободным: всякое заметное ее искривление
связано с большим увеличением магнитной энергии и
поэтому недопустимо. Возможным является лишь такое
перемещение трубки, при котором магнитное поле оста-
остается неизменным, т.е. магнитное поле в том месте, куда
пришла трубка, должно остаться практически таким же,
что и до ее прихода.
Объем силовой трубки равен V = <?Sdl, где S —
площадь поперечного сечения трубки, а интеграл берет-
берется вдоль силовой линии. Но 5В = Ф есть магнитный по-
поток этой трубки, который остается постоянным как вдоль
трубки, так и во времени вследствие вмороженности
магнитного поля в идеальную плазму. Поэтому V =
	9 и> следовательно, трубка с плазмой стремит-

214	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
ся двигаться в направлении увеличения U =(Т)—. Мож-
но сказать, что трубка с плазмой обладает потенциаль-
потенциальной энергией —pU и стремится двигаться в сторону
больших U. По аналогии с неоднородной жидкостью
в поле тяжести отсюда можно заключить, что плазма
будет находиться в равновесии только в том случае, ес-
если ее давление будет постоянным на поверхности посто-
постоянного значения ?/, т.е. p = p(U). Это соотношение мы
получили в § 3 гл. 1, исходя из несколько иных сообра-
соображений.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости такого
равновесия. Пусть некоторая трубка с плазмой смеща-
смещается на малое расстояние, раздвигая остальные трубки.
Если это смещение имеет вид желобка, т. е. происходит
без искривления трубки, то относительное изменение
объема трубки равно 6У/|У=61Ш, а изменение давле-
давления вследствие адиабатического расширения dp =
= —yp6U/\U. Давление же в трубках, окружающих рас-
рассматриваемую смещенную трубку, равно p(U+SU) —
= p+(dp/dU)8U. Если смещение происходит в сторону
возрастания U, а давление в смещенной трубке окажет-
окажется больше, чем давление окружающей ее плазмы, то
трубка будет всплывать дальше, и такое распределение
плазмы неустойчиво. Если же, наоборот, давление в
трубке окажется меньше, т.е. —ур 8U/.LK. (dp/dU)8Uy
то трубка будет вытесняться обратно в сторону равнове-
равновесия, и плазма будет устойчивой. Таким образом, в маг-
магнитной ловушке с замкнутыми силовыми линиями
должно выполняться следующее условие устойчи-
устойчивости:
dp
E.1)
Это условие сходно с условием конвективной устой-
устойчивости неоднородного сжимаемого газа в поле тяжести.
На границе плазмы dp/dU очень велико, так что правой
частью в E.1) можно пренебречь, и при этом для устой-
устойчивости нужно, чтобы плазма была расположена в об-
области с большим значением U = п)	.
j в
Так как эта область соответствует меньшим магнитным
полям, то ее можно назвать «магнитной ямой». Таким

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
215
образом, для желобковой устойчивости плазмы доста-
достаточно, чтобы плазма располагалась в магнитной яме.
Наиболее простой и важный пример ловушки, в ко-
которой существенную роль играет желобковая неустой-
неустойчивость, представляет ловушка с магнитными пробками
(или зеркальная ловушка). В простейшем варианте
такая ловушка создается двумя одинаковыми коакси-
коаксиальными катушками, включенными в одном направле-
направлении (рис. 56). При этом магнитное поле между катушка-
Рис. 56. Магнитное
поле адиабатической
ловушки и движение
заряженной частицы
ми несколько слабее, чем в плоскости катушек, так что
центральная часть поля оказывается заключенной меж-
между двумя магнитными «пробками», или «зеркалами»,—
областями с усиленным полем. Отношение поля в проб-
пробках Вт к полю в центральной части ловушки Во приня-
принято называть пробочным (зеркальным) отношением: а =
= Вт/Во.
Если электрическое поле отсутствует, то при движе-
движении заряженной частицы в магнитном поле ее скорость
v остается постоянной (сила Лоренца, будучи перпенди-
перпендикулярна v, работы не совершает). Кроме того, в сильном
магнитном поле, когда ларморовский радиус p = v±/Q
(v± — поперечная по отношению к В компонента скоро-
скорости, Q — eB/mc — ларморовская частота) значительно
меньше характерной длины изменения магнитного поля,
сохраняется также величина
т
V2
E.2)

216	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
Эта величина, имеющая смысл магнитного момента
ларморовского кружка, представляет собой адиабатичес-
ский инвариант квазипериодического движения.
Поскольку [х = const, при приближении заряженной
частицы к пробке поперечная компонента скорости v±
возрастает, а так как «; = const, то при этом продольная
компонента скорости убывает и при достаточно большом
а может обратиться в нуль. В этом случае частица от-
отразится от магнитной пробки.
Введем в рассмотрение угол Ф, составляемый век-
вектором скорости с направлением магнитного поля В. Он
равен я/2 — г|), где i|) — так называемый шаговый или
питч-угол. Нетрудно видеть, что магнитная пробка от-
отражает только те частицы, для которых в центральной
части ловушки
i/JL= l/-^.	E.3)
V а V Вт
Sin&>
Все частицы с углом <6i<'&o=arcsin (B0/BmL2 попадают
в «запрещенный конус» направлений и вылетают из ло-
ловушки. Таким образом, адиабатическая ловушка удер-
удерживает не все частицы, а лишь те, которые находятся
внутри разрешенного конуса направлений.
В силу этого плазма в адиабатической ловушке все-
всегда анизотропна: давление вдоль магнитного поля в ней
не равно поперечному давлению. Однако это обстоятель-
обстоятельство не является существенным для желобковой неустой-
неустойчивости. Для этой неустойчивости важно, в какую сто-
сторону— наружу или внутрь плазмы — убывает магнитное
поле.
Рассмотрим опять отдельную силовую трубку / в ло-
ловушке (рис. 57). В основной части этой трубки силовые
линии магнитного поля выгнуты наружу и магнитное
поле убывает наружу. Вследствие этого величина U воз-
возрастает к периферии, и на трубку действует выталкиваю-
выталкивающая сила в радиальном направлении F = n(Ti + Te)[iR,
где R — средний радиус кривизны силовых линий данной
трубки. Под действием этой силы трубка с плотной плаз-
плазмой должна выбрасываться в радиальном направлении
с ускорением gQ= (Ti + Te)/mnR.
Однако при не очень большой плотности плазмы (что
для адиабатических ловушек не редкость) процесс вы-
выталкивания плазмы должен замедляться. В самом деле,

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
217
рассмотрим движение трубки 1 с точки зрения двухжид-
костной магнитной гидродинамики. При этом можно
рассуждать следующим образом. На каждую из компо-
8
Рис. 57. Желобковые возмуще- /
ния плазмы в зеркальной j'
адиабатической ловушке
нент плазмы в радиальном направлении действует сила
nTj/R. Под действием этой силы частицы начинают
дрейфовать в азимутальном направлении, причем про-
противоположно заряженные частицы дрейфуют в разные
стороны. Вследствие этого происходит поляризация за-
зарядов в трубке, как показано на рис. 57. Под действием
появившегося азимутального электрического поля начи-
начинается совместный дрейф частиц по радиусу, который и
приводит к выбросу трубки с плазмой.
Введем локальную систему координат с осью х в ра-
радиальном и осью у в азимутальном направлении ( в даль-
дальнейшем мы не раз будем пользоваться такой системой,
более удобной для приближенного количественного рас-
рассмотрения). Тогда с учетом того, что электрическое поле
имеет только у-компоненту и что инерцией электронов и
у-компонентой инерциального члена для ионов можно
пренебречь, запишем уравнения в форме
dt
0 = -
0 =
е
с
е
E.4)
E.5)
E.6)
Здесь мы приняли во внимание, что в радиальном
направлении плазменная трубка движется как целое,
т. е. уравнение E.5) справедливо как для ионной, так и
для электронной компонент плазмы, и Vix=*vex^=v,x.3

218	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
трическое поле Е возникает из-за поляризации трубки.
Не гонясь за большой точностью, мы можем принять для
Е приближенное значение, как в случае плоского конден-
конденсатора: Е = —4жг, где а=еп(^гу — ley) —поверхностная
плотность заряда, |г-у, Ъу— азимутальные смещения ио-
ионов и электронов. (Принимая приближенное значение
для Е, мы просто пренебрегаем соответствующим форм-
фактором.) Таким образом, для электрического поля
получаем соотношение
д Е	А	/	ч	4 я. ст? п (dvx
dt
Мы воспользовались здесь уравнениями E.4), E.6) и
опять ввели обозначение go= {Ti + Te)/niiR. Выражая Е
с помощью E.5) через vx, получим
где сорг — плазменная ионная, a Q; — ионная циклотрон-
циклотронная частота. Отсюда видно, что при о)Рг<йг процесс вы-
выталкивания плазменной трубки из ловушки замедляется.
Тот же процесс поляризации и движения плазмы в
радиальном направлении происходит и при развитии
желобковой неустойчивости, когда на поверхности плаз-
плазмы образуются желобки вдоль силовых линий (см.
рис. 57). Малые возмущения такого типа нарастают, как
можно показать, с инкрементом y^V^g/a, где а — по-
поперечный размер плазменного сгустка. Вследствие не-
неустойчивости на поверхности плазмы должны образовы-
образовываться вытянутые вдоль силовых линий желобки и «язы-
«языки». Затем эти «языки» выбрасываются в радиальном
направлении.
б) «Магнитная яма». Наиболее радикальным
способом борьбы с желобковой неустойчивостью явля-
является создание такой магнитной конфигурации, при ко-
которой магнитное поле имело бы минимум (отличный от
нулевого значения) и нарастало бы во все стороны. Та-
Такие конфигурации получили название ловушек с «мини-
«минимумом S» или с «магнитной ямой».
Впервые стабилизация желобковой неустойчивости
с помощью магнитной ямы была получена М. С. Иоффе
с сотрудниками [159—162]. Ими была использована про-

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	219
стейшая комбинированная система, в которой к обьш-
ным круглым катушкам, создающим магнитную ловуш-
ловушку типа изображенной на рис. 56, добавляется так на-
называемая стабилизирующая обмотка, представляющая
собой систему линейных проводников, расположенных
вдоль силовых линий основного поля, как это показано
на рис. 58. Токи в соседних проводниках направлены во
взаимно противоположных направлениях. Магнитное
поле стабилизирующей обмотки BL равно нулю на оси
ловушки и монотонно нарастает по радиусу. Поэтому,
пропуская через обмотку
ток достаточной величи-
ны, можно скомпенсир
вать (радиальный спад
основного поля и сделать
суммарное поле нараста-
нарастающим от центральной
области ловушки к пери-
ферии.
Силовые линии сум-
суммарного ПОЛЯ имеют ДО- рис. 58. Комбинированная ло-
ВОЛЬНО сложную структу-	вушка с «магнитной ямой»
ру. Только узкий пучок
приосевых силовых линий проходит -вдоль всей ловушки,
не достигая боковых стенок. Линии, отстоящие дальше
от оси в центральном сечении ловушки, пересекают
стенку в местах зазоров между проводниками стабили-
стабилизирующей обмотки. Тем не менее эта конфигурация
представляет собой типичную адиабатическую ловушку
и притом с минимумом магнитного поля внутри объема,
занятого плазмой (этот минимум не обязательно должен
находиться на оси ловушки).
Позднее различными авторами был предложен це-
целый ряд конфигураций с «минимумом В» (рис. 59). Как
оказалось, все они содержат в качестве «конструктивного
элемента», или «кирпичика», зеркальную ловушку с
квадрупольным поперечным полем (рис. 59,а). Нетруд-
Нетрудно понять, почему это так. Для этого рассмотрим вопрос,
при каких условиях можно достичь минимума магнит-
магнитного поля (по абсолютной величине) в некоторой точке.
Пусть эта точка совпадает с началом координат и пусть
магнитное поле в ней В = В0 направлено вдоль оси z.
Поскольку вблизи искривленной силовой линии магнит-
магнитное поле изменяется линейно в поперечном направлении,

220
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
то для того чтобы точка г=0 была минимумом Б, тре-
требуется, чтобы осевая силовая линия была прямой (точ-
(точнее, ее кривизна в точке г = 0 должна быть равна нулю).
В этом случае в разложении скалярного потенциала для
Рис. 59. Различные виды магнитных конфигураций с «минимумом
В»: а — «квадрупольный элемент», б — «бейсбол», в — конфигурация
Андреолетти, г — остроугольная геометрия с осевым током, д — ге-
геликоидальная конфигурация
магнитного поля (В=уф) должны отсутствовать ли-
линейные по х и у члены, так что
E.9)
Мы учли в этом разложении, что Ai|) = divB = 0, и допу-
допустили, что оси ху у повернуты так, что последний квад-
квадрупольный член имеет диагональный вид. Все остальные
члены в E.9) имеют более высокий порядок по х9 у и
поэтому могут быть отброшены. Из E.9) следует, что
вблизи г=0 магнитное поле имеет вид
^±^ + ..., E.10)

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	221
где точки заменяют члены более высокого порядка ма-
малости. Отсюда видно, что наложение магнитных пробок,
т. е. усиление поля вдоль <г(а>0), автоматически при-
приводит к его ослаблению в радиальном направлении, но
это может быть скомпенсировано достаточно сильным
квадрупольным полем (Ь2>аВ®).
Отметим, что цикл работ Иоффе по подавлению же-
лобковой неустойчивости в адиабатических ловушках
полями с «минимумом В» (часто такие конфигурации
поля называют «магнитной ямой») явился определен-
определенным этапом в исследованиях по физике высокотемпера-
высокотемпературной плазмы. Это была первая убедительная демон-
демонстрация возможности стабилизации магнитогидроди-
намической неустойчивости плазмы. Принцип «миниму-
«минимума В» был перенесен на тороидальные системы. Различ-
Различными авторами было предложено много тороидальных
систем, обладающих минимумом магнитного поля в
среднем ( точнее, максимумом интеграла вдоль силовых
„ Г dl
линии I 	, который определяет свойства гидроди-
J В
намической устойчивости тороидальной плазмы).
в) Винтовая неустойчивость. В желобко-
вой неустойчивости освобождалась только энергия плаз-
плазмы— магнитное поле в ловушке считалось фиксирован-
фиксированным, что верно при Р<1.
Рассмотрим теперь пример неустойчивости, в которой
энергетическим резервуаром для раскачки служит энер-
энергия магнитного поля. Такая ситуация осуществляется
при протекании сильного электрического тока по плаз-
плазменному шнуру.
Более удобно начать это рассмотрение с крайне упро-
упрощенной модели, которая проясняет суть дела. Пусть
идеально проводящий цилиндрический шнур из несжи-
несжимаемой жидкости помещен в продольное магнитное поле
и по нему протекает ток / в продольном направлении.
Мы будем считать, что ток течет по поверхности и что
продольное поле внутрь него не проникает (т. е. оно
экранировано азимутальным током, текущим по поверх-
поверхности проводника). Магнитное поле снаружи от провод-
проводника имеет вид, показанный на рис. 60, т. е. оно являет-
является суперпозицией продольного Во и азимутального
В&= 21/сг полей. Силовые линии являются
винтовыми с шагом 1 = 2кгВ0/В&. На границе шнура ра-

222
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
диуса а шаг \1=1а = лса2В0/1, а при удалении в радиаль-
радиальном направлении он возрастает как г2.
Будем для простоты считать, что продольное поле
Во значительно больше азимутального Bq . Кроме того,
имитируя тороидальный шнур радиуса R, мы будем счи-
считать шнур ограниченным, т.е. имеющим длину L = R
Рис. 60. Проводя-
Проводящий шнур .с током
в продольном маг-
нитно-м поле
и все возмущения примем периодическими с периодом Lt
Наконец, для упрощения рассуждений будем считать,
что шнур окружен идеально проводящим кожухом ради-
радиуса Ь>а, так что потоки магнитного поля между шну-
шнуром и кожухом заданы и остаются постоянными (что это
означает, мы увидим ниже).
Предположим, что на такой шнур наложено некото-
некоторое малое винтовое возмущение вида exp(m9+?fe),
где k = 2nn/L = n/R, ж, п — целые числа. Пусть f— сме-
смещение жидкого элемента, так что d\jdt=v. Тогда для
несжимаемой жидкости имеем
1
dt2
Ро
E.11)
где ро — плотность жидкости, которую мы считаем по-
постоянной, р—давление. В силу несжимаемости, div| = 0,
из E.11) имеем
г dr \ dr ) \ г2	)
Отсюда при &r<cl получаем р = ро(г/а)т, где р0 — зна-
значение возмущенного давления на границе шнура, кото-
которое должно равняться возмущению давления магнитно-
магнитного поля снаружи от плазмы. Последняя величина, оче-
очевидно, равна

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	223
dr \ 8я / 4я
где Б'— возмущение магнитного поля, | — радиальное
смещение границы (плазмы. Для колебаний вида
ехр(—mi) это смещение согласно E.11) с учетом зави-
зависимости р~гт равно
l	и	EЛ4)
ро ю2 \ dr )г=а-о Ро со2 а
Возмущение магнитного поля В' снаружи от шнура
можно найти из следующих соображений. Во-первых,
поскольку в вакууме rotB'=0, т. e. В' = уф, и div В' =
= Ai|) = 0, то для длинноволновых возмущений вдоль
шнура, т. е. для ka<^\, о<пять имеем степенные решения.
При bfa^l можно считать if> = C(a/r)m, где С — неко-
некоторая константа. На границе плазмы магнитное поле
должно иметь только тангенциальную компоненту, т. е.
в линейном приближении
E.15)
где п — нормаль к поверхности. Отсюда находим
а	\	а
где Bq — азимутальное поле на границе шнура. Теперь
мы можем выразить ВВ/ на границе шнура через С, т. е.
т
Затем, выражая С через g 'и с помощью E.14) ро — че-
через |, мы, учитывая E.13), находим дисперсионное урав-
уравнение для частоты малых колебаний:
а
— Bq ) __!^!. E.16)
а )	а2
Отрицательным значениям квадрата частоты соот-
соответствует неустойчивость. Как мы видим, инкремент на-
нарастания малых колебаний 7 = —/со достигает максиму-
максимума при ka = —mBQ/B0. Такое возмущение является вин-
винтовым и имеет шаг 2nm/k = 2naB0/BQ вдоль шнура. Та-
Таким образом, шаг наиболее неустойчивого возмущения
совпадает с шагом силовой линии на границе шнура.

224
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
При винтовой неустойчивости жидкость, будучи не-
несжимаемой, сама работы не производит — неустойчи-
неустойчивость развивается за счет освобождения магнитной
энергии. Это становится видно еще более отчетливо,
если мы не будем ограничиваться малыми возмущения-
возмущениями, а рассмотрим винтовую деформацию конечной ам-
амплитуды. Нетрудно видеть, что винтовая неустойчивость
развивается в силу того, что винтовые силовые линии
на рис. 60 стремятся сократиться и поэтому деформи-
деформируют проводящий шнур таким образом, чтобы умень-
уменьшить свою кривизну. При винтовом извивании шнура
сило-вые линии действительно становятся более прямы-
прямыми. При достаточно большом извивании шнура силовые
линии вообще могут ^полностью распрямиться, а шнур
при этом превращается в винтовую ленту (рис. 61, а).
Рис. 61. Образование
винтовой ленты (а) и
трубчатой конфигу-
конфигурации (б) При БИНТО-
БИНТОВОЙ неустойчивости
Радиус такой равновесной спирали можно найти из
условия сохранения магнитного потока, охватываемого
проводником. Для упрощения рассуждений соединим
проводник с кожухом .проводящей нитью на торцах
(см. штриховые линии на рис. 60 и 61,а). В исходном
состоянии проводник с кожухом и проводящей нитью
охватывает поток Ф0.= 5е?а1п(&/а), где Ве — азимуталь-
азимутальное магнитное поле на границе шнура. Этот поток обра-
образован только азимутальным полем. При извивании
шнура (мода т=\) он охватывает также и продольное
поле, а в конечном состоянии (?е = 0) весь поток созда-
создается только продольным полем. Он равен пг^ВоП, где
п — число витков спирали. Приравнивая потоки, полу-
получим
qn
E.17)

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	225
где мы ввели так называемый коэффициент запаса по
винтовой устойчивости
щ
Г П	D D
L Dq	/С Dq
смьгсл которого будет пояснен ниже. В этом конечном
состоянии азимутальное магнитное поле полностью ис-
исчезает и >вся его энергия передается жидкости (т. е. пе-
переходит в тепло, если кинетическая энергия диссипирует,
например из-'за вязкости). Впрочем, винтовая лента не
является еще вполне равновесным состоянием: силовые
линии продольного поля будут сплющивать ее до тех пор,
пока не превратят в трубку того» ж\е радиуса го
(рис. 61,6).
Точно такой же процесс извивания и образования
полого цилиндра может быть прослежен при возмуще-
возмущении с т>\. Вся разница состоит в том, что при этом
шнур разбивается на \т винтовых нитей и каждая нить
в конечном состоянии будет охватывать продольный по-
поток не пу а п/т раз на длине шнура. Затем эти нити
сольются в трубку, и для ее радиуса г0 получим вместо
E.17)
rg^^in-L.	E.19)
qn a
Для наиболее неустойчивых возмущений m = nq и
радиус трубки г0 = а}^\п(Ь2/а2). Но в принципе шви-
вание шнура и исчезновение азимутального потока, а
вместе с ним и энергии азимутального поля, должны
происходить при любых m, n даже в том случае, когда
согласно E.16) шнур устойчив по отношению к линей-
линейным возмущениям. Можно сказать, что шнур с током
находится в метастабильном состоянии, и в зависимости
от моды возмущения он может либо- непосредственно
«скатиться» в основное состояние, , либо он отделен от
этого состояния потенциальным барьером.
При рассмотренных нам.и винтовых деформациях
жидкого проводника его объем, естественно, сохраняет-
сохраняется, так что продольное магнитное поле в конечном со-
состоянии имеет ту же энергию, что и в исходном. Следо-
Следовательно, винтовая неустойчивость развивается только
за счет энергии азимутального магнитного поля.
Рассмотрим теперь более реальный случай плазмен-
плазменного шнура с током. Будем опять предполагать, что
8 Б. Б. Кадомцев

226
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
e, P^C'l, и допустим для простоты, что ток распре-
распределен равномерно по сечению шнура. При этом в исход-
исходном состоянии азимутальное магнитное поле будет
иметь вид, показанный на рис. 62,а. Внутри шнура поле
линейно возрастает с радиусом, и поэтому шаг сило-
силовых линий здесь постоянен.
Расамотрим опять винтовое возмущение шнура и до-
допустим, что его шаг в точности совпадает с шагом сило-
силовых линий внутри шнура. , Такое возмущение никак
не влияет на магнитное поле внутри плазмы, и шаг
внутренних силовых линий остается , постоянным даже
при деформациях конечной амплитуды. Но тогда мы
должны ожидать, что картина будет точно такой же,
а	Вд
-4
I i
а а*
Рис. 62. Распределение азимутального магнитного поля в исходном
состоянии (а) и при образовании «пузыря» (б)
как и в случае жидкого несжимаемого проводника. А
именно, энергия азимутального поля будет минималь-
минимальной, когда в>нутри шнура появится «пузырь» — вакуум-
вакуумная область с продольным магнитным полем.
Рис. 63. Образование «пузыря» в плазме
Образование такого пузыря показано на рис. 63.
В случае постоянного шага силовых линий пузырь мож-
можно довести до центра, практически не возмущая магнит-
магнитного поля (стало быть, в этом случае лузырь нейтраль-

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	227
но устойчив внутри шнура). Распределение поля теперь
будет иметь вид рис. 62,6, где а* —новый радиус шну-
шнура, а го — радиус пузыря. Сравнивая энергии началь-
начального и конечного состояний, нетрудно показать, что про-
процесс образования пузыря в плазме является выгодным.
Изменение энергии поля AW при образовании пузыря
в зависимости от его радиуса изображено на рис. 64
(кривая 1). На этом же рисунке приведена функция AW
для случая, когда по поверхности шнура ' течет ток и
Рис. 64. Потенциальная энер-
энергия пузыря как функция его
радиуса: шаг возмущения сов-
совпадает A) и не совпадает B)
с шагом силовых линий
возмущения имеют* шаг, равный шагу внутренних сило-
силовых линий и отличный от шага внешних силовых линий
(кривая 2). Как мы видим, в последнем случае энерге-
энергетически выгодны только пузыри с достаточно большим
радиусом. А при большой перекрещенное™ внутренних
и внешних силовых линий образование пузырей стано-
становится невыгодным.
Упомянув о перекрещенное™ силовых линий, мы тем
самьим привлекли внимание читателей к одаому из наи-
наиболее эффективных механизмов стабилизации винтовой
неустойчивости.
В самом деле, если шаг силовых линий внутри шнура
не постоянен, то при любой винтовой его деформации
приходится возмущать продольное магнитное поле, а
это безусловно будет приводить к стабилизующему эф-
эффекту.
Рассмотрим, например, случай, когда весь ток течет
по поверхности шнура, так что магнитное поле Bi внут-
внутри шнура равно согласно условию равновесия на гра-
границе В? -=В\-\-В\^В\ тому же полю, что и снаружи
(мы опять пред/полагаем ?е<?0). При этом из-за де-
деформации внутреннего поля в квадрат частоты должен
быть вклад такого же вида, как и при альвеновских

228	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
колебаниях, а именно
--^. E.20)
При равных нулю двух последних слагаемых, появив-
появившихся согласию E.16) от внешней области шнура, мы
имели бы просто дисперсионной уравнение для альве-
новских волн внутри шнура. Первое слагаемое действи-
действительно оказывает сильное стабилизующее действие. Как
видно из E.20), неустойчивым .может быть только воз-
возмущение с т= 1, но и в этом случае шнур устойчив, если
k = n.lR>BdlaBo=\lqR. Так как /г^1, то отсюда сле-
следует, что шнур устойчив при
^	E-21)
Это условие было получено Крускалом и Шафрановым
и носит их имя.
Теперь мы видим, почему q имеет смысл коэффици-
коэффициента запаса устойчивости: чем больше q, тем более ус-
устойчив шнур по отношению к винтовой неустойчивости.
В реальных условиях токамаков, где для стабилизации
используется сильное продольное магнитное поле, плаз-
плазма достаточно устойчива при ^>2-г-3.
Итак, мы познакомились с двумя главными предста-
представителями МГД-неустойчивостей: желобковой и винто-
винтовой. Для первой из них энергетическим резервуаром
неустойчивости служит энергия рлазмы, для второй —
энергия магнитного поля. В общем случае $~ 1, B&~Bq
эти неустойчивости могут действовать совместно, и кри-
критерии их стабилизации могут быть весьма сложными; их
рассмотрение служит предметом специальных исследо-
исследований (см. цитированную по этой тематике литературу).
3. Диссипативные неустойчивости. До сих пор мы
предполагали, что проводимость оглазмы бесконечна.
При конечной, но достаточно 'большой проводимости
приведенные выше соотношения справедливы только
для возмущений с достаточно большими длина'ми волн
и достаточно быстрых колебаний. Кроме того, 'Приа^оо
могут появиться новые ветви медленных неустойчиво-
стей, которые принято называть диссипативными. Мы
рассмотрим два примера наиболее важных доосипатив-
ных неустойчивостей.

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	229
а) Гравитационная диссипативная не-
неустойчивость. Эта неустойчивость тесно связана
с желобковой и является как бы ее продолжением. Она
проявляется в тех же условиях спадающего к перифе-
периферии магнитного поля, но тогда, когда возмущения же-
лобкового нипа по тем или иным соображениям запре-
запрещены, например, когда имеет место локальное спадание
поля, а в целом плазма по отношению к желобкам ус-
устойчива.
При рассмотрении гравитационной неустойчивости
мы предполагаем, что возмущения не постоянны вдоль
силовых линий, а меняются как exp(\i\kzz) (ось z направ-
направлена вдоль магнитного поля). Для электронов и ионов
мы опять можем воспользоваться уравнениями типа
E.4) — E.6), но лишь линеаризуем их, т. е. в правых ча-
частях вместо сил, которые в исходном состоянии уравно-
уравновешены соответствующими дрейфами, мы подставим их
отклонение от равновесного значения, которое пропор-
пропорционально пЦп, где п! — возмущение плотности (мы
предполагаем, что плазма квазинейтральна). Тогда
имеем
— i®mtVx = —vtyB + -2-H. ,	E.22)
С	Н ?\
0=——vxB + eE,	E.23)
С
0 = — — veyB + -^ .	E.24)
С	t% А
Так как теперь возмущение модулировано вдоль си-
силовых линий, электрические заряды, возникающие из-за
поляризации, могут перетекать вдоль силовых линий.
Соответственно и поле Е= —ikyq> в этом случае будет
меньше (ф — потенциал электрического поля). Его мож-
можно найти из условия баланса токов,
divj = ikzjz +iky jy =а&гф+ ikyen(Viy — vey) = О,
E.25).
где а — удельная проводимость.
С помощью уравнений E.22) — E.25) и уравнения
непрерывности
— ianf-\-vx — = 0 E.26)
dx

230	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
нетрудно найти выражение для частоты со. Оно имеет
вид
со2 + i cos со + со| = 0,	E.27)
где введены следующие обозначения:
cos = —f-	= -^- Q/ Qe Те,
&~ С2 П ГП?	ky
dx
При g)s=0 мы имеем обычную желобковую неустой-
неустойчивость с инкрементом у=(о#. Однако в «сильно замаг-
ниченной» плазме, т.е. при Qere>l, величина cos может
быть значительно больше со^, и в этих условиях инкре-
инкремент неустойчивости сильно уменьшается, так как со-
согласно E.27) 7=— ico»co|/cos<co^. Неустойчивость с
таким инкрементом . и называется гравитационной
диссипативной (термин «гравитационная» здесь имеет
условный смысл и использован в связи с тем, что вы-
выталкивающая сила в E.22), E.24) сходна с силой тя-
тяжести, а желобковая неустойчивость сходна с неустой-
неустойчивостью Рэлея — Тейлора тяжелого слоя жидкости,
расположенного над легким слоем).
б) То ково-ко нвектив н а я неустойчи-
неустойчивость. Другая диссипативная неустойчивость имеет
место при наличии продольного тока и в некотором
смысле является диссипативным аналогом винтовой не-
неустойчивости.
Пусть вдоль однородного поля Во, направленного
'(вдоль оси г, течет ток j=\oE настолько слабый, что со-
создаваемое им магнитное поле значительно меньше Во.
Предположим, что проводимость плазмы в равновесном
состоянии является некоторой медленно меняющейся
функцией координаты х. В 'полностью ионизованной
плазме, где проводимость зависит только от темпера-
температуры электронов, это изменение может быть обуслов-
обусловлено изменением температуры, а в слабоионизованной
плазме градиент проводимости может быть следствием
градиента плотности.
Пусть на это состояние наложено возмущение типа
ехр(—Motf+fkr). Величину kx мы будем считать малой.
Предположим, что электрическое поле является безвих-

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
231
ревым и что поперечные электрические токи отсутству-
отсутствуют (электроны и ионы дрейфуют поперек поля совме-
совместно) . Тогда из условия отсутствия возмущения продоль-
продольного поля получим
— ik2yo + e'E=0.	E.28)
Здесь а'—возмущение проводимости плазмы, которое
происходит из-за дрейфа плазмы в поперечном направ-
направлении:
с ky ф d a
i со с' — i
= 0.
E.29)
Во dx
Из уравнений E.28), E.29) находим инкремент нараста-
нарастания малых винтовых возмущений:
kucE do
Как мы видим, знак у зависит от знака ky/\kZf т. е. от
наклона возмущения по отношению к оси z. Физика то-
ково-конвективной неустойчивости пояснена на рис. 65.
Рис. 65. Слой неодно-
неоднородной плазмы с «ко-
«косым» возмущением ее
плотности
Здесь изображен слой плазмы, у которого проводимость
убывает с л:, а ток j и поле Во направлены по оси г. При
смещении косого слоя ABCD по х его проводимость не-
несколько повысится (в силу do/dx<:0). Поэтому на его
граничных поверхностях выступят заряды— положитель-
положительный на верхней поверхности и отрицательный на ниж-
нижней. Эти заряды приведут к появлению электрического
поля с отличной от нуля поперечной компонентой Еу.
При соответствующем знаке ky/kz дрейф плазмы в этом
поле будет происходить в направлении первоначального
смещения и, следовательно, приведет к усилению началь-
начального возмущения.

232	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
Токово-конвективная неустойчивость была очень под-
подробно исследована теоретически и экспериментально на
тлеющем разряде в сильном продольном магнитном поле.
В полностью ионизованной высокотемпературной плаз-
плазме ее роль снижается, так как ее инкремент убывает с
ростом проводимости.
Токово-конвективная неустойчивость развивается в
отсутствие возмущения магнитного поля. Существует
другой диссипативный (точнее, резистивный — связан-
связанный с отличным от нуля сопротивлением) аналог винто-
винтовой неустойчивости — так называемая тиринг-неустой-
чивость. Она отличается от обычной винтовой неустой-
неустойчивости только более сложными процессами в области,
где шаг возмущения совпадает с шагом силовых линий.
Тиринг-неустойчивость также является более медленной,
чем винтовая.
4. Дрейфовые неустойчивости. Как мы установили в
гл. 1, ко всем медленным движениям плазмы одножид-
костное приближение неприменимо и следует учитывать
эффект Холла. Соответственно и полученные выше вы-
выражения для инкрементов диссипативных неустойчиво-
стей справедливы, строго говоря, только в условиях, ко-
когда они велики по сравнению с характерными частотами
дрейфового движения.
а) Дрейфовые волны. Развитие дрейфовых
неустойчивостей связано с раскачкой дрейфовых волн —
своеобразной ветвью колебаний неоднородной плазмы.
Для их описания можно воспользоваться двухжидкост-
ным приближением. Рассмотрим слой плазмы с неодно-
неоднородной по х плотностью и наложим на него возмущения
типа плоской волны. Будем считать, что возмущения
сильно вытянуты вдоль магнитного поля, так что сме-
смещением ионов вдоль поля можно пренебречь (это верно,
если частота колебаний co>cs&z, cs — скорость звука).
Тогда для возмущения плотности ионов, учитывая, что
в поле волны они совершают дрейф со скоростью v-x =
— сЕу/В0,у получим
dn
ir^0'	E-31)
где <р — потенциал электрического поля.
Если допустить, что

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	233
то электроны вдоль силовых линий будут иметь больц-
мановское распределение
«' = JliL .	E.32)
* е
Считая, что плазма кваз-инейтральна, мы использовали
одно и то же обозначение п! для возмущений плотности
электронов и ионов. Из E.31), E.32) находим частоту
дрейфовых волн:
с ky Te dn
Фазовая скорость этих волн &/ky направлена в сторону
дрейфа электронов в равновесном неоднородном слое
плазмы, причем она в точности совпадает с дрейфовой
(ларморовской) скоростью электронов, которая может
быть найдена из уравнения равновесия
* п те =	-nvey Bo.	E.34)
с
dx
Как мы видим, при Те=const величина vey = (u*lky.
б) Дрейфово-диссипативная неустойчи-
неустойчивость. При наличии различных диссипативных про-
процессов дрейфовые волны становятся неустойчивыми.
Мы рассмотрим здесь лишь самый простой тип диссипа-
диссипации, связанный с продольной проводимостью, т. е. с тре-
трением электронов о ионы при их продольном движении.
Соответствующая неустойчивость получила название
дрейфово-диссипативной или универсальной.
Эту неустойчивость можно описать с помощью урав-
уравнений E.22) — E.25), если вместо обычного закона Ома
jz=igEz использовать его двухжидкостный аналог
E.35>
\	еп дг
Подставляя в E.25) вместо jz=ikzG<p выражение /z=
= г^сг(ф—п'Те/еп) и повторяя выкладки п. а), мы полу-
получим вместо E.27) уравнение вида
со2 + i ю o)s — i со* cos + <i>g = 0,	E.36)
где частота дрейфовых волн cd* дается выражением
E.33). Так как обычно cds очень велико, то из E.36)

234	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
приближенно получаем
О2+ 0J
(о^со +i «^ * .	E.37)
Отсюда видно, что даже в однородном поле, т. е. при cog=
= 0, плазма оказывается неустойчивой и дрейфовая вол-
волна нарастает по амплитуде.
Кроме конечной проводимости к раскачке дрейфовых
волн могут приводить и другие механизмы диссипации.
Эти же механизмы (например, вязкость) могут и стаби-
стабилизировать дрейфовые неустойчивости. Так как дрей-
дрейфовые неустойчивости связаны с сильно вытянутыми
вдоль магнитного поля возмущениями, то они представ-
представляют меньшую опасность для удержания плазмы, чем
МГД-неустойчивости.
5. Кинетические неустойчивости. Для кинетических
неустойчивостей существенно различие в движении раз-
разных групп частиц, и они могут быть теоретически описа-
описаны с помощью уравнения Власова.
а) Неустойчивость пучка в плазме. Про-
Простейшим примером кинетической неустойчивости может
служить электронный пучок в плазме. Рассмотрим сна-
сначала монохроматический пучок с плотностью пъ и ско-
скоростью V в холодной плазме. Такой пучок может возбу-
возбуждать ленгмюровские волны. Инкремент нарастания
продольных волн можно легко получить из дисперсион-
дисперсионного уравнения ©=0, где, кроме вклада от электронов
плазмы, нужно учесть вклад от пучка. Легко видеть, что
е-1—?---*- < ,	E.38)
со2	п (со — kVJ
где k — волновое число возмущения. Здесь вклад от
пучка имеет в точности такой же вид, как вклад от хо-
холодных электронов, лишь частота испытывает доплеров-
ское смещение (в системе отсчета, связанной с пучком,
вклад от пучка имеет тот же вид, как вклад от холодных
электронов).
Полагая 8=0, нетрудно найти инкремент нарастания
малых возмущений. Когда я&<Ся, он максимален при
kV=(upe и равен
Y=feV/8<V.	E-39)

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	235
Если пучок несколько размыт по скоростям, т. е. име-
имеется разброс ДV, то при ДК>7/& приближение монохро-
монохроматического пучка становится неприменимым. В этом
случае можно воспользоваться кинетическим уравнени-
уравнением Власова. Считая пь<.п и AF>v/&, мы можем оста-
оставить от пучка только мнимую часть вклада в 8. При этом
дисперсионное уравнение примет вид B.123), т.е. для
холодной плазмы
(о2	nk2 dv
Отсюда видно, что инкремент
= 0. E.40)
df	E.41)
dv v=npeik
положителен только при положительной производной
функции распределения в точке резонанса v=mvelk. Та-
Таким образом, для раскачки колебаний нужно, чтобы на
хвосте электронной функции распределения имелся
«горб», соответствующий размытому пучку.
б) Ионный звук в плазме с током. В
качестве другого важного примера рассмотрим ионно-
звуковые колебания в неизотермической плазме (T;<
<^Те) при наличии электрического тока. Будем считать,
что функция распределения электронов близка к мак-
свелловской, сдвинутой на значение дрейфовой скорости
и=—Цеп. Для нахождения инкремента опять восполь-
воспользуемся уравнением 8 = 0. Действительная часть 8 для ион-
ионного звука была нами найдена ранее [см. B.102)] с по-
помощью гидродинамического приближения, а мнимую мы
может учесть с помощью B.123). Таким образом, имеем
е = 1 +
k2 с\	со2
— 7u-^-fk — 8(co-kv)dv = 0. E.42)
nk2 J dv K	'
Для сдвинутой на и максвелловской функции распре-
распределения
д fe 	 me (v — u) r

236	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
и для инкремента легко находим
) <5-43>
где Э — угол между направлениями и и к.
Как мы видим, ионно-звуковые волны начинают на-
нарастать, когда направленная скорость электронов пре-
превышает скорость звука. При этом инкремент невелик,
y/(d~u/vTe, где Vre — тепловая скорость электронов.
в) Кинетические конусные неустойчи-
неустойчивости. Неустойчивости кинетической природы могут
развиваться и в адиабатических ловушках. Дело в том,
что у адиабатической ловушки есть врожденный порок:
она удерживает только те частицы, которые не попада-
попадают в запрещенный конус (конус потерь). Это автоматиче-
автоматически приводит к инверсии заселенностей энергетических
уровней. В самом деле, введем'пространство скоростей.
Функция распределения частиц по скоростям f(vZy vs.
отлична от нуля только в заштрихованной области на
рис. 66, а. Если даже /(^z, vx ) примерно постоянна в не-
некоторой области не очень больших v± , то функция рас-
распределения по поперечным скоростям
f(v±) = \f(vz> vx)dvz
будет возрастающей просто в силу того, что
интервал Avz~v±. При достаточно больших v± функ-
функция f(vz, v±)y а вместе с ней и f(v± ), должна убывать,
так что полный график f{v±) имеет вид, показанный на
рис. 66,6. В области v± <v0 функция распределения воз-
возрастает с ростом и±, а это и означает, что имеет место
инверсная заселенность по поперечной энергии: частиц
с большой энергией больше, чем с малой.
По аналогии с лазерами отсюда можно заключить,
что если в плазме найдется волна, которая резонансным
образом будет взаимодействовать с инверсной популя-
популяцией частиц, то может иметь место индуцированная ге-
генерация волн, т. е. экспоненциальное нарастание малых
колебаний со временем. Таким образом, вопрос о рас-
скачке кинетических неустойчивостей состоит в том, ка-
какие волны в плазме могут попадать в резонанс и как этот
резонанс осуществляется. Эти вопросы ставятся несколь-
несколько различным образом для ионно-горячей и электронно-
горячей плазм.

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
237
Рассмотрим более интересную ионно-горячую плазму.
Ясно, что с ионами могут эффективно взаимодействовать
лишь низкочастотные колебания, имеющие частоты по-
порядка характерных ионных частот Йг или соРг. В лабо-
лабораторной плазме величина р = 8яр/В2 чрезвычайно мала,
поэтому соответствующие волны являются продольными
(электростатическими) — магнитное поле в них не воз-
возмущается. К ним относятся косые ленгмюровские волны,
распространяющиеся под углом к магнитному полю,
а
к.
л
/Г
ТУ
К
ч
¦5 if
Рис. 66. Инверсная заселенность уровней в адиабатической ловушке
ионно-звуковые и циклотронные волны, а также различ-
различные их комбинации. В неоднородной плазме к ним до-
добавляются дрейфовые волны.
Что касается резонанса волн с ионами, то при нали-
наличии сильного магнитного поля он существует на гармо-
гармониках циклотронной частоты Йг. Хотя соответствующий
эффект является, разумеется, чисто классическим, его
проще рассмотреть с квантовой точки зрения как пре-
предельный случай индуцированных переходов с участием
большого числа квантов. (Квантовые образы вошли в со-
современное физическое мышление настолько глубоко,
что даже чисто классическое понятие резонанса более
просто формулируется на языке квантов!) С квантовой
точки зрения неустойчивость — это индуцированное ис-
испускание кванта Тьсо с импульсом Ukz вдоль магнитного
поля. Поскольку в сильном магнитном поле поперечное
движение заряженных частиц квантовано (уровни Лан-
Ландау с интервалом hQ{ между уровнями), то законы со-
сохранения энергии и продольного импульса при переходе
принимают вид
ft со + пц vz A vz — / % Q/ = 0,	E.44)
%kz +nnAvz =0,	E.45)

238	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
где Avz — малое изменение продольной скорости при пе-
переходе, а I — целое число, соответствующее переходу ча-
частиц на более низкий уровень, отстоящий на (LKli от ис-
исходного, так что miVL Av±=— /Шг\ Из E.44), E.45) по-
получаем соотношение
со — кг v2 — IQ/ = 0,	E.46)
которое представляет собой условие резонанса частицы
с волной. Оно имеет простой смысл: в системе координат,
движущейся вдоль z вместе с частицей, частота коле-
колебаний в точности равна '1-я гармонике циклотронной ча-
частоты. При />0, когда при испускании волны частица
переходит на более низкий поперечный уровень, говорят
о нормальном доплер-эффекте, а при /<0 используют
термин «аномальный доплер-эффект». Неустойчивость
имеет место только в том случае, если заселенность на
верхнем (исходном) энергетическом уровне больше, чем
на нижнем, т. е. если
b((o — kz v2 —lQi)dvzdz±>0,	E.47)
где г± =miV2J2 — поперечная энергия, а б-функция от-
отбирает только резонансные частицы. Устремляя /t->-0,
из E.47) с учетом E.44), E.45) находим
+
dvz v± dv±
E.48)
Это и есть условие раскачки колебаний в анизотропной
плазме.
6. Параметрические неустойчивости. При прохожде-
прохождении через плазму сильных электромагнитных волн или
при проникновении в плазму внешних переменных полей
в ней возникают сильные регулярные колебания элек-
электронов и ионов. Эти колебания также могут послужить
источником неустойчивостей. Так как соответствующие
неустойчивости развиваются на фоне периодических ко-
колебаний плазмы и сами подчас принимают форму пара-
параметрического резонанса, то эти неустойчивости называ-
называют параметрическими.
Мы познакомимся здесь с параметрическими неус-
тойчивостями на простейшем, но типичном примере воз-

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	239
буждения двух нелинейно связанных волн — ионно-зву-
ковой и ленгмюровской — внешней волной накачки.
Предположим, что в плазме имеется сильная волна с
электрическим полем вдоль оси х
Е = Еоехр( — iuot + ikox) + к. с.	E.49)
Величину Ео мы для простоты будем считать действи-
действительной. Эта волна может быть, например, ленгмюров-
ленгмюровской с частотой щ=(йРе и волновым числом ko. При
?о-Ю электрическое поле, задаваемое выражением
E.49), может принадлежать поперечной волне или внеш-
внешнему источнику с частотой, близкой к соре (напомним,
что у поперечной волны &2с2=со2—ю2ре, т. е. волновое чи-
число мало при оо-коре). Именно при малой расстройке,
|со—соре|<Со)ре, наиболее сильно проявляются парамет-
параметрические эффекты, и поэтому в дальнейшем мы будем
предполагать, что соо близка к соре.
Высокочастотная волна приводит электроны в коле-
колебательное движение с амплитудой
v0 =	^— Ео exp (—i соо t + i k0x) + к. с. E.50)
пге соо
Предположим теперь, что кроме внешней волны, ко-
которую мы будем называть волной накачки, в плазме
присутствуют ленгмюровская и ионно-звуковая волны
малой амплитуды. Покажем, что взаимодействие их с
волной накачки может приводить к нарастанию их ам-
амплитуды. Для простоты будем считать, что эти волны
распространяются вдоль оси х.
Рассмотрим сначала высокочастотные ленгмюровские
колебания. Как мы знаем, они имеют непрерывный спектр
и в каждой точке частота колебаний равна местной лен-
ленгмюровской (мы предполагаем, что длина волны много
больше дебаевской, так что тепловой поправкой можно
пренебречь). Учтем теперь, что медленные ионно-звуко-
вые колебания приводят к небольшому отклонению 8п
плотности от равновесного значения п.
Для скорости колебаний электронов в волне Е име-
имеем просто

240	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
а электрическое поле может быть найдено из уравнения
_|^L = _47г7 = 4тгв [(n + 6n)(v + vo) — nvo]t E.52)
где / — ток ленгмюровской волны. Так как, по предпо-
предположению, амплитуды ленгмюровской и ионно-звуковой
волн малы, то в E.52) мы пренебрежем квадратичным
членом 8nv. Дифференцируя E.51) по времени и исклю-
исключая затем производную по времени от электрического
поля с помощью E.52), мы получим уравнение для ос-
осцилляции электронов
—^ + <4е V =	— Dе V09	E.53)
где о)ре — невозмущенная ленгмюровская частота.
В низкочастотных колебаниях принимают участие
как электроны, так и ионы. Уравнение движения для
ионов выглядит очень просто:
77 = V*	E'54>
где v — скорость ионов, Е — поле медленной волны.
Поле Е можно найти из уравнения движения для элек-
электронов
dt
+ Ше Ve _ + — —Ьп = —еЕ. E.55)
dt	дх	п дх
Здесь первым инерционным членом для медленного
движения можно пренебречь, а во втором члене мы со-
сохраним линейное по v слагаемое med(vov)(dx. Разумеет-
Разумеется, здесь достаточно оставить лишь медленно меняющую-
меняющуюся часть, которую мы обозначим угловыми скобками, оз-
означающими усреднение по высокочастотным колебаниям.
Учитывая еще уравнение непрерывности
J-bn + n — =0	E.56)
dt ^ дх	^	к J
и исключая с помощью E.54), E.55) Е и v, мы получим
уравнение для 8п:
?гТ	г<ъ>. E-57)
dt2	дх2	mi дх2
Уравнения E.53), E.57) описывают связанные через
волну накачки ленгмюровские и ионно-звуковые волны.

§ 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ	241
Если амплитуда волны накачки мала, то заметный эф-
эффект возбуждения связанных волн может иметь место
только при условии резонанса. А именно, пусть эти вол-
волны являются монохроматическими:
v = а ехр (—i (йре t + ikp x)9
— = ibexp (i(dst — iks x)9	E.58)
n
где a, b — медленно меняющиеся амплитуды. Тогда при
выполнении резонансных условий
Щ = <йре + ©s > ko = kp +ks	E.59)
в пренебрежении вторыми производными по времени
от медленно меняющихся амплитуд а, Ъ уравнения
E.53), E.57) принимают простой «укороченный» вид
да (йов 1 db meks	/e пП\
	= —Р?- v0 b, 	= —е—^— voa,	E.60)
dt	2 °	dt 2mics °	V ;
где Vo = eEo/me — амплитуда колебаний электронов в
волне накачки.
Эти уравнения отличаются от рассмотренных нами
ранее уравнений при знакомстве с трехволновыми вза-
взаимодействиями C.88) —C.90) только тем, что волну vQ
мы считаем сильной с заданной амплитудой и не исполь-
используем нормировку для амплитуд, сделанную в § 4 гл. 3.
Уравнения E.60) имеют экспоненциально нарастаю-
нарастающее решение с инкрементом у, определяемым дисперси-
дисперсионным уравнением
hvl	E.61)
4m/ cs
Как мы видим, инкремент пропорционален амплитуде
волны накачки. Соответствующая неустойчивость, кото-
которую тоже можно было бы назвать параметрической, опи-
описывает самое начало «распада» волны накачки на лен-
гмюровскую и ионно-звуковую. В литературе она изве-
известна как распадная неустойчивость.
При достаточно большой амплитуде накачки vQ ин-
инкремент может превысить собственную частоту ионного
звука g)* = c.s&8. В этом случае в уравнениях E.53),
E.57) нужно воспользоваться другим приближением.
9 Б. Б. Кадомцев

242	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
А именно, в E.57) можно пренебречь вторым членом в
правой части. Предполагая опять, что частота соо близка
к (дРе и пренебрегая расстройкой о>0—соре, мы можем за-
записать уравнения E.53), E.57) в упрощенном виде
^	E*62)
J!_ бп =	^ nk2sav0.	E.63)
д t2	mi
Здесь мы опять предположили, что выполняется соот-
соотношение ko=kp,+ks. Из уравнений E.62), E.63) выте-
вытекает, что связанные ленгмюровские и ионные низко-
низкочастотные колебания нарастают со временем с инкре-
инкрементом 4~v*'3. При этом говорить о ионном звуке уже
нет смысла: в рассматриваемых колебаниях сила Мил-
Миллера значительно превышает градиент давления. Соот-
Соответствующую неустойчивость называют параметричес-
параметрической или модифицированной распадной.
И наконец, те же уравнения E.53), E.57) в случае
&0->0, например для электромагнитной волны накачки,
допускают еще одно приближенное решение. А именно,
при достаточно большой амплитуде накачки обе комби-
комбинационные частоты соо + Й и соо—& (&— частота ионных
колебаний) близки к соре, так что в уравнениях нужно
учесть сразу обе гармоники. Будем считать, что Ьп~
~ехр(—iQt)y a
v = v+exp[—i (п + озО1) -t]-\~v_exp[—I (Q—со0) t],
и пренебрежем вторым членом в левой части E.57),
полагая, что амплитуда накачки достаточно велика, а
возмущения протяженны по х. При этом можно считать,
что и у 8п, и у у зависимость от х одна
и та же: ~ехр (ikx). Полагая Уо=^оехр (—цооО +
+ v*0 exp(ta>0?), получим после подстановки этих выра-
выражений в E.53), E.57)
Q2 s n = -^- п /г2 {v+ v0 + v- v0),	E.64)
mi
4e0y
n
— К - Щ%] V- = - <4e "О — .	E.65)
tl

§ 2. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	243
Таким образом, мы получаем систему трех однород-
однородных уравнений для б/г, v+9 V-. Условием их разрешимо-
разрешимости является обращение в нуль детерминанта системы.
Считая, что расстройка Д = соо—соР?? и частота ?1 малы,
уравнения E.65) можно упростить:
(А — Q) v- -¦= (оре v*0 — .	E.66)
Если теперь подставить полученные отсюда значения
v+ и V- в E.64), то мы получим дисперсионное уравне-
уравнение для й:
Q2 (Q2 _ д2) + Ik_ ape k2 |г;0|2 Д = 0.	E.67)
mi
Это уравнение имеет комплексные решения для Q (ко-
(которые соответствуют неустойчивости) в широкой обла-
области значений А (за исключением больших положитель-
положительных А). Максимальный инкремент у достигается при
-^- (opek2\vQ\2) .	E.68)
mt	I
Вследствие параметрической неустойчивости мощная
электромагнитная волна в плазме может создавать до-
достаточно сильные неоднородности ее плотности.
§ 2. Квазилинейное приближение
В неустойчивой плазме любые малые начальные воз-
возмущения, вплоть до тепловых шумов, экспоненциально
нарастают со временем, и в конце концов их амплитуда
достигает такой величины, что они начинают оказывать
заметное влияние на макроскопические характеристики
плазмы.
При развитии неустойчивости вероятны различные
ситуации между двумя крайними возможностями. В од-
одном предельном случае, когда либо плазма слабо над-
критична и неустойчивость слабая, либо одна из мод
колебаний сильно превалирует над другими, возможно
развитие одной только моды неустойчивости. В этом
случае плазма переходит в новое ламинарное движение
с развившимся в ней регулярным, упорядоченным тече-
9*

244
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
нием. В другом предельном случае в ней развивается
много мод, сложно взаимодействующих между собой и
требующих поэтому для своего описания статистическо-
статистического подхода. Второе состояние мы и будем называть тур-
турбулентным. В разреженной плазме, где механизмы дис-
диссипации играют малую роль, чаще развиваются именно
турбулентные, а не ламинарные процессы.
Задача количественного описания турбулентности
разбивается на две. Нужно уметь, во-первых, описывать
само турбулентное движение с учетом взаимодействия
отдельных мод колебаний, а во-вторых, определять
влияние турбулентности на макроскопические, усреднен-
усредненные свойства плазмы.
Оказывается более удобным начать со второй зада-
задачи. Дело в том, что при очень слабой неустойчивости
уровень развившихся шумов может быть настолько
Рис. 67. Квазилинейная релак-
релаксация пучка в плазме и обра-
образование 'плато -на функции
•распределения. Оплошная «кри-
«кривая соответствует начальной,
штриховая — конечной функ-
функции -распределения. Ниже функ-
функции распределения изображено
распределение энергии колеба-
колебаний по фазовым скоростям
после установления плато
низким, что отдельные моды колебаний практически не
будут взаимодействовать, т. е. их можно описывать в
линейном приближении. Вместе с тем они будут оказы-
оказывать какое-то воздействие на плазму, и именно это воз-
воздействие сможет остановить экспоненциальное нараста-
нарастание шумов. Такой подход к описанию неустойчивостей
плазмы и ее слабой турбулентности был предложен в ра-
работах Веденова, Велихова, Сагдеева [193] и Драммонда
и Пайнса [194] (см. также [195]). Мы познакомимся с
ним на самом простом примере возбуждения ленгмюров-
ских колебаний размытым электронным пучком.
Допустим, что в начальный момент времени в элек-
электронной плазме имеется слабый электронный пучок с
сильным разбросом частиц по скоростям. Тогда началь-

§ 2. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	245
ную функцию распределения частиц по скоростям мож-
можно представить в виде рис. 67, т. е. она имеет «горб на
хвосте». Как мы знаем, в такой плазме должны воз-
возбуждаться ленгмюровские колебания с такими длина-
длинами волн, чтобы их фазовая скорость Уф = со/& попадала
в область «горба», где функция распределения имеет
положительную производную, поскольку инкремент не-
неустойчивости равен
2k* n dv
E.69)
Поскольку Yfe>0 в широкой области значений фазовых
скоростей, то можно ожидать развития большого числа
гармоник с широким набором различных волновых
чисел.
Представим снова электрическое поле в виде
Е (х9 t) = 2jEkexp (—i(>>kt + ikx).	E.70)
k
Будем считать, что суммирование проводится как по
положительным, так и по отрицательным к\ чтобы поле
Е(х, t) было действительным, необходимо выполнение
условий
E-k = E\, a-k = —щ.	E.71)
Если гармоник очень много, то их набор будет практи-
практически случайной величиной, поэтому и поле вида E.70)
более удобно описывать с помощью случайных функ-
функций. Соответственно оказывается удобным придать сум-
сумме в E.70) по к более определенный специфический
смысл.
Предположим, что волновое число может пробегать
дискретный ряд значений, например k=2nn/Ly где L —
длина рассматриваемого плазменного образования, но
величина 2n/L<C?, так что k почти непрерывно. Рассмот-
Рассмотрим корреляционную функцию полей, т.е. усредненное
по плазме значение от произведения полей в двух близ-
близких точках, <Е(х+1)Е(х)>. Это выражение можно
получить, умножая друг на друга две суммы вида E.70)
и затем усредняя их почленно. При таком усреднении
большая часть членов двойной суммы исчезнет, оста-
останутся только те члены, в которые входит произведение

246	Гл. 5 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
Ekexp [ik(x + D] на E*k exp(—ikx). Таким образом
получим
(Е (х + 1)Е (х) > =2 \Ek |2 exp (I k ?). E.72)
Примем теперь, что сумма в правой части E.72) по-
понимается в таком смысле, что сумма членов по интерва-
интервалу Д& просто пропорциональна Ak. Тогда в E.72) от
суммирования можно перейти к интегрированию. Пола-
Полагая для упрощения записи \Ек\2=Е\ (т.е. понимая
под Е\ величину |?&|2) и устремляя L->oo, запишем
выражение E.72) в виде
I Ebcoskcdk. E.73)
о
Мы учли здесь, что Е\ является четной функцией k.
Из E.73) видно, что Е\ является фурье-компонентной
корреляционной функции
El=--^-( exp (- ikl)R (?)dI.	E.74)
—oo
Если считать, что волновое поле Е является почти
стационарным, т. е. что его усредненные характеристи-
характеристики не меняются за очень большой промежуток времени
Т, так что в этом промежутке Е\ можно считать посто-
постоянным, то с помощью E.70) легко получить простран-
пространственно-временную корреляционную функцию
Р (g, x)==<E(x+l, t + x)E (x, t)> =
+ 00
= f?JUxp(—i®kT+ikl)dk.	E.75)
	00
Итак, если волновое поле рассматривается как на-
набор очень большого числа гармоник и предполагается
случайным, то для его описания можно пользоваться
величиной Е\. Величина Е% Ak имеет смысл квадрата
амплитуды волнового пакета, составленного из гармо-
гармоник, попадающих в интервал Ak. Соответственно можно

§ 2. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	247
ввести величины Nki Su, pk, имеющие смысл плотности
числа волн, энергии и импульса в ^-пространстве.
С помощью этих величин и следует описывать про-
процессы в слабо турбулентной плазме. В квазилинейном
приближении предполагается, что взаимодействие меж-
между отдельными гармониками отсутствует. Тогда любой
пакет, составленный из волн интервала Д1&, ведет себя
независимо от других, и для него можно использовать
уравнение
dEl	^ 2ykEL	E.76)
dt	dx
которое было получено ранее для протяженного в про-
пространстве волнового пакета [см. B.155)].
Перейдем теперь к рассмотрению процесса обратно-
обратного влияния волн на частицы. Воспользуемся уравнени-
уравнением Власова для электронов
d f . d f e ?, df	/t- 7Tv
—-—|- v —— =	t —— .	E.77)
dt	dx me dv
Представим функцию распределения электронов f в
виде суммы медленно меняющейся fo и осциллирую-
осциллирующей части /. Осциллирующую часть мы будем считать
малой, и поэтому для нее можно ограничиться линей-
линейным приближением. Для ^-гармоники поля соответст-
соответствующая гармоника fh, очевидно, равна
h = —	Ek ^- .	E.78)
те со — k v	dv
(Это выражение мы уже получили при знакомстве с ли-
линейными ленгмюровскими колебаниями.) Что касается
медленно меняющейся функции /о, то для ее описания
можно воспользоваться усредненным по высокочастот-
высокочастотным колебаниям уравнением
E.79)
dt	дх	те	dv	me dv
В дальнейшем мы предположим, что усредненное поле
Ео отсутствует. Член в правой части E.79) как раз и
описывает обратное влияние волн на усредненную функ-
функцию распределения. Для его вычисления мы должны
подставить вместо Е его выражение E.70) в виде сум-

248	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
мы по гармоникам, и аналогичное выражение следует
подставить вместо /. При этом вместо 1/(со — kv) сле-
следует подставить выражение
	1	__ щ—kv — iyk _
р — tтгб (со^ — kv).	E.80)
G)? — kv
Здесь б-функция получена при ук-^6, а Р означает глав-
главное значение.
При подстановке этих выражений в E.79) находим
(при Е0 = 0)
E.81)
+ v	Dv
dt	дх	dv	dv
где
Dv = ^- [е\б (со* — kv) dk	E.82)
т2е J
(мы опять понимаем здесь под Ek величину |?ь|2"). Та-
Таким образом, для /о получается уравнение диффузион-
диффузионного типа в пространстве скоростей.
Уравнения E.76), E.81) и составляют основную си-
систему квазилинейной теории. Рассмотрим частный слу-
случай, когда /о и Ek не зависят от х. При этом в уравне-
уравнениях E.76), E.81) можно отбросить производную по ко-
координате х. Кроме того, поскольку частота плазменных
колебаний со«^соре может считаться не зависящей от v9
в выражении E.82) интеграл от б-функции дает просто
величину l/v. Далее, вместо Ek удобно ввести величи-
величину Ev , пропорциональную плотности энергии колеба-
колебаний на интервал фазовых скоростей civ, т. е.
E\dk = E\dv = El (<ope/k*)dk.
Тогда уравнения квазилинейной теории можно записать
в виде
dEv 9л, F2	л,
= ly t	y =
lyv tv>	yv
dt	2n	dv
dfo =J_D AIs
dt	д v v д v
dfo =J_D AIsl Dv = яе*1 El E.84)
v	1!

§ 2. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	249
Учтем теперь, что плотность энергии ленгмюровских
колебаний
-2
д (8 CD)	Ek
д со 8л;	4л;
так что
4л
а плотность импульса
Рк eg
= 	0V —
4я v
Заметим, что в энергию волн входит, в частности, ки-
кинетическая энергия колебаний электронов в волне, имен-
именно поэтому %h вдвое больше плотности энергии элект-
электрического поля в волне. При несколько другом описании
колебаний эту энергию можно было бы включить в
\ -%-fodv.
С помощью E.83), E.84) нетрудно установить, что
система квазилинейных уравнений согласована с сохра-
сохранением энергии и импульса, т. е.
= [^^- fodv+ f
J 2	J
4я
Г	Г Е2
р = \те vfodv+ —— dv = const. E.85)
Обсудим теперь физический смысл полученных урав-
уравнений и что они дают. Как мы видим, для функции /о
получилось уравнение диффузионного типа. Можно ска-
сказать, что всюду, где есть волны, каждая волна стремит-
стремится создать локальное «плато» на функции распределе-
распределения резонансных частиц, т. е. при dfo/dv>O она стремит-
стремится замедлить частицы. Но эти частицы создают
повышенный градиент df^/dv при несколько меньших
скоростях и подхватываются другой волной с. меньшей
фазовой скоростью.
Коэффициент Dv отличен от нуля только там, где
El ФО. Если считать, что уровень тепловых шумов пре-

250	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
небрежимо мал, то Dv=?0 только там, где волны успе-
успевают нарасти от теплового уровня, т. е. в области неус-
неустойчивости. Нарастая в этой области, волны приводят
к диффузии частиц в сторону меньших v, и этот процесс
будет продолжаться до тех пор, пока во всей области
неустойчивости не будет достигнуто состояние с ^
~dfofdv = 0. Другими словами, в конечном состоянии на
функции распределения f" должно образоваться плато
(см. штриховую линию на рис. 67). При этом шумы на-
нарастут до некоторого предельного стационарного уров-
уровня, изображенного на том же рисунке. Амплитуду шумов
легко найти из закона сохранения энергии. В самом де-
деле, если при своем замедлении через точку v в сторону
меньших энергий за время процесса прошло
частиц, то в интервале dv они должны были потерять
энергию mevdvSn. Эта энергия должна передаться вол-
волнам с фазовыми скоростями в интервале dvt т. е. она
равна E^dvjAn. Отсюда находим
El = 4тг ntev J (fo — /о) d v,	E.86)
о
где /о — начальная, а /* — конечная функция распреде-
распределения. В интеграл E.86) область от v = 0 до нижней
границы плато v{ фактически вклада не дает. Соотно-
Соотношение E.86), разумеется, можно получить и более фор-
формальным путем с помощью уравнений E.83), E.84). Из
E.86) видно, что шумы сосредоточены в области, где
образовалось плато, причем Ev плавно спадает к гра-
границам плато.
Экспериментальная проверка квазилинейной теории
была проведена Робертсоном и Джентлом [196]. Эти ав-
авторы изучали эволюцию размытого электронного пучка
в плазме и возбуждаемых им плазменных колебаний по
длине плазменного шкура, находящегося в продольном
магнитном поле. Таким образом, вместо временной эво-
эволюции системы они изучали развитие процесса по х, что
не меняет качественных характеристик явления. Эволю-

§ 3. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
251
ция по х может быть описана с помощью тех же урав-
уравнений E.76), E.81), в которых следует лишь опустить
временные производные. Небольшое отличие от рассмот-
рассмотренной выше картины вносит также продольное магнит-
магнитное поле: оно несколько изменяет закон дисперсии элек-
электронных продольных колебаний, что приводит к увели-
увеличению их групповой скорости.
Упомянутыми авторами было показано, что в усло-
условиях применимости квазилинейной теории, т. е. когда
Частота
'Рис. 68. Теоретический (оплошная кривая) и экспериментальный
(кружки) равновесные спектры для шумов в плазме при релакса-
релаксации размытого пучка
пучок слаб и уровень шумов низок, теория хорошо со-
согласуется с экспериментом. На рис. 68, например, срав-
сравниваются теоретически рассчитанный и эксперименталь-
экспериментально измеренный спектры колебаний, возбужденных пуч-
пучком. (Здесь спектр отложен не в функции фазовой ско-
скорости, а*в зависимости от частоты колебаний — более
удобной величины с точки зрения эксперимента, так как
она непосредственно в нем измеряется.)
Квазилинейная теория легко обобщается на различ-
различные типы колебаний плазмы, но она справедлива толь-
только при очень низком уровне шумов в плазме.
§ 3. Слабая турбулентность
1. Трехволновые процессы. Если уровень шумов в
плазме не очень мал, то квазилинейное приближение
становится явно неточным, поскольку определенную роль
начинают играть взаимодействия волн между собой и с

252	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
частицами. Вместе с тем если этот уровень еще не на-
настолько велик, чтобы существенно влиять на дисперси-
дисперсионные свойства волн (в однородной плазме это так, если
энергия шумов много меньше тепловой энергии плазмы),
то турбулентный процесс в плазме можно описывать в
терминах слабо взаимодействующих волн. Такая турбу-
турбулентность получила название слабой.
Для описания слабой турбулентности можно восполь-
воспользоваться теорией возмущений, т. е. можно провести раз-
разложение уравнений по малому отношению энергии взаи-
взаимодействия между волнами к их полной энергии. Таким
образом, в нулевом приближении по параметру взаимо-
взаимодействия мы просто имеем совокупность невзаимодейст-
невзаимодействующих волн. В следующем приближении достаточно
учесть только члены, пропорциональные энергии волн,
г. е. квадратичные по амплитуде, и т. д.
С учетом теплового движения частиц квадратичны-
квадратичными по амплитуде волн взаимодействиями являются трех-
волновые индуцированные процессы слияния и распада
волн и индуцированное комбинационное рассеяние волн
на частицах.
Рассмотрим сначала трехволновые процессы. Мы уже
познакомились с ними ранее на примере взаимодейст-
взаимодействия трех выделенных волн. Те же процессы резонансно-
резонансного взаимодействия могут проявляться и в случае, когда
в плазме возбужден очень широкий спектр волн. Если
число волн очень велико, то фаза каждой отдельной
волны при взаимодействии с другими волнами может
сложным нерегулярным образом изменяться во време-
времени. В этих условиях более адекватным для описания
процесса является приближение случайных фаз, с кото-
которым мы также уже познакомились на примере взаимо-
взаимодействия трех волн. Для случая многих волн, т. е. для
практически непрерывного их спектра, соответствующее
приближение лишь слегка модифицируется по сравне-
сравнению с отдельной триадой.
Введем в рассмотрение плотность числа волн в про-
пространстве волновых чисел Nk, так что Nkdk есть число
волн, приходящихся на интервал ctk. Именно для этой
величины мы должны составить уравнение, описываю-
описывающее взаимодействие волн при слабой турбулентности.
Опять воспользуемся уравнением C.87) для амплитуд
взаимодействующих волн. Умножая его на а? и склады-

§ 3. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	«253
вая результат с комплексно-сопряженным выражением,
мы получим уравнение для Nk=\ak\2: В приближении
хаотических фаз мы интересуемся лишь медленным
усредненным изменением Nk со временем. Поэтому в
полученном выражении можно произвести усреднение
по фазам, после чего находим
'*¦ -"	-	х
dt ~~ V
X ехр [—1 (сок, + сок/, — ©к) /] + к. с. E.87)
Далее мы снова можем повторить те рассуждения,
которые были проведены при рассмотрении трех взаимо-
взаимодействующих волн с хаотическими фазами. А именно, в
выражении E.87) в предположении полностью хаотиче-
хаотических фаз амплитуды ак совершенно не коррелированы,
и в нулевом приближении мы получим просто нуль. Но
на самом деле малая корреляция между амплитудами
все же возникает в силу нелинейности самого уравнения
для амплитуд C.87). При малых ак эта корреляция,
естественно, очень слаба. Чтобы ее учесть, представим
#к в виде ак +5ак , где ак — основная часть амплитуды
со случайной фазой (эту часть амплитуды можно считать
не зависящей от времени), а бак — малая добавка, учи-
учитывающая корреляцию амплитуд. В первом приближе-
приближении по корреляции уравнение C.87) принимает вид
-^- б ак = 2 Vk k' к" аЬ 4" ехр [—1 (юк. + <*>к" — юк ) *J.
о г	kf
E.88)
Это уравнение можно проинтегрировать по времени от
—оо до t и в предположении, что при t->—оо корреля-
корреляция ослабевает, т. е. в экспоненте E.88) содержится
малая добавка vt, тогда получим
Ьпк =2^kk'k" пк' пк" гсвС^к' + (Ok" — (Ok) .	E.89)
k
Здесь мы сохранили лишь действительную часть инте-
интеграла от экспоненты, которая только и войдет в окончат
тельный результат, и, кроме того, опустили индекс нуль
у ак', ак" в правой части.
Подставим теперь в правую часть E.87) ак°+бак
вместо каждой из амплитуд ак и сохраним только чле-

254	Гл 5 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
ны четвертого порядка по амплитудам. В полученном
выражении все фазы можно уже считать некоррелиро-
некоррелированными, так что средние значения от четверных произ-
произведений превратятся в произведения парных корреля-
корреляционных функций, т. е. выразятся через произведения
Nk. Поскольку таких слагаемых много, то вся процеду-
процедура выглядит несколько громоздко, однако окончатель-
окончательный результат после учета, симметрии матричных эле-
элементов и замены суммы интегралом по dk (как мы ус-
условились выше) выглядит довольно просто. Он лишь
незначительно отличается от того уравнения для трех
волн с хаотическими фазами, которое мы получили ра-
ранее. А именно, для волны с максимальной частотой ос к
имеем
\(	Nk Nk> -NkNk*)X
X S(a)k — cok, — cok» )dk', E.90)
где вероятность перехода
WW = WVk==WW = 2vVlk>k».	E.91)
Здесь матричный элемент Vkk'k" мы считаем действи-
действительным.
Для двух других волн уравнения выглядят аналогич-
аналогичным образом, в правой части изменяется лишь знак, так
что Nk +'Nk' = const, Nk +.iVk" = const.
Уравнение E.90) можно рассматривать как кинети-
кинетическое уравнение для слабой турбулентности при учете
одних лишь трехволновых процессов. Оно описывает
перенос энергии по спектру, т. е. в пространстве волно-
волновых чисел. Уравнение E.90) имеет очевидное решение —
распределение Рэлея — Джинса Nk = const/cok . Однако
при наличии областей затухания такое решение не мо-
может установиться во всей области к. Сток энергии в об-
область затухания может приводить к тому, что слабая
турбулентность будет обладать свойствами, сходными
с сильной турбулентностью. Как было показано Заха-
Захаровым [197], во многих случаях вероятности переходов
Wkk* в E.90) обладают тем свойством, что для перехо-
переходов с сильным изменением волнового числа они оказы-
оказываются заметно меньше, чем для переходов с изменением
к на величину порядка к. Вследствие этого при слабой
турбулентности также может иметь место процесс эста-

§ 3. СЛАБАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	255
фетной передачи энергии по спектру, предложенный
впервые для обычной турбулентности Колмогоровым и
Обуховым. С учетом условия квадратичности по N чле-
члена взаимодействия условие передачи энергии по спект-
спектру позволяет определить спектр колебаний %к без де-
детального решения кинетического уравнения для волн.
Рассмотрим, например, случай капиллярных волн,
обладающих распадным спектром колебаний ®k =
= Уа№/р. Пусть $k есть спектральная функция энер-
энергии, т. е. &м dk представляет собой энергию колебаний
в интервале dk (здесь мы считаем k скаляром — число-
числовым значением волнового вектора). Обозначим через е
поток энергии по спектру. Величина е, очевидно, пропор-
пропорциональна k д (?k /dt, которая согласно кинетическому
уравнению для волн должна быть пропорциональна
квадрату 9k 9 т. е. с учетом размерности е =
=A(Oh( $k kJ(k2fo). Здесь w/k2— единственная имеюща-
имеющаяся в нашем распоряжении величина с размерностью
энергии—добавлена нами для того, чтобы А была без-
безразмерной константой. Отсюда находим
9k =const• V 8 (арI/4 kr »/4, Nk ~ Ьг 17/4. E.92)
Этот спектр является точным решением кинетического
уравнения для волн [198]. Он соответствует области инер-
инерционной нелинейной передачи энергии по спектру в
сторону больших волновых чисел, где происходит дис-
диссипация энергии из-за вязкости.
Мы не будем подробно рассматривать уравнение для
волн E.90), поскольку в настоящее время на эту тему
существует достаточно обширная литература (см., на-
например, [144—150]). В частности, мы не будем останав-
останавливаться на вопросе вычисления вероятностей WW-
Отметим только, что порядок величины W в плазме мож-
можно оценить с помощью достаточно простых соображе-
соображений. А именно, заметим, что правая часть в E.90) имеет
порядок величины WN 9/®2, где со — характерная часто-
частота колебаний, а 9 = J(okAfkdk— полная энергия коле-
колебаний. Если бы 9 приблизилась к тепловой энергии
плазмы (Ti+Te)ii, то можно было бы ожидать очень
сильных неоднородностей порядка единицы в плазме.

256	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
При этом dN/di было бы порядка <oN. Поэтому по по-
порядку величины W~ы3/пТ, так что характерный мас-
масштаб темпа обмена энергией волн при трехволновом
взаимодействии может быть оценен как
Приближение слабой турбулентности применимо
только в случае 1/сог~ %/nT^.L Другими словами,
энергия шумов должна быть значительно меньше тепло-
тепловой энергии плазмы.
2. Индуцированное рассеяние волн на частицах. Вто-
Второй процесс взаимодействия волн в плазме, который
может идти в том же приближении, квадратичном по
амплитуде колебаний, — это индуцированное рассеяние
волн на частицах. Рассеяние происходит при выполне-
выполнении резонансного условия
сок ± сок- — (к ± k')v = 0	E.94)
(мы всюду ограничиваемся случаем изотропной плазмы
без внешнего магнитного поля).
Как мы видели ранее в гл. 4, при этом частица попа-
попадает в резонанс с биениями двух волн на комбинацион-
комбинационных частотах и волновых векторах. Если исходные вол-
волны имеют фазовые скорости, значительно превышающие
тепловую скорость частиц, то условие резонанса E.94)
может быть выполнено только при знаке минус для
комбинационных со и k. В этом случае мы имеем дело с
комбинационным рассеянием волны на частицах, при-
причем это рассеяние является индуцированным, т. е. его
темп пропорционален интенсивности рассеянной волны.
Вероятность соответствующего рассеяния можно вы-
вычислить, пользуясь опять теорией возмущений, т. е. раз-
разложением кинетического уравнения по амплитудам
волн. Мы ограничимся здесь лишь качественным обсуж-
обсуждением рассматриваемого процесса. Пусть Ли ft —
плотности числа волн в точках кик7 фазового прост-
пространства волновых векторов. Предположим, что волны
могут взаимодействовать с резонансными частицами
так, что одна волна, скажем к, рассеивается в к'. По-
Поскольку процесс рассеяния сходен с процессом квазили-
квазилинейной диффузии частиц на биениях, то интенсивность
его должна быть пропорциональна квадрату амплитуды

§ 4. ИОННО-ЗВЖОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	257
биений и величине (к — к7) df/dv в точке резонанса. Та-
Таким образом, если волн с к7 много, то можно написать
#к §Pkk>Nk> б(@к - GV - V (к - к')) (к - к') X
а/о
X ~ dw dW. E.95)
Здесь Ркк' — матричный элемент, пропорциональный ве-
вероятности рассеяния, а 8-функция учитывает резонанс-
резонансный характер взаимодействия волн с частицами. Мы
здесь написали только одну функцию /о, фактически же
нужно просуммировать интенсивности рассеяния на
электронах и ионах.
Как мы уже упоминали в гл. 4, при рассеянии дол-
должно сохраняться число волн, так чтобы Nk +JVk' = const.
Следовательно, в аналогичном уравнении для Л/V волна
Nk должна давать вклад в интеграл E.95) с обратным
знаком. Так как множитель (к — к7) dfo/dv антисиммет-
антисимметричен по к, к7, то Ркк' должен быть симметричным, т. е.
Лс'к=Ркк'. Вероятность Ркк' имеет, вообще говоря,
масштаб P~coA/k2n2T, где со — характерная частота, k —
характерное волновое число, но, кроме того, Рш* может
содержать малые множители, если по какой-либо при-
причине или происходит компенсация отдельных механиз-
механизмов рассеяния (такая ситуация, например, имеет место
при рассеянии на электронах), или фазовый объем для
выполнения резонанса рассеяния оказывается очень мал
(и то, и другое имеет место, например, при рассеянии
на ионах при низкой их температуре).
Но по зависимости от N рассеяние на частицах име-
имеет тот же порядок, что и трехволновые взаимодействия,
и если спектр нераспадный и трехволновые процессы
запрещены, то именно индуцированное рассеяние будет
главным механизмом переноса энергии по спектру. Кон-
Конкретные примеры таких процессов будут рассмотрены
в § 4 и 5.
§ 4. Ионно-звуковая турбулентность
1. Аномальное сопротивление плазмы. При протека-
протекании очень сильного электрического тока через разре*
женную плазму часто наблюдается резкое увеличение
ее сопротивления. Как правило, это сопротивление зна-

258	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
чительно превосходит величину, определяемую парными
кулоновскими столкновениями. Оно возникает, напри-
например, при прохождении ударных волн поперек магнитно-
магнитного поля (если плазма очень разрежена и парные столк-
столкновения частиц не играют роли, то такие ударные вол-
волны называют бесстолкновительными). Часто именно по-
повышенное, аномальное сопротивление определяет шири-
ширину и структуру бесстолкновительных волн.
Аномальное сопротивление появляется и при проте-
протекании тока вдоль магнитного поля. Оно может быть ис-
использовано в практических целях для быстрого введе-
введения в плазму энергии джоулева тепла. Такой нагрев
плазмы, получивший название турбулентного, был пред-
предложен Завойским и Рудаковым в качестве очень эффек-
эффективного метода введения энергии в разреженную плазму.
Подробное экспериментальное исследование турбу-
турбулентного нагрева показало, что при этом в плазме воз-
возбуждаются ионно-звуковые шумы с частотами вблизи
ионной плазменной частоты ©р*. Электроны в таких
условиях набирают энергию от внешнего электричес-
электрического поля гораздо быстрее ионов (просто потому, что
электроны намного легче), и условия для возбуждения
ионного звука легко выполняются (электронная тем-
температура значительно превышает ионную, а направлен-
направленная дрейфовая скорость электронов превышает ско-
скорость звука).
Согласно E.43) инкремент раскачки ионно-звуковых
колебаний при протекании электрического тока по по-
порядку величины составляет
«» V - -cos в-1 ,	E.96)
где и — дрейфовая скорость электронов, а 6 — угол меж-
между направлением скорости -и и волновым вектором к
ионно-звуковой волны. Как мы видим, неустойчивость
начинается, когда токовая скорость превышает скорость
звука. При этом инкремент неустойчивости мал по срав-
сравнению с частотой, так что есть основания для спра-
справедливости приближения слабой турбулентности.
Допустим, что условие неустойчивости u>cs выпол-
выполнено, и рассмотрим, что должно происходить с элект-
электронами с точки зрения квазилинейной теории. Как мы
знаем, отдельная волна или группа распространяющих-

§ 4. ИОННО-ЗВЖОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
259
ся в одну сторону волн стремятся создать «плато» на
функции распределения вдоль направления волнового
вектора к. На рис. 69 штриховые кривые показывают,
как расположатся линии /== const в пространстве ско-
скоростей при наличии волны с фазовой скоростью, много
Ри,с. 69. Квазилинейная
изотропизация электрон-
электронной функции распределе-
распределения на ионно-звуковых
волнах
Ah
& t
\ \ \ \
меньшей тепловой. Если таких волн много и они запол-
заполняют целый сектор, то в первом приближении, т. е. в
пренебрежении с8 по сравнению с vTe, они стремятся
изотропизовать функцию распределения, как это видно
на рис. 69. Если же учесть,что каждая из полос плато
на рис. 69 сдвинута на cs от начала координат, то по-
понятно, что в квазилинейном приближении ионно-звуко-
вые волны стремятся изотропизовать функцию распре-
распределения, допуская только ее сдвиг на u~cs.
Таким образом, уже квазилинейный эффект — самый
сильный при малом уровне шумов — приостанавливает
неустойчивость; при этом он ограничивает направлен-
направленную скорость электронов величиной порядка cs, т. е. ток
в плазме ограничивается величиной
]'жепс8.	E.97)
Если мы вспомним выражение для проводимости
a=e2n/meve, где ve — частота электрон-ионных столкно-
столкновений, то можно сказать, что при наличии ионно-звуковых
шумов эффективно повышается частота электрон-ион-
электрон-ионных столкновений. Сравнивая выражение E.97) с фор-
формулой j^oE, можно сказать, что эффективная частота
столкновений электронов с ионно-звуковыми шумами

260	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
при их очень низком уровне дается выражением
v,f«— « —,	E.98)
' исте ctri	ч '
где исжс8 — критическая скорость, при которой начина-
начинается раскачка ионного звука. Выражения E.97), E.98)
играют роль закона Ома для турбулентного сопротив-
сопротивления в области значений Е, не сильно превышающих
критическое Ec=ucmeve/e.
При увеличении Е уровень шумов повышается, и при
достаточно большой плотности энергии шумов Щ квази-
квазилинейное приближение станет неприменимым, так как
в игру вступят процессы более высокого порядка по Щ*
Ионный звук обладает нераспадным спектром, по-
поэтому трехволновые процессы отсутствуют. Следователь-
Следовательно, главную роль в формировании ионно-звуковых спект-
спектров должны играть процессы индуцированного рассея-
рассеяния на частицах, а именно на ионах. Как формируется
спектр, мы рассмотрим позднее, а здесь обсудим вопрос
о влиянии переноса энергии по спектру на величину
аномального сопротивления.
Оценим прежде всего значение эффективной частоты
столкновений ve/. Оно определяется скоростью рассея-
рассеяния электронов на флуктуациях поля ионно-звуковых
волн. Так как шумы возбуждаются в области длин волн
порядка дебаевской, то при энергии шумов Щ~пТ мож-
можно ожидать эффективной частоты v#~?t;Te~(Dpe, где
®те — тепловая скорость электронов. При меньших зна-
значениях Щ частота столкновений будет убывать линей-
линейно с & (так как скорость рассеяния на флуктуациях
согласно квазилинейной теории квадратична по ампли-
амплитуде шумов). Таким образом, по порядку величины
Уе?~ СОр*—.	E.99)
Что касается темпа индуцированного рассеяния волн
на ионах, то он также пропорционален Ш и грубо, по по-
порядку величины, если отвлечься от зависимости от Ti/Te,
может быть оценен как (Opi&JnT. Таким образом, рав-
равновесие накачки волн из-за неустойчивости и их уноса
по спектру из-за рассеяния на ионах достигается при
mt

§ 4. ИОННО-ЗВУКОВАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	261
Так как согласно E.99) u = eE/mevei~nT/<g, то полу-
получаем
т;Е* у/4	.	/ Е* у/4
^Гг) > '««Ms^J • EЛ00)
Второе из этих выражений играет роль закона Ома при
сильных электрических полях, Е2*>8шТт%/т?> когда
происходит переход от E.97) к E.100). Разумеется, вы-
выражение E.100) справедливо только при u<vTe, так как
в противном случае все электроны перейдут в режим
свободного ускорения.
Следует заметить, что точной теории аномального
сопротивления плазмы пока нет и еще рано говорить о
полном согласии теории и эксперимента. Имеется лишь
качественное соответствие между выводами теории сла-
слабой турбулентности и экспериментом для тока поперек
магнитного поля (например, в бесстолкновительных
ударных волнах). При протекании тока вдоль магнит-
магнитного поля картина турбулентного нагрева сильно услож-
усложняется из-за электррнных пучков, которые рождаются
в турбулентной области и не могут быть приостановле-
приостановлены ионно-звуковыми шумами низкого уровня.
2. Спектр ионно-звуковой турбулентности. Обсудим
теперь вопрос о спектральном составе ионно-звуковой
турбулентности, т, е. о зависимости <Sk = cskNk от волно-
волнового числа. Как мы уже упомянули выше, частотный
спектр ионного звука (зависимость m от k) является
нераспадным. Поэтому перенос энергии в пространстве
волновых чисел определяется рассеянием волн на ионах.
Соответствующий процесс мы обсуждали в § 3, его ки-
кинетика описывается уравнением E.95). Как мы видели,
при рассеянии соблюдается условие резонанса сок —
—сок'= (к—k')v. Здесь скорость частицы имеет порядок
величины тепловой скорости ионов vTi, а разность оэк —
-о>к'«свД?, где Ak = k—У. Так какхы/cs =VTi/Te <1
то Д&~?У"Г//71е<& (если |k —k'|~jfe). Таким об-
образом, рассеяние идет с малым изменением абсолютно-
абсолютного значения волнового числа. Такой перенос энергии по
спектру принято называть дифференциальным. Так как
при перекачке в данный интервал волновых чисел вбли-
вблизи значения k «кванты» приходят из области &+Д& и
уходят из него в область k — Д&, то процесс переноса
принимает характер потока в ^-пространстве с интен-

262	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
сивно'стью ~AkdNk/dk. (Здесь Nk считается плотностью
числа волн на интервал dk абсолютных значений волно-
волновых чисел, так что d&=cskNkdk.) Если учесть еще, что
при рассеянии число волн сохраняется, а энергия убы-
убывает пропорционально частоте, то уравнение E.95) по
порядку величины примет вид
^|f=2Y*iV* .	E.101)
Здесь мы справа добавили член, описывающий накачку
волн из-за неустойчивости. Величина Р, пропорциональ-
пропорциональная вероятности рассеяния, как показывает расчет, при-
приближенно равна (Ti/Te) {c2s /\пТ) -2я82, где 02 — средний
квадрат углового распределения ионно-звуковых коле-
колебаний. Инкремент уи согласно E.96) пропорционален
k: у ж упге /nti со. Таким образом, стационарное урав-
уравнение E.101) при dNtJdt=O принимает вид
Учитывая, что уи обращается в нуль в области k~kQ =
= l/d, мы получим приближенное решение
Nk~±\n^.	E.103)
Таким образом, энергия шумов
1 К
оказывается большей в области малых k> хотя наи-
наиболее интенсивная накачка за счет неустойчивости про-
производится у верхней границы волновых чисел, т. е. при
ft~*o=l'A*.
Спектр, задаваемый выражением E.103), удовлет-
удовлетворительно согласуется с экспериментально измеренным
в бесстолкновительной ударной волне [216]. Таким об-
образом, имеется качественное соответствие между экспе-
экспериментами и теорией слабой ионно-звуковой турбулент-
турбулентности. Однако о полном количественном согласии тео-
теории и эксперимента говорить пока рано: и теория не яв-
является точной, и эксперименты очень грубы и неодно-
неоднозначны.

§ 5. ЛЕН'ГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	263
§ 5. Ленгмюровская турбулентность
1. Слабая ленгмюровская турбулентность. В разре-
разреженной плазме нередко возникают такие условия, при
которых происходит возбуждение электронных ленгмю-
ровских колебаний. Например, такие колебания могут
возбуждаться при прохождении через плазму электрон-
электронных пучков. Легко возбуждаются электростатические
колебания при взаимодействии с неоднородной плазмой
мощных электромагнитных волн (например, лазерного
излучения). Такие волны испытывают отражение от
критической области, где плазменная частота -соре сов-
совпадает с частотой излучения, и вблизи этой точки элект-
электромагнитная волна легко трансформируется в плазмен-
плазменную.
Возбужденные до определенного уровня ленгмюров-
ские колебания начинают взаимодействовать с частица-
частицами, и благодаря этому их спектры (распределение энер-
энергии по волновым числам) эволюционируют со временем.
Развивающиеся во времени нерегулярные ленгмюровс-
кие колебания естественно назвать ленгмюровской тур-
турбулентностью.
Если уровень шумов низкий, то турбулентность сла-
слабая, и для ее описания достаточно учесть лишь главные
по интенсивности шумов механизмы нелинейного взаи-
взаимодействия. Как мы знаем, частота ленгмюровских волн
равна (Ofe = (Ope+3re^2/2mecope, где тепловая поправка к
частоте соре в области малых волновых чисел (&d<Cl)
мала. Таким образом, ленгмюровские колебания обла-
обладают нераспадным спектром (мы не можем удовлетво-
удовлетворить равенству со1 = со2+'(о3). Следовательно, в квадра-
квадратичном по интенсивности приближении имеется только
оцин нелинейный механизм перекачки энергии по спект-
спектру— индуцированное рассеяние волн на электронах и
ионах.
При рассеянии число волн сохраняется, а энергия
^k^tohNk при максвелловском распределении частиц
по скоростям может только уменьшаться. Таким обра-
образом, при рассеянии на частицах волновое число плаз-
монов, т. е. ленгмюровских волн, должно уменьшаться.
Темп такого «покраснения» ленгмюровских плазмонов
можно попытаться оценить, исходя из соображений раз-
размерности. Так как темп перекачки энергии по спектру

264	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
должен быть пропорционален интенсивности, а безраз-
безразмерной характеристикой интенсивности является вели-
величина <?\пТ (отношение энергии шумов к тепловой), то,
казалось бы, темп должен определяться величиной
соре $1пТ. Однако это, скорее, верхний предел для темпа
перекачки, потому что мы выбрали здесь максимальную
частоту соре? в качестве возможной характерной частоты
процесса. В действительности количественное рассмот-
рассмотрение показывает, что перекачка энергии по спектру
протекает гораздо медленнее. А именно, при рассеянии
на электронах она определяется величиной
7~«>p.wS'	<5Л04)
где d — дебаевский радиус экранирования.
Дополнительный малый множитель (kdK возникае!
из-за того, что при рассеянии волн на электронах про-
происходит экранировка электрического поля электронов
скоррелированной с ними электронно-ионной «шубой».
В результате амплитуда рассеянных волн падает, так
как «шуба» колеблется вместе с электроном, а ее заряд
положителен.
При рассеянии на ионах эффект экранировки значи-
значительно меньше, так как «шуба» легче иона. Но зато при
этом законом «сохранения энергии» в акте рассеяния на
величину изменения волнового числа плазмона накла-
накладываются определенные ограничения: со^— оОк' = (к —
—k')v. Здесь v имеет порядок величины тепловой ск >-
рости ионов vn, так что при углах между направления-
направлениями к и к7 порядка единицы правая часть имеет порядок
величины kvTi. Левая же часть имеет порядок величины
^к—ok' ~k dvTeAk, где Ak = k — k'. Таким образом.
-L 1 /~?к
"Ы V mi'
Следовательно, в области не очень малых волновых
чисел, kd > yme /mi , перекачка по спектру носит диф-
дифференциальный характер, и характерное время измене-
изменения волнового числа на величину порядка его самого
оказывается также больше, чем оцененное по сообра-
соображениям размерности. А именно,

§ 5. ЛЕНТМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	265
1	/Д/г\2 ?	соргте §
Сравнивая E.104) и E.105), мы видим, что при доста-
достаточно малых kd преобладающим механизмом перекачки
энергии плазмонов по спектру является рассеяние на
ионах.
Итак, при слабом уровне возбуждения ленгмюровс-
ленгмюровские волны рассеиваются на частицах плазмы, и при этом
волновые числа колебаний убывают. Но число волн при
таком рассеянии сохраняется, т. е. Nk = const. Отсюда
следует одна очень интересная особенность рассматри-
рассматриваемого процесса. А именно, так как энергия &k = a)k^k =
= [(oPe+3/2(&rfJ<Ope]yVfe и при рассеянии уменьшается толь-
только небольшая тепловая поправка к частоте, то основная
часть энергии ленгмюровских колебаний при рассеянии
сохраняется. Другими словами, энергия ленгмюровских
волн почти без потерь перекачивается в область k-+Q, и,
стало быть, индуцированное рассеяние приводит к обра-
образованию «конденсата» ленгмюровских колебаний в об-
области исчезающе малых k.
Если накачка — например, электронным пучком —
продолжает свое действие, то энергия конденсата будет
расти со временем1. Но ленгмюровские колебания с ма-
малыми волновыми числами и достаточно большой плот-
плотностью энергии неустойчивы по отношению к самосжа-
самосжатию, т. е. к собиранию в сгустки ленгмюровских волн
типа солитонов. Как было показано Веденовым и Руда-
Рудаковым [220], конденсат ленгмюровских плазмонов неус-
неустойчив по отношению к самосжатию при $/nT>(kdJ,
где k — характерное волновое число конденсата. Можно
сказать, что при этом нелинейная добавка к частоте
6со~ ( $/пТ)(дре (например, из-за модуляции плотности
8п/п~ S/nT) становится больше тепловой поправки к
частоте. Так как при индуцированном рассеянии на ча-
частицах волновое число убывает, то рано или поздно бу-
будет достигнута область настолько малых k, что одно-
однородные ленгмюровские колебания потеряют устойчи-
устойчивость. Вследствие этого ленгмюровские колебания
начнут собираться в сгустки типа ленгмюровских соли-
солитонов. Соответствующая турбулентность, строго говоря,
должна классифицироваться как сильная, поскольку
при этом теряет смысл использование теории возмуще-
возмущений для описания нелинейных процессов.

266
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
2. Сильная турбулентность, коллапс ленгмюровских
волн. Итак, предположим, что вследствие рассеяния на
частицах образуется ленгмюровский конденсат, т. е.
длинноволновые колебания достаточно большой интен-
интенсивности. Если эти колебания не затухают слишком бы-
быстро (например, из--за столкновений или трансформации
продольных колебаний в поперечные с последующим их
излучением), то их интенсивность может достигнуть
величины fo> (kdJnT, и тогда в игру вступит модуля-
модуляционная неустойчивость.
Напомним, что физический механизм этой неустой-
неустойчивости связан с образованием области с пониженной
плотностью, или «каверны», в которой собираются ленг-
мюровские колебания и тем самым еще больше снижа-
снижают плотность своим высокочастотным давлением. Обра-
Образование таких «кавитойов», т. е. нестационарных ленг-
ленгмюровских сгустков, наблюдалось экспериментально
Кимом и др. [228]. В этой работе исследовалось распро-
распространение электромагнитных волн в неоднородной плаз-
плазме с частотой, близкой к ленгмюровской. Волна распро-
распространялась в сторону возрастающей плотности, немного
к
Ь
0
-0,2
t-бмис
МИС
3 в 9 12 3 6 9 12 3 6 9 11
Расстояние от электрода z, см
Рис 70. Образование «кавитонов» в области плазменного резо-нанса
не доходя до резонансной точки, где частота волны срав-
сравнивалась с локальной ленгмюровской частотой, проис-
происходила отсечка и волна отражалась обратно. В самой
точке резонанса раскачивалась продольная легмюров-

§ 5. ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	267
екая волна, которая вытесняла плазму и создавала себе
локальную «яму». Нарастание поля и образование «по-
«полости» показано на рис. 70.
Естественно предположить, что и в ленгмюровском
конденсате должно происходить образование такого ро-
рода высокочастотных сгустков, т. е. локализованных вол-
волновых пакетов. С одномерными образованиями подобно-
подобного рода — леигмюровскими солитонами — мы познако-
познакомились в гл. 3. Напомним, что при наличии малого воз-
возмущения плотности б/г частота колебаний
6/г\ 3Tek2
2те(ор0у
где соро — невозмущенная ленгмюровская частота.
Если мы запишем электрическое поле в виде
?ехр(— i(upot)+K. с, где Е — медленно меняющаяся
функция времени и координат, то дисперсионному урав-
уравнению со — 0)^ = 0 можно сопоставить уравнение
дЕ ЗТе
IZ+
д*Е (*р0
IZ+*7^ = ЬпЕ .	E.106)
В самом деле, если подставить сюда поле Е в виде пло-
плоской волны ? = ехр[—/(со — (oVo)t-\-ikx]i то мы получим
использованное нами дисперсионное уравнение. Следо-
Следовательно, любая суперпозиция собственных колебаний
удовлетворяет уравнению E.106). Величина 8п опреде-
определяется из уравнений медленного движения плазмы.
Если это движение является дозвуковым, то Ьп опреде-
определяется равновесием между силой Миллера со стороны
высокочастотного поля и градиентом давления плазмы,
т. е. согласно C.77) в изотермической плазме
п~ \6кпТ~~~ 32лпТ>	i
где через Ег обозначен \Е\г.
Уравнения E.106), E.107), как было показано в
гл. 3, имеют решения типа солитонов, бегущих или стоя-
стоячих. При этом согласно C.79) ширина солитона Д свя-
связана с его амплитудой соотношением Е0А = const, т. е.
солитон тем уже, чем больше его амплитуда. Энергия
солитона $~ЕоА~Ео~ 1/1Д.
Если ленгмюровские колебания были бы строго^ од-
одномерными, то можно было бы ожидать, что ленгмю-

268	Гл- 5- ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
ровский конденсат разобьется на совокупность солито-
солитонов различной интенсивности. Такая солитонная модель
ленгмюровской турбулентности, учитывающая взаимо-
взаимодействие между собой солитонов различной амплитуды,
удовлетворительно согласуется с результатами числен-
численного моделирования одномерной ленгмюровской турбу-
турбулентности. Но, по-видимому, более реальной является
трехмерная картина.
В самом деле, оказывается, что плоские одномерные
солитоны неустойчивы по отношению к трехмерным воз-
возмущениям. Соответствующую неустойчивость прибли-
приближенно можно описать на языке волновых пакетов, как
это мы сделали при рассмотрении поперечных колеба-
колебаний обычных солитонов в § 3 гл. 3. А именно, предполо-
предположим, что мы имеем плоский покоящийся (ko = O) ленг-
мюровский солитон, амплитуда которого Ео является
медленной функцией координаты ц. Тогда и частота vo,
равная согласно C.79)
<
E.108)
будет медленно меняющейся функцией у. Следователь-
Следовательно, и фаза будет зависеть от у9 так что со временем бу-
будет появляться //-компонента волнового вектора со ско-
скоростью
dku	dv0	а дЕ
о
Появление ky означает, что появляется ^/-компонента
групповой скорости v=v'rky, которая будет переносить
энергию колебаний вдоль солитона. По аналогии с урав-
уравнениями для волновых пакетов перенос энергии вдоль
солитона можно описать уравнением
д% д
а +^<"*) = °-	(б-)
Учитывая, что а<0, ky = v/v'r и g ~?0, мы можем пере-
переписать уравнение E.109) в виде
dv	dg*
Jt-4^=°>	E.1")
где q — некоторая положительная константа.

§ 5. ЛЕНГ'МЮРОВСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
269
Но теперь видно, что уравнения E.110), E.111) на-
напоминают уравнения гидродинамики с плотностью $ и
давлением р = —qfe2, убывающим с ростом плотности.
Ясно, что при возмущении $ вдоль и от его начального
значения $0 давление понизится там где $ станет боль-
больше, и возмущение будет нарастать со временем. Энео-
гия # стремится собраться в сгустки вдоль оси у. Это
явление схлопывания энергии колебаний в отдельные
маленькие сгустки, обнаруженное впервые Захаровым,
называется коллапсом ленгмюровских волн.
Нетрудно видеть, что коллапс происходит за конеч-
конечный промежуток времени. В самом деле, пусть L есть
характерная длина сгустка. В силу закона «сохранения
энергии» ШЬ — const величина % возрастает при умень-
уменьшении L как 1/L, а скорость v по порядку величины рав-
равна L. Таким образом, уравнение E.111) грубо можно
записать как L+?$oLo/L3 = O. Отсюда видно, что L~
~ {U — 0 12« Так как Д~1/$ ~L, то при продольном
сжатии вдоль у солитон становится тоньше, так что фак-
фактически при двумерном коллапсе энергия ленгмюровских
солитонов схлопывается в тонкую нить. Более точно
картина коллапса была рассчитана численно. Один из
примеров коллапса приведен на рис. 71.
1-0
Рис 71. Линии постоянного Е2 при коллапсе ленгмюровских волн
Если энергия ленгмюровских волн достаточно вели-
велика, E2/8jt>(me/mi)nT, то коллапс становится сверхзву-
сверхзвуковым. При этом образование «каверны» несколько за-
замедляется, но коллапсирование не прекращается, и

270	Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
опять энергия ленгмюровских колебаний схлопывается
в «точку» за конечный промежуток времени.
Разумеется, физическая бесконечность плотности
энергии в коллапсе не достигается: просто при достаточ-
достаточно высокой интенсивности ленгмюровских колебаний
они поглощаются либо на тепловых частицах механиз-
механизмом затухания Ландау, либо из-за пересечения траекто-
траекторий в нелинейных колебаниях.
Таким образом, можно себе представить следующую
картину ленгмюровской турбулентности в однородной
плазме. При накачке волн в диапазоне волновых чисел
вблизи обратного дебаевского радиуса энергия перека-
перекачивается в область малых k вследствие индуцированно-
индуцированного рассеяния на электронах и ионах. При такой пере-
перекачке энергия ленгмюровских волн изменяется незначи-
незначительно, так что в области малых k образуется ленгмю-
ровский конденсат. Когда плотность энергии этого кон-
конденсата $ превышает величину (kdJnTy начинается
образование коллапсирующих сгустков, которые созда-
создают сток энергии ленгмюровских колебаний в частицы.
Ленгмюровская турбулентность может создаваться
при взаимодействии с плазмой электронных пучков или
мощных электромагнитных волн. В настоящее время
изучение такого рода коллективных процессов в плазме
составляет предмет обширных и тщательных экспери-
экспериментальных и теоретических исоледовний.
§ 6. МГД-турбулентность
Если плазма магнитогидродинамически неустойчи-
неустойчива, то в ней возможно возбуждение сравнительно мед-
медленных крупномасштабных движений, которые могут
быть описаны в рамках МГД-приближения. Эти течения
напоминают обычные течения жидкости или га'за, ус-
усложненные лишь действием объемной силы Ампера.
Если механизмы диссипации достаточно слабы, то эти
течения приобретают турбулентный характер.
Как известно, в обычной жидкости спектр возмож-
возможных турбулентных состояний весьма широк. Но все же
грубо их можно разделить на два класса — турбулент-
турбулентные потоки и турбулентную конвекцию. В турбулентных
потоках нерегулярности в скорости создаются макроско-
макроскопическим потоком, точнее сдвигом скорости этого пото-

§ 6. МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	271
ка. При турбулентной конвекции основным механизмом
передачи энергии в пульсации является работа сил тя-
тяжести над неустойчиво стратифицированным газом или
жидкостью.
Аналогично и в магнитной гидродинамике можно
различать разные типы — потоковые и конвективные —
турбулентных движений, в зависимости от источников
энергии, подпитывающих эту турбулентность. Что каса-
касается турбулентных потоков, то они могут возникать, на-
например, в МГД-генераторах, преобразующих тепловую
энергию в электрическую, где плазма обычно слабо
ионизована. Другой пример мощных турбулентных те-
течений представляют собой движения межзвездного газа
и космических облаков. Так как мы в основном обсуж-
обсуждали только лабораторную высокотемпературную плаз-
плазму, то мы не будем здесь останавливаться на турбулент-
турбулентных потоках, а сосредоточим внимание на турбулентной
конвекции.
Турбулентная конвекция или аномальная диффузия
в плазме может развиваться на различных модах коле-
колебаний неоднородной плазмы. Полной и ясной картины
того, при каких условиях должны преобладать те или
иные механизмы коллективных переносов в плазме, по-
пока нет. Поэтому мы рассмотрим здесь только два при-
примера возбуждения одножидкостной МГД-турбулентности
конвективного типа, причем в одном из примеров турбу-
турбулентность поддерживается только за счет тепловой энер-
энергии плазмы, а во втором — также и за счет энергии маг-
магнитного поля.
1. Же лобковая турбулентность. Желобковая турбу-
турбулентность развивается в простых зеркальных ловушках
(без минимума В) из-за желобковой неустойчивости.
Эта турбулентность была детально исследована в рабо-
работах Иоффе с сотрудниками [159, 160] на установке «ион-
«ионный магнетрон».
На этой установке изучалось удержание плазмы с
горячими ионами, создаваемой путем ускорения ионов
радиальным электрическим полем. Поле прикладыва-
прикладывалось между шнуром холодной плазмы, проходящим по
оси ловушки, и металлическими стенками вакуумной
камеры в виде одиночного импульса длительностью
30 мкс. По окончании импульса и при одновременном
прекращении «подачи» холодной плазмы ловушка ока-

272	Гл- 5- ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
зывалась заполненной высокотемпературной плазмой с
плотностью порядка 109 см~3, средней энергией ионов
около 1 кэВ и температурой электронов около 20 эВ.
Далее исследовался свободный распад такой плазмы.
В случае отсутствия каких-либо неустойчивостей рас-
распад должен был бы определяться перезарядкой быст-
быстрых ионов на остаточном газе. В условиях этих экспери-
экспериментов время перезарядки составляло несколько милли-
миллисекунд. Однако измерения зависимости плотности плаз-
плазмы от времени по потоку нейтралов перезарядки пока-
показали, что распад протекал с существенно меньшим ха-
характерным временем порядка 10~4 с, т. е. имели место
аномально большие потери плазмы, значительно превы-
превышающие перезарядочные. Непосредственными измере-
измерениями токов, текущих из плазмы на стенки камеры, бы-
было показано, что плазма гибнет на боковых стенках ка-
камеры. Было установлено также, что поток плазмы на
отдельные элементы стенки носит характер нерегуляр-
нерегулярных во времени выбросов, хорошо скоррелированных
вдоль магнитных силовых линий. Другими словами,
плазма выбрасывалась на стенку в виде отдельных
«языков», простирающихся на всю длину ловушки.
Все эти факты недвусмысленно свидетельствовали о
желобковой природе неустойчивости, вызывающей по-
потери плазмы. Однако оставался не вполне ясным сам
механизм переноса плазмы. Дело в том, что эксперимен-
экспериментально измеренное время удержания во много раз пре-
превышало теоретически предсказанное время развития не-
неустойчивости, да и его зависимость от напряженности
поля и энергии ионов была совсем другой. Эти вопросы
получили разрешение в рамках представлений о турбу-
турбулентной конвекции плазмы [163].
Чтобы представить себе механизм переноса плазмы
на боковые стенки, следует учесть, что соприкасающая-
соприкасающаяся с металлической стенкой плазменная трубка не может
сразу погибнуть. Это связано с тем, что в тонком при-
пристеночном слое плазмы толщиной порядка среднего лар-
моровского радиуса ионов поперечные электрические
поля должны быть очень малы: из этого слоя избыточ-
избыточные ионы могут сравнительно свободно уходить на боко-
боковые стенки, а электроны — вдоль силовых линий, так что
флуктуации заряда рассасываются. А это и означает, что
вблизи стенки движение плазмы по радиусу должно при-

§ 6. МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	273
тормаживаться: ведь оно связано с азимутальной компо-
компонентой электрического поля, которая вблизи стенки (а
тем более на самой стенке) должна отсутствовать. Вслед-
Вследствие этого перенос плазмы на стенку принимает харак-
характер конвекции: приходящие к стенке трубки могут поте-
потерять только часть своей плазмы, а после этого они будут
вытеснены внутрь ловушки другими, более плотными
трубками. Если обозначить через | долю теряемой при
соприкосновении со стенкой плазмы, то вблизи стенки
следует ожидать флуктуации плотности п!~§гс, где п —
средняя плотность.
Вблизи самой стенки перенос плазмы при турбулент-
турбулентной конвекции производится пульсациями минимального
масштаба /~рг-. Скорость этих пульсаций v' возникает
вследствие архимедовой силы всплывания обедненных
плазмой трубок и определяется балансом кинетической и
потенциальной энергий: vf2i~gln'/n~\gpi%y где эф-
эффективное «ускорение силы тяжести» g дается выраже-
выражением E.8). Следовательно, поток плазмы на стенку q =
= </г'и/>=Л|3/2/г(рг^I/2, где А — числовой коэффици-
коэффициент порядка единицы. По мере удаления от стенки на рас-
расстояние х в игру вступают пульсации все большего мас-
масштаба вплоть до 1~ху так что эффективный коэффици-
коэффициент диффузии быстро возрастает и плотность в глубине
ловушки будет близка к плотности вблизи стенки. По-
Поэтому в выражении для q под п можно подразумевать
среднюю плотность в ловушке, переопределив соответст-
соответствующим образом константу Л. Отсюда, зная радиус каме-
камеры а, с учетом E.8) находим время жизни % = ncfin/2naq:
х = Са[-1-^) 1 +т >	EЛ12)
где Г — средняя энергия ионов, С — числовой множителе
порядка единицы при g = const — l,/2.
Выражение E.112) удовлетворительно согласуется с
экспериментальными данными по измерению времени
жизни плазмы. В качестве примера можно привести срав-
сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей
времени жизни плазмы от плотности (рис. 72). На рис.73
приведено распределение плотности по радиусу, из кото-
которого видно, что плазма действительно «выливается» на
периферию ловушки и притормаживается около внешней
стенки.
10 Б. Б. Кадомцев

274
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
Дальнейшее экспериментальное подтверждение пред-
представлений о турбулентной конвекции разреженной плаз-
плазмы было получено при более детальном изучении про-
пространственных и временных характеристик плазменных
пульсаций. Такие сведения были получены с помощью
системы миниатюрных ленгмюровских зондов, не вносив-
0,2 0,*t 0,6 0,8 %D
Рис 72 Теоретическая (оплошная кривая) и экспериментальная
(кружки) зависимости времени жизни плазмы (за вычетом лереза-
рядачных потерь) от ее ллотност'и
B-50D03
Ось лобушиа
I	I
4	8	12
Расстояние от стении, см
16
Рис 73. Радиальное распределение плотности плазмы в ловушке
ших заметных возмущений в плазму. О локальных ко-
колебаниях плотности плазмы можно судить по колеба-
колебаниям ионного тока насыщения на соответствующий зонд,
а по корреляции токов на несколько зондов, удаленных
друг от друга на известные расстояния, можно оценить
размеры плазменных неоднородностей. Было выяснено,

§ 6. МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
275
что в пристеночной области плазмы существует широкий
спектр глубоко промодулированных нерегулярных коле-
колебаний длительностью от нескольких до десятков микро-
микросекунд. Высокочастотная часть спектра связана с мелко-
мелкомасштабными колебаниями около 3—4 см, длина волны
которых близка к ларморовскому диаметру ионов.
По мере перехода к более глубоким слоям плазмы ам-
амплитуда мелкомасштабных пульсаций, как и следовало
ожидать, резко убывает и остается лишь низкочастотная
составляющая, связанная с пульсациями масштаба по-
порядка поперечных размеров ловушки. В центральной
области ловушки наблюдается очень слабая низкочас-
низкочастотная модуляция зондовых сигналов, что указывает на
отсутствие здесь значительных возмущений плотности.
Такая картина качественно хорошо согласуется с мо-
моделью турбулентного переноса плазмы поперек магнит-
магнитного поля. При уменьшении плотности, когда wpi стано-
становится меньше Qi, следует ожидать замедления процесса
Рис. 74. Изменение
частоты плазменных
пульсаций с уменьше-
уменьшением плотности
4,5-10
%2-108сН
конвекции, что и наблюдается экспериментально, как
показано на рис. 74 (значение плотности указано слева
от каждой осциллограммы).
Таким образом, все экспериментальные данные по по-
поведению плазмы в обычной адиабатической ловушке хо-
Ю*

276	Гл- S. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
рошо согласуются с представлениями о желобковой тур-
турбулентной конвекции.
2. Турбулентная конвекция плазмы в диффузном
пинче. В качестве второго примера рассмотрим диффуз-
диффузный тороидальный разряд с умеренным продольным
магнитным полем. Эксперименты с такими разрядами
были начаты на установке «Зета», затем они были про-
продолжены и проводятся по настоящее время на целом ря-
ряде тороидальных установок.
В этих экспериментах было установлено, что в режи-
режимах с сильным toikom имеет место аномально быстрая
утечка энергии из плазмы, так что конфигурация маг-
магнитного поля становится практически бессиловой1, т. е.
ток течет вдоль поля: rotB = jiB. Оказывается, что коэф-
коэффициент пропорциональности \i между током и полем
практически постоянен по сечению. Соответственно,
продольное Bz и азимутальное Bq поля имеют
распределение, описываемое функциями Бесселя
[см. A.22)]. При достаточно большом значении величи-
величины ©, пропорциональной отношению тока в плазме к про-
продольному магнитному потоку [см. A.23)], продольное
магнитное поле само собой меняет знак на периферии
плазменного шнура. Зондовые измерения распределения
плотности плазмы по радиусу обнаружили значительные
ее флуктуации при сравнительно низких частотах.
Все эти факты нашли свое объяснение в рамках пред-
представлений о турбулентности плазмы в диффузных то-
тороидальных разрядах [13, 232, 233]. Можно сказать, что
в таких разрядах происходит квазистационарное турбу-
турбулентное движение. Протекающий по плазме ток передает
ей энергию посредством механизма джоулевых потерь, и
эта энергия служит источником возбуждения турбулент-
турбулентных пульсаций. Колебания черпают энергию для своего
поддержания как из плазмы, так и от магнитного поля.
Корреляционные измерения флуктуации плотности
показали, что характерная длина корреляции пульсаций
плотности / мала, порядка 0,1 радиуса шнура [233]. Та-
Таким образом, турбулентное движение плазмы напоми-
напоминает движение жидкости в турбулентных потоках, где
длина перемешивания также на порядок меньше харак-
характерных размеров потока.
Пульсации плазмы приводят к довольно быстрому кон-
конвекционному переносу энергии к стенкам камеры, так что
плазма становится бессиловой. При этом, как было по-

§ 7. ЭВОЛЮЦИЯ БЕОСТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ	277
казано Тейлором [13], устанавливается такая магнитная
конфигурация, которая обладает минимумом магнитной
энергии при заданных потоках.
Таким образом, в результате развития турбулентнос-
турбулентности конфигурация полей сама собой подстраивается к
наиболее устойчивой (при больших токах с обратным
продольным магнитным полем на периферии). Это кон-
конфигурация является квазистационарной, она определя-
определяется только одним параметром в [см. A.23)].
В экспериментах Бабичева и др. [231] было показано,
что при изменении знака продольного магнитного поля
снаружи от разряда (т. е. при уменьшении потока Ф) кон-
конфигурация долгое время сохраняется, а затем она скач-
скачком перестраивается на такую же конфигурацию, но с
противоположным знаком потока магнитного поля Ф
внутри плазменного шнура. Эти опыты показывают, что
как макроскопическое образование бессиловой турбу-
турбулентный разряд довольно устойчив при изменении G в не-
некотором интервале значений не выше критического.
Если с самого начала создавать конфигурацию поля
с обратным магнитным полем на периферии разряда
(т.е. близкую к бессиловой), то плазменный шнур об-
обнаруживает повышенную МГД-устойчивость [234].
Таким образом, диффузный разряд представляет
собой очень удобный объект для изучения МГД-турбу-
лентности в плазме типа турбулентной конвекции самой
плазмы и магнитного поля.
§ 7. Эволюция бесстолкновительных систем
При рассмотрении кинетических турбулентностеи мы
все время говорили о возбуждении тех или иных коле-
колебаний в плазме, например ионного звука или ленгмю-
ровских волн. Но, как мы знаем, в разреженной плазме
возможны и другие типы возмущений, которые можно
назвать волнами Ван-Кампена или баллистическими мо-
модами. Они имеют вид небольших пучков или сгустков
заряженных частиц, пролетающих через плазму. Эти
моды, вообще говоря, соответствуют сильно затухаю-
затухающим колебаниям, поскольку из-за теплового разброса
частиц сгустки такого типа довольно быстро расплыва-
расплываются в пространстве. Однако если они были созданы в
начале процесса, то за время своего расплывания они

278
Гл. 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
смогут привести к какому-то коллективному процессу
релаксации.
В особенности важна роль таких механизмов в усло-
условиях, когда не могут возбуждаться коллективные моды.
Примером таких систем «кулоновски взаимодействую-
взаимодействующих частиц» могут служить звездные скопления или га-
галактики. Известно, что в нашей Галактике распределе-
распределение звезд по скоростям напоминает максвелловское (с
небольшой анизотропией температур). Вместе с тем вре-
время парных гравитационных столкновений звезд значи-
значительно больше времени жизни Галактики, так что они не
могли бы привести к хаотизации скоростей. Вряд ли эта
хаотизация может быть связана и с возбуждением кол-
коллективных колебаний, поскольку радиус галактик имеет
порядок дебаевского радиуса (так как кинетическая
энергия звезд — порядка потенциальной). Таким обра-
образом, возникает проблема объяснения релаксации систе-
системы бесстолкновительных кулоновских взаимодействую-
взаимодействующих систем частиц без возбуждения коллективных сте-
степеней* свободы.
Линден-Белл рассмотрел эту проблему на основе чи-
чисто статистических соображений [235]. Следуя его рас-
рассуждениям, рассмотрим простой случай однородной в
среднем системы кулоновски взаимодействующих частиц
с некоторым неоднородным распределением. Для про-
простоты рассмотрим двумерную фазовую плоскость (х, v)
(рис. 75) и допустим, что функция распределения f(x, v)
f»t0
Рис. 75. Штриховая об-
область на фазовой плос-
^_ кости, занятая ча-стида-
х ми .до релаксации (а) и
после нее (б)
принимает только два значения: единица в заштрихо-
заштрихованной области и нуль вне ее. У невзаимодействующих
частиц вся эта фазовая плоскость перекашивалась бы
в горизонтальном направлении со скоростью, пропорци-
пропорциональной удалению от оси абсцисс. С учетом взаимодей-
взаимодействия через самосогласованное поле Е частицы будут
перемешиваться также р в вертикальном направлении.

§ 7. ЭВОЛЮЦИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ	279
Таким образом, в конце концов вся картина рис. 75 пе-
перемешается, и можно поставить вопрос о том, к какому
же конечному состоянию прорелаксирует бесстлкнови-
тельная система частиц, поведение которой описывается
уравнением Власова.
Линден-Белл предположил, что такое перемешива-
перемешивание идет все время, пока не достигается наиболее веро-
вероятное состояние при заданных энергии и числе частиц.
При этом нужно учесть, что согласно уравнению Вла-
Власова течение в фазовом пространстве является несжи-
несжимаемым. Поэтому должен действовать своеобразный
принцип исключения: функция распределения в данном
элементе фазового пространства либо равна нулю, если
туда пришла ячейка без частиц, либо она равна началь-
начальному значению в той ячейке, которая пришла в резуль-
результате перемешивания в данную точку фазового простран-
пространства. Если вначале функция распределения была равна
единице во всей области, где были частицы, и нулю вне
ее, то мы получим принцип исключения Паули. Соот-
Соответственно равновесная функция распределения с за-
заданным числом частиц и энергией должна в точности
совпадать с функцией распределения Ферми.
Этот очень интересный результат был получен из чи-
чисто статистических соображений, и не вполне ясно, при
каких условиях функция распределения должна релак-
сировать к этому наиболее вероятному состоянию. Чтобы
выяснить этот вопрос, были предприняты числовые рас-
расчеты [236]. Они показали, что при сильно неоднородных
начальных условиях действительно после нескольких
плазменных периодов достигается квазиравновесное со-
состояние с функцией, близкой к ферми-распределению,
<* небольшим высокоэнергичным хвостом. Но если на-
начальное распределение было слабо искаженным, близ-
близким к стационарному, то релаксация была более вялой
и конечное состояние отклонялось от распределения
Ферми.
Качественно эти результаты легко понять, если дей-
действовать в духе квазилинейного метода, но вместо кол-
коллективных мод учесть баллистические моды типа рас-
расплывающихся со временем макрочастиц. В самом деле,
начальные неоднородности на рис. 75 можно рассматри-
рассматривать как некоторые области положительного и отрица-
отрицательного зарядов, наложенные на равновесный конечный

230	Гл- 5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ПЛАЗМЫ
фон. Фактически это — некие сгустки или макрочасти-
макрочастицы, которые затем будут двигаться в самосогласованном
поле, создаваемом ими самими. Это поле гораздо боль-
больше, чем тепловой фон от реальных частиц, так как за-
заряды сгустков гораздо больше заряда отдельной части-
частицы. Но сгустки очень похожи на кулоновски взаимодей-
взаимодействующие частицы: они движутся почти .по прямым
линиям, испытывая торможение и диффузию во флукту-
флуктуирующих электрических полях, создаваемых ими сами-
самими. Для описания релаксации этих частиц можно
воспользоваться членом столкновений типа кулоновско-
го в форме Ландау, пропорциональным квадрату эф-
эффективного заряда q макрочастиц.
Из этого следует, что если заряд q достаточно велик
или медленно расплывается со временем, то частицы ус-
успевают релаксировать к статистически равновесной
функции распределения (т. е. функции Ферми при на-
начальной функции f = 0 или 1, рис. 75). Если же заряды q
слишком быстро убывают со временем или с самого на-
начала они невелики, то окончательной релаксации не про-
происходит.
Таким образом, баллистические моды также могут
дать вклад в коллективные процессы релаксации, если
с самого начала имеются достаточно сильные возмуще-
возмущения этого типа. Кроме того, расплывающиеся во вре-
времени макрочастицы типа баллистических мод могут об-
образовываться в турбулентной плазме, однако их роль в
этом случае, по-видимому, очень мала, так как они бы-
быстро расплываются со временем.
Как мы видим, релаксация бесстолкновительных си-
систем связана с движением несжимаемой жидкости в фа-
фазовом пространстве, и поэтому здесь есть нечто сходное
с турбулентностью обычной несжимаемой жидкости.
Можно привести еще один пример бесстолкновительной
релаксации, который еще более тесно связан с турбу-
турбулентностью жидкости.
Рассмотрим сильно неизотермическую плазму (Г;<
Г) и предположим, что в такой плазме возбуждено
некоторое начальное течение ионов со скоростью и, зна-
значительно меньшей скорости звука, v < У~Те 1Ш • Тогда
при дальнейшем движении плазма будет практически
несжимаемой, а ионы будут двигаться просто как не-
несжимаемая жидкость. При исчезающе малой вязкости

§ 7. ЭВОЛЮЦИЯ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ	281
это движение, вообще говоря, будет турбулентным, и мы
просто будем иметь затухающее на турбулентных пуль-
пульсациях хаотическое течение жидкости. Но, с другой сто-
стороны, это движение представляет собой процесс релак-
релаксации бесстолкновительной системы электронов и ионов.
Таким образом, в данном случае бесстолкновительная
релаксация частиц плазмы сводится просто к обычной
турбулентности. Приведенный пример свидетельствует
о том, что турбулентность плазмы, будучи во многих от-
отношениях вполне самостоятельным объектом, сильно от-
отличающимся от турбулентности обычной жидкости, все
же тесно связана с обычной турбулентностью и в от-
отдельных частных случаях даже сводится к ней.
В заключение нам еще раз хотелось бы подчеркнуть,
что изложенный в этой книге материал никоим образом
не охватывает всей информации, имеющейся в литера-
литературе по данному вопросу, а лишь служит введением в
круг идей и основных представлений о коллективных
явлениях в плазме.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ
СИЛОВЫХ ЛИНИЙ
При движении плазмы с очень высокой электропро-
электропроводностью имеет место замечательное свойство «при-
клеенности» магнитных силовых линий: при движении
плазмы силовые линии,следуют за ней, будучи как бы
«вморожены» в плазму. Свойство вмороженности суще-
существенно облегчает анализ сил со стороны магнитного
поля, возникающих при смещении плазмы от первона-
первоначально равновесного состояния. Тем самым значительно
упрощается анализ устойчивости равновесных состоя-
состояний плазмы. Кроме того, свойство вмороженности, каза-
казалось бы, гарантирует сохранение топологии магнитных
силовых линий при более сложных движениях плазмы.
Оказывается, однако, что это последнее утверждение не
вполне верно. Дело в том, что при сложном движении
плазмы силовые линии с различными направлениями мо-
могут подходить очень близко друг к другу, почти сопри-
соприкасаясь. При дальнейшем движении плазмы силовые
линии могут разойтись в прежней топологии, а могут и
«перезамкнуться». При наличии конечной, хотя и очень
большой, электропроводности такое перезамыкание мо-
может произойти без касания линий, а всего лишь при тес-
тесном их сближении. Разумеется, сам факт сближения си-
силовых линий с сильно различающимися направлениями
магнитного поля означает, что вблизи точки сближения
имеется достаточно высокая плотность электрического
тока. Таким образом, при перезамыкании конечная элек-
электропроводность «срабатывает» только в малых областях
с высокой плотностью тока, но при этом может происхо-
происходить существенное изменение топологии силовых линий,
которое может сказаться на движении всей плазмы.
Важность процессов перезамыкания была понята
вначале в применении к физике Солнца и магнитосфе-
магнитосферы Земли. Первые идеи о возможности перезамыкания
силовых линий в нейтральных точках в плазме были
высказаны довольно давно в применении к солнечным
[241] и магнитосферным [242] физическим явлениям.
Данжи [243] на основе простых физических соображений

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ	283
о перезамыкании силовых линий магнитосферы Земли
со встречными полями солнечного ветра объяснил, как
в результате переброса «разрезанных» силовых линий
на ночную сторону Земли происходит образование маг-
магнитного хвоста. Накапливаемые в хвосте силовые линии
приводят к образованию нейтрального слоя между по-
полями противоположных направлений. Акасофу [244] по-
показал, что перезамыкание в нейтральном слое магнитно-
магнитного хвоста является наиболее естественным механизмом
освобождения магнитной энергии хвоста и возбуждения
суббурь.
Простейшие модели перезамыкания были предложе-
предложены Паркером [245], Овитом [246] и Печеком [247]. В этих
моделях существенную роль играет сопротивление плаз-
плазмы, обеспечивающее перенос силовых линий через так
называемую х-точку, т. ,е. точку пересечения встречных
полей. Для условий магнитосферы Земли более аде-
адекватно кинетическое описание плазмы в отсутствие стол-
столкновений. Роль диссипации, обеспечивающей перевод
части магнитной энергии в плазму и перенос силовых
линий через х-точку, выполняется в этом случае части-
частицами, ускоряющимися в процессе перезамыкания. А сам
процесс перезамыкания начинается как результат неус-
неустойчивости нейтрального слоя, по которому течет ток
также в виде плоского слоя, по отношению к стягива-
стягиванию этого тока в отдельные токовые нити. Эта неустой-
неустойчивость называется тиринг-неустойчивостью. Коппи, Ла-
валь и Пелла [248] были первыми, кто предложил ти-
ринг-неустойчивость как механизм инициирования про-
процесса перезамыкания силовых линий и суббури. Позднее
Шиндлер [249] показал, что малая поперечная к слою
компонента магнитного поля полностью подавляет элек-
электронную тиринг-моду, т. е. исключает электроны из про-
процесса диссипации. Таким образом, только ионная ти-
ринг-мода представляется относящейся к делу. Галеев
и Зеленый [250] пояснили, почему суббуря имеет харак-
характер внезапного взрыва, опираясь на линейный анализ и
показав, что тиринг-неустойчивость возможна только
в определенном интервале значений поперечного маг-
магнитного поля. Даже слабое начальное возмущение мо-
может перевести этот слой в состояние с х-точками,
где стабилизация поперечным полем отсутствует и
тирингнеустоичивость развивается в нелинейном режиме
[251].

284	ПРИЛОЖЕНИЕ
Кинетические и МГД-неустойчивости в нелинейном
режиме изучались численно во многих работах.
Другой круг явлений, связанных с процессом переза-
перезамыкания, относится к солнечным вспышкам, во время
которых происходит достаточно быстрая перестройка
магнитного поля с превращением части магнитной энер-
энергии в энергию ускоренных частиц. Для описания этого
круга явлений более адекватной представляется модель
перезамыкания Сыроватского [252]. В этой модели пере-
замыкание рассматривается как динамический процесс,
сопровождающийся уменьшением плотности вблизи х-
точки и образованием токового слоя. Тем самым созда-
создаются условия, способствующие ускорению частиц.
Для изучения процессов перезамыкания были постав-
поставлены -специальные лабораторные эксперименты [253—
254], которые подтвердили теоретические представления.
Оказалось, однако, что процессы перезамыкания со-
совершенно неожиданно проявились в экспериментах, в
которых все усилия экспериментаторов были направлены
на получение спокойной плазмы без каких-либо динами-
динамических процессов. Мы имеем в виду эксперименты по тер-
термоядерным исследованиям. Наиболее устойчивой плаз-
плазма, казалось бы, должна быть в условиях, когда она
стабилизирована сильным магнитным полем. Установка
такого типа называется токамаком. Упрощенно это —
тороидальная камера с сильным продольным магнитным
полем, в которой плазма создается и поддерживается
в горячем состоянии протекающим по плазме продоль-
продольным током. Идеально, в такой плазме должны образовы-
образовываться вложенные друг в друга тороидальные поверх-
поверхности, на которых располагаются магнитные силовые
линии. Однако оказалось, что поведение плазмы гораздо
сложнее этой идеальной картины. Еще в ранних экспе-
экспериментах Арцимовича, Мирнова и Стрелкова [255] и Гор-
Горбунова и Разумовой [256] было обнаружено, что в плаз-
плазме токамака иногда неожиданно развивается так назы-
называемая неустойчивость срыва, которая приводит к вы-
выбросу части полоидального магнитного потока за преде-
пределы плазмы, а иногда приводит к полному разрушению
плазмы и прекращению тока.
Долгое время не было ясно, какова природа неустой-
неустойчивости срыва. Ключ к ее пониманию появился, когда в
экспериментах фон Гёлера, Стодика и Саутхофа [257]
было обнаружено другое явление, получившее название

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ	285
пилообразных колебаний или внутреннего срыва. Оно
заключается в том, что в глубине плазменного шнура
возникают периодические колебания релаксационного
типа, в которых центр шнура постепенно разогревается,
а затем тепло резко сбрасывается за пределы некоторо-
некоторого цилиндра радиуса г8, который обычно значительно
меньше радиуса плазмы а. Радиус г8 получил название
точки переворота фазы колебаний. Кадомцев [258] пред-
предложил простую модель внутреннего срыва, согласно ко-
которой сброс тепла из центра связан с развитием винто-
винтовой тиринг-моды с последующим полным перезамыка-
перезамыканием силовых линий винтового шнура с силовыми ли-
линиями окружающих магнитных поверхностей. Эта про-
простая модель оказалась согласующейся с целым рядом
наблюдений пилообразных колебаний. Более подробное
изучение пилообразных колебаний показало, что иногда
картина усложняется развитием турбулентности в об-
области перезамыкания [259] и стохастизацией силовых ли-
линий [260].
Объяснение внутреннего срыва позволило развить под-
подходы к объяснению малого и большого срывов плазмы.
Физическая причина срыва была пояснена простой мо-
моделью заброса вакуумных пузырей в плазму из-за вин-
винтовой неустойчивости {173]. В этой работе были исполь-
использованы предложенные авторами редуцированные урав-
уравнения магнитной гидродинамики, которые оказались
очень удобными для описания нелинейных МГД-явлений
в плазме токамака. Трехмерная динамика плазмы с раз-
развитием многих винтовых мод была численно промодели-
промоделирована в работах Ваделла с коллегами [261—263] и Стра-
усса [264]. Это моделирование, в котором большую роль
играют процессы перезамыкания силовых линий взаимо-
взаимодействующих мод, показало достаточно правдоподобно,
что срывы связаны с нелинейной МГД-неустойчивостью
плазменного шнура и проявляются в разрушении магнит-
магнитной структуры и стохастизации силовых линий магнит-
магнитного поля.
Самоорганизация плазмы в токамаках
В токамаке процессы перезамыкания играют сущест-
существенную роль в установлении параметров плазменного
шнура, точнее, в формировании устойчивого распределе-
распределения плотности тока по сечению шнура.

286	ПРИЛОЖЕНИЕ
Априори не исключена возможность, что весь ток со-
соберется в центр плазменного шнура, где плазма интен-
интенсивнее нагревается. Однако этого не происходит, и в
действительности устанавливается некоторый самосогла-
самосогласованный профиль температуры и плотности тока, кото-
который определяется коллективными процессами в плазме.
Можно сказать, что плазма токамака является самоор-
самоорганизующейся физической системой.
Условно все сечение плазмы токамака можно разбить
на три зоны. Во внутренней зоне плотность тока контро-
контролируется так называемыми внутренними срывами или
пилообразными колебаниями. Эти периодически повто-
повторяющиеся процессы перезамыкания не дают плотности
тока увеличиться, ограничивая ее на уровне, соответст-
соответствующем величине qtzl. Далее идет зона аномальной
электронной теплопроводности, в которой важную роль
играют мелкомасштабные перезамьжания силовых ли-
линий — так называемый машитный флаттер, и, наконец,
на периферии расположена зона более холодной рези-
стивной плазмы, в которой повышены переносы и шумы
в плазме и которая играет заметную роль в формирова-
формировании полных профилей Ге(г), q(r).
Пилообразные колебания выглядят как периодиче-
периодический процесс, состоящий в медленном нарастании темпе-
температуры электронов в центре плазмы, затем на фоне это-
этого нарастания появляются колебания винтовой моды
m=l/n=l, которые сменяются затем резким сбросом
температуры внутри некоторой области г<rs. Снаружи
от этой области, т. е. при r>rs, температура резко воз-
возрастает. Радиус r8f как обычно, — радиус инверсии.
Простая физическая модель этого явления была пред-
предложена Кадомцевым [258]. Предположим, что в центре
плазменного шнура запас устойчивости #@) меньше
единицы, так что в области </< i возможно развитие вну-
внутренней винтовой моды т=\/п=1. По отношению к та-
такому возмущению поперечная компонента магнитного
поля B* = Bq— (r/R)Bz оказывается имеющей разные
знаки по разные стороны от точки r = rSf где q=l. Тогда
вблизи r = rs оказывается возможным перезамыкание
силовых линий. Подчеркнем, что точка rs в этой модели
связывается с положением <7(Гв1 = 1, что в самом деле
согласуется с экспериментальными данными по опреде-
определению профиля q(r). В предположении параболического
начального профиля плотности тока вблизи оси из со-

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ	287
хранения потока можно найти радиус области переза-
перезамыкания /-o=BrsI/2. Это значение близко к эксперимен-
экспериментальному. Удовлетворительное согласие с эксперимен-
экспериментами показало и численное моделирование развития
перезамыкания [265, 261—263]. Эта модель была несколь-
несколько усовершенствована Параилом и Переверзевым A980),
чтобы учесть распределение тока, обусловленное после-
последовательностью пилообразных зубцов. Тем не менее
нельзя сказать, что физика пилообразных колебаний
выяснена до конца. Во-первых, не очень ясно, какая
именно неустойчивость служит триггером для старта
моды т=\. В рамках идеальной магнитной гидродина-
гидродинамики внутренняя мода т=\ при обычных давлениях
плазмы в токамаках должна быть устойчивой [266]. Бо-
Более неустойчивыми являются диссипативные моды [267],
которые в горячей плазме усложняются дрейфовыми эф-
эффектами.
Важно отметить, что в некоторых экспериментах в
обычных режимах с q(a)>2 перезамыкание не всегда
идет до конца. На установке ТФР [268] результаты на-
наблюдений пилообразных колебаний лучше согласуются
с моделью неполного перезамыкания, которая трактует-
трактуется Дюбуа и Самэном A980) как модель с МГД-турбу-
лентностью в х-точке сепаратрисы.
Разумеется, картина спокойного ламинарного и при-
притом полного перезамыкания является упрощенной. Во-
первых, само выбрасывание плазмы из я-точки может
служить источником сильных возмущений плазмы вну-
внутри острова, там может возбуждаться МГД-турбулент-
ность. Кроме того, как было отмечено Лихтенбергом
[260], из-за тороидальности область вблизи сепаратрисы
может стать стохастической.
Итак, перезамыкание силовых линий является наи-
наиболее естественным механизмом пилообразных колеба-
колебаний. Перезамыкание может идти до конца или оно может
приостановиться, если вновь образованный месяцевид-
ный остров окажется турбулизированным.
Пилообразные колебания играют большую роль в
формировании профиля тока в токамаке: они не позво-
позволяют д(г) спуститься заметно ниже единицы в центре
шнура (впрочем, имеются эксперименты, которые не про-
противоречат допущению q@) <1, пилообразные колебания
при этом отсутствуют). Как уже отмечалось, пока не

288	приложение
ясно, что является триггером пилообразных колебаний.
Обсудим теперь вторую и третью зоны токамака.
В этих областях, как показывает эксперимент, основным
каналом потерь энергии плазмы и соответственно уста-
установления профиля температуры является аномальная
электронная теплопроводность. Наиболее аккуратные
данные по определению величины электронной тепло-
теплопроводности были получены на установке Т-11 Мереж-
киным и Муховатовым [269]. Они показали, что элект-
электронная температуропроводность %е пропорциональна ве-
величине {vT/qR)c2/co Д/Это соотношение, замеченное ра-
ранее Окавой A978), имеет довольно простой физический
смысл: c/coVe — это толщина бесстолкновительного скин-
слоя, a gR/vT — характерное время пролета электрона
вдоль силовой линии, характерная длина которой ~qR.
Таким образом, естественно возникает картина, которую
можно назвать магнитным флаттером [271—272]. Маг-
Магнитные по1верхности токамака могут испытывать колеба-
колебания и вследствие этого близко подходить друг к другу.
При идеальной проводимости они не могут обменивать-
обмениваться силовыми линиями. Однако на расстоянии с/(оРе маг-
магнитное поле не может быть вморожено в плазму из-за
продольной инерции электронов, играющей роль бес-
бесстолкновительного сопротивления. Таким образом, при
дрожании поверхностей происходит перезамыкание си-
силовых линий на длине ~с/о)р,*, и электроны могут пере-
перетекать с одной по!верхности на другую. Источником ко-
колебаний магнитных поверхностей могут служить ко-
колебания плазмы на периферии плазменного шнура в
сочетании с возбуждаемыми ими магнитными остро-
островами.
Еще более интригующее явление взрывного разруше-
разрушения плазменного шнура было открыто в самых ранних
исследованиях на токамаках [255—256]. При срыве про-
происходит резкое уплощение распределения плотности то-
тока в шнуре. При этом из плазмы выбрасывается часть
полоидального потока, срыв сопровождается сильными
МГД-колебаниями и выбросом заметной доли энергии
плазмы на стенки. Большой срыв приводит к полному
прекращению тока в плазме.
Уплощение профиля плотности тока регистрируется
по уменьшению индуктивности плазменного шнура и
подскоку тока, а выброс некоторой доли полоидального
потока — по отрицательному пичку на напряжении обхо-

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ	289
да. Естественно считать, что срыв связан с МГД-пере-
стройкой магнитной конфигурации. Сходство явлений
пилообразных колебаний и срывов подсказывает, что
оба эти явления могут быть связаны с процессами пере-
перезамыкания силовых линий.
Для понимания того, как может сбрасываться энер-
энергия полоидального поля, была полезной идеализирован-
идеализированная модель Кадомцева, Погуце [173] проникновения вин-
винтовых вакуумных пузырей внутрь шнура. Она была ос-
основана на упрощенных уравнениях гидродинамики плаз-
плазмы в сильном магнитном поле, которые затем использо-
использовались для моделирования более сложной трехмерной
динамики плазмы [261—264]. В более сложных моделях
учитывается возбуждение многих мод с различной вин-
винтовой симметрией, т. е. различными т/п. Такие моды
могут взаимодействовать либо косвенно путем квазили-
квазилинейного изменения профиля плотности тока, либо напря-
напрямую из-за нелинейного зацепления. Существуют различ-
различные подходы к анализу такого взаимодействия. Захаров
[273] рассмотрел вопрос о возможности нелинейной не-
неустойчивости с помощью анализа винтовых равновесий
и привел аргументы в пользу разрушения плазменного
столба при винтовом его возмущении. Нелинейная
вспышка сцепленных между собой тиринг-мод была по-
показана численными экспериментами [261, 262, 271].
Главным нелинейным механизмом представляется взаи-
взаимодействие мод т = 2/п=1 и т = 3/п=1, которые затем
порождают набор многих мод с различными т/п. Чис-
Численное моделирование неплохо описывает эксперимен-
экспериментально наблюдаемые черты срыва.
Таким образом, представляется довольно правдопо-
правдоподобным, что неустойчивость срыва связана с нелинейной
МГД-неустойчивостью плазменного шнура и проявляет-
проявляется в разрушении магнитной структуры и стохастизации
силовых линий магнитного поля. С точки зрения движе-
движения плазмы МГД-турбулентность во время срыва, веро-
вероятно, сходна с обычной турбулентностью жидкости.
Пинчи с обратным полем
Еще большую роль играют процессы перезамыкания
в пинчах с обратным полем. Пинч с обратным полем —
это тоже тороидальный разряд, стабилизированный про-
продольным полем, но, в отличие от токамака, имеющий

290	ПРИЛОЖЕНИЕ
Другими словами, в RFP продольное магнитное
ноле одного порядка величины с собственным полем
тока. Сравнительно давно было обнаружено, что в та-
таком пинче продольное магнитное поле меняет знак на
периферии разряда, чем и объясняется название RFP.
Распределения продольного Bz и полоидального Вф
полей близки соответственно к нулевой и первой функ-
функции Бесселя. Этот факт был объяснен Тейлором [13], как
результат релаксации магнитной конфигурации к состо-
состоянию с минимумом магнитной энергии при заданной вин-
товости. Эта релаксация происходит с перезамыканием
силовых линий. В качестве простейшей модели эту ре-
релаксацию рассматривают в рамках перезамыкания на
модах /п=1. Но это не обязательно. Если магнитное по-
поле слегка стохастизировано, то силовые линии диффун-
диффундируют поперек плазменного шнура. В конфигурации,
близкой к бессиловой, j = XB, где X^'const вдоль силовой
линии (это следует из условия div j=-B уЯ = 0). И так
как одна силовая линия покрывает все сечение, то X
можно считать не зависящей от /', а это автоматически
приводит к модели функций Бесселя. Аналогичное рас-
рассуждение можно провести и в терминах переноса элек-
электронного момента тока вдоль стохастизированных сило-
силовых линий (Расбридж, 1982) либо в терминах магнит-
магнитного динамо. Однако суть физической картины остается
прежней: перезамыкания слабо разрушают конфигура-
конфигурацию влол^ённых магнитных поверхностей и приводят к
релаксации магнитной конфигурации к модели функций
Бесселя.
Заключительные замечания
Идея перезамыкания силовых линий оказалась очень
плодотворной. Она стала ключевой в объяснении целого
ряда явлений в лабораторной и космической плазмах,
имеющих характер взрывной трансформации энергии
магнитного поля в тепло и кинетическую энергию ча-
частиц. Только идея перезамыкания позволяет найти об-
общий подход к объяснению этого широкого круга явле-
явлений. Более того, эта идея позволяет найти общие черты
в процессах, отличающихся многими порядками величин
по геометрическим и энергетическим масштабам явле-
явлений. Поэтому качественная роль идеи перезамыкания

ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ	291
неоценима. Что же касается количественной стороны, то
она пока еще не может считаться достигшей совершенст-
совершенства. Дело в том, что процессы перезамыкания довольно
сложны даже в лабораторных, а тем более в естествен-
естественных условиях. Теоретические модели, как правило, ух-
ухватывают лишь качественные, в основном двумерные,
черты явления перезамыкания. Между тем реально раз-
развивающееся перезамыкание быстро принимает трехмер-
трехмерный, т. е. хаотически сложный, характер, вместе с тем
напоминающий взрывообразный или, по крайней мере,
релаксационно развивающийся процесс. Поэтому и со-
соответствующие теоретические модели самого процесса
перезамыкания являются либо сильно упрощенными,
либо достаточно сложными, либо, наконец, одновремен-
одновременно и упрощенными и сложными.
На сегодня большую ценность представляют скорее
не модели, а выраженные в них идеи. Это идеи самого
перезамыкания, т. е. изменения топологии магнитного
поля, и конкретные идеи образования токовых слоев и
последующего перезамыкания в них, иногда принимаю-
принимающего взрывной характер. Уже сами эти идеи позволяют
качественно понять многие конкретные проявления пе-
перезамыкания силовых линий.
В настоящее время общепризнано, что перезамыка-
перезамыкание силовых линий представляет собой фундаменталь-
фундаментальный физический процесс в плазме, ответственный за
многие явления плазменной активности. Для правиль-
правильного описания динамики плазмы в магнитном поле его
понимание не менее важно, чем представление о вморо-
женности силовых линий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Список литературы не претендует на полноту, в нем приве-
приведены только основные книги и статьи.
С основами магнитной гидродинамики можно познакомиться
по книгам:
1.	Альфен X. Космическая электродинамика.—-М.: ИЛ, 1952.
2.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных
сред. — М.: Гостехиздат, 1957.
3.	Спицер Л. Физика полностью ионизованного газа. — М.: ИЛ,
1957.
4.	Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. — М.: ИЛ, 1959.
Ъ. Пике льне р С. Б. Основы космической электродинамики. — М.:
Физматгиз, 1961.
Вопросы равновесия плазмы в магнитном поле изучались в
работах:
6.	Kruskal M. D, Kulsrud R. М. /./ Phys. Fluids. — 1958.— V. 1.—
P. 265.
7.	Шафранов В. Д. '•// Вопросы теории плазмы. — М.: Госатом-
издат, 1963.— Вып. 2. С. 92—'130.
8.	Hamada S.'// Nucl. Fusion.—1962.— V. 1, 2. —P. 23.
9.	Mercier С.'// Nucl. Fusion. — 1963. — V. 3. — P. 89; 1964. —
V. 4,.—' P. 213.
10. Шафранов В. Д. /,/ Ядер, синтез. — 1964. — Т. 4. — С. 232.
11. Соловьев Л. С, Шафранов В. Д.//Вопросы теории плазмы.—
М.: Госатомиздат, 1967.— Вып. 5. —С. 3—207.
12.	Green J. M., Johnson J L.//. Phys. Fluids. — 1961. — V. 4.—
P. 875.
13.	Taylor J. B. [I Phys. Rev. Lett. — 1974. —V. 33. — P. 1139.
14.	Кадомцев Б. Б. //, Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. —
Т. 3». — С. 353.
15.	Joshikawa S.'// Phys. Fluids. — 1964. — V. 7. — P. 278.
16.	Meyer F.} Schmidt N. V. Z. //, Naturforsch. — 1958. — V. 13a.—
P. 1005.
17.	Муховатов В. С, Шафранов В. Д.'//, Ядер, синтез. — 1971.—
Т. 1 Г. — С. 605.
18.	Захаров Л. Е., Шафранов В. Д. // Ядер, синтез. — 1972.—
Т. 12. —С. 599 ^
Эксперименты по удержанию тороидальной плазмы описаны в
работах:
19.	Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реакции.— М.;
Физматгиз, 1960.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	293
20.	Rusbridge M. G., Lees D. I., Saunders P. A. #.://NucL Fu-
Fusion. — 1962. — Suppl. 3. —P. 903.
21.	Ioshikawa S., Harries W. L, Sinclair R. M. //Phys. Fluids.—
1963. —V. 6.—P. 1506.
22. Wagner F., Becker G., Behringer K. et aL // Phys. Rev.
Lett—1982,— V. 49. — P, 1408.
23.	Арцимович Л. А. Замкнутые плазменные конфигурации. — М.:
Наука, 1969.
24.	Арцимович Л. А. // Ядер, синтез. — 1972. — Т. 2. — С. 215
25.	Third International Symposium on Toroidal Plasma Confin-
ment, Garching. Munich.1—1973.
25a. Bickerton R. /., Connor /. W.t Taylor /. B.'// Nature Phys.
Science.—1971. —V. 229. — P. 110.
256. Кадомцев Б. Б., Шафранов В. Д.Ц
Nucl. Fusion Res. —Vienna: IAEA, 1971. —V. 1. —P. 172.
О столкновении частиц в плазме см.:
26.	Medanicl E. W. Collision Phenomena in Ionized Gases. —
N. Y.: Wiley, 1964.
27.	Брагинский С. И.'//. Вопросы теории плазмы.—М.: Госатом-
издат, 1962. —Вып. 1. —С. 183.
28.	Ландау Л. Д. //. ЖЭТФ. — 1937. — Т. 7. — С. 203.
29.	Сивухин Д. В. //Вопросы теории плазмы. — М.: Госатомиздат,
1964.— Вып. 4. —С. 61.
Относительно роли эффекта Холла в плазме см.:
30.	Морозов А. #., Шубин А. Я.'//ЖЭТФ.—1964. —Т. 46.—
С. 710.
31.	Кадомцев Б. Б //ЖЭТФ. — 1967. — Т. 52. —С. 1039.
32.	Haines M. G.'/fPhys* Lett. — 1963. —V. 6. —P. 313.
33.	Haines M G. //Advances in Physics. — 1965. — V. 14, № 54.—
P. 167.
34.	Thonemann P. C, Kolb A. C.7/Phys. Fluids,— 1964. — V. 7.—
P. 1455.
Диффузия и процессы переноса в плазме освещены в ра-
работах:
35. Pfirsch D., Schluter A.//Max-Plank Inst. Rep. MPI/PA/62,
1962.
36. Knorr G. I'I Phys. Fluids. — 1965. — V. 8. — P. 1334.
37. Голант В. ?.//УФН — 1963. —Т. 79 —С. 377.
38.	Simon Л.//Phys. Rev. — 1955.— V. 98. — P. 317.
39.	H oh F. С.://Rev. Mod. Phys. — 1962. — V. 34 —P. 267.
40.	Голант В. Е., Данилов О Б., Жилинский А. Я.'//ЖЭТФ.—
1963. —Т. 33. —С. 1043.
41.	Галеев А. А., Сагдеев Р. 3 //Вопросы теории плазмы. — М.:
1973. — Вып. 7. —С. 205.
Вопросы распространения магнитогидродинамических волн рас-
рассмотрены в работах:
42.	Сыроватский С. И.'// УФН.— 1957. — Т. 62. —С. 247.
43.	Sears W R. [¦/ Rev. Mod. Phys. — 1960. — V. 32. — P. 701.
44.	Grad Н.--Ц Rev. Mod. Phys. — 1960.— V. 32. —P. 831.
45.	Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродина-
гидродинамика.— М.: Физматгиз, 1962.

294	список литературы
46. Половин Р. В, Черкасов К. Я./ УФН. - 1966. - Т. 88.—
С. 593.
47.	Сивухин Д. В. Магнитная гидродинамика. — 1966. — Т. 1.—
С 35
48.	Grad Я.у/Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1973. —V. 70.—
С. 3277.
Волны на воде подробно описаны в книге
49.	Стокер Дж. Дж. Волны на воде. — М.: ИЛ, 1959.
По поводу электромагнитных волн в плазме см.:
50.	Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. — М.: Физматгиз, 1960.
51.	Силин В. П, Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плаз-
плазмы и плазмоподобных сред.—М.: Госатомиздат, 1961.
52.	Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме // Вопро-
Вопросы теории плазмы —М.: Госатомиздат, 1963. — Т. 3.—
С. 3—140.
53.	Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В. и др. —Коллек-
—Коллективные колебания в плазме. — М.: Госатомиздат, 1964.
54.	Гинзбург В. Л., Рухадзе А. Л. Волны в магнитоактивной
плазме. — М.: Наука. 1970.
55.	Стикс Т. X. Теория плазменных волн. — М.: Госатомиздат,
1965.
56.	Власов А. А. /|/ ЖЭТФ. — 1938. — Т. 8. — С. 291; УФН. —
1967.—Т. 93.—-С. 444.
57.	Ландау Л. Д. // ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16. —С. 574; УФН —
1967. —Т. 93. —С. 527.
58.	Vlasov А. Л. /•/J. Phys. (USSR). — 1945. — V. 9. — P. 25.
59.	Van Kampen N. S. f/ Physica. — 1955. —V. 21. —P. 949.
Имеется перевод: Колебания сверхвысоких частот в плазме. —
М.: ИЛ, 1961.
На существование волн с отрицательной энергией в неравно-
неравновесной плазме было обращено внимание в работе:
60.	Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. /'/
ЖЭТФ. — 1964. — Т. 47.— С. 2266.
Параболическое уравнение было предложено в работе
61.	Леонтович М. А. /./Изв. АН СССР. Физика. — 1944.— Т. 8.—
С. 16.
Непрерывные спектры собственных частот неоднородной плаз-
плазмы изучались в работах:
62.	Тимофеев А. В. у/УФН. — 1970. — Т. 102.--С. 185.
63.	Uberol С. /'/Indian J. Pure & AppL, Phys. — 1964. — V. 2.—
P. ,133.
63a. Barston E. M. //Ann. Phys. — 1964. — V. 29.— P. 282.
64.	Pridmore-Brown D. C. /!/ Phys. Fluidsj. — 1966 — V 9 —
P. 1290.
65.	McPherson D. A., Pridmore-Brown D C. // Phvs. Fluids —
1966.—V. a —P. 2033.
66.	Taiaronis J., Grossman W. // Z. Phys. — 1973. — Bd 261. — S. L

список литературы	295
67.	Grossman W., Kaufman M., Neukauser J. f/ Nucl. Fusion. —
1973. — V. 3 —P. 462.
68.	Grad tf./i/Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1973. — V. 70.—
P. 3277.
68a. Appert K., Gruber R, // Phys. Fluids. — 1974. — V. 17. —
P. 1471.
686. Goedbloed J. P. fj Phys. Fluids. — 1975. - V. 18. —P. 1258.
Общие вопросы физики нелинейных волн изложены в рабо-
работах:
69.	Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.
70.	Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих сре-
средах. — М.: Наука, 1973.
71.	Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. //УФН. — 1971. — Т. 103.—
С. 193.
72.	Сагдеев Р. 3. /•/ Вопросы теории плазмы. — М.: Атомиздат,
1964. —Вып. 4.— С. 20.
73.	Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. — М.: Наука,
1967.
74.	Веденов А. Л./'/Вопросы теории плазмы. — М.: Госатомиздат,
1963. —Вып. 3.—С. 203.
75.	Нелинейная теория распространения волн.—М.: Мир, 1970
(Сб. переводов из Proc Roy Soc — 1967 —- V. 299А. № 1456).
76.	Davidson R. С. Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.: Academic
Press, 1971.
По поводу нелинейных волн с дисперсией и солитонов см. ли-
литературу:
77.	Березин Ю. А, Карпман В. Я. //ЖЭТФ. — 1966. — Т. 51.—
С. 1557.
78.	Zabusky N. J., Kruskal M. D. //Phys. Rev. Lett. — 1965. —
V. 15. —P. 240.
79.	Gardner C. S., Green J. M, Kruskal M. D., Miura R. M. '//
Phys. Rev. Lett/. —1967. —V. 19.—• P. 1095.
80.	Miura R. M.t Gardner C. S., Kruskal M D. /'/ J. Math. Phys. —
1968. — V. 9. —P. 1204.
81.	Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. N Функциональный анализ.—
1971. —Т. 5. —С. 18.
82.	Гельфанд И. М., Левитан Б. М. /'/ Изв. АН СССР. Математи-
Математика.—1951.—Т. 15. —С. 309.
83.	Марченко В. Л./У ДАН СССР. —1955. — Т. 194. — С. 695.
84.	Гапонов А. В., Островский Л. А., Рабинович М. И. /'/ Изв.
вузов. Радиофизика. — 1970. — Т. 13. — С. 163.
85.	Алиханов С. Г., Алиновский Н. И., Долгов-Савельев Г. Г.
и др. II Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res.—Vienna:
IAEA, 1969.— V. 1. —P. 47.
Подробный обзор по солитонам см!.
86.	Scott A. S., Chu F. Y. F., Mclaughlin D. W. f/ Proc. of
IEEE,—1973.—V. 61. —P. 1443.
86a. Taylor R. J., Baker D. R.f Ikezi H. T. /7 Phys. Rev. Lett. —
1970. — V. 24. —P. 206.
866. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаев-
ский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.—М.:
Наука, 1980.

296	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
86в. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.
Эффект Ганна описан в статьях:
87.	Gunn J. В. /'/ Sol. State Comm. — 1963. — V. 1. —P. 88.
88.	Gunn J. B. // Plasma Effects in Solids, 7 Intern. Conf. on the
Physics in Semiconductors, Dunod, Paris, 1965.
89.	Gunn J. B.//J. Phys. Soc. Jap. — 1966. — Suppl. 21. —P. 505.
90.	Ганн Дж. /1/УФН.—1966.-Т. 89. —С. 147.
91.	Волков А. Ф„ Коган Ш. Л^/'/УФН. — 1968. —Т. 96. — С. 633.
Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов рассмотре-
рассмотрены в работах:
92.	Аскарьян Г. А. //ЖЭТФ. — 1962. — Т. 42.—С. 1567; УФЫ.—
1973. —Т. 111. —С. 249.
93.	Lighlhiil М. /. //J. Inst. Math. Appl. — 1965. —V. 1. —P. 269;
Proc. Roy. Soc —1967. —V. A229. — P. 28.
94.	Benjamin T. B.} Feir J. ?.//J. Fluid Mech. — 1967. — V. 27.—
P. 417.
Benjamin T. B. •// Proc. Roy. Soc. — 1967. —V. A229. —
P. 59.
95. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. Я.//ДАН СССР.— 1970.—
'Y ш2 	с. 753
96.	Chiao R. /./ Gardmire F., Townes С. H. /'j Phys. Rev. Lett.—
1964. —V. 13. —P. 479.
97.	Беспалов В. Я., Литвак А. Г., Таланов В. Я. // Нелинейная
оптика. — Новосибирск: Наука, 1968.
98.	Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В. /:/ УФН. —
1967.—. Т. 93. —С. 19.
99.	Рудаков Л. Я. // ДАН СССР. — 1972. — Т. 207. — С. 821;
Захаров В. Е.//ЖЭТФ. — 1972. — Т. 62. —С. 1746.
По вопросу взаимодействия волн см. статьи и книги: fc
100.	Camac M., Kantorowitz A. R., Litvak М. М. // Nucl. Fusion.—
1962'i —Suppl. 2.— P. 423.
101.	Галеев А. А., Карпман В. Я.1//ЖЭТФ. — 1963. — Т. 44.—
С 592
102.	Силин В. Я././ПМТФ. —1964. —Т. 1. —С. 31.
103.	Галеев Л. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. // Ядер, синтез.—
1965|. —Т. 5. —С. 20.
104.	Ораевский В. Н. /I/ Ядер, синтез.—1964. —Т. 4. — С. 263.
105.	Ахманов С. А., Хохлов Р. В. // Проблемы нелинейной опти-
оптики.—.М.: Изд-во ВИНИТИ, 1964.
106.	Альтшуль Л. М, Карпман В. И.'// ЖЭТФ.— 1964. — Т. 47.—
С. 1552.
107.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматгиз,
1958.
108.	Coppi В., Rosenbluth M. N., Sudan R. //Ann. Phys.— 1969.—
V. 55. —P. 207.
109.	Обухов А. М. и др. Нелинейные системы гидродинамического
типа. — М.: Наука, 1974.
ПО. Bakai A. S. У/Nucl. Fusions. — 1970. —V. 10. —P. 53.
111.	Stern R. A, Tzoar N. //Phys. Rev. Lett.—1966.— V. 17.—
P. 903.
112.	Захаров В. Е., Рубенчик А. М. //ЖЭТФ.— 1973. — Т. 65.—
С. 997.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	297
112а. Зельдович Б. #., Пилипецкий II. Ф., Шкунов В. В, Обра-
Обращение волнового фронта. — М.: Наука, 1985.
Затухание Ландау, в том числе нелинейное, исследовалось и
описано в работах:
113.	Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. // Ядер, синтез.—
1962. —Т. 3. —С. 1049.
114.	Мазитов P. /С./1/ПМТФ. —1965. —Т. 1. — С. 27.
115.	О'Neil Т. М.//Phys. Fluids. — 1965. — V. 8. —P. 2255.
116.	Альтшуль Л. М., Карпман В. Я./1/ЖЭТФ.—1965. — Т. 49.—
С. 515.
117.	Bernstein /., Green L, Kruskal M. // Phys. Rev. — 1957. —
V. 108.'—P. 546.
118.	Malmberg J. H., Wharton С. В., Drummond W. ?.//Plasma
Physics and Contr. Nucl. Fusion Res. — 1966. — V. 1. —P. 485.
119.	Malmberg J. H.f Wharton С. B. // Phys. Rev. Lett. — 1966.—
V. 17.—P. 175.
120.	Van-Hoven G. // Phys. Rev. Lett. — 1966. — V. 17. —P. 169.
121.	Derfler H.t S'.monen Т. C.//Phys. Rev. Lett— 1966. — V. 17.—
P. 172.
122.	Derfler H., Simonen Т. С./!/8th Intern. Conf. on Phenomena
in Ionized Gases, Contributed papers. — Vienna, 1967.—
P. 335.
123.	Malmberg J. H.f Wharton С. В.//Phys. Rev. Lett. —1967.—
V. 19. —P. 775.
124.	Кадомцев Б. Б. /¦/ УФН.— 1968. — Т. 95. — С. 111.
«
С явлением эха можно более подробно познакомиться по
статьям:
125.	Hahn E. L.//Phys. Rev.— 1950. — V. 80. — P. 580.
126.	Ораевский Л. Я.*// У ФН.— 1967. — Т. 91. —С. 181.
127.	Hill R. М.г Kaplan D. Е. // Phys. Rev. Lett. —1965. — V. 14.—
P. 1061.
128.	Kaplan D. E.t Hill R. M, Wong A. Y./7 Phys. Lett.—1966.—
V. 22.'—P. 585.
129.	Kaplan D. E, Hill R. M., Herrmann G. F//8th Intern. Conf.
on Phenomena in Ionized Gases, Contributed papers. — Vienna,
1967.	—P. 424.
130.	Gould R. M./S/Phys. Lett. —1965. —V. 19. —P. 477; Am.
J. Phys. — 1969. — V. 37. — P 585
131.	Growford R. F., Houp R. S. // J. Appl. Phys. — 1966. — V. 37.—
P. 4405.
132.	Hill R. M.t Kaplan D E. // Phys. Rev. — 1967. — V. 156 —
P. 118.
133.	Hill R. M., Kaplan D. E. //Phys. Lett. —1966. — V. 23.—
P. 317.
134.	Gould R. W., O'Neil T. M., Malmberg J. H. /I/ Phys. Rov
Lett.—1967.—V. 19.— P. 219.
135.	Gould R. W. // Phys. Lett. — 1967. — V 25A. — P. 559.
136.	Malmberg J. H, Wharton С. В., Gould R. W.f O'Neil Т. М /7
Phys. Rev. Lett. — 1968. — V. 20. — P. 95.
137.	Ikezi H, Takahashi N.)/Phys. Rev. Lett. — 1968. — V 20 —
P. 140.
138.	Baker D. R., Ahem N. R., Wong A. Y./7 Phys. Rev Lett —
1968.	—V. 20. —P. 318.

298	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
139.	Sw С И., Oberman C.f/Phys. Rev. Lett. — 1968. — V. 20.—
P. 427.
140.	Malmberg J. H., Wharton C. B, Gould R. W., O'Neil Т. М. /"/
Phys. Fluids. — 1968. —V. 11. —P. 1147.
141.	Porkolab M., Sinnes /.//.Phys. Rev. Lett. — 1968. — V. 21.—
P. 1227.
142.	Ikezi H., Takahashi N., Nishikiwa K. /7 Phys. Fluids. — 1969. —
V. 12. —P. 853.
143 Ситенко А. Г., Нгуен Ван Чонг. Павленко В. #.//Ядер. син-
синтез. — 1970. — Т. 10. —С. 259.
Вопросы, касающиеся турбулентности плазмы, изложены в
книгах:
144.	Кадомцев Б. Б. /•'/ Вопросы теории плазмы.—М.: Госатом-
издат. — 1964. — Вып. 4. — С. 188.
145.	Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. — М.: Наука,
1967.
146.	Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. // Вопросы теории плазмы. — М.:
Госатомиздат, 1973. — Вып. 7. — С. 3.
147.	Davidson R. С. Nonlinear Plasma Theory. — N. Y.: Academic
presss 1971.
148.	Ishimaru S. Basic Principles of Plasma Physics. — Benjamin,
1973.
149.	Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. — М.: Госатом-
Госатомиздат, 1971.
150.	Веденов А. Л.//Вопросы теории плазмы. — М.: Госатомиздат,*
1963.— Вып. 3. —С. 203.
Различные типы неустойчивостей подробно описаны в книгах
и обзорах:
151.	Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей.—
М.: Атомиздат, 1969.
152.	Кадомцев Б. Б. // Вопросы теории плазмы. — М.: Госатомиз-
Госатомиздат, 1963.— Вып. 2. —С. 132
153.	Тимофеев А. Б., Пистунович В. И. /•/ Вопросы теории плаз-
плазмы. — М.: Госатомиздат, 1967.— Вып. >5.— С. 351.
154.	Михайловский А. Б. // Вопросы теории плазмы. — М.: Гос-
Госатомиздат, 1972. — Btan. 6. — С. 70.
155.	Соловьев Л. С. /'¦/ Вопросы теории плазмы. — М.: Госатом-
Госатомиздат, 1972.— Вып. 6.— С. 210.
156.	Силин В. П. Параметрическое воздействие излучения боль-
большой мощности на плазму.—М.: Наука, 1973.
Желобковая неустойчивость плазмы была установлена и по-
подробно исследована в работах:
157.	Rosenbluth М, Longmire С. •// Ann. Phys. — 1957 — V. 1. —
P. 120.
158.	Кадомцев Б. Б. /'¦/ Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций. —М.: Изд-во АН СССР, 1958 —
т. 4. —с. 16;
159.	Иоффе М. С, Соболев Р. И., Тельковский В Г., Юшма-
нов Е. Я.У/ЖЭТФ. —1961-. — Т. 40. —С. 40.
160.	Иоффе М. С, Юшманов Е. Е //Ядер, синтез. — 1962. — До-
Дополнение, ч. 1. — С. 177.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	299
161. Готт Ю. В., Иоффе М. С, Тельковский В. Г. /'/ Ядер, син-
синтез. — 1957. — Дополнение, ч. 3. — С. 1045.
162 Иоффе М. С, Соболев Р. И., Тельковский В. Г., Юшма-
нов Е. Е./1/ЖЭТФ. —1960. —Т. 39. —С. 1602.
163.	Кадомцев Б. Б. //ЖЭТФ.— 1961. — Т. 40. — С. 328.
164.	Байбородов Ю. Т., Иоффе М. С, Петров В. М., Собо-
Соболев Р. Я.//Атом, энергия.—1963. —Т. 14 —С. 443.
165.	Иоффе М. С, Соболев Р. Я./У Атом. энергия.—1964. —
Т. 17. —С. 366.
166.	Кадомцев Б. Б., Иоффе М. С. /!/ УФН. — 1970. — Т. 100.—
С. 601.
По поводу ловушек «с минимумом В» см.:
167.	Andreoletti /.//Сотр. rend. — 1963. — V. 257. — Р. 1033, 1235.
168.	Damm С, Foote J. et al /'¦/ Plasma Phys. and Contr. Nucl.
Fusion Res.—1969. —V. 1. —P. 253.
169.	Furth H. //Adv. in Plasma Phys.—1968. —V. 1. —P. 67.
Относительно винтовой неустойчивости см.:
170.	Шафранов В. Д. /',/ Физика плазмы и проблема управляемых
термоядерных реакций.—Мл Изд-во АН СССР, 1958.—
Т. 4.. —С. 61.
171.	Kruskal М. D, Schwarzschild M//Proc. Roy. Soc. — 1954.—
V. А233.^Р. 348.
172.	Newcomb W. A. //Ann. Phys.— 1960. — V. 10. —P. 232.
173.	Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. // ЖЭТФ. — 1973. — Т. 65.—
С. 575.
Диссипативиые неустойчивости описаны в статьях:
174.	Furth П., Rosenbluth М.г КШееп /.//Phys. Fluids. — 1963.—
V. 6. — P. 459.
175.	Kadomtsev В. В., Nedospasov A. V. // J. Nucl. Energy.—
I960. —V. Cl. —P. 230.
176.	Rebut P. II. // J. Nucl. Energy. — 1962. — V. C4. — P. 159.
По поводу дрейфовых неустойчивостей существует обширная
литература, мы упомянем лишь основные работы:
177.	Церковников Ю. Л.//ЖЭТФ. —1957. —Т. 32.—С. 67.
178.	Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. /;/ ДАН СССР.—1961.—
Т. 138. — С. 581.
179.	Rosenbluth M. N.t Rostoker N., Кг all N. А. // Nucl. Fusion.—
1962. — Suppl. 1. —P. 143,.
180.	Михайловский А. Б. // Вопросы теории плазмы. — M.: Гос-
атомиздат, 1963. — Выц. 3. —С. 141.
181.	Тимофеев А. В. //ЖТФ. — 1963. — Т. 33. —С. 909.
182.	Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. //ЖЭТФ.— 1963.— Т. 44.—
С. 263; ЖТФ. —1964.— Т. 34. — С. 248.
183.	Михайловская Л. В., Михайловский А. Б. //ЖЭТФ. — 1963. —
Т. 45./— С. 1566.
184.	Krall N. A. //Adv. in Plasma Phys. — 1968. — V. 1. —P. 153.
Кинетические и параметрические неустойчивости описаны в
работах:
185.	Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. /'/ ЖТФ. — 1962. — Т. 32 —
С. 1291.

300	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
№. Силин В. /7./УЖЭТФ.—1965. —Т. 48. — С. 1679.
187.	Dubois D. F., Goldman М. V.//Phys. Rev. LelL — 1965. —
V. 14.—.P. 544.
188.	Nishikawa К /.//Phys. Soc. Jap. — 1968. — V. 24. — P. 916,
1152.
189.	Андреев И. E.t Кирий Ю. А., Силин В. Я.//ЖЭТФ.—
1969.— Т. 57. —С. 1024.
190.	Kruer W. L., Kaw Р. К, Dawson I. M., ОЬегтап С. // Phys.
Rev. Lett. — 1970. — V. 24. —> P. 987.
191.	Rosenbluth M. N. //Phys. Rev. Lett—1972. —V. 29.—
P. 565.
192.	Rosenbluth M. N., White R. В., Liu С S. /'/ Phys. Rev. Lett.—
1973. —V. 31. —P. 1190.
Относительно квазилинейного приближения см.:
193.	Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. //Ядер, синтез.—
1962. — Приложение 2. — С. 465.
194.	Drummond W. Е., Pines D. /'/ Nucl. Fusion. — 1962. — Stippl.
3(. —P. 1049.
195.	Романов Ю. А., Филиппов Г. Ф.//ЖЭТФ.—1961. —Т. 40.—
С. 123.
196.	Robertson С, Gentle К. ШТ. У/Phys. Fluids. — 1971.— Т. 14.—
С. 2780.
По поводу слабой турбулентности существует довольно обшир-
обширная литература, мы укажем здесь только часть ее:
197.	Захаров В. Е. /:/ ПМТФ. — 1965. — № 4. — С. 25.
198.	Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. //ПМТФ. — 1967. — № 5.—
С. 62.
199.	Kamak M., Kantrowitz A. R., Litvac M. /'/ Nucl. Fusion.—
1962. —Suppl. 1, 2. —P. 421.
200.	Кадомцев Б. В., Петвиашвили В. Я./:/ЖЭТФ. —1962. —
Т. 43. —С. 2234.
201.	Aamodt R., Drummond W. В. //J. Nucl. Energy. — 1964.—
V. 6, —P. 147.
202.	Галеев А. А., Карпман В. Я.//.ЖЭТФ. —1963.— Т. 44.-
С. 592.
203.	Пайерлс Р. Е. Квантовая теория твердых тел. — М.: ИЛ,
1956,
204.	Кац А. В., Конторович В. М//ЖЭТФ. —1973. — Т. 64.—
С. 153.
205.	Кадомцев Б. Б., Конторович В. М. /'•/ Изв. вузов. Радиофи-
Радиофизика. —. 1974. — Т. 17. —С. 511,.
Относительно ионно-звуковой турбулентности и аномального
сопротивления см.:
206.	Бабыкин М. В., Завойский Е. К., Рудаков Л. И., Скорю-
пин В. А. //Ядер, синтез. — 1962. —Приложение 3. —С. 1073.
207.	Field Е. С, Fried В. Р.//Phys. Fluids. — 1964. — V. 7.—
P. 1937.
208.	Рудаков Л. И., Кораблев Л. В. М ЖЭТФ. — 1966. — Т. 50.—
С. 220.
209.	Коврижных Л. М.//ЖЭТФ.— 1967. — Т. 52. — С. 1416.
210.	Завойский Е. К., Рудаков Л. И. /7 Атом, энергия. — 1967. г-
Т. 23. —С. 417.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	301
211.	Калинин Ю. Г., Лин Д. #., Рудаков Л. М., Рютов Д. Д.
и ф.//ЖЭТФ. —1970. —Т. 59.—,С. 1056.
212.	Летвиашвили В. И. /!/ ЖЭТФ. — 1963. — Т. 44. — С. 1933;
ДАН СССР. —1963,.— Т. 153.-С. 1295.
213.	Карчевский А. Я., Аверин В. Г., Безмельницин В. Я. /'/ Пись-
Письма в ЖЭТФ.—1969.-Т. 10. —С. 26; ЖЭТФ.-1970.-
Т. 58.— С. 1131.
214.	Векштейн Г. Е., Рютов Д. Д., Сагдеев Р. 3. /S/ЖЭТФ.—
1971.—<Т. 60. —С. 2142.
215.	Сагдеев Р. 3. // Проблемы теории плазмы. — Киев, 1972. —
С, 278.
216.	Janearik I., Hamberger S. M. // Report on 8th Europ. Conf.
on Plasma Physics, Rome, 1970.
217.	Векштейн Г. E., Сагдеев Р. 3.// Письма в ЖЭТФ. —1970.—
Т. П. —С. 305.
Ленгмюровская турбулентность обсуждалась в статьях:
218.	Цытович В. Н., Шапиро В. Д./•/Ядер. синтез.—1965. —
Т. 5. —С. 228'.
219.	Рудаков Л. Я.//ЖЭТФ. — 1970.— Т. 59. —С. 2091.
220.	Веденов А. А., Рудаков Л. Я./:/ДАН СССР.—1964.—
Т. 159.— С. 767.
221.	Захаров В. ?.//ЖЭТФ. —1972. —Т. 62. —С. 1745.
222.	Рудаков Л. Я./,/ДАН СССР.—1972.— Т. 207. —С. 821.
223.	Брейзман Б. Н., Рютов Д. Д., Чеботаев Р. 3.//ЖЭТФ.—
1972. —Т. 62. —С. 1409.
224.	Kingsep A. S., Rudakov L. L, Sudan R. N. /I/ Phys. Rev.
LQtt. — 1973. — V. 31. —P. 1483.
225.	Дегтярев Л. M.t Маханьков В. Г., Рудаков Л. И. // ЖЭТФ. —
1974. —Т. 67. —С. 533.
226.	Дегтярев Л. М„ Захаров В. Е. /!/ Письма в ЖЭТФ. — 1974. —
Т. 20. —С. 365.
227.	Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. //Препринт /ИПМ.— 1974. —
№ 109.
228.	Kim H. С, Stenzel R. L.t Wong А. У.://Phys. Rev. Lett. —
1974.'—.у. 33. —P. 886.
229.	Захаров В. Е., Шушер С. Л., Рубенчик А. М. // Письма в
ЖЭТФ,. — 1974. — Т. 19. —. С. 249.
В связи с обсуждением МГД-турбулентности см.:
230.	Rusbridge M. G., Lees D. /., Saunders P. А. Я.//Nucl. Fu-
Fusion. •— 1962. — Supph 3. — P. 903.
231.	Бабичев А. Б., Карчевский А. Я. и др. // Ядер. синтез.—
1962.— Т. 2. —С. 84; Дополнение 2. —С. 635, 1962.
232.	Кадомцев Б. Б. //Ядер, синтез. — 1962.—Дополнение 3.—
С. 969.
233.	Robinson D. С, Rusbridge M. G. // Plasma Phys. — 1969.—
V. 11.-P. 73.
234.	Butt E. P., Gowers C. W. et al ¦// Plasma Phys. and Contr.
Nucl. Fusion Res.— Vienna: IAEA, 1975. — V. 3. — P. 417.
235.	Linden-Bell D. //Mon. NoUic. Roy. Astron. Soc—1967.—
V. 136, —P. 101.
236.	Holi F. //Bull. Am. Phys. Soc. — 1968. — V. 13.— P. 1745.

302	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
237.	Kadomtsev В. В., Pogutse О. Р.//Phys. Rev. Lett.—1970 —
V. 25. —P. 1155.
238.	Dиргее Т. Н. /',/ Phys. Rev. Lett. — 1970. — V. 26. — P. 789.
239.	Dupree Т. Н. //Comm. Plasma Phys. — 1972. — V. 1, № 2.
240.	Kadomtsev В. В.Ц Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res.—
Vienna: IAEA, 1977. —;V. 1.—P. i555.
241.	Giovanelly R. G. //Mon. Not. RAS. — 1947. — V. 107. —
P. 338.
242.	Dungey J. W. Cosmic Electrodynamics. — L.: Cambrigde Univ.
Press/, 1958.
243.	Dungey /. W. '// Phys. Rev. Lett. — 1961. — V. 6. — P. 47.
244.	Akasofu S. /.//Planet, and Space Sci. — 1964. — V. 12.—
P. 273; Polar and Magnetospheric Substorm. — Dordrecht, Hol-
Holland: D. Reidel, 1968.
245.	Parker E. tf.y/J. Geophys. Res. — 1957. — V. 62. — P. 509;
Astrophys. J. Suppl. Sen —1963. — V. 8. —P. 177.
246.	Sweet P. A. // Electromagnetic Phenomena in Cosmic Physics/
Ed. Lehnert. — L.: Cambridge Univ. Press, 1958.
247.	Petschek H. E. •// AS/NASA Symposium on the Physics of So-
Solar Flares//Ed. W. N. Hess.— Washington: D. C, 1964.
248.	Coppi В., Laval G., Pellat /?.://Phys. Rev. Lett —1966.—
V. !16.—P. 1207.
249.	Schindler K. // J. Geophys. Res. — 1974. — V. 79. — P. 2803.
250.	Галеев А. А., Зеленый Л. M У/Письма ЖЭТФ.— 1975. —
Т. 22. —С. 170; ЖЭТФ. — 1975. — Т 69. — С. 882; Ibid.—
1976, —Т. 70. —С. .2183.
251.	Galeev Л. A., Coronity F. V., Ashour-Abdalla M. //Geophys..
Res», Lett. —1978. —V. 5. — P. 707.
252.	Сыроватский С. Я. у/Астрой, ж.— 1966.— Т. 43. — С. 340;
Ann. Rev. Astron. and Astrophys. — 1981. — V. 19.— P. 163.
253.	Сыроватский С. И., Франк А. Г., Ходжаев А. 3. // ЖТФ. —
1973.—Т. 43.—«С. 912.
254.	Stenzel R. L., Gekelman W. •// Phys. Rev. Lett. —1979.—
V. 42.—P. 1055; J. Geophys. Res. — 1981. — V. 86. — P. 649;
Proc. of the 15th Intern. Conference on Phenomena in Ionized
Gasesi. — Minsk. P. 46.
255.	Арцимович Л. А., Мирное С. В., Стрелков В. С.//Атом,
энергия. —Т. 17.—* С. 170.
256.	Горбунов Е. П., Разумова К. А.'// Атом, энергия. — 1963.—
Т. Дб. —С. 363.
257.	Goeler 5., Stodiek W., Sauthoff N. // Phys. Rev. Lett. —
1974., —V. 33. —P. 1201.
258.	Кадомцев Б. Б.\Ц Физ. 'плазмы. — 1975. — Т. 1«. —. С. 710.
259.	Dubois M. A., Samain А. [•/ Plasma Phys. and Contr. Nucl.
Fusion Res. —Vienna: IAEA, 1978.— .V. 1. —P. 615; Nucl.
Fusion.— 1980. —V. 20,— P. 1101.
260.	Lichtenberg A. /.'//Nicl. Fusion. —1984. —V. 24 — P. 1277.
261.	Waddell B. V., Carreras B. A., Hicks H. R., Holmes J. A. //
Phys. Fluids — 1979. — V. 22. —P. 896.
262.	Waddell B. V., Carreras B. A., Hicks H. R. et al.'// Phys.
Rev. Lett— 1978.— -V. 41, —P. 1386.
263.	Waddell B. V., Monticello D. A., Rosenbluth M. N.,
White R. B. //Nucl. Fusion. — 1976.—V. 16. —P. 528.
264.	Strauss H. /?.'//Phys. Fluids. - 1976. — V. 19. —P. 134.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	303
265.	Днестровский Ю. Н., Лысенко С. Е, Смит П //Физ. .плаз-
.плазмы. — 1977.—Т. 1,. —С. 18.
266.	Bussac M. N., Pellat R, Edery D, Soule J. L.'// Phys. Rev.
Lett.—1975.—V. 35.— P. 1638.
267.	Bussac M. N, Edery D., Pellat R, Soule J. L /'/ Phys. Rev.
Lett. — 1978. — V. 40. —< P. 1500.
268.	Dubois M. A., Pecquet A. L., Reverden С // Phys. Rev. Lett. —
1983. —V. 23.— P. 147.
269.	Мережкин В. Г.//Физ. тлазмы.— 1978. — Т. 4. — С. 152.
270.	Ohkawa Т. // Phys. Lett. — 1978. — V. А67. — P. 35.
271.	Callen J. D., Waddell B. V. et al. f/ Plasma Phys. and Contr.
Nucl. Fushion Res. —Vienna: IAEA. — 1979. — V. l. — P. 415.
272.	Кадомцев Б. В., Погуце О. tf.y/ЖЭТФ. — 1973. — Т. 65.—
С. 575; Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res. — Vienna:
IAEA, 1984. Paper E.—11—2.
273.	Захаров Л. Е //Письма ЖЭТФ. — 1980. — Т. 31. —С. 756;
Физ. плазмы.—1981. —Т. 7. — С. 18.
274.	Rusbridge M. G. ¦// Plasma Phys. — 1977. — V. 19. — P. 499;
Nucl. Fusion.— 1982. —V. 22. — P. 1291.

Кадомцев Борис Борисович
КОЛЛЕКТИВНЫЕ
ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Редактор Я. А. Михалина
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректоры Е. Ю. Рычагова, И. #. Кришталь
ИБ Яо ЗЙ397
Сдано в набор 10 11.87. Подписано к печати 20.04 88. Т-09572.
Фермат 84X108/32. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура
литературная.	Печать высокая.	Усл. печ. л. 15,96.
Усл. кр.-отт. 15,96.
Уч.-изд. л. 15,97. Тираж 4100 экз. Заказ № 361. Цена 3 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1117071 Москва В-71, Ленинский проспект. 15
Подольский филиал ПО «Периодика» Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
149110. г. Подольск, ул. Кирова, 25
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука».
Заказ 1878 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6.