Author: Кургановъ Н.  

Tags: математика   геометрия   тригонометрия   история математики   планиметрия  

Year: 1765

Similar

М.В. Ломоносов. Полное собрание сочинений. Том 07. Труды по филологии. 1739-1758 гг

Расчетъ арокъ и сводовъ

Словарь церковно-славянскаго и русскаго языка. Томъ I

Словарь церковно-славянскаго и русскаго языка. Томъ II

Text 
                    

или

іщ* измѣреніе протяжснГя составля.
діісс ТсорПо и Практику оной
на;ки.

книга-первая

ІГ ? -

СОДЕрЖІЩАЯ ВЪ СѣбѢ КЛЕМЕНТЫ ГЕО"*
мг Г015» плоской ТрИГОНОмЕТрІИ

И СфЕрНКИ.

*

'чин игаяДЛЯ учащагося вЪ морскомЪ шля^&тр’ОмЪ
ідеиіско^рК°рп)<1= благороднаго юнбтества, Клпк-

тагскагс ранга мат матичес ихЪ и наычаг ъхЬ
наукЪ учгтелемЪ ни олаемЪ Кургановымъ

$ й .л ййі .) Д Л-к а « и й й й-іУй л й 6

ВЪ САНКТПЕТЕРБуп^

Ісчатано вЬ типогра^н^ шоі оже
і Карнза 1765 го’да

БЛАГОРОДНОМУ

Морскаго шляхетнаго кадеігскаго
Корпусу.

ЮНОШЕСТВУ

ПрИНОШЕНІЕ

БЛАГОРОДНЫЕ ГОСПОДА

учился я *Для пасЪ , нынѣ іуастТі
9іл/Ѣю пасЪ учитъ-, и для того ло спра-
ведливости ллодЪ ученія ліОе'о НалЪ лри-
ношу. ПоспятипЪ жизнь нашу найолас-
Яѣйшей стихіи, вооружите сес'я лрстипу
ся знашеліЪ ГеоліетрІи. Будучи глашЛй-
ічая лутеподителъица хЪ л/ореллапанію.
I й хЪ ДругиліЪ оное лодхрѣлляюімилЪ нау-
эсалГЪ, сія докажетъ цаліб спссодпый и
(іезоласный лутъ пЪ лрострсшн-ѣцшія лю-
ря, сія научитъ пасЪ дрезиратъ и раз-
Перзаюируюся до лреислоднилЪ сгезДнЪ лу-
’лліну, и постаюпря до нсдесЪ полны схе-
сна, сія сдѣлаетъ  пасЪ п'ѣтрогіб и цурь
^іопелителялт. Пол/опрю ея стхрыете пы
)1есп’ѣдоліыя Лути пЪ нелро^соднылЪ ліо-
рягхЪ, и лохажете* спѣту неизвѣстныя
\кзофѣтенія. Сего отЪ паеЪ пселитукщая

награждающая пасЪ пселіилсстипѣйшая
'КІонарзсиня, сего отечество, сего у. іД’ѣте-
іЛНый и лолзы пашей ииууліій началвихЪ
ірашЪ ожидаютъ,

бЛАГОрОДВЫЕ ГОСПОДА •
ііашъ покорный слугл
**и

„ .  4	Йжолай кургаИОі^ \

ПРЕДУВѢДОМЛЕНІЕ.

ВЪ напечатанной- 1757 года АрифмегпикѢ между
множествомъ различной арифметическси матеріи
показаны удобнѢйшимЪ образомЪ свойства пропо «»
Сіи, прогрессіи и логарифмсвЪ, кои какЪ оной гео-
метріи такЪ и всей математики главнѣйшимъ
основаніемъ служатЪ. Геометрическія вычисленія
случающіяся еЪ общежитіи, положены тамЪ безЪ
доказательства для читатѣлей коимЪ оное не-
нужно, а любопыпінымЪ здѣсь ебіяснятся*.

Столько уже есть и на нашемЪ языкѣ различ-
нымъ сочиненій о геометріи, что иное издавать ка-
жется излишпымЪ дѢломЪ; но вЪ рассужденія ихЪ
содержанія уповаю не безполезнымъ будетЪ сіе новое
сочиненіе, вЪ коемЪ я подражалъ новѣйшимъ изда-
ніямъ у бѣгая многссловныхЪ и только умЪ затруд-
няющихъ изЪясченіи, старался вЪ лччшемЪ порядкѣ
предложить всѣ то кратко, точно и ясно, чтр
не только кЪ познанію мореплавательной науки,
но и всехЪ о измѣреніи рассу ждающихЪ довольнымЪ
руководствомъ служитЪ-

хотя вЪ помя іутои арифметикѢ и сказано вЪ
КрашпѢ о математикѣ , но здѣсь обЪ ней обстоя-
‘Ч тельнѣе повторить имѣю . Слово математика на
ГреческомЪ значитЪ просто ученіе} однако она пер-
вѣйшею наукою можетЪ назватся, по тому что ея
начала знаемы безЪ опыту и предложенія вЪ- ней-
доказаны сЪ такою ясностью, что нѢтЪ причины ’
, с чемЪ# сомнѣватися. вЪ старину ея учили дѣтей
предЪ философіею, и для того Аристотель оную

1 НазвалЪ дѣтскою наукою, а сіе было не толы о
Д^я изощренія' юношескаго разума прияшнѢйпнмЬ
УяетрмЪфйно ’^тобЪ его приугошсвишь кЪ лучшему

••	• .**	понятію 



'ітонятію естественныхъ наукѣ •; И премудрый |
ПлаптонЪ никото не принймалѣ вѣ свое училище ,
кто не зналЪ геометріи .

Ядугв есть знаніе преобретаемое чрезЪ ясныя
и основательныя начала • А понеже основанія мате-
матики суть весьма явчоъидны, слѣдственно мате-
матика есть истинная наука .

Математика есть такая наука, коя учитЪ все-
му тому, какѣ счислять и мѣритъ. Что можно
считать суть числа, и то называется арифметика,
что можно мѣрить суть длина, ширина, тихость
и скорость движенія, сила, теченіе, прибываніе И
убываніе величинѣ, и сіе обыкновенно имянуется
геометрія.

Свойственныя части простой или чистой Мате-
матики суть А ифметика и Геометрія, кои взаимно
себѣ спомсн^ствуюпіѣ , и ни мало не зависятѣ
отЪ прочихѣ наукѣ, кромѣ что отЪ художествен-
ной логики: ноупвваю что для обученія математи-
ки довольно одного природнаго смысла умному че-
ловѣку. Проч яже науки Математики ссстсятѣ то-
лько вѣ физическихѣ или естественныхѣ знапіяхѣ
Чрезѣ Арифметическія или чрезѣ Геометрическія на-
чала изѢтолкс®анныхѣ.

АргггифИці'альная или снисканная Логика есть
искуство показу ющее порядокѣ, какѣ исп| явно о
вещахѣ умствовать* Натуральная или врожден-
ная есть то дѣйствіе добраго смысла, кое на-
турально учигпѣ различать истинну сѣ неправ-
дою • Но какѣ Математика есть весма есше пнен-
пая наука, то симѣ рѣченное подтвердить можно,
что для разумѣнія оной, довольно естественной
Логики умному человѣку.

Чрезѣ слово чистая Математика разумѣй -,сЯ
іпа, коя рассуждаешѣ о количествѣ престо само по
себѣ, не касаясь до матеріи или до какой либо чув-
ствительной вещи,

ІРеомеп?*

Геометрія есть слово греческое зИачгппЪ аемле-
М іріс потому» что начальное сея науки упспіреб-»
ле.чіе было во измѣреніи различныхъ земныхЪ
М сшѣ. Египтяне первыя ея изобрѣли для ис рав-
леяія межей своихЪ дань-, ежегоднымъ на водно*
ніемЬ отЪрѢки Нила пов; еждаемыхЪ- Но понеже ся
наука подаетЪ правила, какЪ. чрезЪ одну или мнс?
г Я данныя» то есть * мѣрою знаемыя величины,
можно находитъ другія искомыя или мѣрою не знаее
мыяі а даннымЪ подобныя величины, то чрезЪ сіе
она гораздо далѣе землемѣрія простирается и ссо*
іпавляетЪ теорію и прахтѵку'.

Теорія Геометріи пре лагаетЬ естественныя
Свойства протя кев: я и способы для .точнаго иімѢ
ренія всякихЪ фиіурЪ, а практика показуетЪ пра-
вила, какЪ то ученіе на самомЪ дѣлѣ употреблять,
КакЪ то вЪ землемѣріи и еѢ прочих'ѣ жишенскихѣ
случайнестяхЬ*

Теорія Геометріи не рассуж лаетЪ о естест-
венныхъ тѢлахЪ, кои различнымъ подлеж-тѣ пе-
-ремѢнамЪ, но только о мниныхЪ, представляя себЪ
одно бытіе ихЬ длины безЬ ширины» прсЯіраііг
ство безЪ толщины или глубины, и не упоминая
ни о какой матеріи . Йг примѢрЪ ^°тя совершен-
наго шара и не видимЪ, но по сен наукѣ должно
его воображать такой круглой фигуры» коей есят
кая точка поверхности оіпЪ средней или пенпірг
эЪ равномЪ разстояніи находится » дабы чрезЪ , що
можно изслѣдовать непремѣнныя геометричес-
кія истинны, какЪ поверхность шара есть точно
вЪ четверо больше площади своего большаго круга,
и прочія сей подобныя, кои кЪ точному измѣренію
всѢхЪ сущихЪ вЪ свѣтѣ вещей служатЪ. Ибо все,
что принадлежитъ, мнцмому протяженію, гпожЪ
діри всякомЪ видимомЪ употребляется ; свѣтила жЪ
.небѣ, корабли на морѣ суть тѣла, небо, море
іуть прссшрацвтіа или пр щяжешя» ихЪ теченія

',	или

йли движенія скорости, пути и взаттія положе-
нія размѣряются углами и линѣями; слѣдственно
дѢнсгакя Астрономіи и Навигаціи основа ”ы на пра-
вилахъ Геометріи: однимЪ сл м.смЪ Геометрія есть
основаніе всѢхЪ наукѣ ® измѣреніи Какой либо вѣщи
предлагающихъ .

Теорическая Геомет ія имѣетѣ сбои Клементы,
то есть первыя основанія, состоящія ъЪ собраніи
многихЪ умствигпелт ныхЪ и дѢяті лігыхЪ предложе-
ній, одни изЪ другихЪ прсизведені ыхЪ, и чрезЪ прос-
тыя истинны доказанныхъ.

'Методъ или лсрлдпкЪ есть исі усшво надлежаща-
го расположенія многихЪ винословій какЪ для ис-
пытанія незнаемой истинны предложенія, такЪ и для
Сообщенія по изобрѣтеніи ея ДругимЪ . Строгость
метода геометрическаго или обще математическаго
ссстситЪ вЪ томЪ, чтобЪ отнюдъ ни чего не дсз-
маемаго и не Явно доказаннаго не утверждать. По се-
му для полученія того Совершенства , сі ерва ггока-
‘Яіі'Ы здѣсь первѣйшія начала, по іпсмѣ сс аватель-*
йыя положенія (Гипстезисы ), І ИзЪ нихЪ выведе-
ны опредѣленія ( дефиниціи ) то есть, ксшолксіа-’
нія словѣ, и вещей геометрическихъ,- на примѣрѣ»
*ппо есть -кру?Ъ, радіусЗ , У^рда ѵі і роч. За симд
началами слѢдуютЪ предложена имѣющія сход-
ство сѣ простыми исти інами ( Аксіомами ), кои
чрезЪ себя всякому яс о понятны: на примѣръ какѣ
пѢлое своей части бсліше; и суммѣ всѢхЪ своихЪ
частей равно. предложенія истолкованы винссло*
ЙемЪ, кое доводѣ или дсказашелгство ймянуется.
ИзЪ сихЪ изобрѣтенныхъ истиннЪ происходятъ слѣд-
ствья (кореллйріи) или такія прав ы, кои изѢпреж-
нихъ естественно текутЪ и безЪ обЪясненія поня-
тны: напримѢрЪ ежели равнобедренной прямолинѢи-
ной треугольникѣ имѢетЪ два равныя угла, слѢІ •’
(авносторонкей треугольникѣ есть равноугольной,

Ш	Гр едлй^

ПретложенТя бываютЪ двоякаго роду, одни
«ываемыя Теоремы состщтЪ вѣ испытаніи свон-
сшвЬ фигурѣ; чап имѢ Ъ потребно изЪяснить, что
вЪ пря юлинѢй омѣ треугольникѣ сумма углсиЬ
равна двумѣ прямымЪ угламѣ: здѣсь оныя теоре-
мы просто приложеніями названы, д угія суть лро*
іУ'ле^иы или задачи-. то есть, средства дѣйствите-
льна! о упст .сбленія чрезЪ Теоремы доказанныхъ
исшиннЪ: паприиѣрѣ .іа.інсй величины прямую чер-
ту на4 сколько ни'удъ .равныхЪ частей раздѣлить
и проч. для дово у какого ля о і,- ложенія или,-
кЪ тому пріу> сшсвлекія у и требляюшся ко.кпг-
рук іи и леммы.

Ксчст улц Д.	[Лсі^др давніе

часте.і фи,\ ы еогласвое сѣ Теоремоьр или сЪ П|О-
бле ч>.>, то есть, рѣштпслъ ей способѣ всякаго
гГе/?^-г -я •

есть предложеніе какой либо доказанной
исти ны, кся служитЪ пріуготовле.ііемЪ для об-
легченія доказательства многотрудной Теоремы. —
Сдсол?с«2> ставится вмѣсто примѢчашя^на нѣ-
которыя іещи, иногда оссбыліЪ дово омЪ, а иногда
общимЪ изЪягаіедіЪ пространно доказанной Тео-
ремы, но здѣсь оное просто примѢча .іемЪ на-
звано .

Прс^ле^а бываетЪ условная и неусловная «
опредѣленья и неопредѣленная.

У сминая. л рс</имѢ гпЪ только одно рѣ-
шеніе или рѣшится однимЪ видомЪ. какЪ чрезЪтри
Данныя точки, кои сушь не на одной прямой чер-
тѣ, кругѣ описать.

Неуглоинал	есть та, коя имѢетЪ

безконечное рѣшеніе, то ест , кою можно рѣшить
без іислеано разными видами: какѣ чрезЪ двѣ данныя
точки кругѣ провест , или данной прямолинѣйнои
Гпреугол никЪ по оламѣ разіѢлить.

Ол/іеділеннал лроі/ле^йі коя имѢетЪ одно
либо

>иб< нѣкое опредѣленное число рѢшеніевЪ а неболѣе.
КікЪ на данной прямой линѣе написать прямоли.
дгЬйной равносторонней тре голъникЪ; сія обЪ од-
НомЬ рѣшеніи • Начертишь равнобедренной прямоли-
нейной треугольникъ, коею площадь и обводЪ
даны; оная о двухЪ рѣшеніяхъ. П ямолинѢйной
данной уголЪ на три рав ыя части аздѣлить; сія
Проблема о трехѣ рѣшеніяхъ и тако о прочихЪ.

Неопредѣленная прс&мЖа есть та» коя полу*
чаетЪ нес Ътное число разныхЬ рѣте ій.

рѣшеніе проблемы можетЪ быть геометричес-
кое» Механическое» и невозможное- Геометрическое
рѣшеніе есть то , $ое дѢлаеіпсЯ чрезЪ наче[ тан е
линѣй пр: личлыхи состояні е проблемы. М ханю-
уеское рѣшеніе называется то, кое чинится ствѢды-
іанір.мЪ, или посредствомъ не геометрической линѢи,
какЪ сысканіе по чертежу Двух'Ь ‘средникѣ пропорці-
ональныхъ между даняідхЪ двухЪ линій*

рощеніе проблемы невозможное имяцуется то»
Кое точно никоимЪ образомЪ учинить нельзя: какЪ
вдѣлать квадратѣ равной данному кругу, что Мате-
матики обыкновенно квадратурою круга называютЪ;
или вЪ АрифметикѢ мзЬ какого нибудь пеквадратнаго
числа, какѣ изЪ ТпрехЪ, пяти, семи, и проч. точно
Квад .тнои либо кубической радгксЪ извлечь .

ВЪ прочемЪ ежели кто читая доказателіетва
не вЪ состояніи будетЪ на изЪясненіе по знанію
П ежних'Ъ испіиннЪ самЪ попасть, то оное ему на
Прешедшія номеры или "чисЛа, вЪ скобкахЪ означен-
ныя ссылки на память приводитъ могутѣ.

ИзЪ сего краткаго описанія порядка Геомёт и-
ческаго и обще математическаго явствуегпЪ, что
онЪ пріучаётЪ рлзумЪ кЬ твердымЪ и ос ователь-
нымЪ разсужденіямЪ, и пріобыкшей упражняясь вЪ
оиомЪ ученіи мысли свои такЪ* располагать, рас-
суждая и о другихЪ вепрхЪ такомуже порядку по
слѢдуетЪ. Ибо онЪ показуеіпЪ способѣ точнаго
испытанія

испытанія достовѣрной истинны, и слуЖйтЪ примѣ*
ромѣ, какѣ вѣ обученіи другихЪ наукѣ, начиная отЪ
врожденнаі-о понятія доходитЪ до высокаго знанія,
или какимЪ средствомъ основательному разсужденію
ю всемЪ послѣдовать.

***********************

у Платона ЛЪ VII кяиг'й его усслусликіі
о лолЪ'ЭІ; Геолету іи.

И таіѣ видишь любезный друтѢ, что Мате^
матич скія науки не обходимы ко тому, что они
Ч[езЪ ясно предлагаемую в'Ь себѣ точность обяз\*
ютЪ силы нашего разума уіотреблятЬ. По ис*
тин“іѢ есть такое ихЪ упражненіе , кЪ шомуже сіе
достойно внимагія, когда ьсякЪ человѣкѣ врожденъ
но способенъ умствовать и разумѣть всѣ Знанія, т8
ИмѢ-щія хотя посредственное понятіе, ежели п<-
учатся сей наукѣ, и когда имЪ Для всякаго Инаго
дѣла будетЪ безполезна, тогда могу’гпЪ отЪ меЯ
полізоватся тѢмЪ , что о всякой вещи ссно*
ІвательнѢе разсуждать станутЪ. ибо нѢтЪ инаго
учепя, кое бы ѵмЪ дѣлало столъ прссвѣщеннымѣ.
Сея то паукѣ должно обучать тѢхЪ, вЪ комѣ усмо-
т ится разумѣ достойный украшенія ученіемЪ.

у ллюггщр-

ПлатонЪ былЪ Афинейскй ф лософѣ, жилЪ вЬ
концѣ персипкой монархіи, около 400 лѣтѣ прежде
рожд. хр. М)жЪ и о ісѢй Греціи найученнѢ.йтій,
у эЪ на 85 году своей жизни. Цицеронѣ столь вы<
соко его почитая говаривалЪ, что онЪ лучше сЪ
/ТлатономЪ хочетЪ нщрѣшатъ, нежели сѣ иньші
правду говорить-



у Плютарха пЪ ослой явдросотЯ/

Плато-Ъ хвалитЪ теомет[ѣо, для того что
Ьтаа отводитЪ чувства, кои соісемЪ нами власть} »
Іотѣ, и приводитЪ насЪ кЪ тому, чгйо едпі? іпб-
лько умственно и вѣчно- Знаніе -сего ес ь совершен-
ство философіи, какЪ открытіе тайііосгііей есть
предѢлЬ ихЪ і опыта .і . радость » печаль столь
іпКс- о соединя.огіпЪ умЪ сЪ чувствами или душу сЬ
тѢломЪ, что она сдѣлавшись огпЪ него зависящею» о
извѢстныхЪ ей всщахЪ не по ддриоду разуменію, но
по получаемому отЪ своею тѣла воображенію
рассу ждаегпЪ . Сила с іхЪ страстей дѣла тѣ душу
’іувствительну только кЪ различнымъ и всегда шнимѣ
перемѢнамЪ тѣлесныхѣ вещей ей представляемыхъ»
Она будучи сама собою вЪ состояніи ьамЪ от-
крыть божественное существо» но ослѣпляясь чув-
ствами, несравненно превосходнѣе т лесныхЪ іл зЬ
свѣтѣ терЛетЪ, и -высочайшаго любомудрія лиша< 
тся. Геометрія такому го. обна чистому зеркалу» вѣ
кбемЪ видны сл'Ьды и изображенія вещей умствен-
ныхъ кЪ которымЪ ©на нашЬ разумѣ, якобы очисшя,
ИЛи освободя отЪ ига чувствѣ обращаетъ.

ОГЛАВ-

ПлютархЪ’ греческой философѣ жилѣ ьЪ первомЪ
столѣтіи послѣ рожд. хр. во время Трояна Кесаря
римскаго .



ОГЛАВЛЕНІЕ

^ ***** * **'*»*»**»** ^ * * *
ЭЛЕМЕНТОВЪ ГЕОМЕТРІИ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

О лонгиметріи.

О геометріи вообще стр. 1

Ъ происхожденіи и главныхъ свойствахъ линѣй. 4
о свой твахЪ прямнхЪ линѣй вЬ положеніи одной
®Ъ разсужденіи Другой. '	6

О свойствахъ ПрЯМыхЪ линіи вЪ 'положеніи одной
прошивЪ двухЬ «ли многихЪ, иныхЪ линій--Прост-
ранство не опредѣляющихъ •	14

о нЪкоторыхЪ свойствахъ прямыхЪ линіи сЬ
кругомЪ.	2 4

О прймыхЪ ЛинІяхЪ Пространство заключаю-
щихъ .	. .	>	Зб

о равныхЪ видахЪ и свойствахъ треугольни-
ковъ .	37

О сношеніи треугольниковъ.	44

О прочихЪ.полигонахъ.	4’)

О свойствахъ полигоновъ Вообще .	,	уо

О симет ическихЪ полигонахъ со	впадшими и вы-

шедшими углами.	54

О свойствахъ правильныхъ полигоновъ.	56

О свойствахъ круга.	. «	62

О содержаніяхъ и авномѢріяхЪ геомегприческихЪ. 66

О нікошорои равномѣрности линіи.	7}

О пре-

О пропорціональныхъ линѢяхЪ.

©>, сравненіи подобныхъ.фигурЪ .	ка

сбЪ окружіяхЬ или обводахЪ фигурѣ и о сравненіи
еныхЪ,	104

********* **************

ЧАСТЬ ВТОрАЯ

О планиметріи.

О мѣрахЪ. удобныхЬ кЬ измѣренію величины по-
верхностей	іэ?

О генеральномъ способѣ измѣренія площадей. За
бимЪ слѢдуетЪ превращеніе, сложеніе» вычитаніе»
увеличиваніе и уменьшеніе площадей.	ю&

Примѣчанія на квадратуру круга.	і^2

О дѣлены плоскихЪ поверхностей...	1^4

Пополненіе плаиимет іи.	14

О свойствахъ плоскостей .	губ

**<*«**********.******«*.

ЧАСТЬ ТрЕТіЯ

О, стереометріи. іби
«- ----- --------------------------------

О натурѣ и свойствахъ шѢлЪ прямолинѢйнымЪ
движеніемъ, произведенныхъ.	164

О натурѣ и свойствахъ тѢлЪ круговымЪ движе-
ніемъ произведенныхъ,.	і6&

о поліедрахЪ или многогранныхЪ шѢлахЪ и осно-
хпеніи оныхЪ*	171

О составленіи тѣлѣ изЪ бумаги»	175

О изображеніи шѢлЪ а плоскости.	174

О сравненіи тѢлЪ.	тамже

О изм -



р измѣренія высогпЪ кякихЪ тѢлЪ,

О измЬречги поверхности тЪлЪ •	йіутж®

। О сравненіи Поверхностей на тѢлахЪ.	і56

О изм реніи толстоты всякаго рода тѢлЪ« і 8

О измѣреніи толстоты пяти правильныхъ тѢлЪ. 196

О сравненіи тѣлѣ по ІіхЪ тЫсшотамЪ;' ТпутЬ
показано во обще превращеніе, сложеніе, ъьгигпаніе,
увеличиваніе, уменьшеніе и дѣленіе тѣлѣ ипро і. 203

;^*******^*. ***-*»$*.****$$

ЕЛЕЛ1ЕНТЫ

Плоской нли Л'ряліолин’ѣй'ной

Шригоноліетріи.

^ефднигіі и началінчя основанія.	210

Основанія для сочиненія таблигЪ синусогЪ 215

О кыч слІніи -логаркфмов'Ь сииусовЪ, гпаягенсоѢЪ

И проч •	218

О употребленіи логарнфмоіЪ синусовЪ шангенсогЪ.

И ПрРЧ -	2’0

Общія предложенія о тригонометрическихъ вв <в
КЛадкахЪ-	224

правила вычисленія прямоугольныхъ треуголь-

ДииовЪ-	227

Правила вычисленія косоугольныхъ треугольна

КовЬ-	231

о рѣшеніи разныхЪ тригонометрическихъ з. -
|ачъ •	2 7

Описаніе о секторѣ и проч^	249



у**********************

ЭЛЕМЕНТЫСФЕРИКИ

----------------------------,

ЧАСТЬ ПЕрВАЯ

Дефиниціи и начальныя основанія сферической
рауки.	253

***********************

ЧАСТЬ ВТОрАЯ

О проекціи сферы.

Дефиниціи и первыя основанія сферической
уро кн іи.	_	261

О свойствахъ стереографической проекціи .	264

***********************

ЧАСТЬ ТрЕТіЯ

О сферической Геометріи, а вЪ ней показаны про'
блемы сферической проекціи.	27$

***********************

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

О сферической тригонометріи.

дефиниціи и первыя основанія.	294

О главныхЪ свойствахъ сферическихЪ треуголь-
никовъ .	296

С сноше ііи|

О сношеніи прямоугольныхъ треугольниковъ вЪра^
сужденіи величины ихЪ сторонѣ и угловЪ. 302 [

Правила вычисленія прямоугольныхъ треуголь-ч.

ВиковЪ.	305

Пропорціи для вычисленія сферическихЪ прямс-ѵ I
угольныхъ треугольниковъ.	310	,

ИзЪясненіе предписанныхЪ пропорцій.	313

О рѣшеніи сферическихЪ прямоуголшыхЪ тре- I
утолъниковЪ генеральнымъ правиломъ .	316

Доказательство на сіе правило.	317

Начала для вычисленія косоугольныхъ сферичес-

КихЪ треугольниковъ.	3:0	•

общее рѣшеніе кссоугольн . сф°рч • треуголъні1

КовЪ по всѢмЪ возможнымъ задпніямЪ.	'^о

Пропорціи для вычисленія сферическихЪ косоуго.
ныхЪ треугольниковъ.	333

***********************
ЧАСТЬ ПЯТАЯ

О начертаніи и числительномъ рѣшенія,
сфрическилЪ треугольниковъ.

Примѣры на прямоугольн: треугольники. 337

Примѣры на косоугольныя треугольники. 345 |

Заключеніе.	3*9

О измѣреніи площади на поверхности шара ду*
Сами какихЪ нибудь круговЪ опредѣленной. Збс |

КОНЕЦЪ ОГЛАВЛЕНІЮ.

фффф

» 4	-Й » Й-

•» й-

•Й

ЕЛЕМЕНТЫ

<*»	мл ігл	& огл чр,

§ * *	*	»	*	Ж Й<-	*	Ж	Ж- -*	Ж	Ж	И-	*	%- (

/*«*»*»*****« * * * * *****?

> *- •>.	ж	*	*	Н:-	*	-ж-	-ж-, н-	ж-	ж-	Ж	-ж	* а

ЕЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРІИ

4г * * ж- ж ж- -ж ж	Ж 4?

О ГЕОМЕТРІИ ВООбЩЕ

и

©РАЗЛИЧІИ ПРОТЯЖЕНІЯ

4 * Г' * §

** сомстпрТя есть наука, коя магясня*
спіЬ свойства протяженныхъ всли-
чинЬ или протяженія и оное точно измѣ-
рять у^итЬ.

1. Хотя всякое сущее в свБігіЬ протяже-
ніе имѢсгііо всегда пр і ссбВ три г амѢрснія,то
есть, длину, ширину, толстоту или
глубину, однако можно о каждомЬ разсу-
ждать особо нно не касаясь до протчихЪ, или
о двухЬ вкупѣ изключая третіе измѣреніе:
такЪ какЪ думать о длинѣ дороги не раз-
суждая о ея ширинѣ, мыслить о простран-
ствѣ поля не думая о земной толсшопіѢ.

3	- Намѣреніе рассу ждасмос шокмо едино

А

называется

на9ь1ѴлёгпсЯ линѣ я или черта; два вкупѣ
дБлаютЬ величину двоякаго измѣренія или
поверхность, а три вмѢстБ составляютъ
тѣло. Того ради Геометрію раздѢляютЬ вЬ
іг і части, пзЬ коихЪ первая показывастЬ
свойства линБй, и потому называется ЛогѴ
гимсіпрія, Вторая упражняется во изслѣ-
дованіи плановЬ или поверхностей, Пла—
нпХісгГ| Г я. Третія разсуждающая о т ілахЪ
и ксэкЬ ихЬ измѣрять имяпустся Стерео-
метрія.

4	. Для изображенія всякаго протяженія
Геометры полагаютЬ пунктѣ или точку
за величину безконечно малую; то есть ли-
шенную всякаго измѣренія; какЪ 'самой
консцЪ остраго цыркуля или булав-
ки.

5	Геометрія всякое естественное тѣло разсма-»
тив'.етЪ токмо по величинѣ его протяженія; то для
наблюденія во измѣреніи оныхЪ тѢлЪ надлежащей то-’
»4гі.хти должно по- сей наукѣ представлять вѣ умѣ
одно ихЪ протяженіе безЪ вещества, во ошвеюды вЪ
точныхЪ свэихЪ предѣлахъ заключенное- и по сему
воображенію такое пустое пространство, какЪ вЬфи-
гурѣ или начертани і, геометрическимъ тѢломЪ на-
зывается, котораго тесть наружныхъ граней или сто-
ронѣ р.‘ хуж^аемыхЪ безЪ пилщины с'ставляютЪ его
поверхность, а тѣло есть протяженіе сею поверхне-.
6ГП1ДО о редѢленное. Д тако предѣлы тѣла суть
повёрхНс-

Ѣоверхнссгпи, поверхность ограничиваютъ линіи? ау
всякой линіи при концахЪ предѣлы суть точки.
Слѣдовательно всякаго протяженія по геометриче-
скому разумѣнію ни какЪ назначить не м жно. Цэ
хотя ихЪ на бумагѣ изображаемъ, и тогда самыя
малѣйшія точки, и тончайшія линіи кажутся повер-
хности ьми; а вЪ разсужденіи матеріи ихЪ изъявляю-
щей какЪ чернилЪ, карандаша и протч. оныхЪ тѣ-
лами назвать Можно: однако все то для точнаго из-
м ренія всякой натуральной величины, или нами ви*
димыхЪ вещей должно признавать за одни знаки то-
го, что мы поихЪ существу 1Ъ нашемЪ разумѣ пред-
стаіляемЪ.



«& * $



А 2.

’ІАСТ Ь

ЧАСТЬ ПЕрВАЯ
о лонгиметріи.

**4*******************

О ЛроПЗХОЖДЕНІИ И ГЛАВНЫХЪ СВОЙ-
СТВАХЪ линѣй.

6.	Л'лнВю можно мысленно произвесть
Движеніемъ точки. Ежели точка движится
прямо или вЪ одну сторону (какѣ по вы-
тянутой недолгой ниткѣ) то ея слѣдѣ
есть прямая линѢя, какѣ ЕС ( фиг. 2).
А непрямо идучи производить кривую ли-
ііѣю, какЪ СБ и БСБ.

7.	Представь сеьѢ еще, что точка описы-
вастЪ линѢю безмѣрно малыми ступсньми.
Но какѣ каждую такову ступень можно
признавать за прямую линѢю безконечно ма-
лую- то по сему мнѣнію, прямая линѢя есть
рядЪ несчетнаго числа прямыхЪ линѣй безмѣрно
малыхЪ вЪ Одной прямости лежащихЪ; а кривая Ли-
нѢя есть рядѣ несчетнаго числа прямыхѣже линѣй
безсонеѵно малыхЪ, и вѣ разныхЪ положеніяхъ ме-
жду собою состоящихъ.

8.	Слѣдовательно, іЪ разсужденіи безко-
нечной малости каждой ступени, можно
ихЬ почитать за самыя точки, а линѢю
признавать за непрерывной рядѣ точскЬ$
и іпако отсюду явствустЬ.

9.	Іс. Прямая линБя ссгаь неминуема
рамая кратчайшая, какую между двухЪ прс-
дБловЬ илп точскЪ провесть можно, и пото-*
му оная есть точная мБра ихЪ разстоянія.

ІО.	Не. ВеБ прямыя линБи имѣются
одного виду ? а кривыя быть могушЪ без-
конечнаго числа разныхЬ видовЬ.

 І.Ше. Положеніе прямой линѢи трс-
бустЬ только два предѣла или двБ точки,
ибо отЬ одной точки С(ф. 3 ) можно провесть
безконечность прямыхЬ какЬ СБ, СІ, СН,
ипр. а бу де дастся другой предБлЪ какЬ
Б, шоі да положеніе линБи опредѣлится
чрезЪ точки С, Б. Но положеніе кривой
черты опредѣляется по многимЬ точкамЪ.

12.	означенную чернилами или карандашемЪ ли-
нію называютъ явною, а изображенную концомЪ
циркуля бѣлою. Точками или пунктирнымЪ пером'Ь
проведенная черта имянуешея пунктирною или то-
чечною.

13.	опредѣленнаго положенія или обЪявленн й
длины линія, опредѣленною или данною; а не имѣ-
ющая предѢлов'Ь назначенная линія имянуешея не
опредѣленной длины, но то мо даннаго положенія.

14.	чрезЪ двѣ данныя точки проводится и на-
значенная продолжается помощію цыркуля или пера
и совершенно прямой линѣдки.

15.	ДЛЯ повѣреніяже линѣйки надлежитъ пре-
весть на бумагѣ подлѣ оной линѢю, потомѣ при».
Ложа линѣйку шѢмже краемЪ кЬ.юнцамЪ той черппі

А 3	сѢ

сЪ другой спторэны назначитъ другую; щогда ихЪ
ЛидЪ окажетЪ вѣрность липѢйки. иначе приклады-
вая край линѢйки кЪ висячей сЪ гирькою ниткѣ.

* іб . Правило измѣренія какой нибудь опредѣлен-
ной линѢи состоитъ вЪ сравненіи какой нибудь .упо-
требляемой общей мѣры какЪ сажени, фута и прэч.
сЪ длиною данной линѢи.

***************************************

О СВОЙСТВАХЪ прямыхъ линЪй ПО'
ВЗАИМНОМУ ихЪ ПОЛОЖЕНІЮ.

17-	Іс. Основательное, положеніе.
Всякую прям ю лйнѣю можно провесть на
планѣ или плоскости то есть на такой вскіды
ровной поверхности, (какЪ на выровненной
бумагѣ или на полир. стеклѣ) которой всѢ
точки между собою находятся вЬ одной
совершенной прямости Геометрическое изо-
браженіе плана показано будсціЬ во второй
части.

і8.	Не. Также возможно опредѣлить,
среднюю точку всякой данной прямой ли-
нѣи на плоскости лежащей-, а какѣ то ге-.
©метрически зд лать показано ниже (66).

Сіе прсдположа вообрази, что на не-
движимую прямою АБ на планѣ означенную
(фиг. 5.) наложена другая (коіпорую на-
зывай движимою АБ) с.Ь первой ріг.ная и
обѣ одну линбю дЪл-ючЪ, и чшй спая ?і»
СрСДН $

средней шочкЬ С ( 18 ) неподвижной чертой
вращается такЪ, * что ея часть АС концомЬ
своимЪ Аознача на томЪ планѣ слЁдЪ АББ,
ляжстЬ точно па половину СВ не подпи-
сной, а другая часть СВ оставя по себѣ
слБдЬ БЕА соединится сЪ другою полови-
ною СА черты неподвижной АБ; и по
ссм мнѣнію движимая опишстЪ фигуру ,
которой чісгпи суть слѢдующаю названія.

20	. Толков. I. Вся фигура движимою
описанная называется кругЪ Кривая ли-
нѢя АББЕ А оной опредѣляющая есть окру-
жность круга. Точка С около которой
описана окружноспь центрЪ имянустся-

21	И. Какія нибудь части окружности,
какЪ АМ, АМЬ, ЬВН ипроч. называются
д г и к ру г а, Прямая А В раздѣляющая кругЪ
пополамЪ переходя чрезЪ его центрЪ имянус-
тся ді'амстрЪ или поперешникЪ кру-
га; такіяжс суть ЕК, СЕ, БЕ ип отч.

22	ІИ. ГІр м я СА, к шорая своимЬ
тсчснісмЪ описывасшЪ кр іЪ около центра
С имянуется радІусЪ (лучь) или пол- |
аметрЪ круга; и посему все прямыя ошЬ
центра до окружности проведенныя какЬ
. * КакЪ. средняя черта движимой планки по іругу
Астрелябіи.	А 4	С? ।

СЕ,СО, ВС и проч. радіусы называются.

25.	С ѣдоватсльно всБ радіусы и діа-
метры одною или равныхЪ круговЬ между
собою равныя; и потому кругЬ есть плоская
фигура такою кривою линЪсю опредѣленная
которой вЪ точки ошЬ внутренней точки,
ммянуемаю центра равно ошстоятЪ.

24. окружность всякаго круга для удобнѣйшаго
измѣренія угловЬ обыкновенно раздѣляется на 360
равныхЪ частей, называемыя грлдусЫ; кажд й гра-
дусѣ еще дѣлится на со равныхъ же мастей имянуе-
мыя минуты, всякая минута на 6о СЁКуНдЬ, се-
кунда на 6о ТЕрцІИ и проч . сіе чгсло градусовЪ иг- •
бранэ для способнаго его раздѣла на пѣло чрезЪ мно-
гія нотныя и нечѳтнья числа. О ыя части не іііа. ІЯ
непремѣнныя величины какЪ саженныя или футовыя
мѣры , но величинѣ К| уга пропорпіоналіныя, то есть
градусѣ болішаго круга есть больше градуса малаго
1 руга, и оныя сЬ величиною круговЪ равно прибавляктся
и умаляются, цэ сему ' основанію здѣлаіы раз ыя
углом рюющія и стрѵменты, какЪ то КЕАДрлНТЫ,
АСТрЕЛЯбіИ , ТрАНСП р ГИры и П оч . кои безѣ
описанія моего всякому самою ихЪ вещію знаемы бышь
мэіутЪ.

2у. рассуждая потомЬ о теченіи дви-
жимою діаметра, явстустЬ Іе* Что оный
не пустясь вЬ движеніе, і.сим лЬ сЪ нспод-
вижнымЬ никакой псрсссчки и наклонно-
сти; но всБ его точки точно закрывали
всехЬ соотвѣтствующихъ тою точекЬ.

26.	Ис. Движимая на точкѣ С, купно

совссми

со вссми своими точками имѣстЬ вращеніе,
и каждая оныхЪ равное число ступеней дЪ-
лаешЪ.

2?. Ше ИкакЪ скоро движимая пустит-
ся вЬ теченіе, тогда ея точки піѣмЪ болБ
обоюду отходяшЪ ошЪ соотвѣтственныхъ
точскЪ неподвижной чѣмЬ оныя далѣ ош-
стоятЪ отЪ точки С, оставшейся общею
обоймѣ линѢямЪ, кои во оной псрссеклись
и части ихЪ между собою наклонными
учинились. НапримЪрЪ когда движимая вдѣ-
лалась прямою ГСК, тогда у ней общаго
сЪ неподвижною только осталась точка Сі
точка Е далЪ отошла отЪ А, нежели вся-
кая иная находящаяся точка между ГиСкакЪ
Г опіЬа. Тоже учинитЬ точка К вЪ разсу-
жденіи В. ПритомЬ линЪя ГК псрссекла
недвижимую АВ, вЬодной точкѣ С, и ча-
сти той, ЕС, СК вдѣлались кЬ оной на
клонными.

28.	Прямая сскущая или однимЪ кон-
цомЪ своимЬ касающая другую сочиняешЪ
уголЪ і какЪ линѢи ГС, АС дѣлаютЬ ГС А.
у/глы вЬ рассу ждсніи ихЪ сгаоронЪ бываютЬ
трсхЬ родовЬ, прямолинѣиныя, криво-
линѢйныя и см'ѢшсннолинБйныя.

29.	у олЪ изѣявляетЪ величину накло»
ненія одной линѢи кѣ другой, кои псресскт
лись* по сему чемЬ ширБ оныя линБи имѢюшЬ ।
гштвсррт’іс піѣмѣ тупяс дБлаютЪ уголЪ, 1
ПрипюмІ явно, что мѣра н. клоненія двухЪ
линБй сспіь число равныхЪ ступеней, кое
каждая точка движимой учинила, удаляясь
ошЬ соотвѣтствующей точки недвижимой ,
нерты. По сему бу де точки Г, і и проч. дви- |
жимой ГС, отошли сгаЬ точскЪ А, а и (
Проч. по Ю градусовъ, тогда уголЪ накло- ’
ненія линБй ГС, АС будегаѣ 10 град.
А ежели точка А перешла до С двойное ।
число ступеней, тогда уголЪ А СО есть й> I
двое болѣ угла АСГ; иошЬеюду слѣду сіпѣ.

50. Іс. Всякаго прямолинБйнаго уіла I
мѣра есть дуга каждаго круга центрѣ свой
вѣ верху того угла имѣющая и между (
двухЪ прямыхЪ линѣй уго.лЬ составляющихъ I
содержимая: и тако коі да говоримЬ уі олЪ I
5 піи град. гію сіе значитѣ что его міра •
есть круга дуга іЪ I 5 град. величиною.

31.	Не. БѢ углы имѣющія за мЪру дуги
одинакаго числа і радусовЪ, между собою ра- ,1
вныя; и обратно, все д^ і и вѣ одномЪ или
вЬ рдвнл.хЪ углахЬ н п/санныя имѣя свой !

центрЬ I

ценшрЬ вѣвсрУу угловЪ, содержутЪ одина.
кое число Градусовѣ.

32.	ІПс.ЗнавЬ величину угла, познает-
ся величина дуги его сторонами содержи-»
мая5 и обратно.

3 3. По томѣ внятно разсуждая о круго-
$омЪ теченіи движимой, ясно видимѣ, что
оная была вѣ различныхъ своихѣ положені-
яхъ и пфмЬ сЪ недвижимою разной величины
углы составляла. Когда движимая АС была
линБею СО» гдѣ никакой не имѣла наклон-
ности кѣ линѣямѣ АС, СБ, то есть стояла
на нихЪ совершенно прямо, тогда дѣлала
углы АСР, ВСВ, прямыя; а будучи на-
клонна кѣ АС, чинила углы какѣ АСГ,
АСС и проч. острыя. Склоняясь кѣ СБ
составляла уілы какЪ АСН, АСІ и проч.
тупыя. Острыя и тупыя углы называются
косыя. Тоже самое тогда производила и
движимая СБ описующая полукружіе БЕ А

34 СлБдов^тедьно, всякой рстрэй уголЪ
меньше тупова . Острыя и тупыя уг ы
бываюшЬ разцой величины; цо прямой уголѣ
вЪ своей мѣрѣ нсцзмѣняется. И по тому все
прямыя углы между собою равныя, и каж-
дой по 96; ибо мѣра двухѣ прямыхЪ есть
прлукр^ жность, то есть 186. Остраго угла
мѣра

мѣра есть дуга, коя мѣнѣ 96, а тупаго
угла мѣра есть дуга которая болѣ 90.

35.	Прямая дѣлающая сЪ другою пря-
мой уголЪ или на иной никуда нснаклонно
стоящая называется кЬ оной перпенди-
кулярная или перпенд икулярЬ (прямо-
стоящая ) . По сему линѢя БС есть пер-
пендикулярЬ па АС, СВ, и ко всей пря-
мой АВ, обратно, СА, СВ, и вся АВ также
перпендикулярны суть кЬ СВ.

36.	ЧреаЬ данную точку прямой лп-
нѢи только одинЪ перпендикулярѣ прой-
ти можешЪ кЪ оной линѢБ на одной пло-
скости. Понеже только одинѣ есть падежѣ,
вЬ которомЬ движимая кЬ частямЬ СА, СВ
не бываетЬ наклонною.

37.	ЦБлая окружность круга только
размѣряете 4 прчмыя угла, понеже ва
окружность состоитЬ изЬ четырежды по
90 ~ 366 . По с< му сумма всѣхѣ уіловѣ
прт одной точкѣ С стоящихЬ не превэсхо-
дішіЪ 366.

38	Всякая прямая какЪ НС стоя на
другой АВ, дѢластЬ сЪ нею два угла АСН,
НСВ коихѣ сумма всегда ~ 186. Ибо дуги
АЯН, НБ ихЬ размѣряющія составляютъ
полу

Ь лукружность. Слѣдовательно всѣ прямыя
какѣ ГС, СС, НС ипроч. стоящія вЬ одной
гвочкѢ С на прямой АВ, дѢлаютЪ углы,
коихЪ сумма — і8б.

39-УГОЛТЭ СуплементЪ называется
тотЪ, которой сЪ другимЪ дѣлаешЬ і8б какЪ
уголЪ НСА есть су плементЪ угла НСВ а
оной угла АСН. уголЪ комплсмснтЪ
имянустся тотЪ которой сЪ другимЪ дѢ-
ластѣ 96 какЪ уголЪ АС Г есть комлем.
угла ГСП-, и обратно уголЪ ГСП есть
компл. угла АС Г.

40.	ИзЪ четырехЪ угловЬ, отЪ прссс-
ченУя двухЪ прямыхѣ линѣй АБ, НМ соста •
і ленныхЬ противолежащая у г ла всегда рав-
ны между собою.

Доказ. Ибо часть АС движимой столь-
кожЪ ступеней перешла до Н, сколько
другая СВ доМ По сему дуга АН — ВМ;
того ради уголЬ АСНг^ЕСМ. также и
уголЪ ВСН —АСМ.

41.	Коі да извѣстснЪ одинЪ изЪ четы-
рсхЪ угловѣ отЪ взаимнаго прсссчснія двухЪ
линѣй учиненныхЪ, тогда и всс прошч/я
познаются.

42.	Начертанныя углы мѣришь и дан -
ной

пой величины класть или чертишь можно
помощію полукружнаго или четыре голь-
наго Транспортира изЪ кости либо измѢди
вдѣланнаго, коего край раздБленЬ на гра- '
дусы и полградусы, а на большихЪ и чрезЪ |
четверти і радуса. А для положенія углей)
сЬ длинными сторонами вЬ ценшрБ угло-
мѣра воткни булавку сЬ привязанною ни-
тью, инашеня положи ея на данное число
і радусовЬ угла и протч. Данной уголЪ
зансимѢніемЬ угломѣра Сложно смѣрить и
начертишь тако: написавЪ дугу положи
по ней радіусЪ и будешЬ оная дуга Лбб,
что (вЬ 124) Доказано; потомЬ раздБлй
ея на 2,’ на 3,2 на 2,Д, то есть 5
на 5 частей. По сему узнавЪ величину I го
градуса прошчее уже легко совершится.

***********************************
6 СВОЙСТВАХЪ прямыхъ линѣй ВЪ ПОЛО-
ЖЕНІИ одной сЪ другою или со многи-
ми ПРОСТРАНСТВО НЕ ОКРУЖАЮЩИМИ.

43.	ПомысЛи теперь, что линБя РО
(фні1. 3 ) лёжипіЬ вездѣ вЬ райномЪ раасто-
Янги еЛпЪАГ; илй будто движимая АБ такѣ
шла отЬ АБ до ОР, что ея часть КО нй
Ск'олгко не склонялась к АС, равно и КР

кі СЕ ВЪ такомЪ случаѣ прямая ОР назы-
вается паралелькЪАБ; и оныя двБ линѢи
какѣ видно нснаклонныя, и сколь далеко
ни продолжась сойтись не могугпЬ. Слѣдова-
тельно паралельныя суть тѣ линѢи кои безконечно
продолжась не прссскаются  ПотомЬ учиня какЪ
и прежде вращеніе движимой АБ на средней
точкѣ С, ясно увидите.

44	I с. Движимая А Б никоі да не можепіЬ
персссчь прямую ОР, пока опа лежитЪ на
неподвижной АБ, ибо обБ тогда дБлаютЪ
одну прямую лйнЬю паралсльн)ю кЪоР.

45-	ІЕ Но какЪ скоро движимая учинитЬ
наималБйшее вращеніе на точкѣ С, такЪ
встрститЬ и персссчстЪ черту оРб де оныя
довольно* продолжатся; ибо тогда часть
движимой какЪ АС здЪлается наклонною
к Р, и каждая оной точка іиѢмЬ ближе
будспіЬ кЬ оР чемЪ далѢ отстоигаЬ отЬ
точки С ( 27 ) •

46.	ІИ. Движимая АБ переходя все
степени наклоненія кЬ неподвижной, порей-
дспіЬ імкже вездБ піѢ же самыя градусы на
клоненія кЬ паралельли ОР, то есть учи-'
нипіЪ сЪ нею тѢ же углы наклоненія какія
сѣ лежащею АБ. Ибо положимЬ движимая

.	.	остано-

©становилась вЪ положеніи ЕО; а понеже
ЛинЪя ОР есть піралсльна кЪ АВ, потому что
движимая идучи отѣ положенія АВ кѣО?
(вЪ космЬ имЪла прежде сѣБО уголЪ ІСЬ)
ни сколько не склоняясь кЪ АВ, дѣлала
тотже уголЪ сЪ БО пока пришла кѣ ОР;
м тако уГолЪ Р8Е мѣряющей ея наклоненіе
кЪ ЕС рав нѣ углу ВСЕ, а уголЪ ССА
згСЗО: также и углы БСС, Р8С, Б5О,
ЕС А между собою равн ія, а острыя углы
суплсменшы тупыхѣ; и обратно (39).

47.	уголЪ ССА называется алйіерно
или прот и вовнѣ ш ней угла РоЕ, также
уголЪ ССВугла Б8О. уюлЪжс БС8 имя-
нустся прошивовнутрснысй угла С$О,
іпакойже уголЪ 8СА уі Ла С8Р

Тоже можно доказать о всехѣ линѣяхЪ
ЕС, ЕВ, МН, и проч: псресскающихЬ пара-
лсльныя линѢи АВ ОРі иошеюду явствустЬ.

48.	I. Какая нибудь прямая СБ соку-
щая двѣ паралсльли АВ, ОР, дѣластѣ сЬ
ними углы противовнутреннія и прогаиво-
внѣшнія равныя и протч.

49	. II. Обратно, бу де двѣ линѢи ВС, Р5
-стоя на линѢѢ БС, дѣлаютѣ сѣ нею углы
прошивовнушреннія или прошивовнѣшнія
равныя

равныя или дга внутреннія АС5. О8С или
внѣшнія ССА, О'Т одинѣ драгаго суплс-
мситы, тогда линѢи ЕС, Р5 суть пара-
лсльныя.

50.	Прим^ч. Чпх) сказано здѣсь о двухЪ
паралсльныхЪ линѣяхѣ, тоже надобно разу-
м )шь и о мноі мхѣ иныхѣ между сооою пара-
лсльныхѣ. Ибо свойства первой паралсльли
кѣ другой суть гпѣжс, какія второй сЪ шре-
тьею, третьей сЬ четвертою и шакЪ далѣе;
то сст^ ко гсѢмЪ оцьімЬ паралслынымЬ
чертамѣ равнр принадлежать.

51.	ІѴ. Продолжая вращеніе движимой
явствует , что точки К, 8 ипротіія ея соче-
нія сі О р потпл нее бу душѣ цриблцжаться кѣ
точкѣ С, пока движимая учинится пер-
пендикуляромЬ кЪ АС; и когда онымѣ здѣ-
Дастся, тогда точка Ц ея псрсссчснія сЪ
ОР, будспіѣ вЪ кращчайщемЪ разстояніи
ошЬ точки С Потомѣ идучи движимая
кЪАС, точки соченія и протч. тѣцЪ
далЪ буд^тѣ отѣ С, чемЬ движимая болѣ
наклонится кѣ СА.

5$.	Когда же движимая столько накло-
нится кѣ СА вдѣлавшись СМ, сколько
уклонялась кѣ СБ будучи СЕ; или шо*е

б	4РГЛЯ

когда углы БСЕ, АСМ, или ЕСЕ ЕСМ*
равныя, тогда точки соченія 5, О, бѵдутЪ
вЬ равномЬ рав тоянГи отЬ С и К} то '
есть, 5К~ КО.> 5С —0_С.

Для лучшаю отомЬ понятія, дум йчто
фигура третія будто перегнута на пер-
пендикуляр СЕ, ибо ц н да бгв^ сомнѣнія ЕС
сосдиг.ннтся точное СА, РЕ сЬ КЗ, дуіа

сЬ равною ссбѢ АМ, а дуга ЕЕ сЬ
МЕ; посему радіусѣ ЕС ляжешЬ на раді-
усЬ СМ и точка 5 на О, то о раді I
О_С идК_ КО, Сгасюду явствуеіпЬ.

53 1. В якой перпендикулярѣ какЬСК
на чертѣ ОР есть кр шчайш я линѢя ка-
кую оіпЪ С до оной лі нѢи ОР провсе ть мож-
но. И обратно, ежели линѢя СК есть
кратчайшая опіЬс до ОР. то оная будешЬ
перпендикулярЬ кЬОр; ибо ежели бы была
наклонно, то можно бы ото точки С на
ОР провесть перпендик лярЬ; то есть
кратчайшую линЪю.

54. СлѢд перпендикуляръесть истин-
ная мѣра разстоянія отЪ точки до лині и. Сіе
и вЬ практикѣ наблюдается; какЬ во измѣ-
реніи ширины рѢкЬ, рвовЬ, и разстоянія
всякаго прсдмѢта отЬ ешѢнѣ, бсрсювЬ й
прогач.	55*

55-П. ОтЬ точки С, коя внѣ ЛинѢи
СУ, только одинЪ перпендикулярѣ СК на
оную провесть можно. Ибо имѣется толь-
ко оіинЪ падеж , гдѣ линѢя отЬ точки
на другую провсдснн я нивЬ которую сто-
рону не бдоваг гоѣ наклонною, и только одна
точка каЪ К линѢи ОР бьіть мржстѣ
ближе вссхЬ кЬ точкѣ С

56 Ш Прямая какЬ СК, будетЬ пер-
пендикулярѣ на другой ОР ежели какія
нибудь его ДвѢ точкикакЬ С, К, будутЬ вЬ
равномЪ разстояніи отЪ какихЬ нибудь двухЪ
точскЪ какЬ 8, О, линѢи ОР; шосешь ежели
С5с? СО. и КЗ —КО- Ибо тогда точки
С, К суть нснаклонныи ни кЬ 5 ни кЪ К,
а чрезЪ ( II ) и вся линѢя СК также не
склоняется кЬ Ь'О-

57.I	V. Ежели двѣ рючки О» 8, суть
вЬ равномЪ разстояніи отЬ К прсссчснія
лин и 0.5 перпендикуляромъ СК, тогда и
всѣ онаго точки буду тѣ равно отстоять
отЬ точскЬ О? $ Ибо бу де какая точка
неравно ршешоитЪ отЬ т чскЪ О.» 5,
тогда вЪ оной точкѣ перпендикуляръ на-
-клоиится вЪ ту сторону, гдѣ есть меньшее
разстояніе и перпендикуляромЬ болѣе уже
*ышь не можстЬ.	6?	58.

5 8. Ежели прямая С К которой нибудь
ювЬ паралельныхЪ АБ, перпендикуляр-
на, тогда оная линБя будстЪ разстоянье
иіБхЪ паралельныхЪ ( 5 $ ). По сему разстоянье
ПаралельныхЪ лмнЬй или паралельной шпа- I
цЬи есть спущенной перпбндикулярЪ отЪ
всякой точки одной линБи на другую СлЪд.
^Перпендикуляры между паралельныхЪ Линѣй сутьі
равны* 5 ибо оныя значатЪ мѣру ихЪ равнаго раЗ-
«шоянія одной линѢи отЪ другой.

И щако знавЬ выше показанныя свойства
можно легко уже рѣшишь слѣдующія пробле-
мы или чертежныя задачи,

59.	I. у точки а(ф.4и5)на лшфБ а Ь
здБлать уголЪ равной Данному БАС.

рБщ: ИЪ шочекЬ А и а какимЪ ни-
рудь однимТэ разстояньемъ означь двБ дуги
а», БН5 и положа БЕ~4₽, чрезЪ Е про-
веди ас. Ибо по сочин: для равнщхЬ дугЬ
назначенныхъ однимЪ радЬусомЪ ( 3 О ^у-
дутЬ и уі лы равныя,

6о.	II. Ото данной точки С (ф.6 )
жЪ линѢБ АБ паралслыгую провесть.

рБшенЬе. Цоегпавя консцЪ цыркуля вЪС
напиши другймЪ концомЬ по изволенью оной
разешворя, дугу АЕ$ потсмЪ опіЪ А на-
внаіь шБмже ошвсрсщі'сйЬ дугу СГ ? здЬ-
лааЪ
-А4«> I

ЛаіЬ дугу СЕ — ІгА, чрезЬ точки С, 1*
проведи по линѢйкБ прямую СБ, которая
будстЪ паралель кЬ АБ.

Доказ. Ибо проведя АС явно есть,
что для равныхЬ дугЬ А Г, СЁ уголЪ
САЕгг АС Г ( 31 )> но ссчетЬ линБи
АБ, СБ гаакЪ, что углы алтерновнутрен-
нЬя равныя^ и по тому (49) линБи СБ, ДВ
паралсльныя.

61.	Ш. ОшЪ точки с (ф- 4 и 5 ) кЬ лииББ
яЬ, данной уголЪ х приписать.

рЪш. Начерти ( 59) ЬіС — ». ПотомЬ
отЪ точки с ( 6о ) проведя «а паралсльно
кЬ СI, будетЬ ( 48 ) уголЪ а ~ х <

62* IV. КЪ данной линЪБ СБ (ф. 7)°°
данному разстоянью Паралель провссщь.

рЪш. СЪ концовЪ или изЪ шочок Е,
данной линБи взявЬ пыркулсмЪ опредѣленное
разстоянье начерти двБ дуги, йіб по касанію
сныхЪ проведенная линБя Ав будспіЪ пара-
лсль кЬ С Б. ИбЬ линБи IЕ, ?е явно видно
суть разстояніи паралельныхЪ СБ, АБ. (81)
Сью и II, задачи можно рБшить помощПр
паралельныхЪ линЪякЪ, какЪ явсшвустЪ яЪ
ф. 6. или. по наугольнику сЬ линБйкою вЪ
ф. 7.

6? V На прямою АВ изЪ точки ея 1
ЛсрпендикулярЪ воставить ( ф. 8 ),

рѢш. На линѢБ АВ, здѢлай произволь-?
йои величины СІл.ІВу и отЪ точскЪ С, О
бднимЪ отверСпіІемЬ циркуля ( которое
было бы больше линѢи 1С или ІВ двѣ д -
ги, кои перссскутся вЪ піочкБ Ё, чрезЪ ко-
торую проведенная ЁІ, будстЪ перпенди-
кулярна кЬ АВ.

Доказ Прэведя радіусы СЁ, БЕ явно у
что онѢ по сочиненію равныя, также
й. СІ, 1В*, и тако ЕІ есть перпендику-
лярѣ на АВ, по пг му что онаго двѣ точки
Ё, I вЬ равномЪ разстояніи отЪ двухЪ шо-»
чекЬ С, В прямой АВ (56)

64 VI. ИЪ данной точки Е на ЛинѢю
ДВ псрпсндйк_уля|Ъ Провесть ( ф. 9).

рЬш. НосшавЯ конецЬ циркуля вЪ
точку Е, а другимЪ отворя произвольно
означь дугою на прямой АВ точки С, В.
По гаомЬ изЪ точскЪ С, В, также какимЬ
нибудь разстояніемъ начерти дуги тогда
чрезѣ Е и чревѣ прессченіс оныхѣ точку Г
проведенная линЪя ЕЕ будетЪ желаемой
перпендикулярЪ.

Доказ. Проведя радіусы СЕ, ВЕ, СЕ,

ВЕ

ВЕ увидите какЪ и выше сего ( 63 ), что
точки Е, Е, суть вЪ равномЪ ре» шояніи
отЪ точскЪ С, В прямой АБ-, и по тому
ІЕЕ и и ЕІ кЪ оной перпендикулярна.

65.	Сіи дьѣ проблемы можно удобнѣе
рѣшить помощію наугольника, а для длин-
ныхъ перпендикуляровъ должно при науголь-
никѣ линѢйку употреблять какЬ лвегаву-
стЬ ( ф 1 і ) . Но прежде ссг о дѣйствія
надлс^итЬ повЪ[ пть науі льникЬ по пер-
пендикуляру ісомстричсскіи проведенному,
или перемѣнно прикладывая оба онаго края
кЬ линѢйкѢ должно назначить но онымЬ
на бума ѣ или на доскѣ дѢ черты и пр пн.

66.	ѵл. ДаНН ю прямую АВ, (ф іо)
на двѣ равныя части раздѣлить.

рѣш. ИзЪ концовЪ линѢи, А, В по обѣ
стороны назначь одвимЬ ога ерстісмЬ цыр-*
куля четыре дуі иКоторыя перссскутся
Ъ точкахЬ В, Су то чрезЪ оныя прове-
денная линЪя ВС раздѢлитЬ АВ на двѣ
равныя части вЪ точкѣ I.

Доказ. Понеже точки В, С по со-
чиненію суть вЪ равномЪ разстояніи отЪ
концівЬ линѢи АВ, по тому ( $7 ) ивѣ
точки прямой ВС также ошЬ нихЪ равно
6 4	ошешо-

гипс'шояпіЬ: итого ради точка I есть вЪ
Срединѣ линѢи АВ.

4-»***************<****
О нѣкоторыхъ СВОЙСТВАХЪ прямыхъ
линѣй сЪ кругомъ.

67	• Прямая КК і ф. 3) дугою круга
Содержимая, называется хорда. Посему
дуги ИЕК хорда есть ЪГК- Хорда ИЕ и ЕК
содержитъ дугу ММЕ и ЕЬК и протч.

68.	Чаетъ круга содержимая между
дугою и ея хордою какЪ НЕМК называе-
тся Сегментѣ круга, а часть МСЕ или
АСИ включенная межь дуги и двухЪ радіу-
совЪ имянуется Секторѣ Круга.

69.І. Перпендикуляръ. СЕ проведен-
ной изЪ центра С круга на хорду ЪК,
дЬлитѣ ея на двѣ равныя части.

Докая. Понеже точка С перпендику-
ляра СЕ есть вЪ равномЪ разстояній отѣ пре-
дѣловъ хорды И, К;. а по тому и всякая
его точка ( 37 ) вѣ равномЪ же разстояніи
отѣ К, К: и тако КК~ КК.

70.11. И обратно, всякая прямая СЕ,
которая перейдя центрѣ С ссчсгаѣ попо-
ламЬ хорду МК перпендикулярна есть кѣ
®ной' хордѣ.	Доказ^

Доказ: Ибо хорда раздѣлена пополамЪ;
того ради КК = КК. Но при томЪ КС—
СК; по сему двѣ точки К, С линѢи СЕ,
суть вЪ равномЪ разстояньи отЬ концовЪ
хорды КК. и тако (56) СЁ есть пер-
пендикулярѣ на КК.

71 Ш. Ежели прямая &Е кѣ хордѣ
КК перпендикулярна и псрссскастЪ ея по-
поламЪ э тогда проходитЬ чрезЬ центрЪ С
круга.

Доказ. Тойже перпендикулярѣ СЕдс-
лиггіЬ хорду пополамЪ5 того ради КК~КК.
А по свойств'  онаго всѢ сі о точки должны
р вно отстоять отЪ И, К (57); но КС
гСК ( 31 ); к піако центрЪ С есть одна
іізЪ гпочсіЪ перпендикуляра СЁ.

7-- Двѣ хорды не переходящія огѢ чрезЪ
ЦентрЪ не могушЬ пополамЪ раздѣлишься.

Доказ Пусть { (ф 12,) будешЪ общая
средина хордЬ тр, іп; тогда проведенная
линБя С( должна быть (7°) перпенд.
АЪ тр и кЬ і п, а сіе противно (36).

7 3 • Ежели помыслите , когда хорда
КК, пли сскторЪ СКЕКС около центра С
вЬ круі Ь вращается , тогда здѢласшся} что
Лорды концы К, К нигдѣ не выд)піЬ изЪ

О 5	окружности



окружности и притомЪ I с. СУя хорді
ѣсздБ будспіЪ содержать дуги равныя. 2 с.
н вЪ равномЪ рагстоянГі отЬ центра; и
уголЪ МСК. нигдБ не перемБнишея, пото-
му что его мБра всегда равна дуіЪ 14РК.
при томЪ же и линБя СВ вЬ ономЪ движеньи
тажЪ прсбудсшЬ’ и ошЪ сюду явств^сшЬ.

7	4.1. ВО одномЪ круіБ или вЪ рав-
ныхъ кругахЪ, у равныхЪ хордЪ д}іи рав-
ныя, а нсравнЫхЪ неравныя . равныя хор-
ды равно отЪ центра отстоятЬ, а нерав-
ныя неравно отстоятЪ. Ибо хорда вра-
щаясь вЪ свосмЬ кру і Б на хорды себЪ не-
равныя лечь не можстЬ.

7	5-И. ВЪ одномЪ или вЬ равныхЪ полу-
кругахЪ, чемЪ д)ги велики или малы
тБмЪ ихЪ хорды длиннБе или короче, и
тЬмЪ ближе или далЪ ош центра ош-
стоятЪ; и обратно.

76	.ПІ. Прямая СЕ (ф. 3) проведен-
ная чрсЪ средину хорды ЪіК отЬ центра
С, раздБлястЬ дуіу ЬіЕК также и уголЬ
ея КСК на двБ равныя части.

Доказ. Ибо линБяСК будспіЪ перпен-
дикул хордБ МК (70). И потому точка
Е есть вЪ равномЪ разстояніи ошЪ концовЪ

К,

К.К'гпо есть проведя ЕК, ЕК, оныя бу-
ду тЬ дЪ хорды равныя, и ( 74) дуга ЕК
“ ГКі того радидуіа НЕК также и уголЪ
КСК. рлдІусомЪ пополамЬ раздѣлены.

77	IV Хорда КК будучи паралельна
діаметру АБ заключаетъ сЬ нимЬ по ОбБ
стороны равныя дуіи / К, БК.

Доказ. Бу де отЪ центра С наАВ по-
ставить перпемдикулярЬ СЕ, то оной будспіЪ
іпакже перпенд. хордБ КК (48 ), и Раз~
дБлитЬ (69) ея поіюламЬ} по тому и (76)
дуіа АКЕ~ ЕКВ, ЫМЕ— ЕГК: и тако
отнявЬ равныя дуіи ИЕ, ЕК спЬ равныхЪ
АЕ, ЕВ ост лутся равныя АК, ГК. ОтЬ
сею слБдустЪ*

78	I с ГІаралсльныя БЕ, НК ( ф. 12)
секущія круіЬ ЗаключаюівЬ по осЪ сторо-
ны рівньія дуіи аИ, Ье. Ибо бу де чреЛ
центрѣ С пронесть діаметрѣ АВ онымЬ
паралсльно, тогда будстЬ Аа — В^ , АЛ~ Бе,
а по пюму и Асі — Аа — Ве'—БЬ, иди
 й~Ье. Носстьли тралсльная БЕ слу-
чится вЪ другой половинѣ круга, тогда
будстЬ АйАт ~ Бе-ь Б і, шо есть
іе.

79	. По. ПоложимЪ линБя НК (ф. 12.)
сама

'ФЙ ( ) 5?ф.

сйма себѢ или прямой ВЕ вЪ верхѣ движи-
гася паралсльно , и прмшсдЬ вЬ положенье
іЬ только вадбнетѣ окружность вЬ точкѣ
9; тогда оудстѣ ад~Ьд точки же ея 3, е
сближпвагоъся буд\ шЬ по мѣрѣ удаленія ошЬ
центра С прямой НК, и накопецѣ вЪ точ-
кѣ д соединятся, гдѣ оная линѢя только
прикОсйстся окружности.

8о	. Прямая йасающая кругѣ и какЪ бы
не продолжилась вЪ оной не входишѣ на-
зывается Тангенсѣ или касательная; а
точка вЬ коей онай кругѣ касаспіЬ точка
касанья имянустся.

81	. Раді'усЬ &д (ф. 12) проведенной
чрезЪ точку касанія д есть перпендикулярѣ
йіангснсу Ьг.

Докав. Понсяке хпангснсЬ Ьг только
касастѣ окружность вѣ точкѣ д; того
ради радУусЬ Сд, есть кратчайшее раз-
стояніе опіѣ центра С ДО сего тангенса г
й по тому ( 53 ) Сд есть перпендикулярѣ^
кѣ касательной Ьг.

8	2 • СлѢд. ЛинВя прямая только одну
точку окружноейіи касаспіЬ. Понеже отѣ
центра С па Ьг кромѣ ( 55 ) одною пер-^
йендикуляра провесть не можно.

83.

83 • И обратно какая нмоудь прямая
р г кі концу ч радиуса С я перпендикулярная,
касастЬ круіЪ только вЬ одной сей пючкБ д.

доказ. Понеже раді'усЬ есть перпенди-
рудярЬ на Ьг, и потому оной есть крат-
чайшее разстоянье отЬ центра С до линБи 1і г,
которой всякая иная ціочка далЪ лежигпЬ
отЬ центра нежели д: то: о ради, веБ оной
точки кромЪ одной д сушь внБ круга, и
отсюду слЪдустЬ.

Б4-1- ЧрезЪ данную точку д, окруж*
ности тангснсЬ проводится тако: наацача
отЪ центра прямую Ся> а изЪ точки д
( 63 ) должно восшавить церпендикулярЬ Ьг
налинБю Сд.

85.	Ц. Данной точкБ на окружности
кромЪ одного тангенса провесть не можно
(36): то есть ежели чрезЬ точку касанія
проведется другая линБя , тогда она неми-
нуемо должна или соединиться сЬ тан-
генсомЪ либо войгаить вЪ кругЪ, а между
тангенсомЪ и окружностью, явно видно, не
пройдспіЬ; но токмо можно провесть не-
си ііпнос число окружностей касающихЬ
щангснсЬ вЬ одной гпочкБ д.

86.	углз БАЙ (ф. 13) состоящаго у
точки

рточки касанія А между шангенсомЬ ВЬ и
хордою АО ссгаь мЪрі, половина дугиАГІ)
^одержимой тою хордою.

Доказ. Проведя ч езЬ центрѣ С діа-
мппрэ ЕС піралсльной хордЬ АО, и дГа-
мсгпрЬ [р кЪ оной п р ѵ ндикуляр о, и ра-
дГусЬ С А і оудгпіЬ уі олЬ Б А С прямой ( 81 \
Шакоижг и уіблЬ ГСО, коихЬ мпрі гсть
дуга ЕСі но угол О АС — А СО ( 48 ) ,
ілпіоко отнявЬ рвноія рлы ото прямыхЬ
останется уголЬ I, А0~ "СЕ^ нотом ду-
та Г А * А ГО ( 76 ) есть мЪрауілуВАО
раины мЬ образомЬ докажешея что и1 А ТО
мВра углу ЬАО.

87	-Угла ЕАЕ (ф 14) у окружности
жруга есть мЪра половина дуі и ЕГ, сто-
ронами его АЕ, АГ содержимая.

Доказ. ЧрезЬверхЪугла А проведи (84)
иіангенсЬ БО; тоі да сумма трехЪ угловЬ
ОАГч-ГАЕ-+-ЕАВ= і8б ( 38 ). = |д)іи
АГч-;ЕГ-і--ЕА, ноуглаОАГ мЬра - А Г,
а угла (86)ЕАВ дуги л АЕ. потому угла
ЕАГ есть мЪра полдуги ЕГ. И отЬ сего
слБдуетЬ.

88.	іс. уголЪ ЕСГ (ф. 14)у центра
круга двойной угла ЕАГ у окружности на
тойже дугБЕГ стоящаго.	89*

89.	п ОпіЪ концовЪ дУа метра ко вся*.
цой окружности проведенныя линБи, дБ-
лаютЪ припой прямой уголЬ: или прямой
уголЪ вЪ окружности опрсдБленной содер-
житъ своими сторонами полкруіа и сто-
итЬ на дГамстрс. Острой уголЬ содсржитЪ
меньше а тупой больше полкруга и сшоятЪ
на хорда*Ь.

90	. ІИ. сколько нибудь угловЪ пни,
т о і, трі (ф. 12) и проч. имБющѴя свои
верхи вЪ окружности и стоятЬ на одной
ДУіѢ тді или наравныхЬ дугахЪ между
собою всегда равныя.

91	IV- Противолеж щихЪ двухЪ угловЪ
с мма кои стоятЬ вЬ круіЪ на одной хордБ,
у окружности равна двумЬ прямымЬ, ибо
рныхЬ мЪра есть половина ихЬ дугЪ или
половина окружности: то есть два прямыя
угла. По сему (ф іа) юлЬ тіИ-нтпі
— тоі -ч- т Ьі ~ 180 ипротч.

92.	ИзЪ сихЪ свэйсгпвЬ находится
друіой способЬ какЪ чрезЪ данную точку
нап имБрЪ а, кЪ линБе оп паралсль про-
весть. Возми по пристойности нскоторую
точку какЪ С за центрЪ и разстоянГсмЪСа
напиши кругЪ. ПотомЬ положа іЬхгта.

проведенная

»>€ ( З2) ЬеЗ*

Проведенная линБя аЬ будспіЪ пзра/^льиа
ші. Ибо по сочиненію дуга а<п~і&) по-
сему ( 9° ) уюлЬ І тЬ ~ аЬт, и тако (49)
рл, аЬ сущь паралельныя.

93	. Также изЬ конца Б ( ф 11 ) линБи А В
можно на оную составишь перпендикул. дру-
гимЬ способомЪ. ИабравЬ нБкоторую точку
ракЬ Сза центрЪ разстоянГсмЬ СБ напиши
дугу ЕВБ, потомЪ проведи Ей и ББ-ИбО
(89) вЪ полкруГБ уголЪ Б ВЕ есть прямой)
посему (3$) ББ перпендикуляръ наАБ.

94-	Угла В А Б ( ф. I 5 и 16 ) внутри и
внБ круга положеннаго есть мБра аВБ±| I
СЕ.ЗнакЪ-+•для внутреннею угла (ф.15 )
а знакЪ —для внѣшняго (ф. іб).

«Докав. ЧрезЪ ЕкЪ АБ проведи пара-
лсльно хорду ЕЕ. тогда ( 48 ) уголЪ ЕЕГ
— БАБ НомБраугла ВЕЕ — БЕ (87), *
ЕЕ —2 ББ±^ БЕ,а( 78 ) БЕ ~ СЕ. Посему

Б₽—.ІББ + “ СЕ Отсюду слБд)стЪ.

95.І	. угла йАВ (ф. іб) между шан-
гснсомЪ АЬ и прямою АБ есть мЪра ; БЬ
— ;ЬС.Исо вращая АБ около точки А
пока оная здБластся таніснсомЬ вЬ Ь,
тогда точки Е,В соединятся вЬ Ь.

96.	Л. Такождс угла «ЗАЬ содержи-

маго

маго между двухЪ тангенсовЪ Ай, АЬ есть
мѣра ; й Г Ь — ~ й С Ь.

97.	Ш. отЪ общей касательной точки ло хор-
ды проведанныя части окружностей содержутЪ рав-
ное число градусовъ, то есть, служагпЪ они мѣрою
одному углу; ибо КаЖДОЙ ДУГИ ПОЛОВИНД ( 86 И 87 )
есть мѣра тогоже угла ЕАО ( ф - 37 )

98.	пробл .1. Длиную дугу на двБ равныя
дуги раздѣлить.

рЪш. Проведя хорду той дуги, пере-
сски оную перпендикуляромъ вЬ средней
точкѣ (об)і чрезЬ сіе данная дуга также
пополамЬ раздѣлится (76).

99-	п Данной уголЪ на двѣ равныя
части раздѣлишь .

ріш. Поставь конецЪ цырк^яя на
гріху угла и произвольнымъ разстояніемъ
между сторонами угла начерти дугу5 раз-
дѣли сію дугу пополамЪ ( 98 ): потомЪ
чрезЪ верьхЬ угла и средину дуіи про-
веденная линѣя раздѢлишЪ уголЪ пожеланію

100.	III. ЧреЯ? три данныя точки
окружность круга начертить.

рѢш. Проведя двѣ лиііѣи три данныя
точки соединяющія, то есть хорды иско-

В	маго

м'го круга, раздали оныя пополамЪ двумя
перпендикулярами (66), коипройду тпЪ (71)
чрезЪ центрѣ круга ; по сему спой центрѣ
б дстЪ вЪ ідхЬ прссечсмніи. При гаомЬ сія
задача бь^ла бы не возможная ежели гы три
точки были вЪ одной прямой лииіѣѣ.

ІОІ.	IV. Даннаю круга или дуги
центра сыскать.

Р’ош. Проведи по изволенію вЪ данномЪ
кругѣ или дуіЪ двѣ хорды, по томѣ найди
(іео) центрѣ.

ІОЗ.	Ѵ. Данную дугу круга іЪ цѣлой
кругЪ продолжить.

рѣш. Найди (ІОІ ) той дуги центръ.

103.	VI. ЧрезЪ данную точку Т кЪ
кругу О, касательную линѢю провоешь
(ф. 17).

рѣш. ОтЪ точки "Т кЪ центру про-
веди ТС , а изЪ средины оной Е начерти
полкруга ТАС; то чрезЪ точку пресечсГіія
А, проведенная линЪя ТА 1ч оудстЬ каса-
тельная данному кругу •

Доказ. Проведя радіусѣ СА, явно (89)
что уголЪ ТАС прямой; цо сему (35) ЪА
есть перпендикуляр кЪ концу радіуса
СА, и касасшЪ круі Ь вЪ точкѣ А.

ІОф.

104.	ѴП. Заданнаго кр іа отгіЬ точки А
хордою чаешь отдѣлить, вЪ которой бы
при окружности' содержался уголЪ равной
данному углу (ф. 13).

рЪш. ЧрезЪ лючку А проведи касателн.
БЬ, (84) и кЪ оной здѣлай (59) уголЪ ВАБ
равной данному бу де онЪ острой (или ЬДБ
ежели туи й), тогда отдѣлится часть БІА,
вЬ которой при окружности всякой уголЪ
равенЪ будстЪ данному. Ибо (86 ) уголЪ
ВАБ ~ ; дуги АГБ— , АСБ, то есть (87)
равенЪ всякому углу при окружности БІА;
а глу ЬЛБ, равенЪ всякой сущей при дуіЪ
БЕ А на хордс АБ.

105	ѴШ На заданной линЪѢ какЬ АБ
(Ф 13) часть круга написать, вЬ коню»
рой бы всякой уголЪ равенЪ былЪ данному .

рЪш. При А здѣлай (59) уголЪ БАБ
равной дднному острому. ИзЬ А на БЬ по-
ставленной, а друі ой АБ пополамЪ раздѣля-
ющей перпендикуляры сойдется вЬ точкѣ
С, изЪ которой разстояніемъ А С, описанна-
іо круга хорда АБ отдѣлитЬ искомую
ч спь круга АІБ, а для ту паю угла чаешь
АГБ ( 104).

Ф-? ( зб)

***********************
О СВОЙСТВАХЪ прямыхъ линѢи ПРО-
СТРАНСТВО ОКРУЖАЮЩИХЪ.

іоб.	Прямыя линѢи общею стычкою
ваключаютЪ пространство, называемое пря-
молинейная фигура: но какЬ сп ычка
многихЬ линБй дѣлается углами по тому
прямолинѢйная фигура ПолиіонЪ или
многоугольникЬ имян^стся.

107.	Полигонѣ Вообще значитЪ про-
странство отЬ многихѣ прямыхЪ оі рани-
ченнос называемыхъ онаго бока или сто-
роны, и кои концами своими соединясь
столькожЪ угловЪ сколько и боковЪ состав-
ляютъ.

іо8.	Всякому извѣстно, что простран-
ство не меньше какЬ отЪ трсхЪ линѣй
оіранпчивастся. того ради первѣйшей и про-
стѣйшей изЪ полигоновъ есть триуі оль-
никЪ$ второй четыре) гольникЬ, то есть
фигура о чстырсхЬ сгаоропахЪ и углах >
третей пятиугольникЬ и проч. Полигоны
отЪ числа ихЬ угловЪ или сторонЪ полу-
чаюшЪ названье: то есть фиіура о шести,
семи, семи и проч. бокахЪ и углахЪ на-

зывается

•ыв стпся шестиугольникѣ, семиугольникѣ,
осмиуіольникЪ и проч.

Полигоны вЪ кругѣ вписанные разлмѣкшся пі
коихЪ кэнпы и уілы ссстсяшЪ вЪ о ружнссти; а
около круга описанныя, ксихЪ стороны касактЪ
точно ею ок уж ость.

Понеже всякой полигонЪ ясмин; смо
приводится вЬ три;іольникЪ, о чемЪ далВ
сею будешЬ показано} тою ради наипаче
свойства триуюльнмковЬ спсріа знать
надлЪжишЪ.

***********************
о РАЗНЫХЪ ВИДАХЪ И СВОЙСТВАХЪ
триугольниковЪ.

109.	Триуі ольникЪ по различному виду
своихЬ сторонѣ и ;гловЬ разныя имена
ПОЛуЧас тЬ.

ВЬ рассуждснУи ст >ронЪ. ТриугольникЪ
называется равнобочной, котораю три
стороны равныя между собою, какЪ /ЕС
(ф іБ).^ котораі о только бо»Ъ АС — АБ,
(ф 19) топіЬ имянусіпся равнобедрен-
ной ( изозсель) . Коего всВ стороны не-
равныя, какЪ А ЕС (ф- 20) называется
неравносторонней ( скалснЪ ).

110	Посостоянію с о у глсв Триуголь-
никЪ имѣющей три угла острыя какЬ /БС

Б 3	(ф.



(ф. і8) называется остроугольной. Но
еЪ копіоромЪ уголЪ прямой, каіЪ А(ф. 19)
тогаЬ прямоугольной. А вЪ космЬ уголЬ
тупой какЬ С(ф 20 ), ту поугольной.
При томЪ же остроуюльныя и тупоуголь-
ныя триугольники вообще называются
косо гольными.

III.	ВЪ прямоугольномЬ триугольникб
какЪ АГС (ф. 19) сторона ВС противо-
лежащая прямому углу А называется ипо-
тенуза.

112.	БовсякомЬ триугольникБ сторо-
на с 'противная углу имянусгпея база или
основаніе онаю угла. ОтсслЪ слБдустЬ.

113.	I. Около всякаго шриугольника
кругЪ описанЬ быть можешЪ, то есть,
можно провесть кругЪ чрезЪ три угла
всякаго триугольника ; ибо тоже самое,
что чрезЪ данныя три точки кругЪ опи-
сать ( IОО ).

114.	II. Всякаго триугольника сумма
трсхЬ угловЬ^2і8б или двумЪ прямымЪ
угдамЬ.

Доказ. НаписавЬ какойлибо шриуголь-
викЬ вЬ кругѣ, то его стороны будупіЬ
хорды, и каждаго угла мЪра (87) есть

полду-

Волдуги содержимой сопрошивною СШОрОНОК',
посему сумма трсхЪ угловЪ равна полсуммѣ
трсхЪ дугЪ, гпо есть полуокружности или
186, а изЪ того лвствустЪ

II $ .1 ТриугрльникЬ имЬспЪ только
одиіГо прямой либо одинЪ глупой уголЪ, а
прогпчі'я два тогда неминуемо суть ост-
рыя. Бсв углы шриугольяика могушЪ сыть
острыя} сі'с завксишЪ отЪ раздѣленія і8о,
н.ч три доли такЪ, чтобЬ никокошорая не
болѣ была 96.

Ііб	.П. ІіЬ прямоугольнсмЪ треуголь-
никѣ сумма двухЪ осшрыхЪ угловЪ равна
до 5 и по том одинЪ уі олЪ бывастЪ ком-
племенгш другаго.

117	. III. Ежели какого нибудь три-
угольника знаема величина двухЪ угловЪ,
то познается и третьяго; ибо оной равенЪ
равности между 180 и суммою двухЪ дан-
ныхъ угловЪ: а бу де знаемЪ одинЬ уголЪ,
то его суплсмсншЬ равенЪ есть суммѣ
протчихЪ двухЪч

іі 8. III. Во всякомЪ триугольникѣ какЪ
АБС ( ф. 18) ежели продолжится коя ня-
будь сторона какЬ АС, то внѣшней уголЪ
БСО будегпЬ равенЪ суммЪ двухЪ внушрен-
адхЬ сопропіивныхЪ А> Е. В 4 До-

Доказ. Сумма внѣшняго угла БСР со
внутреннимъ АСВ есть і8о (58); но
(114) сумма трехЪ угловЬ также рав-
на 186. По сему внѣшней уголЪ БСР
равенЪ сумм внутреннихъ сопротивныхЪ
угловЪ А, Б. Слѣдовательно внѣшней уголЪ каж-
даго илЪ внутреннихъ супротивныхъ есть больше.

119.	IV- Всякаго триугольника сумма,
которыхЬ нибудь двухЪ сторон) есть боль-
ше третьей і ибо прямая АБ (ф. 2о)есгпь
кратчайшее разстояніе между А и Б (9).
СверхЪ того не можстЬ быть АС^-СБ —
АВ ни АС-*-СБ меньше АБ, по тому
что такія линѢи не занявЪ пространства
псрссеку тЪ основаніе вѣ одной либо вЬ
двухЪ точкахЪ.

І2о.	V. Ежели отЪ нѣкоей внутренней
точки какЪ Р (ф. 2^) в гприуі ольникѢ
АБС, провесть лпнѢи РА,РБ,РСз тогда
каждой уголЪ при Б будстЪ супротивнаго
ССбѢ больше.

Доказ. Продолжа РА вЬ Е будспіЪ
(118) уголЪ БРА, болѣ угла ВЕР; но
уголЪ БЕР болѣ есть угла С. По сему
уюдЪ АРВ есть болѣ угла С, равно и о
прогачихЬ. При томЪ же АСч-СВ больше
нежели АР-ьРБ(іі9).	1Я1 ♦

121.	VI. Всякаго шриугольника большая
бтпорона на протий? лежитЪ большаго угла,
а малая малаго. Обратно, большой уголЪ
соотвѣтствуешь большому боку 5 а малой
уголЪ малому. Ибо написавЬ кругѣ около
три} гольника окажется, что большаго угла
есть мѣра большая дуга: а (7 5 ) большую
д гу содержитЪ большая хорда, и обратно.

122.	СлЪдовагпельяо, чемЪ уголЪ
триугольника тирѣ рассшворишся, коего
стороны да будуггіЬ одной величины, ігіБмЪ
супротивная сторона расходящемуся углу
болЪ увеличится; и обратно, ша сторона
умалишея бу де ея сопротивной уголЪ ума-
лится

123.	VII. Во всякомЪ треугольникѣ изЪ
угла на основаніе опущенной перпенди-
к лярЪ падастЬ внутрь триугольника есть
ли угла при томЬ основаньи острыя; а
бу де изЪ оныхЪ одинЪ тупой, то перпенди-
куляръ падешЬ внБ на продолженное осно-
ваніе . Ибо ( 11 5 ) во всякомЪ прямоуголь-
номъ триугольникБ изЪ внутреннихЬ ту-
паго угла быть не можешЪ. Перпендик -
лярЬ же во всякомЪ триугольникБ какЬ вЪ
ВАС (ф. 22) проводится тако: изЪ срс-

В 5	дины

дины одной стороны какЬ АВ, опиши
круга АВВ$ то проведенная черта АВ
будетЪ (89) перпендикулярна кЪ ВС.

124 ѴНІ равноешорбннаго три юль-
пика углы между собою равныя и каждой по
66; обратно, ежели всѢ углы равныя, или
два по 66, такой триугольникЪ есть равно-
бочной. Ибо написавЪ около треугольника
кругЪ; три равныя стороны оудутЪ три
хорды равныя, кои соДержатЬ дуги равныя,
а оны ;Ъ половины суть мѣры трсх равныхЪ
угловЬ и каждой оныхЪ есть треть 186, то
есть по 66 и проч. Слѣдовательно хорда
дуіи 6о ти градусовЬ равна той дуги
радгусу (24).

12 5. IX. равнобедреннаго триугольника
углы противныя равнымЪ стор намЪ суть
равныя и обратно; ибо написавЬ триуголь-
ниіЪ вЬ кругѣ, равныя углы содержутЪ
дуги равныя, а оныя дуги свявуютЬ хор-
ды равныя (74)*

126. СлѢдоваіп. ВЪ изозселѢ или
вЬ разнобедренномЬ триугольникѢ 0^С5 изЬ
угла С (ф. 3) имѣющаго равныя стороны
0_С, 8С на основаніе О_5 опущенной пер-
«ендикулярЪ СК раздЬляешЬ оное на двѣ
равныя

равныя части 0_К, К5, для равныхЪ
наклонностей двухЪ равныхЬ сторонЪ 0_С,
8С ( > 2 ) . вЬ равнобочномЪ и вЪ равнобедренномъ
піриугольникахЪ ? ни одинЪ уголЪ не бывэегаЪ пря-
мичЬ и гаупымЪ. Зная одинЪ уголЪ равнобедреннаго
тприуголъника узнаются и прочія два .

I 27 . X. Во всякс мЬ треугольникѣ кругЪ
ніписанЬ быть можстЪ.

Доказ. К торыя нибудь два угла
треугольника раздѣли пополамЪ: напримбрЬ
уілы А, Б треугольника АБС (ф- 19)
прямыми Е1), АВ, кои сойдутся вЬ В По
томЬ отЪ точки В проведенныя на каждую
сторону перпендикуляры будутЪ между
собою равныя, и радіусы круга, которой
касасто три стороны вЪ точкахЪ С3 Е, Е
(83). Ию (ІЗЗ) прямоугольной д БВЕ
—. СБВ,по тому что углы СВВ, ВБЕ
равныя, и бокЪ БВ общей, и тако СВ се
ВЕ; а для равныхЪ гариугольниковЬ ВГА,
ВЕА, будетЪ ВЕ~ВГ. Тою ради СВ^:
БЕ-ВГ.

128.	СлЪдоваш. три линБи раздБля-
ющУя пополамЪ три угла шриуі ольника
сходятся вЪ одной гпочкб. Ибо явно, бу де
раздѣлится и третей уголЬ С пополамЪ
лин ю, то и оная придешЬ вЬ туже точ-
ку Б.	осрав*

***********************
ОСрАВНЕНІИ ТриуГОЛЬНИКОВЪ.

129.	у ГсомстровЬ сравненье три
угольниковЬ и всЪхЪ прошчихЪ фигурЬ бы-
ваешЪ двоякое: по одному сравниваютъ
положеніе ешоронЬ и величину ихЪ угловЪ;
по другому содержимыя вЬ оныхЪ фигу-
рахъ площади. Сіе второе сравненье при-
надлежитъ до ПланомешрУи; того ради
здБеь только о первомЬ сравнсни разсуждать
будсмЪ.

равныя между собою шриуголь-
ники называются піБ, которыхЬ всЪ сход-
ственныя углы и стороны между собою
равныя.

130.	Подобныя или равноуголь-
ныя триугольники имянуются тЪ, кото-
рыхЪ только веб углы между собою рав-
ныя одинЪ другому 5 ишако триугольники
АБС, ЮЕР (ф. 20 ) суть подобныя, по
тому что уголЪ А — Е , Б — И, С — Р.

131.	Присравнсніи фигурЪ между собою,
сходственныя части называются тБ, кои
суть одного званія величины вЪ каждой ф.і-
гурБ: напримЪрЬ двухЪ подобныхъ триу-
гольниковЪ большой бокЪ одного есть сход-
ственной

•••&?’» ( 45 )
сщвенной большему же боку другаго три-
угольника, средней среднему, а мсньшоц
меньшому. Отсюду слВдусігіЬ.

1^2. I. Два триугольника имѣющія всѣ
свои сходственныя стороны равныя, и меж-
ду собою сушь равныя.

Доказ. Говорю ежели АВ—«Ь, АС —
ас, ВС—Ьс (ф. 22) тогда △ АВС—аЬс;
ибо ежели одинЪ △ наложится на другой
тако, полагая сперва точку а на А, тогда
для АВ — «Ь, точка Ь придетЪ наВ, а для
равныхЪ сшоронЬ, АС—ас, ВС —Ьс точ-
ка С не минуемо падетЪ на точку С, так-
же а с точно ляжстЪ на АС, Ьс на ВС,и
весь △ аЬс совершенно закростЪ △ /ВС,
Но сему онѢ во всБхЪ своихЬ часшяхЪ бу-
ду,тЬ равныя-

13 3 . II Два триугольника равныя, когда
все углы одного равны угламЬ другаго, и
при шомЪ вЪ каждомЪ по равной сходствен-
ной сторонѣ.

Доказ. Ежели уголЪ А —а, В —Ь, С
— с ( ф. 22 ) и А§ ~ аЬ; говорю △ АБС
—аЬс. Ибо полагая △ «Ьс на АВС, спер-
ва аЬ на АВ, тогда для угловЬ А~а,Ь^
Б,сторона ас не минуемо падсшЬ на АС>

а Ьс на ВС и сойдутся вЪ одной гпочкЪ,
іпо есть, точка с падстЪ на Си △ аЬс точ-
но закроспіЬ △ АБС.

134. III Два піриугольпика будутЬ рав-
ныя ежели у каждаго дЪ сходственныя сто-
роны равныя и по равному углу оными
сторонами содержимому.

Доказ. бу де АС—ас, АВ —аЬ иуголЬ
А—а; тогда △ АВС— аЬс. Ибо полагая аЬ
иаАБ,ас на АС, то сіи стороны для
угла А — а падутЪ точно одна на другую$ а
для равности сторонЪ точка с падетЬ вЬ
С, а Ь вЪ В и бокЪ Ьс на ВС. и пико А
аЬс совершенно закроешЬ △ АВС

13 5- Когдажс вЪ двухЪ гприугольникахЪ
по двБ сходственныя стороны равныя, и по
одному углу прилежащему кЬ одной изЬ
хо сторонЪ, то такія треугольники мо-
гупіЪ быть равныя и неравныя. Ибо положа
БА —Ьа, АС —ас, уголЪ В — 6 (ф. 2й),и
отЪ а радІусомЪ ас написавЪ дугу сЕ б)-
дегпЪ Еа~са, и △ Ьса болБ ЬЕа.

136.	ІѴ. Ежели двухЪ триугольниковЬ
подобиыхЬ а нсравныхЪ положить уголЬ О
одног о на равной ему уг олЪ другаго В и бокЪ
СЕ на сходсшв. ВС, а НЕ на ВА-, тогда

бо-

(47)
•

бокЪ РЕ или Ее царалсльны будутЪ кЪ/С.
Ибо для подобныхъ шриугольниковЪ, уголЪ
ЕеВ ~ СДБ, того ради ( 49 ) С» сЪ АС
паралсльныя.

Но бу де уголЪ Г положится на рав-
ной ссбЪ С, тогда СЕ сЪ АБ будутЪ па-
ралсльныя. А наложа уголЬ Е на равной
ему Д, то ГБ сЪ ВС здБлаются также
паралсльныя между собою.

137-	ЕІ обратно ежели чрезЪ точку {
взятую на сторонЪ триугольника, прове-
дется линБя Ее кЬ его основанію АС па-
ралсльно, тогда для равныхЪ угловЪ Віе
— С, Ве€~А (48), триугольники БЕе,
БАС, будутЬ равно)гольныя или подобныя.

138.	ДвБ линБи равныя и паралсльныя
ЕС, РЕ (ф. 24) соединяютъ также двБ
равныя и между собою паралсльныя линБи
БЕ, СЕ.

Доказ. Ибо проведя СЕ, для паралс-
льныхЬ ВС, ЕЕ (48) уголЬ ЕГС—.БСЕ;
а вЬ ра ныхЬ піриугольнцкахЬ Г ЕС, ВСЕ
(134), СЕ “ЕЕ и уголЬ ЕСЕ равенЪ
есть углу БГС; по сему ( 49 ) БЕ, СЕ
п ралсльныя и равныя.

СлѢдов. Паралсльныя линѢи между другихЪ
паралельных'Ь, между собою равныя.

І>9- П->о5л. т. ВЪ неравносторончомЪ триугѳль-
иикѢ дзччой величины лииѢо парілельно одной сто-
ронѣ поиѣ.пігсти.рбщдпіь чрезЪ (6о) адоказ. (138).

140п. Около круга нлчсртить триуголь-
ничЪ подобной дінному БАС. (ф. 18 и 19 )

Сонин. Проведя ргдѴусЪ ВО, здВлай
(59) уголЬ СВЕ —суплем. угла А,аСВГ —
с плсм. угл і В •, послѣ чрезЪ точки О, Е, Г
проведенныя кругу касательныя линБи (84)
здБлдют ) своимЬ прессчснКсмЬ △ БАС подоб
ной данному ВАС.

Доказ. Ибо проведя СЕ, явно, что вЪ
дв хЪ триугольникахЬ ОСЕ, ОГВ сумма
шести угловЬ равна чстырсмЪ прямымЪ,
но уголЬ Гч-О равны двумЬ прямымЬ, по-
тому и уголЬ Вч-С — двумЪ прямымЬ ;
слЪдоватсльно уголЬ С - С, Б — Б и А — А
Того ради (130) шриугольникЬ ВС А по-
добной данному.

141.	Ш. ВЪ кругЪ написать триуголь-
никЪ подобной данному АВС (ф. 21 и 23 ).

рЪш. Проведя касательную ВЕ здЪлай
уголЪ ВЕС —В, а уголЬ ЕЕН -С. Про-
води ОН и будетЪ триугольникЬ СНЕ
(86, 87 ) равноугольной или подобной
шриугольннку ВС А.

о прот-

************************
о прочихЪ ПОЛИГОНАХЪ.

142.	Полигоны сушь шрсхЪ видовЬ,
а имянно: иррегулярныя или непра-
вильныя, симегпричсскія, ирегуляр-
ныя или правильныя.

143.	Неправильныя полигоны пЪ, ко-
тсрыхЬ стороны и углы между собою не-
равныя (ф. 27 29).

144.	Полигоны симетприческУя назы-
ваются состоящія ивЪ паралсльныхЪ и ра-
вныхъ сгпэронЪ (ф. 24. 25. 26. 30. З1-)» по
рюму оныя всегда чошЬ ешоронЬ имЪютЪ.

145.	Правильныя полигоны имянуются
тЪ, которыхЪ вей стороны и углы между
соэою равныя, (ф. 31. 32.) *

146.	Правильной чсшырсугольний ца-
вынется квадратЪ (ф. 2$). Исправилъ-
ной, Т'рапсвоидЪ (ф.27.)і а ежели она-
го двЪ стороны паралельны, шакой чешы-
рсугольникЬ имянустся Т рапецУа (ф. 34).
Си метрической пэлигонЪ называюшЬ вся-
кой Па ралс л лог ра мЪ; бу де у онаго углы
прямыя, тогда имячуюшЪ его Прямоуго-
льникомъ (ф. %8.) Ежели же онЪ косо-
угольной и равнобочной, тогда называется

Г	ромбЪ

“4®^ (5©)

ромбЪ. Симстричсской же полигонѣ ко-
соугольной и нсравнобочной имянустся
ромбоидЪ (ф 24). Всякой чстпвгроуголь-
никЪ ивЬ паралельныхЪ сторонѣ состоящей
вообще паралеллограмѣ называется.

147	- .УголЪ выдавшей есть тотЪ,
котораго верьхѣ мзѣ фигуры выиіелЪ, какЬ
АВС (ф 29 ). А впадшей уюлЬ тошЬ,
котораго верьхѣ вЪ фигурѣ какЪ ВСБ. Но
сему ВпаДшГе углы только неправильныя и
симстричсскХя полигоны имѢютѣ; понеже
всѣ углы правильнаго полиі она межЬ собою
сушь равныя ( 145).

148	. Прямая черта вЪ полигонѣ опЪ
одноі о угла кЬ другому проведенная назы-
вается дѴагональ.

149	• Всякаго полигона сумма бсѢхЪ сторонЪ
обводЪ или пе имѢгпрЪ имянуется.

153.	Во всякомЪ праъиліномЪ полигонѣ (какЪ
вЪф.31) перпендикулярѣ изЪ средней онаго точки!
С на бокѣ опущенной какЪ СК называется А по.
т Ѣ м Ъ.

********** *************

О СВОЙСТВАХЪ ПОЛИГОНОВЪ ВООбЩЕ.

151.	I. Полигоны сЪ вышедшими и впадшими
углами могутЪ раздѣляться на століко триуюл-
никовЪ, сколіко у оныхЪ сторонѣ, рбо ИзЬ точки

С

(50

С (ф.27 и 32) по изволенью вЬ полигонѣ
взятой, можно провесть линѢи ко рсѢмЪ
рго угламЬ , и стороны полигона будушѣ
основанья піѢхЬ триугольниковѣ.

152.	П. Сумма рсѣхЬ внутреннихъ уг-
ловЪ полигона равна произведенью, умножа
18о числомЪ сторонЪ изключая двѣ сто-*
роны, либо 366.

Доказ. Ибо сумма угловЬ полигона
равна суммѣ всѢхЪ угловЬ его шриуголь-
Никовѣ, изключая углы вѣ немЪ при піочкЪ
С,коихЪ (37) сумма~ 366. Ночисло іпри-
угольниковЪ равно числу сторонЪ» и ріако
сумма угловЪ полигона имѣстЪ ^только
р зѣ по і8о сколько онагс сторонЪ вы-
ключая 366. Напримѣрѣ вЬ семиугольникѣ
сумма всѢхЪ угловЬ ~186 X 5 или (7 — 2)
— 900.

153.	Цсякой уголЪ правильнаго полкъ
гона равенЪ квоту су по раздѣленьи суммы
в ЪхЪ его угдой» на число сторонЪ; того
ради за симЪ слѣдусціЪ табличка угловЪ
нѣкоторыхЪ правильныхъ полигоновъ пц
сравненью ихЪ сЬ прямымЪ угломѣ%



	число  СтО- рОИІ	углы поли- гона	соде- ржа- ніе	число сто- ронЪ.	углы поли-  гона	соде- ржа- ніе
	III	66	а: з	VIII	45	3^_2
	IV	90	I	IX	140	14'9
	V	108	6:5	X	144	8:5
	ѴІ	120	4:3	XI	И7_Л	і8:1 I
гг	VII	128 |	іо:?	XII	150	5^7

І54.	Ш. Сумма всБхЪ суплсмснтовЬ
угловЪ всдкаго полигона нсимЪющаго впад-
ПіихЪ угловЪ равна $66.

Докав. Ибо ( 38 ) каждой внутрен-
ней уголЪ сЬ своимЪ суплсмснщомЪ — I 86;
по сему сумма всБхЪ внутреннихъ и віЪ-
ііінихЪ угловЪ равна произведенью і8б
числомЪ сторонЪно (152) сумма веБхЬ
внутреннихъ угловЪ ~ 186 у множа чис-
ЛОмЪ сторонЪ выключая И тако сум-
ма веВхЪ внБшнихЪ уіловЪ равна 360.

15 5. IV. Ежели у полиюна имѣются
впадші'я углы, тогда сумма всЪхЪ суплс-
ментовЪ рышедшихЪ углоЪ со рцадішімв
~ 360 сложа произведеніе 18б числомЪ
впадшихЪ угловЪ.

Д” у. аз.

Доказ. Ибо явно (ф. 29). что Сумма
суплемснтовЬ выдавшихъ уі ловЪ полигона
АВВЕГ ~ 360 (154): не ежели вЪ ономЪ
полигона вдѣлается одинЪ впадшсй уголЬ
ОСБ шо / СОВ суплом. угла ЕВВ приба-
вится \гломЬ ВВС; а г. БВІ суплсм. угла
АВВугломЬ СВБ. Но сумма угловЬвЬдВСВ
— 186 (г 14), Посему когда вЪ полигонѣ
есть одинЪ впадшсй уголЪ, то суплсмеиши
двухЪ блнжнихЪ вышедшихЪ угловЪ приба-
вятся количествомъ, которое со впад-
ДіимЪ углсмЪ ~ 186. Того ради полигонБ
имѣющей гпідшГя углы и проч.

156. Примпч. бу де полигонЪ раз-
дѣлится настолько гприуіольниковѣ сколь-
ко у онаго сторонѣ выключая двѣ, то есть,
ёжели проведутся опіЪ одного угла ко
всѢмЪ прочимЪ дУагонали безЪ взаимнаго
ихЬ прсссчснУя ( ф. 29 ) , и какЬ сумма
всѢхЪ угловЪ во оныхЪ шриугодьяикахЪ
равна есть суммѣ всѣхЬ внутреннихъ угловЪ
полигона, по сему вЪ ней столько есть
пр 186 сколько триугольниковЪ, или равно
числу сторонЪ полін она безЪ двухЪ. Сі®
доказательство обстоятельнѣе нумЪра 15 2/
>Ь жосмЬ полагается* чпір никакая прямаА

бгаі С ко угламЪ полигона проведенная не
выходишЪ ілзЪ сего полигона ( ф. 27 ) •

***********************
О СВОЙСТВАХЪ СИМЕТрИЧЕСКИХЪ ПОЛИ"

ДОНОВЪ КАКЪ СО ВПАДШИМИ такЪисЬ
ВЫШЕДШИМИ УГЛАМИ.

і$7« I- Ежели отЪ каждаго угла си-
метрическаго полигона проведутся кЬ
прошивнымЪ угламЪ діагонали, то явно
окажется.

1е. Два супротивныя триугольника у верьха
И отЪ двухЪ ближнихЪ діагоналей учиненныя меж-
ду собою равныя, по сему (ф 24.30) три^ гольн:
БОС^іЕСЕ. Ибо по свойству шакихЬ по-
лигоновъ, ЕЕ равна есть и’ паралельна сЪ
БС, уголЪ ВСС —СЕЕ (48);ауюлЪ СБб
ггОЕЕ; посему (133) △ БСС~ГСЕ:
также рассуждасшся и о всБхЪ прочихЪ три-
угольникахЬ.

158 Ие. ВсѢ оныя діагонали между собою вЪ
одной точкѣ пересекаются; ибо изЪ составлен-
ныхъ ими шриугольниковЬ по два имЪютЪ
Общей бокЪ, и по тому общей всрьхЪ;отЬ
Чего* углы-' прессчснісмЬ діагоналей учи-
пенныя вЬ одной точкЪ сходятся.

І5^.ПГс^ Всѣ оныя діагонали между
собою» по поламЪ псрссскаюшся,- понеже всБ
супротивъ

супротивныя треугольники ими состав-
ленныя суть равныя.

ібо.	II. Діа іо аль п ове/енной отЪ одного угла
кЪ противно у раздѣляетъ полигонѣ на дві равныя
И подобныя фигуры; ПО ПІОМу ЧШО ПО Обѣ СПЮ-
роны діаі оналя имѣется одинакое число
между СОбОЮ раВНЫхЬ И СДИНООбрааНО лс-
жіщи хЪ триу і ол ь н и ковЪ.

ібі.	Точка прсссчс» Кя діагоналей, для
равности радиусовѣ кЪ супротивнымЪ угламЪ
провсдснныхЬ , называется центрѣ симс-
шрическаго полигона.

іб2	Ш. Какая нибудь линѢя ІН (ф. іф
30) чрезЬ центрѣ О симстричсскаго поли-
гона прошедшая раздѣлястѣ его на дііѣ
равныя и подобныя фигуры, и сама себя
пополамЪ; что доказывается также (157
и ібо) по равности три гольниковЬ БІО,
НОЕ, или ІОС, ЕСН. Отселѣ слѣдуетѣ.

163.	IV. В якія діѢ прямыя чрезЪ центрѣ
симстричсскаго полиіона проведенныя по-
поламЪ раздѣляются; токмо не во всякомЪ
симетрическомЪ полигонѣ прессчснныя двБ
линѢи пополамЪ чрезЪ центрѣ проходягаЬ.
Ибо будс вЬ полигонѣ АБСВ (ф. 25), по-
ложа СЕ — БЕ провесть СЕ, ЕЕ, тогда
Оныя для равныхЪ триугольниковЬ ОЕС,
Г 4	ОЕР

СРВ (і 35 ) пополамЪ псресскугпся вЬ С а
не вЬ цснтрБ Н Полигона.

********************!,**

О СВОЙСТВАХЪ ПРАВИЛЬНЫХЪ ПОЛИ-

ГОНОВЪ .

164.	I Около всякаго правильнаго поли-
гона кругѣ описать возможно, то есть
окружность круга льйя провесть чрезЬ всБ
концы уіловЬ такого полигона.

Доказ. Ежели онаго полигона всБ или
только два угла раздѣлить пополамЪ ли-
н ями, то прссечеяХе оныхЪ линЪй бѵдстЪ
цснтрЪ того круга, какЪ С(ф.32). Ибо
для равности сторонЪ полигона и поло-
винныхЬ онаго угловЬ, всБ триугольники
какЪ ЛСВ, БСВ и проч. суть равныя (133)5
вою ради АС ~ ЕС — БС и проч. бу-
дутЪ радіусы круга э иЛ> ссго явствустЪ

165.1с. радіусы проведенныя опіЬ
центра правильнаго полигона ко веБмЪ его
угламЬ раздЪляютЪ оной на столько рав-
нобедренныхЪ и равныхЪ триугольниковЬ
сколько у него есть сторонЪ/

ібб.ІІе. Всякой уюлЪ при центрБ
правильнаі о полигона равенЪ квотусу числа
366 раздѣленнаго на число оныхЪ угловЪ
или

Или сторонЪ полигона. По сему бокЪ деся-
тиугольника есть хорда дуги ^6 а бокѣ
шестиугольника есть хорда 66 и проч.

167 IIIс. Правильнаго шестиугольни-
ка бокЪ равенЪ около сго описаннаго кру-
га радГусу-, ибо (ф. 3 1 ) раздѣля оной отЪ
центра С на шесть триугольниковЪ, то
оныя для СА ~ СВ, и угла АСВ ~ 66
будутЪ равнобочныяі по сему уюлЪ САБ
“АВС—66 (12.4) •, и тако СА —АВ.

ПримѢч ЧрезЪ ас свойство правильнаго шес-
тиугольника раздѣляемъ кругѣ на градусы или нм
равныя части извѣстнаго ч сла; а имянно, положа
радіусѣ круга на о ружносгпь выдетѣ дуга *Ъ 6о
град’. раздѣла ( 98 ) оную пополамЪ будетЪ Дуга
вѣ 30 град . а сію раздѣля пополамЪ, найдется дуг»
Іути град. ОстатокЪ раздѣленія вЪградусы дѣлает-
ся уже разМѣреніемЪ, ибо дугу і$град. ня 3, 5, или
ц равныхЪ частей правилами простой геометріи
зд угЪ раздѣлишь не возможно. Сіе болѣ утверж-
даетѢ то, что сказано выше (42 и 124).

Я68 - И. Всякой правильной полигонѣ'
около круга описатслсйЬ; то есть, можно вЬ
шакомѣ полигонѣ написать кругѣ, которой
каждую сго сторону вЬ срединѣ касасшЬ,

Доказ. Ибо веялой правильной поли-
гонѣ раздѣляется на егіюлько равнобедрен-
ныхъ и равныхЪ триугольниковѣ сколько’
у йсго сторонѣ, то (69) проведенныя апо-

Г 5	шЪий

(58)

-ч	*

Іпѣмв» па каждую сторону, раадЬляюшЬ ихЬ
на равныя прямоугольныя триуі ольники, а
ію сему и самыя апошсмы будутЪ равныя;
итого ради чрезЪ ихЪ концы проведенной
кругЪ коснспіЪ (84) средину каждой сто-
роны полигона (зри ф. 32.).

169.	ІИ. Всякой правильной полигонЪ
имѣющей нотное число сторонЪ есть поли-
гонъ симетричсской.

Доказ раздБля полигонѣ вЪ шриую-
Льники отЪ центра радіусами вЪ _углы
проведенными явно, что для ревности
сихЪ шреугольн. чотнос число сторонЪ дѣ-
лится пополамЪ отЬ дГамсгара АЕ (ф.31)
состоящаго изЪ двухЪ радѴусовЪ АС, СЕ.
Ибо для равн. іприуг, АВС, ЕСГ, углы ГЕС,
САВ суть равныя г по' сему (50) сто-
роны ЕЕ, АБ с^шь паралсльныя и равныя.

170.	Пробл.1 Около даннаго прави-
льнаго полигона кругЪ описать.

р'Бш. Надлежитъ сыскать онаго центрѣ
(164) и проч.

171.	П. ВЪ данномЪ правильномъ по-
лигонѣ кругЪ начертить

рЪ ш. СыскавЪ цсншрЪ полигона
(164) опусти изЪ онаго на одну сторону
перпен-

перпсндикулярЬ , которой будстЪ радіусѣ
круга ( іб8).

173.	III- ВЪ данномЪ кругѣ какой ни-
будь правильной полиі онЪ начертишь.

Общее рЪш. раздѣла 366 на число
сторонѣ того полигона 3 возми на данномЪ
кругѣ дугу равную сему квоту су, тогда
хорда оной дуги будешЪ сторона полигона
(166), кою положа по окружности, полу-
чите написанной полигонѣ вѣ кругѣ. Тоже
помощію транспортира удобнѣе дѣлается.

173	IV. Около даннаго круга какой ни
б дь правильной полигонѣ написать (ф. 32).

рѢш. раздѣля 366 на удвоенное число
сторонѣ того полигона , означь транспорти-
ромѣ (или чрезѣ 167) квоту су равную дугу
ЕС, а вѣ концѣ Г проведеннаго радіуса СЕ
поставь перпсндикулярЬ АЕ, которой сѣ про-
долженною СО соединится вѣ В- Положа
ЕА— ЕВ, будстѣ линЪя АБ бокѣ желаемаго
полигона. Потомѣ ежели радіусомѣ СВ на
писать кругѣ ВАНЕО, и всю окружность
раздѣлить хордою АВ, тогда вдѣлается
около даннаго круга' полигонѣ ВАНЕС.

Доказ. Ибо? явно видно, что отЪ сочине-
6Уя» здѢлаюшея равныя прямоугольныя три-
уі ельники*

угольники вЬ двое солБ числа сторонЬ иском-
маго полигона, коего равныя апошемы суть
радіусы даннаго круга,

,74« V. Йадінной линсѢав ( ф.25).
квадратЬ начертить.

рЬш. Сперва изЪ точки А воставь пер-
пенд. АБ —АВ (63 )> и послЪ разстворс-
йіемЬ циркуля АВ изЪ точки С, В означь
Дуги секущіяся вЬ С; до С проведи линЬи
ВС, ГС; и тако здБластс желаемой квадратЬ.

Доказ. проведя діагональ ВБ явешву-
стЬ, что для равныхЪ и равнобедренныхЬ
триугольниковЪ В^Р, ВСР, уголЪ прямой
А — С; а углы В&А —ЕБС иАЕРга РБС
полупрямыя (132). Посему фигура АБСР
равнобочная и прямоугольная то есть ква-
дратЬ. равнымЪ образомЪ чертится и пря-
моугольникЬ, токмо не равнымЪ отворсні-
смЬ циркуля вЪ разсужденіи сго сторонЬ.

175	VI. Йа данной лпнБЬ ЕР ф: 33.)
правильной пятиугольникъ начертить.

рБіп. СыскавЪ уголЪ пяшиуі ольника (I $ 3)
положи по транспортиру полрвинБ онаго
равныя углы ЁІ)С, РЕС и отЪ точки С
просоченія линѢи ЕС, ЕС, разстояніемъ
СР назначь кругѣ-3 и по окружности онаго'

поло-

Положа ЕВ, задастся той пятиугольниьЬ.
Доказательство явно отЬ сочиненія.

Иначе, за нсимЪніемЬ углом ра, тоже
самое дЪластся по содержанію угла полигона
к прямому изЬТабл. (153). ВЬпятиуголн.
какЪ 6 : 55 пюго ради изЬ конца Б данной
линВи ( ф-3 3)ЕС написай) дугу ЕВ, воставь
пер пен . БЫ. ПотомЬ раздБля четверть
о.\р жностиЕЫ на 5 равныхЪ частей положи
шестую БЫ, и чрезЬ точки Е,Б,Б начерти
к угЪ (I оо) 5 на конецЬ по окружности поло-
жа В А, А Е, равныя сЬ Е В и чи сЬ Б В эДзласш-
ея треб смой пятиугольный). А для семи-
угольника тажЬ четверть окружности дБлит~
ея на 7 частей, а на ЫВ кладется три час-
ти и проч. Ибо 1о8: 9° ссгаь 'У — ?• А
уголЬ семиугольника й) прямому какЪ 2'7°:
2, — 1,  - то есть I о: 7 .

176	. VII. На данной линЪЪ АВ (ф.31.)
шестиугольникЬ написать.

р ш. разстояніемъ циркуля АВ, изЬ
КОнцовЪ соя черты здВлай прсссчснія дугЬ
в шоч С5 изЬ коей радІусомЪ ВС опи-
санной кругЪ, прсдставитЬ положеніемЬ
линЪи АБ по окружности желаемой поли-
гона. Сочиненіе явно отЬ (167)-

О свой*



?&•

^»***************»****{й
О СВОЙСТВАХЪ кругл.

177-	КругЪ есть правильной поли-
гонъ имѣющей несмѣтное число сторонѣ ;
бсзм'ѣрно малызЪ

Доказ. Сьс явно изѣ свойства кривыхЪ
линѣй ( 7 ) • ЧѣмЪ болѣ правильной поли-
гонѣ вѣ кругѣ или около его написанной ’
имѢетЪ сторонѣ тѣмЪ ближе подходитЪ кЪ I
соединенію сЪ кругомѣ; но понеже поли онЪ I
имѣющей несчетность сторонѣ и прит мЪ I
безконечно малыхѣ неминуемо соединеніе
есть сЪ кругомЪ 5 того ради круіЪ за такой
полигонѣ всегда полагать можно.

178.	Пусть прямая АВ(ф.$5.) про-1
долженнои діаметрѣ БО, круіа Бтп, вра-
щаясь на ^сродвижномѣ свосмѣ концѣ А,оз-_
начишЪ друі имЪ концомЪ В перейдя все про- 1
странство того круга дуги Вгх, Б8ѵ$ сКс
положа можно сказать вообще.

179	«П. ИзЪ всѣхЪ линей состоящихъ
между точки А и вогнутой окружности
круга какѣ АВ, АЬ, АЬ,Дт, Аі и проч. I с,
проходящая чрезѣ центрЪ С всехѣ длиннѣе.
2 с. чѢмѣ далѣ отѣ центра тѣмЪ болѣ они ь
корошеюшѣ, и по сему кои отЪ него прошли ,
вѣ '

₽Ь равномЪ разстояніи тѣ равныя. 3?.
Сгімыя крнпчайіиія тангенсы А«п,Ап. 40.
Ѣ >лѣ двухѣ между собою равныхЪ изѣ шѣхѣ
линѣй не имѣется: а имянно только тѣ,
кои вЪ равномЪ разстояньи отѣ центра С
по обѣ стороны проходяшЪ.

НАПрОТИВуЖЕ ТОГО МОЖНО ЗАКЛЮЧИТЬ
вообще.

18о.	III. ИзЪ всѣхѣ лцнѢй содержимыхЪ
между точки А и выпуклой части круга
какѣ Ат,Аа,АО,Ае, и проч. I с. Краш-
уійшая та, коя будучи продолжена чревѣ
центрѣ С проходитЪ. 2 е. Кои чѢмѣ отѣ него
далѣ піБмѣ длиннѣе, и потому находящаяся
отЬ него вЪ равномЪ разстояньи сушь рав-
ныя. 3 с. Длиннѣе всѣхѣ касательныя Ат,
А п. 4 с. Больше тамѣ двухѣ лигіѣй равныхѣ
имѣть не можно. ,

Хотя всЪ сЬе чувствительно ооѣяснишся
описавЪ отѣ точки А радЬусомѣ А О дугу
рОд, однако можно то строжѣс доказать
слѣдующимѣ обрааомЪ.

Отѣ центра С проведи радЬусы ко
всѣмѣ точкамЪ оружности, гдѣ шѢ линѢи
Окончились какѣ Ст,СѢ, СЬ, Сі, и проч.

Тогда

Тогда АЬ (119И 122) есть менѣ АС и-СЬ
цли АВ, посему АБ всякой длиннѣе. При
томЪжс триугольники АС И, АСЬ, имѣктЬ
ро двѣ стороны непремѣнной величины, а
уголЬ АСЬ болѣ АСЬ; и тако А Ь есть болѣ
А Ь и проч . (122). НаконецЬ ежели дуги
$Ь,Ві, то есть, бу де линѢи АЬ, Аі равцо
ОіпстояпіЬ, тогда для равныхЬ шриуюль-
нмковЪ АСЬ, АСі (134) будутЬ равныя
АЬ, Аі, и проч.

Такимже обраэомЪ можно доказать и
предлож. II; по равности гориугольниковѣ
АСа,АСе, ипроч.

і8і.	Ежели на нѣкоей неподвижной
точкѣ О (ф. 36.) взятой вЬ кругЪ 2 внѣ
центра С вращается прямая АБ , то оная
Окружностью псрссечется вЪ неравныя час-
ти; и опіЬ сюду слѣдустЪ.

IV. ВсѣхЪ линѣй проходящихЪ отЪ точки
О до окружности I с. Предлинная та, ко-
торая чрезЪ центрЪ проходитЪ какЬ, ОБ.
2 г. А сЪ оной прямолежащая как О А весхЬ
короче. 3е* Кои чемЬ далѢ отЬ центра
пЪмЪ короче; и по тому равноудаленныя отЬ
центра суть равныя^ и больше т мЪ двухЬ
р?вныхЪ между собою линѣй не имѣгтг'я
40.

4с. ДвБ равныя линБи будучи Продолже-
ны адБлаюгпея двѣ равныя хорды, ибо рав-
ныя ихЪ оігіЬ ц нтра разстоянія іпворяпіЬ
оныхЬ продолженіи равными.

Хотя всс сіе есть явноеидно описавЬ
кр іЪ радѴусомЪ АОі однако можно тоже
доказать прежнему подобнЬімЪ доводомЬ ,
проведя радіусы СЬ, Са, СЬ, Сі и проч.
Іпогда (і 19 ОЬ есть менс нежели ОС-+-СК
или ОВ. ПришомЪ во всЪхЪ триугольникахЪ
( в коихЪ по двѣ стороны непремѣнны то
есть ОС и радІусЪ ) чемЬ уголЬ у С шире
ггіВмЬ и противной (122) ему сокЬ больше
другаго. Когда же дуги БЬ,Ві равны, то
для равныхЪ треугольниковъ ОСЬ, ОСі
(.1)4) и линіи ОЬ, Оі равныяжЪ и проч.

182.	СлѢдеіН. Ежели ОтЪ точки взятой вЪ
•кругѣ проведутся до окружности три равныя линѢи,
тО о чая точка будетЪ цѢнгпрЪ того круга .

185.	V. Два равныя или неравныя круга только
вЪ двухЪ точклхЪ переСекаются.

Доказ. Ежели кто вЪ томЪ сумі Ѣваясь поду-
маетЪ ихЪ пресеченію быть вЪ трехЪ точкахЪ, тог-
да ОпіЪ пѢнтра одною круга проведя КЪ точкамЪ
пресёчеН'Я три радіуса, кои ОудутЪ три равныя ли-
нѢи проведенныя не отЪ пѣнтра другаго круга до
ею окружности, чему статься не льзя (179).

184.	СлѢдст. 1. Два круга иѵѢющгя три общія
то ік.:, г.мІ.ютЪ одинЪ цѢвтрЬ и соединены.

185.	ІІ.Па алел ыякр^гаим шЪ одинЪ цѢнтрЪ

Д	и по

и по гпому называются •€оцентрическхя. Два
круга у которИхЪ имѣется одна или двѣ общія
точки? сѵті> крѵги Екценгприческія, то есть
разныя цѣнтры имѣющія.

і86.	VI. Ежели двѣ хорды пересекушся вѣ кругѣ
пополамЪ, оччя пересекутся вЪ цЬнтрѢ» и будутЪ
діаметры ( 72 ) .

187.	VII Буде. два круга касаются, то
прямая чрезЪ цЬнтрЬ ихЪ проведенная,
перейдс тЬ чргзЬ точку ихЬ касанія.

Доказ. і с. Ежели внѣ касаются (ф.
3$) тогда кратчайшій путь от цБншра
А кЬ центру С, лсжишЪ чрезЪ точку ка-
санія О-, ибо тогда оной равспЬ суммѣ
АО-»-ОС, а обходя О должно неминуемо
перейтить кромБ сихЪ рлдІусовЬ мѣсто
между кр гами содержимое. 2 с. Будс ка-
саются вн три (ф. 36) тогда точка ка- !
санія А будспіЬ общая сбоимЬ кругамЪ, и
потому кратчайшей путь отЪ діоптра О
до окружности большаю круга 2 ( 181)
есть линБя О А, коя находится на одной
линѢБ сЪ цБншр мЬ С, и потому лин я АО
псрсходитЪ точку касанія О.

***********************
О СОДЕРЖАНІЯХЪ И пропорціяхъ ГЕОМЕ-
ТРИЧЕСКИХЪ.

ВЪ пятой части глагы II универс. Арифм. хотя
между

к^жду ггрочемЪ числамй осиователтно и /оказадц
свойства пропорціи и прогрести для рѣшенія прѵл
надлежащихъ кЪ тому задачъ, а паче для произ-
веденія ЛогаръфмовЪ чиселЪ $ но зд за потребно
разсудилось О свойствахъ содержаній и пропорі ій
еще общимЪ Алгебраическимъ способсмЪ вЪ слі, ук»
ЩихЪ предложеніяхъ изЬяснишь.

І	88.І. Основательное предложс*
йѴс. Всякое Геометрическое содержаніе можно
означать чрезЬ сію Генеральную то есть
Алгебраическую формулу или образсцЪ, а
кЪ ад или а ад или сею Ъ : Ьд и проч.

Доказ. Понеже квоту сЪ содержанія,
равснЬ происходимой величинѣ отдѣленія
послѣдующаго члена на предѣид щей-, изѣ
сего явешв отЪ > что сей послѣдующей то
есть дѣлимое, должно быть равно произведе-
нію квотуса чрезЪ прсд идущей членѣ яко
дѣлителя: по сему всякое Ісомстр. содерж.
котораго прсдЬидущей членѣ положснЪ ~ а
Квотусѣ ~д, имѢетЪ послѣдующей — ад;
а положа первой членѣ ~Ь, квепіусѣ — д,
другой будешЬ Ьд, и можно ьхЬ ставишь
такЪ а : ад, Ь : Ьд и проч .

189	- ПримѢч. Когда первой членѣ
содержанія есть меньше вгаораі о пк гда
квотусЬ д будстѣ больше единимы. Нап|И-
м рЪ у содерж. 4 12, ,	3 , и ш ко

Д 3	первой

первой членЪ а = 4, а другой будспіЪ 4x3
— І2~ад; йЪ противномЪ же СЛ}ЧаБ КВО-
гп/сЬ всегда бывастЬ дробное число меньше
единицы какЪ вЪ содерж. 1214, квотусЬ
д —, по сему положа первой членЪ І2~
ВПЮрой бу-ДетЪ 1 2 X , ~ 4 — ад .

190	. II. Всякую Геометрическую про-
порцію или сходствіе можно означать чрезЬ I
сію формулу а : ад :. Ь : Ьд.

Доказ. Ибо четыре количества двухЪ
рчвныхЬ содержаній , то есть, им'ЬющихЬ
пютЪ же квотусЪ вЪ строку поставлси- 1
ныя дЬлаютЬ пропорцію; но два содерж.
имѣющія квотусЪ д изЪявляются какЪ а : ад
и Ь: Ьд (188)- Слѣдовательно сіе общее
изображеніе а : ад : ‘ Ь ; Ьд всякую Ісомстр. I
пропорцію представлястЪ.

191	.Ш. Величина содержанія (каіЪ и
Дробей) ни отЪ умноженія ни отЪ дѣленія

сго членовЪ чрезЪ какое либо количество

не перемѣняется: или тоже самое произ- і
веденія или квотусы двухЪ нсравныхЪ вслй' |
чинЬ чрезЪ нѣкую одну суть вЬ равномЬІ

содержаніи сЪ тЬми всличин ми.

Доказ. Понеже величина содержанія
зависитЬ огиЬ своего квотуса5 и такей
ежели

ежели содерж. а:ад умножить какимЪ ни-
I будь количсствомЬ т, тоцда у содержанія

ат : атд будешЬ тотЬ же

произведенія ,

к*вопіусЬ

, ПО сему ат : атд — а : ад г Так-

а гд
же доказать можно, что а:ад..— : —. И
’	' т т

тако вообще а : ад : а т : ата :. Л : а— и проч.
іа т *

192	Слѣдовательно цѣлыя величины суть
в томЬ же содержаніи вЬ какомЪ ихЪ равныя
части то есть половины , трети, четверти
и проч. НапримѢоЪ а .Ь ; - : —' — ; — • • Л • і
’ 2 2'3 і ' 4 ' 4
или положа дЪлитсля р, будстЪ вообще

, а Ь

• Ь;;р :7 и пр04-

1 93 • IV. у двоенное содержаніе какихЪ
нибудь двухЪ содержаній равно содержа-
нію квадратовЬ. у троенное изЪ нѢко-
т.орыхЪ трехЬ равно содержанію кубу-
совЬ членовЬ каждаго содержанія ; и шакЬ
Далѣе нрочихЪ степеней.

Доказ. іс. Пусть будупГЬ два равныя
содерж. а:«д и Ь :Ьд? изЬ которыхЪ удво-
енное есть аЬ:аЬдд. ИзЬ сего явствуешЬ,
ЧШО аЬ : аЬдд;;аа : аа д д Ь Ь : Ь Ьд д г по-
всс содержанія і мѢютЪ одинЬ
квоту сЪ дд. 2 с. Да будутЬ три равныя

А 3.

содержа-

содержанія а : а д, Ь Ьд с:сд, коихЪ утросн*
нос содерж- есть аЬс:аЬсддд, Но также
ЯвствуспіЪ , что аЬс . аЬеддд 1 -ааа ; аа адд д ; -
ЬЬЬ'ЬЬЬддд .ссс.сссддд: ибо всѣхЬ оныхЬ
содержаній имѣется тдтЬ же-квотусЬ ддд .
Слѣдственно квадраты бываютЬ всегда вЬ
удвоенномъ содержаніи, а к)бусы вЬ утро-
енному свэихЬ радиксовЪ.

194	V. Всяксй Ісомсшричсской пропор->
ц'іи произведеніе крайндхЬ членовЬ равно
произведенію среднихЬ.

С<е ивЬ одного изображенія пропорціи
а • ад-; Ь:Ьд явно видно сст , что аЬд~«Ьд. По
сему ежели пропорція сосцюитЬ изЬ равныхЬ
липіерЪ какЬ а :Ь: с :3, то всегда будещЪ
‘ аЬ“.с!в, СлЪдов. вЬ непре. ывной Гсомс-
трич. пропорціи -ѴТ » ад-адд то есть а
ад -ад;адд, цроизвсдсні крайни-хЬ равно
квадрату средняю члена} ибо а х аддд
X а д —' а а д д.

195	Сл'ѣдегп.Іе. Всякая сквація или
равность можетЪ перемѣниться вЬ пропор-
цію, напримѣръ изЪ асІТгЬс слЪдустЬ аЬ
,'.с:с): ибо (194) Ьс. ИзЬай — Ьй~сд
ч~ с выдегіп) а — Ь-д-ьі с й. ИзЬ і — ххег
а б\ дстЬ і — х . а і і 4- х и проч.

196.

196	. II с . Четыре пропорціональная
члена какЬ а : Ь : с : <3 можно поставить во
многихЪ пныхЬ видахЬ ченарушая ихЬ пря-
мой пропорціональности. Ибо для ДвухЬ
произведеній а Ьс , можно поставить аиЗ
крайними а Ь и с средними^ илиЬ,с край-
ними но а 3 <3 средними вЬ осьми с.іБдующихЪ
видахЪ, а : Ь : с й. Ь.а : Л : с . с а :: гі : Ь.
Л. Ь .•  с . а. а : с : Ь Гб 1 Ь . 3 • а : с. с : <1:; а: Ь.
Д . с Ь : а и проч. Смотри вЪ универс. Арифмепі.
рпран. 356.

197	. VI. Когда двѣ или многія про-
пооціи взаимно умножить или раздѣлишь,
іпо произведеній иликвопусы будутЬ так-*

же пропорціональныя.

Доказ. іе. Ежели умножить первой
членѣ первымЬ, а второй вторымЪ двухЪ
нсравшяхЬ пропорцій а:ад: Ь : 69, с : ср
:: <3 сір, тоі да явно, что ихЪ произведенія,
ас;асрд:.ЬЗ;Ь^рд суть пропорціональны;
ибо вЬ оныхЬ есть шотЪ же квотусЬ рд.

2с. Такождс по разд леніи * : ад Ь?
Ьд чрезЬ с : ср •; 3 : сір , неминуемо будстЪ
а ад
с * ср
жаійя

Ъ Ьд

’ 7Г ' <3 р ’ п0 том? чшо Оныя С°АСР“*
имБюшЬ одиіЪ квотусЬ

1^8 Сл »дсш ПропорцГоральныхЪ вели-
чинъ какЪспсісни, такѣ и радиксы между
собою пропорціональныя. Ежели а: ад ~ Ь : Ьд$
іпо будетЪ аа : аадд — ЬЬ : ЬЬйй ; ибо (194)
алЬЬдд~ааЬЬдд и проч.

199- ЪП. Естьли многія величины суть
пропорціональны , то будстЬ сумма псрвдіхЪ
кЪ суммѣ вторыхЪ , какЬ одинЪ прсдЬиду-
іцей или первой какой нибудь членЪ кЪ
своему послѣдующему или второму член .

Дока а. Когда есть а : ад _•; Ь ; Ьд :; с ;
ед:: й : йд, говорю, что а-+-Ьч-сч-й : адч-Ьд
-ч-сд-ч-йд, какЪ наприм'ѣрЬ Ь;Ьдз ибо послѣ-
дующей перваго содержанія ад ч- Ьд •+• ед ч»
йд есть тожЪ что а-г-Ьч-сч-йхд: слѣдо-
вательно (190) 4 + о+ с + (і.а + Ь-і-с + а
X д .. Ь ; Ь х д.

2,00. VIII. Ежели случатся двЪ или
многія равныя пропорціи, или которыхЪ
первыя либо вторыя члены суть вЬ про-
порціи , то таковыхЪ пропорцій суммы
или разности будутЬ пропорціональны

Доказ іе. ИзЬ представленныхъ д<с хЪ
Пропорцій а : а д ’: Ь ; Ь д и с : с р :й ; □ р
ВыдешЪ аЧ-с*адч-ср - Ь й: Ьд ч- й р. Ибо
ИзЬоной есть (.194) аЬд -г- айрч-Ьед ч-еЛр ~

а о д

аЬдч-айд ч-Ьср-Ъсйр, уничшожа в! ссй
скваціи равныя количества , останется айр -ь
Ьед —айдч-Ьер. ИзЬ сего явсппустЪ, еже-
ли р~д то есть бу де пропорціи равныя,
то сія есть истинная сквація; ибо оная
можешЬ привестись вЪ равность айр-ьЬср
~айрч-Ьср.	•

2 с. А когда піЬ пропорціи неравныя то
есть р неравно д, но оныхЪ а:Ь. с.'й,
И по сему ай~Ьс, тогда изЬсквацІи айрч-
Ьсд~айдч-Ьср ВЫДСтЪ айрч-айд — ай^
н- а<3 р; отЬ сеі о явствуетЪ, что а-+-с : ад ч-
ср Ьч-й:Ьдч-йр. Бу де же ад : Ьд-;Ср : йр,
тогда вЬсемЪ послѢдцсмЪ случаѣ ссшьайрд
ггЬерд, изЪ чего по приведеніи или уни-
нтожа одинакой множитель р д выдешЪ
тоже ай~Ьс. равнымЪ образомЪ и про-
порціональность разностей предложенныхъ
пропорцій доказать можно.

***********************
О нѣкоторой ПРОПОРЦІОНАЛЬНОСТИ
линѣй.

201.1. Ежели кЪ линѢБ АС (ф. 58),
раздѣленной вЬ Б по крайнему и среднему
содержанію то есть —АС, БС, АБ при-
Д 5	дожить

дожить большую ВС —СВ} то будспіЪ
— АВ-АС-СВ или АО АС-.АС:СВ.

Доказ. П сть АС —а,СВ или СВ~у?
ВыдетЪ а — у — АВ,АВ — а-і-у. По сему
сл'БдустЬ доказать ~ а •+> у . а. у,

ГІО СИЛЪ предлож. а • у — у • а — у 5 ПСрг-
мБня будетЬ у - а — а — у • у 5 сложа выдстЬ
у -Ь а • а — а — у -4- у • у НО а — у -4- у — а . И
тако у + а.а~ »-у то есть 44-у-ьа а. у.

202.11. Бу де огаЬАС (ф.39) отнять
Со— АВ; то остатокЪ АВ раздѣлится вЬ Б
опять вЪ среди и крайн. содержаній, 44- АВ •
АВ-ВВ^ или положа АВ — у,ВС —х,ВВ
~х —у, АС —х-ьу, будспіЪ 44-х — у -у-х.

Доказ. По заданію у-х—х-у-+-х, пере-
мѣна выдстЪ х . у ~ у + х «х, раздѣла бу-.
дспіЪ х — у • у ~ у + х — х . х 5 но х — X ~ о,
по сем х — у • у ~ у • * , и тако 44- х —<
у -ух.

203	.ІИ. Когда линѣя АС (ф.38) раз-
дѣлена вЪ Б такЬ 44-АС.ВС‘АБ, то бу-.

деіпЪ АС -+- А В — 3	.

Доказ. Положа АС~г, ВС—а, АВ —
АС г — > +с, и по сему надобно доказать,
чпю г г -+-сс — 3 «а.

Понеже

Понеже г г "аа + 2 ас-Ьсс, а сЬ сс буДСтЬ
р я-4-2 ас-4-2 сс " 3 аа • Но ас~*~сс —2с И
8с " аа; ПО Сему ас-4-сс" аа ПСрССтавя Ь
Піу равность 2аа на мБсшо 2асН-2сс бу-
дстЬ хх-*-сс"Заа»

204	. IV. Будс притомЪ лпвБю АС раздБ-
______________________________а ---«
лить пополамЪ вЪ Е, то будстЬ АС^АЕ

_ а

— 5 АЕ5 или положа АС "2 а, ЕС — Ь;

6 дсшЪ АЕ " а , и а -+- Ь то есть ав-4-2аЬ-4-ЬЬ
" 5 аа, ноотнявЬ аа останется 2аЬч-ЬЬ"
4 аа«

Доказ. Ибо -т-АС - ЕС • АЕ, то есть 2 а.Ь
— Ь, 2а — Ь- по Сему ЬЬ"4аа — 2 аЬ,
нсрсставя — 2 аЬ выдстЪ 2 аЬн-ЬЬ"4аа*

205 . V. Как іхЪ побудь линіи АВ, ЕЕ
(ф. 40) раздЪлснвыхЬ вЪ ьрамн. и среди,
сод' ржаной части между собою пропорціо-
нальны, то ссггп?, АС СВ::ЕС ; СЕ.

Дока а. Воложа АБп2,АС—а,ЕЕ"х,

ЕС"Ь будст’Ъ (204) ^г-на"5;гг,
---—	—.2

и , х -+- Ь " 5 \ х х: но сіи квадраты для об-
щаю квот^са 5 суть пропорціональны, по
сему и радиксы оныхЪ ^гн-а:;г"’х-ь

Ь : 1 х; раздѣла содержанья выдспЪ а: ’ г —
Ь : ; х , у двоя послЪдующГя есть а • г — Ь * >
перемБия будстЪ г • а — х • Ь$ вы шія вь}-
дстЪ г — а • Ь " х — Ь • Ь или а • г — а ~ Ь .
х — Ь то сспіь АС • СВ — ЕС • СЕ а какЪ
данную линѢю вЪ крайнемЪ и среднемЪ содержаніи
раздѣлить показано ниже (	).

***********************
О ПРОПОРЦІОНАЛЬНЫХЪ линѢяхЬ.

2о6. Ежели стороны АВ,АС нѣкоего
угла А (ф. фі) псрсссчь коликимЪ ниб дь
числомѣ равноотстоящихъ между собою
пара/\сльллсй какЪ РН,ЕІ,ЕК и проч.
тогда I С. ЕсѢ части АН НІ и проч. линѢи АС»
также и части АБ, ВЕ и проч. линѢи АВ, будутЪ
между собою равныя; ибо ежели отЪ каждой
точки прссечснЬя линѢи А В > / С паралсльми,
опустить перпендикуляры АО,ВМ,ЕК и
проч. АО,НР,ІО^ и проч. то для ихЬ
равности и угловЪ АВО,ВЕМ,ЕГН и пр.
АНО, Н1Р,ІКС^ и пр. (133) прямоуірл.
триугол. АВО,ВЕМ,ЕГК и пр. также
АОН,НРІ,ІО,К и пр. едть между собою
равныя, СлѢдов. ипотенузы АВ,ВЕ,ЕГ,
и пр. также АН,ІПГІК и пр. между со-
бою равныя.

;е. Какое нибудь число частей линѢи АС, кЪ
т одужЪ числу частей линѢи АВ между тѢхЪже
игралеліллей содержимыхъ, такЪ иное какое ии есть
Число частей вЪ АС, кЪ числу частей АВ между
тохЪ же иаралелвллей вклкченныхЪ. Ибо ОшЬ
равности ипотен аЪ, АВ : ВЕ : А Н : НІ по
тому что вЬ обоихЪ содсрж. квотусЬ есть
Т. І-кЦі^б) АВ:АН-'.ВЕ:НІ$ также ВЕ:
ЕГ..НІ:ІК или ВЕ: НІ -ЕЕ ІК. Посему
АВ:АН: ВЕ : НІ : ЕЕ : ІК:. ЕЕ ; КС. СлЪ-
дов. (199) сумма всБхЪ прсдЬидуіц. АБ кЪ
суммЪ всЪхЪ послЪдующ. АС какЪ АВ:АН,
или иная нБкая часть линВи АБ кЪ со-
отвотсіпвующсй части вЪ АС или (19й)
сколько нибудь частей вЪ АБ, кЪ равному
числу частей вЪ АС. Но какЬ сіе число
частей состоитЬ между двухЪ паралсльллсй}
того ради какое нибудь число частей вЪ
АС кЪ томужЬ числу частей вЪ АБ, какЪ
иное какое либо число частей вЪ АС, іЪ
такомужЬ числу частей вЬ АБ. Иначе,

Ежели А Н есть десятая часть линЪи
АС, то и АВ будетЬ также десятая часть
лпііЬи АВ,* или вообше, двБ какія нибудь
части взятыя между двухЪ паралсльллсй
наиримірЬ ВР,НК можно признавать ва
два произведенія двухЬ равныхЬ чисс/Ъ,
©дно

Одно умноженное чрезЪ АВ} а другое чрезЪ
АН5 но произведенія двухЪ равныхЪ чисслЪ
неравными суть пропорціональны (191)
симЬ исравнымЬ количествамъ; того ради
какое нибудь число частей вЬ?С кЪ та ко-
му жЬ числу частей вЬ АВ, какЬ АН кЬАС,
или какЪ иное какое либо число частей
линБи АС кЬ равному числу частей линЬл
АВ. ИзЬ сего положенія сл! дуспіЬ основа-
тельное предложеніе.

207 • I Подобныя триѵгольника пмБюпіЪ
всЬ сходственныя стороны между собою
пропорціональныя.

Доказ. Понеже △ СЕЕ (ф. 20 ) на
подобной сссБ БСА положенной (I 36) имоютЪ
третьи стороны какЬ АС, еі паралсльныя,
и (206) будетЪ БА: ВС Бе.Б? то есть!
АВ : ЕС : • СЕ : О Е или перемБня какЬ А Б:
ЮЕ.:ЕС;і)Е.

Ежели положить уголЪ Е на равной ему |
А, то линБи СЕ, ЕС будутЬ паралсльнья,
и по сему АБ • ЕС ; і АС : ЕЕ А положа
уюлЪ Е на С, будетЪ АС. ЕЕ--ЕС СЕ.

ПримБч. ПритомЪ же явно ( 206 ) ,
что и Ле, С€ пропорц. бокамЪ ВА, БС;
или А» .С(;:БА :ЕС.:СЕ: СЕ Ве:Б€.

2о8 . СлБдст. ВЪд обратно паралсль-
йая линѢя основанью навиваемая Антипа-
рілсль, какЬ БС вЬ △ ГС А, раздѢлястЪ
стороны ГА, СА вЬ обратной пропорціи
гао есть ГА : АС :: АС * АВ (ф.48 )

З09 II. Два трир ельника имѣющія всѢ
сходственныя стороны пропорціональныя

суть равноугольныя и подобныя.

Доказ. Ежели (ф. 20) АС. ВС;: ЕЕ
: ВГ, и А С : А В :: ЕГ • ЕВ , говорю что
триугольники АБС, ВЕЕ равноуі ольныя;
и о ежели на линѢБ ВЕ здБластся △ ВГС
равноугольной сЪд АБС, у чиня уголЪ ЕВС
— В, уголЪ Г—С, то будетЪ (20?) АС
: ВС :: ГС ГВ; но АС.БС:;ЕГ ГВ,
попо ложенію , и гпакЬ отЪ равности содер-
жаній ЕГ:ЕВ;:ЕС ВГ, слѢдусшЪ ЕЕ —
ГС. Также докажегпея , что и ВС — ВЕ-,
и посему три гольники ВГС> БВЕ имѢючи
равныя стороны между собою равныя (і 2)
По по сочиненію шриугольникЪ ВГС равно-
угольной сЪ АВС, тою ради сЪ онымЬ и
△ ВЕГ т^жс равноугольныя.

210 Ш Два триуголыіика имѣющія двѣ
сходственныя стороны около равнаю угла
пропорціональныя , суть равноугольныя.

Доказ.

( 8о) 5^*’

Доказ Ежели вЬ триуголыіикахЪ АВС,
ЬЕЕ (ф 50) уголЪ ОтВ, и ВЕ:ВГ::
АВ.ВС тогда онБ равноуі. ВзявЪ на АВ часть
Ве~ОЕ проводи е( паралельно кЪ АС то
шриугол. Віе ВС А будутЪ равноуг. ибо для
паралельныхЪ еГ, СА уголЪ е — А, уголЪ
( ~ С а угоЛ) В есть общей; и тако ( 206 )
Ве : БС’ АВ:БС; а положено ВЕ : ВР : Б А :
ВС. Посему Во : БІ — ВЕ : ВЕ; ноВе“ВЕ,
піоиБ^ — ВР сего ради триугольники ВеГ,
ВЕЕ равныя и подобныя; а понеже ВИ по-
добной сЪАВС потому и △'ВЕЕ подобной
сЪ △ АВС.

211.	IV- ЛинБя А В разсскающая по по-
ламЬуголЪ ВАС (ф 41) раздБлястЪ про-
тивной ему бокЪ ВС на части ЕВ,ВС про->
порціональныя бока.мЪ ВА, АС то есть, ЕВ
: ВС = АБ : АС ( при томЬ разность произ-
веденій АБхАС;ВВхВС равна вссі да
квадрату А В).

Доказ. ЧрезЪ В проведи кЪ АВ пара4
лсль БЕ коя сЪ продолженною АС сойде-
тся вЬ Е тогда гйриугольникИ ВСЕ, ВАС
бѵдутЪ ( 141 ) подобныя; и ( асб ) ЬВ"
ВС:: ГА: АС. По для паралсльныхЬ, уголЬ
Е ~ В ‘ С ВАБ — АБЕ; и тако ( ! 2$) Л

БАЕ,

ПАЕ, есть равнобсдр. иАЕпАВ; посему
БР : ПС • ЕА или ВА ; АС-

212.	V. Бу де вЬ △ прямоугольномЪ
СЕЕ, провесть (ф.43) изЪ прямаго уі ла Е
перпенд. ЕО, тоі да. 1 с. Оной раздѢли.тЬ △
СЕЕ н<д два шриугол. СОЕ, О ЕЕ между со-
бою и цѣлому СЕБ подобныя. 2 с. ОнЪ же
будегаЬ средняя пропорціональная черта
между часгпьми СО,ОЕ ипотснузщ СЕ. 3 с,
Каждой бокЪ △ СЕЕ бу летѣ средней про-
порціональной между ипошенуаою и ея час-
тью тому боку подлежащею,

Доказ. Ибо явно что изЪ шриугольниковѣ
СОЕ, О ЕЕ каждой подобенЬ гприугольнику
СЕЕ: по тому что кромѣ прямыхѣ угловЬ
у каждаі о есть общей уголЪ сЬ триугольни-
комѣ СЕБ, и для того они между собою
подобныя; слѣдовательно! вѣ Д СЕО, мень-
шей бокѣ СО кЪ среднему ЕО, какѣ вЪ 4
ЕОЕ малой бокЪ ЕО кЬ среднему ЁО, или
-^СО ЕО ЕО, то есть СО ЕО::ЕО:БО.

ВЬ Д СЕО, малой бокѣ СО кЬ своей
ипотснуйі Ер, какѣ вЪ Д СЕЁ малой бокЪ
кЪипопіепузѢ ЕС; или СО • СЕ • СЕ
ВЪ △ ЕОЕ средней бокѣ ЁС кЪ св сЙ
йпотснуаЪ ЕЕ, какѣ Д СЕБ средней

Е	боіЪ

0окЪ ЕІ кЪ ипошснузБ ЕС; или |,О,
ЕЕ ЕС.

213.	СлѢдст.І. ВЪ прямоугольномъ △
сумма квадратовЬ двухЬ сторо.іЬ равна
квадрату ипотснувы. Ибо —СО СЕ-СІ.»
по сому (194) СЕа~СОхСЬ ПритомЪ
4-НОЕ-БЕ СЕ, и тако ЕЕа”ОЕхСБ;
сего ради СЕ а ч-ЕЕо — СО х СБ-ь ОБ х
СЕ - (СОч-ОЕ) хСЕ — СБх СЕ — СЕ □.

214	II*. Понеже СЕа ч-ЕЕа— СЬ°, и
тако СЕО— СЕо — ЕЕа, и ЬЕо — СЕп —
СЕа 5 то есть, ежели кв^дратЬ одной
стороны вычесть изЬ квадрата ипотснузы
останется квадратЪ другой стороны.

21	5 ІИ. Діагональ квадрата точно из-
мѣрить ни вычислить ни какЬ невозможно.

Доказ. ПустьАВ или АБ ( ф. 2$ ) — а$
по ссм (21 3) ББі^ — аач-аа или 2аа^
БЕ>а. Но аа БЭО :: Л : 2-, слЪдоват. дУаі о-
наль по степени измЬримой $ но 2 есть
не квадратное число, нюго ради величину
діагоналя н< возможно точно вычислить, и
по тому онЬ не измѣримой.

216. VI. Перпендикуляръ ЕО (ф.43)
ртЪ окружности кр га на діамсгарЪ СЕ
опущенный есть средней пропорц. между
чрешь-

частьмл СО, ОЕ; или тоже, квадратѣ онаго
равснЬ произв"денгю СОхОЕ.

Доказ. Ибо проведя линѢи ЕС, ЕЕ
будсшЬ (89) △ СЕЕ вЬ Е прямоугольной,
и по тому (212)44-СО ЕООЕ или ЕОа
~СО хОЕ ( 194).

217-IV. Ежели дГамстрЪ СЕ раздѣлить
насколько нибудь равныхЬ частей вЬ при*
мѣрѣ на 5, пото.ѵЪ положа СО — 7 СЕ, й
воставя псрпсид. провесть ЕС, тогда бу-
дстЪ СЕа~5 СОо. Ибо ЕО-4СО;
но 4 СО х СО — 4 СО □ “ ЕО □ (2*6), а
( 2 I 3 ) сЬ ОС □ выдсгаЬ ЕС а — $ СО з.

218 VII КвадратЪ бока равнобоч. △
АСЬ (ф. 44) вЬ трое больше квадрата
радіуса круіа около онаго △ описаннаго.

Доказ. Опустя псрпсид. СЕ проведи
хорду БЕ, коя (167) будетЪ равна радіусу
БЭ или-АО, и тако СЕ ~ 2 БЕ. По сему
СЕ.а или 4 ВЕо — ВЕо ” з еЕо ^СВО
(214). СлЪдоват. СЕ квідратЬ діаметра кЬ
квадрату бока равнобочнаго триугольника
какЬ 4.3 . ПритомЬ же явно что радіусѣ
АО или ЕО вЬ двое болЪ Апотсмы ВО.

21'9. ѴШ. Части двухЬ хордЪ БА, СО
(ф. 45) кругѣ пересѣченныхъ, суть

Е 2	обратно

Обратно пропорціональныя .

Докаа. Проведя БА,СВ явствуспЪ,
чфо триугольникй ВЕС,БАЕ суть подоб-
ныя ; ибо углы при Е равныя, а уголЪ С сЪ
угломЪ А стѳягаЬ на одной дуіЪ ВО, и
углы Б,Б стояшЪ также на одной дуіЪ
АС . По сему (207) АЕ:СЕ:;СЕ:ВЕ.

220.	ПримБч. X рды вЬ одномЪ круііэ
не могутЪ быть пропорціональны своимЪ
дугамЬ; ибо положпмЬ напримБрЬ дуга СЕ
сейіь треть дуги ЕЕ, тогда хорда СЕ не
будешЪ вЬ трое Меньше хорды ЬЕ, потому
чпю .дуга СЕ-+-ЕЕ— СЕБ, но хорда СЕ-+-ЕВ
есть больше хорды С Б (’ 19^•

221.	IX. ДвухЪ линБи ЕВ,ЕС (ф. 46)
изЪ точки взягиой внЬ круга до вогнутой
окружности пров'денныхЪ, внБшнія части
АЕ, БЕ имБктся обратно пропорціональ-
ныя цБлымЪ линЪямЬ ЕВ, ЕС, то есть
АЕ.Т>Е::СЕ БЕ; и АЕх БЕ — БЕ х СЕ.

Докаа. Проведя хорды АС,БВ, явно,
что шрпугольники ЕВБ, ЕАС подобныя^
ибо имБютЬ уголЪ Е общей, а углы В,С
стояпіЬ на одной дуіЪ АБ, и тако (207)
АЕ БЕ::СЕ:БЕ.

222	X. Ежели изЪ ДвухЪ линБй ЕВ,ЕД
(ф. 46)

(ф. 46) отпЪ внѣшней точки Е проведсн-
цыхЬ, одна ЕБ внутрЪ, а другая Ей тан-
існсЬ, тогда сія касательная будстЪ среди.
пропэрцГон.іЛ. межд цѣлой линѢи ЕВ и ея
внѣшней части ЕА, или 44-ЕБ Дй.ЕА.

Доказ. Проведя йБ,йА, триуголь-
рики ЕйВ, ЕйД будутЬ подобныя; ибо
уголЬ Е общей , а уіла ЕБй — АпЕ есть
мѣра полдуги Ай (86 и 87), и такЬ уголЪ
ЕйА~ЕйВ-, а по тому ^207) ЕВ:Ед*:Е4
ЕА. или 44-ЕВ Ей ЕА,

223.	XI. Части двухЪ линѣй пересѣчен-
ныхъ меж гу двухЪ паралсльньрсЬ линѣй
между собою пропорціональныя.

Доказ. Понеже триугольники /ВЕ,
СЕБ (ф 47) подобныя, ибо (40) углы уЕ
равныя, и (48) уголЬ ЕАБ~ЕБС, также
уголЬ ЕВА—ЕСО- Посему (207) ЕА:ЕБ
:.'ВЕ:ЕС.

224.	XII. Ежели изЬ точки А (ф. 48)
вЪ окружности лзятой проведутся какія
нибудь линѢи АГ, АО, то ошЬ гаойже точки
А вЬ равномЪ растояніи проведенная линѣя
ЕБ псресѣчстЪ ихЪ вЪ обратной пропорціи,
то есть АР АО ,‘АС:АБ. А пришом.Ь /рх
А5 или АО х ДС ЕАа.

Е 3	Докаа».

Доказ. Ибо I с. угла АБС есть <94)
эіВра ~ ду ги Г Е ч-~ дуги В А или ' дуги А Е. тпо
ссшь полдуги ГЕА, а оная дуги также мЪра
углу О, и п тому уголЬ АБС г: С, ауголЬА
Общей, и такЪ гприугол. ГСА,ЕСА суть
подоб. того ради (207) / Г : АС ;:/С : АВ. ,
2 с Понеже углу ЕЕВ есть мБра ЕО
Ч-І ЕА или ; АВ, то есть полдуги ЕВЛ,
которая также мБра углу ГЕА; но уголЬ
ЕАР общей, и потому вЪ подобныхЬ три-
угольникахЪ ВЕА , ЕЕА будетЪ АГ:АЕт
ЕА:БА, то есть-Н-ГА - ЕА - Б4.

225.	ХШ. Всякаго четыреугольника вЬ ]
кругБ написаннаіо произведеніе діагоналей і
равно суммЪ дв хЪ произведеній противьыхЬ |
сторонЪ: то есть (вЬ ф. 49.) АСхББ —
АВХСБ-+-АБ хВС.

Доказ. ЗдЪлавЬ уголЪ АВЕ^ВБС,
будспіЪ уголЪ АВБ — ЕВС, и (90) уголЬ
АВВ — АСВ; по сому вЪ подоб. (207) триуг,
ВБА, ВСЕ, есть ВБ : АЬ:: БС : СЕ, и (194)
ЕБхСЕ“АБхВС НоуголЬ АБЕ — ББС,
а уголЪ ВАС — ББС (90), и такЪ вЬ
подоб іприуг. ББС, БАЕ есть БВ.СВ::
АВ: АЕ, и ВЬ х АЕ — СВ X АВ; но ЬВХ
ЛЕч-ВБ X СЕ ВБ X АС, по тому что АЕ

ч- СЕ

ч-СЕг=АС, шого ради ЕБ X АС — СОхАВ
-ь АБ хЕС.

226.	XIV Ежели прямоугольнаго △ АБС
(ф. 50) р .здБмнпь одинЬ уголЪ какЪ А на
нѣсколько равныхЪ частой, тогда части
бока ВС вссі да по м'ЬрЪ разширВвКя угла А
увеличиваются.

Доказ. Ибо для равныхЪ угловЬ при В
(211) АБ : АЕ - ЕБ : БЕ; но АЕ длиннѣе
(121) есть АВ> чрезЬ пю и БЕ боллпе не-
жели ББ. По томѣ АБ : У С :БЕ•ЕС, но
АС длинно А Б (121), посему БЕ короче
противЪ СЕ и проч .

227	XV. Во всякой) А БАС (ф. 22),
ежели огпЪ верьха А опустить п> рпенди-
кулярЬ АБ, тогда квадратЬ одного бока сЪ
квадратомЬ основанія првышаютЬ квадра-*
та другаго бока двойнымЬ гіроиэвЬденКемЪ
основанія умноженнаго сі о частью подле-
жащею др гому боку: пю есть АЬО хг А СО
ч-ВСо — 2 БС хСБ.

Доказ. Понеже (214) АСС—СБО —
АБй, а АБО-ьЕБ О — А ВО. НоББ“ ЬС —
СБ, по сему ББй — ЕСО —2 БСхСБ-*-
СБсі; пост-вя намосто АБП і ВБО равныя
ИмЬ величины выдстЬ А Б □ ~ АС О — СБ О •+•

Е 4	ВСО

ВСО — 2 ЕС х СВч-СВО; но—СВО-ч-СВ^
22 о, и пико АБ □ АС □ ч-ЕС □ — 2 ЕС
ХСР.

228	XVI. ВовсякомЬ наклонномЪ ійрс-
уГольНикЬ КвадрашЬ большаго бока превы-
шаешь сумму квадратовЬ друі ихЪ двухЪ,
сторонЪ двойнымЬ умноженУемЬ бОк
которой опустится перпсндикулярЬ про-
долженною частью тоі о бока до перпенди-
куляра .* то есть АВ О 22 ВС □ АС □ -н
ЙВСхСВ (ф.йо).

Доказ. Ибо (213) АВ0 22 ЕВО-ь АВО
м АС О 22 СВ □ ч- АВ □ 5 но ВО □ — вс □ ч-
2 БС ХСВч-СВ^і псрсставя сіе вмЪспю
ВВП а АС ° на мБспіо АВ □ ч-СВ □, будстЪ
Два — ВС□-нАСЫ -4-2ВСхСВ.

229.	ПримІэч. I с. ВЬ △ АБС( ф. 51 )
ежели малымЪ бокомЪ А В описать полкруга,
тогда СЕ 22 АЁч-ЕС а СЕ 22 ВС — АІ; по
ему (22і) АС АВ + ВС::ЕС — АБ СІ;
то есть основаніе кЪ суммѣ дъухЪ боковЪ, гпакЪ ихЪ
разность кЪ рМзмости частей основанія отЪ перпенд.
учшіенныхЪ. 2е.б де перпенд какЬ СВ па-
дстЬ внЪ △ тогда начертя бокомЬ ЕС
по округа будстЬ АН22АС4-ІС, а КА 22
АС—ЕС, по сому АБ КА::АН:АС.

230.	СлЪдоват. Коіда вЪ не равпосто-
ронномЬ

|іонномЪ гприугольникѢ даню мѣрою тсѣ тпрц
'стороны, то ( чрсвЬ 5129 или 227 и 228 )
сыскавЬ части основанія найдется (я 14)
высота △ и проч,

231.	ХѴП. Вѣ равнобедр, 4 БАБ, (ф. 52)
коего углы при основаніи БА вЪдвос боль-
ше верьхняго В, линБя БС раздѣляющая
уголЬ Б ПополамЪ псрссБчсшЬ оокЬ АВ вЬ
С по крайнему и среднему содержанію:
то есть 4-г-АВ БС.СА.

Доказ. ОтЬ сочиненія уголЬ ВтВБС,
по сему (12$) БС — ЕС} а понеже уголЬ
АСБтСББ-+-В, то есть гХ/сАББ или А,
потому АБс^БС. И тако два равнобедр,
триугольника БАВ, АСБ имѣющія об-
щей уголЪ А суть равноугольныя} того
ради АВ кЪ АБ, то есть кЬ БС или кЬ *
БС, какЪ БС или БС кЪ АС} по сему -гг
АВ БС АС.

232.	СлѢдеш. Ежели радѴусомЬ АВ на-
писать кругѣ, тогда АБ или ВС будстЪ бокЪ
дѢсяіпиугольн. вЪ ономЪ , и тогда уголЬ Б —
4Ѵ гх 36, по тому что сей уголЪ вЪ такомЬ
А —	36. равно и АС есть бокЪ дѢсяти-

угольника вЬ кругѣ рддіусомЪ АБ написан-
номЪ.

&33-ХѴІП. ВЪ правильномъ пяіпиуголь-
йикѣ(ф. $3) бу де провесть діагонали ДБ,-
АС, то △ АБС будетЪ равнобсдр. и онаю
углы при основаніи вЬ двое болЪ верьхняго
БАС*

Доказ. Понеже ДБ, АС суть хорды
равныхЪ дугЪ, потому △ АБС равнобсдр.
Но /. БАС мБра полдуги БС, а/. СБАмЪра
полдуги АВС или дуга АБпЕС —;СБ.
СлБдов. Б или С двойной есть г. А.

Ц34 • XIXВЪ правильномъ пятиугольникѣ
(ф. 53 ) проведенныя діагонали АС, БВ, .
пересѣкаются вЪ точкѣ Г іЪ крайнсмЬ и
срсднсмЪ содержаніи, и А Г или БЕ равна
будетЪ боку сего полигона.

Доказ. Ибо БСА —БРС, Ію тому
что оныхЪ мѣра есть половина дуги АЕБ
“полсуммЪ дуіЬ / В, БС (94), гоого ради
БС~БЕ, также и АГ — АБ —БС. По
томЪ вЬ подобныхъ △ БСБ,СБГ для общаіо
4Е и равныхЪ РСВ,СБВ сХѣдустЪ БВ : ЕС
— ЕС:ЕГ; «о ЕС~БС~ БР, и по сему
БВ.БР — БГіГВ или -Н-БВ-БР-РБ.

235.	XX. КвадратЪ бока СН(ф. 54)
пятиугольника равенЪ суммѣ квадратовЬ
бока СВ или ЕН Дэсягоиуіельника и РН
тоспіиугольника.	Доказ.-

Дрказ. ВЬ половину БН проведи линѢю
ГО, коя ’будстЬ кЬ БН ( 7О ) перпенди-
кулярна. Но триугольники СНГ,СЕЕ по-
добныя, ибо )іолЬ С общей, а уголЬ СГО
—. ЕНС 54 по тому что дуги СБ + БВ“
Зб-ьі8—-54 м$Ра УГЛУ СГО, а уголЪ
ЕНС половина угла сего полигона, то есть
54, сего ради СН : ГС г; ГС : СЕ, и СН
хСЕггГСО. Но понеже равнобсдр. три-
угольники СНВ,БЕН имѣя общей /- СНВ
также подобныя, и будетЪ ЕНіБНгг.БН;
СН,иЕНхСН - БНП.ИтакоІНО-ьЕСа
— СНхСЕ-ьЕНѵСН; но СЕ-ьЕН~СН,
посему ГС□-ь БЦЕі гг.СН □ -

236.	XXI. КвадратЪ бока пятиугольника
ПС сЪ квадратомЪ діаюналя АС, вЬ пятеро
больше квадрата радіуса АО.(ф.53)*

Доказ. Проведя дТамсшрЬ АК и ЮК
бокЬ ІО триугольника, положи БС — а, АО
:х И , АК — 2х, и І)К — у. По сему вЪ
прямоуг. △ АОКбудсшк(2ІЗ)^^‘ч"УУ — 4ХХ
но (235) аа~ ххч-уу. Сложа сію рав-
ность сЬ первою б дстЪ бД -+- уу -+- аа ~хх
н-у у-4~4 хх 5 отнявЬ ошЪ обоихЪ у у выдспіЪ
йс!-»-аа :з: 5 х х, то есть АБС-ьОС'О —
5 Лоа <

2^7 • XXII. Ежели вЪ кругВ провесть
діаметрѣ АН (ф 55)» и на оной вз цѣнтра
доставишь прямостоящую КЕ, а изЪ сре-
дины Е радіуса здѢлать ЕК —БК, тпоіда
линВя КК будетЬ бокЪ пятиугольника а
ГК, дБеятиугольника, начергоасмыхЪ вЬ
ономЪ круіЪ.

Доказ. Положа АЕ— 2а, Е^4—х, бу-
дстЪ ЕК или ЕК —ач-х, потому ГКО ~
«а+2 ах + хх; но ЬКО " ІРО-і-ГКО—
а а •+ 4 аа — аа Ч- 2 ах ч- х х; отнявЬ изЬ рав-
ности по а а, останется 4аа — 2ахч-хх; ра-
сположа вЬпропорцію будстЬ 2а4-х : 2аг
2 а:х,их(2» + ’І)-4п>НО2а + х^:АК;
по сему выдстЪ АК : АЕ — АЕ.ГК, или -Г—
АК. АЕ- ЕК- И тако линѣя АК раздѣлена вЬ
шакомЬ содержаніи, что А Г есть (167) бокЪ
шестиугольника, иЕК (23й) боіЪ десяти-
угольника-, а понеже ГКПч-ЕКО — КК □,
того ради (235) линЪя КК есть сторона
правильнаго пятиугольника.

238. Пробл. I. Дчнную линѣю АВ на-
сколько выбудь равныхЪ частей раздѣлишь,
напрпмЪрЬ на 5 (ф. 56).

рЪіп Начерыпи линБю-СЕ, и положа на
оной вЪрассуждсніи величины АБ ошЪС пять,
равныхЪ

равныхЪ частей, вдѣлай на линѢѢ СВ рав-
нобочной шриугоЛьй СБР} потомЪ взявЬ
лиііБго АВ положи отЬ Р до* и Ь,и проведи
аЬ* напослѢдскЬ назначенныя 4 линБи Е
4, ? 3»	I, раздѣлятЪ Линѣю а Ь —

АБ на $ равныхЪ же частей> Ибо отЪ со-
чиненія △ аЬЕ также равноугольной, и по
тому (207) СБ или СГ:С»--Ра или
аЪ : аі, но С« — у СБ , то и аіг2у аЪ.
Подобно СВ Сі--аЪ;а2, ОГпЬ чего а2гг,
аЪ и проч. Иначе, учиня какія нибудь обоюду
ЛинБи /Б равныя углы ВАС, АКБ и проч.
какЪ явствустЪ вЪф.57<

23 9. П Данную линВю АС вЪ равномЪ
содержаніи сЪ линБею АБ раздѣлить (ф.58).

рЪш ЗдБлавЪ изЬ данныхЪ линѣй
какой нибудь уголЪ ВАС, соедини СЕ, по
томѣ чрезЬ всБ точки Б,Е,Е, раздѣленія
линБи А Ё проведи паралсльиыя ЙЬ ВС; тогда
для подобныхЪ триугольниковЪ АВС, АБЗ
и проч. (206) всБ части линБи АС будутЪ
пропорціональны частямЪ линБи АВ.

Сге чрезЪ первую проблему способнѣе
рѣшить можно,

240	. ІИ. ДаннымЪ гпрсмЪ линѣямЪ я,
Ь»е» (ф 58 ) четвертую пропорціональ-
ную сыскать,	рѣпъ

рѢш. Проведя двѣ линѢн А В, А Ссѣку-
щѴяся подѣ хакимЬ нибудь угломЬ вѣ А, по-
піомЬ ощЬ точки А положа па нихЬ А Г
а , АС~Ъ,ЛЕ — с чрезѣ концы Г, Г первыхЬ
двухЬ проведи ГС, а чрезѣ конецЬ Е третьей
линѢи провели Ее паралсльно кЬ Еі, и
будешЪ (206) Ае искомая линЪя.

241	IV. Между двухЬ данныхЪ линѣй
СО, ОЬ (ф. 43 ) среднюю пропорцгональ-
ную сыскать.

рѣщ. Положа данныя линѢи СО, ОЬна
прямой чертѣ, изЪ средины оныхЬР начері-
ши полкруга СЕЬ, а маѣ точки О воставь
перпенд. ОЕ ,которой (2і6; будещЬ среди,
пропори,. между данныхЪ .

Иначе, положа (ф 59) АС^гСО, СБ—
ЬО на одной прямой , продолжи АВ, чтоб'р
ВВ ~ АС. ИзЬ Б и А раготояніГсмЬ АВ или СО
здѣлай пересѣчку дуі Ь вЬЕ, тогда линЪя СЕ
или БЕ будстЪ средняя искомая . Ибо ошЬ
сочиненія равнобедр, △ АБЕ,СЕЕ имѣющія
общей /-Ъ, суть равноуі ольныя, И шако
(207 ) АС іВЕ: • ВЕ : СБ.

242	V. ДаннымЬ двумЪ линѢямЪ тре-
тью пропорціональною сыскать, то есть
щакую, чшобЬ ртррая была среди, пропорц.

между

между искомой и первой.

рѣшеніе ссгоесгпь тоже самое(240)1
полагая только вторую дважды, какЬ вмѣсто
АЕ, АГ, а первую зі АР.

243-VI. Данную линѢю на двѣ шакі^о
части раздѣлить, чгпобЪ большая была срсдн.
пропорц. между цѣлой и меньше^ части»

Р'Ѣш. ВЬ концѣ данной линѢи АВ (ф.
6о) воставь перпендикулярѣ АЕ-Г.^АБ, а
изЬ точки Е радіусомѣ АЕ начертя кругЪ
проведи динЬю ВЕР: потомѣ здѣлай ВС —
ЕВ. И тако линѢя АВ раздѣлится вѣ С
по силѣ заданья. .

Доказ. Для касательной АВ, будстЪ
(?22) БГ :ВА-:ВА.БВ , или ВР—БА.ВА
• •ВА — БВ.БВ; но БГ —БА —БВ—БС,
ибо ЕО — А В , а ВА — ЕС С ; и тако’
ЕС : ВА:: АС : ВС или 44-/'В . В С. АС,
Ді-пспів.е сего заданія называется раздѣлить черту
вЬ среднемЪ и крайнемъ содержаніи (лриф. стр. 360).

244	. ѴІІ. Между даньыхЬ линѣй АВ,
ВС Двѣ средніе пропорціоналн. сыскать.

рѢш. ИзЬ данныхѣ линѣй ( ф. 61 )
здѣлай прямоугольникѣ АБСВ, проведя вЪ
ономЪ діагонали найдется цѣншрЬ Е, изѣ
цртораго разстояніемъ ЕС —ЕА опиши
кругѣ.

кругЪ. Положа линейку на точку в, перед-
вигайся на ней, пока цыркульньімЪ размЪре-
нГсмЪ придстЪ БОхЕЕ: тогда АГ,СС
судутЪ искомыя лиіфи, то есть-44- АВ. А у.
СС СВ

Сір рѣшеніе есть механическое,кое но простой
Геометріи никакЪ учинить невозможно.

Доказ. Ибо (22і) БС х СС — СВХ
СО,также БГхЕА—БОхГБ. ОтЬ сочин,
СО —БЕ, и ЕС — ОГ, посему БСхСО —
ОЕхБЕ, отЪ равности БСх СС—ВЕх А Г,
что по тавя вЬ пропорцію есть БСгБГ’.А
Е СС. Но для подобнЫхЪ шриуголышковЬ,
ВС БГ - - АЬ’.'АЕ, посему АБ:/Г::АЕ:СС;
при томЪжс АВ : АЕ-:СС:СБ, того ради
АБ.'АГ -'/Г СС--СС:СВ, то есть -Н-АВ
АГ.СС.СВ. (вычис. вЪАргф, стр. 360)]

245	. ИзЪ шрехЪ линЬй Гссмстр. про-
Брсссіи, какЪ ОЕ, ЕЕ, БС (ф. 62) опредѣ-
лишь прочія вЪ бссконсчИость, Продолжи
ЕС, ЕЕ безпредѣльно, по томЬ изЬС,М,ЕІ
и пр воспаленныя перпендик. или кЪ СЕ,
ОЕ проведенныя парадсль/и орначутЪ на
Продолженныхъ линЪяхЪ нссмБшное число
ойыхЪ члсновЬ) а убывающей прогрессій
$лСны найдутся вЪ сдмомЪ △ БСЕ;

А46.

*

Л4б. IX. Геометрическій мастабЬ или
раамБрЬ начертишь.

рБш. іс. Назначь линБю АЕ, (ф 63)
и на концахЬ ея поставь перпендикуляры
АВ,ЕЕ. 2 с. ОтЬ А доВ и отЬ Е кЪР, по-
ложа также произвольной величины по ІО ти
равныхЬ частей, проведи паралсльныя линБи
кЬ А Е 3 е ТІЗхЪ же по і о ши частей, на-
мБтя отЬ А до Б и ошЬ В до С, проведи діа-
гональныя линБи Ва ипроч.'кди рИздБлятЬ
линЪю АВ на юо равныхЬ частей; б де
каждая оной часть возмешея за іо, а ежели
га единицу, то на паралельляхЪ будутЬ
десятины; И'О (206) ЕС : Вр ~ еС : рд то
есть іо:і— *:Д или кЪ ,о0 части линБи
АВ- 4с. На конецЬ отЬ точеЛ А,В на
линБяхЪ АЁ,ВР положи по скольку нибудь,
частей равныхЬ велиЧинБ АВ. ТакимЪ об-
разомЬ сей мастабЬ совершится, которой сЪ
великою пользою для начертанія разныхЬ
ГсомстричсскихЬ фйгурЬ употребляется.

247.	X Даны части АЕ, ЕС (ф 64)
Лин и АС, и величина линБи ВВ при р вныхЪ
углахЪ АБВ, ВВС, опредБлитъ точку В.

рБш. 1 с. Положй, что будто найдено
мБешо точки В, и чрезЪ то означснЬ пн -

ж

угольникЪ

угольникѣ АЭС, около котораго думай
описанЪ кругѣ А ВСК і потомЪ продолжа
ЕС до К, проведи линБи АК,СК.

2с. Понеже по ааданйо уюлЪ АОВ
— БСС; того ради уголЪ (90) АСК —
КАС, и ( 12$ ) АК — КС. И шако прове-
денной перпенд. КР на линѢю АС падстЪ
вЪ средину ея Е, и чрезЬ то линБи АЕ,БР
будутЪ извѣстны.

3 сл Но по свойству линБи вЬ кругѣ
(219) найдется БИ, по которой и чрезЬ
СБ, ГБ, вЪ подобныхЪ треугольникахъ РБК,
БСЕ узнается БЕ и (214) величина пер-
пенд. СЕ, а по оному и чрезЪ АЕ,ЕС сы-
щутся ( 213 ) линБи АС,СС, и точка С
опредѣлится. Тоже самое можно учи-
нить по чертежу сЪ мастаба слѣдующимъ
образомЪ. На примЪрЪ пусть будстЬ А Б іх
107, какихЪ нибудь мѣрѣ, тѢхЪ же БС, п
156, ВС — 485, по сему сыскавЬ сперьва
( 219) ВК, назначь линБю АС, и на нѢй
положи сЬ мастаба величины АВ, БС, а изЪ
средины Г воставлснной перпендикулярЬ
ЕК, пересѣки сысканною линѢею ЕК изЬ
Б бЬ точкѣ К. потогдЪ чрезЪ точки А,С,
И вЬ ОниСанномЪ ( ЮО) окруженіи и^О-
до•жен и я

должснная линѢя БК опредѣлитъ желаемой
п нкіпЬ Б, при равныхЪ углахЪ АББ,
ВВС} ибо ПосочинѢнГю уголЪ БАК — БСМ.

248 XI Имѣй Данную линѢю АБ (ф 5 2)
начертишь равнобедренной △ , коего бы углы
При основаніи были вЬдвос больше верхня-
1 о угла.

рБпі. раздѣли (245) линБю АБ вЬ
КрайнсмЪ и среди, содерж. вЪ С: пд томѣ
ілзЬ А, С разстояніемъ БС здѢлавЪ пересѣчку
дугѣ вЬ Б, проведи ББ, БА. ( 231 ).

24$. XII. На данной линѣе АВ (ф. 52)
правильной дссятІугольникЪ начертить.

рѢш. раздѢля бокЪ АВ вЪ крайн. и
среди- содржаніи (248) приложи кЬ нему
большую часть, то сумма будстЬ (2Оі)
— АБ~ радіусу круга, вЪ космЪ иачертишея,
Желаемой полигонѣ.

2$О. ХШ. На данной линѣе БС
(ф 53) пятІугольникЪ написать.

рѢш. ПоложимЪ что оной здѣланЬ, по-
йеже АС раздѣлена по крайнему и среднему
содержанію и АЕ — БЕ илиБС; того ради
раздѣла АЕ по сему же содержанію придай
кЪ ней среднюю, и будетЪ линѢя АС (201).
А сыскавЬ діагональ АС — АБ, пяші-

Ж 2	угольникѣ

угольпикЪ лсхко уже начертить можно.

а**********************
О СРАВНЕНІИ подобныхъ
фигуръ.

ДвБ какіе нибудь фигуры суть
подобныя, бу де они им югаЪ по равному числу
сторонЪ, и всБ стороны одной пропорціо-
нальны сходствсннымЪ сгпоронамЬ другой
фигуры, и вс’Б углы сими сторонами содер-
жимыя вЪ обоихЪ фигурахЪ, между собою
равныя. ИзЪ Сего явствуспіЪ,

1	е. ВсѢ правильныя одного виду полигоны, слѣ-
довательно и круги суть фиіуры подобныя; такЪ
Же какіе нибудь дуги равнаго числа градусовъ суть
фигуры подобныя.

II	е. Двѣ подобныя фигуры разнятся только вЪ
тпомЪ, что одна есть меньше другой, или что онш
сЪ разныхЪ масшабовЪ сочинены.

Д52. I. ДвБ подобныя фигуры какимЪ
образомЪ ни раздБлягпся на треугольники
ошЬ діагоналей, чрсаЬ сходственныя углы
проходящихЪ, но сходственныя трсуі ель-
ники буд шЪ всегда подобныя.

Доказ. Ежели вЬ двухЬ полигонахъ
(ф 6 5 и 66) А “ Е, Е „С, С - Н, 0^:
I, Ег.К, и оудс АВ:ГО:.БС:ОН::СБ:
НІ • • БЕ ІК •  Е А: КЕ, г оворю, когда прове-
дутся діагонали АС, АБ, ГН,ЕІ, то
треуголъ-

треугольники АБС, ГСП, АСО, ЕНІ,и
проч- суть подобныя.

Ибо уголЬ Б "С и стояіпЬ между про-
порціональныхЬ сторойЬ, по сему (2іо)
треугольники АБС, ГСП подобныя) такія
же и АБЕ,ЕІК. Но отЬ равныхЬ угловЪ
вычтя равныя останется САС~1ЕН,
и АБС — Г1Н, потому (1 30) треугольни-
ки АСО, Г1П такЬ же подобныя.

25) II. обратно, когда дбѢ какіе нибудь фи-
гуры могутЪ раздѣлиться на равное число подобныхъ
треугольниковъ, тогда оныя фігуры суть подобныя.

Доказ. Ибо углы равноугол. треуголь-
никовъ составляюшЬ равныя углы фигурЬ,
а стороны фигурЬ суть бока равноугол.
треугольниковъ также ( 207 ) пропорці-
оналны; потому и цБлыя такія фигуры
сушь подобныя (251)	•

254, 111, $жели вЪ двухЪ подобныхъ полиго-
нахъ проведутся какіе нибудь линіи одиимЪ поло-
женіемъ, то есть, кои разд'ЬлятЪ сходственныя
стороны или углы вЪравномЬ содержаніи, тогда іе.
оныя линіи какЪ между собою, такЪ исходствен-
нымЪ какимЪ нибудь ОокамЪ сихЪ полигоновъ будутЪ
пропорціональныя. 2е. Сходственныя части таковыхЬ
полигоновъ будутЪ подобныя.

Доказ, НапримЪрЬ, іс. раздБля ВС,
вЫ (ф, 65,66) иОН вЪ М вЪоДномЪ со-
держаніи, то есть БС . С Н - ВС, МН, ежели

Ж 3	провесть

(Ю2) §?(&.

провесть линЪи ЕЫ,МО такЬ, чтобЬ уголЪ
СЪК^НМО, или чгпобЬ раздѣлили вЬ рав-
номъ содержаніи бока ЕВ,КІ, такЪ ЕВ:
КІ : БМ : Ю, тогда будсшЬ ЬИ : МО : ‘ СВ -
НІ::ВС:ОН - АВ ЕС и проч.

Изо ежели привесть ЫС,ОН, то для
равныхЬ угловЬ В,І, содсржимыхЬ пропор-
ціональными сторонами, треугольники ЕО)
ОШ сушь (2іо) подобныя; по сему (2о6)
СВ :НІ$ СИ| НО, и 4 ВСИ — ІНО, кои
вычтяизЪ/-СН, остансга я/іКСЕ — ОНМ,
и по тому (209) треугольники ЫСЕ, ОНМ
суть также подобныя; шрго радц ЕЕ4 : МО
:;СВ НІ: БС.СН и проч.

2с. НритомЬ же явствустЪ, чціо линія*
ІИ, МО раздБляютЬ политопы на 4 фи-
іуры, коихЬ сходспівен. ЬХВС, МОІН, ѵ
другУя двѣ сушь подобныя; ибо ОныхЬ
сходственныя углы между собою равныя
и схожія ихЪ стороны пропорціональныя .

255. 6; де проведутся вЬ тЬхЬ фигу-
рахЪ еще двВ какія ниоудь линБи пропор-
ціонально, или перпендикулярно какЬ НО,,
СР, и проч то оныя по таммуже доказа-
тельству буд тЬ сходсщвс.ныымЬ лин ямѣ
ппопооцГональныя. равнымЬ положеніемъ

провсдсн-

провсдснвыя двѣ линБи вЬ двухЪ подобныхъ
фигурахЪ, также радіусы или хорды двухЪ
круговЪ, и хорды двухЪ равныхЪ дуіЪ на-
зываются сходственныя измѣренія$ и
по тому общее свойство подобныхЬ фигурЪ
сосшоишЪ вЬ шомЪ, что всѢ ихЪ сходствен-
ныя измѣренія суть пропорціональныя.

2$6. Пробл. I-На данной лиііѢс какЪ
БЕ (ф. 20.) вдѣлать △ подобной данному
△ вед-

рѣ ш. КЪ линѣе БЕ припиши (59)/.В
~БиЕ —О; тогда угловЪ стороны ВЕ,ЕЕ
своею стычкою вЪ Е учинятѣ △ Б Е Е рав-
ноугольной и (130) подобной сЪ △ ВС А*

257 II На данной линѣе начертить
какой нибудь полигонЪ данному подобной.

рѢш. іс. Ежели данная ЛинѢя ЕВ
(ф. 65) а полигонЪ 2 (ф. 66), то приве-
дя діагонали ІЕ,ЕН здѢлай (256) △ ЕВА
подобн. ДКІЕі потомЬ на АВ, ДАВС по-
добной сЪдіГН$ наконсцЪ на АС начерти
△ А СВ подобной △ НЕС$ и тако вдѣлается
полигонЪ X подобной полигону 2. 2 с.
Бу де данная ЛинѢя какЪ АВ на одной сЪ
основаніемъ ЛЬ (ф.67), тогда изЪ А про-
должа діагонали а чрезЪ В проведи (6р)

‘“'вЭ.’э ( I ©4 )
і^аралсльныя сторона мЬ полигона линѢи,
жои своимЬ прссѢчснІсмЪ сЬ діагоналями
изобразяшЬ полиюнЬ на линѢс АБ подоб-
ное данцому. Сіе также дѣлается когда
саданная линѣя будспіЪ Тоньше основанія
даннаго полигона.

»*************<ц»*****>
О обводѣ фигуръ цоерлвнѣніи оныхЪ.

З58.І. ПеримѢшрЬ или обводЪ всяка'О
полигона равенЬ суммѣ сго сторонѣ.

359- II. Обводы двухЬ подобны хѣ фи-
гурѣ имѣются кЪ своимЬ сторонамЬ, или кЬ
какимѣ нибудь ихЬ схожимЬ измѢрсніямЬ
Пропорціональныя.

Доказ. Ибо обводЪ перьвой фигуры кЬ
обводу второй есть, какЬ сумма сторонЬ
первой кЪ суммБ второй; а для пропор-
ціональности сторонЪ ( З53 ) подобныхЪ
фигурѣ, стороны перьвой суть предЬиду-
щія , а сходственныя стороны вщорой, пр
с ѣдующія члѢны пропорціи: но(і99)су&-
ма предЬидущихЬ кЬ суммБ ихЪ послѣд)-
юцихЬ, какѣ одинЬ какой нибудь прсдѣи-
дущей кЬ своему послѣдующему5 то есть
какЪ обводѣ перьвой фигуры кЬ обводу
второй

второй, такЪ какой нибудь перьвой фигуры
сокЪ кЬ сходсгпвен. боку второй, или (254)
иное какое намѣреніе вЬ перьвой кЪсходств.
измѣренію во второй фигурѣ 5 а изЪ сего
ЯРешвуспіЬ ,

2бо. Іс. Окружности круговЪ, или
величины двухЪ дуіЪ не равныхЪ кругомЪ
щокмр равнаго числа градусовЬ сушь сЪ ихЪ
радіусами и сЬ діаметрами пропорціональ-
ны, или на конецЬ сЬдвумя хордами, кои
содержутЬ вЬ каждомЬ кругЪ или дугЪ рав-
ное число градусовЪ. Ибо круі и или дуги
(254) равнаго числа градусовЬ, сушь фи-
і уры подобныя, а радіусы, діаметры, и
хорды оныхЪ суть сходс . измѣренія (25 5),

і61. Не. Вжели отЬ точки А (ф 37)
касанія многихЪ круі рвЬ проведется линѢя •
ДО ихЬ пересѣкающая вЪ Б,С,Р, тогда
ея части сЬ оными кругами , или хорды
сѣсвоими дугами будутѣ пропорціональны.
Ибо ( 97 ) ВСЪ АУГИ одинакаго числа гра”
дусовЬ суть фигуры подобныя.

262 ІП. ИзЪ двухЪ правильныхъ полигоновъ рав-
ныхъ перимепіровЪ, имѣющей болѣ сторонЪ большей
ммѢетЪ дпотемЪ.

Доказ. Пусть СН (ф. 68) есть бокЪ деся-
ти угольника а БС пяти угольника — 2 СН;

Ж 5	говорю

( юб)

говорю что ЕЕ болВ АВ. Ибо раэдБля уг-
лы Е,А пополамЪ будстЪ г ЕЕН~ і8, а
/.ГАС~з6; раздЪля сей л О АС попо-
ламЪ же, будешЪ (226) ВЕ меньше ЕС или
ЕН : по сему вЪ равноугольн. треугольникахъ
РЕН, АВЕ бокЪ ЕН есть боХБ бока ВЕ,
сего ради и ЕЕ болБ есть нежели АВ.

увѢдом іе. Предписанныя Геометричискія дѢ -
втвія» (98, 99) и прочія тому подобныя можно ина-
че доказывать чрезЪ предложенія о первомЪ сравне-
ніи треугольниковъ (129).

2	е. ВЪ прибавокъ кЪ проблемамъ (послѣ 176)
нѣкоторыя не внесены, какЪ то начертаніе квадрата
вЪ ромбусѢ, равнобоч △ вЪ квадратъ и проч. для
тото что оныя пустыя школьныя задачи» и коихЪ
безЪ показанія зная прешедшую часть Геометріи
чертишь и доказывать уже не трудно.

3	е. выуча показанныя свойства ЛинѢи, всякія
лонгиметрическія по вычисленію задачи помощію
Ариѳметики легко рѣшить можно,

4	е. увеличиваніе и уменьшеніе фигурЪ, вЪ раз-
сужденіи ихЪ сторонЪ или обводовЪ, есть одно дѣй-
ствіе сЪ начертаніемъ подобныхъ фигурѣ (256, 257).

<ір пл
® * &
- ПР -
•о»
$

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

О ПЛАНИМЕТ ріи
****«^ѵ********^«*#*********я***»*****»яя*я**я№»**»
I. О мѢрлхЪ по которымъ ВЕЛИЧИНЫ
ПОВЕРХНОСТЕЙ опрЕдѢляются.

263.	Поверьхность или площадь фигуры
называется ком честно изъявляющее пространство
сторонами опои соде| жимое

264.	поіерьхность есть протяженіе о двухЪ из-
мѣреніяхъ (3); но каждаго измѣренія особно, точная
міра есть прямая линѣя, и по тому оная мѣрою
поверхности быть не можетЪ. Ибо не льзя имѣть
понятіе, напримѢрЪ о пространствѣ или поверъхносшн
двора, ежели только скажу, что онЪ длиною юо са-
женѣ, но бу де і рибавлю кЪ кому, что онѣ всюду
шириною по 20 саж. тогда ясно представится фи-
гура двора параЛеллограмомѣ, котораго длина вЪ
пятеро брлѢ ширины.

265.	мѣры повервхностей должны быть поверх-
ности, какѣ мѣры линѢи суть личѢи Ежели потреб-
но вымѣришь поверьхность вѣ саженяхЬ или вЪ фу-
тахѣ, то неминуемо на то должно употребить пло-
щадь каждой сажени или фута; а понѢже футѣ пове-
рхности натурально неинако разумѣется, какѣ про-
странство (то есть фигура сторонами определецная)
им ющее всюду длину и ши ину по футу: но длина
вымаривается го перпендикуляру (54) соединяющему
двѣ стороны, кои длину фігуры опредѣляя тѣ, а ши-
рина должна вым гена быть по перпендикуляру, кс-
торой соединяетъ двѣ стороны ширину опредѢляк-
щія , и тако пространство футаповІ хь.ссти должен-
сп в^ етѣ быть квадратная фн ура > которой каждая
сторона

сторона по футу. Также рассуждаепкя и о другихЪ
•мѢ хЬ яко квадр. саженяхЬ, вѢрстахЪ и проч .

?66. ИзЪ того можно во обще заключить> что
квадратЪ есть общая мѣра поверхностей,
и для изЪявленія величины поверхности или пло-
щади какой нибудь фігуры, говорится что она толи-
кихЪ квадратныхЪ дюимовЪ, фугповЬ, саженЪ, ипроч.
Сіе значитЬ, что всѣ то пространство можно пок-
рыть толикими квадратными дюймами, футами, саж.
и проч сколько ихЪ вЪ немЪ помѣстить можно.

267. Число частей мѣры квадратной, ра-
вно квадрату частей той мѣры вЪ длину.
Наприм. квадратной фупіЪ с держишЪ 144 квад . дюйм.
а сажень 49 квад . футовЪ; ибо квадратной футЪ со*
стоитЪ изЪ 12 рядовЪ, вЪ каждомЪ по 12 квадр. дюй-
мовъ , а вЪ саженѢ квадратной есть 7 рядовЪ, и вЬ
каждомЪ по 7 квадр. футовЪ.

***********************
О способѣ ИЗмѢрЕНІЯ ІЮвѢрХНОСТЕИ

268 Вымѣрять полигонЪ, аначипі , сыс-
кать число квадратныхЪ саженЪ, либо фуіпЬ
или ивыхЪ квадраты. мБр ), кое содсржшпЬ
сго поверхность. ПоложимЬ напримѢрЪ сы-
скать площадь вЬ прямо гольниГѣ АБСБ
( ф 28 ) коего основаніе АВ — 5 ф)тгм ,
высота БС —7 фугпамЪ. По сему (267 ,
раадѣля площадь на 7 полосѣ, придсшЬ вЬ
каждой полосѣ по 7 ми квадр. футЪ, а
во всѢхЪ 7x5 — 35 футѣ квадратныхЪ есть
площадь прямоугольника. Иначе послѣдую-
щему генеральному способу ♦

Ежели

Ежели линѢя АВ (ф. 2 > или 28 ) сама
себѣ движется паралсльно до пришествія
ея вЪ БС, то явно, что при каждой сту-
пени ея теченія покроетЪ оні часть
поверхности, равную своей длинѣ АВ,
а пришедЬ вЪ БС откростЪ всю поверх-
ность паралеллограмма АВСР; посему цѣлая
онаго площадь равна линБе АВ, столько разЦ
взятой, сколько она учинила ступеней дви-ѵ
жась отЪ АВ до СБ: но сіе число ступеней,
равняется числу точеіЪ прямой размѣряющей
расстояніс паралсльныхЬ А Б, БС, которое
есть ( 54) перпендикуляръ провѢдсннои изЪ
какой нибудь точки линБи БС на черту АВ,
( по надобности продолженною ) какЬ СЕ
или ЕЕ. И тако площадь паралеллограмма
АБСВ равна числу точскѣ линБи АВ, столько
разѣ взятому сколько есть точсЪ вѣ линѣе
ЕЕ, или равна произведенію линѢи АВ
умноженной линѢею ЕЕ, то есть АВхЕГ.

269- Перпендик. ЕЕ или СЕ размѣря-
ющей разстояніе двухЪ паралсльныхЪ сто-
ронЪ называется высота паралеллограмма,
и каждая изЪ сихЪ двухЪ сторонЪ имя-
нуется база или основаніе.

Слѣд. Для измѣренія площади всякаго
паралсл-

( Ііо)

параЛсллограМма несмотря на сго обводЪ
наблюдается только онаго основаніе и вы-
сота; йзЬ Сего яйствуетЪ,

Площадь какого нибудь пара-
леллограмма равна произведенію сго осно-
ванія высотою.

ПримѢч. КаждЪЙ СлѢдЪ Прямой АВ
(коихЪ сумма равна площади паралелло-
грам. АБСВ ) есть настоящей паралелло-
грамСцЬ ймѢюіЦей аа ширину величину каж-
дой ступени черты АБ: но какЬ сія величина
безмѣрно мала, то каждой слБдЪ можно
почесть За линБю ЛЬ, и во обще сказать, что
площадь какой йиоудь фигуры равна сум-
мѣ всѢхЪ паралельныхЪ линБй, сколько ихЬ
вЬоной фигурѣ провесть можно.

271. И. Поверхность или площадь всяка-
гб треугольника равна половинѣ произведенія
котораго нибудь сго бока умноженнаго пер-
пендикуляромъ отЪ противнаго угла на
тотЪ бокЪ ( по надобности продолженной)
провсдсннымЪ. Ибо (16о) паралеллограмЪ
раздѣляется дІагоналсмЪ на два равныя
треугольника, и по сему всякой △ должно
признавать за половину паралеллограмма-,
ьотораго высота есть перпендк. изЬ угла
на

на противной бокЪ опущенной.

Сіе можно доказать не вавися ошЬ йа-
ралеллограмма слѣдующимъ образомЪ.

Поверхность всякаго △, какЪ АВС
(Ф-41) равна суммБ веБхЪ паралельныхЪ
линБи, какЪ БС, ГК,ЕІ, и проч. проведен-
ныхъ отЪ основанія ВС до верха А*, но
всБ оныя паралсльли умаляются вЬ арифме-
тической прогрссс/и, то есть сЪ одинакою
разностію ; ибо БС — ГК г: ВЕ -ь КС, и ГК
— ЕІ^ГКч-О^К и проч. Сіи равности
между собою равныя, по тому что всБ тре-
угольнички БЬЕ. ЕИЕ и проч. равныя (2об),
также и △ КСК —	ипроч. по сему

і Ь н-КС ~ РЪі ч-О^К. Т.ого ради всБ оныя
паралсльли площадь △ наполняющія можно
принять за поступленіе величинЪ вЪариф-’
метической прогрессіи, коей число йзЬ-
являешЪ перпендик. Л2; ВС послѣдней, а А
паралель безмѣрно малая , есть первой членЪ;
и (Аріф. спір 334) оной сумма ~ (БС-ьА)
ХйА2, или вЬразсужденіи безмѣрной малости
паралсльли А, сумма всѢхЪ СихЪ паралсль-
ныхЬ — ЕСх о А 2, то есть площадь вЬ △
равна произведенію основанія нолувысотою.

 572 ѴлЪдс. Площади всЪхЬ трегголь-
миковЬ

( 1

ииковЬ и паралслЛограммоЛ находящихся
между двухЬ паралсллсй и кои нмЬюшЪ
одно или равныя основанья, между собою
суть равныя; по тому что они тогда
ммЪюшЬ одну высоту. Бсс сКе можно иначе
доказать слБдук?щимЬ образомЬ.

Доказ. Пусть паралеллограммы АБСВ^'
АБЕЕ (ф. 69) стоятЪ на одномЪ основаньи
АБ и мѢжду двухЪ паралсльлсй 2,X. Понеже
(144. и ібо) бокЪ АБ —ВС —ЕЕ, ибудс
кЪ равнымЬ ВС, ЕЕ приложить СЕ, выдстЬ
ВЕ —СЕ} притомЪ АО —БС, АЕ —БЕ
и тако два треугольника АБЕ,ВСЕ меж-
ду собою равносторонныя и (і>2) равныя,
иэЬ коихЪ вычтя общую ихЪ часть ССЕ
останутся равныя трапезой АВСС,БЕЕС,
приложа послЪ кЪ онымЪ одну площадь
АБО здЬластся паралеллоі рамЬ АБСО —
Паралеллограму АБЕЕ.

ПримЪч. Ежели точка Е придетпЪ
между В и С, какЪ Н паралелоі рамма
АБНІ, тогда слЪдусшЪ изЪ ІН и ВС вы-
честь общую ВН, и кЪ равнымЪ трсугольн.
АВІ,БСН приложить трапезйо АВНВ Но
понеже всякой паралелограмЪ есть (16о)
вЪ двое треугольника имѣющаго сЬ нимЪ
одно

одно основанье м одну высоту, какЪ (ф.6$)
треугольники АБГ,АЕС,АБН суть поло-
вины своихЪ паралеллограммовЬ; посему и
треугольники имѣющія равныя основаніи и
высоты мѢжду соерю равныя.

273. СлѢдс. I е. Для сыску площади боесякомЪ
треугольникѣ надлѢжитЪ его осноіапіе умножить
высотою, то половина произведенія, а умножа-ліолс-
вину основанія высотою или половину высоты осно-
ваніемъ, то цѣлое произведеніе будешЪ искома*
площадь треугольника.

274 Не. ИзЬ двухЪ липЪй АБ, БС,
(ф. 50) будс Одна, какЪ БС раздѣлена на
нссколько частей, то полупроиввсдсніи
каждой части линѣею АВ равны пол^про-
мзвсдснПо линѢи АБ,ЕС Ибо тоже самсс
умножить ^АБ вдругЬ чрез} ЕС или особно
чрса>, /С, ЕС, ЕС, по тому что АС-+-
СЕ-ьЕС —БС, а цѣлыя произведенія пред-
ставляются пря моу г ольніі ками.

27 5 . III с . Понеже вычисленіе площади
всякаі о △ зависитЬ ошЬ сі о основанія и
высоты; посему вЬ равностор. и вЬ равно-
бедр. треугольникахъ знавЬ стороны най-
дется (214) величина высоты, а вЬ не-
равнобочномЪ (230) и проч. По заданн й
высотѣ СО (ф-44) вЬ равнобочномЪ ДАЕС
площадь ищется тако: понеже апотемЬ

3	ОС

О О есть ( 218 ) треть высоты СБ; по
сему вЬ прямоуг. △ АСО найдется (214)
сторона /Т) и проч.

276	Ш. Площади какихЪ нибудь тре-
угольниковъ имѣются й составномъ содер-*-
жаніи ихЪ основаніи и высошЬ. *

Доказ. Площади треугольны кой) равны
произвсдѢніямЪ ихЬ основаніи полувысо-
тами; но половины своимЬ цЪлымЪ про-
порціональны (192): посему площади шре-
уголныіиковЪ вЬ одном содержаніи сЪ
произведеніями ихЬ основаніи и высотѣ. А
понеже (Ар. сш. 349) содержаніе произведе-
ніи есть составное ий) двухЪ членов ; того
ради площади треугольниковъ суть вЬ сос-
тавномъ содсрж. ихЪ основаніи и высотѣ.

277	. СлЪдствснно. Площади двухЪ не-
равныхъ треугольниковъ имѢющихЪ равныя
основанія , высошамЬ пропорціональны: и
неравныя площади треугольниковъ, но при
равныхЬ высотахЪ, сЬ своими основаніями
пропорціональныяжЪ.

Доказ. Ибо тогда площади треуголь-
никовъ имѣются вЪ одномЪ содержаніи сЬ
произведеніями одинакой величины умно-
женной двумя не равными величинами; и
потому

потому (191) шБ площади онымЪ нерав-
нымъ величинамъ суть пропорціональныя*.

278	ІѴ. Когда у шреуголышковЬ АБС,
БЕЕ уголЬ АгЪ> тогда △АЬС:ДСЕЕ:;
АБ.АС ОР БЕ (ф. 70)

Доказ. ЗдБлавЪ ДАСН — А БЕЕ, бу-
дстЪ △ АБС : △ АВН ~ АС: АН ; но △ АВН
АСНгхАБ: АС, слѢдов. △ АБС :△ АСН
— АС АБ:АН.АС, то есть, ДАВС:/^
ОЕР — АС . АБ .БЕ .БЕ*

279» V. Бу де двухЪ треугольниковъ вы-
соты сЬ основаніями имѣются вЬ оерашномЪ
содержаніи, тогда оные площади между
собою суть равныя.

Доказ. Ибо высота перваго кЬ высотѣ,
другова, какЬ онаго основаніе кЪ основанію
перваго} и потому произведеніе высотві
перваго треугольника его основаніемъ, ра-
вно произведенію высоты другова своимЪ
основаніемъ ( 194 ).

280. VI. Обратно^ когда площадидвухЪ
треугольниковъ равныя, тоі да ихЬ измѣ-
реніи имѣются вЪ обратпомЪ содержаніи.

Доказ. Ибо произведеніе измѣреніи
перваго треугольника равно произведенію
измѣреніи другова. По сему измѣреніи одного

3 2	еуд) шЪ

будупіЬ крайними, а измѣреніи другаго?
средними членами пропорціи: и тако, на-
примѣрЬ высота перваго треугольника кЪ
высотѣ другова 1 какЪ онаго основаніе кЪ
основанію перваго.

$81. VII. Площади двухЪ подобпыхЪ
треугольниковъ , между собою суть во
удвоенномъ содержаніи, или какЪ квад-
раты ихЪ сходствснныхЪ измѢрснІевЪ.

Доказ. Понеже (255) подобныхъ фи-
гурѣ сходств. измѣренія пропорціональ-
ны, то площади двухЪ треугольниковъ
между собою какЪ два произведенія двухЪ
пропорціонал. вслиЧинЪ: но (Ар. 349) ПР°~
изведеніи пропорціональныхъ всличинЬ имѣ-
ются вЪ удвоенномъ содержаніи, или (193)
какѣ квадраты составляемыхъ величинѣ.
Того ради площади двухЪ подобныхъ тре-
угольниковъ между собою во удвоенномъ
содержаніи ихЪ сходствснныхЪ измѣреніи,
или на примѣрѣ какЪ квадратЪ которой
нибудь стороны одного кЪ квадрату схожей
стороны другова треугольника.

282.	СлѢдст: во всякомЪ прямоуголь-
номЪ треугольникѣ какЪ СЕЪ (ф. 43) квад-
ратЪ ипотенузы равенЪ суммѣ квадрашовЪ
двухЪ боковЬ, или СЕО ~ СЕач-ЕЬО .

Ибо1

Ибо спустя отЪ прямаго угла перпен-
дѴкулярЪ ЕО, явно что для подобныхЪ
трсуіольниковЬ ЕСО, ЕОЕ, ЕСЕ (212, 281)
есть Л ЕС О кЬСЕа, какЪ △ ЕОЕ кЬЕЕ □,
какЪ Л ЕСЕ кЬ СЕ □, то есть ЕСО : СЕ О ::
ЕОЕ: ЕЕГК :ЕСЕ:СЕи. Понсжс(і99)ЕСО-+*
ЕОЕ : СЕ □-+• ЕЕ □ : ЕСЕ СЕО, но ЕСО-ь
ЕОЕ —ЕСЕ, по сему СЕО-+-ЕЕ □ —СЕО,

Тоже самое можно доказать такимЪ
ОбразомЬ (ф.71) на сторопахЬ гпрсуіель-
ника АВС назначь три квадрата, гаоіда
дьЪ стороны мсцьшихЬ перейдугпЪ чрезЬ
уі лы В, Е большаго квадрата. Ибо у равныхЪ
трсугольникоаЬ АІС, ЕЕБ, АЕС, будспіЪ
ЕЕ —ЕС, АС—АС, по тому что во всЪхЪ
оііыхЬ треугольникахъ ипошенузы и углы
при \ и В суть равныя (і 33). По шомЪ
проведя ЕС, БС и чрезЬ С паралсльную
НІ кЬ ВБ, явно (271) что △ АСЕ —
квадрата бока АС, и полу прямоугольнику
АІНЕ, подобно △ ВСБ—, квадрата бока
ВС также и л прямоуіельника ІББН. но
оныя прямоугольники составляютъ АВО,
того ради АС о -+- ВС □ — АС □ .

283.	ѴШ Площадь трапеціи какЪАВСБ
(ф-34) равна произведенію двухЪ пара-
3 3	лсльных >

лсльныхЪ сторонЪ АБ, СП полу высотою,
то есть (АВн-СП) х;ЕБ. Ибо на про-
долженную АВ положа БЕ — СП, и проведя
ВЕ, будстЪ для △ ГЕО —СПС, △ ЕАБ —
шрапеціГи АВСП. Но площадь вЬ △ РАО
(273) —АЕ или АЕ-нСС,^’БЕ

2,84	. СлЪд. Іе. Площадь в якой пара-
лсльной Поверхности, какЬ 2 ( ф. 72) равна
произведенью суммы пара лсльныхЬ лін1 й
между А и Б, и между Б иС, половиною
широты ВЕі ибо раадБля оную фиіуру на
йрапецКи, то каждой оныхЬ площадь равна
(283) произведенью суммы двухЬ паралсль-
ныхЪ сшоронЪ полуширотою БЕ: по сему
площадь всея фигуры равна произведенію.
Суммы паралсльныхЬ линБй тою широтою,

285.	II с. Для сыску площади вЬ пі раненій
АВСБ(ф. 34) по веБмЬ заданыымЪ ея ешоро-
намЬ, надобно чреаЬ О кЬбоку ЕС провесть
паралель ЬН, ибудстЪ ПН —ВС, и АН-
КА-СП. По $сму вЪ △ НА И сыскавЬ
(230) высоту, найдется (283) площадь
шрапезГи. при семЪ явно видно, какЪ такую тра-
пецію по оному заданію пиркулемЪ сЪ мастаба черч
шить должно.

286.	IX. Площадь трапезонда, какЪ А
&СБ (ф.73) равна произведенію полсуммы
перпсн-

всрпсгиикуляровЪ А Е, СЕ умноженной діа-
гоналсмЪ ВО. Ибо (27 3) △ А Е Р ~ ~ВСХ АЕ
или ВО х АЕ, также △ ВСРгхГРх; СЕ
И по сему площадь трапенціи — АЕ-ьСГхБР
мли(АЕ-і-СЕ)Х 2 ВР.

287	• X. Площадь всякой фигуры равна
суммЪ площадей трсугольниковЬ вЬ оной
находящихся . Сл1 детвенно, для вычислсн/я
площади неправильнаго полГі она, надлежитЬ
оныя раздѣлить вЬ треугольники и сыскать
каждаго площадь (273), то сумма всѢхЪ
сихЪ площадей равна будетЬ площади дан-
наго полигона.

288.	XI-Площадь правильнаго полигона
равна произведенію поло ины ею обвода,
умноженной перпендикуляромъ изЪ центра
на которой нибудь бокЬ провсденнымЪ. •

Доказ. Ибо всЪ треугольники правильна-
го полигона между собою равныя и одинакой
высоты СІ (ф 32): п0 сему площадь
полигона равна СІХ ; АВ СІ X а ВР-нСІХ
^РЕ-»-СІХ;ЕН и пр.Но (274)• ѣсЪ сіи про-
изведеніи равны СІ умноженной на лАБ~е-
а ВР 4- РЕ5 ’ ЕЦ и проч. или СI умножа.
половиною обвода полиіона.

,^.289. СлѢдеш. I. площадь круга равна грекі*
Зеденію полуокружности его радіуссмЪ > или кругЪ

3 4	разенЪ

(і ао >

равенЪ треугольнику» коего основаніе равно окружно-
сти, а высота радіусу онаго круга.

290.	II. площадь круга равна площади квадрата
коего бокѣ ест средній пропорціональный между
радіусомЪ сего круга, и линѢи одной длины сЪ полу-
окружностью .

291	• III . Площадь сектора круга равна произве-
денію радіуса сего круга чрезЬ прямую линѣю, коя
равна половинѣ дуги сего сектора । ибо части круга
содержимыя между радіусовЪ, дугамЪ оныхЪ частей
пропорціональныя (277).

292.	ПЛощадь круга болѣ площади всякато поли-
гона имѣющаго сЪнимЪ равной обводѣ, ибо кругѣ есть
полигонЪ (>77) имѣющей не смѣтное число стс-
ронѣ безмѣрно малыхѣ, и чрезѣ то ( 262) имѢетЪ
за апотемѣ радіусЪ больше апотемы всякаго инаго
правильнаго полигона.

1 '293. XII. квадратѣ А В имѣющей равной периметрѣ
сЪ прямоугольн. АЕС площадью онаго больше (ф. 7;.).

Доказ. Пусть АС^л суммБ двухЬ
сшоронЬ, АВ~і АС бока □. Положи АВ~Ь,
БЕ-ЕБ - а5АЕ ~Ь-1-а,ЕС- АВ - Ь — а
ихЪ разность есть 2 а. По сому (Ьч-а) х
(Ь — а)~ЬЬ — аЬч-аЬ — аа“ЬЬ—аа. Слѣ-
довательно разность между площадей квадрата и
прямоугольн. есть (аа) квадратѣ прлразчссти сто-
ронѣ. ПритомЪ площадь равнобочнагр △ болѣ площ.
всякаго инаго треугольника имѣющаго сЪ нимЪ оди-
’ накой обводЪ . 

294. XIII. Всякой полигонЪ какЬ АВСОЕ
(ф.?5) можегпЬ превратится вЬ △ АЕС
равной сму площадью.

Докав,

Доказ Проведя діагональ ВВ отдѣ-
ляющей △ ВВС, чрезЪ С кЪ сему дГагона-
лю назначь паралель СЕ, и соединя ВЕ,
будетЪ полигонЪ АГВЕ сЪ уменьшеніемъ
угла равенЬ данному. Ибо ежели отЬ рав-
ныхЪ треугольниковъ ВВС, ВБГ (272)
вы чтется общей ВБН, останется △ ВНС
— ВНЕ. Но по сочиненью △ ВНС изЪ
новаі о полигона выключснЪ а вмЪсто
его вступилЪ △ ВНЕ; по сему оной по-
лигонѣ площадью опять равснЪ данному.
РавнымЪ обрааомЪ дѣйствуя, превратится
гщ.с новой полигонЪ /ЕВЕ вЬ иной равной
площадью, и такЪ далЪе пока изЪ полигона
здЬластся одинЪ трсугольникЪ ЛСЕ.

„• 295* Сл'ѣдст. Площадь какой нибудь
фигуры равна произведенію двухЪ измѣре-
ны , или можетЬ превратится в одно
произведеніе двухЪ изм реніи.

296. XIV. Площадь всякаго △ АВС
(ф 7^) есть средняя пропорціональная ме-
жду произведеніемъ частей ВС, АВ каса-
тельной АС, и произведеніемъ полуобвода
умножен. частью касательной ВЕ илиВН.

Доказ. I с. Начертя вЪ данномЪ △ кругЪ,
изЪ центра онаго О, кЪ іпочкамЪ касанія
3 5	про-

проведи перпендикуляры ОП,ОН, ОЕ, а вЪ
углы △ ка линБи ОБ,ОА,ОС- 2с, По шомЬ
продолжа бокЪ АВ, положи АР~ ПС, ибу-
дстЬ Б Р полобвода і понеже (135) ВН~ ВЕ,
НА — АП, АР=ІЗС—СЕ, то ЕН + НА +
А Р — БР половинЪ обвода . 3е- Продолжа ЕС,
положи СК _ АП, и будетЬ БК также
равна полуобводу или — ВР, и при шомЬ
явно что КС~ АП~ БК— БС, и АР~
ПС —ВР — АВ. ноЕС-^СК—АС, потому
ВЕ — Е К — АС і то есть разности между
полуобводомЬ и каждою стороною △ АБС,
4с. ИвЬ гаочскЪ Р,К поставь перпендикуляры,
которыя сЪ продолженною БО пересѣкутся
вЪ точкѣ 5} то для равныхЪ треугольниковЬ
ВВС, 5БК, ибо ВР — БК и углы при В
(135) равныя, будстЪ Р$ — К8. $с. Положа
Р0_~ А П проведи 0^5,5А, БС то вЪ равныхЬ
тпрсугольникахЬ Р5(^, С5К будетЬ 0^5п5С;
но АС по сочиненію равна А (^, тою ради
△ А0_5 — АС5 (133), по сему и уголЪ ’
О-А8 —;5АС. Нэуглы АОП, РА5 равныя,
пошом что полус}племенпіы одного ПАН.

И тако вЬ подобныхЪ трсуі ольникахЬ
АПО, РА 8, есть ОП : ПА . АР : Р8,
илиПС РЗ, и ОПХ 15^ ПАхПС А для
подеС-. I

I

ПодобныхЪ гпрсуголникоіЪ Г НО, ЁР5, ВН
или ВЕ НО или кЪ ОВ-'ВР : Р5? умножа
одно сод'-ржанУс ВЕ:ОВ чрсаЪрР, а другое
ч|У в ВО выдеіпЬ В Р х ВО : Р 8 х ВО - В Е х
ЬР ОВхВР. НоР5хВО — ВАхВС; посему
(ВР X ВО) X (ЕР X ВО ) — ( ВАХВС)
Х^ ЕЕ х ВР ) — АВС □, ибо площади △ АЬС
— ЕР X ВО.

ПримЪрЬ АС, 30. ВС, 28 . АЕ, цб; по шомЪ

3°

28

26

е І48І42 42 42

I I 28 26 30

14 іб 12

42	12

588. 192

528

192

V 112896] ЗЗб площадь
вЪ △ АВС.

СлѢдст. СыскавЪ и не употребляя высоты
площадь вЪ △ > радіусЪ вписаннаго круга найти уже
нетрудно; ибо оной равенЪ квотусу произходящему
отЪ раздѣленія площади на число равное полуобьоду

треугольника.

2<7.ПримѢч Іе площадь правильнаго пятиугол.
позадаиному его боку СО ($• 53 ) находится тако:
1 бокЪ ВС раздѣли ( 243 ) Л крайнемъ и среднемЪ
I содержаніи, и приложа кѣ нему большую, то Ці лая
»лии я будетЪ ( 250) діагональ ВВ или АО.
вЬ прямоуюльн. ДАВІ СыскавЪ ( 214) перпенд. А Г»
’чзЪ центра О опусти перпенд. раздѣляющей
«ОкЪ АВ пополамЪ (126). Для подобныхЪ треуюль-
.	никоьЬ

уголъниковЪ А ВI, А О К бу/егпЪ АІ : АО : АИ: А О»
ію сему АІ — АО —ОІ. И шакЪ сыскавЪ апогпемЪ
ОІ, найди (27}) вЪ равнобедр. △ ООІ площадь, ко-
торую упяіп?ря получите площадь всею даннаго
пятиугольника. Иначе (236}

2 е. Площадь вЪ правилья. піестиуголъникѢ
найдется, сыскавЪ (214) площадь вЪ одномЪ очаго
равносптор. гпреуголън. 3 е.Для сыску площади вЪ про
чихЪ правильныхъ полигонахъ должно начертя ихЪсЪ
мастаба мѣрять вЪ нихЪ апотемм, а послѣ ( 288 ) ,
4 е. вЪ неправильныхъ же полігонахЪ находится
площадь по раздѣленію ихЪ вЪ треулол ники коихЪ
вычисли или смѢря по масіпабу, сыщутся высоты, а
послѣ площади и проч.

/ г;8. XV. площади двухЪ подобныхъ фигуръ
между собою вЪ удвоенномъ содержаніи, или как$
квадраты ихЪ сходстпвенныхЬ измѣреніи.

Доказ Идо (254) сходственныя тре-
угольники, на которыя раздѣлятся два по»
добныя гіолГі она, суть подобныя части
опыхЬ фигурѣ: по сему (192) цѣлыя полігонці
с шь пропорціональны своимЬ сходстісннымЬ
частямЬ: но (2.81) площади оныхЪ частей
или треугольниковъ вЪ удвоенномЬ содер-
жаніи своихѣ сходстііснныхЬ измѣреніи, а
(25 5) оныя измѣреніи семѣ измѢрсніямѣ вЬ
ОбоихЬ іюлигонахЬ пропорціональны*, тою
ради площади подобныхЬ полигоновъ вЬ
удвоенномЬ содержаніи или какЬ квадраты
ихЬ сходствснныхЬ измѣреніи.

299.	СлБдст. I. Площади круговЪ меж-
ду собою какЪ квадраты ихЪ радТусовЪ или
ихЪ дГаметровЪ (251).

300	II. Когда потребно увеличить или
уменьшить площадь какова нибудь поли-
гона вЪ подобной, то для сысканія каж-
дой стороны полигона, сперва учини
СІЮ пропорцію : какЪ шощадь даннаго кЪ пло-
щади искомаго полигона, такЪ кгадратЪ бока дан-
наго кЪ квадрату сходственной стороны искомаго: по
томЪ какЪ тотЪ бокЪ кЪ сысканнбму, такЪ каждой
бокЪ даннаго ко всякому сходственному боку иско-
маго полигона. На прим. эдЬлать прямоуг. А
коего бы площадь была тройная прямоі ольн.
Б, котораго длина 6 ф. ширина 4 ф. То-
гда какЬ і кЬ 3 такЬ 36, квадратѣ 6 ши
ф шЬ кЪ ю8, квадрату длины прямоуголь-
ника А, коего радиксЬ есть 10.392 ф. По*
гоомЬ какЪ 6 кЬ I О. 39$’ шакЪ 4 . кЬ 6 . 928
ф. ширина прямоугол. А 5 по сему длина
прямоуголн. А есть іо ф 4 д. 7 л. а
ширина 6 ф шЬ 1 I дюймовЬ.

301.	Зад  I. Данному полигону (ф. 77)
около внутронной произвольно взятой точки
О начертить подобной, чшобЪ площадью
СылЪ вЪ трое мЪньше даннаго.

рѣш*

рѣій. ИзЬ точки О проведя ко всѣмЪ
угламЪ діагонали, и раздѣла изЪ оныхЪ ко-
торой нибудь у какЪ ОВ на 3 равныя части
(то есть на столько частей, во сколько
данной полигонЪ уменьшить должно) по-
ложи на продолженную ОВ одну часть БІ
и между ОВиБІ сыскавЪ (241) среднюю
пропорц. В8, отмЪть ОМ — Б5. На конецЬ
Начиная отЬ точки К кЪ сторонамЪ даннаго
полигона проведенныя паралсльли озиачатЪ
требуемой полигонЪ. Ибо по сочиненію -Н-
ОВ. В5.ВІ, и(298) площадь даннаго поли-
гона іЪ уменьшенному какЬ ОВ □ кЪБ8 □ или
кЪ ОИ О, равно какЪ ОВ кЬ БІ: ноОВ вЪ трое
болѣ БІ, того ради данной полигонѣ вЪ
трое больше уменьшеннаго, и отЪ сочиненіи
оба подобныя.

302.	Обратно. Когда понадобится какой
полиіонЪ вѣ нссколько равЬ увеличить, тогда
должно между 0^иО^ столько разѣ взятой,
восколько разЪ полигонЪ ищется больше дан-
наго, сыскавЪ среднюю пропорціональную
положишь опіѣОкакЪ до Е. ПогпомЪ проведя
паралельли начиная отЪ точки В вачер-
ріищея увеличенной полигонЪ по желанію.

303	. И.На продолженной линБс АЬ дан-
ной полигонЪ увеличишь площадью вЬ дан-
номЪ содержаніи какЬ АЬ:ЬСг. (ф 67)*

рЪш. Между основаніемъ АЬ даннаго
йолиюна и ЬС сыщи срсдьнюю пропорціо-
нальную ЬН, потомЬ положа АБг^ЬН здБ-
лай (2 57) Подобной полигонЪ данному, и
оныя будугпЪ вЪ зіДанномЪ содержаніи.

304.	Ш. «Данной △ АБС (Ф-73) подан-
ной основанію БВ вЪ иной превратишь.

рЪйі. Сосдиня СВ, проведи (6о) кЪ
ней паралсльную АЕ, и названа ВЕ, тог-
да для равныхЬ (294) площадей ВАР,
ЕЕС, будстЪ ЛБВЕ —ДАБС.

305.	IV. Заданной △ АБС (ф.79) ПО
данной высотѣ Н вЪ иной превратить.

рЪш. Разстояніемъ Н проведи (62)
паралсль РС сскущую АС вЬ В Наанача ВВ
вдБлай кЪ нБй паралсльную СЕ, по шомЬ
проведя ВЕ будстЪ △ АЕВ~АБС.

306.	V. Трсуі олыткЬ АЬС (ф. 8о) псрс-
мснигаь вЪ иной, у котораго бы одинЪ уголЪ
равенЪ былЬ данному углу 7.

рЪш. Проведя СВ паралсльпо кЪ АВ,
адБлай д БАЕ~7, и сосдиня БЕ будешЪ
△ АБЕ~ АБС (272). равнымЪ образомЪ и

всякой

всякой паралсллограмЪ по данному /. вЪ инойі
превращается, каіЪ явствустЬ вЪ фиг. 69.

307.	VI Данной △ АрС ( ф. 81 ) вЬ
прямоугольникъ превратишь.

рЪш. Спустя перпенд: СИ раздѣли
сго пополамЪ вЬ О, чрезЪ С кЬ АВ, а изЪ
А и В кЪ СВ проведя паралсльныя линѢи
вдБластся прямоугольниіЪ АБЕр —△/ВС.

308.	VII. Данной прямоугольникЬ АВЕЕ
(ф.8і) вЪ квадратЬ превратишь.

рЪш. Продолжа АВ, положи ВН—БЕ,
раздЬля АН пополамЪ вЬК, изЪ К, разсто-
яніемъ КН, начерти полкруга: продолжа
ВЕ до окружности, будетЬ БІ бокЪ ис-
комаі О квадрата; ибо АБ X БЕ или ВН —БІО.

309.	СлѢдст. всякой полигонЪ геометрическій
іЪ квадратЪ превратить можно; ибо полигонѣ Д
приводится (294) вЪ треугольникъ, а гареугольникЬ
(308) вЪ квадратѣ.

310.	VIII. Данной квадратѣ АГ (ф.
8^) превратить вЪ прямоугольниіЪ , кото-
раго ширина сЪ длиною равна линѣе АВ.

рѢш. ИзЬ средины С линѢи АБ, на-
черти полкруга, истомѣ изЪ точки пре-
сѣченія Б опусти паАВ перпендик. БЕ,
тогда прямоугольникъ имѣющій длину БЕ,
ширину АЕ, равенѣ есть САГ; ибо (2і6)
АЕХВЕ — БЕО.	СлѢдега.

СлЪдстп. Сіе есть тоже самое, когда
дана средняя пропорціональная да сумма
крайнихЬ, сыскать крайняя члены .

311.	IX. Данной квадратЪ АБСБ (ф. 83)
вЬ равнобочной трс гольникЪ превратишь
чшобЬ площадью были равныя.

рЪш . На сторонЪ АВ квадрата алѢлай
равнобочной △ АВЕ, которіго оокЬ АЕ про-
должи до Г; по томЬ между АГ и двойной
АВ сыщи среднюю пропорціей. АС, и оная
будетЬ бокЬ искомаго треугольника.

Докав. Проведи перпендикуляръ ГН.
Ибо ^281) △ лин и АС кЬ △ линЪи АЕ
какЬ АСП АГО или какЪ 2,ЛВ;АГ} рав-
дЬля сіе содержаніе на Я будетЬ АС □ : АГ
□ АВ : і АЕ, и умножа послЪднЪе содерж.
чрезЪ АВ выдешЬ АСО : АГО .. АБ □ : | АГ
хАВ Но ~ АГхАВ или НЕ— площади
равяоешоронняі о △ линЪп АГ, по сему △
АС: △ АЕ : •’ АВ □ : △ АГ, и тако отЬ рав-
ности послѣдующихъ вышелЪ ААС— А ВО.

312.	X. Какой нибудь не равносторон-
ней треугольникъ АВС (ф. 84) вЬ равно-
бочной превратить.

рЪш. На основаніи АВ здЪлаіЪ равно-
бочной треугольникъ АВЕ, чрезЬ С про-

И	веди

веди СГ паралгльную кЪАБ. На ЕЕ означу
полкруіа , мзЬ Г воставь перпендикуляръ
ГО говорю равнобочной △ линЪи БС
равеііЪ есть данному △ АБС.

Доказ. Ибо (212) БС по сочиненью
есть средняя пронорц. между ЕЕ, БЕ. По
с.сму (281) △ линБи ЕЕ : △ линБи ЕО-
ЕЕ : БЕ или какЪ ЕН СІ, а умножа по-
слЪднБс содержанье чрсзЬ;АВ будетЪ ДВЕ:
△ Е С — Е Н X и А В СІх АБ; но сіи произ-
веденіи равны площадямЪ треугольниковъ
АВЕ,АБС, то для равности предЪидущихЪ
членовЬ будетЪ △ Б С ~ А Б С.

313.	XI. Сколько нибудь подобныхъ ПО-
ЛИГОНОВЪ а, Ъ, С3 а, (ф 85) вЪ одинЪ СЛОЖИШЬ.

рЪш. Начерти прямой уюлЬ НБ1,
отЪ В положа Б А ~ а , ЕС — Ь проведи АС
Положа АС отЪ Б до В, н ЕЕ—с проведи
ОЕ. ОтмБтя БЕ отЪ В до Е, и ВС~й,
означь ГО, то на оной линЪс н черченой
полиі онЪ равенЪ есть С’ ммЪ подобныхЪ ему
полигоновъ здЪланныхЪ на линЪяуЪ а, Ъ, с,й.
Доказ. сего явно отЪ сочиненія и ошЪ
(213 и 298).

Примѣ ч. і е- Ежели потребно сгол'ко нибудь
раз.’?ошсокихѣ треуюлъкиковЪ’ сложить ьЪ один ,
или одни'Ь изЪ /ругокі ьычесттн тогда надл'ЬжгпіЬ
ихЪ учинишь (3°у) одной ьысотьь и проч. ге,

2 е. Ежели слагаемыя полигоны разнообразны,
тогда наДлВятгпЪ ихЪ превратить вЪ треугольники,
а очыя треугольники вЪ квадраты и проч.

314.	XII. Какой ни есть полигонЪ изЪ
друювч вычсспіь.

рЬш. Ежели они подобныя, тогда на
одной сторонѣ, какЬ ЕС(ф- 45) большаго
полигона начертя полкруга, положи СЕ
равную сходственной сторонѣ меньшаго ,
то проведенная хорда ЕЬ будетЪ (214)
сходственной бокЪ за вычетомЬ остальнаго
т мЪ подобнаго полигона.

315.	XIII. ИзЪ раан-ыхЪ двухЪ фигурѣ
А,В здѢлать третью Ь чтобЪ оная равна
была фигурѣ Б, а подобна фигурѣ А(ф. 86).

рѢш. фигуру А преврати (294) ®Ь
прямоуг. СЕ, а трсуг. В вЬ прямоугольн.
РН на линѣе РЕ. ПотомЪ между СРиРС
найди (2.41) среднюю пропорц ІК, па
которой начерченная (257) фигура Ь по-
добная фигурѣ А будетЪ равна площадью
данной фигурѣ В.

Доказ Подобныя фигуры А,Ъ суть
(298) какЪ СРа:ІКО то есть вЬудвосн-
номЪ содержаніи сЬ СР,ІК. Но по сочии,
. СР*ІК’СР, и тако СР : РС вЪ уд-
военномъ же содержаньи пропщвЬ СР:ІК,

по сему СВ: ВО — А. Г. ОтЪсочин. прямо
угольн. СЕ—А, а БН — В, и тако СБ:
ВО — А : Б ~ А : Г, и отЪ равности прсдЬ-
идущихЬ фигура Ь~В.

***********************

ПРИМѢЧАНІИ НА КВАДрАТуру КруГЛ.

316.	Хотя чрезЪ прешедшія предложенія содері
зканіи между окружностей и площадей двухЪ крутой
и поанаваюгпся, однако по нынѣ еще славнѣйшія
Математики со кемЪ своимЪ сшарапіемЪ не могли
опредѣлитъ точнаго содержанія между діаметрсмп
круга и его окружности: и тако по заданной величшпі
діаметра вЪ числахѣ, точную величину его окруж-
ности сыскать не можно, ни величину его площади»
коя равна (289) произведенію радіуса полуокружно-
стію, и для того говорится, что еще не найдена
квадратура круга, то есть точная его площади
а слово квадратура произходитЪ от'Ь сего что квад-
ратѣ есть общая мѣра всякой поверхности .•

317.	Содержаніе діаметра кЪ окруж-
ности кр) га можстЪ очень близко сыскать*
ся, или Механически, на прим рЬ сравни-
вая сЪ діамешромЪ круга длину нитки
будучи точно положенной по сю окруж-
ности, или Геометрически, вычисляя об-
водЪ и измѣреніи или діагонали правиль-
наго полигона имѣющаго превеликое число
сторонЪ. СимЬ способомЪ АрхимедЪ оное
содержаніе и нашслЪ нѣсколько близко

какЪ

( ізз )

какЪ 7 кЪ 22, другія сыскали какЪ I кЬ
3- 14159265 сЪ прибавкою еще 127 и
проч. десягпичныхЪ дробей. МсцТусЪ СІС
содержаніе опрсдВлилЬ каіЪ 113 кЪ 355,
которое весьма есть близко истиннаго.

318 По сему внавЬ діамешрЪ круга, для
сысканья величины его окружности, дБласгп-
ся (260) сія пропорція; какЬ 113 кЪз55,
та^Ь данной діамешрЪ круга кЬ окружно-
сти : но для сыску площади круга, должно
(289) половину найденной окружности по-
множить радіусомЬ, а для сектора, умножь
половину его дуги радіусомЬ (291).

3*9  Екели на ипотенузѣ и на бокахЪ прямо-
• угольнаго △ АВС ( ф. 87) напишется по полу-
кругу, тогда сумма лунокѣ АЕСС,ВГСН равна
есть треугольнику АВС.

доказ. понеже (213, 299) сумма полукруговЪ
А ЕС, СГВ равна полукругу АСНВ, и такЪ бу до
отЪ онаго полкруга вычесть общія части СНВ,
лсс останется лунка ЕС сЪ ГН равна площади
треугольника АВС

С л Ѣ д с т. Ежели прямоугольной А АВС будетѣ
изоссель, тогда изЪ С опущенной перпендикуляръ
СК. раздѢлитЪ его на два равныя треугольника и
оныхЪ каж ои своей лункѣ равенЪ учинится.

Сіи лунки называются Ипократовы, по тому
что оной древній ГеометрЪ первѣе всѢхЪ нашелѣ
способѣ ихЪ квадратовать, то есть какѣ ихѣ пло-
щадь измѣрять.

***********************
ОдѢлЕНІИ ПОВЕрЬХНОСТЕИ.

ро. дѣленіе фигурѣ есть дѣйствіе какЪ кякей
предложенной полигонѣ настолько частей, на сколь* о '
і ооіребно раздѣлить прямыми линіями отЬ одной
) или многихЪ данныхЪ тсчекЪ проведенными. Зна іе
сего единственно до Геодезіи ши землемѣрія гри-
на. лежипіЪ, что бсѢ ьо многихЪ слѣдующихъ за-
Дачах ясно изтолковано.

Задача. I Данной △ ЛВС (ф 88) на
д_ сколько нибудь равныхЪ площадей раза лить
линБями паралслыіыми основанію БС.

рЪш. Б дс потребно на 3 равныя части,
гпоі да бокЪ АБ или АС на столькожЬ час-
тей раздЬля вЬ Б,Е, сыщи (24О между
АЕ и АС, и между 2 АЕ или АВ й АС
среднія пропорц. АГ, і О, и послѣ провсдсн- (
ныя линБи ГН,СІ паралсльно кЪ БС райдЪ-
ляпіЬ ДАБС на три равныя части.

Доказ Ибо изЬ подобнЬіхЪ треуголь-
никовъ АГН‘ /СВ (281) какЪ АГ АС 3
или какЪ АЕ:АС} но АЕ^рАС, по
тому и ЛАГ'ІІдд АБС. Также △ АІС.
АБС АП:/С-, но АЕ>-Л АС, тою ради
А АІС —і АВС Но сему изЬ △ АІС —
А Г I останется шрапезія ІГ ~ 2? АБС и пр.

II.	ТрсуіоЛьникЪ АВС (ф.89) на двЬ
равныя части раздѣлишь перпенд. кЪ осію- <
в нію АБ проведсвнымЬ.	рі Ю-

рЪш. Опусгая псрпсндик. СВ, между
АВ и половиною большой части АО найди
среднюю пропорц. АН. Положа АЕ — АН,
изЪ точки Е восгаавлсніюи перпейД. Е
раздѣлипіЬ △ АВС по заданію.

Доказ. Ибо для подобныхЪ трсугольн.
АВС, АЕЕ есть АВ ВС--АЕ ЕЕ.умножа
первое содержаніе наАБ, а второе на АЕ,
будетЬ АБ х АВ • АВ X СВ •’ АЕ □: АЕ х ЕЕ,
псрсмѢня члены выдешЬ АВхАВ АЕО.*
АВхСВАЕхЕЕ Но (212) АВ X А В =2
2 АЕО , по сему АВ X СВ ~ 2 АЕ х ЕЕ , и
шакЬ половина △ каАВСг^ДАЕЕ.

Ежели угодно опіЬ трсуюльника АВС,
перпендикуляромЬ Е Е отнять ||и проч.
часть, тогда лииѣи АВ берется ?, о 1
чаешь и проч.

III.	Треугольникъ АВС (ф.90) опіЪ
данной т )чки В на двѣ разныя части раз-
дѣлить .

рБш. Проведя АВ, изЬ средины Е
ЛинБи ВС здѣлай кЬ АВ пара лсль ЕЕ,
послѣ проведи ВЕ, которая разд’ѢлишЬ по-
поламѣ △ АВС.

Доказ. Проведя АЕ, трс}іол никиАВЕ,
ЛЕО сушь равныя. Но (2?2) △ АВЕ ~ АВЕ,

И 4	паѣ

йз коихЪ оганявЪ общей △ АБС останутся
равныя части АСГ, БСЕ, а мзЬ оныхЪ одну
АГО отЪ половины АВЕ отнявЪ, а другѵю
БСЕ кЬ осш.тку придай», выдстЪ △ ЕБГ
— ВАЕ - “АВС.

Ежели потребно △ АВС (ф.91 ) раз-
дѣлишь на три равныя части ошЬ данной
точки Б, тогда основаніе раздоля на 3
равныя части, вЬЕ,Р, проведи кЪАБ па-
ралсльныя ЕС,ГН, потомЪ БС, БН До-
жазаш сему есть тоже сЪ прешедшимЬ.

IV.	ВЪ △ АВС (ф.92) сыскать такую
«почку , отЪ которой вЬ углы проведенныя
линЬи раздѣлили бы △ на три равныя части
рЪш. ИзЪ третьей части основанія,
проведи БЕ парадсльно кЪ/В, шоіда изі Г
средины черты БЕ, проведенныя линЬи вЬ
углы раадЪлятЪ △ АВС по заданію.

Доказ- Ибо по сочйн. △ АЕБ — » АЕС
и (»7*) гх △ АБР, притомЪ для паралель-
ныхЪ АВ, БЕ и что БЕ —ЕЕ, △ АЕГ —
ЕБГ: но △ БЕСтСЕЕ, то по сему △
АЕГСЕГ - ВБЕ-ь БГС, или АЕС — ЕГС.

V.	ОтЬ данной точки Б вЪд А БС (ф 93)
раздѣлишь оной на три части равныя.

рЪш. ОшмЪшя БЕ | ВС, проведи БЕ,
и кЬ

и кЪ оной означа паралсльно А Г, соедини
ВР, тогда фигура А СРВ равна будстЪ △
АВЕ шо есть |АВС. ПотомЬ для раздБ-
ленГя пополамЪ фигуру А СРВ, изЬ С сре-
дины линБи АР проведи ОН паралсльно
кЬ ВС: на конБцЪ преведенная черта ОН
раздБлишЬ пополамЪ фигуру АС Г О.

Доказ. Проведя ОС, ОС явно (27^)
△ АСС —ГСС иД АСО — Р60. Но для
паралсльныхЬ, △ СБОпОСН; и посему
фигура РОВ НС — СВ НА, изЬ коихЪ выклю-
чая равныя АСВ,РОО останется четырс-
угольникЪ ЕСНВ равенЪ △ ку АВН.

ѴІ. Треугольника БСА (ф 94) изЪугла
В проведенною линЪего огпдБлить часть ра-
вную данному △ ку СОЕ.

рБш. ЗдБлай △ ІСН (306) — СОЕ,
сосдиня БН проведи кЪ оной паралсльную
ІО. По томЪ означь БС, тогда △ ВСС —
ІСН — СОЕ. Сіе явно есть отЪ прешед.

VII. ВЪ гареугольникБ БСА (ф 95) про-
весть линБю ИМ паралсльно кЬ ВС шакЬ,
чтобЬ △ АКМ равенЪ былЪ данному СОЕ.

рІ5ш. БысотамЬ СР, ЕС и основанію СО
найди (240) четвертую пропори. АО.. По
иомЪ (241) между оной А 0^ и А В, среднюю

И $	про-

пропорц. / И, и ЧрезЪ К проведи И М па-
ралсльно кЬ БС

Доказ. Понеже СР ЕС-.СВ:АО^3 и
упако СР X А(^ — ЕС X СВ , по сему и А
АО,С = СВЕ. Но (28 I) △ АБС : АКМ •. АВ
□ .АК , или по сочиненію какЪ А Б і А 0^, или
(277) какЪд ВАС кЪ △ АС^С, то есть кЪ
•данному △ СВЕ, по сему △ АКМг^СВЕ.
" ѴШ. При данномЪ /17АХ (ф. 96) на
линБе АВ здБлать △ АВ8 равной △ НРІ.

рЪш. Проведи перпендйк. и трсмЪ
ЛинЪямЪ АВ,НР, сыскавЬ четвертью
пропорц. изЪ А воставь ея перпендикулярно
на АВ какЪ АТ. ЧрезЪ Т проведя паралсль
Т5 кЪ АВ соедини $В, будетЪ △ 8АВ ~
ШР. Ибо (279) △ НРІ^ДАВТз потому
чпю ихЪ основаніи кЪ высотамЪ обратно
пропорціональныя, а ДВАТ“АВ5 (272).

Иначе. ВымЪрявЬ по мастабу основаніе
НР и высоту ІО_ треугольника НІР. намди
вЬ ономЪ площадь, которую раздБля на поло-
вину линБи АВ., квотусЪ будетЪ высота
АТ, аостатокЪ дБла соверши попрежнему.

IX.	ВЬ данномЬ ЛАБС(ф.97) сыскать
точку О, ошЬ которой бы проведенныя лиь и
паралсльно кЬ бокамЪ АБ , БС, какую нйбудь
часть п.рсуі ольнива отдБлили. рЪш.

рЪш. Для ошдБлу половины: между БС,
и СН половины перп 4 БС сыщи среднюю
пропорц. ОІ, чрезЪ I проведя К8 паралсльно
кЬ АС раздали с,я пополамЪ вЬ О, изі О про-
в денныя СО, ОР паралельнО кЪ АВ, ВС
включапЪ △ ВОЕг^і △ ка АВС.

Доказ. Ибо опіЪсочиненья треугольни-
ки ВОР,АБС подобныя, и (281) △ ВОЕ :
АБС -’ - СЮ ;СБО, или СИ: СВ. НоСІІ~
’ СВ, по сему и △ ВОЕ ег. “ △ АБС.

Ежели потребно чтобЪ △ ВОЕ былЪ
|, и проч. треугольника АВС, тогда
среднюю пропо ц ОІ, должно искать меж-
ду СВ и |,4,| и пр. части линБи СВ, а
остагаокЪ д’Бйсгпв/я совершишь попрежнему.

ПрУугогаовл. ДаннымЬ двумЪ линБямЪ
ЫК, НА (ф.98) опредЬлиіпь АЕ шакЪ,
чшобЬ оная была средняя пропорціональная
межд ЬГК и ИЕ.

рЪш. Положа ИК ~ а, ИА іг Ъ, АЕ —
х, б дешЪ ~-КК. АЕ. КЕ; или-Н-а.х Ь
+ х, и Шако хх~аЬ-Ьах и хх— ах^аЬ:
но хх — ах -+- | аа 22 аЬ -Р ’ аа , или х + ;а ~ V*
(аЪ-+-'гаа)^ по сему х~ Vе (аЪ-Ь~аа)-4-’а,
Сочин. Положа АВ " а, ЕС— Ъ восшавь
среди, пропорц БВ, которая будешЬѴ’аЪ;

раздБля

раздѣля АВ пополамЪ вЪЕ проведи БЕ, оная
будетЬ V ( аЪ аа ). По піомЪ положи ЕО X
ЕО и выдстЪ АО П V ( аЪ-ь 4аа ) ч-’ а —
х - АЕ.

X.	Приданномъ А 2АХ (ф.99) отЪ поло-
женной точки В провесть линЪю ВЕ кото-
рая бы здѢлала △ АЕС равснЪ данному Т.

рЪш. ИвЪ точки В, означь ВК пара-
лсльно кЪАХ, и отЪ оной же проведи БК,
такЪ чшобЪ (3. VIII) △ ВКК“Т; потомЪ
на линѣе И2 опредѣли точку Е, дабы (при-
угогаовл ) 4-г-КК. АЕ. КЕ проведи ЕВ, и
•удетЪ △ АЕСпД ку Т.

Доказ. Ибо (277) площади треуголъ-
никой) ЕВМ,КВК между собою какЪ ихЪ
основаньи МЕ,Т\К. Но ~г* КЕ. АЕ. ІЧК,
по сему △ ЕВК КВК •': №Е□: АЕС. А понеже
для паралсл. А X, БК, △ ЕВИ: ЕС А • • И ЕС:
АЕс, иопіЪ равности содержаніи, △ КВИ~
ЕОА_. то есть Т — ЕСА.

.. XI. раздѣлить △ А СВ, на три равныя
части отЪ внѣшней точки О (ф. ІОО)

рѣш. раздѢля АВнатри равныя части
вЬ Е, Е проведи СЕ, СЕ, кои раздѢлятЬ
△ АСВ на три равныя доли; по томЪ вдѣ-
лай (З.Х) △ А КБ— АЕС, и БѴР гз томужЪ.

Также

Также раздѣляются треугольники ий
данныхЪ содержаньяхъ, что опіЬ раздѣленія
линѣй АС зависигаЪ: притомЬ ежели точка
О будетЬ на продолженной АБ, тогда
отдѣли △ ВКСгЛСР и проч. (ф.ІОі).

XII. ДанЬ △ АБС и на боку АС точка
О, провесть прямою линЪю ІРН чтобы △
ВНІ равенЪ бьглЪ △ БСА (ф.іой)

рѢш. Назначь РЕ паралсльно кЪ АВ,
а ЕР кЬ АС и РС кЪБС: потомЬ чрезЬ С
проведи АН, а наконецЬ НРІ, и будетЬ △
АРІ~ Лку СРН.

Доказ, Продолжа ЕС до К бу душѣ тре-
угольники ЕСЕ^СКР подобныя, по сему
ЕС : СР — РС ; СК . Но ЕС : СР — ВА : АІ
— △ БАН: △ АІН, и РС : СК — БН : НС =
△ ВАН:△САН. СлѢд. △ ВАН: △ АНІ —
△ БАН : △ САН, и отЪ равности предЬиду-
щихЪ будспіЪ △АПІпДСАН, а приложа
кЪ онымЪ △ ВАН выдстЪ △ ВНІ — △ БСА,

ХШ. Данной △ АБС (ф.103) раздѣ-
лить равно пополамЪ по линѣе ЕР чрезЪ
назначенную точку Р проведенной.

рЪш. Проведя черту АРЕ, отмѢшь
на нѣй РС^РГ, и чрезЬ С назначь НЬ па-
ралсльную кЪ₽С. ПотомЬ, бу де по вычис-
ленію

лсні'іо площадь АВЕ выдспіЬ болБ △ АЕС,
щогда для равныхЬ частей РГВ, РСК слЬ-
д сиіЪ разность тЪхЪ площадБй пом эстмть
вЬ фигурЬ АЕКС, и оную вычтя мзб △
НС А останется площадь вЬ △ ІІКЕ, а по-
средствомъ оной найдется НЕ,Еа, и чрсзЬ
то опрсдБлишся положеніе линБи ЕРБ

ПримѢч, Ежели по исчисленію площагь △
АБР явится меньше площади △ АЕС или меньше
заданной, тогда показанное* дѣйствіе должно проиг-
весть по другую, сторону линѢи АЕ будеже РЕ
болѣ АР, тогда вмѣсто линѢи АРЕ проводится,
иная по разсужденію и?Ъ Д С или В ТакимЪ же сго-
собомЪ раздѣляется △ по какей нибудь данной,
токмо не превосходящей его, площади.

XIV	. Данной паралеллоі рамЪ АВСО

ІОф) на три равныя части раздЬлипіь
линЪями проведенными изЪ данной точки Е.

рБін. ЛинБю АВ раздали на три рав-
ныя части вЬ пючкахЬ Е, С Означа ГН
паралсльно кЪ АС, положи НІ^ЕГ, и
проведя ЕІ будетЬ для рлвныхЪ трсуюльн.
ЕГХ, НІИ, фигура АЕІБгг.АЕІЮ то
есть | г лой. Таким же образомЬ п о-
веденная линЪя ЕЬ оцідѢэлишЬ площадь
Е Б С Ь ~ ’ все,я площади А Е С В.

XV	Данной полигонЪ АЬСВ,(ф.і<?5
изЪ ср< дней точки Е линЬи АБ пополамЪ

ДѢЛИШЬ.

Р ш.

рЪш. Проведя ЕС, и кЪ АБ паралель-
ную Б Г, изЬ средины С назначь паралсль~.
но СН кЬ лмнБс ЕС. НаконецЪ соедини
ЕН, коя раздЬлишЬ фиіуру по заданію.

Д кав. Ила проведя ЕС,СС, для рав-
ныхъ и паралсльвыхЪ, отЬ сочиненія АЕ,
БЕ и ОС,СЕ площадь АЕСР-ЕВЕС
1 ($7$) △ РСС-СГС, по сему фигура
АЕССО-ЕБСС, а для △ ЕСО —ОНС
и фирура /ЕНР —ЕБСН.

XVI	. ПолиюнЬ А ВС О (ф іоб) линіею
изЪ угла В проведенною пополамЪ раздѣ-
лить .

рѣю. Проведя діагонали ВО, АС раз-
дали АС пополамЪ іЪ Е ИзЬ Е проведя
ЕЕ паралсльно кЪ БР, соедини ЕЕ, коя
разд ілитЪ фигуру АВС Р по заданію.

Д каз. Понеже (272) △ АВЕ— △
ЕБС и АЕР —ЕРС, по сему площадь АБ
ЕР— ВСРЕ: нодля паралсльныхЪ БР,ЕЕ,
△ ВСЕ — ДРСГ, и тако площадь АБГР^
площади △ ка ВСЕ.

КакЪ сіе такЪ и удѢлЪ какой ни есть данной
площади можно удобнѣе учинить чрезЪ нижепоказан»
ное генеральное рѣшеніе вЪ задачѣ XXI.

XVII	ПолиюнЬ АБСР (ф. 107) о^Ъ
д нной точки Е, на сколько ниб дь рав-
ныхъ

мыхѣ частей раздѣлить, положимЪ сперва
пополамЪ.

рѢш. Данную фигуру (294) преврати
вЬ △ АЕБ, котораго основанье А Г раздБля
пополамЪ вЪ С , соедини ЕС, и кЪ оной
вдѢлавЪ паралсль БН, проведи ЕН.

Доказ. Ибо треугольники АСБ, ЖСБ
равныя, и для равныхЬ частей НСО, рЕБ,
△ ОАО равенЬ фигурѣ АНЕБ, рю есть
половинѣ ролигона АБСБ.

ПримѢч. Ежели потребно раздѣлитъ на 3’ 4’5
и проч. равныя части, тогда частъ А С берется
аа и ПРСЧ- линѢи АГ? и ЕН отдѣлитъ
такую же часть фигуры, а остатокъ раздѣляется
превращая его вЪ треугольники; токмо буде раздѣ-
ляющая линѢя ЕН придетЪ на СВ, вЪ такомЪ
случаѣ приведеніе фигуры вЪ △ дѣлается сЪ про-
тивной стороны, а раздѣленіе четыреугольника
пополамЪ показано вЪ задачѣ XVI.

ТакимЪ же способомъ раздѣляются всѣ полигоны
иа сколько нибутт равныхЪ частей, или по данному
содержанію ихЪ площадей линѢями изЪ одного или
изЪ многихЪ угловЪ проведенными.

ХѴШ. ПолигонЬ АВБС (ф.іо8) раз-
дѣлить пополамЪ линБсю паралсльною кЬ
которой нибудь сторонѣ, какЬ АВ.

рѣш Данной полигонЪ преврати вЬ △
ЛЕО, и продолжа стороны АВ, БС пока
сойдутся еЬ С, раздали основаніе АЕ по-
поламЬ

ПоламЬ вЬ Е, и между СА,СГ сыщи сре-
днюю пропорціональную СН, аизЪ Н про-
Веди НІ паралельно кЪ боку АБ.

Доказ. ОтЪ сочиненія △ АЕВ равсйЪ
фигурѣ АБСВ, по сему и половины ихЪ
АГО, ЕВСО равныя. Но (281) △ АСС:
Н1С:: А 6 □ : СН □, или по сочиненію для
-Н-А6 СН СГ, какЪ АС : СЕ, или ($77)
каіЪ △ САС:ОГО, и отЪ равности прс-
дЬидущихЪ будетЪ △ НІС^СЕБ, изЬко-
торыхЬ выключа общей △ БОС, остане-
тся фигура НВСІ —ЕВСС, и проч.

Ежели потребно оной же полигонЪ раздѣлите
пэралелънымй линіями кЪ АО на 3, 4, 5, ипрвч.
равныхЪ частей, или гіо содержанію ихЪ площадей»
тогда А Г берется за |, у часть основанія А Е,
и между С А иСЕ ищется среди, пропорціей. СН»
и по сему НI отдѣлитъ | ипроч. полигона. По-
томЪ остальныя фигуры превращая каждую вЪ
равныхЪ образомЪ раздѣляются иа желаемыя части.

XIX.	Какой ни есть полигонЪ правиль-
ной или Неправильной раздѣлить на сколь-
ко нибудь равныхЪ частей, или гіо дан-
ному содержанію ихЪ площадей отЪ точки
опредѣленной на обводѣ полигона. Поло-
жимъ на примѣрѣ раздѣлить Полигонѣ ОшЪ
данной точки О (ф. 109) на три части
1Ъ дайномЪ содсрж. какЪ линБи аЬ,Ьс,вЗ.

І	рѣш.

- рБш. рдздѢля полигонЪ вЪ треуголь-
ники, отЬ точки О преврати (305) ИХЪ
кЬ одной высотѣ. ПоіпомЬ раздѣли (239)
линѢю ай на 5 частей по содержанію осно-
ваней тѢхЬ превращенныхъ треугольниковъ
вЬ <}. г, з, г. Но понеже вторая часть д і,
раздѣляется вѣЪ, того ради второе основаніе
ЕЕ раздѣла (2 39) Г2 : 2Е — дЬ : Ъі, проведи
20, и будетЬ фигура АР7О кЬ цѣлой
какЬ аЪ кЬай. НаконецЬ четвертая часть
»г пересѣчена второю ас, по сему основа-
ніе БС четвертаго △ ка раздѢля такЬ,зс:
сг ” БХ : У С проведи ХО, и будетЬ фи-
гура /ЕБХО кЪ цѣлой какЪ Ьс кѣаа.

с. Доказ. По сочиненію △ ЕОЕ, кЪ
цѣлой фигурѣ, какЪ дг кЬ ай или пере-
мѣна, △ ЕОЕ: д г какЬ цѣлая фигура кЪ
ай. Также отЪ сочиненія △ 2ОЕ.2ОЕ--
Ьг.Ъд, слаіая есть ЕОЕ:2ГО -яг:дЪ,
дісрсмѢня сію пропорцію будетЬ ЕОЕ : 9г::
2ОГ;дЪ, и по тому ГО2 кЪ дЬ какЪ
цѣлая фиіура кЬасЦ псрсмѣня оную выдещЬ
ЕО2 кЬ цблой фигурѣ какЪ дѣ.ай; но Д
АОГ кЬ той фигурѣ какЪ ад;ай, по сему
ЛОГ-І-Г02 то есть АЕ2О кЬ цѣлой ф -
іурѢ какЬ ад-ьдЪ или аЬ кЬ ай. Также
докажеш-

докажстся что чаешь ХСВО кЪ цѣлой
какЬ с <1 кЬ а 3.

Пр'имѢч Ежели иадоПно полигонѣ раздѣлить
на три равныя части» тогда ЛипѢя ай дѣлится ьЪ
Ь»с на равныя части, а прочее сЪ показаннымъ есть
одинакое дѣйствіе.

XX.	ЧрезЪ данную точку Г (ф.ію)
провесть линЬю РРС, коя бы раздѣлила
полигонЪ АБС БЕ на двВ равныя части,
или отдѣлила бы площадь ССБГ равную
данной плотади.

р ш. Проведя ВРІ вычисли площадь
БСБІ, и бу де оная меньше половины цѣлой
фигуры , или заданной площади, то проведи
БРК, нежели площадь БСБК явится так-
же меньше половины, а проведенная АРН,
отдЬлитЪ фигуру АБСН болЬ половины,
вЬ такомЬ случай линЪя СРГ должна
пройти между А и К. Того ради ( ежели
РБ меньше РК ) положи РЬ — РБ, и чреЛ
Ь проведи ЬН пдралельно кЪ БС. ПотомЬ
вычисля площадь ЬКЬ, сложи ея сЪ пло-
щадью ГКЬО, то есть сЪ разностью между
половины, либо данной площади и БСБК,
сумма равна будетЬ △ ку МГО. НаконецЬ
чрезЬ Р проведи (3 X) лмнЪю РОР, помѣ-
щающую площадь △ ка МО, и гоако для

равныхЪ треугольниковъ БСР,РОЬ фигурѣ
ССВГ будстЪ половина цѣлыя фигуры или
равна данной площади.

ПримѢч, Ежели ОР ггридетЪ болѣ части РК,
тогда вЪ мѣсто черты БРК проводится икая пб
рассужденігО изЪ другаго угла предложеннаго плайа.

XXI.	1:сякаго даннаго полигона отЪ
опредѣленной точки О (ф. 109) вправо от-
дѣлишь пхощадь Данной величины вЬ ка-
КихЪ нибудь КвадратныхЪ мѢрахЪ.

Генер. рЪшсніс. раздѣла полигонЪ огпЬ
точки О вѣ треугольники , спасши вЪ оныхЪ
перпендикуляры Ве.СГ и проч. и оныя сЪ
ихѣ основаніями ОС,ОБ и проч, измѢря
по масіпабу, вычисли (273) каждаго △ ка
площадь, и сложа всѣ вЬ одну сумму най-
дется площадь цѣлой фигуры. Погпомѣ смо-
три по сношенію данной площади сЪ пло-
щадью одного, или двухЪ и проч. тре-
угольниковъ, вѣ кошоромЬ △ кЪ раздѣля-
ющая линѣя какЬ оХ пройти должен-
ствустЪ. НапримЪрЪ, чрезЪ сіс сравненіе
сыскалась данная площадь больше △ ОСВ,
а меньше двухЪ ОБС -+• ОСБ , по сему Линѣя
ОХ должна пройшить 'вЬ △ ОСБ. И тако
паѣ данной площади вычтя площадь △
О ВС, останется площадь вЪбОСХ, коею
сыскавЪ

сыскавЪ высоту (273) (упоенную ег0 площаіь
раздѣла на величину ЛинѢи ОС) и ВЗЯвЬся сЬ то-
гоже мастаба назначь кЬ линЪс ОС, пара-
лсль ІК, пересѣкающую СИ вЪ X. На-
консцЬ проведи ОХ, и будстЪ площадь
фигуры ОБСХ равна данной. Сіе явно есть
отЪ сочиненья.

Ежели потребно вЪ какомЪ нибудь
даннрмЪ полш онЪ какЪ АБСБ (ф. іо8) по-
мѣстить площадь знаемой величины лиіЪсю
кЪ одной сторонѣ паралсльною какЪ 1Н.
тогда продолжа стороны АБ,БС, пока
Сойдутся вЬ С, вымѣряй по мастабу спу-
щенной перпсндикулярЬ изЪ точки А вЪ тре-
угольникѣ А О Б, на линЪю В С, пошомЪ (2 7 3 )
найди онаго площадь, ивЬ которой вычтя
данную вдѣлай сію пропорцію: площадь △
АБС кЪ оставшси завычетомЪ, какЪ квад-
ратѣ линѢи БС кЪ квадратному числу,
котораго сыскавЪ радиксѣ, возьми сЬ мас-
таба и положи отЪ О доі. И гпакѣ прове-
денная линЪя ІН, равдѣлиіпЬ данную фигу-
ру по заданію . Ибо треугольники АБС,
НЮ отЪ сочиненія подобныя, и проч.

рѣшеніе сея задачи названо генеральнымъ пешему,
что оное ео всѢхЪ случаяхъ земледѣленія скоряе
В сЪ лучшею точностію, нежели чершелемѣ пыіаетЪ

1 з	у отпрзбп -

употребительно; и для гпого еще нѣсколько задачъ
также вычислѢніемЪ рЬшимыя предлагаю.

XXII. Двоимѣ отвѢдено прямоугольное
мѣсто какЬ АБСБ,(ф. 111 ) мѣрою длиннику
ЛБ,34 саж. а попсрѢшнику АБ,3$ саж
и хошятЪ они раздѣлить оное пополамЬ по
межѣ ЕГ паралсльной длинѣ АВ, оставя на
общей проѣздѣ мѣсто БН вѣ 4 саж. шири-
ною. Сыскать дороги длину БГ и проч.

РѢШЕНІЕ

АБ—Зфсаж.	АЕ— 34

ЛР32,	БІ 2

1088 площ. АС 32 —АІ

“ 544 площ. АК, 32(544) 17 СГ
полагая НI — ГI. СІ —СИ — 30-АС
площадь АН или ЕС — 5іосаж □

ХХШ. Четыреугольное полѣ АВСБ
(ф. 112 ) раз Ѣлишь пополамЬ прямою межою
СН паралелыюю кЬ боку АБ.

рѣш. Проведя СЕ паралельно кЬ АВ
и БР кЬ ВС, смѢрсй АБ — I 5, ЕГ — 2,
ЕС —7-

А понеже А АГК • А ЕСК= АЕО .ЕСО
и А ЕСК: А БСК —ЕБ:ЬК
или —СЕ СЕ

По сему А АЕК : А БСК — АБ О : СЕ х
СЕ

СЕ. СлѢдоваш. треугольники АЕК, ОРК,
РСК между собою какЬ ЛЕИ, СНп, СЕх
СЕ.

Но ( △ А I К — △ РСК ) — △ НС К
— △ РСК, то есть △ А ЬК -н △ РСК — 2
△ НСК-, по сему АБ° + СЕхСЕ— 2 ОН
□ ” 288. СлѢдов. : ( АБОн-СЕхСЕ ) —
НС □ — 144г а СН —12. СыскавЬ длину
мѢжи НС отмѣряй на боку АВ равстоя*
мГе АІ —НС, и проведя ІН паралельно кЪ
А Р найдется точка Н, мпроч.

П ри мЬ ч КогдаС Р — В А, тогда прямоуг.
ЕСГ—СЕП —СРП; но СНП —АВПч-
СРП, того ради СН — V* (АВП-ьСРП);

Сію задачу весьма лехче можно рѣшить гене-
ральнымъ правиломъ показаннымъ вЪ задачѣ. XXI.

XXIV. Четыреугольной планЪ АБСР
(ф. 11 з) надобно раздѣлишь пополамЪ по
прямой линѣе НІ перпендикулярной кЪ АР.

рѢш. Спустя перпендикуляры БЕ,СЕЛ
продолжи ЕС до С, и послѣ смБрси АЕ — 13
ЕЕ —9, ГО— 5, ОР —8-

ИзЬ АСхСЕ— 378 вычти ГСхбР
— 40, остагаокЪ 338 раздѣли пополамЬ и
выдсгаЪ 169 =: НС О, посему НО— 13,
и проч.

(і$5)

Иначе, вЬ △ СВС по выморенной вы-»
СОігіВ СР и основанію СБ сыщи площадь,
кою вычти иаЪ половины площади всся
фигуры, останется площадь вЪ △ НСI: по-
томЬ д СРС : △ СНІ• • РС□ : СН □, и проч,
XXV. Трапсаію АБСР (ф.114) надо-,
бно раздѣлить пополамЪ по прямой линБо
ЕЕ паралельной боку ВС, оставя общее
мЪегпо ВС НЕ шириною БМ ~ 8 саж. а
пообмБру АВ — 8о с, ВС — 55 с • СВ —
65 с. АВ—130 сыскать гдѣ придстЪ
точка Е на, линБе А В.

рѣш. Проведя ВІ паралсльно кЪ СВ
• БК прямоещоцно кЬ АВ, найдется вЬ Д
АВІ высота БК —56 саженямЪ.

ПотомЬ БК ( 56 ) : АІ( 75 ):: ВМ( 8 )
: СЬ— 1 о |. СЪ АВ + ?С — 185 сложи СЬ,
|О|выдсшЬ 185 - — СН •+• ГС-+- АВ . Но
А($НЕ—ВСРЕ, а высота МК —48, по
сему ( СН->-?Е)х 48 п(СР-нВЕ )х 56,
или СН-«-АЕ: СР н-ОЕ — 56 : 4$ . аСЦ
н- АВ СР : СР -+- ВЕ — 56 -+- 48 : 48 -
195 ~ :СР-ь ВЕ, то есть 104:48 п 195 г
2 СР или а ВЕ — 9°і’ и таК0

Почти 45 6 Саж,

ХХУ|. Чешырсугольи ікЪ А БСВ (ф• 115)
раз-

раздѣлить пополамЪ линѣсю ГЕ паралель-»
кою кЪ АВ, оставя общую площадь ВН ши-
риною вЬ іо саж. считая полинБс АВ. А
смБроны АВ — но с.АІ—105 с. ІБ-45
с. иІС,75 с- паралсльная кЪ АВ.

рЪш. Положа ВЕ — 5 с. назначь ЕМИ
паралслыю кЪ БС, и вычисляй слѣдую-
щимъ ооразомЬ.

АВ— і ю	АВ— но	АВ ~ 110	СІ-75
СІ- 75	ЕВ —	5	СІ~ 75	Ш-45
185	АЕ— 105	КВ - 35	3375
105			△ ІСЭ.
194*5	= АВСІ	КСг=	105
3375		КВ-	35

22800—АВСВ площ. 3675 △ КВС.

11400 —А ЕМЕ

ПотомЪ КВ : КС • ' АЕ : АН, то есть 3 5'
105	105 :315 —АН

ІО$ — АЕ
33075 — АЕН
11400 — А ЕМЕ
21675 — ЕМН.

На конЪцЪ КБС, 3675 '• КСП, 16525
і.'ЕМН, 21675 : ЕЫ □ 650^53 по сему ЕИ

I 5	-255

— 255, и АН — ЕИ—315 — 2$5 ~

6о, ?то надлежало сыскать, а осташокЪ
дБла собою очсвидснЪ.

321.	Пополненіе кЪ планиметріи.

Т. Доказ. ( на И. 282) ЗдЪлавЬ на сторо-
нахЪ треугольника. АБС (ф. 116) квадраты,
изЬ А на СВ опусти перпендик. АП, кой
раадБлитЪ квадратЪ СП на два прямо-
угольника СБ,*ІВ Проведя линБі ВН,АЕ
будстЬ (134) △ АСЕ —БСН} ибо вЬ △
АСЕ стороны АС, СЕ равны сторояамЪ
СВ,СН вЬ △ БСН, исще а. АСЕ — а. БСН:
по тому что вЪ осоихЪ по прямому сЪ
общимЬ уіломЬ АСВ-, но оныя треуголь-
ники суть (271) половины фигурЬ АН,ЕІ,
по сему квадратЬ АН ~ прямоуг. СЬ
і По такому же доказательству выдегпЪ
чтоАГО~ прямоуіельнику ІВ.

Иначе. Пригогаовя веБ какЪ показано
вѴ ф. 117, будетЬ (272.) прямоугольн.
1Е5А равенЬ квадрату А Г, и прямоуі ольн.
АСБ8 равенЪ квадрату АН, а ДЕЗО —△
АЕС, по сему АГО-+-АНО — Б’РО .	„

сія славная Теорема (древнимЪ ГеометромЪ Ар-
химедомЪ и»обрѢтенная) для лкбопыиівдхЪ читате-
лей

леи пятно разними видами здѣсь доказана, и оная
в'Ь Геометріи и вЪ Аналитикѣ весьма употребительна.

I [. Для превращенія даннаго прямоуг • какЪ
АВСЭ (ф. 6і) вЪ иной по данной длинѣ- над-
лежитъ продолжить бокЪ ОС, и положа СО —
данной длинѣ, проведи линѢю СВ Г, то будетпЪ АЕ
искомая ширина А Р ( 207 и 194) . Сіе кЪ К. 31$.

111.	Таблица показующая мѣру перпендикуляровъ
или апотемЪ и площадей правильныхъ полигоновъ.

имена полигон .,	перпенд.	площади
пятиугольникѣ .	о. 688191	і- 72°4774
семиугольникѣ .	1. 038260	3- 6339124
осьмиугольникѣ.	I. 207107	4. 8284272
дѢвятиугольн.	і- 373739	6. 1818241
дѣсятиугольн.	і 538842	7. 6942087
одиннатцатиуг .	г. 702844	9- 3656412
двѢнашцатиуг.	г, 866026	іі. 1961524

употребленіе сея таблицы состоитЪ вѣ слѣдую-
щемъ. бЬ сочиненіи ея (о коемЪ показано в'Ь шри-
гочоме'гари ) положена сторона каждаго полигона ~ і
единицѣ: по сему ( 298 ) ежели квадратѣ одной
стороны какова ни есть полигона умножить плоіца-
дью взятою изЪ табл. такой же фигуры? произ-
веденіе будетЪ площадь даннаго полигона. А буде
сторона нѣкоего полигона умножится на перпенд
такова же полигона по таблицѣ, то выдетЪ апо-
темЪ вЪ заданномъ полигонѣ. Сіе кЪ 14. 297

IV.	(кЪ 284) площадь полосы, коя одинакой
ширины, какЪ вЪ фиг. п8, находится равно какЪ по-
казано вЪп. 284: а имянно полсумму всѢхЪ внутрен-
нихъ и внѢшнихЪ сторонЪ должно умножить ши-

V.	Для сысканія площади вѣ смѢшеннолинѢй»
номЪ планѣ (ф. 119) надлежитъ разумно сравнивать
крйволинѢйную площадь вЪ прямолинейную, ибо
дугу можно привести вЪ двѣ, три и вѣ прочія пря-
мыя линіи: іпакимЪ образомѣ прямолинѢйная фигура
ЛВС О сЪ довольною точностію вдѣлается равна
смѣшеннолинѣйному плану. А прочія криволинѢйчад
фигуры можно измѣрять посредствомъ частей круга.

VI.	Что всякая паралельная какЪ ЕЕ вЪдАБВ
(ф.ро) сѢчешЪ стороны пропорціонально, можно до”
казать кромѣ И. зоо чрезЪ К 277.

увѣдом. пла нометрическихЪ задачъ здѣсь
болѣ положить почелЪ я заизлишнеез ибо читатель
разумѣя предписанныя правила кромѣ что узнаешѣ
причину показанныхъ вычисленіи вЬ Арифм. вЬ Части
IV вЪ главѣ. 111, но и всякія иныя задачи рѣшить
и сатдЪ изобреташь можетЪ.

***********************
о СВОЙСТВАХЪ ПЛОСКИХЪ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ИЛИ ПЛОСКОСТЕЙ.

доселѣ начертаніе всѢхЪ линѣй и фигурѣ сѣ
ихЪ пространствами движеніемъ точекѣ и линѣй
описанными представляли на плоскости-, и сіе сЪ нач
чала неминуемо за основаніе положено было (17); а
теперь Геометрическое происхожденіе и изображеніе
опой плоскости показую тако;

322.	помыслимЪ что линѢя 7С лежитЪ вЪ
воздухѣ, и кЪ оной перпендикулярна безконечная
прямая СВ (ф. 120 ); и будто лицѢя 2С сама I
собою не сходя сЬ мѣста сЪ перпендикуляромъ С К
вокругЪ оборотится, тогда ясно. поймемЪ что СК
онишетЪ плоскую поверхность Н Н Н К К К > или
планѣ то есть плоскость прямостоящую кЪлинѣе 2Ѳ.

Тоже самое можно показать механически обра-
щая наугольникѣ около неподвижной какой ни есть
прямой линіи.	323.

323.	Ёжели одна линѢя на другой ие прям<
ВпоигпЪ, то описанная ею фигура не будетЪ
плоскость. На примѢрЪ есть ли повернуть прямую
МК (ф. 121) сЪ линѣею МВ составляющею вЪ М
острой уголЪ КМВ, то легко можно видеть что
линѢя МВ опишетЪ кругловатую поверхность сна-
ружи выпуклую шпипомЪ, а внутри вогнутую, на
которой вс-оду прямыхЪ, коихЪ бы точки касались ,
•ію поверхность ни какЪ провесть невозможно.

СлѢдст. Плоскость есть такая поверхность*
коей всякая точка прямой на ея вездѣ полагаемой
Касается. ИзЪ того ягствуетЪ,

324.	I. Прямая линѢя положенная на плоскости
неможетЪ на оной быть отчасти, то есть чтобЪ
одна часть лигіѣи поднеласъ выше или опустилась
ниже плоскости.

325	СлѢдст. 1е. буде двѣ точки прямой ле-
ЖатЪ на плоскости, то тамЪ и вся линѢя .

326.	II е . одна плоскость А 1 не можетЪ
отчасти точно лежать на другой плоскости, и
отчасти вйерьхЪ поднета или внизЪ опущена, но
взаимно наложенны соединяются. Ибо тогда прямая
линѢя положенная на плоскость А» можетЪ быть
отчасти на плоскости В, а отчасти поднета кЪ
верьху или опущена внизЪ, чему статтся нельзя.

327.	ПІе. Всѣ прямыя вЪ концѣ или вЪ одной
точкѣ кЪ нѣкоторой линѢи перпендикулярны, на-
ходятся вЪ одной плоскости (322).

32З	II. три точки не вЪ прямой линѣе лежа-
щія положеніе плоскости опредѣляютъ.

докае. Ежели положишь плоскость на сколь-
ко нибудь точекЪ сущихЪ вЪ прямой линѣе, тогда
всѣ оныя точки здѢлаютЪ опору около которой та
плоскость свободно можетЪ вращаться . но положа
плоскость на три точки, кол не вЪ прямой линѣе
то сш точки здЬлактЬ опору > на которой плос-

Костъ уже болѣ не оборотится, и коя вЪ непремѣн-
номъ ея удержитЪ положеніи: по сему три точки
не вЪ одной прямой линѣе лежащія положеніе плана
или плоскости опредѣляютъ.

329.	СлѢдст. треугольникѣ опредѣляетъ плс»
скость и ея положеніе.

330.	III. Прямая прямостоящая иа плоскости,
также перпендикулярна ко всѢмЪ линѢямЪ ошЪ
конца тоя линѢи по плоскости проъеденнымЪ, какЪ
ИС (ф.120) есть перпендикуляръ ко всѢмЪ линѢ-
ямЪ НСК,НСВ ипроч.

331	IV. Двѣ прямыя прямостоящія или вЪ одну
сторону равчонаклонныя кЬ одной плоскости линѢи
между собою Паралельныя, и обратно-

332.	V. Ежели изЪ двухЪ паралельныхЪ линѣй
одна кЪ плоскости прямостояща, то .также стоитЬ
на ней и друтая.	. зі г

333	VI. б де двѣ линѢи паралелгны кЪ третьей,
которая сЪ ними не вЪ одной плсскосши, -также
и между собою паралельны.

334.	VII. Двѣ прямыя пресѣченныя находятся вЪ
одной плоскости, а. больше двухЪ пересѣкающихсяі
на одной плоскости бываетЪ и нѢт'Ъ (32$ и 328). •

335.	VIII. Т| и точки невЪодной прямой лежащія
не могутЪ быть общія двумЪ разнымЪ плоскостямѣ:
ибо оныя находятся только вЪ одной плоскости»
а не вѣ разныхЪ (326).

336.	СлѢдст. Пресѣченіе двухЪ плоскостей
есть прямая линѢя: ибо сѣченіе двухЪ плоскостей
есть прямая линѢя, коси всѢ точки суть общія
обѢимЪ плоскостямъ.

337 ПредставимЪ себѣ что на неподвижной
прямоугольной плоскости СБЕЕ (ф 121) лежитЪ 1
другая ей равная. Сіи двѣ плоскости не имѢютЪ ни”
какой толстоты, и по тому одну плоскости состав-
ляй шЪ. пошом'Ь ьообразим-Ъ что будто та плос-

кость на неподвижной линѣе АБ (на общемЪ сѣчем
ніи пополамЪ обоихЪ плоскостей ) вращается» то
ясно окажется іе. что движимая плоскость идучи
©тЪ Б до С перейдетЪ всѣ градусы наклоненія кЪ
неподвижной плоскости. 2е. Сдѣлается кЪ той
плоскости перпендикулярна, когда ни вЪ которую
сторону не будетЪ наклонна, зе равныя углы на-
клоненія размѣряютъ дуги полкруга БѲС, точкою
Б движимой плоскости описаннаго. 4 е. Когда дви-
жимая остановится на примѣрѣ вЬ а, то уголЪ на.
клоненія плоскостей А<ЗеБ,АБЕВ есть уголЪаАВ,
коего стороны суть Ай, АБ находящіяся вЪ обо-
ихЪ плоскостяхъ и к’Ь общему сѣченію А В прямосто-
ящія. НритомЪ другая половина движимой плоско-
сти Ас{В, вращаясь вмі.стѣ сЪ первою учинитЪ
тѢ>же углы наклоненія сЪ неподвижною плоскостью,
какія здѢлались отЪ А с! е В; и такЪ явно что
двѣ между собою наклонныя плоскости имѢктЪ
тѣже свойства, какія есть у двухЪ линѣй взаимно
наклонныхЬ»

3;,8. СлѢдст. Іе. уголЪ наклоненія двухЪ плос-
костей есть тотЪ между ими уголЪ, коего веріхЪ
находится вЪ общемЪ ихЪ сеченіи, а стороны лежатЪ
на оныхЪ плоскостяхъ перпендикулярно тому сѣче-
нію, какЪ аАБ» ор^, еБЕ. и проч. и всѣ между
собою равныя.

Не. уголЪ наклоненія какой нибудь линѢи какЪ
в А на плоскость есть уголЪ йАБ, коего одна сто-
рона А а» а другая АБ чрезЪ О конс-цЪ перпенди-
куляра а О из'Ь а на плоскость опущеннаго прове*
денная (ф. >22)

339.	1Х. Плоскость стоящая на Д| угсй дѢлаетЪ
сЪ нею два угла прямыя» или двумЪ прямымЪ равныя.

340.	Х. вЪпресЬченіи двухЪ плоскостей проти-
волежащія угла между собою равныя.

34і.	XI. Сумма угловЪ взаимнаго наклоненія

сколь-

( 16о )

сколькихѣ нибудь плоскостей коихЪ общее переселеній
есть вѣ одной линѣе, равна 360 градусамѣ.

342.	XII. разстояніе точки до плоскости есть
перпендикуляръ отЪоной точки на плоскость провеі*
денны. ОтЪ точки внѣ плоскости кромѣ одного пер-
пендикуляра на нея опустить не можно- Также изЪ
точки плоскости только одинЪ на нея перпендику-
лярѣ «оставляется.

343.	XIII. Плоскость сѣкущая двѣ или многія
между собою паралельныя плоскости, дѢлаетЪ также
на ужно и внутренно алтерныя углы равныя, и
•брага но.

344.	XIV Пресеченіи двухЪ или многихЪ паралелі*
ныхЪ плоскостей иною, суть линѢи паралел ныя:
ибо ежели онѣ не паралельныя, то могутѣ сойтись,
по тому и плоскости ихЪ также сойдутся, и не
будутЪ паралельныя,

345.	XV. Когда одна линѣя кЪ двумЪ разнымѣ
плоскостямъ перпендикулярна, тогда оныя плоскости
между собою паралельныя. Ибо оная линѣя размі-
ряетѣ растояніе паралельныхЪ плоскостей .

346.	XVI. Ежели общее сѢчеше двухЬ плоскостей
кЪ третьей перпендикулярно тогда и плоскости омы*
сшоятЪ кЪ сей перпендикулярно.

347.	Зад. !• ИзЪ точки О (фігг) Внѣ плоскости
X на оную перпендикулярѣ опустить.

рѣш. Проведя лийЪю ВС на гііои Плоскости
изЪ точки 13 ( 64 ) спусти перпенд. 13 А. По томѣ
изѣА кЪ линѣе ВС по тойже плоскости, востам
перпенд. АЕ. Наконецъ кЪ оной линЬе изЪ В опу.
щеннон перпендикуляръ О О будешЪ и кЪ данной
Плоскости X.

Иначе, проведи на плоскости ( ф. 123) какѣ
нибудь двѣ линѢи на примѣрѣ АВ, СБ. Псстйя
конепЪ циркуля на точку В, другимЪ расстворя дбЕ
ясресеки тѣ линѢи вЬ ігіочкахѣ Е,С. пошомЬ около

трехЪ

( ібі )

трехѣ точекѣ Е, Р, Сг очерти ( ісо ) кругЪ , и кЬ
центру онаго О проведи БО.

348.	11. ИгЪ данной точки М вѣ. плоскости X, н*
оную перпендикуляръ воставить ( ф. 124).

рЪш. Изѣ какой нибудь вмешней точки какЪ Б
опусти ( 347 ) на плоскость X перпенд. БО, п©
піом'Ь кЪ оному и кѣ гпочке М приложа плоскость
веди по ней линію МИ паралельно кЪ ОБ.

Для механическаго рѣшенія оныхЪ задачъ надле-
житъ имѣть мѣдной науіольникѣ (ф 126) или здѢ-
лать изЪ палетуры прямоуголъ викѣ БЕРО,
( ф. 127) которой раздѣли пополамЪ прямою АВ
и ьЪ оной линѣе его перегни, и тако буде сей
двойной наугольникѣ поставится на плоскости 2
( ф. 128 ) то его перегибѣ А В кѣ оной по сочине-
нію будетѣ перпендикуляренъ (330^. Посему ежели
требуется на плоскость 2 воставить изѣ точки А
или опустить изЪ точки Н перпендикулярѣ» тогда
оной наугольникѣ двигая поплоскости 2 пока пере-
гибѣ АВ коснетѣ данную точку А или Н, тогда
АВ будетЪ искомой перпендикулярѣ.

для поставленія на какую нибудь линію какЪ
КЬ плоскости перпендикулярно кЪ плоскости 2»
положи на данную линію край АБ половины нау-
гольника, тогда плоскость оной АБблВ будешЪ
п мостоящая 'на плоскости 2.

349.	Ежели наложить третью плоскость на
точки Р, В, С тогда оная ( 327 ) перпендикулярна
будешЪ линѣе АБ, и потому кѣ плоскости X пара-
лелькая- Слѣдственно плоскость наложенная на кон-
цы трехѣ перпендикуляровъ равной длины какЪ
ЕР, АВ, БС стоящихЪ цд плоскости 2, кѣ оной
будетѣ паралельная .

35°.	Когда двухЬ не паралельныхѣ плоскостей
потребно измѣрить наклоненіе, то надлежитъ спе-
рва сыскать линію общаго ихЪ сеченіяі истомѣ отЪ

К	нІкотпорои

( *&•') §5^«.

нѣкоторой ея точки провесть вЪ плоексстяхЪ кЪ
с ойже линѣе два перпен/илуляра, котпорня злѣла*
ктЬ уголЪ равной тклоне Ію тѢхЪ двухЪ плоско*
сшей ( 338 ).

***^***##**^#*^#»г*#»г>*#*»г***>Х*******************4

ЧАСТЬ ТрЕТІЯ.

о СТЕрЕОМВТрІИ.

351. Всякая протяженная величина
или всякое пространство имЪющсс три |
измѣренія протяженія, а имянно: длину,
ширину и толщину или высоту корпусѣ,
тЪло или толстота называется.

вѣ геометріи обыкновенно ра суждас-
шея о піѣ ахЬ двояки мѣ обр вомЪ.

I с. КакЬ о произведенныхъ движснісмЬ
плоскостей, равно какЬ плоскости ироиз-г
ходитѣ отЬ движенія прямой лінЪи, а
ЛИнЪя произвмится движснісмЬ точки.

По сему понятію, тЪло не что кад
какЪ сложенное изі слодовЬ плоскости,или
лучше, і руда п оскосгосй безконечно малой
толщины , которыхЬ нсисчстнос чис о,
равно числу точскЬ линѢи размѣряющей
пу шь плоскости піѣло производящей Каждая
такая плоскость на?ы:;ается елсменпіЬ
или безмѣоно тонкой сл й тола.	$'>'*•

( 1&3 )

'352. Сіи тѣла производятся двояко
Либо прямолияѣйнымЪ движеніемъ плоско-
сти самой себе паралельно, или кру го-
еымЪ сбращснісмЪ фигуры около не подви-
жной прямой линБи, которая того тѣла
рсь имянустея.	а

.353 . II с. Еще признаваются піѣла эа
составленныя изЬ другихЪ подобныхЬ или

^іс подобныхъ шЪлЪ, одно на другомЪ ле-
жащихѣ, и коихЪ два изѣ трсхЪ измѣреніи
обыкновенно за безконечно малыя полагаю-
тся : такоі о роду бс змЪрно тонкія тЪла
также слсмснтами тѣла ими соста-

вленнаго имднующея

354. ТЪла укоторыхЪ стороны суть
плоскости вообще называются полісдрь>
(многогранныя). А особливо, піБло имѣющее
4, 5, 6 ипроч. стороны имянуспгся тс-
трасдрЪ, п с ища ед рЪ, сксасдрЪ, и проч^
пюссть отЬ числа ихЪ сторонЪ или гра-
ней имя получаюпіЬ. Правильныя поли-
са ры называются тѢ укоторыхЬ все углы
равныя, и сторону ихЪ сушь равныя, пра-
вильныя И ОДНОВИДНЫ|Я полигоны.

*	555 Е^ели помыслимЪ что прошла плоскость

чрезЪ нѣкое тѣло • раздѣляя его на двѣ 45<;ти, пгр-
Ідд фигура изображенная на поверхности шѢла отЪ

К 2	кшречи

жсгпречи его сторонЪ сЪ секуіцею плоскостью, назы«
іается сексіонЪ, сеченіе или разрѢзЪ онаго
тѣла: и сіе сеченіе какЪ явно есть полигонЪ, имѢк«
щ й столько сторонЪ сколько ша плоскость граней
тѣла пересечь можетЪ.

***********************
ЦПрОИСХОЖДЕЧІИ И СВОЙСТВАХЪ тѢлЪ»
ПРЯМОЛИНЕЙНЫМЪ ДВИЖЕНІЕМЪ

ПРОИЗВЕДЕННЫЕ Ъ.

356. Положеніе Іе. Пусть полигонЪ
АЕСБЕ(ф.і2,9 и 130) лежа сперва, на плос-
кости шсчстЪ самЪ себе вдоль лиьБи МИ па-
ралсльно, и остановится вЪГСНІК: тогда
6нЬ своими слѣдами произведешь про-
странство или протяженіе отрсхЬ измѣ-
реніяхъ. Ибо полигонЪ имѣя вЬ себѣ два,
движснісмЬ своимЬ дБластЪ третіе измѣ-
реніе, и сіе тѣло правильная призма назы-
вается ИзЪ сего движенія явствустЪ 1 с.
Стороны АБ,БС,СВ, и проч. опишутЬ
паралеллограммы АБСЕ , БСНС СБІН
мпроч. 2 с. Каждой слѢдЬ или слсмснтЬ
призмы и каждое основаніе между собою суть
^іаралсльныя и равныя. Посему обще,

Призма есть тѣло ограниченное базами кои
суть полигоны равныя и паралельныя, и транши-
состоящими изЪ паралеллограммовЪ.

3^7- Призма бываспіЪ прямая либо на-
клонная; когда линѢя ЬГМ покогаорой дви-
жишся полигонЪ производитель (называе-
мой слсмснтЪ гоБла ) бывасгаЪ перпенди-
кулярна или наклонна кЬ плоскости осно-
ванія призмы.

358.	Прямая ( ф. 129) или
(ф.130) проходящая срединою вссхЬ слс-
ментовЪ тѣла, называется ось призмы,
и оная равна и паралсльна всемЬ ешоронамЪ
АЕ, БС,СН ипроч. призмы, понеже прсд-
ставляешЪ слБдЬ центра полиіона произ-
водителя. ПерпендикулярЪ Г(^ (ф.129)
ОтЬ какой нибудь тоЧки одного основанія
нап юскость другова , пока дойности про-
долженную проведенной; называется высо-
та призмы.

359.	СлѢдст. Іе. Ёчеота прямой призмы рав-
на ея оси, а высота наклонной призмы тѢмЪ мень-
ше или короче оси чемЪ сіе тѣло больше наклони»
на плоскость сьоего основанія.

360.	Не. высота тѣла изѣявляетЪ число пара.*
лелъныхЪ елемегіпіовЬ' оное тѣло составляучдихѣ.
Ибо* высота есть расспіоянУс плоскостей
двухЬ крайностей піБла; но между оныхЪ
столько находится сло'вЬ сколько сстэ шо-
чскЪ вЬлинБс размѣряющей ихЬ разстояніе.

К 5	По сому

посему высота піѣла изЬявлястЪ число сю
слсмстповЬ, почитая ихЬ за паралельныя
и безмѣрно топкія плоскости.

31. Призма вѣ разсужденіи фпуры своедо осно-
ванія имѢешѣ разныя имена. Ежели елементѣ
призмы треугольникѣ; Четыреугольникѣ, пятиуго-
льникѣ ипроч. По сему призма называется три у*
гольная, четыреугольная ипроч . А буде еЯ
основані есггіь кругѣ, такая прИзМа цйлиндрѣ имя-
нуется (ф. іуі).

562. Ежели елемечшѣ призмы парялеллограммѣ,
то оная называется паралеллопииедѣ. ИмѢв і чая
за елементЪ прямоугольникѣ имянуется прямоу-
гольной ііаралеллопипедѣ (ф. І}!.). Прямая
пріема коей основаніе сетъ квадратѣ а высота равна
боку основанія, называется кубусѣ или (правиль-
ной ексаедрЪ) шестигранникѣ (ф. і и 133).

Изображеніе правильныхъ призмѣ можно пред-
ставить инако, обращая линѢю ИМ (ф. 129) саму
себѣ паралсльно окбло сторонѣ двухЪ какихѣ ни
есть равныхЪ и между собою паралельныхѣ полиго-
новъ ; а неправильныхъ призмѣ около двухЪ разныхЪ
либо равныхЪ но непаралельныхЪ фигурѣ.

'.363. Положеніе IIс. Пусть какой
нибудь полигонЬ АБСВЕ (ф 134) лежа-
щей ні плоскости поидстЬ по линѣе МИ
( ІіСр ПСііДИКуЛЯрНОЙ или наклонной кЪ оной
плоскости) піакЬ что при всякой безмір-
но малой ступени каждая сторона фи-
гуры будгшЬ умалятся вЪ арифмстическои
Н| оі р< ссіи, и гаконсцЪ полигонѣ) пришедо
вЬ М едБлаСтся сто.малЬ какЬ точка :

тамимЬ

•&>*< ( 167)
•

гпакимЪ образомЪ іірогвв денное шБло на-,
гывйспіся пирамида.

Иначе. Обводя линВю КакЪ МЗ

(ф. 134) па неподвижной точки М около
спюрснЬ какого нгбудь полигона ЛБСБЕ.

По пер ому иіОбраженГю явно (271)
чшо стороны / Б ЕС, СИ и проч. опишупЪ
трглголышки /БМ, ЕСМ, СПМ и проч.
также и п.. второму.

. у'4. Ѵ.такЬ вообще, пирамида есть тѣло имѣю-
щее за основаніе г олигонЪ, и гпреуюліліыміі стсро-
Пами йли плоскостныя огределенное.

365. ЛинЬя МИ есть ось пирамиды,
а рысоп'й. ея ссиіь псрпсндикуля(Ъ МИ или
Мп к основанью, и оная бываешЪ равна или
короче оси ; когда пирамидЬ есть прямой
или наклонной.

•‘^366. пирамиды также по чі*слу сшоронЪ ихЪ
основанія имѢкгпЪ разныя имена: ежели о:6 тре-
угольникъ, четыреутолінгкЪ, пяшіугольникЪ и проч.
•то пирамида называется треугольная, четыре-
угольная. и проч . а у котовой основаніе К[уіЪ та
Пирамида конусѣ имя уктся. п-ірамида, у кото-
рой ъсѢ стороны стоятЪ изЪ равнобочныхЪ и между
собою равныхЪ іпреу-гол никоьЪ, называется пра-
вильная пирамида или правильной тетра-
•едрЪ или четырегранникѣ.

4 -367. Ежели вЪ произвѢденіи Пирамиды служится»
что полигонЪ не дойдя до точки М остановится»
то пирамида или конусЪ такимЪ обр зомЪ означен-
ной, называется отрезейная пирамида или кснѵсЪ
м	($.

(ф. і;5-иі]6). Потому что можно ихЪ представлять
какЪ пирамиды или конусы коихЪ ошсечена часть
плоскостью кЪ основанію паралельною.

***********************
ОПроИЗХОЖДЕНІИ И О СВОЙСТВАХЪ тѢлЬ
Круговымъ ДВИЖЕНІЕМЪ ПРОИЗВЕДЕН-

НЫХЪ.

368.ІС. Изображенье прямаго цилиндра
можно представить двояко обращая пр ям -
угольяикЪ МАБК (ф. 131) около одной о
неподвижной стороны ММ, коя будсгпЬ ось
цилиндра: или обращая линЪю А В око ю
окружности двухЪ равныхЪ и паралсльныхЬ
кругдвЬ коихЪ центры вЬ перп нд. МИ.

369.116. Также иконусЬ изобразится,
I с. Обращая прямоугольной треугольна Ь
ІРБ (ф.136) около одного сю бока РЕ,
которой будетЪ ось. Ипотснуза ІБ опи-
іпстЪ сю поверхность , а другой еоіЪ ІР
будсгпЬ радіусЪ основанія, 2 с. ОтЪ обра-
щу нія липЪи IК вЪ неподвижной точкѣ ѣ
около круга 2 .

37О' Огарева иной конусЬ можно про-
известь движснісмЬ трапезіи РКтд (ф. I 6)
обращенной около неподвижной лиііЬи Р ,
*на которой двЬ неравныя паралсльныя
стороны ГКР дт суть прямостоящія»

37Ь

^71 ПІ е. Ежели обратишь кругЪ на его
Неподвижномъ діамешре, то симЪ движс-
нісмЬ произведенная шолстоша, называется
Глобусѣ или сфера, то есть, шарЪ.

-По сему сф°р есть тѣло такою выпуклою
Поверхностью определенное» которой всѣ точки/отЪ
Внутренней равно отстоятѣ» и оная точка ценш Ъ
сферы называется.

372.	Ежели вообразить что чрезЪ всѢ точки
сряду Р,Р ипр. (ф. 137) составляющія діаметрѣ
5 в полкруга производителя провѣду гпея перпенди-
куляры МР, МР и пр. до окружности} то изЪ сего
явствуетЪ что отЪ обращенія сего полкруга 8Мз
На діаметрѣ 8з» гсѢ оныя перпендикуляры произ-
вѢдутЪ столько круговЪ сколько есть пючекЪ вЪ
діаметрѣ 8 я» и всѣ оныя круга можно почесть за
безмѣрно тонкія цилиндры» одной толщины елс-
менты сферы составляющія» и коихЪ полдіаметры
прибываютЪ и убыВаютЪ вЪ одномЪ содержаніи сЬ
раралельными хордами Мт» Мт какія вѣ кругѣ
Сряду провесть можно.

во есгпьли полкруга производителя почесть за
половину правильнаго полигона (ф. 138) имѣющаго
неизчетность сторонѣ» и положить что изЪ всѣхѣ
его угловЪ опущены прямыя БТ»ЕХ»ОС и
Пр. прямостоящія кЪ вращаемой оси а Е» то очыя
прямыя взятыя рядомѣ по двѣ сочинятЪ трапезіи
а Р В Т, ТВ Е X» и пр. и слѣдственно вѣ обращеніи
полкруга аСгЕ ®коло діаметра аЕ, сіи трапезіи со-
ставляютъ столько же отрезанныхѣ конусоьЪ
ОГВВ, БВЕА» АЕСР » и пр. по сему положеніе
Можно почесть сферу за составленную изЪ без.ояеч-'
кости отрезанныхѣ конусовЪ кои хотя неравной но
ІВЗмѢрно малой толщины.

На кенецЪ ежели положишь что вѣ полкругѣ

К- 5	Производи-*

'г«ээ€ (17$)	•

производителѣ наткано сполікО однопеитралыпахЪ
голукруговЪ скол ко есть точекЪ вЪ радіусѣ отГо
Круга, тд вЪ разсужденіи обращенія, всѣ оныя
Полукруги произведутъ столько же сферическихЪ
сопеншраЛ'НнхЪ говерхостей: и по сему положенію,
сферу можно іи честь за сосг^авленную изЪ неизчетне-
сти поверхностей или сфері ч.ескихЪ сЛоевЪ безмѣрно
тонКих'Ь но равгІьгхЪ, и Одно вѢдругсмЪ включенныхЪ.

373.	Взякая прямая линія чрезЪ ’цѢнйгрЪ сфбры
во обІ стороны до ея поверхности п юведе ная
и. я куется ось сферы Следоватп. кѢ оси сферы
йежду собою равныя, по тому что каждая равіц’
ХвумЪ радіусамЪ, и всякую ось можно взять за ось
йроизводящаго шарЪ полкруга .

374	оттуду слѢдуетЪ Іе. Ежели сфера
ѣакЪ нибудь плоскостью разсечется, то сіе сеченіе
будеіпЪ кругЪ; ибо бу де иЗЪ ’ііѣ тра сферы на плос-
кость того сечегіія проведется перпендикулярная
бсь; то оная (з7і) ѢудетЪ осью движимаго круга,
и потому та плоскость преСечегаЪ оную ось вЪ
пЬитрѢ одного елементальнаго круга сферы (372).

3?4 11 е. Селеніи сферы какою нибудь плос-
костио, с шь круги тѢмЪ большія ЧемЪ секущая
йлоскбспіь ближе проходитЪ иѢнгара сферы, и об-
ратно, а самое большее сеченіе чрезЪ оной ц’ѢктрЪ
ПроходитЪ. И( о о ыя сеченіи имѢютЪ за діамет ы
хорды, кои ( 7$ ) ’іемЪ ближе кЪ пѢіііііру, тѢмЪ
болЪ увеличиваются , а изЬ ісѢхЪ пребольшая хорда
есть самой діаметрЪ.

37>- И1 е Того ради большой кругЪ сферы
Называется тотЪ, которой со сферою имѢетЪ олинЪ
іі'ЬшпрЪ, а малой кругЪ сферы тотЪ, которагй
гглоскост;. чрезЪ цѢчтрЬ сферы не проходитЪ.

377- 1Ѵ е. НіПослЪдокЪ можно признавать сфе у
4а соспазленчую изЪ безчисленности равныхЪ и бе ь
мѣрно мелкихЪ пирамидѣ, изЬ коикЪ укаждОи гсякаЯ

течка

точка поверхности сферы есть основаніе» а верпі
Кі> сходятся вЪ нѢнтрѢ сферы, и «я радіусЪ га,
общую высоту имѢютЪ? но ьЪ разсужденіи правилу-
нести сферической фигуры» можно тѢ точки или
мнимыя основаніи полагать аа правильныя полигоны
безмЬрно малыя и между, собою равныя; и посему оныя
или равпосто онныя треугольники либо квадраты
или шестиугольники, ибо только таковыя прйвиліныя
полигоны мотутЪ имѣть своихЪ сторонЪ по двѣ об-
щими не оставляя вЪ сомкнутіи ни какой полости.

****************** *****

О ЛоліЕдрлхЪ или мноГогрАнныхЪ
тѢллхЬ И О СРАВНЕНІИ сныхЬ.

37З. Тол стивіи утол'Ь называется тотЪ, кстпорсй
дѢлаепся отЪ сомкнутія многихЪ плсскихЪ угловЪ»
кои будучи между собою наклонны вЪ одну точку
сходяпеч, или тѣла выходящая острииа ; какЪ
верхи или остри ны пирамидЪ, углы призмЪ, й
проч. углы толстыя равныя тѢ, кои состоятъ
из одинакаго числа плоскихЪ угловЪ, коихЪ сход-
ственныя суть равныя и подобно лежащія .

- 379.1. Толстый уголЪ не меньше какЪ изЪтрехЬ
плоскихЪ угловЪ составляется 5 пр тому что двд
плоскія угла взаимно наклонныя не дѢлактЪ ни
какой толстой острины, но неминуемо между себя
полость оставляютъ*

380. 11 изЪ многихЪ плоскихЪ угловЪ, толстьій
уголЬ составляющихъ, самой болітой бывает'Ь
мс и ше суммы остальныхЪ і ибо ежели онЪ ихЪ
суммѣ равенЪ»мпогда на оныя только ляжетЪ и ісѢ
одну'плоскость здѢлактЪ,

;3і. 111. Сумма плсскихЪ угловЪ толстаго угла,
ёст; меньше 360 град: ибо ежели нѢскбліко тѢхЪ
у лс.Ъ, кошорыхЬ сумма “ 360 град, іЪ одну теч-

ку

ку сомкнутся» то соспщвятЪ плоскость» и ни какой
острины безЪ убавки учинить немогутЪ.

382.	IV. ПоліедрЪ меньше четырехъ сторонЪ не
имѢетЪ; ибо для составленія каждаго угла поліед а
требуется не меньше какЪ три угла  но уголЪ
такЪ составленной оставляешь внутри полость:
и шакЪ для закрытія пустоты требуется по край*
ней мѣрѣ еще одна плоскость, дабы поліедр'Ь три
свои измѢрѢніи имѣть мотѣ. Слѣдственно поліедрЬ
ИмѢетЪ больше шрѢхЪ угловЪ.

383.	V. ВсѢхЪ правильныхъ тѢлЪ только пять
находится.

Ибо (379) толстой уголЪ составляется не
меньше какЪ изЪ трехѣ плоскихЪ угловЪ , и оной
(381) меньше бываетЪ 360 гр . того ради. і е,
уголЪ правильнаго треугольника ~ 66 гр. а три
вмѣстѣ дѢлаютЪ толстой уголЪ вЪ 180 гр. по
сему четыре такихЪ треуі ольников'Ь сочмняютЪ
тетраедрЪ, котораго вЪ преспеншивномЪ видѣ
треугольника
гр. и сочиня-

іошЪ правильное гпѢло о восьми ГраняхЪ, окгпаедрЪ
(ф. В)зе. Пять правильныхъ треугол нйксвЪ дѣ-3
лаютЪ уголЪ вЪ 300 гр. и потому составляется
тѣло изЪ 20 ши такихЪ же граней, называемое
ПКССАЕдрЪ (ф. С ) і но шесть оныхЪ вмѣстѣ ~ 366
гр. что толстова угла не здѢлаетЪ. 4 е. Три
квадрата дѢлакгпЪ толстой уголЪ вЪ 270 гр. и
такЪ составляется правильное тѣло о шести та-
кихЪ граняхЪ екбаедрЪ (ф. В); но 4 утла ква-
драта “366 гр. что кЪ сему не годно. 5 е. каждой
уголЪ правильнаго пятіугольн. есть 180 гр. а три
оныхЪ вмѣстѣ дѢлактЪ толстый уголЪ вЪ 324 гр.
то изЪ сего сочиняется правильное тѣло о 12 ти
сторонахЪ, называемое додекаедрЪ (ф Е ), но
четыре такія угла дѢлаютЪ 432 гр. невозможный
толстый

(ф. А). 2 е. Четыре правильныя
составляютЪ толстый уголЪ вЪ 240

ртолстыи у олЪ. три угла шестіугольниковѣ 563
у . также и прочія полигоны толстаго угла соста-
вишь ни какЪ не могушЪ. Слѣдовательно правилі*
ныхЪ тѢлЪ только 5 находится.

Весьма пристойно читаючи сіе» имѣть пред-
собою тѢ сосійавлѢнныя правильныя полигоны выре*
занныя изЪ картузной бумаги» коихЪ грани здѣсь
изображенныя ихЪ числами означены.

***********************

О СОСТАВЛЕНІИ Т$лЬ ИЗЪ буМАГИ.1

384 Составленіе изЪ бумаги предписанныхЪ пра-
вильныхъ тѢлЪ, также всякихЪ призмѣ и пирамидЪ
по начертанію и состоянію ихЪ плоскостей, уповаю
и безѣ особливаго показанія всякому читателю уже
понятно: но выреска цилиндровЪ, а особливо конусовЪ
требуетЪ по ихЪ отмѣнному свойству не большаго
вычисленія а имянно :

і е, для сочиненія изЪ бумаги Цилиндра, над-
лежитъ поданному діаметру его основанія х (ф. 139)
сыскать окружг ость и положишь ея сЪ масшаба
на линѣ-о АБ, а на оной по высотѣ цилиндра на-
чертить прямоугольникѣ АВСО и проч.

ге А для вырески конуса, должно по данному
діаметру АВ (ф. 140) основанія начертить сѣ масшаба
кругѣ /, и продолжа діаметрѣ А В положить А Е
равну боку конуса. По томѣ сыскавѣ по сей пропор-
ціи, ДЕ кЬ А Б~і8о град. кЪ 4. СЕО. учиня поло'4’
виае онаго угла равныя углы АЕС, ЛЕИ назначь
дугу СО, которая по сему сочинені равна будетЪ
окруженію 2. И тако кругѣ 2 сЪ секторомЪ СОЕ
вырезаньыя составятъ желаемой конусѣ

Доказ. На сію пропорцію, понеже (192) окруж-
ность СОЕ кЪ 360 град. какЪ дуга С О или ей
равная окружность 2, кЪ углу СЕО: но окружное
сади своимЪ діаметрамЪ пропорціональны ( 260 )«

шла

Штогц ради оставя вЪ прбпорі ію діаметры на мѣсто
Окружностей, будетЪ гАЕ : 360 град. — АВ:
углу СЕЭ, или тоже самое 2 АЕ . А В ~ 360 гр:.
углу СЕВ, а раздѢля предЪидутія члени ня 2 , іы-
ДегпЪ А Е : А В 180 гр. кЪ углу СЕБ. ч, и. д.

***********************
о ИЗОбрАЖЕНІИ тѣлъ НА ПЛОСКОСТИ’.

385.	ПонѢже всякаго геометрическаго и прочихЪ
тѢлЬ вЪ подлинной!) ихЪ видѣ наклонности ни какѣ
изобразишь не можно, кромѣ что представляя: ихЪ 9
видимыя со стороны; ибо смотря сверг'ху, призмы,
пирамиды й конусы изображайте* простыми плосксс-
ппми. И п}ако для представленія на примѣрѣ куб са
котораго хотя ісѢ стороны между собою равныя,
но сЬ боку смотря нѣкоторыя края какѣ ВС, ЕС,
ЕН, ЕС (ф. 133 ) пссилѢ приспективнаго искустга
кажутся предпрочими короче; то для изображенія
онаго должно на чертить рамбоидЪ АВСВ положа*
АВ, РС, равны краямѣ кубуса, а АР, ВС нес-у
колько по короче: потомѣ на углахѣ основанія вос-
тпавмть перпендикуляры равныя высоте кубуса и
прсіесть линѢи ЕЕ, ГС. ипроч. и тако кубусИ
начертите*, подобнымъ сему средствомъ изображай
кпіея на плоскости всякія призмы, пирамиды, ипро-
чія тѣла какЪ изЪ ихЪ фигурЬ видѣть можно, вЪ
которыхЪ для лучшаго представленія глазамЪ нѢ».
которыя стороны тѣнью Докрываются .

***********************
О СРАВНЕНІИ Т^лЪ.

386 • Два тѣла совершенно или вовсемЪ между
собою равныя, буде унихЪ сходственныя грани суть,
подобныя, рав’-ыя и вЪ сбѢихЪ по равному числу .

387. Подобныя тѣла назывжтея тѢ, коихЪ
кѢ сходственныя углы равныя, и состоятъ изК
одного числа подобныхъ полигоновъ, кои.( 351-) раз-,
дѣляк'шея

дѣляются ня подобныя треугольники., и оныхЪ кѢ
Сходственныя измѣренія пропорціональны.

38&.	СлБдсш. Два какгя нибудь полі-
сдра одного званія, также и двс сферы,
сушь ігіБла подобныя.

для яснаго понятія одвухѣ подобныхѣ тѢлахЪ
яадлежитѣ представишь вЪ умѣ, будто оныя оба
составлены изЪ равнаго числа подобныхъ и единооб-
разно сложенныхъ плоскостей, такЪ что ихЪ не-
равность состоитъ только вЪ томЪ что каждая
елементрльная плоскость большаго тѣла имѢет^
поверьхность и толщину бодьше поверьхности и
толщины сходственной плоскости меньшаго тѢда,
и оныя плоскости находятся всегда вЪ одномЪ со-
держаніе, НдпримѢрЪ двѣ сферы суть два тѣла по-
добныя, Хе. по гному что. оныя состоятѣ из1$
Круглыхѣ плоскостей, то есть подобныхъ фигурѣ;
кои суть симетрическія правильныя полигоны ( 177 )
единакаго неисчетнаго числа сторонѣ, ге. оныя
Плоскости подебчо лежатЪ вѣ каждой сферѣ, ибо
ѳни всІі помещены перпендикулярно кЪ оси прохо-
дящей чрезЪ ихЪ центры, и расположены такѣ что
ихЪ діаметры сл'ЬдуютЪ содержанію сряду всемЪ
хордамЬ круга. }е. ИхЪ равное число вѣ каждой
сферѣ; по тому что ьсЪ мнимтдя круга имѢютЪ
одинакоз число сторонѣ безмѣрно малыхЪ, такѣ же
и равное число хордѣ: ибо хорды суть ЛинѢи соеди-
няющія всЬ углы или всѢ стороны одинакимЪ обра-
зомЪ, и отЪ оси на обѣ стороны вЬ равномЪ раз-
стояніи лежащія.

разность между большею и малою сферою со-
егйоитЬ вЬ томѣ: ге. что каждой діаметрѣ вс’хЪ
елемечтальныхѣ плосі остей большей сферы ееггц
Дольше ( но вѣ непременномѣ содержаніи ) діаметра
КМДа: о сходственнаго слоя малой сферы. 2 е. Ч по

*	стороны

стороны елементалгныхЪ плоскостей большей сферы
( хотя безмѣрно малыя какЪ иапримѢрЪ хорды дугЪ
содержащихъ кварты градуса ) больше подобныхЪ
сторонЪ малой сферы, и по тому хорды ихЪ соеди-
няющія по обѣ стороны оси суть поменѢ сжаты,
слѣдственно и толщина плоскостей, то есть, раз-
стояніе тѢхЪ хордЪ вЪ большой сферѣ есть болѣ
разстоянія мнимыхЪ плоскостей вЬ малой сферѣ.

389. Подобно положенныя точки вЪ двухЪ по-
добныхъ фигурахЪ, называются сходственныя точки
двухЪ подобныхъ фігурЪ,

370. Ежели чрезЪ двѣ сходственныя точки взя-
тыя на сходственныхъ граняхъ вЪ вѢрху двухЪ по-
добныхъ тѢлЪ проведется внутри ихЪ по одной
прямой линѣе, тогда оныя ЛинѢи имянуются сход-
ственныя оси,

391.	1. Ежели сквозь какое нибудь тѣло А про-
весть сколъ угодно между собою равноотстоящихъ
паралельныхЪ плоскостей (понадобиости продолжен-
ныхъ, кои сЬосью тѣла А дѢлаютЪ вездѣ равныя углы
и дѢлятЪ его на части равной толщины ): потомЪ
означить сквозь подобное тѣло В, тоже число пара-
лельныхЪ и равноразсгпоящихЪ плоскостей, кои со
Сходственною осью сего тѣла дѢлаютЪ тотже уголЪ
какой учинили плоскости сЪ осью тѣла А; тогда
два тѣла А,В раздѣлятся на равное число сход-
ственныхъ слоевЪ.

392,	И. Ежели пересечь тѣло А какЪ нибудв
пополамЪ, также и подобное ему тѣло В чпіобЪ
Сеченіе прошло чрезЪ всѣ точки сходственныя точ-
камЪ сеченія тѣла А, то отсеченныя двѣ части
будутЪ два тѣла подобныя, такія же суть и
©спальныя двѣ части.

Доказ. Ибо ежели на примѣръ сеченіе тѣла А
проидетЪ чрезЬ юо и елементальной слой, и сеченіе
«Ѣла В проидетЪ чрезЪ іоой же свои слой, но какЪ

сія слои полагаются сходственный, то они буД\тЪ
подобно лежаіція; по сему каждая вЪнихЪ отсеченнаЯ
часть состояшЬ изЪ 99 подобныхЪ и подобно лежа»
щихЪ слоевЪ, слѣдственно каждая такая часть есгпв
тѣло подобное .

395. III. Также явно есть, что поверхности
сихЪ сече.чіи суть площади подобныя. Ибо отЬ по-
ложенія сечеіпи проходятЪ чрезЪ все схо іственныя
топей, потому они суть равнообразію расположенныя
ивѣ разстояніяхъ .пропорціональными лиііѣями измѣ-
ряемыхъ и Составляютъ фигуры подобныя.

394.	IV. Екели чрезЪ три сходственныя точки
взятыя ( не вЪ прямой линѣе ) на поверхности
двухЪ подоб іыхЪ тѣлѣ, нровест. плоскость сквозь
каждое тѣло, то каждбе шБло раздѣлится вЪ двѣ
части, коихЪ сходственныя будупіЬ тѣла подобныя.

395.	V. Какія наѵсіпь прямыя чрезЪ двѣ сход-
ственныя то чки взятыя вЪ двухЪ подобныхЪ тѢ-
лах’Ь пройденныя, между собою суть вЪ од омЪ
содержать сЪ двумя какими либо сходсгпвеняьЫй
сторонами о чыхЪ гпЬл’Ь.

396	XI. Елвли изЪ какихЪ нибудь сходствен-
ныхъ угловЪ опуст іпг на ближнія или пр.от-до-
лежащія продолженныя либо нѢгпЪ плоскости, пер-
печджуляры, размѣряющія высоту тѢхЪ угловЪ
отЪ сихЪ плоскостей, то оныя висопіы сторочамЪ,
или какимЬ ни есть сходственнымъ линѢямЪ буд'-тЪ
пропорціональныя

.397. Называю вообще схо іетвенчыми измѢг*>
реніяѵіи двухЪ подобаыхЪ тѢлЪ, сходственныя сто-
роны, либо двѣ линѢи гдѣ нибудь то-.мо пропорціо-
нально ила перпендикулярно вЪтѢл хЪ проведенныя.
Генеральное свойство подобныхЪ тѢлЪ ссспіоитѢ ъѢ
іпомЪ, что всѣ ихЪ сходственныя из.іѢренія имѣ-
ются пропорціональны.

398.	СлѢдст. у подобныхЪ пирамидѣ, кону-

Л	совЪ

«гвѣ, прйзмѣ, цилиндрѣ сходственныя стороны, к?«
«оты, обводы основаній, діаметры и радіусы между’
собою пропорціональныя.

***********************

О измѣреніи ВЫСОТЪ ВСЯКИХЪ тѢлЪ-

399.	Всѣхѣ подручныхЪ правильныхъ тѢлЪ и
Прямыхъ конусоьЪ, пирамидѣ, призмѣ и прочихЪ вм-
соты, можно узнавать иныя геометрическимъ вы-
численіемъ, а другія по мастабу; наклонныхѣ же и
яеправиліныхЪ также вычисленіемъ и механически
приставляя кѣ тѣлу наугольникѣ описанной (348).
А для нѢкоторыхЪ надлежитъ прикладывать кЬ
длинной его сторонѣ и навертину тѣла простой на
угольникѣ показанной (65) Способы измѣренія вы-
сотѣ неподручныхѣ тѣлѣ, какѣ то высокихѣ пира-
мидѣ, башенѣ, горѣ и проч. показаны здѣсь вѣ прак-
тической геометріи.

***********************

0 измѣреніи ПОВЕРХНОСТИ ВСЯКАГО
ТѢЛА.

400.	Поверхность тѣла называется здѣсь
только площадь его сторонѣ, выключая основаніи,
буде имѣются, а сѣ оными вмѣстѣ цѣлая, поверх-
ность тѣла имянуется

401.	I Целая поверхность всякаго поліедра или
Многограннаго тѣла равна суммѣ площадей фигурѣ
«го стороны, или грани и основаніе составляй щихѢ,|

402.	ІІ Поверхность всякой прямой призмы равна
произведенію ея высоты, умноженной обьодомѣ еЯ
«снованія; ибо оная равна суммѣ площадей наралело-
Дрмиыхѣ граней призмы Р изѣ коихЪ каждая равна
льнище*

ѣ отведенію каждой стороны обвода высотою. А
! клон.чъіхЪ призмЪ поверхность равна произведенію
СбврДа основанія призмы перпендикуляровъ, на ко-
пюрёй нибудь сторонѣ призмы кЪ боку обвода опу-
а чнымЪ ( 270 и .274 ).

403.	СлѢдсіп. поверхность ііилийдра равна
г; оизьеденію его оси 6к| ужноспіью круга егО Ьсова-
- і; ибо кругѣ есть мысленной полигйчЪ имѣющей
иеиЬіетность сторонѣ' безмѣрно малыхЬ ( 197)

404.	Ш; Поверхность прямой йирамиды, за основг-
иіе правильной полигонѣ имѣющей, рагна произведенію
иолуобвода ея основанія, умноженнаго перпенди-
кулярбмѣ Отѣ верха на Одинѣ бокѣ ос юванія про-
іе деннымЪ. Сей перпендикулярѣ называется а йо-
га емѣ пирамиды ;

Доказ. Ибо плбщ дъ іся аго треугольника или
стороны пирамиды ( 401 ) равна произведенію высоты
по?основаніемъ, то есть половиною бока обвода, но
какЬ всѢ Оныя гпреуіельники равныя, по сему по-
верхность пирамиды рав :а произведенію высоты шре-
уюльниковѣ ( апдпіемд.мЬ } умноженной пол^обьс-
домѣ основанія пирам ідьі.

405 піимѣч ЁкеАй пирамида наклонная, или
буде у нея основаніе еСть неправильной полигонЪ,
тогда сысіивается площадь вѣ каждбй ея треуголь-
ной грани; которыхЬ сумма равна будетЪ поверх-
ности наклонной пирамиды,-

4°6. СлѢдСгпв; Поверхность прямаго конус»
равна половинѣ произведенія окруж Ости его основа-
нія умноженной длиною егд бока или агошемы . по
бему пбзёрхн. равноб. кб іуса вѣ двое болѣ плЬщади
івоею ос ованія ( 28^).

,407. IV Поверхссть прямой ча правильномъ осно-
ваніи пйраміды, о гірезаччбй глоскост кѣ основанію
йарілельното, равна произьеде' ію остатка апотгемй
СредмимЪ обво^омѣ, то есгп.> полусуммою стороиЬ
Ученій и основанія.

Д'о к а 3. Ибо поверхность такси пирамиды сот.
СтоитЬ изЪ равныхЪ гпрапезій, но каждой гпрапезій
площадь равна ( 283 ) произведенію остатка апстемы
полусуммою т'а|ллелі-ныхЪ ея бот ов'Ь , то есть
среднимЬ боком'Ь умноженной; .тою ради .( 2749
поверхности гсея Отрѣзанной пирамиды равна і роиз-
ведеиію остатка апотемы умноженнаго голо ммою
кІ.хЪ паралеліных'Ь бокоъ'Ь, то есть среднимЬ сб-
ЮдомЪ оной пирамиды.

4о8	.Сл'Ьдст, поверхность прямаго строган-
наго конуса равна произведенію од си ея стороны
или апотемы умноже <ой окружностью средняго
крута меж ту паралелатыхЪ онаго круговЪ.

409	.V. Поверхность пара равна ро введенію
окружности бсліпіаю і руга своею осью-,- тли равна
площади кругал коею ра.'іусЪ *есЧт»діа стрЪ тара.

доказ. когда д окажется > что говерхнссйь
каждаю из'Ь отрезанных'Ь конусоьЪ ссстагляющих’Ь
( 352 ) елеменпіы сферы равга есть произвело йосся
или толщины сего отрезаннаю конуса умноженнсн
окружностью бол пта:о круга сферы, то явно бу-
детЪ, (274) что сумма площадей вс'ЬхЪ оныхЪ огпрс-
занныхЪ ко усоьЪ слѣдственно и поверхность сфе-
ры равна есть произведенію -суммы всі хЪ осей кочу-
 совЪ ( то есть п Ілыя оси сферы ) умноженной окру-
жностью большаго круга онаго тара •

Для пюго чрсзЬ й (ф. I 38 ) сргдийѵ
бока или апогпсмы А Е ошрсзаннаі о конуса
АЕБЕ, произвольно нзяитаю, проведи
паралсльно плоскостямЬ ВО, А Еу а кЬ АВ
пд псндикулярЪ, коіпорой пройдсшЬ (81)
чрезЪ цЪнтрЬ шара ибудстЬ ого осью. И
Б на АЕ о.і^стя перпсндикулярЬ Б2, ко

полу-

получите Е< ~ ТХоси огпрсааннаго конуса.
Проведя К8 будутЬ прямоуі ольныя тре-
угольники АВА, йЕ8 подобныя, имѣющія
кромЬ прямыхЬ угловэ, уіолЬ ЕАХгхКЗй;
иоо для паралслыіыхЬ йК,АЕ, уголЬ БА<^
22 ЕК , а угла Бміх, также и угла К84
(8 ) есть мЪрл пэлдуги йаК$ по сему
д К8Й22? В*А2 , также- и /. АВ' 22 Кй5.
Того ради (2Э7) А В - ВА или: ТХ :й5:йК.’
Но (2бо) окружное ди круювЬ вЬ оддомЬ
содержа ші сЬ ихЬ ді< метрами , то по сему
АВ :ТХ какЬ. окружность круга, коего діа*-
мсіпрЬ й5, (то есть діамстрЬ большаго круга
шара) кЬ окру жностіи круга, ,коеі о діамстрЬ
есть йК; и тако (194) произведеніе АВ
окружности коей діамстрЬ йК равно про-
изведенію ТХ окр жноешью большаго круга
икра. II) (408) поверхность отрезаннлго
кои са ЕАЕЭ, равна произведенію апотемы
АБ окр жносгпью, коей діамстрЬ есть йВ*,
и потому поверхность онаго конуса равна
произведенію ею оси ТХ, умноженной
окружностью большою круга шара, рав-
гы.мЬ обрсізомЪ можно доказать, чпіо по-
верхность ошрезаннаго конуса БЭГО равна
произведенію СЮ ОСИ аТ умноженной пю-

южЬ окружностью, и проч. Слѣдственно
(274) с мма поверхностей есѢхЬ оныхЬ
конусовЪ, то есть цѣлаго ціара поверх-
ность равна произведенію суммы веБхЪ
ихЪ осей, ( кол сосшавляющЬ цѣлую ось
піара аЬ) окружноещью большаю круга
Піара умноженной.

410.	СлѢдст. I. Поверхность шара есть вѣ
Четверо болѣ своего большій о круга, ибо площадь
большаго круга шара равна произведенію его полдіа-
метра ’ 3, 'половиною его ркружне іпи * р (20$),
^то —і рЗ; а поверхность шара рі а произведенію
рЗ своего діаметра или оси 3, окруж1 осилю р боль-
шаго круга умноженной^ посему рЗ есть іЪчетверо
болѣ ’ рЗ.

411.	11. Поверхность Шара равна поверхности
цилиндра коего ось равна оси шара, а сс іованіе равно
большому круіу шара; а приложи кЪ тому осиованіи
цилиндра і будётЪ цѣлая еір п оверхъ суть кЬ сфери,
ческой какЪ 3 кЪ 2. Ибо тогда г рве] хнрегпь рилиндч
ра вЪ шестеро больше своего основанія, а сфериче-
ская онагожЪ болѣ вЪ четьррр (403 и 410).

412 111, Выпу лая прьерхнреть зона (пояса)
или какой нибудь части шара сеченіемЪ одной или
ДвухЪ паралельныхЪ плоскостей огреділенная, равна
іговёрхности цилиндра» крего основаніе есть большой
кругі того шара, а высота равна толщинѣ тоя
Масти: на примѣрѣ цилиндра поверхность Н1ЕЕ
равна говерхн. части шара КС8 (ф. І4І )•

413.	VI. Прямаго конуса 1ЕК (ф. 136) поверх-
уррть кф> основанію, какЪ бокѣ ІЬ кЪ радіусу 1Р.

Доказ. Ибо поверхность конуса равна

ІцюизвсдснПо окружи, основанія чрезЬ \ II.

(4©б)

(406) ; но площадь основанія равна окружно-
сти Х,ІР. Того ради повсрхн. конуса кЪ
основан. какЪ окружность х 3^ кЬ окружи.
Х;ІР или какЬ |ІЕ;аІР, или ІЬ:ІР.

414.	Сл ідст. Пове[ хвостъ равнобочнаю кону»
са вЪ двое своего основанія > а пЪлая поверхность
онаго вЪ трое, Ибо тогда бокЪ 1 Е вЪ двое болІ
ра іуса круга 1 Р и проч .

415.	VII. поверхность отрезка шара какЪ ВВ$
(ф. 141) равна кругу радіуса БК.

Доказ. Ибо (212)	<1В • НВ • ВО.

Но круіЪ радмса іС равснЬ поверхности
шара, для того что радіусЪ сВ двойной
радіуса СВ шарі (409)5 по сем поверх-
ность шара кЬ кругу радіуса Г В какЪ йВ ВО.
По гпомЬ умножЬ второе содержаніе окруж-
ностью круга ВВ8<1К, кою положа — 0^>
и будс іп поверхность шара кЪ кругу радіуса
ВН какЬ йВ X 0_ . ВО х 0^; но (409) <ЗВХ
0_.— поверхн. шара, а ВО X равно по-
верхности того отрезка (412), и тако
отЬ равности члсновЬ поверхность отрезка
КВ8 , равна круіу радіуса ВК.

416.	VIII. Поверхность какова нибудь стрезкв
рКВЗд кЪ поверъхн. прямаго конуса рВд какЬ
бокЪ рВ рЬ (ф. 141).

Доказ. Ибо круіЪ радіуса рВ кЪ кругу
X, какЬ рВО :рЪО, то есть (413) во уд—

(185)

воснномЪ содержаніи конической поверхно-
сти к кругу раді са рЪ, и потому круіЬ
раді са рБ кЬ конич. полерхн какЪ онаяжЬ
поверхн. кЬ кругу радіуса рЪ, или какЬ
рБ:рЪ Но(415) кругѣ радіуса рБ равсііЬ
поверхн отрезка рБ<] , по іему оная ио-
-верхн кЪ конической какЬ рБ : рЪ,

Слѣдственно гокерхнесгпъ стрезка шара кЪ дгее
поверхъ, равнобочпаі о конуса кЪ не.мЪ написаннаго;
ибо тогда рБ бЪ двое (олЬ есть рЬ.

Л 417. IX. Поверхпсспп, тара бЪ двое говерхи.
квадратнаго цилиндра АВЕЕ вЪ исмЪ написаннаго
(ф. 141).

Доказ. Ибо АЕа ~АВП БЕП~ 2/ВО}
по сему кругЪ діаметра /і Е вѣ двое болт
круга ді метра АВ Но поверхн шара вЬ
четверо бо<Ѣ кр га діаметра АЕ, или вЬ
осмеро круга діаметра АЕ, а оной вЬ чет-
веро менБ поверхности цилиндра; ибо пло-
щадь круі ді — 2 х “ А Е, а цилиндра по-
верхн. 2хАГ СлѢдст. поверхн. тара вЬ двое
6ОлЪ поверхн. цилиндра вЬ нсмѣ написаннаго.
/^4<8. X. Поверхность шара кЪ цѣлой поверхности
вписаннаго квадратнаго цилиндра какЪ 43.

Доказ. Ибо поес, хноешь е го цилиндра

кЪ свосм основанію (289 и 403) какЬ 4 1,а*І



цѣлая онаго поверхн. кЬ обоимЬ основан. кадЬ I
44- 2. I 4- і, шо есть 6.2 Но пов рхн. шара

одною



одного основанія ііЪ осмеро болѣ, а кЪ обоимЪ
какЬ 8 2, того ради поверхн. тара кЪ
цѣлой поверхн цил індра какЬ 8 : 6, 4 •' 3*

-- 419. Слѣдственно цѣлая поверхность около шара
написаннаго цилиндра вЪ двое боліше поверхности
вписаннаго;/ ибо (411) поверхн. около ціара опгсан.
кЪ поверхн. шара какЬ 5 2 или 6-’4’ а вписаннаго
к'Ь очой какЪ 3:4 по сему первая поверхн. есть бЪ
двое бол ше друі ой .

-А 420. XI. Поверхн. шара к'Ь цѣлой поверхн. раз-
нобой. написаннаго вЪ немЪ конуса рБ<]-> какЪ 16:9 а
кЪ поверхн." около его описаннаго конуса какЪ 4:9.

Доказ I с. Цбэ явно что <1Ь ~ 4 о Б ,
итако Ь Б “ 4 <1Б •, и по сему (299) поверх-
ность отрезка рБ<3 — у поверхн. шара,илід
оныя вЬсодерж піи какЬ 12; 16. Но (416)
поверхн отрезка в двое конуса рВд, или
вЬ содерж. 12:6, и такЪ поверхность шара
кЬ конической какЬ іб 6 5 а понеже поверх-
ность гпікого конуса вЬ двое своего основанія
(414), по сем онаяжЬ кЬ цѣлой поверхн.
будеіпЬ какЬ 2.3 или 6 : 9 5 гі тако опіЬ
равности членовЬ, поверхность шара кЬ цѣлой
конической поверхности рБц какЬ 16-9-

ПришомЪ же основаніе X кЪ кругу 2 какЪ 3: 4,
изо (216) АеГз - рЬ □сІБ ЬБ;.’4.з.

2 с. Понеже <11і — 4 КЪ, и ошЪ гпою
КЪ вЪ двое АВ, и (299^ КРУГЬ МЪѲК.
кЬ кругу 2 равно какЪ 4.1. Но понеже

Л 5	круіЪ



КругЪ ИОК кЪ кругу V какЪ 4:3, то ошЪ
разности кругЪ 2 кЪ кругу V какЬ 1:3-
Л понеже цѣлая конуса поверхность ІЧСК
(414) вЪ трое круга V, и потому онаяжЬ
круга 2 вЪ девятеро, но поверхность шара
шогожЪ круга вЬ четверо •, и тако цЪлая
конич, поверхность кЪ поверхн. піара какЪ
$ : 4. ОтЬ сюду слЪдустЬ,

421 I е. около шара описями. правильн . конуса
^Ѣлая поверхность вЪ четверо болѣ цѣлой поверхн.
вписаннаго подобнаго коіуса;| для равности чДеновЪ
>Ъ содержаніяхъ іб ; 9, 9:4-

422. Не. Поверхность конуса ЫСК вЪполтора
болѣ поверхн. цилиндра АВЕЕ. Ибо (414) поверхн-
Конуса вЪ двое круга V, а поверхн. тою цилин-
дра вЪ четверо круга 2, а кругѣ V кѣ кругу 2 какѣ'
3:1. Того ради коническая поверхн. кѣ цидиидрич.
какѣ 3 X 2 ; і X 4 или 6:4 или какѣ 3 2 - то есть
вѣ полушорномѣ содержаніи^ равно какѣ оной цилиндрѣ
кѣ шару рЭд (4й).

4?3 111с Пребольшой кругѣ шара рВд, поверх-
ность онаго шара, цѣлая поверхность конуса ЫСКі
и поверхность шара ЪіСК, между собою какѣ числа
і- 4. 9. 16. или какЪ квадрату радиксокѣ і. 2. 3.4.
Цзѣ сего явно, что поверхность шара ЫСК вЬ чет-
же о больше поверхности шара рРд, ибо 16 есть
жЪ четверо болѣ 4 хЪ

»****♦»***;*************
О СРАВНЕНІИ ПОВЕРХНОСТЕЙ тѣлѣ.

Выше сего видели что выключая основаніи т лѣ
ихЪ поверхность находится всегда равна произ-
веденію двухЪ измѣреніи і И© ивѣ сеп? вообще слѢ«
дустѣ предложить.

4»4- I. Поверхности какихѣ нибудь двухЪ т Ъ
фднрго виду имѣются вЪ составномъ содержаніи ихЪ
рдноимянныхЪ измѣреніи .

425. СлѢдст. 1е. Е$жели изЪ двухЪ тѣлѣ одя
ного виду каждое имѢетЪ по одному равному измѣ-
ренію, тогд^ ихЪ поверхности будутЪ‘между собою»
КакЪ друтре измѣреніе, то есть, когда у двухЪ
призмѣ, двухЪ прямыхЪ цилиндррвЪ одинакія высоты
или буде у двухЪ пряліыхЪ пирамидѣ на правиль-
номъ основаніи, двухЪ конусовѣ и проч . равныя апо-
темы, тргда ихЪ поверхности будутЪ вЪ равномЪ
родержлніи сЪ обводами ихЪ основаніевЪ: и еже-
ли двѣ прямыя призмы, два прямыя цилиндра, двѣ
пирамиды прямыя на правильныхъ основаніяхъ, дв»
ко.іуса и проч . имѣя тѣ обводы основаніи равныя»
ріогда ихЪ поверхности вЪ однрмЪ содержаніи сЪ ихЪ
^і ©темами И о оныя (191) будутЪ какЪ произве-»
деніи двухЪ неравныхъ величинѣ одинакою.

426 .Не. Еііели од <оимя ныя измѣренія двухЪ
одинакихЪ тѢлЪ находятся вЪ обрапп омЪ содержаніи»
тогда ихЪ поверхности будутЪ равныя и обратно.
Цо сему поверхности цилиндровЪ или призмѣ суть
равныя, когда высота перваго кЪ ©бводу его основанія»
какЪ обводЪ основанія другаго тѣла кЪ его высотѣ»
и обратно (279 и 2§о) .

47 II. цѣлыя же поверхности двухЪ какихЪ
нибудь подобныхъ тѢлЪ, также двухЪ КакихЪ либо
правильныхъ одновидныхѣ ціѢлЪ, между собою какЪ
квадраты ихЪ сходспівенныхЪ измѣреніи, иди вЪ удч
военномЪ содержаніи ихЪ сходстве іныхЪ измѣреніи.

доказ. Ибо ежели два какія подобныя тѣла,
имѢюшЪ всѢ свои сходственныя измѣреніи пропорціей
нальныя ( 397 то поверхности ихЪ между собою
какЪ произведеніи пропорціональныхъ величинѣ, тч
есть (Ариф. стр. 349) вѣ удвоенномъ содержаніи
|ихЪ измѣреніи .

42В СлѢдст. покеру ости какихЪ нг-будь
шаровЪ между собою какЪ квадраты ихЪ осей или,
радіусовЪ; понеже (>83) тары суть тѣла юдоб»
ньія, а оси и радіусы мхѣ сходственныя азмТрекіи..'

****** *****************

О измѣреніи ТОЛСТОТЫ ВСЯКАГО
роду тѢлЪ

429.	Толстота называется опредѣленное прсс-»-
транешво, хотя оное пустое или нѢкимЪ тѢломЪ
занетое, потому (351) что всякое грсстраі гтъо
разсуждавшей по тпремЪ ъзмѢреніямЪ ш стяжеі ія.
Тою ради при измѣреніи естестіен іаго тѣла весімя:
надлежитъ различать толстоту сЪ его составомъ и
сЬ его плотностію. Толстота есть повсемственное
пространство между поверхностей сторонЪ сею
тѣла закл ченіое; составѣ есть сущее количество
матеріи изЪ коей тѣло составлено, а его плотность-
есть содержаніе помещенія кЪ его составу, г.о
чему разсуждаемЪ, что тѣло тѢмЪ плстняе, чемЪ
болѣ вѣмѢньшемЪ пространствѣ матеріи содержитъ.

430.	Величина прссшра ставя или толстота тѣла
равна суммѣ миимыхЪ слоиковЪ ево составляющихъ,
сіи слоики ерть тѣла же, токмо безмѣрно малой
толщины, и потому оныя можно почесті за прос-
тыя поверхности: по сему положенію толстота
тѣла есть сумма поверхностей, такЪ какЪ поверх-
ность есть сумма линѢи, а линѢя сумма точекЪ.

431 Подобнымъ обраюмЪ разсуждая о шѢлахЬ,
какЪ (2^8 и пр.) о поверхностяхъ, ясно видимЪ, і е.
Что кубусы неминуемо за общія мѣры гполспісгпы
взять надлежитЪ и потому на примѣръ толстота
вЪ іоэ футЪ должна занять такое прсстраюпіво,
которое бы сотые ку бусами каждаго фута точно
было наполнено. 2 е. Число частей мѣры ъѣтолспіоіяѣ
равно

фавно третей степени частей тояже мѣры вЪ
.длинѣ. По сему кубическая сажень содержитъ 343
кубич. футовЪ, потому что оная состоитъ изЪ 7
слеев'Ь, каждой в'Ь одинЪ футЪ толщины и сажени
квадратной или 49 ф тЪ квадрат.ыхЪ. А вЪ куби-
ческомъ футѣ 172$ кубическихЪ дкймовЪ и проч.
(смотри вЪ Ариф". стр. 193),

С л'Б д га с. Ежели на прим эрЪ положитъ
прямой призмы /СЕО (ф.132) длина АВ
~ 3 фуга, ширина ЬС — 2 ф высопга СО :Г. 5
ф. шо по сему толстота оной призмы еудепіЪ
30 кубичныхЬ футовЪ. Ибо какЬ явсгпвуетЪ
вЬ фігурЬ, что вЬ одномЬ вЬ всрхнсмЬ или
ніжнсмЬ слою, которой на ф)шЬ толщи-
ны, толстота — 6 кубич. фугп. слѣдстве-
нно вЬ пяти піакихЪ слояхЬ есть бхз —
30 кубич. фуіпамЪ толешошѣ сею паралсл-
лспипеда.

433.І. Пара лея лопипедЪ плоскостью проходящею
чрезЪ супротивныя угла р'ЗдЬляется на двѣ рав- 
ныя треугольныя призмы, что явно (ібс) вЪ-ф. 132.

433 И. Толстота призмы или цилиндра равна
произведенію ихЪ высоты основаніемъ.

Доказ. Понеже (351) призма, также
и цилиндрѣ, сосшояшЬ изЬ толикпхЬ сло-
ев полигона равнаго основанію, сколько
есть точскЬ вЬ высопіВ, иш можно ихЪ
почесть за составленныя изЪ безконечно
шонкихЬ, паралельныхЪ и равныхЪ основа-

нью

йію плоскостей : того ради Для познаяУі
толстоты призмы, надлсжишЪ столько
ОснованІсвЪ вмБспіБ сложить, сколько есть
іпочскЬ вЪ высотѣ, то есть площадь осно-
ванія должно помножить высотою призмЬі
или цилиндра.

434-Ш. Всякой разрБЛ) пирамиды или
конуса паралсльной основанію есть фигура
подобная ихЪ основанію ( 206 и 251 ).

435. IV. ВсѢ одновиднѣія тѣла, прямая или на-
клонныя, имѣющія равныя основаній и высоты между
«сбою равныя.

Доказ. у призмЪ и цилиндровЬ сія
равность и безЬ дальнаго изЬяснснІя собою
явно видна; ибо оныя состоятЪ йзЬ то/и-г
жихЬ равнЫхЪ слосвЪ оегіованІямЬ, сколькд
іпочскЪ имѣется вЬ ихЪ вькотахЪ: а кегдгі
онЫя высоты между собою равны, то СлЪ-
дусіпЬ и суммамЬ ихЬ слосвЪ, то есть тол-
ейютамЪ ихЪ бЬіть равнЬімЪ между собою.
Йо остается су мненіе о такой равности оЬ
ЖойусахЬ или пирамидахЬ^ чйю Каждой лй
слои пирамиды паралсльной основанію ра-
йонѣ есть соотвѣтствующему слою другой
Пирамиды или конуса.

Для того возмемЪ вЬ доказательство
дпрамиду сЪ конусомЬ на одной плоскосйЫ
СОсійоя^идЬ

етпоящихЪ, у которыхЪ основаньи X, 2 й
высота Мп, ЬР равныя, и прсдсшавя ссоѣ
что оныя псрсссчсны плоскостью ихЪ
основаньямъ паралсльною посмотримЪ бу*-
дутЬ'ли ихЪ ссчснѴи X, г, равныя <

Ибо отЪ помянутаго прсссчені'я онЫхЪ
гпѢлЪ, алой х будстЬ полигонЪ (434) подоб-
ной основанію X, также и кругѣ г кругу 2.
А понеже ( 598 ) х : X — Ьс □ : БС о или Мс
□ : МС □ или ~ Мр □ : Мп □, для паралель-
ныхЬ БС, Ьс,ср й Сп; посему х;Х~Мр
□ : Мп □, по тойже причинѣ и г ; 2 — ЬдСі :
БРО. Но вЬ рассу ждені'и равныхЪ высотѣ и
частей Мр, Ьд содержанье Мр □ : Мп □ — Ьд □
: ЬР □, а ошЪ соя равности и х : X ~ г : 2 ,
или х : г — X : 2} но X — 2 , по сему и
х —. г . ТакимЪжс образомЪ можно доказать,
равность и всЪхЪ прочихЪ соотвѣтствую-
щихъ слосвЪ оныхЪ тѢлЪ. Слѣдственно Пира-
мида сЬ кону сомѣ имѣющія равныя основанія
и высоты сосшоятЬ изЬ одноі о числа ме-
жду собою равныхЪ и своимЬ основаніямъ
подобныхЪ слосв , потому и вЬ толстотѣ
между собою равныя *

4)6. СлѢдст. ЕСІ) ПлраМИДЫ и конусы им'Ьюйі!*
рійыя основанія и высоты, между собою равный-

437‘V, Кджд я треугольная призма ра^Іляегпея

ЙІСНй#

тпочно . на три треугольныя пирамиды,. вторыя
вЬ столстот Ѣ между собою равныя .

Докаа. Назначь вЬ і ра'йяхЬ пюя призмы
(Ф 14^) діагонали БВ,АР,БГ^ но понеже
треугольники АЕБ,1СЕ ройныя (ібо),
по сему и пирамиды АВЕП, ВСЕР имЪя
одинЬ верхЪ, Р ню есть одну высоту, и
равныя осноіанГи АЕБ ЕВЕ, между собою
(430 равныя, и оныя сосшавляютЬ пира-
миду АБЕОР, котор ю оіікоів изо призмы,
останется третья пирамида АСЬЕ , равна
пирамидѣ ЕБЕР, ибо оныя имТюшЬ высоты,
СГ,БЕ и основаніи АСБ,БЕР равныя. Но
0) де призма есть наклонная, тогда пирамиды
АСЕГ,ЕБЕР ошЪ раійосгьи своихЬ ско-
ро нЬ буд)іпЬ также равныя.

438.	Слѣдствіе. I. Есякая пирамида содержитЪ.^
| толстоіпы призмы, сЪ которою равныя осі-.овгніи
и высоты имѢктЪ. ибо всякая мнегомольпая ііира-
мида, подобно какЪ цслигонЪ, раздѣляется іа тре-
угольныя призмы; а понеже каждая такая призма
(457) вЪ трое больше соей пирамиды, гослу
сумма или цѣлая призма вЪ трое будешЪ Солыьье
суммы тѢхЬ пирамидѣ, или цѣлой многсуіольнѣй
пирамиды.

439.	И Также и цилиндры вЪ трое болнгіе
конусовЪ имѣющихъ сЪ ними равныя ось ованія и ш-
с ты И'о о іѢ за бесчисленно гранныя или мьоьсг
угольныя призмы и пирамиды признавактся.

440.	1 1 Толстота всякой пирамиды и конуса
равна , произведенія площади основа ія высотою.

441 •

441	IV е. Всякія призмы и цилиндры» то есть
прямыя и наклонныя имѢкщія равныя основанія и
высоты по толстотѣ между собою равныя.

442.	Ѵе. Призмы и пилинрды равно высокія меж-
ду собою, какЪ ихЪ основаніи, а на равныхЪ осно-
ваніяхъ, какЪ ихЪ высоты. Тоже разумѣется о пи-
р мидахЪ и конусахЪ. А ежели цилиндрѣ пресѣчется
плоскостью паралсльною основанію, то его части
будутЪ вЪ одномЪ содержаніи сЪ частями высоты.

445.	VI. Толсяіотпа шара равна двумЪ третямЬ
произведенія оси площадью большаго ею круга.

Доказ Понеже шарЬ состоитЪ (377)
на безчисленности равныхЪ пирамидѣ ,
безмѣрно тонкихѣ , имЬющизЪ. аа высоту
радіусѣ ш. ра , и оныхЪ число равно числу
тпочскЬ поверхности шара , кои Сушь ихѣ
основаніи; и посему толстота шара равна
с ммВ толстотѣ всѢхЪ піѣхЪ пи амидѣ, то
есть, равна ? произведенія радіусомЪ поверх-
ности шара, или равна , произведенія оси
четвертью поверхности шара : но четверть
поверхности шара равна (ДЮ) площади
большаго круга. СлѢдов толстота шара
равна | произведеній ея оси площадью сво-
его большаго круга.

444..	СлѢдст. Іе. Толстота шара равна’
гполспіоты цилиндра около шара описаиного- Ибо
толстота сего цилиндра равна произведенію своего
•снованія, то есть площади большаго круга тога

М	шара

тара ітгсотою или его осью (4^). По сему тоЛ«
Енота такого цилиндра кЪ толстотѣ шара какЪ
3 2 то есть вЪ полуторномЪ содержаніи.

44$. Не. Шарѣ по толстотѣ авенЪ рирамидЪ
или конусу коего основаніе равно поверхности , а
высота радіусу шара.

446.	Ш е . для вы' еленія т э стоты шара, над-
лѢжитЪ сыскать площадь его бол-газго круга, и умно-
жить оную осью; то \ а буде раді^сомЪ, то | произ-
веденія будетЪ толстота шара •

\447 Задача I Поданному діаметру рд (ф 141)
и высочіі Ьа отрезка рЬдйр шара, онаго корпулен-
цію или толстоту сыскать.

рЪш. Ибо имѣя данныя рЪтЪд,
также и Ъй, найдется (2і6) ЪБ и СЪ
высота конуса СХ. По томЪ площадь круга
сферы рБд умножь высотою Ь<3, про-
изведеніе ЕыдсгпЪ равно (411) поверхности
отрезка, которую умножа радіусомЪ шара
ТС, то произведенія будстЬ (443) шолсто-
ша сектора шара Срйд. Послѣ сыскавЬ
толстоту конуса СХ (умножа площадь
основанія X чрсзЬ | высоты СЬ) вычтися
из толстоты сектора, останется искомая
іполегпота отрезка сферы йХ.

448.	ІІ. Сыскать толстоту какой нибудь пара-
леліной части тара какЪ АВСБ (ф. 143)-

р'Ьш. По надлежащимъ кЬ сему зада-
ніямъ

ЬѴямЪ найди (447) отрезки шара АСВі
ЬСС, коихЪ разность будетЪ желаемая
Пюлсіпогпа зона или пояса шара.

449. НЕ Найти толстоту бгпрезаннато пилиндрі
іЬесІ (ф. 144 ) коего даны а<1, Бе и діаметръ аБ.

рЪш. раздѣла <3 е пополамЬ вЬ с про-
веди Ьс паралельно кЪ а Ъ пока встрсшит-
ся сЪ продолженною а й вЪ і ,и (43 3 ) сыскавЬ
толстоту цилиндра ЗЬБі , коя каіЪ видно
равна есть толстошЪ данйаго Цілиндра.

450.IV. по заданной сторОчѢ ЕК и окружности
прямаго конуса найти его толсшЬту (ф. і;6).

р'Ьш. ЧрсзЬ окружи ешь вычисли (з 18)
дУамстрЪ основанія конусЯ, поГпомЬ вЬ
прямоуюльн. △ ЕРК зная І’КэЪК найдет-
ся (214) высота ЕР , и ш ѵ.стодіа конуса.

Для сыску толстоты вЬ йакліэші^іхЪ конусахЪ
или пирамидахЪ, кои хотя и прямыя, ..о ымЫ за
основаніе неправильной ігОЛигбнЪ. {.фдёэштЪ сперва
наугольникомЪ смЪрить (зр°) йхЪ высоту, и проч*

45і-V Сыскать толстоту і.Лкей ли о прямой
пирамиды» на прим'ЬрЪ пяйіиГракг.ой (ф. 154 ).

рЪш ВымЬря апошомЪ ЕМ основанья
и апотсмЪ ЕМ нйрамиды найди (214)
высоту а чрсзЬ то сыщстсй (44°) и
шолстошл оной пирамиды.

452. Для познанія толстоты отрезанпаго кояу-
Еа ІгтК (ф. 13^ ) надлежитъ сыск, шь толс. огпы
кйнусовЪ 1КБ, гт Е , то очыхЪ раЗ іоспв суГеіпЪ
йіолешопіа отреалннаю козуса. рлв плмЪ сі разомЪ

М 2	находига-

находится толстота и отрсзанныхЪ пирамидѣ»
Иначе короче, но не столь вѣрно; надлежитъ,пол-
Іумму кр'айнихЪ поверхностей умножить высотою!
сего отрезанцаю конуса или пирамиды.

45; . V I. Прямой призмы даны стороны основанія
яЬс да линѢи а8, Ье, с{ разной величины, тол-
стоту сыс ать (ф. 145 )

рЪш. 1 с. ОщмБпія ср иад“Ъе про-
веди Че,Ре?яЬ: вычисля площадь △ аЬс
умножь ся высотою ад , произведеніе будетЬ
толстота призмы арс- 2с СыскавЬ (286)
площадь ф;.іі уры др{6, и сморя высоту
пирамиды найди ся толстоту, кою слегка

п -рвосысканяою, сумма ихЬ будетЬ,
толстота всея дани й призмы.

454.	ПримѢч, Ежели линѢцай, Ь.е, с{ непрямое,
стоящія кЪ плоскости а Ьс, тогда слѣдуетъ раз-.
дѣлить призму на двѣ пирамиды, проведя линѢи ае,
се, и сыскать вЪ нихЪ толстоту и проч.

455.	дзя .вычисленія толстоту вЪ срединѣ полаго
цилиндра (наподфбіе жернова) Н (ф. 146) коего
вымѣрены діаметры а Ь, ей, и толщина надобно;
сыскать толстоіпу всего цилиндра и его полости, то
оныхЪ разность будетЪ искомая толстота.

Подобно сему находится толстота и всякихЪ^
іЪ срединѣ полыхЬ прямыхЪ и наклонныхЪ призмЮ
»**»^***»*4** <***<**♦♦*'
О ИЗМѢРЕНІИ ТОЛСТОТЫ ПЯТИ ПРАВИЛЬ-
НЫХЪ тѢлЬ.

456.	I. Толстота всякаго правильнаго тѣла рчвна
произведенію его поверхности умноженной чрезЪ |
перц

л
Перпендикуляра изЪ цѢнпіра тѣла на одну еге сто-
рону или грань опущеннаго.

доказ • Ибо явно, что воббража'й около пра-
вильнаго тѣла (подоб-о ккЪ около Правильнаго по-
литопа кругЪ) описанную сферу, буде изЪ центра
; онсй ко всѢмЪ ѵгламЪ гроведутся линіи, то есть
радіусы'сферы, то очое піЪло рэвдІлгтсЯ на сгѣоліко
равныхЪ пирамид.Ъ о сколікихЪ оно есть граней; по
тому что у оныхЪ равныя ос-ювані* и высоты? то
есть перг ендикуляры изЪ центра йагр'ани гг 'ла. или
'на основаніи пирдмидЪ опушенныя а (Понеже ( 440 )
толстота каждой пирамиды равна произведенію ссн'с-
Панія чрезЪ ~ высоты ; тотЪ ради пісДсшста тсіхЪ
ПирамидЪ или тѣла равна произведенію хь ’еісгЛ;.-
ніи или говеръхпости тгт умноженной одьрк’
> ‘общею ихЪ высотою.

Ьо для опредѣленія гіЬмянутыхЪ вЪ пр-вилійых'Ь
ИпѢлахЪ выдО пЪ по даннымЪ спГоронамЪ слѣдующія

• гредложенгй знать наДлежитЪ-

457 И КвйдратЪ бока АЕ (ф. 147) тёігіраедра
раве Ъ телпи кваДр ПіамЪ трети диаметра ЕН
около онаго онгсанной 'сферы.

Доказ. О іЬ всрЪха Е кЪ центру С
основанія АЕБ т шрасдра проведи липѢю
СЕ, которая будетЬ вьсоша шБла-, ибо
• ’д\я раі'н&хЬ ЕА, ЕВ, ЕС, і очка Е есть
. • вЬ равномЪ разстояніи отЬ уілові А,Б,Ь,
кои такікс равно отстояшЬ отЬ ц нйіра
С, а продолженная ЕН будетЬ дГамстпрЬ
•сферы. ПотомЪ проведи АЕ, ЕЕ, и тако вЬ
. прямоугол . АСЕ , АЕо — АСП ч-РС

но діамсгпрЬ АЕ^йАС^ 2СЕ, по ссиу

м з	ЛЕ

ЛЕП-4Е>Га> или 4 рро — / рач-ррп,
вычтя изЪ итого РРО останется 3ВРС) —
АРО или АЕо. Но вЬ прямоуг. △ АЕС,
АЕа — АСа -ьЕС^і положа 3 РГО вмѣсто
АЕО и РЕ□ за АС О, выдотЬ зрра~
РРЗ-ьЕСО} опінявЬ рГО выдешЬаРЕО
—ЕС О. А по свойству круга -гг- СЕ АС СН,
и тако СЕО или $ РР □ : /СО или РЕ
□ ;: СЕ С Н, итого ради ЕС — 2, СН, но ЕН
3 СН, и ( 2і6 ) —гЕН, АЕ СЕ. Посему ЕН
рли ЗСН:АЕ • АЕ г СЕ или: 2 СН, и шако.
( 194) 6 СІЮ — АЕо,

СлѢ'деш. 1е. Квадратъ діаметра сферы кЪ ква-
драту бока тепіраедра ’ какЪ 3: 2; ибр ЕНО;АЕЦ
;;ЕН: СЕ 3 СН; гСЦ или какЪ 3:2.

Не - По данному боку тетраедра лЬхче показан-
наго способа ( 4Ѵ ) можно сыскать егр шолегпошу;
ибо опредЪля діамепірЪ сферы , коего ? будет’Ь быісч
та тетраедра , и проч .

458. И1. кгядраПіЪ діаметра сферы втрое болыпе
квадрата бока кубуса вЪ чемЬ написаннаго.

Доказ, П|ТОаспі^ф вЬ кубусБ діагоиа и
ас,бе, і^ф 148) кои н р ссі-утся вЬ цен-
трѣ сферы вЬ Ц,и будутЬ онѢ для равиыхЬ
прямоугольныхЬ іпусуіолыіцковЬ АСО, ЕБЕ,
ся діаметрами > ибо ді <гонали квадрата*,
ВР, АС и бока сво РЕ, СО равныя: но
АСО—2БСС, или 2Сба, иАСа =
ЛС°"<-СОп, посему Аба — зСбо.

слѣдсш»

СлѢдст. по валянному боку екаедра най*
дется ді.метрѣ около ево описанной сферы ц
обратно.

450 IV Квадратѣ діаметра сферы вѣдвсе больше
квадрата Со а октаедра вЪ оной сферѣ написаннаго,

Доказ. Ибо окгпасдрЪ по видимому
раздЬ жгася на двЪ равныя четыреугольныя
пир>миды, когпорыхЬ общее основаніе есть
квадратЬ БЕ ВО ($.149), а онаго діаго-
нали ЬОуСгЕ прессчснныя вЪ центрѣ сфе-
ры Е, или вЪ цснілрЪ ихЪ основанія, бу-
душѣ діаметры сферы, и/С есть сумма
гысогпЬ пирамидѣ АЕ,ЕС. Но вЬ прямоутол.
△ АЕГ, А Е □ — АЕОч-ЕЕо, или для А Е
— ' Е. АЕ □ — 2 ЕЕ □. А понеже ГС — 2
ЕЕ, посему ГСа~4ЕГа; ишакоГСа
АЕ ; 4 ЕЕ : 2 ЕГ или какЪ 2:1.

СлѢдст. по данному боку октаедра скорѣе
(451) можно сыскать онаго толстоту; ибо ві со-
ты ею пирами4.Ѣ суть радіусы около онаго описаіі-
ной. сферы.

4 о. V. КзгдратЪ діаметра сферы вЪтрое боль-
ше квадрата діагоналя одной пятиугольной грани
додекаедра вЪ оной сфе[Ѣ написаннаго.

Доказ Понеже (383) ДОДскасдрЪ сог
сшавлягтся изЬ 12 гаи правильныхъ пяти-
угольныхЬ граней , слЪдств . изЪ 12 ши
равныхЪ пирамидЪ имЪющихЪ верхи вЬ цен-
трѣ сферы около додскасдра описанной ,

М 4	а наклои-

а наклонныя ихЬ бока равны радіусамЪ
оной. Смотря на вырсзанной додскасдрЬ
окажется вЪ нБмЬ и вЬ гпойжс сфсрЪ вмБ-»
щсниой кубусі, котораго каждая сторона
дЪласгпся квадрагпомЬ изЬ чгтырсхЪ діаго-
нілсйвмЬстБ составлсныхЬ граней додска-
сдра, какЬ АБСС (ф 150 )і того ради
(458) квадратЬ діагоналя кубура и\и діа-
метра сфе ры вЬ трое больше квадрата
бока кубуса, то есть, дУдгенаЛя каждой гра-
ни додекаэдра.

СлѢдст. для вычисленія толстоты додека-
еяра по данному боку надлежитЬ сперва Лполигонѣ
V (250) сыскать діаГоч->л». А В, а по еному (45$)
діаметрЬ сферы, котораго половина или радіусѣ бу-
детЪ бокЪ одной изЬ 12 ти пирамидѣ. По томЪ
найди (4^1) вЪ оной толстоту и проч .

461. VI КвадратЪ діаметра КЕ (ф 151) сферы
около икосаедра описанной вЪ пятеро больше квадрата
радіуса М(^ или Ы& круговЪ около основаніи
двухЪ. противныхЪ толстыхЪ угловЪ описанныхЪ.

Докав. Да оу <утЬ круіи ВЕМ, ИОР
описанныя около основаній двухЬ супро-
тивныхЬ пягоиуі ольныхЪ пирамидЪ, изЬ ко-
ихЬ каждой высота р іьна А0_. По сему вЬ
прямоугольномЬ △ А0^Е, АЕП— О_Еа-+*
А(^а- Но АЕ есть бокЬ пятиугольника а
О^Е или радгусЬ круі а 2, бокЬ шсстиуг.
и тако (235) ^0^ 601116 б°кЬ десяти

угольн.

Г"---------------------------------- --------------

•*сЭ’€ ( 201 )

угольн. вЪ томжс кругѣ По сему высота
іЬрхней и нижней п ирамидЬ равна боку
десяпіГуі ельника По томѣ изЪ средины К
дуги СО проведи КО, которая для СО—
ОО и СК ~ ВО будетЪ разстояніе двухЪ
равныя паралсльвыхЬ крагой 2, X Но
вЬ прямоугольномЬ △ КВО, ООО — ОКО
ч- В О □ : &. понеже О О есть бокЬ пятіу гольн
и ВО, д- сятиуголь ника, по сему (23 5) КО
б д< гпЪ бокЬ шестиугольника, или ~М(^
радіусу круга 14 шакЪ явно что діаметръ
сферы состоитЬ изЪ двугЪ боковЪ дссяті-
угольника, и радіуса круга 2 или X На
конецЬ вЬ прямоуголн. △ МКЕ, ^Ес — МЕ
О-+-ЫМО, но МЕ-2М(^, или 2 МК, по
сему ^Е□	4 М0_ О *+- МО, □, то есть

НЕО — 5 М(^О.

СлѢдст. для познанія толстоты икосаедраі
по данному его боку, назлежитѣ сперіва (2 7) сы-
скать радіусѣ М(^, на томѣ боку написаннаго по*
дитона, а по оному уже найдется діаметрѣ сферы
ЬІЕ, котораю половина будетѣ наклонной радіусЬ
всякой изѣ 20 гаи треуголі.ныхѣ пирамидѣ икосаед Ъ
состовлякгцихѣ, а по сему (451) сыщется толстота
Пирамидѣ и проч.

П имѣя, для луЧіпато понятія показанныхѣ
снейстзѣ правил ныхѣ тѣлѣ, надлежитѣ при чтеніи
смотря ьавырезанныя из'Ь бумаги о семѣ рассуждать
,	4’2 Задача. По данному діаметру сс] ры сыс-’

Кать бокѣ .каждаго пяти нравиліныхЬ піІ. Ь вѣ о іѳи
вферѢ иага.саниыхѣ.	И у	рѣиі/

рЪш. іе. Положа АЕ~|АВ діаметра
сферы (ф. 15$), и восшавя перпенд. ЕЭ
проведи прямую АВ, которая будетЬ бокЬ
шеіпрасдрі ибо (216) 44- АВ•АВ•АЕ 5 и
посему АБО : АВ□ • АВ ; ; АБ, или какЪ
3 : 2. СлЪд. (457) АВесть бокЬ тстрасдра ,

2 с Проведенная БВ есть бокЪ кубуса;
ибо (216)44-АВ • БВ • БЕ. Но БЕ —|АВ,
посему АБ □ : ВО □ АБ : | АВ, или какЪ
3 ; 1 , и тако ВВ есть бокЪ кубуса.

Зс, ИзЬ цБнтра С воставь перпендик.
СЕ, тогда проведенная ВЕ будетЬ бокЬ
окшаедоа. ' Ибо АВО ~ 4СБ0, а ВЕа-^;
йСБО, посему АБ° — 2БЕИ'(459)-

4с. раздБля бокЬ кубуса ВВ или діа-
гональ пяті угольной грлни додскаедра вЬ
крампемЪ и срсднсмЬ содержаніи вЪ I,
тогда средняя БІ будетЬ (234) бокЬ той
і рани додскаедра •

5 с. ИвЬ точки А,налинВсАВ го та’Я
перпендикул . АС~АБ, проведи ССиАН,
пюідч АН будешь бокЬ икосасдра. Ибо спу-
стя перпенд. НБ, тогда Для подобныхЪ трс-
угольн. САС, СБН, и АС — 2 АС, будстф
БН" 2 ЬС, по сему НСО или АСП
— 4 ЬС О -+- ЬС о — 5 ЬС О 5 того ради АС □

или

йли ЛВС — 5 НЬп, посему (461) НЕ есть
радіусЬ круга 1 икосасдра. Положа ВЫ-
НЬ, то для ЬН или ЬМ”$ЬС будетЬ
ДІБ — АЬ: а понеже діамстрЪ сферы со-
стоишь изЬ двухЪ боковЬ дссягпіуі ольника
и радіуса круга 2 илиХ, то (461) АЬ есть
бокЬ дссятіуі ольника вЬ кругЪ радіуса ЬН.
Но АНО — АЬо -+-ЬНа , по сему (235)
АН есть бокЪ пятиугольника, но есть бокЬ
мкосаедра ,

Нг послЪдокЪ положа діаметръ шара вЪ іооо,
стороны правильныхъ вЪ немЪ написанцыхЪ тТ>лЪ
будутЪ весьма бдизкр равны симЪ числамЪ; тетра-
одра 816, окгпаедра 707, кубуса 577, мкосаедра 527,
додекаедра 357. положа діаметрѣ шара ~ і, тол-
стота его выдетЪ (318м 446) ”0-5236 и проч.

С'веріхЪ того какЪ для стереометріи, такЪ и
для сшерерграфіче^кой проекціи небезполезно знать
Слѣдующее предложеніе.

463 . Предл . Ввели конусѣ А В Ь К С пересечь
плоскостью РІрН (ф. 153) равнонаклонною- кЪ
основанію ЕК и антипаралельно пю есть какЪ ВА;
ЛС . ЛЕ - АП, тогда плоскость ПІЕЦ будешЪ
кругѣ а не еллипсисЪ.

Доказ. Назначь плоскость Е1СН па-
ралсльно кругу ЬК, коя прсссчсгаЬ плоско-
сть ПІЕН, вЬлинБс ІОН перпендикулярно
линБямЬ ПЕ, ЕО. Понеже плоскость ГЮН
есть кругЬ (434), по сему ЕОхОО~ОІ
Р, Но ошЪ сочиненія треугольники ООЕ,

ЕОО

ЕОБ подобныя; ибо СЕО ~ БЕО 6
АЕС, и гіСОЕ — /Е)ОГ, посему (207)
ЕО : ОС ••: РО : БО, и (194) ЕОхБО-РО
X ОС (2і6)~ОЮ; но когда О1 есть
средняя пропорц. мсяду БОиОЕ, то сс-
ченіе БІЕН есть кругЬ, ч н. д.

СлѢдст. I е. Для сыску толстоты отрезач-
тонуса ВСЕБ надобно по высотѣ и основаніе
Ь1ЕН найти (440) толстоту конуса АБЁ, коіо
вычтя изЪ цѣлаго конуса АВС останется исомай
толстота.

II е. Кромѣ сего и паралелінаго основанію НчоЧ
ееченіе какЪБІЁН конуса будешЪ еллиг сьсЪ; '6 чемЬ
изтолковано вЪ коническикЪ сеченіяхЪ при концѣ
сего сЬчін. предложенныхъ, и о томѣ какЪ ъЪшакихЪ
етрезан. конусахЪ толстоту находить и рроч .

464. П имѣя. Для познанія толстоты не-
правильныхъ поліедровЪ, какЪ фортнфикапіонныкЪ
Частей, корабельныхЪ членовЪ и другихЪ мн’о огран-
ПыхЪ неправильныхъ тѣлѣ, н.<длежитЪ оныя дѢлиійь
напризмы или пирамиды (454)’ подобно какЪ для
сысканія плоіЦа/и вЪ неправильныхъ полигонахъ раз-
дѣляются (287) оныя на треугольники: по томѣ
находить толстоту каждой призмы или Пирамидъ!,
которыхЪ сумма будетЪ толегпбта того поліедра.
А для вычисленія толстоты бочекЪ, кадей кстловЪ,
мачтовыхЪ деревѣ, кругловатыхЪ кокорЪ, боліі
вгихЪ колоколовЪ, мартирЪ, пушекЪ, и проіихЪ
кругловатыхЪ великихЪ неправ/л; ныхЪ тѢл’Ь, над-
лѢжитЪ ихЪ раздѣлить на оічрезанныя конусы,
цилиндры, на части шара и предписанными правилами
вычислять вЪ нихЪ толстоты.

СпссобЪ сыЬканія толстоты и гогерхі Ссти горѣ
ВоказанЪ будешЪ впрѢдЬ в'Ь практической геометріи.

Ежели

Ежели поліедрЪ случится малЪ и весш» не*
^травиленЪ; на примѣръ чтобЪ узнать толстоту
Какой либо мелкой резной вещи и проч тогда. она<
находится механически такимЪ средствомъ: над?
лежитѣ то тѣло положить вЪ сосудѣ фигу ы
способной ко измѣренію, какЪ вЪ цилиндрической или
призматической прямоугольной сосудѣ, и наполнить
рной водою, пескомѣ или инрр жидкостью которая
немогла войти вЪ тѣло, готомЪ оное вынуі-ѵ
щи изѣ того судна, должно вымГрить совершенную
толстоту пустой части судна, которая весша
(элизко равна будетѣ толстотѣ того тѣла.

Сверъхѣ сего,’примѣры внчкслѣнія пюлстоты
Многихѣ разныхѣ тѣлѣ показаны вѣ Арифм. Часть
IV. гл. III. отдѣл . Ш ,

****************^^*»***
Р СРАВНЕНІИ тѢлЪ по икЬ толстотѣ.

465 Выше сего показано, что толстота всякаго
тѣла есть произведеніе поверьхности его осью или
высотою; а понеже поверьхность всегда ( 295 ) равна
Произведенію двухЪ измѣреній; то всякая толстота
равна произведенію трехЪ измѣреніи; того ради,

466-	1. Толстота какихЪ нибуд’Ь двухЬ тѢлЪ,
между собою вЪ составномъ содержаніи ихЪ трехі
©дноимянныхЪ измѣреніи (Ар. стр 349).

467.	СлѢдст. равныхЪ призмЪ и цилиндровЪ
основаніи суть вЪ' обраганомЪ содержаніи сѣ ихЪ вы-
сотами: и буде они вЪ такомЪ содержаніи, такія
тѣла суть равныя. Тоже надобно разуметь о рав-
БЫхЬ пирамид^хЪ и конусахЪ .

468.	И. Толстоты двухЪ подобныхъ тѢлЪ, ме-
жду собою вЪ утроенномЪ содержани, или какѣ ку-
русы ихЪ сходственныхъ измѣреніи .

Доказ. Ибо у подобныхЬ ігіБлЬ всК
сходствсн-

( 206 ) &<<♦
сходственныя измѣреніи пропорціональный
(39?)’ ЧРСЗЬ ніо ихЪ толстопіы суть про-
изведеніи трсхЪ пропорціональныхъ всли-
по сему оныя ( 193 ) вЪ утроенномЬ
содержаніи какихЬ нибудь двухЪ сходстве-
ннымъ ыамѢ нТй двухЪ подобныхЬ тЪлЬ.

469.	СлѢдст. 1е. Толстоты верхуШекЪ отрезан-
ныхѣ отЪ пирамидѣ и конусовЪ плоскостью пара-
лельною ихЪ основаніямъ, суть подобныя цѢлымЪ
іпѣламѣ, то есть вѣ уігіроенномѣ содержаніи всѣхѣ
вѣ нихЪ сходственныхЪ измѣреніи.

470 .Не. Толстоты сферѣ суть вѣ утроенномЬ
содержаніи ихѣ радіусОвЪ или діаметровѣ; посему
ежели у сферы діаметрѣ вѣ двое, вЪ трое ипроч.
больше діаметра другой сферы, тогда той поверх-
ность будетѣ вѣ 4’ 9’ ра$Ъ больше, а щолстота
вѣ 8, 27> ипроч. разѣ больше другой сферы, вообще
судно, котораго всякое измѢреі іе вѣ двое, вѣ трое
в э четверо, больше вейкаго сходственнаго измѣренія
вѣ другомѣ суднѣ, то перваго толстота вЪ 8, 271
64 и проч. разЪ больше толстоты втораго.

471.	III е. Для сочиненія подобнаго тѣла дру-
Г0му, котораго бы толстота была вѣ двое, вѣ трое
ипроч. разѣ тогО болѣ, надлежитъ учинипіь чтобЪ
всякое измѣреніе искомаго тѣла ко всякому схо^ст-*
венному измѣренію даннаго тѣла, было вЪ содер-
жаніи какЪ кубіч. радиксѣ числа 2, 3 ипр. кЪ і. а ьЪ
уменішеніи обратно. Ибо подобныя тѣла вЪ содер*'
жаніи кубосовЪ или кубичныхЪ радиксовЪ ихѣ сход-
СйівеннЫхЪ измѣреній (468)

472.	Задача I. по заданной толстотѣ шар*
сыскать его діаметрѣ.

Р'Ьш. Вы >исли шолешоту шара коспУ

дТамстрЪ ИЗ,пошомЪ здБлай пропорцію!
сія толстота кЪ данной какЪ кубусЪ числа
113 кЪ кубу су искомаго діаметра, чего
радиксѣ будстЬ самой діамстрЪ. Иначе,
0.5236 кЪ данной толстой®, какЬ I, кЪ
кубу су искомаго діаметра.

473.	II. Сыскать діаметрѣ сферы» коптораго
толстота кЪ данной сферѣ какЪ 5: 7-

Р'Ьш. раздБля діаметрЪ данной сферы
ВО ( ф ) вЬсодерж- 5 :у, кай) ВЬ : ЬС,
и между ВЪ и ЬО найди (544) ДвЬ среди,
пропорц. изЪ коихЪ первая на примЪрЬ пт
будстЬ искомой діаметрЪ ибо (Ариф . сіп .

3 58) куб. ВС : куб . пт:: ВЬ : ЪО, или 5:7.

ТожЪ по вычисленію, учиня вЪ числахЪ сію
пропорцію 5:7, какЪ кубусЪ даннаго діаметра кЪ
кубусу искомаго діаметра, котораго кубичной р< -
ДиксЪ будетЪ величина сего діаметра.

474.	111. дзнную прямую призму вЪ кубусЪ
превратить.

рЪш. Между сторонѣ АБ,ВС (ф.132)
основанія призмы найди среди, пропорц. ГО,
а между оной и высоты СС двЪ среди. изЬ
коихЪ первая какЪ НЬ будетЪ бокЬ кубуса.

Доказ. ОтЪ сочин. АБХ ВСг:ГСо,
а умножа оба члена высотою СО, будспіЬ
ГСОхСС — АВхБСхСС; но какЪ ГСО
хСС~НБ кубусу, то есть кубусЪ первой
изЪ

( 208 )
рійЪ двухЪ срсднихЪ пропорціей. рлвенЪ
произведенію квадрата перваго члена у мно-
женнаго віпорымЪ изЪ данныхЬ (Ар. ст. 358).
СлБдст. призма АС — кубУсУ линБи III.

475 . Пр и м ѣ ч ПІгрЪ, цилйндрЪ, конусЪ и Гея-
кой поліедрЬ вЪ кубусЬ (подобно какЪ полигонЪ вЬ
квадратѣ ) вЪ числахЪ способнЬе нѢжели по среднимЬ
пропорціональнымъ превращать можно. Ибо кубич-
ной радиксЪ толстоты і рліедра равенЪ есть боку
кубуса. А діаметрЪ шара равнаго ноіполстсйпѢ какому
дибо поліедру находится чрезЪ (472).

Такржде удобнѣе по вычисленію можно склады-
вать многія тѣла вЪ одно, одно изЪ другова вычи-
тать или дѣлить, какое нибудь тѣло вЪ нѣсколько
кратЪ увеличить и проч нежели помощію среднихЪ
пропорціональныхъ > кое излишнее мудрованіе вЪ
разсужденіи многотруднаіо и не точнаго дѣйствія
(какЪ явствуетЪ вЪ п- 473 и 474 ) презреть можно.
НапослѢдокЪ сію геометрію показаніемъ славныхЪ
архимедовыхъ теоремЪ оканчиваю.

476.	I. ПолсфсраѣМО (ф. 141) конуса
тоже основаніе Р и высоту БС имѣющаго
толстотою вЪ двое больше.

доказ. Ибо толстота полсферы и конуса равна
произв щоюжЪ круга Р чрезЪ СО и| ОС (44° **
443), по сему полсфера вЪ двое болѣ конуса. дЗ

Слѣдственно, толстота цилиндра ѢМРЕ, под-'
сферы и конусЪ ЪМО между собою какЪ 3. 2. і»
также и цѣлой цилиндрѣ, сфера, и конусЪ АОВ.

477.	II Сфера кЬ равнобочному конусу
р^О по толсгаопіЬ какЪ 32:9.

доказ. Иоо ЬС~ 5 ОсЬ по сему ОЬ ОС • 3 Т

илц

209)

Ъйіи 9:6. Но кругЪ X кЪ кругу Р (4'6) к*кЪ Г4
Лели 6:8, а кругЪ X кЪ четыремЪ кругамЪ сферы какЪ
6; 32. Посему конусЪ имѣющей осиов. X ы соту ВЬ,
то есть рВд кЬ коиу.су имѣющему основаніе 4Рк' -
•соту СБ ( то есть кЪ толстотѣ сферы ) вЪ слс-
жномЬ содержаніи изЪ 9:6 и 6:32, или какЪ 9:32.

478 . Ш . Толстота равнобочнаго кону-
са КОК, вОсмсро больше конуса рВд.

Доказ. Ибо для равчоб. треуг. НОК, рВд,
Прямоугольныя треуіольн-. Ы Н К., рЬВ подобныя, и
по семѵ КК  рВ : Кс) ВЬ или КО рд; но Кв
2 ВЬ, то и КО — грд. СлѢдСт. конусЪ 14 КО
Подобнаго себѣ рдВ толстотою всемеро боліте.
ПрятомЪ же и сфера ьосмеро больше сферы
ь о м а ибо к и _ 2 в о (470).

479.	IV. Сфера кЬ равнобочному конусу
около его описанной какЬ 4:9#

ДокаЗ. Сфера ЬВМс! кЪконусу рВд (477) какЪ
32.9 а конусѣ рОд кЪ конусу Ъ!ОК (47Н) какЪ
і :8 или 9: 72, и такЪ отЪ равности членовѣ, сфера
Е В М сі к Ь конусу К О К. какЪ 32 : 72, или 4:9*

480.	СлѢдст. КонусЪ и цилиндрЪ около сферы
описанныя, и самая сфера гаоЛсгйошою и поверхне»
спи о находится вЪ полуторномЪ содержаніи; ибо
(411) цилиндрЪ поверхн. и толстотою кЪ сферѣ какЪ
3 ' 2 цЛи 6; 4, а (420) конусЪ кЪ сф'рѢ какЬ 9 4,
и такЪ оной же конусѣ кЬ цилиндру какЪ 9 :6 • Па
Сему всѣ три оныя тѣла Между собою какЪ числа
« 0 • 6 • 4, то есть вЪ НолуторномЪ содержаніи.

КОНЕЦЪ ГЕОМБТрІИ

ЕЛЕЦЕНТЫ



§
§
§
§

:к- -3$ « #	« -* Ж ->? -X- * Х Нё %

**********************

*	# # -3? -»’ » ік- -<? * -* * -х- » И'- ік

ЕЛЕМЕНТЫ
плоской или прямолинейной
ТРИГОНОМЕТРІИ

Я? -3? -* -X- -%	-* * -* * * * -'к	% %

НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІИ.

т§*§г

*лхѵ г~у ъ<ъ

.*, 11 ^лоская тригонометрія, или измЪрс-
«6Г.§* §<^> ніе сшоронЪ и угловЪ прямоЛинБй-
ныхЪ треугольниковъ, есть наука кЪ прак-
тической ісомстріи принадлежащая, и
показустЪ правила какЪ по трсмЪ даннымЬ
изЪ шести частей треугольника, то есть,
изЬ трсхЪ сторонЪ и трсхЪ угловЪ находить
вычислЪнісмЬ ( либо посредствомъ мастабовЬ
и циркуля) величину изЬ прочихЬ трсхЪ
дошорыя нибудь части.

2. П имѢч Сіе сказано го той причинѣ, чт»
всякой треугольникъ кромѣ его плоіцади, ( о кото-
рой разсуждали вЪ гтланомепіріи) состоитпЪ изЪ шести
частей, то есть изЪ шрехЪ угловЪ да изЪ трехЪ
сторонЪ. ПритомЪ буде знаемы два угла, то тре-
тей проспіымЪ вычитаніемЪ находится ( г. 117):
а по тремЪ угламЪ треуі олгника не величина его
сторонЬ, но только взаимное ихЪ содержаніе по сей
наукѣ опредѣляется ибо несмѣтное число равно-
уголъ ныхЪ треугольниковъ могутЪ быть неравныя,
но шолькр ирдобнма между собою (г. 150)	3.

Правила тригонометрическаго вьічтѣчй
40стоятЪ вЪ произведеніи изЪ трехЪ ДанныхЪ три
первыя члена пропорціи •> а искомый членЪ бываетЪ
четвертымЪ: но понеже стороны треугольниковъ
сЪ ихЬ углами вЪ простомЪ содержаніи (дыть не
ыогупіЪ $ ибо сйіоронй измѣряются линѢями, какЬ
то аршинами, саженьми, верстами и проч. а мѣры
угловЪ суть дуги круга. И тако принуждено вмѣсто
угловЪ или дугЪ ихЪ размѣряющихъ градусами,
минутами и проч. ставитъ вЪ пропорціи величины
разныхЪ прямыхЪ линѣй, кои тѣ дуги или углы
представляютъ и бокамЪ треугольниковъ пропор-
ціональны . Того ради о сихЪ ЛинѢяхЪ прежде Всего
изтолк окать надлежитъ.

4» Ежели ошЬ верха С (ф. і) какова ни-
будь угла А СВ проиввольно взятой величины
радЬусомЪ /С написать кругЪ АНаЬ, и АС
продолжить до а, а вЪ С поставишь перпенд.
СН; тогда явно, что уголЪ ВСН или дуга
НВ есть комплемстпЪ или дополненье угла
АСВ, или дуги АВ, также и угла ВС а
или дуги БНа: а уголЪ ЕС* или его дуіа
Ба есть суплсмснтЪ или приполненье угла
АСВ или дуги АВ. Обратно ВА комплс-
мснпіЬ дуги НВ, а суплсмснтЪ д}ги аВ.
Ь 5. Перпендикуляръ ЕВ иаЬ конца В
радіуса и дуги А В разоряющей уголЬ АСВ
[на другой радГусЪ АС проведенныя, назы-
вается синусЬ дни АВ или уіла АСВ.
ПерпсндикулярЬ АЕ, изЪ конца А одного
‘Н 2	рад^са

радіуса до встречи сЪ другимЪ продолжай-
нымЬ поставленный, имянусгпся тангс'нсЬ
шоя же дуги АВ» Прямая СЕ есть се-
кансЪ сся дуги. Чаешь АБ радіуса со-
держимая между дуюю и синуСомЪ назы-
вается син сЪ всрзусЬ или обратной
сипусЪ дуги АВ. П рпендикуляр ВІсспгь
синусЪ дополненія Д)ги АВ, а пгрпенд.
НК ея же есть танго не Ь дополненія-.
СКссть сскансЪ дополненія, а Шесть
син сЪ вгрр.усЪ дополненія гпояже дуіи АБ.

Синусы, тангенсы дополненія и г-роч. для со
крапленія называются косинусы, кота।ігеИсы, косе»
капсы, , кссинусй верзусы. Также вмѣсто раііуИ
ставилЪ я здѣс К. Син. вмѣсто синуса-. Танг»
зпачитЪ тангенсѣ. кое-. изЪявляетЪ косинуса. Копъ
син. верз. 'Зпачагаѣ котангенсѣ, синусѣ верзусЬ.

6	. ИзЬ сі іхЬ опредБленіевЬ слБдуегйЬ Iс.
СинусЪ, косинусѣ, тангенсѣ, котангенсѣ и Проч.
тучаго угла ВСа суть гпЪже какія его суплементй
остраго угла А СВ. Ибо изЬ конца В или а
одного радіуса не можно инуды опустить
перпендикуляра какЬ токмо на продо жженіе
другова, каковы ВБ и ай: также кромѣ АЕ или
ае шангснсомЪ иная быть не можетЪ; ибо для
равныхЬ треугольниковъ аСй,вСБ и Сае,
САЕ; ай — ВБ, ае — АЕ , дугаВН комплсм.
дуги аВ, равно и дуіи АБ. По сему явно

что

««по БІ есть косинусѣ дуги аБ, и НК сеяжв
д і и а Б котані снсЬ.

7	. Не. СинусЪ ГС дуги АВ есть по-
ловина хорды 1С дуги БАС двойкой про-
іпивЬ д іи АБ (г 69).

8	.Шс. ПрсбольшГй изЬвеБхЪ синусовЬ,
есть с нусЪ прямаго угла НС А; ибо он й
ірогда есть самый радіусѣ, и для шоі о онЪ
называется цЪл ой синусѣ.

9	IV с . Слнусы помЪрѢ увеличиванія ихЪ
угловЬ іірибыіаюпіЬ или возрастаютъ отЪ
О до 96, и равнымЪ образомЪ умаляются
ОфЬ 96 до і8б.

ІС.Ѵе. СинусЪ дуги 36 равенЪ пол-
рѳдіусу; Ибо радУусЪ есть (г. 167) хорда дуги
66, а (7) “сякой синусЪ есть половина
хорды двойной дуги. По сему вЪ прямоу-
грльн. △ кЪ бокЪ противной углу 30 г р. ра-
венѣ его полу'ипотснузѣ; ибо ежели А СВ
— 30, тогда ЕО~БС, а ЕС ихЪ половина.

11	ѴІс. Тангенсы и секансы равно-
мѣрно сЬуглами возрастаютъ отѣ о до 96:
но тангенсы и секансы 90 неопредѣленны;
понеже рлдУусЪ СН прямаго угла ПСА сЪ
тангснсомЪ АЕ хотя безконечно продол-
жатся, сойтись не могутЬ (г, 49).

и з	іа.

12	Ѵііс. ТаигснсЪ 45 равсііЬ радѴусу і
ибо будс уголЪ АСВ — 45, то △ САЕ бу-
дсніЬравнобедренный, и АЕ - АС (г» 155).

1 $ VIII с. СинусЪ всрзусЪ А О дуги А В
к я меньше 90 і р равенЬ разнести между
радКусомЪ СА и косинусомЬ СВ —БІ, а
с о косин сЬ вора сЬ III есть разность ме-
жду р. діуса СН п синуса СІ—ЕС, а си-
н сЪ ворз^ сЬ с племеншЬ Оа _ сумм раді
уса и косинуса ОС угла ЛСБ.

14.	ВЪ тригонометрическихъ выкладкахЪ вЪ мѣ-
сто данныхЪ и искомыхЪ угловЪ поставляются
соотвѣтствующія имЪ прямыя линѢи, то есть, ихЪ
синусы, тангенсы, косинусы или котангенсы, по
разнымЪ случаямЪ, вЪ кошорыхЪ оныя линіи бокамЪ
треугольниковъ бываютЪ пропорціональныя, и ошЪ
знанія только сихЪ случаевг , наука тригонометри-
ческаго вычисленія зависитЪ: и тако чтобЪ можно
удобнѣе учинить оное переложеніе , надлежитъ
адѢлаіпь таблицы готовыхЪ выкладокЪ, вЪ коихЪ бы
можно вдругЪ найти величину синуса, косинуса,
тангенса, и проч. каждаго градуса и минуты всіхѣ
возможныхъ сстрыхЪ угловЪ ( ибо тупыхЪ угловЪ
йо ихЪ суплементамЪ извѣстны). Сіи таблицы подЪ-
имянемЪ т аблицЪ синусоьЪ знаемы, вЪ коихЪ
радіусЪ круга, размѣряющаго всякой уголЪ положенЪ,
Г" іосооо, и по сему на каждой градусѣ и минуту
показанЪ там > сияусЪ, косин. тангеьсЪ ипроч.

ЕопіЪ краткое изЪясченіе по какимЪ правиламъ
сочинены или можно сочинишь оныя таблицы.

ОСНОВАНІИ

Основаніи для сочиненія тдблицЬ
синусов Ь.

1$. I. Дуги АВ ( і) а- ая одну изЕ четырехЪ
іещей аименпо ея синусЪ->.кссинУсЬ> синусЪ версусЪ,
косинусЪ верзус'Ь , найдется особно каждая изЪ
ітрочихЪ гпрехЪ вещей.

Ибо ясно (і. 214) чт0 СИ — V ( СВ □—
В Р □ ) или кос. сг V ( К □ — сГн. □) . РА-
СА — СР или син . всрв. — К — кос, НІ—
СН — СІ или — син ГР угла АСВ, или кос.
всрз. — К — СИН . и проч.

іб.	11. Знакчи дути А В, синусЪ ВР, косинусЪ
СР найдется оюй тангенсЪ АЕ, когпантенсЪ Н.К,
секансЬ СЕ и косекансЪ СК.

Понеже для подобныхЪ гпреугольниковЬ
СРВ, САЕ, СІВ, СІ1К, будетъ СР : ВР
2^ АС: тані.АЕ, и ВР паи СІ:СР или
ВІ“СН: котанг. ПК, то есть, кос: син
гг К іпанг. и син • кос — К котанг. Также
СР : СВ ”СА : СЕ, или кос : 1\ — В.: секан.
и СІ СБ — СИ СК, или син: В. ~ К:
косекансу дуги АБ.

17.	СлЬдст.Іс. Т нгснсы дугЪ сво-
имЪ когаангснсамЪ обратно пропорц^ональ-
ныя^ ибо АЕ СА —СН или СА:ІІК, то
есть, танг: К К котанг. Сего ради да бу-
ду шЪ дзе дуги А и В , тогда К □ или КК ”

Н 4	ніаиг.

( 2іб )

іпанг, Ахкош. А, и ВК ~ шанг.. Б X-копъ.
В, итанг. Ахкогп. А ~ гпанг. Е х кот . Б,.
посему тані А : шан . В — кош. В: кот. А.

і8.	ІІс. Косинусы двухЪ дугЪ А, В:
ихЪ сскансамЬ также обратно пропорціо-
нальныя і ибо кое. А : К — К: сск . А, по-
сему КК — кое. Ах сск • А, и БКг. кос.В;
ХсокВ, того ради кое А: кое В —сск.Б:
сск А- ИзЪ сего явепівуетЪ., что. сега сы- дугЪ спіЪ.
о до 90 гр. прибавляй тся вЪ ©дномЪ содержаніи какЬ
ихЪ косинусы убавляются.

19	. 1П . ДапнымЪ синѴсомЪ и кесинѵсомЪ дуги,
йай ется сийусЬ. половинной дуги и двойней..

Ибо, і с. проведя хорду ВА (ф. I )
данной дуги АВ, шЬ С опусти перпенди-
куляръ СВ, пю для зпасмыхЬ уже ВО, БА,
будстЪ (г. 2ІЗ)ВА^=	ч-РАп ). ІЮ

сему ГА или | хорды. ~ а V ( спи. □ -+- син.
верз. □). 2 с. ІзявЪ АМ за данную д\гуа,
тогда для подобныхъ треугольниковъ ГСА,
ФБА будстЪ СА :СЕ —АВ:Ц), или К;
кое дуги гз двойн. син : син двойной дуги

20.	IV. СыскавЪ синусы и косинусы двухЪ ДугЪ,
^Ѵайдётся синусЪ о’чыхЪ суммы и разности.

I с. ПринявЪ за данныя дуги «Ь, Ъе’,
тогда вЪ подобныхъ прямоугольвьпЪ тре-
угольникахъ впій, мяо, оСг, ЪСр, будстЪ

СЬ;

€'Ь . Ср гГ. пе : те,иСЬ : С« —. Ьр : пдилити
По се му еш + т»х ег синусу суммы дугЬ^

2 с. ВаявЬ за данныя дуги а<,аЬ, бу-~
ДСП) Ср  Сг ~ Ьр КО} но Ге — го — ое- Па
шомЬ СЬ Ср —. о® • «е синусу разности
ДанпыхЪ дву хЪ дугЪ

21.	V. Сумма синуса КМ дуги КА (ф 2 )
коя Меньше р гр. и г роизьеденія квадр. радикса числа
3 синусомЪ К.І, разнести между сею дугою и 3? гр.
равна ЕЫ. дуги. ЕА коя, тѢмЪ больше 30 ти гр.
чемЪ дуга К Л есть меньше 30 ти град,

Пусть дуга АБ._г. 30 гр. и БЕ гг ЕК,
тогда для п добныхЪ гпрсІгольниковЪ 8ІГ,
Я(^О, уголЬ ІГ5 ^С0_8 —ЕСА-30 гр.
и тако уголЪ КЕО гг 3° ГР- и ( ІО)
ОК -5ГК~ІК.-ЕІ. Но ЕКп-СКПг;
ЕС □, йли 4ІК □ — ІК □ — ЕС □. По сему
3 ІКП или ІК.С X З^гЕОо, а извлЬча,
квадратныя радиксы выдсшЬ ІК X V* 3 — ГС,
іИКх V 3 -г КМ —. ЕК.

22.	VI. Сумма синуса ЕТ дуги НЕ коя, мен пів
6о гр. и синуса ЕI ея разности сЪ дугою 6о гр. равна
'синусу КО дуги НК столько превышающей Дугу
6о гр. чемЪ Й Е оной меньше

Ибо для ЕІ—СК, будетЬ ЕТ-+-СКЗІ
КО. По сему на примЪрЪ, син. 55 гр.н*
син .5 гр. “ син .65 гр.

23.	Посредствомъ показанныхъ предложенія
можно сыскащь всѣ синусы, полагая радіусЪ круга

Н 5	размѣряю*

>$?€ (2і8)

размѣряющаго всякой уголЪ “ числу гооосоооэоо. Ибо
уэчавЪ (іо) синусЪ 50 гр . найіется (15 и 19) синусЪ
15 гр. т'і гр. з; гр. и шакЪ далѣе раздѣляя попо-
ламЪ до 12 го дѣйствія, и чрезЪ оное ъы/етЪ
4 уги 52 сек . 44 терціи } ( кварты-синусЪ 2556609,
цоторой сЪ своею дугою безЪ чуствителгнои про-
Грѣшности сходствуетЪ , и потому такія дуги сво-
им'Ь синусамЪ бывающЪ пропорціональныя: того ради
52 сек. 44 тер. кЪсин. 2556609 — дуга г м. кЪ син.
«908882. ЗиавЪ синусЪ і м. найдется ( 19 ) двухЪ,
гіотомЪ ( 20 ) трехЪ, четЫрехЪ, пяти и проч. до
30 гр. а послѣ (21) отЪ 3? гр. до 6о гр. наконецЪ
( 22 ) отЪ 6о гр. до 90 гр. послѣ сего тангенсы и
секансы весьма уже легко найдутся ( 16 ) .

примѣч. Синусы, тангенсы и секансы для крат-
кости не всѢ поставлены вЪ таблицахъ синусовЬ вЪ
россіи напечатанныхъ , аимянно по 3 послѣднихъ
І^ыфровЪ уничтожены, и еще изЪ ост.элъныхЪ по
двѣ отдѣлены за пятою для удобнѣйшаго ихЪ
употребленія вЬ надлѢжащихЬ вычисленіяхъ .

• ***********************
О вычисленіи логлрифмовЬ синусовЬ,
ТАНГЕНСОВЪ И пргоч.

V- >

24 Понеже вЪ выкладкахЪ тригонометриче-
скихъ для лучшей способности (ибо синусовЪ, гпанген—
совЪ и проч. умноженіе, логарифмами ихЪ перемѣняй
пісявЪ сложеніе, а дѣленіе вЪ вычитаніе) нынѣ упо-
іпребляются, только логарифмы синусовЪ, тангенсовЪ
и проч. и логарифмы числѣ изЪявляющіхЪ величины
сторонѣ треуюл' ника: йібго ради вЪ предписанныхЪ
гпаблицахЪ синуДовЪ'поставлены ихѣ логарифмы, а сЪ
на іала лог; рифмы натуральныхъ чиселЪ отЪ і до
іооор, коихѣ сочиненіе вЬ А >иф. части V. гл. ІП
довольно истолковано, а сихЪ здѣсь покажемЪ.

2$ . ЬЬ гпаблицахЪ синусовЪ полохенЬ
радіусѣ или синусЪ цѣлой — ІОООООООООО
частямЪ, по сему указатель логарифма ради
уса есть I О. И тако посредствомъ логариф-
мовЬ чиселЪ сысканы соотвѣтствующія
л гарифмы синусамЪ, шапгснсамЪ и проч.
На примБрЬ 1 с. ДогарифмЪ синуса 39О>*
7311284 дуги или угла 23 гр. найдется
( Арі'ф . стр. 383) слБдующимЪ ооразомЬ.

логар. числа 3908000000(9 5919546
3907000000! 9.5918434
іоооооо| іпг

іоооооо-------ПІ2-------311284(346 ;4б

логарифмЪ синуса 23 гр. 9-59187^0.

2 с. По сему удобно сыщется логарифмЪ
іванг. кошанг. и секанса дуги 23 гр.ипроч.
Логар. спи 23 гр. 9.5918780 20. ооооооо
лог • радіуса, іо. | 9.6278519

19.5918780 11 о. 3721481 логар.

логар. кос. 23 гр. 9.9640261 Ікотанг. 23 гр.
логар. ша.іг. 231р. 9. ',278519 | т>г»

ибо ( 17 ) ------котанг.

4	7 танг.

лог. кьадр. радіуса то есть двойн. радіуса 20.о:соооэ
логар. косин. 23 гр* — 9.96402
логар. секанса 23 гр. -- 10.0359739

/ с х

И6° ( 18 ) кос Г— секансУ*

Оупотрс-.

**.<******************>*<»
— ..	' —	.

О уПОТрЕбЛЕНІИ логлрифмовЪ
синусовъ и проч.

2б. КакЬ иаЬ гоаблицЬ для вычислена
выбирать противЪ градусовЬ, и градусовЬ сЪ
минутами соотвЪтствующѴя логарифмы.ихЪ
СинусамЪ, тангснсамЪ и проч. то упователь-
но читатель и безЪ показанья самЪ увнастЪ.

Но понеже логарифмы во многихЪ пиб-.
дицахЪ синусовЪ, показаны только на гра-.
дусы и минуты, а іЪ нЪкошорыхЪ иносг-
транныхЪ чрезЪ іо сскундЪ: и тако бу де.
случится по строгости вычисленья сыс-
дать логарифмЬ синуса, напримЪ|Ъ 57 гр.
38 м. 46 сск. по обыкновеннымъ табЛицамЬ^
то надобно вычислять по сему правилу :

догар. синуса 57 гр. 39 м. 57	38	9 9267514  9 9266714
ка і  6о сек. : 8оо :: 46 сек : 613 Логар. «ди. 57 гр. 38 м. 46 сек.	раза, 8эо  	6і?  9.9267327

2с. ПротивЪ даннаго логарифма тан-
генса іо. 337753 градусы и проч нахо-
дятся тако:



логар. тапг. 65 гр. 20 м. ю.33795^6 то• 3‘71^

6)_____19_____іэ. 33,7^23з[ то. 337623$

на 7 м.	разн. 3331	120

3331_______6о сек. -------- 1296 (2] \ сек.

По сему данной логарифмЪ таПгегіса соотвѢш»
’сіпіуетЪ дугѣ или углу 65 гр. 19 "м. 231 сек .

27- С/с правило сыскивать логарифмЪ
на секунды, служитЪ токмо вЪ точности
почти отЪ 20 ши до 90 градусовЪ; потому
что разность логарифмовЬ между минутЬ
ЪіалыкЬ дугЬ отЬ 1 м. до 20 ір. между
собою весьма не пропорпуояалыіы. того ради
показано здБсЪ правило, какимЬ образомЪ
такимЬ дугамЬ вычислять соотйБтсгавснныя
точныя логарифмЫ. Нл прймЪрЬ чтобЬ
Сыскать синусовой догарифмЬ I гр. 25 м»
30 сек. то надлсжитЬ сй рва вычесть >

шЪсинус. логар. на і гр. іб м. 8.39^793
логар* і гр. 25 м > 8.3931008

5078$

По томЪ Приведя вЪ секунды і гр> "26 м. ~ $і6э
Сек. и і гр. 25 м. "5100 сек слѢдуегпЪ правило.

какЪ логар. ня 5160.
кЪсин. логар. г гр. 26 м.
а логар. числа. 5100

кЪ логар. •  * •

8.3981773	8 3931008.

?  7С7Ѵ7О2	8. 3030978.

і2.і-з749$ разьссшь Ю.

3.7120497

8*393^8

А послѣ

А гослѣ, логар. числа 5160
кЪ логариф, синуса і гр. 26 м.
а логар. даннаго числа 5130 сек.

27 і гр. 25 м. 30 сек.

кЪ синусову логар. на і гр. 25 ми. 30 сек.

8.398 79$ I
3.7101174

12.1	7

3.7126497

8. 395 47°

половина разности ю ти,	-45

точкой логар. синуса на і гр. 25 м 30 сек. 8. ^950475
которой сЪ сысканнымЪ по общему правилу на
і гр. 25 м 30 сек. 8.3956390 разнится вЪ 85. однл-
ко вЪсихЪ случаяхЪ сЪ довольною точностью можно
употреблять только послѣднюю проюрцію, какЪ
»Ъ сыскѣ логарифмовЪ на одни секунды показано.

На примѣрѣ найти логарифмЪ синуса
и котангенса дуги 37 сск. тогда слЪдуспіЬ,

Логар. числа 6с сек. ~ і м	6.463726Х  і . 5(82017
кЪ логар. синуса і м.	Ь. 0319278
а логар . синуса 37 сек ,	і. 7781512
кЪ логар. числа 37 сек.	6 • 2537766

Логар. числа бо сек* кЪ логар. котанг. ім.	13.5362739 і 7781512
логар.числа 37 сек.	15.314425» г. 5682017

или | 13 7462234

логар. котангенса дуіи

угла 37 сек или тангенса. 89 г. 59 м. 23 сек. Сіе
находится обыкновенно по свойству оныхЪ логариф*
мовЪ обратнымъ троннымЪ правиломъ.

й8. Ежели потребно противЬ какого
либо логарифма сыскать точную соотвѣт-
ствующей дуги величину, какЪ на примѣрѣ
1 с. ПрогоивЬ логарифма тані снса 8.514-
3894? тогда слѢдустЪ сей логарифмЪ прі-

искать

искать вЬ тангснсоввіхЪ логарифмахЪ, И
найдется оной между I гр. 5ІМ. иі гр.
53 м. поптомЬ,

Логар. танг. і гр. 53 м. 8 5143894

логар, танг. х гр 52 м 8.513097З

129x6	12916

ЛогарифмЪ з 8273*93 на число 6720 сек. “ і гр. 52 м.

3.8286509 “ 6740 сек. — г гр. 52 м. 20 сек.
искомая величина дуіи иротивЪ тангенса даннаго
логарифма.

2 с. ЧтобЬ найти приличную дугу сину-
совому логарифму 4. 3 17 З073 , то надобно
учинить сію пропорцію:

Синусовой логар. і м.
кЪ логар. числа 6о сек. “ і м
а данной логар.

кЪ дугѣ о 4282 сек. - - -
6о.

і . 77815*2
4 З172^73
6.0953585

6. д*37?Ы
о. 63x6324

искомая дуга 25.6920, или почти 26 терніи

29 Йи предписанныя Правила о логарифмахЪ за»
неимѣніемъ большихъ сЪ секундами тригонометри-
ческихъ таблинЪ, вЪ пючныхЪ вычисленіяхъ сЬ
пользою уготреблять можно, а особливо вЪ астронс-
мическихЪ: того ради для скорѣйшаго вычисленія вЪ
такогыхЪ случаяхЪ слѣдующія логарифмы вЪ
пополненіе обыкновеннымъ лоіарг.фмическимЪ табли-
цамъ сообщаю.

сек.

•кек	логар. синусовѣ.		сек. логар. та”генсовѢ.	
і	4.6855749	466123.5	1	4.6855749
ІО	5.6855749	и проч.	Іо	5 равны
20	$.9866049		20	5 синуеовымЪ.
30	6.1626961		30	6 логарифмамЪ.
4°	6.2876349		40	6
5°	6.384Я49		50	6
> * * *	* * * *	* * * *	*	**********

Общія ПРЕДЛОЖЕНІИ ТрИГОНОМЕТрИЧЕ*
СКАГО ВЫЧИСЛЕНІЯ

30	. I Во тсякомЪ треугольникѣ синусы угловЪ
ПротиволежашимЪ ею сторонамЪ про'псруіональны,

Доказ. 6 де начертишь кругЬ около
треугольника, то Каждой бокЪ будстЪ хорда
двойной Дуги размѣряющей Противной уголЬ
(г.87)5 а каждая половина хорды Или бока
есть(7) синусЬ противнаго угла: во Поло*
вины пЪлымЬ своимЪ -вслиЧитмЪ прспоруі-
опальны (1.192)5 посему и стороны тргу*
Гольника сЪ противолежащими углами Пре--
бЫваютЪ вссі да вЬ одномЬ содержаніи.

3»	. 'СлѢдст I. гЪ прймоуголіпомЪ △ радіусѣ
ипотенуѣѢ, какЪ синусѣ одного остраго .угла кѣ
•противной ’своей сторонѣ ( 8 и г. Гп )

32	.П.вЬ прямоугольн . △ кѣ КССИІіѴсЪ ОДйого
-•страго угла есть синусѣ д ругова, и тако (30) Синусѣ
одного угла кѣ свОему косинусѵ, какѢ противолежги
цей бокЪ сему углу, кЪ другому бОку. но іб)
синусѣ кЪ косинусу, какЪ тангенсѣ кЪ радіусу: іо
сему вЪ прямоуг. △ танг. одного угла кЪ радіхсу
Жакѣ прошиіолеж. бокѣ сему углу кЪ другому боку.

33	. ПІ. По даннымЪ тремЪ утламЪ треуголъ»
йика не величину его сшоронЪ но ихЪ содержаніе
узнать можно; ибо можетЪ здѣ апгся несмѣтное
число нерзвныхЪ подобныхъ треугольниковъ» кои
будутЪ равноугольныя, и оныхЪ найдется одно со-
дс іжаніе сторонЪ, потому что они синусамЪ про*
тиволежащихЪ себѣ угловЪ про' оруіо іальныя.

34	. IV Всякаго г ря лоугольнаго △ С А В (ф. 3) буд»
изЬ угловъ С, В написать дуги какимЪ нибудь раді-
усомЪ и провесть перпендикуляры БК, ВЕ и НІ,
СЕ представляющія синусы и тангенсы угловЪ С,В
сторонамЪ треугольника САВ пропорціональныя,
то симЪ средствомъ всѢ случаи прямоугольныхЪ
треугольниковъ, и пригпомЪ разными пропорціями рѢ*
шить можно, какЪ ниже явствуетЪ.

И іо 1 с. ЗгіавЪ того △ ка уголЬ С и бокЪ
С А сыскать бокЪАВ Тогда для подобныхъ
треугольниковъ АВС,СЕК, СВЕ,ВІН, БЕО
произходятЬ слѣдующія пропорціи (г. 207).
СВ : ВЕ — С А : АВ, то есть К танГ.
— СА .АВ, и СЕ : Гв — СА: АВ или котанг.
С:К-СА;АВ, напослЪдокЬ (30) кос С: А С
— спи. САВ, или псрсмЪня (г. 196) пропор-
цію есть кос, С: син, С — А С • А В.

2	е . Того же △ С А В Знаючи углы и одинЪ бокЪ
С А сыскать ипотенузу.

По сему БС : АС — СЕ : СВ, то есть К:
АС —сек С СВ, или К:сск. С-ДС : СВ,
либо ІН : НВ — АС . СВ, син. В : В ~ АС . СВ
или си <. В : А С — К . СВ . СвсрхЬ шого еще
С₽: СВ —АС: СВ или танг. В: сек. В

О	АС:

АС СБ, либо танг . В : АС гг сск. Б СБ.

Зе. даны бока АС? АВ сыскать иготепуз^ СБ.

Тогда ВС ~ V ( АСОАВ □ ), Или
иначе, АС :АВ.-СБ ОЕ, то есть, СА:АБ

К танг. С а по сему пай с.тся и СБ (34).

де. Даны, ипотенуза БС, бокЪ АВ сыскать
бокЪ А С.

Тогда АС—. Ѵ(БС □ —АВО),или — ;
лог. (БС-+-АБ)-+-;лоі (БС —АВ) "Иначе,
СВСК-.’АЕ ЬКі иди СВ.К • АБ син. гС,
по гаомЬ (34)

35 г примЬч. Посредствомъ предписанныхъ
правилѣ и прочихѣ онымЪ подобнЪэАдожно рѣшить
всякой прямоугольной пі| еугольникѣ по всѢмѣ зада*
ніямѣ, коихЪ не больше 21 имѣется: а для скоро-
сти вѣ вычисленіи надлежитъ какЪ возможно гпа ія
пропорціи употреблять , вѣ коихЪ бы радіусѣ нахс*
дился; ибо тогда оныя гпол ко одними сложеніемъ
или вычишаніемЪ дѣлаются , вычитая или складывая
указатель ю, Логарифма радіуса сЪ цѣлыми лога*
р фмовЬ прочихЪ частей треугольника, какЪ явстгу*
ешЪ вЪ послѣдующемъ примѣрѣ ,

ПримЪрЪ Даны прямоуюльнаго △ ка
АБС, (ф. 3)б„кЪ АЬ, 145 какихЪ либо рав-
ныхЪ частей, уголЪ С, 37 ГР- 17 м- сыскаіпь
инотенузу БС, и бокЬ АС.

Тогда (30) син С, 37 гр. 17 м

к'Ь боку АВ, 14512 1613680 сумма лог,
К , 90 гр | 9.7822984 числа 145и

КЪ ипотенузѢ ВС, 239.4 — 2.3790696 радіусл. |



К. - -

кпотен. ВС	2.7790*96

кос. угла С	9.0007-19

бокЪ АС, і$<зі 2 2797^15 рпзн. лог. бека АС
и радіуса •

рѢшецІе тпочже задачи чрезЪ синусы*

Син. 37 гр. 17 м	АВ, К-

60575 70 ------- 145 --------- юоооэ

ЮСООО

'*• 6'0575 7 ) 145 0300 ( 2 39 4 ВС*

121104
~л
2564860

1817 7і__
5'72 °
545>8Н

&Г вс кос- 57 гр.і7м‘

Іооосо ------- 2 59 4 ------ 79564 97

__79564‘<,7

190478^; $ 8 сіе раздѢлЯ на юоооо
то есть сгпмѣтя сЬ правой сторо ы 5 цыфрозЪ,
жьпетЪ 190.4'8) или почтя 19'5:хАС

ИзЬ сего видно что оисе шчгслЬніе многодѣлнів

Прежняго.

«**********************

ВЫЧИСЛЕНІЕ прямоугольныхъ ТрЕ-
угольников І) •

56 для облегченія дѣгствгя вычислять прямоуг.
треугольники, о/инЪлСАВ (ф. 5) полагаю, на кото-
рой вЪ слѣдующей гп'блинѣ гок. заны пропорціи или
правила, кои во всѢхЬ случаяхЬ сего ьычіхлешя
могутЪ быть употребительны,

да ны	:ыс- капп	пропорціи или правила вычисленія.
іі  г АВ АС з|	ВС в с	ВС — V*(АВ□ -4- АС □) или АВ АС  К  танг. В, послѣ син .В К АС.ВС  АВ АС В танг . В .  АС • АВ :К піанг . С.
4І  5 АВ-ВС  1	АС В  С	АС — Ѵ(ВСО—АВО)или лог. аС~ 1 л. (вс-*- аВ) -+-; л. (вс — дБ) ВС • АВ :  В> КОС . В .  ВС. АВ. К  син. С.
71  Ч ВС, АС  -1	АВ В С	АВ—Ѵ(вС°—АС□)илилог. АВ" 1л. (АСч-ВС)іЧ л (ВС —АС). ВС:АС-:ЕС син. В.  ВС : АС : К кос. С.
	АС  ВС	К танг. Б А В ; АС . косин . В К :: АВ; ВС.
Ч\в, с 1	АС  ВС	К. кот. С: • АБ ; АС . син, С К = ;АВ ВС.
Я ас, в  I) 1	АВ  ВС	К- котанг, В: АС;АВ. син. В К АС ВС
16іаС,С ’7І	АВ ВС	ІЛ; танг. С. АС АВ.  ;ОСИН . С К :: АС : ВС.
часГ* 19	АВ  АС	Е\: косин. В :ВС:АВ. син. В’ ВС АС.
2С вс,с  511		,1 А В '1	В : син . С :: Ь’С : А В . Е\ кос С ВС: АС

37'

57 ЕсѢ оныя пропорціи основаны на слѢдспі, I и
11. (31 и 32) для тсѢхЪ случг-евЪ прямоугольн. тре-
угольниковъ, изЪ коихЪ іе, 4е и 7е рѣшены по
сему (г. 213) что квадратѣ ипотеиузы равенЪ суммѣ
квадр. двухЪ сторонЪ. Но какЪ вычисленіе квадра-
товЪ не столь удобно, то первое правило перело-
жено вЪ двѣ пропорціи, а 4е и 7е рѣшены ло.грит-
мами? что изЪьсняегпся піако: полсумма логириф-
мовЪ суммы и разности ипошенузы и одною Сока,
есть логар. другто бока. Йе основано на томЪ
что БСіЗ“АВо.“ (ВС-нАВ)х(ВС'—АВ)
посему (Ариф.ст. 372) логар. (ВС~ьАВ)-+- лог.
(ВС—АВ)2ГЛ0Г. АССІ — 2 лог. АС (Лриф. СТП.
373). Также доказывается и се шое правило.

38. И. Во ъсякомЪ треугол икѢ, какЪ произве-
деніе боковЪ содержащихъ искомый уголЪ кЪ про-
изведенію полсуммы трехЪ боковЪ умноженной раз-
ностью между той полсуммы и противнымЪ иско-
мому углу бо омЪ, тагЪ квадратЪ радіуса к э ква-
драту косинуса половины угла искомаго.

То есть ежели вЪ △ А РЕ (ф 4) искомый уголЪ
есть А, тогда АЕхЛР- ( АЕ -4-АР-*- РЕ )
X ( АЕ -4- АР -+~ РЕ ) —РЕ, такЪ КН : □ кос .
половины угла Р А Е.

Докаа. 1 с. уголЪ А, раздВли попо*
ламЬ прямою АО, а иЛ Р кЪ оной здЪлай
перпендикуляръ РВ, ибудстЬ ( г 133 Ар
— АВ, по сему ВЕ “ АЕ — АБ или АР^
разности сторонЪ.

2 с. ЧрсзЬ С про сди СМ паралельно
кЪ прямой РЕ, тоі да (г 2Об)СР — ГМ —

РЕ и ВР — ГЕ по «разности, по сему АЕ
есть полсумма боковЬ АЕ, АР.

Зс. ЧрезЪ точки М, Е проведи пря-
мую линЪю до С, а изЪ точки Р разстоя-
ніемъ СР, или РМ опиши кругЪ, которой
для (і. 89) пряма о угла ССМ (ибо (г 138)
МО паралсльна кЬВС) псрсйдстЬ чрез^ О.
Но РН ~ СР — * РЕ, по сему А И ~
АЕ + АР-і-РЕ, иАЕ—(ДЕ-*-АР-ьРЕ)—ее.

4 с. ПотомЪ вЬ прямо гольпыхЪ тре-
угольникахъ АБС, /ЕС, будстЪ (36) АВ:
АС — К : кос ,Б АС — ~ а Р АЕ , иАЕ.ЛО
~ К • кос. ’ / Е А Р

Посему (г. 197)/Вили АРхАЕ:АС
X АО или (і 22 । ) А н х АБ — К Л : квадр .
косин.^ угла Р/.Е^ и положа косин ’ г: РА
Е — 2, буде тЬ А Р х Е А Н х АБ :: КЕ . 22,
или (г І96)АРХАЕ.КК АНхАБ:22,и

АР х АЕ " А Н х А Б’ и АР АЕ ХАН
X АБ — 22, или -К X -Дг х А Н X А I
А Ь) А іі

квадрату ко'сийуса , -<РаЕ.

39.	СлѢдст. по заданнымъ сторонамЪ трг»
уголтника какой ниесть его уголЪ найдется поегму-
ігракилу: надлежитъ вмѣстѣ сложѵть дві аргф.ѵ.с-
тэтесктя дополненія двухЪ сторонЪ содержащихъ
искомой уголЪ, ( ибо разность между логарифчомЪ
радіуса и логарифмомЪ какого /ибо числа называется
онаго

4ЯИГО арифметическое дополненіе ) логарпфмЬ пол-
суммы трехЪ сторонЪ и лбтарифмЬ разности между
оной полсуммы, и стороны противней ис омому углу»
то пблсумма оныхЪ четырехЪ логарифмсвЪ будетЪ
косинусЪ половины ьопрос :аго угла.

Иначе, мзЬугла О (ф 4) на основаніе А Е
опусти перпсндикулярЬ БІ, пошом .сыскавЪ
(г. 230) части ооновскія АІ, ІЕ, найдутся
( 36 ) вЬ прямоуі ольныхЬ трсуі олышкахЬ
АІБ, ІЕБ углы А, Е и проч.

40	Лемма или п ріуг от о в л • Ежели какихЪ
либо двухЪ чиселЪ полразность сложить сЪ ихЪ
полсуммою, то рныхЪ сумма равна болі шёкіу ч 'слу,
а р-зность между полсуммы и полразнбети равна
меньшему.

Доказ. ПусшьАВ(ф 5) большее коли-
чество а ЕС меньшее. Положа А П-с:еС, бу-
дстЪ ЕВ ихЬ разноси ь, раздЪля БВ пополамЪ
в.' выдешЪ БЕ — ЕЕ, ихЬ полразнос.шь, и
А Б-4-БЕ — БС-ь-БЕ, посему АЕ ~ пол-
суммЪ. СлЪдсіпвснно АЕ-+-ЕБ —АВ, есть
большее, а АЕ — ЕБ сс. ( / Б — ) ЕС ссть
количество меньщее, и пригаомЪ АВ— АЕ-—
БЕ— полразности.

41.	III. Во всякомЪ треугольникѣ АВС-> (ф 6)
какЪ сумма двухЪ боковЪ. АВ-+-ВС *.Ъ разности
о іыхЪ АВ — ВС, такЪ таигеисЪ полсуммы угловЪ’.
С,А, т?>мЪ бокамЪ противолежащихЪ кЪ тангенсу
Хіолраз :ости оныхЪ угловЪ.

Доказ. Изо В разстояніемъ мсньшаю

вока БС начертя дугу, продолжи АВдов,
проведи СВ и кЬ ней паралсльн^ю АН пока
всптрешигаЬ продолженною СО вЬ Н, шоіда
для БС ~ ЬС, будетЬ АС — АВБС, и АВ
—АВ —ВС Но (г. 118 ) г.СБС —ЕСА-+-САВ
— БСВ-ьБВС, а(г.«25) г ВВС — БСВ
полсуммБ уіловЬ А,С, и (4о)^.ВСА —С
АН оныхЪ полравности Но шомЬ с«сли вЪ
треугольникЪ отЪ со инені'я прямоуі ольн°мЪ
САН, линѢю АН взять зараііусЬ, тоСН
будетЬ гпангснсЬ г. НАС, а СН тачгснсЬ
4 НАС Но для паралельныхЬ АН, СВ,
есть (г. йоб) С Н : СН •С А . В А. Посему
СА (ВА-’-‘ танг. г. САН или ВВС: танг.

САН или ВСА.

Иначе. I с. ИзЬ точки В проведи1 ВК
паралсльно кЬСС: но какЬ гСССВ отЬ со-
чиненія прямой, то ВК будетЬ псрпсндик.
кЪСВ. Положа СВ за радГсЬ будутЬ СО,
ВК вЬ одномЪ содержаніи сЬ таніснсами
полсуммы и полреізно'ти угловЬ СВС ,
ВСК. СлЬдст для паралсльпыхЬ БК, СО
(г.2о6) СА : ВА : ::СС ВК.

2 с. Продолжа БА (ф 7) положи А Нш АС,
АІ ~БА, будітЬ ВН сумма, а ІН разность
сш ронЬ АБ,АС. Сосдинл СН, опусти на
нея

йсй перпенд. АЕ, будешЪ (г. ійб) СЕ —ЕЙ
и 4 САЕ~ ЕАН — полсуммЪ угловЪ Б-^
БСА. Проведя АИ,ІС паралельно кЪ ЕС,
выдешЬ 4 ВА Н — большему 4Б,а4СЛВ —
меньшему 4БСА.учиня НЕ —СБ проведи
АЕ, гпоі да вЪ равныхЪ шреуіольнккахЪ САВ,
НАЕ, нео СА — АН,СВ — НЕ и (г. 125)
4АСВ --А Н Г, по сему (г. 134) 4 НА Е — СА
В — ЕСА. СлЪдст 4 ВАГ — ВАН — НАГ —В
— ЕС А — разности углоЛ): но для АВ—АГ,
4 ВАГ и линѢя ВЕ пгрпендикуляромЬ АЕ
раздѣлены пополамЪ, ошЪ чего 4ВАЕ—ЕА
Г — полразности угловЪ Б,БСА. НапослЬ-
докѣ, для паралельныхЪ ІС, ВА, ЕС иЕА —
А I, СВ —.ВС — ВЕ (г.2об) ОпінявЬ обццую
ГС останется ВЕ-СН, слѢдсш ’СН — |
ВЕ —ВЕ. ИзЬ А радгусомЪ АЕ начертя
кр гЬ, будстЪ ЕС тангсснЪ уіла САЕ —
поліуммЪ, а ЕВ — тангенсу угла ВАЕ —
полразн. угловЪ Б,АСВ. Посему НЕ : НІ :
НС : НС :, НС :; НС :: ЕС:ЕВ.

Сіе доказателіетво какЪ видно дольше первыхі
двухЪ, ю предписанной леммй не гпребуегйЪ.

4’ Прим'Ьч. Вышедоказаннук? пропорцію ь'сж а
раздѣлишь вѣсы двѣ, іакЪ малёишей бокЪ БС(ф 8)
кЪ большему В А такЪ радіусЪ кЪ танг. угла п'Ь
коего должно вычесть 45 гр. ПошемЪ радіусѣ кЪ

ніанг остатка, такЪ танг. полсуммы угловЪ Д и
С кЪ піанг. ихЪ полразнссти.

Доказ. Положа ВР —РТ — БС, потомЪ
РМ~ ВА, тогда ТМ —АВ —ВС. Проведи
БК коя бы вдѣлала 4 ЪЕАг: 45 гр а изЬ
іпочскЪ Т,М на БИ опусти перпенди-
куляры ТК, МИ, и соедини КР. Тоіда
гореуі ольники ЕКР, БКТ, БММ суть
прямоуголныя равнобедренныя и подобныя,
посему БК — КТ, ВР — РК — РТ^БС, и
ВИ:г;КМ. Сіе приготовя , вѣ прямоуг. △
РКМ, есть (З^) РК или БС.РМ или АВ •
К: танг. 4РКМ Вычтя 45 гр. изѣ сею
угла останется гТКМггКМК Но ( 3*)
К: танг. 4 КММ..'ДШ или БЬГ.КК
БМ или АВн-ЕС:ТМ или АВ —БС:
танг. А-+-С . танг . А —С (41).

г. ’	а

^****м**********м******
ВЫЧИСЛЕНІЕ косоугольныхъ ТРЕ-

УГОЛЬНИКОВЪ

43.	Зная выше изЪясненныя предложенія мож-
но вычислять к соуголъныя треугольники по кѢмЪ
случаямЪ которыхЪ не больше шести имѣется как Ь
вЪ нижепоказанныхЪ задачахЪ явствуетЪ.

44.	Задача I. ВЬ треугольникѣ АБС (ф
6) даны АБ,БС и уголЪ С сыскать уголЬ
Д. Тогда (30) АБ. сіи, С—БС: сіи, А.

45-

45-	П Зіаючи, АБ,БС и уголЬ С»
сыскать бокЬ*/ С, и4Д Тоіда (30) АВ:.
син, 4. С —. ВС. син, 4 Д

По томѣ А~*-С вычтя изЬ і8б оста-
нется Д Б, и лыко син А:ЕС —син. Б-АС.

46.	ІІІ. Даны уілы А,С и бокЬ ВС>
сыскать бокѣ АБ.

Сіи, ЛА^ВС— син. 4 С.дв (р). СыскавЪ
4 В, также найдется и третія сторона АС.

47,	IV, Знаючи стороны, АГ, 136.

БС, 94 и уголЪ Б, 12-3 гр. 36 м. сыс-
кать углы А, С (ф 6).

Тогда (41) АВ, 136 г_Б. 123г. 36 м.

ВС, супл. 56 24 сумма,
сумма 2р 23 12— Ач-С.

разноегш. 42
логар рази. 42 і. 07 1812
танг. 28 гр. 12 м. 9.7 93?3°_
ю.80З5042
лог. сум 230, 2.3617278
логар танг. 8.4467764

а
потомЪ 28гр-і2 м.

в 36 м.рсек,

4.С, 2 гр 48 м. 9сек,
4 А, 26	35 51

полразности углові А>С

1	гр. ;6 м  9 сек.

Ежели ноги; ебно по томужЪ заданію сыскать
третей бокЪ АС, то прежде.должно найти углы,
а послѣ "резЬ- 1, задачу найдется и бокЪ АС.

48.	П имѢч. Сію задачу кромѣ выше оказзг,
ныхЪ (41 и 42) правилѣ можно рѣшить третьимЪ спо-
собомъ таі.о: изЪ точки С на. продолженіе А В (по-
неже 4 АВС тупей )-опуспіи перпенд. СЕ, и вЪ
прямоуг. △ СБЁ зн я величину СВ и/СВЕ
н или (36) СЕ, ЕЕ потомЪ вЪ прямоуг. С А Е
Ааны СЕ и АЕ сыпется 4 А и проч. И такЪ явно

что

^шо ете вычисленіе пот удняе перваго (47).

49.	V. Даны три стороны треуголь-
ника АБС, (ф. 8) сыскать сго углы.

Тогда (г. 230) АС-АВ-ьСБггАВ — СВ:
АО разность частей АЕ, СЕ. ПотомЪ —
— СЕ~ мепыней части, а ОЕ + ВА“АЕ
большей части. НапослѢдокЪ вЪ прямоуголъныхЬ
треугольникахъ СЕБ, ВАЕ знаючи стО| оны СВ»
СЕ иАВ, АЕ найдутся (зб)всѢ углы гпреугольни-

По шомужЬ заданью, СВ, 48. АВ, 6о.
АС, 86: искомый уголЬ С.

Тогда ( 38 )	х АВч-АСн-ВС

ѵ АВ+АСч-БС , __________

X -----_-------- — А В — квадрату коси-

нуса ’ угла С, то есть,

Логар- АС, 8611.9344984 АВ, 6о

БС, 4811. 6812412 ВС, 48

З-6157396 АС, 86

ЛОГ . К К , 20 . ОООООСО І(?4

16.3842604	97 “ | суммй

Лог. числа 97, 1.9867717 АВ, 6о

Лог. числа 37, 1.5682017	37 ~ АВ-кВС-н-ДС

19.9392338	— АВ.

9« 9696169 логар. кос. 4 угла С 68, гр* 49 м.

СИН. 4 Угла С 21	II

Искомый С ~ 42	22

50.	п имѣя, для сыску величины угловЪ по из-
вТстнылі'Ь сторонамЪ равнобедреннаго треуголіника,
надлежитъ ею раздѣлить ( перпендикуляромъ )
на два равныя прямоугольныя треугольника и найти
( 36 ) вЪ нихЪ углы.	Проч-

(аз7)

Прочія предложеніи примѣрами изЪяснить пока”
эалось ненужно; ибо учащемуся «лая предписанныя
п івила, треугольники по раанымЪ заданіямъ самому
рѣшить уже не трудно.

***********************

ПрИбХБЛІЗНІЕ

рдзныхЪ тригономЕтричкскихЪ
задачъ.

уі I. КакЪ тригонометрическій мастабЪ сочи
нить, то есть личеямЪ хордѣ» синусовЪ, тангенсовЪ
И проч.

рѣш. I с. Произвольной величины ра-
дѴусомѣ, на примѣрѣ вЬ 3 дюйма, какой на
АнілискихЪ ф шовыхЬ шкалахЪ, начерти
полкру іа аНА (ф 9), и четверть окруж-
ности АН раздѣли на 18 равныхЬ частей
шо есть чрезЬ 5 гр. (г. 167).

1с. Проведи лин ю /И, содержащую
хорду 90 гр. Поставя одну ногу циркуля
вЬ точкѣ А, перенеси на черту А Н всЬ хорды
А 5, А Ю и проч іпакимЬ образомЪ линѢя
хордѣ или хордовой мастабЪ начсршится.

3	с. ИзЪ пючскЪ раздѣленной дугиАН,
спущенныя на радиусѣ СА перпендикуляры
или кЬ радиусу СН паралелли раздѢляшЬ
радпусЬ СА вп синусы считая ошЬ С кЪ А

( *?» )

ЧрсвЪ 5, а счисляя огпЪ А кЪ а повсему
дГамешру покажу тЬ синусы верзусы ошЪ 5
до і8о гр.

4	с ИзЬ центра С чрсвЬ точки дугй
АН, проведенныя линЬи р^здВлятЬ пер-
ПендикулярЬ АС, на тангены чрезЪ 5 , какЪ
А5, А ІО и проч.

5	е. Проведенныя ЛинБй ошЬ точки а
или по /инейке кЬ а и кЪ конца мЬ тан-
ГснсовЪ прилагаемой, р.іздЪ^ится радиусЬ
СН на полтангенсы С $, С іо и проч.

6	с. ОтЪ точки С, перенеси н-про-
долженной радіусѣ Си, секансы С$, Сю
и проч. тогда получите ЛинБю, какЬ СІ
сскансовЪ С 5 , Сю и проч.

7	е. раздБля дугу аН, на 8 равныхЪ
частей, и проксія 90 в ю хорду аН, пе-
ренеси на нЬя хорды, какЬ а I , а 2, и проч.
По сему лгнБя а II, здБлаейіея мастабомЬ
румбовЪ, и полрумбовЬ буде дуга аН на іб
частей раздѣлится и проч.

8	с. равнымЪ образомЪ, ежели дугу аН
на 6 или 12 равныхЪ частей раздБля пе-
ренесть хорды на линБю аН, то оная
бу дстЪ 6 ти чссовой мастасЪ , раздѣленной
на часы и получасы і ибо 6 час. га 90 гр.

Послѣ того на бума» и , на деревѣ или
На м ли, назначь по числу шѢхЪ лин’й,
при общемЬ кЬ нимЪ перпѣндпкулярѢ пара-
лелныя линѢи, и на оныя перенеси шѣ зд -
ланнЬія іиастабы, при шомЪ д< лжно полагать
секансы на одн черту сЪ синусами, по іп му
что оныя начинается послѣ ц лаю синуса
90 і р. И такѣ сочинится общей у гломѣрн й
у іСіпабЬ, помощію котораго к пно сЬ Гео-
метрическимъ (г.-246) всѢ возможныя три-
гонометрическія задачи почершежу безЪ
ВычмелѢнІя рѣшить мо^но» Оной же мас-
т.аоЪ сЪ лучшею точностію дѣлается пос-
редствомъ геометрическаго мастаба и таб-
личныхъ натуральныхъ синусовЬ) танг и
проч. токмо на линѢю хордЪ Должно кла-
сть двойныя синусы (7). Для івочн ій-
таго начертанія фигурЬ нежели по мас-
табу хордѣ, величина оныхЪ хордЪ, про-
ті вЬ каждыхЪ ІО м. градуса показана вЪ при-
соощснной кѣ концу сея книіи табличкѣ.

52	. П. Поэаданной величина радіуса круга сы-
скать бокЪ какого нибудь вЪ нѢмЪ вписаннаго поли-
гона и обратно,

рѢш. НадлежишЪ сперва сыскать по-
лугла у центра того полигона (г. 37)

₽Ъ примѢрЪ ЕСІ, пятиугольника (г.ф. 32)
а по оному и радіусу СВ, вЬ прямоугольн.
4 кБ ІВС найдется ( 36 ) ІВ — і ЕВ , и
перпенд. ІС. Посему ежели радіусѣ 5 ти-
угольника величиною Л 5 саж. 4 ф. или
39 Ф тогда бокЪ онаго будетЪ 45. 84, Ф»
мапошемЪ 31. 55. ф. Обратно, внаючи /.Е
СІ, у центра и половину стороны полиіона
1В сыщутся радГусЬ СВ, иапотемЪ СЦЗ^)-

НапримЬрЪ, пусть ЕВ, будетЪ бокЪ 12 тц
угольника ~ 56 футамЪ, тогда:

Логар. син- угла ЕСІ 15 гр.
кЬ боку 1В - 28. ф.
а логар . прям . угла
кЪ ипогаенуге СВ,
І$о 2 фута.

1.447158а
іэ.

и . 4471580

9. 4129962

2. 0341018

По іцомЪ СВ □—- ІВ □ ~ СІ □ или, иначе;

2.0341618

Прям . угол . 90 гр ,

а син угла В, 75 гр.

»СЬ Лин . С I —;

І04 5 фута.

9.9849438

2 . ОІ9Ю56

53	. СлѢдст. Позаданному боку или ра-
діусу помощію тригонометріи площадь вся-
кого правильнаго полигона шочнБйшимЪ ге-
ометрическаго способомЬ о іредБуить м ж-
ноі ибо ІВхСІ — площади △ СВЕ, ко-
гаорую умножа ц ю выдсшЪ 3511а О ф,

ІДЛЦ

мЛи ^16 О саж. 28 □ ф. площадь мнимаг*
12 ши угольника.

54	ИІ Е'Ь прямоуг. піреугомникѣ АВС /аныв
ропррй уголЪ и одно изЪ прочихЪ частей сыскати
стороны треугольника.

рЪш. I с. Ежели онаго даны угла ,
А,С (ф- I о) и сумма боковЬ АВ-*~1С. тогда
ііа продолженное основанье А В положи мне-
ніемЬ ЁВ^ВС, отЬ чего }глы В иІСВ,
будутЪ по 45 гр. и АВ — АВ+-БС ИтакЪ
вЬ △ кЪ АВС, по знасмымЬ і гламЬ, и лин ія
АВ найдется (3°) АС. а по ней и чрезЪ
углы вЬлАБС, опредѣлится (3$) и вели-
чина боковЪ АВ, БС,

По чертежу, воставя перпенд. А Е
АВ22АБН-БС, по извѣстному углу А про-
, веди АС, потомЪ оп)сти перпендик. СВ.

2	с. Когда даны )іла да разность АВ
— ВС —АВ (ф. 11), тоі да мысленно по-
ложа БВ — БС проведи СВ . потомЪ вЬ △ ь.'Ѣ
АВС, по знасмымЬ угламЪ и боку АВ,
найдется (3°) ипотснуза АС, а по ней
вЪ △ АВС можно сыскать бока БС, А В.

3	с. Естьли даны АВ-ьАС,(ф 12) и4
А вЬ такомЬ случаЪ, на продолженной линЕе
АВ, положа АВ —АС, будетЪ ЕЭ —

и	ас;

АС, а г В и пи (г. 125) ВС А~ БАС: по
сему вЪ △ ВВС, найдется бокЬ I С, а по оному
и<іА, сыщется величина сторонЪ АВ, АС.

4с. 6 де извѣстна величина АС — ВА
да углы А, С, то положа АВтг.АВ,
проведи ВВ (ф. 13) ибудгтЬ ВС т АС--
АЕ, а ±.1 ВВ или АЕВ гг. -Р------— Но

2	1

< ВВС есть компл. угла АБВ. По сему
вЪ △ ВВС найдется ( 30) бокЬ ЕС, а по
оному и угламЪ А,С узнаются АВ, АС.

55.	IV. Какого нибудь іп еугол ника, А ВС (ф.
14") да' ы угла да сумма его сторонЪ, сыск ть о.-мя
порознь 

рѢш. Прсдставте ссбѢ, что на продол-
женномъ основаніи АВ положены ВА~АС,
ВЕтГ-ВС, и проведены ВС, ЕС: тогда линЪя
ВЕ равна будетЬ суммЪ сторонЪ, а углы
В,Е для помянхтыхЬ равныхЬ линѣй суть
половины данныхЬ уіловЬ А, В, по кото-
рымЬ и по основанію вЪ ДВЕС, найдет-
ся ГС (30). ПотомЪ вЪ равнобедр. △ В/-С
зная ВС и уі лы сыщете боіЪ А С , а
по оному и угламЪ вЬ △ АБС узнаете
ст роны АВ, ЕС.

Для рѣшенія однимЪ чсртсжемЪ , по-
ложи сЬ мастаба равныхЪ частей лмнЪю

ВЕ

ПЕ — суммѣ сторонѣ, и кЪ ней по транс-
портиру или похордовому мастабу (5 1) при-
пиши углы В,Е, равныя полѵОвинамЪ д н-
ныхЪ углоЛ А,Е ПотомЪ линѢи ВС, СЕ
раздѣля (г. 66) перпендикулярами пополамѣ
проведи /С,іС, и такЪ здѢласпіся задан-
ной △ /ЕС. Довод явенЪ ошЪ сочиис ні'я.

56.	V Д ны уг,’ы да площадь какого нібудь
треугольника опредѣлишь величину его сторонѣ.

рЪш. ПосредспівомЬ масгвабовѣ начер-
ти шрсугольникЪ рав-оуг. данному, и смѢ-
ря высоту пайдй, сі о площадь Иначе, про-
Шивѣ данвыхЬ уі лові возми изѣ таблицѣ
синусы,. цздЪлавѣ изѣоныхѣ треугольникъ,
которой б дсгаЪ подобной заданному; ибо
сипу сы уі ловѣ с шь пропорціональны сѣ про-
тиволежащими боками ; по томѣ во ономЪ
треугольникѣ найди (г. 296) площадь. На
конецЪ у чиня сію пропорцію, какЪ оная
площадь кѣ данной, піакѣ квадратѣ одного
синуса кЬ квадрату бока с< ошвѣтешвую-
щаго ему вЪ данномѣ треугольникѣ, коею
сыг канной радиксЪ , будешѣ искомая сто-
рой і (	298)» а ПР° Гя чрезѣ п. 30.

57	VI. По извТстннмЪ лглмЪ АСР, ССВ.
(ф 15) и ч стямЪ АВ, ВВ основанія АВ> опре»
дѣлишь точку С.

( М4)

рБш. Около треугольника АЕС означь
Мнимой кругЪ АС ЗЕ, и йродолжа СП
проведи АЕ, БЕ, тоіда вЬ △ АЕЕ, будстЬ'
4 АЕЁ — Д АСЕ, а д ЁАБ —ДЕСВ (г. 90).
ВЪ △ АБЕ чрезЪ углы А,В и бокЪ АВ,
найдется (3°) ЕВ» ГІо томЬ вЬ △ ЕБВ,
зная величину лйиЪй ЕБ,ВВ, и Д ЕБВ
получигпе (45) уголЪ ЕВБ~ АБС. Но ив-
всстнымЪ уі ламЪ и бока АВ вЬ △ АВС,
найдется (3-°) АС, ВС также и ЕС, и
ЧрезЪ то положенье точки С опрсдБлптся.

По чертежу , должно сЪ Мастаба по-
ложить линЪю АВ, и іЪ ней по хордЪ
приписать д ЕАБ — Д ВСЕ, а Д АБЕ^
АСВ. НотомЪ чрезЪ точкиА,Б,Е начер-
ти криЪ (г. іоо), тогда продолженная
линЪя ЕО, опр дЪлитЪ на окружности
точку С, а по проведеньи линЪй АС,БС
и данныя угла АСВ, БСВ, какЪ то изЪ
сочиненья явствустЪ.

.58. VII. вЪ треугольникѣ АВВ (ф. іб) даны,
АВ, перпендикул. ВС и Д АВВ опредѣлитъ т ч-
ку В и сыскать прочія части треугольника .

Сочи и. ЛлнЪю АБ принявЬ за хорду на-
черти на ней часть круга, вЬ коей бы всякой
уголЪ равенЪ былЪ данному АВВ (г 105).
МЬ разстояньи СВ проведи (Г. 62) ЕЕ па-
ралсльнукг

^алельную кЪ АВ, прссскающую окруж,
ноешь вЬ О. ИзЬ Р на продолженіе АВ
спустя перпендик. РС проведи /Р,ЬР: и
такЪ оная фигура начертится, і] на идете я
чрезЪ мастабы величина каждой ея части.

Для вычисл. Проведи радіусы НА, НВ,
НР и НО паралсльно кЬ 1С: тогда вЬ
п рямоу голыі. △ кБ АIН, зная ^-АНІ~2.АРВ
(г. 88) и АІ~’АВ н ійдегася АН и пер-
пенд. НІ- НоРС — СС (или — НІ) ~ РО:
по сему вЬ прямо)і . △ кі НОР зная вели-
чины НР, РО найдется (36) НО ~ 1С, изЬ
коей вычтя ІВ останется ЕС. На конецЬ
вЬ прямоугольн. △ кБ ЕСР извѣстны ЕС,
СР, сыщется (36) СЬР и проч.

ПриадБч. ЧшобЬ вЬ заданіи перпенд.,
С Р былЬ меньше нежели IК ~ 1Н -ь Н Р: при
ніомЪ же вЬмБсто перпенд. СР для лучшаго
навыкнозсні’я вЬ рБшеніи разныхЪ таковыхЬ
предложеніи, м жно кЬ д нвымЪ АВ и
АРВ придать знаемую величину РЕ сЪ / Е
или сЬг.ВРЕ, либо лин ю ВЬ сЬ Е, ко-
тораго сторона РЕ псрссскала бы окруан
ноешь АКРБ’

59. Ѵ1І1. Даньх стороны треугольника СВ Д
рыскать ЛинѢи СО А О,В О’ по за аннымЪ угламЪ,
ДОС, АОВ (ф. 1701В Игі- ).

п з	рѣшеніе

рѣшеніе соя задачи можетЪ быть ’пй
пірсмЬ случасмѣ. По перьвому , сикели
с мма угловѣ, то есть АСС-»-АОВ — і8б>
тогда точка О гридеспѣ на линЪс СВ
( ф 1	. По сему для опредЪленГя ея вы-

числѢніемЪ, надіежитѣ сыскать ( 49 ) 4
Ё: потомЪ знаючй Л △ АОЕ, уілЬі да
боЪ АР, сыіу піеч (30) ОА,ОВ и чрезЪ
то опредѣлится мѣсто точки О.

Но чертежу, надлѣжигаЪ сѣ мастаба
( г. 246 ) начертить спгръВі данной тре*
угольникѣ АВС, и ка хордѣ Л В п транспор-
тиру или соткала написать (г Юс) дан-
ной 4 ОВ Иначе, начертя 4 Н1С ~ дан-
ному АСС, проведи АО паралельно кѣ Ш.

2 с. Естьли сумма гіі1 хЪ углозѣ будстЬ
меньше 186 (ф I 8); тогда точка О придстѣ
вн горсуіольника; вЬ такоѵ случаѣ пред-
ставь, что чрсЪ точки О,В, С описанЬ
кругѣ и проведены ЛинѢи СО АО, ОВ и СС,
ЕС. По сему 4 ВОА — ЕСС, а 4АСС^1
СВС (г. 90). ЗніЯ углы и бокЪ СВ, вѣ △
ЕСС, получите всличі ну ЛинѢи СС,ВС.
По сысканному (49) углу Б вЬ ДСВА,
выдстЬ 4 СВ А — СВС СВ А. ИмѣвЬ 4
СЕА и бока СВ, АБ, вѣ △ СьА, найдется

(47)

(47)»і.ВАБ ПотомЪ вЪ △ кЪ ОАВ> почз-
вЪсіпнымЪ )гламЬ и боку АВ, сыщутся БО>
АО. Напо.слрдокЬ вЬ △ АСС, посрсдстюмЬ
СО, АО и угла СОА найдется ОС(ЗО)-

А чщобЬ точку О однимЪ чс тсжсмЪ
оп сдолипіь, то слЬдусгвЬ на ли Ъ ВС>
положить со ткала /-СП-/ СОА, а Д
іСИг^/ЕОА, и чрсаЬ і/ючки Б,Р,С оз-
начить кр гЬ, тогда продолженная линБя
АС, покажстЬ на окружности искомый
пункпіЪ О и проч.

3 с. Но коі да с} мма данныхЪ угловЪ
АОЕ, А ОС случится быть больше і8б,
тогда точка О придстЪ вЬ самомЬ △ кБ
СЕ А (ф. 19) ре.шг.нГе сего случая вычи-
елгні’емЬ ичергпежемЬ, какЬ умному чита-
телю очевидно есть, во всемЬ подобно
второму случаю.

6о IX отрТс а круга ИЕК (г. ф з) знаема
Величина хорды ЬІК. и высота КЕ сыскать онаго
площадь.

Р’Ьш. Соверша отрБзоіЪ вЪ круіЪ (г. 102,)
продолжи КЕ до С, и сыскавЬ ценш^Ъ С,
(г. іоі) проведи радіусы СИ, СК. ПотомЬ
1с, надлЪжитЬ по сей пропорціи КЕ.ИК
: -НК; КВ (г. 219) сыскать полдіам. СИ или

II 4	СК

СК 2 с. ВЪ равпобсдр. △ кБЫКС по извБс-.
іпнымЬ сторонам , найдется (5О)дИСК,
3 с. учини пропорцію 360 гр. кЪ углу
МСК, такЬ окружность сысканная (г. 318)
по діаметру ЕР, кЬ дуіЪ МЕК, 4 с. СыскавЪ
площадь вЬ △ МКС, и (г 291) сектора КС
КлК, коихЪ разность будетЬ искомая
площадь предложеннаго огпреска ИЕК.

61 X. Треуголніик.1 аЬс, (ф. 20) коего даиц
жпороны ас, Ьс и/_с перенесть на да” кую лічЪю Н1.

Сочин ИаЬ какой либо точки данной
/\инЬи какЬ А проведя по изволенію прям къ
АК, отмЪшь на ней А Р — а с. ЗдБлавЪ Д р —
с и положа РЕ—сЪ проведи АЕ, коя
равна будетЬ аЬ(г. х'^4 • О пЬ точки А по-
ложи АБ—АЕ, а изЪ СиВ разстоянІсмЬ
/Р и РЕ учвня поросенку дугі вЬ С про-
веди АС, ЕС, и піако на линБс НІ здБланЬ
Л АБС - Д аЪс (г. і 32).

62-XI. Соиержіініе діаметра кЪ окружности
®го круга оііреділіт ,

р пі. Понеже син сЬ сЬ піані снсомЪ
пропіийЬ одной минуты вЬ шабЛЙЦахЬ меж-
ду собою не разнятся до семи дробныхЬ чи-
сслЬ: того ради положа, за дГ імстрЪ
200000, с пусЬ дуіи одной минуты б)-
дсаЬ 29.0888212, или (7)полсшороны впи-

саннагс^

саннаго во ономЪ кругѣ 10800 ши уголь-,
ника, что можно безЪ чувствительной по-
урсшности полагать за 21 боо ю часть всся
окружности, и по тому оной окружности
выдстЪ 628318 54. Слѣдственно дКамсшрЬ
кЪ своей окружности вЬ содержаньи есть какЪ
$ооооо кЬ 628318.54, или раздѣла на %
выдстЪ {ооооо: 314159.27^ а вЬ малыхЪ
числахЪ какЪ і оо: 3 14 Но полагая по Мсці’-
еву * изоорстснію діамстрЬ 11 3 частей най-
дется весьма блідско истинной окружности
355 частей чрезЪ слѣдующую пропорцію;

іооосо—314159.27—113
ПЗ

354.9999751 или почти 35$.

* ЛіріанЪ меціус’Ь уроженецъ города Алкм^а вЬ
Голландіи, которой жилЪ около начала 17 столѣтія,

***********************
РПИСАНІЕ о пропорціониом Ъ циркулѣ
6>- Пропорціотюй циркуль или просто секторЪ
есть инструментѣ состоящей изЪ двухЪ мѢдныхЪ
либо дереіяччыхЪ линѢякЪ, коихЪ два конца соеди-
нены вмѣстѣ талнерОмЪ, и около гвоздика какЪ цен-
тра движутся, то есть разсходятся и сжимаются, и
т ,мЪ они на подобіе геометрическаго сектора (г. 68)
разной величины углы составляютъ. На обѢихЪ сто-
ронахЪ оныхЪ личѢякЪ нарезаны или напечатаны
различныя мастабы, а именно:

I е. Говоря о АнглискихЪ пальмовыхЪ секто-
П <	рахѢ

рахЪ, какія есть вЪ морскихЪ училищахЪ, I е. Линій
или мастабЪ равныхЪ частей оз аченнсй литерою
раздѣленѣ на го имелдче рав іыхЪ Частей, и оной
вмѣсто геометрическаго мастаба употребляется .

ге- Линѣя хордѣ (С) раздѣлена по полукругу^
котораго радіусЪ длиною вЪ полсектора или равенЪ
разстоянію опіЬ центра сектора до хорды 6о гр.

Зе. ЛінѢя синусовЪ (5) натуральныхъ раздѢ.
лена по томужЪ радіусу.

де. Линѣя тангеисовЪ (Т) до 45 гр. намѣчена
но томужЪ радіусу •

$е. Не бол тая линѣя тангеисовЪ (г) отЪ 45
Гр. до 7$ гр. раздѣлена по кругу, коггораю радіусЪ
близь 2 хЬ дюймовЪ и употребляется вЪ дополненіе
линѢи тангенсовЪ Т.

бе. ПотомужЪ малому радіусу назначена линѣя
секансовЪ ($ е с ) отЪ іо гр. до 7$ гр. вЪ равномЪ
разстояній отЪ центра сектора сЪ линіею г.

7 е . Линія полигоновъ (Р) отЪ 6/о ц сгпоро-
нахЪ намѣчена сЪ раздѣлу окруженія , котораго
радіусЪ вЪ половину длины сектора иЛи по радіусу
хорды гр. и оныя части послѣ кЪ сей хордѣ
ПаралелінО положены»

8е. на -ономЪ же секторѣ вовсю его длину имѣ-
ются з линѢи, а имянно линѣя (К) нумеровЪ или
ЧлселЪ ошЪ і до іо, иЛи до ісо, раздѣлена помощію
геометрическаго (г- 246) мастаба и логарифмовЪ
тѢхЪ чиСелЪ; по ОнОи линѣе всякія геометрическія
пропорціи рѣшить можно»

9е. ЛінѢя синусовЪ (зіп) а другая танг» (гап)
равнымЪ образомЪ раздѣляются по томужЪ мастабу
и посредствомъ логарифмовЪ синусовЪ и тангеисовЪ
за простыя числа сЪ онаго взятыхЪ. Помощію сіихЪ
Линѣй и линѢи .нумеровЪ, всякія тригонометрическія
Пропорціи безЪ вычисленія только циркульною мѣрою
рѣшить можно.

Оныя

Филя же линѢи ина гантирскомЪ *ткалѣ, то есть
На двухЬ футовой деревянной Англ ской линійкѣ,
Какія у иасЪ вЬ употребленіи имѣются наряду сЪ
Ирочими, какЪ то сЪ линіями синусовЪ верзусоъЪ
меридіональныхъ градусогЪ и проч, кои потому
же основанію раздѣляется какЪ и секторныя; при-
томЪ на другой сторонѣ сего шкала, тоже и на
футовомЪ, ест линія называемая мили длины (М ѣ)
’сЬ приложенною хордо-о, о гой сочиненіе и упо-
т іебленіе Ша же и прочихЪ линій по ихЪ надоб-
ности вЪ надлежащихъ мІстахЬ обстоятелгно ис-
толковано вЪ кн. 1Ѵ и V бугеровой навигаціи при
МорскомЪ же Корпусѣ напечатанной 1764 года .

ПоліЗі отЪ употребленія поля утаго сектора
состоитъ вЬ томЪ- что онЪ вмѣсто всѢхЪ разной
величины прсстыхЪ и угломѢрныхЪ мастабовЪ одинЪ
служитЪ, ежели измѣряемая Величина непревосхс-
дитЪ длину всего сектора; ибо по растворенію онаго
всякая линія, которая мен ше ею длины, раздѣ-
ляется на какія нибудь равныя части, а чрезЪ
линіи хордЪ, син. танг. и проч* на немЪ назначен-
ныхъ, находятся по разиЫмЪ радіусамЪ надлежащія
хорды, сиі. танг. и проч. употребленіе, и сочине-
ніе сектора основано на сей геометрической истиннѢ
(г 207),что пораз ятіи сектора линія а<1(ф. 21) со-
держащая хорду, еинусЪ, или тангенсѣ какова ни-
б ддь числа градусовъ кЪ своему радіусу а с, такЪ сіе
хорда. еинусЪ или танг. кЪ своему радіусу сЬ. Ибо
оныя части го мірѣ своихЪ радіусовЪ прибавляются
и умаляются»

Ежели угодно го сектору какую нибудь ЛинѢю,
КакЪ А В (і. ф 57) раздѣлить вЪ примѣрѣ на 5 рав-
ныхъ частей, то надобно взять гиріулемЪ сг
* ЕдмундЪ ГанпіирЪ П офессорЬ Астрономіи вЪ
Грезамс’кой коллегіи, около 1-24 года издалЪ сочине-
ніе сихЪ логарифмическихЪ мастабовЪ.

Черту

<Кргпу и разнять секторЪ такЪ, чтобЪ оная помѣсти^
ласъ между лин й рав іыхЬ частей на числахЪ 50 или
іоо удобныхЪ кЪ раздѣленію ея на 5 равныхЪ частей:
роптомЪ снятое циркулемЪ разстояніе между іо и іо
ріо есть пятой части числа 50 ти будетЪ пятая
часть ЛинѢи А В .

Когда данная линѢя случится больше длины
©бѢихЬ половинокЪ сектора, тогда надлежитъ оную
раздѣлить пр изволенію на нѣсколько частей и каж-і
дой части искать пятую часть, - то сумма всѢхЪ
ГятыхЪ частей ЛинѢи, на какія раздроблена сперва
данная линія , будетЪ оной искомая пятая частъ.
у отребле пе сектора вЪ тригонометрическихъ вы-
рладкахЬ показано особливо вЪ 11 части кн • V вы»
тепомянутсй навигаціи-

вЬ прочемЪ на нЁкотррыхЪ секторахЪ кромѣ
вышеописанныхЪ линѣй им'Ьчтся пропорціональны^
линіи площадей, толстотѣ і.равил ныхЪ тЬлЪ^
вѣса мѢшалловЪ и проч.

КодецЪ Тригонометрій^

*

ЕЛЕМЕНТЫ

ЁЛЕМЕНТЫ СфЕрИКИ

ж % Ф я Ж -ж- *	•«' 4 * * *

ЧАСТЬ ПЕрВАЯ

НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІИ;

Г» 1/71

<*****§

§ | С В §ферика или наука о сфсрЪ до Ас-
$***** пірономіи, гномоники и Географіи
принадлежащая, и ПіолкуешЪ о взаимномЬ
Положеніи и о размЪрсніи дугЬ круговЬ на
поверхности сферы изображенныхъ.

Ежели кругЪ АЕ В (еф.ф. і) около неподвижна?»
діаметра А В Обратить, .то выдетпЪ сфера или піарЪ'
(г. 371), а концы хбрдЪ ЕВ, ОЕ, ІН прямостоящія
кЪ А В опишутЪ круги, коихЪ діаметры равны симЬ
хордамЪ. по сему всякое сѣченіе сферы плойсоОпью
есть кругЪ (г. 374).

2.	ДіаметрЪ сферы кЪ плоскости ка-
кого либо на ней круга прямостоящій, на
зывасшся о сь ссго круга, а оба конца оси
имянуются полюсы онаго круга, посему
точки А, В суть по^ юсы круговЪ описанныхЪ на
іферѢ концами хордЪ ЕВ, ЕО, ІН и прочт

3.	большой кругЪ сферы естыйойііу
которой отЪ своихЪ полюсой равно ош-
СШОИИіЬ: какЪ кругЪ концами лЕ? В диметра ЕВ

9ішсашнойС

•*сэ?€ (254)

описанной есгпь тЪ равномЪ рагсгпоя й'и огпЪ его го-
?ксовЪ А» В> то есть вЪ §о гр. считая по поверхъ
несши сферы.

4» СлЪдсіп. Каждой большой круіЪ
сферы имЪстЪ особливыя два полюса.. По
сему одна точка не можстЬ быть осівммЪ
ПОЛЮСОмЪ ДвухЪ большихъ круговЪ.

5	. Малыя, круга сфс ры суть тЪ , кои
от своихЬ полюсовЬ неравно отстоя тЪ:
дь.0 круги, коихЬ діаметры ГС, НІ и проч.

6.	ДіамешрЪ каждаго Сольшаі о кру іа
проходитЪ чрезЪ центрЬ сферы: но ді'а-
к тры всЪхЪ малых круговЪ минуюгаЪ сего
центра. Посему центрЬсферы есть общей
ц нпірЬвсЪхЪ большвхЪ круювЬ, и плоскость
каждаго большаго круга раэдЪляспіЪ сферу
на дьБ равныя части, а ещЪ плоскости
малыхЪ круі овЪ раздѣляется в неравныя.

7.	Паралелыіыя круга сферы сушь шЪ
малыя круга, коихЪ плоскости суть п іра-
лсльныя кЪ плоскости большаго круга,
какЪ круги дІамстровЬ ГО,Ш суть па-
ралелгиы кругу коего діаметръ ЕС.

8.	ВсБ паралсльнья круі а на сфс|1>
ілмЪкпіЬ общія полюсы, и можно ихЪ при-
знавать ва односрсдинныя сЪ большими
Кругами, и разсѣкаются на подобныя дуі и ,
большими

бошіглмм кругами чрезЬ общія ихЪ почюсы.
проходящими.

9.	Плоскость проходящая чрезЬ три
точки поверхности сферы, сущія вЬ рав-
номЬ разстояніи ош одного полюса боль-
шаго кр)га , будетЬ паралслыіа плоскости
сего круі а сферы .

ІО.	Кратчайшее разстояніе между ДвухЪ
точгкЬ на поверхности ш іра есть дуга боль-
шаго кр га между оныхЪ точскЪ включен-
ная, та кЬ какЬ прямая лин я на плоскости.

II.	Означенной на сферѣ о ружности
большаго круга полюсы, можно найти по-
средствомъ кривоножнаго циркуля (на-
зывасм го сф. ричсскимЬ ). Ибо развѣдя она-
го концы на четверть окружности гпого
круга поставь одинЬ конецЬ вЪ какой ни—
б дь точкБ той окружности,, а др_угимЬ
концэмЬ вЪ обЪ стороны на сфсрЬ опиши»
д гн: равнымЬ обраэомЬ сЬ другой, точки
круга шБмже разстояніемъ циркуля долж-
но начертить двіэ дуіи, то сихЪ д гЬ пс-
рссБчки сЬ первыми почажупЬ шоі о круга
полюсы, то есть, д.Ъ проши олежащія
точки, из коихЪ каждая на 90 гр. вЬраз-
стояніи отЪ сего большаго кру а (3).

12.	НапроіпивЬ того для начсртайГІ
Ііа сфсрЪ большаго круга изЪ даннаго его
Ьолюса , надобно взять сфсричсскимЪ цир-
йулсмЬ тбчно четверть окружности наз-
наченнаго большаго круга на сфсрЪ, или
йнаго круга на плоскости написаннаго,
котораго бы ДіамстрЪ' былЪ равенЪ діаме-
тру оной сферы, и поста вя консцЪ цир-
ж ля на ваданномЬ полюсѣ начерти на сфс-
рЪ круіЪ, гпо оной будстЪ искомой большой
кр гЪ сферы. Такимже способомЬ отЪдан-
йыхЪ точскЪ описываются на сферЪ всякія
круги или дуги круговЪ.

I 5 . Сіе описаніе всякихЪ круговЪ И
д гЪ на сферЪ АтЪ ихЪ полюсовЪ , можно
Мысленно представлять чинимое простымЪ
циркулсмЪ, полагая одинЪ его неподвиж-
ной консцЪ на оси вЪ центрЪ описусмои
/уги или круга.

14. предл, 1 Какіе нибудь два большія круга
На сферѣ напйсаТуіыя пересѣкаются между собою на
д'вЬ равныя части.

Понеже сіи два круга имЪютЪ одинЪ
ЙенгпрЪ (6), и общее сЪчснКс ихЪ пло-
скостей есть (г. 336) прямая линЪя: но
сной центрЪ долженЪ быть вЪ ихЪ сЪчсніи,
Ао сему прямая та линЪя есть общей діа-
мешрЪ

мстрЪ обоихѣ круговЪ, при шомЪ всякой кругЪ
ошЬ своего дѴамсшра раздѣляется пополамЪ)
сего ради бО'ЫііУя кру іа на сферѣ между
собою пополамЪ разсѣкаются.

1$. СлЪдст. I. Всякія двѣ дуги боль-
шихъ круговЪ, изЬ которыхЬ каждая меньше
і8о гр. ни какой на сферѣ площади окру-
жать не могутЬ, но только стычкою одниЛ
своихѣ концовЪ составляютъ уголЬ, а дру-
гими концами уже не смыкаются.

16	. II Два большая круга взаимно рас-
сѣкающіяся дЪлаюггіѣ два угла по обѣ сто-
роны сЪчсн/я равныя: и оныя круги рас-
сЬкоюшся вЬ расстояніи і8о гр. то есть,
вѣ прошиволежащихЪ шочкахѣ сферы.

17	Сферический уголЪ есть взаимное
наклонен/е двухЪ большихЪ круговЪ и раз-
мѣряется дугою большаго круга включенною
между дуі Ь сею угла, и отстоящею вЬ^о
гр. отЪ угольной точки.

1 8. СлѢдст. I. По сему дуга ГЕ ( ф. 2)
большаго круга отЪ верха В какою нибудь
сф ричсскаго угла ЕБЕ описанная, есть
мѣра онаго угла. И вообще, какая нибудь
дуга Ге отЬ верха В написанная и содержится
между сторонѣ БЕ, ВЕ сферическаго угла ЕВЕ

р	есть

есть мѣра сего утла. Ибэ ДабуіетЪ АГВСЛ
плоскость полкруга, и А плоскость
другова» кои своимЬ пересѣченіемъ состав-
ляютъ сф рич. <ГВЕ, тогда явно (г. 337)
I е. Что буде на обѢихЬ плоскостяхъ изЪ
центра С кЪ діаметру АБ проведется
прямостоящая радіусы СЁ, СЕ, то уголЪ
ЁСЕ равенЬ наклоненію двухЪ плоскостей,
а дуга ЕЕ изѣ центра С н.писанная есть
мѣра сего наклоненія: но какЬ (13) оная же
дуга можетЪ нач ртиться отЪ полюса
йо сему точка Б есть по*юсЪ дуги боль-
шаго круга размѣряющей сф< ричс скій уюлЬ
Ё ЕС. 2 с Ежели изЬ иной какой либо точки
с, взятой на сѣченіи А В, и ко оному на тѢхЬ
плоскосшяхЬ составить два пе пендмкуляра
се, еГ, то оныя будутЬ в плескоейіи перпен-
дикулярной кЬ АБ, слі дств нно и бЬ плос-
кости круга паралелгнаіо кЪ плоскости боль-
шаі о круга, коего пэлюсЬ Б: пр томѣ А Б есть
общая ось оболхЬ сихЬ круговЬ, то /іесГ (и
сі о мѣра д га еГ изЪ Центра с описанная ) бу-
дешЪ равенЬ наклоненію Плоскостей двухЬ
полукруговѣ (г 337) Но та же дуга* С опи-
сусшся (<3) изЪ точки В, по сему кйкая ни-
будь дуга еГошЬ верха Б>сферическаго угла
написаннад

написанная и между его сторонЪ ЁВ, Е^
включенная есть мѣра сего угла.

19. П. Ежели продолжатся сторонъ!
какого либо сферическаго угла ЕВЕ (ф. 2)э
пока опять сомкнутся вЪ А, тогда ЕАЕ —
ЕБЕ, и продолженныя дуги бу ЛутЪ суплс-
мейты піБхЪ дугЬ. Ибо двѣ дуги вторичнб
перссБкаются токмо вЪ разстоянія 1801р.
сто чею дуги АГВ, АЁВ будутО пб 186
гр. Но В есть полюсЪ дуги ЁЕ равм; ряю-
щей уголЪ Е Е Ё, а сія дуга ЕЕ отстбипіЪ отЪ
іпочекЪ ВиАвЬ 90 гр. по сему точка А
есть также полюЪ дуіи ЕЕ, слЪдствснйо
дуга ГЕ равно размѣряетъ оба сферическія
.углы ЕВЕ, ЕАЕ.

120 ІН Точка круга отстоящая ііЬ 90
ір. ото его пресѣченія сЪ другимЪ кру-
гомЪ, есть мѣсто, гдѣ первой кругЪ отЪ
другова тогда вЬ дальнЪйііюмЪ разстояніи
находится, и обратно.

21.	IV ОтЪ взаимнаго пресѣченія двухЪ
большихЬ круювЪ или дугЪ противолежа-
щія углы между собою равныя; потому
что наклоненіе дву\Ъ плоскостей есть
тоже по обБ стороны ихЪ разсѣченія.

22.	V. Половина больШаю круга на
Р Я	другомЪ

(2бо)

другомЪ или дуга на другой дугѣ стоя-
щая составляешь два угла, изЬ коихЬ
одни всегда суплсмснтЪ другова. По ссмѵ
всякой сф ри ісской уі олЬ есть меньше
і8о гр.

25. II. разстояніе полксобЪ двухЪ болгшихЪ
крѴговЬ на сфгрВ равно углу наклоненія сихЪ
КруговЪ-

Пусть АЕВ, СЕС (ф. 3) будутЪ два
большія круга сф'ры, коихЬ плоскосгпи про-
ходяшЬ чрезЪ его центрЪ Р, и пу сть а, Ъ суть
по юсы одного, и с, сі поюіы другова круга.
Тогда ( 'ч ) Дуга А а Се ~ 90 гр. а дуга Са
у обЬихЬесть общая, ксю отнявЬ отЬ равныхЬ
ост ірешея дуга АС размѣряющая наклоне-
ніе С РА круговЪ, равна дугБеа р ізм ряющей
разстояніе полкъ овЬ.

24	. СлѢдст I. Прямаго сферическаго
угла одна сторона проходишЬ чрезЪ по-
люсЬ другой стороны или дуги угла, и
обратно. Ибо будскЬАЕ прямый (ф 3)> то
дуга ЪЕ — 90 ір. коей точка Е отстоитЪ
ошѣ дуі и АСВ вЬ 90 гр посему точка Е
есть ея полюсѣ: также точка Ь есть полюсѣ
дуі и АЕВ.

25	. II. ВсѢ большія круга или ихЪ дуги
чреаЬ

( збі)

Чр' зЪ полюсы иной дуг і проходящія суть
п рпсндикулярны кЪ оной дуіѢ. По сему
ежели потребно изЪ данной точки на дан-
ную Д}гу опустить перпенд. то надобно
чрезЬ ту точку и полюЪ данной дуі и
провесть лугу большаго кру а.

2.6 ІИ Два или мноіія большія круга
либо ихЪ дуги перпендикулярныя кЪ иной
дугЪ, исрссБксіются всЪ вЬ ея полюсБ или
й> разстояніи на 90 ір. отЪ сся дуги,
и обратно : дуга се к\ тая ді’Б или многія
другія дуі и вЪ разстояніи на 90 гр. ошЪ
ихЬ пресѣченія, веБ оныя перп ндикулярно
< равсБкастЬ и персходитЬ чрезЬ ихЪ полюсы.



ЧАСТЬ ВТОРАЯ
О ПРОЕКЦІИ СфЕрЫ
начальныя основаніи

27. Проекція сферы есть умственное
представленіе сферы на плоскости со веБмй
ея точками и круіами, такЪ какЪ они на
прозрачной плоскости ( на сшсклЪ ) чрезЬ
нЪкос ошЬ нея разстояніе оку кажутся.

.	( -6с)

г 1

28	• Сія плоскость, на которую сф* ра>
Лея кругами и точками такЪ переносится,
ымднусгпся плоскость проекціи.

Проекція сферы есть двоякая: орѳогра-
фическая или прямоизображалмая , сшсре-
оі рафичсская или косвенной редставлясмая.

29	. Стереографическая преецкія сферы
есть такое представленье ся кр і овЬ на,
плоскости круі а чрезЪ центрЬ сферы про-
ходящаго (называемой плоі костью проекціи)
какЪ они кажутся оку смотрящему на сферу
иаЪ одноі о полюса тою большаго кр іа.

30	. МЬсто ока именуется точка пред-
ставляющая или нижней полюсЪ, а діаме-
трально противолежащая точка называется
дальнѣйшая или верхней полюсЪ.

-р-31. Начальный- или первый кругЪ есть
іпотЬ большой круіЪ, которой проекцію или
представленіе ограничиваетъ.

32 Прямый кругЬесть тотЪ, которой
представляется діамстромЬ начальна) о
круга, и есть видЬ того большаго круга,
коего плоскость чрезЬ око проходитЪ.

3 3 • Косвенный кру гЪ есть проекція
того большаго круга, коего плоскость про-
тивЪ ока вЬ косвенномъ доложеніи на-
ходится.	5*

34	Проекція какой либо точки на сф ра
сспіь та точка на плоскости проекціи,
чрезЬ кою отЬ ока лучъ аренія цроходгтЬ.

35.	ЛинБи отЪ каждой тоіки окруж-
ности представляема! о круга кЬоку, или кЬ
цредешав'яющей шочкБ доходящія, сос-
тавляюсь выпуклую поверхность конуса.

36.	Ортографическая проекція сферы
есть переносное игображепіе оной сЬ ся
круіами на плоскости перпендикулярными
кЬ ней линіями, піакЬ яко бы смотря на
сферу изЬ безконечнаго рассіпоячія, и тогда
лучи арЪнІя между собою паралсльчия.

37.	По сей проекціи налагается око
на оси круга проекціи пребезм р.номЬ
отЪ него разстояніи, и чрезЬ то всБ пер-
пендикулярныя кЬ плану проекціи соіьшія
и малыя полкруга переносятся на прямыя
линБи или на ихЬ діаметры, то есть, на хор-
ды того круга $ паралсльныя же круга на
равныя себБ круіа, а косвенныя или на-
клонныя кЪ плоскости проекціи круга
изображается Еллипсисами и проч.

Но какЪ йя проекція не столъ употребительна
вЪ сферической наукѣ, того ради о первой, то есть,
4 стереографической особливо толковать будемЬ.

р 4	О СВОЙСТВАХЪ

‘»сЭ?3 ( 264 )

О СВОЙСТВАХЪ СТЕрЕОГрАфИЧЕСКОИ
ПРОЕКЦІИ.

ПРЕДЛОЖЕНІЕ. I.

38	ВЪ сей проекціи сферы, кѢ крута нег о-
ходящія чрезЪ око представляются кругами .

Пусть АСЕВБ( ф.4, 5 иб) прсдставля-
стЪ сферу, пересѣченную плоскостью К5
перпендикулярно діаметру ЕН, отЪ мѣста
ока Е проведенною, и пусть сѣченіе сфе-
ры плоскостью К5 будстЬ кругЪ СГСІ,
коего полюсы Н и Е.

ПоложимЪ А СВ есть представляемой
кр гЪ на сферѣ, коего удаленный полюсѣ
отѣ ока есть Р, и лучи аронія отЪ круга
АСВ простираючись вЪ Е составляютъ
конусЪ /СВЕ, коего треугольникъ АЕБ
есть сѣченіе проходящее чрезЪ всрхЪ Е и діа-
мстрЪ основанья АВ: тогда фигура а§Ъ{
проекція круга ЕС А будетЪ кругѣ.

Докаа Понеже углу ЕаЪ есть мѣра ~
дуги /С-+-(’ЕПі дуги СЕ (г. 94), а
углу ЕВА мѣра і дуги АС -+- , дуги СЕ
(г. 87): посему г: ЕВА —дЕаЬ, и ото того
треугольники ЕАВ, ЕЬа имѣющія уголЬ
Е общій суть подобныя. Сею ради аѣ сѢ-
чстЪ стороны ЕА, ЕВ конуса антипара-
лсльно

( йб 5 ) с,’^«м
лельно кЪ АВ. Слѣдсш. сБчснІс аГЬд есть
кррЬ (г. 463).

ПомыслимЪ еще, что плоскость К5 обо-
ротится на линЪс СБ, пока соединится сЬ
плоскостью круга АСЕВ, тогда явно есть,
что точка Ь падопіЬ вЪ Н, точка Г вЬЕ,
а круіЪ СГВЬ соединится сЪ кругомЬ
СЕСН, и здЪластся начальнымъ кругомЬ,
коего точка Р или Е будетЪ мБстомЪ
ока, по сему представленной кругЪ аІЬд
учинится кругомЬ «ЬіЪК.

39	СлЪдст. I. Ибо явно, что средина
представленнаго діаметра есть центрЪ
прсдставл. круга большаго или малаго.

40	. II. Центры и полюсы веБхЬ кру-
говЬ паралсльныхЬ кЬ плоскости проекціи
ложатся на центрЪ проекціи.

41.	III. Центры и полюсы круговЬ на-
клони ыхЪ кЬ плоскости проекціи, при-
ходятЪ на діаметрЪ начальнаго круга
прямостоящій кЪ діаметру проведенному
чрсзЬ око или представляющую точку; но
вЬ разныхЪ разстояніяхъ отЪ его центра.

42.	IV. Всякой косвенной большой кругЬ
сБчстЬ начальнаго круга вЬ двухЬ точка хЪ
діаметрально противолежащцхЪ,

Р 5	ПРЕДЛ.

ПрЕДл. Ц.

43,	Представленной ддэмешрЪ какого лвбо крѵг»
содержимой вѣ углѣ при окѣ, равенЪ разстоянію,
фего кру.а стЪ его ближайшаго гоЛсса на сферѣ. И
сей уголЪ прямою соединявшую око и тот'Ъ голксЪ
юополамЪ раздѣляется .

Пусть сфера ПРЕС (ф-7) псресЪчсна
плоскостью К8, и А^С какой лі.ер косвенной
большой круіЪ, крсі о діамстрЪ псрснсссні?
йЬас, а КОѢ ему паралсльной кругЬ, коею
діамстрЬ Кѣ прсдсіпавлснЬ вЪ кі.

разстояніи сихЪ круговЪ ошЬ ихЪ по-
люса і суть дуги АН?,КНР, а углы аЕск
кЕ!, сушь углы при окЪ содержимыя г.хЬ
представленными дГамсшрдми ас, КІ.

Тогда углу аЕс есть мѣра дуга АНР,
углу кЕІ мЪра дуіа К.НР, и сіи углщ
чрезЪ ЕР пополамЪ раздБлсны.

Докаа- Ибо дуга РНА —дугЪ РС, а
дуга РНК —ДугЪ РЕ (3)- Н° УГЛУ АЕС
мБра есть ; дуги АРС —дуіЪ РНА (г.8?),
также углу КЕЬ естьмЪра ’ дуги КРЬ —
дугЪ РНК. Посему уі ловЬ АЕС, КЕѢ суть
мБры дуги РНА, РНК, и притомЪ явно,
чщо оныя линЪсю ЕР пополамЪ раздѣлены.

44.	СлЪдсш I. Коіда линЪя ЕР перс-
носитЬ подюсЬ Р вЬ р, тогда она же отсыла-
ешь

$піЬ представленной полюсЪ кЪ точкѣ од
сферѣ вЬ окружности начальнаго круга.

45-	И- На начальномъ круіѢ можно
назначать представленіе всякаго круга,
$осго даны разстояніе отЬ его полюса и
нсренѢсснная точка сего полюса. Ибо РА
и ₽С перенеслись вЪ ра и рс, а раздѣленіе
пополамЪ линѢи ас д-асіяЬ центрѣ иско-
маго круіа.

46.	Ш. Всякой представленной кос-
венной большой круіЪ сБчепіЬ начальнаго
круга подЬ угломЪ равнымЬ наклоненію
того косвсннаю круга кЬ плоскости про-
екціи. Ибо Ра равномѣрна сЬ наклонснІсмЪ
ЕА, а Га есть мѣра углу ЕНа, по сему
ЕН,На каждая ПО 90 ір. (17).

47	• IV. разстояніе между проекціями
большаго круга и ні коего ему паралсльнаго
равно ихЪ разстоянію на сферѣ. По сему
проекція ак равномѣрна сЪ АК.

ПрЕДЛ. Ш.

48	Всякая точка сферы стереографически пред
ставленная, отстоитЬ отЪ центра проееніи на ігш
генсЪ полдуги включенной между сею точкою
полюсомЪ оку противележащимЪр положа за’радіус
цолдіаметрЪ сферы-.

•*?э^ (’йб8 )

Пусть сЪЕВ (ф. 8) еудстЪ большой
Кругѣ сферы, коего ценшрЪ с, иСН плос-
кость проекціи сскущая дІамст^Ъ сферы вЬ
Ъ, Б. Е,С полюсы сѣченія сею плоскостью,
а, есть проекція точки А: тогда са равна
есть тангенсу полдуги АС.

Доказ. Проведя СР шангснсЪ дуги
СВ~ | дуги СА, соедини сР, тогда тре-
угольники Срс,саЕ оудутЬ равныя, ибо
Сс — сЕ, /.С — Еса — прямому, и /-СсР
~/-сЕа (г. §7), посему са^СР (г. 133).
СлЪдствснно са равна тангенсу полдуги СА.

ПрЕДЛ. IV.

49.	уголЪ состоящій между окружностей двухЪ
КруговЪ на одной плоскости взаимно пересѣченныхъ
равенЪ есть углу между тангенсами тѢхЪ круговЪ
у точки сѣченія; и еще равенЪ углу между радіу-
сами вЪ ту точку проведенными.

Пусть СЕ,СВ (ф 9)будушЬ двѣ дуги кру-
ГОвЬ на одной плоскости псрссѢчснныхЬ вЬ
точкѣ С. АС, БС ихЪ радіусы СО, ГС тан-
генсы при точкѣ С. Тогда криволинейный
х ЕСВ — х ССР — г АСВ.

Доказ. радіусы АС,БС суть перпен-
дикулярный кѣ тангснсамЬ СС, ЕС (г. 81),
также и кЬ дугамѣ СЕ, СВ По сему для
одинакаго

одинакаго положенья тангенсовЬ и дугЪ
при точкѣ С,4ЕСБ г^4ССЕ. ПріттомЪ 4
АСВ +• 4 БСО ~ ( прямому п) 4ГСО-+-4
ЕСО, и тако по отнятьи отЪ нихЪ общаго
угла ВСО, будетЬ 4 АСВ п 4 ГСО. Сего
ради 4 ЕСВ 4ССГ — 4 ДСБ.

50.	ПримЪч. Ежели дуги СЕ, СО
будутЬ вЬ равныхЪ плоскостяхЬ, то тажс
истинна окажется вЬ рассужденги ихЬ тан-
гснсовЬ Ибо положимЬ что кругЪ СО обра-
щается на нсподвижномЪ радЬ сЬ ВС , пере Ъ-
каючи кругЪ СЕ вЬС, тогда тангенсѣ СЕ
движась сЪ нимЪ имБешЬ тоже наклоненье кЪ
ВС: и сколь наклоненье плоскостей сихЪ
кру говЪ персмЬнишся, то столь перемѣнится
и наклоненье тангенсовЬ. По сему уголЪ
между тангенсами во всякомЪ положеньи
кр глыхЪ плоскостей, равенЪ есть углу
между ихЬ окружностей.

5(. СлЪдеш. Ежели плоскость каса-
сіпЪ сферу вЬ точкѣ взаимнаго пересѣченья
двухЪ круговЪ, тогда тангенсы обоихЪ
круговЪ лягутЪ вЬ сей плоскости . По сему
во всякомЪ косвенномъ положеньи, прямая
ЛинЪя перпендикулярная одному тангенсу,
псресБкасшЪ другой шангснсЪ.

ПрЕдЛ.

‘•’сЭ.*} ( 2/О)

ПРЕДЛ. V.

52.	уголЪ между двухЪ крутрвЪ стереографиче-
%кій представленныхъ равенЪ углу 5 какой тѣ круг^
иа сферѣ дѢлактЪ.

Пусть ІА СЕ, АВЪ (ф. I о) суть два круга
йа сферѣ гБкутІяся вЪ А. Е мѣсто ока, и КЗ
'плоскость проекціи , па Котору ю точка А
перенесена вЬ а на линѢю 1С діаметра круга А
СЕ Пусть ВН, ГА тангенсы круговЬ А СЕ
.^АЫ. Тогда ежели «<!•, суть проекцій
шангснсовѣ АЕ, АВ, то перенесенной г
будстЬ равенЬ сферическому дБ АС.

Доказ. Ибо йіангснсы АВ,АГ лѢжаггіѣ
косвенно па плоскости касающсй сферу вЬ
А(51) ОтЬ какой либо точки В тангенса
АВ воставя ВГ перпейд. кЪАВ сѣкущую
'тангенсѣ А Г вѣГ, проведи ВС паралельно
кЬ ІС до продолженной черты ЕА вѣС,по
ІпомЬ соедини ГС и ГЕ сѣку щую плоскость
Проекціи вЬГ. Но какЪ тангенсѣ БН сетѣ
Й> одной плоскости сЪ кругомЪ А СЕ про-
ѣсодящимѣ чрсзЬ око Е, то линѢя АВ псрс-
несется вЬ лйнѢю а а.

А понеже 4 ВСЕ —/Да Е (г 4^)~4Е/Н
(г. 86 И94) а/ ЕАП—лВЛС(і-4°): сего
ради 4.ВСЕ ~ 4 ВЛС, и ВС ~ВА(і Д 25) Но
$ Г перегіендик .кЬ АВ, также и кЬ плоси
кости

кости АСЁ, и по сему она вЬ паралсльпохЪ
помженіи сЬ плоскостью К5. Того ради
проекція линѢи ВР есть пер іендику лярва
кѣйа проекціи линіи СА.

И тако т ‘суіблыіики йЕа, БРС суіпЬ
парчлелныя сѣченіи пирамиды БЕОЕ, піЪ
чего ай й і:: ( ВС — ) В А : ВР (г. 434). Сего
ради шре^ голышки А В Р, а й Е им ющія пОрав-
ному уРлу и стороны около сего уі ла про-
порціональныя , суть подобныя (г. 210).
СлѢдст. ^ЙЯ = /ВАЕ. Но / САР ^ВАС
(49), по сему гійаЕ^гВАС.

ПрЕДЛ. VI.

53.	разстояніе между полкховТІ начальнаго круга
и косвеннаго вЪ е й проекцій! равно гааніенсу гголна-
клоненія сихЪ круговЬ; а разстояніе ихЪ центровЬ
равно тангенсу того наклоненія . полагая пблдіа-
мешрЪ начальнаго круга за радіусЬ.

Пусть АС (ф II) будетЪ діаметрЪ
круга, коею полюсы РиО. и наклонснЬ кЬ
плоскости проекціи вЬуглЪ А1Е. а , с, р, про-
екціи шочскЬ А,С,₽.Н<іЕ представленной
косвенной кругЬ, коего центрЪ д. Когда плос-
кость проекціи вдБластся началЬньімЪ кру-
гомЬ косі о полюсЬ I, тогда Ір — тангенсу
полугла А1Е или полдуги АЕ, аід—Шан-
Гснсу дуги АЕ или угла ЕНа —АІГ.

Докаа.

Докав. Понеже АН -+• НЕ — АН -+- АР,
м тпакѣ НРггАЕ Но 1р — тангенсу по-
ловины дуги НР, или половины АГ (48).
Притомѣ когда АС уже перенесена вѣ ас,
то д, средина линѢи асгешь центрѣ пере-
несеннаго круга, которой представляется
чрезѣ НаЕ(45). Продолжи Ед до г, тогда
да п дЕ, и -<дЕа — г.даЕ (г. 125).

Но /ідаЕ размѣряется полудугою ЕГА
(г.94),поссму дуга АНг — дуіЬ АГЕ (г. 74);
но какЪ дуга АНР ~ ГС^Е, то Р* ~ АЕ ~] Р,
и НРг — двойной дуіѢ АЕ, и тако (г. 2»о)
ІЕд — г А1Р наклоненію круговЪ. Но Ід есть
тангенсѣ угла ІЕд при радиусѢ ЕІ.

54.	СлѢдст. радіусѣ косвеннаго ’ руга
равенЪ есть секансу наклоненія сею круга
кѣ начальному, ибо Ед есть секансѣ уіла
ІЕд, при радіусѣ ЕІ.

ПРЕДЛ. VII.

уу. Ежели чрезЪ данную точку на начальномъ кругѣ
напишется косвенны кругЪ, тогда центры всѢхЪ иныхЪ
косвенныхъ круговЪ чрезЪ сію точку проходящихЪ
БудутЪ на прямой линѣе, проведенной «резЪ пеі трЪ
иервіго косвеннаго круга перпендикулярно кЪ линѣе
чрезЬ сен центрЪ, данную точку и центръ началь-
наго круга проходящей.

Д4

Да будетЬ САСЕ (ф 12) начальное. «г ,
ВЕІ большой кр гЬ спис інной чрезЪ В,
коего центрѣ есть В. НК сть прямая черта
проведенная чрезЬ Б, перпендикулярно кЬ
прямой СІ, прошедшей чрезЬ В, Би центрѣ
начальнаго круга. Тогда центры всЕхЬ
прочихЪ большихЬ круговЪ ГВО проходя-
щихЪ чрезЪ В гіридушЪ на линію НК.

Доказ. IІонежс Е есть предегпав іяющая
точка, то кругЪ ЕВМ будгтѣ проекція
круга, коего діаметрѣ ость ММ (3$)
сему ВиІ сушь проекціи пючскЪ Т4,М
противолсж.ицпхЪ на сфсрі , или кои нэ-
полукружность ' расстоятЬ. Того ради всо
круга проходящія чрезЪ В и I должны быть
проекціи большихЬ круговЪ на сферѣ. НоВІ
есть хорд вЬ каждомЬ круіЪ проходящемъ
чревѣ точки В, I. Слѣдственно центры
всіхѣ сихЪ круговЪ прид тЪ на линію ГК,
перпендикулярно чрезЪ В средину линіи 1)1
проведенную (г 71 ).

ПрЕДЛ VIII.

$6. равныя дуги какихЪ либо двухЪ болшіихЪ
круговЪ- включаются меж/у двухЪ иныхі круговЪ
іг| оведенныхЪ на сферѣ чр-езЪ Дальнѣйшія ноль сы
силѣ большихЪ круюьѣ.

Пусть РВЕА(ф 13) будстЪ сфера коей.
АСВ, СРВ, сушь два большУя круга, Е(В
д.лінЪишія ихЬ полюсы, и чрезЪ сіи полюсы
провсдснЪ большой круіЪ ГВЕС, и малой
кругЪ ВСЕ, прссЪкаЮшІя большихЬ круговЪ
А СБ, СРВ в іпочкахЬ Б,С и В,Р: тогда
включенныя Д)Ги БС, ВР между собою бу-
д т равныя.

Д каз Ибо дуги ЕВ-4-ВВг^РВ-ьВВ,
по сему ЕВгхРВ, и дуги ЕЕ-еРСп Р6.
-‘-РО ( з ), для того Ер-рС Но точки
Е,С равно отешоятЬ 6ніЬ мкЬ полюсовЪ
Р, Е: при томЪ / ВЕР — ВРС, ибо круги при
точкахЪ взаимнаго ихЬ пресѣченья дЬлаюпіЬ
равныя углы ( 1Ь). По сему треугольники
ЕРВ, РСВ суть равныя (нижеп. 96), й
дуга ЕС ~ дугЪ В .

ПрЕДЛ. IX.

57.	Ежели отЪ предспнвле :наго полюса болт%
ТКаго круга проведутся линѢи, сѣкущія окружность
перенесеннаго круга и плоскости проекціи, тогда
включенный дуги сихЪ окружностей будутЪ равныя,
П^сть на плоскость проэкпѴи АОВ(ф.іЗ)
псрснесенЬ большой круі Ь СРВ вЬ сГ<1, а
полюсЪ его Р вЪ р: тогда проведенныя
линЪи рй,р{ прссекушЪ окружность плос-
кости





кости проэкцУи вЪ В,С, а перенесеннаго
круга вЪ й,{, и дуга СВ~ дуіЪ Га.

Доказ. Понеже точки С,Р перене-
сены вЪ аД (38)» то дуга (8 равной’Брна
сЬ дугою ГВ: но дуга РВ равна есть дуіЪ
СВ (55)? по сему <9'га ОЕ — Ы.

ПрЕДЛ X.

58.	радіусЪ тсякаго малаго круга, коего шіос*
кость перпендикулярна еспіь плосюсти начальнаго,
равенЪ тангенсу расстояяія сего малаго круга отЪ
его полиса: а секансЪ сего расстоянія равенЪ рас-
Ѵпояні’ю центров'Ь начальнаго круга и малаго.

Пусть Р (ф. 14) есть полюсЬ, а АБдѴа-
мстрЬ малаго круіа,коего плоскость пер-
пендикулярна плоскости начальнаю круга,
коего цснтрЬ С тогда <3 будстЪ цснпірЬ
представленнаго малаі о круга, <1А п тан-
генсу^ дуги РА, а гі С ~ секансу дуі и РА.

Доказ. Проведи дУамстрЬ ЕО паралс-
лыю кЬ АВ, а чрезЬ Р черту сЪ. Понеже Е есть
прожекту к щая точка, то дУамсшрЬ АВ пере-
несется вЬ аЪ ( 34 ) , и «3 средина линЪи
еЪ есть цснтрЬ круга на аЪ ( 39 ) ‘
сему прямая проведенная отЬ В чрезЬ А прй-
дстЬ вЬ Ь (г. 89) , проведи СА, оД. ПсшомЪ
рЬ прямоугольн; трсуі ольникахЬ 1)СЪ} РАЕ,

С а	имѣю-

ИмѢю’ПвѵЬ опціей уголЪ С, будетЪ г ЕЪС “ 4
БЕ А Но / ЕЕЛ — л г ЕСА, а / ЕЬС~
АсС, по сому л ЕС А ~ АсІС (г.88). ПритпомЪ
/• ЕСА 4- /. АС<5 — прямом углу, посему и

Аі'С + ^ 7 СЕ “ прямому же уі лу, и тако <
Са<1 есть прямой (г. 114)- Сего ради гі Л “
радѵусу круга А а р, есть т> нгенсЪ дуги Р А,
при радУусЪСА(Г.8і),а черта <С, расстояніс
цЬнтровЬ, есть сскансЪ дуги А Е (гпр. 5).
СлЪдеіпві'с. ТангснсЪ и сскансЬ какой
ниб^ дь дуги начальнаго круга, также при-
надлежитъ равной дуіЪ какого пи есть
косвеннаго круга, и оныя дуги счисляются
отЬ ихЬ взаимнаго пресЪчснГя.

Ибо дуга Ре каждаго косвеннаго круга
включенная между полюсомЪ Р и дугою малат о
круга АаВ, есть одного содержанья сЪ ду-
гою РА начальнаго круга, потому что дуга
АаВ есть вЪ равномЪ рассшояі Хи отЬ ея
полюса Р ( 3 ).

ПрЕДЛ. XI.

$7. Ежели сф°ра кзсаетЪ плоскость а § ъЪ точ-
кѣ Е и проведется перпендикулярной діаметрЪ ЕО,
тогда око йаЪ О прелспіавиіпЪ кругѣ О А ЕС ( пре-
ходящей чрезЪ о’о) наш.оскеспій прямою линь ю
(ф. 15).

Доказ. Понеже око есть вЪ плоскости

псрс-

тФренрснаю круга , и лучи отѣ ока до
плоскости сушь прямыя линѢи. Сего ради
око изЪ О \ видитѣ точку А на плоскости
вЬ а, Б вЬ Ь, п вЬ т и. проч. вЬ осщемЪ
сѣченіи прожсктп смаю круга и плоскости
а СлѢдст. точки оной окружности А ССО
представляются на линѢс а$.

Примѣчаніе. Проекція круга О АС,
измѣряется отЪ В на линѣе полушанген-
совЬ. Ибо буде изѣ центра О радіусомЬ
ОВ написать кругѣ, тогда линѢя Вт бу-
дстЬ таніснсЬ уілаВОт, то есть, полу-
таніснсЪ угла ВСп или дуги Вп.

ПрЕДЛ. XII.

6о.	Всякой кругЪ ( шо есть большой или малой)
ч езЪ око не преходящей представляется кругомЪ
на плоскости сферу касательной .

Доказ. Пусть АВ (ф. 16) будетЪ діа-
мшнрЬ круга представляемаго на плоскость
а лу чи простираясь отЪ О по окру жносши
ееі о к га дѢлаютѣ конусѣ, коего треу-
гольникѣ проходящей чрсзЬ ось есть АОЕ.
Око изЬ О видитѣ А на плоскости вЬ
б, и Б в Ъ, по сому & Ъ есть перенесенный
ді'амси рЬ. Полол. гмЬ что продолженіе конусѣ

ниже до діаметра основанья КШ пара»
лельнаі о кЬ АБ, по томѣ проведи АНО,
паралсльно кѣ а§: тогда дуга ОА ОО,
(г. 69 и 76) а г ОАО,— ОБА (г. 90), по
сему (і. 48)	— О АО, — ОБА _. ОИМ

Слѣдственно, конусѣ, коего дГамстрЬ
основанья есть МИ, пСрссѢчснѣ анпипара-
лсльно плоскостью чрезЬ с! Ь проведенную;
посему такое сѣченіе есть кругѣ (г. 463).

ЧАСТЬ ТрЕТіЯ.

О

СфЁрИЧЕСКОИ ГЕОМЕТрІИ.

6і.	Сферическая геометрія, или сфе-»
ричсская проекція есть наука, какЪ описы-
вать или представлять на плоскости
большаго круга такія кр)га или ихЪ дуги,
какія обыкновенно на сферѣ проводятся, и о
измѣреніи вѣ проекціи оныхѣ дугѣ иугловЬ,

ПРОБЛЕМА I.

62.	ЧрезЪ двѣ данныя точки вЪ начальномъ
Кругѣ или на плоскости проекціи большой кругѣ
Начертить.

Да будугаЬ данныя точки А,В, иС
есть

%шь цсптрЪ начальнаго круга.

Случай і . котла олна точка А есть центръ
Начальнаго круга (ф. 17).

р'Ьіл. ДіамешрЬ чрезЬ данныя точки
А,В проведенныйі будетЬ требуемой боль-
ііюи круі Ь (32).

Случ. 2. буле одна точка А есть на окруженіи
началін.іго круга (ф. і$).

Р’ш. ЧрезЬ А проведи діаметрѣ АВ,
тогда косвенной) круіЬ чрезЬ три точки
А , В, В проведенный (г . IОО ) будетЬ же-
лаемой большой круіЬ (42).

63.	Случ. 3. буле ни которая точка не вЪ
центрѣ, ни на окруженіи начальнаго круга (ф. 19).

рЪш. ЧрезЬ Одну точку А, и центрЬ
0 проведи АО и СЕ перпендикулярно кЪ
АС. ЛинЪйка чрезЪ Ё и А дасщЬ точку В,
чрезЪ В иС точку Г, а чрезЬ Е и Г ука-
жсшЪ точку О на продолженной АС.
ЧрезЪ шри точки С,Ё,А начерти окруж-
ность сѣкущую начальнаго круга вЪ Н иі,
шоі да косве нной кругЪ НБАІ будстЪ ис-
комой большой круіЬ: ибо АС учинилась
прокціею большаго кр га ГВ (34)- По
ссмуАиС суть проекціи противолсжащихЬ
точскЪ на сфсрЪ (16), чрезЬ кои всѢ круга
Проходящія будупіЬ виды большихЪ круговЪ
на сфсрЪ.

( ^8о )

ПРОБЛЕМА И.

64.	Около нѢ..огй дан гой точки яко полюса }
на начальномъ кругѣ большой кругѣ написать.

Пусть Р будстЪ данная точка, а I
центрЬ начальнаго круга.

Случ. і. Когда данной полксЪ Р вЪ центрѣ
начальнаго круга (ф. 20)•

рЪш. Начальной круіЪ будстЪ иско-
мой большой кругЪ (31).

Случ. 2. буде данной полюсЪ Р вЪ окружное
ети начальнаго круга (ф. 21).

Р ш. ЧрезЬ данной полюсЬ Р проведи
РЕ діамешрЪ нача льна го круга : тогда
другой діамешрЪ АБ перпендикуляра кЪ
РЕ проведенный, будстЬ желаемой большой
кругЬ (2, и 3 2 ).

65.	Случ. 3. Когда же данная точка Р ни ьЪ
центрѣ ни вЪ окружности перваго круга (ф. 22).

рЪш. ЧрезЪ Р проведи дГамстрЬ ЬЛ, и
кЬоному перпендикулярно другой ВЕ, тог-
да 'бинтика чрезЬ ЕпР покажстЪ р ГІослЬ
сего наложи дуіу рА — 90 , то линБйка
чрсвЬ Е и А дастЬ а на діамстрЬ Вск^чиня
Д)« У рі) — рВ, выведи Б на продолженіе йЬ
вЪС, попіомЪ изЪ С р ідіусомЬ Са начерти
В Е. Нокак Е есть точча изображающая
н Р пергпесемной полюсЬ. того ради р

ссд^Л

есть полюсЪ круга представляемаго АЕ
(44), и БаЕ есть проекція круга /Е (38),
угла СаГ р іЗмЪрястЬ полдуги А^Е(г-94).
Но дуга АБВ —дуіЪ АйЕ: ибоАр—(Б<*—)
6Е,ирВ~ Ай по сочин. и тако г А С ^2
СаЕ, И СЕ — Са (і. 124). Слѣдственно С
ссшь искомой центрѣ.

проблема іп.

66.	Діннаіо перенесеннаго круга полюсы сысч
катъ

і е. Е^ели данный кругЪ А Е В есть начальный
(ф. 2}).

р'Ѣді. Найди центрѣ С, (г. іоі), и
оной есть искомый полюсѣ.

2 е когда данной кругЪ АСВ есть прямой
кругЪ (ф. 24).

рѢні. Проведи дГамешрѣ ЕС перпенди-
кулярно кѣАВ,шо концы или точки Б,Е,
сего діаметра суть искомыя полюсы.

67.	3 е. буде да ной круг’Ь АВЕ есть косвен-
ной (ф. 25 ) .

рѢш. ЧрезЪ пресѣченіи начальнаго и
косвеннаго круговѣ проведи дУамстрѣ АЕ>
а друюй кЪ нему перпендикулярно, сѣку-
нуи данной косвенной круі Ь вѣ Б. БЪЬ Е
выведя точку В вѣ Ъ уч ни Ър,Ц, каж-
дую — хордѣ 90, Инѣ Е выведи точку р

С 5 на діамстрЬ

на діамспірЬ чрсзЬ Е проведенный в Р, коя
есть искомой полюсЬ, ИзЬ Е выведи точку 4
на продолженную СВ вЬ точку коя будстЬ
другой или противолежащей или внБшней
полюсЬ. НаконецЬ положи рО _ рЛ, тогда
изЪ Е выведенная шочла Б на продолжен-
ную БС вЬ Е будстЬ ценгпрЬ косвеннаго
круга А БЕ. Доводѣ сею дѣйствія явно-
видснЬ есть отЬ пробЯсмы 11,

ПРОБЛЕМА IV.

68.	Какую нибудь Дугу перенесеннаго большаго
Круга измѣрить: или на данномѣ перенесенномъ
большомъ кругѣ отмѣтить дугу по данному числу
Градусовѣ .

Общее рѣшеніе Сперва найди полюрЬ
даннаго круга ( 66 ), изЪ коего проведи
ЛинБи чрсзЬ концы данной дуги секущія
Начальной кругЪ, тогда содержимая ими
дуга начальнаго круга, положенная на
Хордовой мастабЬ дастЬ искомую м ру.

По сему, ежели АБ (ф 26, 27і 2і^) есть
измѣряемая дуга, и Р полюсЬ даннаго круга
ОАЕ, то линБи проведенныя чрезЪ А и В да-
дугаЪ начальнаго круга дугу аЬ соотвѣт-
ствующую дуіѢ А Б прожектованнаго круга ,

ПотомЪ ежели потребно дугу даннаго
числа

числа градусовЪ положить опіЬ данноГ
точки А на прожсктованномЪ кр)гЪ БАР
тогда изЬ полюса Р чрсзЬ А проведя пря-
м ю Ра положи данное число і радусовЬ
отЬ а до Ь . Проведя РЬ , дуга АВ будстЬ
содержать данное число град совЪ.

' 69 Всякое число ірад^совЪ удобнѣе
полагается на пряМомЬ кр)іЪ чрсзЬ полу-
гоангснсы Когда разстоянію точки А (ф. 27)
отЬ центра С знаемо , и данная величина
дуги полагаемая отЬ А кЪЕ, то кЬ вѣдо-
мому разстоянію С А приложи данную Д)гу
АВ, потомЪ сумму сихЬ град^совЬ взявѣ
сЬ масшаба полушангснсовЬ положи отЪ С
до В , такЪ вдѣлается дуга А В равна дан-
ному числу градусовъ»

Но буде дугу АВ надобно положить
отЪ А кЬ П, тогда разность между дугЪ
АВ и АС взятая сЪ масшаба полутанген-
СовЪ, и положенная отЬ С до В покажешЪ
дугу АВ равную данному числу градусовъ.

Доводѣ всѣхѣ оныхѣ дѣйствій явенЪ
есть отЬ п. 57.

ПримЪч. Полутангенсы суть самыд
тангенсы половинѣ дуіЪ мастаба гоанген-
совЬ коихЪ сочиненіе вависишѣ ошЪп. 48»

ПрОЕ-

ПРОБЛЕМА V

7\ Какой либо сферической уголЪ смѣрить.

Общее р шені е. Найди сперва полюсы
двухЪ круговЬ уголЪ составляющихъ, и отЬ
угольной точки чрезЬ сіи полюсы проведи
линБи сВуущУя начальной круіЬ, тогда мѣ-
ра сему углу ежели острой, будетЬ вклю-
ченная дуга перваго круга , а суплсмснтЬ
сся дуги будетЬ мЪра тупаго іла.

Пусть предложенной уголЪ есть БАБ,
составленной оиіЬ большихЬ круговЪ АБ, АВ,
коего полюсы суть С и Р и линЬи про-
веденныя чрезЬ уі ольную точку А и полюсы
С и Р сБкутЬ начал. круіЬ вЬ Еир,

Іе. бу де уголЬ сосіпоишЪ между пер-
вымЪ и косвеннымЬ кругомЬ (ф, 29), тогда
дуга рЕ есть мБра острому углу БАВ: но
піупаго угла В АЕ мБра суплсмснтЬ дуги рЕ.

2е. Когда уголЬ между прямымЬ и ко-
свеннымъ круіами находится при окруж-
ности начальнаго , тогда дуга рЕ будетЬ
мЬра углу БАБ (ф. 30).

с. Ежели прямой и косвенной кр ги
составляютъ уголЬ внутри начальнаго кру-
га, гпо дуі а рЕ есть мѣра острому углу
БАБ, а суплсмснтЬ ся есть мЬра тупому
углу БА Г <ср. 31).	4 с.

4 с. Б де уголЪ учииснЪ опЪ пресВчс-
н'і'я дв хЪ косвснныЛ круговЬ внутри на-
чальнаго, пюі да острому углу ОАВ есть
мЬ і діа рЕ, а тупому уілу САЕ м ра
ся суп смснпіЬ (4. 32).

И нсжс угловая точка А есть вЬ обо-
мхЪкругахЬ, и вЬ расстоянін на ^огр. отЬ
ихЬ полюсовЬ СиР (3» 4)- Посему боль-
шой кругЬ изЬ точки А, яко полюса опи-
санный порейдетЪ чрезЬ полюсы С, Р, и
лмнЪи отЬ А чрезЬ СиР проведенныя
означатЪ на окружности плоскости прое-
кціи д і равную рассгаоянію полюсовЬ С
и Р ( 57 ): но расспюяніе полюсовЬ С, Р
равно наклоненію плоскостей круговЬ АБ,
АБ(23), то есть мЪра уілу БАБ.

ПРОБЛЕМА VI.

71 ЧрезЪ данную точку на пѢкоемЪ перенесек-
номЪ кругѣ, кЪ иному данному і ернендикулярно бс-
ліщой кругЪ провесть.

Общее рЪшсніе. Найди полюсЪ дан-
наго круга, тогда большой кругЬ прове-
денной чрезЪ данную точку и сеи полюсЬ
б/дспіЬ прямостоящій кЬ данному кругу.

Пусть данной перенесенной большой
кругЬ есть БА В, и данная точка А.	1с.

I е. Буде ВАР (ф 33) есть начальный
КругЪ, коего полюсЪ есть Р, тогда діамстрЬ
чр'зЪ А проведенный будешЪ перпендикуляръ
кЬ БАБ ( 25 ).

2с. Когда ВАБ есть прямой КругЪ,
коего полюсы, суть Р и С: тог да косвенный
кругЪ чрсаЬ точки С, А,Р написанный (і. 1 оо)
будстЪ перпсндикулярЬ кЬ ВАР (ф 34).

3 с. Ежели БАБ сетъ косвенный к^угЪ
коего полюсЪ Р; то чрезЪ точки Р и А п* све-
денный (63) большой кр/іЪ РАС, будгтЬ
перпсндикулярЬ кЬ БАБ (ф 35).

ДоводЪ сихЪ дѣйствіи лвснЬ есть ошЪ
©325.

ПРОБЛЕМА ѴП.

*]1. ЧрезЪ Данную точку на дачномЪ*. перснес
брлъпіемЪ кругѣ написать иной большей кругЪ, к;чо I
рои бысЪпервымЪ данной величины уголЪсоставлялЪк

Пусть Р будешЪ данная точка на нБкосмЬ
большемЪ кругЪ АРБ-

I с.Цудс АГВесть начальный (ф.^б) круі ,
тог да чрезЪ данную точку Р означь діамешрЪ
РЕ и гЪ нему перпендикулярной АБ. ІІр -
веди РБ сЪкущую А Б вЬ Р такЪ, чтобы уголЬ
СРБ равенЪ былЬ данному. ИзЪ Б радІусомЬ
РР напиши большой кругЪ РРЕ, тогда
уголЪ АРГ судспіЬ даннаго числа градусовЬ.
Г	Ибо

Ибо /ЕРАгз І- учиненному радіусами
№,РБ(49 ) , и Б буд ни вЪ равномЪ рас-
стояйЪч огпЬ РиЕ, есть искомой центрЪ.

7 . Иначе, положи СБ равную тан-
генсу даннаго \іла при радіусЪ СР, илй
$дЪлай РО — секансу сего угла.

74< 2Л- Ежели АРВ есть прямой.
кругЪ Гф 37),

| Пров дя д!амегярЪ СН перпендикулярно
К&АРЕ, гы неси" ё на первыя кругЬ вЬ а.
Поожа НЪ—2^0, выведи чрезЬ Сточку
V на /В вЬ С л.Ъ>'ставя СБ ігрпендик. кЪ
АВ., провели РБ с'ВкуЩ)Ю СБ вЬ Б такЪ
чгаобЪ И СРБ — дополи, дан градусовъ ( г. 42
или пір ^3 ). ИзЬ О радіусомЬ БР начерти
кр гЬр-ГЕ, которой оудішЬ болыпой кругЪ
сочиняющій сЪ кругомЪ АРВ желаемой л А РЕ.

И о С ссшь центрЪ большаго круга С
ВН (67), и центры всЬхЪ оольшихЬ кру-
іовЬ проходящихЬ чрезЬ Р оудутЬ на СБ
( 55 ). Но /. БРЕ ~ 96 ($5), по сему

АРГ” /-ВРЕ ( іб) дополненію СРБ
есть искомой уголЪ.

75.3с. Ежели АРВ (ф 38) есть косвенны
кр)іЬ. ОтЪ точки данной Р чре-Ъ Центры
Начальнаго и даннаго кругоЛ проведи лин и

«С,.

ГС, ГС. ИаЪ С центра круга АРВ, на Г о
иостаіія псрп< ндик СВ, проведи РВдЪл<ю-
щ ю Д СРВ —данному и с кущую СИ вЪ В.
ОтЪ В радХусомЪ ПР описанной круі Ь ЕРЕ
будстЬ большой кругЪ сЕкущсй кр?іа АРВ
данномЪ углѣ.

Исо по сочинЪні'ю ценгп|Ъ С круга АРП
есть на линЪс пгрпендик. кЬ РС» проведенной
чрезЪ Р и ц нтрЪ начальна! о круга , и центры
всЬхЪ большихъ круі ово чрезЪ Р прошедшихЬ
судутЪ ( 55 ) на СВ. Но г СРВ между
радХусовЬ РС, РВ содержнпіЬ данное число
градусовъ, того ради Д А РЕ равенЪ есть
предложенному углу ( 49 ) •

проблема ѵш.

7$. Около даннаго перепес. полюса го лапному отЪ
него разстоянію кругЪ начертить. Или данному боль-
шему кругу по заданному разстоянію тралелгной
кругЪ написать (ф. 39,40,41).

Пусть Р будстЬ данной полюсЬ при-
надлежащій данному круіу ВГЕ.

Общее р’Ьш. ЧреаЬ данной полюсЪРи
ценгпрЬ С начальнаго круга проведи дХ мспірЬ
и ВЕ кЬ нему перпендикулярной . ЧрсЛ> Е вы-
ведя точку Рна начальной кругЪ вЬ р, положи

— Рв — данному разстоянію отЪ полюса.

ИзЪ

ИзЬ Ё выноси точки А и В на діаметрЪ
СР вЬ а иЪ. раздЬли «Ъ попѳламЪ вЪ с, и
отЬ с, яко изЪ центра, начерти кру іЪ чрсзЬ а
и Ь, и оной будешЬ искомой кр гЪ.

Но чшобЬ паралсльной кругЪ оылЪ вЬ дан-
номЪ разстояніи отЪ ваданн»то большаго
круга БГЁ, то найди какЬ выше точку р,
и положи рА”рБ — дополненію даннаго
разстоянія , а осшапіокЬ дБ да соверши гаакЬ
какЪ выше показано.

Ибо р есть полюсЬ, коего проекція есть

Р (44). Нор есть полюсЬ круіа кос о діа-

мстрЬ АБ псрснесснЪ вЬ аЬ (34) Посему

с, средина черты аЪ есть центрЪ перене-
сеннаго круга (39)’

ГІримЬч. Первой случай скорЪс здВлатпея

можетЪ по начертанію малаго круга около
центра начальна! о круга таніснсомЬ пол-
разстоянія сгЪ отЬ полюса Р.

77.	Второй случай удобііБе учинится
по сем /: иаЬ точскЪ А, Б ( какЪ выше най-
денныхЬ ) тангснсомЬ ихЪ разстоянія отЬ Р
полюса прямаго круга, опиши дуги Ткущія-
ся вЬ с, что будетЪ центрЪ малаго круга

паралельнаю прямому БГЕ; ибо Ар есть
тангснсЪ дуіи АР (58).

Т	прог-

ПрОБлЕМА IX-

78.	Даны начальной кругЪ' и проекція малаго
круга сыскать полксЪ онаго кружка.

Пусть С будетЬ центрЬ начальнаго
круга, и АЕП перенесенной кружо'кЪд ко-
его центръ с и радУусЬ СВ (ф 42,43,44).

ОбщЪс рЪш. ЧрезЪ с ценпірЬ кружка
и С центрѣ начальнаго, пр-'веди дУамсіпрЬ
СЕ у а другой кЪ нему пе рпендикулярной
СЕ. Наиди псрснесен. діамстрЬ БЪ — ц сВ.
Лйііѣи проведенныя отЬ Е чрезЬ Б и Ъ перс-
сЬкушЪ начальной кругЪ вЬ а и й, и дуга
аЗ раздѣлится пополамЪ вЬ р. ЛинЬя чрезЪ
Ейр перссЪчстЪ діамстрЬ БЬ вЬ точкѣ Р,
коя есть искомой полюсЪ.

Истинна сего рѣшенія явповйдна есть
ешЬ' пробл. ѴПІ.

Проблема х

77. ЧрезЪ данную точку на плоскости проекціи
или начал.нато круга начертили, болітой крѵтЪг
которой бы сЪ инймЬ опредѣленнымъ кругомъ здѣ-
далЪ уголЪ данной величины: токмо чтобЪ’ мѣра
сего угла не меньше была разстоянія между данной
точки и круга ( ф. 45 > 46 , 47 > 48, 40)

Пусть данная точка оудстЬ А, чрезЪ
которую йадсбно начертить круіЬ сБкущсй
большею круга ББС, коего полюсЪ Р, подЪ
угломЪ*

угломЬ — данному числу градусовЬ.

Гснерал. рЪш. Около данной точки
А, яко полюса начерти (64) большой
кругЪ ЕСР. ИзЬ Р полюса даннаго круга
ВВС й) разстояньи равномЪ данному углу
напиши (76) кружокЬ сѣкущей большая
круга ЕСР вЪС. ИзЬ точки 6 яко полюса
начерти большой кругЬ сѣкущей даннаго
?руга ББС й> В тогда АВС будсшЬ желае-
мой уголЬ.

ПримЪч Когда данной уголЪ равенЪ
разстоянію между данной точки и круга,
тогда задача опредѣленная. Ежели мЪра угла
больше онаі о разст янія9 тосія задача имЪстЪ
два рѣшенія, по начертанію круга сѢкущагр
данной вЬдв хЬ точкахЪ: но бу де $іѣра углу
меньше разстоянія, та задача невозможная.

Доводѣ сего сочиненія есть слЪдующсй.

Ибо РиС суть полюсы дугЬ ВС и АВ,
и разстояніе отЬ Р до С разно числу гра-
дусовЬ даннаго угла, по сочиненію. Но у.
АВС ~ разстоянію между РиС (23), гаогр
ради АВС есть искомый уіолЪ.

Во. Ежели потребно провестпь кругЪ второй бм
учинилЪ данной уголЪ сЪ начальнымъ.

Тогда изЬ центра начальнаго круга

Т 2 шані снсомЬ

(29й)

тангснсомЪ заданнаго угла начерти дугу»
а ИзЬ данной точки А секансомъ даннаго
угла псрссЬки первую д Гу : отЬ сего пре-
сБчснГя проведенный круіЬ чрезЪ данную
точку Д припишстЬ кЬ начальному кругу
данной уголЬ. Сіе зависшій) отЬ И. 7$.

ПРОБЛЕМА XI.

~ 8г. ДанЪ большой кругЪ сѣкущей начальнаго і
навертятъ другой болі-шоі кругЪ, которой бы сЪ
дан^ымЪ уч.гчилЪ заданной уіолЪ и дугу знаемой
величины между начальнымъ и даннымЪ кругомЪ
іключечиую.

II ешь, АБС будстЬ начальной кругЬ
коего ц нтрЬ ость Р и данной большой кругЬ
АБС, коего центрЪ Е (ф 50,51).

рБш. КЬ АБС проведя прямостоящей
діамстрЬ ЕВБ, здБлай г ІБГ — допол*
ненію даннаго угла , положа х; допол-
ненію 3 5 ши гр. (г. 42) .

Положи БР— тангенсу данной дуги
( 58 ), а изЪ Р сскансомЬ сся начерти дугу
По томЪ буде /БС косвенный кругЬ,
піо изЪЕ центра круга АБС радіусомЬ ЕЕ
псрссБки дугу Сд вЬ О.

Но когда АБС есть прямой кругЪ, то
чрезЬ Г проведи ІО паралсльно кЪ АЕС
* -	сБкущую

сБкущую лугу СЬ вЪС: ибо цснгпрЪ Е дуги
АБС есть вЬ дальномЪ разстояньи. И Ь С
тангснсомЪ ВЕ, начерти дугу по сску-
щую АБС вЬ I, проведи СІ.

ЧрезЬ С и ценшрЬ 1’ проведя СК рао
сБкающую начальнаго круга вЬ н , К., здБ -
лай РЕ перпсндикулярЬ кЬ СК, аІЕ, пер-
пенд. кЪ С сБкущей РЕ вЪЕ. Точка ѣ бу-
дстЪ центрЪ круга проходящаго чрезЬ Ц,
I, К, и оной есть искомой большой кругЬ.

Ибо по заданію МЦ — 35 гр. а ду-
га ІН^ 58 гр. но СР есть сскансЬ, а
СІ есть гоангенЛ дуги НІ ( $8 , и
для равныхЪ торсуголышкоіЪ ЕСІ,ЕГВ; г.
Е1Ог.Е1)Е(г і 32): ногЕІСѵтЬ таніснса
д ги Ніи радіуса дуги АІ учиненны есть
дополненье угла между сихЬ дугЪ ( 49).
СлЪдст. /1А1Н есть дополненіе угла ЕВЕ.

ПРОБЛЕМА ХИ.

82 данЪ большей кругЪ на плоскости проекціи»
начертить другой большей кругЪ кощоройбы сЪтЪмЪ
и сЪ началінымЪ кругомЪ учинилЪ даннья углы.

Пусть данной болішой кругЬ будстЪ
АВС, полюсЬ его О_ (ф. 52, 53).

рЬш. ИзЬ Р полюса начал . круга иа-
черпы дугу тп, піБмЬ раз^тоянІемЬ, кос
'1 3	разве.

( ^94) 5^-

* *и •	'	/ - *У *

равно углу припйсусмому кЪ начальному
Кругу, напримѣръ 62 гр (7^)-

ИзЪ О_ полюса другаго даннаго круга
разстояніемъ, кое равно углу приписуемому
-кЪтому данному кругу АБС, на примЪрЬ
48 гр. начерти дугу оп сБкущ)Ю тп вЬ л
(77)-

Около п яко полюса напиши большой
кр гЬ ЕБГ сБкущей даннаго кр)ра вЬ Е и
О (64), тогда будстЬ г АЕБ — 62 гр.
а ^/.БЕ"48 гр. Ибо разстояніе полю-
сой) какихЪ либо дйухЬ болыпихЬ круговЬ,
равно есть углу сими кругами составлен-
ному ( 23 )•

ЧАСТЬ ЧЕТВЕрТ \Я
’ I I •	-	I •	• I	1

оСфЕрИЧЕСКЭИ ТрИГОНОМЕТріИ

* * > * * * ***»**»*»» ******
первыя основаніи

83. Сферическая тригонометрія ссшь
наука , коя учитЪ вычислять стороны и углы
всякаго треугольника, отЪ взаимнаго прс-
сЪіснія трехЪ больщихЪ круговЬ на сфсрБ
изображеннаго.	малыя

Малыя круги сферы не входягпЪ вЪ оное вычисе-
лені'е, потому чпіо они суть разной величины или
не одинакаго радіуса сЬ большими кругами; притомЪ
же ихЪ плоскости і рсходятЪ чрезЪ разныя
точки сферы , не такЪ какЪ болыпихЪ круговЪ
(б и г. з75)

84	ТрсугОльникЪ сферической сосшо-
ипіЬ изЬ щрсхЪ сторонЪ и шрсхЪ угловЪ
КоКовЬ ссрть АБС (ф. 54х)» и можгіо его
пргдетавлять пирамидою АБСВ, коей
всрхЬ Б вЬ иснпірЪ сферы, а стороны
ССВ, СОА,АОВ суть секторы СВВ,СВА,
АБВ отЬ дугЬ ЕС, /С, АВ и радіусовЪ
СВ,/В,ЕР опредЪлснныя. При томЬ явно
рсть, что каждой уголЪ сферическаго трс-
угольцика равенЬ уілу наКдонснТя его сгао-
ронЬ, а. каждая сторона равна цли мБра.
углу при ц нтр"Ь И радіусами содержимому.

85	. Величины не ілзвЪстныхЪ сторойЪ
и уі лозЪ сферическихЪ тре сольниковЬ на-
ходили я по сравненію. синусовЪ и танген-
$овЬ знаемыхЪ сторонЪ и угловЪ сЪ сину-
сами либо тангенсами искомыхЪ.

86	. Прямоугольный сфе рическТй тре-
угольникъ имЪсшЬ одинЪ прямой уголЪ:
по сему сторона противолежащая прямому
углу называется ипотснугою, а, стороны
содержащая прямой уголЪ боками.,

Т4

х

87» Квадрантальный или четвертный
Сферической треугольникъ имБстЬ одну
только сторону вЬ 90 гр.

88.	Косвенной сферической треуголь-
никъ называется тотаЬ > у котораго всБ
уілы косвенныя или наклонныя. Круглыя
части треугольника суть дуги, кои сго
стороны и углы размЪряютЪ.

89-	«Два какія либо сферическія тре-
угольника называющая между собою суплсі-
менты , бу де стороны и углы одного трс-
уголн прямо суть с> плементы другова} и по
осму одинЬ вЬ разсужденіи другова допол-.-
нишельнымЬ треугольникомъ имянуешея .

л.**м^***»*м**м*********

О ГЛАВНЫХЪ СВОЙСТВАХЪ СфЕрИЧЕСКИхЪ
тркугольников Ь.

90.	I . Е'-кели иаЪ трехЪ угловЪ сферическаго
треугольника, яко полксовЪ, А, В, С (ф. $$) раз-
стояніемъ 90 гр написать три дуги ЕЕ-ЕБ, ЕЕ со-
ставляющія иной треугольникъ ЕЕЕ, то каждой
бокЪ сего треугольника есть суплементЪ угла при
полюсѣ онаго бока, и каждый уюлЪ есть супле-
ментЪ бока ему противолежащаго вЬ предложенномъ
треугольникѣ АБС.

Доказ. Понеже А есть полюсЪ дуіи
ЕЕ, а С полюсЬ дуги ВЕ, то и разстоя-
ніи

вГи точекЪ А,Е и С, Е по 90 гр. посему
точка Е есть полюсЪ дуги КС Также
докажется что Г есть полюсЪ дуги ІН,
а В есть полюсЪ дуги МЕСЪ.

По томЬ I с. Ибо дуги ЕІ и ВЬ по 90і р.

( 3 ), сего ради ВЕ-+-ГІ ~ і8оір. или ВЕ
•+ РБ н-Ы— і8о гр или ВЕ-ьЦ— 180
гр. Посему (г - 39) ВЕ есть суплсмснтЪ
д іи Ы очцей у четвертей ВЬ, ЕІ. НоеГя
дуга Ы гмЪя полюсЪ В есть мѣра углу АВС,
для того бок ВЕ есть суплсмснтЬ угла
АБС Такойже доводѣ и на сУс, чтоСН мВ-
ра глу А, есть суплсмснтЬ дуги ЕЕ и ИМ
мѣра углу С есть суплсмснтЬ дуги ВЕ.

2 с. Когда ду і и Б Ь, А Н су гпь по 9 о гр то
ихЪ общая часть АВ сспь с^племснтЬ цѣ-
лой дуги ІН, размѣряющей лІГН: посему
бокЬ АВ есть с плсментЪ угла Г. Также
АС суплсмснтЬ угла Е, а ЕС суплс-
ментЬ угла В.

91.	ц. Сумма какихЬ нибудь дьухЪ сторонЬ
треуіельника есть болпье третьей-

Доказ Ибо д га большаго круга между
двухЪ точекЪ на сф( рѢ содержимая сещь
кратчайшей путь отЬ одной точки кЬ
другей смѣкая по поверхности сферы: по
Т 5	сему

$рму ежели ишти отЪ одной точки додру^
{•ой подЬ углолЪ, шо есть, буде описать
двЬ стороны треугольника, тогда сей
путь не будепіЬ кратчайшимъ (ю).

92	III. Всякой бокЪ сферическаго треугольника
всегда меньше полукруга или і8э ти гр.

Доказ. Сферическій треугольникъ все-1
гда составляется отЬ двухЬ дугЬ круговЬ
взаимно пересЪчснныхЬ, кои прежде своего,
сомкнутія псрссБкаюшся пзретьею дугою;
но дуги вторично смыкаются вЪ разсто-
яній і8оір. (15), по сему ни какая изЪ
ПіЪхЪ сторона не можсщЬ быть вЬ і8огр.

93-	IV Сумма трехЬ сторонЪ сферическаго тре-
угольника всегда меньше 360 ши гр,

Доказ. Пусть треугольника АБС (ф. 56)
продолжены дьЪ стороны АВ, / С пока со-
йд шея вЬ Б, тогда дуги АСБ,аББ бу-
дутЪ по 18огр. Но БС-+-БВ есть больше
ВС, и ежели приложишь кЬнцмЬ АСн~АБ>
що АС-ь А Б-+-БС-+-Б В есть больше БС-+-
АС-+-АБ, то ссшь два полкруга АСБ,
АКБ вмЪсшБ больше суммы, шре хЬ сторонЬ
АБ, АС,БС

94.	V. Сумма, трехЪ угловЪ сферическаго тре*.
угольника есть кѣгда больше іБо гр. а меньше 540
у>. или шести пряммхЪ угловЪ.

Доказ. Іс. Сумма трсхЪ угловЪ тре-
угольнику

угольника АБС (ф. 55) и трсхЪ сторонЪ
'треугольника БЕЕ, дѢлаютЬ трижды і8о
гр. или 540 гр (90): но сумма трсхЪ
сторонЪ треугольника БЕЕ есть меньше
560 гр. ( 91 ). По сему сумма трсхЪ
угловЬ треугольника АВС, есть всѢгда
больше 18о гр.

2с. Понеже всякій сферическій уголЪ
меньше і8огр (22): посему сумма трехЬ
какихЬ ни есть сфсрлческихЪ уіловЬ всегда
меньше нежели трижды 180 ір.

95.	СлЪдст. Сферическій треуголь-
никъ можеріЪ имЪть три прямые углы и
три тупые. По заданными двумЬ угламЬ
сферическаго треугольника Непосредствен-
но третьяго опредѣлишь не можно.

Примѣч. чѢмЪ больте стороны сфе-
ричсскаю трсуіельника имѢкипЬ градусовъ
или длиннѣе, тѢмЬ сумма ею угловЪ пре-
вышаешь 18о гр Ибо тогда сферическій
шреуюльникЬ тѢмЪ паче разнится ошЬ
прямолинѢинаго трсугольн іка.

96.	VI. Два сферическій треугольника равная
і е. Когда у нихЪ тсЪ сходственныя стороны между
собою равныя. 2 е. Ежели имѢютЪ по двѣ равныя,
сходственныя стороны содержащія р вйыя углы ?ё.
буде у нихЪ два схо ственныя углы прилежащія
равной ешоронѣ равныя. 4 е. Ежели всѣ діри угля

одного

одного треугольника равны порознь всѢмЪ сходстц.
веннымЪ угламЪ другова треугольника.

* Доказательство трехЪ псрвыхЪ случа-
евЪ совсемЪ тоже, какое для прямолин'Би-
ныхЪ треугольниковъ (г. 1 32 м пр.)-, а доводѣ
четвертаго явенЪ отЪссіо-, ибо такихЬ тре-
угольниковъ суплсмснты суть равныя тре-
угольники (90), и оныхЪ углы равныя
(г. 132), по тому и самыя треугольники
между собою суть равныя.

97.	VII Во всякомЪ равнобедренномъ треуголъ
никѣ АВС (ф- 57") угла В, С супротивныя
равнымЪ сторонамЪ АС, АВ уть равныя и бу,і»
ъЪ треугольникѣ два угла В, С равныя то и пріч.
•пивныя имЪ стороны АС,АВ равныя.

Доказ. 1 с. ОтмЪтя на дуіахЪ АВ, АС
равныя дуіи АЕ,АО и проведя дуги ВС,
СЕ, явно есть (96), что треугольники
АВВ,АЕС равныя имѣющія равныя стороны
АЕ,АО и АВ.АС содержащія общей уголЪ
А: по сему ВС —ЕС И. тако треуголь-
ники ЕЕС, БЬС имѣющія двѣ сход говен-
ныя стороны, равныя, то есть, ЕС—ЕС,
ЕВ —СС, и общей бокЪ ІС между собою
равныя, по сему л Б — -< С.

2с. Говорю ежели ^В —^С, тобокЪ
АС —АЕ. Иоо положа СС — БЕ и проведя
ВО, СЕ, треугольники ГСС,ЬСЕ суть

- ра-

( ЗОІ )

равны 7! (96) , потому что у каждаго по равно-
му углу содержимому общею стороною ЕЁ
и равными сторонами БЕ,СВ: тогда I с*
1Ш ~ ЕС, 1с. / ОбС —ЕСБ, отЪ чего г ВГА
— ЕС А 3е' гЕБС — БЕС, а посему ихЬ
суплсмсніпы ЕЁ А — СЕ А, и тако пірсуі ель-
ники БРА , СЕЛ суть равныя : понеже крамВ
общаго угла А им ютЬ равныя углы содер-
жащая равныя стороны ВВ/СЁ, ид’ягго д
АО -АЕ,А$ а-ОС — ЛЕ-ьЕВ,и/С ~ АВ.

98.	С/Ъ сш. I. трг.угольнйкЬ имѣю-
щей три угла равныя , есть равнобочный
и обратно.	'

99.	II. ГЪ рпендикулярЪ изЪ верха рав-
нобедреннаго или равнобочнаго треуголь-
ника на основаніе оп^щенны равдБлястЬ
Оное на дЪ Чаепти равныя

юо. VIII. Во всякомЪ сферическсмЪ треуголь-
никѣ АБС (ф. 5$) иреболывій бокЪ ВС противоле-
жяшЪ ггребол: тему углу А, а маЛѣишіи бОкЪЛВ
противЪ малѣйшаго угла С

Доказ. учиня ^БАВбгАіВ, тогда
(97) ЛЦ —ЕІ) и бокЬ БС — АВ-+-ВС Но
(91) АВ-ЕБС есть больше нежели АС.,
Но с< му бокЬ ЬС супротивной большему
уілу А есть больше бока АС противна) о
меньшему углу Б и проч.

ІОІ .

тсі. XI. Сферическаго треугольника АБС еже-
;ци сумма сторонЪ А С > В С есть равна, больше«
или мѢныне і8о град. тогда внѣшней угодѣ СЕВ
также есть равен > меніше или боліірз противо-
лежащаго внутренняго угла А (ф , 56)

Доказ. Продолжа АС,АБ до С,
тогда дуга АСВт і8о град. (19) Ежели
іс. АСн-СВ— і8о град. то ЕС — СВ
и /- СВВ~СБВ (97): но ДВ'А (21)
посему и СБВ ~ А .

2 с. Коіда Ас-ь-СВ больше 180 гр.
или дуги АСВ, тогда СО есть меньше
дуги СВ, м^СБВ меньше угла В или А
(юо).'

$ с. Естьли АС -і*СБ меньше 180 гр.
или' Хуги АСВ, тогда СВ больше дуги
СВ, и уголЪ СВВ больше угла В или А.

*****»****»*****««*^««»

О СРАВНЕНІИ ВЕЛИКОСТИ МЕЖДУ СТОрО
НАМИ И УГЛАМИ прямоугольныхъ

ТРЕУГОЛЬНИКОВЪ.

Ю2. I  Каждой изѣ наклонныхѣ угловѣ прямо-
угольнаго треугольника есть одного виду сЪ проти-
вною ему стороною, то есть, оной уголѣ будешѣ
меньше 90 гр. ежели противной бокѣ меніше 90 гр.
а когда оной уголѣ больше 90 гр. то противной ему
бокѣ больше 90 гр

Доказ. ВЪ прямоугольномЪ △ АВС (ф.59)
• - - -

буде /В меньше 90 гр. шо2.АСВ есть ос-
трый. Продолжи АВ чтобі АВ ~ 90 гр.
тоі да точка В есть полюсЪ дуги АС, а
соединя ВС уголЪ АСВ будетЬ прямой,
посему г АСВ есть острый. Также явно,
с^ели АВгг.90 гр то противной уголЬ
АСВ есть прямой; Коіда же вЪ △ кЬ АСВ
сторона АВ больше 90 гр. то положа
АВ —90 гр. и соединя СВ будетЬ АСВ
прямой , а уголЬ /СВ тупой.

103.	II. Ежели два бока прямоугольнаго тре-
угольника о,і ного виду, тогда ипотенуза меньше
90 гр. а бу де разнаго виду, тогда ипотенуза всегда
бываегаЪ больше 90 гр.

Доказ Іоворю I с. Ежели прямо-
угольнаго треугольника АЕС (ф 6о) сто-
роны АБ,АС сушь меньше 90 гр. тогда
ипотенуза также меньше 9° ГР;

И о продолжа бока АВ, АС/ вЬ БВ,АЕ
чтобЬ были по 90 гр. явсшвуспй^ что Весть
полкісЬ дуги ВЕ проходящей чрезЬ В, и
сЬкущсй дугу АС на ся' продолженіи вЪ Е
и внѣ треугольника АВС. по сему БЕ~
90 гр. а БС есть меньше 90 гр.

іе. бу де изЪ сторонЪ АВ,АС (ф. 56)
Треугольника А БС прямоугольнаго вЪ А ,
каждая больше 90 гр. шог/а ипотенуза

ЬС ссіпь меньше 90гр. Ибо продолжа АЁ»
АС пока вешрегпяшея вЬ О, будешЪ △
СБС прямоугольной вЬ С ( 21 ), имѣющей
сЬдАБС общ ю иноніенузу БС по ВБ, СО
суть меньше 90 гр. ибо они суплсмснп ы
дугѣ АВ, АС. и так по первому случаю
ипотснуза ЕС ссшь меньше 90 гр.

3 с. Когда вЬ прямоуг. треугольникѣ
А ЕС ( ф. 6і) сторона АВ есть больше о
гр а АС меньше 901р. тогда ипотснуаа
ЕС есть больше 9ОгР продолжа АС
на 90 гр. іЪ Р, то для прямова угла А
точі а Г бу дешЬ полюсЪ дуі и А В. По -ожа
ВО ~ 901 р и сосдиня дугу РО, (сѣкущую ЕС
вЬ Ь) явно, что Б ссшь полюсЬ дуги ГО: по
сему БЕ " 90 гр. а ВС больше 90 гр.

104.	слѢдст. I. Понеже (102) на-
клонныя углы одною вида сЬ противными
сторонами •: по сему ежели вЪ прямоуголь-
номЬ треугольникѣ два наклонныя угла
одного вида, тогда ипошенуза меньше 90
гр. абуде они разнаго вида, то ипотснуза
бывастЬ всегда больше 90 гр.

Ю5.ІІ. Обратно. Ежели мПошгнузд
прямоугольнаго треугольника меньше 90 гр.
тогда косыя углы и ещо^онщ суть одного
. м.	ЬИДУ

Виду: но когда оная больше 90 гр. тогда
стороны и углы суть разнаго виду.

I об. III. ВЬ сферич прямоугольномЪ тре-
угольникѣ ежели и потсяуза и одийЬ бокЪ
одного виду, тогда другой бокЪ и про-
тивный сму уголЬ меньше 90гр. но будб
ипотснуза и одинЪ бокЬ разнаго виду то
другой бокЪ и прошивный сму уюдЬ
бывастЪ всегда больше 90 гр.
***********************
Основаніи вычисленія прямоуголь-
ныхъ трЕугольниковЪ.

ПРЕДЛОЖЕНІЕ I.

107. Во всякомЪ сфгрическомЪ прямо-
угольномЬ трсугольникЪ, имЪются всегда
сіи пропорціи: і я , радіусЪ кЪ синусу ипопіе^
вузы» какЪ еинусЪ одного остраго угла кЪ синусу
противолежащаго ему бока ,

іоЗ. 2 я. радіусЪ кЪ синусу одного бока, гпакЪ тан-
генсѣ одною остраго утла кЪ піаигенсу протиъс-
лежащаго своего бока.

Доказ. Пусть ЕВА ЕС (ф.ба) прсд-
ставляетЪ осьм}Ю часть сферы, которой
четвертныя плоскости ЕСГС,ЕВЬС суть
прямостоящія па чертвершноиже плоскости
АИЕВ, а четверть круга АБСС также
прямо стоигпЪ на четверти круга ЕИГС .

У	Сферическаго



Сферическаго треугольника АБС прямой
уюлЬ приВ, мпогп ,йува АС, бі^а суть ГА,
ВС.ДугЬ СЕ,СВ на радГусы В Е, ВВ проведи
ліангснсы НЕ.ОВ и синусы СМ,СІ. Паз~ '
нача БЕ синусЪ Луги А Б, и СК синусѣ дуги
АС, соедини ІКиОБ» И Піано ЛинѢи НЕ,
ОВ,СМ,СТ всѣ перпендикулярны кЬ плос-
кости АВЕБ. Н» НВ,СК,СЕ суть на
одной плоскости АВСС, также иЕВ,ІК,
ВЕ всѢ ЛежатЬ рЬ одной плоскости АБГВ-

По с му прямоугольныя треугольники
НВЕ,СІК,ОЬЕ имѣющія равныя уг ы
НВЕ,СКІ,ОЬВ (г. 338) суть подобныя
ТОГО ради 0 . $07) I С. ВО : СКЗ * СМ ; СІ,
пю ссціь , радіусѣ кЬ синусу ит>ш ну>ы,
такЪ синусЪ одною остраго уіла кЪернусу
рротивол’Ѣжащаго ему бока.

Понеже черта ОМ есть синусЪ дуги СЕ
размѣряющей сфсрич. уголЪ С/ Б (17) ОтЬ
сюду 2о. ВГ . ЕВ • • ЕН . БО, то есть, какЬ
радіусѣ кЪ синусу одного бока, шакЪ тан-
гснсЬ одного остраго угла кЪ тангенсу
ПротиволЪжащаго ему бока,

109. СлѢдст. Во рсякйхЪ прямоугольныхъ
треугольникахъ каіЪ БАС, ВВЕ имѢющихѣ об
і^сй острой уголЬ Б (ф.бо) синусы ипошенуаЪ

С	вс

( 3°7 )

ЙС БЕ всегда Л одномѣ содержаніи сѣ сину-
сами ихѣ игрпг.ндикуляровЬ ДС, ВЕ а синусы
Основаніи ВА,ВВ вЬ одномѣ содержаніи сЬ
тангенсами перпендикѵляровЪ АС.ВЕ

Тіо слабости воображенія ф. 62 - для яснѣйшаго
понятія о сей истиннѢ надлежит.Ь подобную оной
фигуру изЪ картузной бумаги вырезапн , и по ней
е предписанномъ доказателіетв разсуждать,
довод Ь Т0ЯЖЕ ИСТИННЫ ПО фигурѣ 54.

I с. Да будегпѣ сферическій треуголь-
никъ АБС прямоугольный вѣ А, со тавлен-
ны изЬ трехѣ плоскостей или' сскторовѣ
ВСБ,ВВА,ВАС. ИзЬ какой либо точки Р
взятой на сѣченіи СА. прямсстоящихЬ плос-
костей ВСВ, ОБА, проведи кЪ ВА перпенди-
кулярѣ Го, а по плоскости ВАБ, к ВБ
наанача перпенд. РЕ соедини ЕО тогда /,ЕЕО
будстЬ мѣра (і .33?) наклоненіе плоскостей
ВЕС ВБ А или сферическаго уіла АБС.
ч учи ія то, вЪ Л ЕРО прямоуіолыі. при Р
( для О Г прямостоящей кѣ плоскости В А Е)
б дст (тр. 3 1) ГС ОЕ - синусЪ д РЕС : К, и
вѣ Л ЕБС прямоугольн.омЪ вѣ Е СВ : ГС ': К;
синусу^СВГ Но сему (г. I 97) ГС х СВ СЕ
х ГС-: син. гЕЕС X К • К X син <СВЕ. раа-
дѢля п рвое содержаніе на ГС а впюрсс
ца К (г. 19 О вылетѣ СЕН СЕ спи.

у	гео:

ЕЁСсий. гСВЕ. Но вЪ п ВЕС прямо*
угольномЪ вЬ Е, есть СВ СЕ -В: сині
СВЕ, СлБдсш. К : син* 4'СВЁ • * син. гГЕО і
син. г СОЕ, то есть , радіусЬ кЪ синусу
ипотснузы БС, такЪ синус-Ъ угла АБС>
кЪ синусу прошивн го ему бока /С.

2 о. вЪ △ БЕИ прямоу годьномЬ  во Ё
будетЬ (гор. 3 I) I Е . ЕВ • син ГВЁ В, и
вЬ /> СГВ прямоуг. вЪ Е (тр. 32) ЕВ:ГО
.К: танг ЕВС. По сему (г. 197) ^Ех
ЕВ'ГВхЕС;* син. /. ГВЕхВ:Вх танг.
дГВС. раздБля первое содержанье ііа ЕБ*
а ішорос на К, выдстЬ ЕЕ ГО син.
^.ГВЕ. танг. ^ГВС* Но вЬ △ ЕСЕ прямо
угольномЪ вЪ Е, есть ГЕ ЕС- К: танг.
ГЕО СлБдсш. В. танг ^ГЕС- син /-ГБЕ:
танг. г Г ВС, то есть, радіусЬ кЪ танг.
угла АБС, такЪ синусЬ бока АБ іЪ танг.
бока АС. ГІсрсмсня сГе <г. і 96) выдстЬ К: син.
АБ;; танг. л АБС танг- АС, и обрат-
но, син. АВ:К • танг. ?С. шанГ. ^АБС;

ПрЕДЛ П-

ІЮ . Прямоугольнаго треугольника А ВС (ф о)
продолжа стороны ВСдоО,АСд I, Б А до О
ЗГпобЪ СО) СІ, ВВ были по 90 гр. пстомЪ ежели
отЪ точки В яко полиса описать дугу НЕВ, так'Ь
чтобЪ

чгпобЪ лѵга ЕН, была 90 гр а отЪ полюса С Дугу
Н іСгі то чрезЪ сіе начертаніе здіілаютпся два прямо-
угольныя треугольника СЕЕ, Н 1Е > коихЪ части
иныя равныя а другія суть суплементы Частей сф «
рическаго треугольника АВС

Доказ. Понеже 1 с В буд чн полюсЪ
Д)іи ЕЕО, щр дуга ЬЕ и ВО по 90 гр.
и прямостоящія на дугѣ ЕЕС дуги Г ЕС,
ГС А будучи прямостоящія кЪБАС, также
по 90 бр й ихЪ точка Г есть полюсЪ
дуги ВАС. П сему треугольникъ ГС Е есть
прямоугольны вЬ Е, коего угла Г есть ьіЬра
дуга АС — 90 — дополненію бока АВ : бокЪ
ГЕ есть дополненіе дуги ЕС измѣряющей
уголЪ В, ипотенуза ГС есть дополненіе бока
СА, а бскЬ СЕ “ дополненію бока ЕС.

5 с. И'ю дѵга ІІЕ'^Огр, и прямо-
стоящія к СЁО, то точка Н есть оной
п люсЬ ( 24), и. дуга НЮ “ 90 I р. ( 3 ).
Дуги СІ, СС Суть также по 90 гр. и
перпендикулярны кЪ дуі*Ь НІС-, по сему
шрсугольнилЬ НІЕ‘есть прямоуголный вЬІ,
сіо бокЬ ПГ~ дополненію д Ги ІС разм -
ряю.Щй БСА, Другой бокЬ ІЕ_±СА, по тому
чѣо у д іЬ СА," ТЕ-ссіпь общее дополненье
дуга СЕ по пюмужЬ сго ипотсн за НЕ—
у лу АБС, а голЬ РГІІгг ипотсі^зс ВС, и
уголЬ НЕ! ~ дополненію бока АВ.

ЙасихЬ гполвукЪ предложеніяхъ основали пра-
вила выаисле ля есякихЪ сфзрическихЪ прямоуголь-
ныхъ треугольниковъ,’какЪ ниже ягствуетЪ .

***********>***********
йропор^іи ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНІЯ СфЕриЧЕС-
КИХО прямоугольныхъ треугольниковъ

Для вычисленія угловЪ и сшоронЪ вся-
ких сфсричсскихЪ прямоуі ольныхЪ тре-
угольниковъ, надобно всегда полагать А
у прямаго уі ла. В, С непремѣнно при другихЬ
углахЬ и дЬлагпь пропорціи, какія вЪ слѣду-
ющей таблицѣ показаны.

Сіи пропорціи собраны вЪ.он) Ю таблицу
дія того, чтобЪ вЬ вычисленіи по какому
Шесть возможному заданію сфсричсскихЪ
прямоугольныхЬ трсуі ольникові, не искать
по прсдписаннымЪ правиламЪ удобнѣйшей
к! тому пропорціи, но брать токмо изЬ нея
по сходству сЪ задапІсмЪ надлежащія прави-
ла, и находить ( чрезЬ натуральныя синусы
либо тангенсы, алсічс ихЬ логарифмами)
нсвсдомыя части треугольника. О проис-
хождсніижс сихЬ проюрціи нижейИ. 141,
14а и 145, обстоятельно изшолковауо.

а.

-о ѵд Таблица
‘Я	с {

ТабЛиПД для іѣшемя тто к?мЪ вовможньііЛ
СлучаямЪ, сферичискихЪ треугольниковъ А ВС прямо-
угольныхъ вЬ А (ф. 6о)

Ко.

дайы.

ИС-
к -
т ь.

------------

пропорціи.

Тогда иско-
мое мены е

со гр . ежели

АВ АС

ВС К:кос АВг:косАС:косВС АВидЬгод

«4

“4

11 5

ІТ 1

ЛБ,ВС

В В.синДВ :коптАС:котВ АСл'мГ.ріг
С К;котАВ -:сич АС кЬтС АВмен 9с г

АС ,ьос дВ: К : - кос ВС: ос АС ВС и А В под

Б В. таи ДБ

кот БС:; ос В ВС и АВ под

и9

І2І

и о’і .

АВ, В

С 'син ВС:сигі дБ:: В : син С ДБ мен 9ог
АС Н- син АВ: • тан Б: Ігіая ДС І В мен^$о г

ъС К кот А В; кос Б. кот БС

С К • кос А В • син В  косС

А В ѵ В 170/ Сб.

АВ,С

І?4
«27

І2б

Ѵ7

ВС

АС
ВС

В

АВ

К. та ДВ; :кот С: син ДС
син: С синДЁ. К:син ВС
кос:ДВ кос Сі К син В

кос ДС: кос ВС К’кссДЁ
си і ВС син АС: і К: сИн В

С Еѵтпзн АС: -кот ВС: 7 ос С

АС,В

АВ Е\ таи ДС ::котВ син АВ

12^

4°.

АГ,С

42

ВС,В

47

46

49

>4о

в, с

АЧ

ВС

в

АВ

АС

С

АВ

АС

В

АВ

син В: син ДС :: К’і Син ВС
косДС:косВ К Син С
В:син ДС:: ігіан Сі тан ДВ
КкОгпДС кос С: кот ВС
К кос АС : син С;: кос В

В:таи БС::косВ. ГПан ДЁ
К' син ВС : СИЧ В: СИН АС
К косВС::танВ кот С

К син ВС :: син С.син ДБ
В. тан ВС:: кос С:тан АС

К косВС-.піанС ібт 3
с<н В; бс С:'-К кос АЕ

ВС

А В мен. 9о г.
сумнительно
тоже
тоже

АСмеЯ. 9ог,
2 Си ДБ под
сумнгпіельнь:
тоже
тоже

С мен9о г
АС и Спсдоб
АСмен. 9ог.
ВСиВгіедсб
В Мен 9о г .
ВС меж 9о г .
Смен;9ог.
В'СпСго/бб,
ВС и С по/06
ъ- мен '9ог.

син С косВ К:кос ДС Ёмен-9отр,
К .кот В: :кот С:кос ВС БиС годсб.

( 31 $ )

1 -д 1 ѵ " • д *	*' **' ”	

141 ПримБч. употребленіе сея таб-
лицы отЪ истолкованья только первой
строки лБгко понять можно. Она изЬя^ля-
стЬ, даны двс стороны АВ,АС сфсричсс
Каго прямоугольнаго треугольника, сыскать
ипошснузуВС: посему надобно учинишь сію
пропорцію, какЪ радГусЪ кЪ синусу дополненія
сока АВ, такЪ синусЬ дополненья бока АС
кЬ синусу дополненія ипотснузы. Но поне-
же синусы, косинусы, тангенсы и котан-
генсы принадлежишь дугамЪ, кои меньше
90 гр. равно и суплементамЬ оныхЪ (гпр.б);
сего ради посредствомъ К. Ю2 и послЪд.
показано вЪ пяшомЪ столбцѣ , что искомая
чаешь, каіЪ вЬ ссмЪ. примЬрЬ ЕС есть меньше
$О гр. бу де А Б и хА'С подобі ы или оба одного
вида, то есть, ежели оба больше либр меньше
90 гр. Случаи означены с мнительными,
сушь піЬ вЪ коихЬ цозаданХюнсможно узнать,
большели или меньше искомой бокЪ лисо
уголЬ нежели 90 гр. іпокмо оныя случаи
весьма родки вЬ Астрономическихъ вык/.ад-
кахЪ, ідЪ употребляются вЪ прямоугол-
ныхЪ треугольникахъ только піБ дуги, кои

меньше 9° гр- по тому л что когда случа-^
рея большія дуги, тогда беру шея ихЪ суц-

"эОА1* леменпіьі

ІИ '5-.	: Я;	Л

цементы, продолжа ихЪ до полуокружности.
НапримѢрЪ ежели потребно вычислять трё-
угольнивЪ АЬС (ф $6), тогда }бѣгая?амБ-
іпашсльсшва, надобно рѣшить треугольникъ
ВС И, коего всѢ стора іы суть меньше 99
гр. также и углы кромѣ С, и вычисли его
всѣ части, найду тс^ оныя и вЬ данномЪ
треугольникѣ АБС.

***********************

ИЗЪЯСНЕНІИ ПрЕДПИСАННЫхЪ пропорціи
і  - • «и-

142 СлЪдст. отЬм. 107 іс. Пропорція
вЪ И. 133 есть глаже что ивЬьг. Ю7- ВзявЬ
лСвмѣсто В будетЬ К 135. Обратя оную.
выдугаЬ К. 124 и Н 127- Обратя пропорцію
Й. 135 выдстЬ М 116 , М • 12 Г.

2 с. ВЪ прямо)юльяомЬ" треугольникѣ
ЕСЕ (ф.бо), К : сін ЕС : сін СЕЕ : сін СЕ,
то есть, вЬ треугольникѣ АВС, К : кос АС
кос АВ : кос ЕС , сія пропорція есть вЬіЧ.

111, а обрагпя онуіо выдутЬ К. 114, М 123-

3	е» ВЬщомже треугольникѣ ЕСЕ,паки
К: сі .ЕС *.*сінС : сін ЕЕ,или вЪд АВС,К:
кос АС-^сІн.С кос В, что поставлено Й>
И. І 3ігаобрашя оную выдутЬК 128^. 139*

(зм) &&

4	с. ВЬ треугольникѣ НІР Кгеин НГ
і -син Р : син Н1, или вѣ треугольникѣ АГС,
К ; син В • * кос АБ : кос С , сІЯ поставлена вЬ
X 119, обрѣтя оную будстЬ й і 22 и й. 138.

143 СлѢдст. отЪ й. ю8, іс. Таже про-
порція есть вѣ й 117, и ввявЬ х С вмѣ-
сто В гЬідстЬ Й» 129

2с. Обрати Й ІІ7» будетЪ танг. В:
К-.’ танг. АС. син АВ> но (гпр. 17) тінг.
В:К'-В: кот. В. По ссм} К кот В •  п анг .
АС: син АЁ, Сія пропорція вЬ Й 126

Зе. Обратя й 129 будетЪ танг С:
К ‘ • танг. АЁ син. АС Но(тр. 17) танг.
С К • - К кот С Цо сс му К : кош С • танг.
АВ: син / С, сія ві Й- 120,

4е. ВЬфРСЁ (ф 6о) слѢдустЪ (юЗ)
К.сін РЕ .* танг Р шанг. СЕ, то есть,
(.1 1 О) К : кос В : кот А В : кот ЕС, сія про-
порція вЪ й. 1 18 Но какЬ он^р послѣдняя
Пропорція изЬяв-ляегр.Ь во осіцс что радіусЪ кЬ
синусу одного косаго угла, такЬ котан-
генсѣ бока прилежащаі о сему у глу кЪ кот н-
гснсу мпотсн) зы. 1 к> ссм^ К : кос С - < кот.
АС.кот ВС. Отѣ сего вытелЪ й 130-

5 с. Вѣ томже трсуюльникѣ РСЕ,К:
Син СЕ . шан Сіпіавг РЕ, то есть (ПО;

К кос ВС: .'тпаііг С : кош Б, что вЬК-іЗ?»
Но сія пропорція показустЬ что радіусЬ
кЬ косинусу ипотснузы, какЬ шангснсЬ
одного косаго угла кЬ котангенсу друюва,
по сему поставлено вЬ I 34, & : кос ВС
:. пюнг В . кош С.

6с. ВЬ трс гольникЬ ПІЕ,К син НЕ'
танг Н: гпаціЕ, гпо есть, К кос С«- танг
БС*тан, АС,М. 1 36. НонсжссГя пропорція
мзЬявлястЬ во обще что радіусЬ кЬ ко-
син су одного косаго угла, какЪ шангснсЬ
ипотснузы кЬ іпані енбу пр лежащаго бока
тому углу: по сему вЬ ЬІ. I 32 , радіусЬ:
кос Ё * танг БС : танг АВ.

7	с. ВЬ томже трсуюльникБ НІГ, К:
син ІЕ : таи Г: гпінг НІ, то есть, К:
ей < ЛС- * кот АБ. когп С,оная вЪ К 113»
На какЬ с?я Ооопорцгя во обще аначитЬ что
радіусЬ кЬ синусу бока, такЬ когаангснсЬ
др гова бока кЬ котангенсу угла прогаиво-
лежнцаго сему доугому боку; того ради К:
синАВ ; кот АС: кот В> сГс вЪЫ, ііа-

8	с. СЪрашя пропорцію 14. 118 будетЪ
кош А ВК : кот ВС : кос. Б, или (тр. 17) К ;
танг АБ-: котанг БС : косВ,сУсвЬ Ь(. 11$.

с Обрашя И. 137а выдс.тЬ танг С. К

кош.

( 316 )

кот В. кос ВС Но танг С:К котС.
По сему К : кот С • • кош В : кос БС, сіе
вЪЪІ. 140.

іое. НаконецЬобратд вЬН і зб,Су’сгпЬ
танг ВС К  танг АС: кос С Но танг. IС К
:.'К: кош ЕС. Посему Ц кот БС • танг
АС ’ кос С, сіе поставлено в К' і 2 5.

ТакимЪ образомЪ произведены ісѢ проперши по-
казанныя ъЪ П| едписанной таблицѣ, изЪ коихЬ для
удобнѣйшаго (тр. 3$). вычисленія большая чаешь по
возможности выведена такихЪ, кои сЪ радіуса начи-
наются .

**************А$********
О. рѢщЕніи сферическихЪ прямоуголъ
НЫХЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВЪ ГЕНЕРАЛЬНЫМЪ

прлвилоьіЪ

144- $0 всякомЪ сферичгскомЪ прямоуго-
льномъ треугольникъ стороны прямаго угла
сЬ дополненіями прочихЪ трсхЪ частей Нс-
псромЪ * названы пятью частями круглыми,
мзЬ коихЪ буде три вешупЯіпЬ вЬ рБтснУс,.
то есть* двс данныя а одна искомая, то оныя
чрсзЬ прямой. уюлЪ нснсрсрДіваюшс д (сряду
счисляются)  Одна сихЪ частей находящаяся
между ДвухЪ нссчишая прямаю угла назы-

3 ./ зло!. л	;н:	васпіея

—“г—————— ------- 1;	-----С'”'5 /’ЗГ7 .

ІоанЪ неперЪ‘ баронѣ -мерхистонсі.ін іпоіияанедЪх
^ерши изобреніатель логарпфмовЪ и сего правила.

йаешся средняя, айрочіядве той елижнѴЛ
суть крайн Ія прилежащія, а чрезЪ чаешь
отстоящія ошЬ средней (несмотря на прямой
уюлѣ) ілмян)ются крайнія удалегіныя.

ВЬ слѣдующей табличкѣ всякаго сфери-
ческаго треугольника АЬС прямоугольнаго
рЬ А (ф 6о), каждой средней части пока-
заны крайнія прилежащія и удаленныя.

среднія БА  са	краин. прилеж. ДОПОЛИ. Ба С А  А В, дополи. С 1	краин. удаленныя допол. С, допол В С допол ВС, допол В
ДОПОЛИ. С	А С, допбл. ВС	АВ, дополи. В
дополи, БС допол. Б, допол. С		| АБ, АС
дополи. В	А В, дополи. В С	А С , дополи. С

По сему положенію веБ вышепокаванныя
для рі тенія сферическихЪ прямоугольныхъ
треугольниковъ 30 пропорціевѣ, приводятся
вЪ слѣдующее генеральное или общее правило.

145.	Произведеніе радіуса синусомЪ средни части
равно произве енію тангенсовЪ краинихЪ прилежащихЪ»
и равно произведенію кбсииусовЪ крайнихЪ удалейныхЪ.

*********** ************
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НА ОбЩЕЕ ПрАВИЛО

І46.	Доводѣ сего правила сосшоишЬ вЬ трсхЪ
СлЬдующихЪ случаяхѣэ ибо среднею частью
.	бываешЪ

бываетЪ либо дополненье уі Ла В, тоже что
дополненіе углаС, или дополненіе ипотенуяы
БС, либо бокЬ АВ, тоже что бокЪ АС.

Случ. I. Пусть дополненіе угла С есть
средняя часть, тогда АС и дополненіе
ипфпіенузы ЕС, сѵтпь крайнія прилежащія.
Понеже (125) Д. т ін. АС котан ВС : кос*
С. И тако (г. 196) В. х кос. С' - таи С X
кош. ЕС. Тояже среднія части дополненія
угла С, крайнія удаленныя суть дополненіе
угла В, и бекЪ АВ На ( І2й) К.син. Е;-
кос. АВ:кос. С; посему Кхкос. С ~ син.
Бх кос АД,

И. Ежели средняя часть есть допол-
неніе ипотснуіы ЕС, тогда дополненіи.
угловЬ В, С суть крайнія прилежащія По
сему (140) К; кош. В--к(зт С: кос. ВС.
Но К X кос. В С ~ копь С х кош В.

При той же средней ( дополненіе ипотс*
нузы ЕС) крайнія удаленныя А В, АС; по сему
(111) К: кос АВ кос. АС. ВС. Но В, X
кос ВС кос. АС X кос АВ.

ІІІ. Когда же средняя масть есть боіЪ АВ,
тогда АС и дополненіе угла В суть крайнія
прилежащія Но (126) К тан. АС -копь
В :хин АВ. По сему К х син. АВ — кощ. В X
щан. АС.	При

(? Г9 ) &'<«-

Притпой же средней АВ , крайняя уда*"
денныя суть дополненье ипотснуаы ЕС, и
дополн~ніе угла С. А понеже (135) К:
син. іС'-'син. С: син. АБ. По сему Кх
син. АВ гх-син ЕС X син С.

147.	СлВдет. По расположеньи об- 1
щаго правила или сихЬ двухЪ равностей вЬ
пр порціи выдстЬ (г. 195)*

I с. К ; тангенсу одной крайней .': шан-
генсЬ дру і ой кЬ синусу средней части , и В:
кос. одной крайней • ‘ кос, другой кЪ сину-
су средней части» Тою ради для сыску
средней вЬ прилежащихЪ, и вЬ удаленныхЪ
пропорцію должно начинать сЬ радіуса , а
крайнія полагать средними ея членами.

2 е. Ибо ( 196 ) тані . одной крайней
кЪ К:: синусЪ средней части кЪ танг.
другой крайней^ также косин. одной край-
ней кЪ К:: синусЪ средней части кЪ ко-
синусу друіія крайнія. ИзЪсего явствустЪ
что для сыску одной крайней, какЪ в при-
лежащихЬ, такЪ и вЬудаленныхЪ пропорція
начинается сЪ данной крайней части, а
радіусЬ и средняя чаешь бызаюпіЪ ся сред-
ними членами.

14З	ПримѢч. во ъсѢхЪ сихЪ пропорціяхъ сред-
ней части берется синусЪ? а вЪ дополненіяхъ коси.»

нусЬ

в»бЭ^ ( 3 2° )

йусЪ. КрайнихЪ прилежащихЪ тангенсы а вЪ допол*
нентяхЪ котангенсы: но крайнихЪ удалеиныхЪ ко-
синусы а вЪ дополненіяхъ синусы .

Памятуя сіе общее правило можно по оному
равно какЪ посредствомъ таблицы рѣшить всякія
прямоугольныя сферическія треугольники, а кое изЪ
оныхЪ двухЪ способовъ вЪ вычисленіи употреблять»
сіе на читателево благоизволеніе оставляю .

***********************

Основаніи вычисленія косоугольныхъ
СфЕрИЧЕСКИХЪ ТрЕуГОЛЬНИКОВЪ.

149.	Предл. I. Во всякомЪ сферическомЪ тре-
угольникѣ синусы угловЪ всегда пропорціональны
син 'самЪ протиьолежащихЪ своихЪ сторонЪ.

Доказ. Ибо треугольникъ А ЕС (ф. 6 3),
спустя вЬ нсмЪ изЪ угла С перпенд. СВ,
^раздѣлится на два прямоугольныя треу-
гольника АСВ,БСВ: тогда (107) К : син.
АС:: син А :син. СЬ, и К:син. ЕС ;•
син. Б ' сий. СВ. По сему (6.196) К Хсин.
СВ — син. А С X син. А — син. ЕС хсин. Б, и
іпако (г. 197) син . А : син. ЕС :: син . В:
син. АС.

150.	СлѢдст. ВЪ двухЪ сферическихъ треур
Голі никахЪ ежели кѢ углы сходственныя равны, то
и стороны ихЪ между Собою рак ы, и сами треуі ель-
ники между собою равныя, и обраіпко. Ибо равныя
углы и равныя дуги имѢктЪ одни синусы. ,
. Ежели какой либо треугольникѣ
ьЪдва прямоугольныя треугольника

АВС
АСВ,
БСВ

іуі. П
раздѢленЪ :

ВСО перпеидикѴляромЪ изЪ угла С равдѢлягсщимЪ
бокЪ АВ, на части А О, ВО, то предлагай;,:

г е. Синусы частей АО «ВО, обратно прогср-
уіонал.ь ый піанівгса Ъ а прямо котангегсамЬ угло/Ь
праЛржаіпчхЬ А и Б (ф. 63, 64 и 65),

Доказ. IІоо во прямоугольномЬ треуголь-
никѢ АЕС есть (14*) [\ • сйі АО : піанг-
А : пі (ні С ьз и аЬ прямоуі ольн, пірсУгольниьБ
Б С О, есть п .-< же К'син ЕВ--пину. Б: піанг.
СО. Посему К X танг. СО г син. АО х Шснг.
Апсин. ОВхтанг. Б СлБдсшв. син. АО;
син ВЬ Спьні Б : тан А (і. 19^), или сен.
АО спи ОВ - кот А . кот. Б С'ПР • 7)

152.	2 е Кссинусм піІхЪ же частей ДО, 1>0,
суть пропері'іопалыіы кссин^самЪ грилсж..ц..хЬ ссоЬ
•снюрочЪ АС, ВС.

Доказ Ибо вЬ прямоуголыіыхЪ піпс-
уго льникахЬ А ОС , БС О есть (11 I) К; -ос.
ОС • • кос. АО кос. А Су и сіцс К ; кос. ЬС
•кос. ОВ- кос. ЬС По ссы ксс, АО: кос.
АС ••'кос. ОВ: кос. ЕС.

І53	. 3 е. косинусы дьухЪ угловЪ ОС Д, ВСО
лроіюрніоналіні,іи котангенсамЬ сторОлЬ ВО-, ДС,
а <Х5ратно ихЪ піангеьсамЬ.

Доказ. П-ансжс вЬ прямоугоаьвьіх л т( с~
угольничахЬ АБС , I СО ссшь (і 30) В. коиі.
ВС —кос. ЕС О . кот. ЕСз и К к т ВС’ кос.
ВСг ;кош. / С. Носг му для равныхЬ содержа А-і
кос. ЬСО . кос , ОСА . ьот ЕС : кош АС--'
Ли.ш. АС : шанг. БС. ф 154

‘•>3 (322)

Т54. 4©. Синусы тѢхЪ же двухЪ угловЪ ВСБ».
БСА пропорціональны косинусамЪ угловЪ В» А

Дока а. Понеже (13 О К:кос. БС':
син. БСА:кос. А; и К:кос. БС-’син.
ВСБ : кос. В. Посему син. ВСБ; син. БСА
:; кос. В : кос. А.

155.	Лемма I. произведеніе синуса верзуса суплеч
мента дуги АВ (шр. ф. I ) полрадіусомЪ, р на
квадрату косинуса СК половины шей дуги СМ. То
есть а Б X і К “ С ЕО-

Доказ. Ибо проведя а В, т рсугольники
аБВ,САЕсуть подобныя (г. 130). Посему
( г. 207 ) аБ  аВ- • СЕ : СА . Но какЬ а А вЬ
двое больше АС, то (г. 206) и а В есть вЬ двое
больше СР; и тако аБ : 2 СР •’ : СЕ : СА , и
(г. 1.92) аБ СЕ : . СЕ : ;СА. Сего ради аБ Х~
^А —СГхСЕ, то есть, арх2К—СЕЕ.

156.	II. Произведеніе разности синусовЪ верзу*
СОвЪ какихЪ либо двухЪ дугЪ А. К, А Г (тр. ф. 2)
полрадіусомЪ, равно произведенію синуса полсуммы»
синусомЪ полразіости тЬхЪ же дугЪ АК, А Г.

Докаа. ИзЬ точки А спустя перпен-
дикулярѣ А₽, будетЬ А₽ синусЬ полсуммы;
КІ синусЪ полразности, а КМ -КС" разнос-
іп ч синусовЪ всрз)совЬ дугЪ АК,АЕ. По
шомЬ для равноугопьныхЪ прямо гольныхЪ
треугольниковъ САР,ЕОК (ибо по сочи-
нспГю линои АР, ЕК паралсльныя , а/ СЕИ
~^ЕЗБ, отЬ чего и ^8ГВ~ ^РСА) бу-
детЬ

дгпіЬ (г. 207) АС АР :: ГК . КС, и (г. 192) \
АС' АР::' ГК : КС. Посему КСхІАС~“
ГК или КІХАР (г. 194)

157	Ш. Во всякомЪ сферическомЪ треугольникѣ
АВС (ф.67) какЪ произведеніе синусовЪ боковЪ А В,
ВС обдержащихЪ / В, кЪ квадрату радіуса, такЪ
разность синусовЪ верзусовЪ бока АС и суммы боковЪ
ДВ, ВС $Ъ синусу верзусу суплемента угла В

Доказ. 1с. Пусть РВАК предсшавдястЪ
четверть сферы, и на ней лБ-жишЬ сфсричсск/и
треугольникѣ АІС при полюсѣ Б прямаго круга
УКЬ^РКссть (37) проекція большаго пол-
круга РКК, а хорда 0_М, есть проекція тому
паралсльнаі о полкруга чреЛ уголЪ С про-»
х дящаго- По сему дуга ВС ~ БМ г: Б(^, и
АВі-ЬС— дуіЪ АО_, коей синусЪ есть 0_Х, а
изЬ опущенный перпенд на продолженный
раді сЬ АО, опрсдслишЬ АХ синусЪ верзусЪ
дуги А(^. ПришомЬ же явно, что АЕ есть си-
нусЪ дуги АВ,иОГ синусЪ дуги БС^ —БС.

2,с. Понеже хорда ЬН есть проекція
круга перпендикулярна! о кЬ радіусу АО ч
прошедшаю чрезЬ тотЪ же уголЪ С. По
сему дуга АС — АІ —АН, и НІ есть
синусЪ, а АІ синусЪ всраусЪ той дуги АН.
или АС: и тако IX — разности синусовЪ
верзусовЪ дуги АС и суммы дугЪ АБ,БС-

3 с Прэдолига на сфс (Ъ дугу I С до боль-
щи о ко .та Р К И , оу д« іи г ( і 8) д\ га К К мЪра
углу В, коего синусЬ есть КС, ивЬ К па
дГімеяірЬ сфс >ы опущеины перисндчкуляр1 ,
а Р з есть синюсь вгрз сЬ су плсменпіа угл< В

4 г.. Понеже (г. 2бэ) подооныхЬ фигу рЬ
сходсіиночныя величины пропорціональны ,
то 'Піь, коѵговЬ раЯу ы ОР,0_Р косгну-
с м СО ГС угла В Иначе, помысли чаю
чс’.и »гр ’)Ь круга ЕОР на радЛсБ ОВ пере-
гнута такЪ что Р придстЬ во К, а 0^ ві С,
п >гда прямоу. оль' ыя треугольники РОС
О^ЕСеудупЪ подобныя, для равныхЬ ^гловЬ
РОС О_ЕС (г 130). Посему (г. 270) Г О,:
ГС -ОР-СС, и (г 196) Г(^-еГС =
О, С :: ОР : О Г -ь 03 ~ РС, то с ть, Е(^:
І^С :: К : РС , и ли Г(^ ; К :: (^С : РС.

<^с Ііак чепа лл.ч п'іДОбі.ыхЬ Ш|.сутолі-
никовЬ АЕ0«І)іС.? РХО^.слЪлутлиЬ /Е О::
ВГР'ЗМХ 0<^, ѵЦі соо) /Е . АО :.1Л
ВХ ВС-+-В<Ъ, ’Ѵ1’	Н*:<Х О,С,но

Г :Е : ;О С РС, п’> о му уг. 197 АЕ х
: КГ\ :: О, С х IX (у^СхГ С раздЪля послЪд
нЪ сод р»к?ніс на 0_С іыдстЬ АЕхГО^*
ВЦ;: IX ГО, и о синь, какЬ проивв* денГе
совЬ д^ АБЛВ7 і^Ь квадрату радіуса,

ПічкЬ

ЧА ( ?-5) ^4“

ЙІпкЪ р э гсгпь синусовЪ вервусовЪ ДУГИ С
и с ммы дугЬ АВ, ЕС кЪ синусу в рзу<у
супм мснпісі угла Р ''Одержимаго с; ми д і < мп.

158. III. ВО'.ся омЪ сферическомЪ пграугсЛ нікэ
ДВСіспіь сія нро/то(ТТЯ> жакЪ про :екеле І? с и' со Ъ
сгпоронЪ А &» В ' к’Ь квадрату рдді са, так си ' сЪ
по/суммя ісейЪ іцрехЪ умноженной с у со. Ь рагц<^
спи между пюй прлсуммы и бока ДС ж > к>а/ргпу
косинуса угіа В содержимагд бо. ами А Б, ВС.

ДоѴаЛ Поііг-Л:-. (1 су) сГ-і /Ѣ X син іО

ІХ:РО у ѵноха ГСД р-~ шс IV : РС на ,
К ж ісиі'э сі н В х син В7 : К&•: )Х л ; Г, РС ,Н.

ГЧ_р Г і . /г
Но ( і $ 6) IX х . Еѵ*- ^іін ---------------- х

с в БД ч- АС _ А Сф а I о X л К квадра-
ту ко т. і угла Б (і ѵ) (Ібсгмусмн. В
л /СВ ч- ДВ АСУ

X син. БС • г К :: сг н. ( —;----------) X спя

‘^9 В ~1_А ° ~*~ А Ч _ дс) ; квадрату косйнусй

полови» ы )Г-а Б

СлѢдст. I Положа —-'	-

и СА_АаВ±СА / с - С, будетЪ син,
/ Б X син. БС : В К :: спи 5 х син ]) : квадр ту
кос.;углаЬ. Но сему д 9 х Г
ВД^косян^л В ----------------КГч

син . 8 X син . О ’	<-*‘Н . А В X с :» В

о	К

п—------ X ——X син. 5 X син В — квадр

•-ИН. А а син. вс
косинуса - угла В.	Ф ? А

•*«$=€ (

Но переменя сіе логарифмами (Ар.сптр. 372 и 5)3)
тпо сумма четмрехЬ синусошхЪ логарифмовЪ, аимян*-
»ио і. Арифмепг дополненіе синуса бока А В, 2. Ари 
фмет. дополн. син. бока ВС (тр-39). 3- Логар. си-
нуса полсуммы трехЪ сторонЪ. 4 Логар. синуса Го-
ловины сея суммы безЪ АС, равна двойному логар.
кос. Іпо есть полсумма четырехЪ сихЪ лога-
уифмовЪ равна логарифму косинуса гголугла В.

I 59. II. I Ірсдтісанную пропорцію можно
раздѣлить на двѣ тако: понеже сив^ АВ х син.
ВС : К К :: син. 5 X син . Р : квадрату кос. *

д;Б. По сему син. АБ X син. ВС X квадр.
кос. ‘У- Б & & х син . 3 х син. И. Отсюду
син. АВ X син . ВС X квадр. кос. \ В _„„„

----:----------ВК-------------- -СИН’

5 х син. Б, или

син АВхсин, ВС квад.кос.ідВ

-к- х; -к

син. 8 X син. В. Сего ради (г. 195)
син. Ав X син. ВС . ГІЛ„ ч	. КВ кос. » /-В.

- ..в СИН • О . о СИН 1-/ .

син А В X син. ВС _т, КВ-Л . кос , ' В.

Положа р^ — г, --------

— выдутЪ слѣдующія двѣ пропорціи.. ••

1 я. К : син. / В :: син. ВС :син. Р . 2я.син.
р : син. 5 :: син . Ь : 0_. А понеже 0_ —
'”;^“^0ЕС2~:~В’ лля гаого сЬлогар. синуса
0^ сложи логарифмЬ раді са, гао половина
суммы оі ыхЪ будстЪ логар. кос.-^. В

ібо IV ВЪ сферическомЪ треугольникѣ АВС
произіеде іи синусовЪ'боковЪ АБ» БС содержащихъ
уго. !

уголЪ ВкЪ квадрату радіуса, какЪ произведеніе пол-
усуммы третьей стороны и раз сепіи со, ерк.мцихЪ
А В, В С чрезЪ полразнссть третьей стороны и
разности содержащихъ кЪ квадрату синуса поло
вины того угла Б, (ф 6?).

Доказ. Пусть НБК.ЕМ представлястЬ
четверть сферы коей центрЪ О, и полукруги
НЕК, НБК сушь прямостоящія между собою*
также и черта ОВ кЪ НК

Продолжа ЕС до Е, буд тЬ дуга НМЕ мѣра
углу АВС ( 18), и Н0_ ~ 1 хорды НЕ ссшь
еинусЪ 2 ( дуги НМЕ ~ ; ) }гла АЕС.

Проведи ра ді} с О(^М, и ЕР, <^К пер-
пенд.кЬ ЕІК-5 тогда ЕР ~ синусу,а НР — син.
Всрзусу угла В, и НК — КГ (г. 2о6). НоОС^
есть перпенд . кЪ НЕ (г. 70)5 то вЬ прямо^г.
треугольникБ НС^О, будстЪ ОН ; Н0_ :. НО,:
НК (г. 212), и (г. 194) ОНхНК—.
НО_а — квадрату синуса - угла В.

Положи БІ) ~ ВЕ ~ БС, и АГ^: АС ^2^ С,
тогда полукружіе БСЕ паралсльнос кЪНЕК
пресѣчется ощЪ полкруга ЕСС прямостоя-
щаго кЪ плоскости НБК вЪ линѣе СІ(і. 336)
прямостоящей кЪБЕ ( г. 346 ) Дуга БСи
еинусЪ верз- БІ суть подобны д іѢ НЕ и
син. вервусу НР (8иг. 254). Посему рад ОН:
рал.В8::ГН:Ю=:(^хПЗ = )-^хр8.

Ф 4	Проведя

Пропедя ОН пармолгно у? ЕС , бу ('•тЬ
дуга А Я — ( 90 гр. іг. ) дугЬ ЕК, и КК -
АВ Посему 4ВІЕ ('КСК г. дуГЬРК .)
ду гЬ А в . Еіпс В 5 г; ( 5Е — син. дуги БЕ ~)
синусу дуги ЕС, иАВг: (ЕВ— БА—ЕС —
АЕ) разности сторонЬ около угла В Таі.-жс
4.ВЕІ- 1 дуги (ВСтЛС^ЛВ::) ЛС +
АВ, чего с шусЬ есть ІВ (тр 30) , а дуга
ЕВ —(АЕ —АВ—) АС —АВ, коей сду-
нусЬ С‘ ПІЬ ; ВЕ .

Но вЬ △ ВЕІ, син /ВІР С.ИИ./-ВЕІ -
(ЕВ ІВ. :)5 ЕВ у ІВ (тр. 30), или / ВІЕ:
ВЕІ- 2ЕВ ; х РЗ.1 Іо сему син. д Р1Г> ВЗ
х — сий. / ВГІх ;ЕВ (г. І94\ и син. 4
ЫГх В5Х “^ хОП—син. /ВЕІхіЕВхОН
(г. і р ), и^и син. 4 ВІЕ х В8 х НМ ~ син .
4ВГ1х4ЕОхОН; и і”ако син . 4 ВIЕ X Е> 5 :
сйн. 4 ВЕІхд,ЕВ ОН НК (г. 19$) - ОНх
ОН : НХХО1-І —(Г І90- С/Ъдспвгн-
но син. 4 ВІЕ X ВЗ ; син. ВЕІх-ГВ. ОІ'С'^
НО_О, или син. АБхеин ЕС;смн. (АС-г
АВ ) х син. ;(АС — АВ):‘КК квадрату си-
нуса л4 АЕС, или квадр. син. і 4/ВС —
син . ’ 4 ( А Су. А Е)) X син * ( АС~ А Р )

син . АВХ син. ВС

(* 194).

положа

Положа теперь К “ I . Л, вмѣсто слога
логірифмЬ, будетЬ 2Л, синуса |^АЕС -
Л син. ; (АСн-АВ)-ьЛ,с-н. а(АС — А В)
— Л син АВ— Л син ЕС (Ариф. спір 372
и 373). Положа л за слово арифмепіичсскоо
Дополненіе логг'»рифма выд'тЬ.......... .	.

л, с. А В ч-л с ВС-+ Л с-•(АС-ь-АР)-^ Л с. * (АС - *Р)

2

пЛ. синуса полугла АЕС

То есть сЬ Арифмет. дополн. синуса одной сгпе-
ромы содержащей/! В, сложи арифмет. дополи, синуса
другой содержащей стороны > и логар. синуса полсум-
мы трепбеи сторо пи и разности содержащихъ сто-
ронЬ, . а логар. синуса полразности третий стороны
и разности содержащихъ сторонЪ , тогда сооіпьЬт-
ствующія градусы полсуммѣ сихЪ чегпырехЬ лега-
рифмовЬ у двоя вЫдетЪ величина угла В .

і'т V Во всякомЪ сферическомЪ треугольникѣ •
АВВ (ф. 69), ежели огпЬ верха А на основаніе ВВ
оиуспіить перпенд. АЕ? то будетЪ сія непремеиная
пропорція» какЪ полтангенсЪ основанія кЪ полутпан-
генсу суммѣ двухЪ сторонЪ, піакЪ полутангенсЪ.
разности сторонЪ кЪ полутангенсу разности час-
тей основанія ИЕ, ВЕ.

Вообрази что сфера ОРСС стоитЬ па
плоскоспш вЬ В перпендикулярно своимЬ діа-
мсгпромЬ ВО, и пусть отЬ полюса А разстоя-
ніем Ь АБ мсныпаго бока н писанЪ малой круіЪ
ЕЕЪКЕ сБкущсй основані ЕВ в Ь, и сто-
рона АВ продолжена до Р . По сему АВ —

ф 5	АЪ

А.Ь — АК — АР Сего ради БР есть сумма, а
ІЖ разность двухЪ сторонѣ треугольника Б1С,
а РЬ есть разность частей основанія БВ; ибо
РЕ~ ЬЕ. Говорю что танг. ~ ББ:шанг.^
БР-• танг. ’ БК : танг. ;БЪ.

Д ок а з . Понеже дуги Б А, БВ продолжен-
ныя сходятся в' О, а око изЬ О прсдстав-
ляетЪ (59) Луги БГ,ВК,БВ,ВЪ на пря-
мыхЬ липѢяхЪ БГ, Бг, Б3, Біі кои суть полу-
Піангснсы оныхЬ дугЬ. Но точки Г, г,Ь,3
находятся вЪ окружности (6о). Слѣдствен-
но (г.22і)БЗхБЬ~БГхБг, по сему (г.
І95) БсІ Б€:.’Бі ; БЬ, то есть, БВ : т
~ БЕ -т ’ БК : т ’ БЪ. ч. н. д.

ЕсѢ оныя три предложенія состоятЪ вЪ томЪ »
какЪ по извЪстнымЪ тремЪ спгоронамЪ всякаго косо-
угольнаго сферическаго треугольника углы узнаваты
по первымЪ двумЪ одною толіко пропорціею, а по*
средствомъ третьяго сыскавЪ части основанія най-
дутся по предписанной таблицѣ и углы треуголь-
ника > а которое изЪ нихЪ вЪ шчислѢніи употреб-
лять, сіе на читателево произволѣнге оставляю.

******************* * * *

©бГЦЕЕ рѢшЕНІЕ КОСОУГОЛЬНЫХЪ ТрЕу*
гольниковЪ по всѢмЬ ВОЗМОЖНЫМЪ

ЗАДАНІЯМЪ.

Для вычисленія косоугольныхъ треу-
гольниковъ

( з 31 ) с^”*

голъниковЪ можно предложишь 12 задачъ,
иЪ коихЪ 8 тпребуютЬ чтобЪ заданный
пірсуі ольникЪ раздѣлишь перпендикуляромъ
на два прямоугольныя треугольника: но
сія дуга бывастЪ внѣ и вЪ треугольникѣ?
то прежде надобно разсмошрсть вѣ какихЪ
случаяхЪ она падастЪ внѣ и внутри тре-
угольника : сего ради предлагаю.........,

іб?. I. Перпендикуляръ СВ изЪ угла С сф •
рическаго треуголі ника на противной бокЪ АВ опу*
щепный падаетЪ в’Ь треугольникѣ (ф. 63 ) ежели
другія углы А> В одного вида, а внѣ онаго (ф. 64
и 65) буде уіоЛЪ А и В разнаго вида.

Доказ Говорю 1 с. Ежели перпендикуляръ
сь (ф. 6?) падсіпЬ вЪ треугольникѣ, то
углы А иВ одного виду. Ибо вЪ трсуюль-
никѢ САИ прямоугольномъ іЪ В, уголЬ А
одного виду ( Ю2) сЪ противною своею
Стороною СС: по томужЪ доводу уголЪ В
бдноі о вида сЪ дугою С В, и тако когда углы
А и Б одного вида, тоі да перпендикуляръ
СВ подаешЪ внутри треугольника.

2С Естьли перпендикулярѣ СВ ( ф 64 и
65) падстЬ внѣ, то углы СВ/, ВАС суть
разнаго вида? ибо ( і 02 ) вЪ прямоугольн тре-
угольникъ СВВуголЬ В одного виду сЬСВ,
и вЪ прямоугольн треугольникѣ С АВ, уголЬ

САВ

 Ф?? (33")

САБ одного гиду сЪ дугою СБ; по сгму уГ ы
СЕБ, и С А Б суть одного вида- С то р ди (ф.
6$)уголЬС ВБ и су п смсніпЬ утл< С Б, то
есть уголЬ С В суть равнаго впд<<, а (сЬ.
64) уголЬ САБ и суплсмсітЬ угла С Б,
то есть, угла СЕ А также разнаго ви*у^

ібд. 11 Егтли две метшія стороны АС» ВС
(ф. 66) шреуголь.чи-.а АВС суть одного вгл5па
перпендикуляръ СБ изЬ С іа основаніе АВ опуще *
ны падегпЬ вЪ очомЪ. треуОЛ’.никѢ.

Доказ. На АВ положа АР — АС, 11
ЕЕ 'г_ I С проведи СР, СЕ, ц. отЬ А и В
опусти перпендик ля ы АН, ВС.

Сісучиня, вЬ прямоугольныхЬ треуголь-
никахъ РАН, ЕСБ стороны РН, СЕ суть
нсмин)смо меньше 901р. ибо они но овиг »
дугЬ СР, СЕ. ПопюмЬ буде положгмЬ АЕ
и ЕС или имЬ равныя АР, ЕЕ меньше 9^
ір. тогда сіи ипот<;нузы будутЬ одною
вида сЬ боками ЕII, СЕ5 по сему углы АРН,
1ЕС сушь острыя ( іеб), и слѣдственно
одною виду сЬ боками АС, ВС, и перпенд.
СБ падспГЬ наЕР (162). Но ежели поло-
а ипіь АР, БЕ больше $0 ір« тогда сіи
мпошенузы суть разнаго сиду сЪ боками
РН, СЕ; посему ( іоб) углы АРН, ЕЕС
сушь

Суть тупыя, и потому одно! о виду сЪ бока-
ми АС БС, сего ріД'л п рпендик СС опять
ПсідешЬ на ЕЕ. О продложа слѢдусшЬ... .

ТГАбЛИЦА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНІЯ СфЕрИЧЕ-
ск.іхЬ косоугольныхъ трЕуголь-
ников Ь,

г—-	  случ.ідан-		иско мыя.	л^олорціи.
	ныя		
	А		Спи. Д:син.	син. ВС син. АС-  (М9)
164	в  ВС	АС	бокЪ ДС можетЪ быші бол1 те либо меньше 901р. и чрезЪ одни.данныя нео'ч едѣляч пкя (ф. 6}і 64И65).
	А		Л: кес. ЕС;; яіаг. В кот, ВСС (Н4).
	В  ЕС	С	Кое. В : ксс. В А С : ісин. ВССс син . А С С ( 154 ).	;  Ежели углы А-В одного виду, то* сумма угловЪ ВС О, А4.С 'равна сс»пискомому углу С; нсбу;е А и В разчаіо виду, то разнеси!1 ут-^ лов'Ь ВСБ АС^ будетЪ равна
			углу С Сфиг . 63, 6д И е^у
	А		К сс. В та іг. ВС танг. ЕВ к*', ).
ібб »	В  ВС	АВ	Та: . А: танг. В - син. ВО син А.) (, ,).  Су іе Л иВ одпею вида, то ВОч- А і) ~~ А В ; но ежели раз ювидный то разнесть между ВС иАЪі дасшЪ АВ (ф . 6>: 64 .1 бу)  16!

( 334)

случ.  167	дай- иско- выя мыя.		про порціи.
	В  С  ВС	АС	Ц:кос. ВС;:танг- В:кот. ВСВ ( >34 )-  Возми сумму или разность утла ВСБ, и даннаго ВСА» по падеч ні.о перпендикуляра СВ- и полу- чите уголЬ АСВ, потомЪ ... Кос. ВСВ^кос. АСВ кош ВС : кот. АС ( *53)-  Ежели углы ДВС-.В одного виду тогда АС меньше 90 гр. буде А ОС и В разнаго вида, то АС больше догр. (флг- 63, 64» и65)
168  169	в с  ВС  А  АВ вс	А	К:кос Всишанг. В:кот. ВСВ  Возми сумму или разность угловЬ в С В И В С А > смотря на паденіе , перпендикуляра и получите уголЪ АСВ, потомЪ син. ВСВ син. АСВ :: кос. В; КОС. А (154).. Ежели уголЪ ВСВ меньше ВС А, то искомой уголЪ А одного виду сЪ дачнымЪ угломЪ В а бу де ВСВ боліше ВСА, тогда А иВ разнаго виду(і6-’) фиг-6;, 64, И65.
		С	Син. В С: син- А В :: син. А • син. 1 СО49) уголЪ С можетЪ быть острой либо тупой и отЪ данныхЪ не опредѣляется.  г	’



?луч.	дан- ныя	ис о- мыя.	лроло^ці к.
170	В  ВС  АС	АВ	К гпанг. ВС :: кос. В,= танг. ББ (42).  Кос. ВС:кос. АС••кос. ВБ: кос АБ (152 у.  Екели АС и ВС одного вида, тс ББ-ьЛБ~АБ (163), а буде рав- наго вида, то АВ равна разност  о імхЪ, смотря по паденію йерпе - дикуляра (ф 63, 64, и 65).
171  1?2  173	В  ВС  АС  В  ВС  АВ  В  ВС АВ	с  А	ЕѴ-кос. БЬ;; танг. В.кот. ВСБ ( Ч4>-  кот. ВС: кот. АС;: кос. ВСБ ос АСБ (іуі) ♦  буде АС и ВС одного вида то ВСБ-нАСБ —С акогда^нетЬ.гпо разность сысканныхЪ угловЪ ВСБ 1СБ равна углу С ($-63964, 65)  Еѵ тансс. ВС = : кОс. Б: танг. ВБ (132).  Возми сумму или разность дугЪ ВБ и АВ» смотря нападеніе пе - пенд. и выдетЪ ДБ. потомЪ син. аБ син. ВБ.: танг. В-танг. Д (ір) ф. 63> 6ф и 65.
		АС	К: танг. БС = кос. В: танг. ВБ (132).	!  Сумма иди разнортъ дугЪ ВБ, АВ равна ДБ. по пѵомЪ, кос. ВБ кос ДБ:: кос. ВС	АС (цг).  Ежели А Б иСБ одного или равнаго вида, тогда бокЪ АС больше или меньше 90 гр. (ф. 63» 649 и 65) [

174.

( 336)

случ-	Дан- ныя	иско- мыя	л ро порціи.
<74	АВ  АС  ВС	А	КакЬ произведеніе сінусоьЪ стс- ронЪ АВ, АС, кЪ і роизведенію синуса полсуммы противнаго бока А С и разности боковЪ А В ’ АС умноженной йр зЪ синусЪ гюлраз? мости меж/у тою же стороною ВС, и раз -ости сторонЪ АВ АС такЬ квадрашЪ радіуса кЪ квадр.. - ту синуса полов іяы искомаго угла А (ібо) ф. 63 а 64 И 65
<75	А  В  С  1	ВС	КакЪ произведете синусовЪ угловЪ В иС, кЪ роизьеде.іпо кссинусоъЪ полсуммы уіла А и разнесши \ г- ловЪ В С чрезЪ голразяоспи меж- ду угла А и разности уілозЬ В, С, такЪ квадратЪ радіуса кЪ г.г-4 арату косинуса Головины бока ВС. Сія пропорція полагаетЪ чщоігіре-І уголгникЬ АВС перемененЪ гі РРК (ф уг), котораго сто оіа: ЕК--В3 ЕК_ С и РЕ -' суплеленту угла А, а уголЪ,К ест суплемептЪ бока ВС (90).

176.	ПримЪ ч К|ОиЪ чстьі/'СхЪ сл)~
чпсвЬ ( іб-Ь 169, г74> 17 5 ) прсч1,я ьоссмь
мѵжпо иначе рЪшишь посредствомъ прсд-
плсаиныхЪ и слЪдрсщаіо предложенія

ІЗѵНСЖС

Понеже опущенный перпендикулярЬ СВ
рЪ косоугольномЬ шреугольникЪ А ЕС (ф,
63,64 и 65) раздВляетЪ его на два прямо-
угольныя треугольника АГС,ЕРС' и пола-
гая всегда СР за общую крайнюю вЬ обоихЪ
треугольника хЬ, будетЪ какая либо средняя
часть одного прямоугольнаго треугольникакЪ
іпакойже средней части друі ова, такЪ вторая
крайняя перваго кЪ другой крайней втораго
прямо) гольнаго трсуі ольника Ибо по общему
Непсрову правилу (145) ка,Ъ радіусЬкЬ общей
кр иней СР, ціакЪ другая крайняя перваго
прямо) гольнаго треугольника кЪ средней
его части, и какЪ радіусЪ кЪ бщей крайней
СО, щакЬ другая крайняявтораго прямоуголь-»
наю треугольника кЪ средней ого части,

ЧАСТЬ, ПЯТА#

ОНАЧЕрТАНІИ И ЧИСЛИТЕЛЬНОМЪ рѢшЕНЩ
ефкричнеких□ треугольниковъ,
********^*****%********
Примѣры прямоугольныхъ треугольниковъ,

177,	ПримЕрЪ. I. вЬпрямоугрл но,мЪ треугольнихЪ
АБС даны, ипотецуза АС ~ 64 гр, 40,14, бокЪ ВС
^2 гр. 12 м. сыскать прочія часпад,

(33$) &Ф

начертаніе.

I е. Полагая данный бокЪ на начальномъ кругѣ,
Начертя начальный кругЬ проведи пря-
мый ЕБ (ф< 70). ОтмБть отЪ Б до С данной
бокЪ (42 гр. І2м.), иотЪС, яко полюса
разстояньемъ 64 гр. 40м. начертя (77)
малой кругЪ аа, сѣкущей прямаго БЕ вЬ Л
проводи прямой кругЪ СИ. ЧрезЬ С,А,В
описанный косвенный (г. ІОО) кругЪ со-
всртигаЪ искомый треуголышкЬ АБС.

2 е. Полагая искомой бокЪ на кругѣ начальномъ.

Изобрази первый кругЪ проведи прямой
кругЪ СВСф.71)» инапемЪ положи 42 гр;
12 м. отЪ Б до С ( 68 ). ОтЬ С разстояньемъ
64 гр. 4° м• названа (76) малой кругЪ сѣку-
щей начальнаго вЪ А, проведи АВ. ЧрезЪ А,
С, Б начерти (г.ІОО) косвенный круіЪ, тоі-
да АВС есть искомый треугольникъ, коею
углы и бокЬ измЪряюпіея чрезЬ Н 68,70.

ньгчисл'Ѣше.

Сыскать уголЪ С (124) полагая вЪ таблицѣ
прямой уголЪ означснЪ литерою Б.

син А С, 64 г. 40 м. 0-04392 )

кЪ радусу 90 гр . ю-оооо' ( уголЪ С есть острый?
асинВС,42г. і2 м. 982719/ибо очЪ одного виду
кЪсин/і0,48г,оом. 9.871^ сЪ бокомЪ ВС.

сыскать

“•&? (339)

Сыскать уголЪ А (125),

радіусЪ 90 гр. юооэооЗ уголЪ А есть"острый»
кЪкот АС, 64 г. 40 м 9-67524 Г потому что ипотенуза
ашан ВС, 42 г- 12 м 9-95748 / и данной бокЪ сушь
кЪ кос л А, 64 г. 35 м. 9 -632721 одновидны.

Сыскать друюй бокЬ АБ ( 123).

кос ВС, 42Г. 12 м.

кЪ рад . 90 г.

а кос. АС, 64 г. 40м.

кЪкос. АВ, 54г. 43м-

о 13030 '

і-ооооооі бокЪ АВ м»ньше со г.
9-бпзз ибо ипотенуза и бокЪ
9.70163^ ВС одновидны.

178. II. еЪ прямоугольномъ треугольникѣ АВС
даны ипотенуза АС, 64 г. 40 м. а уюлЪ АСВ»
64 г. 35 м. сыскать прочія части,

начертаніе.

і	е. Полагая бокЪ прилежащій данному углу
На начальномъ .кругѣ (ф. 72).

ЧрезЬ какую либо точку С начальнаго
круга опиши ( 73) косвенный кругѣ САВ,
дЪ лающій сЬ псрвьімЪ уголЪ БСА — 64 г •
35 м- данному углу. На косвенномъ кругѣ
САБ , отмѣть дугу С А — данной ипотеку вБ
64 г. 4° м- (68). ЧрезЬ А проведи прямой
кругЬ АБ» и такЪ здБластся желаемый
треугольникъ САБ.

2	е . Полагая противный бокЪ данному углу ня
первомЪ кругЬ (ф. 73 ).

Начертя пурво і кругЪ и проведя пря-
мой кругЬ СБ, •наііиши ( 81 ) косвенный
X %	кругЪ

(. 340 )

#ругЬ АСВ сБкущей прямаго круга ОВ вЬ
,С подЬ даннымЪ угломЪ 64 гр. $ $ м . и
будешЪ часть АС включенная между пря-
мымЬ кругомЪ ОВ и первымЪ кругомЪ рав-
на дінцой ипошенузЪ 64 гр- 4° м. По сему
АБС есть искомый треугольникъ, коего
ѵлюронц АБ, БС найдутся по черціежу
ррезо Ы. 68, а уголЪ А чрезЪ И. 7°«

уъі-числен'іе.

Сыскать прошивный бокЪ данному углу (1 3 3)*_

рад . 90 гр.

кЪ син. ипопі. 640

а син. дан- 4. угла 64

40’
35

ю.

9.

подобный д$ц-

кЪйін.’пропі сгпор. 54 43

9.05*79 ному углу
9.91187

Сыскать пр^леж, бокЪ данному углу (I 36)"

рад , 90 гр .

кЬ граи. ипрт. 64° 40'
а кбс. дан . '4 64 3$

КЪічан. прил. брка 42 12

іо. 0.000а I сЪ ипотен. и

іо • 3247>( данным'Ь уі’

9.63260( ломЪ
9.9574ЯІ вида.

одного

Сыскать другой уголЪ ( 137 ).

раді'сЪ 90 гр,
'кЬ ос. ипоіп. 64 гр. 40 м
атан. дан. 4. 641р. 35 м,

іо. ооооо

9,. 63133 у сЪ ипощ.

ю . 32313 д. одного

кЪко,®, искомаго 4. 48 гр.	9.9544*) •

и дан,
Зида

бокЪ

179-	ПІ. аЪ треугольникѣ АВС Даны
рВ ГХ 42 гр. I’’ м. прощ вн^ц 4 САВ, 48 гр,'

«та Ж'

науе/лис^.

( 341 ) 5$®»*»

начертаніе-

іе. Положа бокЪ АВ на первомЪ кругѣ (ф-( 747.

Напиши косвенный кругЪ АСВ (73 ) Дг
Лающи сЬ первымЪ кругомЪ Д С А В—данному
углу 48 гр. ИзЪ центра О перваго круга
разстояніемъ дополненія данной стороны
42 гр. 19, м. начерти малой кругЪ (76)
сѣкущей круга АСБ вЪ С Проведи прямой
кругѣ ОСБ, и будстЪ желаемой тре-
угольникъ САВ.

2е. Полагая данной бокЪ на первомЪ кругѣ (ф. 75)',

Проведи прямой круіЪ ОАВ , и друюй
ему прямостоящей О Е. чиня БС — 4$гр.
І2м. проведи діамстрЬ СБ и другой кЪ нему
перпендикулярной ОР. ИзЪЕ Полюса дуги
АВ опиши малой кругЪ (77), разстояніемъ
даннаго угла 48 1 Р« іѣку щей круга ОР вЬ Р,
Около Р, яко полюса (64), начерти косвенный
КруіЪ САБ сѣкущій круга АБ вЬ А: по
сему СВА ссшь искомой треугольникѣ, кобі о
стороны измѣрютсЯ чрезѣ К. 68 . а у г ы

чрезЪ Ы. 70.

ііъі численіе.

Сыскать ипотснузу АС (іЗі)^

А С можетЪ

син. д САВ, 48 гр.
кЪ син. СВ’ 42 гр. І2М.
А рад.	90 гр. оо

кЪсин. ДС 64гр. 40 я м.

*3

о.1289’
9.82719

ІО . оосоо,

9.95612

быть мег те И
бол ше 90 тр.

ч 

&іскатУ

Сыскать другой бокЪ АБ (ііб).

раііѵсЬ	90 г.

кЬ кои. 4 С А В, 48 гр,
аіпан. СВ 42 гр- 12 м
кЪ син . А В 54 44

іо. ооооо)

9. 95444^ А В бнваепіЪ
9.957 8 /менѣ и болѣ 90 гр,
9- 9"2*1

Сьнкашь другой уголЪ С (128).

КОС. СВ,	42 г-

К.Ь. КОС 4,САВ 48

а радіусЬ	90

кЪсйй. иском. /.С, 64

о. 13036
9.8255т

ІО . оосоэ

9-9555,

/ С’ быіаетЪ
острой и т}«
ъсн.

180.	IV вЪ сферическсмЪ прямоугольномъ тре-
угольникЪ АВ 3 Ла ы, А В, 54 г • 43 м- и У10л1і
САііэ 48 гр. сысхѵашь остальныя части.

и очертаніе.

I е. полагая бокЪ АВ-на начальномъ кругѣ (ф- 7 ),
Начертя п рвои и прямой круі Ь ОВ,
ЗдБлай: БА гз 54 гр. 43 м- и проведи діа-
м'пірЪ АБ ЧрсзЬ А'опиши косвенный кру гЬ
ДСБ (7 4.'* составляющій сЬ первыми кр\ гомЬ
уголЬ Б - С, 4^ ГР- и сБкуПлСй СВ іЬС: и
тако АСВ есть желаемый трі)іольникЬ.

2 е. Положа бокЪ В С на начальномъ кругѣ (ф. 77),
На нрямомЬ кррѢ ОВ сшмЪтя (69) ду/і у
АЕ— 5445 , чрі зЪ точку А опиши (74)
косвенной кругЪ САЭ, дБлающѴи сЪ А БуголЬ
ЕАС—481р. и сѣкущей перваю круга вЪ
С Посему АБС есть желаемый шреуюль-

* '	никЪ

никЬ: искомыя его стороны мамВрютса
чрсзЬ Ы. 68 , а уголЪ АСВ чрсзЬ М - 7° -

пъгчислЪніс.

радіусЪ 90 гр.
кЪлос. АВ, 54 г.43м.
а син. гС-\В, 4З гр.

Сыскать уголЪ ЕС А (ІЗ1)*

ю-ооооо I

9-70164 \уголЪС подобны углу
9-87ІС7 /САВ.

кЪкос.гАСЗ,б4г.35м. 9.63271

Сыскать бокЪ ЕС (12,9)’

радіусЪ 90 гр. го ооооэі

кЪсич. АВ, 54г. 43 м. 9 9118Д	'' __

а гпан 4 САВ/48 гр.| 10-04556/ бокЪ 1 БС п°А°3н«
к'Ьтан. ВС’ 42	12 м» 9-9574* 0КУ

Сыскать ипотенуэу АС (і$о) .

радіусЬ 90 гр.
кЪкос. л*СЛВ 48 гр.

кот. бока А о 54г- 43м-

Кот. ипот. АСб4.г- 4ОМ-

іо ооосо/

9 82551 \ипотенуза АС сЪ
о 84979/бокомЪ А В и сЪ 4.
9-°753сЗСАВ одно о гиду.

і8і.	V. ВЪ прямоугольномъ треугольникѣ ДВ(^
даны бокЪ АВ» 54 гр. 43 м. бокЪ І1С» 42 гр. 12м4
сыскать прочія части треугольника.

начертан'іе.

Полагая одинЪ бокЪ на пер омЪ кругѣ (ф- 78).

Начертя начальный круіЬ , проведи
прямой круіЪ ОВ. Положа $4 43 от^ ®
кЬ А, и 42 12 отЪ В кЪС (72) проведи
ді'амсшрЬ АП. ЧрезЪ точки А,С,Р вачгр-

X 4	ши

і

( 344) &&

гпи (г. ЮО) косвенный кругЪ, и будепй?
АБС желаемый треугольникѣ , коею уілы
по сему чертежу измѣряются чрезЪ М. 70 /
а ипотенуза АС чрезЪ К. 68.

нъі'іисл'Ъшс.

Сыскать уголЪ А

рад.	90 гр. ю-осооо)

кЪсин. АВ? 54 г. 43 м- 9 9И$5\ ч- *	- .,

2,<™.і;С,42Г. -2М. .ОО42,1? ртоЛ А ОДНОГО ИДУ
т	«о	- С.В 15 Су •

кЬкош. г. А? 40 гр. 9-9543ч)

Сыскать уголЪ С ( на).

подобный

рад.	90гр.

кЪсин. СВ'42Г. 12м.
акот. АВ-54Г. 43м.
кЪі

ют.-4 С’б4г- 35 м

іо-ооосо /

’Й уголъ С
7бтбДс°кУ АВ.

Сыскать ип'отснузу АС (іТі).

рад.	90 гр, ю-ооооо)

кЪкос. АС’54г-42м- 9-76164'.ипотенуза АС> одного1
*.кос. СВ’ 42г. 12М. 0-86070[виду сЪ боками АВ>
кЪ кое. АС? 64г. 40 м. 9 031,4| ВС-

і8Ѵ,- VI. ЕЪ сферическомЪ треуголіникѢ АВС
даны, /. А’ 4^ гр. Друг0» С 64 гр. 35 м. сыскапі
©сталь ыя части.

на-чертан'іе.

Полагая бокЪ СВ на первомЪ кругѣ (ф. 79).

Назнача периый кругЪ й проведя пря-
мой1 круіЪ ОЕ, начерти (8$) косвенной
большой круіЪ САБ сѣкущей перваю и

X У	прямаго*

прямаго круга ОВ подЪ данными угламй
С,А: стороны треугольника могутЪ измо-
рится чрезЪ К 68.

пычис л’Ън'іё.

ый. /.С, 64г 35м
кЪ р Д. 90 г. оо м.
а кос. / А’ 48г. оом.
кЪкос.СЬ’, 42 г. 12 м.

Сыскать бокЪ СВ (138)-

0-04421

ІО ососо'

9 8^ )
9-86972]

3
подобны углу А; ’’’

Син /.А, 6о г. ООМ.
кЪ рад. 90 г- о'м.
а кос. 64 г. 35 м.
кЪкос. АВ 42 г. 12 м.

Сыскать бокЪ АВ (139)’

0-12893'
ю ооооб

9 6з?66

9 7.159

бокЪ АВ
углу с.

подобенѢ

Сыскать ипотенузу А 6 (140).

рад.	90 г. оо м.

кЪ котп. /. А, 48г оом>
а копг. 2. С» 64г. 35м.
кЪкос. ипопі. АС, 64г,40м.

іо-ооооо у

9'95444 \ ипопі- АС»
9 67687 / одиовидйа сЪ
9.63131 углами А,С.

***********#***^**<*»*4-
ОНАЧЕрТАНІИ И ЧИСЛИТЕЛЬНОМЪ р’ѢшЕ'»
Ніи косоугольныхъ СфЕрИЧЕСКИхЪ
трвугольников 13.

183. Примѣръ I. ВЪ треугольникѣ АВС?
Ханы, АС — 90 гр. уголЪ А —42 гр. Г2 м. уголІ^
В XI 64 гр 40 м. сыскашь остальныя чаейіи.

начертаніе.

Положа квадрантальнои бокЪ
Кругѣ (ф. 8о).

X

на начадбном^

Начерти,!

Начертя начальный кругЪ и проведя дУа-
мстпры АО, ЕС подЪ прямыми уілами, на-
пиши косвенный кругЬ АБС дБлающи сЬАС
уголЬ 42 гр. 12 м- (73)- езЬ С начерпш
Сольной кругЪ СБЕ сЬкушій круга АЮ
подЪ уѵломЬ 64 гр 40 м. (72)> посему
АЕС есть желаемый треугольникъ , коею
у очЬС изморится чрезЬ И. 70, а стор нщ
ДБ,СБ чрезЪ К 68-

пы-числ^иі е.

Пс еже тпгеугсліникЪ АВС перемѣнится гЪ
ггрямсуголі ной треуюлінг-кЪ ВСЕ, котораго буд\ч
чи дани, уголЪ В, ибокЪ	А — 4: р. 12 м.

найдется иготенузч ВС и проч. Сіе самое рѣшится
чрезЬ пропорцію вЪ К 121 и пр.

1Б4. И. ВЪ равнобедренномъ треугольникѣ АВС
дани уголЪ С — зѵ гр. бокЪ АС — БС—72 ірч
рыскать А В и пр. (ф $і).

ыачертан'іе.

Изобраэя первый кругЪ проведи накрс.стЪ
дУа метры СО, ЕЕ ЧрезЪ С кЬ дугЪ СЕО при-
пиши (73) дугою СВ О уголЪ С — 35 ГР-
Положа АС и СВ ~ 72 гр. ( 69 ), проведи
ДО и чрезЪ точки А, В, С начерти (г. Юо)
дугу АБС, коя сЪ дугами СЕО,СБО опре-
дЪлишЬ

дѣлишЪ заданной треугольникъ АЕС, кссга
бокЬ АВ иуголЬ А"Б, найдутся по чер-
тежу чрезэ М 68 и 70.

иычис л'Ѣніе.

ВЪ равнобедр. треуголгникѣ АВС, опущенной
перпечдисулярЬ СІ раздѢлитЪ (99) уголЪ С и
БокЪ АВ на двѣ рчвяыя чрепіи. по сему вЪ. прямо-
уголъ номЬ треугольникѣ АІС (или 1БС) дани
ипогае’уза АС —7- ГР • уголЪ АС1 — 17 гр. 30 м.
'Нагнется (137) уголЪ Д~ В — 4угр. 45 м. бокЪ А1:^
1В 'Пі4 гр. 37м. что ульоя в ідегпЬ 33 гр. 14 м. гг. АВ.

. Ш. ВЪ рав обедренномЪ треугольникѣ
Д В 3 (ф. 8 ) даны уголЪ АСВ‘^35 гр- бокЪ АВ
~ 33 гр. 14 м. сыскать прочее.

начертаніе.

ПриписавЬ какЪ и гышс сего уголЪ А СЕ,
раздѣли (7^) его пополамЪ дугою СЮ,
коей сыскавЪ (67) полюсѣ Р, около онаго
разстояніемъ равнымЬ дополненію половины
бока АБ, начерти (76) дугу сѣкущую кругЬ
С. Э «ЬВ: по то«Ь чрс Ь точки В,Р, про-
в ди (63) кругЬ А ВО, и такЬ опредѣлится
данной шрсуголщіикЬ АЕС-

Пъі'числ'Ъ ніе.

ВЪ прямоуголъ», треугольникѣ АІС имѣя АI ”
іб гр. 37м. уголЪ АСОі? гр. 30 м, н-йдется ипа-
шенѵза АС — 72 гр. и уголЪ А— УГЛУ В
841р. 2& м. (иЗ).	дримѣч.

•Ф’З (34§ ) ЙФ

ПримѢч. і с. ЧшобЬ полбока АІ всегда]
была меньше дуги ЕК, размѣряющей поло-*
вину угла АСВ, то есть, угоЛ) АСІ (2о).

2с. Ежели вЪ равнобсдрсниомЪ и вЪ
равнобочномЪ сфсричсскомЪ треугольникѣ
ЛВС, знаемы всѢ углы, а надобно сыскашЬ
Стороны; тогда приписавЪ данный уголЪ
АСВ дуюю СВБ, потомЪ дугиСЕО,СВО,
ПсрссБки (82) дугою АБС такѣ , чтобЬ
уголЪ САЕ —былЬ углу АБС” данному,
Величину же сторонѣ можно смѣришь чрезЪ
М. 68 , а вычислить чрезЪ И. 139’ Т4° •

186. IV . Сферическаго равносторонняго тре-»
угольника даны стороны по 6о гр. сыскать углы,

пачерта н'іеі

Й&бразя начальный кругЪ проведи Пер-
пендикулярно діаметры ЕР,СС (ф. 8і)
й положа АС —66 проведи АС. Около
точСкЪ А и С, яко полюсоЛ разешоянУемЬ
6о гр. начерти (70 Два кружка перо-
ёБченныя вЪ В. ЧрезЪ точки А,В и С, В
Проведенныя (6і) круга АВС, СБВ учи-
йЯпіЪ желаемой треугольникъ АБС, вЪ
ЖоторомЪ можно смѣришь уголЪ АЕС чрезЪ'

70.

пычнелЪ-

ѵ.ыѵисл'оніе.

Цочете изЪ С опушенный перпендикуляръ СІ
раздѢляет Ь уголЪ С И бокЪ АВ на двѣ части равныя
По сему вЪ прямоугольномъ треугольникѣ А 1 С,
имѣя АС — 6о гр. А1]огр. найдется ( 125 ) уголЪ
}АС — 7огр. 32 м. и проч.

При мЪч. По заданнымЬ ст >ронамѣ вся-
каго равнобедреннаго треугольника вели-
чины сго угловЪ находятся по чертежу и
Вычисленіемъ равно какЬ вЪ равносшороннсмЬ
треугольникѣ.

1Е7. V вЪ косоугольномъ сферическомЪ тре*
угольникѣ А ВС, знаемы, бокЪ А В —114 гр. 30 м,
бокЪ ВС ~ 56 гр. 40 м. уголЬ ВСД 125 ГР<
50 м, сыскать прочія части,

ца'іерхпаніе.

Полагая данной бокЪ прилежащей извѣстному
углу на начальномъ кругѣ (ф. 82) •

Начертя начальный кр гЪ и проведя
діаметрѣ Вй, положи БС“$6 гр. 40 м.
(68). Напиши большой кругѣ САЕ, со-
ставляющій уголЪ вс А — данному ~ 12>
20 (73 У ИзЬ О разстояніемъ 65 $6, то
есть, суплсмсніпомЬ бока АВ, начерти кру-
жокЪ сѣкущей круга САЕ вѣ А ( 77 ); ц
ртако вдѣлается треугольникѣ АЬС, коею
уусти можно измѣришь чрсзЬ И. 68, 70.

ДЬГіНСЛ'%*

(35°)

пы'іислііН'іе.

Сыскашь уголЬ А, противолежащей боку9

$С ( 169).

син. бока АВ ІТ4.Г.30М.
кЪ син- угла С, 56 40
а син- бо а СВ, 125 20
кЪ син- угла А , 48 31

0.04'98) уголЪ А можетЪ
9-921( 4 быть острой иту-
0.91158-/1 ой; но начертаніе
9.87450 ] показуетЪ его ссщ-
_] рымЪ.

Сыскать

радіусЪ .	90 гр оо м.

кЪпіанг. 4 С 125 г. 20 м-
а кос. А В, 56т 40м.
кЪкош. т> 127 г. 46м.

уі олЬ В (171).

іо.ссосс) уголЪ т, тупой; ибо
іэ.і4<41 ууюлЪ С и бокЪ ЕС»
9.7'907 [суть разновидный.

9 ^8558»/

кот- бока ВС, 56 г. 4 . м.
кЬ кот. бока АВ,Г4 3°
акос. угла т, 127 46

КЪ кос. угла п, 64 54

0.1819/^сей уголЪ есть осгп-
9.65870 рыи; ибо он'Ь разнаго
о 7870'7'вида сЪ АВ гротив.
9.62773] бокомЪ тупому 4 С-

I По сему разность угловЪт,п 62 гр. 51 м- — -4. В,
ибо данныя стороны суть разнаго вида.

Сыскать третей бокЬ АС (173).

раХ'іусЪ 90 гр. оо м.
кЪ кос. 4С, 125 20

<і тан. ВС, 56 40

кЪ тан. М, 138 41

іо. о- со у дуга М , болѣ 90 г.'
9.76218 ( пстомѵ что 4 С и

18196 /бок'ЬСВ сугпі разве-

9.9441/\ видны.

кос. ВС, 56г. 40м. 9.26002 дуга К меньше 90 г.
кЪкос- АВ іи 30 9-61773 (ибо оная сЪ А В раз-
а кос. М, 138 41 9-5' 568/наго виду-

кЪ кос. И? 55 28	9 -75343и

гонеже

Понеже ВС и АВ разновидны, шо М —К —
83 гр- 13 м* ~ АС-

188- VI вЪ косоугольномъ треугольникѣ АБС
Даны , уголЪ БАС— 48 гр- зг м-

уголЪ БСА— 125	20	: сыскать про-

бокЪ АВ~іі4 30 ] чія части-

Начертаніе.

Полагая дайны бокЪ АБ на пергомЪ кругѣ (ф ^з).

, Начертя начальный или первый кругЬ,
проведи діам' гпрЬ В А, и у точки А болынимЪ
кругомЬ АСВ припиши данной уголЪ БАС
— 48 31 (73). Положа ду\у АВ“ II#
30 (68 ), проведи дГгмстрЬ ЕЁ. ЧрезЬ Б
начерти большой кругЪ ЕСЕ сБ кущей
круга АСВ подЬ угдомЪ ВС А — 125 2о
(79)- И тако изобразится трсугольникЬ
АБС, коею нсвЪдомыя части найдутся
чрезЬ Ы. 68 и 7о.

пы чис лЪнІе-

Сыскать бокЪ ЕС (164).

син углаС, Т2уг-2ОМ
син-бока АВ, 114 30
син*угла А, 48 31
син* бока ЬС, уб 40

0.0884Г) бокЪ ВС бываепгЪ
9-87457 (сомнительный ; но пд
9 9$оо2 ( чертежу оказался
9 922ос| меньше 90 гр-

сыскать

Ф’З ( 3 5 2 )

Сыскать бокЪ АС (ібб)

радіусЪ 9°гр. оом.

КОСиЦ. /. А» 48	31

Ли нг. бока АВ, И4	30

иіанг. дуги М, 124	32

10.0000

982112

10.44'20

ІО.1 ,241

дуга М больше 95
гр. ибо 4 А и бокЬ
АБ разновидный-

|;от • 4 А, 4$ гр
кот . 4. С, 125
рін. М-124
рін. И 5 41

3»

20

32

20

м- 0.0534 \

9З1О5ДСІЯ дуга К, можетЪ
о.оі'8? /быть 41 гр. 20 м. Ц
'081980 ) 138 гр. 40 м.

но какЪ данныя углы разновидны, то разность мев
2?ду дугами М и ЪІ , 83 гр 12 м- _ АС.

Г~---------	*"	.	....... 1	“ ’

Сыскать третей уюлЬ АВС (165).

радіусЪ

танг. 4 А

90 Г. 03 м.

48 з»

косин. А В114 3°

кот. пъпу о?

косин 4 А, 48 г- З1 м>
К0СИН'4Сэ 125	20

рин • 4ппіі5 °7
син . 4п ? 5? ^4

10-00000 )

ю оу,19 I уголЪ т , есть гпупоіц
9 6177; | ибо 4 А и А В разнс^
9-07092] видный,
0-1788$?

9 76218! уголЪ п, можетЪ быть
9-94636/рсшрой и тупой; нр пр
9 89792 чертежу острый .

Понеже данныя углы разновидны » то разность
ідежду углами т и п•> 62 гр- уз м ~ углу В-

189» VII- еЪ косоугольномъ сферическомЪ тре%
угольникѣ АБС» даны, бокЪ АВ — 114 гр • 3° м*
бокЪ ВС 5^ ‘ 4о гд  уголЪ АЬС — 62 гр • 52 ц»

рыскать

остальныя части •

начертаніе.

Полагая бокЪ ВС на начальномъ кругѣ (ф. 84^

Означа первый кр^іЪ проведи діаметрѣ
......, ” " ’ "	ВО»

ЕВ, и чрсзЬ В болыиимЪ кругомЪ ВАВ при-
пиши уголЪ АВС — 6а 42 (73)- На
кругахЪ ВСЬ, БА. ошмЪшь Д)ги равныя
даннымЪ спюронамЪ, споссгпь, БС — 564°
м БА ^114 3° (6$) Проведя дІамешрЬ
С1', чрсзЬ точки С, А,Е начерти большой
круіЬ САЕ, и будстЬ желаемой хпрсую^ь-
яикЬ АВС , коего искомыя части можно
смЪрить чрезЪ К. 68, 70

пы'іисл’Ън'іе .

радіусЪ 90 г оом

Сыскать уголЬ С (у72)-

КОСИН. /1В,б2
танг. АВ, 114
танг. М, 134

52

За

59

син. И, 78гр. 19м

син. М, 134

іо оо ос М больше 90 гр. ибо
о 65902 АВ больше 90 гр. а 4
10-34129 В острый. ВзявЪ раз-
10-00031 'несть между М и ВС,
73 г. 19 м. назови ея И-

0-00909

таи- Д- В, 62
гаан-^С, ігу

59

52

21

9-94961 ( Л С тупый и неподоб-
ный углу В; ибо М.

боліше нежели БС.

10-29034

10-14904

Сыскапп радіусЪ 90гр оом- КОСИН- 4 В >2	52  танг-ВС 56	40  танг-	М, 34	44  син •	И 79 гр 46 м-  син-	М 34	44  шанг-	4. В 62	52  танг	/.Д	29	уголЪ А (172).  ю оооосі М меньше 90 гр • по- 9-65902 кдобно какЪ ВС и уголЪ 10-18196/АВС острый взябЪ[ з- 9-84098 > ноетъ между М и А В,  79 гр- 46 м- назови ЪЬ 000696')  9 755^9)^ А острый, подобный іо 29034 /,< А В С, какЪ М есть ю-05299_)меньше прошивЪ АВ-  Ц	Сыскдаіі

( 354)

сыскать бокЪ АС (170).

радіусѣ 90 г- оом-
КОСНН 7- В '62	52

піанг- АВ,П4
тдні. М, 154

3°

59

косян? М, Ц4Г-59М-

КОСИН- М, 78
коси:і- АВ, '14
•Леин- АС, 85

*9

3°
и

ісооооо?дуга М подобна дугѣ
9 65902 АВ; ибо АВС острый
іт-ЗдггФ] разность между М и
іэсосуі ЕС, 78 г 19 м- Г2 ЬЬ
о 153041 АС подобна дугѣ Н
9-Зо/э4з‘І или меньше 9~ гр- по
9-6177} /тому что 4.АВС есть

07480 I острый ,

190- VIII- ВЪ сферическомЪ треугольникѣ АВС

даны уголЪ ВС А, гр- 20 м
уіолЬ ВАС’ 48	З1

АС, 83	іЗ

сыскать остальное*

яаѵгргиаиі'е.

Полагая бокЪ АС «а пергомЪ кругѣ (ф. 85)-

Начертя начальный кругЪ провсдй
ді'амспірЪ АС , и чрезЬ А опиши большой
кр)іЪ АБЭ составляющей л Б АС ~ 4§. 31
(73 ). Положи АС~ дан.боку 83 13 (68).
Проведя дѴамспірЬ СЕ, чрСаЬ С начерти
кругЬ СВЕ, приписующТи уіолЬ АСЕ~
125 20 (73)’ и сЬкущёй АБС вЪ Б, п
такЬ начсртишся пірсугольникЬ АБС, ко-
с о части иамЪрснГсмЬ найдутся чрезЬ М,
68 , 70.

лы-числ%-

цы-численіе.

Сыскать

бокЪ АВ (ібу).

радіусЪ 90 г- оо м-
Косин АС,8з 13

Піанг 46,125 20
Кртан-111,99 28,

косин- и, 50 гр- 57 м-

косин- т , 99	28

' іпанг-ДС, 83	13

Піанг- АВ,П4	30,

іо-ооооо"! 4 т , глупой , подсб*
9-07230 I ныи 4 ВС А , и А С
іо-г 41 /меніпіе 90 гр. рази-
9-22171 (между гт и 4 Д, 50
—>гр. 57 м. “п.

О 2Оо6б

9 21610 А В разнаго гиду сЪ
іо 02464 | / п, но тому что 4
IО3414О^АСВ естьтугсй-

Сыскать  радіусЪ 90гр- оом-  косин-АС’$3 В  Піанг-4 А, 48	31	бокЪ ЕС ( 1 67)•  іо-оосоо-) 4 т острый одковидвы 9-07230 ІсЪ4А, ибо АС мо ъше 10 0534$ 90 Гр- рази- между т и	
Кот. 4т, 82	23  косин- и, 42 гр	57 м-  косин- т, 82	23  піанг- АС, 83	13  піанг ВС’ 56	41	9-12575-  • О-В552 । 9-12236 1 10-024641	4 С ’ 42 гр • 57м • — П •  ВСменііге 9огродно- БИДНЫ сЪ 4 П ; Ибо 4 Д есть острый-
	10-18252	

Наити уголЪ В (165).

раліусЪ 90гр- оом косин-ДС 83	із  танг-4С 125	20  Кот- т, 99	28  син- 4ггі 99гр-г8м  Син. 4 п 50	у 7  Косин 4С 125	20  косин 4 В 62	53	ІО 00300 9-07230 10-14941	)4т , тупой подобной (углу С, ибо ДС мень- (іие 90 гр- різн между ]т и4А42гр-57м —п-  4 В неподобны углу С» ибо 4 т больше угла А-
	9-22171 о 00595] 989019^ 9 76218/	
	9-6$^	

Ц 2	ПримЪ^і-



(35$)

П 'имѣя. Выше сего литерами М і К для со
Краіпгі-ія означены основаніи АБ, ББ; а т, п изЪ-
являютЬ угла А СО, ВСБ прямоугольныхъ тре-
угольниковъ АСБ, ВСБ (ф. 63, 64 и '65).

191* IX вЪ сферическомЪ треу олъникѢ АВС’
•даны бокЪ А В — 114 гр • р то -1

ДС~ 83	>3 смекать величину

В С — 56	4° ѵ угловЪ .

начертаніе.

Полагая каііон либо бокЪ какЪ А С на началь-
номъ кругѣ (ф. 86)-

Начерти первый кругЬ, и отЪ нѣкоей
точки какЬ А положа ?'С — 83	( 68 )

проводи діаметры АБ, СЕ. Около С яко
полюса разстояніемъ ВС — 56 4° начерти
кружокЬ пВ (77) • Также изЬ А разстоя-
ніемъ равнымЪ боку АБ (буде АВ есть
м ньше 90 і р ) нап. ши другой кружокЬ пъВ
сѣкущей перваго вЪ Б : но ежели бокЬ какЪ
АВ — 114 30 больше есть 90 гр. то изЪ
Б другова полюса, суплсмснтомЬ бока АВ
оз іачь кружокЬ какЪ т В, сЬкущсй перваго
пВ вЬ В ЧрезЬ точки А, Б, Б и С, Б, Е
проведенныя кр,га АББ, СБЕ, изобразятъ
шреуі ольникЬ АІС} коею углы по измѣ-
ренію найдутся чрезЪ И 70 .

иычисл^-

вычисленіе.

Сыскать уголЪ С ( 174)*

ДСхЕх 83 гр- 13 М*

СБ х Ех 56	40

АВх0—114	30

Е—ЕхБх 26	33

Ар доп-син Е 83 г 13 м
др. доп- син Е,5б 40
син- ~ суммы 70 311

син | рази•

43

1; + и= 141____ѵЗ_

О — О- 87	57

7> г 311 м х -полсумі

43. 58-'	— полр г і-

сум- четыр-логар*

0.03050

007816-

9'9744»
С 84158

198 г іо

поле- даегпѣ 62 39 а 9 84^55
сего двойное 125 г- 19 м хдС

Найти А (174)*

АВх Ех Ті4гр- 30м

АСхЕх 83___И

ВСхСІх 53	40

Е—ЕхБх 31	17

О -4- Б х 87	57

О —Бх 25	23

полсум • 43	58^

полразн 12	4-1|

Ар. доп. Ех 114г.
ар. доп. Г х 83
полсум. х	43

полраз —	і2

30 м.

>3

4»*

'0.04С98
о 00305
9.84158
9<4’84

сум-. четыре логар- 19-22745
пслсуммы 24 іу* 9.61372
сего двойное 48 г 31м. х^А.

ДВхЕх іі4гр	30 м

ВС = Е х 5	40

АС=Сх 83	13

Е— Ех В х 57	50

Сн-Вхці 03

С —Бх. 25	23

полсум -70 31;
полразн- 12 4’

Сыскать 4. Б (174).

Ар.до. с.Ехіі4Г- 30м
ар. до.с Ех 56 40

син. | суммы 70 31 ‘

-син- *раз ос • 12 41»
сумма чеіпыр. логар-
поле д« сгпЪ 31 28

о-с4 8
о 07-06

.744»

9 34184-

«9 43$?9
71764

что удьоен, 62 г 56 м.х В*

192 . X вЪ сферичес омЪ треугольникѣ АВС
ГуголЪ Ах48гр- зім-Л

даны / уголЪ Вхб2 52- сыскать стороны
(уголЬ Сх 125	20	(

Ц 3	ваѵер

начертані е.

Полагая два угла С и В на первомЪ кругД
(Ф- 87).

Н >чертпя начальной кругЪ проведи діа-,
метры СО, ЕЕ одиііЬ др гому перпендику-
лярно ЧрсзЬ С напиши круі Ь САО, дѣлающей
^ВСАгггС, 125 20 (73 ) Начерти кругѣ
БАС сѣкущей круга СГО,САІ) подЪ дан-
ными углами Б 22 62 52, и А — 48 31
( 82 ), и тако сочинится треугольнику
АБС, коего стороны по измѣренію найду-
тся чрсзЬ М, 68-

діііупел'ініе.

^ычислѢніе сторонЪ всякаго сферическаго шре«$
угольника можно и не перемѣняя (90) его вЪ тре-
угольникѣ РЕК дѣлать (174) пі ямо і’о заданны. Ъ
угламЪ, употребя токмо суплементЪ угла противс-
лежащаго искомому боку, и сіе правило сЪ предписан-
нымъ (175) во всемЪ сходствуепі Ь.

Сыскать бокЬ АБ (>75)*

/1В = Е— 62 гр. 52м.

гА-Г-45 I

ДОП.2С22С54	40

Е — Р —Ощ 21

69 оі

С— 0_ 40	19

34 г. 3° і м- полсум-
?о 09 і полразн.

Ар. доп-с Е, 62г. у?м.'о 05064
ар- доп-с Г, 48 31 0-12543

син. 5 суммы 34 30 ’ 9 75З7-?
син.; рази. 20 09 * 9 53733

сумма четыр-логар 19-46662
погс. оныхЪ 32 45^ 9 7333х
чего удвоенное дополненіе
есть 114 гр. 29 м, х А В .

Сыскать

*«&?€ (359)

Сысксіпіь бокЪ АС (іуС"

гС=Е= і25° ?с’

/А—лЯ и
супл-' Б-=С, 117 с8

Е—Г =0, 7 4<)

04-0=	193	57

С—С=	4Э	«9

полсумма =	96	50‘

полразность =	20	о*

ар- д.огг син Е— 25° 2о
ар- доп- син- Г— 48 '
рин- подсум . 90 <5 1

0.08842

»?543
'•^677

СИЧГОЛразн. 20 09
с-мма чеіглір- логар. 19.7479$
гротивЪполс 48° 25 т 9.87597
суі.л. удвоен. числа 8/ ос^-СА

Сыскать бокЬ ІС (1 75).

^С=Е=І25° 20

4Б=Е= ?2 $2
суп. ^-А=С—1 I 2,
Е —Р-Р=6-> 28
С-нр= 1 5 5
О — Е)=	69	сі

полсумма =	0	$8	1

полрозності = 54 30 '.

ар. ДОП. СИН. Е, І2$° 2о’
ар. доп. син. Г, 62 52
син. полсуммы 96 ’$8'
син. полразн. 34 30*

008842
0-05064
•99677
•7'522

сумма четыр. лог 19 88905
ошивЪ поле. 6і° 39 9-у 4$2

супл. удвоеннаго числа есть
5? 4? = ВС.

заключеніе к

Помоіддю сея сферичес ія тригонометріи вся-
кія Астрономическія и Географическ я задачи рѣ-
шить можно л и всѣ вЪ вышепо «дпіутой бугероъой
Навигаціи (тр. 63) сфе- ичес Ія пропорціи обЪяснятся.
ВЪ ней К'і. IV, Гл. V Лрт V •> ст.чн у пок зан-
наго правила, какЬ по зада.тымЪ сперо амЪ сфери-
ческаго треугольника находить величину его угловЪ,
изЪяс-іяетЬ предложе іе Ы. 174. Ибо по силѣ того
правила вЪ примѣрѣ Г'І. юі слѢдуетЪ изЪ по/суммы
трехѣ сторонЪ 127 гр іі 'я м. вычесть іорознь
стороны содержащія ѵ.с омыи уголЪ> и будетЪ пер-

у 4	«Я

(3$о)

вая разность 70 гр. рі м, вторая 43 гр. 585 м.
изЬ коихЪ чисел'Ь хотя по отмѣнному здѣсь токмо
сЪ тамошнимЪ согласному выгоду одно голсуммою а
другое полразнсстью названы» а вЪ прочемЪ есть
тоже дѣйствіе: тамЪ же показано какимЪ сред->
ствомЪ таковыя правила и проч. по Гантирс ому
шкалу рѣшить. Что же не положено здѣсь кромѣ
обыкновеннаго начертанія сферическихъ треуголь-
никовъ инаго разновиднаго, какЪ чинимаго при
центрѣ начальна о круга или при какой нибудь
данной точки на кругѣ проекціи, то почелЪ я за
ненужное дѣло, по тому что читатель выуча из--
гполкованныя здѣсь общія правила сего начертанія,
разными оное образы производишь безсомненія самЪ
узнаетЪ.

П РИ БАВЛЕНІЕ.

О измѣреніи ПЛОЩАДИ на поверхности
сферы дугами клк лхЪ нибудь кру-
говъ опредѣленной.

193	. Предл. I Олною плоскостью отрезаннаЛ
частъ сферической поверхности или между двухЪ
тралелі.ныхЪ круговЪ содержимая на сферѣ площадь
кЬ цѣлой площади сферы, какЬ высота или толщина
піоя части ко всей оси тоя сферы.

Пусть АВаЕ (ф.88) предсгаавляепіЪ
сф^ру пересѣченную плоскостью БЕ пара-
лсльно кЪ плоскости ВР; говорю, что
площадь ВАЕ кЪ площади сф ры какЪ АС:
А а, и площадь пояса (зона) ЕБРЕ кЬ нло-
щад т сферы , какЪ СС кЪ Аа.

Доказ Ибо положа окружность АБаЕ
— Р, будегаЪ (і 409 и 274.) площадь части
АБЕ — АСхР, а площадь шара равна АахР
(г. 409)' По ССМУ пЛ°Щ- АВЕ кЪ площ. шара
какЪ АСхР ; АахР, или (раздѣла послѣднее
содержаніе на Р) какЪ АС Аа (г. 19О-
ТакЬ же докажстся что площадь зона
ІБРЕ, кЪ площади шара какЬ СС : Аа .

194	. ІІ. Площадь двустороичика АБа^А кК
площ. шара, какЪ часть ея АВЪ кЪ площ оптрезка,
АВЕ, и какЪ четыреугол;никЪ ВЬсЮ кЪ части
зона ВЕРО, и проч.

Ц $	Докаа.

Док аа. Понеже какЪ БЪ либо В 3 кЪ цБ-
ЛОй окружности БЕ либо В Е, такЬ л В А Ь
либо ВАЗ кЪ 360 гр или какЬ БЬ либо ВЗ
полуокружности ЕЕ либо В , такЪ/іБАЬ
либо ВАЗ кЪ 18о гр. По сему какЪ площадь
АВаЬАкЪ площади полусферы, частьАЕЬА
іЪ площади полуотреска А ЕЕ, часть аБЬ
кЪ полуотрезку аВЕ, и площадь БЬЗВ кЪ
полупояса ЬЕВЕ и проч. такЪ уголЪ ВАЗ
кЪ 180 гр.

105- III площадь сферическаго треугольнику
( дугами бол тиихЪ круговЪ опредѣленная ) кЪ пло-?
щади большаго круга, какЪ разность между суммы
кехЪ угловЪ онаго треугольника и і5о гр. кЪ і5о г-
или равна произведенію радіуса умноженнаго дугою
большаго круга содержащею ту разность градусовъ.

Доказ Представь сеоЪ чпю сфериче-
скаго трсуіельника АВВ изображеннаго на
сфгрЪ ГЪЕЬ (ф 89) продолженныя сто-
роны совершены вЬ цЪлыя круіа$ тогда (19}
уголЪ А —а, а~а и проч. и двусторон-
НігкЬ ааЗгДА, ЬЬ —$Б, 33 —ВВ: при-
щсмЪ противолежащі'я треугольники АВВ,
аЬВ также равныя, ибо ихЬ сходственныя

стороны и углы между собою равныя.

СлЪдственно. Ежели изЬ площади
ірол) шара ГЕЕЬ — ВР ( то сешь, произведу-
радіуса окружностью) вычсспіь шре-
)гольникЬ

угольникѣ АВВ, тоостатокЪ (КР —АВВ)
Составляетъ три треугольника , аимянно:
треугольникъ аГП ( — аа — аЬс!" АА —
АВВ), треугольникъ Бе Г ( —ББ—АКБ)
И ВЕН ( —ВВ —АЕВ) то есть, АА-*-ЕВ
ч-ВО—3 АВВ—КР—АВВ, или персмЬня
члены сся равности выдстЬ ААч-ВВч-ВВ
— КР —2 АБО. Положа КР за общей по •
слЬд чоцей членЪ будетЬ Л А ч- ВВ — ВВ —
КРкЬКР, так 2 АБВ кЪКР. Но.ААч-ЕВч-
ВО—КРкЬКР, кікЪ разность между суммы
угловЪ Ач-Бч-0 и 18огр. ко 18о гр или
какЬ разность между суммы дугЪ размѣря-
ющихъ тЬ углы и полуокружности кЬ полу-
окружности, шакЬ два треугольника АВВ кЬ
КР площади пол сферы ( или дв хЬ большихЬ
круговЪ) либо какЪ площадь треугольника
АВВ кЬ площади большаго круга сферы,
такЪ Ач-Бч-О — і8огр. кЪ 180 гр.

Положа 8 — дуіЪ содержащей сумму
дугЪ цзм ряющихЪ углы А,Б,Б и о.братд
посл лигою пропорцію будетЬ площадь-КР
іЪ треугольнику АВВ:: 5 — ; Р .1 Р ( ум-
ножа послѣднее на К) или - БК — 2 РК : і
РК. ИзЬ сего явстзустЬ что площадь сфс*
ричсск^ю треугольника АБО равна пр изве-
дсніед

С?б4)

дснТю радТуса К умноженнаго дугою 3 — ~
Г, коя измЪряешЬ уголЪ разности между
суммы угловЬ А,Б,Б и і8о ірадусовЪ.

196 СлѢдст I- Е«ели потребно ьычислить та
заданнымъ вЪ градусахъ ьсѢмЪ сторонамЪ площадь
вЪ какомЪ либо сферическомЪ треуголіиикѢ изобра-
женномъ на шару, всего радіуоЪ извѣстной величины,
то.. ИадлѢжитЪ. сперва сыскать ( 191 ) онаго углы,
потомЪ найти величину дуги болішаю круга тою
шара соотвѣтствуя:щей разности градусовъ между
суммы сихЪ угловЪ и 180 г.р. и умножить ея радіу-,
сомЪ шара, произведеніе равно будешЪ площади онаго
треугол ника •

197. II. вЪ треугольникѣ АВР ( ф< 90) ко-
его стороны ДпБ, ВВ суть дуги малыхЪ круговЪ
ЕВА, 6ВН, а бокЪ АВ есть дуга большаго круга,
площадь вычисляется тако: сыскавЪ тЬхЪ- малыхЪ
круговЪ полюсы А’ ₽ проведи большія круга ДВС*
РБ5. Вычисля площадь (г-412) всего отріека РЕ
БА и части РВпД, и ( 196) площадь сферическаю
треугольника РВтД, кою вычти изЪ части РВпД
останется площадь двулинЬйника БА- потомЪ
сыскавЪ также площадь части отріека А т Б В, вы-
чти изЪ нея площадь двустсронника Б А естапюкЪ
есть желаемая площадь даннаго треугольника АпБВ,
Подобнымъ сему способомъ вычисляются площади и
такихЪ іиресторонниковЪ, кои только дугами мень
ишхЪ круговЪ шара ограничены.

ПРИПОЛНЕНІЕ.

вѣ Геометріи послѣ Но. 228 надобно бытъ
«сему предложенію.

Всякаго паралеллограммя какЪ ВСЕ Г (ф 24)
сѵмма квадрагаовЪ всѢхЪ его четырехЪ сторонЪ
|равна есть суммѣ квадратовЪ діогонален ВЕ, СР.

Доказ. Оплетая перпендикуляры ЕД
*СЬ б^ дстЪ ВЬг^ЕД. ПотомЪ вЪ △ ЕСВ ,
ГС □ ~ БС□ -+-БЕ □ — 2 ЕЕ х БЬ (г. 227) ;
м вЬ △ ВЕЕ, БЕС — БЕ о -ьЕГО -+- 2 ВЕ X
ТД (г. 228). Сложа сіи разности вмБспіВ ,
ъыдшіЬ (по уничтоженіи двухЪ равныхЬ
произведеніи имЪющихЪ разныя знаки )
ГС □ -ь БЕ □ — 2 БС □ +• 2 ВЕ □ ч. и. д.

вЬ сф; «ческой тригонометріи послѣ Но. 187 и 192.

При’мЪч. Ежели по заданію вЬ Но.
187 потребно начертить гпреуі ольиикЪ
АБС , полагая сперва данной бокЪ АВ (ф-
$2) на какомЪ-либо косвенномъ большсмЪ
кругѣ; то сХс дѣлается по правиламЪ
проекціи подобно начертанію показанному
вЬ Но. 6і плоской тригонометріи.

Задача. вЪ сферическомЪ тре уголі иикѢ і акЪ
АВС (ф 86) коего даны ьсѢ три стороны, опре-
дѣлить точку о коя бы была вЪ равномЪ разстояніи
стЪ точекЪ А, В, С и сыскать оное разстояніе-

Начертаніе. ИзЬ средины Г дуі и АС
проведи прямой круі Ь Гс, а изЪ средины Д
бока

( збб )

бока АБ составь перпендикуляръ Зо с у-
щей перваго вЪ искомой точкѣ о. Сіе
явно есть отЪ К. 96, сф^рики.

? Вычисленіе дуги Ао. ВЪ прямоуг.
сферической треугольникѣ А Се даны 4 А,
бокЪ А Г найдется 4 е , бокЪ А е . I ычшя
АЗ изЪ Ае останется еЗ, потомЪ вЪ
йрямоуг треугольникѣ еЗо, даны бокѣ оЗ э
и 4 е сыщ тся бокЪ Зо. На консцЪ вЬ
прямоугольн. треуголъ икѣ АЗ о чрсзЬ дан-
ныя стороны АЗ, Зо найдется ИпошснузЛ
А о , желаемое разстояніе.

КОНЕЦЪ ПЕрВоЙ КНИГИ.

При печашанѴи сся книги случившаяся
погрЪшносгад можно поправить слБдующимЬ
обрааомЬ.

напечатано

стран. і сптр. и 1 то/стоша

3°  32	* ’ ч - -	21	содержимая ало
32	> -	23	= 1Ьс
118	- -	16	суммы
120	- - 19	Ф- 75.
134	- -	6	землем’Ьрде
’54	посл'Ьд.	ЛрхимедЪ
і58	’ “ 33	ф. І2І
*59	-	31	122
	Г _ 25	122
ібо	\ ’ 33	123
	С - 34	СО
196	- -	9	дЬ
33°	’ ' . 2	овс

читайте
толщина
содержимой

ЪАО

— Ьс
полсуммы
ф. 74
земледѣлс іе
Пифагоръ

ф. 122

124

СЕ
др
РВА*

Лісггші Л







5.





в