Text
                    

/ Эмиль Борель, Профессоръ Сорбонны и Высшей Нормальной Школы въ Парижѣ. Тригонометрія со 2. "‘«Фвс. X, Переводъ О. В. С. го дополненнаго французскаго подъ редакціей рьковскаго Университета Н. Н. Нз^нія, т-,а „ а* . • ІЫЙ МАГАЗИНА . ПРОЁЙНЦ»
ПРЕДИСЛОВІЕ КЪ ПЕРЕВОДУ. Руководство Э. Бореля написано очень ясно и просто. Авторъ, выдающійся ученый и преподаватель, сумѣлъ съ замѣчательнымъ искусствомъ провести въ своей книгѣ господствующую теперь идею обновленія преподаванія математики въ средней школѣ. Это на- правленіе имѣетъ главною цѣлью сгладить рѣзкую грань, которая существуетъ между преподаваніемъ элементарной и высшей математики. Изученіе руководства тригонометріи Э. Бореля мо- жно рекомендовать ученикамъ средней школы и всѣмъ лицамъ, стремящимся къ самообразованію. Въ крат- комъ и интересномъ изложеніи читатель легко позна- комится со всѣми основными понятіями тригонометріи, которыя необходимы для изученія естественныхъ наукъ и высшей математики. Русскій читатель, незнакомый съ понятіемъ о про- изводной, безъ ущерба для изученія тригонометріи, можетъ не проходить п°п° 85 и 86 и задачи п°п° 279— 291, 299—301, 308, 309 до тѣхъ поръ, пока не позна- комится съ указаннымъ понятіемъ. Проф. Н. Салтыковъ. 1*
ПРЕДИСЛОВІЕ АВТОРА. Долгое время господствовала мысль, что тригоно- метрія заключаетъ въ себѣ болѣе сложныя математи- ческія знанія, чѣмъ арифметика, алгебра и геометрія. Однако едва ли можно встрѣтить въ послѣднихъ от- дѣлахъ математики столько простыхъ вопросовъ, инте- ресныхъ по своимъ приложеніямъ, сколько ихъ нахо- дится въ началахъ тригонометріи. Поэтому слѣдуетъ привѣтствовать стремленіе ввести тригонометрію въ курсъ предметовъ начальнаго математическаго обра- зованія. Но чтобы это нововведеніе оказалось плодо- творнымъ, необходимо излагать основы тригонометріи дѣйствительно элементарно и интересно въ практиче- скомъ отношеніи. Въ предлагаемомъ руководствѣ я преслѣдовалъ обѣ эти цѣли, насколько было возможно ихъ осу- ществленіе въ тѣхъ узкихъ рамкахъ, которыхъ я дол- женъ былъ придерживаться. Почти всѣ необходимыя свѣдѣнія изъ тригонометріи заключаются въ первыхъ двухъ главахъ настоящей книги. Читатель найдетъ въ нихъ: опредѣленіе трехъ основныхъ круговыхъ функиій, зависимости между круговыми функціями одной и той же дуги, или дополнительныхъ дугъ и т. д., указанія относительно примѣненія таблицъ, рѣшеніе прямоугольныхъ тре-
— 5 — угольниковъ ’). Главная цѣль изученія заключается въ усвоеніи указанныхъ основныхъ свѣдѣній на- столько, чтобы умѣть свободно ими пользоваться. Поэтому слѣдуетъ упражняться въ рѣшеніи примѣ- ровъ на основныя начала тригонометріи до тѣхъ поръ, пока они не будутъ усвоены такъ же твердо какъ четыре арифметическихъ дѣйствія. Число при- мѣровъ должно быть возможно больше, при этомъ не- важно, чтобы всѣ они были разнообразны. Бываетъ по- лезно даже продѣлать нѣсколько разъ одинъ и тотъ же примѣръ, но при различныхъ численныхъ зада- ніяхъ. Въ виду этого, по совѣту нѣкоторыхъ препо- давателей, я счелъ полезнымъ помѣстить подъ раз- личными номерами примѣры, представляющіе видо- измѣненія одной и той же задачи, но при различныхъ заданіяхъ. Со строго обдуманнымъ намѣреніемъ я удѣлилъ главное мѣсто десятичному дѣленію четверти круга, отодвинувъ на второй планъ шестеричную систему измѣренія дугъ; тѣмъ не менѣе, она излагается въ книгѣ настолько подробно, чтобы читатель сумѣлъ *) Я считалъ необходимымъ указать способъ употребленія таблицъ во второй же главѣ, т.-е. на сколько возможно раньше. Обыкно- венно установился обычай отодвигать эту существенную часть триго- нометріи къ концу, полагая необходимымъ предварительно изложить способы составленія таблицъ. Однако весьма важно, какъ можно раньше, научить учениковъ пользоваться таблицами; съ этой цѣлью полезно употреблять сна- чала четырехзначныя таблицы, которыя вполнѣ достаточны для рѣ. шенія большей части практическихъ вопросовъ. Поэтому, несмотря на небольшіе размѣры книги, я помѣстилъ въ ней четырехзначныя таблицы логарифмовъ чиселъ, антилогарифмовъ (т.-с. чиселъ, соотвѣт- ствующихъ данному логарифму) и логарифмовъ круговыхъ функцій дугъ, разнящихся между собой на половину града и градуса. Слѣдуетъ рекомендовать упражняться возможно больше въ рѣшеніи практиче- скихъ вопросовъ, при помощи данныхъ таблицъ.
— 6 — пользоваться ею. Съ этою цѣлью шестеричное дѣле- ніе примѣняется также въ большомъ числѣ примѣ- ровъ. Въ настоящее время мы переживаемъ Повиди- мому переходный моментъ, подобный тому, который послѣдовалъ за введеніемъ метрической системы из- мѣренія. Въ то время руководства арифметики были заполнены примѣрами, для упражненій на преобразо- ваніе старыхъ единицъ измѣренія въ новыя и обратно. Въ настоящее время такъ же слѣдуетъ привыкать къ переходу отъ десятичной системы измѣренія къ ше- стеричной и обратно. Не будемъ останавливаться на историческихъ причи- нахъ введенія новой системы измѣренія и на ея преиму- ществахъ. Для освѣщенія этого вопроса, совѣтуемъ лучше всего обратиться къ замѣчательной статьѣ члена Парижской Академіи Наукъ Гюйу: О приложеніи десятичнаго дѣленія четверти круга къ мореплаванію, напечатанной въ „Аппиаігѳ сіи Вигеаи сіез Ьов^ііиѣез" за 1902 годъ. Авторъ высказываетъ надежду, что въ будущемъ старая система дѣленія окружности должна почти совершенно исчезнуть г) и говоритъ, что молодые люди, привыкнувъ, къ новой системѣ измѣ- ренія, будутъ съ трудомъ мириться съ усложненіями, которыя вводятся въ' вычисленія шестеричной систе- мой измѣренія. Пользуюсь настоящимъ случаемъ, чтобы выразить признательность преподавателямъ средней школы, ко- і) Я не говорю, что шестеричная система должна совершенно исчезнуть, потому что астрономамъ придется еще долго ею пользо- ваться, такъ какъ много прежнихъ наблюденій и вычисленій выпол- нено въ шестеричной системѣ измѣренія дугъ. Но и астрономы со временемъ привыкнутъ пользоваться новой системой измѣренія, ука- зывая, въ началѣ и въ концѣ своихъ вычисленій, способъ приведенія ихъ къ старой системѣ измѣренія.
I торые дѣлились со мной своими замѣчаніями по по- воду моихъ руководствъ; совѣты ихъ очень цѣнны для меня, и я надѣюсь пользоваться ими и дальше. Я буду очень радъ, если эта книга встрѣтитъ такой же добро- желательный пріемъ со стороны преподавателей, какъ и всѣ предыдущія. Ихъ одобреніе послужитъ мнѣ лучшей наградой за трудъ. Эмиль Борель.
ТРИГОНОМЕТРІЯ ГЛАВА I. Основныя понятія. 1. Измѣреніе дугъ. 1. Цѣль тригонометріи. — Какъ хорошо извѣстно, чтобы построить геометрическую фигуру, составленную изъ отрѣзковъ прямыхъ линій, нѣтъ необходимости знать всѣ ея части. Такъ, напримѣръ, для построенія треугольника, достаточно знать его двѣ стороны и уголъ между ними; чтобы построить параллелограмъ, достаточно знать его двѣ неравныхъ стороны и одну діагональ и т. д. Такимъ образомъ всѣ составныя части геометрической фигуры становятся извѣстными, если мы знаемъ опредѣленное число изъ нихъ. Тщательно выполненное построеніе, при помощи линейки, уголь- ника, циркуля и транспортира, позволяетъ найти иско- мыя части съ опредѣленною степенью точности. На- примѣръ, если построить треугольникъ, двѣ стороны котораго равны соотвѣтственно 32 и 45 миллиметрамъ, а уголъ, заключенный между ними, равенъ половинѣ прямого угла, то легко найти, что длина третьей сто- роны равняется приблизительно 31,9 миллиметрамъ. Цѣль тригонометріи заключается въ рѣшеніи вопро- совъ, подобныхъ предыдущему, при помощи вычисле-
— іо- нія; другими словами, тригонометрія даетъ способъ находить численную величину (длины и углы) состав- ныхъ частей геометрической фигуры, на основаніи численныхъ величинъ (длинъ и угловъ) остальныхъ ея частей, которыя достаточны, для построенія разсма- триваемой фигуры. Здѣсь рѣчь идетъ исключительно о геометрическихъ фигурахъ, составленныхъ изъ отрѣзковъ прямыхъ линій. Такъ какъ подобныя фи- гуры вообще состоятъ изъ треугольниковъ, то можно сказать, что задача тригонометріи заключается въ рѣшети треугольниковъ, или въ вычисленіи неизвѣст- ныхъ частей треугольника, при помощи его извѣст- ныхъ остальныхъ частей, которыхъ достаточно для построенія разсматриваемаго треугольника!). Въ виду этого необходимо остановиться на вопросѣ объ измѣ- реніи угловъ болѣе подробно, чѣмъ это дѣлается обык- новенно въ геометріи, и съ этою цѣлью удобнѣе на- чать съ разсмотрѣнія задачи объ измѣреніи дугъ. Хотя оба эти вопроса: измѣреніе угловъ и измѣреніе дугъ совершенно равнозначны, тѣмъ не менѣе второй^ во- просъ допускаетъ болѣе ясное изложеніе чѣмъ пер- _ вый, такъ какъ самое понятіе о дугѣ является менѣе отвлеченнымъ чѣмъ понятіе объ углѣ. 2. Тригонометрическій кругъ. — Для опредѣленія положенія точки на какой-либо прямой, мы прини- маемъ опредѣленную точку на ней за начало, намѣ- чаемъ положительное направленіе и выбираемъ опре- дѣленную единицу длины. Такимъ же образомъ, чтобы опредѣлить положеніе точки на окружности, необхо- димо намѣтить на ней точку, принимаемую за начало дугъ, положительное направленіе движенія по окруж- 1) Мы ограничимся разсмотрѣніемъ только прямолинейной три- гонометріи, которая называется такъ въ отличіе отъ сферической, занимающейся рѣшеніемъ сферическихъ треугольниковъ, начерчен- ныхъ на сферѣ и образованныхъ дугами ея большихъ круговъ.
— 11 — ности и, наконецъ, единицу длины. Въ тригонометріи за единицу длины принимается обыкновенно радіусъ разсматриваемаго круга. Подобный кругъ, съ намѣ- ченнымъ началомъ, обусловленнымъ положительнымъ направленіемъ п радіусомъ, который взятъ за единицу длины, называется тригонометрическимъ кругомъ. Обыкновенно условливаются считать положитель- нымъ то направленіе движенія вдоль окружности, которое противоположно движенію часовой стрѣлки. Само собою разумѣется, что этотъ выборъ совершенно Произвольный и что съ такимъ же успѣхомъ можно лыло бы выбрать за положительное прямо противопо- ложное направленіе. Наконецъ за начало дугъ обык- новенно считаютъ точку, наиболѣе отстоящую вправо на окружности. Выборъ этотъ хотя и вполнѣ произволь- ный, но тѣмъ не менѣе всегда принимается, благодаря своему удобству. Описанный тригонометрическій кругъ изображенъ на чертежѣ 1-омъ; начало дугъ находится въ точкѣ А; положительное направленіе отмѣчено стрѣлой на чер- тежѣ; единица длины равна ОА. На чертежѣ нане- сенъ также радіусъ ОА, который соединяетъ центръ окружности съ началомъ дугъ и называется начальнымъ ра- діусомъ. Положеніе точки М на ок- ружности вполнѣ опредѣляется своей, такъ называемой, криво- линейной абсциссой, т.-е. длиной и знакомъ дуги А3/. Напримѣръ, на чертежѣ 1-омъ криволиней- ная абсцисса точки М равна приблизительно 0,6,а криволи- нейная абсцисса точки У равна приблизительно—1,3. Если бы нашъ кругъ представлялъ матеріальный
— 12 — кругъ, напримѣръ, въ видѣ колеса съ радіусомъ величиной въ одинъ метръ, то криволинейныя абсциссы на немъ можно было бы легко измѣрять, при помощи метра изъ ленты или полосы клеенки. 3. Кратныя значенія криволинейныхъ абсциссъ.— Мы только что сказали, что криволинейная абсцисса точки М равна величинѣ 0,6, а криволинейная абсцисса точки 2Ѵ равняется —1,3. Въ самомъ дѣлѣ, точка, принужденная двигаться по окружности, должна на- правиться въ положительную сторону, чтобы пройти по кратчайшему пути изъ положенія А въ М и описать путь, длиной въ 0,6. Такъ же точно, чтобы пройти по кратчайшему пути изъ А въ точка должна напра- виться въ отрицательную сторону и пройти разстояніе въ 1,3. Но вполнѣ возможно также перейти изъ поло- женія А въ 2Ѵ, двигаясь въ положительномъ направле- ніи; однако въ этомъ случаѣ путь будетъ болѣе длин- ный. Это было бы, пожалуй, похоже на то, что путе- шественникъ, имѣя въ своемъ распоряженіи доста- точно свободнаго времени, отправляется изъ Парижа въ Москву черезъ Нью-Йоркъ, Санъ-Франциско, Іоко- гаму и Сибирь. Спрашивается, чему будетъ равняться описанная дуга, если движущаяся точка направится изъ А въ положеніе Л, слѣдуя въ положительномъ направленіи, т.-е. пройдетъ сначала черезъ точку 7И? Само собою разумѣется, что длина соотвѣтствую- щей дуги АМХ равняется длинѣ всей окружности, за вычетомъ длины малой дуги АХ. Если радіусъ окружности принятъ за единицу длины, то длина всей окружности равняется 2~, или приблизительно 6,28; такъ какъ длина малой дуги АХ, согласно сдѣланному выше предположенію, равна 1,3, то отсюда слѣдуетъ, что длина дуги АМХ имѣетъ слѣдующее приближен- ное значеніе 6,28 — 1,3 = 4,98.
— 13 — Поэтому криволинейную абсциссу точки 2Ѵ мы мо- . жемъ принимать равной, или 4,98, или же — 1,3. Та- кимъ же образомъ криволинейная абсцисса точки ЛГ равняется -|- 0,6 или равна — 5,68, такъ какъ такова приблизительно длина дуги АЯМ, которую приходится пройти точкѣ изъ А въ М, двигаясь въ отрицатель- ную сторону. Можно смотрѣть на опредѣленіе положенія точки на окружности еще съ болѣе общей точки зрѣнія, ко- торая приноситъ своего рода выгоду, какъ мы уви- димъ впослѣдствіи. Чтобы перейти изъ точки А въ М, можно, напри- мѣръ, совершить 163 полныхъ оборота окружности въ положительномъ направленіи и затѣмъ описать малую дугу АМ. Въ такомъ случаѣ длина всего прой- деннаго пути выразится числомъ 163 X 2п4-0,6. Послѣднее выраженіе представляетъ одно изъ зна- ченій, которое можно присвоить криволинейной аб- сциссѣ точки М. Обозначимъ вообще черезъ а вели- чину малой дуги АМ, а подъ к будемъ разумѣть цѣлое положительное или отрицательное число. Пред- положимъ, что, при переходѣ изъ положенія А въ М, движущаяся точка описываетъ полную окружность к разъ въ положительномъ направленіи, если к — поло- жительное число, или — к разъ въ отрицательномъ направленіи, если к представляетъ отрицательное чи- сло (т.-е. — к является положительнымъ), и затѣмъ уже описываетъ малую дугу АМ. Въ такомъ слу- чаѣ все пройденное точкой пространство предста- вляется, какъ по величинѣ такъ и по своему знаку, слѣдующимъ выраженіемъ 2кг, а,
— 14 — въ чемъ читатель легко можетъ самъ убѣдиться. По- лученный результатъ 2&тг а представляетъ общій видъ выраженія криволинейныхъ абсциссъ точки М, при чемъ а имѣетъ значеніе одной какой-либо изъ этихъ аб- сциссъ. Нѣтъ надобности предполагать, что а обозна- чаетъ непремѣнно наименьшую дугу АМ. Въ самомъ дѣлѣ, если положить, напримѣръ, а' — 2кк -)- а и а" = 2/і'ъ а', гдѣ к и к' представляютъ цѣлыя числа, то отсюда слѣдуетъ формула прежняго вида а” =2(к-}-к')га, такъ какъ число к-[-к’ является такимъ же положи- тельнымъ или отрицательнымъ числомъ, какъ к или к'. 4. Приложеніе.—Чтобы нагляднѣе выяснить поня- тіе о кратныхъ значеніяхъ криволинейныхъ абсциссъ и вмѣстѣ съ тѣмъ понять пользу ихъ употребленія, примѣнимъ ихъ къ рѣшенію слѣдующаго примѣра. Задача.—Двѣ подводы движутся въ противополож- ныя стороны по окружности, радіусъ которой равенъ километру; скорость первой подводы равна 20 кило- метрамъ въ часъ, а скорость второй подводы равняется 30 километрамъ въ часъ; требуется опредѣлить время ихъ встрѣчи, если извѣстно, что въ полдень обѣ под- воды проходятъ одновременно черезъ точку А. Условимся считать исходнымъ пунктомъ точку А и положительнымъ направленіе движенія первой под- воды; за единицу длины принимаемъ километръ и за единицу времени часъ. Слѣдовательно, скорость пер- вой подводы равняется-|-20, а скорость второй —30. Если условимся считать время съ полудня, то въ та- комъ случаѣ, очевидно, что въ моментъ времени <
— 15 — криволинейная абсцисса первой подводы равна 20/, а криволинейная абсцисса второй подводы—30/. Оба вы- раженія криволинейныхъ абсциссъ равны между собой только при значеніи / = 0. Поэтому, если не прини- мать въ расчетъ кратныя значенія криволинейныхъ абсциссъ, то можно притти къ ошибочному заключенію, что обѣ подводы встрѣтятся только въ начальный моментъ времени, что противорѣчитъ, конечно, здра- вому смыслу. Становится понятнымъ, что для того, чтобы въ мо- ментъ времени / обѣ подводы были бы въ одной и той же точкѣ М, достаточно, чтобы криволинейныя абсциссы каждой изъ подводъ были равны одному изъ значеній криволинейной абсциссы точки ЛГ. Если кри- волинейная абсцисса одной подводы имѣетъ значеніе а, то криволинейная абсцисса другой подводы должна быть а-±-2к~, гдѣ к представляетъ нѣкоторое цѣлое положительное или отрицательное число. Поэтому мы получаемъ равенство 20/ = — 30/-|-27,'т:, изъ котораго находимъ, что /_27<;п — Т(Г ‘ Такимъ образомъ получается столько моментовъ встрѣчъ, сколько существуетъ различныхъ цѣлыхъ значеній числа к. Такъ, напримѣръ, для к=і по- лучаемъ т.-е. / равно приблизительно | часа или 7’/2 минутамъ. 8 Слѣдовательно, первая встрѣча подводъ произойдетъ приблизительно въ 12 ч. 7*/2 мин. Такимъ же образомъ
— 16 — вычисляется время остальныхъ встрѣчъ. Чтобы опре- дѣлить время встрѣчъ, которыя произошли до по- лудня, слѣдуетъ давать к цѣлыя отрицательныя зна- ченія. Мы совѣтуемъ читателю рѣшить ту же самую за- дачу, при помощи непосредственныхъ арифметиче- скихъ вычисленій. Сходство вычисленій и получен- ныхъ результатовъ обнаружить удобство примѣненія кратныхъ значеній криволинейныхъ абсциссъ. 5. Прямой уголъ какъ единица измѣренія.—Въ виду того, что прямой уголъ часто встрѣчается въ геометріи, его принимаютъ иногда за единицу измѣренія угловъ; соотвѣтствующая единица измѣренія дугъ предста- вляетъ четверть окружности, четверть или квадрантъ. Часто принимается за единицу измѣренія также сотая доля четверти, которую называютъ градомъ; сотая доля града иногда называется минутой, а сотая доля ми- нуты называется секундой десятичной системы. Поэтому уголъ, который выражается числомъ 0,345268 въ до- ляхъ прямого угла, выражается также слѣдующимъ образомъ 34г, 5268 или 34г 52'68". Вся метрическая система измѣреній основана на ука- занномъ способѣ измѣренія дугъ и угловъ. Основная длина, принятая за метръ, представляетъ собой длину одной десятой доли десятичной секунды земного мери- діана. Десятичная система дѣленія дугъ предста- вляетъ собой особенное удобство въ геодезіи и пре- имущественно тамъ и употребляется, несмотря на дав- ность шестеричной системы дѣленія окружности и на привычку къ этому дѣленію, которому мы посвятимъ сейчасъ нѣсколько словъ.
-- 17 — 6. Шестеричное дѣленіе. — Шестеричная система представляетъ собой древній способъ дѣленія окруж- ности на 360 градусовъ, градуса на _6О минутъ и ми- нуты на 60 секундъ. Секунда, въ свою очередь, под- раздѣляется, по десятичной системѣ, на десятыя, сотыя доли секунды и т. д. Такъ, напримѣръ, при помощи разсматриваемой системы, мы пишемъ 53° 45' 35", 3. ч Эта система счисленія непослѣдовательна и пред- ставляетъ большія неудобства; но, тѣмъ не менѣе, безъ знанія ея нельзя обойтись, такъ какъ еще до сихъ поръ она очень часто примѣняется и нельзя ду- мать, чтобы въ скоромъ времени она вышла изъ упо- требленія. Однако можно надѣяться, что со временемъ разсматриваемая система все-таки исчезнетъ, какъ исчезли прежнія мѣры длины, площадей, объемовъ и вѣса. , 7. Преобразованіе единицъ. — Очень важно умѣть совершать преобразованіе системы единицъ, т.-е. быть въ состояніи вычислить величину дуги пли угла въ какой-либо изъ указанныхъ системъ измѣреній, если величина ихъ выражена въ единицахъ другой системы. Съ этою цѣлью мы будемъ пользоваться всегда, въ качествѣ промежуточной вспомогательной системы, системой, гдѣ прямой уголъ (или четверть) прини- мается за единицу измѣренія. 1°. Выраженіе дугъ тригонометрическаго круга, когда радіусъ его принятъ за единицу. — Принимая радіусъ за единицу измѣренія, заключаемъ безъ труда, 2г т. что длина четверти окружности равняется —=-• 4 А Поэтому, имѣя выраженіе дуги въ доляхъ четверти, Тригонометрія. 2
— 18 — п достаточно умножить его на -, чтобы получить длину ы той же дуги въ частяхъ радіуса. Наоборотъ, если длина дуги выражена въ доляхъ радіуса, достаточно - 2 раздѣлить послѣднюю на -^,т.-е. умножить ее на - 2 17 для того, чтобы получить разсматриваемую величину въ единицахъ четвертей. Напомнимъ значенія чиселъ к 2 2 И т: ' ѵ =1,5707963..., — = 0,6366197... 2 к Въ частности дуга четверти измѣряется тригоно- метрически величиной 1,57..., а дуга, длина которой равна радіусу, выражается въ доляхъ четверти чи- сломъ О4,6366... 2°. Выраженіе дугъ въ десятичной системѣ. — Преобразованіе дугъ, выраженныхъ въ градахъ, въ части четверти совершается непосредственно, въ силу самаго опредѣленія градовъ; такъ же просто совер- шается и обратное преобразованіе. Такъ, напримѣръ, 0,{,6366197 = 63г,66197 = 63г 66'19",7. 3°. Выраженіе дугъ въ шестеричной системѣ.-— Чтобы выразить ихъ въ доляхъ четверти, слѣдуетъ помнить, что четверть равняется 90 градусамъ, или 90X60 = 5400 минутамъ, или 5400X60 = 324000 секундъ. Поэтому, напримѣръ, дуга въ 35°43'57" выражается въ доляхъ четверти слѣдующимъ числомъ 35 4. 43 _і_ 57 90 5400 * 324000 ' 4
— 19 — Чтобы совершить обратное преобразованіе, слѣдуетъ умножить на 90 длину дуги, выраженной въ доляхъ четверти; цѣлая часть полученнаго произведенія пред- ставляетъ число градусовъ; десятыя доли, умножен- ныя на 60, 'даютъ новое произведеніе, цѣлая часть котораго опредѣляетъ число минутъ, а ея десятыя доли, умноженныя на 60, представляютъ число секундъ съ ихъ десятичными долями. Примѣръ: Выразить въ шестеричной системѣ вели- чину дуги, длина которой равняется радіусу, т.-е. равна О4,6366197... Получаемъ 0,6366197 X 90 = 57,295773 0,295773X60 = 17,74638 0,74638X60 = 44,7828. Поэтому для разсматриваемой дуги получается при- ближенное значеніе 57°17'44",8. Если не дѣлается особаго указанія, то всегда пред- полагается въ тригонометріи, что единицей измѣ- ренія служитъ радіусъ. II. Опредѣленіе круговыхъ функцій. 8. Предварительныя понятія.—Пусть имѣемъ дугу окружности съ началомъ въ точкѣ А (черт. 1, см. стр. 11), конецъ которой перемѣщается по окружности тригономе- трическаго круга. Съ каждымъ положеніемъ точки М легко связать значенія нѣкоторыхъ отвлеченныхъ чиселъ, представляющихъ собой функціи 2) дуги АВ, которыя называются ея круговыми функціями. Онѣ опре- дѣляются при помощи построенія опредѣленныхъ от- !) Функціей какой-либо величины называется вообще всякая вели- чина или выраженіе, которое зависитъ такимъ образомъ отъ указан- ной величины, что, для каждаго даннаго значенія послѣдней, при- нимаетъ вполнѣ опредѣленную величину. 2*
- 20 - рѣзковъ прямыхъ линій. Однако длина послѣднихъ не разсматривается, и только принимается въ расчетъ отношеніе ихъ длины къ радіусу тригонометриче- скаго круга, которое, такимъ образомъ, не зависитъ отъ масштаба чертежа. Поэтому круговыя функціи- являются отвлеченными числами, представляющими собой отношенія (съ опредѣленнымъ знакомъ), но не длины. Для опредѣленія круговыхъ функцій дуги удобно предположить, что ея начало находится въ точкѣ А, которую мы называемъ началомъ дугъ (см. черт. 2). Конечно, всѣ точки окружности тождествен- ны между собой и поэто- му возможно взять лю- бую изъ нихъ за точку А. Если окружность на- черчена на листѣ бумаги, то всегда возможно по- вернуть ее такъ, чтобы точка А оказалась точ- отстоящей вправо. кой окружности, наиболѣе На чертежѣ 2-омъ радіусъ ОА представляетъ началь- ный радіусъ; А' обозначаетъ обыкновенно точку діа- метрально противоположную точкѣ А, а прямая ВВ представляетъ діаметръ, перпендикулярный діаметру А А.' При этомъ черезъ В называется тотъ изъ кон- цовъ діаметра, черезъ который прежде всего прохо- дитъ точка, отправляющаяся изъ положенія А и дви- гающаяся по окружности въ положительномъ напра- вленіи. Діаметры АА' и ВВ1 раздѣляютъ нашъ кругъ на четыре четверти, которыя называются соотвѣт- ственно первой, второй, третьей и четвертой чет- вертью, въ томъ порядкѣ, въ которомъ ихъ огибаетъ
— 21 — точка, описывающая окружность въ положительномъ направленіи, выходя изъ начальнаго положенія А. Слѣдующая таблица, которую можно продолжить сколь угодно далеко вправо и влѣво, даетъ значеніе криволинейныхъ абсциссъ точекъ А, В, А', В' въ ча- стяхъ радіуса, въ десятичной и шестеричной системахъ измѣренія дугъ. В' н ф А Ічет. 1 1! 2чет. А' Зчет. /г І4чет. А в К І — 0 0 2 । ! 2 і _ к Зг ‘Г I 2- 400г I ЁЛ 1 2 — 100г юо1' 200г зоо1’ | 500г — 90° 0 90= | 180° 270° 360° *4&0° 9. Опредѣленіе основныхъ круговыхъ функцій: косинуса, синуса и тангенса. — Пусть имѣемъ триго- нометрическій кругъ (черт. 2); назовемъ осью коси- нусовъ ось х'х, совпадающую съ діаметромъ А'А; на- чало этой оси примемъ въ центрѣ О. Единицу длины и положительное направленіе на оси выбираемъ та- кимъ образомъ, чтобы абсцисса 9 начальной точки А равнялась Ц-1. Поэтому единицей длины служитъ отрѣзокъ ОА, а направленіе отъ О къ А является по- ложительнымъ. Пусть имѣемъ какую-нибудь дугу съ началомъ въ точкѣ А и концомъ въ точкѣ АІ. Косинусомъ этой дуги называется абсцисса основанія Р перпендику- ляра, опущеннаго изъ конца дуги Аі на нашу ось. Ко- роче говоря, косинусомъ дуги называется абсцисса на і) Абсциссой точки на оси называется разстояніе этой точки отъ начала оси.
— 22 — оси конусовъ проекціи ’) на эту ось конца дуги. Въ за- висимости отъ того, находится ли точка Р на ОА или на ОА', косинусъ представляетъ положительную или отрицательную величину; абсолютное значеніе косинуса выражается величиной отношенія угу-, гдѣ ОА слу- житъ единицей длины. Такимъ образомъ величина ко- синуса не зависитъ отъ радіуса тригонометрическаго круга, а только отъ величины дуги АМ (или угла АОМ), выраженной въ доляхъ радіуса, въ градахъ или въ градусахъ. Изъ даннаго опредѣленія становится очевиднымъ, что абсолютная величина косинуса не можетъ превы- шать единицы, такъ какъ ОР не можетъ быть больше О А. Кромѣ того, вполнѣ ясно, что косинусъ можетъ получать любое значеніе, заключающееся между ве- личинами —1 и 4-1, въ зависимости отъ положенія точки М. Наконецъ слѣдуетъ замѣтить, что значеніе косинуса зависитъ только отъ положенія начала А и конца М разсматривае- мой дуги и не нахо- дится въ зависимости отъ кратныхъ значеній криволинейной абсцис- сы точки М. Такимъ образомъ всѣмъ раз- личнымъ кратнымъ значеніямъ криволиней- і) Проекціей точки на прямую линію называется точка на ней, представляющая основаніе перпендикуляра, опущеннаго изъ дан- ной точки на разсматриваемую прямую.
— 23 — ной абсциссы, точки М соотвѣтствуетъ одно и то же значеніе косинуса; это замѣчаніе какъ увидимъ даль- ше относится также къ другимъ круговымъ функ- ціямъ. Осью синусовъ называется ось /у (черт. 3), совпа- дающая съ В'В и имѣющая начало въ точкѣ О. По- ложительное направленіе на разсматриваемой оси и единица длины выбираются такъ, чтобы абсцисса точки В равнялась 4-1 • Синусъ дуги АМпредставляетъ абсциссу точки Я, которая служитъ проекціей точки М на ось синусовъ. Всѣ замѣчанія, сдѣланныя нами по поводу опредѣленія косинуса, относятся также и къ синусамъ. Выражаясь болѣе кратко,можно сказать, что косинусъ и синусъ дуги АМ представляютъ соотвѣтственно абсциссу и разставить ординату точки ЛР), по отношенію Ц Положеніе каждой точки М на плоскости вполнѣ опредѣляется разстояніями ея отъ двухъ взаимно перпендикулярныхъ осей Ох и Оу, расположенныхъ въ разсматриваемой плоскости. Разстояніе (чер. 1) точки ЛГ отъ оси Оу, равное отрѣзку ОР, называется абсциссой точки М; разстояніе же РМ точки М отъ оси Ох, равное отрѣзку называется ординатой точки М. Оси Ох и Оу называются координатными осями, а уголъ хОу — прямоугольной прямолинейной системой координатъ хОу. У\ Я_________м х' О\ Р х Черт. I. У 1
— 24 — къ нашей системѣ прямоугольныхъ осей ох и оу. Отсюда ясно слѣдуетъ, что задавая значенія косинуса и си- Обѣ разсматриваемыя величины: абсцисса и ордината точки М, по отношенію къ разсматриваемой системѣ координатъ, разумѣются подъ однимъ общимъ названіемъ: кординаты точки М. Направленія осей вправо и вверхъ отъ начала координатъ О счи- таются положительными сторонами осей абсциссъ и ординатъ. Продолженія о'ѣихъ осей Ох' и Оу1 считаются отрицательными. По даннымъ значеніямъ абсциссы и ординаты точки легко опре- дѣлить положеніе ея на плоскости, по отношенію къ данной системѣ координатъ. При этомъ слѣдуетъ обращать особенное вниманіе на знакъ данныхъ значеній координатъ. Такъ, точки съ положительными значеніями обѣихъ координатъ расположены въ углу хОу, точки съ •отрицательными значеніями абсциссъ и положительными ординатами находятся въ углу а/Оу; точки съ отрицательными значеніями обѣихъ координатъ лежатъ і:ъ уілу х'Оу'; наконецъ точки съ положительными абсциссами и отрицательными ор шпатами расположены въ углу хОу'. Часто приходится совершать такъ называемое преобразованіе ко- ординатъ, т.-е. переходить, для опредѣленія положенія точки, отъ одной системы координатъ къ другой. Пусть, напримѣръ, положеніе точки М (черт.П) опредѣляется, относи- у\ м тельно системы прямоуголь- ныхъ осей Ох и Оу, координа- $ <?Г 1 тами ОР—« и О$=у. Беремъ новую систему двухъ вза- 1 _ имно перпендикулярныхъ 8. л осей ОрхЛ и Оіу19 параллель- ныхъ прежнимъ осямъ и находящихся отъ нихъ со- ~О'~ Ё ~ ' 1 о- отвѣтственно и а разстоя- Х НІЯХЪ Чсрт. И. ОР = а, 08 ~Ъ, представляющихъ координаты новаго начала 0ь по отношенію къ прежнимъ осямъ. Точка М опредѣляется относительно новыхъ осей координатами ОіРі—а?ъ О^—Уі Изъ разсмотрѣнія чертежа становится очевиднымъ, что существуютъ слѣдующія зависимости: 'П ~ Уі-у — Ь, т.-е. новыя координаты выражаются разностью прежнихъ коорди- натъ и координатъ новаго начала, относительно прежней системы.
— 25 — нуса какой-либо дуги, съ началомъ въ точкѣ А, мы вполнѣ точно опредѣляемъ конецъ этой дуги М; что же касается величины соотвѣтствующей дуги, то она представляетъ одно какое-либо изъ кратныхъ значеній криволинейной абсциссы точки М. Осью тангенсовъ называется прямая Іі (черт. 4), проведенная въ точкѣ А параллельно оси у'у и въ одномъ съ нею направленіи. Начало этой оси нахо- дится въ точкѣ А; ея положительное направленіе АІ совпадаетъ съ положительнымъ направленіемъ ОВ; а единицей длины служитъ отрѣзокъ ОВ. Тангенсъ ду- ги АМ опредѣляется аб- сциссой, на оси Іі, точки пресѣченія Т радіуса ОМ съ осью Іі. Подобно коси- нусу и синусу, значеніе тан- генса не зависитъ отъ из- бранной единицы длины, такъ какъ, по абсолютной величинѣ, равняется отно- шенію отрѣзка АТ къ ОВ (или ОА). Обѣ дуги, концы которыхъ діаметрально про- тивоположны, какъ, напри- мѣръ, дуги АМ и АМ' имѣютъ одинъ и тоть же т дется возвратиться еще разъ къ послѣднему замѣчанію. Тангенсъ можетъ получать всѣ значенія отъ —со до + оо, такъ какъ соединяя точку О съ какой-либо точ- кой 7’і, на оси Іі, мы опредѣляемъ точку Мл, пред- ставляющую конецъ дугп, тангенсъ которой равенъ абсциссѣ точки 1\. Косинусъ, синусъ и тангенсъ дуги а обозначается слѣдующимъ образомъ С08«, 8ІП (I,
— 26 — Эти величины представляютъ три основныхъ круго- выхъ функціи; дальше мы дадимъ еще опредѣленіе трехъ другихъ круговыхъ функцій: котангенса, секанса и косеканса, которыя, однако, менѣе употребительны чѣмъ предыдущія; двѣ послѣднихъ изъ нихъ встрѣ- чаются особенно рѣдко. ІО. Знаки основныхъ круговыхъ функцій.—Очень важно указать значенія знаковъ основныхъ круговыхъ функцій, въ зависимости отъ четверти, гдѣ находится точка М. Замѣтимъ прежде всего, что въ первой четверти всѣ три функціи имѣютъ положительныя значенія. Чтобы косинусъ имѣлъ положительное значеніе, для этого необходимо и достаточно, чтобы проекція точки на ось А! А находилась бы на отрѣзкѣ ОА, но не на отрѣзкѣ ОА'. Чертежъ 5-ый показываетъ, что послѣднее Черт. 5. Положительный косинусъ: Черт. 6. Положительный синусъ: четверти 1 и 4. четверти 1 и 2. условіе удовлетворяется, если точка М находится въ первой или четвертой четверти. Такимъ же образомъ изъ чертежа 6-го видно, что синусъ имѣетъ положи- тельное значеніе въ первой и второй четверти; нако- нецъ, чертежъ 7-ой показываетъ, что тангенсъ является положительнымъ въ первой и третьей четверти. Чтобы твердо запомнить эти чертежи, читатель долженъ пе-
— 27 — речертить ихъ нѣсколько разъ; тогда ему будетъ до- статочно представить ихъ въ своемъ воображеніи (или воспроизвести на бумагѣ), чтобы опредѣлить непо- средственно знакъ круговой функціи какой-либо дуги въ зависимости отъ четверти, въ которой лежитъ конецъ М этой дуги. 11. Вспомогательныя круговыя функціи: котангенсъ, секансъ, косе- кансъ.—Осью котангенса называется прямая линіяЛ (черт. 8), проведен- ная въ точкѣ В, параллельно Черт. 7. Положительный тангенсъ: четверти 1 и 3. оси х'х\ за начало проведенной прямой принимаемъ точку В\ положительное направленіе ея Вя совпадаетъ съ положительной стороной Ох, а единицей длины служитъ отрѣзокъ ОВ. Котангенсомъ дуги АМ назы- вается абсцисса, на оси Вг, точки 2, представляющей пересѣченіе прямой ОМ съ осью /я. Поэтому оче- видно» что котангенсъ имѣетъ всегда одинаковый знакъ съ тангенсомъ, т. - е. является положительнымъ въ первой и третьей четверти (черт. 9). Котангенсъ дуги а обозначается выраженіемъ соі§ а.
— 28 — Черт. 9. Положительный котангенсъ: четверти 1 и 3. Намъ не придется пользоваться въ дальнѣйшемъ изложеніи, ни секансомъ, ни косекансомъ. Но для тѣхъ читателей, которые заинтересуются этими фун- кціями, укажемъ, что секансомъ дуги АМ (черт. 10) называется абсцисса точки $, представляющей пере- сѣченіе касательной прямой къ окружности, въ точкѣ М, съ осью косинусовъ. Косекансомъ дуги ЛМ (черт. 11) называется абсцисса точки V пересѣченія касательной МѴ къ окружности съ осью синусовъ. Мы предоставляемъ читателю самостоятельно доказать слѣдующія зависимости 1 1 С08ѲС х зес х соях ’ 8ІІ1 X ’
к г которыя справедливы какъ по величинѣ такъ и по знаку, какова бы ни была величина дуги х. Указанныя формулы позволяютъ исключать величину секанса и ко- секанса изъ формулъ, которыя отъ нихъ зави- сятъ, и получать такимъ образомъ новыя форму- лы, не заключающія послѣднихъ круговыхъ функцій ’). Черт. 11. III. Соотношенія между круговыми функціями одной и той же дуги. 12. Зависимость между косинусомъ и синусомъ.— Черт. 12. Пусть АМ представляетъ какую-либо дугу (черт. 12), величину которой обозна- чимъ черезъ а; косинусъ ея, по абсолютной величи- нѣ, равенъ ОР, а синусъ, по абсолютной величинѣ, выражается отрѣзкомъ Оф, или равнымъ ему отрѣз- комъ РМ, при чемъ радіусъ окружности принятъ за еди- і) Само собою разумѣется, что не только благодаря послѣднему обстоятельству величины секансъ и косекансъ мало употребительны. Мы покажемъ дальше, что тангенсъ и котангенсъ также выражаются черезъ синусъ и косинусъ; но, тѣмъ не менѣе, употребленіе тангенса очень полезно, такъ какъ, благодаря введенію его, получаются очень простыя формулы которыми часто приходится пользоваться.
— за- виду длины. Изъ прямоугольнаго Д-ка ОМР полу- чается слѣдующая зависимость Такъ какъ величйна ОМ равна единицѣ, то, прини- мая во вниманіе, что квадраты выраженій, равныхъ по абсолютной величинѣ, равны между собой, выво- димъ изъ послѣдней зависимости слѣдующее ра- венство (4,) соа2а 4- зіп2а = 1. Полученная зависимость (И^) имѣетъ очень важное значеніе и поэтому необходимо ее запомнить ’). Предположимъ на время, что радіусъ нашего круга не равняется единицѣ, и обозначимъ его черезъ В; пусть х и у обозначаютъ координаты какой-либо точки М окружности относительно осей Ох, Оу 2). Если че- резъ а обозначить величину дуги АМ, то, въ силу опредѣленія круговыхъ функцій, имѣемъ формулы соз а = > 8іп а = X > и поэтому основная зависимость (Ла) приводится къ слѣдующему виду / х \2 . / у \2_ пг/ “ги* /— или становится я?2 -]- у2=в. Полученное равенство представляетъ уравненіе окружности, которая, какъ говорятъ, отнесена къ прямоугольнымъ осямъ, проходящимъ черезъ центръ і) Выговаривается полученное соотношеніе слѣдующимъ обра- зомъ: косинусъ квадратъ а + синусъ квадратъ а равняется 1. «) См. подстрочное примѣчаніе въ п°9.
— 31 — круга. Выведенное уравненіе представляетъ такимъ образомъ необходимое и достаточное условіе для того, чтобы точка съ координатами х, у лежала на нашей окружности. Исходныя формулы могутъ быть представлены также въ слѣдующемъ видѣ Х = В С08«, у — В віпа. Если дуга а измѣняется отъ О до 2тг (или отъ 0г до 400г, или же отъ 0° до 360°), то легко видѣть, что точка съ координатами х, у описываетъ окружность въ положительномъ направленіи (если В имѣетъ по- ложительное значеніе) или въ отрицательномъ напра- вленіи (если В представляетъ отрицательную вели- личину). Поэтому говорятъ, что послѣднія уравненія даютъ такъ называемое параметрическое представле- ніе окружности, т.-е. выражаютъ координаты точекъ окружности съ помощью параметра а. 13. Выраженіе тангенса и котангенса черезъ косинусъ /И синусъ. — Пусть АМ представляетъ какую-либо дугу (черт. 13), отрѣзокъ ОР — абсо- лютное значеніе ея коси- нуса, отрѣзокъ РМ—аб- солютную величину си- нуса и, наконецъ, отрѣ- зокъ АТ — абсолютную величину тангенса на- шей дуги. Изъ подобія Д-овъ ОРМ и ОАТ по- лучается соотношеніе АТ_РМ ОА~ ОР ' Черт. 13.
- 32 — величинъ. Легко, однако, убѣдиться, этого равенства имѣютъ одинаковые четырехъ четвертяхъ тригонометриче- Отсюда слѣдуетъ искомая зависимость . . . г 8І11« (А.) ----’ 2 соз а которая имѣетъ мѣсто для абсолютныхъ значеній раз- сматриваемыхъ что обѣ части знаки во всѣхъ скаго круга. Дѣйствительно, въ первой четверти всѣ три фун- кціи зіп а, соз а и і^а имѣютъ положительныя значенія. Во второй четверти зіп а положительный, соз а и отрицательные.. Въ третьей четверти а положительный, зіп а и соз а отрицательные. Наконецъ, въ четвертой четверти со8 а положи-' тельный, зіп а и отрицательные. Такимъ образомъ соотношеніе (Л2) справедливо не только для абсолютныхъ значеній входящихъ въ него величинъ, но также и для дѣйствительныхъ ихъ зна- ченій, зависящихъ отъ знаковъ. Подобно предыдущему, легко вывести равенство . . СО8 а ----> зіп а исходя изъ разсмотрѣнія подобія треугольниковъ и О2В. Изъ сопоставленія обоихъ предыдущихъ равенствъ, получаемъ новую зависимость , . . , соз а 1 (Л3) со^ й — —-------— > л зіп а Щ а которая показываетъ, что котангенсъ представляетъ обратную величину тангенса. Въ виду простоты по- слѣдняго соотношенія, не слѣдуетъ вводить въ одну и ту же задачу одновременно обозначенія тангенса и котангенса одной и той же дуги.
— 33 — Вообще вполнѣ возможно ограничиться разсмотрѣ- ніемъ одного только тангенса, а относительно котан- генса запомнить двѣ слѣдующихъ зависимости: фор- мулу (А3) и равенство / ~ \ (С3) соіц’ ----а } — ’ которое будетъ доказано въ слѣдующемъ отдѣлѣ. Эти двѣ формулы необходимо помнить, чтобы быть въ состояніи примѣнять общеупотребительныя таблицы. Въ виду этого и было необходимо остановиться нѣ- сколько подробнѣе на разсмотрѣніи котангенса. 14. Выраженіе основныхъ круговыхъ функцій, при помощи одной изъ нихъ.—Двѣ основныхъ зависимости , .. , . , , . 8Іп а (Л) С08-« 8ііі2 а — 1 , ѣ> « =-- 1 соз а даютъ возможность выразить двѣ какихъ-либо изъ основныхъ круговыхъ функцій черезъ третью ]). При этомъ слѣдуетъ, однако, замѣтить, что, при рѣше- ніи разсматриваемаго вопроса, вводятся радикалы съ двумя знаками-, на этомъ важномъ обстоятельствѣ мы остановимся подробнѣе въ дальнѣйшемъ изложеніи. V*.. Выраженіе синуса и.тангенса черезъ косину съ.— Искомыя выраженія получаются непосредственно въ слѣдующемъ видѣ , „ /-----V І —сой2а 8іпа — +Ѵ1 — соз2а, — ------------ —• соза Вычисленіе выраженій косинуса и тангенса черезъ синусъ дѣлается совершенно аналогичнымъ образомъ. і) Формулы . 1 1 1 С0(“ а— , лес а —--------------------, С080С а = . - а С08а 81 п а позволяютъ вычислить затѣмъ выраженія 5 какихъ-либо изъ 6 фрункціп черезъ одну изъ нихъ; однако указанное вычисленіе не предста- вляется настолько интереснымъ, чтобы стоило его приводить здѣсь. Трвгово-четрія. 3
— 34 — 1°. Выраженіе синуса и косинуса черезъ тан- генсъ.— ]Подставляя въ уравненіе соз2 ^іп2 6/— 1 выраженіе 8ІП б/ — \%а 008 Я, получаемъ, для опредѣленія созя, слѣдующее урав- неніе СО82П 4~ С082 Л (о-2 <7=1. Разрѣшая послѣднее уравненіе второй степени отно- сительно соз <7, находимъ -н 1 соз а = . е і+о Поэтому предыдущее выраженіе віпа даетъ , -4- 1% а 8іпа = іеа воза — —7=^--— Слѣдуетъ обратить особенное вниманіе на то обстоя- тельство, что въ послѣднихъ двухъ формулахъ знаки ф- соотвѣтствуютъ другъ другу, т.-е. если взять знакъ ф- въ первой изъ формулъ, то во второй формулѣ слѣ- дуетъ также взять знакъ ф-. Къ этому вопросу о двой- ныхъ знакахъ мы возвратимся въ и0 21. IV. Зависимости между круговыми функціями дугъ, сумма или разность которыхъ выражается кратнымъ числомъ четвертей окружности. 15. Приведеніе дугъ къ первой четверти.—Какъ мы увидимъ въ слѣдующей второй главѣ, общеупо- требительныя тригонометрическія таблицы даютъ зна- ченія круговыхъ функцій дугъ первой четверти (или, точнѣе сказать, пхъ логарифмовъ). Поэтому, если дан-
— 35 — ная дуга не принадлежитъ къ первой четверти, то необходимо сдѣлать приведеніе, которое позволяло бы выразить ея круговыя функціи черезъ круговыя фун- кціи дугъ первой четверти. Достигнуть этого проще всего на основаніи слѣдующихъ соображеній. Если величина а представляетъ дугу первой чет- верти, которая заключается между предѣлами 0 и У > то дуга - — а заключается между предѣлами и л, т.-е. принадлежитъ ко второй четверти тригоно- метрическаго круга. Дуга ~-[-а заключается между предѣлами к и и принадлежитъ поэтому къ третьей четверти; наконецъ дуга 2 л —а, находясь между пре- Зтг дѣлами —- и 2л, принадлежитъ къ четвертой четверти. Итакъ, если а обозначаетъ какую-нибудь дугу первой четверти, то выраженія л — а, л а, 2л — а предста- вляютъ соотвѣтственно дуги второй, третьей и четвер- той четверти. Предположимъ, что дуги выражаются въ десятич- ной системѣ и Г представляетъ нѣкоторое число гра- довъ между 0 и 100. Въ такомъ случаѣ выраженія 200—Г, 200 -|- Г и 400 — Г представляютъ собой числа, заключающіяся соотвѣтственно между 100 и 200, между 200 и 300 и, наконецъ, между 300 и 400. Изложенное выше формулируется словами, что пе- реходъ отъ первой четверти къ тремъ другимъ совер- шается при помощи трехъ основныхъ подстановокъ, которыя состоятъ въ замѣнѣ а черезъ л — а, л + а и 2л — а. Дѣло сводится къ тому, чтобы узнать, какъ вліяютъ эти три основныхъ подстановки на измѣненіе величины косинуса, синуса и тангенса, т.-е. какъ измѣ- няется величина каждой изъ послѣднихъ функцій, вслѣдствіе замѣны « черезъ л— а, лД-а или 2л — а. 3*
— 36 — Мы докажемъ далѣе, что отвѣтъ на поставленный вопросъ заключается въ слѣдующихъ словахъ: Каждая изъ трехъ основныхъ подстановокъ оста- вляетъ безъ измѣненія одну изъ трехъ основныхъ фун- кцій и измѣняетъ знакъ двухъ остальныхъ функцій. Чтобы рѣшить вопросъ, какая изъ трехъ линій остается безъ измѣненія, при каждой изъ подстано- вокъ, достаточно вспомнить знаки разсматриваемыхъ функцій въ каждой четверти, т.-е. возвратиться къ чертежамъ 5-ому, 6-ому и 7-ому въ п°іі°10 и 11. Бла- годаря этому получается, въ дополненіе къ предыду- щему, слѣдующее предложеніе: Замѣна величины а на г.—а (вторая 'четверть) не измѣняетъ синуса, замѣна а на тг-фа (третья чет- верть) не измѣняетъ тангенса; наконецъ замѣна а на, — а (четвертая четверть) не измѣняетъ косинуса. Оба изложенныхъ правила выражаются слѣдующими важными формулами [ 8іп (к—а)=8Іпа; соз (л—а)——соза; ія (тг—а)=—а; (В)\ «5 8іп («+«)=—8іпа; соз(тс-]-а)=—соза; I соз(2к—а)—соза; (2тг—а)——і§’а; зіп(2л—а)=—зіпа. Чтобы запомнить ихъ, удобно пользоваться предыду- щими правилами, предполагая, что дуга а принадле- житъ къ первой четверти, а дуги т. — а, -п —|—а, 2т= — а принадлежатъ соотвѣтственно ко второй, третьей и чет- вертой четверти; тогда, принимая во вниманіе знаки круговыхъ функцій въ различныхъ четвертяхъ, мы не сдѣлаемъ ошибки въ знакахъ формулъ (В). Однако легко доказать, что формулы (В) остаются справедливыми, какова бы ни была дуга а. Поэтому, примѣняя эти формулы, нѣтъ надобности ограничи- ваться предположеніемъ, что дуга а принадлежитъ пергой четверти.
— 37 — 16. Дуги, сумма которыхъ равна половинѣ окруж- ности.—Теорема.—Концы двухъ дугъ, сумма которыхъ равна половинѣ окружности, находятся на одной и той же прямой, параллельной оси косинусовъ А'А (при чемъ начала обѣихъ этихъ дугъ перенесены, конечно, въ одну и ту же точку А). Согласно съ опредѣленіемъ, криволинейныя аб- сциссы двухъ разсматриваемыхъ дугъ выражаются черезъ а и — а, при чемъ за начало криволинейныхъ абсциссъ взята точка А; положительное направленіе абсциссъ считается въ обычную сторону, а единица длины равняется ОА (черт. 14). Вычислимъ криволи- нейную абсциссу дуги т — а, принявъ за начало точку А', а за положительное направленіе, противоположное общепринятому, оставивъ при этомъ единицу длины прежней. Если измѣнить сперва одно только начало, то новая абсцисса будетъ выражаться разностью преж- ней абсциссы и абсциссы новаго начала, по отношенію къ прежнему началу *), т.-е. равняется (К — а) — Т.=-- - а, потому что абсцисса точки А', по отношенію къ А, вы- ражается черезъ г. Если затѣмъ мы измѣнимъ сто- рону положительнаго направленія, то новое выраженіе абсциссы должно будетъ отличаться отъ предыдущаго противоположнымъ знакомъ, т.-е. станетъ а. Такимъ образомъ концы обѣихъ нашихъ дугъ имѣютъ равныя криволинейныя абсциссы, при условіи, что одна изъ этихъ абсциссъ откладывается отъ начала А, въ обще- принятомъ положительномъ направленіи, другая же абсцисса отсчитывается отъ начала А' въ противо- положную сторону. Предположимъ, напримѣръ, что двѣ движущихся точки выходятъ одновременно одна і) См. подстрочное примѣчаніе въ и*9.
— 38 — изъ положенія А, другая же изъ А' и движутся по окружности въ противоположныя стороны. Если обѣ точки описываютъ въ равные промежутки времени равныя пространства, по абсолютной величинѣ, то, въ каждый моментъ времени, онѣ будутъ находиться въ концахъ двухъ разсматри- ваемыхъ дугъ, сумма кото- рыхъ равна половинѣ окруж-' пости. Слѣдовательно, стано- вится очевиднымъ, что по- ложенія обѣихъ движущихся точекъ симметрично располо- жены по отношенію къ оси ВВ', т.-е. находятся на одной и той же прямой, параллель- ной оси АА'. Разсужденія становятся еще нагляднѣе, если обра- титься къ помощи чертежа. Если одна изъ движу- щихся точекъ находится послѣдовательно въ положе- ніи М, Л7, Р или 7і, то другая точка занимаетъ соот- вѣтственно положенія М', У, Р' и В'. Первая точка движется въ направленіи, отмѣченномъ стрѣлками внутри окружности, а вторая—въ направленіи, указан- номъ внѣшними стрѣлками. Наконецъ можно было бы измѣнить направленія движенія обѣихъ точекъ, т.-е. предположить, что а — отрицательная величина, но и тогда доказательство остается прежнимъ. Слѣдствіе.—Двѣ дуги, сумма которыхъ равна поло- винѣ окружности, имѣютъ равные синусы, а косинусы и тангенсы ихъ противоположны по знаку. Это слѣдствіе вытекаетъ непосредственно изъ чер- тежа 14-аго, на которомъ круговыя функціи дугъ АМ и АМ' выражаются слѣдующимъ образомъ: синусъ
— 39 — представляется отрѣзкомъ ОК, косинусъ—отрѣзками ОН и ОН, а тангенсъ—отрѣзками АТ и АТ. Такимъ образомъ формулы первой строки таблицы (В) становятся доказанными для всѣхъ значеній а и представляются въ слѣдующемъ видѣ (БДзііф"—- а; со8(к— а)=— С08а;і§(т:—«)=—Іца Можно было бы ограничиться е доказательствомъ первыхъ двухъ изъ этихъ фор- мулъ; третья получается дѣ- леніемъ двухъ предыдущихъ. 17. Дуги, разность кото- рыхъ представляетъ половину окружности. — Пусть имѣемъ дуги а и а-|-т:, разность ко- А' торыхъ равна половинѣ ок- ружности; пусть точки А1 п АГ представляютъ концы дан- ныхъ дугъ (черт. 15). Раз- сужденія, подобныя предыду- Черт. 15. щимъ, показываютъ, что если принять за начало точку А', сохраняя прежнюю сторону положительнаго направле- нія, то криволинейная абсцисса точки АГ равняется «. Такъ какъ дуги ААІ и А'АГ равны не только по абсо- лютной величинѣ, но и по знаку, то заключаемъ, что точки М и АГ лежатъ на противоположныхъ концахъ одного и того же діаметра. Теорема. — Если разность двухъ дугъ равняется половинѣ окружности, то концы ихъ діаметрально противоположны; такія дуги имѣютъ равные тан- генсы, а синусы и косинусы ихъ имѣютъ противо- положные знаки. Доказательство второй половины послѣдней теоремы вытекаетъ непосредственно изъ чертежа 15-аго. По-
— 40 — лученный результатъ выражается слѣдующими фор- мулами (В2) С08<'”-(-а) =— соза; зіп(-гс а)=—зіпа. 18. Противоположныя дуги. — Противоположными называются дуги, сумма которыхъ равна нулю. Криво- линейныя абсциссы концовъ М и М' двухъ противо- Черт. 16. мой, параллельной тивополо жмыхъ ихъ равны по оси дугъ равны, абсолютной положныхъ дугъ выра- жаются соотвѣтственно черезъ а и—а (черт. 16); за выраженіе криволи- нейной абсциссы конца второй дуги можно также взять разность 2г — а, т.-е. разсматривать, вмѣ- сто противоположныхъ дугъ, дуги, сумма ко- торыхъ равна длинѣ ок- ружности. Теорема.—Концы про- тивоположныхъ дугъ на- ходятся на одной пря- синуса; косинусы двухъ про- а синусы и тангенсы величинѣ, но противопо- ложны по знаку. Равенство абсолютныхъ значеній дугъ АМ и АМ', знаки которыхъ противоположны, доказываетъ первую часть нашей теоремы; вторая же половина ея непо- средственно вытекаетъ изъ чертежа 16-аго. Такимъ образомъ получаются формулы (В'3) соз (— а) = СО8а; зіп (— а)=—яіп а; — а) — — или равнозначныя съ ними новыя формулы (В3) С08(2“—«)—соз«; 8Іп(2п —«)=—яіп«; і«,(2к—«)—— 1<г«.
— 41 — 19. Дополнительныя дуги. -Двѣ дуги называются дополнительными, если сумма ихъ равняется четверти окружности. Такимъ образомъ дуги а и —а являются дополнительными дугами. Разсмотримъ сперва двѣ дополнительныхъ дуги АМ и Л2Ѵ, принадлежащихъ первой четверти (черт. 17). Построимъ синусъ МР, косинусъ ОР и тан- генсъ АТпервой дуги, а для второй дуги проведемъ синусъ ея Л'<2, косинусъ О<2 а котангенсъ В7. Такъ какъ углы МОР, Л’о<2 дополнительные другъ къ другу, то прямо- угольные треугольни- ки ОАТ0 и МОР равны между собой, точно такъ же какъ и прямоугольные треугольники ОТА и О7В. Отсюда вытекаютъ равенства <2 Л’ ОР, О Ц = РМ, В7 = АТ, которыя приводятъ соотвѣтственно къ слѣдующими формуламъ 8ігі ( -—а) = С08й; соз ( —а) = 8Іпа; (О Ѵ2 7 /г . Ѵ2 7 соіо-I-* —а | = \ & / гдѣ а обозначаетъ величину дуги АМ, а дуга ЛУ г равняется — а. Вторая изъ полученныхъ формулъ (С’) представляетъ очевидное слѣдствіе первой формулы.
— 42 — Чтобы запомнить выведенныя формулы, слѣдуетъ за- мѣтить, что приставка слога ко была введена, для обозначенія круговыхъ функцій дополнительныхъ дугъ. Такъ, напримѣръ, ко — синусъ дуги представляетъ не что иное, какъ синусъ дополнительной дуги (та- кимъ же образомъ ко—секансъ представляетъ секансъ дополнительной дуги). Формулы (С) вполнѣ общія, т.-е. имѣютъ силу также и въ томъ случаѣ, когда дуги а и - — а не принадлежатъ къ первой четверти. Убѣдиться въ этомъ возможно различными способами; можно было бы, напримѣръ, начать съ разсмотрѣнія всѣхъ возможныхъ различныхъ случаевъ и привести всѣ дуги къ первой четверти, при помощи формулъ (В). Такой способъ доказательства мы рекомендуемъ читателю, для упраж- ненія въ формулахъ (В). Болѣе непосредственный способъ доказательства состоитъ въ слѣдующемъ: разсуждая какъ въ «° 16-омъ, докажемъ, что концы двухъ дополнительныхъ дугъ, имѣющихъ общее на- чало въ точкѣ А, имѣютъ равныя криволинейныя абсциссы, если считать начало одной изъ нихъ въ точкѣ А и положительную сторону въ обычномъ направленіи, а для второй дуги начало ея помѣстить въ точкѣ В и положительное направленіе считать въ сторону прямо противоположную предыдущему. Но, если принять точку В за начало, а за положительное направленіе сторону прямо противоположную обычному направленію, то осью косинусовъ будетъ • служить прямая у'у, а осью синусовъ прямая х'х, такъ какъ, при сдѣланномъ предположеніи относительно начала и положительной стороны, криволинейная абсцисса точки А равняется -|- • Послѣднее замѣчаніе позво- ляетъ установить формулы (С) въ самомъ общемъ
— 43 — предположеніи. Мы не станемъ, однако, останавли- ваться на указанномъ доказательствѣ, въ виду нѣко- торой кажущейся сложности его. 20. Обращеніе круговыхъ функцій. — Совершить обращеніе круговой функціи значитъ вычислить вели- чину дугъ, для кото- рыхъ разсматриваемая круговая функція имѣетъ данную вели- чину. Легко убѣдиться что число такихъ дуіч> неограниченное и что всѣ онѣ очень просто выражаются при помо- щи одной какой-либо изъ нихъ. 1°. Обращеніе си- нуса—Обозначимъ че- резъ Ъ значеніе зіп а; требуется вычислить величинудугиа. Начер- тимъ тригонометрическій кругъ (черт. 18) и отложимъ на оси синусовъ Оу отрѣзокъ ОР — Ъ (слѣдуетъ всегда помнить, что отрѣзокъ ОА представляетъ единицу , 4. • 0Р\ длины, т.-е. Ь равняется величинѣ отношенія . (АІ / На нашемъ чертежѣ Ъ представляетъ положитель- ную величину. Концы дугъ, синусъ которыхъ равенъ ОР, находятся въ точкахъ М и представляющихъ точки пересѣченія окружности съ прямой, проходя- щей черезъ точку Р параллельно оси Ох. Если обо- значить черезъ я величину одной изъ дугъ, съ концомъ въ точкѣ М, то величина второй дуги, съ концомъ въ точкѣ М', представляется разностью * — а и общій
— 44 — . видъ всѣхъ дугъ, концы которыхъ лежатъ въ точкѣ М или въ точкѣ М', выражается слѣдующимъ образомъ а— аЦ-27-т:, для М, а = -— а-\-2к~, для ЛГ, гдѣ к обозначаетъ цѣлое положительное число, нуль или отрицательное число. Написанныя формулы разрѣшаютъ задачу обраще- нія синуса. 1°. Обращеніе косинуса. — Пусть отрѣзокъ = с (черт. 19) представляетъ величину косинуса, которую тежѣ с представляетъ отрицательную величину, и мы имѣемъ с = ~ = приблизительно — 0,65). Копцы дугъ, С/ косинусъ которыхъ равенъ Оф, находятся въ точкахъ М или М’; если обозначить черезъ а величину одной изъ этихъ дугъ, то общій видъ ихъ выражается формулами а— а-\-2кт., для М, а — — а + 27”, для ИГ. 1°. Обращеніе тангенса.—Пусть величина тангенса выражается отрѣзкомъ АТ—сІ (черт. 20); величину его
— 45 — А'1' ОА~ откладываемъ на оси тангенсовъ і'і (имѣемъ Л— — приблизительно 1,2). Искомыя дуги кончаются въ точкахъ ЛІ или ЛІ' и общій видъ ихъ выражается слѣ- дующими двумя формулами а— . а-\-2кп, для ЛІ, а = г ф. а -ф 27~, для ЛІ'. Обѣ послѣднія формулы удобно заключить въ одну общую формулу а = а 4- кт., гдѣ 7г представляетъ нѣкоторое цѣлое положительное число, нуль или отрицательное число; если Л четное число, то конецъ дугъ а находится въ точкѣ ЛІ, если же 7г нечетное число, то дуги а кончаются въ точкѣ ЛГ. 1°. Замѣчаніе.—Если мы имѣемъ Ъ — 8Іп а, с — соз а, <1 — «, то вводятся слѣдующія обозначенія а — агс 8іп Ъ, а — агс сое с, а — агс <7, т.-е., напримѣръ, обозначеніе агс зіп Ъ представляетъ одну какую-либо изъ дугъ, синусъ которыхъ равенъ Ъ. ' Обыкновенно принимаютъ, что агс зіп Ь пред- ставляетъ ту изъ дугъ, которая заключается между “' Г и + х ’ однако всякій разъ, когда вводится по- слѣднее условіе, его слѣдуетъ оговаривать1;. і) Нѣкоторые изъ авторовъ, среди которыхъ можно назвать Копіи, употребляютъ различныя обозначенія, въ зависимости отъ предположенія, разсматриваются ли одновременно всѣ дуги, синусы которыхъ равны Ь, или же одна дуга, которая заключается между ---- и 'Гакъ, напримѣръ, можно написать агс §іп (6), въ пер- вомъ предположеніи, и агс зіп [(&)], во второмъ случаѣ. Хотя такое обо- значеніе и не общепринятое и поэтому не является классическимъ, но тѣмъ не менѣе иногда оно можетъ быть полезнымъ.
— 46 — 21- Объясненіе двойныхъ знаковъ въ формулахъ П°14.—Полученные результаты даютъ простое объясне- ніе происхожденію двойныхъ знаковъ въ формулахъ, выражающихъ значенія двухъ изъ трехъ основныхъ круговыхъ линій (синусъ, косинусъ, тангенсъ), въ видѣ функцій одной какой-либо изъ нихъ. Предполо- жимъ, напримѣръ, что требуется вычислить значеніе 8іп а черезъ данную величину і§«. Если дано значеніе і%а, то это не значитъ еще что извѣстна величина «, такъ какъ въ послѣднемъ случаѣ выраженіе зіп а имѣло бы одно вполнѣ опредѣленное значеніе. Если же задано значеніе і§а, то величина дуги этимъ не опредѣляется и становится извѣстнымъ только, что она заключается въ одной изъ слѣдующихъ двухъ формулъ а = а 27л:, а == т: —|— а —|— 2/л:. Синусы дугъ а, представленныхъ первой изъ этихъ формулъ, равны зіпа, а синусы дугъ, данныхъ вто- рой формулой, равны 8Іп а), т.-е. равны—зіпа. Поэтому становится по- нятнымъ, почему выра- женіе зіпа, въ видѣ функ- ціи ій' а, имѣетъ двойной л знакъ и представляетъ, такимъ образомъ двѣ ве- личины, противополож- ныхъ по знаку. Слѣдующее простое геометрическое построе- ніе вполнѣ равносильно предыдущимъ вычисле- ніямъ. Пусть отрѣзокъ АТ (черт. 21) представляетъ
— 47 — собой данное значеніе Концы соотвѣтствующихъ дугъ а лежатъ въ точкахъ М или М', и синусъ по- слѣднихъ равенъ поэтому отрѣзку РМ или отрѣзку Р’М. Косинусъ тѣхъ же дугъ представляется отрѣз- комъ ОР или отрѣзкомъ ОР', т.-е. выражается однимъ изъ двухъ значеній равныхъ по величинѣ, но прямо противоположныхъ по своему знаку. Поэтому, когда дается значеніе і$а, то нѣтъ ника- кого основанія выбирать предпочтительнѣе одно изъ двухъ соотвѣтствующихъ противоположныхъ значеній 8І1Ш или соза. Но если, вмѣстѣ со значеніемъ задается также величина дуги а, то въ такомъ слу- чаѣ вопросъ о знакѣ яіпа или соза разрѣшается самъ собою. V. Круговыя функціи простыхъ дугъ. Приложенія. 22. Тригонометрическія выраженія частей пра- вильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольни- ковъ. — Въ геометріи занимаются вычисленіемъ сто- ронъ правильныхъ многоугольниковъ, вписанныхъ въ окружность даннаго радіуса В и описанныхъ около нея, при различномъ числѣ сторонъ п. Мы дадимъ тригонометрическія выраженія величины этихъ сто- ронъ и, при помощи послѣднихъ, составимъ значенія круговыхъ функцій дуги • Теорема I. — Сторона правильнаго многоугольника съ п сторонами, вписаннаго въ окружность радіуса В, равняется выраженію 2 В зіп — • п Пусть точка О представляетъ центръ данной окруж- ности (черт. 22) и отрѣзокъ 2И7Ѵ представляетъ сто- рону разсматриваемаго многоугольника; центральный
— 48 — уголъ МОУ равенъ • Условимся разсматривать окру- жность О какъ тригонометрическій кругъ, принимая за начальный радіусъ В’ Черт. 22. Поэтому получаемъ иском; МХ~2МР = 2 0.1 ОА, который проходитъ черезъ середину стороны МУ перпендикулярно къ ней. Такъ какъ уголъ МОА равенъ то, въ силу опредѣленія сину- са, имѣемъ к МР зіп МОА -=ЯІІ1 --= ~ , п О А о зависимость т: ~ ЗІП — ~ 2/< 8ІП — • И И Теорема II.— Апофема правильнаго многоугольника съ п сторонами, вписаннаго въ окружность радіуса 11, равняется выраженію В со§ -А • Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ (черт. 22) соз— “ соз М О А — —. , п О А и, стало-быть, получаемъ искомое выраженіе ОР — 7^соз — • н Теорема III.—Сторона правильнаго многоугольника съ п сторонами, описаннаго около окружности радіуса 11, равняется выраженію 2 В і<1~'
— 49 — Дѣйствительно, пусть ставляетъ сторону раз- сматриваемаго много- угольника, касающуюся нашей окружности въ точкѣ А. Принимаемъ эту окружность, съ цен- тромъ въ точкѣ О, за тригонометрическій кругъ и уславливаемся считать точку А за на- чало дугъ. Уголъ МОХ 2" равенъ -- и поэтому уголъ ЛОА равняется • Въ силу опредѣленія отрѣзокъ ЛХ (черт. 23) пред- тангенса, получаемъ Отсюда слѣдуетъ формула ЛХ=2АЛ — 2Віе — • п 23. Вычисленіе круговыхъ функцій дугъ, рав- ныхъ у, —•—Если предположить число сторонъ п правильнаго многоугольника равнымъ 3, 4 или 6, то получается соотвѣтственно равносторонній треуголь- никъ, квадратъ и правильный шестиугольникъ. Какъ извѣстно, сторона равносторонняго треугольника, впи- саннаго въ окружность радіуса В, равна В \/ 3, а „ Л • апофема его равняется -- , сторона равносторонняго Тригонометрія. 4
— 50 — описаннаго треугольника равна 2І< V 3; сторона впи- саннаго квадрата равна /’2, а его апофема рав-' няется ’ сторона описаннаго квадрата равна 211; наконецъ сторона правильнаго вписаннаго шести- угольника равна величинѣ радіуса И, а апофема того же шестиугольника представляется величиной ]{ . - ~> сторона правильнаго описаннаго шестиуголь- 211 ника равна I °- Поэтому доказанныя выше теоремы I, II, III приво- дятъ къ слѣдующимъ формуламъ 8ІП — 7? 1'3 2 ’ 1 У І/2~ X- Ѵ"2, — 8ІП ‘— = 1, 4 4 ~2~’ ° 4 — 1 — /~з мп— 2’ С08-‘? — о 9 ’ Слѣдуетъ при этомъ замѣтить, что было бы со- вершенно достаточно вывести, при помощи геометріи, и 7С формулы, дающія значенія зіп— и »іп-- Всѣ осталь- • ныя формулы выводятся изъ нихъ, на основаніи очень простыхъ вычисленій въ виду того, что дуги Ѣ и "Г являются дополнительными другъ къ другу, а дуга представляетъ свое собственное дополненіе. _
— 51 — Въ десятичной системѣ измѣренія, дуги и , • 200г - представляются соотвѣтственно выраженіями --—, оО , 3 10°Г • „ V , въ шестеричной системъ измѣренія, тѣ же дуги 3 равны соотвѣтственно 60°, 45°, 30°. Отсюда непосред- ственно слѣдуютъ формулы1), которыя полезно за- помнить 100г 200г 1 8І11-—— = СОЗ——— = 8І11 30°-— СОЗ 60° — --> о о ~ і/о 8Іп 5Ог = соз 50г = 8Іп 45° = соз 45°-— (о- 50г — 45-—1. 24. Натуральныя значенія круговыхъ функцій. — Въ элемен- тарной геометріи вычисляются значенія сторонъ правильнаго много- угольника, число которыхъ выражается числами 2П, пли 3X2”, или 5Х2П, или 15Х2П, для какихъ угодно значеній п. Если ввести въ разсмотрѣніе звѣздообразные многоугольники, то является воз- можность вычислять величину круговыхъ функцій любой дуги съ желаемой точностью, такъ какъ возможно выбрать величину п доста- 2? Т". точно большой для того, чтобы величина —» при соотвѣтствен- номъ выборѣ значенія р, отличалась сколь угодно мало отъ величины данной дуги. Однако такой способъ вычисленія мало употребителенъ; мы упо- минаемъ о немъ лить только для того, чтобы указать читателю на возможность составленія слѣдующихъ таблицъ (см. также примѣры для упражненія отъ 9 до 15). і) Одно изъ неудобствъ десятичной системы измѣренія дугъ пред- ставляется въ недѣлимости числа 100 на 3. Такъ какъ послѣднее свойство является характернымъ для десятичной системы измѣренія дугъ, то приходится мириться съ послѣднимъ неудобствомъ. 4*
— 52 — Таблица натуральныхъ значеній круговыхъ функцій Дуга. Синусъ. Тангенсъ Дуга. Синусъ. Тангенсъ ог 0 0 50г 0.707 1.000 5Г 0.078 0.079 55 г 0.760 1.171 10г 0.156 0.158 60г 0.809 1.376 15г 0.233 і 0.240 65 г 0.853 1.632 20г 0.309 0.325 70г 0.891 1.963 25г 0.383 0.414 75г 0.924 2.414 30г 0.454 0.510 8ЭГ 0.951 3.078 35г 0.522 0.613 85г 0.972 4.165 40г 0.588 0.727 90г 0.988 6.314 45г 0.649 0.854 95г 0.997 12.706 50г 0.707 1.000 100г 1.000 00 Значеніе расположенныхъ въ этой таблицѣ величинъ понятно само собою; въ ней не показаны величины косинуса или котангенса, такъ какъ онѣ легко опредѣляются. Такъ, имѣемъ, напримѣръ, соз 35г — зіп (100 — 35)г = зіп 65г . 25. Измѣненія круговыхъ функцій. Синусоида. — Приведенная выше таблица даетъ возможность вычи- слять величину круговыхъ функцій какой угодно дуги, такъ какъ круговыя функціи любой дуги выражаются черезъ круговыя функціи дугъ первой четверти. Измѣненія круговыхъ функцій удобно изображать для наглядности, графически при помощи кривыхъ линій, принимая за абсциссы длину дугъ, а за орди- наты величину круговыхъ функцій (при чемъ радіусъ тригонометрическаго круга всегда принимается рав- !) Приведенныя въ этой таблицѣ значенія круговыхъ функцій называются натуральными въ противоположность ихъ логариѳми- ческимъ величинамъ.
— 53 - нымъ единицѣ длины). Полезно имѣть понятіе о кри- вой, которая изображаетъ измѣненіе синуса: она пред- ставляется слѣдующимъ образомъ (черт. 24). Изображенная на чертежѣ кривая называется сину- соидой. Въ точкѣ 0 длина дуги равна нулю и вели- чина синуса также равняется нулю; при измѣненіи дуги отъ о до—> синусъ этой дуги возрастаетъ отъ О до 1 (равенъ 1 въ точкѣ А). При дальнѣйшемъ измѣ- неніи дуги отъ до к, синусъ ея убываетъ отъ 1 до о (становится О въ точкѣ В). Затѣмъ, при измѣненіи дуги Зк , отъ т. до — , синусъ продолжаетъ убывать отъ значе- НІЯ 0 до—1 (въ точкѣ С) и т. д. Графическое представленіе измѣненія косинуса дается также той же самой кривой. Но при этомъ только слѣдуетъ перенести ось Оу въ новое положеніе О'у', что ясно слѣдуетъ изъ первой формулы изъ двухъ слѣдующихъ, которыя непосредственно выте- каютъ изъ формулъ (В) и (С) — соз х; = — 8ІІ1 X. (С')8ІПІ^ , --------- \ ^ / X Читатель можетъ самостоятельно начертить сину- соиду съ такой точностью, которую допускаютъ имѣю- щіяся въ его распоряженіи чертежныя принадлеж-
— 54 — ности (см. примѣры для упражненія 12 и 13). Мы предлагаемъ, кромѣ того, начертить кривую, изобра- жающую измѣненіе тангенса, которая представляетъ также нѣкоторый интересъ. Примѣры длз упражненій на I главу. 1. Вычислить въ доляхъ радіуса величину дуги въ 25 г,3054. 2. Вычислить въ доляхъ радіуса величину дуги въ 315г,2075. 3. Вычислить въ доляхъ радіуса величину дуги ВЪ 35°15'45". 4. Вычислить въ градахъ величину дуги въ 148° 15'32". 5. Вычислить въ градусахъ величину дуги въ 3540г,3875. 6. Вычислить длину дуги въ 15г,3750 для окруж- ности радіуса въ 3,50 метра. 7. Вычислить длину дуги въ 12°28'43" для окруж- ности радіуса въ 2,75 метра. 8. Начертить окружность радіусомъ въ одинъ деци? метръ и вписаті> въ нее правильные многоугольники съ з, 4, 5, 6, 8, 10, 12 сторонами, одна изъ вершинъ которыхъ должна находиться въ точкѣ А, взятой за начало дугъ. Начертить линіи, опредѣляющія круго- выя функціи дугъ, концы которыхъ находятся въ вершинахъ нашихъ многоугольниковъ. Измѣрить на чертежѣ длину этихъ линій и составить таблицу по- лученныхъ такимъ образомъ значеній синусовъ, коси- нусовъ, тангенсовъ и котангенсовъ разсматриваемыхъ дугъ, въ десятичной и затѣмъ въ шестеричной системѣ измѣренія дугъ. 9. Начертить четверть окружности радіусомъ въ 20 сантиметровъ и вписать соотвѣтствующія ей части
правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ съ 4, 8, 16, 32, 64 сторонами, при условіи, что одна изъ вер- шинъ каждаго многоугольника совпадаетъ съ нача- ломъ А начерченной дуги. Измѣрить синусы, коси- нусы и тангенсы всѣхъ дугъ, соотвѣтствующихъ только первой половинѣ данной-четверти окружности и соста- вить. таблицу полученныхъ величинъ, выразивъ дуги въ частяхъ радіуса, въ градахъ и въ градусахъ. 10. Разрѣшить тѣ же самые вопросы для много- угольниковъ съ 6, 12, 24, 48 сторонами. 11. Разрѣшить тѣ же вопросы для многоугольни- ковъ съ 5, 10, 20, 40, 80 сторонами. 12. Начертить окружность радіусомъ въ одинъ деци- метръ и отложить отъ начала А послѣдовательно рав- ныя дугиЛЛр ИіЛ2, Л2Л3..., длиной въ 5 миллиметровъ. Для этого достаточно ограничиться дугами, которыя соотвѣтствуютъ хордамъ АА,, А1А2, А2А3..., длина которыхъ равна 5 миллиметрамъ. Допущенная погрѣш- ность, вслѣдствіе замѣны дугъ хордами, очень незна- чительна для разсматриваемыхъ малыхъ дугъ. Вво- димой погрѣшностью слѣдуетъ даже совершенно пренебречь въ настоящемъ вопросѣ; она меньше другихъ погрѣшностей, неизбѣжныхъ при графиче- скомъ построеніи разсматриваемаго рода, вслѣдствіе толщины проводимыхъ линій, несовершенства масштаба й т. Д. !). Пос троивъ косинусы дугъ ААѴ АА2> АА3.., и т. д., длина которыхъ въ доляхъ радіуса окружности выра- жается соотвѣтственно числами 0,05 , 0,10,0,15 и т. д., і) При выполненіи подобныхъ построеній слѣдуетъ имѣть въ виду, что весьма легко провѣрить точность построенія дугъ, для которыхъ криволинейная абсцисса конца выражается простыми дробными частями окружности, какъ, напримѣръ, у, Д и т. д.
— 56 — измѣрить величину этихъ косинусовъ въ частяхъ радіуса. Начертивъ затѣмъ двѣ прямоугольныхъ оси ох, оу и примемъ за единицу длины одинъ дециметръ, какъ для абсциссъ такъ и для ординатъ; отложимъ на оси абсциссъ величину дугъ, а на оси ординатъ соотвѣт- ствующія имъ значенія косинусовъ. Полученная та- кимъ образомъ кривая даетъ графическое предста- вленіе объ измѣненіи косинуса. Слѣдуетъ сдѣлать чертежъ, начиная отъ значенія абсциссы—2 до вели- чины ея 4-2. 13. Рѣшить предыдущій вопросъ, разсматривая си- нусы вмѣсто косинусовъ. 14. Рѣшить задачу, аналогичную предыдущимъ, для случая тангенса. Такъ какъ кривая, изображаю- щая его измѣненія, состоитъ изъ частей, простираю- щихся въ безконечность, то ее невозможно начертить цѣликомъ. Поэтому предлагаемъ читателю начертить только части кривой, которыя могутъ помѣститься на имѣющемся листѣ бумаги. Затѣмъ слѣдуетъ выпол- нить новый чертежъ, принявъ за единицу длину 2 сан- тиметра, вмѣсто 10 сантиметровъ; благодаря этому по- лучится изображеніе болѣе значительной части раз- сматриваемой кривой линіи. 15. Рѣшить задачу, аналогичную предыдущей, для случая котангенса. 16. Найти величину дугъ, косинусъ которыхъ ра- венъ сов 35г,3264. 17. Найти величину дугъ, косинусъ которыхъ ра- венъ со§ 15°35'15". 18. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ ра- венъ 8ІП^- • 8
— 57 — 19. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ ра- 17к венъ —соз --- • о 20. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ равенъ — зіп 8655°38'15". 21. Найти величину дугъ, синусъ которыхъ равенъ §іп 4875г,3478. 22. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ ра- венъ 23. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ ра- 1 ВеПЧ'8Ч9'3.< 24. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ РаВбНЪ ^3884 • 25. Найти величину дугъ, тангенсъ которыхъ , Зп равенъ — — • 26. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ к к Зг - ~8 Тб’ Іб’ 32 27. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ к к 5п 12’ 2І’ 24* 28. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ т: 2п Зг 4іг 5 5 5 5 29. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ я 3- 13к 19т: Іо’ Іо’ 20 ’ 20 ’ 30. Вычислить величину зіп а при условіи, что (.& а = 3 и что дуга « удовлетворяетъ неравенствамъ 200г <а < 300г. 31. Вычислить величину соза при условіяхъ, что і^а = —1,5 и 100г<а<200г.
— 53 32. Вычислить величину и зіпа при условіяхъ, ЧТО соза-— — 0,8 и 200г <Са<^ЗООг. 33. Вычислить величину зіп а и соз а при усло- віяхъ, что соі^а--— 2 и 100г<«<200г. 34. Вычислить величину соз а при условіи, что — 2 зіп а. 35. Вычислить величину зіп а при условіи, что а — 3 соз а. 36. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ, синусъ которыхъ равенъ 0,3. Сдѣлать чертежъ. 37. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ, 12 ~ ' косинусъ которыхъ равенъ — • Сдѣлать чертежъ. ІО 38. Вычислить значенія круговыхъ функцій дугъ, тангенсъ которыхъ равенъ — у/2. Сдѣлать чертежъ. 39. Вычислить значенія круговыхъ функцій дуги при условіи, что тангенсъ ея равенъ удвоенной вели- чинѣ ея синуса. Найденныя величины изобразить на чертежѣ. 40. Вычислить значенія круговыхъ функцій дуги при условіи, что тангенсъ ея равенъ произведенію — 3 на ея косинусъ. Изобразить рѣшеніе на чертежѣ.
ГЛАВА II. Примѣненіе таблицъ. Рѣшеніе прямо- угольнымъ треугольниковъ. I. Примѣненіе таблицъ. 26. Содержаніе таблицъ. — Таблицы, которыми приходится чаще всего пользоваться, даютъ значенія логарифмовъ круговыхъ функцій. Таблицы, которыя даютъ значенія круговыхъ функцій, употребляются гораздо рѣже и для пользованія ими нѣтъ надобности въ указаніяхъ. Въ виду того, что круговыя функціи любой дуги выражаются черезъ круговыя функціи дугъ первой четверти тригонометрическаго круга (»°15), то поэтому достаточно имѣть таблицы круговыхъ функцій дугъ только первой четверти. Такъ какъ далѣе косинусъ и котангенсъ каждой дуги равны соотвѣтственно синусу и тангенсу ея дополнительной дуги, то благодаря этому вводится еще слѣдующее упрощеніе. Достаточно чтобы таблицы давали только значенія логарифмовъ синуса и тангенса дугъ первой четверти, или же значенія ло- гарифмовъ всѣхъ четырехъ круговыхъ функцій: си- нуса, косинуса, тангенса и котангенса, но только для дугъ первой половины первой четверти, т.-е. для дугъ между 0г и 50г (или между 0° и 45°). Послѣднее за-
— 60 — мѣчаніе большею частью и принимается въ расчетъ при составленіи логарифмическихъ таблицъ. Поэтому приложенныя ниже таблицы заключаютъ въ себѣ слѣдующія величины (см. таблицы логариф- мовъ круговыхъ функцій въ концѣ книги, стр. 220). Въ первомъ столбцѣ находятся значенія дугъ, величины которыхъ расположены въ арифметической прогрессіи. Въ нашихъ малыхъ таблицахъ послѣдовательныя зна- ченія дугъ разнятся между собой на половину града или градуса. Но существуютъ также таблицы, въ ко- торыхъ значенія послѣдовательныхъ дугъ разнятся между собой на одну минуту или на десять секундъ въ той или другой системѣ измѣреній. Въ слѣдую- щихъ за первымъ четырехъ столбцахъ таблицъ нахо- дятся соотвѣтственно логарифмы синусовъ, тангенсовъ, котангенсовъ и косинусовъ дугъ, величина которыхъ указана въ первомъ столбцѣ. Такъ, напримѣръ, мы находимъ въ указанныхъ таблицахъ 108' зіп 10г= 1,1943 , такъ какъ логарифмъ 1,1943 находится въ одной строкѣ съ дугой 10г, а сверху столбца находится указаніе 1о§’8Іп. Внизу того же самаго столбца стоитъ надпись І0&С08. Указанія внизу столбцовъ относятся къ ду- гамъ, размѣры которыхъ показаны въ столбцѣ съ пра- вой стороны страницы, т.-е. въ концѣ каждой строки. Послѣднія дуги являются соотвѣтственно дополни- тельными къ дугамъ, величина которыхъ находится въ той же самой строкѣ, но въ первомъ столбцѣ. Такъ, напримѣръ, въ концѣ строки, гдѣ были взяты предыдущія данныя, находится величина 90г. Поэтому для дуги въ 90г, въ силу указанія внизу страницы, получаемъ І0§’ С08 901’ = 1,1943.
— 61 — Послѣдняя формула, какъ мы хорошо знаемъ, имѣетъ одинаковое значеніе съ предыдущей. Такимъ образомъ при разысканіи логарифмовъ круговыхъ функцій дугъ, которыя принадлежатъ пер- вой половинѣ первой четверти тригонометрическаго круга, слѣдуетъ принимать во вниманіе указанія, на- ходящіяся въ первомъ столбцѣ сверху страницы. Если разсматриваемая дуга принадлежитъ ко второй половинѣ первой четверти, то необходимо смотрѣть на указанія, находящіяся въ послѣднемъ столбцѣ, а также внизу страницы. Такъ, напримѣръ, въ данныхъ таблицахъ находятся значенія логарифмовъ І0?1§ 16°ЗО'=Т,4716, 108 8іп 68°30' = 1,9687. 27. Примѣненіе таблицъ.—Приведенныхъ объясне- ній вполнѣ достаточно для пользованія таблицами, при разысканіи значеній круговыхъ функцій, дуги которыхъ даны въ таблицахъ. Но для опредѣленія круговыхъ функцій дугъ, не находящихся въ табли- цахъ, приходится пользоваться условіями пропорціо- нальности, какъ и при всякихъ другихъ логарифми- ческихъ таблицахъ. Поэтому въ таблицахъ заключа- ются обыкновенно еще три столбца, съ табличными разностями 1о§ зіп, 1о& со§ и логарифмовъ и соіа; *), въ одномъ и томъ же столбцѣ. Кромѣ того, иногда даются еще небольшія вспомогательныя таблицы, для вычисленія пропорціональныхъ частей. Вычисленіе ихъ совершается такъ же, какъ и при разысканіи ло- гарифмовъ чиселъ. Но при этомъ слѣдуетъ обращать особенное вниманіе на знакъ табличной разности, т.-е. і) Такъ какъ произведеніе равно 1, то сумма лога- рифмовъ Ща и. соЦ* а равна 0; поэтому табличныя разности этихъ величинъ отличаются другъ отъ друга только знакомъ, который въ таблицахъ не указывается.
— 62 — каждый разъ обращать вниманіе на то обстоятельство, измѣняется ли логарифмъ въ томъ же самомъ смыслѣ, какъ и дуга, или въ прямо противоположномъ напра- вленіи. Въ зависимости отъ этого приходится вычи- сленную поправку прибавлять къ табличному лога- рифму или вычитать изъ него. Если, кромѣ того, зна- ченія разсматриваемыхъ дугъ даны въ градусахъ, то слѣдуетъ всегда имѣть въ виду соотвѣтствующее ей подраздѣленіе дугъ, которое вводитъ въ вычисленіе нѣкоторыя усложненія. Примѣръ. — Вычислить 1о#соі# 17°18'35". Таблицы даютъ слѣдующія значенія ІО# СОІ# 17° = 0,5147, ІО# СОІ# 17°30' = 0,5013. Табличная разность, соотвѣтствующая 30', равняется 134 134; поэтому получаемъ поправку =4,466... для .. 4,466 л . .. ОДНОЙ минуты и = 0,0744 . . . ДЛЯ ОДНОЙ СвкуНДЫ. 60 Такъ какъ въ нашемъ случаѣ величина логарифма убываетъ, при возрастаніи дуги, то вычисленіе воз- можно вести по одному изъ слѣдующихъ двухъ спо- собовъ. Напишемъ ДЛЯ 18' : 4,466 . . . X 18 = 80,40 4,46666 0,0744 для 35": 0,0744 .. . X 35 = 2,60 18 35 для 18'35" 83 Зэ /3328 3720 44 666 2 232 80,399 2,604 Вычитая 83 десятитысячныхъ изъ 1о#соі# 17°, по- лучаемъ ІО#СОІ# 17°18'35" = 0,5147 — 0,0083 = 0,5064.
— 63 — Но возможно также поступить иначе; совершивъ вычитаніе 30' —18'35" = 11'25", сдѣлаемъ слѣдующія вычисленія для 11' : 4,466... X 11 = 49,13... ДЛЯ 25”: 0,744... X 25= 1,86... 50,99 4,466... 44,666... 49,132 Прибавивъ 51 десятитысячную къ Іо^ соід 17°ЗО', получимъ очевидно прежній результатъ. Вычисленія упрощаются, при введеніи десятичнаго дѣленія четверти круга, какъ легко будетъ убѣдиться на примѣрахъ, при рѣшеніи треугольниковъ. Мы да- димъ дальше также примѣры на рѣшеніе обратныхъ вопросовъ, о разысканіи значеній круговыхъ функцій первой четверти, въ десятичной или шестеричной си- стемахъ измѣренія, по данному ихъ логарифму (см. таблицы съ примѣрами рѣшенія треугольниковъ въ концѣ книги, стр. 207 и слѣдующія за ней). 28. Нѣсколько замѣчаній относительно примѣне- нія таблицъ. — Примѣчаніе I. — Если при вычисле- ніяхъ встрѣчаются дуги, которыя не принадлежатъ первой четверти тригонометрическаго круга, то слѣ- дуетъ всегда имѣть въ виду, что отрицательныя, чи- сла не имѣютъ логарифмовъ ’); поэтому нельзя писать Іо&соз 150г35'25" или іо» 115°35'28". Въ виду этого, приступая къ вычисленіямъ съ помощью логарифмовъ, необходимо преобразовать значенія круговыхъ фун- кцій всѣхъ дугъ, которыя находятся въ формулахъ, Такая точка зрѣнія проводится въ элементарной математикѣ, гдѣ употребленіе логарифмовъ преслѣдуетъ практическую цѣль упро- щенія вычисленій. Въ высшей математикѣ вводится понятіе о лога- рифмахъ отрицательныхъ чиселъ, которые выражаются такъ назы- ваемыми мнимыми числами.
— 64 — въ круговыя функціи дугъ первой четверти (или же по меньшей мѣрѣ замѣнить ихъ круговыми фун- кціями, которыя представляютъ положительныя зна- ченія). Примѣчаніе II.—При примѣненіи логарифмическихъ таблицъ къ вычисленію круговыхъ функцій, дуги ко- торыхъ выражены въ частяхъ радіуса, необходимо прежде всего выразить ихъ въ градусахъ или гра- дахъ, въ зависимости отъ того, какія таблицы нахо- дятся подъ руками. Если выборъ зависитъ отъ чита- теля, то, конечно, удобнѣе всего воспользоваться деся- тичной системой. Примѣчаніе III. — Необходимо всегда помнить, что въ таблицахъ находятся логарифмы круговыхъ, фун- кцій, но не значенія самыхъ функцій. Поэтому, при вычисленіи значеній круговыхъ функцій данной дуги или при обратномъ вычисленіи дуги по даннымъ ея круговымъ функціямъ, необходимо примѣнять, соот- вѣтственно этому, таблицы логарифмовъ или антило- гарифмовъ. Примѣчаніе IV.—Мы не имѣемъ въ виду давать указаній для со- ставленія таблицъ, т.-е. для вычисленія чиселъ, которыя въ нихъ находятся. Читатель легко можетъ самостоятельно догадаться, какъ соста- вляются эти таблицы, съ желаемой точностью приближенія, на осно- ваніи слѣдующихъ соображеній (см. п° 24 и 25). Раздѣливъ окруж- ность на 2" равныхъ частей и увеличивая число п, мы получимъ, наконецъ, точки дѣленія, которыя расположены сколь угодно близко къ намѣченнымъ заранѣе точкамъ окружности. Само собою разу- мѣется, что основанный на этомъ способъ вычисленія таблицъ былъ бы слишкомъ сложнымъ. Болѣе краткіе способы составленія и по- вѣрки численныхъ таблицъ требуютъ, однако, болѣе глубокихъ мате- матическихъ познаній, чѣмъ тѣ, которыми обладаетъ читатель настоя- щей книги.
— 65 — II. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ. 29. Относительно рѣшенія треугольниковъ.—Какъ говорилось выше, задача рѣшенія треугольника при- водится къ вычисленію нѣкоторыхъ изъ его составныхъ частей, на основаніи достаточнаго числа дру- гихъ заданныхъ частей треугольника. Классическими считаются тѣ задачи, которыя разсматриваютъ рѣше- нія треугольниковъ по даннымъ сторонамъ и угламъ. Эти задачи представляютъ большой практическій инте- ресъ. Но, кромѣ того, существуютъ весьма разнообразныя задачи на рѣшеніе треугольниковъ по даннымъ медіа- намъ, высотамъ, бпссекторамъ, радіусамъ описанныхъ или вписанныхъ окружностей и т. д. Рѣшеніе подоб- ныхъ задачъ представляетъ иногда значительныя труд- ности, на разсмотрѣніи которыхъ мы не станемъ, од- нако, останавливаться, чтобы не тратить много вре- мени, тѣмъ болѣе, что послѣднія задачи не предста- вляютъ практическаго интереса. Для рѣшенія треугольниковъ въ указанныхъ клас- сическихъ случаяхъ, необходимо имѣть достаточное число зависимостей между сторонами и углами тре- угольника, или, лучше сказать, между сторонами тре- угольника и круговыми функціями его угловъ. Мы начнемъ съ разсмотрѣнія указанныхъ зависимостей въ случаѣ прямоугольнаго треугольника. Что ка- сается косоугольныхъ треугольниковъ, то, для рѣ- шенія ихъ, намъ придется пользоваться новыми фор- мулами, выводъ которыхъ будетъ данъ въ слѣдую- щихъ главахъ. 30. Зависимости между частями прямоуголь- наго треугольника. — Согласно съ установившимся обычаемъ, условимся обозначать черезъ а, Ъ, с сто- роны треугольника и черезъ Л, В, С его углы. При Тригонометрія. Э
— 66 — этомъ условимся всегда предполагать, что сторона а лежитъ противъ угла А, сторона Ь — противъ угла В и сторона с — противъ угла С. Наконецъ при разсмо- трѣніи прямоугольныхъ треугольниковъ, условимся _ разъ навсегда считать, что А представляетъ прямой уголъ и что, стало-быть, а представляетъ гипотенузу разсматриваемаго треугольника. Поэтому, вводя десятичную систему измѣренія дугъ, получаемъ слѣдующія формулы (1) .4 = 100, (2) Б4-С=100, къ которымъ слѣдуетъ прибавить пифагорово ра- венство (3) Наша задача приводится къ выводу слѣдующихъ за- висимостей (4) Ъ — «8іп2>, (5) с — а созВ, (6) Ъ — с Послѣднія формулы представляютъ непосредствен- ное слѣдствіе опредѣленія круговыхъ функцій. Чтобы убѣдиться въ этомъ, возь- мемъ прямоугольный тре- угольникъ АВС (черт. 25). Вокругъ точки В, какъ центра,опишемъ дуги двухъ окружностей радіусовъ ВС и ВА. Назовемъ черезъ 1) точку пересѣченія первой окружности съ продолженіемъ стороны ВА и че- резъ Е точку пересѣченія второй окружности со сто- роной ВС. Принимая кругъ, которому принадлежитъ
— 67 — дуга ВС, за тригонометрическій, согласно съ даннымъ опредѣленіемъ, получаемъ зт В ВІ) п_ВА - 005 Б ~ВВ АС Ъ ВС а ’ ВА __с ВС и ' откуда и слѣдуютъ формулы (4) и (5). Затѣмъ, при- нимая кругъ, которому принадлежитъ дуга АЕ, за новый тригонометрическій кругъ, получаемъ, согласно съ опредѣленіемъ, зависимость , в АС ь которая даетъ формулу (6). Само собою разумѣется, что, разсматривая окруж- ности. съ центромъ С, также легко доказать еще но- выя формулы (4)' с — а зіп С, (5)' Ъ = а соз С, (6)' с = Ъ\$С. Послѣднія формулы получаются также изъ формулъ (4), (5), (6), при помощи замѣны въ нихъ В черезъ 100 — С, въ силу зависимости (2). Кромѣ того, формула (6) получается также при по- мощи дѣленія формулы (4) на (5). Наконецъ зависи- мость Пифагора (3) выводится изъ тѣхъ же двухъ по- слѣднихъ формулъ, возводя обѣ части ихъ въ ква- дратъ и складывая ’). Поэтому только равенства (2), (4; 1) При этомъ принимается во вниманіе зависимость соз2 В 4- зіп2 В = 1, которая, въ свою очередь, получается изъ теоремы Пифагора; поэтому было бы невозможно выводить послѣднюю теорему изъ приведенныхъ соображеній. 5*
— 68 — и (5) представляютъ различныя между собою зави- симости между частями прямоугольнаго треуголь- ника. Изъ послѣднихъ равенствъ получаются всѣ остальныя зависимости, при помощи простыхъ пре- образованій. Что же касается равенства (1), то оно показываетъ только, что разсматриваемый треуголь- никъ прямоугольный. Существованіе всего трехъ независимыхъ между собою равенствъ находитъ себѣ вполнѣ естественное объясненіе въ томъ, что для рѣшенія прямоугольнаго треугольника необходимо имѣть возможность вычи- слить три изъ его частей а, Ъ, с, В, С, при помощи двухъ данныхъ изъ нихъ. Однако при этомъ необходимо, чтобы данными двумя частями тре- угольника не являлись одновременно оба угла В и С. Въ самомъ дѣлѣ, если ихъ заданныя значенія не удо- влетворяютъ условію (2), то задача невозможна, если же послѣднее равенство удовлетворяется, то задача въ такомъ случаѣ является неопредѣленной. Такимъ образомъ, вмѣсто того чтобы задавать величину обо- ихъ угловъ В и С, удовлетворяющихъ равенству (2;, достаточно дать одинъ изъ нихъ; тогда значеніе вто- рого угла вполнѣ опредѣляется равенствомъ (2). Не- трудно видѣть, что всѣ приведенныя разсужденія на- ходятся въ полномъ соотвѣтствіи съ геометрическими построеніями. 31. Перечень различныхъ случаевъ. — При рѣше- ніи прямоугольныхъ треугольниковъ возможно сдѣ- лать столько различныхъ предположеній, сколько разъ возможно выбрать по двѣ части треугольника изъ всего числа пяти его частей а, Ъ, с, В, С.
— 69 — Однако не всѣмъ этимъ предположеніямъ соотвѣт- ствуютъ дѣйствительно различные случаи. Равенство (2) опредѣляетъ одинъ изъ острыхъ угловъ, когда дана величина другого угла. Поэтому не слѣдуетъ считать различными два случая, соотвѣтствующіе двумъ различнымъ предположеніямъ, когда дается величина угла В или С. Кромѣ того, оба катета тре- угольника не представляютъ между собой существен- ной разницы и поэтому безразлично, который изъ нихъ заданъ—катетъ ли Ъ, или катетъ с. Въ виду этого слѣдуетъ различать всего только четыре различныхъ случая. Первый случай. — Даны гипотенуза треугольника и одинъ изъ его острыхъ угловъ. Второй случай. — Даны катетъ треугольника и одинъ изъ его острыхъ угловъ. Третій случай. — Даны гипотенуза треугольника и одинъ изъ его катетовъ. Четвертый случай.—Даны оба катета треугольника. Для вычисленія неизвѣстныхъ частей треуголь- ника достаточно примѣнить въ каждомъ изъ перечи- сленныхъ случаевъ выведенныя выше формулы. Мы намѣтимъ, въ краткихъ чертахъ, необходимыя вычи- сленія для рѣшенія треугольниковъ, хотя предыдущія формулы сами по себѣ уже подсказываютъ тотъ путь вычисленій, по которому слѣдуетъ итти. 32. Первый случай. — Заданы величины а и В. Тре- буется найти С, Ъ, с. Начнемъ съ вычисленія величины С, при помощи равенства (7=100 — В. Затѣмъ слѣдуетъ воспользоваться формулами Ъ = а 8іп В, с = а соя В,
— 70 — которыя необходимо вычислять при помощи логариф- мовъ, т.-е. находимъ 1о«' Ъ — 1о§- а ф- 1о§- зіп В Іо» с = Іо» а 4- 1о§ соз В. Примѣръ *) см. таблицы въ концѣ книги, стр. 207. 33. Второй случай.—Заданы величины Ъ пВ (пли С). Требуется найти С (или В), а, с. Прежде всего вычислимъ острый уголъ, на осно- ваніи равенства 54-С=100. Значенія а и с опредѣляются формулами Ъ & -~’-п ’ 81П В Ъ с~^в> которыя вычисляются при помощи логарифмовъ. Примѣръ см. таблицы въ концѣ книги, стр. 208. 34. Третій случай. — Заданы величины а и Ъ. Тре- буется найти В, С, с. Вычислимъ прежде всего уголъ В, при помощи формулы (4)' зіп в = -- а Значеніе С находится изъ равенства (7=100 — В. Вычисливъ значеніе угловъ, легко найти вели- чину с, воспользовавшись формулой (5) с = а со$В. і) Мы сочли наиболѣе удобнымъ собрать вмѣстѣ въ концѣ книги всѣ примѣры на рѣшеніе треугольниковъ, рядомъ съ таблицами логарифмовъ.
! — 71 — Изслѣдованіе. — Выраженіе 8іп Д представленное равенствомъ (4)', должно опредѣлять искомую вели- чину угла В. Для этого необходимо, чтобы величина 8іпВ была меньше единицы, т.-е. должно существовать неравенство Въ силу геометрической зависимости, существую- .щей между катетомъ и гипотенузой прямоугольнаго треугольника, данныя величины а и Ь должны удо- влетворять послѣднему неравенству. Если оно удо- влетворяется, то зіп В представляетъ положительную величину, меньше единицы; ей соотвѣтствуетъ един- ственное, вполнѣ опредѣленное значеніе остраго угла. Примѣчаніе къ третьему случаю. Приведенный способъ вы- численія является наиболѣе краткимъ, если не стремиться къ воз- можно большей точности результатовъ. Но если приходится примѣнять таблицы логарифмовъ съ большимъ числомъ десятичныхъ знаковъ п желательно при этомъ имѣть возможно большее число точныхъ деся- тичныхъ знаковъ, то указанный способъ вычисленія оказывается слиш- комъ сложнымъ. Вычисленіе каждаго логарифма вводитъ нѣкоторую ошибку; поэтому формула (4)' даеть только приближенное значеніе угла В. Подставляя его въ формулу (5), мы увеличиваемъ въ результатѣ погрѣшность, введенную предыдущими вычисленіями. Вь виду этого желательно вычислять значеніе каждой изъ неизвѣстныхъ величинъ самостоятельно, при помощи данныхъ величинъ, если только это возможно. Въ третьемъ изъ разсмо- трѣнныхъ выше случаевъ, такой спо- в собъ вычисленія неизвѣстныхъ вели- / чинъ возможно осуществить, восполь- зовавшись слѣдующими соображе- НІЯМИ. Проводимъ биссектрису угла С1 (черт. 26), пересѣкающую катетъ АВ ]д въ точкѣ I). На основаніи извѣстной геометрической теоремы, получается Черт. 26. слѣдующая зависимость І)А І)В І)АА-ВВ_ с СЛ ~~ СВ ~~ СА С СВ ~ а > Ь '
Кромѣ того, изъ прямоугольнаго треугольника СІ)А получаемъ Такъ какъ уголъ АСІ> равенъ половинѣ угла Сданнаго треуголь- ника, то мы получаемъ формулу С с |о* - - —---. э 2 а^-Ъ Съ другой стороны формула Пифагора даетъ е- — а2 — Ъ2. Извлекая квадратный корень изъ обѣихъ частей послѣдняго ра венства, приводимъ его къ слѣдующему виду с — |/ (а 4- Ъ) (а-—Ь). Въ данномъ случаѣ нѣтъ надобности вводить двойной знакъ передъ радикаломъ, такъ какъ величина гипотенузы с представляетъ поло- жительное значенія. Подставляя послѣднее значеніе с въ предыду- С щее выраженіе I" находимъ для него слѣдующее выраженіе Такимъ образомъ значенія с и С выражаются черезъ сумму и разность данныхъ гипотенузы и катета а + Ь и а — Ь, « при чемъ послѣдняя разность представятъ, очевидно, положитель- ную величину. Поэтому мы имѣемъ С 1 И I" 2^'2 -гдоп.іо" 10" с-=; 1 |І0" (а + Ь) 4- 10" (</ — />)]. Слѣдовательно, при помощи таблицъ, приходится вычислять только логарпфмы выраженій а + Ъ и а — Ъ. Но при этомъ приходится вы- полнять нѣсколько вспомогательныхъ вычисленій, которыхъ не при- ходилось дѣлать при первоначальномъ рѣшеніи задачи. Примѣръ см. таблицы въ концѣ книги, стр. 209. 35. Четвертый случай. — Заданы величины Ъ и с. Требуется найти а, Д С,
— 73 — Уголъ 2> вычисляется при помощи формулы затѣмъ находимъ значенія _ Ъ а 8ІП В ’ С’=1ОО — В. Въ данномъ случаѣ, чтобы обойти неудобство отъ вычисленія значенія а черезъ посредство угла В, ко- торый вычисляется въ свою очередь при помощи дан- ныхъ величинъ, остается воспользоваться теоремой Пифагора, которая даетъ а = |/б2ч-с2. Однако примѣненіе послѣдней формулы усложняетъ вычисленія, особенно если Ъ и с выражаются при по- мощи большого числа знаковъ. Примѣръ см. таблицы въ концѣ книги стр. 2 іо. III. Приложенія. 36. Замѣчанія общаго характера.—Приведенныхъ формулъ рѣшенія прямоугольныхъ треугольниковъ вполнѣ достаточно для разрѣшенія большинства вопро- совъ, касающихся практическихъ приложеній тригоно- метріи ’). Впрочемъ, при рѣшеніи этихъ задачъ, нѣтъ і) Въ сущности этихъ формулъ достаточно для какихъ угодно элементарныхъ приложеній, такъ какъ любая геометрическая фигура подраздѣляется на прямоугольные треугольники проведеніемъ вспо- могательныхъ линій. Однако такой способъ оказывается иногда болѣе сложнымъ, чѣмъ, напримѣръ, примѣненіе формулъ рѣшенія косоугольныхъ треугольниковъ, которыя будутъ выведены впослѣд- ствіи.
— 74 — надобности строго придерягиваться формулъ въ томъ видѣ, какъ онѣ были выше приведены. Лучше всего исходить изъ самаго опредѣленія основныхъ круго- выхъ функцій и возстановлять въ своей памяти черт. 25, или же воспроизводить его непосредственно. У кого не развито геометрическое представленіе и кто легче запоминаетъ отвлеченныя опредѣленія, для тѣхъ достаточно запомнить слѣдующее основное положеніе: Отношеніе катета къ гипотенузѣ прямоугольнаго треугольника равняется синусу или косинусу одного изъ его острыхъ угловъ. Отношеніе катетовъ пря- моугольнаго треугольника равняется тангенсу или котангенсу одного изъ его острыхъ угловъ. Неопредѣ- ленность, введенная въ предыдущую формулировку, исче- заетъ, если замѣтить, что сторона треугольника об- ращается въ нуль одновременно съ угломъ, лежащимъ противъ нея и что синусъ и тангенсъ угла обращаются въ нуль одновременно со своимъ угломъ ’)• 37. Различныя задачи.—Задача I.—Вертикальная мачта, въ 20 метровъ высотою, въ данный моментъ времени бросаетъ на горизонтальную поверхность земли тѣнь, длиною въ 23,75 метровъ. Спрашивается, какова высота солнца надъ горизонтомъ въ данный моментъ времени, въ данномъ мѣстѣ? Слѣдуетъ напомнить, что высотою солнца надъ го- ризонтомъ называется острый уголъ, образованный на-' правленіемъ солнечныхъ лучей съ горизонтальной плоскостью. Согласно съ только что формулирован- *) Чтобы не смѣшивать между собой круговыхъ функцій, при формулировкѣ изложеннаго правила, слѣдуетъ замѣтить, что си- нусъ и косинусъ всегда меньше единицы, чего нѣтъ для тангенса. Приведенное замѣчаніе предостерегаетъ также отъ грубой ошибки, которая могла бы произойти отъ смѣшиванія отношенія катета къ ги- потенузѣ съ обратнымъ отношеніемъ. Какъ хорошо извѣстно, катетъ прямоугольнаго треугольника всегда меньше его гипотенузы.
— 75 — нымъ принципомъ, тангенсъ искомаго угла х равенъ отношенію двухъ катетовъ прямоугольнаго треуголь- ника, образованнаго мачтой и ея горизонтальною тѣнью. Величина тангенса послѣдняго угла была бы близка къ нулю, если бы солнце было недалеко отъ горизонта. Тогда отбрасываемая мачтою тѣнь была бы очень длинной, сравнительно съ длиною мачты. Слѣ- довательно, длина тѣни должна находиться въ числи- телѣ (это слѣдуетъ также и изъ самой формулы), и мы получаемъ •20 X —------ч е 23,75 ІОё х = І0& 20 — ІОЦ 23,75. 10^ 20 = .1,3010 10^ 23,7 = 1,3747 доп. 1о§- 23,75 = 2,6245 ДЛЯ 0,05 = 8 ІО§- х = 1,9255 І0§ 23,75 = 1,3755 Отсюда слѣдуетъ, что х имѣетъ слѣдующее при- ближенное значеніе .г = 44г,5. Какъ извѣстно, во время весенняго или осенняго равноденствія, т.-е. 9 марта и 10 сентября, высота солнца надъ горизонтомъ, въ полдень, равна дополне- нію къ широтѣ мѣста. Поэтому предыдущая задача даетъ способъ приближеннаго вычисленія географиче- ской широты мѣста, при помощи наблюденій простыхъ явленій на землѣ. Задача II. Въ мѣстности, гдѣ наибольшая ’) высота солнца надъ горизонтомъ равна 65° (т.-е. приблизи- 0 Разсматриваемая наибольшая высота, соотвѣтствующая лѣт- нему солнцестоянію, въ полдень (9 іюня), получается прибавленіемъ, къ дополненію широты; величины угла наклоненія экватора надъ эклиптикой (23°26'57" 1 января 1903 года: этотъ уголъ убы-
- 76 — тельно на широтѣ Парижа) требуется возвести на горизонтальной поверхности земли стѣну, по напра- вленію съ востока на западъ, такимъ образомъ, чтобы полоса земли, въ 10 метровъ шириною къ сѣверу отъ стѣны, была бы всегда въ тѣни. Спрашивается, какова должна быть высота стѣны? Искомая высота х опредѣляется формулой х = ю 65° ІО" х — 1о§ 10 1°8' 65° ІО" 10 = 1 Іо^ё 65° = 0,3314 І08’ х—1,3314 анти Іо^. 1,3314 = 21,43 для 0,0003 15 ‘ 21,445 Слѣдовательно, искомая высота равняется 21,45 мет- рамъ. Задача III. Длина прямолинейнаго желѣзнодорож- наго пути, считая по горизонтальному направленію, равняется 2340 метрамъ и имѣетъ равномѣрный на- клонъ къ горизонту въ 2Г,50. Чему равняется дѣйстви- тельная длина разсматриваемаго пути? Горизонтальной длиной пути называется разстояніе между вертикальными линіями въ концахъ пути (эти концы сравнительно на столько близко расположены другъ къ другу, что проведенныя въ нихъ вертикаль- ныя прямыя можно считать параллельными). Разсма- триваемая горизонтальная длина пути и изображается всегда на картѣ или на планѣ. ваетъ въ настоящее время на 2" въ годъ, но находится всегда между предѣлами 21°59' и 24°36'). Въ Парижѣ (Пантеонъ), широта кото- раго 48°56', наибольшая высота солнца достигаетъ 64°ЗГ.
77 — Искомая длина пути х находится какъ результатъ дѣленія числа 2340м на косинусъ дуги 2г,50. Поэтому получаемъ ІО" х — 10" 2340 — 1о&' соз 2р,50 ІО& 2г,50= 1,9996 1о§- 2340 = 3,3692 доп. ІО" С08 2р,50 = 0,0004 с — 5 ІО" х= 3,3696 анти!о§. 3,369 = 2,339 ДЛЯ 0,0006 3 х = 2342 Слѣдовательно, искомая дѣйствительная длина пути равна 2342м, т.-е. больше горизонтальной длины разсматриваемаго пути на 2 метра. Задача IV*. Даны двѣ оси Ох и Оу (черт. 27) и прямая АВ, угловой коэффиціентъ которой равенъ- 0,55. Требуется найти уголъ, который образуетъ эта прямая съ осью Ох. Замѣтимъ прежде все- го, что угловымъ коэффи- ціентомъ данной прямой называется тангенсъ уг- ла, который она обра- зуетъ съ осью Ох. Стало-быть, называя взаимно перпендикулярныхъ черезъ а послѣдній уголъ, получаемъ і§а = 0,55. Поэтому, если воспользоваться, для опредѣленія угла а, таблицами натуральныхъ значеній круговыхъ функцій (см. п° 24), то для а получается приближен-
— 78 — ное значеніе 32г. Если же воспользоваться, для вычи- сленія а, таблицами логарифмовъ, то получаемъ !©§• і" а. — 1о°’ 0,55 — 1,7404. Слѣдовательно,, приближенное значеніе угла а рав- няется также 32г, такъ какъ мы имѣемъ 1о§ і§ 32г = 1,7402. Табличная разность § равняется 80. Поэтому, при- нимая во вниманіе разность 7404 — 7402 = 2, слѣдуетъ прибавить къ табличной дугѣ величину 2 -- отъ 0г,5 , т.-е. 0Г,0125. Такимъ образомъ получаемъ 80 въ результатѣ для а значеніе 32г,0125 , но при этомъ нельзя быть увѣреннымъ въ точности послѣднихъ двухъ цифръ. Примѣры для упражненій на II главу. При помощи четырехзначныхъ таблицъ, вычислить логарифмы данныхъ круговыхъ функцій или круго- выя функціи по даннымъ ихъ логарифмамъ, въ зави- симости отъ сдѣланныхъ указаній. Нѣтъ надобности, стремиться къ точности, большей чѣмъ та, которая соотвѣтствуетъ таблицамъ. 41. Ьо8 зіп 35г,7э. 42. Ьо§ соз 38г,5. 43. Ію^ (®43г,875. 44. Ьо§ соі^ 25г,125. 45. Ео& зіп 80г,375. 46. Ьо§' соз 90г,6666. 47, Ьо§ 95г,40. 48. Ьо§' соі" 65’’,25.
— 79 - 49. 8іп 138г,40. 50. Соз 265г,375. 51. Т^568г,10. 52. Со!# 2654г,45. 53. Ьо" зіп 54. Ьо& соз 79°45'. 55. Ьо§ 68°30'. 56. Ьов сокв 15°15'. 57. 8іп 435°15'. 58. Соз 2348°30'. 59. Тв- 4287%'. 60. Соід 2874° 12'. 61. 8іп 2641°15'. 62. Тв 3654°23'. Рѣшить, при помощи четырехзначныхъ таблицъ, съ соотвѣтствующей имъ точностью, слѣдующія урав- ненія, принимая во вниманіе неравенства. 63. 8іп х ==0,342 0 < ^Х <100г. 64. Соз х = 0,471 0 < ^х <100г. 65. ТВ х = 0,543 0 < ^Х <100г. 66. Со*# х = 0,325 0 < ^х <100г. 67. 8іп х = 0,782 0 < ^х <100г. 68. Соз х = — 0,931 100г < ^Х <200г. 69. Тв х = — 2,345 юог < ^х <200г. 70. Соі§'а; = 3,456 100г < ^х < ЗОО1'. 71. Зіп х = 0,425 90° < ^Х- < 180°. 72. Соз х = — 0,342 0 < < 180°. 73. Тв х = —2,446 180° < < 360°. 74. Соівх = 3,528 180°< 'х <369°. 75. 8іпѴ = 0,625 200г < ^х < ЗОО1'. 76. Соз2 а; = 0,342 100г< X < 200г. 77. Тй'2.т = 2,325 300г< X <400г. 78. Соів2л’ = 15,432 200г< ^х <300г. 79. 8іп2.ѵ = 0,432 180° < ^х < 270°. 80. Тв2.г = 1,254 270° < X < 360°.
— 80 — Вычислить, при помощи пятизначныхъ таблицъ, логарифмы данныхъ значеній круговыхъ функцій или. значенія круговыхъ функцій по даннымъ ихъ лога- рифмамъ. 81. Ьо§' зіп 43г,3425. 82. Ьо$ соз 35г,7735. 83. Ьо" 28г,3550. 84. Ьов соід 13г,4120. 85. Ьо^зіп 82г,3155. 86. Ъо§'сой 97г,1745. 87. Ьо8Ч-81г,2305. 88. Ьо8 соіу 69г,3215. 89. Ьо8 8Іп 42г,2342. 90. Ьод соз 85г,3257. 91. І7Г,3654. 92. Ьо§ соі§’І4Г,2827. 93. Зіп 215г, 1735. 94. Соз 314г,3259. 95. 617г,4253. 96. Со(§ 736г,3598. 97. Ьо^8іп 17°8'35". 98. Ьо§ соз 14°35'28". 99. Ьо8 75°12'39". 100. Ьоі? со!»' 17°3'11". 101. 8іп2356°'14'13". 102. Соз 4359° 12'18". 103. Тк 26543°4'12". 104. Соі^4632°9'38". Вычислить, при помощи пятизначныхъ таблицъ и съ соотвѣтствующею имъ точностью, углы, опредѣ- ляемые слѣдующими уравненіями и неравенствами. 105. Зіп х =0,34521 0 О<100г. 106. Созж =0,87324 0 <«< 100г. 107. =0,34213 0 <.г<100г.
— 81 — 108. Со^ж = 3,27891 109. 8іп« = 0,87529 110. Соз# =0,43421 111. =2,32571 112. Соі" # = 0,03425 113. 8іп.г = — 0,82571 114. Соз# = — 0,73452 115. =0,57839 116. Соі» х = — 10,32571 117. 8іпж =0,32588 118. Созж = — 0,55542 119. =0,47321 120. Соі§- х = — 3,25771 121. Зіп я? =0,03254 122. Соз# =0,97972 123. =4,44431 124. СоЦ»’.« = 3,22232 125. Зіп2# =0,12345 126. Соз2# =0,67891 127. Т§2ж =0,38571 128. Со1#2#= 0,48572 129. Зіп2.# =0,34572 130. Соз2 х = 0,57372 131. Т§'2# =2,34572 132. СоІ8'2«= 5,38383 133. 8іп2ж =0,88887 134. Соз2 х= 0,33343 135. Т§2# =2,35355 136. Соі§2#= 1,25782 0 <#. < 1001'. 0 X • < 100г. 0 • <^х • < 200г 0 <^х < 200г о X <200г 0 . X < 300г 0 - < 200г 0 • < 200г 0 X « < 2001’. 90° - X ' < 180°. 0 <2 X - <180°. 0 < <^х < < 180°. 0 - <^Х < < 180°. 90°. < 270°. 90° < X < <360°. 0 - <^х« < 180°. 0 • < 180°. 0 . <^х < < 100г. 100г- <^х • < 200г. 100г- <200г 100г- <^ х« < 2001. 200г <^х <300г. 200г X < <300г. 200г < <^х * <300г. 300г < <^х < <400г. 180°< с^х< <270°. 270° X • < 360-. 270° - \ 4 <360°. 90° < X < < 180°. Найти всѣ значенія угловъ, опредѣляемыхъ формулами 137. Зіп х = 138. Соз# = 139. Т§# = 140. Соі§'# = 0,34571 0,25732 2,34572 2,58349 — 300г<.«< 900г. — 500г<#< 7ООГ. — 720°О< 720°. — 360° <#< 1080°. Тригонометрія.
— 82 — 141. Вычислить ’) всѣ значенія угла х, опредѣляе- маго формулой /3 а 142. Вычислить всѣ значенія угла х, опредѣляе- маго формулой 143. Вычислить значенія острыхъ угловъ х и у, опредѣляемыхъ формулами =8іп 15г,30. (о у = С08 18°15'. 144. Вычислить острый уголъ х, опредѣляемый . формулой соз х = 2 зіп 12Г, 7 5. 145. Вычислить острый уголъ у, опредѣляемый формулой 8І11 у = 3 СОЗ 92’’,45, 146. Вычислить значенія острыхъ угловъ х и у, опредѣляемыхъ формулами 3,45 81П х — .. , Iх )/100000 12,83 СОЗ у — --р-—------. 1 / /10000000 вывезти отсюда значенія угла г, опредѣляемаго фор- мулой , 8іп1 2 (2х -4- 4у) ѴГ & -------- - - . ° 008я (3% 4- 5?/) 1) Всѣ примѣры, начиная съ настоящаго, слѣдуетъ рѣшать какъ въ десятичной, такъ и въ шестеричной системахъ измѣренія.
— 83 — 147. Вычислить значенія острыхъ угловъ я и у. опредѣляемыхъ формулами вывести отсюда значенія угла г, опредѣляемаго фор- мулой 2 8ІіР(ж + у) 451§3(ж4-2у) 148. Вычислить значенія круговыхъ функцій слѣ- дующихъ дугъ, выраженныхъ въ частяхъ радіуса: О , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,4 , 0,5 ..., 1,9 , 2. Начертить кривыя, представляющія графическое изо- браженіе разсматриваемыхъ функцій. Выполнить вы- численія въ градахъ и градусахъ. 149. Рѣшить прямоугольный треугольникъ по слѣдующимъ даннымъ: а 253м Б = = 15°18'. 150. а = 30м,75 С= ; 23г,45. 151. а = 25км Б = : 33Г,30. 152. а — 1245мм С'=-_ 17°,50'. 153. Ъ = 355м Б = 35г,43. 154. Ъ = 300м с= : 75Г. 155. с — 63м,25 в= 38г,49. 156. с = 128м м с= 50°38'. 157. а = 275м ъ = 134м. 158. а = 540м м 1> = 289мм. 159. а ~ 2м,356 ъ = Iм,875. 160. а —- 0м,00345 е = 0м,00097. 161. Ъ = 3м,50 С — 428 м м. 162. Ъ = 4м,75 С — 8м,375. 6*
— 84 — 163. Рѣшить прямоугольный треугольникъ по дан- ному катету Ъ и данной высотѣ Л, опущенной изъ вершины прямого угла на гипотенузу. Приложить къ случаю і = 345мм, Л = 138мм. 164. Найти географическую шпроту мѣста, гдѣ въ періодъ равноденствія, въ полдень, тѣнь, па- дающая на горизонтальную поверхность земли отъ вертикальной колонны, высотою въ 20 метровъ, имѣетъ 28,75 метровъ длины. 165. Найти длину горизонтальной тѣни, падающей отъ вертикальной колонны въ 30 метровъ высотою, въ періодъ лѣтняго и зимняго солнцестоянія, въ полдень, въ мѣстности, гдѣ длина этой тѣни, въ періодъ равно- денствія, равняется 32,50 метрамъ. Слѣдуетъ предпо- ложить, что уголъ наклона экватора надъ эклиптикой равенъ приблизительно 23°27' (или приблизительно 26г,05). 166. Въ мѣстности, географическая широта которой равна 53г,85 , длина горизонтальной тѣни, отбрасы- ваемой вертикальной колонной, равна 35,75 метрамъ, въ періодъ зимняго солнцестоянія, въ полдень. Чему равняется длина той же самой тѣни въ періодъ лѣт- няго солнцестоянія? 167. Въ мѣстности, географическая широта Ч кото- рой равна 49г,35 , вычислить длину горизонтальной тѣни, отбрасываемой вертикальнымъ стержнемъ въ 1 метръ длиною, въ полдень, въ періодъ зимняго солнце- стоянія и лѣтняго равноденствія и солнцестоянія. На сколько удлиняется эта тѣнь за промежутокъ вре- мени между періодами лѣтняго солнцестоянія и равно- 9 Читатель можетъ замѣнить указанную широту широтой мѣст- ности, гдѣ онъ живетъ.
— 85 — денствія, а также между періодами зимняго равно- денствія и солнцестоянія? 188. Основываясь на результатахъ предыдущей за- дачи и оставляя прежнее значеніе географической широты мѣстности, рѣшить слѣдующую задачу. Опре- дѣлить высоту горы, возвышающейся надъ горизонталь- ной поверхностью долины, расположенной въ данной мѣстности; извѣстно, что' оконечность тѣни, падающей отъ вершины горы, въ полдень, передвигается по по- верхности долины на 145 метровъ къ сѣверу, за про- межутокъ времени между осеннимъ равноденствіемъ п зимнимъ солнцестояніемъ. 169. Прямоугольное зданіе, измѣренія котораго равны 20 метрамъ на 25 метровъ, требуется покрыть крышею съ наклономъ въ 40°. Опредѣлить поверхность этой крыши въ квадратныхъ метрахъ. 170. Опредѣлить работу силы, въ 15 динъ, точка приложенія которой перемѣщается прямолинейно на протяженіи 3,75 метра; направленіе пути образуетъ уголъ въ 23г,50 съ направленіемъ силы.
ГЛАВА III. Теорема о проекціямъ. Сложеніе дугъ. I. Геометрическое изложеніе теоремы о проекціяхъ. 38. Опредѣленіе прямоугольныхъ проекцій.—Пря- моугольной проекціей данной точки на прямую линію называется точка пересѣченія этой прямой съ пер- пендикулярной къ ней плоскостью, проведенной черезъ данную точку. Такъ какъ мы ограничиваемся разсмо- трѣніемъ только прямоугольныхъ проекцій, то боль- шею частью будемъ пропускать прилагательное пря- моугольный и говорить только проекція. Кромѣ того, будемъ всегда предполагать, что прямая линія, на которую мы проектируемъ точку, представляетъ ось, т.-е. что на разсматриваемой прямой намѣчено опре- дѣленное направленіе, которое принимается за поло- жительное 9- Проектируя на ось данныя точки А и В, расположенныя извѣстнымъ образомъ въ пространствѣ, получаемъ проекціи ихъ а и Ъ, которыя опредѣляютъ 9 Нѣкоторые авторы, употребляя слово ось. подразумѣваютъ подъ послѣднимъ понятіемъ прямую линію, на которой отмѣчено не только положительное направленіе, но вмѣстѣ съ тѣмъ избрана и опредѣ- ленная единица длины. Однако выборъ единицъ длины только тогда необходимъ, когда приходится измѣрять длину. Въ послѣднемъ слу- чаѣ, само собою разумѣется, должна быть выбрана опредѣленная единица длины, независимо отъ того, разсматриваемъ ли мы прямую какъ ось или какъ прямую линію, на которой не намѣчено положи- тельнаго и отрицательнаго направленія.
— 87 — отрѣзокъ прямой линіи на нашей оси. Полученный отрѣзокъ представляетъ часть оси, которая можетъ быть измѣрена алгебраически. Слѣдовательно, нашему отрѣзку соотвѣтствуетъ опредѣленное положительное или отрицательное число, въ зависимости отъ того, Совпадаетъ ли направленіе аЬ съ положительной или отрицательной стороной направленія на данной оси. Необходимое замѣчаніе.—На послѣдующихъ стра- ницахъ мы съ намѣреніемъ не даемъ чертежей, такъ какъ всѣ приводимыя разсужденія не зависятъ отъ того или другого частнаго вида чертежа. Очень часто для начинающаго трудно слѣдить за геометрическими разсужденіями, которыя не сопровождаются рисун- комъ. Въ такомъ случаѣ читателю слѣдуетъ составить столько различныхъ чертежей, сколько возможно сдѣ- лать различныхъ предположеній относительно распо- ложенія составныхъ частей чертежа, и прослѣдить на каждомъ изъ нихъ весь послѣдовательный ходъ раз- сужденій. 39. Векторы. — Векторомъ называется опредѣлен- ный отрѣзокъ АВ прямой линіи,. съ началомъ А и концомъ В. Векторъ ВА называется противополож- нымъ вектору АВ. Два вектора АВ и А’В' называются равными, если длина ихъ равна, а направленія ихъ параллельны и направлены въ одну и ту же сторону ’)• Приведенныя условія можно выразить въ другой формѣ словами, что точки А, В, А', В' представляютъ четыре вершины параллелограма, противоположными сторо- нами котораго служатъ А А' и ВВ’і) 2). Проекціей век- тора на ось называется ея отрѣзокъ, начало котораго і) Само собою разумѣется, что два вектора, равные порознь третьему, равны между собой; это условіе необходимо для того, чтобы опредѣленіе равенства имѣло смыслъ. 2) Если бы отрѣзки АА' и ВВ' служили діагоналями параллело- грама, то разсматриваемые векторы были бы противоположными.
— 88 — « и конецъ Ь представляютъ соотвѣтственно проекціи начала А даннаго вектора и его конца В. Теорема. — Проекціи двухъ равныхъ векторовъ на одну и ту же ось представляютъ два равныхъ от- рѣзка. Разсмотримъ сначала частный случай, когда начала А и А' двухъ равныхъ векторовъ АВ и А'В' лежатъ въ одной и той же плоскости Р, перпендику- лярной къ данной оси. Такъ какъ отрѣзокъ ВВ' па- раллеленъ АА', то становится очевиднымъ, что оба конца В и В1 данныхъ векторовъ лежатъ также въ одной и той же плоскости <>, перпендикулярной къ разсматриваемой оси. Поэтому проекціи на нее обоихъ векторовъ представляются однимъ и тѣмъ же отрѣз- комъ аЬ, гдѣ а является точкой пересѣченія плоскости Р съ нашей осью, а Ь—точкой пересѣченія плоскости 2 съ той же осью. Такимъ образомъ наша теорема справедлива въ разсмотрѣнномъ частномъ случаѣ. Предположимъ теперь, что АВ и А'В’ представля- ютъ два равныхъ вектора, расположенныхъ какъ угодно въ пространствѣ. Обозначимъ черезъ а и а' проекціи точекъ А и А' на ось и черезъ аВ1 и а'В'1—два век- тора, равныхъ соотвѣтственно даннымъ векторамъ, но съ началами въ точкахъ « и а'. Такъ какъ проекціи послѣднихъ векторовъ равны соотвѣтственно проекці- ямъ данныхъ векторовъ, то достаточно доказать, что проекціи двухъ послѣднихъ векторовъ представляютъ равные отрѣзки. Проекціи аЬ и а'Ь' векторовъ аВг и а'В\ опредѣляются условіемъ, что отрѣзки ЬВА и Ь’В\ перпендикулярны къ оси. Прямоугольные треуголь- ники аЪВ1 и а'Ь'В\ равны, такъ какъ стороны ихъ па- раллельны, а гипотенузы равны; поэтому соотвѣтствен- ныя стороны аЬ и а'Ь' равны. Однако этого не доста- точно для доказательства, что отрѣзки аЬ и а'Ь' равны. Необходимо, кромѣ того, убѣдиться еще, что разсма- триваемые отрѣзки направлены въ одну и ту же
— 89 - ‘сторону. Но послѣднее заключеніе вытекаетъ непо- средственно изъ того, что аа' й -ВіЬ’'] представляютъ противоположныя стороны параллелограма. Такимъ образомъ наша теорема становится вполнѣ доказанной. 40. Геометрическая сумма двухъ или нѣсколь- кихъ векторовъ.—Пусть имѣемъ два вектора АВ и ВС такихъ, что начало второго вектора совпадаетъ съ концомъ перваго вектора. Геометрической суммой двухъ данныхъ векторовъ называется векторъ АС, начало котораго совпадаетъ съ началомъ перваго вектора, а конецъ—съ концомъ второго вектора. Если даны два вектора, расположенныхъ какъ угодно въ пространствѣ, то, для опредѣленія ихъ геометрической суммы, одинъ изъ векторовъ замѣ- няется равнымъ ему векторомъ, имѣющимъ свое на- чало въ концѣ второго вектора. Изъ основныхъ свойствъ параллелограма слѣдуетъ, что геометрическая сумма двухъ векторовъ не зави- ситъ отъ порядка, въ которомъ ихъ разсматриваютъ. Подобно предыдущему опредѣляется геометрическая сумма нѣсколькихъ векторовъ АВ, ВС, СВ, ВЕ, ко- торые расположены въ такомъ порядкѣ, что конецъ каждаго изъ нихъ совпадаетъ съ началомъ слѣдующаго за нимъ вектора. Геометрическая сумма разсматривае- мыхъ векторовъ опредѣляется въ видѣ вектора АЕ, начало котораго совпадаетъ съ началомъ перваго век- тора, а конецъ—съ концомъ послѣдняго вектора. Чтобы составить геометрическую сумму произвольно расположенныхъ векторовъ, ихъ замѣняютъ равными имъ векторами, которые удовлетворяютъ предыдущему условію. Въ геометрической суммѣ нѣсколькихъ век- торовъ всегда возможно измѣнить порядокъ двухъ какихъ-либо послѣдовательныхъ векторовъ, не измѣ- няя конечнаго результата. Отсюда слѣдуетъ, что геометрическая сумма нѣсколькихъ векторовъ не за-
— 90 — виситъ отъ порядка, въ которомъ разсматриваются данные векторы. 41. Теорема о проекціяхъ.—Введенныя понятія и опредѣленія позволяютъ приступить къ доказатель- ству такъ называемой теоремы о проекціяхъ, ко- торая представляетъ важное значеніе въ тригоно- метріи, механикѣ, аналитической геометріи. Выра- жается эта теорема слѣдующимъ образомъ. Теорема.—Проекція на данную ось вектора, пред- ставляющаго геометрическую сумму нѣсколькихъ век- торовъ, равняется суммѣ проекцій этихъ составляю- щихъ векторовъ. При этомъ слѣдуетъ помнить, что всѣ разсматриваемыя проекціи представляютъ собой отрѣзки, при сложеніи которыхъ слѣдуетъ принимать во вниманіе ихъ знакъ. Начнемъ доказательство нашей теоремы съ раз- смотрѣнія простѣйшаго случая двухъ векторовъ АВ и ВС, расположенныхъ такъ, что начало второго век- тора совпадаетъ съ концомъ перваго. Геометрическая сумма ихъ равна НС. Обозначимъ соотвѣтственно че- резъ а, Ь, с проекціи на разсматриваемую ось точекъ А, В, С. Справедливость разсматриваемой теоремы вытекаетъ непосредственно изъ существованія слѣдую- щаго хорошо извѣстнаго равенства ас — аЬ Ьс. Если разсматриваются векторы АВ, ВС, СИ, І)Е, геометрическая сумма которыхъ представляется векто- ромъ АЕ, то доказательство разсматриваемой теоремы вытекаетъ также непосредственно изъ извѣстнаго ра- венства ае = аЬ -|- Ьс сй <1е. Наконецъ, если разсматриваемые векторы располо- жены какъ угодно въ пространствѣ, то для требуе- маго доказательства достаточно замѣтить, что проекціи
— 91 — двухъ равныхъ векторовъ представляются равными отрѣзками. Поэтому мы замѣняемъ данные векторы равными имъ векторами, которые удовлетворяютъ условію, указанному въ предыдущемъ частномъ слу- чаѣ. Разсмотрѣнная теорема о проекціяхъ выражается иногда слѣдующими словами: Теорема.—Сумма проекцій на какую-либо ось послѣ- довательныхъ сторонъ замкнутаго многоугольника равняется нулю. Если вершины даннаго многоугольника предста- вляются точками АВСРЕР' и если ихъ проекціи на данную ось представляютъ точки аЪсйе/, то доказа- тельство разсматриваемой теоремы вытекаетъ изъ слѣ- дующаго извѣстнаго равенства аЬ Ьс -|- с<14- Не -|- с/' / а = 0. II. Тригонометрическое вычисленіе проекцій. 42. Основная формула.—Чтобы примѣнять теорему проекцій, необходимо умѣть вычислять проекціи дан- наго вектора на ось. Легко доказать, что величина разсматриваемой проекціи Р выражается формулой Р = I соя а, гдѣ I обозначаетъ длину даннаго вектора, а а пред- ставляетъ уголъ, образованный направленіемъ вектора съ направленіемъ оси. Предположимъ сначала, что величина угла а заклю- чается между О и 2 прямыми углами, т.-е. а пред- ставляетъ уголъ, который обыкновенно разсматри- вается въ элементарной геометріи. Для доказательства предыдущей формулы, мы имѣемъ право, на основаніи теоремы п°39, предполо- жить, что начало Л даннаго вектора находится на
— 92 — оси. Обозначимъ черезъ В конецъ нашего вектора и черезъ Ъ проекцію конца В на разсматриваемую ось. Такъ какъ ВЬ перпендикулярно къ АВ, то изъ прямо-- угольнаго треугольника АВЬ имѣемъ АЬ = АВ со§ ВАЪ. Если направленіе АЬ положительное, то уголъ ВАЬ представляетъ въ такомъ случаѣ уголъ а. Такъ какъ далѣе АЬ = Р, АВ=А, то послѣднее равенство становится тожественнымъ съ формулой, которую мы желаемъ доказать. Если же направленіе АЬ отрицательное, то мы имѣ- емъ АЬ=-- — Р и въ этомъ случаѣ а представляетъ уголъ, который образуетъ АВ съ продолженіемъ ЬА по другую сто- рону отъ точки А. Поэтому получаемъ ВАЪ — к — а и предыдущая формула становится — Р = 7 008 (” — я). Наконецъ, примѣняя формулы (В^, на стр. 39, нахо- димъ — Р — — I соз а, или Р — Ісоза. Такимъ образомъ разсматриваемая формула стано- вится доказанной для случая, когда значеніе а за- ключается между 0 и 2 прямыми углами. Предполо- жимъ теперь, что а представляетъ одно изъ значеній угола, на который слѣдуетъ повернуть направленіе
— 93 — Виктора для того, чтобы оно стало параллельнымъ положительному направленію оси и было направлено съ нимъ въ одну сторону (или иначе а представляетъ одно изъ значеній угла, на который нужно повернуть ось, чтобы направленіе ея было параллельно съ на- правленіемъ вектора и было направлено съ нимъ въ одну сторону). Всѣ значенія разсматриваемыхъ угловъ заключаются тогда въ слѣдующей общей формулѣ -р- Л —2й". Косинусы всѣхъ послѣднихъ угловъ равны между собой. Отсюда и слѣдуетъ общность нашей основной формулы. 43. Проекція отрѣзка на ось.—Очень часто прихо- дится въ приложеніяхъ вычислять проекцію даннаго отрѣзка на ось, при чемъ этотъ отрѣзокъ располо- женъ (или, какъ говорятъ, отложенъ) на другой оси. Въ такомъ случаѣ удобно имѣть въ своемъ распоря- женіи общую формулу, независящую отъ значенія стороны отрѣзка. Такая формула дается слѣдующей теоремой: Теорема. — Проекція на ось отрѣзка, отложеннаго на другой оси, равняется произведенію алгебраической величины отрѣзка, умноженной на косинусъ угла между обѣими осями (угломъ между осями называется уголъ, образованный ихъ положительными направленіями). Для доказательства этой теоремы достаточно раз- личать два случая, зависящихъ отъ того, является ли разсматриваемый отрѣзокъ положительнымъ или отрицательнымъ. Если отрѣзокъ положительный, то наша теорема приводится къ основной формулѣ, такъ какъ алгебраическая величина отрѣзка является въ данномъ случаѣ ея длиной I, а направленіе отрѣзка совпадаетъ съ положительнымъ направленіемъ оси. Поэтому уголъ между двумя осями равенъ углу а.
- 94 — Такимъ образомъ въ разсматриваемомъ случаѣ наша теорема справедлива. Если же данный отрѣзокъ отри- цательный, то алгебраическая величина его равна—1, гдѣ I обозначаетъ длину отрѣзка, а уголъ между осями выражается черезъ т — я, при чемъ а представляетъ уголъ между направленіемъ отрѣзка и направленіемъ оси, на которую онъ проектируется. Но такъ какъ основная формула можетъ быть представлена также въ слѣдующемъ видѣ Р = (—/) СОЙ (- — я), то разсматриваемая теорема становится доказанной также и въ этомъ второмъ случаѣ. Слѣдовательно, тео- рема справедлива въ самомъ общемъ случаѣ. Значеніе нашей теоремы заключается въ томъ, что она избавляетъ отъ необходимости, въ каждомъ част- номъ случаѣ, дѣлать изслѣдованія, аналогичныя пре- дыдущимъ. Такъ, если пришлось бы примѣнять ихъ нѣсколько разъ въ какомъ - либо доказательствѣ, то слѣдовало бы каждый разъ разсматривать оба различ- ныхъ случая, которые могутъ представиться и дѣлать два различныхъ чертежа, что вводило бы рядъ ослож- неній. Доказанная теорема представляется въ слѣ- дующемъ видѣ Р — 8 соя а. Здѣсь § обозначаетъ алгебраическую величину отрѣзка, т.-е. положительное или отрицательное число (между тѣмъ какъ длина 1 представляетъ всегда суще- ственно положительную величину). Кромѣ того, вели- чина а представляетъ значеніе угла между осями, между тѣмъ какъ прежнее значеніе я обозначало уголъ между направленіемъ вектора и положитель- нымъ направленіемъ оси. 44. Общая формула. — Обозначимъ черезъ $3, Д, отрѣзки прямыхъ линій, отложенные соотвѣт-
— 95 — ственно на осяхъ Аг, А2, А3, А4. Пусть а1, а2, а3, а4 обозначаютъ соотвѣтственно углы послѣднихъ осей съ осью А, на которую мы проектируемъ отрѣзки. На основаніи теоремы, доказанной въ «°41, величина Р, представляющая проекцію геометрической суммы дан- ныхъ отрѣзковъ, равняется суммѣ ихъ проекцій. Выра- женія послѣднихъ легко составить на основаніи только что доказанной теоремы. Такимъ образомъ получается равенство Р — соз сое а2 53 соз а3 4- соз «4. Теорема о проекціяхъ чаще всего примѣняется въ видѣ послѣдняго равенства (число членовъ его второй части обыкновенно равняется двумъ или тремъ членамъ и рѣдко превышаетъ четыре слагаемыхъ). III. Сложеніе дугъ. 45. Постановка задачи. — Подъ задачей сложенія или вычитанія дугъ подразумѣвается рѣшеніе слѣ- дующаго вопроса: по даннымъ круговымъ функціямъ двухъ дугъ а и Ъ, вычислить круговыя функціи ихъ суммы ац-1> или разности а — Ъ. На основаніи тео- ремы о проекціяхъ, по- ставленная задача разрѣ- шается непосредственно въ самомъ общемъ видѣ, не требуя разсмотрѣнія въ отдѣльности различ- ныхъ частныхъ предпо- ложеній относительно расположенія концовъ дугъ а. Ъ, Съ этой цѣлью замѣ- тимъ прежде всего, что Черт. 28.
— 96 — косинусъ дуги АМ (черт. 28) представляетъ проекцію вектора ОМ на ось косинусовъ ОА. Начало вектора ОМ находится въ центрѣ тригонометрическаго круга, а ко- нецъ—въ концѣ разсматриваемой дуги; ось ОА опре- дѣляется центромъ тригонометрическаго круга О и началомъ А разсматриваемой дуги; начало оси нахо- дится въ точкѣ О и положительное направленіе счи- тается отъ точки О къ А; единица длины равна ОА. Послѣднія условія выражаются иначе словами, что абсцисса точки А равна -|-1; говорятъ также иногда, что А служитъ направляющей точкой оси. Синусъ дуги АМ представляетъ проекцію ОМ на ось ОВ, имѣющую своимъ началомъ точку О, а напра- вляющей точкой—точку.В, положеніе которой на окруж- ности опредѣляется условіемъ, что дуга АВ равняется ' 2 46. Вычисленіе соз (а —Ь).—Разсматриваемая за- дача состоитъ въ вычисленіи выраженія соз (а />) при помощи значеній косинусовъ и синусовъ дугъ а и Ь. Пусть АМ (черт. 28) ’) обозначаетъ дугу а, а МВ представляетъ дугу Ъ; чтобы вычислить соз достаточно найти, выраженіе проекціи ОВ на ось ОЛ, или Ох. Вычислимъ величину этой проекціи, разсма- тривая отрѣзокъ ОВ какъ геометрическую сумму двухъ, векторовъ, опредѣляемыхъ слѣдующими условіями: Обозначимъ черезъ Р основаніе перпендикуляра, опущеннаго изъ точки В на ОМ; векторъ ОВ предста- вляетъ геометрическую сумму векторовъ ОР и РВ. Проводимъ ось Ох1У совпадающую съ ОМ, возьмемъ, ея начало въ точкѣ О, а положительное направленіе *) Согласно съ замѣчаніемъ на стр. 87, мы предлагаемъ чита- телю одновременно съ даннымъ составить также и другіе чертежи, соотвѣтствующіе различнымъ расположеніямъ дугъ, и на этихъ, чертежахъ прослѣдить ходъ приводимыхъ разсужденій.
— 97 — на ней намѣтимъ такъ, чтобы абсцисса точки ЛГ рав- нялась 1- Вторую ось Оух опредѣляемъ при помощи точки М' такъ, чтобы дуга ММ' равнялась • Если опустить изъ точки В перпендикуляръ ВЦ на ось Оух, то очевидно, что векторъ Оф равенъ вектору РВ (оНи представляютъ противоположныя стороны прямоуголь- ника, для котораго двумя другими сторонами явля- ются отрѣзки ОР и ОВ). Поэтому, проектируя ОВ на ось Ох, получаемъ Пр. (ОЯ) = Пр. (ОР) + Пр. (00. Чтобы вычислить проекціи ОР и 00 разсматрива- емъ ихъ какъ отрѣзки, отложенные соотвѣтственно на осяхъ Охх и Оух\ уголъ между осями Охх и Ох ра- венъ а; что же касается угла между осями Оух и Ох, то величина его равна а + • хи Такъ какъ, съ другой стороны, дуга МВ равняет- ся Ь, то, въ силу даннаго выше опредѣленія, слѣду- етъ, что отрѣзокъ ОР равняется созй, а отрѣзокъ О О равенъ 8іп(>. Поэтому имѣютъ мѣсто слѣдующія вы- раженія Пр. (ОТі) = со8 Пр. (ОР) = созЬ соза. —8ІП& зіп а. Въ силу послѣднихъ формулъ, предыдущее равен- ство приводитъ насъ къ слѣдующей основной фор- мулѣ, которую необходимо запомнить (Р]) соз (а -|- Ь) = соз а соз Ь — зіп а зіп Ь. Тригонометрія. 7
— 98 — Слѣдуетъ замѣтить, что полученная формула выведена независимо отъ частныхъ предположеній относительно значенія дугъ а, Ъ, а-\-Ъ и поэтому имѣетъ вполнѣ общій характеръ. Изъ нея получаются непосредственно всѣ другія тригонометрическія формулы, безъ помощи какого бы то ни было построенія. 47. Вычисленіе соз (а — Ь).—Если въ основной фор- мулѣ (В^ замѣнить Ъ на — Ъ, то получается равенство соз (а — Ь) = соз а соз (— Ь) — зіп а зіп (— Ъ), которое даетъ искомую формулу соз (а — Ъ) — соз а соз Ъ -ф- зіп а зіп Ъ. 48. Вычисленіе зіп (а 4- Ь) и зіп (а — Ь).—Замѣняя въ только что полученной послѣдней формулѣ а на ~—а, находимъ соз — а — Ъ— соз — а соз Ъ -ф- зіп — а зіп Ъ и въ результатѣ получаемъ формулу сложенія сину- совъ, которую также необходимо помнить, (І)2) зіп (а -|- Ъ) = зіп а соз Ь -}- зіп Ъ соз а. Замѣняя въ послѣднемъ равенствѣ Ь на —Ь, полу- чаемъ зіп (а — Ъ) = зіп а соз Ь — зіп Ъ соз а. 49. Вычисленіе, ід (а -ф- Ь) и ід (а — Ь).—Раздѣляя по- членно равенство (Іф>) на (Д), получаемъ выраженіе х зіп а соз Ь -ф- зіп Ь соз а Я Ф і = ---------=—1 .----7—7 • ' соз а соз о — зіп а зіп о
— 99 — Раздѣляя числителя и знаменателя второй части -послѣдняго равенства на произведеніе сова соей, нахо- димъ искомую формулу (7Л,) Ч (« + (,) = ^±-‘8 ' 3 в ' 1 — і" а I» Ъ Послѣдняя зависимость показываетъ, что тангенсъ суммы двухъ дугъ выражается въ видѣ раціональной О функціи тангенсовъ этихъ дугъ. Какъ мы видѣли, по- слѣднее условіе не имѣетъ мѣста по отношенію къ косинусу или синусу: выраженіе ‘ соз (а-(-6) заклю- чаетъ не только соз а и соз Ъ, но, кромѣ того, еще зіп а и зіп Ъ. Замѣняя въ формулѣ (2>3) Ъ на — Ь, получаемъ вторую искомую формулу . . 1$ а — Ъ ё (а 1 -}- а ' 50. Замѣчанія относительно формулъ сложенія.— Такъ какъ формулы вычитанія выводятся изъ фор- мулъ сложенія, при помощи замѣны Ъ на —Ъ, то по- тому важнѣе всего запомнить формулы сложенія, ко- торыя мы напишемъ здѣсь всѣ рядомъ ’соз(аЦ-&) = соз а соз 6 — зіп а зіп Ъ, зіп (а -4- Ъ) = зіп а соз Ъ -I- зіп Ъ соз а, (В> (8 (в + »)= ^±18* . 1 1 — а Ь ' Кто не освоился еще достаточно съ послѣдними формулами, тотъ очень часто можетъ ошибаться въ ихъ знакахъ. Легко избѣгнуть этой ошибки, замѣ- і) Раціональной функціей перемѣнной величины называется выра- женіе, которое получается изъ нея при помощи алгебраическихъ дѣй- ствій возвышенія въ цѣлую степень, сложенія, вычитанія, умноже- нія или дѣленія. 7*
— 100 — тпвши разъ навсегда, что если всѣ три дуги а, Ъ, а -|- Ъ принадлежатъ первой четверти тригонометриче- скаго круга, то наибольшая изъ трехъ дугъ а-\-Ь должна имѣть, сравнительно съ двумя другими, наи- меньшій косинусъ и наибольшія значенія синуса и тангенса. На основаніи. послѣднихъ сображеній, объ- ясняется присутствіе знака минусъ въ формулѣ сло- женія косинуса, знака плюсъ въ выраженіи синуса, наконецъ, знака плюсъ въ числителѣ и знака минусъ въ знаменателѣ формулы сложенія тангенса. 51. Обобщеніе.—Само собою разумѣется, что, примѣ- няя основныя формулы (7>), легко вычислять послѣдо- вательно выраженія круговыхъ функцій суммы какого угодно числа дугъ, при помощи круговыхъ функцій послѣднихъ дугъ. Такъ, напримѣръ, разсматривая а + + с какъ сумму а Ь и с, получаемъ соз (а Ь + с) = соз (а 4- Ъ) соз с — зіп (а 4~ Ъ) с- Подставляя въ.послѣднее равенство выраженія соз(а-|- й) и зіп (а 4- Ь), опредѣляемыя формулами (7)), находимъ соз (а 4- Ъ 4- с) = (соз а соз Ь — зіп а зіп Ъ) соз с— — (зіп а соз Ъ 4- зіп Ъ соз а) зіп с= = соз а соз Ъ соз с — зіп Ь зіп с соз а— — зіп с зіп а соз Ь — зіп а зіп Ь соз с. Мы не станемъ продолжать дальше аналогичныхъ вычисленій, такъ какъ опи выполняются гораздо проще при помощи другихъ соображеній, которыхъ, однако, мы здѣсь не можемъ излагать. 52. Формула, относящаяся къ агс ід—Какъ говори- лось выше, обозначеніе агс {%р представляетъ одну изъ лугъ, тангепсъ которыхъ равенъ р. Вычислимъ сумму агс 4~ агс I? 2 — х-
— 101 — Вводя обозначенія — агс і,й д — Ь, т.-е. полагая ?) = ій«, д=і#Ъ, получаемъ х=а -|- Ъ. Поэтому находимъ і§ х — і§ (а 4- Ь) = ;—2—г — з—1-, 1—1—рд и, стало-быть, получаемъ въ результатѣ х = агс ій 5 - — 1— РЧ Такъ какъ дуги, тангенсы которыхъ равны, разли- чаются между собою на кратное число к, то полу- ченный результатъ приводитъ къ слѣдующему равен- ству агс і^ р агс і§ д = агс і§ ~Ь Выведенная формула равнозначна съ формулой сло- женія тангенса и бываетъ иногда полезна при вычи- сленіи. Примѣры для упражненій на III главу. 171. По значеніямъ круговыхъ функцій дугъ у, вычислить круговыя функціи суммъ и разно- 4 О стей послѣднихъ дугъ, взятыхъ по двѣ.
— 102 — 172. По значеніямъ круговыхъ функцій дугъ э ъ 2тс ѵ , вычислить круговыя функціи суммъ и разно- стей послѣднихъ дугъ, взятыхъ по двѣ. 173. Доказать равенство агс + агсі§ -1 агсі Д = ч + Аіт- а О О тг 174. Доказать равенство зіп (а -|- 6) зіп (а — 6) — зіп2а — зіп2/>. 175. Дана окружность и вписанный въ нее правиль- ный шестиугольникъ. Проводимъ ось, образующую уголъ а съ одной изъ его сторонъ. На основаніи тео- ремы о проекціи замкнутаго многоугольника, соста- вить формулу, выражающую равенство нулю суммы проекцій сторонъ разсматриваемаго шестиугольника на данную ось. 176. Обобщить предыдущую задачу, замѣнивъ ше- стиугольникъ правильнымъ многоугольникомъ съ п сторонами. Разсмотрѣть частный случай, когда данная ось перпендикулярна или параллельна одной изъ сто- ронъ многоугольника. 177. Пусть имѣемъ правильную ломанную линію, съ р сторонами ММ1]ІІ2М3... вписанную въ окруж- ность съ центромъ О. Назовемъ черезъ 2г общую ве- личину дугъ ММг, МрМ.%, М2М3, ...Мр-іМр. Проводимъ ось, образующую уголъ а со стороной ММѴ Прило- живъ теорему о проекціяхъ къ замкнутому многоуголь- нику 0ММ1М2 ... Мр-іМрО, вывести изъ нея формулу, выражающую сумму косинусовъ дугъ, представляю- щихъ арифметическую прогрессію. 178. Доказать, что, въ силу равенства
— 103 — имѣетъ мѣсто слѣдующее соотношеніе сов2а 4~ со§26 4~ соз2с + 2соз а сов Ь соз с — 1. 179. Доказать, что, въ силу равенства —|— Ъ —с == имѣетъ мѣсто соотношеніе а 4- Ъ -]- с = іё «с. 180. Вычислить 1§(а + і + с) въ видѣ функціи ве- личинъ і§а, 1%с. 181. Вычислить (а Ъ с -|- Л) въ видѣ функціи величинъ 182. Вычислить (а Ь с -|- <1 + е) въ видѣ фун- кціи величинъ 1§с, і.%е.
* ГЛАВА IV. Умноженіе и дѣленіе дугъ. Различныя формулы. I. Умноженіе дугъ. 53. Постановка задачи.—Задача умноженія дугъ состоитъ въ слѣдующемъ: по даннымъ значеніямъ круговыхъ функцій дуги а, вычислить круговыя фун- кціи кратныхъ значеній этой дуги, т.-е. дугъ 2а, За, 4а/5а ... иа... Очевидно, что послѣдній вопросъ приво- дится къ задачѣ сложенія дугъ. Однако формулы, разрѣшающія разсматриваемую задачу, настолько про- сты, что интересно ихъ вывести и помнить по край- ней мѣрѣ въ простѣйшемъ случаѣ двойныхъ дугъ. 54. Удваиваніе дугъ.—Если въ формулахъ сложе- нія (I)) замѣнить Ъ черезъ а, то получаются слѣдую- щія равенства СО8 2а = соа2а — 8Іп2а, (Е) 8Іп 2а = 2 зіп а соз а, 2 1§а 1 — 1§2а' 2а — Первая изъ написанныхъ формулъ легко приво- дится къ виду, зависящему или только отъ соза, или только ОТЪ 8іпа. Для этого достаточно воспользо- « ваться извѣстною зависимостью соз 2а-|-8Іп 2а = 1.
— 105 — Поэтому получаются формулы, которыя необходимо запомнить, , / соз 2а ~ 2 соз2а — 1, | соз 2а =1—2зіп2а. Болѣе сложное преобразованіе формулъ (Е) состо- итъ въ слѣдующемъ. Напишемъ первыхъ двѣ фор- мулы въ видѣ соз2а — зіп 2а соз 2а = —5—і—, соз2а ф- зіп2 а . , 2 зіп а соз а зіп 2а =--т—:—г-5- , соз2а -ф зш2а что всегда возможно сдѣлать, такъ какъ знаменатель, который мы ввели, равенъ единицѣ. Раздѣляя числи- теля и знаменателя каждой дроби на соз2а, получаемъ формулы 1 — <§2а соз 2а = - ; , 1 + 2 а зіп 2а = । ° , 1 4- і§2а которыя показываютъ, что всѣ круговыя функціи дуги 2а выражаются въ видѣ раціональныхъ функцій ід а. 55. Параметрическія выраженія круговыхъ фун- кцій.—Замѣнимъ въ предыдущихъ выраженіяхъ а на т.-е. подставимъ а вмѣсто 2а. обозначеніе Вводя послѣ этого
— 106 — получаемъ выраженія • сой а = (В) зіп а = 1§а = 1 —/2 1 + /2 ’ 21 14-/2 ’ 2/ 1 —/2 • Послѣднія формулы представляютъ выраженія Круговыхъ функцій какой-либо дуги а съ помощью параметра /, который имѣетъ очень простое значеніе, какъ было указано выше. Такимъ образомъ получается возможность замѣнять формулы, зависящія отъ кру- говыхъ функцій дуги а, алгебраическими выраже- ніями, заключающими значеніе одного только пара- метра /. Чтобы дать примѣръ примѣненія послѣднихъ фор- мулъ, напомнимъ (см. стр. 31), что прямоугольныя координаты какой-либо точки окружности радіуса В, центръ которой совпадаетъ съ началомъ координатъ, выражаются слѣдующимъ образомъ х — В соз а, у — В зіп а. Подставляя въ послѣднія формулы выраженія кру- говыхъ функцій, представляемыя равенствами (В), по- лучаемъ _ р 1 — /2 -2, ,, 2І Предоставляемъ читателю доказать и провѣ- рить, что всѣ точки окружности, и притомъ каждая
— 107 — изъ нихъ только одинъ разъ, получаются при измѣ- неніи въ послѣднихъ формулахъ і отъ — оо до + оо. Данное параметрическое представленіе окружности является очень важнымъ во многихъ вопросахъ. II. Дѣленіе дугъ. 5в. Постановка задачи.—Задача дѣленія дугъ за- ключается въ составленіи и рѣшеніи уравненій, кото-, рыми опредѣляются выраженія круговыхъ функцій а а а щгъ —, —, — ... , по даннымъ значеніямъ круго- 4 О 4 выхъ функцій дуги а. Мы ограничимся разсмотрѣніемъ только одного случая дѣленія дуги на 2. Само собою разумѣется, что, выполняя послѣдо- вательно умноженіе и дѣленіе дугъ, приходимъ къ болѣе общей задачѣ вычисленія значеній круговыхъ функцій дугъ гдѣ ріл.ц два какцхъ-либо цѣлыхъ числа. Такимъ образомъ получаются значенія круго- выхъ функцій дугъ, отношеніе которыхъ къ дугѣ а представляетъ нѣкоторое соизмѣримое число. Наконецъ, замѣтимъ, что, примѣняя послѣдова- тельно рѣшеніе задачи дѣленія дуги на 2, находимъ ѵ а а а а выраженія круговыхъ функцій дугъ — • • •, 2 4 о Іо черезъ посредство значеній круговыхъ функцій дуги а. Такимъ образомъ, сочетая дѣленіе дуги .на 2 съ.умно- женіемъ ея, мы получаемъ возможность, по дан- нымъ круговымъ функціямъ дуги а, вычислять зна- ченія круговыхъ функцій всѣхъ дугъ вида гдѣ р и п представляютъ произвольныя цѣлыя числа. По- этому всегда возможно опредѣлить значенія р и п •такъ, чтобы соотвѣтствующее имъ значеніе дуги отли- чалось отъ нѣкоторой данной дуги Ь на сколь угодно
— 108 — малую, произвольно заданную величину. На основаніи сдѣланныхъ указаній, является возможность вычислять значеніе круговыхъ функцій какой-либо дуги Ъ съ желаемою точностью. 57. Зная соза, вычислить круговыя функціи дуги -у.—Для рѣшенія поставленнаго вопроса восполь- зуемся формулами (Е)', въ которыхъ замѣнимъ а че- а резъ ( „ а соз а = 2 соз2--1, 2 (Е)" соз а = 1—2 зіп2—. 2 Изъ послѣднихъ равенствъ находимъ о а 1 4- соз а С08 2 . о а 1 —соз а 8Ш ”2“ 2 Отсюда получаются искомыя формулы ________ а , /~ 1 + соз а /г,, I . а , л/~ 1—соз а (Г/ 81П-2= +р ----— 1—соза І-фсоза Во второй части послѣднихъ равенствъ, передъ радикаломъ, находится двойной знакъ, происхожденіе котораго легко понять.
— 109 — Дѣйствительно, если значеніе дуги а задано, то дуга имѣетъ вполнѣ опредѣленное значеніе; со- и ф отвѣтствующія ей значенія круговыхъ функцій стано- вятся также вполнѣ опредѣленными, т.-е. имѣютъ опре- дѣленный знакъ. Поэтому, зная величину необхо- и димо выбрать соотвѣтствующій ей знакъ въ форму- лахъ (V)'. Однако задать значеніе соз а не то же са- мое, что задать а,. такъ какъ, давая значеніе соз а, мы не опредѣляемъ еще этимъ значенія дуги а. Такъ, если обозначить черезъ а одно какое-либо изъ значе- ній дугъ, косинусъ которыхъ равенъ сова, то всѣ дуги, имѣющія тотъ же самый косинусъ, представля- ются общей формулой а = + а 4~ 2А;іг, гдѣ к обозначаетъ произвольное цѣлое число. Половины этихъ дугъ опредѣляются формулой Поэтому становится очевиднымъ, что, въ зависимо- сти отъ знака, который мы выбираемъ въ послѣдней формулѣ и въ зависимости отъ значенія числа к, полу- чаются выраженія синуса, ко- синуса и тангенса разсматри- ваемыхъ дугъ съ различными знаками. Выведенное заключеніе уяс- няется особенно наглядно при помощи чертежа. Пусть отрѣ- зокъ ОР представляетъ данное значеніе косинуса (черт. 29).
— по — Всѣ дуги, косинусомъ которыхъ служитъ отрѣзокъ ОР, кончаются въ точкахъ М или Л/'. Предположимъ, на- примѣръ, что дуга АМ имѣетъ 30г; въ такомъ случаѣ дуга АМ' равна 400—30. Дуга, кончающаяся въ точ- кѣ М и заключающая полную окружность, равняется 400Д-30; дуга съ концомъ въ М', заключающая также полную окружность, равна 800—30. Половины этихъ дугъ представляются соотвѣтственно числами 15, 200— 15, 200 + 15, 400 — 15. Обозначимъ концы послѣднихъ дугъ соотвѣтственно черезъ 8, 5*, 8", 8'"; они представляютъ, очевидно, вер- шины прямоугольника. Мы пришли бы въ тѣ же са- мыя точки, если бы взяли также другія дуги, концы которыхъ лежатъ въ точкахъ М и М'. Косинусы дугъ, кончающихся въ одной изъ четырехъ точекъ 8, 8, 8', 8", равны одной изъ двухъ величинъ ОР или ОР!-, синусы этихъ дугъ выражаются одной изъ величинъ 0$ или 0$'; наконецъ тангенсы разсматриваемыхъ дугъ равны одной изъ величинъ АТ или АТ', что вполнѣ согласуется съ приведенными выше вычисле- ніями. 58. Зная зіп а, вычислить зіп-| и соз-^-. — Под- ставляя во вторую формулу (Е) величину вмѣсто а, находимъ (I сь (1) 2 8ІП-СО8 —- = 8ІПЙ. 2 2 Полученное равенство представляетъ одно изъ ура- вненій, для опредѣленія значеній двухъ неизвѣстныхъ . а а зіп-— и сое —; вторымъ уравненіемъ служитъ завіі- ы и симость (2) 8ІП3у + СО82 у = 1-
— 111 — Итакъ, задача приводится къ рѣшенію системы двухъ уравненій (1) и (2), которыя разрѣшаются очень просто слѣдующимъ образомъ. Складывая сначала, а затѣмъ вычитая равенства (1) и (2), получаемъ . ,а , ««і-,. а а іі • 81П2— 4- С082— 4- 2 81П — СО8 = 1 4- 8Ш «, 2 2 2 2 . „а . „а п . а а 81П2— + СО82^ — 2 81,1 "о С08 7> = 1 — 81П а> и а т.-е. приходимъ къ уравненіямъ / . а . а\2 , . . ( 81П — 4-С08- ) = 1 4- 8Ш а, / . а . ( 81П —— СО8 8ІП«. Отсюда находимъ равенства I 8ІП-^ 4- С08 -^ = ± |/1 4- 8іпа, (8) • “ " — 8111— — СО8 -г- = ± У 1—81П а. I 221 и Складывая эти уравненія, а затѣмъ вычитая вто- рое изъ перваго, получаемъ выраженія • а 281П — (4) 2а _______________________ __________ 2 со«~ = + |/1 8іп а н-1/1 — 8Іпа. ’ 2-' 8Іпа, Въ полученныхъ формулахъ верхніе и нижніе знаки соотвѣтствуютъ другъ другу, т.-е. взявши, напримѣръ, формулу • (I 1 Г у .------;-- , / : . 81П- — -| — |/1 4-8ІПЙ 4"І/1 ~81ПЯ ’ & и I
— 112 — мы должны взять вторую формулу въ слѣдующемъ видѣ а 1 С08 2 :-2 — 1 -(- зіп а —1 — зіп а такъ какъ сумма и разность послѣднихъ значеній должна удовлетворять равенствамъ (3). (I Формулы (4) даютъ четыре значенія для зіп --и, со- отвѣтственно имъ, 4 значенія для соз -, при чемъ зна- и . . а „ .а чепія зіп - тѣ же самыя, что и значенія соз-,нотоль- 2 2 ко слѣдуютъ въ различномъ порядкѣ. Полученный результатъ очень просто по- ясняется при помощи чер- тежа. Пусть отрѣзокъ ОЦ пред- ставляетъ данное значеніе си- нуса (черт. 30) и пусть со- отвѣтствующія ему дуги кон- чаются въ точкахъ М или М'. Если, напримѣръ, малая дуга АМ равна 60г, то дуги, концы которыхъ лежатъ въ точкахъ М и ЛГ, выражаются въ градахъ слѣдующими числами 60, 200—60, 400-|-60, 600—60,..., а половины этихъ, дугъ соотвѣтственно равны 30, 100 — 30, 200 ф-30, 300— 30... Послѣднимъ числамъ соотвѣтствуютъ точки 8,8', 8", 8"', представляющія вершины прямоугольника, стороны котораго параллельны биссекторамъ угловъ между
- 113 — осями. Поэтому получается 4 значенія для синусовъ, которыя, очевидно, равны 4 значеніямъ косинусовъ. Чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно обратить вни- маніе на симметрію чертежа по отношенію къ одному изъ биссекторовъ угла между осями. Справедливость сдѣланнаго заключенія вытекаетъ также изъ того, что синусъ каждой дуги равенъ косинусу ея дополни- тельной дуги. 59. Зная ід а, вычислить ід^.—Будемъ исходить изъ формулы а 9 Ьу __ “ Л 2 (о- а =-------- 1 Полагая въ ней находимъ равенство <(1 — х2) — 2х, или іх2 -4- іх — I = 0. Полученное, уравненіе второй степени относительно х даетъ і т.-е. находимъ выраженіе ♦Л — -1±/1 + ^2а ° 2 і о « Такимъ образомъ получаются два значенія, суще- ствованіе которыхъ объясняется разсужденіями, ана- логичными предыдущимъ. Кромѣ того, легко видѣть, О Тригонометрія. °
— 114 — на основаніи геометрическихъ соображеній, что оба. рѣшенія всегда существуютъ и произведеніе ихъ рав- няется— 1. Послѣдній результатъ вытекаетъ непо- средственно изъ разсмотрѣнія уравненія второй сте- пени, которое опредѣляетъ искомое значеніе, такъ какъ извѣстный членъ его равенъ произведенію его корней. Если, вмѣсто значенія 1$ а, задать значеніе дуги а, то двойственность знаковъ исчезаетъ; составленіе со- отвѣтствующпхъ значеній --не представляетъ тогда затрудненія и совершается аналогично тому, какъ мы поступали въ п° 57 при вычисленіи круговыхъ функцій а дуги-, по данному значенію соз о. III. Различныя формулы. 60. Преобразованіе суммъ и разностей въ про- изведенія.—Для вычисленія числовыхъ формулъ, ко- торое большею частью совершается при помощи логарифмовъ, очень важно умѣть замѣнять сумму двухъ круговыхъ функцій произведеніемъ двухъ дру- гихъ круговыхъ функцій. Такъ какъ, при помощи логарифмовъ, гораздо удобнѣе вычислять произведеніе чѣмъ сумму, то этимъ и обусловливается значеніе формулъ, которыя будутъ выведены. Напишемъ извѣстныя зависимости соз (а -(- Ъ) = соз а соз Ъ — зіп « зіп Ь, соз(«— 6) = СО8Л соя Ъ -1- зіп а 8ІП Ъ. Складывая ихъ и затѣмъ вычитая второе изъ пер- ваго, получаемъ новыя равенства соз (ст —соз (« —- Ь) = 2 соз а С08 Ь, соз (а Ъ) — соз (а — Ь) — — 2 зіп а зіп Ъ.
— 115 — Для удобства вычисленія, вводимъ обычно употре- бляемыя обозначенія а 4- Ъ —р, а — Ъ — д, изъ которыхъ слѣдуетъ, что а~ 2 ’ 2 Поэтому предыдущія формулы становятся I СО8/> -ф со» д = 2 СО» ' СО8—— (';)1 { 1 I СО8/> — 008 2 = — 2 8111 —8111^— Исходя изъ зависимостей, представляющихъ выра- женія 8ІП (« +&) и 8ІП (а — 6), легко получить при по- мощи разсужденій, подобныхъ предыдущимъ, слѣдую- щія формулы . р + д Р — д 81П Р 4“ 8іп д — 2 81П —СО8 ——— 2 . р — д Р + д 81П р — 8ІП д = 2 8Ш - --- 008^— 2 2 Такъ какъ имѣетъ мѣсто равенство , 8ІП Р , 8ІП д 8ІП р С08 Ц Ч~ 8ІП # С08 р р Ч- Щ д —------1- ---=--------------------= Л с08р — со8 д сжрсжд __8Іп (р + д) С08р С08#’ то_ получаются слѣдующія соотношенія Іо- р 4- и д =-------—, I 1 ° СО87> созд * 1 зіп (д) — д) —і^д =----------- 1 СО8 Р 008 д 8*
— 116 — Совѣтуемъ читателю запомнить всѣ три группы формулъ (Сг), въ особенности же первыя двѣ изъ нихъі) 2). Само собою разумѣется, что предыдущія формулы разрѣшаютъ также и обратную задачу. Но, для рѣше- нія послѣдней, наши формулы удобнѣе представлять въ первоначальномъ видѣ, т.-е. писать со8«со8І — і I соз ('а ф- 6) ф- соз (а — Ъ) , зіп а віп Ъ — і- сой {а — Ъ) — С08 (а 4~ Ь) зіп а соз Ъ = 1 8Іп (а Ь) 4~ 8Іп (а — Ь) 1. I I 61. Выраженія вида а со$ (Ы 4~ а) 4- Ь соз (о>14“ і0> ГДѢ і—перемѣнная величина.—При изученіи колебатель- ныхъ движеній встрѣчаются выраженія слѣдующаго вида (1) у = а С08 (ш/ я) -р со§ + ?)• Замѣтимъ прежде всего, что выраженія вида (2) аЧо8(ш/4~а') + &'8ііі((о/4-(П> (3) л"8ІП (сс/ 4- а") 4- Ъ" 8іп (со/ 44") въ сущности не отличаются отъ предыдущаго. і) Послѣднія формулы легко запомнить, на основаніи слѣдующаго замѣчанія: первая часть первой изъ формулъ не измѣняется отъ перестановки буквъ и поэтому вторая часть также не должна измѣняться вслѣдствіе этой замѣны. Слѣдовательно, въ этой второй части долженъ заключаться косинусъ, а не синусъ величины, такъ какъ синусъ измѣняетъ свой знакъ, при измѣненіи знака дуги, тогда какъ косинусъ своего знака при этомъ не мѣняетъ. Кромѣ того, если положить то синусъ^-^ С1 обращается въ нуль, тогда какъ косинусъ отличенъ отъ нуля.
— 117 — Въ самомъ дѣлѣ, существуетъ равенство «" віп (ш/ а") Ъ" зіп (<о/ 4~ {Г) = — а” соз /«о/ а"4~ — -------------------Ъ" СОЗ ШІ У , которое приводится къ виду (1), при помощи слѣдую- щей подстановки — ' Такимъ же образомъ выраженіе (2) принимаетъ видъ я' соз (<о/ 4” а) ~Н 8’п № 4~ Ю — а> с08 (ю^ 4“ °0 — — Ь’ соз * Итакъ, для изученія разсматриваемыхъ выраженій, можно исходить изъ любого изъ трехъ указанныхъ выраженій (1), (2), (3). Возьмемъ формулу у = а соз («/ 4~ я) 4" 008 № 4~ і0> разсмотрѣніе которой, какъ мы увидимъ, приводитъ къ кривой линіи, которая называется синусоидой. Напишемъ предыдущее выраженіе въ слѣдующемъ видѣ (4) у = а созаісоза — азіп ш/зіп а4-Ь созшісоз — — Ь зіпаізіп р — (а ссз а-|-6 созсоз ыі—(а зіп а-\-Ь зіп^) зіп ш/. Всегда возможно найти два такихъ числа с и у, кото- рыя опредѣлялись бы равенствами а соз а 4- Ъ соз $ = с зіп у, а зіп а -|- Ъ зіп = — с соз у.
— 118 — Возвышая въ квадратъ оба послѣднихъ равенства и затѣмъ складывая полученные результаты, находимъ с- = а2 4- 62 2аЪ (С08 а СО8 (5 4~ 8‘п 2 8’п ~ — а2 4- Ъ2 4" СО8 (2 — ^)> отсюда получаемъ с — |/а2 4- № 4- 2аЬ С08 (а — ^). Что касается угла у, то величина его извѣстна, такъ какъ даны значенія его синуса и косинуса. Подставляя найденныя значенія с и у въ выраже- ніе у, приводимъ его къ слѣдующему виду (5) у = с (зіп у СО8 4” С08 7 8*п ~ = С8ІП (ш/4“ у)* Примѣчаніе.—При помощи вычисленій, подобныхъ предыдущимъ, выраженія вида (2) или (3) приводятся непосредственно къ виду (5), при чемъ нѣтъ надоб- ности преобразовывать ихъ предварительно къ виду (1). 62. Измѣненіе выраженія у — сзіп(юі гу).—Замѣ- тимъ прежде всего, что всегда возможно сдѣлать предположеніе, что с> 0. Въ самомъ дѣлѣ, если зна- ченіе с отрицательное, равное — с', то всегда можно написать у = — с'8Іп (и< 4~ у) = с'8іп (ші 4~ у -НО- Вводя обозначеніе 7 + " = получаемъ выраженіе у —с'яіп 4-у'), гдѣ с' представляетъ положительную величину. Наконецъ всегда можно предположить, что вели- чина у заключается между 0 п 2г, такъ какъ всегда
— 119 — возможно въ скобкахъ прибавить или вычесть 2п, или какое-либо кратное число 2тт, не измѣняя при этомъ величину синуса. Какъ извѣстно, яіпж имѣетъ періодомъ величину 2~, т.-е. принимаетъ одни и тѣ же значенія, когда х увеличивается на 2я. Въ данномъ случаѣ мы имѣемъ _-= и/ у. Поэтому, когда х увеличивается на 2~, т.-е. перемѣн- ный аргументъ аі возрастаетъ на 2л (такъ какъ у— постоянная величина), то I увеличивается на вели- чину^ . Слѣдовательно, функція у имѣетъ періодъ , и поэтому возможно ограничиться изученіемъ измѣ- ненія у только въ предѣлахъ измѣненія і отъ о 2л до V Указанному алгебраическому свойству функціи со- отвѣтствуетъ слѣдующее физическое явленіе: когда 2л время увеличивается на величину —, движущаяся точка возвращается въ первоначальное положеніе. Легко составить понятіе объ измѣненіи у, разсма- тривая одновременно измѣненіе выраженій ж = ш<-|-у и у = с8іп х, гдѣ с>0. Величина х возрастаетъ или убываетъ одновременно съ I въ зависимости отъ того, представляетъ ли ш положительную или отрицатель- ную величину. Если предположить, напримѣръ, что ш>о, тогда х возрастаетъ вмѣстѣ со временемъ. Какъ извѣстно, знакъ выраженія «іи# измѣняется, когда х получаетъ і) Вслѣдствіе періодичности функціи у очевидно, что характеръ, ея измѣненія будетъ повторяться при дальнѣйшемъ измѣненіи і.
— 120 — значенія и т. д., т.-е. когда имѣютъ мѣсто условія си/^ѵ.-^ѣ, откуда — у), 0)/ + у = , откуда / — — у) , и т. д. и т. д. Чтобы остановиться на чемъ - либо опредѣленномъ, предположимъ, что у < ѣ; мы получаемъ тогда слѣ- дующую таблицу значеній Кривая линія, представляющая измѣненіе разсматри- ваемой функціи, изображается на чертежѣ 31 и пред- ставляетъ собой синусоиду, которая получается, если синусоиду у = с 8іп <лі передвинуть вмѣстѣ съ осью оі, вдоль по ней. на величину—То же самое заключеніе
— 121 — ясно слѣдуетъ также изъ формулъ. Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ у — С 8ІН (со/ -|- ѵ)=С 8ІП <0 I І -[- . • Черт. 31. Поэтому, если провести ось о'у' параллельно оси оу че- резъ точку о, аосцисса которой равна — , то, откладывая значеніе абсциссъ /' отъ точки о', полу- чаемъ у' — с 8ІП СО/', такъ какъ Такимъ образомъ кривая, опредѣляемая послѣднимъ уравненіемъ, представляетъ, по отношенію къ осямъ о'у' и о'і, обыкновенную синусоиду. Послѣднее замѣ- чаніе показываетъ, что, при изученіи измѣненія у = с зіп (а/ -|- у), уголъ у имѣетъ второстепенное зна- ченіе; различныя кривыя, соотвѣтствующія разнымъ значеніямъ у, получаются изъ одной и той же кри- вой, перемѣщая ее вдоль оси оі. Поэтому общность разсужденій не уменьшается отъ введенія предположенія, что у меньше . і) Отрицательное значеніе абсциссы показываетъ, что точка о' должна быть отложена въ сторону отрицательныхъ абсциссъ.
— 122 — Наоборотъ, величина ю имѣетъ первенствующее значеніе, такъ какъ отъ нея зависитъ величина 2- перюда —. Примѣчаніе I. —Само собою разумѣется, что преды- дущія формулы, легко обобщаются, если взять з, 4 или большее число синусовъ или косинусовъ, вмѣ- сто 2, какъ мы это дѣлали. Примѣчаніе II.—Выше было указано, что разсматри- ваемыя выраженія встрѣчаются при изученіи прямо- линейныхъ колебательныхъ движеній. Въ самомъ дѣлѣ, когда точка совершаетъ указанное движеніе, то отклоненіе ея отъ центра, около котораго точка со- вершаетъ колебанія представляется выраженіемъ у слѣдующаго вида у — с 8іп гдѣ і обозначаетъ время. Какъ было доказано, сумма нѣсколькихъ подобныхъ функцій, одинаковаго періода, приводится къ одной функціи такого же вида и съ тѣмъ же самымъ періодомъ. Полученный алгебраическій результатъ соотвѣтствуетъ слѣдующему такъ назы- ваемому механическому закону сложенія движеній ’): сложное движете, составленное изъ нѣсколькихъ ко- лебательныхъ движеній одинаковаго періода и совер- шающихся по одной и той же прямой, представляетъ і) Само собою разумѣется, что движущаяся точка можетъ совер- шать одно только движеніе; мы вводимъ понятіе о сложномъ движе- ніи только для удобства представленія или механическаго осущест- вленія разсматриваемаго движенія. Такъ, напр., возьмемъ сложное колебательное движеніе, состоящее изъ двухъ колебательныхъ дви- женій, направленныхъ вдоль одной и той же прямой. Для предста- вленія его, предположимъ, что точка совершаетъ одно колебательное движеніе вдоль подвижной прямой, которая въ свою очередь, вмѣстѣ съ движущейся по ней точкой, совершаетъ второе колебательное движеніе вдоль своего направленія.
— 123 — собой колебательное движеніе съ тѣмъ же самымъ періодомъ. 63. Вычисленіе формулъ при помощи логариф- мовъ.—Приведеніе формулы къ виду удобному для лога- рифмическаго вычисленія состоитъ въ ея преобразова- ніи, позволяющемъ получать выраженіе логарифма неизвѣстной величины въ видѣ суммы или разности логарифмовъ извѣстныхъ величинъ. Такое приведеніе, однако, не всегда возможно. Въ послѣднемъ случаѣ стремятся вести вычисленія такимъ образомъ, чтобы имѣть возможность ограничиться наименьшимъ чис- ломъ вспомогательныхъ логарифмическихъ вычисле- ній 1). Дадимъ понятіе о томъ, какъ вести для этого вычисленіе на простомъ примѣрѣ, часто встрѣчаю- щемся въ практикѣ. Пусть имѣемъ формулу і<>- х = А Д гдѣ А и В представляютъ болѣе или менѣе сложныя выраженія, которыя были предварительно вычислены при помощи логарифмовъ. Задача состоитъ въ вычис- леніи логарифма і$х съ тѣмъ, чтобы получить затѣмъ величину х при помощи таблицъ. Такъ, напримѣръ, пусть имѣемъ выраженія ____ ^2_____________,,___________соз 25° 15' " ~ 8ІпЗОг, 75 ’ 18° 38'' Логарифмическія таблицы даютъ значенія 1о^ А и 1о^ В. Чтобы найти А и В, пришлось бы дважды обра- і) Не слѣдуетъ, однако, злоупотреблять этимъ принципомъ, не счи- таясь съ другпми вспомогательными вычисленіями, которыя не ве- дутъ къ вычисленію логарифмовъ чиселъ по таблицамъ. Иногда выгоднѣе найти одинъ лишній логарифмъ, если, благодаря этому, является возможность избѣжать большого числа сложеній или вы- читаній.
— 124 — щаться къ помощи таблицъ, затѣмъ вычислять сумму А -[-В и, наконецъ, найти по таблицамъ ея логарифмъ. Такимъ образомъ пришлось бы три раза обращаться къ помощи таблицъ для вычисленія Іо» х. Поэтому удобнѣе поступить слѣдующимъ образомъ. Напи- шемъ і<ІХ = А-{-В = А 1 -ф-~^\ . Предполагая В и А положительными, введемъ обо- - значеніе гдѣ <р представляетъ вспомогательный уголъ. Въ силу введеннаго обозначенія, получаемъ ІО»- і» <р (Іор; Б — Іо» А). & Поэтому находимъ і$х — А (1-Н»2ср) А С082Ф ' Слѣдовательно, получаемъ окончательно Іо» х — Іо» А — 2Іо» соя р. Благодаря сдѣланному преобразованію, намъ придется обратиться къ помощи таблицъ всего только два раза вмѣсто трехъ: первый разъ—для опредѣленія угла у при помощи значенія іо^і» р; второй разъ—для разы- сканія 1о§-сое по данному значенію р. При этомъ слѣдуетъ замѣтить, что, благодаря строенію таблицъ, оба раза приходится справляться на одной и той же страницѣ, что также вводитъ нѣкоторое упрощеніе.
— 125 — Можно было бы также поступить слѣдующимъ образомъ. Предполагая, что А^>В, вводимъ обозна- ченіе *) В С08 ® = — . ‘ А Отсюда слѣдуетъ Іо^' со« (р = Іор’ В — 1о$і’ А-. Поэтому получаемъ х — А (1 сой -|) = 2 Л со«і) 2 ~. Послѣдній способъ вычисленія требуетъ разысканія угла по величинѣ угла (?. Тѣмъ не менѣе этотъ способъ представляетъ удобство, когда, вмѣстѣ съ данной формулой, приходится вычислять одновременно также слѣдующую формулу «/ = Л — К Дѣйствительно, мы имѣемъ — А (1 — ) — А (1 — сов і) — 2 А 8Ііі2 , и, слѣдовательно, вычисленіе обѣихъ формулъ требу- етъ разысканія всего только трехъ величинъ по таб- лицамъ. 64. Другія формулы.—При частомъ употребленіи тригонометрическихъ формулъ, пріобрѣтается навыкъ преобразовывать ихъ къ виду, удобному для практи- і) При опредѣленіи вспомогательнаго угла, при помощи значенія его синуса или косинуса, необходимо чтобы величина послѣднихъ заключалась между — 1 и +1; что же касается тангенса, то вели- чина его можетъ принимать какія угодно значенія.
— 126 — ческихъ вычисленій или для теоретическихъ изслѣ- дованій. Однако нельзя дать общихъ правилъ для выполненія подобныхъ преобразованій. Поэтому мы ограничимся указаніемъ нѣсколькихъ искусственныхъ пріемовъ, которыми приходится постоянно пользо- ваться. Очень часто .бываетъ выгодно вводить, вмѣсто еди- ницы, выраженія яіп , или со§0, или Такъ, на- А ~г примѣръ, пусть имѣемъ и / и 1 4- 8ІП Ю = 8ІП + 8ІП 0 = 2 8ІП - 4- СО8 1 ‘ 2 1 ‘ \4 2/ 8ІП ^4’?) 1 + ^? = ^^+^?== --------- СО8 у СО8 Ч) 4 Такъ какъ дуги 4 2 И 4 2 являются дополнительными другъ къ другу, то си- нусъ одной изъ нихъ равняется косинусу другой. Кромѣ того Поэтому предыдущія выраженія становятся 8І11 СО8 ’й
— 127 — Для второго примѣра возьмемъ формулу а — Ъ х = •—Г~ 7 • (і —ь Требуется вычислить ,зная и Вводя обозначеніе Ь — а I”’ или -- = {<> а получаемъ а — аФ 1 —* 4 ‘ х /~ \ .Г — .----Е_І — —----------------——|о’ I--7) 1. Если а и Ъ представляютъ положительныя значенія, то, вводя обозначеніе приводимъ выраженіе х къ слѣдующему виду 1-^2« 14- = сов 2 а. Если имѣетъ мѣсто условіе, что Ь2 меныпе а2, то, полагая 6 А — СОЗ 9, а получаемъ 1 — сов 6 . ,0 3 1-|-соз 6 ° 2 Если задача состоитъ только въ вычисленіи іо".»’, то въ гакомъ случаѣ безразлично, какимъ изъ трехъ преобразованій ни воспользоваться. Но если одновре- менно требуется выполнять также и другія вычисле-
— 128 — нія, то можетъ случиться, что однимъ изъ трехъ ука- занныхъ преобразованій удобнѣе воспользоваться, чѣмъ остальными. Для послѣдняго примѣра, преобразуемъ въ произ- веденіе слѣдующую сумму яіп р + соя ц. Замѣчая, что / СОЯ </ = 8111 1 ——</ представляемъ данную сумму въ видѣ привведенія . /" \ . /я । р — (А /р-^<і тЛ 811121+ 8111 /- — </1 = 28111 / +~=4 соя/ 2 4 ) • Примѣры для упражненій на IV главу. 183. Вычислить соя За, зная яіпа и соя а; замѣтить, что выраженіе соя За представляетъ раціональную функцію соя а. 184. Вычислить яіп За, зная яіпа и соя а; замѣтить, что выраженіе яіп 3 а представляетъ раціональную функцію яіп а. 185. Вычислить Ц За, зная 1$а. 186. Вычислить соз 4 а, зная яіпа или соя а. 187. Вычислить яіп4а, зная яіпа и сова. 188. Вычислить (#4а, зная + 189. Вывести формулы дѣленія дугъ пополамъ, на основаніи вычисленій элементарной геометріи, при по- мощи которыхъ, по данной сторонѣ и апофемѣ пра- вильнаго вписаннаго многоугольника, вычисляются сторона и апофема правильнаго вписаннаго много- угольника съ удвоеннымъ числомъ сторонъ.
— 129 — 190. Вычислить, съ точностью до одной тысячной, значенія круговыхъ функцій дуги въ 5Г. 191. Вычислить, съ точностью до одной тысячной, значенія круговыхъ функцій дуги въ 3°45'. 9 192. По данному значенію зіп«. = —, вычислить ве- личину зіп ; найти значенія дуги , соотвѣтствую- 4 4 щія различнымъ выраженіямъ найденныхъ круговыхъ функцій. 193. Зная вычислить, съ точностью до хх • X 77 X . 77 X 71 одной тысячной, значенія і# —, о Іо 04 о4 194. Вычислить, при помощи логарифмовъ, вели- чину угла х, опредѣляемаго формулой х — зіп 35°15' зіп 18°35'. 195. Вычислить величину угла у, опредѣляемаго формулой соз у = зіп 20г,30 4" соз 85г,45. 196. Вычислить величину угла г, опредѣляемаго формулой = 18 25г,85 4- соі§ 40г,15. 197. Вычислить величину угла х, опредѣляемаго формулой _ зіп32г,45 _ 15г 75 ® Х С0345г,50 12Г, 15 ’ 198. Вычислить величину угла у, опредѣляемаго * формулой зіп2 у = * 3—^2 ^34-^2’ Тригонометрія. 9
— 130 — 199. Вычислить величину угла опредѣляемаго формулой 4 , 1 —СО8 35Г.4О " 1-|-8Іп 40г,50 200. Вычислить величину угла х, опредѣляемаго формулой . . , 1 — і§75г,5О 81П3^ == -- • 1 80,/о 201. Углы а, Ь, с удовлетворяютъ условію (1) а -|“ Ь -|~ с = к. Привести къ виду, удобному для логарифмическаго вычисленія, сумму 8І11 а 4- 8ІП Ь 4- 8ІП с. 202. Углы а, Ь, с удовлетворяютъ условію (1). При- вести къ виду, удобному для логарифмическаго вы- численія, сумму — 1 4- С08 а -|- СО8 Ь ф С08 с. 203. Рѣшить тотъ же вопросъ для суммы 204. Углы </, Ъ, с, «/удовлетворяютъ условію а 4“ 4- 4” :== ^іі. Привести къ виду, удобному для логарифмическаго вычисленія, сумму . соз а 4- СО8 Ь 4“ С08 с 4~ С08 205 Доказать справедливость равенства 8іп а 4- зіп Ъ 4- 8іп с — зіп (а 4- Ь 4“ с) — „ . ЬД-с . еД-а . аД-Ъ — 4 8іп —4— 81П —±— 8іп —— 2 2 и
— 131 — 206. Доказать справедливость равенства соз а 4~ соз Ь соз с Д- соз (а 4- Ь с) = ъ 4“ с с 4- 0 съ 4- ъ — 4 соз —+— соз —— соз —. и А 207. Доказать справедливость равенства №> , 1%а 1%а с а ' Ь Ь с а __8 зіп (6 — с) зіп (с — а) зіп (а — 6) зіп 2а зіп 26 зіп 2с 208. Предполагая существованіе зависимости а 4-64-6=2-, привести къ виду, удобному для логарифмическаго вычисленія, сумму — 1 4~ зіп а 4- зіп 6 4~ зіп с. 209. Рѣшить тотъ же вопросъ для суммы соз а 4~ соз Ь 4~ соз с. 210. Привести къ виду, удобному для логарифми- ческаго вычисленія, суммы, указанныя въ примѣрахъ 208 и 209, предполагая существованіе условія ііі «4-6 4-с—• 211. Вычислить значеніе суммы ,9= соз а 4- соз (а 4~ г) 4" С08 (а + %г) 4“ С08 (а 4“ Зг) 4" 4- соз (а 4- 4г). 9*
— 132 — Составивъ произведеніе 258Іп~, замѣнить въ немъ & произведенія, находящіяся въ каждомъ изъ членовъ, разностью двухъ синусовъ. 212. Вычислить, какъ въ предыдущемъ примѣрѣ, сумму 8' = віп а -]- 8Іп (а г) + 8Іп (а + 2г) зіп (а -}* М 4~ -|- 8Іп (а -(- 4г). 213. Обобщить предыдущіе примѣры.
ГЛАВА V. Рѣшеніе треугольниковъ. I. Зависимости между углами и сторонами треугольника. 65. Обозначенія.— Обыкновенно обозначаютъ че- резъ а, Ъ, с длину трехъ сторонъ разсматриваемаго тре- угольника; противолежащіе имъ углы называются со- отвѣтственно черезъ А, В, С. Величину ихъ мы бу- демъ подразумѣвать обыкновенно въ градахъ, если не будетъ сдѣлано особыхъ указаній относительно измѣренія угловъ. .Поэтому они удовлетворяютъ слѣ- дующей зависимости Л + <7 = 200. Углы А, В, С представляютъ собой значенія угловъ треугольника, опредѣляемыхъ въ элементарной геоме- тріи, т.-е. представляютъ положительныя величины, заключающіяся между 0 и 200. Стороны а, Ь, с выра- жаются также положительными числами, при чемъ ихъ величина дается, въ однѣхъ и тѣхъ же едини- цахъ длины, которыя должны быть указаны въ каж- домъ частномъ случаѣ. Обыкновенно обозначаютъ че- резъ В радіусъ окружности, описанной около треуголь- ника; черезъ г — радіусъ окружности, вписанной въ треугольникъ и черезъ г', >•", г'"—радіусы окружностей, вписанныхъ внѣшнимъ образомъ въ треугольникъ,
— 134 — соотвѣтственно въ углахъ А, В, С. Какъ увидимъ далѣе, удобно ввести обозначеніе 2р = а Ь с, т.-е. назвать черезъ р половину периметра треуголь- ника. Величины В, г, г', г”, г'" и р представляютъ собою числа, выражающія длину въ данныхъ единицахъ из- мѣренія. Наконецъ черезъ 6’ обыкновенно обозна- чается площадь треугольника, т.-е. измѣряющее ее число въ единицахъ площади, представляющихъ ква- дратъ, сторона котораго равняется единицѣ длины. Мы перейдемъ теперь къ выводу зависимостей между введенными величинами, на которыхъ основывается рѣшеніе треугольниковъ. 68. Первая система основныхъ зависимостей.— Первая группа основныхъ формулъ получается на основаніи слѣдующей геометрической теоремы: Квадратъ стороны треугольника, лежащей противъ его остраго угла (или тупого) равняется суммѣ квадратовъ двухъ другихъ сторонъ треугольника, умень- шенной (или увеличенной) на удвоенное произведеніе одной изъ нихъ на проекцію на нее второй стороны. Обозначимъ черезъ а сторону треугольника, ква- дратъ которой вычисляется; противъ нея лежитъ уголъ А, который заключается между сторонами Ъ и с. Если уголъ А острый, то проекція стороны Ъ на с равна бсозЛ.. Если же А представляетъ тупой уголъ, то разсматриваемая проекція выражается черезъ — 6 соз А, такъ какъ соз А представляетъ въ данномъ случаѣ отрицательную величину, тогда какъ разсматриваемая геометрическая проекція является существенно поло- жительной величиной. Такимъ образомъ въ обоихъ разсматриваемыхъ случаяхъ получается одна и та же формула а2 = Ь2 с2 — 2Ьс соз А.
— 135 — Полученная формула п всѣ аналогичныя ей фор- мулы, которыя выводятся такимъ же образомъ или получаются непосредственно изъ первой формулы, при помощи круговой замѣны буквъ, представляютъ пер- вую систему основныхъ зависимостей (а2— і2 4- с2 — 2Ьс сое А, ^2 = с2Ц-й2— 2сасо8В, с2 = а2 4- Ъ2 — 2аЬ соз С. Мы называемъ написанную систему зависимостей основною, потому что она представляетъ необходимыя и достаточныя условія для того, чтобы три положи- тельныхъ числа а, Ь, с и три угла (заключающіеся между 0 и 200) опредѣляли собой треугольникъ, со сторонами а, Ь, с и углами А, В, С. Написанныя равен- ства являются необходимыми, потому что, какъ мы сей- часъ доказали, они имѣютъ мѣсто для каждаго тре- угольника. Легко доказать, что напіи условія являются вмѣстѣ съ тѣмъ достаточными. Чтобы убѣдиться въ этомъ, предположимъ, что разсматриваемыя условія (I) дѣйствительно удовлетворяются. Построимъ тре- угольникъ съ двумя сторонами а, Ъ, и заключеннымъ между ними угломъ С. Обозначимъ черезъ Аг, три остальныхъ части построеннаго треугольника. Для построеннаго треугольника, на основаніи только что доказаннаго предложенія, имѣютъ мѣсто слѣдующія зависимости Г а2 =52-|-с12 — 2ЙС] созЛр (I/ ! Ь2 — с^Ц-а2 — гс/ісозВр | Сд2— а2-(-&2 —2а6сО8 С. Изъ послѣднихъ равенствъ системъ (I/ и (I) полу- чаемъ с2 — а,2.
- 136 — Такъ какъ? и с1 представляютъ положительныя вели- чины, то отсюда слѣдуетъ, что с = сѵ , Сопоставляя два первыхъ равенства системы (I) съ двумя первыми равенствами системы (I)', получаемъ соз А сонЛр соз В = соз . Такъ какъ величина угловъ А, В,А1,В1 заключается между 0 и 200, то изъ предыдущихъ равенствъ полу- чаются слѣдующія л=лр в=вѵ Поэтому части построеннаго нами треугольника ока- зываются слѣдующими а, Ъ, с, А, В, С, т.-е. построенный треугольникъ тожественъ данному а треугольнику. Такимъ образомъ ©мы убѣждаемся, что условія (I) являются достаточными. 67. Вторая система основ- с ныхъ зависимостей. — Иногда, вмѣсто первой, бываетъ удобнѣе пользоваться второй системой основныхъ равенствъ, къ выводу которой мы приступаемъ. Опи- ЧѳРт- 32- шемъ окружность вокругъ дан- наго треугольника АЕС (черт. 32); обозначимъ че- резъ О центръ этой окружности и черезъ В ея раді- усъ. Проводимъ прямую ОВ и изъ точки О опускаемъ перпендикуляръ ОН на сторону ВС. Очевидно, ВОН
— 137 — равенъ углу А Ч, если уголъ А острый, и равняется 200 — А, если уголъ А тупой. Во всякомъ случаѣ имѣетъ мѣсто слѣдующее равенство зіп ВОЙ — зіп А. Съ другой стороны Вй равняется половинѣ стороны ВС. Поэтому получаемъ а = 2ВЙ = 20В зіп ВОЙ — 2В зіп А. Такимъ же образомъ выводятся равенства Ь = 2В зіп В, с — 2В зіп С. Приравнивая между собою три различныхъ выраженія, которыя получаются для одной и той же величины 2В изъ послѣднихъ трехъ равенствъ, получаемъ слѣ- дующія зависимости !а ______ Ъ ____ с зіп А ~ зі!і В зіп С ’ А -\-В + (7 = 200, гдѣ послѣднее равенство представляетъ геометри- ческое условіе, выражающее равенство суммы угловъ треугольника двумъ прямымъ угламъ. Полученныя уравненія (II) представляютъ вторую систему основ- ныхъ зависимостей. Если положительныя числа а, Ъ, с і) Если уголъ А острый, то, продолжая ОН до пересѣченія съ дугой ВС въ точкѣ Р, видимъ, что вписанный уголъ А и централь- ный уголъ ВОН измѣряются одной и той же дугой ВВ, равной по- ловинѣ дуги ВВС. Если уголъ А тупой, то, очевидно, центръ описаннаго круга лежитъ внѣ треугольника. Сдѣлавши соотвѣтствующій новый чер- тежъ, читатель леіко убѣдится, что построенный центральный уголъ въ данномъ случаѣ равенъ 200—А.
— 138 — и углы А, В, С (заключающіеся между 0 и 200) удо- влетворяютъ зависимостямъ (II), то легко доказать, что они опредѣляютъ собою треугольникъ, частями котораго служатъ величины а, Ь, с, А, В, С. Въ са- момъ дѣлѣ, построимъ треугольникъ, одна изъ сто- ронъ котораго равна а и двумя прилежащими къ ней углами служатъ В и С (сумма которыхъ меньше 200). Обозначимъ черезъ Ъг, сѵ А1 остальныя части по- строеннаго треугольника. Для него имѣютъ мѣсто слѣ- дующія равенства I а Ьг С] (II)' ч 8іпЛ1 8І11В ~ зіп С’ {А^В ±0=200. Сопоставляя формулы (II) и (II)', получаемъ непосред- ственно А=АТ, Ь = ЬѴ с = сл. Слѣдовательно, зависимости (II) представляютъ дѣй- ствительно необходимыя и достаточныя условія суще- ствованія треугольника, стороны котораго измѣряются числами а, Ь, с, а углы равны значеніямъ А, В, С (заключающимися между о и 200). 68. Третья система основныхъ зависимостей.—Не останавливаясь подробно на третьей системѣ основ- ныхъ формулъ, которыя встрѣчаются довольно рѣдко, замѣтимъ только, что онѣ получаются послѣдователь- нымъ проектированіемъ замкнутаго контура всего треугольника на каждую изъ его сторонъ. Поэтому разсматриваемыя формулы представляются въ слѣ- дующемъ видѣ (III) а = Ъ соз С с сое В, Ъ = с соз А а соз С, с = а соз В 4- Ъ соз А.
—. 139 — Каждое изъ написанныхъ равенствъ заключаетъ пять частей треугольника, между тѣмъ какъ каждое изъ равенствъ (1) и (II) системы заключаетъ только по четыре части треугольника. Легко доказать, что полученная система уравненій также вполнѣ опредѣляетъ треугольникъ. Для этого замѣтимъ прежде всего, что, такъ какъ величина ко- синуса меньше единицы, то, въ силу уравненій (III), каждое изъ чиселъ а, Ъ, с меньше суммы двухъ дру- гихъ. Поэтому .всегда возможно построить треуголь- никъ, сторонами которого служили бы отрѣзки а, Ъ, с. Назовемъ черезъ Вг, С1 углы треугольника, по- строеннаго на послѣднихъ сторонахъ. Написавъ за- тѣмъ, что части построеннаго треугольника а, Ъ, с, Аг, Ви удовлетворяютъ системѣ уравненій вида (III), приходимъ къ заключенію В = Ві, С=С\. 69. Равнозначность трехъ системъ основныхъ за- висимостей.—Мы получили выше три различныхъ си- стемы основныхъ зависимостей. Легко убѣдиться, что всѣ три системы равнозначны, если только предполо- жить что а, Ъ, с положительныя величины и А, В, С заключаются между 0 и 200 а). Дѣйствительно, если одна изъ трехъ системъ удо- влетворяется шестью величинами а, Ъ, с, А, В, С, то і) Безъ этого ограничительнаго условія всѣ три системы не бу- дутъ равнозначными; въ этомъ легко убѣдиться при помощи вычи- сленій. Такъ, напримѣръ, системы (I) и (II) удозлетворяются слѣ- дующими величинами а —2, Ь = Ѵ2, с = У2, А —100, В—— 50, О = — 50. Между тѣмъ очевидно, что система (II) не удовлетворяется по- слѣдними значеніями.
— 140 — это показываетъ, что существуетъ треугольникъ, частями котораго служатъ послѣднія величины. Слѣ- довательно, эти шесть величинъ удовлетворяютъ также каждой изъ остальныхъ двухъ основныхъ си- стемъ. Приведенныя разсужденія показываютъ теоре- тически, что каждая изъ разсматриваемыхъ трехъ системъ основныхъ зависимостей можетъ быть выве- дена изъ любой изъ остальныхъ двухъ системъ. Доказательство разсматриваемаго предложенія, при помощи непосредственныхъ вычисленій, представляетъ интересный примѣръ для упражненій, на которомъ мы здѣсь не станемъ останавливаться (см. примѣры для упражненій п° 214, 215). 70. Дополнительныя зависимости. — Дополнитель- ными называются зависимости, которыя, кромѣ сто. ронъ и угловъ разсматриваемаго треугольника, заклю- чаютъ еще другія геометрическія величины, находя- щіяся въ простой связи съ треугольникомъ. Число такихъ зависимостей неограниченное, такъ какъ не- возможно точно установить степень простоты, которую должна представлять зависимость между какими-либо геометрическими величинами и даннымъ треугольни- комъ. Такъ, можно было бы поставить всю геометрію въ связь съ треугольникомъ; но въ этомъ, однако, не представляется никакого интереса. Мы уже встрѣчались съ дополнительными зависи- мостями, заключающими радіусъ В описаннаго круга, которыя представляются въ слѣдующемъ видѣ (1)2Л » » ‘ . 8І11Л 81пВ 81П С Обозначимъ черезъ Л высоту АН, опущенную изъ вершины А треугольника АВС (черт. 33). Если В острый уголъ, то уголъ АВЫ равенъ В, если же по-
— 141 слѣдній уголъ тупой, то АВН равняется 200 — В. Въ обоихъ случаяхъ синусъ угла АВН равенъ зіп В, и прямоугольные тре - угольники АВН и АНО даютъ зависимости к — Ъ зіп С=с 8іп В. Такъ какъ удвоенная площадь треугольника АВС равняется произ- веденію ак, то полу- чаемъ 28 — ак — аЪ зіп С = = ас зіп В. Такимъ же образомъ получаются аналогичныя ра- венства | (2) 28=Ъс зіп А = са зіп В = аЬ зіп С. Послѣднія формулы имѣютъ важное значеніе, такъ какъ даютъ простое выраженіе площади треугольника въ видѣ половины произведенія двухъ сторонъ тре- угольника на синусъ угла между ними. Изъ равенствъ (1) и (2) получается новая инте- ресная зависимость 4В8 = аЪс. Обозначимъ черезъ О центръ окружности, вписан- ной въ нашъ треугольникъ, черезъ г—ея радіусъ, че- резъ А', В', С'—точки соприкосновенія окружности соотвѣтственно со сторонами ВС, СА, АВ. Площадь разсматриваемаго треугольника АВС рав- няется суммѣ площадей треугольниковъ ОВС, ОСА, ОАВ. Принимая за основаніе въ треугольникѣ ОВС
— 142 — сторону ВС =^а и за высоту О А' — г и дѣлая то же самое въ остальныхъ треугольникахъ, получаемъ /о\С 1 I 1 I I 1 ® Ч- “Г С (3) 5= — аг Ьг 4 сг — —!-----— г = »г. * ’ 2 2'2 2 Какъ хорошо извѣстно, существуютъ зависимости ‘) А В' = А С == р — а, ВС' — ВА'~р — Ъ, СА'= СВ'— р —е. Возьмемъ прямоугольный треугольникъ ОАВ‘; такъ какъ острый уголъ, лежащій противъ стороны ОВ' — г, А равенъ — , то получается зависимость Разсматривая окружности, вписанныя внѣшнимъ, образомъ въ треугольникъ, получаемъ зависимости, аналогичныя предыдущимъ 8—(р — а) г' — (р — Ъ) г" — (/) — с) г"', Впрочемъ, достаточно запомнить только зависимости (3) и (4). О Первыя звенья равенствъ каждой строки вытекаютъ непосред- ственно изъ свойствъ вписаннаго круга. Что же касается вторыхъ эвеньевъ равенствъ, то, на основаніи первыхъ, мы имѣемъ 2р = 2(АВ' + СА' + ВА'), или р = АВ' + СА' + ВА', Такъ какъ СА' + ВА' а, то изъ предыдущаго равенства слѣдуетъ АВ' ~ р — а и т. д.
— 143 — II. Разсмотрѣніе четырехъ классическихъ случаевъ. 71. Перечень четырехъ случаевъ. — Задача, къ разсмотрѣнію которой мы приступаемъ, состоитъ въ рѣшеніи треугольника но тремъ даннымъ изъ его основныхъ составляющихъ частей, сторонъ и угловъ, въ числѣ которыхъ должна быть по меньшей мѣрѣ одна сторона. Поэтому могутъ быть заданы или одна сторона и два угла, или двѣ стороны и- одинъ уголъ, или, наконецъ, всѣ три стороны. Если задается одна сторона и два угла, то безразлично знать, какіе изъ угловъ даны, такъ какъ третій уголъ вычисляется очень просто, при помощи двухъ данныхъ. Но если заданы двѣ стороны и одинъ уголъ, то послѣдній мо- жетъ, или заключаться между данными сторонами, или лежать противъ одной изъ нихъ, что предста- вляетъ собой два различныхъ случая. Поэтому, при рѣшеніи треугольниковъ, слѣдуетъ различать всего 4 различныхъ случая: 1°. Заданы одна сторона и два угла: «, В, С. 2°. Заданы двѣ стороны и уголъ между ними: Ъ, с, А. 3°. Заданы двѣ стороны хі уголъ, лежащій противъ одной изъ сторонъ: а, Ъ, А. 4°. Даны три стороны: «, Ь, -с. - -. - • Мы разсмотримъ послѣдовательно всѣ четыре пе- речисленныхъ случая и въ каждомъ изъ нихъ вы- числимъ, при помощи заданныхъ частей треугольника, всѣ его неизвѣстныя части, а также и его площадь. 72. Первый случай: даны а, В, С.—Беремъ систему основныхъ равенствъ (II) (И) а ____ Ъ с 8ІП А 8ІП-В 8ІП С ’ А 4- Б -I— С == 200.
_ 144 — которыя легко разрѣшаютъ разсматриваемую задачу. Прежде всего вычислимъ величину А = 200 — В — С. Вслѣдъ за тѣмъ получаемъ непосредственно формулы , а зіп В О — —; > 81П А а8ІпС с — ——г > 81П А о аЬ 8іп С а2 8Іп В віп С О ==----— =-------; .-----> 2 8іп А которыя удобны для вычисленія при помощи лога- рифмовъ. 73. Второй случай: даны Ь, с, А.—Беремъ прежде всего равенство .Ъ’4~ С’= 200 — А. Затѣмъ, составляя сложныя пропорціи, выводимъ изъ формулъ (II) слѣдующія зависимости Ь _ с________ Ь-]~с __ Ъ — с 8ІІ1Ь’ 8ІП О 8ІП В -|- 8ІП С 8ІП В — 8ІН С которыя даютъ соотношеніе 8ІП В — зіп С _ Ъ — с 8Іп В 4* зіп С ~ Ъ -}- с Съ другой стороны, имѣютъ мѣсто равенства (см. стр. 115). . . В — С В+С 81П В — 8111 С = 281П С08 > 4 а . „ , . п . В±С в—с 81П В 4- 8111 С = 2 81П СОЗ
- — 145 — Раздѣляя послѣднія равенства почленно и замѣняя отношенія зіп къ соз черезъ іу, въ силу выведеннаго выше равенства, получаемъ В — С |о- ___—— зіп В — 8І1) С'_ ” 2 __Ь— с зіп В-^яіпС = ~ В-\-С ~ Ь~^с ' Такъ какъ существуетъ зависимость то предыдущее равенство даетъ В — С Ъ — с В-^С Ъ—с ± .1 ТО’ — ----—-----_ |о- .... ---- О()Ти' ° 2 + с в 2 Ъ-\-с 2 Зная величину В 4- С и В — С, получаемъ изъ нихъ значенія Е и С. Вслѣдъ за тѣмъ; воспользовав- шись первымъ звеномъ равенствъ (И) и выраженіемъ площади треугольника черезъ двѣ стороны и уголъ между ними, находимъ Ъ зіп А “ Фѣ) В ’ В — у Ъс зіп Л. Изслѣдованіе.—Такъ какъ извѣстно, что, но раз- сматриваемымъ даннымъ частямъ треугольника, всегда возможно его построить, то изслѣдованіе полученнаго рѣшенія является почти излишнимъ. Однако, для упражненія, полезно доказать, что найденныя значе- нія В и С удовлетворяютъ требуемымъ условіямъ, т.-е. величина ихъ заключается между 0 и 200. Чтобы убѣдиться въ этомъ, въ виду того что бис входятъ симметрично въ полученныя формулы, можемъ Тригонометрія. 10
— 146 — предположить, что Ь > с. Въ такомъ случаѣ имѣетъ мѣсто условіе и, стало-быть, мы имѣемъ неравенство Поэтому существуетъ острый уголъ 7, тангенсъ ко- тораго равняется выраженію и который, въ силу предыдущаго неравенства, удовле- творяетъ условію 0<і8<х <*? (100 — ~ Такимъ образомъ уголъ а заключается въ слѣдующихъ предѣлахъ 0<а<100—о Въ силу полученныхъ формулъ рѣшенія нашего треугольника, заключаемъ, что В — С Отсюда получаются слѣдующія значенія искомыхъ угловъ В и С В = а4-Ю0-~ , & с = 100 — -г — а ,
— 147 — величина которыхъ, въ силу послѣдняго неравенства, заключается между О и 200. Примѣчаніе относительно вычисленія при помощи логарифмовъ.—Если вмѣсто значеній Ъ и с извѣстна величина ихъ логарифмовъ 1о§ Ь и 1о§ с, то удобнѣе прежде всего вычислить вспомогательный уголъ ф, опредѣляемый равенствомъ . с Благодаря этому получаемъ 1-± .6— с Ь іе 50—іо х .„п Ь-\-с . с 1 + і® 60 ф ’ 1+6 23_0 Д (50 ~<Р) С0І° 1 * 74. Третій случай: даны а, Ь, А.—Въ этомъ слу- чаѣ уголъ В вычисляется при помощи формулы Вслѣдъ за тѣмъ получаемъ (2) С' —200 — А — В. Стало-быть, находимъ (3) С а зіп С зіпЛ ’ 8— — аЬ зіп С. Полученныя формулы очень простыя и вычисля- ются непосредственно при помощи логарифмовъ. Од- нако въ данномъ случаѣ необходимо изслѣдовать по- ю*
— 148 — лученный результатъ; какъ мы увидимъ, въ зависи- мости отъ значеній заданныхъ величинъ, разсматри- ваемая задача или не имѣетъ совсѣмъ рѣшенія, или имѣетъ одно или два рѣшенія. Изслѣдованіе.—Для того, чтобы формула (1) опре- дѣляла значеніе угла В, величина второй части ея (представляющая существенно положительную вели- чину) не должна превосходить единицы. Если бы мы имѣли наоборотъ а то въ такомъ случаѣ задача была бы невозможной. Предположимъ поэтому, что имѣетъ мѣсто условіе Ъ 8Іп А < а ~~ Кромѣ того необходимо, чтобы формула (2) давала положительное значеніе для угла С. Такъ какъ ра- венство (1) опредѣляетъ значеніе зіпБ, величина ко- тораго лежитъ между 0 и 1, то существуетъ два угла, заключающихся между 0 и 200, которые имѣютъ одинъ и тотъ же синусъ. Обозначимъ эти углы соотвѣт- ственно черезъ В и В', считая В' острымъ, а В" ту- пымъ угломъ. Какъ извѣстно, они удовлетворяютъ условію Ц'_|-Б" = 200. Послѣднимъ значеніямъ В и В' соотвѣтствуютъ два угла С" и С", опредѣляемыхъ формулами С =200 — А — В’, С" = 200 — А — В"= В— А. Въ дальнѣйшемъ мы будемъ разсматривать два раз- личныхъ случая, въ зависимости отъ того, является ли уголъ А острымъ или тупымъ.
— 149 — 1. Уголъ А острый.—Въ этомъ случаѣ уголъ С’ имѣетъ всегда положительное значеніе, такъ какъ каждый изъ угловъ А и В' меньше 100, а сумма ихъ меньше 200. Чтобы уголъ С" имѣлъ тоже положитель- ное значеніе, для этого необходимо и достаточно существованія условія В'>А. Поэтому, такъ какъ углы В' и А острые, должно удо- влетворяться условіе зіп В'у> зіп А, или или Если послѣднее условіе не имѣетъ мѣста, то, оче- видно, уголъ С" не существуетъ. Такимъ образомъ, если уголъ А острый, то суще- ствуютъ два рѣшенія при условіи, что Ъ больше « и всего одно рѣшеніе, если Ъ меньше а. 2. Уголъ А тупой.—Въ этомъ случаѣ уголъ С" имѣетъ всегда отрицательное значеніе, такъ какъ ка- ждый изъ угловъ А и В" больше 100 и сумма ихъ больше 200. Чтобы уголъ С имѣлъ положительное значеніе, необходимо и достаточно существованія условія _Б'<200 — А. Такъ какъ оба угла В' и 200—А острые, то преды- дущее условіе приводится къ неравенству зіп В' <^зіп (200 — Л),
— 150 — которое, въ силу формулы (1), становится т.-е. Ъ а. Такимъ образомъ, если уголъ А тупой, то разсма- триваемая задача не допускаетъ вовсе рѣшенія, когда Ъ больше а, и одно только рѣшеніе, если Ъ меньше а. Наконецъ полезно замѣтить, что уравненія, разрѣшающія разсматриваемую задачу, не измѣняютъ своего вида, если замѣнить въ нихъ А черезъ 200—Л. Поэтому приходится дѣлать одни и тѣ же вычисленія при совмѣстномъ рѣшеніи двухъ задачъ, въ которыхъ а и Ь имѣютъ одно и то же значеніе, а углы А до- полняютъ другъ друга до половины окружности. Если при этомъ основное условіе Ь віп А < а удовлетворяется, то каждая изъ обѣихъ задачъ имѣетъ по два рѣшенія В' и В"; если же Ъ а, то оба рѣшенія соотвѣтствуютъ той изъ задачъ, гдѣ данный уголъ А острый. Послѣдняя задача имѣетъ такимъ образомъ два рѣшенія, задача же, для кото- рой данный уголъ А тупой, не имѣетъ рѣшеній. Если имѣетъ мѣсто условіе & а, то одно изъ рѣшеній соотвѣтствуетъ задачѣ съ острымъ угломъ А, а другое — задачѣ съ тупымъ угломъ А; такимъ образомъ каждая изъ задачъ имѣетъ по одному рѣшенію. Наконецъ, если уголъ А прямой, то суще-
вполнѣ согласуются съ Черт. 34. — 151 — ствуетъ только одно рѣшеніе; то же самое имѣетъ мѣсто, если &8ІІ1Л—«. Въ обоихъ этихъ случаяхъ мы имѣемъ дѣло съ пря- моугольнымъ треугольникомъ, рѣшеніе котораго раз- сматривалось раньше. Полученные результаты геометрическими по- строеніями. Пусть АС представляетъ отрѣзокъ длиной Ъ (черт. 34). Изъ точки А проводимъ пря- мую линію I), образую- щую данный уголъ А съ прямой линіей АС. Сум- ма обоихъ угловъ, кото- рые образуетъ прямая I) съ прямою АС, очевидно равна двумъ прямымъ; построеніе, однако, не измѣ- няется, какой бы изъ этихъ двухъ угловъ мы ни при- няли равнымъ А. Изъ точки С, какъ центра, описы- ваемъ дугу окружности радіусомъ «. Если разстояніе точки С отъ прямой I) меньше радіуса а, то прове- денная дуга пересѣкаетъ прямую I) въ двухъ точкахъ В и В'. Оба получающіеся треугольника АВС и АВ'С представляютъ рѣшенія двухъ совмѣстныхъ задачъ, соотвѣтствующихъ двумъ различнымъ угламъ въ вер- шинѣ А, которые дополняютъ другъ друга до двухъ прямыхъ. Если, кромѣ того, а>&, то обѣ точки В и В' расположены по различнымъ сторонамъ отъ точки А, какъ это ясно слѣдуетъ изъ элементарныхъ свойствъ на- клонныхъ прямыхъ. Одно изъ полученныхъ рѣшеній соотвѣтствуетъ треугольнику съ острымъ угломъ А, другое—треугольнику съ тупымъ угломъ А. Если же «<й, что соотвѣтствуетъ нашему чертежу, то обѣ»
— 152 — наклонныхъ СІ>" и СЪ", вмѣстѣ съ перпендикуляромъ СИ, расположены съ одной стороны отъ СА. Въ этомъ случаѣ оба рѣшенія соотвѣтствуютъ треугольнику съ острымъ угломъ А. Длина перпендикуляра СИ, опу- щеннаго изъ точки С на прямую I), равна, очевидно, величинѣ 6 8іп А; поэтому условіе пересѣченія прове- денной окружности съ прямою 1), т.-е. условіе суще- ствованія обѣихъ точекъ Ъ' и В”, выражается нера- венствомъ а^>Ъ ніп А. Примѣчаніе.—Если существуетъ условіе а > Ъ, то тѣмъ болѣе а>Й8іпЛ, и въ этомъ случаѣ всегда су- ществуетъ рѣшеніе разсматриваемой задачи и только одно. 75. Четвертый случай: заданы а, Ь, с.—При рѣше- ніи предыдущихъ задачъ, мы всегда исходили изъ системы (II); въ настоящемъ случаѣ воспользуемся системой (1), исходя изъ ея уравненія а2 — ІА с2 — 2Ъс со.8 А. Изъ него мы получаемъ /А-'-с2—а2 Послѣдняя формула даетъ значеніе угла А. Анало- гичными формулами опредѣляются углы В и С. Мы не станемъ, однако, писать ихъ выраженій, такъ какъ гораздо удобнѣе преобразовать разсматриваемыя фор- мулы слѣдующимъ образомъ. Такъ какъ, очевидно, существуютъ равенства
— 153 — то отсюда получаемъ 2А __ 1 — соаЛ__ а2 — 0— с)2__(а-{-Ъ — с}(а— Ъ4-с) ° 2- 1--}-со8Л (6-{-с)2 — а2 (Ъ с -I- <0 (6 -і~ с—а) Вводя обозначеніе а с — 2/>, находимъ Ь с — г/ — 2р — 2а — 2(р — я), с а — Ъ = 2(р—-Ъ), а ±Ь — с = 2(р—с). Слѣдовательно, предыдущая формула становится (,>• >и (Р-Ь) (р—с). "2 р (р—«) Такимъ же образомъ получаются значенія и мы приходимъ къ слѣдующимъ формуламъ (|). = і/ (2» — ^ О 2 ' Р (Р —«) Ъ’ = / ір — с)(р~а) ”2 ’ р {р — 6) С=1/ (^~ «)(/>—<0 " 2 ' р(р — с) гдѣ передъ радикаломъ берется знакъ такъ какъ А В С углы - , --, — острые, и, слѣдовательно, тангенсы ихъ имѣютъ положительное значеніе.
— 154 — Полученныя формулы очень удобны для вычисле- ній при помощи логарифмовъ; чтобы вычислить иско- мыхъ три угла, достаточно найти логарифмы 4-хъ величинъ р, р — а, р — Ъ, р — с. Легко также выразить площадь треугольника при по- мощи послѣднихъ четырехъ величинъ; для этого до- статочно воспользоваться формулами (3) и (4) въ и°70, которыя даютъ №=р*г2 =р2(р — «)2^'2 4 — Р О ~ «) (.Р — Ъ) (Р — с), А т.-е. Я = \/р (р — а) (р — ~Ъ)(р — с). При вычисленіи, съ помощью логарифмовъ, удобнѣе прежде всего начать съ вычисленія радіуса г вписан- наго круга пли его логарифма; въ силу формулы (3) м°7О, получаемъ г = = /(у — а) (р~~Щр — с) . Р У Р Изслѣдованіе.—Изъ геометрическихъ соображеній слѣдуетъ, что разсматриваемая задача допускаетъ одно только рѣшеніе въ единственномъ предполо- женіи, что наибольшая изъ данныхъ сторонъ тре- угольника меньше суммы двухъ другихъ сторонъ. Это заключеніе легко вывести также изъ полученныхъ формулъ. Въ самомъ дѣлѣ, для существованія угла А необходимо и достаточно, чтобы найденное значеніе А і.Ц'2-- было положительнымъ. Послѣдняя величина имѣетъ одинаковый знакъ съ произведеніемъ (а Ъ ф- с) (Ь -1- с — а) (с а — Ъ) (а ~-Ъ — с).
— 155 — Если предположить, напримѣръ, что Ь представляетъ наибольшую изъ трехъ данныхъ сторонъ треугольника, то въ послѣднемъ произведеніи всѣ три множителя • а-\-Ъ-\-с, 6-|~с — а, — с являются положительными. Чтобы четвертый множи- тель с-|-а—Ь былъ также положительнымъ, для этого должно существовать неравенство которое и представляетъ требуемые условіе. Тотъ же самый результатъ можно получить, написавъ усло- В С віе, что выраженія 1§2— и і"2 — имѣютъ положитель- и и ныя значенія, или что значенія выраженій сойЛ, созВ, совС заключаются между предѣлами —1 и 4-1. Полученное рѣшеніе треугольника является един- ственнымъ, такъ какъ А, В, С заключаются между х А В О и 200 и, слѣдовательно, величина угловъ — и А и с — заключается между 0 и 100. Поэтому каждый изъ послѣднихъ угловъ получаетъ единственное значеніе, которое опредѣляется положительной величиной его тангенса. 7в. Примѣры рѣшенія треугольниковъ.—При рѣше- ніи треугольниковъ какъ и при всякихъ другихъ вы- численіяхъ съ помощью логарифмовъ, очень важно располагать вычисленія въ опредѣленномъ порядкѣ, такъ чтобы для полученія окончательнаго результата оставалось только вписать численныя заданія. Такой порядокъ рѣшенія измѣняется, только въ зависимо- сти отъ того, требуется ли ограничиться при рѣшеніи задачи опредѣленнымъ приближеннымъ значеніемъ,'
— 156 — или же желательно достигнуть наибольшей точности, которую возможно получить при помощи пропорціо- нальныхъ частей. Ниже будутъ приведены при- мѣры вычисленій для рѣшенія треугольниковъ въ различныхъ случаяхъ. Не слѣдуетъ, однако, смотрѣть на нихъ какъ на образцы, которымъ необходимо слѣпо слѣдовать; мы рекомендуемъ подражать указаннымъ примѣрамъ, вводя вмѣстѣ съ тѣмъ необходимыя из- мѣненія, при рѣшеніи каждой задачи, сообразно съ представляющимися обстоятельствами въ каждомъ частномъ случаѣ (см. стр. 207—214). III. Неклассическіе случаи. Приложенія. 77. Замѣчанія относительно неклассическихъ слу- чаевъ. — Возможно составить задачи на рѣшеніе тре- угольниковъ по какимъ угодно тремъ даннымъ геометри- ческимъ величинамъ, связаннымъ съ треугольникомъ. При этомъ необходимо, чтобы данныя величины являлись независимыми, т.-е. не были бы связаны между собой какимъ-либо уравненіемъ. Такъ, напримѣръ, три угла треугольника не являются независимыми величинами; площадь, периметръ и радіусъ окружности, вписан- ной въ треугольникъ, также не представляютъ неза- висимыхъ между собою величинъ. Вообще слѣдуетъ сказать, что заданныя величины не должны быть всѣ три углами-, одна изъ нихъ, по меньшей мѣрѣ, должна зависѣть отъ опредѣленной единицы длины. Въ противномъ случаѣ всѣ треугольники, подобные тому, который представляетъ рѣшеніе разсматри- ваемой задачи, служили бы также ея рѣшеніями. Вмѣстѣ съ тѣмъ условіе, выражающееся въ томъ, чтобы всѣ три заданныхъ величины не были бы углами, не является достаточнымъ признакомъ для того, чтобы
— 157 — заданныя величины были между собою независимыми. Мы не станемъ останавливаться подробно на понятіи о независимости заданныхъ величинъ; этотъ вопросъ долженъ быть подробно разсмотрѣнъ при рѣшеніи каждой отдѣльной задачи. Задаваемыя въ каждой задачѣ геометрическія ве- личины связываются алгебраическими равенствами со сторонами треугольника и круговыми функціями его угловъ. Если къ этимъ равенствамъ присоединить одну изъ системъ основныхъ зависимостей, то тригономе- трическая задача приводится къ алгебраической за- дачѣ (при этомъ, конечно, въ случаѣ надобности, слѣдуетъ пользоваться алгебраическими зависимостями между круговыми функціями одного и того же угла). Общая теорія исключенія неизвѣстныхъ позволяетъ приводить подобную задачу къ рѣшенію одного или нѣсколькихъ алгебраическихъ уравненій съ одной не- извѣстной. Изложенный способъ рѣшенія задачъ, пред- ставляетъ для насъ интересъ только въ такомъ слу- чаѣ, когда въ результатѣ получаются уравненія не выше второй степени; въ послѣднемъ случаѣ вообще возможно получить рѣшеніе задачи, при помощи бо- лѣе простыхъ дѣйствій, чѣмъ тѣ, которыя вытекаютъ изъ общей теоріи исключенія неизвѣстныхъ. Очень часто задача приводится къ рѣшенію тригонометриче- скихъ уравненій; наиболѣе часто встрѣчающіеся виды ихъ будутъ разсмотрѣны въ слѣдующей главѣ. 78. I. Рѣшеніе треугольника по тремъ высотамъ.— Называя черезъ Л, к, I три высоты треугольника, по- лучаемъ 2Л’ = ак — Ьк — еі: отсюда непосредственно получаются слѣдующія выра- женія сторонъ треугольника и его полупериметра, черезъ посредство величины его площади 5,
— 158 — ч _ 28 28 (1) а- , Ь— , 28 Выведенное въ и°75 выраженіе , въ силу предыду- А щихъ формулъ, становится Іо- -- = |/(« + с —&)(« + & —С) = ° 2 (а + Ъ с) {Ь с — а) /7 І4-А--1Ѵ-1 I 2 — 1/ ' к "Г 1 к '' к "Г" к 1' ~Г Д+Д+ДѴ±+Д _Д)’ (. Л к і Д & т і к / въ виду того, что подрадикальная дробь сокращается на общаго множителя 482, входящаго въ числитель и знаменатель. Аналогичныя формулы получается для В С выраженій — и —• Такъ какъ мы имѣемъ равенства № = р (р — а) (р — Ь) {р — с) = 111 іѵі ।іѵи---Ѵ-+-— I I к]\к^к I]' то, составляя уравненіе изъ ихъ перваго и послѣд- няго звена, получаемъ изъ него, по сокращеніи па 82 и извлеченіи квадратнаго корня, слѣдующее зна- - ченіе 8
— 159 — Подставляя вычисленное выраженіе 5 въ формулы (1), получаемъ, наконецъ, искомыя стороны треугольника. И. Рѣшеніе треугольника по радіусу вписанной окружности и угламъ.—Выведенныя въ и°7О формулы вида (4) даютъ зависимости 7 Г 1,-1,=^ ,= т ---7Т ~2 В • ГСО8- “ . В ’ 8111 -- С Г С08-—- ы = — с” 8111 — ы ' Отсюда получается выраженіе а въ слѣдующемъ видѣ В С- СО8— 008— ____ 81Пу 8111 у 81П----!--- 2 . В . С 81П — 81П— 2 2 Г СО8 —- 4^ . В . С ' 8ІН — 81П — 2 2 ГС08-- С ~ А . В 8111 — 8111 — Такимъ же образомъ вычисляются остальныя двѣ сто- роны треугольника В ГСО8-- ' = . А . С 111 1? 8Ш "2 Наконецъ, воспользовавшись найденными значе- ніями а и Ъ, получаемъ выраженіе площади треуголь- ника
— 160 — .1 13 с 1 , . „ , . С (' Г'С"‘Ч 2 С08 2С0'4 2 X — о аЬ 8В1 С -- аЬ кні , соя —; — ----—= ЬІН ^_ьіп_кіп _< , л л С = г-СОІ"' , соЩ - соЩ , • 1 2 2 2 79. Рѣшеніе многоугольниковъ. Четыреугольникъ, вписанный въ кругъ. — Зависимости между углами и сторонами треугольника позволяютъ приводить рѣше- ніе какого угодно многоугольника, съ достаточнымъ числомъ данныхъ частей, къ рѣшенію системы урав- неній. Дѣйствительно, всегда возможно (и притомъ различными способами) разложить многоугольникъ на треугольники. При этомъ стороны послѣднихъ и углы, которые не представляютъ составныхъ частей много- угольника, вводятся въ качествѣ вспомогательныхъ неизвѣстныхъ величинъ. Если число заданныхъ частей многоугольника достаточное, то совмѣстное рѣшеніе разсматриваемыхъ треугольниковъ приводится къ алге- браической задачѣ рѣшенія совокупности совмѣстныхъ уравненій, число которыхъ равняется числу неизвѣст- ныхъ. Если многоугольникъ имѣетъ какой - либо частный видъ (правильный многоугольникъ, паралле- лограмъ, ромбъ, трапеція и т. д.), то изъ его опре- дѣленія получается нѣсколько зависимостей между его частями. Каковъ бы ни былъ многоугольникъ, во всякомъ случаѣ между его углами, выраженными въ градахъ, существуетъ зависимость ГЛ = 200 (п — 2), гдѣ п обозначаетъ число сторонъ разсматриваемаго многоугольника. Приложимъ указанныя общія соображенія къ рѣ- шенію четыреугольника, вписаннаго въ кругъ, по дан-
— 161 нымъ его сторонамъ; обозначимъ ихъ черезъ а, Ъ, с, й въ томъ порядкѣ, какъ онѣ встрѣчаются, если описы- вать периметръ четыреугольника въ одномъ опредѣ- ленномъ направленіи. Уголъ между сторонами а и Ъ условимся обозначать черезъ (аЪ) и т. д. Условія, ко- торыя показываютъ, что данный четыреугольникъ впи- санъ въ кругъ, выражаются извѣстными равенствами (аЬ) (аі) 200, (Ьс) 4- ((Іа) = 200, представляющими очевидное слѣдствіе теоремы объ измѣреніи вписанныхъ угловъ. Назовемъ черезъ В длину діагонали, лежащей про- тивъ угловъ (аЬ) и эта діагональ дѣлитъ четыре- угольникъ на два треугольника, для которыхъ имѣютъ мѣсто зависимости В2 = «2 [,2 — 2аЬ соз (аЬ), В2 — с2 В — 2аІ соз {аі). Замѣчая, что соз (аі) = — соз (аЬ) и приравнивая оба написанныхъ выше выраженія В2, получаемъ «2-|- Ъ2 — 2аЬ соз (аЬ) - 4 2аІ СОЗ (аЬ). Изъ послѣдняго равенства находимъ соз (аЬ) — Поэтому простое преобразованіе даетъ (аЬ)__1 — соз (аЪ)__с- -{- — м2 — 62 2 (аЬ аі) " ~2 - 1 соз (аЬ) а2 -4 И2 — с2 — <12 + 2 (аЬ -}- аі) ______(р 4~ (02—Са &У ~(а + ?>)2 — (7 — (I)2' Три симметрія.
— 162 — Замѣняя разность квадратовъ въ числителѣ и знаме- нателѣ черезъ произведеніе суммы на разность, полу- чаемъ > 2 (аЪ) ___ (с 4~ сі 4- а — Ь) (с 4~ <1 4~ Ь — а) 2 (а Ъ 4~ с — сі) (а 4~ — €) Вводя обозначеніе 2р — а Ь е 4 с/, замѣчаемъ, что имѣютъ мѣсто слѣдующія равенства 2(р — а) = Ъ 4- с~\~сІ — а, 2 (р — Ъ) — с 4- сі 4~ сі — й, 2(р — (?) — сі 4- а 4~ Ь - с*. 2 (р — (I) — а 4- Ъ 4~ е - сі. Поэтому предыдущая формула приводится къ слѣ- дующему виду _____________ 1<т («О і / (у - а^Р ~ й) ° 2 * (п — с)(р—Л') Такимъ же образомъ получается выраженіе + о- \/ — 6) - С) . р 2 ' (р — а)(р — Л)' Нѣтъ надобности составлять далѣе выраженія ± (сёі) , і" и і" . Дѣйствительно, легко убѣдиться, что существуетъ, напримѣръ, слѣдующее соотношеніе (сіі) {аЪ} Дг :2- 2 которое является слѣдствіемъ равенства (а&)-|-(«/)-- --=200. Площадь $ разсматриваемаго четыреугольника пред- сгавляетъ сумму площадей двухъ треугольниковъ, на
— 163 — которые онъ дѣлится діагональю I). Поэтому простыя вычисленія, въ силу выведеннаго выше значенія соз («/>), даютъ 2.9— аЬ зіп (аЬ) <*1 віп (с<1) == (аІ> + ей) зіп (аЬ). 1 б<92 = 4 (аЪ ей)2 зіп2 (аЪ) — 4 (аЪ сй)2 [ 1 — соз2 (аб) | -— = 4 (аЪ + сй)2 — («2 + & — ~ &)г = (2 аЪ а2 4“ — с<і — ^2) (2*^ 4“ 2ст/ — а2 — — Ъ2 —с2 —</2) =-- [(« + Ь)2 — (с — <02] [ІС 4- й)2 — (« — />)2] —(а 4“ +с — <0 (а 4- —с 4- ‘О (<* 4” С14* 4-« — Ь) (с-\-й — с 4~ &) — 16 (р — а) (р — />) (р — с) (р — (1). Отсюда окончательно слѣдуетъ, что =\Цр — а) (р— Ъ) (р — с)(р — (I). Полученныя формулы представляютъ сходство съ формулами рѣшенія треугольника по тремъ сторонамъ. Подобно тому какъ для треугольника, такъ и въ на- стоящемъ случаѣ для четыреугольника, полу чаются ана- логичныя условія возможности рѣшенія задачи. Для этого выраженія, находящіяся подъ знакомъ радика- ловъ, должны быть положительными, т.-е. наибольшая изъ сторонъ четыреугольника должна быть меньше суммы остальныхъ его сторонъ. Послѣднее заключеніе является также очевиднымъ и съ чисто геометриче- ской точки зрѣнія. Примѣры длр упражненій на V главу. 214. Доказать, при помощи вычисленій, равнознач- ность первой и третьей системы основныхъ зависи- мостей между частями треугольника. 215. Доказать равнозначность второй и третьей си- стемы основныхъ зависимостей между частями тре- угольника. и*
— 164 — 216. Доказать, при помощи вычисленій, слѣдующую зависимость- между радіусами круговъ, описаннаго вокругъ тре- угольника и вписанныхъ въ него внутреннимъ и внѣшнимъ образомъ. 217. По даннымъ сторонамъ и угламъ треуголь- ника вычислить его высоты. 218. Вычислить, при существованіи предыдущихъ условій, отрѣзки высотъ треугольника, между его вершинами и точкой пересѣченія высотъ; между каж- дой изъ вершинъ треугольника и точкой пересѣченія опущенной изъ нея высоты съ окружностью, описан- ной вокругъ треугольника. 219. Задача, аналогичная 217, для биссекторовъ внутреннихъ и внѣшнихъ угловъ треугольника. 220. Задача, аналогичная 218, для биссекторовъ внутреннихъ и внѣшнихъ угловъ треугольника. 221. Задача, аналогичная 217, для медіанъ. 222. Задача, аналогичная 218, для’медіанъ. 223. Вычислить длину перпендикуляровъ, опущен- ныхъ на стороны треугольника изъ центра описанной вокругъ него окружности. 224. Основанія высотъ треугольника АВС предста- вляютъ вершины второго треугольника А'В'С'. Вы- числить его части въ видѣ функцій частей перваго треугольника. 225. Рѣшить задачу, аналогичнующредыдущей, для точекъ пересѣченія внутреннихъ биссекторовъ тре- угольника съ его сторонами. 226. Рѣшитъ аналогичную прежнимъ задачу для трехъ точекъ пересѣченія внутреннихъ и внѣшнихъ биссекторовъ треугольника съ его* сторонами, выбран- ныхъ соотвѣтственнымъ образомъ; при этомъ слѣду- етъ точно установить порядокъ этого соотвѣтствія.
— 165 — 227. Вычислить радіусъ я окружности, вписанной внутри треугольника такимъ образомъ, что она касается вписанной въ него окружности и двухъ сторонъ тре- угольника Ъ и с; выразить а черезъ г и А. 228. Назовемъ черезъ и у радіусы двухъ окруж- ностей, аналогичныхъ окружности радіуса а, указан- ной въ предыдущей задачѣ. Доказать соотношеніе Рѣшить слѣдующіе треугольники: 229. а = 325 м 7? = 35г,45 С’=74г,78. 230. а = 19м,35 Б = 85г,40 С==108г,95. 231. а = 0м,348 1і= 12г,38 С=І80г,38. 232. а=175км В = 61,35 С'=3Г,48. 233. а = 128м,35 Л —• 115г,3452 С--= 35г,2875. 234. а = 115м,42 /> = 25°15'35" С=95°8'34". 235. 6= 152м ' с‘=134м Л=34г,15. 236. 5= 18м,75 с — 56м,55 А = 95г,34. 237. 5= 12м,75 с= 17 м, 34 Л = 101г,18. 238. 6 = 35км,18 <•= 1780м А = 15г,56. і 239. Ь — 3м,2475 с = 2 м,3786 А = 78г,3842. 240. Ъ — 2 м,8356 с = 3м,5742 А — 60°18'34". 241. « = 356м 6 = 274 м А = 15г,34. 242. « = 155м,8 Ь-^ 134м, 7 А = 25г,75. 243. а — 314м,5 Ь = 208м, 9 А = 165г,28. 244. а — 15м,7 Ъ — 23 м, 42 А = 74г,35. 245. а = 152м,74 Ъ = 138м, 26 А = 28г,2573. 246. а = 413м,55 Ь — 328м, 74 А =48°15'39". 247. а—28м 6 = 35м с = 43м. 248. « -5м,75 Ь 8м,35 с = 7 м,43. 249. а=12км & = 13км е = 1458м. 250. а = /> = 6360' км с — 1875м. 251. о = 13м,452 6 = 15м,874 с —18м,439. 252. а = 17м,385 . А = 17 м, 433 17м,875. 253. а = 282м,37 Ь = 371м,71 с = 488м. 23.
— 166 — Выразить углы послѣдняго треугольника въ граду- сахъ, а его площадь въ гектарахъ. 254. Рѣшить треугольникъ по даннымъ величинамъ в,Л и Ъ-\-с. Изслѣдовать рѣшеніе. 255. Рѣшить треугольникъ по даннымъ величинамъ а, А и Ъ — с. Изслѣдовать рѣшеніе. 256. Рѣшить треугольникъ по даннымъ величинамъ а, А и Ъ-\-с. Изслѣдовать рѣшеніе. 257. Рѣшить треугольникъ по даннымъ величинамъ Д, а Ъ и а с. Изслѣдовать рѣшеніе. 258. Рѣшить треугольникъ по одной данной вы- сотѣ и всѣмъ угламъ. 259. Вычислить тригонометрически діагонали че- тыреугольника, вписаннаго въ окружность, по его сторонамъ. Вывести отсюда извѣстныя соотношенія между діагоналями и сторонами четыреугольника. 260. Вычислить углы и площадь вписаннаго въ окружность четыреугольника, стороны котораго имѣ- ютъ значенія ' а=± 3542 м, 2575 м, с = 4683м, </=8654м. 261. Вычислить углы и площадь трапеціи, для ко- торой длина параллельныхъ сторонъ равна 24м,59 И 35 м,43, а длина непараллельныхъ сторонъ выражается чис- лами 17м,58 и 14м,75. 262. Вычислить стороны, углы и площадь паралле- лограма, зная, что его діагонали имѣютъ длину 435мм и 875мм, а уголъ, составляемый діагоналями, равняется 45г,48.
— 167 — 263. Углы пятиугольника равны между собой; длина его трехъ послѣдовательныхъ сторонъ равняется со- отвѣтственно 2м, 3м, 4м. Вычислить двѣ остальныхъ стороны разсматриваемаго пятиугольника и его діаго- нали. 264. Даны двѣ окружности, центры которыхъ нахо- дятся на разстояніи Л, а радіусы равны соотвѣтственно В и Ш. Вычислить углы, образуемые общими каса- тельными къ обѣимъ окружностямъ. Для примѣра взять сѣченіе земли и луны плоско- стью, проходящей черезъ ихъ центры, и положить (7==384500к'(, й — 6366км, й' = 1741км. 265. Вычислить стороны четыреугольника, описан- наго около окружности, по данному радіусу послѣд- ней и угламъ А, В, С, Т) четыреугольника. Само со- бой разумѣется, что А, В, С, I) удовлетворяютъ усло- вію А і-й г (7 4-1)^400.
ГЛАВА VI. Различныя дополненія. I. Тригонометрическія уравненія. 80 Общія замѣчанія. Тригонометрическими назы- ваются уравненія, которыя заключаютъ неизвѣстныя величины подъ знакомъ круговыхъ функцій. Тригоно- метрическія уравненія принадлежатъ къ числу урав- неній, называемыхъ трансцендентными въ противо- положность алгебраическимъ уравненіямъ. Трансцен- дентныя уравненія имѣютъ обыкновенно неограничен- ное число рѣшеній. Такъ, напримѣръ, уравненіе ніп л- — О имѣетъ неограниченное число рѣшеній х — 0, х — ~, х — 2”. —2"..., которыя всѣ заключаются въ одной общей формулѣ X -- гдѣ /.• обозначаетъ цѣлое, положительное или отрица- тельное число. Однако мы строго ограничимъ кругъ трансцендент- ныхъ уравненій, которыми будемъ заниматься. Такъ, напримѣръ, уравненіе Щ ./• — х принадлежитъ къ виду существенно трансцендентныхъ, которыя выходятъ за предѣлы нашего изученія. Мы
— 169 — ограничимся разсмотрѣніемъ только такихъ тригоно- метрическихъ уравненій, которыя приводятся къ виду алгебраическихъ, если принять за новыя неизвѣстныя величины круговыя функціи неизвѣстныхъ величинъ, входящихъ въ данныя тригонометрическія уравненія. Таковы, напримѣръ, уравненія съ одной, неизвѣстной «г, которыя зависятъ алгебраически отъ круговыхъ функцій дугъ а2.г,... апх, гдѣ числа а2,..., ап соизмѣримы съ числомъ а, т.-е. равняются произве- деніямъ послѣдняго на цѣлыя положительныя или отрицательныя числа. Дѣйствительно, всѣ круговыя функціи дугъ аух, а2х... ап.т выражаются, при по- мощи формулъ сложенія дугъ, раціонально черезъ круговыя • функціи дуги ах. Послѣднія въ свою очередь всѣ выражаются раціонально черезъ і# . Поэтому, благодаря обозначенію разсматри- ваемыя тригонометрическія уравненія преобразовы- ваются въ алгебраическія уравненія по отношенію къ новой извѣстной величинѣ /. На основаніи изложенныхъ соображеній, можно было бы не останавливаться дальше на тригонометри- ческихъ уравненіяхъ, такъ какъ они приводятся къ виду алгебраическихъ уравненій. Однако очень часто удобнѣе рѣшать разсматриваемыя уравненія, при по- мощи способовъ, основанныхъ на примѣненіе триго- нометрическихъ формулъ, какъ легко убѣдиться на слѣдующихъ примѣрахъ. 81. Линейныя уравненія относительно соз х и зіп х.— Линейное уравненіе относительно созж и «іпя; пред- ставляется въ слѣдующемъ общемъ видѣ (1) «С08ЛГ-]-?>8ІП.Г = С, гдѣ а, Ь, с обозначаютъ данныя числа.
— 170 — Если рѣшать написанное уравненіе по указанному общему способу, то, вводя обозначенія 1 — /2 . 2/ находимъ «(1 — /2) + 2Ы = с(1 /2), Щ 4~ с)^2 4“ с — ==== о, __— 6 Ч-1/ с2— а2—Ъ2 а-г-с Мы не станемъ изслѣдовать полученнаго рѣшенія; читатель легко убѣдится самостоятельно, что изслѣдо- ваніе приводитъ къ результатамъ, которые полу- чаются также изъ приводимаго ниже тригонометри- ческаго рѣшенія даннаго уравненія. Начнемъ съ опре- дѣленія, по даннымъ числамъ а и Ъ, значенія угола <р, заключающагося между 0 и 200, и числа г при по- мощи слѣдующихъ зависимостей іа —г сок <о, (2) п • {Ъ — Г 8П1 Нетрудно видѣть, что обѣ величины г и у всегда суще- ствуютъ. Дѣйствительно, раздѣляя почленно преды- дущія равенства (2),. получаемъ зависимость Ь . (3) іК<р=="’ которая даетъ всегда вполнѣ опредѣленное единствен- ное значеніе для угла <р, заключающееся между 0 и 200, каковы бы ни были выраженія а и Ъ. Найдя значеніе <р, нетрудно опредѣлить, пользуясь любымъ изъ уравненій (2), величину г, которая, очевидно, удо-
— 171 — влетворяетъ также и второму изъ этихъ уравненій. Подставляя выраженія а и Ъ, представляемыя равенст- вами (2), въ уравненіе (1), находимъ (1)' /' С08 СО8 X -|- Г 8ІП У 8ІП X = С, ИЛИ (1)" Г С08 (X — ф) ~ С. Полученное уравненіе (1)" тожественно съ (1)-мъ, но представляетъ его въ новомъ видѣ. Полагая (4) сок а — % опредѣлимъ отсюда значеніе угла а, заключающееся между 0 и 200, предполагая при этомъ, что суще- ствуетъ неравенство (5) Послѣднее приводится въ слѣдующему, болѣе про- стому виду С2 (5)' -^<1. Воспользовавшись найденнымъ значеніемъ угла а, представляемъ уравненіе (1)" слѣдующимъ образомъ (6) С08 (X — (р) = СО8 а. Общій видъ рѣшеній послѣдняго уравненія дается формулой х — <р = + а> гдѣ к цѣлое, положительное или отрицательное число, т.-е. х 2&к ~і— ф “I— д. , I - Вводя обозначенія Ф —Я 'р 3.-Л*2,
— 172 — представляемъ рѣшенія даннаго уравненія слѣдую- щими двумя формулами 7 \х = 2І--^х.. Какъ мы видѣли, для существованія рѣшеній на- шего уравненія, необходимо и достаточно, чтобы удо- влетворялось неравенство (5), или (5)'. Такъ какъ соотношенія (2) даютъ г2 -- а- --І- Ь2, то поэтому разсматриваемое условіе становится с2 < а2 ф- Ъ2. Въ частномъ случаѣ, когда послѣднее неравенство обращается въ равенство, то необходимо положить, что а = 0 или а = тогда оба выраженія (7) пред- ставляются одной формулой. Полученное рѣшеніе допускаетъ слѣдующее весьма простое геометрическое толкованіе. Предположимъ, для простоты разсужденій, что числа а, Ъ и с поло- жительныя. Легко привести къ этому частному пред- положенію самый общій случай, замѣнивъ х черезъ к ѵ х І~мо’ ГД'® въ зависимости отъ знаковъ а, Ь, с, должно представлять одно изъ значеній 0, 1, 2 или з Построимъ прямоугольный треугольникъ ОАТ>, ка теты котораго ОА и ОВ равны соотвѣтственно чи- сламъ а и !> (въ опре- дѣленномъ масштабѣ) (черт. 35). Гипотенуза АВ разсматриваемаго тре- угольника равняется г, а острые углы равны со-
— 173 — отвѣтственно ф и 100 — <р, какъ это слѣдуетъ изъ формулъ (2). Проводимъ черезъ точку О прямую линію Д образующую уголъ х съ ОА, и проектируемъ точки А и В на прямую В. Обозначая проекціи ихъ соот- вѣтственно черезъ А' и В' и считая уголъ х острымъ положительнымъ, получаемъ ОА' — ОА соз х — а соз х, ОВ' — ОВ зіп х — Ъ зіп х, А'В' = а соз х Ь 8Іп х. Если бы чертежъ нашъ имѣлъ видъ чертежа 36, то х представлялъ бы острый отрицательный уголъ, и мы имѣли бы формулы ОА’ а сои х, ОВ' — — бзіпі’, А'В’ ~ О А' — ОВ' — а соз х Ъ зіп х, гдѣ, само собой разумѣется, обозначенія ОА', ОВ', А'В’ представляютъ существенно положительныя длины. Рѣшеніе заданнаго уравненія равнозначно рѣшенію слѣдующей геометрической в задачи: провести прямую А. I) такъ, чтобы отрѣзокъ / ; \ А В' имѣлъ данную длину с. / \ *_____ Такъ какъ А'В' служитъ : '0> проекціей отрѣзка АВ на ось В, то, слѣдовательно, А А'В' равняется г соз а, гдѣ Черт. 36. - г обозначаетъ длину АВ, а а—уголъ между А'В' и АВ. Поэтому уголъ а опредѣляется непосредственно (фор- мула (4), стр. 171) и, очевидно, равняется выраженію х — <р, взятому съ опредѣленнымъ знакомъ и увеличен- ному на кратное число 2п. Данное геометрическое рѣшеніе легко можетъ быть обобщено (см. примѣръ 307).
— 174 — 82- Квадратичныя уравненія относительно созх и 8іп,х.—Квадратичными уравненіями относительно сон.г и яіп х называются уравненія, которыя содержатъ члены второй степени относительно со8« и зіпл и не заключаютъ послѣднихъ въ первой степени. Разсматри- ваемыя уравненія имѣютъ слѣдующій общій видъ А С082 X 4- 2В 8І11 X С08 X -|- С 8ІП2 X — 1). Написанное уравненіе приводится къ болѣе простому виду, если умножить его вторую часть на выраженіе со»2» -|—8іп2гг, которое = 1. Благодаря этому, данное уравненіе становится А СО82 X 2 В 8І11 X СО8 X 4- С'8ІІ12 X --- В (СО82 X 4- 8ІП2 или (А — 1)) со82л' 4~ 22> 8Ііі х С08 х 4~ (('— 1)) 8Іп2о;--- 0. Такимъ образомъ разсматриваемое уравненіе дѣлается однороднымъ, т.-е. всѣ члены его становятся одной и той же степени (второй). Для простоты напишемъ полученное уравненіе въ слѣдующемъ видѣ МС082 X 4- 2 А" 8ІП X С08 X 4- В 8ІП2 X — 0. Раздѣляя всѣ члены его на со.ч2.г, тіолу чаемъ ура- вненіе второй степени относительно і$х Р і"'2 х 4~ 2 А’ і# х 4- м = 0. Изслѣдованіе послѣдняго уравненія совершается очень просто, такъ какъ тангенсъ можетъ принимать какія угодно значенія. Поэтому, для существованія корней (т.-е. чтобы корни были дѣйствительными), достаточно существованія условія Х* — МР>0. Разсматриваемое квадратичное уравненіе можетъ быть также приведено къ виду линейнаго уравненія
— 175 — относительно соя 2 г и яіи 2 х, при помощи подстановки формулъ , 1 -4- соя 2х СО82^ =------------, 8І11 2х ЯІП X СО8Л- = -—, Такимъ образомъ получается уравненіе только что разсмотрѣнное въ предыдущемъ параграфѣ. 83. Системы уравненій съ двумя неизвѣстными.— При рѣшеніи задачъ тригонометріи, очень часто встрѣ- чаются системы тригонометрическихъ уравненій съ двумя неизвѣстными* величинами а? и у, которыя вхо- дятъ симметрично въ данныя уравненія. Въ этихъ случаяхъ, вмѣсто исключенія одной изъ неизвѣстныхъ по способу подстановки, бываетъ удобнѣе воспользо- ваться симметріей уравненій, для ихъ преобразованія. Чтобы показать, какъ совершаются подобныя преобра- зованія, приведемъ нѣсколько примѣровъ. I. Рѣшить систему уравиеиій: X —у == (I, 8ІП X -|- 8І11 у — Ъ. Общій способъ рѣшенія данныхъ уравненій заклю- чается въ подстановкѣ во второе уравненіе значенія у, опредѣляемаго изъ перваго уравненія въ видѣ раз- ности а — х. Раскрывая затѣмъ выраженіе віп(а — х), получаемъ линейное уравненіе относительно 8іпж и совж, которое рѣшается указаннымъ выше образомъ. Однако проще воспользоваться слѣдующей форму- лой 8ЙІ X р- 8І11 у . X —|— 'У X — Іі 2 МП —~-‘-СО8 —? ,
— 176 — которая, въ силу перваго изъ данныхъ уравненій, ста- новится , . . а х — ч 81В X -у- 8111 у =2 8111 — С08 — Поэтому второе изъ данныхъ уравненій принимаетъ слѣдующій видъ и даетъ возможность вычислить, при помощи лога- рифмовъ, уголъх- - . Зная величину .г — у и вы- раженіе :і‘-\-у, опредѣляемое первымъ, изъ данныхъ уравненій, получаемъ искомыя значенія х и у. Изслѣдованіе.—Для возможности вычисленія угла , необходимо и достаточно, чтобы квадратъ его косинуса былъ меньше единицы, т.-е. чтобы удовле- творялось условіе А2 8І112— . 2 Если послѣднее условіе имѣетъ мѣсто, то для—--*- & получается выраженіе слѣдующаго вида 2Ажгдѣ А представляетъ опредѣленную дугу, и въ резуль- татѣ мы получаемъ х = 2кк±А 4-“-, 2/.т- А 4-|, гдѣ числу к необходимо давать одни и тѣ же значе- нія, а при А брать одновременно или верхніе, пли нижніе знаки.
— 177 — II. Рѣшитъ систему уравненій: С08Ж__р СОЙ у у’ х — у— а. Составляя сложную пропорцію изъ перваго уравненія, при помощи простого преобразованія, получаемъ . х у . х — у — 2 8111 7—^- 811) —~ р — У ___ С08 х —С08 У __ 2 2 Р + 7 ~~ СО8 X + СО8 У X 4- У X — у 1 1 2СО8------^СО8---~- А Сі - X------------------У яру 2 ‘ Поэтому, въ силу второго изъ данныхъ уравненій, на- ходимъ х хА-у (}—р . а >8-4-=^“‘8 2 Отсюда получается выраженіе Х фу, а затѣмъ, при Сі помощи сложенія и вычитанія, находятся значенія х и у, такъ какъ второе изъ данныхъ уравненій даетъ X— у значеніе полуразности ——-. II. Производныя круговыхъ функцій. 84. Предварительныя теоремы.—Мы предполагаемъ въ настоящей статьѣ, что всѣ дуги выражаются исклю- чительно въ частяхъ радіуса. Теорема I.—Если х обозначаетъ положительную дугу, меньше четверти окружности тригонометриче- скаго круга, то существуютъ неравенства 8ІП X <^Х <4$ X, Тригонометрія. 12
& 'показывающія, что Черт. 37. — 178 — величина дуги х заключается ме- жду величиной ея синуса и тан- генса. Пусть АМ представляетъ дугу х (черт. 37); синусъ ея изобра- жается отрѣзкомъ МР, а тан- генсъ равенъ отрѣзку МР. Строимъ точку М’, расположенную симме- трично съ М относительно О А. Принимая за единицу длины ОА, получаемъ 2 8ІПЖ — МАР, 2:г = дуга МАМ', 21<у$~МР-\-РМ'. Такимъ образомъ неравенства, которыя требуется до- казать, преобразовываются въ слѣдующія ММ' < дуги МА М' < МП 4- РМ'. Первое изъ этихъ неравенствъ очевидно само по себѣ, такъ какъ хорда, стягивающая дугу окружности, ко- роче ея; второе же неравенство вытекаетъ изъ того, что дуга МАМ'2) короче огибающей ея линіи МРА-РАГ. Ъ Если читатель знакомъ съ этой теоремой только для того слу- чая, когда разсматриваемыя кривыя ломанныя, то, для распростра- ненія ея, слѣдуетъ разсуждать слѣдующимъ образомъ. Проводимъ перпендикуляръ къ прямой АВ изъ какой-либо ея точки, лежащей, между А и В; предположимъ, что этотъ перпендикуляръ Пересѣ- каетъ МВ въ точкѣ Н и М'В въ Й'. Периметръ многоугольника МІІП'М' меньше МВ + ВМ'; ко этотъ же самый периметръ больше периметра многоугольника, вписаннаго въ дугу ММ' и, слѣдова- тельно, больше или по меньшей мѣрѣ равняется длинѣ этой дуги (кэторая отличается на сколько угодно малую величину отъ вписан- наго многоугольника съ достаточно большимъ числомъ сторонъ)... Такимъ образомъ МВ А ВМ' больше дуги МАМ'.
— 179 — Теорема II.—Если дуга х заключается между 0 и тг, то существуетъ неравенство О <Г X — 8ІП х т.-е. разность между дугой и ея синусомъ предста- вляетъ положительную велгічину, меньше четверти куба дуги. Первая половина неравенства, показывающая что разсматриваемая разность положительная, т.-е. >0, вытекаетъ непосредственно изъ теоремы I въ томъ случаѣ, когда х меньше то же первое звено нера- венства становится само по собѣ очевиднымъ, если .г больше^- (такъ какъ синусъ такой дуги меньше 1). Поэтому остается доказать вторую часть написаннаго неравенства. Для этого замѣтимъ слѣдующее Такъ какъ дуга - заключается между 0 и , то имѣ- 61 61 ютъ мѣсто неравенства Поэтому, для положительныхъ значеній зіп и , су- ществуютъ неравенства 1 — 8т2- >1------ ѣ 4 Отсюда слѣдуетъ, что 8І1) ‘У 12*
— 180 — т.-е. ?.з X — 8ІП X < -- • 4 Примѣчаніе.—Теоремой II удобно пользоваться въ слѣдующемъ видѣ /^3 X----- 8ІП X X. 4 Такъ какъ значенія х положительныя, то, раздѣляя послѣднее неравенство на х, получаемъ Ж2 8ІП # X < ' Послѣднее неравенство не измѣняется, если х замѣ- нить черезъ — х, такъ какъ существуютъ равенства ( х)2 X2 8І11( — X)8ІП X 4 4 —х х Поэтому разсматриваемыя неравенства справедливы, так- же для всѣхъ значеній х, заключающихся между—я и 0. Теорема III.—Отношеніе синуса къ дугѣ стремится къ единицѣ, когда дуга стремится къ нулю, т.-е. раз- сматриваемое отношеніе тѣмъ менѣе отличается отъ единицы, чѣмъ ближе величина дуги къ нулю. По- этому, когда дуга обращается въ нуль, разсматриваемое отношеніе должно быть замѣнено единицей. Предположимъ, дѣйствительно, что х имѣетъ зна- ченіе (положительное или отрицательное), близкое къ нулю; выражаясь точнѣе, предположимъ, что мы имѣемъ — к<^х <^Л, гдѣ к представляетъ какое-либо положительное число меньше я. Въ силу предыдущей теоремы, существу- етъ неравенство X2 8ІП X 1----- -----1 . „ 4 #
— 181 — Поэтому тѣмъ болѣе имѣетъ мѣсто условіе Л2 8ІП ж “ 4 <'~яГ< ’ Разность между единицей и отношеніемъ —— пред- ставляетъ положительную величину меньше - • Если Л малая величина, то предыдущая разность также мала и будетъ становиться тѣмъ меньше, чѣмъ меньше значеніе Л. Если, напримѣръ, ,1 Л2 1 . 7 1 7г2 4 = І0о' Т0 4 = М000' есл” '“Тмюбоо- ™ 4 “ ’ _ 1 _= 4000000000000 Если дуга х принимаетъ все меньшія и меньшія зна- ченія (положительныя или отрицательныя) и обра- . 8ІП х щается, наконецъ, въ 0, то отношеніе —^—становится равнымъ 1. 85. Производныя основныхъ круговыхъ функцій,— Мы предполагаемъ, что читатель знакомъ съ поняті- емъ о производной изъ дифференціальнаго исчис- ленія. Пусть имѣемъ функцію у = 8Іпа:; если х получаетъ приращеніе Да? и если обозначимъ черезъ Д у соотвѣтствующее приращеніе, которое по- лучаетъ функція у, то находимъ Л . Да? / , Д х \ Д у 8іп (х -|- Д .г) — 8іп х 2 \ 2 / Д х Да Да?
— 182 — т.-е. имѣемъ 2 Если кх обращается въ нуль, то отношеніе . А х 81П — — и Ьх ~2~ становится равнымъ единицѣ, и мы получаемъ й(зіпж) . / . т:\ ---— СОЗ X = 81П \Х -4-- I • ах \ ' 2/ Такимъ же образомъ доказывается формула й(созж) . I , тЛ —ч— = — зіп х — соз х-4- — |. ах \ 1 2/ Наконецъ мы имѣемъ . , . . . 1 , зіп Д X (х 4- Д х) — х =-----------—г- 1 соз х соз (х 4- Д х) и отсюда получаемъ а(1$х)_^ 1 Лх соз2 х 14-1§2 х. Такимъ же образомъ получается формула Л (соі§ х~} іх — 1 ЗІП2 X 1—соі§2ж. Изъ полученныхъ формулъ легко выводятся извѣст- ные намъ результаты относительно измѣненій круго- выхъ функцій.
— 183 — Часто приходится вычислять производныя круго- выхъ функцій кратныхъ или дробныхъ дугъ, т.-е. про- изводныя выраженій сова#, зіпаж, і^ах, гдѣ а обозна- чаетъ постоянную величину (которая можетъ быть цѣлой или дробной, безразлично). Искомыя производ- ныя находятся на основаніи общей теоремы о диф- ференцированіи сложныхъ функцій; однако гораздо проще, не основываясь на послѣдней теоремѣ, продѣ- лать въ каждомъ частномъ случаѣ непосредственно всѣ необходимыя вычисленія. Пусть, напримѣръ, тре- буется вычислить производную 8І1іа«, Согласно съ опредѣленіемъ, искомая производная представляетъ величину отношенія ' ' зіп а\х Д х) —8Іпси' когда Д х становится равнымъ 0. Если положить ах = у, то «Дж = Ду и предыдущее отношеніе ста- новится ц — 8ІП(у + а у) —зіпу_ а зіп (у-ф-Д у) —зіп у Такъ какъ число « представляетъ постоянную вели- чину, то, когда Д х обращается въ О, то же самое происходитъ съ Ду. Поэтому отношеніе ыіп (у 4-А у) — 8ІП у Ду обращается въ выраженіе сову, представляющее про- изводную функцію зіп у. Слѣдовательно, отношеніе И становится равнымъ произведенію а на сону, т.-е. рав- няется асозаж. Тѣ же самыя разсужденія прилага- ются къ косинусу, тангенсу и котангенсу. Такимъ образомъ мы приходимъ къ слѣдующему правилу:
— 184 — Правило.—Для вычисленія производной по х кру- говыхъ функцій кратной дуги ах, умножаютъ на а производную послѣднихъ функцій, вычисленную въ предположеніи, что произведеніе ах замѣнено одной буквой у (т.-е., какъ говорятъ, берутъ производную по ах). При вычисленіи производныхъ функцій произведе- нія или степеней круговыхъ функцій одной и той же дуги всего удобнѣе замѣнять ихъ суммами или разно- стями. Такимъ образомъ слѣдуетъ, совершать предва- рительно преобразованія, обратныя тѣмъ, которыя употребляются для приведенія суммы или разности круговыхъ функцій къ виду, удобному для логариф- мическихъ вычисленій. Благодаря такому преобразо- ванію, задача становится проще, чѣмъ задача диффе- ренцированія произведенія. Примѣры I. — Вычислить производную функціи у — зіп х зіп Зх. Замѣчая, что у — 8ІЛ х 8ІП Зх = [СО8 ( Зх — х) — С08 (Зх -ф- ж)'| ~ — ~ €08 2.Г---~ С08 4-Г, получаемъ, дифференцируя послѣднее выраженіе, у' — — 8іп Л. Вычислитъ первую и вторую производныя функціи у — €08 2х €08 Зх €08 4#. Такъ какъ данная функція приводится къ слѣдую- щему виду У — ^(С08Ж-|-С08 Ьх) €08 4х==-С08Ж €08 4ху €08 4х €08 Ъх--~- 2 2 2 — | (€08 Зх Ц- С08 б.г -=- С08 X €08 9.Г),
— П5 — то поэтому получаемъ у' = — і (зіп х 3 зіп За? -|- 5 зіп ах 9 зіп 9х), у"— — ~ (СОЗ х -|- 9 соз Зх 4- 25 СОЗ ах 81 соз 9а?). 86. Приложенія.—I. Касательная къ синусоидѣ.— Изложенныя соображенія позволяютъ точнѣе предста- вить данное выше (на страницѣ 53) построеніе сину- соиды, при помощи опредѣленія величины углового коэффиціента ’) ея касательной. Полагая у = 8ІП X, получаемъ у' = соз х. Поэтому угловой коэффиціентъ касательной, при измѣненіи х отъ о до 2т, измѣняется между предѣ- лами — 1 и 1. Разсматриваемый угловой коэффи- ціентъ равняется +1, когда х равняется 0; поэтому касательная въ этой точкѣ къ синусоидѣ совпадаетъ съ биссекторомъ угла хОу. Затѣмъ при измѣненіи х отъ О до ~ , угловой коэффиціентъ касательной убываетъ и обращается въ 0, когда х — Такимъ образомъ ка- 3 сательная наклоняется все болѣе и болѣе къ оси х и становится параллельна оси Ох въ точкѣ А (черт. 24). Указаннымъ образомъ легко продолжить и дальше изу- ченіе вида синусоиды. . ІГ. Изученіе измѣненія выраженія у — х — 2 зіп х, при измѣненіи х отъ 0 до 2~. *) Опредѣленіе углового коэффиціента прямой линіи находится на страницѣ 77, въ задачѣ VI.
— 186 — Производная данной функціи имѣетъ значеніе у' — 1 — 2 008 х. Выраженіе у' обращается бъ 0, когда со8« = ^ , т.-е„ А для значеній х — и х — . При измѣненіи х отъ о О о до^, производная имѣетъ, очевидно, отрицательное зна- ченіе и, слѣдовательно, функція у убываетъ. При даль- нѣйшемъ измѣненіи х отъ до значеніе у' стано- 3 3 вится положительнымъ и поэтому функція у возра- стаетъ. Наконецъ, при дальнѣйшемъ измѣненіи х отъ ~ до 2іт, функція у снова убываетъ. Вычисляя вели- О чину функціи у для указанныхъ значеній х, равныхъ ~-и^, а также и для крайнихъ значеній 0 и 2к, О о составляемъ слѣдующую таблицу 1 х | 0 5гс "3 2к у' -1 отрица- тельное. 0 положи- тельное. 0 отрица- тельное. —1 У 0 убыва- етъ. минимумъ. возра- стаетъ. -> + /3 максимумъ. убыва- етъ. 2я При измѣненіи х отъ до ~ > функція у постоянно о 3 возрастаетъ отъ наименьшаго своего отрицательнаго
— 187 — значенія — у'з (минимумъ, равный приблизительно _ 0,7)'до наибольшаго положительнаго значенія--)- )/3 (максимумъ, равный приблизительно 7). Отсюда' слѣ- дуетъ, что функція у обращается въ о всего одинъ разъ въ разсматриваемомъ промежуткѣ измѣненія х. Значеніе х, при которомъ у обращается въ 0, можетъ .быть получено при помощи послѣдовательныхъ проб- ныхъ подсчетовъ. Измѣненіе разсматриваемой функціи представляет- ся графически при помощи чертежа 38. : Въ точкѣ А функція у имѣетъ наименьшее значе- ніе, въ точкѣ В— наибольшее. Въ этихъ точкахъ угло-
188 — вой коэффиціентъ у' касательной къ разсматриваемой і ривой обращается ьъ 0, и касательная становится параллельна оси Ох. Въ точкахъ О и С, соотвѣтствую- щихъ значеніямъ 0 и 2іг перемѣнной х, угловой коэф- фиціентъ касательной равенъ — 1. Слѣдовательно, въ этихъ точі ахъ касательная параллельна биссектору уіла х'Оу. Точка, гдѣ касательная наиболѣе откло- няется отъ оси Ох, соотвѣтствуетъ наибольшему зна- ченію у', т.-е. величинѣ .г = тг, для которой у' равна 3; эта точка на чертежѣ обозначена черезъ Р. Мы пре- доставляемъ читателю доказать, что точка Р предста- вляетъ центръ кривой и вмѣстѣ съ тѣмъ точку пере- гиба, т.-е. точку, гдѣ наша кривая пересѣкается съ касательной къ пей, построенной въ этой точкѣ. III. Приложеніе тригонометріи къ съемкѣ плановъ. 87. Опредѣленіе.—Задача съемки плана опредѣляй- ной мѣстности представляетъ, по своему существу, рѣшеніе геометрической фигуры, образованной опредѣ- леннымъ числомъ постоянныхъ точекъ, естественныхъ или намѣченныхъ искусственнымъ образомъ въ раз- сматриваемой мѣстности1). Рѣшеніе полученной та- ---------- 4 Постоянныя точки выбираются болѣе или менѣе близко другъ отъ друга, въ зависимости отъ преслѣдуемой цѣли. Эти точки должны быть достаточно близки для того, чтобы положеніе другихъ точекъ, которое желаютъ точно знать, могло быть легко опредѣлено,, по от- ношенію къ постояннымъ точкамъ, съ желаемою точностью. Такъ, напримѣръ, возьмемъ участокъ земли, ограниченный съ одной стороны кривой линіей АВ, длиной въ 50 метровъ, которая отклоняется отъ прямой АВ не больше чѣмъ на 50 сантиметровъ. Если этотъ уча- стокъ находится въ деревнѣ, гдѣ земля оцѣнивается невысоко сра- внительно съ городомъ, то вполнѣ достаточно за постоянныя точки принять А и В. Если же указанный участокъ земли расположенъ въ центрѣ большого города, гдѣ квадратная сажень земли стоитъ столько, сколько цѣлая десятина ьъ деревнѣ, то тогда приходится
— 189 — кимъ образомъ фигуры приводится къ измѣренію или вычисленію ея составныхъ частей. Рѣшивъ фигуру, легко начертить затѣмъ ея планъ, т. - е. построить проекцію подобной ей фигуры. Мы ограничимся разсмо- трѣніемъ частнаго случая, когда всѣ постоянныя точки находятся въ одной плоскости. На практикѣ чаще всего этой плоскостью служитъ горизонтальная. Раз- сматривая постоянныя точки и прямыя линіи, соеди- няющія ихъ по 2, получаемъ плоскій многоугольникъ, стороны и углы котораго требуется опредѣлить. Не всѣ однако части разсматриваемаго многоугольника неза- висимы между собой. Разрѣшая рядъ треугольниковъ, изъ которыхъ состоитъ нашъ многоугольникъ, воз- можно вычислить всѣ его части, если будутъ непосред- -ственно измѣрены только нѣкоторыя изъ нихъ, соот- вѣтственнымъ образомъ избранныя: въ этомъ и заклю- чается значеніе тригонометріи для съемки плановъ И. 88. Измѣреніе длинъ и угловъ.—Само собою раз- умѣется, что невозможно опредѣлить фигуру разсматри- ваемаго многоугольника, при помощи измѣренія однихъ только угловъ, такъ какъ всѣ подобные многоуголь- ники имѣютъ равные углы. Вь виду этого необходимо измѣрить по меньшей мѣрѣ одну длину. Легко видѣть, что вполнѣ достаточно измѣрить одну только какую-ни- будьд іину и затѣмъ достаточное число угловъ.Это обсто- ятельство является весьма существеннымъ, такъ какъ измѣреніе угловъ совершается гораздо легче и съ большею точностью, чѣмъ измѣреніе длины по поверх- ности земли. Мы не станемъ здѣсь описывать инстру- ментовъ, употребляемыхъ для этихъ измѣреній, ни ввести между точками А и В цѣлый рядъ промежуточныхъ постоян- ныхъ точекъ. 9 Можно было бы обойтись безъ вычисленій, если требуется только начертить планъ; но если стремиться къ болѣе точному составленію этого плана, то полезно сдѣлать всѣ вычисленія.
— 190 — излагать способовъ ихъ употребленія, при помощи ко- торыхъ стремятся уменьшись возможныя погрѣшности. Какъ инструменты такъ и способы ихъ примѣненія измѣняются въ зависимости отъ преслѣдуемой цѣли, т.-е. въ зависимости отъ требуемой большей или мень- шей точности искомыхъ результатовъ2). При обыч- ныхъ землемѣрныхъ съемкахъ, обыкновенно удовле- творяются точностью до одного дециметра, при измѣ- реніи разстояній въ нѣсколько сотъ метровъ. Если измѣренія сдѣланы съ точностью до одного сантиме- тра, то съемка считается весьма точной. Въ послѣд- немъ случаѣ точность измѣренія колеблется въ пре- 2) Принципы, на которыхъ устраиваются измѣрительные приборы,'* всегда очень щ осты. Приборы различаются между собой только въ деталяхъ построенія и по тѣмъ приспособленіямъ, при помощи кото- рыхъ вводятся поправки на возможныя погрѣшности (происходящія, напримѣръ, отъ расширенія металла, атмосферной рефракціи, при ви- зированіи на большихъ разстояніяхъ и т. д.). Для измѣренія длины пользуются всегда длиной опредѣленной величины (метромъ въ видѣ ленгы или деревянной линейки, землемѣрной цѣпью, металлической желѣзной или платиновой ливейкей, провѣренной длины), которую откладываютъ вдоль измѣряемаго протяженія, отъ одного его конца до другого. Для измѣренія угловъ пользуются раздѣленнымъ на части кругомъ, съ подвижнымъ на немъ діаметромъ, который врашаётся вокругъ центра круга. При измѣненіи, центръ круга п<мѣшается въ въ вершинѣ измѣряемаго угла и подвижный діаметръ совмѣщается-по- слѣдовательно съ обѣими сторонами )гла (при чемъ мишень наводится на разсматриваемою точку, или невооруженнымъ і лазомъ, или при по- мощи зрительной трубы). Затѣмъ по круіу (невооружені ымъ глазомъ или при помощи лупы, или микроскопа) отсчитывается уголъ, на ко- торый былъ повернетъ подвижный діаметръ. Болѣе подробное опи- саніе инструмента представляетъ инте} есъ только тогда, когда читатель имѣетъ самый приборъ подъ руі ами. Поэтому лучше научиться пользоваться простымъ не совсѣмъ точнымъ приборомъ, чѣмъ читать по книгѣ подробное описаніе сложнаго прибора. Мы бы очень рекомендовали читателю по возможности продѣлаіь въ дѣй- ствительности нѣсколько землемѣрныхъ съемокъ на землѣ.
- 191 — дѣлахъ отъ до —измѣряемой длины, и по- этому можно считать точными четыре или пять циф- ровыхъ знаковъ. При измѣреніяхъ въ высшей геоде- зіи, разстоянія въ нѣсколько километровъ измѣряются съ точностью до нѣсколькихъ миллиметровъ, такъ что погрѣшность равна приблизительно 1Од~дОдо~ измѣряе- мой длины, и поэтому можно считать точными шесть или семь цифръ. Конечно, необходимо также измѣрять и углы съ точностью, которая соотвѣтствовала бы точ- ности измѣренія разстояній, т.-е. съ точностью до со- тыхъ долей града, при точныхъ землемѣрныхъ съем- кахъ, и съ точностью до десятитысячныхъ долей града (секундъ десятичной системы), при геодезиче- скихъ съемкахъ. При обычныхъ землемѣрныхъ съем- кахъ, достаточно ограничиваться десятыми долями града. Наконецъ, въ зависимости отъ точности съемки, нужно пользоваться логарифмическими та- блицами съ 4, 5, ’6 или 7 десятичными знаками. При этомъ слѣдуетъ всегда имѣть въ виду, что при вычисленіяхъ не слѣдуетъ стремиться къ точности, которая превосходила бы точность произведенныхъ из- мѣреній. Пусть, напримѣръ, одна изъ сторонъ тре- угольнаго участка земли равняется 24,50 метрамъ, съ точностью до одного дециметра, а прилежащіе къ ней углы равны соотвѣтственно 85,40 и 47,60 гра- дамъ, съ точностью до десятыхъ долей града. Въ разсматриваемомъ случаѣ было бы нецѣлесообразно выражать площадь указаннаго участка въ квадратныхъ миллиметрахъ или даже сантиметрахъ. Достаточно вы- разить ее въ квадратныхъ метрахъ, отбрасывая дроби, и то въ этомъ случаѣ нельзя быть увѣреннымъ въ точности цифръ, выражающихъ единицы. Въ данномъ случаѣ вполнѣ достаточно пользоваться логарифми-
— 192 — ческими таблицами съ четырьмя десятичными зна- ками. Наконецъ слѣдуетъ избѣгать вводить слишкомъ малые углы, такъ какъ погрѣшность, введенная при ихъ измѣреніи, влечетъ за собой еще болѣе значи- тельныя погрѣшности въ послѣдующихъ вычисле- ніяхъ. Мы ограничимся тѣмъ, что отмѣтимъ этотъ фактъ, не останавливаясь на его доказательствѣ. Съ практической точки зрѣнія, не слѣдуетъ поэтому вво- дить въ разсмотрѣніе треугольниковъ, одинъ изъ угловъ которыхъ меньше 10г. Для достиженія наи- большей точности, доступной общеупотребительнымъ инструментамъ, слѣдуетъ брать треугольники, которые больше всего приближаются къ равностороннимъ (при чемъ углы ихъ должны заключаться, напримѣръ, между 50г и 1ООГ). Этого всегда возможно достигнуть, вводя, по мѣрѣ надобности, дополнительныя точки. 89. Классическія задачи.—Послѣдовательное вы- численіе частей треугольниковъ, образованныхъ по- стоянными точками, не представляетъ теоретическихъ трудностей, такъ какъ приходится всегда имѣть дѣло съ первымъ или вторымъ изъ разсмотрѣнныхъ слу- чаевъ рѣшенія треугольниковъ. Для примѣра, мы укажемъ нѣсколько классическихъ задачъ, чтобы дать понятіе о способахъ рѣшенія треугольниковъ, употребляемыхъ въ практикѣ. I. Измѣрить разстояніе между доступной точкой А и недосягаемой точкой В. Само собою разумѣется, что положеніе точки В (черт. 39) точно отмѣчено или какой-либо точкой, или линіей, видимой изъ точки А. Такъ, напримѣръ, точка В можетъ представлять стволъ тонкаго дерева или точку, отмѣченную на обрывѣ скалы и т. д. Когда говорится, что точка В недоступна, то это значитъ, что непосред- ственное измѣреніе разстоянія АВ по землѣ пред-
— 1!*3 ставляетъ затрудненіе, вслѣдствіе природы самой мѣстности. Такъ, напри- в мѣръ, точки А и В могутъ л быть раздѣлены широкой / \ рѣкой, пропастью или ку- / \ старинномъ, черезъ кото- / \ рый неудобно итти съ зем- / \ лемѣрной цѣпью. Сдѣлай- / \ ныя замѣчанія слѣдуетъ имѣть въ виду въ послѣ- ' ч 39 дующихъ задачахъ. Рѣшеніе задачи начинается съ измѣренія основа- нія АС, выбраннаго такимъ образомъ, чтобы стороны треугольника АВС возможно меньше отличались другъ отъ друга; затѣмъ измѣряются углы А и С разсматри- ваемаго треугольника. Вычисленіе искомой стороны треугольника АВ совершается непосредственно по формулѣ . _ Ъ 8Ііі С_ АС ніп С і с — 4 — 0 II. Измѣрить разстоянія между двумя недоступны- ми точками С и I). Принимаемъ за основаніе АВ (черт. 40) отрѣзокъ, кото- рый приблизительно равенъ и паралле- лепъ разстоянію СІ). Мы выбираемъ АВ съ такимъ расче- томъ, чтобы его бы- ло легко измѣрить и чтобы точки С и I) удобно усматри- Тригоцоиетрія.
— 194 — вались изъ А и В. Затѣмъ измѣряются углы А и В треугольниковъ САВ и 1)АВ. Обозначая черезъ А и В углы перваго -треугольника и черезъ А', В' углы второго треугольника, получаемъ __ АВ кіи В , 1)1— яіп (А +-В) яіп (А' -ф- В') Такимъ образомъ въ треугольникѣ АСВ становятся извѣстными стороны АС и АВ и заключающійся между нимй уголъ, равный ±(А — А') (берется знакъ 4-или — въ зависимости отъ того, что А > А' или А < А'). Поэтому послѣдній треугольникъ легко разрѣшается (второй случай). Если требуется вычислить только разстояніе СВ, то для этого воспользуемся формулой С7)2 = АС2 4- А~В2 — 2АС . ТВ соз (Л — А'), которая даетъ Л/)!.__ 1В2 Г ! аігс2 В [яіп *(А ТВ)’ зіп2 (А’ В') 2 8І11 В ЯІП В1 СО8 (А —Л')~| 8Іп (А В) 8Іп (А' .В').] Слѣдуетъ однако замѣтить, что, для приведенія полученной формулы къ виду, удобному для логариф- мическихъ вычисленій, приходится продѣлать вычи- сленія, которыя почти равнозначны съ полнымъ рѣшеніемъ нашего тре- угольника. III. Опредѣлить вы- соту вертикальной ко- лонны, основаніе которой доступно. Пусть точка В (черт. 41) представляетъ вершину
193 — колонны, основаніе которой обозначимъ черезъ Р. Вы- бираемъ достаточно удаленную отъ Р точку А п обо- значимъ черезъ В точку, лежащую на Р8, которая находится въ одной горизонтальной плоскости съ точ- кой А. Измѣривъ непосредственно разстояніе АВ и уголъ ВА8, получаемъ ВЬ — АВ 18\ВА8. Чтобы получить искомую высоту Р8, слѣдуетъ при- бавить къ В8 длину ВР, которая была измѣрена не- посредственно. Если разстояніе АВ не можетъ быть измѣрено не- посредственно, вслѣдствіе условій данной мѣстности, то въ такомъ случаѣ остается прибѣгнуть къ по- мощи задачи I. IV. Измѣрить высоту вершины горы или высоту зда- нія, возвышающагося надъ горизонтальной плоскостью. Для опредѣленія горизонтальной плоскости выби- рается точка А (черт. 42) и въ той же самой плоскости берется вто- рая точка В такъ, что- бы основаніе АВ было легко измѣрить. За- тѣмъ измѣряются уг- лы А и В треуголь- ника 8АВ и кромѣ того еще одинъ уголъ, напримѣръ, образуемый линіей 8А съ горизонталь- ной плоскостью (т.-е. въ нашемъ случаѣ уголъ 8А0-, плоскость АОВ горизонтальная, а прямая 80 перпендикулярна къ ней). Называя черезъ А и В углы треугольника 8АВ, получаемъ __АВ кіи В кіп (/14- В) 80 — 8А кіи 8АО . 13’
— 196 — Какъ было уже указано, желательно, для точности измѣренія, чтобы треугольникъ 8АВ возможно меньше отличался отъ равносторонняго. Однако послѣднее требованіе не является безусловнымъ; иногда, вслѣд- ствіе условій данной мѣстности, приходится, напри- мѣръ, выбирать АВ на продолженіи ОА (см. примѣръ для упражненія 292). 90. Понятіе о тріангуляціи.—Подъ тріангуляціей подразумѣвается точное опредѣленіе нѣсколькихъ по- стоянныхъ точекъ въ данной мѣстности. Точки эти берутся въ большомъ числѣ и располагаются такимъ образомъ, чтобы изъ какой-либо одной изъ нихъ было возможно усматривать, по меньшей мѣрѣ, три дру- гихъ точки. Благодаря послѣднему условію, какъ увидимъ далѣе, легко опредѣлить положеніе каждой новой точки, относительно прежнихъ точекъ, при помощи простыхъ измѣреній угловъ. Какъ примѣръ тріангуляціи мы приведемъ здѣсь схематическую карту тріангуляціи (чертежи 43а и 43Ь), для опредѣленія новаго французскаго меридіана, пред- принятой въ 1870 году и продолжавшейся въ теченіе 20 лѣтъ. На картѣ отмѣчены утолщенными линіями базы, (Вазе), т.-е. длины, измѣренныя непосредственно на поверхности земли. Какъ указывалось выше, вполнѣ достаточно, съ теоретической точки зрѣнія, измѣрить одну только базу; но въ интересахъ провѣрки полу- чаемыхъ результатовъ измѣряются, по меньшей мѣрѣ, двѣ базы въ обоихъ концахъ тріангуляціонной сѣти. Въ приведенной нами тріангуляціи за основную была принята Парижская база (Ваве сіе Рагів), которая была измѣрена два раза; при этомъ различіе въ обоихъ измѣреніяхъ выразилось числомъ въ 8ММ,9. Кромѣ того были измѣрены еще по одному разу двѣ повѣрочныхъ базы въ Перппньанѣ (Вазе Де Регрі^пап) и въ Касселѣ (Вазе Де Саззеі).
— 197 — Черт. 43 а. Черт. 43 Ъ. Если тріангуляціонная сѣть треугольниковъ растя- гивается на большомъ разстояніи, то въ такомъ слу- чаѣ необходимо принимать въ расчетъ кривизну зем- ной поверхности, т.-е. приходится разсматривать не плоскіе, а сферическіе треугольники. Не останавли- ваясь подробнѣе на послѣднемъ обстоятельствѣ, замѣ- тимъ только, что теодолиты, приборы, служащіе для
— 198 - измѣренія угловъ, даютъ ихъ величину въ горизон- тальной плоскости. Благодаря этому измѣряется не- посредственно величина проекцій разсматриваемыхъ угловъ на горизонтальную плоскость. 91. Задача составленія карты.—Подъ задачей со- ставленія карты подразумѣвается слѣдующая задача: даны точка М и треугольникъ АВС (черт. 44); измѣ- ривши углы СМВ и АМС, вычислить разстоянія НА, МВ, МС въ видѣ функцій послѣднихъ угловъ и частей треугольника АВС. Разсма- с д триваемая задача разрѣшает- Гся графически, при помощи простого геометрическаго по- строенія. Дѣйствительно, для этого достаточно построить ду- ги окружностей, изъ точекъ которыхъ разстоянія ВС и АС в видны соотвѣтственно подъ Черт. 41. данными измѣренными уг- лами; обѣ дуги пересѣкаются въ искомой точкѣ. Приведенное геометрическое по- строеніе не даетъ однако рѣшенія задачи, если обѣ дуги сливаются (въ противномъ случаѣ обѣ дуги, имѣющія одну общую точку С, пересѣкаются также и во второй точкѣ). Послѣднее условіе очевидно имѣетъ мѣсто только въ томъ случаѣ, когда точка М находится на окружности, описанной вокругъ тре- угольника АВС. На практикѣ случай этотъ не встрѣ- чается, такъ какъ точка М находится всегда внутри треугольника АВС (т.-е. каждая точка области тріан- гуляціи находится внутри такихъ треугольниковъ какъ АВС, всѣ три вершины котораго представляютъ по- стоянныя точки тріангуляціи).
— 199 — Для рѣшенія разсматриваемой задачи, при по мощи вычисленій, введемъ слѣдующія обозначенія БС=а, СА—І>, амс=;ѣ (’вм=х, СМВ^і, (’АМ^у. Если углы .г и у извѣстны, то вычисленіе разстоя- ній МА, МВ, МС, въ видѣ функцій величинъ а, Ъ, я, .г, у, совершается безъ всякаго труда. Выражая условіе, что сумма угловъ двухъ треугольниковъ ВМС и АМС равняется 4 прямымъ и обозначая черезъ С уголъ АСВ, получаемъ (1) жф-.у-і-а-'Ді = 400 — С. Съ другой стороны, изъ МАС, находимъ треугольниковъ МВС и НІИ X 8І11 2 5ІП у ЬІІІ (і МС ~ іі ’ МС ь Отсюда получается зависимость (2) 8Іи х Ь Ніи а кіи у/ а зіп 8 Равенства (1) и (2) представляютъ систему уравне- ній, которую мы уже раньше разсматривали. Опредѣ- ляя вспомогательный уголъ при помощи соотно- шенія а зіп $ ЬМП 7 получаемъ изъ равенства (2) сложную пропорцію 8І11 X — 8ІП у/ __ 1 — ф НІИ X -4- 8ІН у 1 ІД' у (50
— 200 —> Отсюда находимъ г х — у , х -4- у і.о- - = 18 (50 — І) іо- --р. = і? (50 — -^>) Ій' 200 — —"ІрІ ~ , ,.п , я+?4-с = — Щ С>0 — ») іе —1 -'- • Примѣчаніе.—Если точка Л/ находится на окруж- ности, описанной вокругъ треугольника А В^, то въ такомъ случаѣ получаемъ а '< Д_ С 50-? = О, - 1 ‘Р- - =100. Слѣдовательно, произведеніе (50 — ?) Ій ( въ данномъ случаѣ принимаетъ неопредѣленный видъ О X со. Такимъ образомъ и изъ вычисленій также .обнаруживается неопредѣленность задачи въ разсма- триваемомъ частномъ случаѣ. Примѣры длд упражненій на главу VI. 266. Вычислить значеніе угловъ х, заключающихся между 0 п 4001 и опредѣляемыхъ уравненіемъ 2 8І1) X — 3 С08 х, = 1. Рѣшить аналогичный вопросъ для слѣдующихъ уравненій: 267. 4 8І11 X, - 5 С08 X ----- 6. 268. 3 8І112 X 4 4 8111 х С08 X — СО82 X. —- 2. 269. Зіп З.г — 2 8іп х.
— 201 270. Въ данномъ уравненіи второй степени (1) ах--\-Ъх-\--с = О намѣнять х черезъ уравненіе приводится тогда къ виду (2) .1 С08 у 4 8*п У — ( - Изъ тригонометрическаго рѣшенія послѣдняго уравне- нія (2) вывести рѣшенія уравненія (1). 271. Примѣнить предыдущій способъ къ рѣшенію слѣдующихъ уравненій 314.г2 — 275ж -- 417 = О, 7,351ж2 — 3,475г — 8,431 = 0. 272. Рѣшить систему уравненій «іи х 8Іп у — а, СОЯ X 4~ соя у--Ъ. Разсмотрѣть частный случай,когда а—0,351, /> -1,172. 273. Рѣшить систему уравненій 8І112 Ж-|“ 8ІП2 у — а СОЯ Ж СОЯ у = 5. Разсмотрѣть частный случай, когда « = 1, 347,5—-0,131. 274. Рѣшить систему уравненій 1$ х I" у — 5. Разсмотрѣть частный случай, когда « = 350г,425, 5 = 3,124. 275. Рѣшить неравенства 3 8Іп2 х > 2 8ІІІ х 1, О <4 х <4 4001. 276. 2 СОЯ2 X < 5 ЯІП .Г, — 2001 ’<ж<200г. 277. СОЯ X СОЯ 2.г 4- СОЯ З.г >0, 0 <^х 400 278. X ІО’ В.т 4> о, о< X < 360°.
— 202 — На основаніи свойствъ производной функціи, изу- чить измѣненіе слѣдующихъ выраженій, при измѣне- ніи х отъ 0 до 2п (вычислить съ наибольшей воз- ц можной точностью въ градахъ и частяхъ радіуса зна- ченія х, соотвѣтствующія наибольшимъ и наименьшимъ значеніямъ функцій): 279. 3 8ІП X — 5 соз х — 3. 280. 8Іп 2^—3 соз х. 281. соз 2х + 2 СО8 х — 2 8І п х. 282. )/2со8.г—|/3 8іп.г — х, ; 283. 8Іп х — |/з СО8 х — А 284. 2 8ІП 2Ж — 3 С08 2л‘ — X. 285. 2 х — Зж. 286. 2 х — 3 віп 2ж. 287. соі§ х — 5 8іп 2х — Зж. 288. Изучить измѣненіе функціи а X — 8І11 X, при измѣненіи х отъ — 2- до -\-2~ и начертить кри- вую, изображающую функцію. 289. При помощи результатовъ, полученныхъ въ предыдущемъ примѣрѣ, изучить, въ тбмъ же самомъ промежуткѣ, и изобразить графически функцію /у» 2 1 —-----СО8 X, 2 290. На основаніи результатовъ предыдущаго при-, мѣра, рѣшить прежній вопросъ для функціи х* . X—------81П X. 6 291. Рѣшить тотъ же вопросъ для функцій //>2 у 4 /у»3 ро . Л/ . |Л' .
— 203 — 292. Наблюдатель замѣчаетъ, что вершина коло- кольни находится подъ угломъ въ 15г надъ горизон- тамъ. Пройдя по горизонтальной поверхности земли 50 метровъ по прямой линіи въ направленіи, перпен- дикулярномъ къ высотѣ колокольни, наблюдатель за- мѣчаетъ, что вершина колокольни возвышается надъ горизонтомъ подъ угломъ въ 20г,5. Требуется, во-пер- выхъ, опредѣлить высоту колокольни надъ горизонталь- ной плоскостью, въ которой находится глазъ наблюда- теля во время обоихъ наблюденій и, во-вторыхъ опредѣ- лить первоначальное разстояніе наблюдателя отъ ко- локольни. 293. Дана сѣть треугольниковъ, изображенная на чертежѣ 45-омъ. Измѣривъ разстояніе АВ и углы, отмѣ- ченные соотвѣтственно числами 1, 2, ... 14, вычислить длину КГ. При этомъ даются слѣдующія заданія ЛБ = 315М , (1) = 38г,75, (2) = 50г,25 , (3)=80г,25, (4) = 45г , (5) —85г,75, (6) = 60г,50 , (7) =•_-.= 72г,25 , (8) — 82г,50 , (9) — 39г , (10) = 83г, (11) = 69г,50 , (12) = 73г,75 , (13) — 58г, (14)=92г,25. С ;2 Черт. 45. 294. Сохраняя заданія предыдущаго примѣра, вы- числить длину отрѣзковъ АВ, АС, АІ), АЕ, АЕ, А(І, АН,АК и углы, которые они образуютъ между собой.
— 204 — 295. Въ одинъ и тотъ же моментъ времени изъ трехъ точекъ А,В,С горизонтальной плоскости усма- триваютъ лодку воздушнаго шара 2Ѵ. Изъ точки А * лодка Ы усматривается надъ горизонтомъ подъ угломъ а, изъ точки В—подъ угломъ и изъ С—подъ угломъ у. Зная а,р,у и части треугольника АВС, вычислить вы? соту Л’ надъ горизонтальной плоскостью АВС. Приложить къ случаю, когда АВ=ВС—АС—3500м, а=62г, =5 = 45г, у — 481'.
— 205 — Таблицы основныхъ формулъ тригонометріи. (Ю С?) < Г < Ч 9 1-9 1 4- 81П 66 4. С08 а 1 (А ) соз2(/-4зіп2^ = 1, а=---,соі^ «=—.——-— ѵ у 1 ° соз а зіп а а зіп (тт — а) — зіп а; сой (п — а) = — соз а: ій(п —а) = —а. С71 + а) — ^8 а\ с°8 (я + а) — —С08 а: зіп (тг а) = — зіп а. соз (2п— гг) = соза; зіп (2тг— а) = — зіп п; (2л— а) — — а. х' ЛТ \ / Л А • . / Л ( С) соз 1-5- — а I = зіп а; — а у и ] у | соз (а 4- Ъ) — соз а соз Ъ — зіп а зіп Ь, х^^зіп (а-4^) = 8Іпа соз&4~8*П^ соз я, V , , 7. 1§а4~і8^ 4” = 1~—/— X г* ( 1 1 — а Ь (соз 2а — соз2а — зіп2а = 2 соз2(і — 1 — 1 —2 яіп2а. I зіп 2а = 2 зіп а соз а, (Е> \ 9 іо-а |^2«—г^- Л а 1—<2 ; 21 с08а=у-р^, 8іпа —1^у2, . 21 1 4~ соз а = 2 соз2 1 — соз а — 2 зіп2 • соз р 4- соз # = 2 соз —соз ~ , о . /> + ? • Р — 9 С08^ — СОЗ </ — ~ 2 8111 - - 8Ш — = О • Р + (1 • '/ ^-Р ~2 8111 '- 8111 , . Л • Р 4- 9 Р — 9 8111 р 4~ 8В1 9 — 2 зш-- СОЗ — А Ы п Р-\-(] • Р~Ч 8111^0 — 81П<7-=2СО8---- 8111 --- ((-){
— 206 — Формулы рѣшенія треугольниковъ. Прямоугольные треуго. іьн ики. Ь 1> и ==--- = --——. С08 С 8ІП В а СО&В 8ІП ( Ь~с В. В4 С=г юо. Косоугольные треугольники. М в 4- С 200, |_Л_. = 4 = ' ^2/.* I 8І11 А 8І11 Л 8ІП С а2 г=.Ь2 4- — 2 Ьс С08 А, , Ь2^=с2-\-а2—2са СО8 Д с2 = а2~\-Ь2 — 2аЬ сон (\ В—С Ъ—с А 2 ~4,-Ь гС0^ 2 ' 8ІпЛ— р (р — а) (р — Ь) (р — с), 2 р — а 4- Ъ 4- »9=рг = (р — а) >' — (р — />) г" — (р— е) г'", |/~(Р — а> (Р~ь) Р 1<У А 1/Г(Р — ^ (Р — с) „ Г . ° 2 Г р (р — а) р — а
— 207 — Прямоугольные треугольники. (Первый случаи): Заданныя \а— величины |# = 35г, 156 Формулы: С=100 — В, і Р = 64г,844 Резуль-|6=282м 2 ™ТЪ |г = 458» Ь — а 8Іп В, с = а со§ В- Вспомогательныя вычи- Основныя вычиссле- еленія. нія. Вычисленіе Іод зіп В. Вычисленіе С. 1о§ 8Іп 35г =- 1,7181 1 100 для 0,1 11 В^ 35,156 для 0,05 5,5 О — 64,844 для 0,006 0,66 Іор 8Іп В 1-,7198 Вычисленіе Ъ. % 1 0 — ээ і І0& а = 2,7308 -=11 1 г> 1о§ 8Іп В = 1,7198 1о§ 6 = 2,4506 Вычисленіе Іод соз В. анти 1о§ 2,450=281,8 5=7 1о§ С08 35г,5 -7,9287 для — 0,3 126 ДЛЯ 0,0006 42 !> = 282,2 1 ДЛЯ — 0,04 168 ДЛЯ — 0,004 16 I ' - ' : Вычисленіе с. 1о& соз С -—1,9301 1 5 — 21 1о§ а = 2,7308 . 1о§ соз .#=1,9301 У 5-4’2 108 0 = 2,6609 0,5 анти І08 2,660=457,1 3=10 0,156 > ДЛЯ 0,0009 9 0,344 । с = 458
— 208 — Прямоугольные треугольники. (Второй случай). Заданныя величины \В= 40г „ (С = 6ОГ Искомыя Ь = 170 м.1 величны 6-=із7м 6 Формулы: С'—ЮО — В, <: — Ь соік В. Ніи В г Вычисленіе а. ІОё Ь~2 ДОП. 1о§ кіи В— 0,2308 ІО& а — 2,2308 анти Іо® 2,230= 169,8 5 = 4 ДЛЯ 0,0008 32 «=170,12 Вычисленіе с. 1о^ Ь~ 2 10^ соі§ .В = 0,1387 1о§ с--2,1387 анти Іо® 2,138 = 137,4 § = 3 для 0,0007 21 с^-. 137,61
— 209 — Прямоугольные треугольники. (Третій случай). Заданныя (а—825”,4, величины 1Ъ=614” ІВ= 53г,4 Резуль- )с== 4бГ’{. татъ ^=551м>7. Формулы: 8Іп В — ~, С—100 — В, с — а «іп С. Вспомогательныя вычи~ Основныя вычисле- нія. еленія. Вычисленіе В и С. Вычисленіе Іод а. І0" 3 = 2,7882 доп. Іо" <я = 3,0833 ІО" 825 = 2,9165 2 = 5 ДЛЯ 0,4 2 ІО" 8Іп В= 1,8715 ІО" 8І11 53г = 1,8690 3=31 ІО" а = 2,9167 25 25 X50 1250 Л, зі —зі ~"44 1250 (31 1100|44 Вычисленіе Іод зіп С. О Ьг II II 4^ С' О СО ? 5" 3 = 38 ІО" 8Ііі 46г,5= 1,8242 Вычисленіе с. ДЛЯ 0,1 8 Іо»’ а = 2,9167 1о« 8Іп С—1,8250 1о<*’ ніп С = 1,8250 ІО" с— 2,7417 анти ІО" 2,741=550,8 3 = 13 ДЛЯ 0,0007 9 С = 551,7 Тригонометрія. 14
— 210 — Прямоугольные треугольники. (Четвертый случай). Вычисленіе въ градусахъ. Заданныя \Ъ — 235км величины = 478км Формулы: > * Вспомогательныя вычи- сленія. р5 = 26°11' Искомыя } р __ 33049' величины. ^д== 532к.м 7 П ало и ,, — <7 \Л ЛЛ, (€ , - • 8111 В | Основныя вычисле- । НІЯ. Вычисленіе В и С. Іод Ь — 2,3711 доп. Іо" с = 3,3206 1о§ 18 -#=1,6917 10818 26° =1,6882 3 = 95 Вычисленіе Іод зіп В. 108 8Іп 26° = 1,6418 35 30 X 35 1050 95 95 1050'95 100! и 5 1 В = 26е 11' 89°60' С'=63°49' 26°1Г для 11' 28 63°49' ІО" 8Іп В= І,6446 § — 77 11X77 847 Вычисленіе а. Іо" Ь = 2,3711 1 ДОП. ІО" «іи .15= 0,3554 30 30 ' " ІО" « = 2,7265 анти І08 2,726=532,1 §=12 ДЛЯ 0,0005 6 а = 532,7
— 211 — Косоугольные треугольники. (Первый случай). (а = 4 м, 52 Заданныя „ р.г ' < Л = 65 ,э величины |^.— 4дг 5 Формулы: А — 200 — В — Вспомогательныя вычи- сленія. Вычисленіе В-\-С. В=65Г С=48г,5 В-г С = 113г,5 „ (-4=86г,5 Искомыя І6==зМ>’42 величины] с = 3м’191 ~ 7 а 8Іп В а 8Іп С С, Ъ = — С = —; 81П А 8111 А Основныя вычисленія. Вычисленіе А. 200 В + 0= 113,5 А = 86г,5 Вычисленіе Ъ. ІО" а = 0,6551 ІО" зіп В= 1,9308 ДОП ІО" 8Іп .4=0,0098 1о§ & = 0,5957 анти ІО" 0,595=3,936 8=9 для 0,0007 63 3,942 Вычисленіе с. 10" а = 0,6551 1о§ 8іп С—1,8390 ДОП 10^ зіп А = 0,0098 1о§ с = 0,5039 анти 1о§ 0,503=3,184 8=8 для 0,0009 72 е= 3,191 14*
— 212 — Косоугольные треугольники. (Второй случай). Заданныя величины 6 = 32м с = 45м А = 50г Резуль- татъ Б=50г,36 С — 99г,64 « = 3151,91 Формулы: В-Г° 1ЛА Л і С~В С~Ь <• Л 2 ьѵѵ 2> 2 2’ Ъ 8ІпЛ а — : 1Г- 81П В Вспомогательныя вычи- сленія. с —Ъ — 32 -|— 45 — і і с — 6 = 45 — 32 = 13 А Основныя вычисл'нія. Вычисленіе В и С. 1о& (с — 6) = 1,1139 доп Іо» (с-\-Ь)=2,1135 А Іо» соі» — =0,3828 2 ” го і х С— В 1о§ 2 = І0§і$24г,5= : Г,6102 г=97 . =1,6075 Поправка 0г 27X0,5 97 С — . 9 ,14 27 __ 13,5 97 — = 24г,64 1 II ч |(М о С) 2 = С=99Г,64 = _В=50г,36 іеніе а. 6 = 1,5051 Вычисленіе Іод $іп В. Іо» 8Іп 50г = 1,8495 0, 3X0,034= 102 0,06X0,034= 204 2 1 2 в-^с о—в 2 2 Вычис^ 1о§ . Іо» віп 50г,36 = 1,8507 ДОП ІО» 8І11 В — 0,1493 1о§ 81П А = 1,8495 доп 108 зіп Б = 0,1493 Іо» а —1,5039 « = 31,91 § = 8
— 213 — Косоугольные треугольники. (Третіи случаи). Задай- (а— 46,1 Иско- выя /6 = 51'' мыя (ІГ=90г,1, ‘ (7=39г,9, Б''=109г,9 С"'=20г,1 велич. Ы=70г велич. (с'=30м,28, , . „ Ъ зіп А „ „„ . т. Формулы: 8іп В— - ——, С—200—Л—Б Вычисленіе В. 1о§ Ъ —1,7076 1о§ зіп А = 1,9499 доп 1о8 а = 2.3372 с"=16м,03 зіиС - е=а т. 8І11Л - ІО»* 8І11 и І0Д‘ 8ІП 9( Б' = 90г,1 В= 1,9947 )г= 1,9946 В" = 200 — 5 = 5 В’= 109г,9 Вычисленіе С. Б" = 109г,9 А --= 70г Вычисленіе С. Л' = 90г,1 А = 70г С' = 39г,9 С" = 20г,1 Вычисленіе с'. 1О*г « = 1,6628 ДОПІО»’ зіп А — 0,0501 1о§ зіп 39г,5= 1,76452=47 для 0,4 38 . Вычисленіе с". ІО"- а = 1,6628 доп Іо§ зіп А = 0,0501 108 8І11 20г = 1,4900 5=103 для 0,1 0,0020 1о§ </ = 1,4812 108 с" = : 1,2049 анти І0§ 1,481=30,27 5=7 ДЛЯ 0,0002 0,014 антиІ08 1,204=16,00 5=3 для 0,0009 0,027 с' = 30,28 с" = = 16,03
— 214 — Косоугольные треугольники. (Четвертый случай). (а—- 325м Заданныя 1 ъ _2 428м величины > с _ 513м ФОРМУЛЫ:г=р/ ^~а) Вспомогательн ыя вычисленія. 2 /9=1266 р = 633 р — а — 308 р — Ь— 205 р — с = 120 Вычисленіе Іод г. Іо? (р — а) = 2,4886 Іо? (р — Ь) = 2,3118 Іо? (р — с) = 2,0792 ДОП Іо? р =3,1986 тг (Л = 43г,46 ' ИСКОМЫЯ —62Г 42 величины | <7 — 64г’і2 Повѣрка А + В 4- С = 200г,00 -с) А г , В г С г ° 2 р—а" ° 2 р—Ъ 2 р-с Основныя вычисленія. Вычисленіе А. і паоп. 50X50 2500 ІО О’ г—9 0391 — — ® 108 108 . 25ООІ1<>8 10? 1? ~ = 1,5505 34о! 23 Іо? 21г, 5= Г, 5455 5 = Ю8 поправка 23 50 ~- = 21г,73 Л = 43г,46 Вычисленіе В. і Л 35X50 1750. ІОі*’ г—2 0391 ———— г 1 82 82 ДОП Іо? О—6)=3,6882 т . В 1750182 Ю?‘8’2=1.-2’3 110^ ІО? 1? 31г = 1,7238 § = 82 2 Іо? г =4,0782 Іо? г = 2,0391 поправ. 21 35 ^=31г,21 _В=62Г,42 Вычисленіе С. 1»8 , = 2,0391 Ц75"= «2 ь _ 69 69 ДОП Іо? о—с) — 3,9208 4504 10? І?47г = 1,9590 5 = 69 поправка 06 09 |=47г,06 С=94г,12
— 215 — ЛогариФмы чиселъ. И 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 043 086 128 170 212 253 294 334 374 11 414 453 492 531 569 607 645 682 719 755 12 792 828 864 899 934 969 *004 *038 *072 *106 13 1139 173 206 239 271 303 335 367 399 430 14 461 492 523 553 584 614 644 673 703 732 15 1761 790 818 847 875 903 931 959 987 *014 16 2041 068 095 122 148 175 201 227 253 279 17 304 330 355 380 405 430 455 480 504 529 18 553 577 601 625 648 672, 695 718 742 765 19 788 810 833 856 878 900 923 945 967 989 20 ЗОЮ 032 054 075 096 118 139 160 181 201 21 222 243 263 284 304 324 345 365 385 404 22 424 444 464 483 502 522 541 560 579 598 23 617 636 655 674 692 711 729 747 766 784 24 802 820 838 856 874 892 909 927 945 962 25 5979 997 *014 *031 *048 *065 *082 *099 *116 *133 26 4150 166 183 200 216 232 249 265 281 298 27 314 330 346 362 378 393 409 425 440 456 28 472 487 502 518 533 548 564 579 594 609 29 624 639 654 669 683 698 713 728 742 757 30 4771 786 800 814 829 843 857 871 886 900 31 914 928 942 955 969 983 997 *011 *024 *038 32 5051 065 079 092 105 119 132 145 159 172 33 185 198 211 224 237 250 263 276 289 302 34 315 328 340 353 366 378 391 403 416 428 35 5441 453 465 478 490 502 514 527 539 551 36 563 575 587 599 611 623 635 647 658 670 37 682 694 705 717 729 740 752 763 775 786 38 798 809 821 832 843 855 866 877 888 899 39 911 922 933 944 955 966 977 988 999 *010 40 6021 031 042 053 064 075 085 096 107 117 41 128 138 149 160 170 180 191 201 212 222 42 232 243 253 263 274 284 294 304 314 325 43 335 345 355 365 375 385 395 405 415 425 44 435 444 454 464 474 484 493 503 513 522 45 6532 542 551 561 571 580 590 599 609 618 46 628 637 646 656 665 675 684 693 702 712 47 721 730 739 749 758 767 776 785 794 803 48 812 821 830 839 848 857 866 875 884 893 49 902 911 920 928 937 946 955 964 972 981
— 216 — м 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 6990 998 *007 *016 *024 *033 *042 *050 *059 *067 51 7076 084 093 101 110 118 126 135 143 152 52 160 168 177 185 193 202 210 218 226 235 53 243 251 259 267 275 284 292 300 308 316 54 324 332 340 348 356 364 372 380 388 396 55 7404 412 419 427 435 443 451 459 466 474 56 482 490 497 505 513 520 528 536 543 551 57 559 566 574 582 589 597 604 612 619 627 58 634 642 649 657 664 672 679 686 694 701 59 709 716 723 731 738 745 752 760’ 767 774 60 7782 789 796 803 810 818 825 832 839 846 61 853 860 868 875 882 889 896 903 910 917 62 924 931 938 945 952 959 966 973 980 987 63 993 *000 *007 *014 *021 1*028 *035 *041 *048 *055 64 8062 069 075 082 ’ 089 096 102 109 116 122 65 8129 136 142 149 156 162 169 176 182 189 66 195 202 209 215 222 228 235 241 248 254 67 261 267 274 280 287 293 299 306 312 319 68 325 331 338 344 351 357 363 370 376 382 69 388 395 401 407 414 420 426 432 439 445 70 8451 457 463 470 476 482 488 494 500 506 71 513 519 525 531 537 543 549 555 561 567 72 573 579 585 591 597 603 609 615 621 627 73 633 639 645 651 657 663 669 675 681 686 74 692 698 704 710 716 722 727 733 739 745 75 8751 756 762 768 774 779 785 791 797 802 76 808 814 820 825 831 837 842 848 854 859 77 865 871 876 882 887 893 899 904 910 915 78 921 927 932 938 943 949 954 960 965 971 79 976 982 987 993 998 *004 *009 *015 *020 *025 80 9031 036 042 047 053 058 063 069 074 079 81 085 090 096 101 106 112 117 122 128 133 82 138 143 149 154 159 165 170 175 180 186 83 191 196 201 206 212 217 222 227 232 238 84 213 248 253 258 263 269 274 279 284 289 85 9294 299 304 309 315 320 325 330 335 340 86 345 350 355 360 365 370 375 380 385 390 87 395 400 405 410 415 420 425 430 435 440 88 445 450 455 460 465 469 474 479 484 480 89 494 499 504 509 513 518 523 528 533 538
— 217 — И 1 ° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 90 9542 547 552 557 562 566 571 576 581 586 91 590 595 600 605 609 614 619 624 628 633 92 638 643 647 652 657 661 666 671 675 680 93 685 689 694 699 703 708 713 717 722 727 94 731 736 741 745 750 754 759 763 768 773 95 9777 782 786 791 795 800 805 809 814 818 96 828 827 832 836 841 845 850 854 859 863 97 868 872 877 881 886 890 894 899 903 908 98 912 917 921 926 930 934 939 943 948 952 99 956 961 965 969 974 978 983 987 991 996 Таблицы антилогарифмовъ съ четырьмя десятичными знаками. Ь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 1000 002 005 007 009 012 014 016 019 021 01 023 026 028 030 033 035 038 040 042 045 02 047 050 052 054 057 059 062 064 067 069 03 072 074 076 079 081 084 086 089 091 094 04 096 099 102 104 107 109 112 114 117 119 05 1122 125 127 130 132 135 138 140 143 146 06 148 151 153 156 159 161 164 167 169 172 07 175 178 180 183 186 189 191 194 197 199 08 202 205 208 211 213 216 219 222 225 227 09 230 233 236 239 242 245 247 250 253 256 10 1259 262 265 268 271 274 276 279 282 285 11 288 291 294 297 300 303 306 309 312 315 12 318 321 324 327 330 334 337 340 343 346 13 349 352 355 358 361 365 368 371 374 377 14 380 384 387 390 393 396 400 403 406 409 15 1413 416 419 422 426 429 432 435 439 442 16 445 449 452 455 459 462 466 469 472 476 17 479 483 486 489 493 496 500 503 507 510 18 514 517 521 524 528 531 535 538 542 545 19 549 552 556 560 563 567 570 574 578 581
218 — ь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 1585 589 592 596 600 603 609 611 614 618 21 622 626 629 633 637 641 644 648 652 656 22 660 663 667 671 675 679 683 687 690 694 23 698 702 706 710 714 718 722 726 730 734 24 738 742 .746 750 754 758 762 766 770 774 25 1778 782 786 791 795 799 803 807 811 816 26 820 824 828 832 837 841 845 849 854 858 27 862 866 871 875 879 884 888 892 897 901 28 905 910 914 919 923 928 932 936 941 945 29 950 954 959 963 968 972 977 982 986 991 30 1995 *000 *004 *009 *014 *018 *023 *028 *032 *037 31 2042 046 051 056 061 065 070 075 080 084 32 089 094 099 104 109 113 118 123 128 133 33 138 143 148 153 158 163 168 173 178 183 34 188 193 198 203 208 213 218 223 228 234 35 2239 244 249 254 259 265 270 275 280 286 36 291 296 301 307 312 317 323 328 333 339 37 344 350 355 360 366 371 377 382 388 393 38 399 404 410 415 421 427 432 438 443 449 39 455 460 466 472 477 483 489 495 500 506 40 2512 518 523 529 535 541 547 553 559 564 41 570 576 582 588 594 600 606 612 618 624 42 630 636 642 649 655 661 667 673 679 685 43 692 698 704 710 716 723 729 735 742 748 44 754 761 767 773 780 786 793 799 805 812 45 2818 825 831 838 844 851 858 864 871 877 46 884 891 897 904 911 917 924 931 938 944 47 951 958 965 972 979 985 992 999 *006 *013 48 3020 027 034 041 048 055 062 069 076 083 49 090 097 105 112 119 126 133 141 148 155 50 3162 170 177 184 192 199 206 214 221 228 51 236 243 251 258 266 273 281 289 296 304 52 311 319 327 334 342 350 357 365 373 381 53 388 396 404 412 420 428 436 443 451 459 54 467 475 483 491 499 508 516 524 532 540 55 3548 556 565 573 581 589 597 606 614 622 56 631 639 648 656 664 673 681 690 698 707 57 715 724 733 741 750 758 767 776 784 793 58 802 811 819 828 837 846 855 864 873 882 59 890 899 908 917 926 936 945 954 963 972
— 219 — ь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60 3981 990 999 *009 *018 *027 *036 *046 *055 *064 61 X 4074 083 093 102 111 121 130 140 150 159 62 169 178 188 198 207 217 227 236 246 256 63 2€6 276 285 295 305 315 325 335 345 355 64 365 375 385 395 406 416 426 436 446 457 65 4467 477 487 498 508 519 529 539 550 560 66 571 581 592 603 , 613 624 634 645 656 667 67 677 688 699 710 721 732 742 753 764 775 68 -786 797 808 819 831 842 853 864 875 887 69 898 909 920 932 943 955 966 977 989 *ооо 70 5012 023 035 047 058 070 082 093 105 117 71 129 140 152 164 176 188 200 212 224 236 72 248 260 272 284 297 309 321 333 346 358 73 370 383 395 408 420 433 445 458 470 483 74 495 508 521 534 546 559 572 585 598 610 75 5623 636 649 662 675 689 702 • 715 728 741 76 754 768 781 794 808 821 834 848 861 875 77 888 902 916 929 943 957 970 984 998 *012 78 6026 039 053 067 081 095 109 124 138 152 79 166 180 194 209 223 237 252 266 281 295 80 6310 324 339 353 368 383 397 412 427 442 81 457 471 486 501 516 531 546 561 577 592 82 607 622 637 653 668 683 699 714 730 745 83 761 776 792 808 823 839 855 871 887 902 84 918 934 950 966 982 998 *015 *031 *047 *066 85 7079 096 112 129 145 161 178 194 211 228 86 244 261 278 295 311 328 345 362 379 396 87 413 430 447 464 482 499 516 534 551 568 88 586 603 621 638 656 674 691 709 727 745 89 762 780 798 816 834 852 870 889 907 925 90 943 962 980 998 *017 *035 *054 *072 *091 *110 91 8128 147 166 185 204 222 241 260 279 299 92 318 337 356 375 395 414 433 453 472 492 93 511 531 551 570 590 610 630 650 670 690 94 710 730 750 770 790 810 831 851 872 892 95 8913 933 954 974 995 *016 *036 *057 *078 *099 96 9120 141 162 183 204 226 247 268 290 311 97 333 354 376 397 419 441 462 484 506 528 98 550 572 594 616 638 661 683 705 727 750 §9 772 795 817 840 863 886 908 931 954 977
— .220 — ЛогариФмы круговыхъ Функцій дугъ, выраженныхъ въ градахъ. А Іод зіп * Ьод Ід Ьод соід Ьод соз 100г—А ог 00 00 + 00 0 100г 0г,5 3,8951 3,8951 2,1049 0,0000 99г,5 1г 2,1961 2,1962 1,8038 1,9999 99г 1г,5 2,3722 2,3723 1,6277 1,9999 98г,5 2Г 2,4971 2,4973 1,5027 1,9998 98г 2Г,5 2,5939 2,5943 1,4057 1,9997 97г,5 Зг 2,6731 2,6736 1,3264 1,9995 97г , Зг,5 2,7400 2,7406 1,2594 1,9993 96г,5 4Г 2,7979 2,7988 1,2012 1,9991 96г 4Г,5 2,8490 2,8501 1,1499 1,9989 95г,5 5Г 2,8946 2,8960 1,1040 1,9987 95г • 5Г,5 2,9359 2,9376 1,0624 1,9984 94г,5 6Г 2,9736 2,9756 1,0244 1,9981 94г 6Г,5 1,0083 1,0105 0,9895 1,9977 93г,5 7Г 1,0403 1,0430 0,9570 1,9974 93г 7Г,5 1,0702 1,0732 0,9268 1,9970 92г,5 8Г 1,0981 1,1015 0,8985 1,9966 92г 8Г,5 1,1242 Т,1281 0,8719 1,9961 91г,5 9Г 1,1489 1,1533 0,8467 1,9956 91г 9Г,5 1,1722 Г,1771 0,8229 1,9951 90г,5 10г 1,1943 1,1997 0,8003 1,9946 90г 10г,5 1,2153 1,2213 0,7787 1,9941 89г,5 11г 1,2353 1,2419 0,7581 1,9935 89г 11г,5 1,2545 1,2616 0,7384 1,9929 88г,5 12г 1,2727 1,2805 0,7195 1,9922 88г 12г,5 1,2902 1,2987 0,7013 1,9916 87г,5 13г 1,3070 1,3162 0,6838 1,9909 87г 13г,5 1,3232 1,3330 0,6670 1,9902 86г,5 14г 1,3387 1,3493 0,6507 1,9894 86г 14г,5 1,3537 Т,3651 0,6349 1,9886 85г,5 15г 1,3682 1,3804 0,6196 1,9878 85г 15г,5 1,3822 1,3952 0,6048 1,9870 84г,5 16г 1,3957 1,4095 0,5905 1,9861 84г 16г,5 1,4087 1,4235 0,5765 1,9852 83г,5 17г 1,4214 1,4371 0,5629 1,9843 83г 17г,5 1,4337 1,4503 0,5497 1,9834 82г,5 18г 1,4456 1,4632 0,5368 1,9824 82г 18г,5 1,4572 1,4758 0,5242 1,9814 81г,5 19г 1,4684 1,4880 0,5120 1,9804 81г 19г,5 1,4793 1,5000 0,5000 1,9793 80г,5 20г 1,4900 1,5118 0,4882 1,9782 80г 20г,5 1,5003 1,5233 0,4767 1,9771 79г,5 21г 1,5104 1,5345 0,4655 1,9759 79г 21г,5 Г,5203 1,5455 0,4545 1,9747 78г,5 22г 1,5299 1,5563 0,4437 1,9735 78г 22г,5 1,5392 1,5669 0,4331 1,9723 77г,5 23г 1,5484 1,5773 0,4227 1,9710 . 77г 23г,5 1,5573 1,5876 0,4124 1,9697 76г,5 24г 1,5660 1,5976 0,4024 1,9684 76г 24г5, 1,5745 ! 1,6075 0,3925 • 1,9670 75г,5 25г 1,5828 1 1,6172 0,3828 1 1,9656 75г 1ООГ-А і Іод со$ ; Іод соід І Іод Ід Іод 8.п А
221 А Ьод зіп ь«д *д 1 Ьод соід Ьсд соз 100 Г-А 25г 1,5828 1,6172 0,3828 1,9656 75г 25г,5 1,5910 1,6268 0,3732 1,9642 74г,5 26г 1,5990 1,6362 0,3638 1,9627 74г 26г,5 1,6068 1,6455 0,3545 1,9612 73г5 27г 1,6144 1,6547 0,3453 1,9597 73г 27г,5 1,6219 1,6637 0,3363 1,9582 72г>5 28г 1,6292 1,6726 0,3274 1,9566 72г 28 г,5 1,6364 1,6814 0,3186 1,9549 71г,5 29г 1,6434 1,6901 0,3099 1,9533 71г 29г,5 1,6503 1,6987 0,3013 1,9516 70г,5 30г 1,6570 1,7072 0,2928 1,9499 7ОГ 30г,5 1,6637 1,7156 0,2844 1,9481 бЭ'.З 31г 1,6702 1,7238 0,2762 1,9463 69г 31 '\5 1,6766 1,7320 0,2680 1,9445 68г,5 32г 1,6828 1,7402 0,2598 1,9427 68г 32г,5 1,6890 1,7482 0,2518 1,9408 67г,5 33г 1,6950 1,7562 0,2438 1,9388 67г 33г,5 1,7009 1,7641 0,2359 1,9369 66г,5 34г 1,7068 1,7719 0,2281 1,9349 66г 34г,5 1,7125 1,7796 0,2204 1,9328 65г,5 35г 1,7181 1,7873 0,2127 1,9308 65г 35г,5 1,7236 1,7949 0,2051 1,9287 64г3 36г 1,7290 1,8025 0,1975 1,9265 64г 36г,5 1,7344 1,8100 0,1900 1,9243 63'5 37г 1,7396 1,8175 0,1825 1,9221 63г 37г,5 1,7447 1,8249 0,1751 1,9198 62г,5 ;8Г 1,7498 1,8323 0,1677 1,9175 62г 38г,5 1,7548 1,831 6 0,1604 1,9152 61г,5 39г 1,7597 1,8468 0,1532 1,9128 61г 39г,5 1,7645 1,8541 0,1459 1,9104 60г,5 40г 1,7692 1,8613 0,1387 1,9080 60г 40г,5 1,7739 1,8684 0,1316 1,9055 59г5 41г 1,7785 1,8755 0,1245 1,9029 59г 41г,5 1,7830 1,8826 0,1174 1,9003 58г3 42г 1,7874 1,8897 0,1103 1,8977 58г 42г,5 1,7918 1,8967 0,1033 1,8950 57г3 43г 1,7960 1,9037 0,0963 1,8923 57г 43г,5 1,8003 1,9107 0,0893 1,8896 56г,5 44г 1,8044 1,9176 0,0824 1,8868 561’ 44г,5 1,8085 1,9246 0,0754 1,8839 55г,5 45г 1,8125 1,9315 0,0685 1,8810 55г 45г,5 1,8165 1,9384 0,0616 1,8781 54г3 46г 1,8204 1,9453. 0,0547 1,8751 54г 46г,5 1,8242 1,9522 0,0478 1,8721 53г3 47г 1,8280 1,9590 0,0410 1,8690 53г 47г,5 1,8317 1,9659 0,0341 1,8659 52г,5 48г 1,8354 1,9727 0,0273 1,8627 52г 48г,5 1,8390 1,9795 ’ 0,0205 1,8595 51г,5 49г 1,8426 1,9864 0,0136 1,8562 51г 49г,5 1,8460 1,9932 0,0068 1,8529 50г,5 50г 1,8495 0,0000 0,0000 1,8495 50г 100г-А Ьод соз ; Ьод соід і *-од ‘д | Ьод зіп 1 А
ЛогариФМЫ круговыхъ Функцій дугъ, выраженныхъ въ градусахъ. А Ьод зіп Ьод ід Ьод соід І_од соз 90°—А 0° 00 00 4“ оо 0,0000 90° - 0°30' 3,9408 3,9409 2,0591 0,0000 89°30' 1° 2,2419 2,2419 1,7581 1,9999 89° ГЗО' 2,4179 2,4181 1,5819 1,9999 88°30' 2° 2,5428 2,5431 1,4569 1,9997 88° 2°ЗЭ' 2,6397 2,6401 1,3599 1,9996 1,9994 87°30' 3° 2,7188 2,7194 1,2806 87° 3°30' 2,7857 2,7865 1,2135 1,9992 86°30' 4° 2,8436 2,8446 1,1554 1,9989 86° 4°зо' 2,8946 2,8960 1,1040 1,9987 85°30' 5° 2,9403 2,9420 1,0580 1,9983 85° 5°30' 2,9816 2,9836 1,0164 1,9980 84°30' 6° 1,0192 1,0216 0,9784 0,9433 1,9976 84° 6°30' 1,0539 1,0567 1,9972 83°30' 7° 1,0859 1,0891 0,9109 1,9968 83° 7°30' 1,1157 1,1194 0,8806 1,9963 82°30' 8° 1,1436 1,1478 0,8522 1,9958 82° 8°30' 1,1697 1,1745 0,8255 1,9952 81°30' 9° 1,1943 1,1997 0,8003 1,9946 81° 9°30' 1,2176 1,2236 0,7764 1,9940 80°30' 10° 1,2397 1,2463 0,7537 1,9934 80° 10°30' 1,2606 1,2680 0,7320 1,9927 79°30' 11° 1,2806 1,2887 0,7113 1,9919 79° 11°30' 1,2997 1,3085 0,6915 1,9912 78°30' 12° 1,3179 1,3275 0,6725 1,9904 78° 12°30' 1,3353 1,3458 0,6542 1,9896 77°30' 13° 1,3521 1,3634 0,6366 1,9887 77° 13°30' 1,3682 1,3804 0,6196 1,9878 76°30' 14° 1,3837 Г,3968 0,6032 1,9869 76° 14°30' 1,3986 1,4127 0,5873 1,9859 75°30' 15° 1,4130 1,4281 0,5719 1,9849 75° 15°30' 1,4269 1,4430 0,5570 1,9839 74°30/ 16° 1,4403 1,4575 0,5425 1,9828 1,9817 74° 16°30' 1,4533 1,4716 0,5284 73°30' 17° 1,4659 1,4853 0,5147 1,9806 73° 17°30' 1,4781 1,4987 0,5013 1,9794 72°30' 18° 1,4900 1,5118 0,4882 1,9782 72° 18°30' 1,5015 1,5245 0,4755 1,9770 71°30' 19° 1,5126 1,5370 0,4630 1,9757 71° 19°30' 1,5235 1,5491 0,4509 1,9743 70°30' 20° 1,5341 1,5611 0,4389 1,9730 70° 20°30' 1,5443 1,5727 0,4273 1,9716 69°30' 21° 1,5543 1,5842 0,4158 1,9702 69° 21°30' 1,5641 1,5954 0,4046 1,9687 68°30' 22° 1,5736 1,6064 0,3936 1,9672 68° 22°30' 1,5828 1,6172 0,3828 1,9656 67°30' Е0°—А Ьод соз Ьод соід Ьод зі.і А
— 223 - * 1 Іод зіп | Ьод Ід | Іод соід | Іод соз | 90°—А 23° 1,5919 1,6279 0,3721 1,9640 67° 23°30' 1,6007 1,6383 0,3617 1,9624 66°30' 24° 1,6093 1,6486 0,3514 1,9607 66° 24°30' 1,6177 1,6587 0,3413 1,9590 65°30' 25° 1,6259 1,6687 0,3313 1,9573 65° 25°30' 1,6340 1,6785 0,3215 1,9555 64°30' 26° 1,6418 1,6882 0,3118 1,9537 64° 26°30' 1,6495 1,6977 0,3023 1,9518 63°30' 27° 1,6570 1,7072 0,2928 1,9499 63° 27°30' 1,6644 1,7165 0,2835 1,9479 62°30' 28° 1,6716 1,7257 0,2743 1,9459 62° 28°30' 1,6787 1,7348 0,2652 1,9439 61°30' 29° 1,6856 1,7438 0,2562 1,9418 61° 29°30' 1,6923 1,7526 0,2474 1,9397 60°30' 30° 1,6990 1,7614 0,2386 1,9375 60° 30°30' 1,7055 1,7701 0,2299 1,9353 59°30' 31° 1,7118 1,7788 0,2212 1,9331 59° 31°30' 1,7181 Т,7873 0,2127 1,9308 58°30' 32° 1,7242 1,7958 0,2042 1,9284 58° 32°30' 1,7302 1,8042 0,1958 1,9260 57°30' 33° 1,7361 1,8125 0,1875 1,9236 57° 33°30' 1,7419 1,8208 0,1792 1,9211 56°30' 34° 1,7476 1,8290 0,1710 1,9186 56° 34°30' 1,7531 1,8371 0,1629 1,9160 55°30' 35° 1,7586 1,8452 0,1548 1,9134 55° 35°30' 1,7640 1,8533 0,1467 1,9107 54°30' 36° 1,7692 1,8613 0,1387 1,9080 54° 36°30' 1,7744 1,8692 0,1308 1,9052 53°30' 37° 1,7795 1,8771 0,1229 1,9023 53° 37°30' 1,7844 1,8850 0,1150 1,8995 52°30' 38° 1,7893 1,8928 0,1072 1,8965 52° 38°30' 1,7941 1,9006 0,0994 1,8935 51°30' 39° 1,7989 1,9084 0,0916 1,8905 51° 39°30' 1,8035 1,9161 0-,0839 1,8874 50°30' 40° 1,8081 1,9238 0,0762 1,8843 50° 40°30' 1,8125 1,9315 0,0685 1,8810 49°30' 41° 1,8169 1,9392 0,0608 1,8778 49° 41°30' 1,8213 1,9468 0,0532 1,8745 48°30' 42° 1,8255 1,9544 0,0456 1,8711 48° 42°30' 1,8297 1,9621 0,0379 1,8676 47°3/ 43° 1,8338 1,9697 0,0303 1,8641 47° 43°30' 1,8378 1,9772 0,0208 1,8606 46°30' 44° 1,8418 1,9848 0,0152 1,8569 46° 44°30' 1,8457 1,9924 0,0076 1,8532 45°30' 45° 1,8495 0,0000 0,0000 1,8495 45° 90°—А Ьод соз 1 Ьод соід Іод ід | Ьод зіп | А
Примѣры для упражненія на всѣ отдѣлы тригонометріи. Примѣры на теорію. 296. Найти значеніе угловъ х, опредѣляемыхъ ра- венствомъ СОЗ2 X — (ЗІП 35° СОЗ 35°) СОЗ X ЗІП 35° С08 35° — 0. 297. Найти значеніе угловъ х, опредѣляемыхъ ра- венствомъ 8ІП2 х-}-(8Іп 18г,35—соз 18г,35)зііі;г—зіп 18г,35 соз 18г,35=0. 298. Найти значеніе угловъ х, опредѣляемыхъ ра- венствомъ —Ця— 1 = 0. 299. Изучить п представить графически измѣненіе трехчлена 2 ЗІП2 X — 3 ЗІП X — 1, при измѣненіи х отъ 0 до 2іт. За единицу длины при- нимается дециметръ. 300. Изучить и представить графически измѣненіе трехчлена 5 СОЗ2 X — 6 СОЗ X -ф 1, при измѣненіи х отъ 0 до 2л.
— 225 — 301. Изучить и представить графически измѣненіе трехчлена 3 С082 X— 10 СОЗ X — 8, при измѣненіи х отъ — тг до 4~ п. 302. Доказать, что выраженія зіп х и соз х представля- ютъ оба раціональныя числа только въ томъ случаѣ, когда Щ является раціональнымъ числомъ. Восполь- и зоваться послѣднимъ результатомъ для опредѣленія всѣхъ прямоугольныхъ треугольниковъ, три стороны которыхъ равны цѣлымъ числамъ, меньше 50. 303. Рѣшить систему уравненій ж4-у = а, ЗІП X -|- ЗІП у — 8ІП X ЗІП у. Приложить къ частному случаю, когда а — 304. Доказать, что зіп3а и соз3а выражаются слѣдующимъ образомъ зіп3 а — А зіп а 4- В зіп 2а -|- С зіп За 4~ А' СО8 а 4- 4 В' соз 2а 4 С соз За, соз3 а — М 8Іп а 4 В зіп 2а 4 Р зіп За 4- №' соз а -|- 4 7Ѵ' СО8 2а + Р' соз За, гдѣ А, В, С, А', В', С, И, В, Р, М', В', Р' — постоянные коэффиціенты (нѣкоторые изъ нихъ нули), значеніе которыхъ требуется вычислить. 305. Выразить такимъ же образомъ зіп4 а и со84 а въ слѣдующемъ видѣ зіп4 а = А 8Іп а 4 В зіп 2а. 4 С’ 8Іп За 4 В зіп 4а 4 А' соз а 4 4 В' соз 2а 4- С СО8 За 4 В' соз 4а, С084 а=Мзіп а 4- В зіп 2а 4 Р зіп За 4- 0 зіп 1а-\-М' соз а 4 4 В' соз 2а 4 В1 соз За 4- О! соз 4а. Тригонометрія. 15
— 226 — 306. Рѣшить аналогичную предыдущимъ задачу по отношенію къ віп5 а, соз5 а и по отношенію къ произведе- ніямъ зіп4 а С08 а, зіп3 а соз2 а, зіп2 а соз3 а, 8Іп а соз4 а. 307. Рѣшить уравненіе 2Лпсо8 (й-|-ап) = В; дать геометрическое рѣшеніе, аналогичное п° 81. 308. Дана боковая поверхность 8 конуса вращенія. Найти уголъ при его вершинѣ, для котораго разсма- триваемый конусъ имѣетъ наибольшій объемъ. 309. Дана трапеція съ параллельными сторонами АВ и СВ и равными непараллельными сторонами АС и ВВ. Даны длина стороны АВ=а и площадь трапеціи, равная Ва2; опредѣлить общую величину угловъ А и В изъ условія, чтобы периметръ трапеціи имѣлъ на- именьшее значеніе. Космографія. При рѣшеніи приведенныхъ ниже задачъ достаточно предположить (въ первомъ приближеніи), что планеты описываютъ равномѣрно концентрическія окружно- сти, расположенныя въ одной плоскости, въ центрѣ которыхъ находится солнце. За начальный прини- мается радіусъ, проходящій черезъ центръ земли 1 января 1902 года. Продолжительность года счи- тается въ 360 дней, или 12 мѣсяцевъ, по 30 дней каждый. Слѣдующая таблица даетъ величину криволиней- ныхъ абсциссъ каждой планеты на ея траекторіи въ моментъ 1 января 1902 года (положительная сторона траекторій соотвѣтствуетъ одному и тому же направле- нію, въ которомъ вращаются всѣ планеты); продолжи- тельность обращеній указывается въ годахъ съ дробями; разстояніе планетъ отъ солнца измѣряется въ едини-
— 227 — цахъ, ’ за которыя принимается разстояніе земли отъ солнца. -- Абсцисса. Продолжи- тельность. Разстояніе. Меркурій — 173» 0,2408 0,3871 Венера — 27» 0,6182 0,7233 Земля 0» 1,0000 1,0000 Марсъ — 143» 1,8808 1,5237 Юпитеръ - 160» 11,862 5.2028 Сатурнъ — 168» 29,457 9,5389 Уранъ • + 154» 84,020 19,1833 Нептунъ - 10» 164,767 30,055 Среднее разстояніе земли отъ солнца равно при- близительно 149 500 000км. 310. Вычислить разстояніе земли отъ всѣхъ пла- нетъ 1 января 1902 г. 311. Вычислить то же разстояніе 1 января 1904 г. 312. Вычислить предыдущія разстоянія 1 числа те- кущаго и слѣдующаго за нимъ мѣсяца. 313. Вычислить соотвѣтствующіе 1 января 1902 г. углы, образованные видимыми лучами, падающими отъ земли къ центру солнца и къ центрамъ осталь- ныхъ планетъ. 314. Вычислить предыдущія величины, соотвѣт- ствующія 1 числу текущаго и слѣдующаго за нимъ мѣсяца. 315. На основаніи предыдущихъ вычисленій, найти приближенное значеніе времени прохожденія черезъ меридіанъ каждой планеты 1 числа текущаго и слѣ- 15*
_ 228 — дующаго за нимъ мѣсяца; указать вытекающія от- сюда заключенія относительно усматриванія этихъ пла- нетъ утромъ или вечеромъ. Механика. 316. Къ тѣлу вѣсомъ въ 10 гр. приложена горизон- тально направленная сила въ 35 динъ. Вычислить величину и направленіе равнодѣйствующей ея и силы тяжести. Полагаемъ ^ = 9,81. 317. Подвода движется вдоль по прямой дорогѣ равномѣрно съ скоростью 15 километровъ въ часъ. Ко- лесо подводы имѣетъ одинъ метръ въ діаметрѣ. Вычи- слить для каждаго момента времени направленіе и вели- чину скорости точки колеса, которой оно соприкаса- лось съ землей въ начальный моментъ времени. 318. Разстояніе между точками А и В равно 10м, при чемъ точка А расположена на 2м выше надъ го- ризонтомъ точки В. Нить въ 15м длиной укрѣп- лена своими концами въ точкахъ А и В, и въ точкѣ С привѣшенъ грузъ въ 500гр, при чемъ АС — 7м. Не принимая въ расчетъ вѣса нити, вычислить натя- женіе ея отрѣзковъ СА и СВ. 319. Принимаемъ данныя предыдущей задачи, за ис- ключеніемъ длины АС, считая ее неизвѣстной; вы- числить ея длину, исходя изъ условія, чтобы натя- женія обоихъ отрѣзковъ нити были равны. Физика. 320. Вычислить уголъ отраженія свѣтового луча, падающаго подъ угломъ въ 35г на тѣло, показатель преломленія котораго равенъ 1,65. 321. Свѣтовой лучъ падаетъ на стеклянную пла- стинку въ 2СМ толщиной, показатель преломленія ко-
— 229 — торой равенъ 1,55. Вычислить уголъ паденія луча, зная, что прошедшій черезъ стекло лучъ, параллельный падающему лучу, отстоитъ отъ послѣдняго на 2ММ,5. 322. Имѣемъ квадратный сосудъ, наполненный во- дой; стѣнки его имѣютъ 5мм толщины, а внутренніе размѣры равны 30м м. Найти ходъ луча, падающаго въ горизонтальной плоскости на стѣнку сосуда подъ угломъ въ 15° и выходящаго черезъ противоположную стѣнку сосуда. Опредѣлить всѣ части геометрическаго пути луча свѣта, принимая показатель преломленія воды рав- нымъ 1,336 и стекла сосуда равнымъ 1,557. 323. Рѣшить аналогичный предыдущему вопросъ, предполагая, что уголъ паденія луча и точка, куда онъ падаетъ таковы, что существуетъ полное отраже- ніе въ стѣнкѣ, сосѣдней со стѣнкой, на которую па- даетъ лучъ. Найти наименьшее значеніе угла паденія, при которомъ происходитъ разсматриваемое явленіе. 324. Опредѣлить ходъ свѣтового луча въ призмѣ, съ угломъ при вершинѣ въ 60° и съ показателемъ преломленія 1,635. Лучъ падаетъ подъ угломъ въ 0°, 10°, 20°, 30°, 40°... 80° (для каждаго значенія угла слѣдуетъ разсматривать оба случая). Оба луча, падающій и отраженный, находятся въ одной и той же плоскости, перпендикулярной ребру призмы. 325. Слѣдующая таблица даетъ показатели пре- ломленія трехъ линій В, В, Н спектровъ двухъ сор- товъ стекла, флинтгласса (тяжелый листъ п° 2) и крон- гласса (легкій листъ 1228). Тяжелый листъ п° 2 в 1 в « 1,7801 1,7920 1,8567 Легкій листъ 1228 .... 1,5126 1,5160 1,5323 Тригонометрія.
— азо — На каждый изъ этихъ листовъ стекла падаетъ лучъ бѣлаго свѣта подъ угломъ въ 40г. Вычислить утлы отраженія для обоихъ сортовъ стекла и для каждой изъ линій, указанныхъ въ таблицѣ. 326. Возьмемъ призму изъ флинтгласса, указаннаго въ предыдущей задачѣ. Экранъ расположенъ парал- лельно плоскости, дѣлящей пополамъ уголъ призмы, на разстояніи 50сМ отъ нея. Требуется вычислить раз- стояніе между линіями Б, Р, Н въ спектрѣ, образо- ванномъ лучомъ, соотвѣтствующимъ наименьшему отклоненію линіи Р на экранѣ. Предполагается, что точки паденія и выхода луча расположены настолько близко къ вершинѣ призмы, что послѣдними разстоя- ніями можно пренебречь. 327. Вычислить уголъ полнаго отраженія луча въ воздухѣ отъ флинтгласса и кронгласса, указанныхъ въ примѣрѣ ѣ° 326, для линій В, В, Н. . 328. Вычислить уголъ полнаго отраженія луча въ воздухѣ и въ водѣ для слѣдующихъ тѣлъ, показа- тели преломленія которыхъ, для средней части спектра, выражаются числами: Свѣтло-желтая цинковая обманка........2,37 Безцвѣтный алмазъ.....................2,42 Расплавленный кварцъ............... . 1,45 Сѣроуглеродъ, при 10 градусахъ Цельсія, .1,63 Исландскій шпатъ (двояко преломляющій). 1,66 и 1,49.
О ГЛН ВЛЕ Н I Е, х Стр. Предисловіе къ переводу .................................. 3 Предисловіе автора........................................ 4 Глава I. Основныя понятія. I. Измѣреніе дугъ.................................... 9 1. Цѣль тригонометріи..................... — 2. Тригонометрическій кругъ.............. 10 3. Кратныя значенія криволинейныхъ абсциссъ. . 12 4. Приложеніе............................ 14 5. Прямой уголъ, какъ единица измѣренія .... 16 6. Шестеричное дѣленіе................... 17 7. Преобразованіе единицъ................. — II. Опредѣленіе круговыхъ функцій.................. 19 8. Предварительныя понятія..................... — 9. Опредѣленіе основныхъ круговыхъ функцій: косинуса, синуса и тангенса ....... 21 10. Знаки основныхъ круговыхъ функцій....... 26 11. Вспомогательныя круговыя функціи: котан- генсъ, секансъ, косекансъ...................... 27 III. Соотношенія между круговыми функціями одной и той же дуги........................................... 29 12. Зависимости между косинусомъ и синусомъ . . 13. Выраженіе тангенса и котангенса черезъ коси- нусъ и синусъ.................................. 31 14. Выраженіе основныхъ круговыхъ функцій, при помощи одной изъ нихъ................. . . . 33
— 232 — Стр. IV. Зависимости между круговыми функціями дугъ, сумма или разность которыхъ выражается крат- нымъ числомъ четвертей окружности................. 34 15. Приведеніе дугъ къ первой четверти...... — 16. Дуги, сумма которыхъ равна половинѣ окруж- ности ........................................ 37 17. Дуги, разность которыхъ представляетъ поло- вину окружности............................... 39 18. Противоположныя дуги...................... 40 19. Дополнительныя дуги....................... 41 20. Обращеніе круговыхъ функцій............... 43 21. Объясненіедвойныхъзнаковъвъформулахъп°14. 46 V. Круговыя функціи простыхъ дугъ. Приложенія . 47 22. Тригонометрическія выраженія частей правиль- ныхъ вписанныхъ и описанныхъ много- угольниковъ ................................... — 23. Вычисленіе круг. функцій дугъ равныхъ—, 24. Натуральныя значенія круговыхъ функцій . . 51 25. Измѣненія круговыхъ функцій. Синусоида . . 52 При мѣры для упражненій на I главу............... 54 Глава П. Примѣненіе таблицъ. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ. I. Содержаніе таблицъ. ........................... 59 26. Содержаніе таблицъ......................... — 27. Примѣненіе таблицъ....................... 61 28. Нѣсколько замѣчаній относительно примѣне- нія таблицъ................................... 63 II. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ......... 65 29. Относительно рѣшенія треугольниковъ .... — 30. Зависимости между частями прямоугольнаго треугольника................................... — 31. Перечень различныхъ случаевъ.............. 68 32. Первый случай............................. 69 33. Второй случай.............................. — 34. Третій случай............................. 70 35. Четвертый случай.......................... 72
— 233 — ' Стр. III. Приложенія.................................... 73 36. Замѣчанія общаго характера................ — 37. Различныя задачи........................ 74 Примѣры для упражненій на II главу............... 78 Глава ІП. Теорема о проекціяхъ. Сложеніе дугъ. I. Геометрическое изложеніе теоремы о проекціяхъ . 86 38. Опредѣленіе прямоугольныхъ проекцій ...» — 39. Векторы................................. 87 40. Геометрическая сумма двухъ или нѣсколькихъ векторовъ ................................... 89 ,41. Теорема о проекціяхъ.................... 90 И. Тригонометрическое вычисленіе проекцій.......... 91 42. Основная формула.................... 43. Проекція отрѣзка на ось.................. 93 44. Общая формула........................... 94 III. Сложеніе дугъ................................. 95 45. Постановка задачи......................... — 46. Вычисленіе соз {а + Ь)................... 96 47. Вычисленіе соз (а — Ъ)................... 98 48. Вычисленіе зіп {а + Ъ) и зіп (а — Ь)...... — 49. Вычисленіе (а 4- 5) и (а — Ъ)............. — 50. Замѣчанія относительно формулъ сложенія . . 99 51. Обобщеніе............................... 100 52. Формула, относящаяся къ агсі^............. — Примѣры для упражненій на III главу.............. 101 Глава IV. Умноженіе и дѣленіе дугъ. Различ- ныя Формулы. I. Умноженіе дугъ................................ 104 53. Постановка задачи......................... — 54. Удваиваніе дугъ........................... — 55. Параметрическія выраженія круговыхъ функцій. 105
— 234 — Стр. II. Дѣленіе дугъ................................ . . 107 56. Постановка задачи........................... — 57. Зная соз а, вычислить круговыя функціи дуги . 108 58. Зная зіпа, вычислить зіп и соз-.......... ПО 59‘. Зная вычислить ........................... 113 іі III. Различныя формулы............................. 114 60. Преобразованіе суммъ и разностей въ произве- денія ........................................ — 61. Выраженія вида а соз (ш/4-а) + бсоз (<оі+ Р), гдѣ ^ — перемѣнная величина.............., . . 116 62. Измѣненіе выраженія у = с зіп (ші + 7) .... 118 63. Вычисленіе формулъ при помощи логарифмовъ . 123 64. Другія формулы........................... 125 Примѣры для упражненій на IV главу................ 128 Глава V. Рѣшеніе треугольниковъ. I. Зависимости между углами и сторонами треуголь- ника ............................................ 133 65. Обозначенія.............................. — 66. Первая система основныхъ зависимостей ... 134 67. Вторая система основныхъ зависимостей . . . 136 68. Третья система основныхъ зависимостей . . . 138 69. Равнозначность трехъ системъ основныхъ за- висимостей .................................... 139 70. Дополнительныя зависимости.............. 140 II. Разсмотрѣніе четырехъ классическихъ случаевъ . 143 71. Перечень четырехъ случаевъ............... — 72. Первый случай: даны а, В, С.............. — 73. Второй случай: даны 5, с, А............. 144 1 74. Третій случай: даны а, Ъ, А............. 147 “1 75. Четвертый случай: даны а, Ъ, с.......... 152 76. Примѣры рѣшенія треугольниковъ.......... 155 ।
— 235 — Стр. III. Неклассическіе случаи. Приложенія ............. 156 77. Замѣчанія относительно неклассическихъ слу- чаевъ .......................................... — 78. I Рѣшеніе треугольника по тремъ высотамъ . . 157 II Рѣшеніе треугольника по радіусу вписанной окружности и угламъ................... 159 79. Рѣшеніе многоугольниковъ. Четыреугольникъ, вписанный въ кругъ............................ 160 Примѣры для упражненій на V главу.................. 163 Глава VI. Различныя дополненія. 1. Тригонометрическія уравненія.................... 168 80. Общія замѣчанія . •......................... — 81. Линейныя уравненія относительно соз я и зіп^ . 169 82. Квадратичныя уравненія относительно соз а? и зіп х..................................... 174 83. Системы уравненій съ двумя неизвѣстными . . 175 II. Производныя круговыхъ функцій................. 177 84. Предварительныя теоремы................ — 85. Производныя основныхъ круговыхъ функцій . 181 86. Приложенія........................... 185 III. Приложеніе тригонометріи къ съемкѣ плановъ . . 188 87. Опредѣленіе........................... . — 88. Измѣреніе длинъ и угловъ.................. 189 89. Классическія задачи....................... 192 90. Понятіе о тріангуляціи.................... 196 91. Задача составленія карты.................. 198 Примѣры для упражненій на VI главу.................. 200 Таблицы основныхъ тригонометрическихъ формулъ . . . 205 Формулы рѣшенія треугольниковъ...................... 206 Примѣры рѣшенія прямоугольныхъ треугольниковъ . . 207 Примѣры рѣшенія косоугольныхъ треугольниковъ ... 211
— 236 — (Утр. Логарифмическія таблицы...................... 215 Логарифмы чиселъ................................ — Антилогарифмы...........•..................... Логарифмы круговыхъ функцій дугъ, выраженныхъ въ градахъ...................................... 220 Логарифмы круговыхъ функцій дугъ, выраженныхъ въ градусахъ................................... 222, Примѣры для упражненій на всѣ отдѣлы тригоно- метріи ...................................... 224 Примѣры на теорію .......................... — Космографія................................ 226 Механика............................\ . . . 228 Физика.....................................