ДЛЯ ВУЗОВ
В. К. Чистяков
I,
ДИНАМИКА
ПОРШНЕВЫХ
И КОМБИНИРОВАННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
ВНУТРЕННЕГО
СГОРАНИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
ДЛЯ ВУЗОВ
В. К. Чистяков
ДИНАМИКА
ПОРШНЕВЫХ
И КОМБИНИРОВАННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
ВНУТРЕННЕГО
СГОРАНИЯ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве
учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности
"Двигатели внутреннего сгорания"
МОСКВА
« МАШИНОСТРОЕНИЕ »
1989
ББК 31.365-01я73
4-68
УДК [621.431/.432.01:531.3] (075.8)
Рецензенты: кафедра «Конструкция и прочность авиационных двигате-
лей» Харьковского авиационного института,
д-р техн, наук проф. Р. П. Доброгаев
Чистяков В. К»
4*68 Динамика поршневых и комбинированных двигателей
внутреннего сгорания: Учеб, пособие для машинострои-
тельных вузов по специальности «Двигатели внутреннего
сгорания». — М.: Машиностроение, 1989. — 256 с.: ил.
ISBN 5-217-00344-8
Рассмотрены кинематика и динамика кривошипио-шатунного ме-
ханизма, его балансировка; кинематика и динамика систем газорас-
пределения; крутильные, изгибочиые и продольные колебания колен-
чатых валов; колебания деформируемого двигателя в целом и его
систем.
2705040000—195
038(01)—89
195-89
ББК 31.355-01я73
ISBN 5-217-00344-8
© В. К. Чистяков, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
В «Основных направлениях экономического и социаль-
ного развития СССР на 1986—1990 годы и на период до 2000 го-
да», принятых на XXVII съезде КПСС, предусмотрено ускорить
разработку и производство новых поколений техники, среди ко-
торых важное место занимают дизели с высокими технико-эко-
номическими показателями и форсированные двигатели внут-
реннего сгорания (ДВС). В таких двигателях увеличиваются
динамические явления, для учета которых требуется более широ-
кое внедрение в конструкторскую практику методов механики
как недеформируемых, так и деформируемых систем. .
ДВС является сложной механической системой, динамическое
исследование которой нередко приводит к большому количеству
однотипных вычислений. В этом случае наиболее эффективны
ЭВМ и специальные численные методы расчета, что нашло отра-
жение в измененных планах и программах подготовки инженеров
по специальности «Двигатели внутреннего сгорания».
Основой настоящего учебного пособия послужили лекции, чи-
таемые автором в МГТУ им. Н. Э. Баумана на кафедре «Ком-
бинированные ДВС».
Возрастание колебательных явлений в двигателях, увеличение
номенклатуры деталей, подверженных динамическим нагрузкам,
вызвало необходимость расширить разделы динамики двигателя
как деформируемой системы. Поэтому учебное пособие состоит
из двух логически связанных частей: двигатель как система не-
деформируемых элементов и двигатель как система деформируе-
мых элементов. Общность математического подхода к решению
задач в обеих частях, а также использование общих принципов
механики позволяют при необходимости распространить рассмот-
ренные методы на более широкий круг задач динамики ДВС.
Первая часть учебного пособия основывается на достаточно
разработанной классической кинематике и динамике кривошип-
но-шатунных механизмов ДВС, анализе их уравновешенности,
а также кинематике и динамике механизмов газораспределения.
Однако .в отличие от предыдущих учебников все расчеты ориен-
тированы на аналитические методы решения. Рассмотрен также
з
комбинированный двигатель, имеющий механическую связь вала
турбины с коленчатым валом.
Во второй части учебного пособия рассмотрены крутильные,
изгибные и продольные колебания коленчатых валов, а также
показаны возможности использования расчетных методов при
решении задач динамики деформируемого двигателя в целом.
Математическое описание уравнений ориентировано главным
образом на матричную форму записи, как наиболее компактную
и удобную для программирования на ЭВМ. Изложение методов
теоретического анализа сопровождается примерами решения
прикладных задач. В приложении приведены необходимые для
динамических исследований справочные данные.
Автор надеется, что вследствие указанных особенностей учеб-
ное пособие окажется полезным как для студентов, так и для ин-
женеров, занимающихся динамическими исследованиями ДВС.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
М — масса;
Мкр — крутящий момент;
Мер—средний крутящий момент;
а, г, ai, 21 — смещение, дезаксиал главного и бокового цилиндра соот-
ветственно;
at — амплитуда колебаний;
hT, hK — подъем толкателя и клапана соответственно;
i — передаточное отношение зубчатых колес;
k — порядок гармоники колебаний;
L, I —длина главного и прицепного шатунов соответственно;
q — обобщенная координата;
R — радиус кривошипа коленчатого вала;
S, V, J — линейные перемещения, скорость и ускорение соответст-
венно;
Sp —рабочий ход поршня;
Т — кинетическая энергия;
t—время;
U потенциальная энергия;
1F — работа внешних сил;
х, у, z, 0, ф, ф — координаты ортогональной системы координат;
з* —число цилиндров;
а — угол поворота кривошипа коленчатого вала;
0 — угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра;
О — угол между кривошипами коленчатого вала;
V — частота колебаний;
р — радиус прицепа шатуна бокового цилиндра;
т — период колебаний;
со, е — угловые скорость и ускорение соответственно;
Шв—угловые частоты соответственно свободных и вынужден-
ных колебаний.
Основные индексы
вр — вращающиеся массы;
д—действительная система;
д.к — детали крепления пружины клапана;
кл — клапан;
кор — коромысло;
п — пружина;
п.д — возвратно-поступательно движущиеся массы;
пр — противовес;
р — распределительный вал;
рез — резонанс;
рз — резина;
сх —расчетная схема;
т — толкатель;
тр — трение;
ш — шатун;
шт — штанга;
I — боковой цилиндр;
$ — секция цилиндров.
ВВЕДЕНИЕ
Механизмы, применяемые в ДВС, весьма разнообраз-
ны: рычажные, кулачковые, зубчатые, винтовые с гидравличе-
скими, электрическими и пневматическими устройствами и мно-
гие другие. Наиболее широко используется преобразование воз-
вратно-поступательного движения поршня во вращательное дви-
жение коленчатого вала, осуществляемое кривошипно-шатунным
механизмом. Он может быть выполнен аксиальным (рис. 1). В не-
которых случаях, когда высота двигателя не является определя-
ющим фактором — в судовых и стационарных двигателях, между
поршнем и шатуном устанавливают шток 1 и крейцкопф 2 (рис.
1,6). В таком механизме шток совершает возвратно-поступа-
тельное движение и силы, нормальные к оси цилиндра, воспри-
нимаются крейцкопфом, а не поршнем, что улучшает условия ра-
боты поршневой группы.
Если ось коленчатого вала смещена на некоторое расстояние
относительно оси верхней головки шатуна, механизм называется
дезаксиальным (рис. 2). Дезаксиал можно получить смещением
Рис. 1. Аксиальный кривошипно-ша-
тунный механизм:
а — центральный; б — с крейцкопфом н
штоком
Рис. 2. Дезаксиальный кривошипно-
шатунный механизм:
а —со смещением оси коленчатого вала;
б —со смещением оси верхней головки
шатуна


6
Рис. 3. Кривошипно-шатунный меха-
низм с прицепным шатуном
Рис. 4. Дезаксиальный кривошипно-
шатунный механизм с прицепным
шатуном и параллельными ’ осями
главного и бокового цилиндров
оси коленчатого вала (рис. 2, а) или смещением центра верхней
головки шатуна относительно оси цилиндра (рис. 2, б). При z=
=a/R^0,l кинематические соотношения в первом приближении
можно принять одинаковыми для аксиального и дезаксиального
КШМ. Смещение выполняется в направлении, показанном на
рис. 2. Такое смещение уменьшает углы 0 в соответствующие мо-
менты рабочего цикла, обеспечивая более равномерное изнаши-
вание цилиндра. Приведенные на рис. 1 и 2 механизмы являются
четырехзвенными.
В V-образных двигателях (рис. 3) механизм главного цилинд-
ра 1 обычно четырехзвенный, а бокового цилиндра 2 либо ана-
логичный (при шатунах, расположенных рядом, на шатунной
шейке коленчатого вала, или вильчатом и центральн.ом шатунах),
либо пятизвенный, в котором прицепной шатун 3 соединен с глав-
ным шатуном 5 через прицеп 4, жестко связанный с главным ша-
туном. При наличии прицепного шатуна кинематические и дина-
мические соотношения механизмов главного и бокового цилин-
дров всегда различны. Однако, варьируя параметрами р, 1,1|)=
=yi—у, можно добиться их соответствия с достаточной для
практических задач точностью.
Механизм (рис. 3) со смещением оси коленчатого вала от оси
главного цилиндра на величину а и от оси бокового цилиндра на
величину at является обобщенным. Из закономерностей движе-
ния такого механизма можно, приравнивая соответствующие ве-
7
Рис. 5. Симметричный ромбический
механизм
Рис. 6. Механизм двигателя «Норд-
берг>:
I—VI цилиндры
личины, получить уравнения движения других КШМ, например
КШМ двигателя с параллельными осями главного и бокового
цилиндров (рис. 4).
Дезаксиальными могут быть выполнены, например, и ромби-
ческие механизмы. На рис. 5 показан симметричный ромбический
механизм, в котором шток 1 совершает возвратно-поступательное
движение по оси цилиндра, что дает возможность устранить бо-
ковое давление поршня на стенки цилиндра. Однако наличие ше-
сти шатунов 2, четыре из которых обслуживают один цилиндр,
а два — другой, двух коленчатых валов 3 и синхронизирующего
механизма с шестернями 4 значительно усложняет этот преобра-
зующий механизм в сравнении с предыдущим. Проворачивание
ромбического механизма обеспечивается только при значитель-
ных дезаксиалах (z> 1), что необходимо учитывать в кинемати-
ческих и динамических расчетах.
Кинематическая схема КШМ двигателя «Нордберг» (рис. 6)
показана для упрощения с шестью рабочими цилиндрами (в вы-
полненных конструкциях число цилиндров достигает двенадца-
ти). В таком механизме шатуны 1 (все прицепные) связаны че-
рез неразрезную обойму 2 с одной шатунной шейкой 3 коленча-
того вала 4. Ось коленчатого вала располагается вертикально.
Обойма движется в плоскости осей цилиндров. Она не вращается
8
I
Рис. 7. Механизм
С. С. Баландина:
а — схема компоновки в
двигателе; б — принципи-
альная схема
относительно центра О, что достигается введением в механизм
синхронизирующих устройств рычажного (для двигателей с чет-
ным числом) или планетарного (для двигателей с четным и не-
четным числом цилиндров) типов. Кинематические соотношения
для такого механизма аналогичны выражениям для обычного
КШМ.
Все рассмотренные дезаксиальные КШМ имеют постоянное
смещение а, не изменяющееся при вращении коленчатого вала.
Из рис. 2, а видно, что перпендикуляр tnk=Ls>\n p+a=/?sin а
или L sin 0=J? sin а—а. Так как £=й=0, шатун становится штоком,
совершающим только возвратно-поступательное движение, т. е.
Р=0; sin 0=0 при a=R sin а.
Таким образом, при смещении, изменяющемся по синусои-
дальному закону, получим механизм с переменным дезаксиалом
со штоками вместо шатунов. Могут быть созданы механизмы, в
которых угол р изменяется по необходимому закону. Примером
механизма, в котором угол р равен нулю, может служить меха-
низм С. С. Баландина (рис. 7). Поршни 1 пары цилиндров соеди-
нены общим штоком 2 с ползуном 3, движущимся в направляю-
щих 4, расположенных в картере двигателя. Ползуны шарнирно
связаны промежуточным звеном 5, который в свою очередь шар-
нирно связан с двумя вращающимися полукривошипами 6. Пары
цилиндров смещены в направлении продольной оси двигателя на
некоторое расстояние для обеспечения движения штоков. Плечи
промежуточного звена и полукривошипов одинаковы и равны R
(рис. 7, б), что обеспечивает возможность движения штоков по
осям цилиндров без отклонений; в этом случае на поршни не
действуют боковые силы. Как видно из рис. 7, б, величина ink
изменяется по синусоидальному закону, полученному выше, в ре-
зультате чего и достигается этот эффект. Движение двух полу-
9
Роторно-поршневой двига-
Рис. 8.
тель
механизмов создаются
кривошипов 6 синхронизирует-
ся с помощью расположенных
на них шестерен внешнего за-
цепления и промежуточного ва-
ла с соответствующими шестер-
нями, либо шестернями внут-
реннего зацепления на полу-
кривошипах и в картере двига-
теля. При использовании дан-
ного механизма внутреннее
пространство картера, необхо-
димое для его проворачивания,
несколько меньше, чем при
применении КШМ. Однако ме-
ханизм С. С. Баландина слож-
нее и более чувствителен к точ-
ности изготовления деталей.
С использованием рассмот-
однорядные и многорядные, V-,
W-, Х-, Н-, Д-, Л-образные, зведообразные, одно-, двух-, трех
вальные и другие типы двигателей.
Основные недостатки КШМ — наличие «мертвых точек», а
следовательно, и ускорений, вызывающих инерционные нагрузки,
а также значительное пространство, необходимое для движения
механизма. Было предложено большое количество механизмов,
устраняющих эти недостатки, в частности роторно-поршневые.
В роторно-поршневых двигателях ротор 2 (рис. 8) треугольного
поперечного сечения вращается на эксцентрике 5 в подшипнике
ротора 6 внутри цилиндрического объема с эпитрохоидной боко-
вой поверхностью 1. Рабочие полости образуются внешней эпи-
трохоидной поверхностью, боковыми плоскостями и поверхностью
ротора. Планетарное движение ротора 2 обеспечивается внутрен-
ним зацеплением шестерни 4 в этом роторе и неподвижной ше-
стерни 3, расположенной в корпусе двигателя. Опорные подшип-
ники 8 эксцентрикового вала 7 расположены в корпусе. Из-за
недостатков, не связанных с кинематикой и динамикой, роторно-
поршневые механизмы не нашли широкого распространения
в ДВС.
Все рассмотренные механизмы являются плоскими. Однако
необходимость дальнейшего улучшения массогабаритных пока-
зателей двигателей, возможно, приведет к использованию прост-
ранственных преобразующих механизмов. Предложено большое
количество схем механизмов, в которых возвратНо-поступатель-
ное движение поршней может быть преобразовано во вращатель-
ное движение вала, например, с помощью шайб. Так, в механиз-
ме, представленном на рис. 9, а, на валу 1 жестко закреплена
плоская вращающаяся шайба 2. На рис. 10 показан механизм, в
10
Рис. 9. Механизмы с вращающейся шайбой:
а — плоской; б — пространственной
Рис. 10. Механизм с ка-
чающейся равномерно
прецессирующей шайбой
котором с коленчатым валом 1 связана качающаяся шайба 2. 
Неподвижно закрепленная коническая зубчатая передача 4 вос-
принимает реактивный момент. Однако в этих случаях возника-
ют значительные трудности при создании долговечного соедине-
ния 3 (см. рис. 9, а, б, рис. 10). Кроме того, необходимость нейт-
рализации сил, действующих вдоль вала, с которого отбирается
мощность, требует создания подшипников со специфическими
конструктивными решениями.
Дальнейшим развитием рассматриваемых механизмов яви-
лось создание таких схем, в которых силы, действующие вдоль
вала, воспринимаются не непосредственно подшипниками вала,
а специальной деталью (сумматором). В этом случае на вал пе-
редается только тангенциальная составляющая действующих
сил, а осевая воспринимается корпусом двигателя. В схеме ме-
ханизма «Жиродин» равнодействующая осевых сил от поршней
1 (рис. 11) через качающуюся шайбу 2, выполненную в виде ко-
локола, передается на центральную сферическую опору 3 кор-
пуса. При этом на коленчатый вал 4 передаются только танген-
циальные силы. Качающаяся шайба фиксируется от проворачи-
вания конической зубчатой передачей 5. В этом случае, несмотря
на улучшение условий работы коленчатого вала и его подшипни-
ков, возникают значительные трудности в обеспечении техноло-
гичности и долговечности сферической подшипниковой опо-
ры 3.
Указанный принцип разделения действующих нагрузок зало-
жен и в механизме, показанном на рис. 12. В таком механизме
силы от поршней 1 через качающуюся шайбу 2 передаются на ко-
ленчатый вал 4, а вместо шаровой опоры и зубчатого зацепления
использована карданная подвеска 3, что делает этот кривошип*
«> И
I
Рис. И. Механизм «Жиродин»
Рис. 12. Кривошипно-карданный пре-
образующий механизм
но-карданный механизм более технологичным по сравнению с
предыдущим.
Рациональные конструкции можно получить при пяти-шести
звеньях в механизме, дальнейшее усложнение схем нецелесооб-
разно. Несмотря на большое количество предложенных преобра-
зующих механизмов для двигателей, основным остается КШМ,
который используется в большинстве ДВС. Другие преобразую-
щие механизмы применяются только в особых случаях. Поэтому
в настоящем учебном пособии рассмотрены ДВС с КШМ, хотя
описанные методические принципы применимы к ДВС с любым
преобразующим механизмом.
Краткая история применения кривошипно-шатунного механизма в дви-
гателях и разработки его теории. КШМ известен очень давно. Он исполь-
зовался для обратного преобразования — вращательного движения вала,
приводимого в движение водой, ветром, лошадьми, людьми, в возвратно-
поступательное движение поршней водяных насосов, рамных пил; для пря-
мого преобразования — в приводе прялок, точильных камней, токарных стан-
ках и других машинах.
КШМ для преобразования движения поршня во вращательное движе-
ние вала, возможно, для своей пароатмосферной машины применял Д. Па-
пин в 1707 г. Машина использовалась для движения небольшого судна.
Затем машина совершенствовалась, а основной преобразующий механизм
оставался прежним.
Универсальный паровой двигатель Дж. Уатта начиная с 1769 г. также
имел кривошипно-шатунный преобразующий механизм. Однако патент на
его применение к «огневым машинам» получил Пикар. После истечения срока
действия патента Уатт использовал КШМ для преобразования возвратно-
поступательного движения поршня во вращательное движение вала. Первые
ДВС были аналогичны по 'своим основным конструктивным решениям па-
ровым двигателям н имели поршень, КШМ и распределительные золотники,
12
так, например, газовый двигатель Ж. Ленуара (1860 г.), работавший без
такта сжатия. Средние скорости поршня таких двигателей были небольши-
ми и не превышали 1 м/с. Двигатели внутреннего сгорания, работавшие с
тактом сжатия, например созданные Н. Отто, Е. Лангеном, Р. Дизелем,
Г. Даймлером, отечественные — И. С. Костовичем, Б. Г. Луцким, А. Г. УсЬим-
> цевым, Я. В. Маминым, на заводе «Русский дизель», Коломенском маши-
ностроительном заводе, имели средние скорости поршня до 3 м/с. При ма-
лых скоростях поршня ускорение его невелико, поэтому возникающие силы
инерции были малы в сравнении с газовыми силами, и их не учитывали.
В первых же ДВС силы инерции оказались весьма велики, и их необходи-
мо было учитывать.
Динамическую теорию кривошнпно-шатуниого механизма разрабатывали
Ж. Понселе (1829 г.), И. Радннгер (1870 г.), Г. Гюльднер (1907 г.),
Г. Дуббель (1926 г.) и др. В нашей стране наибольшее развитие эти воп-
росы нашли в трудах Ф. А. Брнкса (1931 г.), Л. К. Мартенса (1932 г.),
А. В; Страхова (1935 г.), Е. Д. Львова (1936 г.), Л. В. Клименко и
С. И. Струковского (1937 г.), Л. И. Кириченко (1938 г.) И. Ш. Неймана
(1940 г.) н др. Теорию обобщенного КШМ разработал Ф. Ф. Симаков
(1954 г.).
В работе первых ДВС в составе силовой установки наблюдались не-
нормальности, которые проявлялись в виде стуков, нагревания участков
вала, расположенных не в подшипниках, а между ними, трещин в валах
и даже нх поломок. Эти явления обнаруживались только в узкой зоне
некоторых критических частот вращения вала и не могли быть объяснены
инерционными силами, которые действуют в КШМ и изменяются пропор-
ционально квадрату угловой скорости вала. Особенно сильно эти явления
стали проявляться в силовых установках с многоцнлиндровыми ДВС. Их
систематическое экспериментальное (для этого были разработаны специаль-
ные приборы), а затем и теоретическое изучение началось с первого деся-
тилетня нашего века. Причиной этих явлений оказались крутильные коле-
бания валов. Теория исследования крутильных колебаний коленчатых валов
разработана в большом количестве трудов зарубежных и ^отечественных
авторов. Расширяется изучение явлений, связанных с продольными и изгиб-
ными колебаниями коленчатых валов.
В настоящее время в динамической теории комбинированных ДВС рас-
сматриваются все виды деформированного состояния коленчатых валов и
других звеньев КШМ, переменная угловая скорость деформируемых колен-
чатых валов, колебания систем двигателей, динамическая нагруженность их
деталей и узлов с учетом колебаний, вибрации двигателей и многие другие
явления, что необходимо для дальнейшего форсирования двигателей, сни-
жения нх металлоемкости, повышения надежности и долговечности, уменьше-
ния отрицательного влияния на окружающую среду.
ЧАСТЬ I
ДВИГАТЕЛЬ КАК СИСТЕМА
НЕДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Расчетная схема КШМ и определение ее параметров.
В общем случае двигатель как реальная деформируемая система
обладает бесконечным числом степеней свободы. Для ограниче-
ния числа степеней свободы в ДВС наибольшее распространение
получили расчетные схемы, в которых массивные недеформируе-
мые элементы соединены между собой упругими безмассовыми
элементами. Уравнения движения таких схем нередко выводят,
используя квазистатические способы, основанные на применении
принципа Даламбера. Однако для большей общности выводов
воспользуемся уравнением Лагранжа II рода:
d id(T-U)\ d(T-U)	,п
di I dgi ) nqt Ql'	( '
Если в действительной системе и расчетной схеме действуют
одинаковые обобщенные силы Qi, то для их идентификации не-
обходимо обеспечить равенство кинетической ТЯ=ТСХ и потен-
циальной Uji=Ucx энергии. Из этих условий получают значения
параметров элементов расчетной схемы. Для вывода дифферен-
циальных уравнений движения системы необходимо найти выра-
жения кинетической и потенциальной энергии, продифференци-
ровать их по каждой i-й обобщенной координате qi и обобщен-
ной скорости <ji=dqildt, времени t и приложить соответствующие
обобщенные силы Qt. Оба эти условия идентификации будут ис-
пользованы во второй части учебного пособия.
Однако для многих задач динамики, в частности при опреде-
лении движения без учета колебаний, реальную конструкцию
достаточно точно можно заменить расчетной схемой, в которой
недеформируемые тела (их массы можно считать сосредоточен-
ными) соединены между собой недеформируемыми невесомыми
стержнями. В этом случае изменением потенциальной энергии
пренебрегают, т. е. С7д=1/сх=0, и параметры расчетной схемы
определяют из одного условия Тд=7’сх- В кинематике и динами-
ке кривошипно-шатунного недеформируемого механизма все па-
раметры удается выразить через угол поворота кривошипа колен-
14
Рис. 13. Расчетная схема кривошип- Рис. 14. Схема разнесения массы
но-шатунного механизма	шатуна иа две точки
чатого вала а, т. е, действительную систему свести к схеме с од-
ной степенью свободы.
Представим КШМ в виде системы из двух сосредоточенных
масс и невесомых недеформируемых стержней, заменяющих ша-
тун и кривошип коленчатого вала (рис. 13). Геометрические раз-
меры звеньев механизма считаем известными. Масса Мп.д дви-
жется возвратно-поступательно в направлении оси цилиндра,
а масса Мвр, приведенная к оси шатунной шейки коленчатого ва-
ла, вращается. При расчете все массы для удобства относят к
единице площади поршня FB. Относительные массы обозначим
строчными буквами: тял=Мп.л/Рп, твр=Мвр/Гп.
Поршневой узел: поршень, палец, кольца и др. (массой Ма),
а также шток (масса Мшт) и крейцкопф (масса МКц), при их на-
личии, совершают возвратно-поступательное движение (масса
этих деталей Мп.я).
Шатун действительной массы (масса Мш) совершает движе-
ние, которое можно разложить на вращательное вокруг оси пор-
шневого пальца с угловой скоростью <ош и поступательное со ско-
ростью V. В расчетной схеме (рис. 14) шатун заменен двумя мас-
сами, одна из которых Mt совершает возвратно-поступательное
движение, а другая М2, расположенная на расстоянии х от цент-
ра масс шатуна (ЦМ),— плоское вращательное и поступательное
движение. Длина соединяющего их стержня равна длине шатуна
L, причем
£=£1+Z2.	(2)
Приравнивая выражения кинетической энергии действитель-
ной системы и расчетной схемы:
Т‘ = -~2
2
М2 (£1 + лс)2»’
2
2
2
15
получим следующие три условия для выбора масс Мi,	и рас-
стояния х:
равенство масс	.
МШ=М^М^	(3) I
равенство статических моментов	i
МгЦ = М2х;	(4).
равенство моментов инерции

(5)
где /ш — момент инерции шатуна относительно его центра масс.
Решая совместно уравнения (3), (4), (5), получим
Ml=Mmx/(Ll-j-x); M2=AfluLt/(Ll-j-x).
(6)
При выполнении условий (6) масса М2 будет совершать слож-
ное движение.
Расчетную схему можно еще упростить, если массу М2 распо-
ложить на расстоянии L2 от центра масс, т. е. на оси шатунной
шейки. И тогда остаются два условия для определения масс рас-
четной схемы:
«
М2^=МШ-^..	(7)
В действительности может получиться, что x^L2.
Если x<L2, то, упрощая схему, допустим ошибку, завысив мо-
мент инерции шатуна на
U=МШЩ12—х).	(8)
В упрощенной схеме будет действовать дополнительный мо-
мент
(9)
ДЛ!=Д/-^
di
Направление ДЛГ показано на рис. 14. В конструкциях шату-
нов современных ДВС эта добавка обычно невелика, и ей прене-
брегают.
Массу М] можно определить взвешиванием шатуна на весах
по схеме, изображенной на рис. 15. Шатун головками опирается
на призмы, одна из которых помещается на площадке весов. Рас-
стояние между призмами выбирают равным расстоянию L между
осями головок шатуна. Ось шатуна при этом должна быть гори-
зонтальной. Уравновешивая весы, находят массу призмы и ча-
сти шатуна Зная, массу шатуна и его длину L, расстояние
16. .
Рис. 15. Определение
положения центра масс т
шатуна с помощью взве- X || X
шивания	JI 1.1L1
L
ЦМ
ins

центра масс шатуна от поршневой головки определяют по фор-
муле
z2=-^l,
тогда расстояние центра масс шатуна от кривошипной головки
Для предварительных расчетов расстояние от оси кривошип-
ной головки до центра масс шатуна можно принять равным в ав-
томобильных и тракторных двигателях:
Lt=(0,18... 0,32) L;
в судовых, тепловозных и стационарных двигателях
£2=(0,3...0,4)1.
I '
Момент инерции шатуна, а также массы Mi и М2 и соответ-
ственно расстояния Li и £2 можно определить способом качаний
его как физического маятника при подвешивании на призме ша-
туна сначала верхней, а затем нижней головкой. Заставляя ша-
тун качаться с небольшой амплитудой и измеряя частоту его ко-
лебаний при известной массе и геометрических размерах, путем
пересчета по формулам качания физического маятника получают
значения искомых величин.
Центр масс шатуна вновь проектируемого двигателя опреде-
ляется условным делением шатуна на элементы, массы и поло-
жение центров масс которых определяют по чертежу.
Таким образом, масса возвратно-поступательно движущихся
частей складывается из следующим масс:
Л4п.д=Мп+ЛЛ + Мшт4-Л1кц.	(10)
Ориентировочные массы поршней та, шатунов тт и возврат-
но-поступательно движущихся частей тал, отнесенные к площади
поршня, приведены в табл. 1.
17
Таблица 1
Двигатели
Материал
поршня
шп.д, кг/м’
Карбюраторные:
автомобильные
тракторные
Дизели:
автомобильные
тракторные
маломощные тихоход-
ные судовые н стацио-
нарные
быстроходные облег-
ченные
Легкий
сплав
Чугун
»
Легкий
сплав
То же
Чугун
Легкий
сплав
Чугун
тихоходные судовые
и стационарные
80...120
120...280
220...400
200...250
250...350
600...1100
600...850
1200...1700
1500...3000
90...200
300...500
300...400
350...550
450...900
850...1100
1300...3000
100...200 •
I
200...350
300...500
300...400
350...550
750... 1400
650...1150
1500...2000
2000...4000
»
Масса AfBp, сосредоточенная на оси шатунной шейки коленча-'
того вала, состоит из массы Мк неуравновешенной части криво-
шипа и массы Mi части шатуна, отнесенной к оси кривошипной
шейки коленчатого вала:
ХР=мк-1-;И2.	-	(п)
При использовании КШМ с прицепным шатуном производят
деление массы прицепного шатуна на две части: одну Milt сосре-
доточенную на оси поршневого пальца, и другую М/„ сосредо-
точенную на оси пальца в нижней головке главного шатуна, а по-
ложение центра масс находят обычным способом:
М1ш=Мц + Мц.	(12)
Масса Мц в сумме с массой поршневого узла Мп образует
массу Мттг поступательно движущихся частей бокового ци-
линдра:
(13)
Массу Mi, учитывают вместе с массой главного шатуна. Мас-
су главного шатуна (вместе с массой пальца прицепного шату-
на) и положение его центра масс определяют так же, как и для
обычного шатуна.'Затем массу главного шатуна рассматривают
вместе с массой Mi„ сосредоточенной в точке В на его оси
(рис. 16), являющейся проекцией центра пальца прицепного ша-
туна. Масса главного шатуна вместе с присоединенной к нему
18
массобЛГ;,, называется массой
приведенного шатуна Мш,п. Та-
ким образом, если масса глав-
ного шатуна Мт, то масса при-
веденного шатуна
Мш.а = Мш-}-М1г.	(14)
Массу приведенного шатуна
разносят на две массы: мас-
су All возвратно-поступательно
движущихся частей в главном
цилиндре, сосредоточенную в
центре поршневой головки ша-
туна, и массу М2 вращательно
движущихся частей, сосредото-
ченную на оси его кривошип-
ной головки. В этом случае мае
Рис. 16. Схема для определения
центра масс главного шатуна:
ЦМ — центр масс главного шатуна
приведенного шатуна
-МШ.П=ЛГ1+Л12.
(15)
Массы All и М2, как видно из рис. 16, подсчитывают по. сле-
дующим выражениям:
м2=	,	(16)

L
(17)
Следовательно, масса возвратно-поступательно движущих-
ся частей в главном цилиндре
' Мпл=^М9-\гМь	(18)
а масса вращательно движущихся частей от главного и прицеп-
ного шатуна
МШ=ЛГ2.	(19)
Для предварительных расчетов можно считать, что у главных
шатунов V-образных двигателей центр масс отстоит от оси ниж-
ней головки шатуна на расстояние, равное 0,2... 0,25 их длины,
а у прицепных шатунов находится примерно посередине.
Параметры некоторых двигателей приведены в прил. 1.
ГЛАВА I КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА
§ 1. КИНЕМАТИКА ДЕЗАКСИАЛЬНОГО И АКСИАЛЬНОГО,
КРИВОШИПНО-ШАТУННЫХ МЕХАНИЗМОВ
РЯДНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Чтобы получить кинематические соотношения, доста-
точно воспользоваться безмассовой стержневой расчетной схе-
мой (рис. 17). Соотношение между углами и звеньями дезакси-
ального КШМ найдем, определяя отрезок rnk—а из треугольника
со стороной L, углом р и отрезок tnk из треугольника со стороной
R и углом а:
sin p=X(sina + z),	(20)
где “k=RIL— отношение радиуса кривошипа к длине шатуна;
z=a{R— дезаксиал, в данном случае отношение смещения оси
коленчатого вала относительно оси цилиндра к радиусу криво-
шипа.
Знак минус в уравнении (20) соответствует смещению, пока-
занному на рис. 17, а плюс — смещению в противоположном от-
носительно оси цилиндра направлении.
При 2=0 вместо (20) получим sinp=Xsina или 0=
» arcsin (X sin a).
Углы р отсчитывают от оси цилиндра или параллельной ей
линии в направлении вращения кривошипа коленчатого вала.
Значения углов р в зависимости от а и К приведены в прил. 2.
Наибольшие углы отклонения оси шатуна от оси цилиндра
получатся при а=90° и а=270°, т. е. sinPmax=±X. Так как в
широко применяемых ДВС 0,2<Х<0,32, то Ртах—11 ••• 19°.
Дифференцируя выражение (20) по времени, после преобра-
зований определим угловую скорость шш, а после повторного
дифференцирования — угловое ускорение еш качания шатуна:
®ш=dtydt=Х<о cos a/cos Р;	(21)
еш=dvjdt—(d®Jda) (daldt) = — Ы (1 -т- X2) sin a/cos8 P+
4~ X cos ae/cos P,	(22)
где <a=da!dt, e,=d<s>jdt — соответственно угловая скорость и уг-
ловое ускорение коленчатого вала.
Так как в ДВС осуществляется импульсный подвод энергии,
то угловая скорость коленчатого вала — всегда величина пере-
менная, зависящая от двигателя, скоростного режима его работы.
Однако на постоянном скоростном режиме с частотой вращения
коленчатого вала п угловую скорость обычно считают посто-
янной:
(й=лл/30=const.
20
I
В этом случае выражение Л cos ae/cos ₽ из
уравнения (22) равно нулю. Тогда тан-
генциальное Jt и нормальное Jn ускоре-
ния любой точки качающегося шатуна,
расположенной на расстоянии х от оси
его верхней головки (рис. 17), определя-
ются по выражениям соответственно:
Jt = — Хш2 (1 — X2) sin ал/cos8 ₽;	(23)
= X2u>2 cos2 cuc/cos2 ?.	(24)
Полное ускорение любой точки оси
шатуна будет равно векторной сумме тан-
генциального и нормального ускорений,
а также ускорения оси верхней головки
шатуна.
Расстояние от оси коленчатого вала
до оси верхней головки шатуна (рис. 17)
S1=/?cosa-|-Z, cos?. (25)
ч
Величина So в крайнем положении
КШМ, которое обычно называют «верх-
ней мертвой точкой» (ВМТ), определится
Рис. 17. Расчетная схе-
ма дезаксиального кри-
вошипно-шатунного ме-
ханизма
из треугольника О АВ:
50=/?|/(1 + y)2“z2-	(26)
В ДВС принято отсчитывать перемещение поршня от его по-
ложения в ВМТ:
<S=5q——/?
z2----cos?—cos a
X
=/?д,
(27)
где
cos ? — cos a.
Для аксиального КШМ z—О и перемещение поршня
$=/?[! — cos <х -}- (1 — cos ?)/Х].
(28)
Ходом поршня будет расстояние от его положения в верхней и
нижней «мертвых» точках (ВМТ и НМТ).
На рис. 18 представлены графики изменения относительного
перемещения поршня S/R, полученные по уравнениям (27) и (28).
Как видно из рисунка, если в аксиальном КШМ при малых дез-
аксиалах (z<0,l) ход поршня равен 2R, то при больших дезак-
сиалах он при тех же значениях X может увеличиваться почти
до 3R. Это объясняется тем, что наибольший ход поршня дости-
!	21
I	.	*
I
1
Рис. 18. Зависимость относи-
тельного перемещения поршня
S/R от угла поворота колен-
чатого вала при различных
дезаксиалах z
гается не при а=180°, а при а«250°, т. е. в НМТ поршень нахо-
дится значительно ближе к оси коленчатого вала, чем в случае
z=0.
Значения выражения в квадратных скобках (28) приведены
в прил. 2.
Во многих задачах динамики ДВС вместо точного выраже-
ния (27), в котором величина S зависит как от угла а, так и от
Р, удобнее использовать соотношение, в котором величина S яв-
ляется функцией только а. Для этого запишем выражение
cosP=}/" 1 — sin2p=(l — sin2^)^2
в виде биномиального ряда с учетом выражения (20):
cos Р= 1 —i-X2(sin2a—2z sin a-|-.z2) —
----— X4(sin4a-j-4z2sin2a-|-z4—4z sin3a-|-2z2 sin2a—
2*4
— 4z3sin a) —...	(29)
Таким образом, при наличии дезаксиала выражение (29) со-
держит значения функции sin а как четных, так и нечетных сте-
пеней. Подставляя выражение (29) в (27), получим приближен-
ное выражение перемещения поршня дезаксиального КШМ.
В аксиальном КШМ z=0, и вместо выражения (29) имеем
cosP=l—— X2sin2a-------------!—X4sin4a—....	(30)
2	2*4
т. е. значения sin а имеют только четные степени.
Используя выражения степеней функций
sin2a=(l — cos2a)/2; sin4 a=(cos 4a—4 cos 2a-}-3)/8,
вместо (30) получим
cos p и 1 —— (1 — cos 2a) —— (cos 4a—4 cos 2a -}- 3) —...
4	64
(31)
22
I
Рис. 19. Зависимость относительной
скорости поршня V/(Rw>) от угла
поворота коленчатого вала при раз-
личных Z
Значением вычитаемого, содержащего V, в сравнении с пер-
вым и вторым членами правой части (31) можно пренебречь.
Тогда
cosp~ 1 —
(1 — cos 2а).
(32)
4
Подставляя выражение (32) в уравнение (28), после преоб-
разований найдем приближенное выражение перемещения
поршня:
cosa4-X(l — cos2a)/4].	(33)
Таким образом, точное выражение перемещения поршня (28)
заменено приближенным (33), содержащим гармоники первого
порядка /? cos а с амплитудой R и частотой вращения коленчато-
гое вала а=со/; гармоники второго порядка /?Acos2a/4 с ампли-
тудой /?Х/4 и удвоенной частотой по отношению к частоте враще-
ния коленчатого вала; смещение /? (1+Х/4).
Дифференцируя выражения перемещения поршня: точное (28)
или (27) при z—const и приближенное (33), получим соответст-
венно точное и приближенное уравнения скорости поршня:
V=/?<о sin (a-f-0)/cos 0;	(34)
[/—(sin aX sin 2a/2).	(35)
Хотя в точное выражение скорости поршня (34) значения де-
заксиала г не входят в явном виде, однако его влияние сказы-
вается через значение угла 0. Так, из рис. 19 видно, что при г—О
максимальное положительное значение скорости достигается при
0+0=90° (а«75°). При увеличении дезаксиала оно сдвигается в
область а«110°; максимальное отрицательное значение—из об-
ласти a«285° в район a—300°. При г—2,0 наибольшее отрица-
23
Нйыг
Рис. 20. Зависимость относительного
ускорения поршня //(/?ша) от угла
поворота коленчатого вала при раз-
личных z
Рис. 21. Зависимость относительного
ускорения поршня jKRw?) от угла
поворота коленчатого вала при раз-
личных z и X
тельное значение скорости превосходит ее значение при z=0
почти в два раза.
Значения выражения sin (а+0)/cos ₽ в зависимости от а при-
ведены в прил. 2.
Среднее значение скорости поршня получим как отношение
расстояния, проходимого поршнем за один оборот коленчатого
вала 2S, к времени одного оборота л/60:
Уср=Sn/30.	(36)
Дифференцируя точное выражение скорости поршня (34) по
времени, после преобразований найдем точное выражение уско-
рения поршня:
J=[cos (а 4- P)/cos р 4* X cos2 а/cos3 PI 4*
4~[/? sin 4-(o4‘?)/cos?]fif<0/^.	(37)
После подстановки выражения (29) (z^=0) или (31) (z=0)
в (27) и двойного дифференцирования получим ускорение порш-
ня с точностью до гармоник любых порядков. Обычно в практи-
ческих расчетах достаточно ограничиться гармониками второго
порядка. С учетом (35)
J=фо2 (cos a-j-X cos 2а) 4-/?(sin a-j-X sin 2/a2)rf<o/rf/.	(38)
Для постоянного скоростного режима работы двигателя <о=
=const вместо (37) и (38) получим соответствующие ускорения
24
поршня:
J=R^2 [cos (a+P)/cos p -J- * cos2 a/coss p[=R&2E,	(39)
где E = cos (a + P)/cos P+X cos2 a/cos3 p.
Иначе	/=/?u)2(cos a-)-X cos 2a)=Jj-4-J2-	(40)
Выражение (40) представляет собой сумму гармоник
первого (Zi=/?co2cos а) и второго (Jг=Ra>2 X cos 2а) поряд-
ков. Так каквДВСХ<1, амплитуда гармоник второго по-
рядка всегда значительно меньше амплитуд гармоник пер-
вого порядка. Наибольшее положительное значение ус-
корения достигается при a=06: 7=/?«>2(1+Х), а отрицатель-
ное при а= 180° J=—/?(о2(1—X). Ускорения будут равны J—
=±ко)2, только при Х=0, т. е. при R—0 или при £-»-оо. Относи-
тельное ускорение
j=JRR^).
Как видно из рис. 20, X слабо влияет на относительное уско-
рение даже при значительных изменениях дезаксиала. Гораздо
большее влияние оказывает изменение дезаксиала (рис. 21).
Нулевые значения относительного ускорения сдвигаются в обла-
сти а=90... 120° и а=240...270°, максимальные положительные
ускорения при z=2,0 больше соответствующих при z=0 пример-
но в 1,2 раза, а в отрицательной области — почти в 5 раз.
Если принять, что в рядном двигателе размеры всех криво-
шипов коленчатого вала и шатунов одинаковы, то кинематиче-
ские соотношения для произвольного i-ro цилиндра будут отли-
чаться от кинематических соотношений для первого цилиндра
только фазовым сдвигом, обусловленным углом б/ между первым
и i-м кривошипами, отсчитываемым в направлении вращения ко-
ленчатого вала (см. рис. 17, штриховая линия). В этом случае
в уравнения (20), (27), (39) вместо угла а необходимо подста-
BHrt»a+6,-.
§ 2. КИНЕМАТИКА ДЕЗАКСИАЛЬНОГО И АКСИАЛЬНОГО
КРИВОШИПНО-ШАТУННЫХ МЕХАНИЗМОВ
С ПРИЦЕПНЫМ ШАТУНОМ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ИХ ОСНОВНЫХ РАЗМЕРОВ
Получим кинематические соотношения для дезаксиаль-
ного КШМ со смещением а\ оси коленчатого вала относительно
оси бокового цилиндра, с прицепным шатуном длиной I, соеди-
ненным с главным шатуном через прицеп радиусом р (рис. 22).
Угол между осями цилиндров (угол развала цилиндров) равен
у, а угол прицепа уь В этом случае угол поворота кривошипа от-
носительно оси, параллельной оси бокового цилиндра,
ax=a—у.	(41)
25
Рис. 22. Дезаксиальный кри-
вошипно-шатунный механизм с
прицепным шатуном
Из рис. 22 видно, что если угол
Yi^Y* то
Y+?=Yi+<p	(42)
или <р=р — ф, ф=у1 —у.	(43)
Используя прием, аналогичный
примененному при выводе уравне-
ния (20), из рис. 22 получим
mk—R sin Oj=«!-]-/sin Pj-|-р sin <р.
Откуда.. _
slnp^Xjslnaj—Xosin(P —ф) + z1Xl,
(44)
где h==Rll\ Xo=p/7; Zi=adR.
Вывод уравнений перемещения
поршня бокового цилиндра, его ско-
рости и ускорения проводят обычно
в виде рядов. Ввиду их громоздко-
сти ограничимся кинематическими
соотношениями для аксиального КШМ, т. е. z=Zi=0. В этом
случае вместо (44) получим
sinp1 = X1sina1 —Xosin(3 —ф)	(45)
или, ввиду малости углов 0i, риф,
p1ssX1sina1 —Х0(Р—ф).	(46)
Перемещение поршня бокового цилиндра Si (см. рис. 22) най-
дем как разность величины So/ при положении поршня в ВМТ и
переменного расстояния Sh:
•5/ — Sot—
(47)
где Su=R cos си +1 cos Pi+p cos (p—ф).
Безразмерное расстояние Su-SdR определится так:
su=cosa-|--^—cospi+-^-cos(p —ф).	(48)
Xi	Xj
Безразмерный рабочий ход поршня бокового цилиндра sPi яв-
ляется разностью максимального sumax и минимального Stimm
расстояний:
$/>1 = $Птах	(49)
Экстремальные значения 5ц получим, дифференцируя уравне-
ние (48) по углу а:
dsu]da= — slntyfltai/da—sinpjrfpj/rfa—
26
-(Хо/Х1)81п(Р-ф)-^-=О.	(50)
a CL
Используя выражение (20), записанное приближенно ввиду
малости углов как p~Xsina, а также выражения (46) и (41), бу-
дем иметь
</a1/da=l; d^Jda = Xt cos 04 — XpX cos a; fl?p/rfa = Xcosa.	(51)
После подстановки (51) в (50) и преобразований получим
sin at -[-sin Pj cos at — (XpX/Xt) [sin — sin(£ — Ф)} cos a=0.	(52)
Используя выражения для a, P и Pi, уравнение (52) можно
представить в виде зависимости от одной переменной си. Однако
относительно си оно неразрешимо, поэтому найдем приближен-
ные значения для ВМТ (ав) и НМТ (ан) соответственно:
ai=aB; a^lSO0—ав.	(53)
Углы ав и ав малы (примерно 10°), поэтому
рв ss X sin а	X sin (ав У) ~ X sin у -[- авХ cos у.	(54)
Для угла Pi, соответствующего ВМТ (рв), используя (46), за-
пишем
₽1в = XiaB — XqPb -f- Хоф
или, с учетом (54),
Р1в = 8зав—Хо^Ц,	(55)
вде 6з=Х1—XpX cos у; di=X sin у—ip.
Приближенное выражение cos а для угла a=y+aB в ВМТ
cos а ~ cos у — aB sin у.	(56)
I
С учетом выражений (55) и (56) для малых углов си—ав,
pi=Р1в и pB=ip уравнение (52) преобразуется к виду
8(ав+₽1в)-(?1в-₽в+Ф)соза=0,	(57)
где б=Х1/(ХХ0).
Подставив выражение (56) в (57), с учетом (54) и (55), после
преобразований, пренебрегая слагаемыми, содержащими ав2,
получим для ВМТ
а —	Bt/X — (1 + Хр) cos у]	(58)
в 8 (1 4-83) — 83COS у + (ф —Мр) sin у + Xcos2y
Для НМТ аналогично находим
рв ss X sin у-|-aBX cos у; Р1я=83ав+М2»
где б2=Хзшу+1р;
а ____________(Х1/Х — (1 + Хр) cos у]_____.	(59)
в	8 (1 — 83) + 83 cos У. + (ф + 83X3) sin у — X cos 2у
27
Используя полученные значения ав и ан, с учетом (48) и (53)
вместо (49) получим
$Р1 = cos ав+cos ан+(1/Xi) (cos pu — cos ₽lH)+(Xg/X i) X
X [cos(P„—Ф) — cos(P„—ф)].	(60)
Ввиду малости углов, применяя формулу cosa^l—хI 2/2, за-
пишем
ар1=2 - (а2+а2 )/2+[(р1я)2 - ft.)2]/^)+
+ МФн—Ф)2 “ Ф» ~ Ф)21/(2Х1)-	(61)
Заменяя разности квадратов соответствующими произведе-
ниями, используя (54), (55) и (56), после преобразований вме-
сто (61) будем иметь
spi=2 — (а2-(-а|)/2-|-(8зе2-|-2Х0Х.81п у) (83е1-|-2Хдф)/(2Х1)-|-
(cos ye2) (2Х sin у + X cos —2<|»)/(28),	(62)
где 81=ан+ав; 82=аа—ав.
При проектировании КШМ с прицепным шатуном необходимо
рассчитывать расстояния от оси коленчатого вала до оси порш-
невого пальца в ВМТ и НМТ с большой точностью. Умножим
выражение (48) на R, с учетом полученных уравнений получим
I 2(1 -I- Aq -h Л1) ь
+М.-'Ю!1);	(63)
I 2(1 4-Aq —Al) »•
-НоФи-Ф)2]) •
Входящие в (63) значения ав и ан определяют по (58) и (59),
а углы отклонения шатуна по точным выражениям:
sin рв=X sin (у 4- <хв); sin ft,=Xj sin aB—Xg sin (P,—ф);
sin рн=X sin (y — aB); sin p1H=Xt sin aH—Xg sin (pe —<|»).
Дифференцируя выражение перемещения поршня (47) по
времени, можно найти выражение для скорости поршня. Однако
оно получается громоздким. В практических расчетах с доста-
точной точностью можно использовать более простые выражения
в виде рядов, ограничиваясь гармониками второго порядка:
У!=-^- =
1 dt
dSg
dt
dSit.
----— <0
rfdl
(64)
28
или с учетом (48) для безразмерной скорости поршня
<tai
=А! sin at Ц- Аг sin 2aj + Bi cos a j 4*
-j-j82cosa2 = C1sin(a14-ei)-]-C2sin (2ai4-e§),	(65)
где tg6o=4-;
At	A%
С^/А'+В*.
Дифференцируя выражение (65) по времени и переходя к
безразмерным величинам, найдем выражение ускорения поршня
Ji —
/1
/?<»2
=С । cos (СЦ -j- е“) 4- 2С2 cos (2a1 4-t°).
(66)
Входящие в уравнения (65) и (66) коэффициенты с достаточ-
ной точностью можно определить по формулам
Л1 = 1 + 4-(1+М'1'8т у,
О
Л2 = —cos у 4- ~ (1 + Xfl) cos 2у,
,	(67)
Bjzxzko’l»—i- (1 + хо)<|> cos у,
О
В2 = — Х0Х sin у(1 + Хо) sin 2у.
26
При yi=у, т. Ь. ф—0, выражение коэффициентов Ль Аг, В{,
В2 получатся из (67) приравниванием соответствующих слагае-
мых нулю.
Приближенно безразмерное перемещение поршня определим,
интегрируя уравнение (65). Так как dsu=Vida>i, то su =
= f,u1cfa14~50. Зная, что при ai=aB $i=0, найдем
s0=Cj cos (aB+ej) -f- 0,5C2 cos (2aB 4“sb)-
Окончательно
sJ=s0~~C1 cos	4- e°)—0,5C2 cos (2^ 4- e°)-	(68)
При расчетах конструктивных размеров механизма бокового
цилиндра абсолютная погрешность не должна превышать 0,1 мм,
поэтому необходимо использовать точное выражение (47),
а также выражение (63) с учетом того, что Soz=Sumai.
Для произвольного цилиндра, кривошип коленчатого вала
КШМ которого расположен под углом б/ относительно первого
29
по направлению вращения кривошипа, все кинематические соот*
ношения получатся подстановкой в уравнения вместо а угла
а+б/.
В случае синтеза КШМ с прицепным шатуном, при выборе
размеров звеньев такого КШМ, необходимо обеспечить наимень*
ший из конструктивных соображений радиус р прицепа, так как
при р=0 и l=L механизм с прицепным шатуном аналогичен ме*
ханизму с главным шатуном. Одновременно рекомендуется про*
верять проворачиваемость механизма, чтобы стержень главного
шатуна не задевал за втулку цилиндра или тронк поршня.
Для обеспечения идентичности механизмов главного и боко-
вого цилиндров необходимо выполнить следующие условия.
1. Равенство расстояний от оси коленчатого вала до днищ
крышек цилиндров
R+L+La+Sc=S1ZmM+Д,+Scl,	(69)
где Ln—- расстояние от оси поршневого пальца до днища поршня;
Sc, Sci — высота камер сжатия в главном и боковом цилиндрах
соответственно.
Так как для всех цилиндров £п равны (поршни одинаковы),
то для обеспечения Sc=Sci необходимо соблюдать условие
*-*Umax—
(70)
Однако этого условия недостаточно, так как изменение Sitmax
связано также с изменением Sci.
2. Для одинакового протекания рабочих процессов в главном
и боковом цилиндрах необходимо, чтобы степени сжатия в них
были одинаковы, т. е. их разность должна быть равна нулю:
46 = 8-8,= S0"»aX~-ft
1	S
^1/max “ ^Itrntn + ^cl
^1'тах ™ “1!т1п
2R
$с
$с1
= 0.
(71)
С учетом уравнения (70) получим два дополнительных усло-
вия:
*^nmin=7, — R', SUm^—Sum,n—2R.	(72)
Варьируя значениями р, I и ф, минимизируя Де до заданных
значений с использованием ЭВМ, можно обеспечить выполнение
необходимых условий с достаточной точностью в пределах про-
изводственного допуска.
В некоторых случаях можно использовать более простые при-
ближенные методики, которые дают достаточную для практиче-
ских расчетов точность.
Если угол прицепа равен углу развала цилиндров (yi=,y) »то,
выбирая минимальный по конструктивным соображениям радиус
30
прицепа, длину прицепного шатуна рассчитывают по следующим
зависимостям:
Z==~7";	? = yzy	sin-у-5 sin₽z = Xsiny.
(73)
В звездообразном двигателе с несколькими прицепными ша-
тунами длину прицепных шатунов всех боковых цилиндров из
производственных соображений принимают одинаковой, равной
расчетной. Радиусы прицепов шатунов
p=ZcosPz-|-/cos£,	(74)
где
£ — arc sin [(/? sin Y)/7] при 0°<Ч<90°.	(75)
Обычно угол прицепа принимают несколько больше угла раз-
вала цилиндров (yi>y). что позволяет уменьшить дополнитель-
ный момент от КШМ бокового цилиндра, изгибающий стержень
главного шатуна в период максимального давления сгорания в
боковом цилиндре. В этому случае длину прицепного шатуна оп-
ределяют из выражения
/=£-р,	(76)
а угол прицепа — с помощью формулы
sin ф ~	~  X sin у.	’	(77)
Vi +-i
Варьируя значениями I и р в выражении
R (е cos ав — cos ан)+р [е cos (₽в — Ф) — cos (рн—ф)]+
+Z (е cos р1в — cos PiH) = (е — 1) Z,+(е 1) /?,	(78)
с учетом уравнений (58), (59) и точных выражений для 0В, Рн,
₽1в, Р1н подбирают степень сжатия в боковом цилиндре, отличаю-
щуюся от степени сжатия в главном цилиндре в пределах произ-
водственного допуска.
Кривые перемещений, скорости и ускорения поршней главного
цилцндра и бокового КШМ с прицепным шатуном в первом при-
ближении можно принять одинаковыми. Исключение составляют
дезаксиальные КШМ, для которых отклонения этих кривых мо-
гут быть значительными.
Кинематические соотношения для КШМ с шатунами, распо-
ложенными рядом на шатунной шейке, можно получить как
частные случаи соотношений для КШМ с прицепным шатуном
(при р—О, 1—L) или из соотношений для главного цилиндра с
учетом фазового сдвига, вызываемого смещением i-ro кривошипа
31
а)	Я
Рис. 23. КШМ с шатунами, расположенными рядом на шатунной шейке:
а — двухцилиндрового двигателя; б — произвольный
коленчатого вала относительно первого кривошипа и углом раз-
вала между осями цилиндров.
Из рис. 23, а и выражений (28), (34) и (39) определим пере-
мещение, скорость и ускорение поршня для КШМ. V-образного
двигателя с шатунами, расположенными рядом:
<S=/?[1 — cos (а--уН-(1 —cos р)А];
sin ;
COS Р
(79)
COS p
COS3P
J«/?a)2[cos (a —y)-|-^cos 2(a—y)].
Для произвольного КШМ, i-й кривошип которого смещен на
угол 6/ относительно первого кривошипа (рис. 23, б),
/?[1 —cos (a—y-]-8z)4-(l —cos p)A];
yz=flwsin (a—y+8/+?)/cos₽;
J i=№
J i z&Rw2 [cos (a — Y +	X cos 2 (a — Y+M-
COS р
cos3 р
(80)
Таким образом, получены все необходимые кинематические
соотношения для КШМ различных двигателей.
32
§ 3. СИЛЫ И МОМЕНТЫ В ОДНОЦИЛИНДРОВОМ
ДВИГАТЕЛЕ
Методом преобразования сил и моментов в различных
системах координат удобно пользоваться при силовом анализе
ДВС. Рассмотрим основные положения этого метода.
Силы и моменты, действующие в двигателе, представим в
проекциях на оси ортогональной системы координат, а запись
будем вести в матричной форме, удобной для программирования
на ЭВМ.
Выберем систему координат xyz, показанную на рис. 24, а,
которую будем называть глобальной. Положительным поворотом
осей системы координат будем считать их вращение против ча*
совой стрелки, если смотреть с положительного направления
осей координат.
Система координат в данном случае выбрана в соответствии
с традиционно принятыми в ДВС положительными направления*
ми сил. Если к концу 1 стержня 1—2 в системе координат xyz
приложены силы Рх\, Pyi, P# и моменты Afxl, Myi, Мц в положи-
Рис. 24. Положение стержня в выбранной системе координат, приложенные
силы и поворот системы координат вокруг осей ж, у, г
2—1479	33
тельных направлениях, то без учета условий закрепления кон*
нов стержня на конец 2 будут действовать силы и моменты (век*
торы моментов на рис. 24, а не показаны):
^х2 PxV Ру2 Pyl' Р»2
ЛГл=Mri-b Pui («2-*i) - Р21 (у2 - У1);
^2=- РхХ (z2 - zt)+Рл (х2 - Xj);
= Мл - РиХ (х2 - Xi)+РхХ (у2 - ух),
(81)
где Xi, ух, Zi, xz, у2, zz—координаты точек 1 и 2 соответственно.
Полученную систему уравнений (81) запишем в матричной
форме:
О
О
Рц2
О
О
Ра
^хз |
Мг2 .
-(z2 - zx)
(.У2 - У1)
(z2 —Zi) —{у2— ух)
О (х2—хх)
—(л2 —Xj)	О
|0 0 0"
!о о о
[ооо
|1 о о
|о 1 о
|0 0 1
V
Рх1
Ра
Ра
мхХ
Мух
1 . о

О -
(82)
Матричное уравнение (82) состоит из матриц-столбцов сило-
вых факторов и матрицы преобразования размерностью 6X6.
Матрица преобразования условно разделена пунктирными линия-
ми на четыре клетки-подматрицы размерностью 3X3. С учетом
этого для силовых факторов F уравнение (82) можно записать
в виде
.W
-ТО -
 1Л'1 | [0] 
{₽.}
 |Д| 110|'
(Л).
(83)
где [EJ—единичная диагональная матрица; [/?с]—матрица коор-
динат точек приложения сил.
Если точка 1 совпадает с началом координат (точка 0), то
в матрице [/?с] остаются только координаты точки 2.
Вид матриц в уравнении (83) понятен из сравнения с уравне-
нием (82). Такой вид матрицы преобразования получен вследст-
вие того, что силы и моменты в точке 1 локальной системы коор-
динат ххухгх направлены параллельно осям глобальной системы
координат xyz. Если они непараллельны, то необходимо
сначала определить проекции векторор в точке 1 на направления '
осей координат х, у, z, а затем уже рассматривать силы и момен-
ты в точке 2.
34
Проекции произвольно направленных сил в точке 1 на оси
системы координат хуг найдем поворотом систем координат. Так,
при повороте вокруг оси х на угол 0 в положительном направле-
нии (рис. 24, б) новые значения координат получаются в виде
t/2=ytcos04-zjsin 0,
z2 = — У\sin 0 -{- 24 cos 0
или в матричной форме
L0
О
COS 0
—sin©
(84)
У 2 =
О
где [Л*] — матрица поворота вокруг оси х.
Если поворот осуществляется в противоположном показанно-
му на рис. 24, б направлении, то
^*2—
//2=^1 COS 0 — ZiSinO,
z2 = У\ sin 0 zt cos 0~
или
О
cos О
sin 9
где индекс «т» означает транспонирование матрицы [Лх].
Аналогично при повороте вокруг оси у (рис. 24, а)
X = Xi COS ф — Zj sinф,
У = Уу
z = Х{ sin 14" Zi cos ф
или в матричной форме
X
У
Z
'cos ф О
О 1
.81пф О
(85)
где [Лу] — матрица поворота вокруг оси у.
Аналогично при повороте вокруг оси z (рис. 24, а)
x=xv cos <?4" У\ sin <?»
у = — Xi sin ? 4* //i cos ?,
Z==Zj,
2«
35
или в матричной форме
sin <р 0‘
cos? О
О 1.
(86)
где [Аг] — матрица поворота вокруг оси г.
Поворот вокруг трех осей координат получим последователь-
ным поворотом вокруг осей х, у, г, т. е.
[Л] = [Лж] [Ар] [А,].	(87)
В общем случае уравнение (83) имеет вид
<5,’=[hwIm]<51>”ww-	(88)
Эту операцию называют прямым преобразованием.
Замена направления действующих сил и моментов на проти-
воположное осуществляется поворотом систем координат на
180°. Например, поворот вокруг оси х на угол 0=180° в соответ-
ствии с уравнением (84) запишется так:
(89)
Аналогично можно из уравнений (85) и (86) получить выра-
жения, соответствующие поворотам на 180° вокруг осей у и z.
Если силы и моменты заданы в локальной системе координат
Xiyizi, то силы и моменты в глобальной системе координат XjyjZj
найдем с помощью обратного преобразования:
{лд - И1- {/>,}, {Л,}=И]’{«,}.
С учетом этого,'iраскрывая уравнение (88), имеем
Im;j I	Г
Таким образом, получено общее уравнение преобразования
сил и моментов, заданных в локальной -системе координат XiyiZi,
к глобальной системе координат x/y/Zj.
Уравнение равновесия системы
или
(90)
36
Рис. 25. Силы и моменты, действующие в одно-
цилиндровом двигателе
*
где Pr, М (R)—соответственно реакции и их моменты; Pf, М (F)—
соответственно действующие силы и их моменты.
Для раскрытия составляющих уравнения (90) рассмотрим
силы и моменты, действующие в ДВС. В поршневом двигателе
в целом эти величины определяются давлением газов в цилинд-
рах, силами инерции поступательно и вращательно движущихся
частей, силами трения и силами полезного сопротивления на ко-
ленчатом валу, а также массой М двигателя (рис. 25).
За полный, рабочий цикл силы давления газов Рг, силы инер-
ции возвратно-поступательно движущихся масс Ря, силы инер-
ции вращательно и поступательно движущихся шатунов Рш, си-
лы трения Ртр, крутящий Мкр и реактивный Afp моменты изменя-
ются как по значению, так и по направлению. Центробежные си-
лы от вращающихся масс Рс и РПр изменяются только по направ-
лению. В результате действия сил и моментов нагружаются де-
тали, корпус и опоры двигателя. Обычно силы и моменты при-
нимаются сосредоточенными.	*
Задачей динамического расчета двигателя является определе-
ние сил и моментов, действующих в двигателе, которые необхо-
димы для расчета деталей на прочность, жесткость, выносли-
вость, износостойкость и долговечность. Динамический расчет
ведут для ряда последовательных положений КШМ, т. е. в ква-
зистатической постановке. Силы и моменты определяют для ре-
37
жимов работы двигателя, выбранных в качестве расчетных. В на-
стоящее время расчеты проводят, как правило, на установив-
шихся режимах работы, т. е. при со=const. Однако иногда
зависимость сил и моментов от угла поворота при co=var может
значительно отличаться от аналогичной зависимости при <о=
=const. В этом случае влияние со—var необходимо учитывать.
Обычными расчетными режимами при со=const являются:
п—пв — номинальный; п= (0,7 ...0,75) пе — эксплуатационный, на
котором транспортный двигатель работает наибольшее количе-
ство времени; п= (0,5 ...0,7)пе — режим максимального крутяще-
го момента; п— (1,05... 1,10)пе— режим, соответствующий мак-
симальной частоте вращения коленчатого вала, которая ограни-
чена предельным регулятором. Выбор названных, а также
некоторых других расчетных режимов зависит от назначения
двигателя.
При определении сил и моментов обычно целесообразно на-
ходить их удельные значения, т. е. отнесенные к единице площади
поршня. Удельные силы (моменты) удобно использовать не толь-
ко при расчетах данного двигателя, но и для сравнительной
оценки его нагруженности по отношению к другим существую-
щим двигателям. Полная сила (полный момент) получается ум-
ножением значения удельной силы (удельного момента) на пло-
щадь поршня.
Силы ри инерции возвратно-поступательно движущихся масс
(удельные) (см. рис. 25) определяются произведением удельной
массы на ее ускорение:
Рп:=	(91)
где J определяется по формуле (37) или (38) при co=var и по
формулам (39) или (40) при со=const. Если J определяется по
приближенной формуле (40), то ря будет равна сумме гармоник
первого и второго порядков, т. е.
Р№=Рм + Ри2 = -(/»ПЛ₽«* cos а + отп.д/?ш2х cos 2а),	(92)
где Риь Ри2—соответственно силы инерции первого и второго по-
рядков.
Период изменения сил инерции ри равен 2л.
Силы инерции качательно и поступательно движущихся масс
шатунов могут быть значительными в высокооборотных двига-
телях. Для их расчета шатун условно делят на элементарные
участки. Как видно из рис. 26, а, на элементарную массу шатуна
А4Ш/ будут действовать тангенциальная Рц и нормальная Pni
силы от качания шатуна и сила Pi, возникающая вследствие дви-
жения полюса (оси верхней головки шатуна). С учетом проекций
на ось шатуна и перпендикуляр к ней удельные тангенциальная
и нормальная силы соответственно:
38
a)
fi)
Рис. 26. Силы, действующие в ДВС:
в — на элемент шатуна; б — на поршень и кривошип коленчатого вала
A=Ai-?/2=P/t-Asin₽;	|
AeAi-Pi»ieAi-ACos₽» /
ГДе	Pnl——IfyalJn", pl=—fllnii^’t tTlmi—Mmi/Fn-
Значения It, Jn, J определяются по выражениям (23), (24) и
(39) соответственно. Действующая на элемент шатуна суммарная
удельная сила . рш=у Pt-j-p»-
Будет действовать также момент
дЛ4 = —(94)
где Ди — момент инерции элементарной массы шатуна отно-
сительно оси его качания.
Удельные силы инерции вращающихся масс (рис. 26, б):
расположенных на оси шатунной шейки
Рс~(95)
противовеса
Рпрв “^прГпрш2«	•	(96)
I
где Гпр—расстояние от центра масс-яротивовеса до оси вра-
щения.
39
Значения сил рс и Рщ> не зависят от угла поворота коленча*
того вала.
Удельные силы давления газов в цилиндре, действующие на
поршень (см. рис. 25), определяются разностью сил давлений
над поршнем рг' и под поршнем рг":
Л-Д-Д.	(97)
В двухтактных двигателях подпоршневая полость нередко
используется для создания избыточного давления продувочного
или наддувочного воздуха, и давление в ней переменно. В четы*
рехтактных двигателях в подпоршневом пространстве давление
близко к атмосферному. Период изменения сил от давления га*
зов: 2л — в двухтактном двигателе, 4л — в четырехтактном.
Закон изменения давления газов в надпоршневом пространст-
ве задается индикаторной диаграммой, полученной из теплового
расчета или экспериментально.
Для аналитического задания индикаторной диаграммы в ко-
ординатах давление газов — ход поршня или объем цилиндра
(рис. 27) необходимо знать степень сжатия е, давление ра начала
сжатия, показатель политропы сжатия п\, максимальное давле-
ние. рг в цилиндре, степень предварительного расширения р, по-
казатель политропы расширения л2 и рабочий ход поршня Sp.
Для четырехтактного двигателя SP=S, а для двухтактного
Sp=S(l-n	(98)
где ф'=5о/5 — доля потерянного хода.
Потерянный ход поршня So в двигателях с выпуском через
окйа соответствует высоте выпускных окон, а в двигателях с вы-
пуском'через клапаны — высоте впускных окон.
Условное расстояние между днищами поршня и головки ци-
линдров при положении КШМ в ВМТ определяется выражением
Sc=Sp/(8-l).	(99)
Текущее значение хода поршня Sx, изменяющееся от 0 до Sp,
рассчитывается по формулам (27) или (28).
Политропное сжатие или расширение газов в цилиндре удоб-
но рассчитывать от точек сиг (давления рс и рг).
Абсолютное давление в цилиндре карбюраторного двигателя
(100)
где р=Ро для линии сжатия и р—Рг для линии расширения;
₽=(SC4-SJ/SC; А=АеЛ’;
п — показатель политропы, принимаемый равным П\ на ходе сжа-
тия и ns на ходе расширения.
40
Рис. 27. Индикаторная диаграмма сил четырех-
тактного дизеля в координатах р/ — S (И)
Абсолютное давление в цилиндре дизеля на линии сжатия
рассчитывается аналогично карбюраторному двигателю, а на
линии расширения — по формуле
Х=А$’.	' . (101)
где
?1-(р$е
Здесь р — степень предварительного расширения.
В четырехтактном двигателе а—0° принимают в начале впу-
ска, а в двухтактном а=0°—в начале рабочего хода.
Линии выпуска и впуска в четырехтактных и выпуска-продув-
ки в двухтактных двигателях наносят условно. При всасывании
41
давление paf в цилиндре четырехтактного двигателя несколько
ниже атмосферного р0 за счет сопротивления на впуске, а при
выпуске ра' несколько выше Ро- В четырехтактном двигателе с
наддувом линии впуска и выпуска достраивают относительно ли-
нии давления наддува. В двухтактном двигателе в момент откры-
тия выпускных клапанов давление в цилиндре быстро падает, а
в период продувки оно несколько ниже давления наддува.
Полученную идеальную диаграмму (рис. 27, тонкая линия)
скругляют в точках с, z и в районе НМТ (жирная линия). Дейст-
вительное давление сгорания в цилиндре карбюраторного двига-
теля составляет 0,8... 0,9 от теоретического.
Аналогичное задание развернутой по углу поворота коленча-
того вала а индикаторной диаграммы, необходимое при расчете
газовых сил на ЭЦВМ, удобно производить в виде кусочных
функций, а в местах скруглений — линейными зависимостями
(рис. 27, штриховые линии). В этом случае уравнение индика-
торной диаграммы будет иметь вид, приведенный в табл. 2.
Участок z—г! рассчитывают только для дизелей. Углы Аси и
Даг можно принять равными 10... 15°; рь> »(д,+Рь№-
Таблица 2
Участок
Индикаторное давление
Угол поворота кривошипа, *
Рг = Ра' - (Ра' - Pa")s!siat
а==0...Дс&1
а=Да1..Л80
Рг = Ра* «$е + $р)/($е + S))»*
а=180...360
с—г.
Pr=* Рс 4“ (Pz	Рс) §1 ^Дая
г
ос==360... (360+Даз)
Pt—Pz> о2.=~/2(р-1)$с/[/?(Х+1)]
а» (360+Даз)...(360+
+а,')
а= (ЗбО+а*'’ J...530
/
рг
— Р530 — (Р53О “ Pb
а=530...540
'	,	, ( S — $550 \
Рг=Ра ~(Рь' ~ Ра) \s^s^)
а«540...550
Рг ~ Р550 ~ Ра
а«55О...71О
42
РГ.РU.Pl.МПа
Рис. 28. Развернутая диаграмма сил четырех*
тактного двигателя в координатах р—а
Перестроение индикаторной диаграммы из координат
рт—S(V) (рис. 27) в координаты рг—а (рис. 28) производится
либо с помощью сетки углов, нанесенных под диаграммой на
рис. 27, которая получена по выражению (27), либо расчетом по
соотношениям табл. 2. На рис. 28 нанесены также силы инерции
ри возвратно-поступательно движущихся масс, полученные по
формуле (91).
На возвратно-поступательно движущиеся массы действуют
суммарные газовые и инерционные силы Р1=Рг+Ри> приложен-
ные в центре масс (точка А на рис. 26, б). Развернутые диаграм-
мы этих сил показаны на рис. 28.
Равнодействующую силу р\ раскладывают на составляющие:
силу N, действующую нормально к оси цилиндра, и силу рш, дей-
ствующую вдоль оси шатуна. Из рис. 26, б видно, что
yV=p1tgp, pui=p1/cosp.	(102)
43
Рис. 29. Зависимость сил Рш и ЛГ от а для че-
тырехтактного двигателя
Изменение сил N и рш по углу а показано на рис. 29. Там же
нанесены несколько характерных положений поршня и КШМ.
Как видно из рис. 29, под действием силы N поршень перекла-
дывается с одной стенки цилиндра на другую.
За цикл работы четырехтактного двигателя изменение знака
силы N происходит 7...8 раз. Перекладки поршня могут приве-
сти к ударам по гильзе цилиндра, ее вибрации, а также нерав-
номерному износу гильзы по ее длине. В дезаксиальном КШМ
вследствие смещения линии действия газовых и инерционных
сил на поршень также действует дополнительный момент, кото-
рый вызывает его опрокидывание. Аналогичное явление может
наблюдаться при смещении центра масс поршня выше оси порш-
невого пальца из-за неустойчивого положения системы.
В результате движения, а также действия сил pi, N и других
в парах трения поршень—гильза и поршневые кольца — гильза
цилиндра возникают силы трения ртР. цпг, которые также из-
меняются в зависимости от угла а (см. рис. 28). В паре пор-
44
ZJMh
Рис. 30. Зависимость
сил Т и Z от а для че-
тырехтактного двигателя
О
шень — гильза наблюдается главным образов режим гидродина-
мического трения. В то же время в паре поршневые кольца —
гильза могут быть режимы как гидродинамического, так и гра-
ничного трения, особенно в районе ВМТ в период смены тактов
сжатие — рабочий ход. Хотя силы трения невелики и их в дина-
мическом расчете обычно не учитывают, они во многом опреде-
ляют характер износа этих пар трения.
Для определения сил, действующих на шатунные и коренные
шейки и подшипники, силу рш перенесем по линии действия на
ось шатунной шейки и разложим на составляющие: тангенциаль-
ную Т, действующую перпендикулярно кривошипу; радиальную
Z, направленную по кривошипу. Из рис. 26, б легко получить
следующие выражения для этих сил:
7’=p1sin(a4-p)/cos₽, Z=рх cos (a ₽)/cos ₽.	(103)
Диаграммы сил Т и Z по углу а показаны на рис. 30.
На шатунную шейку коленчатого вала, кроме сил Т и Z, бу-
дет действовать центробежная сила р2 от массы т2 шатуна: •
р2= — mJW.	(104)
Модуль и направление сил по окружности шейки определяют
с помощью векторных диаграмм. Их используют для выбора
места отверстия для смазывания и построения диаграмм износа
шеек.
Векторы сил Т и (Z—р2) ортогональны и связаны с вращаю-
щимся кривошипом (рис. 31). В неподвижной системе координат
Уш.ш2ш.ш значение сил Т и (Z+p2) не изменяются, так как при
их повороте вокруг оси коленчатого вала против часовой стрел-
ки оба конца вектора поворачиваются на один и тот же угол а.
45
Рис. 31. Система координат и векторные диаграммы сил, действующих на шатунную шейку
А Уш.Ш
д Yui.iu
Положительные направления сил совпадают с положительными
направлениями осей координат. Векторная диаграмма сил, дейст-
вующих на шатунную шейку, показана на рис. 31. Нанесенные
на диаграмме точки обозначены соответствующими углами а
(знак градуса опущен).
Равнодействующая сила
<2ш.ш=/ Гш.ш+г2ш.ш=/Р+(Z+р2)2.	(105)
Так как равнодействующая сил приложена к шатунной шейке,
то ее точка приложения лежит на продолжении линии, проведен-
ной из какой-либо точки диаграммы через центр О системы коор-
динат. На рис. 31 показаны фактические значения сил Qw, Q375,
Qno, перенесенные на поверхность шейки. Если такую операцию
провести для всех точек векторной диаграммы, то увидим, что в
данном случае нагружена только часть окружности шатунной
шейки (жирная линия), ограниченная векторами Q<o и Qms. Это
говорит о том, что в какой-либо момент по углу а в данной обла-
сти шатун прижат к шатунной шейке. Следовательно, с противо-
лоложной стороны будет зазор, где обычно и сверлят отверстие
для подвода смазочного материала из полости шатунной шейки
к шатунному подшипнику (рис. 31). Диаграмму фактически дей-
ствующих сил получим заменой направления действующих сил
на противоположное; эта замена осуществляется поворотом сис-
темы координат на 180°. Данная операция в матричной форме за-
пишется так:
°] Т
— 1. С^+Рг)
(106)
Используя уравнение (106), получим заштрихованное на
рис. 31 поле сил, действующих на шатунную шейку за цикл ра-
боты двигателя.
Диаграмм^ на рис. 31 построена для двигателя, работающего
на номинальном режиме Ле, однако необходимо учитывать и дру-
гие режимы работы двигателя. Из диаграммы видно, что ее часть
выше оси координат Уш.ш определяется в основном силами инер-
ции, в то время как нижняя часть — газовыми силами. В связи
с этим при изменении скоростного режима работы двигателя,
а также параметров рабочего процесса соотношение между эти-
ми частями диаграммы будет меняться. На рис. 31 показана та
же диаграмма при изменении скоростного режима работы дви-
гателя от частоты вращения коленчатого вала, равной поло-
вине номинальной ле/2, до предельной, ограниченной регулято-
ром лр.
При форсировании двигателя с помощью наддува без изме-
нения номинальной частоты вращения коленчатого вала диаграм-
ма будет приближаться к виду, показанному на рис. 31.
47
a)
37$
Рис. 32. Система коор-
динат и векторная ди
аграмма сил, действую
щих на подшипник ниж
ней головки шатуна
Чтобы определить векторную диаграмму сил, действующих
на шатунный подшипник, необходимо сориентировать силы Т и
Z—р2 относительно шатуна, т. е. повернуть систему координат
TZ на угол а+₽ против часовой стрелки (как показано на рис.
32, а) в положение T'Z'. Так как на подшипник действуют реак-
ции, необходимо затем заменить действие сил на противополож-
ное. В этом случае получим силы в системе координат Ушл-^шл,
связанной с осью шатуна. Переход к неподвижной системе коор-
динат Ушл^шл, связанной с осью цилиндра, не изменяет значе-
ний сил.
Эти операции в матричной форме с учетом (84) и (106) за-
пишутся следующим образом:
_________Г cos (а+₽) — sin (а+р) 1 Г—1	1
. sin(a-|-p)cos(a-f-P) 0 — 1
После перемножения матриц, приравнивая соответствующие
элементы найденных матриц-столбцов, выражения реакций при-
мут вид
cos(a+p) — (Z-|-/?2)sin(a-|-P),
Zmn=Г sin (a + Р) 4- (Z+р2) cos (a -f- Р).
(107)
Как следует из рис. 32, б, подшипник нагружен более равно-
мерно по окружности, чем шейка. Вид диаграммы в районе век-
тора Qs7& определяется суммарным действием газовых и инер-
48
ционных сил, а остальной ее части — превалирующим влиянием
инерционных сил.
Так как время действия сил в начале такта расширения (а»
«375°) относительно невелико, при сравнительных испытаниях
подшипниковых материалов этой частью диаграммы действую-
щих сил пренебрегают, а вид остальной диаграммы (близкий к
эллипсу) задают с помощью сменных противовесов (окруж-
ность) .
Равнодействующая Qm.m сил, действующих на шатунную шей-
ку, конечно, равна равнодействующей Qm.n сил, действующих на
подшипник [см. (105)].
Среднее значение равнодействующей силы за цикл работы
двигателя
(Ю8)
где п — число рассчитываемых точек.
С использованием Qm.ii.cp и Qm.n max оценивают нагруженность
подшипников.
Для определения сил и моментов, действующих на коренные
шейки (точки 1 и 3 на рис. 33), рассмотрим условие равновесия
системы при известных силах в точке 2 (90):
{0}.
(109)
M(/?)j
Уравнение (109) в развернутом виде запишем с учетом (106):
-ООО
0	10
0	0	1
б..о	"о"
О	0	A-j
О — Xj О
х2 0 Ю 0 0_
[0]
Too
0 00
о ою
0 О I
1 0 ! [0]
О 1 I
-/? о [о о о
0 х2 ю о о
(ПО)
После перемножения матриц получаем
49
1 I 0
г;
(111)
что аналогично системе из пяти уравнений:
I
У1+Т2+У3=0; '
Zl4-Z24-Z3=0;
%1Х1 ~f* ^2^2 “Ь ^3Х3 = О»
У lXl + ?2X2 + 3*3 = 0-
(H2)
Выражая значения Kj=—72—У3 и Z^——Z2—Z3 из первого
и второго уравнений и подставляя их в пятое и шестое уравне-
ния (112), после преобразований найдем
(П4)
(рис. 33,
Из первых двух уравнений (112) с учетом (113)
К,=—Г2 (	; Zj = —Z2 (.
\Xz-XiJ	\x3-xi)
Таким образом, в точках 1 и 3 действуют реакции
штриховая линия), значения которых определяются действующи-
ми силами Т2 и Z2 и координатами точек выбранной системы ко-
ординат. При этом значения реакций не зависят от расстояния
О—1, т. е. от выбора положения начала системы координат. Ко-
нечно, в данном случае было бы проще получить значения реак-
ций в точках 1 и 3, рассматривая непосредственно моменты отно-
сительно этих точек. Но такой более общий подход, удобный для
программирования на ЭВМ, позволяет решать более сложные
системы и определять силы и моменты в любом сечении коленча-
того вала в целом.
Центробежная сила рс„ действующая на коренные шейки,
определится с учетом массы /пвр (11), тогда
г2=4,ш+А.=4.ш-т«Л“2'	(115)
»
Из третьего уравнения системы (112) найдем
.	(И6)
50
Рис. 33. Система координат и векторная диаграмма реакций, действующих
на коренную шейку коленчатого вала
Если момент Л1Х1=0, то момент MX,= T2R будет передаваться
потребителю энергии.
На рис. 33 нагруженная часть коренной шейки обведена жир-
ной линией. Реакции в точках 1 и 3
(117)
При переходе к неподвижной системе координат учитывается
поворот на угол а по уравнениям (84) и (89). На коренные под-
шипники будут действовать силы, которые определяются по
(117) с поворотом системы координат на 180°. Тогда
или
(118)
51
i\2K.n
Рис. 34. Векторная диаграмма сил, действу-
ющих иа коренной подшпиник
Рис. 35. Система координат и силы, прило-
женные к колену вала с противовесами: 1—
5—точки
Векторная диаграмма сил, действующих в данном случае на
коренной подшипник, показана на рис. 34.
При наличии противовесов на продолжении щек (точки 2 и 4,
рис. 35) будут действовать также центробежные силы Z2 и Z«.
В этом случае к системе уравнений (112) добавятся два уравне-
ния сил и два уравнения моментов. И эта система уравнений
имеет решение.
Сила Т (см. рис. 26, б) создает крутящий момент двигателя
M^TFUR.	(119)
Этот крутящий момент равен по модулю и противоположен по
направлению опрокидывающему моменту:
/Икр=Мр=NFnH.	(120)
Таким образом, движения коленчатого вала и корпуса двига-
теля обратимы, т. е. при закреплении корпуса будет вращаться
коленчатый вал, а при закреплении коленчатого вала — корпус
двигателя. При свободных коленчатом вале и корпусе они будут
вращаться в противоположных направлениях с угловыми скоро-
стями, обратно пропорциональными их моментам инерции.
52
Сила Z не создает положительной работы, а совместно с си-
лой Т нагружает коленчатый вал и его подшипники.
§ 4. СИЛЫ И МОМЕНТЫ В МНОГОЦИЛИНДРОВОМ
РЯДНОМ ДВИГАТЕЛЕ
В многоцилиндровом двигателе кривошипы коленчато-
го вала располагают под определенными углами, стремясь к то-
му, чтобы работа цилиндров проходила равномерно.
Примем, что процессы в различных цилиндрах двигателя
протекают одинаково. В этом случае они будут сдвинуты только
на фазовый угол бг< по отношению к первому цилиндру. Газовые
силы в первом цилиндре рассчитывают аналогично одноцилинд-
ровому двигателю.
При равномерном чередовании тактов в двигателе угол бо
между ними:
в четырехтактном двигателе 6o=72O°/z*;
в двухтактном двигателе 6o=36O°/z*.
Тогда для произвольного i-ro цилиндра фазовый сдвиг по от-
ношению к первому цилиндру
Boz = (/*-l)8o,	(121)
где /• — номер цилиндра по порядку работы.
Фазовый угол бн, отсчитываемый от начала цикла, для произ-
вольного цилиндра четырехтактного двигателя
8г/ —720° —Во;.	(122)
Например, в четырехтактном четырехцилиндровом двигателе:
8о=72О : 4= 180°;
порядок работы цилиндров i 1, 3, 4, 2;
порядковый номер цилиндра /• 1, 2, 3, 4;
фазовый сдвиг бо/ 0, 180°, 360°, 540°;
фазовый угол от начала цикла бг< 0, 540°, 360°, 180?.
Таким образом, фазовый угол, равный 0°, первого цилиндра
соответствует углу 180° второго цилиндра, 540° третьего и 360°
четвертого. Углы отсчитывают по направлению вращения колен-
чатого вала.
Силы инерции от возвратно-поступательно движущихся ча-
стей с учетом угла между кривошипами коленчатого вала и со-
ответствующего фазового сдвига определятся с использованием
соответствующих ускорений (см. гл. I, § 1).
При расчетах сил к полученным углам от начала цикла необ-
ходимо прибавлять интервалы углов последовательных положе-
ний коленчатого вала, через которые ведется расчет.
Порядок нумерации цилиндров примем от переднего конца
коленчатого вала к потребителю энергии. При полноопорном ко-
ленчатом вале на вторую коренную шейку будет действовать
53
Рис. 36. Крутящие моменты, действующие на коренные шейки коленчатого
вала четырехтактного четырехцилиндрового двигателя:
а —от первого цилиндра; б — от первого и второго цилиндров; в —от первого — третье-
го цилиндров; е — от первого — четвертого цилиндров
момент от удельной тангенциальной силы первого цилиндра:
То, Tig, Гзо и т. д.; на третью коренную шейку — от первого и вто-
рого цилиндров: (Го+Тио), (Г15+Т195), (Т30+Т210) и т. д. Для
последующих шеек тангенциальные силы, действующие на раз-
личные шейки коленчатого вала, показаны на рис. 36, а—г. Эти
силы используют при расчете коленчатого вала на прочность.
Набегающий крутящий момент в двигателе, т. е. на послед-
ней коренной шейке, определится с учетом фазовых углов для
всех цилиндров:
TtFnR.
(123)
Как видно из рис. 37, неравномерность крутящего момента
уменьшается с увеличением числа цилиндров, причем в восьми-
и двенадцатицилиндровых двигателях Мкр мало отличается от
среднего значения Мср за цикл работы двигателя.
Если через первую коренную шейку передается крутящий мо-
мент для привода вентилятора, насосов, систем газораспределе-
ния и топливоподачи, компрессора и т. д., его необходимо вычи-
54
Рис. 37. Изменение крутящего мо*
мента в двигателях с различным
числом цилиндров
Рис. 38. Система координат для оп-
ределения реакций на коренных шей-
ках рядного двигателя и действую-
щие силы
М№18 цилиндров
тать из крутящих моментов,
действующих на коренные шей-
ки коленчатого вала.
На шатунные шейки и под-
шипники рядного двигателя
будут действовать силы, кото-
рые определяют, как и для од-
ноцилиндрового двигателя, с
учетом фазовых углов.
Для того чтобы найти силы,
действующие на коренные шей-
ки, рассмотрим схему коленчатого вала (рис. 38). Кривошипы
развернуты на произвольный угол б. Примем, что на промежу-
точную коренную шейку действуют силы только от рядом распо-
ложенных цилиндров, хотя по аналогичной методике можно
учесть и все остальные цилиндры.
В локальных системах координат в точке 2 будут приложены
СИЛЫ V2—T2 И Z2==Z2m.m+Pc,. а В ТОЧКв 4—Yi—TiViZb—
Реакции Уз,2 и Z34 в точке 3 от сил, приложенных в точке 2,
вычислим по формулам (ИЗ).
Для определения реакций У3,4 и Z3,4 в точке 3 от сил, приложен-
ных в точке 4, необходимо преобразовать локальную систему ко-
ординат, связанную с точкой 4, в глобальную неподвижную, свя-
занную с точкой О. Для этого повернем систему координат по
часовой стрелке вокруг оси х, если смотреть с ее положительного
Б5
направления, на угол б. С целью упрощения аналитических вы-
кладок ограничимся только данными, необходимыми для опре-
деления реакций. Матрица поворота
[•^41Т== О COS В
О
—sin 8
(124)
П О
.0 sin& cos 8.
Подматрица в уравнении (88)
0
LO
"0
0
.0
О
cos 8
sin 8
0
x4 sin 8
—x4 cos 8
О
—sin 8
cos 8
0
0
.0
0
x4 cos 8
Хл sin 8
0
0
X4
(125)
0
Уравнение равновесия системы
"0
0
0
0
0
0
0	0	|
1	0	|	10]
0	1	i
о 1 о о 0
о 0
о 0
о
о
0
о
о
о
о
о
-О
о
о
о
cos 8
sin 8
0
sin 8
cos 8
0	0	0
0 XjS’nB x4cos 8
—x4 cos 8 x4 sin 8
"0
0
0
[0]
Ю1
О
cos 8
sin 8
0
—sin 8
cos8_
0
о
о
_0
0	0 i 0 0 0
0 Xgj О О 0
x6 0 | О О 0
={0}
(126)
о
о
о
0
о
0
о
о
о
о
о
5
о
о
о
66
Конечно, при использовании ЭВМ нет необходимости дово-
дить дальнейшие операции до аналитических выражений, так
как в данном случае используются стандартные операции с мат-
рицами, программы которых имеются в ЭВМ. Покажем, как это
осуществи яется.
После перемножения матриц и их сложения получим
Y 3,4-f-K4 cos 8 — z?4 sin 6-|-Kg—0;
Zg^-j-K^sin 8 + Z4Cos84-Z5=0;
^3,4*3+Y 4X4 sin 8 + Z4X4 cos 8 4- Zsx5=0;
(127)
—^3,4X3 —K4X4COS 84-Z4x4sin8 —KgX8eO.
Выражая значения Y& и Zg из первого и второго уравнений и
подставляя их в четвертое и третье соответственно, после преоб-
разований будем иметь
гы = -У, COS 8[*=*.) + z. sin 8
5
Z4 COS 8 f	.
*5 — *3 /	\ *3 — *3 /
Так как реакции в точке 3 складываются из реакций от сил
в точках 2 и 4, то окончательно
г» - Уи+У,л=-т, (-2=^-) - л cos а (-?=*-)+
\ ^3	/	\ ^5 ""^8 /
(129)
+ (Z4 - PCt) sin 8
Рассчитывая значения реакций по уравнениям (129), можно
построить векторные диаграммы сил, действующих на коренные
шейки, в системе координат уз, Z3 (см. рис. 38).
Действительные реакции и точки их приложения на коренных
шейках получим поворотом системы координат на 180° аналогич-
но одноцилиндровому двигателю:
(130)
тогда на коренные подшипники будут действовать силы
* к«п
z
^*к.п
(131)
Примеры расчета сил и построения векторных диаграмм при-
ведены в § 9.
Б7
§ 5. СИЛЫ И МОМЕНТЫ В V-ОБРАЗНЫХ
И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ
ДВИГАТЕЛЯХ
В V-образных двигателях с шатунами, расположении*
ми рядом на шатунной шейке, газовые, силы в произвольном
цилиндре Находят с учетом фазового угла (122), а силы инер*
ции — с учетом угла развала цилиндров у, угла между кривоши-
нами коленчатого вала б/ по соотношениям (80). Векторные диа*
граммы сил, действующих на шатунные шейки и подшипники
через каждый шатун, будут аналогичны одноцилиндровому дви*
гателю. Для определения сил и реакций, действующих на корен-
ные подшипники и шейки, необходимо использовать расчетную
схему, показанную на рис. 39. С целью некоторого сокращения
вычислений оси блока левых цилиндров (ЛЦ) направлены по
оси г. Оси блока правых цилиндров (ПЦ) развернуты относи-
тельно левых на угол развала между цилиндрами у и смещены
по оси х на расстояние 2—3 или 5—6. Определив силы в точке 4
и реакции в ней от сил, приложенных в точках 2, 3, 5, 6, все их
затем суммируют.
В отличие от рядного двигателя в V-образном на промежуточ-
ную коренную шейку и подшипник будут действовать силы и ре-
акции от четырех цилиндров. Методика их определения будет
аналогичной рядному двигателю. Вследствие смещения шатунов
на шатунные шейки будут действовать дополнительные изгибаю-
щие моменты, определяемые силами Т, Z и расстояниями 2—3
и 5—6.
В V-образных двигателях с прицепным шатуном, W-образных
и звездообразных с несколькими прицепными шатунами силы,
действующие на шатунные шейки, бу-
дут определяться суммой всех сил в
КШМ, расположенных в одной плоско-
сти, которая перпендикулярна оси ко-
ленчатого вала (секция цилиндров).
Хотя газовые силы, действующие в
главном и боковых цилиндрах, несколь-
ко отличаются друг от друга, при ди-
намических расчетах их принимают
одинаковыми. В этом случае выраже-
ния действующих газовых сил будут
отличаться только фазовым углом, за-
висящим от порядка работы цилиндров
в секции. Силы инерции возвратно-
поступательно движущихся масс в бо-
ковых цилиндрах определяют с учетом
выражения (66) и фазовых углов.

Рис. 39. Расчетная схема
V-образного двигателя при
рядом сидящих шатунах
EQ
Рис. 40. Силы, действующие в КШМ с прицепным шатуном
Из рис. 40, а видно, что сила, действующая на стенку боко-
вого цилиндра,
(132)
причем сила Рц равна сумме газовых и инерционных сил.
Сила, действующая по оси прицепного шатуна,
\	Puii—P n/C0SPi-	(133)
С учетом выражений (43) угол между осью прицепного ша-
туна и осью радиуса прицепа (рис. 40, а)
<Р-₽1 = ?-ф-₽1-	(134)
Перенесем силу на ось шатунной шейки коленчатого вала.
Тогда на главный шатун будет действовать момент
ДЛ4 = Рш/й=(Р1//созР1)й,	(135)
причем плечо пары сил
A=psin(p — ф — pj).
(136)
Этот момент от сил в боковом цилиндре будет уравновеши-
ваться моментом от силы Мб ортогональной оси главного ци-
линдра:
ДЛ1 =Nf,L cos р=(Рп/cos Pi) р sin (Р——PJ.	(137)
Отсюда находим дополнительное давление на стенку главно-
го цилиндра, вызванное наличием прицепного шатуна,
Ри
Sin (р — Ф — Р1)
COS р COS Pl
(138)
59
При наличии п прицепных шатунов давление на стенку глав-
ного цилиндра
=	(139)
В звездообразных двигателях давление на стенку главного
цилиндра при четном числе прицепных шатунов несколько мень-
ше, чем при нечетном.
Как видно из рис. 40, б, тангенциальная и радиальная Zi
силы, действующие на шатунную шейку со стороны КШМ боко-
вого цилиндра, определяются по выражениям
Ti=Pwt sin (al -f- рх) = Pt sin (04+p,)/cos ft;
Zt — Pt COS (dj -J- pj)/cos Pi.
(140)
(141)
Дополнительные силы АГ и AZ от силы jVb направлены про-
тивоположно положительному направлению сил и Zj:
АТ == 7Ув cos (180° — a) = — N6 cos a; AZ =~	sin a.
Суммарные силы от КШМ бокового цилиндра
Г6 — Г, — АТ = Л J	t + JL -Sin тЛ -gi). cos a] ;
L cos Pi L	cos p cos ₽i	J
70_ 7 A 7- D Г908 (at + Pl) _ P Sin (P - Ф — PO s}n al
cos pi . L cos p cos Pi J '
Суммарные тангенциальная Tt и радиальная Z« силы
цилиндров (рис. 40, в) определяются при суммировании всех сил:
(142)
и
секции
1-п
(143)
г.-А.+УА/-
I-1
Таким образом, действующие в секции цилиндров силы све-
дены к суммарным. Далее силы, действующие на шатунные шей-
ки и подшипники, коренные шейки и подшипники, определяются
аналогично однорядному двигателю.
Набегающий крутящий момент секции цилиндров находится
с использованием выражения суммарной тангенциальной силы.
Если угол Yi>V, ПРИ положении КШМ бокового цилиндра
в ВМТ (рис. 40, а) на стенку главного цилиндра не будет дейст-
вовать дополнительное давление. Это соответствует, в частности,
периоду начала расширения в боковом цилиндре. При дальней-
шем движении кривошипа сила No имеет наибольшее значение за
60
весь период работы двигателя. Однако плечо h пары сил в этом
случае будет увеличиваться медленнее, чем при Yi=y, поэтому
такие схемы КШМ широко используют.
§ 6. КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ В ДВИГАТЕЛЯХ
С МЕХАНИЧЕСКОЙ СВЯЗЬЮ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
С ВАЛОМ ТУРБИНЫ
При наличии механической связи между коленчатым
валом, валом турбины, компрессора или турбокомпрессора до*
полнительный момент, снимаемый с вала турбины или переда-
ваемый компрессору, за цикл работы двигателя на установившем-
ся режиме можно считать постоянным.
Характер изменения кривых моментов двигателя, турбины и
компрессора на скоростной характеристике и соотношение этих
моментов могут быть различными в зависимости от режима рабо-
ты двигателя, способа соединения валов, систем регулирования и
других факторов. При постоянном расходе газа через турбину
ее характеристику можно принять линейной, а характеристику
компрессора — параболической (рис. 41).
Не вдаваясь в анализ мер, применяемых для достижения не-
обходимого соответствия между характеристиками при п=const,
при раздельном приводе турбины и компрессора можно записать
уравнение баланса
Л4дВ “I” М тур^тур —— Л^сопр	КОМ*
(144)
где AfTyp, ЛТком — моменты на валах турбины и компрессора со-
ответственно; 1*тур — передаточное отношение соединения вала
турбины с коленчатым валом (понижающее); iK0M — передаточ-
ное отношение соединения коленчатого
ра (повышающее).
При наличии только приводного
компрессора (без турбины) уравнение
(144) запишется так:
Мдв г= ^совр И" ^^коиАком*
Если на номинальном или другом
режиме моменты турбины и компрессо-
ра сбалансированы,' то весь момент,
развиваемый двигателем, затрачивает-
ся на преодоление полезных и вредных
сопротивлений:
^ДВ==^СОПр*	(145)
вала с валом компрессо-
Избыточный крутящий момент, раз-
виваемый на валу турбины при
А1тур1тур>Л4коИ/1ком, будет передавать-
nt а
Рис. 41. Скоростные ха-
рактеристики двигателя,
турбины и компрессора
61
ся на коленчатый вал, и характеристика изменения крутящего
момента двигателя будет корректироваться (штриховая линия
на рис. 41). Если соединение коленчатого вала с валом турбины
осуществляется через промежуточную коренную шейку, то этот
момент будет передаваться через все колена вала, расположен-
ные в направлении потребителя энергии, и его необходимо сум-
мировать с крутящими моментами на шейках коленчатого вала.
Соответственно при приводном компрессоре момент, передавае-
мый компрессору, необходимо вычитать из моментов на шейках
коленчатого вала.
Таким образом, передаваемый потребителю энергии момент
может быть больше или меньше момента, развиваемого двигате-
лем; это зависит от баланса моментов турбины, компрессора и
двигателя, соответствующего их регулированию.
§ 7. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА ДВИГАТЕЛЯ,
ПОДБОР МАХОВИКА
Даже на установившемся режиме работы двигателя
(со=const) мгновенная угловая скорость вращения коленчатого
вала не остается постоянной за период работы двигателя вслед-
ствие изменения крутящего момента (рис. 42). На угловую ско-
рость могут сильно влиять крутильные колебания, которые будут
описаны в части II.
В данном случае ограничимся тем, что рассмотрим абсолютно
жесткий коленчатый вал.
Степенью неравномерности вращения называется отношение
(146)
wcp
g___ ^max шт1п
Рис. 42. Крутящий момент и угло-
вая скорость вращения коленчатого
вала четырехтактного двигателя
__ Дй>
__ »
шср
где ©с₽=лп/30 — среднее
значение угловой скорости.
Значение Асо определим
из уравнения движения сис-
темы, которое получим, ис-
пользуя уравнение Лангран-
жа II рода (1).
В данном случае кинети-
ческая энергия системы
_ Лаг
где Js=const—момент инер-
ции всех движущихся дета-
лей системы.
Так как мы условились,
что система недеформируе-
мая, изменением кинетиче-
62
ской и потенциальной энергии положения КШМ пренебрегаем,
т. е.
ду _ аг _ ди	л.
да да да *
следовательно,
Обобщенная сила
Qz ^дв ^сопр»
где Мдв — момент, развиваемый двигателем; МСОпр— момент со-
противления в системе.
Подставляя полученные значения в уравнение (1), запишем
окончательно
^Д»=МСОПР+Л-^-.	(147)
at
*
Уравнение (147) перепишем в следующем виде:
*
4г=77(	’(148)
at	♦» 2
Тогда для любых двух точек		. 	.
2	
а>2 _ ш, х= J_ j (/идв _ Мсопр)
«
Численное интегрирование этого выражения дает зависимость
©(/). За начальную точку можно принять ©1=®ср; затем, доби-
ваясь сходимости результатов (с необходимой точностью) двух
последовательных расчетов за период работы двигателя и значе-
ний ©ср, получим изменение угловой скорости ©(/).'
Чтобы аналитически выразить степень неравномерности, пе-
рейдем от переменной — время t к переменной — угол а:
dm dm da dm
Тогда уравнение (148) пример вид
*шях	®б
У$<одГш=-±- §(M„-Meot9)da,	(150)
%йп	*а
где оа соответствует (Ощщ, ас—©max.
63
Момент сопротивления AfCo&p на установившемся режиме ра-
боты двигателя можно принять постоянным, тогда
“б
J (ЛТ дв — -Mconp) da = А == const.
(151)
После интегрирования уравнения (150) с учетом
лучим
щ2 .	л
max	mln	Л
2	~ h
(151) по-
(152)
Преобразуем левую часть уравнения (152) следующим обра-
зом:
2	__ 2
“max “mln _ “max ~~ “mln	“max ~Ь “mln m (153)
2	<ocp	2	с"
Так как с достаточной для практических расчетов точностью
можно принять (wmax+o)min)/2=a>cp, то с учетом (146) выраже-
ние (152) запишем так:
8=-Д-.	(154)
/ j“cp
Анализ соотношения (154) показывает следующее.
1.	Чем выше неравномерность изменения крутящего момента
двигателя, тем выше степень неравномерности. Откуда следует,
что чем большее .число цилиндров в двигателе, тем меньше сте-
пень неравномерности вращения коленчатого вала.
2.	При значительном превышении крутящего момента двига-
теля над моментом сопротивления можно получить большие сте-
пени неравномерности.
3.	Степень -Неравномерности зависит от скоростного режима
работы двигателя. Если известна степень неравномерности при
работе двигателя по внешней скоростной характеристике на но-
минальном режиме 6е, то при другой частоте вращения коленча-
того вала степень неравномерности можно определить по, соот-
ношению
(155)
где х=0,3 ...0,5.
Так как
д ш _ цтах ^mln
«ср
то при любой частоте вращения
“£p=4p.
ДшЛ—8ж<оср.
64
Таким образом, при снижении частоты вращения коленчатого
вала степень неравномерности увеличивается.
4.	При заданной степени неравномерности можно определить
необходимый момент инерции маховика. Суммарный момент
инерции
А=/Дв+Лт+Л4" А»	(156)
где /дв, /Пт, /с, /м — приведенные к коленчатому валу моменты
инерции соответственно движущихся деталей двигателя, потре-
бителя энергии, соединительных устройств, маховика.
Из выражения (156) видно, что чем больше число цилиндров
в двигателе и чем больше момент инерции /да, тем меньше необ-
ходимый момент инерции маховика. В некоторых силовых уста-
новках с ДВС момент инерции потребителя энергии может быть
' определяющим, тогда маховик вообще не понадобится.
В автотракторных двигателях определяющим является мо-
мент инерции маховика. В этом случае
Л~/м	(157)
или, с учетом (154),
А
ср
(158)
Ориентировочные значения б для установок с ДВС различ-
ного назначения можно принять следующими.
Электрогенераторы:
переменного тока.......................................... 0,005.-0,0033
постоянного тока......................................... 0,0145—0,005
Насосы, компрессоры, трансмиссии	и	т.	д..................... 0,04—0,01
Судовые двигатели, работающие	на	винт.................... 0,033-0,02
Транспортные двигатели....................................... 0,05-0,01
Транспортные установки с механической трансмиссией . \ . 0,013—0,005
§ 8. ПОНЯТИЕ О СПЕКТРАЛЬНОЙ плотности
СИЛ И МОМЕНТОВ
В предыдущих параграфах мы считали, что силы и
моменты, действующие в различных цилиндрах двигателя, рабо-
тающего на установившемся режиме, одинаковы и отличаются
только фазовыми углами. Несмотря на то, что в ДВС производят
подгонку деталей по массе и балансировку коленчатых валов,
КШМ различных цилиндров отличаются друг от друга. В дейст-
вительности в связи с различием значений масс, положений ци-
линдров масс шатунов, радиусов кривошипов, углов между кри-
вошипами и цилиндрами силы инерции и моменты от них в КШМ
различных цилиндров будут разными. Кроме того, вследствие
отклонений параметров рабочих процессов в цилиндрах двига-
3—1479
65
теля, которые вызваны различием углов опережения зажигания
и впрыскивания топлива, цикловой подачи топлива, степеней
сжатия и другими факторами, силы давления газов и моменты
от них также будут различны. Таким образом, силы и моменты,
действующие в двигателе, носят детерминированный характер,
а их рассеивание, определяемое различными конструктивными,
технологическими и эксплуатационными факторами — случайно.
Эти силы будем называть остаточными. Если значения сил и
моментов определять по их предельным отклонениям для данно-
го типа двигателя, то может быть допущена значительная, по-
грешность, так как сочетания предельных отклонений большого
числа факторов имеет малую вероятность. Кроме того, скорост-
ные и нагрузочные режимы работы двигателя изменяются при
эксплуатации. Неодинаковой оказывается и продолжительность
работы в различных диапазонах скоростных и нагрузочных режи-
мов. Эти параметры также носят случайный характер, в связи
с чем оценка сил с учетом их рассеяния проводится методами
математической статистики.
В ДВС широко используются следующие характеристики слу-
чайных функций:
среднее значение, или математическое ожидание,
“	1 ЛГ-1
тх(/)=М[%(/)]= V xw(.x,i)dx— lim — V лЛ(/);	(159)
J	JV— N **
среднее квадратическое значение
~ 1 ЛГ-1
<|£(1)=М[,№(/)]= ( x2w(x,Odx=lim-£- У xj(/);	(160)
J	лг—• N *-и
дисперсия
mx(/)}2]= f [х—mx(t)]3 а> (х, i) dx
N—l
— lim — У \xh(t)—mr(ЛР;
среднее квадратическое отклонение
«ж (0 -	=у
(161)
(162)
корреляционная функция
Kx(t, Г)=М [{АГ (0 - тх (i)} {X (Г) - тх (/')}] -
[лт—тх (/) ] [х' — тх (Г)] w (х, t, x',t') dxdx'==

66
)~ OTjr(/ )]>
(163)
где Л4[	]—символ статистического усреднения; W— число
реализаций; X(t)—случайный процесс; xk(i)—k-я реализация
из множества X(t); w(x, t), w(x, t, x', f) — одномерная и двумер-
ная плотности вероятности соответственно.
Аргумент х означает возможное значение случайного процес-
са X(t) при фиксированном t; аргумент х' — возможное значение
случайного процесса X (t) при фиксированном значении аргумен-
та f—t+x с вероятностью w(x, t, х', f)dxdx'.
Обычно в ДВС ограничиваются характеристиками эргодиче-
ской (существует конечный интервал корреляции 11ш/<Л(т)=0)
стационарной (статистические характеристики не зависят от на-
чала отсчета времени) случайной функции. В этом случае харак-
теристики случайных функций для одной реализации достаточно
большой продолжительности таковы:
X (t) di;
(164)
[X (0 - тх]2 di;
Кх (т) —
{X (/) — тх] [АГ (/ — г) — тх] di.
По значению корреляционной функции Кх(т), характеризую-
щей процесс во временной области, можно определить спектраль-
ную плотность Sx((o), характеризующую процесс в частотной об-
ласти. Между этими функциями существуют следующие соотно-
шения:
т
Sx (ш)=— f К х (г) cos	;
Л J
Кх (t) — I	(<*>) cos <ord<o.
(165)
з*
Рис. 43. Спектральная
плотность сил
Таким образом, случайный процесс
изменения возмущающих сил и моментов,
действующих в двигателе, может быть
оценен по спектральной плотности или
корреляционной функции. Спектральную
плотность в функции круговой частоты
Sx(a>) удобнее представить в функции
частоты Sx(v), имея в виду, что a = 2nv.
На рис. 43 представлена кривая спект-
ральной плотности номинальных и оста-
точных сил инерции, действующих в дви-
гателе. Площадь под кривой спектральной плотности в опреде-
ленном диапазоне частот Av выражает дисперсию сил инерции
Р (Ри).
Спектральную плотность Sx(v) для рассматриваемого спектра
процесса можно представить как энергетическую величину —
спектральную плотность мощности процесса
s'w=j£-=4-	<1бв>
Таким образом, для определения спектральной плотности сил
и моментов, действующих в двигателе, необходимо знать дис-
персию или среднее квадратическое отклонение и, конечно, закон
распределения случайной величины.
Рассмотрим сначала влияние отклонений параметров КШМ
на остаточные силы инерции и их моменты. В соответствии с тео-
рией вероятности выражение для среднего квадратического зна-
чения остаточной центробежной силы инерции, определяемого
массами mit радиусами кривошипов R{, длинами шатунов Li, уг-
лами между кривошипами Si и другими параметрами, можно
записать в виде
Gp =
-/ 2[(^7)!^,+ШЧ+(^Ч+ШЧ+-] 
(167)
Для вывода уравнений средних квадратических значений ос-
таточной центробежной силы, определяемой, например, отклоне-
ниями значений вращающихся масс, рассмотрим сначала мас-
сы, относящиеся к каждому кривошипу, как различные перемен-
ные величины и возьмем частные производные в соответствии с
уравнением (167). Затем примем одинаковые значения средних
квадратических отклонений для всех кривошипов. Учитывая угол
а+6< между осью кривошипа произвольного цилиндра и осью
главного цилиндра, а также выражение (95), получим средние
68
квадратические значения вертикальной и горизонтальной со-
ставляющих остаточной центробежной силы инерции:
=^Чвр ]/ 2cos2 (а+8/ - Y);
'ey —	У 2 S1112 (а + 8' “ Y) ;
(168)
здесь у— угол между осью главного цилиндра и осью г.
Амплитудное значение выражений (168) найдем следующим
образом. Заменим cos2(a+6t-—у) через косинус двойного угла,
а затем раскроем выражение через косинус суммы двух углов.
В результате преобразований получим выражение
'сг = Я^Чввр X
X
sin 2(8Z—у).
(169)
Амплитудное значение функций (168)
Зсатах = °сртах г=5,^?<в*3твр X
х/т+/(4-2cos2(8'“Y))2+(TSSIn2(8/“Y))2-
(170)
Взяв первую производную выражения (170) и приравняв ее
к нулю, найдем угол, поворота коленчатого вала а', который со-
ответствует экстремумам ам и ас/
tga'=tg2a=-^-^-—------Ssln2<8/-V).	ц71)
cos 2a	2 cos 2 (8/ — у)
Средние квадратические значения остаточных моментов от
центробежных сил относительно осей у и г в выбранной системе
координат аналогичны (168):
°жсу=7?«>2зтвр j/^2 cos2 (a+8/ - Y):
•	V 2x2sin2(a+8'~Y)’)	(172)-
где Xi — расстояние от точки приложения силы до начала систе-
мы координат.
Из выражений (170) и (172) видно, что остаточная неуравно-
вешенность проявляется для всех систем КШМ и зависит от схе-
69
мы расположения кривошипов коленчатого вала. Так, для одно-
цилиндрового, двухцилиндрового с 8z= 180°, трехцилиндрового с
6z=120°, четырехцилиндрового с 6г= 180 и шестицилиндрового
с 6z=120° рядных двигателей значения максимальных средних
квадратических остаточных центробежных сил (170) соответст-
венно равны:	1,41/?(02Отвр! 1,223/?(02Отвр5 2/?(02<Тщ вр J
1,732/?й)2От вр*
Средние квадратические значения остаточных сил инерции
возвратно-поступательно движущихся масс и моментов от них
определим аналогично предыдущему случаю с учетом выраже-
ний (80), (91), (167) и получим вертикальные и горизонтальные
составляющие (ограничиваясь гармониками второго порядка):
иг=V2 AC0S <а — Y+8/)cos 2 (“ - Y + BZ)]2COS2 Y/};
<=2 UCOS <а ~ Y + 8j)+X cos 2 (а — у+8,)]2 sin2 yj;
(173)
= V 2<x'IC0S(a - Y+8/) + X COS 2 (а - Y+8Z)]2cos2yj •
вМм = ^ата.Л
]/ 2 Wos <а—Y+8Z)+X cos 2(а—у+8/)psin»yJ.
Здесь у/ — угол между осью i-ro цилиндра и осью г.
Амплитудные значения (173) можно найти аналогично тому,
как были получены выражения (170). Для одно-, двух-, трех-,
четырех- и шестицилиндровых рядных двигателей выражения
максимальных средних квадратических остаточных сил инерции
первого порядка будут аналогичны (170), где вместо
°твр подставлено ата д.
Для тех же двигателей максимальные значения средних
квадратических остаточных сил инерции второго порядка соот-
ветственно равны: X/?a)23mii д; 1,41Х/?ш2аОТя. д; 1,225Х/?ю2атпд;
2М№тяд; l,732X/?®2smn д.
Как видно из выражений (173) и приведенных примеров, ос-
таточные силы инерции возвратно-поступательно движущихся
масс действуют во всех двигателях. В рядных двигателях они
действуют только в плоскости осей цилиндров, в V-образных
имеются их вертикальные и горизонтальные составляющие. Наи-
большее значение имеют остаточные силы инерции первого по-
рядка.
По аналогичной методике можно получить выражения сред-
них квадратических остаточных сил и моментов, обусловленных
отклонениями других параметров КШМ.
70
Так как в ДВС производится подгонка деталей по массе, за-
кон распределения плотности вероятности случайных величин
близок к нормальному:


(174)
Например, для центробежных остаточных сил инерции можно
записать
cos(a'4-81)4-AM,wl cos (a'4-82)
+ Д^врш cos (a'4-83)4-...+ДЛ4вр/ cos (a'4-8,)],	(175)
где ДМвр i—случайное отклонение вращающейся массы криво-
шипа от математического ожидания; в общем случае ДЛ4вр/ раз-
личны.
При нормальных законах распределения отклонений вра-
щающихся масс получаем нормальный закон распределения сил
инерции. Например, для двухцилиндрового двигателя с 6Z= 180°,
a'=0, 180° и т. д., и вертикальная составляющая остаточной си-
лы инерции в соответствии с уравнением (175)
Люев=^(Л^вМ4-Д^вИ1).	(176)
что является суммой двух случайных величин с нормальными за-
конами распределения.
Среднее квадратическое отклонение
в«=^‘О2/(аЯ1вР1)24-(<’тври)2-
tlpH (Ттвр1=<Гт врП—
(Ттвр

(177)
(178)
В соответствии с выражением (174) плотность распределения
г
/(*>«)=
ехр
2a2
—Z------------ехР
2 VЛ«Лвр/?<1>2
4®4Я2’«вр
(179)
Аналогично можно получить выражения для горизонтальной
составляющей и ее моментов, а также для сил инерции возврат-
►
нопоступательно движущихся масс и их моментов.
Выше рассмотрены влияния отклонений параметров КШМ на
остаточные силы инерции и их моменты при фиксированной ча-
стоте вращения коленчатого вала и нагрузке двигателя. Кроме
них в ДВС действуют номинальные и остаточные силы и момен-
ты, обусловленные изменением скоростных и нагрузочных режи-
мов двигателя. При достаточно большой продолжительности эти
процессы также можно рассматривать как стационарные случай-
ные процессы.
71
Рис. 44. Плотность рас-
пределения скоростных
режимов:
1 — тракторного дизеля; 2 —
автомобильного двигателя
Рис. 45. Спектральные плотности сил инерции
четырехцилиндрового тракторного дизеля:
а — от остаточных сил инерции первого порядка; б — от
неуравновешенной части сил инерции поступательно-
движущихся масс второго порядка; 1 —• без механизма
балансировки; 2 —с балансировкой на 75%
Если известны дисперсии амплитуд гармоник газовых и инер-
ционных сил DCki и продолжительности работы силовой установ-
ки по частотам, то можем определить спектральную плотность
мощности

(180)
/-j
где РсМ = V — дисперсияамплитудгармониквдиа-
1"
пазоне частоты Av для центральной частоты vj; c2kJ=a2kj-|-tfy,
— плотность распределения вероятностей продолжительности ра-
боты.
На рис. 44 показаны плотности распределения скоростных
режимов автомобильного и тракторного двигателей. Спектраль-
ные плотности сил инерции и остаточных сил инерции от воз-
вратно-поступательно движущихся масс первого (рис. 45, а) и
второго (рис. 45, б) порядков четырехцилиндрового тракторного
дизеля, определены по трехсигмовым пределам в зависимости от
частоты. Как видно из этих рисунков, максимумы спектральной
плотности несколько смещены в сторону более низких частот и
не совпадают с максимальными значениями сил инерции. Сле-
довательно, расчеты на прочность и долговечность необходимо
выполнять не только для наиболее тяжелых режимов работы си-
ловой установки, но и с учетом спектральных плотностей дина-
мических нагрузок.
72
§ 9. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И ПОСТРОЕНИЯ
ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ
Пример 1.. При выполнении динамического расчета двигателя
необходимо, рассчитать и построить диаграммы следующих сил: р?—SX(VX);
Рг(а); ри(а); pi(a); рш(а); N(a); T(a)-t Z(a); векторные диаграммы сил,
действующие на шатунные и коренные шейки и подшипники, а также диа-
грамму набегающего крутящего момента.
Для выполнения динамического расчета необходимо знать общие данные
двигателя (тактность, число цилиндров, порядок работы и т. д.), а также
величины: D или /?; Sp; X; г; в; pz; pGt п2; n2; pe; pB; n; p; ф (для двух-
тактных двигателей); тп.д; /и2; /пВр; Ра (для двигателей с наддувом). Все
необходимые расчетные зависимости приведены выше.
При выполнении расчетов с использованием микрокалькулятора как
промежуточные, так и конечные значения величин целесообразно записы-
вать в виде табл. 3 по следующей форме.
Таблица 3
Показатели
а, •
0	5	10	15	30	• • •	150	165	170	175	180	• • •	355*	• • •	71Б*
А [см. (27)]
ИЛИ Sx”F
+ pSc
3 ИЛИ Pl
г
Р'с
Рг
Е [см. (39)]
ря
Pl
tgp
N=*pi tg p
COS P
Pm=Pl/C0S P
sin (a+P) /cos P
T=pi sin(a+
+ P)/cos p
cos (a+P)/cos p
2=Pi cos(a+
+iP)/cos P
* Конечная точка расчета для двухтактного двигателя.
Конечная точка расчета для четырехтактного двигателя.
73
Рис. 46. Фрагмент распечатки диаграммы сил от давления газов
В этом случае соответствующие диаграммы строят вручную.
Использование программ для ЭВМ позволяет как расчеты, так и построе-
ние диаграмм проводить с применением ЭВМ. На рис. 46 приведен фрагмент
распечатки и построение диаграммы сил от давления газов по углу поворота
коленчатого вала. На рис. 47 показана векторная диаграмма сил, действующих
на первую шатунную шейку V-образного (у=90°) восьмицилиндрового четы-
рехтактного автомобильного дизеля со следующими параметрами:	10 мм;
о = 115 мм; £=203 мм; z=0; л=2000 ми и*1; Л1 = 1,37; л2= 1,178; е=17,3;
ра *=0,0975 МПа; рв»0,107МПа; рх»9,41 МПа; Мп.д=2,229 кг; Мвр= 1,386 кг.
Рис. 47. Векторная диаграмма сил, действующих на первую шатунную шей-
ку восьмицилиндрового V-образного дизеля z_>
74
Фазовый угол между процессами в цилиндрах равен 90°.
Аналогично рассчитывают и строят все остальные диаграммы динами-
ческого расчета.
Пример 2. Определим остаточные силы инерции возвратно-поступатель-
но движущихся масс в четырехтактном рядном четырехцилиндровом дизеле
с /?==60 мм; л =1800 мин*"1; со=лл/30= 188,5 рад/с для двух отклонений
масс поршня и верхней головки шатуна. Предельные отклонения примем
равными ±ЗОт/ что соответствует вероятности 0,997.
Если детали после изготовления не подгоняют по массе, то для поршня
ДМп«= ±0,045 кг; для верхней головки шатуна AAfi = ±0,060 кг; суммар-
ная масса ЛМп.д= ±0,105 кг.
Тогда	аМп = ДЛ4п/3=0,015 КГ; аЛ1=0,020 КГ;
°-Мп.д
=0.025 хп
В соответствии с выражением (173), ограничиваясь гармониками перво-
го порядка, получим
вишах=2/?®23л{> или аип1„ = 4263,87^,
что дает Ои.пшах—63,96 Н; o.i шах== 85,3 Н; Ои.п.д шах =106,6 -Н.
Трехсигмовые отклонения соответственно: Зоя.„ шах= 191,9 Н; 3oHimax =
=255,9 Н; Зоя.п.д Шах=319,8 Н; предельные значения остаточных сил инер-
ции, определенные по предельным отклонениям масс с учетом знаков,
ДР=4Яш2ДЛ1; получим ДРН.„=383,7 Н; ДР„1 = 511,7 Н; ДРн.п.д=895,4 Н.
При подгонке деталей по массе ДМП=±0,005 кг; ДЛ41=±0,010 кг;
ДМп.д = ±0,015 кг. Проводя расчеты, аналогичные предыдущему случаю;
находим сгагд, =0,00167 кг; ам, =0,00333 кг; «ж7д=0,0037 кг; ов.пшах=
=7,12 Н; <7я1 шах=14,2 Н; Ои.п.д max=15,8 Н; Зон.п max=21,36 Н; Золш.х™
=42,6 Н; Зои.п.д щах=47,4 Н; ДРИ.П=42,6 Н; ДРИ1=85,3 Н; ДРп,д=127,9 Н.
Таким образом, остаточные силы инерции деталей без подгонки по мас-
се значительно больше соответствующих сил инерции деталей с подгонкой.
Оценка по предельным отклонениям масс деталей дает намного более завы-
шенные результаты, чем трехсигмовые.
ГЛАВА П. НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ СИЛ И МОМЕНТОВ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ В ДВИГАТЕЛЯХ,
и их балансировка
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, УСЛОВИЯ
БАЛАНСИРОВКИ
Все силы и моменты, действующие в двигателе, изме-
няются во времени; их можно разделить на внешние, которые пе-
редаются на его опоры, и внутренние, которые замкнуты в дви-
гателе и на опоры не передаются. К первым, например, можно
отнести силы инерции, ко вторым — силы от давления газов в ци-
линдрах. В связи с этим задачей балансировки двигателя будет
сведение его внешней неуравновешенности к внутренней, т. е.
динамическая балансировка двигателя должна приводить к по-
75
стоянным по модулю силам и моментам или, в частном случае,
к равенству нулю их равнодействующих.
Основными силами в двигателе, вызывающими его неуравно-
вешенность, являются центробежные и силы инерции возврат-
но-поступательно движущихся масс. Эти силы могут создавать
и соответствующие моменты. Крутящий момент передается по-
требителю энергии, а реактивный, или опрокидывающий момент,
который сбалансирован, например в биротативном двигателе, в
других двигателях обычно не балансируется и передается на ра-
му, на которой установлен двигатель.
Балансировка осуществляется двумя способами: соответст-
вующим выбором схемы двигателя и его коленчатого вала или
применением дополнительных устройств.
В ДВС всегда крутящий момент и угловая скорость коленча-
того вала изменяются во времени, что создает дополнительные
силу инерции и момент. Это в значительной мере может прояв-
ляться при переходных скоростных режимах работы дви-
гателя.
На балансировку двигателя могут оказывать влияние коле-
бания деталей вследствие их упругости, например крутильные
колебания коленчатого вала, а также его изгибные деформации
под действием нагрузок.
Вследствие качания шатунов также создаются силы инерции
и их моменты. Рассеивание сил инерции и газовых сил и их мо-
ментов сказывается и на балансировке двигателя. Таким обра-
зом, в общем случае полная• балансировка двигателя невоз-
можна.
Ограничиваясь в первом приближении расчетной схемой
КШМ, применяемой в данной части при со=const, и гармониками
сил инерции возвратно-поступательно движущихся масс первого
и второго порядков, можно достичь полной балансировки любого
КШМ. Однако в этом случае необходимо учитывать экономиче-
скую целесообразность (затраты на производство, экономию ма-
териалов и т. д.) такой балансировки.
Общее условие балансировки двигателя — равенство нулю
главного вектора и главного момента — в матричной форме вы-
ражено уравнением (90). В нашем упрощенном случае, ограни-
чиваясь центробежными силами Рс и силами инерции возвратно-
поступательно движущихся масс первого (РИ1) и второго (Риг)
порядков и их моментами в выбранной системе координат, усло-
вие теоретической балансировки как частный случай уравнений
(90) запишем в виде
V (Р (7?) I = {0}
** (2И (F)J х 1
ИЛИ
76

Pc
Л.1
^и2
Жс
Ж2
= {0}.
Так как суммирование матриц-столбцов производится пост-
рочно, то в результате получаем следующую систему уравнений
в проекциях на оси системы координат:
2^h1x,jf,«==O;
и2ж,у,г = 0; 2 МяХ'У'Х = 0.  I
(181)
В общем случае систему координат необходимо связывать с
центром масс двигателя, а затем использовать метод преобразо-
вания системы координат (см. гл. I, § 3). Однако, поскольку, сба-
лансированная недеформируемая система относительно системы
координат, связанных с какой-либо ее точкой, будет сбалансиро-
вана относительно любой другой системы координат, в частных
случаях выбор начала системы координат и соответствующие
уравнения упрощаются. Значения несбалансированных сил и мо-
ментов, конечно, зависят от выбора начала системы коор-
динат.
Такой подход позволяет формализовать балансировку двига-
теля и широко использовать ЭВМ.
§ 2. БАЛАНСИРОВКА ОДНОЦИЛИНДРОВЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
Начало системы координат выберем на пересечении
оси цилиндра с осью коленчатого вала (рис. 48, а, б).
Анализируя систему (181) уравнений для схемы на рис. 48,
видим, что
2Р«=0’ 2Мс-г-г=0’
—о*
77
я)
Рис. 48. Балансировка одноцилиндрового двигателя с использованием про-
тивовесов на дополнительных валах
Остаются несбалансированными

2 ^>cF >« Ф 2 ^А1Ж О’
^И2« ф 0» 2 О*
Центробежную силу Рс обычно балансируют с помощью про-
тивовесов, расположенных на продолжении щек коленчатого ва-
ла (рис. 48).
Покажем на примере балансировки центробежных сил, как
записываются уравнения в матричной форме. Так как к системе
приложены только центробежные силы и не приложены моменты,
то противовесы на продолжении щек колена вала смещены по
оси ОХ на расстояние х и —х (рис. 48, б). С учетом поворота си-
лы Рс на угол а против часовой стрелки (рис. 48, а), центробеж-
ных сил противовесов Рпр на угол (180°—а) по часовой стрелке
(рис. 48, а) относительно оси ОХ, а также с учетом уравнений
(84) произведения подматриц [Д] [Рс] для левого и правого про-
тивовесов массой Afnp (рис. 48, б) различны и имеют вид:
для правого противовеса
"0
о
0
0
cos (180 —а)
— sin (180—а)
0	" “0
sin (180—а) 0
cos(180—а)_	0
0
О
—х
78
о
о
о
О
cos а
sin а
РП[ЯС] =
“О
о
о
0 0
0 -
x 0
“О
= О
_0
для
“ О
О
_ 0
~ “О
= О
-°
"О
= о
о
“О
о
о
0
0
—x
0"
0
о
—xsin а
0
sin a
— cos a
0
— x sin a
x cos a
левого противовеса
О
cos (180 —a)
-sin (180 —a)
0
—cos a
— sin a
0
xsin a
0
sin (180 —a)
sin (180—a)
—xcosa
О
sin а
— cos а
О
х cos а
xsin а
-О
о
о
о
о
о
о
Для силы Pc матрица поворота
ГО О
О sin а
относительно оси
О
— sin a
cos a
ОХ
С учетом полученных подматриц условие балансировки в ма
тргчной форме запишется в виде
~0
о
о
0	0
cos a —sin a
sin a	cos a
[0J
су
CZ
't
о
о
о
"О
о
о
о
о
о
о
(—cos а)
(— sin а)
о
о
о
| О О
I 0 cos а
i 0 sin а
О i
(sin а) |
(—cos а) |
о
-sin а
cos а
о 1
о
. О .
10]
X
0	0	0
0 (— xsin a) (—xcosa)
_0 (xcosa)
О О
О (— cos a)
(—xsin a): О ( — sina) ( —cosa)_
О
(sin а)
f
79
о
'прр
' прг
I о
о
о
>
“О О
О	(— cos а)
О	( — sin а)
О
(х sin а)
о
о
w О (—л cos а)
О !
(sin а) |
(— cos а) I
...o'"...I o'
(xcosa) p
(xsina) 10
[О]
О
(— cos а)
(— sin а>
О
(sin а)
(— cos а)_
о
прр
О
О
О
-{О}.
После перемножения матриц получим
Pcy cos a — Рег sin a
PeV sin a -|- PCz cos a
О
О
«
О
о
о
- Р^у cos а + Рпрг sin а
— Р^у sin а — Pnpz cos а	•
О
— Р^уХ sin а - Р^гх cos а
P„wx cos а—Р^х sin а
О
+ {
- Рпт cos а+Рф sin а
—Рфу sin а — Pnpz cos а
О
= {0}.
।
PwX sin а 4- Р„9гх cos а
— РиууХ cos а+Рщи-к: sin а
Суммируя полученные матрицы-столбцы, запишем в резуль-
тате:
Реу cos a — Рсг sin a — Рярр cos a+P«tz sin a — Pnpp cos a +
+ Рпрг sina=0;
P,.y sin a PCI cos a — P„pp sin a—P^z cos a — Pn9y sin a —
Pnpzcosa=0;
80
X
— рпмх sin а — Р„9гх cos а + P„fyx sin а + Pnpi-Kcos а == 0;
Р„р ух cos а — Рп92х sin а — Р„9Ух cos а+Рщ,гх sin а = 0.
Из первых двух условий балансировки массы противовесов
Л4пр определяют из выражений
Рcy,z — ^Pnpy.z или Л4 в(Л<ь2 = 2 Ж прГпрО)2р,	(182)
где гпр — расстояние от оси вращения до центра масс противо-
веса (выбирается из конструктивных соображений).
Так как деформация коленчатого вала в данном случае не
учитывается, то (о==о)пр и масса противовеса
<₽ = М вРЯ/(2гир).	(183)
Последние два условия выполняются, если одинаковые про-
тивовесы расположены на продолжении щек и на равном рас-
стоянии от оси z (см. рис. 48, б). В этом случае
2	—0»
Аналогично в матричной форме с учетом преобразования си-
стем координат можно записать условия балансировки и других
сил и моментов.
Проекции сил инерции первого и второго порядков можно-
сбалансировать с помощью противовесов, расположенных на
дополнительных валах, например по методу Ланчестера.
На рис. 48 показаны две проекции КШМ и механизма уравнове-
шивания. Четыре противовеса массой Afnp расположены сим-
метрично относительно оси z на двух валах, оси которых парал-
лельны оси коленчатого вала. Валы 1 вращаются с частотой
коленчатого вала. Чтобы сумма вертикальных составляющих
центробежных сил этих противовесов была равна силе инерции
первого порядка, т. е.
cos а —	cos а,
масса каждого из них должна быть
(184)
где г' —расстояние от центра масс противовеса до его оси вра-
щения.
Еще четыре противовеса расположены на двух дополнитель-
ных валах 2, которые вращаются с удвоенной частотой по срав-
нению с частотой вращения коленчатого вала. Сумма верти-
кальных составляющих центробежных сил инерции противове-
сов равна силам инерции второго порядка возвратно-поступа-
81
тельно движущихся масс;
4Л1’рг’р (2u>)2 cos 2а=тп.^<о^КР„ cos 2а.
Отсюда масса противовеса
К—ties)
где г* — расстояние от центра масс противовеса до его оси вра-
щения. Горизонтальные составляющие сил инерции противове-
сов передаются на опоры дополнительных валов и замыкаются
внутри двигателя.
Опрокидывающий момент остается неуравновешенным. Этот
момент вызывает колебания двигателя на опорах и учитывается
при проектировании подвески двигателя и рамы, на которой он
установлен.
Рассмотренная система балансировки достаточно сложна и
дорога. Однако в высокооборотных одноцилиндровых двигате-
лях, в которых силы инерции возвратно-поступательно движу-
щихся масс велики и могут превалировать над силами от дав-
ления газов в цилиндрах, например в гоночных мотоциклетных
двигателях, fa кая система применяется. Она используется также
в одноцилиндровых двигателях для стендовых испытаний.
В этом случае дополнительные валы, противовесы и система
привода расположены в универсальном картере. Набор проти-
вовесов, различных по массе, позволяет менять цилиндро-порш-
вую группу в некоторых преде-
лах.
§ 3. БАЛАНСИРОВКА
МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
На рис. 49 показан
кривошип коленчатого вала КШМ
первого цилиндра (направление
оси цилиндра совпадает с осью z)
и КШМ произвольного i-ro ци-
линдра, ось которого смещена на
угол yi относительно оси z. Криво-
шипы коленчатого вала разверну-
ты на угол б<. Число цилиндров
г*. Начало системы координат
расположено в середине первой
коренной шейки коленчатого вала.
Запишем уравнения баланси-
Рис. 49. Схема кривошипно-ша-
тунного механизма 'произвольного
82
ровки в проекциях на оси системы координат, т. е. после сложе-
ния соответствующих элементов матриц-столбцов:
2*	г*
cr,^,z = 0;	—0;
1	i
и1х,0,«=О;	^М1х,у,г=0;
i	i
(186)
и2лг,0,г— 0;	— 0.
1 1*
Так как в данном случае силы можно переносить по линии
их действия, а КШМ плоский, получим
2рсж=0;	2*V-0;
2m„=o.
Остальные уравнения системы (186) с учетом последнего вы--
ражения системы (80), а также (91) и (95) можно расписать
более подробно (при условии, что со=const для всех кривоши-
пов) в виде:
2	" 2 Отв₽/?ш2 sin (аЧЛ);
2 рсг = 2 m^wi C0S <а + S/)=
2 Р^«=2 ^п.д^соэ (а - Yz+8,) sin у,;
2 Р**у = 2 cos
2 Р*Хг “2 Wn-^“2 cos (а “ V/ + Цcos yz;
2	2 тпл^^ cos 2 (а —у I + 8,) cos Yz 5
, r
*
2	=2 m«yp<t?x‘cos (a+8/);
2	=2	sin (a -j- 8/);
(187)
2 M^y2 т"-^х1cos (a “ Yz+8/) cos Yz;
2	~ 2 m^pa;lxi cos (a—Yz+8z) sin Yz?
83
2 М2у = 2 mn.nR cos <«2kxi cos (a — Y, + 8Z) cos y,',
2 ^2» e 2	cos (a — Y/ + 8,) sin Y/-	J
Полученная система из двенадцати уравнений является усло-
вием балансировки двигателя любой схемы.
При суммировании проекций центробежных сил и их момен-
тов необходимо учитывать правило знаков выбранной системы
координат.
Направления сил инерции первого и второго порядков воз-
вратно-поступательно движущихся масс учтены при задании фа-
зовых углов.
Если условия балансировки не выполняются, то необходимо
изменить схему коленчатого вала либо выбрать систему балан-
сировки с помощью противовесов на щеках коленчатого вала
или на дополнительных валах. Затем из условия равенства сум-
марных сил и моментов в двигателе без системы балансировки
и суммарных сил и моментов от противовесов системы баланси-
ровки, нужно определить массы противовесов (см. примеры в
§ 7 данной главы).
§ 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА И ФОРМЫ
ПРОТИВОВЕСОВ
Балансировка многоцилиндровых двигателей не явля-
ется однозначной задачей, поскольку необходимо анализировать
большое количество схем коленчатых валов и расположения
противовесов. Поэтому уже на стадии проектирования двигателя
приходится решать оптимизационные задачи по определению
числа и формы противовесов.
Схема коленчатого вала, количество, расположение, разме-
ры противовесов и их масса обусловливают ряд динамических
явлений, которые влияют на многие факторы, например на на-
груженность подшипников, равномерность набегающего крутя-
щего момента вдоль коленчатого вала, внутреннюю и внешнюю
неуравновешенность в двигателе, местные моменты, действую-
щие на коленчатый вал. Влияют также характеристики проти-
вовесов и на организацию рабочего процесса, экономические,
технологические, экологические и другие показатели двигателя.
Все эти факторы должны быть заданы в виде целевой функции.
Конечно, решение этих задач экспериментальными методами
практически невозможно, поэтому используют методы матема-
тической статистики. С помощью регрессионного анализа по ре-
зультатам многофакторного математического эксперимента
строят математическую модель в виде линейной комбинации
линейных и степенных функций от входных факторов с неизвест-
84
ными коэффициентами в окрестностях некоторого диапазона
изменения параметров.
Такая модель не является физической и справедлива только
для рассматриваемого типа двигателя в заданном интервале из-
менения параметров. Проверка адекватности модели и выделе-
ние существенных факторов для решения поставленной задачи
проводится по критериям Стьюдента и Фишера или другими
методами. Анализ оптимума целевой функции позволяет полу-
чить численные значения изменяемых параметров, при которых
достигается решение задачи. Конечно, для столь сложной задачи
не всегда удается получить самое оптимальное решение при всех
заданных условиях, поэтому приходится ограничиваться только
основными направлениями (в данном случае, например, нагру-
женностью подшипников при различных схемах расположения
противовесов или минимизацией их суммарной массы).
Рассмотрим решение задачи на упрощенном примере опти-
мизации формы противовеса. Необходимое значение произведе-
ния ЛТпрГпр, определенное из условий балансировки двигателя,
можно получить при различных очертаниях внешней поверхно-
сти противовеса (дуга окружности, парабола, полиномиальная
кривая и т. д.), а также при различных комбинациях внешнего
радиуса противовеса ЯПр и его толщины Япр. Предположим, что
в окрестности некоторой точки /?Про и Япро существует линейная
зависимость между произведением Л4прГпр и Rnp и Япр, тогда
(188)
пр “ ^0 “Ь ®1^?пр “Ь	пр*
Введем нормированные переменные
(189)
(190)
•^2 — #Пр	Н прО«
Теперь линейная модель запишется в виде
У = Дд “J” ®1*^1 a^Xf
(191)
В соответствии с планом эксперимента (рис. 50) в области,
ограниченной цифрами в скобках (1)... (4), необходимо задать
параметры в точках, указанных в табл. 4.
Полученные результаты запишем в виде транспонированной
матрицы
0i=i0i, 02‘, у‘з\ У14'].	(192)
В соответствии с методом наименьших квадратов матрица
известных параметров в данном случае запишется в виде
(193)
85
1
2
3
4
Рис. 50. План эксперимента для
линейной модели
Таблица 4
В результате ее транспонирования найдем
Произведение матриц (193) и (194)
0 О'
4 О
О 4.
=4
'1
О
LO
О О'
1 О
О 1.
(194)
(195)
Таблица 5

И—7(й' + й)
02 = 4" (^2*+ 02*)
Уз =•'“§"( # + Уз’)
И—j-W + W
86
Обращение матрицы (195)
О
О
О
(196)
L0
О
Перемножим матрицы (196) и (194):
। ГЮ01Г 1	1	1	11
Р,=Т 0 10	1	1 -1 -1 =
LooiJLi—1—1 1.
(197)
В результате произведения
фициенты модели (191):
матриц CF* и у получаем коэф*
до*
ai‘ =CF^y^—
ta2‘J
yli'
(198)
Тогда уравнение (191) запишется так:
(199)
Для проверки адекватности линейной модели необходимо
задать по крайней мере еще по одному значению параметров в
каждой точке плана (см. рис. 50). Получим, результаты, пред-
ставленные в табл. 5.
Проведя операции (198) для
лучим значения коэффициентов
усредненных параметров, по-
йо
Д1
У\
У2
Уа
(200)
Л2 j
и уточненную модель
у=alo-j- a{xt -J- Д2Х2,
(201)
по которой подсчитываем уточненные значения в матрице, ана-
логичной (192):
Уг={Уъ У2, у1з, yti.	(202)
„	87
Здесь в соответствии с рис. 50 и зависимостями (189)
Ух = Ло+ Оа (7?пр(+1) — 7?про) 4" Д2 (77пр(+1) — 77пю) >
У 2 — До 4~а1 (7?пр(+1) — 7?пр0) 4* а2 (77пр(—1) 77пр0),
Уз = а‘о + л1\ (7?np(-i) — T?nF0) + ^2 (77 nP(_D — 77пр0),
Уь Ло 4“ (7?up(“i) 7?прд) 4- Лз (77Пр(+и — 77прд).
Сумма квадратов, характеризующая неадекватность модели,
а число степеней свободы
sD=2 V Су1 - У1)2,	(203)
1-1
=	(204)
В данном случае число значений параметров N=4, между
которыми существует (Л+1) линейных связей, а число парал-
лельных заданий параметров v=2; тогда <pi = l.
Оценка дисперсии ошибок вычисляется с помощью квадра-
тов ошибок Se параметров у ’ и у :
$,=22 (?'-?)*	(205)
Z-1 /-1
с числом степеней свободы
по формуле
<p2=./V(v — 1)=4
S2=$,/(*%)•
(206)
(207)
Средние квадратические ошибки в оценках коэффициентов
St=S2/2.	(208)
Критерий Фишера
Spfti
(209)
Для заданной надежности при полученных tpi и <р2 критиче-
ское значение FKp можно определить с помощью таблиц. При
F^FKp модель считается адекватной.
В данном случае при <pi = l, <р2=4 и 99%-ной надежности
FKP=21,2.
Таким образом, минимизируя целевую функцию Л4пргпр, на-
пример, для различных уровней Л/Пр=const или rnp=const с ис-
пользованием полученной математической модели, можно опре-
делить оптимальные значения внешнего радиуса и толщины про-
тивовеса.
88
§ 5. ДИНАМИЧЕСКАЯ БАЛАНСИРОВКА ДЕТАЛЕЙ
И ОСТАТОЧНЫЙ ДИСБАЛАНС
Теоретически полностью сбалансированный коленча-
тый вал от центробежных сил и их моментов все же может
иметь некоторую несбалансированность вследствие действия
остаточных сил и их моментов, обусловленных неточностью раз-
меров и масс. При больших частотах вращения даже малые
вращающиеся массы могут создать значительные несбаланси-
рованные силы и моменты. Эти силы изменяются с частотой вра-
щения коленчатого вала, передаются на раму и вызывают виб-
рацию силовой установки. Вследствие этого коленчатые валы
ДВС, обычно в сборе с маховиком, а в автотракторных двига-
телях и с муфтой сцепления, подвергаются динамической балан-
сировке. Этот процесс проводится на специальных балансиро-
вочных машинах. Конструкции балансировочных машин разно-
образны, но большинство из них основано на принципе установки
балансируемой детали на упругое основание (рама на пружи-
нах, подшипники на упругом основании и т. д.) и сообщении
этой детали скорости вращения, близкой к резонансу. В этом
случае несбалансированные связи создают значительные ампли-
туды колебаний, которые регистрируют специальными устройст-
вами, позволяющими определить место, в котором необходимо
установить или удалить балансировочный материал и его массу.
Перед балансировкой коленчатого вала на его шатунные
шейки закрепляют хомуты, которые по массе соответствуют
массам шатунов, отнесенным к осям шатунных шеек.
Избыточный металл обычно снимают со щек коленчатого
вала или противовесов.
После балансировки коленчатые валы и маховики различ-
ных двигателей не взаимозаменяемы. При ремонтах сбаланси-
рованный с коленчатым валом маховик устанавливают только в
определенном положении по специальным отметкам. •
Более полной балансировки можно добиться при установке
всех поршневых групп шатунов, однако это достаточно сложно.
После динамической балансировки коленчатый вал все же
может иметь остаточный дисбаланс, который характеризуется
произведением остаточной массы на ее расстояние до оси вра-
щения, отнесенной к массе двигателя. На остаточный дисбаланс
могут сильно влиять отклонения масс шатунов от расчетных зна-
чений, отнесенные к осям шатунных шеек.
При оценке остаточных сил и моментов по предельным
отклонениям остаточного дисбаланса, особенно для многоци-
линдровых двигателей, результаты получаются завышенными,
так как они имеют малую вероятность сочетания масс (см. § 8,
гл. I). Например, для четырехцилиндрового рядного двигателя
трехсигмовое отклонение в 2, а для двенадцатицилиндрового —
89
в 4,36 раза меньше, чем определенное по предельным откло-
нениям.
Рассмотренная балансировка справедлива и для недеформи*
руемого ротора турбокомпрессора. Если коленчатый вал или
ротор турбокомпрессора сбалансированы при какой-то частоте
вращения, то расстояние какой-либо их точки от оси вращения
не зависит от частоты вращения. Поэтому балансировку можно
производить с частотой вращения более низкой, чем номи-
нальная.
Если на номинальной частоте вращения коленчатый вал или
ротор турбокомпрессора испытывает значительные деформации,
ведущие к появлению эксцентриситетов и разбалансированности,
то это явление необходимо учитывать при балансировке.
$ 6. ВНУТРЕННЯЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ
ДВИГАТЕЛЯ
Рассматривая внешнюю неуравновешенность двигате-
ля, мы оценивали ее с точки зрения воздействия на его опоры.
Однако эти силы приложены в различных точках двигателя и
не обязательно передаются на опоры. Но они остаются внутрен-
ними силовыми факторами для корпусных деталей: продольны-
ми и поперечными силами, а также изгибающими и скручиваю-
щими моментами в различных плоскостях. Это так называемая
внутренняя неуравновешенность двигателя. Так, силы от давле-
ния газов, с одной стороны, воздействуют на крышку цилиндра
и через силовые связи — на блок цилиндров; с другой стороны,
через КШМ передаются на опоры коленчатого вала и таким
образом снова воздействуют на блок цилиндров, но уже в проти-
воположном направлении. Так как в зависимости от порядка
работы эти силы в разных цилиндрах отличаются друг от друга,
то и воздействие их на различные элементы корпуса будет не-
одинаковым, вызывая его сложную деформацию.
Силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс,
центробежные силы и их моменты через опоры коленчатого вала
также будут воздействовать на корпусные детали.
Все действующие силы и моменты переменны во времени,
поэтому они вызывают периодические деформации в различных
плоскостях.
Еще более сложным будет воздействие силовых факторов на
корпусные детали при наличии внутренней и внешней неурав-
новешенностей. Так, при жесткой связи двигателя с рамой,
не связанной жестко с фундаментом, внешняя неуравновешен-
ность будет дополнительно вызывать деформацию рамы, кото-
рая, в свою очередь, взаимодействует с деформацией корпуса
под влиянием внутренней и внешней неуравновешенностей.
90
Рис. 51. Схема балансировки
четырехцилиндрового рядного
двигателя
Уравновешивание внутренних сил и моментов осуществляет-
ся теми же способами, что и внешних: выбором схемы двига-
теля и применением дополнительных устройств. Например, рас-
положение противовесов по схеме рис. 51, в, полная разгрузка
коренных опор от действия местных моментов, создаваемых
центробежными силами, приводит к тому, что они на опоры не
передаются и корпусные детали не нагружают. В более слож-
ных случаях могут быть установлены противовесы как на ко-
ленчатом валу, так и на дополнительных валах.
Поиск оптимального решения расположения противовесов
должен производиться с учетом внешней и внутренней неурав-
новешенностей, а также вопросов целесообразности применения
противовесов.
§ 7. ПРИМЕРЫ БАЛАНСИРОВКИ ДВИГАТЕЛЕЙ
Пример 1. Балансировка четырехтактного четырехцилиндрового рядного
двигателя. Из условия равномерности чередования рабочих ходов
6=720°: 4=180°. Коленчатый вал, схема которого показана на рис. 51, а, г,
плоский. Порядок работы цилиндров: 1—3—4—2 или 1—2—4—3. Коленча-
тый вал зеркально симметричный, поэтому начало системы координат удоб-
но выбрать на середине третьей коренной шейки.
91
Из условий балансировки (80), очевидно, что
2 л*с.г + о, 2>!.™~о, 2л<2^1-о.
Распишем остальные условия балансировки. В соответствии с уравнениями
(187) и с учетом того, что в данном случае у=0, получим
2 ?ъу /явр/?<«>2 [sin а 4- sin (180 + а) 4- sin (180 4- а) 4- sin а] =s 0,
2 ?cz — мвр/?(й2 [cos а 4- cos (180 4-ia) 4- cos (180 -Н а) 4* cos а] = 0,
2	в —^п.д/М[cos а 4- cos (180 4- а) 4- cos (180 4- а) 4- cos а] = 0,
2 Л|2з в —/Пд.дЛ<о2Х [cos 2а + cos 2 (18) 4- а) 4- cos 2 (180 4- а) 4- cos 2а] =
== —4тп.д/?<о2Х cos 2а.
Таким образом, центробежные силы сбалансированы. Сиды инерции воз-
вратно-поступательно движущихся масс первого порядка также сбаланси-
рованы, так как при cos a>0 и Ришу отрицательны, а Рлип нР*иш —
положительны, т. е. они направлены попарно противоположно. При измене-
нии знака сил Phizi и Pbkiv также изменят знак силы Рншх и Риып.
Силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс второго порядка
не сбалансированы и всегда направлены в одну сторону.
Максимальное значение суммарных сил инерции второго порядка в авто-
мобильном двигателе с внешним смесеобразованием при Мп.д=0,72 кг;
Р*=46 мм; п=5000 мин*1; Х»0,27; 2Ри2х=в9,8 кН. Эта сила будет воз-
действовать на цодвеску двигателя, и ее необходимо учитывать при проек-
тировании силовой установки. Силу 2РЛ& можно сбалансировать, например,
по методу Ланчестера с помощью противовесов на дополнительных валах,
вращающихся с удвоенной частотой по отношению к частоте вращения ко-
ленчатого вала. Эта сила относительно невелика, в общем спектре вибрации
двигателя ее балансировка не дает значительного эффекта. Однако, несмот-
ря на удорожание двигателя, иногда силу 2Рлц балансируют для снятия
вибрации двигателя иа частоте ее действия.
Остальные условия балансировки в соответствии с рис. 51, а, г, таковы:
2	= mBpZ?u)2 [—3a cos а 4- a cos а — a cos а 4- За cos а] = 0,
2 =з —[—За cos а 4- a cos а — a cos а 4- За cosa] == 0,
2 Мгу =	[—За cos 2а — a cos 2а 4- a cos 2а 4- За cos 2а] = 0.
Таким образом, в данном двигателе в целом все силы и моменты, кро-
ме сил инерции возвратно-поступательно движущихся масс второго порядка,
сбалансированы. Однако на вторую и четвертую коренные шейки коленча-
того вала действуют местные моменты от центробежных сил Pci, п2а и
Pcin.iv2a соответственно; на третью коренную шейку — силы Pav
и их моменты. Эти силы и моменты можно сбалансировать с помощью
противовесов, расположенных на продолжениях щек коленчатого вала по
различным схемам. Рассмотрим две из них (рис. 51, а» б): с четырьмя и
восемью противовесами.
Из условия равенства местных моментов от центробежных сил, дей-
ствующих на вторую и четвертую коренные шейки коленчатого вала, мо-
ментам от центробежных сил противовесов (рис. 51, б) •
mBpR(&2a = лхпргпр«23а,
92
определим массу противовеса
^пр s 2/ивр/? / (Зг ир) 
Суммарная масса всех четырех противовесов
4
/Ипр =s	пр) •
I
Из условия равенства центробежных сил, действующих на третью ко-
ренную шейку,
2/wBp7?w2 =	пр<*)2>
масса противовеса
/Ипр =	пр*
»
Сравнивая полученные значения масс, видим, чго если масса противо-
веса выбрана из условия равенства местных моментов, то средняя корен-
ная шейка коленчатого вала от центробежных сил будет разгружена не
полностью.
Рассмотрим теперь схему коленчатого вала с восемью противовесами
(рис. 51, в). Из условия равенства моментов от центробежных сил вращаю-
щихся масс кривошипов и противовесов
/пвр/?<*>22а = 2/ппргпрш22а
получим значение массы противовеса, необходимое для балансировки:
«пр = «врМ2гпр) •
Из условия равенства центробежных сил вращающихся масс второго
и третьего кривошипов центробежным силам противовесов
4/Идр/*прш^ ““ 2/Идр^й)2
находим
«пр = «вр/?/(2гпр) •
Полученная масса противовеса равна необходимой массе из предыду-
щего условия. При восьми противовесах одинаковой массы разгружаются
все коренные шейки, а суммарная масса противовесов
8-
^пр = 8/лвр/?/(2гпр).
1
В этом случае коленчатый вал разгружен как в целом, так и в отдель-
ных частях, но масса восьми противовесов в 1,5 раза больше, чем четырех.
Пример 2. Балансировка четырехтактного восьмицилиндрового V-об-
разного двигателя с у=90°. Из условия равномерности чередования рабо-
чих ходов в данном двигателе 6=720°: 8=90°. Коленчатый вал, схема
которого показана на рис. 52, крестообразный. Шатуны левого и правого
блоков смещены на отрезок Ь.
На этом примере рассмотрим общую методику балансировки, хотя в
данном случае она может быть более простой.
Начало системы координат выберем на середине первой коренной шей-
ки коленчатого вала, причем ось z совпадает с направлением осей цилинд-
ров I, II, III, IV левого блока. Направление оси у совпадает с направле-
93
нием осей V» VI» VII» VIII щиммщръъ правого блока. Перепишем условия
балансировки (80):
2 &cx,ytz в 0;	2 ^cx»fr»z = 0»
2 hIx.^z в 0» 2J 33 9»
2 ?и2х.у»з 33 ®>* ' 2	= 0.
В этом случае, очевидно, 2рсх = 0> 2^и1-*=а0> 2ри2*в0» 2^сжв
-0, 2'^ = °- 2^=-о.
Не раскрывая уравнений, из рис. 52 можно вывести» что
2 Р*У “	*“ у ill s О»
2^cz= Р cal + ^czlV в9>
2 Ри!У I-IV в ° * 2 Ри UV-V1II в ° •
Так как для блока правых цилиндров sin у=1, то
2 ^HtyV-Vili2=3 —Юд.дЯю2 2 cos (а Y + W =
« —лхп.д/?(л2 (sin а 4- cos а — cos а — sin а) = 0.
Аналогично для блока левых цилиндров
2 Лп«1-IV 33 —/»п.дЛ«2(cos а — sin а 4- sin а — cos а) = 0.
Суммарный вектор сил инерции возвратно-поступательно движущихся
масс первого и пятого цилиндров
Яц,у = V(^Hbzl)2 + (^Hbyv)2 5=3 ^п.д^2>
а его направление
х	^и1,уу	— mn.«/?w2 sin а
‘г ’"V - ~7^Г -	«> а -'« “•
т. е. вектор J?i направлен по первому кривошипу. Проведя аналогичный
анализ, увидим, что суммарные векторы остальных цилиндров также нап-
равлены по соответствующим кривошипам. Таким образом, балансировка
V-образного двигателя сводится к балансировке рядного двигателя» что зна-
чительно упрощает задачу. Однако проведем ее по общей методике в соот-
ветствии с направлением осей выбранной системы координат (рис» 52, б).
Проекции сил инерции второго порядка
2 VIII33	(cos 2 (90 — <х) 4* COS 2g 4*
4- cos 2 (180 — а) 4* cos 2 (90 4- а)] = 0;
2 ^k2zI—iv 33 *"/лп.д/?«>2^ [cos 2а 4- cos 2 (а 4е 90) +
4* cos 2(а 4' 270) 4* cos 2 (а 4* 180)] «• 0.
Суммарный вектор сил инерции второго порядка и его направление
относительно оси первого цилиндра
94
Рис. 52. Схема балансировки восьмицилиндрового V-образного двигателя с
•у=90°
#21,V = V (Ph2i)2 + (#h2v)2 = 'ял.д#“>2* cos 2 a;
-тп.д/?<о2Х (-cos 2a)
tg?2,’v-------(cos 2a) b ’2 = 315 *
Уравнения моментов от центробежных сил, а также моментов от цент-
робежных сил противовесов, расположенных на продолжении щек коленча-
того вала (рис. 52, а):
Mcpi,iv = — maf
Л^мН.Ш —
b
2 4
b	b\
\- — —5a—2b — — I = jnBpiR<i>2 (2a + i),
&	ЛЛ 1
Mc = /(Mcpmv)2 + (M„n.ni)2 =	(2a + b) /10,
— 5а— 2b
(2а 4* Ь) ।
— 6a — —— — 3b—7a —
^nppblV ^пр^*пр"^ [ 2 '	’ 2	—	2
— 4Ь — ~}= 6т^рГпр<о2 (2а+ Ь),
Мпрги,ш “ ~тпргпрш2
b —1	*“ За — 2£ —	4*
2	2
+ 4л -}- 2b +	4- 5а 4- ЗЬ 4* "g"! s —2/пВрГпрш2 (2а 4- Ь),
Мдр « VGWnP0i,iv)2 4" (^npzILIIl)^ e пр"2 (2a 4- Ь) V10.
Из равенства Af0 н Afop определим необходимую массу противовеса:
IBgp «а ^Bp^/(2/*npJ •
95
Аналогично моменты сил инерции возвратно-поступательно движущихся
масс первого порядка:
AfisV—yin =» *“/пп.л^а)2 [(а + О sin а + (За 4- 2b) cos а —
— (5а 4- 3b) cos а — (7а 4- 4b) sin а] = magR^ (2а 4- Ь) (3 sin а 4- cos а),
Afjyi—iv = —/Пп.дЛ»2 [а cos а — (За 4- b) sin а 4- (5а 4- 2b) sin а —
— (7а 4- 3b) cos а] » — mn.^R^(2а 4- Ь) (—3 cos а 4- sin а),
Af 1 = V М21р + М2г = тп.д/?ш2 (2а 4- 4) /10.
Из полученного выражения видно, что не зависит от угла поворота
коленчатого вала и может быть сбалансирован также с помощью противо-
весов на продолжении щек коленчатого вала. Масса противовеса в данном
случае
пр = тп,^/(2г'„р)
Общая масса противовеса для балансировки Мо и Mi определится сум-
мированием масс при:	г' «= г’ = гпР:
Л*Пр =	"Ь Я*|>р •
Моменты от сил инерции возвратно-поступательно движущихся масс
второго порядка
Afjyi—iv = ~та.лЯч1^. [a cos 2а — (За 4- 4) cos 2а —
— (5а + 24) cos 2а 4- (7а 4- 34) cos 2а] =0,
Af2iV—VIII = —/Яп.д/?ш2^ [—(а + 4) cos 2а 4- (За 4- 24) cos 2а 4-
4- (5а 4- 34) cos 2а — (7а 4* 44) cos 2а] = 0.
Таким образом, данный двигатель полностью сбалансирован с помощью
противовесов, расположенных на продолжении щек коленчатого вала.
ГЛАВА Ш.КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МЕХАНИЗМА
ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1. СХЕМЫ МЕХАНИЗМОВ ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И КИНЕМАТИКА ПРИВОДА КЛАПАНОВ
В четырехтактных и двухтактных с прямоточной
клапанно-щелевой продувкой двигателях внутреннего сгорания
клапаны расположены в крышке цилиндра, а распределитель-
ный вал может быть размещен как в блоке цилиндров (нижнее
расположение), так и в крышках цилиндров (верхнее располо-
жение) .
При нижнем расположении распределительного вала
(рис. 53) для передачи движения от распределительного вала 1
96
Рис. 53. Схема передаточного меха- Рис. 54. Схема рычажного переда-
низма с толкателем	точного механизма
используют толкатель 2, штангу 3, коромысло 4, которое воз-
действует на клапан 5. Принудительное движение осуществля-
ется кулачком на распределительном вале, возвратное движе-
ние— пружиной 6. Нередко вместо толкателя применяют ры-
чаг 1 с роликом 2 (рис. 54).
При верхнем расположении распределительного вала кула-
чок может действовать через стакан 1 на клапан 2 (рис. 55, а),
Рис. 55. Схемы привода клапанов при верхнем расположении распредели-
тельного вала:
а — с толкателем с плоской тарелкой; б — с рычагом; в — с системой рычагов
4-4479
97
I
Рис. 56. Расчетная динамиче-
ская модель механизма с тол-
кателем:
а — механизм привода; .6 — пру-
жипа
через рычаг 1 на клапан 2 (рис. 55,6) или через систему рыча-
гов 1 на клапаны 2 (рис. 55, в). Все приведенные механизмы
привода можно считать плоскими, а в случае недеформируемо-
сти их элементов система будет одномерной, связанной с углом
поворота распределительного вала.
Для получения кинематических соотношений достаточно вос-
пользоваться безмассовой стержневой расчетной схемой
(рис. 53...55).
Для динамического анализа механизм привода обычно пред-
ставляют системой из двух масс (рис. 56, а): массы, отнесенной
к толкателю М£т, я массы, отнесенной к клапану М£кл; тол-
катель и клапан соединены между собой жесткими невесомыми
стержнями. Аналогично КШМ массы определяют из равенства
кинетической энергии действительной системы Тл и расчетной
схемы Тех'
При нижнем расположении распределительного вала (см.
рис. 56, а) действительную систему составляют следующие мас-
сы: толкателя Мт, штанги МШт, деталей крепления пружины
Мд.к, пружины Мпр, клапана Мкл. Момент инерции коро-
мысла Укор.
Из равенства кинетической энергии пружины (рис. 56,6),
один конец которой неподвижен, а другой движется со скоростью
98
клапана, определим приведенную массу пружины Л4пР:
/пР
X₽V^/2=f VldM^/2,	(210)
где Znp — длина пружины; Vx — скорость движения элемента
пружины dx; dMnp — элементарная масса пружины.
Примем, что масса пружины равномерно распределена по ее
длине, тогда
dM „р=(M^l^dx,	(211)
а скорость движения элемента dMap пропорциональна его рас-
стоянию от неподвижного конца:
(212)
Подставляя выражения (211) и (212) в уравнение (210), по-
лучим
e	х2 Afnp = ^пр
2	2	/^p /пр	3	2
Отсюда масса пружины, приведенная к оси клапана,
Mp=-LMnp.	(213)
Равенство кинетической энергии качательного движения ко-
ромысла и поступательного движения массы коромысла 2Икор,
приведенной к оси клапана, запишем в виде
•Л4 кбр Vm/2 = Jк ОрО>кор/2,	(214)
где сокор—угловая скорость коромысла при повороте оси.
Так как
^кл = ^кор^»
ТО
КОрЮкор^Я = <Окпр*^кор»
откуда
Хор=4ор/^.	(215) -
Для штанги и толкателя, движущихся поступательно, анало-
гично получим
КЛ2=ЛТштУ2„/2 и MV^/2 = ^TV?/2.
Поскольку Ушт= Vis VtuJi, то приведенные к оси клапана
4*
99
массы штанги и толкателя:
7Ишг=ЛГшт//2,
м;=Л4Т//2,
(216)
где i—передаточное отношение коромысла; 1=Ъ!а.
С учетом уравнений (213) и (215), (216) суммарная масса,
приведенная к оси клапана,
=7ИКЛ+М джл+(Мпр/3)+(А1шт/Р)+(2)+Л0₽Ж (217)
Аналогично определяется суммарная масса, приведенная к
оси толкателя.
Окончательно
AIjt Мт + Мшт+(Мкл4--Мд.кл4- з
Мф) ^'2 4-Дор/а2«
(218)
Приведенные массы других систем привода (рис. 55, а, б, в)
определяются как частный случай выражения (217).
Удельные суммарные массы механизма газораспределения
можно условно определить, деля их полные значения на пло-
щадь сечения горловины впускного патрубка. Для автотрактор-
ных двигателей ориентировочно можно принять:
при нижнем распределительном вале
лг1кл=(23...3О) г/см2;
при верхнем распределительном вале
л»гкл=(18...23) г/см2.
§ 2. КИНЕМАТИКА МЕХАНИЗМА ПРИВОДА КЛАПАНОВ
Механизм с прямолинейным движением нижнего кон-
ца штанги. Для получения кинематических соотношений такого
недеформируемого механизма воспользуемся расчетной схемой
движения механизма с толкателем, показанной на рис. 57. На-
чальное положение механизма, когда толкатель находится на
начальной окружности кулачка радиусом гн. показано жирной
линией. При набегании кулачка толкатель сдвинулся на отре-
зок hT (положение механизма показано штриховой линией).
Из рис. 57 видно, что расстояние по вертикали между осью
распределительного вала и осью коромысла
s=гв+/шт cos Yo — a cos (180 — т)0).	(219)
То же расстояние при положении механизма, которое пока-
зано штриховой линией,
s=гв -|- +/Ш1 cos у—a cos (180 — •>]).	(220)
100
Приравнивая выражения (219) и
(220), получим уравнение хода толкателя
«а /шт (cos Yo — cos y)+a (cos tq0 — cos »]).
(221)
Из равенства расстояния S| при двух
положениях механизма найдем
/mT(sin Yo —sin Y)+«(sin tj0—slni))=0.
(222)*
Выражения (221) и (222) характери-*! [
зуют связь движения механизма с его J—х
конструктивными параметрами.
Продифференцировав выражения (221)
и (222) по времени и перейдя к углу по- ₽ис- ®7, Кинематическая
'	' r	r J J схема механизма с тол-
ворота распределительного вала аР, по- кателем
лучим
sin y + «“коР sin
flMXp
<ит“шт COS Y + «“кор COS 1j = 0,
(223)
где сор, Ышт, сокор — угловые скорости вращения распределитель-
ного вала, качания штанги и коромысла соответственно.
Решим совместно уравнения системы (223):
.. cos у dhx
“кор=--------------— “р —— .
a sin(i] — у) rfap
cos	dhx
ш„,-=-------------------“d—1
Zun sin (i) - y)	dap
(224)
После дифференцирования уравнений системы (224) полу-
чим выражения угловых ускорений качания коромысла и
штанги:
«кор=cos y/I« sin (7j - y)] -	-
(4a2	\dOf a
X cos2YCQ —Y) +

ешт= -	cos 7) t[a sin (7| — Y) — (
•шт ( da‘	\
4
и>	п
— cos2
шт
)] J
dhx 1 \а
dap а )
cos2 ij cos (т] — Y) I sin3 (tj — y) } “₽•
(225)
ШТ
101
С помощью полученных зависимостей и обозначений на
рис. 53 запишем уравнения движения клапана в виде
6 —?о='П —т1о>
Лкл=b (cos 5о — cos о.
•4л== b (*««₽ sin ? + ш’ор Cos ’
(226)
Данные выражения можно упростить, используя равенства
cos То — cos у=2 sin [(Yo+Y)/2] sin [(у — Yo)/2];
sin Yo—sin y= — 2 cos [(Y©+Y)/2] sin [(y — Yo)/2]-
Тогда вместо выражений (221) и (222) имеем .
a {cos ho — (Yo+Y)/21 - cos fo—(Yo+Y)/2]}=hr cos [(Yo+Y)/2] -
(227)
Так как угол у не превышает нескольких градусов, т. е.
практически не изменяется при <оШт=0, угол tj близок к пря-
мому, то допустимо принять, что
(Yo+Y)/2 « Yo; cos [(Yo + Y)/2] ~ cos Yo ~ 1.
и перейти к следующим приближенным выражениям:
«
_	<°Р	dA,
[0 о	---- ,
р a sin (1 — Yo)
екор « (—7- /1« Sin (ij - Yo)] + (“’ \ X
da* /	\ rfaP /
ь	Яг *
X cos (Ч — Yo)/[fl2 sin8 (TJ — Yo)]} “р»
I/ ^КЛ
кл“ dt
r ___
** dt
b sin ll[a sin (i) — Yo)]| “₽»
I	J
b sin sin _ Yo)l/
| da*	\ rfaP /
(228)
X b sin (i)o—Yo — W/[fl2 Sin8 (tj — Yo)]} “p.
Передаточный механизм с криволинейным движением ниж> ,
него конца штанги. Отличие механизма, показанного на рис. 54,
от предыдущего (рис. 53), состоит в том, что нижний конец
штанги опирается на рычаг, и поэтому он будет перемещаться
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях. Оси
ортогональной системы координат S^—e связаны с начальным
102
положением механизма, когда клапан закрыт и нет зазоров в
механизме. При наинизшем положении рычага он опирается на
начальную окружность кулачка. В этом случае для смещений
нижнего конца штанги в двух направлениях можно получить
следующие зависимости:
AIJ=2r1 sin [(9 ®о)/2] cos [(втах 0)/2],	1	(229)
Л„= — 2rj sin ((fl — 60)/2] sin [(0тах6)/2], |
где 0, 0тах — угол и максимальный угол рычага от его наинизше-
го положения.
Аналогично уравнениям (221) и (222) запишем выражение
хода толкателя:
(230)
= /шт (COS Yo — COS Y) + « (COS TJo ~ COS 7)),
AW —	(?in Yo — Sin Y) 4- a (sin i)0 — sin ц).
* »
«
Проведя операции дифференцирования и преобразований,
получим выражения для угловых скоростей коромысла и
штанги:
“кор=Г1 -37 cos (0ср “ 0 + Y)/I® sin Cn - у)],
«Г
“шт= —~~г\	-cos(9cp — 04ft)/[asinft—у)],
• шт
(231)
где 0сР= (0 max + 02)/2. ,
При повторном дифференцировании можно получить выра-
жения угловых ускорений коромысла и штанги.
Упрощаются данные зависимости, исходя из предпосылок,
аналогичных предыдущему случаю.
Запишем, окончательные приближенные выражения движе-
ния клапана:
^кл =	~ П b sin £/[а sin fn - Yo)].
at at
r tUhgn Г rf20 I /	\2 • /О a I u..
"Тг + Нг sin(0cp-0+Yo)]X
at*	L	\ ot )
X b sin ti[a sin ft—Yo>]+rl x
X b sin ft0 — Yo — So)/]®2 sin ft — Yo)].
ЛТ«Г1(0 —0O).
(232)
Механизмы с верхним расположением распределительного
вала. Закон движения клапана, показанного на рис. 55, а, будет
совпадать с законом профиля кулачка лишь в первом прибли-
жении. Отличие в данном случае будет то, что движение клапана
начнется только после устранения теплового зазора. Необходим
103
(233)
мо также учитывать влияние конструктивных, технологических
и других факторов.
Законы движения клапанов (рис. 55, б, в) можно получить
из формул (226), если углы т) заменить углами 0 поворота ры-
чажного толкателя, отсчитываемыми от положения, когда ры-
чажный толкатель находится в контакте с начальной окруж-
ностью кулачка:
5-5о=0-ео.
йкл — ь (cos Во — cos В),
Кл =	= ъ <ОР sin в,
at da$ ₽
, dViK,	. 2 /	. ,
J^==—77Г = Ь^\—Tsinl
p da*
I
Таким образом, Найдены все необходимые кинематические
соотношения механизмов привода систем газораспределения.
Для других систем выражения могут быть получены как
частный случай приведенных выше выражений, либо комбина-
цией элементов рассмотренных систем.
§ 3.	силы, действующие в механизме
ГАЗОРАСП РЕДЕЛ ЕН ИЯ
При работе .двигателя на детали механизма газорас-
пределения действуют следующие силы: инерции движущихся
масс, от клапанных пружин, от давления газов на клапаны, ре-
акции в сочленениях деталей и силы трения. Последними обыч-
но пренебрегают ввиду их относительной малости.
Силы инерции, действующие на клапан и толкатель, опреде-
ляют по уравнениям

и.кл—-	х"Лкл',кл>
(234)
Усилия от клапанной цилиндрической пружины характери-
зуются линейной зависимостью от ее деформации. Так как пру-
жина устанавливается с предварительным сжатием, то ее усилие
равно Рпо в точке А (рис. 58) и Рптах в точке С. На участке АВ
все силы направлены в одну сторону и суммируются, а на уча-
стке ВС усилие пружины и силы инерции вычитаются. Усилие
пружины на участке ВС превышает действующие силы инерции
для обеспечения плотной посадки клапана на седло и предот-
вращения отрыва деталей механизма от кулачка распредели-
тельного вала.
Силы от давления газов, действующие на клапан, равны про-
изведению давлений газов под клапаном и над ним на площадь
головки клапана и проходного сечения патрубков.
104
Рис. 58. Изменение сил,
действующих на детали
клапанного механизма, в
зависимости от угла по*
ворота распределитель-
ного вала
К кулачку распределительного вала приложена сила, проти-
водействующая его вращению и имеющая наибольшее значение
в точке А (рис. 58). Эта сила создает соответствующий момент.
Противодействующий момент может быть значительным, когда
на распределительном валу расположены кулачки как системы
газораспределения, так и подачи топлива.
§ 4.	ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ БЕЗ УЧЕТА КОЛЕБАНИИ
Закон движения клапана, когда толкатель перемеща-
ется принудительно под действием кулачка, определяется про-
филем кулачка и действующей силой Р(ар). В этом случае на
приведенную массу Л42кл, без учета сил упругости звеньев
привода, действуют: усилия от клапанных пружин Рп, сила тре-
ния Ртр, сила от давления газов Ркл.г. Силы тяжести деталей
данной системы привода малы и поэтому не учитываются. Урав-
нение движения
Мзкл	—F Рп + Р-гр + Ркл.г = Р (Ор).
(235)
Пренебрегая силами трения Ртр и силами от давления га-
зов Ркл.г и переходя к переменной аР, получим
М1КЯ-^ +Рп=Р (а₽).	(236)
^®Р
Это уравнение движения позволяет проанализировать воз-
можность разрыва кинематической цепи (отрыв толкателя от
кулачка) в зависимости от угловой скорости вращения распре-
делительного вала <ор и усилия клапанных пружин Рп. Опас-
ность разрыва кинематической цепи более вероятна при отри-
цательном ускорении толкателя, поэтому если
- м	0)2 < р
//(Хр
то опасности разрыва нет.
(237)
105
При таком условии толкатель не будет отрываться от кулач-
ка, а движение механизма будет полностью определяться про-
филем кулачка. В противном случае в системе привода будут
возникать удары, увеличивающие динамические нагрузки и на-
рушающие нормальную работу системы газораспределения.
При более точной оценке динамических качеств механизма
газораспределения необходимо учитывать деформацию деталей
привода и их колебания.
Решая уравнение (235) при различных параметрах конст-
рукции привода клапана и режимах работы двигателя, можно
установить предел повышения скоростного режима работы дви-
гателя и определить пути усовершенствования конструкции при-
вода клапана.
§ 5.	ПРОФИЛИРОВАНИЕ КУЛАЧКОВ
Под профилированием кулачков систем газораспреде-
ления подразумевают расчет закона движения толкателя, кото-
рый должен удовлетворять требованиям, связанным с организа-
цией газообмена в двигателе, кинематикой и динамикой приво-
да клапана, прочностью и долговечностью деталей.
Имеются два пути решения задачи. Выбрав закон изменения
профиля кулачка, можно дифференцированием уравнений пере-
мещения толкателя получить уравнения его скорости и ускоре-
ния. Во втором случае задаются законом, изменения ускорения
толкателя, а затем путем интегрирования находят закон измене-
ния профиля кулачка.
В современных ДВС применяют кулачки (рис. 59) с выпук-
лым, тангенциальным и вогнутым профилями, а также так на-
зываемые безударные.
Выпуклый профиль (рис. 59, а) образован дугами окружно-
стей нескольких радиусов, чаще всего тремя дугами двух ра-
диусов или пятью дугами трех радиусов. Этот профиль сравни-
тельно прост в изготовлении и может работать с толкателями
любых типов.
Тангенциальный профиль (рис. 59,6) образован двумя пря-
мыми и двумя дугами окружностей. Этот профиль не может
быть использован с плоским толкателем.
Вогнутый профиль (рис. 59, в) образован дугами трех окруж-
ностей. Вогнутый профиль также может образовываться че-
тырьмя отрезками двух парабол и дугой окружности. Такой
кулачок обеспечивает постоянное ускорение толкателя. Вогну-
тые профили используются только с роликовым толкателем.
 Безударный профиль (рис. 59, а) образован сложными кри-
выми, уравнения которых определяются либо из принятой плав-
ной кривой изменения ускорения клапана с ее последующим
106
Рис. 59. Профили кулачков:
а — выпуклый; б — тангенциальный; в — вогнутый; г — безударный
интегрированием, либо из уравнения движения клапана с учетом
деформирования клапанного привода при работе.
Исходными данными для профилирования кулачка являются
максимальная высота подъема клапана, фазы газораспределе-
ния и тип толкателя.
При известной высоте подъема клапана высота подъема тол-
кателя
^ттах = ^клтах	(238)
где а/Ь — отношение плеч коромысла.
Выпуклый профиль кулачка рассмотрим на примере профи-
ля, образованного тремя дугами окружностей двух радиусов.
Связь между параметрами профиля определяется из прямо-
угольного треугольника OiO2K (рис. 60), в котором OiOi—
== R—гг,
OOj=гя-{-АТтах—гг=о, ОО1=/?—~гн.
При этом ‘
— г? — 2rHe cos ~
«-—-------------------tv-  т
21 ra — rt — a cos —I
где <р — угол действия кулачка.
Точки А и Д' на рис. 60 соответствуют началу открытия и
концу закрытия клапана.
Обычно /?= (10...18) Йт шах»
Если радиус R задан, то
(fg 4” Afmax)2 ~	~ Гв)2 —	4" 2 (^в 4- ^ттах) (R ~ ПО СОЗ »
ГГ =	|-		•
2 Гн + Afmax 4" (R ~~ Гя) COS	— R
(240)
107
Рис. 60. Построение выпуклого про-
филя кулачка
При построении профиля
кулачка проводят начальную
окружность радиусом гн, кото-
рый выбирается больше радиу-
са распределительного вала на
1...3 мм. Затем симметрично от
вертикальной оси откладывают
УГЛЫ ф/2. На расстоянии Аттах
от начальной окружности отме-
чают точку С. Находят центр
Ог, используя соотношение
OOz=rn+ht max—Гг и задаваясь
значением радиуса гг=2...3 мм.
По формуле (239) определяют
значение радиуса R и из точки
01 проводят дугу АВ и анало-
гично дугу А'В' с другой сторо-
ны профиля. Далее очерчивается затылочная часть кулачка.
Законы изменения перемещения, скорости и ускорения тол-
кателя для участков АВ и ВС профиля кулачка будут различ-
ными. Для первого участка при работе кулачка с плоским тол-
кателем (рис. 61)
ЛТ1—Д i Д 2 — OiA 1 — Л2Д3—О1Л3,
так как
О1Л1=/?, A2A3—ra, OlA3=OO1cosap=(R~ rH)cosap,
(241)
то
I
йт1 = (Я—гн) (1 — cos ар),
где аР — угол поворота распределительного вала.
Наибольшее значение угла aPmax определим,
отрезки О2К в ДООаК и &О\О2К’.
a sin -1 = (fl — гг) sin аРюах,
приравнивая
откуда
Ортах = arcsin
sin
г)
(242)
R
Дифференцируя уравнение (241) соответствующее число раз
по времени, получим выражения скорости и ускорения тол-
кателя:
- (R - G) <“р sin ар; (243)
dt dap dt
=(Я - Гн) “p cos Op,	(244)
108
<р/2
О
01
Oi
Рис. 61. Схемы движений плоского толкателя
где con —угловая скорость вращения распределительного вала.
Как видно из (244), ускорение толкателя зависит от раз-
ности R—Гн, угловой Скорости вращения распределительного
вала и угла его поворота.
Для второго участка (см. рис. 61) перемещение толкателя
Лт2=С1С2 2С3=a cos ?+гт - га.	(245)
Максимальное перемещение толкателя на втором участке
 
Лтйщах Г + О' — гн«
Максимальный угол\р на втором участке определится из
ДООА (см. рис. 61):	\
?L = T/2-amax-	(246>
ГШНХ •/	ГПа л
Текущее значение этого угла
= ср/2 — dp,
(247)
а
*
сф/d/ = — шр»
Выражения скорости и ускорения толкателя найдем, диффе-
ренцируя выражение (245) с учетом (247):
,t>T2=a<0pSin p;
(248)
Ут2= — «“pCosp.	(249)
Наибольшие значения ускорении достигаются на первом
участке при аР=0: Aimax=(Я — г„)	а на второй участке —
при р=0:/т2п1вх= — aw’.	j
e>
ttpmax
<f!2
»»/2
Рис. 62. Изменение перемеще-
ния, скорости и ускорения
толкателя при выпуклом про-
филе кулачка
Как видно из рис. 62 для двухрадиусного кулачка (сплош-
ная линия) при переводе с первого
 
участка на второй ускорение меняет
знак скачком, что ызывает повы-
шенные динамические нагрузки в
 
механизме приводу и может приве-
сти к отскоку толкдтеля от кулачка.
 
Некоторое уменьп/ение скачка уско-
 
рения получается рри использовании
 
кулачка, очерченного пятью дугами
 
трех радиусов. В/этом случае вместо
одного скачка скорения имеются
два значительней меньших (штрихо-
 
вая линия). Кинематические соотно-
шения для кулачка, очерченного
 
пятью дугами) трех радиусов, при
работе с плоским толкателем полу-
чаются анал
для двухрадиусного кулачка.

Если выпуклый кулачок, образо-
 
ванный пятыП Дугами трех радиусов,
 
используется) с роликовым толкате-
 
лем, то движение такого толкателя отливается от движения пло-
 
ского толкателя. Будем считать, что кулачок неподвижен, а ро-
 
лик катится по кулачку в сторону, противоположную вращению
распределительного вала. Из прямоугольного треугольника
K01V2 (рис. 63,а), в котором OOz—ai,Oi=a—R—rtt, получим
а? 4- г * — rt — 2rH<zt cos cq-
гично соотношениям
ai cos Qj)
Из ДОО1О3 и ДО1Л1О3 O1O3=asina= (/?+p)sin6. Откуда
asin=xjsin8^	(250)
где р —радиус ролика; xi= (R+p)/a.i
Из ДО2В1Л1 и ДОЛ1О2 (рис. рЗ, б) O2M=(rr+p)sin6=
=ai sin (си—a). Откуда	I
—sin (pt — а),
13
(251)
ПО
I
5
Я/
S)
о)
Рис. 63. Схема движения роликового толкателя:
а — ролик на участке А б — ролик на участке ВС
где
s.
(252)
Хг=07+P)/«i-
Для участка Л/Цподъем толкателя'
 
htl=A iO—0(^4—(R+р) cos 8—a cos а—(r„-f-р)—$•
С учетом (250)
Лт1=а(|/‘ — sin2a — cos а
Скорость и ускорет^е толкателя:
®Т1=аа>р sin| а
=a®2 [cos а — (^ cos 2а-}-sin4 а)/(х? — sin 2а)8/2].
ускорения толкателя в. начальный
(253)
(254)
1/xi)=(ги+p)KR+p).
а ав, соответствующий прохождению
Максимальное значен
момент
/1=a®2 (1
Угол поворота кулач
роликом толкателя участка АВ кулачка, определим из урав-
нения
tg OB=bti s,’n Ф/(Х1 cos ф — 1).
Вспомогательный угол связан с геометрическими парамет-
рами соотношением
со8ф= 1 — Л(гв-[-0,5Л — rr)l[a(R—гг)}.

Если температурный зазор дан, как показано на рис. 63, а,
штриховой линией, то угол поворота кулачка, соответствующий
111
прохождению роликом зазора з, определим из равенства
cos az = 1 — (/?+р+0,5з) з/[а (rH+Р+®)1«
Для участка ВС (см. рис. 63) подъем толкателя >
«	ГЧ.	л	I	/
Так как BiO=BiM+AfO, а BjM= (r2+p)?os б,, М0=
=aicos(ai—а), то с учетом (251)
Лт2 = ai [|/Хг — sin2 («1 - о) + cos (ах - а)] - (^н+р) -
/2= ~ ^“pU+Vxs)-
ьного подъема при
sin2 (Qi—a),
Скорость и ускорение толкателя для участку
t^^ajWpSin (at — a) [ 14-cos (at — a) / ]/xI
Ут2 = — л 1°>р {cos (а!—а) + [х| cos 2
(255)
(257)
Ускорение толкателя в момент максима
a=ai
Тангенциальный профиль. рассмотрим/на примере кулачка,
 
к начально^ окружности и дугами
окружностей (рис. 64).
У гр л at поворота кулачка,
соответствующий прохож-
дению роликом зазора з
определим из равенства
образованного касательными
Тангенциальный профиль ку-
Рис. 64,
лачка
112
sa/ = (rH+p)/(rB+p+s).
*
На прямолинейном
частке АВ профиля пе-
емещение толкателя
найдем из Д0ЛЛ1:
Лт1=[('„+p)/cos a] —
Скорость и ускорение
толкателя:
—(ги4-р) в>р sin a/cos2 a,
(259)
/т1 = (ги+р)®’(2 —
— cos2a)/cos3a. (260)
При движении ролика по
дуге ВС подъем толкателя
Л-Г2 = j/(rr+p)? —a?sin2Y+
H-O^cos Y-(G+p)- 5, (261)
Рис. 65. Вогнутый профиль кулач-
ка, образованный дугами окруж-
ности
его скорость
sin
Y[(«i cos y I ]/г(гг + р)а
sin2y 1	1
(262)
и ускорение
Лг= — Яla>p{al[(/r+p)гcos2Y|
^- a2 sin* Y ]/ [(rP+p)2 - af sirf	-}- cos y}.	(263)
Вогнутые профили кулачков. Кулачки с вогнутым профилем
применяются только с роликовыми толкателями. Если вогнутый
профиль образован дугами окружностей, то, используя обозна-
чения на рис. 65, приведенные ниже, получим выражения пере-
мещения, скорости и ускорения толкателя.
Для участка АВ
йт1=00 i - (rH+p) - s.
Так как
001—а cos а—V (/? —р)2—a2sin2a,
то
ЛТ1—a (cos a—j/ у3— sin2aj — (rH-{-p)—s,
где
Xi=<R —9)la; a=R-\-rH.
Скорость толкателя
®ri=awj> sin a (cos a J j/* я2—sin2 a
(264)
(265)
и его ускорение
Jti = aa)p [(Xi cos 2a-|- sin4a)/(X2 — sin 2a)8''2 — cos a ].	(266)
113
Рис. 66. Диаграмма пути толкателя
для кулачка постоянного ускорения
Рис. 67. Диаграммы перемещений,
скоростей и ускорений толкателей
при одинаковых подъемах и углах
действия, но различных профилях
кулачков:
/ — выпуклом; 2 — вогнутом постоянного
ускорения; 3 — тангенциальном
Ускорение в начале движения
/=а^(гн+р)/(/?-р).
Максимальное положительное ускорение будет при а=ав-
tg Ов=Xi sin ф/( 1 — xi cos <?);
cos <|» = 1 — Л (г„-}-0,5Л—гг)/[а (/? 4-rr)];
cos а, = 1 — (Z? — р — 0,5s) $/[д (rH-J-р+$)];
Движение толкателя по участку ВС профиля определим по
уравнениям (255)... (257).
Вогнутый профиль кулачка может быть выполнен дугами
парабол. В этом случае кривая подъема толкателя состоит из
двух отрезков неравных парабол (АВ и ВС на рис. 66), ско-
рость толкателя изменяется линейно, а ускорение постоянно.
Уравнения подъема, ' скорости и ускорения толкателя имеют
вид:
114
2«>2O/a2;	(267)
<vn — 2wfKЛар/а2;
на участке AB
hn = Kha2la2
•	w V
на участке ВС
h — kn = Kh (ac — ap)2/[(K — 1) a2], гт2 = 2«>PO (ac — ap)/[(К — 1) a2],
yrt e - 2ш2О/[(К - 1) a2.],	(268)
где коэффициент K= const >2.
Из выражений (267) и (268) видно, что положительное уско-
рение на участке АВ в К — 1 раз больше, чем отрицательное
ускорение на участке ВС, т. е. движение толкателя будет то рав-
ноускоренным, то равнозамедленным.
Анализ диаграммы на рис. 67 позволяет сделать следующие
выводы:
1.	У всех рассмотренных профилей кулачков наблюдается
скачкообразный переход от положительного ускорения к отри-
цательному, что вызывает значительные дополнительные дина-
мические нагрузки в приводе системы газораспределения, а так-
же может привести к отскоку толкателя от кулачка,
2.	Выпуклый профиль обеспечивает наибольшие подъемы
толкателя, что улучшает наполнение цилиндра. Кроме того,
данный кулачок обеспечивает меньшее отрицательное ускорение,
что облегчает конструирование пружин. Однако при данном про-
филе получаются наибольшие ускорения в начале подъема и
в конце спуска толкателя. Это приводит к сильным ударам в
механизме газораспределения, сопровождающимся шумом.
3.	Вогнутый профиль кулачка постоянного ускорения обес-
печивает несколько меньшие подъемы толкателя, чем выпуклый
кулачок, но значительно меньшие ускорения в начале подъема
и в конце опускания толкателя. Вогнутый кулачок, образован-
ный дугами окружностей, по своим геометрическим и кинема-
тическим параметрам приближается к параболическому, уско-
рение толкателя которого изменяется линейно.
4.	Тангенциальный профиль сравнительно прост в изготов-
лении, создает умеренное ускорение толкателя в начале его
подъема, но обеспечивает наименьший из рассмотренных про- '
филей подъем толкателя.
Рассмотренные профили кулачков технологичны, поэтому они
широко применялись ранее на многих типах двигателей и сей-
час применяются на двигателях с умеренной частотой вращения
коленчатого вала. Однако с ростом частоты вращения стано-
вятся весьма велики отклонения движения клапана от задавае-
мого профиля кулачка из-за резкого изменения сил инерции и
недостаточной жесткости деталей привода. Поэтому в современ-
ных быстроходных двигателях широко применяются так назы-
ваемые безударные кулачки.
115
Рис. 68. Диаграммы пути, скоро-
сти и ускорения толкателя при
кулачке Курца
Безударные кулачки обес-
печивают плавное, безразрыв-
ное изменение ускорения, и
следовательно, безударную ра-
боту клапанного механизма.
Наибольшее распространение
получили безударные кулачки
Курца и построенные по методу
<полидайн>.
Кулачок Курца. При постро-
ении профиля задаются плав-
ной кривой изменения ускоре-
ния толкателя, а диаграммы
скорости и перемещения толка-
теля получают интегрировани-
ем кривой ускорения.
Безразрывная кривая уско-
рений кулачка Курца задается
тремя плавными кривыми (рис.
68): косинусоидой на участке
Фо; половиной волны синусои-
ды на участке Фг, четвертью
волны синусоиды на участке
Фа; отрезком параболы на
участке Фз.
Пусть скорость и ускорение
толкателя при безударном ку-
лачке Курца определяются выражениями:
на участке сбега (О^аро^Фо)
=s {1 — cos [ л/(2Ф0)] dpo},
^Овв[я/(2Ф0)] sin [л/(2Ф0)| Оро»
Ло = И*/(2Фо)]2с°5 [л/(2Ф0)](Хр0; ]
на участке положительных ускорений (О^ар^ФО
ЛТ1 = «4-CjlOpl — <42 Sin (Л/Ф^<Хр],
®ileCn ~ С12(л/Ф1)С05(лФ1)ар1,	.
(269)
(270)
Л'1=<42 (Я/Ф1)2 sin (л/Ф0 (Zpi;
на первом участке отрицательных ускорений (0^аР2^Фа)
Лт2 = ^к+^Орг+^г sin [л/(2Ф2)]ар2,
Ат1к=«4-СцФ|.
‘wrt = c2i + c22ln/(2®2)] cos [л/(2Ф2)]ар2>
/й = — сп [л/(2Ф2)]2 sin [л/(2Ф2)]ар2;
(271)
116
на втором участке отрицательных ускорений (О^арз^Фз)
Лт3 = h^K -|- £31 (Ф3 — (Хрз)4 — £32 (Ф3 — (Хрз)2 ^83» 1
^т2к e S +	+ С2Х®2 + ^22>
^т3 =	^81 (®3 *"* арз)34"2^32 (Ф3 — ССрз)»
Jтз ~ 12^31 (Фз — арз)2—2с32.
Коэффициенты сц...с33 находят из равенства кинематических
параметров в местах сопряжения участков:
Си=(Кг^к+KJfT)l(2K г 4- /C2®t),
cI2=(Cu-®;0K)®t/n,	(27з)
c32~(^Cll — 'V1QKyK2f ^21 = с32^3« ^22 = с32^1»	I
С31 = Сз2(1 “|"2)/6Ф|, С33 = С32^2’	]
где А1=8гФ2/л; Л2=(5-j-z) Ф*/6; ks= (4+2г)Фз/3; Ki=&i +
+&2+£зФ2; K2=^3+4z®2/n; z—коэффициент, учитывающий
форму отрицательной части кривой ускорений; рекомендуется
принимать z=5/8; Нт— подъем толкателя, обеспечиваемый
основным профилем кулачка;	геометрическая скорость
толкателя; у' = /т/«>2— геометрическое ускорение толкателя; н,
к — индексы, соответствующие началу и концу каждого участка;
Фо... Фз — продолжительность участков профиля по углу поворо-
та кулачка; s — тепловой зазор.
Значения Ф0...Ф3 рекомендуется принимать из соотношений
Ф2=(0,1... 0,25) Ф3; Ф2+Ф3=(1,2... 3) Фи
Максимальное ускорение толкателя
Лтах = Лтахтр=(я/ф1)2шр-	(274)
Минимальное ускорение толкателя
/тш t n ~ Jtmi пшр=	2^32шр-	(275)
Кулачки, построенные по методу «полидайн». Профиль ку-
лачка выбирается с учетом уравнений движения клапанного ме-
ханизма, в котором учитываются упругие деформации. Наиболь-
шее распространение получил закон движения, выраженный
степенным полиномом:
ht=h [ 1 + С2 (ар/а;)’ 4- Ср (ар/орр+Сq	+ Сr (dp/aj/+
+C4(Op/a;)'J,	(276)
117
Таблица 6
Номер функции на рис. 69	р	Q	г	S
/	6	10	14	18
п	8	14	20	26
III	10	18	26	34
IV	12	22	32	42
V	14	26	38	50
где аР — угол поворота, отсчитываемый от вершины кулачка;
а'р — угол профиля кулачка от начала подъема до вершины; р,
q, г и s — целые числа, подчиняющиеся закону возрастающей
арифметической прогрессии с разностью р — 2.
Постоянные коэффициенты в (276) определяются по урав-
нениям:
С2 = (— pqrs)j\(p — 2) (q — 2) (г — 2) (s—2)],
Ср=2qrsl[(p — 2) (q — р) (г — р) (s — /О],
Cq=(— 2prs)/[(q — 2) (q—p) (г—q) (s — q)],
Cr=2pqs/[(r — 2) (r — p) (r — q) (s — 2)],
Cs = (— 2pqr)/[(s — 2) (s — p) (s—q) (s — r)J.
(277)
Показатели степени p, q, r, s выбираются по табл. 6.
Как видно из рис. 69, с увеличением показателей р, q, г, s
возрастают положительные ускорения и подъем толкателя.
В связи с этим для быстроходных двигателей легковых автомо-
билей рекомендуется принимать показатели первых трех функ-
ций, а для двигателей грузовых автомобилей и тракторов —
показатели функций IV и V.
Скорость и ускорение толкателя получим дифференцирова-
нием уравнения подъема толкателя (276):
ч « А (<»₽/“;) [2С2 («л;)+^СР (“рЧ)""1 + ЯСЧ (Ор/а;)’-1 +
4-гС, (<*р/вр)г~1+«С, (ctp/a')’-1];	’ (278)
Л=А К/(а;)2] [2С2+р (р - 1) Ср (ар/а;)₽-г+
+ q (q — 1) Cq ( Ор/а')?-2 -}- г (г — 1) Сг (ар/а' )г-2 +
+s(s-l)C4(ap/a;r2]-	(279)
Диаграммы пути, скорости и ускорения толкателя представ-
лены на рис. 70.
Из анализа полученных уравнений и графиков видно, что
безударные кулачки обеспечивают:
118
Диаграммы
толкателя
функций показателей поли- с профилем сполидайн»
70. Диаграммы пути,
скорости
подъемов и ус- Рис.
при различных и ускорения толкателя при кулачке
Рис. 69.
кореиий
номерах
номов:
/-2-е—10—14—18: // — 2—8—14—20—26:
///-2—10—18—26-34; IV — 2—12—22-32-
42; И—2—14—26—38—50
1)	плавное изменение ускорения толкателя при относитель*
но небольших максимальных значениях положительного и отри-
цательного ускорения;
2)	минимальную скорость толкателя и небольшое ее измене-
ние в моменты соприкосновения клапана с толкателем после
выбора зазора и при посадке клапана на седло;
3)	при использовании кулачка с профилем «полидайн»
устранение зазора вначале с постоянным ускорением, а затем с
постоянной скоростью. Резкое изменение ускорений на первом
участке не влияет на работу системы газораспределения, так
как в это время клапан закрыт.
ЧАСТЬ И
ДВИГАТЕЛЬ КАК СИСТЕМА
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ГЛАВА IV.РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ, ВЫВОД УРАВНЕНИИ
КОЛЕБАНИЙ И ИХ РЕШЕНИЕ
§ 1. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Двигатель внутреннего сгорания как реальная дефор*
мируемая система обладает бесконечным числом степеней сво*
боды. Однако для изучения отдельных характеристик динамиче*
ских явлений с достаточной для практики точностью в расчет-
ной схеме можно ограничить число учитываемых степеней
свободы. Напомним, что в первой части ДВС как неформируе-
мая система был представлен расчетной схемой с одной сте-
пенью свободы — углом поворота коленчатого вала.
В ДВС наибольшее распространение получили дискретные
расчетные схемы, в которых массивные элементы, обладающие
инерционными свойствами, соединены между собой безмассо-
выми упругими элементами. Например, колено вала (рис. 71, а)
может быть представлено наиболее простой расчетной схемой,
в которой все элементы колена вала и связанных с ним дета-
лей объединены в один массивный элемент, соединенный с без-
массовым упругим стержнем (рис. 71, б). Такая расчетная схема
дает хорошее соответствие расчетных и экспериментальных ре-
зультатов на низких, наиболее опасных, частотах колебаний.
Необходимость учета большого количества конструктивных
особенностей колена вала приводит к более сложным расчет-
ным схемам с дискретными элементами (рис. 71,в). На рис. 71,а
дана расчетная схема, в которой шатунная и коренные шейки
представлены элементами с распределенными параметрами,
а щеки — шестью дискретными элементами и безмассовыми
упругими стержнями. В таких расчетных схемах полнее учиты-
ваются упругие деформации галтелей и щек колена вала.
Более полно конструктивные особенности колена вала и его
деформированное состояние, возникающее от нагрузок и коле-
баний при работе двигателя, можно описать методом конечных
элементов. Одна из конечно-элементных расчетных схем колена
вала, наиболее полно отражающая его конструкцию, показана
на рис. 71, д, однако даже при современных ЭВМ решение ука-
занной задачи на основе этой схемы достаточно громоздко.
В данном случае Мы ограничимся лишь наиболее простыми
расчетными схемами.
120
о
а)
б)
Рис. 71. Колено вала и его рас-
четные схемы:
а — холено вала; б — одномассовая схе-
ма; в — многомассовая с дискретными
элементами; а — многомассовая с эле-
ментами, имеющими дйскретные н рас-
пределенные параметры; д — конечно-
элементная
Уравнения движения элементов расчетных схем составляют,
используя уравнение Лангранжа II рода (для дискретных эле-
ментов) или вариационный принцип Гамильтона (для элемен-
тов с распределенными параметрами).
Определяя, параметры элементов расчетной схемы как сис-
темы деформируемых элементов, необходимо обеспечить равен-
ство и кинетической ГД-С=ГСХ и потенциальной энергии дефор-
мации £/д.с=[/сх действительной системы и расчетной схемы.
Из первого условия определяют инерционные, а из второго —
упругие характеристики элементов расчетной схемы. Ниже это
будет показано на конкретных примерах.
Чтобы вывести уравнения движения системы из дискретных
элементов, необходимо составить уравнения кинетической и по-
тенциальной энергии деформации системы, провести соответст-
вующие уравнению Лагранжа II рода операции дифференциро-
вания, приложить внешние и демпфирующие силы и в результа-
те получить дифференциальные уравнения вынужденных
колебаний системы. Если изучается движение консервативной
системы при ее свободных колебаниях, дифференциальные урав-
нения не будут содержать выражений внешних и демпфирую-
щих сил.
121
В ДВС обычно используют следующий порядок изучения
колебательных явлений. Вначале из решения системы уравнений
свободных колебаний определяют их частоты и формы. Внеш-
нюю нагрузку представляют в виде ряда Фурье и из равенства
частот свободных и вынужденных колебаний находят возмож-
ные резонансные частоты. Затем методом энергетического ба-
ланса внешних и демпфирующих сил на резонансах определяют
действительные формы колебаний, оценивая их опасность и раз-
рабатывая при необходимости мероприятия по ее снижению. Та-
кой подход справедлив при совпадении форм свободных и вы-
нужденных колебаний, что имеет место в системах с малым
демпфированием колебаний. Для большинства ДВС этот подход
дает хорошие результаты при относительно небольших затратах
расчетного времени. При значительном демпфировании необхо-
димо решать полную систему уравнений вынужденных коле-
баний.
Рассмотрим порядок составления уравнений движения' на
примерах свободных колебаний.
§ 2. ОДНО-, ДВУХ- И МНОГОМАССОВЫЕ ЦЕПНЫЕ
СХЕМЫ
«
*
На рис. 72 представлена одномассовая крутильная
схема с одной степенью свободы, состоящая из диска с момен-
том инерции J и упругой связи с крутильной жесткостью с. Обоб-
щенная координата 0 — угол поворота диска. При достаточно
малых перемещениях момент сил упругости линейно зависит от
перемещения 6: Л1уп=с0.
Кинетическая и потенциальная энергия системы
T=J02/2; t/=c02/2.	(280)
Так как кинетическая энергия в данном случае зависит от
скорости колебаний Т(0), а потенциальная — от деформации
£7(0), то уравнение Лагранжа II рода можно записать в виде:
di \ I “ дб	• 1  '
После дифференцирования выражений (280)
^=70; _^_f^=J0;	=
дб	di \дй )	’ дв
и подстановки результатов в уравнение (281) получим уравне-
ние движения при свободных крутильных колебаниях одномас-
совой консервативной линейной системы:
/0+сО=О.	(282)
122;
Рис. 72. Одномассовая крутильная система
Обозначив	вместо (282) будем иметь
0 + ШсО=0.	(283)
Как известно, решение уравнения (283)
О = Cj cos <|>с/ С2 sin <осЛ	(284)
где <|>с='Ис//— угловая частота свободных колебаний, рад/с;
С\ и Сг — постоянные интегрирования, определяемые из на-
чальных условий.
Если смещение и скорость в начальный момент времени
f=0 соответственно 0о и 0о, то после их подстановки в уравне-
ние (283) получим
Ci=0o; (>2=0о/<1>с.	(285)
Решение уравнения (282)
0=eocosu>c/4-(0osin и>с^)/шс-	(286)
Выражение (286) можно записать в виде синусоидального
движения груза с амплитудой а и начальной фазой <р:
0=a sin (шс/ -|- <?).	(287)
При этом
а=У C2i + Cl=(288)
tg <Р = CJC2 = шс0о/Оо.	(289)
Период колебаний г определим из условия сост=2л, откуда
т=2л/шс==2л VJ[c.	(290)
Частота колебаний в единицу времени (в герцах)
у= 1/т = <1)с/(2л).	(291)
После дифференцирования выражения (287) и подстановки
в уравнения кинетической и потенциальной энергии получим
Т =	^2u>c cos2 (<ос/ + <р);
&
U = !_ саг sin2 (о>с/+?).
4»
(292)
123
Рис. 73. Двухмассовая кру-
тильная система
Так как юс2=с/7, коэффициенты
при квадратах косинуса и синуса в
выражениях (292) одинаковы, и пол*
ная энергия системы сохраняет посто-
янное значение, т. е.
Т+и=~са*.	(293)
т —и
1 max — '-'max’
Таким образом, свободные колеба-
ния являются гармоническими с посто-
янными амплитудой и частотой. При
этом чем больше жесткость связи, тем
больше квадрат частоты колебаний;
чем больше момент инерции, тем мень-
ше квадрат частоты колебаний. Такая
зависимость сохраняется и в многомас-
совых схемах, хотя связь в них между
©с и с, J не так однозначна. Этим свойством широко пользуются
в ДВС при необходимости увеличить или уменьшить частоту сво-
бодных колебаний какого-либо агрегата.
На рис. 73 показана крутильная схема с двумя степенями
свободы, состоящая из двух дисков с моментами инерции J\ и
Jj, упругой связи с крутильной жесткостью с 1,2. Обобщенные
координаты 0! и 02—углы поворота дисков.
Аналогично предыдущему случаю запишем выражения кине-
тической и потенциальной энергии:
T=-L(Aj>+ /$); </=4- C,.,;#,-
£	н
продифференцируем их по каждой степени свободы:
^Ш = 72*2: '^г=С«-а(01“02)’
Получим систему уравнений свободных крутильных колеба-
ний двухмассовой системы:
J А 4"с 1,2 (®i — &г)=0;
—c1(2(ej —02)=О. ,
Отыскивая решение в форме 0j=Oj cos ЮеС
приходим к системе уравнений
(294)
02=02 COS Юс4
124
(^1,2—J1шс)	—£1,2^2 = 0;
*"”£ 1,2^1 4“	1,2	2u,c) #2 = 0*
Частотное уравнение получим в виде
^1,2—	—С1,2
г 2
с1,2	с1.2
=0
или, раскрывая определитель,
и>с [У \J— ^1,2 (*А — г)1== 0*
(295)
(296)
Находим два решения для частот свободных колебаний:
<1>с1 = 0; <оС2=/с 1,2 (/j -f7 Al U1А)-	(297)
Первое решение ©ci (нулевая частота) соответствует поворо-
ту без деформаций. Форма колебаний приведена на рис. 73 при
<Вс=Юсь ai=as=l.
Суммируя уравнения системы (295), получим
a ~|“ (I2J 2 0	(298)
или aila2=—т. е. чем больше момент инерции диска, тем
меньше его амплитуда колебаний.
Если aj=l, то аг=—(Л/А) •-Форма колебаний, соответст-
вующая (1)с=(0с2> показана на рис. 73. В данном случае зависи-
мость момента сил упругости от перемещения также принята
линейной.
Из выражения (297) видно, что зависимость частоты коле-
баний от жесткости связи и моментов инерции дисков сохраня-
ется аналогично предыдущему случаю.
Цепной принято считать схему, в которой произвольный эле-
мент связан только с предыдущим элементом и последующим
в направлении деформации связи. Обобщим рассмотренный вы-
вод уравнений колебаний на n-массовую крутильную цепную
схему (рис. 74).
Пусть имеется п масс с моментами инерции J\, J2.....А.
Крутильные жесткости связей между ними соответственно рав-
ны с112, с2,з с,-I,;,.... сп-1,п. В этом случае кинетическая и
потенциальная энергия системы:
Рис. 74. Многомассовая
цепная крутильная система
125
т=_i_ (Л&14*Л02_Н”_ЬЛ0<4'”*“1"А^;
л*
и — ^— ГС1>2 (01 — вг^ + ^г.З (®2 — 0з)2 + ••• +
•*
+ с1,1+1 (0/ ~~ 0/+1)2 + ••• + сп-1,п (0/1-1 ~ 0л)2]-
(299)
Дифференцируя выражения
получим
(299) по каждой степени свободы,
£L=/‘O2; — (	= J202;
д9г 2 2’ dt к ае2)	2 2’
^-=^,2(01-02);
dU
дд2
------С 1,2 (®1 — ®г) + ^2,3 (®2“ 0з);
(300)
2L_/ я.
de. "dt (
д^Г i l' dt\6blrJl^ d6t~
—	(0/-i ~ 0/) ~b	(®i ~~ 0/+i)‘>
^-'|=JX; —=—<\-1л(°л i—o«).
dhn) nn' <?еЛ '•«-uu-t nb
Система уравнений свободных крутильных колебаний п-мас-
совой системы
— ®г)—0;	I
/2ё2—Ci,2(0i—02)4* £2,3 (®2—®з)=0;	I
I
Л®/	ci-i4 (®/-i	®/) 4“ сы+1 (fy ®/+i) “о» ’
(301)
*?г$п	^п—I ®д)~0»
Преобразуя систему уравнений (301) к виду
А®* 14“ С 1,2® 1 — 1,2®2 = 0 >
А®2 ^1,2®14- 1,2 + ^2,з) ®2 ^2,3®3 =
(302)
JД — £/-1,/0/-1 + (^/-1,/ + £/,/+1)	с14+1®/+1 — ®>
Jlfin — ^л—1,л®л—14* ^л—1»л®л
126
ее запись можно упростить матричной символикой:

(303)
Из сравнения уравнений (303)
алгебры видно структуру матрицы
и (302) с учетом матричной
инерционных членов:
2
0
И
о
п —
(304)
матрицы жесткости
(Ctj+fy) ~сг,з...................................

~Сп-1,п
~Сп-1,П
а также матриц ускорений и перемещений
(305)
о
(306)
Аналогично предыдущему случаю рассмотрим составление
матрицы жесткости крутильной разветвленной системы, пока*
занной на рис. 75. Матрицы инерционных членов, ускорений и
перемещений будут иметь вид (304) и (306).
Потенциальная энергия
U — ~2~ к 1.2(®1 — ®2)*"Ь С2,3 (®2 — ®8)24" С2А (®2 — ®4)2 4“
+ ^з,б(Оз- 86)2+<W04- VI-	(307)
127
Дифференцируя выражение (307) по каждой степени свобо-
ды, получим
W	/Л
"77---<4,2 (01 —
СГО1
6U	/П
лй------с1,г(01
О&2
dU	,ь
двз	2,3 (0г
д0 г /А
-----с2,4(02
dU
л7—^<9’
W=~C‘M
(308)
Правые части системы уравнений (308) запишем в матрич-
ной форме:
kl {0}=
(309)
(305) и (309),

Рис. 75. Разветвленная крутиль-
ная система
Сравнивая полученные матрицы жесткостей
видим, что на главной диагонали расположены суммы жесткос-
тей участков, с которыми непо-
средственно связана каждая
масса. Внедиагональные члены
матрицы характеризуют нали-
чие связей между элементами.
При наличии связи они равны
жесткости связи со знаком <—»
при отсутствии — нулю. Обе
матрицы (305) и (309) получи-
лись в данном случае симмет-
ричными относительно главной
диагонали; матрица (305) узко-
полосная, матрица (309) — раз-
128
реженная. Необходимо отметить, что ширина полосы матрицы в
значительной мере зависит от порядка нумерации элементов. В то
же время от ширины полосы матрицы зависит время счета на
вычислительной машине: чем уже полоса, тем меньше время
счета. Более узкая полоса матрицы получается при нумерации
элементов от узла. В настоящее время имеются подпрограммы в
ЭВМ, позволяющие автоматически перенумеровывать элементы
исходя из этого условия.
Разобранные принципы записи матрицы жесткости позво-
ляют формировать ее, опуская промежуточные выкладки выво-
да уравнений.
Для поступательного движения грузов уравнения колебаний
будут иметь точно такой же вид, как и (303), только вместо
моментов инерций необходимо подставить массы элементов,
вместо крутильных жесткостей — продольные жесткости связей,
а вместо углов поворота —линейные смещения.
В рассмотренных схемах упругие силы зависят только от
смещений соседних масс, и прямая форма записи уравнений
движения через жесткости связей для этих схем предпочти-
тельнее.
§ 3. МНОГОМАССОВЫЕ НЕЦЕПНЫЕ СХЕМЫ
В нецепной схеме каждый элемент связан не только
с рядом стоящими, но и с другими элементами. В пределе каж-
дый элемент связан со всеми остальными по всем степеням сво-
боды. Движение таких схем проще описывать в обратной фор-
ме, т. е. не через жесткости, а через обратные им величины —
податливости.
Б качестве примера рассмотрим колебания балки с тремя
сосредоточенными массами Л1ь М2, М3 и изгибными жесткостя-
ми участков с01], С1,2, Сг.з, Сз,4 (рис. 76,а). Запишем уравнения
колебаний такой системы в прямой форме аналогично предыду-
щим случаям:
^i+co>iZi + cii2(21-z2) = O;
M2z2 — с112 («j — z2) 4- с2,3 (z2 — z3)—0;
(ЗЮ)
Из третьего уравнения системы (310)
z3=---------J----M3z3-I-------------z2.	(311)
02,3 + 03,4	02,3 + 03.4
После подстановки (311) во второе уравнение системы (310)
получим
5—1479
129
'‘M
Рис. 76. Трехмассовая система, совершающая изгибные колебания
130
Л12г2 — £1,22'14~
£2,3
£2,3 4- £3.4
2
с2,3
£2,3 + £ЗЛ
(312)
Выразим из уравнения (312) значение ?2 и подставим в пер-
вое уравнение системы (310):
М C011Zi + CtsZj-
С1.2 {M2Z2 — Cl,2^1 +-----------;----- M3Z3
\	£2,3 4- £3.4
—
£2,3
;-------— £1,2 — £2,3
£2,3 4- £3,4
(313)
Решив уравнение (313) относительно zit будем иметь
4*4_-^12~2^i2 4~ -^з^з^хз=	(314)
где 8ц = —; В12=—813=
о	о
,____________£1,2____________
Л2
£2,3
----------- “ £1,2 — £2,3
£2,3 + £3,4
В—А (^0,1+ ^1,2)+^1,2;
£2,3
С2,3 + Сз,4
Проводя аналогичные преобразования второго и третьего
уравнения системы (310), получим систему уравнений колеба-
ний в обратной форме:
-}-Л11?хВц-}-Af 2^2^12 4*	—6»
^2 4" ^412^214“ 2^2^22 4* ^3^3^23—0»
Z3М 12}8з£-|-Л12г28з2+Л4з2з8зз = 0.	-
(315)
*
Коэффициенты 6ц образуют матрицу коэффициентов влия-
ния. Матрица будет содержать i строк и / столбцов. Для балоч-
ных систем их проще определить, чем коэффициенты жесткости.
Для определения коэффициентов влияния 6ц следует рас-
смотреть нагружение балки единичными силами в направле-
ниях Zi, z3, z3, как показано на рис. 76,6, в, г. Затем методами
сопротивления материалов (интеграл Мора, правило Верещаги-
на) определяют соответствующие коэффициенты влияния. Эту
операцию удобно проводить также в матричной форме методами
строительной механики. Иногда находят матрицу податливости,
а затем путем ее обращения получают матрицу жесткости и ре- •
шают систему уравнений колебаний, записанную в прямой фор-
ме. Конечно, справедливы соотношения
1ВПН4	(316)
5*
131
или
[8] 14=[fl.
где [£] — единичная матрица, в которой единицы располо-
жены только на главной диагонали, а остальные члены — ну-
левые.
Однако в системах значительной размерности операция об-
ращения матрицы весьма громоздка даже для современных
ЭЦВМ, а иногда и просто невыполнима. При записи уравнений
в обратной форме в такой операции нет необходимости.
В матричной форме система уравнений свободных колебаний,
записанная в обратной форме, будет иметь вид
[8][M]{z} + {*} = {0}.	(317)
В какой бы форме не были записаны уравнения свободных
колебаний системы, прямой или обратной, их решение представ-
ляют в виде гармонической функции. Рассмотрим методы реше-
ния, которые нашли широкое распространение при решении за-
дач в ДВС. Все методы решения для многомассовых систем
итерационные.
В результате решения получают частоты и формы свобод-
ных колебаний системы. В «-массовой системе будет п—1 час-
тот, так как одна частота2лс=0 соответствует движению систе-
мы без колебаний. Каждой частоте будет соответствовать своя
форма колебаний.
§ 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ
И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Метод Терских (метод цепных дробей). Покажем
формирование цепной дроби на примере двухмассовой крутиль-
ной системы, а затем распространим ее на «-массовую систему.
Решение уравнений (294) свободных колебаний
J	— ®г)—0;
J2®2 — ^1.2 (®1 — 6г) = 0
*5
(318)
ищем в виде
6z=az cos <»с/.
(319)
После дифференцирования (319) и его подстановки в (318)
получим
—J i<21<«>с ”Ь ^i,2 (а1 — #г)=91
“ С и (tlj ~- «2) 33 0*
(320)
132
Из первого уравнения системы (320) следует, что
02 _ । М*
«1	с1.2
(321)
После подстановки (321) во второе уравнение системы (320)
и преобразований получим
(J ш2 \
1---— -Л<«>с=0.	(322)
®1>2 /
Уравнение (322) запишем в виде цепной дроби:
=0.
(323)
<?1.2
Уравнение (323) можно распространить на n-массовую си-
стему и записать в виде
I
сп— 1,я
СЛ—2,я
Cl,2
(324)
Решение уравнения (324) производят от первого участка к
последующим, задаваясь значениями частоты колебаний. Кри-
терием правильности решения уравнения (324) является равен-
ство левой части уравнения нулю с наперед заданной точностью.
После определения частот колебаний их необходимо подставить
в уравнения (320) и определить амплитуды колебаний. Метод
цепных дробей требует несколько меньших затрат времени при
определении частот колебаний, чем другие методы, так как на
каждом расчетном шаге не требуется определять амплитуды
колебаний.
Метод Хольцера. Решение дифференциальных уравнений
(301) свободных крутильных колебаний
133
J i®! -j- c i»2 (®i—®2)e o>
J 2^2— £1,2(81 — 82)+£2,3(82 — 83)=0;
J fit	ci-vi (8/-i	8Z)+ £/,/+i (8/ — 9/+1)— 0;
*^rfin	Cn—1,л(8д—i	8Л)—0
Можно найти в виде
6,=a, cos <ос/;
(325)
(326)
после дифференцирования (326) и подстановки в (325) для за-
данной частоты колебаний получим
—J 1Л1^с“р£1,2(^1 “*£^2) — 0>
J— £1,2 (^i—#г) “Ь £2,3 (а2—аз)=
—J/Л/СОс £/-и (#z-i — ai)+£/,z+i (az — £*z+i) —
(327)
сп—1Л((1п—1 an)—0.	J
«
Так как значения моментов инерции и жесткостей участков
отличаются на несколько порядков, уравнения (327) удобно для
проведения расчетов записывать в относительных величинах:
—J (<°с)2+£1,2 (fli — Из)—0;
—/2^2 (®с)2— £1,2 (я, —Лг) 4" £г,з (аг — Лз)=0;
,2	,	,	,	,	,	(328)
—Jtdi («>с)2 — £1—1,1 (®1-1—Л1)4"£1,1+1(л1 —#1+1)=0;
—•^л#л(<йс)	£я-1,л(#Л—1 #л)=0>
где a’i—atla^	ci—cjc^, ®lt==<ocl'o0-, u>0=Vc0/J0.
Форма записи уравнений в абсолютных и относительных ве-
личинах одинакова, поэтому в последующем не будем делать
между ними разграничений, кроме специально оговоренных
случаев.
Выражая значение а, из первого уравнения системы (327) и
затем, подставляя его в третье уравнение, выражая Оз, и т. д.,
134
систему уравнений (327) или (328) можно привести к виду
а2=Д1 —
2
«2,3
2®г)»
(329)
Ci-li
йп — О^п—Х	Jzj
Сп—Ъп
Просуммируем слагаемые во всех уравнениях системы (327)
и после сокращений получим
(330)
Так как “с Ф 0 ('рассматривается только колебательный про*
цесс), то условие
п
2уА=0	<331)
будет являться критерием правильности определения форм ко*
леб'аний при заданной частоте.
Принимая ai=1 при заданной частоте колебаний ыс, опреде-
ляют значение а2 из первого уравнения системы (329). Затем
значение а2 подставляют во второе уравнение и находят аз.
Проведя эти операции до последнего уравнения, проверяют пра-
вильность решения по условию (331). Если условие выполняется
с наперед заданной точностью, то значение частоты выбрано
правильно. В противном случае задают другое значение час-
тоты.
Подобные операции проводят для всех п—1 частот свобод-
ных колебаний или для ограниченного количества частот, если
задано предельное значение частоты колебаний.
Решение уравнений в матричной форме методом вращения.
Систему уравнений (303) будем решать в виде
: •	{6} = {a} cos<oc/.	(332)
В прямой форме система (303) преобразуется к
Г-^]{а}-ЬИ{а}={0}.	(333)
135
Вместо уравнения (333) можно записать
(-4 [Е] - [J]-1 [<?]) {а} = {О}.
(334)
Аналогично для системы уравнений (317) в обратной форме
!£]){*}={0},
(335)
где [D]=[d][Af]— динамическая матрица.
Дальнейшее решение проводится аналогично для любой фор-
мы записи уравнений.
В результате решения уравнения (334) или (335) получим
модальную матрицу
аП	а1п
и=
a2i
Л22- • • ^2л
(336)
_СЛ1 Ля2...Дяя_
в которой каждой частоте свободных колебаний соответствует
свой столбец амплитуд колебаний каждой массы.
Спектральная матрица (частот)
(337)
Для каждой частоты колебаний можно уравнение (333) за-
писать в другой форме:
[с] {а} = [ J] {а} «>?	(338)
или с учетом модальной и спектральной матриц
kl[A] = [-/lMl[2=].	(339)
Решение методом вращения (диагонализации), т. е. получе-
ние спектральной матрицы, у которой значащие элементы нахо-
дятся только на главной диагонали, а остальные — нулевые,
выглядит следующим образом. Обозначим
|«]=У"1'2]к]Г'“,/г];	(34°)
введем матрицу преобразований
[да]=рад.
(341)
136
Уравнение (339) запишем в виде
kl k~1/2J к1/211Л] = к1'2] IVI/2] [A] ISI]	(342)
или
I-/1'2] 1с] [J-V2] [У 1/2] [Д] = [J1/2] [А] [2с].
С учетом (340) и (341) уравнение (342) будет выглядеть
так:
[«]1®]=М12с1
или	(343)
[w]t[#][jy]=[2cJ.
Решение (343) дает спектральную матрицу. Модальная
матрица получается из уравнения
[Д] = [./-1/2] ДО.	(344)
Наибольшее распространение из методов вращения получил
итерационный метод Якоби, обеспечивающий высокие точность,
надежность, простоту, хотя и при несколько большем объеме вы-
числений, чем при некоторых других методах.
Решение уравнений вынужденных колебаний методом комп-
лексных амплитуд. Для составления полной системы уравнений
вынужденных колебаний необходимо уравнения свободных ко-
лебаний (303), содержащие силы инерции и упругости, допол-
нить силами демпфирования Fd и возмущающими силами F(t):
Mq-\-cq-\-FD=F(t).	(345)
Возмущающие силы F(l) обычно представляют в виде гар-
монического ряда, и они будут рассмотрены ниже.
Демпфирующие силы могут зависеть от скорости движения
(вязкое трение в паре поршень — гильза, в гидродинамических
подшипниках, гидравлических амортизаторах, демпфирующих
устройствах и т. д.); от деформаций вследствие несовершенства
упругих свойств материала и соединений деталей при цикличе-
ских деформациях — конструкционный гистерезис (деформация
коленчатого вала, деталей и узлов); от нормального давления
между движущимися телами и их поверхностями; от коэффи-
циента трения при сухом трении (в некоторые моменты работы
двигателя пара поршневые кольца — гильза цилиндра, в соеди-
нительных фрикционных муфтах, демпфирующих устройствах
сухого трения).
Сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:
FD=k!9q,	(346)
где ktf — коэффициент демпфирования колебаний.
137
Рис. 77. Векторное изображение сил
упругости и демпфирования на комп-
лексной плоскости
Конструкционное демпфирование можно представить сле-
дующей зависимостью:
(347)
где i—мнимая единица; б—декремент колебаний; Fc — сила
упругости.
Введение мнимой единицы позволяет повернуть вектор силы
конструкционного демпфирования Fd относительно вектора сил
упругости на 90°. Как показано на рис. 77, на комплексной
плоскости вектор скорости повернут относительно вектора пере-
мещений на 90°, что наблюдается при установившихся колеба-
ниях. В этом случае вектор упругости направлен против движе-
ния, а вектор сил конструкционного демпфирования направлен
против направления скорости. При такой записи конструкцион-
ное демпфирование по своему характеру аналогично вязкому
трению.
Сила сухого трения постоянна по модулю и направлена про-
тив движения. Для этого случая
»
F‘D=±V-f‘N=V-f?NSgnq,	(348)
где Fir — сила нормального давления между движущимся телом
и поверхностью; р.— коэффициент трения; при <j>0 sgnj=l,
при q<0 sgnj=—1, при д=0 sgng=0. Учитывая демпфирую-
щие силы вязкого трения и конструкционного демпфирования и
возмущающие силы, полную систему уравнений вынужденных
колебаний в матричной форме запишем в виде
[Л4] М -f- [^1 (q} + [с] {q} + i (М М={F (/)},	(349)
*
где [Af], [йТр], [с] — матрицы соответственно инерционных членов
коэффициентов демпфирования, зависящих от скорости и дефор-
маций, и жесткости.
Для решения системы уравнений (349) на установившемся
режиме работы двигателя удобно применять метод комплексных
амплитуд, который позволяет определять как действительную
амплитуду, так и фазу колебаний. В этом случае система урав-
нений порядка 2п для комплексных переменных преобразуется в
138
систему уравнений порядка 4л для их действительных и мнимых
частей.
Так как на решении системы уравнений (349) основывается
программа расчета на ЭЦВМ, приведем его полностью. Будем
его искать в виде
(350)
Возмущающую силу также представим в комплексной
форме:
{f(O}={F0)e^.	(351)
Дифференцируя (350) и подставляя результаты и уравнение
(351) в уравнение (349), получим
-IM] W“2+1*тр] {<7о} *®+Н Ы +* м {<7о}={Л>}. (352)
В общем случае {?о} и {Fq} будем считать комплексными:
Ы={«Ж W; {Л>}={<7}+* {О-	(353)
После подстановки уравнений (353) и преобразований вместо
системы уравнений (352) получим
-ДО ш2 {а}+[с] {а} -1^] ш {Ь} - [8^] {*}={g}; |
IU ® {«}+[М {а} - [М] {А}+[с] {Ь}={Л}	)
или в матричной форме
(—[7И]ш2+[с]) (—( а 1-/^1
(—1М|ш24-[с]) J I Ъ | 1 Л J
(354)
(355)
Решение получаем в виде
а] Г (-[М]ш2+Н)
И Ld^tph-rlH)
(—Игр]®—IM) гч И
(-pwh2+k]) UP
(356)
Тогда комплексные амплитуды
Ы = {V а*+$} ’
(357)
а фазовые сдвиги
(358)
Так как
{<?}=({а}+I {&}) eial={^ое-'’0} ем=
= {g0e,<“/-’«>}={70 (cos (ш/ — fo)+^ sin И — <p0))}>
139
а нас интересует только действительная часть решения, то окон-
чательно
{?} = Re{?} = {?0 cos («>/ — %)}.	(359)
Для полученного решения необходимо знать частоты колеба-
ний системы. Как известно, при малом демпфировании, что
вполне справедливо для ДВС, частоты свободных колебаний
системы мало чем отличаются от частот вынужденных колеба-
ний. Поэтому при решении системы уравнений (349) используют
решение системы уравнений
[Л4Ш} + М{7} = {0},	(360)
полученное обычными методами, например методом вращения,
который изложен выше.
§ 5. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ ДИСКРЕТНО-
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СХЕМЫ И ИХ РЕШЕНИЕ
При использовании расчетной схемы, показанной на
рис. 71, г, для вывода уравнений колебаний требуется несколько
иной подход, чем при применении схемы, состоящей только из
дискретных элементов. В этом случае удобно применять метод
начальных параметров.
Переходные матрицы крутильных колебаний схемы, состоя-
щей из дискретных элементов, и невесомых участков. Для сос-
тавления переходных матриц и решения уравнений методом
начальных параметров в матричной форме введем обозначения:
Л4уп=С(-1,<(0/_1—8/)—момент сил упругости; ЛГИн=Л0<— мо-
мент сил инерции.	4
В этом случае i-e уравнения систем (327) и (329) можно за-
писать в виде
=-'Wyn(Z-l) +	»	(361)
ai+i—ai— Mjci.
Пусть в начальном сечении стержня (рис. 71,6) известны
параметры, которые в матричной форме выражаются так:
(362)
t
где ai — амплитуда крутильных колебаний начального сечения;
М{ — момент в начальном сечении.
Необходимо определить параметры в t'+l-м сечении с уче-
том условий (361):
ai+i
(363)
140
Матрицы параметров сечений можно представить в виде
{xi+1} ~ [ ^i+11 {•*/}>
(364)
где [МJ и [Af/+i] — переходные матрицы участков.
Переходную матрицу сосредоточенной массы, обладающей
только моментом инерции (см. рис. 71,6), можно записать как
О
1

(365)
а переходную матрицу невесомого участка, обладающего жест-
костью,
1
О
[Af/+1] =
1
(366)
Тогда параметры n-го сечения определим, перемножая пе-
реходные матрицы, начиная от начального участка, с учетом на-
чальных параметров (362):
{xB} = [M(^)]{xi},	(367)
где
[М(«£)] = [Л4„] [Л4Я_1] [7И„_2]... [Л42] [Мt] -	(368)
।
переходная матрица системы.
Задаваясь в начальном сечении единичными параметрами,
получим формы колебаний в относительных величинах, что
обычно и делается. Критерием правильности выбора частоты ко-
лебаний служит удовлетворение граничным условиям в п-м
сечении системы. Граничные условия задаются в зависимости
от условий закрепления концов расчетной системы.
Метод начальных параметров (на примере двухмассовой
схемы). Схема, которая была показана на рис. 73, свободно
опертая. Для нее граничные условия
1
I
Г 1 (И Г 1	1^1
{•*1}--о I ’	---Q ’
(369)
где принято ai=l, а моменты равны нулю.
Переходная матрица (365) сосредоточенной массы
Переходная матрица жесткости (366)
\м, „]=['
*	м
141
Переходная матрица всей схемы получится перемножением
переходных матриц участков:
О
2 г 1
’1 1/с] '
О 1
О
2 г ,
(370)
[^К)]=
Перемножая первые две, а затем и третью матрицу уравне-
ния (370), получим
Ус
[Л7 («»)] =
01
•=7
1---— шу2
с с 2
— М . —ш2/,
1/с

(371)
Используя граничные условия (369) и переходную матрицу
системы (371), найдем уравнение в матричной форме:
— (О2/
с с
(1)V 1 — о
Ус
10
Перемножим матрицы
Ю |
*
левой части уравнения (372)
(372)
f
(373)
.	L с	J 
Эти матрицы будут равны при условии равенства соответст-
вующих элементов:
(374)
- ш2/, - ш2л[± (- ш2А)+1]=0.	(375)
С
Ьв
Из уравнения (375) определим частоту свободных колебаний:
—J2=0,	(376)
0
1-—ш’Л
с
— <S?J — 0>2*/,
с с
С
в
142
t
следовательно,
* % ч * •	•	• t	•
®С1 = О, <ос2 = 1//\j14” J2) Сl(j1^2).
Подставив частоту свободных колебаний в уравнение (374),
получим амплитуду колебаний
а2=-/1//2.	(377)
Таким образом определена частота и форма свободных коле-
баний двухмассовой системы, которые одинаковы с выражения-
ми (297) и (298).
Для n-массовой системы с сосредоточенными массами и упру-
гими невесомыми участками будем иметь п матриц сосредото-
ченных масс и п—1 матриц жесткости размерностью 2x2. При
перемножении любого количества матриц размерностью 2X2
получим переходную матрицу системы размерностью 2x2, При
рассмотрении крутильных колебаний коленчатых валов' ДВС
концы системы можно считать свободными и принимать в отно-
сительных величинах матрицу начального сечения системы в
виде (369). При умножении переходной матрицы системы раз-
мерностью 2x2 на столбцовую матрицу Г} получим столбцо-
вую матрицу. В конечном сечении системы можно принять усло-
вие {ха} =
CL.
<
10
, тогда, чтобы определить частоты колебаний
системы; необходимо приравнять нулю нижний элемент матри-
цы, найденной в предыдущем пункте, обозначив “о новой бук-
вой. Задаваясь значениями шс, необходимо найти такое, при ко-
тором нижний элемент матрицы равен нулю. Вычислив
положительное и отрицательное значения результата; проинтер-
полируем их. Подставив полученное значение частоты колеба-
ний в верхний элемент матрицы, будем иметь все значения
амплитуд колебаний на всех массах, т. е. формы колебаний,
в которых С1=1. Если верхний элемент найденной матрицы
есть а2, то
Если верхний элемент есть аз, то
ч •
(
Лз
М3
О 1 ( Оз 1
1 UJ
И Т. д.
Таким образом определяют частоты и формы колебаний
n-кассовой схемы.
143
Но)
м(0)^]р)
ем
х Рис. 78. Схема участка вала
M(x)ldt;j) с распределенными парамет-
'* р' рами, совершающего крутиль-
ные колебания
Переходная матрица участка вала с распределенными пара-
метрами, совершающего крутильные колебания. Уравнение кру-
тильных колебаний участка вала с распределенными парамет-
рами (рис. 78)
Э29____р_ Э20 _Q
дх>	a ~
(378)
где р — плотность материала; G — модуль упругости второго
рода.
Решение данного уравнения будем искать в виде
0 (х, i) = а (х) cos («\/ + <р).	(379)
После дифференцирования (379), подстановки в (378) и
сокращений получим
(330)
Обозначив а2=
перепишем уравнение (380) так:
dig
dxi
(381)
Примем, что а изменяется по гармоническому закону:
а—Ci cos (ах) С2 sin (ах),
(382)
тогда уравнение крутящего момента
М=OJP——= OJp( — CjSin ax-|-C2cosax)a.	(383)
Определим произвольные постоянные. В начальном сечении
х=0, тогда С1 = аь C2=Afi/(G/Pa).
В конечном сечении х=1, тогда
a,.2=ax cos aZ-j-TMt sin aZ/(G/pa);
M2 = — ajG/pO sin a/ -|- TH! cos al.
(384)
Записывая уравнения (384) в матричной форме, будем иметь
переходную матрицу для данного случая:
Р“с
а
-|- а2а = 0.
144
Ри|^. 79. Схема участка вала
с распределенными параметра-
ми, совершающего изгибные
колебания
z(O)
Ч>(0)1
M(O)lftj)
P(0)P#J)
2ЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙ
z(x)
Ф(Х)1
М(х)Х1г/Ц})
Р(х) I !/р)
[М] =
cos а/
— aG/p sin al
sin al!GJta
cos al
(385)
Переходные матрицы продольных колебаний участка вала.
Матрицы продольных колебаний различных участков вала
составляются аналогично матрицам крутильных колебаний.
Не останавливаясь на выводе уравнений, запишем переход-
ные матрицы для продольных колебаний в направлении оси х
аналогично (365), (366), (385).
Матрица распределенного участка, совершающего продоль-
ные колебания в направлении оси х,
[Afz] =
cos al
— afiFsin al
sin altЕFa'
cos al
(386)
где
Л, .2
ршс
Е
Матрица невесомого участка
1;/£Л
(387)
О
Матрица сосредоточенной массы
[М;+1] =
(388)
Переходная матрица участка вала с распределенными пара-
метрами, совершающего изгибные колебания. Уравнение изгиб-
ных колебаний участка вала постоянного сечения с распреде-
ленными параметрами (рис. 79) имеет вид
PT &iw I	^lw
CJ------h/П —--
дх* 1	д/2
(389)
где т — масса единицы длины участка вала.
Будем считать, что изменение амплитуды колебаний w про-
исходит по гармоническому закону:
чи=z (л) (Л cos «>с1 В sin <»с1).	(390)
145
После дифференцирования выражения (390), подстановки в
(389) и сокращений получим
x,v(x)—Ц-г(х)—0,	(391)
л
где
Как известно, решением уравнения (391) будет выражение
вида
z{x)—aS(.x)-\-bT (x)-\-cU (x)-^dV(x),	(392)
где$(х), Т’(х), U(x), У(х) — функции А. Н. Крылова:
$(X)=-L(ch-^+cos-^-); Г (х)=Л-fsh —+ sin ;
£ \ I	I ]	А \ I	I J
4/(x)e-l-(ch~-cos-^.y V(x)=4-[sh-“sin-^-);
\ I	I J	£ \ I	I J
EJ — изгибная жесткость стержня.
Постоянные а, Ь, с, d выбирают с учетом граничных условий.
Имея в виду, что
х'=ф; EJz"=M, EJz'"~0,
с учетом начальных условий получаем при х—0
5(0)= 1; Т(0)=0; (/(0)=0; У(0) = 0;
z (л)=г (0) S (х)+Т (х)+и (х)+V (х);
Л	Ej№	Ej№
z' (х)=Ф (х)=z (0) V (х) — -|_	5 (Л) 2. -L
+2mir(x)	47(x)± ;
ЕД2	Z1 E/X3	I
z„ w =	=г (0) {/ (X) ^-+Л V (x) -g
CJ	К	I*
EJ№	p EJ№ I*
z"'W=.	=z (0) T (X) Л +	U w
~ ЕД2	/3 ~	K ’ 12
Так как
з(0)=а;	(0)М(0)	з"(0)=-^-=с~
I	EJ I*
146
ТО
2"'(0) =
Р(0)
EJ
ti
а = 2(0);
Ф(0Н .	Af(O)Z2	P(0)P
X ’	£/X2 ’	£JX3 •
Выражение (392) с учетом найденных значений, постоянных
при х=1, примет вид
г (/)=z (0) s (к)+т (Х)+ и <х> + V W-
Л	EJM	EJ№
Аналогично предыдущему
f
z' (I)=ф (Z)=z (0) V (Х)А+Ф (0) S (X)+Т (X)+
I	Ejk
z" (Z)=М (/) - г (0) EJ -Д. и (X) + ф (0) EJ Л И (X)+
4—	4
+ Ж(0)5(Х) + -^1Г(Х);
Л
2'" (Z) = Р (I) = 2 (0) ЕJ	Т (X)+Ф (0) EJ ^-U (X) 4-
/о	4*
_|_M(0)2_i/(X)4-p(0)S(X).
г
Полученные уравнения можно записать в матричной форме:
2(Z)
ад
PU)
EJX3
s<x>
V (X)	S (X)
и (X) V (X) у
Г(Х>4-
Л
ад




’2(0)
Ф(0)
М(0)
Р(0) .
(393)
147
или
{z (х)} = [Л (х)] {z (0)},
где {z(0)}— матрица начальных параметров участка; {z(x)}—
матрица конечных параметров участка; [Л(х)]— переходная
матрица участка.
Переходная матрица невесомого участка вала, совершающе-
го изгибные колебания. Воспользуемся переходной матрицей
участка вала с распределенными параметрами (393). Функции
Крылова представим в виде рядов
$ (X) = 14-2L+2L _|_	4-...;
1 41	81 ' 121 '	’
Так как участок безмассовый, то т=0, т. е. А,=0; S(X.) = 1;
Т(Х)/Х=1; t/(X.)/X.2=V2; ^(Х)/Х3=Ув. Квадратная переходная
матрица (393) преобразуется в верхнюю треугольную матрицу
жесткости невесомого участка стержня, совершающего изгиб-
ные колебания:
kJ—
_Р_
2£/
I
EJ
1
0
/з -
6£/
Р
2£/
I
1
(394)
0 1
0 0
0 0
Для сосредоточенной массы матрица имеет вид
0
0

0 0 О'
1 о о
О 1 о
0 0 1
Переходная матрица участка вала, совершающего изгибные
и крутильные колебания. Если участок вала совершает крутиль-
ные и изгибные несвязанные колебания, то переходная матрица
148
149
участка вала может быть составлена объединением матриц из*
гибных в направлении осей z и у и крутильных колебаний вокруг
оси х. Переходная матрица (395) участка с распределенными
параметрами приведена на стр. 149.
Для невесомого участка
переходная матрица жесткости
Id=
Z2
2£/
I
EJ
1
О
О
о
/3
GEJ
2EJ
I
О	0 1
О	0 0
ООО
о
о
о
о
JL
2Е1
I
EJ
1
о
ООО
ООО
0	0 0	0
ООО 0	0 9	0
GEJ
о
2EJ
I о
1 о
О 1
о о
о
о
о
о
о
о
I
GJ?
1
1 I
О 1
О О
О О
о о
о о
о о
1 о о
о о
о о
О о
о о
О 1 I
0	0	о
0	0	о
0	0	о
(396)
Коренные шейки коленчатого вала находятся на упругом
основании, причем присоединенная масса блока значительно
больше массы коленчатого вала. В этом случае с учетом осно-
вания с равномерно распределенной упругостью в уравнениях
необходимо принять
X4 _____ <П<д2 — с„
I* ~ EJ
(397)
где сп — коэффициент, учитывающий упругость подшипника.
Матрица перехода в этом случае не изменится.
Переходная матрица дискретной упругоприсоединенной мас-
сы, совершающей изгибные колебания. Часть массы шатуна,
присоединенная к шатунной шейке коленчатого вала, участвует
в изгибных и крутильных колебаниях. Представим ее в виде
дискретной массы. Тогда матрица дискретной массы, упругопри-
соединенной к шатунной шейке и совершающей изгибные коле-
бания,
150
О
ЬИП] =
xtS (X)
О
ООО
о	о	о
о	о	о
«7(Х){- ^(Х)^-
Л	K*CJ
(398)
где х,=------------S-
а — Mta>l
— жесткость связи
массы с шатунной шейкой.
Если присоединенная масса связана с участком с распреде-
ленными параметрами, то матрицу [Мп] необходимо сложить с
матрицей этого участка [Л<]; если — с невесомым участком, то
с матрицей [GJ:
[Лт]=[х,][Мп]-НД/];
1 = [«/П^п1+[О/].
Использование разобранных методов составления и решения
уравнений показано ниже на конкретных задачах.
§ 6. УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Перемещение элементов расчетной схемы в каком-
либо направлении локальной системы координат, связанной с
центром масс элемента, может вызвать перемещение его по
другим направлениям, т. е. перемещения будут связаны. В об-
щем случае все элементы расчетной схемы могут быть связаны
с перемещениями других элементов по всем координатам. Это
означает, что необходимо использовать метод преобразования
систем координат (см. § 3 гл. I). При наличии сложных связей
аналитические выражения получатся очень громоздкими, поэто-
му уравнения проще записывать в матричной форме. Все опе-
рации с матрицами в этом случае проводят с использованием
ЭВМ.
Выражение кинетической энергии системы, совершающей
связанные колебания, с учетом преобразования систем коорди-
нат можно записать в виде матричной зависимости, в которой
операция возведения скоростей в квадрат заменена умножением
матриц несвязанных инерционных членов и жесткостей слева и
справа на транспонированную и прямую матрицы скоростей и
перемещений. Транспонированная матрица-столбец будет запи-
сана матрицей-строкой.
151
Кинетическая энергия
(399)
где [Л/д ] — диагональная матрица несвязанных инерционных
членов (индекс Д).
' Аналогично потенциальная энергия деформации системы
(400)
где [сд ] — диагональная матрица несвязанных жесткостей.
В простых случаях запись кинетической и потенциальной
энергии в матричной форме можно использовать и для вывода
аналитических выражений, проведя операции с матрицами.
Используя уравнение (83), можно выразить демпфирующие
и внешние силы в уравнении (345) с учетом преобразования
систем координат:
{F) = [At]’{F4}.	(401)
Принимая во внимание (1), (90) и (345), уравнение (349)
можно записать в виде
[лБ]т [/Ид] [Ах] {q) + [Ах]т I*грд] [Ах] {q} + [Ах]’ [сд] [Ах] {<?} +
+i [Л.]’ [8сд] [As] {q} = [Ах]’ {Fa}.	(402)
Сравнив (402) и (349), получим составляющие уравнения
(349):
[Л/] = [Ах]’ [Л/д] [Ах]; [Лтр] = [Ах]т [*тр] [Ах];
[с] = [Ах]т[Сд][Ах]; [8с] = [Ах]т[8сд][Ах];
поэтому решение уравнения (402) можно проводить, например,
методом комплексных амплитуд.
К такому виду приводятся уравнения колебаний любой рас-
четной схемы, составленной из дискретных элементов, в том
числе и расчетной схемы, представленной в виде конечных эле-
ментов на рис. 71, д.
ГЛАВА V. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТЫХ
ВАЛОВ
§ 1. ВЫБОР РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
В общем случае расчетная схема крутильных колеба-
ний комбинированного ДВС должна включать как коленчатый
вал двигателя, так и его системы, турбонасосный агрегат, если
он имеет механическую связь с коленчатым валом, и потреби-
тель энергии. На рис. 80 показана дискретная многомассовая
расчетная схема, охватывающая все основные подсистемы четы-
рехтактного комбинированного двигателя. Массы 1...6 заменяют
КШМ двигателя, массы 7...10 — привод генератора, массы
11...16 — распределительный вал с приводом клапанов, массы
17... 18 — носок коленчатого вала, массы 19...21—турбонасосный
агрегат, массы 22...25 — насос высокого давления с регулятором,
массы 26...27 — масляный насос, массы 28...2Э — водяные
насосы.
Приведение длин. Жесткостные характеристики стержневых
элементов определяют из равенства потенциальных энергий де-
формаций действительной системы и расчетной схемы. В ДВС
принято за базовый принимать диаметр коренной шейки колен-
чатого вала. В этом случае неизвестной будет лишь длина участ-
ка вала, поэтому эта операция называется приведением длин.
Потенциальная энергия деформации кручения гладкого вала
t/ = cS2/2.	(403)
Рис. 80. Крутильная система комбинированного ДВС
153
Как известно, жесткость кручения определяется через мо-
дуль упругости второго рода G, полярный момент инерции се-
чения /р и длину участка I:
с = QJfJl.	(404)
Жесткость является коэффициентом пропорциональности
между приложенным моментом М и углом закручивания 6:
М=с6.	(405)
Величина 1/с, обратная жесткости, называется податли-
востью.
Приведем некоторые примеры определения податливостей на
кручение:
сплошной круглый вал диаметром D, длиной I
_1^__32___
с яв Di '
вал с осевым сверлением диаметром d
132 I
с яв D\ — dt ’
«
t	1
ступенчатый вал с галтелью
I = 32 г Z  £ . 1 /1 rf3 ч
с яО [ ~ £>» “ 8rf3 \	D3)
где d и D, I и L—диаметры и длины соответствующих участков
вала;
конический вал с длиной конусной части I
I	32 I /, I d . 02 \
с	яв 3DO3 (‘"Г />"* D*/’
вал, ослабленный шпоночной канавкой глубиной h,
132 I
с яв (D —0,5Л)4*
шлицевой вал с внутренним диаметром шлиц d
1 _ 32 I
с яО d* ’
I	ф
*
цилиндрический вал произвольного сечения F
1 _ 32 4/tZ .
с яб Л '
154
фланцевое соединение
1 __ 32 Z________1
с лв D* 1 , I d6 \2 ‘
2 *(. D )
где п — число болтов; de— диаметр болта; D — диаметр, на ко-
тором расположены болты;
муфта с цилиндрическими пружинами, расположенными тан-
генциально на радиусе R,
1 __ 8Ztrf3
с Gl2Wl2 ’
где I] — число рабочих витков пружины; i2— число пружин;
d — диаметр витка пружины; 6—диаметр проволоки; G — мо-
дуль сдвига материала пружины.
Крутильную податливость колена полноопорного вала опре-
деляют по формулам, основанным на экспериментальных дан-
ных и поэтому содержащих эмпирические коэффициенты. Наи-
большее распространение для валов дизелей различного назна-
чения получила формула Зиманенко:
(406)
где dK.m; dK.m.BH; dm; dm.»H; /к.ш! /ш — внешний и внутренний диа-
метры и длины коренной и шатунной шеек соответственно; йщ,
— соответственно толщина и ширина щеки.
При известной податливости участка его приведенная длина
^ир — GJ px.iulc,
где /рк.ш — полярный момент инерции сечения коренной шейки
коленчатого вала.
Если рассчитывают колебания только коленчатого вала и
пренебрегают парциальными частотами колебаний подсистем,
разветвленную систему рис. 80 приводят к линейной (см.
рис. 74).
Жесткость участков приведенной (линейной) системы спр
определяют из равенства потенциальных энергий деформаций с
учетом передаточного отношения i передач соединяющих их
шестерен. Если передача от коленчатого вала к подсистеме
понижающая, то
Спр = Сд//2;
155
при повышающей передаче
спр—с^2'
Общую податливость участка 1/си определяют как сумму
податливостей отдельных его элементов 1/с<:
(407)
Приведение масс. Массовые моменты инерции расчетной
системы определяют из равенства кинетических энергий дейст-
вительной и приведенной систем: TA.C=TCX. В общем случае
момент инерции массы М тела произвольной формы выражает-
ся интегралом по объему V:
J= С r2d/n=p f r2dV.
Все кривошипно-шатунные механизмы (число которых р),
соединенные с одним коленом вала, принято объединять в одну
моторную массу, обладающую моментом инерции /м.м. Этот
момент будет состоять из моментов инерции: колена вала /к.в,
возвратно-поступательно движущихся частей /п.д и масс шату-
на, отнесенных к оси шатунной шейки коленчатого вала,
(408)
Момент инерции колена вала /к.в складывается из моментов
инерции коренных шеек /к.ш, моментов инерции щек /ш и ша-
тунных шеек /ш.ш:
Ш.Ш*
где /к.ш==р/рк.ш/к.ш; /ш.ш=р/рш.ш/ш.ш+Мш.ш/?2;
Мш.ш — масса шатунной шейки; р — плотность материала вала.
Моменты инерции щек и противовесов, если таковые имеют-
ся, определяют методом разбиений на элементарные фигуры,
суммируя затем их моменты инерции (см. ниже пример рас-
чета) .
Момент инерции диска, эквивалентного возвратно-поступа-
тельно движущимся частям (/п.д) определяют из равенства
кинетических энергий действительной системы и расчетной
схемы:
или
Так как
f sin а	sin 2а
156
то
Зя
Т'д.с^-тг^п.л-^- f (/?“»)2[sina+-^-sin2ayda.
2	хЛ J	\	2	J
После интегрирования получим средний за 2л момент инер-
ции эквивалентного диска:
/п.д=Л4п,^ (1 +-£) 12 ж Л4п,/?2/2.	(409)
Момент инерции массы шатуна, отнесенный к оси шатунной
шейки коленчатого вала,
J2=M2/?2.	(410)
1
Момент инерции маховика относительно оси вращения скла-
дывается из моментов инерции обода, диска и ступицы:
(411)
где d, d\, I—наружный, внутренний диаметры и ширина обода
соответственно; d2, dit I — наружный, внутренний диаметры и
ширина ступицы соответственно; G — ширина диска.
Момент инерции /л.е массы, связанной с коленчатым валом
низшей передачей, с учетом передаточного отношения
Лр=Л.сА2-	(412)
При высшей передаче
J —J i2
•'йр-— д.с* •
Момент инерции массы автомобиля Ма с учетом передаточ-
ного отношения включенной передачи коробки передач iK.n и
главной передачи заднего моста автомобиля 1ГЛ
At г2
Л»т----;г=Ь	(413)
*к.п *гл
где Гкол — радиус колеса автомобиля.
Момент инерции гребного винта определяется с учетом <при-
соединенной» к нему воды.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ И СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИИ КРУТИЛЬНОЙ СХЕМЫ
При вынужденных крутильных колебаниях на колен-
чатый вал, кроме возмущающих моментов от тангенциальных
сил, действуют восстанавливающие моменты сил упругости, мо-
менты сил инерции масс и моменты от сил демпфирования.
157
В общем случае одновременно с вынужденными крутильными
колебаниями возникают свободные крутильные колебания. Дан-
ные явления наблюдаются, например, при переходе через резо-
нанс во время изменения скоростного режима работы двигате-
ля. Это означает, что необходимо решать общую систему урав-
нений (349); Однако при наличии демпфирования свободные
колебания быстро затухают и остаются только вынужденные.
При работе двигателя непосредственно на резонансном режиме
установятся такие колебания, амплитуды которых можно опре-
делить из равенства работ внешних сил и сил демпфирования.
Тогда система уравнений вынужденных колебаний распадается
на две:
уравнения свободных колебаний
[/) {6} + [с] {«}= {0}	(414)
и уравнение равенства работ
rM=UZTP,	(415)
где Wm, WtP — работы возмущающих моментов и сил трения за
цикл колебаний.
На рис. 81 показана графическая интерпретация этого
случая.
Допустим, что работа сил трения имеет вид параболы, а воз-
мущающих сил — линейную зависимость от амплитуды колеба-
ний. Из равенства работ на разонансе установится амплитуда
колебаний арез. Если по какой-либо причине амплитуда коле-
баний установилась меньше резонансной (ax<afe3), то из гра-
фика видно, что работа сил трения меньше работы возмущаю-
Рис. 81. Определение резонансной
амплитуды из баланса работ
Рис. 82. Изменение амплитуд- коле-
баний при разгоне двигателя и его
остановке
О	af
158
щих сил. Избыточная работа внешних сил пойдет на увеличение
кинетической и потенциальной энергий системы, которые будут
расти до тех пор, пока амплитуда не достигнет прежнего значе-
ния арез. Аналогичное явление будет наблюдаться, если допус-
тить, что амплитуда колебаний окажется больше, чем резо-
нансная.
При изменении скоростного режима работы двигателя резо-
нансный зоны приходится проходить как при увеличении, так и
при снижении частоты вращения коленчатого вала. Если резо-
нансные зоны проходятся в течение коротких промежутков вре-
мени, то амплитуды колебаний (при разгоне apa3r, при останов-
ке вост) не достигают резонансных значений (рис. 82).
Переход через резонанс сопровождается следующими осо-
бенностями:
при уменьшении скорости вращения вала наибольшие ампли-
туды колебаний развиваются при частотах вращения ниже ре-
зонансных, а при увеличении— при частотах вращения выше
резонансных;
если переход через резонанс осуществляется достаточно
быстро и трение в системе невелико, то амплитуда колебаний
после прохождения через резонанс убывает не монотонно,
а имеет несколько уменьшающихся всплесков.
Хотя в этом случае амплитуды колебаний и не достигают
резонансных значений, они могут быть значительны и опасны.
К тому же на переход через резонанс затрачивается энергия
двигателя, что может привести к значительным дополнительным
эксплуатационным расходам топлива.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ СВОБОДНЫХ КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИИ
•	I
t
В результате решения системы уравнений свободных
крутильных колебаний тем или иным методом получаем спект-
ральную и модальную матрицы. Каждой частоте колебаний бу-
дет соответствовать свой столбец амплитуд колебаний, т. е. своя
форма колебаний. Поскольку для п-массовой системы имеется п
уравнений, а неизвестными являются частота колебаний и п
значений амплитуд, форму колебаний нормируют относительно
амплитуды колебаний первой массы. В этом случае ai=l, а все
остальные амплитуды будут получены в долях от Таким
образом, в результате решения будем иметь п—1 частот и для
каждой частоты п амплитуд.
После определения амплитуд колебаний проверяют ортого-
нальность форм, которая свидетельствует о том, что направле-
ния движений при двух формах колебаний взаимно перпенди-
кулярны. Пусть двум различным частотам свободных колеба-
ний ©ел и <х>с/ соответствуют формы колебаний а» и ац. При
159
coca¥=g)cz формы колебаний связаны условием ортогональности
п п
(416)
Z-1/-1
В частном случае, когда матрица инерционных членов диаго-
нальная, условие ортогональности форм (416) можно записать
следующим образом:
2^=0.	(417)
i-i
Анализ условия (331) правильности определения формы ко-
лебаний при заданной частоте
1
показывает, что при колебаниях хотя бы одна амплитуда
должна иметь отрицательное значение. Иными словами, на кри-
вой колебаний обязательно будет хотя бы одна точка, в которой
амплитуда равна нулю. Такая точка называется узлом колеба-
ний. При наличии одной такой точки форма колебаний назы-
вается одноузловой, двух точек — двухузловой и т. д. Одноузло-
вая форма соответствует первой частоте свободных колебаний,
двухузловая — второй и т. п.
Из условия (331) также видно, что чем больше момент инер-
ции массы, тем меньше будет ее амплитуда колебаний, т. е.,
изменяя моменты инерции масс, можно перемещать положение
узла формы колебаний (по оси системы).
Для оценки первой (низшей) частоты свободных колебаний
многомассовую крутильную схему можно свести к двухмассо-
вой. В этом случае заменяют несколько рядом расположенных
масс одной с суммарным моментом инерции. Обычно их объеди-
няют с элементом наибольшей массы. Жесткости участков при
этом определяют через суммы податливостей отдельных участ-
ков. Частоту колебаний двухмассовой схемы определяют по
формуле (297). Данная операция легко проводится вручную с
применением микрокалькулятора и может служить проверкой
при отладке программ расчета многомассовой системы с приме-
нением ЭЦВМ; Такое упрощение приводит к небольшой погреш-
ности при определении первой частоты колебаний, но значи-
тельно искажает форму колебаний.
§ 4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИЛ
Крутящий момент двигателя (тангенциальная сила,
умноженная на радиус кривошипа), вызывающий вынужденные
160
крутильные колебания коленчатого вала, является периодиче-
ской функцией, которую удобно представить в виде ряда Фурье.
Для этого кривую тангенциальных сил одного цилиндра или
секции цилиндров необходимо представить в виде ряда косину-
соид и синусоид различных порядков. При гармоническом ана-
лизе суммарной кривой тангенциальных сил всех цилиндров
двигателя, если работа цилиндров идентична и чередование ра-
бочих ходов равномерное, из-за наложения гармоник некоторых
порядков их геометрическая сумма может вообще оказаться
равной нулю. При неравномерном чередовании рабочих ходов и
неидентичной работе цилиндров геометрические суммы ампли-
туд гармоник отличны от нуля.
Аналитическая зависимость тангенциальных сил одного или
секции цилиндров, заданная от сил давления газов и сил инер-
ции возвратно-поступательно движущихся масс, была рассмот-
рена в гл. II. Тангенциальные силы от действия сил давления
газов относительно мало зависят от частоты вращения коленча-
того вала. В то же время тангенциальные силы от сил инерции
изменяются пропорционально квадрату частоты вращения. Из-
менение силы от давления газов (индикаторная программа) по
углу поворота коленчатого вала нередко задается графически по
экспериментальным данным. В таком случае гармонический ана-
лиз проводят отдельно для тангенциальных сил от давления га-
зов и от сил инерции. Это позволяет использовать графическое
и табличное задания коэффициентов гармонического ряда в за-
висимости от среднего индикаторного давления. При использо-
вании аналитического задания сил от давления газов и сил
инерции и проведении гармонического анализа с помощью вы-
числительной техники в таком разделении нет необходи-
мости.
Период изменения сил от давления газов в секундах:
для двухтактных двигателей т=2л/(о=6О/п;
для четырехтактных т=4л/(о= 120/п.
При обычной записи ряда Фурье гармонический анализ
функции проводится с периодом т=2л/ш, который совпадает с
периодом изменения сил от давления газов в двухтактном дви-
гателе. В этом случае порядки гармоник &==1, 2, 3.... Поскольку
в четырехтактном двигателе период изменения сил от давления
газов в 2 раза больше, порядки гармоник k будут равны ’/2; 1;
1 ’/2; 2 и т. д.
Тангенциальная сила от давления газов может быть пред-
ставлена в следующем виде:
для четырехтактных двигателей
7’г = 7’го/2 + 2 (ArS cos sin k<ot); (418)
Л-1/2
6-1479
161
для двухтактных двигателей
+ 2 (Л* cos k<»t BtJt sin Ы)=Tro/2+
(419)
(420)
где Ak, Bh — коэффициенты ряда Фурье;
ГГ*=|Л&+#*; tgw-415
&B—k(o — частота вынужденных колебаний.
При гармоническом анализе тангенциальных составляющих
от сил инерции возвратно-поступательно движущихся частей
можно получить непосредственно их выражение в виде гармони-
ческого ряда.
На основании выражений (92) и (103) запишем
Т*=sin(a + p) __J?(o2(cosa+Xcos2a)_®!1<5L±JL.
cos p	cos p
Так как sin p=X sin a,
Ти=	(cos a -|- X cos
X sin a cos a \
cos ₽ J f
Полагая cosp«l с учетом того, что	sin a cos 2a+
4-sin 2a cos a=sin 3a, получим
Ти=~ /«n>A/?<o2(cosa4-Xcos2a) (sin a-|—£-sin 2a)=
— sin 2a H—— sin 3a-f*
X2 ? ‘
-2 sin 2 a) 4----sin 4a
= — ^П.Д^"’2
' 2
3
Так как sin3a=— sin a—-sin 3a и a=a)/
окончательно с	точностью до	гармоник	четвертого	порядка
1	3	Х2
sin -------sin 2ф/------X sin 3«rf----sin 4*
2	4	4
П.д-
=2 rH*sin (^+<p„ft).
(421)
Полученные порядки гармоник — целые числа, т. е. они сов-
падают с порядками гармоник от газовых сил двухтактного дви-
162
гателя. В уравнении (421) начальная фаза гармоники первого
порядка равна нулю (фИ1=0), а фазы второго, третьего и чет-
вертого порядков равны л (фи2=фи3=фн4=л).
Моменты от сил давления газов и сил инерции соответст-
венно
МГ=Т^ УИи=7'и/?.
(422)
После выполнения гармонического анализа тангенциальных
сил полученные гармоники одинаковых порядков суммируют:
Л4?л+Хл4-2уИгЛЛ1иАсо5(?гЛ-?нА); (423)
tg(kmt 4-® ) = Мтк sln +	+ sin + У"») .
* Afrft cos (W + <?гА) + AfHfc cos (Ы 4- v„A)
(424)
При увеличении порядка гармоник их амплитуды колебаний
уменьшаются. С точки зрения динамической нагруженности ко-
ленчатых валов можно ограничиться гармониками 12-го поряд-
ка для четырехтактных двигателей и 24-го порядка для двух-
тактных.
При рассмотрении вопросов вибрации отдельных элементов
системы, например, соединительных муфт, может возник-
нуть необходимость учитывать гармоники и более высоких
порядков.
§ б. УСЛОВИЕ РЕЗОНАНСА И РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ
РАБОТЫ СИЛОВОИ УСТАНОВКИ
А
Резонанс наступает при совпадении частот свободных
и вынужденных колебаний (юс=®в). В это время за счет энер-
гии внешнего источника в системах без демпфирования колеба-
ний резонансная амплитуда теоретически будет расти до беско-
нечности.
В действительной системе всегда имеется рассеивание
энергии колебаний, источник внешнего возмущения имеет огра-
ниченную энергию, поэтому амплитуды колебаний будут расти
либо до какого-то ограниченного предела, либо до выхода из
строя наиболее слабого звена системы.
В системах с небольшим трением, к которым чаще всего от-
носятся ДВС, угол сдвига фаз между действующей нагрузкой и
реакцией системы существенен только в области резонанса. В об-
ласти нерезонансных частот он изменяется от 0 до л тем быст-
рее, чем меньше трение. При резонансе угол сдвига фаз равен
л/2 независимо от демпфирования, и энергия, подводимая к си-
стеме от внешнего источника, максимальна.
Частоты свободных колебаний ©с определяем из решения
системы уравнений свободный колебаний, а ив — из гармониче-
6*	163
ского анализа возмущающих сил. Так как	условие
резонанса
f.	* Jtfl
(1)с = Й0) ИЛИ 0)е = Я-----------------.
с	с 30
(425)
Откуда резонансная частота вращения коленчатого вала
30шс
лоез =----~ •
₽М Лк
(426)
В общем случае количество частот свободных колебаний сос
в п-массовой системе равно п—1, а число порядков гармоник
k бесконечно, поэтому теоретически количество резонансных ре-
жимов работы силовой установки также бесконечно. Но прак-
тически указанный диапазон возможных резонансных режимов
работы можно ограничить: во-первых, количеством рассматри-
ваемых гармоник возмущающих сил; во-вторых, возможными
скоростными режимами работы силовой установки (от nmin —
минимально устойчивая частота вращения коленчатого вала дви-
гателя под нагрузкой до пе —номинальная частота враще-
ния).
После введения диапазонов для шс и k количество возмож-
ных резонансных режимов работы будет ограничено. Дальней-
шие расчеты обычно ведут только для резонансных режимов
работы.
§ 6.	РАБОТА ГАРМОНИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Гармонический момент совершает положительную ра-
боту только на моторных массах. На i-й моторной массе гармо-
нический момент Мк1 k-ro порядка за цикл колебаний будет со-
вершать работу
( Af«d®z,	(427)
где 2л/— период колебаний А-й гармоники.
В соответствии с уравнением (423) аналогично (419) выра-
жение гармонического момента можно записать в виде
Mki=Mk sin (W+<?w).	(428)
В то же время при условии, что формы свободных и вынуж-
денных колебаний совпадают, система будет совершать гармони-
ческие колебания с запаздыванием по фазе на
6z=a/sin(W —₽w).	(429)
Дифференцируя выражение (429):
d0z=a/A®cos(W—(430)
164
и подставляя (424) и (426) в (429), получим в результате ин-
тегрирования
UZA;=nTHsa;(sin cos ₽s/+cos sin ₽А/).	(431)
Работа гармонического момента на всех р-моторных массах
при идентичной работе цилиндров
W'kp — У	(а{ sin <?ft; cos ₽» t+at cos <pw s in ₽AZ)
=nAfJ cospK<
at sin <pw sin
Pm J ai cos <?ki
(432)
Так как при резонансе работа гармонического момента мак-
симальна, то, дифференцируя выражение (432) и приравнивая
полученное уравнение нулю:
получим
fl<sincpw+cos?w
a,, cos <р4<
Откуда
a-i sin <pw+cos У at cos <pKt=0.
(433)
at cos <tti
tgPjw=
(434)
2 at sin <fki
С учетом того, что
sin =—7=====—, cos pw=—7======—,
™ П+tgaftw ™ Vl + t^fu
вместо выражения (432) окончательно получим
W\p=1/ (2 aisin ?мГ+ (2 cos .
(435)
Переходя к относительным значениям амплитуд колебаний
at—ajai и обозначая
165
вместо (435) будем иметь
1Ркр=лЛ4^1в,	(437)
где /?s — равнодействующий вектор амплитуд перемещений;
ай — амплитуда вынужденных колебаний первой моторной
массы.
Так как в выражение (436) входят относительные значения
амплитуд колебаний, то & можно определить по формам сво-
бодных колебаний системы в зависимости от порядка резони-
рующей гармоники k, порядка работы цилиндров и углов между
кривошипами коленчатого вала:
<Pz=M* —D»	(438)
где б2 — угол между кривошипами коленчатого вала, i—номер
цилиндра по порядку работы.
Для шестицилиндрового четырехтактного рядного двигателя
при dz—120° одноузловая форма свободных крутильных колеба-
ний показана на рис. 83, где шесть моторных масс, а седьмая
масса — маховик. При порядке работы цилиндров 1—5—3—6—
2—4 соответственно i равно 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Зададимся порядком гармоники k==l/z, тогда с учетом (438)
получим значения фазовых углов для соответствующих по по-
рядку работы цилиндров:
?!= 120°(1 --1)=0°,
?2= 120°(2 — 1) = 120°,
<Рз=120°(3- 1)=240°,
?4= 120°(4 -1)=360’,
<р5= 120°(5—1)=480°,
<р6= 120°(6 —1)=600°,
?*1=ол/2=оо;
<PW= 120°. */2=60°;
^=240° •‘/2=120°;
<Рм=360’.‘/2= 180°;
?Л5= 480 .‘/2=240°;
<рй6=600°.‘/2=300°.
Все углы отсчитываются от направления первого вектора
против часовой стрелки (рис. 84). Величина Rs является век-
торной суммой всех амплитуд колебаний моторных масс с уче-
том фазовых углов.
Легко видеть, что диаграмма, аналогичная рис. 84, будет при
порядках гармоник А=3‘/2, 6*/г и т. д.
Как следует из рис. 85, при k=3, 6, 9... векторная сумма
переходит в алгебраическую сумму амплитуд и достигает
максимального значения. Такие гармоники называются главны-
ми. Нетрудно видеть, что первый порядок главной гармоники
совпадает с числом рабочих ходов за один оборот коленчатого
вала, а последующие кратны им.
Порядки гармоник, равные или кратные половине числа ра-
бочих ходов за оборот коленчатого вала, называются сильными.
166
Рис. 83. Одноузловая форма крутиль-
ных колебаний шестицилиндрового дви-
гателя
Рис. 84. Векторная дна-
гоамма амплитуд коле-
баний при дх= 120°
В приведенном примере такими гармониками будут
4,/z, 7*/2— Остальные гармоники называются слабыми, так как
для них будет значительно мёньше.
Дальнейшие расчеты проводят только для главных и сильных
гармоник.
Количество рассматриваемых резонансных режимов работы
силовой установки можно еще уменьшить, анализируя выраже-
*=2;5;в...	к‘2112;51/2;81/2...
Рис. 85. Фазовые диаграммы
ного двигателя
153624
АААААА
22Г
различных гармоник шест
цилиндрового ряд-
167
ние (437). Чем больше произведение MkRs, тем больше подводи-
мая к системе энергия, тем больше вероятность того, что в си-
стеме могут возникнуть колебания значительных амплитуд.
Сравнивая произведения MkRs для главных и сильных гармоник
и выбирая их наибольшие значения, количество наиболее опас-
ных режимов работы можно свести к нескольким единицам.
§ 7.	ЭНЕРГИЯ, РАССЕИВАЕМАЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
Все колебательные процессы в действительных систе-
мах сопровождаются рассеиванием энергии колебаний, которое
обусловлено различными видами трения. Рассеяние энергии при-
водит к тому, что даже при работе двигателя на резонансе амп-
литуды колебаний ограничены. Демпфирующие силы и моменты
частично поглощают энергию колебаний, которая преобразуется
в тепловую энергию и отводится в окружающую среду.
Демпфирование колебаний главным образом определяется
силами трения в цилиндро-поршневой группе, подшипниках,
ударами при перекладке зазоров в соединениях КШМ и приво-
дах, внутренним трением в материалах (гистерезис) деталей,
соединительных элементов и валопроводов, а также в потреби-
телях энергии. Для различных форм колебаний иногда удается
выделить существенные виды трения, определяющие основное
рассеивание энергии колебаний. Например, при одноузловой
форме колебаний — трение в потребителе энергии, при двухуз-
ловой— трение в двигателе и. соединениях. Большие демпфирую-
щие сопротивления на данной частоте колебаний будут наблю-
даться при больших амплитудах колебаний и деформациях уча-
стков между массами. Наблюдается прямая связь между демп-
фирующими сопротивлениями и механическим КПД двигателя,
зависящими от режима работы двигателя.
Физические основы рассеивания энергии колебаний в каждом
элементе двигателя изучены еще недостаточно, поэтому их оце-
нивают интегрально, вводя полуэмпирические коэффициенты.
Все виды трения сводят к двум: внешнее и внутреннее.
Внешнее трение зависит от скорости колебаний и приводится
к каждой массе, а внутреннее, пропорциональное деформации
участков и не зависящее от скорости деформации, приводится
к участкам между массами. В этом случае работа момента со-
противления на i-й массе от сил внешнего трения за цикл коле-
баний
2я/6(о
W\z= | Afe/dOz,	(439)
где	— момент сопротивления от сил внешнего
трения; & — коэффициент демпфирования.
168
Подставляя в выражение (439) уравнение (430), после ин*
тегрирования получим
Wti= ( ^a?(£<o)2cos2(W — $kl)dt=ntp'ik<i>.	(440)
О'
Работа сил сопротивления на всех массах
п	п
(441)
Существует большое количество методик определения коэф-
фициентов демпфирования, но все они основаны на обработке
экспериментальных данных. Результатом этого фактически яв-
ляются коэффициенты согласования, справедливые только для
тех типов двигателей, для которых они были определены. Если,
например, при трех- или четырехузловой формах колебаний
основное рассеяние энергии происходит в двигателе, то ориенти-
ровочные значения удельных коэффициентов демпфирования
в одном цилиндре двигателя можно принять следующими для
указанных ниже двигателей:
Е(10~6, Нс/м»
Стационарные н судовые	малооборотные............. 0.4...0,5
Карбюраторные.................................. 0.05...0.15
Автотракторные дизели............................ 0,15...0,2
V-образные высокооборотные....................... 0,02...0,07
Звездообразные................................... 0,02...0,05
Коэффициент демпфирования £ равен произведению удель-
ного коэффициента демпфирования v на площадь поршня Fn,
квадрат радиуса кривошипа R2 и число цилиндров г*:
(442)
Внутреннее трение в материале при циклических деформа-
циях характеризуется зависимостью между напряжением и де-
формацией— петлей гистерезиса. За каждый цикл колебаний
будет рассеиваться некоторое количество энергии ДТС^. Тогда
отношение Д^ к максимальной упругой энергии будет ко-
эффициентом поглощения, или относительным гистерезисом,
(443)
Коэффициент поглощения ф не зависит от частоты колеба-
ний, а зависит от амплитуды изменения напряжений. Если в
начале какого-либо периода затухающих колебаний й-й гармо-
ники отклонение массы равно ак, а в конце ад+i, то энергия де-
формации упругой связи
1^ф(й+1)==-п_ ^А+1-
169
Таким образом, за период рассеивается энергия
ди7ф=-£с(4-4+1).	(444)
Так как при небольшом затухании колебательное движение
в течение одного периода мало отличается от гармонического
колебания со средней амплитудой
а=(®л"гал+1)/2»	(445)
то ему соответствует средняя энергия
=са2/2.	(446)
Подставляя (444), (445) и (446) в выражение (443), полу*
чим для резонансной частоты колебаний
Да/а=<|»/2.	(447)
Левая часть уравнения (447) примерно равна логарифмиче-
скому декременту колебаний б, поэтому
б « ф/2.
(448)
Логарифмический декремент колебаний определяют экспери-
ментально по затуханию свободных колебаний. Значения коэф-
фициентов поглощения ф при одноосном напряжении можно
принять: для стали равными. 0,01 ...0,02; чугуна 0,2 ...0,3.
Еще ббльшие значения коэффициентов ф будут у деталей из
чугуна с глобулярным графитом.
Коленчатый вал двигателя деформируется сложным обра-
зом, поэтому коэффициенты поглощения при его колебаниях
могут быть значительно выше приведенных значений.
На участках с напрессованными деталями, болтовыми, шпо-
ночными, шлицевыми или другими соединениями, имеющими от-
носительное проскальзывание, энергия колебаний поглощается
интенсивнее. Рассчитать коэффициенты поглощения для этих
случаев не представляется возможным. Однако, поскольку ко-
эффициенты поглощения определяют на реальных двигателях,
их значения учитывают все виды рассеяния энергии.
Работа сил внутреннего трения
(449)
Полная работа сил трения за цикл колебаний опреде-
лится суммированием работ сил внешнего и внутреннего трения:

(450)
170
§ 8.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИИ
И НАПРЯЖЕНИИ ПРИ РЕЗОНАНСЕ
Из баланса работ возмущающих сил и сил демпфирования
на резонансе определяем действительные амплитуды колебаний.
Приравнивая выражения (437) и (450), получим
(451)
или в развернутом виде
л/14й/?5а1в==2 я?,(а/'ЯАсеа}+-у 2	—	(452)
1 1
Так как формы вынужденных и свободных колебаний приня*
ты одинаковыми, т. е. aiB=ai, а относительные амплитуды коле-
баний получены в виде а'1В=ай,/а1в=а/, находим действитель-
ную амплитуду вынужденных угловых колебаний первой массы:
--------------------------7^-----------------•	(453)
(«/)I 22 ^ci(a'i — ai+i)2
Тогда амплитуда колебаний произвольной массы
а1в=а,а1в.	(454)
Если при какой-либо форме колебаний (обычно, одно- или
двухузловой) основное демпфирование колебаний происходит
не в двигателе, а, например, на гребном винте, на роторе генера-
тора или в демпфере, то необходимо рассмотреть их баланс с
работой возмущающего момента.
Как видно из уравнения (453), значения ащ будут различны-
ми для разных форм колебаний, так как подводимая и рассеи-
ваемая энергии зависят от частот й форм колебаний. Закрутка
произвольного участка будет характеризоваться разностью амп-
литуд колебаний aiB—a«+i)B. При наличии узла колебаний на
данном участке амплитуды а/в и a(;+i)B будут иметь различные
знаки и их значения будут суммироваться.
Опасность крутильных колебаний в первом приближении оце-
нивают по касательным напряжениям:
с<(а<в д(/+1)в)
Го
(455)
где
I — полярный момент сопротивления
“в /
вала; dH, dBH — наружный и внутренний диаметры сечения вала.
Допускаемые напряжения Для колена вала [т]=ЗО...4О МПа;
для гладкого вала [т]=50... 60 МПа.
171
В действительности элементы колена вала деформируются
сложным образом, и в них одновременно возникают как нор-
мальные, так и касательные напряжения, изменяющиеся во вре-
мени в зависимости от условий эксплуатации силовой установки.
В этом случае более точным будет расчет на выносливость. Его
обычно проводят с использованием экспериментальных данных.
Однако для коленчатых валов ДВС накоплено еще недостаточно
данных, которые позволили бы рассчитывать их усталостную
долговечность уже на стадии проектирования двигателя. Кроме
того, неточность расчета обусловлена влиянием нерезонирующих
гармоник при резонансе, а также недостаточной точностью оцен-
ки коэффициентов демпфирования.
Переход через резонанс, если даже напряжения не превы-
шают допускаемых, всегда сопровождается затратами энергии
двигателя. В этом случае не вся энергия двигателя передается
потребителю, частично она затрачивается на поддержание коле-
баний в системе. Известны установки, в которых до 20% и более
энергии двигателя затрачивалось на колебательные явления.
Фактически это приводит к повышенному эксплуатационному
расходу топлива, что необходимо учитывать при многочисленных
переходах силовой установки через резонансы. Предположим,
что вся энергия резонирующей гармоники затрачивается на ко-
лебания. Тогда мощность двигателя, затрачиваемая на коле-
бания,
колеб —
(ГкрТ2*
'«•кол • 2
2-2л
(456)
где т* — тактность двигателя.
При известной скоростной характеристике работы двигателя
удельный расход топлива, затрачиваемого на колебания,
Д^колеб = ^рез-7^-.	(457)
«рез
где gepea — удельный расход топлива в двигателе на резонанс-
ном режиме работы силовой установки, определяемый по харак-
теристике.
§ 9. СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
НАПРЯЖЕНИИ ОТ КОЛЕБАНИИ
Сравнивая результаты расчета по формуле (455) с
допускаемыми напряжениями, определяют их опасность. Если
резонансные частоты вращения вала, при которых дополнитель-
ные напряжения превышают допускаемые През.ь не находятся
в области эксплуатационных пе, как, например, в дизель-гене-
раторной установке (рис. 86), то эту область частот вращения от
«I до п2 считают запретной и отмечают на тахометре. Данную
172
Рис. 86. Запретная зона работы си-
ловой установки
зону проходят с опреде-
ленной скоростью изменения
частоты вращения коленчатого
вала, при которой амплитуды
напряжений не достигают опас-
ных значений. Работа двигате-
ля на постоянном скоростном
режиме в диапазоне между П]
и п2 не разрешается.
Если необходимо обеспечить
работу двигателя без запрет-
ных зон, например в транс-
портной силовой установке, то
имеется несколько способов
уменьшения дополнительных напряжений от колебаний. Как
видно из уравнений (453) и (455), дополнительные напряжения
можно уменьшить, снижая амплитуды колебаний а<в и дефор-
мации а,в— П(<+1)в, изменяя параметры системы и последова-
тельность рабочих ходов двигателя, т. е. значения Rs, применяя
специальные устройства — гасители колебаний.
Варьированием параметров системы, моментов инерции масс
и жесткости соединений достигается изменение частот и форм ее
свободных колебаний. Как упоминалось выше, увеличение мо
ментов инерции масс ведет к снижению частоты, а возрастание
жесткости — к ее увеличению. Однако при многомассовой схеме
эта зависимость проявляется менее явно, чем в одно- или двух-
массовой, и для относительно небольшого изменения частоты
свободных колебаний могут потребоваться значительные кон-
структивные изменения деталей, что не всегда выполнимо. К то-
му же расчет на крутильные колебания обычно проводится для
конкретной силовой установки, конструктивные размеры дета-
лей которой определены из условий прочности и работоспособ-
ности, и их изменение может быть нецелесообразно.. Этот способ
будет эффективен в дальнейшем после разработки вопросов
синтеза силовой установки при оптимизации ее по всем парамет-
рам, включая и ее колебания. Частичного изменения характери-
стик колебаний системы можно добиться, варьируя длины и
диаметры валов привода агрегатов систем; вводя упругие муф-
ты и изменяя жесткость элементов муфт; включая гидромуфты,
разделяющие систему на подсистемы; заменяя маховики и про-
тивовесы на коленчатом валу.
От последовательности рабочих ходов в двигателе зависит
подводимая к колебательной системе энергия. Так как равно-
действующий вектор амплитуд перемещений зависит от порядка
работы цилиндров и угла между кривошипами коленчатого ва-
ла, то при проектировании двигателя эти факторы необходимо
учитывать. Например, при заданном угле между кривошипами
173
07/	97г Qh
a) 0	0 6) 5 0
f, МПа	т. МПа
Рис. 87. Колебания системы с линейным антивибратором:
а, в —двух- и трехмассовые крутильные системы; б, г — резонансные кривые колебаний
коленчатого' вала дг=90° выполнение их под углами 88 и 92°
приведет к уменьшению Rs для главных .гармоник. Однако осво-
бождение от резонанса с большими значениями Rs может при-
вести к резонансам с меньшими Rs на других гармониках.
Снизить опасные крутильные колебания в выполненной сило-
вой установке с ДВС можно лишь с помощью динамических га-
сителей колебаний и демпфирующих устройств. -
Динамические гасители колебаний (антивибраторы) подраз-
деляют на гасители с деформируемыми элементами и маятнико-
вые.
В гасителе с деформируемыми элементами между его ступи-
цей, жестко соединенной с коленчатым валом, и маховиком рас-
положены линейно или нелинейно деформируемые элементы
(линейные и нелинейные антивибраторы).
При наличии, лименно деформируемых элементов, например
пружин, такой антивибратор будет являться дополнительной
присоединённойксистеме^маховой массой, которая изменит ча-
стоту свободных колебаний. Покажем это на примере простей-
ших систем. Предположим, что двухмассовая крутильная систе-
ма (рис. 87) имеет частоту свободных колебаний, совпадающую
с частотой вращения коленчатого вала в рабочем диапазоне ча-
стот вращения през=пе (рис. 87). В трехмассовой системе с до-
полнительной массой с моментом инерции /з (рис. 87) будут две
частоты свободных колебаний. Варьируя параметрами — допол-
нительной массы и жесткостью соединительного участка — мож-
но добиться того, что первая резонансная частота пРезд будет
находиться ниже, а вторая лрез,2 выше рабочего диапазона.
В рабочем диапазоне установка свободна от крутильных коле-
174
Рис. 88. Нелинейный антивибратор и характеристика деформирования его
элеиентов
баний. Уменьшение момента инерции дополнительной массы
можно получить введением в ее соединение с коленчатым валом
выгшей передачи.	.
В нелинейном антивибраторе могут использоваться пружины (/
с предварительной затяжкой и зазором между ними, а также
пакет нелинейно деформируемых элементов — рессор /, распо-
ложенных между ступицей 2 и маховиком 3 (рис. 88, а). Упоры
4 ограничивают деформацию рессор при резких изменениях ско-
ростного режима. За счет того, что при нагрузке и разгрузке
пакет элементов деформируется не одинаково (рис. 88, б), и
поглощается энергия колебаний. При этом изменяются и харак-
теристики колебательной системы.
Из маятниковых антивибраторов наиболее распространен •
маятниковый антивибратор с бифиляоным подвесом (рис. 89).
С жестко связанной с валом ступицей 1 соединены маятники 2 •/
через пальцы 3. В качестве ступицы могут быть использованы
щеки коленчатого вала. При вращении вала и отсутствии кру-
тильных колебаний маятники под действием центробежных сил
занимают радиальное положение, и момент от центробежных
сил равен нулю. Когда же ступица вместе с валом совершает
крутильные колебания, маятники также колеблются. Возникаю-
щий момент от действия центробежных сил стремится вернуть
маятники в исходное положение, что уменьшает амплитуду кру-
тильных колебаний вала. Так как в соединении маятника трение
практически отсутствует, то малые колебания маятника при уг-
лах качания меньше 0,2 рад будут гармоническими с частотой,
пропорциональной угловой скорости вращения вала. Следова-
тельно, маятниковый антивибратор влияет только на резонансы
на гармониках определенного порядка независимо от частоты
вращения вала. При этом он снижает частоту свободных коле-
175
Рис. 89. Маятниковый антивибратор с бифилярным подвесом
баний системы только того порядка, на который он настроен, и
почти не влияет на резонансы других порядков. Для расчета
маятникового антивибратора его заменяют двумя эквивалентны-
ми маятниками с моментами инерции ступицы /э.Ст и маятников
7э.м, а также с податливостью эквивалентного соединения
бэ.м.ст, которые при малых углах качания маятников определя-
ются по формулам
(458)
где k — порядок возмущающего момента; kn=V (ri+r2)/(D—
—d) — порядок настройки маятника; п, г2 — расстояние от пря-
мых, соединяющих центры отверстий в ступице и маятнике, до
оси вала и до центра тяжести маятника; D, d — диаметры ст-
верстий в ступице и маятнике и диаметр пальцев; JCT; /м— мо-
менты инерции ступицы и маятника относительно осей, проходя-
щих через их центры тяжести; г, Ми — число маятников и мес-
са каждого из них.
Сильное влияние на систему маятниковый антивибратор ока-
зывает при klku=0,9... 1,1. Обычно конструктивные размеры
маятников выбирают такими, чтобы обеспечить, например,
176
kaftf 0,99k. Выбирая по конструктивным соображениям моменты
инерции ступицы, маятников, их количество, остальные парамет-
ры определяют с учетом выполнимости условий (458), Маятни-
ковые антивибраторы наиболее эффективны в местах системы,
где амплитуды колебаний максимальны. Однако при больших
углах качания маятников (более 0,2 рад) система с маятнико-
вым антивибратором становится нелинейной. В этом случае кро-
ме гармоники, на которую настроен антивибратор, могут возни-
кать паразитные гармоники, дополнительно нагружающие вал.
Расчет маятникового антивибратора выполняется с достаточной
точностью и не требует дополнительной экспериментальной до-
водки. В процессе эксплуатации двигателя маятниковые анти-
вибраторы почти не изнашиваются и их настройка не изменя-
ется.
Как видно из уравнения (453), другим способом снижения
амплитуд вынужденных колебаний, а следовательно, и дефор-
маций и напряжений, является увеличение поглощения энергии
колебаний с помощью дополнительных демпфирующих уст-
ройств— демпферов. На рис. 81 штриховая кривая показывает,
что введение в систему дополнительного демпфирования приво-
дит к уменьшению амплитуды колебаний с QiB до Ящ.д-
_Демпфер имеет ступицу, соединенную с коленчатым валом,
и маХбвикТМежду ними находятся элементы или среда, которые
при относительном смещении ступицы и маховика поглощают
энергию колебаний. Энергия трения элементов и деформации
среды преобразуется в тепловую энергию. В качестве поглощаю-
щих элементов могут быть использованы фрикционные диски,
прижимаемые к поверхностям трения с помощью пружин. Такие
демпферы, подобно фрикционным муфтам, могут быть сухого
или жидкостного трения. Демпферы сухого ^^рения просты по
конструкции, имеют небольшие габариты, могут работать при
высоких температурах нагрева. Однако в них уменьшается тре-
ние по мере износа дисков, они требуют регулирования в процес-
се эксплуатации, поэтому такие демпферы не находят широкого
распространения в ДВС в настоящее время.
В прошлом в качестве среды в демпферах жидкостного трения
использовали ртуть, машинное масло и другие жидкости. Но
ртуть высокотоксична, а вязкость масел и многих других жид-
костей сильно зависит от температуры, что приводит к пере-
стройке демпфера и снижает его эффективность. После разра-
ботки способа получения кремнийорганических жидкостей (си-
ликонов), которые имеют высокую поглощающую способность и
вязкость, мало изменяемую в широком диапазоне температур,
силиконовые демпферы нашли широкое распространение.
.Силиконовые демпферы высокоэффективны, просты в изго-
товлении и эксплуатации, почти не изнашиваются, но их уста-
новка увеличивает стоимость двигателя.
177
6)
Рис. 90. Силиконовый демп-
фер крутильных колебаний
Поскольку жидкость в демпфере не должна содержать пу-
зырьков воздуха, необходимы специальное проектирование кана-
лов и отработка технологии его заполнения. Установка демпфе-
ра всегда изменяет частоту свободных колебаний системы. За-
клинивание по тем или иным причинам маховика демпфера
может так изменить частоты и формы колебаний системы, что
влияние демпфера окажется отрицательным.
Силиконовый демпфер, устанавливаемый на двигателях
124 13/14 и ЧН 13/14 (ЯМЗ-240 и ЯМЗ-240Н) имеет стальной
корпус 1 (рис. 90, а) с приваренной крышкой 4 и чугунным ма-
ховиком 2. Маховик центрируется по внутреннему диаметру,
куда запрессована бронзовая втулка. Остальные поверхности
кадмированы. Радиальный зазор по внутреннему диаметру
0,05 ...0,09, по наружному — 0,18 ...0,24 мм. Зазоры заполнены
полиметил силоксановой жидкостью. Выточка 3 используется как
резервный объем при гарантированном заполнении зазоров меж-
ду маховиком и корпусом. Однако суммарный объем жидкости
меньше суммарного объема зазоров на величину температурного
расширения жидкости. Для заполнения демпфера в его крышке
имеются два отверстия, которые после заправки глушат пробка-
ми и запаивают. На двигателе демпфер устанавливается на но-
ске коленчатого вала. На рис. 90, б. показаны амплитуды крутя-
178
Рис. 91. Силиконовый демпфер с
фигурным маховиком
щих моментов вблизи маховика двигателя. В двигателях
ЯМЗ-240 и ЯМЗ-240Н (соответственно кривые 1 и 2) без демп-
фера при п=1950 мин-1 происходит резкое увеличение ампли-
туды вследствие резонанса гармоники шестого порядка. Приме-
нение демпфера снижает амплитуды колебаний на 60% (соот-
ветственно кривые 3 и 4).
Для увеличения площади трения между маховиком 2 и кор- .
пусом 1 форма маховика демпфера может быть фигурной (рис.
91). При вращении демпфера жидкость отбрасывается к пери-
ферии и обеспечивает демпфирование и смазку трущихся по-
верхностей. Инерционная масса демпфера может быть выполне-
на в виде подвижных цилиндрических роликов (рис. 92). Метал-
лические ролики 1 размещены в корпусе 3 концентрическими
рядами и разделены между собой тонкими лентами 2. Такая кон-
струкция улучшает динамические характеристики демпфера.
Рис. 92, Силиконовый демпфер с роликами
179
3 2
3	2
Рис. 93. Составные маховики демпфера
Использование легких материалов для изготовления махови-
ка позволяет создать демпфер для гашения высоких частот кру-
тильных колебаний. Маховик (рис. 93, а) выполнен из стального
диска / и дисков 2, 3 из легкого материала и центрирован по
внутреннему диаметру. Аналогичный маховик на рис. 93, б цент-
рирован по внешнему диаметру. В варианте маховика, изобра-
женном на рис. 93, в, в стальное кольцо 1 запрессован диск 2
из легкого материала. Демпфер на рис. 93, г состоит из стально-
го диска и двух дисков 2, 3 из легкого материала.
Увеличить поглощение энергии колебаний можно комбиниро-
ванным демпфером. Такой жидкостный демпфер выполняется с
маховиком и упругими элементами в виде дисков, рессор и дру-
гих элементов. Демпфер, показанный на рис. 94, имеет корпус
Рис. 94. Комбинированный силиконовый демпфер
180
Рис. 95. Демпфер с металлической
дробью
”-у9 _
Рис. 96. Демпфер с резиновым по-
глощающим элементом
6 с фланцем для соединения с коленчатым валом ДВС. Корпус
6 заглушен крышкой 3. В образуемой полости 5 размещен махо-
вик (состоящий из двух частей), который центрируется в кор-
пусе проставками 9. Масса 7 соединена с массой 4 многослойны-
ми листовыми рессорами 2. Диски 1 прикреплены к массе 7 и
предохраняют корпус от повреждения рессорами. Внутренняя
полость демпфера заполнена силиконовой жидкостью. Для
уменьшения ее объема в ней размещены вытеснители 8.
В качестве среды, поглощающей энергию крутильных коле-
баний, могут быть использованы различные тела, например ме-
таллическая дробь (рис. 95). В данном случае кожух 1 демпфе-
ра подвижен относительно ступицы 3 с радиальными лопатка;
ми 2. Кожух частично заполнен дробью 5. Внутренняя полость
уплотнена кольцами 4. Когда вал вращается, дробь центробеж-
ной силой прижимается к внутренней поверхности кожуха. При
достижении критической частоты вращения коленчатого вала и
возникновении крутильных колебаний происходит перемещение
кожуха с дробью относительно ступицы. Вследствие трения меж-
ду дробинками и трения лопаток о дробь происходит поглоще-
ние энергии крутильных колебаний. Такие демпферы могут ра-
ботать при температурах до 180°С и устанавливаться на сило-
вые установки мощностью до 4500 кВт.
181
Рис. 97. Резиновые демпферы с двумя маховиками
Демпфер крутильных колебаний с. резиновыми демпфирую-
щимИ-ЭДементам и (рис. 96), соединенными с~металлйческими
поверхностями путем-вулканизации, представляет собой махо-
вик 1, соединенный слоем резины 2 с укрепленным на валу ди-
ском 3. Резина обладает высоким коэффициентом демпфирова-
ния, но ее характеристики со временем изменяются. Резиновый
демпфер наиболее прост по конструкции, но он применим толь-
ко в двигателях относительно небольшой мощности.
Для гашения колебаний двух частот резиновый демпфер мо-
жет быть выполнен с двумя маховиками (рис. 97, а): массивным
кольцом 4 для гашения колебаний низких частот, и мень-
шим 1 — для более высоких частот. Резиновые кольца 2 и 3
утолщены к периферии для увеличения их прочности, так как
линейные перемещения маховиков растут с удалением от центра
вала. На рис. 97, б, в, г, д представлены варианты соединения
маховиков 1 и 2\ на рис. 97, б показаны также ребра 5 охлаж-
дения демпфера.
При значительном изменении угловой скорости вращения ко-
ленчатого вала нагрузки в резиновом элементе могут быть ве-
лики. Их можно уменьшить тонким диском 1 (рис. 98, а), разде-
ляющим нагрузку на два резиновых кольца 2 и 3 демпфера.
Для расширения диапазона рабочей частоты демпфера и увели-
чения его поглощающей способности к резиновому демпфирую-
щему элементу могут быть добавлены фрикционные элементы 4
между маховиком 5 и шкивом'б (рис. 98, б, в).
Расширяет рабочий диапазон частот комбинированный демп-
фер, объединяющий свойства резинового и жидкостного демпфе-
ров (рис. 99, а). В его резиновых элементах 2 и 3 имеются от-
верстия 1, заполненные силиконовой жидкостью. На рис. 99, б
показан демпфер, который состоит из диска 4, эластичных эле-
ментов 5, инерционной массы 7, кожуха 8. В эластичных элемен-
тах сделаны специальные канавки 6, в которые заливается сили-
коновая жидкость., В результате этого часть поверхности резины
смазана силиконовой жидкостью, благодаря чему не происходит
адгезии между металлом и резиной. Такой демпфер может рабо-
182
«.)	б)
Рис. 98. Демпферы с разделенными резиновыми элементами и резиновыми
и фрикционными элементами
тать без обслуживания до 5000 ч до замены. Жидкостно-резино-
вые демпферы могут иметь и другие конструкции. В выемку фа-
сонного диска 9 демпфера (рис. 99, в} на упругих элементах 11
и 13 запрессован маховик 10, причем так, что за ним остается
полость А, которая заполняется силиконовой жидкостью. В ма-
ховике имеются три отверстия, заглушенные винтами 12, кото-
рые используются при заливке жидкости.
Демпферы крутильных колебаний могут иметь характеристи-
ку, изменяющуюся в зависимости от частоты вращения вала.
а)
Рис. 99. Жидкостно-резиновые демпферы
183

 А-А
А
Рис. 100. Демпфер с характеристикой, изменяющейся в зависимости от час*
тоты вращения вала
Например, демпфер, показанный на рис. 100, состоит из кольце-
вого корпуса 4 прямоугольного сечения с фланцем 1, которым
он крепится к коленчатому валу ДВС. В корпусе демпфера рас-
положены четыре сегмента 3 также прямоугольного сечения с
фрикционными накладками 5. Между сегментами установлены
пружины 2. Сегменты могут перемещаться в радиальном на-
правлении и по окружности. Свободное пространство между
сегментами 3 и стенками корпуса 4 заполнено ртутью или дру-
гой жидкостью, плотность которой больше плотности сегментов.
При вращении вала под действием центробежной силы тяжелая
жидкость прижимает сегменты к внутреннему диску корпуса.
Демпфирование крутильных колебаний происходит при трении
фрикционных накладок. Сила трения тем больше, чем больше
частота вращения вала. Рабочие характеристики демпфера мо-
гут быть изменены подбором количества заливаемой жид-
кости. .
Маятниковый антивибратор может быть выполнен с группа-,
ми маятников, позволяющими гасить не только крутильные, но у
и продольные и изгибные колебания вала. Так, в антивибр'ато-
реТЛо^зГаннс^ТГар^^	подвешены на пальцах
2 маятники 3, которые, качаясь в плоскости, перпендикулярной
оси коленчатого вала, гасят крутильные колебания. На ступице
также закреплены подставки о, к которым на пальцах 4 подве-
184
Рис. 101. Маятниковый автивибратор для гашения крутильных, изгибных и
продольных колебаний вала
4-4
шены маятники 5, качающиеся в плоскости, перпендикулярной
плоскости качания маятников 3, и гасящие продольные и попе*
речные колебания. Для увеличения эффективности работы анти*
вибратора на внутренней поверхности проушины может быть
нанесен слой материала с большим коэффициентом трения. При*
менение различных маятников или пальцев разных диаметров
позволяет настроить один антивибратор на гашение колебаний,
например крутильных различных порядков.
Предложено большое количество схем демпферов- и антивиб-
раторов, конструктивные решения которых направлены на уве-
личение их демпфирующих свойств, уменьшение размеров, стои-
мости, возможности регулирования, расширения рабочего диа-
пазона и других характеристик, в том числе и за счет преобра-
зования энергии колебаний в другие виды энергии, например в
электрическую с помощью пьезоэлементов.
Наибольшая эффективность демпфера жил костного трения j,
будет проявляться при его установке в местах, имеющих боль- 
шие амплитуды при данной форме колебаний. Однако исходя
из условий компоновки его обычно устанавливают на носке ко-
ленчатого вала. Присоединение массы демпфера к системе при-
ведет к изменению ее частот и форм колебаний, поэтому прово-
дятся подбор демпфера к системе, а затем многократные пере-
счеты системы с демпфером.
185
При наличии демпфера уравнение баланса работ при резо-
нансе вместо (451) имеет вид
(459)
где 1Гд—энергия колебаний, рассеиваемая в демпфере.
Установленный в системе демпфер поглощает от 85 до 95%
всей энергии колебаний, поэтому можно принять
W'kp « Гж.	(460)
Момент сопротивления, действующий на корпус демпфера со
стороны маховика, в силиконовом демпфере можно принять про-
порциональным разности скоростей относительного смещения
маховика демпфера 0И и его корпуса 0*:
ЛНДА).	(461)
где £д—коэффициент демпфирования, который зависит от раз-
меров маховика, зазоров между корпусом и маховиком, вязко-
сти жидкости.
Тогда уравнение колебаний маховика демпфера
(®м ~~	—О’
(462)
Допустим, что корпус демпфера совершает вынужденные
гармонические колебания, угловые перемещения, скорости и
ускорения которых:
sin
(463)
На установившемся режиме маховик будет совершать коле-
бания той же частоты, что и корпус, но с фазовым сдвигом <ря,
значит
0M=aM sin («>„<—<?д);
9m=<V>bCos((M — <рд);
0м=— «м“в5Ш (<V—?д). .
(464)
Подставляя соответствующие уравнения систем (463) и
(464) в (462), получим
—j	Sin	—<Рд)+^и^в cos К*—Тд)=^д“ваА cos	(465)
Раскрывая выражения sin(a»Bf—фд)> cos(<oB/—<рд) и прирав-
нивая амплитуды при sinoaf и coscob^, найдем два уравнения:
1яа
—Juaa>o2B cos <рд+ ед<»вам sin <рд= 1;	1
»	|	(466)
Jsin <рд 4- $дшвам cos ?д=Вдшва*. J
Возведя уравнения системы (466) в квадрат и суммируя их,
с учетом того, что sin2<pA+cos2<pA= 1, будем иметь
(467)
дм--———	-—
Ане)’
или
l+tg2<P,=a* cos <?д,
где
(468)
(469)
Таким образом, при малом демпфировании амплитуда ан
мала. В предельном случае, когда £-д=0, ам=0, т. е. маховик
не колеблется. При большом демпфировании амплитуда аи при-
ближается к амплитуде а*. В предельном случае при £д—°°
получим ам=Пл, т. е. маховик демпфера жестко соединен и ко-
леблется совместно с корпусом.
Со стороны маховика на корпус демпфера в соответствии с
уравнениями (458), (460), (464) действует момент
м = ./м0и =» •7m^'mu*b sin (°>в^ — <рд)=
= — Jvflk cos ?д«*в [sin («ВО cos <рд — cos (%O sin <рд]=
= — Ju cos2 <рд [аЛ«>в sin (<oB/)J+0,5Juo)u sin 2?д	cos (%/)]=
=Л cos2<f>A + O,5JM«>B sin 2?дАа.	(470)
Из выражения (470) видно, что действие демпфера эквива-
лентно присоединению добавочной массы с моментом инерции
7мсоз2фд, который снижает частоту свободных колебаний, и мо-
мента демпфирования, который снижает амплитуду колебаний:
7Им.д=О,5/м<ов5т2<рд6А.	(471)
С учетом (463) уравнение момента демпфирования
^п.л=(0,5/иШв«а sin 2<рд) cos (%О-	(472)
Выражение амплитуды момента демпфирования ограничено
круглыми скобками. Максимальное значение амплитуды будет
получено в таком демпфере, в котором sin2<px=l, т. е. при
<Рд=45° и tg<pA=l. Подставляя <рд=45° в первое слагаемое
уравнения (470), получим эквивалентное значение инерции ма-
187
ховика, присоединенного к колебательной системе:
Л=0,5/м.	(473)
Полное значение момента инерции масс демпфера, присоеди-
ненного к системе,
Л=Л+0,5/м.	(474)
Из уравнения (473) находим, что наиболее эффективным бу-
дет демпфер, в котором tg<pA= 1, т. е.
(475)
и которому по (472) соответствует максимальная амплитуда
момента демпфирования
•^4м.л.н^0’5^Л^<ввd^Aк•	(476)
Поскольку в данном случае момент сопротивления пропор-
ционален скорости колебаний, то аналогично уравнению (439)
с учетом (463), (471) работа момента сопротивления в демпфе-
ре за цикл колебаний
2к/®в	2д/<“в
WA— f	V	sin 2<рдcos(%/)cos(%0dt=
= 0,5л/Ma>^2 sjn 2?д.	(477)
При наличии демпфера вместо уравнения (453) амплитуда
колебаний первой массы определится из выражения (477), учи-
тывающего рассеяние энергии колебаний в демпфере:
-	__ nMiJRs
и* IВ . Д —	
п
^ф/с/(а/ — ez'+1)2 +0,5«/M»B(a*)2sin2i?A
1
2я^(в/)2л“+'т
(478)
После деления (474) на (449) получим
а1в.д
*1В
(479)
где
" 1
(аЭ2*“+~2	~ а'1+2^
(480)
188
При наиболее эффективном демпфере отношение амплитуд
колебаний (479)
Д1В.Л __ 1
«и 1 + ?
(481)
Пример эффективности работы силиконового демпфера был
показан на рис. 90, б.
Так как напряжения от колебаний не должны превышать до-
пустимых значений, то необходимую дополнительную энергию
демпфирования получим по (478).
Момент сопротивления в демпфере зависит от пяти равно-
правных факторов: размеров маховика, зазоров между корпу-
сом и маховиком, вязкости жидкости, скорости сдвига, т. е. ам-
плитуды и частоты колебаний. В более точных расчетах необхо-
димо учитывать зависимость вязкости жидкости от скорости
сдвига и температуры. При установке демпфера изменяются
частоты и формы колебаний системы. В этом случае необходимо
решать многопараметрическую оптимизационную задачу.
В первом приближении, задаваясь постоянными значениями
необходимых величин при известном р, из уравнения (480) с
учетом (475) определяют
д
(482)
По уравнению (475) определяют необходимый момент инер-
ции маховика демпфера:
Л=^/«>в.	(483)
Чтобы определить ожидаемый нагрев демпфера и необходи-
мость его охлаждения, нужно знать мощность, затрачиваемую
на его привод. Так как работа сил демпфирования при резонан-
се определена уравнением (477), работа, затрачиваемая на при-
вод демпфера на 1 с при р=45°

0,5л/
2л/о»
==0,25/ишЗа2.
(484)
Поглощающие свойства демпфера можно значительно увели-
чить за счет упругого крепления его корпуса к коленчатому ва-
лу двигателя, например, с помощью торсионного вала. В этом
случае амплитуды колебаний корпуса демпфера значительно
увеличиваются и растет эффективность его работы. Этот же
способ применим при использовании одного типа демпфера в
различных двигателях.
189
Для демпфера сухого трения момент сил сопротивления
Мс.л=/РЯэфгд,	(485)
где f — коэффициент трения, который для хорошо смазанных ди-
сков (сталь по бронзе), равен 0,08; при работе в масляном тума-
не без подвода смазки /=0,15; Р — сила сжатия дисков демпфе-
ра пружинами; хд — число поверхностей трения; /?эф=2(/?2+
+Rr+ra/3(R+r))—эффективный радиус; R, г —наружный и
внутренний радиусы дисков соответственно.
Давление на поверхности трения можно принять до
0,175 МПа.
Работа сил сопротивления демпфера сухого трения
и/с.д=4Л4с.да;а1в.	(486)
Работа сил сопротивления в демпфере с резиновым погло-
щающим элементом
^₽з.д=лбрзК (а; -1 )2а?в,	(487)
где £рз — коэффициент демпфирования в резиновом элементе.
Коэффициент демпфирования в резиновом элементе в значи-
тельной степени зависит от свойств резины, ее структуры, техно-
логии изготовления, поэтому определяется экспериментально.
В настоящее время на большинство силовых установок с
многоцилиндровыми ДВС устанавливают демпферы крутильных
колебаний.
ч
§ 10. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Чтобы определить истинные коэффициенты демпфиро-
вания, эффективность работы демпфера, действительные ампли-
туды колебаний и деформации вала, а в общем случае для испы-
тания на вибропрочность, обязательно проводятся эксперимен-
тальные исследования головных образцов установок с ДВС.
Однако испытания на развернутых силовых установках эксплуа-
тации весьма трудоемки, поэтому на них проводят только окон-
чательные проверочные испытания. Экспериментальные исследо-
вания в полном объеме удобнее выполнять на стендах.
Стенды, предназначенные для исследования ДВС на вибро-
прочность, имеют особенности в сравнении с обычными испыта-
тельными стендами. Например, в транспортных установках дви-
гатель и трансмиссия автомобиля представляют единую кру-
тильную систему, составные части которой взаимно влияют друг
на друга. Как правило, четвертая или пятая частота свободных
крутильных- колебаний развернутой крутильной системы авто-
мобиля совпадает с первой частотой свободных крутильных ко-
лебаний коленчатого вала двигателя без трансмиссии. Несмотря
190
Рис. 102. Схема стенда для исследования автомобильных двигателей на
вибропрочность
на это, формы колебаний могут значительно отличаться друг от
друга. В связи с этим испытательный стенд должен содержать
все элементы крутильной системы.
Стенд, показанный на рис. 102, состоит из двигателя 4, же-
стко установленного на раме, коробки передач 5, карданных ва-
лов 6, заднего моста с колесами 7. Чтобы исключить влияние
наклона карданных валов на изгибно-крутильные  колебания
коленчатого вала, карданные валы установлены горизонтально.
Вращение колес передается беговыми барабанами 8 второму
заднему мосту 14 и через вторую коробку передач 9 — тормоз-
ному устройству 10. Сцепление колес с беговыми барабанами
регулируется специальным натяжным устройством. Размеры бе-
говых барабанов подобраны таким образом, что суммарный
момент инерции барабанов и ротора электротормоза равняется
приведенному моменту инерции груженого автомобиля. Момент
инерции ротора электротормоза относительно коленчатого вала
двигателя можно изменять при помощи второй коробки пере-
дач 9.
Двигатель оборудован системами питания с баком 3, охлаж-
дения с водяным баком 2, системами впуска и выпуска и други-
ми необходимыми для работы системами.
191
л
Рис. 103. Схема измерительной аппаратуры стенда
Электротормоз возбуждается от умформера 13. Нагрузка ре-
гулируется реостатами грубой 12 и тонкой 15 регулировки.
Энергия, вырабатываемая двигателем и преобразуемая в элек-
трическую энергию, может либо передаваться в сеть, либо по-
глощаться секциями реостатов 11.
Установка оборудована пультом управления 1, который ус-
ловно повернут в плоскость схемы стенда. На пульт управления
выведены сектор управления подачей топлива 16, рукоятка сцеп-
ления и рычаг коробки передач, указатели температуры воды
на входе 17 и выходе 18 из двигателя с датчиками 25 и 26, кноп-
ка стартера 19, тумблер включения 20, указатель 21 частот вра-
щения коленчатого вала двигателя с тахометром 24 и вала ге-
нератора 22 с тахометром 28, указатель температуры масла 23
с датчиком 27.
Стенд, (рис. 103) оборудован приборами для измерения де-
формаций элементов коленчатого вала, полуоси заднего моста
и вала генератора, а также опрокидывающего момента двигате-
ля. На рис. 103 позициями обозначены: 1, 6 — токосъемники;
2 тензометрический торсиограф; 3 — отметчик частоты враще-
ния коленчатого вала; 4, 5, 12 — тензодатчики на шейках колен-
чатого вала, полуоси заднего моста и лапах крепления двигате-
ля; 7—торсиограф Гейгера; 9 — тензостанция; 10—осцилло-
192
*
Рис. 104. Торсиограф Гейгера
граф; 11— отметчик времени; 8 — измерительно-обрабатываю-
щий комплекс.
Для исследования крутильных колебаний применяют прибо-
ры, которые называются торсиографы. Торсиографы могут быть
механическими, электрическими, оптическими и другими в зави-
симости от регистрирующих элементов. Механические торсиогра-
фы просты в использовании, ими производится наглядная запись
развития колебаний, характеристики их стабильны, они не требу-
ют тарировки. Однако из-за наличия механических деталей у
них ограничен верхний или нижний предел измеряемой частоты
колебаний, они имеют значительную массу, записывают лишь
один-два параметра, поэтому их используют в относительно низ-
кооборотных двигателях. Наибольшее распространение из ме-
ханических торсиографов получил торсиограф Гейгера.
Торсиограф Гейгера (рис. 104) имеет маховик 1, который
через втулку 2 с подшипниками свободно посажен на ось 3. Ма-
ховик через спиральную пружину 4 связан с легким алюминие-
вым шкивом 5. При исследовании крутильных колебаний шкив
7—1479	193
торсиографа соединяют с исследуемым валом бесконечной лен-
той, а поэтому на его вращение накладываются колебания ва-
ла. В то же время маховик, обладающий большим моментом
инерции, будет вращаться равномерно со средней скоростью,
равной средней скорости вращения вала. При отсутствии кру-
тильных колебаний вала шкив и маховик будут вращаться с
одинаковой частотой без относительного смещения. При наличии
крутильных колебаний шкив будет опережать маховик или от-
ставать от него. Относительные перемещения шкива и маховика,
соответствующие крутильным колебаниям вала, передаются с
помощью угловых рычагов б и 7 на перо, которое записывает
их на специальную ленту, протягиваемую механизмом (на ри-
сунке не показан). Имеется также второе перо, которое записы-
вает колебания вибратора. Вибратор состоит из упругой пла-
стинки, которая при возбуждении от якоря электромагнита ко-
леблется с частотой 3000 или, при применении дополнительного
груза, 1500 мин-1. Колебания вибратора, записанные на ленту,
служат эталоном времени. Имеется также третье перо, которое
отмечает на ленте отрезок, соответствующий одному или двум
оборотам вала.
Описанный торсиограф может использоваться для записи ко-
лебаний валов, вращающихся с частотой до 1000 мин-1 при ча-
стотах колебаний до 5000 мин~*. Имеется высокочастотный тор-
сиограф Гейгера, с помощью которого можно записывать высо-
кочастотные крутильные колебания валов до 10 000 мин-1 при
почти неограниченной частоте вращения. Однако нижний пре-
дел измеряемых таким торсиографом колебаний высок—около
2000 мин-1.
В высокооборотных ДВС для записи крутильных колебаний
коленчатых валов широко используются электрические торсио-
графы индукционного и тензометрического типов. Электрическая
запись колебаний позволяет: вести ее при высоких частотах ко-
лебаний и частотах вращения вала; записывать деформации
любого труднодоступного участка коленчатого вала при уста-
новившихся и неустановившихся режимах работы двигателя;
записывать одновременно большое количество параметров и про-
водить их автоматизированную обработку в реальном времени
с получением цифровой и графической информации. Электриче-
ские торсиографы имеют малые габариты, практически не влия-
ют на исследуемую систему, но требуют предварительной тари-
ровки.
Тензометрический торсиограф, показанный на рис. 105, со-
стоит из маховика 2, вращающегося на двух шарикоподшипни-
ках 3, насаженных на ось 4. Ось связана с маховиком через
S-образную пружину 9 толщиной 0,2 ...0,3 мм. Концы пружины
закреплены на маховике с помощью винтов 8, а ее средняя часть
плотно посажена в зазор 1 оси 4. Ось торсиографа ввернута в
194
Рис. 105. Тензометрический торсиограф
носок коленчатого вала 7, с обеих сторон пружины 9 н^НРССНЫ
тензодатчики 10. Концы тензодатчиков выведены на ионтакть»
токосъемника. Во избежание поломок пружины при значитель-
ной неравномерности вращения коленчатого вала, например в
период пуска двигателя или его остановки, имеется стопор 6 в
маховике. Эксцентрик 5 предназначен для контрольных прове-
рок тарировки торсиографа по предельным отклонениям махо-
вика, соответствующим движению эксцентрика в зазоре.
Массу маховика и жесткость соединительной пружины тор-
сиографа выбирают таким образом, чтобы частота свободных
колебаний маховика на пружине была примерно на порядок ни-
же частоты возможных крутильных колебаний коленчатого ва-
ла. Проверку частоты свободных колебаний осуществляют по
записи свободных колебаний при неподвижном коленчатом вале.
Установка торсиографа производится в местах, где амплиту-
да колебаний наибольшая, т. е. вдали от узла колебаний. Обыч-
но его устанавливают на носке коленчатого вала 2 (см. рис. 103),
как наиболее доступном месте.
Тарировка тензометрического торсиографа производится, на-
пример, с.помощью рычага, одним концом соединенного с махо-
виком. Задавая перемещения свободного конца рычага с по-
мощью микрометра и зная расстояние от конца рычага до оси
вращения, определяют углы поворота рычага и маховика. Угло-
вое смещение маховика при неподвижном коленчатом вале при-
водит к деформации S-образной пружины и тензодатчиков, что
влечет за собой смещение «зайчиков» на осциллографе. Каждое
смещение «зайчика» соответствует углу поворота маховика. По
полученным данным строят тарировочный график.
Непосредственно деформации участков вала и других эле-
ментов могут быть измерены с помощью тензодатчиков. Они
безынерционны, могут устанавливаться практически в любых
местах исследуемой конструкции и поэтому нашли самое широ-
7*	195
90
тензодат-
Рис. 106. Схема наклейки
чиков на вал
кое применение при исследова-
нии ДВС на вибропрочность.
Тензодатчики при исследо-
вании крутильных колебаний
коленчатого вала наклеивают
как можно ближе к узлу коле-
баний, где деформации дости-
гают наибольших значений. С
помощью тензодатчиков, на-
клеенных в различных точках
крутильной системы, можно
экспериментально определить
форму колебаний, соответству-
ющую данной резонирующей
экспериментально измеренных амплитуд

гармонике. Сравнение
деформаций с теоретическими позволяет уточнить коэффициенты
демпфирования. На описанном стенде (см. рис. 103) с этой
целью в дополнение к торсиографу, установленному на носке ко-
ленчатого вала, торсиографу Гейгера на валу привода электри-
ческого тормоза, тензодатчикам, наклеенным на коренные и ша-
тунные шейки коленчатого вала и опоры двигателя, наклеены
тензодатчики на полуоси заднего моста 5.
Как показано на рис. 106, на полуоси 4 наклеены два тензо-
датчика 2, 3 под углом 45° к оси вала. При скручивании один
тензодатчик удлиняется, а другой укорачивается. Благодаря
этому такая схема имеет удвоенную чувствительность по срав-
нению со схемой с одним тензодатчиком, а также позволяет ав-
томатически компенсировать деформацию изгиба и обеспечива-
ет температурную компенсацию. Провода от тензодатчиков
выведены на колодку 1 из изоляционного материала, а затем
через сверление в полуоси на токосъемник (см. рис. 103).
При сложном напряженном состоянии на вал наклеивают
«розетки» из трех тензодатчиков, расположенных под углами
0, 45, 90° к оси вала. Такое расположение тензодатчиков позво-
ляет определить значения и направления -главных деформаций
и напряжений.
Тензодатчики тарируются моментом, приложенным к иссле-
дуемому валу или при помощи балочки равного сопротивления
изгибу, выполненной из стали с высоким пределом пропорцио-
нальности. Записывая показания на ленте осциллографа при
известной нагрузке, получают тарировочный график.
В качестве устройств, передающих электрический сигнал с
вращающихся частей на неподвижные, в настоящее время чаще
всего используют контактные токосъемники. Имеются и бескон-
тактные токосъемники, которые внедряются в практические ис-
следования.
196

Ртутный токосъемник состоит из нескольких пар амальгами-
рованных концентричных колец (одно из которых неподвижно),
выполненных из высококачественной меди и посаженных с за*
зором 0,1 мм. Между кольцами через специальные - отверстия
(заглушаемые) вводится 1... 2 капли ртути, благодаря чему осу*
ществляется контакт между этими кольцами. Ввиду высокой
токсичности паров ртути контакты токосъемника помещены в
герметизированные камеры, разделенные изоляционными коль*
цами из органического стекла. Ротор токосъемника, установлен*
ный на приборных шарикоподшипниках, фиксируется двумя
крышками и приводится во вращение через хвостовик, соединяе*
мый с валом с помощью резинового кордового шланга. Имеются
две колодки, одна из которых служит для припайки проводов
от тензодатчиков, а другая—для проводов, идущих к тензо-
станции. В процессе эксплуатации ртуть растворяет медь и
окисляется. Жидкая ртуть густеет и кристаллизируется, поэтому
токосъемники хранятся в разобранном состоянии без ртути.
Измерение частоты вращения коленчатого вала производит*
ся с помощью индуктивных, фотоэлектрических, магнитных и
других типов датчиков.
Методика проведения экспериментальных исследований раз-
лична и зависит от устройства записи сигналов датчиков. Если
запись ведется на ленту осциллографа, то исследования прово-
дятся в два этапа, так как ограниченная длина ленты не позво-
ляет длительное время вести запись при высоких скоростях про*
тяжки ленты. На первом этапе выявления возможных резонанс-
ных зон просматривают на экране осциллографа весь диапазон
рабочих частот вращения коленчатого вала и выявляют возмож-
ные резонансные частоты вращения. На втором этапе фиксируют
эти зоны при ступенчатом изменении частоты вращения с не-
большими интервалами. После обработки осциллограмм иногда
повторяют эксперименты непосредственно в резонансных зонах
при их медленном прохождении с увеличением и уменьшением
частоты вращения. Если запись ведется на пленку магнитогра-
фа, то эксперименты можно проводить в широком диапазоне
частот вращения, что значительно сокращает время проведения
эксперимента.
Обрабатывают осциллограммы вручную с помощью шабло-
нов, градуированных шкал, сеток и т. д. На рис. 107, а показан
пример осциллограммы с записью параметров. Здесь 1, 2—из-
менение опрокидывающего момента по тензодатчикам, наклеен-
ным на лапах двигателя; 3—крутильные колебания носка ко-
ленчатого вала; 4 — крутящий момент на полуоси заднего мо-
ста; 5, 6 — отметчики оборота полуоси и коленчатого вала
двигателя; 7—отметчик времени.
Частота вращения вала определяется по отметчику оборотов
и отметчику времени (рис. 107, б). Зная время одного из не-
197
Illllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllirillllll^
n/60
0,01c
illlllllllllllllllllllllllll
llllllllllllllllllllllllllllllllllllll
Время одного оборота
S)
Г/
T
в)
Рис. 107. Пример записи осциллограммы и ее обработки
скольких оборотов вала пя в секундах, определяют число оборо-
тов в минуту по формуле
я,=— У’60,
X
где k — число измеренных оборотов вала; г—число «пичков»
отметчика времени в пределах измеренных оборотов; у— часто-
та вибратора, Гц.
При определении амплитуды колебаний удобнее измерять
размах колебаний—двойную амплитуду, а затем делить ее по-
198
полам. Масштаб записи амплитуды определяют по тарировоч-
ному графику. Тогда амплитуда колебаний
где 2h — размах колебаний, мм; Аа — масштаб записи амплиту-
ды, рад/мм.
Частота колебаний, определяемая по осциллограмме (рис.
107, в), выражается в герцах:
V — 1/Г,
где -г — период колебаний, с.
При расчетах крутильных колебаний частоту принято выра-
жать числом циклов в минуту: N—60v мин-1 или круговой ча-
стотой
ш = 2лу = 2л/т; W==60/t—60/2 л.
Порядок резонирующей гармоники определяется как отно-
шение периода одного оборота коленчатого вала к периоду ко-
лебаний.
При сложных видах колебаний необходимо провести их гар-
монический анализ, а затем обработать результаты.
Для определения амплитуды колебаний любого участка кру-
тильной системы используют расчетную форму колебаний, кото-
рую уточняют по торсиограммам, снятым в различных точках
системы. Амплитуда колебаний носка коленчатого вала, полу-
ченная с помощью торсиографа, является действительной амп-
литудой колебаний первой моторной массы, т. е. масштабом
формы колебаний. Расчетные и замеренные резонансные часто-
ты колебаний не должны отличаться более чем на 10%. В про-
тивном случае следует уточнить расчет и дополнительно прове-
рить экспериментальные данные. Для наиболее нагруженного
участка вала с учетом формы свободных колебаний и пересчета
амплитуд колебаний в абсолютные значения строят зависимости
напряжений при крутильных колебаниях от частоты вращения
коленчатого вала для разных порядков гармоник.
Полученные результаты анализируются для выявления наи-
более нагруженного участка вала, возможных запретных зон и
необходимости установки демпферов или антивибраторов.
Значительно сокращается время экспериментальных иссле-
дований при использовании полуавтоматизированных и автома-
тизированных систем для сбора и обработки информации.
Структурная схема одной из таких систем показана на рис.
108. Сигналы с тензодатчика торсиографа через тензоусилитель
поступают либо на осциллограф, либо через анализатор спектра
на графопостроитель. Параллельная запись на магнитограф по-
зволяет иметь большое количество экспериментальных резуль-
татов. Использование анализатора спектра и графопостроителя
199
I
позволяет автоматизи-
Магнитограф
Рис. 108. Структурная схема обработки
результатов экспериментального исследова-
ния крутильных колебаний
ровать получение экс-
периментальных амп-
литуд крутильных коле-
баний без применения
ручного труда. Расчет
напряжений ведется
вручную.
Комплексное иссле-
дование ДВС на вибро-
прочность невозможно
без применения автома-
тизированных систем
из-за большого количе-
ства информации. Од-
на из схем такой систе-
мы показана на рис.
109. Сигналы от тензо-
датчиков через уста-
новленный на коленчатом валу вращающийся коммутатор посту-
пают на тензостанцию. Коммутатор позволяет вести опрос сигна-
лов по группам в нужной последовательности, что сокращает
необходимое количество каналов токосъемника. После тензостан-
ции сигналы либо записываются на ленту магнитографа, либо
через аналого-цифровой преобразователь (АЦП) поступают в
крейт КАЛМК. Их можно записывать без обработки через интер-
Рис. 109. Структурная схема автоматизированной системы обработки резуль-
татов экспериментов
200
фейс ввода-вывода, интерфейс графопостроителя и цифроанало-
говый преобразователь (ЦАП) на графопостроителе. При более
полной схеме сигналы в цифровой форме поступают через интер-
фейс ввода-вывода в диалоговый вычислительный комплекс
(ДВК). С помощью набора необходимых программ расчета ЭВМ
комплекс обрабатывает результаты. После обработки ре-
зультаты могут быть распечатаны в виде таблиц с помощью
печатающего устройства вычислительного комплекса или выведе-
ны на графопостроитель и получены в виде графиков. Такой авто-
матизированный комплекс позволяет достаточно быстро обраба-
тывать большое количество данных и комплексно исследовать
вибропрочность ДВС.
§ 11. ПРИМЕР РАСЧЕТА КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА ДВС В СОСТАВЕ СИЛОВОИ
УСТАНОВКИ
Расчетная * схема. Рассмотрим крутильную схему транспортной
силовой установки с двигателем 44 92/92 (ЗМЗ-24) и трансмиссией автомо-
биля «Волга» ГАЗ-24. Действительную систему заменим одиннадцатимассо-
вой, приведенной к диаметру коренной шейки коленчатого вала системой
с сосредоточенными массами, причем отнесем: к первой массе — первую
моторную массу; ко второй — вторую моторную массу; к третьей — третью
моторную массу; к четвертой — четвертую моторную массу; к пятой —
задний конец коленчатого вала с половиной коренной шейки, маховик и
сцепление; к шестой — первичный вал коробки передач, промежуточный вал,
шестерни передач; к седьмой — вторичный вал коробки передач и половину
карданного вала с шарниром, фланец ведущей шестерни и ведущую шес-
терню главной передачи; к восьмой — вторую половину карданного вала с
Рис. ПО. Принципиальная схема действительной системы и расчетная схема
201
622
Рис. 111. Расчетная схема коленчатого вала двигателя
крестовиной; к девятой — коробку дифференциала, сателлиты, шестерни с по-
ловинами полуосей; к десятой — вторые половины полуосей и два задних ко-
леса: к одиннадцатой — автомобиль с полной нагрузкой (рис. 110).
Основные технические данные силовой установки. Двигатель 4492/92;
#е=72 кВт при л«=4500 мин*1; Аортах=192 Н«м при л»2300 мин*1;
е=8,2; порядок работы цилиндров: 1—2—4—3; Afn=0,720 кг; Mi«0,184 кг;
А<з= 0,821 кг; А,=0,274; передаточное отношение коробки передач примем
равным 3,54; главная передача 4,1; масса снаряженного автомобиля 1400 кг;
радиус колеса с учетом деформации шины 0,33 м.
приведение длин. Расчетная схема коленчатого вала двигателя показа-
на в виде эскиза на рис. 111. Приведенную длину колена вала определяем
по формуле Зиманенко (406): при G=8,35* 1010 Н/м2 /яр=17,9-1 О*2 м.
Тогда податливость участка эквивалентного вала с диаметром, равным диа-
метру коренной шейки коленчатого вала,
где
^пр
О/рк.ш
= 1,4-10-6 1/Н-м,
рк.ш
я (а* -
32
-1,55 -10-е м4.
Так как все колена вала одинаковы, то
. Г1,2= 02,3 ® £3,4 m £4,5 = 0,72* 10® Н«М.
Трансмиссия. Рассматриваются только участки, через которые переда-
ется крутящий момент. Податливость первичного вала коробки передач
1/сп.» (рис. 112) складывается из податливости отдельных участков:
^п.в
Так как c^QJJl; /д=л^4/32, то удобнее определять величину G!c=*
а затем результат умножить на Q. Полученные результаты сведем
в табл. 7.
Для всего первичного вала 6/сп.в=7,763-10в 1/м*.
Аналогично подсчитывается податливость промежуточного вала с шес-
тернями (рис. 113) 1/са. Податливостями шестерен в сравнении с податли-
202
26 22
Рис. 112. Расчетная схема первичного вала ко-
робки передач
востями промежуточных участков вала можно пренебречь и тогда
<?/сп = 0,59-106 1/мЗ.
Таблица 7
Уча-
стки
/р,
G/C.
10-8.1/м>
а
b
с
d
1,57
1,03
3,84
3,80
е 38,70
1,465
5,140
0,417
0,684
0,057
Рис. ИЗ. Расчетная схема промежуточного вала
коробки передач с шестернями
Для участка 5, 6 (см. рис. НО) с учетом передаточного отношения
шестерен включенной передачи 1а
G G G о
= 9,55-108 1/мЗ;
65,6 6П.В
а
ZnP(5,R) =“—Лк.ш= 14,8 м; с5,6 = 0,874-104 Н-м.
Податливости выходного вала коробки передач 1/свв, карданного вала
1/ск.» оси с ведущей шестерней главной передачи 1/сГд> полуоси 1/сПОд опре-
203
a b br c d e f q h
Рис. 114. Расчетная схема выходного вала коробки передач
деляются аналогично. Результаты расчета для выходного вала (рис. 114)
сведены в табл. 8.
Таблица 8
Участки	10’м<	О/с, Ю-«1/м‘	Участки		O/c, 10-M/m’
У	13,10	0,153	f	10,29	0,680
с	13,10	0,305	g	8,72	0,172
d	3,83	1,380	h	124,30	0,028
е	1,57	15,600 «			
Для всего выходного вала
G G
---------------------=У—= 10,32.106 1/мЗ.
^ВВ ъ* с
Податливость половины карданного вала 1/скв складывается из подат-
ливостей шарнира и трубы:
/Рш = 124,3-10—8 м4; О/сш==/ш//рщ== 0,028-106 1/мЗ;
/рт« 41,4-10—8 м4; <7/ст = ZT//pr = 1,55-106 1 /М3;
G/c*.* — О/сш + G/c-t == 1,58.106 1 /м3.
Податливость участка 6, 7 (см. рис. ПО) складывается из податливо-
стей выходного вала коробки передач и половины карданного вала с уче-
том передаточного отношения включенной передачи:
О/С6.7 = (G/C..B + О/Ск.в) In = 249.106 1/мЗ;
с 6,7 в 0,0335* 104 Н*м; ^пр(в,7)==	>95 м*
Результаты для оси с ведущей шестерней главной передачи (рис. 115)
сведены в табл. 9.
204
Таблица 9
Учас-
тки
КУ-м4
Л*
G/c, а
10-М/м»
а
b
с
d
е
f
g
587
61,4
25,1
7,95
10,3
14,7
235
0,001
0,036
0,120
0,377
0,388
0,220
0,019
Рис. 115. Расчетная схема оси с ведущей шес-
терней главной передачи
Для всей оси с ведущей шестерней главной передачи
O/cr4«S(G/^)« 1.16.108 1/Мз.
а
Податливость участка 7, 8 (см. рис. ПО) складывается из податливостей
второй половины карданного вала и оси с ведущей шестерней главной пе-
редачи:
=	= 34,34-10« 1,мЗ;
с7»8	\ ^к.в сгл /
^7,8 = 0,243-104 Н-м; ^Пр( 7,8)555 62,23 м.
Результаты для участков а...е' полуоси
табл. 10.
(рис. 116)
представлены в
Для всего участка a—s'
е
О/Сп0л = 2(О/с) = 4,65.1°5 1/мЗ.
Учас-
тки
Ю’-м4
235
6,0 4,1700
а
Таблица 10
0,0068
0,0800
0,1670
7,95 0,2260
Рис. 116. Расчетная схема полуоси
$100
d
205
Податливость участка 8, 9 (см. рис. ПО) с учетом передаточного отно-
шения коробки передач in и главной передачи 1ТЯ для двух полуосей
G/в8,9 = (1 /2) (С/сПОл)	= 489,8 • 108 1 /м3;
<?8.9 == О,017* 104 H-м; ^пр(8,9) ===	19 м.
Результаты для участков е".../ полуоси (см. рис. 116) указаны в
табл. 11.
Таблица 11
Участки
jp, tP-M'
G/c, .
lO-e-1/м*
е"
f
g
h
I
Для всего участка
8.0
7,95
10,29
14,7
982
i
<?/Спол=2(О/с) = 4,77.108 1/мЗ,
e”
Податливость участка 9,
чи /гл и двух полуосей
4,17
0,352
0,194
0,054
0,00152
10 (см. рис. ПО) с учетом int главной переда-
ст 1 G
4*9»10	^пол
«
«*£, = 502,4-106 1/мЗ;
С9.10я 0,0166* 104 Н*м; ^пр(9,20) — 778,72 и.
Жесткость шин по экспериментальным данным
<?ш = 5,9’104 Н*м.
С учетом двух колес и предаточных отношений in и /гл
10.11= 0,056*104 Н*м; ^np(io, И) 231,12 м.
Приведение масс. Моторная масса. Момент инерции коренной шейки
коленчатого вала
Л.Ш = f/fl = ?	(4 - <4) I = 3,84-10-4 кг -м2.
Момент инерции шатунной шейки коленчатого вала
/ш.ш я /0 “1“	== 15,51*10 4 кг*м2.
Момент инерции части щеки без противовеса (рис. 117), разделенной
дугами окружностей иа участки /—8,
п »
^в₽”180 2(а/А/Г^4г: Дг = 0'005 м-
Результаты замеров и расчетов верхней части щеки без противовеса
(рис. 117) сведены в табл. 12.
206
Таблица 12	$26
Рис. 117. Расчетная схема ще-
ки коленчатого вала с проти-
вовесом
Для всей щеки без противовеса
J = 11, 18*10~4 кг«м2;
/082 = ₽-----м-----—А = 5,ЫО-4 КГ-м2;
_ р (л/32)	+ <р/4) Jld4i№ = 1,1 • 10-4 кг-м2;
/ + /082-/02в=15Л8.10-4 кг-м2.
Момент инерции щеки с противовесом определяем аналогично преды-
дущему случаю. Результаты замеров и расчетов сведены в табл. 13, 14 от-
дельно для верхней и нижией частей щеки при Дг« 0,005 м (рис. 118).
Таблица 13
Таблица 14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
134
ПО
96
82
70
60
48
38
18
19
18
17
16
14
12
10
8
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
76,7
107
145
190
244
307
380
466
$62
195,5
212,0
237,6
249,0
239,0
221,0
201,0
177,0
81,0
9
2 1812,5
1
£	138	17	42,5	76,7
2	133	17	47,5	107
3	133	17	52,5	145
4	133	17	57,5	190
5	132	17	62,5	244
6	127	17	67,5	307
7	122	17	72,5	380
8	111	17	77,5	466
180
242
328
430
548
664
789
880
2 4061
1 Деление иа участки на рве. 118 не по-
казано.
207
Рис. 118. Расчетная схема щеки колен-
чатого вала без противовеса
Суммарный момент инерции
щеки
п
J =р(л/180)2Х
1
Х(о/А/г’) Дг = 40-10—4 кг-м2;
J 080 = (РЛ/32)	— ^2)х
X Л = 5,5в10“4 кг«м2;
/026г= 1 Л • 10—4 КГ.м2;
= 44,4*10-4 кг-м2.
Момент инерции кривошипа
кв e jК.Ш 4" /Ш.Ш 4*	4“ /щ =
= 78,93.10-4 кг-м2.
Момент инерции массы части шатуна
/2 = М2/?2= 17,4-10—4 кг*м2.
Момент инерции возвратно-поступательно движущихся частей
/п.д « Л1я.д/?2/2 = 9,7-10—4 кг.М2.
Момент инерции одной моторной массы
/1 = /2=г/зм/4 = /м«М==:г/кв -4“ /2 + / п.д == 106,1 • 10~* кг. м2.
Для других участков крутильной системы приведенные массы опреде-
ляем аналогично. Полученные результаты сводим в общую табл. 15.
Таблица 15
Момент инерции, кг*м2
Приведенная длина, м
Жесткость участка, Н*м
/1=106,1-10-4
/2=106,11-10-4
/з=Ю6.1.10-4
/4=106,1.10-4
/5 = 0,186
/6«19-10-4
/7=2,36.10-4
/8 = 3,01-10-4
/9=1,56-10-4
/ю=0,0105
/11=0,724
^пр(1,2)=17,9-10“2
/пр(2,з) = 17,9 • 10“2
6хр(з,4) = 17,9 • 10-2
/аР(4|5) = 12,2-10~2
kp(5.6) = 14,8
/пр(б,7)=385,95
1пр(7,в)=53,23
^пр(8,9)=759,19
/пр<9, ю>=778,82
^np(io.i!)=231,12
с 2=6,72- 10е
с 2,3=0,72- 10е
С 3.4=0,72 -10е
с 4, з= 1,06- 10е
с б, 8=0,874-104
с в. 7=6,0335-104
с 7.8=0,243-104
С 8. 9 =0,617-104
С 9,10 = 0,0166- 104
Сю,и=0,056-10*
Расчет частот и форм свободных колебаний крутильной системы ведем
по одной из приведенных выше методик.
Результаты расчета сведены в табл. 16, где частоты свободных колеба-
ний даны в порядке возрастания от coci до Шее.
208
Рис. 119. Формы колебаний расчетной крутильной схемы
Формы колебаний расчетной крутильной схемы изображены на рис. 119.
Определение возможных резонансных режимов работы силовой уста-
новки. Условие резонанса: шс=^со, или п=30 <вс/(лй). Рабочий диапазон
работы двигателя: от лтт=800 мин-1 до «,=4500 мин-'.
Таблица 16
©с, рад/с					
18,22,	244,41	817,40	1644,2	2196,8	3354,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,9910
0,7543
0,7217
0.2546
—0,2238
—0,3642
1,0000
0,9991
0,9973
0,9947
0,9923
—0,5652
—41,006
-46,343
—117,69
—184,13
3,2834
1,0000
0,9901
0,9705
0,9413
0,9151
—15,300
—380,23
—405,80
—290,21
10,824
—35,867
1,0000
0,9648
0,8957
0,7952
0,7079
—45.826
—639,70
—573,33
—2797,6
—23,589
195,52
1,0000
0,9288
0,7915
0,5978
0,4574
—63,990
8,5138
14,514
—23,868
45,191
—4027,9
1,0000
0,8342
0,5301
0,1381
—0,1436
—0,2050
—3,5406
0,0463
49,786
—452,52
98092
Резонансные частоты вращения коленчатого вала в зависимости от по-
рядка гармоник сведены в табл. 17. В табл. 17 частоты вращения коленча-
того вала при главных гармониках, для которых необходимо проводить
дальнейший расчет, даны в рамке.
Гармонический анализ моментов. В соответствии с уравнениями (421)
и (422) амплитуды моментов от сил инерции:
^и(1/2) = 0» Л4И(1)=Л1П.*/?2»2	=29,1 Н-м; Ти(1) =®>
209
Таблица 17
<оо, pa д/с
18,2	244,4	817,4	1844,2	2196,8	3354,1
k
“°; ^(2)* Л<и.д/Р«2-— e212,4 Н-м; 5>и(2) =я;
^И(З) =Л1п,л52ш2Х —- =87 Н*м; <рН(3^ = л;
тг
\2
Л(и(4) = Afn.A/?2to2 —— = 7,9 Н«м; ФИ(4)вЛ. '
Амплитуды моментов от газовых сил определены с помощью гармони-
ческого анализа, причем Мгл^Тт.пКР^ Результаты сведены в табл. 18.
Определение равнодействующего вектора амплитуд. Для данного дви-
гателя (см. гл. IV, § 6) получим при &=2, 4, 6...главные гармоники, при
Л=1, 3, 5 ... — сильные гармоники:
Тм =**?/• Tz = ЬА(/— 1), &z = 180,
порядок работы цилиндров 1—3—4—2, i равно 1, 2, 3, 4.
Фазовые углы
Для £=2, 4, 6 ...
Ф1« 180(1—1) -2=0
ф8= 180(2—1)-2=360
Фч= 180(3—1)-2=270
Фа= 180(4—1)-2=1080
Для каждой частоты свободных колебаний
сумму всех амплитуд колебаний моторных масс:
Для Л=1, 3, 5 ...
Фмв0
фаз» 180
Фм883 360
Фм=»в40
рассчитывают векторную
210
для <002=244,4 рад/с Я,=3,991;
для <002 = 244,4 рад/с Л=0,0017;
для со0з=817,4 рад/с R,=3,902;
для <0сз=817,4 рад/с R,=0.0193;
для <004=1544,2 рад/с R,=3,656;
для <004=1544,2 рад/с R»=0,0653.
Определение Л4* и при <оС2=244,4 рад/с. На номинальном режи-
ме работы двигателя «,=4500 мин-1; р,=0,76 МПа. На расчетном резо-
нансном режиме «2=2335 мин-1 по характеристике двигателя определяем
Р«2=0,96 МПа. Тогда при А=1
Л4г1 =Л4Г;
Ре2
Ре
0,96
= 92.|-'Г^- = Н6,3 Н-м;
0,76	’
( пе2 \2 „„ , I 2335 \2 „ „ ,,
АТИ1-Л4иЦ J -29.1 ( 4500 ) -7.8 Н-м
<?Г1 =27,64°; <ри1=0;
Af« = /116,32 +7,82 +2-116,3-7,8cos27,64° = 123,3 Н-м;
<ос3 = 817,4 рал/с.
При А=2 «3=3905 мин-1, р.а=0,85 МПа;
^2 = 62,3-^-=69,7 Н-м;
0,76
/ 3905 \2 , „
*=-2l2'4(«w) "159,9
Н°м;
<рГ2 = 352,8; <ри2 = 180;
Мк2 ® /69,72 + 159,92 + 2-69,7-159,9cos (352,8 - 180) i91,2 Н°м.
Остальные значения Мь находят аналогично. Результаты сведены в
табл. 19; значения искомых величин для других <ос пренебрежимо малы.
Режимы, обозначенные звездочками, рассчитываются ниже.
Таблица 18
МПа
Мг,к» Н*м
Arh, Н«м
Brft, Н«м
<PrV°
1
1’/»
2
21/,
3
ЗУ,
4
4’/а
5
5>/,
6
0,3077
0,3077
0,2805
0,2081
0,1629
0,1600
0,1211
0,0928
0,0733
0,0594
0.049
0,041
92,1
92,1
84
62,3
48,8
47,9
36,3
27,8
21,9
17,8
14,7
12,3
12
2,446
1,52
0,26
—0,29
—0,36
—0,38
—0,43
—0,48
—0,47
—0,45
-0,42
—0,24
1,52
2,86
2,85
2,00
1,52
1.11
0,86
0,57
0,45
0,32
0,19
0,05
62,3
27,646
5,1
352,8
346,7
341,0
333,4
321,3
313,5
305,0
294,8
282,2
k
211
Таблица 19
Шс, рад/с
"в
<002= 244,4
0,0017
3,991
0,21
239,47*
<0с»-=817,4
2	91,2	3,902	355,8*
3	33,7	0,0193	0,65
4	33,4	3,902	130,32*
5	21,8	0,0193	0,42
6	14,8	3,902	57,75
®с4= 1544,2
28,5	3,656	104,19*
22	0,0653	1,44
15,4	3,656	56,30
Осв-3354,1
14,4
2,502
36,034*
MhR,
Режимы, обозначенные звездочками, рассчитываются ниже.
Определение действительной амплитуды колебаний первой моторной мае*
сы и резонансных напряжений. Коэффициент демпфирования в соответствии
с уравнением (438)
5 = gFn/?2p = 0,05-10в-0,006644-0,0462-4 = 2,812 Н-м-с.
Результаты сведены в табл. 20.
Таблица 20
k
2 II
2 III
4 III
4 IV
8 VI
MhRi
01*
239,466
122,146
3,9822
0,08754
355,853
408,723
3,8082
0,04065
130,323
204,31
3,8082
0,01489
104,189
386
3,3655
0,00713
36,034
419,19
1,996
0,00191
В соответствии с уравнением (455) рассчитаны касательные резонанс-
ные напряжения (табд. 21).
Результаты расчетов в графическом виде представлены на рис. 120.
Мощность, затрачиваемая на колебания, по уравнению (456)
^ол = 0,366 кВт.
Увеличение удельного расхода топлива по уравнению (457)
Дискол =326,4	= 1 »66 г/(кВт • ч).
212
Таблица 21
и,, рад/с

244.4	817,4	1544,2 I 3354,1
^кр» МПа
2
4
8
24,6
9,02
г////////////////////////////
к*2
* 1 11 1 L1—
/000	2000	3000 п,мин
14,87
16,4
Рис. 120. Резонансные напряже-
ния от крутильных колебаний
30
20
10
О
Таким образом, данная силовая установка не имеет запретных зон для
эксплуатации. Наибольшее напряжение от колебаний при k—2 составляет
т=24,6 МПа, что не превышает допускаемых [т]»30...40 МПа.
ГЛАВА VI. ИЗГИБНЫЕ И ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВАЛОВ
§ 1. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ
ВАЛОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ
Изгибные колебания коленчатых валов ДВС изучены
еще недостаточно ввиду сложности деформируемого состояния
коленчатого вала, его опор и присоединенных деталей. В общем
случае элементы системы будут перемещаться по осям z и у
(рис. 121) одновременно с продольными перемещениями по оси
х, а также с поворотами вокруг осей х, у, г, т. е. деформации
связанные. В то же время масляный слой динамически нагру-
женных подшипников ДВС является нелинейно деформируемой
средой, характеристики которой зависят от толщины этого слоя,
его свойств, деформации присоединенных деталей и т. д. Все
параметры системы изменяются в зависимости от угла поворота
коленчатого вала. Например, при а=0° весь кривошипно-шатун-
ный механизм участвует в изгибных колебаниях коленчатого
вала в направлении кривошипа и не участвует в колебаниях в
направлении, перпендикулярном кривошипу. В связи с этим рас-
считать изгибные колебания можно лишь приближенно.
Простейшая схема для расчета изгибных колебаний колен-
чатого вала представлена на рис. 121, а. В этой схеме все массы
кривошипа коленчатого вала и КШМ объединены в одну. Опоры
коленчатого вала считаются абсолютно жесткими, поэтому ре-
зультаты расчета частот колебаний будут завышенными.
213
Рис. 121. Схемы для расчета из-
гибных колебаний коленчатых ва-
лов
Более подробная расчетная схема колена вала может быть
представлена семью элементами (рис. 121, б), каждый из кото-
рых может совершать несвязанные колебания в направлении
осей z и у. Масса О условно заменяет массу корпусных деталей
двигателей. Так как частота свободных колебаний блока двига-
теля обычно на порядок выше первой частоты свободных изгиб-
ных колебаний коленчатого вала при значительно большей
массе двигателя, то в первом приближении ее можно предста-
вить одной общей недеформируемой массой, соединенной со все-
ми нижними крышками коренных подшипников (массы 1 и 6).
В действительности в массы 1 и 6 будут входить не только мас-
сы крышек подшипников, но и присоединенные деформируемые
части картера и блока цилиндров. Массы 2 и 5 являются масса-
ми коренных шеек коленчатого вала с частью щек и противове-
сами. Масса 3—шатунная шейка с частью щек, 4 — присоеди-
ненная масса возвратно-поступательно движущихся частей и
шатуна. При малых амплитудах изгибных колебаний можно
считать, что системы двигателя, приводимые в движение колен-
чатым валом, а также потребитель энергии, конечно, при соот-
ветствующей соединительной муфте, не участвуют в изгибных
колебаниях коленчатого вала.
При определении жесткостных характеристик участков валов
используют интеграл Мора, а перемножение эпюр производят
214
по способу Верещагина *в матричной форме. Однако учет конст-
руктивных особенностей коленчатого вала и влияния концентра-
торов напряжений может быть произведен только, с помощью
эксперимента.
В плоскости колена податливость участков 2—3 и 3—5 будет
складываться из следующих податливостей: шатунной шейки
при изгибе, растяжения-сжатия щек, изгиба щек в плоскости
колена, изгиба коренных шеек:
(488)
В плоскости, перпендикулярной плоскости колена вала, по-
датливость участков 2—3 и 3—5 будет складываться из податли-
востей: шатунной шейки при изгибе, щек при изгибе в плоскости
yoz, щек при кручении относительно оси г, изгиба коренных
шеек:
ся
fl лА я/3	2Г3
*Ш |	|	I ^К,Ш
16£/ш	’’GJ,"’" EJK ,ш
(489)
Действительные жесткости колена вала будут несколько вы-
ше полученных по формулам (488) и (489) за счет взаимосвязи
деформаций изгиба и кручения.
По экспериментальным данным податливости колена вала:
для двигателя 16ДН 23/30 —~ =1,35«10-9 м/Н, —— =0,95Х
Су
X Ю-9 м/Н;
для двигателя 6ЧН 30/38 -L = 1,56-10~9 м/Н, —- =0,83Х
«г	си
X Ю-« м/Н.
Обычно изгибные жесткости колена вала ДВС на подшипни-
ках скольжения лежат в пределах
(0,5-2,0)10® Н/м;
на подшипниках качения
c,if,=(2,0-5,0-109)109 Н/м.
Жесткость половины колена вала равна удвоенной жесткости
колена.
Если пренебречь присоединенными массами 1 и 6, то подат-
ливость участков 0—2 и О—5 будет складываться из податливо-
стей масляного слоя подшипников 1/см и опор коленчатого вала
1/Соп. В линейной постановке податливости участков 0—2 и
215
О—5 равны сумме податливостей:
_L_ = J__|—!_.	(490)
^0»2	^оп
Жесткость масляного слоя изменяется от нуля при концен-
тричном расположении цапфы в подшипнике, до жесткости опор,
когда масляный слой передает усилие как квазитвердое тело.
При толщинах масляного слоя 10... 15 мкм его ориентировочная
жесткость
си=(0,1 -1,0)109 Н/м,
причем большие значения жесткости относятся к меньшим тол-
щинам масляного слоя.
Жесткость опор коленчатого вала переменна по их окружно-
сти, зависит как от конструкции узла, так и от условий закреп-
ления блока и может отличаться в вертикальной и горизонталь-
ной плоскостях на порядок. Средние значения жесткостей опор
коленчатого вала на подшипниках скольжения
соп=(1-2)109 Н/м;
на подшипниках качения при туннельном блок-картере
соп=(2—3)109 Н/м.
По экспериментальным данным жесткости опор коленчатого
вала в направлении оси цилиндра составляют:
Двигатель '	соп • 10*. Н/м
16 ДН	23/30 ......................... 1,89
16 ЧН	26/26 ......................... 2,86
6 ЧН	30/38 ........................  3,57
Жесткость соединения шатунной шейки коленчатого вала с
шатуном Сз,4 при пренебрежении деформацией шатуна можно
ориентировочно принять равной жесткости масляного слоя ко-
ренных подшипников си.
Массы элементов (схемы на рис. 121, б) определяют в соот-
ветствии с условным делением, указанным выше.
Если произвольное i-е колено развернуто относительно пер-
вого (податливости которого относительно осей г и у соответст-
венно равны 1/сг и 1/су) на угол б, то податливости /-го колена
в проекциях на оси координат z и у
l/£$/^x(l/£$t) | cos8 | -|*(1/Cyi),| sin 8 | ,	(491)
Уси1—(.\/сг1) I sin 8 I +(l/cFi) I cos8 I • J
Таким образом, пространственный коленчатый вал сведен к
двум плоским расчетным схемам.
На рис. 121, в представлена более подробная расчетная схе-
ма, которая позволяет учесть такие конструктивные особенно-
го
сти, как щеки (участки 3—5; 10—12) колена вала и их неодина-
ковые жесткости в плоскости колена и перпендикулярной ей;
галтели (участки 2—3; 5—6; 8—10; 12—13), шатунные и корен-
ные шейки (участки 2—3; 6—8; 12—13); присоединенные массы
шатунов (участки 7—9); масляный слой подшипников скольже-
ния (участки 1—2; 6—7; 8—9; 13—14); подвеску коленчатого ва-
ла (участки 0—1; 0—14). Параметры такой системы определяют
аналогично предыдущему случаю. Более подробной расчетной
схемы, чем показанная на рис. 121, в, вероятно, для расчета из-
гибных колебаний коленчатого вала не требуется, так как уже
эта схема для всего коленчатого вала позволяет получить с до-
статочной точностью первые несколько частот свободных коле-
баний. Формы колебаний будут линейными на отдельных участ-
ках, а в целом будут отражать деформации коленчатого вала.
При необходимости в расчетную схему включают потреби-
тель энергии и соединения с ним, а также связи с системами
двигателя.
В расчетной схеме (рис. 121, в) также можно учесть поворо-
ты сечений при изгибе вала и рассмотреть вопрос о изгибе вра-
щающегося вала.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
КОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ И ИХ РЕШЕНИЕ
Системы, представленные на рис. 121, б, в, будут раз-
ветвленными, составление уравнений колебаний которых удобно
проводить в матричной форме.
Уравнение свободных изгибных колебаний в направлении
оси без учета поворотов масс в матричной форме
(492)
где

“Л41
М2
В соответствии с правилами составления матриц жесткости
217
разветвленных систем (см. гл. IV), для схемы
матрица жесткости
на рис. 121, б
С0,1
о
о
о
о
~св,о
~с0,1	0	0	0	0	-С 6,0
(<'0.1*' fy)		0	0	0	0
О О
о
~‘сьг	(Cf,2	~ег,з	f
0		~С}>*
0	0	~ С3. i	СМ
в	0	°
о
о о
О .о
(fyt +св,о)

. (ш)
о
Аналогичный вид будут иметь матрицы при изгибных колеба-
ниях по оси у, но с другими значениями параметров. Размер-
ность матрицы 7x7.
Матрицы для расчетной схемы, показанной на рис. 121, в,
аналогичны, но размерность матриц инерционных членов и же-
сткости для одного колена вала будет 15 X15.
При учете поворотов сечений в матрицу инерционных членов
войдут не только массы, но и моменты инерции масс относитель-
но соответствующих осей координат, а в матрицу жесткости —
соответствующие жесткости соединений. Число строк и столбцов
в матрицах увеличится на количество дополнительных степеней
свободы.
В первом приближении колебания по осям z и у можно рас-
сматривать отдельно. В этом случае частоты и формы колебаний
находят, например, методом вращения. Спектральная и модаль-
ная матрицы могут быть получены в виде (336) и (337). Так как
параметры системы в направлении осей z и у различны, то каж-
дая масса совершает колебания в двух ортогональных плоско-
стях со своими амплитудами, частотами и начальными фазами:
zz=аг1 sin (А,- ?г/); yt«ayl sin (ky^yt-?„).	(494)
I
t	•	•
Конец вектора полного перемещения а=1/й*, а2( описы-
вает некоторую фигуру Лиссажу в зависимости от соотношений
амплитуд, порядков гармоник и начальных фаз колебаний. По
виду фигуры Лиссажу можно судить о характере колебаний.
В более точных расчетах необходимо рассматривать колен-
чатый вал как пространственную систему, уравнения колебаний
которой можно составить с использованием метода преобразо-
вания систем координат (см. гл. I), принимая векторы сил упру-
гости и моменты от них аналогично внешним действующим на-
218
грузкам. Уравнение колебаний в этом случае удобно записывать
через коэффициенты влияния (см. гл. IV).
При изгибных колебаниях на систему действует более слож-
ная система сил, чем при крутильных. Так, на массы 3 (рис.
121, б) и 6, 8 (рис. 121, в) действуют внешние силы Т, Z и Рз-
При пространственном расположении колена вала необходимо
получить проекции от этих сил на оси г и у. Нужно учитывать
фазовые сдвиги в зависимости от порядка работы цилиндров.
Силы Z можно принять действующими в пределах одного колена
вала, а силы Т необходимо суммировать, как при определении
набегающего крутящего момента. Находя реакции на коренных
опорах, определяют действующие на каждом участке расчетной
схемы изгибающие моменты. Затем проводят гармонический
анализ действующих сил и моментов. Аналогично расчету кру-
тильных колебаний определяют резонансные режимы работы
силовой установки.
Вопросы демпфирования изгибных колебаний коленчатого
вала разработаны еще недостаточно. Можно сказать, что демп-
фирование колебаний определяется силами трения в цилиндро-
поршневой группе, выдавливанием смазки из подшипников, кон-
струкционным демпфированием.
При изгибных колебаниях коленчатого вала в масляном слое
подшипников могут возникать явления кавитации, разрывов и
турбулизации масляного слоя; демпфирование в этих случаях
будет значительно больше, чем при крутильных колебаниях.
Внутреннее трение в материале коленчатого вала, а следова-
тельно, и коэффициент поглощения при изгибных колебаниях
также будут выше, чем при крутильных, вследствие более слож-
ного деформированного состояния вала.
Амплитуды изгибных колебаний масс на резонансах можно
найти из равенства подводимой и рассеиваемой энергий
(495)
при условии совпадения форм вынужденных и свободных коле-
баний.
§ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ИЗГИБНЫХ
КОЛЕБАНИЙ И МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ИХ ВЛИЯНИЯ
Используя матрицы амплитуд колебаний, определяют
деформации, а затем напряжения в элементах коленчатого вала.
При расчетах по схемам рис. 121, а, б дополнительные на-
пряжения от колебаний можно оценить лишь интегрально, не
учитывая особенностей напряженного состояния элементов ко-
лена вала, а их опасность — по допускаемым напряжениям.
219
В расчетной схеме на рис. 121, в дополнительные напряже-
ния от колебаний будут получены в отдельных конструктивных
элементах колена вала. Если по этой схеме рассчитаны напря-
женное состояние коленчатого вала от квазистатически дейст-
вующих сил Т и Z, а также от крутильных и изгибных колебаний
и при этом их частоты совпадают, то дополнительные напряже-
ния можно определять по коэффициентам запаса.
В результате расчета колебаний получаем спектральную и
модальную матрицы:

И1=
“л
W	...	W
qp	...	<)	...
•	•	•
•	•	•
•	•	•	•
9<2>	...	№	...
«д	_
(496)
Переход к напряжениям удобно проводить в матричной фор-
ме. Так, для г-го столбца матрицы мод при крутильных колеба-
ниях напряжения
{т,.)=О [Л,д| [Д| {?,(,)}	(497)
где
4e/=d//(2Z7).
Матрица преобразования перемещений в деформации в дан-
ном случае
О

о	о	...	о	о
-1	о	...	о	о
•	•	•	•
•	•	•	•
О	0	...	1	-1
о	о	...	о	о
(498)
Для изгибных колебаний аналогично

(499)
220
Матрицы полных напряжений находятся как сумма напря-
жений, определенных от квазистатически действующих сил {то}
и {o^z.o} и динамических (497), (499):
{Те} = {То} 4- {Тдв}; {ау,г}=={ау,г,о}‘}~{вд,у,г}'	(500)
С учетом коэффициентов динамической нагруженности от кру-
тильных Хде и изгибных кДу,г колебаний уравнения (500) примут
вид
{*«(»•)}={*о(г)} (г Е j г ^дв(г) J);
{ay>*(r)}~{9y,*,w.r)}(IГ Е J4-T Ьду.цг) J);
Г ^Ау,г(г) J =( Г Е J {^.z.Otr)})"1 {30,»(r)}>
Г ^дб(г) J ==(Г Е J {То(г)}-1 {т9(г)}«	,
Коэффициенты запаса с учетом полных напряжений
{ля(г)} = (г Е J {’{/,»,0(г)} (Г Е J-j-Г ^лу.г(г) -Df?#}”1	1
{^t(r)}=(r Е _|{то(г)} (Г Е _,4“Г ^дв(г) J) {?*})”1 {^—1}»	I
(502)
где фв, фт — коэффициенты, учитывающие концентрацию напря-
жений, состояние поверхности и другие факторы.
Тогда коэффициенты запаса при сложном напряженном со-
стоянии
п(г) =
___ я»(г)ят(г)
V (я.(,))2 +(«t(r))2
(503)
Обычно частоты изгибных и крутильных колебаний коленча-
того вала различны. В этом случае напряжения нельзя сумми-
ровать, а расчет необходимо вести на долговечность с учетом
условий эксплуатации двигателя в составе силовой установки.
Методы снижения влияния изгибных колебаний аналогичны
методам, применяемым при крутильных колебаниях: изменение
параметров системы, варьирование последовательностью рабо-
чих ходов двигателя и применение гасителей колебаний. В дан-
ном случае, вероятно, большего эффекта, чем при крутильных
колебаниях, можно добиться, изменяя порядок работы цилинд-
ров и тем самым нагруженность отдельных колен вала, а следо-
вательно, смещая деформации и напряжения по его длине.
Один из возможных видов антивибраторов для гашения из-
гибных колебаний был показан на рис. 101.
Значительное отрицательное влияние на изгибные колебания
коленчатого вала могут оказать такие изменения системы, как
установка маховика другой массы или демпфера крутильных
221
колебаний на носке коленчатого вала. В этом случае будет на-
блюдаться не только изменение частот свободных колебаний,
но и их форм. Смещение узла колебаний на первое или послед-
нее колено вала может привести к тому, что дополнительные
напряжения от колебаний снизят общий коэффициент запаса
ниже допустимого значения.
Для гашения высокочастотных изгибных колебаний коленча-
того вала могут быть применены антивибрационные коренные
опоры, которые выполняются из материала с высокими демпфи-
рующими свойствами.
§ 4. ПРИМЕР РАСЧЕТА ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ
ВАЛОВ
Рассмотрим свободные изгибные колебания балки по-
стоянного сечения, расположенной на безмоментных опорах (см.
рис. 76). Такая расчетная схема аналогична показанной на рис.
121, а. Для упрощения примем, что массы равны (Afi=*=A12=
*=Мз—М) и симметрично расположены. Несмотря на это упро-
щение, общность подхода к решению данной задачи позволяет
методически одинаково рассматривать и более сложные случаи.
Данная схема — нецепная, многомассовая; уравнения ее ко-
лебаний имеют вид (317). Для определения матрицы коэффи-
циентов влияния [б] воспользуемся вычислением интегралов Мо-
ра по способу Верещагина. Как известно, в способе Верещагина
интегрирование заменяется перемножением площади эпюры от
внешнего силового фактора (первая эпюра) на ординату линей-
ной эпюры от единичного силового фактора (вторая эпюра) в
направлении определяемого перемещения, т. е. решение задачи
сводится к вычислению интегралов вида
f dx.
Bl
где	f(x)dx— площадь первой эпюры; Ах+6 — ордината вто-
рой эпюры под центром тяжести первой.
Рассмотрим перемножение эпюр изгибающих моментов с ор-
динатами начала Af0; и конца Ми эпюры (см. рис. 76, б) на
эпюру с ординатами Мы и Mik (см. рис. 76, в) для участка дли-
ной h. Перемножаемые эпюры обведены жирной линией. Так
как площадь трапеции (рис. 76, б) равна сумме площадей тре-
угольников (штриховая линия), то необходимо площади тре-
угольников умножить на ординаты эпюры, расположенные на
расстоянии 4/3. от концов эпюры. В соответствии со способом
Верещагина получим
222
J tLJ	CJ Z	О
+-7Г T M"tl I41»+T (Л1“ “ ^о»Я ="4г 4" *WM* +
CJ Л	О	cj A
4- -4r 4- MuliM i» —rr 4	+-4r4- MuitM^ 4-
EJ 6	EJ 6	• EJ 2	1 л 1
4—гг 4- МцЦМц, —L 4 MuitM^
1 EJ 6	EJ 6	1 1
=ТГ (-f M°‘+f "')	+-FT (t m«+-V "•)
В матричной форме
> {(2/lAfw4-/rMu)(/iAfw4-^1a}W-
J EJ	GEJ	7Wi«.
I
&EJ
{MM
h ____________L_
2/, J l3fu| 6В/

211
. 4
При определении коэффициентов влияния от единичных си*
ловых факторов необходимо площадь эпюры умножить на орди-
нату этой же эпюры:
211 1^
{8}=—
' QEJ
{мм
Мы]
Mtl)
Если требуется перемножить эпюры на нескольких участках,
то результаты необходимо просуммировать, причем из условия
неразрывности следует, что Ми—Мы и Л1и=Л12А и т. д. Поэто-
му в матрицах можно объединить соответствующие строки и
стол бцы:
2 f МАах^{МыМиМ31...} X
I CJ

6EJi
h
6EJi
0
X
4г О 0 . . .
§EJ\
( *1 | 2^2 \ h.
\6EJi 'вЕ-J 6EJ2
h	( 2/2 I 2/3 \ l3	_
6EJ2	{^EJi^eE/J 6EJ3
4
(MOi
Mu
223
Если нужно определить перемещения сразу по нескольким
направлениям, то перемножаются несколько линейных эпюр Mi
от единичных силовых факторов на одну и ту же эпюру М*.
В этом случае матрица Mi будет не матрицей-столбцом, а пря-
моугольной матрицей (составленной из подматриц участков)
вида
М1=
"Ми
Ml
Ml
Ж02	••• ^0*
Л4|2 Afy •••
М32 М33 ... Л1з^
• • •
в которой каждый столбец определяет ординаты эпюры момен-
тов при действии какого-либо одного единичного силового фак-
тора.
Таким образом, для определения коэффициентов влияния не-
обходимо знать только значения ординат перемножаемых эпюр
и длины участков.
Используя уравнения статического равновесия системы в
матричной форме (90), определим реакции в точках 1 и 5, затем
приложенные в точках 2, 3, 4 моменты от единичных силовых
факторов. Для упрощения вычислений в матрицах оставим толь-
ко строки и столбцы, содержащие не нулевые элементы.
Реакции в точках 1 и 5 (рис. 76, а, б) в системе координат,
связанной с точкой 0,
01
х 0
(/+*) 0 .
После перемножения матриц и суммирования соответствую-
щих элементов получим
о
5
6
Значения моментов в точках 2, 3, 4 от единичного силового
фактора, приложенного в точке 3, определим, используя полу-
224
ченные значения реакций в точках 1, 5 и связав систему коорди-
нат с точкой 2 (рис. 76, б). В соответствии с уравнением (90):
для точки 2
0	0 1 | 1 =
Z/6 1 J ( Л12(РЛ1) }
Pri “Ь Mz (Ря,)=0;
О
Afj(Pj?,) =
5/
36
ДЛЯ ТОЧКИ 3
[Ря, 1
={0;
ри2(Рл,)]
^.4-+7Из(Рл.)=О;
m3(Pr,)=~-;
1 л*
для точки 4
0 ° п
Z/6 1 I (
Pr*
PrA-VM^P^^
О
Af4(P/?,)==//36.
Проведя аналогичные вычисления, получим реакции в точ-
ках 1 и 5 и моменты в точках 2, 3, 4 при приложении единичного
силового фактора в точке 3 (рис. 76, в):
в точках 1 и 5
в точке 2
’ 0 О'
. 1/6 1 .
Pri
Mi^Pr/)
Pri -4—h^2 (Pr/)—0;
о
Л12(Рл,)=-^;
в точке 3
О О 
1/2 1.
PrA+MAP^O;
8—1479
225
4
в точке 4
О О
Z/6 1
Pr>
М^РцЛ
PrA+M^Pr^-,
О
M^PRt)^-^-.
Так как система (рис. 76, а) симметрична, то реакции и мо-
менты в соответствующих точках при приложении единичного
силового фактора в точке 4 (рис. 76, г) найдем аналогично
точке 2:
^а(Р/?,)=4-;	тг-
<10	14
Л/4(РЛ.)—
об
Значения моментов Mt...Mt показаны на рис. 76, б, в, г. Ис-
пользуя ординаты эпюр изгибающих моментов и учитывая урав-
нения перемножения эпюр, матрицы коэффициентов влияния
определим перемножением матриц, составленных из подматриц
участков:
6£/
 о ад.) M^PrJ Mi(PrJ о
 о Л2(Р/г.) М8(РЯ,) ЛГ4(Ря.) О
.0 Л42(РЯ,) Л48(Ря,) Л14(РЯ|) О
6£/
О
М2(РЯ1)
Л*8(РЯ,)
Л*4(РЯ,)
О
О
M^PrJ
M<(Pr,}
о
о
MAPrJ
M^PrJ
MAPrJ
о
"О
51
36
12
36
12
36
19
12
51
36
о
О
О
О
О
226
I	I	51
36	12	36
ООО
После перемножения матриц будем иметь
“ 25/з
3888
39Р
3888
17/а
3888
39/*
3888
81/з
3888
39/8
3888
17/» “
3888
397»
3888
25/8
3888
8ц
8И
833
823
833
8 и
8j3
Соответствующие коэффициенты влияния обозначены на рис.
76, б, в, г. Уравнение колебаний системы имеет вид (335):
(Р1 —Jr |F|) U) - {0),
где
[D]=[8][iWl; W]
'М
о
. о
о
м
о
О’
о
м.
После перемножения матриц получим систему уравнений
8цЛ4 —	2ri-b(8i2Af)22-J-(813Af)Z3=0;
8*
227
(821-Л1) Zj -J" ^822^-----<i?~)	^23^0 ^З — 0>
(BjjAf) Zi~f~ (832Л1) z<i ^833Л4---------— 'j z3=0.
Обозначим
38885/
ЛШш2
и составим характеристический детерминант
(25 - и)
39
17
39	17
(81 —р) 39
39	(25-и)
в результате решения которого найдем корни кубического урав-
нения, а затем и частоты свободных колебаний.
Однако в данном случае решение упрощается. Так как систе-
ма симметрична, то для всех форм колебаний 31=£з, и доста-
точно решать уравнения раздельно.
Из первых двух уравнений следует
(25 — р) 4" 39z2 4* 1 =0;
39zj 4- (81 — р) ^24* 39zt=0.
Характеристический детерминант
Д=
(42 — р)
78
39
(81—р)
Решая полученное квадратное уравнение
Р2-123р4-360= 0,
определим его корни: p.i=120; цз=3.
Этим значениям соответствуют частоты свободных колебаний
38885/
= 5,6921/
У М13

у / ШЕ!
У МИр-г
Амплитуды свободных колебаний можем определить только
в относительных величинах.
Для первой частоты свободных колебаний <o0l
' zl=l; £2=2; Z3— 1.
228
Для второй частоты свободных колебаний
£1=1; Zi= — 1; £з=1.
Третье значение частоты найдем, раскрывая характеристиче-
ский детерминант для трех уравнений и записывая полученное
кубическое уравнение в виде разложения на множители:
|*3— 131|*2+ 1344р- — 2880=(ji — 120) (J* — 3) (р-—1*3).
Откуда, приравнивая соответствующие коэффициенты, опре-
делим
EJ
Ml*
Аналогично амплитуды свободных колебаний, соответствую-
щие частоте шс„
£1 = 1; £2=0; £з= —1.
1*3=8; wc,=22,045
Формы колебаний показаны на рис. 76, д, е, ж. Первая фор-
ма колебаний (рис. 76, д) — безузловая, вторая (рис. 76, е) —
кососимметричная, третья (рис. 76, ж) — симметричная. В дан-
ном случае, используя особенность второй формы колебаний,
имеющей неподвижную третью массу, можно было при опреде-
лении соответствующей ей частоты ограничиться одним урав-
нением при условии, что zi=z3; z2=0.
§ 5.	РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
В качестве расчетной схемы продольных колебаний
коленчатого вала и валопровода силовой установки может быть
принята схема (рис. 122), аналогичная расчетной схеме кру-
тильных колебаний. В этой схеме каждое колено вала заменено
одной массой, равной массе двух половин коренных шеек, массе
щек и массе шатунной шейки (массы 1... 7). При более подроб-
ном учете деформаций отдельных элементов расчетная схема
также может быть более детальной (см. рис. 71). Валопровод
силовой установки (массы 9... 13) делят на отдельные элементы
в зависимости от его конструкции. В судовой силовой установке
к массе винта (масса 15) необходимо добавить массу увлекае-
мой воды, которая может быть определена в зависимости от мо-
мента инерции увлекаемой массы воды при крутильных колеба-
ниях JB и шага винта Н:
(504)
Некоторая часть массы корпусных деталей двигателя (мас-
са 8) и главного судового упорного подшипника (масса 14) так-
229
Рис. 122. Схема для расчета продольных колебаний коленчатого вала и ва-
лопровода силовой установки
же участвуют в продольных колебаниях. В первом приближении
можно считать, что амплитуда упругой продольной оси при ко-
лебаниях не превышает сил упора коленчатого вала и гребного
винта. Тогда упорные подшипники можно считать линейно де-
формируемыми. В противном случае в упорных подшипниках
происходит перекладка зазора и система становится нелинейной.
Продольная податливость главного участка вала 1/сп может
быть определена в зависимости от длины участка I и его геомет-
рической формы по выражению
Гсп=В//х,	(505)
где коэффициент В=6,06-10~8 1/МПа для стали; В=7,07Х
ХЮ-8 1/МПа для чугуна с глобулярным графитом; x=d2—
для круглого сплошного вала.
Продольную податливость колена вала можно определить по
формуле
1 _Г64/?г40
СП .
4,2/?(/?-0,Шко)2 1 в
Eb№
(506)
где Bi=l,0—поправка для колен, повернутых на 180°, и Bi=
«=0,77 —на 120°.
Влияние смежных колен учитывается поправкой В2: В2=1,0
для 180°; В2== 0,625 для 120°; В2=0,6 для 60°; В2=0,4 для 30°.
Несколько завышенные результаты дает расчет по формуле
(507)
к.ш
сп с \
где £хо—длина колена вала.
В расчетной схеме продольных колебаний необходимо учи-
тывать наличие упорного подшипника, жесткость которого тео-
ретически может быть определена, например, методом конечных
элементов. Ориентировочные значения жесткостей встроенных
упорных подшипников малооборотных дизелей лежат в преде-
лах (15... 25) 108 Н/м. Податливость главных упорных подшип-
ников составляет (100... 150) 10-11 м/Н.
Неточность теоретического определения параметров элемен-
тов расчетной схемы продольных колебаний приводит к необхо-
димости их экспериментального уточнения, т. е. непосредствен-
230
ного измерения перемещений участков под действием заданной
продольной нагрузки.
Непосредственным измерением деформаций участков вала
при работе двигателя можно уточнить не только частоты, но и
формы продольных колебаний.
§ 6.	УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
И ИХ РЕШЕНИЕ
Обычно уравнения свободных продольных колебаний
имеют одинаковый вид с уравнениями свободных крутильных
колебаний. Необходимо учитывать, что наличие упорных под-
шипников приводит к тому, что система становится разветвлен-
ной. Матрица жесткости в этом случае будет составляться как
для разветвленной системы.
Решаются уравнения свободных продольных колебаний од-
ним' из приведенных выше методов. В результате решения по-
лучим частоты свободных продольных колебаний и их формы.
Продольные колебания коленчатого вала с трансмиссией в
транспортной силовой установке могут возбуждаться переменной
осевой силой, возникающей вследствие, например, случайных
или регулярных воздействий со стороны дороги. Однако упорный
подшипник, связанный с рамой силовой установки, обычно вос-
принимает эти силы, и они не передаются на коленчатый вал
двигателя. Осевые усилия от пружины муфты сцепления невели-
ки и воспринимаются подвеской двигателя.
В судовой силовой установке продольные колебания могут
возбуждаться редуктором с косозубыми шестернями и гребным
винтом.
Осевая составляющая Рк.₽ тангенциальной силы, возникаю-
щая на колесе редуктора диаметром D, при наклоне зубьев р
и действии гармонического момента с амплитудой Мк находит-
ся по формуле
PK.p=x^-tgpsin Ы.	(508)
Осевая сила от гребного винта возникает вследствие гидроди-
намического воздействия на лопасти. Частота ее изменения рав-
на или кратна числу лопастей винта.
Несмотря на то, что продольные перемещения коленчатого
вала под действием переменного крутящего момента, а также
радиальных сил, действующих на кривошипы коленчатого вала,
невелики, необходимо проверять возможные их резонансы с
осевыми силами. В этом случае проводят гармонический анализ
тангенциальных и радиальных сил и из сравнения их частот с
частотами осевых сил определяют возможные резонансные ча-
стоты вращения.
231
Демпфирование продольных колебаний происходит в подшип-
никах, материале коленчатого вала и валопровода и на гребном
винте.
Общее демпфирование оценивается коэффициентом удельно-
го трения £п, который зависит от масс валопровода М, коленча-
того вала Л1к.в и гребного винта Л1В:
еп = [О, 1М+0,55 (Мк,й+Ма)]/(М + М к.в + М„).	(509)
В формуле (509) использованы экспериментальные результа-
ты, полученные на судовых силовых установках с малооборот-
ными двигателями и интегрально учитывающие все виды демп-
фирования. При наличии демпфера продольных колебаний ко-
эффициент удельного трения £п=0,3 ...0,6; без демпфера £п=
=0,055 ...0,18.
Расчет амплитуд вынужденных продольных колебаний на
резонансах может быть проведен аналогично крутильным коле-
баниям энергетическим методом. Однако вследствие того, что
вопросы определения подводимой и рассеиваемой энергий про-
дольных колебаний на резонансах разработаны еще недостаточ-
но, этот метод не нашел широкого распространения.
Обычно амплитуды продольных колебаний оцениваются ко-
эффициентом динамического усиления статических амплитуд
£п.ст- В этом случае резонансная амплитуда первой массы
^1п==Рп^п.ст*	(510)
где

§ 7.	ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ. МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ВЛИЯНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
После определения резонансной амплитуды первой
массы ain находят момент, изгибающий шатунную шейку,
9	?
А1и.к=0,25(3 — cos 8,) У Pniaai, (511)
1
где б;— угол заклинивания i-ro колена вала относительно пер-
вого; pni — амплитуда возмущающей силы; a'„i—безразмерная
амплитуда продольных колебаний i-й массы; р — номер массы,
соответствующий максимальному значению момента.
Осевая сила, действующая на то же колено вала,
2
Рп.к==^1п<йА Pnl^nl.	(512)
232
При допущении, что колено вала
деформируется лишь в плоскости ко-
лена, суммарные напряжения растя-
жения-сжатия в шатунной шейке
диаметром dm
(513)
а напряжения изгиба в щеке тол-
щиной Лщ
°щ=0,5Л/ижйщ/Ущ. (514)
С учетом концентрации напряже-
ний их значения от продольных ко-
лебаний в галтели шатунной шейки
не должны превышать 20 МПа.
Продольные колебания могут
дополнительно нагружать не только
коленчатый вал двигателя, но и
крепления его противовесов. Коле-
бательное ускорение центра массы
противовеса обусловливает возник-
новение момента относительно места
Рис. 123. Масляный демп-
фер для гашения продоль-
ных колебаний
его крепления, что вызыва-
ет дополнительные напряжения в Месте крепления противовеса.
Удвоенная амплитуда продольных колебаний в упорном под-
шипнике не должна превышать осевого зазора в нем, чтобы ис-
ключить возможность ударных нагрузок. Необходимо также
сравнить амплитуду упругой силы при колебаниях с силой упо-
ра от действия продольной силы. Продольные колебания могут
вызывать вибрацию рамы транспортной силовой установки или
корпуса судна. Эти явления могут быть выявлены лишь экспе-
риментально.
Если частоты крутильных, изгибных и продольных колебаний
совпадают, то, используя методы снижения первых, двух видов
колебаний, снижают и амплитуды продольных колебаний.
Снижение амплитуд, деформаций и напряжений от продоль-
ных колебаний может быть достигнуто методами, аналогичными
применяемым при крутильных колебаниях. Необходимо учиты-
вать, что мероприятия, направленные на снижение какого-либо
вида колебаний, могут привести к изменению частот и форм ко-,
лебаний другого вида.
Снизить влияние продольных колебаний можно также, при-
меняя антивибраторы (см. рис. 101). Масляный демпфер (рис.
123) обычно устанавливают на свободном конце вала. Он со-
стоит из поршня 2, насаженного на вал 1, который связан с
коленчатым валом. Полость между поршнем 2 и корпусом 5 за-
полнена маслом и закрыта крышкой 3. Полость заполняется мас-
лом под давлением через отверстие 4, а вытесняемый воздух вы-
233
ходйтччерез отверстие 6, которое затем глушат. Масло, которое
просачивается в кожух демпфера, сливается через отверстие 7.
Энергия продольных колебаний поглощается за счет дроссели-
рования при передавливании масла из полости перед поршнем
в полость за поршнем через зазор между поршнем и корпусом.
Применение регулируемого сопротивления в зазоре позволяет
влиять на демпфирование.
§ 8. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА
Расчет свободных продольных колебаний проведем для силовой
установки с двигателем 6ЧН 25/34 при пе—500 мнн-1. Расчетная схема
приведена на рис. 124.
Упругомассовые характеристики валопровода. Колено нала (рис. 125)
имеет следующие геометрические соотношения:
/>шш=0,18 м; 0,085 м; /|=0,105 м; /?=0,17 м>
^=0,23 м; Zo=O,38 м; 6=0,068 м; В=0,41 м;
д?кр=0,07 м; /кр=0,138 м; 6=0,29 м.
В коленчатом валу 6 колен, развернутых на 120°. Порядок работы ци-
линдров 1-—Б—-3-—6-—2—-4.
Масса одного колена вала Мкл состоит из массы коренной шейки Aft,
массы щек и массы шатунной шейки
Мк.в 4*	+ Afj;
(Рщ.ш-4»)	(0,182 — 0,072)
Л!ш.ш в	ЯмсоР	л	Я*0,100'7,О* Ju® ss
4.4
» . • *
= 23,24 кг;
ЛЯт ~~ I Bfo rt
(4>+4)
’.°72±9’О852) ^0,068-7,8-103 = 58,01 кг;
л, _	_ <о.^-о..вд „,0105.7[8.|03_й[38
4	4
AfK.BSSS 23,24 + 2.58,01 + 29,38 = 168,6 кг.
Податливость колена вала определим по формуле, используемой для
среднеоборотных двигателей:
Ирш
Рис. 124. К примеру расчета продольных колебаний валопровода
234
lo/2
Рис. 125. Эскиз колена вала
1	1 Г (/«о 4-0,486) Я2	fK0 4- 0,76
Ск.в	£ L л(о2,.ш-<)/64	л - ^о)/4 +
Л 4-0,76	4,72/?Уп /, , , Я» \1
+ л (р\ - а{)/4 + 6АВ3	V + ’7 * Л ’
где В3 = 3,97 - 3,64*	) 4- 1,1з(	*	V;
\ ° .5(^1 + ^ш.ш) /	\ 0,5 {и Ш.Ш + ь>1) /
Ки — коэффициент, зависящий от перекрытия П шеек»
П == 0 »5 (2^1 “{•	R •
В численном выражении
/	0,29	\ f 0,29	\2
В3 = 3,97 - 3,64 0>5(0>23 + 0,18) ) +1,13 ( 0,5(0,23 4-0,18)) =
= 1,082;
/7 = 0,5(0,23 4-0,18)-0,17 = 3,5-10-2 м.
Кп = 0,3.
»
Модуль упругости первого рода для стали равен Е=2-105 МПа. Тогда
податливость колена вала
1________1 Г (0,138 4-0,48.0,068)0,17
Ск.в “ 2. Юп
0,105 4-0,7.0,068
0,138 + 0,7.0,068
л (0,184< - 0,07<)/64	’ я(0,182-0,072)/4
4,72-0,17.0,3	/	0J72 V
' л(0,232 — 0,0852)/4 ' 0,29.0,068-1,082 V + ’ 0,0682 /
= 7,287- 10-ю м/Н.
Жесткость колена вала
ск.в= 13,72.108 Н/м.
235
г
В данном случае валопровод соединен с коленчатым валом шинко-пнев*
магической муфтой массой Л1=765,7 кг.
Жесткость муфты
рР 3-106-0,5
0,35 ~	0,35
= 4,28-10® Н/м,
где р=3 МПа—давление воздуха в баллоне, D=0,5 м — средний диаметр
баллона.
Масса винта Мв=200 кг, его жесткость св=5-107 Н/м.
Цилиндрический участок валопровода может быть заменен одной сосре-
доточенной массой, если его длина не превышает трех диаметров.
Масса участка валопровода
0,22
Л1ВП = —т2- лр.3£>вп =	л-7,8.103.3.0,2 = 147 кг,
4	4
где /)Вп=0,2 м—диаметр валопровода.
Жесткость участка валопровода
Я££>вп	Я.2.104.0,22	' о
^вп — . on — Л о П 9	— 107,8-108 Н/М.
4’3£>вп	4-3-0,2
Присоединенная масса упорного главного подшипника и его жесткость
соответственно:
Afnul = 500 кг; с = 109 Н/м.
Дискретная модель валопровода показана на рис. 124. Модель состоит
из 34 масс и 33 невесомых участков, параметры которых сведены в табл. 22.
Таблица 22
Масса, кг
«
Жесткость, 10-81 Н/м
Масса, кг
Жесткость, 10-8-Н/м
АГ, = 168
168
Мз— 168
Af4=168
Л5= 168
Afs=168
Л7=765,7
Сь,= 13,7
С2.,= 13,7
Сз ,<= 13,7
£,.5=13,7
Сз.з= 13,7
С,., = 13,7
Afe=500
Лв=147
Ли =147
Л,=200
Сг.в=7,4
Се, 9= 10
Се,ю= 107,8
Сз2,83= 107,8
£зз,з4=0,5
Массы Р—33 и жесткости участков Р—10...32—33 равны.
Податливость участков 5—7 складывается из податливостей муфты,
присоединительных фланцев и половины коренной шейки коленчатого вала:
св|7=7,4-108 Н/м.
Уравнение свободных колебаний системы
[Л4] {А} 4- [С] {ЛГ} = {0}.
Матрица жесткости в данном случае
В результате решения уравнений свободных колебаний в матричной фор-
ме методом вращения получаем частоты и формы продольных колебаний.
В табл. 23 приведены первые пять частот свободных колебаний: от
©0=479,45 рад/с до ©0 = 1799,9 рад/с, и соответствующие им формы коле-
баний в виде распечатки с ЭЦВМ.
236
Таблица 23
1799,9	1500,8	895,94	606,32	479,45
—,98101	—.13122	—.82959	1,0000	—,18907
—.59125	—«94969Е-01	—.74793	,95492	—.18374
.33470Е-01	—,32491 Е-01	—,59264	,86679	—, 17323
,64479	.38957Е-01	—,37903	,73958	—,15784
1,0000	,99648Е-01	—,12811	,57904	—.13800
,95790	,13281	,13542	,39238	—,11427
,17537	,12628	,59864	Д4087Е-01	—,64371 Е-01
—,28287	—1,0000	1,0000	.17260Е-01	—.72730Е-01
,12342	,21073	,55877	—Д2744Е-01	—.59079Е-01
.65972Е-01	,28866	,51274	—.39512Е-01	—.53601 Е-01
.55894Е-02	,35766	,46106	—.66078Е-01	—.47956Е-01
—.55043Е-01	,41558	,40430	—.9231ЗЕ-01	—.42157Е-01
—,11322	,46065	,34308	—,11808	—.36226Е-01
—,16636	,49146	,27807	—,14325	—.30180Е-01
—,21210	,50707	,21001	— 16769	—.24039Е-01
—.24840	,50698	,13962	—.19130	—Д7823Е-01
—.27364	,49120	.67699Е-01	—,21393	—,11550Е-01
—,28670	,46023	—«49719Е-02	—.23549	—.52404Е-02
—,28701	,41501	—.77588Е-02	—.25585	.10855Е-02
—.27453	,35696	—.14935	—,27493	.74078Е-02
—.24984	,28785	—,21946	—,29262	Д3707Е-01
—,21403	,20984	—,28715	—,30883	.19962Е-01
—,16869	, 12534	—,35167	—,32348	«26155Е-01
—,11585	.36958Е-01	—,41233	—,33650	.32266Е-01
—.57842Е-01	—.52570Е-01	—.46844	-.34782	.38274Е-01
.27364Е-0.2	—,14047	-,51938	-,35739	.44162Е-01
.63194Е-01	—.22402	—,56459	-,36515	,49911 Е-01
,12084	—,30064	—,60358	—,37106	.55502Е-01
,17310	—,36796	—.63592	-,37511	,60918Е-01
.21766	—,42389	—,66124	—,37726	«66141Е-01
,25253	—.46671	—,67927	—.37750	.71156Е-01
,27616	—.49508	—.68981	—.37584	.75947Е-01
,28750	—.50813	—,69275	—.37229	.80495Е-01
—.24040Е-01	.63436Е-01 1	,31333	,79118	1,0000
«1.2 — «1.2 О
—«1.2	(«1.2 + «2,з) — «2,3
о —«2,3 («2,3 + «3,4)
О
[«]=
—«6,7 («6,7 + «7,8 + «7,9) —«7.8 —«7,9
О — С7.8
«7,8 О
о
— «7,9
О («7,9 + «9,10)
•	— «38.84
—«33,34 «33,34
237
Угловая скорость вращения коленчатого вала
лп
30
= 52,33 рад/с.
Порядок гармоники, нагружающей валопровод,

479,45
52,33
» 9.
Таким образом, первая частота продольных колебаний может резони-
ровать с девятой гармоникой крутильных колебаний, что может отрицатель-
но сказываться на валопроводе силовой установки. В то же время порядок
резонирующей гармоники, имеющей узел колебаний в пределах коленчато-
го вала,
<	895.94	.
62,33
что не опасно.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПАРАМЕТРЫ ДВИГАТЕЛЕЙ,
НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
Автотракторные двигатели	' 1' * '' '
Марка
двигателя
^п.д* иг
Mi, кг
Мъ кг
а
L, мм
е
МПа
476/66
4100/88
0,352
0,908
492/80	0,722
4100/95
492/92
482/70
476/66
1,187
0,722
0,500
0,346
0,125
0,341
0,270
0,353
0,277
0,32
0,855
0,680
0,919
0,744
0383	0,607
120
168
156
185
169
132
4105/120
1,730
4125/152
412Q/140
4125/205
4150/180
4130/140
4105/120
4150/160
4^30/115
4130/140
4125/205
4130/140
4120/140
5,362
4,840
5,930
3,720
3,524
1,730
4,200
3,800
3,400
5,930
3,400
4,840
0,120
0,592
1,630
1,450
2,600
1,115
1,210
0,592
2,100
1,100
1,490
2,600
1,490
1,450
0,28
1,517
4,198
3,85
6,66
4,09
3,125
1,517
4,15
3,8
2,8
6,66
2,7
3,85
115
215
330
250
380
320
265
215
300
225
265
380
265
250
4500
4400
.3000
3200
4500
5800
5600
1600
1500
1700
1000
1500
2100
2200
1850
2100
1750
1250
1800
1900
8,0
8.5
7,0
6,5
8,2
8,8
8,5
16,5
16,5
16,5
15,5
15
16,5
16,5
14,5
17
16
16
16
17
7,0
7,0
6,5
6,0
7,0
7,0
7,0
8,5
8,5
10
9,0
8,8
8,4
9,5
11,5
11
13
12
11
13
1,4
1,4
1,6
13
1.4
1.6
1.6
1.5
1,4
1.5
1.5
1.5
1.4
239
Судовые, стационарные и тепловозные двигатели
Марка дизеля	^п.д» кг	Мз, кг			рк, МПа	пл, мин-1 •
49,5/11
410,5/13
412/14
415/18
418/22
Д19/30
424/36
423/30
425/34
430/38
424/27
431,8/33
432/48
Д30/50
Д39/45
436/45
443/47
Д 43/61
Д25/30
426/26
418/20
421/21
4Н40/46
4Н60/64
4Н45/52
2.0
3,2
4,76
5,51
27,9
44,3
42,5
33,5
83,8
75
50,2
97
150
180
206
278
323
582
120
44
24
31
180
425
336
1,35
2,2
2,87
3,48
12,2
24,1
33,7
20,8
43,2
48
46
72
80
72
124
132
132
204
61
Э2
16
25
106
202
184
0,26
0,25
0,27
0,28
0,27
0,25
0,25
0,27
0,25
0,26
0,23
0,23
0,25
0,22
0,25
0,24
0,25
0,22
0,23
0,26
0,28
0,28
0,25
0,25
0,26
1750
1500
1500
1000
750
0,2
0,18
0,15
0.1
0,18
0.2
450
500
1000
500
715
1000
740
500
0,24
0.18
0,2
0.24
0,24
0,29
0,26
300
450
375
450
350
680
1000
1550
1400
520
370
480
240
2. ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИИ ДЛЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ TIffC
Зависимость угла 0 от а и X
а. ’	Знак											Знак	а, •
		1/3,2	1/3.4	1/3.6	1/3.8	1/4.0	1/4.2	1/4.4	1/4.6	1/4.8	1/5,0		
0		0’00'	0’00'	ow	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'		360
10		3°07'	2°56'	2“46'	2°37'	2’29'	2’22'	2°16'	2’10'	2’04'	1’59'	ММ	350
20	мф*	6’08'	5’46'	5’27'	5’10'	4’54'	4’40'	4’27'	4’16'	4’05'	3’55'	  	340
30	авф*	8’59'	8’27'	7’59'	7°34'	7°11'	6’50'	6’31'	6’14'	5’59'	5’44'	ММ	330
40	м£*	11’35'	10’54'	10’17'	9’44'	9’15'	8’48'	8’24'	8’02'	7’42'	7’24'	ММ	320
50		13°5Г	13°01'	1247'	11’38'	11’02'	10°31'	10’02'	9’35'	9’11'	8’49'		310
60		15’42'	14’45'	13’55'	13’10'	12’30'	11’54'	11’21'	10’51'	10’24'	9’58'	мм*	300
70		17’05'	16’03'	15’08'	14’19'	13’35'	12°56'	12°20'	11’47'	11’17'	10’50'	ММ	290
80		17’55'	16’50'	15’53'	15’01'	14’15'	13“34'	12°56'	12°22'	11’50'	11’22'		280
90		18’13'	17’06'	16°08'	15’15'	14’29'	13’47'	13’08'	12’33'	12°01'	11’32'		270
100		17’55'	16°50'	15’53'	15’01'	14’15'	13’34'	12°56'	12’22'	11’50'	11’22'	ММ	260
по		17’05'	16’03'	15’08'	14’19'	13’35'	12°56'	12°20'	11’47'	11’17'	Ю’бО'	МММ*	250
120		15’42'	14’45'	13’55'	13’10'	12°30'	11°54'	11’21'	10’51'	10’24'	9’58'	мав^*	240
130		13°5Г	13’01'	12’17'	11’38'	11’02'	10’31'	10°02'	9’35'	9’11'	8’49'	мав^*	230
140		11’35'	10’54'	10’17'	9’44'	9’15'	8’48'	8’24'	8’02'	7’42'	7°24'	мм*	220
150	«ф*	8’59'	8’27'	7’59'	7’34'	7°ц'	6’50'	6’31'	6’14'	5’59'	5’44'	мм	210
160	мф*	6’08'	5’46'	5’27'	5’10'	4’54'	4’40'	4’27'	4’16'	4’05'	3’55'	мм	200
170	мф*	3’07'	2’56'	2°46'	2°37' •	2°29'	2°22'	2’16'	2’10'	2’04'	1’59'	мм	190
180	оф*	0°00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	0’00'	мм*	180
tj3
Зависимость cos P от а и X
• a. ’	Знак	A.										Знак	a, •
		1/ЗД	1/3,4	1/3,6	1/3.8	1/4.0	1/4,2	1/4,4	1/4,6	1/4.8	1/6.0		
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
+	1 .0000
+	0.9985
+	0,9943
+ 0.9877
+ 0,9796
+ 0.9709
+	0,9627
+ 0,9559*
+ 0,9515
+	0,9499
+	0,9515
+	0,9559
+	0,9627
+	0,9709
+ 0,9796
+	0,9877
+ 0,9943
+ 0,9985
1,0000
1,0000
0,9987
0,9949
0,9891
0,9820
0,9743
0,9670
0,9611
0,9571
0,9558
0,9571
0,9611
0,9670
0,9743
0,9820
0,9891
0,9949
0,9987
1,0000
1,0000
0,9988
0,9955
0.9903
0,9839
0.9771
0,9706
0,9653
0,9619
0,9606
0,9619
0,9653
0,9706
0,9771
0,9839
0,9903
0.9955
0,9988
1,0000
1,0000
0,9990
0,9959
0,9913
0,9856
0,9795
0,9737
0,9689
0,9658
0,9648
0,9658
0,9689
0,9737
0,9795
0,9856
0,9913
0.9959
0,9990
1,0000
1,0000
0,9991
0,9964
0.9922
0,9870
0,9815
6,9753
0,9720
0,9692
0.9683
0,9692
0,9720
0,9763
0,9815
0,9870
0.9922
0,9964
0,9991
1,0000
1,0000
0.9992
0,9967
0,9929
0,9882
0,9832
0,9885
0,9746
0,9721
0,9712
0,9721
0,9746
0,9785
0,9832
0,9882
0,9929
0,9967
0,9992
1.0000
1,0000
0,9992
0.9970
0,9935
0,9893
0,9847
0,9804
0,9769
0,9746
0,9738
0.9746
0,9769
0,9804
0,9847
0,9893
0,9935
0,9970
0,9992
1.0000
1,0000
0,9992
0,9972
0,9941
0.9902
0,9888
0,9821
0,9789
0,9772
0,9761
0,9772
0,9789
0,9821
0,9888
0,9902
0,9941
0,9972
0,9992
1,0000
1,0000
0.9993
0,9975
0,9946
0,9910
0,9898
0.9836
0,9806
0,9786
0,9780
0.9786
0,9806
0,9836
0,9898
0,9910
0,9946
0,9975
0,9993
1,0000
1,0000
0,9994
0,9977
0,9950
0,9917
0,9907
0,9849
0,9822
0,9804
0,9798
0,9804
0,9822
0,9849
0,9907
0,9917
0,9950
0,9977
0,9994
1,0000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
Зависимость tgfl от а и X
Звак
1/3.4
1/3.6
1/3.8	1/4.0

1/4.2
1/4.4
1/4,6
Звак
1/4.8
1/5.0
0,0000
0,0545
0,1075
0,1581
0,2050
0,2465
0,2811
0,3073
0,3233
0,3291
0,3233
0,3073
0,2811
0,2465
0,2050
0,1581
0,1075
0,0545
0,0000
0,0000
0,0511
0,1011
0,1487
0,1925
0,2313
0,2634
0,2876
0,3026
0,3077
0,3026
0,2876
0,2634
0,2313
0,1925
0,1487
0,1011
0,0511
0,0000
0,0000
0,0483
0,0954
0,1403
0,1815
0,2178
0,2478
0,2704
0,2844
0,2891
0,2844
0,2704
0,2478
0,2178
0,1815
0,1403
0,0954
0,0483
0,0000
0,0000
0,0457
0,0904
0,1327
0,1716
0,2058
0,2341
0,2552
0,2683
0,2728
0,2683
0,2552
0,2341
0,2158
0,1716
0,1327
0,0904
0,0457
0,0000
0,0000
0,0435
0,0858
0,1260
0,1628
0,1951
0,2218
0,2417
0,2540
0,2582
0,2540
0,2417
0,2218
0,1951
0,1628
0,1260
0,0858
0,0435
0,0000
0,0000
0,0413
0,0816
0,1198
0,1548
0,1856
0,2107
0,2296
0,2413
0,2453
0,2413
0,2296
0,2107
0,1856
0,1548
0,1198
0,0816
0,0413
0,0000
0,0000
0,0396
0,0778
0,1142
0,1477
0,1769
0,2007
0,2186
0,2296
0,2333
0,2296
0,2186
0,2007
0,1769
0,1477
0,1142
0,0778
0,0396
0,0000
0,0000
0,0378
0,0746
0,1092
0,1411
0,1688
0,1917
0,2086
0,2192
0,2226
0,2192
0,2086
0,1917
0,1688
0,1411
0,1092
0,0746
0,0378
0,0000
0,0000
0,0361
0,0714
0,1048
0,1352
0,1617
0,1835
0,1995
0,2095
0,2127
0,2095
0,1995
0,1835
0,1617
0,1352
0,1048
0,0714
0,0361
0,0000
0,0000
0,0346
0,0684
0,1004
0,1299
0,1551
0,1757
0,1914
0,2010
0,2041
0,2010
0,1914
0,1757
0,1551
0,1299
0,1004
0,0684
0,0346
0,0000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
Зависимость cos (а+0)/cos 0 от а и X
Знак											Знак
	‘	1/3,2	1/3,4	1/3,6	. 1/3,8	1/4.0	1/4,2	1/4,4	1/4.6	1/4,8	1/5,0	
а, •
О
10
20
30
40
50
60
70
.80
90
100
ПО
120
130
140
150
160
170
180
0,0000
0,2273
0,4430
0,6369
0,7998
0,9243
1,0066
1,0448
1,0409
1,0000
0,9287
0,8346
0,7255
0,6076
0,4858
0,3631
0,2410
0,1200
0,0000
0,0000
0,2240
0,4370
0,6288
0,7903
0,9247
0,9977
1,0381
1,0374
1,0000
0,9323
0,8413
0,7343
0,6174
0,4953
0,3713
0,2470
0,1233
0,0000
0,0000
0,2212
0,4317
0,6215
0,7818
0,9060
0.9899
1,0322
1,0342
1,0000
0,9354
0,8272
0,7421
0,6261
0,5038
0,3785
0,2523
0,1261
0,0000
0,0000
0,2187
0,4269
0,6150
0,7743
0.8915
0,9831
1,0270
1,0314
1.0000
0,9382
0,8524
0,7490
0,6337
0,5113
0,3851
0,2571
0,1286
. 0,0000
0,0000
0,2164
0,4227
0,6091
0,7675
0,8854
0,9769
1,0224
1,0289
1,0000
0.9407
0,8570
0,7551
0,6406
0,5181
0,3909
0,2614
0,1309
0,0000
0,0000
0,2144
0,4187
0,6038
0,7614
0,8798
0,9714
1,0182
1,0267
1,0000
0,9429
0,8611
0,7604
0,6467
0,5242
0,3962
0,2653
0,1329
0,0000
0,0000
0,2126
0,4151
0,5992
0,7559
0,8745
0,9664
1,0145
1,0247
1,0000
0,9449
0,8647
0,7651
0,6523
0,5297
0,4008
0,2689
0,1347
0,0000 ,
0,0000
0,2109
0,4121
0,5946
0,7512
0,87
0,9619
1,0110
1,0229
1,0000
0,9467
0,8683
0,7700
0,6575
0,5347
0,4054
0,2719
0,1364
0,0000
0,0000
0,2092
0,4091
0,5908
0.7464
0,8700
0,9578
1,0079
1,0214
1.0000
0,9486
0,8715
0,7742
0,6621
0,5392
0.4095
0,2749
0,1381
0,0000
0,0000
0,2077
0,4064
0,5870
• 0,7427
0,8657
0,9539
1,0051
1,0197
1,0000
0,9510
0,8742
0,7782
0,6664
0,5434
0,4130
0,2777
0,1395
0,0000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
Зависимость sin (а 4-Р)/cos р от а и 1
Знак
А,									
1/3,2	1/3,4	1/3,6	1/3,8	1/4,0	1/4,2	1/4,4	1/4,6	1/4,8	1/5.0
Знак
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
1,0000
0,9754
0,9029
0,7870
0,6343
0,4539
0,2566
0,0532
0,1447
0,3291
0,4920
0,6307
0,7434
0,8317
0,7978
0,9451
0,9764
0,9943
1,0000
1,0000
0,9759
0,9051
0,7917
0,6427
0,4656
0,2719
0,0718
0,1244
0,3077
0,4717
0,6123
0,7281
0,8199
0,8898
0,9404
0,9743
0,9937
1,0000
•II
0,9764
0,9070
0,7958
0,6494
0,4760
0,2854
0,0879
0,1064
0,2891
0,4537
0,5961
0,7146
0,8096
0,8827
0,9362
0,9723
0,9932
1,0000
1,0000
0,9769
0,9086
0,7997
0,6557
0,4851
0,2973
0,1022
0,0906
0,2728
0,4379
0,5819
0,7027
0,8004
0,8764
0,9324
0,9706
0,9928
1,0000
1,0000
0,9773
0,9103
0,8030
0,6614
0,4933
0,3079
0,1149
0,0785
0,2582
0,4238
0,5691
0,6921
0,7923
0,8707
0,9290
0,9690
0,9924
1,0000
1,0000
0,9776
0,9118
0,8061
0,6665
0,5006
0,3175
0,1261
0,0640
0,2453
0,4113
0*5578
0,6825
0,7850
0,8655
0,9259
0,9676
0,9920
1,0000
1,0000
0,9779
0,9131
0,8088
0,6711
0,5072
0,3262
0,1366
0,0525
0,2333
0,3998
0,5475
0,6738
0,7783
0,8610
0,9233
0,9663
0,9917
1,0000
1,0000
0,9782
0,9142
0,8114
0,6753
0,5134
0,3340
0,1460
0,0423
0,2226
0,3896
0,5380
0,6660
0,7721
0,8568
0,9206
0,9652
0,9914
1,0000
1,0000
0,9785
0,9153 .
0,8136
0,6791
0,5189
0,3411
0,1545
0,0328
0,2129
0,3800
0,5295
0,6589
0,7666
0,8259
0,9184
0,9641
0,9911
1,0000
1,0000
0,9788
0,9163
6,8158
0,6327
0,5240
0,3478
0,1622
0,0243
0,2040
0,3689
0,5218
0,6522
0,7616
0,8502
0,9162
0,9631
0,9908
1,0000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180

в,*
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
НО
120
130
140
150
160
170
180
1/ЗД
I
1/3,4
1/3,6
1/3,8
1/4,0
1/4,2
1/4,4	1/4,6	1/4,8
1/5,0
0,0000
0,0199
0,0787
0,1733
0,2993
0,4504
0,6197
0,7993
0,9820
1,1606
1,3293
1,4834
1,6197
1,7360
1,8314
1,9054
1,9581
1,9895
2,0000
0,0000
0,0196
0,0775
0.1709
0,2953
0,4447
0,6121
0,7904
0,9721
1,1504
1,3194
1,4745
1,6121
1,7302
1,8274
1,9030
1,9569
1,9892
2,0000
0,0000
0,0194
0,0766
0,1589
0,2919
0,4398
0,6059
0,7830
0,9639
1,1419
1,3112
1,4670
1,6059
1,7254
1,8240
1,8910
1,9560
1,9890
2,0000
0,0000
0,0192
0,0758
0,1571
0,2888
0,4353
0,6001
0,7762
0,9564
1,1341
1,3037
1,4602
1,6000
1,7209
1,8209
1,8991
1,9552
1,9888
2,0000
0,0000
0,0190
0,0750
0,1653
0,2859
0,4313
0,5949
0,7699
0,9495
1,1270
1,2968
1,4539
1,5949
1,7168
1,8180
1,8974
1,9544
1,9886
2,0000
0,0000
0,0188
0,0743
0,1639
0,2835
0,4277
0,5904
0,7646
0,9436
1,1209
1,2909
1,4486
1,5904
1,7133
1,8156
1,8959
1,9537
1,9884
2,0000
0,0000
0,0187
0,0736
0,1626
0,2812
0,4246
0,5861
0,7596
0,9381
1,1151
1,2853
1,4435
1,5861
1,7100
1,8132
1,8946
1,9531
1,9883
2,0000
0,0000
0,0186
0,0730
0,1615
0,2791
0,4216
0,5822
0,7550
0,9332
1,1100
1,2804
1,4386
1,5822
1,7069
1,8111
1,8934
1,9526
1,9882
2,0000
0,0000
0,0185
0,0725
0,1605
0,1773
0,4189
0,5788
0,7508
0,9286
1,1052
1,2758
1,4348
1,5788
1,7042
1,8094
1,8923
1,9521
1,9881
2,0000
0,0000
0,0183
0,0720
0,1590
0,2756
0,4163
0,5755
0,7473
0,9244
1,1010
1,2716
1,4313
1,5755
1,7017
1,8078
1,8912
1,9516
1,9880
2,0000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
180
190
Знак
, cos (а + Р)	cos2 а
Зависимость /=-------------4- х—— от а и К
 cos£	cos3 Р 
X
Знак
1/3.2
1/3,4
1/3.6
1/3,8
1/4.0
1/4Д
1/М
1/4.6
1/4,8
1/5,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
150
160
170
tg 180
1,3131
1,2804
1,1842
1,0305
0,8245
0,5950
0,3438
0,0946
0,1347
0,3298
0,4820
0,5898
0,6563
0,6905
0,7026
0,7053
0,6952
0,6892
0,6869
1,2941
1,2623
1,1688
1,0196
0,8246
0,5970
0,3532
0,1105
0,1143
0,3077
0,4616
0,5736
0,6449
0,6885
0,7075
0,7125
0,7106
0,7073
0,7059
1,2782
1,2472
1,1561
1,0107
0,8203
0,5989
0,3611
0.1236
0,0976
0,2897
0,4449
0,5605
0,6389
0,6867
0,7118
0,7213
0,7233
0,7225
0,7218
1,2635
1,2333
1,1443
1,0024
0,8168
0.6008
0,3634
0,1357
0,0822
0,2732
0,4297
0,5484
0,6317
0,6848
0,7153
0,7296
0,7350
0,7364
0,7366
1,2500
1,2204
1,1335
0,9949
0,8139
0,6026
0,3750
0,1468
0,0682
0,2582
0,4155
0,5373 •
0,6250
0,6830
0.7182
0,7371
0,7458
0,7493
0,7500
1,2384
1,2094
1,1243
0,9886
0,8113
0,6041
0,3809
0,1562
0,0563
0,2455
0,4036
0,5279
0,6191
0,6814
0,7208
0J433
0,7551
0,7603
0,7616
1,2273
1,1989
1,1156
0,9826
0,8089
0,6056
0,3865
0,1651
0,0451
0,2333
0.3924
0,5190
0,6135
0,6799
0,7242
0,7495
0,7638
0,7708
0,7727
1,2173
1,1895
1,1076
0,9774
0,8072
0,6071
0,3914
0,1731
0,0353
0,2226
0,3826
0,5109
0,6086
0,6784
0,7154
0,7546
0,7716
0,7801
0,7826
1,2083
1,1809
1,1005
0,9724
0,8047
0,6084
0,3958
0.1803
0,0260
0,2129
0,3733
0,5037
0,6042
0,6771
0,7273
0,7596
0,7790
0,7887
0,7917
1,2000
1,1731
1,0942
0,9681
0,8028
0,6096
0,4000
0,1869
0,0182
0,2040
0,3654**
0,4971
0,5999
0,6760
0.7309
0.7639
0,7852
0,7965
0,8000
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бидерман В. Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. М.,
Высшая школа, 1980. 408 с.
Григорьев Е. А. Статистическая динамика поршневых двигателей. М.:
Машиностроение, 1978. 104 с.
Двигатели внутреннего сгорания. Конструирование и расчет на проч-
ность поршневых и комбинированных двигателей: Учебник для студентов
втузов, обучающихся по специальности «Двигатели внутреннего сгорания»/
Д. Н. Вырубов, С. И. Ефимов, Н. А. Иващенко и др.; Под ред. А. С. Ор-
лина, М. Г. Круглова. — 4-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение,
1984. 384 с.
Дизели: Справочник/Б. П. Байков, В. А. Ванштейдт, И. П. Воронов
и др.; Под ред. В. А. Ванштейдта, Н. Н. Иванченко, Л. К. Коллерова —
3-е изд., перераб. и доп. Л.: Машиностроение, 1977. 480 с.
Корчемный Л. В. Механизм газораспределения автомобильного двига-
теля. Кинематика и динамика. М.: Машиностроение, 1981. 190 с.
Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов: Справочник. М.: Машинострое-
ние, 1980. 151 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Условные обозначения...............................................  5
Введение...........................................................  6
Часть I: Двигатель как система	недеформируемых элементов.........	14
Глава I. Кинематика н динамика кривошипно-шатунного механизма 20
§ 1.	Кинематика дезаксиального и аксиального кривошип-
но-шатунных механизмов рядного двигателя ... ..	20
§ 2.	Кинематика дезаксиального и аксиального кривошип-
ио-Шатунных механизмов с прицепным шатуном и оп-
ределение их основных размеров...................... .	25
§ 3.	Силы и моменты в одноцилиндровом двигателе ...	33
§ 4.	Силы и моменты в многоцилиндровом рядном двига-
теле .................................................... 53
§ 5.	Силы и моменты в V-образиых и некоторых других
многоцилиндровых двигателях.............................. 58
§ 6.	Крутящий момент в двигателях с механической свя-
зью коленчатого вала с валом турбины..................... 61
§ 7.	Неравномерность хода двигателя, подбор маховика 62
§ 8.	Понятие о спектральной плотности сил и моментов	65
§ 9.	Примеры расчета и построения векторных диаграмм	73
Глава II. Неуравновешенность сил и моментов, действующих в дви-
гателях, и их балансировка......................................... 75
§ 1.	Общие положения, условия балансировки.............. 75
§ 2.	Балансировка одноцилиндровых двигателей..........	77
§ 3.	Балансировка многоцилиндровых двигателей ....	82
§ 4.	Оптимизация числа и формы противовесов...........	84
§ 5.	Динамическая балансировка деталей и остаточный
дисбаланс............................................... 89
§ 6.	Внутренняя неуравновешенность двигателя..........	90
§ 7.	Примеры балансировки двигателей.................... 91
Глава III. Кинематика и динамика механизма газораспределения 96
§ 1.	Схемы механизмов газораспределения и кинематика
привода клапанов ...................................... 96
§ 2.	Кинематика механизма привода клапанов ........... 100
§ 3.	Силы, действующие в механизме газораспределения 104
§ 4.	Движение системы без учета колебаний............. 105
§ 5.	Профилирование кулачков.......................... 106
249
Часть II. Двигатель как система деформируемых элементов......	120
Глава IV. Расчетные схемы, вывод уравнений колебаний и их ре-
шение ................................................ 120
§ 1.	Расчетные схемы коленчатого вала................. 120
§ 2.	Одно-, двух- и многомассовые цепные схемы ....	122
| 3.	Многомассовые нецепные схемы..................... 129
§ 4.	Решение уравнений свободных и вынужденных коле-
баний ................................................ 132
§ 5.	Уравнения колебаний дискретно-распределенной схе-
мы и их решение....................................... 140
§ 6.	Уравнения связанных колебаний.................... 151
Глава V.	Крутильные колебания	коленчатых валов................ 153
§ 1.	Выбор расчетной схемы и определение ее параметров 153
§ 2.	Уравнения вынужденных и свободных колебаний кру-
тильной схемы......................................... 157
§ 3.	Решение уравнений свободных крутильных колебаний 159
§ 4.	Гармонический анализ сил......................... 160
§ 5.	Условие резонанса и резонансные режимы работы
силовой установки....................................  163
§ 6.	Работа гармонического момента . . . ............  164
§ 7.	Энергия, рассеиваемая при колебаниях............. 168
§ 8.	Определение амплитуд колебаний и напряжений при
резонансе........................................... .	171
$ 9.	Способы уменьшения дополнительных напряжений от
колебаний ...........................................  172
§ 10.	Экспериментальное исследование крутильных коле-
баний ...............................................  190
§ 11.	Пример расчета крутильных колебаний коленчатого
вала ДВС в составе силовой установки . . .... 201
Глава VI. Изгибные и продольные колебания валов.................. 213
§ 1.	Расчетные схемы изгибных колебаний валов и опре*
деление их параметров................................. 213
§ 2.	Уравнение изгибных колебаний коленчатых валов и
их решение........................................... 217.
§ 3.	Дополнительные напряжения от изгибных колебаний
и методы снижения их влияния.......................  .	219
§ 4.	Пример расчета изгибных колебаний валов.........	222
§ 5.	Расчетная схема продольных колебаний коленчатого
вала и определение ее параметров.....................  229
§ 6.	Уравнения продольных колебаний и их решение ... 231
$ 7. Продольные колебания и дополнительные напряже-
ния. Методы снижения влияния продольных колеба-
ний ............................................... 232
§ 8. Пример расчета продольных колебаний коленчатого
вала..............................................  234
Приложения................................................... 239
Список литературы............................................ 248
Предметный указатель..........................................251
251
предметный указатель
А
Амплитуды гармоник газовых сил 72
—	— инерционных сил 72
—	вынужденных колебаний 171
—	комплексные 139
— свободных крутильных колебаний 123, 138, 140, 212
—	— продольных колебаний 232
Антивибратор 174, 175
—	маятниковый 175, J76, 184, 185
—	нелинейный 175
Б
Балансировка двигателей 75, 82, 84, 91, 93
—	деталей динамическая 89
—	коленчатого вала 89
—	ротора турбокомпрессора 90
Г
Гармоника 161, 162
—	главная 166
—	сильная 166
—	слабая 167
Гармонический анализ сил и моментов 160, 162, 209
Д
Демпфер 177
—	жидкостно-резиновый 183
—	жидкостный 177, 180
— комбинированный 180
— силиконовый 177, 178, 179
Демпфирование конструкционное 138
— колебаний изгибных 219
----крутильных 168
----продольных 233
Ж
Жесткость крутильная 124, 125, 154
— масляного слоя 216
251
— опор коленчатого вала 216
К
I
Колебания вынужденные 121» 122» 158
— изгибные 213
крутильные 62, 158
— продольные 145, 234
— свободные 121, 122, 158, 213, 232
—	связанные 151
Коэффициент демпфирования колебаний 137, 169
—	динамической нагруженности 221
—	запаса 221
—	поглощения энергии 169
Кулачок безударный 116
—	выпуклый 107
—	Курца 116
—	тангенциальный 107
Л
Лагранжа уравнение 14, 121
М
Масса вращательно движущихся частей 19
— поступательно движущихся частей 17, 18, 19
—	присоединенная 157
—	противовеса 93, 96
Матрица жесткости 127, 128, 218
—	инерционных членов 127
—	коэффициентов влияния 226
—	модальная 136, 220
— перемещений 127
переходная жесткости 141
----участка вала 144, 145
— — невесомого участка 145, 148, 156
----распределенной массы 141
----сосредоточенной массы 145, 148, 151
— поворота 56, 79
— спектральная 136, 220
Матрица-столбец 77, 83
Матрица ускорений 127
Метод вращения 135, 136, 137
— комплексных амплитуд 137
Метод Ланчестера 81
— начальных параметров 141
— преобразования координат 33, 34, 77
— «полидайи» 117
— Терских 132, 133
—	Хольцера 133
—	цепных дробей 132, 133
—	Якоби 137
Механизм Баландина 9
—	жиродииа 12
—	кривошипио-шатунный аксиальный 6
—	— дезаксиальный 7
—	— центральный 6 -
—	передаточный 97, 102
252
—	с верхним расположением распределительного вала 103
—	с вращающейся шайбой 11
—	с криволинейным движением конца штанги 102
Модель расчетная механизма с толкателем 92
Момент инерции 16, 17
----маховика 65
—	крутящий 37, 54, 55
—	местный 92
—	опрокидывающий 78, 82
—	от сил инерции первого порядка 76, 96
—	от сил инерции второго порядка 96
—	от центробежных сил 95
—	реактивный 37
—	статический 17
Н
Нагруженность подшипников 49
Напряжения при резонансе 171, 213
Неравномерность хода 62
Неуравновешенность внутренняя 90
—	моментов 75
—	снл 75
О
Оптимизация формы противовесов 85
Остаточные силы инерции 70, 71
-------поступательно движущихся масс 75
-------центробежные 71
П
Перемещение поршня 21, 22
—	бокового цилиндра 26, 31
—	главного цилиндра 26, 31
Податливость 203, 240
Принцип Гамильтона 121
—	Даламбера 14
Приведение длины 153, 202
— жесткости 154
— массы 156, 206
— податливости 154, 159
Противовес 92
Профилирование кулачков 101
Профиль кулачка 107
----вогнутый 113
----выпуклый 107, 108
---- полидайн 119
—— тангенциальный 107, 112
Р
Работа гармонического момента 164, 166 .
—	возмущающих сил 158
—	сил трения 158
Равномерность чередования ходов 91
Расчет изгибных колебаний 222
— продольных колебаний 229, 234
253
Режим максимального крутящего момента 38
— номинальный 38, 47
— резонансный 161, 209
— эксплуатационный 38
Резонанс 157, 158
. — условие 163
С
Силы возмущающие 137
—	вязкого треиия 137
—	давления газов 37, 40, 41
—	демпфирования 137
—	инерции 37
----возвратно-поступательно движущихся масс 38, 53
— — вращающихся масс 39
----второго порядка 38, 76, 78, 81, 92
----первого порядка 38, 76, 78, 81, 92, 94,
— упругости 137
Система деформируемая 14
— крутильная 122, 123
----разветвленная 127, 128
---- цепная 125
— координат 33, 46, 48
— уравнений крутильных колебаний 126
Скорость обобщенная 14
Скорость поршня 23
—	угловая 20
Спектральная плотность моментов 65, 66, 68
----сил 65, 66, 68
Стенд испытательный 190, 191
Степень неравномерности вращения 62
Схема балансировки 91, 95
—	дискретная 120
—	коленчатого вала 120
—	конечно-элементная 121
—	механизма кинематическая 101
—	многомассовая с дискретными элементами 121
----с дискретными и распределенными элементами 121
—	неценная 129
—	одиомассовая 121
—	передаточного механизма 97
—	привода клапанов 97
—	расчетная изгибных колебаний 214
—	цепная многомассовая 123
Т
Токосъемник 196
—	ртутный 197
Толкатель плоский 109
—	роликовый ПО
Торсиограф 193
—	Гейгера 193, 194
—	тензометрический 194, 195
Трение внешнее 168
—	внутреннее 169
254
У
Уравнение баланса работ при резонансе 186
— вынужденных колебаний 132, 137
— движения клапана 105
— изгибных колебаний 207
—- колебаний дискрет но-распред еле иной системы 140, 141
Уравнение крутильных колебаний вала с распределенными параметрами 144
— Лагранжа 14, 121
— матричное 34
—	продольных колебаний 231
—	равновесия 56
— свободных колебаний 139, 157
—	связанных колебаний 151
— частотное 125
Уравновешивание сил и моментов 90
Ускорение поошня 24
—• угловое 20
Условия балансировки двигателя 76, 84, 92
Ф
Форма колебаний вынужденных 171
—— свободных 125, 143, 171, 209
— уравнений матричная 78
Формула Зиманенко 155
Функция корреляционная 67
X
Хольцера метод 133, 134, 135
Ц
Центр масс шатуна 17
Ч
Частота колебаний вынужденных 137, 140
----свободных 123, 125, 132, 133, 134, 135, 142, 208
— резонансная 164
Ш
Шатун главный 19, 25, 30, 31
— прицепной 18, 25, 30, 31
Э
Энергия кинетическая 14, 62, 123, 152
— потенциальная 14, 123, 152
Я
Якоби метод 137
255
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
ЧИСТЯКОВ Владислав Константинович
ДИНАМИКА ПОРШНЕВЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ
Редактор Ю, Н. Хлебинский
Художественный редактор А. С. Вершинкин
Технический оедактор £. Л. Смирнова
Корректоры О. Е. Мишина, А. П. Озерова
ИБ Кг 4998
Сдано в набор 28.06.89. Подписано в печать 06.09.89. Т-04957.
Формат 60x88*/ie. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная.
Гарнитура литературная. Усл. печ. л. 15.68. Усл. хр.-отт. 15,68.
Уч.-изд. л. 15.30. Тираж 8100 экз. Цена 80 к.
Ордена Трудового Краевого Знамени издательство <Машиностроение>
107076, Москва, Стромынский пер., 4.
Московская типография № 8 Государственного комитета СССР по печати,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7«