Author: Шарыгин И.Ф.
Tags: геометрия топология математика аналитическая геометрия задачи по геометрии планиметрия библиотечка квант москва наука
Year: 1982
Text
@
БИБЛИОТЕЧКА . КВАНТ.
ВЫПУОК 17
и. Ф. шАрыинH
ЗАДАЧИ
по rЕОМЕТРИИ
ПЛАНИМЕТРИЯ
МОСКВА «НАУКА,.
r ЛАВНА}] РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22. t 5 t.O
Ш 26
удк 513.1/.2
р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е r и Я:
Академик И. К. КИКОИН (председатель), академик А. Н. Кол-
MoropoB (заместитель председателя), доктор физ.-мат. наук
Л. r. Асламаэов (ученый секретарь). член-корреспондент АН СССР
А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайншт ейн, зас.пуженн ый учитель
РСФСР Б. В. ВО3Д8иженский, академии \ В. м. rлуwковt , академик
П. Л. Капица, профессор С. П. Капица, академик Ю. А. ОСИПЬЯН,
член-корреспондент АПН РСФСР В. r. Разумовский, академик
Р. 3. Сидеев, кандидат ХИМ. наук М. Л. Смолянский, профессор
Я. А. Смородинекий, академик С. Л. Соболев, член-корреспон-
дент АН СССР д. К. Фаддеев, ч.lIен-корреспондент АН СССР
И. С. Шкловский.
Редактор выпуска Н. Б. Васильев.
Шарыrии И. Ф.
Ш 263адачи по rеометрии (планиметрия}......... М.: Нау-
ка. rлавная редакция физико математической ли-
тературы, 19'82, 160 с. (Библиотечка «КванТ».
Вып. 17) 30 коп.
Книrа включает окело 500 задач по планиметрии, разбитых на
два раздела. В первом разделе 140 сравнительно простых задач.
которые сопровождаются ответами и MorYT быть использованы как
в классной, так и во внеклассной работе в школе.
Второй раздел включает около 300 задач, собранных по тема-
тике: задачи на вычисление, задачи на доказательство и т. Д., а так-
же 62 дополнительные задачи. Задачи этоrо раздела сопровожда-
ются указаниями и подробными решениями. Они MorYT быть ИСПОЛЬ 4
зоваНы во внеклассной работе, в работе школьных мате'матиче-
ских кружков, при подrотовке к математическим олимпиадам.
Для школьников, преподавателей, студентов.
1702040000 041
Ш .. 198 81
053(02)-82
ББК 22.151.0
513
1702040000 041
Ш 198 81
053 (О2) 82
Издательство «HaYKa .
rлавная редакция
Физико-математической
литературы, 198
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................ 4
Раздел 1. подrОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. . . . . . 7
Раздел 11. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОй ТРУДНОСТИ. . 22
1. Задачи на вычисление . . . . . . . . . . . . . . .. 22
2. Задачи на доказательство . . . . . . . . . . . . .. 35
3. fеометрические места точек. Принадлежность точек
прямым и ОКРУЖlЮCтям ............... 43
4. rеометрические неравеаства и задачи на максимум-
минимум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ . . . . . . . . . . . .. 60
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 11 ..... 146
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта КНиrа..... сборник разнообразных задач
по планиметрии. Первый раздел открывается набором
rеОl\1етрических фактов, примыкающих к курсу reoMeT-
рин 6...... 8 классов средней школы. Мноrие из них
входили в традиционные школьные учебники. Кроме
TOr(), в этом разделе собраны задачи (в основном «на
вычисление» элементов rеометрических фиrур), призван-
ные активизировать знание основных школьных фор-
мул и теорем, развить технику решения rеометриче-
ских задач. Задачи этоrо раздела снабжены лишь отве-
таМII. Работа над ними поможет читателю подrотовиться
к школьным и конкурсным экзаменам (некоторые
из этих задач в прошлом предлаrались на экзаменах).
В известной мере это утверждение можно ,отнести и к
задачам «на вычисление» из BToporo раздела.
Уже в первом раздеJlе встречаются нелеrкие задачи.
Во втором разделе, рассчитанном на увлеченноrо reo-
метрией читателя, трудность задач возрастает (хотй и
здесь каждый параrраф открывается сравните,,'1ЬНО про-
сты tИ вводными задачами). Основными критериями
отбора задач являлись: естественность формулировки,
rеО lетричность решения, неожиданность результата,
ориrинальность задачи.
Автор не делал попытки систематизировать задачи
по типам и методам решения, по принадлежности к
тому или иному разделу rеометрической науки. По
существу, почти I<аждая rеометрическая задача (по
сравнению с рутинными упражнениями на решение
уравнений, неравенств, исследование функций и т. п.)
нестандартна: в каждой надо придумать, какие сделать
дополнительные построения, какими воспользоваться
формулами и теоремами. Поэтому предлаrае ,fУЮ книrу
никак нельзя рассматривать как задачник по систе-
матическому курсу rеометрии; скорее это сборник
4
различных rеоrvlетрических находок, цель KOToporo.......
демонстрация изящества элементарно..rеометрических
приемов доказательств и расчетов (без использования
векторной алrебры и с минимальным привлечением
leToдa координат, rеометрических преобразований и,
пожалуй, несколько большим триrОНО lетрии).
Сейчас в школьном курсе учеников знакомят с
разнообразными понятиями и средствами решения
задач, но именно их разнообразие оставляет мало
вреl\fени на приобретение навыков, и вкус к TaKoro
рода задачам, которые собраны в этой книrе, у новых
поколений несколько снизился. Конечно, вопрос о том,
насколько важно научиться решать трудные rеО1\1етри-
ческие задачи, спорен. Быть может, и в carvlOl\1 деле
тем, кто связывает свое будущее с професеией матема-
тика или проrраммиста, полезнее заНИ1\1аться задачами
комбинаторно лоrическоrо характера, изучать начала
анализа, научиться составлять проrраммы дЛЯ ЭВМ.
Нам все же кажется, что развитое rеометричеСI{ое
воображение качество, необходимое будущему мате..
матику и полезное будущим инженерам, физикам,
строителям, архитекторам и мноrим друrим.
Трудно rарантировать, что автору в каждом' слу..
чае удалось найти «оптимальный» путь решения, не
rоворя уже о том, что некоторые (хотя, ви ДИl'vl0 ,
неrvlноrие) задачи знаток I'еометрии решил бы короче,
используя инверсию, ?vlетоды проективной rеометрии
и т. п. Автор намеренно не намечал все возможные
связи и обобщения задач, как это принято у матема-
тиков-теоретиков, доискивающихся в каждом отдель-
ном случае до лоrически наиболее прозрачноrо общеrо
факта, а действовал скорее как физик-праКТИI<, кото-
рому надо решить конкретную задачу, по принципу:
если не видно простоrо изящноrо решения, надо «по..
считать». Возможно, некоторые читатели не откажут
себе в удовольствии улучшить предложенный автором
путь решения отдельных задач.
Хотя степень ориrинальоости собранных в книrе
задач различна (некоторые можно найти в старых
книrах и журналах, друrие предлаrались на ОЛИМ-
пиадах или были опубликованы в журнале «Квант»),
автор все же надеется, что кое-что из представленной
здесь коллекции заинтересует и опытных люБИ1елей
rеометрии.
5
Заметим, что в некоторых случаях к задачам ВТО.-
poro раздела дается лишь план решения или разби-
рается один из возможных случаев. Необходимость
п ребора разных возможных расположений фиrур....... не-
редко ВС1речающийся недостаток 9лементарно-rеомет-
рических доказательств, который, как правило, мече..
зает при переходе к векторам, «направленным уrлам»,
методу координат и т. П.; правда, при этом зачастую
исчезает и сама rеометрия.
Чтобы сделать книrу понятной для читател й раз-
ной подrотовки и разных поколений, была выбрана
u u
не совсем совпадающая с принятои сеичас в школе
терминолоrия. «Конrруэнтные» фиrуры называются
просто «равными», не используются знаки I'"'.J , [АВ]
дЛЯ отрезка и (АВ) дЛЯ прямой и т. П.; надо полаrать,
что это не затруднит, а скорее облеrчит пользование
книrой. _
Уже после Toro как рукопись была подrотовлена,
автору представилась возможность ВКJ;lЮЧИТЬ В нее еще
62 задачи повышенной трудности. Они помещены в конце
книrи вместе с ответами и указаниями.
В заключение автор считает своим долrом поб.лаrо-
дарить А. 3. Берштейна, принимавшеrо участие в
работе над первым разделом книrи. Автор приэнателен
также А. А. Яrубьянцу, сообщившему несколько
изящных rеометрических фактов.
Автор
р А3ДЕЛ 1
подrОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Доказать, что медианы в треуrольнике
u
пересекаются в ОДНОИ точке и делятся ею в отноше-
нии 1: 2.
2. Доказать, что медианы делят треуrольник на
u
шесть равновеликих частеи.
3. Доказать, что ДИf1метр окружности, описанной
окол() треуrольника, равен отношению ero стороны к
синусу противолежащеrо уrла.
4. Пусть вершина уrла находится вне Kpyra и
стороны уrла пересекают окружность. Доказать, что
величина уrла измеряется полуразностыо ДУI', высе-
каемых ero сторонами на окруЯ\ности и расположен-
ных внутри уrла.
5. Пусть верlIIина уrла находится внутри Kpyra.
Доказать, что величина уrла измеряется ПОЛУСУl\1МОЙ
Jlyr, заключенных между ero сторонами и их продол-
жениями за вершину yr па.
6. Пусть АВ........ хорда ОКРУЖНОСТfi, l....... касательная
к окружности (А....... точка касания). Д()J<азать, что
каждый из двух уrлов ме)l{ДУ АВ и 1 измеряется поло-
виной дуrи окружности, заключенной внутри paCCMa'I-
риваемоrо уrла.
7. Через точку М, находящуюся на расстоянии а
от центра окружности радиуса R (а> R), проведена
секущая, пересекающая окружность в ТОЧJ<8Х А и В.
Доказать, что I м А 1.1 мв I постоянно для всех секу-
щих и равно а 2 R2 (квадрату длины касательной).
8. В окружности радиуса R через точку М, нахо-
дящуюся на расстоянии а от ее центра (a<R), ПрОБе-
дена хорда АВ. Доказать, ЧТО I АМ 1.1 МВ I постоянно
для всех хорд и равно R!...... а".
9. Пусть АМ биссектриса треуrольника АВС.
'ВМ\ ,АВI
Доказать, что I СМ I : АСI · То же верно для t'iиссе-
7
ктрисы внешнеrо уrла треуrольника. (В этом случае М
лежит на продолжении стороны ВС.)
10. Доказать, что сумма квадратов диаrоналей
параллелоrрамма равна сумме квадратов ero CTO
рон.
1 1. Стороны треуrольника равны а, Ь и с. Доказать,
что длина медианы та, проведенной к стороне а, вычис-
1
ляеrся по формуле та == 2" V 2Ь 2 + 2с 2 а 2 .
12. Даны два треуrольника, у которых одна вер-
IJJина А общая, а друrие вершины расположены на
двух прямых, проходящих через А. Доказать, что отно-
шение площадей этих треуrольников равно отношению
произведений двух сторон, содержащих верIllИНУ А.
13. ДОI<азать, что площадь описанноrо мноrоуrоль-
ника равна 'Р, rде Р ero полупериметр, '..... радиус
вписанной окружности (в частности, эта фОРl'лу,па спра-
ведлива для треуrольника).
14. Доказать, что площадь четырехуrольника равна
полупроизведению диаrоналей на синус уrла между
НИ 1И .
15. Доказать справедливость следующих фОр IУЛ для
А А
а 2 sin В sin С S . А
площади треуrольника: S == л , ==2R2 Sln Ах
2 sin А
А А Л А А
Х sin В sin С, rде А, В, С .....Ауrлы тр уrольника, а
длина стороны против уrла А, R радиус описанноrо
Kpyra.
16. Доказать, что радиус окружности, вписанной
в прямоуrольный треуruльник, вычисляется по формуле
a+b c
r == , rде а и Ь катеты, С..... rипотенуза.
17. Доказать, что если а и Ь..... две стороны тре-
уrольника, а..... уrол между ними и 1 длина биссектрисы
а
2аЬ cos 2
этоrо уrла, то 1 == а+Ь
18. Доказать, что расстояния от вершины А тре-
уrольника АВС дО точек касания вписанной окружности
со сторонами АВ и АС равны р ..... а, rде р..... полупери-
l\1IeTp 6. АВС, а == I ВС 1.
t 9. Доказать, что если в ВЫПУКЛО!\.I четырехуrоль..
нике ABCD выполняется соотношение I АВ 1+ I CD I ==
== I AD I + I Ее 1, то существует окружность, касающаяся
всех сторон ero.
8
20. а) Доказать, что высоты в треуrольнике nере-
секаются в ОДНОЙ точке.
б) Доказать, что расстояние от вершины треуrоль-
ника до точки пересечения высот вдвое больше, чем
расстояние от центра описанноrо Kpyra до противопо
ложной стороны.
21. На одной стороне прямоrо уrла с вершиной в
точке О взяты две точки А и В, причем IOA 1== а,
I ОБ 1== Ь. Найти радиус окружности, проходящей через
точки А и В и касающейся друrой стороны уrла.
22. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна
С, а один из острых уrлов равен :JOO. Найти радиус окруж
ности С центром в вершине уrла в 300, делящей дaH
u
ныи треуrольник на две равновеликие части.
23. В прямоуrольном треуrольнике АВС даны длины
катетов I СВ 1== а, I СА 1== Ь. Найти расстояние от вер-
шины С до ближайшей к С точки вписанной окружности.
24. В прямоуrольном треуrольнике медиана длины т
делит прямой уrол в отношении 1: 2. Найти площадь
треуrольника.
25. В треуrольнике АВС даны стороны I ВС! == а,
I АС I == ь, I АВ I == с. Найти отношение, в котором точка
пересечения биссектрис делит биссектрису уrла В.
26. Доказать, что сумма расстояний от любой точки
основания равнобедренноrо треуrольника до боковых
сторон равна высоте этоrо треуrольника, проведенной
к боковой СI0роне.
27. Доказать, что сумма расстояний от любой точки
внутри правильноrо треуrольника до ero сторон равна
высоте этоrо треуrольника.
28. В равнобедренном треуrольнике АВС (1 АБ I ==
=='1 ВС 1)' на основании АС взята точка М так, что
I АМ I == а, I МС 1== ь. В треуrОJ1ЬНИКИ АБМ и СВМ цпи
саны окружности. Найти расстояние между точками
касания этих ОКРУ)l{ностей со стороной Б М ·
29. В параллелоrрамме со сторонами а и Ь и уrлом а
проведены биссектрисы четырех уrлов. Найти площадь
четырехуrольника, оrраниченноrо биссектрисами.
30. В ромб с высотой h и острым уrлом а вписана
окружность. Найти радиус наибольшей из двух В(J3МОЖ
u U
ных окружностеи, каждая из которых касается даннои
окружности и двух сторон ромба.
31. Определить острый уrол ромба. в котором длина
стороны есть среднее rеометрическое длин диаrоналей.
g
32. Длины диаrоналей выпуклоrо четырехуrольника
равны а и Ь, а ДЛИНЫ отрезков, соеДИНЯЮЩИХ середины
противrположных сторон, равны между собой. Найти
площадь четырехуrольника.
зз. Основание AD прямоуrольника ABCD, в три ра-
за большее ero высоты АВ, точками М и N раЗД lIено
............................. ...-' ...............
на три равные части. Найти AMB+ANB+ADB.
34. Две окружности пересекаются в точках А и В.
Через точку А проведены ХОрДЫ АС и AD, касающиеся
данных окружностей. Доказать, что I АС 12 . J BD t ==
== I AD j2 · I ВС 1.
35. Доказать, что в прямоуrольном треуrольнике
биссектриса прямоrо уrла делит попола 1 уrол между
медианой и высотой, опущенными на rипотенузу.
36. На окружности радиуса r выбраны три точки
таКИfvl образом, что окружность оказалась разделенной
на три дуrи, длины которых относятся как 3: 4 : 5.
В точках деления к окружности проведены касательные.
Найти площадь треуrольника, обраЗ0ванноrо этими
касательными.
37. Около окружности описана равнобочная трапеция
с боковой стороной 1, одно из оснований которой равно а.
Найти площадь трапеции.
38. Две прямые, параллельные основаНИЯ!\f трапеции,
делят каждую из боковых сторон на три равные части..
Вся трапеция разделена ими на три части. Найти
площадь средней части, если площади крайних 81 и S2'
39. В трапеции ABCD со сторонамиl АВ I == а,
1 ве 1== ь проведена биссектриса уrла А. Определить,
что она пересекает: основание ве или боковую сторо-
ну CD.
40. Найти длину отрезка прямой, параллельной осно-
ваниям трапеции и проходящей через точку пересече-
ния диаrоналей, если основания трапеции равны а и Ь.
41. В равнобочно трапеции, описанной около окруж-
ности, отношение параллельных сторон равно k. Найти
уrол при основании.
42. В трапеции ABCD основания I АВ I ==а и
I CD 1 == Ь. Найти площадь трапеции, если известно, что
диаrонали трапеции ЯВЛЯIОТСЯ биссектрисами уrлов
DAB и АБС. .
43. В равнобочной трапеции средняя линия равна а,
а диаrонали взаимно перпеНДИI{УЛЯРНЫ. Найти площадь
трапеции.
10
44. Площадь равнобочной трапеции, описанной около
Kpyra, равна 8, а высота трапеции в 2 раза меньше
ее боковой стороны. Определить радиус вписанноrо в
трапецию Kpyra.
45. Площади треуrольников, образованных отрез-
u
ками диаrоналеи трапеции и ее основаниями, равны
81 и 82' Найти площадь трапеции.
46. В треуrольнике АВС уrол АВС равен а. Найти
уrол АОС, rде О центр вписанной окружности.
47. В прямоуrО 7JЬНОМ треуrольнике проведена бис-
сектриса прямоrо уrла. НаЙ'fИ расстояние между точ-
ками пересечения высот двух получившихся треуrоль-
ников, если I{атеты данноrо треуrольника равны а и Ь.
48. Прямая, перпендикулярная двум сторонам п"рал-
леЛ(Jrрамма, делит ero на две трапеции, в каждую из
которых можно вписать окружность. Найти острый
уrол пар аЛ..ТIелоrр амма, ес,'IИ длины ero сторон раЕНЫ
а и Ь (а<Ь).
49. Дан полукруr с диаметром АВ. Через середину
полуокружности провед ны две прямые, делящие полу-
Kpyr На три равновеликие части. В каком отношении
эти прямые делят диаметр АВ?
50. Дан квадрат ABCD, сторона KOToporo равна а,
и построены две окружн<,сти. Первая окружность
целиком расположена внутри квадрата А BCD, касается
стороны АВ в точке Е, а также касается стороны Ве
и диаrонали АС. Вторая окружность с центром в точке А
проходит через точку Е. Найти П.ТIощадь общей части
двух KpyroB, оrраниченных ЭТИ IИ окружностями.
51. Вершины правильноr() шестиуrольника со сторо-
ной а являются центрами окружностей, радиусы кото-
рых равны а/У 2 . Найти площадь части шестиуrольника,
u u
расположеннои вне этих окружностеи.
52. Вне окружности радиуса R взята точка А, из
u
которои проведены две секущие, одна........ проходящая
через центр, а друrая...... на расстоянии R/2 от центра.
Найти площадь части Kpyra, расположенной между
этими секущими.
53. В четырехуrольнике ABCD известны уrлы
--..........
DAB==90°, DBC==90°, IDBI==a, IDCj==b. Найти
расстояни между центраl\1И двух окружностей, ДHa
ИЗ которых проходит через точки D, А и В, а АРу-
rая через точки В, С и D.
11
54. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две
точки М и N так, что прямые ме и NC делят ромб
на три равновеликие части. Найти длину отрезка MN,
если f BD I == d.
55. На стороне АВ треуrольника АВС взяты точки
М и N так, что I АМ I : I MN I : I N В I == 1 : 2 : 3. Через
. точки М и N проведены прямые, параллельные сто-
роне АС. Найти площадь части треуrольника, заклю-
ченной между этими прямыми, если площадь тре-
уrольника АВС равна s.
56. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и
АС ---- касательные к окружности (В и С точки каса-
ния). Доказать, что центр окружности, вписаннпй
в треуrольник АВС, лежит на данной окружности.
57. BOKpyr paBHocTopoHHero треуrольника АВС
описана окружность, и на дуre ВС взята произвольная
точка М. Доказать, что I АМ' == I ВМ 1 + I СМ 1.
58. Пусть Н точка пересечения высот 6 АВС.
'
Найти уrлы 6 АВС, если ВАН == а, АВН == .
59. Площадь ромба S, сумма длин ero диаrоналей
равна т. Найти сторону ромба.
60. Квадрат со стороной а вписан в окружность.
Найти сторону квадрата, вписанноrо в один из полу-
ченных cerMeHTOB.
61. В cerMeIIT с дуrой в 1200 и высотой h вписан
I АВ I . 1
прямоуrольник ABCD так, что I не I ==""4 (Ве лежит
на хорде). Найти площадь прямоуrольника.
62. Площадь KpyroBoro кольца S. Радиус большей
окружности равен длине меньшей. Найти радиус мень-
шей окружности.
63. Сторону правильноrо десятиуrольника выразить
через R радиус описанной окружности.
64. К окружности радиуса R из внешней точки М
проведены касательные МА и МВ, образующие yrOJI (Х.
Определить площадь фиrуры, оrраниченной касатель-
u u
ными И меньшеи дуrои окружности.
65. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найти ра-
диус окружности, проходящей через середину сто-
роны АВ, центр квадрата и вершину С.
66. Дан рОI\ilб со стороной а и острым yr ЛОl\f а.
Найти радиус окружности, проходящей через две сосед-
ние вершины ромба и касающейся противоположной
стороны ромба или ее продолжения.
12
67. Даны три попарно касающиеся окружности
радиуса '. Найти площадь треуrольникз, обраэованноrо
тремя прямыми, каждая из которых касается двух
окружностей и не пересекает третью.
68. Окружность радиуса r касается некоторой пря-
мой в точке М. На этой прямой по разные стороны от М
взяты точки А и В так, что I МА 1==1 МВ I == а. Найти
радиус окружности, проходящей через А и В и касаю-
u u
щеися даннои окружности.
69. Дан квадрат ABCD со стороной й. На сто-
роне ВС взята точка М так, что I вм 1==3 ! МС 1, а
на стороне CD..... точка N так, что 21 CN I == I N D '.
Найти радиус окружности, вписанной в треуrоль-
ник AMN.
70. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определить
расстояние между серединой отрезка АМ, rде М ce
редина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей ее
в отношении I CN I : I N D I == 3 : 1.
71. В треуrольнике АВС из вершины А выходит
ПРЯf\1ая, делящая пополам медиану BD (точка D ле-
жит на стороне АС). В каком отношении эта прямая
делит сторону ВС?
72. В прямоуrольном треуrольнике АВС катет СА
равен Ь, катет СВ равен а, СН высота, АМ ..... медиана.
Найти площадь треуrольника ВМН.
73. В равнобедренном треуrольнике АВС заданы
ВАС == а> 900 и I ВС 1== а. Найти расстояние 1\1ежду
u u
точкои пересечения высот и центром описанн и окруж-
ности.
74. BOKpyr треуrольника АВС, в котором I ВС 1== й,.
СВ А == а, ВСА == , описана окружность. Биссектриса
уrла А пересекает окружность в точке К. Найти длину
хорды АК.
75. в окружности радиуса R проведен диаметр и
на нем взята точка А на расстоянии а от центра.
Найти радиус второй окружности, которая касается
диаметра в точке А и изнутри касается данной окруж-
ности.
76. В окружности проведены три попарно пересека-
ющиеся хорды равной длины. Каждая хорда разделена
u
точками пересечения на три части равнои длины.
Найти радиус окружности, если длина каждой из хорд
равна а.
13
77. Одик праВЯЛЬffЫЙ II1есtиуrольник вписан в окруж-
ность, а' друrой описан около нее. Найти радиус окруж-
ности, если рззность перимеТРО8 этих шестиуrоль иков
равна а.
78. В правиль}{ом треуrольнике АВС, сторона
K()TOpOrO равна а, проведеН8 высота ВК. В треуrОJlЬ-
ники АВК и век вписано по окружности, и к ним
проее1Хена общая внеШJ{ЯЯ касательная-, отличная ОТ
стороны АС. Найти площадь треуrольиика, OTceKaeMoro
ЭТОЙ касательной от треуrольника АВС.
79. Во вписанном четырехуrольнике ABCD известны
.....-/............
уrлы D АВ == (х, АВС == , ВКС == "(, rде К....... точка пе-
...,...,...
ресечения диаrоналей. Найти ACD.
80. Во вписанном четырехуrольнике ABCD, диаrо-
нали KOToporo nересека ся в точке }(, известно, ЧТО
I АВ t == й, I вк 1== ь, , АК 1 == с, I CD I == d. Найти длину
диаrонали АС.
81. BOKpyr трапеции описана окружность. Осно-
вание трапеции составляет с боковой стороной уrолrx,
а с диаrональю...... уrол . Найти ОТНОllIение площади
Kpyra к площади трапеции.
82. В раВJ{обочной трапеции ABCD извеСТ1JЫ основа-
ния I AD r == й, I ве 1== ь и бок()вая сторона I АВ r ::::: d.
Через вершину В проведена прямая, делящая ПОПОJIЗМ
диаrональ АС и пересекающая AD в точке К. НаЙти
площадь треуrольника BDK.
83. Найти сумму квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой ОКРУЖНОСТИ t до концов
любой И3 паралJIеJIьны1x этому диаметру хорд, если ра-
диус окружности равен R, а расстояние от М до
центра окружности равно а.
84. Общая хорда Двух nересекающихся окружностей
ВИДна из их центров под уrлами 900 и 600. Найти ра-
диусы Оkружностей, если раССТОЯItие между их цент-
рами равно а.
. ,/
- 85. Дан правильный треуrольник АВС. Точка К де-
лит сторону АС в отношении 2: ], а точка М делит
сторону АВ в отношении 1: 2 (считая в обоих случаях
от веРUlиtIы А); Доказать, что длина отрезка КМ
равна радиусу окружности, описанной около треуrоль-
н И-к-а - А В С . - - .
- 86. Ок ружности радиусов R и 1(/2 касаются друr
друrа внешним образом. Один из концов отрезка
14
длины 2R, обрззующеrо с линией центров уrол, рав-
ный 300, совпадает с центром окружности меньшеrо
радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обеих окруж.
ностей? (Отрезок пересекает обе окружности.)
87. В треуrольни ке А ВС n роведены В К ........ меди ана,
ВЕ ....... биссектриса, AD........ высота. Найти длину сто-
роны АС, если известно, что прямые ВК и ВЕ делят
отрезок AD на три равные части и длина АВ рав-
на 4.
88. Отношение радиуса окружности, вписанной
в равнобедренный треуrольник, к радиусу окружности,
описанной около этоrо треуrольника, равно k. Найти
уrол при основании треуrольника.
89. Найти косинус уrла при основании равнобед-
peHHoro треуrольника, если точка пересечения ero вы-
сот лежит на вписанной в треуrольник OKPY)I{HO-
сти.
90. Найти площадь пятиуrольника, оrраниченноrо
ПрЯМЫМII BC J CD, -AN, АМ и BD, rде А, В и D три
вершины квадрата ABCD, N........ середина стороны ве,
м делит сторону CD в отношении 2: 1 (считая от вер-
шины С), если сторона квадрата ABCD равна а.
91. Длины сторон четырехуrольника, описанноrо
около окружности радиуса R, взятые последовательно,
образуют rеометрическую проrрессию. Найти площадь
этоrо четырехуrольника.
92. Дан квадрат со стороной а. НаЙ1И площадь
правильноrо треуrольника, одна вершина KOToporo сов-
падает с серединой ОДНОЙ из CTOpOlf квадрата, а две
друrие расположены на диаrоналях квадрата.
93. На сторонах квадрата ABCD взяты точки М,
N и К, rде М середина АВ, N лежит на стороне ВС,
причем 21 BN I == I NC 1, К лежит на стороне DA, при-
чем 2IDKJ==IKAj. Найти СИНУС уrла междупрямыми
МС и N К.
94. Через вершины А и В треуrольника АВ С про
ходит ОI<РУЖНОСТЬ радиуса " пересекающая сторону 8е
в точке D. Найти радиус окружности, проходящей через
точки А, D и С, если I АВ I ==с, I АС I ==Ь.
95. В треуrольнике АВС сторона АВ имеет длину 3,
а высота CD, опущенная на сторону АВ, имеет длину V з .
Основание D высоты CD лежит на стороне АВ, длина
отрезка AD равна длине стороны 8е. Найти длину сто-
роны АС.
15
96. В окружность радиуса R. вписан правильнь:й
шестиуrольник ABCDEK. Найти радиус Kpyra, вписан-
Horo в треуrольник ACD.
97. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является
u u
хордои некоторои окружности, причем оста,льные сто-
роны I{вадрата лежат вне этой окружности. Длина Ka
сательной СК, проведенной из вершины С к той же
окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности?
98. В прямоуrольном треуrольнике меньший уrол
равен а. Перпендикулярно rипотенузе проведена пря
мая, делящая треуrольник на две равновеликие части.
Определить, в каком отношений эта прямая делит rипо
тенузу.
99. Внутри правильноrо треуrольника со стороной 1
помещены две касающиеся друr друrа окружности,
каждая из которых касается двух сторон треуrольника
(каJКдая сторона треуrольника касается хотя бы одной
окружности). Доказать, что сумма радиусов этих
окружностей не меньше, чем ; (v з 1).
100. В прямоуrольном треуrольнике АВС с острым
А.
уrлом А ::::: 300 проведена биссектриса BD друrоrо
oCTporo уrла. Найти расстояние между центрами двух
окружностеЙ, вписанных в треуrольники ABD и DBC,
если длина меньшеrо катета равна 1.
А. А.
101. В трапеции ABCD уrлы А и D при основа-
нии AD соответственно равны 600 и 300. Точка N ле-
жит на основании ВС, причем I BN 1: I NC I === 2. Точка М
лежит на основании AD, прямая MN перпендпкулярна
основаниям трапеции и делит ее площадь пополам.
Найти отношение I АМ 1: I MD 1.
А
102. В треуrОJIьнике АВС заданы I ВС 1 == а, А == а,
А
В == р. Найти радиус окружности, касающейся сто-
роны АС в точке А и касаЮlцейся стороны ВС.
103. В треуrольнике АВС известны стороны
...........
I АВ f == с, I ВС 1== а и уrол АВС == . На стороне АВ
взята точка М так, что 21 АМ 1== 3/ мв 1. НаЙти pac
стояние от М до середины CTOpOHЫ АС.
104. На стороне АВ треуrольника АВС взята
точка М, а на стороне АС точка N, причем I АМ I ==
== 3/ kfB 1, а 21 AN 1 == 1 NC 1. Найти площадь четырех-
уrольника iY1BCN, если площадь треуrольника АВС
равна s.
16
105. Даны две концентрические окружности pa
диусов R И r (R > () с общим центром О. Третья
окружность касается их обеих. Найти T8HreHC уrла
между касательными к третьей окружности, выходя
щими из точки О.
106. В параллелоrрамме ABCD известны I АВ 1== а,
л
I AD 1== Ь (Ь > а), А == а (а < 900). На сторонах AD
и ЕС взяты точки К и м так, что BKDM ромб.
Найти сторону ромба.
107. В прямоуrольном треуrольнике АВС известна
rипотенуза I АВ 1== с. L eHTpbI трех окружностей ра-
диуса R == i находятся в вершинах А, В и с. Найти
u
радиус четвертои окружности, которая касается трех
дaHHЫX и не содержит их внутри себя.
108. Найти радиус окружности, которая высекает
на обеих сторонах уrла величины сх, хорды длины а,
если известно, что расстояние между БЛИ}l{айшими кон-
цами этих хорд равно Ь.
109. На стороне ВС треуrольника АВС как на диа-
метре построена окружность, пересекающая стороны АВ
и АС в точках М и N. Найти площадь треуrоль..
ника AMN, если площадь треуrольника АВС равна S,
а ВАС==а.
110. В окружности радиуса R проведены две взаимно
перпендикулярные равные хорды Л1N и PQ. Найти
расстояние между точками М иР, если I NQ I == а.
111. В треуrолънике АВС на наибольшей сто-
роне I АС I == ь выбирается точка М. Найти наименьшее
расстояние между центрами окружностей, описанных
около треуrольников ВАМ и ВСМ.
112. В параллелоrрамме ABCD известны ! АВ I :::::I а,
I ВС I == Ь, АВС == сх'. Найти расстояние между центрами
окружностей, описанных около треуrольников BCD
и D АВ.
113. В треуrольнике АВС известны ВАС == сх, I ВА I ::::i:
:::::r а, I АС 1== Ь. На сторонах АС и АВ взяты точки М
и N, rде М середина АС. Найти длину отрезка !v1N,
если известно, что площадь треуrольника AMN состав-
ляет 1/3 площади треуrольника АВС. '
114. Найти уrлы ромба, если площадь вписанноrо
в Hero Kpyra вдвое меньше площади ромба.
17
115. Найти площадь общей части двух квадратов,
если у каждоrо сторона равна а и nдин получается
из друrоrо поворотом BOKpyr вершины на уrол 450.
116. Во вписанном в крур четырехуrольнике две
противоположные стороны взаимно перпендикулярны,
одна из них р/авна а, прилежащий к ней острый уrо.п
делится диаrональю на части а и . Определить диаrо-
нали (уrол а прилежит к данной стороне).
117. Дан па раллелоrрамм ABCD с острым yr лом
..../'" ..............
DAB == а и сторонами I АВ 1== а, 1 AD I == ь (а<Ь). Пусть
К основание перпендику ляра, опущенноrо из вер"
шины В на AD, а М основание перпендикуляра,
опущенноrо из точки К на продолжение стороны CD.
Найти площадь треуrольника ВК М.
118. В треуrольнике АВС из вершины С проведеliЫ
два луча, делящие уrол АСВ на три равные части.
Найти отношение длин отрезков этих лучей, заключен-
НЫХ внутри треуrольника, если 1 ве I : 1 АС 1==3,
АСВ == сх.
119. В равнобедренном треуrЬльнике АВС (1 АВ I ==
== I ВС 1) проведена биссектриса AD. Площади треуrоль-
ников ABD и ADC равны соответственно 81 и 82' .
Найти I АС 1.
120. Окружность радиуса R 1 вписана в уrол вели-
чины а. Друrая окружность, радиуса R 2 , касается
одной стороны уrла в той же точке, что и первая,
и пересекает вторую сторону уrла в точках А и В.
Найти длину отрезка АВ.
121. На прямоЙ, проходящей через центр О окруж-
ности радиуса 12, взяты точки А и В так, что I ОА 1==
== 15, I АВ 1== 5. Из точек А и В проведены касатель-
ные к окружности, точки касания KOTOrbIX лежат по
одну сторону от прямой ОАВ. Найти площадь тре-
уrольника АВС, если С точка nересеченпя этих каса-
тельных.
122. В треуrольнике АВС известны 1 ВС I == а,
.:,.../"-.......... .
ВАС === а, СВА == р. Найти радиус окружности, пересе-
кающеЙ все ero стороны и высекающей на ка)kДОЙ из
них хорды длины d.
123. В выпуклом четырехуrольнике отрезки, соеди-
няющие середины противоположных сторон, равны
соответственно а и Ь и пересекаются под уrлом 600.
11айти диаrонали четырехуrолъника.
18
124. В треуrольнике АВС на стороне ВС взята точ
ка М таким образом, что расстояние от вершины В
до центра тяжести треуrольника АМС равно расcrоя
пию от вершины С до центра тяжести треуrольника
АМВ. Доказать, что I ВМ 1==1 DC 1, rде D основание
высоты, опущенной на ВС из вершины А.
125. В прямоуrольном треуrольнике АВС биссек-
триса ВЕ прямоrо уrла В делится центром О вписан--
ной окружности в отношении 180 I : I ОБ I == Vз : V 2 .
Найти острые уrлы треуrолъника.
126. На отрезке АВ ДЛИНЫ R КаК на диаметре по-
строена окружность. Вторая окружность TaKoro же
радиуса, как и первая, имеет центр в точке А. Третья
окружность касается первой окружности внутренним
образом, второй окружности внешним образом,. а также
касается отрезка АВ. Найти радиус третьей окружности.
127.. Дан треуrольник АВС. Известно, что I АВ r == 4,
I АС I == 2, I ВС I == 3. Биссектриса уrла ВАС пересекает
сторону Ве в точке К. ПРЯl'лая, проходящая через точку
В параллельно АС, пересеКает продолжение биссек-
трисы АК в точке М. Найти длину отрезка К М.
128. Окружность с центром, расположенным внутри
прямоrо уrла, касается одной стороны уrла, пересекает
друrую сторону в точках А и В и пересекает биссек-
трису уrла в точках е и D. Длина хорды АВ равна
V 6 , длина хорды CD равна V 7. Найти радиус окруж-
ности.
129. В параллелоrрамме лежат две окружности ра-
диуса 1, касаЮIЦиеся друr друrа и трех сторон парал-
ле.поrрамма каждая. Известно также, что один ИЗ отреэ-
КОВ стороны параЛJIелоrраМlYlа от вершины ДО точки
касания равен V з. Iiайти площадь параллелоrрамм:а.
130. Окружность радиуса R проходит через вершины
А и В треуrольника АВС и касается прямой АС
в точке А. Найти площадь треуrольника АВС, зная,
............... -...............
что АВС == Р и С АВ == (Х.
131. В треуrольнике АВС биссектриса АК перпен-
дикулярна медиане ВМ, а уrол Аве равен 1200.
Найти отношение площади треуrольника АВС к пло-
rцади описанноrо около этоrо треуrольника Kpyra.
132. В прямоуrОJJЬНОМ треуrольнике Аве с катетами
I АВ I == 3 и I ве 1==4 через середиНЫ сторон АВ и. АС
проведена окружность, касающаяся стороны ВС. Найти
19
длину отрезка rипотенузы АС, который лежит внутри
этой окружности.
133. Дан отрезок длины а. Три окружности ра-
диуса R (а < 4R) имеют центры в концах отрезка и
в ero середине. Найти радиус четвертой окружности,
касающейся трех данных.
134. Найти уrол между обlцей внешней касательной
и общей внутренней касательной к двум окружностям,
если их радиусы равн ы R и " а расстояние между
их центрами равно V2 (R2 + ,2) (центры окружностей
находятся по одну сторону от общей внешней касатель-
ной и по разные стороны от общей внутренней каса-
тельной).
135. Отрезок АВ есть диаметр Kpyra, а точка С
лежит вне этоrо Kpyra. Отрезки АС и ВС пересекаются
с окружностыо в точках D и Е соответственно. Найти
уrол CBD, если площади треуrольников DCE и АВС
относятся, как 1 :4.
136. В ромбе ABCD со стороной а уrол при вер-
шине А равен 1200. Точки Е и F лежат на сторонах
ВС и AD соответственно, отрезок ЕР и диаrональ
ромба АС пересекаются в точке М. Площади четырех-
уrольников ВЕР А п ECDP относятся, как 1 : 2. Найти
длину отрезка ЕМ, если IAM{: IMCI === 1 : 3.
137. Дана окружность радиуса R с центром
в точке О. Из конца отрезка ОА, пересекающеrося
е окружностью в точке М, проведена касательная
к окружности АК. Величина уrла OAI( равна 600.
Найти радиус окружности, касающейся отрезков АК,
АМ и дуrи МК.
138. В Kpyr вписан равнобедренный треуrольник,
.............................
в I котором 'АВI == IBCI и АВС == . Средняя линия треу-
rольника продолжена до пересечения с окружностью
в точках D и Е (DE 11 /lC). Найти отношение площадей
треуrольников АВС и DBE.
139. Дан уrол величины а с вершиной О. На одной
ero стороне взята точка lИ и восставлен перпендикуляр
в этой точке до пересечения друrой стороной в точке N.
Точно так же в точке К на друrой стороне восставлен
перпендикуляр до пересечения с первой стороной
в точке Р. Пусть В точка пересечения прямых М N
и КР, а А точка пересечения ПРЯ IЫХ ОВ и NP. Найти
длину отрезка ОА, если IOMI::::: а, 'ОР!== Ь.
20
140. а) Доказать, что поворот BOKpyr точки О
на уrол а эквивалентен последоватеЛЬНОlVlУ прпменению
u
двух осевых симметрии, оси которых проходят через
точку О, а уrол между осями а/2, параллельный же
перенос эквивалентен двум осеВЫ\1 СИ Il\lетриям с парал-
лельными осями.
б) Доказать, что два последовательных поворота
BOI<pyr точки 01 на уrол а и BOKpyr точки 02 на уrол
(О а < 2п, О Р < 2л, повороты делаются в одном
направлении), если а + =1= 2л, эквивалентны одному
повороту на уrол а + р BOKpyr некоторой точки о.
Найти уrлы треуrольника 01020.
141. Расстояние между центрами непересекаюшихся
окружностей равно а. Доказать, что четыре точки пер -
сечения общих внешних касательных с общими внут-
ренними касательными лежат на одной окружности. Най
ти радиус этой окружности.
142. Доказать, что отрезок общей внешней Kaca
тельной к двум окружностям, заключенный между об
щими внутренними касательными, равен длине общей
внутренней касательной.
143. В Kpyre с центром О проведены две взаимно
перпендикулярные хорды ОА и ОБ. С точка на дy
............ .............
re АБ такая, что АОС==60 0 (ВОС==300). Окружность
с центром в А и радиусом IABI пересекает продолже-
ние ОС за точку С в точке D. Доказать, что ICD/ pa
вен стороне правильноrо десятиуrольника, вписанноrо
в окружность.
Возьмем теперь точку Л1, диаметрально противопо-
ложную точке С. Отрезок MD, увеличенный на своей
длины, принимается приближенно равным полуокруж
ности. Оценить ошибку этоrо приближенноrо равенства.
РАЗДЕЛ 11
ЗАДА ЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
1. Задачи на вычисление
1. в треуrольнике АВС проведена
...............----...... ...............----......
медиана AD. DAC + АВС == 900. Найти ВАС, если
известно, что I АВ I == 1 АС 1.
2. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друr
друrа внешним обраЗО?vI. Найти радиус окружности,
проходящей через точки касания этих окружно-
СТеЙ.
3. В равнобедренный треуrольник вписан квадрат
единичной площади, сторона KOToporo лежит на осно"
ванин треуrольника. Найти площадь треуrольника, если
известно, что центры тяжести треуrолъника и квадрата
совпадают.
4. В равностороннем треуrольнике АВС сторона
равна а. На стороне ве лежит точка D, а на АВ.......
точка Е так, что I BD 1== а, I АЕ 1== I DE 1. Найти
длину СЕ.
5. В прямоуrольном треуrольннке АВС из вершины
прямоrо yr ла С проведены биссектриса CL, ICLI й,
и медиана СМ, ICMI == Ь. Найти площадь треуrольника
АВС.
6. В трапецию вписана окружность. Найти площадь
трапеции, если известны длины а одноrо из оснований
и отрезков Ь и d, на которые разделена точкой каса..
иия одна из боковых сторон (отрезок Ь примыкает
к данному основанию).
7. В трапеции диаrонали равны 3 и 5, а отрезок,
соединяющий середины оснований, равен 2. Найти пло..
щадь трапеции.
8. В треуrольнике АВ С известны ДЛИНЫ сторон:
'АВ/ == 12, 'ВСI == 13, ICAI:::;; 15. На стор<'не АС взята
точка М таким образом, что радиусы окружностей,
22
вписанных в треуrольники АВМ и ВСМ, равны. Найти
отношение fAMI: IMCI.
9. Окружность радиуса 1 вписана в треуrольнцк АВС,
.,.....,- ..........
в котором cos АВС == 0,8. Эта окружность касается
средней линии треуrольн!,!ка АВС, параллельной стороне
АС. Найти длину стороны АС.
10. Дан правильный треуrольник АВС площади S.
Параллельно ero сторонам на равном расстоянии от них
проведены три прямые, пересекающиеся внутри треуrоль-
ника и образующие в п ресечении треуrольник A 1 B 1 C 1
площади Q. Найти расстояние 1ежду параллеЛЬНЫl\lИ сто-
ронами треуrольников АВС и A 1 B 1 C 1 .
11. Стороны АВ и CD четырехуrольника ABCD
перпендикулярны и являются диаметрами двух равных
касающихся окружностей радиуса '. Найти площадь
четырехуrольника ABCD, если '1 II == k.
12. В уrол, величина KOToporo а, вписаны две касаю-
щиеся друr друrа окружности. Определить отношение
u U
радиуса меньшеи окружности к радиусу третьеи окруж-
ности, касающейся первых двух и одной из сторон уrла.
13. В треуrольнике АВС на средней линии DE, па
раллельной АВ, как на диаметре построена окружность,
пересекающая сторсны АС И ВС в точках М и N.
Найти MN, если IBCj==a, lACI==b, JABI==c.
14. в треуrОЛЬНИКЕ АВС дана разность внутренних
А '"
уrлов А В == ер. Известно, что высота, опущенная
из вер ины С на сторону A , равна разности I ве t ......1 АС t.
Найти уrлы треуrольника АВС.
15. Найти площадь ромба ABCD, если радиусы
окружностей, описанных около треуrолъников АВС и
ABD, равны R и '.
16. Дан уrол величины а с вершиной в А и точка В
на расстоянии а и Ь ОТ сторон yrJI8. Найти длину АВ.
17. Даны длины ha и ЬЬ высот треуrольника АВС t
опущенных из вершин А 11 В, И длина 1 биссектрисы
yr па с. Найти уrол с.
18. Около прямоуrольноrо треуrольника описана
окружность. Друrая окружность TOI'O же радиуса каса-
ется катетов этоrо треуrольника, причем одной из
точек касания является вершина треуrольника. Найти
отношение площади треуrольника к площади общей
,
части двух данных KpyroB.
23
19. Окружности радиусов R и r касаются друr
друrа внутренним образом. Найти сторону правильноrо
треуrольника, одна вершина KOToporo совпадает с точ
u
кои касания, а две друrие лежат на разных данных
окру}кностях.
20. Две окружности радиусов R и r (R > ') имеют
внешнее касание в тuчке А. Через точку В, взятую
на большей окружности, проведена прямая линия,
касающаяся меньшей окружности в точке С. Найти
I ВС 1, если I АВ / :z::::: а.
21. Две окружности радиусов R и r (R > ') имеют
внутреннее касание в точке А. Через точи:у В, лежа-
щую на большей окружности, проведена прямая линия,
касающаяся меньшей окружности в точке С. Найти
I ВС 1, если I АВ I == а.
22. Диаrонали четырехуrольника ABCD пересека.-
ются в точке М, уrол между ними равен а. Пусть
01' 02, 0з, 04...... центры окружностей, описанных соот-
ветственно около треуrольников АВМ, ВСМ, CDM,
DAM. Определить отношение площадей четырехуrоль-
ников ABCD и 01020804'
23. В параллелоrра lме площади 8 проведены биссе-
ктрисы ero внутренних уrлов. Площадь четыр хуrоль
ника, получившеrося при их пересечении, равн.а Q.
Найти отношение длин сторон параллелоrрамма.
24. В треуrольнике АВС на стороне АС взята
точка М, а на стороне ВС точка N. Отрезки AN и
ВМ пересекаются в точке О. Найти площадь треуrоль-
ника CMN, если площади треуI'ОЛЬНИКОВ ОМА, ОАВ
и ОВМ соответственно равны 81, 82' 83.
25. ТОЧI{а пересечения медиан прямоуrольноrо Tpe
уrольника лежит на окружности, вписанной в этот
треуrольник. Найти острые уrлы треуrольника.
26. Окружность, вписанная в треуrольник АВС,
делит медиану ВМ на три равные части. Найти отно-
шение сторон /BCI:/CAI:IABI.
27. в треуrольнике АВС перпендикуляр, проходя-
щий через середину стороны АВ, пересекает прямую
АС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через
середину АС, пересекает прямую АВ в точке N. уIзвест--
но, чтоl MN 1== I ве / и ПРЯ lая MN перпендикулярна
прямой ВС. Определить уrлы треуrольника АВС.
28. Площадь трапеции ABCD равна 8-т-отношение
()снований I AD 1 : I ве 1 == 3; на прямой, пересекающей
24
ПРОДОЛ}I<ение основания AD за точку D, расположен
отрезок ЕР так, что АЕ 11 DF, ВЕ 11 СР и I АВ 1: I DF 1==
==/ СР ! : ! ВЕ I :::::: 2. Определить площадь треуrольника
EFD.
29. Сторона Ве треуrольника АдС равна а, радиус
вписанноrо Kpyra '. Найти площадь треуrольника,
если вписанный Kpyr касается окружности, построен
ной на ве как на диаметре.
30. Дан правильный треуrольник АВС со сторо-
ной а, BD....... ero высота. На BD построен второй пра-
вильный треуrольник BDC 1 и на высоте BD 1 этоrо
тр уrольника третий правильный треуrольник BD 1 C 2 .
Найти радиус окружности, описанной ок('ло треуrоль
ника СС 1 С 2 . Доказать, что ее центр находится на
стороне треуrольника АВС (С 2 находится вне тре..
уrольника АВС).
31. Стороны параллелоrрамма равны а и Ь (а =F Ь).
Через вершины тупых уrлов этоrо параллелоrрамма
проведены прямые, перпендикулярные сторонам. Эти
прямые при пересечении образуют параллелоrрамм,
подобный исходному. Найти косинус oCTporo уrла дан-
Horo параллелоrрамма.
32. В треуrольнике KLM проведены биссектрисы
.KN и LP, пересекающиеся в точке Q. Отрезок PN
имеет длину 1, а вершина М лежит на окружности,
проходящеЙ через точки N, Р, Q. Найти стороны и
уrлы треуrольника PNQ.
33. На диаrонали АС выпуклоrо четырехуrольника
ABCD находится центр окружности радиуса " Kaca
ющейся сторон АВ, AD и ВС. На диаrонали В[)
нахпдится ueHTp окружности TaKoro же радиуса "
касающейся сторон ВС, CD и AD. Найти площадь
четырехуrольника ABCD, зная, что указанные окруж-
ности касаются друr друrа внешним образом.
34. Радиус окружности, описанной около OCTpO
уrольноrо треуrольника АВС, равен 1. Известно, что
на этоЙ окр'ужности лежит центр окружности, прохо-
ДЯll\ей через вершины А, С и точку пересечения высот
. треуrольника АВС. Найти длину стороны АС.
35. В треуrольнике АВС взяты точки М, N иР: М
и N на сторонах АС и ВС, Р на отрезке MN, при
чем
I АМ : I CN I , мр I
IMC! == INB T \PNI.
5
Найти площадь треуrольника АВС, если площади тре-
уrо.льников АМР и BN Р равны Т и Q.
38. Дана окружность радиуса R и точка А на
расстоянии а от ее центра (а> R). Пусть К ближай-
шая к А точка ОКРУЯ{НОСТИ. Секущая, проходящая
через А, пересекает окружность в точках М и N.
Найти длину отрезка I MN 1, если площадь треуrпль-
ника KMN равна s.
37. В равнобедренном треуrольнике АВС (IAB 1==
== I ВС 1) через конец Е биссектрисы АЕ проведен
перпендикуляр к АЕ дО пересечения с продолжением
стороны АС в точке F (С между А и F). Известно,
что I АС I == 2т, I РС 1== т/4. Найти площадь треуrоль
ника АВС.
38. Два одинаковых пра ильных треуrольника АВС
и CDE со стороной 1 расположены на плоскости так,
.............
что Иl\11еют только одну общую точку С и уrол BCD
MeHbIIIe, чем п/3. Точка К середина АС, точка L........ сере-
дина СЕ, точка М......... середина BD. Площадь треуrоль-
ника KLM равна V 3 /5. Найти длину отрезка BD.
39. Из точки К, расположенной вне окружности
с центром О, проsедены к этой окружности две каса-
тельные КМ и KN (М и N ..... точки касания). На хорде
MN взята точка С (1 МС 1<1 CN 1). Через точку С
перпендикулярно к отрезку ОС проведена прямая, пере-
секающая отрезок NK в точке В. Известно, что радиус
окружности равен R, MKN == а, r МС I == Ь. Найти I СВ 1.
40. Пятиуrольник ABCDE вписан в окружность.
Точки М, Q, N и Р являются основаниями перпенди-
куляров, опущенных из вершины Е соответственно На
стороны АВ, ВС, CD (или их продолжения) и диаrо-
наль AD. Известно, что I ЕР I == d, а ОТНОlпение пло-
щади треуrольника MQE к площади треуrольннка Р N Е
равно k. Найти 'ЕМ 1.
41. Дана прямоуrольная трапеция. liзвестно, что
некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает
ее на две трапеции, в каждую из которых можно ВПИ
сать окружность. Определить основания исходной тра-
пеции, если ее боковые стороны раВНЫ с и d (d >с).
42. На боковых сторонах KL и MN равнооочной
трапеции l( LM N выбраны соответственно точки Р М Q
так, что отрезок PQ параллелен основаниям трапеции.
11звестно, что в ка:л{дую из трапеций KPQN и PLMQ
26
можно вписать окружность и радиусы этих окружно-
стей равны R и r соответственно. Определить основания
I LM I и 1 к N 1.
43. В треуrольнике АВС, все стороны KOToporo
различны, биссектриса уrла А пересекает сторону ВС
в точке D. Известно, что I АВ I I BD I == й, I АС I +
+ I CD 1== Ь. Найти I AD!.
44. Используя результат предыдущей задачи, дока-
зать, что квадрат длины биссектрисы треуrольника
равен произведению длин сторон, ее заКЛlочающих,
минус произведение отрезков третьей стороны, на кото-
рые она разделена биссектрисой.
45. Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окруж-
ность с центрем в А пересекает первую окружность в
точках С и D и диаметр в точке Е. На дуrе С Е, не
содержащей точки D, взята точка М, отличная от точек
С и Е. Луч ВМ пересекает первую окружность в
точке N. IIзвестно, что I CN I == а, I DN I == Ь. Найти
/MNI.
46. В треуrольнике АВС уrол В равен n/4, уrол С
равен 'Л/б. На медианах ВМ и CN как на диаметрах
построены окружности, пересекающиеся в точках Р и Q.
Хорда PQ пересекает стnрону ве в точке D. Найти
отношение I ВС 1: I DC 1.
47. Пусть АВ диаметр окружности, О ee центр,
t АВ 1== 2R, с..... точка на окружности, М точка на АС.
Из М опущен перпендикуляр MN на АВ и восставлен
перпендикуляр к АС, пересекающий окружность в
точке L (отрезок CL Пiресекает АВ). Найти рас-
стояния между серединой Ай н серединой CL, если
I AN I == а.
48. Из вершины А треуruльника АВС опущены
перпендикуляры АМ и AN на биссектрисы внешних по
отношению к В и С уrлов треуrольника. Доказать,
что длина отрезка MN равна полупериметру треуrоль-
ника АВС.
49. Три окружности проходят через две данные
точки плоскости каждая. Пусть 01, 02, 03........ их центры.
ПрЯl\lая, проходящая через одну из точек, общую Bce!vl
трем окружностям, вторично пересекает их соответ-
А А А Д I А 1 А 2
ственно в точках 1, 2, 3' оказать, что 1 А2 А 8 ==
0102 I
== 1 0 2081 ·
27
50. Дан треуrольник АВС. Касательная к акру..
жности, описанной около этоrо треуrольника, в точке В
пересекает ПРЯ1\1УЮ АС в точке М. Найти отн()шение
I АМ I : I МС 1, если I АВ I : I ВСI == k.
51. На прямой последовательно расположены точки
А, В, С и D, причем IACI==aIABI, IADI== IABI.
Через А и В проведена произвольная окружность, СМ
и DN......... две касательные к этой окружности (М и N
точки на окружности, лежащие по разные стороны от
прямой АВ). В каком отношении ПрЯl'vlая MN делит
отрезок АВ?
52. ABCD описанный четырехуrольник, ДЛИНЫ от..
резков ОТ А до точек касания равны а, длины отрезков
от С до точек касания равны Ь. В каком отношении
диаrональ АС делится диаrональю BD?
53. Точка К лежит на основании А D трапеции
ABCD, причем I АК: == л I AD 1. Найти отношение
I АМ / : IAD 1, rде м точка пересечения с AD прямой,
проходящей через точки пересечения ПРЯlYIЫХ АВ и CL>
и прямых ВК и АС.
Беря 'А == 1/n, n == 1, 2, 3, ..., получить способ деле-
ния данноrо отрезка на n равных частей с помощью
одной линейки, если дана прямая, ему паР2ллельная.
54. В прямоуrольном треуrольнике АВС с rппоте..
нузой I АВ I:c::: с на высоте треуrольника CD как на
диаметре построена окружность. Касательные к этой
ОI<ружt10СТИ. проходящие через точки А и В, касаются
ее в точках М и N и пересекаюrl СЯ при ПРОДОЛ)l{енин
, в точке К. Найти I МК 1.
55. На сторонах АВ, ВС и СА третrольникз АВС
взяты точки С 1 , Аl И В 1 так, что I АС 1 1 : I С 1 В I ==
== I ВА11 : I А 1 С 1== I СВ 1 1 : I В 1 А 1== k. На сторонах АIВ1,
В 1 С 1 И С 1 А 1 взяты точки А 2 , В 2 И С 2 так, что
I А 1 С 2 / : , С 2 В 1 I == I ВIА21 : I А 2 С] I == f С 1 В 2 1 : I В 2 А 1 1 == l/k.
Доказать, что 6 А 2 В 2 С 2 подобен 6 A 1 B 1 C 1 , И найти
коэффициент подобия.
56. В треуrольнике АВС даны R и r радиусы
описанной IJ впиrаННОI':'1 ОКРУЖНОСТfiI. Пусть Аl, В 1 ,
С 1 ..... точки пересечения биссектрис треуrольника АВС
с описанной ОI{РУЖНОСТЬЮ. Найти отношение площадей
треуrольников АВС и A 1 B 1 C 1 .
57. Имеются два треуrольника с соответственно
параллельными сторонами и площаДЯ 1И Sl и S2' при-
чем один из них вписан в треуrольник АВС, а друrой
28
около Hero описан. Найти площадь треуrольника
АВС.
58. Определить величину уrла А треуrольника АВС,
если изв стно, что биссектриса этоrо уrла пеРПf\НДИКУ-
лярна прямой,1\роходящей через ТОЧI<У пересечения вы-
v
сот и центр описаннои окружности эrоrо треуrольника.
59. Найти уrлы треуrольника, если известно, что
расстояние между центром описанноrо Kpyra и точкой
пересечения высот вдвое меньше наибольшей стороны
и равно напменьшей стороне.
60. Дан 6 АВС. На луче БА возьмем точку D так,
что IBD/==IBA/+IACI. Пусть к и M ДBe точки на
лучах БА и ВС соответственно таких, что площадь
............
BDM равна плпщади 6. ВСК. Найти ВКМ, если
,........--............
ВАС == сх.
61. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпен-
дикулярна AD и ВС, причем / АВ 1== у, AD 1.1 ВС 1.
Пусть Е....... точка пересечения непараллельных сторон
трапеции, О точка пересечения диаrоналей, М ...... сере-
.......-----............. .
дина АВ. Найти ЕОМ.
62. На плоскости даны две прямые, пересекающиеся
в точке О, и две точки А и В. Обозцачим осно-
вания перпендикуляров, опущенных из А на данные
прямые, через М и N, а основания перпендикуляров,
опущенных из В'.... через К и L. Найти уrол Me дy
прямыми MN и KL, если AOB==cx 900.
63. Две окружности касаются друr друrа BHYTpeH
ни f образом в точке А. Из центра большей окружности
проведен радиус ОБ, касающийся меньшей в точке С.
На ити ВАС.
64. Внутри квадрата ABCD взята точка М так,
............ .............
что МАВ==60 0 , MCD==15°. rlайти МВС.
65. В треуrольнике АВС с yr ЛО1\1 АВС == 60° бис
сектриса уrла А пересекает ВС в точке М. На стороне
........................... ...............
АС взята точка К так, что АМК == 300. Найти ОКС,
rде О центр окружности, описанной около треуrоль
ника АМС.
66. Дан треуrольник АВС, причем I АВ : == ! АС 1,
.........................
в АС == 800. Внутри треуrольника взята точка М такая,
/............ """"'-.. ..........................
что МВС;;;:30 0 , МСБ == lOQ. Найти АМС.
29
.-.'
67. В треуrольнике АВС даны АВС == 100Q, АСВ ==
--..........
== 650. На АВ взята точка М так, что МСВ == 550,
,.. .............
а на АС....... точка N так, что N ЕС == 800. Найти N/v1C.
.............
68. В треуrольнике АВС дано ! АВ i == I 8С 1, АВС ==
,...,..,.
== 200; на АВ взята точка М так, что МСА == 600; на
--.......... """'----
стороне СВ....... точка N так, что N АС == 500. Найти N МА.
69. В треуrольнике АВС даны АВС == 700, АСВ ==
......................
== 500. На АВ взята точка М так, что МСВ == 400,
............
а на АС..... точка N так, что N ве == 500. Найти N МС.
70. Пусть М и N .... точки касания вписанной окруж-
ности со сторонами 8С и БА треуrольника Аве,
к ........ точка пересечения биссектрисы уrла А с прямой
MN. Доказать, что AKC==SO .
71. В выпуклом шестиуrольнике ABCDEF, в кото-
ром I АВ 1 == I ве 1, J CD I == I DE 1, I ЕР! == J F А 1, известны
А А А.
В == а, D == р, F == у. Определить уrлы треуrольника
BDF, если сх+ Р +у== 231.
72. Пусть Р и Q....... такие две различные точки окруж-
ности, описанной около треуrольника Аве, что I Р А j2 ==
== I РВ j · J РС 1, 1 QA 12 == 1 QB 1.1 QC I (одна из точек....... иа
........ .........................
дуrе АВ, друrая..... на дуrе АС). Найти раЗlIОСТЬ Р Ав ......
QAC, если разность уrлов В и с треуrольника АВС
равна а.
73. На данной окружности взяты две фиксирован-
"""'"
вые точки А и В, АВ==а. Произвольная окружность
проходит через 'I'очки А И 811 Через А также прове-
дена произвольная прямая 1, вторично пересекающая
окружности в точках С и D (С на данной окруж-
ности). Касательные к окружностям в точках С и D
(С и D....... точки касания) пересекаются в точке М;
N ........ ТОЧК'8 на l такая. что I CN 1==1 AD 1, I DN 1== I СА 1.
............-----...
Какие значения может принимать CMN?
74. Доказать, что если в треуrольнике один уrол
равен 1200. то треуrольник, образованный основа"и..
ями ero биссектрис, прямоуrольный.
.........
75. В четырехуrольнике АВСО дано DAB == 1500,
"........ ------
DAC + ABD == 120°, DBC...... ABD== 600. Найти BDC.
за
76. На стороне СВ треуrольника АВС взята точка D
такая, что J CD 1== а I АС 1. Радиус окружности, описан
ной около 6. Аве, равен R. Найти -расстояние между
центром окружности, описанной около 6. АВС, и цeHT
ром окружности, описанной около 6. ADB.
77. Около прямоуr.ольноrо треуrольника АВС (С ==
== 900) описана окружность. Пусть CD высота Tpe
уrольника. Окруя{ность с центром в D проходит через
..........
середину дуrи АВ и пересекает АВ в точке М. Найти
I СМ 1, если I АВ I == с.
78. Найти периметр треуrольника Аве, если I ВС I ==
u . U
=== а и отрезок прямои, касательнои к вписанному
Kpyry и параллельной ВС, заключенный внутри тре-
уrольника, равен Ь.
79. В треуrольнике проведены три прямые, парал-
лельные ero сторонам и касающиеся вписанной окруж-
ности. Они отсекают от данноrо три треуrольника.
Радиусы окруя ностей, описанных около них, равны
Rl' R2' Rз. Найти радиус окружности, описанной
около данноrо треуrольника.
80. В окружности радиуса R проведены две хорды
АВ и АС. На АВ или на ее ПDодолжении взята
точка М, расстояние от которой до .прямой АС равно
I АС 1. Аналоrичн , на АС или на продолжении взята
точка N, расстояние от которой до ПрЯl\10Й АВ равно
I АВ 1. Найти I MN 1.
81. Дана окружность радиуса R с центром О.
Две друrие окружности касаются данной изнутри
и пересекаются в точках А и В. Найти сумму радиу-
u
сов двух последних окружностеи, если известно, что
............................
О АВ ::::: 900 .
82. В Kpyre радиуса R проведены две пересекаlО-
щиеся перпеНДИКу.lIярные между собой хорды.
а) Найти сумму квадратов четырех отрезков этих
хорд, на которые они делятся точкой пересече-
ния.
б) Найти сумму квадратов длин хорд, если рас-
стояние от центра Kpyra до их точки пересечения
равно d.
83. Даны две концентрические окружности радиу-
сов , и R (, < R). Через некоторую точку Р мень-
шей окружности проведена прямая, лересекающая
большую кружность в точках В и с. Перпендикуляр
31
({ ВС в точке Р пересекает меньшую окружность
в точке А. Найти IPAI2+/PB/2+/PCI2.
84. В полукруrе из КОНЦОВ диаметра проведены
две пересекающиеся хорды. ДОI<азать, что сумма
произведений отрезка каждой хорды, примыкающеrо
к диаметру, на всю хорду равна квадрату диаметра.
85. Пусть а, Ь, с и d Д lIИНЫ сторон вписанноrо
четырехуrольника (а и с противопuложные стороны),
ha, h b , hc и hd расстояния от центра описанноrо
Kpyra до соответствующих сторон. Доказать, что если
центр Kpyra внутри четырехуrольника, то ah c + cha ::=
== bh d + dhb'
86. Противоположные стороны четырехуrольника,
вписанноrо в окружность, пересекаются в точках Р
и Q. Найти длину отрезка / PQ 1, если касательные
к ОI<РУЖНОСТИ, проведенные из Р ,и Q, равны а и ,Ь.
87. В окружность радиуса R вписан четырехуrоль-
ник. Пусть Р, Q и м соответственно точки пересе-
чения диаrоналей этоrо четырехуrольника и продол-
жений противоположных сторон. Найти стороны тре-
уrольника PQM, если расстояния от Р, Q и м до
центра окружности равны а, Ь и с.
88. Четырехуrольник ABCD описан около окруж-
ности. Точка касания окружности со стороной АВ
делит эту сторону на отрезки а и Ь, а точка касания
окружности со стороной AD делит ее на отрезки а и с.
В каких пределах !vIожет меняться радиус окружности?
89. Окружность радиуса r касается изнутри окруж-
ности радиуса R. А точка касания. Прямая, перпен-
дикулярная линии центров, пересекает одну окруж"
ность В точке В, друrую в точке С. Найти радиус
окружности, описанной около треуrольни-ка АВС.
90. Две окружности радиусов R и r пересекаются,
А одна из точек пересечения. ве общая }<асатель-
ная (В и С точки касания). Найти радиус окруж-
НОСТИ, описанной около треуrольника АВС.
91. В четырехуrольнике ABCD даны I АВ 1== а,
I AD 1== Ь; стороны ВС, CD и AD касаются некоторой
окружности, центр которой находится в середине АВ.
11айти сторону I ВС 1.
92. Во вписанном четырехуrольнике ABCD даны
I АВ I == а, I AD I == Ь, а> Ь. Найти сторону I Ве 1, если
известно, что ЕС, CD и AD касаются некоторой
окружности, центр которой находится на АВ.
32
93. Дан равнобедренный треуrОЛЬНИI{ АВС, I АВ I ==
== I ВС 1, AD биссектриса. Перпендикуляр, восстав-
ленный к AD в точке D, пересекает продолжение АС
в точке Е; основания перпендикуляров, опущенных
из В и D на АС, М и N. Найти I MN 1, если I АВ 1== а.
94. 11з точки А под уrлом а выходят два луча.
На одном луче взяты две точки В и В 1 , а на дpy
rOM С и С 1 . Найти длину общей хорды окружностеЙ,
описанных около треуrольrtиков АВС и АВ 1 С 1 , если
I АВ I I АС 1==1 АВ11 I АС! I == а.
95. Пусть О центр окружности, С...... точка на
ОКРУЯ{НОСТИ, М середина ОС. А и В точки на окруж
............... .....----...............
ности таl{ие, что АМО == ВМС; А и В лежат ПО одну
CTOpOI:IY от прямой ОС. Найти I АВ 1, если I АМ I
IBMI==a.
96. А, В и С...... три точки на одной прямой. На АВ,
8С и АС I(aK на диаметрах построены три полукруr'а
по одну сторону от прямой. Центр окружности, каеа-
u
ющеися всех трех полукруrов, находится на расстоя
нии d от прямой АС. Найти радиус этой ОКРУЖIIОСТИ.
97. В окружности радиуса R дана хорда АВ. Пусть
М произвольная точка окружности. Hёi луче МА
отложим отрезок MN, /MNI==R, а на луче MB
отрезок МК, равный расстоянию от М ДО точки
пересечения высот треуrольника МАВ. Найти I N К 1,
если меньшая из дуr, стяrпваемых АВ, равна 2а..
98. Высота, ОПУIl енная из вершины прямоrо уrла
п рямоуrольноrо треуrольника на rипотенузу, делит
u
треуrОЛЬНИI{ на два треуrОЛЬНИК8, в каждыи из KOTO
рык вписана окружность. Определить уrлы и площадь
треуrольника, образованноrо катетами исходноrо Tpe
u u
уrольника и прямои, проходящеи через центры окруж-
ностей, если высота исходноrо треуrольника равна }Z.
99. Высота ПрЯ1\lоуrольноrо треуrольника, опущен-
ная на rипотенузу, равна h. Доказать, что вершины
острых уrлов треуrо.пьника и проеКЦИI1 основания
высоты на катеты ,ТIежат на одной окружности. Опре-
u u
деJIИТЬ длину хорды, высекаемои на ПРЯМОИ, содержа-
щей высоту, этой ОИ:РУЖНОСТЬЮ, и отрезки хорды, на
которые сна делится rипотенузой.
100. Окруя{ность радиуса R касается прямой 1
в точке А, АВ диаметр этой окружности, ВС про-
извольная хорда. Пусть D ОСН(Jвание перпендику-
ляра, опущенноrо из С на АВ. Точка Е лежит на
2 и. Ф. Шарыrин 33
продолжении CD за точку D, причем I ED ':=: ! Ее (.
Касательные к окружности, прохаднщие через Е, пе-
ресекают прямую в точках К и N. Найти длину
отрезка I KN 1.
101. Через центр правильноrо п уrольника, вписан-
иоrо в единичную окружность, проведена прямая.
Найти сумму квадратов расстояний до этой прямой
от вершин п-уrОЛЬНИК8.
102. Найти CYlvll\tlY квадратов расстояний от точек
u v
касания вписаннои в данныи треуrольник окружности
с ero сторонами до центра описанной, если радиус
вписанной окружности равен r, радиус описанной R.
103. Доказать, что основания перпендикуляров,
опущенных из точки пересечения диаr'оналей вписан-
Horo четырехуrольника на ero СТОРОНЫ, являются вер-
шинами четырехуrо.пьника, в который можно впис ть
окру}{{ность. Найти радиус этой окружности, если
известны радиус данной ОКРУЖНОСТИ R, расстояние от
ее центра д() точки пересечения диаrоналей d, а диа-
r()нали вписанноrо четырехуrольника перпендикулярны.
104. J(иаrонали вписанноrо четырехуrольника пер-
пендикулярны. Доказать, что середины ero сторон
и основания перпендику ляров, опущенных на стороны
u u
ИЗ точки пересечения диаrоналеи, лежат на однои
окружности. Найти радиус этой окружности.' если
радиус данной окружности R, а расстояние от ее
u
центра до точки пересечения диаrоналеи четырехуrо.пь-
ников d.
105. Доказать, что если четырехуrОЛЬНИI{ вписан
в окружность радиуса R, одновременно описан около
окружности радиуса " причем расстояние между
центрами этих окружностеЙ равно d, то выполняется
- соотношение
111
(R+d)2 + (R........d)2 == ,2 ·
При ЭТОl\1 существует бесконечно MHoro четыIехуrоль..
ников, одновременно вписанных в большую окружность
и описанных окодо меньшей окружности. (В качестве
одной из вершин можно взять любую точку большей
окружности.)
106. а) К данной окружности "роведены две каса-
rельные. Пусть А и В точки I{асания, а С........ ТОЧI{З
пересечения касательных. Проведем произвольную пря-
.
мую 1, касающуюся данной окружности, не проходя-
щую через А и В. Пусть и ,и v расстояния до 1 от А
-uv ..............
и В, w ра.сстояние до 1 от С. 11айти w 2 ' если АСВ == сх.
б) BOKpyr окружности описан мноrоуrольник. Пусть
1 произвольная прямая, касаlощаяся окружности и не
u
совпадающая ни с однои из сторон мноrоуrольника.
Доказать, что отношение произведения расстояний
от вершин мноrоуrольника до 1 к произведению рассто-
яний от точек касания сторон мноrоуrольника с окруж-
ностью до 1 не зависит от пол()жения прямой 1.
в) Пусть AIA2." А 2n ...... описанный около окружности
2п-уrольник, 1 произвольная касательная к окруж-
ности. Доказать, что произведение расстояний до 1
от вершин с нечетными номерами и произведение рас-
стояний до 1 от вершин с четными номерами находятся
в постоянном отношении, не зависящем от 1 (предпо-
лаrается, что 1 не содержит вершин мноrоуrольника).
107. В выпуклом четырехуrольнике ABCD даны
IABI==a, IADI==b, IBCI==p a, IDCI==p.......b. Пусть
О....... точка пересечения диаrоналей. Обозначим через а
..............
уrол ВАС. К чему стремится длина АО, если стре-
мится к нулю?
2. Задачи на доказательство
108. Доказать, что если олна сторона тре-
уrольника лежит на фиксированной прямой плоскости,
а точка пересечения высот совпадает с фиксированной
точкой, то окружность, описанная около этоrо тре-
уrольника, также проходит через фиксированную точку.
109. Доказать, что описанныЙ lvlноrоуrольник, все
стороны KOToporo равны, является правильным, если
число сторон нечетно.
110. В треуrольнике АВС проведена высота BD t
AN перпендикуляр к АВ, СМ перпендикуляр к ВС,
причеЬ 1 I AN 1== I DC 1, I см 1==1 AD:. Доказать, что М
и N равноудалены от вершины В.
111. Дан четырехуrольник ABCD. На прямых АС
и BD взяты точки К И М так, что ВК параллеJIьна AD,
АМ параллельна ВС. Доказать, что КМ парал-
лельна CD.
112. В 6 АВС лроведена биссектриса BHYTpeHHero
уrла AD. Построим !<асатеJ1ЬНУЮ 1 к описанному Kpyry
2*
з5
е точке А. Докаэать, QTO прямая, "роведенная через D
параллельно 1, касается вписанной окружности.
t 13. В треуrольнике АВС проведена прямая, пере-
секающая стороны АС и ве в точках М и N так, что
I Л1N I == ' AM 1+1 вм 1. Доказать, что все такие прямые
u u
касаются однои и тои же ОКРУЖНОСТII.
114. Доказать, что точки, симметричные центру
описанноrо около треуrольника Kpyra относительно
середин ero медиан, лежат на высотах треуrольника.
115. Доказать, что если высота треуrольника в У2
раз больше радиуса описанноrо Kpyra, то прямая, сое-
диняющая основания перпендикуляров, опущ нных из
v
основания этои высоты на стороны, е"е заключающие,
проходит через центр описанноrо Kpyra.
116. Пусть АВС....... прямоуrольный треуrольник
(С == 900), CD высота, К....... точка плоскости, для кото-
роЙ I АК ; == I АС 1. Доказать, что диаметр окружности,
описанной окпло 6. АВК, проходящий через вершину А,
перпендикулярен прямой DK.
117. Через вершину А треуrольника АВС прове-
дена прямая параллельно ВС, на этоЙ прямой взята
точ}<а D так, что IADI=-=IACI+IBAI; отрезок DBne-
ресекает сторону АС в точке Е. Доказать, что пря-
мая, проведенная через Е параллельно ве, проходит
через ltfHTP вписанной в 6. АВС окружности.
118. Две окружности проходят через вершину уrла
и Т(1ЧКУ, лежащую на биссектрисе. Доказать, что от-
резки сторон уrла, заключенные между окружностями,
равны.
119. Пусть Е..... произвольная точка на стороне АС
треуrольника АВС. Через вершину В проведем произ-
вольную прямую 1. Прямая, проходящая через Е па-
раллельно ВС, пересекает 1 в точке N, а прямая,
параллельная АВ,...... в точке 1\11. Дрказать, что AN
параллельна СМ.
120. На противоположных сторонах ве и DA
выпуклоrо четырехуrольника взяты точки М и N lВК,
что
I вм I ....... I AN I ..... I АВ I
I МС I ....... I N D I I с D ,-
Доказать, что прямая MN параллельна биссектрисе уrла,
образованноrо сторонами АВ и CD.
36
121. Диаrонали разбивают выпуклый четырехуrоль-
ник на четыре треуrольника. Радиусы окружностей,
вписанных в эти треуrольники, равны. Доказать, что
данный четырехуrольник ромб.
122. Диаrонали четырехуrольника разбивают ero на
четыре треуrольника paBHoro периметра. Доказать, что
данный четырехуrольник р()мб.
123. О четырехуrольнике ABCD известно, что ради-
усы окружностей, вписанных в треуrольники АВС,
BCD, CDA, ОАВ, равны между собой. Доказать, что
ABCD прямоуrольник.
124. Дан прямоуrольный треуrольник ABC J уrол с......
прямой, О........ центр вписанной окружности, М точка
касанпя вписанной окружности с rипотеНУЗ0Й, окруж-
ность с центром в М, проходящая через О, пер есека-
ется с биссектрисами уrлов А и В в точках К и L,
отличных от О. Доказать, что l( и L центры окруж-
ностей, вписанных в треуrольники ACD и BCD, rде
CD высота треуrольника АВС.
125. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС
во внеIlIНЮЮ сторону построены квадраты BCDE, Асра,
ВАН К. Пусть FCDQ и ЕВКР параллелоrраммы. До-
казать, что треуrольник APQ...... равнобедренный пря-
u
моуrольныи.
126. ABCD...... прямоуrольник, Е........ точка на ве, р......
на DC, Е 1 середина АЕ, Р 1 середина АР. Доказать,
что если f1AEF правильный, то и треуrольники DE 1 C
и ВР 1 С также правильные.
127. Четырехуrольник ABCD вписан в окружность.
Пусть 01' 02' Оз, 04 центры окружностей, вписанных
в треуrольники АВС, BCD, CDA, DAB, а Нl' Н 2 , НЗ,
Н4 точки пересечения высот тех же треуrольников.
Доказать, что 01020з04 прямоуrольник, а четырех-
уrольник Н 1 Н 2 Н З Н 4 равен четырехуrольнику ABCD.
128. J aH треуrольник АВС, D произвольная точка
плоскости. Доказать, что точки пересечения высот тре-
уrольников ABD, BCD, CAD являются вершинами
треуrольника, равновеликоrо данному.
129. Две окружности пересекаются в точках А и В.
Произвольная прямая проходит через В и вторично
пересекает первую окружность в С, вторую в D.
Касательные к первой окружности в С, а ко второй
в D пересекаются в точке М. Через .ТОЧКУ пересече-
ния АМ и eD проходит ПрЯf\.lая, параллельная СМ,
31
пересекающая АС в точке К. Доказать, что КВ каса-
ется второй окружности.
130. На катетах АС и ВС прямоуrолъиоr() треуrоль-
ника во внешнюю сторону построены квадраты ACKL
и BCMN. Доказать, что четырехуrольник, оrраничен-
ныЙ катетами и прямыми LB и N А , равновелик Tpe
уrольнику, образованному прямыrvIИ LB, N А и rипо-
теНУЗ0Й АВ.
131. Стороны выпуклоrо четырехуrольника разде
лены на (2п + 1) равных частей каждая. Соответств ую
щие точки деления противоположных сторон соединены
друr с друrом. Доказать, что площадь центральноrо
четырехуr()льника составляет 1/(2n + 1)2 часть площа
ДИ Bcero четырехуrольника.
132. Прямая, проходящая через середины диаrона-
лей АС и BD четырехуrольника ABCD, пересекает
стороны АВ и DC в точках М и N. Доказать, что
S DCM == S АНВ.
133. В параллелоrрамме ABCD вершины А, В, С
и D соединены с серединами сторон CD, AD, АВ и ВС.
Доказать, что площадь четырехуrольника, образован-
Horo этими прямыми, составляет 1/5 площади паралле-
лоrрамма.
134. ДОI<азать, что площадь восьмиуrольника, обра
30BaHHoro ПрЯ 1ЫМИ, соединяющими вершины паралле-
лоrрамма с серединами противоположных сторон, равна
1/6 площади параллелоrрамма.
135. На сторонах АС и ВС треуrольника АВС во
внешнюю сторону построены два параллелоrрамма
ACDE и всра. Продолжения DE и FD пересекаются
в точке Н. На стороне АВ построен параллелоrрамм
ABML, стороны AL и ВМ KOToporo равны и парал-
лельны нс. Доказать, что параллел()rрамм ABML равно-
велик сумме параллелоrраммов, построенных на АС
и вс.
136. Через концы меньшеrо основания трапеции
проведены две параллелъные прямые, пересекающие
большее основание. Диаrонали трапеции и эти прямые
разделили трапецию на семь треуrольников и один
ПЯТиуrольник. Доказать, что сумма площадей трех тре-
уrОЛЬНIJКОВ, приле)кащих к боковым сторонам и меньше-
му основанию трапеции, равна площади пятиуrольника.
137. Пусть ABCD параллелоrраМ f, Е лежит на
ПрЯI\10Й АВ. Р......на прямой AD (8......н3 отрезке АЕ,
38
D....... на отрезке AF)t К ----- точка пересечения прямых ED
и РВ. Доказать, ЧТО четырехуrольники ABKD и CEKF
равновелики .
138. Дан треуrольник АВС. На лучах АВ и СВ
ОТК.J1здываются отрезки I АК j == I см I == ! АС 1. Дока-
зать, что радиус окружности, описанной около 6ВКМ,
u
равен расстоянию между центрами вписаннои и описан-
ной окружностей 6. Аве, а прямая КМ перпендику-
u u u
лярна прямои, соединяющеи центры вписаннои и опц-
санной окружностей.
139. Через вершину треуrольника провед на пря
u u
мая, перпендику лярная прямои, соединяющеи центры
вписанноЙ и описанной окружн()стей. Доказать, что
эта прямая со сторонами данноrо треуrольника обра-
зует два треуrольника, для которых разность радиусов
оnнсанных окружностей равна расстоянию мея{ду цент-
u u u
рами вписаннои и. описаннои окружностеи исходноrо
треуrо..1Jьника.
140. Пусть Р, Q и м соответственно точки пере-
u
сечения диаrоналеи вписанноrо четырехуrольиика и
продолжений ero противоположных сторон. Доказать,
что точка пересечения высот треуrольника PQM совпа-
u
дае:f с центром ОI{РУЖНОСТИ, описаннои около данноrо
четырехуrольника (Брокар).
141. Доказать, что если в четыIехуrольникK можно
вписать окружность, то: а) окружности, вписанные в
u
два треуrольникэ; на которые данныи четырr.хуrольник
разбивается диаrональю, касаются друr друrа; б) точки
касания этих окружностей со сторонами четырехуrО 7IЬ-
ника являются вершинами вписанноrо четырехуrольника.
142. Доказать, что если ABCD вписанный четы-
рехуrольник, ТО сумма радиусов окружностей, вписан-
ных в треуrольники АВС и ACD, равна сумме радиу-
сов окружностеЙ, вписанных в треуrольники BCD и
BDA.'
143. АВС равнобедренный треуrольник (1 АВ 1==
== I ВС 1). BD ero высота. Kpyr радиуса BD катится
по прямой АС. Доказать, что, пока вершина В находится
внутри Kpyra. дуrз окружности, расположенная внутри
треуrольника, им ет постоянную длину.
144. По двум пересекающимся прямым с равными
скоростями движутся две точки. Доказать, что най-
дется такая фиксированная точка плоскости, которая
во все моменты времени от них равноудалена.
&9
145. Два велосипедиста едут по двум пересекаю-
ЩИМСЯ окружностям. Каждый едет по своей окружно-
сти с постоянной скоростью. Выехав одновременно из
одной точки, rде пересекаются окружности и сделав по
одному обороту, велосипедисты вновь встретились в
этой точке. Доказать, что существует такая неподвиж-
u
ная точка, расстояния от которои до велосипедистов все
время одинаковы, если они едут: а) в одном направле-
нии (по часовой стрелке); б) в разных направлениях.
146. Доказать, что если из произвольной точки
окружности опустить перпендикуляры на стороны впи-
caHHoro 2п-уrольника, то произведения длин этих пер-
пендикуляров через один будут равны.
147. Пусть А 1 А 2 ... А п ....... вписанный мноrоуrольнпк;
центр окружности находится внутри мноrоуrольника.
Система окружностей касается данной изнутри в точ-
ках Аl' А 2 , ..., Аn, причем одна из точек пересечения
двух соседних окружностей лежит на соответствую-
щей стороне мноrоуrольника. Докарать, что если п
нечетно, то все окружности ljмеют равные радиусы.
Длина внешней rраницы объединения вписанных окруж-
u u
ностеи равна длине даинов окружности.
148. Доказать, что если длины сторон треуrоль-
ника образуют арифметическую проrрессию, то:
а) радиус вписанноrо Kpyra равен 1/3 высоты, опу-
щенной на среднюю сторону;
б) прямая, соединяющая центр тяжести треУl"ОЛЬ-
ника с центром вписsнноrо Kpyra, параллельна сред-
ней стороне;
в) биссектриса BHYTpeHHero уrла, прnтиволежащеrо
U u
среднеи стороне, перпендикулярна ПрЯl\10И, соединяю-
u
щеп центры вписанноrо и описанноrо' KpyroB;
r) для всех точек этой биссектрисы сумма расстоя-
U
нии до сторон треуrольника П(jстояина;
д) центр вписанной окружности, середины наиболь-
шей и наименьшей сторон и вершина yrла, ими обра-
U
зованноrо, лежат на одном окружности.
149. Т е о р е м а Б р е т Щ н е й Д е р а (теорема коси-
нусов для четырехуrольника). Пусть й, Ь, с, d после-
довательные длины сторон четырехуrольника, т и п
А А
длины ero диаrоналей, А и с....... величины двух проти-
воположных уrлов. Тоrда выполняется соотношение
А "-
т 2 п 2 == а 2 с 2 + b 2 d 2 2abcd cos (А + С).
40
150. Teopet\1a Птол мея. Пусть й, Ь, с, d
последовательные ДЛИНЫ сторон вписанноrо четырех-
уrольника, а т и п ДЛИНЫ ero диаrоналей. Доказать,
что тп ==ac+bd.
151. Доказать, что если АВС правильный тре-
уrольник, М произвольная точка ПЛОСКОСТII, не лежа-
щая на окружности. описанной около АВС, то суще-
ствует треуrольник, длины сторон KOToporo равны I МА J,
I мв I и I МС I (т е О р е м а П о м п е ю). Найдите уrол
u
этоrо треуrольника, лежащии против стороны, рав-
_.......
ней 1МВ 1, если АМС == сх.
152. Рассмотрим окружность, в которую воисан
правильныIй (2п + 1 )-уrольник А 1 А 2 . _ . А 2n + 1. Пусть А .........
произвольная точка дуrи A 1 A 2n + 1 o
а) Доказать, что сумма расстояний от А до вер-
шин с четны:ми номерами равна сумме расстояний от А
ДО вершин с нечетными номерами.
б) Построим равные окружности, касающиеся дан-
ной одинаковым образом в точках Аl' А 2 , ..., А 2n + 1-
Доказать, что сумм:а длин касательных, проведенных
из А к окружностям, касающимся данной в вершинах
с четными номерами, равна сумме длин касательных, про-
и
ведеННhlХ к ОКРУЖНОСТЯl\I, касающимся даннои в вер-
шинах с нечетными номерами.
153. т е о р е м а Л е й б н и Ц а. Пусть М произ-
вольная точка плоскости, G центр тяжести треуrоль-
ника АВС. Тоrда выполняется равенство
3! ма 12 === I МА 12+ 1МВ j2+ I МС 12......
!/8 (1 АВ J2+ ,ве 12+ I СА 12).
t 54. Пусть АВС...... правильный треуrольник со сто-
роной а, М...... некоторая точка плоскости, находящаяся
на расстоянии d от центра треуrолыIкаa АВС. Дока-
зать, что площадь треуrольника, стороны KOToporo
равны отрезкам I МА 1, 1МВ 1, I МС 1, выражается фор-
мулой S== la2 3d21.
155. Продол)кения сторон АВ и DC выпуклоrо
четырехуrольника ABCD пересекаIОТСЯ в точке К, а
продолжения сторон AD и ВС в точке L, причем
отрезки BL и DK пересекаются. Доказать, что если
выполняется одно из трех соотношениц I АВ 1+1 CD I ==
:== ] ве 1+1 AD 1, I ВК 1+1 BL 1== I DK 1+1 DL 1, I АК 1+
+ i CL 1 == 1 AL 1 + j СК], то выполняются и два друrих.
41
156. Продолжения сторон АВ и DC ВЫlIуклоrо
четырехуrольника ABCD пересекаются в {'очке К, а
продолжения сторон AD и ве в точке L, причем
отрезки BL' и DK пересекаются. Доказать, что если
выполняется одно из трех соотношений r AD I + I DC I ==
==IAB/+ICB, fAKt+ICKI==IALI+ICLI, IBKI+
+ I DK 1== I BL + I DL 1, то выполняются и два друrих.
157. Пусть S ...... площадь данноrо треуrольника, R.......
радиус описанноrо около Hero Kpyra. Пусть, далее,
S' ...... площадь треуrольника, образованноrо основаниями
перпендикуляров, опущенных на стороны данноrо тре-
уrольника из точки, удаленной от центра описаНflоrо
Kpyra на расстояние d. Доказать, что
S' == 11 : I (Эйлер).
158. Дан произвольный треуrольник АВС. На i10
сторонах как на основаниях вне ero построены три
равнобедренных треуrольника АКВ, BLC, СМ А с уrлами
при вершинах К, L и М, равными а, и '\', а + + 1'==
:=: 2n. Такие же равнобедренны(' треуrольники АК 1 В,
BL 1 C, СМ 1 А построены внутрь треуrольника АВС.
Доказать, что уrлы каждоrо из треуrольников KLM и
К fX V
lL1M 1 равны 2' 2"' 2 .
159. На сторонах четырехуrольника во внешнюю
сторону построены квадраты. Доказать, что отрезки,
соединяющие центры противоположных квадратов, равны
по длине и взаимно перпендикулярны.
160. Дан произвольный треуrольник. На ero сто-
ронах вовне построены равносторонние треуrольники,
центры которых служат вершинами треуrольника Ll.
Центры равносторонних треуrольников, построенных на
сторонах исходноrо внутрь ero, служат вершинами дру-
roro треуrольника б. Доказать, что:
а) треуrольники 6. и б равносторонние;
б) центры треуrольников 6. и б совпадают с центром
тяжести исходноrо;
в) разность площадей треуrольников il и б равна
площади исходноrо.
161. Дан произвольный треуrольник АВС. На прямой,
проходящей через вершину А и перпендикулярной сто-
роне ВС, взяты две точки А 1 И А 2 так, что I АА 1 1==
== I АА2' == I вс I (A 1 ближе к прямой ВС, чем А 2 ).
Аналоrично, на прямой, перпендикулярной АС и про-
ходящей через В, взяты точки В 1 И В 2 так, что
I ВВ11 == I ВВ 1 1 == I АС j. ДОI<ззать, что отрезки А 1 В 2 и
A j B 1 равны по длине и взаимно перпендикулярны.
162. Доказать, что середины сторон треуrольника,
основания BЫC T и середины отрезков высот от вершин
до точки их пересечения лежат на одной окружности .........
«окружности девяти точек» (Эйлер).
1 63. Пусть Н точка пересечеШfЯ высот треуrоль-
ника, D середина какой либо стероны, К одна из
точек пересечения прямой HD с описанной окруж-
ностью (D между Н и К). Доказать, что D сере-
дина отрез.ка Н К .
164. Пусть М точка пересечения медиан треуrоль-
ника, Е основани'е какой-либо высоты, F одна из
точек пересечения прямой МБ с описанной окружностью
(М между Е и Р). Доказать, что ,р М 1== 21 Е м 1.
в задачах 165 168 а, Ь и с обозначают длины сто-
рон треуrольника, р полупериметр, R ...... радиус описан-
Horo Kpyra, r радиус вписанноrо Kpyra.
165. Дпказать следующее соотношение:
а 2 + Ь 2 + 2 == 2 р 2 2r 2 8Rr.
166. Доказать, что квадрат расстояния .1ежду
центром тяжести и центром описанноrо Kpyra треуrоль-
a l +b a +c 2
ника равен R2 9 ·
167. Доказать, что квадрат расстояния l\lежду центром
тяжести треуrольника и центром вписанноrо Kpyra
1
равен 9 (р2 + 5r 2 16Rr).
168. Пусть d расстояние между центрами вписанной
и описанной окружностей треуrольника. Доказать, что
d 2 == R2 2Rr (Эйлер).
169. Доказать, что окружность девяти точек (СМ.
задачу 162) касается вписанной в треуrольник окруж-
ности (Фейербах).
3. rеометрические места точек. Принад-
Jlежность точек прямым и. окружностям
170.' Дан.! две точки А и В. Доказать, что
множество точек М таких, что I АМ J2......1 МВ 12 == k (rде
k данное число), есть прямая, перпендикулярнзя АВ.
4
171. Пусть расстояния от lIекоторой точки М АО
вершин А, В и С треуrольника АВС выражаются чис-
лами а, Ь и с. Доказать, что ни при каком d =1= О ни
u
для ОДНОИ точки плоскости расстояния до верши н в то м
же пор ядк е не MorYT выражаться числами V а 2 + d,
Vb 2 +d, V c 2 +d.
172. Доказать, что для Toro, чтобы перпендикулпры,
опущенные из точек А 1 , Вl' С 1 на стороны ВС, СА и
АВ трсуrольника АВС, пересекались в одной точке,
необходимо и достаточно, чтобы
i А 1 В i 2 I ВС 1 1 2 + I С 1 А 12 I АВ 1 12+ I В 1 С 12 I СА 1 j9 == о.
173. Доказать, что если перпендикуляры, -опущенные
из точек Аl' В 1 , С 1 на прямые ВС, СА и АВ соответ-
, u
С1'венно, пересекаются в однои точке, то и перпендику-
ляры, опущенные из точек А, В и С на прямые B t C 1J
С 1 А 1 И АIВl' также пересекаюrся в одной точке.
174. Дан четырехуrольник ABCD. Пусть А 1 , В 1 Il С 1
точки пересечения высот треуrольников BCD, ACD
и ABD. Доказать, что перпендику ТIЯРЫ, опущенные нз
А, В и С на ПРЯl\1ые В 1 С 1 , С 1 А 1 И А 1 В 1 соответственно,
u
пересекаются в однои Точке.
175. Даны 'две точки А и В. Доказать, что множе-
ство точек М таких, что k I АМ /2 + 11 ВМ /2 == d (k, 1, d
данные числа, k + 1 =1= О), есть или окружность с центром
на прямой АВ, или точка, или пустое l\-Iножество.
176. Пусть Аl,А2,'" ,А п фиксированные точки, k 1 ,
k 2 , ..., k n данные числа. Тоrда множеством точек М
таких, что cyrvlMa k 1 J А 1 М 12 + k 2 J А 2 М 12 + . . . + k n 1 АпМ /2
постоянна, будет:
а) окружность, точка или пустое множество, если
k 1 + k 2 + . . . + k n =1= О;
б) ПРЯl\lая или вся плоскость, если k 1 + k 2 +. . . +
+ k n == О.
177. Даны окружность и точка А вне ее. Пусть
окружность, проходящая через А, касается данной
в произвольной точке В, а касательные к ней, проведен
ные через точки А и В, пересекаются в точке М.
Найти множество точек М.
178. Даны две точки А и В. Найти множество
'АМI
тачек М таких, что 1МВ I == k =1= 1.
179. Три точки А, В и С расположены на одной
прямой (В....... между А и С). Возьмем произвольную
44
окружность с центром в В и обозначим через М точку
пересечения касательных, проведенных из А и С к этой
окружности. Найти множество точек М таких, что
точки касания АМ и СМ с окружностью лежат внутри
отрезков АМ и СМ.
180. Даны две окружности. Найти множество таких
точек М, что отношение длин касательных, проведенных
из М к данным окружностям, равно постоянной вели..
чине k.
181. Пусть прямая пересекает одну окружность
в точках А и В, а друrую в точках С и D. Доказать,
u
что точки пересечения касательных к первои ОI<РУЖНО-
сти, проведенных в точках А и В, с касательными,
проведеННЫl\iIИ ко второй окружности в точках С и D
(рассматриваются точки, в которых пересекаются каса-
тельные к разным окружностям), лежат на одной
u u
окружности, центр которои лежит на прямои, проходя-
u u
щеи через центры данных окружностеи.
182. Возьмем три окружности, каждая из которых
u u
касается однои стороны треуrольника и продолжении
двух друrих сторон. Доказать, что перпендикуляры,
восставленные к cTOpOhal\-1 треуrольника в точках каса-
u u
ния этих окружностеи, пересекаются в однои точке.
183. Дан треуrольник АВС. Рассмотрим
всевозможные пары точек lИ 1 и М 2 таких, что
I АМ 1 1 : I ВМ 1 1 : I СМ 1 1==I АЛ1 2 ! : 'ВМ 2 1 : I СМ 2 /. Доказать,
что все прямые М 1 М 2 проходят через фиксированную
точку плоскости.
184. Расстояния от точки М до вершин А, В и С
треуrольника равны соответственно 1, 2 и 3, а от точки
M 1 ....... 3, У 15 , 5. Доказать, что ПрЯ1\fая ММ 1 проходит
через центр Kpyra, описанноrо около треуrоль
ника.
185. Пусть А 1 , В}, С 1 основания перпендикуляров,
опущенныIx из вершин А, В и С треуrольника АВС
на прямую 1. Доказать, что перпендикуляры, опущен-
ные из А1' Вl' С 1 соответственно на ве, СА и АВ,
пересекаются в одной точке.
186. Дан правильный треуrольник АВС и произволь-
ная точка D; А 1 , В 1 И с 1 ........ центры окружностей, впи
санных в треуrольники BCD, ACD и ABD. Доказать,
что перпендикуляры, uпущенные из вершин А, В и С
на В 1 С 1 , С 1 А 1 И А 1 8 1 соответственно, пересекаюrся
u
В однои точке.
45
187. Даны три попарно пересекающиеся окружности.
Доказать, что три общие ХОРДЫ этих окружностей
проходят через одну точку.
18& На прямых АВ и АС взяты точки 1\1 и N
соответственно. Доказать, что общая хорда двух окруж-
ностей с диаметрами СМ и BN проходит через точку
пересечения высот 6 АВС.
189. На плоскости дана окружность и точка N.
Пусть АВ произвольная хорда окружности. Обозначим
через М точку пересечения прямой АВ и касательной
в точке N к окружности, описанной около 6 ABN.
. Найти м'ножество точек М.
190. Внутри окружности взята точка А. Найти
множество точек пересечения касательных, проведенных
к окружности в концах всевозможных хорд, прохо-
дящих через точку А.
191. Рассмотрим произвольный треуrольник АВС.
Пусть Аl' 81, С1........три точки на прямых ВС, СА и АВ
соответственно. Введем следующие обозначения:
R == I АС 1 1 . I БА 1 1 . I СВ!I
I С 1 В I I А 1 С I I 8 1 А I '
........-'''"''-.....
R * == sin . sin ВАА 1 sin СВВ 1
.
sin С 1 СВ sfn А 1 АС sln В 1 ВА
Доказать, что R == R* .
192. Теорема Чевы. Для Toro чтобы прямые
AAt, 3Bt, СС 1 пересекались в одной точке (или все
три были параллельными), необходимо и достаточно,
чтобы R== 1 (см. задачу 191) и при этuм из трех точек
Аl' 81' С 1 нечетное число (т. е. одна или все три)
лежало на сторонах треуrольника, а не на продолже-
ниях сторон.
193. Т е о р е м а М е н е л а я. Для Toro чтобы точки
Аl' 81' С 1 лежали на одной прямой, необходимо и
достаточно, чтобы R == 1 (см. задачу 191) и при этом
из трех точек А 1 , Вl' С 1 четное число (т. е. нуль
или две) точек лежало на сторонах треуrольника, а
не на их продолжениях.
194. Доказать, что если три прямые, проходящие
через вершины треуrОЛЪНИI<а, пересекаются в одной
точке, Т() и прямые, им симметричные относительно
соответствующих биссектрис треУI ольника, так)ке пере-
секаются в UДIIОЙ точке или параллельны.
46
t 95. Пусть О....... проиэвольная точка плоскости, М
и ;У основания лерпендикуляров, опущенных из точ-
ки О на биссектрисы 8HYTpeHHero 11. внешнеrо yr ла А
6,АВС, Р и Q аналоrично определены для уrла В, R
и Т:--- для уrла с. Доказать, что прямые MN t PQ И
RT пересекаются в ОДНОЙ точке или лараллельны.
196. Дан треуrольнпк АВС. На радиусах впис,анной
окружности, проведенных в точки касания, взяты точки,
находящиеся на равных расстояниях от ее центра;
эти точки соединены с противоположными вершинами.
Доказать, что получившиеся три ПРЯМ Iе пересекаются
"
в однои точке.
197. Для Toro чтобы диаrонали AD, ВЕ и СР
вписанноrо в окружность ш стиуrольника ABCDEF
пересекались в одной точке, необходимо и достаточно,
чтобы 8ЫПОЛНЯЛОСЬ равенство J АВ 1.1 CD 1.1 EF 1==
== IBC I.IDE I -1 F А t.
198. Пусть из точки А, взятой вне окружности,
прозедены к окружности две касательные АМ и AN
(М и N....... точки касания) и две секущие, и пусть Р и
Q ....... точки пересечения окружности с первой секущей,
а К и L....... со второй. Доказать, что прямые Р К, QL
и MN пересекаются в ОДНОЙ точке или параллельны.
Получить отсюда способ построения с помощью
ОДНОЙ линейки касательной к данной окружности, прохо.
дящей через данную точку.
199. Доказать, что:
а) биссектрисы внешних yr лов треуrольника п ре"
секают продолжения противоположных CTOP0f! треуrоль-
ника в трех точках, расположенных на одной прямой;
б) касательные к описанной около треуrольника
окружности в вершинах треуrольника пересекают ero
противоположные стороны в трех точках, расположен-
ных на ОДНОЙ прямой.
200. Окружность пересекает сторону АВ треуrоль-
Itика АВС в точках С 1 и С 2 , сторону СА........ в точках В 1
и В2, сторону Бе....... в точках А 1 и А 2 . Доказать, что
если 'прямые АА1' ВВ 1 И СС! пересекаются в одной
точке, то и прямые АА2' ВВ 2 И СС 2 также пересекаются
в ОДНОЙ точке.
201. На сторонах АВ, Ве и СА треуrольника АВС
взяты точки С 1 , А 1 И 81. Пусть с 2 ....... точка пересечения
ПрЯ ЛЫХ АВ и AIBl' А 2 точка пересечения пря-
мых 8С и B 1 C 1 , 82....... точка пересечения прямых АС
47
и A 1 C 1 . Доказать, что если ПРЯIvlые AAl' ВВ} и CC l
пересеК8ЮТСЯ в ОДНОЙ точке, то точки А2' 82 И Са
лежит на ОДНОЙ прямой.
202. Прямая пересекает С'тороны АВ, Ве и продол-
жение стороны АС треуrольника АВС в точках D, Е
и Р. Доказать, что середины отрезков DC, АВ и вр
лежат на одной прямой (прямая Fayrca).
203. Дан треуrольник АВС. Определим на стороне
ВС точку А 1 слеДУЮll\ИМ образом: А 1 середина стороны
KL правильноrо пятиуrольника MKLN Р, у KOToporo
вершины К и L лежат на ВС, а вершины М и N на
АВ и АС. Аналоrичным образом на сторонах АВ и АС
определены точки С 1 и В 1 . Доказать, что прямые AA l ,
ВВ] И СС 1 пересекаются в одной точке.
204. Через фиксированную точку А внутри окруж-
ности проведены две произвольные хорды PQ и KL.
Найти множество точек пересечения прямых РК и QL.
205. А, В и С три данные точки на прямой. D
u
произвольная точка плоскости, не лежащая на этом
прямuй. Проведем через С прямые, параллельные AD
и BD, дО пересечения с прямыми BD и AD в
т()чках Р и Q. Найти множество оснований перпенди-
куляров М, опущенных из С на PQ.
Найти все точки D, дЛЯ которых М фиксиро-
ванная точка.
206. На стороне АС треуrольника АВС взята точка
К, а на м:едиане BD...... точка Р так, что площадь треу-
rольника АР К равна площади треуrольника ВРС.
Найти множество точек пересечения прямых АР и ВК.
207. Через данную точку О внутри данноrо уrла
проходят два луча, образующие данный уrол а. Пусть
один луч пересекает одну сторону уrла в точке А, а
друrой луч пересекает друrую сторону уrла в точке В.
Найти множество оснований перпендикуляров, опущен-
ных из О на прямую АВ.
208. В окружности проведены два взаимно перпен-
дикулярных диамстра АС и BD. Пусть р...... произволь-
ная точка окружности, Р А пересекает BD в точке Е.
Прямая, проходящая через Е пар<1ллельно АС, пере-
секается с прямой Р В в точке М. Найти множество
точек М.
209. Дан уrол, вершина KOToporo в точке А, и
точка В. Произвольная окружность, проходящая через
А п В, пересекаеТСТОРОlIЫ yrJ18 в точках С и D (отличных
48
от А). Найти множество центров тяжес'I'И треуrольни-
ков ACD.
210. Одна вершина прямоуrольника находится в
данной точке, две друrие, не принадлежащие одной
стороне, на двух заданных взаимно перпендикуляр"
ных прямых. Найти множество четвертых вершин таких
пр ямоуrольников.
211. Пусть А одна из двух точек пересечения
двух данных окружностеЙ; через друrую точку пере-
сечения проведена произвольная прямая, пересекающая
одну окружность в точке В, а друrую в точке С,
отличных от общих точек этих окружностей. Найти
множество: а) цеН1РОВ окружностей, описанных около
АВС; б) центров ТЯiкестей треуrольника АВС; в) точек
пересечения высот треуrольника АВС.
212. Пусть В и С....... две фиксированные точки дан..
ной окружности, А ....... переменная точка этой же окруж-
IIОСТИ. Найти множество оснований перпендикуляров,
опущенных из середины АВ на АС.
213. Найти мнжоество точек пересечения диаrоналей
прямоуrольников, стороны которых (или их продолже-
ния) проходят через четыре данные точки плоскости.
214. Даны два Kpyra, касающиеся друr друrа из-
нутри в точке А. Касательная l{ меньшему Kpyry пере-
секает большую окружность в точках В и С. Найти
множество центров окружностей, вписанных в треу-
rольники АВС.
215. Даны числа а, , у II k. Пусть х, у, z.......pac-
стояния от точки М внутри треуrольника до ero сторон.
Доказать, что множество точек М таких, что ах + y+
+1'Z == k, пли пусто, или отрезок, или совпадает со
мно)кеством всех точек треуrольника.
216. Н айти множество точек М, расположенных
внутри данноrо треуrольника и таких, что расстояния от
М до сторон данноrо треуrольника равны сторонам
HeKOToporo треуrольника.
217. Доказать, что если существует окружность,
касающаяся прямых АВ, ВС, CD и DA, то ее центр и
середины АС и BD лежат на одной прямой.
218. Даны две пересекающиеся окружности. Найти
множество центров прямоуrольников с вершинами на
этих окружностях.
219. Внутри круrлоrо биллиарда в точке А, отлич-
V и
НОИ от центра, лежит упруrии шарик, размерами кото-
'9
poro можно пренебречь. Указать все ТОЧКИ А, ИЗ
KOTOPhIX MO I10 так направить S:TOT lllарик. чтобы ОН,
минуя центр биллиарда, после трех отражений О'С rpa
ницы попал в точку А.
220. Через точку, лежащую На равном расстоянии
ОТ двух данных параллельных ПРЯМЫХ, проведена пря-
мая, пересекающая эти прямые в точках М и N..
НаЙТl1 множество вершин Р равносторонних треуrоль-
ииков MNP.
221. Даны две точки А и В и прямая 1. Найти
l\1ножество центров окружностей, ПРОХОДЯЩИХ через
А и В и пересекающих прямую 1.
222. Даны две точки О и М.
а) Определить множество такиХ точек плоскости,
которые MorYT служить ОДНОЙ И3 вершин треуrольника
с центром описgнноrо Kpyra в точке О н центром тя-
жести в точке М
б) Определить множество таких точек плоскости,
которые MorYT служить одной из вершин тупоуrоль-
Horo треуrОЛЬника с центром описанноrо Kpyra в точке
О и цеНТриМ тяжести в точке М.
223. В окружность Вписан правильный треуrольник.
. Найти множество точек пересечения высот всевозмож
ных треуrольников, вписанных в эту же окружность,
две стороны которых параллельны двум СТОрОНаМ дан..
Horo ПрЭSИЛЬRоrо треуrольникз.
224. Найти множество центров всевозможных пря-
моуrОJfЬНИКОВ, описанных около данноrо треуrоль-
ника. (ПРЯ&lоуrопьНIIК будем называть описанным,
если одна вершина треуrольника совпадает с верши-
ной прямоуrольника, а две друrие лежат на двух,
..
не содержащих ЭТаИ вершины, сторонах прямоуrоль-
ника. )
225. Даны два квадрата с соответственно парал-
лелъными сторонами. Определить множество точек М
таких, что для любой точки Р И3 первоrо квадрата
найдется точка Q из BToporo такая, что треуrольник
MPQ правильный. Пусть сторона nepBoro квадрата
а, BToporo Ь. При каком соотношении между а и Ь
искомое множество не пусто?
226. Внутри данноrо треуrольника найти все Такие
точки 1\1, для каждой из которых для любой точки N,
u v
лежащеи на rранице треуrольника, МОЖНО наити такую
точку Р внутри или на ero rранице J что ПJ10LUадь' треу-
50
rольника MNP не меньше 1/6 площади данноrо треу-
rОЛЬника.
227. Даны две точки А и 1. Найти множество точек
В таких, что существует треуrольник АВС с центром
вписанноrо Kpyra в точке 1, все yr лы KOToporo меньше
(600 < а < 90°).
228. Точки А, В и С расположены на одной прямой
(В между А и С). Найти множество точек М таких,
..........---..
что ctgA'MB+ctgBMC:::k.
229. Даны две точки А и Q. Найти множество
точек В таких, что существует остроуrольный треуrоль-
ник Аве, для KOToporo Q.......... центр тяжести.
230. Даны две точки А и Н. Найти множество то'"
чек В таких, что сущестВУt:т треуrольник АВС, дЛЯ
KOToporo Н......... точка пересечения высот и все yr лы ко..
Toporo больше сх (а < п/4).
281. На плоскости даны два луча. Найти множество
точек плоскости, равноудаленных от этих лучей. (Рас-
u
стояние от точки до луча равно расстоянию от этои
ТОЧКИ до ближайшей к ней точки луча.)
232. Доказать, что центр тяжести треуrольника,
точка пересечения высот и центр описанноrо Kpyra ле-
жат на одной прямой (прямая Эйлера).
233. Доказать, что основания перпендикуляров, опу-
щенных из произвольной точки окружности, описанной
около треуrольника, на стороны треуroЛьника, лежат
на одной прямой (прямая Симеона).
234. Доказать, что уrол между прямыми Симеона,
соответствующими двум точкам окружности, измеряется
u .
половинои дуrи между этими точками.
235. Пусть Н точка пересечения высот треуrоль
ника, F произвольная точка описанной окружности.
Доказать, что прямая Симеона, соответствующая точ-
ке Р, проходит через одну из точек пересечения пря-
мой РН с окружностью девяти точек (см. задачи 162,
233) .
236. Доказать, что на прямой Эйлера треуrоль
ника Аве существует такая точка Р, что расстояния
от центров тяжести треуrлоьников АВР, ВСР, САР
соответственно до вершин С, А и В равны между
собой (см. задачу 232).
237. Пусть Р такая точка внутри треуrольника АВС,
что уrлы АРБ, ВРС и СРА равны 1200 (предполаrаем,
что уrлы треуrольника АВС меньше 120°). Доказать,
61
что ПрЯl\1ые Эйлера треуrольников АР В, ВРС и СРА
пересекаются в ОДНОЙ точке (см. задачу 232).
238. В окружность вписан четырехуrольиик ABCD.
Пусть М...... точка пересечения касательных I{ окруж-
ности В точках А и С, N..... точка пересечеНt!я касатель-
ных, проведенных через В и D, К точка пересеч ния
биссектрис уrЛОВ А и С четырехуrольникз, L...... точка
пересечения биссектрис уrлов В и D. Доказать, что
если выполняется одно из-- утверждений: а) М принадле-
жит прямой BD; б) N принадлежит ПРЯfvfОЙ АС; в) К
лежит на BD; r) L лежит на АС, то выполняются
остальные три утверждения.
239. Доказать, что 4 прямые, каждая из которых
проходит через основания двух перпендикуляров опу-
щенных из вершины. вписанноrо четырехуrольника на
не содержащие ее стороны, пересекаются в одной точке.
240. АВ п CD две хорды окружности; М...... точка
пересечения перпендикуляров, восставленных к АВ
в точке А и к CD в точке С; N..... точка пересечения
перпендикуляров, восставленных к АВ и CD в точках
В и D. Доказать, что прямая MN проходит через точку
пересечения ВС и AD.
241. Дана окружность S и касательная к ней l.
Пусть N точка касания, NM диаметр. На прямой NM
взята фиксированная точка А. РаССМОТрИl\1I произволь-
ную окружность, проходящую через А, с центром на 1.
Пусть С и D...... точки пересечения этой окружности с l,
а р и Q точки пересечения прямых МС и MD с S.
Доказать, что хорды PQ проходят через фиксированную
точку плоскости.
242. Даны три попарно непересекающихся Kpyra.
Обозначим через Аl' А2' Аз три точки пересечения общих
внутреННIIХ касательных к любым двум из них, а через
Вl' В2' В З соответствующие 1'ОЧКИ пересечения внеш-
них касательных. Доказать, что эти точки располаrаются
на четырех прямых по три на каждой (А 1 , А 2 , в з ; Аl'
В2' Аз; В 1 , А 2 , Аз; Вl' В2' В з ).
243. Диаметр окружности, вписанной в треуrоль-
ник АВС, ПРОХОДЯIЦИЙ через точку касания со сторо-
ной ВС, пересекает хорду, соединяющую две друrие
точки касания, в точке N. Доказать, что AN делит 8е
пополам.
244. В rреуrо.пьник АВС вписана окружность. Пусть
М точка касания окружности со стороной А С, МК диа-
52
метр. Прямая ВК пересекает АС в точке N. Доказать, что
I АМ 1==1 NC 1.
245. В треуrольник АВС вписана окружность, М
точка касания окружности со стороной ВС, МК диа
метр. Прямая АК пересекает окружность в точке Р.
Доказать, что касательная к окружности в точке Р Д
лит сторону ВС пополам.
246. Прямая 1 касается окружности в точке А, пусть
CD хорда окружности, параллельная 1, В произволь-
ная точка прямой 1. Прямые СВ II DB вторично пере
секают окружность в точках L и К. Доказать, что пря-
мая LK делит отрезок АВ пополам.
247. Даны две пересекающиеся окружности. Пусть
А ........ одна из точек их пересечения. Из произвольноЙ
точки, лежащей на продолжении общей хорды данных
u u
окружностеи, проведены к однои ИЗ них две касатель
ные, касающиеся ее в точках М и N. Пусть, далее,
р и Q точки пересечения (отличные от А) прямых МА
и NA со второй окружностью. Доказать, что прямая
М N делит отрезок PQ пополам.
248. На высоте BD треуrольника АВС как на диа-
метре построена окружность, пересекаlощая ('тор()ны АВ
и ве в точках К и L. Прямые, касающиеся ОКРУХС-
насТИ в точках К и L, пересекаются в точке М. До-
казать, что прямая Bk1 делит сторону АС пополам.
249. Прямая 1 перпендикулярна отрезку АВ и про-
ходит через В. Окружность с центром на 1 проходит
через А и пересекает 1 в точках С и D, касательные
к окружности в точках А и С пересекаются в N. Дo
казать, Ч'fО прямая DN делит отрезок АВ пополам.
250. Около 6" АВС описана окружность. Пусть
N точка пересечения касательных к окружности, про
ходящих через точки В и с; м такая '{очка ОКРУЖl'J
ности, что АМ 11 ве, к точка пересечения М N и ()круж-
НОС1И. Доказать, что КА делит ВС пополам.
251. Пусть А проекция центра даннnй окружности
на прямую 1. На этой прямой взяты еще две точки В
и е так, что 1 АВ 1==1 АС 1. Через В 11 е проведены две
произвольные секущие, пересекающие окружность в точ
ках Р, Q и М, N соответственно. Пусть прямые N Р
и MQ пересекают прямую 1 в точках R и S. Доказать,
что I RA 1== I AS 1.
252. Дан полукруr с диаметро ,АВ. е точка на
полукруrе, D..... основание перпендикуляра, опущенноrо
53
.JA
из С на АВ. Рассмотрим три окружности: первая
окружность, с центром 01' касается отрезков AD, DC
"---"
п дуrи АС; вторая, с центром 02' касается отрезков
"---"
DB, DC И дуrи ве; третья, с центром Оз, вписана
в треуrольник АВС. Доказать, что Оз совпадает с сере..
диной отрезка 0102'
253. Пусть ABCDEF вписаННЬ1Й шестиуrольник.
Обозначим через К точку пересечения АС и ВР,
а через L точку пересечения СЕ и FD. Доказать,
что диаrонали AD, ЕЕ и прямая KL пересекаются
в ОДНОЙ точке (П а с к а ль).
254. ABCD....... вписанный четырехуrольник. Перпен"
дикуляр к БА, восставленный s точке А, пересек"ет
прямую CD в ючке М; перпендикуляр к DA, восста..
вленный в точке А, пересекает прямую ЕС в точке N.
Доказать, что MN проходит через центр Kpyra.
255. На каждой стороне треуrОJ!ЬНИКВ взято по
две точки таким образом, что все шесть отрезков,
соединяющих каждую точку с противоположной верши
ной, равны между собой. Доказать, чт середины этих
u
шести отрезков лежат на однои окружности.
256. В треуrолънике АВС на лучах АВ и-СВ отло..
жены отрезки I АМ I == I CN I == р, [де р полупериметр
треуrольника (В лежит между А и М и между С и N).
Пусть К ........точка описанной около 6АБС окружности,
диаметрально противоположная 8. Доказать, что пер-
пендикуляр, опущенный из К на MN, проходит через
центр вписанной окружности.
257. Из нскоторой точки ОК ружности, описанной
около paBHocTopOHHero треуrольника АВС, проведены
прямые, параллельные ВС, С А и АВ и пересе ающие
СА, АВ и ВС в точках М, N и Q. Доказать, что М,
N и Q лежат на одной прямой.
258. Точки А и А 1 , 8 И 81' С И С 1 симметричны
относительно прямой l, N.......... произвольная точка на l.
Доказать, что прямые AN, BN, CN пересекают соот-
ветственно прямые В 1 С 1 , A 1 C 1 , А 1 В 1 В трех точках,
расположенных на одной прямой.
259. Через точку пересечения высот треуrольника
проведены две взаимно перпендикулярные прямые.
Доказать, что середины отрезков, высекаемых этими
прямыми на сторонах треуrольника .(на прямых, обра
эующих треуrольник), лежат на одной прямой.
54
260. До азать, что три прямые, симметричные произ-
ВОЛЬНОЙ ПРЯl\IОЙ, проходящеЙ через точку пересечения
высот треуrольника, относительно сторон треуrольника,
пересекаются в одной точке.
261. Даны два paBHnIX непересекающихся Kpyra.
На двух общих внутренних касательных берем две
произвольные точки F и р'. Из обеих точек к каждому
v v
Kpyry можно провести еще по ОДНОИ касательнои.
Пусть касательные, проведенные из точек F и р'
к одному Kpyry, встречаются в точке А, к друrоМу........
в точке В. Требуется доказать, что:
1) прямая АВ параллельна прямой, соединяющей
центры KpyroB (в случае неравных KpyroB проходит
через точку пересечения внешних касательных);
2) прямая, соединяющая середины рр' и АВ, про-
ходит через середину отрезка, соединяющеrо центры
данных KpyrOB.
(Эта задача была предложена читателям журнала
«Вестник опыIнойй физики И элементарной l\lатематики»
профессором В. Ермаковым. Журнал этот издавался
в России в прошлом веке. Задача была опубликована
в 14 (2)-м tlомере журнала за 1887 r. За решение
задачи читателям была обещана премия........ литература
по математике.)
262. Дан треуrольник АВС; AA 1 , ВВ! И СС! ero
высоты. Доказать, что прямые Эйлера треуrольни:ков
ABlC 1 . A 1 BC 1 , A 1 B 1 C пересекаются в такой точке Р
v
окружности девяти точек, для которои ОДИН из отрез-
ков Р Аl' РВ}, PC l равен сумме двух друrих отрезков
(V i с t о r Т h е Ь а u 1 t, American Mathematical Monthly;
см. задачи 162, 232).
/
(
4. rеометрические неравенства и эа ачи
на максимум-минимум
263. Доказать, что если в треуrольнике АВС уrол В
I АС I А 1 А
тупой И I АВ I == 2 ' то С > 2 А ·
264. Доказать, что окружность, описанная около
треуrольника, не мо>кет проходить через центр вневпи-
санной окружности. (Вневписанная окружность касается
стороны треуrольнпка и продолжениЙ двух друrих
с.торон. Для каждоrо треуrольника существует
три вневписанных окружности.)
55
265. В треуrольнике из вершины А ВЫХОДЯТ медиана,
биссектриса и высота. Какой уrол больше: между
I\lедианой и биссеКТRИСОЙ или ыежду биссектрисой и
высотой, если уrол А равен а?
266. Доказать, что если медианы, проведенные из
вершин В и С треуrольника АВС, перпендикулярны,
А А
то ctg В + ctg С;::: 2/3.
267. Дан треуrольник АВС, I АВ 1< I ве 1. Доказать,
что для произвольной точки М на медиане, проведенной
--.........
из вершины В, ВАМ> ВСМ.
268. Из внешней точки А к окружности проведены
две касательные АВ и АС, и середины их D и Е соеди
иены прямой DE. Доказать, что эта прямая не пере-
секает окружность.
269. Доказать, что если прямая не пересекает
ОКРУЖНОСТЬ J то для Лlобых двух точек прямой расстоя-
ние между ними заключено ме}кду суммой и разностью
длин касательных, проведенных из этих точек к окруж-
ности. Доказать обратное утверждение: если для каких-
u
то двух точек прямои наше утверждение не выпол-
няется, то прямая пересекает окружность.
270. В треуrольнике АВ9 уrлы связаны соотноше-
А А
нием ЗА е < п. Уrол В разделен на четыре равные
части прямыми, пересекающими сторону АС. Д,оказать,
u
что третии из отрезков, на которые разделена сто-
рона АС, считая от вершины А, меньше I АС 1/4.
271. Пусть а, Ь, с, d длины последовательных
сторон четырехуrольника. Доказать, что если s...... ero
площадь, то S (ас + bd)/2, причем равенство имеет
место только для вписанноrо четырехуrольпика, диаrо
нали KOToporo перпендикулярны.
272. Доказать, что если длины биссектрис треуrоль
ника меньше 1, то ero площадь меньше V з /3.
273. Доказать, что треуrольник АВС будет OCTpO
уrольным, прямоуrольным или тупоуrольным в зависи
мости ОТ Tpro, будет ли выражение а 2 + Ь 2 + с 2 8R2
положительно, равно нулю или отрицательно (а, Ь, с
стороны треуrольника, R радиус описанноrо Kpyra).
274. Доказать, что если длины сторон треуrольника
связаны неравепством а 2 + Ь 2 > 5с 2 , ТО С длина наи-
меньшей стороны.
275. В треуrольнике АВС уrол В средний по вели..
А л Л
чине: А < В < с; 1...... центр вписанной окружности,
56
О центр описанной окружности, Н точка пересеЧf-
ния высот. Доказать, что 1 лежит внутри 6 ВОН.
276. Треуrольники АВС и ANIC расположены так,
что МС пересекает АВ в точке О, причем I АМ I +
+ I МС I == I АВ , + I ве 1. Доказать, что если ! АВ I ==
== I ВС 1, то I ОБ 1> I ОМ 1.
277. В треуrольнике АВС точка М лежит на сто-
роне ВС. Доказать, что (1 АМ I I АС 1) I ве I (1 АВ!
I АС 1) I МС 1.
278. Пусть а, Ь, с длины сторон треуrольника АВС,
М произвольная точка плоскости. Найти минимум
выражения
\ МА 12+ 1МВ 12+1 MCj2.
279. Стороны уrла, величина KOToporo (1." являются
бортами биллиарда. Какое наибольшее число отраже
ниЙ от бортов может сделать биллиардныЙ шар (раз..
мерами шара можно пренебречь)?
280. Четыре деревни располо)кены в вершинах
квадрата со стороноЙ 2 км. Деревни соединены дора-
rами таI{ИМ образом, что из каждоЙ можно пройти
в любую друrую. Может ли общая длина дороr быть
l\1еньше чем 5,5 км?
281. Точка А расположена между двумя парал
лельными прямыми на расстоянии а и Ь от них. Эта
точка служит вершиной уrла величины (1., всевозмож
ных треуrольников, две друrие вершины которых лежат
по одной на данных прямых. Найти наименьшее значе-
ние плоrцади таких треуrольников.
282. Дана окружность радиуса R, о ее центр,
АВ диаметр, точка М Ha радиусе ОА, причем
: 11 == k. Через М проведена произвольная хорда CD.
Чему равно наибольшее значение площади четырех-
уrольника ACBD?
283. Вершина yr ла величины сх находится в точке О.
А фиксированная точка внутри уrла. На сторонах
...........................
уrла взяты точки М и N так, что MAN == «(1.,+ <
< 1800). Доказать, что если I АМ 1== I AN 1, то плошадь
четырехуrольника OMAN достиrает максимума (среди
всевозможных четырехуrОЛЬНИI{ОВ, получающихся при
изменении 1\'1 и N).
284. Учитывая результат предыдуш.еЙ зядачи, решить
слеДУlоихую. Внутри уrла с вершиноЙ О взята точка А.
61
Прямая ОА образует со сторонами уrла уrлы Q' и '1'.
Найти на сторонах уrла точки М и N такие,
что MAN==P (q>+'Ф+ <1800) и площадь четырех
уrольника OMAN максимальна.
.............
285. Дан треуrольник ОБе (ВОС a). Для каждой
точки А на стороне Ее опредеJIИ { точки М и N на
..----......
ОБ и ОС так, чтобы MAN == (а+ < 1800) и пло..
щадь четырехуrОЛЬRика OMAN была бы максимальной.
Доказать, что эта максимальная площадь достиrает
минимума для таких точек А, М и N, дЛЯ которых
I NIA 1==1 AN 1, а прямая MN параллельна ВС. (Такие
А А
точки найдутся, если уrлы В и С ове не прев()с
ХОДЯТ 900 + /2.)
286. Пусть ABCD......... вписанный четырехуrольннк.
Диаrональ АС равна а и образует yr лы а и СО СТО"
ронами АВ и AD. Доказать, чте площадь четырех-
уrольника заключена между величинами
а 9 sin (a+ ) sin а 2 sin (a+ ) sin
2 sin а и 2 s I n р (
287. Дан уrол величины а с вершиной в ,.очке О
и точка А внутри иеrо. Рассм()rp.рпм всеВО3l\IQ}кные
четырехуrольники OMI" N, у кеторых вершины М и N
раСПОЛО>J<ены на сторонах уrла и такие, что klAN ==
== (а+ Р > 1800). Доказать, что если среди этих че..
u u
тырехуrОЛЬНИI\ОВ наидется такои ВЫПУКЛЫИ чеrырех-
уrольник, что I МА 1== f AN 1, то этот четырехуrОJlЬНИК
имеет ниаменьшую площадь среди всех рассматривае-
МЫХ четырехуrольников.
288. Внутри уrла с вершиной О дана roчка А
такая, что ОА образует уr-лы ер и 'Ф со С'r9рОНС:!МИ дан-
Horo уrла. Найти на сторонах уrла точки М и N та-
..........--
кие, ЧТО MAN == (СР+'Ф+ 13 > 180°) и площадь четырех-
уrольника OMAN минимальна. .
............
289. Дан треуrольник ОВС, ВОС == а; дл){ Кi)КДОй
точКи А на стороне ве определим точки М и N на 08
r
И ОС так, чтобы MAN == и площадь четырехуrольника
OMAN была бы минимальной. Доказать, что эта ми
нимальная площадь будет максимаЛItНОЙ для таких
точек А, М и N, ДЛЯ которых ! МА I с: I AN I и пря-
мая MN параллельна вс. (Если такой ТОЧJ{И А нет,
то максимум будет достиrаться в конце стороны 8С
дЛЯ вырожденноrо четырехуrольника.)
290. Найти радиус наибольшеrо Kpyra, который
можно покрыть тремя круrами радиуса R. Решить задачу
в общем случае, коrда радиусы равныI R 1 , R 2 , Rз.
291. Можно ли покрыть тремя еДИ:НИЧНЫl\tlИ квадра-
тами квадрат со стороной 5/4?
292. Чему равна наибольшая площадь правильноrо
треуrольника, который можно покрыть тремя правиль-
ными треуrольниками со стороной l?
293. В треуrОJIьнике АВС на сторонах АС и Ее
взяты точки М и N, и на отрезке MN точка L.
Пусть площади треуrольников Аве, AML и BNL
соответственно равны S, Р и Q. Доказать, что
S п+УQ.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
р А3ДЕЛ 1
17. Биссектриса разбивает треуrольник на два,
al . сх bl . сх
площади которых соответственно 2 Sln"2 t "2 SlП 2' а площадь
аЬ . al . а + ы . сх аЬ
Bcero треуrольника "2 Sln а; значит, 2 sm 2 ""2 Sln 2" == "2 х
х sin сх.
19. Возьмем окружность, касающуюся сторон АВ, БС и CD..
Если эта окружность не касается стороны DA, то, проведя каса..
тельную DA 1 (А 1 Ha АВ), получим DAA 1 , У KOToporo длина
одной стороны равна сумме длин двух друrих.
20. Проведя через вершины треуrольника прямые, параллель..
ные противоположным сторонам, получим треуrольник, для кото..
poro высоты исходноrо треуrОЛЬНИК8 являются перпендикулярами,
восставленными к сторонам в их серединах.
21. at b . 22.j Y 3 3 . 23. Y; 1 (a+b Y a2+b2 ).
т 2 Vз с+а I a b! 1 . h
24. 2 · 25. Ь----' 28. 2 · 29. 2 (а Ь)2 Sln а. ЗО. 2 х
х tg 2 ( 11:-; 0:). 31. 30 . 32. :. 33. 900. 36. ,2 (2 Vз+ 3).
37. 1 V а (21 а). 38. . (81 + 82)'
39. Если а > Ь, то биссектриса пересекает боков ую сторону
CD; если а < Ь, то основание ВС.
40. а 2 :ь , 41. arccos += . 42. at ь v 3b2+2ab а 2 . 43. а 2 .
1 1 rs (V ...r ) 2 () а I a b I
44. 2 ,; 2 ' 45. , S 1 + r S 2 · 46. 90 +"2. 47. а + ь Х
х Уа 2 + Ь 2 . 48. arcsin ( 1 .). 49. (6 n): 2n: (6 n). 50. а; Х
Х (V2 lН(2У2 1)л 4]. 51. а; (6V3 6 n). 52. Х
Х ( + з ). 53. Jf Ь 2 а 2 . 54. . 55. : 8. 58. Если О: <
< 900, < 900, то уrлы 6. АВ С равны 900 сх, 900 , cx+ ;
если CG > 90 G , < 90/?, ТО GG 900, 900 + , 1800 CG ; если
60
а < 90 , > 90«1, ТО 90 Ф + С'Х, ..... 90 $, 180. о: .
59. / т2 4S. 60. . '61. '!2. 62. -v 11: (4n 1) ·
63. В равнобедренном треуrольнике с уrлом при вершине 'Л/5
биссектриса уrла при основании делит треуrольник на два тре-
уrольника, один из которых подобен исходному.
Y5 1
Ответ. """2" R.
[ а 1 ] а lr а (4 sin" а+ 1)
64. R2 ctg 2" ...... 2" (n..... а) , 65. "4 r 10. 66. 8 sin а
2 2 (2 "(' 3 + 3) 6 8 а2 + 4,2 6 9 За 70 а уто
67 · r r · · 4, · · 2 (5 + У 13 ) · · 4
cx
7]. 2. 72. 4 (a Ь 2 ) ' 73. i (t g ctg а). 74. :: a ) ·
R2 а 2 а У7 ( УЗ 1 ) а" УЗ . 1
75. 2R · 76. 3 Vз ' 77. а 3 + -2 · 78. 12 · 79. 2 Х
ac+bd n Ib gl
х (у + а) · 80. · 8 t · 2 ." . 2 ' 82. 4 Х
а Sln а Sln
Х У 4d 2 ...... (Ь а)2. 83. 2 (R2 + а 2 ).
84. Возможны два случая: оба центра расположены по раз-
ные стороны от общей хорды и по одну. Соответственно две пары
ответов: а(У3+1). a 2 (Y3+1) и a(Y3 1 ). a 2 (Y3 1).
3 ....... У7 I 1 + У 1 2k 2
86. 4 · 87. J 13. 88. arccos 2 · 89. 3'
ЗаВ а 2 '2 Уз 3)
90. 8' 91. 4R2. 92. \ 2 . (Возможны, вообще rО80рЯ,
два треуrОЛЬНИК8, но у одноrо из них две вершины лежат на
продолжениях диаrоналей.) 93. 7 2 . 94.' . 95. У 7. 96. f )(
х (Y3 1). 97. Y IO . 98. У2 1. 100. 3 1 V 96......54 y .
cos а
101. 3: 4. 102. а S n ctg а t . 103. 1 1 0 У 25а 2 + с 2 + lOac CO .
Sln а
4 YRf(R ,) a2+b2 2abcosa
6 R r ,2 R2 . 1 06. 2 (Ь а cos а) ,
... / Ь 2 +а2+ 2аЬ sin a
108. r 2
а
2 cos
2
3
104. 4" S ·
105.
3
107. То с.
109. S cos l а.
110. У 4R2 a2. 111. { . 11 2. У а 2 + Ь 2 +2аЬ сos a1 ctg а 1. 113.
Y / 1 Ь 2 + 4 2 2 l . 2 2
4 9 а 3 аЬ cos С(. 14. аrсsш n и п arcsin п'
11
115.
а 2 (У2 t).
116.
а sin (а+ )
cos (2a+ ) ·
а cos (а+ )
cos (2a+ ) ,
а
2 сos 3 +3 ..r
1 17 а (Ь а cos а) . 3 118 119 2 r S 2 (81 + S 2) .
· , 2 Sln а.. а .. V
.. 482 1 S
6сosз +1
120. 2 сos V (R2 R 1 ) (R2 sin 2 % + Rl сos 2 ) .
V а2 cos 2
d 2 2
4 + + ·
Si112 cos 2 а
2 2
Y a 2 +b l +ab . 125. 150,750, 126. Rr з . 127. 2Уб. 128. У2.
129. 3 4 (2 уз + 3), 130. 2R2 sin 3 а ; . 131. 3 уз <,ТЗ 1) .
sil] (а+ n
а 2 а У7
132. 1,1, 133. 16R ' 13 4. 900. 135. ЗО ct . 136. 4 .
137. R (3 2 У2) . 138. 4 lf 1 .cos Р . 139. аЬ tg а )
3 J' 3 cos Р У а 2 tg 2 а+ (Ь .....а)2 ·
(В треуrольнике ON Ротрезки кр и N М являются высотами,
поэтому ОА также высота.)
140. б) Используйте результат пункта а). Замените поворот
BOKpyr 01 двумя осевыми симметриями, взяв в качестве о и вто-
рой симметрии прямую 0102' а поворот BOKpyr точки 02 двумя
симметриями, взяв в каче\:тве оси первой симметрии прямую 0102'
О Т В е т: если а+ < 2л:, то уrлы будут равиы . .
л: at ; если a+ > 2л, то ;ТЛЫ, соответственно, л: .
р a+
1t ......."2 t 2 ·
3 а м е ч а н и е. ЕСll1И а + == 2п, то последовательное приме--
нение ДаННЫХ поворотов, как леrко убедиться, эквивалентно па-
раллельному переносу.
150
121. Т.
122.
123.
Ya2+b2 ab,
141.
а
2'
РАЗДЕЛ 11
1. Возьмем на прямой БА точку Al так, что
I А 1 В 1==1 А 1 С 1. Точки А 1 , А, D и С лежат на одной окружности
...............
(DA 1 C == 90"...... АВС == DAC). Следовательно, А 1 АС == A 1 DC == 90.,
.............
а значит, и ВАС==90".
2. Заметим, что окружность, проходящая через точки каса-
ния, является вписанной в треуrольник с вершинами в центрах
окр ужностей. Приравнивая выражения для площади треуrоль-
ника, полученные по формуле repoHa и как произведение полу-
периметра на palLUYC вписанной окружности, найдем r == 1.
62
3. Покажите, что данныА треуrо.лъник nрямоуrо'nьныА.
9
О т в е т: 4 .
4. Если I ED ';;:::! АЕ : == х, то ; ВЕ I ==а........х. Записав теорему
косинуеов ДJIЯ D. BDE;
2 1
х 2 == 9 + (а х)2 з а (a x). 2'
7
найдем х == 15 а.
О т в е т: : СЕ 1 == а.
5. Обозначив катеты через х и у, получим систему уравнений
{ ху У2
а==
х+у'
4Ь 9 ==х 2 +у',
И3 котороз найдем ху.
а al+aY +8b2
т в е т: 4 ·
6. Пусть (рис. 1) АВсD.......Трапеция, ! DC ! ==а, O......цeHT
окружности. АD боковая сторона, которая точкой касаНИЯ К
разделена на отрезки I АК 1== d, I KD 1== Ь. В AOD уrол AOD
прямой, высота ОК радиус окружности, следовательно, , ==
=== I ОК ! == V bd . Аналоrично, 1:::. СОВ также прямоуrольный тре.
уrольник; если М точка касания на стороне СВ, то J мв I ==
,2 bd
.....,.. j см I a Ь ·
a2+a ( d b ) ..i
О Т В е т: S =::: Ь r bd.
а........
А
1(
А
fJJ
D
Рис. 1.
7. Пусть (рис. 2) ABCD данная трапеция (В С \: Ап). Прове-
дем через С прямую, параллельную В D, обозначим через К точ-
ку пересечения этой прямой с прямой AD. Площадь АСК
равна площади трапеции, стороны АС и СК равны диаrоналям
трапеции, медиана CL .равна расстоянию между серединами AD
и ВС. Продолжим CL и возьмем на продолжении точку М так,
что 1 LM j === I CL 1. Получим ь. СКМ, равновеликий трапеции
Авси, со сторонами, равными ее диаrоналям и удвоенному рас-
63
стоянию между серединами оснований. В нашем случае стороны
.6.CKM 3, 5 и 4.
О т в е т: S == 6.
8. Пусть \ АМ I : I МС ! ==k. Условие равенства радиусов
окружностей, вписанных в треуrольники АВМ и ВСА1, означает,
что их площади относятся, как периметры. Отсюда, поскольку
.. k . ВМ I 13k 12 И
отношение площадеи равно ,получим I ,:=: 1 k . з этоrо
12
равенства, в частности, следует, что Тз < k < 1. Записывая для
треуrольников АВМ и ВСМ теоремы косинусов (относительно
уrлов ВМА и ВМС) и исключая из этих уравнений косинусы
2 22
уrлов, получим для k квадратное уравнение с корнями 3 и 23 '
22
Учитывая оrраничения для k, получаем ответ: k == 23'
9. Из условия следует, что высота к стороне АС равна двум
диаметрам вписанной окружности, т. е. 4. Если М, N и К
точки касания с АВ, ВС и СА, то
АВС ;1 +0,8 ..r
!BMI==IBNI==,ctg ==l. JI 1 O,8 ==r 9==3.
Если I МА 1==1 АК 1== х, I КС 1==1 NC 1== у, то, выражая площадь
через полупериметр и радиус вписанной окружности и через
основание и высоту, получим
(3+х+у)== (х+у) 2, х+у==3.
о т в е т: I АС 1==3.
10. Если Q S, то искомое расстояние будет З Х
Х (V S V Q ). Если же Q< S, то возможны два ответа:
vз ( ..r ..r )
зrS::!:rQ ·
1 t. Обозначим через М точку пересечения прямых АВ и CD,
а через 01 и 02 цeHTpы данных окружностей. Пусть ! ВМ i ===
== I х ;, I м С I == I у 1, причем знаки х и у выберем таким образом,
чтобы выполнялись соотношения
I ВС J2:=X 2 +y2, I AD ;2==(x+2,)2+(y+2r)2,
I 0102 12 == (х + ,) 2 + (у + ,)2.
Получим систему
{ x2+y2==k2 (X+2,)2+k2 (у+2,)2,
4,2 == (х+ ,)2+ (у+ ,)2,
1 5k 2
откуда х+ у == , 1 + k 2 , поэтому
I (х+2,) (y t-2,) xy l ' I 2 21 1 k2 1
S ABCD == 2 === ; r (х + у) т 2, I == 3, i 1.+ k 2 ·
1 1 k 2 1
О т в е т: S == 3r2 1 + k 2 .
64
12. Пусть (рис. 3) 01' 02 И O цeHTpы окружностей, М 1 .
М2' М точки их касания со стороной уrла, '1, '2 И ' ради.
усы окружностей ('1 < '2)'
Проведя через 01 прямую,
параллельную М1М2' дО пе
ресечения с 02М2' получим
прямоуrольный треуrольник
с rипотенузой , 1 + '2' кате-
том '2 '1 и противолежа-
щим острым уrлом а/2.
Проведя через О прямую,
параллельную ММ2' полу-
чим два друrих прямоуrоль-
ных треуrольника.
Найдя из этих трех треуrольников отрезки I М 1 М 2 :, 'М1М I
и ,ММ 2 !, запишем ур авнение IМ 1 М 2 i==!М 1 МI+IММ з l.
({ l sin ) 2
О Т В е т: 1 .
l+sin
13. Если С == (Х, то I CN I == cos (х, I СМ ! == cos ct (Ct < 900);
следовательно, CMN подобен САВ с }{оэффициентом подобия
cosa I cosa с a2+b2 c2 (a2+b2 c2)c
2' поэтому I MN 1==1 АВ I == 2 2аЬ == 4аЬ ·
14. Если высота I CD !===h, то ! ВС 1== . h А , I АС 1== .11 ... .
В1П В В1П А
h h А Л А Л
По условию == h, откуда sin А sin В == SiIl А sin В,
sin В sin А
л А А Л
A B А+В 1 А Л А А ер
2 sin 2 cos 2 == 2 [cos (А B) cos (А +В)], 2 sin 2 Х
А А А
Х sin == (cos ер + cos С) 2 sin 2 + 4 sin p sin (1 + сов ер) ==
2 2 ' 2 2 2
л
О Э . с
== · то квадратное уравнение относительно sln 2":
л А
. 2 С + 2 . rp . С 2 rp О
sln sln sln cos . ==
2 2 2 2'
откуда
л
. с 1 . ер
В1П 2 == В1П 2 ·
уrол ромба равен а,
и 2R siп а. С друrой
то диаrонали ромба
стороны, отношение
tX r
диаrоналей есть TaHreHC половины этоrо уrла, т. е. tg 2 == R '
15. Если острый
будут равны 2, sin а
. 2Rr
В1П а == R2 +,2 ·
8R3'3
О Т В е т: (R2+r2)2 '
Э И. Ф. Шарыrин
65
16. Если М и N основания перпендикуляров, опущенных
И3 В на СТОРОНЫ уrла, то чет.ырехуrольник АМВN вписанный,
причем АВ диаметр окружности, описанной около Ь. MBN, так
что MBN ===n a" если В внутри данноrо yrла или вертикаль-
IMNI
Horo к нему, и М BN === а, в остальных случаях; I АВ 1== 1. .
S1n а,
у а' + Ь 2 + 2аЬ сos а,
От в ет: I АВ 1== . , если В лежит внутри
sln а
Jf a2+b2 2abcosa;
данноrо уrла или вертикальноrо к нему; I АВ I .
sша
в остальных случаях.
h
17. Обозначим I АС 1== ь, ! ве I ==а. Имеем Ь == а А , а ==
sin С
"
с
hb 2аЬ cos 2
== 1 == (СМ. задачу 17, раздел 1). Следовательно,
sinC' а+Ь
А
С
2hahb соэ "2" с Izah b
, .
sin С (ha + h b ) ,откуда Sln 2"" 1 (ha + hb) ·
18. Пусть (рис. 4) 01 цeHTp второй окружности. Из условия
следует, что ее радиус равен одному И3 катетов; пусть катет
I СА I ===R; так как R радиус
...............
описанной окружности, то еВА ==
== зо ct , I св I ==R Уз.
Если О середина АВ, то
ОА0 1 ==зо а . Если А 1 вторая точ.
ка пересечения, то ОА 1 О 1 ==
== ОА0 1 ==30°. Следовательно, об-
щей хорде этих KpyroB соответст-
вуют дуrи в 150°, а общая часть
состоит из двух cerMeHToB, соот-
ветствующих дуrам 150°, площадь
каждоrо из которых равна
5 R'
ScerM == 12 nR2 4..
3УЗ
О т в е т: 5n 3 ·
19. Пусть сторона треуrольннка х и стороны, ВЫХОДЯЩИе из
общей точки окружностей, образуют с прямой, проходящей через
центры, уrлы а и , а + ==60&; тоrда cos а == 2 ' сos == 2:
(или наоборот). Найдя sin а, и sin , и: уравнения cos (а :t р) ==
1
== 2" получим
Рис. 4.
R, }/r 3
Х
YR2+r2' , .
66
20. Проведем прямую ВА и обозначим через D вторую точку
пересечения с меньшей окружностью. Рассмотрим дуrи АВ и А15
(меньшие, чем полуокружность). Поскольку обща касательная
к окружностям в точке А образует с АВ и AD равные уrлы, то
и центральные уrлы, соответствующие этим дуrам, равны. Следо..
I AD I r r'..i
ватель о , I АВ I == R ' I AD 1== а R' I ВС 1=== r I BD I . I ВА I ===
i R+r
aJl R ·
21. Решение зад ачи аналоrично решению предыдущей.
Ответ: ay R;' .
22. Заметим, что 01020з04 параллелоrрамм с уrлами а и
n а (0104 1.. АС и 0208..L АС, значит, 0104:! 020з и Т. д.).
Если К сереДИНа АМ, L середина МС, то 10з04:"" I I ==
I АС I А 1...... BD
...... 2. · liалоrично I 020з I 2. ,следовательно,
Slna sша
I АВ I · I BD I sin а 8 ABCD
801020,0,. === 4 sm 2 а == 2 sin 2 а ·
О т в е т: 2 sin 2 а.
23. Покажите, что биссектрисы параллелоrрамма при пересе-
чении образуют прямоуrольник, диаrонали KOToporo параллельны
сторонам параллелоrрамма и равны разности сторон параллело..
rpaMMa. Следовательно, если а и Ь стороны пвраллелоrраммв,
a уrол между ними, то S == аЬ sin а, Q <=; (a Ь)2 sin а, f "'"
2аЬ
=== (a Ь)2 ·
Ответ: S+Q+ Q2+2QS
24. Если х......площа,uь треуrольника OMN, а у площадь
треуrольника CMN, то
10NI х 8 з 818з 'АМ\ 81+X 81+82
! ОА I == 81 == 82 ' Х == 82' I /уlС!....... у 8 з +х+у'
818з (81 + 82) (8з+ 82)
откуда у == 82 (82 81 8 а) ·
25. Пусть в треуrольнике АВС уrол С прямой, М точка
пересечения медиан, О...... центр вписанной окружности, , ее р а..
.............."'--....
диус, СВА ==а; тоrда
( а (n а' )
I АВ ! , ctg + ctg \ ......
I 2 \4 2)/......
. n
r Sln 4"
. а . ( П а )
З1П 2 81П "4 2
:с:::
,У2
y ,
соэ( : а) 22
З*
67
I см 1== I АВ I == 2, у2 ,
3[2COS( ) У2]
..r n
lCOj==rr 2, !OMI==r, OCM==a 4.
Записывая теорему косинусов для А СОМ, обозначив cos ( )==
== х, получим
oTKy.Zta х ==
1 == 2 + 8 ...... 8х
9 (2x У2)2 3 (2х...... У2) ,
4 у6...... 3 У2
6
.
Отве r: yrлытреуrольника равны + arccos 4 У6-;3У 2
26. Пусть отрезки медианы имеют длину а. Обозначим через х
меньший из отрезков, на которые разделена точкой касания сто-
рона, соответствующая медиане. Теперь все стороны можно вы-
разить через а и х. Стороны, заключающие медиану: а У2+х,
3аУ2+х, третья сторона: 2аУ2+2х. Используя формулу дли-
ны медианы, получим
9 2 2 (а У2+х)2+2 (За Y2+x)2 (2а У2+2х)2
а 4 '
аУ"2
откуда х== 4 ·
О т в е т: 1 О : 5 : 13.
А А
27. Пусть I ВС ! == а, С > В, D и Е...... середиНЫ АВ и АС.
Четырехуrольник EMDN ......вписанный (так как MEN ==MDN ==
а
==90°), I MN I ==а, ] ED I == 2' MN диаметр окружности, опи-
санной около МБND. Следовательно, DME==30°, САВ ==
.............. l
==90ct ЕМD==60Ф, СВА ==EDN==EMN == 2 EMD==15(),
АСВ == 105°.
О т в е т: А == 60 Ф , В == 150, С == 1050 или А == 60 са , В == 1050,
А
С == 15°.
28. Обозначим через К и М точки пересечения прямой ЕР
с AD и ВС. Пусть М лежит на продолжении ВС за точку В.
Если I AD I == За, I ВС 1 == а, то из подобия соответствующих тре-
уrольников следует, что IDKI==IADj==3a, IMBI==IBCI==a
(рис. 5, а). Кроме Toro, I МБ 1==1 ЕР 1==1 РК 1. Если h высота
2
трапеции, то расстояние от Е дО AD будет "3 h, S EDK ==
1 2 /La 1 /la 1
=="2' зhа==з, S EDF== 2 SD,.EDK==r; == 1 2 s.
68
Если же прямая ЕР пересекает основание 8е в точке М, то
1 I ЕК I 5 6
ВМI==з- а (рис. 5,6). В этом случае !МКI ==2: з ==б- и рас-
11 lJ /}
А д' К
а)
Е
,
А
N
6 1
стояние от Е дО AD будет -б-h, так что SL1EFD==2S BDK==
169
=== · За . h == s
4 5 20'
1 9
О т в е т: 12 s или 20 S.
29. Пусть O цeHTp вписанной окружности, М середина ве,
К, L, М точки касания вписанной окружности со сторонами АС,
АВ и ВС треуrольника. Обозначим I АК 1==1 AL 1=== х, I ек I ==
::::; I CN I ==и, I BL 1==1 BN I ==Z, y+z==a. По условию I ом I ==
== r. Следовательно, I NM I==Y I ОМ J2 1 ON 12 == V 2 a,
а ( а 2 .
и один и з отрез ков у или z равен 2 J 4 ar, а друrой
а ... / а 2
2 + JI 4 ar, yz==ar. Приравняем выра;кения для площади
треу rольника по формулам repoHa и S == pr:
/ а,
r (x+y+z)xyz ==(x+y+z) r => xar==(x+a) ( 2 => х== a , .
Таким образом, S == ( а, + а ) r == а 2 , .
a ' a '
30. Докажем, что если С 1 и С 2 (рис. 6) находятся по друrую
сторону от ве, чем вершина А, то центр окру)кности, описанной
около eC 1 c 2 , находится в 'Точке О на стороне АВ, при этом
1
I во j == 4 I АВ 1. Проведя высоту СМ из вершины С I мы получим,
69
что /JClCM прямоуrольник. Значит, перпендикуляр, восставлеН..
вый к CC l В середине, проходит через О. Учитывая, что С 1 С 2 [! BD
и I C l C 2 ! == 2 1 i BD 1. получим, что
С?.
перпендикуляр к С lС2 В ero сере-
дине также проходит через О. Те..
перь леrко найдем искомый ра-
диус:
,== УI см :2+ ! МО 12::=
j 3a 2 + а 2 == у 13 .
JI 4 16 4
31. Разберите два случая:
l-й, коrда основания перпендику-
ляров находятся на сторонах параллелоrрамма, и 2-й, коrда один
из перпендикуляров не пересекает стороны, на которую он опущен.
В 100М случае мы приходим к противоречию, а во 2-м получим,
2аЬ
что cos а== а 2 +Ь 2 .
32. Выразив уrол PQN через yr лы треуrольника и учитывая,
............... ... ...............
что РМN t--РQN==180°, найдем PMIV 60°, отсюда NPQ==QMN==
.............................. ...............
:с::: 300, PNQ == PMQ ==300, т. с. треуrольник PQN равнобедрен-
ный с УrJlами при стороне Р N по 300. i PQ I ;= i QN ! == J з '
33. Из условия следует, что АВСD трапеция (ВС 11 AD),
АС ......биссекТриса уrла BAD; значит, 1 АВ 1==1 ВС j; аналоrично
IBCI::=ICDI. Пусть IABI==IBC/==JCDI==a, IADi==b. Рас-
b a
стояние между серединами диаrОН8лей 2" следовательно, 2 ==2,.
Проведем высоту ВМ из точки В на AD, ..
с,
А
.D
Рис. 6.
r АМ 1"'" Ь;а 2,. 18М: == 2,.
Следовательно, а == i АВ I == 2, у 2, ь == 4, + 2, y' 2.
о т в е т: S ==4r 2 (У2+ 1).
34. Обозначим уrлы А, В и С через а, и у. Пусть f!...... точка
пересечения высот, О центр окружности, проходящей через А,
Н и С. Тоrда
............... .....
НОС ==2Н АС ==2(900 "(),
НОА ==2НСА ==2 (900 a).
...............
Но АОС == 180e (Т81< как ВАОС вписанный), 2 (900 1')+
+ 2 (900 а) == 1800 , 3600 2а 21'::=: 1800 , 2 ::::: 1800 ,
. 3 r
== 600, ! А С I ::=: 2R 8111 == 2 2 == V 3.
10
35. Обозначив отношение i I л, будем иметь S МСР == I .
S мср Т
SCPN=='AQ, S 'А, т. e' Q =='А3,
CPN
I АС I I ВС I ('А + 1)' ( Т. )
SABC I МС I · I CN I SCMN== л т+лQ ==
== (1.t 1)2 (Т +1.2Q) ==(1.,+ 1)3 Q== (Tl/3+Ql/8)8.
36. Если O цeHTp окружности, то площадь tJ. OMN в
а
R раз больше площади 6 KMN. Если MON==rx, то
a
R2. а 2aS
"""2 SJn а== a R S, вin а == R2 (a R)' сова =»::!:: -v 1 аin-а.
-. / ( r 4a2S2 )
Ответ: /MN/==R V 2 I + }I I R4(a R)2 '
Задача име решение, еCJIИ S R2 (a 2 ;R) .
...............
37. Если ВАС == ВСА == 2а, то по теореме синусоа найдем
I АЕ j == 2т sin 2а I АР I == I АЕ I == т sin 2а .
sin 3а ' сов а sm За cos а
Таким б 9 2т sin 2а 2 7 S
О разом, 4 m == sin За cos а ' откуда cos а == Тв' Аве==
5т2 -VП
== т 2 tg2a 7
38. Точки С, М, D и L лежат на ОДНОЙ окружности, следо-
...........................
вательно, CML== CDL ==30°. Точно так же СМК ==300; таким обра-
.......... -.......... 2
30М, [МК ==600 и [МК правильный, I KL 1== """'"7="". По тео-
У5
3 - .................
реме косинусов найдем, что сos [СК ==...... 5' Поскольку DCB::::::
==LCK 120°, найдем IDBI.
2 Y3
О т в е т: i DB 1== У5 .
39. Пусть А точка пересечения прямых ВС и КМ. Четырех-
.......- ............. .............
уrольник ОNВС вписанный (OCB==ONB==900), следователь-
...-------............. а
НО,ОВС == ONC -== 2 . Точно так же вписанным является
четырехуrольник
СМАй
и
а
САО == СМО == 2 ' т. е.
7\
40. Точки Е, М, В и Q (рис. 7) ле,I<8Т на одной окружности
с диаметром ВЕ, а точки Е, Р,
D и N на ОI<РУЖНОСТИ с диамет-
ром ED.
............ ...............
Таким образом, EMQ==EBQ ==
..................... .............
== 180 G EDC == EDN ==ЕР N, ана-
..1Jоrично EQN ==ENP, Т. е. Е1ИQ
подобен D. EPN с коэффициентом
подобия Yk. (Для полноты реше-
ния необходимо рассмотреть и
друrие случаи расположения то-
чек.)
О т в е т: d JI k.
41. Продолжим непараллель-
ные стороны трапеции до пересе-
чения, мы получим три подобных треуrольника, причем коэффи-
циент подобия между средним и большим треуrольником и между
меньшим и средним один и тот же. Обозначим этот коэффициент
через 'А, большее основание через х, радиус большей окружно-
сти ----через R. Тоrда отрезки, параллельные х, будут соответст-
венно 'Ах и 'А 2 х, б6льшая боковая сторона нижней трапеции 2R!!. t
С
второй радиус лR. Значит, R + 'AR ==] . По свойству описанноrо
d
четырехуrольника х + 'Ах == 2R + 2R . и наконец, опустив из
с
конна меньшеrо основания всей трапеции перпендикуляр на
большее основание, получим прямоуrольный треуrольник с кате-
тами с, х 'А 2 х И rипотенузой d. ТаI{ИМ образом, имеем систему
о АВ равнобедренный,
I СВ 1==1 АС! == I СО I
. а
SI11 "2
м
о
Рис. 7.
v R2+b2 2RbCOS%
. а
8111 2-
f Х(I+л)==2R ,
Х(l Л2)== d2 С2.
1 R(l+Л)='2'
d ---- У d 2 c l
откуда л == .
с
d Yd2 c2 d+Vd2 C2
о т n е т: основания равны 2 и 2 ·
42. Опустим из центров окружностей перпендикуляры на одну
из боковых сторон и проведем через центр мрньшей окружности
пр ямую, параллельную этой стороне. Получится прямоуrольный
72
треуrольник с rипотенузой R+" ОДНИМ катетом R r и острым
уrлом при этом катете а, равным острому уrлу при основании
трапеции. Таким образом,
R ,
cos а === R+, ·
Большее основание равно
2R ct == 2R .. / 1 + cos а === 2R -. / R .
g 2 r 1 ...... cos (Х JI r
Меньшее основание равно
а ... /1 cosa ... /'
2, tg 2 === 2, r 1 + cos а === 2, JI R ·
43. Возьмем на стороне АВ точку К так, что I ВК t ---= I BD 1,
а на продолжении АС точку Е так, что I СЕ i == \ CD 1. По {ажем,
что Д ADK подобен ADE. Если А, в и С ......Величиаы уrлов
д АВС, то
БКА == 1800 DKB == 1800 ( 900 ) , 900 + I
А А А А
A АС В
ADE == 1800 CED 2 == 1800....-.. 2" ....... 2" == 900 + 2"'
...............
Таким образом, AKD == ADE. Кроме Toro, по уСЛОВИЮ DAE ===
..............
==ОАК ·
О т в е т: I AD I == V аЬ .
44. В обозначениях предыдущей задачи
'AD 12==(1 АС 1+1 CD 1)(1 АВ ' I BD 1)==
== I АС I · I АВ \.......1 CD I · I BD 1+(1 АВ I · I CD ! i АС t · I BD 1).
Но слаrаемое в скобках равно нулю, поскольку (см. задачу 9,
IABI IBDI
раздел 1) I АС I == I CD I ·
45. Продолжим BN и CN дО вторичноrо пересечения со вто-
рой окружностью в точках К и L соответственно. I м N I === I N К 1,
так как AN В === 90О и МК есть хорда окружности с центром в А.
.......,. ...........................
LN К == BNC == BND (так как равны соответствующие дуrи). Таким
обр азом, I LN I === I N D I === Ь, I м N I · I N К : === I м N ? == аЬ, I М N I ===
== V аЬ .
46. Заметим (рис. 8), что PQ.l СВ. Пусть Т точка пере-
сечения MN и PQ, L и К основания перпендикуЛЯРОВ, опущен-
ных из С и В на прямую MN (L и К лежат на окру,кностях,
построенных на CN и ВМ как на диаметрах). 11спользуя свойства
пересекающихся хорд в окружностях, получим
I РТ 1.1 TQ 1==1 NT 1. I LT!,
t РТ · ] TQ 1===1 м Т I · I тк 1.
1а
Но \ LT 1==1 CD 1, : тк 1==1 DB I (так как CLKB nрямоуrОЛЬНИk,
. IMTI
а PQ ..L СВ). Таким образом, I NT \.\ CD 1==1 мт 1.\ DB 1, I NT 1 ==
!CDI
I DB I ' т. е. прямая PQ делит СВ и MN в одном и том же
отношении; значит, PQ проходит через А, а D есть основание
высоты.
О т в е т: 'BD I 1
IDC\ == уз .
А
8
t
1(
Q
Рис. 8.
Рис. 9.
........, "-"'"
47. Пусть (рис. 9) ВС == 2а, BL == 2 . Тоrда
I АС I ==2R сов а, I CL I ==2R sin (a+ ),
I СМ 1==1 CL J cos (90СЭ ) ==2R sin (а+Р) sin ,
АМ 1==1 AC'I !CM i==2R[cosa sin(a+ ) sin ]==
==2R[cosa }cosa + cos(a+2M]==2Rcos cos(a+ )
и, наконец, i AN 1== а == I АМ I сos а == 2R cos а. сos cos (а. + ),
с друrой стороны, если К, Р и Q середины АО, СО и CL соот-
1 R
ветственно, то IKPI== 2IACI==Rcosa, !PQI==2' KPQ==
..........--
== КРО +OPQ==a+ 180e COL==a+ 18W 2a 2p == 1800...... а .......
R2
....... 2р и, по теореме косинусов, I KQ 12==T+R2cos2a+R2cosax
R2 R2
ХСOS (a+2 ) ==4 + 2R2 c os а сos cos(a+ )==T+Ra.
Ответ: V 2 +Ra.
48. Пусть прямые АМ и AN пересекают прямую ве в оч-
ках D и Е. Леrко видеть, что треуrольники ABD и АСЕ равно..
бедренные (биссектриса является высотой), т. е. I DE I равняется
периметру треуrольника АВС, а MN...... средняя линия в TpeyrOJIb-
нике ADE.
14
49. Обозначим одну из точек пересечения, через которую
проходит прямая, через С. Пусть 81' В!, Вз ОСНоваНИЯ перпен"
ДИКУJIЯРОВ, опущенных из 01' 02' Оз на прямую, а К и М ТОЧКИ
пересечения прямых, параЛJ1ельных АIАз, проходящих через 01
и 02' соответственно с 02В2 и 0зВз. Поскольку В 1 И 82 середины
1
хорд А 1 С И СА з , I 8 1 В 2 1 == 21 А 1 А 2 1. Если а уroл между пря..
мыми АIАз и 010з, то
I А 1 А 2 1 == 2/ В 1 В 2 1 ==2 01 К ==2 cos а;
101021 101021 ! 01021
аналоrично
I А 2 А з 1 2
1020з1 == cos а;
отсюда следует искомое равенство.
60. Имеем
I МА I S АВМ } : МВ " R А I sin МВА
I м С: I == 5MBC:=: 1МВ " 1 C I sin мвс ==
2 I I
..............
I ВА 12 I ВС I sin I МВА I
I Ве ;2 sin мВС I БА I
.,..........--.
Но sin МБС == sin ВАС, sin МВА == sin ВСА, а по теореме синусов
ВС I ...... I в А 11М А ! I в А j 2........ 2
. ........ . Следов втельно, I МС I I ВС 12 k
';iп ВАС sin ВСА I
iAMt2 rACI IAN:2 jADi
51. Из задачи 50 следует, что ! МВ !2 == I ЕС l ' I NВi i == I BD 1 -
Если К ........Точка пересечения MN и АВ, то
I АК i s AM ! I АА11 · I AN I sin ММ
I КБ I ....... S BM N I мв : . ! N В I si n AiiiN
== v : \ · II II == 11 (a l P l) '
52. Пусть К, L, М и N....... точки касания сторон АВ, ВС t CD
и DA с окружностью. Обозначим через Р точку пересечения АС
............................
и КМ. Если АКМ===ср, то KMC==180o......cp. Таким образом,
IAPI SAКM }IAK!.!KM!Sinq> IAKI а
IPCI == SKMC == IKMI.IMClsin(180" q» == IMC'==b'
Но в таком же отношении разделит АС и прямая N L. Значит, при..
мые АС, КМ и N L пересекаются в одНОЙ точке. Применяя те же
рассуждения It диаrонали BD, мы получим, что ВО также про-
ХОДИТ через точку Р. Искомое отношение равно ajb.
7б
53. Пусть Р и Q точки пересечения соответственно ВК и АС,
АВ и DC. Прямая QP пересекает AD в точке М, ВС в точке N.
Используя подобие соответствующих треуrольников, можем запи-
сать следующие равенства:
1 АМ I I B/V i I мк I I АК ! I АМ I
I MD j === I NC I === I АМ I == I АМ I ·
I I I АМ I I АМ I х х
Если I АМ j ==х I AD i' то I MD I I AD I I АМ { == l......x ' r=x==
л х л
х ' откуда х == л + 1 ·
I АМ! 'А
О т в е т: I AD I == л+ 1 ·
1 1
Если л==n' то IAMj === n+ 1 I AD 1. Таким образом, взяв сна-
чала К совпадающей с D (л == 1), пол учим в качестве М 1 сере-
дину АВ; взяв К совпадающей с М 1 , найдем, что М 2 отделяет 1/3
от AD, и т. Д.
54. Пусть I км 1==,KN!==x, iAD!==y, IDBI==z. Тоrда!СDI==
== V yz , y+z===c. Радиус вписанной в 6. АКВ окружности равен
1 1 .. r
2 , CD I == 2 r yz. Выразим площадь треуrольника АК В по фор-
мулам repOHa и s == pr. Получим уравнение
JI (x+y+Z)xyz (x+y+z). у yz .
Учитывая, что у + z == С, найдем х == с/3.
55. Проведем через Аз прямую, параллельную АС. Пусть
IAR!
R точка пересечения этой прямой с АВ. Из Toro, что I RC 1 1 ===
=== I в 1 А 2 ! 1 I АС 1 I I AR I k
I А 2 С 1 i === k t I С 1 В I ...... k, найдем I АВ I == (k+ 1)2 ' Точно
так же, проведя через С 2 прямую, параллельную АС, дО пересе-
I С8 I k
чения с ВС в точке 8, получим, что I СВ! == (k+ 1)2 ' Поэтому
ТОЧI{И R, А 2 , С 2 И 8 лежат на одной прямой, параллельной АС.
Таким образом, стороны ь:. АВС и ь:. А 2 В 2 С 2 параллельны. Теперь
нетрудно получить, что : А 2 С 2 1==1 R8 I I RA 2 I I С 2 8 '==! АС I х
( 3k \ k 2 k + 1
Х 1 (k+ 1)2 ); поэтому коэффициент подобия равен (k+ 1)2 ·
56. Воспользуемся следующей формулой для площади тре-
... л л А Л А
уrольника: 8 ==2R2 sin А sin В sin С, rде А, В и С веJIИЧИНЫ
уrлов треуrольника. Тоrда площадь треуrольника А 1 В 1 С 1 , rде А 1 ,
В 1 и С 1 точки пересечения биссектрис ь:. АВС с описанной
ок ружностью, будет равна
... л л л Л.. Л... А
А+В . В+С . С+А С А В
81 == 2R2 siп 2 Sln 2 Sln 2 2R2 cos 2 СOS"2 сos 2
и
8 8 . А. В. с
.Sl == SlЛ 2 81П 2 Sl1J 2 .
76
с друrой стороны (рис. 1 О)
имеем: I ВС ! == 2R sinA ,
(ct g . +ctg ; ) ==2R sin А, r
А .,
. В+С
Sln 2
А А
. 8 . С
Sln Sln
2 2
2 R · 2 sin А cos А
2 2 '
... А А
. А . В . С , 8 2,
Sln 2 в]n 2 Sln 2 == 4R ; таким образом, ............
81 R.
с
о
А,
Рис. 10.
57. Пусть О центр подобия вписанноrо и описанноrо тре-
уrольников, М 1 и M2 ДBe сходственные вершины (М 1 лежит на
стороне АВ), отрезок ОА пересекает вписанный треуrольник
8 0М1А ОМ 1
в точке [(. Тоrда 30М к -::::л8 1 , 30М А ===л8 2 , S == ОМ ==
120М 2 А 2
... / 81 8 0м1к
JI 82 ' откуда 8 0М1А ==л V 8 1 S 2' rде л== 81 -. Рассмотрев
шесть таких треуrольников и сложив их площади, получим
8ABC==V 8182 8
58. Пусть O цeHTp описанноrо KpYI'a, Н----точка пересечения
высот АВС. Поскольку прямая ОН перпеНДИ'кулярна бис сек.
трисе уrла А, то она пересекает стороны АВ и АС в таких точ.
ках К и М, что I АК 1==1 АМ 1. Таким образом, I АО 1==108 I и
....................-..., А А
АОВ == 2С (считаем, что уrол С острый), OAK==900 C==HAM.
Значит, ОАК == .H АМ и I ОА 1==1 Н А : ==R (R ----радиус опи-
caHHoro Kpyra). Если D......осНование перпендикуляра, . опущенноrо
из О на 8С, то I OD i == ; I АН i == . Следовательно, cos А ==
1
== cos DOC == "2 и А == 60 е .
59. Докажите, что треуrольник будет остроуrольным, прямо-
уrольным ипи тупоуrОJIЬНЫМ; если расстояние между центром
описанной окружности и точкой пересечения высот будет соответ-
ственно меньше, равно или больш половины наибольшей стороны.
О т в е т: уrлы треуrольника равны 90 Э , 600 и 300.
77
60. Условие SL BDM==St.::..BCK означает, что
или
I BD 1 · I ВМ I == I ВК I · I ВС I
(1 ВА 1+1 АС 1) I вм 1==1 ВК I · I 8е 1. ,
(1)
Проведем через М прямую, \ параллельную АС; пусть L точка
пересечения этой прямой с ВА. Докажем, что I LM 1==1 KL!; ОТ-
v ......................... 1 , --........ а
сюда будет следовать, что искомыи yroJl ВКМ==2 ВАС==2' По-
скольку 6. BLi'r1 и ВАС подобны, то
I 8М I I ВМ I
I LM 1....... I ВС I .1 АС 1, I BL 1 == I ВС I .1 АВ 1-
Теперь найдем из (1) I ВК I и посчитаем I KL '==! вк I 1 BL : ==
I ВА ; + ! АС! I ВМ I I ВМ I I АВ I I ВМ I 1 АС I
::::s I 8С I . J I ВС I · == I ВС I · 1, т. е. в са-
мом деле I LM 1==1 KL 1.
О т в е т,: а/2.
61. Пусть IADI==a, IBCI==b. Опустим изО перпендикулярОК
..r Ь "/ Ь
на АВ. еперь можно найти I вк 1== у аЬ Ь+а ' 1 ВЕ 1== у аЬ a b'
у аЬ ..r Ь "/ a Ь
I мк !== у аЬ Ь+а == у аЬ 2 (а+Ь) , I ЕК 1::::/ BEI+IBK 1==
"/ 2аЬ аЬ
:с:: у аЬ (a b) (а+Ь) ' I ОК 1== а+Ь ' Леrко проверить, что 'ОК 12==
== I ЕК "1 мк ,.
...............
о т в е т: ЕОМ ==90 .
62. Заметим, что точки А, М, N и О лежат на одной окруж-
--........ ..,..,.................. ...............
ности (рис. 11). Следовательно, NMO==OAN==900.......AON. ЗНа-
чит, при ПОБороте ОА BQKpyr О
на уrол q> прямая N М по-
вернется на такой х{е уrол <р
(в друrом направлении), а при
перемещении А по прямой ОА
прямая N М перемещается па-
раллельно самой себе. Отсюда
следует, что искомый уrол р а-
вен а.
63. Если 01 центр мень-
шей окружности, а БОА ==q>, то
............ ер .............
в АО == 90° 2 , СО 1 А ==90° + ер,
............ q>
САО 1 ==45 Ф 2 ' Таким образом,
................. ...............
ВАС::= ВАО CA01:=: 45 В .
О Т В е т: 450.
84. Построим на АВ внутри квадрата правильный треуrоль.
..... ............... ..............................
ник АВК. Тоrда К АВ == 600, KCD::;: 15 Ф , Т. е, К совпадает с М.
О т в е т: 300 f
о
р НС. 11.
78
'-........ ....................... ............
65. Если ВАС==2а, то леrко найдем, что КМС==МКС:::::
:::: 300 + а, т. е. I МС ! == I КС 1. Продолжи мк ДО пересечения
с окружностью в точке N; 6. КМС подобен KAN, значит,
---.........
IАNI==IКNI==R радиус окру>кности (так как AMN==30 Q ). .
Точки А, К и О лежат на окружности с центром в N t
...............................
ANO == 60 Ф ; следовательно, АКО == 300 или 150 СЭ , 8 зависимости ОТ
тoro, тупой или острый уrол АМС.
О т в е т: 300 или 150°.
66. Проведем (рис. 12 биссектрису уrла А и продолжим вм
,по пересечения с нею в' точке N. Так как I BN 1 == J NC 1, то
BNC== 1200; значит, и уrлы А
...........................
BN А, GN А также по 120 Ф ,
...............
NCA == NCM == 200, т. е.
Д NMC == 6. NCA, I МС I ===
==1 АС 1, АМС равнобед-
ренный.
О т в е т: 70° .
67. Опишем около 1:1 МСВ С . /!
окружность (рис. 13) и продол- -10
жим BN дО пересеч ния с нею Рис. 12.
в точке М 1 ; I СМ 1 r == I СМ 1, так
как уrлы, на них опирающиеся (80° и 1000), в сумме дают 1808;
..............
M1CM ==М 1 ВМ==20 0 , т. е. NС биссектриса уrла M1CM, и
.",......................
!v1. 1 CN == NCM; NMC==NM 1 C==CMB'==25°.
О т в е т: 250.
А
А
с
Рис. 14.
68. Возьм;ем на ВС точку К (рис. 14) так, что КАС==60..
МК 11 АС. Пусть L точка пе сеtЩИИЯ АК и МС; АLС пра-
. вильный, f:J,. ANC равнобе.uре JiЫЙ (подсчитайте уrлы) , Значит,
7i
LNC так}ке равнобедренный, LCN ==20 Ф . Теперь найдем уrлы
NLM и M/(N они по 1000; так как MKL правильный, то
уrлы KLN и NКL по 400, т. е. I KN I::::ILN I и MKN ==
== 6. MLN, NML==KMN ==30 Ф .
О т в е т: зо а .
69. Возьмем (рис.
и обозначим через L
А
...,...,.., ,...,...
15) точку К так, чтобы К ВС == КСБ == 30 ,
точку пересечения прямых МС и ВК. Так
как 6. BNC равнобедренный
............
(N ВС == NCB ==500), то KNC ==
== 400. Т очка L есть ТОЧI{а пе-
ресечения биссектрис треуrоль-
ника N К С (LK и LC биссек-
трисы). Следовательно, N L так-
же биссектриса уrла KNC и
............
LN В == 600; В N , в СБОЮ оче-
редь, биссектриса yr ла MBL;
кроме Toro, BN ML; зна-
чит, BN делит ML пополам и
............... ............
MNB==BNL==60 0 , а NMC==
== 300.
О т Б е т: 300.
70. Пусть О центр вписанной окружности; точки С, О, К
и М лежат на одной окружности: ( сок 1 + ==900 : ==
. ..........................
== КМВ == 1800....... К МС; если же точка К на продол)кении N М,
) "........
то СОК == СМК . Таким образом, OKC==OMC==90 Q .
71. Обозначим через К точку пересечения окружности с цент-
ром В и радиусом I АВ I и окружности с центром F и радиусом
- ........... а, ....................... у
I АР 1. Тоrда АКС == 180. .......2' АК Е == 1800 .......2; учитывая усло-
............
ВНе, получим, что СКЕ==180 0 ...... 2 ; значит, К лежит на окруж"
......................
ности С центром D и р диусом I CD 1_ Поэтому КВР == АВР,
............ ..............-........... I a,
KBD==CBD, т. е. FBD==2 АВС =="2-
. а, у
Ответ. 2' 2' -"2'
72. Если Р лежит на дуrе АВ, Q на дуrе А{;, то для yr лов
........... ............
р АВ == ф, QAC == 'Ф получим два соотношения:
{ sin 2 (с ....... <р) == sin <р sin (В + с ....... <р)
А. А '" =>
sin 2 (В....... 'Ф) == sin 'Ф sin (В + с ....... 11')
f 1 cos 2 (е...... <р) == cos (8 + с 2<р)....... сos (8+ С),
=> t 1 cos 2 (8 'Ф) ==cos (8 +С 2'Ф) cos (8+ С).
с
Рис. 15.
80
Запишем разность этих равенств:
А А А А
sin (В + с ер ...... 11') sin [( В С) + (ер ...... 11')] ===
А А
=== sin (В + с ...... ер 'Ф) sin (ер...... 'Ф) ,
А А А
откуда (поскольку О < В + с...... ер...... 11' < п) получим, что В....... С +
+ (q> '1') === л (ер...... '1').
л......а
о т в е т: 2 '
73. Докажем (рис. 16), что CMN подобен САВ. Имеем
.............
MCN ===СВА. Поскольку че-
тырехуrольник СВОМ вписан-
НЫЙ, то
...............
I СМ I ...... sin СВ М ...... sin CDM
I С В I ...... sin См-В sin СМ
..........................
sinDBA /ADI ICNI
== .......................... == == .
sin ADB I АВ / J АВ I
.......................... ............................
Значит, CMN==BCA, т. е. ис-
а
комый уrол равен или 2" или
'f/
Рис. 16.
1800...... .
...............
74. Пусть АВС===120 0 , BD, АЕ, СМ биссектрисы Ь. АВС.
Пока же м , что DЕ......биссектриса уrла ВОС, а DМ......биссеКтриса
yr ла BD А. Для этоrо достаточно по казать , что
I ВЕ I ...... I BD I
I ЕС I ...... I ОС I
(аналоrично для точки М). Но это вытекает из соотношений
I ВЕ I ...... I АВ I
I ЕС I ...... I АС I '
I BD I == 2 I АВ I · I ВС I cos 600 === I АВ I · I ВС I
IABI+IBC/ IABI+IBCf
(см. задачу 17, раздел 1) и
I АС I · I ВС I
I DC 1== I АВ 1+1 ВС j ·
............."""""
75. Обозначим ABD==a, BDC==ep. По условию ОАС ==
.......................... ............... ............................
== 120 0 .........а, ВАС==30 0 +а, АDВ==З0О а, DВС===60 Ф +а. По
теореме синусов для треуrольников АВС, ВСО, АСО получим
I ВС I sin (300 +а) 1
I АС j == sin (600 + 2а) :-:: 2 cos (300 + а) J
I DC I sin (60 Ф + а)
I ВС / sin ер ,
I А С I sin (30<) ...... а + q»
I DC I == sin (120 ф ...... а) ·
81
Перемножая эти равенства, будем иметь
sin (30 G а + ср) == sin (30 С> + а + ср) sin (300 + а ср) =>
=> sin (300 a fj))+sin (З0О+а q»==siп (30 Ф +а+ср)
=> cos (cp a) == sin (30 Q +a+q» =>
=> sin (900 q>+ а) sin (300 +а+ср) ==
== 2 сos (600 + а) sin (300 ер) == о;
таким образом, ер == 300.
76. Докажите, что если О и 01 центры окружностей, описан-
ных около АВС и ADB, то АОО 1 подобен ACD.
О т в е т: aR.
..........
77. Если К середина АВ, а O цeHTp Kpyra, I АВ f==2R==c,
то
I СМ 12==1 CD 12+1 DM 12==/ CD 12+1 DK 12==
==1 AD 1.1 DB I +R2+1 DO ]2==(1 ОА 1 I DO 1) (1 ОВ I +IDO 1>+R2+
+ I DO 12==(R I DO 1) (R+ 1 DO 1)+R2+ I DO 12==2R2"
Значит, I СМ I==RV2 == У 2 .
78. Пусть КМ отрезок, параллельный ВС, N и L точки
касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС. Как из-
вестно (см. З8.цачу 18, раздел 1), I AN I == AL I ==p a, rде Р"""7
полупериметр L:::.. АВС. С друrой стороны, 1 AN 1==1 AL 1 полу-
p a Ь
периметр L:::.. АКМ, подобноrо АВС. Следовательно, ............... == ,
р а
а 2
р ...............
........ а........Ь.
2а 2
О т в е т:
a b'
79. Докажите, что если а, Ь, c длины сторон треуrольника,
то периметры отсекаемых треуrольников будут 2 (p a), 2 (p Ь),
2 (p c). Следовательно, если R радиус описанной окружности,
то R 1 +R2+Rз== ( р а + p b + p c ) R==R.
р р р
Ответ: R==R 1 +R 2 +R з .
.--'".......... . I А С I I А В I
80. ЕСЛlI ВАС==а, то I АМ I == . , I AN r == . ,т. е.
Sln а Sln а
I АМ j : I AN I == I АС I : I АВ 1; таким
образом, AMN подобен АВС с
1
коэффициентом подобия . , поэ-
sша
тому I M1V 1== I C I 2R.
Sln а
81. Пусть (рис. 17) 01 и 02
центры пересекающихся окружностей.
Обозначим их радиусы через х и у,
I ОА 1-== а. Поскольку треуrольники
АО0 1 и АОО 2 , как следует из усло-
вия, равнове ики, то, выражая их
площади по формуле rеронз, учи
Рис. 17. тывая, что! OlA 1 ==Х, 10011 ===R x,
82
' О 2 А I==y, 002==R y, найдем
... / (R+a) . (R a) . (R+a 2x) . (a+2x R) :=1
V 2 2 2 2
== ... / (R+a) . (R a) . (R+a 2y) (a+2y R) =>
JI 2 2 2 2
а 2 (R 2х)2 == а 2 (R 2у)2,
отк уда, поскольку х =1= у, получим х + у == R.
82. Пусть АВ и СD........даННые ХОрДЫ, а lИ их точка пересе-
чения.
8) Дуrи АС и в15 в сумме СQСТ3ВЛЯЮТ полокружности; сле-
довательно, I АС 12+ I BD 12==4R2; таким образом,
I АМ 12+ I МС 12+ 1МВ 12+ I MD 12==1 АС 12+ I BD i 2 ==4R2,
б) I АВ 12+ / CD 12==(1 АМ 1+ i МВ 1)2+(j СМ 1+ I MD /)2==
== IAM 12+ 1МВ 2+ ICM 2 1+1J\t1D!2+21 AMI.IMBI+2 CMI.1MDI ==
=== 4R2+2 (R2 d2) +2 (R2 d2) ==4 (2R2 d2).
83. Если М вторая точка пересечения ВС с меньшей окруж-
ностью, то I вм I==IPCI (М между В иР), IBP!==IMPI+IBMI,
JBPI'IPC'==R2 r2, IMP:2+IPAI2==4r 2 , IPA!2+IPBI2+
+ I РС 12== I Р А 12+ (1 РВ '.......! P 1)2 +2 i РВ 1. I РС 1==(1 Р А 12+1 МР 12) +
+ 2 (1 РВ I . I РС i) ==4,2+2 (R2 ,2) == 2 (R2+r 2 ). I
84. Обозначим (рис. 18) длины отрезков XOPQ, как на ри-
сунке, диаметр через 2r; используя то, что уrлы, 9 п ирающиеся
на диаметр, прямые, а ху== UV, получим
х (х+ у) + u (u+v) ==х2+ху+ uv+u 2 :::
== (U+t J )2 +х 2 V2 == (u+v)2+m 2 ===4,2.
85. сли (1, , '\', д дуrи, ответствующие сторонам а, Ь, с
и d, то доказываемое равенство соответствует триrонометрическому
. (Х .' + (Х. 'у . б . б . I а + 1' )
Sln 2 cos 2" cos 2 Sln 2 == SlП 2" COS 2 +cos -2 Sln -2 или Sln \ ===
== Sin( tб ),
f/
Рис. 18.
Рис. 19.
86. Пусть (рис. 19) ABCD вписанный четырехуrольник.
Опишем около ADP окружность. Обозначим через Л1 точку
............................ ,..........................
пересечения этой окружности с прямой PQ. Имеем DMQ==DAP ==
== BCD. С.,1едовательно, четьwехуrольник CDMQ вппсаннЫЙ.
Поскольку, по УСЛОВИЮ j касатедьные, проведенные из Р и Q
8з
к исходной окружности, равны а и Ь, будем иметь
I QM 1" QP 1==: QD I . I QA I ==Ь 2 ,
I РМ 1. : PQ 1==1 PD 1.1 РС I ==а 2 .
Gложив эти равенства, получим
I PQ 12==а 2 +Ь 2 , I PQ 1== Уа 2 +Ь 2 .
8 7. Отрезок QM равен (см. задачу 86) Y(b2 R2)+(C2 R2) ===
=== Yb2+C2 2R2. Пусть АВСD данный четырехуrольник, Q
точка пересечения АВ и CD. Для нахождения длины PQ опишем
ОI{РУЖНОСТЬ около IJ. QCA, обозначим точку пересечения QP с этой
/'... /'... /'...
С>КРУII{НОСТЬЮ через N. Поскольку AN Р === ACQ == АВР, точки А,
В, N и Р такя{е лежат на одной окружности. Имеем
I QP I · I QN I == I QA I · I QB I == Ь 2 R2,
, Р N I · I PQ 1==1 СР I · I Р А 1== R2 а 2 .
Вычитая второе равенство из nepBoro, получим
I QP 19==b2+a2 2R2.
Аналоrично
I РМ 12==c2+a2 2R2.
88. Радиус вписанной окружности заключен между величи-
нами радиусов двух предельных случаев. Он не может быть меньше
u
раnиуса окружности, вписаннои в
треуrольник со сторонами а+Ь, Ь+с,
с+а, который равен S/p, rде S
[J площадь, р........ полупериметр TpeyrO,,1Jb-
ника; таки м образом,
S У(а+Ь+с) аЬс
'>р == а+Ь+с :::=
... / аЬс
== V а+Ь+с.
С друrой стороны, радиус меньше ради-
уса окружности, изображенной на рис.
20 (на этом рисунке противоположные
касательные параллельны, rОЧI<а С
«убеrает» в бесконечность). Поскольку
ДЛЯ уrлов сх, И 1', отмеченных на рисунке, выполняется равен-
n с а Ь
ство a+p+1'== 2 и tgCl== , tg == , tg1'== , rде p pa-
р р р
диус изображенной окружности, будем иметь tg(Cl+ )== t l t
gy
1J
о
ь
Рис. 20.
с а
p+p
или откуда р== у аЬ+ Ьс+са. Таким образом,
ас b'
1
r 2
11 a; c < r < V аЬ+Ьс+са .
84
89. Пусть М точка пересечения прямой СВ с линией цент-
..............
ров данных окру>кностей. Обозначим I АМ 1== Х, АСВ == q:>,
I АВ 12 == 2Ух, I АС 12 == 2Rx, siл q> == i':C l ' Если Р радиус ОК-
I АВ I t АВ I . I АС I
р ужности, описанной около f::,. .4ВС, то р == 2 ' .
sm q> 2х
== y2fX' · Y2RX == у Rr .
2х
О т в е т: у Rr .
...............
90. Пусть (рис. 21) 01 А0 2 == ер (01' 02 цеН1 ры окружностей,
А наиболее удаленная от ЕС точка их пересечения). Покажем,
что ВАС == . (для друrой точки уrол будет 1800 i .) в са-
мом деле,
.....' ............... ........................... .......................... .........................
ВАС == 1800........ АВС ВС А == 1800 (900 АВ0 1 ) ........ (900 АС0 2 ) ==
............... ............... .... ...............
== АВО! + АС0 2 == ВА0 1 + CA02==01A02 BAC==cp........BAC.
Пусть 10102! ==а. П роведя 02 М ВС (М ........На 01В)' п олучим
I ВС 1==1 02 М 1== JI, 0102 j2 101М 1== У a2 (R r)2.
R2+r2 a2
Из А 01А02 найдем cos ер == 2Rr ; таким образом, радиус
окружности, оп исанной око ло АВС , равен
I ВС I == У а 2 (R ,)2 == у а 2 (R ,)2 == Y Rr .
2 . q> У l cos ер ..r Jf R2+r2 a2
S1n 2 2 у 2 1 ........ .
2 2Rr
О т в е т: V Rr (д.пя обоих треуrольнико"]).
А
о
в
Рис. 21. Рис. 22.
91. DO и СО........биссеКтрисы уrлов ADC и DCB. Обозначим
через а, и у величины соответствующих уrлов (рис. 22). Но
а+2 +2у+а==2л, значит, a+f}+y==ТC; ОТСIода следует, что
........... ...............
DOA==y, COB== и 6. AOD подобен 6. СОВ, откуда
I AD I == I ОБ I I AD I . I св 1 == f Ай I . I ОВ I == I АВ 12 .
I АО I I СВ I ' I i · 4
а 2
О т в е Т: 4Ь .
85
92. Из условия задачи следует, что биссектрисы уrлов е и D
пересекаюrся на стороне АВ. Обозначим эту точку пересечения
через О. Опишем около Д DOC окружность. Пусть К вторая
точка пересечения этой окружности с АВ. Имеем
............... .......... 1 -......... 1 1...........
DKA ==DCO ==2 DCB== 2 (180() DAK) ==2 (DKA + ADK) ·
...............
Значит, РКА:=; ADK и I AD 1==1 АК 1. Аналоrично ,ВС 1==1 вк I
следовательно, I AD 1+: св 1==1 AD 1, Ь+ I СВ 1 ==а"
Ответ: a b.
93. Пусть Р точка пересечения прямой DE с АВ, К точка
на АВ такая, что KD I1 АС. АКD равнобедренный (KDA ==
.............................
== DAC === DAK). Значит, KD медиана в прямоуrольном тре-
1 I 1 1 1
уrольнике и I м N 1==2 I KD i == 41 АР I == 4' АВ I == 4 й.
94. Пусть (р не. 23) второй точкой пересечения окружностей,
описанных около Д Аве и АВ 1 С 1 , будет А 1 . Из условия сле.
............... -.........
дует, что I ВВ 1 / == 1 СС! !, кроме Toro, АВА 1 == ACA l И АВ 1 А 1 ==
...............
== АС 1 А 1 . Следовательно, 6. At BB l == А 1 С 1 С. Значит, I А 1 В I =:
.-- ............... ...............
-= I А 1 С 1. Пусть ABC== , АСВ ==,\" АВА! ===АСА 1 ==<р. Так как
:А
l
Рис. 23.
............... ...............
А 1 ВС равнобедренный, то А 1 ВС==А 1 СВ, Т. е. +cp==,\, <p,
ер == 'У--; Р и, если радиус окружности, описанной ОКО.'lО ,6.АВС,
равен R, то IAAl l ==2Rsin 1' . но a=='AB' ' I ACI==
2 ' ,
l' в + " CG
== 2R (sin V sin Р) == 4R юл 2 сos 2 t == 2 j АА 1 1 sin 2 ' следо-
а
вате"Т(ьно, I АА 1 / ==
r-x
2 sin
2
.
86
95. Заметим, что ТОЧk:и А, О, М, В лежат на ОДНОЙ окруж.
насти (АМВ измеряется полусуммой дуrи АВ и дуrи, симметрич-
.......,
ной АВ относительно ОС, т. е. АМВ==АОВ). Далее, отложИм
I мк 1==1 МВ I на АМ, тоrда D. АКВ подобен /.:). ОМБ.
а т в е т: I АВ ! == 2а.
96. Пусть' jAB!==2r, 'BCI==2R, 01 середина АВ, 02 ce-
редина ВС, 03 середина АС, O цeHTp четвертой окружности,
радиус которой х. Из условия следует, что 1010з1 == R, 108021 ==
==Т, 10101==r+x, I0201==R+x, IОзОI==R+r х. Приравни-
вая выражения для площадей треуrолъников 0100з и 01002' по-
лученные по формуле repoHa и как полупроизведение соответст-
вующеrо основания На высоту, получим два уравнения:
{ Y(R +r)r(R x)x ==}Rd.
Y(R+r+x) Rrx == i (R+r) d.
Возводя уравнения в квадрат и вычитая одно из друrоrо, найдем
d
Х==2 ·
d
О т в е т: 2 '
97. Пусть Р основание перпендикуляра, опущенноrо из N
на прямую МВ; тоrда I мр 1== R cos а, следоватеJIЬНО, I МР I равно
расстоянию от центра О то АВ, но расстояние от вершины тре-
уrольника до точки пересечения высот Bдsoe больше, чем рас-
стояние от центра описанноrо Kpyra до противоположной сторо-
1
ны, т. е. I МР 1=== 21 МК 1.
Отсюда следует, что если М находится на большей из дуr,
т. е. АМВ == а, то i мк 1== R; если же АМВ == 1800 а (т. е. М
на меньшей дуrе окружности), то i NK 12:::::R2+4R 2 cos 2 a+
+ 4R2 cos 2 а== R2 (1 +8 cos 2 а).
{ R, ес ли М на большей дуrе окр ужности,
Ответ: IMKI== RYl+8cos 2 a, еслиА1 наменьшейду-
re окружности.
98. Пусть АВС данный треуrольник, CD высота, 01 и 02
центры окр, ужностеiI вписанных в D. ACD и D. BDC, К и L
точки пересечения прямых D0 1 и D02 С АС и СВ. Так как
Ll ADC подобен А CDB, а KD и W биссектрисы прямых уrлов
этих треуrольников, то 01 И 02 делят соответственно KD и LD
в одинаковом отношении. Значит, KL I1 0102' Но четырехуrольник
............... ..,.,...................
CKDL....... вписанный (KCL == KDL == 90 Ф ). Следовательно, С KL ==
............... 1& """""" 1&
== CDL == ""4' CLK === CDK == 4"' Таким образом, прямая 01 0 9
1&
образует с катетами уrлы в "4' Если М и N точки пересечения
87
010, С СВ и АС, то Ь. С.м0 2 == ь. CD0 2 (С02 общая, O;Gi5 ==
........... 1t )
==О,.СМ, CD0 2 ==T==CM0 2 . Значит, ;CM!==,NCI==h.
h 2 1t n л
О т в е Т: площадь треуrольника равна 2' уrлы "4' 4 ' 2"'
99. Обозначения понятны из рис. 24. CKDL...... прямоуrоль-
...............
ник. Поскольку LK А == 900 + а, LB А == 900 а, то четырехуrоль-
ник BLKA вписанный,
I LC I h соэ а 1. 2
tg ер I СА I == == 2" sm а. (1)
sina
Если R радиус окружности, то
R == I KL I == h . (2)
2 sin <р 2 sin q>
.........----.. h h
Поскольку LOK == 2q>, то ION ;:.-= R cos q> == 2 tg q> sin 2а (исполь
зовались равенства (1) и (2»,
. cos 2а
10М 1==1 ON I Sln (900 2a) ==h . 2 == 11. ctg 2а
Sln а
и, наконец,
I PQ 1==1 QM 1== 11 R2 10М 12 == -. / .J-.. h2 ctg2 2а ==
2 . JI 4 Jn <р
==h V (l +ctg 2 ep) ctg2 2a== h V (1 + sin: 2a ) ctg2 2а==
.. r 1 h У5 I ..r
==hJl 4+1== t !PQ!==hr5.
Если теперь отрезки ! PD I и I DQ i хорды обозначить через х и
у, то x+y==h 115, xy==h 2 , откуда
найдем, что искомые отрезки хорды
115 + 1 115 1
будут равны 2 h, 2 h.
В
с
Рис. 24.
А N
Рис. 25.
к
100. Пусть (рис. 25) Р и Q точки касания касательных,
проведенных из Е. Докажем, что I ЕР 1==1 EQ t == J BD j, В самом
88
деле,
t ЕР 12 == (1 ED ; + I DC 1) (1 ED I I DC 1) ==
== I ED 12 I DC i 2 == ! ВС 12.......1 йС 12 == I BD 12
(по условию I ED 1==; ВС i). Обозначим
!KNI==x, IPNI==INAI==Y, IEQi==IEP!==IBDI==z.
Тоrда I КЕ I==x+y z. Имеем
SKEN ==} 1 KN:.I DA [== x(2R z),
С друrой стороны,
SKEN == S KON + S ЕОК S EON ==
1
==2 R [x+x+y z y z] ==R (x z)
1
(O цeHTp ОКРУIКНОСТИ). Таким образом, 2 х (2R z)::::.R (x z),
х == 2R.
Ответ: 2R.
101. Заметим, что если МЫ рассмотрим систему из n векто-
ров, имеющих начало в центре прзвильноrо n-уrольника, а концы
в ero вершинах, то сумма этих векторов равна нулю. В самом
деле, если мы повернем все эти векторы на уrол 2п/n, то их
сумма не измеНИТСlI, а, с друrой стороны, вектор, равный их
сумме, повернется на этот же уrол. Значит, и сумма проекций
этих векторов на любую ось равна нулю.
Вернемся к нашей задаче. Если <р уrол между данной пря-
мой (обозначим ее через 1) и дним из векторов, то остальные
2п 21&
векторы будут образовывать уrлы {() + , <р+2 , ... , <р +
n n
21&
+ (n .......1) . Квадрат расстояния от k-й вершины до l БУJlеr
n
. ( 21& ) 1 cos ( 2rp + k 4: )
81п 2 <p+kn == 2
( 4Л )
НО величины cos 2<р+ k можно рассматривать как проекции
\ n
41&
на l системы n векторов, образующие с 1 уrлы 2ср + k , k === О,
n
1, ..., n 1. При n нечетном эти векторы образуют правильный
n-уrольник, при n четном будет дважды повторенный n/2-уrольник.
О т в е т: n/2.
102. Пусть O центр описанной около Ь. АВС окружности,
В 1 середина АС, N точка касания с АС вписанной окружно-
сти; тоrда, если! ВС I ==а, I АС I ==Ь, I АВ I ==с, то I AN i ==p a,
I CN i == Р с (см. задачу 18, раздел 1)
ION 2=-= ,О8 1 ?+ B 1 N 12==
==(1 АО 12 I АВ 1 '2) +1 B 1 N 12==R2 : + (p a } ==
== R2 -1 (р а) (р а Ь) == R2 (р а) (р с) .
89
Аналоrично определив квадраты расстояний до друrих точек
касания и сложив их, получим, что искомая сумма равна
3R2 (p a) (p c) (p a) (p b) (p b) (p c)==3R2 M.
Воспользовавшись для площади треуrОЛЬНИI<а следующими фор-
мулам и: формулой repOHa и формулами S ==pr, S== , получи м
( ( (p a) (p b) (p c)
Ур (p a) (p b) (p c) ==р' ,2== Р
аЬс ==>
Р' == 4R аЬс
4R , ==р.
Сложив последние равенства и воспользовавшись тождеством
(p a) (p b) (p c)+abc:::::
==р [(p a) (p b)+(p b) (p c)+(p c) (p a)]==pM,
найдем, что М ==4Rr+r 2 .
О т в е т: ЗR2 4Rr ,2.
103. Пусть (рис. 26) Р точка пересечения диаrоналеi%, а К,
L, М, N основания перпендикуляров, опущенных из Р на АВ,
А ве, CD и DA. Так как четырех-
уrольнин: PKBL вписанный, то
..... ............. .............
PKL==PBC, анаЛОI"ИЧНО PKN==PAD;
.............
но рве == Р AD, TaI{ как они опира-
ются на одну дуrу. Следовательно,
КР биссектриса уrла NKL; значит,
биссектр исы yr лов четырехуrоль ника
KLMN пересекаются в точке Р, ко-
торая и является центром вписанной
в KLMN окружности. Пусть теперь
диаrонали АС и BD перпендикуляр-
НЫ, R радиус данной окружности,
d расстояние от Р до ее центра.
! АР 1. : РС i ==R2 d 2 . Радиус иско-
мой окружности , равен, в частности, расстоянию от Р до
............... .............
KL. Обозначив KLP==ABP==cx, PBC== , найдем
r == I Р L 1 siп а; == I Р в I siп siп а; == J Р в 1 : g: i ; 11 ==
==(R2 d2) I РВ '.1 АС I sin (a+ )
IВСI'IАВlsiп(CG+ ) IACI
28 АВС 1 R2 d2
== (R2 d 2 ) - == 2R
28 АВС 2R
11
Рис. 26.
R2 d 2
О Т В е т: 2R .
104. Пусть (рис. 27) ABCD данный четырехvrольник, Р
точка пересечения диаrоналей, К середина ве, L":' середина AD.
Докажем, что прямая LP перпендикулярна ВС. Обозначив через
.................... - .....................
м точку пересечения LP с ВС, бу дем иметь ВР Л1 === LP D ==
............ ....,...,....
=== ADP === РСВ. Следовательно, РМ 1.. ве. Значит, ОК 1; LP. Ана-
9О
Лоrично Р к 1I LO, и KOLP паралле.поrрамм,
I LK )2+ l РО !2-== 2 (1 LP 12+ I P 12) ==
== 2 ( I AD 12 + I ВС 12 ) ==} . 4R2 == 2R2 .
442
(Если ХОрДЫ AD и Бе переместить Tal{, чтобы они имели общий
конец, а соответствующие дуrи продолжали одна друrую, то обра-
зуется прямоуrольный 'реуrольник с
катетами I AD I 1-1 I ве I и диаметром
2R, значит, I AD 12+ I ВС 12==4R2.)
Следовательно, I LK i2===2R2 d2 и точ-
ки L и К лежат на окружности с цент-
ром S в середине РО и радиусом
1 r
2 Ji 2R2 d 2 . Но 6. LMK ....... прямо-
уrольныi'1-, MS медиана , I MS I ==
i LK I '"=' Y2R2 d2. Т. е. М
лежит на той же окружности.
О 1 ..; Рис. 27.
т в е т: 2 у 2R2 d 2 .
105. Из двух предыдущих задач следует, что если диаrонали
вписанноrо четырехуrольника перпендикулярны, то проекции
точки пересечения диаrоналей этоrо четырехуrольника на ero сто-
роны служат вершинами четырехуrольника, которыЙ можно впи-
сать в окружность и около KOToporo можно описать окружность,
причем радиусы вписанной и описанной окружностей и расстоя-
ние между их центрами полностью определяются радиусом окруж-
ности, описанной около исходноrо четырехуrольника, и расстоя-
нием от ее центра до точки пересечения диаrоналей вписанноrо
в нее четырехуrольника. Следовательно, при вращении диаrона-
лей исходноrо четырехуrольника BOKpyr точки их пересечения
четырехуrольник, образованный проекциями этой точки, будет
вращаться, оставаясь вписанным в одну и ту же окружность и
описанным около одной и той же окружности. Леrко также по-
Ka a[fb, учитывая выражения для радиусов вписанной и описан-
ной окружностей, полученные в двух предыдущих задачах, что
предлаrаем:ое к доказательству соотношение для таких четырех-
уrольников выполняется.
Для завершения доказательства нам осталось доказать, что
любой «вписано-описанный» четырехуrольник может быть получен
из вписанноrо четырехуrольника со взаимно перпендикулярными
диаrоналями вышеуказанным способом. В самом деле, если
К LMN «вписано-описанный» четырехуrольник, Р центр впи-
санной окружности, то, проведя прямые, перпендикулярные бис-
сектрисам КР, LP, МР, NP и проходящие через К, L, М и N
соответственно, мы получим четырехуrольник ABCD (см. рис. 26).
.............. 1
При этом ВР К == KLB == 900 2 MLK (мы ВОСПОЛЬЗ0вались,
в частности, тем, что у ч тырехуrольника PKBL противополож-
ные уrлы прямые и, следовательно, он вписанный). Аналоrично
........................ . 1 .............. ............................ ........
KPA==KNA==90° 2 MNK, и, значит, ВРА===ВРК+КРА ==
81
l.........
==1800 (MLK+MNK)==90°. Таким образом, все уrлы ВРА,
2
APD, DPC и СРВ прямые, т. е. Р.....точка пересечеНJiЯ диаrопа-
лей ABCD, сами же диаrонали перпенДикулярны. Нетрудно ПС?-
казать, что АВСD писанный четырехуrольник, поскольку
......................... ............... ............................ ............................ ............... .....,..,...............
ABC+ADC==PBL+PBK+PDN +PDM ==PKL+PLK +PMN +
1................................................................. ............
+ PNM =="2 (NKL+KLM +LMN +MNK)== 1800.
106. а) Пусть l пересекает АС и ВС в точках К и N и ка-
сается окружности в точке М (рис. 28). Обозначим I АС I ==
== I ВС j==a t I АК 1==1 км I==X t I BN 1==1 NM I==Y. ОчеВИДНО t
w 2 == (а x) (а у) , но по тео-
ии ху
реме косинусов для CKN
(х+у)2 == (a x)2+ (a у)2
2 (a x) (a у) cos а=> ху==
== а 2 ax ау (а x) (a у) Х
с х cos а=> 2ху==
==(a x) (a y) (1 cos а) =>
Х У · . 2 а
=> Sln .
(a x) (a y) 2
Таким образом, : == sin 2 i. (Аналоrично рассматриваются дру-
rие случаи расположения прямой l.)
б) Воспользуемся результатом задачи 106 а). Перемножая со-
ответствующие равенства для всех уrлов n-уrольника, мы полу-
чим квадрат искомоrо отношения, а само отношение окажется
равным
1
,
. аl . а2 . а п
З1П 2 З1П 2- ... З1П ""2
rде СХl, СХ2, ... t а п уrлы мноrоуrольника.
в) Воспользуемся реЗУJIьrатом задачи 106 а). Если обозначим
точки касания сторон А 1 А 2, А 2 А з , ..., A2п lA2п, А 2п А 1 С окруж-
ностью через В 1' В 2' ..., B2п 1' В 2п, через Хl, Х 2 ' ..., Х2п..-l,
Х2п расстояния от А1' А 2, ..., А 2п до lt через Ун и2. ..., У2п
расстояния от В 1 , В 2' ... t В 2п до 1, то получим
хУ 1 xi 1 xi" 1
== , ............... == t ... ,
У2пУl sin 2 УIУ2 sin 2 a Y2n lY2n sin' а2п
2 2 2
(аl' а2' .... а2n уrлы мноrоуrольника). Перемножая равенства,
СDДР.Р4Кащие х 1, Хз, ..., X2n 1' И деля на произведение остальнЫх
равенств, получим
( . а 2 . а 4 . а2n ) 2
( \ 2 SlП 2 - SlП 2 ... SlП 2
ХI Х 2 . .. X2n 1 )
\ Х2 Х 4'" Х2п == . аl . аз . а2п....1 ..
З1П 2 SlП 2 ... З1П 2
92
/АОI
IOCI
SABD
8 BDC
I АО I А
I ОС l ' Обозначим С =:: . Имеем
1 Ь .
2а Slna
1 ·
2 (р а) (р Ь) sin
(1)
107. Найдем сначала Нт
CG ...... О
Но по теореме косинусов
I BD 12==a2+b2 2abcosa,
I BD 12== (p a)2+(p b)2 2 (p a) (p b) COS ,
а 2 + b l 2аЬ cos а== (p a)2+(p Ь)2...... 2 (р a) (р Ь) COS ,
А. p(p a b)+abcosa
cos ..., ==
(p a) ( р Ь) ,
sin === у 1 COS2 == УО cos ) (1 +cos ) ==
у аЬ (1 cos а) (2p2 2ap 2bp+ab+ab cos а)
(p a) (p b)
Учитывая, что при а О
sin а ..r а ,
cos а 1, Jf == r 2 cos 2 --+ Ji 2,
1 cos а
получим из (1), (2)
l' I АО I ... / аЬ
a o I ОС I == JI (p a) (p b) ·
Поскольку : АС I р, то
1 . !АО ' y
1т I I == Р .. r .. r ·
а...... О r аЬ + r (р а) (р Ь)
108. Докажите, что точка, симметричная точке пересечения
высот треуrольника относительно стороны треуrольника, лежит
на описанной окружности.
109. Докажите, что касательные к окружности, проведенные
из вершин, между которыми расположена Qдна вершина MHoro-
уrольника, равны. Отсюда следуе с, что для мноrоуrольника с не-
четным числом сторон точки касания являются серединами сторон.
110. 1МВ ,1==a 2 +c 2 cos 2 A==a2+c2 c2 sin 2 A==a2+c2 a2x
А л
Х sin 2 C ===с 2 +а 2 cos 2 С == I N В ,2.
111. Если О точка пересечения диаrоналей АС и 8D, то,
воспользовавшись подобием соответствующих треуrольников, полу-
чим
(2)
I ОК I I ОК I I 08 I I ОА I
I ОС j == 108 I · I ОС! == I OD I
'ОМI 'ОМI
I ОА j I OD I '
что и требовалось.
112. Докажите, что l образует с AD такие же уrлы, что и
прямая ВС t I<асающаяся нашей окружности. Отсюда следует, что
друrая касательная к окружности, проходящая через D, будет
пар аллельна 1.
93
113. Построим окруя{ность (рис. 29), касающуюся прямых MN,
АС и ВС так,ИМ об азом, чтобы точки ка,СЗ.НИЯ Р и Q с прямыми АС
и ве были вне ott>e3KoB см и CN (это будет ОКРу>;Кностъ, ВНС-
вписанная в треуrольник MCN). Если R
С точка касания.. MN с окружностью, то
I мр i == 1 MR 1, I NQ 1==' NR 1, следователь-
но, I MN 1 == I мр 1+ j NQ 1, но по условию
I MN 1 :- 1 МА 1+1 NB 1. Таким образом, одна
из точек Рили Q (н а рисунке Р) лея{ит
внутри соответствующей стороны, а дру-
rая на продолжении. При этом
! СР 1==1 CQ I == ; (1 СР i + I CQ 1) ==
== } с АС i + I СВ i),
А
Рис. 29.
т. е. построенная окружность постоянна
для всех прямых Л1N.
114. Если О.......цеНтр Kpyra, описанноrо около АВС, D cepe.
дина СВ, Н точка пересечения высот, L середина АН, то
i AL 1 == I OD 1, и, поскольку AL 11 OD, значит, OL делит AD пополам,
т. е. L симметрична О относительно середины AD.
115. Пусть Вй высота треуrольника, причем I BD 1== R У2,
rде R радиус описанноrо Kpyra, К и М основания перпенди-
куляров, опущенных из D на АВ и ВС, O eHTp описанноrо
............... А
Kpyra. Если уrол С острый, то КВО ==900 C. Поскольку четы-
............... А
рехуrольник 8MDK вписанный, то MKD==DBM==90o c, зна-
( А ) А
чит, MKB==180$ 90() 900 C ==с, следовательно, 80 1. KM
Но
SBKM== 2 ( I B 1 )'" sin А sin В sin С ==
.... А А 1
== R2 sin А 8in В sin С == 2 S АВС.
(Мы ВОСПОЛЬЗ0вались формулой S==2R2 sin А sin В sin .) С дру-
rой стороны, если h 1 высота ВК М, проведенная И3 вершины В,
1 1 I 1 1. А
то 2 s ==""4 I АС I · I BD 1== S вкм == 2" I К м I == 2" I BD I Sln В · h 1 ,
значит, h 1 == I C 1 == R; учитывая, что ВО 1. КМ, получаем, что
28ШВ
точка О лежит на К М.
116. Заметим, что ADK подобен АВК, поскольку
I АК 111 == I АС 111 == I AD I · I АВ 1, т. е. : J == : 1 " ,
Если O цeHTp окружности, описанной около /:}. АВК, то
--........ ........... ............... .......... ............
OAD+ADK ==900 AKB+ ADK ==900
............-........... ...............
(предполаrа.пось, что АКВ острый; если АКВ тупой, то рассужде-
ния аналоrичны)..
94
117. Докажите, что прямая, параллельная 8С и проходящая
через Е, делит биссектрису уrла А в том же отношении, в KaKO 1
ее делит биссектриса уrла С.
118. Если О вершина yr ла, А точка на биссектрисе, В 1 и
В 2 точки пересечения со сторонами уrла одной окружности, С 1 И
С 2 (В 1 И С 1 на одной стороне) точки пересечения друrой окруж-
ности, то АВ 1 С 1 == А 2 В 2 С 2 .
119. Пусть F и D точки пересечения EN и ЕМ соответст-
венно с АВ и ВС. Докажем, что АР N и MDC подобны.
Используя подобия различных треуrольников и равенство проти-
воположных сторон параллелоrрамма, будем иметь
I N F I I N F I , F В I - I BD I I ED I
::::: . ==
IFA! IFBI IFA, IDM! IFAI
I BD I I DC I I BD ! , DC I I DC I
.
IDMI IFEI IDMI IBDI !DMlt
Т. е. AFN подобен MDC.
120. Рассмотрите параллелоrраммы АВМК и DCML и дока-
жите, что KL делит D А в том же отношении, что и точка N, и
прямая MN является бйссектрисой уrла KML.
121. Докажем сначала, что диаrонали данноrо четырехуrоль-
ника делятся в точке пересечения пополам, т. е. что четырех-
уrольник параллелоrрамм. Пусть АВС D данный четырехуrоль
ник, O точка пересечения диаrоналей. Допустим, что I ВО 1<
<: OD i, АО i I ОС 1; рассмотрим ОА 1 В 1 , симметричный ОАВ
относительно тОЧl{И о; очевидно, радиус окружности, вписанной
в OA1Bl' меньше радиуса окру>кности, вписанной в Д OCD,
а по условию они равны.
Итак, О есть середина обеих диаrоналей. Докажем, что все
стороны четырехуrольника равны. Воспользуемся формулой S == р'
(s площадь, р полупериметр , r радиус вписанной окружности
треуrольника). Поскольку у АВО и ВОС площади и радиусы
вписанных окруя{ностеЙ равны, то равны и их 'периметры, Т. е.
I А В i == I ВС .
122. Аналоrично тому, как это было сделано в предыдущей
задаче, докажите, что диаrонали четырехуrольника делятся попо-
лам точкой пересечения.
123. Из условия задачи следует,
что ABCD (рис. 30) выпуклый четы-
рехуrо..'IЬНИК. Рассмотрим параллело-
rpaMM АСС 1 А 1 , у KOToporo стороны
АА 1 и СС 1 равны и паралле.JIЬНЫ Диа..
I"онали BD. ТреУI'ОЛЬНИКИ ADA1'
CDC 1 И C 1 DA 1 равны соответственно
треуrольникам ABD, BCD и АВС.
Следовательно, отрезки соединяющие
D с вершинами А, С, C 1 , A 1 , делят
параллелоrрамм на 4 треуrольника,
у которых равны радиусы вписанных
окружностей. Если О точка пересе-
чения диаrоналей параллелоrрамма АСС1.Аl' то D должна совпа-
дать с О (если D, например, внутри СОС!, ТО радиус окруж-
ности, ВПIIсанной в ADAl' больше радиуса окружности, впи-
санноя в А АОА! И тем более в д CDCJ. Таким образом,
,Ь
с
А 1 I
Рис. 30.
95
ABCD параллелоrрамм, но, кроме Toro, из задачи 121 следует,
что АСС 1 А 1 ромб, т. е. АВСD прямоуrольник.
............
124. Если KN перпендикуляр из К на АВ, САВ==а, то
I KN I ! АК I I АО I I КО I ......
10М I I АО I I АО I
I АО i 2 I ОМ 1 sin % I АО ! 21 АО 1 sin sin
IAOj IAOj
. а I CD I
== 1 2 Sln 2 2 == cos а == I С В i' ·
Поскольку АСВ и ACD подобны, то из предыдущеrо следует,
что! KN I равна радиусу окружности, вписанной в ACD, а так
как К лежит на биссектрисе уrла А, то К цeHTp окружности,
вписанной в ACD. Аналоrично доказательство дЛЯ L.
125. Дока}ките, что АВР == 6. ACQ. Для этоrо нужно дока-
зать, что 6. КВР == ь. АВС и 6. FCQ == д АВС (по двум сторонам
и yr лу между ними):
............. ............. ...................... _.......... ............. ........................... ............................
QAP ==CAB+CAQ+ ВАР == CAB+CAQ+CQA ==
,........,..... ..-.......-............. ......... .............
==САВ+ 1800 QCA ==CAB+900 QCF ==90 G .
...........................
(Предполаrалось, что САВ:::::;; 900. Рассуждения в случае САВ > 90 !)
аналоrи чны.)
...............
126. Поскольку РЕ 1 Е ==РСЕ==90 0 , четыреХУl'ОЛЬНИК рЕ 1 ЕС......
вписанный, РСЕ! == F ЕЕ 1 == 600. Аналоrично, вписанным является
--..............
четырехуrольник FE 1 AD и E 1 DF==E 1 AF==60°, т. е. DEIC
правильный. Точно так же доказывается, что правильным яв-
ляется ВР 1 С.
с
.D
н,
О)
о)
Рис. 31.
О)
127. 1. Заметим, что если О....... центр окружности, вписанной
1 А _.......................
В треуrольник АВС, то ВОС==90Ф+2 А. в самом деле, ВОС ===
1 ( А А ) 1 А ,........,.....
::::;::1800......2 В+С ==90 0 +- 2 А. Поскольку B0 1 A==B0 4 A, четы-
рехуrольник АВО 1 О 4 является вписанным (рис. 31, а), следова.
96
.......--... 1
т льно, внешний уrол к 80104, равен 8АО 4 == 2 BAD. Аналоrично,
уrол, внешний к 80-;09' равен; BCD: НО (ВМ> + ВCD) == 900,
---............
значит, 6 0102 == 900.
2. Для доказательства второй части покажем сначала, что
расстояние от вершины треуrольника до точки пересечения высот
полностью определяется величиной уrла при этой вершине и дли-
ной противоположной стороны, а именно (рис. 31, б):
cos а I АВ ! I В
ICHJ== СВ: ............. . cosa==,A ctga.
sin С АВ SlП а
Поскольку четырехуrольни!{ вписанный, ! АН з : ==: ВН 2 1 и
АН з ;, ВН 2 ; значит, АВН2НЗ параллелоrрамм.
Таким обр, аз<)м точка пересечения АН 2 и ВН з делит АН 2 и
ВН з пополам. Рассматривая друrие параллелоrраммы, получим,
что все отрезки Н2А, НзВ, Н 4 С, H 1 D пересекаются в одной точке М
и делятся в ней пополам, т. е. четырехуrольники ABCD и
Н 1 Н 2 Н З Н 4 центрально симметричны относительно точки М
(рис. 31, в).
128. Если стороны треуrольника АВС, противоле>кащие вер-
шинам А, В и С, равны соответственно а, Ь и с, а уrлы ADB,
---............
BDC и CDA равны а, и "l (считаем, что a+ +y==2n), то рас-
стояния от точки D до точек пересечения высот треуrольников ADB,
BDC и CDA равны абсолютным значениям величин с ctg а, а ctg ,
Ь ctg V (см. решение задачи 127). Нетрудно убедиться, что площадь
треуrольника с вершинами в точках пересечения высот Д ADB,
BDC и CDA будет равна
1 . А 1 А
"2 с ctg а . а ctg . sin В + 2 а ctg . ь ctg "l . sin С +
+ ь ctg '\' . t ctg а . sin А == S АВС (ctg а . ctg +
1
+ ctg . ctg "l t-- ctg "l . ctg а) == 2 S АВС,
поскольку выражение в скобках равно 1. (Докажите это, учиты-
вая, что а + + v == 2n.) Аналоrично рассматривались друrие слу-
чаи расположения точки D (коrда один из yr лов а, , '\' равен
сумме двух друrих).
129. Обозначим (рис. 32) через О точку ,пересечения АМ и DC.
Проведем через В касательную ко второй окружности и обозначим
точку пересечения ее с АС через К (как и в условии). Очевидно,
что утверждение задачи эквивалентно утверждению, что КО 11 С М.
...........
Пусть уrол, опирающийся на АВ, в первой окружности равен а,
80 второй ; тоrда
.............. ............... ..............
ВСМ == ВАС, BDM==BAD,
...............---....... ,.. -............
DMC === 1800 BDM ВС/И -:= 1800 BAD .. ВАС === 1800 DAC,
...............
следовательно, ADMC вписанный четырехуrОJlЬНИК) АМС == .
4 и. Ф. Шарыrин
97
............
Палее, если касательная ВК пересекает DM в точке L. то KBO=::!J
............-............. --.........
==LBD==BDL==CAM; значит, четырехуrольник КАВО также впи-.
.............--......... ..............--......... '
санный и КОА == КВА == , т. е. КО СМ (точно так же рассмат-
риваются случаи друrих взаимных расположений точек D, В и С).
11
J?и с. 32.
130. Обозначим через Р, Q и R точки пересечения LB и АС,
r1N и ве, LB и AN. Пусть I 8С j == а, I АС I == Ь. Нам достаточно
показать, что S ACQ == S АРБ (обе эти площади отличаются от рас-
сматриваемых добавлением площади APR). Из подобия соответ-
аЬ
ствующих треуrолъников получим I CQ 1== :-РС 1== а+Ь ' Следова-
тельно,
1 аЬ 2
SACQ==2IACI'ICQI== 2(а+Ь) '
1 1 а 2 Ь аЬ'
S APB==S ACB SpCB==2 аЬ 2 а+ ь == 2 (а+Ь) ,
что и требовалосъ.
131. Утверждение нашей задачи вытекает из следующих двух
фактов.
н
с
с
А
.....".
.,.... ......
...... ......
.....".---.,....
J) А.
о}
О)
Рис. 33.
1) Если на сторонах четырехуrОJlьника ABCD взяты точки К,
L, М и N (рис. 33, а) так. что стороны АВ, ВС, CD и DA раз-
делены ЭТИМИ точками в одинаковом отНошении (\ : == : : ==
S
! BL 1 I AN I ) к . м LN Й "
== I LC! == I N D! ' то и отрезки и свое точкои пере -
чения разделены в том же отношении.
В самом деле, из Toro, что прямые KL и N М параЛJlельны
диаrонали АС, следует
! кр I i LP ! ! KL I I KL I I АС ,
IPMI !P I !NMI I CI INM!
I ВК I 1 AD I : вк I I ВА I == I ВК I
!В.41 · jNDi == IBAj ,KAI !KAI8
2) Если на сторонах АВ и CD четырехуrольника взяты
точки К 1 И к, М 1 И М (рис. 33, б) так, что
! Kt K : I М 1 М I 1 АК I КВ I I D M I ! СМ I
!АВI ICDj m ' I 1 I .' i 1........ l'
, 1
то площадь четырехуrольника К 1 КММ 1 составляет часть от
т
площади четырехуrольника ABCD. В самом деле, 8 ВКС :::::::
'ВКI IM 1 DI 'ВКI
== ; ВА I 8 АВС, 8 АМ l D == I CD I 8 ACD I ВА 1 8 ACD. Следовательно,
( I ВК I ) I АК I
8АКСМ1=== l IBAI 8 ABCD == IBAI 8 ABCD . Аналоrично
S I К 1 К I S Так и м О б р азом 8 ==
KIKMM1 JAKI АКСМ 1 . , КIКММ"
!КIК I 1
== ! АВ I 8 ABCD == т 8.
132. Пусть К середина DB, L середина АС. 8ANM==S NM
(поскольку I AL I == I LC ,), точно так же S B.V М == S DMN' отсюда
следует утверждение задачи.
А D
.о 11 tJ
Рис. 34.
.
133. Если (рис. 34) М середина DC, N середина ВС, J( и
jKMI
L точки ересечения DN соответственно с АМ и АВ, то I АК l' ==
I ом I 1 I АК .! АМ I
....... : AL I .......""4' т. е. I 1....... 5 I , следовательно,
4 4 1 1
8 ADK == 5 8 ADM == 5 · 4" S == 5 s
(8 площадь параллелоrрамма). Таким образом, площадь искомой
4 1
фиrуры будет s....... 48 ADK == S "5 s === 5 s.
4*
е9
134. Пусть (рис. 35) Q с редина AD, N середина ВС,
М середина DC, К, Р, R точки пересечения DN.H АМ, QC и
2
DN, QC и АМ. Тоrда IDKI== 5 :DNI, IDP,==IPNI, QPI==
1 8 RPK
== I РС 1, I QR I == I QC :, ==
3 8 QPD
КР I 1 1 1
....... . ....... . .......
I QP i . I DP : 3 5 15 '
1 8 S
SRPK==TS · "8 == 120 .
Следовательно, 01 qeTbIpeX-
уrольника, paCCMoTpeHHoro в пре-
дыдущей задаче, отрезаются четыре
8
треуrольника площади 120 ; таким
образом, площадь искомоrо вось и-
8 48 S
уrольника будет 5" 120 == 6" .
135. Пусть прямая не пересекает АВ И LM в точках Т и /V,
прямая AL пересекает Еп в точке К н прямая ВМ пересекает Ра
в точке Р. Имеем
lJ
'RPI
I .
.D
Рис. 35.
S АспЕ == 8 АСНК == 8 ATNL,
8 BCFQ == S ВСНР == 8 BMNT;
таким образом,
S ACDE+ SBCFQ ==8 ABML.
136. ОбознаЧИ 1 площади, как на рис. 36. Тоrда 5, + х + 52 ==
1
== S2+Y+5s==2 (Х+Ч+ S 2+Q). Таким образом,
81 +Х+S 2 +S2+У+SЗ ==х+ Y+S2+ I => S1 +S2+sз==Q.
II
Рис. 37.
А
Рис. 36.
137. Ес.ПИ (рис. 37) 8 площадь параллелоrрамма, ТО S АВК --+
+ SKCD== S, с друrой стороны, SDEC==SEKC+SKCD== S
значит, S АВК + S ксп :=: S ЕКС + S KCF' т. е. S АВК == S ЕКС; анало
100
rично 8 AKD== SKCP; складывая Два последних равенства, получим
8 Авкп === 8 сЕк р.
138. Пусть (рис. 38, а) О иентр описанной, а 1 центр впи-
санной окружности. Опустим из О и / п€рпендикуляры на АВ и
вс: ON, ОР, / L, /Q. Если а, Ь, с длины сторон ВС, АС и АВ
.треуrольника, то леrI\О найдем ВК ! ==; c Ь :, ' вм i ==: а Ь 1,
I BN ' IBP' , BL ' IBQ ! a+c b , NL , la bl
1 2' 1 2,1 I i 2 ,: , 2 t
I c bl .
! PQ i == I 2 (см. задачу 18, раздел 1).
Следовательно, если мы проведем через О прямые, параллель-
вые сторонам АВ и ВС, дО пересечения с перпендикулярами,
n
А
а)
о
с
1
о)
Рис. 38.
ОПУI11енными из 1, получится f:::. OR8, подобный D. ВКМ с коэф"
фициентом 1/2. Но окружность, построенная на 0/ как на диа-
метре, является описанной для f:::. ORS. Следовательно, радиус
окружности, описанной около 6 ВКМ, равен I 0/:. Для Доказа..
тельства второй части задачи заметим, что если мы на прямой 08
отложим I OR 1 1;::: I OR 1. а на OR отложим 108 1 ! == 108 1, то пря-
мая 8 1 R 1 будет параллельна КМ (рис. 38, 6), но OR 1 S 1 + /OR 1 ::::
---....... ..............
== о R 8 + /08 === 90 , т. е. 81 R 1 1.. 01.
139. В обозначениях предыдущ й задачи, проведем через А
прямую, перпендикулярную 0/, обозначим через D ее точку пере-
сечения с прямоЙ ас. ДОI{ажите, что разность радиусов окруж-
ностей, описанных около тр'еуrОЛЬНИI{ОВ ABD и ACD, равна
раДIlУСУ окружности, описанной около треуrольника ВК!\;1.
140. Обозначим радиус окружности через R, а расстояния
от Р, Q и lИ до центра через а, Ь и с. Torдa (см. задачу 87)
I QP :2 ==а 2 + b2 2R2, I QM 12== b2 c2 2R2, I РiИ j2==c2+a2 2R2.
"Если O цeHTp окружности, то для Toro, чтобы QO было пер-
пендикулярно РМ, необходимо и достаточно условие
! Q P 2 I Q l\1 ,2 :=:1 РО :2 ! ОМ 2
, I , I I I I j
ИJ'IИ
(a2+b2 2R2) (b2+c2 .2R2)==a2 c2.
АнаJIоrично проверяется перпендикулярность др"уrих отрезков.
101
141. а) Рассмотрим четырехуrольник ABCD; пусть К It
L точки касания окружностеЙ, вписанных в АВС и в ACD,
с прямой АС. Тоrда (см. задачу
18, раздел 1)
\ KL I == 11 AL I I АК 11 ==
== I (1 АВ I + i АС : I ВС i)
(: AD 1+1 АС ' I CD;);==
== ; 11 АВ 1+ i CD 1 I AD 1
IBCII.
о
с
Н !
N
Но если АВСD описанный четы-
рехуrольник, то I АВ 1+ I CD I ==
==1 AD 1+1 ВС I и I KL 1==0.
б) Если К, L, М, N точки
касания со сторонами че1ырех-
уrольника вписанной ОКРУliПiОСТИ, а К}, L1' Ml' N 1 точки каса-
ния окружностей, вписанных в АВС и ь. ACD (рис. 39), .ТО
N 1 K 1 11 NK, M 1 L}!I ML.
Докажем, что и K 1 L] !! KL, а N lМl N М. Поскольку окруж-
ности, вписанные в 6. АСВ и ь. ACD, касаются между собой на
диаrонали в точке Р, то AN 1 ==AP==AM 1t т. е. N}M 1 tj NM. Сле-
довательно, четырехуrольник K 1 L I M 1 N 1, как и четырехуrоль-
ник KLMN, является вписанным.
142. Пусть (рис. 40, а, 6) 01' 02' Оз, 04 соответственно
центры окружностей, вписанных в 6. АВС, ь. BCD, ь. CDA и
д. DAB. Поскольку 01020з04 прямоуrольник (см. задачу 127),
11 N,
Рис. 39.
t A
А.
с
II
.D
Рис. 40.
то 1010з/ == /02041. Если К и L 10ЧКИ касания окружностей
вписанных в С:. АВС и С:. ACD, с АС, то I KL ! == 11 АВ i +
+ I CD 1 I Ве 1.......1 AD 11 (см. задачу 141). Аналоr,ИЧНО, если Р и
Q точки касания соответствующих окружностей с BD, то I PQ 1==
== I KL 1. Проведем через Оз прямую параллельную АС, до пересе-
чения с продолжением 01К' Получим ОlОзМ, аналоrично по-
строим Д 0204R. Эти Два прямоуrольных треуrольника равны,
так как у них J 010з1 == 102041, I Оз М ! == f KL 1==1 PQ 1==1 04R 1.
Значит, 101М 1==1 02R 1, но 101М I равен сумме радиусов окруж-
ностей, вписанных в Ь. АВС и ь. ACD, а I 02R I равен сумме
радиусов окружностей, вписанных в ACD и 6. BDA.
102
.......,
143. Пусть KL дуrа окружности, находящаяся внутри тре-
уrольника АВС. Продолжив стороны АВ и Ве за точку В, мы
'--'"
получим дуrу MN, симметричную KL относительно диаметра,
1 ........
параллельноrо АС. Поскольку АВС измеряется дуrой 2"' (KL +
.......... ..........
+ MN) == KL, значит, дуrа KL имеет постоянную длину, ей СООТ-
..............................
ветс rByeT центральный уrол, равный АВС.
144. Пусть (рис. 41) О точка пересечения прямых, А и Al
два положения точки на одной прямой, В и В 1 положения
в эти же моменты времени дpy А
rой точки. Восставим к АВ и I
А 1 В 1 перпендикуляры в их
серединах и обозначим через
М их 10Ч ку пересечения;
ь:. АА 1 М == ь:. ВВ 1 М по трем
сторонам один получается из
друrоrо поворотом на уrол
АОВ с центром М. При этом
повороте любое положение точ
ки на АО приходит в соответ-
ствующее поло}кение точки на
ОВ, так что М обладает нуж-
ным свойством.
145. а) Пусть А и В точки
пересечения окружностей, А
точка, из которой велосипедисты выехали. М и N положения
велосипедистов в некоторый момент времени. Если М и N по
.............--............... ..............................
одну сторону от АВ, то АВМ == ABN; если по разные, то
.............................. ...............
АВМ + ABN == 1800, т. е. точки В, М и N расположены на одной
N
rJ)
Jf
Рис. 41.
/1
N
А ,
а)
Рис. 42.
прямой. Если L и К "точки ОКРУ}l{ностей, диаметрально противо-
.............................. ..............................
положные В (L и К фиксированы), то поскольку LN М == N МК ==
== 900, середина LК точка Р будет равноудалена от N и М.
Можно убедиться, что Р симметрична точке В относительно сере-
дины отрезка, соединяющеrо центры окру)кностей (рис. 42, а).
б) Пусть 01 и 02 центры окружност й. Возьмем точку А 1
так rю, что 01А02Аl параллелоrрамм. Леrко видеть, что
19
/). МО 1 А 1 == N0 2 A 1 , так как I МО 1 1 == 1 01 А 1==1 02 А !, I 01А] : :::z
- ------ .............. . ..............
== I 02 А 1==1 N0 2 1, М0 1 А 1 == СР+ АО 1 А 1 == СР+ АО 2 А 1 == N0 2 A 1 , [де
q> уrол, соответствующий дуrам, пройденным велосипедистами
(рис. 42, б).
Таким образом, искомые точки симметричны точкам пересече-
ни я окружностей относительно середины отрезка 0102'
3 а м е ч а н и е. В пункте а) моЯ\но было поступить точно
так же, как и в пункте б). А именно, взяв точку Р таким обра-
зом, что 01Р02 === 01А02 (А и Р по ОЩlу сторону от 0102 И
не совпадают), леrко доказать равенство соответствующих тре-
уrольников.
146. Пусть (рис. 43) .А данная точка', Ak какая-то вершина
2п-уrольника, Bk l и В'l основания перпендикуляров, опущен-
ных из A на стороны, заключающие Ak' ak и k уrлы, образо-
ванные прямой AAk с этими
...............
сторонами ( k == AAk B k l' ak ==
............................
==-ААkВ k ). Поскольку около четы-
рехуrольника ABk lAkBk можно
..............
описать окружность, то ABk lBk===
...........................
==ak, ABkBk l == k (или допол-
няют эти yr лы до 180°); таким
образом, по теореме синусов
А
"k 1
Ak 1
Рис. 43.
I ABk l i sin k
I A B k I sin ak '
- I ABk 1 11 ABk+l ; sin k sin ak+l
I АВ j 2 . . R ·
I k Sln ak Sln t-'/l+l
Перемножая эти равенства для k === 2, 4, ..., 2п, заIY.еняя индекс
2п+ 1 на 1, получим требуемый результат (sin fYwk == sin k+l'
sin 1 == sin а2n).
147. Докажите, что если Ok и Ok+l центры окру>кностей,
касающихся данной окружности в точках Ak и A k + 1 , В точка
их пересечения, лежащая на хорде A k A k .+ 1 , 'k,'k+l их радиусы,
..,......--.............. .............................
то 'k+'k+l==r, AkOkB===Ak+l0k+1B==AkOA'l+1 (r радиус данной
окружности, O ee центр). Отсюда следует равенство радиусов
через один, что при n нечетном приведет к тому, что все они
........ .......... .........,
по r /2. Кроме Toro, I AkB ! BA k . I - 1 : == I AkAk+1! (берутся l\leHb w
шие дуrи соответствующих окружностей).
148. Пусть длины сторон треуrольника а, Ь, с, причем Ь ==
а+с
== .
1
а) Из равенства р' == 2 bh b (р полупериметр, r радиус впи-
caHHoro Kpyra, h b высота, опущенная на сторону Ь) получаем
а+Ь+с 1 '
2 '==2 bh b ; но а+с==2Ь, так что h b ===3,.
Il b
б) ,Это утверждение следует из Toro, что , == 3"' а точка пере-
сечения медиан д.елит каждую в отношении 2: 1.
104
в) Продолжим биссектрису BD ДО пересечения с описанной
окру)кностью в точке М (рис. 44). Если мы докажем, что О
центр вписанной окружности делит ВМ пополам, то тем самым
будет доказано и наше утверждение. (Ilроведем диаметр BN;
тоrда прямая, соединяющая центры вписанной и описанной окруж-
НОС1ей, будет параллельна N М, а BMN === 90 tЭ .) Но д СОМ равно-
с в
бедренный, так как СОМ ==ОС1И == 2 + 2 ' Значит, !СМI ===1 ом 1.
Из условия b== at c по свойству биссектрисы получаем, что
а
ICDI===2' Пусть К середина СВ; CKO== CDO (ICKI==
............ ............... ............
== I CD!, KCO==OCD); отсюда следует BKO==CDM, кроме Toro,
А
............. ............ в
DCM==OBK==2' !CDi==IBK', т. е. BKO==.6.CDM, ICMI==
== I ВО J, значит, I ВО I == i ОМ i, что и требовалось.
r) Возьмем любую точку на биссектрисе. Пусть расстояния
до сторон ВС и ВА равны х, а до стороны АС у. Имеем
ах+сх+Ьу .
2 == S 6. Ь (!х+ у) == 286. ==> 2x+y==h b .
д) Если L середина БА, то ну>кный нам четырехуrольник
rомотетичен четырехуrольнику ВСМА с коэффициентом 1/2 (см.
пункт в).
/J
с
Рис. 44.
с
f(
D
А
Рис. 45.
149. Пусть в четырехуrольнике ABCD (рис. -15)
IABI==a, IBCI==b, ICDI==c,
!DAI==d, jACI==m, IBDI==n.
Построим на стороне АВ 80 ВНеШНЮIО сторону треуrольник АКВ,
............ ............ - ....----......
подобныЙ треуrольнику ACD, причем ВАК == DCA, АВК ===CAD,
а на стороне AD построим д AMD, подобныЙ АВС, DA/\1
............... - .............. - .............
=== ВСА, ADM ==САВ (рис. 45). Из соответствующеrо I10AoG}:
105
fiОJtУЧйМ
i АК I == '
I АМ 1== , I кв I == I DM : ==:.
............................. .............. .............. ............................ .............. ..............................
Кроме Toro, KBD+MDB==KBA+ABD+BDA+ADM==C.4D +
..............'............... ............................. ..............................
+ABD+BDA+CAB==180°, т. е. четырехуrольник KBDM
............................ А
параллелоrрамм. Значит, ;KMI==IBDI==n. Но КАМ==А+С.
По теореме косинусов для К АМ имеем
( ас ) 2 ( db ) 2 ( ас ) ( db ) ... А
п 2 == т + т 2 т т cos (А+С),
'" А
откуда т 2 п 2 == а 2 с 2 + b 2 d 2 2abcd cos (А + С).
150. Утверждение теоремы Птолемея является следствием
теоремы Бретшнейдера (см. задачу 149), поскольку для вписан-
Horo четырехуrольника А +с === 1800.
151. Если I МВ I наибольший из отрезков I МА 1, 1МВ!,
I МС 1, то, применив теорему Бре шнейдера (задача 149) к четырех-
уrольнику АВСМ, получим, что i МВ 12 == I МА 12 + I МС 12
..............
......21 МА ,.! МС ! cos (АМС+600), т. е. 1МВ I < I МА ! + I МС 1,
поскольку cos (АМС + 60°) =1= 1.
152. а) Пусть А произвольная точка окружности (А на дуrе
/
А 2n + 1 А 1 ). Обозначим сторону мноrоуrольника через а, а длину
диаrонали, соединяющей вершины через одну, через Ь. По тео-
реме Птолемея для четырехуrольника AAkAk+1Ak+2
I AAk I а+ I AAk+21 а==! AAk+l! Ь, k== 1, 2, ..., 2п 1.
Аналоrичные соотношения можно записать для четырехуrольников
А2nА2n+1ААl И А2п+1ААIА2:
! АА 1 I а + I АА 2n + 1 ! Ь == I АА 2п I а,
I АА 2n + 1 1 а+! АА 1 1 Ь==! АА 2 1 а.
Сложив все эти равенства, оставляя вершины с четными номерами
справа, а с нечетными слева, получим требуемое утверждение.
б) Наше утверждение следует из ПУНК1а а) и результатов
задач 20 и 21.
153. Пусть точки А, В, С и D в декартовой системе координат
имеют координаты соответственно (х 1 , Уl)' (Х2, У2)' (хз, Уз), (х, у),
координаты точки G ( Хl+ 2+ХЗ . Уl+У +УЗ ). Тоrда справед-
ливость доказываемоrо утверждения следует из тождества
3 ( Хl + Х 2 + хз ) 2
x 3 ==(Х Хl)2+(Х Х2)2+(х хз)2
(Хl X2)2+ (Х2 хз)2+(хз x)2
3
и аналоrичноrо соотношения для ординат.
154. Рассмотрим случай, коrда точка М (рис. 46) лежит вн утри
треуrольника АВС. Повернем треуrО lЬНИ к АВМ BOKpyr А на
уrол 600 так, чтобы В перешла в С t Получим треуrо.пьник AM1C,
106
равный 6. АВ/И. 6. AMiV1 1 прзвильный, следовательно, длины
сторон CMM 1 равны отрезкам I МА , 1МВ 1, I МС 1. Аналоrично
получим точки М 2 И М з . Площадь шестиуrольника АМ 1 СМ З ВМ 2
(рис. 46) равна удвоенной площади АВС, т. е. равна а 2 УЗ /2.
С друrой стороны, площадь 9Toro шестиуrольника складывается
из трех правильных треуrольников: 6. АММ1' 6. СММ з , BMM2
И трех треуrольников, равных иско-
мому. Следовательно,
о
зs+ I МА 12+1 М: :2+1 МС 12 уз
а 2 У3
2
H
Воспользовавшись реЗУ}lьтатом задачи
153, получим
ЗS + (3d 2 + а 2 ) уз а 2 уз
4 2
УЗ
откуда S::::: 12 (а 2 3d 2 ).
Аналоrично рассматриваются ДРУ-
rJ1e случаи расположения точки М.
155. Покажите, что каждое из этих условий является необхо-
димым и достаточным для Toro, чтобы существовала окружность,
вписанная в четырехуrольник ABCD (см. так}ке задачу 19, раз-
дел 1).
156. Покажите, что каждое из этих условий является необхо-
димым и достаточным для Toro, чтобы существовала окружность,
касающаяся прямых АВ, ВС, CD и DA, центр которой находится
вне четырехуrольника ABCD.
157. Пусть АВС данныЙ треуrольник, O ero центр, Аl'
81' C 1 основания перпендикуляров, опущенных из О на стороны
ВС, СА, АВ. Пусть, далее, А 2 . В2' С 2 основания перпендику-
ляров, опущенных из М на
прямые, проходящие через О
параллельно сторонам тре-
уrольника ВС, СА и АВ
(оrраниЧИМСЯ рассмотрением
частноrо случая: треуrоль-
ник АВС остроуrольный,
точка М расположена внутри
6 OKL, как показано на рис.
47), Аз, 8 з , Сз основания
перпендикуляров, опущен-
ных из М на стороны ВС,
СА и АВ.
Заметим:
1
1) S A.B J C 1 == 4 s.
2) 6. А 2 В 2 С 2 подобен 6. Аве, при этом ОМ является диамет-
ром ОКРУ}J{НОСТИ, описанной около А 2 В 2 С 2 , т. е. коэффициент,
подобия между треуrольниками АВС и А 2 В 2 С 2 равен dj2R, и
А
N,
Рис. 46.
{j
А
f}t
о;
Рис. 47.
107
следовательно, S.Q. А .В.С I == ( 4 2 ) S. Обозн ачим через А, В, с
величины уrлов АВС, ! ОА 1 i ===d a , I ОВ 1 : ===d b , ОС 1 ==d c ,
! МА 2 1 ==Х, I МВ 2 1 ==у, I МС 2 1 ==Z. Тоrда I МАз I ===da x, ! М,В з 1==
== db+y, ! МС з ! ==dc+z. Таким оБРЗ'10М, будем иметь
S А.В.С. == S Аа'ЧВ а + S В.МС в + SСslИ Аз ==
1 л 1
== "2 (d a x) (db+ у) sin С + 2 (d b + у) (d c +z) sin А +
1 л
+ 2 (dc+z) (da x) sin В==
[ 1 л 1 ,,1 А ]
== 2 dadb sin С + 2 dbdc sin А + 2 dcd a sin В
[ 1 А 1 л 1 "' ]
........ 2 ху sin С +"2 xz sin В 2 yz sin А +
. 1 А Л Л ...
+ 2 [ x (db sin C+d c sin В)+у (d a sin C+d c sin А)+
'" А '
+z (d b sin А +d b sin В»),
Но выражение в первых квадратных скобках есть площадь
D. А 1 В 1 С 1 , Т. е. оно равно 8/4, во вторых квадратных скобках
стоит площадь 6. А 2 В 2 С 2 . т. е. ( 4 2 ) s. Покажем, что третье сла-
raeMoe равно нулю. Поскольку d a === R cos А, d b == R cos В, d c ===
л
== R cos С, третье слаrаемое леrко преобразовать к виду
1 " л А 1
2 [ xR sin А + yR sin В +zR sin С] == 1[ [ xa+yb +zc],
rде а, Ь и С стороны треуrольника АВС. Заметим, что OKL
подобен АВС; поэтому, если мы заменим а, Ь и С на аl' Ь 1 , С 1 ,
rде а 1 , Ь 1 , C l CTOpOHЫ 6.. OKL, и покажем, что УЬ 1 +zc 1 xal ==0,
то нулю будет равно и наше выражение. 110
yb 1 + zC 1 xa l == (УЬ 1 + zC 1 + (d a х) а 1 ) daa} == О,
посколы<у УЬ 1 +zc 1 + (d a x) а} ==2S 0KL , daG 1 ==2S 0KL ,
Рассмотрение друrих случаев расположения точек М и О про-
водится точно так }I<е.
3 а м е ч а н и е 1. При d === R площадь треуrолыIка,' образо-
BaHHoro основаниями перпендикуляров, оказывается равной нулю,
т. е. эти основания расположены на одной прямоЙ. Прямая эта
называется прямой Симеона (см. задачу 233).
3 а м е ч а н и е 2. МО}I{НО избежать разбора вариантов, при-
писав расстояниям до сторон знаки, при этом для точки, распо
ложенной внутри треуrольника, все три величины положительны,
а для точек, расположенных по разные стороны от какой либо
прямой, образующей треуrольник, расстояния до этой прямой
имеют разные знаки. Приняв это во внимание. леrко убедимся,
что предло)кенное решение охватывает все случаи раСПО.,1Iожения
точки \1 для произвольноrо треуrольника.
158. Произведем последовательно три поворота в одном на-
прав.пении BOKpyr точек К, L и М (или вои:руr K 1 » L 1 И М 1 ) на
108
уrлы а, и v. Поскольку а+ +v==2л;, получившееся преобра-
З0вание есть параллельный перенос (см. задачу 140, раздел 1).
Но поскольку одна из вершин исходноrо треуrольника при этом
останется неподвижной, то неподвижными должны остаться все
точки плоскости.
Т аким образом, центр TpeTbero поворота (точка М) должен
совпадать с центром поворота, получаlощеrося в результате после-
довательноrо применения двух первых: BOKpyr точек К/и L.
Теперь можно воспользоваться результатом задачи 140, раздел 1.
159. Пусть 01' 02' Оз, 04 последовательные центры квадра-
тов. Произведем последовательно повороты в одном направлении
BOKpyr точек 01' 02' 0з, 04 на yr лы в 900. Р ассужда я так же,
как в предыдущей задаче, покажем, что получившееся преобразо-
вание оставляет все точки плоскости неподвижными. Следовательно
(см. задачу 140, раздел 1), каждую из двух пар поворотов: BOKpyr
01 и 02 И BOKpyr Оз и 04 можно заменить центральной симмет-
рией относительно одной и той же
точки О. При этом 01002 И
ОзО04 равнобедренные прямо-
уrольные треуrольники с прямыми
уrлами при вершине О. Следователь-
но, треуrольник 02004 получается из
треуrольника 0100з поворотом во-
Kpyr О на 900, т. е. 1010з: ==: 0204 !,
01 Оз J 0204'
160. Пусть АВС данный тре-
уrольник, А 1 В 1 С 1 треуrольник ,
А2В2С2 треуrольник б (А 1 и A2
центры треуrОЛЬНИI\ОВ, построенных
на ВС), стороны треуrольника АВС,
как обычно, а, Ь, С.
а) То, что треуrольники А 1 В 1 С 1
и А 2 В 2 С 2 правильные, следует, н-апри-
мер, из результата задачи 158.
б) Найдем расстояние от А 1 ДО
М точки пересечени я медиан тре-
уrольника АВС. Пусть N точка
пересечения прямой А 1 М и высоты к
стороне ВС, а К точка пересечения
с той же высотой прямой, проходя-
щей через А 1 параллельно ве. (оче-
видно, N лежит на продолжении высоты за точку А, а К на
продолжении за прямую ВС, рис. 48). Если теперь D середина
ве, то
N
А'
с
в
Рис. 48.
а '1/ , аУ3
:AIDI==6 r 3, !AN!==2I A IDI== 3 t
! NK 1 ==ha+: A 1 D I+i AN i==ha+ а 3
(ha ВЫС01а, проведенная из вершины А),
I А 1 К ; == I с сos В I '
109
I А 1 М 12== I A 1 N 12== (' NK ?+' А 1 К ,2) ==
== (h + М а уз + { а 2 + а; а с cos В + с 2 cos 2 В ) ==
1 ( а 2 +Ь 2 +С 2 1/ )
== 9 2 + 28 r 3 ·
1 А
(Мы воспользовались равенствами S === 2 ah a , h + с 2 cos 2 В === с 2
И теоремой косинусов.) Расстояния ; В 1 М и С 1 М I находятся
так же, и все они, как леrко видеть, равны. Точно так же найдем
квадраты расстояний М от точеI{ А 2 , В 2 , С 2 . Они равны
1 ( а 2 +Ь 2 +С 2 r )
9 2 28}' 3 .
в) Используя результат предыдущеrо пункта, поскольку S 6 ==
3 1 / 3 ('
== 4 I А 1 М 12 r 3, 86 == 4 A 2 i\1 2 J 3. леrко получить требуемое
утверждение.
161. Дока)l{ем, что треуrо.пьники еВ 1 А 2 и С А 1 В 2 получаются
один из друrоrо поворотом около точки С на уrол 900. В самом
- .............
деле, !J. еАА 1 == !J. СВВ 1 ( ВВ 1 1==: АС , I ВС ; == I АА 1 1, СВВ 1 ==
== Щ), а поскольку АА 1 ..L ВС и BB 1 .l АС, то и В 1 С J A1C.
Точно так же А 2 С и В 2 С равны и перпендикулярны.
162. Пусть АВС данный треуrольник, Н точка пересечения
ero высот, А1' Вl' е1 середины отрезков АН, ВН, СН, AA2
высота, Аз середина ВС.
Будем считать для удобства, что АВС остроуrо.пьный тре..
............. .............
уrольник. Поскольку В 1 А 1 С 1 ==ВАС и !J.BIA2Cl==.6BIHCl' то
............. ..............................
B1A2C1==B1HC1==180o BAC, т. е. точки А 1 , В1' А 2 , С 1 лежат
............................ /.........-.............
на одной окружности. Также леrко ВИдеть, что В 1 А З С 1 == ВНС} ==
== 180o BAC, т. е. точки А 1 , В1' Аз, С 1 тоже лежат на одной
(а значит, на той же) окружности. Отсюда следует, что все 9
точек, о которых rоворится в условии, лежат на одной окружности.
Случай тупоуrольноrо треуrольника Аве рассматривается анало
rично. Заметим, что окружность девяти точек rомотетична описанной
окружности с центром в Н и коэффициентом 1/2. (Именно так
расположены треуrольники АВС и A 1 B 1 C 1 .) С друrой стороны,
окружность девяти точек rомотетична описанной окружности
с центром в точке пересечения медиан треуrольника Аве и коэф
фициентом 1/2. (Именно так раСПО.тIожены треуrольники Аве
и треуrольник с вершинами в серединах ero сторон.)
163. Наше утверждение следует из Toro, что D лежит на
окружности девяти точек, а окружность девяти точек rомотетична
описанной окружности с центром в Н и коэффициентом 1 /2 (см.
задачу 162) .
164. Наше утверждение следует нз Toro, что Е .пежит на
окружности девяти точек, а окруя{ность девяти точек rомотетична
описанной окружности с центром в А1 и коэффициентом 1/2
(см. задачу 162).
110
165. Воспользовавшись для правой части формулами
8 аЬс V
r == р , R == 48 и 8 == р (р а) (р Ь) (р с) ,
леrко дока/кем требуемое соотношение.
166. Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 153), взяв
в качестве М центр описанноrо Kpyra.
167. Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 153), взяв
в качестве М центр вписанноrо Kpyra. Для вычисления, например.
I МА 12 опустим перпендикуляр МК на АВ; имеем I МК 1==',
I АК I==p a, значит, i АМ 12==(p a)2+,2.
Аналоrично вычисляются 1МВ 12 И I МС 12. При упрощении
правой части 80спользуйтесь результатом задачи 165.
168. Пусть O цeHTp описанной около АВС окружности,
а 01 центр вписанной, М точка пересечения биссектр исы yr ла В
с описанной окружностью (рис. 49).
Поскольку точка 01 удалена на d от }{
центра О, то I В0 1 \ . 101М! == R2 d 2 .
Треуrольник 01СМ равнобедрен-
ный: 101М 1==1 СА1 !, так как С0 1 М ==
1",'" 1",,,,
== 2 (В +С) и 01 СМ ==2 (В+С).
Проведя диаметр МК и опустив
на Ве перпендику ляр OlD, получим
два подобных пр ямоуrольных тре-
уrо ьника МКС и OlBD, откуда
I МК I I В0 1 1 I 11
I МС I I 01 D l ' но I мк 1 2R,
I 01D I === " I МС 1==1 М0 1 1, значит, Рис. 49.
2Rr==1 В0 1 1.! 01М !==R2----d 2 .
169. Пусть a цeHTp тяжести треуrольника АВС, O цeHTp
описанноrо Kpyra, 1 центр вписаиноrо, 01 ---- центр окружности
девяти точек. G лежит на отрезке 001' причем 1001===21 а0 1 1.
...........................
Если 001 == ер, то
{ I 01 12 == I оа 12 + I а 1 ,2 ---- 2 I 00 I · I а 1 I cos <р,
101/12== 1 al'2+! а0 1 1 2 + 2 1 011.10011 cos<p.
Умножая второе равенство на 2 и складывая с первым, получим
2101/\2+ 10/12==! оа !2+21 а0 1 12+31 0112.
Учитывая, что I а0 1 1 == 1 ао:. получим
I О 1 1 2 == 1 ( 3 I а 1 12 + З ! ао 2 ---- I 01 1 2 )
1 2 I 2 I I I ·
Из результатов задач 165----168 получим
10 1 2 1 ( p + 5 ,2 Rr+ 3 R2 a2+b2+C2 R2+2R' ) ==
. 1 2 \ 3 3 3 2 6
1 ( p + ,2 O Rr I3 2 ] p2+} ,2+! R' ) ===
2 3 3 3 12 3 3 3
1 ( R2 ) ( R ) '1
=== 2- 2 2Rr + 2,2 == -2 , .
111
Итак, ! 0111 == 1 .. r 1, что и означает касание (внутреннее) между
вписанной окружностью и окружностью девяти точек.
170. Докажите, что если D проекция М на АВ, то
IAD:2 JBD 2==!АМ 2 ;MBI2.
171. Если бы такая точка нашлась (обозначим ее через N),
то прямая MN была бы перпендикулярна всем трем сторонам
треуrольника.
172. Если М точка пересечения перпендикуляров, опущенных
из А 1 и В 1 на ВС и АС, то (см. задачу 170)
I мв :2 ! МС ,2==1 А 1 В 12 I А 1 С 2,
i МС j2 1 МА ;2===; В 1 С i2 1 В 1 А 12;
складывая эти равенства и учитывая условия задачи, получим,
что МВ :2 i МА 12 === I С 1 В /2 I С 1 А 2, т. е. М лежит на пер
пендикуляре, проведенном к АВ через С 1 .
173. Из результата задачи 172 следует, что условие Toro, чтобы
перпендикуляры, опущенные из Аl' В1' С 1 на стороны ВС, СА
и АВ, пересекались в одной точке, такое же, как и условие пере
сечения в одной точке перпендикуляров, опущенных из А, В и е
на В 1 С 1 , е 1 А 1 и А 1 В 1 .
174. Заметим, что перпендикуляры, опущенные из Аl' В1' С 1
на ВС, СА, АВ соответственно, пересекаются в точке D, затем
воспользуемся результатом задачи 173.
175. В следующей задаче (176) доказывается более общий
факт. Из рассуждений задачи 176' будет следовать, что иентр
окружности располо)кен на пр ямой АВ.
176. Введем прямоуrольную систему координат. Если коор-
динаты точек А 1 , А2' ..., AIl (Xl' Уl)' (Х 2 , У2)' ..., (Х п , YrJ,
точки м (х, у), то уравнение точек нашеrо множества будет
иметь вид
ах 2 +ау2+ Ьх+су + d:::::: О,
rде a===k 1 +k 2 +...+k п , откуда и следует наше утверждение.
177. Если В точка касания, O цeHTp данной окружности, то
I ОМ 2 ! АМ 12 === : О м 2 : В м 12::::::: О в 12 === R2.
Значит, М лежит на прямой, перпендикулярной ОА (см. задачу 170).
178. Условие, определяющее множество точек М, эквивалентно
условию I АМ '2 k'J.l ВМ 12===0, т. е. это есть окру}кность (см.
задачу 176). Эта окружность называется окружностью АnОЛЛО1iUЯ;
ее центр, как леrко убедиться, лежит на пр ямой АВ.
, ..........., I АМ
179. Поскольку МВ является биссектрисой АМС, то : МС ==
1 I
/АВ!
== ! ве : · Следовательно, биссектриса виеUIнеrо yr ла по отношению
к уrлу' АМС пересекает прямую АС в постоянной точке К:
,АКI I АВI
! КС ; :::::: , Ве ; , и искомое множество точек М eQTb дуrа окруж-
НОСТИ, построенной на ВК как на диаметре, заключенная между
прямыми, перпендикулярными отрезку АС и проходящими череэ
точки А и С.
112
180. Пусть 01 и 02 центры .данных ОКРУ)I<но тей, '1 и '2
их радиусы, М точка искомоrо множества, М А} и /\1.42 Kaca
тельные. По условию М А} 1=== k М А 2 .. Следовательно, i М0 1 ,2
k 2 MO 2==( MA 1 2+, ) k2 (1 МА 2 2+, )==, k2, . Значит
(см. задачу 175), искомое множество точек М при k =1=] есть
ОКРУ)l{НОСТЬ с центром на прямой 0102' при k == 1 искомое множе-
ство есть прямая, перпендикулярная 0102.
181. Пусть (рис. 50) К. и L точки пересечения касательной
ко второй окружности, проходящей через D, с касательными
к первой, проходящими через В и А, а М и N друrие две точки.
...............
Леrко видеть, что DKB==CMA (каждый из этих уrлов равен
половине разности уrлов, соот-
ветствующих дуrам АВ и СЬ). t
Поэтому (на нашем рисунке)
....................... ...............
LMN+LKM== 180°.
Следовательно, четырехуrоль-
ник KLMN вписанный. Далее,
имеем
IDK'
I K B,
I I
............ ...............
sin D'BK
...............
sinBDK
sin 1 АВ
2
1 .
sin 2 DC
Аналоrично находятся отно- k
шения длин касательных, прове-
денных через точки L, М и N. Рис. 50.
Все эти отношения равны между
собой; значит, центр окружности, описанной около KLMN, лежит
на прямой, проходящей через центры данных окружностей (см.
задачу 175).
182. Выразив расстояния от вершин треуrольника до точек
касания, проверьте выполнение условия задачи 172.
183. Пусть! АМ 1 I : I ВМ 11 : I СМ 1 1 == р : q : (. TorAa множество
точек М таких, что
(r2 q2) АМ 2+(p2 r2) i ВМ 12+(q2 p2) i СМ :2==0,
есть прямая линия, проходящая через М 1 , М 2 и центр описанноrо
около АВС Kpyra (см. задачу 176).
184. Точки М 1 и М 2 принадлежат MHOjI{eCTBY точек 1\1, для
которых 5 i МА 12 8 i МВ 2+3 МС 12==0. Это множество есть
прямая линия, и, очевидно, центр описанноrо Kpyra удовлетворяет
услови ю, определяющему это множество (см. задачу 176).
185. Пусть ! АА 1 1 === а, I ВВ 1 1 == Ь, I СС} I ==с, I А 1 В 1 I ==х,
I В} С 1 ' == у, I С 1 А 1 I === Z. Т or да I А В 1 j 2 == а 2 + х 2 , I в 1 С 12 == с 2 + у2,
I СА 1 '2==C 2 +Z 2 , ! А 1 В ;2==Ь 2 +х 2 , I ВС} ,2===Ь 2 +у2, I С 1 А !2==a2 z2.
Теперь леrко проверить условие задачи 172.
186. Пусть: AD! ==х, ! BD I ==у, i CD I ==у, I АВ: ==а. Обозначим
через А2' В2' С 2 ' точки касания окружностей, вписанных в тре-
уrольники BCD, С AD, ABD, со сторонами ВС, СА, АВ. Перпен-
дикуляры, проведенные через точки А1' В1' С} К сторонам ВС, СА
11 АВ, совпадают с перпендикулярами, восставленными к тем же
сторонам в точках As; Bs, C s .
118
a+y z a+z y С
Но I ВА 2 1== 2 ' r А 2 С ! == 2 ; аналоrично : А 2 i ::с
a+x y l ' С В j a+y x I АВ I a+x z ! В 2 С ! ==
2 ' 2...... 2' 2! 2 '
a+z x
== 2 · Теперь леrко проверить условие задачи 172.
187. Примените условие, доказанное в задаче 173, взяв
в качестве точек А, В и С центры окружностей, а в качестве
точек Al' В1' С 1 по одной из точек пересечения окружностей
(А 1 одна из TOQeK пересечения окружностей с центрами В и С
и т. д.).
188. Возьмем третью окружность с диаметром ВС. Общими
хордами l-й и 3-й, а также 2 й и 3-й окружностей являются
высоты треуrольника, опущенные из вершин В и С. Следовательно
(см. задачу 187), общая хорда данных окружностей также про-
ходит через точку пересечения высот треуrольника АВС.
189. Пусть O цeHTp данной окружности, R ee радиус,
МС касательная к ней. Имеем: I МО 12 == I MN 12 == I МО :2
1МВ 1.1 МА j == I МО 12 I МС 12==R2, т. е. точка М лежит на
прямой, перпендикулярной прямой ON (см. задачу 170). ЛеrКО
показать, что все точки этой прямой принадлежат нашему
множеству.
190. Пусть О центр окружности, r радиус окружности,
I ОА I==a, ВС некоторая хорда, проходящая через А, М точка
пересечения касательных. Тоrда
I ОМ2==I ВМ )2+r2,
I АМ ,2== \ ВМ i2 I вс i 2 +( {\ вс I I ВА IY ==
==; ВМ i2 1 ВС!.I ВА 1+1 ВА :2==: ВМ 12 ! БА 1.1 АС 1==
== ! ВМ j2......,2 + а 2 .
Таким образом, I ОМ 12 I АМ 12==2r2 a2, т. е. (см. задачу 170)
искомое множество точек есть прямая, перпендикулярная ОА.
Эта прямая называется полярой точки А относительно данной
окружности.
191. Имеем
1
: АС!! s АСС 1 2 ! АС I . I СС! I sin АСС} I АС I sin АСС;
I С 1 В I SCC 1 B 1 I Ве I c '----- '
2 I СС} I . : СВ I sin О}СВ sin 1 СВ
Получив аналоrичные равенства для отношений [\ A 11 и I 1 ,
, 1 I I 1 I
переМНО}l{ИВ их, получим требуемое утверждение.
192. Покажем, что если прямые АА}, ВВ} и СС 1 пересеl{аются
в одной точке (обозначим ее через М), то R* == 1 (а следовательно,
и R == 1; см. задачу 191). По теореме синусов для АМС
...............
sin АСС 1
sin А 1 АС
'АМI
'МСI
Записав аналоrичные равенства для треуrо.тrьников АЛ1В и ВА1С
и перемножив их, получим требуемое утверждение. Обратно, если
114
R == 1 и все точки А 1 , В1' С 1 .ле}кат на сторонах треуrОЛЬНика
(или лишь одна из них), то, проведя прямые АА 1 и ВВ 1 , обо
значим точку их пересечения через М 1 ; пусть прямая СМ 1 пере
секает АВ в точке С 2' Учитывая условия задачи и доказанную
I АС I I АС I
необходимость условия R === 1, будем иметь I C1 I I С 2 ; " причем
точки С 1 и С 2 лежат одновременно или на отрезке АВ, или вне
ero. Следовательно, С 1 и С 2 совпадают.
193. Пусть А1' В 1 , С 1 лежат на одной прямой. Проведем
через С прямую, параллельную АВ, и обозначим через М точку
ее пересечения с прямоЙ А 1 В 1 . Из подобия соответствующих тре-
! ВА!I I ВС 1 ! I СВ 1 1 I СМ I З
уrольников получим I А 1 С I == I см !' ! В 1 А 1== I АС 1 ,' аменив
соответствующие отношения в выражении R (см. задачу 191),
получим, что R == 1. Обратное утверждение доказывается аналоrично
тому, как это было сделано в задаче 192 (проведем прямую В1А1'
обозначим через С 2 точку ее пересечения с АВ и т. д.).
194. Проверьте, что если для данных прямых R* === 1, то и
Д 1Я симметричных будет так же. При этом, если прямая, проходя
щая, например, через вершину А, пересекает сторону ВС, то и
прямая, е й симметричная относительно биссектрисы уrла А" также
будет пересекать сторону ВС.
195. Если Ао, ВО, Со середины отрезков АО, ВО, СО соот-
ветственно, то построенные прямые оказываются симметричными
прямым АоО, ВоО, СоО относительно биссектрис треуrольника
АоВоС о (см. задачу 194).
196. Пусть К точка на радиусе, перпендикулярном сто-
роне АС, а L на радиусе, перпендикулярном стороне АВ.
Прямая ВК пересекает АС в В1' а прямая CL пересекает АВ
в точке С 1 . Проведем через К прямую, параллельную АС, пусть
'АВ I IMK/
м и N ее точки пересечения с АВ и ВС. Очевидно, I В с; === I К N 1 .
I 1 I I '
Проведя через L прямую, параллельную АВ, дО пересечения
'ВС I IQLI
с АС и ВС в точках Р и Q, будем иметь I с 1 1 i === I LP " Аналоrич-
ное построение сделаем для TpeTbero радиуса. Заменяя отношения,
входящие в R (см. задачу 192), учтем, что для каждоrо отрезка.
в числителе найдется равный ему в знаменателе, например:
: мк I === i LP 1.
197. Рассмотрим треуrольник АСЕ, через вершины KOToporo
проведены прямые AD, 'СР и ЕВ. Синусы уrлов, образованных
этими прямыми со сторонами треуrольника АСЕ, пропорциональны
( 'CD'
хордам, на которые они опираются например sin С AD === I 2R ' ,
rде R радиус окру>кности); следовательно, условие R* == 1
J
(см. задачу 192) эквивалентно условию, данному в задаче.
198. Заметим (рис. 51, а), что АРМ подобен AMQ,
APL подобен AKQ, AKN подобен ALN; из этих подо-
бий получаем
РМ' AM 1
iMQj== ,AQI '
'QK: 'AQ
I Р L I == I AL I '
LNi : AL I
i N К I == I AN 1.
115
Перемножая эти равенства и учитывая, что: АМ 1== I AN 1, получим,
I р м I . I QK I . I LN I
что I MQ 1. ! PL ! . I N К 1 == 1, а это (см. задачу 197) и есть необхо-
димое и достаточное условие Toro, чтобы прямые MN, рк и QL
пересекались в одной точке.
А
А
8,,//'J
/1
,,/
/
н
",
,
,
10',
5/
Рис. 51.
Способ построения касательной с помощью одной линейки
понятен из рис. 51, б. Числа 1, 2, ... показывают последователь-
ность проведения прямых.
199. Проверьте,,, что выполняется равенство R == 1 (в пункте б
воспользуйтесь результатом задачи 50) и что все три точки лежат
на продолжениях сторон треуrольника. Таким образом, наше
утверждение следует из теоремы Менелая (см. задачу 193).
200. По свойству секущих, проведенных из внешней точки
к окружности, или по свойству отрезков хорд окружности, про-
ходящих через одну точку, будем иметь I ВС!I . j 8С 2 i== I ВА 1 i . I ВА 2 1,
; СВ 1 : . I СВ 2 ; == I С'А 1 1 . J СА 2 1, ! АВ 1 1 . I АВ 2 1==1 АС 1 1 . I АС 2 1.
Теперь леrкО проверить, что если утверждение теоремы Чевы
(равенство R== 1) выполняется для точек А1' В1' С 1 , то оно BЫ
полняется и для точек А 2 , В2' С 2 . При этом из утверя{дения
задачи следует, что или все три точки А2' В2' С 2 лежат на соот-
ветствующих сторонах треуrольника, или только одна из них
(см. задачу 192).
201. Записав равенство R == 1 (соrласно теоремам Чевы и
Менелая см. задачи 192 и 193) для точек А 1 , 81' С 1 ; А1' В1' С 2 ;
А2' В1' С 1 ; А 1 , В2' С 1 , мы получим, что и для точек А2' В2' С 2
R == 1. Теперь осталось лишь доказать, что или все три точки
А 2 , В2' С 2 лежат на продолжениях сторон треуrольника (так бу
дет, если точки А1' В1' С 1 на сторонах треуrольника), или лишь
одна находится на продолжении (если на сторонах треуrольника
одна из точек А1' В1' С 1 ), и воспользоваться теоремой Менелая
(см. задачу 193).
202. Воспользуйтесь теоремой Мен ела я (см. з ачу 193).
В качестве вершин данноrо треуrольника возьмите середины CiO
рон треуrольника АВС, на сторонах и продол/кении сторон KOTO
poro лежат рассма1риваемые точки.
203. Если а длина стороны пятиуrольника MKLN Р,
Ь длина стороны пятиуrольника с одной стороной на АВ,
c. длина стороны пятиуrольника, у KOToporo одна сторона
116
I ВА 1 ! а I АС! I Ь 'СВ 1 ! С
i С 1 В ==, b' 1 АВ! i == с' I СА 1 1 == а
Перемножив эти равенства, найдем, что R == 1, и воспользуемся
теоремой Чевы (задача 192).
204. Воспользуйтесь результатами задач 198 и 190. Получен-
ное множество совпадает с множеством задачи 190, т. е. это есть
поляра точки А относительно данной окружц,ости.
205. Если N точка пересечения прямых PQ и АВ, то
I CN I 1 РС I I СВ ,
i А/"; 1 == I AQ I === , АС I ' т. е. N фиксированная точка. Искомое
множество есть окружность с диаметром С N .
Если теперь Л1 фиксированная точка, то D лежит на пря-
мой, параллельной прямой М N и проходящей через такую фикси
.. .. I AL I I AN I
рованную точку L на прямои АВ, дЛЯ которои I LB I == I CN I '
причем L так же располо}кена относительно отрезка АВ, как N
относительно отрезка АС.
206. Обозначим (рис. 52) через ер уrол между BD и АС;
SAPK== I АК 1.1 Рп 1 sin<p, SBPC== } I вр /.1 DC I sin<p
== I вр I · I AD I sin <р. Поскольку lJ
S АРК == S ВРС' то I АК! . I Р D! =-=
I ВР I I AD I АК i j PD ,
== i I . I или I AD I . i ВР I
== 1; но по теореме 1\1енел ая Д..тIя
л BDK ( СМ. за д ач у 193 ) 1 А/( , х
iADi
IDPJ 1 8М I
х r РВ I · I мк I == 1, С.педователь-
но, I ВМ 1==1 МК 1, т. е. искомое
множество есть средняя линия
д АВС, параллельная стороне АС (если же точки Р и К брать
на прямых АС и BD, то мы получим п р я м у Ю, параллельную
стороне АС, проходящую через середины отрезков АВ и ВС).
на АС, то
с
Рис. 53.
А
t
1(
Рис. 52.
с
о)
207. Пусть С вершина данноrо yr..тIa, ero веЛИRина.
Опустим из О перпендикуляры ОК и OL на стороны уrЛ8
117
(рис. 53, а). Около четырехуrольника ОКАМ можно описать
.........--. .,..,................--. ...............
окружность. Следовательно, К М О == КАО. Аналоrично ОМ L == OBL.
............... ........................--. ........................--.
Значит, KML==KAO+OBL==a+ , т. е. М лежит на дуrе окруж-
ности, проходящей через К и L и вмещающей уrол (а + ); при
этом все точки Эt"ОЙ дуrи принадлежат нашему множеству. Если
сх , то этим наше множество исчерпывается. Если же (% > ,
то добавятся точки М по друrую сторону от прямой KL, дЛЯ KO
...............
торых KML == а (рис. 53, б); при этом множеством 10чек будет
пара дуr, концы которых будут определяться предельными
положениями уrла АОВ, коrда одна ero сторона становится па..
раллельной стороне неподвижноrо уrла. Если лучи неподвижноrо
yr ла f и подвижноrо сх продолжить вместо yr лов рассматривать
пары прямых, то искомое множество будет целой окружностью
(содержащей обе дуrи, о которых rоворилось выше).
..-------............ .......... .........--.
208. Рассмотрим четырехуrольник DEPM. DEM ==DPM ==
== 90°, следовательно, этот четырехуrольник вписанный. Значит,
............ ...............
DME ===DPE== 45°. Искомое множество есть прямая DC.
А
Рис. 54.
209. Рассмотрим случай, коrда точка В лежит внутри данноrо
уrла. Прежде Bcero заметим, что все получающиеся BCD
........................--. ............. ..............
(рис. 54) подобны между собой, поскольку BCD == BAD, BDC ==
.........--.
== ВАС. Поэтому, если N середина CD, то постоянными будут
............................
уrлы BNC и BND. Опишем около Д BNC окружность. Пусть
К вторая точка пересечения этой окружности с АС. Поскольку
............ .
ВК А === 1800 BNC, точка К фиксирована. Аналоrично, фиксиро-
ванной будет точка L вторая точка пересечения окружности,
описанной около д BND, с прямой AD. При этом
............... ........................--. .......................--.
LNK ==LNB +BNK === 18eo BDA + ВСК == 1800,
т. е. N лежит на прямой LK. Множество точек N есть отре-
зок LK, а множеством центров тяжести Д ACD будет отрезок,
ему пара.плельный, делящий АК в отношении 2: 1 (получается
с помощью rомотетии с центром в А и коэффициентом 2/3).
118
210. Если О вершина уrла, АЕСD прямоуrольник (А фи
ксирована), то точки А, В, С, D, О на ОДНОЙ окружности. Сле-
........-....
довательно, СОА ==900, т. е. точка С лежит на прямой, перпен
nикулярной ОА и проходящеЙ через О.
211. Заметим, что все получающиеся треуrольники АВС по-
добны между собой. Следовательно, если мы возьмем в каждом
треуrольнике точку К, делящую сторону ВС в одном и том же
.......................-....
отношении. то, поскольку АКС сохраняет постоянное значение,
точка К будет описывать окружность. Значит, точка М, деля-
щая АК в постоянном отношении, также будет описывать окруж-
ность, получающуюся из предыдущей с помощью rомотетии с цeHT
IAMI
ром в точке А и с коэффициентом k I АК l ' Это рассуждение
используется во всех n унктах а), б) и в).
212. Пусть К середина АВ, а М основание перпендику
ляра, опущенноrо из К на АС. Все треуrольники АКМ подобны
между собой (по двум уrлам), следовательно, будут подобны все
треуrольники АВМ. Теперь леrко получить, что искомое множе
ство есть окружность с хордой ВС, причем уrЛbI, опирающиеся
на эту хорду. равны уrлу АМВ или к нему дополнительному.
(Меньшая луrа этой окружности расположена по ту же сторону
от ВС. что и меньшая дуrа исходной окружности.)
213. Если М, N, L и К дaHHыe точки (М и N Ha проти-
воположных сторонах прямоуrольника, L и К также), Р сере-
дина MN. Q середина KL, N
О ...... точка пересечени я диаrо-
налей прямоуrольника (рис. 55),
то POQ == 900. Следовател ьно,
искомым множеством будет ок-
ружность, построенная на PQ
как на диаметре.
214. Обозначим радиусы
данных окружностей через R
и r (R > ,), точку касания
хорды ВС с меньшей окруж- Рис. 55.
ностью через D; К и L будут
точки пересечения хорд АС и АВ с меньшей окружностью и,
наконец. О........ центр окружности, вписанной в 6 АВС. Поскольку
"--'" '---"
уrловые измерения дуr АК и АС одинаКОВbI, можно записать
IAKI==rx, I ACI===Rx; отсюда получим IDCI 2 ==:AC'.ICK!==
== (R ......r) Rл 2 . Аналоrично I АВ 1== Ry, I DB [2 == (R ') Ry2; следова-
тельно I CD 1 == !.. == ! АС I AD биссект р иса уrла ВАС.
, ! DB I у I АВ I J Т. е.
Далее, имеем
: АО ! ! АС I Rx r R
i OD 1== ; CD 1== Y(R......r) R х V R r.
т аким образом, искомым множеством точек будет окру/кность,
касающаяся И3НУIРН двух данных в той же точке А, с радиусом
\АОI ,YR
р === r I AD I === r R + V R r ·
11 Э
215. Покажите, что если М 1 и М 2 Две различные точки,
прина.д.пе)кащие н€1illему м нол{еству , то любая точка А1 01:.резка
прямой М 1 М 2 внутри треуrольника также принадлежит этому
множеству. Для этоrо, обозначив через Х 1 , У1, ZI расстояния от M 1
ДО сторон треуrольникэ, через Х2, У2' Z2 расстояния от М2' можем
выразить расстояния х, у, Z от М до сторон через эти величины
и расстояния между Мl' М 2 , lИ. Так, например, если i М 1 М ! ==
== k I М 1 М 2 i И направления М 1 М и М 1 М 2 совпадают, то х ==
==(I k)Xl+kX2' U==(1 k}Yl+kU2' z==(I k)Zl+kz2'
Отсюда следует, что если равенство выполняется для трех
точек внутри трёуrольника, не лежащих на одной прямой, то оно
будет выполняться для всех точек треуrольника.
3 а м е ч а н и е. Утверждение задачи останется верным для
произвольноrо выпук.поrо мноrоуrольника. Более Toro, можно
рассматривать все точки плоскости, но при этом расстояни я до
прямой от точек, расположенных по разные стороны от нее,
должны браться с противоположными знаками.
216. Для Toro чтобы расстояния t, у, Z были сторонами тре-
уrольникз, необходимо выполнение неравенств Х < y+z, у <
< Z+X, Z < х+у. Но множество точек, для которых, например,
x==y+z, есть отрезок с концами в основаниях биссектрис (в осно-
вании биссектрисы два расстояния равны, а третье равно нулю,
следовательно, равенство выполняется; а из предыдущей задачи
с.педует, что это равенство выполняется для всех точек отрезка).
О т в е т: искомое множество состоит из точек, расположен-
ных внутри треуrольника с вершинами в основаниях биссектрис.
217. Пусть ABCD описанный четырехуrольник, О центр
вписанной окружности, М 1 середина АС, М 2 середина BD,
r радиус окружности (расстояния от О до сторон равны ,),
Х 1 , Уl' ZI' и 1 расстояния от М 1 дО АВ, ВС, CD, DA, Х 2 ' У2'
Z2' и2 соответственно расстояни я ОТ М 2 до тех же C'tOpOH. По-
СI<ОЛЬКУ IABI+iCDI==!BC:+;DA:, то
! АВ I , I 8С I , + I CD : , : D А ! , == о.
Кроме Toro,
I АВ I Х 1 I ВС ! Уl + ! CD I Zl I D А I и 1 == о,
I АВ I Х2 I ВС I и2 + : CD i Z2 I D А I и 2 == О
а это и означает, что точки О, Л1 1 , М 2 лежат на ОДНОЙ прямой
(см. замечание 1{ задаче 215).
Точно так }ке разрираются друrие случаи расположения точек
А, В, С и D и центра окружности. При этом нужно использо-
вать СООlношения, возникающие между отрезками I АВ!, I ВС /,
I CD 1, I DA I (см. задачи 155, 156), и в соответствии с замеча-
нием к задаче 215, если какие-то Две точки окажутся располо-
женными по разные стороны от какой-либо прямой, то соответ-
ствующим расстояниям нужно приписывать разные знаки.
218. Пусть 01 И 02 цeHTpы данных окружностей, прямая 0102
пересекает ОI<РУЖНОСТИ в точках А, В, С, D (последовательно).
РаССМО1РИМ два случая.
а) ПрямоуrОЛЬНИJ{ К L/ИN располо}кен таким образом, что
противоположные вершины К, М лежат на одной окружности,
120
а L и N на друrой. В этом случае, если Р точка пересечения
диаrоналей (рис. 56, а), то
'О1 Р 12 I 02Р 1 2 ==(! 01 К 12 кр 12) (I 02 L 12 ! LP 12)==
==1 01 К :9 I 02 L :2==Rf R ,
rде R 1 и R 2 радиусы окружностей, т. е. точка Р лежит на общей
хорде окружностей, при этом исключае:rся середина общей хорды
и ее концы, так как в этом С.llучае прямоуrольник вырождается.
а)
D
А
Рис. 56.
б) Две соседние верШИI;IЫ прямоуrольника KLMN лежат на
одной окружности, а две на друrоЙ. Поскольку перпендикуляры,
опущенные из 01 на KN и из 02 на LM, должны делить их попо
лам, прямая 0102 является осью симметрии прямоуrОЛI?-
ника KLMN.
Пусть R 2 < R 1 И радиус 02L оБР"'8зует уrол ер с линией цент-
ров. Проведем через L прямую, параллельную 0102' Эта прямая
пересечет окружность 01 в двух точках: Kl и К2' И точке ,L
будут соответствовать два прямоуrольника: K 1 LMN 1 и К 2 LЛ1N 2
(рис. 56, б). При изменении <р от О до п/2 уrол '1', образованный
радиусоМ 01К1 с лучомО 1 0 2 , меняется от О до HeKoTopor8 значения '1'0'
при дальнейшем изменении {J) (от п/2 до п) 'ф у еньшается от '1'0
дО О. При этом центры прямоуrольников К 1LMN 1 опишут OTpe
зок от середины СО дО середины ВС, исключая крайние точки и
точку пересечения этоrо отрезка с общей хордой. Аналоrично,
центры прямоуrольников K 2 LMN 2 будут заполнять интервал
с концами в серединах АВ и AD (концы интервала не входят
в наше множество).
Если три вершины прямоуrОЛЬНИI<а, а значит, и четвертая
лежат на одной окружности, то центр прямоуrольника совпадает
с центром соответствующей окружности.
т аким образом, искомое множество есть объединение трех
интервалов: концы первоrо середина АВ и середина AD, концы
BTopbro середина ВС и середина CD, концы TpeTbero. точки
пересечения окружностей. При этом исключается середина общей
хорды.
219. Если В и С первая и вторая точки отражения, О цeHTp,
...............
то 80 биссектриса СВА. Путь шарика симметричен относитель-
но диаметра, содер.жащеrо С, поэтому А лежит на :;том диаметре.
--.......... --......... --......... .....................
Если вео :::= сва == ер, то АВО ;:: <р, БОА == 2ер, применяя теорему
12.1
синусов к д АВО (: ВО : == R, : ОА 1 =" а), получим . а
Sln <р == sin <р ,
R a R u
откуда cos 2<р== 2а ' и при а > 3 можно наити <р.
О т в е т: указанное множество состоит из точек, расположен-
HbIX вне окружности радиуса R/3.
220. Если А Данная точка,
...............
PDA==90°, AD параллельна
.....
данным прямым, AEN == 90° (рис.
57), то IDA 1==1 АЕ!. Vз, т. е.
D фиксированная точка.
Искомое множество две пря-
мые, перпендикулярные данным
пр ямым.
221. Если прямая АВ не па-
раллельна 1, то существует две
окружности, проходящие через А
и В и касающиеся [. Пусть их
цeHTpЫ Ol и 02' Искомое множество есть прямая 0102' исклю-
чая интервал (01' 02)' Если АВ параллельна [, искомое множе-
ство состоит из одноrо луча, перпендикулярноrо [.
222. а) Пусть (рис. 58) А вершина HeKoToporo треуrоль-
1
ника. Продолжим отрезок АМ за М на величину I MN I == 21 АМ 1.
Точка N является серединой стороны, противоположной вер-
шине А; следоваrельно, N должна находиться внутри описанной
окружности, т. е. внутри оК-
ружности с центром в О и ра-
диусом ! ОА:. Опустим из О
lерпендикуляр OR на AN.
Должно выполняться неравен-
ство I AR ! > : RN 1. Если
../"'...
АМО ;;?:: 900, это неравенство
выполняется автоматически. Ес-
./"....
ли же А/ИО < 900, то должно
бmь IAMi IMRI>IMNI+
I 1
+ I MR 1 => I АМ I 2 I АМ 1>
> 2 I MR ! => I АМ I > 4 I MR 1.
Но R лежит на окружност'И а
с диаметром ОМ; зна'IИТ, А
доля{на быть вне окружности,
rомотетичной окружности а с
коэффициентом 4 и центром rомотетии в Л1. Далее, точка N не
должна попасть на окру>кность а, так как в противном случае
сторона треуrольника, серединой KOToporo она является, будучи
перпендикулярной ON, лежала бы на прямой AN, т. е. все вер-
шины треуrольника были бы на одной прямой.
Следовательно, А не должна лежать на окружности, rOMoTe-
тичной а с центром rомотетии М и коэффициентом 2.
Таким образом, если мы возьмем на прямой ОМ последова
тельно точки L JI К так, что I LO I : I ОМ ; : I МК 1==3 : 1 : 2, и
построим как на диаметре на LM окружность 1 на МК окруж
р
11
N Е
Рис. 57.
"
!J
Рис. 58.
J
tlОСТЬ 2, то искомыМ множестtзом будут все точки вне ОkРУЖНО
сти 1, исключая точки окружности 2, кроме точки К (точка К
ВХОДИТ В наше множество).
б) Если O цeHTp описанноrо Kpyra, M цeHTp тяжести Tpe
уrольника, то К (см. пункт а» будет 1'ОЧКОЙ пересечения ВЫСОТ
треуrольника (см. задачу 20, раздел 1). Но для тупоуrольноrо
треуrольника расстояние от центра описанноrо Kpyra до точки
пересечения высот больше радиуса описанноrо Kpyra. Следова-
тельно, вершины тупоуrольноrо треуrольника находятся внутри
окружности 3, построенной на LK как на диаметре, вне окруж-
ности 1, иСключая точки окружности (при этом вершины тупых
уrлов находятся внутри окружности 2).
223. Пусть (рис. 59) АВС исходный правильный треуrоль-
ник, A1B1C 1 произвольный треуrольник (А 1 С 1 11 АС, А 1 В 1 АВ),
А
11
N
Рис. 59.
о центр Kpyra, 01 точка пересечения высот A 1 B 1 C 1 . Пусть
........................ .....................................................
ВОВ 1 == q>. Поскольку 01ВI1108, ОВ 1 О 1 == <р; так как С 1 О 1 В 1 ==
== С 1 ОВ 1 == 120&, четырехуrольник С 1 О 1 ОВ 1 вписан в некоторую
...............
окружность, и, значит, 010С1 == 01В1С1 == 30° <р. Таким образом,
""""'-
010В==<р+ 120е+зоо fP== 150°, т. е. прямая 001 параллельна СВ.
ДЛЯ Toro чтобы определить, сколь далеко точка 01 может «уйти»
по этой прямо Й, заметим, что Д"ТIЯ определения положения точки 01
нужно через переменную точку В} провести прямую, параллель-
ную OB, дО пересечения с прямой, проходящей через О парал
лельно СВ. Наиболее удаленные точки, очевидно, получатся для
концов диаметра, перпендикулярноrо ОВ. Таким образом, иско-
мым множеством будет MN отрезок прямой, параллельной СВ,
длиной 4R с серединой вО, а все множество бу дет состоять из
трех таких отрезков.
224. Если (рис. 60) АВС данный треуrольник и вершина
описанноrо прямоуrольника AKLM совпадает с А. (В на KL,
С на LM), то L принадлежит полуокружности с диаметром ве,
причем уrлы ABL и ACL тупые, т. е. у L будет два крайних по-
ложения: L 1 и L2' L 1 CA ==L2BA == 90 е , центр же О будет описы-
вать дуrу, rомотетичную L 1 L 2 с центром rомотетии в А и коэф.-
фициентом 1/2.
О т в е т: если треуrольник остроуrольный, то искомое мно-
жество есть криволинейный треуrОJIЬНИК, образованный д)тами
123
полуокружностей, построенных на средних линиях как на диа..
метрах и обращенн'ЫХ внутрь треуrольника из средних линиЙ.
Если же треуrольник не остроуrольныи, то искомое множе..
СТБО состоит из двух дуr полуокружностей, построенНЫХ таким же
образом на двух меньших средних линиях
А
Рис. БО.
225. Если (рис. 61) мы повернем первый квадрат BOKpyr
точки М на 600 или по часовой стрелке, или против, то он дол-
жен целиком попасть внутрь BToporo. Обратно, каждому квад-
рату, расположенному внутри большеrо, равному меньшему, сто..
роны KOToporo образуют уrлы в 300 и 600 со сторонами большеrо
оп С
LJ
А .D
Рис. 61.
соответствует точка М, обладающая ну>кным свойством. (На ри-
сунке этот квадрат обозначен штриховой линией.) Эта точка будет
центром ПОБорота на 60 а , переводящеrо квадрат ABCD в KBaд
рат f1 1 B 1 C}D 17 се можно ПО.пучить из 01 поворотом В нужном на-
правлении на 60 G BOKpyr О. Расс отрим краЙние по.пожения квад-
ратов A 1 B 1 C 1 D 1 (коrда две вершины попадаЮ1 на стороны боль
шеrо). Их центры слуя<ат вершинами квадрата KLRN, сторона
KOToporo соответственно равна Ь а (V :3 + 1) (стороны квад-
рата KLRN параллельны сторонам данных квадратов, центр совпа-
дает с центром большеrо). Таким образом, искомое множество
состоит из объединения двух квадратов, один из которых получен
124
из квадрата KLRN поворотом BOKpyr О на 60. в одном направ-
лении, друrой поворотом на 60° в противоположном направлении.
Задача имеет решение, если Ь ; (У3+ 1) (ТОЧКИ Р и Q
MorYT быть на rранице своих квадратов).
226. Такая точка М одна (рис. 62) центр тяжести треуrоль-
ника (точка пересечения медиан). Леrко видеть, что в этом слу-
чае для любой точки N на rpa-
нице треуrольника в качестве
точки Р можно взять одну из
верLLИН треуrольника.
Возьмем какую-либо дру-
rую точку M 1 . Будем считать,
что эта точка находится внутри
или на rранице 6. AMD, rде
М центр тяжести 6. АВС,
D середина АС. Проведем че-
рез М} прямую, параллельную А
BD, и в качестве N возьмем
точку пересечения этой прямой
с AD, а через М 2 обозначим
ее пересечение с АМ. Очевид-
но, для любой точки Р внутри или на rранице треуrольника
площадь 6. М 1 N Р не превосходит площади одноrо из тре-
Уf{)ЛЬНИКОВ AM 2 N, M 2 NC, M 2 N В. Очевидно также, что S АМ N <
1 I
< S AMD == 6 S. Далее, если I AD i ==
IDCI==a, INDj==x, то
SM 2 NC IM 2 NI INCj a2 x2
S MDC I MD I · I DC j == а2 1.
Наконец,
(J
Рис. 62.
SM 2 NB I M 2 N I
S AMD I MD I
INDI
IADI
(a x) х
== а 2 < 1.
л. л
227. Если А, В, С уrлы 6. АВС,
л " Рис. 63.
то уrлы I.:!. АВ! равны . , 900 +
(рис. 63); следовательно, искомое множество, изображенное на
рис. 63, пара треуrольников, две стороны которых отрезки
прямых, а третья дуrа, являющаяся частью cerMeHTa, пос-
TpoeHHoro на А/ и вмещающеrо уrол а/2.
228. Восставим к ВМ в точке М перпендикуляр, пусть
Р точка пересечения этоrо перцендикуляра и восставленноrо
к исходной прямой в точке В. Покажем, ЧТО величина! РВ I по-
стоянна. Пусть МВС == ер; через К и L обозначим основания пер-
пендикулЯрОВ, опушенных из А и С на МВ. По условию
'МК! ILMI k LC I BCI I AKI IBAj '
I к А Т + I LC l , но I I == I sin q>, ..... S1Л <р.
125
Значит..
I МК 1 I LM I ==k
I дА I sin ер + I ВС : sin ер
IBMI IBKI +;BMI + IBLI k
I ВА I sin ер : ВС : sin ер <=>
I ВМ I ( 1 1 ) + ( ; ВК I I BL \
sin ер I ВА I + j ВС I : ВА , sin ер : ВС I sin ер ) k <=;>
I ВМ \ k I ВА I . i ВС I I Р В I k i ВА I . I ВС I
<=;> sin <р I ВА 1+1 ВС i I I : ВА : + ВС I '
что и требовалось.
Следовательно, искомое множество СОСТОIlТ из двух окружно-
стеЙ, касающихся прямоЙ АС в точке В, с диаметрами, равными
k j БА' . I ВС I
jBAI+!BCI ·
229. Продол/ким AQ за точку Q и возьмем на этом луче точку
1
М так, что IQM! == 2" IAQ!, и точку Al так, ЧТО: МА 1 ! ==: АМ ';
..............................
М середина стороны ВС треуrольника АВС; СВА 1 ==ВСА,
/../ ...............
ABAl==1800 BAC.
Следовательно, если мы построим на А/И, МА 1 и AAl как
на диаметрах окружности, то искомое множество будет состоять
из точек, расположенных вне первых двух и внутри третьеЙ окруж-
ности. ;
230. Разберите 4 случая: треуrольник АВС остроуrольный,
один из уrлов А, В или С тупой. Во всех случаях МОжно выра-
зить величины yr..J10B треуrольника АВН через yr лы треуrольника
АВС.
231. Если концы лучей не совпадают, то искомое множество
состоит из частей следующих линиЙ: биссектрис двух yr лов, обра-
зованных прямыми, содер>кащими данные лучи, серединноrо пер-
пендикуляра к отрезку, соединяющему концы лучей, и двух па-
рабол (парабола есть множество точек, равноудаленных от данноЙ
точки и данноЙ прямой).
Если концы лучей совпадают, то искомое множество состоит
из биссектрисы уrла, образованноrо лучами, и части плоскости
внутри уrла, образованноrо перпендикулярами, восставленными
в концах лучеЙ.
232. Проведем через вершины треуrольника АВС прямые,
параллельные противоположным сторонам. Они образуют 6. A 1 B 1 C 1 ,
подобный 6. АВС; он получается из 6. АВС с помощью rOMo-
тети и , центр которой в общем для АВС и А 1 В 1 С 1 центре
тяжести, а коэффициент равен 2. Точка пересечения высот для
д АВС является центром описанной около A 1 B 1 C} окружности,
Следовательно, точка О центр описанноЙ окружности, G центр
тяжести и Н точка пересечения высот лежат на одной прямой,
1
причем I оаl =="2' ан \, a Ha отрезке он.
233. При доказательстве используется тот факт, что если из
какой-либо точки Р опустить перпендикуляры рк и PL на прямые,
126
пересекающиеся в точке М, то Р, К, L и М будут ле}кать на
одной окружности *) (см. также задачу 157).
234. Воспользуйтесь результатом задачи 62.
235. Поскольку середина F Н лежит н а окружности девяти
точек (см. задачу 162), нам достаточно показать, что и прямая
Симсона, соответств ующая точке Р, делит F Н пополам. Пусть
К проекuия F на какую-либо сторону треуrольника, D OCHO.
вание высоты, проведенной к той же стороне, Н 1 точка пере-
сечения этой высоты с описанной окружностью, !H1D[ == IHD!
(см. задачу 108), L точка пересечения прямой Симеона с той же
высотой и, наконец, М точка на прямой НН 1 , дЛЯ котором
FM 11 KD; тоrда t:::.. РМН 1 == t:::.. KDL ( :РМ ! == I KD l' оба прямоуrоль-
............................ - -
ные и DLK ==МН1Р' поскольку высота треуrольника является
прямой Симсона, соответствующей вершине, из которой она выходит,
и можно воспользоваться утверждением задачи 234). Нетрудно
также показать, что направления Н 1М И DL.... совпадают, т. е.
FКНL параллелоrрамм, откуда и следует наше утверждение.
236. Покажите, что требуемым свойством обладает такая
точка Р на прямоЙ Эйлера, для которой [РО ! == IOH 1 (O цeHTp
описанноrо Kpyra, Н точка пересечения высот); при этом для
каждоrо треуrольника расстояние от центра тяжести до противо-
положной вершины исходноrо треуrольника равно R. rде R pa-
диус окружности, описанной около t:::.. АВС.
237. Пусть С 1 центр описанной около t:::.. АР В окружности,
а С2 точка, симметричная С 1 относительно АВ. Аналоrично для
треуrольников ВРС и СР А определим точки А 1 И А2' В 1 И В 2 .
Поскольку треуrольники АС 1 В, АС 2 В, ВА)С, ВА 2 С, СВ 1 А, СВ 2 А
равнобедренные, с уrлами при вершинах по 120°, треуrольники
А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 правильные (см. задачу 158). Подсчитав
уrлы четырехуrольника с вершинами Р, А2' В2' С 2 , можно дока-
зать, что эти точки (Р, А2' В2' С 2 ) лежат на одной окружности.
Далее, если Н точка пересечения высот треуrольника АРВ, то,
поскольку I РН 1==1 С 1 С 2 1 и, значит, РНС 2 С 1 параллелоrрамм,
прямая С 1 Н (прямая Эйдера треуrольника АР В) проходит через
середину РС 2 . Но РС 2 хорда окружности с центром С l' следо-
вательно, С 1 Н перпендикулярна РС 2 . Таким образом, три наших
прямых Эйлера совпадают с серединными перпендикулярами отрез-
ков РС 2 , Р В 2 И Р А2' а поскольку точки Р, А2' В2' С 2 лежат на
одной окружности, эти прямые пересекаются в ее цeHTpe центре
правильноrо треуrольника А 2 В 2 С 2 . Из результата задачи 161
следует, что эти три прямые Эйлера пересекаются в точке пере-
сечения медиан треуrольника АВС.
238. Необходимым и достаточным условием выполнения всех
четырех пунктов является равенство! АВ I · I CD 1 ==; AD I · I ВС !.
Для пунктов а) и б) это следует из теоремы о биссектрисе внут-
peHHero уrла треуrольника, для пунктов в) И r) из результата
задачи 50.
*) Более подробно о семействе прямых Симеона можно про-
честь в книrе: BaCl1_lbee Н. В., FymeHMaxep В. Л. Прямые и
КРИl3ые, М.: Наука, 1978.
' ?
239. Пусть ABCD данный четырехуrольник. Будем считать,
что yr лы А и D тупые, В и С острые. Обозначим основания
перпендикуляров, опущенных из вершины А, через М и N, а из
вершины С через К и L (рис. 64, а), R точка пересечения MN
и LK. Заметим, что А, К, N, С, L, М лежат на одной окр уж-
ности С диаметром АС. Покажем, что МК IILN: MKL==MAL==
А А ------- J\ А
==D 90o==90o B==KCB==KLN (D и В уrлы четырехуrоль-
ника). Таким образом,
.
MR I I мк I siп МСК
I RN I I LN; sin [AN
А А Л А
sin (С 90 ct + В) sin (900 А + В)
А А === А А
sin (А...... 900 + В) siп (А + в 900)
л А
cos(A B)
А л
sin (А + в 900)
Пусть теперь Р и Q основания перпендикуляров, ОПУШ,енных из
вершины В, а S 1'очка пересечения MN и PQ (рис. 64, б). Так
р
А
fI
о
а)
о)
Рис. 64.
............... л
как PNB==PAB==C, то PNIIDC, т. е. MQNP трапеция (ANBP.........
вписанный четырехуrольник с диаметром АВ). Таким образом,
IMSI IMQI I ABlcos(A+b 1800)
А. А ........
i SN I i РЛТ I I АВ I sin (В+А 900)
. л
cos(A В)
А" .
sin (В + А 900)
(Мы использовали то, что MQ проекция АВ на DC: уrол м.ежду
л А
АВ и DC равен A+D 180 Ф .) Итак, точки R и S делят MN
в одном и том же отношении, т. е. они совпадают; значит, три
прямые пересекаются в одной точке. Леrко 1еперь показать, что
все четыре прямые пересекаются в этой же точке.
240. Найдем, в каком отношении ВС делит MN. Это отноше-
ние равно отношению
SMCB
SCBN
IMCI'iCBI sinMCB
l BN 1.1 JCB ! sin N ВС
...............
МС I cos BCD
/ :.> .............. .
I BN I cosCBA
i28
Аналоrично, отношение, в котором AD делит MN, равно
...........................
I АМ I cos BAD -..--......
...... . Но эти отношения равны, так как BCD == BAD,
! ND I cosADC
.....""""""'"
СВА ==CDA, а f:j. АМС подобен f:). BND, и, следовательно,
,МСI IAMI
j BN I I ND I ·
241. Поскольку окружность с диаметром CD проходит через
фиксированную точку А на MN (MN 1. CD), то
ICNI'INDI==INA:2 (1)
ЕСТЬ величина постоянная. Обозначим f{ер з f( точку пересечения
'NK'
р Q с MN. Покажем, что lI(MT ВСДlIчина постоннная. Заметим.
........................... ..............
что PNQ===180() PMQ; значит,
I мк I s РЛIQ . ! РА1 ! . I MQ I I i\1N I
IKNj == S6,PQiV == iPNI'INQ! jC/VI
(МЫ ВОСПОЛЬЗ0вались равенством (1) и Te 1, что
tJ. JИNС, а lИNQ подобен Ll MND).
242. Проверьте, что точки Аl' А2' Аз и В1' В2' В з находятся
на сторонах треУl"ольника _ 01020з (01' 02' Оз центры ОКРУ>КНО"
стей) или на l1родол кеНИll этих сторон и отношение расстояниЙ
ОТ К8>КДОЙ И3 9ТИХ 1'очеl{ до соотвеТСТВУIОЩИХ вершин треуrоль-
ника 01020з равно ОТНОUlению радиусов соответствующих окружно-
стей. Далее моя{но ВОСПО.1J.ьзоваться теоремой Менелая (см. зада-
чу 193)' для каждой из этих троек точек.
243. Пусть О центр вписанной окружности, К и L точки
касания со сторонами АС 11 АВ, прямая, проходящая через N
параллельно ВС, пересекает стороны АВ и АС в точках R и iИ.
...............----......
ЧетырехуrольиltК OKMN вписанный (ONM ==окм ==90 G ), СJlедо-
............--- ........ ... ............................. ....................... .................................. ---...........
naTeLlIbHo,Oi\1N==OKN; аналоrично ORN==OLN, но OLN==OKN,
......-............
значиr, ORN == Ofl.t1N и Ll ORM равнобедренный, ON BbICUTa;
таким образом,
IMNI
IMN,2
! ND I ' 1 AN I
I I I
MNP подобен
IRNI==INM!.
244. Если стороны f:). АВС равны I ВС I == й, i С А ' == ь,
I АВ I ==с, то, как мы знаем (см. задачу 18, раздел 1), I мс : ::::;:
а+Ь........с
:.==: 2 · Проведе t через К ПРЯ!dУЮ, параллельную АС,
обозначим ее точки пер есечения с АВ и ВС через А 1 и С 1 .
ОКРУЖНОСТЬ, вписанная n Д. АВС, является вневписанной (касается
A 1 C 1 и продо..'1жениЙ ВА 1 и ВС 1 ) дЛЯ д А 1 ВС 1 . Но Д А 1 ВС 1
подобен D. АВС. Следовательно, окружность, вневписанная в АВС,
будет каса'rься: АС в точке N; обозначим точки касания ее с про-
дол}кениями ВА и ВС через R и L. Имеем
1 BR 1 == 1 BL I ""'- (1 BR 1+1 BL !) == - ; (а+ Ь+с).
значит,
: AN 1===1 AR 1==!RBj i ВА 1=== a+ c ==1 МС 1.
5 и. Ф. Шарыrин
129
245. Проведем через К прямую, параллельную ВС. Обозначим
через L и Q ТО1{КИ пересечения касательной в точке Р с пря-
мой ВС и построенной прямой, ей параллелыIй,' а через N
точку пересечения АК с ВС. Так как i CN 1==1 ВМ I (см. зада-
чу 244), то нам достаточно доказать, что I NL 1==1 LM 1, но
I PL 1==1 LM " значит, нужно доказать что I PL 1==1 NL 1.
Поскольку PLN подобен д PQK, в котором I PQ 1==1 QK 1, то
I Р к I ==", N L I и 1 CL I === I LB 1.
246. Пусть М и N....... точки пересечения прямой LK с прямы-
ми 1 и CD. Тоrда I АМ /2===1 ML 1-1 МК 1. Из подобия Tpeyro.пb-
'МКI IMBI
ников кмв и DKN следует I KN I == I DN l ' I мк 1==
== I K 1. B I . Из подобия треуrольников CNL и MLB следует
I ML I == I мв I I ML I === I LN I · I мв I
I LM I I CN I ' 1 CN I ·
Таким образом,
I МК 1 . 1 ML I I KN I · I LN I 1 МВ 1 2 == 1 МВ 12
I CN I · I DN I ' ,
Т. е. IMAI2:::IMBI2, IMA/===(MBI.
247. Пусть (рис. 65) В вторая общая точка окружностей,
С точка на прямой АВ, из ко-
р торой проведены касательные, и,
I наконец, К точка пересечения
I прямых MN и PQ. Воспользо-
, вавшись теоремой синусов и ре-
N эультатом задачи 50, получим
, I РМ I I РМ ! sin РВМ
I МА I == sin пМ-. I МА I ==
[J
Рис. 65.
............
ЕМ I sin Р ВМ
== sin вРм' 1 МА 1 ==
I вм I sin Р ВМ
== IMAI · sinВРМ ==
== "1 / 1 СВ I . sin РВМ
V I СА I sin ВРМ"
T K образом, обозначив через « yroJl АМВ, а через уrол
АРН ( н р постоянны), получим
I Pkll == -.1 1 св i . sin (a+ )
I МА I r I СА j sin ·
Аналоrичио найдем
I AN i .. / I С А ! sin
I N Q J JI I С в j . sin (а + ) ·
130
1 РМ I I AN I I QK I
Но по теореме Менелая (см. задачу 193) I MA1 ' I NQ I · I кр I === 1_
IQKI
Значит, i КР I 1.
248. Проведем через М прямую, параллельную АС, дО пере-
сечения в точках А 1 и С 1 С прямыми ВА И ВС. Имеем
............... . ...............
А 1 КМ ==900 D/(M ==90e KBD ==BAD == КАIМ' следовательно,
КМА 1 равнобедренный и I А 1 М I == j МК j. Аналоrично
IMC 1 1==IMLI, но 1/(MI==jMLt, значит, IA 1 MI==IMC 1 1, т. е.
прямая ВМ делит АС пополам.
249. Пусть М точка пересечения ND и АВ, а Р точка
пересечения касательных к окружности в точках А и D. Посколь-
ку прямые NC, АВ и PD параллельны, из подобия соответст-
вующих треуrольников получим
I АМ I I AN I , I AN I
IDPI INPI ' IAMI==IDPj INPI '
1МВ I I MD I I АР I I АР I
INCj === INDI == INPI ' IMB!==INCI 1NPI '
но I DP 1==1 АР 1, I NC 1==1 AN 1, следовательно, правые части
выражений О) и (2) равны, т. е. I АМ 1==1 МВ 1.
250. Будем считаTh, что D середина СВ и AD пересекает
вторично окружность в точке К. ДокажеМ- J что касательные
к окружности в точках В и С пересекаются на прямой /yIK.
Рассмотрим четырехуrольник СМВК. Для Toro чтобы каса-
тельные к окружности в точках С и В пересекались на диа['онали
'СМ!
МК, необходимо и достаточно (см. задачу 238), чтобы I СК I ==
i МВ J I СМ I I АВ I I BD I i CD I I АС 11МВ I
== i ВК I ,но I ск I == I СК I I DK I == I DK I == I вк I == I вк ,-
(В первом и последнем равенстве исполъзовалось то, что, ввиду
параллельности АМ и СВ, I СМ I ==
==1 АВ!, I АС 1==1 мв 1; во вто-
ром и четвертом........ подобия ABD
II CDK, ADC и KDB; в
TpeTьeM TO, что АD медиана.)
251. Пусть O цeHTp окруж-
ности, N 1 ,M 1 ,P 1 ,R 1 точки, сим-
метричные точкам N, М, Р, R со-
ответственно относительно прямой
ОА, К точка пересечения пря-
мых N 1 R 1 И QS. Нам нужно
доказать, что точки R 1 , S И к
совпадают. Точки N}t М 1 И В
лежаТ на одной прямой, симмет-
ричной прямой NMC; N 1 , Р 1 ,
R 1 также на одной прямой, сим-
метричной прямой N PR (рис. 66).
Точки В, N 1 , Q и К лежат
на одной окружности, так как
.......... ......--....
BN1K ==M1N1P 1 == MNP==pQM == BQK. Точки в, N 1 , Q, R 1 TaK}Ke
........ ......--.... ..............--....
на одной окружности" поскольку N1R1B==N1PIP==NIQP==NIQB.
5*
(1)
(2)
о
u
131
Следовательно, пять точек В, N 1 , Q, R], К на одной окру:жности,
но точки N l' R 1 И К на одной прямой, зн чит, R 1 И К сливаются.
252. Пусть (рис. 67) О......середина АВ, N 1 И N2 ТОЧКИ каса-
ния окружностей 01 и 02 С АВ, 03...... середина 0102' N 3...... основание
перпендикуляра, опущенноrо из 0з на АВ, а и Ь......КатеТы Tpe
уrольника (1 СВ 1== а, I АС 1== Ь), с........ rипотенуза, '1 и '2....... радиусы
окружностей с центрами 01 и 02' Докажем, что I AN 2 1 == I АС 1== ь,
I BN 1 1 == I Ве ! ===а. Обозначим J BN 1 I ==Х, I BD 1== а 2 , I N 1 D:=='l ==
с
а 2 с с а 2 с
== Х......с' I 0011 === 2 rl=== 2 X+c' I N 1 0 '-==х....... 2 . Запишем
теорему Пифаrора для 001N1:
({ X+ 2 Y ==(x y +(x 2 Y,
а 2
откуда х 2 ===а 2 , х==а, т. е. '1 ==a...... . Аналоrично I AN 2 1 ==Ь,
с
Ь 2
'2 == Ь ....... . Теперь леrко найдем
с
а 2 Ь 2
а + ь ...... ......
I OsN 3 1== '1+ == с с
2 2
...... а + ь ....... с .....
..... ....... "
2
rде ,...... радиус вписанной окружности, а
I AN:iI== (1 AN 1 1+i AN21)== ; [c 1 BN 1 1+b]== [Ь + c a],
Т. е. N з совпадает с точкой касания вписанной окружности.
С
А
F
Рис. 68.
А
/'11 .D #5 О H'l
Рис. 67.
/J
253.
Пусть (рис. 68) М ......точКа пересечения AD и KL;
1 .......................
S AKD 2 I АК I .1 AD I sin KAD I АК I .1 CD I
....... S AL D ...... ! I D L I . 1 А D I sin АЬ!: I D L I · ; АР I ·
2 I I I
'КМ I
IMLj
(Мы воспользовались тем, что синусы вписанных уrлов ПрОrIОр.
циональны хордам.) Аналоrично, если М 1 ......точКа пересечения ВЕ
132
и KIJ , пол у чим , что I XM l , I вк ! .1 РЕ I
I MlL I I LE I . I ве I .
6. eLD и FLE имеем
Но из подобия
I АК I I вк I
I АР I ....... I ВС I '
Ll АКР и 6. вке,
ICDI iFEI
I DL I == I LE 1; перемножая 9ТИ равенства, получим, что
I км I I КМ 1 I
! ML ! == I M 1 L I ' т. е. М и М 1 совпадают.
3 а 1\1 е ч а н и е. Можно показать, что утверждение задачи
сохраняет силу, если А, В, е, D, Е и F произвольные шесть
точек на окружности.
254. Обозначим через L и Р точки пересечения прямых АМ
и AN с окружностью. Как следует из задачи 253, прямые BL,
DP и MN пересекаются в одной точке. Но BL и DР диаметры,
пересекаются в центре окружности, следовательно, М N проходит
через центр окружности.
255. Докажем, что центр искомой окружности совпадает с
ортоцентром (точкой пересечения высот). Пусть BD высота,
Н точка пересечения высот, а К и L середины построенных
отрезков, выходящих из вершины В, I ВК 1==1 BL I :=: 1, М сере-
дина BD (рис. 69). Тоrда
I КН \2==1 LH 1 2 ===i МН 12+1 км 12==l2 1 вм 12+1 мн j2==
==l2 I B :2 + (! вн I 1 B 1 У ==l2+1 вн [2 I вн i'l BD 1==
== l2 J ВН I (1 BD ! : вн 1) == l2 I ВН I · I н D 1.
Нам осталось доказать, что произведения отрезков высот, на
которые каждая делится их точкой пересечения, равны. Прове-
дем высоту АЕ. Ввиду подобия
ВНЕ и tJ. AHD имеем I ВН I х
х I HD 1==1 АН 1.1 н Е:, что и тре-
бовалось.
D
А
с
Рис. 69.
А
{J
Рис. 70.
256. Обозначим (рис. 70) длины сторон треуrольника АВС:
I Ве I === а, I е А I == ь, I АВ I == с. Проведем через центр вписанной
окружности прямые, параллельные АВ, и ве, до пересечения с
""'--.. "-
АК и КС в точках Р н Q; в треуrольнике OPQ имеем POQ== Bt
133
a+b c b+c a
I OQ! == 2 p c, ! ОР 1== 2 ==p .a, но по условию
............. А
NBM==B, INBI==p a, IMBI==p c. Следовательно, 6.POQ==
== NBM. Если мы на ПрЯМОЙ ОР возьмем M 1 так, что I OM l j ==
::::: I OQ 1, а на ОQ точку N 1 так, что I ON 1 1 == I ОР 1, то ON 1 M 1 ==
== NBM и соотвеТСТВУlощие стороны ВМ и ОМ 1 , BN и ON 1
ока>кутся параллельными. Значит, N 1 M 1 11 NM. Докажем, что
ОК 1. N М: так как в четырехуrольнике ОР KQ два противополож-
.I'....
ных уrла прямые, то он вписанный, следовательно, окр == OQP ·
N Далее, имеем кОР + БМ 1 == J((jj> +
............................
+OQP==KOP+OKP==90°, а это озна-
чает, что ОК J.. M 1 N 1 .
257. Пусть для определенности Р
..........
лежит на дуrе АС (рис. 71). Точки А,
М, Р, N лежат на одной окружности,
значит, NMP==NAP. Аналоrично, Р, М,
Q, С на одной окружности, PMQ==
............... ..........
== 1800 PCQ== 1800....... Р AN == 180°....... Р MN .
258. Рассмотрим сначала предельный
случай, Kor да точка N находится в «бес-
конечности»; в этом случае прямые AN,
Рис. 71. BN и CN параллельны прямой [. Пусть
расстояния от точек А, 8 и С до пря-
мой 1 равны а, Ь и с (для удобства предположим, что А, В .
и С ПО одну сторону от 1). Пр ямые, параллельные 1 и проходя-
щие через А, В и С, пересекают прямые B 1 C 1t С 1 А 1 И А 1 В 1
I А 1 С 2 1 а+с
в точках А'}" В2' С 2 . Леrко видеть, что I C'},B 1 1 == с + ь '
I BiA21 Ь+а I С 1 В 2 1 :t: . Перемножая эти равенства,
! А 2 С 1 1 === а+с ' I В 2 А 1 1
получим, что выполняется утверждение теоремы Менелая ....... зада-
ча 193 (необходимо еще проверить, что на продолжениях сторон
треуrольника А 1 В 1 С 1 находится нечетное число точек из А2' 82'
С 2 ). Значит, точКи А2' 82' С 2 лежат на одной прямой.
Общий случай можно свести к рассмотренному, напримее,
спроектировав заданное расположение rреуrольников из какои"
либо точки пространства на друrую плоскость. При ЭТОМ можно
добиться, чтобы симметрич.ность треуrольников не нарушалась,
а точка N перешла бы в бесконечность.
Можно не прибеrать к пространственным рассмотрениям. Вве-
дем систему координат, выбрав за ось х прямую 1 и взяв начало
координат в точке N. Сделаем преобразование х' == , у' === ..
х х
При ЭТОМ точки оси х (у==0) перейдут в прямую у' ==0; точки,
симметричные относительно оси х, перейдут в симметричные отно-
сительно прямой у' ==0; прямые перейдут в прямые; прямые, про..
хоДящие через начало координат, перейдут D прямые, параллель-
ные прямой у' == о (это преобразование, по существу, и есть
вышеуказанное проектирование). rIосле тзкоrо преобразования
получим уже рассмотренное расположение.
134
259, Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые оси
х == О и у == о прямоуrольной системы координат, высоты треуrоль.
ника лежат на прямых У== kiX (i === 1, 2, 3), стороны треуrОЛЬНИК8
1
при этом должны иметь уrловые коэффициенты ki ' а из усло-
ВИЯ принадлежности вершин (Xi' у;) высотам находим отношения
свободных членов Ci в уравнениях сторон kiy + Х == Ci: С 1 == k 1 Y8+ X S,
k k Сl klk8 + 1 . П
С 2 == 2УЗ+ Х 8, У3== 3 X S ==> с; == k2 k 3+ 1 и т. п. ри подходящем
k.
выборе единицы длины мОжно взять С; == k +- ki ' rде k сс: kl k8'
Точки пересечения прямой kiY+X k ki с осями: (о; k ki )
( ki . ) ( ki .
И k+ki ' О, середина Pi отрезка между ними 2 (k+ щ) .
1 )
2 (k+kд · Уrловой коэффициент прямой PIP2 равен
( 1 1 ) . ( k2 kl )
\ 2 (k+k 2 ) 2 (k+ k 1 ) · 2 (k+k 2 ) 2 (k+k 1 ) :::
1
;;::: (k 1 k 2 ) : (kk 2 kkt> ==........ т.
Точно такими же будут уrловые коэффициенты прямых Р2 Р В
и Р З Р l' Поэтому точки Рl' Р 2 , Ра лежат на одной прямой (ее
уравнение: ky+x:::;: 1/2).
Соединив прямыми точку Н пересечения высот треуrольника
с точками P 1 , Р 2 , Р3' получаем такое любопытное следствие. Пусть
(Хl' а 2 , Clз уrлы треуrольника, перечисленные f;lРОТИВ часовой
стрелки, a 1 , а 2, llз прямые, на которых лежат противоположные им
стороны; через точку Н проходят три пр ямые Рl' Р2' Р3 так t
что уr.пы между Рз и РЗ, Ра и Рl' Рl И Р2 (отсчитываемые против
часовой стрелки) равны соответственно (Х 1 , (Х 2 ' аз. Tor да точки
пересечения Pl с а 1 , Р2 с а 2 , Рз с аз лежат на одной прямой. Пред-
лаr аем читателю рассмотреть частные случаи этой теоремы (мноrие
из них красивые и далеко не оче- А
видные rеометрические факты) и сопо-
ставить ее с задачей 207. I
Еще одно замечание: в нашей за- , I
даче вместо середин отрезков, Bые-- l," 2rp' I
кземых на сторонах треуrОJlьника, 11?! о' '?/.
можно было бы брать точки, деля .......... Н
щие их в одинаковых отношениях.; 'Р I
Эти точки также окажутся на одном
пр мой. I
260. Пусть (рис. 72) АВС дан-
ный тре уrОЛЬНl1 К" Н точка пересече
ни я ero высот. 3 аметим, что точки,
симметричные Н относительно ero СТО- Рис. 72.
рон, лежат на окружности, описанной
около треyrольника АВС (см. задачу 108). Если Н 1 точка, симмет"
ричная Н относительно стороны ВС, то прямая [1_ симметричная l
относительно той же стороны, проходит через Н 1 . При повороте l
BOKpyr Н на уrол q> прямая 11 повернется BOKpyr Н 1 на тот же
l
уrол q> в противоположном направлении. Слеnовательно, еСJ1И р.......
вторая точка пересечения прямой 11 С описанной окружностью, то
радиус ОР (О центр описанной окружности) повернется на уrол 2ср
BOKpyr О в соответствующем направлении. Те же рассуждения
справедливы и для двух друrих прямых, симметричных 1. Но
если 1 совпадает с какой-либо высотой треуrольника, то утверж-
дение задачи очевидно (точка Р совпадет с соответствующей вер-
шиной треуrольника). Следовательно, это утверждение справед-
ливо Bcer да.
261. Рассмотрим общий случай произвольных окружностей.
Пусть точки F и Р' расположены, как показано на рис. 73. Обо-
значения понятны из рисунка. Докажем, что существует окруж-
ность, вписанная в четырехуrольник АКВМ, после чеrо восполь-
зуемся результатом задачи 242. Для этоrо достаточно доказать,
что
I вр 1+1 ВР' 1==1 АР' 1+1 РА 1. (1)
Учитывая, что I BL 1 == 1 ВТ i, а IFS 1==1 РТ 1, получим I вр 1 =z
== I BL 1......\ F S I и аналоrично I F А 1==1 FQ 1 I АЕ 1, I вр' I ==
== I Р' Р 1.....1 BL 1, I Р' А 1==1 АЕ I \ Р' R 1. Подставляя эти выраже-
ния в (1), получим
I BL I 1 F S I + I Р' Р 1.....1 BL I ==
== I FQ 1 I АЕ 1+1 АВ I I р' R 1
=:) ! F'R 1+1 Р'Р 1==1 FQ 1+1 FS 1::::) I PR 1== ! SQ!.
Точно так же разбираются остальные случаи расположения точек F
и р' на касательных (пр", этом учитываем результаты задач 155,
}(
Рис. 73.
166). Поскольку каждая касательная точками касания и точкой
1
пересечения разделена на 4 части, то таких случаев будет 2 42 ==8.
Для доказательства второй части заметим, что середины АВ.
FF' и центр третьtй окружности Оз, вписанной в АКВМ, лежат
на одной прямой (см. задачу 217).
Но поскольку радиусы данных окру}кностей равны, то АВ
пара.JlлеЛЬН8 010. (ОН 02 центры данных окружностей); А и В
136
лежат на прямых 010з, 020з. Значит, прямая, проходящая через 08
и середину АВ, делит 0102 пополам.
262. Обозначим через Н точку пересечения высот треуrоль-
ника АВС, а через А2' В2' С2 середины отрезков АН, ВН, СН.
Заметим, что треуrольники А8 1 С 1 , А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С подобны между
собой (соответственные вершины обозначены одинаковыми буквами),
причем А2' В 2 И С 2 соответственно центры описанных около них
скружностей. Докажем сначала слеДУЮlliее утверждение: три пря.
мые, проходящие через точ-
ки А2' В 2 И С 2 И одинаково
расположенные относитель .
но треуrольников АВ 1 С 1 ,
А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С, пересекаются
в одной точке на окружно-
сти девяти точек.
Заметим, что прямые
А2Вl' В 2 В и С 2 В 1 одинаково
расположены относительно
треуrольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС ]
и А 1 В 1 С И пересекаются Е
точке В 1 , лежащей на ок-
ружности девяти точек. По-
скольку точки А2' В" С 2 с'
лежат на окружности девя-
ти точек, то очевидно, что
и три прямые, получающие-
ся из прямых А 2 В 1 , В 2 В и
С 2 В 1 поворотом на один и тот же уrол BOKpyr точек А 2 , 82 и С 1
СО01ветственно, также будут пересекаться в одной точке, рас-
положенной на окружности девяти точек.
Пусть теперь Р точка пересечения прямых Эйлера треуrоль.
ников АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С. Обозначим Р А 2 А == <р. Для удобства
будем считать, что треуrольник АВС остроуrольный, а точка Р ле-
...............
жит на дуrе 81A2 окружности девяти точек (рис. 74).
Тоrда ·
А
А,
Рис. 74.
6
р А 2 А 1 == 1800 q:>,
A
Р А 2 В 1 == 1800 q> В 1 А 2 А 1 == 1800....... tp........8 1 C 1 A 1 == 2С ...... ер,
.............. А А
Р А 2 С 1 === 1800 ер + 1800 28 :=:: 360 Q ....... ер....... 28.
Поскольку хорды I р А 1 1, I Р В 1 1 и I РС 1 1 пропорциона.,1ЬНЫ сину-
сам уrлов, на них опирающихся, нам осталось доказать, что из
трех величин sin <р, sin (2C q», ........ sin(2B+cp) одна (8 нашем слу-
чае первая) равна сумме двух друrих, т. е.
А А
sjn q> == sin (2С ....... <р) ....... sin (28 + <р).
Но 8 треуroльнике ААа Н l I AA.I==R, I AH 1 1==2RcosA (R.......pa.
диус описанной окружности, R С08 А........ расстояние 01' центра опи.
..............
caHHoro Kpyra А 2 до B 1 C 1 ), HIAAI==A-f2В 180 Ф . ПО теореме
137
синусов для 6. АА 2 Н 1
2 СOS А 1
==.........
А... ..........;
sin q> sin (28 t- А + q»
2 сos А sin (28 + А + <р) == sin <р ::::)
sin (2.8. 2А +q»...... sin (2В + q» == sin <р ::::>
А А
=> sin (2с..... <р)..... sin (2В + q» == sin <р,
что и требовалось.
Таким образом, мы доказали наше утверждение в случае
остроуrольноrо треуrольника.
Случай тупоуrольноrо треуrОЛЬНИК8 АВС рассматривается
точно так }ке.
263- Пусть D..... середина АС. Восставим в D перпендику-
ляр к АС и обозначим через М точку пересечения ero с ВС.
д АМС ..... равнобедренный, значит, М АС == ВСА. По условию
д АВО также равнобедренный, ABD == BDA, АВ М > 900 (по УСJlО-
...............---........ ...............
вию), ADM ==900, значит, МlЗD> MDB и I MD I > I вм 1. Отсюда
............... ...............
следует, что MAD > МАВ (если мы отобразим 'Симметрично В
относительно прямой АМ, то получим точку В 1 внутри уrла MAD,
так как MD 1.. AD и 'MD I > I мв 1== I МВ 1 1); таким образом,
А ... А А 1...
С> A L, С>2"А.
264. Если окружность касается продолжений сторон АВ и АС
и ее центр О, то леrко найти, чтоВОС==1800 (900 )
( С ) В+С А
...... 90"..... У == 2 == 9 0<9 2' т аким обр азом, ВОС + В АС ==
=о 900 + =1= 180".
265. Пусть AD..... высота, AL биссектр иса, А М ..... медиана.
Продолжим биссектрису до пересечения с описанной около тре-
уrольника окружностью в точке А 1 . Поскольку А1А 1 11 AD, то
............... /"....
MAIA==LAD.
О т в е т: если а < 900, то уrол между медианой и биссектри-
сой больше) чем уrол между биссектрисой и высотой. Если а>
> 900..... наоборот; еСJIИ а == 900, уr..11Ы равны.
266. Если AD высота, AN ---- медиана, М точка пере сече..
ния медиан, то
В + д I DB I I CD j , СВ I I СВ I I СВ I 2
ctg ctg == I AD I '+ I AD I ......! AD I I AN I ==s з ;'MJV I == з"
267. у!з Toro, QTO SJ3AM==SBCM и IBCI>iBA!, ICMI>
........................ ..,.
> I МА 1, следует, что sin ВАМ> sin 8СМ. Значит, если уrлы острые,
.............
то ВАМ> ВСМ., тупым же можеr быть лишь уrол ВАМ; таким
...............
образом, всеrда ВА М > ВСМ.
138
268. Если I ОА I ===а, R р8ДИУС окружности, К точка пере.
сечения ОА и DE, то леrко найти, чrо
а 2 ...... R9 а 2 + R2
I ОК I ===a 2а == 2а > R.
269. Обозначения видны на рисунках. В первом случае
(рис. 75, а) I АВ I < I АА 1 ! + I А 1 В 1 1--1 ! в 1 В 1==1 АА 1 1+1 А 1 С j t
+ I B 1 D 1+1 ВВ 1 1 == I АС 1+1 BD 1. Во втор 0:\1 случае (рис. 75, б)
с
А
IJ
11)
А
lJ
о)
Рис. 75.
I АВ I > I вк I i АК I > ! ВЕ I I АС 1. Обратное утверждение
леrко доказывается от противноrо.
.. 270. Пусть К, L и М точки пересечения проведенных пря-
МЫХ с АС. Обозначим ! АС 1== ь, I 8е I ==а, ! АВ i ==с, I BL : == 1.
По теореме о биссектрисе ВНУ'fрениеrо уrла найдем I LC ! == + Ьа ;
а с
применяя еще раз эту теорему для BCL, найдем
I LM i == I LC 1 1 ВL.li C I == a c l a == a c (1 a t ).
А А
........... В А n A+C.. А..
но BLA === 2 + С::=: 2 > А (так как С> ЗА n), значит,
c>l и
iLM 1== a c (l a l )< a c (l a c )==b (a C2) : '
271. Если АВСD данный четырехуrольник, то возьмем четы.
рехуrольник AB 1 CD, rде В 1 симметрична В относительно сере.
дин;моrо перпендикуляра к диаrонали АС. Очевидно, плещади
ABCD и AB 1 CD равны, стороны AB 1 CD в порядке обхода равны Ь,
1
а, с, d. Неравенство S 2 (ac+bd) для четырехуrольника AB 1 CD
j .............. ..........................
оче8ИДНО. РЗВ(}Ij(t1'ВQ будет. если DAB1==BICD==90 , т. е. четы
рехуrольник AB 1 CD вписанный, с двуми противоположными
уrлами по 900; значит, .4ВСй тоже вписан (в ту же окружность)
Н. ero диаrонали псрпендику лярны.
}39
27,. Рассмотрим два случая:
А
1) Данный треуrольник АВС остроуrольныА. Пусть В наи-
А
больший уrол: 600 J:j < 90 . Поскольку биссектрисы уrлов А
и С меньше 1, то и высоты этих уrлов h А и hc меньше 1. Имеем
hAh c Vз
S Аве == А <............... .
sin В 3
2) Если один из уr.лов треуrольника, например В, не острый,
то стороны, ero заключающие, меньше соответствующих биссек-
1
трис, т. е. меньше 1, а площа,r;.ь не превосходит 2! АВ 1.1 АС 1.
т. е.
1 УЗ
SABe 2<3'
273. Пусть с наибольшая сторона, противолежащая вер-
шине С. Если a2+b2+c2 8R2 > О, то а 2 +Ь 2 > 8R2 c2 > с 2 (так
как с < 2R), т. е. треуrольник остроуrольный. Обратно, пусть
3 .
треуrольник остроуrольный; тоrда а 2 + Ь 2 + с 2 == 2т + 2 с 2 (mc
медиана к стороне с); поэтому, чем меньше медиана, тем меньше
а 2 + Ь 2 + с 2 , но медиана максимальна, если С середина дуrи, и
уменьшается при перемещении С по дуrе; Kor да же треуrольник
станет прямоуrольным, будет a2+b2+c2 8R2==0.
274. Допустим противное, например, что с а; тоrда 2с
с + а > Ь; возводя неравенства в квадрат и складывая, получаем
5с 2 > а 2 + Ь 2 противоречие.
275. Нетрудно доказать, что биссектриса уrла В является так}ке
и биссектрисой уrла ОБН (то }ке верно и для уrлон ОАН, ОСН).
На рис. 76 й, б изображены случаи остроуrольноrо (а) и тупо-
уrольноrо треуrольников (6). Решение в обоих случаях
одинаково.
А
о
IJ
А
о
11)
q)
н
Рис. 76.
"-
Пусть, например, С 900 (рис 76, б). Биссектриса уrла В явля-
ется биссектрисой ОВН! а биссектриса уrла А является бис-
140
сектрисой уrла О АН. Далее, ВAii == 90(!) В < 90 е А. == Aiir;
значит, I АН 1> I вв 1.
Если I( и М точки пересечения биссектрис yr лов А и В
с О Н, то ,
IНКI 'АН! 'АН! 'ВВI /ВНI /НМI
! ко I == 1 АО 1 == R > R == I ОВ I == I МО I ·
Таким образом, I Н К 1> ! нм; и точка пересечения биссектрис
уrлов А и В находится внутри Д ВОН.
276. Обозначим I АВ I == I ве 1== а, I АМ : ==с, ! МС 1 == ь, 1МВ 1==
...............
== т, ВМО=='Ф, МВО==ер.
Нужно доказать, что I ОВ 1> ! ОМ 1, или что '" > ер, или что
cos Ф < cos <р.
По теореме косинусов llля f). МВ А и Ь МВС получим
т2+b2 a2 т2+a2 c2
cos 'ф 2тЬ ' cos ер == 2та '
т2+a2 c2 т2+b2 a2
cos ер cos '" == 2пza 2тЬ ==
т 2 (b a) ab (b a)+a3 c2b
2таЬ
т 2 (b a) a (b2 a2)+b (a2 c2)
2таЬ
но a c==b a, эначит,
(b a) (m2 ab a2+ab+bc)
ep "'== 2 b ==
(b a) (т2 a2 b (2a b» (b a) (т2 (a b)2)
2таЬ 2таЬ
(b a) (m+b a) (т a+b) О
2таЬ > ,
что и требовалось доказать.
277. Проведем через М прямую, параЛ,,'1ельную АС, 110 пере-
сечения с АВ в точке К. Леrко найдем
К I ---- , I АВ I I М К J ____ I МВ I АС I
I А 1----: СМ I I СВ l ' I 1----1 I I СВ I ·
Поскольку I АМ I ::=; I АК 1+1 км 1, то, заменяя I АК i и I км 1,
получим
I АМ I I см 1. ! АВ I + 1МВ i · I АС !
I I ВС I I с в I '
I АiИ 1. I ВС I I СМ 1. I АВ 1+(1 ве I I МС 1) i АС 1,
(1 АМ 1......\ АС 1) I ВС I ::=;; (1 АВ ; I АС 1)1 МС 1,
что и требопалось.
а 2 +Ь 2 +с 2
278. Л'lинимум равен 3 и достиrается, если М
центр тяжести АВС. (Это можно доказать, например, методом
координат или воспользовавшись теоремой ЛеЙбница см, за-
дачу 153.)
141
279. «Спрямим» путь шара, для чеrо вместо Toro, чтобы «отра-
>I{aTb» Ula р от борта, будем отражать зеркально относительно этоrо
борта сам бпллиард. Мы получим систему лучей с общей верши..
ной, любые два соседних луча образуют уrол а. Максимальное число
.1Iучей системы, которое может пересечь прямая, и есть макси..
мальное число отражений шара. Это число равно [ : ] + 1, если
n n
не целое число ([х] целая часть х); если же число це..
а а
лое, оно равно максимальному числу
отражений.
280. Если дороrи построить так,
как показано на рис. 77 (А, В, С
и D деревни, дороrи сплошные ли-
нии), то их суммарная длина будет
8 3 + (2 2 з ) ==2+2 УЗ < 5,5.
Можно по азать, что указанное рас..
положение дороr реализует минимум
их суммарной длины.
281. Если одна И3 сторон тре-
Рис. 77. уrольника, ПРОХОДЯЩ8Я через А, обра
зует уrол q> с прямой, перпендику
лярной данным параллельным прямым, то друrая сторона будет
образовывать уrол 1800 <p a; найдя эти стороны, получим,
что ПЛОlЦадь треуrольника будет
аЬ sin а. аЬ sin а
===
2 cos <р cos (ер + а) cos а + cos (а + 2ер) ·
Это выражение минимально, если а + 2<р == 180":
аЬ sin а а
О т в е т: Smin == 1 == аЬ ctg 2 .
cos (у"
S ACD I АМ I SBCD I B/1/1 I
282. Поскольку S == МО I == k, S == I О/И k' 2, ТО
OCD! OCD I I
S ACBD == S ACD + S BCD == 2 (k + 1) SOCD. Следова'rельно, 11.п ощадь
ACBD будет наибольшей, коrда наибольшей будет площадь тре..
уrОJIьника COD. Но треуrольник COD...... равнобедренный, с боко"
вой стороной, равной R; значит, ero площадь максимальна, коrда
достиrает максимума синус уrла при вершине о. Обозначим этот
уrол через «>. Очевидно, «>0 ер < п, rде <ро соответствует случаю
перпендикулярности АВ и CD. Следовательно, если <1'0 90°, то
максимальная плоlЦадь ьл COD соответствует значению <р! == 900,
если же <ро > 900, то значению <Ро.
ОТ8 ет: если k Y2e600001, то Smax==(k+ l) R2;
2 k + 2
если k > r 2 1) то S rnах == k + 1 ' R.
283. Пусть М 1 и N 1 ДBe друrи точки на сторонах уrла
.......................... ......................
(рис. 78). Тоrда M 1 AN 1 === , АЛ1 1 Л1 =::t 3600 о; - ON lА >
....... ............... .,...... ..............
> 1800 ОNIА==АЛТIN. Отсюда, ЧИТЫБая, что iИ 1 АМ==N 1 АN.
142
получим, что I М 1 А I < I AN11 И, значит, SM 1 AM < S ANIN такиМ
образом. SOMI AN 1 < SOMAN.
о
N
Рис. 78.
Рис. 79.
284. Учитывая результат предыдущей задачи, нам нужно
выяснить, при каких условиях можно найти на сторонах уrлса
...............
точки М и N такие, что MAN ==(} и I МА 1==1 AN 1. Опишем около
треуrолъника MON окружность (рис. 79). Поскольку <р+'Ф+f} <
< 180°, точка А будет вне ее. Если L точка пересечения пря-
мои ОА с окружностью, ТО должны выполняться неравенства
.............."""-..... """-................."""-..... р............."""-.....
AMN==900.......2">LMN==LON и ANM==90E> 2 >LOM. Таким
образом, если выполняются условия
I 'P<900 '
ф<90Ф '
можно найти точки М и N такие, что I МА 1==1 AN I и MAN ===р.
Если же условия не выполняются, таких точек найти нельзя.
В этом случае четырехуrольник максимальной площади вырож-
дается в треуrольник (одна из
точек М или N совпадает с О).
285. Возьмем точку А 1
на ве (рис. 80). Четырехуrоль-
ник OMA 1 N равновелик четы-
.........--.....
рехуrольнику OMAN. MA1.N <
..,........,--.........
< MAN, следовательно, если мы
возьмем точку M 1 на ОБ так, что
M 1 A 1 N == MAN, то SOM 1 A 1 N>
> SOMAN; значит, площадь
четырехуroльника OMAN мень-
ше площади маКСИМВJIьноrо
четырехуrольника, соответст-
вующеrо точке Аl' что <: учет м результатов двух предыдущих
задач доказывает наше утверждение.
о
о
н
Рис. 80.
с
143
286. Пусть для onpeдe...ТIeHHOCTIl sin а sin ; возьмем на про..
,.............. ...,.---
должснии АВ точку К так, что ВКС == (рис. 81); так как СВК ==
-- ADC (поскольку АВСD вписанный), то Д. КВСподобен ACD,
но I 8С 1;::::/ CD 1, следовательно, S ВСК
SADC и SAKC?:;;SABCD, но
Аналоrично доказывается, что S ABCD
а 2 sin (а+ В) sin
2 . ·
Sln а
287. Рассмотрите друrое положение
точек М 1 и N] (M 1 AN 1 == ) И покажите,
учитыва я усл( t,;fe а + > 1800, что «до-
бавившийся» треуrольник имеет ббльшую площадь, чем треуrоль..
ник, на который площадь уменьшается (аналоrично решению за..
дачи 283).
288. Учитывая реЗУJlьтат задачи 287, рассуждая точно
так же, как в задаче 279, получим, что, если <р> 90. и
'ф >90" ,четырехуrольник наименьшей площади существует и
для Hero I МА 1==1 AN 1- Если же это условие не вып(;лняется, то
искомый четырехуrольник вырождается (одна И3 точек М или N
совпадает с вершиной О).
289. Возьмем точку А, дЛЯ которой выполняются условия
задачи, и какую-то друrую точку А 1 . Проведя через А 1 прямые,
параллельные АМ и AN, пересекающие стороны в точках М 1 и N 1,
мы убедимся, что SOM 1 A 1 N 1 < 30М AN' и, следовательно, тем более
ПЛощадь минимальноrо четырехуrольника, соответствующеrо
точке Аl' меньше площади четырехуrольника OMAN минималь-
Horo четырехуrольника, соответствующеrо точке А.
290. Радиус наибольшеrо Kpyra равен радиусу окружности,
описанной около правильноrо треуrольника со стороной 2R, т. е.
2R/VЗ. (Возьмем такой треуrольник и на ero 'сторонах как на
диаметрах построим окружности.) Для любой окружности боль-
шеrо радиуса, если бы она была покрыта данными круrами, наш..
лась бы дуrа болыпе чем в 120°, покрытая одним KpyroM} но такая
nyra содержит хорду 2R противоречие.
В общем случае, если существует остроуrольный треуrольник
:0 сторонами 2R 1 , 2R2' 2Rз, то радиус описанной около Hero
окружности и будет искомым. Во всех остальных С 1учаях радиус
наибольшеrо Kpyra равен наибольшему из чисел R 1 , R 2 , R з .
291. MOiKHO. На рис. 82 показа ны три квадрата j покрываю
щие квадрат со стороной V У5: 1 > .
s == а 2 sin (а + ) sin а
А К С 2 sin '
т. е.
а
S а 2 sin (а + ) sin а
ABCD 2 siI1
А
:D
Рис. 81.
144
292. Заметим сначала, что сторона наименьшеrо правИ,r;ьнgrо
треуrольника, покрывающеrо ромб со стороной а и острым
уrлом 600, равна 2а. В самом деле, если вершины острых уrлов М
и N ромба находятся на сторонах АВ и 8С правильноrо тре-
...............
уrольника АВС и В N М == а., 900;:::: а ;;::= зо(), то, найдя I в N I по
теореме синусов из BNM и
I CN I по теореме синусов из
fj, К NC (1( вершина Tynoro
уrла ромба, которая, МО)l{НО
считать, расположена на сто-
роне АС), получим для I ВС I
после преобразований вырал{е-
ние I ВС I == 2а cos (600 а) .
cos 300 ,
учитывая, что зо э а 900,
найдем, что I ВС 1;:::: 2а.
Леrко видеть, что правиль-
ный треуrольник со сто роной
3/2 можно покрыть тремя пра-
вильными треуrольниками со
стороной 1. Для этоrо каждый
единиЧНЫЙ треуrольник поло-
жим так, чтобы одна ero вер-
шина совместилась с одной из вершин покрываемоrо треуrоль..
ника, а середина противоположной стороны совпала бы с цент-
ром покрываемоrо треуrольника.
Покажем теперь, что правильный треуrОJlЬНИК со стороной
Ь > 3/2 нельзя покрыть тремя правильными единичными треуrоль-
никами. Если бы такое покрытие было бы возможно, то вершины
А, В и С были бы покрыты разными треуrольниками, а каждая
из сторон АВ, ВС, СА покрывалась бы двумя треуrОJIьниками.
Пусть А принадлежит треуrольнику 1, В 11, С 11 1, центр тре-
уrольника О принадлежит, например, треуrольнику 1. Возьмем
на АВ и АС точки М и N так, что I АМ I == I А N I == Ь. По-
2
скольку I ВМ 1==1 CN 1==з ь > 1, точки М и N также ПрИН8дле-
жат треуrольнику 1 и, следовательно, ромб AMON целиком
покрыт треуrольником, сторона KOToporo меньше 21 АМ 1> 1,
что невозможно.
'АМI ICN\ IML\
293. Обозначим ОТНОIllения : MC j ' i N в'! и lLM i через а., р и у.
р
Тоrда будем иметь (см. решение задачи 35) Q .t: a. 1',
S==Q (а.+ 1) ( + 1) (у+ 1). Затем воспользуемся неравеНСТБОМ
3
(а + 1) ( + 1) (у + 1) (V a y +lj1.
Рис. 82.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
К РАЗДЕЛУ 11
1. Две вершины треуrолъникз, центр впи-
санной окружности и точка пересечения ВЫСОТ лежат
на одной окружности. Известны также радиусы вписан-
ной и описанной окружностей....... R и '. Найти периметр
треуrольника.
2. В треуroльнике АВС помещены три paBHple
окружности, каждая из которых касается двух сторон
треуrольника. Все три окружности имеют одну общую
точку. Найти радиусы этих окружностей, если радиу ы
вписанной и описанной окружностей треуrольника АВС
равны r и R.
3. Доказать, что ДЛЯ любоrо прямоуrольноrо тре... ..
уrольника радиус окружности, }<асающейся ero катетов
и оппсанной окружности (изнутри), равен диаметру
u
вписаннои окружности.
4. Задача Архимеда. Пусть А, В и С три после-
довательные точки на прямой. Фиrура, оrраниченная
дуrами трех полуокружностей с диаметрами АВ, ВС
и СА, расположенными по одну сторону ОТ прямой АВС,
носит название сапожный нож или арбелос Архимеда.
Доказать, что радиусы двух окружностей, каждая из
которых касается двух полуокружностей и прямой,
перпендикулярной АС и проходящей через В, равны
между собой.
5. Дан параллелоrрамм ABCD. Прямая, проходящая
через вершину С, пересекает прямые АВ и AD в точ-
ках К и L. Площади треуrольников КВС и CDL равны
р и Q. Найти площадь параллелоrрамма ABCD.
6. Доказать, что если треуrольник, составленный
из медиан данноrо треуrольника, является тупоуrоль..
u
ным, то меньшии уrол исходноrо треуrольника мень-
ше 450.
7. Через точку пересечения диаrоналей четырех
уrольника ABCD проведена прямая, пересекающая АВ
146
в точке М и CD в точке N. Через М и N проведены
прямы , соответственно пара.плельные CD И АВ и пере-
секающие АС и BD в точках Е и Р. Доказать, что
ВЕ параллельна СР.
8. На сторонах выпуклоrо четырехуrОJIьника во
внешнюю сторону построены квадраты. Доказать, что
если диаI'онали четырехуrольника перпендикулярны,
то отрезки, соединяющие центры противоположных
квадратов, проходят 9ерез точку пересечения диаrона-
u
леи четырехуrольника.
9. На прямой расположены последовательно точки
А', В, С и D так, что I ВС 1== 21 АВ 1, I CD I == I АС 1.
Одна окружность проходит через точки А и С, а дру..
rая через точки В и D. Доказать, что общая хорда
этих окружностей делит отрезок АС пополам.
10. Доказать, что проекции основания высоты на
стороны, ее заключающие, и на две друrие высоты
е, U ....
ле)кат на однои прямои.
1 t. Три равные окружности проходят через точ-
ку Н. Доказать, что Н является точкой пересеЧf\НИЯ
высот треуrольника, вершины KOToporo совпадают с
тремя друrими точками попарноrо пересечения окруж-
ностей.
12. Четыре равные окружности проходят через одну
точку А. Доказать, что три отрезка, концы каждоrо
из которых отличны от А и являются точками пересе-
чения двух окружностей (противоположные концы каж-
доrо отрезка не принадлежат одной окружности),
пересекаются в одной точке.
13. Докаэ-ать, что если центры квадратов, построен-
ных на сторонах данноrо треуrольника во внешнюю
сторону, служат вершинами треуrольника, площадь
KOToporo в два раза больше площади данноrо, то
центры квадратов, построенных на сторонах треуrоль-
ника во внутрь ero, лежат на одной прямой.
14. В треуrольнике АВС уrол между медианоЙ и
высотой, ВЫХОДЯЩИl\1И из уrла А, равен а, уrол меж-
ду медианой и высотой. выходящими из уrла В, ра-
вен р. Найти уrол между медианой и высотой, выхо-
дящими из yr ла С.
15. Радиус Kpyra, описанноrо около треуrольника,
равен R. Расстояние от центра этоrо Kpyra до точки
пересечения медиан треУl ольника равно d. I-Iайти про-
изведение площади данноrо треуrольника и треуrоль-
147
ника, оБР8ЗОВ8нноrо прямыми, проходящими через ero
вершины перпендикулярно медианам, из этих вершин
выходящим.
16. Точки А 1 , Аз и А5 расположены на одной пря-
мой, 8 точки А 2 , А 4 , А6 на друrой прямой, пересе-
К8ющейся с первой. НаЙти уrол между этими прямыми,
если известно, что стороны шестиуrольника (возмож-
но самопересекающеrося) АIА2АзА4АйА6 равны между
собой.
17. Две ОКРУЖНОСТИ с центрами 01 и 02 касаются
изнутри окружности радиуса R с центром о. Извест-
но, что 101021 === а. Общая внутренняя касательная к
первым двум окружностям пересекается с их общими
внешними касательными в точках М и N и пересека-
ется с большей окружностью в точках А и В. Найти
отношение I АВ 1: I MN 1, если
а) отрезок 0102 содержит ТОЧI{У О;
б) окружности с центрами 01 и 02 касаются друr
друrа.
18. На продолжении стороны АВ треуrольника АВС
за точку В взята ТОЧI<8 D так, что I BD 1== I CD 1. Точно
так же на продолжении стороны СВ за точку В взята
точка F так, что I вр I == 1 АВ 1. Доказать, что точки'
А, С, D и F лежат на одной окружности, центр
u u
которои находится на окружности, описаннои около
треуrольника АВС.
19. Пусть Аl' в 1 , С 1 основания перпендикуля-
ров, опущенных из произвольной точки М на стороны
ВС, СА, АВ соответственно треуrольника АВС. Дока-
зать, что три прямые, проходящие через середины от-
резков В 1 С 1 и МА, С 1 А 1 и МВ, А 1 В 1 И МС, пере-
секаются в одной точке.
20. Даны треуrольник АВС и произвольная тс>чка Р.
Основания перпендикуляров, опущенных из Р на
стороны треуrольника АВС, служат вершинами тре-
уrольника AIB1C t . Вершинами треуrольника А 2 В 2 С 2
служат точки пересечения прямых Р А, РВи РС с ок-
ружностью, описанной около треуrольника АВС, отлич-
ные от точек А, В и С. Доказать, что треуrольники
А 1 В 1 С 1 и А 2 В 2 С 2 подобны. При каком ПОlIтхо}кении точ-
ки Р эти треуrольники будут подобны треуrольнику
АВС?
21. На сторонах 448 и С D выпуклоrо четырехуrоль-
ника ABCD взяты точки М и N, делящие их в одина-
1 8
ковом отношении (считая от вершин А и С). Эти точки
соединены со всеми вершинами четырехуrольника, в
результате чеrо ABCD разбит на шесть треуrольников
и один четырехуrольник. Доказать, что площадь полу-
чившеrося четырехуrольника равна сумме площадеЙ
двух треуrольников, прилежащих к сторонам ВС и AD.
22. В окружности проведены диаметр АВ и не пе-
ресекающая ero хорда CD. Пусть Е и F основания
перпендикуляров, опущенных из точек А и В на пря
мую CD. Доказать, что площадь четырехуrольника
АЕРВ равна сумме площадей треуrольников АСВ и ADB.
23. В треУl"ольнике АВС проведены биссектрисы
AD, ВЕ и СР. Прямая, перпендикулярная AD и про-
ходящая через середину AD, пересекает АС в точке Р.
Прямая, перпендикулярная ВЕ и проходящая через
середину ВЕ, пересекает АВ в точке Q. Наконец, пря-
мая, перпендикулярная СР и проходящая через сере-
дину СР, пересекает СВ в точке R. Доказать, что
треуrольники DEF и PQR равновелики.
24. Окружность, вписанная в треуrольник АВС,
касается стороны АС в точке М, стороны 8е в точ-
ке N; биссектриса уrла А пересекает прямую MN в
точке К, а биссектриса уrла В пересекает прямую
MN в точке L. Доказать, что из отрезков МК, N L и
Kl" можно сложить треуrольник. Найти площадь этоrо
треуrольника, если площадь треуrольника Аве равна
А
S, уrол е равен а.
25. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты две
точки М и N так, что I ВМ 1+1 BN 1== I АВ 1. Доказать,
что ПРЯ iые DM и DN делят диаrональ АС на три от-
резка, из которых можно сложить треуrольник, при-
чем один уrол этоrо треуrольника равен 600.
26. Дан треуrольник АВС. Прямая l пересекает
стороны ВС, СА и АВ (или их продолжения) в точках
К, L и М. P произвольная точка. Прямые РК, PL и
Р М вторично пересекают окружности, описанные око-
ло треуrольников РВС, РСА и Р АВ, в точках А 1 , 81
И С 1 . Доказать, что точки А 1 , Вl' С 1 И Р расположе-
ны на одной окружности.
27. Доказать, что три окружности, каждая из ко-
торых проходит через вершину треуrольника, основа-
ние высоты. опущенной из этой вершины, и касается
радиуса 6писанноrо около треуrольника Kpyra, про-
веденноrо в эту вершину, пересекаются в двух
149
точках, распо.поженных на прямой Эйлера данноrо тре-
уrольника.
28. Рассмотрим три окружности, каждая из кото-
рых проходит через одну вершину треуrольника и ос-
нования двух биссектрис внутренней и внешней, вы-
ходящих из этой вершины (эти окружности носят на-
звание 01 ружносmей АnОЛЛОНtlя). Доказать, что
а) эти три окружности пересекаются в двух точ-
ках М 1 и М 2 ;
б) прямая М 1 М 2 проходит через центр Kpyra, опи-
caHHoro около данноrо треуrольника;
в) основания перпендикуляров, опущенных из то-
чек М 1 и М 2 на стороны треуrольника, слу}кат верши--
пами двух правильных треуrольников.
29. Выпуклый четырехуrольник разделен диаrона-
лями на четыре треуrольника. Доказать, что прямая,
соединяющая центры тяжести двух противоположных
треуrольников, перпендикулярна к прямой, соединя.
t.O
ЮLЦеи точки пересечения высот двух друrих треуrоль-
ников.
30. ABCD выпуклый четырехуrольник. Рассмот-
рим четыре окружности, каждая из которых касается
трех сторон этоrо четырехуrольника.
а) Доказать, что центры этих окружностей лежат
v
на ОДНОМ окружности.
б) Пусть '1, '2, 'з, '4 радиусы этих окружно-
стей (rl не касается, стороны DC, аналоrично '2
не касается стороны DA, '3..... АВ, ,4...... ВС). Доказать,
что I АВ 1 + I CD I == I ве I + J AD , .
'1 '3 '2 '4,
31. Внутри выпуклоrо четырехуrольника ABCQ
взята произвольная точка М. Доказать, что I SMAB Х
Х SMCD 5MBC' SMDA 1== SMAC' 5MBD.
32. Четырехуrольник ABCD вписан в окружность.
Четыре окружности касаются данной в точках А, В,
С и D. Пусть й, Ь, с, d, т и n длины общих внешних
касательных к окружностям, касающимся даннuй в точ-
ках А и В, В и С, С и D, D и А, А и С, В и D соответст-
венно. Доксзать что тn == ас + bd (обобщенная meо-
ре.'иа ПтОЛf!мея)
33. В равнобenренном треуrольнике АВС (1 АВ 1
=== I ве;) D сереДИН8 АС, Е проеКllИЯ D на ВС, р........
середина DE. Доказать, что прямые Bf' и АВ перпен"
дикулярны.
15 )
34. Окружность, вписанная в треуrольник Аве,
касается сторон АВ и JlC в точках С 1 и B 1 , а окруж
ность, касающаяся стороны ЕС и продолжений АВ и
АС, касается прямых АВ и АС в точках С 2 и B .
Пусть D........ середина вс. Прямая AD пересекается с
прямыии В]С 1 И В 2 С 2 В точках Е и Р. Доказать, что
ВЕСР....... параллелоrрамм.
35. Даны точка А и прямая l. В произволъная
точка l. Найти rеометричеекое место точек М таких,
что АВМ правильный треуrольник.
36. Дан правилъныIй треуrольник АВС. На продол-
жении ero сторон АВ и АС за точки В и С взяты точ-
ки D и Е так, что I BD 1./ СЕ 1 ==, Ее 12. Найти reOMeT-
рическое место точек пересечения прямых DC и ВЕ.
37 Дана окружность с -центром О и точка А.
Пусть В произвольная точка окружности. Найти reo-
метрическое место точек пересечения касательных к
окружности в точке В с прямой, проходящей через О
перпеНДИКУЛЯРНQ АВ.
38. Даны окружность и две точки А и В на ней.
Пусть N произsольная точка прямоji АВ. Построим.
две окружности, каждая из которых проходит через
точку N и касается данноЙ: одна в точке А, а дpy
rая в точке В. Обозначим через М вторую точку пе..
ресечения этих окружностей. Найти rеометрическое
место точек М.
39. Стороны треуrольника являются диаrоналям:и
трех параллеllоrраммов, стороны которых параЛJIель
ны двум заданным прямым плоскости. Доказать, ЧТО
три диаrОRЗЛИ этих параллелоrраммов, отличные от
сторон треуrолъника, пересек-аются в ОДНОЙ точке М.
Найти rеометрическое место точек М, если эти пар ал..
лелоrраммы становятся прямоуrольпикзми.
40. Пусть В и с...... две фиксированные точки окруж-
ности. А произвольная точка этой окружности.
Пусть Н точка пересечения высот треуrольника АВС,
D точка пересечения биссектрисы уrла ВАС с окруж-
HocTы,, М проекция Н на AD. Найти rеометрическое
место точек М.
41. Даны два правильных треуrольника АВС и
A 1 B 1 C 1 . Найти rеометричеСl<ое место таких точек М,
что два треуrольника, составленных из отрезков МА,
МВ, МС и МА 1 , МВ1, MC 1 соответственно, рэвнове-
ЛИКИ.
151
42. Доказать, что в треуrольнике АВС биссектри
са уrла А, средняя линия, параллельная ВС,_ и пря-
мая, соединяющая точки касания вписанной окружно
сти со сторонами АВ и АС, пересекаются в одной точке.
43. На сторонах 8С, СА и А8 треуrольника АВС
построены треуrольники A1BC, В 1 СА и С 1 АВ так, что
............... .......................... ........................
A1BC == С 1 ВА, С 1 АВ == В 1 АС, В 1 СА == А 1 С8. ДOKa
зать, что прямые AA 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в одной
точке.
44. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АВС
взяты точки At, Вl' С 1 , а на сторонах В 1 С 1 , C 1 A 1 ,
А 1 В 1 треуrольника А 1 8 1 С 1 взяты точки А2' В 2 ,С 2 .
Известно, что прямые АА1' ВВ 1 , СС! пересекаются в
одной точке, а также, что прямые А 1 А 2 , 8 1 В 2 , С 1 С 2
тоже пересекаIОТСЯ в одной точке. Доказать, что
прямые АА 2 , ВВ 2 , CCi пересекаются в одной точке
(или параллельны).
45. Дан треуrольник АВС, А1' В1' С 1 середины
сторон ВС, СА и АВ, К и L основания перпендикуля"
ров, опущенных из вершин В и С на прямые А 1 С 1 и
AIBl соответственно, О........ центр ОКРУЖНОСТJf девяти то-
чек (см. задачу 162). Доказать, что прямая А 1 О дe
лит отрезок KL пополам.
46. Пусть точки Аl' Вl' С 1 симметричны некоторой
точке Р относительно сторон ВС, С А и АВ треуrоль-
ника АВС. Доказать, что
а) окружности, описанные около треуrольников
А 1 8С, АВ 1 С, АВС 1 , имеют общую точку;
б) окружности, Описанные около треуrольников
А 1 В 1 С, А 1 ВС 1 , АВ 1 С 1 , имеют общую точку.
47. ABCD вписанный четырехуrольник, Е произ
вольная точка прямой АВ, F произвольная точка
прямой DC. Прямая АР пересекает окружность в то-
чке Лl, прямая DE в точке N. Доказать, что прямые
ве, ЕР и MN пересёкаются в одной точке или па..
раллельны.
48. АВ диаметр полукруrа, М точка на АВ.
С, D, Е и F ....... такие точки полуокружности, что
........................... ............ ............
CMD == ЕМР, СМА == F МВ. Пусть р...... точка пересече-
ния прямых CD и ЕР. Доказать, что прямая РМ пер-
пендикулярна АВ.
49. Дан выпуклый четырехуrольник Ql' Прямые,
перпендикулярные ero сторонам и ПрОХQдящие через
152
середины сторон, образуют четырехуrольник Q2' Точ-
но так }ке для четырехуrольника Q2 образован четы..
рехуrольник Qз. Доказать, что четырехуrольник Qз
подобен исходному четырехуrольнику Qt.
50. Дан треуrольник АВС, уrлы KOToporo равны
а, и у. Треуrольник DEF описан около треуrольни"
ка АВС так, что вершины А, В и С находятся СООТ..
...............
ветственно на сторонах ЕР, FD и DC, причем ЕСА ==
== DBC == F АВ == ер. Определить значение уrла ((), при
котором площадь треуrольника h"FD достиrает наи-
большеrо значения.
51. Перпендикуляр, восставленный к стороне АВ
треуrольника АВС в ее середине D, пересекает OK
ружность, описанную около АВС в точке Е (С и Е
по одну сторону от АВ). F проекция Е на АС. Дока-
зать, что прямая DF делит периметр треуrольника
АВС пополам и что три такие прямые, построенные
для каждой стороны треуrольника, пересекаются
в одной точке.
52. Доказать, что прямая, делящая периметр и
площадь треуrольника в одинаковом отношении, про
ходит через центр вписанной ОКРУJКности.
53. На сторонах ВС, СА и АВ треуrольника АНС
взяты точки А 1 , В 1 , С 1 . Доказать, что площадь тре-
уrольника А 1 В 1 С 1 не меньше, чем площадь хотя бы
одноrо из трех треуrольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС 1 , A 1 B 1 C.
54. На стороне АВ треуrольника АВС взята точка
М так, что I СМ 12 == I АМ 1.1 ЕМ 1. Доказать, что таких
точек М будет соответственно 2, 1 или О в зависи-
мости от Toro, будет ли выражение а + ь с V 2 мень-
ше, равно или больше нуля (1 АВ 1 == с, I ВС I == а,
I АС 1== Ь).
55. Пусть О, 1, Н соответственно центры опи-
u u
саннои, вписаннои окружности и точка пересечения
высот HeKoToporo треуrольника. Доказать, что I он I
IIHI.V2.
56. Доказать, что периметр треуrольника, верши-
нами KOToporo являются основания высот данноrо
остроуrольноrо треуrольника, не превосходиrr поло-
вины периметра данноrо треуrольника.
57. Доказать, что треуrольник будет остроуrоль-
ным, прямоуrольным или тупоуrольным в зависимости
от Toro, будет ли ero полупериметр соответственно
153
больше, равен или меньше суммы диаметра описан но-
ro Kpyra и радиуса вписанноrо.
58. Про данный треуrольник известно, что тре..
уrольник, образованный основаниями ero биссектрис,
является равнобедренным. Будет ли верным утвержде..
ние, что и данный треуrольник является равнобед...
ренным?
59. Доказать, что прямая, соединяющая центры
u u u
вписаннои и описаннои окружностеи данноrо треуrоль..
ника, является прямой Эйлера треуrольника (см. за-
дачу 232) с вершинами в точках касан я вписанной
окружности 'со сторонами данноrо треуrольника.
60. Дан треуrольник АВС со сторонами I ВС I == а,
I С.А 1== ь, I АВ I == с. Пусть М ПРОИЗВОJ1ьная точка
внутри иеrо. ОБО3lJачим через Х, у, Z расстояния
От....М до вершин А, В и С, а через и, v, w...... расстояния
от М до сторон ВС, СА, АВ. Доказать, что выполняют-'
ся следующие неравенства:
а) ах + Ьу + cz. 4S (S площадь треуrольника);
б) x+y+z 2(u+v+w) (Эрдеш);
в) xyz (u+v)(v+w)(w+u);
r) х + у + z 6, (, радиус вписанной окружности).
61. Доказать, что касательная к параболе в ее
вершине является прямой Симеона треуrольника, об..
разованноrо при пересечении любых трех друrих ка-
сательных к той же параболе (Шюллер).
62. Четыре' попарно пересекающиеся прямые обра-
зуют четыре треуrольника. Доказать, что
а) если одна прямая параллельна прямой Эйлера
треуrольника, образованноrо тремя друrими прямыми,
ТО этим же свойством обладает и любая друrая пря-
мая;
б) точки пересечения высот получившихся тре-
u» U
уrольников лежат на однои прямои, перпендикулярнои
прямой r'aycca (см. задачу 202).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ
../" Rr"J/"
1. 2 r 3 (R + ,). 2. R...L · 5. 2 r PQ .
I ,
10. Воспользуйтесь тем, что четыре рассматриваемых точ-
ки, основание высоты, КОНЦЫ основания лежат на двух окружно-
стях, имеющих основание высоты общей точкой.
11. Докв>ките, что радиус окружности, описанной около
рассматриваемоrо треуrольника, равен радиусу данных окружно-
104
u
стен, а ЭТИ о]{ружности симметричны описаннои окружности ОТ-
носитсль'но сторон треУI'ольника.
12. Докажите, что любые два отрезка делятся пополам CBO
ей точкой пересечения.
I b2 c21
14. Докажите, что tg (Х ::= 28 ' rде S площадь тре-
уrольника. (Аналоrично для друrих уrлов.)
О т в е т: arctg I tg а T tg 1.
15. Докажите, чrо площадь треуrольника, образованноrо
прямым И, проходящими через вершины данноrо треуrольника пер-
(а 2 + Ь 2 +с 2 )2
П :НДИК улярно соотвеТСТВУIОЩИМ медианам, равна 12S ·
27
О т в е т: '4 (R" d2).
16. 60-.
2R
17. О т в е т: (для обоих пунктов).
а
18" Докажите, что центр этой окру>кности лежит в середи-
..........
не дуrи АВС.
19. Рассматриваемые прямые являются серединными перпенди-
кулярами к сторонам треуrольника A 1 B 1 C 1 .
20. Для определения уrлов треуrольника А 1 В 1 С 1 воспользуй-
тесь тем, что точки Р, А 1 , В1' С лежат H одной окружности
(так же для друrих четверок точек). В то же время мо}кно до-
казать, что yr лы треуrольника А 2 В 2 С 2 равны уrлам между каса-
тельными к окружностям, описанным около треуrольников АВР,
вср и САР, ПРОХОДЯЩИМИ через точку Р.
23. Отрезки I АР 1, I BQ и I CR I можно выразить через сто-
ЬС
роны треуrольника. Например, I АР I ==' b ·
+с
24. АК В == 900 (см. задачу Ng 70). Пусть R точка пересече-
ния ВК и АС, Q точка на вк. такая, ЧТО NQ 11 АС. Тоrда
IARI==I.(\BI==c, IMRI==c (p a)==p b==INBI, II II ==
lMRI lNBI 'СВI а
== I QN I ....... I QN I I RC I ....... Ь ........с (считаем Ь > с).
Поскольку I MN j ==2 (p c). sin ,найдем I МК I ==а. sin ; .
Аналоrично для друrих отреяков. Искомый rреуrольник подобен
треуroльнику АВС с коэффициентом подобия sin . Ero пло-
щадь равна S. 8in 2 .
25. Все отрезки диаroнали леrко «считаются». Тем не менее
хотелось бы предложить читателю следующее «забавное» реше-
ние. Рассмоrрим куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Тоrда плоскость 8 1 MN
отсечет 01 треуrольника A 1 C 1 B треуrольник, стороны r Koтoporo
равны соответствующим отрезкам ,циаrонали АС. Но A 1 C 1 B
правильный треуrольпик.
26. Если бы точка Р не находилась в плоскости треуroль.
ника АВС) то утверждение задачи было бы очевидным пасколь.
КУ точки Р, Al' В1' С 1 В ЭТОМ СJ!учае 6Yд:iT принадлежать сече-
155
нию сферы, описанной около пирамиды Р АВС, плоскостью, про-
. ходящей через Р и прямую 1. Наша задача является предельной
для этоrо случая. Осталось лишь обосновать предельный переход.
27. Пусть АВС данный треуrольник, Аl' В 1 , С 1 середи-
ны соответствующих сторон. Докажите, что окружность, проходя-
щая, например, через вершину А и удовлетворяющая условию
задачи, проходи'l' через точки пересечения внутренней и внешней
биссектрисы уrла А со средней линией В 1 С 1 . Значит, для всех
точек М этой окружности будет (см. задачу 178) выполняться
равенство I В 1 М I : I C 1 Mj == I В 1 А I : I С 1 А I ==Ь : с. Таким образом,
если М 1 и М2 ТОЧКИ пересечения двух таких окружностей, то
I А 1 М 1 1 : I В 1 М 1 1 : I С 1 М 1 1 ==а : Ь : с (то же для точки М 2 ), поэтому
М 1 И М 2 будут принадлежать третьей окружности. Кроме Toro,
М 1 и М 2 принадлежат прямой, для всех точек М которой выпо.П-
няется равенство (с 2 .........Ь 2 ) I А 1 М !2+(a2 c2) I В 1 М 12+(b2 a2) х
х I С 1 М 12 == О (см. задачу 183 и ее решение). Эта прямая прохо-
дит через центр описанноrо около Ь A1B1Ci Kpyra и через точ-
ку пересечения ero медиан (проверьте это, выразив длины меди-
ан через стороны), т. е. она совпадает с прямой Эйлера Ь А 1 В 1 С 1 ,
а значит, и Ь АВС.
28. а) Аналоrично тому, как это было сделано в предыду-
щей задаче, можно доказать, что эти три окружности пересека-
ются в двух точках М 1 и М 2 , причем : АМ 1 I : I ВМ 1 I : I СМ 1 1 ==
== Ьс : ас : аЬ (также для М 2 ).
29. Середины сторон четырехуrольника образуют параллело-
rpaMM, диаrонали Koтoporo параллельны отрезкам, соединяющим
центры тяжести противоположных треуrольников. Друrой парал-
лелоrрамм образуют четыре высоты l рассматриваемых треуrольни-
ков, выходящие из вершин четырехуrольника.
Стороны nepBoro параллелоrрамма параллельны диаrоналям
четырехуrольника, а BToporo им перпендику лярны. Кроме то-
ro, стороны BToporo параллелоrрамма в ctg а раз больше соот-
ветствующих сторон nepBoro (а острый уrол между диаrоналя-
ми четырехуrольника).
33. Пусть М середина AD. Проверьте, что: ВР 19+ I РМ 12 ==
== I B.M j 2.
34. Проведите через D прямую, перпендикулярную биссек-
трисе уrла А, обозначьте точки ее пересечения с АВ и АС через
К и М и докажите, что I АК 1== i АМ 1== bt c . Поскольку I АС 1 1==
== I АВ11 ==p a, I АС 2 1 == I ВС 2 ! ==р, точки К и М будут являть-
ся серединами отрезков С 1 С 2 и В 1 В 2 .
35. Искомое rеометрическое место точек состоит из двух
прямых, проходящих через точку, симметричную точке А отно-
сительно прямой 1, и образующих уrлы в 600 с прямой 1.
..........
36. Искомое множество есть дуrа 8е окружности, описанной
около АВС, соответствующая центральному уrлу в 1200.
37. Искомое множество есть прямая поляра точки А отно-
сительно данной окружности (см. задачу 190).
...............
38. Уrлы AMN и BMN можно выразить через центральный
......,
уrол, соответствующий АВ данной окружности (необходимо ра-
зобрать различные случаи положения точки N), после чеrо можно
............
определить АМВ. Искомое rеометрическое место есть окружность.
156
39. Объединение трех построенных параллелоrраммов пред-
ставляет собой параллелоrрамм, описанный около данноrо тре-
уrольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить
отношения, в которых каждая из рассмаrrриваемых диаrоналей
делится друrоЙ диаrональю, через отрезки сторон большоrо па-
раллелоrрамма.
Если параллелоrраммы являются прямоуrольниками, то, па-
раллельно перенеся две из трех рассматриваемых диаrоналей,
мы образуем из них треуrольник, равный данному, а это озна-
чает, что уrлы между ними или равны соответствующим уrлам
треуrольника, или дополняют их до 180°. Искомое rеометричес-
кое место точек есть окружность, проходящая через середины
сторон данноrо треуrольника.
40. Докажем, что ,1 АМ I == 1 соsБАС 1. Пусть O цeHlp ок-
IADI ,
ружности, р....... середина ве, к середина АН. Треуrольники
I МА I I АК I i ОР I
DOA и МКА подобны. Значит, I AD I == I DO I == I ов 1 ==
== I cosВAC 1. Искомое rеометрическое место точек есть окруж-
ность.
4t. Воспользуйтесь результатами задач 154 и 175. Искомое
MHoiKecTBo, вообще rоворя, состоит из прямой и окружности.
43. Пусть А2 точка пересечения АА 1 и ВС. Проведем через
А 1 прямую, параллельную ВС, и обозначим точки ее пересечения
I ВА 2 1 I А 1 М I I А 1 М I
с АС и АВ через К и М. Тоrда I А 2 С I == I А 1 К I == ! А 1 В i Х
Х I l i . ,1 l 1 . Заменив три последних отношения от ноше-
I 1 I I 1 I
ниями синусов соответствующих yr лов, проделав то же самое
для точек В 1 и C t , воспользуемся теоремой Чевы (см. задачу 192).
44. Если Аз точка пересечения прямой АА 2 с ВС 1) ТО от-
ношение I ВАз 1: I АзС I можно выразить через отношения t в ко-
торых разделены стороны треуrольников АВС и А 1 В 1 С 1 точками
А 1 , В 1) С 1 И А 2 > 82, С 2 соответственно. Проделав то же для
всех вершин, можно проверить выполнение условий теоремы
Чевы (см. задачу 192).
45. Оrраничимся случаем, коrда АВС остроуrольный тре-
уrольник. Рассмотрим параллелоrрамм A 1 MON (М и N на А 1 В 1 и
А 1 С 1 ). Поскольку А 1 О образует с A 1 C 1 и AIBl уrлы (900 B)
(900 C), iA1MI iA1MI cosB IAILI
и будем иметь I A 2 N I == I МО I == cos С == I А 1 К ,.
аЬс 8
57. Заменив R и r по формулам R == 48 ' r == p' восполь-
зуйтесь для 8 формулой repoHa и равенством
482 ( Р аЬс ....... S ) ( Р + аЬс + 8 ) == (2pS)2 ( аЬС + 282 ) 2 ==
28 р 28 р р
1
== 8 (а 2 + Ь 2 с 2 ) (a l ...... Ь 2 + с 2 ) ( а 2 + Ь 2 + с 2 ).
58. Пусть АВС данный треуrольник, АА 1 , 881, СС 1 бис-
............ ,.,..- ..............
сектрисы. Если I A1Bl 1==1 A 1 C 1 1, то или A 1 B 1 C == Al С 1 В (в этом
157
G
случае 6. АВС будет равнобедренным), или A 1 B 1 C + AIC B == 180 .
Во втором случае повернем D. A 1 B 1 C BOKPYI" точки А 1 на уrол
B 1 A 1 C]. В результате треуrольники А 1 С 1 В и AIB1C окажутся
приложенными друr к друrу и образуют треуrольник, подобный
д АВС. Если стороны АВС есть а, Ь и С, то стороны полу-
ас аЬ ас аЬ
чившеrося треуrольника будут равны Ь+с ' Ь +с и а+Ь + а +с .
с
получим между а, Ь и с соотношение а + ь +
у читывая подобие,
Ь а
+ а+с == Ь+с =>
ь з + с3 аЗ + Ь 2 с + Ь 2 а + с 2 Ь + с 2 а а 2 Ь а 2 с + аЬс == О.
(1)
/"'--.. .
Обозначим cosBAC==x; по теореме косинусов b2+c2 a2==2bcx.
Умножая последнее равенство последовательно на а, Ь и с и
2 (Ь + с) . х
вычитая из (1), получим 2х (а+ Ь+с) +а==О=> а == ...... 2х+ 1 .
Поскольку О < а < Ь + с,
1
4 < х < о. (2)
Заменив в теореме косинусов а qерез Ь, с и х и обозначив
Ь
с == Л, получим для л уравнение
(4х+ 1) л2 2л (4х З +8х 2 +х)+4х+ 1 ==0.
Для Toro чтобы это уравнение при условиях (2) имело решение
л > О, л =1= 1, должны выполняться неравенства
4х 3 +8х 2 +х > о,
1
4 D== (4хЗ+8х2+х)2 (4х+ 1)2 ==
== (2х+ 1)2 (х+ 1) (2x 1) (2х 2 +5х+ 1) > о. (4)
1
(3), (4) удовлетворяется при .......4 < х <
(3)
Система неравенств (2),
< YI7 5
4 ·
Таким образом, исходный треуrольник не обязательно равно-
бедренный. Однако мы доказали, что это может иметь место толь-
ко в том случае, коrда один из уrлов исходноrо треуrольника
о ( 1 У 17 5 )
тупои и ero косинус находится в интервале 4 ' 4 ' что
соответствует для уrла интервалу приблизительно (102040';
lО4 Ф 28'). ДЛя одноrо конца интервала ( {-) построенный нами
( У17 5 )
треуrольник будет вырождаться, друrой }ке конец 4 со-
ответствует равенству AIBIC==AICIB==90o т. е. два случаи,
которые мы выделили в начале решении, ».ЛЯ этоrо значения уrла
совпадают .
158
59. Пусть АВС данный треуrольник, СТОРОНЫ Ko'roporo й,
Ь и с, причем а Ь С, Аl' 81: С 1 ТОЧ1{И н:асания вписанной
окружности, 1 центр вписанной, О центр описанной OKPY>I{-
ности. Посколы<у 1 по отношению к А 1 В 1 С 1 является центром
описанной -окружности, нам достаточно доказать, что прямая /0
проходит через точку пересечения высот А 1 В 1 С 1 . Отложим на
лучах АС и ВС отрезки АК и BL, I АК 1==1 BL 1== с, а на
лучах АВ и С8 отрезкн IANI==ICNI:::;b. Как МЫ знаем (см.
задачу 138), прямая /0 перпендикулярна LK и MN: значит,
............... .............
LK I MN. Обозначим KLC == 8N М == ер. По теореме синусов для
треуrольников KLC и BMN будем иметь
I LC I a c sin (ер+с)
I К С I == ь с == sin ер , (1)
I 8N I a b sin ( B т )
т ( 2 ) '
I М8 I == ь с == sin ер ·
Проведем теперь в треуrольнике А 1 В 1 С 1 высоту на сторону В 1 С 1 .
Пусть Q точка ее пересечения с прямой 10. Нам нужно ДOKa
зать, что Q точка пересечения высот А 1 В 1 С 1 . Но расстояние
А
от 1 дО B 1 C 1 есть 1/ А 1 1. cos 8 1 A 1 C 1 ==! sin 2' Значит, должно
выполняться равенство I A 1 Q 1==2r Sin - -. Уrлы Ь. Q/A 1 можно вы-
разить через уrлы АВС и <р, а именно Q/ А] == 1800 <р, QA 1 / ==
B C
== . Нам нужно доказать, что
2
А sin ер . ( + А ) . (в А ) .
2 sin 2 == . ( в C\ ) <=> Sln <р L Sln cp == Sln ер.
sш ep 2 /
Последнее равенство следует йЗ (1) и (2).
БО. Изящную идею доказательства неравеНСТ8 подобноrо типа
предло}кил I(азаринов. (Kazarinoff Michigan Mathematical J ournal,
1957, 4, N2, 97 98). Суть ее состоит в следующем. Пусть A8C
данный треуrоЛЬНИК, М данная точка внутри Hero. Возьмем на
лучах АВ и АС по точке 81 и С 1 . Очевиднq что сумма площа
дей параллелоrраммов, построенных на АВ 1 и АМ и на АС 1 и АМ,
равна площади параллелоrрамма, одна сторона KOToporo В 1 С 1 ,
а .nруrая параллельна АМ (см. также задачу 135). Следовательно,
I АС 1 i v+1 АВ11 ш:::; I В 1 С 1 1 х. (1)
а) Возьмем В 1 и С 1 совпадающими с 8 и с: тоrДа неравен"
СТВО (1) даст нам bv+cw ах.
СлОIl{ИВ три таких неравенства, получим требуемое.
б) Возьмем I АВ 1 1== t АС ;, I АС 1 1==1 АВ " тоrда неравеНСТ80
с Ь
(1) даст нам си+Ьш ах или x . v+ w.
а а
Сло>кив три таких неравенства, получим
x+y+z ( : + b )U+( +f)с'+( + Б-)W 2(!l+tI+w).
3 а м е ч а н и е. Выбирая точки по друrому, можно получать
различные интересные неравенства,
Иеорь Фе80рович Шарыеuн
ЗАДАЧИ по rЕОМЕТРИИ (ПЛАНИl\\ЕТРИЯ)
(Серия: «Библиотечка «Кnаит»,.)
Редактор И. Е. РаХ.Аин
ТехническиЙ VСПЗi{'[ОР В. Н. Кондакова
Корректоры Т. с. п ле1 нева, Т. С. Вайсбера
ИВ Ng 11912
Сдано в набt\]) 15.08.81. Подпке.но к печати 03.03.82. Т.ООЗ67.
Формат 84Х I nЗIfЗ2. Bywara ТIIП. п. З. Литературная rарtlитура.
ВLlсокая печать. Усп. nеч. п. 8.4. Уч.-изд. п. 10,13. Тllраж 150000 экз.
Заказ 826 Цена 80 коп.
ИздатеJIЬСТВО «H8YKa
rJlавная Р'ДlaКl\l1Я Фltзико-матеМ8тической литературы
117071. МОСI(В8. В-71, Лепин,:киi\ проспект, 15
Ордена Октябрьской Рево.'lЮЦИИ, ордена ТрУДО80rо KpaCHoro Iвамени п...
нинrрадское ПРО1fзводственпо"техннqеское объединение ..-Печатный Двор.
имени А. М. rOpbKoro СОЮ ПО.'Jlrраcrпрона 111Нl ]"'ocYAapcTBeU\l01f Ko}.t TeT.
СССР по делам klIAITe:IhC"re. ПОJlиrpафии 11 кюtжuоft торrовпп. 197136. Ле.
иииrраlt. П.IЗб, Ч1СIJlО'(.l иА пр.. ]3
Оrп,qotТ8НО на ордена TpY)1.080rO KpaCRoro 3намени Чеховсн:ом ПОJlI.rрафа-
чеСJf.ОМ комБИН8те ВО ..Со '\,еО.I",rl'.фtроr,t:t rОСУДlр твеlI!tоrо комитета
СССР по ДО.'18М If lIaTeJtbC 1B. UОЛilrР2ФЮI 11 КIII1}IПlоА TOpr03J111
r. Чехов !\-'\ОСК08СКОЙ области ааказ 826
зо коп.
&И&ЛИОТЕЧКА ((КВАНТ»)
8ЫWnИ ..3 ПЕ'IА ТИ:
B..n. 1. М. п. & Р О н W т е ii н. Атом.. и JneKтpoH".
Bwn. 2. М. Фар а Д е ji. Истори_ С8ечи.
B..n. э. о. О р е. Приrnаwение 8 TeopNIO чИсеn.
B..n. 4. Опыты . AOMawHeji nа&ора;'ории.
B..n. '. и. ш. С n О & О Д е Ц к и ji, n. r. А с n а м а 3 О 8. Эа-
дачи по физике.
B..n. 6. n. п. М О Ч а n О 8. rОn080nОМКИ.
B..n. 7.. п. с. А n е к с а н Д р О 8. В8едение 8 теориlO rpynn.
B..n. 8. r. Ш т е ji н r а у 3. Математическиji KanejiAocKon.
Bwn. 9. Эамечатеnьные учен..е.
B..n. 10. В. М. r n у w к О 8, В. я. В а пах. Что такое OrACJ
B..n. 11. r. и. к оп.. n о 8. Bcero nиwь кинематика.
Bwn. 12. я. А. С м о р о Д и н с и ji. Температура.
i..n. 1 э. А. Е. К арп о 8, Е. я.' r и к. Шахматныji каnейдоскоn.
B..n. 14. С. r. r и н д и к и н. Рассказ.. о физиках и мате-
матиках.
Bwn. 15. А. А. & о Р о 8 О ji. Как реrистрируlOТ частицы.
B..n. 16. М. и. К а r а н о 8, В. М. Ц У к е р н и к. Природа Mar-
нетизма.
B..n. 17. и. Ф. Шар.. r и н. Эадачи по rеометрии Innани-
метри_).