/
Author: Нейман И.Ш.
Tags: авиация авиационное оборудование авиатехника авиастроение моторы
Year: 1933
Text
aLo*Uol|h'^c го
Н ’ Ч 5Z С И о г о
t A г 1 И С, р г о г о
Т ’ПОСТРОЕНИЯ
ну
э
*
I
РАСЧЕТ
к*
прсНнщлъ
АВИАЦИОННЫХ
МОТОРОВ
J
&
г о с <1 е и л* £ Т Си г д । Т 1 3 33
1541 s.
СССР НКТП.
ГЛАВАВИАПРОМ
____1
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Труды Центрального научно-исследовательского института
авиационного моторостроения
ВЫПУСК 2
Проф. И. Ш. НЕЙМАН
8H0RW2 4>537,^/
'ДИНАМИКА
И
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
АВИАЦИОННЫХ МОТОРОВ
[СПРАВОЧНИК]
ЧАСТЬ I
1 I !
\ р
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
АВИАЦИОННЫХ МОТОРОВ
К
О
ОНТИ НКТП СССР
Государственное авиационное и автотрак торнос издательство
Москва 1933 Ленинград
Настоящая книга является первой частью труда профессора И. LU. Нейман
ч Динамика и расчет на прочность авиационных моторов». Книга написана в
виде полусправочника и предназначается для инженеров-конструкторов, работа-
ющих в области авиационного моторостроения, и для студентов втузов, спе-
циализирующихся в этой области.
Изложенные в книге методы расчета приняты в Центральном научно-ис-
следовательском институте авиационного моторостроения в Москве.
t
Ответственный редактор В. А. Попов. Техн, редактор С. М. Ростошинский.
Книга сдана в набор 1/1 1932 г. Подписано к печати 24/XI 1932 г.
Индекс АА-50-5-2. ОНТИ № 140. Тираж 8000. Упол. Гланлита № В-33448. Заказ № 432.
Формат бумаги 62 х 94 см. 16х/4 печ. л. (50080 тип. зн. в 1 бум. л.). Бум. л. 8‘/8.
Тип. «Печатный Двор», Ленинград, Гатчинская, 26.
ОПЕЧАТКИ
книге проф. И. Ш. Неймана — Динамика и расчет на прочность авиационных
моторов
Страница Строка Напечатано Следует
3 17 сверху Н. К. Смольников Н. К. Смольянинов
17 9 sin а = 0 sin а> = 0
25 8 сверху в ф-ле (11) —6 sin-—^- cos’fi/ Sin (а/— 6) COS® р/
29 7 . . . (34) Xz 2 COS 2 (az—5) XZj-CC*2(az—о)
R F cos (G — 1) R Feos 6— 1
31 1 снизу , . (43) 4 cosа. aZJ 4 COS Z aZs
33 18 снизу п строке значе- 8°42'
НИЙ (р/)шах 18c42'
33 12 снизу в с।роке'значе- ний ай по приближ. ф-ле — 20’
39 14 сверху в ф-ле (26)
14 снизу XX// xx ||
строка 2 подписи под •
черт. 2 шатуна поршня
16 снизу (неясно) M up
15 , 20 . ^неясно) P icp
а. 19 снизу в ф-ле (24) (неясно) 364,76g Hi
.4 12 сверху в ф-ле (8) Mtlnlb
54 2 снизу d^\ \<ft j
56 6 сверху в ф-ле (16) * •S-X*zsin 3 (az — 6)
56 8 сверху (неясно) nt
56 11 снизу § 5 §2
62 20 снизу в ф-ле (20) (неясно) Mpl
63 15 , . . (25) ~М'^ M> i ‘nL at*
64 9 снизу Pi p'i
70 7 сверху ,673 0,673
70 ю . 13 832 13,832
76 4 снизу М. №
99 1 . (строчка срезана) Рон-Ю питер IV
103 в подписи под черт. 5 Лг2/ Wet
114 2 снизу МвПртах (Мве)ср (Me nj) max iqq (Meet) cp
115 15 и 16 снизу Согласно равенствам согласно равенствам
(3), (15) и (28) (3), (12, или (15) и (22]
илн (28>
124 в подписи под черт. 22 Rr+Wt
Страница Строка
136 4 снизу
153 6 .
163 2 сверху в ф-ле (106)
163 3 сверху
166 14 снизу в ф-ле (1)
170 подпись под черт. 4
180 . . . 19
181 подпись под черт. 20
183 16 сверху
186 подпись под черт. 24
192 15 сверху в ф-ле (94)
193 19 сверху
196 1
196 8 сверху в ф-ле (112)
209 11 сверху
210 I снизу в ф-ле (151)
211 2 сверху в ф-ле (152)
213 8 сверху в ф-ле
214 2 сверху в ф-ле (168)
222 11 сперху
> прилож. 17 сверху, 3 столб.
1 1 сверху
1 . 4 столб., 1 стр.
I 7 столб., 2 стр. снизу
1 • .3 столб., 5 стр. снизу
1 сверху
1 » 17 Снизу в 4-м столбце
1 * 2 строка сверху, заголо- вок 7-го столбца
1 W 3 строка сверху, 9 столбец 1
Наикчнгнше
г 4
1 cos
шатуны ряда
av= (эъ -h
+ 4^)
где а
3dt*-W
4d/ —о/
Система одной массой
БВМ
БВМ
черт. 19
БМВ-V
Фет
(неясно)
60 30 л
". = 7= — о®
7 q К
Ф?
напеч. Мпг =
след. Мпг —
ЗЧг =
«йадет
F=1 T A
L cos О
шатуны II ряда
+ ~®г„)/?-!2а
где 2 а
3 — *>р’
ч ds* — 6/
Система с одной массой
БМВ
БМВ
черт. 20
BMB-IV
b
%
Фет
e-qt
60 30 „
Лв = ^ = —0
Л о Л
®г
= 0,5/г Ocs фп sin 2 р cos (0t-O
0,5/г 0<Г Ф'п sin 2 р cos (®с/)
аЧлг =
d(Gt) r / d(0cO
f п ₽ п
1 1
— 54
97 34 1234
1/Х >.
0,0004 0,0000
0,0069 0,0669
0,9961 0,9661
таблица X таблица XI
0,4074 , . 0,4674
, 1/4,2 1/4,3
260 ’ > 360
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Настоящая книга распадается на две органически связанные
между собой части „Динамику авиационных моторов" и „Расчет на
прочность авиационных моторов". По первоначальному предположе-
нию обе части должны были выйти одной книгою. Однако по не-
зависящим от автора обстоятельствам, для ускорения выхода книги
в свет каждая из частей выпускается самостоятельно. Книга пред-
назначается в качестве пособия инженерам-конструкторам и сту-
дентам втузов, работающим в области авиационного моторо-
строения.
Изложенные в книге методы расчета приняты в Центральном
научно-исследовательском институте авиационного моторострое-
ния (ЦИАМ) и являются результатами работ автора в области рас-
чета авиационных моторов.
Существенную помощь мне при издании настоящей книги ока-
зали мои товарищи по работе в ЦИАМ инженеры В. Н. Ширяев,
Н. К. Смольников, проработавший под моим руководством главу 1
части II, и А. Ф. Павлов, которым приношу здесь свою благодар-
ность. Глубокую благодарность приношу также ЦИАМ в лице его
дирекции за содействие в издании настоящей работы.
Так как книга содержит огромное количество цифрового мате-
риала и формул, то автор обращается с просьбой ко всем поль-
зующимся книгой поставить его в известность о всех замеченных
упущениях. Автор просит читающих высказать также свои сообра-
жения о желательных в следующем издании книги дополнениях и
изменениях.
Письма прошу направлять по адресу: Москва 20 ЦИАМ.
л
П Е Р в A
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА АВИАЦИОННЫХ
МОТОРОВ.
ГЛАВА I.
КИНЕМАТИКА НОРМАЛЬНОГО ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА.
§ 1. Обозначения.
К — радиус кривошипа,
L — длина шатуна,
Y —отношение длины радиуса кривошипа к длине шатуна,
а—угол поворота кривошипа от его начального положения,
угол а меняется от 0 до 360°,
р— угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра, угол Р— поло-
жителен, когда шатун отклонен от оси цилиндра в направлении
вращения мотрра; при положении шатуна с другой„ стороны оси,
цилиндра угол р — отрицателен,
ч расстояние поршня от его верхнего мертвого положения,
— скорость поршня,
jp —ускорение поршня,
<о —угловая скорость вращения кривошипа,
п —число оборотов мотора в минуту,
t —время поворота кривошипа от его начального положения,
(рр)ср—средняя скорость поршня,
Ф—угол отклонения оси шатуна от плоскости кривошипа,
«г — угловая скорость вращения шатуна,
01—угловое ускорение шатуна.
Нормальцшд_кривошипнцм механизмом называется такой, в кото9,
ром~Ьсь цилиндра преходит через ось .коленчатого вала- Если это!
условие не соблюдено, то налицо имрртся так. называемый пезакЛ
спальный кривошипный механизм. ---
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна.
Угловая скорость вращения кривошипа будет
ТС
“ = 3б п-
Угол поворота кривошипа от начального положения будет
a = a)t.
Из черт. 1 мы имеем
sin ₽ _ Р_
sin a L
ч sinp = Xsina.
(1)
(2)
(3)
(4)
5
]
1
1
I
Угловой путь шатуна будет
₽ = arc sin (X sina). (5'
Максимальные углы отклонения шатуна от оси цилиндра буду"
при
а
и определятся из уравнения
врал
точна
верхняя
- мертвая
точка
Черт. 1. Нормальный кривошипный
механизм.
а>£ = X си
= 90° и « = 270°
Угловая скорость шатуна
d$ . cos а
Максимальные
при
будет
СО----— •
cosp
значения <0£
а, =0° и
и будут равны
)тах — Хю.
значения угловой
Нулевые
сти шатуна
аа = 180°
С0£ = 0
(7)
будут
(8)
скоро-
будут при
а, = 90° и а2 = 270°,
т. е. в моменты максимальных отклей
нений шатуна от оси цилиндра в ту
или другую сторону.
Приближенное выражение
в виде функции угла а будет
Х2\ X3
-O )cosa — -°- COS За .
О / о
ДЛЯ о>/
(э;
В более упрощенном, но менее точном виде выражение
будет
ДЛЯ
о>£ = X <0 COS а.
Угловое ускорение шатуна будет
0£ _ х (1 — X2) ш3 .
v > COS3 Р
dt d&
Максимальные значения 0/. будут при
а = 90° и а = 270°
и будут равны
(0£ )тах ==
d^t
dt
X
|/1—X2
<о3.
Значения ©/. = 0 будут п^и
а = 0° и а = 180с,
т. е. в моменты совпадения оси шатуна с осью
цилиндра.
6
Приближенное выражение для 0д в виде функции угла а будет
Г/ х2\ 3 1
&L = — X <оЧ (14- -g ) sina-g-X2 sin За . (13)
В более упрощенном, но менее точном виде выражение для
На черт. 2 дан закон протекания по углу поворота кривошипа а
функции — Х(1 — X2) Для X = “.
? 3. Относительная угловая скорость вращения шатуна
k вокруг шатунной шейки коленчатого вала.
Согласно черт. 1 имеем
Ф~а-|--р, (15)
7
(16)
Отсюда, диференцируя это уравнение по t, получим для относи-
тельной угловой скорости вращения шатуна вокруг шатунной шейки
коленчатого вала выражение
dt
COS а \
COS Р] ’
На черт. 3 даны кривые (1 4~ С04р
рота а для дДр — 4 и А —0.
как функции угла пово- (
4. Расстояние поршня от верхнего мертвого положения.
Из черт. 1 имеем:
SP=(R L)— (R cos а 4- L cos р)
cos р = |/1 —sin2 ₽= |/1 — A2 sin2
(17) ‘
(18) ‘
(19'
Разлагая выражение j/1 — A2 sin2 а в ряд по биному
будем иметь
1/1 —A2sin2 a = 1 —^-A2sin2 a--A4sin4a —
1-3 .... 1-3-S
Ньютон:
’2-T.6 >,5|п‘“-2-4-б4
Так как при n четном имеет место соотношение
sin”« = 2^
(2<
где
то
sin2
cos па — (n)t cos (п — 2) а -f- (п)2 cos (п — 4) а-------
п—1 л—2 1
4 ( — 1)2 .(п)л-4 cos 4а 4- (----1) 2 (п)л-2 cos 2а 4-
2 J
2
2
(я) ^”(«—!)(”—2)...[п—(р — 1)]
1 - 2-3---Р
(21L
(22)
sin4 а =
(1 — cos 2 а)
(cos 4а — 4 cos 2а 4 3)
1
а— 2
1
8
Sin® а = — — (cos 6а — 6 cos*4a -j- 15 COS 2а — 10)
о/
sin8 а = —U (cos 8а — 8 cos 6а 4- 28 cos 4а — 56 cos 2а 4- 35)
(23)
и
... / 1 Q г; 17К
и1->*^’»=1-(т1’+б4>‘+йбх‘+т>к,+-) +
+ (т^+^м+йх,+^8х‘+’г) “s2°-
”(йк‘ + 25б’‘ + ®Х, + - ) “•«•+-
+ 6я^*+2И5х’+"’ ) «»в—
~(1^4Х‘+'" ) cos8« + - (24)
Обозначив
4=тк+йх’+Ак’+^х’+-
h“ 4 ’ + 16k' + 512' 2048х'-1
p4~ 64X +“256Л +4096Z
<•= 5Г2х,+ажх’+-
— 5 .
Ps- 1282
(25)
будем иметь:
-j- j/1 — Xs sin2a — -А--k 4- р2 cos 2a — p5 cos 4a 4- p6 cos 6a —
— p8 cos 8a 4- • • • (26)
Sp = (/? + L) — R (cos a + 4-----k + Pa COS 2a — p4 COS 4a -|- p6 cos 6a —
— Ps COS 8a 4-)=/?(! 4~&)— Q (cosa4-p2cos2a — p4cos4a4-
4-p6cos 6a —p8 cos 8a 4-) (27)
В табл. 1 приведены числовые значения коэфициентов k, р2, р4,
ре и р8 для различных X, вычисленные в предположении, что раз-
ложение по биному Ньютона выражения j/l — Xs sin2 a — равенство
(20) — ограничено членом, содержащим sin8a.
С достаточной для практики точностью расстояние поршня от
верхнего мертвого положения Sp определяется из уравнения
cos 2a
(28)
На черт. 4 даны для примера диаграмма пути поршня по углу
поворота кривошипа и гармоники этой кривой согласно ряду Фурье,
9
i
Таблица 1.
X k Ps Р4 Ре Р»
1 3,4 0,0747 0,0753 0,000424 0,00000501 0,0000000582 \
1 3,5 725 729 388 417 475
1 3,6 704 708 355 352 366
1 3,7 686 689 326 307 322
1 3,8 667 670 301 267 267 ‘
1 3,9 649 652 277 234 222
1 I 4 632 635 256 205 186 1
ММ
/60
равенство (27), для выявления их влияния на величину пути. Кри-
вые построены для
/?— 8,5 см и X — ^-7 .
’-S *
Графически Sp может быть определено по способу Мюллера
(Muller) (черт. 5).
Проводим на вычерченной схеме кривошипного механизма две
окружности из центра О: радиусами (£ — /?) окружность I и (£-{-/?)
окружность II; из точки А' радиусом L проводим окружность III.
/40
/20
/оо
80
60
40
20
О
-20
-40
-60
80
н)Р.
cos a z
200
/60
24&
И-
1-го порядка
\р3 Fi cos 2 СХ
Черт. 4. Кривая Sp и гармоники ее составляющие для 7? = 8,5 см И
Скорость поршня vp будет
dSD
v ——£
р dt
гармоника 2-го порядка
10
С---
Черт. 5. Графическое определение Sp по способу Мюллера.
Продолжая для каждого данного угла поворота кривошипа напра-
вление радиуса кривошипа до пересечения с окружностями II и III,
получаем искомое .^.соответствующее данному углу поворота кри-
вошипа, как отрезок ab умноженный на масштаб длин
Sp-p-ab.
На черт. 6 даны для сравнения
диаграммы Sp для
*= 3J. *=1, Х=0.
5. Скорость поршня.
Ш -----К.
da. •
(29)
п
(30)
«Г
<40 —
120
<00
80
60
40
20
0
/2
сек
/6
8
О
/6Q^
240
4
-8
-/2
46
Подставляя в это равенство Sp из уравнения (17), получим точ-
ное выражение для vp в виде
= R “ (sin а 4- sin 2а).
Черт. 6. Кривые Sp для: = и Х = 0 при;/? =8,5 см.
. I 1 I /?&/. $Z7? <xT T
/гармоника /го порядка
I 2/эг R.cj.sin 2
/гармоника 2-го псуэя
280
Черт. 7. Кривая скорости поршня vp и гармоники ее составляющие для /? = 8,5слГ,
X = —~ и п = 2000 об/мин.
ГТ ’ * г-
Другое точное выражение для скорости поршня vp будет
V =:^ш (31)»
cosg
19
Подставляя в равенство (29) выражение для Sp из равенства (27),
будем иметь выражение для в виде ряда Фурье:
vp = — р СО (sin а -|- 2р2 sin 2а — 4ps sin 4а -}- 6pe sin 6а —
— 8р8 sin 8а --). (32)
В табл. 2 приведены числовые значения коэфициентов 2р.а, 4р„
6р6 и 8р8 для различных X.
Таблица 2.
X 2ре 4Р« 6ре Зрб
1 3,4 0,1506 0,00170 0,0000301 0,000000466
1 3,5 1458 155 250 380
1 3,6 1416 142 ' 211 293
1 3,7 1378 130 184 258
1 3,8 1340 120 160 214
1 3,9 1304 111 140 178
1 4 1270 102 123 149
На черт. 7 даны для примера диаграмма скорости поршня по
углу поворота кривошипа а и гармоники этой кривой согласно ряду
Фурье, равенство (32), для выявления их влияния на величину ско-
рости.
С достаточной для практики точностью скорость поршня vp опре-
делится из равенства
Vp = R “ (sin а 4- у sin 2а). (33)
Средняя скорость поршня определяется из уравнения
^Vpicp ~ зо~ — ~ R (34)
Отсюда скорость поршня может быть выражена в виде
vp = у (sin а 4- sin 2а) (тДр. (35)
Значение угла а, при котором имеет место максимальное значе-
ние скорости поршня, найдется из уравнения
-1 ). (36)
cos =
13
Знак перед корнем берется положительным потому, что в против-
ном случае, при имеющихся в двигателях численных значениях X,
cos а получился бы по абсолютной величине больше 1.
В табл. 5 даны для различных X те углы а, при которых ско-
рость’поршня максимальна, и соответствующие значения отношения
^=^(sina,+4sin2»1); (37)
Таблица 3.
X _L 3,4 1 3,5 1 3,6 1 3,7 1 3,8 1 3,9 1 4
75°10' 75°33' 75°50' 76°09' 76°26' 76°46' 77°
(Рр)тах <Ур)ср 1,631 1,629 1,626 1,624 1,622 1,620 1,617
На черт. 8 даны соответствующие графики этих параметров как
функции X.
Черт. 8. Кривые изменения угла а, соответствующего моменту (Ор)тах и отношения
в зависимости от X.
Скорость поршня будет равна нулю в мертвых точках поршня.
Соответствующие значения а будут
аг = 0 и а2 =* 180°.
Графически скорость поршня определяется, как показано на
черт. 9.
14
4 Продолжив ось шатуна АВ до пересечения в точке Н с верти-
кальным диаметром окружности, описываемой цапфой кривошипа,
будем иметь __ 1
vp = р- ОН,
где р — масштаб длин. Отсюда видно, что скорость цоршня ^гра-
фически выражается отрезком ОН. На черт. 9 дан закон изменения
15
скорости поршня по ходу поршня —сплошная кривая. Пунктиром
показан этот закон для бесконечно длинного шатуна, при котором
Х = 0; для этого случая кривая будет вообще описана по эллипсу,
но при принятом на чертеже масштабе для эта кривая обрати-
лась в окружность радиуса /?.
На черт. 10 даны для сравнения диаграммы скоростей поршня для
' = з4г’'=Т''=°-
§ 6. Ускорение поршня.
Ускорение поршня jp будет
dvp dv„
Подставляя в это уравнение выражение для vp из равенства (30),
получим точное выражение для Jp в виде
Л==«•>’ (cos « + --sT cos 2 « + J—sin’ 2«). (39)
(38)
Другое точное выражение для Jp будет
/,=/?0,’^<“+й+хсо4“1. (40)
р I COS Р cos8 ₽]
Выражение для Jp в виде ряда Фурье как функции^угла, а полу-
чим, подставляя в уравнение (38) выражение для vp из уравнения (32):
* Jp = R (COS а 4" Ре cos 2а —-16 р4 COS 4а 4" 36 р6 COS 6а —
— 64 р8 COS 8а 4-)- (41)
В табл. 4 даны числовые значения коэфициентов 4pg, |6р4, 36рв
и 64ps для разных X.
Таблица 4.
X 4ps 16р4 36р0 64р8
1 ЗА 0,3012 [ 0,00678 0,000180 0,09000372 j
1 3,5 2916 621 150 304
1 3,6 2832 568 127 1 234
1 3,7 2756 522 ПО 206
Д ,3,8 - 2680 482 0,0000961 171
1 3,9 ’2608 443 842 142
1 Л° 2540 410 738 119
16
На черт. 11 даны для примера диаграмма ускорения поршня по
углу поворота кривошипа и гармоники этой кривой согласно ряду
Фурье, равенство (41), для выявления их влияния на величину уско-
рения. Кривые построены для R = 8,5 см; к = ==; п = 2000 об/мин.
С достаточной, для практики точностью ускорение поршня опре-
деляется из уравнения
=/? <u2 (cos a-J-X cos 2а). (42)
Значения угла а, при которых имеют место максимальные зна-
чения ускорения поршня, найдутся из уравнений
<2 sina = 0; cosa2 =----L_. (43)
Черт. 11. Кривая ускорения поршня jp и гармоники ее составляющие для /? = 8,5 см,
1 = ~ и л = 2000 об/ мин.
«5,4
Второе уравнение имеет смысл для зн
Из уравнения sinaj = O определяются Д1я^
ai(')=o°; a1(")==18(
Первое соответствует максимальному
мертвой точке поршня
Второе соответствует максимальному отртд
в нижней мертвой точке поршня
> (/Р)тах = -/?Ш9(1-^
(/p)maX = /?w2(l+X)g
НИЙ
4
а значения
ерхней
3 И. Щ. Нейяад.
(44)
5 му значению jp
17
Второе максимальное отрицательное значение jp будет иметь место
в моторах с будет равно
(/р)шах =-R <С2 ^Х . (46)
Угол поворота кривошипа а, при котором 'ускорение поршня
равно нулю, определяется из уравнения
COs a -J- X COS 2а — 0.
Соответствующие-углы а для разных X даны в табл. 3. На черт. 12
дан характер протекания кривых ускорений поршня по углу пово-
1 1
рота кривошипа для моторов с Х>— и Х<" .
Графически ускорение поршня определяется, как показано на
черт. 13.
Проводим ось шатуна АВ до пересечения в точке Н с вертикаль-
ным диаметром окружности радиуса кривошипа; соединяем точку И
с точкой Z—полюсом мгновенного вращения шатуна; проводим
прямую ON || HZ;, из точки N пересечения прямой ON с АВ про-
водим прямую NRA.AB до пересечения в точке R с осью цилиндра;
ускорение поршня выразится отрезком OR и будет равно
jp = rfpOR,
где и — масштаб длин.
В том случае, когда точка Z находился за пределами чертежа,
ускорение поршня графически находится по способу Мора (Mohr):
из точки Н проводят прямую НМ || оси цилиндра до ее пересечения
18
19
в точке М с продолжением радиуса кривошипа; из точки М прово-
дят прямую MN перпендикулярно оси цилиндра до ее пересечения
в точке Л/ с осью шатуна АВ; из точки N проводят прямую NR _L АВ;
отрезок OR, как и выше, будет графически определять jp. На черт. 14
даны для сравнения диаграммы ускорений поршня для
>= *=-*-, х = о.
3,4 4
Для быстрых подсчетов в конце книги даны в зависимости от
угла поворота кривошипа а таблицы. следующих величин:
»
№ таблицы Таблицы
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII УгловыХ скоростей коленчатого вала и их квадратов Sin a, COS a, sin 2а, COS 2а, sin За, COS За, sin 4а, COS 4а Углы ft в зависимости от а и X Значения (а-}-₽) в зависимости от а и X » sift ft » » » » » COS ft , » » » » Ig ft » » » » „ Sin (а 4-3) , „ „ , „ COS (а + ft) , Sin (а 4- ft) . „ „ . COSp . COS (a + ft) „ » , , cos ft Для определения расстояний поршня от верхнего мертвого по- ложения Для определения скоростей поршня » „ ускорений , „ относительных угловых скоростей вращения ша- туна вокруг шатунной шейки коленчатого вала Для определения тангенциальной силы Tj от сил инерции посту- пательно движущихся масс Для определения радиальной силы Zj от сил инерции поступа- тельно движущихся масс
§ 7. Кинематика дезаксиального кривошипного механизма.
Дезаксиальным кривошипным механизмом называется такой кри-
вошипный механизм, у которого ось цилиндра не проходит через
ось коленчатого вала, а смещена относительно ее на некоторую
величину а (черт. 15), называемую дезаксажем. Цель такого смеще-
ния заключается в стремлении уменьшить боковое давление поршня
на стенку цилиндра, что будет видно в § 2 главы X. Кроме того,
дезаксиальный механизм дает несколько больший ход, ’что или
2Q
увеличивает литраж двигателя, или для заданного хода поршня
позволяет брать меньший радиус кривошипа /?. Дезаксиальный ме-
ханизм часто применяется у автомобильных двигателей, причем а
колеблется от О и до R.
Сохраняя прежние обозначения, обозначаем дезаксаж через
a = kR, (47)
где k теоретически может быть ^0, причем в случае, если
ось цилиндра смещена в направлении вращения двигателя.
На практике для уменьшения бокового давления поршня берут
обычно в пределах от 0 и до 1.
Угловой путь шатуна, угол р, определяется (черт. 15) уравнением
L sin Р = 7? sin а— а, (48)
откуда
sin р — sin а — — X (sin а — k). (49)
Из последнего уравнения видно, что углы по-
ворота кривошипа а, при которых ось шатуна сов-
падает с осью цилиндра (Р = 0), определяются из
уравнения
sin a = k. (50)
Углы поворота кривошипа, при которых имеют
место максимальные по величине значения угла р,
определяются из уравнения
Sin а = ± 1,
т. 6. будут при а = 90° и а = 270°.
Максимальные углы отклонения оси шатуна от
оси цилиндра (р)тах будут различны в ту и дру-
гую сторону и* определятся из уравнения
Sin (p)max — —
_1
Черт. 15. Дезаксиаль-
ный кривошипный
механизм.
Угловая скорость шатуна определяется из уравнения
, COS а
= Aw-----.
at cos p
Угловое ускорение шатуна определяется из уравнения
= — Aw2 Г(1 — А2) — k —
dt? cos3p[? 7 \
sin2 a -{- 1
sin a
(52;
(53;
Расстояние поршня от верхней мертвой точки Sp определяется
(черт. 15) из уравнения
Sp = Sol -‘-Sl — Sol — [7? cos a -j- L cos p]. (54
Выражение для Sp в виде функции угла а получим, лользуяо
соотношением
COS р = |/1 — A2 (sin а — fe)2 1--- A* (sin a — &)2-A4 (sin a — fe)4 —
~ A6 (sin a — — • ;
16
2
Ограничиваясь членами, содержащими X не выше 2-й степени, по-
лучим
ха
cos р 1 —— (sin а — k)*. (55)
&
На основании этого получим
Sp — (Sol — L) — R ^cos a -|- A cos 2a -f- Mt s’n a — -j, (56)
где _________
Sol = V (TW ~ = R (t +* 1) ~ (57)
Ход [поршня для дезаксиального механизма определяется ура-
внением _ _______________________
^=SOI-(S£)mta==/?[|/r(58)
Ход поршня 5[>2/?, причем эта разница может доходить до 7%
(при ^=-д- и fe=l).
Значения углов а, при которых имеют место верхняя и нижняя
мертвые точки поршня, определяются непосредственно из черт. 15.
Для верхней мертвой точки
а
черт. 15.
Xfe
(59)
Для нижней мертвой точки
a Ik
Sin a2 — —
Скорость поршня определяется из уравнения е
Vp — — Ra> [sin a + X sin 2a — Ik COS a].
Ускорение поршня определяется из уравнения
d^S л
jp = =Rts? [cos a cos 2a -j- Xfe sin a].
(60)
(61)
(62)
1
I
ГЛАВА II.
КИНЕМАТИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА БОКОВОГО
ЦИЛИНДРА СТАЦИОНАРНОГО ЗВЕЗДООБРАЗНОГО , МО-
ТОРА, У КОТОРОГО T=it.
§ 1. Обозначения.
Обозначим (черт. 1):
R — радиус кривошипа мотора,
L — длину главного шатуна,
a — угол поворота кривошипа от оси главного цилийдра,
р— угол отклонения оси главного шатуна от оси главного ци-
линдра,
г—расстояние от оси цапфы кривошипа' до оси пальца бокового
шатуна,
I — длину бокового шатуна,
a-i—угол поворота кривошипа от оси рассматриваемого боко
вого цилиндра,
₽z— угол отклонения оси бокового шатуна от оси соответст
вующего цилиндра. Угол pz принимается положительным при поло
жении оси бокового шатуна относительно оси соответствующей
бокового цилиндра в сторону вращения мотора; при положенш
оси бокового шатуна по другую сторону оси бокового цилиндр!
угол принимается отрицательным,
i — число цилиндров звезды,
Y — угол между осями бокового и главного цилиндров звезды,
~(i — угол, образуемый осью главного шатуна с плоскостью, пре
веденной через оси подшипника главного шатуна и закрепленное
на нем пальца бокового шатуна,
7О—угол между осями двух соседних цилиндров,
S—расстояние от оси коленчатого вала оси пальца поршн
главного цилиндра для данного а,
— расстояние от оси коленчатого вала оси пальца поршн
главного цилиндра в момент его нахождения в верхней мертво
точке,
S,p— расстояние поршня главного цилиндра от его верхнег
мертвого положения в момент, соответствующий а,
S[—расстояние от оси, коленчатого вала оси пальца порпп
бокового цилиндра для данного az,
Sol — расстояние от оси коленчатого вала оси пальца порпп
бокового цилиндра в момент его нахождения в верхней мертве
точке,
Spl— расстояние поршня бокового цилиндра от его верхне!
мертвого положения в момент, соответствующий az,
— скорость поршня главного цилиндра для данного а,
jp — ускорение поршня главного цилиндра для данного а,
скорость поршня бокового цилиндра для данного az,
jpl—ускорение поршня бокового цилиндра для данного az,
га — угловая скорость вращения вала,
е — степень сжатия мотора,
Vc — объем мертвого пространства главного цилиндра,
Ус1—объем мертвого пространства бокового цилиндра,
D— диаметр цилиндра,
С. — приведенное расстояние от оси коленчатого вала до д!
цилиндра,
<uz — угловая скорость шатуна бокового цилиндра,
0Z—угловое ускорение шатуна бокового цилиндра.
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна боково.
цилиндра.
Из черт. 1 имеем
* “ = а; + т (
/?sinaz=rsinP4-/sinpz. (
Из черт. 2 имеем
L sin (т 4- 8) г sin 8
л sin т 'л sin у.'
(3)
Черт. 1. Кривошипный механизм с прицепным шатуном.
Обозначим
(4)
\л _т
1 R
где X — — .
Из уравнения (2), преобразовав его, будем иметь
sin ₽z — Xz sin (az — 8). (5)
Из уравнения (5) видно, что углы поворота
кривошипа аь при которых ось бокового шатуна
совпадает с осью его цилиндра (Pz = 0), будут
aZ} = 8 и aZ2 = 8 4~ 180°.
Углы поворота кривошипа а{, при которых
имеют место максимальные по величине значения
угла pz, определяются из уравнения
Черт. 2. К опреде-
лению кинематиче-
ских параметров
кривошипного ме-
ханизма прицепного
шатуна с h — y.
откуда
«н —8 —90°; azl = 90Q4-8 1
aZ3 —8 = 270Q; aZ3 = 180° 4~ azi. f W
Таким образом моментами максимального от-
клонения оси бокового шатуна от оси его цилиндра
будут моменты прохождения оси цапфы криво-
шипа через диаметральную плоскость описывае-
мого ею цилиндра, наклоненную к оси соответ-
ствующего бокового цилиндра под углом (90 4~ 8)°-
Максимальный угол отклонения оси бокового ша-
туна от оси цилиндра (₽z)max в ту и другую сто-
рону будет, как видно из уравнения (5), по вели-
чине один и тот же и определится из уравнения
Sin (P/)max ~ — X/. (7)
г-1
(9)
“z
Угловая скорость шатуна будет
1 dt ‘ cosp:z v 7
Приближенное выражение для а>, в виде функции угла az будет
Л2 1
cos (az — 8)-- COS 3 (az — 8) .
о J
Менее точное, но более простое выражение для <oz будет
<oz = Xz <u cos (at—8). я
Ужовое ускорение шатуна будет
_d^_d^t _ . («z —8)
dt—d?~ /(1 Xz)“ sin~7os4T
Максимальные значения 0Z будут при
a„ =90' 4-8 и aZ9= 180°ф-aZl
(Ю)
(Н)
и будут равны
(©/).
Xz
(12)
Приближенное выражение для 0Z в вйде функции угла
©z = - Xz [(1 + sin (а,-6)=Xz2 sin 3 (a,- 8)
«z
будет
(13)
В более упрощешюм виде выражение для 0Z будет
0Z = — Xz <u2 sin (az — 8). (14)
§ 3. Расстояние поршня от верхнего мертвого положения^
Из черт. 1 имеем
Sz=Rcos az-J- г cosр 4* ^cospz. (15и
Расстояние поршня бокового цилиндра от верхней мертвой точки
Sp! определяется из уравнения
Spl = Sol — Si— Sot — (Rcos az4-rcos p 4- Zcospz). - (161
Выражение для Spl в виде функции угла az получим, пользуясь
следующими соотношениями:
cos 8 = j/1 —sin2p — ]/1 — X2 sin2 а= j/1 — X2 sin2 (0,4-7) (17
cos pz = ]/l — sin2 pz = j/1 — X/ sin2 (az — 8). (18'
Разлагая выражения (17) и (18) в ряд по биному Ньютона со
гласцо равенству (20) главы I и делая дальнейшие преобразовать
согласно равенствам (21), (22), (23) и (24) § 4 главы I, получим
X2sin2(az4-T) = y — £4-ps cos 2 (az 4*7) —
— ps COS 4 (az 4- T) 4~ f>6 cos 6 (az 4~ l) — Ps COS 8 (az 4~ l) 4~ • • •» (19
‘=4х+Дх,+Ах,+®х,+-
Pl=ll+^x.+f-x.+^+...
*- йх,+Дх,+®х’+-'
*- 5-кх‘+йй®х’+-
₽= 128*Х’"*~"'
j- 1/1 — X/ sina («г— 8) — J-Arz4-pZ2cos2(az — 8) —
— р/4 COS 4 (az—8) 4- р„ cos 6 (a, — 8) — Pz8 cos 8 (az — 8) ф-...,
(20)
(21)
Де kh pZ2, pZ4, pz6, pZ8 определяются формулами (20) с заменой X на Xz.
На основании равенств (19) и (21) получаем для Spl выражение
Spl= [SoZ- г (1 - Ik) - /(1 - ХА)] -
— /?{cos az4-£-[р2 cos 2 (az4-1) — р4cos 4(az4-7) 4-.. .]*4-
+ j- [p/2 COS 2 (az — 8) — pzs cos 4 (az — 8) 4-... j}. (22)
Ограничиваясь в ряде (22) гармониками второго порядка и от-
расывая в коэфициентах k, klt р2, pZ2 члены, содержащие X и X, в
гепени выше первой, получим приближенное выражение для пути
оршня Spl:
spl = [Sol - (г 4- /) 4- 0,25 (X«r 4- vol -
— R Feos az4~ 0,25 X ^- cos 2 (az 4^ t) 4~ 0,25 Xz^-cos2(az— 8)|. (23)
t
J Преобразуя выражение (23) и обозначив
। л2
I cos 28 4-cos 2у — A
1 л2
sin 28 — sin 2y = В
f-=‘se’ x£^=f-
(24)
(25)
/дем иметь
SP1= [5oZ- (r 4- 0 4- 0,25 (XV 4- X//)] -
— R [cos az 4~ o,25 F cos (2az — 0)].
По своему строению эта формула аналогична формуле для 5Р нор-
1льного кривошипного механизма. В этой формуле при данных
|(змерах кривошипного механизма все коэфициенты являются ве-
(чинами постоянными, определяемыми на основании вычисленных
соотношений. Определение величины Sol — расстояния от оси колен-
чатого вала оси пальца поршня бокового цилиндра в момент его
нахождения в верхней мертвой точке дается ниже.
На черт. 3 даны для примера диаграммы путей поршней цилин-
дров № 1, 2 и 3 мотора НАМИ 100-02, построенные по углу
поворота кривошипа. Основные кинематические данные этого мо-
тора даны в табл. 1.
$ 4. Скорость поршня.
Скорость поршня бокового цилиндра определится из уравнения
Точное выражение для получим, подставляя в уравнение (26)
Spl из равенства (16); будем иметь
п Г • । л ci r sin2(a,-4-Y) , л sin2(«, — 6)1
«<+0,5 X Т----±1™ + 0,5 X, г —. (27)
Выражение для скорости vpt в виде функции угла az получим,
подставляя в уравнение (26) Spl из равенства (22),
| sin [2р2 sin 2 (az ф- у) — 4р4 sin 4 (az -f- у) + ...] -f-
+ у- [2ри sin 2 (az — 8) — 4pzi sin 4 (az — 8) 4-...]). (28)
)
Приближенное выражение для скорости в виде функции
угла az получим, подставляя в уравнение (26) Spl из равенства (23),
vpl — sin az -f- 0,5Х ~ sin 2 (az т) 4* 0,5Xz у - sin 2 (az — 8) . (29)
L,
27
В преобразованном виде выражение (29) получим, подставляя в
уравнение (26) Sp! из выражения (25),
Vp, = [sin а, 4- 0,5F sin (2az — ©)]. (30)
На черт. 4 даны для примера диаграммы скоростей поршней
цилиндров № 1, 2 и 3 мотора НАМИ 100-02, построенные по углу
поворота кривошипа.
Черт. 4. Скорости поршней первого (главного), второго и третьего (боковых) ци-
линдров пятицилиндрового звездообразного авиамотора НАМИ 100-02.
§ 5. Ускорение поршня.
(31)
Ускорение поршня бокового цилиндра jpl определится из урав-
нения
_ d^pt _ ш d<Vpt
Jpl dt '
Точное выражение для jpt получим, подставляя в уравнение (31)
vpl из равенства (27),
jPi=R
г cos 2(«z 4- у) । X2 sin® 2(az4~v)
L
cosp
л
4 cosa₽
cos2(az — 8) Xz® sin® 2 (az—о)"
cospz 4 cos3 ₽z
)
(32)
28
Выражение для ускорения j’pl в виде функции угла az получим,
подставляя в уравнение (31) vpl из равенства (28)
Jpi—R^ | cos az + -£- [4р2 COS 2 (а, + 7) — 16р5 COS 4 (az -j- у) ф-..
+ т [4р/2 cos 2 (а, — 8) — 16pz4 cos 4 (az - 8) ф-...] )
Приближенное выражение для’’'ускорения jpl в"’виде функции
угла az получим, подставляя в уравнение (31) vpl из равенства (29),
Jpi = cos at -j - X у- cos 2(az -Н) + Xz4-cos 2 (az — 8) . (34)
L L
(33)
Черт. 5» Ускорение поршней первого (главного), второго и третьего (боковых) ци-
линдров пятицилиндрового звездообразного авиамотора НАМИ—100-02.
В преобразованном виде выражение (34) получим, подставляя в
уравнение (31) vpl из равенства (30),
jpt — Ra>* [cos F cos (2az — 0)]. (35)
Выражение для ускорения jpl (34) в форме, не содержащей пара-
метров az, л и 8, будет
jр1=Ра>2 Г cos (а — т)4-Х-£- (1 -СА cos 2а —2Х X COS (2а —?)-)-
4- у- cos 2(а — у) j. (36)
29
На черт. 5 даны для примера диаграммы ускорений поршней
цилиндров № 1, 2 и 3 мотора НАМИ 100-02, построенные по
углу поворота кривошипа.
§ 6. Определение основных размеров кривошипного
механизма.
Основные размеры кривошипного механизма рассматриваемых
звездообразных моторов определяются обычно следующим образом:
R определяется выбранным ходом поршня главного цилиндра; '
L определяется выбранным X;
X в существующих моторах колеблется от до причем
его обычно берут по величине равным ближе к значению из со-
ображений возможно меньших максимальных углов отклонения осей
боковых шатунов от осей соответствующих цилиндров.
Размеры г берут обычно разными из соображений получения
одинаковой степени сжатия е во всех цилиндрах при одинаковой
длине I всех боковых шатунов. Путь определения длины бокового
шатуна / и размеров г следующий:
1. Определяют r=(r)min из'конструктивных возможностей; г же-
лательно всегда иметь возможно малым, чтобы получить возможно
большее приближение кинематики бокового шатуна к кинематике
шатуна нормального кривошипного механизма и возможно меньший
вес главного шатуна.
2. Для (r)min определяют длины боковых шатунов мотора из
условия, чтобы степень сжатия е была одинакова во всех ци-
линдрах.
Математически это условие для каждого бокового цилиндра в
отдельности напишется:
С (5/)пЧп__ /о7\
c-sel - (37)
3. За длину боковых шатунов принимают длину шатуна с наи-
меньшей длиной из длин, определенных по п. 2.
4. По найденной длине боковых шатунов определяют г боковых
шатунов из того же условия (37).
Быстро и практически достаточно точно определяются: / при
данном г; г при данном I и те углы аь при которых имеют место
мертвые точки поршней боковых цилиндров, из нижеследующих
уравнений, вывод которых основан на том положении, что углы ah
соответствующие мертвым точкам, отличаются от 0° и 180° на
малые по величине острые углы. На этом основании для углов аь
близких к углу, при котором имеет место верхняя мертвая точка
поршня,.с достаточной точностью можно принять
cos az == j/I —sin4 = 1 —g-sin2az4- C0S4-^-.
Отсюда для моментов положений поршня бокового цилиндра
30
около верхней мертвой точки с достаточной точностью можно при-
гять [см. равенство (25)]
+ [(F cos 0 + 1) cos 2ai + F sin 6 sin 2az], (38)
Значение azi угла az, при котором имеет место верхнее мертвое
положение поршня бокового цилиндра, определится из условия
dSt п
^=0 уравнением
tg2azl = —(39)
д++-
1 Аг
Подставляя значение угла aZI из равенства (39) в равенство (38),
будем иметь
(Sz)max = 5’oZ = -^-/?+ (1 —- + (1 —Z +
₽FCOS0 + 1
+ 4 COS2azl • >
Аналогично для углов az, близких к углу, при котором имеет
место нижняя мертвая точка поршня бокового цилиндра, с доста-
точною точностью можно принять
. 3 cos 2а,
cos az = COS (180° + х) — — cos х = — --.
Отсюда для моментов положений поршня бокового цилиндра
около нижней мертвой точки с достаточной точностью можно при-
нять [см. равенство (25)]
(1 ~т) г+ 0 “¥) /+
+ [(Acos 0 — 1) cos 2az + Fsin 0 sin 2az]. (41)
Значение ай угла az, при котором имеет место нижнее мрртвое
dS, п
положение поршня, определится из условия=0 уравнением
• tg 2aZ3 — j—.
А----+-
Ar
Подставляя значение угла aZ2 из равенства (42) в равенство (41),
будем иметь
(+)min — — -/?+ ^1---4-j г+
. 7? Feos(0— 1)
' 4 cos2aZ2
(42)
(43)
31
_ _ . Thfi.il . * —— • ' 1 ' “—;
Наименование мотора НАМИ 100-02 НАМИ 6О-оГ~ Т* 1-й вариант Н Г" НАМИ 60-01 1 2-й вариант РОН-ЮПИТЕР серия IV
Основные параметры кривошипа главного цилиндра 77 = 70 L=260 Х=0,269 27?=140 <?>тах = 15°37- 7?=7О 7 = 260 I 277=140 7=0,269 ! ' 7?=70 £=245 217=140 1=0,2857 /л =16’36' 77=95 277=190 £=343 7=0,277 (?)тах=16’51'
е 5 в П 5 1 5,3
№ цилиндров 2 3 4 5 2 3 2 3 2 { 3 4 5 6 7 8 9
7 72° 144° 216° 288’ 120° 240° 120° 240° 40° 80° 120° 160° 200° ’ 240° 280° 320
1 точно ..... 205,6 205,6 205,6 205,6 209,436 *4- 209,436 • 194,59 194,59 292 292 292 292 292 292 292 292
1 по приближенной формуле .... 205,6 205,6 209,41 209,41 194,55 194,55 . —1
г точно ............... 56,69 55 55 56,69 52 52 52 52
г по приближенной формуле ... * 56,66 52 53,3 52,5 51,2 51,2 52,5 53,3 52
л . 248,4 306,21 306,21 248,4 289,53 289,53 274,71 274,71 305,5 337,5 372,5 391,5 391,5 372,5 337,5 305,5
5 12» 32' 17" 6е 03' 37" — 6° 03' 37" — 12’32'17" 8° 56' 53" — 8’56'53" 9° 26' 05" —9’26'05" 6° 18' 8° 58' 7’02' 2° 34' — ?°34' —7’ 02' — 8’ 58' — 6’18'
0,325 0,401 0,401 0,325 0,372 0,372 0,403 0,403 0,2898 0,320 0,3535 0,371 0,371 0,3535 0,320 0,2898
(^max 18° 58' 58" 23° 36' 41" 23° 36' 41" 18’ 58' 58" 21° 51' 18" 21’ 51' 18" >3’47' 13" 23’47' 13" 16’ 49' 8’42' 20° 41' 21’49’ 21° 49' 20’ 41' 18° 42' 16° 49’
А 3,9851 8,4177 8,4177 3,9851 6,8259 6,8259 6,5572 6,5572 6,174 6,01 8,29 10,96 10,96 8,29 4 6,01 6,174
В 1,6555 2,6926 —2,6926 — 1,6555 3,2305 — 3,2305 3,2780 — 3,2780 0,355 1,918 3,066 1,556 — 1,556 —3,066 — 1,918 — 0,355
0 22° 31' 32" 17° 44' 18" —17’ 44' 18" —22° 31'32" 25° 19' 34" — 25’19'34" ₽6С33' 37" -26’33'37" 3’17' 17’ 37' 20° 18' 8’05' —8° 05' -20° 18' —1<’37' — 3-17'
F 0,2538 0,5032 0,5032 0,2538 0,4066 0,4066 1 р,4448 0,4448 0,26 0,2715 0.375 0,4575 0,4575 0,375 0,2715 0,26
а/ точно 2° 10' 2’50' 357’10' 357’50' 3’4)' 356’20' 4° 10' 355° 50’
cz/j по приближенной формуле .. . 2’15' 2’58' 3’41' 4° 03' 20' 1’52' 2’45' 1’16' — 1’ 16' —2’45' — 1’52'
aZ3 точно «... 17б°30' 171’45' 188° 15' 183’30' 172’ 15' 187’45' I 1 170’40’ 189° 20'
“Zs по приближенной формуле .. . 176° 22' 171’47' 172° 18' к 170’52' 179° 26' 176° 50' 174° 21' 176’39' 183’21' 185’39' 183’10' 180° 34'
329,961 329,861 329.861 329,961 329,812 329,812 | [ 314,806 314,806 438,03 437,99 437,85 437,96 437,96 43?,85 437,99 438,03
189,788 189,328 189,328 189,788 189,196 189,196 1 173,988 173,988 248,005 247,81 247,38 247,84 247,84 247,38 247,81 248,005 1 1
| so!~(5/)ПШ1 140,173 140,533 140,533 140,173 140,616 140,616 • 140,818 140,818 190,025 190,18 190,47 190,12 190,12 190,47 190,18 190,025
Действительная длина 1 . РОН4ОПИТЕР рия IV НАМИ 100-02 НАМИ 65 'а.
2 з 1 4 5 2 1 3 £ = 260 £=245
— 292 205,6 209,4 194,6
ПО формуле Z=(£ —д)4-Л -^LsinS-f Z ° ° “ ° ° Q “ ° 291,98 292,05 s - 292,3 292,05 205,68 205,88 209,77 195,03
ПО формуле Z+"(1—A)r 291,965 292,05 292,28' 'ЛЙ2,04 205,69 205,88 209,76 195
по формуле ^a^+^(H-|>Siri»T-^-r[.rintef|_sin4gtej 291,98 291,99 292,05 ' 291,99 205,58 205,61 209,42 194.5Й
32
|L VH. Ш. НеймаЯ.
Величина С, входящая в равенство (37), определится из равен-
ства
Ус
0,25лГ»2
?/? • 0,25кО2
s —1)0,25л£)«~
^Ч-z?.
е — 1
(44)
Подставляя в равенство (37) выражения для С из равенства .
(44), для Sol и (5z)min из равенств (40) и (43) и делая ряд преобра-
зований, получим
r sin 2y —
Х2В
16(7111) Iе sin 4ct" “sin 4а»1 г‘
(45)
В равенстве (45) член, в квадратных скобках, является малым
по величине. Если принять, что azl = 0° и ая=180°, то этот член
обращается в 0; принимая далее в правой части -равенства (45)
. l—JL — r (что является достаточно точным для определения вели-
X2 / . г \ . „ . I
чины члена -% (1 fsm к), мы получим простую, но менее точ- I
•ную формулу для длины бокового шатуна Z
l=(L— г) 4-4 г sin 8 у. (46)
Здесь, напомним, угол у есть угол между осями главного ци-
линдра и рассматриваемого бокового.
Расчет по формуле (15) производится следующим образом. Сна-
чала по формуле (46) определяют длину I; пусть она равна Zz; за-
тем по формуле (45) определяют искомую длину Z, подставляя в
правую часть этой формулы /=4, и параметры В, azi и аи, опре-
деленные соответственно по формулам (24), (3£)) и (42), принимая
при Их определении Z=Zz.
f Величина г при заданной I определяется по формуле, вытекаю-
щей из формулы (45)
r—(L—/)+y(l-f-yysin27— g^-^[esin4azl — sin4azs]r. (47) -
Приближенную формулу для определения г получим, полагая в
равенстве (47) azi = 0 и ай = 180° и принимая при определении члена
у г sin8 т, r=L — l
r=(£_/) + Y(j—l)LSinaT.
(48)
Определение г по формуле (47) производится аналогично изло-
женному выше определению Z: сначала определяется г по формуле ’ •'
(48), а потом окончательно по формуле (47).
В табл. 1 дана для примера сводка основных параметров, харак-
34
теризующих кинематику кривошипных механизмов четырех авиа
ционных моторов:
1. Пятицилиндрового звездообразного мотора с воздушным
охлаждением для учебных самолетов НАМИ 100-02, у которого
/? = 70 мм\ £ = 260 мм-, у о — 72°; (r)min = 55 мм.
Цилиндры мотора обозначены, начиная с главного, в направлении
вращения мотора по порядку нумерами 1, 2, 3, 4 и 5.
2. Первого варианта трехцилиндрового звездообразного мотора
НАМИ 60-01, у которого
£> = 70 мм-, L — мм\ уо = 120°; г = 52 мм.
Цилиндры мотора обозначены, начиная с главного, в направлении
вращения мотора по порядку нумерами 1, 2 и 3.
3. Втирого варианта трехцилиндрового звездообразного мотора
НАМИ 60-01, у которого
£> = 70 мм-, £ = 245 мм-, уо=120°; г =52 мм.
Нумерация цилиндров одинакова с мотором первого варианта.
4. Девятицилиндрового звездообразного мотора с воздушным
охлаждением Рон-Юпитер серия IV, у которого
/?=95 мм\ £ = 343 мм-, уо=40°; (г)т1п = 51,2 мм.
Черт. 1. К определе-
нию кинематиче-
ских параметров
кривошипного ме-
ханизма прицепно-
го шатуна.
ГЛАВА III.
КИНЕМАТИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА БОКО-
ВОГО ЦИЛИНДРА СТАЦИОНАРНОГО ЗВЕЗДООБРАЗНОГО
МОТОРА, У КОТОРОГО
? 1. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна бокового
цилиндра.
Обозначим
li—7 = Ф- (1)
Для рассматриваемого случая имеем
2sinpz=/?sin«z—rsin(P—ф).
Из черт. 1 имеем
£ sin (7 -t- 8) , г cos ф sin 8
л sin у ’ л sin? * '
Ввиду обычно малых углов ф и ₽ получим с до-
статочной практически точностью
sin Р/== Xz sin — 8) -|- -jp sin ф, (4)
где
(5)
pz= arc sin sin (а,—8) -у sin Ф |. (6)
35
)
Из уравнения (4) видно, что углы поворота кривошипа при
которых ось бокового шатуна совпадает с осью цилиндра (pz = 0),
найдутся из уравнения
sin(az —8) = —2Lsin^. (7)
Углы поворота кривошипа az, при которых имеют место макси-
мальные по величине значения угла ₽z, определяются из уравнения
sin («z — 8)=±1,
откуда
azl —8= 90°; azl = 90°4-8 1
aZ2 — 8 = 270°; aZ2 = azi -ф180° f '
Таким образом моментами максимального отклонения оси боко-
вого шатуна от оси его цилиндра будут моменты прохождения оси
цапфы кривошипа через диаметральную плоскость описываемого
ею цилиндра, наклоненную к оси соответствующего бокового ци-
линдра под углом (904-&)°-
Максимальные углы отклонения оси бокового шатуна от оси
соответствующего цилиндра (pz)max в ту и другую сторону опреде-
ляются из уравнения
sin(,ez)max = y sin<p±Xz. (9)
Угловая скорость шатуна будет
‘ dt cospz v 7
Угловое ускорение шатуна будет
О,= — 1 (1 — V) — у sin Ф pn ₽z 4-
+sTntd}- (11)
При угле 4 = 0 из уравнения (11) получим
0Z =' — Xz (1 - Xz>« • ,
1 1 ' COS3 pz
т. e. выражение, полученное выше при рассмотрении случая, когда
7z —Т-
§ 2. Расстояние от верхней мертвой точки, скорость и
ускорение поршня бокового цилиндра.
Для рассматриваемого случая имеем
Sz = /?cosaz-4-rcos(₽ — 6)-|-/cospz. (12)
Расстояние от верхней мертвой точки поршня бокового ци-
линдра Spt определяется из уравнения
Spi—SoL— [Я COS az4- г cos (₽ —- 4-) 4-1 cos ₽z]. (13)
Приближенное выражение для Sp! будет
Spi = soi — k — R [Д cos (a, + Ф) 4- 0,25F cos (2az — 0)]. (j4)
Здесь обозначают:
/ = [r(1~4x2) cos-p 4-/(1-~^-|^sin2^]
л2
A ~ —T cos 28 4- cos Ф cos 2т
rl I . I
Л2
£? =r sin 28 — cos Ф sin 2?
rl
г л r O^)
C= 1 -j--£-sin<psin7~}--y2-sin’psin 8
D = f sin (— cos 0 — cos 7 I
\ L j
D , ~ В C r A c
tg0=-^; tg0 = —----------— = Е\ -------a = F.
C 6 А собФ L cos 0
4
Диференцируя no t уравнение (14), получим для скорости при-
длиженное выражение в виде
[£ sin (az + Ф) 4- 0,5f sin (2az ~ 0)]. (16)
Продиференцировав no t уравнение (16), получим для вира*
жение
(PS
jpi— R^ [f cos (az 4- Ф) 4- F cos (2a, — 0)]. (17)
На черт. 2 дана диаграмма ускорений поршня бокового цилиндра
мотора Кертисс Д -12.
§ 3. Определение основных размеров кривошипного
механизма.
В данном кривошипном механизме размер г выбирается наи-
меньшим возможным по конструктивным соображениям. Размерами
I и можно варьировать; эти размеры должны быть подобраны
такими, чтобы степень сжатия в соответствующем цилиндре равня-
лась заданной величине. Рассмотрим сначала случай, когда даны
R, L, г, у и и требуется определить I из условия, чтобы степень
сжатия в цилиндре равнялась Математически это условие выра-
зится уравнением
С (*5'z)min _
C-Sol ~е’
где С согласно предыдущей главе равняется
е -4- 1
C=£ + ^±|Z?. (19)
Подставляя С из равенства (19) в уравнение (18), получим
eSo;-(Sz)raln = (e-l)£ + (e+l)/?. (20)
углов
точка
Из уравнения (20) и определяется искомая величина I. Ниже-
следующие формулы основаны на том, что углы аь при которых
имеют место верхняя и нижняя мертвые точки поршня бокового
цилиндра, отличаются на малые по величине острые углы от углов
0° и 180° соответственно. <
Аналогично выводам для случая т(=у будем иметь, что для
az, близких к углу, при котором имеет место верхняя мертвая
поршня, с достаточной точностью можно принять
3 . cos 2а,
COSa, = T-|----—,
а для углов az, близких к углу, при котором имеет место нижняя
мертвая точка поршня, с достаточной точностью можно принять
cosaz
3 cos 2az
4 4 ’
откуда для моментов положений поршня бокового цилиндра около
верхней мертвой тонки с достаточной точностью можно принять
[см. равенство (14)]
5Z 5= Sa - = (k + CR) + -J-R sin e ~
* —2Esin Ф) sin 2az-|- (Feos 0-]-Ecos0) cos 2a J. (21)
Угол azi, при котором имеет место верхняя мертвая точка поршня
бокового цилиндра, определится из условия = 0 уравнением
uaz
_ , о . . В — 2 — D
Fsin0— 2Fsin<2> Xr
tg 2«ц = ’ (22)
Величины А, В, С, D, Е, F и в определяются согласно равен-
ствам (15).
Подставляя значения угла 2azi из равенства (22) в равенство (21),
будем иметь
9 / 3 с \ /? Fcose+fcos0
(5,)ти - SoZ - -J- 4 ER J + т —. (23)
Для моментов положений поршня бокового цилиндра около
нижней мертвой точки с достаточной точностью можно принять:
S/=SoZ-SpZ = p-Ac./?J + _l /?[(Fsin©4-
+ 2£ sin Ф) sin 2az -J- (Feos 0 — Ecos Ф) cos 2aJ. (24)
Угол az, при котором имеет место нижняя мертвая точка поршня
х dSl п
бокового цилиндра, определится из условия -~ = 0 уравнением
- . п юг - B^2~D
______Fsmft-\~^Е$\пФ__ 1 Хг
tg “Гсо8©=£со?ф ~ z _ 7
^-С— А
Хг
(25)
Подставляя значение угла 2ай из равенства (25) в равенство (24),
будем иметь
(26)
Подставляя в равенство (20) So! и (Sz)min из равенств (23) и (26)
и делая ряд преобразований, получим „
1= [L — rcos'p] —sin т
4-J sin 7 cos ф —
-5ysin^ U- —-j-sm5^ —Д,
(27)
где
Л ^Вг г C.D L\ . .
д=щг=Т)Н в х?)sm4»«-
-(1+2^'&)sin4“»]-
(28)
Более простое, но менее точное выражение для определения I
получим, полагая, что ал = 0°.и an = 180J; в этом случае согласно
равенству (28) Д = 0 и уравнение (27) напишется в виде
l=\L— г cos Ф] 4“ sin 7 14--J-COS4J.
X е I 1 Я 1 №
у sin 7 cos ф — Sin <И 4-у -J- sin® ф.
(29)
Обозначив через угол отклонения оси главного шатуна от
оси его цилиндра в момент совпадения радиуса кривошипа с осью
39
рассматриваемого бокового цилиндра и имея в виду выведенное
раньше
X sin 7 = sin р, и 1 —— sin® 7 — cos Р„
будем иметь после преобразований
й 1 1 е “Ь1 • о г I 2 I
cos р, cos 4»+ —~fsinPi sin 4' = — - —— - —
1 + у COS Ф
Ввиду малой, как видно ниже, величины угла можно с до-
статочной точностью принять
L — 1 [ г
COS pt COS 4- в ^2 1 sin Pi sin . (30)
i4-T
Обозначив
e 4- 1
cos Pi cos 4~ - y sin Pi sin = 1 4-«
L I (31)
/ — = b-, — = x,
r r
будем иметь
/ x=(d —1—a) — y.
Ввиду очень малой величины члена — по сравнению с членом
(6—] — а), в правой части последнего уравнения, можно принять
откуда z
/г=[£_г]__а_±_г, (32)
где а определяется согласно равенству (31), причем ввиду того,
что углы Pi и малы по величине, определение величины а при-
ходится вести при помощи логарифмов.
В V-образных моторах с прицепным шатуном очень часто длина I
прицепного шатуна берется равной
l=L — r, (33)
а угол ф определяется из того же основного условия, чтобы, сте-
пень сжатия е в боковом цилиндре равнялась заданной величине.
В этом случае из уравнения, (32) следует, что а = 0, и угол опре-
делится согласно уравнению (31) из уравнения
е -L 1
cos р, cos Ф 4" —L-<• sin Pj sin = 1. (34)
J * Решая это уравнение, будем иметь
• , (е — 1) sin pi
щ (е+1)4-2 j/e cospt
так как cos^ очень мало отличается от 1, то с достаточной прак-
тически точностью можно принять
sin^J—--.sinp^J^^sinp,
е 1 2 |/ s -J-1
и окончательно, подставляя вместо sin ^ = Asin 7,
1/е -1
sinty — •> —=-sin у. (36)
l/e + l
Напомним, что в последнем уравнении угол у есть угол между
осями цилиндров. В нижеприводимой табл. 1 приведены значения
угла ф для разных Айе для V-образных моторов с углом между
осями цилиндров 7 = 60°; углы определены по уравнению (35).
Упомянем теперь же, что в моторах этого типа цилиндры с при-
цепными шатунами располагаются относительно цилиндров с глав-
ными шатунами обычно в направлении вращения коленчатого вала
мотора из соображения меньших боковых давлений поршней на
стенки цилиндров; это будет видно в § 2 главы XI.
Таблица 1.
\. 1 \. х 6 'к 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1
5,0 5° 50' 5° 40' 5° 30' 5° 21' 5° 12' 5° 03' 4°54' 4° 57' 4° 41'
5,5 6° 08' 5'58' 5° 48' 5° 38' 5° 28' 5° 19' 5° 11' 5° 03' 4° 55'
6,0 6° 25' 6° 14' 6° 03' 5° 52' 5° 43' 5° 33' 5° 24' 5° 16' 5° 09'
6,5 6° 41' 6° 28' 6° 17' 6° 06' 5° 56' 5° 46' 5° 37' 5° 29' 5° 21'
7,0 6° 54' 6° 42' 6° 30' 6° 18' 6° 08' 5° 58' 5° 49' 5° 40' 5° 32'
На черт. 3 эта таблица дана графически.
Пример 1.
Авиационный мотор Кертисс Д-12 согласно произведенным в
НАМИ обмерам имеет:
L — 254 мм, R — 76,2 мм; X = 0,3;
/=195 мм; г=58,85 мм; 66° 20' 38",
причем угол 7Z определен вычислением согласно произведенным
обмерам главного шатуна
7 = 60°; е = 5,7.
Имеем:
6 = 6° 20'38"; л — 230,39 мм; 6 = 12° 42’ 2”;
А = 3,693; 5=1,126; С =1,029;
tg Ф = 0,01633; tg 0 = 0,307; D = 0,0168.
ф = 0°5б’; — 0 = 17° 4';
41
Максимальные углы отклонения оси бокового шатуна от оси
его цилиндра будут точно (методом подбора):
(Р/).-пах= 22° 48' при az=103°;
Шпзх = —18° 44' „ az = 283°.
По формуле (9):
(₽z)nm= 22° 48’ при а, = 102° 42';
(pz)raax=—18° 44' „ az = 282°42’.
Черт. 3. К определению основных размеров кривошипного механизма прицепного
шатуна с
Максимальный угол отклонения оси главного шатуна от оси его
цилиндра будет: -
(Р)тах = ± 17° 28'.
Углы поворота кривошипа, при которых имеют место верхняя
и нижняя мертвые точки поршня бокового цилиндра, будут точно
(методом подбора):
azi=l°8'; ай=176°20';
по формулам (22) и (25):
ац = 1°; ай = 175°53'.
42
Длина бокового шатуна по приближенной формуле (27) будет
/=194.968 мм\
Sol = 329,179 мм\ (Sz)min= 172,257 мм.
Ход поршня бокового цилиндра
Sol — (Sz)min= 156,922 мм.
Чтобы проследить влияние угла ф, ниже даны основные пара-
метры, определенные, принимая ty=0 и оставляя без изменений L,
R, г и е.
В этом случае:
/ = 197,7 мм\ Sol = 330,216 мм при ап = 1°45'
(5z)mIn= 177,698 мм я aZ3 = 177° 5'
S0/ — (Sz)rain= 152,518 мм- (₽z)max = ±20°27'.
Пример 2.
Авиационный мотор Изотта-Фраскини Asso-500 имеет:
/. = 258 жж; /? = 75жж; Х = 0,2907; /=195 жж; г =63;
7Z=66°; у = 60°; s = 5,5.
Имеем:
= 6°; л = 233 жж; 8 = 13° 27' 43";
А = 3,4452; В= 1,141; С= 1,0292; D = 0,0169;
tg Ф = 0,016427; tg0 = O,33118; Ф = 0°56'; В = 18О19'.
Максимальные углы отклонения оси бокового шатуна от оси
его цилиндра по формуле (9) будут
(р/)тах= 22° 24' при az=103°28'
(ft)max = —18° 17' , az = 283°28'.
Максимальный угол отклонения оси главного шатуна от оси его
цилиндра будет
(йтах = ±16°54'.
Углы поворота кривошипа, при которых имеют место верхняя
и нижняя мертвые точки поршня бокового цилиндра, по формулам
(22) и (25) будут:
azl = l°4'; aZi = 175°51'.
Угол согласно формуле (35) будет
^=5° 53,5'.
S01 согласно формуле (23) будет
Sol = 332,127 мм.
(.$))тш согласно формуле (26) будет
(Sz)min= 177,569 мм.
Ход поршня бокового цилиндра будет
Sol — (Sz)min= 154,658 мм.
ГЛАВА IV.
КИНЕМАТИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА РОТАТИВ-
НОГО МОТОРА.
§ 1. Обозначения.
В моторах этого типа коленчатый вал укреплен неподвижно,
а картер вместе с цилиндрами вращается около оси О — коленча-
того вала с угловой скоростью <о, поршни и шатуны вращаются
около оси В — цапфы кривошипа (черт. 1). При выводах предпо-
лагаем, что оси всех шатунов проходят через ось цапфы криво-
шипа и, следовательно, как бы хватаются за общую цапфу В.
В моторах этого типа относительное движение поршня по от-
ношению к цилиндру
будет то же, что и в
нормальном кривошип-
ном механизме; пор-
шень будет находиться
в своем мертвом поло-
жении, когда ось со-
ответствующего цилин-
дра приходит в совпа-
дение с радиусом кри-
вошипа.
Обозначим (черт. 1):
Ф — угол поворота
оси шатуна от оси ра-
диуса кривошипа, *
Черт. 1. Кривошипный механизм ротативного
двигателя.
« — угол поворота оси соответствующего цилиндра от оси ради-
уса кривошипа,
₽— угол между осями шатуна и соответствующего цилиндра,
ш — угловая скорость вращения мотора,
<»д — мгновенная угловая скорость вращения шатуна около оси
цапфы кривошипа В.
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна.
Согласно черт. 1 имеем
Ф = а + р. (1)
Угол р определяется из уравнения
sinp = Xsina. (2)
Угловая скорость вращения шатуна определяется из уравнения
Приближенное выражение для шд в виде функции угла а будет
/ Xs\ X3
шд = w [1-ф Х( 1-]—— Icosa-^-СОвЗа]. (4)
\ о / о
В еще более простом, но менее точном виде выражение для <»£
будет
= о (1 X cos а). (5)
Угловое ускорение шатуна определится из уравнения
дгФ dvL _ япа
dF ~"dt-d?— cos"p' (6)
Приближенное выражение для углового ускорения шатуна в виде
функции угла а будет
^ = -w[(l+^)sina- |-X2sin3a]. (7)
tZ20
В более упрощенном виде для получим выражение
<^Ф . „ . ./Q4
—- = — sin а. (8)
$ 3. Ускорение точек шатуна.
Нормальное ускорение точки шатуна, находящейся на расстоянии
Р от оси цапфы кривошипа, будет
А=Р“А (9)
где определяется по одной из формул (3), (4) или (5).
Тангенциальное ускорение этой же точки шатуна будет
где определяется по одной из формул (6), (7) или (8).
. § 4. Ускорение точек поршня.
Для определения составляющих ускорений точки С поршня
(черт. 1) рассматриваем ее движение, как состоящее из двух дви-
жений:
1) из относительного движения этой точки С по прямой ххЦ оси
цилиндра и отстоящей от нее на расстоянии 8, и
2) из вращения этой прямой хх с постоянной угловой скоростью
« около оси мотора О.
Составляющие ускорения точки С определяются при помощи
теоремы Кориолиса, по которой „полное ускорение сложного дви-
жения равно геометрической сумме трех векторов: полного уско-
рения относительного движения, полного ускорения переносного
движения и поворотного ускорения11. Чтобы получить поворотное
ускорение, надо скорость относительного движения спроектировать
на плоскость, перпендикулярную к оси вращения траектории, умно-
жить на двойную угловую скорость и повернуть на прямой угол
в сторону вращения траектории.
Для нашего случая имеем, что полное ускорение точки С в отно-
45
сительном движении будет направлено по прямой хх и определится
по величине из уравнения (39), (40), (41) или (42) главы I
(jc)om. = (jp)om. (11)
Полное ускорение точки С в переносном движении будет на-
правлено по прямой СО к оси вала и будет равно
С/с)лгр. = рю*. (12)
Скорость относительного движения точки С будет направлена
по прямой хх в сторону относительного движения поршня и опре-
делится по величине из уравнения (30), (32) или (33) главы I
СМ от. = (vр)от.‘ (13)
Поворотное ускорение точки С будет направлено перпендику-
лярно оси цилиндра; оно будет направлено в сторону, обратную
вращению мотора при движении поршня к оси вала, и в сторону
Черт. 2. Ускорение произволь-
ной точки шатуна ротативного
звездообразного двигателя.
вращения мотора при противоположном
движении поршня.
Величина поворотного ускорения точ-
ки С определится из уравнения
С/с)лов. = 2<й (Тс)от.== 2(й (фр)от.- (14)
Взаимное расположение этих трех
составляющих ускорений полного уско-
рения точки С поршня показано на черт. 2
для случая движения поршня к оси вала.
Для частного случая — для оси порш-
невого пальца, составляющие ускорения
полного ускорения будут:
jam. = R^ (cos а 4- X cos 2а). (15)
jnep. = Ro*2, (cos а 4~ cos 2а -j---------------. (16)
jroe. = R®* (2 sin а -J- X sin 2а). (17)
В данном случае ускорения jom. и jnep. будут оба направлены по
оси цилиндра и поэтому, слагаясь алгебраически, дадут составляю-
щее по оси цилиндра ускорение полного ускорения оси поршневого
пальца, равное
Joe.—jom. ~\~jnep. = R^ (2 COS a -f- 1,25X COS 2a 4- -|-. (18)
Второе составляющее ускорение полного ускорения оси поршне-
вого пальца будету„ов_, определяемое по формуле (17) и направленное
перпендикулярно оси цилиндра в сторону, указанную выше (в зависи-
мости от направления движения поршня в относительном движении).
Полное ускорение точек цилиндров, картера и других деталей
рассматриваемого типа моторов, равномерно вращающихся около
оси коленчатого вала мотора, будет направлено к оси мотора и равно
/=Р®’, (19)
где р — расстояние рассматриваемой точки относи коленчатого вала
мотора.
ГЛАВА V.
СИЛЫ ИНЕРЦИИ НОРМАЛЬНОГО КРИВОШИПНОГО МЕХА-
НИЗМА.
§ 1. Обозначения.
М — масса комплекта шатуна,
G — вес комплекта шатуна,
Мп — отнесенная к оси поршневого пальца часть массы шатуна,
Gn — вес отнесенной к оси поршневого пальца части массы
шатуна,
Mk— отнесенная к оси цапфы кривошипа часть массы шатуна,
Gk — вес отнесенной к оси цапфы кривошипа части массы шатуна,
Ln — расстояние центра тяжести шатуна от оси поршневого
пальца,
Lk — расстояние центра тяжести шатуна от оси цапфы криво-
шипа,
Js— момент инерции шатуна относительно оси, проходящей
через его центр тяжести и нормальной к плоскости его двг
женйя,
н — число простых качаний шатуна в минуту, т. е. число про-
хождений через вертикальную линию (при определении момента
инерции шатуна прокачиванием),
Pin — сила инерции массы шатуна, отнесенной к оси поршневого
пальца,
PLft— сила инерции массы шатуна, отнесенной к оси цапфы кри-
вошипа,
I1L — момент пары сил инерции шатуна,
Мр — масса комплекта поршня,
Рр—сила инерции массы комплекта поршня,
Mk0—приведенная к радиусу кривошипа масса кривошипа,
Pkv—сила инерции кривошипа,
—сумма масс: комплекта поршня и отнесенной к оси порш-
невого пальца части массы шатуна,
Pj—сила инерции поступательно движущихся масс одного ци-
линдра,-.
— сумма масс: приведенной к радиусу кривошипа массы кри-
вошипа и отнесенных к оси цапфы данного кривошипа масс шату-
нов, действующих на данную цапфу,
Pjk — суммарная сила инерции вращающихся масс одного кри-
вошипа,
g— ускорение силы тяжести.
§ 2. Основные соотношения
M = (1)
L = Ln'+Lk. (2)
Мп=^М. (3)
47
Mk=^M. (4)
G=G„-}-Gft. (5)
Gn=^G=M„g. (6)
Gk=-fG=Mkg. (7)
J=MLnLb-Js. (8j
§ 3. Силы инерции шатуна.
Движение любой точки С шатуна можно рассматривать со-
стоящим из двух движений (черт. 1):
1) из относительного движения точки С—вращения около оси
поршневого пальца А,
2) из переносного движения точки С — поступательного движения
параллельно оси цилиндра ОА
со скоростью и ускорением
поршневого пальца Д.
В связи с этим полное уско-
рение точки С сложится из ее
— полных ускорений в этих двух
движениях, а сила инерции эле-
ментарной массы dm шатуна,
сосредоточенной в точке С,
Черт. 1. К определению сил инерции шатуна сложится из сил инерции ее в
нормального кривошипного механизма. этих движениях.
Таким образом сила инерции
элементарной массы dm слагается из трех сил (черт. 1):
1) центробежной силы инерции относительного движения точки
С, направленной по прямой АС в направлении от А к С и равной
Pjn=—dm, (9)
где р = ДС—расстояние точки С от оси поршневого йальца, а
— угловая скорость шатуна;
2) тангенциальной силы инерции относительного движения точки
С, направленной перпендикулярно прямой АС и равной
d^ .
Ai = —Р dfrdm, (10)
tZ’P
где —угловое ускорение шатуна;
3) силы инерции переносного движения точки С, направленной
параллельно оси ОА и равной
pjp— — dmjp, (И)
где /р—ускорение поршня.
48
Принимая шатун симметричным относительно его оси и сумми-
руя по всей массе шатуна элементарные силы инерции, опреде-
ляемые уравнениями (9), (10) и (11), мы получим, что силовое воз-
действие сил инерции шатуна на ось поршневого пальца и ось
цапфы кривошипа эквивалентно суммарному действию нижесле-
дующих сил (черт. 2):
1) силы инерции массы шатуна Мп, отнесенной к оси поршневого
пальца и движущейся по закону движения этой оси. Эта сила
приложена к оси поршневого пальца, направлена по оси цилиндра
и равна
PLn = -Mnjp- (12)
2) центробежной силы инерции массы шатуна Mk, отнесенной
к оси цапфы кривошипа и движущейся по закону этой оси. Эта
сила приложена к оси
в направлении от оси
вала к оси цапфы и
равна
Pbk — — /Ик/?ш2;
3) пары сил с
ментом
П —J^
nL — JdP '
где J определяется из
равенства (8); по
одной из формул (11),
(13)или (14)§ 2,1 главы.
Направление пары /7Л опретелгетс^ гн знаком » ппщ-ятим за по-
ложительное направление нэп надшмецием ^гашения коленчатого"
вала мотор£ '
------— d’P
Подставляя в равенство (14) выражение для из
(11) § 2, I главы, получим точное выражение для Пь в
/7£ = Х(1-Х2)/со2
COS3 Р
Максимальные значения Пь будут при
цапфы, направлена по радиусу кривошипа
(14)
(13)
МО-
Черт. 2. Пара сил инерции и силы инеоции посту-
пательно и вращательно движущихся частей шатуна
в нормальном кривошипном механизме.
равенства
виде
(15)
а = 90° и а = 270°
и будут равны
(/7г)тах = ^ - * _/со2. (16)
— X2
Приближенные выражения для I1L в виде функций а получим,
подставляя в равенство (14) из равенств (13) и (14) § 2, главы I
Гр = X Jco2 1 + sin а —X2 sin 3a~j.
Гр = Х/со2 sin а.
4 И. Ш. Поймай.
(17)
(18)
49
§ 4. Определение центра тяжести и момента инерции ша-
туна.
Определение веса шатуна, отнесенного к поршню, Оп и веса
шатуна, отнесенного к кривошипу, Gk производится для существую-
щих шатунов непосредственным взвешиванием на весах с площад-
ками следующим образом:
1) определяется полный вес шатуна G, следовательно, имеется
одно уравнение
2) шатун опирается на два ножа, лежащих каждый на своей
платформе весов, как показано на черт. 3.
Расстояние между вертикальными плоскостями, проходящими
через острия ножей, устанавли-
вается равным длине шатуна L;
путем уравновешивания весов
определяется разность
Gk — G„ = JK,
Черт. 3 Определение разноски веса шатуна
посредством взвешивания.
что дает второе уравнение.
Решая совместно эти два ура-
внения, определяют Gk и Gn.
%=°’5(С+ЛИ (19)
Gn — G— Gk. f ' >
Определив Gh и G„, расстоя-
ние центра тяжести шатуна от
оси цапфы кривошипа Lk опре-
деляют из уравнения
L — — L
Q L.
(20)
Расстояние центра тяжести шатуна от оси поршневого пальца Ln
определяется из уравнения
L„ = L-Lk. (21)
Моменты инерции существующего шатуна относительно оси
поршневого пальца и относительно оси, ей параллельной и прохо-
дящей через центр тяжести шатуна, определяются методом прока-
чивания. Шатун подвешивается на ноже, проходящем или через
отверстие для поршневого пальца или через отверстие шатунного
подшипника (черт. 4); затем шатун заставляют качаться с малой
амплитудой, как физический маятник, и определяют по секундомеру
число колебаний в минуту. Если обозначим:
^ = 981 см'секГ9— ускорение силы тяжести,
н — число простых качаний в минуту, т. е. число прохождений
через вертикальную линию,
I—расстояние между центром тяжести шатуна и осью вращения
в сантиметрах,
Jx—момент инерции относительно оси вращения в кг1 см1 сек9, то
Л =—1 364,7b-—(22)
х \ 71 / Н2 Н' ’
50
Момент инерции относительно оси, параллельной и проходящей
через центр тяжести шатуна,
•Л = 364,7бД^--|р. (23)
п S
На черт. 5 показана установка для прокачивания шатунов.
Определение центра
тяжести шатуна можно
произвести методом двух
прокачиваний, а именно:
подвешивают сначала
шатун вертикально, опи-
рая его на нож в точке А
(фиг. 4), и определяют
число его простых кача-
ний в минуту — к,; затем
подвешивают шатун вер-
тикально, опирая его на
Черт. 4. К определению положения пентра
тяжести шатуна.
нож в точке В, и определяют вновь число его простых качаний
в минуту — н2. Обозначив центр тяжести шатуна (черт. 4) точкой 5
и расстояния:
AS=ly, BS^L;, Д54-В5’==ДВ==/3 = /1 + /2,
Черт. 5. Кронштейн для прокачи-
вания шатунов.
на основании формул (22) и (23) по-
лучаем
I —________I
361,76g 3*
1 Г 36 ,76g
8 н/
Определив Ц, легко определить по
размерам шатуна расстояние £„ — цен-
тра тяжести шатуна от оси поршне-
вого пальца.
Определение центра тяжести и мо-
мента инерции проектируемого шатуна
производится обычными методами при-
кладной механики.
§ 5. Силы инерции поршня.
Равнодействующая сил инерции
комплекта поршня будет
Рр=-Жр/р. (25)
В этом уравнении Мр есть масса
комплекта поршня, в которую входят
(24)
массы: самого поршня, поршневых колец, поршневого пальца, если
он крепится в теле поршня, стопорящих палец приспособлений
и прочих деталей, принадлежащих системе поршня и движущихся
по закону движения поршня.
51
Ускорение поршня jp берется по одной из формул (39), (40), (41)
или (42) § 6, главы I.
§ 6. Силы инерции кривошипа.
Обычно кривошип является симметричным относительно пло-
скости, проходящей через оси коленчатого вала и цапфы криво-
шипа. Силу инерции кривошипа получают из уравнения
Pkp = -M^C<S = -MkpR<»\ (26)
В этом уравнении обозначают:
Mkp — масса кривошипа,
С—расстояние центра тяжести кривошипа от оси коленчатого
вала,
Л4Ьр — приведенная к радиусу R масса кривошипа, определяемая
из уравнения
Mkp=~Mkp'. (27)
Сила Ркр направлена по радиусу кривошипа в направлении от
оси коленчатого вала. ’
§ 7. Суммарная сила инерции поступательно движущихся
масс одного цилиндра.
Эта сила инерции слагается из сил инерции двух масс, движу-
щихся по закону поршня:
1) силы инерции массы комплекта поршня — Мр
Рр = Mpjр,
2) силы инерции массы шатуна — Мп, отнесенной к оси порш-
невого пальца
Pm = — Mrjp,
Обозначив: Pj—суммарную силу инерции поступательно двигаю-
щихся масс одного цилиндра
Ру=Рр4-РЛп, (28)
— сумму масс Л1р4-Л4„
®1„ = Л4р + Мя, (29)
будем иметь
Ру=-50?„/р. (30)
§ 8. Суммарная сила инерции вращающихся масс, отнесенных
к оси цапфы кривошипа
Эта сила слагается из сил инерции:
1) приведенной к радиусу кривошипа массы кривошипа — Мкр,
сосредоточенной на оси цапфы кривошипа и вращающейся с угло-
вой скоростью w около оси коленчатого вала
Р*р = -Л4ЛрРШ’;
52
2) отнесенных к цапфе данного кривошипа масс Mk шатунов,
действующих на данную цапфу
^PLk = ~R^Mk.
Обозначив: PJk — суммарную силу инерции вращающихся масс
одного кривошипа
PJh = PkP + ^PLk, (31)
— сумму масс Mkp и ЕУИ* ’
= (32)
будем иметь
PJk=-^kR^-. (33)
Эта сила направлена по радиусу кривошипа в направлении от
оси коленчатого вала.
ГЛАВА VI.
СИЛЫ ИНЕРЦИИ КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА СТАЦИО-
НАРНОГО ЗВЕЗДООБРАЗНОГО МОТОРА
У § 1. Обозначения.
М, — масса комплекта шатуна бокового цилиндра,
G{ — вес комплекта шатуна бокового цилиндра,
AfnZ — отнесенная к оси поршневого пальца часть массы шатуна
бокового цилиндра,
Gn[—вес массы Мп1,
Мы — отнесенная к оси пальца бокового шатуна, закрепленного
на главном шатуне, часть массы — Mh
Gkl — вес массы Мы,
1п — расстояние центра тяжести шатуна бокового цилиндра от
оси поршневого пальца,
lk — расстояние центра тяжести шатуна бокового цилиндра от
оси его пальца, закрепленного на главном шатуне,
Jsl—момент инерции шатуна бокового цилиндра относительно
его центра тяжести, <•
Ptn — сила инерции массы бокового шатуна, отнесенной к оси
поршневого пальца,
Plk — сила инерции массы бокового шатуна, отнесенной к оси
его пальца, закрепленного на главном шатуне,
П, —момент пары сил ин'ерции шатуна,
Мр1—масса комплекта поршня бокового цилиндра,
Р„1 — сила инерции массы комплекта поршня бокового цилиндра,
— приведенная к радиусу кривошипа масса кривошипа,
PkP—сила инерции кривошипа,
ЗЛп1 — сумма масс комплекта поршня и отнесенной к оси порш-
невого пальца части массы шатуна бокового цилиндра,
Pj, — сила инерции поступательно движущихся масс одного бо-
кового цилиндра,
SDift— сумма масс: Mkp и отнесенных к оси цапфы данного кри-
вошипа масс шатунов, действующих на данную цапфу,
53
Pjk — суммарная сила инерции вращающихся масс, отнесенных к
оси цапфы кривошипа,
g —ускорение силы тяжести.
£ 2. Основные соотношения.
(1)
1=1п+1> (2)
(3)
(4)
Gi = Gnl ф- Gkl (5)
Gm—^Gi—M^ (6)
(7)
Ji = МЦк Jst (8)
§ 3. Силы инерции шатуна бокового цилиндра.
Аналогично нормальному шатуну движение любой точки С ша-
туна бокового цилиндра можно рассматривать состоящим из двух
движений:
1) из относительного движения точки С— вращения около оси
поршневого пальца;
2) из переносного движения точки С—поступательного движе-
ния || оси соответствующего бокового цилиндра, по закону дви-
жения оси поршневого пальца.
В связи с этим полное ускорение точки С сложится из ее пол-
ных ускорений в этих двух движениях, а сила инерции элементар-
ной массы dm, сосредоточенной в точке С, сложится из сил инер-
ции ее в этих движениях.
Таким образом сила инерции элементарной массы dm слагается
из трех сил:
1. Центробежной силы инерции относительного движения точки
С, направленной по прямой, соединяющей ось поршневого пальца
с точкой С, в направлении от оси поршнего пальца и равной
= (9)
где р — расстояние точки С от оси поршневого пальца, а
— угловая скорость шатуна бокового цилиндра.
2. Тангенциальной силы инерции относительного движения точки
54
С, направленной перпендикулярно силе pjn и равной
pjt=—p-^dm> (Ю)
где — угловое ускорение шатуна бокового цилиндра.
3. Силы инерции переносного движения точки С, направленной
параллельно оси бокового цилиндра и равной
Pjp=—Jpidm, (И)
где jpt—ускорение поршня бокового цилиндра.
Принимая, что центр тяжести шатуна лежит на его оси, и сум-
мируя по всей массе шатуна элементарные силы инерции, опреде-
ляемые уравнениями (9), (10) и (11), получим, что силовое воздей-
ствие сил инерции шатуна бокового цилиндра на ось поршневого
пальца и ось пальца шатуна, закрепленного на главном шатуне,
эквивалентно суммарному действию нижеследующих сил:
1. Силы инерции массы шатуна, отнесенной к оси поршневого
пальца Мп1 и движущейся по закону этой оси. Эта сила приложена
к оси поршневого пальца, направлена по оси бокового цилиндра
и равна
= (12)
2. Силы инерции Plk массы шатуна бокового цилиндра Мм, от-
несенной к оси пальца его, закрепленного на главном шатуне, и
движущейся по закону движения оси этого пальца.
3. Пары сил с моментом
(13)
где Jt определяется из равенства (8); ~ из равенств (11), (13) или
(14) § 2, II главы для случая 77 = Т, и из равенств (11) § 1, главы
III для случая Направление пары определяется ее знаком и
принятым за положительное направление пар направлением враще-
ния коленчатого вала мотора.
Подставляя в равенство (13) выражение из равенства (11)
§ 2, главы II, получим точное выражение для /7, для случая у = 7;
в виде
(14)
Максимальные значения ГЦ будут при
«,==90°-р и «, = 270°-Н
и будут равны
(15)
V 1 — Kf
Максимальное значение момента (/7Z) max в звездообразном мо-
торе будет иметь место у шатунов двух боковых цилиндров, наи-
55
более удаленных от главного цилиндра, так как для этих шатунов
Xz имеет наибольшую величину.
Приближенное выражение для 77z в виде функции а, получим,
подставляя в равенство (13) ~~ из равенства (13) § 2, главы II
Об
(случай, когда у = ъ)
Г / X 2\ 3 1
nt = 1 + У} sin(az — 8) — — Vsin3(az — 6)J . (16)
Более простое, но менее точное, приближенное выражение для
П, в виде функции az получим, подставляя в равенство (13)
равенства (14) § 2, главы II (случай, когда T = yz)
d2₽z
dt* из
Z7z — sin (az — 8).
(17)
Определение центра тяжести и моментов инерции шатуна боко-
вого цилиндра производится так же, как для нормального шатуна.
Сила инерции массы комплекта поршня — Мр1
Ppi== Mptjpi.
Слагаясь с силой инерции массы шатуна МпЬ отнесенной к оси
поршневого пальца,
РIn — ^nljpb
они вместе дадут суммарную силу инерции поступательно движу-
щихся масс.
Обозначив: Р]Ч— суммарную силу инерции поступательно движу-
щихся масс бокового цилиндра
Рл = Рр1+Рт, (18)
SD?nZ — сумму масс Мр1 и
^ = Мр1 + Мп1, (19)
будем иметь
Pyz = -9»„z-/>. (20)
Ускорение поршня jpl в равенстве (20) определяется: для случая
из равенств (32), (33), (35) или (36) § 5, главы II; для случая
TZ#=T из равенства (17) § 5, главы III.
Сила Pjt направлена по оси соответствующего бокового цилин-
дра в сторону, обратную ускорению поршня.
§ 4. Силы инерции приведенного главного шатуна.
Приведенным главным шатуном назовем главный шатун мотора,
масса которого увеличена массами Мы боковых шатунов, сосредо-
точенными на осях соответствующих пальцев этих шатунов, закре-
пленных на главном шатуне. Именно с приведенным главным шату-
ном приходится иметь дело при определении результирующей силы
инерции главного шатуна и сил инерции Р1к масс боковых
шатунов (§ 3).
56
Так как приведенный главный шатун ничем не отличается от
нормального шатуна, то согласно главе V силы инерции его экви-
валентны сумме нижеследующих сил:
1. Силы инерции Pin массы Mk' приведенного главного шатуна,
отнесенной к оси цапфы кривошипа и движущейся по закону дви-
жения этой оси
PLk' = -Mk'R^. , (21)
Масса Мр определяется следующим образом: в осях пальцев
боковых шатунов, закрепленных на главном шатуне, сосредоточи-
ваются части Мы масс соответствующих шатунов боковых цилин-
дров; находится центр тяжести главного шатуна, масса которого
увеличена этими массами Мы от боковых шатунов, тогда
М^М^, (22)
где: Ml есть сумма массы главного шатуна ML и отнесенных к
нему частей Мы боковых шатунов
М£' = М£ + £МЫ; (23)
—расстояние от оси поршневого пальца центра тяжести при-
веденного главного шатуна.
Суммарная сила инерции вращающихся масс, отнесенных к оси
цапфы кривошипа, будет
Р* = PkP + ~ (24)
где
Э^=Л1Ар + Л4;. (25)
2. Силы инерции Pl„ массы Мп' приведенного главного шатуна,
отнесенной к оси поршневого пальца главного шатуна и двигаю-
щейся по закону движения этой оси
PLn^—MJp.
Масса Мп определяется из равенства
(26)
причем Ml и М^ определяются согласно равенствам (22) и (23).
Суммарная сила инерции поступательно движущихся масс глав-
ного цилиндра будет
Pj^Pp + P^^-^iJp, (27)
где
ЭЛ„=Л1Р + Ж„'. (28)
Ускорение поршня jp определяется по одной из формул, (39)
(40), (41) или (42) § 6, главы I.
3. Пары сил инерции с моментом
(29)
причем ,
(зо)
где ,>т
Ml—масса приведенного главного шатуна,
57
А/— расстояние центра тяжести приведенного главного шатуна
от оси поршневого пальца,
Lk' — расстояние центра тяжести приведенного главного шатуна
от оси цапфы кривошипа,
Л’ — момент инерции приведенного главного шатуна относительно
его центра тяжести.
ГЛАВА VII.
СИЛЫ ИНЕРЦИИ КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
РОТАТИВНОГО ЗВЕЗДООБРАЗНОГО МОТОРА.
§ 1. Силы инерции главного шатуна.
Главным шатуном мотора будем считать тот, ось которого при
своем движении постоянно проходит через точку В — ось цапфы
кривошипа (черт. 1). В моторах, где ______ _____ _
Черт. 1. К определению сил инерции глав-
ного шатуна ротативного двигателя.
этим же свойством обладают
боковые шатуны, к последним
применимы все выводы этого
параграфа.
Сила инерции элементарной
массы шатуна din, сосредото-
ченной в точке С, слагается из
двух сил инерции (черт. 1):
1. Центробежной силы инер-
ции pJn, приложенной в точке С,
направленной по прямой ВС
от точки В к точке С и равной
Pjn— — y»i?dm, (1)
где р-ВСииа — угловая ско-
рость вращения шатуна, опре-
деляемая точно по формуле (3) и приближенно по формулам (4)
или (5) § 2, главы IV.„
2. Тангенциальной силы инерции pjt, приложенной в точке С,
направленной перпендикулярно ВС и равной
Pli — ^^dTdm’
(2)
d^L Г,
где ------угловое ускорение вращения шатуна около оси В, опре-
деляемое точно по формуле (6) и приближенно по формулам (7)
или (8) § 2, главы IV.
Принимая, что центр тяжести шатуна лежит на его оси и сум-
мируя по всей массе шатуна элементарные силы инерции, опре-
деляемые формулами (1) и (2), получим, что силовое воздействие
сил инерции шатуна на оси поршневого пальца и цапфы криво-
шипа эквивалентно суммарному силовому воздействию на этой оси
следующих сил:
1. Силы инерции части — Мп массы шатуна, сосредоточенной на
58
оси поршневого пальца и движущейся по закону движения этой
оси; центробежная составляющая этой силы будет
РП = -ЖПЛ»? (3)
и будет направлена по оси шатуна АВ; тангенциальная составля-
ющая этой силы будет
р____М —__Д4 £ (4)
JVlnL dti — MnL dti
и будет направлена перпендикулярно оси шатуна АВ.
2. Силы инерции части Мк массы шатуна, сосредоточенной на
оси цапфы кривошипа и движущейся по закону движения этой
оси; так как в данном случае эта ось неподвижна, то эта сила
инерции будет равна нулю.
3. Пары сил с моментом
nL~J dP ~J dt^
где J определяется из равенства
J=M-Ln.Lk-Js.
Направление пары Пс определяется ее знаком и принятым за
положительное направление пар направлением вращения мотора.
Подставляя в равенство (5) выражение из равенства (6) § 2,
главы IV, получим точное выражение для nL в виде:
=-1(1(6)
Максимальные значения /?£ будут при *
«= 90° и а = 270°
и будут равны
(7)
Приближенное выражение для /7д в виде функции угла а полу-
чим, подставляя в равенство (5) из равенства (7) § 2, главы IV
(8)
Более простое, но менее точное приближенное выражение для
/7д в виде функции угла а получим, подставляя в равенство (5)
из равенства (8) § 2, главы IV
III— — kA»2 sin а. (9)
$ 2. Силы инерции бокового шатуна.
Положим, что конструкция шатунного механизма рассматривае-
мого мотора состоит из главного шатуна АВ (черт, 2), вращающе-
50
гося около оси цапфы кривошипа В, и сочлененных с ним боковых
шатунов, один из которых CD дан на чертеже.
Движение бокового шатуна CD можно рассматривать состоя-
щим из двух движений:
1) из относительного движения шатуна CD, т. е. движения, ко-
торое имел бы шатун CD, двигаясь, как боковой шатун стационар-
ного звездообразного мотора, с тем же шатунным механизмом, что
и данный мотор, и с на-
правлением вращения
мотора, обратным враще-
нию данного мотора;
2) из переносного дви-
жения — вращательного
движения шатуна CD
около оси коленчатого
вала О с угловой скоро-
стью вращения данного
мотора % направленной
в сторону вращения дан-
ного мотора.’
Согласно этим двум
движениям полное уско-
рение любой точки М
шатуна CD слагается по
теореме Кориолиса из
трех ускорений:
1) полного ускорения
точки в относительном
движении —jam,
2) полного ускорения
точки в переносном дви-
жении—/^,
3) поворотного уско-
рения—Jnoe, для получе-
ния которого надо ско-
рость относительного
движения спроектиро-
вать на плоскость, пер-
пендикулярную к оси
вращения траектории,
и повернуть на прямой
Черт. 2. К определению сил инерции прицепного
шатуна ротативного двигателя.
умножить на двойную угловую скорость
угол в сторону вращения траектории. Согласно этим трем ускоре-
ниям сила инерции элементарной массы dm, сосредоточенной в
точке М, сложится геометрически из трех элементарных сил инер-
ции, равных каждая произведению массы dm на соответствующее
ускорение и направленных противоположно этим ускорениям:
Ptom=~drnjom
Pjnep dmjnep
(Ю)
(И)
(12)
60
Принимая, что центр тяжести бокового шатуна находится на
его оси и суммируя по всей массе шатуна элементарные силы инер-
ции, определяемые уравнениями (10), (11) и (12), получим, что сило-
вое воздействие сил инерции рассматриваемого шатуна на ось его
поршневого пальца и на ось его пальца, закрепленного на главном
шатуне, эквивалентно суммарному действию нижеследующих сил:
1. Силы инерции массы шатуна, отнесенной к оси поршневого
пальца — Мп[ и движущейся по закону движения этой оси.
2. Силы инерции массы шатуна Мы, отнесенной к оси С его
пальца, закрепленного на главном шатуне, и движущейся по закону
движения оси этого пальца; эта сила инерции слагается из двух
сил:
а) центробежной силы инерции массы Mkl, равной
Р^-М^- (13)
эта сила будет направлена по прямой ВС (черт. 2) в направлении
от точки В к точке С;
б) тангенциальной силы инерции массы Mkh равной
Ри = ~Мыг^- (14)
эта сила перпендикулярна силе Ркп и направлена в сторону, обрат-
ную направлению тангенциального ускорения точки С.
3. Пары сил с моментом
/7,=Л^, (15)
где Jt определяется из равенства (8) § 2, главы VI
Л = Mtlnlk Jsl.
Направление пары 77z определяется ее знаком и принятым за
положительное направление пар направлением вращения мотора.
Подставляя в равенство (15) выражение из равенства (11)
§ 2, главы II, получим точное выражение для ГЦ в виде
Ц—Ш-ИИ sinc(^7,a- (16)
Максимальные значения ГЦ будут при
а/ = 90°4-3 и az=270° + 8
и будут равны
(^^ = ±-7=^=/^. (17)
VI — ч.
Приближенное выражение для 77z в виде функции угла ^ полу-
чим, подставляя в равенство (15) из равенства (13) § 2,
главы II
Г(l + ^sin(az-6)--t-Xz2sin3(az-S)T (18)
L \ О / О -J
61
Более простое, но менее точное приближенное выражение для
nt в виде функции угла а, получим, подставляя в равенство (15)
^|z из равенства (14) § 2, II главы:
nt = — \/zco2sin(az— 8). (19)
в формулах (16), (17), (18) и (19) определяется по формуле (4)
§ 2, главы II.
£ 3. Сила инерции поршня в боковом цилиндре.
Выводами, аналогичными выводам § 2 этой главы, находим,
что равнодействующая сил инерции комплекта поршня равна силе
инерции массы комплекта поршня — Мр1, сосредоточенной в его
центре тяжести и двигающейся по закону движения этого центра
тяжести.
Пренебрегая влиянием несовпадения центра тяжести комплекта
поршня с осью поршневого пальца, т. е. принимая, что центр тя-
жести поршня находится на оси поршневого пальца, будем иметь,
что равнодействующая сил инерции комплекта поршня равна силе
инерции массы комплекта поршня МрЬ сосредоточенной^на оси
поршневого пальца и движущейся по закону этой оси.
§ 4. Суммарная сила инерции массы комплекта поршня и
отнесенной к оси поршневого пальца части массы шатуна в
боковом цилиндре.
Эта сила инерции будет равна силе инерции массы
Жп1=Мп,+ Мы, (20)
сосредоточенной на оси поршневого пальца и движущейся по за-
кону этой оси; при этом делается допущение, что центр тяжести
комплекта поршня находится на оси поршневого пальца.
Эта сила инерции слагается из трех сил инерции:
1. Силы инерции массы в относительном движении
Рот = — ^nlJotn- (21)
Эта сила направлена по оси соответствующего цилиндра; jom опре-
деляется по одной из формул (32), (33), (35) или (36) § 5, главы II.
2. Силы инерции массы й)^ в переносном движении:
P„p=—WalSfJ, (22)
где Sz есть расстояние оси поршневого пальца от оси коленчатого
вала, определяемое по формуле (15) § 3, главы II. Сила Рпер на-
правлена по оси соответствующего цилиндра в направлении от оси
коленчатого вала.
3. Силы инерции массы ЙЛпй соответствующей поворотному уско-
рению поршневого пальца
Р^ = — 2^Л& (23)
где Vom скорость поршня в относительном движении, определяемая
по одной из формул (27), (28) или (30) § 4, главы U, сила Рмв ирило-
62
жена в оси поршневого пальца и направлена перпендикулярно оси
соответствующего цилиндра; направление этой силы составляет с
направлением скорости vom угол в 90°, причем угол отсчитывается
в сторону, обратную вращению мотора.
5. Силы инерции приведенного главного шатуна.
Суммарное действие сил инерции главного шатуна и сил инер-
ции масс Мк1 боковых шатунов, отнесенных к осям их пальцев,
закрепленных на главном шатуне [см. равенства (13) и (14) этой
главы], эквивалентно суммарному действию сил инерции приведен-
ного главного шатуна, под которым, аналогично предыдущей главе,
будем подразумевать главный шатун, масса которого увеличена
массами боковых шатунов, сосредоточенными на соответству-
ющих осях пальцев, закрепленных на главном шатуне. Поэтому,
оставляя обозначения § 4, главы VI, mHi получаем, что эти силы
инерции эквивалентны сумме нижеследующих сил:
1. Силы инерции Р/.к' массы Мк приведенного главного шатуна,
отнесенной к оси цапфы кривошипа и движущейся по закону дви-
жения этой оси. Так как в рассматриваемом моторе эта ось непо-
движна, то сила Pfk равна нулю.
2. Силы инерции Рд/ массы Мп' приведенного главного шатуна,
отнесенной к оси поршневого пальца главного шатуна и движу-
щейся по закону движения этой оси. Эта сила инерции согласно
§ 1 этой главы слагается из двух сил:
а) центробежной силы инерции массы Мп'
Pn' = -Mn'L^, (24)
направленной по оси шатуна, и
б) тангенциальной силы инерции массы Мп'
P’ = -Mn'L^-=~Мп' , (25)
направленной нормально к оси шатуна.
3. Пары сил инерции с моментом
• гт »_ г’ &~Ф_
nL~J dP ~ dt- '
* где J’ определяется из равенства
J'=Mi:LnLk—Js- (27)
Определение направления пары 77/ производится аналогично опре-
делению направления пары 77д. Для пары 77/ остаются в силе равен-
ства (6), (7), (8) и (9) этой главы с заменой в них J через J , опре-
деляемое согласно равенству (27).
<5> 6. Суммарная сила инерции массы комплекта поршня и
отнесенной к оси поршневого пальца части массы приведен-
ного главного шатуна в главном цилиндре.
Пренебрегая влиянием несовпадения центра тяжести комплекта
поршня с осью поршневого пальца и принимая, что центе тяжести
63
находится на оси, будем иметь, что суммарная сила инерции массы
комплекта поршня Мр и отнесенной к оси поршневого пальца
части Мп' массы приведенного главного шатуна в главном цилиндре
будет равна силе инерции массы
= (28)
сосредоточенной в оси поршневого пальца и движущейся по закону
движения этой оси. Эта сила слагается из двух сил:
а) центробежной силы инерции массы №„'
Pn = -3R„’£<o?, (29)
направленной по оси шатуна, и
б) тангенциальной силы инерции массы 9Лп'
Pt = - Wn'L , (30)
направленной нормально к оси шатуна.
ГЛАВА VIII.
СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ГАЗОВ В ЦИЛИНДРЕ.
§ 1. Обозначения.
е — степень сжатия двигателя,
ра— начальное давление сжатия,
рс — конечное давление сжатия,
pz—давление вспышки теоретической индикаторной диаграммы,
pz — давление вспышки действительной индикаторной диаграммы,
рь — давление конца расширения,
«1 — показатель политропы сжатия,
п2— „ „ рдсширения,
Nel— эффективная мощность одного цилиндра мотора,
Vftl —литраж одного цилиндра мотора,
п— число оборотов мотора в минуту,
-г механический коэфициент полезного действия мотора,
Н — коэфициент полноты индикаторной диаграммы,
ре — среднее эффективное давление двигателя,
Pt — действительное среднее индикаторное давление двигателя,
р-—среднее индикаторное давление теоретической индикатор-
ной диаграммы двигателя,
йг=^-,— коэфициент снижения действительного давления вспыш-
ки против теоретического,
vc — объем пространства сжатия.
§ 2 Построение индикаторной диаграммы двигателя.
Давление газов , в щилиндре по ходу поршня определяется из
индикаторной диаграммы,, (черт. 1). При наличии последней легко
графически или ана.щТц^цски построить закон изменения давления.
64
газа в цилиндре по углу поворота кривошипа, каковым законом
и приходится пользоваться в динамическом расчете мотора при
определении сил, действующих в кривошипном механизме, так как
координация всех сил ведется обыкновенно по углу поворота кри-
вошипа.
Индикаторная диаграмма двигателя при его проектировании либо
определяется из теплового расчета двигателя, либо строится на
основании среднего эффективного давления двигателя в случае его
расчета по среднему эффективному давлению.
При стандартных динамический расчетах существующих двига-
телей индикаторная диаграмма обычно строится по среднему эффек-
тивному давлению двигателя. При этом для ряда коэфициентов,
необходимых для постройки индикаторной диаграммы, берутся не-
которые средние, даваемые ниже числовые значения.
Имеем следующие
каторной диаграммы:
соотношения для основных параметров инди-
= 900 Net =рс
(1)
5 И Ш. Нсймав.
И
(2)
(3)
65
. i П,— 11—е1й1 . . £ — 1 ,
Pz —1 ‘1 — е1-«Лс + ~ 1—eI nJPl
Pe = kzP;
епя
• (Vc\
Рь=рЛ^)
\ v а/
(if
(5)(
5
(6)
I
(7) .
(8)
Давление газа по линии сжатия определяется из уравнения
Р=Ра
YaY1
VJ •
(9)
Давление газа по линии расширения определяется из уравнения
/I/
р=р>($) • а°)
При построении индикато рной диаграммы задаются величинами
Ра, «1, }h, \т> И, kz.
Для авиационных моторов при полном открытии дросселя на
земле обычные средние числовые значения их нижеследующие:
•»),-= 0,88
р. = 0,95 (11
kz= 0,85
быстрого построения политроп
ра — 0,9 кг/слР
= 1,35 „
и2=1,24 ,,
Исходя из этих значений для
сжатия и расширения, ниже приводится таблица, значительно уско
ряющая таковое. Для этого полный объем цилиндра Va = Vu 4* Vc
делится на десять равных частей и для каждого деления находятся
даваемые в таблице 1 величины:
(V 'Ч‘
—для политропы сжатия,
/у
—для политропы расширения.
Пользуясь этими значениями, по принятому рс и определенному
рь находим соответствующие р для политроп сжатия и расширения
по уравнениям (9) и (10), по которым их и строим.
Для облегчения определения Рс, Pfl и рг' даны кривые на черт.
2 и 3.
На черт. 4 и 5 даны индикаторные диаграммы, авиамоторов
БМВ-VI 7,3 Z и Рон-Юпитер - IV.
66
Черт. 3. К определению'теоретического давления вспышки р'?.
Черт, 4. Индикаторная диаграмма мотора БМВ — IV 7,3 Z.
£ 3. Давление вспышки.
Для быстрого определения действительного давления вспышки
можно вместо формул (5) и (4) пользоваться нижеследующей фор-
мулой, дающей достаточно точные значения для рг в пределах из-
менения е от 4,5 до 7 и от 5 до 11 кг/см*.
рг = 1,826 (е - 1,227) ра 4-0,442 (е + 1,875)ре. . (12)
69
Таблица 1.
<0 г-н Xf co CO t'- ОС LQ О ОС ► “I 0,540 | 0,656 G) СМ ОО СО СТ) «-4 LQ х-J г-4 ’ф СО, 1“^ LQ СМ О о
Cl) О IO Tf1 rn 1^7 iQ 1Q b- xF, CO Ю co IQ О CO О О Cl) 2 g S 2 х^, ел ел xfj_ СО г-'' Х^ О О т—1 ^_<
Cl) CM co Г-. — CO CO xf CO CO CM, - xjj, in co LQ О CO o o’ Ь) .СО СО СП 1-4 СО СО О) см СО СО Г'- xf со t< х? " о о —<
' Cl) _ О — xj- O О LQ CO LQ, O, CO LQ CO to" CO CO о о ы ОО х?4 —4 СО СО СО о см CM со_ LQ ю СО Г- 1-? О О
Cl) xf xf xf Г- x^ CH LQ CO X?_ о LQ CO LQ* СП CO О О <1) О Ю Xf4 LQ СП со о см о СО LQ, СО Г"-” х^ r-Г о О I ' 1—4
Ci) •—’ О CO О CL) CO l*'' t"’’’ CO, LQ СП IQ CO IQ cn r-Г о* о <1) CM l'- СС1^ со со о см о ОО «О СО . СО »-? о со
Ci) о x^ см co CO CM CO Г"- CM CM Г- LQ . co IQ cn t^* О " W СО Г- 00 СТ) со со о см CD LQ СП LQ СО со со <о о о
Cl) О О LQ CO CM xj- CO Г- «—< О LQ LQ, <O to ел* г-^ о о ш х^ < оо, со । со со 1—4 1U.//Z 0,511 0,631
Cl) О С- СП о СП LQ СО СО г- со ю со LQ СО Г-" О О <1) Г- СО xf xf I СО Г- г-4 со ’ Г- О LQ LQ со, со со o' о" со
со* сМ о со со to СО, О х£ СО LQ4 X*4 СО LQ со г- со ем 10,dSU 0,5'7 0,636
SI’* СО LQ LQ xF —4 см со со «0 ю со, о со г-4 СО СО LQ LQ ’ LQ СО со см о. о о
г- см х^ S2 о »п £*0 см см см со СО СМ СМ —4 LQ СП CM XJ4 х^ см СП, LQ, со ; СО CM o' o' o'
2|<o СО г-ч LT СО СП ОС СО СП О' 1—4 »—’ со О Ю со О О CM XJH СО о ОС, LQ СО со"4 ем СП О СП 1
2|r- СТ> СП eg _। LQ СО LQ 10 см (О 00 го х$< О СМ Х* см Г- СО Ю СО со —Г ел о o' . . . , ... ....
2|oo см СП Ю LQ •—' СМ СО, СО т*Н •—4 1—4 С1) Г- LQ —। ОО 1 00 —< со xt< 1—4 -<f* XF IQ со СО Х-? СП о о
2 i02 —1 СО СП »—» LQ СО W LQ xf4 XF о 1 СО см СО IQ о CM CM LQ, СО СО - 4-^ СП о о
О IO t—4 1 »—4 0'1 0*1 0‘1 О) г-4 LQ СО 00 со со LQ СП СП о LQ СО ю" О СП о о
ад ч- П «* ад „ ei •-_ Ч 01 Yjl V /УЯ\’-24 IO xr — <Х> 03 & ? ? 1 о) CD
70
При выводе этой формулы принимались:
пл —1,35, n2=l,24, Vm — 0,88, р —0,95, к, = 0,85.
Для случая, когда ра~0,9, имеем
pz = 0,442 (е + 1,875) (ре + 3,72) — 5,1. (13)
Более простая, но менее точная формула для ра соответствую-
щая формуле (12), будет
pz = 0,501 (е 4- 0,963) (ре + 2,444 ра). (14)
Для случая, когда /?о = 0,9, имеем отсюда формулу, соответству-
ющую формуле (13),
А = 0,501(е4-0,968)(ре4-2,2). (14')
ГЛАВА IX.
ПОРЯДОК ВСПЫШЕК В ЦИЛИНДРАХ МОТОРОВ РАЗНОГО
ТИПА.
Порядок вспышек в цилиндрах мотора данного типа выбирается
таким образом, чтобы, по возможности, удовлетворялись следующие
положения:
1. Взрывы в цилиндрах мотора следовали бы один за другим через
равные промежутки времени, или, что одно и то же, через равные
углы поворота коленчатого вала мотора. Так, например, если мотор
имеет i цилиндров, то в четырехтактном моторе взрывы должны
4ir
следовать через углы поворота коленчатого вала, равные —; для
ХР
ИЛ
— /~ый Вариант
3 ---2-ой Вариант
2
2т;
двухтактных моторов соответствующие углы будут равны-р В основе
этого положения лежит требование получить возможно максималь*
ную равномерность крутящего момента двигателя на валу и, следо-
вательно, максимальную
равномерность хода мо-
тора, С ОДНОЙ СТОРОНЫ, И'
сведение до минимума
максимального момента
от сил давления газов на
поршни, опрокидываю-
щего мотор и передаю-
щегося на крепление мо-
тора к аппарату или фун-
даменту, т. е. максималь-
ную уравновешенность
двигателя, с другой. ,, , „
9 Расположение кои ЧеРт- * L поряД°к вспышек в четырехцилиндровом
2. расположение кри- однорядном двигателе.
вошипов коленчатого ва-
ла мотора должно быть такое, чтобы силы инерции вращающихся
масс мотора и моменты от этих сил уравновешивались сами собой
без применения добавочных масс противовесов.
В основе этого положения лежит требование возможно мень-
71
Черт. 4. Порядок вспышек в двеввдцатицилиндровом двигателе с цилиндрами
расположенными V-образно под углом в 60°. •>
Черт. 5. Порядок вспышек в двенадцатицилиндровом, двигателе с цилиндрами,
расположенными W-образно.
Черт. 6. Порядок вспышек
в восемнадцатицилиндровом двигателе с цилиндрами,
расположенными W-образно,
78
»
Черт. 7. Порядок вспышек в шестнадцатицилиндровом двигателе с цилиндрами рас-
положенными Х-образно. ' F
I
Черт. 8. Порядок вспышек в звездообразных двигателях с 3, 5, 7 и 9 цилиндрами.
74
щего веса мотора и возможно боль-
шей простоты его конструкции.
3. Вспышки в цилиндрах мно-
гоцилиндрового мотора с ко-
ленчатым валом, имеющим не-
сколько кривошипов, должны
следовать в таком порядке, чтобы
два соседних по вспышкам ци-
линдра находились каждый раз
по разные стороны от среднего
коренного подшипника коленча-
того вала мотора. Это условие
создает более равнойГе^пук1_ва-
груоку-на отдельные, участки, ко-
лТТТчатого вала л_вызываот ентг
жение максимальных напряящшй
в шлледйём?———
“"Ъ настоящей главе приводятся
для отдельныхтипов авиационных
моторов не все возможные для
этого типа схемы порядка вспы-
шек в цилиндрах, а лишь обычно
принятые в современных моторах
этого типа.
Черт. 9. Порядок вспышек в сдвоенных
звездообразных двигателях с кривоши-
пами, расположенными под углом в 180°.
ГЛАВА X.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В НОРМАЛЬНОМ КРИВОШИПНОМ
МЕХАНИЗМЕ СТАЦИОНАРНОГО МОТОРА.
§ 1. Обозначения.
Рг — сила давления газов на поршень,
Иг — сила, действующая нормально на стенку цилиндра от силы Рг,
Кг — сила, действующая по оси шатуна от силы Рг,
Тг — тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Рг,
Zz — нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Рг,
рг — давление газов в цилиндре для данного угла поворота кри-
вошипа а,
Fn—площадь поршня,
Pj—сила инерции поступательно движущихся масс одного ци-
линдра,
И/— сила, действующая нормально на стенку цилиндра от силы Р,-,
Kj—сила, действующая по оси шатуна от силы Pj,
Tj—тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Ру,
нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Рр
ИL— момент пары сил инерции шатуна,
Ип — сила, действующая нормально на стенку цилиндра от пары Пи
Тп—~тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от пары П£,
Zn — нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от пары HL,
Мвг — крутящий момент на валу двигателя от силы Р.^
75
Mej—крутящий момент йа валу Двигателя от силы Ру,
Мвц — крутящий момент на валу от пары PJL,
Мфг — момент, передающийся на крепление мотора к аппарату
или фундаменту, вызываемый силой Рг,
Мф)—то же, вызываемый силой Р},
Мфп—то же, вызываемый парой F1L,
N—равнодействующая сил, действующих нормально на стенку
цилиндра от сил Рг, Pj и пары По
К—равнодействующая сил, действующих по оси шатуна от сил
Л и Pj,
Т — суммарное тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа
от сил Рг, Pj и пары /7£,
Z—суммарное нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от
сил Рг, Pj и пары Пь,
Мв — суммарный крутящий момент на валу двигателя от сил Рг,
Р/ и пары Пг,
Мф—суммарный момент, передающийся на крепление мотора к
аппарату или фундаменту и вызываемый силами Рг, Pj и парой F1L.
Все силы, действующие в кривошипном механизме, можно раз-
бить на две группы сил:
1. Силы от давления газов в цилиндрах.
2. Силы от сил инерции движущихся масс кривошипного меха-
низма.
Силы инерции движущихся масс кривошипного механизма можно,
в свою очередь, разбить на 3 группы:
1) силы инерции поступательно движущихся масс,
2) силы инерции вращающихся масс,
3) пары .сил инерции шатунов с моментами Пс
Разберем подробно действие этих сил в кривошипном меха-
низме одного цилиндра.
§ 2. Силы от давления газов в цилиндре.
Давление рг газов в цилиндре для данного угла поворота колен
чатого вала а определяется из индикаторной диаграммы; по-
следняя строится на основании теплового расчета двигателя.
Сила Рг давления на поршень будет
Рг=(Л-1)Р„. (1)
Принимая знаки сил, действующих в кривошипном механизме в
зависимости от их направления, согласно черт. 1, получим следую-
щие соотношения для сил (черт. 2):
M = (2)
1 Величина силы Nn зависит от угла ₽, с возрастанием которого она также воз-
растает. Дезаксиальный механизм (§ 7, главы I) делается между прочим с целью
уменьшений углов р во время хода расширения, чем и достигается уменьшение бо-
ковых давлений поршня на стенку цилиндра, Лг.
76
p—p Sln(tt+P)
г г cos ₽
Z cos(« + P)
г COS Р
(4)
(5)
На черт. 3, 4, 5 и 6 даны
диаграммы сил Рг, Nt, Тг и Z?
для авиамотора БМВ - VI 7,3 Z
+ Р-1
~Р- I
+ 7V- — z
-TV- —
+ К -шатун сжимается
~ К - » • растягивается
+ Т - сила направлена по направле-
нию вращения мотора
- Т-сила направлена по направле-
нию обратному вращению мо-
тора
+ Z - сила направлена к оси вала
~ Z - » » от » »
Черт.2. К определению сил,
действующих в нормальном
кривошипном механизме.
Черт. 1. Знаки сил, действующих в нормальном
кривошипном механизме.
Из черт. 2 видно, что действие сил давления газов в цилиндре
сводится:
1) к двум противоположно направленным по оси цилиндра си-
лам Рг и —Рг, действующим — первая на коренные подшипники ко-
ленчатого вала, а вторая — на дно цилиндра. Эти силы взаимно
уравновешиваются, вызывая соответствующие напряжения в системе
цилиндр — картер мотора;
2) к паре сил (Тг, — Гг) с плечом R и моментом
Мег = f,R = P?R 81-П-(<*4Д (6)
COS р
который входит в общий крутящий момент двигателя на коленча-
том валу;
3) к паре сил (М, —М) с плечом О А = L cos р R cos а и мо-
ментом Мфг, равным и обратно направленным моменту Мт
Мфг = — Nt (L cos р + R cos а) =
=—tg Р (£ cos Р 4- /? cos а) = — PtR_ мвг, (7)
COS р
Этот момент передается на крепление мотора к аппарату или
фундаменту.
£ 3. Силы от инерции поступательно движущихся масс
одного цилиндра.
Согласно равенству (30) § 7, главы V, сила инерции поступа-
тельно движущихся масс одного цилиндра равна
77
Р, = -2)ур,
(8)
(12)
Z--SJI i C0S(a + E)
^nJP cosp
Подставляя в равенство (8) выражение для jp из равенства (41)
§ 6, главы I, получим для силы Pj выражение в виде функции угла а
Pj — — cos а — 4p2S)?n/?<D2 cos 2а 16p49J?„/?o)s cos 4а —
— 36р6ЗД„/?№ COS 6а -1- 64р83)?п/?а>2 COS 8а —... (13)
78
Принято называть:
-f-16р4ЭЛга/?о>2 cos 4а силой инерции четвертого порядка,
— 36р6й)1„/?<и2 cos 6а — силой инерции шестого порядка и т. д.
Ограничиваясь силами инерции первого и второго порядка по-
лучим следующее приближенное выражение для силы Р/
PL==r- ^(n/?o>sXcos а -|- X cos 2а) (14)
79
Черт. 5. Диаграммы сил Т? авиамотора БМВ — VI 7.3Z.
Zi---[у (1 +-у) -4- — COS a 4- у (1 — Xs) COS 2a 4-
4*-у X cos 3a 4~-j-cos 4a . (16)
* jC I
Аналогично действию силы Рг действие силы Pj приводится к:
направленной по оси цилиндра и передающейся на крепление мо-
тора к аппарату или фундаменту;
6 И. Ш. Нейман.
81
2) паре сил (Tjy — Tj) с плечом R иТмомеитом
07)
который входит в общий крутящий момент двигателя на коленча-
том валу;
3) паре сил (Nj, — /V7) с плечом (Z cos ₽ -ф R cos а) и моментом
/Иду, равным и обратно направленным моменту Mej:
M^^nR/ps^±-^-MeJ.
(18)
(19)
cos ₽
Этот момент передается на крепление мотора к аппарату или
фундаменту.
Выражение для силы А в виде функции угла а дано выше [ра-
венства (13) и (14)].
Приближенные выражения для моментов Мв, и Мф] в виде функ-
ции угла а получим, подставляя в равенство (17) выражение
_ sin(a + P)
nJp cos ₽ ~ J
в виде функции а из равенства (15)
Mej — — МФ1 — sin a---9Лв/?2щ2 sin 2a —
~г Л
— Х®г„Р2<02 sin За — ВД2«2 sin 4а.
Принято называть по аналогии с силами инерции:
й^/?2«)2 sin a — моментом первого порядка,
—9JJ„P2co2 sin 2a — моментом второго порядка,
£
з
— ’~r X sin За — моментом третьего порядка,
X2
—ЭЛ„Р2ш2 sin 4a — моментом четвертого порядка.
§ 4. Силы от пары сил инерции шатуна с моментом
Согласно равенствам (14) и (15) § 3, главы V, точное выражение
для момента пары сил инерции шатуна будет
п 1 /1 г 2 sin “
/7z== — /-.==}(1 — X3) J<o2 —л-g.
dt- ' 7 cos'1 p
Приближенное выражение для FR в виде функции угла а будет
согласно равенству (17) той же главы
3 ”1
sin a---g- X2 sin 3a .
о J
В этих выражениях J определяется согласно равенству (8) § 2,
главы V
Пара П, вызывает (черт. 7):
1) силу Nп, действующую нормально к стенке цилиндра, при-
ложенную к оси поршневого пальца и равную
.. _ -- J di$
Nn L cos p L cos p dr2
(20)
2) силу (—Nn), действующую нормально к стенке цилиндра,
приложенную к оси цапфы кривошипа и равную
/7т _______J
'п L cos р L cos р di? ‘
(21)
Разлагая силу —Nn на слагающую по радиусу кривошипа Zn
и на тангенциальную силу 7п, будем иметь:
____Пь sin« _ V sin « d?$
п L [cos p L} cos p dfl
____ Fh COS a J COS arf2 p
n L cos p L cos p dt”- ’
Направление сил Nn, Zn и Тп определяется их знаками и при-
нятыми за положительные направлениями сил N, Z и Т (черт. 1).
Точное выражение для силы Nn будет
Nn = — X (1 - А2) ~ . (24)
' L cos4p
Максимальные значения силы Nn будут при
a = 90° и a — 270°
и будут равны _ X J
V V/7 jmax — — । j “ • (/•<>)
Приближенное выражение для силы Nn в виде функции угла а
будет J Г/ Л2\ . X2 1
Nn — — X — со-I I 1-ф—I sm a-g-sin3aj. (26)
Силы (Nn, —Nn) вызывают в моторе:
1) пару (Nn, —Nn) с плечом /?cos« и моментом МвП, входя-
щим составной частью в общий крутящий момент двигателя на ко-
ленчатом валу
AU=-0,5X2(l(27)
Luo р
83
1абл
Эффективная мощность Число оборотов Число цилиндров Расположение цилиндров Диаметр цилиндров Ход поршня Степень сжатия Обозначение ” J I'll" Размер- ность Юнкере L-5 Либерти AL Райт Т-3 1
Ne п i D S е R L X си /?О)2 Od G GK lk — Ln ^-vx> Js ~n mk~ /s Op + Gn G Gn GK Ln 100 ^S “zJ /л ^к Gp+Gn (Nn) max (^se)cp (^eeyp (МфП) max (Mee )c.p л. c. об/мин MM MM MM MM сек —1 м. сек—'2 кг мм °/o кг см сек2 кгм~1 сек2 ч » я » ПИНЦ кг п я мм % кг см сек2 кгм—i сек2 » и я я Я » Я Я кг кг см % % 280 1400 6 1 ряд 160 190 5,5 95 325 0,292 146,5 2050 3,178 3,321 1,150 2,171 112,7—212,8 65,4 0,640 2,169 0,2213 0,2056 0,0157 4,328 35,2 14 300 1,07 7,96 427 1700 12 V 127 178 5,56 89 305 0,292 178 2810 2,167 2,521 0,625 1,896 75,6—229,4 75,2 0,387 1,742 0,1935 0,1873 0,0062 2,792 1,404 0,525 0,879 114—191 62,6 0,277 0,80 0,0896 0,0860 0,0036 2,692 19,1 18 000 0,431 3,21 525 1800 12 V 146 159 5,3 79,6 277,7 0;286 188,4 2820 2,669 3,153 0,741 2,412 65,3-212,4 76,5 0,352 1,805 0,246 6,2344 0,0116 3,410 1,941 0,754 1,187 108—169,7 61,2 0,261 0,831 0,121 0,1187 0,0132 3,423 35,6 21 900 0,593 4,51
Радиус кривошипа Длина шатуна . Отношение — Угловая скорость Центростремительное ускорение оси цапфы кривошипа Вес комплекта поршня я Вес общий £ Вес, отнесенный к поршню . § и Вес, отнесенный к кривошипу. Координаты центра тяжести . ® Д Величина Ln в °/0 от L ... g 0 Момент инерции Относительно ь центра тяжести Й >> Момент инерции относительно к °* оси поршневого пальца . о ВрашательНо - движущаяся масса ...... Суммарный вес поступательно дви- жущихся масс комплекта поршня и главного шатуна Вес общий Вес, отнесенный к поршню . . & Вес, отнесенный к кривошипу. Й Координаты центра тяжести . >> 5 Величина Ln в 0/0 от L . . . . S Момент инерции относительно « я центра тяжести g Момент инерции относительно 2 оси поршневого пальца . . Вращательно движущаяся масса Суммарный вес поступательно дви- жущихся масс комплекта поршня и внутреннего шатуна Для главного шатуна Средний эффективный крутящий момент f
iiita i
ролльс ройс Кондор з-с Кертисс D-12 Фарман 18-V» D Бристоль Люцифер НАМИ 1-00 для учеб- ных само- летов Армстронг Ягуар Райт Смерч-Л4А Сальм- сон АС-9 Бри- столь Черуп Кертисс Конкве- рер
650 415 610 112 110 385 208 120 30,4 600
1900/907 2000 1750 1600 165',) 1700 1800 1800 2900 2400
12 12 18 3 5 14 9 9 2 12
V V W л * ф. ♦ —- V
140 114,2 130 146 125 127 114,2 100 90 130,17
190 152,4 180 158,75 140 139,8 139,8 130 96,4 158,74
6,3 5,7 5,2 4,8 5 5 5 5 5,75 5,8
95 76,2 90 79,375 70 69,9 69,9 65 48,2 79,37
330 253,85 335 280,1 260 270,65 276,4 235 165 254
0,288 0,3 0,2686 0,2837 0,269 0,258 0,2525 0,2768 0,292 0,312:
199 209,5 183 167,4 172,7 178 188,4 188,4 303,5 251,33
3760 3350 ЗОЮ 2225 20,80 2215 2475 2300 4440 5010
1,727 1,120 1,449 1,630 1,452 1,535 1,289 0,75) 0,527 1,341
2,/53 2,079 5,510 3,325 4,815 6,407 5,890 3,358 0,444 2,Ь87
0,674 0,385 1,233 0,420 0,514 0,638 0,535 0,429 0,124 0,50?
2,079 1,695 4,277 2,905 4,301 5,769 5,355 2,929 0,320 2,071
80,8—249,2 47—206,85 75-260 35,4-244,7 27,7—232,3 26,95—243,7 25,1—251,3 30—205 46-119 49,9-204,
75,5 ' 81,5 77,6 87,5 89,5 90 91 87,3 72,1 80,4
0,437 0,177 0,86 0,255 0,2891 0,45 0,450 0,2364 0,0205 0,235
2,177 1,084 4,66 2,29 2,939 4,33 4,24 1,674 0,0845 1,335
0,212 0,1728 0,436 0,296 0,438 0,588 0,546 0,2987 0,03265 0,212
0,200 0,1682 0,415 0,2911 0,434 0,5909 0,555 0,3034 0,03106 0,207
0,012 0,0046 0,021 0,0049 0,0039 -0,0029 -0,009 -0,0047 0,00159 0,005
2,401 1,505 2,682 2,050 1,966 2,173 1,824 1,182 0,651 1,849
1,657 0,548 1,109 109,4 -220,6 66,9 0,322 1,144 0,139 0,1051 0,0249 2,275 49,2 16,9 68,1 11,93 8,71 Л 6,84 23,8 11,7 7,7
24500 14 850 24 600 5010 4780 16 220 8290 4780 751 17900
0,876 0,395 1,154 0,868 0,595 1,38 0,941 0,738 2,27
6,59 2,87 9,22 6,63 4,78 1,14 7,91 5,75 16,85
X .
-g- sin 2а —
2) пару (Nn, —с плечом (£cosp4-#c°s «) и моментом МфП
входящим в общий момент от двигателя, передающийся на крепле-
ние мотора к аппарату или фундаменту
МфП= X (1 - X2) /ш2 (28)
За положительное направление пар Мвп и Мфп принимаем на-
правление вращения мотора.
Максимальные значения момента МаП будут при значениях угла а,
определяемых из уравнения
sin а — ± |/0,5 (1 + X2) (29)
и будут равны
(Me/7)max = ± 0,5 X2 Ли2. (30
Приближенное выражение для момента Меп в виде функции
угла а будет^
МеП = — 0,5 X2 .fe2 (sin 2а— 0,5 X2 sin 4а). (31)
Максимальное абсолютное значение момента Мфп будет
(МфП) гаах = X (1 ф- X2) /ш2. (32)
Приближенное выражение для момента Мфп в виде функции
угла а будет
Мфп = Х/ш2
— -5- X2 sin 3 а-X8 sin 4а 1. (33)
о 4 □
В таблице I приведены основные данные для подсчета сил инер-
ции главных шатунов ряда современных авиационных моторов и
внутрешшх шатунов V-образных моторов. Для сравнения в ней даны
величины силы и моментов (2l4eZz)in;;x и (Л'1фП)гмх в процентах
от (7Ийг)ср — среднего эффективного крутящего момента двигателя,
определяемого по формуле
(Ж)Ср = 716,2^. (34)
Как видно из этой таблицы, величины силы Nn и моментов Меп
и Мфп сравнительно с действующими в кривошипном механизме
силами и моментами незначительны и поэтому обычно при динами-
ческом расчете двигателя ими пренебрегают, считаясь для шатуна
только с силами инерции масс шатуна, отнесенных к оси поршне-
вого пальца и к оси цапфы кривошипа.
§ 5. Суммарные силы, действующие в кривошипном меха-
низме от агрегата одного цилиндра.
Суммируя силы, действующие в кривошипном механизме от сил
Рг, Pj- и пары Пь агрегата одного цилиндра (диаграммы силРг + Р7-
для авиамотора БМВ - VI 7,3 Z даны на черт. 8), получим, что:
86
1. Равнодействующая сил, действующих нормально на стенку
цилиндра, будет
N=М + AZy (35)
где М, Nj и Nn определяются согласно равенствам (2), (9) и (20)
этой главы соответственно.
Черт. 8. Диаграммы сил Рг + Pj авиамотора БМВ - VI 7,3 Z.
На черт. 9 даны диаграммы сил V без учета сил Nn для авиа-
мотора БМВ - VI 7,3 Z.
2. Равнодействующая сил, действующих по оси шатуна, будет
(36)
где 7<г и Kj определяются согласно равенствам (3) и (10) этой
главы.
3. Суммарное тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа
будет
Т^=Тг+Т^Тп (37)
87
На черт. 10 даны диаграммы сил Т без учета сил Тп для авиа-
мотора БМВ - VI 7,3 Z, где Тг, и Тп определяются согласно ра-
венствам (4), (11) и (23) этой главы.
Суммарное усилие на ось цапфы кривошипа в направлении его
радиуса будет
Z) Zn, (38)
где Zz, Z} и Zn определяются согласно равенствам (5). (12) и (22)
этой главы. ' '
Черт. 9. Диаграммы сил М + N/ .авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
На черт. 11 даны диаграммы сил Z без учета сил Zn для авиа-
мотора БМВ - VI 7,3 Z.
Суммарный крутящий момент на валу двигателя от сил, дей-
ствующих в кривошипном механизме от одного цилиндра, будет
Л4в=Мвг 7Иву -J- Мвп, (39)
где Мвг, Мв;- и Меп определяются согласно равенствам (6), (17) и
(27) этой главы.
Суммарный момент, передающийся на крепление мотора к аппа-
рату или фундаменту от сил, действующих в кривошипном меха-
низме от одного цилиндра, будет
714^5 = Мф Мф} -j- Мфп, (40)
88
Черт. 10. Диаграммы сил 7г 4-7) авиамотора БМВ — VI 7,32. Черт. 11. Диаграммы сил 2г 4-2/ авиамотора БМВ —VI 7,3 Z.
г;
где Мфг, M$j и МфП определяются согласно равенствам (7), (18) й
(28) этой главы.
На крепление мотора к аппарату или фундаменту передается от
агрегата одного цилиндра помимо момента Мф сила инерции Р,
поступательно движущейся массы в этом цилиндре
Черт. 12. Диаграммы сил без учета сил инерции авиамотора БМВ— VI 7,3 7.
90
£ 6. Суммарные силы и моменты от работы всех цилиндров
двигателя. _
На ось цапфы кривошипа данного двигателя действуют: (
1. Суммарная результирующая Zs сил Z от всех цилиндров дви-
гателя, действующих на данную цапфу
Z2 = EZ. (42)
Черт. 13. Диаграммы сил Z 2 с учетом сил инерции авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
На черт. 12 и 13 даны диаграммы сил Zs как с учетом сил
инерции,^гак и без учета для авиамотора БМВ - VI 7,3 Z,
2. Центробежная сила инерции суммы вращающихся масс
Мк шатунов, действующих на данную цапфу
(43)
RTF’
^}ООС 1г~Н--. -р.--------- .. _______ _______________________________
Черт. 14. Диаграммы сил Тв без учета сил инерции авиамотора БМВ —VI 7,3 Z.
Силы Zs и sPtfe, складываясь, дадут результирующую силу Zt
действующую на ось данной цапфы кривошипа
ZB = 4'- 2^4*.
(44)
92
3. Суммарная результирующая Тв сил Т от всех цилиндров дви-
гателя, действующих на данную цапфу
7'в = Е7'. (45)
На черт. 14 и 15 даны диаграммы сил Тв как с учетом сил
инерции, так и без учета для авиамотора БМВ-VI 7,3 Z.
Черт. 15. Диаграммы сил Те с учетом сил инерции авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
Через опорную шейку коленчатого вала передается крутящий
момент Mkp, равный сумме крутящих моментов от всех цилиндоов
двигателя, лежащих к заду мотора от рассматриваемой шейки (пе-
редним концом мотора считается конец с пропеллером)
^kP~^TBR. (46)
Суммарный крутящий момент на валу двигателя Мвс от работы
всех его цилиндров определяется суммированием моментов TeR
всех цапф двигателя.
93
Черт. 16. Диаграммы крутящих моментов на первой и четвертой коренных шейках
без учета сил инерции авиамотора БМВ —VI 7,32.^;
Черт, 17, Диаграммы крутящих моментов на первой и четвертой коренных шейках
с учетом сил инерции авиамотора БМВ—VI 7t3Z, ..
Черт. 18. Диаграммы крутящих моментов на второй коренной шейке без учета сил
инерции авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
Черт. 19. Диаграммы крутящих моментов па второй коренной шейке с учетом сил
инерции авиамотора БМВ — VI 7,3 Z,
Черт. 20. Диаграммы крутящих моментов на третьей коренной шейке
бе< учет* сип инерции авиамотора БМВ —VI 7,3 Z.
Суммарный момент Мфс, передающийся Па крепление мотора К
аппарату или фундаменту, определяется суммированием моментов
Мф от всех цилиндров двигателя
Мфс = ЪМф. (47)
Помимо момента Мфс на крепление мотора к аппарату или фун-
даменту передаются силы инерции поступательно движущихся масс
в цилиндрах, направленные по осям соответствующих цилиндров, и
центробежные силы инерции вращающихся масс двигателя (массы
кривошипов и отнесенные к осям цапф кривошипов вращающиеся
массы шатунов). \
На черт. 16, 17, 18, 19, 20 и 21 даны диаграммы крутящих момен-
тов (действующих на разных опорных шейках) коленчатого вала
авиамотора БМВ-VI 7,3 Z, подсчитанные как с учетом сил инер-
ции, так и без учета.
ГЛАВА XI.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В КРИВОШИПНОМ МЕХАНИЗМЕ
СТАЦИОНАРНОГО ЗВЕЗДООБРАЗНОГО МОТОРА.
§ 1. Обозначения.
N:i — сила, действующая нормально на стенку бокового цилиндра
от силы давления газов на поршень — Рг в боковом цилиндре,
Кг1 — сила, действующая по оси шатуна бокового цилиндра от
силы Рг в боковом цилиндре,
Tzi — тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы
Рг в боковом цилиндре,
Zsi—нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Рг в
боковом цилиндре, ,
Pjt—сила инерции поступательно движущихся масс в боковом
цилиндре,
Njt—сила, действующая нормально на стенку бокового цилиндра
ОТ СИЛЫ Pfi,
Kfl — сила, действующая по оси шатуна бокового цилиндра от
СИЛЫ Pjt, '
Tji — тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Pji,
Zji—нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от силы Рц,
П[ — момент пары сил инерции шатуна бокового цилиндра,
Nm—сила, действующая нормально на стенку бокового ци-
линдра от пары 77z,
Tni — тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа от пары 77/,
Zm — нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от пары Пь
Мвг1 — крутящий момент на валу двигателя от силы Рг в боко-
вом цилиндре,
Mejt — то же от силы Рл,
МвП1— то же от пары 77ь
Мфа — момент, передающийся на крепление мотора к аппарату
или фундаменту и вызываемый силой Рг в боковом цилиндре,
Мф]1 — то же, вызываемый силой Рп,
7 И. 1Ц, TleiiMSs. S7
Мфп1—то же, вызываемый парой ГЦ,
— равнодействующая сил, действующих нормально на стенку'
бокового цилиндра от сил Рг в боковом цилиндре, Pjt и пары ГЦ,
Kt — равнодействующая сил, действующих по оси шатуна боко-1
вого цилиндра от сил Рг в боковом цилиндре и Ру7,
Tt— суммарное тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа
от сил Рг в боковом цилиндре, Рц и пары Пь
Zt — суммарное нормальное усилие на ось цапфы кривошипа от
сил Р, в боковом цилиндре, Рд и пары ГЦ,
Mei— суммарный крутящий момент на валу двигателя от сил Рг в
боковом цилиндре, Рц и пары ГЦ,
МФ1—суммарный момент, передающийся на крепление мотора
к аппарату или фундаменту и вызываемый силами Рг в боковом
цилиндре, Pji и парой ГЦ,
Ngi — сила, приложенная к оси поршневого пальца главного ци-
линдра и действующая нормально на стенку последнего, вызывае-
мая силой Рг в боковом цилиндре, в
Nji — то же, вызываемая силой Рд,
Nni—то же, вызываемая парой ГЦ,
% — равнодействующая Сил, действующих нормально на стенку
главного цилиндра от сил Рг в боковом цилиндре, Рд и пары ГЦ,
Z„— результирующая всех сил, действующих на ось цапфы кри-
вошипа в направлении его радиуса,
Тв — результирующая всех тангенциальных сил, действующих на
ось цапфы кривошипа,
— суммарная сила давления на стенку главного цилиндра,
Мв — суммарный крутящий момент на валу двигателя,
Мф — суммарный момент, передающийся на крепление мотора к
аппарату или фундаменту.
Все силы, действующие в кривошипном механизме, можно раз-
бить на две группы сил:
1. Силы от давления газов в цилиндрах.
2. Силы от сил инерции движущихся масс кривошипного меха-
низма.
Силы инерции движущихся масс кривошипного механизма можно,
в свою очередь, разбить на 3 группы:
1) силы инерции поступательно движущихся масс,
2) силы инерции вращающихся масс,
3) пары сил инерции шатунов с моментами /7Z.
Разберем подробно действие этих сил в кривошипном механизме
от работы бокового цилиндра.
Знаки сил и моментов и соответствующие им направления ана-
логичны таковым для нормального кривошипного механизма (см.
главу X),
Все выводы при определении сил, действующих в кривошипном
механизме, сделаны в предположении, что
Т/==т + ф.
Полагая в формулах для этого общего случая ^ = 0, получим
соответствующие формулы для частного случая, когда ft —у.
93
§ 2. Силы от давления газов Рг в боковом цилиг^дре.
Давление газов в боковом цилиндре, определяемое по» индика
торной диаграмме, и давление наружного воздуха вызывают силу
Давления Рг на поршень бокового цилиндра и соответствующую
Черт. 2. Диаграммы сил Pi цилиндра с прицепным шатуном авиамотора БМВ —
VI 7,3 2.
ей силу (—- Рг) давления на дно бокового цилиндра; силы Рг и
(— Рг) равны друг другу и направлены по оси бокового цилиндра
противоположно одна другой. На черт. 1 даны диаграммы сил Рг для
девятицилиндрового звездообразного мотора Рон-Юпитер-lV. На
черт. 2 даны диаграммы сил Р; цилиндра с прицелным шатуном
авиамотора БМВ-VI 13>Z^
100
И леем (черт. 3):
Черт. 3. К определению сил, действующих в кривот и пп ли механизме
прицепного шатуна.
ITг1 = Кг1 sin (az pz) 4- Л/./ cos a (4)
I Z.d = Kil cos («z4~Pz) — M/sina____________(5)
На черт. 4, фб и 7 даны диаграммы сил N:i, N?i, 'hi и Z#, под-
считанные по этим формулам, для цилиндра с прицепным шатуном
авиамотора БМВ-VI 7,3 Z.
1 Величина силы Nil зависит от угла pz, с увеличением которого она возрастает.
Механизм бокового шатуна с делается между прочим и с целью уменьшить
углы pz во время хода расширения, чем и достигается уменьшение силы W.
ИА
Черт. 4. Диаграммы'сил N?i авиамотора БМВ—VI 7,3 Z.
Для случая/когда ъ — У, выражение для силы Л4/ получим, при-
нимая в равенстве
М/ = р Т (tg ₽ ~tg ₽z)-
_.__4__C0S Р COS pz L
(6)
Черт. 5. Диаграммы сил М/ авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
Силы Тг1 и Zzi для этого случая определяются по равенствам
(4) и (5), значение Nzl в которых берется по равенству (6).
На черт. 8, 9, 10 и 11 даны диаграммы сил Mz, Л/Д, 7\i и Zzi для
девятицилиндрового звездообразного авиамотора Рон-Юпитер IV.
Действие сил давления газов в боковом цилиндре сводится:
1) к двум противоположно направленным по оси бокового ци-
линдра силам Рг и (—Рг), действующим—первая на коренные под-
шипники коленчатого вала Двигателя, а вторая на дно бокового
103
Черт. 6. Диаграммы сил Тг1 авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
цилиндра. Эти силы взаимно уравновешиваются, вызывая соответ
ствующие напряжения в системе боковой цилиндр-картер мотора;
2) к крутящему моменту на коленчатом валу двигателя
М8г1 — R [AS, sin («z -f- ft) -f- N’lt cos a], (7
1H
который входит в общий крутящий момент двигателя на коленча-
том валу;
3) к опрокидывающему двигатель моменту Ждя, равному и
обратно направленному моменту М вя
МфА = -Мва. • (8)
Этот момент передается на крепление мотора к аппарату или
фундаменту.
105
Черт. 9. Диаграммы сил №/' и №? + Nji авиамотор* Рон-Юпитер IV.
Черт. 10. Диаграммы сил Та и Та 7д авиамотора Рои-Юиитер IV.
£ 3. Салы от инерции поступательно движущихся масс
бокового цилиндра.
Согласно равенству (20) § 3, главы VI, сила инерции поступа-
тельно движущихся масс бокового цилиндра равна
РЛ= —(9)
где jpl определяется:
для случая 7/ = у из равенств (32), (33), (35) или (36) § 5,
главы II,
для случая 7М7 из равенства (17) § 2, главы III.
Сила Рц направлейа по оси бокового цилиндра в сторону, обрат-
ную ускорению поршня. Делая ее разложение аналогично разложе-
ниям для силы Рг в боковом цилиндре, получим:
N/z=-^7₽ztg₽z (10)
х,-,=-м.,4-й- (И)
СО о Р/
дь/—э_ sto ; r sin(Р— pz —4>)
Njt— PimJpi L cospcospz (I2)
Тп — Kji sin (az - I- ₽z) 4- Nji cos a (13)
Zji — Кц cos (az ф ₽z) — Nji sin a (14)
Для случая, когда 7Z=7, выражение для сил Nji получим, при-
нимая в равенстве (12) 6 = 0
W = - Wnljpl-~ (tg₽ - tg ₽z). (15)
Для этого случая силы 7}z >и Zji определяются согласно равен-
ствам (13) и (14), значение для TV,/ в которых берется согласно ра-
венству (15).
Подставляя в равенство (9) выражение для jpl из равенства (36)
§ 5, главы II, получим (для случая 7Z = y) приближенное выражение
для силы Pji в виде функции угла а
Рл= — cos (а - 7) - SV?<»BX-£-(l 4-
cos 2а 4~
4-9дп/?<»221 2 cos (2а — 7) — 9)?n(/?<u2 y- cos 2 (a — 7) . (16)
Действие силы Pji приводится:
1) к силе
Рц= — Wnljpi,
направленной по оси бокового цилиндра и передающейся на кре-
пление мотора к аппарату или фундаменту;
2) к крутящему моменту на коленчатом валу двигателя
Мд = Р [Kji Sin (az 4- pz) 4- Nji cos a], (17)
который входит в общий крутящий момент двигателя на коленча-
том валу;
110
3) к опрокидывающему двигатель моменту М#л, равному и
обратно направленному моменту Meji
МФц^ — Мвц. (18)
Этот момент передается на крепление мотора к аппарату или
фундаменту.
£ 4. Силы от пары сил инерции шатуна с моментом П{.
•Согласно равенству (13) § 3, главы VI, момент пары сил инер-
ции шатуна бокового цилиндра П1 равен
n—J^i
lIt- Jl
где
Ji — определяется из равенства (8) § 2, главы VI
Ji = Milnlk — Jsl, (20)
определяется из равенств (11), (13) или (14) § 2, главы II, для
случая у 1 — 1, и из равенства (11) § 1, главы III, для случая ъФу.
(19)
Черт. 12. К определению сил 1\'гц и Nnl'.
Пара ГЦ вызывает (черт. 12):
1) в оси поршневого пальца D нормальную к стенке бокового
цилиндра силу Nni, а в оси цапфы кривошипа равную ей, парал-
лельную, но противоположно направленную силу (—Nni)- Сила
Nni равна
дг ГЦ____________Л d~$i.
ai /cos£z Zcospz 4Z* ’
(21)
1Ц
i ' ' г
2) силу, приложенную к оси поршневого пальца главного/ци-
линдра и действующую нормально на стенку последнего
(22)
£cos₽ 4 '
3) тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа
Тщ~Nni COS az + Nni cos a; (23)
4) нормальное усилие на ось цапфы
Zni = — Nni sin az — Nni sin a. (24)
Направления сил Nni, Nni, ТП1 и Zni определяются их знаками
и принятыми за положительные направлениями этих сил (черт. 12).
Точное выражение для силы Nni для случая yz —7 будет
N„,(25)
Максимальные значения силы Nni для этого случая будут при
az = 90°4-S и az = 270°-(-6
к будут (26)
Для шатунов боковых цилиндров звездообразного мотора, рас-
положенных симметрично относительно главного цилиндра, вели-
чина сил (A;r7/)rnax попарно одинакова. Наибольшая величина силы
(Мт)гаах имеет место для шатунов двух боковых цилиндров, наи-
более удаленных от главного цилиндра, так как для них коэфи-
X,
циент з— имеет максимальное значение.
1—V
Приближенное выражение для силы Nni для случая 7г=7 в виде
функции угла az будет
Nni = — X А (1 + sin (az - 8) — sin 3 (az - 6)]. (27)
Выражение для силы Nni для случая 7z==y будет
Nni=~rL-Nm, (28)
где Nni определяется из равенства (25). Силы Тщ и Zni Для слу-
чая 7z=r определяются из равенств (23) и (24), причем сила Nni опре-
деляется из равенства (25) и сила Nni из равенства (28).
Пара сил с моментом 77z вызывает в моторе:
1) пару с моментом Мещ, входящим составной частью в общий
крутящий момент двигателя на' коленчатом валу
МвП1 = R (Nni cos a, -j- Nni cos a); (29)
2) пару с моментом M#nt, входящим в общий момент от двига-
теля, передающийся на крепление мотора к аппарату или фунда-
менту:
M?ni==—Nni (OD)—Nni (СИ) == П( - Мв1Ц. (30)
11?
За положительное направление нар Л'1„П1 и принимается
направление вращения коленчатого вала мотора.
Точное выражение для момента Мвт для случая 7Z —7 будет
Мвт = - 0,5 К (1 - V) • (31)
Приближенное выражение для момента Мвт для случая —
в виде функции угла az будет
Мвт = — 0,5 ХД/^2 [sin 2 (az — 6) — 0,5 Х(2 sin 4 («z—8)]. (32)
Максимальные значения момента МвП1 для случая 7Z — 7 будут
при углах az, определяемых из уравнения
sin(az-8) = ± |/6,5 (ПрЛ (33)
и будут равны
(ЛЩпах = ± 0,5 хде <34)
Максимальное значение момента (7WenZ)max будет в звездообраз-
ном моторе у шатунов двух боковых цилиндров, наиболее удален-
ных от главного цилиндра.
Точное выражение для момента Мфт для случая yz — 7 будет
^m=xz(i (35)
COS pz
Приближенное выражение для момента ЛЪ.,т для случая 7Z = 7
в виде функции угла at будет
МфП1 — [ (1 + -L) sin (az — 8) 4- sin 2 (az — 8) --
—I Vsin3(az-8)-lxz«sin4(az-8)]. (36)
Максимальное абсолютное значение момента Мфт для случая
Tz=T будет
(^щ)гаах = Xz (1 4- Y^ (37)
Максимальное значение момента (Л4^га)тах будет в звездообраз-
ном моторе у шатунов двух боковых цилиндров, наиболее удален-
ных от главного цилиндра.
В табл. 1 приведены основные данные для подсчета сил инер-
ции шатунов боковых цилиндров ряда современных авиационных
моторов. Для сравнения в ней даны величины силы (/¥т)твх и мо-
ментов [(MeZ7z)max]max и [(Л4^т)тах]тах в процентах от (Л4ве)ср—сред-
него эффективного крутящего момента двигателя, определяемого
по формуле
[41^=716,2^.
8 И. Ш. Неймаи. 113
§ 5. Силы от инерции масс шатунов боковых цилиндров,
"отнесенных к осям пальцев боковых шатунов, закрепленных
на главном шатуне.
Согласно § 4, главы VI, сил от сил инерции масс шатунов боко-
вых цилиндров, отнесенных к осям пальцев боковых шатунов, за-
крепленных на главном шатуне, отдельно учитывать не надо. Силы
инерции этих масс включаются в общие силы инерции главного
шатуна, масса которого увеличена отнесенными к осям пальцев
боковых шатунов массами соответствующих шатунов.
$ 6. Суммарные силы и моменты, действующие в кривошип-
ном механизме от агрегата одного цилиндра.
Суммируя силы, действующие в кривошипном механизме от с;ил
Рг, Pji и пары' Fit агрегата одного бокового цилиндра (на черт. 13
и 1 даны диаграммы сил Рг-\-Pfl для цилиндра с прицепным ша-
туном авиамоторов БМВ-VI 7,3Z и Рон-Юпитер-IV), получим, что:
1. Равнодействующая сил, действующих нормально на стенку бо-
кового цилиндра, будет приложена к оси поршневого пальца боко-
вого шатуна и будет равна
(38)
Здесь силы N?i, Njt и Nni определяются согласно равенствам
(1), (10) и (25) этой главы.
На черт. 14 даны диаграммы сил 7V) без учета сил Л™ для ци-
линдра с прицепным шатуном авиамотора БМВ-VI 7,3Z. На черт. 8
даны те же диаграммы для авиамотора Рон-Юпитер IV.
2. Равнодействующая сил, действующих недэмально на стенку
главного цилиндра, будет приложена к оси поршневого пальца
главного шатуна и будет равна
= + (39)
Здесь силы N-i, N}1' и 7Vm' определяются согласно равенствам (3),
(15) и (28) этой главы.
На черт. 15 даны диаграммы сил без учета сил Nni для авиа-
мотора БМВ-VI 7,3 Z.
На черт. 9 даны те же диаграммы для авиамотора Рон-Юпи-
тер-IV.
3. Равнодействующая сил, действующих по оси шатуна бокового
цилиндра, будет равна
K^KhA-Kjl (40)
Здесь силы Кг1 и Кц определяются согласно равенствам (2) и
(11) этой главы.
4. Суммарное тангенциальное усилие на ось цапфы кривошипа
будет
Т^Т^Т^Тщ. (41)
Здесь силы Тг[, Ту7 и Тni определяются согласно равенствам (4),
(13) и (23) этой главы.
115
На черт. 16 даньГ'диаграммы сил 7/Гбез учета сил Тт для ци-
линдра с прицепным шатуном авиамотора БМВ-VI 7,3Z.
На черт. 10 даны те же диаграммы для авиамотора Рон-Юпи-
тер IV. .
5. Суммарное нормальное усилие на ось цапфы кривошипа будет
2/ = Zzl Zm- (42)
Здесь силы Zzi, Z}1 и Zm определяются согласно равенствам (5),
(14) и (24) этой главы.
На черт. 17 даны диаграммы сил Zz без учета сил Zm для ци-
линдра с прицепным шатуном авиамотора БМВ-VI 7,3 Z.
116
Черт. 14 Диаграммы сил M = №z+N/f цилиндра с прицепным шатуном авиамотора
БМВ — VI 7,3 г.
117
Ле гоо <60 — - T— — TT“ r”
1 J
—
1
_J_—
/ 1
7
/2О_ ,/z
—1_ ка ca, t / — i
Л j / V
i; T
&0_ ч \ ^G£ a? —{A
1 I fT
’-j Z & 1 kiOrtiJH r<OlUl^
-Ц—U-1 '/> Wz iOf
АО. l 1 /д 7 м/ \U
и -
Л .ЖУ
1 4
L| .JFU I —
__ l-’l
АО ь О Л5 0 О, л & J. Й9 be 70 4/i 0 s 7
2-4 471 d°
—1..
...
80
- ___
Ш1
?//
-J2O
—
Д i
/60
1 ;s
и i
-200
— Hr й 1
1
-210
Т1 7i 1
— -IJJ -U I jl ~n ± IJJ
Черт. 15. Диаграммы сил 9lz = №/' + JV)/ авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
На черт. 11 даны те же диаграммы для авиомотора Рон-Юпи-
тер-IV.
6. Суммарный крутящий момент на валу двигателя будет
M,i = Meti Мв11 -f- (43)
118
Здесь моменты 7Иег/, MeJl и Мет определяются согласно равен-
ствам (7), (17) и (29) этой главы.
7. Суммарный момент, передающийся на крепление мотора к
аппарату или фундаменту, будет:
Мф1 = Мфг1-\- Мф^ 4- Мфт- (44)
£3десь моменты Мфг1, МФп и Мфт определяются согласно равен-
ствам (8), (18) и (30) этой главы. На крепление рассматриваемого
119
мотора к аппарату или фундаменту передается от агрегата одного
бокового цилиндра помимо момента сила инерции поступа-
тельно движущейся массы в этом цилиндре, направленная по оси
этого цилиндра.
Черт. 17. Диаграммы сил Z/ = Z?z + Zu цилиндра с прицепным шалуном авиамотора
БМВ — VI 7,3 Z.
§ 7. Суммарные силы и моменты от работы всех цилиндров
• двигателя.
На ось цапфы кривошипа данного двигателя действуют:
1. Суммарная результирующая Zs всех сил Zt от боковых ци-
линдров и силы Z, от главного цилиндра
Zs=XZ/ + Zi, (45)
На чёрт. 18 даны диаграмм!,! сил 2^ для Девятицилиндрового
звездообразного мотора Рон-Юпитер-lV;
да?
•
2-ЙЯ7
/соа
/200
ООО
о
ООО
/200
/ООП
2400
3000
3000
4200
П И ЧЕ ТО/4
Черт. 18. Диаграммы сил Zy девятицилиндрового звездообразного авиамотора Рон-
Юпитер IV.
2. Центробежная сила инерции Pik массы 7ИЛ' приведенного
главного шатуна, отнёсенной к оси цапфы^кривошипа,
Ри'=—М^^ (46)
[см. "равенство (21) § 4,гглавы VI].
ОЧЕТЯ СИУ? MHEFiylW---
С У4ETD/1---------—------
Черт. 19. Диаграммы сил Те девятицилиндрового звездообразного авиамотора Рон-
Юпитер IV.
Силы Zv и Ри, складываясь, дадут результирующую силу 2t,
действующую на ось цапфы кривошипа
Ze = Za+aft'. (47)
121
> 3. Суммарная результирующая Тя всех сил 7\ от боковых ци-
линдров и силы Tl от главного цилиндра
На черт. 19 даны диаграммы сил 7^. для девятицилиндрового
звездообразного мотора Рон-Юпитер-IV.
На стенку главного цилиндра будет действовать суммарная ре-
122
зультирующая всех сил 91/ от боковых цилиндров и силы от
главного цилиндра
9{1==ЕЭ?/ + ^. (49)
На черт. 20, 21 и 22 даны диаграммы сил 91/. для авиамотора
БМВ-VI 7,3 Z.
Черт. 21. Диаграммы сил авиамотора БМВ — VI 7,3 Z.
На черт. 23 даны диаграммы сил 291/ и № для девятицилиндро-
вого звездообразного мотора Рон-Юпитер IV.
Суммарный крутящий момент на валу двигателя Мв от работы
всех его цилиндров определится суммированием моментов Mei всех
123
боковых цилиндров и крутящего момента на валу Мв[ от работы
главного цилиндра £
Черт. 22. Диаграммы сил №, N>i, N, и авиамотора БМВ — VI 7.8 Z.
Суммарный момент М$, передающийся на крепление мотора к
аппарату или фундаменту, определится суммированием моментов
Мф1 всех его боковых цилиндров и момента Мфц передающегося
на фундамент от работы главного цилиндра
(51)
. 124
Черт, 23. Диаграммы сил NL авиамотора Рои-Юпитер IV.
Помимо момента 7И^, на крепление мотора к аппарату или фун-
даменту передаются силы инерции поступательно движущихся масс
.в цилиндрах, направленные каждая по оси соответствующего ци-
линдра.
Наконец, на крепление мотора к аппарату или фундаменту пе-
редается центробежная сила инерции вращающихся масс кривошипа
и отнесенной к оси цапфы кривошипа вращающейся массы приве-
денного главного шатуна.
Необходимо иметь в виду, что согласно § 4, главы VI, в случае
рассматриваемого мотора приходится иметь дело с приведенным
главным шатуном.
При стандартных расчетах парами сил инерции шатунов Z7z и
77/ ввиду их малого влияния пренебрегают.
ГЛАВА ХП.
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ДВИЖУЩИХСЯ МА СС
КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА АВИАЦИОННЫХ МОТОРОВ
РАЗНОГО ТИПА.
§ 1. Неравномерность хода мотора.
Неравномерностью хода мотора 5 называется отношение
g__________________comax-
(1)
°>ср
где: “max — максимальная угловая скорость пропеллерного вала при
вращении мотора,
“min — минимальная его скорость вращения,
— средняя его скорость вращения.
Если ппр — число оборотов пропеллерного вала в минуту
иуср — удП,1р’
(2)
“max и “min определяются из диаграммы “ которая, в свою
очередь, строится на основании диаграммы суммарных тангенциаль-
ных усилий двигателя.
1-й случай—мотор без редуктора.
Обозначим:
J—массовый момент инерции относительно оси коленчатого
вала всех вращающихся с валом масс и массы 1) S со-
средоточенной на расстоянии от оси вращения, равном радиусу кри-
вошипа /?; здесь — сумма поступательно двигающихся масс
во всех цилиндрах двигателя;
AleH — внешний момент, действующий на вал;
7Ие — рабочий момент двигателя на валу.
Уравнение движения системы вала напишется в виде
(3)
126
Отсюда
= М-«) (4)
2
~ 05 1 = j J (М, + Мвн) dt. (5)
1
Пренебрегая изменением мо-
мента Мен в зависимости от
ш const, т. е. полагая
Мвн = const,
мы можем построить диаграмму
ш = f(t), пользуясь диаграммой
суммарного крутящего момента
двигателя на валу
Мв
(черт. 1 и 2).
Если шд — угловая скорость
вала, соответствующая точке А и
<ов — то же для точки В, то
согласно равенству (5)
I в
<&в — сод = j- J(МЙН -f-
-]-Л4в)^1=Д. (6)
Величина А в соответствую-
щем масштабе равна заштрихо-
ванной площади на кривой
7ИВ—<?(fj (черт. 1). Пользуясь
соотношением (6), можно по-
строить кривую
<0-СОд = 6 (f)
(черт. 2). Проведя среднюю по
площади ординат}' CD и проведя
4тс
на расстоянии <оСр = у(где Твре-
Черт. 1. Суммарные крутящие моменты
и угловые ускорения коленчатого вала
авиамотора Кертисс Конкверор.
Черт. 2. Угловые скорости коленчатого
вала авиамотора Кертисс Конкверор.
Черт. 3. Кривая а = 0(0 авиамотора Кер-
тисс Конкверор.
мя, соответствующее повороту
вала на угол 4 тс) от нее новую
ось абсцисс Ot, мы получим кри-
вую <и =/(/), отнесенную к си-
стеме координат (шО^). Из этой кривой находим comax и <omin; оче-.
видно, что они будут соответствовать одним из тех точек кривой
Me = <?(£), для которых 7Ив — Мвн = о).
При помощи черт. 2 мы можем получить диаграмму угловых
127
колебаний коленчатого вала. Если мы на ось коленчатого вала по-
садим свободно диск и заставим его равномерно вращаться с угло-
вой скоростью а>ср, то, обозначая
а — угол поворота коленчатого вала от начального положения
за время t,
«1 — угол поворота диска за это же время t, будем иметь:
~ = <u: da = <jj dd
dt ’
— ®cp j da^ — ^cp dt
d(a — сц) — (co — &cp)dt
2
(a —ai)= |*(<o— <s>cp)dt (7)
i
Согласно этому соотношению, аналогично тому, как строилась
диаграмма о — wA = ^(f) (черт. 2), может быть построена диаграмма
a — a, — ф(7)
(черт. 3). Проведя среднюю по площади ординату Ot, получим кри-
вую
Черт. 4. Схема редуктор-
ной передачи.
a = 0(£),
отнесенную к системе координат (я Of).
Таким образом движение вала будет складываться из двух дви-
жений:
1) из равномерного переносного вращательного движения с по-
стоянной угловой скоростью е>ср И
2) из относительного вращательного колебательного движения,
совершающегося по закону а = 0(£), данному на черт. 3.
2-й случай — мотор с редуктором.
Заположительное направление моментов и угло-
вых скоростей принимаем направление вращения
коленчатого вала мотора.
Обозначим:
солр — угловая скорость вращения пропел-
лерного вала,
о—угловая скорость вращения мотора,
znp — число зубьев шестерни пропеллер-
ного вала,
z — число зубьев шестерни моторного
вала,
гпр — радиус средней окружности зубьев
шестерни пропеллерного вала,
г—то же шестерни моторного вала,
i—передаточное число редуктора
Znp f'np 05
Z ~ .Г 0>пр -
(8)
i
11
Р—окружное усилие на зубчатках,
128
Jnp — массовый момент инер-
ции относительно оси пропеллер-
ного вала масс, вращающихся с
этим валом,
J— массовый момент инерции
относительно оси вала мотора
всех вращающихся с этим валом
1 / X2 \
масс и массы -^-/1
средоточенной'на расстоянии от
оси вращения, равном радиусу
кривошипа 7?; здесь — сумма
поступательно двигающихся масс
во всех цилиндрах двигателя,
Мвн — внешний момент, дей-
ствующий на пропеллерный вал;
Мв — рабочий момент дви-
гателя на коленчатом валу.
Имеем:
1) диференциальное уравне-
ние движения для вала мотора:
2И„— J , — Рг=О; (9)
at
2) диференциальное уравне-
ние движения для вала пропел-
лера:
- Prnp - Jnp d-'n.p + = 0. (10)
Отсюда
Pr=-J<^ + Me
pr JnP I M
ИГпР~ i dt^ eH~
Исключая из этих уравнений
Р, будем иметь
) di — е ГЛ1вНг (11)
откуда
Для определения
d&np
dt
(12)
будем
иметь соотношение
9 И. Ш. Нейман.
Черт. 5. Суммарные крутящие моменты
и угловые ускорения коленчатого вала
авиамотора БМВ — VI 7,32.
Черт. 6. Угловые скорости коленчатого
вала авиамотора БМВ —VI 7,32.
Черт. 7. Кривая а == 0(f), авиамотора
БМВ —VI 7,3 2.
129
(Г
Так как
г«ю
гюо
1800
1500 -
IZ00
900
600
300
о
т
кг.
420С
3900 -
3600-
зза-
1
do3np _ 1 с?<0 1 /
dt i dt~ Jnp + ZV V711"" tM
K~4W+3f)^f=<i.l008
д/а‘
6.64
4,98
3.32
tfib
о
-166
-332
-4J98
-B#
®пр max ®*пр min tomax °\nin
^npcp
Черт. 8. Суммарные крутящие моменты и угловые ускорения коленчатого вала авиа- .
мотора Hornet.
Черт. 9. Угловые скорости коленчатого вала авиамотора Hornet.
Черт. 10, Кривая a = Q(t) авиамотора Hornet.
130
J/e =525лс, п=1900^/нш, Н=80,9Ьмм
Принято момент инерции бинта Je=80 кг. см секг
'— частей мотора J=5,it —«—•—
-Т--^-=0,0631 сеК
о для определения неравномерности хода мотора 8 является без-
наличным, из чего исходить: из или из «>
«. Фпр max-“лр min _ “max “min
8 =-----с----------— -—------
(15)
исеК
199.121
t99jJK
/99.021
/98,97
*96.92
/98.87
/98.82
/98,77
/98.72
198.67
mhp ср шср
Необходимо иметь в виду, что моменты Мв и Мен определяются
j эффективной мощности мотора.
Пользуясь соотношением (12), мы можем (аналогично тому, как
То делалось для случая мотора без редуктора) построить кривые
зменения «: w=f(f) и а: а = ©(/), а по ним определить 8 и макси-
альные угловые отклонения редукторного вала или вала мотора
их относительных движениях.
На фиг. 5, 6 и 7 даны в зависимости от угла поворота коленча-
того вала а кривые:
Afe=<p(a) — суммарный крутящий момент на валу двигателя,
<о=/(а) — угловая скорость вала,
1 а=0(а) — углы отклонения вала в относительном движении, по-
строенные для мотора БМВ - VI 7,3 Z. Как видно из кривых, для
этого мотора: 8 = атах = 0,0152°.
На черт. 8, 9 и 10 даны такие же кривые, построенные для де-
вятицилиндрового звездообразного мотора Hornet-A.
Для этого мотора 8= gggj amax = 0,055°.
р
2. Неравномерность момента внешнего сопротивления Мвн
Для воздушных винтов имеет место^соотношение
7И„„ - fasP,
(16)
Степень неравномерности
JT Ыпмк-Ыпхл .. 199,208-W88- f
ГЛ — ~ ЛЖ<Г? "ЗК
«8,$7
г ъ
где k — постоянная,
ш — угловая скорость вращения винта.
Так как согласно предыдущему const, то, вообще говоря,
Мвн Ф const.
Если 8Л — неравномерность момента Мвн, то на основании соот-
ношения (16) имеем:
у. А/ди max Alвн mjn “^max “^min
ОЛ1- дд ------
*ПвН ср
\ Если S— неравномерность хода мотора,
g *°тах wmin
(17)
М.
<»*ср
ТО
Отсюда
____ “max , “ “min
8
полагая приближенно
получим
^ср- 2 (“max “|-“min),
8Л=28,
(18)
т. е. неравномерность момента внешнего сопротивления Мвн в два
раза больше неравномерности хода мотора.
Отсюда видно, что при существующих в авиационных моторах
значениях величин 8 мы можем при построении диаграмм <о=/(£) и
а = 0(£) принимать Мен постоянным, как это и было допущено
выше.
3. Общие соображения по вопросу об уравновешенности
авиационных моторов.
Под неуравновешенными силами в моторе в широком смысле
надлежит понимать все силы, уравновешивание которых приходится
на долю опор мотора. Реакции опор мотора определяют, применяя
принцип Д’Аламбера, согласно которому действующие на систему
внешние силы и силы инерции движущихся масс системы находятся
в равновесии. К внешним силам, действующим на мотор, относятся.
1) вес мотора,
2) давление окружающей среды на мотор,
3) реакции отходящих газов, и жидкостей,
4) внешнее сопротивление вращению пропеллера,
5) опорные реакции мотора.
К силам инерции движущихся масс мотора относятся:
1) силы инерции поступательно двигающихся масс в цилиндрах
двигателя;
2) центробежные силы инерции вращающихся масс двигателя;
3) тангенциальные силы инерции вращающихся масс, образующихся
благодаря тому, что, согласно § 1 этой главы, угловая скорость
вращения коленчатого вала мотора <ь не является, вообще говоря,
постоянной;
4) моменты от пар сил инерции шатунов Пь (см. главу IX, § 4, и
главу X, § 4).
Не все из перечисленных сил оказывают влияние на динамиче-
скую уравновешенность мотора. Динамически неуравновешенным
мотором считается такой, который имеет стремление вибрировать
при работе и вызывать вибрационные движения установки. Поэтому
на динамическую уравновешенность мотора оказывают влияние
только периодически переменные силы, а силы постоянные с точки
зрения динамического уравновешивания никакого значения не имеют.
Исходя из этого, под динамическим уравновешиванием мотора над-
лежит понимать такое комбинирование неуравновешенных сил, кото
рое ведет к получению равнодействующих сил или моментов, по-
стоянных по величине и направлению или, в частном случае, равных
нулю.
Возвращаясь к вышеперечисленным силам, действующим на мо-
тор, мы видим, что динамическую неуравновешенность мотора могут
вызвать только:
1) силы инерции движущихся масс,
2) внешнее сопротивление вращению мотора,
3) реакции выхлопных газов.
132
Реакция выхлопных газов определяется по формуле
г „ dm ,,
P=dt-v = Mv, (19)
.. dm
где: М— ^----секундная масса для данного момента вытекаемых
газов,
v — скорость газов в выходном сечении.
Величина реакции выхлопных газов в авиационных моторах
является незначительной, не оказывающей практического влияния
на уравновешенность мотора; поэтому ее во внимание не прини-
мают.
Момент внешнего сопротивления вращению мотора является при
существующих (см. § 2 этой главы) для авиационных моторов не-
равномерностях момента внешнего сопротивления Мен величиной
тоже практически постоянной, поэтому и Мен практически не ока-
зывает влияния на уравновешенность мотора и во внимание не при-
нимается.
Таким образом динамическая неуравновешенность двигателя обу-
словливается только силами инерции движущихся масс.
Тангенциальные силы инерции вращающихся масс, образующиеся,
как указано выше, благодаря тому, что угловая скорость со враще-
ния вала мотора не является постоянной, создают в авиационных
моторах (в которых центробежные силы инерции вращающихся масс
обычно уравновешены) суммарный вращающий момент, передаю-
щийся на опоры мотора. Этот момент Мф в случае мотора без редук-
тора определится из уравнения
Мф=-№ (20)
(ЛЬ
а в случае мотора с редуктором из уравнения
M^-jddt~J^-
Значения входящих в эти уравнения величин даны в § 1. При-
нимая во внимание уравнения (4) и (12) этой главы, будем иметь,
что в случае мотора без редуктора
Мф = — - — (Мв 4- Мвн), (22)
а в случае мотора с редуктором
м _ fd^ . du„p ( 1 _ f\dw_
Мф~ Jd. Jnp~dt J)dt
= ФЕ-'q- (23)
J пр "T" I J
В современных авиационных моторах моменты Мф остаются
обычно неуравновешенными, хотя в случае мотора с эедуктором
по схеме черт. 4 является теоретически возможным, как это видно
133
из формулы (23), сделать Мф = 0; для этого необходимо подобрать
величины вращающихся масс такими, чтобы удовлетворялось урав-
нение
Jnp — 0,
Jnp___f
J ~
В случае мотора с редуктором, у которого пропеллерный вал
вращается в одном направлении с коленчатым валом мотора, будем
иметь вместо соотношения (8)
<о . .
—— А-1
шпр
и соответственно
d^np . 1 d<&
di i dt*
„ d<n „
Для определения в этом случае будем иметь вместо уравне-
ния (12) уравнение
$ =------7---’ <24>
а для определения — ,”р вместо уравнения (13) уравнение
7" л,.+л/! Л!“’- (2S)
Применяя уравнение (21) для определения Мф, в этом случае
будем иметь:
dva с!ыпр ( 1 \d^_
— Jnp dt ~ Г + 7 Jnp)dt~
=-----{iMe + Мвн) (26)
Сравнивая выражения (26) с (23), можно сделать заключение,
что для одного и того же мотору, при одинаковых i, Jnp и J по-
лучается большая уравновешенность мотора в отношении момента
Мф при такой конструкции редуктора, когда пропеллерный вал
имеёт направление вращения, обратное направлению вращения ко-
ленчатого вала мотора. В этом случае момент Мф получается в
Jnp+iJ -
Д Аър' U
раз меньше, чем в случае, когда пропеллерный вал имеет напра-
вление вращения, одинаковое с направлением вращения коленчатого
вала мотора.
Суммируя все вышеизложенное, мы приходим к заключению,
что задача динамического уравновешивания авиационного мотора
134
приводится к задаче уравновешивания сил инерции поступательно
и вращательно движущихся масс мотора. В последующем рассма-
триваются вопросы уравновешивания этих сил в авиационных мо-
торах различного типа. Моменты от пар Fli сил инерции шатунов
ввиду их малой величины во внимание не принимаются.
Согласно § 3, главы X, сила инерции поступательно двигаю-
щейся в цилиндре массы может быть представлена в виде гар-
монического ряда
—/? COS а - 4 р2 /? w2 cos 2 а +16 р4 /?<02 cos 4а —
— 36 р6 /?<о2 cos 6 а -}- 64 р8 R cos 8 а —...,
где: Р5 = ух + |ёхз + 512Ха+2048л7^“’"
pi = 64 Х3 + 256XS + 4096х’ + •• •
1 ч
'‘•=5Г2Л!+аИ8х’+-
*
£
р8 = 1282Х’ + "-
И т. д.
При имеющих место в современных авиационных моторах зна-
чениях А коэфициенты р2, р4, р6, р8 и т. д. очень быстро убывают
с увеличением порядка гармоник. Поэтому, например, при
имеем:
4 р2 = 0,2832; 16р4 = 0,00568; 36 р6 = 0,000127 и т-. д.,
и амплитуды гармоник будут относиться между собой, как
’1 :0,2832:0,00568 :0,000127.
Из этого примера видно, что значения сил инерции поступав
тельно движущихся масс порядков выше второго являются отно-
сительно малыми, и поэтому при динамическом уравновешивании
мотора стремятся уравновесить силы инерции первых двух поряд-
ков. Исходя из этого, т. е. пренебрегая силами инерции высших
порядков, получают для силы инерции поступательно движущейся
массы в одном цилиндре выражение
cos а — X со2 cos 2 а, (28)
которым обычно и пользуются при рассмотрении вопросов об ура-
вновешенности двигателей.
Аналогично этому, в случае мотора с прицепным шатуном,
пользуются в вопросах уравновешивания следующими выражениями
для сил инерции поступательно двигающихся масс в одном цилин-
дре (см. главу XI, § 3):
135
(29)
Для случая, когда 7=7/
P7. = —2Rn/?^cos(a —7) —gjJ^coU - (1 + y) cos2c
H-9Ji„/?<u22A-^cos(2a — 7) — COS 2 (a —7).
I' I
*
Напомним, что здесь обозначают:
7 — угол между осями рассматриваемого и главного цилиндра,
a — угол поворота кривошипа от оси главного цилиндра,
/—длину прицепного шатуна,
L — длину главного шатуна,
R — длину радиуса кривошипа,
г — расстояние оси пальца прицепного шатуна, закрепленного
на главном шатуне, от оси цапфы кривошипа. В вопросах уравно-
вешивания звездообразных моторов г принимается одинаковым для
всех цилиндров, равным среднему арифметическому значению всех
действительных г мотора,
— суммарная поступательно двигающаяся масса в цилиндре с
прицепным шатуном. В вопросах уравновешивания обычно прини-
мают, что суммарные поступательно двигающиеся массы во всех
цилиндрах двигателя одинаковы, т. е. принимают, что поступательно
двигающаяся масса в главном цилиндре равна-таковой в цилиндре
с прицепным шатуном, D
г—
L ’
<о — угловая скорость вращения коленчатого вала мотора.
Для случая, когда 7^7/
Р,= — R <о2 Е cos (a, + Ф) — R <о2 F cos (2 a, — 0).
В этом выражении величины Е, Ф, F и 0 являются для
механизма постоянными и определяются из соотношений:
(30)
данного
’P=Tz—7
Л^
A —----, cos 2 8 4- cos Ф cos 2 7
r • I
В =----j sin 2 8 — cos sin 2 7
T Л V
С = 1 -|- -j- sin ф sin 7 s*n 'J' s’n 8
(31)
D =
л s \
у cos 8 — cos 7)
*ge=4
F F -) Г &
cos0’ ‘ L cos
Величины л и 8 определяются из треугольника черт. 1 главы III.
а{ в выражении (30) является углом поворота кривошипа от ос«
рассматриваемого цилиндра.
136
Необходимо помнить, что угол 5 является положительным в том
случае, когда прицепной шатун движется впереди главного. В том
случае, когда впереди идет главный шатун, угол 8 — отрицателен.
Для случая нормального кривошипного механизма имеем:
0 = 0
Эти соотношения позволяют применять формулы, выведенные
в дальнейшем для моторов с прицепными шатунами, к моторам
такого же типа, но с нормальными шатунами.
Что касается центробежной силы инерции вращательно движу-
щейся массы, то она, как известно, равна
(33)
где 3R-—вращающаяся масса,
р — расстояние центра тяжести этой массы от оси вращения,
<о—-угловая скорость вращения массы.
При суммировании сил инерции отдельных порядков поступа-
тельно движущихся масс в цилиндрах двигателя приходится поль-
зоваться следующими соотношениями:
(34)
когда = есть дробь, то Д = 0, В = 0;
k
когда = есть целое число, то
А — isin (т a); B—i cos (т а)
Часто также приходится пользоваться следующими тригономе*
трическими формулами:
sin (а ± р) = sin a cos р ± cos а sin Р
cos (а ± р) = cos а cos р zp: sin а sin Р
sin а sin р = 2 sin -i-(а-|~ р) cos4-(а— р)
sin а — sinР=2cos(а |-p)sin -^-(а— Р)
, COS а. -ф cos Р = 2 cos (а ф- Р) cos у (а — Р)
cos а. V- cos Р = — 2 sin -X- (а + Р) sin 4- (« — Р)
(35)
J
137
COS a ± sin a =
sin а • sin р =cos (a —- р)— -l'cos(a4"₽)
2 2
cos a • COS р—-“COS (a— p)-f--^-COS (a p)
2 2
sin a • cosp=-i-sin (« 4 P)+ <> sin (“— P)
z z
(35)
§ 4. Уравновешивание сил инерции вращающихся
Силу инерции любой массы М (черт. И), равномерно
скоростью <» около оси АВ, можно
всегда уравновесить силами инер-
ции двух масс Му и ТИ2, равно-
мерно вращающихся около оси
АВ с этой же угловой скоростью «>.
При этом центры тяжести всех
трех масс М, Му и Ms находятся
в одной плоскости с осью враще-
ния АВ.
Если г, Гу и г2 обозначают со-
ответственно расстояния центров
тяжести масс М, Му и /И2 от оси
вращения АВ, ъ Р, Рг п Р»
инерции этих масс, то
Р=М г ш2 ]
Pj = МуГу (О2 > Х
P2 = Af2r2w2 J
Чтобы силы Ру и Р2 уравновешивали силу Р, необходимо
чие соотношений:
МуГу -j- ТИ3г2 = Mr)
МуГуй = ТИ2г2 Ь, /
щейся с постоянной угловой
Черт. 11. К уравновешиванию сил
инерции двух вращающихся масс.
ветцгвенно центробежные силы
откуда
масс.
вращаю-
соот-
(36)
нали-
(37)
Му = М—
G (« + Ь)
а
(38)
(39)
вели-
M^ — M . ,c.
r2(a + &)
Величины a, b, rt, r2, Mt и М2, связанные между собою и
чинами М и г уравнениями (37), выбираются для каждого отдель-
ного случая, исходя из конструктивных возможностей размещения
масс 7И, и ТИ2 и из соображений получения наименьшей массы
(714, 4 УИ2).
В том случае, когда имеется несколько масс, равномерно вра-
щающихся около оси АВ и имеющих центры тяжести, не лежа-
щими в одной плоскости, проходящей через ось АВ, силы инерции
138
этих масс можно тоже уравновесить силами инерции двух масс,
центры тяжести которых лежат в любых плоскостях Д1 и Д2 (черт.
12). Для, определения величины этих масс и расположения их цен-
тров тяжести относительно оси вращения АВ, проводим через ось
АВ и центр тяжести каждой из уравновешиваемых масс плоскости
J
Черт. 12. К уравновешиванию сил инерции несколь-
ких вращающихся масс.
до пересечения с пло-
скостями Д, и Д2. На-
ходя согласно вышеиз-
ложенному уравнове-
шивающие силу инер-
ции каждой из уравно-
вешиваемых масс, при-
чем эти уравновешива-
ющие будут направле-
ны по линиям пересе-
чения плоскостей Д| и
Д2 с соответствующей
плоскостью, проходящей через центр тяжести рассматриваемой
уравновешиваемой массы и ось АВ, получим в плоскостях Et и Д2 ряд
проходящих через ось АВ сил, определенных по величине и напра-
влению, и представляющих собою уравновешивающие силы инер-
ции уравновешиваемых масс. Складывая геометрически или анали-
тически силы, лежащие в каждой из плоскостей Д, и Д2, получим
для каждой плоскости
соответственно результирующий уравнове-
шивающий вектор SDla и 3)12 /?2, опре-
деленные по величине и направлению. От-
сюда определяем Rt, Э0?2 и /?2. Выбор
плоскостей Et и Д2 и конфигурации масс
ЭК, и 9Л2 зависит в каждом отдельном слу-
чае от конструктивных возможностей и
связан с соображениями получения наи-
меньшей массы (SRj -|- 5Ji2).
Черт,? 13. К уравновешива-
нию сил инерции одноцилин-
дрового мотора.
§ 5. Уравновешивание сил инерции
одноцилиндрового мотора.
В моторах этого типа (черт. 13) силы
инерции различных порядков поступатель-
но двигающейся массы без добавоч-
ных приспособлений остаются неуравнове-
шенными. Центробежные силы инерции
вращающихся масс могут быть уравнове-
шены соответственно подобранными про-
тивовесами.
Уравновешивание сил инерции различ-
ных порядков поступательно двигающейся массы может быть
выполнено следующим образом. Положим, что необходимо уравно-
весить
Для
НИЯХ, с
силу инерции 1-го порядка равную
Pjt = — 9)1п R cos а.
этого заставляют вращаться в противоположных направле-
угловыми скоростями <о, две одинаковых массы, располо-
139
Черт. 14. Уравновеши-
вание сил инерции пер-
вого порядка поступа-
тельно движущихся масс
одноцилиндрового МО-
женных симметрично относительно оси цилиндра уу\ и таким обра-
зом, чтобы плоскость, в которой вращаются их центры тяжести,
проходила через эту ось (черт. 14).
Обозначая:
т— каждую из вращающихся масс,
р — расстояние центра тяжести этой массы от оси вращения,
будем иметь, что сила инерции первого порядка массы полно-
стью уравновесится, если т и р будут подобраны такими, чтобы
удовлетворялось уравнение
тар = 0,5 3)inR, (40)
при этом массы/гг должны быть размещены
таким образом, чтобы при а = 0 углы е =
= а = 0 (черт. 14).
Аналогичным образом может быть уравно-
вешена и сила инерции 2-го порядка массы
Эта сила равна
= —-A SRn R <о® cos2 а.
Чтобы уравновесить эту силу, заста-
вляют массы т вращаться с угловыми ско-
ростями, равными 2<о. Уравновешивание бу-
дет иметь место при условии
wp=-^-5R„/?.
Подобным же образом может быть уравновешена сила инерции
любого /г-го порядка поступательно двигающейся массы SDln, при-
чем уравновешивающие массы т определятся из уравнения
zmP==’21s’9R»/?- (41)
Изложенный способ уравновешивания называется способом Лан-
честера (Lanchester).
§ 6. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового V-образ-
ного мотора с осями цилиндров, лежащими в одной пло-
скости под углом у° друг к другу.
Ограничиваясь для сил инерции масс гармониками 1-го и
2-го порядка, будем иметь, что силы инерции 1-го порядка этих
масс (черт. 15):
— 5R„7?<oscosa для 1-го цилиндра
и *
— 9Jin R cos (а 7) для 2-го цилиндра
дадут слагающую Хх, направленную по оси хх' (черт. 15) и равную
X, = 2 ЗЛп R<о2 sin2 yr sin (а +~) (42)
140
и слагающую У„ направленную по оси уу' и равную
К,—— 2Э№„ 7? i»2 cos2cos (“ + у)- (43)
Силы инерции 2-го порядка масс УЯп дадут слагающую Ag, на-
правленную по оси хх' и равную
= 2 R <о2 Asin -^- sin 7 sin (2 a -f- 7), (44)
и слагающую К2, направленную по оси уу' и равную
У2 = — 2®J„Z?<u2Xcos cos7cos(2а + 7).
(45)
Черт. 15. К уравновешиванию сил инерции двух-
цилиндрового мотора с цилиндрами, расположен-
ными V-образно под углом ?.
У ’
Силы инерции 1-го и 2-го порядков масс 5J?n, слагаясь дают
векторную диаграмму сил инерций, примерный вид которой- дан на
черт. 16. Эта диаграмма
сил инерции имеет яйце-
видную форму и является
растянутой в направлении
оси уу'. Для возможно
большего уменьшения дей-
ствия этих сил инерции на
крепление мотора к аппа-
рату или фундаменту, уве-
личивают массу противо-
веса, уравновешивающую
своими силами инерции
силы инерции вращающих-
ся масс мотора добавочной
массой SR„p'. Эта масса
предварительно подби-
рается таким образом,
чтобы развиваемая ею сила
инерции была равна полу-
сумме максимальной и ми-
нимальной величин силы
инерции масс каковые берутся по векторной диаграмме, по-
строенной для каждого данного случая аналогично диаграмме черт. 16.
Окончательная выбалансировка моторов этого типа произво-
дится после постройки во время предварительных испытаний
в условиях нормальной работы мотора.
На черт. 16 дана и окончательная векторная диаграмма остаю-
щихся неуравновешенными сил инерции масс Ж„, полученная гео-
метрическим сложением векторов сил инерции масс 9)1п и силы
инерции массы противовеса.
141
Черт. 16. Векторная диаграмма уравновешивания сил инерции первого
и второго порядков поступательно движущихся масс двухцилиндро-
вого V-образного мотора с углом между цилиндрами у.
SR„ = 0,0906 кг м~1 сек1, п = 2500 об/мин, R = 5,25 см, X = х/4, т = 45°.
§ 7. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового V-образ-
ного мотора с осями цилиндров, лежащими в одной плоско-
сти под углом 90° друг к другу.
Ограничиваясь для сил инерции масс гармониками 1-го,
2-го и 4-го порядка, будем иметь, что силы инерции 1-го порядка
масс
— /? о>2 cos а для 1-го цилиндра
и
— Жп /?w2cos (а90°) для 2-го цилиндра
142
дадут слагающую, направленную по оси радиуса кривошипа (черт. 17)
и равную:
p.i = _-WnRv*.
(46)
Эта сила инерции,
массы 3Rfc, равной
слагаясь с силой инерции вращающейся
P^==-9Rft/?<o2 (47)
и направленной по оси радиуса кривошипа, даст суммарную силу,
направленную по оси радиуса кривошипа и равную
Pzl + P/.fc=-(9Jt„ + W/?“2.
(48)
Эта сила может быть уравновешена противовесом, расположен-
ным относительно кривошипа по другую сторону оси вала, ддя
этого размеры противовеса под-
бираются таким образом, чтобы
удовлетворилось уравнение
Ж„р/?пр=(97?„4-5»?/£)7г, (49)
где: *
2)?„р—масса противовеса,
/?пр — расстояние от оси колен-
чатого вала центра тяжести про-
тивовеса.
Таким образом в рассматри-
ваемом моторе силы инерции
вращающихся масс и силы инер-
ции 1-го порядка поступательно
движущихся масс полностью
уравновешиваются силой инер-
ции соответственно подобранной
массы противовеса.
Силы инерции 2-го порядка
масс ЯЛ„
— A R ш2 cos 2а
Черт. 17. К уравновешиванию сил инерции
двухцилиндрового V-образного мотора с углом
между цилиндрами в 90°.
для 1-го цилиндра
— А R со2 cos (2а 180°) „ 2-го
складываясь, дадут силу инерции 2-го порядка, направленную по
прямой хх' и равную
Х2 = j/2~X R <о2 cos 2а. (50)
Эта сила инерции остается обычно неуравновешенной.
Максимальное ее значение будет
(х2)тах=± |/2 хад^2
(51)
и
и будет иметь место при значениях угла а:
0°, 90°, 180° и 270°,
т. е. в моменты совпадения оси радиуса кривошипа с осями цилиндров
двигателя.
143
Силы инерции 4-го порядка масс 9ЛЯ, равные
16р4 2ЙЯ/? со2 cos 4а для 1-го цилиндра
и
16p1W?B/?<o2cos(4a-|-360c) „ 2-го , ,
складываясь, дают силу инерции 4-го порядка, направленную по
прямой уу', делящей пополам угол между осями цилиндров и равную
К, = 16 j/2 p59K„/?<B2cos4a.
р4 согласно равенству (24) главы I равно
'>' = Й1’+2Й6К, + ®6Х’+-
Максимальное значение силы У4 будет
(Г4)тах=±16 j/гр4 5ШЯ /? W2
и будет иметь место при значениях угла а;
0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°,
( (53)
т. е. в моменты совпадения оси радиуса кривошипа с осями цилин-
дров двигателя и с осями хх' и уу'. Сила инерции У4 остается обычно
неуравновешенной.
§ 8. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового мотора
с противоположно расположенными цилиндрами и с криво-
шипами, расположенными под углом 180° друг к другу.
По радиусу каждого кривошипа действует сила инерции суммар-
ной вращающейся массы 9Jife, сосредоточенной на оси цапфы этого
кривошипа. Каждая из
ь ‘этих сил равна
"|г~...... ------зН ~ pik=-^tkR^..
-«==-----, ’ I л Эти две силы обра-
зуют пару сил с плечом а
Черт. 18. К уравновешиванию сил инерции двух- (черт. 18) и моментом
цилиндрового мотора с противоположно располо- лд _ /КИТ
женными цилиндрами. a,
действующую в плоско-
сти кривошипов коленчатого вала. Эта пара сил может быть урав-
новешена силами инерции масс двух противоположно расположен-
ных противовесов; для этого размеры противевесов подбираются
таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение
^„PRnpa„p=^ikRa, (55)
где а„р— расстояние между плоскостями, перпендикулярными оси
коленчатого вала и проходящими через центры тяжести противо-
весов. Что касается сил инерции 1-го, 2-го и 4-го порядков масс Эй„,
то таковые остаются неуравновешенными, образуя действующие
в плоскости осей цилиндров пары с моментами:
144'
Afyl = — R^a cos a, (56)
Л4л =— X9Rn/?<B2«cos2a, (57)
Л4у5== 16p49Ji„/?o?n cos 4a, (58)
где
p4==64X3^ 256 4096
§ 9. Уравновешивание сил инерции четырехцилиндрового
мотора с цилиндрами, расположенными в ряд.
Силы инерции 1-го порядка масс в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой; равнодействующая
Черт. 19. К уравновешиванию сил инерции четырехцилиндрового одно-
рядного мотора.
этих сил равна нулю. Силы инерции 2-го порядка масс дают
равнодействующую, направленную по прямой уу' (черт. 19), лежащей
в плоскости zz', и равную
Ув = — 4X9R„/?<o«cos2a. (59)
Максимальное значение силы У2 будет
(Г2)тах = ±4ХЖ„^^
(60)
и будет иметь место при значениях угла а:
0°, 90°, 180°, 270°,
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостью
осей цилиндров и с плоскостью, нормальной к последней и прохо-
дящей через ось коленчатого вала.
Сила остается обычно неуравновешенной, хотя и может быть
уравновешена при желании по способу Ланчестера (Lanchester) путем
10 .И. ш. Неймаи.
145
применения соответственно расположенных, вращающихся с двой-
ной угловой скоростью коленчатого вала масс.
Силы инерции 4-го порядка масс дают равнодействующую,
направленную по оси уу', лежащей в плоскости z£, и равную
K4 = 64p49R„7?<b2cos4a, (61)
где
₽* = йХ, + ДХ’ + 4®б‘’ + -
Максимальное значение силы У4 будет
(Г4)тах==±64р4ад<о2 (62)
Черт. 20. К уравновешиванию сил инерции шестицилиндрового одноряд-
ного мотора.
и будет иметь место при значениях угла: >>
0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°.
Сила К4 остается обычно неуравновешенной.
Силы инерции вращающихся масс в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой.
£ 10. Уравновешивание сил инерции шестицилиндрового мо-
тора с цилиндрами, расположенными в ряд и с кривоши-
пами под углом 120Р.
» •
Силы инерции 1-го, 2-го и 4-го порядков масс в рассматри-
ваемом двигателе (черт. 20) полностью уравновешиваются сами
собой.
Силы инерции вращающихся масс 9Jifc в рассматриваемом дви-
гателе полностью уравновешиваются сами собой.
146
11. Уравновешивание сил инерции восьмицилиндрового мо-
тора с цилиндрами, расположенными V- образно под
углом 90.
Силы инерции 1-го порядка масс в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой.
Силы инерции 2-го порядка масс 9)1„, складываясь, дадут силу
инерции 2-го порядка, направленную по прямой хх' (черт. 21), ле-
жащей в плоскости zz!, и равную
X2 = 4|/2 19.R„/?<u2cos2a. (63)
Эта сила инерции остается обычно неуравновешенной.
Максимальное значение силы Хг будет
(Х«)тах = ± 4 |/2"Х ЭЛ„ R «2 (64)
и будет иметь место при значениях угла а:
0°, 90°, 180° и 270°.
Черт. 21. К уравновешиванию сил инерции восьмицилиндрового V-об-
разного мотора.
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостями,
проходящими через ось коленчатого вала и оси цилиндров.
Силы инерции 4-го порядка масс складываясь, дадут силу
инерции 4-го порядка, направленную по прямой уу', расположенной
в плоскости zz', и равную
F4 = 64j/2 р4 R <в2 cos 4а, (65)
г-^е .'pi 3 । 35 .7
р4 64 f 256 Х + 4096 1 +
Максимальное значение силы У4 будет
(Г5)тах = ± 64 j/F р4 R (66)
и будет иметь место при значениях угла а:
0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°,
147
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостями
осей цилиндров и осями хх' и уу'.
Сила инерции К4 остается обычно неуравновешенной. Силы инер-
ции вращающихся масс -®lfe в рассматриваемом двигателе полностью
уравновешиваются сами собой.
Для случая, когда шатуны одного ряда цилиндров сочленяется
с шатунами другого ряда цилиндров при помощи закрепленных на
них пальцев, имеем (черт. 22) для случая согласно уравне-
нию 30 § 3, этой главы и пренебрегая малой разницей между посту-
пательно движущимися массами цилиндров обоих рядов:
1. Силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс SJi,
обоих рядов цилиндров полностью уравновешиваются сами собой.
Черт. 22. К уравновешиванию сил инерции восьмицилиндрового V-образного мотора
с прицепными шатунами.
2. Силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
обоих рядов цилиндров, слагаясь, дадут силу инерции 2-го порядка,
лежащую в плоскости zz' и проходящую через ось коленчатого
вала; слагающая этой силы инерции по оси уу' будет
К, = 2 |/2 /? <о2 [X cos 2а — F cos (2а — 0)] (67)
или в преобразованном виде
К2 = -2г/2 ^ 9D?n<о2 sin 2 (а — ц); (68)
угол т] определяется из уравнения
а о х — fcos©
(69>
постоянные F и 0 определяются из равенств (15) главы III; слагаю-
щая сил инерции 2-го порядка по оси хх' будет
= 2 j/2 Uln R[X cos 2a + Fcos (2a — 0)] (70)
148'
или в преобразованном виде
X, = 2 j/2 ^оЙ Sin 2(“ + 5); <71>
угол ? определяется из уравнения
(72)
6 , Fsm0 v ’
Силы инерции вращающихся масс 9)ife в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой.
Черт. 23. К уравновешиванию сил инерции двенадцатицилиндрового V-образного
мотора.
12. Уравновешивание сил инерции двенадцатицилиндрового
мотора с цилиндрами, расположенными V-образно под
углом 60°.
Силы инерции 1-го, 2-го и 4-го порядков масс в рассматри-
ваемом двигателе (черт. 23) полностью уравновешиваются сами
собой.
Силы инерции вращающихся масс в рассматриваемом дви-
гателе полностью уравновешиваются сами собой.
Для случая, когда шатуны одного ряда цилиндров сочленяются
с шатунами другого ряда цилиндров при помощи закрепленных на
них пальцев, имеем для случая пренебрегая малой разни-
цей между поступательно движущимися массами цилиндров обоих
рядов:
силы инерции 1-го и 2-го порядков поступательно движущихся
масс обоих рядов цилиндров полностью уравновешиваются сами
собой;
силы инерции вращающихся масс полностью уравновеши-
ваются сами собой.
149
$ 13. Уравновешивание сил инерции двенадцатицилиндрового
мотора с цилиндрами, расположенными VJ-образно.
Для теоретического случая, когда все шатуны одинаковы и все
хватаются за соответствующие оси цапф кривошипов (черт. 24), имеем:
силы инерции 1-го порядка масс 9J?n полностью уравновеши-
ваются сами собой;
силы инерции 2-го порядка масс 9ЛП, складываясь, дают равно-
действующую, лежащую в плоскости zz? и проходящую через ось
коленчатого вала; ее слагающая по оси уу' будет равна
У2 = — 2Х 9ЛПо2 cos 2 (а-|-60°), (73)
ее слагающая по оси хх' будет равна
X2 = 6X9»n/?<o2sin2(a + 60°)- (74)
Как видно из равенств (73) и (74), вектор равнодействующей сил
инерции 2-го порядка масс ЭЛП, имея начало на оси коленчатого
вала, описывает своим концом эллипс, малая ось которого напра-
влена по оси уу' и равна
4X9»„/?w2,
а большая ось направлена по оси хх' и равна
12ХЭЛ„/?<о2;
векторная диаграмма равнодействующей сил инерции 2-го порядка
будет таким образом представлять из себя эллипс, большая ось
которого в три раза больше малой его оси (черт. 25).
Максимальное значение равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка масс будет
Hs)max=±6XSRn/?<o2 - (75)
150
и будет иметь место при значениях угла а:
75°, 165° 255°, 345°,
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостями,
проходящими через ось коленчатого вала и наклоненными к оси угу'
под углом в 45°.
Минимальное значение равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка масс будет
(П)тах = ±2ХЖ„/?^ (76)
и будет иметь место при значениях угла d:
30°, 120° 210° 300°,
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с осями хх' и уу'.
Силы инерции 2-го порядка масс остаются обычно неуравно-
вешенными.
Силы инерции 4-го порядка масс складываясь, дают равно-
Черт. 25. Векторная диаграмма сил инерции второго порядка по-
ступательно движущихся масс в двенадцатицилиндровом W-образ-
ном моторе.
действующую, лежащую в плоскости гг'и проходящую через ось
коленчатого вала; ее слагающая по оси уу' будет равна
У4 = 32 р4 R о? cos 4(<х Ц- 60°); (77)
ее слагающая по оси хх' будет равна
JV4 = 96 р4 R <о2 sin 4 (а 4- 60°); (78)
где
'• = 614Х’ + ТЙХ’ + 4^6Х’+-
Как видно из равенств (77) и (78), вектор равнодействующей сил
инерции 4-го порядка масс 90?„, имея начало на оси коленчатого
вала, описывает своим концом эллипс, подобный изображенному на
черт. 25; большая ось этого эллипса в три раза больше его малой
оси; малая ось этого эллипса направлена по оси уу’ и равна
б4р4да„/?0Д
а большая ось направлена по оси хх' и равна
192р4Ж„/?<Л
151
Максимальное значение равнодействующей сил инерции 4-го по-
рядка масс будет
(X4)max = ±96p^„/?“2
(79)
и будет иметь место при совпадении плоскости кривошипов с плос-
костями, проходящими через ось коленчатого вала и наклоненными
к оси уу' под углами в 22l/£ и с плоскостями, проходящими через
ось коленчатого вала и наклоненными к оси хх! под углами
в 22’/2°.
Минимальное значение равнодействующей сил инерции 4-го пот
рядка масс будет
(F4)max = ±32p5 (80)
и будет иметь место при совпадении плоскости кривошипов с осями
хх’ и уу' и с плоскостями, проходящими через ось коленчатого вала
и наклоненными к оси уу' под углами в 45°.
Черт. 26. К уравновешиванию сил инерции двенадцатицилиндрового
W-образного мотора с прицепными шатунами.
Силы инерции 4-го порядка масс 9ЯП остаются обычно неуравно-
вешенными.
Силы инерции вращающихся масс в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой.
Для действительного случая, когда шатуны II ряда цилиндров
(черт. 26) являются главными, а шатуны I и III рядов цилиндров
сочленяются с соответствующими главными шатунами при помощи
закрепленных на последних пальцев, имеем для случая пре-
небрегая малой разницей между поступательно движущимися мас-
сами I, III и II рядов цилиндров:
силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс 9)!л
мотора полностью уравновешиваются сами собой;
силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
всех трех рядов цилиндров, слагаясь, дадут равнодействующую,
152
лежащую в плоскости zz' и проходящую через ось коленчатого вала;
ее слагающая по оси уу' будет равна
К = — 4 R (о2 Р — F cos (60° — 0)] cos 2 (а + 60°), (81)
ее слагающая по оси хх' будет равна
Х2 = 4 |/"3 F Жп R sin (6(? — 0) sin 2 (а + 60°). (82)
Как видно из равенств (81) и (82), вектор равнодействующей сил
инерции 2-го порядка масс имея начало на оси коленчатого'
вала, описывает своим концом эллипс.
Ось эллипса, совпадающая с осью уу', равна
8 R [А — F cos (60° — 0)],
а ось его, совпадающая с осью хх', равна
8 j/3 F9J?„/?o?sin(60° — 0).
Максимальное значение равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка масс будет:
G¥2)max = ±4 j/3 sin(60?-0) (83)
и будет иметь место при тех же значениях угла -а, что и в теоре-
тическом случае, разобранном выше.
Минимальное значение равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка масс будет
(Г2)тах = ± 4 R и* [Л — F cos (60° - 0)] (84)
и будет иметь место при тех же значениях угла а, что и в теоре-
тическом случае, разобранном выше.
Силы инерции 2-го порядка масс остаются обычно неуравно-
вешенными.
Силы инерции вращающихся масс в рассматриваемом двига-
теле полностью уравновешиваются сами собой.
§ 14. Уравновешивание сил инерции восемнадцатицилиндро-
вого мотора с цилиндрами, расположенными VJ-образно.
Для теоретического случая, когда все шатуны одинаковы и все
хватаются за соответствующие оси цапф кривошипов (черт. 27),
имеем:
силы инерции ,1-го, 2-го и 4-го порядков масс полностью
уравновешиваются'сами собой;
силы инерции вращающихся масс полностью уравновеши-
ваются сами собой.
Для действительного случая, когда шатуны ряда цилиндров
(черт. 28) являются главными, а шатуны I и III рядов цилиндров
сочленяются с соответствующими главными шатунами при помощи
закрепленных на последних пальцев, имеем для случая ъФч, пре-
небрегая малой разницей между поступательно движущимися
массами I, III и II ряда цилиндров:
153
силы инерции 1-го и 2-го порядка поступательно движущихся
масс обоих рядов цилиндров полностью уравновешиваются сами
собой;
силы инерции вращающихся масс полностью уравновеши-
ваются сами собой.
Черт. 27- К уравновешиванию сил инерции восемнадцати-
цилиндрового W-образного мотора.
§ 15. Уравновешивание сил инерции шестнадцатицилиндро-
вого мотора с цилиндрами, расположенными Х-образно.
Для теоретического случая, когда все шатуны одинаковы и все
хватаются за соответствующие оси цапф кривошипов (черт. 29), имеем:
силы инерции 1-го порядка масс 9)in полностью уравновеши-
ваются сами собой;
силы инерции 2-го порядка масс ЭЛП, складываясь, дают равно-
действующую, лежащую в плоскости zz' и проходящую через ось
коленчатого вала; ее слагающая по оси уу' будет равна
У2 = — 8 cos 22 72 ° X /? ю2 cos (2а ф- 45°) =
= — 7,391 X 7? cos (2а ф- 45°); (85)
ее слагающая по оси хх' будет равна
Л'з = — 8 sin 22 */2 ° /? ю2 X sin (2а ф- 45°) =
= — 3,0615 9»п R о>2 X sin (2а ф- 45°). * (86)
154
Черт. 28. К уравновешиванию сил инерции восемнадцатицилиндрового W-образноге-
. мотора с прицепными шатунами.
Черт. 29. К уравновешиванию сил инерции шестнадцатицилиндрового Х-образного
мотора.
155
Как видно из равенств (85) и (86), вектор равнодействующей сил
инерции 2-го порядка масс 3J?„, имея начало на оси коленчатого вала,
описывает своим концом эллипс, большая ось которого направлена
по оси уу' и равна
16 cos 22 *4° Э)?я X /? в>« = 14,782 A R
а малая ось направлена по оси хх' и равна:
16 sin 22 *4° A R о? = 6,123 X R оА
Векторная диаграмма равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка будет таким образом представлять из себя эллипс, большая
ось которого в
ctg 22*4°=2,4142
раз больше малой его оси
Максимальное значение
! * ly j
Черт. 30. Векторная диаграмма
сил инерции второго порядка по-
ступательно движущихся масс
шестнадцатицилиндрового Х-об-
разного мотора.
(черт. 30).
равнодействующей сил инерции 2-го по-
рядка масс будет
( Уa)max == 7,391 X/? <о2 (87)
и будет иметь место при значениях
угла а:
67*4°, 157*4°, 247*/2° и 337*4°,
т. е. в моменты совпадения плоскости
кривошипов с осями уу' и хх'.
Минимальное значение равнодейст-
вующей силы инерции 2-го порядка масс
будет:
(*2)гаах = ± 3,0615 А /?ш2 (88)
и будет иметь место при значениях
угла а:
22’4°, 112*4°, 202*4°, 292*4°,
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостями,
проходящими через ось коленчатого вала и наклоненными к оси уу'
под углами в 45°.
Силы инерции 2-го порядка масс остаются обычно неуравно-
вешенными.
Силы инерции 4-го порядка масс складываясь, дают равно-
действующую, лежащую в плоскости zz', направленную по оси хх'
и равную
X, = —128 j/2"cos 22*4° Pi R <о2 cos 4а =
=—167,3 р4 зад °*2 cos 4а, (89)
где
= + Д *" + 4^6 *’ + -
Максимальное значение равнодействующей сил инерции 4-го по-
рядка масс будет
(Х4)шах = ± 167,3 р4Жп/?<»2 (90
156
и будет иметь место при значениях угла а:
0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°,
т. е. в моменты совпадения плоскости кривошипов с плоскостями
I, II, III и IV рядов.
Сиды инерции 4-го порядка масс остаются обычно неуравно-
вешенными.
Силы инерции вращающихся масс ЭЛ/1 полностью уравновеши-
ваются сами собой.
Для действительного случая, когда шатуны I ряда цилиндров,
(черт. 31) являются главными, а шатуны II, III и IV рядов цилии-
Черт. 31. К уравновешиванию сил инерции шестнадцатицилиндро
вого Х-образногл мотора с прицепными шатунами.
дров сочленяются с соответствующими главными шатунами при по-
мощи закрепленных на последних пальцев, имеем для случая у, ф у,
пренебрегая малой разницей между поступательно движущимися
массами II, III, IV и I рядов цилиндров, что:
силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс
мотора полностью уравновешиваются сами собой;
силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
всех четырех рядов цилиндров, слагаясь, дадут равнодействующую,
лежащую в плоскости zz и проходящую через ось коленчатого вала;
ее слагающая по оси уу' будет равна
= — 4~^-9»„/?<»®cos(2a-H) (91)
‘ COST]” 7
157
Ny и т; определяются из уравнений:
Ny — X cos 227а° -f- Fu cos 227г° sin 0n + Fm sin 2272° sin 0щ - -
Fjv sin 2272° cos ©iV
My—Fn cos 227s° cos 0n -; - Fin sin 2272° cos вш — /дпч
— Fjy sin 227г° sin 0iv
. Mv
//
Величины F и 0 определяются согласно главе III, § 2.
Индексы II, III и IV у величин F и 0 обозначают номер того
ряда цилиндров (черт. 29), к которому эти величины относятся.
Слагающая равнодействующей сил инерции 2-го порядка посту-
пательно движущихся масс в направлении оси хх' будет равна
Х2 = - 4 Я, R sin (2а + Е). (93)
•ч
Nx и Е определяются из уравнений:
Nx— — Fn sin 227г° cos 0ц -j- F\u cos 2272° cos 0щ -J-
Ц- Fiv cos 221/i sin 0iv.
Mx= — A sin 227г° 4 Ai sin 227«O sin 0ц — /олд
— Fin cos 2272°sin 0ni + FiV cos 2272° cos 0iv
,gE=#-
1 X
Максимальное значение силы F2 будет
(Г2)тах = ±4^Жп/?<о7 (95)
Максимальное значение силы Х2 будет
N
(Х2)таХ = ± 4 /? (96)
Силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс Ш1я
остаются обычно неуравновешенными. Силы инерции вращающихся
масс sKfc в рассматриваемом двигателе полностью уравновешиваются
сами собой.
§ 16. Уравновешивание сил инерции звездообразных стацио-
нарных моторов, у которых yz —у.
Число цилиндров i в современных стационарных звездообразных
моторах бывает, обычно, равным 3, 5, 7 или 9. Для теоретического
случая, когда все шатуны одинаковы и все хватаются за общую ось
цапфы кривошипа (черт. 32), имеем для всех четырех типов (Z = 3,
5, 7 и 9):
силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс 9К„,
158'
складываясь, дают равнодействующую, направленную по радиусу
кривошипа и равную
Pjt=^nR^-. (97)
Эта сила инерции уравновешивается соответственным подбором
противовесов, которые уравновешивают, помимо этой силы, силы
инерции вращающихся масс мотора.
Черт. 32. К уравновешиванию сил инерции звездообразного мотора;
теоретический случай, когда все шатуны действуют непосредственно
на цапфу кривошипа.
Силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
в 5-, 7- и 9-цилиндровых звездообразных моторах уравновеши-
ваются сами собой; в 3-цилиндровых моторах силы инерции 2-го по-
рядка масс Э)?„ приводятся к силе, равной по величине
Pfi = (98)
159
1 -
Эта сила, проходя своим направлением через ось коленчатого
вала, вращается в плоскости осей цилиндров с двойной угловой
скоростью коленчатого вала в направлении, обратном вращению
последнего; при а = 0 эта сила составляет с радиусом кривошипа
угол в О9.
Сила инерции Pj2 остается обычно неуравновешенной.
Для действительного случая (черт. 33), когда шатун 1-го цилиндра
является главным, а шатуны других цилиндров сочленяются с глав-
<
Черт. 33. К уравновешиванию сил инерции звездообразного мотора;
действительный случай с прицепными шатунами.
вым шатуном при помощи закрепленных на последнем пальцев,
имеем для 5-, 7- и 9-цилиндровых моторов, кроме сил инерции
поступательно движущихся масс 9)i„ 1-го порядка, приведенных в
теоретическом случае, еще неуравновешенную силу инерции 2-го по-
рядка этих масс, равную
/X (99)
эта сила, проходя своим направлением через ось коленчатого вала,
вращается в плоскости осей цилиндров с двойной угловой ско-
ростью коленчатого вала в направлении вращения последнего; при
в = 0° эта сила составляет с радиусом кривошипа угол в 180°. В вы-
ражении (99) для силы Рд, гср обозначает среднюю арифметическую
160
из величин г всех шатунов, включая и главный (для главного ша-
туна r=L — Г).
Для 3-цилиндровых звездообразных моторов в этом случае, кроме
силы инерции поступательно движущихся масс 1-го порядка,
имеются еще следующие неуравновешенные силы инерции 2-го по-
рядка этих масс:
ЕСила p.t' = 3ir-c/^lSRnR^, (ЮО)
Черт. 34. Диаграмма уравновеш вания сил инерции первого и второго порядков
трехцил, ндрового звездообразного мотор НАМИ 60-01.
вращающаяся в плоскости осей цилиндров с двойной угловой ско-
ростью вращения коленчатого вала мотора 2«> в сторону вращения
последнего; при а — 0° эта сила составляет с радиусом кривошипа
угол в 180°.
2. Сила р „
Pj2" = 1,5 (101)
вращающаяся в плоскости осей цилиндров с двойной угловой ско"
ростью вращения коленчатого вала мотора — 2<о в сторону, обрат-
ную вращению последнего; при а — 0° эта сила составляет с радиу-
сом кривошипа угол в 0°.
11 И. Ш. Неймаж.
161
Для 5-, 7- и 9-цилиндровых звездообразных моторов векторная
диаграмма сил инерции 2-го порядка поступательно движущихся U
масс является окружностью радиуса
Р = - (102) !
Для 3-цилиндровых звездообразных моторов векторная диаграмма
сил инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс является
эллипсом с малой полуосью, расположенной по оси главного ци-
линдра и равной
ау= 1,51 / (ЮЗ)
и с большой полуосью равной
ал= 1,5 X (14-3^) аадоА (104)
На черт. 34 дана диаграмма уравновешивания 3-цилиндрового
звездообразного мотора НАМИ 60-01.
§ 17. Уравновешивание сил инерции сдвоенного звездообраз-
ного стационарного мотора с кривошипами, расположенными
под углом 18QP и с ti—y.
Число цилиндров i в каждой из звезд мотора этого типа бывает
обычно больше трех.
Поэтому для теоретического случая, когда все шатуны одина-
ковы и все хватаются за общую ось цапфы кривошипа своей
звезды, имеем для случая 5, 7 и 9 цилиндров в каждой из двух
спаренных на одном кривошипном валу звезд, сдвинутых одна от-
, 360°
носительно другой на угол -%—v:
1. Силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс
Э?п, складываясь, дают для каждой звезды равнодействующую, на-
правленную по радиусу соответствующего кривошипа и равную
PA=~WnW.
Эта сила, слагаясь с силой инерции вращающихся масс шату-
йов, отнесенных к оси цапфы соответствующего кривошипа и при-
веденной к этой оси массы самого кривошипа, равной
и направленной по радиусу соответствующего кривошипа, дает
для каждой звезды суммарную силу инерции, направленную по ра-
диусу кривошипа этой звезды и равную
(Ю5)
Таким образом силы инерции 1-го порядка поступательно дви-
жущихся масс и силы инерции вращающихся масс рассматриваемого
162
Мотора приводятся к паре сил инерции с моментом
Mj = 9Й„)/?«Ч (106)
где а —расстояние между плоскостями осей цилиндров звезд.
Пара Mj действует в плоскости кривошипов коленчатого вала
и уравновешивается парой сил инерции вращающихся масс проти-
вовесов.
2. Силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
в моторах рассматриваемого типа уравновешиваются сами
собой.
Для действительного случая (черт. 35), когда в каждой из звезд
мотора один шатун является главным, а другие шатуны сочлененными
Черт. 35. К уравновешиванию сил инерции сдвоенного звездообраз-
ного мотора.
с ним при помощи закрепленных на нем пальцев, имеем, кроме сил
инерции поступательно движущихся масс приведенных в теоре-
тическом случае, еще неуравновешенные силы инерции 2-го порядка
этих масс, равные у каждой звезды
= (107)
Эти силы, проходя своим направлением через ось коленчатого
вала мотора, вращаются каждая в плоскости осей цилиндров своей
звезды с двойной угловой скоростью коленчатого вала в направ’
дении вращения последнего,.
163
Каждая из этих сил составляет с радиусом кривошипа соответ-
ствующей звезды угол в 180° в тот момент, когда радиус этого
кривоЩипа совпадает с осью главного цилиндра. Эти силы оста-
ются неуравновешенными.
5 18. Уравновешивание сил инерции в звездообразных
' моторах типа Румплера.
Моторы этого типа представляют собой четыре /-цилиндро-
вых звезды, работающие на общий коленчатый вал, кривошипы
которого расположены, как у коленчатого вала нормального одно-
рядного 4-цилиндрового
мотора (черт. 36).
Число цилиндров i од-
ной звезды бывает обычно
больше 3.
Для теоретического
случая, когда все шатуны
одинаковы и все хвата-
Черт. 36. К уравновешиванию сил инерции звездообразного мотора типа „Рум-
плер“.
ются за общую ось цапфы кривошипа своей звезды, имеем для
случая г==5,7 или 9 цилиндров:
силы инерции 1-го порядка поступательно движущихся масс
и силы инерции вращающихся масс полностью уравновешива-
ются сами собой;
силы инерции 2-го порядка поступательно движущихся масс
3)?п полностью уравновешиваются сами собой.
Для действительного случая, когда в каждой из звезд мотора
один шатун является главным, а другие шатуны сочлененными с
ним при помощи закрепленных на нем пальцев, остается неуравно-
вешенной сила инерции 2-го порядка поступательно движущихся
масс 9)?„ равная
= (108)
Эта сила, проходя своим направлением через ось коленчатого
вала мотора, вращается в плоскости, находящейся посредине между
164
плоскостями осей цилиндров 2-й и 3-й звезд, с двойной угловой
скоростью коленчатого вала, в направлении вращения последнего;
при а = 0° эта сила составляет с радиусом кривошипа угол в 180°.
ГЛАВА XIII.
РАСЧЕТ КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА НА УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
КРУЧЕНИЯ.
Коленчатый вал, являясь упругой системой, находящейся при
работе мотора под действием периодических внешних сил, должен
быть проверен на упругие колебания кручения. Эта проверка за-
ключается в определении так называемых критических чисел обо-
ротов мотора. Конструктивно система коленчатого вала мотора
должна быть выполнена таким образом, чтобы период собственных
колебаний вала не совпадал и не лежал близко к периоду крити-
ческих гармоник внешних сил. Последние определяются типом мо-
тора, зависят от порядка вспышек в цилиндрах мотора и будут
даны для различных типов моторов и для обычно принятых поряд-
ков вспышек в них в § 5 и 6 этой главы.
В основе расчета коленчатого вала мотора на упругие колеба-
ния кручения лежит определение числа собственных колебаний пе
коленчатого вала данного мотора.
При определении числа собственных колебаний коленчатого
вала действительный вал заменяется теоретическим с прямолиней-
ной осью и с постоянным по длине сечением; теоретический вал
несет в отдельных сечениях приведенные массы, соответствующие
массам пропеллера и кривошипов с отнесенными к последним мас-
сами от шатунов и части поступательно двигающихся масс. В от-
ношении числа собственных колебаний кручения теоретический вал
должен являться равноценным действительному валу, что и дости-
гается путем определения соответствующих геометрических разме-
ров и масс теоретического вала.
Исходя из этого, определение числа собственных колебаний ко-
ленчатого вала распадается на две части:
1. Приведение действительного коленчатого вала к теоретиче-
скому валу.
2. Нахождение числа собственных колебаний теоретического
вала.
£ /. Приведение действительного вала к теоретической
схеме.
Принимают, что масса пропеллера сосредоточена в средней пло-
скости вращения пропеллера, а массы кривошипов с дополнитель-
ными массами от шатунов и поступательно двигающихся масс в
средних плоскостях вращения кривошипов. Задача приведения дей-
ствительного вала к теоретическому сводится к замене отдельных «
участков действительного вала между вышеуказанными плоскостями
участками прямолинейного, постоянного по длине сечения, теоре-
165
тического вала, имеющими ту же жесткость на кручение, и к за-
мене действительных масс пропеллера, кривошипов, шатунов, порш-
ней и других, получающих от вала движение масс массами теоре-
тического вала.
Наибольшие трудности представляет замена колена действи-
жесткости на круче-
ние прямолинейным
валом постоянного се-
чения. Повидимому, в
настоящее время на-
илучшие результаты
дает формула, пред-
ложенная, на основа-
нии многочисленных
экспериме нтальных
исследований, Carte-
г'ом. Принимая обоз-
начения на черт, 1
и желая заменить дан-
ное на черт. 1 колено
эквивалентным ему в
отношении жесткости
на кручение валом с
прямолинейной осью
и с постоянным по
длине кольцевым се-
чением с наружным диаметром d0 и внутренним 8О, на основании
формулы Carter’a получаем, что искомая длина 1О эквивалентного
вала определится по формуле
4=(2г, + 0,8Л)^+|-^-- а + | (1)
Обычно сечение теоретического вала принимают одинаковым с
сечением коренных шеек коленчатого вала, т. е. принимают, что
do— и -8o = 8i-
В этом случае формула (1) принимает вид
/o = (2& + 0,8A) + ||eva + |/?^^. (2)
Черт. 1. К определению приведенной длины колена.
Если требуется заменить прямолинейный вал длины I и постоян-
ного кольцевого сечения с наружным диаметром d и внутренним 8
эквивалентным в отношении жесткости на кручение валом постоян-
ного( кольцевого сечения с наружным диаметром do и внутренним
8О, то длина эквивалентного вала /о определится из уравнения
Вообще прямолинейный вал с любым законом изменения его
кольцевых сечений по длине можно привести к эквивалентному в
166
Отношении жесткости на кручение прямолинейному валу с постоян-
ным по длине сечением, разбивая данный вал по длине на от-
дельные элементарные участки и подсчитывая эквивалентные длины
этих участков согласно уравнению (3). В этом случае, когда закон
изменения сечения вала по длине может быть выражен аналитиче-
ски, можно определить аналитически суммарную длину эквивалент-
ного вала. В том же случае, когда этот закон дан графически,
длина эквивалентного вала определяется графически.
Что касается масс теоретического вала, эквивалентных массам
данного, то на теоретической схеме они обычно представляются
каждая в виде двух симметрично расположенных относительно оси
вала на расстоянии радиуса кривошипа R масс. Для пропеллера
момент инерции этих двух масс относительно оси вала равен мо-
менту инерции относительно оси вала массы пропеллера. Момент
инерции относительно оси вала Двух масс, эквивалентных массам
одного кривошипа, шатунов, действующих на этот кривошип, и
поршней, соответствующих этому кривошипу цилиндров, опреде-
лится из уравнения
4- [Э»Л Ь 0,5 ад 4- d,25A«)]Z?®, (4)
где:
— момент инерции относительно оси вала массы кривошипа;'
— отнесенная к оси цапфы кривошипа масса от масс всех
шатунов, действующих на данную цапфу, определяемая
согласно изложенному в динамике;
SR„ — сумма поступательно движущихся масс в цилиндрах (вклю-
чая и часть от масс шатунов), работающих на данном
кривошипе;
R—^радиус кривошипа;
л — £ — отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.
На черт. 2 даны для примера конструктивный чертеж коленча-
того вала мотора BMW-VI и эквивалентная этому валу в отно-
шении собственных колебаний схема теоретического вала.
В дальнейшем будет рассмотрено определение числа собствен-
ных колебаний систем с различным числом масс. К этим системам
и сводятся обычно путем применения изложенного в этом пара-
графе встречающиеся в практике случаи валбв авиационных мо-
торов.
§ 2. Определение числа собственных колебаний системы
из нескольких масс.
Положим, что мы имеем систему вала с п массами (черт. 3).
Обозначим:
Л> Л> • • • моменты инерции масс отнссительно оси вала
в кг • см - сек\
Сх, С^, С3, . . • жесткости участков вала между массами 1 — 2»
2 — 3, 3 — 4 и т. д.
167
форма собственная колебаний Лала 222 порядка
пг» 15050 в мин.
Жесткости Clt С2, Са и т. д. определяются по формуле
„ О'о
С~—~ кг-см
(5)
где:
О — модуль упругости материала вала на кручение. Для валов авиа-
ционных моторов можно принять
6=830000 кг/см*
(6)
Jo — момент инерции поперечного сечения вала относительно оси
в см1, причем вал принимается постоянного по длине сечения;
I — длина отрезка вала, жесткость которого определяется в сан-
тиметрах.
Согласно формуле (5) жесткость вала является крутящим мо-
ментом, который необходимо
чтобы вызвать его закрутку на
гом конце вала.
Если данный прямо-
линейный участок вала
имеет не постоянное по
длине поперечное сече-
ние, то его разбивают по
длине на отдельные уча-
стки, имеющие каждый
вала,
дру-
приложить к концу данного
один радиан при защемленном
постоян юе о длине се- церт 3 определению числа собственных ко-
чение; затем согласно лебаний системы из нескольких масс.
формуле (3) определяют
эквивалентные по жесткости длины 1О этих участков и, складывая
последние, определяют суммарную эквивалентную длину данного
участка вала.
Вставляя в формулу (5) вместо I эту последнюю длину, а вме-
сто Jo момент инерции поперечного сечения, эквивалентного дан-
ному теоретического вала, получают искомую жесткость С данного
участка вала.
В том случае, когда данный участок вала является по конфи-
гурации коленом, входящее в формулу (5) I определяется по фор-
муле (1) или (2) причем Jo является моментом инерции поперечного
сечения, эквивалентного данному теоретического вала.
Обращаясь к нашей системе из п масс (черт. 3), обозначим
дальше:
Те—период собственных колебаний системы в сек.;
0С— угловую скорость собственных колебаний системы
е.=^; (7)
пс~ число собственных колебаний системы в минуту
пс=|°ее; (8)
<&, • амплитуду колебаний масс 1, 2, 3 и р д,
Принимая эти обозначения, имеем следующую систему уравне-
ний для определения величины ©с, а следовательно, согласно фор-
муле (8) и искомого пс:
— с2(Ф2 - ф8) + с1(Ф1 — ф2)=о
Л®с8Фа Са(Ф3 — Ф5) -j- С2(Ф2 —у Ф8) — О
1
(9)
Л©£2ф,!4-сп_1(Фп_1-ф}1)=о
Исключая из этих уравнений неизвестные Фг, Фъ,
одному уравнению (га—1)-й степени относительно неиз-
вестной 0Д из этого уравнения и определяется 0С. Сле-
довательно, в общем случае для системы из га масс полу-
чается (га—1) значение для 0С.
Физически это соответствует (га—1)-му возможным
типам колебания системы, а именно колебаниям с одним,
двумя, тремя и т. д. и, наконец, (га—1)-м узлами ко-
лебаний. При этом под узлом колебаний понимается
сечение вала, остающееся неподвижным при колеба-
ниях системы. Уравнение (га — 1)-й степени относительно
0С2 назовем характеристическим уравнением для опре-
деления отдельных собственных колебаний системы.
В дальнейшем рассмотрим ряд систем с определенным числом
масс.
I случай: система с одной массой (черт. 4).
Обозначив:
J— момент инерции массы относительно оси
С — жесткость вала от защемленного сечения
будем иметь;
придем к
Черт. 4. Си-
стема одной
массой.
И случай: система с двумя массами (черт. 5).
Оставляя прежние обозначения, имеем:
(И)
Фа ИТ. д„ мы
вала,
до массы;
(W)
Черт. 5. Система
с двумя массами.
В данном случае система колеблется только с
одним узлом колебаний, являющимся вполне опре-
деленным и постоянным сечением в вале. Его положение независимо
от конфигурации вала определяется из того условия, чтобы участки
вала между этим сечением и первой массой и этим сечением и вто-
рой массой имели бы жесткости, равные соответственно С, и С2,
причем С, и С? определяются из соотношений:
с, Л. ±д_±_±
С? Л’ Q G
(12)
170
Ш случай: система с тремя Массами (черт. 6).
Оставляя прежние обозначения, имеем, что характеристическое
уравнение для определения отдельных собственных колебаний сис-
темы будет:
Решая уравнение (13), мы получаем два зна- ЧеРре®‘ „аиссс^а С
чения для &с, что соответствует двум возможным
типам колебаний данной системы: колебаниям с одним узлом и ко-
лебаниям с двумя узлами. Положение узлов в каждом случае опре-
делится на основании величин амплитуд колебаний масс 1, 2 и 3.
Последние определяются по уравнениям (9), для каковой цели эти
уравнения могут быть представлены в виде
@2 „
ф^ф.-^-У.Ф,
Н 2
Ьс2
0 2
Ф4 = р— (Л^1 4" 4“ Л^з)-
(15)
Ч Уг У3
Черт. 7. Система с четырь-
мя массами.
Подставляя в эту систему уравнений найденные по уравнению
(13) значения 0С и принимая Фг — 1, мы получим для каждого типа
колебаний системы соответствующие отно-
сительные значения амплитуд Фа, Ф3 и т. д.
Строя по этим амплитудам формы колеба-
ний системы, мы определим и положения
узлов колебаний. Пример вида формы ко-
лебаний с одним узлом системы из 7 масс
дан на черт. 2 для вала мотора BMW-VI.
VI случай: система с четырьмя мас-
сами (черт. 7).
Оставляя прежние обозначения, имеем,
что характеристическое уравнение для
определения отдельных собственных колебаний системы будет:
0С6-
где
(«I + «2 -Ь «3) 0? + («10=8 4- ata3 4- — а4а3 — а4а5) 0С2 —
((ZjH26l3 (13а^а3 — (16)
„ —Ct С,
а8==л а’“Л:
0 II =slP ft см II Й СП II 2>|Р (17)
i4-«2; й2=а8 4_ а4> a3 а8 4- “«• ,
Из уравнения (16) получаются Три значения для 0С, что соот-
ветствует трем возможным видам колебаний системы: с одним, двумя
и тремя узлами колебаний.
Для частного случая, когда
-А —' 71 — И Са — С^,
характеристическое уравнение для определения отдельных собствен-
ных колебаний системы будет:
Ay3 — (1 + л + 4/г) у2 4- (3 4- 4л + ЗА)у — (1 4- Зл) = 0, (18)
где
* = &; л=Л. (19)
Чтобы решить уравнение (18), приводим это уравнение к виду
у3—л,у24-л1у—-ло=о, где обозначают: (20)
а=-|-(1+л+4й) л; =4- (34- 4л 4- 3k) А=|(14-Зл). (21)
Далее, полагая У=х4-7,Ла> (22)
приводим уравнение (20) к виду
х3 — 3qx — 2г=0, (23)
где ?=(73А)2-‘/3А | г=(7аА)8-76л1лв+1/ал0 / (24)
Обычно имеет место соотношение
?3>г2,
при наличии которого корни уравнения (23) представятся
щими формулами:
х,=— 2|/^cos (б0°—
ха =— 21/ q cos (б0° 4- у)
Ф
xa = 2yqcos-^-,
о
где угол ф определяется из уравнения
следую-
(25)
г
COS Ф =--7= .
qvq
Определив х„ х, и ха, находим по уравнению (22) у„ у8 и уа
н по ним, пользуясь первым из равенств (19), угловые скорости
17?
0Й, &сз, соответствующие трем видам отдельных собственных коле-
баний системы.
Формы колебаний данной системы определяются при помощи
уравнения (15).
V случай: система с пятью массами (черт. 8).
Положим, что имеется система, схема которой дана на черт. 8.
Характеристическое уравнение для определения собственных коле-
баний системы, оставляя прежние обозначения, будет:
йу_(1-|-л + 6/г)у34-(5 + 6л + 10й)у8 —
— (6-Ь10л + 4А)Л-(14-4л) = 0, (26)
где величины у, k и л определяются согласно равенствам (19).
Чтобы решить уравнение (26), приводим его к виду
у4 -Ь А у3 + А^у* + А ,у 4 Ао - 0, (27)
Л(| ~ (14-4л) Черт. 8. Система с пятью мас-
k ~ '' сами.
Полагая
А3
У = х-^, (29)
приводим уравнение (27) к виду
x4 + ?x2 + rx 4-s = 0. (30)
Для нахождения корней этого уравнения необходимо прежде
решить следующее уравнение 3-й степени
z3 4~ 2^z2 4~ (#2— 4s) z— r* = 0. (31)
Это уравнение решается аналогично решению уравнения (20).
Если гп za и za являются его корнями, то корнями уравнения (30)
будут:
х1 = 0,5 (4^-4- 1/^4- Vzs)
хъ=0,5 (f/z, — ]/z3 — )/ z3)
. _ _ (32)
xs — 0,5 ( J/ zt 4- Vz<± — j/z3)
xi = 0,5(— j/z^— 1/^4- l/zj) .
при ЭТОМ f
vz^- r%- j/z^ = — r.
Таким образом система имеет четыре вида отдельных собствен-
ных колебаний: с одним, двумя, тремя и четырьмя узлами колеба-
173
ииЙ. Формы этих колебаний определяются при помощи уравне-
ний (15).
Инженер В. Дмитриевский в статье „Расчет коленчатых валов
на упругие колебания кручения", помещенной в № 1 „Сборника
трудбв ВНО" за 1924 г., приводит следующую приближенную фор-
мулу Для определения числа собственных колебаний первого по-
рядка (т. е. когда форма собственных колебаний такова, что имеет
место один узел колебаний) рассматриваемой системы:
для -у = < 1,766
для -J- = $>1,766
6 Ч
_ / 1 -1- 3,7и6 л ,
у У/З^ббА->4,564
/"4/143,866 л •
|/ Л '3,866^44,268
(33)
причем Ck обозначает жесткость вала между сосредоточенной мас-
сой первого колена и узлом колебаний, а значения остальных ве-
Черт. 9. Система с семью массами.
личин прежние. Формулы (ЗЗ)дают практически хорошие результаты.
VI случай: система с семью массами (черт. 9).
Для данной системы, оставляя прежние обозначения, характери-
стическое уравнение для определения отдельных собственных ко-
лебаний системы будет:
ky6 — (1 + л 4- 10Л)У 4 (9 4- Юл 4 Зб/г)У — (28 4 36л 4 56/г)У 4
4 (35 4 56л 4 35k) у* — (15 4 35л 4 6k) у 4 (1 4 6л) = 0, (34)
где величины у, k и л определяются согласно равенствам (19).
Чтобы найти корни этого уравнения, поступаем следующим обра-
зом: заменяем нашу систему, схема которой дана на черт. 9, систе-
мой, схема которой дана на черт. 10, т. е. заменяем систему с се-
мью массами системой с четырьмя массами. При этом имеют место
соотношения
— 0,5 С2
(35)
Для системы с четырьмя массами, изображенной на черт. 10, мы
можем написать характеристическое .уравнение для определения
отдельных собственных колебаний (уравнение 18) и найти, согласно
174
изложенному выше, три его корня: уг‘, у* и у3. Эти величины бу-
дут приближенными значениями трех корней у9 и у3 уравне-
ния (34). Для более точного определения значений у1г уъ и уа по
приближенным значениям yi, yi и уа пользуемся методом Ньютона,
согласно которому, если а есть приближенное значение корня ура-
внений /(х) = 0, то поправка к а определяется из уравнения
8-=Ж’ (36)
и таким образом более точное значение корня будет
OCj = CL -j— Sj.
Поправкой к более точному значению корня «ц будет
/'(«О
и таким образом еще более точное значение для корня будет
а2 — — cl -|-
Поступая таким образом дальше, мы мо-
жем определить с любой степенью точ-
ности численное значение корня. При вы-
числении поправок 82 и т. д. прихо-
дится вычислять значение целой рацио-
нальной функции вида
/(X) = А „ х” + Ап^ +... + A лх + А„,
для заданного значения х — ^. Эти вычи-
сления проще всего вести по Горнеру,
располагая их следующим образом:
Черт. 10. Система с четырьмя
массами, заменяющая систему
с семью массами.
A„
Ая-1
A„i
Ati-s
B„_£
Ап-s
Bl:-s^
Вя-г
At
вг-ь
Ао
в^
Bs Bt B0—-f(^)
B,-t
Здесь:
Вк=Ак-\-ВмЛ.
Определив согласно изложенному методу с достаточной точ-
ностью значения у„ уа и у3 трех корней уравнения (34), для оты-
скания трех других его корней делим обе части уравнения (34) на
произведение
(у—>1)0—ЮСу—ь).
В результате получим уравнение третьей степени относительно
у, которое поддается непосредственному разрешению и из которого
определяются три остальных корня ys и у уравнения (34).
Таким образом система с семью массами имеет шесть видов от-
дельных собственных колебаний соответственно наличию 1, 2, 3, 4,
5 или 6 узлов колебаний.
И нженер В. Дмитриевский дает в указанной в предыдущем слу-
чае статье следующие приближенные формулы для определения
175
числа собственных колебаний 1-го порядка (с одним узлом колеба-
ний) вала с семью массами
т=|<2
для -*-=^>2
о Сй
ЛС2 1 + 5,225 л
У Ja'5,225^+12,05
пс = 9,55
/С2 1-|-5,525 л
|/ /2‘5,525^4-11,45
(37)
Значения отдельных величин, входящих в формулы те же, что
и для формул (33). Формулы (37) дают практически хорошие ре-
зультаты.
$ 3. Определение числа собственных колебаний системы
вала с редуктором к пропеллеру.
I случай.
Положим, что у нас имеется система, изображенная на черт. 11.
Обозначим:
У, и У3 — моменты инерции вращающейся массы и пропеллера
относительно их осей вращения,
?i и %— соответствующие углы вращения,
г2' и /2" — моменты инерции масс зубчаток относительно их осей,
tx и 4 — число зубьев зубчаток,
п — передаточное число
п = | (38)
(®9) и (—п<?2) — углы вращения зубчаток,
Сх и С2 — жесткости кручения валов.
Кинетическая энергия системы равна
Т=7а Л (?1’)2 + */2 4 Ш + */2 4" (п%')2 + ‘ДУ, fe')2- (39)
Потенциальная энергия системы равна
V= *4 G (?i ?«)2 4" ’/« (?з “Ь (40)
Полагая
4 4-«2 4 л2У3 = У3 | (41)
?з= я?31> = С2 , )
получим >/2 /• (?,')а + *4 Л (?/)2+*4 Л’ (?31')2 1 V = % Q (?1 - %)2 + */2 С2' (% - %1)2. f (42)
1
Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения для Т и V
системы вала с тремя массами, схема которого дана на черт. 12,
причем У2, У3' и С2' определяются согласно равенствам (41). Из этого
можно заключить, что диференциальные уравнения колебания сис-
темы вала с редуктором, изображенной на черт. 11, полученные
на основании диференциальных уравнений движения Лагранжа
d I дТ\ дТ dV_
di J —
176
будут одинаковы с диференциальными уравнениями колебания си-
стемы эквивалентного вала, данного на черт. 12. Поэтому харак-
теристическое уравнение собственных колебаний системы вала с ре-
дуктором будет одинаково с характеристическим уравнением экви-
Черт. 11. Система с двумя мас-
- ами и редуктором.
Черт. 12. Система с тремя мас-
сами, эквивалентная системе с
двумя массами и редуктором.
валентного вала. Пользуясь уравнениями (13) и (14) этой главы, мы
получим характеристическое уравнение в виде:
W-W + *»=0, (43)
и редуктором. и редукт ром.
II случай: случай трех масс с редуктором.
Рассуждая аналогично предыдущему, мы придем к выводу, что
характеристическое уравнение для системы рала черт. 13 будет
одинаково с характеристическим уравнением эквивалентного вала,
изображенного на черт. 14. При этом:
13 И- W
177
Поэтому характеристическое уравнение для данного случая на
основании уравнений (16) и (17) этой главы будет:
ч
©с6 — («1 4* «в 4" аз) ®с4 4- («1«2 + «1«3 + «2«3 — а2а3 — «4«в) ~
~ (я^Дз — д3а8а3 — д,а4«8) == О, (46)
I
причем
Черт. 16. Система с шестью массами,
Черт. 15. Система с пятью массами и эквивалентная системе с пятью массами
редуктором. и редуктором.
? Ill случай: случай пяти масс с редуктором.
В "отношении характеристического уравнения данная на черт. 15
система эквивалентна системе вала, изображенного на черт. 16. )
При этом:
Jg--/8 4“
Л'=
Ся'=п*С3
(48)
Обозначая
(49)
т
получим, что характеристическое уравиеиие дли определения соб-
ственных колебаний системы будет иметь вид:
V3 _ 5У + бу -1 = Г £ ------ 6У + 10у - 4). (50)
У > । Lp2 ага^у — (а2'Газ)Рз-*
IV случай: случай семи масс с редуктором.
Систему вала черт. 17 можно заменить системой эквивалентного
' в отношении собственных колебаний вала черт. 18. Величины /2,
1 J3' и С3' определяются согласно равенствам (48). Характеристиче-
Черт. 18. Система с восемью массами, эквивалентная системе
с семью массами и редуктором.
•ское уравнение для определения собственных колебаний системы
черт. 17, сохраняя обозначения согласно равенствам (49), будет:
у» — 9у4 + 28у3 35у2 15у — 1 =
= СУв-ЮУ + Збу-56у2 + 35у-6). (51)
L Ра а2аяУ (а2 г аз) Рз—*
§ 4. Тангенциальные силы от давления газов и от сил инер-
ции, возбуждающие крутильные колебания коленчатого вала.
Крутильные колебания коленчатого вала возбуждаются периоди-
* чески изменяющимися крутящими моментами, передающимися на
вал от отдельных цилиндров двигателя и вызываемыми силами да- w
вления газов на поршни цилиндров и силами инерции поступательно
двигающихся в них масс. Центробежные силы инерции вращающихся
масс на крутильные колебания влияния не имеют. Тангенциальные
силы инерции вращающихся масс сами вызываются явлениями кру-
тильных колебаний и не являются силами, возбуждающими последние.
179
Обычно -при выводах берутся не сами крутящие моменты, а за-
кручивающие силы, отнесенные к радиусу кривошипа.
1. Крутящие силы от газов.
Крутящие силы от газов получаются иа основании индикатор-
ной диаграммы двигателя. Последняя может быть получена либо
экспериментальным путем для существующего мотора, либо по-
строена на основании теплового расчета двигателя для проектируе-
мых моторов. Положим, что имеется индикаторная диаграмма, пред-
в
атм
25
ставленная на черт. 19.1
Показатель политропы сжатия равен п, —1,35;
показатель политропы расширения равен п2 = 1,25.
На основании этой диаграммы, строится диаграмма
тангенциальных усилий от одного цилиндра, при-
чем тангенциальные силы относятся к 1 см? пло-
щади поршня, и для данного мотора принимается
отношение радиуса кривошипа к длине шатуна
Х=0,292. Эта диаграмма тангенциальных усилий
представлена на черт. 20.
Для последующего необходимо иметь для тан-
генциальных сил их
20
15
В.М.Т
выражение в виде ряда Фурье.
Для этого диаграмму танген-
циальных сил необходимо под-
вергнуть гармоническому ана-
лизу. Тангенциальные силы
являются периодической фун-
кцией с периодом Т, равным
для двухтактных моторов —
времени одного оборота мо-
тора, а для четырехтактных
моторов — времени двух обо-
ротов мотора. В- дальнейшем
выводы относятся к четырехтактным моторам. Если п число оборо-
тов мотора в минуту, а ш угловая скорость вращения вала мотора,
то Т равно
НМТ
Черт. 19. Индикаторная диаграмма мотора
БВМ-IV с е = 6 при п = 1210 об/мин.
> 120
=-—-сек.
(52)
п
It • П
~30~сек •
Как известно, всякая периодическая функция, а следовательно
и тангенциальная сила, может быть представлена в виде ряда
Т= F(®f) = Ав + А, cos (00 + A cos (200 + Д3 cos (3©0 + • +
+ Bi sin (00 + B2 sin (200 + B3 sin (300 + - • • (54)
в котором коэфициенты Д#, Д,, Дв,... и ... являются по-
<n =
(53)
1 Примечание: эта диаграмма относится к мотору BMW - IV со степенью сжа-
тия е = 6, числом оборотов мотора в минуту п —1240 и со средним индикаторным
давлением pi — 5,46 am. Этот пример и часть дальнейшего заимствованы из статей
A. Stieglitz в журнале „Luftfahrtforschung* 4 Band, Miinchen 24 Juli 1929, Heft 5, S.
133—138 и 6 Band, 14 Februar 1930, Heft 4, S. 103—110.
18Q
стояниыми, а в является угловой скоростью основного периода,
равной
для двухтактных моторов © = w,
с» “
„четырехтактных „ н=-^.
(55)
Коэфициенты Вк и Ак, входящие в равенство (54), могут быть
определены из равенства (54), если обе части равенства умножить
на sin(^0r) или cos (kQt) и проинтегрировать за полный период 2т..
При этом исчезнут все интегралы формы:
2lt
J Sin (Л©Г). cos (ket) d(Gt)=Q
О
2u
| sin (hQf). sin (kQf) d (в/) = 0
6
cos (A©/) cos (kQt) d (©0=0
о
если h ф k
Черт. 20. Диаграмма тангенциальных усилий от сил давления газов в одном цилиндре
мотора БВМ-IV, отнесенных к 1 см* площади поршня; е = 6, и = 1240 об/мин.
и будут иметь место соотношения
2lt 1
_LjF(0/)sin(A©od(e/),
вк=—J F(w) Sin (ktof)d (0Г),
11 0
2lt
ДЛ=— j>(©0 cos (kW) d(bt).
* 0
(56)
Интегралы этих уравнений могут быть легко определены во всех
случаях, по крайней мере графически.
131
Для Д, получается
(57)
о
Таким образом гармонический анализ тангенциальной силы от
давления газов сводится к определению коэфициентов, входящих
в выражение (54), каковое определение, как показано, является
всегда возможным. Интегралы (56) могут быть заменены суммами
и коэфициенты Ак и Вк могут быть определены по формулам Бесселя
или методом Рунге (см. Hiitte, т. I, стр. 182, 13-е русское издание).
Разложение тангенциальных сил в гармонические ряды может
быть произведено и при
помощи специальных приборов-анализа-
торов д-ра Мадера, проф. Л. К. Мар-
тенса и др.
Как выявилось из заграничной прак-
тики, обычное подразделение кривой
в 24 точках (таблицы Zipperer’a, Loh-
Вк
с;
Черт. 22. Кривошипный механизм.
Черт. 21. Амплитуда Ск гармо-
нического члена Л-го порядка.
mann’a) для высших гармоник, к которым именно приходят в даль-
нейшем, дает недостаточно точные результаты. Поэтому диаграмму
крутящей силы надо подразделить в 96 точках. В равенстве (54)
является возможным каждые два соответствующих члена соединить
в один член вида
Ак cos (kQt) -ф Вк sin (/20f) — Ск sin (kQt pft).
При этом
(58)
(59)
₽k = arctg^- I
Bit J
Ск называется амплитудой, — углом сдвига фазы гармониче-
ского члена /г-го порядка. Ск является тем наибольшим значением,
которое может принять член при всех значениях t, а есть его
фазовый угол для момента t — 0. Выражение Ск sin (kQt -j- pft) может
быть представлено (черт. 21) проекцией Ск1, вектора Ск, который
равномерно вращается, делая один оборот за время
т Т
Tk==~k
/
(60)
с угловой скоростью
= =
/
(61)
18?
Из равенства 58 следует также обратно, что всякий гармониче-
ский член формы Ск sin (k&t -ф* fo) может быть разложен на сумму
двух гармонических членов с амплитудами
TZ
,4fc = СЛ sin с фазовым углом — и
Вк = Ск cos $к с фазовым углом 0.
Принимая во внимание сказанное, мы можем тангенциальную
силу от давления газов Тг', отнесенную к 1 см!1 площади поршня,
представить для 4-тактного двигателя в виде
Тг =f (в€) = А0 4" Е A cos^fc -g-"tj -}- ИВк sin^-g-^ =
= Ao + S Cft sin у 14- =
— A 0 4- E Ak cos \k у J 4- EBfc sin
— A 4~ E Ck sin (k -% 4" fQ,
(62)
причем а представляет угол поворота кривошипа и изменяется
в данном случае (для 4-тактного двигателя) от 0 до 4чг (черт.’ 22).
Гармонический анализ диаграммы тангенциальных сил от газов
Г' мотора BMW-IV, изображенной на черт. 19, дает для коэфи-
циентов Ак, Вк, Ск и ряда (62) значения, приведенные в нижеследую-
щей таблице 1 в процентах от среднего индикаторного давления рт.
Таблица 1.
Гармоники крутящих сил от газов в процентах от среднего индикаторного да-
вления рт
К А А с'К X
1 — 30,2 — 20,8 36,6 235°25’
2 15,0 29,0 32,6 27°20'
3 — 1,37 — 32,0 32,2 182°30’
4 — 2,82 24,3 24,5 353°20'
5 4,67 — 18,2 18,8 165835'
6 — 4,58 14,1 14,8 342°
9 4,23 — 5,27 6,76 141°15'
12 — 2,62 2,38 3,53 312'15'
15 1,65 — 1,10 1,98 123с40'
На черт. 23 дан график амплитуд Ск гармоник, от 1-го до
16-го порядков, тангенциальных усилий от давления газов, по-
строенный на основании этой таблицы. Как видно из этой таблицы,
начиная с третьей, гармоники уменьшаются. Напомним, что коэфи-
циенты этой таблицы были получены для мотора (BMW-IV) с опре-
деленными данными:
Х=0,292,
степень сжатия е = 6,0,
)8Э
число оборотов п =1240 в минуту,
среднее давление газов рт = 5,46 ат.
Различным индикаторным диаграммам соответствуют конечно
различные диаграммы тангенциальных сил, а потому и ’различные
величины коэфициентов гармоник. Для подсчетов в других случаях
в первом приближении можно воспользоваться величинами выше-
приведенной таблицы, исходя из следующих соображений. Влиянием
моментов распределения и величинь! А пренебрегают. Грубо влияние
степени сжатия и наполнения приводится к линейной зависимости
Черт. 23. Амплитуды гармоник тангенциаль-
ных сил от давления газов в одном цилиндре
мотора БМВ-IV, отнесенные к L см* пл щади
поршня, в % от среднего индикаторного
давления.
фициенте полезного действия также
ложить пропорциональным л2
амплитуд гармоник от сред-
него давления рт.
Поэтому амплитуда гармо-
ники Ar-го порядка для любого
случая может быть опреде-
лена по формуле
с,'=~;«г - <®>
где Ск' берется из вышеприве-
денной таблицы, а рт является
средним давлением газов для
данного случая; Dk представ-
ляет силу, отнесенную к 1 см2
площади поршня.
При различном дросселиро-
вании одного и того же мотора,
т. е. для различных нагрузок
при одном и том же винте,
является возможным опреде-
лить зависимость среднего дав-
ления, а вместе с тем и гар-
моники Dk' от числа оборотов.
Для авиационных моторов мо-
мент сил сопротивления воз-
душного винта, а поэтому при
постоянном механическом коэ-
и среднее давление можно по-
Pmt___Д»3
Ртя
(64)
Вводя относительное среднее давление рт, которое представляет
среднее давление, имеющее место в рассматриваемом моторе с рас-
сматриваемым воздушным винтом при числе оборотов п = 1000,
будем иметь ч
- п2
Рт —PmjQb , (65)
и соответственно
I fp ______
Обозначая через Md относительный крутящий момент двига-
теля на винте, т. е. момент двигателя на винте (на месте) при
п = 1000 об/мин, будем иметь, что крутящий момент двигателя
при числе оборотов п равен
,, 77 И®
Мй = Мй^кг-м
и соответствующая эффективная мощность Nt
., Md п3
N<“716- 10®Л,С‘
(67)
(68)
Относительное среднее индикаторное давление газов рт опре-
делится через относительный крутящий момент Md по формуле
<69>
где:
i — число цилиндров двигателя,
F—площадь поршня,
R— радиус кривошипа,
т1т—механический коэфициент полезного действия.
В полете величины рт и Md не являются больше постоянными,
но являются функциями степени поступательного движения воз-
душного винта. В этом случае и уравнение (66) справедливо для
различных п только при постоянной степени поступательного дви-
жения.
Нулевая гармоника £)0, являющаяся средней закручивающей вал
силой, равна
D0=^ = D0'. (70)
Эта сила вызывает постоянную закрутку вала.
2. Крутящие силы от инерции поступательно дви-
гающихся масс.
Обозначая:
суммарную поступательно двигающуюся массу в цилиндре
(сумма массы комплекта поршня и отнесенной к оси поршневого
пальца части массы шатуна),
R— радиус кривошипа,
<и — угловую скорость вращения коленчатого вала мотора,
будем иметь согласно § 3 главы X, что тангенциальная сила на
валу мотора от силы инерции массы ®?п, будет
sin а — sjn 2а — */4 A sin За — ~ sin 4<Л (71)
185
Беря для сил Tj, как и для сил Т,, период равным периоду
двух оборотов мотора (для 4-тактных моторов) будем иметь
7} = 9К 7? ГЛ sin( 2^-t - »/e sin (44^ - s/4 X sin; 6^ )
L \ / \ 2 / \ 2 /
X9 - Л <0.
-Ts‘n(8Tf
= W„/?<us A sin (2-i) — ‘Д sin (4
* \ £ / \ "
2
-3/4Xsin(64j
X® • /„ aV
тип(8у;
(72)
Таким образом получаем, что сила Tj слагается из гармоник
2-го, 4-го, 6-го, 8-го порядков. Уже последняя гармоника обладает
Черт. 24. Амплитуды гармоник танген-
циальных сил от инерции поступа-
тельно движущихся масс в одном ци-
линдре мотора БМВ- V, отнесенные
малой величиной, поэтому выраже-
ние (72) дает для 7} вполне доста-
точную точность.
Обозначая
F ~Pi’
(73)
где F—площадь поршня, будем
иметь, что сила 7), отнесенная к
1 см2 площади поршня, равна
Л' = PJ [4 sin (2 4 ) — ’A sin (4-“ ) -
— S/4X sin (бу)- ЛSin (8-4)]-(74)
Выражая далее по аналогии с
тангенциальными силами от газов
гармоники в % от давления масс pj,
будем иметь
Tj =wo С^4 sin +
+ С." sin (44) + С'1 sin (б4) +
+ C8"sin(84)], (75)
причем
С2"= 25Х '
Q” = — 50
С6" = —75Х (76)
С8" = — 25Х2
к 1 см2 площади поршня в % от
Р/=--------------₽-•
пред-
коэфи-
циенты В ряда, так как Р — 0.
На черт. 24 дан график амплитуд гармоник C’fc". Таким образом
для некоторого данного случая амплитуда гармоники k-ro порядка,
Последние коэфициенты
ставляют в то же время и
J86
отнесенной к 1 сл2 площади поршня тангенциальной силы от инер-
ции поступательно движущейся массы в цилиндре, определится
по формуле
Г) " — k. P-L (77Х
— 1Оо ’ vO
где Ck" определится согласно формулам (76), a pj согласно фор-
муле (73).
Вводя относительное давление масс р}- для числа оборотов
и =1000, будем иметь
-_1ом ад z7fn
Pj— g р ('°)
—
pJ^WPi (79)
№
(80)
3. Совместное действие тангенциальных сил от га-
зов и сил инерции поступательно двигающейся
массы Жп.
Сложение допускают только гармоники одинаковой частоты
причем имеет место сложение геометрическое, принимая во внима-
ние фазы. Тангенциальные силы от газов имеют при 4-тактном
цикле основной период за два оборота мотора, а тангенциальные
силы от инерции масс таковой за один оборот. Однако в пре-
дыдущем разделе порядок массовых гармоник был также приведен
к основному периоду, соответствующему двум оборотам мотора,
так что можно просто геометрически складывать гармоники одного
порядка тангенциальных сил от газов и инерции масс 9Rn
D ' — с Р™. и Г) "_С " Pj—
к Ch 100 100’
что может быть выражено следующим векторным уравнением
==(рА' +рА")- («)
Если дело идет о различных эксплоатационных состояниях
мотора при одном и том же воздушном винте, то можно выразить
зависимость от числа оборотов в виде
и» /„ ) п2
= W \РА' + j = Ek' (82)
Сложение можно также произвести алгебраически при помощи
компонентой Ak и Bk вектора (£' Основной период этих слагаемых
тангенциальных сил соответствует попрежнему двум оборотам
мотора.
На черт. 25 дан для мотора BMW-IV график величин при-
чем пунктиром нанесены ф* от одних тангециальных сил от газов.
187
Черт. 25. Результирующие амплитуды от сложения гар-
моник тангенциал -них сил от давления газов и инерции
поступательно двигающихся масс в одном цилиндре мо-
тора БМВ-IV, отнесенные к 1 см* площади поршня.
4. Совместное действие нескольких цилиндров.
Если несколько цилиндров действуют совместно, то отдельные
гармоники различных цилиндров накладываются друг на друга и
в результате частично взаимно уничтожаются, частично склады-
ваются. Однако надо принять во внимание, что если известные
гармоники для всех цилиндров суммируясь, взаимно уничтожаются,
то это вовсе не способствует уничтожению их действия в качестве
сил, возбуждающих
колебания, так как
гармонические силы
приложены в различ-
ных местах системы,
имеющих различные
амплитуды колеба-
ний. Только в звездо-
образных моторах с
одним кривошипом
отдельные гармони-
ки как силы, вызы-
вающие колебания,
могут быть совер-
шенно заменены их
результирующей.
При исследовании
критического числа
оборотов это будет
рассмотрено ближе.
На черт. 26 пред-
ставлены гармоники
6-цилиндрового мо-
тора с порядком
вспышек 1 —5 — 3—
6 — 2 — 4 и расстоя-
нием между вспыш-
ками 120° в виде век-
торных диаграмм, на-
чиная от нулевой гар-
моники до 6-й. Начи-
ная от последней,
диаграммы опять по-
вторяются.
Надо принять во
внимание, что фазовые углы не являются кратными просто угла
между кривошипами, но кратны половине этого угла, так как основ-
ной период соответствует двум оборотам мотора. Диаграммы пока-
зывают, что в 6-цилиндровбм моторе все гармоники взаимно унич-
тожаются за исключением 0, 6, 12, 18 и т. д. гармоник, т. е. за исклю-
чением гармоник, порядок которых кратен 6, и которые в сумме
дают 6-кратную величину. Обобщая, можно сказать, что в /-цилин-
дровом моторе с равномерным чередованием вспышек все гармо-
188
ники, за исключением О, I, 2i, 3z, вообще ni, взаимно уничтожаются,
последние же гармоники называются характерными для упомянутого
мотора:
для k^ni 2^ 8fc = 0, 1
для k = ni 2^ 8fc = i
(83)
причем п может быть любым целым числом. Необходимо еще упо-
мянуть, что тангенциальные тл
с нечетным числом цилин-
дров (за исключением 3-ци-
линдровых) взаимно унич-
тожаются, так как они обла-
дают только четными гар-
мониками, и тем самым для
этих моторов характерных
гармоник не имеется.
силы от
5. Возникновение кри-
ических чисел оборотов
одноколенном звездо-
образном моторе.
инерции масс ЭЯЙ в моторах
1.3.2
Гармоники
О£2. порядка *
|
5,6.4
Гармоники
3-с- порядка
Гармоники
Шпорядка
£6,=О
Гармоники
8— порядка
Е8г=0
Порядок бспЬииек 1~5~3~б~2~4
Расстояние между бспЬ/шками 120*
При статическом дейст-
вии внешней нагрузки на си-
стему нагрузка, соответству-
ющая напряжениям в систе-
ме, в точности равна внеш-
ней нагрузке. При нагрузке,
изменяющейся по времени,
это соотношение не имеет
больше места. В этом слу-
чае обе эти нагрузки незна-
чительно отличаются друг
от друга только в случае
достаточной жесткости си-
Гармоники
порядка
18^0
Гармоники
порядка
Гармоники
порядка
Гармоник?
7^ пор?-:'
Черт. 26. Сложение гармоник шестицилиндро-
вого
мотора.
I ^8е=М6 |
стемы, вернее, если число
ее собственных колебаний выше частот всех
ной нагрузки. Но если частота собственных
гармоник перемен-
колебаний системы
совпадает с отдельными частотами внешней нагрузки, то возможно
состояние, при котором нагрузка на систему, соответствующая
напряжению, далеко превосходит внешнюю нагрузку вследствие
образующихся резонансных колебаний. Нагрузка, соответствующая
напряжению, вызывается в данном случае не только одними силами
знешней нагрузки, но и силами инерции колебательного движения.
В случае точного резонанса имеет даже место такое положение,
что часть нагрузки, вызывающая колебания, преодолевает только
заглушающие сопротивления, в то время как нагрузка, соответ-
ствующая напряжению, вызывается силами инерции. В данном
189
Общий интеграл этого уравнения будет
| ао cos (©</) 4- ₽„ sin (©</) j +'
Д
J Первый член в
'бой затухающие i
случае величина нагрузки, соответствующей напряжению, опре|
ляется в первую очередь заглушающими колебания системы си|
ми, и отсутствие таковых приводит во всяком случае к полоза
системы.
При этих критических состояниях к обусловленным внеппа
нагрузкой статическим напряжениям (которые сами по- себе являк
также переменными) присоединяются еще динамические напря
ния, вызываемые резонансным колебанием, Основной задачей г»
чета коленчатого вала на упругие колебания кручения является п
известном числе собственных колебаний вала и при известш
действующих на вал, тангенциальных силах, выявить те критш
ские числа оборотов, при которых возникают эти добавочн1
резонансные напряжения, не предусматриваемые обычным ста
ческим расчетом коленчатого вала на прочность.
Случай одноколенного звездообразного мотора в отношен
крутильных колебаний коленчатого вала приводится к схеме .<авен периоду
лебания системы вала с одной массой, имеющей один конец ва г ------------
защемленным. Этому защемленному концу эквивалентного ва(ависит также от
соответствует узел колебаний действительного вала,
положение которого является возможным на основании изложенноФ^дно из дальнейшего,
раньше. Так'им образом схемой эквивалентного вала в ,
случае будет схема черт. 4.
Положим, что масса совершает принужденные колебания в сре;
создающей момент сопротивления, пропорциональный первой с>
пени угловой скорости. Рассмотрим сперва случай, когда на мае
действует возбуждающий колебания внешний периодический момеь
изменяющийся по закону
<р = е qt | «о cos (©</) + ₽о sin (£M)J +
(«4-1 ©7Ч V^©)2 Sin (6Z)~(^r=6’T+W)2cos (87)
; правой части этого уравнения представляет
ч>ии затухающие колебания. Два последних члена, пропорциональ-
Jrlfe величине Ь, представляют собой „вынужденные колебания11
йстемы. Эти колебания поддерживаются действием периодического
йешнего момента и не исчезают с течением времени. Период этих
'олебаний
2-к
7=0
возбуждающего колебания момента, а амплитуда
ропорциональна амплитуде этого момента. Амплитуда колебаний
cninuiu ваГависит также ОТ соотношения между периодом Тс собственных
, определи] олебаний системы и периодом Т возбуждающего момента, что
1еннм»идН0 из дальнспшоО.
дани о Выражение для вынужденных колебаний можно упростить, если
вести следующие обозначения;
2bqQ
(88)
(89)
Мвн = В sin (©О,
где 0 некоторая угловая скорость.
Обозначая:
Е— момент сопротивления среды при угловой скорости, равн
единице,
„ GJO
С = ---- жесткость вала,
(©са — 02)2 4 (2?©)2 — 0dSine»
Z,(0c2 —©2)
(0С2 т-^2)2 + (2</©)2 ~ Фд COS е’
ф5’Тогда выражение для вынужденных колебаний будет иметь вид
' ' (90)
момент инерции массы относительно оси вала
= 2^', -у — 6
Фд = ——— . - - —
|/(©с2 — ©7Н2<7©)2
'гол ев равенстве (90) представляет собой разность фаз
1 нужденными колебаниями и возбуждающим колебания моментом,
т ,ол е определяется из уравнения
/я >
(»
Имея в виду, что период собственных колебаний системы
V
Tc = f, (93)
02‘
и имея в виду, что угловая скорость 0С собственных колебав'’,
рассматриваемой системы равна
1-
получим уравнение движения массы для данного случая в виде
ф- 2ду' ©f2<f> = Ъ sin (0£). ।
Ф с>[ sin (0f) cos е — cos (©/) sin e] = Фд sin (Qt — e).
Амплитуда Фд вынужденных колебаний будет равна
b
(91)
между
(92)
)иод возбуждающего момента
Т—2т
191
190
будем иметь;
если 0С> 0, т. е. если период собственных колебаний системы меньше
периода возбуждающего момента, то е положителен и меньше если
0С < 0, то е больше |.
Из уравнения (90) видно, что вынужденные колебания отстают
по фазе от возбуждающего колебания момента В sin (0£).
Когда 0с = 0,-т. е. когда частота собственных колебаний системы
равна частоте возбуждающего момента, имеет место случай резо-
нанса; при этом /£е = оои разность фаз получается равной При
таком колебательном движении система достигает своего среднего
положения в тот момент, когда возбуждающий момент достигает
своего максимального значения.
Исследуем теперь изменение амплитуды Фа вынужденных ко-
лебаний. Согласно равенству (91) имеем:
так
то
Фд
как
b
Ь
0<
с
0
с — z
(94)
b _ в
0/“ С~С'
не что иное, как угол закрутки, соответствующий стати-
ческому действию наибольшего возбуждающего, момента В.
Обозначим этот угол через Фст.
b _В
0С2” С —фст’
0 _ТС
0С Т
т— А_
0С~ « q j/тг-
т. е. есть
Далее имеем
Обозначим:
2^ $ 1,_
о = —^ = Д
(95)
(96)
(97)
(98)
и назовем Д коэфициентом затухания системы.
Принимая во внимание все эти соотношения,
Ф
*ст
[, будем
иметь:
Фд =
2
(99)
X
192
Ф^д
Называя отношение — фактором резонанса, будем иметь, что
^ст
фактор резонанса равен
Фд
Фст
1
(100)
Исследуем это выражение для фактора резонанса.
Если возбуждающий момент имеет очень большой период Т, то
Фд приближается к Фст; в этом случае деформации системы могут
быть вычислены в предположении, что возбуждающий момент
В sin (Qf) действует статически.
Когда Т представляет собой малую величину, т. е. когда воз-
буждающий момент имеет очень высокую частоту, то знаменатель
уравнения (100) будет очень большим и Фд будет очень мала по
сравнению с Фст, т. е. будет стремиться в пределе к нулю.
Если Т приближается к Тс и коэфициент затухания Д мал, то
знаменатель уравнения (100) будет мал и амплитуда Фд будет зна-
чительно больше Фст. Это означает, что при резонансе сравнительно
небольшие возбуждающие моменты могут вызвать очень сильные
колебания, которые, в свою очередь, могут вызвать в колеблющейся
системе очень сильные напряжения.
Ф
Чтобы дать картину зависимости фактора резонанса — от из-
Т Фст
менения отношения у и от величины коэфициента затухания Д, на
черт. 27 построено несколько кривых-?6- Д)в зависимости
Т Фст ' 1 /
от отношения для различных значений Д.
Из этих кривых видно, что максимум фактора резонанса не сов-
падает точно с условием резонанса
L
7”
величина отношения
соответствующая максимуму фактора резонанса, меньше еди-
ницы и равна
1-^.
2
Т
Соответствующее этому отношению максимальное значение
фактора резонанса будет:
1 ф ) —~
\ cm /max д
К-
T~
(101)
1
(102)
При условии резонанса, когда Тс—Т, фактор резонанса равен
\Фст )тс = Т Д ’
13 И. Ш. Нейман.
193
(103)
когда Д = 0 фактор резонанса больше единицы для всех значений
Т
между 0 и у 2.
1 Т
Вне величин, близких к -у=1, коэфициент затухания Д оказывает
незначительное влияние на кривые, если только Д сравнительно
мал, примерно, меньше 0,2.
Черт. 27. Кривые отношений амплитуд вынужденных колебаний к ампли-
туде при статической нагрузке максимальным значением возбуждающего
колебания момента.
гО
Если Д не больше 0,2, то фактор резонанса равен, приблизительна
7' Т
2 , когда у =0,7 и 1,2, и больше, когда внутри этих пределов.
Если у больше у/2, то действие упругих колебаний благо-
приятно, т. е. вал закручивается меньше, чем если бы масса не
имела инерции.
Рассмотрим теперь действительный случай, когда на массу дей-
ствует периодически изменяющийся по любому закону возбуждаю-
щий момент с основным периодом
(Ю4)
194
Переменная часть этого момента может быть представлена со-
гласно равенству (54) в виде:
А-“СО
М„ «= я у [Д t cos (А 0 Q 4- Bb sin (k 0 f)], (105)
где 7?— радиус кривошипа.
Помимо этого момента на массу, как и раньше, действует за-
глушающий колебания момент £ • Вводя прежние обозначения,
смотри равенства (85)
7=2’-
имея в виду, что
массы
(Ю7)
и обозначая
(Юб)
получим из условия равновесия всех действующих на массу мо-
ментов следующее диференциальное уравнение движения
к=со
<f" 4- 2q <р' -ф 0с2<р — [ак cos (Л G £)4~ bk sin (k 0 Z)].
Л=1
Полное решение этого диференциального уравнения
вится в виде
Ч> = e~qt [а0 cos (0О 0 + ₽0 sin (0О 7)] 4-
4- 2(ай cos (k 0 f) 4- sin (k 0 /)].
K=1
предста-
(108)
В этом уравнении а0 и ро есть произвольные постоянные, опре-
деляемые из начальный условий; ak и определятся, если уравне-
ие (108) продиференцировать и подставить в уравнение (107).
' гсюда для определения ak и получим уравнения
n.ft=aft(0c2-^02)4-2₽^0 |
^=₽А(0?-^02)-2«^0, J (wy)
из которых
_ <гД0с2 —/г202) —2%^0
(0с2-^02)24-(2^0)2
g _ bk (0? - £2 02) 4- 2^0 1 }
Pfc~ (0С2 — Й202)24-(2^0)Г
В правой части уравнения (108) первый член, содержащий мно-
жителем функцию eqt^ представляет собой свободные затухающие
колебания, второй член под знаком I! •— принужденные колебания
системы. Для заглущающего сопротивления коэфициент q всегда
• 195
положителен, поэтому вследствие наличия фактора e~gt амплитуда!
затухающих колебаний со временем уменьшается, а амплитуда при-
нужденных колебаний остается постоянной пока действует возбу-
ждающий момент. Период То затухающих колебаний и число зату-
хающих колебаний в минуту пв определяются из равенств
00=107=3^=0,-1/^ 1-(4У> ОН)
2,? 1 „
где Д = 0-= — q ic коэфициент затухания
т 2-гс 60 30 „ /пол
Го = а-; = —ов. (112)
Из равенств (112) видно, что период затухающих колебаний не за-г
висит от времени и больше периода собственных (не заглушаемых)
колебаний системы. •
В случае, если
q* 0С2
(ИЗ)
для Тв получается либо бесконечно-большое, либо мнимое значение.
Этот случай представляет только теоретический интерес; при этом
уже не получается явления свободных колебаний, а имеет место
апериодическое движение по закону:
— 4t Г о г=-ес2 • *
4>о = е L#oe
Обращаясь к принужденным колебаниям, на основании равенств
(110), заключаем, что амплитуды ak и принужденных колебаний
„ 2тг
определенного периода Tfc=^g зависят от возоуждающих гармо-
нических моментов Ak и Вь только этого периода. Знаменатель
правой части в уравнениях (НО) как сумма квадратов двух дей-
ствительных чисел никогда не равен нулю, так как одно из этих
чисел (2<у/г0) всегда отлично от ноля.
Амплитуды ah и fy. поэтому никогда не бывают бесконечно-боль-
шими. Полная амплитуда Фк принужденного колебания к-го порядка
определится из уравнения
, л 2 I 2
ф 2 __ „ 2 I R 2_ k _______________
Ь h Г Г/г (-0^2 _ 02)2 _|_ ^qk 0)2 '
полной амплитудой Фк принужденного колебания к-го
полной амплитудой Мь гармоники к-го порядка возбу-
колебания крутящего момента
Mk = R}/A^W
имеется сдвиг фаз efe, который определяется из уравнения
2qk 0
tg,efe— 0/—(/г 0)2 •
Угол сдвига фаз eZi не зависит от величины возбуждающего гар-
монического момента и обращается в ноль, рри отсутствии заглу-
шающих влияний (7=0),
(П4)
Между
порядка и
ждающего
(И5)
1Ш
Амплитуда колебания Фк, как действие, по времени отстает от
розбуждающего момента, как причины, так как
<?ь~ ak cos (k 0 t) ₽A sin (k = Фь sin (A 01 — еД (116)
Уравнение (115) дает также зависимость сдвига фаз от скорости
возбуждения 0:
для 0 = 0, еА = 0;
для А 0 = 0С = угловой скорости собственных колебаний
tgeft = oo,
Для одйоколенного звездообразного мотора с числом цилиндров
I, принимая, что все шатуны цепляются непосредственно за цапфу
кривошипа, согласно разделу 4 § 4 этой главы имеем, что все гар-
моники крутящего момента, за исключением характерных, которыми
являются гармоники 0, i, 2i, 3i и т. д. порядков, уничтожаются.
Поэтому в выражении (105) останутся только члены с k = i, k = 2i,
k = 3i и т. д. При установившемся движении, т. е. при достаточно
большом промежутке времени работы мотора на данном режиме,
уравнение (108) принимает вид
К = оэ к==со
<р—2 [“*cos0sin0sin(ket—£fe)> о17>
« = 1 К=1
причем для рассматриваемого случая звездообразного мотора в этом
уравнении будут иметься только члены с k — i, 2i, Si и т. д. Здесь
ak и определяются согласно равенствам (ПО), Фь и ek согласно
равенствам (114) и (115). •
Для определения <р необходимо знание коэфициента q, кото-
рый согласно равенству (85) равен
5
q~'2J
и, в свою очередь, требует знания коэфициента Е — момента заглу-
шающего колебания системы сопротивления при угловой скорости,
равной единице. Коэфициент 5 определяется опытным путем.
При различных числах оборотов мотора максимальные значения
<р, определяемые согласно уравнению (117), будут различны. При
некоторых определенных числах оборотов мотора эти максималь-
ные значения ср будут иметь свои наибольшие, так называемые
критические, значения. Соответствующие числа оборотов мотора
называются критическими в отношении, крутильных колебаний ко-
ленчатого вала числами оборотов мотора. Если число собственных
колебаний рассматриваемого звездообразного .мотора пс, то крити-
ческие числа оборотов мотора определяются по формуле
w
г
197
причем в данном случае k, представляющее порядок критических
гармоник крутящих сил, вызывающих колебания, принимает ряд
следующих значений
&=i, 2i, Зг, и т. д. (119)
$ 6. Возникновение критических чисел оборотов в рядных
моторах.
Согласно изложенному в § 1 этой главы, систему коленчатого
вала мотора можно заменить в отношении крутильных колебаний
квивалентной системой прямолинейного вала, постоянного по длине
сечения- На этом эквивалентном валу будут расположены на опре-
деленных друг от друга расстояниях массы, эквивалентные массам
пропеллера и кривошипов с отнесенными к ним поступательно и
вращательн0 движущимися массами кривошипного механизма. Эта
система в соответствии с действительной системой вала будет на-
гружена периодически меняющимися крутящими моментами, дей-
ствующими в плоскостях расположения масс, соответствующих
кривошипам, и вызываемыми силами давления газов на поршни
цилиндров и силами от инерций поступательно двигающихся в
цилиндрах масс. Помимо этих моментов, будут действовать в тех
же плоскостях крутящие моменты, вызываемые заглушающими ко-
лебания сопротивлениями в моторе; последние моменты в дальней-
шем принимаются изменяющимися пропорционально угловым ско-
ростяг коленчатого вала при его крутильных колебаниях. Таким
образе'’ в данном случае система коленчатого вала под действием
во >бужДа1°Щих колебания периодических крутящих моментов от сил
давления газов и инерции поступательно двигающихся масс будет
совершагь принужденные колебания при наличии заглушающих
колебания сопротивлений. В дальнейшем действия всех моментов
будем оассматривать как действие пар сил Tt с плечом R равным
радиусу кривошипа. Колеблющиеся массы эквивалентной системы
вала представляются массами tnh сосредоточенными на расстояниях
д» от с'и вала и имеющими относительно этой оси те же моменты
инерции» что и действительные эквивалентные массы.
да.1внейшие выводы основываются на следующих положениях:
1. При резонансе можно принять, как показал Wydler, что форма
приеденных колебаний не очень отличается от формы собствен-
ных колебаний системы в том случае, когда влияние заглушающих
колебания сопротивлений невелико. Это позволяет при резонансе с
большим приближением заменить неизвестную форму принужденных
колебаний системы известной формой собственных ее колебаний.
2. Если на отдельные массы действуют гармонически изменя-
ющиеся силы, имеющие одну и ту же угловую скорость 0, то при
резонансе за один цикл работа этих сил равна работе заглушающих
колёба ия сил. Принимая линейную зависимость заглушающих сил
от в, будем иметь следующее соотношение, вытекающее из этого
ПОЛОЛСЯ
п п
(120)
198
причем:
i изменяется от 1 до п, где п число масс,
р,.— коэфициент заглушающего сопротивления, действующего на
массу mt и пропорционального линейной скорости массы ть
at — линейная амплитуда колебания массы
ez — угол сдвига фаз силы 1\ и амплитуды at.
Вводя в уравнение (120) вместо амплитуд at их отношения к
амплитуде какой-либо массы, например к проводя, следовательно,
расчет с относительными амплитудами «£,
а,
«;=--------------------------------,
V
получаем при резонансе следующую зависимость:
п п
0С<2„/ P-i«ie= / Д cosine,,
1 1
причем «£ получается из формы собственного колебания системы, а
0е является угловой скоростью собственных колебаний системы.
Формула (122) позволяет определить амплитуду колебания п-й
массы при резонансе, если известны коэфициенты р.г
п
\Tlai sin ef
(121)
(122)
—
(123)
или по замеренной из торсиограммы амплитуде ап определить коэ-
фициент |i, принимая p-z = const
п
—-—
(124)
Углы ez в данном случае (при резонансе) являются фазами воз-
буждающих колебания сил по отношению к форме собственного
колебания системы. Так как при этом амплитуды at всех масс на-
ходятся по отношению друг к другу в одной фазе, то углы е{
являются фазами возбуждающих колебания сил по отношению к
некоторой прямой на диаграмме. При резонансе имеет место такое
фазовое расположение, при котором отдача работы возбуждающими
колебания силами наибольшая.
Исходя из этого положения определяются углы е£.
Дальше’ это будет пояснено примером.
Резонанс с тангенциальными силами от одного цилиндра имеет
189
место при всех числах оборотов пр мотора, определяемых для
4-тактных моторов из соотношения
Пр=-^£7, где k—1, 2, 3, 4 и т. д„ (125)
где k представляет порядок гармоник тангенциальных сил, вызыва-
ющих резонанс, пр называется резонансным числом оборотов мотора.
Но эти резонансные числа оборотов не все являются критиче-
скими числами оборотов в отношении крутильных колебаний вала.
Большинство из них является безопасными в отношении резонанса
и не вызывает значительных колебаний.
Для определения критического числа оборотов мотора в отно-
шении крутильных колебаний коленчатого вала строится на осно-
вании уравнения (123) диаграмма резонансных амплитуд ап в зави-
симости от резонансных чисел оборотов мотора пр, определяемых
согласно уравнению (125). Эта диаграмма и выявляет максимальные
значения резонансных амплитуд ап и соответствующие им крити-
ческие в отношении крутильных колебаний коленчатого вала числа
оборотов мотора nkp. При каждом из резонансных чисел оборотов
мотора пр, определяемых согласно уравнению (125), возбуждающими
колебания системы силами Т являются гармоники крутящих сил
Dk соответствующего порядка, т. е. для пр— действующие на
у k
массы гармоники крутящих сил к-го порядка. Гармоники крутящих
сил Dh являются одинаковыми по величине для всех цилиндров
двигателя, так же как и коэфициенты у.; вследствие этого формула
(123) принимает вид
п
^*2a/sin е/
= 1 , (126)
1
причем е£ является фазовым углом Dk, соответствующим криво-
шипу i.
В отношении действия различных гармоник определяющим
является выражение
п
ai sin ei = Dpji, (127)
ГД₽ "
Л = 2,0.1 sin ez; (128)
1
л называется удельной работой возбуждающих колебания сил. Она
равна -V— работы за один цикл мотора возбуждающих колебания
200
сИл всего мотора при отклонении свободного конца вала, равном
и при возбуждающей колебания силе одного цилиндра, равной 1.
Задача определения ап, соответствующей гармонике возбуждаю-
щей силы данного порядка, сводится, на основании сказанного, к
Порядок вспЬ/шек
1-5-3-6-2-4
Черт. 28. Графическое определение удельной работы л для некоторых
гармоник тангенциальных сил шестицилиндрового мотора БМВ-IV.
отысканию для данной гармоники максимального значения л. Это
наибольшее значение легко может быть определено графическим
путем. На черт. 28 произведено построение для некоторых гармо-
ник одного 6-цилиндрового мотора. Вектора гармоник отдельных
«9 Момент инерции
масс
[кд ат sec1)
JJ43O О.еЗО 0/43 1?МЗ 0.6SB $МВ
Упругие фШнЬ/
к~”
фтяэситу.пЬнфге
СгпЯлме^чЯ О v/o
—. — Форма при ста-
miwckoa закрутку
Пропеллер
Черт. 29. Форма собственных колебаний вала мотора БМВ-IV; Яс=6 170 об/мин.
цилиндров помножены на соответствующие относительные ампли-
туды аг и геометрически сложены. Результирующий вектор и дает
максимальное значение для л, а направление, перпендикулярное к
направлению результирующего вектора л, будет соответствовать
направлению амплитуд а,- при резонансе.
201.
Черт. 30. Удельная работа возбуждающих колебания
сил для различных резонансных чисел оборотов шести-
цилиндрового мотора.
На черт. 29 дана форма колебаний б-коленного вала мотора
BMW-IV, из которой определены относительные амплитуды а,-, не-
обходимые при определении максимального значения л. Нижепри-
водимая таблица 2 дает подсчет максимального л аналитически, при-
чем фазовое положение собственных колебаний в векторных диа-
граммах представлено пунктирной стрелкой. Начиная с седьмой
гармоники, все значения л повторяются.
Исследуя подобным образом отдельные гармоники, найдем, что
некоторые гармоники в их суммарной работе почти уничтожаются,
другие, напротив, действуют совместно. На черт. 30 нанесены опре-
деленные вышеуказан-
ным методом значения
п
л = sin ef в зави-:
1
симости от резонанс-
ных чисел оборотов
для исследованного
6-цилиндрового мо-
тора.
Для определения те-
перь резонансных ам-
плитуд ап, согласно
уравнению (126), необ-
ходимо принять во вни-
мание различную вели-
чину гармоник Dk кру-
тящих сил в зависи-
мости как от самого по-
рядка гармоники, так
и от изменения числа
резонансных оборотов
мотора и связанного с последним дросселирования мотора. Для
определения по силам от газов и от инерции поступательно дви-
гающихся масс значений D служит уравнение (82). Для резонанс-
ного числа оборотов пр=-~ уравнение (82) можно написать в
-Tk
виде
„ ® 4 7? ® F 4 77
<т> _ ,lp f _'Ч Г)
1Q8 Ю8Л® 108
где
• Du-^. (130)
п
В нижеприведенной таблице 3 дано определение Dk0 ^g.sine,- для
1
рассматриваемого 6-цилиндрового мотора. На черт. 31 нанесены в
зависимости от числа оборотов мотора определенные таким обра-
202
ft
зом значения DM Vet. sin ef. Согласно уравнению (126) имеем
1
п
^sine,. п п
ап “ ---------= Л — %-— fate У «г Sin еЛ = с • Г sin еЛ (131)
VI V 1 J i J
®<^а 8 а*2
Черт. 31. Расчетная кривая резонансных амплитуд коленчатого
вала шестицилиндрового мотора.
4 it ®
В этом выражении коэфициент c— jqs—— является для
а,-8
п
У afsin е£
данного мотора постоянным по величине, а поэтому
представляет в масштабе резонансную амплитуду ап. Таким обра-
зом кривая (черт. 31) может быть рассматриваема как кривая ре-
зонансных амплитуд данного 6-цилиндрового мотора. Эта кривая и
устанавливает критические в отношении крутильных колебаний ко-
ленчатого вала данного мотора гармоники и соответствующие им
критические числа оборотов мотора. Для 6-цилиндровых моторов
с порядком вспышек 1—5 — 3 — 6 — 2 — 4 критическими гармони-
ками будут гармоники 3, 6, 9, 12, 15-го и т. д. порядков. Соот-
ветствующие критические числа оборотов мотора nkp будут
’ (132)
У*
где 6 = 3, 6, 9, 12, 15 и т. д.
203
Таблица 3.
п
Таблица для определения Dk0 а^ше,. 6-цилиндрового мотора.
1 «
k t? II “>1 На * |" Ek п 2 <4 Sinsf 1 п DkB “i sinei 1 *
6 пс :3 2,55 7,10 4,29 30,5
7 6,20 12,60 0,47 5,92
8 лс:4 3,90 6,10 0,18 1,10
9 лс : 4’/г 3,70 4,57 1,27 5,80
10 пс: 5 2,90 2,90 0,18 0,52
11 51/2 2,30 1,90 0,47 0,89
12 пс:6 1,90 1,32 4,29 5,66
13 Пс » 1,60 0,95 0,47 0,45
14 лс: 7 1,30 0,66 0,18 0,12
15 пс 71/. 1,05 0,47 1,27 0,60
16 пс : 8 0,90 0,35 0,18 0,06
17 пс ’ ^Vs 0,70 0,24 0,47 0,11
18 пс : 9 0,50 0,15 4,29 0,64
На черт. 38 представлена кривая резонансных амплитуд, полу-
Черт. 38. Экспериментальная кривая резонансных амплитуд колен-
чатого вала шестицилиндрового мотора.
расчетным путем (черт. 31). Сравнивая черт. 31 и 38, видим доста-
точно хорошее совпадение теории с экспериментом.
Аналогичное исследование для 12-цилиндрового мотора с цен-
205
тральными шатунами, с углом между цилиндрами 60° и с порядком
вспышек
1 5 3 6 2 4
8 10 7 11 9 12
дает критические гармоники 3, 7, 9, 12, 15-го и т. д. порядков.
Соответствующие критические числа оборотов мотора nkp будут
= гДе ^ = 3, 7, 9, 12, 15 и т. д. (133)
-2-« '
Для 4-цилиндрового двигателя:
==-А-, где k = 4, 8, 12, 16, 20 и т. д. (134)
~Tk
Удельная работа л сил, возбуждающих колебания, зависит от
формы колебания и порядков вспышек в цилиндрах. Для каждого
Г CSbrhffblU передок Ifcnbiwek: 1&3 б ZA
ДярялоЛ бенЬш^к: 124&53
Пс пс"е
7 6 5^ • "У
мотора на ряду с вы-
полнением требований
максимальной уравно-
вешенности масс и рав-
номерности чередова-
ния вспышек предъя-
вляется требование не-
которого из возможных
порядков вспышек, из
которых в практике
установились только
определенные для каж-
дого типа моторов. Ис-
следование других из
возможных порядков
вспышек по отношению
3j« к крутильным колеба-
ниям вала показывает,
Черт. 39. Расчетные кривые резонансных амплитуд чт0 некоторые из кри-
коленчатсго вала шестицилиндрового мотора для двух ТИЦРГ1,И„ Ц„РРЛ пблпо-
различных порядков вспышек. шчсыпи uvupv
тов исчезают, но зато
появляются новые. Иногда таким путем удается добиться более
спокойной работы мотора в отношении крутильных колебаний
вала в эксплоатационной области числа оборотов мотора (черт. 39).
Так для одного 6-цилиндрового мотора изменением порядка вспы-
шек было уничтожено критическое число Л—4,5 порядка. Черт. 39
показывает расчетные резонансные кривые для нормально принятого
порядка вспышек 1 — 5 — 3 — 6 — 2 — 4 и для порядка вспышек
1 — 2 — 4 — 6 — 5 — 3. Черт. 40 показывает соответственные экспе-
риментально полученные резонансные кривые.
Как раз эксплоатационная область чисел оборотов мотора была
освобождена благодаря этому изменению порядка вспышек от ре-
зонанса. Изменение порядка вспышек, достигнутое только измене-
нием кулачкового валика, явилось в данном случае простым и дей-
ствительным средством для устранения опасности резонанса.
206
Коэфициент р заглушающего колебания сопротивления может
быть определен, согласно сказанному выше, из уравнения
п
D^i Sin
• , (135)
i
причем ап определяется опытным путем замером резонансного от-
клонения конца вала при соответствующем критическом числе обо-
ротов мотора. Приме-
няя это уравнение к ко-
лебаниям, отнесенным
к радиусу кривошипа,
и относя ц к 1 cjw2 пло-
щади поршня (при этом
Dk, входящее в урав-
нение 135, будет пред-
ставлять также силу,
отнесенную к 1 cjh2 пло-
щади пор'шня), мы бу-
дем иметь, что р пред-
ставляет силу заглу-
шающих сопротивле-
ний, отнесенную к 1 CJH2
площади поршня и к
1 — скорости цапфы
сек
кривошипа, приложен-
ную к одному криво-
шипу на радиусе криво- Черт 40 Экспериментальные
кривые резонансных
шипа. Надежных ЭКС- амплитуд коленчатого вала шестицилиндрового мотора
периментальных значе- для двух различных порядков вспышек.
ний р для различного
типа моторов не имеется ввиду трудностей при экспериментальном
определении ап. В Германии было произведено определениер для мо-
тора BMW. При критическом числе оборотов мотора 1000 в минуту из
торсиограмм было найдено, что резонансное отклонение равно ± 1,5°.
Отсюда при помощи формы собственных колебаний (черт. 29) и со-
ответствующих гармонических тангенциальных сил (см. таблицу
ниже) был произведен приблизительный подсчет р. Для 12-й гар-
моники, вызывающей резонансные колебания мотора при 1000 об/мин^,
полагая ez = 90° (все гармоники одинаковы), имеем:
6
о0
207
100
п __cta Рт_3,53 • 3,56 _„ . „
100 ~ 100 ~°’13 ’
1 Sit
a0 = ~~- 9,5 = 0,248 cm,
loU
9,5 — радиус кривошипа
0C=^=63O сек.'1
Таблица 4.
Числовые значения at и а?.
1 * 1 2 3 4 5 6 2
&i 0,31 0,096 0,51 0,260 0,69 0,476 0,84 0,706 0,94 0,884 1,00 1,00 4,29 3,42
11 0,248 • 630 • 3,42 °’00104 см/сек '
Округляя можно принять у. = 0,001—.
СМ/ С6ТС
Для больших 6-цилиндровых машин 550 л. с. и 1 200 л. с., ра-
ботающих на тяжелом топливе, Wydler нашел для заглушающих
сопротивлений значения в пределах
у = 0,005 — 0,006 .
см!сек
§ 7. Глушители колебаний.
Чтобы уменьшить амплитуды колебаний коленчатого вала мотора
при резонансе, применяются глушители колебаний. Глушители коле-
баний начинают действовать, т. е. создавать заглушающие коле-
бания сопротивления, только при наличии колебательного движе-
ния вала. Глушители колебаний представляют в конструктивном
отношении таким образом соединенную с колеблющейся системой
вращающуюся с ней массу, что при их относительном движении
возникают заглушающие силы определенной величины, поглощаю-
щие энергию колебания.
а Рассмотрим действие жидкостных глушителей, у которых заглу-
шающая сила пропорциональна относительной скорости. Обо-
значим:
0С —угловую скорость гармонических колебаний вала и маховой
массы глушителя. При рассматриваемых резонансных числах обо-
ротов мотора это будет угловая скорость собственных колебаний ко-
ленчатого вала мотора. Угловые скорости гармонических колебаний
вала и маховой массы глушителя одинаковы потому, что только в
208
этом случае возможно установившееся состояние движения всей
системы;
/г—момент инерции маховой массы глушителя относительно
оси качания;
Фг—амплитуду колебательного движения маховой массы глу-
шителя;
Фп—амплитуду колебательного движения конца вала, на кото-
ром насажен глушитель;
<рг и <рп — соответствующие текущие отклонения от начального
положения для момента времени t\
₽ — угол сдвига фаз между и <р„.
Имеем:
sin(0/)
Ъ=Фг sin(0^—₽).
(137)
(138)
Угловые скорости <р„’ и будут равны
'Рл' = ФП'всСО8(вс<)
<рг'=Фг 0,008(0,/ —₽). I
Угловые ускорения у" и юг" будут равны
—Ф„'0С* Sin (©</)
Ъ =—Фг 0c2Sin(0/— ₽).
Относительная угловая скорость вращения маховой массы глу-
шителя по отношению к рассматриваемому концу вала будет:
<рОт' = <Р„' — =0f[0„'cOS(0c0 — ФгСО8(0^ — ₽)]. (139)
Крутящий момент Мг, заглушающий колебания конца вала и
являющийся следствием действия глушителя колебаний, пропорцио-
нален, как принято выше, относительной угловой скорости <рОт'«
Принимая коэфициент пропорциональности равным Ег> будем иметь
М=Ег (140)
С другой стороны, рассматривая в отдельности движенце махо-
вой массы глушителя, будем иметь
(141)
Следовательно,
= (142)
Отсюда, принимая во внимание равенства (138) и (139), будем
иметь:
Ь COs(0cO — ФгСОб(0/ — ₽)] = — ЛФг0Л81п(0с^— ₽)
и
Ф„' cos(0c£) = ФДсоз(0^ — ₽) — Sin(0/—₽)].
Полагая
(143)
будем иметь #
Ф„' COS(0/) = cos(0/— ₽ + ф).
14 И. Ш. Нейман.
209
(144)
Отсюда
Фг= Фп'COS ф
cos (8/)
cos (8^— ₽+Ф)
Так как амплитуда Фг по самой своей сущности должна не за-
висеть от t, то должно иметь место соотношение
или tgp = ”^— • (145)
Следовательно,
Фг=ФЛ'сО8^=Ф„'СО8р. (146)
Принимая это во внимание, будем иметь
Л- Фг0*в81п(6/-Р)=
= — 7гФп' cos р 8c2[sin (6c£)cos р — cos(6c^)sinp] =
= — Л cos2p[0„'8c2sin(8^)] + O,5^6csin2p[0n'6ccos(8cZ)] =
* = Jг cos2 p <p„" + 0,5J?6csin 2p %'
?Wa=Jlcos2p<Pn'' 4-O,5J?ecsin2p<p„'. (147)
Из последнего соотношения вытекает, что действие глушителя
колебаний эквивалентно тому, как если бы:
1) на валу, в месте посадки глушителя колебаний, имелась до-
бавочная, закрепленная на валу масса с моментом инерции
/„a=Zcos2P; (148)
2) на вал, в месте посадки глушителя колебаний, действовал
момент, заглушающий колебания и равный
0,5 Л 6csin2p (149)
Таким образом общее действие глушителя состоит в известном
снижении числа собственных колебаний системы, обусловленном
первым действием глушителя, и в снижении резонансной ампли-
туды колебательного движения системы, обусловленного вторым
действием глушителя. Последнее и является используемым сврйст-
вом глушителя в рассматриваемом вопросе.
Принимая во внимание”' равенство (145), получим согласно ра-
венству (146):
= (150)
Из этого соотношения видно, что при слабом заглушении ампли-
туда Фг мала; в предельном случае, когда Е=-0, Фг=0, т. е. махо-
вая масса глушителя не колеблется.
При сильном заглушении величина амплитуды приближается к
величине амплитуды Ф„'; в предельном случае, когда $ = оо, Фг= Фп',
т. е. маховая масса глушителя является как бы жестко соединен-
ной с последней массой системы и колеблется вместе с последней.
Подставляя в уравнение (149) выражение для из уравне-
ния (137), будем иметь:
М„ = 0,5 Л 8С2Ф„ sin 2р cos (6/). (151)
210
Амплитуда этого заглушающего колебания момента будет
Э?г = 0,5 Л ®,?Фп sin 2р. (152)
Пренебрегая влиянием на 0С регулировки глушителя и принимая
во внимание, что с увеличением Фп уменьшается, имеем, что
наивыгоднейшая регулировка данного глушителя колебаний, соот-
ветствующая максимальному возможному Жпг, будет получена при
такой регулировке глушителя, когда
sin 2р = 1, т. е. когда Р = 45° и tgp = l.
Отсюда, принимая во внимание равенство (145), будем иметь,
что наивыгоднейшая регулировка глушителя соответствует значе-
нию Ег, определяемому из уравнения (153)
(Ег)паив. =— Jz^c'
Соответствующее максимальное значение момента будет
(Жлг)max — 0,5Л0ДФЛнаив- (154)
Далее является интересным, насколько определенный глушитель
снижает резонансные амплитуды.
Суммарная работа всех моментов Afie, действующих на все п
масс эквивалентной системы, за один период будет
п п
ч 2 =0*sin е‘- (157)
Так как, согласно принятому выше, момент сопротивления за-
глушающего колебания пропорционален угловой скорости системы
в месте его действия, то заглушающий момент Afa, отнесенный к
г-й массе, равен
AfZ3 = £0.eccos(ecZ). (158)
Работа этого заглушающего момента Mi3 за один период будет
Т 2те
=J Mb ^dt = Е cos2 (0</) d (&ct) = веФ?.
о о
Суммарная работа всех заглушающих моментов Л4,3, действую-
щих на все п масс эквивалентной системы, за один период будет:
п п
<1Я>
1 1
Так как в данном случае работа возбуждающих колебания мо:
ментов за один период должна равняться соответствующей работе
моментов, заглушающих колебания, то имеет место соотношение:
п п
1 1
откуда, принимая во внимание уравнения (157) и (159), будем иметь:
п п
У Ф.-sin ef=я Е 0е2Ф'2
211
t
или, вводя относительную амплитуду, |
ф. <.
(160) 1
где Фп — угловая амплитуда последней крайней массы, получим t
л ft
есФп^/,
откуда "
RT^atSin^
Фп = ---Ц-------(161)
*вс2«?
1
Это уравнение является, по существу, приведенным выше ура-
внением (126). Разница заключается только в следующем:
В уравнении (126):
ап — амплитуда колебаний n-й массы в линейных единицах;
Dk — отнесенная к 1 см* площади поршня амплитуда гармоники
к-го порядка тангенциальных сил, действующих на ось цапфы одного
кривошипа;
у. — коэфициент заглушающего сопротивления, т. е. отнесенная
тоже к 1 см* площади поршня заглушающая колебания сила, при-
ложенная к оси цапфы одного кривошипа, при линейной скорости
цапфы кривошипа, равной единицей
В уравнении (161):
Фп — амплитуда колебаний n-й массы в дуговых единицах;
Тк— амплитуда гармоники к-го порядка тангенциальных сил,
действующих на ось цапфы одного кривошипа;
Е—дуговой коэфициент заглушающего сопротивления, т. е. за-
глушающий колебания момент, действующий на систему одного
кривошипа, при угловой скорости кривошипа, равной единице.
Это приводит к наличию следующих соотношений, если обозна-
чим площадь поршня F:
an = R^n
Tb = FDk
l = FR*v.
(162)
Найдем теперь амплитуду Ф„' конечной массы при наличии глу-
шителя колебаний. Примем, что и в этом случае форма собственных
колебаний не изменится, а величина амплитуд Ф£ каждой из масс
уменьшается в отношении уменьшения амплитуды n-й массы, т. е.
I
I
что приводит к соотношению
Ф/ Ф;
ИЛИ а/ = а„
212
т. е. относительные амплитуды масс системы не изменяются от при-
менения глушителя колебаний. Имея это в виду и оставляя прежние
обозначения, но со знаком для системы с глушителем колеба-
п
ний, будем иметь, что суммарная работа всех заглушающих
1
моментов Mb, действующих на все п масс, и работа Мпг заглушаю-
щего момента, создаваемого глушителем, равна
п п Т Т
Mia^f-dt + j 0,5 Ji0c30„'sin2pcos(0c^)0„'0ccos(0(.i)^=
110 о
я 2т
=тг Е 0С У(ф/)8 4- 0,5 Ж W)2sin 2₽ j* cos2 (0CZ) d (0Q,
1 О
п п
=«?0в ^(Ф/)2 + °> W(0„')8sin 2₽. (164)
1 1
п
Суммарная работа всех возбуждающих моментов Mia за
один период будет
п п
— ™R Т^Ф-^хххе{. (165)
Из равенства работ
п п
1 1
и определится искомая амплитуда Ф„'
п п
Sine,. = тгЕ0с^(Ф/)2 4-О,5^Л0с2(Фп')2 Sin2₽.
i i
Отсюда
п
------1---------. (166)
50c2«ia + O,5 0c2J?sin2₽
i
Принимая во внимание равенство (161), будем иметь
^=Г^7_М^2₽=г+^’ (167)
1
213
(168)
При наивыгоднейшей регулировке глушителя колебаний, кото-
рая имеет место, согласно выведенному раньше, при ₽ = 45°, имеем
1
\ Фп / min 1 + Р
На черт. 41 Даны кривые изменения отношения в
мости от изменения угла ₽ (при различных регулировках
теля) при различных р: р=1, 2, 3.
(169)
зависи-
глуши-
Черт. 41. Резонансные амплитуды коленчатого вала при наличии
глушителя в процентах от таковых без глушителя, в зависимости
от регулировки глушителя.
На черт. 42 даны заснятые резонансные кривые авиационного
мотора с глушителем колебаний и без него.
На черт. 43 приведены аналогичные кривые для одного авто-
мобильного мотора.
Как видно из этих кривых, применение глушителя дает значи-
тельное снижение, резонансных амплитуд. Поэтому глушитель коле-
баний является очень хорошим средством для устранения опасно-
стей резонанса, а .вместе с тем и поломок коленчатого вала в уже
существующем образце мотора, когда не имеется возможности пу-
тем придания коленчатому валу других размеров вывести резонанс
из области эксплоатационных оборотов мотора. Однако незначи-
тельность времени наблюдения работы существующих глушителей
в применении к авиационным моторам не позволяет сделать окон-
чательных выводов об их эксплоатационной целесообразности. Фор-
214
Черт. 42. Экспериментальные кривые резонансных амплитуд ко-
ленчатого вала авиационного мотора, с глушителем колебаний и
без него.
Черт. 43. Экспериментальные" кривые резонансных амплитуд ко-
ленчатого вала автомобильного мотора, с глушителем колебаний
и без него.
215
мулы (153), (169) и (168) позволяют определить при известном коэ-
фициенте £ необходимые и момент инерции массы глушителя
для требуемого снижения амплитуд или, наоборот, определить умень-
шение амплитуд для заданного глушителя.
Ф '
При заданном ~~ по уравнению (169) определяем р, соответ-
ствующее наивыгоднейшей регулировке глушителя. Зная р на осно-
вании уравнений (168) и (153), имеем
п
(5г)иоав. == 2р5
1
(170)
откуда определяем (&)наив- Наконец, согласно уравнению (153) опре-
деляем необходимый момент инерции Л глушителя колебаний
г___ (^г)наив.
Л— g- —. (1/1)
Наконец представляет интерес, какую работу поглощает при
резонансе глушитель, чтобы можно было судить об ожидаемом
нагреве и о необходимом охлаждении глушителя. Мощность, по-
глощенная глушителем за 1 период, была уже определена выше
[см. последний член уравнения (164)]; она равна
/?гГ=0,5к©с2Л2(Фп')а81п2р. (172)
Так как время одного цикла равно
j.__2~
с~~&с’
то работа, поглощаемая глушителем за 1 секунду, будет
/?г=^= О,250с3 Л (Ф„')8 sin 2р. (173)
* с
При наивыгоднейшей регулировке глушителя, для которой р—45°
(/?г)«а«в.=0,25©ЛЛ (Ф„У, (174)
причем (/?г)каив. получается в кгм.!сек, если Л взято в кгмсек*.
Если бы мы ввели в расчет вместо Ф„ — ап — линейную ампли-
туду n-й массы, отнесенную к радиусу кривошипа /?, вместо Л—
массу тг, отнесенную к радиусу кривошипа, так что
Л = (175)
и, наконец, вместо 5 коэфициент заглушающего сопротивления и,
который, согласно изложенному раньше, представляет отнесенную
к 1 см? площади F поршня силу заглушающих колебания сопро-
тивлений, приложенную к рассматриваемой массе на расстоянии /?
от оси коленчатого вала, при линейной скорости колебания этой
массы, измеренной на расстоянии R от оси коленчатого вала, равной
единице, то, принимая во внимание соотношения (162), получили
бы вместо формул (168), (169) и (172) формулы:
216
©^2
Р =-------п--- >
МЛ =- ,
\ dn ‘ min 1 4" Р ’
(/?г)к««в- — O,250cswij (fln )®.
(176)
(177)
(178)
Заключение.
*
Расчет коленчатого вала проектируемого мотора на упругие
колебания кручения сводится, таким образом, к следующим мо-
ментам:
1. Определение числа пс собственных колебаний коленчатого
вала и построение формы колебаний.
2. Построение кривой резонансных амплитуд конца коленчатого
вала и определение, на основании этой кривой, критических чисел
оборотов мотора.
Геометрические размеры и массы системы коленчатого вала в
отношении крутильных колебаний должны быть подобраны таким
образом, чтобы область рабочих чисел оборотов мотора находилась
возможно дальше от ближайших к этой области[критических чисел
оборотов мотора.
В случае, если существующий мотор обнаруживает явление кру-
тильного резонанса коленчатого вала в области рабочих чисел
оборотов мотора и не является возможным избежать этого явления
путем соответствующего конструктивного изменения размеров си-
стемы коленчатого вала, приходится либо изменять область рабо-
чего числа оборотов мотора и тем самым изменять рабочую мощ-
ность мотора, либо попытаться сдвинуть область критических чисел
оборотов мотора путем изменения порядка вспышек. Если оба эти
средства не приведут к цели, приходится ставить глушитель коле-
баний. Необходимо, однако, заметить, что в настоящее время эксплоа-
тационная надежность работы глушителей колебаний в авиационных
моторах еще недостаточно освещена.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
ЧАСТЬ I.
Кинематика и динамика авиационных моторов.
ГЛ АВА I
Кинематика нормального шатунного механизма.
§ 1. Обозначения.................................................... 5
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна ...................... —
§ 3. Относительная угловая скорость вращения шатуна вокруг шатун-
ной шейки коленчатого вала........................................... 7
§ 4. Расстояние поршня от верхнего мертвого положения................ 8
§ 5. Скорость поршня................................................. И
§ 6. Ускорение поршня............................................... 16
§ 7. Кинематика-дезаксиального кривошипного механизма............... 20
Г л А в А и
Кинематика кривошипного механизма бокового цилиндра стационарного
звездообразного мотора, у которого
§ 1. Обозначения.................................................... 22
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна бокового цилиндра. . 23
§ 3. Расстояние поршня от верхнего мертвого положения............... 25
§ 4. Скорость поршня ............................................... 27
§ 5. Ускорение поршня............................................... 28
§ 6. Определение основных размеров кривошипного механизма........ 30
I
Г Л А В А III
Кинематика кривошипного механизма бокового цилиндра стационарного
звездообразного мотора, у которого f у.
§ 1. Угловые путь, скорость и ускорение щатуна бокового цилиндра. . 35
§ 2. Расстояние от верхней мертвой точки, скорость и ускорение поршня
бокового цилиндра................................................... 36
§ 3. Определение основных размеров кривошипного механизма . . , . . 38
Г Л А В А IV
Кинематика кривошипного механизма ротативного мотора,
§ 1. Обозначения................................................ 44
§ 2. Угловые путь, скорость и ускорение шатуна...................... —
§ 3. Ускорение точек шатуна....................................... 45
§ 4. Ускорение точек поршня.......................................... —
глава V
(Гилы инерции нормального кривошипного механизма.
§ 1. Обозначения......................................... • 47
§ 2. Основные соотношения.................................... —
§ 3. Силы инерции шатуна....................................... 48
§ 4, Определение центра тяжести и момента цперции щатуна..... 5Q
821
§ 5. Силы инерции поршня....................................... 51
§ 6. Силы инерции кривошипа.................................... 52
§ 7. Суммарная сила инерции поступательно движущихся масс одного
цилиндра........................................................ —
§ 8. Суммарная сила инерции вращающихся масс, отнесенных к оси
цапфы кривошипа................................................. —
гл АВА VI
Силы инерции кривошипного механизма стационарного звездообразного
мотора.
§ 1. Обозначения................................................... 53
§ 2. Основные соотношения.................................... . —
§ 3. Силы инерции шатуна бокового цилиндра.......................... —
§ 4. Силы инерции приведенного главного шатуна .................... 56
г л а в А VII
Силы инерции кривошипного механизма ротативного звездообразного
мотора.
§ 1. Силы инерции главного шатуна.................................. 58
§ 2. Силы инерции бокового шатуна...........г...................... 59
§ 3. Силы инерции поршня в боковом цилиндре ....................... 62
§ 4. Суммарная сила инерции массы комплекта поршня и отнесенной
к оси поршневого пальца части массы шатуна в боковом цилиндре. —
§ 5. Силы инерции приведенного главного шатуна..................... 63
§ 6. Суммарная сила инерции массы комплекта поршня и отнесенной к
оси поршневого пальца части массы приведенного главного шатуна
в главном цилиндре................................................ —
Г Л А В А VIII
Силы давления газов в цилиндре.
§ 1. Обозначения................................................... 64
- §2,.-Построение индикаторной диаграммы двигателя................. —
§ 3. Давление вспышки............................’................. 69
г л А в А IX
Порядок вспышек в цилиндрах моторов разного типа......................... 71
ГЛАВАХ
Силы, действующие в нормальном кривошипном механизме стационарного
мотора. ч
§ 1. Обозначения.................................................. 75.
§ 2. Силы от давления газов в цилиндре............................. 76
§ 3. Силы от инерции поступательно движущихся масс одного цилиндра. 77
§ 4. Силы от пары сил инерции шатуна с моментом nL................. 82
§ 5. Суммарные силы, действующие в кривошипном механизме от агре-
гата одного цилиндра............................................... 86
§ 6. Суммарные силы и моменты от работы всех цилиндров двигателя. 91
г л А В а XI
Силы, действующие в кривошипном механизме стационарного звездооб-
разного мотора.
§ 1. Обозначения................................................. 97
§ 2. Силы от давления газов Рг в боковом цилиндре ............... 100
§ 3. Силы от инерции поступательно движущихся масс бокового ци-
линдра............................................................. НО
6 4. Силы от пары сил инерции шатуна с моментом Hi .......... Ill
§ 5. Силы от инерции масс шатунов боковых цилиндров, отнесенных к
осям пальцев боковых шатунов, закрепленных на главном шатуне. 115
§ 6. Суммарные силы и моменты, действующие в кривошипном механизме
от агрегата одного цилиндра......................................... —
§ 7. Суммарные силы и моменты от работы всех цилиндров двигатель„ 120
222
I Л AB A XII
уравновешивание сил инерции движущихся масс кривошипного механизма
авиационных моторов разного типа.
§ 1. Неравномерность хода мотора................................. 126
§ 2. Неравномерность момента внешнего сопротивления Мен........ 131
§ 3. Общие соображения по вопросу об уравновешенности авиационных
моторов.......................................................... 132
§ 4. Уравновешивание сил инерции вращающихся масс................ 138
§ 5. Уравновешивание сил инерции одноцилиндрового мотора........ 139
§ 6. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового V-образного
мотора с осями цилиндров, лежащими в одной плоскости под углом
друг к другу.....................................• • •.......... 140
§ 7. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового V-образного мо-
тора с осями цилиндров, лежащими в одной плоскости под углом
90° друг к другу................................................. 142
§ 8. Уравновешивание сил инерции двухцилиндрового мотора с проти-
воположно расположенными цилиндрами и с кривошипами, распо-
ложенными под углом 180° друг к другу............................ 144
§ 9. Уравновешивание сил инерции четырехцилиндрового мотора с ци-
линдрами, расположенными в ряд................................... 145
§ 10. Уравновешивание сил инерции шестицилиндрового мотора с ци-
линдрами, расположенными в ряд, и с кривошипами под углом
120°............................................................. 146
§ 11. Уравновешивание сил инерции восьмицилиндрового мотора с ци-
линдрами, расположенными V-образно под углом 90° ................. 147
§ 12. Уравновешивание сил инерции двенадцатицилиндрового мотора с
цилиндрами, расположенным V-образно иод углом 60°................. 149
§ 13. Уравновешивание сил инерции двенадцатициливдрового мотора с
цилиндрами, расположенными W-образно.............................. 150
§ 14. Уравновешивание сил инерции восемнадцатицилиндрового мотора с
цилиндрами, расположенными W-образно.............................. 153
/ § 15. Уравновешивание сил инерции шестнадцатицилиндрового мотора с
цилиндрами, расположенными Х-образно......................... 154
\ § 16. Уравновешивание сил инерции звездообразных стационарных мото-
' ров, у которых кг = т....................................... 158
§ 17. Уравновешивание сил инерции сдвоенного звездообразного стацио-
нарного мотора с кривошипами, расположенными под углом 180°
Я и с Т«=Т............................................................. 162
J § 18. Уравновешивание сил инерции в звездообразных моторах типа
«Румплер».............................................................. 164
ЛЛ А В А XIII
расчет коленчатого вала на упругие колебания кручения. ।
§ 1. Приведение действительного вала к теоретической схеме....X 165
К § 2. Определение числа собственных колебаний системы из нескольких )
масс........................................................I 167
§ 3. Определение числа собственных колебаний системы вала с редук-1
тором к пропеллеру..............................................i 176
§ 4. Тангенциальные силы от давления газов и от сил инерции, возбуж- г
дающие крутильные колебания коленчатого вала..................... 179
§ 5. Возникновение критических чисел оборотов в одноколейном звез-
дообразном моторе................................................ 189
§ 6. Возникновение критических чисел оборотов в рядных моторах . . . 198
§ 7. Глушители колебаний...................................... i 208
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ
для просчета кинематики и динамики
нормального кривошипного механизма
Таблица
Угловые скорости коленчатого вала и их квадраты
п CD СО® п CD
1 000 10?,72 10 966 2 300 240,86 58 012
1050 109,96 12 090 2 350 246,09 60561
1 100 115,19 13269 2 400 251,33 63166
1 150 120,43 14 503 2 450 256,56 65 827
1’200 125,66 15 793 2 500 261,80 68 540
1250 130,90 17 135 2550- 267,04 71308
1 300 136,14 18 535 2 600 272,27 74131
1350 141,37 19 986 2 650 277,51 77 010
1400 146,61 21494 2 700 282,74 79 944
, 1 450 151,84 23059 2 750 287,98 82 932
1500 157,08 24674 2800 293,22 85 975
1550 162,32 26 346 2 850 298,45 89 073
1600 167,55 28 074 2 900 303,69 92226
1650 172,79 29 855 2 950 308,92 95433
1 700 178,02 ’ 31693 3 000 314,16 98 696
1750 183,26 33585 3 050 319,40 102013
1800 188,50 35530 3100 324,63 105385
1 850 193,73 37 532 3150 329,87 108 812
1 900 198,97 39 587 3 200 335,10 112 293
1 950 204,20 41698 3 250 340,34 115830
2 000 209,44 43 865 3 300 345,57 119 421
2 050 214,68 46 085 3 350 350,81 123 068
2100 . 219,91 48 361 3 400 356,05 126 769
2150 225,15 50 692 3 450 361,28 130 525
2 200 230,38 ”53 076 3 500 366,52 134335
2250 235,62 55516
Таблица II
а° sin а cos а sin 2а cos 2а sin За cos За sin 4а cos 4а
0 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000
5 0,0872 0,9962 0,1736 0,9848 0,2588 0,9659 0,3420 0,9397
10 0,1736 0,9848 0,3420 0,9397 0,5000 0,8660 0,6428 0,7660
15 0,2588 0,9659 0,5000 0,8660 0,7071 0,7071 0,8660 0,5000
20 0,3420 0,9^97 0,6428 0)7600 0,8660 0,5000 0,9848 0,1736
25 0,4226 0,9063 0,7660 0,6428 0,9659 0,2588 0,9848 — 0,1736
30 0,5000 0,8660 0,8660 0,5000 1,0000 0,0000 0,8660 — 0,5000
35 0,5736 0,8192 0,937 0,3420 0,9659 — 0,2588 0,6428 — 0,7660
40 0,6428 0,7660 0,9848 0,1736 0,8660 — 0,5000 0,3420 — 0,9397
45 0,7071 0,7071 1,0000 0,0000 0,7071- — 0,7071 0,0000 — 1,0000
50 0,7660 0,6428 0,9848 — 0,1736 0,5000 — 0,8660 — 0,3420 — 0,9397
55 0,8192 0,5736 0,9397 — 0,3420 0,2588 — 0,9659 — 0,6428 — 0,7660
60 0,8660 0,5000 0,8660 — 0,5000 0,0000 —1,0000 — 0,8660 — 0,5000
65 0,9063 0,4226 0,7660 — 0,6428 — 0,2588 — 0,9659 — 0,9848 — 0,1736
70 0,9397 0,3420 0,6428 — 0,7660 — 0,5000 — 0,8660 — 0,9848 0,1736
75 0,9659 0,2588 0,5000 — 0,8660 — 0,7071 — 0,7071 — 0,8660 0,5000
80 0,9848 0,1736 0,3420 — 0,9397 — 0,8660 — 0,5000 — 0,6428 0,7660
85 0,9962 0,0872 0,1736 — 0,9848 — 0,9659 — 0,2588 — 0,3420 0,9397
90 1,0000 0,0000 0,0000 —1,0000 —1,0000 0,0000 0,0000 1,0000
95 0,9962 — 0,0872 — 0,1736 — 0,9848 — 0,9659 0,2588 0,3420 0,9397
100 0,9848 — 0,1736 — 0,3420 — 0,9397 — 0,8660 • 0,5000 0,6428 0,7660
105 0,9659 — 0,2588 — 0,5000. — 0,8660 — 0,7071 0,7071 0,8660 0,5000
ПО 0,9397 — 0,3420 — 0,6428 — 0,7660 — 0,5000 0,8660 0,9848 0,1736
115 0,9063 — 0,4226 — 0,7660 — 0,6428 — 0,2588 0,9659 0,9848 — 0,1736
120 0,8660 — 0,5000 — 0,8660 — 0,5000 0,0000 1,0000 0,8660 — 0,5000
125 0,8192 — 0,5736 — 0,9397 — 0,3420 0,2588 0,9659 0,6428 — 0,7660
130 0,7660 — 0,6428 — 0,9848 — 0,1736 0,5000 0,8660 0,3420 — 0,9397
135 0,7071 — 0,7071 —1,0000 0,0000 0,7071 0,7071 0,0000 —1,0000
140 0,6428 — 0,7660 — 0,9848 0,1736 0,8660 0,5000 — 0,3420 — 0,9397
145 0,5736 — 0,8192 — 0,9397 0,3420 0,9659 0,2588 — 0,6428 — 0,7660
150 0,5000 — 0,8660 — 0,8660 0,5000 1,0000 0,0000 — 0,8660 — 0,5000
155 0,4226 — 0,9063 — 0,7660 0,6428 0,9659 — 0,2588 — 0,9848 — 0,1736
160 0,3420 — 0,9397 — 0,6428 0,7660 0,8660 — 0,5000 — 0,9848 0,1736
165 0,2588 —*Ь,9659 — 0,5000 0,8660 0,7071 — 0,7071 — 0,8660 0,5000
170 0,1736 — 0,9848 — 0,3420 0,9397 0,5000 — 0,8660 — 0,6428 0,7660
175 0,0872 — 0,9962 — 0,1736 0,9848 0,2588 — 0,9659 — 0,3420 0,9397
180 0,0000 —1,0000 Д0000 ’ 1,0000 0,0000 — 1,0000 0,0000 1,0000
Пределжеиие таблицы II
ОС* sin а cos а sin 2а cos 2а sin За cos За sin Ча cos 4а
180 -0,0000 —1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 / — 1,0000 0,0000 1,0000
185 — 0,0872 — 0,9962 0,1736 0,9848 — 0,2588 — 0,9659 0,3420 0,9397
190 — 0,1736 — 0,9848 0,3420 0,9397 — 0.5000 — 0,8660 0,6428 0,7660
195. — 0,2588 — 0,9659 0,5000 0,8660 — 0,7071 — 0,7071 0,8660 0,5000
200 — 0,3420 — 0,9397 0,6428 0,7660 —0,8660 — 0,5000 0,9848 0,1736
205 — 0,4226 — 0,9063 0,7660 0,6428 — 0,9659 — 0,2588 0,9848 — 0,1736
210 — 0,5000 — 0,8660 0,8660 0,5000 —1,0000 0,0000 0,8660 — 0,5000
215 — 0,5736 — 0,8192 0,9397 0,3420 — 0,9659 0,2588 0,6428 — 0,7660
220 — 0,6428 — 0,7660 0,9848 0,1736 — 0,8660 0,5000 0,3420 — 0,9397
225 — 0,7071 — 0,7071 1,0000 0,0000 — 0,7071 0,7071 0,0000 —1,0000
230 — 0,7660 — 0,6428 0,9848 — 0,1736 — 0,5000 0,8660 — 0,3420 — 0,9397
235 — 0,8192 — 0,5736 0,9397 — 0,3420 — 0,2588 0,9659 — 0,6428 — 0,7660
240 — 0,8660 — 0,5000 0,8660 — 0,5000 0,0000 1,0000 — 0,8660 — 0,5000
245 — 0,9063 — 0,4226 0,7660 — 0,6428 0,2588 0,9659 — 0,9848 — 0,1736
250 — 0,9397 - 0,3420 0,6428 — 0,7660 0,5000 0,8660 — 0,9848 0,1736
255 — 0,9659 i— 0,2588 , 0,5000 — 0,8660 0,7071 0,7071 — 0,8660 0,5000
260 — 0,9848 — 0,1736 ' 0,3420 — 0,9397 0,8660 0,5000 — 0,6428 0,7660-
265 — 0,9962 — 0,08^ 0,1736 — 0,9848 0,9659 0,2588 — 0,3420 0,9397
270 —1,0000 0,0000 0,0000 —1,0000 j 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000
275 — 0,9962 0,0872 — 0,1736 — 0,9848 0,9659 — 0,2588 0,3420 0,9397
280' — 0,9848 0,1736 — 0,3420 — 0,9397 0,8660 — 0,5000 0,6428 0,7660
285 — 0,9659 0,2588 — 0,5000 — О',8660 0,7071 — 0,7071 0,8660 0,5000
290 — 0,9397 0,3420 — 0,6428 — 0,7660 0,5000 — 0,8660 0,9848 0,1736
295 — 0,9063 0,4226 — 0,7660 — 0,6428 0,2588 — 0,9659 0,9848 — 0,1736
300 — 0,8660 0,5000 — 0,8660 — 0,5000 0,0000 —1,0000 0,8660 — 0,5000
305 — 0,8192 0,5736 — 0,9397 — 0,3420. — 0,2588 — 0,9659 0,6428 — 0,7660
310 — 0,7660 0,6428 — 0,9848 — 0,1736 — 0,5000 — 0,8660 0,3420 — 0,9397
315 — 0,7071 0,7071 —1,0000 0,0000 — 0,7071 — 0,7071 0,0000 —1,0000
320 — 0,6428 0,7660 — 0,9848 0,1736 — 0,8660 — 0,5000 — 0,3420 -4),9397
325 — 0,5736 0,8192 — 0,9397 0,3420 — 0,9659 — 0,2588 — 0,6428 — 0,7660
330 — 0,5000 . 0,8660 — 0,8660 0,5000 —1,0000 0,0000 — 0,0866 — 0,5000
335 — 0,4226 ''0,9063 — 0,7660 0,6428 — 0,9659 0,2588 — 0,9848 — 0,1736
340 — 0,3420 0,9397 — 0,6428 0,7660 — 0,8660 9,5000 — 0,9848 0,1736
345 — 0,2588 0,9659 — 0,5000 0,8660 — 0,7071 0,7071 — 0,8660 0,5000
350. — 0,1736 0,9848 — 0,3420 0,9397 — 0,5000 0,8660 — 0,6428 0,7660
355 — 0,0872 0,9962 — 0,1736 0,9848 — 0,2588 .0,9659 — 0,3420 0,9397
360 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000
J
Углы
а<> \х знак 1А1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6 3
0 + 0°00' 0°00' 0°00' 0°00' 0°00' 0°00’ t
5 + 1 37 1 34 1 31 1 28 1 26 I 23 '
10 + 3 13 3 07 3 01 2 56 2’51 2 46 |
15 + 4 47 4 38 4 30 4 22 4 14 4 07 |
20 + 6 20 6 08 5 57 5 46 5 36 5 27 1
25 + 7 50 7 35 7 22 7 08 6 56 6 45
30 + 9 17 J 59 ' > 8 43 8 27 8 13 7 59 ||
35 + 10 40 10 20 10 01 9 43 ' 9 26 9 10 ' '
40 + 11 58 11 35 И 14 10 54 10 35 10 17
45 + 13 11 12 46 12 22 12 00 11 39 11 20 1
50 + 14 18. 13 51 13 25 13 01 12 39 12 17
55 + 15 19 14 59 14 22 13 56 13 32 13 09 1
60 + 16 13 15 42 15 13 14 45 14 20 13 55
65 + 17 00 16 27 15 56 15 28 15 00 14 35
70 + 17 39 17 05 16 33 |6 03 15 34 15 08 ’ 15 34
75 + 18 09 17 34 17 01 16 30 16 01
80 + 18 31 17 55 17 22 16 50 16 21 15 53 3
85 + 18 45 18 08 17 34 17 02 16 32 % 16 04 |
90 + 18 49 18 13 ‘ 17 38 17 06 16 36 16 08
95 + 18 45 18 08 . 17 34 17 02 16 32 16 04
100 + 18 31 17 55 17 22 16 50 16 21 ’ 15 53
105 + 18 09 17 34 17 01 16 30 16 01 15 34 1
110 + 17 39 17 05 16 33 16 03 15 34 15 08
115 + 17 00 16 27 15 56 15 28 15 00 14 35 1
120 + 16 13 15 42 15 13 14 45 14 20 13-55 |
125 + 15 19 14 50 14 22 13 56 |13 32 13 09 1
139 + 14 18 4 13 51 13 25 13 01 12 39 12 17
135 + 13 11 12-46 12 22 12 00 11 39 11 20
140 4- " 11 58 11 35 11 14 10 54 10 35 10 17 '
145 + 10 40 10 20 10 01 9 43 9 26 . 9 10
150 + 9 17 . 8 59 8 43 8 27 8 13 7 59
155 + 7 50 7 35 7 22 7 08 6 56 - 6 45
160 + 6 20 6 08 5 57 5 46 5 36 5 27
165 + 4 47 4 38 4 30 4 22 '4 14 4 07
170 + 3 13 3 07 3 01 2 56 2 51 - 2 46.
175 + 1 37 1 34 1 31 1 28 1 26 1 23
180 + 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00
4
6
Таблица III
I
1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак a°
0е 00' 0°00' 0е 00' 0°00' 0°00' 0=00' 0°00' — 360
1 21 1 19 1 17 1 15 1 13 1 11 1 10 — 355
2 41 2 37 2 33' 2 29 2 26 2 22 2 19 —— , 350
4 01 3 54 3 48 3 43 3 37 3 32 3 27 — 345
5 18 .5 10«. 5 02 4 54 4 47 4 40 4 34 — 340
6 34 6 23 6 13 6 04 5 55 5 46 5 38 — 335
7 46 7 34 7 22 7 11 7 00 6 50 6 41 — 330
L 8 55 8 41 8 27 8 15 8 03 7 51 7 40 — 325
10 00 9 44— 9*29 9 15 9 01 8 48 8 36 — 320
11 01 10 44 10 27 10 11 9 56 9 42 9 28 — 315
11 57 11 38 - 11 20 11 02 10 46 . 10 31 10 16 — 310
12 47 12 27 12 07 11 49 11 31 11 15 10 59 — 305
13 32 13 10 12 50 12 30 12 12 11 54 11 37 — 300
14 11 13 48 * 13 26 13 06 12 46 12 28 12 10 — 295
14 43 14 19 13 57 13 35 13 15 12 56 12 37, — 290
15 08 14 44 14 20 13 58 13 38 13 18 12 59 — 285
15 26 15 01 14 38 14 15 13 54 13 34 13 14 — 280
15 37 15 12 14 48 14 25 14 04 13 43 13 24 — 275
15-41 15 15 14 51 14 29 14 07 13 47 13 27 — 270
15 37 15 12 14 48 14 25 14 04 13 43 13 24 — 265
15 26 15 01 — 14 38 14 15 13 54 13 34 13 14 — 260
15 08 14 44 14 20 13 58 13 38 13 18 12 59 — 255
14 43 14 19 13 57 13 35 13 15 12 56 12 37 — 250
14 11 13 48 13 26 13 06 12 46 12 28 12 10 — 245
13 32 13 10-* 12 50 12 30 12 12 11 54 11 37 — 240
12 47 12 27 12 07 - 11 49 11 31 11 15 10 59 — 235
11 57 11 38 11 20 11 02 10 46 10 31 10 16 — 230
11 01 10 44 10 27 10 11 9 56 9 42 9 28 — 225
10 00 9 44— 9 29 9 15 9 01 8 48 8 36 — 220
8 55 8 41 8 27 8 15 8 03 7 51 7 40 — 215
7 46 7,34 7 22 7 11 7 00 6 50 6 41 — 210
6 34 6 23 6 13 6 04 5 55 5 46 5 38 — 205
5 18 5 10 - 5 02 4 54 4 47 4 40 4 34 — , 200
4 01 3 54 3 48 3 43 3 37 3 32 3 27 — 195
2 41 2 37 2 33 2 29 2 26 2 22 2 19 — 190
1 21 1 19 1 17 1 15 1 13 1 11 1 10 185
0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 — 180
““““
7
to
Таблица IV
Сумма углов а + ? / —
\ к а \ 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6 1/3,7 / 1/3,8 1/3,9 1/4 1 1/4,1 1/4,2 1/4,3
0 5 10 15 .20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 ПО 115 120 125 130 135 140 145 150 155 0°00' 6 37 13 13 19 47 26 20 32 50 39 17 45 40 51 58 58 11 64 18 70 19 76 13 82 00 87 39 93 09 98 31 103 45 108 49 113 45 118 31 123 09 127 39 132 00 136 13 140 19 144 18 148 И 151 58 155 40 159 17 162 50 0°00' 6 34 13 07 19 38 26 08 32 35 38 59 45 20 51 35 57 46 63 51 69 50 75 42 81 27 87 05 97 34 97 55 103 08 108 13 ИЗ 08 117 55 122 34 127 05 131 27 135 42 139 50 143 51 147 46 151 35 155 20 158 59 162 35 0°00' 6 31 13 01 19 30 25 57 32 22 38 43 45 01 51 14 57 22 63 25 69 22 4 75 13 80 56 86 33 92 01 97 22 102 34 107 38 112 34 117 22 122 01 126 33 130 56 135 13 139 22 143 25 147 22 151 14 155 01 158 43 162 22 0ъ00' 6 28 12 56 19 22 25 46 32 08 38 27 44 43 50 54 57 00 63 01 68 56 74 45 80 28 86 03 91 30 96 50 102 02 107 06 112 02 116 50 121 30 126 03 130 28 134 45 138 56 143 01 147 00 150 54 154 43 158 27 162 08v. 0°00' 6 26 12 51 19 14 25 36 31 56 38 13 44 26 50 35 56 39 62 39 68 32 74 20 80 00 85 34 91 01 96 21 101 32 106 36 111 32 116 21 121 01 125 34 130 00 134 20 138 32 142 39 146 39 150 35 154 26 158 13 -Ш 56 0°00' 6 23 12 46 19 07 25 27 31 45 37 59 44 10 50 17 56 20 62 17 68 09 73 55 79 35 85 08 90 34 95 53 101 04 106 08 111 04 115 53 120 34 125 08 129 35 133 55 138 09 142 17 146 20 150 17 154 10 157 59 161 45 0°00' 6 21 12 41 19 01 25 18 31 34 37 46 43 55 50 00 56 01 61 57 67 47 73 32 79 11 84 43 90 08 95 26 1100 37 105 41 ПО 37 115 26 120 08 124 43 129 11 133 32 137 47 141 57 146 01 150 00 153 55 157 46 161 34 0°00'- 6 19 12 37 18 54 25 10- 31 23 37 34 43 41 49 44- 55 44 61 38 67 27 73 10- 78 48 - 84 19 89 44 95 01* 100 12 105 15 ПО 12 115 01 - 119 44 124 19 128 48 133 10 н 137 27 - 141 38 145 44 149 44 153 41 157 34 0°00' 6 17 12 33 18 48 25 02 < 31 13 37 22 43 27 49 29 55 27-ч 61 20 67 07 - 72 50 78 26 83 57 89 20 _ 94 38 99 48 104 51 109 48 • 114 38 119 20 123 57 128 26 —132 50 137 07 141 20 145 27 149 29 153 27 157 22 № 0°00' 6 15 12 29 18 43 24 54 31 04 37 11 43 15 49 15 55 11 61 02 66 49 72 30 78 06 83 35 88 58 94 15 99 25 104 29 109 25 114 15 118 58 123 35 128 06 132 30 136 49 141 02 145 11 149 15 153 15 157 11 161 04 , 0°00' 6 13 12 26 18 37 24 47 30 55 37 00 43 03 49 01 54 56 60 46 66 31 72 12 77 46 83 15 88 38 93 54 99 04 104 07 109 04 113 54 L18 38 123 15 127 46 132 12 136 31 140 46 144 56 149 01 153 03 157 00 160 55 0°00’ 611 12 22 18 32 24 40 30 46 36 50 42 51 48 48 54 42 60 31 ' 66 15 71 54 77 28 82 56 88 18 93 34 98 43 1-03 47 108 43 ИЗ 34 118 18 122 56 127 28 131 54 136 15 140 31 144 42 148 48 152 51 156 50 160 46 0°00' 6 10 12 19 18 27 24 34 30 38 36 41 42 40 48 36 54 28 60 16 65 59 71 37 77 10 82 37 87 59 93 14 98 24 103 27 108 24 ИЗ 14 117 59 122 37 127 10 131 37 135 59 140 16 144 28 148 36 152 40 156 41 160 38
160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 166 20 169 47 173 13 176 37 180 00 183 23 186 47 190 13 193 40 197 10 200 43 204 20 208 02 211 39 215 42 219 41 223 47 228 00 232 21 236 51 241 29 246 15 251 11 256 15 261 29 266 51 272 21 277 00 283 47 289 41 295 42 301 49 308 02 314 20 320 43 327 10 333 40 340 13 346 47 353 23 360 00 166 08 169 38 173 07 176 34 180 00 183 26 186 53 190 22 193 52 197 25 201 01 204 40 208 25 212 14 216 09 220 10 224 18 228 33 232 55 237 26 242 05 246 52 251 47 256 52 262 05 267 26 272 55 278 33 284 18 290 10 296 09 302 14 308 25 314 40 321 01 327 25 333 52 340 22 346 53 351 26 360 00 165 57 169 30 173 01 176 31 V180 00 183 29 186 59 190 30 v/194 03 197 38 201 17 204 59 *208 46 212 38 216 35 220 38 *224 47 229 04 233 27 237 59 *242 38 247 26 252 22 257 26 *262 38 267 59 273 27 279 04 *284 47 290 38 296 35 302 38 v308 46 314 59 321 17 327 38 *334 03 340 30 346 59 353 29 *360 00 165 46 169 22 172 56 176 28 18G 00 183 32 187 04 190 38 194 14 197 52 201 33 205 17 209 06 213 00 216 59 221 04 225 15 229 32 233 57 238 30 243 10 247 58 252 54 257 58 263 10 268 30 273 57 279 32 ‘ 285 15 291 04 296 59 303 00 309 06 315 17 321 33 327 52 334 14 34 ГЗГ 347 04 353 32 360 00 165 36 169 14 172 51 176 26 180 00 183 34 187 09 190 46 194 24 198 04 201 47 205 34 209 25 213 21 217 21 221 28 225 40 230 00 234 26 238 59 243 39 248 28 253 24 258 28 -263 39 268 59 274 26 280 00 285 40 291 28- 297 21 303 21 309 25 315 34 321 47 328 04 334 24 340 46 347 09 353 34 360 00 165 27 169 07 172 46 176 23 180 00 183 37 187 14 190 53 194 31 198 15 202 01 205 50 209 43 213 40 217 43 221 51 226 05 230 25 234 52 239 26 244 07 248 56 253 52 258 56 264 07 . 269 26 274 52 280 25 286 05 291 51 297 43 303 40 309 43 315 50 322 01 328 15 334 33 340 53 347 14 353 37 360 00 165 18 169 01 172 41 176 21 180 00 183 39 187 19 190 59 194 42 198 26 202 14 205 05 210 00 213 59 218 03 222 13 226 28 230 49 235 17 239 52 244 34 249 23 254 19 259 23 264 34 269 52 275 17 280 49 286 28 292 13 298 03 303 59 310 00 316 05 322 14 328 26 334 42 340 59 347 19 353 39 360 00 165 10 168 54 172 37 176 19 180 00 183 41 187 23 191 06 194 50 198 37 202 26- 206 19 210 16- 214 16 218 22 222 33 226 50- 231 12 235 41 240 16 244 59 249 48 254 45- 259 48 264 59 270 16 275 41 281 12 286 50 292 33 298 22 304 16 310 16 316 19 322 26 328 37 334 50 341 06 347 23 353 41 360 00 165 02\ 168 48 172 33 176 17 -180 00 183 43 187 27 191 12 194 58 198 47 202 38 206 33 . 210'31 214 33 218 40 222 53 —227 10 231 34 236 03 240 40 -245 22 250 12 256 09 260 12 265 22 270 40 276 03 281 34 . 287 10 292 53 298 40 304 33 310 31 316 33 322 38 328 47 334 58 341 12 347 27 353 43 360 00 Z 164 54 168 43 172 29 176 15 180 00 183 45 187 31 191 17 195 06 198 56 202 49 206 45 210 45 214 49 218 58 223 11 227 30 231 54 236 25 241 02 245 45 250 35 255 31 260 35 265 45 271 02 276 25 281 54 287 30 293 11 298 58 304 49 310 45 316 45 322 49 328 56 335 06 341 17 347 31 353 45 360 00 164 47 168 37 172 26 176 13 180 00 183 47 187 34 191 23 195 13 199 05 203 00 206 57 210 59 215 06 219 14 223 29 227 48 232 14 236 45 241 22 246 06 250 56 255 53 260 56 266 06 271 22 276 45 282 14 287 48 293 29 299 14 305 04 310 59 316 57 323 00 329 05 335 13 341 23 347 34 353 47 360 00 164 40 168 32 172 22 176 11 180 00 183 49 187 38 191 28 195 20 199 14 203 10 207 09 211 12 215 18 219 29 223 45 228 06 232 32 237 04 241 42 246 26 251 17 256 13 261 17 266 26 271 42 277 04 282 32 288 06 293 45 299 29 305 18 311 12 317 09 323 10 329 14 335 20 341 28 347 38 353 49 360 00 164 34 168 27 172 19 176 10 180 00 183 50 187 41 191 33 195 26 199 22 203 19 207 20 211 24 215 32 219 44 224 01 228 23 232 50 237 23 242 01 246 46 251 36 256 33 261 36 266 46 272 01 277 23 282 50 288 23 294 01 299 44 305 32 311 24 317 20 323 19 329 22 335 26 311 33 347 41 353 50 360 00
а° \ 1/Х знакх^ 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6
0 + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5 + 0,0281 0,0272 0,0264 0,0256 0,0249 0,0242
10 0,0560 0,0543 0,0526 0,0511 0,0496 0,0482
15 + 0,0835 0,0809 0,0784 0,0761 0,0740 0,0719
20 + 0,1103 0,1069 0,1036 0,1006 0,0977 0,0950
25 + 0,1363 0,1321 0,1281 0,1243 0,1208 0,1174
30 + 0,1613 0,1563 0,1515 0,1471 0,1429 0,1389
35 + 0,1850 0,1792 0,?738 0,1687 0,1639 0,1593
40 + 0,2074 0,2009 0,1948 0,1891 0,1837 0,1786
45 + 0,2281 0,2210 0,2143 0,2080 0,2020 0,1964
50 + 0,2471 0,2394 0,2321 0,2253 0,2189 0,2128
55 + 0,2642 0,2560 0,2482 0,2409 0,2340 0,2275 ;
60 + 0,2794 0,2706 0,2624 0,2547 0,2474 0,2406 |
65 + 0,2924 0,2832 0,2746 0,2666 0,2589 0,2518
70 + 0,3031 0,2937 0,2848 О',2764 0,2685 0,2610 1
75 + 0,3116 0,3019 0.2927 0,2841 0,2760 0,2683
80 + 0,3177 0,3078 0,2984 0,2897 0,2814 0,2736
85 + 0,3214 0,3113 0,3019 0,2930 0,2846 0,2767
90 4* 0,3226 0,3125 0,3030 0,2941 0,2857 0,2778
95 4- 0,3214 0,3113 0,3019 0,2930 0,2846 0,2767
I00 4- 0,3177 0,3078 0,2984 0,2897 0,2814 0,2736
105 + 0,3116 0,3019 с 0,2927 0,2841 0,2760 0,2683
ПО 4 0,3031 0,2937 0,2848 0,2764 0,2685 0,2610
115 4~ 0,2924 0,2832 0,2746 0,2666 0,2589 0,2518
120 4- 0,2794 0,2706 0,2624 0,2547 0,2474 0,2406
125 4- 0,2642 0,2560 0,2482 0,2409 0,2340 0,2275
130 4 0,2471 0,2394 0,2321 0,2253 0,2189 0,2128
135 4- 0,2281 0,2210 0,2143 0,2080 0,2020 0,1964
140 + 0,2074 0,2009 0,1948 0,1891 0,1837 0,1786
145 4- 0,1850 0,1792 0,1738 0,1687 0,1639 0,1593
150 4- 0,1613 0,1563 0,1515 6,1471 0,1429 0,1389
155 + 0,1363 0,1321 0,1281 0,1243 0,1208 0,1174
160 + 0,1103 0,1069 0,1036 0,1006 0.0977 0,0950
165 4- 0,0835 0,0809 0,0784 0,0761 0,0740 0,0719
170 4- 0,0560 0,0543 0,0526 0,0511 0,0496 0,0482
175 4- 0,0281 0,0272 0,0264 0,0256 0,0249 0,0242
180 4- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
№
Чаблица V
1/3,7 .... . 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 зцак а°
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — збо
0,0236 0,0229 0,0224 0,0218 0,0213 0,0208 0,0203 — 355
) 0,0469 0,0457 0,0445 0,0434 0,0424 0,0413 0,0404 — 350
0,0700 0,0681 0,0664 0,0647 0,0631 0,0616 0,0602 — 345
0,0924 0,0900 0,0877 0,0855 0,0834 0,0814 0,0795 — 340
0,1142 0,1112 0,1084 0,1057 0,1031 0,1006 0,0983 — 335
0,1351 0,1316 0,1282 0,1250 0,1220 0,1191 0,1163 — 330
0,1550 0,1509 0,1471 0,1434 0,1399 0,1366 0,1334 — 325
0,1737 0,1692 0,1648 0,1607 0,1568 0,1530 0,1495 — 320
0,1911 0,1861 0,1813 0,1768 0,1725 0,1684 0,1644 — 315
0,2070 0,2016 0,1964 0,1915 0,1868 0,1824 0,1781 — 310
0,2214 0,2156 0,2100 0,2048 0,1998 0,1950 0,1905 — 305
0,2341 0,2279 0,2221 0,2165 0,2112 0,2062 0,2014 — 300
0,2450 0,2385 0,2324 0,2266 0,2211 0,2158 0,2108 — 295
0,2540 0,2473 0,2410 0,2349 0,2292 0,2237 0,2185 — 290
0,2611 0,2542 0,2477 0,2415 0,2356 0,2300 0,2246 — 285
0,2662 0,2592 0,2525 0,2462 0,2402 0,2345 0,229(5 — 280
0,2692 0,2622 0,2554 0,2491 0,2430 0,2372 0,2317 — 275
0,2703 0,2632 0,2564 0,2500 0,2439' 0,2381 0,2326 — 270
0,2692 0,2622 0,2554 0,2491 0,2430 0,2372 0,2317 — 265
0,2662 0,2592 0,2525 0,2462 0,2402 0,2345 0,2290 — 260
0,2611 0,2542 0,2477 0,2415 0,2356 0,2300 0,2246 — 255
0,2540 0,2473 0,2410 0,2349 0,2292 0,2237 0,2185 — 250
0,2450 0,2385 0,2324 0,2266 0,2211 0,2158 0,2108 — 245
0,2341 0,2279 0,2221 0,2165 0,2112 0,2062 0,2014 — 240
0,2214 0,2156 0,2100 0,2048 0,1998 0,1950 0,1905 235
0,2070 0,2016 0,1964 0,1915 0,1868 0,1824 0,1781 — 230
0,1911 0,1861 0,1813 0,1768 0,1725 0,1684 0,1644 — 225
0,1737 0,1692 0,1648 0,1607 0,1568 0,1530 0,1495 — 220
0,1550 0,1509 0,1471 0,1434 0,1399 0,1366 0,1334 — 215
0,1351 0,1316 0,1282 0,1250 0,1220 0,1191 0,1163 — 210
0,1142 0,1112 0,1084 0,1057 0,1031 0,1006 0,0983 — 205
0,0924 0,0900 0,0877 0,0855 0,0834 0,0814 0,0795 — 200
0,0700 0,0681 0,0664 - 0,0647 0,0631 0,0616 0,0602 — 195
0,0469 0,0457 0,0445 0,0434 0,0424 0,0413 0,0404 — 190
\ 0,0236 0,0229 0,0224 0,0218 0,0213 0,0208 0,0203 — 185
0,0000 0,0000 0,0000 OjOOOO 0,0000 0,0000 0,0000 — 180
И
О cos
a’ xk знак 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6
0 + 1,0000 1,0000, 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
5 + 0,9996* 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997
10 + 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9988
15 + 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9974
20 + 0,9939 ' 0,9943 0,9946A 0,9949 0,9952 0,9955
25 + 0,9997 0,9913 0,9918 0,9923 0,9927 0,9931
30 0,9869 0,9877 6,9885 0,9891 0,9897 0,9903
35 + 0,9827 0,9838 0,9848 0,9857 0,9865 0,9872
40 + 0,9783 0,9796 0,9809 0,9820 0,9830 0,9839
45 ' 4- 0,9737 0,9753 0,9768 0,9782 0,9794 0,9805
50 + 0,9690 0,9709 0,9727 0,9743 0,9758 0,9771
55 A 0,9645 0,9667 0,9687 0,9706 0,9722 0,9738
60 + 0,9602 0,9627 0,9649 0,9670 0,9689 0,9706 '
65 + 0,9563 0,9591 0,9616 0,9638 0,9659 0,9678
70 u 0,9529 0,9559 0,9586 0,9611 0,9633 0,9653’
75 + 0,9502 0,9534 - 0,9562 0,9588 0,9612 0,9633
80 + 0,9482 0,9515 0,9544 0,9571 0,9595 0,9619
85 + 0,9469 0,9503 0,9534 . 0,9561 0,9587 0,9609
90 + ‘ 0,9466 0,9499 0,9530 0,9558 0,9583 0,960(5
95 + ' 0,9469 0,9503 0,9534 0,9561 0,9587 0,9509
100 + 0,9182 0,9515 0,9544 0,9571 0,9596 0,9619
105 + 0,9502 0,9534 0,9562 0,9588 0,9612 ( 0,9633
110 + 0,9529 0,9559 0,9586 0,9611 0,9633 0,9653
115 +, 0,9563 0,9591 0,9616 0,9638 0,9639 0,9678
120 + 0,9602 0,9627 0,9649 * 0,9670 0,9689 0,9706
125 + 0,9645 0,9667 0,9687 • 0,9706 0,9722 0,9738
130 + 0,9690 0,9709 ' 0,9727 0,9743 0,9758 0,9771
135 + 0,9737 0,9753 0,9768 0,9782 0,9794 0,9805
140 + 0,9783 0,9796 0,9809 0,9820 0,9830 0,9839
145 + 0,9827 0,9838 0,9848 0,9857 0,9865 0,9872
150 4- 0,9869 0,9877 0,9885 0,9891 0,9897 0,9903
155 + 0,9907 0’9913 0,9918 0,9923 0,9927 0,9931
160 + 0,9939 0,9943 0,9946 0,9949 0,9952 0,9955
165 + 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 , 0,9973 0,9974
170 + 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9988
175, + 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997
180 + 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
to
j 4
Таблица VI
1/3,f 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак а°
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4- 360
0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 4- 355
0,9989 0,9990 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 + 350
0,9975 0,9977 0,9978 0,9979 0,9980 0,9981 0,9982 + 345
0,9957 0,9959 0,9962 .0,9963 0,9965 0,9967 0,9968 4- 340
0,9934 0,‘9938 0,9941 0,9944 0,9947 0,9949 0,9952 4- 335
0,9908 0,9913 0,9918 0,9922 0,9925 0,9929 0,9933 4- 330
0,9879 0,9885 0,9891 0,9897 0,9902 0,9906 0,9911 4- 325
0,9848 0,9856 0,9863 0,9870 0,9876 0,9882 0,9888 + 320 1
0,9816 0,9825 0,9834 0,9843 0,9850 0,9857 0,9864 + 315 |
0,9783 0,9795 0,9805 0,9815 0,9824 0,9832 0,9840 + 310
0,9752 0,9765 0,9777 0,9788 0,9799 0,9808 0,9817 4* 305
0,9722 0,9737 0,9750 0,9763 0,9774 0,9785 0,9795 4- 300
0,9695 0,9711 0,9726 0,9740 0,9753 0,9764 0,9775 + 295
0,9672 0,9689 0,9705 0,9720 0,9734 0,9746 0,9759 + 290
0,9653 0,9671 0,9689 0,9704 0,9718 0,9732 0,9744 + 285
0,9639 0,9658 0,9676 0,9692 0,9707 0,9721 0,9735 + 280
0,9631 0,9650 0,9668 0,9685 0,9700 0,9715 0,9728 + 275
0,9628 0,9648 0,9666 0,9683 0,9698 0,9712 0,9726 4- 270
0,9631 0,9650 0,9668 0,9685 0,9700 0,9715 0,9728 4- 265
0,9639 0,9658 0,9676 0,9692 0,9707 0,9721 0,9735 4- 260
0,9653 0,9671 0,9689 0,9704 0,9718 0,9732 0,9744 4- 255
0,9672 0,9689 0,9705 0,9720 0,9734 0,9746' 0,9759 4- 250
0,9695 0,9711 0,9726 0,9740 0,9753 0,9764 0,9775 4- 245
0,9722 0,9737 0,9750 0,9763 0,9774 0,9785 0,9795 4- 240
0,9752 0,9765 0,9777 0,9788 0,9799 0,9808 0,9817 4- 235
0,9783 0,9795 0,9805 0,9815 0,9824 0,9832 0,9840 4- 230
0,9816 0,9825 0,9834 0,9843 0,9850 0,9857 0,9864 4- 225
0,9848 0,9856 0,9863 0,9870 0,9876 0,9882 0,9888 + 220
9,9879 0,9885 0,9891 0,9897 0,9902 0,9906 0,9911 4- 215
0,9908 0,9913 0,99'18 0,9922 0,9925 0,9929 0,9933 4- 210
0,9934 0,9938 0,994Г 0,9944 0,9947 0,9949 0,9952 4- 205
0,9957 0,9959 0,9962 0,9963 0,9965 0,9967 0,9968 4- 200
0,9975 0,9977 0,9978 0,9979 0,9980 0,9981 0,9982 4- 195
0,9989 0,9990 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 4- 190
0,9997 • 0,9997 0,9998' 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 4- 185
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4- 180
1 ;
I _ / * J
a° \ A знак\ 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3.5 1(3,6 1
0 + 0,0000 0,0000 0,()000 0,0000 0,0000 0,0004
5 + 0,0282 0,0274 0,0265 0,0256 0,0250 0,0242
10 + 0,0562 0,0545 0,0527 0,0511 0,0497 ‘ 0,0483 1
15 + 0,0837 0,0810 0,0787 0,0764 0,0740 0,0720
20 + 0,1110 0,1075 0,1042 0,1011 0,0982 0,0954
25 + 0,1376 0,1331 0,1293 0,1252 0,1216 0,1184
30 + 0,1635 0,1581 0,1533 0,1487 0,1443 0,1403
35 + 0,1884 0,1823 0,1766 *0,1712 0,1662 0,1614
40 + 0,2120 0,2050 0,1986 0,1925 0,1868 0,1815
45 + 0,2342 0,2266 0,2193 0,2126 0,2062 0,2004
50 + 0,2549 0,2465 0,2386 0,2313 0,2243 0,2178
55 + 0,2739 0,2648 0,2561 0,2481 0,2407 0,2336
60 -U 0,2908 0,2811 0,2719 0,2634 0,2554 0,2478
65 + 0,3057 0,2953 0,2855 0,2767 0,2680 0,2602
70 + 0,3182 0,3073 0,29'70 0,2876 0,2787 0,2704
75 + 0,3278 0,3166 0,3061 0,2962 0,2871 0,2786
80 + 0,3349 0,3233 0,3127 0,3026 0,2932 0,2844
85 + 0,3395 0,3275 0,3166 0,3064 0,2969 0,2880
90 + 0,3408 0,3291 0,3180 0,3077 0,2981 0,2891
95 + 0,3395 0,3275 0,3166 0,3064 0,2969 0,2880
100 + 0,3349 0,3233 0,3127 0,3026 0,2932 0,2844
105 + 0,3278 0,3166 0,3061 0,2962 0,2871 0,2786
110 + 0,3182 0,3073 0,2970 0,2876 0,2787 0,2704
115 + 0,3057 0,2953 0,2855 0,2767 0,2680 0,2602
120 + 0,2908 0,2811 0,2719 0,2634 0,2554 0,2478 *
125 + 0,2739 0,2648 0.2561 0,2481 0,2407 0,2336
130 + 0,2549 0,2465 z 0,2386 0,2313 0,2243 0,2178
135 + 0,2342 0,2266 0,2:193 0,2126 0,2062 0,2004 1
140 + 0,2120 0,2050 0,1986 0,1925 0,1868 0,1815
145 + 0,1884 0,1823 0,1766 0,1712 0,1662 0,1614
150 + 0,1635 0,1581 0,1533 0,1487 — 0,1443 0,1403
155 + 0,1376 0,1331 0,1293z 0,1252 0,1216 0,1184 w ’I
160 + 0,1110 0,1075 0,10^ 0,1011 0,0982 0,0954 k
165 + 0,0837 0,0810 0,0787 0,0764 0,0740 0,0720
170 + 0,0562 0,0545 0,0527 0,0511 0,0497 0,0483
175 + 0,0282 0,0274 0,0265 0,0256 0,0250 0,0242
180 X \ 1U l’I + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Таблица VII
1/з| 1/3,8 . 1/3,9 11/4 1/4,1 1/4,2 1/4.3 знак 0°
о,оофо 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 — 360
0,0236 0,0230 0,0224 0,0218 0,0212 0,0207 0,0204 — 355
0,0470 0,0457 0,0445 0,0435 0,0424 0,0413 0,0405 — 350
0,0702 0,0682 0,0664 0,0650 0,0632 0,0618 0,0603 — 345
0,0928 0,0904 0,0880 0,0858 0,0837 0,0816 0,0799 —1 340
0,1151 0,1119 0,1089 0,1063 0,1036 0,1013 0,0986 — 335
0,1364 0,1327 0,1293 0,1260 0,1229 0,1198 0,1172 — 330
0,1569 0,1527 0,1486 0,1450 0,1414 0,1379 0,1346 — 325
0,1764 0,1716 0,1671 0,1628 0,1587 0,1548 0,1512 — 320
0,1947 0,1896 0,1844 0,1796 0,1751 0,1709 0,1667 — 315
0,2116 0,2058 0,2003 0,1951 0,1902 0,1856 0,1811 310
0,2269 0,2208 0,2147 0,2092 0,2038 0,1989 0,1941 — 305
0,2407 0,2341 0,2277 0,2218 0,2161 0,2107 0,2056 — 300
0,2527 0,2456 0,2389 0,2327 0,2266 . 0,2211 0,2156 — 295
0,2626 0,2552 0,2483 0,2417 0,2355 0,2296 0,2238 — 290
0,2704 0,2630 0,2552 0,2487 0,2425 0,2364 0,2306 -7“ 285
0,2761 0,2683 0,2610 0,2540 0,24-74 0,2413 0,2352 — 280
0,2795 0,2717 0,2642 0,2571 0,2506 0,2441 0,2382 — 275
0,2807 0,2728 0,2653 0,2582 0,2515 0,2453 0,2392 — 270
0,2795 0,2717 0,2642 0,2571 0,2506 0,2441 0,2382 — 265
0,2761 0,2683 0,2610 0,25.40 0,2474 0,2413 0,2352 — 260
0,2704 0,2630 0,2552 0,2487 0,2425 0,2364 0,2306 255
0,2626 0,2552 0,2483 0,2417 0,2355 0,2296 0,2238 — 250
0,2527 0,2456 0,2389 0,2327 0,2266 0,2211 0,2156 — 245
0,2407 0,2341 0,2277 0,2218 0,2161 0,2107 0,2056 240
0,2269 0,2208 0,2147 0,2092 0,2038 0,1989 0,1941 — 235
0,2116 0,2058 0,2003 0,1951 0,1902 0,1856 0,1811 — 230
0,1947 0,1896 0,1844 0,1796 0,1751 0,1709 0,1667 — 225
0,1764 0,1716 0,1671 0,1628 0,1587 0,1548 0,1512 — 220
0,1569 0,1527 0,1486 0,1450 0,1414 0,1379 0,1346 — 215
0,1364 0,1327 0,1293 0,1260 0,1229 0,1198 0,1172 — 210
0,1151 0,1119 0,1089 0,1063 0,1036 0,1013 0,0986 — 205
0,0928 0,0904 0,0880 0,0858 0,0837 0,0816 0,0799 — 200
0,0702 0,0682 0,0664 0,0650 0,0632 0,0618 0,0603 — 195
0,0470 0,0457 0,0445 0,0435 0,0424 0,0413 0,0405 — 190
0,0236 0,0230 0,0224 0,0218 0,0212 0,0207 0,0204 — 185
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — 13(
V / 1 sin 1"/\ ' (« + ₽) / X. Таблица VIII
а’ \ X знаку 1/3,1 J 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 7- ? 1/3,6 - 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак; а°
0 + 0,0060 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 • 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 360
5 + 0,1152 0,1144 0,1135 0,1126 0,1120 0,1112 0,1106 0,1100 0,1095 0,1089 0,1083 0,1077 0,1074 • 355
НО Л + 0,2286 0,2269 0,2252 0,2238 0,2224 0,2210 0,2196 0,2184 0,2173 0,2162 0,2153 0,2142 0,213f —. 350
15 4- 0,3385 - 0,3360 0,3338 0,3316 0,3294 0,3275 | 0,4297 ’ 0,3258 ‘ 0,4274 0,3239 0,3223 0,3209 0,3192 0,3179 0,3165 — 345
20 ' + 0,4436 0,4405 0,4376 0,4347 0,4321 0,4253 0,4231 0,4210 0,4192 0,4113 0,4158 1 340
25 + 0,5422 0,5385 0,5353 0,5319 0,5289 0,5262 0,5235 0,5208 0,5183 0,5160 0,5138 *0,5115 0,5095 — 335
30 + 0,6332 0,6291 0,6255 , 0,6218 0,6186 0,6154 1 0^124 0,6097 0,6069 0,6044 0,6018 0,5995 0,5974 — 330
35 + 0,7153 0,7112 0,7073 0,7036 0,7001 0,6968 0,6936 0,6907 0,6877 0,6852 0,6826 0,6801 0,6777 — 325
40 + 0,7877 0,7835 0,7797 0,7760 *0,7725 0,7692 0,7660 0,7630 0,7602 0,7576 0,7549 0,7524 0,7501 — 320
45 + 0,8497 0,8459 0,8421 0,8387 0,8353 0,8323 I 0,8292 0,8264 0,8236 0,8210 0,8185 0,8161 0,8138 — 315
50 + 0,9011 0,8976 0,8943 0,8911 0,8882 0,8853 0,8825 0,8799 0,^774 0,8749 0,8726 0,8705 0,8683 — 310
55 4- 0,9416 0,9387 0,9359 0,9332 0,9306 0,9282 0,9258 0,9236 ‘ 0,9213 0,9193 0,9172 0,9153 0,9134 305
60 4- 0,9712 0,9690 0,9669 0,9648 0,9628 0,9609 0,9590 0,9572 0,9555 0,9537 0,9521 0,9505 0,9490 __ 300
65 4- 0,9903 0,9889 0,9876 0,9862 0,9848 0,9835 0,9822 0,9810 0,9797 0,9785 0,9773 0,9762 0,9750 295
70 4- 0,9992 0,9987 0,9982 0,9976 0,9970 0,9964 0,9958 0,9951 0,9944 0,9937 0,9931 0,9924 0,9917 290
75 4- 0,9985 0,9990 0,9994 0,9997 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997 0,9996 0,9994 285
80 + - 0,9890 0,9905 0,9917 0,9929 0,9939 0,99.47 0,9955 0,9962 0,9967 0,9973 0,9977 0,9981 0,9984 — 280 -
85 + 0,9713 0,9738 0,9760 0,9780 0,9798 0,9814 0,9829 0,9842 0,9854 0,9865 0,9875 0,9885 0,9888 — 275
90 4- 0,9466 0,9499 0,9530 0,9558 0,9583 0,9606 0,9628 0,9648 0,9666 0,9682 0,9698 0,9712 0,9726 — 270
95 4- 0,9153 0,9196 0,9234 0,9270 0,9302 0,9332 0,9360 0,9385 0,9409 0,9431 0,9451 0,9471 0,9489 — 265
100 + 0,8787 0,8836 0,8881 ’ 0,8923 0,8961 0,8997 0,9031 0,9062 0,9090 0,9118 0,9143 0,9166 0,9189 — 260
105 4- 0,8372 0,8428 0,8479 0,8526 0,8570 0,8610 0,8649 0,8683 0,8718 0,8749 0,8777 0,8805 0,8831 .—- 255
ПО + 0,7918 0,7978 0,8033 0,8085 0,8134 0,8178 0,8220 0,8259 0,8295 0,8331 0,8363 0,8393 0,8423 — 250
115 + 0,7431 0,7495 0,7555 0,7608 0,7660 0,7707 0,7751 0,7793 0,7833 0,7869 0,7905 0,7937 0,7969 245
120 4- 0,6919 0,6984 0,7044 0,7102 0,7153 0,7203 0,7250 0,7292 0,7333 0,7373 0,7408 ’ 0,7443 0,7476 — 240
125 4- 0,6385 0,6450 0,6512 0,6569 0,6622 0,6672 / &L\‘;6719 0,6762 0,6805 0,6843 0,6881 0,6915 0,6949 — 235
130 4- 0,5835 0,5899 0,5960 0,6016 0,6067 0,6118 * 0,6163 (),6207 0,6248 0,6289 0,6325 0,6359 0,6392 — 230
135 + 0,5272 0,5334 0,5393 0,5.446 0,5498 0,5544 J 0,5590 0,5631 0,5671 0,5710 0,5745 0,5779 0,5812 — 225
140 + 0,4700 0,4759 0,4812 0,4863 0,4912 0,4957 ‘ 0,5000 0,5040 0,5078 0,5113 0,5148 0,5180 0,5210 — 220
145 4- 0,4120 0,4173 0,4224 0,4271 0,4316 0,4358 0,4397 0,4433 0,4470 0,4501 0,4532 0,4563 0,4592 — 215
150 4- 0,3538 0,3586 0,3530 0,3673 0,3711 0,3749 0,3784 0,3816 0,3848 0,3878 0,3907 0,3934 0,3958 — 210
155 + 0,2952 0,2993 0,3029 0,3068 0,3101 0,3132 0,3162 0,3192 0,3220 0,3245 0,3269 0,3294 0,3316 -— 205 j
160 4- 0,2363 0,2397 0,2428 0,2459 0,2487 0,2512 1 0,2538 0,2560 0,2583 0,2605 0,2625 ' 0,2644 0,2661 — 2Оо)
165 4- 0,1774 0,1800 0,1822 0,1845 0,1868 0,1888 0,1905 0,1925 0,1942 0,1957 0,1974 0,1988 0,2002 — ю/
1™ 4- 0,1181 0,1199 0,1216 0,1230 0,1245 0,1259 0,1274 0,1285 0,1297 0,1308 0,1317 0,1328 0,1337 — 1/?
F + 0,0590 0,0599 0,0608 0,0616 0,0622 0,0631 \ 0,0637 0,0642 0,0648 0,0654 0,0660 0,0666 0,0069 —. /5
I 180 4- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ** 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — /180
2 л. Нейман.
16
Таблицй 1X
cos (« + £) *
“° \ * знакХ^ 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак a°
0 + 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0009 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 + 360
5 + 0,9933 0,9934 0,9935 0,9936 0,9937 0,9938 0,9939 0,9939 0,9940 0,9941 0,9941 0,9942 0,9942 + 355
10 + 0,9735 0,9739 0,9743 0,9746 0,9750 0,9753 0,9756 0,9759 0,9761 0,9764 0,9765 0,9768 0,9770 + 350
15 + 0,9410 0,9419 0,9426 0,9434 0,9442 0,9449 0,9454 0,9461 0,9467 0,9471 0,9477 0,9481 0,9486 + 345
20 + 0,8962 0,8978 0,8992 0,9006 0,9018 0,9030 * 0,9041 0,9051 0,9061 0,9070 0,9079 0,9088 0,9095 + 340
25 + 0,8403 0,8426 0,8445 0,8468 0,8487 0,8504 0,8520 0,8537 0,8552 0,8566 0,8579 0,8593 0,8605 + 335
30 + 0,7740 0,7773 0,7802 0,7832 0,7857 0,7882 0,7905 0,7926 0,7948 0,7967 0,7986 0,8004 0,8020 + 330
35 + 0,6988 0,7030 0,7069 0,7106 0,7141 0,7173 IV 0,7204 0,7232 0,7260 0,7284 0,7308 0,7331 0,7353 + 325
40 + 0,6161 0,6214 0,6262 0,6307 0,6350 0,6300 0,6428 0,6463 0,6497 0,6528 0,6558 0,6587 0,6613 + 320
1 45 + 0,5272 0,5334 0,5393 0,5446 0,5498 0,5544 0,5590 ' 0,5631 0,5671 0,5710 0,5745 0,5779 0,5812 + 315
' 50 + 0,4337 0,4407 0,4475 0,4537 0,4594 0,4651 0,4702 0,4751 0,4797 0,4843 0,4884 0,4922 0,4960 + 310
t 55 + 0,3368 0,3448 0,3524 0,3595 0,3660 0,3722 0,3781 0,3835 0,3889 0,3937 0,3985 0,4028 0,4070 + 305
1 60 + 0,2383 0,2470 .0,2552 0,2630 0,2700 0,2770 0,2835 0,2896 0,2952 0,3007 0;3057 0,3107 0,3154 + 300
I 65 +. 0,1392 0,1487 0,1576 0,1656 0,1737 0,1808 0,1877 0,1942 0,2005 0,2062 0,2119 0,2170 0,2221 295
70 + 0,0410 0,0509 0,0602 0,0689 0,0773 0,0848 0,0921 ' 0,0990 0,1054 0,1118 0,1175 0,1230 0,1285 + 290
1 75 — 0,0550 0,0448 0,0352 0,0262 0,0177 0,0099 0,0023 0,0047 *) 0,0116 *) 0,0180 ‘) 0,0239 *) 0,0297*) 0,0352*) 285
У 80 — 0,1481 0,1377 0,1282 0,1190 0,1106 0,1025 0,0947 0,0874 0,0808 0,0741 0;0680 0,0622 0,0564 280
ll 85 — 0,2377 0,2272 0,2176 0,2085 0,1999 0,1920 0,1842 0,1771 0,1702 0,1636 0,1576 0,1516 0,1495 275
' 90 — 0,3225 0,3126 0,3030 0,2941 0,2857 0,2778 0,2702 0,2631 0,2564 0,2501 0,2439 0,2383 0,2326 270
J 95 — 0,4028 0,3929 0,3838 0,3752 0,3670 0,3595 0,3521 0,3453 0,3387 0,3324 0,3267 0,3209 0,3157 265
/1 100 — 0,4774 0,4682 0,4597 0,4514 0,4439 0,4365 0,4295 0,4229 0,4168 0,4107 0,4051 0,3998 0,3945 260
105 — 0,5468 0,5383 0,5302 0,5225 0,5153 0,5085 0,5020 0,4960 0,4899 0,4843 0,4792 0,4741 0,4692 255
110 — 0,6108 0,6030 0,5955 0/5885 0,5816 0,5755 - 0,5695 0,5638 0,5585 0,5531 0,5483 0,5437 0,5390 250
115 — 0,6691 0,6620 0,6552 0,6490 0,6428 0,6372 0,6318 0,6266 0,6216 0,6170 0,6125 0,6083 0,6041 245
if1 120 — 0,7220 0,7157 0,7098 0,7040 0,6988 0,6936 4 г 0,6888 0,6843 0,6799 0,6756 0,6717 0,6678 0,6641 240
125 — 0,7696 0,7642 0,7589 0,7540 0,7493 0,7449 / л ’ 0,7406 0,7367 0,7327 0,7292 0,7256 0,7224 0,7191 — 235
130 —. 0,8121 0,8075 0,8030 0,7988 0,7949 0,7910 1 0,7875 0,7841 0,7808 0,7775 0,7746 0,7718 0,7690 230
135 — 0,8497 0,8459 0,8421 0,8387 0,8353 0,8323 0,8292 0,8264 0,8236 0,8210 0,8185 0,8161 0,8138 225
140 — 0,8827 0,8795 0,8766 0,8738 0,8711 0,8685 0,8660 0,8637 0,8615 . 0,8594 0,8573 0,8554 0,8536 220
! 145 — 0,9112 0,9088 0,9064 0,9042 0,9021 0,9001 0,8982 0,8964 0,8945 0,8930 0,8914 0,8898 0,8884 215
J 150 — 0,9353 0,9335 0,9318 0,9301 0,9286 0,9271 0,9257 0,9243 0,9230 0,9218 0,9205 0,9194 0,9183 — 210
155 — 0,9555 0,9542 0,9530 0,9518 0,9507 0,9497 0,9487 0,9477 0,9467 0,9459 0,9450 0,9442 0,9434 205
1 I 160 — 0,9717 0,9709 0,9701 0,9693 0,9686 0,9679 0,9673 0,9667 0,9961 0,9655 0,9649 0,9644 0,9639 — 200 J
1165 — 0,9841 0,9837 0,9833 0,9828 0,9824 0,9820 0,9817 0,9813 0,9810 0,9807 0,9803 0,9800 0,9798 — 195/
170 " 0,9930 0,9928 0,9926 0,9924 0,9922 0,9920 0,9919 0,9917 0,9916 0,9914 0,9913 0,9911 0,9910 и. 19/
K5 — 0,9983 0,9982 0,9982 0,9981 0,9981 0,9980 0,9980 0,9979 0,9979 0,9979 0,9978 0,9978 0,9978 — 185
10» — 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 l,00Q0 r 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 — /80
18 4 *) Co знаком -f- i f К
* —- — —
sin(« + ₽) Таблица J
— COS P
ct° — \х знак4- 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3, 1/3,7 1/3.8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак a°
0 + 0,0000 0,0000 V0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0900- = 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 360
5 -4 0,1153 0,1144 0,1135 0,1126 0,1120 0,1112 0,1106 0,1100 0,1095 0,1089 0,1083 0,1077 0,1074 — 355
10 + 0,2290 0,2273 0,2255 0,2240 0,2226 0,2212 0,2199 0,2187 0,2175 0,2164 0,2154 0,2144 0,2135 — 350
15 0,3396 0,3371 0,3348 0,3326 0,3303 0,3284 0,3266 0,3246 0,3230 0,3216 0,3199 0,3185 0,3171 — 345 i
20 + 0,4463, 0,4430 1/о,4399 0,4370 0,4343 0,4317 0,4293 0,4269. 0,4247 0,4227 « 0,4207 0,4187 0,4171 — 340
25 + 0,5473 0,5433 0,5400 0,5360 0,5328 0,5299 0,5270 0,5240 0,5214 0,5189 0,5165 0,5141 0,5120 — 335
30 + 0,6416 0,6369 0,6327 0,6288 0,6250 0,6215 0,6181 0,6150 0,6120 0,6091 0,6064 0,6038 0,5978 — 330
35 + 0,7279 0,7229 0,7182 0,7138 1 0,7v 97 0,7058 0,7021 0,6987 0,6953 0,6923 0,6894 0,6865 0,6838 ’ — 325
40 + 0,8051 0,7998 VO,7949 0,7903 0,7859 0,7818 0,7779 0,7743- 0,7708 0,7675 ‘ 0,7644 0,7614 0,7586 — 320
45 + 0,8727 0,8673 0,8621 0,8574 0,8529 0,8489 0,8447 0,8411 0,8375 0,8341 0,8310 0,8280' 0,8250 — 315
50 + 0,9299 0,9245 0,9194 0,9147 0,9102 0,9060 0,9021 0,8983 0,8948 0,8915 0,8883 0,8854 0,8825 — 310
55 + 0,9762 0,9711 0,9661 0,9615 0,9572 0,9532 0,9493 0,9458 0,9423 0,9392 0,9360 0,9332 0,9305 — 305
60 + 1,0115 1,0066 Vl 0020 Я 0,9977 0,9937 0,9899 j-0,9864 0,9831’ 0,9799 0,9769 У 0,9741 0,9714 0,9688 — 300-
65 + 1,0354 1,0311 1,0269 1,0232 1,0196 1,0162 1,0131 1,0102 1,0073 1,0046 1,0021 0,9996 0,9974 — 295
70 + 1,0485 1,0448 1,0413 1/0381 1,0350 . 1,0322 1,0295 1,0270 1,0246 1,0224 1,0202 1,0182 1,0163 —- 290
75 + 1,0508 1,0479 1,0452 1,0430 1,0402 1,0381 1,0359 1,0340 1,0320 1,0303 1,0287 1,0271 1,0256 — 285
80 + 1,0430. 1,0409 V 1,0391 1,0374 1,0357 1,0342 -1,0328 1,0314’ 1,0301 ) l,0289v 1,0278 1,0267 1,0256 — 280"
85 + 1,0258 * 1,0247 1,0237 1,0229 1,0220 1,0213 1,0206 1,0199 1,0192 1,0186 1,0180 1,0175 1,0164 — 275
90 + 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1/0000 — 270
95 + 0,9666 0,9677 *0,9685 0,9696 0,9703 0,9712 0,9719 0,9725 0,9732 0,9738 0,9743 0,9749 0,9754 — 265
100 + 0,9267 0,9287 И),9305 0,9323. 0,9339 0,9354 - 0,9369 0,9382- 0,9395 0,9407 v 0,9419 0,9429 0,9440 — 260'
105 -L 0,8811 0,8840 0,8867 0,8892 0,8916 0,8938 0,8960 0,8978 0,8998 0,9016 0,9032 0,9047 0,9063 — 255
ПО + 0,8308 0,8346 0,8381 0,8413 0,8444 0,8472 0,8499 0,8524 0,8548 0,8570 0,8592 0,8611 0,8631 — 250
115 + 0,7771 0,7815 0,7857 I 0,7894 0,7930 0,7963 0,7995 ч 0,8025 0,8054 0,8079 0,8105 0,8129 0,8152 —» 245i
120 + 0,7206 0,7255 VO,7301 0,7343 0,7383 0,7421 0,7457 0,7490- 0,7522 0,7551» 0,7580 0,7607 0,7632 — 240
125 + 0,6621 0,6672 0,6722 0,6768 0,6811 0,6852 < 0,6890 0,6925 0,6960 0,6991 0,7022 0,7051 0,7078 — 235
130 + 0,6022 0,6076 0,6126 V 0,6174 0,6219 0,6261 rf) 0,6300 0,6337 0,6373 0,6406 0,6438 0,6467 0,6496 — 230
135 + 0,5415 ‘ 0,5469 0,5521 | 0,5567 0,5613 0,5654 0,5695 0,5731 0,5767 0,5801 0,5832 0,5862 0,5892 — 225
140 + 0,4804 0,4858 * 0,4907 0,4953 0*4997 0;5038 0,5077 0,5113- 0,5148 0,5181 v 0,5212 0,5242 0,5269 — 220
145 + 0,4193 0,4242 0,4289 0,4333 0,4375 0,4415 0,4451 0,4485 0,4519 0,4548 0,4577 0,4606 0,4633 — 215
150 + 0,3584 0,3631 0,3673 0,3713 0,3750 0,3785 0,3819 0,3^51 0,3881 0,3909 0,3936 0,3962 0,3961 — 210
। 155 + 0,2979 0,3020 0,3054 0,3092 0,3124 0,3154 0,3183 0,3212 0,3239 0,3263 0,3287 0,3311 0,3332 — 205
\ 160 + 0,2377 0,2410 < 0,244 0,2470 0,2498 0,2523 | 0,2548 0,2571- 0,2593 0,2614 v 0,2634 0,2653 0,2670 — 20/
\165 + 0,1780 0,1805 0,1828 0,1850 0,1873 0,1893 0,1910 0,1929 0,1946 0,1961 0,1978 0,1992 0,2006 —
уо + 0,1183 0,1200 0,1218 0,1233 0,1247 0,1261 I 0,1274 0,1286 0,1298 0,1309 0,1319 0,1329 0,1338 — Zo
П5 + 0,0590 0,0599 0,0608 0,0616 0,0622 0,0631 0,0637 0,0642 0,0648 0,0654 0,0660 0,0666 0,0669 — A 85
18® + 0,0000 0,0000 Vo,0000 0,0000 0,0000 0,0000 • 0,0000 0,0000- 0,0000 0,0000* 0,0000 0,0000 0,0000 — f18(|
20 \ 1 /
В 1 V f
Таблица А
COS (а 4-fl)
cos р
а° \х знак \ 1/3,1 1/3,2 1/3,3 1/3,4 1/3,5 1/3,6 L- 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак а°
0 + 1,0000 1,0000 'h.OUQCL 1,0000 1,0000 Л 1,0000 1,0000 1,0000- 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 + 360
5 4- 0,9937 0,9938 0,9938 0,9939 0,9940 0,9941 0,9942 0,9942 0,9942 0,9943 0,9943 0,9944 0,9944 + 355
10 + 0,9751 0,9754 0,9757 0,9759 0,9762 0,9764 0,9767 , 0,9769 0,9771 0,9773 0,9775 0,9776 0,9778 + 350
' IS + 0,9443 0,9449 0,9455 0,9461 0,9468 0,9474 0,9478 0,9483 0,9488 0,9491 0,9495 0,9499 0,9503 + 345
Ы₽20 + 0,9017 0,9029 *0,9041 0.90Э4 0,9061 0,9070 0,9079 0,9086- 0,9096 0,9103 ” 0,9111 0,9118 0,9124 + 340
25 + 0,8482 0,8500 0,8515 0,8534 0,8549 0,8563 • 0,8577 0,8590 0,8603 0,8614 0,8625 0,8636 0,8643 + 335
30 + 0,7843 0,7870 0,7894 0,7917 0,7939 0,7958 0,7978 0,7997 0,8014 0,8030 0,8046 0,8061 0,8025 + 330
35 + 0,7111 0,7146 0,7178 0,7209 0,7239 0,7266 0,7292 0,7316 0,7340 0,7360 0,7380 0,7401 0,7419 + 325
1/0940 + 0,6298 0,6343 . 70,6384 0,6423 0,6460 0,6494 ► 0,6527 0,6557- 0,6586 0,6614 v .0,6640 0,6665 0,6688 + 320
45 + 0,5415 0,5469 0,5521 0,5567 0,5614 0,5654 0,5695 6,5731 0,5767 0,5801 0,5832 0,5862 0,5892 + 315
50 + 0,4475 0,4539 0,4600 0,4656 4 0,4710 0,4760 0,4807 0,4851 0,4893 0,4933 0,4971 0,5006 0,5040 + 310
55 + 0,3492 0,3566 0,3638 0,3704 0,3765 0,3822 0,3877 0,3927 0,3978 0,4022 0,4067 0,4106 0,4146 + 305
<1*60 + 0,2481 0,2566 0,2645 0,2719 0,2789 0,2854 0,2915 0,2973* 0,3028 0,3079 v 0,3129 0,3175 0,3220 + 300
65 + 0,1455 0,1550 0,1639 0,1718 0,1798 . 0,1868 0,1936 0,2000 0,2061 0,2117 0,2173 0,2223 0,2272 + 295
70 + 0,0430 0,0532 0,0629 0,0718 0,0801 0,0879 0,0953 0,1022 0,1087 0,1149 0,1208 0,1261 0,1317 290
75 — 0,0578 0,0470 0,0368 0,0273 0,0184 ' 0,0103 0,0024 0,0049 ’) 0,0120 *) 0,0185‘) 0,0246!) 0.03051) 0,0361 *) 285
Чч%0 — 0,1562 Г0.1447 0,1343 0,1244 0,1151 0,1064 0,0983 0,0906- 0,0834 0,0765 • 0,0700 0,0640 0,0579 —. 280
85 — 0,2510 0,2391 0,2282 0,2181 0,2085 0,1998 0,1913 0,1835 0,1760 0,1689 0,1625 0,1560 . 0,1537 — 275
90 — 0,3407 0,3291 0,3180 0,3077 0,2981 0,2891 0,2807 0,2728 0,2653 0,2582 0,2515 0,2453 0,2392 — 270
95 — 0,4253 0,4134 0,4026 0,3924 0,3828 0,3741 • 0,3656 0,3578 0,3503 0,3432 0,3368 0,3303 0,3245 — 265
нМоо — 0,5035 A-jyggO 0,4816 0,4717 0,4624 0,4537 0,4456 0,4379- 0,4307 0,4238 v 0,4173 0,4113 0,4052 — 260
105 — 0,5755 0,5646 0,5545 0,5450 0,5361 0,5279 0,5200 0,5129 0,5056 0,4991 0,4931 0,4872 0,4815 — 255
110 0,6410 0,6307 0,6211 0,6123 0,6039 0,5961 0,5888 0,5819 0,5753 0,5691 0,5633 0,5578 0,5524 —- 250
115 — 0,6997 0,6902 0,6814 0,6734 0,6655 0,6584 » 0,6517 0,6452 0,6391 0,6335 0,6280 0,6230 0,6180 — 245
$20 0,7519 *0,7434 0,7355 0,7281 0,7212 0,7146 0,7085 0,7027- 0,6972 0,6921 v 0,6871 0,6825 0,6780 — 240
125 — 0,7979 0,7905 0,7834 0,7768 , 0,7707 0,7649 0,7594 0,7544 0,7495 0,7450 0,7405 0,7365 0,7325 — 235
130 — 0,8380 0,8317 0,8256 0,8199 0,8146 0,8096 0,8049 0,8004 0,7962 0,7923 0,7885 0,7850 0,781 £ .— 230
135 — 0,8727 0,8673 0,8621 0,8574 0,8529 0,8489 0,8447 0,8411 0,8375 0,8341 0,8310 0,8280 0,8250 — 225
0140 — 0,9023 •f-0,8978 0,8937 0,8898 0,8861 0,8827 0,8794 0,8764, 0,8735 0,8707 v 0,8681 0,8655 0,8633 —. 220
145 — 0,9272 0,9237 0,9204 0,9173 0,9144 0,9118 0,9092 0,9068 0,9044 0,9023 0,9002 0,8982 0,8964 — 215
i, 150 — 0,9478 0,9451 0,9427 0,9404. 0,9382 0,9362 0,9342 0,9324 0,9307 0,9290 0,9275 0,9259 0,9190 — 210
\155 — 0,9644 0,9626 0,9609 0,9592 0,9577 0,9563 0,9550 0,9536 0,9523 0,9512 0,9500 0,9490 0,9480 — 205
$60 — 0,9777 + 0,9764 0,9753 0,9743 0,9733 0,9723 / 0 9714 0 9706. 0,9698 0,9690 Г 0 9683 0,9676 0,9670 200*
*л5 — 0,9876 0,9869 0,9864 0,9857 0,9851 0,9846 0,9842 0,9836 0,9832 0,9828 0,9823 0,9819 0,9815 — 195
. 1Л) — 0,9946 0,9943 0,9940 0,9937 0,9934 0,9932 0,9930 0,9928 0,9928 0,9924 0,9922 0,9920 0,9918 — 190
та — 0,9987 0,9986 0,9985 0,^984 0,9984 0,9983 0,9983 0,9982 0,9981 0,9981 0,9980 0,9980 0,9980 — 185
ЗД80 f 1,0000 +1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 I 1,0000 1,0000 - 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 — 180
Со знаком -j-
4
— — — 1 - - - ... _ —
ц/с /о j / •
для ©предел ения путей, проходимых поршнем 11+ -j-1 — 1 cos a -f- —cos 2а 1 Таблица ХЦ
of знак\ 1,3,1 1/3,2 | Х .1/3,3 | 1/3,4 4/3,5 1/3,6 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак а°
0 + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0049 0,0194 0,0434 0,0766 0,1185 0,1687 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5 + 0,0050 0,0050 0,0050 0,0049 0 0049 0,0000 0,0000 0,0000 + 360
10 + 0,0200 0,0199 0,0198 0,0196 0,0195 0;0048 0,0048 0,0048 0,0048 0,0047 0,0047 0,0047 + 355
15 + 0,0449 0,0445 0,0442 0,0439 0,0436 0,0193 0,0192 0,0191 0,0190 0,0189 0,0188 0,0187 + 350
20 + 0,0792 0,0786 ( 0,0780) 0,0775 0,0770 0,0431 0,0429 0,0427 0,0424 0,0422 0,0420 0,0419 + 345
25 + 0,1225 0,1216 0,1208 0,1200 0,1192 0,0761 0,0757 0,0753 0,0749 0,0746 0,0742 0,0739 + 340
30 35 40 45 + 0,1743 0,2339 0,3006 0,3735 0,1730 0,171.9 0,1707 0,1697 0,1178 0,1678 0,2253 0,2898 0,1172 0,1669 0,2241 0,2883 0,1166 0,1660 0,2230 0,2869 0,1160 0,1652 0,2220 0,2856 0,1155 0,1645 0,2210 0,2844 0,1150 0,1637 0,2200 0,2831 0,1145 0,1630 0,2191 0,2820 + + + + 335 330 325 320
+ + + 0,2323 0,2985 0,3710 0,2307 0,2966 0.3687 0,2292 0,2947 0,3664 0,2279 0,2930 0,3643 0,2266 0,2914 0,3623 0,4387 0,5196 0,6042 0,6915 0,7806 0,8708 0,9611 1,0507 1,1389 1,2250 1,3084 1,3884 1,4647 1,5367 1,6042 1,6668 1,7243 1,7766 1,8234 1,8649 | 1,9008 i 1,9311 1,9559 ' 1,9752 >1 1,9890 1,9972 ’ 2,0000 4
50 55 60 ч~ + + 0,4519 0,5346 0,6210 0,4489 0,5313 0,6172 0,4461 0,528|ч 0,6136' 0,7018 0,7918 0,8826 0,9733 0,4435 0,5251 0,6103 0,4410 0,5223 0,6072 0,3605 0,4365 0,5171 0,3587 0,4344 0,5147 0,3570 0,4324 0,5124 0,3554 0,4306 0,5103 0,3539 0,4288 0,5083 0,3524 0,4271 0,5063 0,3510 0,4255 0,5045 + + + 315 310 305
65 70 75' 80 4~ + + 0,7099 0,8004 0,8917 0,9828 0,7057 0,7960 0,8870 0,9779 0,6982 0,7878 0,8784 0,9690 0,6947 0,7841 0,8745 0 9649 0,6014 0,6884 0,7773 0,8673 0,5987 0,6855 0,7742 0,8640 0,5962 0,6827 0,7712 0,8608 0,5938 0,6801 0,7684 0,8578 0,5915 0,6776 0,7657 0,8550 0,5893 0,6752 0,7631 ч0,8523 0,5872 0,6729 0,7607 0,8497 + 4- + + 300 295 290 285
85 + 1,0729 1,0679 1,0632 1,0588 1,0546 - 0,9574 0,9540 0,9507 0,9476 0,9446 0,9418 0,9391 + 280
90 95 100 105 110 115 120 + + + + + + + .1,1613 1,2472 1,3301 1,4093 1,4845 1,5551 1,6210 1,1563 1,2422 1,3252 1,4046 1,4800 1,5510 1,6172 1,1515 1,2375 1,3206 1,4002 1,4758 1,5471 1,6136 1,1471 1,2331 1,3163 1,3960 1,4719 1,5434 1,6103 1,1429 1,2289 1,3122 1,3921 1,4682 1,5400 1,6072 1,6694 1,7266 1,7785 1,8251 1 8662 - 1,0470 1,1351 1,2213 1,3047 1,3849 1,4614 1,5336 1,0434 1,1316 1,2177 1,3013 1,3816 1,4582 1,5307 1,0401 1,1282 1,2144 1,2980 1,3784 1,4552 1,5279 1,0369 1,1250 1,2112 1,2949 1,3755 1,4524 1,5253 1,0339 1,1220 1,2082 1,2919 1,3726 1,4497 1,5228 1,0310 1,1190 1,2053 1,2891 1,3699 1,4471 1,5204 1,0282 1,1163 1,2026 1,2864 1,3673 1,4447 1,5181 + + + + + + + 275 270 265 260 255 250 245
125 130 135 140 145 + + + ч~ + 1,6818 1,7374 1,7878 1,8327 1,8722 1,6784 1,7345 1,7852 1,8306 1,8706 1,6753 1,7317 1,782^ \1,8286: 1,8690 1,67^3 1,7291 1,7806 1,8268 1,8675 1,6014, 1,6643 1,7221 1,7747 1,8219 1,8636 1,8998 1,9305 ' 1,9555 1,9750 1,9889 1,9972 2,0000 1,5987 1,6619 1,7200 1,7729 1,8204 1,5962 1,6596 1,7180 1,7712 1,8190 1,5938 1,6575 1,7161 1,7696 1,8177 1,5915 1,6554 1,7114 1,7681 1,8164 1,5893 1,6535 1,7127 1,7666 1,8152 1,5872 1,6516 1,7110 1,7653 1,8141 . + + + + + 240 235 230 225 220
150 155 - 160 165 170 175 180 + + + + + + + 1,9063 1,9351 1,9586 1,9767 1,9897 1,9974 2,0000 1,9051 1,9342 1,9580 1,9764 1,9895 1,9974 2,0000 1,9039 1,9334 1,9574 ' 1,9761 1,9894 1,9973 2,0000 1,9028 1,9326 1,9569 1,9758 1,9892 1,9973 2,0000 1,9017 1,9318 1,9564 1,9755 1,9891 1,9973 2,0000 1,8624 1,8989 1,9298 1,9551 1,9747 1,9888 1,9972 2,0000 1,8613 1,8981 1,9292 1,9547 1,9745 1,9887 1,9972 2,0000 1,8603 1,8973 1,9286 1,9543 1,9743 1,9886 1,9971 2,0000 1,8593 1,8965 1,9281 1,9540 1,9741 1,9885 1,9971 2,0000 1,8583 1,8958 1,9276 1,9536 1,9739 1,9884 1,9971 2,0000 1,8554 1,8951 1,9271 1,9533 1,9737 1,9883 1,9971 2,0000 + +'+ + + + + + 215 210 205 200 195 190 185 180
24 1 Г
J для определения скоростей ' поршня: sin e 4- -к- sin 2a
of \X 1/3,1 1/3,2 f/3,3 i -I* 1/3,5 1/3,6 1/3,9
знакХ 1/3,7 1/3.8
0 + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5 + 0,1152 0,1143 0,1135 0,1127 0,1120 0,1113 0,0000 0,0000 0,0000
10 + 0,2288 0,2271 0,2255 0,2240 0,2225 0,2212 0,1106 0,1100 0,1094
15 + 0,3395 0,3370 0,3346 0,3324 0,3303 0,3283 0,2199 0,2187 0,2175
20 + 0,4457 0,4425 ' 0,4394 0,4366 0,4339 0,4313 0,3264 0,4289 0,5261 0,3246 ' 0,4266 0,5234 0,3229 0,4244 0,5208
25 + 0,5462 0,5423 0,5387 0,5353 0,5321 0,5290
30 35 + 0,6397 0,6353 0,6312 0,6274 0,6237 0,6203
0,6170 0,6140 0,6110
+ 0,7251 0,7204 0,7160 0,7118 0,7078 0,7041
► 0,7006 0,6972 0,6941
40 + .0,8016 0,7967 0,7920 0,7876 0,7835 0,7796 0,7759 0,8423 0,8991 0,9461 0,7724 0,8387 0,8956 0,9428 0,7691 0,8353 0,8923 0,9396
45 + 0,8684 0,8634 ' 0,8586 0,8542 0,8500 0,8460
50 + 0,9249 0,9199 0,9153 0,9109 0,9067 0,9028
55 + 0,9707 0,9659 0,9615 0,9573 0,9534 0,9497
60 + 1,0057 1,0014 0,9972 0,9934 0,9897 0,9863
65 0,9831 0,9800 0,9771
+ 1,0299 1,0260 1,0224 1,0190 1,0158 1,0127 1,0098 1,0071 1,0045
70 + 1,0434 1,0401 1,0371 1,0342 1,0315 1,0290
1,0266 1,0243 1,0221
75 + 1,0466 1,0441 1,0417 1,0395 1,0374 1,0354 1,0335 1,0310 1,0197 1,0000 0,9727 1,0317 1,0298 1,0190 1,0000 0,9733 1,0300 1,0287 1,0185 1,0000 0,9739
80 + 1,0400 1,0383 /1,0366 1,0351 1,0337 1,0323
85 + 1,0242 1,0233 1,0225 1,0217 1,0210 1,0203
90 + 1,0000 1,0000 1.OO0O 1,0000 1,0000 1,0000
95 + 0,9682 0,9691. 0,9699 0,9707 0,9714 0,9721
100 105 + 0,9297 0,9314 0,9330 0,9345 0,9360 0,9373
0.9386 0,9398 0,9410
+ 0,8853 0,8878 0,8902 0,8924 0,8945 0,8965
0,8984 0,9001 0,9018
110 + 0,8360 0,8393 0,8423 0,8452 0,8479 0,8504 0,8528 0,8028 0,8551 0,8055 0,8573 0,8081
115 + 0,7828 0,7866 0,7902 0,7937 0,7969 0,7999
120 + 0,7263 0,7306 f0,7348 0,7387 0.7423 0,7457
0,7490 0,7521 0,7550
125 + 0,6676 0,6724 0,6768 0,6810 0,6849 0,6886
0.6922 0,6955 0,6987
130 + 0,6072 0,6122 0,6168 0,6212 0,6254 0,6293 0,6330 0,5720 0,5097 0,6365 0,5755 0,5132 0,6398 0,5789 0,5165
135 + 0,5458 0,5509 0,5556 0,5601 0,5643 0,5682
140 + 0,4840 0,4889 0,4936, 0,4980 0,5021 0,5060 I
145 150 + 0,4220 0,4268 0,4312 0,4354 0,4393 0,4431 0,4466 0,4499 0,4531
+ 0,3603 0,2991 0,3647 0,3688 0,3726 0,3763 0,3797 0,3830 0,3861 0,3890
155
+ 0,3029 0,3066 0,3100 0,3132 0,3162 * 0,3191 0,2552 0,3218 0,2574 0,3244 0,2596
160 + 0,2383 0,2416 (£0,2446'' 0,2475 0,2502 0,2527
165 170 + 0,1782 0,1807 0,1831 0,1853 0,1874 0,1894 0,1913 0,1930
0,1947
+ 0,1185 0,1202 0,1218 0,1234 0,1248 0,1262 0,1274 0,1287
175 0,1298
+ 0,0592 0,0600 0,0609 0,0616 0,0624 0,0630 0,0637 0,0643 0,0649
180 + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1
I 0,0000 0,0000 0,0000
Таблица XIII
1/4 1/4,1 | 1/4,2 | 1/4,3 | знак I a°
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — 360
0,1089 0,1083 0,1078 0,1074 — 355
0,2164 0,2154 0,2144 0,2134 — 350
0,3213 0,3198 0,3184 0,3170 — 345
0,4224 0,4204 0,4185 0,4168 — 340
0,5184 0,5160 0,5138 0,5117 — 335
0,6083 0,6056 0,6031 0,6007 — 330
0,6910 0,6882 0,6855 0,6829 — 325
0,7659 0,7629 0,7600 0,7573 — 320
0,8321 0,8291 0,8262 0,8234 — 315
0,8891 0,8861 0,8833 0,8806 — 310
0,9366 0,9338 0,9310 0,9284 — 305
0,9743 0,9716 0,9691 0,9667 — 300
1,0021 0,9997 0,9975 0,9954 — 295
1,0200 1,0181 1,0162 1,0144 — 290
1,0284 1,0269 1,0255 1,0241 — 285
1,0276 1,0265 1,0255 1,0246 — 280
1,0178 1,0174 1,0169 1,0164 — 275
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 — 270
0,9745 0,9750 0,9755 0,976(? — 265
0,9421 0,9431 0,9441 0,9450 — 260
0,9034 0,9050 0,9064 0,9078 — 255
0,8593 0,8613 0,8632 0,8650 — 250
0,8106 0,8129 0,8151 0,8172 — 245
0,7578 0,7604 0,7629 0,7653 — 240
0,7017 0,7046 0,7073 0,7099 — 235
0,6429 0,6459 0,6488 - 0,6515 — 230
0,5821 '0,5852 0,5881 0,5908 — 225
0,5197 0,5227 0,5256 0,5283 — 220
0,4561 0,4590 0,4617 0,4643 — 215
0,3917 0,3944 0,3969 0,3993 — 210
0,3269 0,3292 0,3314 0,3335 — 205
0.2617 0,2636 0,2655 0,2673 — 200
0,1963 0,1978 0,1993 0,2007 — 195
0,1309 0,1319 ' 0,1329 0,1339 1— 190
0,0655 0,0660 0,0665 0,0670 — 185
0,0000 0,0000 ft ' 0,0000 0,0000 — 180
для ©пределенш t ускорений поршня: cos a + X cos 2a x 4 • Таблица XI\
а’ 1/3,1 знак\ I 1/3,2 1/3,3 1/3,5 1/3,6 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 ' 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак a°
0 + 1,3226 1,3125 1,3030 1,2941 ’ 1,2857 1,2778 1,2703 1,2632 1,2564 1,2500 1,2439 1,2381 1,2326 + 360
5 + 1,3139 1,3039 1,2946 1,2858 1,2776 1,2698 1,2624 1,2554 1,2487 1,2424 1,2364 ’ 1,2307 1,2252 + 355
10 + 1,2879 1,2785 1,2696. 1,2612 1,2533 1,2458 1,2388 1,2321 1,2258 1,2197. 1,2140 1,2085 1,2033 + 350
15 + 1,2453 1,2466 1,2284 1,2207 1,2134 1,2065 1,2000 1,1938 1,1880 1,1824 1,1772 1,1721, 1,1673 + 345
20 + 1,1868 1,1791 V1.1718 1,1650 1,1586 1,1525 1,1467 1,1413 1,1361 1,1312. 1,1265 1,1221 1,1178 + 340
25 1,1137 1,1072 1,1611 1,0954 - 1,0900 - 1,0849 1,0800 1,0755 1,0711 1,0670 1,0631 1,0594 1,0558 + 335
30 + 1,0273 1,0223 1,0175 1,0131 1,0089 1,0049 1,0012 0,9976 0,9942 0,9910 . 0,9880 0,9851 0,9823 + 330
35 + 0,9295 0,9260 0,9228 0,9197 0,9169 0,9142 1 0,9116 0,9092 0,9069 0,9047 0,9026 0,9006 0,8987 + 325
40 + 0,8221 _0,8203- ^0,8187 0,8171 0,8157 0,8143 0,8130 0,8117 0,8106 0,8095 . 0,8084 0,8074 0,8064 + 320
45 + 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 + 315
50 + 0,5868 0,5885 0,5902 0,5917 0,5932 0,5945 0,5959 0,5971 0,5983 0,5994 . 0,6004 0,6015 0,6024 + 310
55 + 0,4633 0,4667 0,4699 0,4730 0,4759 0,4786 0,4811 0,4836 0,4859 0,4881 0,4902 0,4922 0,4940 + 305
60 + 0,3387 0,3438 VO,3485 0,3529 0,3571 0,3611 0,3649 0,3684 0,3718 0,3750 0,3781 0,3810 0,3837 + 300
65 + 0,2153 0,2218 0,2278 0,2336- 0,2390 0,2441 0,2489 0,2535 0,2578 0,2619 0,2658 0,2696 0,2731 + 295
70 + 0,0949 0,1026 0,1099 0,1167 0,1232 0,1292 0,1350 0,1404 0,1456 0,1505 0,1552 0,1596 0,1639 + 290
75 — 0,0205 0,0118 0,0036 0,0041 ’) 0,0114’)' 0,0183’) 0,0248 ’) 0,0309 ’) 0,0368 ’) 0,0423’) 0,0476 ’) 0,0526 ’)’ 0,0573 ’) — 285
80 — 0,1295 0,1202 V0,1111 0,1027 0,0948 0,0874 0,0803 0,0736 0,0673 0,0613 0,0555 0,0501 0,0449 — 280
85 — 0,2305 0,2206 0,2113 0,2025 0,1942 0,1864 0,1790 0,1720 0,1654 0,1590 0,1530 0,1473 0,1419 — 275
90 — 0,3226 0,3125 0,3030 0,2941 0,2857 0,2778 0,2703 0,2632 0,2564 0,2500 0,2439 0,2381 0,2326 — 270
95 — 0,4048 0,3949 0,3856 \ 0,3768 0,3685 0,3607 0,3533 0,3463 0,3397 0,3334 0,3274 0,3216 0,3162 J— 265
100 — 0,4768 0,4014. VO,4584 0,4500 0,4421 0,4347 0,4276 0,4209 0,4146 0,4086 0,4028 0,3974 0,3922 — 260
105 . — 0,5382 0,5295 iQ,5213 0,5135 0,5063 0,4994 0,4929 0,4867 0,4809 0,4753 0,4700 0,4650 0,4602 — 255
ПО — 0,5891 0,5814 0,5742 0,5673 0,5609 0,5548 0,5491 0,5436 0,5384 0,5335 0,5289 0,5244 0,5202 — 250
115 — 0,6300 0,6235 0,6174 0,6117 0,6063 0,6012 0,5964 0,5918 0,5874 0,5833 0,5794 0,5757 0,5721 .— 245
120 —. 0,6613 0.6564 '10,6515 0,6471 0,6429 0,6389 г 0,6351 0,6316- 0,6282 0,6250 0,6220 0,6191 0,6163 — 240
125 — 0,6839 0,6805 0,6772 0,6742 0,6713 0,6686 1 0,6660 0,6636 0,6613 0,6591 0,6570 0,6550 0,6531 — 235
130 0,6988 0,6971 0,6954 0,6939 0,6924 0,6910 0,6897 0,6885 0,6873 0,6862 0,6851 0,6841 0,6832 — 230
135 — 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071 — 225
140 — 0,7100 0,7118 V0.7134 0,7150 0,7164 0,7178 0,7191 0,7203 0,7215 0,7226 0,7237 0,7247 0,72571 — 220
145 — 0,7088 0,7123 0,7155 0,7186 0,7214 0,7241 0,7267 0,7291 0,7315 0,7336 0,7357 0,7377 0,7396 215
150 — 0,7047 0,7098 0,7145 0,7190 0,7232 0,7271 0,7309 0,7344 0,7378 0,7410 0,7441 0,7470 0,7498 — 210
155 0,6990 0,7054 0,7115 0,7173 0,7227 0,7278 0,7326 0,7372 0,7415 0,7456 0,7495 0,7533 0,7568 205
160 — СЦ)926 0.7QQ3 Vo,7076 0,7144 0,7208 0,7269 0,7327 0,7381 0,7433 0,7482 0,7529 0,7573 0,7616 200
165 — 0,6866 0,6953 0,7035 0,7112 0,7185 0,7254 0,7319 0,7380 0,7439 0,7494 0,7547 0,7597 0,7645 — 195
170 — 0,6817 0,6912 0,7001 0,7084 0,7163 0,7238 0,7308 0,7375 0,7439 0,7499 0,7556 0,7611 0,7663 — 190
175 0,6785 0,6884 0,6977 0,7065 0,7148 0,7226 0,7300 0,7370 0,7437 0,7500 0,7560 0,7617 0,7672 — 185
180 -- 0,6774 0,6875 •J0;6970 0,7059 0,7143 0,7222 0,7297 0,7368 0,7436 0,7500 0,7561 0,7619 0,7675 180
28 I ’) Со знаком 4-
для определения относительных угловых скоростей вращ
а \х знакК 1/3,1 1/3,2 1/3.3 1/3,4 1/3,5 t 1/3,6
0 + 1,3226 1,3125. 1,3030 1,2941 1,2857 1,2778
5 + 1,3215 1,3111 1,3020 1,2931 1,2847 l,27t8
10 х + 1,3182 1,3082 1,2988 1,2900 1,2817 1,2739
15 + 1,3127 1,3028 1,2936 1,2849 1,2767 1,2690
20 + 1,3050 1,2953 1,2863 1,2778 1,2698' 1,2622 <
25 + 1,2951 1,2743 1,2769 1,2686 1,2609 1,2535
30 + 1,2831 1,2740 1,2655 1,2575 1,2500 1,2429
35 + 1,2689 1,2602 1,2521 1,2444 1,2372 1,2305
40 + 1,2526 1,2444 1,2367 1,2295 1,2227 1,2163
45 + 1,2343 1,2266 1,2194 1,2126 1,2063 1,2003
50 + 1,2140 1,2069 1,2003 1,1941 1,1882 1,1827 ,
55 + 1,1918 1,1854 1,1794 1,1738 1,1686 1,16361
60 + 1,1680 1,1623 1,1570 1,1521 1,1474 1,1431 ’
65 + 1,1426 1,1377 1,1332 1,1290 1,1250 1,1213 ,
70 + 1,1158 1,1118 1,1081 1,1047 1,1014 1,0984
75 + 1,0879 1,0848 1,0820 1,0794 1,0769 1,0746 ’
80 + 1,0591 1,0570 1,0551 1,0534 1,0517 1,0502
85 + 1,0297 1,0287 1,0277 1,0268 1,0260 1,0252
90 + 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
95 ч- 0,9703 0,9713 0,9723 0,9732 0,9740 ’ 0,9748
100 + 0,9409 0,9430 0,9449 0,9466 0,9483 0,9498
105 + 0,9121 0,9152 0,9180 0,9206 0,9231 0,9254
110 + 0,8842 0,8882 0,8919 0,8953 0,8986 0,9016
115 + 0,8574 0,8623 0,8668 0,8710 0,8750 0,8787
120 + 0,8320 0,8377 0,8430 0,8479 0,8526 0,8569
125 + 0,8082 0,8146 0,8206 0,8262 0,8314 0,83641
130 + 0,7860 0,7931 0,7997 0,8059 0,8118 0,81731
135 + , 0,7657 0,7734 0,7806 0,7874 0,7937 0,7997!
140 + 0,7474 0,7556 0,7633 0,7705 0,7773 0,7837 ,
145 + 0,7311 0,7398 0,7479 0,7556 0,7628 0,7695
150 + 0,7169 0,7260 0,7345 0,7425 0,7500 0,7571
155 + 0,7049 0,7257 0,7231 0,7314 0,7391 0,7465
160 + 0,6950 0,7047 0,7137 0,7222 0,7302 0,7378
165 + 0,6873 0,6972 0,7064 0,7151 0,7233 0,7310 '
170 + 0,6818 0,6918 0,7012 0,7100 0,7183 0,7261
175 + 0,6785 0,6886 0,6980 0,7069 0,7153 0,723"
180 + 0,6774 0,6875 0,6970 0,7059 0,7143 . 0,7222
30
COS a ния шатуна вокруг оси цапфы кривошипа 1 -f- л cQs Таблица XV
1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4,2 1/4,3 знак а»
1,2703 1,2632 1,2564 1,2500 1,2439 1,2381 1,2326 + 360
1,2693 1,2622 1,2555 1,2491 1,2430 1,2372 1,2317 4- 355
1,2665 1,2594 1,2528 1,2464 1,2404 1,2347 1,2292 4- 350
1,2617 1,2548 1,2482 1,2420 1,2361 1,2304 1,2250 + 345
1,2551 1,2483 1,2419 1,2358 1,2300 1,2245 1,2192 + 340
1,2466 1,2400 1,2338 1,2279 1,2222 1,2169 1,2118 + 335
1,2362 1,2299 1,2239 1,2182 1,2128 1,2077 1,2015 + 330
1,2241 1,2181 1,2123 1,2069 1,2018 1,1969 1,1922 4" 325
1,2102 1,2045 1,1991 1,1940 1,1892 1,1846 1,1802 4- 320
1,1947 1,1894 1,1844 1,1796 1,1751 1,1708 1,1667 4* 315
1,1776 1,1727 1,1681 1,1637 1,1596 1,1557 1,1519 + 310
1,1590 1,1546 1,1504 1,1465 1,1428 1,1392 1,1359 + 305
1,1390 1;1351 1,1315 1,1280 1,1248 1,1217 1,1187 + 300
1,1178 1,1145 1,1114 1,1085 1,1057 1,1031 1,1005 + 295
1,0956 1,0929 1,0903 1,0880 1,0857 1,0836 1,0815 + 290
1,0725 1,0704 1,0685 1,0667 1,0650 1,0633 1,0618 4- 285
1,0487 1,0473 1,0460 1,0448 1,0436 1,0425 1,0415 4- 280
1,0245 1,0238 1,0231 1,0225 1,0219 1,0214 1,0208 + 275
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4- 270
; 0,9755 0,9762 0,9769 0,9775 0,9781 0,9786 0,9792 4- 265
0,9513 0,9527 0,9540 0,9552 0,9564 0,9575 0,9585 + 260
0,9275 0,9296 0,9315 0,9333 0,9350 0,9367 0,9382 + 255
0,9044 0,9071 0,9097 0,9120 0,9143 0,9165 0,9185 + 250* 1
0,8822 0,8855 0,8886 0,8915 0,8943 0,8970 0,8995 4- 245
0,8610 0,8649 0,8685 0,8720 0,8752 0,8783 0,8813 4- 240
0,8410 0,8454 0,8496 0,8535 0,8572 0,8608 0,8641 + 235
0,8224 0,8273 0,8319 0,8363 0,8404 0,8443 0,8481 4- 230
0,8053 0,8106 0,8156 0,8204 0,8249 0,8292 0,8333 4- 225
0,7898 0,7955 0,8009 0,8060 0,8108 0,8154 0,8198 4- 220
0,7759 0,7819 0,7877 0,7931 0,7982 0,8031 0,8078 4* 215
0,7638 0,7701 0,7761 0,7818 0,7872 0,7923 0,7985 4- 210
0,7534 0,7600 0,7662 0,7721 0,7778 0,7831 0,7882 4- 205
, 0,7449 0,7517 0,7581 0,7642 0,7700 0,7755 0,7808 + 200
0,7383 0,7452 0,7518 0,7580 0,7639 0,7696 0,7750 4- 195
1 0,7335 0,7406 0,7472 0,7536 0,7596 0,7653 0,7708 4- 190
£ 0,7307 0,7378 0,7445 0,7509 0,7570 0,7628 0,7683 4- 185
£ 0,7297 0,7368 0,7436 0,7500 0,7561 0,7619 0,7675 4- 180
3
31
—~~ - -1 — - — — — — — гтц 1.1-1 — и -да
’я Таблица А1
Для определения тангенциальных сил инерции доступа 1 < о 1 «ПЦа-^-р» тельно движущихся масс (cos a-f-л cos 2а) CQg
а° |\х 1 зна!^\ 1/3,1 1/3,2 1/3.3 1/3,4 1/3,5 1/3,6 1 1/3,7 1/3,8 1/3,9 1/4 1/4,1 1/4.2 j 1/4,3 знак а*
0 + 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 — 360
О 0,1515 0,1492 0,1469 0,1448 0,1431 0,1412 ' 0,1396 0,1381 0,1367 0,1353 0,1339 0,1325 0,1316 .— 355
10 + 0,2949 0,2906 0,2863 0,2825 0,2790 0,2756 0,2724 0,2695 0,2666 0,2639 0,2615 0,2591 0,2569 — 350
15 + 0,4229 0,4202 0,4113 0,4060 0,4008 0,3962 0,3919 0,3875 0,3837 0,3803 0,3766 0,3733 0,3702 — 345
20 + 0,5297 0,5223 0,5155 0,5091 0,5036 0,4975 0,4923 0,4872 0,4825 "0,4782 0,4739 0,4698 0,4662 — 340
25 + 0,6095 0,6015 0,5946 0,5871 0,5808 0,5749 0,5692 0,5636 0,5585 0,5537 0,5491 0,5446 0,5406 — 335
30 + 0,6591 0,6511 0,6438 0,6370 0,6306 0,6245 0,6188 0,6135 0,6085 0,6036 0,5991 0,5948 0,5872 — 330
35 + 0,6766 0,6694 0,6628 0,6565 0,6507 0,6452 0,6400 0,6353 0,6306 0,6263 0,6223 0,6183 0,6145 — 325
40 + 0,6619 0,6561 0,6508 0,6458 0,6411 0,6366 0,6324 0,6285 0,6248 0,6213 0,6179 0,6148 0,6117 — 320
45 + 0,6171 0,6133 0,6096 0,6063 0,6031 0,6003 0,5973 0,5947 0,5922 0,5898 0,5876 0,5855 0,5834 — 315 U
50 + 0,5457 0,5441 0,5426 0,5412 0,5399 0,5386 0,5376 0,5364 0,5354 0,5344 0,5333 0,5326 0,5316 — 310 1
55 + 0,4523 0,4532 0,4540 0,4548 0,4555 0,4562 0,4567 0,4574 0,4579 0,4584 0,4588 0,4593 0,4597 — 305 1
60 + 0,3426 0,3461 0,3492 0,3521 0,3549 0,3575 0,3599 0,3622 0,3643 0,3663 0,3683 0,3701 0,3717 — 300 1
65 + 0,2229 0,2287 0,2339 0,2390 0,2437 0,2481 0,2522 0,2560 0,2597 0,2631 0,2664 0,2695 0,2724 — 295
70 + 0,0995 0,1072 0,1144 0,1211 0,1275 0,1334 0,1390 0,1442 0,1492 0,1539 0,1583 0,1625 0,1666 — 290
75 0,0215 0,0124 0,0038 0,0043») 0,01191) 0,0190») 0,0257») 0,0320») 0,0380») 0,0436») 0,0490») 0,0540») 0,0588») + 285
ои 0,1351 0,1251 0,1154 41,1065 0,0982 0,0904 6,0829 0,0759 0,0693 0,0631 0,0570 0,0514 0,0460 + 280
85 — 0,2364 0,2260 0,2163 0,2071 0,1985 0,1904 , 0,1827 0,1754 0,1686 0,1620 0,1558 0,1499 0,1442 + 275
90 — 0,3226 0,3125 0,3030 0,2941 0,2857 0,2778 0,2703 0,2632 0,2564 0,2500 0,2439 0,2381 0,2326 + 270
95 -—- - 0,3913 - 0,3821 0,3735 0,3653 0,3576 0,3503 0,3434 0,3368 0,3306 0,3247 0,3190 0,3135 0,3084 + 265
100 — 0,4419 0,4340 0,4265 0,4195 0,4129 0,4066 0,4006 0,3949 0,3895 0,3844 0,3794 0,3747 0,3702 + 260
105 •— 0,4742 0,4681 0,4622 0,4566 0,4514 0,4464 0,4416 0,4370 0,4327 0,4285 0,4245 0,4207 0,4171 "+ 255
110 — 0,4894 0,4852 0,4812 0,4773 0,4736 0,4700 0,4667 0,4634 0,4602 0,4572 0,4544 0,4516 0,4490 + 250
115 -— 0,4896 0,4873 0,4851 0,4829 0,4808 0,4787 0,4768 0,4749 0,4731 0,4712 0,4696 0,4680 0,4664 + 245
120 1 — 0,4765 0,4761 0,4757 0,4754 0,4747 0,4741 0,4736 0,4731 0,4725 0,4719 0,4715 0,4709 0,4704 + 240
125 — 0,4528 0,4540 0,4552 0,4563 0,4572 0,4581 0,4589 0,4595 0,4603 0,4608 0,4613 0,4618 0,4623 + 235
130 — 0,4208 0,4236 0,4260 0,4284 0,4306 0,4326 0,4345 0,4363 0.4380 0,4396 0,4411 0,4424 0,4438 + 230
135 — 0,3829 0,3867 0,3904 0,3936 0,3969 0,3998 0,4027 0,4052 0,4078 0,4102 0,4124 0,4145 0,4166 + 225
140 — 0,3411 0,3458 0,3501 0,3541 0,3580 0,3616 0,3651 0,3683 0,3714 0,3745 0,3772 0,3799 0,3824 + 220
145 — 0,2972 0,3022 0,3069 0,3114 0,3156 0,3197 0,3235 0,3270 0,3306 0,3336 0^3867 0,3398 0,3427 + 215
150 — 0,2526 0,2577 0,2624 0,2670 0,2712 0,2852 ! 0,2791 0,2828 0,2863 0,2897 0,2929 0,2960 0,2970 + 210
155 —- 0,2082 0,2130 0,2173 0,2218 0,2258 0,2295 0,2332 0,2368 0,2402 0,2433 0,2464 0,2494 0,2522 + 205 1
160 — 0,1646 0,1688 0,1727 0,1765 0,1801 0,1834 0,1867 0,1898 0,1927 0,1956 0,1983 0,2009 0,2033 + 200
165 — 0,1222 0,1255 0,1286 0,1316 0,1346 0,1373 0,1398 0,1424 0,1448 0,1470 0,1493 0,1513 0,1534 + 195
170 — 0,0806 0,0829 0,0853 0,0873 0,0893 0,0913 0,6931 0,0948 0,0966 0,0982 0,0997 0,1012 0,1025 + 190
175 —- 0,0400 0,0412 0,0424 0,0435 0,0445 0,0456 0,0465 0,0474 0,0482 0,0491 0,0499 0,0507 0,0513 + 185
180 — 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 | ' 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 + 180
32 *) Со знаком-}-для а = 75° и с — для а = :285° 33
*/43 Неймав. ' f
V.' » 7. --л-
Для определения радиальных сил инерции лосту 7 яатехьно движущихся масс (cos а 4- X cos 2а) — Таблица XV —
<»• \к зиак\ 1/3,1 1/3,2 1/3.3 1/3,4 1/8,5 1/3.6 1/3,7 1/3.8 1/3,9 V* 1/4.1 1/4.2 1/4,2 ЗЯЖК О®
0 + 1,3226 1,3125 1,3030 1,2941 1,2857 ,1,2778 1,2703 1,2632 1,2564 1,2500 1,2439 1,2381 1,2326 4- 260
5 + 1,3056 1,2958 1,2866 1,2780 1,2699 1,2623 1,2551 1,2481 1,2415 1,2353 1,2294 1,2238 1,2183 4- 355
10 + 1,2558 1,2470 1,2387 1,2308 1,2235 1,2164 1,2099 1,2036 1,1977 1,1920 1,1867 1,1814 1,1766 4- 350
15 4- 1,1759 1,1779 1,1615 1,1549 1,1488 1,1430 1,1374 1,1321 1,1272 1,1222 1,1178 1,1134 1,1093 4- 345
20 + 1,0701 1,0646 1,0594 1,0544 1,0498 1,0453 1,0411 1,0370 1,0334 1,0297 1,0264 1,0231 1,0199 4- 340
25 + 0,9446 0,9411 0,9376 0,9348 0,9318 0,9290 ' 0,9263 0,9239 0,9215 0,9191 0,9169 0,9149 0,9125 4~ 335
30 4- 0,8057 0,8046 0,8032 0,8021 0,8010 0,7997 0,7988 0,7978 0,7968 0,7958 0,7949 0,7941 0,7883 4~ 330
35 + 0,6610 0,6617 0,6624 0,6630 0,6637 0,6643 0,6647 0,6652 0,6657 0,6659 0,6661 0,6665 0,6667 4- 325
40 4- 0,5178 0,5203 0,5227 0,5248 0,5269 0,5288 0,5306 0,5322 0/339 0,5354 0,5368 0,5381 0,5393 + ' 320
45 4’ 0,3829 0,3867 0,3904 0,3936 0,3970 0,3998 0,4027 0/052 0,4078 0,4102 0,4124 0,4145 0,4166 4- 315
50 4- 0,2626 0,2671 0,2715 0,2755 0,2794 0,2830 0,2864 0,2897 0,2927 0,2957 0,2985 0,3011 0,3036 4- 310
55 4- 0,1618 0,1664 0,1709 0,1752 0,1792 0,1829 0,1865 0,1899 0,1933 0,1963 0,1994 0,2021 0,2048 4~ 305
60 4- 0,0840 0,0882 0,0922 0,0960 0,0996 0,1031 0,1064 0,1095 0,1126 0,1155 0,1183 0,1210 0,1236 4- 300
65 4- 0,0313 0,0344 0,0373 0,0401 0,0430 0,0456 0,0482 0,0507 0,0531 0,0554 0,0578 0,0599 0,0621 + 295
70 4- 0,0041 0,0055 0,0069 0,0084 0,0099 0,0114 0,0129 0,0143 0,0158 0,0173 0,0187 0,0201 0,0216 4- 290
75 4- 0,0012 0,0006 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0,0012 0,0016 0,0021 4- 285
80 + 0.0202 0,0017 0,0149 0,0128 0,0109 0,0093 0,0079 „0,0067 0,0056 0,0047 0,0039 0,0032 0,0026 + 280
85 + 0,0579 0,0527 0,0482 0,0442 0,0405 0,0372 ; 0,0342 0,0316 0,0291 0,0269 0,0249 0,0230 0,1213 + 275
90 4" 0,1099 0,1028 0,0964 0,0905 0,0852 0,0803 0,0759 0,0718 0,0680 0,0646 0,0613 0,0584 0,0556 4- 270
95 4- 0,1722 0,1633 0,1552 0,1479 0,1411 0,1349 0,1292 0,1239 0,1190 0,1144 0,1103 0,1062 0,1026 4- 265
100 4- 0,2401 0,2299 0,2208 0,2123 0,2044 0,1972 0,1905 0,1843 0,1786 0,1732 0,1681 0,1635 0,1589 4“ 260
105 4- 0,3097 0,2990 0,2891 0,2799 0,2714 0,2636 0,2563 0,2496 0,2431 0,2372 0,2318 0,2265 0,2216 + 255
110 4- 0,3776 0,3667 0,3566 0,3474 0,3387 0,3307 , 0,3233 0,3163 0,3097 0,3036 0,2979 0,2925 0,2873 + 250*
115 4- 0,4408 0,4304 0,4207 0,4119 0,4035 0,3958 0,3887 0,3818 0,3754 0,3695 0,3639 0,3587 0,3536 + 245
120 4- 0,4972 0,4879 0,4792 0,4712 0,4637 0,4566 0,4500 0,4438 0,4380 0,4326 0,4274 0,4225 0,4179 4- 240
125 4- 0,5457 0,5379 0,5305 0,5237 0,5174 0,5114 0,5058 0,5006 0,4956 0,4910 0,4865 0,4824 0,4784 4- 235 ч
130 4- • 0,5856 0,5798 0,5741 0,5689 0,5640 0,5594 0,5551 0,5511 0,5472 0,5437 0,5402 0,5370 0,5339 4- 230 1
135 4- 0,6171 0,6133 0,6096 0,6063 0,6031 0,6003 0,5973 0,5947 0,5922 0,5898 0,5876 0,5855 0,5836 4- 225
140 4- 0,6406 0,6391 0,6376 0,6362 0,6348 0,6336 0,6324 0,6313 0,6302 0,6292 0,6282 0,6272 0,6265 4- 220
145 4- 0,6572 0,6580 0,6585 " 0,6592 0,6596 0,6602 0,6607 0,6611 0,6616 0,6619 0,6623 0,6628 0,6630 + 215
150 4- 0,6679 0,6808 0,6736 0,6761 0,6785 0,6807 0,6828 0,6847 0,6867 0,6884 0,6902 0,6916 0,6891 + 210
155 4- 0,6741 0,6790 0,6837 0,6880 0,6921 0,6960 0,6996 0,7030 0,7061 0.7092 0,7120 0,7149 0,7174 + 205
160 4- 0,6772 0,6838 0,6901 0,6960 0,7016 0,7068 0,7117 0,7164 0,7209 0,7250 0,7290 0,7328 0,7365 + 200
165 4- 0,6781 0,6862 0,6939 0,7010 “0,7078 0,7142 0,7203 0,7259 0,7314 0,7365 0,7413 0,7459 0,7504 + 195
170 4- 0,6780 0,6873 0,6959 0,7039 0,7116 0,7189 0,7257 0,7323 0,7385 0,7442 0.7497 0,7550 0,7600 4- 190
175 + 0,6776 0,6874 0,6967 0,7054 0,7137 0,7214 0,7288 9,7357 0,7423 0,7486 0,7545 0,7602 0,7657 + 185
180 4- 0,6774 0,6875 0,6970 0,7059 0,7143 0,7222 0,7297 0,7368 0,7436 0,7500 0,7561 I,- - 0,7611 А 1 0,7675 4- 180
34 1 ..'Л 49 U ...; > 3£ J