@
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ.
ВЫПУСК 17
И.Ф. ШАРЬlrин
ЗАДАЧИ
по rЕОМЕТРИИ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Издание второе, переработанное
и дополненное

МОСКВА «НАУКА»
rЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКа-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986

ББК 22.151.0
Ш 26
УДК 514.112
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕrия.
Академик ю. А. Осипьян (председатель), академик А. Н. Кол-
MoropoB (заместитель председателя), профессор л. r. Асламазов
(ученый секретарь), членкорреспондент АН СССР А. А. Абрикосов,
академик Б. К. Вайвппейв, заслуженный учитель. РСФСР
Б. В. Воздвиженский, профессор С. п. КаПlЩа, академик С. п. Но-
виков, академик АПН СССР В. r. Разумовский, академик Р. з. Car-
деев, профессор я. А. Смородинский, академик С. л. Соболев,
членкорреспондент АН СССР д. К. Фаддеев.
Шарыrии и. Ф.
Ш26 Задачи по rеометрии. (Планиметрия).  2e изд.,
перераб. и доп.:---- М.: Наука. rл. ред. физ.мат. лит.,
1986.  224 с.  (Б..чка «Квант». Вып. 17.)
45 к., 150000 экз.
Включает более 600 задач по планиметрии. В первой части собраны сравнительно
простые задачи, которые чаще сопровождаются только ответами и MorYT быть исполь
зованы как в классной, так и во внеклассной работе. Вторая часть сопровождается
указаниями и подробными решениями. В новом издании частично изменил ась общая
структура: изменилось расположение задач в связи с новой более подробной клас-
сификацией, введен ряд новых разделов (окружности и касательные, мноrоуrольники,
комбинации фиrур и т. д.), добавлено более 200 новых задач в основном за счет
исключения наиболее простых задач предыдушеrо издания (1982 r.).
Для школьников и учителей математики.
ш 1702040000042 163-86
05З(02)86
ББК 22.151.0
@ Издательство «Наука».
rлавная редакция
физико-математической литературы, 1982,
с.изменениями 1986

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
1. ОСНОВНЫЕ rЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ И ТЕОРЕМЫ.
ЗАДА ЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ 7
11. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ 36
 1. Теорема Карно 36
 2. Теоремы Чевы и Менелая. Аффинные задачи 39
 3. rеометрические места точек 44
 4. Треyrольник. Треуrольник и окружность 48
 5. Четырехyrольник 62
 6. Окружности и касательные. Теорема Фейербаха 69
 7. Комбинации фиrур. Перемещения на плоскости. MHO
rоyrольники 73
 8. rеометрические неравенства. Задачи на максимум и
минимум 78
111. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 85
1. Основные rеометрические факты и теоремы. Задачи на
вычисление 85
11. Избранные задачи и теоремы планиметрии 113

ПРЕДИСЛОВИЕ
По сравнению с первым изданием 1982 rода кни-
ra претерпела существенные изменения. Добавлено свыше
двухсот новых задач. Такое увеличение числа задач вынудило
автора более серьезно подойти к проблеме классификации за-
дач, от каковой в первом издании он попросту отмахнулся,
оrраничившись при распределении задач по разделам одним
поверхностным критерием  по условию. Впрочем, и принятая
во втором издании классификация далека от совершенства и во
MHoroM является спорной, излишне укрупненной, отнесение
иных задач к соответствующему разделу может вызвать впол-
не резонные возражения, хотя в каждом конкретном случае ав-
тор может привести некоторые более или менее разумные до-
воды, почему задача попала именно в этот раздел, а не
в друrой.
Первый раздел открывается набором rеометрических фак-
тов, примыающихx к курсу rеометрии 6  8 классов средней
школы. Мноrие из них входили ранее в традиционные
школьные учебники. Кроме Toro, в этом разделе собраны зада-
чи (в основном «на вычисление» элементов rеометрических фи-
ryp), призванные активизировать знание основньiх школьных
формул и теорем, развить технику решения rеометрических за-
дач. Работа над ними поможет читателю подrотовиться
к школьным и конкурсным экзаменам (некоторые из этих задач
в прошлом предлаrались на экзаменах). В первой половине
этоrо раздела  задачи относительно простые, они снабжены
лишь ответами, в дальнейшем сложность задач возрастает, за-
дачи сопровождаются указаниями к решению или более под-
робными решениями. Здесь уместно сделать одно замечание,
относящееся ко всей книrе. Увеличение числа задач при до-
вольно жестком оrраничении объема книrи заставило автора,
вопреки ero желанию и ero rеометрической концепции, пойти
на существенное сокращение числа чертежей, переложив обя-
занность создания чертежа в большинстве случаев на читателя,
поскольку решение задачи по rеометрии без чертежа, без
«картинки»,  противоестественно.
4

Уже в первом разделе, особенно во второй ero половине,
встречаются довольно трудные задачи. Во втором разделе, pac
считанном на увлеченноrо rеометрией читателя, трудность за
дач возрастает, хотя и здесь каждый параrраф открывается OT
носительно простыми вводными задачами. Основными крите
риями отбора задач являлись: естественность формулировки,
rеометричность решения, неожиданность результата, ориrи
нальность задачи.
Несмотря на введение классификации в основном по объек
ту, фиrурирующему в задаче, автор не делал попытки система-
тизировать задачи по типам и методам решения, по принад-
лежности к тому или иному разделу rеометрии. По существу,
почти каждая rеометрическая задача (по сравнению с рутинны
ми упражнениями на решение уравнений, неравенств и т. п.) не-
стандартна: в каждой надо придумать, какие сделать дополни-
тельные построения, какими воспользоваться формулами
и теоремами. Поэтому предлаrаемую книrу никак нельзя рас-
сматривать как задачник по систематическому курсу reoMe..
трии; скорее это сборник различных rеометрических находок,
цель KOToporo  демонстрация изящества элементарно-rеоме-
трических приемов доказательств и расчетов (без использова..
ния векторной алrебры и с минимальным привлечением мето..
да координат, rеометрических преобразований и, пожалуй,
несколько большим  триrонометрии).
Сейчас в школьном курсе rеометрии учеников знакомят
с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но
именно их разнообразие оставляет мало времени на приобрете..
ние навыков решения этих задач, и вкус к TaKoro рода задачам,
которые собраны в этой книrе, у современных школьников не-
сколько снизился. Конечно, вопрос о том, насколько важно на-
учиться решать трудные rеометрические задачи, спорен. Быть
может, и в самом деле тем, кто связывает свое будущее с про-
фессией математика или проrраммиста, полезнее заниматься
задачами комбинаторно..лоrическоrо характера, изучать начала
анализа, учиться составлять проrраммы дЛЯ ЭВМ. Но все же
автор считает, что развитое rеометрическое воображение  ка..
чество, необходимое будущему математику и полезное буду-
щим инженерам, физикам, строителям, архитекторам и мноrим
друrим.
Трудно rарантировать, что автору в каждом случае удалось
найти «оптимальный» путь решения (справедливость этих слов,
сказанных в предисловии к первому изданию, подтвердилась
ПРff работ над вторым; в ряде задач автору удалось улучшить
старые решения, при этом уверенность в возможности дальней-
ших улучшений возросла), не rоворя уже о том, что некоторые
5

(хотя, видимо, немноrие) задачи знаток rеометрии решил бы
короче, используя инверсию, методы проективной rеометрии
и т. п. Автор намеренно не намечал все возможные связи
и обобщения задач, как это принято у математиков--теоретиков,
доискивающихся в каждом отдельном случае лоrически наибо--
лее прозрачноrо общеrо факта, а действовал скорее как физик
практик, которому надо решить конкретную задачу, по принци
пу: если не видно простоrо изящноrо решения, надо «посчи--
тать». Возможно, некоторые читатели не откажут себе в
удовольствии улучшить предложенный автором путь решения
отдельных задач. Однако стоит заметить., что некоторые зада--
чи довольно трудны. Если rоворить об их использовании
в школьной работе, то они MorYT представить интерес в каче--
стве темы доклада на кружке или конференции.
Хотя степень ориrинальности собранных в книrе задач раз--
лична (некоторые можно найти в старых книrах и журналах,
дрyrие предлаrались на математических олимпиадах или были
опубликованы в журнале «Квант»), автор все же надеется, что
кое--что из представленной здесь коллекции заинтересует и
опытныIx тобителей rеометрии.
Заметим, что в некоторых случаях к задачам дается лишь
план решения или разбирается один из возможных случаев. Не--
обходимость перебора разныIx возможных случаев расположе--
ния фиrур ..... нередко встречающийся недостаток элементарно
rеометрических доказательств, который, как правило, исчезает
при переходе к векторам, «направленным уrлам», методу
координат и т. П.; правда, при этом зачастую исчезает и сама 
rеометрия.
Чтобы сделать книrу понятной для читателей разных ПОКО
лен ий и с разными уровнями подrотовки, была выбрана терми
нолоrия, не совсем совпадающая с принятой сейчас в IllКоле.
конrруэнтныIe фиrуры называются просто «равныIи>>,, не ис--
пользуются знаки и обозначения:  , [АВ], (АВ) и т. п. По
сравнению с первым изданием автор изменил обозначение ве--
...............
личины уrла (вместо АВС используется L АВС), величины дуrи
............
(вместо АВ используется u АВ). Кроме Toro, в отдельныIx
случаях, коrда речь идет, например, о треyrольнике АВС, упот--
ребляются обозначения: L А, sin А, что означает L ВАС,
sin L ВАС.
В заключение автор считает своим долrом поблаrодарить
А. З. Берштейна, принимавшеrо участие в работе над первым
разделом книrи. Автор признателен также А. А. Яrубянцу, co
общившему несколько изящных rеометрических фактов.

1. ОСНОВНЫЕ rEОlVlEТРИЧЕСКИЕ
ФАКТЫ И ТЕОРЕМЫ.
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
1. Доказать, что медианы в треyrольнике пересе
каются в одной точке и делятся ею в отношении 1: 2.
2. Доказать, что медианы делят треуrольник на шесть paB
новеликих частей.
3. Доказать, что диаметр окружности, описанной около
треуrольника, равен отношению ero стороны к синусу противо..
лежащеrо yr ла.
4. Пусть вершина уrла находится вне Kpyra и стороны уrла
пересекают окружность. Доказать, что величина yrла измеряет
ся полуразностью дуr, высекаемых ero сторонами на окружно
сти и расположнных внутри уrла.
5. Пусть вершина уrла находится внутри Kpyra. Доказать,
что величина уrла измеряется полусуммой дуr, заключенных
между ero сторонами и их продолжениями за вершину уrла.
6. Пусть АВ  хорда окружности, 1  касательная к окруж"
ности (А  точка касания). Доказать, что каждый из двух уrлов
между АВ и 1 измеряется половиной дуrи окружности, заклю..
ченной внутри рассматриваемоrо уrла.
7. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра
окружности радиуса R (а > R), проведена секущая, пересекаю..
щая окружность в точках А и В. Доказать, что 1 м А 1 . 1 м В 1
постоянно для всех секущих и равно а 2  R 2 (квадрату длины
касательной).
8. В окружности радиуса R через точку М, находящуюся на
расстоянии а от ее центра (а < R), проведена хорда АВ. Дока..
зать, что I АМ 1 . 1 МВ 1 постоянно для всех хорд и равно R 2 
 а 2 .
9. Пусть АМ  биссектриса треуrольника АВС. Доказать,
что I ВМ I : 1 СМ 1 == 1 АВ 1 : 1 АС 1. То же верно для биссектрисы
внешнеrо уrла треуrольника. (В этом случае М лежит на про..
должении стороны ВС.)
10. Доказать, что сумма квадратов диаrоналей параллело..
rpaMMa равна сумме квадратов ero сторон.
11. Стороны треуrольника равны а, Ь и с. Доказать, что
медиана та, проведенная к стороне а, вычисляется по
7

формуле
1
та ==  v 2ь 2 + 2с 2  а 2 .
2
12. Даны два треуrольника, у которых одна вершина
А  общая, а друrие вершины расположены на двух прямых,
проходящих через А. Доказать, что отношение площадей этих
треуrольников равно отношению произведений двух сторон
каждоrо треуrольника, содержащих вершину А.
13. Доказать, что площадь описанноrо мноrоуrольника рав-
на rp, rде r  радиус вписанной окружности, р  ero полу-
периметр (в частности, эта формула справедлива для тре--
уrольника).
14. Доказать, что площадь четырехyrольника равна полу-
произведению диаrоналей на синус уrла между ними.
15. Доказать справедливость следующих формул для пло--
щади треyrольника:
s== a 2 sinBsinC S==2R 2 sinAsinBsinC,
2 sin А '
rде А, В, С  уrлы треуrольника, а  сторона, лежащая против
уrла А, R  радиус описанноrо Kpyra.
16. Доказать, что радиус окружности, вписанной в прямо-
a+bc
уrольный' треуrольник, вычисляется по формуле 1. == ,
2
rде а и Ь  катеты, с  rипотенуза.
17. Доказать, что если а и Ь  две стороны треуrольника,
сх  уrол между ними и 1  биссектриса этоrо уrла, то
сх
2аЬ cos 2
1==
а+Ь
18. Доказать,. что расстояния от вершины А треуrольника
АВС дО точек касания вписанной окружности со сторонами АВ
и АС равны р  а, rде р  полупериметр треуrольника АВС,
а == I ВС 1.
19. Доказать, что если в выпуклом четырехуrольнике ABCD
выполняется соотношение 1 АВ I + I CD I == 1 AD I + 1 ВС 1, то су-
ществует окружность, касающаяся всех ero сторон.
20. а) Доказать, что высоты в треуrольнике пересекаются
в одной точке. б) Доказать, что расстояние от вершины тре-
уrольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем рас-
стояние от центра описанноrо Kpyra до противоположной
стороны.
i


* *
21. На одной стороне прямоrо уrла с вершиной в точке
О взяты две точки А и В, причем I ОА I == а, I ОВ I == Ь. Найти
радиус окружности, проходящей через точки А и В и касаю-
щейся друrой стороны уrла.
22. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна с,
а один из острых уrлов равен 300. Найти радиус окружности
с центром в вершине yr ла в 300, делящей данный треуrольник
на две равновеликие части.
23. В прямоуrольном треуrольнике даны катеты а и Ь.
Найти расстояние от вершины прямоrо уrла до ближайшей
к ней точки вписанной окружности.
24. В прямоуrольном треуrольнике медиана равна т и де-
лит прямой уrол в отношении 1: 2. Найти площадь треуrоль-
ника.
25. В треуrольнике АВС даны стороны I ВС I == а, I СА I == ь,
I АВ I == с. Найти отношение, в котором точка пересечения бис-
сектрис делит биссектрису уrла В.
26. Доказать, что сумма расстояний от любой точки осно-
вания равнобедренноrо треуrольника до боковых сторон равна
высоте этоrо треуrольника, проведенной к боковой стороне.
27. Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри
правильноrо треуrольника до ero сторон равна высоте этоrо
треуrольника.
28. В равнобедренном треуtольнике АВС на основании АС
взята точка М так, что I АМ I == а, I м С I == ь. В треуrольники
АВМ и СВМ вписаны окружности. Найти расстояние между
точками касания этих окружностей со стороной ВМ.
29. В параллелоrрамме со сторонами а и Ь и уrлом r::J. про-
ведены биссектрисы четырех уrлов. Найти площадь четырех-
уrольника, оrраниченноrо биссектрисами.
30. В ромб с высотой h и острым уrлом r::J. вписана окруж-
ность. Найти радиус наибольшей из двух возможных окружно-
стей, каждая из которых касается данной окружности и двух
сторон ромба.
31. Определить острый уrол ромба, в к.отором сторона есть
среднее rеометрическое ero диаrоналей.
32. Диаrонали выпуклоrо четырехуrольника равны а и Ь,
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон,
равны. Найти площадь четырехуrольника.
33. Сторона AD прямоуrольника ABCD в три раза больше
'стороны АВ; точки М и N делят AD на три равные части.
Найти L АМВ + L ANB + L ADB.
9

34. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через
точку А проведены хорды АС и AD, касающиеся данных
окружностей. Доказать, что 1 АС 12. 1 BD 1 == I AD 12. 1 ВС 1.
35. Доказать, что в прямоуrольном треyrольнике биссек-
триса прямоrо yrла делит пополам уrол между медианой и вы-
сотой, опущенными на rипотенузу.
36. На окружности радиуса r выбраны три точки таким
образом, что окружность оказалась разделенной на три дуrи,
которые относятся как 3: 4 : 5. В точках деления к окружности
проведены касательные. Найти площадь треyrольника, образо-
BaHHoro этими касательными.
37. Около окружности описана равнобочная трапеция с бо-
ковой стороной 1, одно из оснований которой равно а. Найти
площадь трапеции.
38. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят
каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция
разделена ими на три части. Найти площадь средней части, ес-
ли площади крайних 81 и 82'
39. В трапеции ABCD известно, что 1 АВ I == а, I ВС 1 == Ь
(а 1= Ь). Определить, что пересекает биссектриса уrла А: основа-
ние ВС или боковую сторону CD.
40. Найти длину отрезка прямой, параллелыой основаниям
трапеции и проходящей через точку пересечения диаrоналей,
если основания трапеции равны а и Ь.
41. В равнобочной трапеции, описанной около окружности,
отношение параллельных сторон равно k. Найти yrол при
основании.
42. В трапеции ABCD основание АВ равно а, а основание
CD равно Ь. Найти площадь трапеции, если известно, что диа-
rонали трапеции являются биссектрисами уrлов DAB и АВС.
43. В равнобочной трапеции средняя линия равна а, а диа-
rонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
44. Площадь равнобочной трапеции, описанной около кру-
ra, равна 8, а высота трапеции в два раза меньше ее боко-
вой стороны. Определить радиус вписанноrо в трапецию
Kpyra.
45. Площади треуrольников, образованных отрезками диа-
rоналей трапеции и ее основаниями, равны 81 и 82' Найти пло-
щадь трапеции.
46. В треyrольнике АВС yrол АВС равен r:J.. Найти уrол
АОС, rде О  центр вписанной окружности.
47. В прямоуrольном треуrольнике проведена биссектриса
прямоrо yrла. Найти расстояние между точками пересечения
высот двух ПОЛУЧИВllIИХСЯ треуrольников, если катеты данноrо
треуrольника равны а и Ь.
10

48. Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллело
rpaMMa, делит ero на две трапеции, в каждую из которых мож-
но вписать окружность. Найти острый уrол параллелоrрамма,
если ero стороны равны а и Ь (а < Ь).
49. Дан полукруr с диаметром АВ. Через середину полу-
окружности проведены две прямые, делящие полукруr на три
равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диа-
метр АВ?
50. Дан квадрат ABCD, сторона KOToporo равна а, и по
строены две окружности. Первая окружность целиком располо-
жена внутри квадрата ABCD, касается стороны АВ в точке Е,
а также касается стороны ВС и диаrонали АС. Вторая окруж-
ность с центром в точке А проходит через точку Е. Найти пло-
щадь общей части двух KpyroB, оrраниченных этими окружно-
стями.
51. Вершины правильноrо шестиyrольника со стороной
а являются центрами окружностей, радиусы которых равны
а/ V2. Найти площадь части шестиyrольника, расположенной
вне этих окружностей.
52. Вне окружности радиуса R взята точка А, из которой
проведены две секущие: одна проходит через центр, а друrая 
на расстоянии R/2 от центра. Найти площадь части Kpyra, pac
положенной между этими секущими.
53. В четырехyrольнике ABCD известны yrлы: L DAB  900,
L DBC  900. Кроме Toro, I DB I  а, ,DC,  Ь. Найти расстоя-
ние - между центрами двух окружностей, одна из которых
проходит через точки D, А и В, а друrая  через точки В,
С и D.
54. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две точки
М и N так, что прямые М С и N С делят ромб на три равнове-
ликие части. Найти ,М N " если 'BD'  d.
55. На стороне АВ треуrольника АВ С взяты точки М и
N так, что ,АМ,: IMN,: 'NB' 1:2:3. Через точки М и
N проведены прямые, параллельные стороне АС. Найти пло-
щадь части треуrольника, заключенной между этими прямыми,
если площадь треуrольника АВС равна S.
56. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и АС  каса-
тельные к окружности (В и С  точки касания). Доказать, что
центр окружности, вписанной в треуrольник АВС, лежит на
данной окружности.
57. Boкpyr paBHocTopoHHero треyrольника АВС описана
окружность и на дyrе ВС взята произвольная точка М. ДOKa
зать, что 'АМ1  'ВМ' + I СМ,.
58. Пусть Н  точка пересечения высот д АВС. Найти yrлы
д АВС, если L ВАН == сх, L АВН  .
11

59. Площадь ромба равна S, сумма ero диаrоналей  т.
Найти сторону ромба.
60. Квадрат со стороной а вписан в окружность. Найти сто-
рону квадрата, вписанноrо в один из полученных cerMeHTOB.
61. В cerMeHT с дyrой 1200 и высотой h вписан прямоуrоль-
ник ABCD так, что I АВ 1: I ВС 1== 1 : 4 (ВС лежит на хорде).
Найти площадь прямоуrольника.
62. Площадь KpyroBoro кольца равна S. Радиус большей
окружности равен длине меньшей. Найти радиус меньшей
окружности.
63. Сторону правильноrо десятиуrольника выразить через
R  радиус описанной окружности.
64. К окружности радиуса R из внешней точки М прове-
дены касательные МА и МВ, образующие уrол rL. Определить
площадь фиrуры, оrраниченной касательными и меньшей ду-
rой окружности.
65. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найти радиус окруж-
ности, проходящей через середину стороны АВ, центр квадрата
и вершину С.
66. Дан ромб со стороной а и острым уrлом rL. Найти ра-
диус окружности, .проходящей через две соседние вершины
ромба и касающейся противоположной стороны ромба или ее
продолжения.
67. Даны три попарно касающиеся окружности радиуса r.
Найти площадь треуrольника, образованноrо тремя прямыми,
каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает
третью.
68. Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точ-
ке М. На этой прямой по разные стороны от М взяты точки
А и В так, что I МА 1 == 1 МВ 1== а. Найти радиус окружно-
сти, проходящей через А и В и касающейся данной окруж-
ности.
69. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС взята
точка М так, что 1 ВМ I == 3 I М С 1, а на стороне CD  точка
N так, что 21 CN 1 == 1 N D 1. Найти радиус окружности, вписан-
ной в треуrольник АМ N.
70. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определить расстоя-
ние между серединой отрезка АМ, rде М  середина ВС, и точ-
кой N на стороне CD, делящей ее так, что 1 CN 1 : I ND 1 == 3: 1.
71. В треуrольнике АВС из вершины А выходит прямая, де-
лящая пополам медиану BD (точка D лежит на стороне АС).
В каком отношении эта прямая делит сторону ВС?
72. В прямоуrольном треуrольнике АВС катет СА равен Ь,
катет СВ равен а, СН  высота, АМ  медиана. Найти пло-
щадь треуrольника ВМН.
12

73. В равнобедренном треуrольнике АВС известно, что
L А == rJ.. > 900 и I ВС I == а. Найти расстояние между точкой
пересечения высот и центром описанной окружности.
74. BOKpyr треуrольника АВС, в котором 1 ВС 1 == а, L В == rJ..,
L С ==, описана окружность. Биссектриса уrла А пересекает
окружность в точке К. Найти 1 АК 1.
75. В окружности радиуса R проведен диаметр и на нем
взята точка А на расстоянии а от центра. Найти радиус второй
окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри
касается данной окружности.
76. В окружности проведены три попарно пересекающиеся
хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три
равные части. Найти радиус окружности, если одна из хорд
равна а.
77. Один правильный шестиуrольник вписан в окружность,
а друrой описан около нее. Найти радиус окружности, если
разность периметров этих шестиуrольников равна а.
78. В правильном треуrольнике АВС, сторона KOToporo рав--
на а, проведена высота ВК. В треуrольники АВК и ВСК вписа--
но по окружности и к ним проведена общая внешняя касатель--
ная, отличная от стороны АС. Найти площадь треуrольника,
oTceKaeMoro этой касательной от треуrольника АВС.
79. Во вписанном четырехyrольнике ABCD известны уrлы:
L DAB == r:J.., L АВС ==, L ВКС == У, rде К  точка пересечения
диаrоналей. Найти L ACD.
80. Во вписанном четырехуrольнике ABCD, диаrонали кото--
poro пересекаются в точке К, известно, что I АВ 1 == а, 1 ВК I ==
== ь, 1 АК I == с, I CD 1 == d. Найти 1 АС 1.
81. BOKpyr трапеции описана окружность. Основание трапе--
ции составляет с боковой стороной уrол rJ.., а с диаrональю 
уrол . Найти отношение площади Kpyra к площади трапе--
ции.
82. В равнобочной трапеции ABCD основание AD равно а,
основание ВС равно Ь, 1 АВ 1 == d. Через вершину В проведена
прямая, делящая пополам диаrональ АС и пересекающая AD
в точке К. Найти площадь треуrольника BDK.
83. Найти сумму квадратов расстояний от точки М, взятой
на диаметре некоторой окружности, до концов любой из па--
раллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности ра--
вен R, а расстояние от М до центра окружности равно а.
84. Общая хорда двух пересекающихся окру)кностей видна
из их центров под уrлами 900 и 600. Найти радиусы окружно--
стей, если расстояние между их центрами равно а.
85. Дан правильный треyrольник АВС. Точка К делит сто--
рону АС в отношении 2: 1, а точка М делит сторону АВ в от--
13

ношении 1 : 2 (считая в обоих случаях от вершины А). Доказать,
что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной
ОКОЛО треуrольника АВС.
86. Окружности радиусов R и R/2 касаются друr друrа
внешним образом. Один из концов отрезка длины 2R, обра--
зующеrо с линией центров уrол, равный 300, совпадает с цен--
тром окружности меньшеrо радиуса. Какая часть отрезка ле--
жит вне обеих окружностей? (Отрезок пересекает обе окруж--
ности. )
87. В треуrольнике АВС проведены ВК..... медиана, ВЕ.....
биссектриса, AD ..... высота. Найти длину стороны АС, если из-
вестно, что прямые ВК и ВЕ делят отрезок AD на три равные
части и 1 АВ I == 4.
88. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобе-
дренный треуrольник, к радиусу окружности, описанной около
этоrо треуrольника, равно k. Найти уrол при основании
треуrольника.
89. Найти косинус уrла при основании равнобедренноrо
треуrольника, если точка пересечения ero высот лежит на впи-
санной в треуrольник окружности.
90. Найти площадь пятиуrольника, оrраниченноrо прямыми
ВС, CD, AN, АМ и BD, rде А, В и D  три вершины квадрата
ABCD, N ..... середина стороны ВС, М елит сторону CD в отно--
шении 2: 1 (считая от вершины С), если сторона квадрата
ABCD равна а.
91. В треуrольнике АВС даны: L ВАС == а., L АВС == В.
Окружность с центром в В проходит через А и пересекает пря--
мую АС в точке К, отличной от А, прямую ВС  в точках Е
и Р. Найти уrлы треуrольника EKF.
92. Дан квадрат со стороной а. Найти площадь правильно--
ro треуrольника, одна вершина KOToporo совпадает с серединой
одной из сторон квадрата, а две друrие расположены на диаrо-
налях квадрата.
93. На сторонах квадрата ABCD взяты точки М, N и К, rде
М ..... середина АВ, N лежит на стороне ВС, причем 21 BN I ==
== 1 NC 1, К лежит на стороне DA, причем 21 DK 1 == 1 КА 1.
Найти синус yrла между прямыми МС и NK.
94. Через вершины А и В треуrольника АВС проходит
окружность радиуса r, пересекающая сторону ВС в точке D.
Найти радиус окружности, проходящей через точки А, D и С,
если 1 АВ 1 == с, 1 АС 1 == Ь.
95. В треуrольнике АВС сторона АВ равна 3, а высота CD,
опущенная на сторону АВ, равна уз. Основание D высоты CD
лежит на стороне АВ, отрезок AD равен стороне ВС. Найти
IACI.
14

96. В окружность радиуса R вписан правильный шести-
уrольник ABCDEF. Найти радиус Kpyra, вписанноrо в треуrоль-
ник ACD.
97. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является хордой
некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата
лежат вне этой окружности. Длина касательной СК, проведен-
ной из вершины С к той же окружности, равна 2. .Чему равен
диаметр окружности?
98. В прямоyrольном треуrольнике меньший yrол равен r:t.
Перпендикулярно rипотенузе проведена прямая, делящая Tpe
уrольник на две равновеликие части. Определить, в каком OT
ношении эта прямая делит rипотенузу.
99. Внутри правильноrо треyrольника со стороной 1 поме-
щены две касающиеся друт друта окружности, каждая из ко-
торых касается двух сторон треуrольника (каждая сторона
треyrольника касается хотя бы одной окружности). Доказать,
что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (113.....
 1) /2.
100. В прямоуrольном треуrольнике АВС с острым уrлом
А, равным 30°, проведена биссектриса BD дрyrоrо oCTporo
yrла. Найти расстояние между центрами двух окружностей,
вписанных в треуrольники ABD и CBD, если меньший катет
равен 1.
101. В трапеции ABCD уrлыI А и D при основании AD co
ответственно равныI 60° и 30°. Точка N лежит на основании ВС,
причем I BN \ : I NC \ == 2. Точка М лежит на основании AD,
прямая М N перпендикулярна основаниям трапеции и делит ее
площадь пополам. Найти \ АМ \ : I м D 1.
102. В треуrольнике АВС заданыI \ ВС 1 == а, L А == r:t, L В ==
== . Найти радиус окружности, касающейся стороны АС в точ
ке А и касающейся стороныI ВС.
103. В треуrольнике АВС известно: 1 АВ \ == с, 1 ВС 1 == а,
L В ==. На стороне АВ взята точка М так, что 21 АМ 1 ==
== 31 мв 1. Найти расстояние от М до серединыI стороны АС.
104. На стороне АВ треyrольника АВС взята точка М, а на
стороне АСточка N, причем 'АМ\ ==3IMBI, а 21ANI ==
== I N С 1. Найти площадь четырехуrольника М BCN, если пло-
щадь треyrольника АВС равна S.
105. Даны две концентрические окружности радиусов R и r
(R > ') с общим центром О. Третья окружность касается их
обеих. Найти TaнreHC yrла между касательныIи к третьей
окружности, выходящими из точки О.
106. В параллелоrрамме ABCD известно: 1 АВ 1 == а, 1 AD \ ==
== Ь (Ь > а), L BAD == r:t (а. < 90°). На сторонах AD и ВС взяты
точки К и М, так, что BKDM  ромб. Найти сторону ромба.
15

107. В прямоуrольном треуrольнике rипотенуза равна с.
Центры трех окружностей радиуса с/5 находятся в ero вер-
шинах. Найти радиус четвертой окружности, которая касается
трех данных и не содержит их внутри себя.
108. Найти радиус окружности, которая высекает на обеих
сторонах уrла величины r:J.. хорды длины а, если известно,
что расстояние между ближайшими концами этих хорд рав-
но Ь.
109. На стороне ВС треуrольника АВС как на диаметре по-
строена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках
М и N. Найти площадь треуrольника AMN, если площадь
треуrольника АВС равна S, а L ВАС == r:J...
110. В окружности радиуса R проведены две взаимно пер-
пендикулярные хорды MN и PQ. Найти расстояние между точ-
ками М иР, если I N Q I == а.
111. В треуrольнике АВС на наибольшей стороне ВС, рав-
ной Ь, выбирается точка М. Найти наименьшее расстояние ме-
жду центрами окружностей, описанных около треуrольников
ВАМ и ВСМ.
112. В параллелоrрамl\tIе ABCD известны I АВ I == а, I ВС I ==
== Ь, L АВС == r:J... Найти расстояние между центрами окружно
стей, описанных около треуrольников BCD и DAB.
113. В треуrольнике АВС известно, что L А == r:J.., I ВА I == а,
I АС I == Ь. На сторонах АС и АВ взяты точки М и N, rде
М  середина АС. Найти длину отрезка MN, если известно, что
площадь треуrольника AMN составляет 1/3 площади треуrоль-
ника АВС.
114. Найти yrлы ромба, если площадь вписанноrо в Hero
Kpyra вдвое меньше площади ромба.
115. Найти площадь общей части двух квадратов, если у ка-
ждоrо сторона равна а и один получается из друrоrо поворо-
том BOKpyr вершины на уrол 45°.
116. Во вписанном в Kpyr четырехуrольнике две противопо-
ложные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна
а, прилежащий к ней острый уrол делится диаrональю на части
r:J.. и В. Определить диаrонали (уrол r:J.. прилежит к данной
стороне ).
117. Дан параллелоrрамм ABCD с острым yrлом DAB,
равным r:J.., в котором I АВ 1== а, I AD 1== Ь (а < Ь). Пусть
К  основание перпендикуляра, опущенноrо из вершины В на
AD, а М  основание перпендикуляра, опущенноrо из точки
К на продолжение стороны CD. Найти площадь треуrольника
ВКМ.
118. В треуrольнике АВС из вершины С проведены два лу-
ча, делящие yrол АСВ на три равные части. Найти отношение
16

отрезков этих лучей, заключенных внутри треуrольника, если
1 ВС 1 == 31 АС 1, L АСВ == (х.
119. В равнобедренном треуrольнике АВС (1 АВ 1 == I ВС 1)
проведена биссектриса AD. Площади треуrольников ABD
и ADC равны соответственно 81 и 82' Найти I АС 1.
120. Окружность радиуса R 1 вписана в уrол величины (х.
Друrая окружность, радиуса R 2 , касается одной стороны уrла
в той же точке, что и первая, и пересекает вторую сторону уrла
в точках А и В. Найти I АВ 1.
121. На прямой, проходящей через центр О окружности ра-
диуса 12, взяты точки А и В так, что 1 ОА 1 == 15, I АВ 1 == 5. Из
точек А и В проведены касательные к окружности, точки Kaca
ния которых лежат по одну сторону от прямой ОАВ. Найти
площадь треуrольника АВС, rде С  точка пересечения этих
касательных.
122. В треуrольнике АВС известно 1 ВС 1..- == а, L А == (Х,
L В == . Найти радиус окружности, пересекающей все ero сто-
роны и высекающей на каждой из них хорды длины d.
123. В выпуклом четырехyrольнике отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон, равны соответственно а
и Ь и пересекаются под уrлом 60°. Найти диаrонали четырех-
уrольника.
124. В треуrольнике АВС на стороне ВС взята точка М та-
ким образом, что расстояние от вершины В до центра тяжести
треуrольника АМС равно расстоянию от вершины С до центра
тяжести треуrольника АМВ. Доказать, что 1 ВМ I == 1 DC 1, rде
D  основание высоты, опущенной на ВС из вершины А.
125. В прямоуrольном треуrольнике АВС биссектриса ВЕ
прямоrо уrла В делится центром О вписанной окружности
так, что 1 ВО I : 1 ОЕ 1 == 113: 112. Найти I острые уrлы треуrоль-
ника.
126. На отрезке АВ длины R как на диаметре построена
окружность. Вторая окружность TaKoro же радиуса, как и пер-
вая, имеет центр в точке А. Третья окружность касается первой
окружности внутренним образом, второй окружности  внеш-
ним образом, а таI(же касается отрезка АВ. Найти радиус
третьей окружности.
127. Дан треyrольник АВС. Известно, что 1 АВ I == 4,
1 АС I == 2, 1 ВС I == 3. Биссектриса уrла А пересекает сторону ВС
в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС,
пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найти
IKMI.
128. Окружность с центром, расположенным внутри прямо-
ro yrла, касается одной стороны уrла, пересекает друrую сто-
рону в точках А и В и пересекает биссектрису yr ла в точках С
17

и D. Хорда АВ равна у6, хорда CD равна у7. Найти радиус
окружности.
129. В параллелоrрамме лежат две окружности радиуса 1,
касающиеся друr дрyrа и трех сторон параллелоrрамма
каждая. Известно также, что один из отрезков стороны парал..
лелоrрамма от вершины до точки касания равен 113. Найти
площадь параллелоrрамма.
130. ОIt:ружность радиуса R проходит через вершины А и
В треуrольника АВС и касается прямой АС в точке А. Найти
площадь треуrольника АВС, зная, что L В == CJ.., L А == .
131. В треуrольнике АВС биссектриса АК перпендикулярна
медиане ВМ, а уrол В равен 1200. Найти отношение площа-
ди треуrольника АВС к площади описанноrо около этоrо тре-
уrольника Kpyra.
132. В прямоуrольном треуrольнике АВС через середины
АВ и АС проведена окружность, касающаяся стороны ВС.
Найти ту часть rипотенузы АС, которая лежит внутри этой
окружности, если I АВ I == 3, I ВС I == 4.
133. Дан отрезок а. Три окружности радиуса R (а < 4R)
имеют центры в концах отрезка и в ero середине. Найти радиус
четвертой окружности, касающейся трех данных.
134. Найти уrол между общей внешней касательной и об-
щей"внутренней касательной к двум окружностям, если их ра-
ди усы равн ы R и r, а расстояние между их центрами равно
V2 (R 2 + r 2 ) (центры окружностей находятся по одну сторону от
общей внешней касательной и по разные стороны от общей
внутренней касательной).
135. Отрезок АВ есть диаметр Kpyra, а точка С лежит вне
этоrо Kpyra. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью
в точках D и Е соответственно. Найти уrол CBD, если площади
треyrольников DCE и АВС относятся как 1: 4.
136. В ромбе ABCD со стороной а уrол при вершине А ра-
вен 1200. Точки Е и F лежат на сторонах ВС и AD соответ-
ственно, отрезок ЕР и диаrональ ромба АС пересекаются
в точке М. Площади четырехуrольников BEF А и ECDF отно-
сятся как 1: 2. Найти I ЕМ 1, если I АМ I : I МС I == 1 : З.
137. Дана окружность радиуса R с центром в точке О. Из
конца отрезка ОА, пересекающеrося с окружностью в точке М,
проведена касательная к окружности АК. Найти радиус окруж-
ности, касающейся отрезков АК, АМ и дуrи МК, если
L ОАК == 600.
138. В кpyr вписан равнобедренный треуrольник АВС, в ко-
тором I АВ I == I ВС I и L В ==. Средняя линия треyrольника
продолжена до пересечения с окружностью в точках D и
18

Е (DE 11 АС). Найти отношение площадей треуrольников Аве
и DBE.
139. Дан уrол сх с вершиной О. На одной ero стороне взята
точка М и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересече-
ния с дрyrой стороной в точке N. Точно так же в точке К на
друrой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения
с первой стороной в точке Р. Пусть В  точка пересечения
прямых MN и КР, а А  точка пересечения прямых ОБ и NB.
Найти IOAI, если IOMI ==а, IOPI ==Ь.
140. Две окружности радиусов R и r касаются сторон дан-
Horo yr ла и дрyr друrа. Найти радиус третьей окружности, ка-
сающейся сторон Toro же уrла, центр которой находится в точ-
ке касания данных окружностей между собой.
141. Расстояние между центрами непересекающихся окруж-
ностей равно а. Доказать, что четыре точки пересечения общих
внешних касательных с общими внутренними касательными ле-
жат на одной окружности. Найти радиус этой окружности.
142. Доказать, что отрезок общей внешней касательной
к двум окружностям, заключенный между общими внутрен-
ними касательньiми, равен длине общей внутренней каса-
тельной.
143. В Kpyre с центром О проведены два взаимно перпенди-
кулярных радиуса ОА и ОБ, е  точка на дуrе АВ такая, что
L АОС == 600 (L ВОС == 300). Окружность с центром в А и ра-
диусом АВ пересекает продолжение ОС за точку С в точке D.
Доказать, что отрезок CD равен стороне правильноrо десяти-
уrольника, вписанноrо в окружность.
Возьмем теперь точку М, диаметрально противоположную
точке С. Отрезок М D, увеличенный на 1/5 своей длины, при-
нимается приближенно равным полуокружности. Оценить по-
rрешность этоrо приближенноrо равенства.
144. Дан прямоуrольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина
правильноrо треуrольника совпадает с вершиной прямоуrоль-
ника, а две друrие находятся на ero сторонах, не содержащих
этой вершины. Найти площадь правильноrо треуrольника.
145. Найти радиус наименьшей окружности, содержащей
равнобочную трапецию с основаниями 15 и 4 и боковыми сто-
ронами, равными 9.
146. АБСD  прямоуrольник, в котором 1 АВ I == 9, I ВС I ==
== 7. На стороне CD взята точка М так, что I СМ I == 3, а на
стороне AD  точка N так, что I AN I == 2,5. Найти радиус наи-
большей окружности, которая помещается внутри пятиуrоль-
ника АБСМN.
147. Найти наибольший уrол треyrольника, если известно,
что радиус окружности, вписанной в треуrольник с вершинами
19

в основаниях высот данноrо треуrольника, в два раза меньше
наименьшей высотыI данноrо треуrольника.
148. В треуrольнике АВС биссектриса уrла С перпендику"
лярна медиане, выходящей из вершины В. Центр вписанной
окружности лежит на окружности, проходящей через точки А,
С и центр описанной окружности. Найти I АВ 1, если I ВС I == 1.
149. Точка М удалена от сторон правильноrо треуrольника
(от прямых, на которых расположены ero стороны) на расстоя-
ния 2, 3 и 6. Найти сторону правильноrо треуrольника, если из-
вестно, что ero площадь меньше 14.
150. Точка М удалена от сторон уrла в 60° на расстояния
УЗ и з УЗ (основания перпендикуляров, опущенных из М на
стороны уrла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях).
Прямая, проходящая через М, пересекает стороны уrла и отсе-
кает треуrольник периметра 12. Найти площадь этоrо тре..
уrольника.
151. Дан прямоyrольник ABCD, в котором I АВ 1== 4;
I ВС I == 3. Найти сторону ромба, одна вершина KOToporo совпа..
дает с А, а три друrие лежат по одной на отрезках АВ, ВС
и BD.
152. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Найти сторону ром-
ба, ОДНа вершина KOToporo совпадает с А, противоположная
лежит на прямой BD, а две оставшиеся  на прямых ВС и CD.
153. В параллелоrрамме ABCD острый уrол равен r:t.
Окружность радиуса r проходит через вершины А, В и С
и пересекает прямые AD и CD в точках М и N. Найти площадь
треyrольника BMN.
154. Окружность, проходящая через вершины А, В и С па..
раллелоrрамма ABCD пересекает прямые AD и CD в точках
М и N. Точка М удалена от вершин В, С и D соответственно
на расстояния 4, 3 и 2. Найти I м N I .
155. В треyrольнике АВС известно, что L ВАС == 1[/6.
Окружность с центром в А и радиусом, равным высоте, опу-
щенной на ВС, делит площадь треуrольника пополам. Найти
наибольший уrол треуrольника АВС.
156. В равнобедренном треуrольнике АВС известно, что
L В == 120°. Найти общую хорду окружности, описанной около
АВС, и окружности, проходящей через центр вписанноrо Kpyra
и основания биссектрис уrлов А и С, если I АС I == 1.
157. В треуrольнике АВС сторона ВС равна а, радиус впи"
санной окружности равен r. Определить радиусы двух равных
окружностей, касающихся друr друrа, причем одна из них ка- I
сается сторон ВС и ВА, а друrая  ВС и СА.
158. В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые,
проходящие через концы одноrо основания параллельно бо-
20

ковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая
сторона видна из центра под уrлом r:J.,. Найти площадь
трапеции.
. 159. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна с.
Вкаких пределах может меняться расстояние между центром
вписанноrо Kpyra и точкой пересечения медиан?
160. Стороны параллелоrрамма равны а и Ь (а #= Ь). В каких
пределах может меняться косинус oCTporo уrла между диаrона-
лями?
161. Через точку М внутри треуrольника АВС проведены
три прямые, параллельные сторонам треуrольника. Отрезки
прямых; заключенные внутри треуrольника, равны между со..
бой. Найти длины этих отрезков, если стороны треуrольника
равны а, Ь и с.
162. В треуrольнике АВС помещены три равные окружно"
сти, каждая из которых касается двух сторон треуrольника. Все
три окружности имеют одну общую точку. Найти радиусы
этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окруж"
ностей треуrольника АВС равны r и R.
163. В треyrольнике АВС проведена медиана AD, L DAC +
+ L АВС == 900. Найти L ВАС, если известно, что I АВ I -1=
-1= IACI.
164. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друr друrа
внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей че-
рез точки касания этих окружностей.
165. В равнобедренный треуrольник вписан квадрат единич-
ной площади, сторона KOToporo лежит на основании треуrоль-
ника. Найти площадь треуrольника, если известно, что центры
тяжести треyrольника и квадрата совпадают.
166. В равностороннем треуrольнике АВС сторона равна а.
На стороне ВС лежит точка D, а на АВ  точка Е так, что
1 BD 1 == а/3,  АЕ 1 == I DE 1. Найти 1 СЕ 1.
167. В прямоуrольном треуrольнике АВС из вершины пря-
Moro уrла С проведены биссектриса CL(I CLI == а) и медиана
СМ ( 1 СМ I == Ь). Найти площадь треуrольника АВС.
168. В трапецию вписана окружность. Найти площадь тра-
пеции, если известны длина а одноrо из оснований и от-
резки Ь и d, на которые разделена точкой касания одна из
БоковыIx сторон (отрезок Ь примыкает к данному основа-
нию а).
169. В трапеции диаrонали равны 3 и 5, а отрезок, соеди-
няющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапе-
ции.
170. Окружность радиуса 1 вписана в треуrольник АВС,
в котором cos В == 0,8. Эта окружность касается средней линии
21

треуrольника АВС, параллельной стороне АС. Найти длину
стороны АС.
171. Дан правильный треуrольник АВС площади S. Парал
лельно ero сторонам на равном расстоянии от них проведены
три прямые, пересекающиеся внутри треyrольника и образую
щие в пересечении треyrольник А 1 В 1 С 1 площади Q. Найти pac
стояние между параллельными сторонами треуrольников АВС
и А 1 В 1 С 1 .
172. Стороны АВ и CD четырехуrольника ABCD перпенди
кулярны и являются диаметрами двух равных касающихся
окружностей радиуса r. Найти площадь четырехyrольника
ABCD, если 'BCI : 'AD' == k.
173. В yrол, величина KOToporo СХ, вписаны две касающиеся
друr друrа окружности. Определить отношение радиуса Meнь
шей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся
первых двух и одной из сторон yr ла.
174. В треyrольнике АВС на средней линии DE, параллель
ной АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая
стороны АС и ВС в точках М и N. Найти 'MNI, если IBC1 ==
== а, 1 А С 1 == ь, 1 АВ I == с.
175. Расстояние между центрами двух окружностей равно а.
Найти сторону ромба, две противоположные вершины KOTOpO
ro лежат на одной окружности, а две оставшиеся..... на друrой,
если радиусы этих окружностей равныI R и r.
176. Найти площадь ромба ABCD, если радиусы окружно
стей, описанныIx около треуrольников АВС и ABD, равны R и r.
177. Дан yrол величины сх с вершиной в А и точка В на pac
стоянии а и Ь от сторон yrла. Найти 'АВ 1.
178. Даны ha и h b  высоты треyrольника АВС, опущенные
из вершин А и В, и длина 1 биссектрисы уrла С. Найти L С.
179. Около прямоyrольноrо треyrольника описана окруж
ность. Друrая окружность Toro же радиуса касается катетов
этоrо треyrольника, причем одной из точек касания является
вершина треуrольника. Найти отношение площади треуrольни
ка к площади общей части двух данных крутов.
180. В трапеции ABCD дано: 1 АВ 1 == 1 ВС 1 == 1 CD 1 == а,
'DA 1 == 2а. На прямых АВ и AD взяты точки Е и Р, отличныIe
от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот Tpe
yrольника СЕР совпадает с точкой пересечения диаrоналей
трапеции ABCD. Найти площадь треуrольника СЕР.
*
* *
181. Высота прямоyrольноrо треуrольника АВС, опущенная
на rипотенузу АВ, равна h, D ..... основание высоты, М и N  ce
22

редины отрезков AD и DB. Найти расстояние от вершины С до
точки пересечения высот треyrольника CMN.
182. ABCD  равнобочная трапеция с основаниями AD
и ВС; I АВ I == I CD 1 == а, I АС 1 == I BD I == Ь, I ВС 1 == с, М  произ-
вольная точка дуrи ВС окружности, описанной около ABCD.
v 'ВМI + 'МСI
Наити отношение .
'АМI + IMDI
183. Боковые стороны равнобедренноrо треуrольника
равны 1, основание равно а. Около треyrольника описана
окружность. Найти хорду, пересекающую боковые стороны
треуrольника и делящуюся точками пересечения на три равные
отрезка.
184. MN  диаметр окружности, 1 MN 1 == 1, А и В  точки
окружности, расположенные по одну сторону от MN, С  на
дрyrой полуокружности. Дано: А  середина полуокружности,
I М В 1 == 3/5, длина отрезка, образованноrо при пересечении
диаметра MN с хордами АС и ВС, равна а. Чему равно
наибольшее значение а?
185. ABCD  выпуклый четырехyrольник, М  середина АВ,
N  середина CD. Известно, что площади треуrольников ABN
и CDM равны, а площадь их общей части в k раз меньше пло-
щади каждоrо из них. Найти отношение сторон ВС и AD.
186. ABCD  равнобочная трапеция (AD 11 ВС), в которой
острый yrол при большем основании равен 600, а диаrональ
равна уз. Точка М удалена от вершин А и D соответственно
на расстояния 1 и 3. Найти I МС 1.
187. Биссектриса каждоrо yrла треyrольника пересекает
противоположную сторону в точке, равноудаленной от середин
двух друrих сторон треyrольника. Следует ли из этоrо, что
треуrольник  правильный?
188. В треуrольнике даны две стороны а и Ь (а> Ь). Найти
третью сторону, если известно, что а + ha  Ь + h b , rде ha и
hb  высоты, опущенные на эти стороны (ha  высота к сто-
роне а).
189. ABCD  выпуклый четырехуrольник, описанный около
окружности диаметра 1. Внутри ABCD существует такая точка
М, что IMAI2+ IMBI2+ IMCI 2 + IMDI2==2. Найти пло-
щадь ABCD.
190. ABCD  четырехуrольник: I АВ I == а, I ВС I == Ь,
I CD 1== с, I DA 1== d; а 2 + с 2 #- Ь 2 + d 2 , с #- d, М  точка прямой
BD, равноудаленная от А и С. Найти отношение I ВМ I : I MD 1.
191. Меньшая сторона прямоуrольника ABCD равна 1. Рас-
смотрим четыре концентрические окружности с центром в А
и проходящие соответственно через В, С, D и точку пересечения
23

диаrоналей прямоуrольника ABCD. Известно, что существует
прямоуrольник с вершинами на построенных окружностях (по
одной на каждой). Доказать, что существует квадрат с вер..
шинами на построенных окружностях. Найти сторону этоrо
квадрата.
192. Дан треуrольник АВС. Перпендикуляры, восставленные
к АВ и ВС в их серединах, пересекают прямую АС в точках
М и N так, что I MN 1 == I АС 1. Перпендикуляры, восставленные
к АВ и АС в их серединах, пересекают ВС в точках К и L так,
1
что 1 KL I ==  1 ВС 1. Найти наименьший уrол треуrольника
2
АВС.
193. На стороне АВ треуrольника АВС взята точка М так,
что прямая, соединяющая центр описанной около АВС окруж"
ности с точкой пересечения медиан треуrольника ВСМ перпен-
дикулярна СМ. Найти отношение 1 ВМ 1 : 1 ВА 1 , если
I ВС 1 : 1 ВА 1 == k.
194. Во вписанном четырехуrольнике ABCD, в котором
1 АВ 1 == 1 ВС 1, к  точка пересечения диаrоналей. Найти 1 АВ 1 ,
если 1 ВК I == ь, 1 KD 1 == d.
195. Интерпретировать rеометрически уравнение 1 и си-
стемы 2, 3 и 4. Решить уравнение 1 и системы 2 и 3. В системе
4 найти х + у + z:
1)V x 2 + а 2  аХVЗ+ Vy2 + ь 2  ЬУVЗ+ Vx 2 + у2  хууз ==
== v а 2 + ь 2 (а > О, Ь > О).
2) { х == V Z2  а 2 + V у2  а 2 ,
у == v х 2  ь 2 + V Z2  ь 2 ,
Z == V у2  с 2 + V х 2  с 2 .
3) х 2 + у2 == (а  х)2 + ь 2 == а 2 + (ь  у)2.
4) { х2 + ху + у2 == а 2 ,
у2 + yz + Z2 == Ь 2 ,
Z2 + zx + х 2 == а 2 + ь 2 .
196. Сторона квадрата равна а, произведения расстояний от
противоположных вершин до прямой 1 равны между собой.
Найти расстояние от центра квадрата до прямой 1, если извест-
но, что ни одна из сторон квадрата не параллельна 1.
197. В треуrольнике АВС одна из сторон в два раза больше
друrой, кроме Toro, L В == 2L С. Найти уrлы треуrольника.
198. Окружность касается равных сторон АВ и АС равно..
бедренноrо треуrольника АВС. Пусть М  точка касания со
24

стороной АВ, N  точка пересечения окружности с основанием
ВС. Найти 1 AN 1, если I АМ I == а, 1 ВМ 1 == Ь.
199. ABCD  параллелоrрамм, в котором I АВ 1 == k I ВС 1,
1< и L  точки на прямой CD (К  на стороне CD), а М 
точка на ВС, причем AD  биссектриса уrла KAL, АМ  бис-
 f сектриса уrла КАВ, I ВМ I == а, I DL,I == Ь. Найти I ALI.
200. Дан параллелоrрамм ABCD. Прямая, проходящая че-
рез вершину С, пересекает прямые АВ и AD в течках К и L.
Площади треуrольников КВС и CDL равны р и q. Найти пло-
щадь параллелоrрамма ABCD.
201. Дана окружность радиуса R и две точки А и В на ней,
I АВ I == а. Две окружности радиусов х и у касаются данной
в точках А и В. Найти: а) отрезок общей внешней касательной
к двум последним окружностям, если обе они касаются данной
одинаковым образом (внутренним или внешним); б) отрезок
общей внутренней касательной, если окружность радиуса х ка-
сается данной внешним образом, а окружность радиуса у ка-
сается данной внутренним образом.
202. В треуrольнике АВС известно: I АВ I == 12, I ВС I == 13,
I СА I == 15. На стороне АС взята точка М так, что радиусы
окружностей, вписанных в треуrольники АВМ и ВСМ равны.
Найти отношение I АМ I : I м С 1.
203. Радиусы вписанной и описанной окружностей тре-
уruльника равны соответственно r и R. Найти ero площадь, если
известно, что окружность, проходящая через центры вписанной
и описанной окружностей и через точку пересечения высот
треуrольника, проходит, по крайней мере, через одну вершину
треуrольника.
204. Дан прямоуrольник ABCD, в котором I АВ I == 2а,
I ВС I == а V2. На стороне АВ как на диаметре во внешнюю сто-
рону построен полукруr. Пусть М  произвольная точка
на полуокружности, прямая MD пересекает АВ в точке N,
а прямая МС  в точке L. Найти 1 ALI2 + 1 BN 12 (з а Д а ч а
Ф е р м а).
205. ОI<:РУЖНОСТИ радиусов R и r касаются друr друrа вну-
тренним образом. Найти сторону правильноrо треуrольника,
одна вершина KOToporo совпадает с точкой касания, а две дру-
rие лежат на разных данных окружностях.
206. Две окружности радиусов R и r (R > r) имеют внешнее
касание в точке А. Через точку В, взятую на большей окружно-
сти, проведена прямая линия, касающаяся меньшей окружности
в точке С. Найти 1 ВС 1, если 1 АВ 1 == а.
207. В параллелоrрамме ABCD находятся три попарно ка-
сающиеся окружности, причем одна из них касается также сто-
рон АВ и ВС, друrая  АВ и AD, а третья  ВС и AD. Найти
25

радиус третьей окружности, если расстояние между точками
касания на стороне АВ равно й.
208. Диаrонали четырехуrольника ABCD пересекаются
в точке М, yrол между ними равен r:J.,. Пусть 01, 02' Оз,
О 4  центры окружностей, описанных соответственно около
треуrольников АВМ, ВСМ, CDM, DAM. Определить отноше-
ние площадей четырехуrольников ABCD и 01020з04'
209. В параллелоrрамме площади 8 проведены биссектрисы
ero внутренних уrлов. Площадь четырехуrольника, получивше-
rося при их пересечении, равна Q. Найти отношение сторон
параллелоrрамма.
210. В треуrольнике АВС на стороне АС взята точка М,
а на стороне ВС..... точка N. Отрезки AN и ВМ пересекаются
в точке о. Найти площадь треуrольника CMN, если площади
треуrольников ОМА, ОАВ и ОВМ соответственно равны 81,
82, 8 з.
211. Точка пересечения медиан прямоуrольноrо треуrольни..
ка лежит на окружности, вписанной в этот треуrольник. Найти
острые yrлы треyrольника.
212. Окружность, вписанная в треуrольник АВС, делит ме-
диану ВМ на три равные части. Найти отношение
I ВС 1 : 1 СА 1 : 1 АВ 1.
213. В треyrОЛЬНИI<:е АВС срединный перпендикуляр к сто-
роне АВ пересекает прямую АС в точке М, а срединный пер-
пендикуляр к стороне АС пересекает прямую АВ в точке N. Из-
вестно, что 1 MN I == I ВС I и прямая MN перпендикулярна пря-
мой ВС. Определить уrлы треyrольника АВС.
214. Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС рав-
на 8, I AD I : 1 ВС I == 3; на прямой, пересекающей продолжение
основания AD за точку D, расположен отрезок EF так, что
АЕ 11 DF, ВЕ 11 СР и I АЕ I : I DF I == I СР I : I ВЕ I == 2. Определить
площадь треyrольника EFD.
215. Сторона ВС треуrольника АВС равна а, радиус вписан-
Horo Kpyra r. Найти площадь треуrольника, если вписанный
Kpyr касается окружности, построенной на ВС как на диаметре.
216. Дан правильный треyrольник АВС со стороной а,
BD  ero высота. На BD построен второй прав ильный тре-
уrольник BDC 1 и на высоте BD 1 этоrо треуrольника  третий
правильный треyrольник ВР1 С 2 . Найти радиус окружности,
описанной около треуrольника СС 1 С 2 . Доказать, что ее центр
находится на стороне треуrольника АВС (С 2 находится вне
треуrольника АВС).
217. Стороны параллелоrрамма равны а и Ь (а -=1= Ь). Через
вершины тупых уrлов этоrо параллелоrрамма проведены
прямые, перпендикулярные сторонам. Эти прямые при пересе-
26

чении образуют параллелоrрамм, подобный исходному. Найти
косинус oCTporo уrла данноrо параллелоrрамма.
218. В треyrольнике KLM проведены биссектрисы KN и LP,
пересекающиеся в T01JKe Q. Отрезок PN имеет длину 1, а Bep
шина М лежит на окружности, проходящей через точки N, Р,
Q. Найти стороны и yrлы треуrольника PNQ.
219. На диаrонали АС выпуклоrо четырехуrольника ABCD
находится центр окружности радиуса r, касающейся сторон АВ,
AD и ВС. На диаrонали BD находится центр окружности TaKO
ro же радиуса r, касающейся сторон ВС, CD и AD. Найти пло
щадь четырехуrольника ABCD, зная, что указанные окружности
касаются друr друrа внешним образом.
220. Радиус окружности, описанной около остроyrольноrо
треyrольника АВС, равен 1. Известно, что на этой окружности
лежит центр окружности, проходящей через вершины А, С
и точку пересечения высот треуrольника АВС. Найти 1 АС 1.
221. В треуrольнике АВС взяты точки М, N иР; м
и N  на сторонах АС и ВС, Р  на отрезке MN, причем
IAMI: IMCI == ICNI: INBI == IMPI: IPNI. Найти площадь
треyrольника АВС, если площади треуrольников АМР и BN Р
равны Т и Q.
222. Дана окружность радиуса R и точка А на расстоянии
а от ее центра (а > R). Пусть К  ближайшая к А точка окруж-
ности. Секущая, проходящая через А, пересекает окружность
в точках М и N. Найти I м N 1, если площадь треуrольника
KMN равна S.
223. В равнобедренном треyrольнике АВС (1 АВ I == 1 ВС I )
через конец Е биссектрисы АЕ проведен перпендикуляр к АЕ
дО пересечения с продолжением стороны АС в точке F (С 
между А и F). Известно, что 1 АС t == 2т, I FC 1 == т/4. Найти пло-
щадь треуrольника АВС.
224. Два одинаковых правильных треуrольника АВС и CDE
со стороной 1 расположены на плоскости так, что имеют толь-
ко одну общую точку С и уrол BCD меньше, чем 1t/З. Точка
К  середина АС, точка L  середина СЕ, точка М середина
BD. Площадь треуrольника KLМ равна VЗ/5. Найти t BD 1.
225. Из точки К, расположенной вне окружности с центром
О, проведены к этой окружности две касательные КМ и KN (М
и N  точки касания). На хорде М N взята точка С (1 м С I <
< t CN 1). Через точку С перпендикулярно к отрезку ОС ПрОБе-
дена прямая, пересекающая отрезок N К в точке В. Известно,
что радиус окружности равен R, L MKN == (Х, 1 МС I == Ь. Найти
ICBI.
226. Пятиyrольник ABCDE вписан в окружность. Точки М,
Q, N и Р являются основаниями перпендикуляров, опущенных
27

из вершины Е соответственно на стороны АВ, ВС, CD (или их
продолжения) и диаrональ AD. Известно, что 1 ЕР 1 == d, а отно-
шение площади треуrольника MQE к площади треуrольника
PNE равно k. Найти 1 ЕМ 1.
227. Дана прямоуrольная трапеция. Известно, что HeKOTO
рая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две тра-
пеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Опре-
делить основания исходной трапеции, если ее боковые стороны
равны с и d (d > с).
228. На боковых сторонах KL и М N равнобочной трапеции
KLMN выбраны соответственно точки Р и Q так, что отрезок
PQ параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую
из трапеций KPQN и PLMQ можно вписать окружность и ра-
диусы этих окружностей равны R и r соответственно. Опреде-
лить основания 1 LМ 1 и 1 KN 1 .
229. В треуrольнике АВС биссектриса уrла А пересекает
сторону ВС в точке D. Известно, что 1 АВ 1  1 BD 1 == а,
1 АС 1 + 1 CD 1 == Ь. Найти 1 AD 1.
230. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что
квадрат биссектрисы треуrольника равен про изведению сторон,
ее заключающих, минус произведение отрезков третьей сто-
роны, на которые она разделена биссектрисой.
231. Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность
с центром в А пересекает первую окружность в точках С и
D и диаметр в точке Е. На дуrе СЕ, не содержащей точки D,
взята точка М, отличная от точек С и Е. Луч ВМ пересекает
первую окружность в точке N. Известно, что 1 CN 1 == а,
IDNI ==Ь. Найти IMNI.
232. В треуrольнике АВС уrол В равен те/4, уrол С равен
те/6. На медианах BN и CN как на диаметрах построены окруж-
ности, пересекающиеся в точках Р и Q. Хорда PQ пересекает
сторону ВС в точке D. Найти отношение 1 BD 1 : 1 DC 1.
233. Пусть АВ  диаметр окружности, О  ее центр,
1 АВ 1 == 2R, С  точка на окружности, М  точка на АС. Из
М опущен перпендикуляр MN на АВ и восставлен перпендику-
ляр к АС, пересекающий окружность в точке L (отрезок CL
пересекает АВ). Найти расстояние между серединой АО и сере-
диной CL, если 1 AN 1 == а.
234. Около треуrольника АВС описана окружность. Каса-
тельная к окружности, проходящая через точку В, пересекает
прямую АС в точке М. Найти отношение 1 АМ 1 : 1 МС 1, если
1 АВ 1 : 1 ВС 1 == k.
235. На прямой последовательно расположены точки А, В,
С и D, причем 1 АС 1 == rt 1 АВ 1, 1 AD 1 ==  1 АВ 1. Через А и В про-
ведена произвольная окружность, СМ и DN  две касательные
28

к этой окружности (М и N  точки на окружности, лежащие по
разные стороны от прямой АВ). В каком отношении прямая
MN делит отрезок АВ?
236. ABCD  описанный четырехуrольник, отрезки от А до
точек касания равны а, отрезки от С до точек касания равны Ь.
В каком отношении диаrональ АС делится диаrональю BD?
237. Точка К лежит на основании AD трапеции ABCD, при..
чем IAKI ==лIАDI. Найти отношение IAMI: IMD), rде
м  точка пересечения с AD прямой, проходящей через точки
пересечения прямых АВ и CD и прямых ВК и АС.
Беря л == l/п (п == 1, 2, 3, .. .), получить способ деления дан..
Horo отрезка на п равных частей с помощью одной линейки,
если дана прямая, ему параллельная.
238. В прямоуrольном треуrольнике АВС с rипотенузой АВ,
равной с, на высоте CD как на диаметре построена окруж-
ность. Касательные к этой окружности, проходящие через
точки А и В, касаются ее в точках М и N и пересекаются
при продолжении в точке К. Найти 1 м к 1.
239. На сторонах АВ, ВС и СА треуrольника АВС взяты
точки С 1 , А 1 И В 1 так, что IAC 1 1: IC 1 BI == IBA11: IA 1 CI ==
== ICB 1 1: IBIAI ==k. На сторонах А 1 В 1 , В 1 С 1 и С 1 А 1 взяты
точки С 2 , А 2 И В 2 так, что 1 А 1 С 2 1 : 1 С 2 В 1 1 ==
== 1 В 1 А 2 1: 1 А 2 С 1 1 == 1 С l В 21 : 1 В 2 А 1 1 == l/k. Доказать, что тре..
уrольник А 2 В 2 С 2 подобен треуrольнику АВС, и найти коэффи
циент подобия.
240. В треуrольнике АВС даны R и r  радиусы описанной
и вписанной окружностей. Пусть А 1 , В 1 , С 1  точки пере-
сечения биссектрис треуrольника АВС с описанной окруж"
ностью. Найти отношение площадей треуrольников АВС и
А 1 В 1 С l'
241. Имеются два треуrольника с соответственно парал-
лельными сторонами и площадями S 1 и S 2' причем один из них
вписан в треуrольник АВС, а друrой около Hero описан. Найти
ПЛОlцадь треуrольника АВС.
242. Определить уrол А треуrольника АВС, если известно,
что биссектриса этоrо уrла перпендикулярна прямой, проходя-
щей через точку пересечения высот и центр описанной окруж-
ности этоrо треуrольника.
243. Найти уrлы треyrольника, если известно, что расстоя-
ние между центром описанной окружности и точкой пересече-
ния высот вдвое меньше наибольшей стороны и равно на-
именьшей стороне.
244. Дан треуrольник АВС. На луче ВА возьмем точку
D' так, что 1 BD 1 == 1 ВА 1 + 1 АС 1. Пусть к и М  две точки на
лучах ВА и ВС соответственно таких, что площадь треуrольни-
29

ка BDM равна площади треуrольника ВСК. Найти L ВКМ, ес-
ли L ВАС == \1.,.
245. В трапеции ABCD боков ая сторона АВ перпендикуляр-
на AD и ВС, причем 1 АВ I == V 1 AD I · 1 ВС 1. Пусть Е..... точка
пересеченця непараллельных сторон трапеции, О ..... точка пере-
сечения диаrоналей, М ..... середина АВ. Найти L ЕОМ.
246. На плоскости даны две прямые, пересекающиеся в точ-
ке О, и две точки А и В. Обозначим основания перпендикуля-
ров, опущенных из А на данные прямые, через М и N, а осно-
вания перпендикуляров, опущенных из В,  соответственно
через К и L. Найти уrол между прямыми М N и KL, если
L АОВ == \1.,  900.
247. Две окружности касаются друr друrа внутренним обра..
зом в точке А. Из О  центра большей окружности ..... проведен
радиус ОВ, касающийся меньшей окружности в точке С. Найти
L ВАС.
248. Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что
L МАВ == 600, L MCD == 150. Найти L МВС.
249. В треуrольнике АВС известны уrлы: L А == 450, L В ==
== 150. На продолжении стороны АС за точку С взята точка
М так, что ICMI ==2IACI. Найти LAMB.
250. В треyrольнике АВС, в котором L В == 600, биссектриса
уrла А пересекает ВС в точке М. На стороне АС взята точка
К так, что L АМК == 300. Найти L ОКС, rде О ..... центр окруж-
ности, описанной около треуrольника АМС.
251. Дан треyrольник АВС, причем 1 АВ 1 == I АС 1, L А ==
== 800. а) Внутри треуrольника взята точка М такая, что
L МВС == 300, L МСВ == 100. Найти L АМС. б) Вне треуrольни-
ка взята точка Р так, что L РВС == L РСА == 300 и отрезок ВР
пересекает сторону АС. Найти L РАС.
252. В треуrольнике АВС дано: L В == 1000, L С == 650; на
АВ 6зята точка М так, что L МСВ == 550, а на АС  точка
N так, что L NBC == 800. Найти L NMC.
253. В треуrольнике АВС дано: 1 АВ 1 == I ВС 1, L В == 200; на
АВ взята точка М так, что L МСА == 600, а на СВ  точка
N так, что L NAC == 500. Найти L NMC.
254. В треуrольнике АВ С дано: L В == 700, L С == 500; на АВ
взята точка М так, что L МСВ == 400, а на АС  точка N так,
что L NBC == 500. Найти L NMC.
255. Пусть М и N ..... точки касания вписанной окружности
со сторонами ВС и ВА треуrольника АВС, К  точка пересече-
ния биссектрисы уrла А с прямой MN. Доказать, что L АКС ==
== 900.
256. Пусть Р и Q  такие две различные точки окружности,
описанной около треуrольника АВС, что I Р А I 2 == 1 р В 1 . 1 РС I ,
30

I QA \2 == I QB  . I QC I (одна из точек  на дyrе АВ, дрyrая ..... на
дуrе АС). Найти разность L Р АВ  L QAC, если разность
yrлов В и С треyrольника АВС равна tt.
257. На данной окружности взяты две фиксироваJ{ные точки
А и В, u АВ == tt. Произвольная окружность проходит через
точки А и В. Через А также проведена произвольная прямая 1,
вторично пересекающая окружности в точках С и D (С  на
данной окружности). Касательные к окружностям в точках С
и D (С и D  точки касания) пересекаются в точке М; N  точ-
ка на 1 такая, что 1 CN 1 == 1 AD 1, 1 DN I == 1 СА 1. Какие значения
может принимать L CMN?
258. Доказать, что если в треyrольнике один yrол равен
1200, то треуrольник, образованный основаниями ero биссек--
трис, прямоуrольный.
259. В четырехуrольнике ABCD дано: L DAB == 1500,
L DAC + L ABD == 1200, L DBC  L ABD == 600. Найти L BDC.
*
* *
260. В треуrольнике АВС дано: I АВ I == 1, 1 АС 1 == 2. Найти
1 Ве 1, если известно, что биссектрисы внешних yrлов А и
С равны между собой (рассматриваются отрезки от вершины
до точки пересечения соответствующей биссектрисы с пря--
мой, на которой лежит противоположная сторона треуrоль-
ника).
261. На стороне СВ треyrольника АВС взята точка D так,
что I CD 1 == tt 1 АС 1. Радиус окружности, описанной около тре--
уrольника АВС, равен R. Найти расстояние между центром
окружности, описанной около треуrольника АВС и центром
окружности, описанной около треуrольника ADB.
262. Около прямоуrольноrо треуrольника АВС (L С == 900)
описана окружность. Пусть CD  высота треуrольника. Окруж--
ность 'с центром в D проходит через середину дуrи АВ и пере--
секает АВ в точке М. Найти 1 СМ 1, если 1 АВ 1 == с.
263. Найти периметр треyrольника АВС, если 1 ВС 1 == а
и отрезок прямой, касательной к вписанному Kpyry и парал
лельной ВС, заключенный внутри треуrольника, равен Ь.
264. В треуrольнике проведены три прямые, параллельные
ero сторонам и касающиеся вписанной окружности. Они отсе-
кают от данноrо треуrольника три треyrольника. Радиусы
окружностей, описанных около них, равны R 1 , R 2 , R з . Найти
радиус окружности, описанной около данноrо треуrольника.
265. В окружности радиуса R проведены хорды АВ и АС.
На АВ или на ее продолжении за точку В взята точка М, pac
31

стояние от которой до прямой АС равно 1 АС 1. Аналоrично, на
АС или на продолжении ее за точку С взята точка N, расстоя-
ние от которой до прямой АВ равно 1 АВ 1. Найти I м N 1.
266. Дана окружность радиуса R с центром О. Две друrие
окружности касаются данной изнутри и пересекаются в точках
А и В. Найти сумму радиусов двух последних окружностей, ес..
ли известно, что L О АВ == 900.
267. В Kpyre радиуса R проведены две пересекающиеся пер-
пендикулярные между собой хорды. Найти: а) сумму квадра-
тов четырех отрезков этих хорд, на которые они делятся точ-
кой пересечения; б) сумму квадратов хорд, если расстояние от
центра Kpyra до их точки пересечения равно а.
268. Даны две концентрические окружности радиусов r и R
(r < R). Через некоторую точку Р меньшей окружности прове-
де на прямая, пересекающая большую окружность в точках В
и С. Перпендикуляр к ВС в точке Р пересекает меньшую
окружность в точке А. Найти 1 Р А 12 + I РВ 12 + 1 РС 12.
269. В полукруrе из концов диаметра проведены две пересе-
кающиеся хорды. Доказать, что сумма произведений отреза
каждой хорды, примыкающеrо к диаметру, на всю хорду равна
квадра ту диаметра.
270. Пусть а, Ь, с и d ..... длины сторон вписанноrо четырех-
уrольника (а и с  противоположные стороны), ha, h b , hc и
hd  расстояния от центра описанноrо Kpyra до соответствую-
щих сторон. Доказать, что если центр Kpyra  внутри четырех
уrольника, то ahc + cha == bh d + dhb'
271. Противоположные стороны четырехуrольника, вписан-
Horo в окружность, пересекаются в точках Р и Q. Найти 1 PQ 1 ,
если касательные к окружности, проведенные из Р и Q, равны
а и Ь.
272. В окружность радиуса R вписан четырехуrольник.
Пусть Р, Q и м  соответственно точки пересечения диаrона-
лей этоrо четырехуrольника и продолжений противоположных
сторон. Найти стороны треуrольника PQM, если расстояния от
Р, Q и м до центра окружности равны а, Ь и с.
273. Четырехуrольник ABCD описан около окружности ра-
диуса r. Точка касания окружности со стороной АВ делит эту
сторону на отрезки а и Ь, а точка касания окружности со сторо-
ной AD делит ее на отрезки а и с. В каких пределах может ме-
няться r?
274. Окружность радиуса r касается изнутри окружности
радиуса R; А  точка касания. Прямая, перпендикулярная ли-
нии центров, пересекает одну окружность в точке В, друrую ..... в
точке С. Найти радиус окружности, описанной около треуrоль-
ника АВС.
32

275. Две окружности радиусов R и r пересекаются; А .... од-
на из точек пересечения, ВС .... общая касательная (В и С ..... точ
ка касания). Найти радиус окружности, описанной около треу-
rольника АВС.
276. В четырехуrольнике ABCD дано: 1 АВ 1 == й, I AD 1 == Ь;
стороны ВС, CD и AD касаются некоторой окружности, центр
которой находится в середине АВ. Найти 1 ВС 1.
277. Во вписанном четырехуrальнике ABCD дано: I АВ 1 == й,
I AD I == Ь (а > Ь). Найти I ВС 1, если известно, что ВС, CD и AD
касаются некоторой окружности, центр которой находится
на АВ.
*
* *
278. Дан выпуклый четырехуrольник ABCD, в котором
1 АВ 1 == I AD 1. Внутри треуrольника АВС взята точка М так,
что L МВА == L ADC, L МСА == L ACD. Найти L МАС, если
L ВАС == ct, L ADC .... L ACD == «>, 1 АМ 1 < 1 АВ 1.
279. Две пересекающиеся окружности вписаны в один yrол;
А ..... вершина yr ла, В ..... одна из точек пересечения окружностей,
С  середина хорды, концами которой являются точки касания
первой окружности со сторонами yrла. Найти L АВС, если из-
вестно, что общая хорда видна из центра второй окружности
под yrлом ct.
280. АВС..... равнобедренный треуrольник; 1 АС 1 == I ВС 1,
BD .... биссектриса, BDEF  прямоуrольник. Найти L ВАР, если
L ВАЕ == 1200.
281. Около треуrольника АВ С описана окружность с цeH
тром в точке о. Касательная к окружности в точке С пересе
кается с прямой, делящей пополам yrол В, в точке К, причем
уrол ВКС равен половине разности YTpoeHHoro уrла А и уrла
С треуrольника. Сумма сторон АС и АВ равна 2 + VЗ, а сумма
расстояний от точки О до сторон АС и АВ равна 2. Найти pa
диус окружности.
282. Точки, симметричные вершинам треуrольника относи...
тельно противоположных сторон, являются вершинами тpe
уrольника со сторонами 118, 118, у14. Определить стороны ис
ходноrо треуrольника, если известно, что длины их различны.
283. В треуrольнике АВС уrол между медианой и высотой,
выходящими из уrла А, равен ct, уrол между медианой и BЫCO
той, выходящими из уrла В, равен . Найти уrол между медиа..
ной и высотой, выходящими из уrла С.
284. Радиус Kpyra, описанноrо около треуrольника, равен R.
Расстояние от центра этоrо Kpyra до точки пересечения медиан
2 и. Ф. Шарыrин
33

треуrольника равно d. Найти произведение площади данноrо
треyrольника и треyrольника, образованноrо прямыми, прохо..
дящими через ero вершины перпендикулярно медианам, из
этих вершин выходящим.
285. Точки А 1 , Аз и As расположены на одной прямой,
а точки А 2 , А 4 , А6  на друrой прямой, пересекающейся с пер-
вой. Найти уrол между этими прямыми, если известно, что сто-
роны шестиуrольника (возможно самопересекающеrося)
А1А2АзА4АsА6 равны между собой.
286. Две окружности с центрами 01 и 02 касаются изнутри
окружности радиуса R с центром О. Известно, что 101021 == а.
Прямая, касающаяся первых двух окружностей и пересекающая
отрезок 0102' пересекается с их общими внешними каса-
тельными в точках М и N и с большей окружностью в точках
А и В. Найти отношение IABI: IMNI, если: а) отрезок 0102
содержит точку о; б) окружности с центрами 01 и 02 касаются
друr друrа.
287. Окружность, вписанная в треуrольник АВС, касается
стороны АС в точке М, стороны ВС  в точке N; биссектриса
уrла А пересекает прямую MN в точке К, а биссектриса уrла
В пересекает прямую MN в точке L. Доказать, что из отрезков
МК, NL и KL можно сложить треуrольник. Найти площадь
этоrо треуrольника, если площадь треуrольника АВС равна S,
уrол С равен сх.
288. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты две точки
М и N так, что 1 ВМ 1 + 1 BN 1 == 1 АВ 1. Доказать, что прямые
DM и DN делят диаrональ АС на три отрезка, из кот<?рых
можно сложить треyrольник, причем один уrол этоrо треуrоль-
ника равен 600.
289. Дан равнобедренный треуrольник АВС; 1 АВ 1 == 1 ВС I ,
AD  биссектриса. Перпендикуляр, восставленный к AD в точке
D, пересекает продолжение АС в точке Е, основания перпенди-
куляров, опущенных из В и D на AC, М и N соответственно.
Найти 1 MN 1, если 1 АЕ 1 == а.
290. Из точки А под уrлом сх выходят два луча. На одном
луче взяты две точки В и В 1 , а на друrом  С и С 1 . Найти об-
щую хорду окружностей, описанных около треуrольников АВС
и АВ 1 С 1, если 1 АВ 1  1 А С I == 1 АВ 1 1  1 А С 1 1 == а.
291. Пусть О  центр окружности, С  точка на окружно-
сти, М  середина ОС. Точки А и В лежат на окружности по
одну сторону от прямой ОС так, что L АМО == L ВМС. Найти
I АВ 1, если 1 АМ I  1 ВМ 1 == а.
292. Пусть А, В и С  три точки на одной прямой. На АВ,
ВС и АС как на диаметрах построены три полукруrа по одну
сторону от прямой. Центр окружности, касающейся всех трех
34

полукруrов, находится на расстоянии d ?т прямой АС. Найти
радиус этой окружности. 
293. В окружности радиуса R проведна хорда АВ. Пусть
М  произвольная точка окружности. На луче МА отложим
отрезок М N (1 М N 1 == R), а на луче М В ..... отрезок М К, равный
расстоянию от М ДО точки пересечения высот треуrольника
М АВ. Найти 1 N К I , если меньшая из дуr, стяrиваемых АВ, рав-
на 2сх.
294. Высота, опущенная из вершины прямоrо уrла прямо-
уrольноrо треуrольника на rипотенузу, делит треуrольник на
два треуrольника, в каждый из которых вписана окружность.
Определить уrлы и площадь треуrольника, образованноrо ка-
тетами исходноrо треуrольника и прямой, проходящей через
центры окружностей, если высота исходноrо треуrольника рав-
на h.
295. BI>ICOTa прямоуrольноrо треуrольника, опущенная на
rипотенузу, равна h. Доказать, что вершины острых уrлов тре-
уrольника и проекции основания высоты на катеты лежат на
одной окружности. Определить длину хорды, высекаемой на
прямой, содержащей высоту, этой окружностью, и отрезки
хорды, на которые она делится rипотенузой.
296. Окружность радиуса R касается прямой 1 в точке А,
АВ  диаметр этой окружности, ВС..... произвольная хорда.
Пусть D ..... основание перпендикуляра, опущенноrо из С на АВ.
Точка Е ежит на продолжении CD за точку D, причем I ED I ==
== 1 ВС 1. Касательные к окружности, проходящие через Е, пере-
секают прямую 1 в точках К и N. Найти I KN 1.
297. В выпуклом четырехуrольнике ABCD дано: I АВ 1 == а,
I AD 1 == ь, 1 ВС 1 == р  а, IPC I == р ..... Ь. Пусть О  точка пересе-
чения диаrоналей. Обозначим через сх уrол ВАС. К чему стре-
мится I АО 1, если сх  О?
2*

11. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
И ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ
 1. Теорема Карно
1. Даны две точки А и В. Доказать, что reoMe..
трическое место точек М таких, что 1 АМ 12  1 МВ 12 == k (rде
k  данное число), есть прямая, перпендикулярная АВ.
2. Пусть расстояния от некоторой  точки М до вершин А,
В и С треуrольника АВС выражаются числами а, Ь и с. Дока..
зать, что ни при каком d:f:: О ни для одной точки плоскости
расстояния до ве рш ин в т ом же п орядке не MorYT выражаться
числами V a 2 + d, V b 2 + d, V с 2 + d.
3. Т е о р е м 3: К а Р н о. Доказать, что для Toro чтобы пер..
пендикуляры, опущенные из точек А 1 , В 1 и С 1 на стороны ВС,
СА и АВ треуrольника АВС пересекались в одной точке, необ..
ходимо и достаточно, чтобы 1 А 1 В 12  1 ВС l 1 2 + 1 С 1 А 12 
 'АВ112+ IB1CI2 'СА 1 1 2 ==О.
4. Доказать, что если перпендикуляры, опущенные из точек
А 1 , В 1 и С 1 на прямые ВС, СА и АВ соответственно, пересе..
каются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из то..
чек А, В и С на прямые В 1 С 1 , С 1 А 1 И А 1 В 1 , также пересекаются
в одной точке.
5. Дан четырехуrольник ABCD. Пусть А 1 , В 1 И С 1  точки
пересечения высот треуrольников BCD, ACD и ABD. Доказать,
что перпендикуляры, опущенные из А, В и С на прямые В 1 С 1 ,
С 1 А 1 И А 1 В 1 соответственно, пересекаются в одной точке.
6. Даны две точки А и В. Доказать, что rеометрическое ме..
сто точек М таких, что k 1 АМ 12 + I1 ВМ 1 2 == d (k, 1, d  данные
числа, k + 1 :f:: О) есть или окружность с центром на ПрЯl\fой АВ,
или точка, или пустое множество.
7. Пусть А 1 , А 2 , ..., А п  фиксированные точки, k 1 ,
k 2 , ..., k n  данные числа. Тоrда rеометрическим местом точек
М таких, что сумма klIA1MI2+k2IA2MI2+ ... +k n lA n Ml 2
постоянна, будет: а) окружность, точка или пустое множество,
если k 1 + k 2 + ... + k n :f:: о; б) пр Яl\fая, пустое множество или
вся плоскость, если k 1 + k 2 + ... + k n == о.
36

8. Даны окружность и точка А вне ее. Пусть окружность,
проходящая через А, касается данной в произвольной точке В,
а касательные к ней, проведенные через точки А и В, пересе
каются в точке М. Найти rеометрическое место точек М.
9. Даны две точки А и В. Найти rеометрическое место TO
чек М таких, что I АМ I : 1МВ I == k i= 1.
10. Три точки А, В и С расположены на одной прямой
(В  между А и С). Возьмем произвольную окружность с цeH
тром в В И обозначим через М точку пересечения касательных,
проведенных из А и С к этой окружности. Найти rеометриче
ское место точек М таких, что точки касания АМ и СМ
с окружностью лежат внутри отрезков АМ и СМ.
11. Даны две окружности. Найти rеометрическое место TO
чек М таких, что отношение длин касательных, проведенных из
М к данным окружностям, равно постоянной величине k.
12. Пусть прямая пересекает одну окружность в точках А
и В, а дрyrую  в точках С и D. Доказать, что точки пересече
ния касательных к первой окружности, проведенных в точках
А и В с касательными, проведенными ко второй окружности
в точках С и D (рассматриваются точки, в которых пересекают..
ся касательные к разным окружностям), лежат на одной окруж"
ности, центр которой находится на прямой, проходящей через
центры данных окружностей.
13. Возьмем три окружности, каждая из которых касается
одной стороны треуrольника и продолжений двух дрyrих сто..
рон. Доказать, что перпендикуляры, BOC rавленные к сторонам
треуrольника в точках касания этих окружностей, пересекаются
в одной точке.
14. Дан треуrольник АВС. Рассмотрим всевозможные пары
точек М 1 И М 2 таких, что I АМ 1 I : I ВМ 1 I : I СМ 1 I ==
== I АМ 2 1 : I ВМ 2 1 : I СМ 2 1. Доказать, что все прямые Аl 1 М 2
проходят через фиксированную точку плоскости.
15. Расстояния от точки М до вершин А, В и С треуrоль
ника равны соответственно 1, 2 и 3, а от точки
М 1  соответственно 3, yl5, 5. Доказать, что прямая ММ 1
проходит через центр Kpyra, описанноrо около треуrольника
АВС.
16. Пусть А 1 , В 1 , С 1 ..... основания перпендикуляров, опу..
щенных из вершин А, В и С треуrольника АВС на прямую 1.
Доказать, что перпендикуляры, опущенные из А 1 , В 1 И С 1
соответственно на ВС, СА и АВ, пересекаются в одной
точке.
17. Дан правильный треуrольник АВС и произвольная точ"
ка D; А 1 , В 1 И С 1  центры окружностей, вписанных в Tpey
rольники BCD, CAD и ABD. Доказать, что перпендикуляры,
37

опущенные из вершин А, В и С на В 1 С 1 , С 1 А 1 и А 1 В 1 соответ-
ственно, пересекаются в одной точке.
18. Даны три попарно пересекающиеся окружности. Дока-
зать, что три общие хорды этих окружностей проходят через
одну точку.
19. На прямых АВ и АС взяты точки М и N COOTBeTCTBeH
но. Доказать, что общая хорда двух окружностей с диаметрами
СМ и BN проходит через точку пересечения высот треуrольни-
ка АВС.
20. На плоскости дана окружность и точка N. Пусть АВ 
произвольная хорда окружности. Обозначим через М точку
. пересечения прямой АВ и касательной в точке N к окружности,
описанной около треуrольника ABN. Найти rеометрическое ме-
сто точек М.
21. Внутри окружности взята точка А. Найти rеометриче-
ское место точек пересечения касательных, проведенных
к окружности в концах всеВОЗМОЖНЬ1Х хорд, проходящих через
точку А.
22. Даны числа а, , у и k. Пусть х, У, z  расстояния от
точки М внутри треуrольника до ero сторон. Доказать, что reo--
метрическое место точек М таких, что ах + y + yz == k или пу-
сто, или отрезок, или совпадает со множеством всех точек
треуrольника.
23. Найти rеометрическое место точек М, расположенных
внутри данноrо треуrольника и таких, что расстояния от М до
сторон данноrо треуrольника равны сторонам HeKoToporo
треуrольника.
24. Пусть А 1 , В 1 И С 1  середины сторон ВС, СА и АВ тре-
уrольника АВС. На перпендикулярах, опущенных из некоторой
точки М соответственно на стороны ВС, СА и АВ, взяты точки
А 2 , В 2 И С 2 . Доказать, что перпендикуляры, опущенные из А 1 ,
В 1 И С 1 соответственно на прямые В 2 С 2 , С 2 А 2 и А 2 В 2 , пересе-
каются в одной точке.
25. Дана прямая 1 и три прямые 11, 12 и 1з, перпендику-
лярные 1. Пусть А, В и С три фиксированные точки на прямой
1; А 1  произвольная точка на 11' В 1  на 12, С 1  на 13. Дока-
зать, что если при каком-то положении точек А 1 , В 1 и С 1 пер-
пендикуляры, опущенные из А, В и С на прямые В 1 С 1 , С 1 А 1 и
А 1 В 1 соответственно, пересекаются в одной точке, то эти пер-
пендикуляры будут пересекаться в одной точке всеrда.
26. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 ..... высоты треуrольника АВС, А 2 , В 2 и
С 2  проекции А, В и С соответственно на В 1 С 1 , С 1 А 1 и А 1 В 1 .
Доказать, что перпендикуляры, опущенные из А 2 , В 2 И С 2
соответственно на ВС, СА и АВ, пересекаются в ОДНОЙ
точке.
38

 2. Теоремы Чевы и Меиелая. Аффинные
задачи
27. Доказать, что площадь треyrольника, CTO
роны KOToporo равны медианам данноrо, составляет 3/4 пло
щади данноrо треуrольника.
28. Дан параллелоrрамм ABCD; прямая, паралдельная ,В С,
пересекает АВ и CD соответственно в точках Е и F, прямая, па
раллельная АВ, пересекает ВС и DA соответственно в точках
G и Н.
Доказать, что прямые ЕН, GF и BD пересекаются в одной
точке или параллельны.
29. А, В, С и D ..... четыре фиксированные точки на прямой 1.
Через А и В проведены произвольно две параллельные прямые,
через С и D  две дрyrие параллельные прямыI.. Проведенные
прямые образуют параллелоrрамм. Доказать, что диаrонали
этоrо пз;раллелоrрамма пересекают 1 в двух фиксированных
точках.
30. Дан четырехyrольник ABCD; О..... точка пересечения
диаrоналей АС и BD, М..... точка на АС такая, что I АМ I ==
== I ОС 1, N ..... точка на BD такая, что I BN I == I OD 1, к и L..... ce
редины АС и BD. Доказать, что прямые ML, NK, а также пря
мая, соединяющая точки пересечения медиан треyrольников
АВС и ACD, пересекаются в одной точке.
31. На стороне ВС треуrольника АВС взяты точки А 1 И А2'
симметричные относительно середины ВС. Точно так же на
стороне АС взяты точки В 1 И В 2 , а на стороне АВ ..... С 1 И С 2 .
Доказать, что треуrольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 равновелики,
а центры тяжести треуrольников А 1 В 1 С 1 , А 2 В 2 С 2 И АВС лежат
на одной прямой.
32. Через М ..... точку пересечения медиан треуrолъника АВС
проведена прямая, пересекающая стороны АВ и АС COOTBeT
ственно в точках К и L и продолжение ВС в точке Р (С.....
111
между Р и В). Доказать, что IMKI == IMLI + IMPI.
33. Через точку пересечения диаrоналей четырехуrольника
ABCD проведена прямая, пересекающая АВ в точке М и CD
в точке N. Через М и N проведеныI прямые, соответственно па
раллельные CD и АВ и пересекающие АС и BD в точках Е и F.
Доказать, что ВЕ" CF.
34. Дан четырехуrольник ABCD. На прямых АС и BD взяты
соответственно точки К и М так, что ВК 11 AD, АМ 11 ВС. ДOKa
зать, что КМ 11 CD.
35. Пусть Е ..... произвольная точка на стороне АС треyrоль
ника АВС. Через вершину В проведем произвольную прямую 1.
39

Прямая, проходящая через Е параллельно ВС пересекает 1
в точке N, а прямая, параллельная АВ,  в точке М. Доказать,
что AN 11 СМ.
*
* *
36. Стороны выпуклоrо четырехуrольника разделены на
(2п + 1) равных частей каждая. Соответствующие точки деления
противоположных сторон соединены друr с друrом. Доказать,
что ПЛОIЦадь центральноrо четырехуrольника составляет
1/(2п + 1)2 часть ПЛОIЦади Bcero четырехyrольника.
37. Прямая, ПРОХОДЯIЦая через середины диаrоналей АС
и ВС четырехyrольника ABCD, пересекает стороны АВ и DC
соответственно в точках М и N. Доказать, что SDCM  SABN.
38. В параллелоrрамме ABCD вершины А, В, С и D соеди-
нены с серединами сторон CD, AD, АВ и ВС соответственно.
ДО1Сазать, что ПЛОIЦадь четырехyrольника, образованноrо эти
ми прямыIи,, составляет 1/5 ПЛОIЦади параллелоrрамма.
39. Доказать, что ПЛОIЦадь восьмиyrольника, образованноrо
прямыми, соединяюIЦИМИ вершины параллелоrрамма с середи
нами противоположных сторон, равна 1/6 ПЛОIЦади параллело
rpaMMa.
40. На сторонах АС и ВС треуrольника АВС во внешнюю
сторону построены два параллелоrрамма ACDE и BCFG. Про-
должения DE и FD пересекаются в точке Н. На стороне АВ по-
строен параллелоrрамм ABML, стороны AL и ВМ KOToporo
равны и параллельны НС. Доказать, что параллелоrрамм
ABML равновелик сумме параллелоrраммов, построенных на
АС и ВС.
41. Через концы меньшеrо основания трапеции проведены
две параллельные прямые, пересекаЮIЦие большее основание.
Диаrонади трапеции и эти прямые разделили трапецию на
семь треуrольников и один пятиуrольник. Доказать, что сумма
ПЛОIЦадей трех треуrольников, прилежаIЦИХ к боковым CTOpO
нам и меньшему основанию трапеции, равна ПЛОIЦади пяти
уrольника.
42. Пусть ABCD  параллелоrрамм, точка Е лежит на пря
мой АВ, F  на прямой AD (В  на отрезке АЕ, D  на отрезке
AF), К  точка пересечения прямых ED и FB. Доказать, что
четырехуrольники ABKD и CEKF равновелики.
*
* *
43. Рассмотрим произвольный треyrольник АВС. Пусть А 1 ,
В 1 , С 1  три точки на прямыIx ВС, СА, АВ соответственно.
40

Введем следующие обозначения:
R*==
R== ,АС 1 ,
'С 1 В'
sin L АСС 1
sin L С 1 СВ
'ВА1 , , СВ 1 ,
'А 1 С' 'В1А"
sin L ВАА 1 sin L СВВ 1
sin L А 1 АС sin L В 1 ВА .
будем
АС 1
С 1 В

С 1 В одинаково направлены, и отрицательно, если они направ-
( АС 1
лены противоположно друr дрyrу. имеет смысл лишь
С 1 В )
I для точек, расположенных на одной прямой. Леrко видеть,
АС 1
что отношение положительно, если точка С 1 лежит на OT
С 1 В
резке АВ, и отрицательно, если С 1 ..... вне АВ. Соответственно,
вместо R будем рассматривать произведение отношений
направленных отрезков, которое обозначим й. Далее введем
направленные уrлы. Под  АСС 1 И др. будем понимать yrол,
на который надо повернуть СА BOKpyr С против часовой стрел-
ки до совпадения луча СА с лучом СС 1 . Теперь вместо R* бу
дем рассматривать й*..... соответствующее произведение отно-
шений синусов направленных уrлов.
Задачи 11.43, 11.44 и 11.45 следует теперь переформулировать.
43*. Доказать, что R == Й*.
Доказать, что R == R*.
44. Т е о р е м а Ч е в ы. Для Toro чтобы прямые АА 1 , ВВ 1 ,
СС 1 пересекались в одной точке (или все три были парал
лельными), необходимо и достаточно, чтобы R == 1 (см. задачу
11.43) и при этом из трех точек А 1 , В 1 , С 1 нечетное число (т. е.
одна или все три) точек лежало на сторонах треуrольника АВС,
а не на продолжениях сторон.
45. Теорема Мене лая. Для Toro чтобы точки А 1 , В 1 ,
С 1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
R == 1 (см. задачу 11.43) и при этом из трех точек А 1 , В 1 , С 1 чет-
ное число (т. е. нуль или две) точек лежало на сторонах тре-
уrольника АВС, а не на их продолжениях.
'АС 1 1
П Р им е ч а н и е. Можно вместо отношения и Д Р У -
'С 1 В'
rих рассматривать отношения направленных отрезков, которое
АС 1
обозначать и определять следующим образом:
С 1 В
'АС 1 1 АС 1 
..... С 1 В положительно, коrда векторы АС 1 и
'С 1 В l'
41

44*. Т е о р е м а Ч е в ы. Для Toro чтобы прямые АА 1 , ВВ 1 ,
СС 1 пересекались в одной точке (или были параллельны) необ-
ходимо и достаточно, чтобы R == 1.
45*. Теорема Мене лая. Для Toro чтобы точки А 1 , В 1 ,
 1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
R == ..... 1.
46. Доказать, что если три прямые, проходящие через вер-
шины треуrольника, пересекаются в одной точке, то и прямые,
им симметричные относительно соответствующих биссектрис'
треуrольника, также пересекаются в одной точке или парал
лельны.
47. Пусть О ..... произвольная точка плоскости, М и N ..... oc
нования перпендикуляров, опущенных из точки О на биссек
трисы BHYTpeHHero и внешнеrо уrла А треyrольника АВС; Р
и Q аналоrично определены для yrла В; R и Т..... дЛЯ уrла С.
Доказать, что прямые MN, PQ и RT пересекаются в одной точ
ке или параллельны.
48. Пусть О ..... центр окружности, вписанной в треуrольник
АВ С, Ао, Во, СО  точки касания этой окружности со сторона..
ми ВС, СА, АВ соответственно. На лучах ОА о , ОВ о , ОСо взяты
соответственно точки L, М, К, находящиеся на равных расстоя..
ниях от О. а) Доказать, что прямые AL, ВМ и СК пересекаются
в одной точке. б) Пусть А 1 , В 1 , С 1 ..... проекции А, В, С на про..
извольную прямую 1, проходящую через о. Доказать, что
прямые A 1 L, В 1 М и С 1 К пересекаются в одной точке (Х и р a
н о).
49. Для Toro чтобы диаrонали AD, ВЕ и CF вписанноrо
в окружность шестиyrольника ABCDEF пересекались в одной
точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнЯлось равенство
I АВ I . I CD I . I EF I == 1 ВС I . I DE I · I F А 1.
50. Доказать, что: а) биссектрисы внешних уrлов треуrоль
ника пересекают продолжения противоположных сторон Tpe
уrольника в трех точках, расположенных на одной прямой;
б) касательные к описанной около треуrольника окружности
в вершинах треуrольника пересекают ero противоположные
стороны в трех точках, расположенных на одной прямой.
51. Окружность пересекает сторону АВ треyrольника АВС
в точках С 1 и С 2 , сторону СА..... в точках В 1 и В 2 , сторону
ВС ..... в точках А 1 и А 2 . Доказать, что если прямые АА 1 , ВВ 1 и
СС 1 пересекаются в одной точке, то и прямые АА 2 , ВВ 2 и СС 2
также пересекаются в одной точке.
52. На сторонах АВ, ВС и СА треyrолъника АВС взяты точ
ки С 1 , А 1 И В 1 . Пусть С 2 ..... точка пересечения прямых АВ и
А 1 В 1 , А 2 ..... точка пересечения прямых ВС и В 1 С 1 , В 2 ..... точка
пересечения прямых АС и А 1 С 1 . Доказать, что если прямые
42

АА 1 , ВВ 1 И СС 1 пересекаются в ОДНОЙ точке, то точки А 2 , В 2 И
С 2 лежат на одной прямой.
53. Прямая пересекает стороны АВ, ВС и продолжение CTO
роны АС треуrольника АВС соответственно в точках, D, Е и F.
Доказать, что середины отрезков DC, АЕ и BF лежат на одной
прямой (прямая raycca).
54. Дан треуrольник АВС. Определим на стороне ВС точку
А 1 следующим образом: А 1 ..... середина стороны KL правиль
Horo пятиуrольника MKLNP, у KOToporo вершины К и L лежат
на ВС, а вершины М и N ..... соответственно на АВ и АС. Анало
rичным образом на сторонах АВ и АС определены точки С 1 и
В 1 . Доказать, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются
в одной точке.
55. Даны три попарно непересекающихся Kpyra. Обозначим
через А 1 , А 2 , Аз три точки пересечения общих внутренних
касательных к любым двум из них, а через В 1 , В 2 ,
В З  соответствующие точки пересечения внешних Kaca
тельных. Доказать, что эти точки располаrаются на четырех
прямых по три на каждой (А 1 , А 2 , В з ; А 1 , В 2 , Аз; В 1 , А 2 , Аз; В 1 ,
В 2 , в з )'
56. Доказать, что если прямые, проходящие через вершины
А, В и С треуrольника АВС параллельно соответственно
прямым В 1 С 1 , С 1 А 1 И А 1 В 1 , пересекаются в одной точке, то
и прямыI,, проходящие через А 1 , В 1 и С 1 параллельно прямым
ВС, СА и АВ, также пересекаются в одной точке (или
параллельны).
57. Дан треуrольник АВС, М  произвольная точка плоско
сти. Биссектрисы двух уrлов, образованных прямым и АМ
и ВМ пересекают прямую АВ в точках С 1 и С 2 (С 1  на отрез..
ке АВ), точно так же на ВС и СА определяются точки А 1 и А 2 ,
81 И В 2 . Доказать, что А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , С 1 , С 2 расположены по
три на четырех прямых.
58. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС взяты co
ответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , а на сторонах В 1 С 1 , С 1 А 1 , А 1 В 1
треуrольника А 1 В 1 С 1 ..... А 2 , В 2 , С 2 . Известно, что прямые АА 1 ,
ВВ 1 , СС 1 пересекаются в одной точке, а также прямые А 1 А 2 ,
В 1 В 2 , С 1 С 2 пересекаются в одной точке. Доказать, что прямые
АА 2 , ВВ 2 , СС 2 пересекаются в одной точке (или параллельны).
59. Пусть ABCD ..... четырехуrольник, Р..... точка пересечения
ВС и AD, Q  точка пересечения СА и BD, R  точка пересече
ния АВ и CD. Доказать, что точки пересечения ВС и QR, СА
и RP, АВ и PQ лежат на одной прямой.
60. Дан yrол с вершиной о. На одной стороне yrла взяты
точки А 1 , А 2 , Аз, А 4 , а на дрyrой ..... В 1 , В 2 , В з , В4' Прямые А 1 В 1
43

и А 2 В 2 пересекаются в точке N, а прямые АзВ з и А4В4 ..... В точ
ке М. Доказать, что для Toro чтобы точки О, N и М были на
одной прямой, необходимо и достаточно выполнения paBeH
ства
ОВ 1
ОВ з
ОВ 2
ОВ 4
В З В 4
В 1 В 2
ОА 1
ОА з
ОА 2
ОА 4
А з А 4
А 1 А 2
(См. примечание к задачам 11.43, 11.44, 11.45.)
61. Дан треyrольник АВС. На сторонах ВС, СА и АВ взяты
соответственно точки: А 1 и А 2 , В 1 И В 2 , С 1 И С 2 так, что АА 1 ,
ВВ 1 И СС 1 пересекаются в одной точке и АА 2 , ВВ 2 И СС 2 также
пересекаются в одной точке. Доказать, что: а) точки пересече
ния прямых А 1 В 1 И АВ, В 1 С 1 И ВС, С 1 А 1 И СА лежат на одной
прямой 11. Точно так же точки А 2 , В 2 И С 2 определяют прямую
12; б) точка А, точка пересечения прямых 11 и 12' а также точка
пересечения прямых В 1 С 1 И В 2 С 2 лежат на одной прямой;
в) точки пересечения прямых ВС и В 2 С 1 , СА и С 2 А 2 , АВ и
А 1 В 1 лежат на одной прямой.
62. Произвольная прямая пересекает прямые АВ, ВС и СА
в точках К, М и L соответственно, а прямые А 1 В 1 , В 1 С 1 и
С 1 А 1 ..... В точках К 1 , М 1 и L 1 . Доказать, что если прямые А 1 М,
B 1 L и С 1 К пересекаются в одной точке, то и прямые АМ 1, BL 1
и СК 1 также пересекаются в одной точке.
63. Дан треyrольник АВС и точка D. Точки Е, F и G Haxo
дятся соответственно на прямых AD, BD и CD, К ..... точка пере
сечения АР иВЕ, L..... точка пересечения BG и СР, М  точка
пересечения СЕ и AG. В точках Р, Q и R пересекаются COOTBeT
ственно DK и АВ, DL и ВС, DM и АС. Доказать, что шесть
прямых AL, EQ, ВМ, FR, СК и GP пересекаются в одной точке.
64. Точки А и А 1 , В И В 1 , С И С 1 симметричны относитель
но прямой 1, N  произвольная точка на 1. Доказать, что
прямые AN, BN, CN пересекают соответственно прямые В 1 С 1 ,
С 1 А 1 , А 1 В 1 В трех точках, расположенных на одной прямой.
65. Пусть А 1 , Аз, As ..... три точки на одной прямой, А 2 , А 4 ,
А6  на дрyrой. Доказать, что три точки, в которых попарно
пересекаются прямые А 1 А 2 и A4 A s, А 2 А з и AsA6' А з А 4 И А6А1
лежат на одной прямой (П а п п).
 3. rеометрические места точек
66. Через точку пересечения двух окружностей
проведена прямая, вторично пересекающая окружности в двух
точках А и В. Найти rеометрическое место середин отрезков
АВ.
44

67. Даны точка А и прямая 1, В..... произвольная точка 1.
Найти rеометрическое место точек М таких, что АВМ ..... пра
ВИЛЬНЫЙ треyrольник.
68. Дан прав ильный треуrольник АВС. На продолжении ero
сторон АВ и А С за точки В и С взяты точки D и Е так, что
I BD 1 . 1 СЕ 1 == 1 ВС 12. Найти rеометрическое место точек пере
сечения прямых DC иВЕ.
69. Даны три точки А, В и С на прямой, D  произвольная
точка плоскости, не лежащая на этой прямой. Проведем через
С прямые, параллельные AD и BD, дО пересечения с прямыми
BD и AD в точках Р и Q. Найти rеометрическое место OCHOBa
НИЙ М перпендикуляров, опущенных из С на PQ, а также найти
все точки D, дЛЯ которых М ..... фиксированная точка.
70. На стороне АС треуrольника АВС взята точка К, а на
медиане BD  точка Р так, что площадь треуrольника АР К
равна площади треуrольника ВРС. Найти rеометрическое Me
сто точек пересечения прямых АР и ВК.
71. Через данную точку О внутри данноrо уrла проходят
два луча, образующие данный yrол а. Пусть один луч пересе
кает одну сторону уrла в точке А, а друrой луч..... друrую CTO
рону yrла в точке В. Найти rеометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из О на прямую АВ.
72. В окружности проведены два взаимно перпендику
лярных диаметра АС и BD. Пусть Р..... произвольная точка
окружности, Р А пересекает BD в точке Е. Прямая, проходящая
через Е параллельно АС пересекается с прямой РВ в точке М.
Найти rеометрическое место точек М.
73. Дан yrол, вершина KOToporo  в точке А, и точка В.
Произвольная окружность, проходящая через А и В пересекает
стороны yrла в точках С и D (отличных от А). Найти rеометри
ческое место центров тяжести треyrольников ACD.
74. Одна вершина прямоуrольника находится в данной
точке, две друrие, не принадлежащие ОДНОЙ стороне,..... на
двух заданных взаимно перпендикулярных прямых. Найти
rеометрическое место четвертых вершин таких прямоуrоль
ников.
75. Пусть А ..... одна из двух точек пересечения двух данных
окружностей; через дрyrую точку пересечения проведена про
извольная прямая, пересекающая одну окружность в точке В,
а дрyrую ..... в точке С, отличных от общих точек этих окружно
стей. Найти rеометрическое место: а) центров окружностей,
описанных около АВС; б) центров тяжестей треyrольника
АВС; в) точек пересечения высот треyrольника АВС.
76. Пусть В и С ..... две фиксированные точки данной окруж
ности, А  переменная точка этой же окружности. Найти reo
45

метрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из
середины А-В на АС.
77. Найти rеометрическое место точек пересечения диаrона..
лей прямоyrольников, стороны которых (или их продолжения)
проходят через четыре данные точки плоскости.
78. Даны два Kpyra, касающиеся дрyr дрyrа изнутри в точке
А. Касательная к меньшему Kpyry пересекает большую окруж
ность В точках В и С. Найти rеометрическое место центров
окружностей, вписанных в треyrольники АВС.
79. Дань! две пересекающиеся окружности. Найти rеометри
ческое место центров прямоуrольников с вершинами на этих
окружностях.
80. Внутри крyrлоrо биллиарда в точке А, отличной от цен-
тра, лежит упрyrий шарик, размерами KOToporo можно пр ене-
бречь. Указать rеометрическое место точек А, из которых МОЖ
но так направить этот шарик, чтобы он, минуя центр
биллиарда, после трех отражений от rраницы попал в точку А.
81. Через точку, лежащую на равном расстоянии от двух
данных параллельных прямых' проведена прямая, пересекаю
щая эти прямые в точках М и N. Найти rеометрическое место
вершин Р равносторонних треyrольников MNP.
82. Дань! две точки А и В и прямая 1. Найти rеометрическое
место центров окружностей, проходящих через А и В и пересе
кающих прямую 1.
83. даныI две точки О и М. Определить: а) rеометрическое
место точек плоскости, которые MorYT служить одной из вер-
шин треyrольника с центром описанноrо Kpyra в точке О и цен-
тром тяжести в точке М; б) rеометрическое место точек пло
скости, которые MorYT служить одной из вершин тупоyrольно
ro треyrольника с центром описанноrо Kpyra в точке О
и центром тяжести в точке М.
84. В окружность вписан правильный треуrольник. Найти
rеометрическое место точек пересечения высот всевозможных
треуrольников, вписанных в эту же окружность, две стороны
которых параллельны двум сторонам данноrо правилъноrо
треyrольника.
85. Найти rеометрическое место центров всевозможных
прямоуrольников, описанных около данноrо треуrольника.
(Прямоуrольник будем называть описанным, если одна вер-
шина треyrольника совпадает с вершиной прямоуrольника,
а две дрyrие лежат на двух, не содержащих этой вершиныI, CTO
ронах прямоуrольника.)
86. Даны два квадрата с соответсТвенно параллельными
сторонами. Определить rеометрическое место точек М таких,
что дЛЯ ЛJ060Й точки Р из первоrо квадрата найдется точка
46

Q из BToporo такая, что треуrольник MPQ  правильный.
Пусть стороны первоrо квадрата равны а, BToporo ..... Ь. При Ka
ком соотношении между а и Ь искомое rеометрическое место
точек не пусто?
87. Внутри данноrо треуrольника найти rеометрическое Me
сто точек М, дЛЯ каждой из которых для любой точки N, лежа
щей на rранице треуrольника, можно найти такую точку Р BHY
три или на ero rранице, что площадь треyrольника М N Р не
меньше 1/6 площади данноrо треyrольника.
88. Даны две точки А и 1. Найти rеометрическое место TO
чек В таких, что существует треуrольник АВС с центром впи"
caHHoro Kpyra в точке 1, все yr лы KOToporo меньше r:J.. (60° < r:J.. <
< 90°).
89. Точки А, В и С расположены на одной прямой (В ..... меж
ду А и С). Найти rеометрическое место точек М таких, что
ctg L АМВ + ctg L ВМС == k.
90. Даны две точки А и Q. Найти rеометрическое место TO
чек В таких, что существует остроуrольный треуrольник АВС,
дЛЯ KOToporo Q..... центр тяжести.
91. Даны две точки А и Н. Найти rеометрическое место TO
чек В таких, что существует треуrольник АВС, дЛЯ KOToporo
Н ..... точка пересечения высот и все yrлы KOToporo больше r:J..
(а. < п/4).
92. На плоскости даны два луча. Найти rеометрическое ме-
сто точек плоскости, равноудаленных от этих лучей. (Расстоя
ние от точки до луча равно расстоянию от этой точки до бли
жайшей к ней точки луча.)
93. Дан уrол и окружность с центром в точке О, вписанная
в этот yrол. Произвольная прямая касается окружности и пере
секает стороны уrла в точках М и N. Найти rеометрическое
место центров окружностей, описанных около треуrольников
MON.
94. Даны две окружности, на них взяты по одной точке А
и В, равноудаленных от середины отрезка, соединяющеrо их
центры. Найти rеометрическое место середин отрезков АВ.
95. Дан отрезок АВ. Возьмем на АВ произвольную точку
М И рассмотрим два квадрата AMCD и MBEF, расположенные
по одну сторону от АВ. Опишем около этих квадратов окруж
ности и обозначим через N их точку пересечения, отличную от
М. Доказать, что: а) AF и ВС пересекаются JJ N; б) MN прохо
дит через фиксированную точку плоскости. Найти rе()метри 
ческое место середин отрезков, соединяющих центры KBaд
ратов.
96. Дана окружность и точка А. Пусть М.... произвольная
точка окружности. Найти rеометрическое место точек пересече
47

ния срединноrо перпендикуляра к отрезку АА{ и касательной
к окружности, проходящей через А{.
97. Две окружности касаются друr дрyrа в точке А. Одна
прямая, проходящая через А, пересекает вторично эти окружно
сти В точках В и С, друrая ..... в точках В 1 и С 1 (В И В 1 ..... на
одной окружности). Найти rеометрическое место точек пересе
чения окружностей, описанных около треуrольников АВ 1 С И
АВС 1 .
98. Найти rеометрическое место вершин прямых уrлов Bce
возможных равнобедренных прямоyrольных треуrольников,
концы rипотенуз которых лежат на двух заданных окружно-
стях.
99. Стороны данноrо треуrольника являются диаrоналями
трех параллелоrраммов. Стороны этих параллелоrраммов па
раллельны двум прямым..... 1 и р. Доказать, что три диаrонали
этих параллелоrраммов, отличные от сторон треуrольника,
пересекаются в одной точке, А{. Найти rеометрическое место
точек А{, если 1 ир..... две произвольные взаимно перпендику
лярные прямые.
100. Пусть В и С..... две фиксированные точки окружности,
А ..... произвольная точка этой окружности; Н..... точка пересе
чения высот треуrольника АВС, М..... проекция Н на биссект
рису yrла ВАС. Найти rеометрическое место точек А{.
101. Дан треуrольник АВС. Пусть D ..... произвольная точка
на прямой ВС. Прямые, проходящие через D параллельно АВ
и АС, пересекают АС и АВ в точках Е и F. Найти rеометриче
ское место центров окружностей, проходящих через точки D,
Е и F.
102. Дан АВС ..... правильный треуrольник. Найти rеометри
ческое место точек А{ внутри этоrо треyrольника таких, что
L А{АВ + L А{ВС + L А{СА == тс/2.
103. Внутри треуrольника взята точка А{ такая, что суще
ствует прямая 1, проходящая через А{ и разбивающая данный
треуrольник на две части таким образом, что при симметрии
относительно 1 одна часть оказывается внутри или на rранице
дрyrой. Найти rеометрическое место точек А{.
 4. Треуrольник. Треуrольник и окружность
104. Из вершины А треyrольника АВС опущены
перпендикуляры АА{ и AN на биссектрисы внешних yrлов Tpe
yrольника (В и С). Доказать, что отрезок A{N равен полупери
метру треyrольника АВС.
105. В треуrольнике АВС проведена высота BD, AN ..... пер
пендикуляр к АВ, СА{..... перпендикуляр к ВС, причеlv,f I AN I ==
48

== 1 DC 1, 1 СМ 1 == I AD 1. Доказать, что М и N равноудалены от
вершины В.
106. Доказать, что для любоrо прямоуrольноrо треуrоль-
ника радиус окружности, касающейся ero катетов и описан
ной окружности (изнутри), равен диаметру вписанной окруж
ности.
(
107. Доказать, что если одна сторона треуrольника лежит
на фиксированной прямой плоскости, а точка пересечения вы-
сот совпадает с фиксированной точкой, то окружность, описан
ная около этоrо треуrольника, также проходит через фиксиро
ванную точку.
108. Дан треyrольник АВС; пусть А 1 , В 1 И С 1  точки
окружности, описанной около АВС, диаметрально противопо
ложные вершинам А, В и С. Проведем через А 1 , В 1 и С 1
прямые, параллельные ВС, СА и АВ. Доказать, что треуrоль
ник, образованный этими прямыми, rомотетичен треyrольнику
АВС с коэффициентом 2 и центром в точке пересечения высот
треyrольника АВС.
109. Доказать, что проекции основания высоты треуrольни
ка на стороны, ее заключающие, и на две друrие высоты,
лежат на одной прямой.
110. На продолжении стороны АВ треуrольника АВС за
точку В взята точка D так, что 1 BD 1 == 1 СВ 1. Точно так же на
продолжении стороны СВ за точку В взята точка F так, что
I вр 1 == 1 АВ 1. Доказать, что точки А, С, D и F лежат на одной
окружности, центр которой находится на окружности, описан
ной около треуrольника АВС.
111. Три равные окружности проходят через точку Н. ДOKa
зать, что Н является точкой пересечения высот треуrольника,
вершины KOToporo совпадают с тремя друrими точками попар-
Horo пересечения окружностей.
112. Пусть Р ..... произвольная точка окружности, описанной
около прямоуrольника. Две прямые, проходящие через Р па
раллельно сторонам прямоуrольника, пересекают стороны пря-
моyrольника или их продолжения в точках К, L, М и N. Дока-
зать, что N..... точка пересечения высот треуrольника KLM.
Доказать также, что основания высот треyrольника KLM, OT
личные от Р, лежат на диаrоналях прямоуrольника.
113. В треуrольнике АВС проведены биссектрисы AD, ВЕ
и СР. Прямая, перпендикулярная AD и проходящая через cepe
дину AD, пересекает АС в точке Р. Прямая, перпендикулярная
ВЕ и проходящая через середину ВЕ, пересекает АВ в точке Q.
Наконец, прямая, перпендикулярная СР и проходящая через се-
редину СР, пересекает СВ в точке R. Доказать, что треуrольни-
ки DEF и PQR равновелики.
49

114. В равнобедренном треуrольнике АВС (1 АВ 1 == 1 НС 1),
D  середина АС, Е  проекция D на ВС, F  середина DE. До-
казать, что прямые BF и АЕ перпендикулярны.
115. Окружность, вписанная в треуrольник АВС, касается
сторон АВ и АС в точках С 1 и В 1 , а окружность, касающаяся
стороны ВС и продолжений АВ и АС, касается прямых АВ
и АС в точках С 2 и В 2 . Пусть D  середина ВС. Прямая AD
пересекается с прямыми В 1 С 1 И В 2 С 2 В точках Е и F. Доказать,
что BECF  параллелоrрамм.
116. В треуrольнике АВС проведена биссектриса внутренне..
ro уrла AD. Построим касательную 1 к описанному круту в точ"
ке А. Доказать, что прямая, проведенная через D параллельно 1,
касается вписанной окружности треyrольника АВС.
117. В треуrольнике АВС проведена прямая, пересекающая
стороны АС и ВС в точках М и N так, что I MN I == I АМ I +
+ I BN 1. Доказать, что все такие прямые касаются одной и той
же окружности.
118. Доказать, что точки, симметричные центру описанноrо
около треyrольника Kpyra относительно середин ero медиан,
лежат на высотах треyrольника.
119. Доказать, что если высота треyrольника в 112 раз боль..
те радиуса описанноrо Kpyra, то прямая, соединяющая основа..
ния перпендикуляров, опущенных из основания этой высоты на
стороны, ее заключающие, проходит через центр описанноrо
крута.
120. Пусть АВС..... прямоyrольный треуrольник (L С == 90°),
CD  высота, К  точка плоскости, причем I АК I == 1 АС 1. До..
казать, что диаметр окружности, описанной около треуrольни"
ка АВК, проходящий через вершину А, перпендикулярен пря..
мой DK.
121. Через вершину А треуrольника АВС проведена прямая
параллельно ВС; на этой прямой взята точка D так, что
I AD I == I АС 1 + I АВ 1; отрезок DB пересекает сторону АС
в точке Е. Доказать, что прямая, проведенная через Е парал..
лельно ВС, проходит через центр вписанной в треуrольник
АВС окружности.
122. Две окружности проходят через вершину yrла и точку,
лежащую на биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон yrла,
заключенные между окружностями, равны.
123. Дан треyrольник АВС и точка D. Прямые AD, BD и CD
вторично пересекаются с оружностью, описанной около тре..
yrольника АВС, в точках А 1 , В 1 и С 1 соответственно. Рассмот..
рим две окружности: первая проходит через А и А 1 , вторая 
через В и В 1 . Доказать, что концы общей хорды этих двух
окружностей и точки С и С 1 лежат на одной окружности.
50

124. Через вершины А, В и С треуrольника АВС проведены
три параллельные прямые 11' 12 и 13. Доказать, что прямые,
симметричные 11' 12 и 13 соответственно относительно биссек-
трис уrлов А, В и С, пересекаются в одной точке, расположен
ной на окружности, описанной около треyrольника АВС.
125. Доказать, что если М  точка внутри треyrольника
АВС и прямые АМ, ВМ и СМ проходят соответственно через
центры окружностей, описанных около треyrольников ВМ С,
СМА и АМВ, то М ..... центр окружности, вписанной в треyrоль-
ник АВС.
126. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС взяты
точки А 1 , В 1 И С 1 соответственно. Пусть М  произвольная
точка плоскости. Прямая ВМ вторично пересекает окружность,
проходящую через А 1 , В и С 1 В точке В 2 , прямая СМ пересе
кает окружность, проходящую через А 1 , В 1 и С, В точке С 2 ,
а прямая АМ  окружность, проходящую через А, В 1 и С 1 ,
В точке А 2 . Доказать, что точки А 2 , В 2 , С 2 И М лежат на одной
окружности.
127. Пусть А 1  точка, симметричная точке касания окруж-
ности, вписанной в треyrольник АВС, со стороной ВС, относи-
тельно биссектрисы yrла А. Аналоrично определяются точки
В 1 и С 1 . Доказать, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 И прямая, прохо-
дящая через центры вписанной и описанной окружности
треyrольника АВС, пересекаются в одной точке.
128. Пусть АА 1 , ВВ 1 , СС 1  высоты треyrольника АВС.
Прямая, перпендикулярная АВ, пересекает АС и А 1 С 1 В точках
К и L. Доказать, что центр окружности, описанной около тре-
yrольника KLВ 1 , лежит на прямой ВС.
12. Четыре равные окружности проходят через одну точку
А. До'казать, что три отрезка, концы каждоrо из которых от-
личны от А и являются точками пересечения двух окружностей
(противоположные концы каждоrо отрезка не принадлежат
одной окружности), пересекаются в одной точке.
130. Дан прямоyrольный треyrольник АВС; yrол С  пря-
мой, О ..... центр вписанной окружности, М ..... точка касания впи-
санной окружности с rипотенузой, окружность с центром в М,
проходящая через О, пересекается с биссектрисами уrлов А и
В в точках К и L, отличных от О. Доказать, что К
и L..... центры окружностей, вписанных в треyrольники ACD
и BCD, rде CD..... высота треyrольника АВС.
131. Доказать, что в треуrольнике АВС биссектриса yrла А,
средняя линия, параллельная АС, и прямая, соединяющая точ-
ки касания вписанной окружности со сторонами СВ и СА, пере-
секаются в одной точке.
51

132. Доказать, что три прямые, проходящие соответственно
через основания двух высот треуrольника, концы двух ero бис
сектрис и через две точки касания вписанной окружности с ero
сторонами (все точки расположены на двух сторонах треуrоль
ника), пересекаются в одной точке.
133. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС взяты
точки А 1 , В 1 И С 1 так, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекают
ся в одной точке. Доказать, что если АА 1 является биссектри
сой yrла В 1 А 1 С 1 , то АА 1  высота треyrольника АВС.
134. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС взяты co
ответственно точки А 1 , В 1 И С 1 так, что L АА 1 С == L ВВ 1 А ==
== L СС 1 В (уrлы измеряются в одном направлении). Доказать,
что центр окружности, описанной около треyrольника, оrpани
ченноrо прямыми АА 1 , ВВ 1 И СС 1 , совпадает с точкой пересе
чения высот треуrольника АВС.
135. Вершины треуrольника А 1 В 1 С 1 расположены на
прямых ВС, СА и АВ (А 1 ..... на ВС, В 1 ..... на СА, С 1 --- на АВ).
Доказать, что если треyrольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны
(сходственными являются вершины А и А 1 , В И В 1 , С И С 1 ), то
точка пересечения высот треуrольника А 1 В 1 С 1 является цeH
тром описанной около треуrольника АВС окружности. Верно
ли обратное утверждение?
136. На каждой стороне треуrольника взято по две точки
таким образом, что все шесть отрезков, соединяющих каждую
точку с противоположной вершиной, равны между собой. До..
казать, что середины этих шести отрезков лежат на одной
окружности.
137. В треуrольнике АВС на лучах АВ и СВ отложены от..
резки I АМ I == I CN I == р, rде р  полупериметр треуrольника (В
лежит между А и М между С и N). Пусть К  точка описанной
около АВС окружности, диаметрально противоположная В.
Доказать, что перпендикуляр, опущенный из К на MN, прохо
дит через центр вписанной окружности.
138. Из некоторой точки окружности, описанной около paB
HOCTopoHHero треуrольника АВС, проведены прямые, парал
лельные ВС, СА и АВ пересекающие СА, АВ и ВС в точках М,
N и Q соответственно. Доказать, что М, N и Q лежат на одной
прямой.
139. Доказать, что три прямые, симметричные произволь
ной прямой, проходящей через точку пересечения высот Tpe
yrольника, относительно сторон треуrольника, пересекаются
в одной точке.
140. т е о р е м а Л е й б н и ц а. Пусть М..... произвольная
точка плоскости, G ..... центр тяжести треуrольника АВС. Тоrда
52

выполняется равенство 31 MG ' == 1 МА /2 + 1 МВ 12 + 1 МС 12 .....
  (1 АВ 12 + 1 ВС 12 + 1 СА 12).
141. Пусть АВС ..... правильный треуrольник со стороной а,
М ..... некоторая точка плоскости, находящаяся на расстоянии
d от центра треуrольника АВС. Доказать, что площадь Tpe
уrольника, стороны KOToporo равны отрезкам М А, М В и М С,
выражается формулой S ==  а 2  3d 2 .
142. Даны два прав ильных треуrольника: АВС и А 1 В 1 С 1 .
Найти rеометрическое место таких точек М, что два треуrоль..
ника, составленных из отрезков МА, МВ, МС и МА 1 , МВ 1 ,
МС 1 соответственно, равновелики.
143. Дан треyrольник АВС. На лучах АВ и СВ отклады..
ваются отрезки АК и СМ, равные АС. Доказать, что радиус
окружности, описанной около треуrольника ВКМ, равен рас..
стоянию между центрами вписанной и описанной окружностей
треyrольника АВС, а прямая КМ перпендикулярна прямой, co
единяющей центры вписанной и описанной окружностей.
144. Через- вершину треуrольника проведена прямая, перпен"
дикулярная прямой, соединяющей центры вписанной и описан..
ной окружностей. Доказать, что эта прямая со сторонами дaH
Horo треуrольника образует два треуrольника, для которых
разность радиусов описанных окружностей равна расстоянию
между центрами вписанной и описанной окружностей исходно
ro треyrольника.
145. Доказать, что если длины сторон треуrольника обра
зуют арифметическую проrрессию, то: а) радиус вписанноrо
Kpyra равен 1/3 высоты, опущенной на среднюю сторону;
б) прямая, соединяющая центр тяжести треуrольника с цен..
тром вписанноrо Kpyra, параллельна средней стороне; в) бис-
сектриса BHYTpeHHero уrла, противолежащеrо средней стороне,
перпеНДИI<улярна прямой, соединяющей центры вписанноrо
и описанноrо KpyrOB; r) для всех точек этой биссектрисы сум..
ма расстояний до сторон треyrольника постоянна; д) центр
вписанной окружности, середины наибольшей и наименьшей
сторон и вершина уrла, ими образованноrо, ле)кат на одной
окружности.
146. Пусть К  середина стороны ВС треуrольника АВС,
М  основание высоты, опущенной на ВС. Окружность, впи-
санная в треуrольник 4ВС, касается стороны ВС в точке D;
окружность вневписанная, касающаяся продолжений АВ и АС
и стороны ВС, касается ВС в точке Е. Общая касательная
к этим окружностям, отличная от сторон треуrольника, пере
53

секает окружность, проходящую через К и М, в точках F
и G. Доказать, что точки D, Е, F и G лежат на одной окруж-
ности.
*
* *
147. Доказать, что центр тяжести треуrольника, точка пере-
сечения высот и центр описанноrо Kpyra лежат на одной пря-
мой (прямая Эйлера).
148. Какие сtороны пересекает прямая Эйлера в остро-
уrольном и тупоуrольном треуrольнике?
149. Пусть К  точка, симметричная центру описанной
около д АВС окружности относительно стороны ВС. Доказать,
что прямая Эйлера треуrольника АВС делит отрезок АК
пополам.
150. Доказать, что на прямой Эйлера треуrольника АВС су-
ществует такая точка Р, что расстояния от центров тяжести
треуrольников АВР, ВСР, САР соответственно до вершин С,
А и В равны между собой.
151. Пусть Р  такая точка внутри треуrольника АВС, что
уrлы АР В, ВРС и СРА равны 1200 (предполаrаем, что yrлы
треуrольника АВС меньше 1200). Доказать, что прямые Эйлера
треуrольников АРВ, ВРС и СР А пересекаются в одной точке.
При м е ч а н и е. При решении этой задачи используется
результат задачи 11. 296.
152. Доказать, что прямая, соединяющая центры вписанной
и описанной окружностей данноrо треуrольника, является пря-
мой Эйлера треyrольника с вершинами в точках касания впи"
санной окружности со сторонами данноrо треyrольника.
*
* *
153. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных
из произвольной точки окружности, описанной около треуrоль
ника, на стороны треуrольника, лежат на одной прямой (пря-
мая Симеона).
154. Доказать, что уrол между прямыми Симсона, соответ"
ствующими двум точкам окружности, измеряется половиной
дуrи между этими точками.
155. Пусть М  точка окружности, описанной около тре-
уrольника АВС. Прямая, проходящая через М перпендикуляр
но ВС, вторично пересекает окружность в точке N. Доказать,
что прямая Симсона, соответствующая точке М, параллельна
прямой AN.
S4

156. Доказать, что проекция стороны АВ треуrольника АВС
на прямую Симсона, соответствующую точке М, равна рас-
стоянию между проекциями точки М на стороны АС и ВС.
157. Пусть АА 1 , ВВ 1 , СС 1  высоты треуrольника АВС.
Прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 вторично пересекают окружность, опи-
санную около треуrольника АВС, в точках А 2 , В 2 , С 2 соответ-
ственно. Прямые Симсона, соответствующие точкам А 2 , В 2 , С 2 ,.
образуют треуrольник АзВзС з (Аз  точка пересечения прямых
Симсона, соответствующих точкам В 2 и С 2 И т. д.). Доказать,
что центры тяжести треуrольников А 1 В 1 С 1 и АзВзС з совпа
дают, а прямые А 2 А з , В 2 В з и С 2 С З пересекаются в одной
точке.
158.' Пусть А 1 , В 1 И С 1  точки на окружности, описанной
около треуrольника АВС такие, что u АА 1 + U ВВ 1 + u СС 1 ==
== 2k1t (все дуrи измеряются в одном направлении, k  целое
число). Доказать, что прямые Симеона точек А 1 , В 1 и С 1 OTHO
сительно треyrольника АВС пересекаются в одной точке.
159. Доказать, что касательная к параболе в ее вершине
является прямой Симсона треyrольника, образованноrо при
пересечении любых трех дрyrих касательных к той же параболе
(Ш ю л ле р).
*
* *
160. Доказать, что середины сторон треуrольника, OCHOBa
ния высот и середины отрезков высот от вершин до точки их
пересечения лежат на одной ОКРУЖ{lОСТИ  «окружности девяти
точек» (Э й л ер).
161. Пусть Н  точка пересечения высот треуrольника,
D  середина какой..либо стороны, К  одна из точек пересече..
ния прямой HD с описанной окружностью (D  между Н и К).
Доказать, что D  середина отрезка НК.
162. Пусть М  точка пересечения медиан треуrольника,
Е  основание какой..либо высоты, F  одна из точек пересече..
ния прямой МЕ с описанной окружностью (М  между Е и F).
Доказать, что I F М 1 == 21 ЕМ 1.
163. Высота, опущенная на СТОРОНУ ВС треyrольника АВС,
пересекает описанную окружность в точке А 1 . Доказать, что
расстояние от центра окружности девяти точек до стороны ВС
1
равно  АА 1 .
4
164. В треyrольнике АВС АА 1  высота, Н  точка пересе-
чения высот. Пусть р  произвольная точка окружности, опи-
S5

санной около треуrольника АВС, М ..... точка на прямой Н Р та--
кая, что 1 HP 1.1 НМ 1 == I НА 1 1.1 НА 1 (н ..... на отрезке МР, если
треуrольник АВС..... остроуrольный и вне ero, если он.....
тупоyrольный). Доказать, что М лежит на окружности девя--
ти точек треуrольника АВС.
165. В треуrольнике АВС ВК..... высота, BL..... медиана, М
и N ..... проекции точек А и С на биссектрису уrла В. Доказать,
что точки К, L, М и N лежат на одной окружности, центр ко--
торой находится на окружности девяти точек треуrольника
АВС.
166. Пусть Н..... точка пересечения высот треуrольника,
F ..... произвольная точка описанной окружности. Доказать, что
прямая Симсона, соответствующая точке Р, проходит через од--
ну из точек пересечения прямой F Н с окружностью девяти то--
чек (см. задачи 11. 153, 11. 159).
167. Пусть 1..... произвольная прямая, проходящая через
центр окружности, описанной около треyrольника АВС, А 1 , В 1
и С 1 ..... проекции А, В и С на 1. Проведем через А 1 прямую, пер-
пендикулярную ВС, через В 1 ..... перпендикулярную АС, через
С 1 ..... перпендикулярную АВ. Доказать, что эти три прямые
пересекаются в одной точке, расположенной на окружности де-
вяти точек треуrольника АВС.
168. Дан треyrольник АВС; АА 1 , ВВ 1 и СС 1 ..... ero высоты.
Доказать, что прямые Эйлера треуrольников АВ 1 С 1 , A t BC 1 ,
А 1 В 1 С пересекаются в такой точке Р окружности девяти точек,
ДЛЯ которой один из отрезков Р А, Р В, РС равен сумме двух
дрyrих отрезков (В и к т о р Т е б о).
169. Доказать, что три окружности, каждая из которых про-
ходит через вершину треyrолъника, основание высоты, опущен--
ной из этой вершины, и касается радиуса описанноrо около
треyrолъника Kpyra, проведенноrо в эту вершину, пересекаются
в двух точках, расположенных на прямой Эйлера данн'оrо
треуrольника.
170. Рассмотрим три окружности, каждая из которых про-
ходит через одну вершину треуrольника и основания двух бис-
сектрис ..... внутренней и внешней, выходящих из этой вершины
(эти окружности носят название окружностей Аполлонuя). До--
казать, что: а) эти три окружности пересекаются в двух точках
(М 1 и М 2 ); б) прямая М 1 М 2 проходит через центр Kpyra, опи--
caHHoro около данноrо треyrольника; в) основания перпенди--
куляров, опущенных из точек М 1 И М 2 на стороны треуrольни--
ка, служат вершинами двух правильных треуrольников.
171. Прямая, симметричная медиане треуrольника относи-
тельно биссектрисы Toro же уrла, называется сuмедuаной.
Пусть симедиана, выходящая из вершины В треуrольника АВС,
S6

пересекает АС в точке К. Доказать, что 1 АК 1 : 1 КС I ==
== 1 АВ 12 : 1 в С 12.
172. Пусть D..... произвольная точка на стороне ВС, Е
и F ..... точки на АС и АВ такие, что пЕ параллельна АВ, а DF
параллельна АС. Окружность, проходящая через D, Е и Р, BTO
рично пересекает ВС, СА и АВ в точках п 1 , Е 1 и F 1 COOTBeT
ственно. Пусть М и N..... точки пересечения DE и F 1 D 1 , DF и
п 1 Е 1 . Доказать, что М и N лежат на симедиане, выходящей из
вершины А. При этом, если D совпадает с основанием симе-
дианы, то окружность, проходящая через D, Е и Р, касается
стороны ВС. (Эта окружность называется окружностью Тукке-
ра.)
173. Доказать, что общие хорды описанной около данноrо
треyrольника окружности и окружностей Аполлония являются
симедианами этоrо треуrольника (см. задачи 11. 170, 11. 171).
*
* *
174. Дана трапеция..... Авсп, в которой боковая сторона CD
перпендикулярна основаниям AD и ВС. Окружность с диаме-
тром АВ пересекает AD в точке Р (Р отлична от А). Касатель-
ная к окружности в точке Р пересекает CD в точке М. Из М
к окружности проведена вторая касательн?я, касающаяся ее
в точке Q. Доказать, что прямая BQ делит сп пополам.
175. Пусть М и N ..... проекции точки пересе.чения высот тре-
уrОЛЬНlIка АВС на биссектрисы BHYTpeHHero и внешнеrо уrла
В. Доказать, что прямая MN делит сторону АС пополам.
176. Дана окружность и две точки А и В на ней. Kaca
тельные к окружности, проходящие через А и В, пересекаются
в точке С. Окружность, проходящая через С, касается прямой
АВ в точке В и вторично пересекается с данной в точке М. До-
казать, что прямая АМ делит отрезок СВ пополам.
177. Из точки А, расположенной вне окружности, прове-
дены к ней две касательные АМ и AN (М и N ..... точки касания)
и секущая, пересекающая окружность в точках К и L. Прове-
дем произвольную прямую 1, параллельную АМ. Пусть КМ
и LМ пересекают 1 в точках Р и Q. Доказать, что прямая MN
делит отрезок PQ пополам.
178. Диаметр окружности, вписанной в треуrольник АВС,
проходящий через точку касания со стороной ВС, пересекает
хорду, соединяющую две друrие точки касания, в точке N. Дo
казать, что AN делит ВС пополам.
179. В треyrольник АВС вписана окружность. Пусть
М ..... точка касания окружности со стороной АС, МК..... диа..
57

метр. Прямая ВК пересекает АС в точке N. Доказать, что
IAMI == INCI.
180. в треyrольник АВС вписана окружность, М  точка
касания окружности со стороной ВС, МК..... диаметр. Пря-
мая АК пересекает окружность в точке Р. Доказать, что
касательная к окружности в точке Р делит сторону Ве по-
полам.
181. Прямая 1 касается окружности в точке А, пусть
CD ..... хорда окружности, параллельная 1, В  произвольная
точка прямой 1. прямыIe СВ и DB вторично пересекают окруж-
ность в точках L и К. Доказать, что прямая LК делит отрезок'
АВ пополам.
182. Даны две пересекающиеся окружности. Пусть А  одна
из точек их пересечения. Из произвольной точки, лежащей на
продолжении общей хорды данных окружностей, проведены
к одной из них две касательные, касающиеся ее в точках М
и N. Пусть Р и Q ..... точки пересечения (отличные от А) COOTBeT
ственно прямых МА и NA со второй окружностью. Доказать,
что прямая М N делит отрезок PQ пополам.
183. На высоте BD треyrольника АВС как на диаметре по
строена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС COOTBeT
ственно в точках К и L. Прямые, касающиеся окружности
в точках К и L, пересекаются в точке М. Доказать, что прямая
ВМ делит сторону АС пополам.
184. Прямая 1 перпендикулярна отрезку АВ и проходит че
рез В. Окружность с центром на 1 проходит через А и пересе
кает 1 в точках С и Ь, касательные к окружности в точках А
и С пересекаются в N. Доказать, что прямая DN делит отрезок
АВ пополам.
185. Около треуrольника АВС описана окружность. Пусть
N ..... точка пересечения касательных к окружности, проходящих
через точки В и С, М ..... такая точка окружности, что АМ 11 ВС,
К  точка пересечения MN и окружности. Доказать, что КА
делит ВС пополам.
186. Пусть А  проекция центра данной окружности на пря-
мую 1. На этой прямой взяты еще две точки В и С так, что
I АВ 1 == 1 АС 1. Через В и С проведены две произвольные секущие,
пересекающие окружность в точках Р, Q и М, N соответствен-
но. Пусть прямые NP и MQ пересекают прямую 1 в точках R
и S. Доказать, что I RA 1 == I AS 1.
187. Дан треyrольник АВС; А 1 , В 1 , С 1 ..... середины сторон
ВС, СА и АВ, К и L..... основания перпендикуляров, опущенных
из вершин В и С на прямые А 1 С 1 и А 1 В 1 соответственно,
О  центр окружности девяти точек. Доказать, что прямая А 1 О
делит отрезок KL пополам.
58'

*
* *
188. Пусть точки А 1 , В 1 , С 1 симметричны некоторой точке
Р соответственно относительно сторон НС, СА и АВ треуrоль-
ника АВС. Доказать, что: а) окружности, описанные около
треуrольников А 1 ВС, АВ 1 С, АВС 1 имеют общую точку;
б) окружности, описанные около треуrольников А 1 В 1 С, А 1 ВС 1 ,
АВ 1 С 1 имеют общую точку.
189. Пусть АВ  диаметр полукруrа, М  точка на АВ. Точ-
ки С, D, Е и F  лежат на полуокружности так, что L AMD ==
== L ЕМВ, L СМА == L РМВ. Пусть Р  точка пересечения
прямых CD и EF. Доказать, что прямая РМ перпендикулярна
АВ.
190. Перпендикуляр, восставленный к стороне АВ тре-
уrольника АВС в ее середине D, пересекает окружность, описан-
ную около треуrольника АВС, в точке Е (С и Е  по одну сто-
рону от АВ), F  проекция Е на АС. Доказать, что прямая DF
делит периметр треуrольника АВС пополам и что три такие
прямые, построенные для каждой стороны треуrольника, пере-
секаются в одной точке.
191. Доказать, что прямая, делящая периметр и площадь
треуrольника в одинаковом отношении, проходит через центр
вписанной окружности.
192. Доказать, что три прямые, проходящие через вершины
треуrольника и делящие ero периметр пополам, пересекаются
в одной точке N (точка Наzеля). Пусть М  центр тяжести тре-
уrольника, 1  центр вписанной окружности, S  центр окруж-
ности, вписанной в треуrольник с вершинами в серединах CTO
рон данноrо. Доказать, что точки N, М, 1 и S лежат на одной
прямой, причем IMNI==211MI, 11SI==ISNI.
*
* *
193. Обозначим через а, Ь и с стороны треуrольника АВС,
а + Ь + с == 2р; G  точка пересечения ero медиан, О, 1,
1а  соответственно центры описанноrо, вписанноrо и вневпи-
caHHoro KpyroB (вневписанный Kpyr касается стороны ВС и при-
должения сторон АВ и АС), R, r, ra  их радиусы, Доказать
справедливость следующих соотношений:
а) а 2 + Ь 2 + с 2 == 2 р 2  2r 2  8Rr;
1
б) I OG 12 == R 2 ..... (a2 + Ь 2 + с 2 );
9
1.
в) r 1G 12 == (p2 + 5r 2  16Rr);
9
59

r) 10112 == R 2 ..... 2Rr (3 й л ер);
д) 1 01 а 12 == R 2 + 2Rra;
е) 111а 12 == 4R (ra..... r).
194. Пусть ВВ 1 и СС 1  биссектрисы уrлов В и С треуrоль-
ника АВС. Доказать (в обозначениях предыдущей задачи), что
аЬс
IBIC11 (b+a)(c+a)R 101 a l.
195. Доказать, что точки, симметричные центрам вневпи-
санных окружностей относительно центра описанной окружно-
сти, лежат на окружности, концентрической вписанной ок-
ружности, с радиусом, равным диаметру описанной окруж-
ности.
196. Доказать, что сумма площадей трех треyrольников,
вершинами каждоrо из которых являются три точки касания
вневписанной окружности с соответствующей стороной тpe
уrольника и продолжениями двух друrих сторон, равна yдвo
енной площади треyrольника, сложенной с площадью тре-
уrольника с вершинами в точках касания вписанной окружности
со сторонами треyrольника.
197. Найти сумму квадратов расстояний от точек касания
вписанной в данный треyrольни:к окружности с ero сторонами
до центра описанной, если радиус вписанной окружности равен
r, а радиус описанной..... R.
198. Через основания биссектрис треyrольника АВС прове-
дена окружность. Доказать, что одна из хорд, образованных
при пересечении этой окружности со сторонами треуrольника,
равна сумме двух дрyrих.
199. Пусть АА 1 , ВВ 1 И СС 1 ..... биссектрисы треуrольника
АВС, L точка пересечения прямых АА 1 и В 1 С 1 , К  точка
пересечения СС 1 и А 1 В 1 . Доказать, что ВВ 1 является биссектри-
сой уrла LBK.
200. В треуrольние АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки
К и L так, что 1 АК 1 == 1 KLI == 1 LC 1. Через точку пересечения
прямых AL и СК проведена прямая, параллельная биссектрисе
yrла В, пересекающая прямую АВ в точке М. Доказать, что
IAMI == IBCI.
201. в треуrольнике АВС биссектриса уrла В пересекает
прямую, проходящую через середину АС и середину высоты,
опущенной на АС, в точке Аl; N ..... середина биссектрисы уrла
В. Доказать, что биссектриса уrла С является также и биссек-
трисой уrла MCN.
202. а) Доказать, что если в треуrольнике равны две биссек-
трисы, то треyrольник равнобедренный (Ш т е й н е р, Л е м у с).
60

б) Доказать, что если в треуrольнике АВС биссектрисы
уrлов, смежных с уrлами А и С, равны между собой и обе
одновременно расположены или внутри или вовне уrла АВС,
то I АВ I == I ВС 1. Верно ли, что из равенства двух внешних бис
сектрис треyrольника следует ero равнобедренность?
203. Про данный треуrольник известно, что треуrольник,
образованный основаниями ero биссектрис, является равнобе
дренным. Будет ли вер.НЫМ утверждение, что и данный Tpe
уrольник является равнобедренным?
*
* *
204. Пусть ABCDEF  вписанный шестиуrольник. Обозна
чим через К точку пересечения АС и ВР, а через L точку
пересечения СЕ и FD. Доказать, что диаrонали AD, ВЕ и пря
мая KL пересекаются в одной точке (П а с к а ль).
205. Дан треуrольник АВС и точка М. Прямая, проходящая
через М, пересекает прямые АВ, ВС и СА соответственно в точ
ках С 1 , А 1 и В 1 . прямыIe АМ, ВМ и СМ пересекают окруж
ность, описанную около треуrольника АВС, соответственно
в точках А 2 , В 2 и С 2 . Доказать, что прямые А 1 А 2 , В 1 В 2 и С 1 С 2
пересекаются в одной точке, расположенной на окружности,
описанной около д АВС.
206. Через точку пересечения высот треуrольника прове-
дены две взаимно перпендикулярные прямые. Доказать, что се-
редины отрезков, высекаемых этими прямыми на сторонах
треуrольника (на прямых, образующих треуrольник), лежат на
одной прямой.
*
* *
207. Даны треуrольник АВС и произвольная точка Р. Осно-
вания перпендикуляров, опущенных из Р на стороны треуrоль
ника АВС, служат вершинами треуrольника А 1 В 1 С l' Вершина-
ми треуrольника А 2 В 2 С 2 служат точки пересечения прямых АР,
ВР и СР с окружностью, описанной около треуrольника АВС,
отличные от точек А, В и С. Доказать, что треуrольники
А 1 В 1 С 1 И А 2 В 2 С 2 подобны. Сколько найдется для разносторон
Hero треyrольника АВС таких точек Р, что соответствующие
треуrольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 подобны треуrольнику АВС?
208. Пусть А 1 , В 1 , С 1  основания перпендикуляров, опу
щенных из произвольной точки М соответственно на стороны
ВС, СА, АВ треyrольника АВС. Доказать, что три прямые, про
ходящие через середины отрезков В 1 С 1 и МА, С 1 А 1 и МВ,
А 1 В 1 И МС пересекаются в одной точке.
61

209. Пусть S  площадь данноrо треуrольника, R  радиус
описанноrо около Hero xpyra. Пусть, далее, S 1  площадь Tpey
rольника, образованноrо основаниями перпендикуляров, опу
щенных на стороны данноrо треуrольника из точки, удаленной
от центра описанноrо Kpyra на расстояние d. Доказать, что
S d 2
S 1 ==  1   (Э й л ер).
4 R
210. Доказать, что если А, В, С и D  произвольные точки
плоскости, то четыре окружности, каждая из которых проходит
через три точки: середины отрезков АВ, АС и AD; ВА, ВС
и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC, имеют общую точку.
211. Пусть АВС  треуrольник, D  произвольная точка
плоскости. Треуrольник, образованный основаниями перпенди"
куляров, опущенных из D на стороны треyrольника АВС, будем
называть педальным треУ20льником точки D относительно
треУ20льника АВС, а окружность, описанную около педальноrо
треуrольника,  педальной окружностью. Обозначим через D 1
точку, в которой пересекаются прямые, симметричные прямым
AD, BD и CD относительно биссектрис yrлов А, В и С (co
ответственно) треуrольника АВС. Доказать, что педальные
окружности точек D и D 1 совпадают.
212. Рассмотрим четыре точки плоскости, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Доказать, что четыре пе
дальные окружности, каждая из которых соответствует одной
из рассматриваемых точек относительно треуrольника, верши..
нами KOToporo являются три оставшиеся, имеют общую точку.
213. Прямая, проходящая через центр окружности, описан..
ной около треуrольника АВС, пересекает АВ и АС в точках С 1
и В 1 соответственно. Доказать, что окружности, построенные
на ВВ! и СС! как на диаметрах, пересекаются в двух точках,
одна из которых лежит на окружности, описанной около АВС,
а друrая  на окружности девяти точек треyrольника АВС.
 5. Четырехуrольник
214. Пусть ABCD  вписанный четырехyrольник,
АВ  диаметр. Доказать, что проекции сторон AD и CD на пря..
мую ВС равны.
215. Пусть ABCD  выпуклый четырехуrольник, О  точка
пересечения ero диаrоналей, Е, F и G  проекции В, С и О на
AD. Доказать, что площадь четырехуrольника равна
I AD 1.1 ВЕ 1.1 СР 1
210GI
62

216. Пусть ABCD  выпуклый четырехуrольник. Рассмо-
трим четыре окружности, каждая из которых касается трех сто-
рон этоrо четырехуrольника.
а) Доказать, что центры этих окружностеи лежат на одной
окружности.
б) Пусть r 1 , r 2 , r з , r 4  радиусы этих окружностей (r 1  не
касается стороны DC, аналоrично r2 не касается стороны DA,
IABI ICDI IBCI IADI
rз  АВ, r 4  ВС). Доказать, что + . == + .
r 1 r з r 2 r 4
217. Доказать, что для площади S вписанноrо четырех-
уrольника справедлива формула S == V (p  а)(р  Ь)(р  с)(р  d)
(р  полупериметр, а, Ь, с, d  стороны).
218. Пусть 2<р  сумма двух противоположных уrлов опи-
caHHoro четырехуrольника, а, Ь, с и d  ero стороны, S  пло-
щадь. Доказать, что S == Vabcd sin <р.
219. На сторонах АВ и CD выпуклоrо четырехуrольника
ABCD взяты точки М и N, делящие их в одинаковом отноше-
нии (считая от вершин А и С). Эти точки соединены со всеми
вершинами четырехуrольника, в результате чеrо ABCD разбит
на шесть треуrольников и один четырехуrольник. Доказать,
что площадь получившеrося четырехyrольника равна сумме
площадей двух Треуrольников, прилежащих к сторонам ВС
и AD.
220. В окружности проведены диаметр АВ и не пересекаю-
щая ero хорда CD. Пусть Е и F .... основания перпендикуляров,
опущенных из точек А и В на прямую CD. Доказать, что пло-
щадь четырехуrольника АЕР В равна сумме площадей тре-
yrольников АСВ И ADB.
221. Дан выпуклый четырехуrольник Q1' Прямые, перпенди-
кулярные ero сторонам и проходящие через середины сторон,
образуют четырехуrольник Q2. Точно так же для четырехуrоль-
ника Q2 образован четырехуrольник Qз, Доказать, что четырех-
уrольник Qз подобен исходному четырехyrольнику Q1'
222. На противоположных сторонах ВС и DA выпуклоrо
четырехyrольника взяты точки М и N так, что 1 ВМ 1 : 1 МС 1 ==
== 1 AN 1 : 1 ND 1== 1 АВ 1 : ICD 1. Доказать, что прямая MN парал-
лельна биссектрисе уrла, образованноrо сторонами АВ и CD.
223. Диаrонали разбивают выпуклый четырехуrольник на
четыре треуrольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти
треуrольники, равны. Доказать, что данный четырехyrоль-
ник  ромб.
224. Диаrонали четырехуrольника разбивают ero на четыре
треyrольцика paBHoro периметра. Доказать, что данный четы-
рехуrольник  ромб.
63

225. О четырехуrольнике ABCD известно, что радиусы
окружностей, вписанных в треуrолъники АВС, BCD, CDA, DAB
равны. Доказать, что ABCD --- прямоyrольник.
226. В окружность вписан четырехyrольник ABCD. Пусть
М --- точка пересечения касательных к окружности, проходящих
через А и С, N --- точка пересечения касательных, проведенных
через В и D, К --- точка пересечения биссектрис yrлов А и
С четырехуrольника, L--- точка пересечения биссектрис уrлов
В и D. Доказать, что если выполняется одно из утверждений:
а) М принадлежит прямой BD, б) N принадлежит прямой АС,
в) К лежит на BD, r) L лежит на АС, то верны остальные три
утверждения.
227. Доказать, что четыре прямые, каждая из которых про-
ходит через основания двух перпендикуляров, опущенных из
вершины вписанноrо четырехуrольника на не содержащие ее
стороны, пересекаются в одной точке.
228. Пусть АВ и CD --- две хорды окружности, М --- точка
пересечения перпендикуляров, восставленных к АВ в точке
А и к CD в точке С, N --- точка пересечения перпендикуляров,
восставленных к АВ и CD в точках В и D. Доказать, что пря..
мая MN проходит через точку пересечения ВС и AD.
229. Пусть ABCD --- параллелоrрамм. Через точки А и
В проходит окружность радиуса R. Друrая окружность Toro же
радиуса проходит через точки В и С. Пусть М --- вторая точка
пересечения этих окружностей. Доказать, что радиусы окружно"
стей, описанных около треyrольников AMD и CMD, равны R.
230. Пусть ABCD --- параллелоrрамм. Окружность касается
прямых АВ и AD и пересекает BD в точках М и N. Доказать,
что существует окружность, проходящая через М и N и касаю..
щаяся прямых СВ и CD.
231. Пусть ABCD --- параллелоrрамм. Построим на диаrо..
нали АС как на диаметре окружность и обозначим через М
и N точки пересечения с этой окружностью прямых АВ и AD.
Доказать, что прямые BD, М N и касательная к окружности
в точке С пересекаются в одной точке.
232. Четырехyrолъник ABCD вписан в окружность, 01, 02,
0з, 04 --- центры окружностей, вписанных в треyrольники Аве,
BCD, CDA, DAB, а Н 1 , Н 2 , Н з , Н4 --- точки пересечения высот
тех же треуrольников. Доказать, что 01020з04  прямоуrоль..
ник, а четырехуrольник Н 1 Н 2 Н ЗН 4 равен четырехуrольнику
ABCD.
233. Дан треуrольник АВС, D  произвольная точка плоско..
сти. Доказать, что точки пересечения высот треуrольников
ABD, BCD, CAD являются вершинами треyrольника, равнове-
ликоrо данному.
64

234. Доказать, что если в четырехуrольник можно вписать
окружность, то: а) окружности, вписанные в два треуrольника,
на которые данный четырехуrольник разбивается диаrональю,
касаются друr друrа, б) точки касания этих окружностей со
сторонами четырехуrольника являются вершинами вписанноrо
четырехуrольника.
235. Доказать, что если ABCD  вписанный четырехуrоль
ник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треуrольни-
ки АВС и ACD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных
в треуrольники BCD и BDA.
*
* *
236. Теорема Бретшнейдера (теорема косинусов
для четырехуrольника). Пусть а, Ь, с, d  последовательные сто-
роны четырехуrольника, т и п  ero диаrонали, А и С  два
противоположных уrла. Тоrда выполняется соотношение
т 2 п 2 == а 2 с 2 + b 2 d 2  2 abcd cos (А + С).
237. Т е о р е м а П т о л е м е я. Пусть а, Ь, с, d  последова-
тельные стороны вписанноrо четырехуrольника, а т и п  ero
диаrонали. Доказать, что тп == ас + bd.
238. Доказать, что если АВ С  правильный треуrольник,
М  произвольная точка плоскости, не лежащая на окружно-
сти, описанной около треуrольника АВС, то существует тре-
уrольник, стороны KOToporo равны I МА 1, 1МВ I и I МС I
(т е о р е м а П о м п е ю). Найти уrол этоrо треуrольника, лежа
щий против стороны, равной 1МВ 1, если L АМС == r:L.
239. Пусть ABCD  вписанный четырехуrольник. Четыре
окружности r:L, , У и 8 касаются окружности, описанной около
четырехуrольника ABCD соответственно в точках А, В, С и D.
Обозначим через t Ct (3 отрезок касательной к окружностям r:L И ,
причем t Ct (3  отрезок общей внешней касательной, если r:L и
 касаются данной одинаковым (внутренним или внешним)
образом, и отрезок общей внутренней касательной, если r:L и
 касаются данной различным образом (аналоrично опреде..
ляются величины t(3y, t CtO и т. д.). Доказать, что
t Ct (3t yo + t(3yt OCt == t Cty t(3o
(*)
(о б о б щ е н н а я т е о р е м а П т о л е м е я).
240. Пусть r:L, , У и 8  четыре окружности на плоскости.
Доказать, что если выполняется соотношение
t Ct (3t yo + t(3yt OCt == tCtytf}o'
(*)
6S
3 и. Ф. Шарыrин

rде t cx (3 и т. д. отрезки общих внешних или внутренних каса-
тельных к окружностям (1. и В и т. д., причем для любых трех
окружностей берутся или три внешние касательные или одна
внешняя, а две внутренние, то окружности (1., В, 'у и () касаются
одной окружности.
*
* *
241. Продолжения сторон АВ и DC выпуклоrо четырех-
уrольника ABCD пересекаются в точке К, а продолжения сторон
AD и ВС  в точке L, причем отрезки BL и DK пересекаются.
Доказать, что если выполняется одно из трех соотношений:
1 АВ \ + \ CD \ == 1 ВС \ + \ AD \, \ ВК \ + 1 BL\ == 1 DK \ + \ DL\, \ АК \ +
+ \ CLI == 1 ALI + \ СК 1, то выполняются и два друrих.
242. Продолжения сторон АВ и DC выпуклоrо четырех-
уrольника ABCD пересекаются в точке К, а продолжения сто-
рон AD и ВС  в точке L, причем отрезки BL и DK пересекают-
ся. Доказать, что если выполняется одно из трех соотношений
\ AD \ + \ DC \ == 1 АВ 1 + \ СВ 1, 1 АК \ + \ СК 1 == \ ALi + 1 CLI, \ ВК \ +
+ \ DK \ == 1 BLI + 1 DLI, то выполняются и два друrих.
243. Доказать, что если существует окружность, касающая-
ся прямых АВ, ВС, CD и DA, то ее центр и середины АС и BD
лежат на одной прямой.
244. Пусть ABCD  вписанный четырехуrольник. Перпенди-
куляр к ВА, восставленный в точке А, пересекает прямую CD
в точке М, перпендикуляр к DA, восставленный в точке А,
пересекает прямую ВС в точке N. Доказать, что MN проходит
через центр окружности, описанной около четырехyrольника
ABCD.
245. Пусть ABCD  вписанный четырехуrольник, -Е 
произвольная точка прямой АВ, F  произвольная точка
прямой DC. Прямая АР пересекает окружность в точке М, пря
мая DE  в точке N. Доказать, что прямые ВС, ЕР и MN пере-
секаются в одной точке или параллельны.
246. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных
из точки пересечения диаrоналей вписанноrо четырехyrольника
на ero стороны, являются вершинами четырехуrольника, в ко-
торый можно вписать окружность. Найти радиус этой окруж"
ности, если диаrонали вписанноrо четырехуrольника перпенди
кулярны, радиус данной окружности равен R, а расстояние от
ее центра до точки пересечения диаrоналей равно d.
247. Диаrонали вписанноrо четырехуrольника перпендику-
лярны. Доказать, что середины ero сторон и основания перпен
дикуляров, опущенных на стороны из точки пересечения диаrо
налей, лежат на одной окружности. Найти радиус этой
66

окружности, если радиус данной окружности равен R, а pac
стояние от ее центра до точки пересечения диаrоналей четы
рехуrольников равно d.
248. Доказать, что если четырехуrольник вписан в окруж
ность радиуса R и одновременно описан около окружности pa
диуса r, причем расстояние между центрами этих окружностей
1 1
равно d, то выполняется соотношение , + 2 ==
(R + d)'"' (R ..... d)
== 1/r 2 ; при этом существует бесконечно MHoro четырехуrоль
ников, одновременно вписанных в большую окружность и
описанных около меньшей окружности (в качестве одной из
вершин можно взять любую точку большей окружности).
249. Выпуклый четырехуrольник разделен диаrоналями на
четыре треуrольника. Доказать, что прямая, соединяющая
центры тяжести двух противоположных треуrольников, перпен-
дикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух
друrих треуrольников.
250. Пусть ABCD ..... вписанный четырехуrольнц.к, М
и N ..... середины АС и BD. Доказать, что если BD является бис
сектрисой уrла ANC, то и АС..... биссектриса уrла BMD.
251. Пусть ABCD ..... вписанный четырехуrольник. Противо-
положные стороны АВ и CD при продолжении пересекаются
в точке К, а стороны ВС и AD ..... в точке L. Доказать, что бис
сектрисы уrлов ВКС и В IA перпендикулярны и пересекаются
на прямой, соединяющей середины АС и BD.
252. Диаrонали четырехуrольника перпендикулярны. Дока-
зать, что четыре прямые, каждая из которых соединяет одну из
вершин четырехуrольника и центр окружности, проходящей че
рез эту вершину и две смежные с нею вершины четырехyrоль
ника, пересекаются в .одной точке.
253. Пусть Р, Q и М..... соответственно точки пересечения
диаrоналей вписанноrо четырехуrольника и продолжений ero
противоположных сторон. Доказать, что точка пересечения BЫ
сот треуrольника PQM совпадает с центром QКРУЖНОСТИ, опи
санной около данноrо четырехуrольника (Б р о к ар).
254. Пусть ABCD ..... описанныlй четырехуrольник, К ..... точка
пересечения прямых АВ и CD, L..... точка пересечения прямых
AD и ВС. Доказать, что точка пересечения высот треуrольника,
образованноrо прямыми KL, АС и BD совпадает с центром
окружности, вписанной в четырехуrольник ABCD.
255. Пусть ABCD..... вьmуклый четырехyrольник, L АВС ==
== L ADC, М и N ..... основания перпендикуляров, опущенных из
А на ВС и CD соответственно, К ..... точка пересечения прямых
MD и NB. Доказать, что прямые АК и MN перпеНДИКУЛЯрНЬL
3*
67

*
* *
256. Доказать, что четыре окружности, описанные около
четырех треуrольников, образованных четырьмя пересекающи-
мися прямыми плоскости, имеют общую точку (lпочка Ми..
келя ).
257. Доказать, что центры четырех окружностей, описанных
около четырех треуrОЛЬНИI<ОВ, образованных четырьмя пересе..
кающимися прямыми плоскости, лежат на одной окружности.
258. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые.
Пусть М  точка Микеля, соответствующая этим прямым
(см. задачу 11. 256). Доказать, что если четыре из шести точек
попарноrо пересечения данных прямых лежат на окружности
с центром О, то прямая, проходящая через две оставшиеся точ-
ки, содержит точку М и перпендикулярна прямой ОМ.
259. Четыре попарно пересекающиеся прямые образуют
четыре треуrольника. Доказать, что если одна прямая парал..
лельна прямой Эйлера (см. задачу 11. 147) треуrольника, обра-
зованноrо тремя друrими прямыми, то этим же свойством
обладает и любая друrая прямая.
260. Дан треуrольник АВС. Прямая пересекает прямые АВ,
ВС и СА соответственно, в точках D, Е и Р. Прямые DC, АЕ
и ВР образуют треуrольник KLM. Доказать, что окружности,
построенные на DC, АЕ и ВР как на диаметрах, пересекаются
в двух точках Р и N (предполаrается, что эти окружности по-
парно пересекаются), причем прямая PN проходит через центр
окружности, описанной около треyrольника KLM, а также че..
рез точки пересечения высо'I треyrольников АВС, BDE, DAF
и СЕР.
261. Дан треуrольник АВС. Произвольная прямая пересе..
кает прямые АВ, ВС и СА соответственно в точках D, Е и Р.
Доказать, что точки пересечения высот треуrольников АВС,
BDE, DAF и СЕР лежат на одной прямой, перпендикулярной
прямой raycca (см. задачу 11. 53).
262. Доказать, что срединные перпендикуляры, восстав..
ленные к отрезкам, соединяющим точки пересеения высот
и центры описанных окружностей четырех треуrольников,
образованных чеТЫРЬ1Я произвольными прямым и плоскости,
пересекаются в одной точке (точка Эрвея).
263. Рассмотрим шестнадцать точек, являющихся центрами
всевозможных вписанных и вневписаННJ.IХ окружностей для
четырех треуrольников, образованных четырьмя пересекающи-
мися ПрЯМЫМИ плоскости. Доказать, что эти шестнадцать точек
можно разбить на четыре четверки двумя способами так, что
каждая четверка лежит на одной окружности. Центры этих
68

окружностей при разбиении первым способом лежат на одной
прямой, а при разбиении вторым способом  на друrой пря..
мой. Эти прямые перпендикулярны и пересекаются в точке Ми-
келя  общей точке описанных около четырех треуrольников
окружностей.
 6. Окружности и касательные. Теорема
Фейербаха
264. На прямой расположены последовательно
точки А, В, С и D так, что 1 ВС 1 == 21 АВ 1, 1 CD 1 == 1 АС 1. Одна
окружность проходит через точки А и С, а друrая  через точ-
ки В и D. Доказать, что общая хорда этих окружностей делит
отрезок АС пополам.
265. Пусть В  точка отрезка АС. Фиrура, оrраниченная ду-
rами трех полуокружностей с диаметрами АВ, ВС и СА, распо-
ложенными по одну сторону от прямой АС, носит название са-
пожный нож, или арбелос Архимеда. Доказать, что радиусы
двух окружностей, каждая из которых касается двух полу-
окружностей и прямой, перпендикулярной АС и проходящей
через В, равны между собой (з а Д а ч а А р х и м е Д а).
266. Три окружности проходят через две данные точки пло-
скости каждая. Пусть 01, 02, Оз  их центры. Прямая, прохо-
дящая через одну из точек, общую всем трем окружностям,
вторично пересекает их соответственно в точках А 1 , А 2 , Аз. До..
казать, что 1 А 1 А 2 1 : 1 А 2 А з l == 101021: 102 0 зl.
267. Даны две непересекающиеся окружности. Доказать, что
четыре точки касания общих внешних касательных к этим
окружностям лежат на одной окружности; точно так же четыре
точки касания общих внутренних касательных лежат на одной
окружности и четыре точки пересечения общих внутренних Ka
сательных с общими внешними касательными лежат на треть-
ей окружности; при этом все три окружности  концентриче-
ские.
268. Даны две непересекающиеся окружности. Третья
окружность касается обеих данных внешним образом и имеет
центр на прямой, проходящей через центры данных. Доказать,
что третья окружность пересекает общие внутренние каса-
тельные к данным окружностям в четырех точках, образующих
четырехyrольник, две стороны KOToporo параллельны общим
внешним касательным к данным окружностям.
269. Даны две окружности. Через центр одной из них про
ведена прямая, пересекающая эту окружность в точках А и С,
а друrую окружность  в точках В и D. Доказать, что если
1 АВ 1: 1 ВС 1 == 1 AD 1 : I DC 1, то окружности перпендикулярны, т. е.
69

уrол между касательными к ним в точке их пересечения  пря
мой.
270. Точки А, В, С и D лежат на одной окружности или на
прямой; через точки А и В, В и С, С и D, D и А проведены
четыре окружности. Обозначим через В 1 , С 1 , D 1 И А 1 'точки
пересечения (отличные от А, ]J, С и D) соответственно первой
"" "" "" 1 "" "" ""
и второи, второи И третьеи, третьеи и четвертои, четвертои
и первой окружностей. Доказать, что точки А 1 , В 1 , С 1 И D 1 ле-
жат на одной окружности (или на прямой).
271. Пусть из точки А, взятой вне окружности, проведены
к окружности две касательные АМ и AN (М и N  точки каса-
ния) и две секущие, и пусть Р и Q  точки пересечения окруж-
ности с первой секущей, а К и L со второй. Доказать, что
прямые РК, QL и MN пересекаются в одной точке или
параллельны.
Получить отсюда способ' построения с помощью одной ли-
нейки касательной к данной окружности, проходящей через
данную точку.
272. Дана окружность с центром О и точка А. Пусть
В  произвольная точка окружности. Найти rеометрическое
место точек пересечения касательных к окружности в точке В
с прямой, проходящей через О перпендикулярно АВ.
273. Даны окружность и две точки А и В на ней. Пусть
N  произвольная точка прямой АВ. ПОСТрОИl\-f две окружно-
сти, каждая из которых проходит через точку N и касается дан-
ной: одна в точке А, а дрyrая в точке В. Обозначим через
М вторую точку пересечения этих окружностей. Найти reOMe-
трическое место точек М.
274. Через фиксированную точку А внутри окружности про-
ведены две произвольные хорды PQ и KL. Найти rеометриче-
ское место точек пересечения прямых Р К и QL.
275. Две окружности пересекаются в точках А и В. Про-
извольная прямая проходит через В и вторично пересекает пер-
вую окружность в точке С, вторую  в точке D. Касательные
к первой окружности в С, а ко второй  в D пересекаются
в точке М. Через точку пересечения АМ и CD проходит пря-
мая, параллельная СМ, пересекающая АС в точке К. Доказать,
что КВ- касается второй окружности.
276. Дана окружность и касательная к ней 1. Пусть N  точ-
ка касания, NM  диаметр. На прямой NM взята фиксирован-
ная точка А. Рассмотрим произвольную окружность, проходя
щую через А, с центром на 1. Пусть С и D  точки пересечения
этой окружности с 1, а Р и Q  точки пересечения прямых М С
и MD с данной окружностью. Доказать, что хорда PQ прохо-
дит через фиксированную точку плоскости.
70

277. Точки 01 и 02  центры двух пересекающихся окруж"
ностей, А  одна из точек их пересечения. К окружностям про-
ведены две общие касательные, ВС и EF  хорды этих окруж"
ностей с концами в точках касания (С и F наиболее удалены от
А), М и N  середины ВС и EF. Доказать, что L 01А02 
 LMAN2LCAE.
278. В окружности проведен диаметр АВ, CD  хорда, пер-
пендикулярная АВ. Произвольная окружность касается хорды
CD и дуrи CBD. Доказать, что касательная к этой окружности,
проведенная из точки А, равна АС.
279. Дан круrовой cerMeHT. Две произвольные окружности
касаются хорды и дуrи этоrо cerMeHTa и пересекаются в точках
М и N. Доказать, что прямая MN проходит через фиксирован-
ную точку плоскости.
*
* *
280. Даны два равных непересекающихся Kpyra. На двух об-
щих внутренних касательных берем две произвольные точки
F и F'. Из обеих точек к каждому Kpyry можно провести еще
по одной каса:rельной. Пусть касательные, проведенные из то-
чек F и F' к одному Kpyry, встречаются в точке А, к друrо-
му  В точке В. Требуется доказать, что: 1) прямая АВ парал-
лельна прямой, соединяющей центры KpyroB (в случае не..
равных KpyroB проходит через точку пересечения внешних
касательных); 2) прямая, соединяющая середины FF' и АВ про-
ходит через середину отрезка, соединяющеrо центры KpyrOB.
(Эта задача была предложена читателям журнала «Вестник
опытной физики и элементарной математики» профессором
В. Ермаковым. Журнал этот издавался в России в прошлом ве-
ке. Задача была опубликована в 14 (2)-м номере журнала за
1887 r. За решение задачи читателям была обещана премия .....
литература по математике.)
281. Даны три окружности СХ,  и у. Пусть 11 И t 2 ..... общие
внутренние касательные к окружностям сх и , т 1 и т 2 ..... общие
внутренние касательные к окружностям  и У, п 1 и п 2  общие
внутренние касательные к окружностям у и сх. Доказать, что ес..
ли прямые 11, т1 и п1 пересекаются в одной точке, то и прямьiе
12, т2 и п2 также пересекаются в одной точке.
282. Дуrа АВ окружности разделена на три равные части
точками С и D (С ..... ближайшая к А точка). После поворота ВО-
Kpyr А на yrол п/3 точки В, С и D перейдут соответственно в
В 1 , С 1 И D 1 , F ..... точка пересечения прямых АВ 1 и DC 1 , Е ..... точ-
ка на биссектрисе уrла В 1 ВА такая, что IBDI  IDEI. Доказать,
что треуrольник CEF правильный (Ф и н л ей).
71

*
* *
283. Дан уrол с вершиной А и окружность, вписанная в не-
ro. Произвольная прямая, касающаяся данной окружности,
пересекает стороны уrла в точках В и С. Доказать, что окруж-
ность, описанная около треуrольника АВС, касается фиксиро-
ванной окружности, вписанной в данный уrол.
284. В треуrольнике АВС на стороне АС взята точка D. Рас-
смотрим окружность, касающуюся отрезка AD в точке М, от-
резка BD и окружности, описанной около треуrольника АВС.
Доказать, что прямая, проходящая через М параллельно BD,
касается окружности, вписанной в треуrольник АВС.
285.  треуrольнике АВС на стороне АС взята точка D.
Пусть 01 ..... центр окружности, касающейся отрезков AD, BD
и окружности, описанной около треуrольника АВС, а
02 ..... центр окружности, касающейся отрезков CD, BD и опи-
санной окружности. Доказать, что прямая 0102 проходит через
центр вписанной в треyrольник АВС окружности..... точку
о,..... причем 101 01 : 10021 == tg 2 (<pj2), rде <р == L BDA (В и к т о р
т е б о).
286. Каждая из четырех окружностей касается изнутри дан-
ной окружности и двух ее пересекающихся хорд. Доказать, что
диаrонали четырехyrольника с вершинами в центрах этих
окружностей взаимно перпендикулярны.
*
* *
287. Доказать, что окружность девяти точек (см. задачу 11.160)
касается вписанной в треуrольник окружности И всех вне-
вписанных окружностей (Ф е й е р б ах).
288. Пусть Н  точка пересечения высот треуrольника АВС.
Доказать, что окружность девяти точек касается всех впи-
санных и вневписанных окружностей треуrольников АНВ, ВНС,
СНА.
289. Доказать, что точка пересечения диаrоналей четырех-
уrольника с вершинами в точках касания окружности девяти
точек треyrольника АВ С со вписанной и вневписанными
окружностями этоrо треуrольника лежит на ero средней линии.
290. Обозначим через Р, Ра, Fb И РС точки касания окружно-
сти девяти точек треуrольника АВС со вписанной и тремя вне-
вписанными окружностями (Ра точка касания с окружностью,
центр которой Ia и т. д.). Пусть далее А 1 и А 2 , В 1 И В 2 , С 1 И
С 2 ..... точки пересечения с противоположными сторонами бис
72

сектрис внутренних и внешних уrлов А, В и С соответственно.
Доказать подобие следующих треуrольников: 6. РаРЬРс и
6. А 1 В 1 С 1 , 6. ррьрс и 6. А 1 В 2 С 2 , 6. РРсРа и 6. В 1 С 2 А 2 , 6. РРаРЬ
и 6. С 1 А 2 В 2 (Виктор Тебо).
 7. Комбинация фиrур. Перемещения на
плоскости. ноrоyrольники
291. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника
АВС во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACFG,
ВАНК. Пусть FCDQ и ЕВКР  параллелоrраммы. Доказать,
что треуrольник APQ ..... равнобедренный прямоуrольный.
292. Пусть ABCD..... прямоуrольник, Е  точка на ВС,
F ..... на DC, Е 1 ..... середина АЕ 1, F 1  середина АР. Доказать,
что если 6. АЕР правильный, то и треyrольники DE 1 C и ВР 1 С
также правильные.
293. На катетах АС и ВС прямоуrольноrо треуrольника во
внешнюю сторону построены квадраты ACKL и ВСМ N. ДOKa
зать, что четырехуrольник, оrраниченный катетами и прямыми
LВ и N А, равновелик треуrольнику, образованному прямыми
LВ, N А и rипотенузой АВ.
294. На сторонах выпуклоrо четырехyrольника во внеш-
нюю сторону построены квадраты. Доказать, что если диаrона-
ли четырехуrольника перпендикулярны, то отрезки, соединяю-
щие центры противоположных квадратов, проходят через
точку пересечения диаrоналей четырехуrольника.
295. Доказать, что если центры квадратов, построенных на
сторонах данноrо треуrольника во внешнюю сторону, служат
вершинами треуrольника, площадь KOToporo в два раза больше
площади данноrо, то центры квадратов, построенных на сторо-
нах треуrольника во внутрь ero, лежат на одной прямой.
296. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС во внеш-
нюю сторону построены треуrольники А 1 ВС; В 1 СА и С 1 АВ
так, что L А 1 ВС == L С 1 ВА, L С 1 АВ == L В 1 АС, L В 1 СА ==
== L А 1 СВ. Доказать, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются
в одной точке.
297. Пусть АВС  равнобедренный треуrольник (1 АВ 1 ==
== 1 ВС 1); BD  ero высота. Kpyr радиуса BD катится по прямой
АС. Доказать, что пока вершина В находится внутри Kpyra, ду-
ra окружности, расположенная внутри треуrольника, имеет по-
стоянную длину.
298. По двум пересекающимся прямым с равными скоро-
стями движутся две точки. Доказать, что найдется такая фикси-
рованная точка плоскости, которая во все моменты времени оТ
них равноудалена.
73

299. Два велосипедиста едут по двуrvl пересекающимся
ОКРУЖНQСТЯМ. Каждый едет по своей окружности с постоянной
скоростью. Выехав одновременно из одной точки, r де пересе-
каются окружности, и сделав по одному обороту, велосипе-
дисты вновь встретились в этой точке. Доказать, что суще
ствует такая неподвижная точка, расстояния от которой до
велосипедистов все время одинаковы, если они едут: а) в
одном направлении (по часовой стрелке); б) в разных напра-
влениях.
300. Доказать, что: а) поворот BOKpyr точки О на уrол cl эк
вивалентен последовательному применению двух осевых сим-
метрий, оси которых проходят через точку О, а уrол между
осями Cl/2; параллельный же перенос эквивалентен двум
осевым симметриям с параллельными осями; б) два последо
вательных поворота BOKpyr точки 01 на уrол cl и BOKpyr точки
02 на уrол В (О  cl < 2п, О  В < 2п, ПОБОрОТЫ делаются
в одном направлении) эквивалентны одному повороту на уrол
cl + В BOKpyr некоторой точки О, если cl + В =f:. 2п. Найти yr лыI
треyrольника 01020.
301. Дан произвольный треyrольник АВС. На ero сторонах
как на основаниях построены три равнобедренных треуrольни-
ка АКВ, BLC, СМА с yrлами при вершинах К, Lи М, равными
Cl, В и У, cl + В + у == 2п. Причем все три треyrольника располо
жены или вне треуrольника АВС или внутри ero. Доказать, что
yrлы треyrольника KLМ равны Cl/2, В/2, у/2.
302. Пусть ABCDEF  вписанный шестиуrольник, в кото-
ром I АВ I == I CD I == I ЕР I == R, rде R  радиус окружности,
О  ее центр. Доказать, что точки попарных пересечений
окружностей, описанных около треуrольников ВОС, DOE, РОА,
отличные от О, служат вершинами правильноrо треyrольника
со стороной R.
303. На сторонах выпуклоrо четырехyrольника во внеш-
нюю сторону построены ромбы, острый уrол каждоrо из них
равен Cl. При этом yrлы двух ромбов, прилежащие к одной Bep
шине четырехyrольника, равны. Доказать, что отрезки, соеди-
няющие центры противоположных ромбов, равны, а острый
уrол ме)кду этими отрезками равен Cl.
304. Дан произвольный треyrольник. На ero сторонах вовне
построены равносторонние треyrольники, центры которых слу-
жат вершинами треyrольника А. Центры равносторонних Tpe
yrольников, построенных на сторонах исходноrо внутрь ero,
служат вершинами дрyrоrо rреyrольника б. Доказать, что:
а) треуrольники А и б равносторонние; б) центры треyrольни-
ков А и б совпадают с центром тяжести исходноrо; в) разность
площадей треуrольников А и б равна площади исходноrо.
74

305. На плоскости даны три точки. Через эти точки прове
дены три прямые, образующие правильный треуrольник. Най
ти rеометрическое место центров этих треyrольников.
306. Дан треуrольник АВС. На прямой, проходящей через
вершину А и перпендикулярной стороне ВС, взяты две точки А 1
и А 2 так, что I АА 1 1 == I АА 2 1 == 1 ВС I (А 1 ближе к прямой ВС,
чем А 2 ). Аналоrично, на прямой, перпендикулярной АС и про
ходящей через В, взяты точки В 1 И В 2 так, что 1 ВВ 1 1 == 1 ВВ 2 1 ==
== 1 АС 1. Доказать, что отрезки А 1 В 2 и А 2 В 1 равны и взаимно
перпендикулярны.
*
* *
307. Доказать, что описанный мноrоуrольник, все стороны
KOToporo равны, является правильным, если число сторон
нечетно.
308. Через центр правильноrо п-уrольника, вписанноrо
в единичную окружность, проведена прямая. Найти сумму KBa
дратов рассТОЯНИЙ до этой прямой от вершин п-уrольника.
309. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точ
ки внутри выпуклоrо мноrоyrольника до ero сторон постоянна,
если: а) все стороны мноrоуrольника равны; б) все уrлы MHoro
уrольника равны.
310. Полуокружность разделена точками Ао, А 1 , ..., ...4 2n + 1
на 2п + 1 равных дуr (Ао и А 2n + 1 ..... концы полуокружности),
О  центр полуокружности. Доказать, что прямые А1А2",
A2A2n 1, ..., АnАn+ 1 образуют при пересечении с прямыми ОА n
и ОА n + 1 отрезки, сумма длин которых равна радиусу окружно-
сти.
311. Доказать, что если из произвольной точки окружности
опустить перпендикуляры на стороны вписанноrо 2п-уrольника,
то произведения длин этих перпендикуляров через один будут
равны.
312. Пусть А 1 А 2 ... Аn..... вписанный мноrоуrольник; центр
окружности находится внутри мноrоуrольника. Система окруж-
ностей касается данной изнутри в точках А 1 , А 2 , ..., А", причем
одна из точек пересечения двух соседних окру)кностей лежит на
соответствующей стороне мноrоуrольника. Доказать, что если
п нечетно, то все окружности имеют равные радиусы. Длина
внешней rраницы объединения вписанных окружностей равна
длине данной окружности.
313. Рассмотрим окружность, в которую вписан пра-
вильный (2п + l)yrольник А 1 А 2 ... А2n+ l' Пусть А  произ
вольная точка дуrи А1А2n+ 1.
7S

а) Доказать, что сумма расстояний от А до вершин с четны-
ми номерами равна сумме расстояний от А до вершин с не-
четными номерами.
б) Построим равные окружности, касающиеся данной оди-
наковым образом в точках А 1 , А 2 , ..., А 2п + 1 . Доказать, что СУМ-
ма касательных, проведенных из А к окружностям, касающим-
ся данной в вершинах с четными номерами, равна сумме
касательных, проведенных к ОКРУ)l(НОСТЯМ, касающимся данной
в вершинах с нечетными номерами.
314. а) К данной окружности проведены две касательные.
Пусть А и В  точки. касания, С  точка пересечения каса-
тельных. Проведем произвольную прямую 1, касающуюся дан-
ной окружности, не проходящую через А и В. Пусть u
и v  расстояния до 1 от А и В, w  расстояние до 1 от С. Найти
uvjw 2 , если L АСВ == (1,.
б) BOKpyr окружности описан мноrоуrольник. Пусть
1  произвольная прямая, касающаяся окружности и не совпа-
дающая ни с одной из сторон мноrоуrольника. Доказать, что
отношение произведения расстояций от вершин мноrоуrольни-
ка до 1 к произведению расстояний от точек касания сторон
мноrоуrольника с окружностью до 1 не зависит от положения
прямой 1.
в) Пусть А 1 А 2 ...А 2п  описанный около окружности 2п-
yrольник, 1  произвольная касательная к окружности. Дока-
зать, что произведение расстояний до 1 от вершин снечетными
номерами и произведение расстояний до 1 от вершин с четны-
ми номерами находятси в постоянном отношении, не завися-
щем от 1 (предполаrается, что 1 не содержит вершин MHoro-
уrольника).
315. Во вписанном мноrоуrольнике проведены непересекаю-
щиеся диаrонали, разбивающие ero на треyrольники. Доказать,
что сумма радиусов окружностей, вписанных в эти треуrольни-
ки, не зависит от Toro, как проведены диаrонали.
316. Пусть А 1 А 2 ... А п  мноrоуrольник периметра 2р,
описанный около окружности радиуса r, В 1 , В 2 , ..., В п  со-
ответственно точки касания сторон А 1 А 2 , А 2 А з , ..., А п А 1
с окружностью, М  точка, находящаяся на расстоянии d от
центра окружности. Доказать, что
IMB l I 2 .IA 1 A 2 1 + IМВ 2 1 2 'IА 2 А з l + ... + IMB n I 2 'IA n A 1 1 ==
== 2р (r 2 + d 2 ).
317. Пусть ABCD  вписанный четырехуrольник, М 
произвольная точка окружности. Доказать, что проекции
точки М на прямые Симсона (см. задачу 11.153), соответствую-
76

щие точке М относительно треуrольников АВС, BCD, CDA
и DAB, лежат на одной прямой (прямая Симеона четыреХУ20ЛЬ-
ника).
Далее по индукции определим прямую Симсона (п +
+ l}-уrольника через прямую Симсона п-уrольника. А именно,
для произвольноrо вписанноrо (п + l)..уrольника и точки М на
окружности проекции этой точки на всевозможные прямые
Симсона этой точки относительно всевозможных п..уrольников,
образованных п вершинами этоrо (п + l)-уrольника, лежат на
одной прямой  прямой Симсона (п + l)..уrольника.
318. Внутри окружности r:t находится окружность В. На
окружност r:t заданы две последовательности точек: А 1 , А 2 ,
Аз ... и В 1 , В 2 , В З ..., следующие в одном и том же направлении,
и такие, что прямые А 1 А 2 , А 2 А з , А з А 4 ... и В1В2' В 2 В З , В з В 4 ...
касаются окружности В. Доказать, что прямые А 1 В 1 , А 2 В 2 ,
АзВ з ... касаются одной окружности, центр которой находится
на прямой, проходящей через центры окружностей r:t и В.
319. Используя результат предыдущей задачи, доказать сле..
дующее утверждение (т е о р е м а П о н с е л е). Если суще-
ствует один п..уrольник, вписанный в некоторую окружность
r:t и описанный около друrой окружности В, то существует
бесконечно MHoro п..уrольников, вписанных в окружность r:t
И описанных около окружности В, причем за одну из вершин
TaKoro п..уrольника можно взять любую точку окружности r:t.
320. На сторонах правильноrо треуrольника PQR как на ос..
нованиях во внешнюю по отношению к треуrольнику PQR сто..
рону построены равнобедренные треуrольники PXQ, QYR
1 1
и RZP, причем L PXQ == з(п + 2L А), L QYR == з(п + 2L В),
1
RZP == (п + 2 LC), rде А, В, С  уrлы HeKoToporo треуrольни-
3
ка АВС. Пусть Ао..... точка пересечения прямых ZP и YQ,
ВО  точка пересечения прямых XQ и ZR, Со..... прямых YR
и ХР. Доказать, что уrлы треуrольника АоВоС о равны соответ-
ствующим уrлам треуrольника АВС.
Используя полученный результат, доказать следующую
т е о р е м у М о р л е я: если уrлы произвольноrо треуrольника
разделены на три равные части каждый (получившиеся прямые
называются трисектрисами), то три точки, являющиеся точка-
ми пересечения пар трисектрис, прилежащих к соответствую
щим сторонам треуrольника, являются вершинами правильно
ro треуrольника.
321. Будем считать, что вершины треуrольника АВС сле-
дуют друr за друrом в положительном  против часовой
77

./"'..
стрелки  порядке. Для любых двух лучей (J. и  символом ((J., )
будем обозначать уrол, на который надо повернуть луч (J. про-
тив часовой стрелки до совпадения с лучом . Обозначим через

(J.l И (J.{ два луча, выходящие из А, дЛЯ которых (АВ, (J.l) ==
1
== (4Ci{) == (c4)tC) ==  L А, (J.2 И (J.  лучи, для которых
3
(A)  ()  (сж.-r,AС)  (L А + 2п), и, наконец, сж. з и
3
   1
(J.  лучи, для которых (АВ, (J.з) == ((J.з, (J.) == ((J., АС) == (L А +
3
+ 4п) ((J.i, (J., r де i == 1, 2, 3, соответственно будем называть три..
сектрисами nервО20, втОрО20 и третье20 родов). Точно так же
для вершин В и С определим j' ) и 'Yk, 'Y (j, k == 1,2,3). Через
(J.iJ3 j 'Yk будем обозначать треуrольник, образованный при пересе..
чении соответственно прямых (не лучей) (J.i и j, j и 'Y, 'Yk И (J..
Доказать, что при всех i, j, k таких, что i + j + k  1 не кратно
трем, треуrольники (J.ij'Yk  прав ильные, их стороны парал-
лельны, а вершины расположены на девяти прямых, по шести
на каждой прямой (п о л н а я т е о р е м а М о р л е я).
 8. rеометрические неравенства.
Задачи на максимум и минимум
322. В начале XIX века итальянским reoMeTpoM
Мальфатти была поставлена следующая задача: из данноrо
треуrольника вырезать три Kpyra так, чтобы сумма их площа-
дей была наибольшей. В более поздних исследованиях под
окружностями Мальфатти стали понимать три окружности,
попарно касающиеся друr друrа, каждая из которых касается
также двух сторон данноrо треуrольника. Доказать, что для
правильноrо треуrольника ОКРУ)l(НОСТИ Мальфатти не дают ре-
шения первоначальной задачи. (Лишь в середине ХХ века было
установлено, что окружности Мальфатти ни для KaKoro тре..
уrольника не дают решения первоначальной задачи.)
3
323. Доказать, что р   v 6Rr , rде р  полупериметр, r
2
и R радиусы вписанной и описанной окружностей треyrоль
ника.
324. Доказать, что периметр треуrольника, вершинами ко-
Toporo являются основания высот данноrо остроуrольноrо
треуrольника, не превосходит половины периметра данноrо
треуrольии:ка.
"8

325. Доказать, что если треуrольник, составленный из ме-
диан данноrо треуrольника, является тупоуrольным, то мень-
ший уrол исходноrо треуrольника меньше 450.
326. Пусть ABCD  выпуклый четырехуrольник. Доказать,
что хотя бы один из четырех уrлов ВАС, DBC, ACD, BDA не
превосходит тс/4.
327. Доказать, что медиана к большей стороне треуrольни-
ка образует со сторонами, ее заключающими, уrлы, величина
каждоrо из которых не меньше половины наименьшеrо уrла
треуrольника.
328. Доказать, что если в треуrольнике АВС уrол В тупой и
I АВ 1 == 1 АС 1/2, то L С > L А/2.
329. Доказать, что окружность, описанная около треуrоль-
ника, Ре ожет проходить через центр вневписанной окружно-
сти.
330. В треуrольнике из вершины А выходят медиана, бис-
сектриса и высота. Какой уrол больше: между медианой и бис-
сектрисой или между биссектрисой и высотой, если уrол
А дан?
331. Доказать, что если медианы, проведенные из вершин
В и С треуrольника АВС перпендикулярны, то ctg В + ctg С 
 2/3.
332. Дан треуrольник АВС, 1 АВ 1 < I ВС 1. Доказать, что для
произвольной точки М на медиане, проведенной из вершины В,
L ВАМ> L ВСМ.
333. Из внешней точки А к окружности проведены две каса..
тельные АВ и АС и середины их D и Е соединены прямой DE.
Доказать, что эта прямая не пересекает окружность.
334. Доказать, что если прямая не пересекает окружность,
то для любых двух точек прямой расстояние между ними за
ключено между суммой и разностью длин касательных, прове-
денных из этих точек к окружности. Доказать обратное утвер-
ждение: если для каких-то двух точек прямой утверждение не
выполняется, то прямая пересекает окружность.
335. В треуrольнике АВС уrлыI связаны соотношением
3L А  L С < тс. Уrол В разделен на четыре равные части
пр ямы ми, пересекающими сторону АС. Доказать, что третий
из отрезков, на которые разделена сторона АС, считая от вер-
шины А, меньше 1 АС 1/4.
336. Пусть а, Ь, с, d ..... последовательные стороны четырех-
уrольника. Доказать, что если s..... ero площадь, то S  (ас +
+ bd)/2, причем равенство имеет место только для вписанноrо
четырехyrольника, диаrонали KOToporo перпендикулярны.
337. Доказать, что если длины биссектрис треyrольника
меньше 1, то ero площадь меньше v3 /3.
79

338. Доказать, что треуrольник будет остроуrольным, пря-
моуrольным или тупоуrольным в зависимости от Toro, будет
ли выражение а 2 + Ь 2 + с 2  8R 2 положительно, равно нулю
или отрицательно (а, Ь, с  стороны треуrольника, R  радиус
описанноrо Kpyra).
339. Доказать, что треуrольник qудет остроуrольным, пря
моуrольным или тупоуrольным в зависимости от Toro, бу
дет ли ero полупериметр соответственно больше, равен или
меньше суммы диаметра описанноrо Kpyra и радиуса впи
caHHoro.
340. Доказать, что если длины сторон треуrольника свя
заны неравенством а 2 + Ь 2 > 5с 2 , то с  наименьшая сторона.
341. В треуrольнике АВС уrол В средний по величине:
L А < L В < L С, 1  центр вписанной окружности, О  центр
описанной ОКРУ)l(НОСТИ, Н  точка цересечения высот. ДOKa
зать, что 1 лежит внутри треуrольника ВОН.
342. Треуrольники АВС и АМ С расположены так, что М С
пересекает АВ в точке О, .причем 1 АМ 1 + 1 МС 1 == 1 АВ 1 +
+ 1 Ве 1. Доказать, что если 1 АВ 1 == 1 BCI, то 1 OBI > 1 ОМ 1.
343. В треуrольнике АВС точка М лежит на стороне ВС.
Доказать, что (1 АМ 1  1 АС 1) 1 ВС 1  (1 АВ 1  1 АС 1) 1 МС 1.
344. Пусть а, Ь, с  стороны треуrольника АВС, М 
произвольная точка плоскости. Найти минимум выражения
1 МА 12 + 1 МВ 12 + 1 МС 12.
345. Стороны уrла, paBHoro СХ, являются бортами бильярда.
Какое наибольшее число отражений от бортов может сделать
бильярдный шар (размерами шара можно пренебречь)?
346. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со
стороной 2 км. Деревни соединены дороrами таким образом,
что из каждой можно пройти в любую дрyrую. Может ли об
щая длина дороr быть меньше 5,5 км?
347. Точка А расположена между двумя параллельными
прямыми на расстоянии а и Ь от них. Эта точка служит верши
ной уrла, paBHoro СХ, всевозможных треуrольников, две друrие
вершины которых лежат по одной на данных прямых. Найти
наименьшее значение площади таких треyrольников.
348. Дана окружность радиуса R с центром в точке О,
АВ  ее диаметр, точка М находится на радиусе ОА, причем
1 АМ 1 : 1 МО 1 == k. Через точку М проведена произвольная xop
да CD. Чему равно наибольшее значение площади четырех
уrольника ACBD?
349. Дан уrол с вершиной А и две точки М и N внутри не-
ro. Через М проводится прямая, пересекающая стороны уrла
в точках В и С. Доказать; что для Toro чтобы площадь четы
рехуrольника ABNC была наименьшей, необходимо и доста-
80

точно, чтобы прямая ВС пересекала AN в такой точке Р, что
I ВР I == 1 МС 1. Дать способ построения этой прямой.
350. Вершина yr ла (1, находится в точке О, А ..... фиксирован-
ная точка внутри уrла. На сторонах уrла взяты точки М и
N так, что L MAN == В ((1, + В < п). Доказать, что если I АМ 1==
== I AN 1, то площадь четырехуrольника О М AN достиrает мак-
симума (среди всевозможных четырехуrольников, получающих-
ся при изменении М и N).
351. Учитывая результат предыдущей задачи, решить сле-
дующую. Внутри уrла с вершиной О взята точка А. Прямая ОА
образует со сторонами уrла уrлы <р и ",. Найти на сторонах
уrла точки М и N такие, что L MAN == В (<р + '" + В < п) и пло-
щадь четырехуrольника OMAN максимальна.
352. Дан треуrольник ОВС (L ВОС == (1,). Для каждой точки
А на стороне ВС определим точки М и N на ОВ и ОС так, что
L MAN == В ((1, + В < п) и площадь четырехуrольника OMAN
была бы максимальной. Доказать, что эта максимальная пло-
щадь достиrает минимума для таких точек А, М и N, дЛЯ ко-
торых IMAI == IANI, а прямая MN параллельна ВС. (Такие
точки найдутся, если уrлы В и С треуrольника АВС не превос
п В
ходят 2 + 20)
353. Пусть ABCD ..... вписанный четырехуrольник. Диаrональ
АС равна а и образует уrлы (1, и В соответственно со сторонами
АВ и AD. Доказать, что площадь четырехуrольника заключена
а 2 sin ((1, + В) sin В а 2 sin ((1, + В) sin (1,
между величинами 2 о и 2 . А .
Sln (1, Sln fJ
354. Дан уrол (1, с вершиной в точке О и точка А внутри не-
ro. Рассмотрим всевозможные четырехуrольники OMAN, у ко-
торых вершины М и N расположены на сторонах уrла и такие,
что L AIAN == В ((1, + В > п). Доказать, что если среди этих четы-
рехуrольников найдется такой выпуклый четырехуrольник, что
I МА I == I AN 1, то этот четырехуrольник имеет наименьшую
площадь среди всех рассматриваемых четырехуrольников.
355. Внутри уrла с вершиной О дана точка А такая, что ОА
образует уrлыI <р и '" со сторонами данноrо уrла. Найти на сто-
ронах уrла точки М и N такие, что L MAN == В (<р + '" + В > п)
и площадь четырехуrольника OMAN минимальна.
356. Дан треуrольник ОВС, L ВОС == (1,; для каждой точки
А на стороне ВС определим точки М и N соответственно на
ОВ и ОС так, что L MAN == В и площадь четырехуrольника
OMAN бьша минимальной. Доказать, что эта минимальная
площадь будет максимальной для таких точек А, М и N, дЛЯ
которых I МА I == I AN I и прямая MN параллельна ВС. (Если
81

такой точки А нет, то максимум будет достиrаться в конце сто-
роны ВС дЛЯ вырожденноrо четырехуrольника.)
357. Найти радиус наибольшеrо Kpyra, который можно ПО..
крыть тремя круrами радиуса R. Решить задачу в общем слу..
чае, коrда радиусы равны R 1 , R 2 , R з .
358. Можно ли покрыть тремя единичными квадратами
квадрат со стороной 5/4?
359. Чему равна наибольшая площадь правильноrо треу-
rольника, который можно покрыть тремя правильными треу-
rольниками со стороной 1?
360. В треуrольнике АВС на сторонах АС и ВС взяты точки
М и N, а на отрезке MN  точка L. Пусть площади треуrоль-
ников АВС, AML и BNL соответственно равны 8, Р и Q. Дока-
зать, что vs  VP + VQ.
361. Пусть а, Ь, с, 8  соответственно стороны и площадь
HeKoToporo треуrольника, rL, , 'у  yr лы друrоrо треyrольника.
Доказать, что а 2 ctg rL + Ь 2 ctg  + с 2 ctg 'у  48, причем равенство
имеет место лишь в случае, коrда оба треуrольника подобны.
362. Доказать неравенство а 2 + Ь 2 + с 2  4SVЗ + (а  Ь)2 +
+ (Ь  с)2 + (с  а)2, rде а, Ь, с, 8  соответственно стороны
и площадь треуrольника (Ф и н с л е р, Х а Д в и r ер).
363. Дан треуrольник со сторонами а, Ь и с. Определить
плоrцадь наиболыпеrо правильноrо треуrольника, описанноrо
около данноrо, и площадь наименьшеrо правильноrо треуrоль-
ника, в Hero вписанноrо.
364. Пусть М  произвольная точка внутри треуrольника
АВС. Прямая АЛ! пересекает окружность, описанную около
IBMI.ICMI
АВС в точке А 1 . Доказать, что  2r, rде r  ра-
IA 1 MI
диус вписанной окружности, причем равенство достиrается,
коrда М совпадает с центром вписанной окружности.
365. Пусть М  произвольная точка внутри треуrольника
АВС. Доказать, что I АМ I sin L ВМС + I ВМ I sin L АМС +
+ I СМ I sin L АМВ  р (р  полупериметр треуrольника АВС)
и равенство достиrается, коrда М совпадает с центром вписан-
ной окружности.
366. Пусть h 1 , h 2 , h з  высоты треуrольника АВС, а и, v,
w  расстояния до соответствующих сторон от точки М, нахо-
дящейся внутри треуrОЛЬНИ1<а АВС. Доказать неравенства:
h 1 h2 h з
а) ++9;
u v w
б) h 1 h 2 h з  27uvw;
в) (hl ..... и) (h2 ..... v) (h з ..... w)  8uvw.
82

367. Пусть h  длина наибольшей высоты нетупоуrольноrо
треуrольника, R и r  соответственно радиусы описанной
и вписанной окружностей. Доказать, что R + r  h (3 р д е ш).
368. Доказать, что радиус окружности, описанной около
треуrольника, составленноrо из медиан остроуrольноrо тре-
уrольника, больше 5/6 радиуса окружности, описанной около
исходноrо треуrольника.
369. Доказать, что сумма квадратов расстояний от про-
извольной точки плоскости до сторон треуrольника принимает
наименьшее значение для такой точки внутри треуrольник
для которой расстояния до соответствующих сторон пропор-
циональны этим сторонам. Доказать также, что эта точка
является точкой пересечения симедиан (см. задачу 11.171) данно-
ro треуrольника (точка Лемуана).
370. Дан треуrольник, все уrлы KOToporo меньше 1200. До-
казать, что сумма расстояний от произвольной точки до вер-
шин этоrо треуrольника принимает наименьшее значение для
такой точки внутри Hero, из которой каждая сторона треуrоль
ника видна под уrлом 1200 (точка Торuчеллu).
371. Доказать, что среди всех треyrольников, вписанных
в данный остроуrольный треуrольник, наименьший периметр
имеет тот, вершинами KOToporo являются основания высот
данноrо треуrольника.
372. Доказать, что сумма расстояний от точки внутри тре-
уrольника до ero вершин не меньше, чем 6r, rде r ..... радиус впи-
санной окружности (Ш рей б ер).
373. Для произвольноrо треуrольника доказать неравенство
bccosA Ьс + а 2
(обозначения обычные) Ь + а < р < .
+с а
374. Пусть К..... точка пересечения диаrоналей выпуклоrо
четырехуrольника ABCD, L  точка на стороне AD, N  на сто-
роне ВС, М ..... на диаrонали АС, причем KL и MN параллельны
АВ, LM параллельна DC. Доказать, что KLMN..... параллело
rpaMM и ero площадь меньше 8/27 площади четырехуrольника
ABCD (Х а т т о р и).
375. Два треyrольника имеют общую сторону. Доказать,
что расстояние между центрами вписанных в них окружностей
меньше, чем расстояние между несовпадающими вершинами
(3 а л r а л л ер).
376. Дан треуrольник АВС, уrлы KOToporo равны (х, J3 и "'{.
Треуrольник DEF описан около треуrольника АВС так, что
вершины А, В и С находятся соответственно на сторонах ЕР,
FD и DE, причем L ЕСА == L DBC == L РАВ == <р. Определить
значение уrла <р, при котором площадь треуrольника EFD дo
стиrает наибольшеrо значения.
83

377. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС взяты со-
ответственно точки А 1 , В 1 , (1. Доказать, что площадь тре-
уrольника А 1 В 1 С 1 не меньше, чем площадь хотя бы одноrо из
трех треуrольников: АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С.
378. Пусть О, 1, Н  соответственно центры описанной, впи-
санной окружностей и точка пересечения высот HeKoToporo
треуrольника. Доказать, что I он I  IIH 1112.
379. Пусть М  произвольная точка внутри треуrольника
АВС; х, у и z  расстояния от М соответственно дО А, В и С;
и, v и w  расстояния от М соответственно до сторон ВС, СА
и АВ; а, Ь, с  соответствующие стороны треуrольника АВС;
8  ero площадь; R и r  радиусы описанной и вписанной
окружностей. Доказать неравенства:
а) ах + Ьу + cz  48;
б) х + у + z  2 (и + v + w) (Э р д е ш);
в) хи + yv + zw  2 (uv + vw + wu);
( 1 1 1 ) 1 1 1
r) 2 ++ ++;
х у z u v w
R
д) xyz  (и + v)(v + w)(w + и);
2r
4R
е) xyz  uvw;
r
2R
ж) ху + yz + zx  (uv + vw + wu).
r
380. В данном треуrольнике проведем медиану к большей
стороне. Эта медиана разбивает треуrольник на два. В каждом
из получившихся треуrольников также про ведем медиану
к большей стороне и т. д. Доказать, что все получающиеся
треуrольники можно разбить на конечное число классов таким
образом, что все треуrольники, принадлежащие одному классу,
подобны между собой. Доказать также, что любой уrол любо-
ro получающеrося при этом треуrольника не меньше половины
наименьшеrо уrла исходноrо треyrольника.
381. Найти треуrольник наименьшей площади, которым
можно по крыть любой треуrольник со сторонами, не превосхо-
дящими 1.

111. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1. Основные rеометрические факты
и теоремы. Задачи на вычисление
17. Биссектриса разбивает треуrольник на два, площа..
аl . \1. bl . \1.
ди которых соответственно 2 8111 2' 281112' а площадь Bcero тре-
\1.
( 1 bl ) Ь 2аЬ СО8 
аЬ . а. \1. а . 2
уrольника 8111 \1.; значит,  +  S:111 == Sl11\1., 1 == .
2 2 2 2 2 а+Ь
19. Возьмем окружность, касающуюся сторон АВ, ВС и СА. Если
эта окружность не касается стороны DA, то, проведя касательную DA 1
(А 1  на АВ), получим 6. DAA l' У KOToporo одна сторона равна сумме
двух друrих.
20. Проведя через вершины треуrольника прямые, параллельные
противоположным сторонам, получим треуrольник, для KOToporo вы..
соты исходноrо треуrольника являются перпендикулярами, восста..
вленными к сторонам в их серединах.
21. а+Ь 22.  VзVЗ. 23. V2l (a+b Va2+b2 ).
2 2 1t 2
т 2 vз с + q I а  Ь I 1 'l . h 2 1t  \1.
24. . 25. . 28. . 29. (a  Ь) 8111 \1.. 30. tg .
2 Ь 2 2 2 4
о аЬ о 2 1 ;;; V 1 (
31. 30 . 32. . 33. 90 : 36. r (2 V 3 + 3).37. 1 a(21  а). 38.  81 + 82)'
2 2
39. Если а > Ь, то биссектриса пересекает боковую сторону С D; ес..
ли а < Ь, то  основание ВС.
2аЬ 1  k
. 41. arCC08 . 42.
а+Ь l+k
а + Ь V ,.... 1 2 2 2
jO + 2аЬ  а . 43. а . 44.
4
\1. l abl V 2 2
46. 900 + . 47. а + Ь .
2 а+Ь
а 2
(6  п) : 2п : (6  п). 50.  (112  1) [ (2 112 
8
52. R 2 ( + vз ) . 53.  Vb2a2
2322'
40.
 v  . 45. (+ )2.
48. arcsin ( :  1). 49.
а 2
1)п4]. 51. (6VЗ61t).
4
d 4
54. . 55.  8.
3 9
85

58. Если (1, < 900,  < 900, то уrлы 1:::, АВС равны 900  (1" 900  ,
(1, + ; если (1, > 900,  < 900, то r:J.  900, 900 +, 1800  (1,  ; если (1, <
< 900,  > 9 00, то 9 00 + (1"   900, 1800  (1,  .
1 V 2 а 36 2 V 8
59.  т  48. 60. . 61. h . 62. (2 .
2 . 5 25 1t 4п  1)
63. В равнобедренном треуrольнике с уrлом при вершине п/5 бис
сектриса yr ла при основании делит треуrольник на два равнобе
дренных треуrольника, один из которых подобен исходному. О т в е т:
V5 1
R.
2
2 [ (1, 1 ]
64. R ct g 2  2(п  (1,) .
а 2 + 4r 2
67. 2r 2 (2 УЗ + 3). 68. 69.
4r
65.  V1O.
4
а ( 4sin 2 (1, + 1)
66. .
8 sin (1,
aV10
71. 2.
4
3а
1 (1;' 70.
2(5 + V 13)
(1,
аЗЬ а ( (1, ) 2
72. . 73.  t g   ct g (1,. 74.
4(а 2 + Ь 2 ) 2 2 as:::<x + )
а у7 ( УЗ 1 ) а2 УЗ 1 ас + bd
76. 1 ;;. 77. а  +  . 78. . 79.  ( + 'у  (1,). 80.
3 V 3 3 2 12 2 а
1t 'bal V 2 2 2 2
. 2 . . 82. 4d  (Ь  а) . 83. 2 (R + а ).
2 S1n (1, S1n 2 4
84. Возможны два случая: оба центра расположены по разные
стороны от обшей хорды и по одну. Соответственно две пары ответов:
а (УЗ  1), а v2 (УЗ  1) и а (УЗ + 1), (1 v2 (УЗ + 1).
2 2
3  у7 1  1 + V 1  2k 2 3а 2
86. . 87. V 13. 88. arccos . 89. . 90.
4 2 3 8
 1t 1t  1t 22уЗз
91. (1, +      (1, +   . 92 а . ( Воз
2' 2 2' 2 2 2 .. 8
можны, вообще rоворя, два треуrольника, но у одноrо из них две вер-
шины лежат на продол)кениях диаrоналей.)
7V2 br R v2
93. . 94. . 95. у7. 96. (УЗ  1). 97. V1O. 98.  1.
10 с 2 cos (1,
100.  11 96  54 уз. 101. 3: 4. 102. а sn  ctg (1, +  .
3 Sln (1, 2
1 3 4VR;(Rr)
103.  V 25a2 + с 2 + 10ас cos А. 104. s. 1 0 5
10 J-1 · 2 2 .
4 6Rr  r  R
V b2 + а 2 + 2аЬ sin 
. 2
108.
R 2  а 2
75.
2R
81.
1t
а 2 + Ь 2  2аЬ cos (1,
106.
2 (Ь  а cos (1,)
3
107. c.
10
(1,
2cos
2
86

109. S cos 2 сх. 110. V 4R 2  а 2 . 111.  . 112. V a 2 + Ь 2 + 2аЬ cos сх.1 ctg сх 1.
У 1 2 4 2 2
113.  Ь +  а   аЬ cos С'1.
493
2 1  а cos (С'1 + )
115. а (V21). 116. ( ) '
cos 2С'1 + 
с'1
2 cos  + 3
3
114.
. 2
a[CSl11 
1t
а Sil1(C'1 + )
cos (2С'1 + )
и
. 2
1t  arCSll1 .
1t
1
117. 2а (Ь 
 а cos С'1) Si11 3 С'1.
118.
21/82 (81 + 82)
119. 4
V 48i  8
с'1
6 cos  + 1
3
сх V )( . 2 с'1 2 С'1 )
4 cos 2 (R 2  R 1 R 2 Sll1 2 + R 1 cos 2 .
150
121.
7
120.
а 2 cos 2 
122. 2 . 123. V a 2 + Ь 2  аЬ, V а 2 + Ь 2 + аЬ.
Si112  cos 2 с'1 + 
2 2
RVЗ 4
125. 150, 750. 126. . 127. 2 Vб. 128. V2. 129.  (2 vз + 3).
8 3
130. 2R 2 sin 3 сх sin  . 131. 3 VЗ (ViЗ  1) . 132. 1,1. 133. . 134. 
Sil1 (С'1 + ) 32п 16R 2
R 2  r 2 а v7 R (3  2 V2)
и arcco s R 2 + r 2 ' 135. 300. 136. 4 137. 3
138. 4 V 1  cos  . 139. аЬ tg с'1 . (В треуrольнике О N Р
3  cos  V a 2 tg 2 с'1 + (а  Ь)2
отрезки кр и NM являются высотами, поэтому ОА  высота.)
2RI" а
140. . 141. .
R+r 2
143. Поrрешность не превосходит 0,00005 радиуса окружности.
1 / VЗ 1 27t VЗ + 1115
144. 2 V 113  56 3. 145. 7,5. 146. 3. 147. . 148. .
12 3 2
2 VЗ 1 r; 16 ( 1;; v5 2 . 2 .
149. 150. 4 V 3. 151.  4  V 7). 152. . 153. 2r Sl11 с'1 Sll1 2С'1.
392
2 5 1 ( 3 VЗ ) 4
154. 2. 155.  1t +  arccos    . 156. vu (2  VЗ).
3 12 2 1t 2
157. arj(a + 2r).
158. Если сх < ; , то задача имеет два решения: R 2 sin сх ( 1 +
+ sin ); если  ,:::; сх < 7t  одно: R 2 sinCX( 1 + sin ).
I а 2  Ь 2 I
159. От  (3 v2  4) до . 160. От до 1.
6 3 а 2 + Ь 2
87

2аЬс
. (Докажите, что если через точку внутри Tpe
аЬ + Ьс + са .
уrольника проведены прямые, параллельные ero сторонам, то сумма
коэффициентов подобия отсекаемых треуrольников по отношению
к данному треуrольнику равна 2.)
Rr
R+r
163. Возьмем на прямой ВА точку А 1 так, что IA1BI == IA 1 CI. Точ
ки А 1 , А, D и С лежат на одной окружности (L DA 1 C == 900  L АВС ==
== L DAC). Следовательно, L А 1 АС == L A 1 DC == 900, а значит, и
L ВАС == 900.
161.
162.
1
164. 1. 165. 2. 166.
4
а 2 + а (d  Ь)
168. . 169. 6. 170. 3.
ab
13
a.
15
а 2 + а V a 2 + 8ь 2
167.
4
1
171. Если Q   S, то искомое
4
1
Если же Q <  s
4 '
4
расстояние будет vз (VS  VQ).
4 3
то возможны два ответа:  (y's + VQ).
2 ( 1 + cos rJ.. 2 )
11  k 2 1 (а 2 + Ь 2  с 2 ) С
172. 3r 2 2 . 173. . 174.
1 + k . rJ.. 4аЬ
1 + Sln
2
175. Пусть А и В  две соседние вершины ромба, М  точка пере
сечения диаrоналей, 01 и 02  центры окружностей (01  на АМ,
02  на ВМ). Имеем: IABI2 == IAMI2 + IBMI2 ==(102A 12  102M12) +
+ (1 01 В 12  101М 12) == R 2 + r 2  (101М 12 + 102М 12) == R 2 + r 2  а 2 .
О т в е т: V R 2 + r 2  а 2 .
8R 3r 3
176. (R2 + r 2 )2 .
V а 2 + Ь 2 + 2аЬ cos rJ..
177. I АВ 1 == . , если В лежит внутри данноrо
Sln rJ..
yr ла или вертикальноrо к нему;
v а 2 + Ь 2  2аЬ cos rJ..
IABI == .
Sln rJ..
в остальных случаях.
. hah b 3 УЗ
178. 2 arcS1n ( ) ' 179.
1 ha + h b 5п  3
180. Поскольку ЕР перпендикулярна СО (О  точка пересечения
диаrоналей), а из условия следует, что АС  биссектриса уrла А, pB-
Horo 600, I АЕ 1== I АР) == I ЕР 1. Если К  середина ЕР, то I АО 1==
УЗ уз 1
==2a, ICOI==a, ICKI'IOKI== IEKI2==IAKI2. Ответ:
3 3 3
а 2 1 JЗ
V:J И 2а 2 уз.
4
88

3
181.  11.
4
182. Обозначим
L ВАС == L BDC == Cl,
IBMI+IMCI
IAMI + IMDI
L СВА == L BCD == ,
sin <р + sin (Cl  <р)
sin ( + cl  <р) + sin ( + <р)
L ВАМ == <р. Тоrда
sin  cos (    )
sln cl
с
sin (Р + ) cos (    )
sin ( + Cl) + sin 
а+Ь
183. Всеrда имеется хорда, параллельная основанию треуrольника,
делящаяся боковыми сторонами на три равные части (безусловно, О <
3а n(;
< а < 2). Ее длина 2 . Кроме Toro, если а < 1/ V 2, то существует
2а + 1
еще одна хорда, не параллельная основ анию, обладающая тем же
свойством. Длина этой хорды З/ V 9  2а 2 .
184. Пусть ВС и АС пересекают MN в точках Р и Q. Обозначим:
IMCI IMPI SBMC IMBI.IMCI 3х
== х. Тоrда    Значит,
ICNI IPNI SBNC IBNI.ICNI 4
3х х
1 МР I == . Аналоrично' 1 MQ I == . Для х получаем ypaBHe
3х + 4 х + 1
х 3х
ние == а, 3ах 2 + (7а  1) х + 4а == О. Поскольку D  О и
х + 1 3х + 4
о < а < 1, то наибольшее значение а равно 7  4 уЗ.
185. Из равенства SABN == SCDM следует, что 5MBN == SMCN, так как
MN  медиана треуrольников ABN и CDM. Значит, ВС 11 MN, точно
так же AD 11 MN, т. е. ABCD  трапеция , в которой AD и ВС
5k  2 + 2 V 2k(2k  1)
основания. О т в е T:  .
2  3k
186. Имеем: I AD 1  1 DM 1  I АМ I == 2. С друrой стороны, I AD I 
IBDI
 . == 2. Следовательно, I AD I == 2, AD  большее основание
Sln 600
и точка М лежит на прямой AD. О т в е т: v7.
187. Пусть BD  биссектриса в треуrольнике АВС, А 1 и
С 1 ---середины ВС и АВ, IDA 1 1==IDC 1 1. Возможны два случая:
1) L BA 1 D == L BC 1 D и 2) L BA 1 D + L BC 1 D == 1800. В первом случае
I АВ I == I ВС 1. Во втором случае повернем треуrольник АС 1 D BOKpyr
D на уrол C 1 DA 1 так, чтобы С 1 перешла в А 1 . Получим треуrольник
Ьа а + с Ьс
Ьа а + с 
подобный треуrольнику АВС. Следовательно, : а == : Ь ==
а+с 2
== ос : с, откуда а + с == Ь { 2 . Поскольку а #- с, то хотя бы одно И3
а+с
двух неравенств Ь #- а, Ь #- с  верно. Пусть Ь #- с, Tor да Ь + с == а v2,
Ь == а, и мы получаем треуrольник со сторонами а, а, а (v2  1),
89
а+с
2
а+с
(а, Ь и с  стороны
д АВ С),
со сторонами

обладающий данным свойством. Таким образом, с точностью до по-
добия существуют два треуrольника, удовлетворяющих условию
задачи: прав ильный и треуrольник со сторонами 1, 1, у2  1.
188. Если (:J.  уrол между сторонами а и Ь, то из условия следует:
а + Ь sin (:J.  Ь + а si n (:J., (а  Ь) (sin (:J.  1)  1, sin (:J.  1. Отсюда (:J. == 900.
О т в е т: V а 2 + Ь 2 .
189. Докажите, что из всех четырехуrольников, описанных около
данной окружности, наименьшую площадь имеет квадрат. (Можно
воспользоваться, например, неравенством tg (:J. + tg   2 tg [( (:J. + )/2],
[де (:J., р  острые уrлы.) С друrой стороны, SABCD 
1
(IMAI,IMBI + IMBI.IMCI + 1 MCI.IMDI + IMDI.IMAI) 
2
1 1 1
  (1 МА 12 + 1 МВ 2 1) + (I MBI2 + I MCI 2 ) + (I MCI 2 + 1 MDI2) +
4 4 4
1
+  (1 М D 12 + 1 М А 12) == 1. Следовательно, ABCD  квадрат площади 1.
4
190. Обозначим: 1 ВМ 1== х, I DM 1== у, I АМ 1 == 1, L АМВ == <р.
Предположим, что М лежит на отрезке BD. Запишем для треуrольни-
ков АМ В и АМ D теорему косинусов, исключим cos ер, получим: [2 (х +
+ у) + ху(х + у) == а 2 у + d 2 x. Аналоrично получается соотношение
12 (х + у) + ху (х + у) == Ь 2 у + с 2 х. Таким образом, (а 2  Ь 2 ) у == (с 2  d 2 ) х.
а 2  Ь 2
с 2  d 2 .
191. Если вершины прямоуrольника лежат на концентрических
окружностях (две противоположные на окружностях радиусов R 1 и R 2 ,
а две оставшиеся на окружностях радиусов R3 и R 4 ), то должно выпол-
няться равенство: RI + R == R + R. Докажем это. Пусть А  центр
окружностей, вершины К и М прямоуrольника KLMN лежат на
окружностях радиусов R 1 и R 2 , а L и N  на окружностях радиусов R3
и R4' В треуrольниках АКМ и ALN медианы, выходящие из вершины
А, равны, равны также стороны КМ и LN. Из этоrо следует справед
ливость нашеrо утверждения.
Пусть вторая сторона прямоуrольника равна х, х> 1. Радиусы R 1 ,
1
R 2 , R з , R4 В некотором порядке равны числам 1, х, V х 2 + 1,  V х 2 + 1.
2
Проверяя различные возможности, найдем: х 2 == 7, R 1 == 1, R 2 == 2 у2,
R3 == у2, R4 == 117.
Рассмотрим квадрат К 1 L 1 М 1 N 1 со стороной у, вершины KOToporo
лежат соответственно на окружностях радиусов R 1 == 1, R3 == у2, R 2 ==
== 2 у2, R4 == 117. Обозначим: L AK 1 L 1 == <р, тоrда L AK 1 N 1 == 900 .+ ер
или <р + 900. Записывая теорему косинусов для треуrольников AK 1 L 1
и AK 1 N 1 , получим:
Отве'т:
{ 1 + х 2  2х cos q>  2, =:о-
1 + х 2 + 2х sin <р == 7,
{ 2xcos ер == х 2  1,
+ 2х sin ер == х 2  6.
90

Возводя последние два равенства в квадрат и скл адывая и х, ПОЛУЧИМ:
2х 4  10х 2 + 37  о, х 2  5 +  Vlб. Ответ: V5 + 2Vlб.
. 192. ДОNaжем сначала следующее утверждение. Если перпендику
ляры, восставленные к АВ и ВС в их серединах, пересекают АС в точ
ках М и N так, что I MN 1 == л 1 АС 1, то либо tgA tg С == 1  2л, либо
tgA tg С == 1 + 2л. Обозначим: 1 АВ 1 == с, 1 ВС 1 == а, I АС 1 == Ь. Если отрез
ки перпендикуляров от середин сторон до точек М и N не
пересекаются, то
с а
1 MN 1 == Ь   == лЬ => 2 (1  л) sin В cos А cos С ==
2cosA 2cosC
==  (sin 2С + sin 2А) => 2 (1  л) sin (А + С) cos А cos С ==
2
== sin (А + С) cos (А  С) => 2 (1  л) cos А cos С ==
== cos А cos С + sin А sin С => tg А cos С == 1  2л.
Если же эти отрезки пересекаются, то tg А tg С == 1 + 2л. в нашем
случае л == 1, т. е. либо tg А tg С ==  1, либо tg А tg С == 3. Для yr лов
В и С получим (л == 1/2) tg В tg С == О (это невозможно) или tg В tg С == 2.
Система
{ tg А tg С ==  1,
tg В tg С == 2,
А+В+С==п
не имеет решения. Значит, tgA tg С == 3. Решив соответствующую систе
му, найдем tgA == 3, tg В == 2, tg С == 1. О т в е т: п/4.
193. Обозначим: R  радиус описанной около АВС окружности,
О  ее центр, N  точка пересечения медиан ь.. ВСМ. Перпендикуляр"
ность ON и СМ равносильна равенству ICNI 2  IMNI2 == ICOl 2 
IOMI2. Пусть IABI==l, IMBI==x, ICMI==y, тоrда IMNI2==
1 1
== (2y2 + 2х2  k 2 ), 1 CN 12 == (2y2 + 2k 2  х 2 ), 1 СО 12 == R 2 , 1 ОМ 12 ==
9 9
 R 2 cos 2 С + (х  + у. Получаем для х уравнение: 2х2  3х + k 2  о.
З +V 98k2 з}12
О т в е т : (если 1 < k < , то обе точки находятся
4 4
внутри отрезка АВ).
194. Если О  середина АС, то I АВ 12 == 1 ВО 12 + 1 АО 12 == 1 ВК 12 
 I КО 12 + 1 АО 12 == I ВК 12 + (1 АО I  1 АК 1) (1 АО 1 +- I АК 1) == 1 ВК 12 +
+IAKI'ICKI==b 2 +bd. Ответ: V b 2 +bd.
195. 1) Ломаная из трех звеньев по длине равна отрезку, соеди-
няющему ее концы. Это возможно лишь. тоrда, коrда все ее вершины
2аЬ 2аЬ
лежат на этом отрезке. х == 1;;' у ==  1 r:; .
a+bV 3 aV3+b
2) х, у, z являются сторонами треуrольника, высоты KOToporo
равны а, Ь и с, причем этот треуrольник не должен быть тупо-
91

ус ольным. Для нахождения х, у, z воспользуемся тем, что треуrольник,
стороны KOToporo обратно пропорциональны высотам данноrо, по
1 1 1
добен данвому треуrольнику. х ==, у ==, z ==, [де s ==
2as 2bs 2cs
 Yp(p ) (p ) (p ). 2p : +  +  . Задача имеет реше
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ние, если  + Ь 2  2' Ь 2 + 2 , 2 +   Ь 2 '
а с с а с а
3) Рассмотрим в прямоуrольной системе координат точки А (а, Ь),
В (х, О), С (О, у). Из данной системы следует, что АВС  равносторонний
треуrольник. При повороте на уrол 600 BOKpyr А в соответствующем
направлении точка В переходит в С. Можно найти уравнение прямой,
в которую перейдет ось XOB при таком повороте. (В частности, yr ло
вой коэффициент равен + VЗ.) О т в е т: Х == a + ЬVЗ, у == b + аVЗ.
4) Если Х  О, У  О, z  О, то Х, у, Z являются расстояниями до Bep
шин прямоуrольноrо треуrольника АВС, в котором катеты ВС и СА
равны а и Ь, от такой точки М внутри Hero, из которой все ero CTO
роны видны под уrлом 1200. Для определения суммы Х + у + z повер
нем 6. СМА BOKpyr С во внешнюю по отношению к 6. АВС сторону
на уrол 600. М и А перейдут при этом в М 1 И А 1 . Тоrда
ВММ lАl  прямая и, следовате льно, Х + у + z == I ВМ 1+ I СМ 1 +
+ 1 АМ I == 1 ВА 1 1 == 11 а 2 + Ь 2 + аЬ 113. Аналоrично рассматриваются
случаи, коrда одна из переменных отрицательна (отрицательной, BO
обще rоворя, мож ет быть не лю бая из них), и др.
О т в е т: + 11 а 2 + Ь 2 + аЬ 113.
196. Пусть Х  расстояние от центра квадрата до прямой 1,
<р  острый уrол, образованный одной из диаrоналей квадрата с 1. Pac
стояния от вершин квадрата до 1 в порядке обхода равны Х +
V2. v2 V2. v2
+ а Sln <р, Х + а cos <р, Х  а Sln <р, Х  а cos <р . По yc
2 2 2 2
а 2 а 2
ловию .)(2  sin2 <р == х2  COS2 <р , откуда или tg 2 <р == 1, что He
2 2
возможно по условию, или х2 == а 2 /4. О т в е т: а/2.
197. Из условия L В == 2 L С следует соотношение между CTopOHa
ми треуrольника: Ь 2 == с 2 + ас. Перебирая всевозможные варианты: Ь ==
== 2с, а == 2с, Ь == 2а, а == 2Ь, получим, что а == 2с, так как в друrих слу
чаях не будет выполняться неравенство треуrольника. О т в е т: L С ==
== те/6, L В == те/3, L А == те/2.
198. Пусть D  середина ВС. Имеем: Ь 2 == I ВМ 12 ==
== (1 BD 1 + 1 DN 1) (1 BD 1  I DN 1) == I BD 12  I DN 12 == 1 АВ 12  1 AD 12 
IDNI2==(a+b)2IADI2IDNI2. Отсю да I ANI2==IADI2+
+ IDNI2 == (а + Ь)2  Ь 2 == а 2 + 2аЬ. О т вет: V a 2 + 2аЬ.
199. Возьмем на ВС точку N так, что. 6. ABN подобен 6. ADL.
Тоrда L NMA == LMAK + L KAD == L МАВ + L DAL == L MAN.
Следовательно, IMNIIANIkIALI. Ответ:  +Ь.
200. 2 vfЩ.
92

а '
201. а) R V (R + x)(R + у), «+» соотве тствует внеш нему касанию
окружностей, «»  внутреннему. б)  V (R + x)(R  у).
R
202. Пусть 1 АМ 1 : 1 М С I == k. Условие равенства радиусов окруж-
ностей, вписанных в треуrольники АВМ и ВСМ, означает, что их пло-
щади относятся, как периметры. Отсюда, поскольку отношение площа-
13k  12
дей равно k, получим 1 В1и 1 == Из этоrо равенства,
lk
в частностн, следует, что 12/13 < k < 1. Записывая для треуrольников
.4ВМ и ВСМ теоремы косинусов (относительно уrлов ВМА и ВМС)
и исключая из этих уравнений косинусы уrлов, получим для k квадрат-
ное уравнение с корнями 2/3 и 22/23. Учитывая оrраничения для k, по-
лучаем ответ: k == 22/23.
203. Пусть АВС  данный треуrольник, О, К, Н  соответственно
центр описанной окружности, центр вписаJ.lНОЙ окружности и точка
пересечения высот 6. АВС. Воспользуемся следующим фактом: для
произвольноrо треуrольника биссектриса любоrо ero уrла образует
равные уrлы с радиусом описанной окружности и высотой, выходящи-
ми из той же вершины (докажите). Из Toro, что окружность, проходя-
щая через О, К и Н, содержит, по крайней мере, одну вершину 6. АВС
(пусть это будет вершина А), следует, что 1 ОК 1 == 1 КН 1. Точка К нахо-
дится внутри хотя бы одноrо из треуrольников: ОВН, ОСН. Пусть это
6. ОВН. Уrол В не может быть тупым. В треуrольниках ОВК и НВК
имеем: 1 ОК 1 == J НК 1, КВ  общая сторона, L ОВК == L НВК. Значит,
6. ОВК == 6. НВК, так как в противном случае L ВОК + L ВНК ==
== 1800, чеrо не может быть (К внутри 6. ОВН). Следовательно,
1 R
1 ВН 1 == 1 ВО 1 == R. Расстояние от О дО АС равно 21 ВН 1 == 2 (задача
1.20), т. е. L В == 600 (L В  острый), 1 АС 1 == R VЗ. Если теперь А 1 , В 1 И
С 1  точки касания вписанной окружности со сторонами ВС, СА и АВ,
то 1 ВА 1 1 == 1 ВС 1 1 == rVЗ, 1 СА 1 1 + 1 АС 1 1 == 1 СВ 1 1 + 1 В 1 А 1== 1 АС 1 == R VЗ.
Периметр треуrольника равен 2 VЗ (R + r). Теперь леrко найти ero пло-
щадь. Ответ: VЗ(R+r)r.
204. Пусть Р  проекция М на АВ, 1 АР 1== а +- х. Тоrда 1 РВ 1==
 а  х, I мр I  у  V а 2  х 2 , I AN I  (а + х) t ' I NB I  2а 
а 2 + 
aV2 aV2(a  х + YV2) aV2(a + х + YV2)
 (а + х)  1 AL 1 ==
aV2+y aV2+y aV2+y
Отсюда
4а 2
I ALI2 + 1 NB 12 == (а 2 + 2V2ay + 2у2 +.х2) ==
(aV2 + у)2
4а 2 l
___ (а 2 + 2 V 2 ау + 2 у 2 + (а 2  у2)) == 4а 2 .
(а v2 + у)2
205. Пусть сторона треуrольника х и стороны, выходящие из об-
щей точки окружностей, образуют с прямой, проходящей через центры,
93

х х
yr лы \1. И ; \1. +  == 600, Tor да cos \1. ==, cos  ==  (или наоборот).
2R 2,'
Найдя sin а и sin 13 из уравнения cos (а + 13)   , получим, что сторона
Rl.VЗ
правильноrо треуrольника равна .
V R 2 + ,,2  Rr
206. Проведем прямую ВА и обозначим через D вторую точку
пересечения с меньшей окружностью. Рассмотрим дуrи АВ и AD
(меньшие, чем полуокружность). Поскольку общая касательная
к окружностям в точке А образует с АВ и AD равные уr,JIЫ, то и цен-
тральные yr лы, соответствующие э тим дуrам, равны . След овательно,
I AD I l' l' V V R + r
==, IADI==a, IBCI== IBDI'IBAI ==а .
I АВ I R R R
207. Обозначения: 01, 02 и О  центры окружностей (первые две
касаются АВ), х, у и R  соответственно их радиусы. Общие каса-
тельные к окружностям 01 И 02, 01 И О, 02 И О равны соответственно
2 V ху , 2, 2 VRY. ПО условию 2 V ху == а. Рассмотрим прямоуrоль-
ный треуrольник 0M02 с прямым уrлом при вершине М; 01 М 11 ВС,
101021 == х + у, 102М 1== 2R  (х + у), 101М 1 == 12   2 VRY 1 (01 М
равен разности общих касательных к окружностям с центрами О, 01 И
О, 02)' Таким образом, (х + у)2 == (2R  х  у)2 + (2  --- 2 VRY)2, от-
куда R == 2 V ху == а.
208. Заметим, что О 1 О 2 О 3 О 4 --- параллелоrрамм с yr лами \1. и 1t  \1.
(01041. АС и 020з11 АС, значит, 010411020з и Т. д.). Если Kcepe
дина АМ, L середина МС, то 10з041 == I LI == I C t . Аналоrично,
sln \1. 2 Sln \1.
I BD 1 I АС 1 . I BD I sin \1.
1 0 2 0 з1 == . ; следовательно, 8 0 О О О .
2 Sln CI.. 1 2 3 4 == 4 Sln 2 \1.
8 ABCD
О Т В е т: 2 sin 2 CI...
2 sin 2 \1. .
209. Биссектрисы параллелоrрамма при пересечении образуют
прямоуrольник, диаrонали KOToporo параллельны сторонам парал-
лелоrрамма и равны разности сторон параллелоrрамма. Следова-
тельно, если а и Ь --- стороны параллелоrрамма, \1.  уrол между
1 Ь 2 . 8 2аЬ
ними, то 8 == аЬ sin \1., Q == (a  ) Sln CI..  == . О т в е т:
2 ' Q (а  Ь)2
S + Q + V Q2 + 2Q8
8
210. Обозначим через х площадь треуrольника OMN, через у пло-
10NI х 8з 818з
10AI == 81 == 82 ' х== 82 '
щадь
треуrольника
CMN,
тоrда
IAMI 81 +х 81 +82
--- 
IMCI у 8 з +х+у
818з (81 + 82)(8з + 82)
82 (8 --- 8 18з)
Искомая
площадь
равна
94

211. Пусть в треуrольнике АВС уrол С прямой, М  точка пересе
чения медиан, О  центр вписанной окружности, r  ее радиус, L В ==
 еж; Tor да I АВ I  r (ct g  + ctg ( :  ) )  еж r  еж '
Sin2sin(42)
1 l п
ICMI==IABI, ICOI==rv 2 , IOMI ==r, LOCM==rJ.. Записывая
3 4
8
теорему косинусов для 6. СО М, получим 1 == 2 + 
9 (2х  V2)2
8х ( п ) 4 v6  3 v2
 1  ' r де х == cos   rJ. , откуда Х == . О т в е т:
3 (2х  V ) 4 . 6
п 4V6зV2
 + arccos
4  6
212. Пусть отрезки медианы равны а. Обозначим через Х меньший
из отрезков, на которые разделена точкой касания сторона, COOTBeT
ствующая медиане. Теперь все стороны треуrольника можно выразить
через а и Х. Стороны, заключающие медиану: а v2 + Х, 3а v2 + Х,
третья сторона: 2aV2 + 2х. Используя формулу длины медианы (зада
ча 1.11), получим 9а 2 == [2(aV2 + х)2 + 2(3aV2 + х)2  (2ay'i + 2х)2],
4
откуда Х == aV2/4. О т в е т: 10: 5: 13.
213. Пусть I ВС I == а, L С > L В, D и Е  середины АВ и АС.
Четырехуrольник EMDN  вписанный (так как L MEN == L MDN ==
== 900), I MN 1== а, I ED 1== а/2, MN  диаметр окружности, описанной
около MEND. Следовательно, L DME == 300, L САВ == 900  L EMD==
== 600, L СВА == L EDN == L EMN == L EMD/2 == 150, L АСВ == 1050.
О т в е т: L А == 600, L В'== 150, L С == 1050 или L А == 600, L В == 1050.
L С == 150.
214. Обозначим через К и М соответственно точъ:и пересечения
прямой ЕР с AD и ВС. Пусть М лежит на продолжении ве за точкой
В. Если , AD I == За, 5 С
, ВС I == а, то из подо  11
бия соответствующих  [\
треуrольников следует, \ F
что I пк , == , AD , == 3а, '\ R
, МВ, == ,ВС, == а А .D
(рис. 1, а). о
Кроме Toro, Е
'МЕI == 'EFI == 'FKI.
Если h  высота Tpa
пеции, то расстояние
от Е дО AD равно
2
 h, SEDK == ah, SEDF == А
3
1 ah 1
== 2 SEDK == 4 == 48.
н
Рис. 1
95

Если же прямая EF пересекает основание ВС в точке М, то
I ВМ I ==  а (рис. 1, б). В этом случае I ЕК I == 2 : 2 ==  и расстояние
3 I МК I З 5
6 1 1 6 9
от Е дО AD равно 5 h, так что SEFD == "2 SEDK == 4' За. 5 h == 20 S.
1 9
Ответ: S или S.
4 20
215. Пусть О  центр вписанной окружности, М  середина ВС, К,
L, N  точки касания вписанной окружности со сторонами АС, АВ
и ВС треуrольника. Обозначим: I АК I == I AL I == х, I СК I == I CN I == у,
а
I BLI == I BN 1== z, у + z == а. По условию 10М I ==   1'. Следовательно,
2
I NMI  V I OMI 2  I ONI 2  V   ar и один из отрезков, у или z, pa
вен   V а2  ar, а друrой .!!... + V а 2 ar. Приравняем выражения
2 4 2 4
д ля площади треуrольника по формулам repoHa и S == рlА:
V (x + у + z) xyz == (х + у + z) 1" => xar == (х + а) 1.2 =>х == ar . Таким обра
ar
30М, искомая площадь равна ( ar + а ) r == a 2 r
ar ar
216. Докажем, что если С 1 И С 2 (рис. 2) находятся по друrую CTO
рону от ВС, чем вершина А, то центр окружности, описанной около
6. С С 1 С 2' находится в точке О на стороне АВ, при этом I ВО I ==
1
==IABI. Проведя
4
высоту СМ из вершины С, получим, что
ВС 1 СМ  прямоуrольник. Значит, пер
пендикуляр, восставленный к СС 1 в ce
редине, проходит через О. Учитывая, что
1
C 1 C 2 11BD и IC 1 C 2 1=="2,BDI, получим,
С, что перпендику ляр к С 1 С 2 В ero ce
редине также проходит через О. Теперь
л еrко найдем иск омы й радиус: он равен
V За2 а 2 а
V ICMI 2 +I MO I 2 == +==ViЗ.
4 16 4
217. Разберите два случая: 1) коrда
основания перпендикуляров находятся на сторонах параллелоrрамма
и 2) коrда один из перпендикуляров не пересекает сторону, на
которую он опущен. В lM случае приходим к противоречию, а во
2аЬ
2M получим, что COS r::J.. == 2 2 ' r де r::J..  острый уrол данноrо па
а + ь
раллелоrрамма.
218. Выразив уrол PQN через yr лы треуrольника и учитывая, что
L PAIN + L PQN == 1800, найдеl\1: L PMN == 600; отсюда L NPQ ==
== L QMN == 300, L PNQ == L PMQ == 300, т. е. 6. PQIV  равнобед-
ренный с уrлами при стороне PN по 300, I PQ 1== I QN 1== liVЗ.
96
А
])
с
Рис. 2

219. Из условия следует, что ABCD  трапеция, ВС 11 AD, АС 
биссектриса уrла BAD; значит, I АВ 1== I ВС 1, аналоrично I ВС 1== 1 CD 1.
Пусть I АВ 1 == I ВС I == I С D I == а, I AD I == Ь. Расстояние между середина-
ba
ми диаrоналей 21., следовательно, == 2r. Проведем высоту ВМ из
2
ba
точки В на AD, получим, что I АМ I == == 2r, I ВМ I == 2r. Следова
2
тельно, а == I АВ I == 2r 112, ь == 4r + 2r 112. О т в е т: 4r 2 (112 + 1).
220. Обозначим уrлы А, В и С соответственно через сх,  и у.
Пусть Н  точка пересечения высот, О  центр окружности, проходя-
щей через А, Н и С. Тоrда L НОС == 2L НАС == 2(900  у), L НОА ==
== 2 L НСА == 2 (900  сх). Но L АОС == 1800   (так как ВАОС 
вписанный), 2 (900  у) + 2 (900  сх) == 1800  , 3600  2сх  2у == 1800 
 , 2  == 1800  ,  == 600, I А С I == 2R sin  == 1Iз.
221. Обозначив отношение I АМ 1 == А, будем иметь: SMCP ==.:i,
'МСI А
SCPN == AQ, SMCP == ASCPN; следовательно, (T/Q) == А 3 , SABC ==
IACI IBCI (А+1.)2 ( Т ) (А+1)2 ( 2
== IMCI . ICNI SCMN== А T+ AQ  А 2 Т+А Q)==
== (А + 1)3 Q == (т 1 / 3 + Ql/3)3.
а
222. Если О  центр окружности, то площадь D. OMN в раз
aR
R 2
больше площади D. KMN. Если L MON == сх, то sin сх ==
2
а 2aS сх 1 /
 I S, sin сх == 2 ' I м N I == 2R sin  == R V 1  cos сх ==
а  R R (а  R) 2
V V 4a2S2 R 2 (aR)
== R 1 + 1  4 2 . Задача имеет решение, если S  .
R (а  R) 2а
223. Если L ВАС == L ВСА == 2сх, то по теореме синусов найдем:
2т sin 2сх I АЕ 1 2т sin 2сх 9
I АЕ 1== . , I AF 1== == . . Таким образом, т ==
sln 3сх cos сх Sln 3сх cos сх 4
2т sin 2сх 7 2 51п 2 v11
, откуда cos 2сх ==, S АВС == m tg 2сх ==
sin 3сх cos сх 18 7
224. Точки С, М, D и L лежат на одной окружности, следователь
но, L CML== L CDL== 300. Точно так же L СМК == 300; таким обра-
зом, L LM К == 600 и D. LM К  правильный, I KL I == 2;v5. По теореме
косинусов найдем, что cos L LCK ==  3/5. Поскольку L DCB ==
2VЗ
 L LCK  lZOO, то I DB I  v5 .
225. Пусть А  точка пересечения прямых ВС и КМ. Четырех
уrольник ONBC  вписанный (L ОСВ == L ONB == 900), следователь-
но, L ОВС == L ONC == сх/2. Точно так же вписанным является
четырехуrольник СМАО и L САО == L СМО == сх/2, т. е.
D. О АВ  равнобедренны й. Итак, I СВ I == I АС 1 == I СО I ctg  ==
== V R2 + Ь2  2Rb cos  ctg. 2
2 2
4 И. Ф. Шарыrин
97

226. Точки Е, М, В и Q (рис. 3)
лежат на одной окружности с диамет
ром ВЕ, а точки Е, Р, D и N  на OK
ружности с диаметром ED. Таким
образом, L EMQ == L EBQ == 1800 
 L EDC == L EDN == L EPN; анало
rично L EQM == L ENP, т. е. 6 EMQ
подобен 6 EPN с коэффициентом по
добия Vk. (Для полноты решения He
обходимо рассмотреть и дрyrие слу..
чаи расположения точек.) О т в е т:
dVk.
227. Продолжив непараллельные
стороны трапеции до пересечения,
получим три подобных треуrольника, причем коэффициент по
добия между средним и большим треуrольником и между меньшим
и средним один и тот же. Обозначим этот коэффициент через А, боль
шее основание  через Х, радиус большей окружности  через R. Тоrда
отрезки, параллельные большему основанию, равны соответственно АХ
d
и А2х, большая боковая сторона нижней трапеции  2R, второй
с с
радиус  AR. Значит, R + AR == т. По свойству описанноrо четырех
d
уrольника Х + АХ == 2R + 2R. И наконец, опустив из конца меньшеrо
с
основания всей трапеции нерпендику ляр на большее основание, полу
чим прямоуrольный треуrольник с катетами с, Х  А 2х И rипотенузой
d. Таким образом, имеем систему
{ Х (1 + А) == 2R с + d ,
x(l  ).,2)  V a2  с 2 ,
R (1 + А) == с /2,
d  V d 2  с 2 d  V d 2  с 2
отку да А == . О т в е т: основания равны и
с
d + V d 2  с 2
м
о
Рис. 3
с
с
228. Опустим из центров окружностей перпендикуляры на одну из
боковых сторон и проведем через центр меньшей окружности прямую,
параллельную этой стороне. Получится прямоуrольный треуrольник
с rипотенузой R + r, одним катетом R  r и острым уrлом при этом
катете rJ., равным острому уrлу при основании трапеции. Таким обра
Rr rJ. 
зом, cos rJ. == . Большее основание равно 2R ctg  == 2R .
R+r 2 r
rJ. W
Меньшее основание равно 2r tg  == 2r .
2 R
229. Возьмем на стороне АВ точку К так, что I ВК I == I BD 1, а на
продолжении АС  точку Е так, что I СЕ 1 == I CD 1. Покажем, что 6 ADK
98

подобен 6. ADE. Если А, В и С  величины уrлов 6. АВС, то L DKA ==
== 1800  L DKB == 1800  (900  L Bj2) == 900 + L Bj2, L ADE == 1800 
1
 L CED  L Aj2 == 1800  2(L А + L С) == 900 + L Bj2. Таким обра
30М, L AKD == L ADE. Кроме Toro, по условию L DAE == L DAK.
Ответ: .
230. В обозначениях предыдущей задачи
1 AD 12 == (1 АС 1 + 1 CD 1) (1 АВ 1  1 BD 1) == 1 АС 1 .1 АВ 1  1 CD 1 .1 BD 1 +
+ (1 АВ 1 . 1 сп 1  1 АС 1 . 1 BD 1).
. Но слаrаемое в скобках равно нулю, поскольку (см. задачу 1.9)
IABI IBDI

IACI ICDI
231. Продолжим BN и CN дО вторичноrо пересечения со второй
окружностью в точках К и L соответственно; IMNI ==INKI, так как
L AN В == 900 и М К есть хорда окружности с центром в А. Так как
равны соответствующие дуrи, то L LNK == L BNC == L BND. Таким
образом,
1 LN 1 == 1 ND 1 == Ь, 1 MN 1.1 NK 1 == 1 A:1N 12 == аЬ, 1 MN 1 ==.
232. Заметим, что PQ  СВ. Пусть Т  точка пересечения М N
и PQ, L и К  основания перпендикуляров, опущенных из С и В на
прямую MN (L и К лежат на окружностях, построенных на CN и ВМ
как на диаметрах). Используя свойства пересекающихся хорд в окруж
ностях, получим 1 PTI.I TQ 1 == NTI'I LTI, 1 PTI.I TQ 1 == 1 MTI.I ТК 1.
Но 1 LT 1 == 1 CD 1, 1 ТК I == 1 DB 1 (так как CLKB  прямоуrольник,
IMTI
а PQCB). Таким образом, INTI'ICDI==IMTI'IDBI, INTI 
ICDI
== , т. е. прямая PQ делит СВ и MN в одном и том же отноше
IDBI
нии, значит, PQ проходит через А, а D есть основание высоты. О т-
в е т: I BD 1 : 1 DC 1 == 1 : 113.
233. Пусть L ВОС == 2r:t, L BOL == 2. Тоrда I АС 1 == 2R cos r:t,
I С L 1 == 2R sin (а. + ), 1 С м 1 == 1 С L 1 cos (900  ) == 2R sin (а. + ) sin ,
1 АМ 1 == 1 АС 1  1 см 1 == 2R (cos r:t  sin (а. + ) sin) == 2R cos  cos (а. + ) и,
наконец, 1 ANI == а == 1 АМ 1 cos r:t == 2R cos r:t cos  cos (а. + ). с друrой CTO
роны, если К, Р и Q  середины АО, СО и CL соответственно, то
1
1 КР 1 == 21 АС 1 == R cos r:t. Далее, 1 PQ 1 == Rj2, L KPQ == L КРО +
'+ L OPQ == r:t + 1800  L COL == 1800  r:t  2 и, по теореме ко-
2 R 2 2 2 2 ( 2 А ) R 2
синусов, 1 к Q 1 == 4 + R cos r:t + R cos r:t c os r:t + 1-' == 4 +
+ 2R 2 cos cxcos cos(cx + )  R 2 + Ra. О т в е т: V R2 + Ra.
4 4
234. Из подобия треуrольников МАВ и МВС следует, что
IMAI  IMAI IMBI  IBAI2 ==k 2
IMCI IMBI IMCI IBCI 2 .
4*
99

IAMI2
235. Из задачи 1.234 следует, что
IMBI2
IACI IANI2 IADI
....
,BCI' INBI2 IBDI
'АКI SAMN
MN и АВ, то ....
'КВI SBMN
I АС 1 1 AD 1 V cx
1 ВС 1 . 1 BD 1 == (сх.... 1)(.... 1)'
Если К.... точка пересечения
z::
I АМ I . I AN 1 sin L М AN
IMBI.INBlsinL MBN
236. Пусть К, L, М и N .... точки касания сторон АВ, ВС, CD и DA
с окружностью. Обозначим через Р точку пересечения АС и КМ. Если
'АРI SAKM
L АКМ == <р, то L КМС == 1800 .... <р. Таким образом, ....
'РСI SKMC
1
21 АК 1.1 КМ 1 sin <р
1
21 КМ 1.1 МС 1 sin (1800 .... <р)
нии разделит АС и прямая NL. Значит, прямые АС, КМ и NL пересе
каются в одной точке. Применяя те же рассуждения к диаrонали BD,
получим, что BD также проходит через точку Р. Искомое отношение
равн о а/Ь.
237. Пусть Р и Q.... точки пересечения соответственно ВК и АС,
АВ и DC. Прямая QP пересекает AD в точке М, ВС.... в точке N. Ис
IAMI
пользуя подобие соответствующих треуrольников, запишем
IMDI
IBNI 'МКI IAKI....IAM'
.... ....
INCI IAMI IAMI
IAMI 'АМI х х
.... .... ....
I MD 1 1 AD 1.... 1 АМ 1 1 .... х ' 1.... х х
л 1 1
. Если л ==, то 'АМ' == I AD 1. Таким образом,
л+1 п п+l
взяв сначала К совпадающей с D (л == 1), получим в качестве М 1 cepe
дину АВ, взяв К совпадающей с М 1, найдем, что М 2 отделяет 1/3 от
AD и т. д.
238. Пусть 1 КМ' == , KN , == х, 1 AD 1 == у, 'DB I == z. Тоrда 1 CD, ==
== уу;, у + z == с. Радиус вписанной в D. АКВ окружности равен
1 1
 1 CD 1 ==  уу;. Выразим площадь треуrольника АКВ по формулам
2 2
repoHa и S == pr. Получим уравнение V (x + у + z) xyz ==
1
== (х + у + z) уу;. Учитывая, что у + z == с, найдем х == С/3.
2
::::1:
'АКI
IMCI
а
==. Но в таком же отноше
Ь
Если
IAMI ==xIADI,
то
л....х
л
откуда х == л + 1
О т в е т:
239. Проведем через А 2 прямую, параллельную АС. Пусть R....
IARJ
точка пересечения этой прямой с АВ. Из Toro, что
IRC 1 1
1 В 1 А 2 1
IA 2 C 1 1
1 'АС 1 1 v
== k, наидем
k' 'С 1 ВI
IAR' k
== )2 ' Точно так же,
I АВ 1 (k + 1
100

проведя через С 2 прямую, параллельную АС, дО пересечения с ве
IC81 k
в точке 8, получим, что == ( 2 ' Поэтому точки R, А 2, С 2 И
I СВ 1 k + 1)
8 лежат на одной прямой, параллельной АС. Таким образом, стороны
6 АВС и 6 А 2 В 2 С 2 соответственно параллельны. Теперь нетрудно по-
лучить, что 1 А 2 С 2 1 == 1 R81  1 RA 2 1  1 С 2 81 == 1 ACI ( l  3k 2 ) ' по-
(k + 1)
k 2  k + 1
этому коэффициент подобия равен 2 .
(k + 1)
240. Воспользуемся следующей формулой для площади треуrоль-
ника: 8 == 2R 2 sin А sin В sin С, [де А, В и е  уrлы треуrольника. Тоrда
площадь треуrольника А 1 В 1 С l' r де А l' В 1 И е 1  точки пересечения
биссектрис 6 АВС с описанной окружностью, будет равна 81 ==
А+В В+С С+А е А В 8
== 2R 2 sin sin sin == 2R 2 coscoscos, а  ==
2 2 2 2 2 2 81
А В С ( В
== 8 sin  sin  sin. С друrой стороны, ,ве I == 2R sin А, r ctg  +
2 2 2 2
С ) А В С 8
+ ctg  ::Е:: 2R sin А. r == 4R sin  sin  sin. Таким образом, 
2 2 2 2 81
2r
R
241. Пусть О  центр подобия вписанноrо и описанноrо треуrоль
ников, М 1 И М 2  две сходственные вершины (М 1 лежит на стороне
АВ), отрезок ОА пересекает вписанный треуrольник в точке К. Тоrда
80M 1 A IOM 1 1 Y 
80M 1 K == л8 l' 8 0М2А == л8 2 , == ==, откуда 80 М1А ==
8 0М2А IOM 2 1 82
1 8 0м К
== Л V 8182' r де л == 1 . Рассмотрев шесть таких треуrольников
81
и сложив их площади, получим: 8 Авс == V8 1 8 2 .
242. Пусть О  центр описанноrо Kpyra, Н  точка пересечения вы-
сот 6 АВС. Поскольку прямая ОН перпендикулярна биссектрисе уrла
А, то она пересекает стороны АВ и АС в таких точках К и М, что
I АК 1 == I АМ 1. Таким образом, L АОВ == 2 L С (считаем, что уrол
С  острый); L ОАК == 90°  L С == L НАМ. Значит, 6 ОАК ==
== 6 НАМ и 1 ОА 1 == 1 НА 1 == R (R  радиус описанноrо Kpyra).
Если D  основание перпендикуляра, опущенноrо из О на ВС, то
1 о D 1 == 1 АН 1/2 == R/2. Следовательно, cos А == COS L DOC == 1/2, L А ==
== 60°.
243. Докажите, что треуrольник будет остроуrольным, прямо
уrольным или тупоуrольным, если расстояние между центром описан-
ной окружности и точкой пересечения высот будет соответственно
меньше, равно или больше половины наибольшей стороны. О т в е т:
90°, 60° и 30°.
244. Условие 86, BDM == 86, ВСК означает, что 1 BD "1 ВМ 1 ==
== 1 ВК 1.1 ВС 1, т. е.
(1 ВА 1 + 1 АС 1) IBM 1 == 1 ВК 1.1 ВС 1.
( 1)
101

Проведем через М прямую, параллельную АС; пусть L  точка пересе..
чения этой прямой с ВА. Докажем, что 1 LM 1 == 1 KL 1; отсюда будет
1 <х
следовать, что искомый L ВКМ ==  LBAC ==. Поскольку D. BLM
2 2
IBMI IBMI
и D. ВАС подобны, то 1 LM 1 == .1 АС 1, I BLI == .1 АВ 1. Теперь
IBCI IBCI .
найдем из (1) IBKI и посчитаем: IKLI == IBKI  IBLI ==
== IBA 1 + IACI . I BM I  IBM I . I AB I == IBM I . I AC 1 I LM I ==
IBCI IBCI IBCI' откуда
== I KLI.
245. Пусть IAD 1 == а, 1 ВС 1 == Ь. Опустим из О перпендикуляр ОК на
Ь Ь
АВ. Теперь найдем: IBKI== ' IBEI== ,IMKI==
Ь+а ab
 l Ь l ab
==   v аЬ == V аЬ , 1 ЕК 1 == 1 ВЕ 1 + 1 ВК 1 ==
2 Ь + а 2 (а + Ь)
l 2аЬ аЬ
== V ab , 1 ОК 1 == . Леrко проверить, что 1 ОК 12 ==
((1  Ь)(а + Ь) а + Ь
==IEKI'IMKI. Ответ: 900.
246. Заметим, что точки А, М, N и О лежат на одной окружности
(рис. 4). Следовательно, L NMO == L OAN == 900  L AON. Значит, при
повороте ОА BOKpyr О на уrол <р пря..
мая NM повернется на такой же
уrол <р (в друrом направлении), а при
перемещении А по прямой ОА пря..
мая NM перемещается параллельно
самой себе. Отсюда следует, что ис..
комый уrол равен <х.
247. Если 01  центр меньшей
окружности, а L ВО А == <р, то L ВАО ==
 900   ' L СО 1 А  900 + <р,
L СА0 1 == 450  ..2.. Таким образом,
2
L ВАС == L ВАО  L САО 1 == 450.
248. Построим на АВ внутри квадрата прав ильный тpeyrольник
АВК. Тоrда L КАВ == 60 о, L KCD == 150, т. е. К совпадает с М. О т..
в е т: 300.
249. Пусть М 1 симметрична М относительно ВС. СВ 
биссектриса уrла МСМ 1 . Из тото, что LM 1 CA==60° и IACI==
1
== ICM 11, следует, что L М 1АС == 900, значит АВ  биссектриса уrла
2
М 1 АС, кроме тото, СВ  биссектриса уrла М 1 СМ, т. е. В равноудалена
от прямых М 1 С И М 1 А и лежит на биссектрисе уrла, смежноrо
с уrлом АМ 1 С. Итак, L ВМС == L ВМ 1 С == 750. Ответ: 750.
250. Если L ВАС == 2<х, то леrко найдем, что L КМС == L МКС ==
== 300 + <х, т. е. 1 МС 1 == 1 КС 1. Продолжим МК дО пересечения с окруж"
ностью В точке N; D. КМС подобен KAN, значит, 1 AN 1 == 1 KN 1 ==
== R  радиусу ОКРУЖНО'сти (так как L AMN == 300). Точки А, К и Оле..
о
Рис. 4
102

жат на окружности с центром в N, L ANO == 60°, следовательно,
L АКО == 30° или 150°, в зависимости от Toro, тупой или острый уrол
АМС. О т в е т: 30° или 150°.
251. а) Проведем биссектрису yr ла А и продолжим ВМ дО пересе-
чения с нею в точке N (рис. 5). Так как 1 BN 1 == 1 NC 1, то L BNC == 120°,
значит, и уrлы BN А, CN А также по 120°, L NCA == L NCM == 20°, т. е.
6. N МС == 6. NCA, 1 МС 1 == 1 АС 1. А
Следовательно, 6. АМС  равно-
бедренный, и L АМС == 70°.
б) Точки М, Р, А и С лежат
на одной окружности (М из пункта
а)). L РАС == L РМС == 40°.
252. Опишем около 6. МСВ
окружность (рис. 6) и продолжим
BN дО пересечения с нею в точке
М 1 ; 1 СМ 1 1 == 1 см 1, так как уrлы,
на них опирающиеся (80° и 100°),
в сумме дают 180°; L М 1 СМ == L М 1 ВМ == 20°, т. е. NC  биссектриса
уrла М 1 СМ и 6. M 1 CN== 6. NCM, L NMC==L NM 1 C==L СМВ==250.
253. Возьмем на ВС точку К (рис. 7) так, что L КАС == 60°,
МК 11 АС. Пусть L  точка пересечения АК и МС; 6. ALC  правиль-
ный, 6. ANC  равнобедренный (подсчитайте уrлы). Значит, 6. LNC 
также равнобедренный, L LCN == 20°. Теперь найдем уrлы NLM и
MKN  они по 100°, так как 6. MKL правильный, то уrлы KLN
и NKL по 40°, т. е. 1 KN 1 == 1 LN I и 6. MKN == 6. MLN, L NML==
== L KMN == 30°.
254. Возьмем точку К (рис. 8) так, чтобы L КВС == L КСВ == 30°
и обозначим через L точку пересечения прямых МС и ВК. Так как
Д BNC  равнобедренный (L NBC == L NCB == 50°), то L KNC == 40°.
Точка L есть точка пересечения
биссектрис треуrольника N К С
(LK и LC  биссектрисы). Сле
довательно, N L также биссект
риса уrла KNC и L LNB == 600;
BN, в свою очередь,  биссект-
риса уrла MBL; кроме то-
с
А
А
Рис. 7
с
100
lJ
Рис. 5
4
с с
Рис. 8
103

[о, BN  ML; значит, BN делит МLпополам и L MNB === LBNL=== 600,
а L N М С === 300.
.255. Пусть О  центр вписанной окружности; точки С, О, К и
М лежат на одной окружности (L СОК === L А/2 + L С/2 === 900 
 L В/2 === L КМВ === 1800  L кмс; если же точка К  на продолже
нии NM, то L сок === L СМК). Таким образом, L окс === L оме ==
== 900.
256. Если Р лежит на дуrе АВ, Q  на дуrе А е, то обозначив уrол
р АВ через <р, а уrол QAC через "', получим два соотношения:
{ sin 2 (С  <р) === sin <р sin (В + С  <р),
sin 2 (В  "') === sin '" sin (В + е  "').
Запишем разность этих
с
равенств, после преобразований получим:
sin (В + С  <р  "') sin [(В  С) + (<р 
 "')] == sin (В + С  <р  "') sin (<р  "'),
откуда (поскольку О < В + С  <р  \jJ <
<п, В  С + <р  \jJ === 1t  (<р  \jJ). OT
п(1,
в е т:
2
257. Докажем, что 6 CMN по
добен 6 САВ (рис. 9). Имеем:
L MCN === L СВА. Поскольку четырех
уrольник CBDM  вписанный, то
I см I sin L СВМ sin L CDM
 
I СВ I sin L СМВ sin L CDB
sin L DBA I AD I I CN I
 . Значит L см N == L ВСА, т. е. иско
sinL ADB IABI IABI '
 (1, (1,
мыи уrол равен или 2 или 1t  2'
258. Пусть L АВС === 1200, BD, АЕ, см  биссектрисы 6 АВС. По
кажем, что DE  биссектриса уrла BDC, а DM  биссектриса уrла BDA.
В самом деле, ВЕ  биссектриса уrла, смежноrо по отношению
с уrлом ABD, т. е. Е для 6 ABD является точкой пересечения биссек
трисы уrла BAD и уrла, смежноrо с уrлом ABD; значит, Е равноудале
на от прямых АВ, BD, AD; таким образом DE  биссектриса уrла BDC.
Точно так же DM  биссектриса уrла BDA.
259. Обозначим: L ABD === (1" L BDC === <р. По условию L DAC ===
== 1200  (1" L ВАС === 300 + (1" L ADB === 300  \1., L DBC === 600 + \1.. По
теореме синусов для треуrольников АВС, BCD, ACD получим I ВС I 
IACI
sin (300 + \1.) 1 I DC I sin (600 + \1.) I АС I
 
sin (600 + 2(1,) 2 cos (300 + \1.) , I ВС I sin <р I DC I
sin (300  (1, + <р)
=== . Перемножая эти равенства, будем иметь: sin (300 
sin (1200  (1,)
 (1, + <р) === 2 cos (300 + (1,) sin <р  2 cos (600 + (1,) sin (300  <р) === о; таким
образом, L BDC === <р === 300.
260. Так же, как в задаче 1.17, была получена формула биссек
трисы BHYTpeHHero уrла треуrольника АВС, можно доказать, что
Рис. 9
104

биссектриса внсшнеrо уrла А вычисляется по формуле [А:=:
А
2Ьс sin 
2
'Ь  с l
. А А V 1
(1 АВ I :=: с, 1 ВС 1 :=: а, 1 СА 1 :=: Ь). Найдем Sln: sin :=: (1  cos А):=:
2 2 2
V 1 ( Ь2 + с 2  а 2 ) V (а + Ь  с)(а + с  Ь)
:=:  2 1  2Ь ж:: . Находя точно так
с 4Ьс
А С
же lс, выражая sin  и sin  через стороны треуrольника, приравни
2 2
V c(a+bc) V a(b+ca)
вая 1 А И lс, получим: :=: . По условию Ь :=: 2,
'bcl Ibal
с :=: 1. З начит, а должно удовлетворять уравнению
1 V a(3a) 2
V а + 1 :=: => (а  l)(а  а  4) :=: О. Но а # 1, следовательно,
la 21
1+vИ
I ВС 1 :=: а :=: .
2
261. Если О и О 1  центры окружностей, описанных около  АВС
и  ADB, то  АО0 1 подобен  ACD. О т в е т: rJ..R.
262. Если К  середина дуrи АВ, О  центр Kpyra, I АВ 1 :=: 2R :=: с,
то 1 СМ 12 :=: 1 CD 12 + 1 DM 12 :=: 1 CD 12 + 1 DK 12 :=: 1 AD IIDB 1 + R 2 + I DO 12:=:
:=: (R + 1 DO 1) (R  1 DO 1) + R 2 + 1 DO 12 :=: 2R 2 :=: с 2 /2. О т в е т: с V2/2.
263. Пусть КМ  отрезок, параллельный ВС, N и L  точки Kaca
ния вписанной окружности со сторонами АС и ВС. Как известно (см.
задачу 1.18), 1 AN 1 :=: 1 ALI :=: р  а, [де р  полупериметр  АВС. С дpy
rой стороны, 1 AN 1 :=: I AL I  полупериметр  АКМ, подобноrо  АВС.
p а Ь а 2 2а 2
Следова тельно, :=:, р:=: . О т в е т:
р а ab ab
264. Если а, Ь, с  стороны данноrо треуrольника, то периметры
отсекаемых треуrольников будут 2(р  а), 2(р  Ь), 2(р  с), [де р 
полупериметр данноrо треуrольника. Следовательно, если R 
( pa pb
радиус описанной окружности, то R 1 + R 2 + R3 :=: + +
pc ) р р
+ р R:=:R. Ответ: R 1 +R2+R3.
265. Если L А :=: rJ.., то 1 АМ 1 == 1 C 1 , I AN ':=: 1 Bl , т. е.
sln rJ.. sln rJ..
1 АМ 1: 1 AN 1 :=: I АС 1: 1 АВ 1; таким образом,  AMN подобен  АВС
1 IBCI
с коэффициентом подобия . , поэтому I М N ':=: . :=: 2R.
SlnrJ.. SlnrJ..
266. Пусть О 1 И О 2  центры пересекающихся окружностей. Обо
значим их радиусы через х и у, I ОА I :=: а. Поскольку треуrольники
АОО 1 и АОО 2' как следует из условия, равновелики, то, выражая их
площади по формуле r ерона и учитывая, что 1 О 1 А 1 :=: Х, 1 001 I == R  х,
I О 2 А I :=: у, 1 002 1 :=: R  у, получим после преобразований (R  2х)2 :=:
:=: (R  2у)2, откуда, поскольку х # у, получим: х + у == R. О т в е т: R.
105

267. Пусть АВ и CD  данные хорды, а М  их точка пересечения.
а) Дуrи АС и BD в сумме составляют пол-окружности; следова
тельно, 1 АС 12 + 1 BD 12 == 4R 2 , таким образом, 1 АМ 12 + 1 МС 12 +
+IMBI2+IMDI2==IACI2+IBDI2==4R2. Ответ: 4R 2 .
б) 1 АВ 12 + 1 CD 12 == (1 АМ 1 + 1 МВ 1)2 + (1 СМ 1 + 1 MD 1)2 == 4R 2 +
+ 21 АМ 1.1 МВ 1 + 21 СМ 1.1 MD 1 == 4R 2 + 2 (R 2  а 2 ) == 6R 2  2а 2 . О T
В е т: 6R 2  2а 2 .
268. Если М  вторая точка пересечения ВС с меньшей окруж
ностью, то IBMI==IPCI (Ммежду В иР), IBPI==IMPI+IBMI,
1 РА 12 + 1 РВ 12 + 1 РС 12 ==
== I Р А 12 + (1 Р В 1  1 РС 1)2 + 2 1 Р В 1 . 1 РС 1 =:
== 1 Р А 12 + 1 МР 12 + 21 РВ 11 РС 1 ==
== 4r 2 + 2 (R 2  r 2 ) == 2 (R 2 + r 2 ).
269. Обозначим длины отрезков хорд,
как на рис. 10, диаметр  через 2r. Ис-
пользуя то, что yr лы, опирающиеся на диаметр, прямые, а
ху == иv, получим х(х + у) + и(и + v) == (и + V)2 + х 2  v 2 == (и + V)2 + т 2 =:
== 4r 2 .
270. Если r:t, , 'У, о  дуrи, соответствующие сторонам а, Ь, с и а,
то доказываемое равенство соответствует триrонометрическому
. r:t У r:t . У .  о  . о . r:t+'Y
Sln  cos  + cos  Sln  == Sln  cos  + cos  Sln , или Sln
2 2 2 2 2 2 2 2 2
.  + о
== Sln
2
271. Пусть ABCD  вписанный четырехуrольник. АВ и CD пересе
каются в точке Р, А и D  на отрезках ВР и СР. ВС и AD пересекают
ся в точке Q, С и D  на отрезках BQ и AQ. Опишем около D. ADP
окружность. Обозначим через М точку пересечения этой окружности
с прямой PQ. (Докажите, что М на отрезке PQ.) Имеем: L DMQ ==
== L DAP == L BCD. Следовательно, четырехуrольник CDMQ 
вписанный. Поскольку по условию касательные, проведенные из Р и
Q к исходной окружности, равны а и Ь, то 1 QM I .1 QP 1 == 1 QD 1 .1 QA 1 ==
== ь 2 , 1 РМ 1.1 PQ 1 == 1 PD 1.1 РС 1 == а 2 . Сложи в эти равен-
ства, получим 1 PQ 12 == а 2 + ь 2 . О т В е т: V a 2 + ь 2 .
272. Отрезок QP равен (см. задачу 1.271) V (b 2  R2) + (с 2 \R2) ==
== Vb 2 + с 2  2R 2 . Пусть ABCD  данный четырехуrольник, Q  точка
пересечения АВ и CD (А на отрезке BQ). Для нахождения длины PQ
опишем окружность около D. QCA; обозначим точку пересечения QP
с этой окружностью через N. Поскольку L ANP == L ACQ == L АВР,
то точки А, В, N и Р также лежат на одной окружности. Имеем:
1 QP 1.1 QN 1 == I QA 1.1 QB 1 == ь 2  R 2 , 1 PN 1.1 PQ 1 == 1 СР 1.1 Р А 1 == R 2 
 а 2 . Вычитая второе равенство из первоrо, получим 1 QP 12 ==
== ь 2 + а 2  2R 2 . А налоrично , 1 РМ 12 == с 2 + а 2  2R 2 . О Т В е т: 1 Q M 1==
== V b 2 + с 2  2R 2 , 1 QP 1 == V b 2 + а 2  2R 2 , 1 РМ 1== Vc 2 + а 2  2R 2 .
273. Радиус вписанной окружности заключен между величинами
радиусов двух предельных случаев. Он не может быть меньше радиуса
окружности, вписанной в треуrольник со сторонами а + Ь, Ь + с, с + а,
который равен S/p, [де S  площадь, р  полупериметр треуrольника;
2
Рис. 1 О
106

s V (a + Ь + с) аЬс V аЬс v
таким образом, r >  == Ь == . с друrои сто-
р а+ +с а+Ь+с
роны, r меньше радиуса ОI<ружности, изображенной на рис. 11 (на этом
рисунке противоположные касательные параллельны, точка С «убе-
[ает» в бесконечность). Поскольку для уrлов
сх,  и У, отмеченных на рисунке, выполня-
ется равенство r:t +  + у == п/2, tg r:t == с/р,
tg  == а/р, tg у == Ь/р, [де р  радиус изобра- .D
женной окружности, то tg (а. +  ) == ctg у, ил и С
(с + а) р , откуда р == V ab + Ьс + са.
р2  ас Ь
А
tJ
ь
Таким
образом,
V аЬс
а+Ь+с <r<
< V ab + Ьс + са.
274. Пусть М  точка пересечения пря-
мой СВ с линией центров данных окруж-
ностей. Обозначим: 1 АМ I == Х, L АСВ == <р;
1 АВ 12 == 2rx, 1 АС 12 == 2Rx, sin <р == х . Если р :.... радиус окружности,
'АСI
описанной около  АВС, то р == 1 B 1 == I АВ I . 1 АС 1 == V&. О т-
2 S1n <р 2х
в е т: V&.
275. Пусть 01' 02  центры окружностей, А  наиболее удаленная
от ВС точка их пересечения, L 01А02 == <р. Покажем, 1fТO L ВАС == <р/2.
(для друrой точки уrол будет 1800   .) в самом деле, L ВАС 
== 1800  L АВС  L ВСА == 1800  (900  L АВ0 1 )  (900  L АС0 2 ) ==
== L АВ0 1 + L АС0 2 == L ВА0 1 + L СА0 2 == <р  L ВАС. Пусть
101021 == а. Проведя 02 М 11 ВС (М на 01 В )' получим I ВС 1 == 102М 1 ==
R 2 + r 2  а 2
== V a 2  (R  rY. Из  01А02 найдем, что cos <р == ; таким
2Rr
описанной около  АВС, равен
Рис. 11
образом, радиус окружност и,
1 ВС 1 V а 2  (R  r)2
 == V&.
<р V R2 + r 2  а 2
2 sin  1 12 1 
2 VL 2Rr
О т в е т: V& (для обоих треуrольников).
276. DO и СО  биссектрисы уrлов ADC
и DCB. Обозначим через сх,  и у ве'лиtrины
соответствующих уrлов (рис. 12). Но r:t +
+ 2 + 2у + сх == 2п; значит, сх +  + у == п;
отсюда следует, что L DOA == У, L СОВ == 
и  AOD подобен  СОВ; следовательно, 1 AD 1.1 СВ I == 1 АО 1.1 ОВ 1 ==
== I АВ 12/4. О т в е т: а 2 /4Ь.
277. Из условия задачи следует, что биссектрисы уrлов С и
D пересекаются на стороне АВ. Обозначим эту точку пересечения через
А
о
Рис. 12
в
107

О. Опишем около 6 DOC окружность. Пусть К  вторая точка пересе
1
чения этой окружности с АВ. Имеем: L DKA == L DCO ==  L DCB ==
2
1 1
== 2(1800  L DAK) == 2(L DKA + L ADK). Значит, L DKA == L ADK
и 1 AD 1 == 1 АК 1. Аналоrично 1 ВС 1 == I ВК 1; следовательно, 1 AD 1 +
+ICBI==IABI. Ответ: ab.
278. Возьмем на луче МС течку N так, что 1 AN 1 == 1 АВ 1 == 1 AD 1.
sinLMNA IACI IACI sinLADC
Поскольку    и L МСА ==
sinLMCA .IANI IADI sinLACD
== L ACD, то sin L MNA == sin L ADC == sin L АВМ, т. е. уrлы АВМ
и М N А или равны или в сумме дают 1800. Но М внутри 6 ABN, зна
чит, L АВМ == L М N А. Теперь можно доказать, что 6 АВМ == 6 АМ N;
сх+<р
2
279. Обозначим через К и L точки касания соответственно lй
и 2й окружностей с одной из сторон уrла, а через М и N  вторые
точки пересечения прямой АВ с lй и 2-й окружностями. Пусть О 
центр 2й окружности. Поскольку А  центр подобия данных окружно
IAKI IAMI IABI
стей, то == == == Л, откуда 1 АК 1.1 ALI == л 1 ALI2 ==
IALI IABI IANI
== л I АВ 1.1 AN 1 == I АВ 12. С друrой стороны, из подобия треуrольников
АКС и АШ имеем: 1 АК 1.1 ALI == 1 АС 1.1 АО 1. Следовательно,
1 АС 1.1 АО 1 == 1 АВ 12; значит, треуrольники АВС и АОВ подобны. О т 
C'l C'l
вет:  или п.
2 2
280. Пусть L ВАР == <р, L DBA == Ct, L DAB == 2сх (з условия сле
дует, что А, Е и F по одну сторону от BD и L BDA < 900, т. е.
C'l > 300). По теореме синусов для треуrольников DEA, DAB и ВАР
1 DE I sin (1200  2сх) 2 (30 0 ) 1 AD I sin C'l
Иl\1еем:  == cos + C'l . 
1 AD 1 sin (300 + сх) , 1 АВ 1 sin 3сх
1 1 АВ 1 cos (сх  <р)
  Перемножая pa
4 cos (300 + сх) cos (300  сх)' 1 ВР 1 sin <р
v cos (сх  <р)
венства, наидем, что . == 2 cos (сх  300), откуда L ВАР == <р == 300.
Sln <р
281. Рассмотрим два случая.
L NAC == L MNA  L NCA == L ADC  L ACD == <р. Ответ:
3LALC
1) Отрезок ВК пересекает АС. Из условия L ВКС ==
2
LB
будет следовать, что  С == 900 (L ВСК == L В + L С, L СВК == ,
2
3LALC LB
+ (LB + L С) +  == 1800 и т. д.). Следовательно, точ
2 2
ка О находится на АВ и сумма расстояний от О дО АС и АВ равна
1
IBCI; таким образом, IВСI==4>2+VЗ==IАСI+IАВI>IАВI, т. е.
2
ка тет больше rипотенузы  противоречие.
108

2) Отрезок ВК не пересекает АС. В этом случае L СВК == 1800 
LB 3LALC
' L ВСК == L А, L ВКС == 2 (по условию); значит,
( LB ) 3LALC
1800   + L А + 2 == 1800, откуда L А == 300.
Возможны вновь два случая.
2а) Центр описанной окружности, точка О  внутри .6. АВС. Пусть
перпендикуляр, опущенный из О на АВ, пересекает АВ в N, а АС в К,
а перпендикуляр, опущенный на АС, пересекает АС в М, АВ в L. Обо
значим 10М I == х, I ON I == у; х + у == 2 (по условию), I ОК I == 2хfVЗ,
I МК 1== хfi3, I АК 1== 21 NK 1== 2у + 4хfVЗ, I АМ 1== I АК I  I МК 1 ==
== 2у + х 113. Аналоrично найдем: 1 AN 1 == 2х + у 113. По условию
I AN I + I АМ I == (I АВ I + I АС 1) == (2 + }I3). С друrой стороны,
2 2
IAN I + I АМ 1 == (2 + }I3) (х + у) == 2 (2 + }I3). Противоречие.
2б) Точка О  вне .6. АВС. Можно показать, что тупым является
3LALC
L В. Иначе, если L С > 900,
< о, таким образом, О Haxo
2
дится внутри cerMeHTa АС, не содержащеrо В; впрочем, на ответ это
обстоятельство не влияет. В обозначениях предыдущеrо пункта будем
иметь: IAMI==2yx}l3, IANI==y}l32x. Из системы у+х==2,
IAMI+IANI(2+}I3)y(2+}I3)x 2+}13 найдем: X, y,
2 4 4
5 3}13
1 АМ I ==   , радиус окружности равен V I АМ 12 + 1 МО 12 ==
2 4
== 1/2 V34  15}13.
282. Если С 1  точка, симметричная С относительно АВ, а В 1 
симметрична В относительно АС, то (как обычно, а, Ь, с  стороны
.6. АВС, S  ero площадь) 1 С 1В112 == Ь 2 + с 2  2Ьс cos 3А == а 2 +
S2
+ 2bc(cosA  cos3A) == а 2 + 8bcsin 2 AcosA == а 2 + 16(Ь 2 + с 2  a2).
Ь с
Таким образом, получим систему уравнений:
{ а2Ь2с2 + 16S 2 (Ь 2 + с 2  а 2 ) == 8Ь 2 с 2 ,
а 2 Ь 2 с 2 + 16S 2 (а 2 + Ь 2  с 2 ) == 8а 2 Ь 2 ,
а 2 Ь 2 с 2 + 16S 2 (с 2 + а 2  Ь 2 ) == 14с 2 а 2 .
Вычитая 2e уравнение из 1 ro, учитывая, что а =Р с, найдем 4s 2 == Ь 2 . За
менив S2 в уравнениях на Ь 2 /4, получим:
{ а2с2 + 4(Ь 2  с 2  а 2 ) == о,
а 2 Ь 2 с 2 + 4ь 2 с 2 + 4Ь 2 а 2  4ь 4  14а 2 с 2 == о,
Ь 2 == 4s 2 .
Обозначив а 2 с 2 == х, а 2 + с 2 == у, будем иметь:
{ 4у  х == 4ь 2
х(Ь 2  14) +'4Ь 2 у  4ь 4 .
109

Умножив в последней системе le уравнение на Ь 2 и ВЫ'iТЯ из 2ro,
найдем х(2Ь 2  14) == О, откуда Ь == у? о т в е т: 1, 17, 118.
1 Ь 2  с 2 1
283. Докажите, что tg (J. == , r де S  площадь треуrольника
2S
(аналоrично для друrих уrлов). О т в е т: arctg 1 tg r:t + tg  1.
284. Найдем KOTaHreHC уrла между медианой и стороной Tpe
уrольника АВС. Если L А 1 АВ == <р (АА 1  медиана 6. АВС, обозначения
обычные; а, Ь, с  стороны треуrольника, та, т ь , те  ero медианы, S
2с  acos  2с 2  accosB зс 2 + Ь 2  а 2
ctg <р == == == .
he 2S 4S
Пусть М  точка пересечения медиан 6. АВС; прямые, перпендику
лярные медианам, выходящим из вершин А и В, пересекаются в С 1 ;
L МС 1 В == L МАВ == <р (четырехyrольник МАС 1 В вписанный). Сле-
1 ( 2 ) 2 (2а2 + 2с 2  Ь 2 ) (3с 2 + Ь 2 --- а 2 )
довательно, 5MBC 1 ==   ть ctg <р == .
2 3 72S
Площадь искомоrо треyrольника есть сумма площадей шести Tpe
yrольников, каждая из которых находится аналоrично. В итоrе получим
( а 2 + Ь 2 + с 2 ) 2 27 ( R 2  d 2 )2
== (равенство а 2 + Ь 2 + с 2 == 9 (R 2  d 2 ) до-
12S 4S
27
кажите самостоятельно). О т в е т:  (R 2  d 2 )2.
4
285. 600.
286. Заметим сначала, что 1 MN 1 равна общей внешней касатель
ной к окружностям с центрами 01 и 02 (задача 1.142). Следовательно,
если радиусы э тих окружностей х и у, х + у == 2R  а, то 1 м N 1 ==
== v а 2  (х..... у)2. Пусть <р  yrол, образованный АВ с 0102, L --- точка
ха ха
пересечения АВ и О 1 02' Имеем 1 01 L 1 == == , sin <р ==
х + у 2R  а
х 2R  а R
 IOLI==lx+101LIRI== 12x+a2RI==
1 01 L 1 а 2R --- а
R 2R
== Ix --- yl, IABI == 2 V R 2  IOL1 2 sin 2 <p == V a2 (x  у)2 ==
2R  а а
2R 2R
==IMN. Ответ:  (в обоих случаях).
а а
287. Уrол АКВ равен 900 (см. задачу 1.255). Пусть R  точка пере
сечения ВК и АС, Q  точка ВК такая, что NQ 11 АС. Используя обыч
ные обозначения, будем иметь: 1 AR 1 == 1 АВ I == с, I м R I == с  (р  а) ==
IMKI IMRI ICBI а
==pb==INBI, IKNI == IQNI == IRCI == bc (считаем Ь>с). По
(J. (J.
скольку 1 М N 1 == 2 (р  с) sin, то 1 м к 1 == а sin. Аналоrично для
2 2
друrих отрезков. Искомый треуrольник подобен треуrольнику АВС
с коэффициентом подобия sin (r:t/2). Ero площадь равна S. sin 2 (r:t/2).
288. Пусть I АМ 1 == х, 1 CN 1 == у, х + у == а, а  сторона квадрата.
Обозначим через Е и F точки пересечения MD и DN с АС. Отрезки
1 АЕ 1, 1 EF 1, 1 CF 1 леrко вычисляются через а, х, у, после чеrо можно
проверить равенство 1 EF 12 == 1 АЕ 12 + 1 FC 12  1 АЕ 1.1 FC 1.
площадь ),
то
110

289. Пусть Р  точка пересечения прямой DE с АВ, К  точка на
АВ такая, что KD 11 АС, 6. AKD  равнобедренный (L KDA == L DAC ==
== L DAK). Значит, KD  медиана в прямоуrольном треуrольнике и
1 1 1 1
IMNI == 21KDI == 41 АРI == 41 AEI ==4 а .
290. Пусть второй точкой пересечения окружностей, описанных
около 6. АВС и 6. АВ 1 С 1 , будет А 1 . Из условия следует, что 1 ВВ 1 1 ==
== 1 СС 1 1, кроме Toro, L АВА 1 == L АСА 1 И L АВ 1 А 1 == L АС 1 А 1 . Сле..
довательно, 6. А 1 ВВ 1 == 6. А 1 СС 1 . Значит, 1 А 1 В 1 == I А 1 С 1. Пусть
L АВС == , L АСВ == "1, L АВА 1 == L АСА 1 == <р. Так как 6. А 1 ВС равно..
1
бедренный, то L А 1 ВС == L А 1 СВ, т. е.  + <р == "1  <р, <р == (y ) и,
2
если радиус окружности, описанной около 6. АВС, равен R,
то 1 АА 1 1 == 2R sin "1   ; но 1 АВ 1  1 А С I == 2R (sin "1  sin ) ==
2
'Y +"I r:t
== 4R sin cos == 21 АА 1 1 sin; следовательно, I АА 1 1 ==
2 2 2
а
r:t
2sin
2 .
291. Заметим, что точки А, О, М, В лежат на одной окружности
(L АМВ измеряется полусуммой дуrи АВ и дуrи, симметричной АВ
относительно ОС, т. е. L АМВ == L АОВ). Далее на АМ отложим отре"
зок МК, равный МВ; тоrда 6. АКВ подобен 6. ОМВ. О т в е т: 1 АВ 1 ==
== 2а.
292. Пусть 1 АВ 1 == 2r, 1 ВС 1 == 2R, 01  середина АВ, 02  середина
ВС, 0з  середина АС, О  центр четвертой окружности, радиус кото..
рой х. Из условия следует, что 1010з1 == R, 1020з1 == " 10101 == r + х,
10201 == R + х, 10з01 == R + r  х. Приравнивая выражения для площа..
дей треуrольников 0100з и 01002' полученные по формуле repoHa
и как полупроизведение соответствующеrо основания на высоту, полу..
чим два уравнения:
1
V (R + r)r(R  х)х == Rd,
2
1
V (R + r + x)Rrx == (R + r)d.
2
Возводя каждое из них в квадрат и вычитая одно из дрyrоrо, найдем,
что х == dj2. О т в е т: dj2.
293. Пусть Р  основание перпендикуляра, опущенноrо из N на
прямую М В, Tor да 1 м Р 1 == R cos r:t ; следовательно, 1 м Р 1 равно рас..
стоянию от центра О дО АВ; но расстояние от вершины треуrольника
до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра
описанноrо крута до противоположной стороны (задача 1.20), т. е.
I МР I ==  1 МК 1. Отсюда следует, что если М находится на большей
2
111

из дуr, т. е. L АМВ == \1., то 1 NK 1 == R; если же L АМВ == 1800  \1.
(т. е. М --- на меньшей дуrе окружности), то 1 NK 12 == R 2 (1 + 8 cos 2 \1.).
О Т В е т: I N К 1 == R, если М --- на большей дуrе окружности; I N К 1 ==
== R V 1 + 8 cos 2 \1., если М  на меньшей дуrе окружности.
294. Пусть АВС --- данный треуrольник, CD  высота, 01 и 02 
центры окружностей, вписанных в 6. А CD и 6. BDC, К и L.... точки
пересечения прямых D0 1 и D0 2 С АС и СВ. Так как 6. ADC подобен
6. CDB, а KD и LD  биссектрисы прямых уrлов этих треуrольников,
то 01 и 02 делят соответственно KD и
LD в одинаковом отношении. Значит,
KL 11 0102. Но четырехуrольник CKDL 
вписанный (L KCL == L KDL == 900). Сле
довательно, L CKL == L CDL == п/4,
L CLК == L CDK == п/4. Таким образом,
прямая 0102 образует с катетами уrлы
в п/4. Если М и N  точки пересече
ния 0102 с СВ И АС, то D.. СМ0 2 ==
== D.. CD0 2 (С0 2  общая, L 02CD ==
== L 02СМ, L CD0 2 == L СМ0 2 ). Зна
чит, 1 СМ 1 == 1 NC 1== h. О т в е т: уrлы
треуrольника равны п/4, п/4, п/2, а пло
щадь  h 2 /2.
295. Обозначения понятны из рис. 13.
CKDL  прямоуrольник. Поскольку
L LКA == 900 + \1., L LВA == 900  \1., то четырехуrольник BLКA 
вписанный,
с
Рис. 13
1 LC 1 h cos \1.
tg <р == 1 СА 1 == h
1
==  sin 2\1..
2
(1)
sln \1.
Если R  радиус окружности, то
R == I KL 1
2 sin <р
h
2 sin <р
(2)
h
Поскольку L LOK == 2<р, то 1 ON 1 == R cos <р ==
2 tg <р
h
(использо
sin 2\1.
cos2\1.
вались равенства (1) и (2», 10М 1== 1 ON I sin (900  2\1.) == h . ==
Sln 2\1.
1
== h ctg 2\1., и, нако нец получим вы раже ние 2 1 PQ I == 1 QM I ==
== v R 2  1 ОМ 12 == V 22  h 2 ctg 2 20(  h Y  (1 + ctg 2 <р)  ctg 2 2\1. ==
4 Sln <р 4
==h V  ( l+ .: ) ctg220( hVS , IPQIhVS. Если теперь OT
4 Sln 2\1. 2
резки I PD 1 и I DQ 1 хорды обозначить через х и у, то х + у == h 115, ху ==
== h 2 , откуда найдем, что искомые отрезки хорды будут равны
115+1 V51
h, h.
2 2
112

296. Пусть (рис. 14) Р и Q  точки касания касательных, прове-
денных из Е. Докажем, что 1 ЕР 1 == 1 EQ 1 == 1 BD 1. В самом деле, 1 ЕР 12 ==
== (1 ED 1 + 1 DC 1)(1 ED 1  1 DC 1) == 1 ED 12  1 DC 12 == 1 ВС 12 ---1 DC 12 == 1 BD 12
(по условию 1 ED 1 == 1 ВС 1). Обозначим: 1 KN 1 == х, 1 PN 1 == 1 N А 1 == у,
I EQ 1 == 1 ЕР 1 == I BD 1 == z. Тоrда 8
1 КЕ 1 == х + у --- z. Имеем: SKEN ==
==  х (2R --- z); с друrой стороны,
2
SKEN == SKON + SKOE --- SEON ==
1 С
== 2 R (х + х + у  z --- у --- z) ==
== R (х --- z). Таким образом,
1
2 х (2R  z) == R (х  z),
О т в е т: 2R.
IAOI
291. Найдем сначала lim . Обозначим: LC ==. Имеем:
--+O 1 ОС 1
х == 2R.
А N
Рис 14
/(
IAOI
IOCI
SABD

SBDC
1
 аЬ sin CJ.
2
1
 (р --- а) (р --- Ь) sin 
2
(1)
Но по теореме косинусов а 2 + Ь 2  2аЬ cos CJ. == (р  а)2 + (р  Ь)2  2 (р 
р (р  а  Ь) + аЬ cos CJ.
--- а) (р --- Ь) cos  => cos  == ( ) ( ) , откуда
р---а pb
sin  == V 1  cos 2  == V(l  cos )(1 + cos) ==
Vab (1  cos CJ.) (2 р 2  2ар  2Ьр + аЬ + аЬ cos CJ.)
(р --- а) (р  Ь)
(2)
sln CJ. 1 h CJ. 1 h
Если CJ.  О, то cos CJ.  1; следовательно, == V 2 cos   v 2
V 1 --- cos CJ. 2
при CJ.  О. П олучим из (1), (2) с учетом последнеrо замечания
. I АО 1 V аЬ
11т == . Поскольку 1 АС 1  р, то lim 1 АО 1 ==
--+ О 1 О С 1 (р  а) (р  Ь)
p
==  + V (p  а) (р  Ь) .
11. Избранные задачи и теоремы планиметрии
сх --+ О
, 1. Докажите, что если D --- проекция М на АВ, то
1 AD 12 ---1 DB 12 == 1 АМ 12 ---1 МВ 12.
2. Если бы такая точка нашлась (обозначим ее через N), то пря
мая MN была бы перпендикулярна всем трем сторонам треуrольника.
3. Если М --- точка пересечения перпендику ляров, опущенных из А 1
И В 1 на ВС и АС, то (см. задачу 11.1) 1 МВ 12  1 МС 12 == 1 А 1 В 12 ---
 IA 1 CI 2 , IMCI 2 ---IMAI2 == IB 1 CI 2  IB1AI2; складывая эти равенства
113

и учитывая условия задачи, получим, что I МВ 12 ....1 МА 12 == I С 1 В 12 ....
.... 1 С 1А 12, т. е. М лежит на перпендикуляре, проведенном к АВ че
рез С 1.
4. Из результата задачи 113 следует, что условие Toro, чтобы пер
пендикуляры, опущенные из А 1 , В 1 , С 1 на стороны ВС, СА и АВ пере
секались в одной точке, такое же, как и условие пересечения в одной
точке перпендикуляров, опущенных из А, В и С на В 1 С 1 , С 1 А 1 И А 1 В 1 .
5. Заметим, что перпендикуляры, опущенные из А 1 , В 1 , С 1 на ВС,
СА, АВ соответственно, пересекаются в точке D, затем воспользуемся
результатом задачи 114.
6. В задаче 117 доказывается более общий факт. Из рассуждений
задачи 11.7 будет следовать, что центр окружности расположен на пря
мой АВ.
7. Введем прямоуrольную систему координат. Если координаты
точек А 1 , А 2 , ..., А п .... (х 1 , У1) (х 2 , У2)' ...., (х", Уп)' точки М .... (х, у), то
наше rеометрическое место точек будет задаваться уравнением а (х 2 +
+ у2) + Ьх + су + d == О, [де а == k 1 + k 2 + ... + k п ; отсюда и следует
наше утверждение.
8. Если В.... точка касания, О.... центр данной окружности, то
1 ОМ 12 ....1 АМ 12 == 1 ОМ 12 ....1 ВМ 12 == 1 ОВ 12 == R 2 . Значит, М лежит на
прямой, перпендикулярной ОА (см. задачу 11.1).
9. Условие, определяющее множество точек М, эквивалентно yc
ловию 1 АМ 12 .... k 2 1 ВМ 12 == О, т. е. это есть окружность (см. задачу 117).
Эта окружность называется окружностью Аполлонuя; ее центр, как
леrко убедиться, лежит на прямой АВ.
IAMI
10. Поскольку МВ является биссектрпсой уrла АМС, то ==
IMCI
IABI
. Следовательно, биссектриса внешнеrо уrла по отношению
IBCI
IAKI
к уrлу АМС пересекает прямую АС в постоянной точке К:
IKCI
IABI
и искомое множество точек М есть дуrа окружности, по
IBCI'
строенной на ВК как на диаметре, заключенная между прямыми, пер
пендикулярными отрезку АС и проходящими через точки А и С.
/, 11. Пусть 01 и 02 .... центры дaH
ных окружностей, '1 и '2.... их pa
диусы, М .... точка искомоrо множества,
МА 1 и МА 2 .... касательные. По yc
ловию 1 МА 1 1 == k 1 МА 2 1. Следова
тельно, 1 М0 1 12 .... k 2 1 М0 2 12 == 'Т ....
.... k2f. Значит (см. задачу 11.6), иско
мое множество точек М при k 1= 1
есть окружность с центром на прямой
0102, при k == 1 искомое множество
есть прямая, перпендикулярная 0102.
12. Пусть (рис. 15) К и L.... точки
пересечения касательной ко второй
k'
Рис. 15
114

окружности, проходящей через D, с касательными к первой, прохо
дящими через В и А, а М и N  друrие две точки. Леrко видеть, что
L DKB == L СМА (каждый из этих уrлов равен половине разности
уrлов, соответствующих дуrам АВ и CD). Поэтому (на нашем рисунке)
L LMN + L LKN == 1800. Следовательно, четырехуrольник KLМN---
1
sin u АВ
2
вписанный. Далее имеем:
IDKI
'КВI
sin L DBK
sin L BDK
Анало
sin  u DC
2
rично находятся отношения длин касательных, проведенных через точ
ки L, М и N. Все эти отношения равны между собой; значит, центр
окружности, описанной около KLMN, лежит на прямой, проходящей
через центры данных окружностей (см. задачу 11.6).
13. Выразив расстояния от вершин треуrольника до точек касания,
проверьте выполнение условия задачи 11.3.
14. Пусть 1 АМ 11: 1 ВМ 11: 1 СМ 11 == р: q: r. Тоrда множество точек
М таких, что (r 2 --- q2) 1 АМ 12 + (р2  r 2 ) 1 ВМ 12 + (q2  р2) 1 СМ 12 == О, есть
прямая линия, проходящая через М l' М 2 И центр описанноrо около
l:::. АВС Kpyra (см. задачу 11.7).
15. Точки М 1 и М 2 принадлежат множеству точек М, дЛЯ которых
51 МА 12  81 МВ 12 + 31 МС 12 == О. Это множество есть прямая линия, и,
очевидно, центр описанноrо Kpyra удовлетворяет условию, определяю
щему это множество (см. задачу 11.7).
16. Пусть I АА 1 1 == а, 1 ВВ 1 1 == ь, I СС 1 1 == с, I А 1 В 1 1 == х, 1 В 1 С 1 1 == у,
1 С 1 А 1 1 == z. Тоrда 1 АВ l 1 2 == а 2 + х 2 , 1 В 1 С 12 == с 2 + у2 и т. д. Теперь леrко
про верить условие задачи 11.3.
17. Пусть 1 AD 1 == х, I BD 1 == у, 1 CD 1== z, I АВ 1 == а. Обозначим через
А 2 , В 2 , С 2 точки касания окружностей, вписанных в треуrольники BCD,
CAD, ABD со сторонами ВС, СА, АВ. Перпендикуляры, проведенные
через точки А 1 , В 1 , С 1 К сторонам ВС, СА и АВ совпадают с перпенди
кулярами, восставленными к тем же сторонам в точках А 2 , В 2 , С 2 .
Но 1 ВА 1 == а + у  z 1 А С 1 == а + z  У . аналоrично нахо д ятся
2 2' 2 2'
I АС 2 1, 1 С 2 В 1, 1 АВ 2 1, 1 В 2 С 1. Теперь леrко проверить условие за
дачи 11.3.
18. Примените условие задачи 11.3, взяв в качестве точек А, В и
С центры окружностей, а в качестве точек А 1 , В 1 , С 1  по одной из TO
чек пересечения окружностей (А 1  одна из точек пересечения окружно
стей с центрами В и С и т. д.).
19. Возьмем третью окружность с диаметром ВС. Общими xopдa
ми lй и Зй, а также 2й и Зй окружностей являются высоты Tpey
rольника, опущенные из вершин В и С. Следовательно (см. задачу
11.18), общая хорда данных окружностей также проходит через точку
пересечения высот треуrольника АВС.
20. Пусть О  центр данной окружности, R  ее радиус, МС 
касательная к ней. Имеем: 1 МО 12  1 MN ,2 == 1 МО 12  1МВ 1.' МА 1==
== ,МО 12  1 МС 12 == R 2 , т. е. точка М лежит на прямой, перпендикуляр
ной прямой ON (см. задачу 11.1). Леrко показать, что все точки этой
прямой принадлежат нашему множеству.
115

21. Пусть О  центр окружности, r  радиус окружности, 1 ОА 1 == а,
БС  некоторая хорда, проходящая через А, М  точка пересечения Ka
сательных. Тоrда
10М 12 == 1 ВМ 12 + r 2 ,
1 АМ 12  1 ВМ 12   1 ВС 12 + С 1 ВС 1  1 ВА 'У 
== 1 ВМ 12  1 ВС 1 . 1 ВА 1 + 1 БА 12 ==
== I ВМ 12  1 ВА I . 1 АС 1 == I ВМ 12  r 2 + а 2 .
Таким образом, 1 ОМ 12  I АМ 12 == 2r 2  а 2 , Т. е. (см. задачу 11.1)
искомое множество точек есть прямая, перпендикулярная ОА. Эта пря
мая называется полярой точки А относительно данной окружности.
22. Покажите, что если М 1 И М 2  две различные точки, принад
лежащие нашему множеству, то любая точка М отрезка прямой М 1 М 2
внутри треуrольника также принадлежит этому множеству. Для этоrо,
обозначив через х l , Уl' ZI расстояния от М 1 до сторон треуrольника,
через х 2 , У2' Z2  расстояния от М 2, можем выразить расстояния х, у,
Z от М до сторон через эти величины и расстояния между М l , М 2 , М.
Так, например, если 1 м 1М 1 == k 1 м 1М 21 и направления М 1М И М 1М2
совпадают, то х == (1  k)x l + kx 2 , у == (1  k)Yl + kY2' Z == (1  k)ZI + kz 2 .
Отсюда следует, что если равенство выполняется для трех точек BHY
три треуrольника, не лежащих на одной прямой, то оно будет выпол
няться для всех точек треуrольника. З а м е ч а н и е. Утверждение зада
чи останется верным для произвольноrо выпуклоrо мноrоуrольника.
Более Toro, можно рассма трива ть все точки плоскости, но при этом
расстояния до прямой от точек, расположенных по разные стороны от
нее, должны браться с противоположными знаками.
23. Для Toro чтобы расстояния х, у, Z были сторонами треуrоль
ника, необходимо и достаточно выполнения неравенств х < у + Z,
у < Z + х, Z < х + у. Но множество точек, для которых, наПРИ?\1ер,
х == у + Z есть отрезок с концами в основаниях биссектрис (в OCHO
вании биссектрисы два расстояния равны, а третье равно нулю, сле
довательно, равенство выполняется; а из предыдущей задачи следует,
что это равенство выполняется для всех точек отрезка). О т в е т:
искомое rеометрическое место состоит из точек, расположенных
внутри треуrольника с вершинами в основаниях биссектрис.
24. Поскольку перпендикуляры, опущенные из А 2 , В 2 И С 2 COOT
ветственно на В I С 1 , С I А l и А I В 1 , пересекаются в одной точке, то (за
дача 11.4) и перпендикулSJРЫ, опущенные из А l , В l И С l на В 2 С 2 , С 2 А 2
и А 2 В 2 , также пересекаются в одной точке.
25. Обозначим через а l и а 2 расстояния от А до прямых 12 И 13 co
ответственно, ы 1 и Ь 2  расстояния от В до прямых 13 И 11 COOTBeT
ственно, С 1 И С 2  расстояния от С до прямых 11 И 12 соответственно, х,
у, Z  расстояния от А l , В l И С l соответственно до 1. Для Toro, чтобы
перпендикуляры, опущенные из А, В и С на В l С 1 , С I А l И А I В l co
ответственно, пересекались в одной точке, необходимо и достаточно
выполнения равенства (задача 11.3) 1 АВ l 1 2  1 В 1 С 12 + 1 СА 1 1 2 
 IAIBI2 + IBC 1 1 2  1 С I А 12 == О, или (a + у2)  (C + у2) + (C + х 2 ) 
 (b + х 2 ) + (b + Z2)  (a + Z2) == О, что приводит К условию a  a +
+ bI  b + CI  C == О, не зависящему от х, у, Z.
116

26. Нам достаточно проверить выполнение условия (задача 11.3)
1 АВ 2 1 2  I В 2 С 12 + 1 СА 2 1 2  1 А 2 В 12 + 1 ВС 212  1 с 2А 12 == О. Заметим, что
треуrольники ВВ 2 С 1 и АА 2 С 1 подобны, значит, IAC 1 1'IC 1 B 2 1==
== 1 ВС 11.1 С 1 А 2 1, кроме Toro, L АС 1 В 2 == L ВС lА 2 , следовательно,
1 АВ 2 12  1 В А 2 12 == ( 1 А С 1 12  1 С 1 В 12 ) + ( 1 С 1 В 2 12  1 С 1 А 2 12). Записав со..
ответствующие равенства для 1 СА 2 1 2  1 АС 2 1 2 И 1 ВС 2 1 2  1 СВ 2 1 2
И сложив их, получим, что разности, стоящие в первых скобках, в сум..
ме дадут нуль (применяем условие задачи 11.3 к треуrольникам АВС и
А 1 В 1 С 1 ; получим нуль, поскольку высоты пересекаются в одной точ"
ке). Нетрудно доказать, что АА 2 , ВВ 2 И СС 2 проходят через центр опи..
санной около АВС окружности, т. е. сумма разностей во вторых
скобках тоже равна нулю.
32. Проведем через К и L прямые, параллельные ВС, дО пересече
ния с медианой AD в точках N и S. Пусть 1 AD 1 == 3а, I м N 1 == ха,
I MS I == у а. Поскольк у ILSI  IASI ILSI == IMSI то IASI 
I N К 1 I AN 1 ' I N К 11М N 1 ' . 1 AN I
I MS I (2 + у) а  L У == х 1 == 1 +
   == Равенство ==
1 м N l' (2  х) ах' 1  х I м к 11М L 1
1 1 1 + 1. 1
+ 1 мр 1 эквивалентно равенству I MN 1  1 MS 1 1 MD l' ах 
1 1 х
==. +. Подставляя у == , получим верное равенство.
ау а 1  х
34. Пусть О  точка пересечения диаrоналей АС и BD; воспользо
IOKI
вавшись подобием соответствующих треуrольников, получим
IOCI
IOKI IOBI IOAI IOMI IOMI
== 1 ОВ 1 . 1 ОС 1 == 1 OD 1 . 1 ОА 1 == 1 OD 1 ' что и требовалось.
35. Пусть F и D  точки пересечения EN и ЕМ соответственно
с АВ и ВС. Докажем, что 6. AFN и 6. MDC подобны. Используя по
добия различных треуrольников и равенство противоположных CTO
INFI INFI IFBI

IFAI IFBI IFAI
IBDI IDCI IDCI
 , т. е. 6.AFN
IDMI IBDI IDMI
рон
параллелоrрамма,
будем
иметь:
IBDI IEDI
IDMI IFAI
подобен 6. М DC.
36. Утверждение задачи вытекает из следующих двух фактов.
1) Если на сторонах четырехуrольника ABCD взяты точки К, L,
М и N так, что стороны АВ, ВС, ср и DA разделены этими точками
в одинаковом отношении ( 1 ВК 1 == 1 СМ 1 == 1 BL 1 == 1 AN 1 ) , то и OT
IKAI IMDI ILCI INDI
резки км и LN своей точкой пересечения Р разделены в том же
отношении.
В самом деле, из Toro, что прямые KL и N М параллельны диаrо
IKPI IKLI IKLI IACI IBKI IADI
нали АС следует:   
IPMI INMI IACI INMI IBAI INDI
IBKI
IKAI
IBDI
IDMI
IDCI
IFEI
IBKI
IBAI
IBAI
IKAI
117


2) Если на сторонах АВ и CD четырехуrольника взяты точки К 1
' К К ' 1 М М ' 1
и К, М 1 И М так , что 1  1 ==  I АК 1 == 1 КВ 1 1 DM 1 ==
1 АВ I 1 CD 1т' 1 , 1
1
== I С М 1, то площадь четырехуrольника К 1 КМ М 1 составляет  часть
т
деле, 8 в кс ==
от площади четырехуrольника ABCD. В самом
 IBKI 8 8 == IM 1 DI 8 А == IBKI 8
 'ВА' АВС, AM 1 D ICD' CD 'ВА' ACD.
( 'ВК' ) IAK'
8АКСМ 1 == 1  'ВА I 8ABCD == I ВА I 8ABCD. Аналоrично 8 К1К ММ 1 ==
'К1К' 'К1К' 1
== 8АКСМ 1 . Таким образом, 8К 1 КММ 1 == 8ABCD == 8.
'АК' IABI т
37. Пусть К  середина DB, L  середина АС, 8 ANM == SCNM (по
скольку I AL' == 1 LC 1), точно так же 8 BNM == SDMN; откуда следует утверж
дение задачи.
38. Если М  середина DC, N  середина ВС, К и L  точки пере
сечения DN соответственно с АМ и АВ, то I КМ 1 == 1 DM 1 == J:..., т. е.
'АК' 'ALI 4
4 4 4 1 1
1 АК 1== 51 АМ 1; следовательно, 8 ADK == 5 8ADM == 5' 4 8 == 58 (8 
площадь параллелоrрамма). Таким образом, площадь искомой фи
1
rуры будет 8  48 ADK == 58.
39. Пусть Q  середина AD, N  середина ВС, М  середина DC,
К, Р, R  точки пересечения DN и АМ, QC и DN, QC и АМ. Тоrда
'DK' == 21 DN 1, ,DP 1 == 1 PN 1, ,QP 1== I РС 1, 1 QR 1 == J:... 1 QC 1, 8 RPQ ==
5 3 
 1 RP, 1 КР 1 == J:.... J:... ==  8 ==.  == 
1 QP, I DP 1 3 5 15' RPK 15 8 120'
Следовательно, от четырехуrольника, paccMoTpeHHoro в преды
v 8
дущеи задаче, отрезаются четыре треуrольника площади 120 ; таким
8 48 8
образом, площадь искомоrо восьмиуrольника будет     
5 120 6
40. Пусть прямая НС пересекает АВ и LM соответственно в точ
ках Т и N, прямая AL пересекает ED в точке К и прямая ВМ пере
секает PG в точке Р. Имеем: 8 ACDE == 8 Аснк == 8 ATNL , 8 BCFG == 8 вснр ==
== 8 BMNT ; таким образом, 8 ACDE + 8 B CFG == 8 ABML .
41. Обозначим через Q площадь пятиуrольника, 81, 82 И 8з  пло-
щади треуrолъников, прилежащих к одной боковой стороне, к мень-
шему основанию и к друrой боковой стороне; х  площадь треуrоль
ника, заключенноrо между треyrольниками площади 81 и 82, У  пло
щадь треyrольника, заключенноrо между треyrольниками площади
1
82 И 83. Тоrда 81 + Х +'82 == 82 + у + 8з == (x + у + 82 + Q). Таким
2
образом, 81 + х + 82 + 82 + у + 8з == Х + у + 82 + Q => 81 + 82 + 8з == Q.
Следовательно,
118

1
42. Если S  площадь параллелоrрамма, то S АВК + S KCD == 2: S,
1
с друrой стороны, SDBC == SEKC + SKCD ==  S, значит, SABK == SEKC;
2
аналоrично SAKD == SKCP; складывая два последних равенства, полу-
чим: SABKD == SCEKF'
 1 АС 1.1 СС 1 1 sin L АСС 1
2
 1 СС 1 1. I св 1 sin L 01 СВ
2
1 АС 1 sin L АСС 1 ...
. . Получив аналоrичные равенства для отношении
1 Ве I sin L С 1 СВ
I ВА 1 1 и I СВ 1 1 и перемножив их получим требуемое утверждение.
I А 1 С I I В 1 А I '
44. Покажем, что если прямые АА 1 , ВВ 1 И СС 1 пересекаются в
одной точке (обозначим ее через М), то R* == 1 (а следовательно, и R == 1;
sin L АСС 1
см. задачу 11.43). По теореме синусов для D. АМ С имеем: . ==
sln L А 1 АС
== I АМ 1. Записав аналоrичные равенства для треуrольников АМ В и
IMCI
ВМС и перемножив их, получим требуемое утверждение. Обратно,
если R == 1 и все точки А 1, В 1, С 1 лежа т на сторонах треуrольника
(или лишь одна из них), то, проведя прямые АА 1 и ВВ 1 , обозначим
точку их пересечения через М 1; пусть прямая СМ 1 пересекает АВ в
точке С 2 . Учитывая условия задачи и доказанную необходимость усло
вия R  1, будем иметь, что IICl \  I АС 2 1 , причем точки С 1 и С 2
l В I С 2 В 1
лежат одновременно или на отрезке АВ или вне ero. Следовательно,
С 1 и С 2 совпадают.
45. Пусть А 1 , В 1 , С 1 лежат на одной прямой. Проведем через С
прямую, параллельную АВ, и обозначим через М точку ее пере
сечения с прямой А 1 В 1 . Из подобия соответствующих треуrольни
I ВА 1 I I ВС 1 1 1 СВ 1 1 1 СМ I За менив C OO TB e T C T
ков получим: IA 1 CI== ICMI' IB1AIIAC11'
вующие отношения в выражении R (см. задачу 11. 43), получим, что
R == 1. Обратное утвеР)l(дение доказывается аналоrично тому, как это
было сделано в задаче 11.44 (проведем прямую В 1 А 1 , обозначим через
С 2 точку ее пересечения с АВ и т. д.).
46. Проверьте, что если для данных прямых R* == 1, то и для
симметричных будет так же. При этом, если прямая, проходящая,
например, через вершину А, пересекает сторону ВС, то и прямая, ей
симметричная относительно биссектрисы yrла, также будет пересекать
сторону ВС (см. задачи 11.43, 11. 44).
47. Если Ао, Во, СО  середины отрезков АО, ВО, СО COOTBeTCT
венно, то построенные прямые оказываются симметричными прямым
АоО, ВоО, СоО относительно биссектрис треуrольника АоВоС о (см.
зада чу 11. 46). 
43.
Имеем:
IAC 1 1
I С 1 ВI
SACC1
SCCIB
119

48. а) Пусть прямая вм пересекает АС в точке В', а прямая СК
пересекает АВ в С'. Проведем через М прямую, параллельную АС, и
обозначим через Р и Q точки ее пересечения соответственно с АВ и ВС.
I АВ' I I Р м' I
Очевидно, == . Проведя через К прямую, параллельную
IB'CI IMQI
АВ и обозначив через Е и F ее точки пересечения соответственно с СА
и СВ, будем иметь: I ВС' I == I F К I . Аналоrичное построение сделаем
I С'А 1 1 КЕ I
\ 
для точки L. Заменяя отношения, входящие в R (см. задачу 11.43), учтем,
что для каждоrо отрезка в числителе найдется равный ему в знамена
теле, например: I РМ 1== I КЕ 1.
б) Пусть для определенности прямая 1 пересекает отрезки СоА, СА о
и образует с ОК острый yrол <р. Прямая A 1 L делит отрезок М К в OTHO
SLМA1
шении (от точки м) . Аналоrично находятся отношения, в
SLКA1
которых делятся стороны КLи LM треуrольника KLM. Нам надо ДOKa
зать, что имеет место равенство R == 1 (см. задачу 11. 43). Заменим OT
ношения отрезков отношением площадей соответствующих треуrоль
ников. R будет содержать в числителе SLMAl' а в знаменателе  SKMCl'
SLМAl sin С
Докажем, что ., [де А и С  уrлы треуrольника АВС.
SKMCl Sln А
SBoOA o sin С
Очевидно, что  .' Кроме Toro, L А1ВоАо == L СоВоАо +
SBoOC o Sln А
+ L А1В О С О == 900  L В + <р (это следует из Toro, что окружность с
2
диаметром АО проходит через Во, СО и А 1 ) и L ВоА 1 О == L ВоАО ==
== LА. Точнотакже LB o C 1 0== LC И LС1ВоСо== ( 900 LB ) +
2 2 2
+LCI0L(900 B )+(1800LCLBoOCl)900 B +
+ (L В о ОА 1  L С) == 900  L В/2 + (1800  L А  L С  <р) == 900 +
+ L В/2  <р, т. е. sin L А1ВоАо == sin L С 1 В о С о . Таким образом,
. С С
Sln  . cos 
2 2
. А А
Sln  . cos 
2 2
вписанной окружности, 1 OLI == I ОК 1== 10М 1 == а. Будем иметь:
2
а S а S
"""'"""2 АоОВо +  А о ОВоАl
r r
2
а S а S
2 СоОВ о +  С О ОВ О С 1
r r
 8 АоОВо + (8 АоВоА,  8 АоОВо) (  1 ) 8 АоОВо + 8 АоВоА.

(   1 ) 8с о ово + 8с о в о с.
S
АI В оАо
S
С 1 В о С о
I ВоА 1 I . I ВоАо I
I ВоС 1 I . I ВоС о I
sin С
sin А
Пусть r  радиус
SLМA 1
SKMC 1
SWM + SWMA 1
SKOM + SKOMC 1
sin С
sin А
а
 SCoOB o + (SC O B O C 1  SCoOB o )-
r
120

( S А ОВ S А В А sin С )
Последнее равенство следует из TOrO, что о о == о о 1 == .
SCoOB o SC O B O C 1 Sln А
Точно так же выделим в числителе и знаменателе представления R
еще две пары величин, отношения которых будут соответственно
sin А sin В
равны . и . . Значит, R == 1. Остается лишь доказать, что
Sln В Sln С
число точек пересечения прямых LA 1 , КС 1 И МВ 1 соответственно с OT
резками КМ, ML и LK  нечетно.
49. Рассмотрим треуrольник АСЕ, через вершины KOToporo про
ведены прямые AD, CF и ЕВ. Синусы уrлов, образованных этими
прямыми со сторонами треуrольника АСЕ, пропорциональны хордам,
на которые они опираются; следовательно, условие R == 1 (см._
задачу 11. 44) эквивалентно условию, данному в задаче.
50. Проверьте, что выполняется равенство R == 1 (в пункте б)
воспользуйтесь результатом задачи 1. 234) и что все три точки лежат
на продолжениях сторон треуrольника. Таким образом, наше утвержде-
ние следует из теоремы Менелая (см. задачу 11. 45).
51. По свойству секущих, проведенных из внешней точки к окруж
ности, или по свойству отрезков хорд окружности, проходящих через
одну точку, будем иметь: 1 ВС 1 1.1 ВС 2 1 == 1 ВА 1 1.1 ВА 2 1, 1 СВ 1 1.1 СВ 2 1 ==
== 1 СА 1 1.1 СА 2 1, 1 АВ 1 1.1 АВ 2 1 == 1 АС 1 1.1 АС 2 1. Теперь леtко прове
рить, что если утверждение теоремы Чевы (равенство R == 1) выпол
няется для точек А 1 , В 1, С 1, то оно выполняется и для точек А 2 , В 2 , С 2 .
При этом из утверждения задачи следует, что или все три точки
А 2 , В 2 , С 2 лежат на соответствующих сторонах треуrольника, или
только одна из них (см. задачу 11.44).
52. Записав равенство R == 1 (cor ласно теоремам Чевы и MeHe
лая.... см. задачи 11.44 и 11.45) для точек А 1 , В 1 , С 1 ; А 1 , В 1 , С 2 ; А 1 , В 2 , С 1 ;
А 2 , В 1 , С 1 , мы получим, что и для точек А 2 , В 2 , С 2 выполняется
равенство R == 1. Теперь осталось лишь доказать, что или все три точки
А 2 , В 2 , С 2 лежат на продолжениях сторон треуrольника (так будет,
если точки А 1 , В 1 , С 1  на сторонах треуrольника), или лишь одна
находится на продолжении (если на сторонах треуrольника одна из
точек А 1 , В 1 , С 1 ), и воспользоваться теоремой Менелая (см. задачу
II. 45).
53. Воспользуйтесь теоремой Менелая (см. задачу 11. 45 В ка-
честве вершин данноrо треуrольника возьмите середины сторон
треуrольника АВС, на сторонах и продолжении сторон KOToporo лежат
рассматриваемые точки.
54. Если а.... длина стороны пятиуrольника М К LN Р, Ь  длина
стороны пятиуrольника с одной стороной на АВ, с  длина стороны
1 ВА 1 1 а
пятиуrольника, у KOToporo одна сторона  на АС, то == ,
I С 1 В I Ь
IАС I Ь ICB I с
1 ==, 1 ==. Перемножив эти равенства, найдем, что
IB1AI с IA 1 CI а
R == 1, и воспользуемся теоремой Чевы (задача 11.44).
55. Проверьте, что точки А1' А 2 , Аз И В 1 , В 2 , В3 находятся на
сторонах треуrольника 01020з (01, 02, 0з  центры окружностей)
или на продолжении этих сторон и отношение расстояний от каж
121

дой из этих точек до соответствующих вершин треуrольника 01020з
равнр отношению радиусов соответствующих окружностей. Далее
можно воспользоваться теоремой Менелая (см. задачу 11.45) для каждой
из этих троек точек.
56. Утверждение задачи следует из задач II. 43, 11.44.
sin L В 1 АА 2 ! АС 1 ! ! В 1 А 2 1
58. Воспользуемся равенством
sin L А 2 АС 1 ! AB!I ! А 2 С 1 !
Получив аналоrичные равенства для друrих уrлов, и перемножив ИХ,
получим наше утверждение на основании результатов задач II. 43 и 11.44.
59. Применим теорему Менелая к треуrольникам ABD, BDC и
DCA (задача 111.45* примечание): AL . BQ . DP ==  1 ВМ . CR х
, IВ QD Р А ' МС RD
DQ АР DR CN
х  ==  1, . .  ==  1 (L М и N  точки пересечения COOT
QB PD RC NA '
ветственно АВ и PQ, ВС и QR, АС и PR). Перемножив эти равенства,
CN AL ВМ
получим . .  ==  1, т. е. точки L, М и N  на одной прямой.
NA LB МС
60. Рассмотрим систему координат, осями которой являются
данные прямые (это так называемая «аффинная» система координа т).
Уравнение прямой в этой системе, как обычно, имеет вид ах + Ьу + с == о.
Докажем сначала необходимость данноrо условия. Пусть точка N имеет
координаТ})I (и, v), а точка М  (ли, лv), уравнения прямых А 1 В 1 , А 2 В 2 ,
АзВз, А4В4 будут соответственно иметь вид: у  v == k 1 (х  и), у  v ==
== k 2 (х  и), у  лv == k3 (х  ли), у  лv == k4 (х  ли). Tor да точки
А 1, А 2, А 3, А 4 , расположенные на оси х, соответственно будут иметь на
 1 1 л л
этои оси координаты и   v, и   v, л.u   v, ли   v, а точки
k 1 k 2 k3 k4
В 1 , В 2 , В з , В 4 , расположенные на оси у, соответственно будут иметь
координаты v  k 1 и, v  k 2 u, лv  k3 ли, лv  k4 ли. Теперь леrко про
верить выполнение равенства, данноrо в условии. Достаточность, как
обычно, можно доказать от противноrо.
61. В пунктах а) и в) надо воспользоваться теоремами Чевы и
Менелая (задачи 11.44* и II. 45*, примечание). В пункте б), кроме этоrо,
используется результат предыдущей задачи; при этом удобно, как и в
предыдущей задаче, рассмотреть аффинную систему координат, в кото..
рой осями являются прямые АВ и АС, а точки В и С имеют координаты
(о; 1) и (1 ;0).
62. Обозначим через S точку пересечения прямых А 1 М, В 1 Lи С 1 К.
Применим к треуrольникам SM К, SKL и SLM теорему Менелая (за
KL МА SC LM
дача 11.45*, примечание), получим 1 . 1 . 1 =='  1, 1 Х
L 1 M A 1 S С 1 К М 1 К
КС 1 SB 1 МК 1 LВ 1 SA 1
Х . == 1, . .  1. Перемножив эти pa
C 1 S B 1 L K 1 L B 1 S А 1 М
венства, получим:
KL 1
L 1 M
LM 1
М 1 К
МК 1
K 1 L
 1.
(1)
Равенство (1) является необходимым и достаточным условием Toro,
122

чтобьi прямые А 1 М, B 1 L и С 1 К пересекались в одной точке. Необхо-
димость уже доказана. Достаточность доказывается, как обычно, от
противноrо. (Обозначим через 8' точку пересечения А 1 М и B 1 L, про-
ведем 8' С 1, обозначим через К' ее точку пересечения с данной
прямой и докажем, что К и К' совпадают.) Поскольку равенство (1)
переходит в себя при замене К, L, М на К 1, L 1 , М 1 И наоборот, то
утверждение задачи доказано.
63. Применяя теорему Чевы (задача II. 44*, примечание) к тре-
уrольникам ABD, BDC и CDA, получим: АР . вр . DE == 1
РВ FD ЕА '
ВО са DF CR АЕ DG
.. == 1 .. == 1. Перемножив эти равенства,
QC GD рв ' RA ED ас
АР ВО CR
получим: . . == 1, т. е. прямые АО, BR и СР пересекаются
РВ QC RA 
в одной точке. Обозначим ее через N. Пусть Т  точка пересечения
Ра и DN. По теореме Менелая (задача II. 45*, примечание) имеем
DT NP CG DT РС GD СР GD
TN . РС . GD == 1, откуда TN ==  NP CG ==  PN ' CG . Если
АЕ вр CG АР rJ., CR "{ CN
ED == rJ." FD ==, GD == "{, то РВ  (3' RA ==' N Р ==
==  ВА . RC == rJ., +  ..l СР ==  ( 1 + CN ) ==  rJ., + "{ + "{rJ., . Та-
Р В AR  rJ.,' Р N N Р rJ.,
DT rJ., + "{ + "{rJ.,
ким образом,  == . в этом же отношении отрезок DN
TN rJ.,"{
разделится дрyrими прямыми.
64. Рассмотрим сначала предельный случай, коrда точка N находится
«в бесконечности»; тоrда прямые AN, BN и CN параллельны прямой 1.
Пусть расстояния от точек А, В и С до прямой 1 равны а, Ь и с (для
удобства предположим, что А, В и С  по одну сторону от 1). Прямые,
параллельные 1 и проходящие через А, В и С, пересекают прямые В 1 С 1 ,
С 1 А 1 и А 1 В 1 соответственно в точках А 2 , В 2 , С 2 . Леrко видеть, что
'А 1 С 2 1 а+с IB 1 A 2 1 Ь+а 'С 1 В 2 1 с+Ь П
, , . еремножая эти
I С 2 В 1 1 с + Ь I А 2 С 1 1 а + с I В 2 А 1 1 Ь + а
равенства, получим, что выполняется утверждение теоремы Менелая 
задача II. 45 (необходимо еще проверить, что на продолжениях сторон
треуrольника А 1 В 1 С 1 находится нечетное число точек из А 2 , В 2 , С 2 ).
Значит, точки А 2 , В 2 , С 2 лежат на ОДНОЙ прямой.
Общий случай можно свести к рассмотренному, если, например,
спроектировать заданное расположение треуrольников из какой-либо
точки пространства на друrую плоскость. При этом можно добиться,
чтобы симметричность треуrольников не нарушалась, а точка N перешла
бы в бесконечность. Можно и не прибеrать к пространственным рас-
смотрениям. Введем систему координат, выбрав за ось х прямую 1 и
взяв начало координат в точке N. Сделаем преобразование х' == l/х,
у' == у/х. При ЭТОМ точки оси х (у == О) перейдут в прямую у' == о; точки,
симметричные относительно оси х, перейдут в симметричныIe отно-
сительно прямой у' == о; прямые перейдут в прямые; прямыI,, прохо-
дящие через начало координат, перейдут в прямые, параллельные пря-
123

мой у' == о (это преобразование, по существу, и есть вышеуказанное
проектирование). После TaKoro преобразования получим уже рас-
смотренное расположение.
65. Будем считать, что данные прямые параллельны. Этоrо
можно добиться с помощью соответствующеrо проектирования или
преобразования координат (см. решение задачи 11.64). Применим к
треуrольнику AtA6M (рис. 16, N' К' параллельна данным прямым)
А5
А4
Дб
Рис. 16
А 2
теорему Менелая(задачаII.45). Будем иметь: IAtLI I A 6 K I IMNI 
ILA 6 1 IKMI INA11
I A IA31 I А6 А 2 I IMN'I I A t A 31 IMN'I I A 6 A 21 I A IA21
  х
I A 4 A 61 IK'MI IAsAtl IK'MI I A 4 A 61 IAsA11 IA 2 MI
х I MAsl . I А6 А 21 == I A1M I . I MAsl . I А 2 М I == 1. Таким образом
I AsA61 I AsAl I I А 2 М I I AsM I I MAtl
точки L, N и К на одной прямой. Можно было в соответствии с приме
чанием к задачам 11.44 и 11.45, рассматривать вместо I AILI и др. 
ILA 6 1
AL
отношения  и др. В этом случае произведение соответствующих
LA6
отношений будет равно (1).
67. Искомое rеометрическое место точек состоит из двух прямых,
проходящих через точку, симметричную точке А относительно пря
мой 1, и образующих yr лы в 600 с прямой 1.
68. Искомое множество есть дуrа ВС окружности, описанной около.
6. АВС, соответствующая центральному уrлу в 1200.
69. Если N.... точка пересечения прямых PQ и АВ, то I CN I ==
IANI
.... I РС I == I СВ I , т. е. N .... фиксированная точка. Искомое множество
IAQI IACI
есть окружность с диаметром CN. Если теперь М.... фиксированная
точка, то D лежит на прямой, параллельной прямой М N и проходя-
щей через такую фиксированную точку L на прямой АВ, дЛЯ которой
I ALI .... I AN I причем L так же расположена относительно отрезка
ILBI ICNI'
АВ, как N относительно отрезка АС.
124

1
70. Обозначим через <р уrол между BD и АС; S АРК ==  I АК I х
2
х 1 Р D 1 sin <р, S ВРС ==  I ВР 1.1 DC 1 sin <р ==  I ВР I . I AD I sin <р. П осколь
2 2
KySAPK == SBPC,TO IAKI.IPDI == IBPI'IADI, или IAKI . IPDI == 1 но
I AD I I ВР I '
по теореме Менелая для 1:::. BDK (см. задачу 11.45) I АК I . 1 DP I х
IADI 'РВI
IBMI
х == 1 (М  точка пересечения АР и ВК), следовательно, I ВМ I ==
IMKI
== 1 м К 1, т. е. искомое rеометрическое место точек есть средняя линия
1:::. АВС, параллельная стороне АС (если же точки Р и К брать на
прямых АС и BD, то мы получим прямую, параллельную стороне АС,
проходящую через середины отрезков АВ и ВС).
71. Пусть С  вершина данноrо уrла,   ero величина. Опустим
из О перпендикуляры ОК и OL на стороны уrла (рис. 17, а). Около
с
а
Рис. 17
с
tJ
четырехуrольника ОКАМ можно описать окружность. Следовательно,
L КМО == L КАО. Аналоrично L OML == L OBL. Значит, L KML ==
== LKAO + L OBL == сх + , т. е. М лежит на дуrе окружности, прохо
дящей через К и L и вмещающей уrол сх + ; при этом все точки этой
'дуrи принадлежат нашему множеству. Если i1. , то этим наше
множество исчерпывается. Если же i1. > , то добавятся точки М по
друrую сторону от прямой KL, дЛЯ которых L KML == i1.  
(рис. 17, б); при этом множеством точек будет пара дуr, концы KOTO
рых будут определяться предельными положениями уrла АОВ.
Если лучи неподвижноrо уrла  и подвижноrо r:1 продолжить 
вместо уrлов рассматривать пары прямых, то искомое множество
будет парой окружностей (содержащих обе дуrи, о которых rовори
лось выше).
72. Рассмотрим четырехуrольник DEPM, L DEM == L DPM == 900,
следовательно, этот четырехуrольник вписанный. Значит, L DME ==
== L DPE == 450. Искомое rеометрическое место точек есть прямая DC.
73. Рассмотрим случай, коrда точка В лежит внутри данноrо уrла.
Прежде Bcero заметим, что все получающиеся 1:::. BCD (рис. 18) подобны
между собой, поскольку L BCD == L BAD, L BDC == L ВАС. Поэтому,
125

если N  середина CD, то постоянными будут уrлы BNC и BND.
Опишем около  BN С окружность. Пусть К  вторая точка пересечения
этой окружности с АС. Поскольку L ВКА == 1800  L BNC, то точка
К фиксирована. Аналоrично, фиксированной будет точка L  вторая
точка пересечения окружности, описанной около  BN D, с прямой AD.
При этом L LNK == L LNB + L BNK == 1800  L BDA + L ВСК ==
== 1800, т. е. N лежит на прямой LK. Множество точек N есть отрезок
LK, а rеометрическим местом центров тяжести  ACD будет отрезок,
ему параллельный, делящий АК в отношении 2: 1 (получается с по-
мощью rомотетии с центром в А и коэффициентом 2/3).
74. Если О  вершина уrла, ABCD  прямоуrольник (А фиксиро-
вана), то точки А, В, С, D, О на одной окружности. Следовательно,
L СОА == 900, т. е. точка С лежит на прямой, перпендикулярной ОА
и проходящей через О.
75. Заметим, что все получающиеся треуrольники АВС подобны
между собой. Следовательно, если взять в каждом треуrольнике
точку К, делящую сторону ВС в одном и том же отношении, то,
поскольку L АКС сохраняет постоянное значение, точка К будет опи-
сывать окружность. Значит, точка М, делящая АК в постоянном отно-
шении, также будет описывать окружность, получающуюся из преды-
дущей с помощью rомотетии с центром в точке А и с коэффициентом
k == I АМ 1/1 АК 1. Это рассуждение используется во всех пунктах: а), б) и в).
76. Пусть К  середина АВ, а М  основание перпендикуляра, опу-
щенноrо из К на АС. Все треуrольники АКМ подобны между собой (по
двум уrлам), следовательно, будут подобны все треуrольники АВМ.
Теперь леrко получить, что искомое rеометрическое место точек есть
окружность с хордой ВС, причем уrлы,
 опирающиеся на эту хорду, равны уrлу
АМ В или к нему дополнительному.
М (Меньшая дуrа этой окружности распо-
L ложена по ту же сторону от ВС, что и
О меньшая дуrа и<;ходной окружности.)
77. Если М, N, L и К  данные ТОЧ
ки (М И N  на противоположных CTO
ронах прямоуrольника, L и К также),
Рис. 19 Р  середина MN, Q  середина KL, О 
126

точка пересечения диаrоналей прямоуrольника (рис. 19), то L POQ ==
== 900. Следовательно, искомым rеометрическим местом точек будет
окружность, построенная на PQ как на диаметре.
78. Обозначим радиусы данных окружностей через R и r (R  r),
точку касания хорды ВС с меньшей окружностью  через D; пусть
К и L  точки пересечения хорд АС и АВ с меньшей окружностью и,
наконец, О  центр окружности, вписанной в 6 АВС. Поскольку уrло-
вые измерения дуr АК и АС одинаковы, то 1 АК 1 == rx, 1 АС 1 == Rx;
отсюда получим 1 DC 12 == 1 АС 1.1 СК 1 == (R  r) Rx 2 . Аналоrично
1 АВ 1== Ry, 1 DB 12 == (R  r) R y 2, следовательно, 1 CD 1 ==  == 1 АС 1 ,
IDBI у IABI
имеем: IAOI IACI 
10DI ICDI
т. е. AD  биссектр иса уr ла ВАС. Далее,
 Rx V R . Таким образом, искомым rеометрическим
V(R  r) Rx R  r
местом точек будет окружность, касающаяся изнутри двух данных
IAOI rVR
в той же точке А с радиусом р == r == .
1 AD 1 VR + VR  r
79. Пусть 01 и 02  центры данных окружностей, прямая 0102
пересекает окружности в точках А, В, С, D (последовательно). Рас-
смотрим два случая.
а) Прямоуrольник KLMN расположен таким образом, что
противоположные вершины К, М лежат на одной окружности, а L
и N  на друrой. В этом случае, если Р  точка пересечения диаrоналей
(рис. 20, а), то 1 01 Р 12  I 02 Р 12 == (1 01К 12  I КР 12)  (1 02L 12 
 1 LP 12) == 1 01К 12  1 02 L I 2 == R  R, [де R 1 и R 2  радиусы окруж-
ностей, т. е. точка Р лежит на общей хорде окружностей; при этом
исключается середина общей хорды и ее концы, так как в этом слу-
чае прямоуrольник вырождается.
о
А
л
Рис. 20
б) Две соседние вершины прямоуrольника KLMN лежат на одной
окружности, а две  на друrой. Поскольку перпендикуляры, опущен-
ные из 01 на KN и из 02 на LM должны делить их пополам, то прямая
0102 является осью симметрии прямоуrольника KLMN.
Пусть R 2 < R 1 И радиус 02L образует уrол <р с линией центров.
Проведем через L прямую, параллельную 0102' Эта прямая пересечет
окружность О 1 В двух точках  К 1 И К 2, И точке L будут COOTBeTCTBO
вать два прямоуrольника: K 1 LMN, и K 2 LMN 2 (рис. 20,6). При изме-
127

нении <р от О до те/2 уrол ф, образованный радиусом О 1 К 1 С лучом
0102, меняется от О до HeKoToporo значения Фо, при дальнейшем изме
нении <р (от те/2 до те) Ф уменьшается от Фо дО О. При этом центры
прямоуrольников K 1 LMN 1 опишут отрезок от середины CD до cepe
дины ВС, исключая крайние точки и точку пересечения этоrо отрезка
с общей хордой. Аналоrично, центры прямоуrольников К 2LЛ,f N 2 будут
заполнять интервал с концами в серединах АВ и AD (концы интервала
не входят в наше rеометрическое место точек).
Если три вершины прямоуrольника, а значит, и четвертая лежат
на одной окружности, то центр прямоуrольника совпадает с центром
соответствующей окружности.
Таким образом, искомое rеометрическое место точек есть объеди
нение трех интервалов: концы первоrо  середина АВ и середина AD,
концы BToporo  середина ВС и середина CD, концы третьеrо  точки
пересечения окружностей. При этом исключается середина общей
хорды.
80. Если В и С  первая и вторая точки отражения, О  центр, то
ВО  биссектриса уrла СВА. Путь шарика симметричен относительно
диаметра, содержащеrо С, поэтому А лежит на этом диаметре. Если
L ВСО == L СВО == <р, то L АВО == <р, L ВОА == 2<р; применяя теорему
R а
синусов к l:::. АВО (1 ВО 1 ==R, 1 ОА 1 == а), получим:
sin 3<р
Ra R
да cos 2<р == , и при а >  можно найти <р. О т в е т: точки, pac
2а 3
положенные вне окружности радиуса R/3 с центром в центре бильярда.
81. Искомое rеометрическое место точек  две прямые, перпенди
кулярные данным прямым.
82. Если прямая АВ не параллельна 1, то существуют две окружно
сти, проходящие через А и В и касающиеся 1. Пусть их центры  О 1 И
О 2' Искомое rеометрическое место точек есть прямая О 1 О 2, ИС'1ючая
интервал (0102)' Если АВ параллельна 1, то искомое rеометрическое
место точек состоит из одноrо луча, перпендику лярноrо 1.
83. а) Пусть А (рис. 21)  вершина HeKoToporo треуrольника. Про
1
должим отрезок АМ за М на величину IMNI==lIAM1. Точка
N является середи,НОЙ стороны, про-
тивоположной вершине А, следова
тельно, N должна находиться внутри
описанной окружности, т. е. внутри
окружности с центром в О и радиусом
1 ОА 1. Опустим из О перпендикуляр
OR на AN. Должно выполняться не-
равенство 1 AR I > 1 RN 1. Если
L АМО  900, то это неравенство BЫ
полняется автома тически. Если же
L АМО < 900, то 1 АМ I  1 MR 1 >
> I м N I + I м R I => I АМ I   I АМ I >
> 21М R 1  1 АМ 1 > 41 М R 1. Но R ле
t
/J
Рис. 21
128
 . , OTKY
Sln <р

ЖИТ на окружности с/., с диаметром ОМ, значит, А должна быть вне
окружности, rомотетичной окружности с/., с коэффициентом 4 и центром
rОМО'f'етии в М. Далее, точка N не должна попасть на окружность С/."
так как в противном случае сторона треуrольника, серединой KOToporo
она является, будучи перпендикулярной ON, лежала бы на прямой AN,
т. е. все вершины треуrольника были бы на одной прямой. Следова
тельно, А не должна лежать на окружности, rомотетичной с/., с центром
rомотетии М и коэффициентом  2. Таким образом, если мы возьмем
на прямой ОМ последовательно точки L и К так, что
I LO I : I О М I : I м к I == 3 : 1 : 2, и построим как на диаметре на LM
окружность 1, на М К  окружность 2, то искомым rеометрическим Me
стом точек будут все точки вне окружности 1, исключая точки окруж
ности 2, кроме точки К (точка К входит в наше rеометрическое место
точек).
б) Если О  центр описанноrо Kpyra, М  центр тяжести треуrоль-
ника, то К (см. пункт а) ) будет точкой пересечения высот треуrольника
(см. задачу 1.20). Но для тупоуrольноrо треуrольника расстояние от
центра описанноrо Kpyra до точки пересечения высот больше радиуса
описанноrо Kpyra. Следовательно, вершины тупоуrольноrо треуrоль
ника находятся внутри окружности 3, построенной на LK как на диа-
метре, вне окружности 1, исключая точки окружности 2 (при этом Bep
шины тупых уrлов находятся внутри окружности 2).
84. Пусть АВС (рис. 22)  исходный правильный треуrольник,
А 1 В 1 С 1  произвольный треуrольник, у KOToporo А 1 С 1 11 АС, А 1 В 1 11 АВ,
А
Рис. 22
О  центр Kpyra, 01  точка пересечения высот 6 А 1 В 1 С 1 . Пусть
L ВОВ 1 == <р. Поскольку 01 В 1 11 ОВ, то L ОВ 1 О 1 == <р; так как
L С 1 О 1 В 1 == L С 1 ОВ 1 == 1200, то четырехуrольник С 1 01 ОВ 1 вписаа
в некоторую окружность, и, значит, L 010С1 == L 01В1 С 1 == 300  <р.
Таким образом, L 010В == <р + 1200 + 300  <р == 1500, т. е. прямая 001
параллельна СВ. ДЛЯ Toro чтобы определить, сколь далеко точка 01
может «уйти» по этой прямой, заметим, что для определения положе-
ния точки 01 нужно через переменную точку В 1 провести прямую, па
раллельную ОВ, дО пересечения с прямой, проходящей через О парал-
лельно СВ. Наиболее удаленные точки, очевидно, получатся для
концов диаметра, перпендикулярноrо ОВ. Таким образом, частью на-
шеrо rеометрическоrо места точек будет MN  отрезок прямой, парал-
лельной СВ, длиной 4R с серединой в О, а все rеометрическое место
точек  три таких отрезка (концы отрезков исключаются).
5 и. Ф. Шарыrин
129

85. Если АВС (рис. 23)  данный треуrольник и вершина описаНН<r
ro прямоyrольника AKLM совпадает с А (В .... на KL, С.... на LM), то L
принадлежит полуокружности с диаметром ВС, причем утлы ABL
и ACL тупые, т. е. у L будет два крайних положения: L 1 и L 2 ,
L L 1 СА == L L 2 BA == 900, центр же О будет описывать дуrу, rомотетич
ную дyrе L 1 L 2 , с центром rомотетии в А и коэффициентом 1/2. О т 
в е т: если треуrольник остроyrольный, то искомое множество есть
А
Рис. 23
криволинейный треуrольник, образованныi1 дуrами полуокружностей,
построенных на средних линиях как на диаметрах и обращенных
внутрь треуrольника из средних линий; если же треуrольник не
остроуrольный, то искомое множество состоит из двух дуr полуокруж
ностей, построенных таким же образом на двух меньших средних
линиях.
86. Если (рис. 24) повернуть первый квадрат BOKpyr точки М на
600 или по часовой стрелке, или против, то он должен целиком по
пасть внутрь BToporo. Обратно, каждому квадрату, расположенному
О[]С
А .D
Рис. 24
внутри большеrо, равному меньшему, стороны KOToporo образуют
yrлы в 300 и 600 со сторонами большеrо, соответствует точка М, обла
дающая нужным свойством. (На рисунке этот квадрат обозначен
штриховой линией.} Эта точка будет центром поворота на 600, перево
дящеrо квадрат Авсп в квадрат A 1 B 1 C 1 D 1 , ее можно получить ИЗ 01
поворотом В нужном направлении на 600 BOKpyr О. Рассмотрим край-
ние положения квадратов A 1 B 1 C 1 D 1 (коrда две вершины попадают на
стороны б ольшеr о). Их центры служат вершинами квадрата KLRN,
130

1
сторона KOToporo соответственно равна Ь   а (VЗ + 1 ) (стороны ква..
2
драта KLRN параллельны сторонам данных квадратов, центр совпа-
дает с центром большеrо). Центры друrоrо семейства квадратов,
образующих со сторонами большеrо квадрата уrлы 300 и 600, также
заполняют квадрат KLRN. Таким образом, искомое rеометрическое
место точек состоит из объединения двух квадратов, один из которых
получен из квадрата KLRN поворотом BOKpyr О на 600 в одном напра-
влении, друrой  поворотом на 600 в противоположном направлении.
Задача имеет решение, если Ь  (VЗ + 1) (точки Р и Q MorYT
2
БыIьь на rранице своих квадратов).
87. Такая точка М одна  центр тяжести треуrольника (точка
пересечения медиан). Леrко видеть, что в этом случае для любой точки
N на rранице треуrольника в качестве точки Р можно взять одну из
вершин треуrольника. Возьмем какуюлибо друrую точку М 1. Будем
Сt.[итать, что эта точка находится внутри или на rранице 6. AMD, rде
М  центр тяжести д АВС, D  середина АС. Проведем через М 1 пря-
мую, параллельную BD, и в качестве N возьмем точку пересечения
этой прямой с AD, а через М 2 обозначим ее пересечение с АМ. Оче-
видно, для любой точки Р внутри или на rранице треуrольника пло-
щадь 6. М 1 N Р не превосходит площади одноrо из треуrольников
1
AM 2 N, M 2 NC, M 2 NB. Очевидно также, что SAM 2 N < SAMD == S. Да..
6
SM 2 NC IM 2 N1 tNcl
лее, если I AD I == I DC I == а, 'N D I == х, то 
SMDC IMDI IDCI
a2x2 SM1. NB 'M 2 NI INDI (ax)x
 1. Наконец, == . == 2 < 1.
а 2 SAMD IMDI ADf а
А В
88. Если А, В, С  уrлы д АВС, то уrлы 6. АВ] равны 2' 2'
С
900 + 2 (рис. 25); следова тельно, искомое rеометрическое место
точек  пара треуrольников, две стороны KO
торых  отрезки прямых, а третья  дyrа,
являющаяся частью cerMeHTa, построенно
ro на А] и вмещающеrо уrол r::t/2.
89. Восставим к ВМ в точке М перпен
дикуляр; пусть Р  точка пересечения этоrо
перпендикуляра и перпендикуляра, восстав-
ленноrо к исходной прямой в точке В. По-
кажем, что величина I р В I постоянна. Пусть
L МВС == <р; через К и L обозначим основа-
ния перпендикуляров, опущенных из А и С
П 1MKI ,LМ!  k
на МВ. о условию IKA' + ,LC,  , Рис.2S
но , LC I == I ВС, sin ер, J АК I ==  ВА I sin <р.
3 IMK' ILMI == k <:> IBMI:tIBKI + IBMI+IBLI
на чит, , . + , .
I в А Sln <р I В с Sln q> , в А I sin <р I ве I sin ер
5* 131

==k<=> IBMI ( 1 + 1 ) + ( IBKI  IBLI ) ==k<=> 1 ВМ I ==
sin <р I ВА I 1 ВС 1  1 ВА 1 sin <р I ВС 1 sin <р sin <р
"'" k 1 В А I . 1 В С 1 <=> 1 РВ 1 "'" k 1 В А I . 1 В С I что
  и требовалось. Следова
1 ВА 1 + 1 ВС 1 1 ВА 1 + I ВС 1 '
тельно, искомое rеометрическое место точек  две окружно
сти, касающиеся прямой АС в точке В, с диаметрами, равными
k 1 ВА 1 . 1 ВС 1
IBAI+IBCI
90. Продолжим AQ за точку Q и возьмем на этом луче точку
1
М так, что IQMI==2IAQ1, и точку А 1 так, что IMA 1 1==IAMI; M
середина стороны ВС треуrольника АВ С; L СВА 1 == L ВСА,
L АВА 1 == 1800  L ВАС.
Следовательно, если мы построим на АМ, МА 1 и АА 1 как на диа
метрах окружности, то искомое rеометрическое место точек будет co
стоять из точек, расположенных вне первых двух и внутри третьей
окружностей.
91. Разберите 4 случая: треуrольник АВС  остроуrольный, один
из уrлов А, В или С  тупой. Во всех случаях можно выразить вели
чины уrлов треуrольника АВН через уrлы треуrольника АВС.
92. Если концы лучей не совпадают, то искомое rеометрическое
место точек состоит из частей следующих линий: биссектрис двух
уrлов, образованных прямыми, содержащими данные лучи, срединноrо
перпендику ляра к отрезку, соединяющему концы лучей, и двух парабол
(парабола есть rеометрическое место точек, равноудаленных от данной
точки и данной прямой). Если концы лучей совпадают, то искомое reo-
метрическое место точек состоит из биссектрисы yr ла, образованноrо
лучами, и части плоскости внутри уrла, образованноrо перпендикуля
рами, восставленными в концах лучей.
93. Пусть А  вершина уrла. Можно доказать, что центр окружно
сти, описанной около L::. М О N ,совпадает с точкой пересечения биссек
трисы АО и окружности, описанной около AMN. Пусть r.J.  величина
уrла, r  радиус окружности, К  середина АО. Возьмем на биссектри
r
се АО точки L и Р так, что 1 AL 1 == , 1 АР I ==
sin ( l + sin )
r 2 2
( . Искомое rеометрическое место точек состоит из
sm  lsin  )
отрезка KL (причем К не входит, L  входит в это множество) и луча,
лежащеrо на биссектрисе, с началом в Р.
94. Обозначим: 01, 02  центры окружностей, r1, r2  их радиусы,
М --- середина АВ, О  середина 0102. Имеем (по формуле длины
1
медианы, задача 1.11) 101М 12 ==  (2rI + 21 01В 12  1 АВ 12), 102М 12 :::;:
4
==  (2r + 21 02А 12  1 АВ 12), I 01 В 12 ==  (1010212 + 41 ОВ 12 --- 2r),
4 2
1
I 02 А 12 == 2( 1010212 + 41 ОА 12 --- 2r). Таким образом, 101М 12 ---
132

 1 О 2М 12 == rf  r, т. е. (задача 11.1) точки М расположены на перпен
дикуляре к 0102. Если окружности разноrо радиуса и не пересекаются,
то искомое rеометрическое место точек состоит из двух отрезков, по
лучающихся следующим образом: надо из отрезка с концами в cepe
динах общих внешних касательных выкинуть точки, расположенные
между серединами общих внутренних касательных (если М  точка
отрезка с концами в серединах общих внутренних касательных, то
прямая, проходящая через М перпендикулярно ОМ, не пересекает
окружности). В остальных случаях (окружности пересекаются или paB
ны) искомое rеометрическое место точек  весь отрезок с концами
в серединах общих внешних касательных.
95. а) Так как L FNB == 900, L CNM == 1350, L FNM == 450 (пред
полаrаем, что 1 АМ I > 1 МВ 1), то L FNC == 900 и С, N и В на одной
прямой и т. д.
б) Рассмотрим равнобедренный прямоуrольный треуrольник АВК
с rипотенузой АВ (К по друrую сторону от АВ, чем квадраты). Четы
рехуrольник AN ВК  вписанный, следовательно, L AN К == L АВК ==
== 450, т. е. N К проходит через М.
Искомое rеометрическое место точек есть средняя линия треуrоль
ника ALB, r де L  точка, симметричная точке К относительно АВ.
96. Пусть N  точка пересечения срединноrо перпендику ляра и ка-
сательной, О  центр окружности, R  ее радиус. Имеем: 1 ON 12 
INAI2==R2+IMNI2INAI2==R2. Таким образом, искомое [еоме-
трическое место точек  прямая, перпендикулярная ОА (задача 11.1).
97. Если 01 и 02  центры данных окружностей, Q1 и Q2  центры
окружностей, описанных около треуrольников АВС 1 и АВ 1 С, ТО
01 Q1 02Q2  параллелоrрамм. Прямая Q1 Q2 проходит через середину
отрезка О 1 02 (точка D). Вторая точка пересечения окружностей, опи-
санных около треуrольников АВС 1 и АВ 1 С,  симметрична точке А от-
носительно прямой Q1 Q2' Искомое rеометрическое место точек есть
окружность с центром в точке D и радиусом 1 AD 1.
98. Пусть О 1 И О 2  центры данных окружностей, r 1 и r 2  их pa
диусы. Рассмотрим два равнобедренных прямоуrольных треуrольника
с rипотенузой 0102  01020 И 01020'. Искомое rеометрическое место
точек есть два кольца с центрами О и О' и радиусами: внешним 
1/2 1/2
(r1 + r 2 ) и внутренним I r 1  r 2 1. Докажем это. Пусть М 
2 2
точка на окружности 01, N  на окружности 02' Если М 
фиксирована, а N пробеrает вторую окружность, то вершины прямых
yr лов равнобедренных прямоуrольных треуrольников описы-
1/2
вают две окружности радиуса 2r2, получающиеся из окружности 02
С помощью поворота BOKpyr М на уrол 450 (в одну и в дрyrую
сторону) с последующей rомотетией с центром в М и коэффициен-
том 1/2/2. Пусть Ом  центр одной из этих окружностей. Точка Ом
получена из 02 поворотом BOKpyr М в соответствую!Дем направлении
и rомотетией с центром в М и коэффициентом 1/2/2. Но О м мож-
но получить с помощью соответствующеrо поворота и rомотетии с
центром 02' Следовательно, коrда М описывает окружность 01,
133

Ом описывает окружность радиуса v2 rl с центром в О или О'.
2
99. Объединение трех построенных параллелоrраммов предста
вляет собой параллелоrрамм, описанный около данноrо треуrольника,
разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в KO
торых каждая из рассматриваемых диаrоналей делится друrой диаrо
налью, через отрезки сторон большоrо параллелоrрамма.
Если параллелоrраммы являются прямоуrольниками, то, парал
лельно перенеся две из трех рассматриваемых диаrоналей, образуем из
них треуrольник, равный данному; а это означает, что уrлы между ни
ми или равны соответствующим yrлам треуrольника, или дополняют
их до 1800. Искомое rеометрическое место точек есть окружность, про
ходящая через середины сторон данноrо треуrольника.
100. Докажем, что 1 АМ I == 1 cos L ВАС 1, rде D  точка пересе
IADI
чения АМ с окружностью. Пусть О  центр окружности, Р  cepe
дина ВС, К  середина АН. Треуrольники DOA и МКА подобны.
Значит, ,М А , == 1 АК I == ,ор 1 == 1 cos L ВАС 1. Искомое rеометриче
IAD' ,DO, 'ОВ'
ское место точек состоит из двух дyr, принадлежащим двум различ
ным окружностям.
101. Пусть Во и СО  середины сторон АС и АВ, ВВ 1 И СС 1 ---
высоты, К --- середина DE (рис. 26), GK и CoN перпендикулярны АВ,
IMLI IGC 1 1 IKPt
ВоМ перпендикулярна АС. Тоrда  
INMI IС о С 1 1 fC O C 1 1
IDCI
== (последнее равенство следует из подобия треуrольников DCE
'ВС'
и АВС, К, Р и С о' С 1  соответствующие точки в этих треуrольниках).
А
в
о
с
Рис. 26
Точно так же срединный перпендикуляр к DF пересекает MN в точке
INL 1 1 IBDI
L 1 такой, что I N М 1 == I ВС l ' т. е. точки L и L 1 совпадают.
Искомым rеометрическим местом точек является прямая MN.
134

102. Очевидно, что любая точка любой высоты треуrольника АВС
принадлежит искомому rеометрическому месту точек. Покажем, что
друrих точек нет. Возьмем точку М, не лежащую на высотах треуrоль
ника АВС. Пусть прямая ВМ пересекает высоты, опущенные из Bep
шин А и С соответственно в точках М 1 И М 2' Если бы для всех трех
точек М l' М 2 И М выполнялось условие задачи, то имели бы место ра-
венства L МАМ 1 == L МСМ 1, L МАМ 2 == L МСМ 2 И тоrда пять точек
А, М, М 1 , М 2 И точка С 1 , симметричная С относительно прямой ВМ,
лежали бы на одной окружности, что невозможно.
103. Заметим, что если через М проходит какаялибо прямая 1,
обладающая нужным свойством, то существует или прямая [1' прохо
дящая через М и какуюлибо вершину треуrольника, или прямая 12'
проходящая через М перпендикулярно какойлибо стороне треуrольни
ка, обладающая этим же свойством. В самом деле. Пусть прямая
[ пересекает стороны АВ и СВ треуrольника АВС в точках Со и Ао
и точка В 1, симметричная В относительно [, внутри 6. АВС. Будем
вращать [ BOKpyr М так, чтобы В 1 приближалась по дуrе COOTBeT
ствующей окружности к АВ или ВС до тех пор, пока точка Со
или Во не совпадет с вершиной С или А (получим прямую 11)
или В 1 не попадет на соответствующую сторону (получим пря
мую [2)' Обозначим через iJ. множество точек нашеrо треуrольника, pac
положенных внутри четырехуrольника, оrраниченноrо биссектриса
ми к меньшей и большеЙ стороне треуrольника и перпендикуля
рами, восставленными к меньшей и большей стороне в их серединах.
(Если данный треуrольник  равнобедренный, то iJ.  пусто. Во
всех остальных случаях iJ.  четырехуrольник или пятиуrольник.)
Искомое rеометрическое место точек состоит из всех точек треуrоль
ника, исклю чая внутренние то чки iJ..
105. Имеем: 1 МВ 12 == а 2 + с 2 cos 2 А == а 2 + с 2  с 2 sin 2 А == а 2 + с 2 
 а 2 sin 2 С == с 2 + а 2 cos 2 С == 1 N В 12.
107. Докажите, что точка, симметричная точек пересечения высот
треуrольника относительно стороны треуrольника, лежит на описан
ной окружности.
109. Пусть Н  точка пересечения высот 6. АВС, AD  высота, К,
L" М, N  проекции D на АС, СН, НВ и ВА соответственно. Восполь
зуйтесь тем, что К и L лежат на окружности с диаl\.1етром CD, L и
М  на окружности с диаметром HD, М и N  на окружности с диаме
тром DB.
111. Докажите, что радиус окружности, описанной около paCCMa
триваемоrо треуrольника, равен радиусу данных окружностей, а эти
окружности симметричны описанной окружности относительно сторон
треуrольника.
112. Пусть ABCD  данный прямоуrольник, К, L, М и N на
прямых АВ, ВС, CD и DA соответственно, Р 1  вторая точка пересече
ния прямой IN с описанной около ABCD окружностью (первая
точка  Р). Тоrда ВР1 11 KN, P 1 D 11 LM и L BP 1 D == 900. Значит,
KN 1.. LM. Кроме Toro, LN 1.. КМ; таким образом, N  точка пересе
чения высот 6. KLM. Пусть теперь, для определенности, L и N внутри
сторон ВС и DA. Обозначим I АВ I == а, I ВС I == ь, I КР I == х, I Р N I == у.
135

Прямая KN делит BD в отношении (а + у) х , считая от вершины В.
(Ь  х) у
В таком же отношении разделит BD и прямая LM.
113. Отрезки I АР 1, 1 BQ I и 1 CR 1 можно выразить через стороны
Ьс
треуrольника, например: I АР 1 == .
Ь+с
114. Пусть М  середина AD. Проверьте, что 1 вр 12 + I F М 12 ==
==IBMI 2 .
115. Проведите через D прямую, перпендику лярную биссектрисе
уrла А, обозначьте точки ее пересечения с АВ и АС через К и М и дo
Ь+с
кажите, что 1 АК 1 == I АМ 1 == 2 . Поскольку 1 АС 1 1 == 1 АВ! 1 == р  а,
I АС 2 1 == 1 ВС 2 1 == р (р  полупериметр 6. АВС, а, Ь, с  ero стороны), то
точки К и М будут серединами отрезков С 1 С 2 и В 1 В 2 .
116. Докажите, что 1 образует с AD такие же yr лы, что и прямая
ВС, касающаяся нашей окружности. Отсюда следует, что друrая Ka
сательная к окружности, проходящая через D, будет параллель
на 1.
117. Построим окружность, касающуюся прямых MN, АС и ВС
таким образом, чтобы точки касания Р и Q с прямыми АС и ВС были
вне отрезков СМ и CN (это будет окружность, вневписанная в Tpe
yrольник MCN). Если R  TOKa касания MN с окружностью, то
IMPI==IMRI, INQI==INRI, следовательно, IMNI==IMPI+INQI; но
по условию 1 MN 1 == 1 МА 1+ 1 NB 1. Таким образом, одна из TO
чек Рили Q лежит внутри соответствующей стороны, а дpy
1
rая  на продолжении. При этом 1 СР 1 == 1 CQ 1 == (I СР 1 + I CQ 1) ==
1 2
== 2(1 АС 1 + 1 СВ 1), т. е. построенная окружность постоянна для
всех прямых.
118. Если О  центр Kpyra, описанноrо около 6. АВС, D 
середина СВ, Н  точка пересечения высот, L  середина АН, то
1 AL 1 == 1 OD 1 и, поскольку AL 1,1 OD, то OL делит AD пополам, т. е. L
симметрична О относительно середины AD.
119. Пусть BD  высота треуrольника, причем 1 BD 1 == R V2, [де
R  радиус описанноrо Kpyra, К и М  основания перпендикуляров,
опущенных из D на АВ и ВС, О  центр описанноrо Kpyra. Если уrол
С  острый, то L КВа == 900  L С. Поскольку четырехуrольник
BMDK  вписанный, то L MKD == L DBM == 900  L С. Значит,
L МКВ == 1800  900 --- (900 --- L С) == L С; следовательно, ВО.1 КМ. Но
SBKM ==  1 BD 12 sin А sin В sin С == R 2 sin А sin В sin С ==  SАВС'(МЫВОС
2 2
пользовались формулой S == 2R 2 sin А sin В sin С.) С друrой стороны, ec
1
ли h 1 --- высота 6. ВКМ, проведенная из вершины В, то  S ==
2
1 1 1
== 41 АС 1.1 BD 1 == SBKM == 21 КМ 1 h 1 == 2 1BD 1 h 1 sinB, значит, h 1 ==
136

IACI
== R; учитывая, что BO.l КМ получаем, что точка О лежит
2 sin В
на КМ.
120. Заметим, что 6 ADK подобен 6 АВК, поскольку I АК 12 ==
== 1 АС 12 == 1 AD I.IAB 1. Если О  центр окружности, описанной около
6 АВК, то L OAD + L ADK == 900  L АКВ + L ADK == 900 (предпола
rалось, что LAKB  острый; если L АКВ  тупой, то рассуждения
аналоrичны).
121. Докажите, что прямая, параллельная ВС и проходящая через
Е, делит биссектрису уrла А в том же отношении, в каком ее делит
биссектриса уrла С.
122. Если О  вершина уrла, А  точка на биссектрисе, В 1 и В 2 
точки пересечения со сторонами уrла одной окружности, С 1 И С 2 (В 1 И
С 1  на одной стороне)  точки пересечения друrой окружности, то
6 АВ 1 С 1 == 6 АВ 2 С 2 .
123. Воспользуйтесь тем, что общая хорда двух окружностей,
проходящих через А, А 1 И В, В 1, проходит через D (задача
11.18).
125. Если О  центр окружности, описанной около D. АМ В,
то L МАВ == 900  L ОМВ == L ВМС  1800. Таким же будет и
L М АС.
126. Нетрудно доказать, что рассматриваемые окружности пересе
каются в одной точке. Обозначим ее через Р. В случае расположения
точек, указанноrо на рис. 27, L РВ 2 М == 1800  L ВВ 2 Р == L РС 1 В ==
== 1800  L РС 1 А == L РВ 1 А == L РА 2 А == 1800  L РА 2 М, т. е. точки Р,
В
с'
Рис. 27
В 2 , М И А 2 лежат на одной окружности. Точно так же докажем, что на
одной окружности лежат точки Р, В 2 , М, С 2 , а следовательно, пять то-
чек Р, М, А 2 , В 2 , С 2 лежат на одной окружности.
127. Докажите, что стороны треуrольника А 1 В 1 С 1 параллельны
соответствующим сторонам треуrольника АВС.
128. Докажите, что при перемещении прямой KL центр описанной
около KLВ 1 окружности описывает прямую линию.
. 129. Докажите, что любые два отрезка делятся пополаl\{ своей
точкой пересечения.
137

130. Если
KN  перпендикуляр из К на АВ,
\1.
I АО 1  21 OMlsin
2
IA01
L С АВ == \1., то
IKNI IAKI IAOIIKOI
 
IOMI IAOI IAOI
\1.
1АОI  2lAOlsin2
2 1 CDj
== cos \1. == Поскольку 6. АСВ и 6. ACD
IAOI ICBI
подобны, то из предыдущеrо следует, что KN равен радиусу окружно"
сти, вписанной в D. ACD, а так как К лежит на биссектрисе уrла А, то
К  центр окружности, вписанной в D. ACD. Аналоrично доказатель..
ство дЛЯ L.
131. Обозначим через С 1 И А 1 середины АВ и ВС, В' и А'  точки
касания вписанной окружности с АС и ВС. Пусть, для определенности,
с  Ь (с и Ь  стороны 6. АВС), тоrда биссектриса уrла А пересекает
cb
, а прямая В' А'
продолжение С 1 А 1 В такой точке К, что I А 1 К I ==
2
должна пройти через ту же точку К, поскольку треуrольники КА 1 А'
и А'В'С равнобедренные, 1 А'С1 == I В'С 1, 1 А 1 К 1== 1 А 1 А' 1, L А'А 1 К ==
== L А'СВ'.
132. Рассмотрим уrол с вершиной А. На одной стороне уrла
взяты три точки  В 1, Б 2, Б з, а на друrой  С 1, С 2, С З' ИЗ теоремы Ме..
нелая (задача 11.45, примечание) следует, что для Toro чтобы прямые
В 1 С 1 , В 2 С 2 , ВзС з пересекались в одной точке, необходимо и достаточ..
но выполнения равенства
АВ 2 CC2 АВ з С 1 С З

В 2 В 1 С 2 А В З В 1 СзА
(отношения понимаются в смысле, указанном в примечании). В самом
деле, если равенство (1) выполняется, то из теоремы Менелая будет
следовать, что ПрЯIе В 2 С 2 и ВзС з пересекают сторону Б 1 С 1 тре..
уrольника АВ 1 С 1 в одной точке.
133. Проведем через А прямую, параллельную ВС, и обозначим
через К и L точки ее пересечения с А 1 С 1 И А 1 В 1 соответственно.
Имеем: IKAI == IAC 1 1, ICB 1 1 == IА1СI .АпотеоремеЧевы(задача
IБА 1 1 IC 1 BI IB1AI 1ALI
IAC 1 1 IBA 1 1 ICB 1 1
11.44) . . == 1, значит, f КА 1== 1 AL 1. Но, если АА 1 
IC 1 BI IA 1 CI IB1AI
биссектриса уrла KA 1 L, то, поскольку 1 КА 1 == 1 ALI, АА 1 перпендику"
лярна KL, т. е. АА 1  высота 6. АВС.
134. Пусть К  точка пересечения АА 1 и ВВ 1 , Н  точка пересече..
пия высот треуrолъника АВС. Точки А, К, Н и В лежат на одной
окружности (уrлы АКВ и АНБ либо равны, либо в сумме дают 1800,
в зависимости от Toro, как расположены точки К и Н, по одну сторо"
ну от прямой АВ или по разные). Радиус этой окружности равен R 
радиусу окружности, описанной около 6. АВС. Если ер  уrол между
АА 1 и АН, то 1 КН 1== 2R sin!p.
135. Пусть Н  точка пересечения высот треyrольника А 1 В 1 С l'
Точки А 1 , Н, В 1 И С лежат на одной окружности, точки В 1 , Н, С 1 И
(1)
138

А  также лежат на одной окружности, причем радиусы этих окружно-
стей равны, yrлы НВ 1 С и НВ 1 А или равны или дополняют друr друrа
до 1800. Следовательно, IHAI == IHCI. Обратное утверждение неверно.
Для каждой точки А 1 на прямой ВС существует, вообще rоворя, два
треуrольника А 1 В 1 С 1 и А 1 В;С; (В 1 и В;  на АС, С 1 и С;  на АВ),
точки пересечения высот которых совпадают с центром описанной
около  АВС окружности, причем один из них подобен  АВС, а
друrой  нет. Так, например, если АВС  правильный треуrольник,
А 1  середина ВС, то в качестве В 1 и С 1 можно взять середины АС
и АВ, а в качестве В; и С;  точки на продолжении АС и АВ за С и В,
1 СВ; 1 == 1 СВ 1, 1 ВС; 1 == 1 ВС 1. Обратное утверждение будет верным, ec
ли потребовать, чтобы точки А 1, В 1 И С 1 были расположены на CTOpO
нах  АВС, а не на их продолжениях.
136. Докажем, что центр искомой окру)кности совпадает с OpTO
центром (точкой пересечения высот). Пусть BD  высота, Н  точка
пересечения высот, а К и L  середины построенных отрезков, BЫ
ходящих из вершины В, 1 ВК 1 == t BLI == [, м  середина BD. Тоrда
 КВ 12 == I LH t 2 == I м Н 12 + I КМ 12 == [2  1 ВМ 12 + I м Н 12 == [2  1 BD 12 +
+(IBHI ,в;, У 12+IBHI2IBНI.IBDI12IBHI.IHDI.4 Нам
осталось доказать, что произведения отрезков высот, на которые Ka
ждая делится их точкой пересечения, равны. Проведем высоту АЕ.
Ввиду подобия  ВНЕ и  AHD имеем: 1 ВН 1.1 HD 1 == 1 АН 1.1 НЕ 1, что
и требовалось. .
137. Обозначим (рис. 28): 1 ВС 1 == а, 1 СА 1 == ь, 1 АВ 1== С. Проведем
через центр вписанной окружности прямые, параллельные АВ и ВС, дО
пересечения с АК и КС в точках Р и Q; в треуrольнике OPQ имеем:
L POQ == L АВС, 1 OQ 1 == р  с, 1 ОР 1 ==
== р  а, [де р  полупериметр д АВС.
Но по условию L NBM == L АВС,
1 N В 1 == р  а, 1 м В 1 == р  с. Следова
тельно,  POQ ==  NBM. Если на пря-
мой ОР взять М 1 так, что 1 ОМ 1 1 ==
== 1 OQ 1, а на OQ  точку N 1 так, что
ION 1 1 == IOPI, то  ON 1 M 1 ==  NBM и
соответствующие стороны ВМ и ОМ 1,
BN и ON 1 окажутся соответственно
параллельными. Значит, N 1М 1 11 N м. Дo
кажем, что OK.l N iM 1, так как в четырех А {}
уrольнике OPKQ два противоположных
уrла прямые, то он вписанный, следова-
тельно, L ОКР == L OQP. Далее, L КОР +
+ LOM 1 N 1 == LKOP + LOQP ==
== L КОР + L ОКР == 900, а это значит, Рис. 28
что OK.l M 1 N 1 .
138. Пусть для определенности Р лежит на дуrе АС. Точки А, М,
Р, N лежат на одной окружности, значит, L NMP == L NAP. Аналоrич
но, Р, М, Q, С  на одной окружности, L PMQ == 1800  L PCQ ==
== 1800  L Р AN == 1800  L PMN.
139

139. Пуеть АВС .... данный треуrольник (рис. 29), Н .... точка пересе
чения ero высот. Заметим, что точки, симметричные Н относительно
ero сторон, лежат на окружности, описанной около треуrольника АВС
(см. задачу 11.107). Если Н 1 .... точка, симметричная Н относительно
Рис. 29
стороны ВС, то прямая 11' симметричная 1 относительно той же CTO
роны, проходит через Н l' При повороте 1 BOKpyr Н на уrол q> прямая
11 повернется BOKpyr Н 1 на тот же уrол q> в противоположном напра
влении. Следовательно, если р.... вторая точка пересечения прямой 11
с описанной окружностью, то радиус О Р (о .... центр описанной окруж
ности) повернется на уrол 2q> BOKpyr О в соответствующем направле
нии. Те же рассуждения справедливы и для двух друrих прямых, сим
метричных 1. Но если 1 совпадает с какойлибо высотой треуrольника,
то утверждение задачи очевидно (точка Р совпадет с соответствующей
вершиной треуrольника). Следовательно, это утверждение справедливо
Bcer да.
140. Пусть точки А, В, С и М в декартовой системе коорди
нат имеют координаты соответственно (Х1, У1), (Х2, У2), (хз, Уз), (х, у),
( х 1 + Х2 + ХЗ
В координаты точки G .... 3 '
/1з Уl + У; + Уз ). Тоrда справедливость
доказываемоrо утверждения следует
( х 1 + Х2 + ХЗ ) 2
из тождества 3 х.... 3 ....
== (х .... х 1)2 + (х .... Х2)2 + (х .... хз)2 ....
 +xl  xz)Z + (xz  хз)z + (хз  хl)'
и аналоrичноrо соотношения для op
динат.
141. Рассмотрим случай, Kor да
точка М (рис. 30) лежит внутри тре-
уrольника АВС. Повернем треуrольник АВМ BOKpyr А на yrол 600
так, чтобы В перешла в С. Получим треуrольник АМ 1 С, равный
д АВМ, д АМ М 1 .... прав ильный, следовательно, стороны д СМ М 1
равны отрезкам МА, МВ, МС. Аналоrично получим точки М 2 И М з .
Площадь шестиуrольника АМ 1 СМ З ВМ 2 равна удвоенной площади
д АВС, т. е. равна а 2 у'З/2. С друrой стороны, площадь этоrо шести-
А
с
/12
111
Рис. 30
140

уrольника складывается из трех правильных треуrольников: АМ М l'
СМ М з' ВМ М 2 и трех треуrольников, равных искомому. Следователь
vз vз
но, 3S + (1 МА 12 + 1 МВ 12 + 1 MCI2) == a2. Воспользовавшись pe
4 2
зультатом задачи 11.140, получим: 38 + (3а 2 + а 2 ) vз  а 2 VЗ , откуда
4 4
VЗ
S == (a2  3d 2 ). Аналоrично рассматриваются друrие случаи распо-
12
ложения точки М.
142. Воспользуйтесь результатами задач 11.141 и 11.6. Искомое reo
метрическое место вообще rоворя, состоит из прямой и окружности.
143. Пусть (рис. 31, а) О  центр описанной, а 1  центр вписанной
окружности. Опустим из О и 1 перпендикуляры на АВ и ВС; ON, ОР,
о
о
8,
А
с
1
5
а
Рис. 31
1L, 1Q. Если а, Ь, с  соответственно длины сторон ВС, СА и АВ, а р 
полупериметр D. АВС, то 1 ВК 1 == 1 с  Ь 1, 1 ВМ 1 == 1 а  Ь 1, 1 BN 1 == с/2,
1 1
IBPI==a/2, IBLI==IBQI==pb, INLI==2Iabl, IPQI==2Icbl (см.
задачу 1.18). Следовательно, если провести через О прямые, парал
лельные сторонам АВ и ВС дО пересечения с перпендикулярами, опу
щенными из 1, то получится D. ORS, подобный D. ВКМ, с коэффициен
том подобия 1/2. Но окружность, построенная на 01 как на диаметре,
является описанной для D. ORS. Следовательно, радиус окружности,
описанной около D. ВКМ, равен 01. Для доказательства второй части
задачи заметим, что если на прямой OS отложить отрезок OR 1 ,
равный OR, а на OR отложить отрезок OSl' равный OS, то прямая
Sl R l будет параллельна КМ (рис. 31, б); но L OR 1 S 1 + L 10R 1 ==
== L ORS + L 10S == 900, т. е. SlRll. 01.
144. В обозначениях предыдущей задачи проведем через А нря
мую, перпендикулярную 01, обозначим через D ее точку пересечения
с прямой ВС. Докажите, что разность радиусов окружностей, опи
санных около треуrольников ABD и ACD, равна радиусу окружности,
описанной около треуrольника ВКМ.
145. Пусть стороны треуrольника равны а, Ь и с, причем Ь ==
== (а + с)/2.
141

1
а) Из равенства pr ==  bh b (р  полупериметр, r  радиус вписанно
2
1
ro Kpyra, h b  высота, опущенная на сторону Ь) получаем:  (а + Ь +
2
1
+ с) == bhb; но а + с == 2Ь, так что h ь == 3r.
2
1
б) Это утверждение следует из Toro, что r ==  h b , а точка пересече
3
ния медиан делит каждую медиану в отношении 2: 1.
в) Продолжим биссектрису BD дО пересечения с описанной окруж
ностью в точке М. Если доказать, что О  центр вписанной
окружности  делит ВМ пополам, то тем самым будет доказано и Ha
ше утверждение. (Проведем диаметр BN, тоrда прямая, соединяющая
центры вписанной и описанной окружностей, будет параллельна NM, а
L BMN == 900.) Но 6. СОМ  равнобедренный, так как L СОМ ==
1
== L ОСМ == (L С + L В). Значит, 1 СМ 1 == 1 ОМ 1. Из условия Ь ==
2
== (а + с)/2 по свойству биссектрисы получаем, что 1 CD 1 == а/2. Пусть
К  середина СВ; 6. СКО == 6. CDO (1 СК 1== 1 CD 1, L КСО == L OCD);
отсюда следует: L ВКО == L CDM, кроме Toro, L DCM == L ОВК ==
== L В/2, 1 CD 1 == 1 ВК 1, т. е. 6. ВКО == 6. CDM, 1 СМ 1== 1 ВО 1, значит,
1 ВО I == 1 О м 1, что и требовалось.
r) Возьмем любую точку на биссектрисе. Пусть расстояния до
1
сторон ВС и ВА равны х, а до стороны АС  у. Имеем: (ax + сх +
2
+ Ьу) == 8  => ь (2х + у) == 28  => 2х + у == h b ,
д) Если L  середина ВА, то нужный нам четырехуrольник [OMOTe
тичен четырехyrольнику ВСМА с коэффициентом 1/2 (см. пункт в).
146. Пусть N  точка пересечения общей касательной с ВС. Нам
достаточно проверить, что IFNI.INGI == IKNI.INMI == IDNI.INEI.
Все отрезки леrко вычисляются, поскольку 1 BD I == 1 СЕ 1 == р  ь,
IDNI r pa
1 DE 1 == 1 ь  с 1, ==  == (ra  радиус окружности, касаю
INEI ra Р
щейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), и т. д.
147. Проведем через вершины треуrольника АВС прямые, парал
лельные противоположным сторонам. Они образуют 6. А 1 В 1 С 1 , подоб-
ный 6. АВС; он получается из 6. АВС с помощью rомотетии, центр
которой  в общем для 6. АВС и 6. А 1 В 1 С 1 центре тяжести, а коэффи
циент равен  2. Точка пересечения высот для l:::.. АВС является цeH
тром описанной около 6. А 1 В 1 С 1 окружности. Следовательно, точкИ
О (центр описанной окружности) ,G (центр тяжести) и Н (точка пересе
1
чения высот 6. АВС) лежат на одной прямой, причем t OG 1 ==  1 GH 1,
2
G  на отрезке ОН.
148. В остроуrольном треуrольпике прямая Эйлера пересекает
наибольшую и наименьшую стороны. В тупоуrольном  наибольшую
и среднюю.
142

150. Покажите, что требуемым свойством обладает такая точка
Р на прямой Эйлера, для которой I РО 1== I ОН I (О  центр описанноrо
Kpyra, Н  точка пересечения высот); при этом для каждоrо треуrоль-
ника расстояние от центра тяжести до противоположной вершины ис-
4
ходноrо треуrольника равно R, rде R  радиус окружности, описан-
3
ной около /:;:,. АВС, а прямая, проходящая через центр тяжести это-
ro треуrольника и противоположную вершину исходноrо, проходит
через О.
151. Пусть С 1  центр описанной около /:;:,. АРВ окружности, а
С 2  точка, симметричная С 1 относительно АВ. Ана!10rично для тре-
уrольников ВРС и СРА определим точки А 1 и А 2 , В 1 И В 2 . Поскольку
треyrольники АС 1 В, АС 2 В, ВА 1 С, ВА 2 С, СВ 1 А, СВ 2 А равнобедренные,
с уrлами при вершинах по 1200, то треyrольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 
правильные (см. задачу 11.296). Подсчитав уrлы четырехуrольников
с вершинами Р, А 2 , В 2 , С 2 , можно доказать, что эти точки (Р, А 2 , В 2 ,
С 2 ) лежат на одной окружности. Далее, если Н  точка пересечения вы-
сот треуrольника АРВ, то, поскольку I РН 1== I С 1 С 2 1 и, значит,
РНС 2 С 1  параллелоrрамм, прямая С 1 Н (прямая Эйлера треyrольника
АРВ) проходит через середину РС 2 . Но РС 2  хорда окружности с цен-
тром С 1 , следовательно, С 1 Н перпендикулярна РС 2 . Таким образом,
три наших прямых Эйлера совпадают с серединными перпендикуляра-
ми отрезков РС 2 , РВ 2 и РА 2 , а поскольку точки Р, А 2 , В 2 , С 2 лежат на
одной окружности, то эти прямые пересекаются в ее центре  центре
правильноrо треуrольника А 2 В 2 С 2 . Из результата задачи 11.296 сле-
дует, что эти три прямые Эйлера пересекаются в точке пересечения ме-
диан треуrольника АВС.
152. Пусть АВС  данный треуrольник, стороны KOToporo а, Ь и с,
причем а  Ь  С, А 1 , В 1 , С 1  точки касания вписанной окружности,
1  центр вписанной, О  центр описанной окружности. Поскольку 1 по
отношению к /:;:,. А 1 В 1 С 1 является центром описанной окружности, то
достаточно доказать, что прямая 10 проходит через точку пересечения
высот дА 1 В 1 С 1 . Отложим на лучах АС и ВСотрезки АК и BL,
I АК 1== I BLI == с, а на лучах АВ и СВ  отрезки АМ и CN, I АМ 1==
== t CN 1== Ь. Как известно (см. задачу 11.143), прямая 10 перпендику-
лярна LК. и MN, значит, LK 11 MN. Обозначим: L KLC == L BNM == <р.
По теореме синусов для треуrольников KLC и BNM
I LC I а  с sin (<р + С)
 
'КСI bc
I BN I а  Ь
 
t м В , Ь  с Sln <р
Проведем теперь в треуrольнике А 1 В 1 С 1 высоту на сторону В 1 С l'
Пусть Q  точка ее пересечения с прямой 10. Нужно доказать, что Q 
точка пересечения высот /:;:,. А 1 В 1 С 1 . Но расстояние от 1 дО В 1 С 1 есть
I lА 1 1 cos А 1 == r sin. Значит, должно выполняться равенство I A 1 Q 1==
2
== 2r sin. Уrлы /:;:,. QIAl можно выразить через уrлыI д АВС и <р,
2
(1)
sln <р
sin (В  <р)
(2)
143

LBLC
а именно: L QIA 1 == 1800  <р, L QA 1 1 == . Нужно доказать,
2
. А sin <р . . .
что 2 Sln  == ( <=> Sln (<р + С)  Sln (В  <р) == Sln <р. По
2 BC )
Sln <р  2
след нее равенство следует из (1) и (2).
153. При доказательстве используется тот факт, что если из Ka
койлибо точки Р опустить перпендикуляры РК и PL на прямые, пере
секающиеся в точке М, то Р, К, L и М будут лежать на одной
окружности *).
154. Воспользуйтесь результатом задачи 1.246.
156. Расстояние между проекциями М на АС и ВС равно
1 СМ 1 sin С. Если К и L  проекции М на АВ и ВС, то проекция АВ на
прямую KL (это и есть прямая Симсона) равна I АВ 11 cos L BKL I ==
== I АВ 11 cos L BMLI == 1 АВ 1 sin L СВМ == I СМ 1 sin С.
157. Докажите, что стороны треуrольников А 1 В 1 С 1 , А 2 В 2 С 2 И
АзВзС з соответственно параллельны.
158. Докажите, что прямая Симсона, соответствующая А 1 , перпен
дикулярна В 1 С 1 (то же и для друrих точек). Далее, можно доказать,
что прямая Симсона, соответствующая точке А 1 проходит через cepe
дину А 1 Н, [де Н  точка пересечения высот треуrольника АВС (см.
также решение задачи 11.166). Следовательно, прямые Симсона
являются высотами треуrольника, вершины KOToporo  середины OT
резков А 1 Н, В 1 Н, С 1 Н. 3 а м е ч а н и е. Можно доказать, что для про
извольных точек А 1, В l' С 1 прямые Симсона этих точек относительно
треуrольника АВС образуют треуrольник, подобный треуrольнику
А 1 В 1 С l' при этом центр описанной около Hero окружности совпадает
с серединой отрезка, соединяющеrо точки пересечения высот треуrоль
ников АВС и А 1 В 1 С 1 .
159. Прежде Bcero нужно проверить справедливость следующеrо
утверждения: если перпендикуляры, восставленные к сторонам (или
продолжениям сторон) треyrольника в точках пересечения снекоторой
прямой пересекаются в одной точке М, то М лежат на окружности,
описанной около треуrольника. (Это утверждение является обратным
по отношению к утверждению задачи, 153). Рассмотрим параболу у ==
k 2
== ах 2 . Произвольная касательная к ней имеет вид: у == kx   (Kaca
4а
тельная имеет единственную общую точку с параболой, значит, ди
скриминант уравнения ах 2 == kx + Ь равен нулю). Эта каса тельная пере
k .
секает ось х в точке х ==. Перпендикуляром к касательной в этой
4а
точке будет прямая у ==   ( x   ) ::I::   +. Следовательно,
k 4а k 4а
*) Более подробно о семействе прямых Симсона можно прочесть
в книrе: В а с и л ь е в Н. Б., r у т е н м а хер В. л. Прямые и
кривые.  М.: Наука, 1978.
144

все такие перпендикуляры проходят через точку (о; 4 ) (фокус пара-
болы). Теперь воспользуемся замечанием, сделанным в начале реше
ния.
160. Пусть АВС  данный треуrольник, Н  точка пересечения ero
высот, А 1 , В 1 , С 1  середины отрезков АН, ВН, СН; АА 2  высота,
Аз  середина ВС. Будем считать для удобства, что АВС 
остроуrольный треуrольник. Поскольку L В 1 А 1 С 1 == L ВАС и
D. В 1 А 2 С 1 == D. В 1 НС 1 , то L В 1 А 2 С 1 == L В 1 НС 1 == 1800  L В 1 А 1 С 1 , т. е.
точки А 1 , В 1 , А 2 , С 1 лежат на одной окружности. Также леrко видеть,
что L В 1 А З С 1 == L В 1 НС 1 == 1800  L В 1 А 1 С 1 , т. е. точки А 1 , В 1 , Аз, С 1
тоже лежат на одной (а значит, на той же) окружности. Отсюда следует,
что все 9 точек, о которых rоворится в условии, лежа т на одной
окружности. Случай тупоуrольноrо треуrольника АВС рассматривает
ся аналоrично. Заметим, что окружность девяти точек rомотетична
описанной окружности с центром в Н и коэффициентом 1/2. (Именно
так расположены треуrольники АВС и А 1 В 1 С 1 ). С друrой стороны,
окружность девяти точек rомотетична описанной окружности с цeH
тром в точке пересечения медиан треуrольника АВС и коэффициентом
 1/2. (Именно так расположены треуrольники АВС и треуrольник
с вершинами в серединах ero сторон.)
161. Наше утверждение следует из Toro, что D лежит на окружно
сти девяти точек, а эта окружность rомотетична описанной окружно
сти С центром в Н и коэффициентом 1/2. (см. задачу 11.160).
162. Наше утверждение следует из Toro, что Е лежит на окружно
сти девяти точек, а эта окружность rомотетична описанной окружно
сти с центром в М и коэффициентом  1/2 (см. задачу 11.160).
163. Это расстояние  полусумма расстояний дО ВС точки пересе
чения высот Н и центра описанноrо Kpyra, а последнее равно половине
IHAI.
164. Пусть Мо  середина НР, Ао  середина НА, Ао, А 1 и Мо ле
жат на окружности девяти точек. Следовательно, М также лежит на
этой окружности, поскольку из условия задачи следует равенство
1 МоН 1.1 НМ 1 == 1 АоН 1.1 НА 1 1 и Н одновременно или внутри или вне
каждоrо из отрезков МоМ и АоА1'
165. Докажем, что М и N находятся на соответствующих средних
линиях треуrольника АВС. Если Р  середина АВ, то L М Р А ==
== 2L АВМ == L АВС == L APL. Пусть, для определенности, АВС 
остроуrольный треуrольник, L С  L А, тоrда L MNK == 1800 
 L KNB == L КСВ == L MLK (воспользовались тем, что точки К, N,
В и С на одной окружности, а также тем, что ML параллельна ВС).
Значит, М, L, N и К на одной окружности. Далее, L LMK == L РМВ +
1 1
+ LNMK==LB+ LBMK==LB+ LA. Если OцeHTp окруж
2 2
ности, описанной около D. LM К, то
L ШК == 2 L LMK == L В + 2 L А == 1800  L С + L А == 1800 
 L LPK (LLPK== L АРК  L APL== 1800 2 L А  L В == L С  L А),
т. е. О лежит на окружности, проходящей через L, Р и К, а это
и есть окружность девяти точек.
145

166. Поскольку середина F Н лежит на окружности девяти точек
(см. задачу 11.160), то достаточно показать, что и прямая Симеона, co
ответствующая точке Р, делит РН пополам. Пусть К  проекция F на
какуюлибо сторону треуrолъника, D  основание высоты, проведенной
к той же стороне, Н 1  точка пересечения этой высоты с описанной
окружностью, I Н 1 D I == 1 HD I (см. задачу, П.107, решение), L  точка
пересечения прямой Симсона с той же высотой и, наконец, М  точка
на прямой НН 1 , дЛЯ которой РМ 11 KD; тоrда  РМН 1 ==  KDL
(IFMI==IKDI), оба прямоуrольные и LDLK==LMH 1 F, поскольку
высота треуrольника является прямой Симсона, соответствующей вер-
шине, из которой она выходит, и можно воспользоваться утвержде

нием задачи 11.154. Нетру дно также показа ть, что направления Н 1 М

И DL совпадают, т. е. FKHL па-
раллелоrрамм, отку да и следует
наше утверждение.
167. На рис. 32 О  центр опи
санной окружности, А 1 , В 1 , С 1 
середины сторон, L и К  проек-
ции А и В на 1, М  точка пересе
чения прямых, проходящих через L
и К перпендикулярно ВС и СА. Tpe
уrольник АВС, дЛЯ определенно
сти,  остроуrольный треуrольник.
Докажем сначала, что С 1 является
центром окружности, описанной
около  KLM. Точки А 1 , О, К, С 1 ,
В  на одной окружности. Следова
тельно, L C 1 KL == L ОА 1 С 1 == 90°  L С, точно также L C 1 LК == 90° 
 L С. Значит, 1 КС 1 1==1 C 1 LI, L LC 1 K == 2 L С, а поскольку L KML ==
== L С, наше утверждение доказано. Далее, КМ перпендикулярна А 1 С 1 ,
I КС 1 1 == I С 1 М 1, значит, L С 1 МА 1 == L С 1 КА 1 == 180°  L В, то есть М
лежит на окружности, описанной около А 1 В 1 С 1.
168. Обозначим через Н точку пересечения высот треуrольника
АВС, а через А 2 , В 2 , С 2  середины отрезков АН, ВН, СН. Заметим,
что треуrольники АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С подобны между собой (co
ответственные вершины обозначены одинаковыми буквами), причем
А 2 , В 2 и С 2  соответственно центры описанных около них окружно
стей. Докажем сначала следующее утверждение: три прямые, проходя
щие через точки А 2 , В 2 И С 2 И одинаково расположенные относительно
треуrольников АВ! С 1 , А 1 ВС 1 , АВ 1 С 1 , пересекаются в одной точке на
окружности девяти точек. Заметим, что прям:ые А 2 В 1 , В 2 В и С 2 В 1 оди-
наково расположены относительно треyrольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 и
А 1 В 1 С И пересекаются в точке В 1 , лежащей на окружности девяти TO
чек. Поскольку точки А 2 , В 2 , С 2 лежат на окружности девяти точек, то
очевидно, что и три прямые, получающиеся из прямых А 2 В 1 , В 2 В и
С 2 В 1 поворотом на один и тот же уrол BOKpyr точек А 2 , В 2 и С 2 co
ответственно, также будут пересека тъся в одной точке, раСПОЛО)l(енной
на окружности девяти точек. Пусть теперь Р  точка пересечения
прямых Эйлера треуrольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С. Обозначим:
L РА 2 А == <р. Для удобства будем считать, что треуrольник АВС
А
Рис. 32
146

остроуrольный, а точка Р лежит на дуrе В 1 А 2 окружности девяти то-
чек (рис. 33). Тоrда L Р А 2 А 1 == 1800  <р, L Р А 2 В 1 == 1800  <р 
 L В 1 А 2 А 1 == 1800  <р ---:- L В 1 С 1 А 1 == 2 L С  <р, L РА 2 С 1 == 1800 
 <р + 1800  2 L В == 3600  <р  2 L В. Поскольку хорды Р А 1 , РВ 1 И
РС 1 пропорциональны синусам yr лов, на них опирающихся, то оста-
лось доказать, что из трех величин sin <р, sin (2С  <р),  sin (2В + <р) oд
на (в нашем случае первая) . равна А
сумме двух др yr ИХ, т. е. sln <р ==
== sin (2С  <р)  sin (2В + <р). Но в
треуrольнике АА 2 Н 1 : 1 АА 2 1 == R,
1 АН 1 ! == 2R cos А (R  радиус опи-
санной окружности, R cos А  рас-
стояние от центра описанноrо KPy
ra А 2 дО В 1 С 1 ), LH 1 AA 2 ==LA+
+ 2 L В  1800. По теореме си-
2 cos А
нусов для 6. АА 2 Н 1 : .
1 sln<p
  sin (2В +
sin (2В + А + <р) с
+ 2А + <р)  sin (2В + <р) == sin rp 
 sin (2С  <р)  sin (2В + <р) == sin <р,
что и требовалось. Таким обра
зом, доказано утверждение в случае остроуrольноrо треуrольника.
Случай тупоуrольноrо 6. АВС рассматривается точно так же.
169. Пусть АВС  данныIй треyrольник, А 1 , В 1 , С 1  середины co
ответствующих сторон. Докажите, что окружность, проходящая, на-
пример, через вершину А и удовлетворяющая условию задачи, прохо
дит через точки пересечения внутренней и внешней биссектрисы уrла
А со средней линией В 1 С 1 . Значит, для всех точек М этой окружности
будет выполняться равенство 1 В 1 М 1: 1 С 1 М 1 == ! В 1 А 1: I С 1 А 1 == Ь: а (см.
задачу П.9). Таким образом, если М 1 И М 2  точки пересечения двух
таких окружностей, то ! А 1 М 1 ! : i В 1 М 1 1: 1 С 1 М 1 ! == а: Ь: с (то же для
точки М 2 ), поэтому М 1 И М 2 будут принадлежать третьей окруж
ности. Кроме Toro, М 1 и М 2 принадлежат прямой, для всех точек М
которой выполняется равенство (с 2  Ь 2 ) ,1 А 1 М J2 + (а 2  с 2 ) 1 В 1 М 12 +
+ (Ь 2  а 2 ) I С 1 М 12 == О (см. задачу 11.14 и ее решение). Эта прямая про
ходит через центр описанноrо около 6. А 1 В 1 С 1 кpyra и через то чку пере
сечения ero медиан (про верьте это, выразив длины медиан через cтo
роны), т. е. она совпадает с прямой Эйлера д А 1 В 1 С 1 , а значит, и д АВС.
170. а) Аналоrично тому, как это было сделано в предыдущей за
да ч-е, мо)кно доказа ть, что эти три окружности пересекаются в двух
точках Аl 1 и М 2' причем I АМ 11 : 1 ВМ 11 : 1 СМ 1 I == Ьс : ас : аЬ (также дЛЯ
М 2 ).
б) Следует из а) и задачи 11.14.
в) Докажите, что если М внутри д АВС, то L АМ 1 С == 600 + L В,
L ВМ 1 А == 600 + L С, L СМ 1 В == 600 + L В (можно воспользоваться
для этоr{) теоремой Бретшнейдера  задача 11236).
171. Возьмем на ВС точку А 1 , а на ВА точку С 1 так, что ! BA!I ==
== ! ВА 1, 1 ВС 1 ! == ! ВС 1 (д А 1 ВС 1 симметричен д АВС относительно
биссектрисы уrла В). Очевидно, ВК делит пополам А 1 С 1 . Построим
41
Рис. 33
о
147

два параллелоrрамма ВА 1 МС 1 и BCND (соответствующие стороны
параллелоrраммов параллельны, точки В, К, М и N  на одной пря
мой ) , I CN I == I AA 1 IBCI IBCI 2 IAKI IABI
, 1 1 ВА 1 1  I ВА 1 ' следовательно, 1 КС 1  1 CN I 
IABI2
IBCI 2 .
172. Имеем (рис. 34) L FE 1 A == L EDF == L А; значит, 1 AF 1 ==
== 1 E 1 F 1, L FE 1 N == L FDB == L С, L E 1 FN == L А. Следовательно,
E FN подобен ABC IAFI == I E1FI == IACI LAFN==1800
1 , 1 F N 1 1 F N 1 1 АВ I '
 L А. Теперь можно показать, что AN  симедиана. Для этоrо pac
А
Е,
/""
/
/
/
I
Е
с
Рис. 34
смотрим параллелоrрамм АСА 1 В; АА 1 делит пополам ВС,  АСА 1 по
добен  AFN, значит L NAF == L А 1 АС.
173. Окружность Аполлония, проходящая через вершину В Tpe
уrольника ABC J есть rеометрическое место точек М, дЛЯ которых
IАМI IABI
== (задача 11.170, решение). Следовательно, если D 
IMCI IBCI
точка пересечения этой окружности Аполлония И описанной около
SBAD
АВС окружности, то прямая BD делит АС в отношении
SBCD
1 АВ 1.1 AD 1 1 АВ 12
 
1 СВ 1.1 CD 1 1 СВ 12 .
174. Пусть N  точка пересечения BQ и CD, О  центр ОКРУЖНО
1
сти, R  ее радиус. Заметим, что L NBC ==  L PMQ. (Если Q на OT
2
1 1
резке NB, то L NBC == 900  L QBP == 900  2 L QOP == 2 L PMQ.)
R
Значит, Т р е у rольники NBC и РОМ подобны , 1 CN 1 1 ВС 1
== IPMI ==
==R IPDI ==R IBPI 1 1 BP 1 1 I CDl
IPMI IABI ==2 ==2 l'
148

175. Пусть Н  точка пересечения высот, О  центр описанноrо
Kpyra, В 1  середина СА. Прямая MN проходит через середину ВН 
точку к, IBKI==IB 1 0I. Докажите, что прямая MN параллельна ОВ
(если LC>LA, то LMKN==2LMBN==LCLA==LOBH).
176. Пусть прямая АМ вторично пересекает окружность, проходя
щую через В, С и М в точке D. Тоrда L MDB == L МВА == L МАС,
L MDC == L МВС == L МАВ. Следовательно, ABDC  параллело
[рамм.
177. Из решения задачи 1.234 следует, что 1 LM 1 == 1 LN 1. Можно
IMKI INKI
считать, что 1 проходит через N. Применим к D. N КР теорему синусов.
Заменим отношение синусов отношением соответствующих хорд.
1 N Р 1 == 1 N К 1 sin L N КР  1 N К 1 sin L N КМ 
sin L KPN sin L КМА
Будем
иметь:
== 1 NK 1 1 NM 1 и т. д.
'КМI
178. Пусть О  центр вписанной окружности, К и L  точки Kaca
ния со сторонами АС и АВ, прямая, проходящая через N параллельно
ВС, пересекает стороны АВ и АС в точках R и М. Четырехуrольник
OKMN  вписанный (L ONM == L ОКМ == 90°); следовательно,
L OMN == L OKN, аналоrично L ORN == L OLN, но L OLN == L OKN,
значит, L ORN == L OMN и D. ORM  равнобедренный, ON  высота;
таким образом, 1 RN 1 == 1 N М 1.
179. Если 1 ВС 1 == а, 1 СА 1 == ь, 1 АВ 1 == с, то, как известно (см. задачу
a+bc
1.18), 1 МС 1 == . Проведем через К прямую, параллельную АС;
2
обозна чим ее точки пересечения с АВ и ВС соответственно через А 1 И
С l' Окружность, вписанная в D. АВС, является вневписанной (касается
А 1 С 1 и продолжений ВА 1 и ВС 1 ) дЛЯ D. А 1 ВС 1 . H D. А 1 ВС 1 подобен
D. АВС. Следовательно, окружность, вневписанная в АВС, будет Ka
саться АС в точке N; обозначим точки касания ее с продолжениями
1
ВА и ВС соответственно через R и L. Имеем: 1 BR 1 == 1 BLI == 2(а + ь +
a+bc
+ с), значит, IANI==IARI==IRBIIBAI== 2 ==IMCI.
180$ Проведем через К прямую, параллельную ВС. Обозначим че
рез L и Q точки пересечения касательной в точке Р с прямой ВС и по
строенной прямой, ей параллельной, а через N  точку пересечения АК
с ВС. Так как 1 CN 1 == 1 ВМ 1 (см. задачу 11.179), то достаточно доказать,
что J N L 1 == 1l.М 1; но I Р L 1 == 1l.М 1, значит, нужно доказать, что 1 Р L 1 ==
== 1 N L 1. Поскольку D. Р IN подобен D. PQK, в котором 1 PQ 1 == 1 QK 1, то
IPLI==INLI и ICLI==ILВI.
181. Пусть М и N  точки пересечения прямой LK с прямыми 1
и CD. Тоrда 1 АМ 12 == 1 MLI.I мк 1. Из подобия треуrольников КМВ
IKNI.IMBI
и DKN следует, что 1 м к 1 == . Из подобия треуrольников
IDNI
I ML I == ILNI.IMBI
CNL и МI13 следует: 1 CNI .
149

 KN 1.11N 1
Таким образом, 1 МК 1.1 MLI == 1 МВ 12 == 1 МВ 12, т. е.
fCNI'IDNI
IMAI 2 ==IMBI 2 ,IMAI==IMBI.
182. Пусть (рис. 35) В  вторая общая точка окружностей,
С  'Т'очка на прямой АВ, из которой проведены касательные, и,
наконец, К  точка пересечения прямых М N и PQ. Воспользовав
шись теоремой синусов и результатом задачи 1.234, получим:
IPMI 'РМI sinLPBM
 
tMA' sinLPBM IMAI 
 IBMI sinLPBM lЛСВТ х
sinLBPM 'МАI VТCAI
sin L РВМ
х . Таким образом, обозна-
sin L ВРМ
чив через а.. уrол L АМВ, а через  
уrол АРВ (а.. и постоянны), получим:
1 РМ I 1 СВ 1 . sin (а.. + ). Анало-
'МАI ICAI sin
rично найдем: 1 AN 1 == 1 fТCAТ х
INQI V\CВТ
Sln 
х . ( ) . Но по теореме Менелая
Sln а.. + 
(см.задачуII.45) IPMI .I ANI . IQKI 
Рис. 1 МА I , NQ 1 1 КР 1
== 1. Значит, 1 QK 1/1 КР 1 == 1.
183. Проведем через М прямую, параллельную АС, дО пересече
ния в точках А 1 и С 1 С прямыми ВА И ВС. Имеем: L А 1 КМ == 900 
 L DKM == 900  L KBD == L BAD == L КА 1 М; следовательно,
дКМАlравнобедренный и IA 1 MI==IMKI. Аналоrично IMC 1 1==
== IMLI; но IKMI == IMLI, значит, IA 1 MI == 'МС 1 1, т. е. прямая ВМ дe
лит АС пополам.
184. Пусть М  точка пересечения N D и АВ, а Р  точка пересече
ния касательных к окружности в точках А и D.
Поскольку прямые NC, АВ и PD параллельны, то из подобия co
ответствующих треyrольников получим:
'АМI == IDPI. IANI ,
INPI
 IMDI  ,АРI I MB I  I NC I IAPI .
INDI INPI'  INP\'
'МВI
INCI
(1)
(2)
но 1 DP 1 == I АР 1, I NC 1== 1 AN 1. Следовательно, правые части выражений
(1) и (2) равны, т. е. I АМ 1 == 1 МВ 1.
185. Будем считать, что D  середина СВ и AD пересекает вторич
но окружность В точке К. Докажем, что касательные к окружности
в точках В и С пересекаются на прямой М К.
150

Рассмотрим четырехуrольник СМВК. ДЛЯ Toro чтобы Kaca
тельные к окружности в точках С и В пересекались на диаrонали М К,
ICMI IMBI
необходимо и достаточно (см. задачу 1.234) чтобы == . но
, ICKI IBKI'
ICMI IABI IBDI ICDI IACI IMBI
ICKI == ICKI == IDKI == IDKI == IBKI == IBKI ' (В первом и послед
нем равенстве использовалось то, что 1 см 1 == i АВ 1, 1 АС I == 1 м В f
ввиду параллельности АМ и СВ, во втором и четвертом  подобия
t::. ABD и t::. CDK, t::. ADC и t::. KDB, в третьем  то, что AD 
медиана. )
186. Пусть О  центр окружности, N 1, М 1, Р l' R 1  точки, симме
тричные точкам N, М, Р, R соответственно относительно прямой ОА,
К  точка пересечения прямых N 1R1 И QS. Нужно доказать, что точки
R 1 , S И к совпадают. Точки N 1, М 1 И В лежат на одной прямой, сим
меТрl1ЧНОЙ прямой N МС; N 1, Р 1, R 1 
также на одной прямой, симметрич
ной прямой NPR (рис. 36). Точки В, N 1,
Q и к лежат на одной окружности, так
как L BN 1 K == L M 1 N 1 P 1 == L MNP ==
== L PQM == L BQK. Точки В, N 1, Q,
R 1  также на одной окружности,
поскольку LN 1 R 1 B== LN 1 P 1 P==
== L N 1 QP == L N 1 QB. Следовательно,
пять точек В, N 1, Q, R 1 , К  на одной
окружности; но точки N 1, R 1 И К  на
одной прямой, значит, R 1 и К сли
ваются.
187. ОrраничИl\tIСЯ случаем, Kor да
АВС  остроуrольный треуrольник.
Рассмотрим параллелоrрамм A 1 MON
(М и N на А 1 В 1 и А 1 С 1 ). Поскольку А 1 О образует с A 1 C 1 и А 1 В 1 уrлы
(900  L В) И (900  L С), то
IA 1 MI IA 1 Mj

/A 1 NI 1МО!
cosB
cos С
о

I AILJ
I А 1 К 
188. Утверждения задачи следуют из факта: если на каждой CTO
роне треуrольника построить окружности таким образом, что сумма
уrловых величин их дуr (расположенных по ту же сторону, что и Tpe
уrольник), равна 2п, то эти окружности имеют общую точку.
189. Возьмем точки Е 1 и F 1, симметричные точкам Е и F относи
тельно АВ. После этоrо задача сводится к частному случаю задачи
11.186.
190. Возьмем на продолжении АС за точку С точку М так, что
I СЛ! I == I СВ 1; тоrда Е  центр окружности, описанной около АМВ
(1 АЕ I == I ВЕ 1, L АЕВ == L АСВ == 2 L АМ В). Из этоrо следует, что F 
середина АМ, а DF делит периметр t::. АВС пополам. Кроме Toro,
DF параJIлельна ВМ, а ВМ параллельна биссектрисе уrла С треуrоль
ника АВС, т. е. DF  биссектриса уrла D треуrольника DKL, [де К и
L  середины АС и СВ.
151

191. Пусть прямая пересекает стороны АС и АВ треуrольника
АВС в точках М и N. Обозначим: 1 АМ 1 + 1 AN 1 == 21. Радиус окружно
8 AMN
сти С центром на MN, касающейся АС и АВ, равен , а по усло
1
8 AMN 8 Авс

1 р
диус вписанной окружности L:::. АВС.
192. Докажем, что при rомотетии с центром в М и коэффициен
том  1/2 точка N переходит в 1 (очевидно, что при этой rомотетии
1 переходит в 8). Пусть АВС  данный треуrольник, Ао, ВО и СО 
соответственно середины сторон ВС, СА и АВ, А 1  точка на стороне
ВС такая, что АА 1 делит периметр пополам. Леrко видеть, что А 1 
точка касания со стороной ВС вневписанной окружности, касающей
ся также продолжений АВ и АС, А 2  точка касания вписанной окруж
ности со стороной ВС. Имеем: 1 ВА 2 1 == 1 СА 1 1. Восставим к ВС в точке
А 2 перпендикуляр, обозначим через D точку ero пересечения с АА 1 .
Повторяя рассуждения, проведенные в решении задачи 11.179, докажем,
что 1 А 2 1 1 == I 1D 1. Следовательно, прямая Ао1 параллельна АА 1 . Если
сделать rомотетию, о которой rоворилось в начале, то прямая АА 1
перейдет в прямую Ао1. Точно так же друrие две прямые, делящие по
полам периметр, перейдут соответственно в Во1 и С о 1. Значит, все эти
три прямые пересекаются в такой точке N, которая переходит в 1 при
этой rомотетии. Из этоrо следует утверждение задачи.
8
193. а) Воспользовавшись для правой части формулами r ==,
р
аЬс
R ==, 8 == V р (р  а) (р  Ь) (р  с), [де 8  площадь треуrольника
48
АВС, леrко докажем требуемое соотношеlfие.
б) Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 11.140), взяв в каче
стве М центр описанноrо Kpyra.
в) Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 11.140), взяв в каче
стве М центр вписанноrо Kpyra. Для вычисления, например, 1 МА 12
опустим перпендикуляр МК на АВ; имеем: 1 МК 1 == r, 1 АК 1 == р  а;
значит, 1 АМ 12 == (р  а)2 + r 2 . Аналоrично вычисляются 1 МВ 12 И 1 МС 12.
При упрощении правой части воспользуйтесь результатом пункта а).
r) Пусть М .... точка пересечения биссектрисы уrла В с описанной
окружностью. Если 110 1== d, то I В1 111М 1 == R 2  d 2 . Треуrольник 1СМ
1
равнобедренный (11М 1 == 1 СМ 1), так как L С1 М ==  (L В + L С) и
2
1
L 1СМ == (L В + L С). Следовательно,
2
вию
== r, [де р и r  соответственно полупериметр и pa
R 2  d 2 == 1 В1 \.1 1М 1 == 1 В1 1.1 СМ 1 ==
. В
Sln
2
r
В
. 2R sin  == 2Rr.
2
д) Доказывается аналоrично пункту r).
е) Расстояние между проекциями 1 и 1а на АС равно а. Возьмем
точку К так, что 1К 11 АС, 1аК  АС. В прямоуrольном треуrольнике
152

1
1K1a имеем: L K11a == 2" L А, IIK 1 == а, IIa K 1 == ra .... r. Таким образом,
IIKI2 а А
III a I 2 == .... . 2IIKltg==4R(ra""r).
2 А Sln А 2
cos 
2
194. Проведем через О прямые, параллельные АВ и АС, и обозна
чим через L и К точки пересечения этих прямых с перпендикулярами,
опущенными из Ia соответственно на АВ и АС. Докажем подобие Tpe
Ьс
уrольников АВ 1 С 1 и OLK. Имеем: L В 1 АС 1 == L LOK, 1 АВ 1 1 == ,
с+а
Ьс с 1 Ь 1
I А С 1 I == , 1 О L I == р ....  ==  (а + Ь), 1 О к 1 == р ---  ==  (а + с); та..
Ь+а 2 2 2 2
I АВ 1 I I А С 1 1 2Ьс
ким образом, ........ Но OI a .... диаметр
IOLI 'ОКI (с+а)(Ь+а)'
окружности, описанной около 60IК. Следовательно, 1 В 1 С 11 ==
2Ьс 2Ьс аЬс
1 IК I == I 01 а I sin А == . I 01 а 1.
(с + а)(Ь + а) (с + а)(Ь + а) (с + а)(Ь + a)R
196. Докажите, что площадь Qa треуrольника с вершинами в точ
ках касания вневписанной окружности с центром Ia можно вычислить
ra SBC
по формуле Qa == SABC == ( , [де все обозначения те же, что
2R 2R р --- а)
и в задаче 11.193. Аналоrичные формулы MorYT быть получены для
площадей дрyrих треуrольников. (См. решение задачи 1.240.)
197. Пусть О .... центр описанной около 6 АВС окружности, В 1 ....
середина АС, N --- точка касания с АС вписанной окружности; тоrда
I AN 1== р.... а, 1 CN 1 == р.... с (см. задачу 1.18), 1 ON 12 == I ОВ l 1 2 + 1 B 1 N 12 ==
IAOI2IABlI2+IBINI2R2 ь; +(pa y R2 (р  а)
(р --- с). Аналоrично определив квадраты расстояний до друrих то-
чек касания и сложив ИХ, получим, что искомая сумма равна 3R 2 ....
.... (р .... а) (р .... с) --- (р .... с) (р --- Ь) .... (р .... Ь) (р .... а) == 3R 2 --- М. Воспользовав"
шись для площади треуrольника формулой repoHa и формулами S ==
== P r S == аЬс пол у чим r2 == (р.... а) (р .... Ь) (р .... с) 4Rr == аЬс. Сложив
, 4R' р' р
последние равенства и воспользовавшись тождеством (р.... а) (р ---
--- Ь)(р --- с) + аЬс == р((р.... аХр.... Ь) + (р --- b)(.... с) + (р --- с)(р --- а)) == рМ, найдем,
что М == 4Rr + r 2 . О т в е т: 3R 2 --- 4Rr --- r 2 .
198. Произведение длин отрезков от вершины А треуrольника
АВС дО точек пересечения стороны АВ с данной окружностью будет
равно такому же произведению для стороны АС. Каждый из этих от..
резков леrко выразить через стороны треуrольника и рассматриваемые
хорды. Таким образом получим систему из трех уравнений, позволяю..
щую выразить хорды через стороны треуrольника. Чтобы избежать
перебора вариантов, удобно выбрать KaKoeTO направление обхода
треуrольника и считать отрезки направленными, а их длины 
произвольными действительными числами.
153

199. Пусть К 1 и L 1  такие точки на ВС и ВА, что К 1 К 11 L 1 L 11 В 1 В.
Достаточно доказать, что треyrольники ВК 1 К и BL 1 L подобны, т. е.
1 ВК 1 1 1 BL 1 1 1 ВК 1 1 I В 1 К 1 1 к 1 К 1 1 А 1 К 1
 . Имеем :  , == , и по
IK1KI IL1LI IBA 1 1 IB 1 A 1 1 IBB 1 1 IB 1 A 1 1
IBK 1 1 IB1KI IBA 1 1

IK1KI IA1KI IBB 1 1
биссектрисы
(задача
1.9)
свойству
ICB 1 1

ICA 1 1
jBA 1 1
IBB 1 1
с 1 СВ 1 1

ь IBB 1 1
са
(с + а) 1 ВВ 1 1 .
Последнее
выражение
IBL 1 1
симметрично относительно а и с, а значит, оно равно также и
IL1LI
200. Пусть L KAL== L KLA == ер, L KCL== L LKC == 0/. Тоrда
LBKL == 2<р, LBLK == 20/, 2<р + 20/ == 1800  LB. Если Q  точка пере
1
сечения АLи КС, то LAQC == 1800  (<р + 0/) == 900 + LB. Про ведем
2
через М прямую, параллельную ВС, дО пересечения с КС в точке N,
1
тоrда MQ  биссектриса уrла AMN и L AQN == 900 +  L В. Отсюда
2
следует, что Q  точка пересечения биссектрис треуrольника AMN (см.
задачу 1.46); значит, 6. АМ N подобен 6. KBL, а 6. КМ N подобен
6. КВС. Пусть 1 АК 1== 1 KLI == 1 I.L 1 == х, 1 АМ 1 == у, 1 MN 1 == z. Тоrда
z у yx z
 ==, откуда у == а.
ax cx cx а
201. Пусть В 1  середина АС. Продолжим биссектрису до пересе
чения в точке В 2 С перпендику ляром, восставленным к А С в точке В 1 .
Точка В 2 лежит на описанной окружности. Проведем через М перпен-
дикуляр к АС; пусть L  точка ero пересечения с АС, К  с ВВ 1 , тоrда
1 км 1 == 1 м L 1. Проведем через К прямую, параллельную АС, пересе
кающую АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Если G и F 
проекции D и Е соответственно на АС, то М  центр прямоуrольника
GDEF, причем 6. DME подобен 6. АВ 2 С (6. DME получается из
IICI
6. АВ 2 С при rомотетии с центром в В). Имеем: ctg L MCL == ==
IMLI
IIFI IFCI 'АВ 1 1 IFCI В
== + == + 2 == ctg  + 2 ctg С. Если теперь
IMLI IMLI 'В 1 В 2 1 IEFI 2
В'  основание биссектрисы, Р и Т  проекции N и В' соответственно
IPCI 'РТI IТCI IBPI '1СI
на ВС то ctg L NCB == == +  + 2 
, INPI INP1 INP INPI IB'TI
В
== ctg "2 + 2 ctg С, т. е. LMCA == LNCB.
202. а) Эта известная задача имеет MHoro различных доказа
тельств. Приведем одно из них, основанное на следующем признаке
равенства треуrольников. Два треyrольника равны, если они имеют co
ответственно равные стороны, противолежащие уrлы и биссектрисы
этих yrлов. Докажем этот признак. Рассмотрим два треуrольника АСВ
и АСВ 1 , в которых L В == LB 1 (В И В 1 по одну сторону от АС). Эти
треуrольники имеют оБЩУ10 описанную окружность. Можно считать,
154

что В и В 1 лежат по одну сторону от диаметра этой окружности, пер-
пендикулярноrо АС. Пусть биссектриса уrла В пересекает АС в точке
D, а биссектриса уrла В 1  в точке D 1 , М  середина АС, N  середина
дуrи АС, не содержащей точек В и В 1 . Точки В, D и N  на одной пря-
мой, точки В 1 , D 1 И N  также. Пусть В и В 1 не совпадают, а значит не
совпадают также D и D 1 . Предположим, что \MD \ > \ MD 1 \; тоrда
\BN\ < IB 1 N\, \DN\ > \D 1 N\. Следовательно, \B 1 D 1 \ == \B 1 N\ 
\ND11>IВNI\ND\==\ВD\противоречие. Пусть теперь в 6АВС
биссектриса АА 1 равна биссектрисе СС l' Применим только что дока-
занный признак к треуrольникам ВАА 1 и ВСС 1 .
б) Если обе внешние биссектрисы уrлов А и С треуrольника АВС
расположены внутри уrла В, то доказательство можно провести точно
так же, как и в пункте а).
Пусть эти биссектрисы расположены вне уrла В. Будем считать,
что I ВС \ > \ ВА 1. Возьмем на СВ точку В 1 так, что I СВ 1 \ == I АВ1\' Обо
значим L В 1 АС == L ВСА == сх, L В 1 АВ == <р, L  точка пересечения
внешней биссектрисы уrла С с АВ, М  точка пересечения внешней
биссектрисы уrла А с СВ. Остальные обозначения понятны из рис. 37.
Рис.
По условию I CL I == I АМ " кроме Toro,  CL 1  == \ АМ 1 1, так как
Д В 1 АС  равнобедренный, I СМ; \ == 1 АМ 1, поскольку 6 CL 1 M; ==
==6АМ 1 М. Далее ICM\>ICM;I, так как LMM;C>LM;CA>
> 900. С друrой стороны, точки С, А, L и M лежат на одной окружно
сти, В которой острый yrол, опирающийся на LC (L ис) больше
oCTporo уrла, опирающеrося на м: С. Значит, 1 АМ \ == \ СМ; I <
< \ CM \ < \ CL \. Противоречие.
В общем случае из равенства внешних биссектрис не следует рав-
нобедренность треуrольника. В задаче 1.256 дается пример TaKoro
треуrольника.
155

203. Пусть АВС  данный треуrольник, АА 1 , ВВ 1 , ее 1 
биссектрисы. Если I А 1 В 1 1 == I А 1 С 11, то или L A1B1 С == L А 1 С 1В (в
этом случае 6. АВС будет равнобедренным) или L А 1 В 1 С +
+ L А 1 С 1 В == 1800. Во втором случае повернем 6. А 1 В 1 С BOKpyr точки
А 1 на уrол В 1 А 1 C 1 . В результате треуrольники А 1 С 1 В и А 1 В 1 С OKa
жутся приложенными друr к друrу и образуют треуrольник, подобный
6. АВС. Если стороны 6. АВС есть а, Ь и С, то стороны получившеrося
ас аЬ ас аЬ
треуrольника будут равны Ь ' Ь и + . Учитывая их
+с +с а+Ь а+с
подобие, получим:
с Ь а
+ == <=>Ь З + с З  аЗ + Ь 2 с + Ь 2 а + с 2 Ь + с 2 а  а 2 Ь 
а+Ь а+с Ь+с
 а 2 с + аЬс == О. (1)
Обозначим: cos L ВАС == х. По теореме косинусов Ь 2 + с 2  а 2 == 2Ьсх.
Умножая последнее равенство последовательно на а, Ь и с и вычитая
из (1), получим
2х (а + Ь + с) + а == О <=> а ==
2(Ь+с)х
2х + 1
Поскольку О < а < Ь + с, то
1
  < х < О.
4
(2)
Заменив в теореме косинусов а через Ь, с и х и обозначив Ь/с == л,
получим для л уравнение (4х + 1)л 2  2л(4х З + 8х 2 + х) + 4х + 1 == О.
ДЛЯ Toro чтобы это уравнение при условиях (2) имело решение (л > О,
л  1) должны выполняться неравенства
4х З + 8х 2 + х > О, (3)
1
D == (4х З + 8х 2 + х)2  (4х + 1)2 ==
4
== (2х + 1)2 (х + 1)(2х  1)(2х2 + 5х + 1) > О, (4)
[де D  дискриминант квадратноrо уравнения. Система неравенств (2),
1 Vi75
(3), (4) удовлетворяется при  4 < х < 4 .
Таким образом, исходный треуrОЛЬНИI<  не обязательно paBHO
бедренный. Однако доказано, что это может иметь место только в том
случае, Kor да один из yr лов исходноrо треуrольника тупой и ero коси
( 1 Vi75 )
нус находится в интервале  4' 4 ' что соответствует yr лу
приблизительно от 102040' до 104028'. Если
1
х == , построенный
4
Vi75
будем иметь
4
треуrольник будет вырождаться, при х ==
156

L А 1 В 1 С == L А 1 С 1 В == 900, т. е. два случая, которые выделены в нача
ле решения, для этоrо значения уrла совпадают.
204. Пусть М  точка пересечения AD и KL:
1
21 АК 1.1 AD 1 sin L KAD

1
21 DLI.I AD 1 sin L ADL
IKMI
IMLI
SAKD
SAlD
1 АК 1.1 CD '
IDLI'IAFI
(Использовано то, что синусы вписанных уrлов пропорциональны xop
дам.) Аналоrично, если М 1  точка пересечения ВЕ и KL, то получим:
1 КМ 1 1  1 ВК 1.1 F Е I Но из подобия l:::. AKF и l:::. ВК С, l:::. С Ш
IM 1 LI IIEI.IBCI
IAKI IBKI ICDI
и l:::. F IE имеем: 
IAFI IBCI' IDLI
IKMI IKM 1 1
ства, получим, что == , т. е. М и М 1 совпадают. З а м е 
IMLI IM 1 LI
ч а н и е. Можно показать, что утверждение задачи сохраняется, если А,
В, С, D, Е и F  произвольные шесть точек на окружности. Обычно
теорема Паскаля формулируется следующим образом: если А, В, С,
D, Е, F  точки на окружности, то три точки, в которых пересека-
ются прямые АВ и DE, ВС и EF, CD и F А ,лежат на одной
прямой.
205. Пусть N  точка пересечения прямой А 2 А 1 с окружностью,
отличная от А 2 . Применим к шестиуrольнику ABCC 2 NA 2 (возможно
самопересекающемуся) теорему Паскаля (задача 11.204). Точки пересе
чения прямых АВ и C 2 N, ВС и NA 2 (точка А 1 ), СС 2 и АА 2 (точка М)
лежат на одной прямой. Следовательно, АВ и C 2 N пересекаются в точ-
ке С 1 .
206. Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые  оси Х и
У прямоуrольной системы координат. Тоrда высоты треуrольника ле
жат на прямых У == kix (i == 1,2,3); стороны треуrольника при этом
1
должны иметь уrловые коэффициенты , а из условия принадлеж-
k.

н:ости вершин (x i , Yi) высотам находим отношения свободных членов C i
в уравнениях сторон kiy + Х == Ci: Сl == k 1 уз + Х3, С2 == k 2 уз + Х3, Уз ==
С 1 klk3 + 1
== k з х з   == , и Т. п. При подходящем выборе единицы
С 2 k2k3 + 1
k.
длины можно взять С ) ==  , rде k == klk2k3. Точки пересечения пря-
k+k.

k. ( 1 ) ( k. )
мой kiy + х ==  с осями: О, и  , О, середина (P i )
k+ k+ k+
отрезка между ними  ( 2 (k  k;)' 2 (k  k;» ). Уrловой коэффициент
ПРЯМОЙРIР2равен С(kk2)  2(kkl» ): C(kk2)  2(kkl» )==
157
IFEI
; перемножив эти paBeH
IIEI

1
== (k 1  k 2 ): (kk 2  kk 1 ) == Точно такими же будут уrловые коэф
k
фициенты прямых Р 2 Р з И Р з Р 1. Поэтому точки Р l' Р 2' Р з лежат на
одной прямой (ее уравнение: ky + х == 1/2).
З а м е ч а н и е. Соединив прямыми точку Н пересечения высот
треуrольника с точками Р 1, Р 2' Р з, получаем любопытное следствие.
Пусть СХ 1 , СХ 2 , СХ З  уrлы треуrольника, перечисленные против часовой
стрелки, ар а 2 , аз  прямые, на которых лежат противоположные им
стороны; через точку Н проходят три прямые Р1, Р2' Рз так, что уrлы
между Р2 и Рз, Рз и Р1, Р1 И Рз (отсчитываемые против часовой стрелки)
равны соответственно СХ 1 , CX z , СХ З ' Тоrда точки пересечения Р1 с а 1 , Р2 с
а 2 , Рз с аз лежат на одной прямой. Предлаrаем читателю рассмотреть
частные случаи этой теоремы (мноrие из них  красивые и далеко не
очевидные rеометрические факты) и сопоставить ее с задачей.
Еще одно з а м е ч а н и е: в нашей задаче вместо середин отрез-
ков, высекаемых на сторонах треуrольника, можно было бы брать точ
ки, делящие их в одинаковых отношениях. Эти точки также окажутся
на одной прямой.
207. Для определения yr лов треуrольника А 1 В 1 С 1 воспользуйтесь
тем, что точки Р, А 1 , В 1 , С 1 лежат на одной окружности (так же для
друrих четверок точек). Если Р внутри треуrольника АВС, то
L А 1 С 1 В 1 == L А 2 С 2 В 2 == L АРВ  L АСВ. ДЛЯ разностороннеrо Tpe
уrольника АВС существуют восемь различных точек Р таких, что co
ответствующие треуrольники А 1 В 1 С 1 И А 2 В 2 С 2 подобны треуrольнику
АВС (при этом треуrольник А 2 В 2 С 2 ему равен). Причем шесть точек
лежат внутри описанной около треуrольника АВС окружности, а
две  вне ее.
208. Рассматриваемые прямые являются серединными перпенди
КУ лярами к сторонам треуrольника А 1 В 1 С l'
209. Обозначения: АВС  данный треуrольник, М  точка, находя
щаяся на расстоянии d от центра описанной около АВС окружности,
А 1 , В 1 , С 1  основания перпендикуляров, опущенных из М на НС, СА,
АВ, А 2 , В 2 , С 2  точки пересечения соответственно АМ, ВМ, СМ с опи
санной около f:::. АВС окружностью, а, Ь, с  стороны f:::. АВС, а 1 , Ь 1 , с l'
а 2 , Ь 2 , С 2  стороны соответственно треуrольников А 1 В 1 С 1 и A2B z C 2 , 8,
81 И 82  соответственно площади этих треуrольников. Имеем:
. а
а 1 == IАМISlпА == IAMI. (1)
2R
Аналоrично находятся Ь 1 и с 1 . Из подобия треуrольников В 2 МС 2
и ВМС получим:
а 2 I В 2 МI

а 'СМI
J С 2 М i

'ВМI
(2)
Ь 2 С 2
Аналоrичные отношения будут для  и . Треуrольники А 1 В 1 С 1 и
Ь с
А 2 В 2 С 2 подобны (см. задачу 11.207); кроме Toro,
82 а 2 Ь 2 С 2

S аЬс
(3)
158

Учитывая все это, будем иметь:
( S S 1 ) 3 si s
== s . s3 ==
 abci abc == (  ) 3 AMI2IBMI2CMI2a2b2c2 . 
abc а 3 Ь 3 с 3 4R 2 а3Ь3с3 а 2 Ь 2 С 2 
== (  ) 3IAMI2IBMI2ICMI2. IB2Mf IC 2 MI IA 2 MI 
4R 2 ICMI IAMI IBMI
== ( I R2  d 21 ) 3'
4R 2 .
(Во втором равенстве использовалось подобие 1::. А 1 В 1 С 1 И 6 А 2 В 2 С 2
И равенство (3), в третьем  формулы (1), в четвертом  формулы (2)).
З а м е ч а н и е. При d == R площадь треуrольника, образованноrо осно-
ваниями перпендикуляров, оказывается равной нулю, т. е. эти OCHO
вания расположены на одной прямой. Прямая эта назьmается прямой
Симсона (см. задачу 11.153).
210. Утверждение следует из более общеrо факта: если на CTOpO
нах треуrольника построены окружности таким образом, что их дуrи,
расположенные вне треуrольника в сумме измеряются 4п или 2п, то
эти окружности имеют общую точку (в нашем случае в качестве тако-
[о треуrольника можно взять треуrольник с вершинами в серединах
1::. АВС и доказать, что три окружности, проходящие через середины
АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD, имеют общую точку).
211. Утверждение вытекает из следующеrо факта. Пусть про
извольная окружность пересекает стороны уrла с вершиной N в точках
А, В и С, D; перпендикуляры, восставленные к сторонам уrла в точках
А и D, пересекаются в точке К, а перпендикуляры, восставленные
в точках В и С, пересекаются в точке L. Тоrда прямые NK и NL сим
метричны относительно биссектрисы этоrо уrла. В самом деле,
L ANK == L ADK (точки А, К, D и N  на одной окружности). Точ
но так же L тс == L IВC. Затем L ADK == 900  L ADN ==
== 900  L NBC == L LBC. (Предполаrалось, что ABCD  HecaMO
пересекающийся четырехуrольник.)
212. Пусть А, В, С, D  данные точки, D 1  точка пересечения
прямых, симметричных прямым AD, BD и CD относительно COOTBeT
ствующих биссектрис 6 АВС. В предыдущей задаче было доказано,
что педальные окружности точек D и D 1 относительно 1::. АВС совпа
дают. Пусть прямые, симметричные прямым ВА, СА и DA относитель
но соответствующих биссектрис 1::. BCD ,пересекаются в точке А l' He
трудно доказать, что А 1 и D 1 симметричны друr друту относительно
прямой СВ. Следовательно, педальные окружности точек D (или Dl)OT
носительно 1::. АВС и А (или А 1 ) относительно 6. BCD проходят через
середину D 1 A 1 . Определив аналоrично точки В 1 и С 1 , увидим, что
каждая из рассматриваемых педальных окружностей проходит через
середины соответствующих отрезков, соединяющих точки А l' В l' С 1 И
D 1 . Таким образом, задача свелась к задаче 11210.
213. Пусть В 2 и С 2  точки, диаметрально противоположные точ
кам В и С, М  вторая точка пересечения В 2 В 1 с описанной около
6 АВС окружностью, с;  точка пересечения АВ и С 2 М. По теореме
159

Паскаля (задача 11.204), примененной к шестиуrольнику АВ 2 СМВС 2'
точки О (центр окружности), В 1 и С{ лежат на одной прямой, т. е. С;
совпадает с С 1 . Но L ВМВ 1 == L ВМВ 2 == 900, L СМС 1 == L СМС 2 ==
== 900; значит, М  одна из точек пересечения окружностей с диаметра-
ми ВВ 1 и СС l' Пусть N  вторая точка пересечения этих окружностей.
Их общая хорда М N содержит точку пересечения высот треуrольника
АВС  точку Н (задача 11.19). Если ВВО  высота  АВС, то
1 МН 1.1 HN 1 == 1 ВН 1.1 НВО 1. Значит (см. задачу 11.164), N лежит на
окружности девяти точек  АВС.
218. Пусть радиус окружности равен r, а уrлы между соседними
радиусами, проведенными в точки касания, в порядке обхода равны 2(1,
2, 2у, 2Б ((1 +  + у + Б == п). Тоrда
S == r 2 (tg (1 + tg  + tg у + tg Б). (1)
Стороны четырехуrольника будут равны (найдем одну) r (tg (1 +
sin ((1 + )
+ tg ) == r и т. д. Поскольку sin ((1 + ) == sin (у + Б), sin ( +
cos (1 cos 
+ у) == sin ((1 + Б), то формула, данная в условии, приводится К виду
S == r 2 sin ((1 + ) sin ( + у) sin (у + (1) . (2)
cos (1 cos  cos у cos Б
Осталось доказать равенство правых частей (1) и (2) при условии, что
(1 +  + у + Б == п. 1 АМ I 1 CN I
219. Докажем, что SBNA == SBMC + SAMD' Если == == л,
IABI INDI
то SBMC == (1  Л)SВАС, SAMD == ЛSВАD' С друrой стороны, обозначив
через h 1 , h 2 и h расстояния от С, D и N дО АВ, найдем, что h ==
1 1
== лh 1 + (1  л) h 2 . Следовательно, SABN ==  1 АВ 1. h == л 1 АВ 1 h 1 +
2 2
1
+ (1  л) I АВ I h 2 == ЛSАВD + (1  Л)SВАС == SAMD + SBMC'
2
221. Уrлы между сторонами, а также между сторонами и диаrона-
лями четырехуrольника Q2 выражаются через уrлы между сторонами
и сторонами и диаrоналями четырехуrольника Q1' (Диаrонали четырех-
уrольника Q2 перпендикулярны соответствующим диаrоналям четы-
рехуrольника Q1 и проходят через их середины.)
222. Рассмотрите параллелоrраммы АВМК и DCML и докажите,
что KL делит DA в том же отношении, что и точка N, а прямая MN
является биосектрисой уrла KML.
223. Докажем сначала, что диаrонали данноrо четырехуrольника
делятся в точке пересечения пополам, т. е. что четырехуrольник 
параллелоrрамм. Пусть ABCD  данный четырехуrольник, О 
точка пересечения диаrоналей. Допустим, что 1 ВО 1 < I OD 1, 1 АО 1 
 1 ОС 1; рассмотрим  ОА 1 В 1 , симметричный  ОАВ относительно
точки о; очевидно, радиус окружности, вписанной в  О А 1 В 1, меньше
радиуса окружности, вписанной в  OCD, а по условию они равны.
Итак, О  середина обеих диаrоналей. Докажем, что все стороны четы-
рехyrольника равны. Воспользуемся формулой 8 == pr (8  площадь,
р  полупериметр, r  радиус вписанной окружности треуrольника).
160

Поскольку у 6. АВО и 6. ВОС площади и радиусы вписанных окружно
стей равны, то равны и их периметры, т. е. 1 АВ 1 == 1 ВС 1.
224. Аналоrично тому, как это было сделано в предыдущей зада
че, докажите, что диаrонали четырехуrольника делятся пополам точ
кой пересечения.
225. Из условия задачи следует, что ABCD (рис. 38)  выпуклый
четырехуrольник. Рассмотрим параллелоrрамм АСС 1 А 1 , у KOToporo
стороны АА 1 и СС 1 равны и параллельны /J
диаrонали BD. Треуrольники ADA 1 , CDC 1
и C 1 DA 1 , равны соответственно треуrоль-
никам ABD, BCD и АВС. Следовательно,
отрезки, соединяющие D с вершинами А,
С, С 1, А 1 , делят параллелоrрамм на четыре
треуrольника, у которых равны радиусы
вписанных окружностей. Если О  точка пере
сечения диаrоналей параллелоrрамма А 1
АСС 1 А 1 , то D должна совпадать с О (если
D, например, внутри 6. СОС 1, ТО радиус OK
ружности, вписанной в 6. ADA 1 , больше pa
диуса окружности, вписанной в 6. АОА 1 И тем более в 6. СDСд.
Таким образом, ABCD  параллелоrрамм, но, кроме Toro, из задачи
11.223 следует, что АСС 1 А 1  ромб, т. е. ABCD  прямоуr()льник.
226. Необходимым и достаточным условием выполнения всех
четырех пунктов является равенство I АВ 1.1 CD 1 == 1 AD 1.1 ВС 1. 'Для
пунктов а) и б) это следует из теоремы о биссектрисе BHYTpeHHero утла
треyrольника, для пунктов в) И [)  из результата задачи 1.234.
227. Пусть ABCD  данный четырехуrольник. Будем считать, что
уrлы А и D  тупые, В и С  острые. Обозначим основания перпенди
куляров, опущенных из вершины А, через М и N, а из вершины С 
через К и L (рис. 39, а), R  точка пересечения MN и IК. Заметим, что
р
с
Рис. 38
А
t
н
о
n
== L KIN.
Таким
о Рис. 39 о
М лежат на одной окружности с диаметром АС.
МК" IN: L MKL == L MAL == 900  L В == L КСВ ==
IMRI IMKI sinLMCK
 
1 RN I 1 IN 1 sin L UN
cos (L А  L В)
. Пусть теперь Р и
sin(LA+ LB900)
образом,
А, К, N, С, L,
Покажем, что
sin (L С + L В  900)
sin (L А + L В  900)
6 И. Ф. Шарыrин
161

Q  основания перпендикуляров, опущенных из вершины В, а S  точка
пересечения М N и PQ (рис. 39,6). Так как L Р N В == L Р АВ == L С, то
PN" DC, т. е. MQNP  трапеция (ANBP 'вписанный. четырехуrоль
IMSI IMQI
ник с диаметром АВ). Таким образом, 
ISNI IPNI
1 АВ 1 cos (L А + L D  180°) cos (L А  L В)
 . (Мы использо
1 АВ I sin (L В + L А  90°) sin (L А + L В  90°)
вали то, что MQ  проекция АВ на DC; уrол между АВ и DC равен
L А + L D  180°.) Итак, точки R и S делят MN в одном и том же OT
ношении, т. е. они совпадают; значит, три прямые пересекаются
в одной точке. Леrко теперь показать, что все четыре прямые пересе
каются в этой же точке.
228. Найдем, в каком отношении ВС делит MN. Это отношение
SMCB IMClcoSLBCD
равно отношению == . Аналоrично, отношение,
SCBN IBNlcoSLCBA
IAMlcos L BAD
в котором AD делит MN, равно I . Но эти отношения
N D 1 cos L ADC
L СВА == L CDA, а D. АМС подобен
равны, так как L BCD == L BAD,
д DNB.
229. Возьмем точку М 1 так, что ВС М М 1  параллелоrрамм. М 1
лежит на окружности, проходящей через точки В, М и А. Поскольку
I АМ 1 1 == 1 DM I (ADM М 1  также параллелоrрамм), треуrольники CDM
и ВАМ 1 равны, т. е. радиус окружности, описанной около D. CDM, pa
вен R. Таким же будет радиус окружности, описанной около D. ADM.
230. Обозначим через К и L точки касания данной окружности
с прямыми АВ и AD. Пусть для определенности К и L внутри отрез
ков АВ и AD. Возьмем на прямой СВ точку Р так, что 1 ВР 1 == I ВК 1,
В между Р и С, а на прямой CD точку Q, 1 DQ 1 == I DLI, D между С и Q.
Имеем: 1 СР 1 == 1 СВ 1 + 1 ВК 1 == 1 СВ 1 + I АВ I  1 АК 1 == I CQ 1. Окруж
ность, проходящая через Р и Q и касающаяся прямых СВ и CD, пересе
чет BDB таких точках М 1 И N 1, для которых будут выполняться равенства
IBM 1 1'IBN 1 1==IBMI'IBNI; ICN 1 1'ICM 1 1==ICNI'ICMI. ИЗ этих pa
венств можно получить, что М 1 И N 1 должны совпасть с М и N. AHa
лоrично рассматриваются друrие случаи расположения точек. Можно
избежать перебора вариантов, задав на прямых АВ, ВС, CD и DA по
ложительные направления и рассматривая направленные отрезки на
этих прямых.
231. Для определенности будем считать, что В и D внутри окруж
ности. Обозначим через Р и Q точки пересечения прямой BD с окруж
ностью (Р  ближайшая к В), а через L  точку пересечения СВ
с окружностью, 1  касательная к окружности, проходящая через С.
Рассмотрим треуrольник PCN, из вершин KOToporo выходят
прямые PQ, NM и 1. С помощью теоремы Чевы (задача 11.44), paccy
ждая так же, как в задаче 11.49, получим, что необходимым и ДOCTa
точным условием для Toro, чтобы прямые PQ, N М и 1 пересекались
в одной точк является выполнение равенства
IPMI
'МСI
ICQI
IQNI
IN€I == 1.
'СРI
(1)
162

с друrой стороны, в шестиуrольнике ALPMCQ диаrонали АМ, К,
PQ пересекаются в одной точке. Значит (см. задачу 11.49)
! ALI.I РМ!.! CQI == ILPI.IMCI.I QAI.
(2)
Очевидно, 1 NC 1== 1 ALI, 1 QN 1== 11P 1, 1 СР 1== I QA 1. Таким образом, из
справедливости равенства (2) следует справедливость равенства (1).
232. 1. Поскольку О 1  центр окружности, вписанной в тpe
yrольник АВС, то L В0 1 А == 900 +  L ВСА (задача 1.46). Значит,
2
L В0 1 А == L В0 4 А и четырехyrольник АВ0 1 О 4 является вписанным
(рис. 40, а), следовательно, смежный уrол с L В0 1 О 4 равен L ВА0 4 ==
==  L BAD. Аналоrично, уrол, смежный с L ВО 1 О 2 , равен  L BCD.
2 2
1
НО T(L BAD + L BCD) == 900; значит, L 040102 == 900.
А С
D
н,
о
о
о
Рис. 40
(j
2. Для доказательства второй части покажем сначала, что pac
стояние от вершины треуrольника до точки пересечения высот пол
ностью определяется величиной уrла при этой вершине и длиной
противоположной стороны, а именно (рис. 40, б): I СН 1 ==
cos ct I АВ 1
== ! СВ I . == . cos ct == I АВ I ctg сх. Поскольку четырехyrоль
sln L САВ sln ct
ник ABCD вписанный, то I АН 31 == 1 ВН 21 и АН 3 11 ВН 2; значит,
АВН 2Н 3  параллелоrрамм. Таким образом, точка пересечения АН 2 И
ВН 3 делит АН 2 И ВН 3 пополам. Рассматривая друrие параллело-
rpaMMbI, получим, что отрезки Н 2А, Н зВ, Н4 С, Н 1 D пересекаются
в одной точке (М) и делятся ею пополам, т. е. четырехyrольники
ABCD и Н1Н2Н3Н4 центрально симметричны относительно точки
М (рис. 40, в).
233. Если стороны треуrольника АВС, противолежащие вершинам
А, В и С, равны соответственно а, Ь и с, а уrлы ADB, BDC и CDA
равны сх,  и "{ (считаем, что ct +  + "( == 2п), то расстояния от точки
D до точек пересечения высот треyrольников ADB, BDC и CDA равны
абсолютным значениям величин с ctg сх, а ctg, Ь ctg "{ (см. решение зада-
чи 11.232). Нетру дно убедиться, что площадь треуrольника с верши
нами в точках пересечения высот  ADB,  BDC и  CDA будет рав-
на C ctg сх. а ctg  sin В + actg . ь ctg"{sin С + b ctg "{. с ctg (Х sin А ==
2 2 2
6*
163

== S АВС (ctg (1. ctg  + ctg  ctg У + ctg у ctg (1.) == S АВС, поскольку выраже
ние в скобках равно 1. (Докажите это, учитывая, что (1. +  + у == 2п.)
Аналоrично рассматриваются друrие случаи расположения точки D
(коrда один из уrлов  (1., , у  равен сумме двух друrих).
234. а) Пусть ABCD  данный четырехуrольник, R и Q  точки Ka
сания окружностей, вписанных COOTBeTCTBf,HHO в 6 АВС и в 6 ACD
С с прямой АС. Тоrда (см. задачу 1.18)
I RQ 1== 11 AQ 1  1 AR 11 ==  1(1 АВ 1 + 1 АС 1 
2
 IBCI)(I AD 1 +1 АС II CD 1)1 == IIABI +
2
+ 1 CD 1  1 AD 1  1 ВС 11. Так как ABCD 
описанный четырехуrольник, то 1 АВ I +
+ 1 CD 1 == 1 AD 1 + 1 ВС 1, т. е. 1 RQ 1 == о.
б) Если К, L, М, N, точки касания
окружности со сторонами четырехуrоль
ника, а К 1 , L 1 , М 1, N 1  точки касания
окружностей, вписанных в 6 АВС и
6 ACD (рис. 41), то N 1К1 11 NK, М 1 L 1 11 ML.
Докажем, что и K 1 L 1 11 KL, N 1 M 1 11 NM. Поскольку окружности, вписан
вые в 6 АСВ и 6 ACD, касаются между собой на диаrонали в точке Р, то
I AN 11 == 1 АР 1 == 1 АМ 1, т. е. N 1 А1 1 11 NM. Следовательно, четырехуrоль
вик К 1 L 1 М 1 N l' как и четырехуrольник KIМ N, является вписанным.
235. Пусть (рис. 42,а, б) 01' 02' 0з, 04  соответственно центры
окружностей, вписанных в 6 АВС, 6 BCD, 6 CDA и 6DAB. Посколь
ку 01020з04  прямоуrольник (см. задачу 11.232), то 1010з 1 == 102041.
N
/1 /11
Рис. 41
о
Н 1
А
с
п
с
А
о
.D
tJ
II
Рис. 42
Если К и L  точки касания окружностей, вписанных в 6 АВС
1
и 6 ACD, с АС, то 1 KL 1 ==  11 АВ 1 + 1 CD 1  I ВС 1  1 AD 11 (см. решение
2
задачи 11.234). Аналоrично, если Р и Q  точки касания соответствую
щих окружностей с BD, то 1 PQ 1 == 1 KLI. Проведеl\1 через 0з прямую,
параллельную АС, дО пересечения с продолжением 01К' Получим
6. 010зМ, аналоrично построим 60 2 0 4 R. Эти два прямоуrольных
треуrольника paBHыI, так как у них 1010з 1 == 102041, 10зМ 1 == 1 KLI-==
==  PQ 1== 1 04 R 1. Значит, 101М 1 == 1 02 R 1; но 101М I равен сумме радиу
164

сов окружностей, вписанных в D. АВС и D. ACD, а I 02R 1 равен сумме
радиусов окружностей, вписанных в D. ACD и D. BDA (см. также задачу
11.315).
236. Пусть в четырехуrольнике ABCD (рис. 43) 1 АВ 1 == а, 1 ВС 1 == ь,
1 CD 1 == с, 1 DA 1 == d, 1 АС 1 == т, 1 BD 1 == п. Построим на стороне АВ во
внешнюю сторону треуrольник АКВ, подобный треуrольнику ACD,
причем L ВАК == L DCA, L АВК == L CAD, а на стороне AD построим
D. AMD, подобный D. АВС, L DAM == L ВСА,
L ADM == L САВ. Из соответствующеrо по-
добия получим: 1 АК 1 == ас, 1 АМ 1 == bd ,
т т
ad
1 КВ 1 == I DM 1 ==  Кроме Toro, L KBD +
т
+ LMDB == LCAD + LABD + LBDA +
+ L САВ == 1800, т. е. четырехyrольник
KBDM  параллелоrрамм. Значит, I КМ 1 ==
== 1 BD I == 11. Но L КАМ == L А + L С. По
TeOJeMe косинусов для D. КАМ имеем: п 2 
\- :Y +( y 2( : )(  )COS(A+C),
откуда т 2 п 2 == а 2 ('2 + b 2 d 2  2abcd cos (А + С).
237. Утверждение теоремы Птолемея является следствием тео-
ремы Бретшнейдера (см. задачу 11.236), поскольку для вписанноrо
четырехуrольника L А + L С == 1800.
238. Если МВнаибольший из отрезков IMAI, IMBI, IMCI, то,
применив теорему Бретшнейдера (задача 11.236) к четырехуrоль-
нику АВСМ, получим, что 1 МВ 12 == 1 МА 12 + 1 МС 12 
 21 МА 1.1 МС 1 COS(L АМС + 600), т. е. 1 МВ 1< 1 МА 1 + I МС 1, посколь-
ку L АМС:/= 1200.
239. Заменив в
с
н
11
А
Рис. 43
выражении
tapt yo + ( р / ьа == t a / Pb (1)
отрезки касательных по формулам, полученным при решении задачи
1.201, убедимся, что если соотношение (1) выполняется для KaKJlxTO
окружностей r::J... , У и Б, касающихся данной соответственно в точках А,
В, С и D, то оно выполняется для любых таких окружностей. Осталось
проверить справедливость соотношения (1) для какоrо-либо частноrо
случая. Если (х, , 'у и Б  окружности нулевоrо радиуса, то получаем
обычную теорему Птолемея (задача 11.237). Можно, чтобы не ссылать-
ся на теорему Птолемея, взять окружности (Х 'и Б нулевоrо радиуса,
окружности  и 'У, касающимися как окружности, описанной около
четырехуrольника ABCD, так и касающимися хорды AD. В этом
случае справедливость соотношения (1) леrко проверяется. Отсюда, в
соответствии со сделанным замечанием, получаем ero справедливость
во всех случаях (тем самы
M одновременно доказана и обычная теоре-
ма Птолемея).
240. При доказательстве нашеrо утверждения будем пользоваться
приемом, называемым «расширением» окружностей. Суть этоrо при-
ема в следующем. Пусть две окружности, например (Х и , касаются не-
которой окружности  внешним образом. Рассмотрим окружности (х',
165

' и ', концентрические соответственно rJ..,  И . При этом, если ра 
диус окружности ' больше радиуса окружности  на величину Х, а pa
диусы окружностей rJ..' и ' мьше радиусов rJ.. и  на ту же величину Х
(х  достаточно мало), то окружности rJ..' и ' будут касаться окружно
сти ' внешним обраЗОl\f, а общая внешняя касательная к окружностям
rJ..' и ' равна общей внешней касательной к окружностям rJ.. И . Также
рассма тривается случай, Kor да rJ.. и  касаются  внутренним образом.
Если же rJ.. и  касаются  одна внешним, а друrая внутренним обра
зом, то при увеличении радиуса  радиус первой уменьшается,
второй  увеличивается, общая внутренняя касательная к окружностям
rJ..' и ' при этом не меняется.
Рассмотрим для определенности случай, коrда в равенстве (*) (см.
условие задачи) фиrурируют лишь отрезки общих внешних Kaca
тельных. (Заметим, что ни одна из окружностей не может находиться
внутри друrой.) Докажем, что окружности rJ.., , У и 8 касаются HeKOTO
рой окружности  одинаковым  или все внешним или все
внутренним  образом. Пусть радиусы окружностей rJ.., , У и 8 не все
равны между собой (случай равных радиусов леrко рассматривается
отдельно), и, для определенности, r а  радиус окружности rJ.. 
наименьший. Рассмотрим окружности rJ..', ', у', 8', rде rJ..' 
окружность нулевоrо радиуса  точка, совпадающая с центром окруж
ности rJ.., а ', у', 8'  окружности, концентрические окружностям , у,
ь с радиусами, уменьшенными на величину r а' Для дальнейших paccy
ждений воспользуемся следующим утверждением: если ' , у', 8' 
три окружности, ни одна из которых не расположена внутри друrой
и хотя бы одна из них не ну левоrо радиуса, то существует в точности
две окружности  1 И L 2 , каждая из которых касается окружностей ', у'
и ь' одинаковым образом (Т).
к этому утверждению вернемся в конце решения.
t a1 '
Возьмем на ОКРУЖНОСТЯХ1 и 2 точки rJ..1 И rJ..2 так, что  
t a ' ta'lf
 2   == л, причем rJ..1 и rJ..2 расположены на дyrax, не содержа
ta2j' tа'Б' /
щих точки касания окружности у'. Для трех четверок окружностей
(rJ..', ', у', 8'), (rJ..1, ', у', ь'), (rJ..2, ', у', 8') выполняется соотношение (*); для
первой  это утверждение нашей задачи, для двух дрyrих  на OCHO
ванин утверждения задачи 11.239. (rJ..', rJ..1, rJ..2  окружности нулевоrо
t a1P ' t f12P ' ta,p'
радиуса.) Следовательно,  ==  ==  == J.1.
t а2 l' t fЖ2 l' t а' l'
Но rеометрическое место точек М, дЛЯ которых отношение Kaca
тельных к двум фиксированныIM окружностям постоянно, есть окруж
насть (см. задачу 1.11). Значит, (11, rJ.. 2 И rJ..' принадлежат как rеометриче
скому месту точек, для которых отношение касательных, проведенных
к окружностям f}' и ь', равно Л, так и rеом:етрическому месту точек, для
которых отношение касательных, проведенных к окружностям f}' и у',
равно J.!. А это означает, что rJ..' должно совпадать с rJ..1 или rJ..2'
Пусть а1 И rJ..2 совпадают. Докажем, что в этом СЛУЧllе окружно
сти, определяемые паР!lметрами А и J.!, касаются. Возьмем л =F Л, но дo
статочно близко к Л, л определит на L1 и 2 две точки &1 и &2, для
t а1Б ,
166

t&lP' t&. р'''' ,., t ёi1 p' t&'2P'
которых    == л,. Найдем: J.1 ==  ==  Зна чит, окруж-
t , t , t, t,
СХlи (Х2 и r:J..l1 СХ21
ности, соответствующие параметрам Х и fi, имеют общую хорду &.1 &2'
Если  ----+ л" то il----+J.1, 1 &1(Х21----+0, т. е. окружности, соотвеТСТВУlощие пара-
метрам л, и J.1, касаются в точке СХ 1 == (Х2' Таким образом, (х', ', у' и (5'
касаются или I: 1 или I: 2 . «Расширяя» соответственно I: 1 или I: 2 на ве-
личину + rr.o получим, что (Х, , у и (5 касаются некоторой окружности
или прямой (I: 1 или I: 2 MorYT являться прямой) или имеют общую
точку.
Если в равенстве (*) некоторые из отрезков являются отрезками
общих внутренних касательных, то нужно доказывать существование
окружности I:, касающейся сх, , у и (5 и такой, что те из окружностей (Х,
, у, (5, для которых в равенстве (*) фиrурирует общая внутренняя каса-
тельная, касаются I: различным образом. Соответственным образом
должно измениться утверждение (Т).
Вернемся к утверждению (Т). Делая «расширение», можно свести
ero к случаю, коrда одна из окружностей ', у', (5' имеет нулевой
радиус  является точкой. Читатель, знающий, что такое «инверсия»,
леrко докажет, что утверждение (Т) теперь оказывается эквивалентным
утверждению, что любые две окружности, не расположенньiе одна вну-
три друrой, имеют в точности две общие внешние касательные. (См.
Приложение. Более подробно об инверсии, а также о задачах 11.239,
11.240 можно прочесть в книrе: Я r л о м И. м. rеометрические пре-
образования.  М.: Физматrиз, 1956, rл. 11, задачи 261, 273.) З а м е ч а-
н и е. Если три из четырех данных окружностей (Х, , у, (5 имеют
нулевой радиус  являются точками, доказательство можно сущест
венно упростить. Сделайте это самостоятельно. В дальнейшем (см.
зада чу 11.287) нам потребуется именно этот частный случай.
241. Покажите, что каждое из этих условий является необхо-
димым и достаточным для Toro, чтобы существовала окружность, впи-
санная в четырехуrольник ABCD (см. также задачу 1.19).
242. Покажите, что каждое из этих условий является необхо-
димым и достаточныIM для Toro, чтобы существовала окружность, ка-
сающаяся прямых АВ, ВС, CD и DA, центр которой находится вне
четырехуrольника ABCD.
243. Пусть ABCD  описанный четырехуrольник, О  центр впи-
санной окружности, М 1  середина АС, М 2  середина BD, r  радиус
окружности (расстояния от О до сторон равны r), Х1, У1, Zl, и 1 
соответственно расстояния от М 1 дО АВ, ВС, CD, DA; Х 2 , У2, Z2, и 2 
соответственно расстояния от М 2 до тех же сторон. Поскольку
1 АВ 1 + 1 CD 1 == 1 ВС 1 + 1 DA 1, то 1 АВ 1 r  1 ВС 1 r + 1 CD 1 r  1 DA 1 r == О.
Кроме Toro, 1 АВ 1 Х1  1 ВС 1 У1 + 1 CD 1 Zl  1 DA 1 и1 == О, I АВ 1 Х2 
 1 ВС 1 У2 + 1 CD I Z2  1 DA 1 и2 == О, а это и означает, что точки О, М 1, М 2
лежат на одной прямой (см. замечание к задаче 11.22). Точно так же раз-
бираются друrие случаи расположения точек А, В, С и D и центра окруж"
ности. При этом нужно использовать соотношения, возникающие ме-
жду отрезками 1 АВ 1, 1 ВС 1, 1 CD 1, 1 DA I (см. задачи 11.241, 11.242), и, как
сказано в замечании к задаче 11.22, если какие-то две точки окажутся
расположенными по разные стороны от какой-либо прямой, то со-
ответствующим расстояниям нужно приписывать разные знаки.
167

244. Обозначим через L и Р соответственно точки пересечения
прямых АМ и AN с окружностью. Как следует из задачи 11.204,
прямые BL, DP и MN пересекаются в одной точке. Но BL и DP 
диаметры  пересекаются  центре окружности, следовательно, MN
проходит через центр окружности.
245. Воспользуйтесь теоремой Паскаля (задача 11.204).
246. Пусть (рис. 44) Р  точка пересечения диаrоналей, а К, L, М,
N  основания перпендикуляров, опущенных из Р на АВ, ВС, CD и DA
соответственно. Так как четырехуrольник PKBL  вписанный, то
А L PKL == L РВС, аналоrично L PKN ==
== LPAD; но LPBC == LPAD, так как
они опираются на одну дyry. Следо
вательно, КР  биссектриса уrла NKL;
значит, биссектрисы уrлов четырехуrоль
ника KLМ N пересекаются в точке Р, KO
торая и является центром вписанной в
четырехуrольник KLМN окружности.
Пусть теперь диаrонали АС и BD перпен
дикулярны, R  радиус данной окруж
ности, d  расстояние от Р до ее центра,
, АР , . , РС 1 == R 2  d 2 .
Радиус искомой окружности r равен,
в частности, расстоянию от Р дО KL.
Обозначив L KLP == L АВР == rJ., L РВС ==, найдем: r == 1 PLI sin rJ. ==
== ,РВ 1 sin  sin rJ. == ,РВ , 1 РС , . 1 АР , == (R 2  d 2 ) 1 РВ " АС , х
,ВС, 'АВ' IBC"IABlsin'(a+)
х sin(rJ. + ) == (R2  d2) 2S ABC . == R 2  d 2 О Т В е т: R 2  d 2
1 АС 1 2S ABc 2R 2R 2R
247. Пусть (рис. 45) ABCD  данный четырехуrольник, Р  точка
пересечения диаrоналей, К  середина ВС, L  середина AD. Докажем,
что прямая LP перпендикулярна ВС. Обозна
чив через М точку пересечения LP с ВС,
будем иметь: L ВРМ == L LPD == L ADP ==
== L РСВ. Следовательно, РМ  ВС. Значит,
ОК 11 LP. Аналоrично РК 11 LO, и KOLP 
параллелоrрамм, 1 LK 12 + 1 РО 12 == 2 (1 LP 12 +
+IPKI2)2 CA12 + IВ12 )2R2.(ЕСЛИ
хорды AD и ВС переместить так, чтобы они
имели общий конец, а соответствующие дуrи
продолжали одна друrую, то образуется пря
моуrольный треуrольник с катетами I AD 1 и
1 ВС 1 и диаметром 2R, значит, 1 AD 12 +
+ , ВС ,2 == 4R 2 .) Следовательно, 'LК ,2 == 2R 2  d 2 И точки L и К ле
жат на окру жности с центром в S  середине РО и радиусом
1/2 l!2R 2  d 2 . Но  LM K  прямоуrольный, MS  медиана, 1 MS 1 ==
== 'LK' ==  V2R2  d 2 , т. е. М лежит на той же окружности.
2 2
О т в е т: 1/2 V 2R 2  d 2 .
н
Рис. 44
Рис. 45
168

248. Из двух предыдущих задач следует, что если диаrонали впи
caHHoro четырехуrольника перпендику лярны, то проекции точки пере
сечения диаrоналей этоrо четырехуrольника на ero стороны служат
вершинами четырехуrольника, который можно вписать в окружность
и около KOToporo можно описать окружность, причем радиусы вписан
ной и описанной окружностей и расстояние между их центрами пол
ностью определяются радиусом окружности, описанной около исход
Horo четырехуrольника, и расстоянием от ее центра до точки
пересечения диаrоналей вписанноrо в нее четырехуrольника. Следова
тельно, при вращении диаrоналей исходноrо четырехуrольника BOKpyr
точки их пересечения четырехуrольник, образованный проекциями
этой точки, будет вращаться, оставаясь вписанным в одну и ту же
окружность и описанным около одной и той же окружности. Леrко
также показать, учитывая выражения. для радиусов вписанной и опи
санной окружностей, полученные в двух предыдущих задачах, что
предлаrаемое к доказательству соотношение для таких четырехуrоль
ников выполняется.
Для завершения доказательства нам осталось доказать, что любой
«вписаноописанный» четырехуrольник может быть получен из вписан
Horo четырехуrольника со взаимно перпендикулярными диаrоналями
вышеуказанным способом. В самом деле, если KLM N 
«вписаноописанный» четырехуrольник, Р  центр вписанной окруж
ности, то, проведя прямые, перпендикулярные биссектрисам КР, [Р,
МР, NP и проходящие через К,  М и N соответственно, получим
четырехуrольник ABCD (см. рис. 44). При этом L ВРК == L KIВ ==
1
== 900   L М IК (использовано, в частности, то, что у четырехуrоль
2
ника PKBL противоположные уrлы прямые и, следовательно, он впи
1
санный). Аналоrично L КР А == L KN А == 900   L М N К и, значит,
2
1
L ВРА == L ВРК + L КРА == 1800  2(L MIК + L MNK) == 900. Таким
образом, все уrлы ВРА, APD, DPC и СРВ прямые, Р  точка пересече
ния диаrоналей четырехуrольника ABCD, сами же диаrонали перпен
дикулярны. Нетрудно показать, что ABCD  вписанный четырехуrоль
ник, поскольку
LABC + LADC == LPBL+ LPBK + LPDN + LPDM ==
1
== LPKL+ LPLK + L PMN + LPNM == 2(LNKL+ LKLM +
+ L LМN + L MNK) == 1800.
При м е ч а н и е: см. также задачу 11.319.
249. Середины сторон четырехуrольника образуют параллело
rpaMM, диаrонали KOToporo параллельны отрезкам, соединяющим
центры тяжести противоположных треуrольников. Друrой параллело
[рамм образуют четыре высоты рассматриваемых треуrольников, BЫ
ходящие из вершин четырехуrольника. Стороны первоrо параллело
rpaMMa параллельны диаrоналям четырехуrольника, а BToporo  им
перпендикулярны. Кроме Toro, стороны BToporo параллелоrрамма
169

в ctg iJ.. раз больше соответствующих сторон первоrо (iJ.. .... острый уrол
между диаrоналями четырехyrоль!!ика.)
250. Докажем, что оба утверждения (BD.... бцссектриса yr ла AN С,
АС .... биссектриса yrла BMD) эквивалентны равенству 1 АВ 1.1 CD 1 ==
== I AD 1.1 Ве 1. Возьмем на дуrе BAD точку А 1 так, что 1 DA 1 1 == 1 АВ 1.
Условие задачи эквивалентно тому, что прямая А 1 С проходит через
N .... середину BD, т. е. равенству площадей треуrольников DA 1 С и
А 1 ВС, откуда IDA 1 1.IDCI == IBA 1 1'IBCI, т. е. IABI.ICDI == IADI.IBCI.
251. Перпендикулярность биссектрис доказывается без труда. До-
кажем второе утверждение. Пусть М .... середина АС, N .... середина BD.
Из подобия треyrольников АКС и BK следует, что L МКА ==
IMKI IACI
== L NKD и == , т. е. биссектриса уrла ВКС является так..
IKNI IBDI
же и биссектрисой уrла MKN и делит отрезок MN в отношении
1 МК 1 .... 1 АС 1. Очевидно, что в этом же отношении дt!лит MN и бис-
IKNI IBDI
сектриса уrла AIВ.
252. Пусть ABCD.... данный четырехуrольник, О.... центр окружно-
сти, описанной около треуrольника АВС, 01 и 02  центры окружно"
стей, описанных около треуrольников DAB и BCD, К и L....
соответственно середины сторон АВ и ВС. Точки 01 И 02 лежат на ОК
10011 10021
и О L, причем == . Это следует из Toro, что О 1 02 перпен"
101 K I 102 L I
дикулярна DB и, следовательно, 0102 параллельна IК (IК параллельна
АС). Значит, прямые А0 1 и С0 2 делят ОВ в одном и том же
отношении. (Применим теорему Менелая .... задача 11.45  к треуrольни"
<i
кам ОКВ и от.)
253. Обозначим радиус окружности через R, а расстояния от Р,
Q и М до центра.... соответственно через а, Ь и с. Тоrда (задача 1.272)
1 QP 12 == а 2 + Ь 2 .... 2R 2 , 1 QM 12 == Ь 2 + с 2 .... 2R 2 , 1 РМ 12 == с 2 + а 2 .... 2R 2 .
Если О .... центр окружности, то для Toro чтобы QO была перпендику"
лярна РМ, необходимо и достаточно выполнение равенства (задача
11.1) 1 QP 12  1 QM 12 == 1 ОР 12  1 ОМ 12, или (а 2 + Ь 2 .... 2R2)  (Ь 2 + с 2 ....
.... 2R2) == а 2 .... (;2. Аналоrично проверяется перпендикулярность дрyrих
отрезков.
254. Если М, N, Р и Q .... соответственно точки касания сторон АВ,
ВС, CD и DA с окружностью, то, как следует из решения задачи 1.236,
МР и NQ пересекаются в точке пересечения АС и BD. Точно так же
докажем, что прямые М N и PQ пересекаются в той же точке, что
и прямые АС и KL, а прямые MQ и Np.... в  той же точке, что
и прямые KL и BD. Теперь для четырехуrольника MNPQ воспользуем..
ся результатом предыдущей задачи.
255. Обозначим: L DAN == L МАВ == <р. Пусть L.... точка пересече..
ния АМ и N В, Р  точка пер.есечения AN и D М, Q .... точка пересече..
пия АК и MN. По теореме Чевы (задача 11.44) для д AMN
имеем:
INQI IALI INPI SNAB SDNM
.... .... ....
IQMI 11МI IPAI SNMB SDAM
170

1 IAMI . 1
IANI' Sln LNАВ'IАNI'INЛlltg<рсоs LANM
2 cos <р 2
1 1 1 AN 1 .
 I АМ 1.1 NM 1 tg <р cos LAMN. .1 АМ 1 Sln LMAD
2 2 cos <р
IANlcos LANM
,
IAMlcos L AMN
т. е. Q делит N М в том же отношении, что и высота, опущенная из
А на NM.
257. Докажите сначала следующее вспомоrательное утверждение:
если А, В и С  точки на одной прямой, М  произвольная точка пло..
скости, то центры окружностей, описанных около треуrольников МАС,
МВС, МСА,и точка М лежат на одной окружности. Затем используйте
результат задачи 11.256.
258. Обозначим точки пересечения прямых через А, В, С, D, Р,
Q (расположены точки так же, как в решении задачи 1.271); О  центр
окружности, проходящей через А, В, С и D, R  ее радиус, а и Ь 
касательные, проведенные к окружности соответственно из Р и Q. ТО,
что М лежит на PQ, было доказано в процессе решения задачи 1.271.
Кроме Toro, там же было доказано, что 1 РМ 1.1 PQ 1 == а 2 , 1 QM 1.1 QP 1 ==
а 2
== Ь 2 , 1 QP 12 == V a 2 + ь 2 . Таким образом, 1 РМ 1 == , I QM 1==
V а 2 + Ь 2
Ь 2
== . Кроме Toro, I РО 1 == V а 2  R 2 , 1 QO 1 == V b2  R 2 . Сле-
V а 2 + Ь 2
довательно, 1 РО 12  1 QO 12 == а 2  Ь 2 == 1 РМ 12  1 QM 12. А это означает,
что ОМ  PQ. Для завершения доказательства необходимо рассмо-
треть случай, коrда (в тех же обозначениях) на окружности располо-
жены точки А, С, Р и Q (см. также задачу 11.253 и ее решение).
259. Если перемещать одну прямую параллельно самой себе, то
прямая Эйлера треуrольника, одной из сторон KOToporo является пере-
мещаемая прямая, будет перемещаться параллельно самой себе.
t1
Рис. 46
171

Учитывая это, задачу леrко свести к следующей. Пусть А, С и D  три
точки на одной прямой, В  произвольная точка плоскости. Если пря
мая Эйлера треуrольника АВС параллельна BD, то прямая Эйлера
треуrольника CBD параллельна АВ (рис. 46). Докажем это. Обозна
чим: LBCD == <р (считаем, что С между А и D, <р  900), 01 И Н 1 
центр описанной окружности и точка пересечения высот 6. АВС, 02
и Н 2  эти же точки в 6. BCD. Опишем около АВН 1 окружность, М 
точка ее пересечения с 01Н 1. Докажем, что четырехуrольники
01АМВ и 02DH2B подобны. Прежде Bcero, треуrольники 01АВ и
02DB  подобные равнобедренные треуrольники, а L МАВ ==
==LMH1B==LH1BD==LH2BD (BD параллельна 01Н1)' LMBA==
== LMH1A== LH 2 DB (АН 1 и DH 2 перпендикулярны СВ). Подобие
четырехyrольников доказано. Далее: L 02Н2В == L 01МА == L Н 1 МА ==
== L Н 1ВА == L Н 2ВА, т. е. Н 202 параллельна АВ.
260. Из результата задачи 11.19 следует, что общая хорда окруж
ностей с диаметрами АЕ и DC (а также DC и BF, BF и АЕ) содержит
точки пересечения высот треуrольников АВС, BDE, DAF и CEF. Пусть
далее К  точка пересечения АЕ и DC, L  точка пересечения АЕ и BF.
По теореме Менелая (задача 11.45) для треуrольников ВЕА и ЕАС
IAKI IECI IBDI IALI IEBI ICFI
имеем: I КЕ I . I СВ I . I DA I == 1, I IE I . I ВС I . I F А I == 1. Разделив эти
равенства почленно одно  на друrое и учитывая, что
ICEI IBDI IAFI IAKI IKEI
. . == 1, получим: == . Рассмотрим окруж
IEBI IDAI IFCI IALI IIEI .
ность с диаметром АЕ. ДЛЯ всех точек Р этой окружности отношение
IPKI
 постоянно (см. задачу 11.9). То же верно и для окружностей
IPLI
с диаметрами DC и BF. Таким образом, три этих окружности пересе
каются в двух точках Р 1 И Р 2 таких, что отношения расстояний от Р 1
И Р 2 дО К, L и М для них одинаковы. Теперь можно воспользоваться
результатом задачи 11.14.
261. Утверждение следует из результата предыдущей задачи.
262. Обозначим через l(ABC) срединный перпендикуляр к отрезку,
соединяющему точку пересечения высот и центр описанной окружно
сти треуrольника АВС. Пусть прямая пересекает стороны ВС, СА и АВ
треуrольника АВС соответственно в точках D, Е и F. Докажем снача
ла, что при перемещении прямой DEF параллельно самой себе точка
М пересечения прямых I(DFB) и l(DEC) описывает прямую линию.
Пусть точки D 1 , Е 1 , F 1; D 2 , Е 2 , F 2; D з , Е з , F з соответствуют трем по
ложениям этой прямой. Прямые l(DjFjB) и l(DjEjC), rде i == 1,2, 3, пере
секаются между собой в M j и пересекают прямую ВС в точках N i и K i .
Леrко видеть, что точка N 2 делит отрезок N 1 N з в том же отношенl'IИ,
что и точка К 2 делит отрезок К 1 К З ' Это отношение равно отноше
нию, в котором D 2 делит D 1 D з (в том же отношении Е 2 делит Е 1 Е з , а
F 2  F 1 F з' Поскольку прямые l(DiFiB) параллельны между собой
и прямые 1 (DiEiC) также параллельны между собой, то прямая
l(D2F 2В) делит отрезок М 1 М 3 в том же отношении, что и прямая
1(D 2 E 2 C), т. е. М 2 лежит на отрезке М 1 М З .
172

Покажем теперь, что точка М описывает прямую 1 (АВС). ДЛЯ это-
[о достаточно доказать, что для двух положений прямой DEF соответ-
ствующая точка М лежит на 1 (АВС). Рассмотрим случай, коrда эта
прямая проходит через А (точки Е и F совпадают с А). Введем систему
координат, в которой точки .А, В, С и D имеют координаты А (О, а),
В(Ь,О), С(с,О), D(d,O). Найдем уравнение прямой 1 (АВ С). Точка пересе-
чения высот треуrольника АВС имеет координаты (о,  Ь: ). центр
описанноrо Kpyra  ( ь ; с ,  (а +  )). Запишем уравнение прямой
l(ABC):
( 3Ьс ) а2 + Ь 2 + с 2 зЬ 2 с 2
х(Ь+с)+у a+ == +bc 2 '
а 4 4а
Заменяя в этом уравнении с на d, получим уравнение прямой. 1 (АВ!!),
а заменяя Ь на d  уравнение прямой 1 (ACD).
Можно проверить, что все три прямые имеют общую точку
1 3bcd 1 2
Q (хо, Уо), [де хо == (b + с + d)  2 ' УО == (a  Ьс  cd  db). Этим
4 4а 4а
доказательство завершается, поскольку случай, коrда прямая DEF про-
ходит через В или С, равнозначен рассмотренному.
263. Пусть 1, т, пир  прямые, образующие наши треуrольники
(рис. 47, а). Введем следующие обозначения: Р  центр окружности, впи-
санной в треуrольник, образованный прямыми 1, т и n, Р ,  центр
вневписанной окружности Toro же треуrольника, которая касается CTO
роны, лежащей на прямой 1. Такой же смысл будут иметь обозначения
L, Мр' N m и т. д.
L N М ! Р 1l
М Р L m N p
Р т А-! р N m Lp
N z L n Р! М п
О}
О"
'"
0з
04
Ql
Q2
Qз
Q4
в приведенной таблице четыре точки, расположенные в одной
строке или одном столбце лежат на одной окружности, причем центры
окружностей, соответствующие строкам, лежат на одной прямой  ql,
а центры, соответствующие столбцам, на друrой  q2; q1 и q2 перпен
дикулярны и пересекаются в точке Микеля (задача 11.256). Докажем
это. То, что указанные четверки лежат на одной окружности, доказы-
вается несложно. Обозначим через 0i' Qi (i == 1,2,3,4) центры соответ-
ствующих окружностей. Докажем, что 0102 перпендикулярна QIQз и
Q2Q4. Если в треyrольнике (1, n, т) уrол между 1 и т равен et, то
LLNM , == LLmPM == 900 +; следовательно, LL0 1 M , == LLm02M ==
2
== 1800  et. Точно так же LLPmM == L4P I M , == et/2, LLQIM ==
173

б
Рис. 47
174

== LmQз М , == rJ.. Треуrольники Ш 1 М" L",02M, LQ1M, L",Оз М , 
равнобедренные, их боковые стороны соответственно перпенди-
кулярны (например, 01Lи Щ1), Далее (рис. 47,6), 1 Q10112  I 01Qзl 2 ==
== (а 2 + с 2 )  (а 2 + d 2 ) == (Ь 2 + с 2 )  (Ь 2 + d 2 ) == 1 02Q1 12  I 02Qз1 2 . Сле-
довательно, 0102 и Q1Qз перпендикулярны. Точно так же дока)кем
перпендикулярность 0102 и Q2Q4 (рассмотрим прямую, на которой
расположены точки N, Р, N p , Pn). Поэтому Q1Qз и Q2Q4 параллельны
(если эти точки не лежат на одной прямой). Точно так же парал
лельными будут Q1Q4 и QзQ2 (они перпендикулярны 010з), Q1Q2 и
QзQ4 (они перпендикулярны 0104)' а из этоrо Следует, что Q1' Q2' Qз,
Q4 лежат на одной прямой  q2; также и 01' 02' Оз, 04 лежат на одной
прямой  q1. Очевидно, q1 и q2 перпендикулярны.
Будем перемещать прямую т параллельно самой себе. Пусть L',
1 010'1 I 1 L 1
L, О;, O соответствуют прямой т'. Отношение
102021 1 L",L;,.I
IALI
постоянно (оно равно ), а это означает, что при перемещении
IALml
т прямая 0102, т. е. ql, проходит через фиксированную точку. Точно
так же через фиксированную точку проходит прямая q2' Поскольку ql
И q2 перпендикулярны, то их точка пересечения описывает окружность.
Но коrда т проходит через А (а также В или С), то точки L и  сли
ваются с А, прямые 0102 и Q1Qз, т. е. q1 и q2 проходят через А (со-
ответственно В или С). Таким образом, точка пересечения q1 и q2 про
беrает описанную около треуrольника АВС окружность. Перемещая
друrие прямые  1, n, р  докажем, что точка пересечения q 1 И q 2 при-
надлежит любой окружности, описанной около одноrо из треуrольни"
ков, образованных прямыми 1, т, n, р, т. е. прямые q1 и q2 пересекают-
ся в точке пересечения окружностей, описанных около этих
треуrольников  точке Микеля.
Заметим, что «попутно» доказано, что четыре окружности, опи-
санные около четырех треуrольников, образованных четырьмя прямы-
ми плоскости, пересекаются в одной точке (задача 11.256).
266. Обозначим одну из точек пересечения, через которую прохо-
дит прямая, ..через С. Пусть В 1 , В 2 , В з  основания перпендикуляров,
опущенных соответственно из 01' 02' Оз на прямую, а К и М  точки
пересечения прямх, параллельных А 1 А 2 , проходящих через 01 и 02
соответственно с 02В2 и ОзВз. Поскольку В 1 и В 2  середины хорд
А 1 С и СА 2 , то 1 В 1 В 2 1 == I А 1 А 2 1/2. Если rJ.  yrол между прямыми А 1 А з
'А 1 А 2 1 21В1В21 'О1 К '
и 010з, то  == 2 == 2 cos СХ' аналоrично
101021 101021 101021 '
IА 2 А з l
== 2 cos СХ.
1020з1
268. Пусть 01 и 02  центры окружностей, R 1 и R 2  их радиусы,
I о 1 02 1 == а, М  точка пересечения общих внутренних касательных.
Окружность с диаметром 01 02 проходит через точки пересечения об-
щих внешних касательных с общими внутренними касательными. При
aR1 R2
rомотетии с центром в точке М и коэффициентом эта
а
175

окружность перейдет в окружность, касающуюся данных внешним
образом, с центром на 0102'
269. Пусть М ..... одна из точек пересечения окружностей; Tor да М А
и МС  биссектрисы (внешнеrо и BHYTpeHHero) уrла М треуrольника
BMD, поскольку окружность с диаметром АС  rеометрическое место
IMAI IMBI
точек М, дЛЯ которых == (см. задачу 11.9). Пользуясь COOT
IMCI IMDI
ношениями между уrлами прямоуrольноrо  АМС и  BMD, убеди
тесь, что радиусы описанных окружностей этих треуrольников, прове
денные из вершины М, взаимно перпендикулярны.
271. Заметим (рис. 48,а), что  АРМ подобен  AMQ,  APL
подобен  AKQ,  AKN подобен  AIN; из этих подобий получаем:
IPMI IAMI IQKI IAQI IINI IALI
IMQI == IAQI ' IPLI == IALI' INKI == IANI' Перемножая эти pa
венства и учитывая, что I АМ 1 == 1 AN 1, получим, что
'РМI IQKI IINI
I MQ 1 . I PLI . I NK I == 1, а это (см. задачу 11.49) и есть необходиl\tfое
и достаточное условие Toro, чтобы прямые MN, РК и QL пересекались
в одной точке.
А А
R "'"
..........
........
........
10 ........,
tJ
Рис. 48
Способ построения касательной с помощью одной линейки поня
тен из рис. 48, б. Числа 1,2,... показывают последовательность прове-
дения прямых.
272. Искомое множество есть прямая  поляра точки относитель
но данной окружности (см. зада чу 11.21).
273. Уrлы AMN и BMN можно выразить через центральный уrол,
соответствующий дуrе АВ данной окружности (необходимо разобрать
различные случаи расположения точки N); после этоrо можно опреде-
лить L АМВ. Искомое rеометрическое место точек есть окружность.
274. Воспользуйтесь результатами задач 11.271 и 11.21. Полученное
rеометрическое место точек совпадает с rеометрическим местом точек
задачи 11.21, т. е. это есть поляра точки А относительно данной
окружности.
275. Обозначим (рис. 49) через О точку пересечения АМ и DC.
Проведем через точку В касательную ко второй окружности и обозна
чим точку пересечения ее с АС через К (как и в условии). Очевидно,
что утверждение задачи эквивалентно утверждению, что КО 11 СМ.
Пусть уrол, опираЮЩИЙСjl на дуrу АВ в первой окружности равен rJ., во
176

второй , тоrда LBCM == LBAC, LBDM == LBAD, LDMC 
 1800  L BDM  L ВСМ  1800  L BAD  L ВАС == 1800  L DAC;
следовательно, ADMC  вписанный четырехуrольник, L АМС == . Да-
лее, если касательная ВК пересекает DM в точке L, то L КВО 
 L IВD  L BDL  L САМ; значит, четырехуrольник КАВО также
м
D
Рис. 49
вписанный и L КОА == L КВА == , т. е. КО 11 СМ (точно так же pac
сматриваются случаи друrих взаимных расположен ий точек D, В и С).
276. Поскольку окружность с диаметром CD проходит через фик
сиро ванную точку А на MN (MN  CD), то
ICNI'INDIINAI2 (1)
есть величина постоянная. Обозначим через К точку пересечения PQ
IMKI
с М N. Покажем, что  величина постоянная. Заметим, что
IKNI
IMKI SPMQ IPMI.IMQI
L PNQ == 1800  L PMQ; значит,  
IKNI SPQN IPNI.INQI
IMNI IMNI IMNI2
 2 (использовано равенство (1) и то, что
ICNI INDI IANI
д MNP подобен д MNC, а д MNQ подобен д MND).
277. Равенство L 01А02  L MAN следует из результата задачи
1.279, равенство L 01А02  2L САЕ было доказано в процессе реше
ния задачи 1.275.
278. Пусть О и 01  центры двух рассматриваемых окружностей
(О  середина АВ), К  точка касания окружностей (К на прямой 001)'
N  точка касания окружности 01 с прямой CD, М  точка пересечения
АВ и CD. Поскольку 01 N параллельна АВ и треуrольники K0 1 N
и КОА подобные равнобедренные, то точки К, N и А лежат на одной
прямой. Обозначим через t касательную к окружности 01 из точки
А (считаем, что окружность 01 внутри cerMeHTa CBD). Имеем: t 2 
==1 AN 1.1 АК 1 I AN 12+ 1 AN 1.1 NK 1  1 АМ 12 + I MN 12 + 1 CN 1.1 ND 1 ==
 1 АМ 12 + 1 MN 12 +(\ СМ 1  1 MN 1)(1 СМ 1 + 1 MN 1)  1 АА112 + 1 СМ 12 
 1 АК 12, что И требовалось.
279. Пусть А  середина дуrи данной окружности, не входящей
в cerMeHT, касательные к окружностям, вписанным в cerMeHT, из
А равны (задача 11.278). Из этоrо следует, что А лежит на прямой MN,
поскольку 1 АО 1 1 2  1 А0 2 1 2  101М 12  102М 12, [де 01 и 02  центры
окружностей.
177

280. Рассмотрим общий случай произвольных окружностей. Пусть
точки F и F' расположены, как показано на рис. 50. Обозначения по
нятны из рисунка. Докажем, что существует окружность, вписанная
н
Рис. 50
в четырехуrольник АКВМ, после чеrо воспользуемся результатом за-
дачи 11.55. Для этоrо достаточно доказать, что (см. задачи 11.241, 11.242)
1 BF 1 + 1 BF' 1 == 1 AF' 1 + 1 AF 1. (1)
Учитывая, что 1 BL 1 == 1 ВТ " а 1 FS 1 == 1 FT 1, получим: I BF 1 == 1 BL I 
---IFSI, и аналоrично IFAI == IFQI---IAEI, IBF'I == IF'PI  IBLI,
1 F' А 1 == 1 АЕ 1  1 F' R 1. Подставляя эти выражения в (1), получим:
I BLII FS 1+1 F'P '' BLI==I АЕ II F'R 1+1 FQ 'I АЕ 1=>1 F'R 1 + IF'PI ==
== 1 FQ 1 + 1 FS 1 => 1 PR 1 == 1 SQ 1. Точно так же разбираются остальные
случаи расположения точек F и F' на касательных (при этом учи
тываем результаты задач 11.241, 11.242). Поскольку каждая касатель-
ная точками касания и точкой пересечения разделена на 4 части, то
таких случаев будет 1/2' 42 == 8.
Для доказательства второй части заметим, что середины АВ, F р'
и центр третьей окружности 0з, вписанной в АКВМ, лежит на одной
прямой (см. задачу 11.243). Но поскольку радиусы данных окружностей
равны, то АВ параллельна 0102 (01' 02  центры данных окружно
стей); А и В лежат на прямых 010з И 020з, Значит, прямая, проходя-
щая через 0з и середину АВ, делит 0102 пополам.
281. Пусть (рис. 51) М --- точка пересечения касательных 11' т 1 и п 1 ,
N --- точка пересечения 12 и т 2 . Проведем через N прямую п, касаю-
щуюся сх, отличную от 12. Так же, как это было сделано в задаче 11.280,
можно доказать, что прямые т 1 , п 1 , т 2 и п касаются одной окружно-
сти, причем эта окружность является вневписанной по отношению
к треуrольнику Р М Q (касается стороны PQ), т. е. совпадает с "/. За-
м е ч а н и е. Рис. 51, с точностью до обозначений, соответствует обще-
му случаю расположения окружностей, удовлетворяющих условию
задачи.
282. Докажем, что прямая D 1 С проходит через О  центр дуrи АВ,
а прямая DC 1  через 01  центр дуrи АВ 1 (рис. 52). Треуrольник
DAD 1  правильный, 1 DC 1 == I АС 1, следовательно, D 1 С 1. DA и D 1 С
178

/
проходит через О. Аналоrично DC 1 1.. D 1 A. Точка 01 лежит на дуrе АВ,
поскольку она получается из О поворотом BOKpyr А на '/С/3. Пусть обе
дуrи измеряются величиной бct (для удобства ct > '/С/б). Тоrда
'/С
L А0 1 С 1 == 2сх, L 01 С 1 А ==   <х, п(
2
LF АС 1 ==2сх. Следовательно, LAFC 1 ==
== 1t  2сх  (   СХ ) ==   ct == LFC1A
22'
т. е. I АР I == 1 АС1 1 == I АС 1. Докажем,
что треуrольники F АС и EDC равны.
Имеем: 1 АР 1== 1 АС 1 == 1 DC 1 == I DE 1,
L CDE == L CDB  L BDE==1t 2cx(п 
2LDBE) 2CX+2(2CX  )2CX 8
  == L F АС; таким образом, 1 РС I ==
3
== 1 С Е 1. Далее найдем: L DCE == 2п  <х, L В 1 F D ==   ct (измеряет
3 2
ся полусуммой соответствующих дyr), L В 1 РС == 1t  L СР А ==  + <х,
3
5 5 1t 1t
LDFC == п, LDCF == 1t  п  ct +  ==   ct и, наконец, LFCE ==
б 6 б 3
 е:  сх)  ( ;  сх)  ; .
283. Разберем два случая: 1) L АВС описан около данной окруж
ности; 2) данная окружность касается продолжений сторон АВ и АС.
Рис. 51
С,
Рис. 52
179

В первом случае рассмотрим окружность, касающуюся сторон
уrла в точках М и N и описанной около t:.. АВС окружности BHYTpeH
ним образом. Пусть а, Ь, с  стороны треуrольника АВС, r  радиус
данной окружности, L А == (1., I АМ I == I AN I == х. Воспользуемся обоб-
щенной теоремой Птолемея (задача 11.239): ха == (Ь  х) с + (с  х) Ь,
2Ьс 4S АВС 2r
откуда х == а + Ь +'С == (а + Ь + с) sin (1. == sin (1. , т. е. х постоянно.
(Можно доказать, что MN проходит через центр данной окружности.)
Во втором случае нужно взять окружность, касающуюся сторон
yr ла и описанно около t:.. АВ С окружности внешним образом.
284. Обозначим стороны ьАВС как обычно: а, Ь, с; пусть I BD I ==
== d, I AD I == Ь1, I АМ I == х. Воспользуемся обобщенной теоремой Птоле-
мея (задача 11.239): ха + (d  Ь1 + х) Ь == (Ь  х) с, откуда
Ь (с + 61  d)
х==
а+Ь+с
(1)
Возьмем на АВ точку N так, что MN параллельна BD. Имеем:
х х
IMNI ==d, IANI ==c,
Ь 1 Ь 1
( Х ) 2 ( Х ) 2 Ь х 2
SAMN==  SABD==  SABC==SABC'
Ь 1 Ь 1 Ь Ь 1 Ь
(2)
Пусть r  радиус окружности, касающейся MN, а также продолжений
AN и АМ. Тоrда из (1) и (2) следует, что
2SAMN 2X 2 SABC
r== 
IAMI+IANIIMNI bX(b1+Cd)
т. е. r равняется радиусу окружности, вписанной в t:.. АВС, что и тре-
бовалось.
285. Обозначим через М и К точки касания окружностей с цент-
рами 01 и 02 С АС. Из результата, предыдущей задачи следует,
что L 01DM == L OKD == ,
2
L 02DK == L OMD == 900 .
2
Продолжим ОК и ОМ дО
пересечения с 01М и 02К
соответственно в точках L
и Р (рис. 53). В трапеции
LM КР с основаниями LM
и РК имеем I M0 1 1 == IMDI ==
101 L I IDKI
L
11
Рис. 53
180
2S AB C
а+Ь+с'
02
IP0 2 1
102 K I
0102 проходит через точку
пересечения диаrоналей тра-
Следова тельно,

пеции  точку О. Кроме Toro,
1 м К 1 tg 
2
1 м К 1 ctg 
2
286. Утверждение задачи следует из результатов задач 11.285
и 11.232.
287. Утверждение этой задачи можно доказать с помощью pe
зультата задачи 11.240, точнее ее частноrо случая, коrда три окруж
ности имеют нулевой радиус  являются точками. Этими точками
в данном случае будут середины сторон треуrольника.
288. Утверждение этой задачи следует из теоремы Фейербаха (см.
задачу 11.287) и из Toro, что треуrольники АВС, АН В, ВН С, С Н А
имеют одну и: ту же окружность девяти точек (докажите).
289. Пусть в D. АВС дЛЯ определенности, а Ъ  с. Обозначим че
рез А 1 , В 1 , С 1 середины сторон ВС, СА, АВ, а через F, Fa, F b , Fc 
точки касания вписанной и вневписанных окружностей с окруж
ностью девяти точек D. АВС. Нужно доказать, что в шестиуrольнике
С 1 F c F А 1 F a F ь (точки, взятые в указанном порядке, образуют шести
уrольник, так как а  Ь  с) диаrонали С 1А1' FcFa и FFa пересекаются
в одной точке, для этоrо достаточно доказать (Cl'vl. задачу 11.49), что
10101
10021
ILMI
'РКI
== tg 2 .
2
1 С 1 F с 1 . 1 F А 1 1 1 F a F ь 1 == 1 F c F 1 1 А 1 F а 1 1 F ь С 1 1. (1)
Используя формулы, получ енные в задаче 1.201, най дем:
ba Y R Cb Y R
1 С 1 F с 1 == 2 R + 2r с' 1 F А 1 I == 2 R  2r '
1 F a F ь 1 == (а + Ь) R , 1 F c F 1 == (Ь  а) R ,
YR+2r a . YR+ 2r b YR2r.YR+2rc
1 A1Fa 1 == с  Ь V R , I F b C 1 1 == а + Ь l/R.
2 R + 2ra 2 V 
После этоrо равенство (1) леrко проверяется. З а м е ч а н и е. Можно
доказать, что точки пересечения противоположных сторон четырех
уrольника, вершинами KOToporo являются точки касания вписанной
и вневписанных окружностей данноrо треуrольника с ero окружностью
девяти точек, лежат на продолжениях средних линий этоrо Tpe
уrольника.
290. Используя формулы задач 11.193, 11.194, 11.289 (в последней
v I F b F с 1 (а + Ь) (Ь + с) (с + а) R 3
задаче см. ее решение), наидем == . Таки
I В 1 С 1 I аЬс . 1 01 а 1 . I 01 ь I . I 01 с 1
ми же будут отношения друrих соответствующих сторон треуrольни
ков FaFbFc и А 1 В 1 С l' Точно так же доказываются подобия друrих пар
треуrольников. При этом следует для величин 1 А 1 В 2 1 и др. получить
формулы, аналоrичные формуле задачи 11.194.
291. Докажите, что D. АВР == D. ACQ. Для этоrо достаточно ДOKa
зать, что D. КВР == D. АВС и D. FCQ == D. АВС (по двум сторонам
и уrлу между ними): LQAP == LCAB + LCAQ + LBAP == LCAB +
+ L CAQ+ L CQA== L САВ+ 1800 LQCA== L CAB+900 LQCF==90°
181

(предполаrалось, что L САВ  900; рассуждения в случае L САВ > 900
анал оrичны).
292. Поскольку L FE 1 E == L FCE == 900, то четырехуrольник
FE 1 EC  вписанный, L FCE 1 == L FEE 1 == 600. Аналоrично, вписанным
является четырехуrольник FE 1 AD и L E 1 DF == L E 1 AF == 600, т. е.
D. DE 1 С  правильный. Точно так же доказывается, что правильным
является D. BF 1 С.
293. Обозначим через Р, Q и R точки пересечения соответственно
LВ и АС, AN и ВС, LВ и AN. Пусть 1 ВС 1 == а, 1 АС 1 == Ь. Достаточно по
казать, что SACQ == SAPB (обе эти площади отличаются от рассматри
ваемых добавлением площади D. APR). Из подобия соответствующих
аЬ
треуrольников получим I CQ I == 1 РС 1 == . Следовательно, S ACQ ==
а+Ь
1 аь 2 1 а 2 Ь
==, АС 11 CQ 1 == ( ) ' SAPB == SACB  SPCB == ab 
2 2 а + Ь 2 2(а + Ь)
аЬ 2
2(а+ Ь)'
295. Докажите, что площадь треуrольника с вершинами в центрах
квадратов, построенных на сторонах данноrо треуrольника и располо
женных вне Hero. и площадь треуrольника с вершинами в центрах KBa
дратов, 1J0строенных на тех же сторонах вовнутрь данноrо треуrольни
1 1
ка, соответственно равны S + (a2 + h 2 + с 2 ) и 1 S  (a2 + Ь 2 + с 2 ) 1,
8 8
[де а, Ь, с, S  стороны и площадь данноrо треуrольника.
296. Обозначим: L А 1 ВС ::::t (Х, L А 1 С В == ; Tor да АА 1 делит ВС
1
21 АВ 1.1 ВА 1 1 sin (L В + (Х)
1
2' АС 1.1 СА 1 1 sin (L С + )
в
отношении,
равном
SABA
1
SACA
1
",....  sin  sin (L В + (Х)
 Проделав эти же выкладки для друrих CTO
Ь sin (Х sin (L С + ).
рон треуrольника АВС, воспользуйтесь теоремой Чевы (задача 11.44).
297. Пусть KL  дуrа окружности, находящаяся внутри треуrоль
ника АВС. Продолжив стороны АВ и ВС за точку В, получим дуrу
MN, симметричную дуте KL отно"
сительно диаметра, параллельноrо
АС. Поскольку L В измеряется дy
rой, равной  (u KL + u М N) ==
2
11 == u KL, то дуrа KL имеет постоян
ную длину И ей соответствует цен..
тральный yrол, равный yr лу В.
298. Пусть О (рис. 54)  точка
пересечения прямых, А и А 1  два
положения точки на одной прямой,
В и В 1  положения в эти же мо"
менты времени друrой точки. Вос..
ставим к АВ и А 1 В 1 перпендикуляры
А
о
Рис. 54
182

в их серединах и обозначим через М их точку пересечения; 6. АА 1 М ==
== 6. ВВ 1 М по трем сторонам  один получается из дрyrоrо поворо-
том на уrол АОВ с центром М. При этом повороте любое положение
точки на АО приходит в соответствующее положение точки на ОВ, так
что М обладает нужным свойством.
, 299. а) Пусть А и В  точки пересечения окружностей, А.... точка,
из которой велосипедисты выехали, М и N  положения велосипеди-
стов в некоторый момент времени. Если М и N  по одну сторону от
АВ, то L АВМ == L ABN, если по разные, то L АВМ + L ABN == 1800,
т. е. точки В, М и N расположеныI на одной прямой. Если L и К 
 точки окружностей, диаметрально противоположные В (L и К фик-
сированы), то поскольку L тм == L NMK == 900, то середина LK....
 точка Р  будет равноудалена от N и М. Можно убедиться, что
р симметрична точке В относительно середины отрезка, соединяющеrо
центры окружностей (рис. 55, а).
N
11
N
о
А 1
о
Рис. 55
б) Пусть 01 И 02  центры окружностей. Возьмем точку А 1 такую,
что 01А02А1  параллелоrрамм. Леrко видеть, что 6. МО 1 А 1 ==
== 6. N0 2 A 1 , так как I МО 1 1 == I 01 А I == I 02 А 1\, \ 01 А 1\ == \ 02 А I == \ N0 2 \,
L М0 1 А 1 == <р + L А0 1 А 1 == <р + L А0 2 А 1 == L N0 2 A 1 , [де <р  уrол, co
ответствующий дуrам, пройденным велосипедистами (рис. 55, б). Ta
ким образом, искомые точки симметричны точкам пересечения окруж
ностей относительно середины отрезка 0102' З а м е ч а н и е. В пункте
а) можно было поступить точно так же, как и в пункте б). А именно,
взяв точку Р таким образом, что 6. 01Р02 == 6. 01А02 (А и Р  по од-
ну сторону от О 1 02 И не совпадают), леrко доказать равенство co
ответствующих треуrольников.
300. б) Используйте результат пункта а). Замените поворот BOKpyr
01 двумя оевыми симметриями, взяв в качестве оси второй симмет
рии прямую 0102' а поворот BOKpyr точки 02  двумя симметриями,
взяв в качестве оси первой симметрии прямую 0102' З а м е ч а н и е.
Если r:t +  == 2п, то последовательное применение данных поворотов,
как леrко убедиться, эквивалентно параллельному переносу. О т в е т:
r:t  r:t + 
если r:t +  < 2п, то yrлы равны , , п .... , если r:t +  > 2п, то
2 2 2
r:t  r:t+p
уrлы равны п  2' п  2' 2
183

301. Произведем последовательно три поворота в одном напра
влении BOKpyr точек К, L и М (или BOKpyr К 1, L 1 И М 1) на уrлы с/.., В
и 'У. Поскольку CI.. + В + 'У == 2п, то получившееся преобразование есть
параллельный перенос (см. задачу 11.300). Но поскольку одна из Bep
шин исходноrо треуrольника при этом останется неподвижной, то He
подвижными должны остаться все точки плоскости.
Таким образом, центр третьеrо поворота (точка М) должен совпа
дать с центром поворота, получающеrося в результате последователь
Horo применения двух первых: BOKpyr точек К и L. Теперь можно
воспользоваться результатом задачи 11.300.
302. Обозначим: L ВОС == 2С1.., L DOE == 2В, L РОА == 2'У. Пусть К,
М и L.... соответственно точки пересечения окружностей, описанных
около треуrольников ВОС и АОР, ВОС и DOE, АОР и DOE. Точка К ....
внутри треyrольника АОВ, причем L ВКО == 1800 .... L ВСО == 900 + CI..,
L АКО == 900 + 'У, а поскольку CI.. + В + 'У == 900, L АКВ == 900 + В. Точно
так же L.... внутри треуrольника РОЕ и L OLF == 900 + 'У, L OLE ==
== 900 + В, L F LE == 900 + CI... Значит, 1 OL 1 == I АК 1, L KOL == 2'У +
+ L КОА + L LOF == 2'У + L КОА + L КАО == 900 + 'У == L АКО; таким
обраЗОJ\1, треуrольники KOL и АКО равны, т. е. I KLI == 1 АО 1 == R. AHa
лоrично доказывается, что и две друrие стороны треуrольника KLM
равны R.
303. Обозначения: ABCD.... данный четырехуrольник, О l' 02' 0з,
04 .... центры ромбов, построенных соответственно на АВ, ВС, CD, DA;
К и L.... середины сторон АВ и ВС, М .... середина диаrонали АС. Tpe
1
уrольники 01КМ и 02LM равны (101KI==IABI==ILMI, IKMI==
2
1
==IBCI==102LI, L0 1 KM==L0 2 LM). При этом, если LABC+r:t<
2 I
< п, то эти треyrольники расположены вовнутрь треуrольника 01М02,
а если L АВС + CI.. > п, то эти треуrольники находятся вне треуrольни
ка 01М02 (уrлы ромбов с вершиной В равны CI..). Таким образом,
101М 1 == 102М 1, L 01 М 02 == 1t .... CI... Точно так же 1 Оз М I == 104М 1,
L ОЗМ04 == 1t .... CI... Следовательно, треуrольники 01МОЗ и 02М04
равны, и один получается из друrоrо поворотом BOKpyr М на уrол
1t .... С/... Отсюда следует утверждение задачи.
304. Пусть АВС .... данный треyrольник, А 1 В 1 С 1 .... треyrольник 6,
А 2 В 2 С 2 .... треуrольник () (А 1 и А 2 .... центры треуrольников, по
строенных на ВС), стороны треуrольника АВ С, как обычно, равны а, Ь,
с.
а) То что треуrольники А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 .... правильные, следует,
например, из результата задачи 11.301.
б) Докажем более общее утверждение. Если на сторонах 6 АВС
во внешнюю (или во внутреннюю) сторону построены подобные Tpe
уrольники А 1 ВС, В 1 СА, С 1 АВ так, что LA 1 BC == LB 1 CA == L С 1 АВ,
L А 1 СВ == L В 1 А С == L С 1 ВА, то точки пересечения медиан треуrоль
ников АВС и А 1 В 1 С 1 совпадают. Заметим сначала, что если М .... точка
  
пересечения медиан 6 АВС, то МА + МВ + МС == О и, обратно, если
вьmолняется это равенство, то М .... точка пересечения медиан 6 АВС.
Осталось проверить, что МА 1 + МВ 1 + МС 1 == О, или (М А + АС 1 ) +
184

...............""""""'""""7   ............... 
+(МВ+ВА 1 )+(МС+СВ 1 )==0. Но МА+МВ+МС==О. Кроме Toro,
     
АС1 + ВА 1 + CJb  , I!2fКОЛЬКУ каждый из векторов АС1, ВА 1 , СВ 1
получается из АВ, ВС, СА поворотом на один и тот же уrол (L А 1 ВС)
и умножением на одно и то же число.
в) Рассмотрим более общий случай. На сторонах L АВС во вне
и во внутрь ero построены как на основаниях равнобедренные треуrоль
ники А 1 ВС, В 1 СА, С 1 ВА и А{ВС, В{СА, С{ВА, в которых отношение
высоты, опущенной на основание, к длине основания равно k. Пусть
О  центр описанной около L АВС окружности, а, Ь, с  ero стороны,
Ао, Во, СО  соответственно середины ВС, СА, АВ. Будем считать для
определенности, что АВС  остроуrольный треуrольник. Тоrда
1 1
S А J ОС J == 21 А 1 О 1.1 С 1 О 1 sin В == 2 ( 1 О Ао 1 + ka) ( 1 ОС о 1 + kc) sin В ==
1 . 1 k 2' k ( ) .
==210Aol'IOColslnB+2 acslnB+ 2 alOCql+clOAol slnB==
2 k 2
== k S АВС + S АоОС о + 4 ь. Получив аналоrичные соотношения для
треуrольников А 1 О В 1 И В 1 ОС 1 И сложив их, найдем: S А I В) С I ==
 (Зk 2 +  ) SABC + : (а 2 + Ь 2 + с 2 ) (это равенство остается справеk
ливым, если L АВС  тупоуrольный). Для L А'lВ'1 С'1 будем иметь:
SA',B',c',  : (а 2 + Ь 2 + с 2 )  (3k 2 +  ) SABC. Следовательно, если
: (а 2 + Ь 2 + с 2 )  (3k 2 +  ) SABC ;;;: О, то S А,В,С,  S А',В',С',  (6k 2 +
+  ) SABC, если же : (а 2 + Ь 2 + с 2 )  (3k 2 +  ) SABC < О, то SA,B,c, 
k
 SA'JB'lC'l == 2 (а 2 + Ь 2 + с 2 ). Можно доказать, что всеrда а 2 + Ь 2 +
+ с 2  4 vз SABC (в задаче 11.362 доказывается более сильное Hepa
1
венство), а это означает, что при k == 1;; разность площадей Tpe
2v 3
уrольников А 1 В 1 С 1 и А{В{С{ равна SABC.
305. Пусть три данные точки образуют треуrольник АВС. Воз
можны два семейства прав ильных треуrольников, описанных около
L АВС. Первое семейство получается следующим образом. Построим
на сторонах треуrольника окружности таким образом, что дуrи этих
ОКРУ)l(ностей, расположенные вне треуrольника, измеряются уrлом
4п/3. Возьмем произвольную точку А 1 окружности, построенной Hq
ВС, прямая А 1 В вторично пересекает окружность, построенную на ВА
в точке С 1, а прямая А 1 С пересечет окружность, построенную на СА
в точке В l' Треуrольник А 1 В 1 С 1  один из треуrольников первоrо ce
мейства. Обозначим через Е, F и G точки пересечения биссектрис
L А 1 В 1 С 1 С окружностями, построенными на сторонах данноrо Tpe
уrольника. Точки Е, F и G  фиксированы (Е  середина дуrи окружно
сти, построенной на ВС и расположенной по ту же сторону от ВС, что
и L АВС). Точки Е, F и G являются центрами правильных треуrольни
185

ков, построенных на сторонах  АВС внутрь ero. Треуrольник EFG ---
правильный (см. задачу 11.304), ero центр совпадает с точкой пересе..
чения медиан треуrольника АВС. Центр  А 1 В 1 С 1 лежит на окружно"
сти, описанной около EFG, квадрат радиуса этой окружности равен
1 ( а2 + Ь 2 + с 2 1,r; )
(см. решение задачи 11.304) 9 2 --- 28 V 3 , [де а, Ь, с ---
стороны, 8 --- площадь  АВС.
Второе семейство правильных треуrольников, описанных около
 АВС, получается, если построить на сторонах  АВС окружности,
дyrи которых, расположенные вне  АВС, равны 2тс/3.
Искомое rеометрическое место точек состоит из двух концентри..
ческих окружностей, центры которых со впадают с точкой перес ечения
медиан f:!. АВС, а радиусы равны  V  (а 2 + Ь 2 + с 2 ) + 2S VЗ.
306. Докажем, что треуrольники СВ 1 А 2 и СА 1 В 2 получаются один
из друrоrо поворотом около точки С на yrол 900. В самом деле,
 САА 1 ==  СВВ 1 (1 ВВ 1 1 == 1 АС 1, 1 ВС 1 == 1 АА 1 1, L СВВ 1 == L САА 1 ), а
поскольку АА 1 ..L ВС и ВВ 1 ..L АС, то В 1 С ..L А 1 С. Точно так же А 2 С и
В 2 С равны и перпендикулярны.
307. Докажите, что касательные к окружности, проведенные из
вершин, между которыми расположена одна вершина мноrоуrольника,
равны. Отсюда следует, что для мноrоуrольника с нечетным числом
сторон точки касания являются серединами сторон.
308. Заметим, что если рассмотреть систему из векторов, имею..
щих на чало в центре правильноrо пуrольника, а концы в ero вер..
шинах, то сумма этих векторов равна нулю. В самом деле, если повер"
нуть все эти векторы на уrол 2тс/п, то их сумма не изменится, а
с друrой стороны, вектор, равный их сумме, повернется на этот же
уrол. Значит, и сумма проекций этих векторов на любую ось равна
нулю. .
Вернемся к задаче. Если <р --- уrол между данной ПРЯl\fОЙ (обозна..
чим ее через l) и одним из векторов, то остальные векторы образуют
2тс 2тс 2тс
уrлы <р + , <р + 2 , ..., <р + (п --- 1). Квадрат расстояния от k..й
ппп
вершины до 1 равен sin 2 (<Р + k X У   (1  cos (2<Р + k :х )). Но
величины cos (2<Р + k 4:) можно рассматривать как проекции на 1 си-
4тс
стемы п векторов, образующие с 1 уrлы 2<р + k (k == О, 1, ..., п --- 1).
п
При 11 нечетном эти векторы образуют правильный пуrольник, при
б " п О п
п четном удет дважды повторенныи 2 уrольник. т в е т: 2
309. а) Если сторона мноrоуrольника равна а, 8 --- ero площадь,
Х 1 , Х 2 , ..., Х п --- расстояния от некоторой точки внутри Hero до сторон,
то утверждение задачи следует из равенства 8 == (аХ1 + аХ2 + ... +
+ ах п )/2.
186

б) Рассмотрим правильный мноrоуrольник, содержащий данный
внутри себя, стороны KOToporo параллельны сторонам данноrо. CYM
ма расстояний от произвольной точки внутри данноrо мноrоуrольника
до сторон правильноrо  постоянна (пункт а) и отличается от суммы
расстояний до сторон данноrо на постоянную величину.
310. Обозначим через В 1 , В 2 , ..., В п + 1 точки, симметричные А 1 ,
А 2 , ..., А п + 1 относительно диаметра А о А 2п + 1, C k И C  точки пересече
пия прямой AkA211+ 1 k С ОА п и ОА п + l' Пусть Dk 1 И Dk  точки пересе
чения прямых AkBk 1 И AkBk+ 1 С диа
метром. Очевидно, что эти же точки яв
ляются точками пересечения с диамет
ром прямых BkAk  1 И BkAk + 1. Очевидно,
ЧТо 6. Dk 1AkDk  6. CkOC k . Таким обра
зом, сумма отрезков CkC k равна сумме OH1
отрезков Dk 1Dk (k  1, ..., п), Do  Ао, AH1
D n  О, т. е. равна радиусу.
311. Пусть А (рис. 56)  данная точ
ка, Ak  какаято вершина 2пуrольника,
Bk 1 И Bk  основания перпендикуля
ров, опущенных из А на стороны, заклю
чающие A k , r:tk И k  уrлы, образованные
прямой AAk с этими сторонами (k 
 L AAkBk 1, r:tk  L AAkBk)' Поскольку около четырехуrольника
ABk  1AkBk можно описать окружность, то L ABk  1Bk  r:tk, L ABkBk  1 
 k (или дополняют эти yrлы до 1800); таким образом, по теореме
1 ABk  1 I  sin k 1 ABk  1 11 ABk + 1 1  sin k sil1 r:tk + 1 . Пере 
синусов
1 ABk 1 sin r:tk I ABk 12 sin r:tk sin k + 1
множая эти равенства для k  2, 4, ..., 211, заменяя индекс 2п + 1
на 1, получим требуемый результат.
312. Докажите, что если 0k и 0k+ 1  центры окружностей, касаю
щихся данной окружности в точках Ak и Ak+ 1, В  точка их пересече
ния, лежащая на хорде AkAk + 1; rk, rk + 1  их радиусы, то rk + rk + 1  r,
L AkOkB  L Ak+ 1 0k+ 1 В  L AkOA k + 1 (r  радиус данной окружности,
О  ее центр). Отсюда следует равенство радиусов через один, что при
п нечетном приведет к тому, что все они  по 1'/2. Кроме Toro, u AkB +
+ u BAk + 1  U AkAk + 1 (берутся меньшие дуrи соответствующих OK
ружностей).
313. а) Пусть А  произвольная точка окружности (А  на дуrе
А 1 А 2п + 1)' Обозначим сторону мноrоyrольника через а, а длину диаrо
нали, соеДИНЯlощей вершины через OДHY, через Ь. По теореме Птоле-
мея (задача 11.237) для четырехyrольника AAkAk+ 1Ak+2 имеем: I AAk 1 а +
+ I AAk+21 а  I AAk+ 11 Ь (k  1, 2, ..., 2п  1). Аналоrичные COOTHO
шения можно записать для четырехуrольников А 2п А 2п + 1АА1 И
А 2п + 1 АА 1 А 2 :
Ан
Рис. 56
1 АА 1 1 а + 1 АА 2п + 1 I ь  1 АА 2п I а,
I АА 2п + 11 а + 1 АА 1 1 ь  1 АА 2 1 а.
Сложив все эти равенства, оставляя вершины с четными номерами
справа, а с нечетными слева, получим требуемое утверждение.
187

б) Наше утверждение следует из пункта а) и результата задачи 1.206.
(Аналоrичную формулу можно получить в случае BHYTpeHHero каса-
ния.)
314. а) Пусть 1 пересекает АС и ВС соответственно в точках К
и N и касается окружности в точке М (рис. 57). Обозначим:
I А С I == I в С I == а, I АК I == I КМ I == х,
w 2
I BN I == I NM I == у. Очевидно,  ==
ии
== (а  х) (а  у) , но по теореме KO
ху
синусов для 6. CKN верно равенство
(х + у)2 == (а  х)2 + (а  у)2 
 2 (а  х) (а  у) cos а:  sin 2  ==
2
ху
(а  х)(а  у)'
fJ
Рис. 57
с
ии . 2 а:
Таким образом,  == sln  (Аналоrично рассматриваются друrие
w 2 2
случаи расположения прямой 1.)
б) Воспользуемся результатом пункта а) Перемножая COOTBeT
ствующие равенства для всех уrлов пуrольника, получим квадрат ис
KOMoro отношения, а само отношение окажется равным
. а: 1 . а: 2 . а: п
l/(SlnSln ... Sln), [де а: 1 , а: 2 , ..., а: п  уrлы мноrоуrольника.
2 2 2
в) Воспользуемся результатом пункта а). Если обозначим точки
касания сторон А 1 А 2 , А 2 А з , ..., A2п 1А2", А 2п А 1 С окружностью co
ответственно через В 1 , В 2 , ..., B2п 1, В 2п , через Х1, Х2, ..., X2п 1,
Х2п  соответственно расстояния от А 1 , А 2 , ..., А 2п до 1, через У1, У2, ...
..., У2п  соответственно расстояния от В 1 , В 2 , ..., В 2п до 1, то получим:
х 2
1
x
1
1
2
х 2 ,!
1
, ...,
У2пУ1 sl ' n 2  У1У2 2 а: 2 Y2п 1У2п . 2 а:2п
 sln  Sln 
222
[де а: 1 , а: 2 , ..., а: 2п  уrлы мноrоуrольника. Перемножая равенства, co
держащие Х1, хз, ..., X2п 1, И деля на произведение остальных равенств,
получим:
( . а: 2 . а: 4 . а: 2п
2 slnsln...sln
х 1 х з ... X2п 1 2 2 2
( Х 2 Х4 он Х 2п )  о 0(1 о 0(з о 0(2п 1
sln  sln ... Sln
2 2 2
)2
315. Утверждение задачи может быть доказано по индукции. Ha
чало индукции, п == 4, разобрано в задаче 11.235.
Можно предложить, однако, иной путь, основанный на следую
щем равенстве. Пусть в треуrольнике АВС уrол А  наибольший, r и
R  соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей, d a ,
d b , d c  расстояния от центра описанной окружности до соответствую
188

щих сторон треуrольника. Тоrда
r + R == d a + d b + d c
для остроуrольноrо треуrольника и
(1)
l' + R ==  d a + d b + d c (2)
для тупоуrольноrо треуrольника (ДЛЯ прямоуrольноrо треуrольника
d a == О и для Hero верно любое из приведенных соотношений).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть АВС  остроуrольный треуrольник,
Ао, Во, СО  соответственно середины сторон ВС, СА, АВ, О  центр
описанной окружности. По теореме Птолемея (задача 11.237) для четы
Ь с а
рехуrольника АВоОС о имеем: dc + db == R. Записав еще два Ta
222
ких соотношения для четырехуrольников ВСоОА о и СВоОА о и сло)кив
их, получим:
(  +  )dc+(  + ) db+ e + ) da  (a+b+c)RpR,
1 1
откуда p(d a + d b + dc)  2(cd c + bd b + ad a ) == pR. Поскольку 2 (cd c +
+ bd b + ad a ) == S == pr, то после сокращения на р получим равенство
(1). Аналоrично рассматривается случай L А > 900.
Из соотношений (1), (2) следует утверждение задачи. Для этоrо за
пишем соответствующие равенства для всех треуrольников разбиения.
Заметим, что каждая диаrональ является стороной ДJIЯ двух треyrоль
ников. Следовательно, в соотношения, соответствующие этим Tpe
yrольникам, расстояние до выбранной диаrонали войдет с противопо
ложными знаками. Значит, если мы сложим все эти равенства, то
получим, при условии, что центр окружности внутри мноrоуrольника
Lr + R == d 1 + d 2 + ... + d n , [де d 1 , d 2 , ..., d n  расстояния от центра
окружности до сторон мноrоуrольника. Если же центр окружности вне
мноrоуrольника, то расстояние до наибольшей стороны надо взять со
знаком минус.
316. Рассмотрим, для определенности, случай, коrда точка М Ha
ходится внутри мноrоуrольника. Обозначим через u и v расстояния от
М до А 1 А 2 И А 1 А п соответственно, а через х и у соответственно проек
цИИ А 1 М на А 1 А 2 И А 1 А п (величины х и у надо считать положительны
ми, если эти проекции расположены на лучах А 1 А 2 и А 1 А т и отрица
тельными в противоположном случае), 1 А 1 В 1 1 == 1 А 1 В п I == а,
у cos rJ.
L А 2 А 1 А == rJ.. Можно выразить u и v через х и у: u == .  х
п sln rJ.
х
cos rJ.
y .
sln rJ.
отсюда
sln rJ.
1  cos rJ. rJ.
U + v == (х + у) == (х + у) tg ==
Sln rJ. 2
и==
sln rJ.
l'
== (х + y). Теперь имеем:
а
( 1МВ 1 12 + 1 м В п 12) а == ( (х  а у + и 2 + (у  а)2 + и 2 ) а ==
== ((х  а)2 + (и  r)2 + (у  а)2 + (и  r)2 + 2r (и + и)  21,2) а ==
== 2d 2 a + 2ra (и + и)  2r 2 a == 2d 2 a + 2r 2 (х + у)  2r 2 a.
189

Записав аналоrичные равенства для каждой вершины и сложив их, по..
лучим утверждение задачи.
317. Рассмотрим три треуrольника --- АВС, ACD и ADB, имеющиl
общую вершину А. Обозначим через В 1 , С 1 И D 1 проекции М соответ-
ственно на АВ, АС и AD. Прямые В 1 С l' С 1D1 И D 1 B 1 являются прямы"
ми Симсона точки М относительно треуrольников АВ С, ACD и ADB.
Но точки А, М, В 1 , С l' D 1 лежат на одной окружности (АМ --- ее диа..
метр). Следовательно, проекции точки М на В 1 С l' С 1D1 И D 1 B 1 лежат
на одной прямой --- прямой Симсона точки М относительно треуrоль..
ника В 1 С 1 D l' Рассмотрев затем проекции точки на прямые Симеона,
соответствующие трем треуrольникам с общей вершиной В, получим,
что и эти три проекции также лежат на одной прямой, а значит  все
четыре проекции лежат на одной прямой.
Точно также осущестляется индукционный переход от п к п + 1.
318. Пусть, для определенности, В 1 находится на дуrе А 1 А 2 , orpa..
ничивающей cerMeHT, не содержащий окружности . Обозначим через
С l' С 2' ... точки касания соответственно А 1 А 2 , А 2 А з , ... с окружностью
, через D 1 , D 2 , ...--- точки касания В 1 В 2 , В 2 В з , ... с той же окруж"
ностью (рис. 58). К, L и Р соответственно точки пересечения D 1 С 1 И
А 1 В 1 , D 1 С 1 И А 2 В 2 , А 1 В 1 И А 2 В 2 .
"
Рис. 58
в треуrольниках А 1 КС 1 и D 1 LВ 2 имеем: L КС 1 А 1 == L LD 1 B 2
L С 1 А 1 К == L D 1 B 2 L; значит, и L C1KA1 == L D 1 LB 2 , т. е. 6. KPL---
равнобедренный, 1 КР I == I Р L 1.
190

Рассмотрим окружность "1, касающуюся кр и PL соответственно
в точках К и L. Центр этой окружности находится на прямой, прохо-
дящей через центры rJ. и  (см. задачу 1112).
Пусть прямая D 2 C 2 пересекает А 2 В 2 и АзВ з в точках L' и М со-
ответственно. Как и в предыдущем случае, докажем, что существует
окружность 'У' с центром на прямой, ПРОХQдящей через центры rJ. и 
И касающаяся А 2 В 2 и АзВ з в точках L' и М соответственно. Докажем,
что 'У и у' совпадают. Для этоrо достаточно доказать совпадение L
1
 1 D 1 С 1 1 .1 А 2 С 1 1 sin L А 2 С 1 D 1
2
и
L'.
Имеем:
IA2LI
ILВ 2 1
s
А 2 с 1 п 1
S
в 2 с 1 п 1
1
 I D 1 С 1 1. 1 В 2 D 1 1 sin L В 2 D 1 С 1
2
1 А 2 С 1 I I А 2 L ' I I А 2 С 2 1 1 А 2 С 1 I
. Аналоrично == == , т. е. L и L' совпа-
IB 2 D 1 1 IL'B 2 1 IB 2 D 2 1 IB 2 D 1 1
дают. 3 а м е ч а н и е. Из рассуждений следует, чтр в рассматриваемом
случае точки касания 'У с прямыми А 1 В 1 , А 2 В 2 , ..., находятся внутри
отрезков А 1 В 1 , А 2 В 2 , ....
319. В обозначениях предыдущей задачи утверждение сводится
к следующему: если Аn+ 1 совпадает с А 1 , то И BII+ 1 совпадает с В 1 .
Допустим, это не так. Тоrда А 1 В 1 и А1Вn+ 1 касаются окружности 'У,
А 1 А 2 пересекает 'У, В 1 и Вn+ 1 находятся на дуrе А 1 А 2 , соответствующей
cerMeHTY, не содержащему . Точки касания А 1 В 1 и А1Вn+ 1 С 'У лежат
внутри отрезков А 1 В 1 И А 1 ВN + l' Получается, что из А 1 К 'У проведены
две касательные, причем точки их касания с 'У находятся по одну CTO
рону от секущей А 1 А 2 . Этоrо быть не может.
320. Рассмотрим  ВоХС о ' Прямая XR является биссектрисой
1t 1
уrла СоХВо' Леrко проверить, что L CoRBo == 2 + 2" L СоХВо' Отсю
да следует, что CoR и BoR являются биссектрисами уrлов ХСоВо и
ХВоС о (см. задачу 1.46). Точно так же в треуrольниках СО У Ао и AoZBo
точки Р и Q являются точками пересечения биссектрис. Отсюда,
учитывая, что L PAoQ == L Aj3, L QBoR == L Bj3, L RCoP == L Cj3, по-
лучаем утверждение, из KOToporo следует теорема Морлея.
321. При решении задачи используем следующие леrко доказы
ваемые утверждения.
а) Если на биссектрисе BHYTpeHHero уrла М треуrольника KLM
1
внутри Hero взята точка N так, что L KNL == 2 (п + L KML), то N 
точка пересечения биссектрис  KLМ (см. задачу 1.46).
б) Если внутри уrла KML вне  KLМ на продолжении биссек
1
трисы BHYTpeHHero уrла М взята точка N так, что L KNL == (п 
2
 L KML), то N  точка пересечения биссектрисы уrла М и биссек
трис внешних уrлов К и L.
в) Если на биссектрисе внешнеrо уrла К треуrольника KML BHY
1
три уrла КМ L взята точка N так, что L М N L ==  L М KL, то N 
2
191

точка пересечения биссектрисы уrла М и биссектрис внешних уrлов
К и L.
Доказательство нашеrо утверждения для всех возможных значе-
ний i, j, k (а их, с точностью до перестановки индексов i, j, k оказывает
ся семь случаев) проведем по одной схеме. Каждый раз бу дем форму
лировать и доказывать соответствующее обратное утверждение,
эквивалентное рассматриваемому случаю теоремы Морлея. Пример
рассуждения по такой схеме дает предыдущая адача. Чтобы не повто
ряться, выделим вначале общую -ч:асть рассуждений. Рассмотрим пра
вильный треуrольник PQR. На ero сторонах как на основаниях по
строены равнобедренные треуrольники PXQ, QYR, RZP (как и какие
треуrольники построены, для каждоrо случая укажем дальше). Обозна
чим через Ао точку пересечения прямых ZP и YQ, через ВО  точку
пересечения прямых XQ и ZR, через СО  прямых YR и ХР. Тоrда для
каждоrо случая докажем, что треуrольник АоВоС о подобен треуrоль
нику АВС, а лучи АоР и AoQ, BoQ и BoR, CoR и СоР являются для Hero
триссектрисами соответствующеrо рода.
Укажем теперь, как и какие треуrольники следует строить на CTO
ронах треуrольника PQR в каждом случае.
1 1
1) i == j == k == 1; L Р Х Q == 3 (п + 2 L А), L Q у R == 3 (п + 2 L В),
1
L RZP == (п + 2 L С). Все треуrольники расположены во внешнюю
3
по отношению к 6. PQR сторону.
1 2LB
2) i==1, j==k==2; LPXQ==(1t2LA), LQYR==1t
3 3
2LC
L RZP == 1t  . Все треуrольники расположены во внешнюю по
3
отношению к 6. PQR сторону. (Считаем, что L А < п/2. Если же
L А > п/2, то 6. Р Х Q «выворачивается» на друrую сторону 6. PQR,
1
LРХQ==з(2LА1t). Если LA==1t/2, то 6.PXQ превратится в
пару параллельных прямых. Это замечание следует иметь в виду и
далее.)
1 1
3) i == j == 1, k == 3; L Р Х Q == 3 (п  2 L А), L Q У R == 3 (п  2 L В),
1
L RZP == (п + 2 L С). Треуrольники Р XQ и Q YR расположены во
3
внешнюю по отношению к 6. PQR сторону, а 6. RZP  во BHYTpeH
нюю (см. замечание к пункту 2).
1 1
4) i == j == k == 2; L Р Х Q == 3 (п  2 L А), L Q У R == 3 (п  2 L В),
1
L RZP == (п  2 L С). Все треуrольники расположены по ту же CTO
3
рону от соответствующих сторон 6. PQR, что и сам 6. PQR (см. заме
чание к пункту 2).
5) i == 1, j == 2, k == 3;
1
L PXQ ==(п + 2L А),
3
1
L QYR == (п 
3
192

2LC
--- 2 L В), L RZ Р == 1t --- . Треуrольник Р Х Q построен во внешнюю
3
по отношению к 6. PQR сторону, а два друrие --- во внутреннюю (см.
замечание к пункту 2).
6) i == 2, j == k == 3;
1
L RZP == (п + 2 L с).
3
а два друrие во внутреннюю по отношению
2LA
L PXQ == п---
3
2LA 1
L PXQ == 1t --- L QYR == (п + 2 L В),
3 3
Треуrольник PXQ расположен во внешнюю,
7) i == j == k == 3;
2LC
3
Пункт 1 доказан в задаче 11.320.
Докажем, для примера, пункт 2.
Пусть L А < п/2. Рассмотрим треуrольник ВоХС о , в котором
XR --- биссектриса уrла ВоХС о ' Кроме Toro, L BoRC o ==
1
== (п + L ВоХС о )' В соответствии с утверждением а) R --- точка пере-
2
сечения биссектрис этоrо треуrольника (если А > п/2, то BoR и coR---
биссектрисы внешних уrлов треуrольника ВоХ Со). Далее, в Со У Ао
1
имеем: УР --- биссектриса внешнеrо уrла У, L АоРС о ==  L А УС О (это
2
леrко проверить ). В соответствии с утверждением в) Р --- точка пересе-
чения биссектрисы уrла СоАо У и биссектрис внешних уrлов АоС о У и
СоУ Ао треyrольника Со У Ао. Точно так же точка Q по отношению к
6. AoZBo является точкой пересечения биссектрисы уrла ZAoBo и бис-
сектрис внешних уrлов AoZBo и AoBoZ. (Из этоrо следует, что тре-
yrольник PQR по отношению к треуrольнику АоВоС о образован
пересечением триссектрис первоrо рода уrла Ао с триссектрисами вто-
poro рода уrлов ВО и Со (имеется в виду пункт 2).) Сам же 6. АоВоС о
подобен 6. АВС.
Во всех оставшихся пунктах 3  7 рассуждения аналоrичны, варьи-
руются лишь используемые утверждения а), б), в).
Меняя местами индексы i, j, k, заметим, что пункту 5 соответ"
ствуют шесть правильных треуrольников, пунктам 2, 3, 6 --- по три пра-
в:ильных треуrольника каждому, пунктам 1, 4 и 7 --- по одному пра..
вильному треуrольнику. Bcero, таким образом, получаем восемнадцать
правильных треyrольников.
Теперь в каждом случае выберем размеры Д PQR таким образом,
чтобы соответствующий 6. АоВоС о был бы равен 6. АВС. Будем на-
кладывать получившиеся восемнадцать чертежей один на друrой так,
чтобы совместились треуrольники АВС. Порядок накладывания избе..
рем следующий: сначала берем чертеж, соответствующий пункту 1, за..
тем три чертежа, соответствующие пункту 3, потом шесть чертежей
пункта 5, потом три чертежа пункта 2 и, наконец, три чертежа пункта
6 и по одному --- пунктов 4 и 7. При каждом очередном наложении хо-
тя бы одна из вершин соответствующеrо правильноrо треyrольника
должна совпасть с одной из вершин уже имеющихся прав ильных тре..
к 6. PQR сторону.
2LB
LQYR==1t--- 3
L RZP == 1t ---
. Все треуrольники расположены внутри 6. PQR.
7 И. Ф. Шарыrин
193

yrольников. Подсчет уrлов показывает, что пять вершин двух пра-
вильных треуrольников, имеющих общую вершину, лежат на двух
прямых, проходящих через эту общую вершину. Таким образом, вер-
шины всех восемнадцати правильных треуrольников «обязаны» распо-
ложиться так, как показано на рис. 59. (На этом рисунке через (Xll
и т. д. обозначена точка пересечения триссектрис (Хl и ;.)
IЗ 2 у,'
Рис. 59
322. Для правильноrо треуrольника со стороной 1 радиус каждой
113 --- 1
из окружностей Мальфатти равен . Сумма площадей соответ.l
4
Эл (2 --- 113) v
ствующих KpyroB . Сумма же площадеи трех KpyrOB, один
8
из которых вписан в этот треyrольник, а два друrих касаются ero
11п 3п (2 --- 113)
и двух сторон треуrольника каждый, равна  >
108 8
аЬс
323. Воспользуйтесь равенством Rr ==  и неравенством 2р ==
4р
== а + Ь + с  3  (теорема о среднем).
324. Если Рl --- полупериметр треуrольника с вершинами в основа-
ниях высот данноrо, р, S, r и R соответственно полупериметр, площадь,
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности, то S ==
194

== pr и, кроме Toro, S == PIR (последнее следует из Toro, что радиус
описанной окружности, идущий в вершину треуrольника, перпендику-
лярен отрезку, соединяющему основания высот, опущенныIx на сто-
r 1
роны, из этой вершиныI выходящие). Следовательно, Рl == P   р.
R 2
325. Если та  наибольшая из медиан, то, заменяя в соотношении
т '> т + т, следующем из условия, медианыI через сторонъ! а, Ь и
с треуrольника (задача 1.11), получим, что 5а 2 < Ь 2 + с 2 , откуда cos А>
> 2 (Ь 2 + с 2 ) ==  (  +  )   > V2 .
5Ьс 5 с Ь 5 2
326. Пусть О  точка пересечения диаrоналей четырехуrольника
ABCD. Предположим, что все yrлыI, указанные в условии, больше х/4.
Тоrда на отрезках ОВ и ОС мо)кно взять соответственно точки В 1 и С 1
так, что L В 1 АО == L ОВ! С 1 == х/4. Пусть L ВОА == сх > х/4. Имеем:
I ОС , > , ОС 11 ==
IOB!1
V2sin(   :)
'ОА'

2sin( :) sin(+ :)
'ОА' IOAI.
cos2cx
::::1
Точно так же докажем неравенство 1 ОА 1> 1 ОС 1. Противоречие.
327. Пусть в  АВС стороны связаны соотношением с  Ь  а.
1
Возьмем на СВ точку М так, что L САМ ==  L с. Надо доказать,
2
По теореме синусов для  САМ имеем: I СМ 1 ==
а
что 'СМI .
С 2
bsin 
2
. 3С
Sln 
2
328. Пусть D  середина АС. Восставим в D перпендикуляр к АС
и обозначим через М точку пересечения ero с ВС;  АМС 
равнобедренный, значит, L МАС == L ВСА. По условию  ABD так-
же равнобедренный, L ABD == L BDA, L АВМ > 900 (по условию),
L ADM == 900; значит, L MBD > L MDB и 1 MD' > I ВМ 1. Отсюда сле-
Дует, что L MAD > L МАВ (если отобразим симметрично В относи-
тельно прямой АМ, то получим точку В 1 внутри yrла MAD, так как
MD.l АDи IMDI > IMBI == IMB!I; таким образом, L С> L А  L С,
1
L С >  L А.
2
329. Если окружность касается продолжений сторон АВ и АС
треyrольника АВ С и ее центр О, то леrко найти, что L ВОС == 900 
1. 1
  L А. Таким образом, L ВОС + L А == 900 +  L А :F 1800.
2 2
330. Пусть AD  высота, AL  биссектриса, АМ  медиана. Про-
должим биссектрису до пересечения с описанной около треyrольника
окружностью в точке А 1 . Поскольку МА! '[ AD, то L МА 1 А ::;:: L LAD.
О т в е т: если L А < 900, то yrол между медианой и биссектрисой
меньше, чем уrол между биссектрисой и высотой. Если L А > 900 
наоборот; если L А == 900, то yr лыI равны.
ь
2 cos С + 1
аь 2 а
 а 2 + аЬ + Ь 2  с 2  2'
7*
195

331. Если AD  высота, AN  медиана, М  точка пересечения ме-
IDBI ICDI 'СВI 'СВI 'СВI 2
диан, то ctg В + ctg С == 1 AD I + 1 AD 1 == 1 AD 1  1 AN 1 == 31М N 1  3
332. Из Toro, что SBAM == SBCM И 1 ВС 1> 1 ВА 1, 1 СМ 1> I МА 1 сле
дует, что sin L ВАМ> sin L ВСМ. Значит, если уrлы острые, то
L ВАМ> L ВСМ; тупым же может быть лишь уrол ВАМ. Таким
образом, всеrда L ВАМ> L ВСМ.
333. Если 1 ОА 1 == а, R  радиус окружности, К  точка пересечения
а 2  R 2 а 2 + R 2
ОА и DE, то леrко найти, что I ОК 1 == а   > R.
2а 2а
334. Обозначения даны на рис. 60. В первом случае (рис. 60, а)
I АВ 1 < 1 АА 1 1 + 1 А 1 В 1 1 + 1 В 1 В 1 == 1 АА 1 1 + 1 А 1 С 1 + I B 1 D I + 1 ВВ 1 1==
== 1 АС 1 + 1 BD 1. ВО BTO
ром случае (рис. 60, б)
IABI>IBKIIAKI>
> 1 ВЕ 1  1 АС 1. Обратное
утверждение леrко ДOKa
зывается от противноrо.
335. Пусть К, L и
М  точки пересечения
проведенных прямых с
АС. Обозначим: 1 АС 1 == Ь,
I ВС 1 == а,1 АВ 1 == с,1 BLI==
== 1. По теореме о бис
сектрисе BHYTpeHHero yr ла
с
А 1
А
о
о
А
о
о
Рис. 60
аЬ
найдем:, 1 LC 1 == применяя еще раз эту теорему для  BCL,
а+с
v Ьа 1 Ьа ( а )
наидем: 1 LМ 1 == . == 1  ; но L BLA ==
а+с [+а а+с а+l
1 1tLA+LC
==  L В + L С == > L А (так как L С > 3 L А  1t).
2 2
Эна чит, с > 1 и 1 LМ 1 < Ьа ( 1  а )  Ь ( ас )2 ::::; 4 Ь .
а+с а+с а+с
336. Пусть ABCD  данный четырехуrольник. Рассмотрим четы-
рехуrольник Ав 1 сп, rде В 1 симметрична В относительно срединноrо
перпендикуляра к диаrонали АС. Очевидно, площади ABCD и AB 1 CD
равныI, TOpOHЫ АВ 1 CD в порядке обхода равны Ь, а, с, d. Неравенство
S  1/2 (ас + bd)- для ч-етыIехуrольникаa АВ 1 CD очевидно. Равенство
имеет место, если L D АВ 1 == L В 1 С D == 900, т. е. четырехуrолъник
АВ 1 CD  вписанный, с двумя противоположными уrлами по 900; зна-
чит, четырехуrолъник ABCD тоже вписан (в ту же окружность) и ero
диаrонали перпендикулярны.
337. Рассмотрим два случая.
1) данныIй треyrольник (АВС)  остроуrольный. Пусть L В 
наибольший: 600  L В < 900. Поскольку биссектрисы уrл-ов А и
С меньше 1, то и высоты этих уrлов h A и hc меньше 1. Имеем SABC ==
hAh c vз
== 2 sin В < 3.
196

2) Если один из yr лов треуrольника, например В, не острый, то
стороны, ero заключающие, меньше соответствующих биссектрис, т. е.
меньше 1, а площадь не превосходит 1/2.
338. Пусть с  наибольшая сторона, противолежащая вершине .С.
Если а 2 + Ь 2 + с 2  8R 2 > О, то а 2 + Ь 2 > 8R 2  с 2  с 2 (так как с  2R),
т. е. треуrольник  остроуrольный. Обратно, пусть треуrольник 
остроуrольный; Tor да а 2 + Ь 2 + с 2 == 2т; +  с 2 (те  медиана к сто-
2
роне с); поэтому, чем меньше медиана, тем меньше а 2 + Ь 2 + с 2 , но ме-
диана максимальна, если С  середина дуrи, и уменьшается при пере-
мещении С по дуrе; коrда же треуrольник станет прямоуrольным, то
а 2 + Ь 2 + с 2  8R 2 будет равно О.
аЬс 8
339. Заменив R и r по формулам R ==, r ==, воспользуйтесь
48 р
для 8 формулой repoHa и равенством "
2 ( аЬс 8 ) ( аЬс 8 )
48 p2:Sp P+2:S+ p ==
1
== 8 (а 2 + Ь 2  с 2 ) (а 2  'Ь 2 + с 2 ) (a2 + Ь 2 + с 2 ).
340. Допустим противное, например, что с  а; тоrда 2с  с + а >
> Ь; возводя неравенства в квадрат и складывая, получаем: 5с 2 > а 2 +
+ Ь 2  противоречие.
341. Биссектриса уrла В является биссектрисой L ОВН, а биссек-
триса уrла А является биссектрисой L ОАН. Далее, L BAH== 900 
LB<900LA==LABH; значит, IAHI>IBHI. Если К и M
IHKI
IKOI
точки пересечения биссектрис yr лов А и В с О Н, то
IAHI IAHI IBHJ IBHI IHMI
 >   Таким образом, I НК 1>
IAOI R R IOBI IMOI
> I Н м I и точка пересечения биссектрис уrлов А и В находится внутри
д ВОН.
342. Обозначим I АВ 1== I ВС 1== а, I АМ 1== с, I МС I == Ь, 1МВ I == т,
L ВМО == \jI, L М ВО == <р. Нужно доказать, что I ОВ I > 10М I или \jI > <р,
или cos '" < cos <р. По теореме косинусов для д М ВА и д М ВС полу-
чим:
т 2 + а 2  с 2
cos <р  cos \jI ==
2та
т 2 + Ь 2  а 2
2тЬ
т 2 (Ь  а)  а (Ь 2  а 2 ) + Ь (а 2  с 2 ) .
2таЬ '
но а  с == Ь  а; значит,
,1, (Ь  а) (т 2 . аЬ  а 2 + аЬ + Ьс)
cos <р  cos 'f' == 
2таЬ
 (Ь  а) (т 2  а 2  Ь (2а  Ь)) == (Ь  а)(т + Ь  а) (т  а + Ь)
 2таЬ 2таЬ
что и требовалось доказать.
> О,
197

343. Проведем через М прямую, параллельную АС дО пересечения
IABI
с АВ в точке К. Леrко найдем: IAKI.==ICMI. ,IMKI==
'СВI
==IMBI. 1AC1 . Поскольку IAMIIAKI+IKMI, то, заменяя IAKI
'СВI
и I км 1, получим:
1 АМ I  I СМ 1.1 АВ I + 1 МВ 1.1 АС I =>
 1 ВС t I СВ 1
=> (1 АМ 1 --- I АС 1) I ВС 1  (1 АВ 1 --- 1 АС 1) I мс 1,
что и требовалось.
344. Минимум равен
а 2 + Ь 2 + с 2
и достиrается, если М --- центр
3
тяжести  АВС. (Это можно доказать, например, методом координат
или воспользовавшись теоремой Лейбница --- см. задачу 11140.)
345. «Спрямим» путь шара: для этоrо вместо Toro, чтобы «отра-
жать» шар от борта, будем отражать зеркально относительно этоrо
борта сам биллиард. Получим систму лучей с общей вершиной;
любые два соседних луча образуют уrол сх. Максимальное число лучей
системыI, которые может пересечъ прямая, и есть максимальное число
отражений шара. Это число равно [ :] + 1, если :  не целое число
1t
([ х] --- целая часть числа х); если же ---
cl
число целое, то оно равно максимальному
числу отражений.
346. Если дороrи построить так, как
показано на рис. 61 (А, В, С и D --- деревни,
дороrи --- сплошные линии), то их суммарная
длина будет 2 + 2 113 < 5,5. Можно показать,
что указанное расположение дороr реализу-
ет минимум их суммарной длины.
347. Если одна из сторон треуrольника,
проходящая через А, образует уrол «> с
прямой, перпендикулярной данным парал-
лельным прям:ым, то дрyrая сторона образует уrол 1800 --- «>  сх;
найдя эти стороны, получим, что площадь треуrольника равна
аЬ sin cl аЬ sin cl r
== --- . Это выражение мини-
2 cos «> cos (<(> + сх) cos cl + cos (сх + 2«»
r:J.
малъно, если cl + 2«> == 1800. О т в е т: Smin == аЬ ct g T .
IABI
348. Имеем: SACBD == SOCD == 2(k + l)SoCD' Следовательно,
'МО!
SACBD будет наибольшей, коrда наибольшей будет площадь треуrоль-
ника OCD. Но треуrольник OCD --- равнобедренный с боковой сторо-
ной, равной R; значит, ero площадь максимальна, коrда достиrает
максимума синус yrла при вершине О. Обозначим этот yrол через «>.
Очевидно, «>0  «> < п, rде «>0 соответствует случаю перпендикулярно-
сти АВ и CD. Следовательно, если «>0  п/2, то максимальная площадь
Рис. 61
198

6. OCD соответствует значению <Р1 == 'ТС/2; если же <РО > 'ТС/2, то значе-
нию <Р1 == <Ро. О т в е т: ес ли k  v2  1, то Smax == (k + 1)R 2 ; если k>
> v2  1, то Smax'== 2R 2 V k (k + 2)/(k + 1).
349. Пусть прямая ВС удовлетворяет условию задачи: IBPI ==
== 1 м С 1 (порядок следования точек: В, Р, М, С). Докажем, что пло-
щадь четырехyrольника ABNC  наименьшая. Проведем дрyrую пря-
мую, пересекающую стороны yr ла в точках В 1 И С l' Пусть точка В ле-
жит между точками А и В l' тоrда точка С 1 лежит между точками А
и С. Надо доказать, что S BB 1 N > Scc l N . Это неравенство эквивалентно
SBB 1 P Scc 1 P IAPI
неравенству SBB 1 P> Scc 1 P, поскольку == == . При ба-
SBB 1 N SCC 1 N IANI
вим к обеим частям последнеrо неравенства SBPC 1 . Получим слева
SBB 1 P + S BPC t == SBB 1 PC 1 == SC 1 CB 1 (следует из равенства 1 ВР 1 == I МС 1),
а справа SCC 1 P + SBPC 1 == SC 1 CB. Но, очевидно, SC 1 CB 1 > SC 1 CB. Аналоrич-
но разбирается случай, Kor да точка В 1 ле)кит между точками А и В.
П о с т р о е н и е. Достаточно провести какую-либо прямую, пересе..
кающую стороны данноrо уrла и прямые AN и АМ соответственно
в точках Во, Р о, М о и СО так, что I ВоР о I == 1 М ОС О 1, а затем провести
через М прямую, параллельную ВоС о . Рассмотрим параллелоrрамм
ABoDCo; обозначим через К и L точки пересечения прямых АР о и АМо
соответственно с BoD и CoD. Из равенства 1 ВоР 01 == 1 М ОС О 1 следует,
что SABoK == SACoL' Задача сводится к построению двух равновеликих
треуrольников АВоК и ACoL, все yrлы которых известны. Возьмем Во
произвольно, построим 6. АВоК. Возьмем на Ao точку Е так, что
L ВоКЕ == L ALC o . Построим отрезок АС о , равный V 1 ВоЕ 11 ВоА 1.
Прямая ВоС о  искомая. З а м е ч а н и е. Рассмотрим следующую за-
дачу. Через точку М внутри данноrо уrла провести прямую, пересе-
кающую стороны уrла в точках В и С таким образом, чтобы отрезок
НС был наименьшим. Из рассмотренной задачи следует, что наимень-
шим отрезок ВС будет в том случае, коrда 1 ВР I == I МС 1, rде Р 
проекция вершины данноrо уrла на ВС. (Следует даже большее,
а именно: если отрезок ВС обладает указанным свойством, то для дю-
бой друrой прямой, проходящей через М и пересекающей стороны
уrла в точках В 1 и С 1 , проекция отрезка В 1 С 1 на отрезок ВС будет
больше, чем 1 ВС 1.) Построение та-
Koro отрезка, однако, не Bcer да воз-
можно с помощью циркуля и ли-
нейки.
350. Пусть М 1 и N1две
друrие точки на сторонах уrла
(рис. 62). Тоrда L М 1 AN 1 == (3,
L AM1M==3600Ct (3 L ON 1 A>
> 1800  L ON 1 A == L AN 1 N. От...
сюда, учитывая, чТо L МАМ 1 ==
== L NAN 1 , получим, что I М 1 А 1 < I N 1 A I и, значит, SM 1 AM < SN 1 AN;
таким образом, SOM 1 AN 1 < SQMAN.
351. Учитывая результат предыдущей задачи, нужно выяснить,
при каких условиях можно найти на сторонах уrла точки М и N такие,
о
Н 1 N
Рис. 62
199

что L MAN == Р и 1 МА 1 == I AN 1. Опишем около треуrольника MON
окружность (рис. 63). Поскольку <р + Ф + Р < 180 Q , то точка А будет вне
ее. Если L --- точка пересечения прямой ОА с окружностью, то должны
р
выполняться неравенства L AMN == 900 ---  > L LMN == L WN и
2
Р Р .
L ANM == 900 ---  > L ШМ. Таким образом, если <р < 900 ....  и Ф <
2 2
< 900 ---, то МОЖЦО найти точки М и N такие, что I м А I == 1 AN I и
2
L М AN == р. Если же условия не выполняются, то таких точек найти
нельзя. В этом случае четырехуrольник. максимальной площади BЫpO
ждается в треyrольник (одна из точек М или N совпадает с О).
Рис. 63
f}
IV
{}
Рис. 64
352. Возьмем точку А 1 на ВС (рис. 64). Четырехуrольник OMA 1 N
равновелик четырехуrольнику OMAN, L МА 1 N < L MAN; следова-
тельно, если взять точку М 1 на ОВ так, что LM 1 A 1 N==LMAN, то
SOk!l A I N > SOMAN; значит, площадь четырехуrольника OMAN меньше
площади максимальноrо четырехуrольника, соответствующеrо точке
А 1 , что с учетом результатов двух предыдущих задач доказывает
утверждение. .
353. Пусть для определенности sin   sin р; возьмем на продолже-
нии АВ точку К так, что L ВКС == р; так как L СВК == L ADC (по-
скольку четырехуrольник ABCD --- вписанный), то .6. КВС подобен
.6. ACD. НО IBCIICDI, след<?вательно, SBCKSADC и SAKCSABCP.
а 2 sin ( + р) sin  а 2 sin ( + р) sin 
Но S АКС == _ , значит, S ABCD  . . Анало-
2 Sln р 2 Sln р
а 2 sin( + p)sin р
rично доказывается, что S ABCD  . .
2 Sln 
354. Рассмотрите друrое положение точек М 1 И N 1 (L М l AN 1 == р)
И покажите, учитывая условие  + р > 1800, что «добавившийся» тре-
уrольник имеет большую площадь, чем треуrольник, на который пло-
щадь уменьшается (аналоrично решению задачи 11.350).
355. Учитывая результат предыдущей задачи и рассуждая точно
так же, как в задаче 11.351, получим, что если <р > 900   и Ф > 900---
2
200

р v
 2' то четырехуrольник наименьшеи площади существует и для Hero
1 м А 1 == I AN 1. Если же это условие не выполняется, то искомый четы
рехуrольник вырождается (одна из точек М или N совпадает с верши
ной О.)
356. Возьмем точку А, дЛЯ которой выполняются условия задачи,
и какуюто друrую точку А 1 . Проведя через А 1 прямые, параллельные
АМ и AN и пересекающие стороны в точках М 1 И N 1, убедимся, что
SOM 1 A 1 N 1 < SOMAN и, следовательно, тем более площадь минимальноrо
четырехуrольника, соответствующеrо точке А 1 , меньше площади четы
рехуrольника OMAN  минимальноrо четырехуrольника, COOTBeT
ствующеrо точке А.
357. Радиус наибольшеrо Kpyra равен радиусу окружности, опи
санной около правильноrо треуrольника со стороной 2R, т. е. 2Rf1/З.
(Возьмем такой треуrольник и на ero сторонах как на диаметрах по
строим окружности.) Для любой окружности большеrо радиуса, если
бы она была покрыта данными круrами, нашлась бы дуrа не меньше,
чем в 1200, порытая одним KpyroM, но такая дуrа содержит хорду
больше 2R  противоречие.
В общем случае, если существует остроуrольный треуrольник со
сторонами 2R 1 , 2R 2 , 2R з , то радиус описанной около Hero окружности
и будет искомым. Во всех Оt:тальных
случаях радиус наИ,большеrо Kpyra pa
вен наибольшему из чисел R 1 , R 2 , R з .
358. Можно. На рис. 65 показаны
три единиЧных квадрата, покрываю
щие квадрат со стороной 5/4.
359. Заметим сначала, что CTO
рона наименьшеrо правильноrо Tpe
уrольника, покрывающеrо ромб со
стороной а и острым уrлом 600, равна
2а. В самом деле, если вершины острых
уrлов М и N ромба находятся на CTO
ронах АВ и ВС правильноrо Tpe
уrольника АВС и L BN М == сх, 300  Рис. 65
 ('t  900, то, найдя 1 BN I по теореме
синусов из д BNM и I CN I по теореме синусов из д KNC (К  вер-
шина тупоrо уrла ромба, которая, можно считать, расположена на
. v cos (600 --- сх)
стороне АС), получим после преобразовании: I.BC 1 == 2а ;
cos 300
учитывая, что 300  сх  900, найдем, что I ВС 1  2а. Леrко видеть, что
правильный треуrольник со стороной 3/2 можно покрыть тремя пра-
вильными треуrольниками со стороной 1. Для этоrо каждый единич"
ный треуrольник положим так, чтобы одна ero вершина совместилась
с одной из вершин покрываемоrо треуrольника, а середина противо-
положной стороны совпала бы с центром покрываемоrо треуrольника.
Покажем теперь, что правильный треуrольник со стороной Ь > 3/2
нельзя покрыть тремя правильными единичными треуrольниками. Ес..
ли бы такое покрытие было возможно, то вершины А, В и С были бы
201

покрыты разными треуrольниками, а каждая из сторон АВ, ВС, СА по..
крьmалась бы двумя треуrольниками. Пусть А принадлежит треуrоль..
нику 1, В  11, С  111, центр О треуrольника принадлежит, например,
треуrольнику I. Возьмем на АВ и АС точки М и N так, что I АМ 1==
1 2
== 1 AN 1 == b. Поскольку 1 ВМ 1 == 1 CN 1 == b > 1, то точки М и N так..
3 3
же принадлежат треуrольнику 1 и, следовательно, ромб AMON цели..
ком покрыт треyrольником, сторона KOToporo меньше 21 АМ I
(21 АМ I > 1), что невозможно.
IAMI ICNI IMLI
360. Обозначим отношения и че р ез CJ.. А И 1 .
IMCI' INBI ILMI ' t-'
Тоrда (см. решение задачи 1.221) Р == QCJ..Py, 8 == Q(CJ.. + l)(Р + 1)(1 + 1).
Затем воспользуемся неравенством (CJ.. + l)(Р + 1)(1 + 1)  ( V CJ..P1 + 1)3.
xy + 1 х 2 + 1
361. Пусть ctg CJ.. == х, ctg J3 == у, тоrда ctg У == ==  х,
х+у х+у
х 2 + 1
а 2 ctg CJ.. + Ь 2 ctg Р + с 2 ctg 1 == (а 2  Ь 2  с 2 ) Х + Ь 2 (х + у) + с 2 . Ми..
х+у
х 2 + 1
нимум выражения Ь 2 (х + у) + с 2 при фиксированном х и х +
х+у
+ у > о достиrается при таком у, для KOToporo вьmолняется равенство
х 2 + 1 х + у с с х + у
Ь 2 (х + у) == с 2 => ==. Таким образом,  ==
. х + у V х 2 + 1 Ь Ь V х 2 + 1
Sln 1
 . . Значит, наименьшее значение данноrо в условии выражения
Slnp
достиrается для таких CJ.., Р и У, синусы которых пропорциональны сто..
ронам а, Ь и С, т. е. коrда рассматриваемые треуrольники подобны. Но
в этом случае имеет место равенство (леrко про верить).
362. Обозначим: р  а == х, р  Ь == у, р.... с == z (р.... полупериметр).
Оставив в правой части неравенства 48 VЗ, получим после преобразо
вания левой части (например, а 2 .... (Ь .... с)2 == 4(р .... Ь)(р .... с) == 4yz) и за..
мен ы 8 по формуле repoHa неравенство ху + yz + zx 
 V з (х + у + z) xyz. Разделив обе части неравенства на V xyz и сделав
замену и == ]/ (xy)/z, v == ]/ (yz)/x , w == V (х == uw, у == vu, z == wv), по..
лучим неравенство u + v + w  V з(uv + vw + wu), которое после возве..
дения в квадрат приводится к известному неравенству и 2 + v 2 + w 2 
 uv + vw + wu.
363. Существуют два семейства правильных треуrольников, опи..
санных около данноrо треуrольника (см. задачу 11.305). Построим на
сторонах треуrольника АВС во внешнюю сторону правильные тре..
yrольники АВС 1 , ВСА 1 , САВ 1 И опишем около них окружности. Вер..
шины треyrольников первоrо семейства расположены по одной на
этих окружностях. Пусть 010203.... центры этих окружностей
(.6. 01020з .... правильный, см. задачу 11.304). Наибольшую площадь бу..
дет иметь треyrольник, стороны KOToporo параллельны сторонам
треуrольника 01020з (секущая, проходящая через точку пересечения
двух окружностей, имеет наибольшую длину, коrда она параллельна
202

линии центров, в этом случае ее длина в два раза больше расстоя
ния между центрами). Площадь наибольшеrо треуrольника будет
vЗ ( а2 + Ь 2 + с 2 )
80  480,020,  3 2 + 28 vЗ ' rде 8  площадь данноrо
треуrольника (см. решение задачи 11.305). Для треуrольников BToporo
семейства площадь наибольшеrо будет меньше. Среди прав ильных
треуrольников, вписанных в данный, наименьшую площадь будет
иметь тот, стороны KOToporo параллельны сторонам наибольшеrо
описанноrо. Это следует из результата задачи 1.241. Ero площадь paB
на 81 == 82/80. Таким образом, площадь наибольшеrо описанноrо пра-
vЗ(а 2 + Ь 2 + с 2 )
вильноrо треуrольника равна 80 == + 28, а наименьше-
6
82
ro вписанноrо --- 81 ==, rде 8 --- площадь данноrо треуrольника.
80
364. Опишем около треyrольника АМ С окружность. Все треyrоль-
ники А 1 МС, получающиеся при перемещении М по дyrе АС, подобны
'СМI
между собой, следовательно, отношение будет для них одним
'А 1 М'
и тем же. Поэтому, если М --- точка минимума выражения f(M) ==
IBMI.ICMI
== , то ВМ должна проходить через центр окружности,
'АIМI
описанной около треуrольника АМС, иначе можно уменьшить I ВМ "
'CMl
оставляя постоянным отношение , . Пусть теперь В 1 и С 1 ---
А 1 М'
точки пересечения прямых ВМ и СМ с окружностью, описанной
IBMI.ICM, ICMI.IAMt
около треyrольника АВС, тоrда ---
IA 1 MI IB 1 MI
IAMI.IBMI
== . Следовательно, прямые АМ и СМ также должны про-
'CtMI
ходить через центры окружностей, описанных около треуrольников
ВМС и АМВ соответственно. Таким образом, точка М --- центр вписан-
ной окружности (см. задачу 11.125). Кроме Toro, в этом случае
А 1 --- центр окружности, описанной около треуrольника СМ В,
. r ICM' IBMI.ICMI
Sln L МВС ==, == 21 А 1 м 1; значит, == 2r.
tMBI sinL МВС 'А 1 М'
Вернемся к вопросу о достижении наименьшеrо значения функцией
f(M). Известная теорема анализа утверждает, что функция, непрерыв-
ная на замкнутом множестве, достиrает cBoero наибольшеrо и наи-
меньшеrо значения. В частности, эта теорема верна для функции двух
переменных, определенной на мноrоyrольнике. Однако к этой задаче
теорема непосредственно не применима --- функция f(M) не определена
в вершинах треyrольника АВС. Если же отрезать от треyrольника
yrолки, то получим шестиуrольник, на котором f(M) уже будет не-
прерывной функцией и, следовательно, будет иметь наименьшее значе-
ние. Можно доказать, что вблизи rpаницы треуrольника f(M) > 2r.
Поэтому, если отрезаемые уrолки достаточно малы, наименьшее зна-
чение f(M) на шестиуrольниках, а значит, и на треуrольнике, дости-
203

rается, коrда М  центр вписанной окружности, это наименьшее значе
ние равно 2r. С друrой стороны, наибольшеrо значения f(M) не
принимает, хотя и является оrраниченной. Докажите, что f(M) < 1, [де
1  длина наибольшей стороны треуrольника АВС, дЛЯ всех точек Tpe
уrолъника, исключая вершины, и f (М) может принимать значения,
сколь уrодно близкие к 1.
365. Возьмем на лучах МВ и МС соответственно точки С 1 и В 1
так, что I МС 1 1 == 1 МС 1, I МВ 1 1 == 1 МВ 1 ( МС l В l симметричен  МВС
относительно биссектрисы уrла ВМС), С 2 и В 2  соответственно про
екции С 1 И В 1 на прямую АМ. Имеем: I ВМ 1 sin L АМ С +
+ 1 CMlsin L АМВ == IB 1 MIsin L АМС + 1 C 1 MIsin L АМВ == IB 1 B 2 1 +
+ I С 1 С 2 1  1 В 1 С 1 1 == а. Записав еще два таких же неравенства и сложив
их, докажем утверждение задачи. Нетрудно проверить, что если М co
впадает с центром вписанной окружности, то неравенство обращается
в равенство.
366. а) Решим сначала следующую задачу. Пусть М  точка на
стороне АВ треуrольника АВС, расстояния от М до сторон ВС и АС
равны соответственно u и v, h 1 И h 2  высоты, опущенные COOTBeT
h 1 /12
ственно на ВС и АС. Доказать, что выражение +  достиrает наи
u v
меньшеrо значения, коrда М  середина АВ. Обозначим, как обычно,
I ВС 1 == а, r АС 1 == Ь, 8  площадь  АВС. Имеем: аи + bv == 28, v ==
28  аи h 1 h 2
. Подставим v в выражение  +  == t, получим: atu 2 
u v
 28tu + 2h 1 8 == О. Дискриминант этоrо уравнения неотрицателен,
82 (t 2  4t)  О, откуда t  4. Наименьшее значение t == 4 достиrается при
u == 8/а == h 1 /2, v == h 2 /2. Из этой задачи следует, что наименьшее значе-
ние левой части неравенства пункта а) достиrается, Kor да М  точка
пересечения медиан. Аналоrично доказываются неравенства пунктов б)
и в). В пункте б) надо определить, для какой точки М на стороне АВ
достиrает наибольшеrо значения произведение uv. В пункте в) предва
рительно разделим обе части неравенства на uvw и решим задачу
о минимуме функции (h 1 /u  1) (h 2 /v  1) для точки М на АВ.
367. Пусть для остроуrольноrо треуrольника АВС выполняется
неравенство I АС 1  1 АВ I  1 ВС 1; BD  высота, О  центр описанной,
/  центр вписанной окружностей  АВС, Е  проекция / на BD. По
скольку 1 ED 1== r, то надо доказать, что 1 ВЕ 1  R == 1 ВО 1. Но В/ 
биссектриса уrла ЕВО (В/  биссектриса уrла АВС и L ABD ==
== L ОВС), L ВЕ/ == 900, L ВО/  900 (последнее следует из Toro, что
проекция СI на ВС не превосходит 1 ВС 1/2). Следовательно, 1 ВЕ 1  1 ВО 1
(отобразим ВО симметрично относительно В/).
368. Поскольку площадь треуrольника, составленноrо из медиан
друrоrо треуrольника, составляет 3/4 ПЛОIЦади исходноrо треуrольни
ка, а для любоrо треуrольника аЬс == 4R8, то надо доказать, что для
остроуrольноrо треуrольника справедливо неравенство
5
татьт с >  аЬс.
8
Ь
(1)
Пусть, для удобства вычислений, одна из сторон равна 2d, а медиана
204

к этой стороне равна т. Поскольку треуrольник остроуrольный, то
т> d. Обозначим через t косинус oCTporo уrла, образованноrо этой
медианой со стороной 2d, О  t < d/m (t < d/m  условие остроуrольно-
сти треуrольника). Выражая стороны и медианы через d, т и t и под-
ставляя найденные выражения внеравенство (1), получим после пре-
образований: т 2 (9d 2 + т 2 )2  25d 2 (d 2 + т 2 )2 > t 2 d 2 m 2 (64т 2  100d 2 ). Ле
вая часть неравенства приводится к виду (т 2  4dm + 5d 2 )(m 2 + 4dm +
+ 5d 2 )(m 2  d 2 ). При т> d это выражение положительно. Кроме Toro,
если т == d (треуrольник прямоуrольный), то левая часть неравенства
5
не меньше правой (равенство при t == О). Далее, если d < т   d, то
4
правая часть неравенства неположительна и неравенство справедливо.
5
Пусть т > d. В этом случае правая часть неравенства меньше, чем
4
значение, получающееся при t == d/m. Но при t == d/m исходный Tpe
уrольник прямоуrольный, а для прямоуrольных треуrолыiиков уже дo
казана справедливость HecTpororo неравенства. (Достаточно повторить
те же рассуждения относительно друrой стороны треуrольника.) Таким
образом, доказано, что для любых нетупоуrольных треуrольников за
исключением равнобедренных прямоуrольных справедливо HepaBeH
ство (1); для равнобедренных прямоуrольных треуrольников имеет Me
сто равенство.
369. Пусть М лежат внутри АВС на расстояниях х, у и z соответ-
ственно до сторон ВС, СА и АВ. Задача состоит в том, чтобы найти
минимум х 2 + у2 + Z2 при условии ах + Ьу + cz == 28 АВС' Очевидно, что
этот минимум достиrается при тех же значениях х, у, z, что и мини
мум х 2 + у2 + Z2  2л (ах + Ьу + cz) == (х  ла)2 + (у  лЬ)2 + (z  лс)2 
 л 2 (а 2 + Ь 2 + с 2 ), rде л  произвольное фиксированное число (при том
28 Авс
же условии ах + Ьу + cz == 28 АВС). Взяв Л == 2 2 2 (л находится из
а +Ь +с
уравнений х == Ла, у == лЬ, z == лс, ах + Ьу + cz == 28 АВ С), видим, что мини
мум последнеrо выражения будет достиrаться при х == Ла, у == лЬ, z ==
== ЛС. Пусть теперь точка М удалена от ВС, СА и АВ на расстояния
соответственно 'Jta, ЛЬ и ЛС, а точка М 1  симметрична М относительно
биссектрисы уrла А. Поскольку 8 Ам1с == 8 Ам1в , то М 1 лежит на медиа-
не yr ла А, а это значит, что М лежит на симедиане этоrо yr ла (см. за-
дачу 11.171).
370. Пусть М  точка внутри треуrольника АВС, все уrлы которо-
ro меньше 1200. Повернем д. АМС BOKpyr точки А на уrол 600 во
внешнюю по отношению к д. АВС сторону. При этом точка С пе-
рейдет в точку С 1 , точка М  в точку М 1 . Сумма I АМ 1+ I ВМ 1+ I СМ I
равна ломаной ВММ 1 С. Наименьшей эта ломаная будет, коrда точки
М и М 1 лежат на отрезке ВС l' Отсюда следует утверждение задачи.
371. Пусть АВС  данный остроуrольный треyrольник, А 1  точка
на стороне ВС, В 1  на СА, С 1  на АВ, А 2 и Аз  точки, симме
тричные А 1 относительно сторон АВ и АС (соответственно). Ломаная
А 2 С 1 В 1 А з равна периметру треуrольника А 1 В 1 С 1 ; следовательно, этот
периметр при фиксированной точке А 1 будет наименьшим, коrда точ
ки С 1 И В 1 лежат на отрезке А 2 А з , и будет равен I А 2 А з l. Но
20S

6. АА 2 А з  равнобедренный, L А 2 АА з == 2 L ВАС, I А 2 А 1== I АзА I ==
== I АА 1 1. Значит, I А 2 А з l будет наименьшим, если АА 1  высота
6. ВАС. Точно так же высотами должны являться и ВВ 1 И СС!'
372. Если все уrлы треуrольника меньше 1200, то наименьшее зна
чение сумма расстояний будет принимать для точки, из которой CTO
роны видны под уrлом 1200 (см. задачу 11.370). Эта сумма равна I ВС 1 1
(обозначения задачи 11.370). Квадрат этой суммы равен а 2 + Ь 2 
1
 2abcos(L С + 600) == (a2 + Ь 2 + с 2 ) + 2SvЗ. Но из задачи 11.362 сле
2
дует, что а 2 + Ь 2 + с 2  4S vЗ. Осталось доказать неравенство 8 
 3 vз r 2 . Это неравенство доказывается достаточно просто; оно BЫ
ражает тот факт, что наименьшую площадь среди всех описанных
около данной окружности треуrольников имеет правильный треуrоль-
ник (для Hero выполнено равенство). Для завершения доказательства
необходимо проверить неравенство а + ь  6r, поскольку для треуrоль
ника с yrлом, большим 1200, наименьшее значение сумма расстояний
до вершин достиrается в вершине тупоrо уrла.
373. Докажем правую часть неравенства. Пусть для определенно
сти Ь  с.
Ь
1) Если ab, то 2p==a+b+c==(ba)+c+2a<2c+2a2c+
а
Ьс + а 2
+2а==2 .
а
2) Если а  Ь  с, то а < 2Ь и 2р == а + Ь + с :::::; (Ь + с  а) + 2а  с +
2Ьс Ьс + а 2
+2a<+2a==2
а а
(Ь + ; ая a; a : c::: Be :(  дye :) правой чаcrи и тождества
I BN I I АМ I I AL I I ВК I
374. Имеем: == == == , т. е. KN параллель-
INCI IMCI ILDI IKDI
на CD, четырехуrолъник KLМN  параллелоrрамм. Пусть I АК I == а,
х а
I КС I == ь, I ВК I == х, I KD I == у,   ; Tor да
у Ь
SKLM == SALM  SAKL == ( . Х ) 2 8ADC  Х . а SADC ==
х+у х+у а+Ь
х ( Х а ) у х 2 у
==  8 ABCD < S AВCD'
Х + у х + у а + Ь у + х (х + у)з ,
Обозначим: у/х == t. Нетрудно доказать, что наибольшее значение Функ
ции t/(l + t)з достиrается при t == 1/2 (например, взяв производную оТ
этой функции) и равно 4/27. Таким образом, S KIМN == 28 KIМ <  S ABCD.
27
375. Обозначим стороны 6. АВС, как обычно: а, Ь и с, 1  центр
вписанной окружности. Справедливо следующее векторное равенство
(оно следует из свойства биссектрисы, см. задачу 1.9):
iA . а + iВ . Ь + ic . с == О. (1)
206

Кроме Toro, 11В 1< с, I lС 1 < Ь. Эти неравенства следуют из Toro, что
уrлы АIВ и АIС  тупые. Возьмем точку А 1 достаточно близкую
к точ:ке А так, чтобы по-прежнему выполнялись неравенства 1 1 1 В 1 < с,
111 С 1 < Ь, rде 1 1  центр вписанной в д А 1 ВС окружности. Стороны
д А 1 ВС равны а, Ь 1 , с 1 . Как и для д АВС запишем равенство
...............  ...............
l 1 А 1 . а + l 1 В. Ь 1 + 11 С . С1 == О. (2)
Вычтем (1) из (2):
...............    ............... 
а(1 1 А 1 IA)+11B.b1 IB.b+l1C'c1 IC.c==O. (3)
Заметим, что
............... ........... 
11 А 1  1 А == 111 + АА 1,
   
l 1 В. Ь 1  11J . Ь  l 1 В (Ь 1  Ь) + 111 . Ь,
...............   
11 С . С1  lС . с == 11 {; (С1  с) + 111 . с.
(4)
(5)
(6)
(4), (5), (6),
Заменяя в (3) соответствующие разности по формулам
получим:
-;---t.   ...............
111 (а + Ь + с) + АА 1 . а + 1 1В (Ь 1  Ь) + 11 С (С1  с) == О.
Поскольку I 1 < с, IJ;C 1 < Ь, 1 Ь 1  Ь 1< 1 А 1 А 1, 1 С1  С 1 < 1 А 1 А 1, то
1    а+Ь+с
1 111 1 == 1 АА 1 . а + 1 1 В (Ь 1  Ь) + 11 {; (с 1  с) 1 < 1 АА 1 1 . ==
а+Ь+с а+Ь+с
== IAA 1 1. ИЗ этоrо можно вьmести утверждение задачи пля любоrо по-
ложения А 1 . 3 а м е ч а н и е. По существу было продифференцировано
равенство (1) и доказано, что 1 v А 1> 1 У] 1, rде v А и У]  скорости, с ко-
торыми перемещаются точки А и 1.
376. Опишем около треyrольВИI<ОВ ABF, BCD и САЕ окружности.
Они имеют общую точ:ку М. Поскольку yrлыI треyrольника DEF по-
стоянны, L D == 'У, L Е == а, L F == , то построенные окружности и точ-
ка М не зависят от <р. Сторона DF (а, следовательно, и EF и ED) будет
наибольшей, коrда DF перпендикулярна ВМ. Пусть <Ро  уrол, соответ-
ствующий этому положению. Тоrда L МВС == L МСА == L МАВ ==
== 900  <Ро' Продолжим СМ до пересечения с окружностью, описанной
около треyrольника АМ В, в точ:ке F 1. Можно найти, что L F 1 ВА == а,
L F 1АВ ==; F 1В оказывается параллельной АС. Опустим из F 1 И
В перпендикуляры F 1N и BL на АС. Поскольку 1 F 1 N 1 == 1 BLI,
ICNI IANI IALI ICLI
то tg <Ро '" ctg(90°  <Ро) '" I F l N I '" I F l N I + I BLI + I вц '" ctg Р +
+ ctg а + ctg 'У. Таким образом, tg <Ро == ctg а + ctg  + ctg 'У. 3 а м е ч а -
н и е. Уrол о) == 900  <Ро называеТСjJ У2ЛОМ Брокара, а точка М 
 точкой Брокара. Для каждоrо треуrольника существует две точки
Брокара. Положение второй точ:ки М 1 определяется условием
L М 1 ВА == L М 1 АС == L М 1 Св.
IAC 1 1 IBA 1 1 ICB 1 1
377. Положим: == х, == у, == z. Будем считать,
IABI IBCI ICAI
что х  1/2. Если предположить, что площади треуrольников АВ 1 С 1 ,
ВС 1 А 1 И СА 1 В 1 больше площади треуrольника А 1 В 1 С 1 , то Z  1/2
(иначе s АС 1 В 1  S A t C 1 B 1 ) И у  1/2. Площади всех рассматриваемых тре-
207

уrольников леrко выражаются через SABC и х, у, z, например: SAB 1 C 1 ==
== х(l --- z) SABC' Неравенство SA 1 B 1 C 1 < SAB 1 C 1 приведется к виду 1 
--- х (1 --- z) --- у (1 --- х) --- z (1 --- у) < х (1 --- z). Сложив три таких неравен-
ства, получим: 3 --- 4х(1 --- z)  4у(1 --- х) --- 4z(1 --- у) < О. Поскольку по-
следнее неравенство линейно относительно х, у, z, то, если бы оно
ВЫПОJШялось при некоторых х, у, z между О и 1/2, то оно должно было
бы выполняться и при каком-либо наборе крайних значений пере-
менных, т. е. коrда каждое переменное равно О или 1/2. Но можно
проверить, что это не так. Полученное противоречие доказывает наше
утверждение.
378. Пусть Q --- середина О Н, Q --- центр окружности девяти точек
(см. задачу 11.160). Имеем: 1 ОН 12 + 41 Ql12 == 210112 + 21 H112. Так как
I Q11 == R/2 --- r (на основании теоремы Фейербаха, задача 11.287),
10112 == R 2 --- 2Rr (формула Эйлера, задача 11.193), то учитывая, что
R  2r, получим:
1 ОН 12 == 211Н 12 + R 2  4r 2  211Н 12.
379. Изящную идею доказательства неравенств подобноrо типа
предложил Казаринов (Kazarinoff, Michigan Mathematical J ournal, 1957,
NQ 2, рр. 97 --- 98). Суть ее состоит в следующем. Возьмем на лучах АВ
и АС по точке В 1 и С 1 соответственно. Очевидно, что сумма площадей
параллелоrраммов, построенных на АВ 1 и АМ и на АС 1 и АМ, равна
площади параллелоrрамма, одна сторона KOToporo В 1 С l' а дрyrая па-
раллельна АМ и равна 1 АМ 1 (см. также задачу 11.40). Следовательно,
1 АС 1 1 v + 1 АВ 1 1 w  1 В 1 С 1 1 х. (1)
а) Возьмем точки В 1 и С 1 совпадающими с точками В и С; тоrда
неравенство (1) даст неравенство bv + ew  ах. Сложив три таких Hepa
венства, получим требуемое.
б) Если 1 АВ 1 1 == 1 АС 1, 1 АС 1  == 1 АВ 1, тоrда неравенство (1) даст не-
с Ь
равенство ev + bw  ах, или х  v + w. Сложив три таких HepaBeH
а а
ства, получим:
x+y+z ( +  )и+ (: + : )p+ ( + : )W2(U+V+W).
в) В пункте а) было доказано неравенство ах  bv + ew, откуда
Ь с а с а Ь
xuuv+wu. Точно так же yvuv+,vv, zwuw+vw.
а а Ь Ь с с
Сложив эти три неравенства, получим
xu+yv+zw (: +  )иP+
+ ( +  ) vw + (: + : ) wu  2 (ир + vw + wu).
r) Обозначим через А 1 , В 1 , С 1 проекции точки М соответственно
н" стороны ВС, СА, АВ треуrольника АВС. Возьмем на лучах МА,
МА 1 , МВ, МВ 1 , МС, МС 1 соответственно точки А', А{, В', В{, С', С{
так, что IMAIIMA'I==IMA 1 1'IMA{I==IMBIIMB'I== IMB11IMB{I==
208

== I МС 1.1 МС' 1== I MC 1 1.1 МС{ 1== d 2 *). Можно доказать, что точки А',
В', С' лежат соответственно на прямых В 1 С'l, С'lАl, А 1 В 1 , причем М А',
МВ', МС' соответственно перпендикулярны этим прямым. Таким обра
d 2 d 2 d 2
зом, В Д А 1 В 1 С 1 расстояния от М до вершин равны , ,
и v w
d 2 d 2 d 2
а до противоположных сторон , , Применяя неравенство
х у z
пункта б), получим требуемое неравенство.
. А
д) Возьмем внеравенстве (1) Ь 1 == С 1 == 1; Tor да а 1 == 21 Sln. Б У дем
2
1
иметь х  А (и + v). Получив аналоrичные неравенства дли у и
2 sin 
2
х и перемножив их, получим:
1 R
х yz  . А . В . С (и + v) (v + w) (w + и) == 2, (и + v) (v + w)( w + и) -
8 Sln  Sln  Sln 
222 '
. А. В. С r
(равенство sln . sln  . sln  ==  было доказано в процессе реше
2 2 2 4R
ния задачи 1.240).
е) Из неравенства предыдущеrо пункта следует: xyz 
;;. 2y;,;. 2У;;;. 2  4R uvw.
2, r
ж) Поделив друr на друrа неравенства пунктов r) и е), получим
доказываемое неравенство.
3 а м е ч а н и е. В неравенстве пункта а) равенство достиrается для
любоrо остроуrольноrо треуrольника, коrда М совпадает с точкой
пересечения высот треуrольника. В пунктах б), в), r) и ж) равенство дo
стиrается для paBHocTopoHHero треуrольника, Kor да М --- центр этоrо
треуrолъника. В пунктах д) и е) равенство достиrается в любом Tpey
rольнике, Kor да М --- центр вписанной окружности.
380. Рассмотрим класс подобных между собой треуrольников.
В качестве представителя этоrо класса выберем таКQЙ треуrольник
АВС, в котором I АВ I == v, I ВС I == и, I АС I == 1, причем и  v  1. Таким
образом, каждому классу подобных между собой треуrольников будет
соответствовать точка В внутри криволинейноrо треyrольника CDE,
rде D --- середина АС, дyra ЕС есть дyrа окружности с центром в точке
А и радиусом 1, ED..L АС (рис. 66). Треуrольник ABD будем называть
«левым» треуrольником, треуrольник BDC --- «правым». Рассмотрим
процесс, описанный в условии задачи; при этом на каждом шаrу будем
оставлять лишь те треуrольники, подобные которым ранее не встреча
ЛИСЬ. ДЛЯ каждоrо треуrольника будем брать представителя опреде
ляемоrо им класса, описанноrо выше. Пусть Х, У, Z --- середины co
*) Это преобразование называется инверсией. См. замечание к
решению задачи 11.240, а так)ке Приложение в конце книrи.
209

ответственно АВ, DB, СВ, п1 == I DB 1, 11  высота ь:. АВС. ДЛЯ «лравых»
треуrольников возможны три случая.
1) и  1/2, m  1/2 или и  n1, 1/2  т, т. е. наибольшей является
сторона DC или BD. Этот случай имеет место, если В расположена
внутри фиrуры DMFC, rде DM  дуrа окружности радиуса 1/2 с цен-
тром в точке С, FC  правая часть дуrи ЕС, 1 DM 1 == I МС 1 == 1/2, DC и
L II
Рис. 66
с
А
FM  отрезки, FM .1 DC. При этом дуrа МС (центр которой D) отде-
ляет область, для которой в ь:. DBC наибольшей является сторона DC,
от области, для которой наибольшая сторона  медиана DM. Предста-
витель ь:. DBC в этом случае имеет высоту, равную 2h, если наи-
большей является DC, или   h 2  h == ql (h) h,
2т 21 DB 4 1   2 V 1  h 2
2
ql (h) > 1, если h < 117/4.
2) и> т, и> 1/2, v> 2т. Заметим, что равенство v == 2т имеет ме-
сто на окружности с диаметром LC, rде I AL 1 == 1/3. Внутри этой
окружности v > 2т. Этот случай имеет место, если точка В внутри кри,:,
волинейноrо треуrолъника DKN (KN и ND  дуrи, DK  отрезок). По-
скольку треуrольник DZC подобен исходному треуrольнику АВС, рас-
сматриваем лишь д DZB. Наибольшая сторона у Hero DZ, равная
h h 2
v/2. Ero представитель будет иметь высоту, равную 2 ==  
4 (v/2) v
h h h
  == == q2 (h) h 1 , q2 (h) > 1.
1 АВ 2 1 2 1 АВ з l 2 5/9 + (4/3) Vl/9  h 2
3) и  1/2, и  т, v  2т. В этом случае в д BZD наибольшей
является сторона BD, равная m и рассматривать дальше части ь:. BDC
нет необходимости, поскольку д В YZ подобен ь:. BDC, а ь:. D YZ по-
добен 6. ABD (6. DZC уже не рассматриваем).
210

Для «левых» треуrольников возможных случаев два, они анало
rичны случаям 2 и 3 для «правых» треуrольников.
2') Если В внутри фиrуры DKNC, то для дальнейших paCCMOTpe
ний оставляем треуrольник DXB, равный треуrольнику DZB; ero пред
ставитель имеет высоту не меньше, чем q2 (h) h.
3') Если В вне фиrуры DKNC, то дальнейшее рассмотрение частей
 ABD заканчивается.
Заметим, что коэффициент q2 (11) с ростом h растет, в то время как
ql (h) убывает и становится равным 1 в точке Р, h == }17/4. Возьмем точ
ки Р И Q на РМ и дуте РС достаточно близко к Р. Внутри фиrуры
B 1 KNMPQB 4 выполняются неравенства ql (h)  qo, q2(h)  qo, qo> 1.
Следовательно, коэффициент возрастания h во всех случаях не меньше,
чем qo, и через конечное число шаrов или .для всех рассматриваемыIx
треуrольников будет иметь место случай 3 или же вершина треyrоль
ника окажется внутри криволинейноrо треуrольника PFQ. Ситуация,
коrда точка В внутри PFQ леrко рассматривается отдельно. При этом
рассматривать следует «правые» треуrольники. Достаточно выполне
}I7vЗ
ния условия I F Р I  I F М I == 4 . В  BDC сторона BD, равная
т, наибольшая, h 2  7/16. Можно показать, что представителю
класса треyrольников, подобных BDC, будет соответствовать точка
вне криволинейноrо треyrольника PFQ. А поскольку высота при этом
не уменьшится, то для обеих частей  BDC будет иметь случай 3.
Этим завершается доказательство первой части.
Вторая часть следует из результата задачи 11.327, а также из Toro,
что все треyrольники, которые рассматриваются после первоrо деле
нц имеют представителя, высота KOToporo не меньше h и, следов а-
1
тельно, наименьший уrол не меньше, чем L В 4 АС >  < В 1 АС 
2
1
L ВАС.
2
381. Сформулируем и докажем более сильный, чем это требуется
по условию, результат, полученный М. Д. Ковалевым. Среди всех вы-
пуклыIx фиrур, покрывающих любой треуrольник со сторонами, не
превосходящими единицы, наименьшую площадь имеет треуrольник
АВС, в котором L А == 600, I АВ 1== 1, а высота, опущенная на АВ, равна
1
cos 100. Площадь этоrо треyrольника равна  cos 1 00  0,4924.
2
1) Заметим, что нам достаточно найти треуrольник, покрываюЩИЙ
любой равнобедренный треуrольник, боковые стороны KOToporo
равныI 1, а yrол <р между ними не превосходит 600. Это следует из то-
ro, что любой треyrольник. со сторонами, не превосходящими 1, можно
покрыть равнобедренным треуrольником указанноrо вида.
2) Дожажем, что любой указанный в пункте 1) равнобедренный
треуrольник может быть покрыт  АВС. Построим окружность с цен-
тром в точке С и радиусом 1. Пусть К, L, М и N  последовательные
точки ее пересечения с СВ, ВА и АС (L и М находятся на ВА),
L LCM == L MCN == 200. Значит, равнобедренные треyrольники с уrлом
О  <р  200 покрываются сектором CMN, а треyrольники, у которых
211

200 < <р  L С будут покрыты д АВС, если концы основания взять на
дуrах KL и MN, а третью вершину --- в точке С. Построим теперь
окружность единичноrо радиуса с центром в точке А. Эта окружность
проходит через точку В, вторично пересекает НС в точке Р, сторону
АС --- в точке Q. Получаем: L Р АВ == 1800 --- 2 L В < L С, поскольку
В --- наибольший уrол д АВС. Значит, взяв вершину равнобедренноrо
треуrольника в точке А, а концы основания в точке В и на дуrе PQ,
можно покрыть любой равнобедренный треуrольник, для KOToporo
L С < <р  600 (даже 1800 --- 2 L В  <р  600).
3) Докажем, что как бы ни были расположены на плоскости paB
нобедренный треуrольник DEF, в котором L DEF == 200, I DE I == I EF 1==
== 1 и равносторонний треуrольник XYZ со стороной 1, площадь
наименьшей выпуклой фиrуры, содержащей треуrольники DEF и XYZ,
1
не меньше, чем COS 100. Сначала заметим, что сторона наименьшеrо
2
2
правильноrо треуrольника, содержащеrо DEF, равна vз cos 100.
(Справедливо следующее утверждение: если один треуrольник возмож"
но поместить внутри друrоrо, то ero можно расположить так, что две
ero вершины будут находиться на сторонах большеrо. Доказывать это
общее утверждение не будем. Достаточно проверить ero справедли..
вость в случае, коrда один из них есть д DEF, а друrой --- правильный.
Это сделать нетрудно.) Рассмотрим теперь наименьший правильный
треуrольник Х 1 У 1 Z 1 со сторонами, параллельными сторонам тре..
уrольника XYZ, содержащий треуrольники DEF и Xyz. Сторона тре..
2
уrольника Х lY1Z 1 не меньше, чем vз cos 100, а высота не меньше,
чем COS 100. На сторонах д Х 1 Y 1 Z 1 , не содержащих сторон д XYZ,
должны находиться вершины д DEF. Следовательно, сумма расстоя..
ний от тех вершин д DEF, которые находятся вне д xrz, до соответ"
ствующих сторон L::,. XYZ не меньше, чем cos 100  l:1, а площадь наи
2
меньшеrо выпуклоrо мноrоуrольника, содержащеrо д DEF и д XYZ,
не меньше, чем  ( COS 100 --- vЗ ) + vЗ  J.. cos 100. (М. д. Ковале
2 2 4 2
БЫМ было также доказано, что наименьшая по площади найденная
нами выпуклая покрышка для треуrольников со сторонами, превосхо"
дящими единицы, единственна.) 3 а м е ч а н и е. Рассмотренная задача
естественным образом возникает в связи с широкоизвестной нерешен"
ной проблемой Лебеrа о форме наименьшей по площади фиrуры,
способной накрыть любое множество на плоскости, если диаметр этоrо
множества не превосходит единицы.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Инверсия
Рассмотрим на плоскости окружность (Х с центром
в точке О и радиусом R. ДЛЯ каждой точки А, отличной от О, оп
ределим следующим образом точку А'. Точка А' расположена на
луче ОА, причем 1 ОА' 1.1 ОА 1 == R 2 . Таким образом, для всех TO
чек плоскости, за исключением ТОЧКIf О, задается преобразование,
которое мы будем называть инверсией относительно окружности (Х.
Это преобразование называют также симметрией относительно
окружности, а точки А и А'  симметричными относительно OK
ружности (х. (Если рассматривать прямую как окружность беско
нечноrо радиуса, то симметрию относительно прямой можно
представить как предельный случай симметрии относительно
окружности.) Точка О называется центром инверсии, вели
чина k == R 2 --- степенью инверсии. Очевидно, что точки А и
А' меняются местами, А переходит в А', А' переходит в А.
Все точки окружности (Х, и только они, остаются неподвижны
ми. Внутренние точки окружности (Х становятся внешними и
наоборот.
Можно «пополнить» плоскость «бесконечно удаленной точкой»
(00) и считать, что при инверсии точка О переходит в 00, а
00 --- в точку О.
В дальнейшем точки, в которые переходят при инверсии точки
А, В, С..., будем обозначать А', В', С'...
Свойства инверсии
Перечислим некоторые основные свойства инверсии,
оставляя без доказательства наиболее простые и очевидные и Ha
мечая схему рассуждений в остальных случаях. (Пополнение pac
суждений недостающими звеньями, рассмотрение различных вариан
тов расположения фиrур, а также выполнение выкладок и чертежей
входит в обязанности читателя.)
1. Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит са-
ма в себя.
2. Если точки О  А и В не лежат на одной прямой, то тре-
уrольники ОАВ и ОВ'А' подобны. Сходственными являются вер-
шины А и В', В и А'. Кроме Toro, 1 А'В' 1 == (k 1 АВ 1)/1 ОА 1.1 ОВ 1.
Заметим, что последнее равенство справедливо и в случае, если
точки О, А и В расположены на одной прямой.
213

3. Прямая, не проходящая через центр инверсии О, перехо-
дит в окружность, проходящую через о. При этом, если 1  задан..
ная прямая, А  основание перпендикуляра, опущенноrо из О на
1, то 1 переходит в окружность с диаметром ОА'.
Возьмем произвольную точку В на 1. Из подобия треуrольни"
ков ОАВ и ОВ'А' (свойство 2) следует, что L ОВ'А' == L ОАВ == 90 о.
4. Окружность (о, проходящая через центр инверсии О, перехо
дит в прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через О и
центр окружности (О.
5. Если прямая 1 и окружность (о переходят друr в друrа
при инверсии с центром в О, то касательная к (о в точке О
параллельна 1.
6. Окружность (о, не проходящая через О, переходит в окруж
ность (О', также не содержащую о. При этом О  внешний центр
подобия окружностей (о и (О'.
Для доказательства проведем через О прямую и обозначим
через А и В точки ее пересечения с окружностью (в частности,
можно считать, что А и В  диаметрально противоположные точ"
ки (О). Предположим, что В лежит на отрезке ОА. Тоrда А' принад-
лежит отрезку ОВ'. Если С  произвольная точка окружности, то,
учитывая подобие соответствующих треуrольников (свойство 2),
будем иметь L А'С'В' == L ОС'В'  L ОС'А' == L ОВС  L ОАС ==
== L АСВ.
роскольку число точек пересечения двух линий при инверсии
не меняется, то:
7. Две касающиеся окружности при инверсии в зависимости от
положения центра инверсии переходят в:
а) две касающиеся окружности (если О не лежит ни на одной
из них);
б) окружность и касающуюся ее прямую (О лежит на одной
из окружностей, но не совпадает с точкой касания);
в) пару параллельных прямых (О совпадает с точкой каса..
ния ).
Уrол между окружностями
Уrлом между двумя пересекающимися окружностями
называется уrол между касательныIии к окружностям, проходящими
через одну из точек их пересечения. Уrлом между окружностью 'И r
пересекающейся с вей прямой называется уrол между этой прямой и
касательной к окружности, проходящей через одну из точек пере-
сечения. При этом можно считать, что уrол между прямыми не пре..
восходит 90 о.
Очевидно, что при определении yrла между окружностями вы..
бор точки пересечения не имеет значения. Очевидно также, что уrол
между окружностями равен yrлу между радиусами, проведенными
в точку пересечения.
8. При инверсии сохраняется уrол между прямыми, т. е. yroJl
между прямыми равен yrлу между их образами.
Если центр инверсии совпадает с точкой пересечения прямых,
утверждение тривиально. Если же этот центр не совпадает с точ"
214

кой пересечения прямых, то оно следует из свойства 5 и определе
ния уrла между окружностями или между окружностью и прямой.
9. При инверсии уrол между двумя окружностями равен уrлу
между их образами.
Рассмотрим случай, коrда центр инверсии не лежит на дaH
ных окружностях. Пусть А --- одна из точек пересечения окружно
стей 0)1 и 0)2, 11 И 12 --- касател;ъные к 0)1 и 0)2 соответственно,
проходящие через А. Предположим дополнительно, что центр инвер
сии О не лежит на прямых 11 и 12' При инверсии с центром О
окружности 0)1 И 0)2 перейдут соответственно в окружности 0)1 и
0)2, а прямые. 11 и 12 --- В окружности 11 и 12, касающиеся co
ответственно 0)1 и 0)2 в точке их пересечения --- А' (свойство 7),
т. е. уrол между 11 и 12 равен уrлу между 0)1 и 0)2, а поскольку
уrол между 11 и 12 равен уrлу между 11 и 12 (свойство 8), то
уrол между 0)1 и 0)2 равен уrлу между 001 и 0)2-
10. Если окружности r:t И о) ортоrональны, т. е. уrол между ними
равен 90 о, то при инверсии относительно r:t окружность о) nepex
дну сама в себя. И обратно, если при инверсии относительно окруж-
ности r:t окружность 0), не совпадающая с r:t, переходит сама в себя,
то r:t и о) ортоrональны.
Очевидно, последнее свойство симметрично относительно r:t
и 0). Радиусы окружностей r:t и о) равныI соответственно каса-
тельным, проведеннъlМ из центра одной окружности к дрyrой окруж"
ности.
На основании свойства 10 можно определить инверсию следую-
щим образом. Все точки окружности r:t переходят сами в себя.
Если же А не принадлежит r:t и не совпадает с ее центром, то обра-
зом точки А будет точка А', являющаяся второй точкой пересече-
ния любых двух окружностей, ортоrональных r:t и проходящих че-
рез А. Теперь становится понятен смысл BToporo названия инвер-
сии --- симметрия относительно окружности. Из этоrо определения и
свойства инверсии сохранять уrол между пересекающимися окружно-
стями следует, что:
11. Для любой окружности о) и двух точек А и В, переходящих
pyr в дpyra при инверсии относительно 0), их образами при ин-
версии относительно окружиости r:t, центр которой не принадлежит
0), будут окружность 0)' и точки А' и В', переходящие друr в дру-
ra при инверсии относительно 0)' . Если же центр сх лежит на 0),
то о) перейдет в прямую 1, а точки А и В --- в точки А' и В' ,
симметричные относительно 1.
Радикальиая ось двух окружностей
Решим следующую задачу.
Даны две неконцентрические окружности 0)1 и 0)2'
Найти rеометрическое место точек М, дЛЯ которых касательные,
проведенные к окружностям о) 1 И 0)2, равны между собой.
Реш е н и е. Пусть 01 и 02 --- центры ОКРУЖНQстей 0)1 и 0)2, r1
и r2 --- их радиусы, А 1 и А 2 --- точки касания. Имеем I МО 1 1 2 
---1 МО 2 1 2 == (I МА l 1 2 + r)  (t МА 2 1 2 + r) == r  r. Таким образом,
215

все точки принадлежат одной прямой, перпендикулярной 0102'
Эта прямая называется радикальной осью окружностей 0)1 и 0)2'
Для завершения решения нашей задачи остается установить, Ka
кие точки найденной прямой удовлетворяют ее условию. Можно по
казать, что если окружности не пересекаются, то подходят все
точки радикальной оси. Если же 0)1 и 0)2 пересекаются, то ради
кальная ось содержит их общую хорду; а все точки общей хорды
не входят в искомое место точек. Соответственно в случае Kaca
ния 0)1 и 0)2 исключается точка касания.
Рассмотрим окружность r:J. с центром М на радикальной
оси окружностей о) 1 И 0)2 И радиусом, равным длине каса тель
ной, проведенной из М к 0)1 или 0)2. (П редполаrаем, что
М вне 0)1 и 0)2') Окружность r:J. ортоrональна окружностям 0)1 и
0)2' Таким образом, точки радикальной оси, расположенные вне
окружностей 0)1 и 0)2, если они пересекаются или касаются, явля
ются rеометрическим местом центров окружностей, ортоrональных
одновременно 0)1 и 0)2, а соответствующая инверсия переводит
каждую из них саму в себя.
Теперь докажем еше одно свойство инверсии.
12. Если окружности о) 1 И (02 не пересекаются, то существует
инверсия, переводящая НХ в концентрические окружности.
Возьмем окружность r:J., ортоrональную 0)1 и 0)2, С центром на
прямой 1, содержащей центры 0)1 и 0)2' Поскольку окружности 0)1
И 0)2 не пересекаются, такая окружность r:J. существует. Пусть
О  одна из точек пересечения окружности r:J. с прямой 1. При инвер-
сии с центром в О прямая 1 переходит сама в себя, а окруж
ность r:J......... В прямую р. Прямые 1 и р пересекаются и ортоrональны
окружностям 0); и 0)2  образам 0)1 и 0)2 при инверсии относительно
r:J.. Отсюда следует, что центры 0)1 и 0)2 совпадают с точкой пе
ресечения прямых 1 и р, т. е. 0); и 0)2  концентричеСI<ие окруж-
ности. (Докажите, что если прямая ортоrональна окружности, то
она проходит через ее центр.)
Здесь уместно сделать одно замечание. Любая окружность,
ортоrональная 0)1 и 0)2  концентрическим окружностям, есть пря
мая  окружность бесконечноrо радиуса. Значит, при инверсии OT
носительно окружности r:J. все окружности, ортоrональные {Оl и
0)2, должны перейти в прямые. Следовательно, все окружности,
ортоrональные 0)1 и 0)2, пересекают прямую 1 в двух фИКСИрО
ванных точках.
13. Для любых двух OKPY'&IIOCTei (о 1 И (02 существует по
крайней мере одна инверсия, переводящая нх друr в дрyrа. OK
ружность определяющая эту инверсию, называется срединной окруж
ностью 0)1 и 0)2'
Более точно теорему 13 следует сформулировать следующим
образом. Если {О1 и 0)2 пересекаются, то существует в точности
две инверсии, при которых 0)1 переходит в 0)2 и наоборот. Если
же 0)1 и 0)2 касаются или не пересекаются, такая инверсия одна.
Рассмотрим оначала случай пересекающихся окружностей. Cдe
лаем инверсию 1 с центром в одной из точек их пересечения.
0)1 и 0)2 перейдут в пересекаюшпеся прямые 11 и 12' Прямые 11
216

и 12 имеют две биссектрисы, относительно которых 11 и 12
симметричны. Следовательно (свойство 11), при той же инверсии 1
эти биссектрисы перейдут в две окружности, относительно KOTO
рых 00 1 И 002 симметричны.
Если 001 и 002 не пересекаются, то существует инверсия 1
(свойство 12), переводящая их в концентрические окружности 001
и 002' Пусть о  центр 001 и 002, '1 и '2  их радиусы. Инверсия OT
носительно окружности \1.,' с центром в О и радиусом V r1r2
переводит 001 и 002 дрyr в друrа. При инверсии 1 окружность iJ.'
перейдет в искомую окружность \1." относительно которой 001 и 002
симметричны.
В заключение этоrо раздела дадим определение радикальноrо
центра трех окружностей. Рассмотрим три окружности 001, 002
И ООз, центры которых не лежат на одной прямой. Можно доказать,
что три радикальные оси, соответствующие трем парам этих OK
ружностей, пересекаются в одной точке М. Эта точка называется
радикальным центром окружностей 001, 002 И ООз. Касательные,
проведенные из М к окружностям 001, 002 И ООз, равны между собой.
Значит, соответствующая инверсия с центром в М перево
дит каждую из окружностей 001, 002 И ООз саму в себя.
Задачи и упражнения
1. Найдите образ квадрата при инверсии относитель
но 8писанной в Hero окружности.
2. Дан треуrольник АВС. Найти все точки О такие, что инвер
сия с центром в О переводит прямые АВ, ВС и СА в окружности
paBHoro радиуса.
3. Пусть А', В', С'  соответственно образы точек А, В, С
при инверсии с центром в точке О. Доказать, что:
а) если О совпадает с центром описанной около АВС окружно
сти, то треуrольник А' В' С' подобен треуrольнику АВС;
б) если О совпадает с центром вписанной окружности, то Tpe
уrольник А' В' С' подобен треуrольнику с вершинами в центрах вне-
вписанных окружностей;
в) если О совпадает с точкой пересечения высот треуrоль
ника АВС, то треуrольник А'В'С' подобен треуrольнику с вершина..
ми в основаниях высот треуrольника.
4. Точки А и А' СИМ.lетричны относительно окружности \1." М 
произвольная точка этой окружности. Доказать, что отношение
t АМ 1/1 А' м 1 постоянно.
5. В окружности \1., проведены два перпендикулярных диаметра.
Прямые, соединяющие концы одноrо диаметра с произвольной точ"
кой окружности \1." пересекают второй диаметр и ero продолжение
в точках А и А'. Доказать, что А и А' симметричны относительно
окружности \1.,.
6. Доказать, что если окружность 00 проходит через центр ок..
ружности \1." то образ 00 при инверсии относительно \1.,  их ради-
кальная ось.
217

7. Дана окружность и две точки А и В на ней. Pac
смотрим всевозможные пары окружностей, касающихся данной в точ
ках А и В и касающихся между собой в точке М. Найти rеометри
ческое место точек М.
8. Даны две касающиеся окружности. Произвольная окружность
касается их обеих в точках А и В. Доказать, что прямая АВ про
ходит через фиксированную точку плоскости. (В случае paBНbIX
окружностей АВ параллельна прямой, проходящей через их центры.)
9. Даны три (>кружности а1, а2, аз, проходящие через одну
точку. Известно, что прямая, проходящая через точки пересече
ния окружностей а1 и а2, содержит центр окружности аз; прямая,
проходящая через точки пересечения а2 и аз, содержит центр
окружности а1' Доказать, что прямая, проходящая через точки пере
сечения аз и а1, содержит центр окружности СХ2.
10. Даны две окружности (()1 и (()2. Рассмотрим две произволь
ные окружности, касающиеся (()1 и (()2 И касающиеся между собой
в точке М. Найти rеометрическое место точек М.
11. Доказать, что с помощью инверсии любые две окружности.
MorYT быть переведены в равные.
12. Доказать, что с помощью инверсии четыре точки А, В, С, D,
не лежащие на одной прямой можно перевести в вершины паралле
лоrрамма.
13. Инверсия относительно окружности с центром О и радиусом
R переводит окружность с центром А и радиусом r в окружность
радиусом ,'. Доказать, что " == (rR 2 )/I f ОА 12  r 2 ,.
14. На плоскости дань! четыре точки А, В, С, D. Доказать,
что I АВ ,., CD 1+ I AD ,. f НС 1  1 АС '" BD 1.
15. В треуrольнике АВС сторона АС наибольшая. Доказать, что
для любой точки М справедливо неравенство 1 АМ 1 + 1 СМ I  I ВМ 1.
16. Доказать, что все окружности, проходящие через данную
точку А и пересекающие окружность а в диаметрально противопо-
ложных точках, содержат еще одну фиксированную точку, отлич
ную от А.
17. Даны четыре точки А, В, С, D. Доказать, что уrол между
окружностями, описанныIи около треуrольников АВС и BCD, равен
уrлу между окружностями, описанными около треyrольников
CDA и DAB.
18. Окружность m проходит через центр окружности а. А  про-
извольная точка окружности Ф. Прямая, проходящая через А и
центр окружности а, пересекает общую хорду окружностей а и (()
в точке А'. Доказать, что А и А' симметричны относительно окруж
ности а.
19. даныI две непересекающиеся окружности, не содержащие друr
друrа, и точка А, расположенная вне окружностей. Доказать,
что существует в точности четыре окружности (среди них MorYT
быть и прямые), про ходящих через А и касающихся данныIx окруж-
ностей.
20. Пусть s площадь окружности, центр которой находится -на
расстоянии а от точки О. Инверсия относительно окружности с
218

центром О и радиусом R переводит данную окружность в окруж-
ность площадью Sl. Доказать, что s' == s. R 4 /(a 2  R2)2.
21. Даны две окружности, касающиеся между собой. Рассмотрим
две друrие окружности, касающиеся данных и между собой.
Пусть rl и r2  радиусы двух последних окружностей, а d 1 и d 2 
расстояния от их центров до прямой, проходящей через цент-
ры данных окружностей. Доказать, что I d2  d 1 1 ==2 или d 2 +
r2 rl r2
d 1
+  == 2.
rl
22. Пусть 0)1 и 0)2  две касающиеся окружности. Рассмотрим
последовательность различных окружностей схо, СХl, СХ2, ..., (Х", ...,
каждая из которых касается (01 и (02, и, кроме Toro, окруж-
ность CXk+ 1 касается окружности CXk' Обозначим радиусы окруж-
ностей схо, СХl, ..., СХ т ... через ro, rl, ..., r n , ..., а расстоя-
ния от их центров до прямой, проходящей через центры 0)1 и (02 
через d o , d 1 , ..., d n , ... Выразить d n через r m если:
а) d o == О (этот случай возможен, если 0)1 и Ю2 касаются внутрен-
ним образом);
б) d o == kro.
23. Пусть СХl и СХ2  две пересекающиеся окружности, А и В 
их точки пересечения, (о  произвольная окружность, касающая-
ся СХl и СХ2, r  радиус окружности Ф, d  расстояние от ее
центра до прямой АВ. Доказать, что отношение r/d может принимать
лишь два различных значения.
24. Даны две непересекающиеся окружности СХl и СХ2 И набор
окружностей 0)1, Ю2, ..., О)т касающихся СХl и СХ2, причем (02 каса-
ется (01, 0)з касается (02, ..., О)п касается O)п l' Будем rоворить,
что система окружностей 0)1, (02, ..., О)п образует цепь, если О)п
И (01 касаются между собой. Доказать, что если для окружностей
СХl и <Х2 существует хотя бы одна цепь из n окружностей, то
существует бесконечно MHoro цепей. При этом для любой точки А
на какой-либо окружности СХl или СХ2 существует цепь, для кото-
рой А есть точка касания одной из окружностей цепи.
25. Доказать, что если для окружностей СХl и СХ2 существует
цепь из n непересекающихся окружностей (см. зада чу 24), то
(R + r)2  d 2 == 4Rr tg 2 (njп), [де R и r  радиусы окружностей
<Хl и СХ2, d  расстояни между их центрами. (Знак «  » бе-
рется, если одна окружность расположена внутри друrой, « +» 
в противном случае.)
26. Рассмотрим три окружности, каждая из которых касается
трех вневписанных окружностей HeKoToporo треутольника, причем
каждая из этих окружностей касается одной вневписанной окруж-
ности внутренним образом, а двух внешним образом. Доказать,
что три эти окружности пересекаются в одной точке.
27. Пусть d 1, d 2, . .., d n  расстояния от точки М, располо-
женной на дуте А 1 А п окружности, описанной около правильноrо
n-уrольника А 1 А 2 .. .А т до вершин А 1 , А 2 , ..., А п . Доказать, что
1 1 1 1
+ +...+ .......
d 1 d 2 d 2 d з dn l d n d 1 d n
219

28. Пусть а1, а2, ..., aп 1, ао.... стороны А 1 А 2 , А 2 А з ,
..., Aп 1 А т А п А 1 вписанноrо в окружность пуrольника А 1 А 2 ,
. . ., А п ; Р1, Р2, ..., Pп 1, Ро.... расстояния от произвольной точки
М, расположенной на дуrе А п А 1 окружности, до прямых А 1 А 2 ,
А А А А А А Д ао == а1 + а2 + . . . + aп 1 .
2 З, ... п 1 п, п(11' оказать, что
Ро Р1 Р2 P"l
Указания и решения
2. Точек, обладающих требуемым свойством,.... четы
ре: центры вписанной в треуrольник окружности и трех вневпи
санных окружностей.
3. б) Докажите подобие треуrольников ОАВ и OIb1a. Теперь из
свойства 2 будет следовать параллельность прямых А'В' 11 Ia1b.
7. Пусть (х ир.... окружности, касающиеся данной окружности
(о в точках А и В. При инверсии с центром в А окружности (о и
(Х перейдут в параллельные прямые 1 и Р, окружность Р  в окруж
ность р', касающуюся 1 в фиксированной точке В' и прямой Р
в точке М'. Таким образом, М' лежит на прямой, проходящей через
В' перпендику лярно 1. Искомое rеометрическое место точек есть
окружность, проходящая через А и В и ортоrональная (О. Сами
точки А и В исключаются. Ее центр в точке пересечения
касательных к (о, проходящих через А и В.
8. Пусть О.... точка касания данных окружностей. При инверсии
с центром в О эти окружности uерейдут в пару параллельных пря
мых, на которых находятся точки А' и В', причем отрезок А' В'
им перпендикулярен. Прямая АВ перейдет в окружность, описан
ную около треуrольника А' В' О, которая, очевидно, проходит через
точку Р, симметричную точке О относительно прямой, paBHOOTCTO
ящей от полученных параллельных прямых.
9. Пусть О.... точка пересечения окружностей (Х1, (Х2, (хз; А 1,
А 2 , Аз  соответственно точки пересечения, отличные от О, OK
ружностей (Х2 ? И (ХЗ, (ХЗ И (Х1, (Х1 И (Х2. При инверсии
с центром в О окружности (Х1, (Х2, (хз перейдут в прямые,
образующие треуrольник А'lА2Аз. Из условия и свойства 3 сле
дует, что АзО.l А'lА2, А'l 0.1 А 2 А з . Значит, О.... точка пересечения
высот треуrольника А'lА2Аз и A 2 0.l А з А'l'
10. Если (01 И (02 пересекаются, то искомое rеометрическое
место состоит из двух окружностей.... срединных окружностей (01
и (02 I (теорема 13), проходящих через точки пересечения (01 и
(02, исключая сами точки пересечения (01 и (02. Если они касаются, 
из одной срединной окружности, исключая точку касания. Для
доказательства достаточно сделать инверсию с центром в общей
точке окружностей (01 и (02. Если Ф1 И (02 не имеют обlТJ;ИХ TO
чек, подходит вся срединная окружность. В этоrvf случае надо cдe
лать инверсию, переводящую (01 и (02 В концентрические окруж
ности.
11. Нужным свойством обладает любая инверсия с центром на
срединной окружности, так как эта инверсия переводит средин
220

ную окружность в прямую относительно которой образы данных
окружностей симметричны.
12. Рассмотрим два случая.
1) Точки А, В, С, D лежат на одной окружности (О. Можно
считать, что данные точки --- последовательные вершины вписанноrо
четырехуrольника. Пусть О --- точка пересечения окружности, орто-
rональной (о и проходящей через А и С, с окружностью, орто-
rональной (о и проходящей через В и D. При инверсии с
центром в О четырехуrольник ABCD перейдет во вписанный че-
тырехуrольник А' В' С' D', диаrонали KOToporo являются диаметрами,
т. е. А' В' С' D' --- прямоуrольник.
2) А, В, С, D не лежат на одной окружности. Обозначим
через (о А, (ОВ, (ос, (OD окружности, описанные соответственно OKO
ло треуrольников BCD, l;DA, DAB, АВС. Возьмем срединную
окружность (ов и (OD, разделяющую точку В и D, и сре-
динную окружность (ОА И (ос, разделяющую точки А и С.
Обозначим через О точку их пересечения. (Докажите, что эти ок-
ружности пересекаются. ) При инверсии с центром О данные точ-
ки перейдут в вершины выпуклоrо четырехуrольника А' В' С' D', У
KOToporo каждая диаrональ делит ero на два треуrольника с рав-
ными описанными окружностями (см. задачу 11), следовательно,
противоположные yrлы четырехуrольника равны, отсюда следует
что A'B'C'D'  параллелоrрамм (докажите).
13. Пусть прямая ОА пересекает окружность с центром в
А в точках В и С. Тоrда 1 В'С' 1 == 2у'. Теперь можно вое...
пользоваться формулой, данной в пункте 2.
14. Сделаем инверсию с центром А. Будем .иметь 1 В'С' 1 +
+ 1 C'D' 1  1 B'D'I. Затем воспользуемся формулой пункта 2.
15. Из предыдущей задачи следует, что I АС 1.1 ВМ 1 
 I АВ I.ICM 1 + 1 ВС I.IAM 1. Так как АС --- наибольшая сторона, то
IBMI IABI . 1cM1 + IBCI 'IAMIIAMI+IMCI.
'АСI IACI
16. Пусть А' получается из А при инверсии относительно
gкружности СХ. А 1 симметрична А' относительно центра окруж-
ности сх. Докажите, что все указанные в условии окружности про-
ходят через А 1 .
17. Сделаем инверсию с центром в А. Первый уrол будет ра-
вен уrлу между прямой В'С' и окружностью, описанной около
B'C'D', второй  уrлу между прямыми D'C' и D'B'.
18. Инверсия относительно окружности сх переводит прямую
АВ в 00:
19. Сделаем инверсию с центром в А. Тоrда утверждение за-
дачи эквивалентно утверждению, что две окружности, расположенные
вне дрyr друrа, имеют ровно четыре касательные прямые.
20. Пусть прямая, проходящая через центр инверсии и центр
данной окружности, пересекает данную окружность в точках, KO
ординаты которых равны Х 1 и Х 2 (начало координат в точке О).
1t ( R2 R 2 ) 2 1t R 4 R 4
Тоrда s' ==     ==  (Хl --- Х2)2 == S
4 Хl Х2 4 (Хl Х2)2 (а 2 --- R2)2 .
221

21. Заметим, что для любой прямой 1, проходящей через О,
при инверсии с центром О для произвольной окружности выпол-
няется равенство d/r == d'/r', rде r и " --- радиусы данной окруж-
ности и ее образа, d и d' --- соответственно расстояния от их
центров до прямой 1. Это следует из Toro, что О --- внешний
центр подобия обеих окружностей (свойство 6).
Вернемся к нашей задаче. Сделаем инверсию с центром в точ-
ке касания данных окружностей. Данные окружности перейдут в
пару параллельных прямых, прямая 1, проходящая через центры
данных окружностей, им перпендикулярна. Окружности с радиусами
r1 и r2 перейдут в пару касающихся между собой, а также па-
раллельных прямых окружностей paBHoro радиуса r'. Теперь оче..
видно, что если центры двух последних окружностей по одну
1 d2  dl 
сторону от и, для определенности, d 2 > d 1 , то  
r' r'
d' + 2r' d' d' d'
 1 ___  == 2. Если --- по разные, то  +  == 2.
 r'  r'
22. Воспользуемся результатом предыдущей задачи. Получим
в случае а) d n == 211r"; в случае б) возможны два ответа: d n ==
== (2n + k) r n И d n == I k --- 2п I r ".
23. Сделаем инверсию с центром в А; окружности сх 1 И СХ2
перейдут в две прямые 11 и 12, пересекающиеея в точке В',
расположенной на прямой АВ. Как было доказано при решении
задачи 21, r/d == r'/d'. Но r'/d' есть отношение радиуса окружное..
ти, касающейся 11 и 12 К расстоянию от ее центра до Фиксиr()
ванной прямой, проходящей через точку пересечения 11 и 12. Зна-
чит, r'/d' принимает лишь два значения, в зависимости от Toro,
в какой из двух пар вертикальных yr лов, образованных 11 и '2'
расположена окружность.
24. Сделаем инверсию, переводящую СХ1 и СХ2 В концентриче-
ские окружности (см. теорему 12). После этоrо утверждение за-
дачи становится очевидным. Эта теорема носит название порuзма
Штейнера.
25. Если СХ1 и СХ2 --- концентрические окружности с радиусами
R и r, то справедливость равенства {R --- r)2 == 4Rr . tg 2 (п/п) (d == О)
леrко получается из очевидноrо соотношения: R  r == (R + r) sin (п/п),
R > r. Сделаем инверсию, центр которой находится на расстоя-
нии а от общето центра окружностей СХ1 и СХ2. Пусть, дря
определенности, а > R. Окружности СХl И 2 перейдут в окруж-
ности СХ'1 И СХ2, СХ2 внутри сх'1. При этом по формуле зада-
, R p 2 , rp2
чи 13 будем иметь R == 2 2' r == 2 2' rде р2 --- степень ин-
а ---R а ---r
версии. Для нахождения d' --- расстояния между центрами окруж-
ностей СХ'1 и СХ2 --- про ведем прямую через центр инверсии и
центры СХ1 и СХ2; отрезок этой прямой, заключенный между первыми
двумя точками пересечения с окружностями сх 1 И (Х,2, равен толщине
кольца (R --- r). При инверсии он перейдет в отрезок длиной Ь ==
___ (R  r) р2 (см. пункт 2), следовательно, d' == I R' ...... r' --- Ь I ==
(а --- r) (а --- R)
222

rp2 (R  r) р2

а 2  R 2 а 2  r 2 (а  r) (а  R) (а 2  r 2 ) (а 2  R2) .
заменяя R' и r' по найденным выше формулам, получим
R'  r' == (R  r) (а 2 + Rr) р2
(а 2  r 2 ) (а 2  R2) .
R p 2
а (R 2  r 2 ) р2
Далее,
Нам надо праверить справедливость равенства (R'  r')2  (d')2 ==
== 4R'r' tg 2 (п/п). Выражая все входящие в Hero величины через
R, r, а, р и упрощая, приведем к равенству (R  r)2 (а 2 + Rr)2 
 (R  r)2 а 2 (R + r)2 == 4Rr (а 2  r 2 ) (а 2  R2) tg 2 (п/п). Но (R  r)2 ==
== 4Rr tg (п/п). Значит, надо проверить, что (а 2 + Rr)2  а 2 (R + r)2 ==
== (а 2  r 2 ) (а 2  R 2 ). Это сделать леrко.
Случай а < R идентичен рассмотренному. Если же r < а < R,
то (1'1 И (12 располаrаются вне друr друrа и в форму ле,
данной в условии, надо взять знак «+ ».
26. Сделаем инверсию с центром в радикальном центре вне-
вписанных окружностей, при которой вневписанные окружности пере-
ходят сами в себя. При этой инверсии прямые, на которых ле-
жат стороны треуrольника, перейдут в окружности, о которых [о-
ворится в условии. Все эти три окружности пройдут через ради-
кальный центр вневписанных окружностей треуrольника.
27. Сделаем инверсию с центром в М и степенью 1. При этом
точки А 1 , А 2 , ..., А п перейдут в точки А'1, А 2 , ..., А'п, расположен-
ные на одной прямой. Пусть сторона пуrольника равна а. Из фор-
мулы пункта 2 следует, что 1 А'1 А 2 1 ==  а; 1 А 2 А з 1 ==  а; ...
d 1 d 2 d 2 d з
1 A 1A 1 == 1 а; 1 AIA 1 == a. Подставляя эти выражения в
dn 1 d n d 1 d n
очевидное соотношение I A'1A 1 == 1 А'1 А 21 + 1 А 2 А з l + ... +  A 1A 1,
придем к требуемому результату.
28. Сделаем инверсию с центром в точке М. Вершины данноrо
пуrольника перейдут в п точек, расположенных на одной прямой,
причем
1 A'1A 1 == 1 А'1 А 2 1 + 1 А 2 А з l + ... + 1 A 1A 1.
(*)
Обозна чим через р' длину перпендику ляра, опущенноrо из точки
М на прямую AIA. ИЗ подобия треуrольников А 1 МА 2 и А 1 МА 2
( свойство 2 ) сле ду ет , что 1 А 1 А 2 1 == Р1 1 А' А' 1 == а1 Р '. Аналоrично
1 А , А , 1 ' , 1 2
1 2 Р Р1
1 А , А ' 1 а2, I А , А , 1 аn  1 , I А ' А , I ао,
2 з == p, ..., п1 n == p, 1 п == p.
Р2 Pn1 Ро
Подставляя эти выражения в соотношение (*) после сокращения
на р', приходим к требуемому равенству.

Иzорь Федорович Шарыzuн
ЗАДАЧИ по rЕОМЕТРИИ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Серия: «Библиотечка «Кванп), вып. 17
Редактор А. А. М оzuлевскuй
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технические редакторы В. Н. Кондакова, Е. В. Морозова
Корректор Е. В. CuдopКUHa
ИБ ,Ng 12976
Сдано в набор 12.07.85. Подписано к печати 29.01.86. T03379. Формат 84х 108/32. Бумаrа
КН.журн. офсетная. rарнитура таймс. Печать высокая. Усл. печ. л. 11,76. Усл. Kp.OTT. 12,18.
Уч.изд. л. 15,11. Тираж150000 экз. Заказ NQ 5. Цена 45 коп.
Ордена Тру довоrо Kpacвoro Знамени издательство «Наука)
rлавная редакция физико-математичесICОЙ литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудовоrо KpacHoro Зцамени Ленинrpадское произ
водственно-техническое объединение «Печатный Двор)) имени А. М. rOpbKoro Союзполиrpаф
прома при rосударствешIOМ комитете СССР по делам издательств, полиrpафии и книжной
торrовли. 197136, Ленишрад, П136, Чкаловский пр., 15.