.	j	-

Статистическая
w
Читальный зал МЭИ
У
I КНИЖНЫЙ ФОНД |
Вяблмоюн» MeotCi Эн*М* I
иХмШ27.оМ

f
• СОВЕТСКОЕ РАДИО *
19 66
I
<
УДК 0ei.Q?.601.(MM-rfH9?S7
62.1.396
т H6it
Книга представляет собой учебное пособие по*
статистической радиотехнике. В пей приводятся ос-
новные сведения из теории вероятностей и случай-
ных процессов, а также излагаются основные про-
блемы теории помехоустойчивости н теории инфор-
мации.
Большое внимание уделено рассмотрению кон-
кретных радиотехнических примеров, позволяющих
проиллюстрировать методику применения общетео-
ретических положений к решению частных задач it
уяснить целесообразные физические принципы по-
строения современных радиотехнических устройств,
и систем.
В основу книги положены лекции по статисти-
ческой радиотехнике, которые читал автор в тече-
ние последних 10 лет. Оригинальные научные ре-
чулылты самого явтора нашли лишь частичное отра-
жение («©еда они не выходили за рамки учебной,
программы по данному курсу). Автор стремился из-
ложить основы статистической радиотехники в соот-
ветствии с теми требованиями, которые предъявляв
ютоя*к этой области знаний в настоящее время.
Книга предназначена для студентов, инженеров,
аспирантов и научных работников, работающих &
области радиофизики и автоматики.
М-1
о-м
ПРЕДИЕЭВИЕ
Настояния книга написана как учебное пособие по спасти-
ческой ради технике. В ней приводятся основные понятия вории
вероятности и случайных процессов, а также сведения из виории
помехоустойчивости и теории информации. Этот материал—ieo6-
ходимо знаъ для правильного понимания принципов сонеткиро-
вания и работы современных радиотехнических устройств и дггем.
В основ] книги положены лекции по статистической расэтех-
нике, которое читались автором в течение последних 10 лет де сту-
дентов радготехнической специальности. Учет предварит ьной
подготовки студентов по высшей математике и радиотехь=е, а
также объес книги ограничили круг рассматриваемых воиосов
и сказалиш на характере изложения материала.
Большое внимание уделено рассмотрению конкретных вдио-
технических примеров, позволяющих, с одной стороны, нроизпост-
рировать методику применения общетеоретических положенной ре-
шению частных задач, и, с другой, — уяснить целесооб____зные
физические принципы построения современных радио? ехнк=ских
устройств и систем.
Книга «стоит из четырех разделов, содержащих пестшдцать
глав, и несюльких приложений. В первом разделе, которыта-клю-
чает пять пав, даются основные понятия и методы теории и>оят-
ностей и случайных процессов. Второй раздел содержит =тыре
главы и в основном посвящен анализу работы типовых ли«ных
и нелинейных радиотехнических систем при наличии слуяйных
воздействий В третьем разделе, состоящем из пяти глшГрвсмот-
рены основные задачи оптимальных методов приема сигнагэв на
фоне белого шума. Четвертый раздел состоит из двух глав, ^кото-
рых приведены основные предельные теоремы теории мфо^зции.
Первонагально предполагалось привести в книге обторную
библиографию. Однако ввиду очень большого числа онублжван-
ных работ зга задача оказалась непосильной для автора- В Ж5лио-
графическш указатель включены лишь оригинальные ис"«ники
и работы, тспользованные при написании книги.
Нумерация рисунков ведется по главам, а формул и тгпиц—
по главам i параграфам: первая цифра указывает нвмер славы,
вторая — н»мер параграфа и третья — номер формулы опара-
графе. Исключение составляют ссылки на формулы приложе-
ния I, отмеченные буквой П.
Рукопись данной книги была просмотрена коллективом кафедры,
возглавляемой чл.-корр. АН СССР В. И. Сифоровым, доктором
физико-матем. наук Р. Л. Стратоновичем и доктором техн, наук
И. Н. Амиантовым, написавшим по моей просьбе четырнадцатую
главу. Большую помощь при написании книги оказали Ю. Н. Ба-
каев, В. Т. Горяйнов, Е. И. Куликов и товарищи по работе, которые
явились основными инициаторами создания книги и высказали ряд
пожеланий.
Автор выражает искреннюю благодарность всем указанным
товарищам за предложения и критические замечания.
При дорйббД'Кё рукописи были учтены все полученные рекомен-
дации. Однако, после того как работа над рукописью была закон-
чена, возникло много предложений по методическому и научному
улучшению данного варианта книги. Считая работу в этом отно-
шении незавершенной, постараюсь это выполнить в последующих
изданиях с учетом критических замечаний, которые надеюсь по-
лучить от читателей.
ВВДЁНИЕ
Не кас ясь специфических особенностей, характерных Fia от-
дельных ораслей радиотехники (радиосвязь, радиолошция^адио-
навигация, телеметрия, телевидение и др.), в качестве типовзг мож-
но указат! функциональную схему, представленную на| ис. 1.
Она состоит из двух симметричных частей: передающей и премией.
Под соЖлцением понимаются любые сведения или цанн&, под-
лежащие ередаче. По своей физической природе сообщени могут
быть механическими, тепловыми, световыми и электрилескив. Для
того чтобь сообщения можно было передавать на большие состоя-
ния, необходимо сформировать радиосигналы, отображают^ сооб-
щения. С этой целью неэлектрические сообщения преобрэуют в
электрические сигналы при помощи соответствующих пр< бразо-
вателей. Ери этом обычно стремятся к тому, чтобы завгэмость
между интересующей нас физической величиной (сообщенн—i) и ее
электриченим аналогом (сигналом) на выходе преэбра:»ателя
была линйной. В передатчике сигнал преобразуется в рсиосиг-
нал.
Радиосггнал при помощи передающей антенны излучаетрч в ок-
ружающее пространство, распространяется в нем и пос;_цством
приемной антенны воздействует на вход радиоприемника.ЕЗ при-
емнике рщиосигнал усиливается до необходимой величину прев-
ращается в сигнал (при помощи детектирования), треоб^зуется
в нужное сообщение и затем поступает к получателю —вконеч-
ному устройству или лицу, для которого предназначено сойвцение.
Основюе требование, обычно предъявляемое к метем; радио-
связи, согоит в достоверной и своевременной передаче СКчьшого
количеств информации на большие расстояния при ограпенной
мощности передатчика. Ясно, что ложные, запоздалые ил непол-
ные сведения обесценивают полученную информации, тагжак не
позволяю! оперативно принимать правильные решения.
Достоьерности передачи информации по реальным j иния радио-
связи препятствуют три причины: 1) неизбежное наличие яешних
и внутрених помех, 2) искажения радиосигнала прж распростра-
нении черз турбулентную атмосферу и ионосферу, 3> техническое
несовершенство устройств.
Искажения сообщения, возникающие в результате ^схож-
дения егочерез технически несовершенную аппаратуру, в гжнципе

могут быть уменьшены путем ее
улучшения. Помехи и искаже-
ния радиосигнала при распро-
странении обусловлены непод-
властными нам причинами.
Действительно, вследствие
распространения электромаг-
нитных волн через турбулент-
ную атмосферу и ионосферу,
обладающих случайными коэф-
фициентами поглощения и пре-
ломления, неизбежно происхо-
дит случайная модуляция ра-
диосигнала по амплитуде, ча-
стоте и фазе.
Внешние помехи принимают-
ся антенной вместе с сигналом
(рис. 1). Они создаются раз-
личными естественными элек-
тромагнитными процессами,
происходящими в атмосфере,
ионосфере и космическом про-
странстве (космические шумы,
атмосферные помехи и т. д.),
электроустановками и соседни-
ми радиостанциями, а также
преднамеренными средствами,
применяемыми противником для
создания помех (пассивные от-
ражатели и радиостанции по-
мех).
Кроме перечисленных внеш-
них источников помех имеются
другие, внутренние, локализо-
ванные в различных элементах
схемы рис. I. Сюда можно от-
нести флуктуационные шумы
ламп, полупроводниковых при-
боров и сопротивлений потерь,
микрофонный эффект, обуслов-
ленный механическими вибра-
циями, нестабильности питаю-
щих напряжений и др.
Во многих практических
случаях прием сигналов дол-
жен осуществляться при не-
больших значениях отношения
6
сигнал/помеха. Это объясняется следующими обстоятельствами.
При огранцченной мощности передатчика сигнал на богтьшой
дальности сказывается слабым. С другой стороны, необходимость
иметь большую скорость передачи информации (т. е. передачу
большого количества сведений в единицу времени) требует рас-
ширения полосы рабочих частот, что связано с увеличением уровня
помех.
Помехи и искажения радиосигнала уменьшают вероятности пра-
вильного приема переданного сообщения. Поэтому принимаемое
сообщение всегда оказывается не предсказуемым, а в той илг иной
мере случайным. Многие задачи радиотехники становятся бессо-
держательными без учета наличия помех и искажений радиосиг-
нала.
В дальнейшем мы убедимся, что чем больше предварительных
сведений известно о сигнале и помехах, тем лучше можно выполнить
указанныевыше требования, предъявляемые к системе радиосвязи.
Отсюда следует необходимость изучения случайных сигналов и
помех.
Матемагический аппарат, позволяющий описывать и опериро-
вать со случайными величинами и случайными процессам!, дает
теория ве[оятностей. Сведения по теории вероятностей и случай-
ным процессам излагаются в первом разделе данной книги.
Второй раздел посвящен анализу работы радиотехнических уст-
ройств npi наличии помех. Здесь задача ставится так. Предпола-
гая известными характеристики сигнала и помехи, нужне коли-
чественно оценить влияние помех на работу радиоустройстз. По-
скольку ркдиоустройства представляют различные комбинации ли-
нейных и нелинейных элементов, то задача, по существу, сюдится
к анализу прохождения сигнала и шума через линейные и нт иней-
ные системы. Необходимая степень детальности такого анализа в
значительяой мере определяется тем количественным критерием,
который оценивает влияние помех.
На первый взгляд может показаться, что сформулирсванная
задача анализа работы радиотехнических устройств при ьа личин
помех не имеет особого значения. При разработке радиотехниче-
ских устройств всегда стремятся к тому, чтобы принятое сосбщение
было по возможности тождественно переданному. Поэтому целесооб-
разно сраз-у ставить и решать задачу синтеза радиотехничест их уст-
ройств при работе в условиях помех.
Задача синтеза формулируется следующим образом. Предпола-
гая заранее (априорно) известными некоторые характерней ки сиг-
нала и помех, нужно найти функциональную схему идеальюго ра-
диоприемного или решающего устройства, которое бы всспроиз-
водило переданное сообщение с наименьшими искажениями в оп-
ределением смысле. Конкретные варианты этой задачи будут рас-
смотрены в третьем разделе книги «Оптимальные методы радио-
приема».


i IS
 t
Решение задачи синтеза позволяет получить два важных резуль-
тата: во-первых, выяснить схему оптимального радиоприемного

или решающего устройства, которое при данном способе передачи
обеспечивает наилучшее решение конкретной задачи, и, во-вторых,
найти его рабочие характеристики (например, вероятность правиль-
ного решения, предельную точность и т. д.). Сравнивая характе-
ристики оптимального радиоприемника с характеристиками ре-
ального, можно судить о том, целесообразно ли работать над тех-
ническим усовершенствованием последнего. Сравнение же харак-
теристик оптимальных приемников для различных методов пере-
дачи позволяет установить наилучшие методы передачи, т. е. вы-
брать оптимальные виды сигналов. Следовательно, теория опти-
мальных методов радиоприема позволяет указать рациональные
пути при разработке радиотехнических устройств и оценить пре-
дельно достижимые точности их работы в заданных условиях.
Однако синтез радиотехнических устройств не исключает зада-
чу анализа. Дело в том, что во многих случаях практики затрудни-
тельно точно реализовать оптимальные устройства как по сообра-
жениям их сложности, так и ввиду отсутствия элементов, которые
бы адекватно осуществляли нужные математические операции. Раз-
личие между реальными и оптимальными устройствами приводит
к тому, что оценка искажений сигналов в реальных устройствах
может быть получена из решения задачи анализа.
Настоящая книга содержит четвертый раздел—«Теория инфор-
мации». Основное назначение его состоит в установлении теорети-
чески предельных возможностей канала связи в отношении скорости
безошибочной передачи информации. Общий смысл этого раздела
заключается в том, что при передаче информации по каналу связи
возможна безошибочная передача при условии, если скорость пе-
редачи не превосходит некоторого максимального значения. При
этом в принципе существует способ кодирования, обеспечивающий
безошибочную передачу со скоростью, сколь угодно близкой к мак-
симальной.
Материал указанных четырех разделов является необходимой
основой для грамотного конструирования различных радиотех-
нических устройств и систем с учетом случайного характера реаль-
ных радиосигналов при наличии помех. Знание этого материала
также необходимо при анализе влияния помех на работу конкрет-
ных радиоустройств.
Раздел I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. О ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ
Все происходящие в мире явления связаны с бесчисленным мно-
жеством других явлений. Избрав какое-либо явление объектом
изучения, иы обнаруживаем, что среди этих связей есть существен-
ные, действие которых определяет основные черты изучаемого яв-
ления, но есть и несущественные, оказывающие влияние лишь на
некоторые второстепенные его особенности. При изучении явле-
ния необходимо выделить и учесть все существенные связи и одно-
временно отвлечься от несущественных подробностей, обусловлен-
ных побочными связями. Таким образом, анализу подвергается
не само явление во всей его сложности, а упрощенная его модель.
Изученге построенной модели приводит к установлению тех или
иных количественных закономерностей. Критерием правильности
принятой модели являются результаты сравнения выводов теории
с данными практики, опыта.
В зависимости от принятой модели возможны два метода изуче-
ния ее: дет ерминистический и вероятностный (статистический).
Детермк нистический метод применяется при рассмотрении де-
терминированной (полностью определенной) модели, для которой
заранее toiho известны как начальное состояние, так и внешние
воздействим. Решение дифференциальных уравнений, описываю-
щих поведение системы (модели), однозначно определяет поведение
системы в будущем. Например, зная начальный заряд на конден-
саторе С, можно указать закон изменения во времени величины раз-
рядного тока через параллельно присоединенное сопротивление
/?. Факт детерминированности означает, что при одном и том же
комплексе исходных условий мы будем получать каждый раз один
и тот же результат.
Детермгнированные модели правильно отражают не все реаль-
ные явления, и правомерность применения детерминированной мо-
дели для одного и того же явления зависит от необходимой степени
детальности изучения его. Допустим пока, что мы хотим знать по-
ведение молекулы определенного объема газа. Для этого нужно бы-
-11
ло бы точно указать координаты и скорости всех молекул в неко-
торый начальный момент времени, по законам механики составить
систему дифференциальных уравнений и затем решить ее. На пути
реализации такого метода пришлось бы столкнуться с непреодо-
лимыми трудностями. Во-первых, принципиально невозможно
указать точно положения и скорости молекул. Во-вторых, получен-
ную систему из очень большого числа дифференциальных урав-
нений практически невозможно решить. К этому следует добавить,
что поведение отдельной молекулы ничего не говорит о свойствах
газа в целом (давлении, температуре, теплоемкости и др.). А ведь
именно эти свойства, характеризующие некоторый усредненный
эффект случайно движущихся молекул, представляют практический
интерес. В данном примере следует отказаться от детерминистиче-
ского метода и применить вероятностный, позволяющий получить
нужный результат.
При вероятностном методе рассматривается статистическая мо-
дель, поведение которой в каждом конкретном испытании не может
быть предсказано, но при многократных испытаниях в одних и тех
же условиях подчинено определенным закономерностям. Теперь
элементы случайного в явлениях не игнорируются, но по-прежнему
учитываются только существенные и необходимые взаимозависи-
мости, проявляющиеся как тенденция в массе случайных событий.
Конкретные случайности индивидуального события не учитываются
вследствие их частного характера.
В соответствии со сказанным выше, теорию вероятностей опре-
деляют как математическую науку, изучающую закономерности мас-
совых случайных явлений.
Хотя все реальные процессы и явления в той или иной мере слу-
чайны, в тех случаях, когда случайные составляющие процесса не
играют заметной роли, допустимо их детерминистическое рассмот-
рение. Напротив, в тех задачах, где случайные составляющие име-
ют определяющее значение, необходимо статистическое рассмот-
рение.
Применительно к радиотехнике роль статистических методов
особенно возросла за последние годы. Это объясняется тенденцией
увеличения дальности действия и повышения надежности и быстро-
действия современных радиотехнических устройств. При этом ока-
зывается необходимым учитывать случайный характер передава-
емых сигналов, их искажения при распространении и наличие
помех.
§ 2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
В теории вероятностей рассматриваются явления (опыты), ко-
торые при одном и том же комплексе начальных условий в зависи-
мости от случайных обстоятельств заканчиваются различными ис-
12
ходами (собятиями). При этом, говоря об одном и том же комплексе
начальных условий, подразумевают, что остаются без изменения
основные существенные обстоятельства опыта-
В связи с тем, что заранее предсказать точный исход случай-
ного опыта нельзя, при изучении случайных явлений возникает
следующий кардинальный вопрос: как часто наступает то или иное
событие при многократных испытаниях? Например, какая доля
заявок (вызовов), поступающих на телефонную станцию, получает
отказ; или какая доля электронных ламп, установленных в вы-
числительной машине, выходит в течение некоторого фиксирован-
ного времен! из строя?
Пусть три /V-кратном повторении опыта некоторое событие А
произошло и п случаях. Относительной частотой события А назы-
вается отношение числа испытаний, в которых появилось событие А,
к общему числу произведенных испытаний:
v(A) — n/N.
Из-за случайных причин число v при разных значениях и в
разных сериях из N опытов одинаковой длины будет получаться
различным. В качестве примера в табл. 1.2.1 приведены резуль-
таты некоторого опыта по бросанию монеты в зависимости от числа
бросаний. Возможные исходы каждого бросания условно обозна-
чены как 0 и 1. В третьей строке таблицы приведена относительная
частота появления единицы.
Таблица 1.2.1.
Результаты опыта по бросанию монеты
Количество броса- ний	1	2	3	i 4	5	6	7	8	9	10
Исход бросаний	1	1	0	I	0	0	1	0	0	0
v_0)		1	1	2/3	3/4	3/5	1/2	4/7	1/2	4/9	4/10
Однако повседневная практика и специальные эксперименты
говорят о том, что с увеличением числа испытаний сколько-нибудь
значительные отклонения относительной частоты от некоторого
среднего значения происходят редко. Например, в опыте с 12 000
бросаний люнеты относительная частота появления герба оказалась
равной 0,5016, а в опыте с 24 000 бросаний — 0,5005.
Число, около которого группируются при многократных ис-
пытаниях относительные частоты события, называется его вероят-
ностью. Несколько изменяя формулировку, можно определить ве-
роятность как отношение среднего числа появлений события А
в N испытаниях к числу испытаний У.
Практическая ценность понятия вероятности определяется сле-
дующим обстоятельством. Хотя тот или иной исход случайного яв-
13
ления не может быть предугадан, однако можно рассчитывать на
то, что в любой достаточно длинной серии испытаний относительная
частота события будет мало отличаться от его вероятности. Чем
больше вероятность события, тем чаще в достаточно длинной серии
испытаний оно происходит, и наоборот.
Это позволяет людям строить свою практическую деятельность
так, как если бы рассматриваемые события осуществлялись в соот-
ветствии с их вероятностью. Естественно, например, послать на со-
ревнование того спортсмена, который ранее показывал лучшие ре-
зультаты, или применять тот вид бомбометания, который в анало-
гичных условиях давал наибольший процент попаданий, или ис-
пользовать тот метод лечения, который дал наибольший процент
выздоровлений, хотя во всех этих примерах нет полной гарантии
того, что в данном конкретном случае принятый вариант приведет
к наилучшему исходу.
Учитывая органическую связь, существующую между относи-
тельной частотой события v и его вероятностью р, а также то, что
относительная частота есть неотрицательная величина, не превос-
ходящая единицы, следует считать, что вероятность р(Л) некото-
рого события А удовлетворяет тем же ограничениям, т. е.
0<р(Л)<1.	(1.2.1)
Событие, вероятность которого равна единице, называется до-
стоверным, а событие с нулевой вероятностью—невозможным.
Следует иметь в виду, что понятия достоверного и невозмож-
ного событий в теории вероятностей несколько шире общеприня-
тых. Хотя событие, имеющее вероятность, равную единице, проис-
ходит практически всегда, но в принципе не исключено, что при
каком-то частном испытании оно не наступит. Аналогично не исклю-
чается принципиальная возможность появления события с нулевой
вероятностью. Например, вероятность человеку прожить точно
5 лет, 3 дня, 5 часов и 20 секунд равна нулю, но тем не менее такое
событие возможно.
Выше было сформулировано так называемое статистическое оп-
ределение вероятности. При всей своей практической значимости
оно имеет тот недостаток, что не дает указаний к вычислению ве-
роятности некоторого события иначе как путем статистических
испытаний. Познакомимся теперь с так называемым классическим
определением вероятности.
В любой научной теории, в том числе и в теории вероятностей,
существует некоторое число изначальных истин, которые нельзя
путем логических рассуждений свести к еще более элементарным
истинам. Если практика или специально поставленные экспери-
менты подтверждают их справедливость, то они принимаются без
каких-либо дополнительных теоретических выкладок, т. е. как ак-
сиомы.
14
По существу так были введены статистическое определение ве-
роятности I соотношение (1.2.1), которому она подчиняется. Ана-
логично обстоит дело с классическим определением вероятности,
которое опграется на понятие равновозможных событий, вводимое
без доказательств. Классическое определение допускает непосред-
ственный подсчет вероятностей и позволяет придать доказательный
характер основным формулам теории. Правда, ситуация равновоз-
можности ^скольких событий является относительно редко реа-
лизуемой, 11 в общем случае указанные
формулы все равно приходится вводить
аксиоматически.
Неско./пно событий называются равно-
возможными, если условия опыта налагают
на их появление одинаковые ограничения,
и, следовательно, нет причин, по которым
одно из низ могло бы появляться чаще, чем
всякое другое из событий рассматриваемого
множества. Примерами равновозможных
событий могут быть: 1) выпадёнйё“Т, 2, 3,
"4? 5 или 6 очков при бросании симмет-
ричной игральной кости; 2) обрыв какой-
Рис. 1.1. Мишень.
нибудь сгицы «вполне симметричного» велосипедного колеса;
3) фазное или противофазное включение наугад двух обмоток
трансформатора и др.
Введем еще два понятия.
Несколько событий называются несовместимыми, если никакие
из них не могут произойти при одном и том же испытании
вместе.
Несколько событий называются составляющими полную группу,
если в результате испытания обязательно происходит хотя бы одно
из них.
Пусть ю мишени (рис. 1.1) производится однократный выстрел.
Обозначим через А событие — количество выбитых очков не более
трех (т. е. О, 1, 2 или 3), а через В — количество выбитых очков
более трех (т. е. 4 или 5). Нетрудно видеть, что события А и В яв-
ляются несовместимыми и составляют полную группу, поскольку
в результате выстрела обязательно происходит либо событие А,
либо событие В. Событие А — выбито не более трех очков, к собы-
тие С — выбито не менее трех очков (т. е. 3, 4 или 5), также состав-
ляют полную группу, однако в отличие от событий А и В являются
совместимыми, поскольку получение в результате выстрела ровно
трех очкда. означает одновременное наступление как события А,
так и события С. И, наконец, событие D — выбито не более двух
очков (т. е. О, Г или 2), и событие В — выбито более трех очков, яв-
ляются несовместимыми и не составляют полной группы, так как
при одиночном выстреле не охватывают всех возможных результа-
тов (а именно, выбивание ровно трех очков).
15
Рассмотрим опыт с У равновозможными исходами, которые не-
совместимы и составляют полную группу*. Пусть п из них влекут за
собой событие А (благоприятствуют событию Л). Иначе говоря, со-
бытие А распадается на п частных случаев.
Вероятностью события А называется отношение числа исходов,
благоприятствующих событию А, к общему числу возможных ис-
ходов
Р(Л) = ^.	(1.2.2)
Определенную таким образом вероятность можно легко вычислить
без проведения испытаний.
Пример 1. Найдем вероятность того, что при бросании сим-
метричной игральной кости число выпавших очков будет нечет-
ным. Интересующее нас событие А — нечетное число выпавших
очков, распадается на три частных случая: выпало одно, три или
пять очков. При этом все они входят в полную группу из 6 равно-
возможных, несовместимых событий. Следовательно, р(Д) =
-3/6 -V2.
Пример 2. В партии из N изделий М бракованных. Наудачу
выбирают п изделий из этой партии (п < N). Чему равна вероят-
ность того, что среди них окажутся т бракованных (т М)? Об-
щее число возможных выборов из N изделий по п равно числу соче-
таний из N элементов по и:
ЛИ
(Л/ — п)! /г!
Число возможных выборов т бракованных изделий из общего числа
М равно Поэтому число комбинаций, влючающих в себя ровно
m бракованных изделий, равно числу сочетаний из М по т, умно-
женному на число сочетаний из (Л/ — М) небракованных изделий
по (и — т). Таким образом, в соответствии с классическим опре-
делением вероятности получим
р(Л) =
и Д '	Л/
(1.2.3)
'N
Классическое определение не снимает вопроса о соотношении
между вероятностью и его относительной частотой, однако многочис-
ленные эксперименты подтверждают, что относительная частота
событий в схеме случаев группируется вокруг величины n/N.
В этом и заключена реальная ценность классического определения.
Понятие равновозможности событий применяется к опытам с
бесконечным числом исходов. Типовой может служить следующая
* Полную группу равновозможных, несовместимых событий называют
схемой случаев или схемой урн.
16
задала. В обласгь 6 наугад бросается «точка» Q. Какова вероят-
ность того, что точка Q попадет в область g, являющуюся частью
области G (рис. 1.2)?
Хотя каждое из множеств G и g содержит бесчисленное множество
точек, естественно считать, что «вместимость» множества G больше
и притом во столько раз, во сколько площадь So области G превос-
ходит площадь Sg области g. Исходя из равновозможности всех
рассматриваемые вариантов, естественно считать, что искомая
вероятность p(/ty равна р(Л) = Sg/SG.
В общем случае множества G и g могут иметь другую размер-
случае, объема — в трехмерном
и т. д.), но приведенная формула
сохраняет свой смысл, с той толь-
ко разницей, что множества в об-
ность (длины — и одномерном
Рис.	Определение
геометрических вероят-
ностей.
Рис. 1,3. Развертка осциллог-
рафа.
щем случае оцениваются так называемой мерой (длиной, пло-
щадью, объемом). Таким образом, в общем случае формула при-
нимает вид:
р(А)= мера^.	(1.2.4)
г 4 ' мера G	'	'
Ввиду явного геометрического смысла вероятности вида (1.2.4)
называют также геометрическими.
Пример. Пусть Т — полный период развертки осцилло-
графа и Л — его часть, которую занимает обратный ход. Какова
вероятность тою, что импульс, длительность которого пренебре-
жимо мала, появится во время обратного хода развертки (рис. 1.3),
если считать, что все моменты появления импульса за период Т
равновозможны. Очевидно, р(Д) = Д/Т.
 § 3. СУММА И ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ
В применениях теории вероятностей часто возникает необходи-
мость выразить, вероятность некоторого сложного события через
вероятности составляющих его событий. Например, вероятность без-
отказной работы самолета в течение некоторого промежутка вре-
мени целесообразно выразить через вероятности безотказной работы
'отдельный ор» hiии<ПОЬ. ,дозволит часть летных испытаний
I КНИЖНЫЙ ФОНД |
2 закЛфцбдиотела Моск. Энорг«/|	17
I ИйХ ы08027о/| Ч
самолета заменить стендовыми испытаниями агрегатов. Сущест-
вуют и другие ситуации, требующие усложнения применявшихся
до сих пор методов.
Рассмотрим те взаимоотношения, которые могут возникать
между отдельными событиями.
Суммой двух событий А и В называется такое третье событие С,
которое состоит в наступлении или события А, или события В, или
в наступлении обоих событий А й В. Для обозначения суммы собы-
тий применяется запись С = А + В.
Пример!. Пусть обнаружение воздушной цели произво-
дится двумя радиолокационными станциями. Обозначим через А
обнаружение цели первой Станцией, через В — обнаружение цели
Рис. 1.4. Геометрическая интер-
претация суммы двух несовме-
стимых событий.
А * в
Рис 1.5. Геометрическая
интерпретация суммы двух
совместимых событий.
второй станцией. Тогда С = А + В — событие, состоящее в об-
наружении цели хотя бы одной станцией ( т. е. или первой, или
второй, или и первой, и второй).
Пример 2. Оборудование для посадки самолетов при по-
мощи радиосредств состоит из двух основных частей: курсовой
системы и глиссадной системы. Пусть А — выход из строя курсовой
системы, В — выход из строя глиссадной системы. Тогда С =
•= А + В — отказ системы посадки, независимо от того, чем он об-
условлен (или отказом только курсовой системы, или отказом
лишь глиссадной системы, или по причине отказа как курсовой, так
и глиссадной систем вместе).
Произведением двух событий А и В называется такое третье
событие С, которое состоит в осуществлении и события А, и собы-
тия В. Для обозначения произведения событий применяется обыч-
ная запись С. — АВ.
Пример 1. По мишени производится два выстрела. Пусть
событие А — поражение мишени при первом выстреле, В — пора-
жение мишени при втором выстреле. Тогда ЛВ — поражение ми-
шени двумя выстрелами.
Пример 2. Пусть А — безотказная работа приемника, В —
безотказная работа передатчика. Тогда АВ — безотказная работа
приемопередатчика.
Понятая суммы и произведения событий допускают простое гео-
метрическое истолкование. Предположим, что событию Л соответ-
ствует попадание случайно брошенной.«точки» в область А, а собы-
тию В — попадание в область В.
Тогда событию А + В соответствует
попадание в область, которая отме-
чена на рис. 1.4 и 1.5 штриховкой.
При этом на рис. 1.4 представлен
случай, когда события А и В несов-
местимы, а на рис 1.5 —случай
совместимых событий А и В. Произ-
ведение двух событий также может
быть интерпретировано геометриче-
ски. На рис. 1.6 заштрихована об-
Рис. 1.6. Геометрическая ин-
терпретация произведения
двух событий,
ласть исходов, соответствующая
произведению событий АВ. Из этого рисунка видно, что понятие
произведения событий-теряет свой смысл, если они несовместимы.
§ 4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть А и В представляют собой несовместимые исходы одного
и того же опыта. Для таких событий имеет место следующая тео-
рема.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместимых
событий равна сумме вероятностей этих-событий:
»
р(Л+В)=р(Л)+р(В).	(1.4.1)
Доказательство теоремы можно провести только для схемы слу-
чаев. Пусть общее число равновозможных несовместимых исходов
опыта paiHo W, причем п из них благоприятствуют событию Л, а
т — событию В, так что р(Л) = n/N и р(В) — m/N. Так как события
Л и В совместно не осуществляются, то их сумме (Л + В) благо-
приятствуют все (и -Ь т) событий. Поэтому согласно классическому
определению вероятности получим
/ л । о\ п + т п т	, д. ,
р(Л+В)=	=-^ + ^- = р(Л)+р(В).
т		z	.
Отметим, что когда вероятностная ситуация не сводится к схеме
случаев, теорема сложения принимается за аксиому (без доказа-
тельства).
Укажем на два обобщения теоремы сложения. Во-первых, она
распространяется на случай нескольких событий, а именно, если
События А, В, С,... несовместимы, то
р(Л + В+С+...)-р(Л)+р(В)+р(С)+...	(1.4.2)
2*
19
Докажем это для случая трех событий. Пусть события А, В
и С несовместимы. Тогда
р(Л+В+С)=р[(Л+В)+С] =р(Л+В)+р(С).	,
Но	'
Р(Л+В)=р(Л)+рХВ).	;
Следовательно,	j
р(Л+В+С) = р(Л)+р(В)+р(С).
t
Второе обобщение распространяет теорему на случай совместимых
событий.
Предположим, что события А и В совместимы" (рис. 1.5). Из
рис. 1.5 непосредственно следует, что событие А + В можно пред-
ставить в следующем виде:
Л+В=Л+В— АВ.	(1.4.3)
Согласно формуле (1.4.2) имеем
р(Л+В)=р(Л)+р(В)-р(ЛВ).	(1.4.4)
Докажем теперь два следствия теоремы сложения.
Следствие 1. Сумма вероятностей несовместимых событий, состав-
ляющих полную группу, равна единице.
Пусть события Л1, Аг, .... Ап несовместимы и составляют полную
группу. Запишем для них теорему сложения:
Р(Л1)+р(Л2)4-...+р(Ля)=р(Л1+Л2+...+Ля).
Но событие Л| + Л2 +...-|-Лл достоверно, так как оно осуществ-
ляется при каждом испытании, и вероятность его равна единице.
Следовательно,
р(Л1)+р(Л2)+.-+р(Л„) = 1.	(1.4.5)
Два несовместимых события, составляющих полную группу, на-
зываются противоположными. Примерами противоположных собы-
тий могут служить: попадание в мишень и промах, выпадение чет-
ного и нечетного числа очков при бросании игральной кости и т. д.
Событие, противоположное Л, обозначается через А (читается
«не Л»). В применении к противоположным событиям формула
(1.4.5) приобретает вид
р(Л)+р(Л) = 1.	(1.4.6)
Этот результат принято формулировать в виде специального след-
ствия теоремы сложения.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий
равна единице.
20
В заключение рассмотрим пример. Из урны, в которой нахо-
дятся 3 крсных шара, 2 белых и 5 зеленых, наугад вынимается один
шар. Чем/ равна вероятность того, что вынутый шар не белый?
Из трех событий: А — вынутый шар красный, В — вынутый
шар белый и С — вынутый шар зеленый, событию D — вынутый
шар не &лый, благоприятствуют два события: А и С, т. е. D =
— А + С- Поэтому в соответствии с (1.4.1) получим
р (D)=р (л)+р (С) .=4+а=4 •
Данную задачу можно решить и другим способом. Заметим, что
события D и В являются противоположными, т. е. D = В. Ис-
пользуя порое следствие теоремы сложения, найдем
рр)=1_р(В) = 1-4 = А
§ 5. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Несколько событий могут находиться между собой в таких взаи-
моотношениях, что вероятность одного из них зависит от осуществ-
ления других. В связи с этим введем следующие определения.
Событие А называется статистически зависимым от событий Blt
В2,..., Внесли вероятность события А зависит от того, осущест-
вились события Blr В2,..., Bk или нет. Если же вероятность А не
связана с осуществлением событий Bt, В2, ..., Bk, то событие А на-
зывается статистически независимым от событий Вх, В2 ,.., Bk.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что прои-
зошли события Вь В2, .... Bk, называется условной.# обозначается
через	В2.... Bk). Если же при вычислении вероятности
события 4 события В1г В2, Вк во внимание не принимаются, то
вероятность р(Д) называется безусловной.
Согласно определению событие А статистически зависит от со-
бытия В, если р(А |В) ^=р(А). Если же р(А | В) = р(Д), то А не
зависит от В*.
Отметим, кстати, что факт зависимости или независимости мож-
но обычго установить без вычисления соответствующих вероят-
ностей, гсходя из смысла рассматриваемого явления. Например,
вероятность безотказной работы передатчика не зависит от исправ-
ности приемника, находящегося на другом конце радиолинии
(и наоборот). Однако зависимость будет наблюдаться, если приемник
• В приведенных определениях слово «статистически» иногда опускает-
ся, но peib идет именно о статистической закономерности,проявляющейся
и том, что событие В влияет на событие А в большом числе опытов, изменяя
относителкную частоту его появления.
I
j ? ,g*~
.. igflTn j I II 1 1 1 11

i
r •
и передатчик входят в комплект одной радиостанции с общим источ-
ником питания.
Перейдем теперь непосредственно к теореме умножения.
Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную ве-
роятность другого при условии, что произошло первое:
р(ЛВ)=р(Л)р(В|Л)=р(В)р(Л|В).	(1.5.1)
Доказательство теоремы проведем для схемы случаев. Пусть
общее число равновозможных исходов опыта равно N, причем со-
бытию А благоприятствуют k исходов, событию В — I исходов,
событию АВ — т исходов
Рис. 1.7. К доказательству теоремы
(рис. 1.7).
Вычислим условную вероят-
ность р(В\ Л). Если событие А
произошло, то общее число рав-
новозможных исходов равно k.
Из них событию В благоприят-
ствуют т исходов. Следова-
тельно, р(В | Л) = m/k. Но
mlk =	т. е.
умножения.
P<SM> = !FW' <L5-2)
что и доказывает первую часть формулы (1.5.1). Аналогичным об-
разом можно показать, что
р(ЛД) =
Р(АВ)
Р(В) ’
Когда имеется несколько зависимых событий Лъ Л2, Ап,
формула (1.5.1) принимает вид
р(Лх Л2... Л„) =
=Р(Л1)р(Л2| Л1)р(Л3| Ai Л2)... р(Л„ | Аг Л2... Л„-1). (1.5.4)
В общем случае, когда ситуация равновозможности не имеет
места, теорема умножения принимается без доказательства.
Рассмотрим следствия теоремы (1.5.1).
Следствие 1. Если событие Л не зависит от события В, то и собы-
тие В не зависит от Л.
Пусть событие Л статистически не зависит от события В, так что
р(Л [В) = р(Л), причем предполагается р(Л) ф 0. Используя тео-
рему умножения, можно написать
р(Л)р(В[Л) = р(В)р(Л|В).
22
При р (Л | Вт — р (А) получаем
р(В\А)—р(В).
Но последнье равенство означает, что событие В не зависит от А •
Укажем, что если Л и В независимы, то формулу (1.5.1) можно
записать в 1иде
р (АВ) = р (Л) р (В).	(1.5.5),
Обычно этот результат формулируют в виде специального следствия
теоремы умножения.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых со-
бытий равна произведению вероятностей этих событий.
Используя (1.5.5), можно доказать аналогичную формулу для
нескольких независимых событий. Если события Дь Л2, Ап
независимы, то
р(ЛхЛ2... Лл) = р(Л1)р(Л2)...р(Лп).	(1.5.6)
Справедлиюсть (1.5.6) для случая трех независимых событий Л,
В, С вытекает из очевидных равенств:
р(ЛВС)=р[(ЛВ)С]==р(ЛВ)р(С)=р(Л)р(В)р(С).
Пример. Обнаружение воздушной цели производится не-
зависимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность
р(Л) обнаружения цели первой станцией равна 0,8. Вероятность
р(В) обнаружения цели второй станцией равна 0,9. По формуле
.	(1.5.5) находим вероятность р(С) того, что
----(—1----1 цель будет обнаружена обеими станциями:
p(Q=p (Л) р(В)=0,8-0,9=0,72.
Рис. 1.8. Параллельное
соединение* элементов
в систему.
Рис. 1.9. Последовательное соединение
элементов в систему.
В заключение укажем на применение теорем сложения и умно-
жения к проблемам надежности. Надежностью некоторой системы
(или ее элемента) называют вероятность того, что система* (элемент)
в течение установленного времени будет работать без отказов.
При объединении нескольких элементов в систему различают
их параллельное и последовательное соединения. Соединение двух
пли более элементов в систему называется параллельным (рис. 1.8),
если отказ системы возможен только при отказе всех элементов.
Соединение называется последовательным (рис. 1.9), если отказ
системы происходит при отказе любого элемента.
23
Определим надежность параллельного соединения двух эле-
ментов. Обозначим надежность первого элемента через вто-
рого — через р2, надежность их параллельного соединения — че-
рез р.
Пусть А—событие, состоящее в отказе первого элемента,
В ~ событие, состоящее в отказе второго элемента. Вероятности
этих событий соответственно равны:
р(Л) = 1—р1, р(В) = 1 — рг.
Обозначим через С событие, состоящее в отказе параллельного
соединения первого и второго элементов, т. е. в отказе и первого
и второго элементов, в соответствии с чем С‘ = АВ. Если события А
и В статистически независимы, то
р(С)=р(Л)р(В) = (1 —Р1)(1 —р2).
Безотказная работа системы есть событие, противоположное
ее отказу. Поэтому
Р= 1 — р (С) = 1 — (1 —Р1) (1 — р2).
Аналогичным образом можно установить, что надежность парал-
лельного соединения k элементов с независимыми отказами равна
а
z= 1
Определим надежность последовательного соединения несколь-
ких элементов, имеющих надежности plf p2i В данном случае
надежная работа системы представляет собой произведение собы-
тий, состоящих в безотказной работе каждого элемента. Если, как
и в предыдущем примере, отказы элементов независимы, то
k
р = П Pi.	(1.5.8)
i=l
§ 6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Во многих реальных ситуациях то или иное событие А может
появиться лишь как случайное следствие одного из несовместимых
событий Hlt Н2, ..., Нп, которые входят в некоторую полную груп-
пу событий (но могут ее и не составлять) и называются гипотезами.
При этом термин «случайное следствие» означает, что каждая из
гипотез Hlt Н2, ..., Нп может повлечь за собой не только исход А,
но и какие-то другие исходы. Схематически такая ситуация изоб-
ражена на рис. 1.10. Предполагается, что вероятности гипотез
р(Я1), р(Н2), ..., р (Нп) и условные вероятности события А при каж-
дой из гипотез, т. е. вероятности р(Л |Н/), известны. Ставится за-
дача, определить безусловную вероятность события Л, т. е. вероят-
ность р(Л), при вычислении которой принимаются во внимание все
случаи появления события А.
Отметим, что событие А появляется тогда и только тогда, когда
осуществляются события АН2, АН2, АН„ (см. рис. 1.10), причем
события ЛНХ, ЛН2, .., АНп несовместимы так же, как и сами ги-
потезы Hlt Н2,.., Нп. Поэтому соглас-
но теореме сложения можем написать
р(Л)=д (ЛЯх)+р(ЛА/г) + ... +
, + р(ЛЯ„).	(1.6.1)
Для ^определения вероятности
событий AHi можно применить тео-
рему умножения:
р(^Яг) = р(Я/)р(Л|Я/).
В результате вместо (1.6.1) полу-
чим
яИ)>Ж)р(Ш » i (1-6.2)
Рис. 1.10- К теореме полной ве-
роятности и теореме гипотез.
Полученная формула носит название формулы полной вероят-
ности.
Пример. Однотипная продукция трех рабочих упакована
в три одинаковых на вид ящика. Из одного, взятого произвольно,
ящика наугад вынимается одна деталь. Чему равна вероят-
ность р(Л) того, что деталь окажется бракованной, если есть осно-
вания считать, что в первом ящике из 100 деталей негодных 4, во
втором из 120 — негодных 6, в третьем из 80 — негодных 8?
Рассмотрим следующие гипотезы: Нг —деталь взята из перво-
го ящика; Н2 —деталь взята из второго ящика; Н3 — деталь^взя-
та из третьего ящика. По условию задачи все гипотезы равновоз-
можны, т. е.
P(#i)	= Р(#з) =4~-
Условные вероятности события А при каждой из гипотез Hlt Н2
и Н3 в соответствии с (1.2.2) равны:
Р(Д|Я1) = 1^, р(А\Н2) = ^0, р(А\Н2) — -^
11одставляя найденные значения р(НА и р(А | НА в формулу полной
пероятносги, находим
Рм з • юо + з ' 120+
1	8  19
3 • 80 " 300'
I
‘.’В Зак. 545
25

Г ч >2
“да
£ •
Т"
§ 7. формула обратной Вероятности
Ситуация, приводящая к формуле обратной вероятности,
жет быть описана следующим образом. Пусть интересующее
событие А может появиться лишь как случайное следствие одной
из несовместимых гипотез Н2, .... Нп, составляющих полную
группу событий (рис. 1.10). Вероятности гипотез р(Нг), р(Н2), ....
р(Нп) и условные вероятности события А при этих гипотезах
р(Д]/Д), р(А\Н2),..., р(А\Нп) известны. Пусть произведено испы-
тание, и результатом его явилось событие А. Спрашивается, с ка-
кой из гипотез следует связывать появление'события А?
Отметим прежде всего, что поскольку изложенная ситуация яв-
ляется вероятностной, то ответ на поставленный вопрос не может
быть дан в детерминированной форме и тоже будет иметь вероят-
ностный характер. Для решения необходимо вычислить условную
вероятность каждой гипотезы при условии, что произошло собы-
тие А, и той из гипотез, которая будет иметь наибольшую вероят-
ность ’ р(Н(/А), следует отдать предпочтение.
Объясним порядок вычисления вероятностей р(Нг\А),
р(Н2\А), .... р(Нп\А). На основании теоремы умножения вероят-
ностей можно для вероятности совместного появления события А
и гипотезы Hi написать
р (AHi)=р (А) р (Hi | А) = р (Hi) р (А | Hi).
Последнее равенство дает
р(Н:\А) =-----.
Но по формуле полной вероятности имеем
p(A)—p(Hi) р(А | Hi)A-p(H2)р(А | Н2) + ... + р(Нп) р(А\Нп) =
Л
МО-
нас
Буква Т

1
т

Буква К
Рис. 1.11. Представление букв Т и К ко-
дом Бодо.
Следовательно,
р(Нг|Л) =
p(Hl)p(A\Hi)
п
£-=1
служить сигналы телеграфного кода, представляющие собой оп-
ределенную последовательность токовых и бестоковых посылок
(рис. l.llj.
Относительную частоту следования символов 1 и 0 на переда-
ющем конце обозначим как р(1) и р(0); эти вероятности можно найти
путем изучения статистики сообщений. Вероятность получения еди-
ницы на приемном конце обозначим через р(Г), а нуля — через
р(О'). Здесь и далее штрих
при единице или нуле указы-
вает на то, что рассмотрение
относится с приемному концу
системы.
Особенгость работы ли-
нии связи в условиях помех
состоит в том, что из-за влия-
ния помех сигналы в канале
связи искажаются и могут
переходит! один в другой.
Например, токовая посылка
телеграфного сигнала в канале связи может «погаситься» помехой и
быть принята за бестоковую, и наоборот.
Вероятность приема 0 при передаче 1 (или, как еще говорят,
вероятность перехода 1 в 0) обозначим через р(0' 11); вероятность
приема 1 гри передаче 1 — через р(Г 11). Аналогичный смысл имеют
вероятности р(Г|0), р(0'|0),
показанные на рис. 1.12. Все
они могут быть найдены изу-
чением механизма воздейст-
вия помех на посылаемые
сигналы и тоже предпола-
гаются известными.
Ставится вопрос, в каком
проценте случаев на прием-
ном конце не будет совер-
шаться ошибки, если при
приеме единицы утверждать,
что передавалась единица?
вычислив условную вероятность
1 Г) того, что передавалась единица при условии получения еди-
ницы на приемном конце. Согласно формуле (1.7.1) имеем
р(0)
p(f/f)
р(1)*
р(1')
Р (0/0)
, Р(О')
О'
Рис. 1.12. Обозначения вероятностей.
Решение задачи мы получим,
Формула (1.7.1) называется формулой обратной вероятности
или формулой Байеса. Она имеет основополагающее значение для
многих задач радиолокации, радионавигации и связи.
Рассмотрим, например, простейший канал связи с помехами, по
которому могут передаваться сигналы только двух видов, условно
обозначаемые далее как 0 и 1. Примером подобных сигналов могут
Р(1 |1')
Р (1)р (И | I)
Р (1) Р (1' I 1) + р(0)р(1' 10)-
Аналогичным образом вычисляются
/>(1 | О').
(1.7.2)
вероятности р(01 О'), р(0|1'),
Для пояснения используемой иногда терминологии приведем
еще один пример чисто иллюстративного характера. Пусть гражда-
2В*
27
26
Нин Л/ ведет переписку только с двумя корреспондентами и //2-
При этом замечено, что на каждое письмо от Нг приходится в сред-
нем три письма от /72> так чт0 Р(Н1) " V4, Р(#г) = 3А. Установлено
также, что Нг половину всех писем для N отправляет в голубых
конвертах, а половину —в желтых, т.е. р(Т\ Нг) = х/а и р(Ж | Нг) ~
~ 1/2; в 90% всех случаев посылает письма для W в голубых
конвертах и только в 10% —в желтых, т. е. р(Г\Н2) = 9/10,
р(Ж|Н2) = Vio- Какому корреспонденту обязан N письмом, если
известно, что в ящик ему опущено письмо в желтом конверте?
По формуле (1.7.1) найдем
р(/Л \Ж) = 0,625, р(Н21 Ж) = 0,375.
Примечательно то, что вероятность события получить письмо от
первоначально равная 0,25, после опыта (получено письмо в
желтом конверте) приобрела иное значение, в данном случае вы-
росла до 0,625. Поэтому в подобных случаях часто говорят о доопыт-
ной (априорной) и послеопытной (апостериорной) вероятностях
события.
Таким образом, согласно формуле Байеса (1.7.1) при определе-
нии того, имела или не имела место гипотеза Hi, следует принять
во внимание первоначальные сведения* о ней, характеризуемые
априорной вероятностью p(Hi), и результаты опыта, т. е. что про-
изошло именно событие А (а не событие В или какое-то другое собы-
тие, которым может сопровождаться гипотеза
§ 8. ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ
ь
Начнем рассмотрение с частного примера. Пусть некто, пора-
жающий мишень в среднем в 8 случаях из 10, делает по ней 3 вы-
стрела. В результате в мишени может оказаться или три пробоины,
или две, или одна, или ни одной. Необходимо определить вероят-
ности указанных событий при условии, что результат одного выст-
рела не влияет на результат другого. Способ решения подобных
задач дает теорема о повторении опытов. Такое ее название свя-
зано с тем, что изложенную выше ситуацию можно рассматривать
как повторение (в данном случае трехкратное) одного и того же опыта
в неизменных условиях.
В отвлеченной форме рассматриваемую задачу можно сформу-
лировать следующим образом. Чему равна вероятность того, что
при М независимых испытаниях событие А появится ровно п раз,
если при каждом испытании вероятность события А одинакова
и равна р?
Заметим, что интересующее нас событие—при N испытаниях А
появилось ровно п раз, распадается на несколько частных случаев
следующего вида.
28
1. Событие А появилось в первых п испытаниях ине появилось
при (N — п) последующих. Если q — вероятность события, про-
тивоположного событию Л, т. е. вероятность того, что событие Л
не появится при некотором испытании, то согласно теореме умно-
жения вероятность такого варианта равна
р(А) р(А)... р(А)  р(А) p(ty ... р(А) = pnqN~n.
п раз	(/V— п) раз
2. Событие А не появилось при первом испытании, появилось
при п следующих и не появилось при остальных (N — п — 1)
испытаниям. Вероятность такого исхода равна
Р(4) р(Л) р (Л)...р (Л) р (Д) р(Л) ...р(й) = p"qN~n.
п раз	(М— /1—1) раз
Всего подобных вариантов, отличающихся один от другого лишь
порядком появления события Л (что по условиям задачи не имеет
значения), столько, сколько можно составить сочетаний из N эле-
ментов по п. Следовательно, для искомой вероятности Pn(h) спра-
ведлива формула
PN{n)^C,NpnqN-n.	(1.8Л)
Полученный результат составляет содержание так называемой
частной теоремы о повторении опытов. Известно несколько обоб-
щений ее. Одно из них относится к случаю, когда вероятность р
меняется ог одного испытания к следующему (общая теорема о пов-
торении опытов). Другое имеет в виду, что каждое испытание может
иметь не два, а большее число исходов. Особенности этих случаев
здесь не рассматриваются.
С помощью формулы (1.8.1) можно решить, кроме рассмотрен-
ной, также следующую задачу: чему равна вероятность того, что
при N независимых испытаниях событие Л, имеющее вероятность
р, появится не менее п раз.
В самом деле, рассматриваемое событие распадается на следу-
ющие несовместимые случаи: событие А при N испытаниях про-
изошло п раз, событие А произошло (п + 1) раз, событие А
произошло N раз. Всего таких случаев будет [А— (п—1)]. Ве-
роятность каждого может быть найденапо формуле (1.8.1). Исполь-
зуя далее теорему сложения, получим
N
PN(m>n)= 2 C^pmqNT-m.	(1.8.2)
т—п
Аналогичным образом вычисляется вероятность события С,
состоящего в том, что при п независимых испытаниях событие Л,
имеющее вероятность р, появится не более п раз. Она равна
PN (т < и) = 2 Cn рт qN~m.	(1.8.3)
т—О
29
ЛИТЕРАТУРА
1.	Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.
ОНТИ, 1936.
2.	В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
З.	Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в ра-
диотехнике. Изд-во «Советское радио», 1960.
4.	Г н е д е и к о Б. В. Курс теории вероятностей. Физматгиз, 1961.
5.	Б о е в Г. П. Теория вероятностей. Гостехиздат, 1950.
6.	Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Изд-во «Мир», 1964.
7.	Л е б е д е в В. Л. Случайные процессы в электрических и механи-
ческих системах. Физматгиз, 1958.
8.	С и ф о р о в В. И. О методах расчета надежности работы систем,
содержащих большое число элементов. «Известия АН СССР», ОТН, 1954, №6.
9.	С а а т н Т. Элементы теории массового обслуживания и ее прило-
жения. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1965.
10.	Гнед'енко Б. В., Беляев Ю. К-, Соловьев А. Д.
Математические методы в теории надежности. Изд-во «Наука», 1965.
Глава 2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Разным исходам случайного опыта на практике, как правило,
приходится придавать различную значимость. По этой причине це-
лесообразно оценивать исход случайного опыта некоторой случай-
ной величиной. Переход от качественного описания явлений к ко-
личественаому позволяет значительно усилить познавательную
ценность применяемых методов и получить ряд новых резуль-
татов.
Понятке случайной величины вводится в теории вероятностей
следующим образом. Случайной называется величина, которая в
результате опыта принимает то или иное значение, какое именно —
зависит ог случайных обстоятельств опыта и заранее предсказано
быть не может.
Примерами случайных величин могут быть: 1) число очков,
появляющихся при бросании игральной кости; 2) число искажений
в кодовое комбинации из п символов при приеме ее по каналу
с помехами; 3) число выстрелов до первого попадания в мишень;
4) время безотказной работы электронной лампы и др.
В перьых трех примерах случайная величина является дискрет-
ной, а в последнем — непрерывной. Множество значений, которое
в результате опыта может принять случайная величина, в первом
и втором примерах конечно, а в третьем и четвертом бесконечно.
Бесконечное множество бывает счетным (т. е. его элементы, как в
примере 3, можно пронумеровать) или несчетным (пример 4).
Для описания случайной величины нужно указать ее возмож-
ные значения. Однако характер случайной величины одним таким
перечислением ее возможных значений полностью не определяется.
Необходимо еще знать, насколько часто будут осуществляться одни
значения случайной величины и насколько редко — другие, или,
что то ж$ самое, насколько вероятно наступление тех или иных зна-
31
Pi I
рис. 2.1, Многоугольник распре-
деления вероятностей (а) и ин-
тегральная функция распределе-
ния вероятностей (б) дискретной
случайной величины,
нои величины может служить
любого значения указать
ности.
чений случайной величины. Так, в
примере 3 для хорошего стрелка
наиболее вероятное число выстре-
лов до первого попадания равно 1
или 2; у плохого эти цифры могут
быть большими.
Соотношение, устанавливающее
зависимость между возможными
значениями дискретной случайной
величины и их вероятностями, на-
зывается законом распределения
этой величины.
Обозначим случайную величину
через X, ее возможные значе-
ния — через Xi, а соответствую-
щие им вероятности — через р,.
Тогда закон распределения дис-
кретной случайной величины мож-
но задать или графически в виде
так называемого многоугольника
распределения (рис. 2.1, а), или в
виде таблицы (табл. 2.1.1), назы-
ваемой иногда рядом распределе-
ния, или аналитически. Примером
аналитического задания закона
распределения дискретной^случай-
формула (1.8.1), позволяющая для
соответствующее^ значение вероят-
Ряд распределения
Xi	*2	*3	. • .	Xi	• • •	Хп
Pl	Р2	Рз	а * 	Pi	* • а	Рп
Заметим, что если п — число различных возможных значений
случайной величины X, то в силу первого следствия теоремы сло-
жения имеем
Условие (2.1.1) называют условием нормировки закона распре-
деления.
32
Закон распределения представляет собой полную статистиче-
скую характеристику случайной величины. Можно предложить
и другие способы ее описания, но они будут либо менее исчерпы-
вающими, либо (в смысле полноты) эквивалентными закону рас-
пределения.
Пример 1. Пусть опыт состоит в бросании симметричной
игральной кости. Найти закон распределения вероятностей для
числа выпавших очков. Возможными значениями случайной ве-
личины являются: 1,2, 3, 4, 5, 6. Так как события, состоящие в по-
явлении указанного числа очков, равновозможны, то все искомые
6
вероятности одинаковы. Из условия нормировки — 6pt = 1
находим pi= 1/6, / = 1, 2,	6.
Пример 2. Стрельба в мишень производится до первого
попадания.
Найти рад распределения для числа выстрелов, если вероятность
попадания равна р. Положив 1 — р = <?, можно составить
табл. 2.1.2.
Таблица 2.1.2
Ряд распределения
Действительно, вероятность попадания при первом выстреле
равна р. Чтобы поражение цели произошло со второго выстрела,
необходимо промахнуться при первом выстреле и попасть при вто-
ром. Вероятность такого события по теореме умножения равна qp
и т. д.
§ 2.	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие закона распределения, введенное в§ 1, утрачивает смысл
для непрерывных величин. Пусть, например, наугад разрезается
нить некоторой длины L. Поскольку точек, в которых может быть
( делан разрез, бесконечно много, то вероятность разрезу совпасть
<• некоторой конкретной точкой оказывается исчезающе малой (рав-
ной нулю).
Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для
П1скретных5 так и для непрерывных случайных величин, является
функция распределения.
33
Функцией распределения или интегральным законом распре-
деления вероятностей называется функция F(x), определяющая
вероятность того, что случайная величина X принимает значения
меньше х (т. е. из интервала от — оо до х):
F (х) = Р (X < х).	(2.2.1)
Рассмотрим сначала, как строится функция распределения для
дискретной случайной величины. Пусть вероятности отдельных
значений заданы графиком рис. 2.1, а. Пока аргумент функции
F(x) остается меньшим или равным xlt функция распределения
F(x), очевидно, равна нулю, так как нет ни одного значения х, ко-
торое было бы меньше В точке (хх + 0) функция F(x) скачком
принимает значение рг и остается постоянной в интервале от хх
до х2. F(x) в точке (х2 + 0) скачком возрастает до величины
(pi + рг), так как событие —- принять случайной величине значе-
ние, меньшее (х2 + 0), — распадается на два несовместимых со-
бытия: принять с вероятностью pi значение xt и с вероятностью р2 —
значение х2. Аналогичным образом производится построение функ-
ции распределения при остальных х (рис. 2.1, б).
Укажем свойства функции распределения:
1)	F(— оо) = 0. Это свойство отражает тот факт, что нет зна-
чений случайной величины, которые были бы меньше, чем отри-
цательная бесконечность.
2)	F(x)— неубывающая функция. Действительно, пусть х2 >• xv
Тогда
Р (X < х2) = Р (X < хг)+Р (хх < X < х2)
или
F (x2) = F (х1)-[-Р(х1^Х <х2).
(2.2.2)
Так как вероятность не может быть отрицательной величиной,
то из последнего соотношения имеем
F (х2) > F (xt),
3)	F( оо) = 1. Это свойство отражает тот факт, что событие—-
принять случайной величине значение, меньшее положительной
бесконечности, достоверно.
До сих пор речь шла о функции распределения дискретных ве-
личин. Однако все рассуждения полностью сохраняют свой смысл
и для непрерывных случайных величин. Вернемся, в частности,
к примеру по разрезанию нити. Если считать, что любые коорди-
наты из интервала от 0 до L равновозможны, то вероятность того,
что разрез придется на участок от нуля до х будет равна х | L и, сле-
довательно, F(x) = х | L.
В общем случае F(x) будет представлять собой некоторую функ-
цию более сложного вида, удовлетворяющую указанным выше свой-
ствам. У непрерывной случайной величины функция распределе-
ния F(x) лкбо непрерывна (рис. 2.2), либо имеет в некоторых точ-
ках разрывы первого рода и
непрерывные участки возраста-
ния функции.
Всякая функция распределе-
ния обладает еще одним свойст-
вом, играющим особую роль для
непрерывных случайных вели-
чин.
4)	Вероятность попадания
случайной величины на интер-
вал от хх до хг равна разности
функции распределения в этих
точках. Чтобы убедиться в этом,
достаточно переписать равенство
(2.2.2) иначе:
Р (хх < X < х2) = F (х2) — F (xj
(2.2.3)
Рис. 2.2. Функция распределения
непрерывной случайной величины.
Это свойство остается в силен тогда, когда случайная величина яв-
ляется дискретной или дискретно-непрерывной, но при этом необ-
ходимо иметь в виду, что под словом «интервал» здесь подразуме-
вается участок, включающий в себя крайнюю левую точку и не
включающкй правую.
§ 3.	ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Поставим задачу — найти такую характеристику непрерывной
случайной величины, которая позволяла бы судить, насколько одно
значение случайной величины более вероятно (или менее вероят-
но), чем другие. Напомним, что такой характеристикой для дискрет-
ных случайных величин является закон распределения.
Ввиду того, что вероятность какого-либо конкретного значения
непрерывной случайной величины равна нулю, рассмотрим малый
интервал, включающий в себя интересующее значение х, и затем
устремим длину этого интервала к нулю.
Итак, пусть задано то или иное значение х. Возьмем некоторое
Ах. Предполагая, что функция F(x) дифференцируема и применяя
к правой части выражения (2.2.3) теорему Лагранжа, имеем
Р (х< X <x+Ax)=F' (х + 6Ах) Ьх.	(2.3.1)
Здесь штрих означает символ дифференцирования, 0 — число,
заключенное между нулем и единицей.
При заданном Дх вероятность попадания непрерывной случай-
ной величины в интервал от х до х + Дх тем больше, чем больше
3$
F' в точке (х + 0Ах). Таким образом F' может служить искомой
характеристикой. Однако пока эта характеристика не является
вполне определенной, так как ее аргумент зависит от произвольно
назначаемого Ах. Чтобы устранить эту неопределенность, перейдем
в (2.3.1) к пределу при Ах -»0. Получим
dP= F' (х) dx.
(2.3.2) *
Функция F'(x) имеет специальное название плотности вероят-
ности. Введем для нее обозначение 1Г(х):
W (х) =	.	(2.3.3)
U, Лл	*
Учитывая смысл функции F(x), на основании (2.3.3) можно дать
следующее определение. Плотностью вероятности случайной ве-
Рис. 2.3. Равномерная плотность веро-
ятности.
личины называется такая
функция Щх), которая, бу-
дучи умноженной на малую
величину Ах, дает вероят-
ность попадания случайной
величины в интервал от х до
х + Ах.
Пример. На вход ос-
циллографа с длительностью
развертки Т в случайные мо-
менты времени поступает уз-
кий импульс засвета. Найти плотность вероятности для коорди-
наты точки засвета, если моменты прихода импульса по отноше-
нию к началу развертки равновероятны, а временем обратного
хода можно пренебречь.
Вероятность прихода импульса в интервал времени от нуля до t
пропорциональна t и равна //7\ Следовательно, F(t) = ЦТ. По
формуле (2.3.3) найдем
W (П =	= 4г- = const,
v 7 at T
Плотность вероятности W(f) равномерна на интервале (О, Т); она
изображена на рис. 2.3.
Укажем свойства плотности вероятности.
1.	Плотность вероятности неотрицательна. Действительно, плот-
ность вероятности W(x) является производной функции распре-
деления F(x), которая не убывает ни при каких х. Следовательно,
W'(x) не может быть отрицательной.
2.	Вероятность попадания непрерывной случайной величины
в интервал (хх, х2) равна интегралу от плотности вероятности в этих
пределах:
хг
Р (хх < X < х2)=F (х2) — F (хх) = J F (х) dx. . (2.3.4)
•ч
36
Здесь последнее равенство получено путем интегрирования обе-
их частей соотношения (2.3.3). Графически искомую вероятность
можно интерпретировать как площадь, заключенную между кри-
вой W(x) и осью абсцисс в пределах от до х2 (рис. 2.4).
3.	Интеграл от плотности вероятности, взятый в бесконечных
пределах, равен единице. Действительно, из (2.3.3) находим
00
J IT (л) dx=F (оо) —
— 00
— Г(— оо) = 1—0 = 1.
(2.3.5)
По существу это свойство яв-
ляется следствием того, что
значения случайной величины
достоверно заключены в пре-
делах ОТ — ОО ДО + оо.
Условие (2.3,5) называет-
ся условием нормировки
Рис. 2.4. Определение вероятности по-
падания непрерывной случайной вели-
чины в интервал (Xi, Xj).
плотности вероятности. Из (2.3.5) следует, что 1Г(х) имеет раз-
мерность, обратную размерности х.
Заметим, что постоянную величину а = const можно рассмат-
ривать как частный случай случайной величины X, принимающей
с вероятностью р = 1 одно единственное значение х = а. Поэтому
плотность ьероятности постоянной величины можно формально
записать в виде
W (х) = б (х — а),
(2.3.6)
где 6(z) — дельта-функция, определенная соотношением (П.1).
§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
В некоторых приложениях полное описание случайной вели-
чины при помощи закона распределения может быть заменено
более грубым, но зато и более удобным указанием отдельных пара-
метров (числовых характеристик) этого распределения. Наиболее
простыми и важными числовыми характеристиками случайной ве-
личины являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины X является
вероятностным обобщением понятия среднего арифметического.
11усть один и тот же опыт воспроизводится в неизменных условиях
N раз, и при этом случайная величина раз приняла значение х1У
п1г раз приняла значение х2..тп раз приняла значение хп, где
//гх + т2 + ... + тп = N.
37
Найдем среднее арифметическое Л4дг(Х) значений случайной
величины X в произведенных W опытах:
м„(Х)= м+аУ  +ь „-В + Ха+... +	.
В достаточно длинной серии испытаний относительные частоты
tn-jN, т21М, ..., mnlN событий, состоящих соответственно в том,
что случайная величина принимает значения xlt х2, •••> хп, группи-
руются около вероятностей р(хх), р(х2).р (хл) этих значений.
Следовательно, среднее арифметическое значение случайной ве-
личины в достаточно длинной серии опытов будет группироваться
вокруг величины
• М (Х)==х1р(х1)+х2р(х2)+...+ х„р(хл),	(2.4.1)
которая называется средним значением или математическим ожи-
данием случайной величины. Математическое ожидание случайной
величины X часто обозначают через тх.
Итак, математическим ожиданием случайной величины назы-
вается значение, около которого группируются в опытах достаточ-
ной длины средние арифметические ее наблюдаемых значений.
При этом слово «группируются» следует понимать в том же смыс-
ле, в каком оно употреблялось в отношении относительных частот
событий, которые группируются при больших N вокруг соответ-
ствующих вероятностей. Это значит, что сколько-нибудь существен-
ные отклонения среднего арифметического значений случайной
величины в N опытах от математического ожидания при достаточно
больших N будут случаться достаточно редко.
Формулу (24.1) далее будем записывать в виде
Л1(Х)~тх= 2ixiP(xi)*	(24.2)
i = l
Из (2.4.2) видно, что математическое ожидание имеет размерность
исходной случайной величины.
Рассмотрим пример. Предположим, что случайная величина
принимает только два значения: единицу с вероятностью р и нуль
с вероятностью (1 —р). Чему равно среднее значение случайной
величины? По формуле (24.2) находим.
Л4 (J0=1-р+0(1 — р)=р.	(24.3)
В ряде практических задач бывает необходимо знать матема-
тическое ожидание некоторой детерминированной функции слу-
чайной величины <р(Х).
Очевидно, что функция от случайной величины <р(Х) представ-
ляет случайную величину, причем конкретное значение функции
<р(х,) осуществляется тогда, когда случайная величина X принимает
конкретное значение г,- (табл. 24.1).
38
<r?
Ряд распределения
Xi *	Xi		 • •	Xn
Pl	Pl	P2	1	•	*	Pn
<р (*<) t	<p (*1)	<F (*2)	* • •	? (*n)
Исходя из формулы (2.4.2) и имея в виду табл. 2.4.1, можно не-
посредственно найти
п
М (ф (X)) = 1
Полагая в этой формуле ф(Х) = СХ, где С — постоянная
получим
М (СХ) = CM (X).
Следовательно, математическое
величины на случайную равно
магическое ожидание случай-
ной величины.
Если случайная величина
X является непрерывной, то
можно привести аналогичные
рассуждения, рассматривая
непрерывную величину как
предельный случай дискрет-
ной. Разобьем интервал при-
нимаемых случайной вели-
чиной значений на непере-
крывающиеся отрезки доста-
точно ’ малой длины Ах,
(рис. 2.5). В качестве значе-
ний дискретной случайной
рывной случайной величины
интервалов Ах/. Вероятность попадания случайной величины в
интервал от х, до х(-+ Ах? равна 1Г(х(-+ VaAx/JAxj. Для математи-
ческого ожидания построенной таким образом дискретной случайной
п
величины иолучим значение 2х/W(xi + 1/аАл,-)Ахь Переходя к
Z'= I
пределу при Ах,- -> 0, для непрерывной случайной величины най-
дем
ожидание произведения постоянной
произведению постоянной на мате-
непрерывной
величины.
Рис. 2.5. К выводу формулы для мате-
матического ожидания
случайной
величины примем
в средних точках
значения непре-
соответст ву ющи х
М (X) = J xW (х) dx.
— со
39
V
Эта формула принимается за определение математического ожи-
дания непрерывной случайной величины.
Формуле (2.4.6) можно дать следующую механическую интерпре-
тацию. Рассмотрим стержень (вообще говоря, бесконечной длины),
масса которого меняется по длине пропорционально W'(x). Тогда
Л4(Х) дает координату центра тяжести этого стержня.
Вычислим среднее значение непрерывной случайной величины,
имеющей на отрезке (а, Ь) равномерное распределение. Учитывая,
что плотность вероятности на интервале (а, Ь) постоянна 1Г(х) =
= IF0 = const, а вне его равна нулю, из условия нормировки
найдем
оо	Ъ
j W (х) dx = j \Г0 dx— (b—a)!F0=l; W0=\/(b— a).
— oo	a
Поэтому
b
M (X) = f dx = a\ = ~ (a-j-'b).
4 ’ j b — a 2(b — a) 2V I /
a
Таким образом, математическое ожидание Л1(Х) совпадает с сере-
диной отрезка.
Воспользовавшись плотностью вероятности постоянной ве-
личины (2.3.6), из формулы (2.4.6) получим, что среднее значение
постоянной величины равно этой постоянной.
Рассуждения, аналогичные тем, которые применялись при по-
лучении из (2.4.2) формулы (2.4.6), можно применить и к формуле
(2.4.4). Тогда получим следующее выражение для математического
ожидания функции от непрерывной случайной величины:
ОО
М(ф(Х))= J <р(х)W(х)dx.	(2.4.7)
При этом размерность Л1(ф(Х)) совпадает с размерностью ф(Х).
Довольно часто приходится встречаться с суммой (разностью)
и произведением случайных величин. Приведем теоремы для ма-
тематического ожидания суммы и произведения случайных ве-
личин.
Теорема 1. Математическое ожидание суммы (разности) случай-
ных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
М(Х±У)=М(Х)±М(У).	(2.4.8)
Для упрощения вывода предположим, что каждая из случайных
величин X и У имеет лишь два возможных значения: хр х2 с вероят-
ностями ри р2 и ylt у2 с вероятностями qt и q2. При этом возможными
значениями величины X ± Y будут ± Ун xi ± xz ± Ун
хг ± Уг- Обозначим вероятности этих значений соответственно
через рц, Pi2, рц, p^z-
40
Из определения/математического ожидания (2.4,2) имеем
Л4 (X ±У)= (%i ± У1) Pii+(*i i У2)	i Xi)P2i+(^2 + Уг)Р22
или
М (-^±У) — -’i;i(Pii+P12)+-v2 (P21+P22) ± У1(рн+Р21) ± У2 (Ри+Ргг)-
Покажем, что рп + р12 = рх. Событие, состоящее в том, что
X примет значение Xi (вероятность этого события равна р^), влечет
за собой событие, которое состоит в том, что X ± У примет зна-
чение хх ± уг или хг ± Уъ (вероятность этого события по теоре-
ме сложения равна рп + р12), и обратно. Отсюда следует, что
Ри + Р12'= Pi- Аналогично доказываются равенства р21 + р22 =
= Рг> Рн + Р21 = <7i. Р12 + Р22 = <7г- С учетом этих равенств
получим формулу (2.4.8):
М(Х± У)=Х! Р1Ч-х2 р2 ± (у2 <h+y2 р2) = М (X) ± М(У).
Аналогичным образом формула (2.4.8) доказывается для суммы
(разности) двух случайных величин не только с двумя, а с большим
числом возможных значений, а также для суммы (разности) несколь-
ких случайных величин.
Теорема. 2. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин X и У равно произведению их математических
ожиданий, т. е. если X и У независимы, то
М (ХУ) = М (X) М (У).	(2.4.9)
Приведем доказательство. Пусть X и У независимы, причем X
принимает значения х19 х2, ..., хп, вероятности которых р1( р2,.., рп,
а У принимает значения уи уг, ..., ут с вероятностями qx, q2, ..., qm.
Вероятность того, что X примет значение хь и одновременно У при-
мет значение у/, т. е. вероятность того, что произведение XY при-
мет значение по теореме умножения равна pkqi- По формуле
(2.4.2) найдем
пт	/ п	\ / т	\
А1(ХУ) =22	= ( 2 *АРй)( 2 yiqi] = M(X)M(Y).
6=1 Z = 1	\й=1	/\1=1	/
Методом математической индукции эта теорема обобщается на
случай нескольких величин.
В заключение введем понятие центрированной случайной ве-
личины. Случайная величина называется центрированной, если ее
значения отсчитываются относительно математического ожидания.
Для центрированной случайной величины применяется обозна-
чение X. Таким образом,
Х = Х— М(Х).	(2.4.10)
41
Среднее Значение центрированной случайной величины, очевидно,
равно нулю. Действительно,
М(Х) = М(X) — М [М (X)] = М(X) — М (X) = 0. (2.4.11)
§
5. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
ИСПЕРСИЯ
Имеются задачи, достаточно полный ответ на которые дает зна-
ние только среднего значения случайной величины. Если, например,
перегорает осветительная лампа, то обычно это не приводит к каким-
нибудь тяжелым последствиям. Заменив ее второй, потом третьей
и т. д., интересуются обычно только тем, сколько лампа служит
в среднем. Если же элемент является ответственным, то целесооб-
разно предупредить последствия, заменив его несколько раньше
ожидаемого выхода из строя. Однако для этого необходимо знать,
насколько велик разброс времени безотказной работы относитель-
но его среднего значения.
Другим аналогичным примером могут служить артиллерийские
стрельбы. Может оказаться, что математические ожидания двух
стрельб совпадают, но в одном из этих случаев стрельба будет куч-
ной, а в другом — чрезмерно рассеянной.
В качестве меры рассеяния случайной величины в теории ве-
роятностей вводится специальная характеристика — дисперсия.
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата соот-
ветствующей центрированной случайной величины. Дисперсия слу-
чайной величины обозначается через а* [иногда ее обозначают D(X) ].
Согласно определению и формулам (2.4.4) и (2.4.7), дисперсия ди-
скретной случайной величины определяется выражением
п
а2х = 2 (Xi —fnx)Z Pl’
i = l
(2.5.1)
а дисперсия непрерывной случайной величины — формулой
(2.5.2)
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
В связи с этим часто пользуются еще одной характеристикой рас-
сеяния — средним квадратичным отклонением случайной величины,
которое определяется как квадратный корень из дисперсии. Сред-
нее квадратичное отклонение (СКО) обозначается через ох и имеет
размерность, совпадающую с размерностью случайной величины.
Пусть случайная величина принимает только два значения;
единицу с вероятностью р и нуль с вероятностью q — 1 — р. Чему
42
равна дисперсия случайной величины? Согласно (2.4.3) математи-
ческое ожидание рассматриваемой случайной величины равно р.
Поэтому по формуле (2.5.1) получим
О2=(1-Р)3Р+(0-р)г(1-р) =Р(1-Р)=Р^.	(2.5.3)
Видно, что дисперсия максимальна при р — q = V2.
Пользуясь формулами (2,5.1) и (2.5.2), нетрудно убедиться, что
• дисперсия случайной величины У = СХ, где С — постоянная,
равна:
2	2
Оу —- С О х •
(2.5.4)
Следовательно, постоянный множитель можно выносить за знак дис-
персии, возведя его в квадрат.
Приведем выражение, устанавливающее связь дисперсии с ма-
тематическим ожиданием нецентрированной случайной величины.
Используя теорему о математическом ожидании суммы, найдем
о2 = м [(X — znj2] = М (X2 — 2тхХ± т2) =
= М (X2) — 2тх М (X) ф- т2х
или
4 ।
о3 = М (X2) — т2.
(2.5.5)
Формулой (2.5.5) часто пользуются при вычислении дисперсии.
Весьма полезным является соотношение, связывающее диспер-
сию суммы с дисперсиями слагаемых. Дисперсия суммы (разности)
независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
(2.5.6)
Докажем формулу (2-5.6). В соответствии с определением
= М 1(Х±У - М (X ± У) )2] = Л! ЦХ - тх ± Y Т шу)2] -
= М (X2) + М (Y2) ± 2М (XY).
Так как X г У независимы, то М (ХУ) = Л4(Х)Л4(У). Но ма-
тематическое ожидание любой центрированной величины равно
нулю, т. е. At (X) = М (У) = 0. Поэтому
®(х±у) — Р» п- Ру •
Отметим, что в отличие от математического ожидания дисперсия
разности независимых случайных величин равна сумме, а не раз-
ности дисперсий слагаемых.
Рассмотрим пример. Пусть производится N независимых из-
мерений некоторой физической величины. Результат х(- каждого
43
измерения можно рассматривать как случайную величину с мате-
матическим ожиданием т и дисперсией о2. Требуется найти мате-
матическое ожидание тх и дисперсию ст* среднего арифметического
результатов измерений
N
N
Пользуясь свойствами математического
(2.4.8), получим
ожидания
mx = M (X) = m. 
При вычислении дисперсии случайной величины X нужно к
центрированной случайной величине
w
с*	1/°°	°	\	1	°
х = -у	••• +*Л7 — Zj xi
i = l
применить формулы (2.5.4) и (2.5.6). В результате получим
ох = cP/N.	(2.5.9)
Следовательно, дисперсия среднего арифметического N взаимно
независимых одинаковых случайных величин в N раз меньше дис-
персии каждой из величин.
Более общими числовыми характеристиками, чем математиче-
ское ожидание и дисперсия, являются моменты случайной величины.
Различают начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-ro порядка случайной величины назы-
вается математическое ожидание k-й степени случайной величины.
Центральным моментом k-ro порядка называется математическое
ожидание k-й степени от центрированной случайной величины.
По определению для начального момента k-vo порядка дискрет-
ной и непрерывной величин можем написать соответственно фор-
мулы:
М (Xй) = s Xi Pi,	(2.5.10)
/=1
00
М(Хк) = тк = J xkW{x)dx.	(2.5.11)
— 00
Аналогично записываются формулы для центральных моментов
А-го порядка:
/ о \ Л
M(Xk)= S (х*— mx)kPi>	(2.5.12)
оо
М (Xй) = рА = J (х — тхУ1 W (х) dx. (2.5.13)
44
Согласно приведенным определениям математическое ожидание
случайной величины представляет собой начальный момент первого
порядка, а дасперсия—центральный момент второго порядка.
Формулы (2.5.10) —(2.5.13) позволяют выразить центральные мо-
менты через начальные, и наоборот.
Зная плотность вероятности случайной величины или ее закон
распределения можно по формулам (2.5.10)—(2.5.13) найти момент
любого пор яд га. Оказывается, можно решить также и обратную
задачу. Для того чтобы по моментам определить закон распреде-
ления дискретной случайной величины, принимающей п значений,
достаточно знать п первых (низших) моментов. Для точного опре-
деления плотности вероятности непрерывной величины необходимо,
вообще говоря, бесчисленное множество моментов.
§ 6. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
К биномиальному закону приводит чрезвычайно распростра-
ненная задача повторения опытов. Если вероятность некоторого со-
бытия А равна р, то вероятность Pn(k) того, что событие А при п
опытах появигся k раз определяется формулой (1.8.1) и равна
C^pkq't~lt, где у = 1—р. Распределение, общий член которого равен
<*)=й
(2.6.1)
называется бвномиальным. Такое название связано с тем, что ве-
роятности Pn(ty можно рассматривать как коэффициенты при /г-й
степени разложения бинома (pv + q)n в ряд по степеням вспомо-
гательной величины о:
п
(pv+ Я)п = 2 Сп рк qn~k vk.
k=0
(2.6.2)
Полагая вформуле (2.6.2) v — 1, получаем условие нормировки
биномиального распределения
(2.6.3)
Вычислим математическое ожидание M(k) числа появлений со-
бытия А при п испытаниях. Для этого продифференцируем обе
части равенства (2.6.2) по v. В результате получим
п
np(pv+q)n~l — 2 Pk qn~k 1 •	(2.6.4)
4=0
45
Положив и = 1,
г
\
найдем
пр = 2 kPn W — М (&)•
k=^0
(2.6.5)
Следовательно, математическое ожидание равняется пр. Этот
результат можно было предсказать заранее из физических сообра-
жений.
Рп (к) h
Рис. 2.6. Биномиальный закон распределения веро-
ятностей дискретной случайной величины.
Умножим обе части равенства (2.6.4) на и и вновь продифферен-
цируем по v полученное произведение. Тогда придем к равенствам:
п
npv (pv4- q)a~1 = 2 k C^ pk q"~kvk,
л=о
П
n{n — 1) p2 и (pv + <7)"-2+«Р (Ру+Ч)"-1 = S k2 CnPk qn~kvk~i.
&=0
Положив d = 1, получим
n(n — l)p24-np= 2 k2Cknpkqn~k = 2 k2Pn(k) = M(k2).
k—0	6=0
Отсюда по формуле (2.5.5) определяем дисперсию числа появлений
события А при п испытаниях:
4 = М (£2) — М2 (k) =npq.	(2.6.6)
Как следует из полученных формул, отношение среднего квадра-
тичного отклонения числа k появлений события А к математическому
ожиданию обратно пропорционально квадратному корню из п.
Иными словами, с увеличением числа опытов относительное рассей*
ние величины k уменьшается, в то время как абсолютное — уве-
личивается.
Примеры биномиального распределения приведены на рис. 2.6.
что каждый из таких шагов происходит
Рис. 2.7. Случайное блуждание частицы.
В качестве одного из приложений биномиального закона рас-
смотрим задачу о случайных блужданиях. Пусть частица, имеющая
возможность перемещаться лишь вдоль оси X (рис. 2.7), испыты-
вает случайные толчки. В результате каждого толчка частица пере-
мещается либо на единицу масштаба влево, либо на единицу ма-
сштаба вправо. Считается,
совершенно независимо
от других, причем ве-
роятность того, что пе- •
ремещение произойдет
на шаг вправо, равна р,
а на шаг в противопо-
ложном направлении
равна q = 1 —р. После
п шагов частица, находящаяся первоначально в начале отсчета,
может оказаться в одной из точек: —п, —п 4- 1, ..., —1, 0, 1, ...,
п — 1, п. Ставится задача — найти вероятность Pn(fri) того, что
после п шагов частица окажется в точке т.
Обозначим через k число шагов, которые совершила частица
вправо. Тогда число шагов, сделанных влево, равно (k — т)
(см. рис. 2.7). Учитывая, что общее число шагов равно п, т. е.
Рис. 2.8. Эволюция закона распределения для координаты частицы, со-
вершающей случайное блуждание.
k -j- (k — tn) = п, найдем, что число шагов, сделанных вправо,
должно быть равно (п 4- т)/2, а число шагов, сделанных влево,
равно (п — т)/2.
Таким образом, событие, состоящее в том, что после п шагов
частица придет в точку т, осуществится тогда и только тогда, ко-
гда из общего, числа п шагов вправо будет сделано ровно (п 4- т)/2
шагов. Так как порядок, в котором следуют друг за другом шаги
в одном и другом направлениях, не играет роли, то вероятность
такого события равна
п+т, п-|- т п-~т
Pn(m) = cj~ р~ q~.	(2.6.7)
Учитывая свойства биномиального распределения, заключаем,
что с увеличением числа шагов п дисперсия числа т (координаты
47
частицы) возрастает. Любопытно проследить эволюцию формы рас-
пределения, начиная сл=1. Случаи п — 1, 2, 3, 4 при р = q =
— 1/z изображены на рис. 2.8. Можно показать, что при неограни-
ченном увеличении п распределение (2.6.6) сходится к так называ-
емому нормальному закону (см. § 8).
§ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Биномиальный закон распределения весьма часто приходится
применять в условиях, когда число независимых испытаний п ве-
лико. Вычисления по формуле (2.6.1) при этом усложняются. По-
этому представляют интерес асимптотические приближения для
биномиального закона, справедливые при больших п. Здесь могут
встретиться следующие два случая:
1) Когда п -» оо, пр тоже неограниченно возрастает (случай
постоянного р); при этом биномиальное распределение сходится
к нормальному закону.
2) При п ->. оо произведение пр = А, т. е. математическое ожи-
дание рассматриваемой величины, остается конечным (это озна-
чает, что вероятность события р = A/и мала); в данном случае би-
номиальное распределение сходится к закону Пуассона.
Рассмотрим здесь второй случай, начав с примера. Пусть из-
вестно, что на телефонную станцию в течение одного часа поступит
120 вызовов. Вызовы независимы один от другого и поступают в
случайные моменты времени. Чему равна вероятность того, что за
некоторую минуту этого часа поступит О, 1, 2,..., k,... вызовов?
Сформулированную задачу можно рассматривать как последо-
вательность из 120 независимых испытаний, каждое из которых со-
стоит в том, что проверяется, попал или нет в назначенный интер-
вал (здесь длиной в 1 мин) 1-й вызов, 2-й вызов и т. д. Вероятность
того, что некоторое случайное событие, происходящее на интервале
Т, попадает на его часть длиной t, равна t/T (см. пример в конце
§ 3) и в данном случае составляет 1/60. Эта вероятность в условиях
задачи мала, однако математическое ожидание такого события при
большом числе испытаний (п = 120) сохраняет конечное значе-
ние (пр = 120-^q =2).
Итак, рассмотрим асимптотическое представление биномиаль-
ного закона (2.6.1), когда п — велико, р — мало, а пр = А имеет
конечное значение. Если в формулу (2.6.1) подставить р = к/п,
то можно написать
Р (Ь\ п (rt — 2) ... [rt — (/? — !)] / X / - X \л—&
ki	~ v / v — /
48
Имея в виду, что п имеет очень большое значение, вместо P„(k)
найдем limP„(&):
П-ьОО
Воспользуемся хорошо известными из теории пределов фор-
мулами:
Тогда окончательно получим
P„(fe)=^-e-x.	(2.7.2)
Распределение вероятностей,
определяемое формулой (2.7.2),
называется распределением Пуас-
сона. Несколько примеров этого
распределения приведены на
рис. 2.9.
Как
указывалось
метр X = пр имеет
ранее, пара-
смысл матема-
тического ожидания. В этом нетрудно убедиться непосредственным
вычислением по формуле (2.4.2). Действительно,
оо	оо	оо
т.= 2‘Л (*) =	2=
Л=0	/г=0
оо
= Хе-х 2 S' = Хе -Х ех = %.	(2.7.3)
о
Покажем, что дисперсия пуассоновского распределения тоже
равна %. Для этого по формуле (2.5.6) вычислим сначала второй
начальный момент:
ОО	оо	оо
м (^ = 2 -Й е-Х = К 2 k е-х = х 2 К* -1)+1] X
k=0	k. = I	k — I
3 Зак. 245
49
Но
00
*=1
Поэтому
00
р.= о
М(&) = %(% + !).
Дисперсия величины k равна
а! = М (k2) -mi = \ (%+1) — %8 = %.	(2.7.4)
Следовательно, дисперсия случайной величины, распределенной
по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.
Следует указать, что распределение Пуассона (2.7.2) в ряде
задач выступает не как асимптотическое, а как совершенно точное.
Нетрудно, например, убедиться в том, что для рассмотренного выше
примера распределение Пуассона дает точное решение, если счи-
тать, что указанное в условии число вызовов представляет собой
среднее число вызовов за 1 час. Действительно, как всякое среднее
значение, это число должно выводиться из результатов наблюде-
ний на интервале времени, значительно превышающем 1 час. При
этом общее число испытаний п -> оо и, следовательно, условия
применимости закона Пуассона точно выполняются.
Однако наиболее часто приходится сталкиваться с распреде-
лением событий во времени (появление импульсов или электронов,
поступление заявок или требований и т. д.). В этой связи приведем
еще один вывод закона Пуассона, который позволит более четко
установить условия его возникновения и пределы применимости.
Последовательность событий, происходящих друг за другом
в некоторые моменты времени tlt t2, t3, ..., принято называть пото-
ком. Геометрически поток событий можно изобразить в виде точек
на оси времени. Различают регулярные и случайные потоки. Рас-
смотрим случайный поток, обладающий тремя специальными свой-
ствами: стационарности, отсутствия последействия и ординар-
ности.
В стационарном потоке вероятность наступления некоторого
числа Событий в течение заданного отрезка времени т зависит толь-
ко от величины этого отрезка и не зависит от начала отсчета времени;
в геометрической трактовке имеет значение только длина отрезка т
и не имеет значения — далеко или близко он расположен по отно-
шению к началу отсчета.
Отсутствие последействия в потоке означает, что отдельные со-
бытия в нем происходят независимо одно от другого, так что «сгу-
щения» событий на одном интервале не приводят к обязательным
их «разрежениям» на другом. Математически это требование фор-
мулируется следующим рбразом; для любых неперекрывающихся
Я
отрезков времени число событий на одном из них не зависит от числа
событий ла другом.
Наконец, свойство ординарности потока заключается в том, что
вероятность наступления двух или более событий на достаточно
малом интервале времени является исчезающе малой в сравнении
с вероятностью наступления одного события. Иными словами, ор-
динарным следует считать поток относительно редких событий.
Покажем теперь, что для вероятности наступления за время т
ровно k событий справедлива формула
P(fe, т)=^-е^
(2.7.5)
где X — среднее число событий в потоке, приходящееся на интер-
вал длительности т. •
Если обозначить через v среднее число событий в потоке за еди-
ницу времени, то формулу (2.7.5) можно записать в виде
(2.7.6)
Докажем ее справедливость при k = 0. Предположим, что ве-
роятность Р(0,т) отсутствия событий на интервале т известна. Вы-
числим вероятность Р(0, т 4-Ат), где Ат — достаточно малый от-
резок. Залетим, что отсутствие точек на отрезке т 4- Ат есть со-
бытие, которое можно представить в виде произведения двух собы-
тий А и В: одно из них есть отсутствие точек на интервале т, вто-
рое — отсутствие точек на интервале Ат. В силу независимости
этих событий ( отсутствие последействия в потоке) имеем
Р (0, т 4- Ат) = Р (0, т) Р (0, Ат).
(2.7.7)
Но
Р(0, Лт)= 1 — Р(1, Ат) —Р(2, Ат) —...« 1 —Р(1, Ат),
так как в силу ординарности потока вероятностью наступления за
время Ат двух и более событий можно пренебречь.
Остается найти Р(1, Ат). С этой целью запишем выражение для
математического ожидания числа точек на интервале Ат. С одной
стороны, око равно vAt, а с другой, —
0-Р(0, Ат) + 1-Р(1, Дт)4-2-Р(2, Ат) 4-
Следовательно,
«Р(1, Ат).
Р(0, Ат) = I — vAt
(2.7.8)
Р (0, т 4- Ат) = Р (0, т) (1 - vAt).
(2.7.9)
3*
51
При Ат -» 0 из последнего соотношения имеем
ар (0, t)
dz
vP(0, т).
(2.7.10)
Интегрирование этого уравнения при очевидном начальном
условии Р(0, 0)=1 дает
Р (0, т) = е~’',
(2.7.11)
что совпадает с (2.7.6) при k = 0. Аналогичным образом могут быть
получены формулы для других k.
§ 8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Как уже отмечалось, при некоторых условиях биномиальный
закон сходится к дискретному нормальному (или гауссову) рас-
пределению. Неограниченным уменьшением интервала между со-
седними значениями случайной величины от дискретного распре-
деления можно перейти к непрерывному. Однако нормальный за-
кон распределения вероятностей применим в гораздо более ши-
роких условиях и вследствие этого он играет совершенно особую
роль среди других законов распределения.
В теории вероятностей доказывается, что плотность вероят-
ности суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых
(т. е. играющих примерно одинаковую роль) слагаемых при неогра-
ниченном увеличении их числа как угодно близко приближается
к нормальному закону распределения независимо от того, какие
законы распределения имеют эти слагаемые (центральная предель-
ная теорема А. М. Ляпунова).
Если принять во внимание, что необходимость в вероятностном
описании явлений чаще всего возникает тогда, когда приходится
учитывать большое число случайных факторов, имеющих примерно
одинаковый порядок малости, то станет ясным, как часто встре-
чается при описании случайных величин нормальный закон. Он,
кроме того, имеет ряд других замечательных свойств, которые будут
указаны позже.
Плотность вероятности нормально распределенной случайной
величины в ненормированной форме имеет вид
w (х) — С ехр
(х — т)3 '
~~2^
(2.8.1)
где пг и о — параметры распределения (имеющие конечные зна-
чения);
С — некоторая постоянная.
52
Произведем нормировку распределения. Имеем
Полагая t—(х— т)/ауг2, приведем последнее соотношение к виду
ОО
Со J е^*Л = 1.
— ОО
(2.8.2)
ОО
Так как J е~*г dx = 1/л, то из (2.8.2) найдем
— ОО
С = 1 /о |/ 2л.
Распределение (2.8.1) примет теперь свою стандартную форму
, .	1 Г (х — т)2 '
w (х) =--------— ехр — к о а " •
V ’ а И 2it _	2а2 j
Остается выяснить смысл параметров т и ст. В этой связи най-
дем математическое ожидание случайной величины X, плотность
вероятности которой определяется формулой (2.8.3):
М (X) = —
V '	а./2п
dx =
2а2
— ОО
оо
(х — т)2 ’
2?
Первый из полученных интегралов равен нулю, так как
подынтегральная функция является нечетной. Выражение
(х — т)2 ’
2а2
dx по условию нормировки равно еди-
нице.
Таким образом,
М (X) — т,
(2.8.4)
т. е. параметр т имеет смысл среднего значения.
53
Найдем также
ной величины:
Дисперсию нормально
О	4>
распределенной случаи-
оо
а У2п
Обозначая t=(x — т)/<т]/2, приведем это выражение к виду
оо
W(X),F(X) 1
е-^2 dt.
Применяя далее интегриро-
вание по частям (t = и,
2tert2 dt = dv), получим окон-
чательно
Рис. 2.10. Плотность вероятности аДх) и
функция распределения вероятностей
F(x) непрерывной случайной величины
при нормальном законе распределения.
о2 = о2.	(2.8.5)
Следовательно, параметр
а в (2.8.1) и (2.8.3) имеет
смысл среднего квадратич-
ного отклонения нормально
распределенной случайной
величины, а ст2 — соответст-
венно смысл дисперсии.
График распределения
(2.8.3) представлен на
рис. 2.10.
Функция распределения вероятностей случайной величины
согласно (2.3.3) записывается следующим образом:
(2.8.6)
и тоже изображена на рис. 2.10.
Вычислим вероятность попадания нормально распределенной
случайной величины в заданный интервал. Согласно (2.3.4) имеем
Переходя к новой переменной t—(x— т)/<у, получим
54
r-дё
Ф(г) = -^- J tT^dx	(2.8.8)
oo
•—табулированный интеграл вероятности (см. приложение IV).
Пользуясь таблицами функции Ф(г) и формулой (2.8.7), можно
установить, что вероятность попадания нормально распределенной
случайной Величины в интервал от —ст до ст относительно среднего
значения равна 0,683, в интервал (—2ст, 2ст) равна 0,954 и в интер-
вал (—Зст, 3 ст) равна 0,997.
§9.
РУГИЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Кроме нормального распределения и распределения Пуассона
при теоретическом и экспериментальном изучении случайных ве-
личин могут встретиться распределения других видов. Число воз-
можных распределений очень велико, так как любую неотрицатель-
ную функцию Н7(х) > 0, удовлетворяющую условию нормировки,
можно рассматривать как плотность вероятности некоторой слу-
чайной величины. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся
в приложениях распределения и кратко указаны некоторые усло-
вия их применения.
1.	Логарифмически нормальное распределение. Предположим,
что большое число п независимых импульсов .... действует
на некоторое устройство в порядке возрастания их индексов. Обоз-
начим через Xi суммарный эффект, достигнутый в результате дей-
ствия импульсов ..., В некоторых случаях можно считать,
что прирост, вызванный импульсом В«+ь достаточно мал и пропор-
ционален ?f+i и некоторой функции g(Xi):
Xi+1 —Xi =^i+ig(Xi).
Рассмотрим сумму
/1— 1

Так как прирост от каждого импульса мал, то приближенно
(2.9.1)
где х = хп обозначает окончательный эффект, а х0 — начальное
значение.
55
Согласно центральной предельной теореме Ляпунова при боль/
шом числе п независимых импульсов g(- сумма (2.9.1) будет рас-
пределена нормально. Полагая g(s) — s (прирост от каждого им-
пульса прямо пропорционален уже накопившемуся эффекту и
воздействующему импульсу), получим, что величина Igx распре-
делена нормально.
Случайная величина х называется распределенной логарифми-
чески нормально, если логарифм этой случайной величины рас-
Ш(Т)
Рис. 2.11. Графики плотности вероятно-
сти логарифмически нормального рас-
пределения при lg/n= 1 и 0=0,1; 0,3;
0,5.
V	-а
пределен нормально. Исполь-
зуя известное свойство ин-
вариантности дифференциала
вероятности, нетрудно запи-
сать логарифмически нор-
мальную плотность вероят-
ности:
W W dx = Х
х>0.	(2.9.2)
Из формулы (2.9.2) еле-
дует, что
(1g х) = lg т, <Jigx = ст2,
(х) = /п.102н,	(2.9.3)
где р = Ige = 0,4343. Абсцисса, соответствующая максимуму плот-
ности вероятности, равна т- ГО-’’^. Угловые скобки обозначают
операцию математического ожидания.
На рис. 2.11 изображены три кривые плотности логарифмически
нормального распределения для Igm = 1 и трех значений о.
Для о = 0,5 и 0,3 кривые заметно асимметричны, а при ст = 0,1
плотность вероятности не сильно отличается от нормальной.
2.	Гамма-распределение. Гамма-распределение задается плот-
ностью вероятности
lF(x) =
0
при х>0,
при х<0,
(2.9.4)
где действительные числа а>—1 и Р>0 представляют пара-
метры распределения и Г(а+1) — гамма-функция:
ОО
J /“ dt.
о
56
На основании общей формулы начальные моменты равны
А”) = 0п(а+ 1)(а+ 2)...(а + га).	(2.9.5)
Нетрудно установить, что два параметра гамма-распределения а
и 0 определяются через среднее значение тх и дисперсию а2 по фор-
мулам
(2.9.6)
График! плотности вероятности (2.9.4) при Р = 1 для трех зна-
чений а = 0, 1, 3 представлены на рис. 2.12. При больших значе-
ниях а гамма-распределение
переходит ! нормальное. Этот
результат следует из того
факта, что гамма-распределе-
ние (2.9.4) справедливо для
суммы (а 4- 1) независимых
аф-1
величин х —каждая из
которых имеет одинаковую
плотность вероятности
W(xi)= екр(-~), xi > 0,
получающуюся из (2.9.4) при
а = 0. Согласно центральной
предельнойтеореме плотность
вероятности суммы при уве-
личении гисла слагаемых
W(X)
Рис. 2.12. Графики плотности вероятно-
сти гамма-распределения при Р==1 и
а = 0; 1; 3.
стремится г нормальной.
Если в формуле (2.9.4) положить 0 — 1А и a=k, где k — целое
положительное число, то получим плотность вероятности Эрланга:
U7 (х) =	е-Ч
(2.9.7)

Эта формула широко используется в теории надежности и массо-
вого обслуживания.
3.	%2-ра<пределение. Пусть имеется п независимых нормально-
р ас пр сдельных случайных величин xlt х2, ..., х„, причем все они
нормированы (имеют нулевое среднее значение и одинаковую дис-
персию a2 = 1). Сумма квадратов этих случайных величин обоз-
начается через %2:
Х2 = 2*ь (0<Х2<°о)	(2.9.8)
Z=1
и п называется числом степеней свободы %2.
ЗВ. Зак. 245
57
Плотность вероятности W^(x2) зависит только дт п, тйк кйк рас-
сматривается сумма квадратов нормированных случайных вели-
чин. Она определяется формулой
п
2\2
2
(2.9.9)
х2>о.
е 2

Из выражения (2.9.8) видно, что (%2) = п, т. е. среднее значение
Ха равно числу степеней свободы. Непосредственной проверкой
Рис. Х13. Графики плотности вероятности X2 при /1 = 1,
4, 10 и 20.
нетрудно установить, что плотность вероятности ^-распределения
(2.9.9.) является частным случаем гамма-распределения (2.9.4)
со значениями параметров а = i — 1 и 0 =2,
Графики плотности вероятности %2 для п = 1,4, 10 и 20 при-
ведены на рис. 2.13. Из основной формулы (2.9.9) при п = 1 имеем
№(X2) =-7= (X2) 2 е (я=1).
У 2к
Плотность вероятности всюду убывает, причем оси координат яв-
ляются асимптотами. При п = 2 получим
(X2) = у е Х* (п=2).
58
В данном случае плотность вероятности является убывакщей эк*
споненцишьной кривой. При п = 3 имеем
W (ха) = -+=r W А" <3 (п=3).
V 2я
Кривая пготности вероятности начинается в начале координгг и воз-
растает да абсциссы х2 — 1, после чего убывает, асимптотически
приближаясь к оси абсцисс. При дальнейшем увеличении чи-ла сте-
пеней свсбоды асимметричность кривой уменьшается.
Если ^зависимые случайные величины xlt х2,..., х„ норлально
распределены и каждая из них имеет нулевое среднее зна ение и
одинаковою дисперсию of = о2, то плотность вероятности дл суммы
квадратов этих величин
X2=Sx?	Г 2.9.10)
1=1
будет иметь вид
4.	Расе ре деление Накагами (ш-распределеиие). При распро-
странении радиоволн через среду со случайными неоднородостями
(в частное и, ионосферу или тропосферу) сигнал в точке присма под-
вержен замираниям (федингам). Это объясняется тем, чтошриии-
маемый сигнал представляет собой сумму нескольких сосавляю-
щих (i — 1, 2........ п), проходящих различные пути, причем
амплитуды п и фазы 9/ отдельных составляющих изменязпся во
времени случайным образом. Определим огибающую сишала в
точке приема R. равенством
п	п
= |а + jb I, а=2 Г/соэб/, 6=2 sird t.
1= 1	i— 1
2.9.12)
При некоторых предположениях относительно статистических
характеристик величин г/ и 0/ плотность вероятности огибающей
приближено дается формулой Накагами:
=	R2m’Ie	е-9-13)
Два параметра этого распределения т и й определяютс соот-
ношениям!
2.9.14)
ЗВ‘
59
а Для начальных моментов справедлива слеДукзшая формула:
(2.9.15)
При т = V2 формула (2.9.13) переходит в одностороннюю нор-
мальную плотность вероятности
(2.9.16)

Если /71 = 1, то из (2.9.13) получим плотность вероятности Релея:
«7 (R) = % ехр (-	R>0.
(2.9.17)
При /п 3> 1 формула (2.9.13) дает хорошую аппроксимацию для
плотности вероятности Райса:
W(R) =
где 10(г)— функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу-
мента
1С
10 (2) = — f ег cos ('P-Wcfcp.	(2.9.19)
— К
При этом между параметрами т, Q и о, Ro имеется следующая
связь:
Q = o + Ro, /п= 2 Ro = ]/т2 — т,

tn
(т—Ут? — т\
Если в формуле (2.9.13) перейти от R
X <= R/|/Q, то получим
W =	X2m~' е~тх2>
и
к новой переменно
(2.9.20)
Вид плотностей вероятностей W(X) для нескольких значений пара-
метра т приведен на рис. 2.14.
Отметим, что формально т-распределение (2.9.13) можно привести
к виду хг-распределения (2.9.11). Для этого в формуле (2.9.13)
нужно перейти от R к новой переменной У Z = R и положить т =
= п/2, где п — целое положительное число.
60
W(x)
Рис. 2-14. Графики плотности вероятности	Рис. 2.15. Графики плотности вероятности
/«-распределения.	Вейбулла.
61
5.	Распределение Вейбулла. В теории надежности и массового
обслуживания применяется распределение Вейбулла; соответ-
ствующую плотность вероятности можно привести к следующей
стандартной форме;
W (х) = ух7 1 ехр (—х7), х> О,
у>0.	(2.9.21)
Начальные моменты определяются формулой
(2.9.22)
Отсюда получаем выражения для среднего значения и дисперсии:
На рис. 2.15 приведены графики плотности вероятности (2.9.21)
для у = 0,5; 1,0; 1,5; 3. При у = 1 плотность вероятности является
экспоненциальной функцией; при у як 3 она близка к нормальной.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Гмурман В. Е. Введение в теорию вероятностей и математи-
ческую статистику. Изд-во «Высшая школа», 1963.
2.	П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций. Физматгиз, 1960.
3.	Кр амер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностран-
ной литературы, 1948.
4.	Дунин -Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория
вероятностей и математическая статистика в технике. Гостехиздат, 1955.
5.	Хальд А. Математическая статистика. Изд-во иностранной ли-
тературы, 1956.
6.	Nakagami М. The m-distribution-a general formula of intensity
distribution of rapid fadings. Statistical methods in radio wave propagation.
Pergamon Press, 1960.
7.	L eh m а п E. H. Shapes, moments and estimators of the Weibull
distribution. Trans. IEEE, 1963, R-12, N 3.
Глава 3
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССАХ
Случайный процесс характеризуется тем, что какая-либс физи-
ческая величина изменяется в некотором абстрактном прост}анстве
случайным образом. Конкретный, вид. случайного процесса (т. е.
единичная фотография или осциллограмма).^.,определенном опыте
называется реализацией^ ’случайного процесса. В качестве сино-
нимов '^ппрёбляются также термины «выборочная функция» и
«траектория случайного процесса».
В радиотехнике наиболее часто приходится оперировать t о слу-
чайными процессами, зависящими от одного аргумента — вымени.
При этом под случайным (стохастическим) процессом обилию по-
нимается электрическая величина ( ток, напряжение, напряжен-
ность поля и др.), изменяющаяся случайно во времени.
Для формального обозначения зависимости случайною про-
цесса от аргументов применяются случайные функции. Если |(/)
есть случайная функция, представляющая случайный протесе, то
се значение при фиксированном значении аргумента я> ляется
случайной величиной. Это означает, что при неизменных условиях
опыта значения 5(^) в реализациях, полученных для идентичных
систем, будут различными. В этом состоит существенное «тличие
случайной функции от детерминированной (регулярной), згачение
которой однозначно определяется значениями аргументов.
В зависимости от характера изменения во времени и истодов
рассмотрения случайные процессы можно разделить на три труппы:
импульсные, флуктуационные и специального вида.
Импульсные процессы представляют собой последовательность
одиночны! импульсов в общем случае разной формы, следующих друг
за другом через случайные промежутки времени. Как прав! ло, ре-
ализации импульсного процесса представляют собой кусо’гно-раз-
рывные функции времени. К импульсным процессам можноотнести
пскусствегно создаваемые импульсные помехи, а также несоторые
63
виды атмосферных помех (например, грозовые разряды) и помех
от электрических аппаратов.
Флуктуационные процессы представляют собой результирующий
эффект очень большого числа часто следующих элементарных им-
пульсов, налагающихся друг на друга. Реализации флуктуацион-
ного процесса имеют вид непрерывных функций времени. К числу
флуктуационных процессов относятся тепловые и космические шу-
мы, шумы электронных ламп, полупроводниковых приборов и др.
Случайные процессы специального вида могут быть весьма раз-
нообразными. Можно привести следующий пример. Пусть гармо-
ническое колебание Acos (си/ + ср) модулируется по амплитуде флук-
туационным напряжением, а по частоте — случайными импуль-
сами. Тогда получим случайный процесс специального вида
A(t)cos[(d(t) + <р(01.
У кажем способы описания случайных процессов.
§ 2. ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
Предположим мысленно, что имеется большое число N полно-
стью одинаковых систем (рис. 3.1), образующих некоторый «ан-
самбль» систем (т. е. полную труппу событий). Пусть все системы
работают одновременно при одинаковых условиях. На выходе этих
систем наблюдается случайный процесс §(/). Если к каждой системе
подключить одинаковые регистри-
рующие приборы (например, ос-
циллографы) и на всех приборах в
одно и то же время отсчитать мгно-
венные значения, то получим от-
личающиеся друг от друга зна-
чения
Рис. 3.1. «Ансамбль» одинаковых
систем.
*i(*i),	..., xw(/i).
Выделим из общего числа N те
значений, которые заключены
в достаточно малом интервале
(£, | + Д£). Оказывается, что при
достаточно большом числе. У от-
носительная доля ni/N значений,
заключенных в этом интервале,
стремится к некоторой определенной величине, пропорциональной
и зависящей от как от параметра. Следовательно, можем
написать

lim
оо
(3.2.1)
64
Функция tt) называется одномерной плотностью веро-
ятности случайного процесса.
Одномерная плотность вероятности является важной, но не
полной характеристикой случайного процесса. Она дает представ-
ление о процессе лишь в отдельные, фиксированные моменты вре-
мени, не указывая, например, как значения х(£х) в момент времени
ti влияют на дальнейшее поведение процесса при t2 ~J> tY. Можно
сказать, ччо одномерная плотность вероятности характеризует про-
цесс статически и не дает представления о динамике его развития.
Более полной характеристикой случайного процесса является
двумерная плотность вероятности, характеризующая вероятност-
ную связь между значениями случайной функции в два произволь-
ных момента времени и /2.
Двумерная плотность вероятности определяется аналогично
одномерно!. Предположим, что на выходе рассматриваемых N
идентичных систем в два момента времени tx и t2 берутся отсчеты
мгновенные значений:
Выделим ns этих отсчетов ту часть п2 значений, которые в момент
времени 4 заключены в пределах (h,	+ Д^) и одновременно
в момент времени /2 находятся в пределах (g2, §2 4- А£а). Тогда
можно написать
Нт	U tlt	‘ (3.2.2)
/V-*oo
Функция VF2(g1, g2, tlf t2) называется двумерной плотностью ве-
роятности.
В общем случе двумерная плотность вероятности также не дает
исчерпывающего описания случайного процесса. Она позволяет су-
дить о cbhsh между вероятными значениями случайной функции
лишь в два момента времени.
Достаточно полное и детальное описание случайного процесса
дается многомерными плотностями вероятности. Плотность веро-
ятности £2, ..., tlt t2, ..., tn), называемая n-мерной, опре-
деляет вероятность того, что значения случайной функции £(£) в п
моментов времени ti, ti	 tn заключены соответственно в интерва-
лах Qi, Bi й- A^i), (£а,	+ AU...... (£„,	4- А|„). При достаточно
малых А^-зга вероятность равна •••,	tn) Agi ... Ag„.
11лотность вероятности 1ГЛ(?1, ..., tlt ..., tn) позволяет судить
<> связи между вероятными значениями случайной функций в rt
произвольных моментов времени.
Таким о5разом, случайный процесс в общем случае описывается
при помощи n-мерной плотности вероятности и тем детальнее, чем
иольше п.
65
Плотности вероятности должны удовлетворять следующим ус-
ловиям [1]:
1)	условию положительной определенности
Мь •••> tu	(3-2.3)
2)	условию нормировки
ОО 00
J ... J wn(h../ъ(3.2.4)
— ОО —00
3)	условию симметрии (функции №„(&!, ..., Вл, ti, tn) являются
симметричными относительно своих аргументов, т. е. не должны из-
меняться при любой перестановке аргументов £„);
4)	условию согласованности: при любом т< п
Формула (3.2.5) показывает, что если известна n-мерная плот-
ность вероятности Wn, то путем интегрирования ее по «лишним»
аргументам легко находятся все другие плотности вероятности
меньшей кратности. В этой связи можно отметить, что исчерпываю-
щим было бы описание случайного процесса одной плотностью ве-
роятности максимального порядка, если бы последняя существо-
вала. Вследствие непрерывности аргумента t такого конечного мак-
симального порядка не существует. Однако иногда [см. (10.3.21)]
оказывается возможным рассматривать функционал вероятности
П(01.
Введем условную плотность вероятности. Предположим, что нам
известно значение |а. В общем случае знание |а дает также не-
которую информацию о случайной величине Теперь случайная
величина Si будет иметь плотность вероятности
где
Q = J ^2(11Лг> 4,
Плотность вероятности tr | |а, 4) называется условной плот-
ностью вероятности для при заданной величине |2.. Условная
плотность вероятности И7(£ь 41 S2» 4) содержит больше (по крайней
мере не меньше) сведений о чем безусловная плотность вероят-
ности /1). Для условной плотности вероятности должно вы-
полняться условие нормировки
JVF(gx, 4|ga, 4)^i = 1-	(3.2.7)
На сколько именно увеличилась информация о в результате
того, что стала известной реализация |2, зависит от конкретных
условий. В некоторых случаях информация о вообще не прибав-
ляется, какой бы ни оказалась |2. Это значит, что
W1. М У = ^1	Л).	(3.2.8)
Как следует из (3.2.6), в данном случае двумерная плотность
вероятности равна произведению одномерных плотностей вероят-
ности:
«МБ1. ёи. G, h) =	^)^i(g2,	(1.2.9)
Эта формула выражает необходимое и достаточное условие неза-
висимости двух случайных величин и |2.
В другой противоположном крайнем случае, когда величины
§2 и £2 связаны функциональной зависимостью, т. е. = g(£2),
знание величины |2 полностью определяет другую случайную ве-
личину ^2- В данном случае двумерная плотность вероятности со-
держит дельта-функцию:
1Г2(?2. /ъ /2) =	H?i(U *а).	(32.10)
Между указанными крайними случаями возможно большое
число промежуточных случаев.
Формулы (3.2.6)—(3.2.10) можно обобщить на несколько слу-
чайных велачин.
§ 3.1САРАКГЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вместо плотностей вероятностей для описания случайного про-
цесса можно задавать характеристические функции. Характеристи-
ческая функция представляет собой преобразование Фурье от соот-
ветствующее плотности вероятности:
(^1> •• •> ..., /я)
= j-J ...........g„,4,-...ye/(“‘e*+ •+илЕл)^2.-^я- fl .3.1)
<)тсюда видно, что характеристическую функцию можно опреде-
лить как математическое ожидание экспоненты:
©„(«1,.... ип, tb ..., t„) = <exp(/«i Ч-... + ju„ У), (i.3.2)
1десь и в дальнейшем угловые скобки обозначают операцию мате-
матического ожидания или, иначе, операцию статистического ус-
реднения (т. е. усреднения по ансамблю реализаций).
‘ В данной записи IFi(£i, ii) и Wri(§2, /2) — в общем случае разные £>унк-
HIIII, а не одна и та же функция ^измененными аргументами. Такая система
минеи иногда будет применена и в дальнейшем.
67
Из формул (3.2.9) и (3.3.2) видно, что характеристическая функ-
ция независимых случайных величин равна произведению харак-
теристических функций отдельных величин. Этот результат часто
используют при вычислении плотности вероятности суммы неза-
висимых случайных величин.
Для характеристических функций также справедливо условие
симметрии, а условия нормировки и согласованности принимают
соответственно вид
0(О,...,О)= 1,
(3.3.3)
Иногда вместо плотностей вероятностей рассматривают функции
распределения вероятностей. Одномерная функция распределения
вероятностей определяет относительную долю значений x4(fi),
= 1, 2, ..., N оо, меньших некоторой величины
Ei
(si» ^1) — 1	1 (х, tj) dx,
V
— оо
(3.3.5)
Очевидно, что для значений в которых функция /71(^1, 0 диффе-
ренцируема, справедливо равенство
№
(3.3.6)
Двумерная функция распределения вероятностей определяется
соотношением
F2 (£1> ^2, ^1, G)
(3.3.7)
из которого следует, что
Wz
(3.3.8)
Аналогично определяются другие функции распределения вероят-
ностей.
Так как между функциями Wn, ©„ и Fn существует взаимоодно-
значная связь, то случайный процесс считается определенным на
некотором интервале времени, если для любых .... tn из этого
интервала заданы или многомерные плотности вероятности Wn, или
характеристические функции ©л, или функции распределения ве-
роятностей Fn.
68
§ 4.	МОМЕНТНЫЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Хотя полное описание случайного процесса дается многомер-
ными плотностями вероятности, однако в ряде случаев целесооб-
разно оперировать с другими, более простыми характеристиками
случайного процесса. Это объясняется несколькими соображени-
ями.
1.	Во многих задачах нужно рассматривать преобразование
случайных процессов линейными "и нелинейными инерционными
системами. Пусть из рассмотрения физической модели источника
процесса получены выражения для плотностей вероятностей. Тогда
за исключением так называемых марковских процессов и линейного
преобразования нормальных процессов нельзя указать метод «пе-
ресчета» непосредственно самих плотностей вероятностей при инер-
ционных преобразованиях случайных процессов. Эта задача решается
приближенно путем пересчета отдельных характеристик случай-
ного процесса, позволяющих в принципе найти плотность вероят-
ности для преобразованного процесса.
2.	Предположим, что нам неизвестен физический механизм уст-
ройства, создающего процесс. Тогда для выяснения характера слу-
чайного процесса необходимо экспериментально определять соот-
ветствующие плотности вероятности. Экспериментально сравни-
тельно просто можно определить частные характеристики процесса.
Экспериментальное же определение самих плотностей вероятностей
в большинстве практических случаев оказывается очень сложным
и дорогостоящим делом. Здесь исключение составляет одномерная
плогность вероятности, для определения которой в настоящее время
имеются приборы. Однако она не содержит временных характе-
ристик, обычно необходимых для решения практических задач.
3.	Имеются часто встречающиеся случайные процессы, плотяости
вероятности для которых определяются небольшим числом пара-
метров.
4.	Ответ на ряд практических задач может быть получен из рас-
смотрения отдельных, частных характеристик случайного процесса.
С аналогичным положением мы часто встречаемся в случае регу-
лярных сигналов. Если, например, синусоидально-модулироваиное
колебание + т cosQf) sin(®£ + <р) воздействует на радиоприем-
ник с амплитудным детектором, то обычно не интересуются зна-
чением начальной фазы и рассматривают лишь воспроизведение
закона модуляции.
5.	Иногда ограничиваются получением ориентировочных оце-
нок процесса по его отдельным характеристикам, а не точного ре-
зультата, даваемого соответствующими плотностями вероятности.
В качестве характеристик случайного процесса, более простых,
чем плотности вероятности, можно использовать моментные или
корреляционные функции. Ценным свойством моментных и корре-
ляционных функций является то, что функции более низкого по-
69
рядка йесут больше сведений о случайном процессе, чем функции
Высокого порядка.
Под моментными функциями случайного процесса £(/)> задан-
ного на некотором интервале, понимаются функции Mtl (f),
(tlt t2),	in(tr, £2,..., Q, симметричные относитель-
но всех своих аргументов, являющиеся статистическими средними
(математическими ожиданиями) произведений
Мй (0 = (ВЧО) = й''*	(В, О
Mit !г (<!, t2) =	(G) (t2)) = П &^2(В1. U Л, М. d& d%2,
Mltl,... ^(G> t2....tn) =	=	(3.4.1)
= J...	(B15 ...ДЛ......tn-)d^...d^.
Момент Mix it... in (tlt t2,tn), зависящий от n несовпадающих
аргументов tx, t2, ..., tn, называется «-мерным моментом (i‘i + i2+
4-... + i„)-ro порядка. Так, (t) = (^< (£,)), есть одномерный
момент irro порядка,	/2) = (B,'>(Z1)g'»(/2)) при G=H2
есть двумерный момент (t'i+l’2)-ro порядка и т. д.
Вместо моментов ц ,.,in (tv t2,.... t„), называемых начальны-
ми, можно рассматривать центральные моменты, которые опре-
деляются соотношением
Ий i,... in(tlt t2.tn) = (IB... Ig(и-МхУ1’») =
= J ... J I£1-A4x (G)]'<...	x
Х^л(^Д2,’...Дл,^.......tn)d^...dln.	(3.4.2)
Моментные функции можно также получить из характеристи-
ческой функции путем ее дифференцирования. Проиллюстрируем
это для одномерного случая. На основании определения характе-
ристической функции (3.3.1) и разложения в ряд экспоненты, по-
лучим
0x(u)= JeMlTJI, t)dl =
Отсюда следует, что
М, (0 = ±
(Г (и)
du*
(3.4.4)
u=0
70
Можно показать, что формулы, аналогичные (3.4.3) и (3.4.4),
справедливы и для многомерных моментов	[2].
Перейдем к определению корреляционных функций. Корреля-
ционные функции	^з(4с^»» 4), ••• определяются
при помощи разложения в ряд Маклорена не самой характеристи-
ческой функции, а ее логарифма. Как и моментные функции, они
должны бить симметричными относительно всех аргументов. Ана-
логами корреляционных Функций в одномерном случае являются
так называемые кумулянты или семиинварианты. Приведем опре-
деление кумулянтов и установим их связь с одномерными момен-
тами. Для функции ln(14-z) ряд Маклорена имеет вид
In (1 +z) = z —-±z2 + -^Z3— ^z4 + ...
Заменяя 1-j-z на <ЭХ (rz), т, e. полагая z==0x(u) — 1 и используя
формулу (3.4.3), можем написать
1П@х (и) =<0х- 1) - 1 (©х - 1)3+ | (©!— 1)3— 1(0! — 1)4
(/“Г +
—... <3.4.5)
Правая часть этого выражения представляет многочлен относи-
тельно ju. Совершая перестановки слагаемых в этом многочлене,
его можно представить в виде следующего ряда:
ln©x(u)= тг(/^)
(3.4.6)
или
@х(ц) = ехр
(3.4.7)
где коэффициенты х, называются кумулянтами или семиинва-
риантами.
Очевидно, что кумулянт хл есть полином от моментов Mlt .... Мп
и, наоборот, момент Мп есть полином от Хх..хл. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях (ju) в правых частях вы-
ражений (3.4.5) и (3.4.6), получаем:
«1 —Л4Ъ к2 = М2 — M2i = |i2,
х8 = М3 — ЗЛ4х М 2 + 2Л41 = рз,	(3.4.8)
х4 = И4 —ЗМ1 —4М1М3 + 12Af?’M2—6Mf = р4 — 3р1,
71
Первый кумулянт совпадает с первым моментом (средним зна-
чением)
Xi = Afj = (g (f)/>.
Второй кумулянт
«2 = <£3(f)> - <U0>2
согласно формуле (2.5.5) представляет собой дисперсию а2.
Не останавливаясь на значении других, более высоких куму-
лянтов, укажем, что отношения
ь = 7зк. ^ = 4	(зл.9)
Л2
называются соответственно коэффициентами асимметрии и экс-
цесса.
Следует заметить, что кумулянты не совпадают с центральными
моментами. Как видно из формул (3.4.8), расхождение между ними
начинает проявляться с х4.
Корреляционные функции	h, G),
подобно кумулянтам, определяются разложением в ряд Макло-
рена логарифма многомерных характеристических функций. Не
приводя здесь формальных разложений, укажем окончательные
формулы для первых трех корреляционных функций [2]:
К1(/) = х1 = М1(/)«^(0),
(G,	= <[? (G) - О (G) - М, О> =
= (G) В (G)) ~ <В (G)> <5 (G)),	(3.4.10)
Л3 (G, G, G)=<l (fl) t(G) S (f3)> — Mi (G) Ka (G> G) - Mi (G) X
x K2 (G, G) - AG (G) (fl, G) + 2M, (G) Мг (G) AG (G).
Нетрудно убедиться, что при G = f2 = G формулы (3.4.10) сов-
падают с формулами (3.4.8).
По моментным и корреляционным функциям можно восстано-
вить характеристическую функцию и, следовательно, плотность
вероятности. Поэтому моментные функции, так же, как и корреля-
ционные, могут быть использовны для описания случайных про-
цессов.
Отметим, что в дальнейшем особую роль будут играть одномер-
ный момент Mi(t) и корреляционная функция K2(G, G), совпада-
ющая с двумерным центральным моментом второго порядка. Раз-
дел теории, посвященный изучению лишь тех свойств случайных
процессов, которые определяются этими характеристиками, назы-
вается корреляционной теорией случайных процессов.
72
§ 5.	СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Важный классом случайных процессов являются стационарные
случайные процессы. Случайный процесс £(/) называется стацио-
нарным в узком смысле, если его плотности вероятности ....
ti, ..., произвольного порядка п не меняются при любом сдвиге
всей группы точек ..., ta вдоль оси времени, т. е. если при любых
п и t0 справедливо равенство
Мьtlt .... tn)=Wn&............ln,	(3.5.1)
Иначе говоря, случайный процесс называется стацион1рным
если выражения для плотностей вероятностей не изменяются при
изменении начала отсчета времени. Это означает, что стационарный
процесс ведет себя однородно во времени. Разумеется, что в случае
стационарных процессов равенство, аналогичное (3.5.1), справед-
ливо для функций распределения вероятностей, а также для харак-
теристических, моментных и корреляционных функций.
Стационарные случайные процессы, аналогично установившимся
детерминированным процессам, получаются в установившемся
режиме ра(юты системы при неизменных внешних условиях. Ста-
ционарные процессы являются частным случаем нестационарных
процессов. Примером нестационарного случайного процесса может
быть любок случайный процесс в переходном режиме работы си-
стем (например, дробовой шум в диоде в начальном периоде после
включения накала катода, случайный процесс на выходе инерцион-
ной система в начальный период при воздействии на вход системы
даже стационарного случайного сигнала и т. д.).
Из равенства (3.5.1), в частности, следует:
"^2 (Sl> Вг> ^2) = 1^2 (£1> ?2> “О» т =	-/1,	(3.5.2)
Таким образом, для стационарного случайного процесса п-мерная
плотность вероятности, л-мерные моменты и корреляционные функ-
ции зависят не от п, а от (л — 1) моментов времени, так как один из
выбранных моментов времени можно всегда принять за начало от-
счета времени ( например, положить = 0).
Как видно из первой формулы (3.5.2), одномерная плотность
вероятности стационарного процесса не зависит от выбранного мо-
мента времени. Поэтому одномерная плотность вероятности и одно-
мерные моменты не учитывают временных характеристик стацио-
нарного случайного процесса. Например, изменение масштаба по
 ни времени в произвольное число а раз не изменяет одномерной
плотности вероятности, т. е. процесс, протекающий в а раз быстрее
пил медленнее, будет иметь одну и ту же одномерную плоткость
вероятности, Грубо говоря, описание случайного процесса при
71
помощи одномерной плотности Вероятности подобно заДанЙю ЛИШЬ
амплитуды гармонического колебания Дсо&(со/ + <р) без указания
его частоты и фазы. Отсюда ясно, что описание процесса при
помощи одномерной плотности вероятности является неполным.
Будем обозначать моментные и корреляционные функции ста-
ционарного случайного процесса строчными буквами. Математи-
ческое ожидание (среднее значение) стационарного процесса т =
= Mi не зависит от времени
m = (g(0>= J WM-	(3.5.3)
— 00
Двумерная корреляционная функция k (tr, tt) = К2 (ti, t2) за-
висит лишь от разности времен т = /2— /х и определяется фор-
мулой
k (т) = (1g (^) - т] [g (t2) - т]) = (g (4) g (/x + t)> - tv? -
CO
= J J(g1-/n)(g2-m)ira(g1,g2,T)dg1dga.	(3.5.4)
—00
Дисперсия стационарного процесса
co
о2 = k (0) = <[g (0 — m]2) = (g2 (/)) — /и2 = j (g — m)2 W, (g) dgx
—00
(3.5.5)
постоянна и равна значению корреляционной функции при нуле-
вом значении аргумента.
При решении некоторых практических задач многомерные плот-
ности вероятности не рассматриваются и используется лишь по-
стоянство математического ожидания и зависимость функции кор-
реляции k(tr, t2) только от разности т=/2—/х. В связи с этим вве-
дено понятие стационарности в широком смысле.
Случайный процесс g(f) называется стационарным в широком
смысле, если его математическое ожидание постоянно (т. е. не за-
висит от времени), а корреляционная функция t2) зависит
только от разности аргументов /х и /2:
k (Zi, /а) = k (/2 —	= k (т), т== /2 —/х.	(3.5.6)
В общем случае стационарность в широком смысле не тождест-
венна стационарности в узком смысле. Случайные процессы, ста-
ционарные в узком смысле, будут всегда стационарны в широком
смысле, но не наоборот.
Однако имеется один весьма важный и часто встречающийся
класс стационарных процессов, для которых понятия стационар-
ности в узком и широком смысле полностью совпадают. Это — нор-
мальные стационарные процессы (см. § 15), плотности вероятности
которых полностью определяются математическим ожиданием и
корреляционной функцией.
§ в. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Функциг корреляции между значениями одного случайного
процесса в два разных момента времени называется автокорреля-
ционной функцией. Общее определение автокорреляционной функ-
ции дается вторым соотношением (3.4.10), а применительно к ста-
ционарным процессам —формулой (3.5.4):
k (т) = (g (Z) ? (I + т)> - т2.
Если имеется два стационарных случайных процесса g(Z) и rj (Z)
с математическими ожиданиями тс и mTi, то можно рассматри-
вать функции корреляции между этими процессами:
Gi> ^2) — ([£ (Z1) — [Л (Z2) —
(^1>	~ ([Л(^1)	т-г}] [5 (Zg)
(3.6.2)
Если функции корреляции ^Tj(Zb/э) и Z2) зависят лишь
от разности r=Z2~Z1, то процессы g (Z) и т) (Z) называются ста-
ционарно связанными. Очевидно, что для станционарно связан^
ных процессов’ справедлива формула
Z2) =	(т) = krp. (	т).	(3.6.3)
В отличие от автокорреляционной функции функции корреля-
ции (3.6.2) между значениями разных процессов называются вза-
имными kojреляционными функциями.
Формулы (3.6.1) и (3.6.2) обобщаются на комплексные случай-
ные процессы. Если |(Z) и t](Z) комплексные случайные функции
с математическими ожиданиями пъ и то автокорреляционная
и взаимно корреляционная функции определяются формулами [3]:
k (т) = {[£ (Zi) - md [£* (Zx + т) - mJ),	(3.6.4)
(Zb Z2) = <[g (Zx) - me] fo* (Z2) - /<]),	(3.6.5)
где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины.
Для выяснения физического смысла корреляционной функции
рассмотрим два частных случая, когда две действительные стацио-
нарные случайные функции g(Z) и t](Z) независимы или, наоборот,
<жестко» связаны. Если случайные функции g(Z) и tj(Z + т) = гр
независимы, то по формуле (3.2.9) можно написать
>2 (L 11г) = №1 G) (тр).
75
Подставим это выражение в формулы (3.6.2) и воспользуемся соот-
ношением (2.4.11), согласно которому
ОО	оо
J (а - /ие) W, (g) dl = О, J (rj - mJ V. (п) dri = 0.
—ОО	—00
В результате получим (т)=0.
Пусть случайные функции g (/) и ц (/) связаны детерминиро-
ванной линейной зависимостью £ (?) — ±	(0 + где я и &—
постоянные величины. В данном случае
т* = <£(£)) = ± am^-Y b, of = <АЦ() — т^]2) = а2 а2.
Для функции взаимной корреляции получим
(t, t) = ([g (t) — znd [t] (t) — ^]> = ±ao2 = ± a,;, (3.6.6)
Таким образом, если стационарные случайные функции неза-
висимы, то функция корреляции между ними равна нулю для всех
значений т. Функция взаимной корреляции для линейно свя-
занных случайных функций равна произведению их среднеквадра-
тичных значений, взятому с соответствующим знаком. Поэтому
можно сказать, что корреляционная функция дает качественное
представление о линейной зависимости между значениями одной
или двух случайных функций в выбранные моменты времени.
В дальнейшем нам придется часто оперировать с автокорреля-
ционной функцией стационарных случайных процессов. Автокор-
реляционная функция стационарного процесса обладает следующими
свойствами:
1. Она является четной, т. е.
k (т) — k (— т).	(3.6.7)
Это следует из определения стационарного процесса, т. е. из усло-
вия независимости его характеристик от начала отсчета времени.
Поэтому
k (т) = (g (/) g (t + т)> - tn2 = (g (t - T) g (0) - m2= k (- t).
2. Абсолютное значение автокорреляционной функции при
любом т не может превышать ее значения при т = 0, т. е.
| &(т)1 < k (0) = о2.	(3.6.8)
Этот результат следует из очевидного неравенства, что математи-
ческое ожидание положительной функции не может быть отрица-
тельным:
<{[g (0 - т} ± [g (/ + т) - т]}2) > 0.
Отсюда имеем
(II (6 — tnf) ± 2 ([g (t) — ml [£ (/ + т) — m})	([g (t + r) —тир) =
= 2a2 ± 2k (т) > 0
и, следовательно, о2 | k (r) |.
3. Для многих практически интересных стационарных случай-
ных процессов справедливо соотношение
lim k (т) — 0.
т>оо
(3.6.9)
Физически этот результат объясняется тем, что случайные процессы,
наблюдаемые в стационарно и устойчиво работающих системах,
обычно имеет конечное время корреляции (см. § 7). Реакция та-
ких систем на мгновенное внешнее воздействие типа 6-фун кции
Рис. 3.2. Графики двух корреляционных функций.
имеет конечное время затухания. Поэтому последующее значение
процесса оказывается практически независимым или некоррели-
рованным с предыдущим значением, если они разделены интервалом
времени, превышающим время корреляции.
Таким образом, автокорреляционная функция стационарного
случайного яроцесса является четной функцией т, имеет максимум
при т = 0, равный дисперсии ст2, и, как правило, убывает до нуля
при т -> ± оо. На рис. 3.2 приведены две функции, удовлетворяю-
щие этим условиям,
й (т) = о2 е~ат’, k (т) — о2е~“ ।х 1 cosco0r.
4. Однако не всякая функция, удовлетворяющая указанным
ipcN условиям, может быть корреляционной функцией. Можно
показать [cut. формулу (3.10.7)], что корреляционная функция
77
стационарного процесса должна удовлетворять дополнительному
условию
(3.6.10)
J k (х) cos (от dx
о
Отметим, что функции взаимной корреляции не обладают ука-
занными свойствами. Свойства автокорреляционной функции
(3.6.7) и (3.6.8) могут быть обобщены на нестационарные процессы.
Для нестационарных процессов они принимают вид
§ 7. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Формулы (3.6.2) и (3.6.6) показывают, что корреляционные
функции характеризуют не только степень связи между случайны-
ми функциями, но и зависят от их дисперсий. Действительно, если,
например, одна из функций £(/) или т](7) весьма мало отклоняется от
своего математического ожидания (почти постоянна), та. корреля-
ционная функция будет мала, независимо от степени связи между
функциями.
Для количественной характеристики степени линейной зави-
симости случайных функций целесообразно ввести нормированные
автокорреляционные и взаимно корреляционные функции. Они оп-
ределяются соответственно формулами

Нормированные корреляционные функции 7?^ и 7? называются
коэффициентами взаимной корреляции и автокорреляции.
Из формулы (3.6.6) следует, что если случайные функции свя-
заны детерминированной линейной зависимостью, то коэффициент
корреляции между ними в любой момент времени равен ± 1;
если же случайные функции независимы, то коэффициент корреля-
ции равен нулю. Поэтому можно сказать, что коэффициент
корреляции характеризует линейную (а не всякую) зависимость
между значениями одной или двух случайных функций в выбран-
ные моменты времени.
Стационарные случайные функции £(/) и т](7), для которых коэф-
фициент корреляции между В(7) и ц(/ + т) равен нулю при любом
значении т, называются некоррелированными.
Выше мы убедились, что. независимые случайные функции всегда
являются некоррелированными. Однако обратное утверждение не-
верно, так как условие независимости является более жестким, чем
условие некоррелированности.;В самом деле, равенство нулю корре-
78
ляционной функции еще ничего не говорит о поведении многомерных
моментов впсших порядков вида <В‘1(^1)1'Г’(^2)), характеризующих
нелинейные зависимости между g(^) и т)(4)* Зависимость между слу-
чайными функциями может выражаться через моментные функции.
Из перечисленных ранее свойств автокорреляционной функции
стационарных процессов (3.6.7)—(3.6.10) вытекают следующие свой-
ства коэффициента автокорреляции:
7?(т) = R(-т), |7?(т)| <R(0) = 1,
lira 7? (т) = О, R (т) cos to т d т 0.
(3.7.2)
оо
В дальнейшем будет применяться термин «время корреляции».
В большинстве радиотехнических задач встречаются коэффициенты
автокорреляции в виде монотонно убывающих функций Д(т) =
= р(т) и в виде быстро осциллирующих затухающих функций.
Примером коэффициента корреляции
второго вида, может служить функция fi (?)
R (т) = р (т)cos ®от.
р'(т) = е-“ 1 т I, а < (£>0.	,
В обоих случаях под временем
корреляции понимается величина тк,
определяемая соотношением
к 2 j I Р W I j I Р С1) I	Рис. 3.3. Определение време-
ни корреляции Тк.
(3.7.3)
Геометрически время корреляции равно основанию прямоуголь-
ника с высотой р(0) = 1, имеющему ту же площадь, что и площадь,
заключенная между кривой |р(т)| при т>0 и осью абсцисс (рис.
3.3). Величина тк дает ориентировочное представление о том, на ка-
ком интервале времени в среднем имеет место коррелированность
между значениями случайного процесса.
§ 8. ЭРГОДИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
До сих лор характеристики случайного процесса (плотности ве-
роятности, моментные функции и др.) были определены через соот-
п< тствующие статистические средние значения, т. е. средние зна-
ктшя большого числа реализаций в ансамбле идентичных систем.
< ’называется, что для большинства случайных процессов, являю-
щихся стационарными в узком смысле, указанные характеристики
mi окно получить путем усреднения соответствующих величин для
с.’пюй реализации за достаточно большой промежуток времени,
79
Такая возможность физически может быть оправдана тем, что
стационарный случайный процесс протекает однородно во времени. j
Поэтому одна реализация достаточно большой продолжительности 3
может содержать все сведения о свойствах случайного процесса. ’
Про такие стационарные случайные процессы говорят, что они обла- |
дают эргодическим свойством. Соотношение между различными ви- |
дами случайных процессов иллюстрируется рис. 3.4.	I
Не касаясь здесь строгих математических обоснований эргодич- |
ности процесса, укажем, что
необходимое и достаточное условие
эргодичности стационарного
процесса £(/) состоит в том,
х. чтобы его корреляционная
\ \ функция удовлетворяла пре-
J ) дельному соотношению (3.6.9)
X	Нт£(т) = 0.	(3.8.1)
(эргодические
Рис. 3.4. Иллюстрация соотношения
между различными видами случайных
процессов.
Укажем теперь те частные	.<
результаты, которые следуют . '
из эргодического свойства	’
стационарных процессов [4,	s
5]. Пусть Z(/) есть некоторая	|
функция стационарного эргодического случайного процесса £(т).	j
Будем считать, что случайный процесс Z(/) является также ста- 1
ционарным и удовлетворяет условию эргодичности. Тогда с вероят- 1
ностью, равной единице, среднее статистическое значение (Z(f))	]
равно среднему по времени:	I
(Z (()) = lim \Z(t)dt.	(3.8.2) .
7->оо 7 J	 1
О	1
Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим случайную величину I
Zr, представляющую среднее значение одной реализации за конеч- :
ный интервал времени Т:	|
о
Статистически усредняя обе части этого равенства и учитывая,
что операции интегрирования и статистического усреднения пере-
местимы, получим
(Zr) = у-J <Z (())	= (Z (()> — J — <Z (()).	(3.8.4) .
о	о	‘
Здесь среднее значение (Z(/)) вынесено из-под знака интеграла, |
так как случайный процесс Z((), по предположению, является ста- j
80
пленарным, и поэтому его статистическое среднее значение не за-
висит от времени.
Покажем, что дисперсия а2(Г) случайной величины Z? стремится
к нулю с рсстом Т. Для этого вычтем из обеих частей равенства
(3.8.3) средние значения (3.8.4):
2т - (Zr> = Д {Z (0 - <Z(0>) dt.
О
Возводя обе части этого равенства в квадрат и статистиче-
ски усредняя, имеем
т т
е\(Т)= И	dt2,	(3.8.5)
о о
где kz(t2—4) = ffz^(^2—У — корреляционная функция стаци-
онарного процесса Z(Z),
Яг (^2 — ^i) — коэффициент корреляции.
Сделаем замену переменных (рис. 3.5)
0	2
Учитыва» четность корреляционной
функции Аг(т) — Лг(—т) и выполняв ин-
тегрирование по /0, получим
О
0
Формула
вычисления
<т(Т) времен! ого среднего значения 1Т, не-
обходимо знать корреляционную функ-
цию /г2(т). Однако в двух частных слу-
чаях (для малых и больших временных
получить приближенные оценки а(Г). При
(3.8.6) показывает, что для
среднеквадратичной ошибки
Рис. 3.5. Область интегри-
рования.
интервалов Т) можно
Т<тк, где тк —опре-
деленное формулой (3.7.3) время корреляции случайного процесса
/(/), можно приближенно положить Rz (т) як 1 и из (3.8.6)
получим
02(Г)«5Сг.
I 245
81
(3.8.7)
Когда Т велико (Т > тк), формула (3.8.6) несколько упрощается
2 2 00	2 2
о2(Т)<^ f|^(T)|dr = -^ .	(3.8.8)
о
Отсюда видно, что если стационарный процесс Z(t) удовлетворяет
условию (3.8.1), т. е. имеет конечную дисперсию и конечное время
корреляции тк, то lim о2 (Т) = 0. Это означает, что с ростом Т слу-
T-+QO
чайная величина Z? стремится к неслучайной величине, равной ста-
тистическому среднему значению (Z(/)): 
т
(Z (t); = lim 1 [Z(t)dt.	(3.8.9)
Г-оо 1 J
0
При этом из равенства (3.8.8) получаем оценку быстроты сходи-
мости
т	I
1 f Z (Г) dt - (Z (t)} <0/2 ^У/2 .	(3.8.10)
1 I	& \ л ]
о
Из сопоставления формул (3.8.10) и (2.5.9) следует, что среднее
по времени (3.8.3) имеет такую же быстроту сходимости, как и сред-
нее арифметическое
(3.8.11)
одинаковых взаимно независимых случайных величин Z(iA), число
которых равно N — 772тк. Поэтому для облегчения фактического
вычисления среднего значения <Z(/)> целесообразно вместо интегра-
ла (3.8.3) пользоваться суммой (3.8.11), взяв интервал разбиения по
времени А^>2тк.
Путем временного усреднения можно определить различные ста-
тистические характеристики стационарного эргодического случай-
ного процесса.
§ 9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ
И КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Для стационарного случайного процесса, обладающего эргоди-
ческим свойством, можно указать простые методы эксперименталь-
ного определения основных статистических характеристик. При этом
используется тот важный результат, что эти характеристики могут
быть определены посредством временного усреднения одной доста-
точно длинной реализации.
82
Предположим, что время наблюдения Т за стационарным эрго-
дическим процессом £(г") значительно превышает время корреляции
тк(Т>тк). Полагая в формуле (3.8.3) Z(/) = £(/) и	—
—лгН£(/ + т) — пг], где т — фиксировано, можем написать сле-
дующие формулы для среднего значения, дисперсии и функции кор-
реляции:
m = tnT = y J £ (t)dt,
о
т
а2 = ат = у Г [5 (0 — m]2dt,
о
т
k(y) = Лг(т) = 1 j [g (/) — m] [g (t 4- т) —m] dt.
0
(3.9.1)
(3.9.2)
V
(3.9.3)
Если £|7) представляет флуктуационное напряжение (ток)
в каком-лийо радиотехническом устройстве, находящемся в стацио-
нарном состоянии, то согласно формуле (3.9.1) среднее значение пг
равно постоянной составляющей напряжения (тока), которая эк-
спериментально легко может быть определена при помощи соответ-
ствующих приборов магнитоэлектрической системы. Дисперсия
о2 равна квадрату эффективного значения переменной составляющей
напряжениа (тока) и может быть определена при помощи термоэлек-
трических или тепловых приборов [6].
Функцию корреляции, определенную формулой (3.9.3), в лите-
ратуре часго называют кратковременной функцией автокорреля-
ции. Для экспериментального определения этой функции приме-
няются специальные счетно-решающие устройства, называемые кор-
релометрами или корреляторами [7, 8, 9]. Основными элементами
коррелометра являются линия задержки, перемножитель, инте-
гратор и регистрирующий прибор. В зависимости от того, вы-
полняется ай умножение цифровым методом или путем моделирова-
ния, различают коррелометры дискретного и непрерывного дейст-
вия.
Простейшая функциональная схема коррелометра непрерывного
действия изображена на рис. 3.6. Определение корреляционной
функции выполняется по формуле
k (т) ~ т=^. f(0 — «] I — Т) — /и ]dt. (3.9.4)
т
Часто интегрирование осуществляется при помощи цепочки RC,
л не идеальным интегратором. Ввиду этого и из-за конечного вре-
83
мени интегрирования возникают методические ошибки в определе-
нии функции корреляции, которые можно вычислить, зная анали-
тическое выражение четырехмерного момента (S(4)B(4)5(4)5(^)>-
В коррелометрах дискретного действия определение корреля-
ционной функции производится по формуле
1
k (iA) = У (цА) — т] (нА — iA) —т],
.	(3.9.5)
Для надежного определения корреляционной функции число то-
чек должно быть достаточно велико. Выбор длины элементарного
интервала А в значитель-
Г^ремножитеяъ Интегратор
Линия
задержки
Рис. 3.$. Функциональная схема
ной степени определяется
характером изменения слу-
чайной функции. Если
случайная функция изме-
няется сравнительно плав-
но, то А можно выбирать
большей, чем когда она
совершает резкие и частые
колебания.
метра.
производят последовательно,
должают до таких значений
коррело- Вычисления корреля-
ционной функции по фор-
мулам (3.9.4) и (3.9.5)
начиная с малых значений т, и про-
т, при которых она становится прак-
равнои нулю или начинает совершать очень малые коле-
тически
бания около нуля. Общий
ход функции &(т) воспроизво-
дят по отдельным точкам
(рис. 3.7).
При подборе аналитиче-
ской кривой для функции
корреляции необходимо руко-
водствоваться не только не-
обходимой точностью аппрок-
симации, но и иметь в виду,
что корреляционная функция
стационарного процесса
должна удовлетворять усло-
виям (3.6.7) и (3.6.8).
К (Г]
Рис. 3.7. Аппроксимация корреляцион-
ной функции.
В радиотехнических приложениях часто приходится иметь дело
с высокочастотными флуктуационными токами и напряжениями.
При разработке коррелометров для подобных процессов возникают
практические затруднения, связанные с получением большого числа
фиксированных задержек т при небольших разностях Ат между
ними. В таких случаях чаще измеряют при помощи спектроанализа-
торов энергетический спектр случайного процесса, по которому
можно однозначно определить аналитически корреляционную
функцию.
§ 10. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
Введем важное понятие спектральной плотности (интенсивности)
S(®) стационарного случайного процесса Щ), определив ее как
преобразование Фурье от автокорреляционной функции:
°о
5 (со) — f k(x')e~^"Tdx.\	(3.10.1)
I	У
.	-- ~	i~ m Tino. ПТ|ГИШ>1111 11 *' ' .... HJ.
На основании обратного преобразования Фурье можем написать
ОО
k (т) — J 5 (со) е-'“т с/со.
—ОО
(3.10.2)
Положив здесь т=0, получим выражение для дисперсии
о
5 (со) da.
(3.10.3)
Из (3.6.10) следует, что спектральная плотность 5 (со) при всех
частотах неотрицательна. Если понимать под £(/) флуктуационный
ток (напряжение), то величину о2 можно рассматривать как среднюю
мощность, выделяемую этим током (напряжением) на сопротивле-
нии 1 ом. Часть этой мощности S(a)da/2л выделяется составляю-
щими спекгра, заключенными между со и со + da. Поэтому функция
S((o) характеризует распределение мощности по спектру. Функцию
.S((o) иногла называют спектром мощности или энергетическим
спектром, так как она имеет размерность энергии.
Формулы (3.10.1) и (3.10.2) были одновременно получены совет-
ским ученым А. Я. Хинчиным и американским ученым Н. Винером,
и поэтому называются формулами Винера — Хинчина.
Корреляционная функция k(x) и спектральная плотность S(co)
стационарного случайного процесса обладают всеми свойствами,
характерными для пары преобразований Фурье. В частности,
чем «шире» спектр S(co), тем «уже» корреляционная функция
А(т), и наоборот.	(
Введем энергетическую ширину спектра Д/э, определив ее фор-
м ул ой
сю	оо
а	о
(3.10.4)
8?
где So = S(f0) — значение спектральной плотности при некоторой
характерной частоте (рис. 3.8). Обычно берут So равной максимуму
спектральной плотности. Тогда произведение времени корреляции
тк на ширину спектра ДД есть приближенно постоянная величина.
На рис. 3.8 через Д/
обозначена ширина
спектральной плотности
S(f) на уровне 0,5So.
Иногда вместо
спектральной плотности
S(cd) рассматривают нор-
мализованную спект-
0	fof ральную плотность
Рис. 3.8. Энергетическая ширина спектра Af3 и S (to) = СТ 2 S (to).
ширина спектра Af на уровне °,5S0.	/о 1
Разделив правые и левые части формул (3.10.1) и (3.10.2) на
а2, убеждаемся, что нормализованный спектр и коэффициент корре-
ляции связаны аналогичными соотношениями
со	оо
s (со) = J R(r) e~imdx, T?(r) = 2^f s (со) е/ыт d<o. (3.10.6)
—OO	—00
Используя свойство четности автокорреляционной функции
(3.6.7), формулы Винера — Хинчина (3.10.1) и (3.10.2) можно
записать иначе:
оо
S (со) = 2 k(r) cos сот dr,
fj
о
оо
k (т) — 2 ( S (со) cos ют
о
(3.10.7)
(3.10.8)
Заметим, что в формулах (3.10.1), (3.10.2), (3.10.7) и (3.10.8)
спектральная плотность S(co) определена для положительных и
отрицательных значений круговой частоты со, причемS(co) — S(— со).
В отличие от такого двустороннего «математического» спектра,
введем одностороннюю «физическую» спектральную плотность S(f),
отличную от нуля лишь при положительных частотах />0:
$(Л= [S(co) + S(-co)] = 2S(co).
(3.10.9)
Тогда из (ЗЛО.7) и (3.10.8) получим следующие окончательные фор-
мулы Винера — Хинчина:
ОО
5 (/=) = 4 J k (г) cos 2л fx dx
. о
ОО
k (т) “ J S (/) cos 2л fx df.
о
(3.10.10)
(3.10.11)
При выполнении конкретных вычислений следует пользоваться
именно этими формулами.
В отличие от спектрального анализа детерминированных
сигналов спектральная плотность случайного процесса не дает
возможности восстановить какую-либо реализацию процесса,
так как она не содержит сведений о фазах отдельных спектральных
составляющих. Можно найти множество различных случайных функ-
ций (например, путем трансформации фазового спектра), имеющих
одинаковую спектральную плотность и функцию корреляции.
Укажем, что спектральную плотность можно определить следую-
щим образом. Рассмотрим ансамбль реализаций стационарной функ-
ции с нулевым средним значением, причем каждая реализация имеет
достаточно большую длительность Т.
Введем формально спектральную функцию
F(co) = fg(/)e-/wdt	(3.10.12)
о
Обозначим через F*(co) функцию, комплексно-сопряженную F(и).
Тогда можем написать
F (©)! 2= F (io) F* (со) = J	(3.10.13)
о о
Статистически усредним левую и правую части этого равен-
ства:
< I F (to) |2) = f J k (t — t') Q-f " dt dt\.
о о
Вместо / введем новую переменную г == t — t’. Выполнив интег-
рирование по получим
(| F (со)]2) = Т j" k (т) е~!‘ат dr.
87
Поделив обе части этого выражения на Т оо и учитывая
определение спектральной плотности (3.10.1), приходим к фор-
муле
(3.10.14)
Эту формулу можно рассматривать как определение спектраль-
ной плотности стационарной функции. Она будет применена для
вычисления спектральной плотности случайной последовательно-
сти прямоугольных импульсов (§ 4 гл. 4).
§ 11. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ПЛОТНОСТИ
Спектральная плотность выше была определена формально через
корреляционную функцию при помощи формулы (3.10.1). Выясним
метод экспериментального определения спектральной плотности,
что позволит уточнить ее физический смысл.
Интеграл Фурье, строго говоря, применим к абсолютно интег-
рируемым функциям и к функциям с интегрируемым квадратом.
Имея ввиду лишь второе условие, можно утверждать, что интег-
рал Фурье сходится в среднем к функции х(/), если для нее яв-
ляется сходящимся интеграл
ОО
J | х (f) | 2dt <С оо.
—ОО
Для стационарной случайной функции £(/) аналогичный интег-
рал расходится даже в том случае, когда среднее значение функции
£(/) равно нулю. Поэтому непосредственная запись случайной функ-
ции в виде интеграла Фурье
ОО
U0 = J f (®)
—оо
где
ОО
/(“) = j
—00
(3.11.1)
(3.11.2)
носит несколько формальный характер. Спектральная функция
/(и) является случайной функцией частоты. Если даже рассматри-
вать различные реализации случайной функции £(/) конечной дли-
тельности Т, то для них функция /(со) будет изменяться случайно
от одной реализации к другой, в общем случае не стремясь к ка-
кому-либо конечному пределу приТ->оо [4, 10, 11].
88
Однако в реальных условиях с точным спектром функции не
приходится иметь дело, так как экспериментально нельзя получить
точной гармоники, а можно выделить лишь сумму гармонических
составляющих, лежащих в конечной, хотя и малой полосе частот.
В соответствии с этим рассмотрим функцию
ОО
F (®о, to) = J G (to — т) £ (т) dr,
—оо
(3.11.3)
представляющую собой установившийся случайный процесс на
выходе лияейного фильтра с импульсной характеристикой G(t),
когда на фильтр воздействует стационарный случайный процесс
В дальнейшем предполагается, что фильтр является узкопо-
лосным с центральной частотой соо.
Используя известное соотношение между импульсной характе-
ристикой » передаточной функцией (6.1.2), можем написать
G(ta — т) = ~ Kfja)^ da. (3.11.4)
—оо
Подставляя (3.11.4) в (3.11.3), меняя порядок интегрирования и
учитывая (3.11.2), имеем
F (а0, /0) =	С f (и) К (ja)	da.
—оо
Умножив эго выражение на аналогичное, но комплексно-сопряжен-
ное, можеы написать
F (“о, to) F* (а0, t0) = | F (ю0, t0) |2
^f(a')f\(a)K(ja)K*(ja')
—“^da da'.
Статистически усредним левую и правую части. Операции интегри-
рования и усреднения переместимы, так как среднее значение суммы
случайных величин (интеграла) равно сумме средних значений сла-
। аемых. Поэтому
F (®о, t0)
(1Ш du'.
Для статистического среднего под знаком интеграла согласно
(3.11.2) можем написать
(/>) №')> = j J (В (О В (t')> е/“' dt dt' -
= k(t~t')Qia,i'-i^ dtdf.
Hi Зак. 245
I
89
т = t-f, Z0 = (Z + f)/2; f
Сделаем замейу перёмеййых
Воспользовавшись формулой (П.9) и выполнив интегрирование
по t0> получим
(f (со) f* (со')) = 2л S (со — со) J k (-г)	(0,+ш') '!2 dx =
—00
= 2лй (со'
(3.11.6)
Здесь последнее равенство написано на основании (3.10.1).
Подставив (3.11.6) в (3.11.5) и выполнив интегрирование с дель-
та-функцией согласно (П. 4), получим
ОО
JS(<в)И(»[Мю. (3.11.7)
—00
Обозначим максимальное значение модуля передаточной функ-
ции фильтра при центральной частоте со = соо через Ко =
= | К(/соо) |, а его энергетическую полосу пропускания —через
А/-э:
ОО
(3.11.8)
Предположим, что модуль передаточной функции настолько узко
сконцентрирован около частоты ш0, что в пределах полосы частот
А/э спектральную плотность можно считать практически постоян-
ной:
S (си) ~ S (<и0).
(3.11.9)
Тогда в (3.11.7) ее можно вынести за знак интеграла:
ОО
(I F (©о, t0) 12) = S (со0) J | К (/со) |2 d&.
—ОО
Реальные линейные фильтры имеют действительную импульсную
характеристику G(t). Поэтому передаточная функция K(i®) от-
лична от нуля не только при и > 0, но и в симметричной области
при со < 0. С учетом этого можем написать
ОО
(3.11.10)
90
Отсюда для односторонней спектральной плотности (3.10.9) полу*
чим следующую окончательную формулу:
5 (/о)
—г lim
Ко Д/9-о
(3.11.11)
Для большинства стационарных случайных процессов стати-
стическое усреднение можно заменить усреднением за
большой интервал времени:
достаточно
т
о
Поэтому
т
(3.11.12)
пли приближенно
т
(3.11.13)
В соответствии с формулой (3.11.13) для экспериментального
определения спектральной плотности стационарного эргодического
случайного процесса нужно его пропустить через достаточно узко-
полосный фильтр, выходной сигнал возвести в квадрат и затем
Рис. 3.9. Блок-схема прибора для экспериментального определения
спектральной плотности.
усреднить за большой интервал времени (рис. 3.9). При некоторых
условиях последние две операции выполняются приближенно
п термоприборах или же раздельно при помощи двухстороннего
квадратичного элемента и усредняющего фильтра [6, 12]. Пере-
- граивая фильтр по частоте, можно определить спектральную плот-
ность процесса в любой части спектра.
Допустимая величина Д/э определяется характером спектраль-
ной плотности .$(/). Чем быстрее изменяется спектральная плотность
г частоты, тем меньше необходимо брать Д/э. Однако следует
иметь в виду, что при уменьшении Л/э увеличивается не толь-
1ч длительность переходного процесса, но и время корреляции
процесса на выходе фильтра. Поэтому с уменьшением А/э нужно
пеличивать время интегрирования Т
и;*
91
§ 12. ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
Пусть имеется два стационарно связанных случайных процесса
£(/) и Г|(/) с функциями взаимной корреляции и бтДт), ко-
торые были определены формулами (3.6.2). По аналогии со спек-
тральной плотностью (3.10.1) можно рассматривать взаимные спек-
тральные плотности
оо	оо
S^(co) = J ^(т)е-/шх(/т, ST;;(co) = J АтДт)е-/‘"хЛт. (3.12.1)
—ОО	—оо
На основании обратного преобразования
Фурье можем написать
оо	оо
W0 = 2^	J S^((i))efMXda,	j* STfi (co)	e'“xdco.	(3.12.2)
—oo	—oo
Поскольку функции взаимной корреляции не обязательно яв-
ляются четными, то взаимные спектральные плотности не обяза-
тельно будут действительными функциями. Однако если случай-
ные функции %(f) и т](£) действительные, а не комплексные, то
взаимные корреляционные функции будут также действительными.
Воспользовавшись далее формулой (3.6.3), легко убедиться в спра-
ведливости следующих соотношений:
(<о) = S4- и), (со) = (со).	(3.12.3)
ft
Рассмотрим два частных примера [13].
1. Спектральная плотность суммы двух стационарных и ста-
ционарно связанных случайных процессов. Найдем спектральную
плотность Sc (со) суммы двух стационарных и стационарно свя-
занных процессов £(/) и т] (/), имеющих известные авто- и вза-
имно корреляционные функции £Дт), ^(т), ^(т), ^(т):
=	+ Ш	(3.12.4)
Корреляционная функция ^(т) суммарного процесса, очевид-
но, равна
^;(т) = ^(т)-Ь^(т) + ^(т)4-^(т).	(3.12.5)
По определению (3.10.1) находим спектральную плотность
S;(co) = S5(®) + S4(<b) + S=,(®) + S^(®),	(3.12.6)
где (co) и S^(co)— взаимные спектральные плотности (3.12.1).
Для действительных случайных функций £ (/) и ц (Z) справед-
лива формула (3.12.3) и поэтому соотношение (3.12.6) можно за-
писать иначе:
Sc (со) = S\ (со) 5ц (со) 4- (со)	S^ (— со)].	(3.12.7)
92
Если два стационарных и стационарно связанных случайных
процесса некоррелированы между собой (£^(т) = ^^(т)=0), то их
взаимные спектральные плотности равны нулю и спектральная
плотность их суммы равна сумме спектральных плотностей этих
процессов.
Отметим, что суммарный процесс Z(f) может быть стационар-
ным в широком смысле, если даже процессы £(/) и т](^) сами по себе
не являются стационарными. Например, пусть случайные процессы
Лс(/) и независимы, стационарны, имеют нулевые средние зна-
чения и одинаковые автокорреляционные функции. Тогда %(t) =
= Лс(/)со5<о^ и т|(7) = As(t) sine)/ не являются процессами ста-
ционарными в широком смысле. Тем не менее суммарный процесс
£(/) = £(/) 4- т](/) будет стационарен (см. § 1 гл. 7).
2. Спектральная плотность произведения двух стационарных
некоррелированных процессов. Пусть случайный процесс £(£,т0)
равен произведению двух стационарных некоррелированных про-
цессов и П(^ + Ч)-
ЦЛт0) = £(ОП(/ 4-т0),	(3.12.8)
где т0 — фиксировано.
Зная корреляционную функцию
Мт) =	4- т) <(/ + ь) Т](/ + т + т0)) = ^(т)^(т), (3.12.9)
по формуле (3.10.1) находим спектральную плотность
ОО
Sc (оо) = J (т)	(т) е~ dx.
—00
(3.12.10)
Подставив сюда
ОО
kr со = 2^ J (“') е/“'т d(i>'
—00
и изменив порядок интегрирования, получим
оо
5?(и) = 2^ f ЗЦи — a’) Sri (a') da’.	(3.12.11)
—00
г
Интеграл в правой части (3.12.11) называется сверткой двух спек-
।рольных плотностей.
Таким образом, спектральная плотность произведения двух ста-
ционарных некоррелированных случайных процессов равна свертке
 нейтральных плотностей перемножаемых процессов.
93
§ 13. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
ПРОЦЕССА
Найдем сначала корреляционную функцию случайного сигнала
S (?) = COS (d)ot + ф),
(3.13.1)
у которого амплитуда Лои частота оо известны, а начальная фаза ср
является случайной величиной, равномерно распределенной на
№(ф)
интервале 2л, т. е. имеет плот-
ность вероятности
1/2 л при —л < < л,
О при других ф.
(3.13.2)
Рис. 3.10. Три реализации случай- Несколько реализаций случай-
ного сигнала Л0соз((Оо<+ф). ного сигнала s(t) приведены на
рис. 3.10.
Так как в данном случае среднее значение равно нулю
= (s (0> = Ао Г cos (“о + фМф = о,
—
то для функции корреляции можем написать
ks (т) = (s (t) s (t + т)) = Ao (cos (<в0 t 4- ф) cos (coo t + co0 т 4- ф)) =
ТС
= A о cos co0 т + Aq J- f cos (2io01 4- o0 т 4- 2ф) сйр = Aq cos co0 t.
(3.13.3)
В данном случае корреляционная функция оказывается периоди-
ческой и имеет такой же период, как и исходный сигнал
(см. рис. 3.11). В отличие от обычного флуктуационного шума в дан-
ном случае корреляционная функция при т -> оо не стремится к
нулю. Этот факт можно использовать для обнаружения и выделе-
ния достаточно длинного, но слабого сигнала s(t) на фоне более
интенсивного шума [14].
Действительно, пусть имеется сумма сигнала s(f) и стационар-
ного шума n(f):
Т] (0 = s (t) + п (t).	(3.13.4)
Если сигнал и шум статистически независимы, то корреляцион-
ная функция суммарного колебания т](/) равна сумме автокорреля-
ционных функций слагаемых (рис. 3.11):
kr (т) = ks (т) 4- kn (т).	(3.13.5)
94
Для большинства стационарных шумов, встречающихся на
практике, автокорреляционная функция #п(т) удовлетворяет усло-
вию (3.6,9): она приближенно равна нулю при т больше некоторого
значения т0. Поэтому k^x) = #s(t) при т > т0.
Следовательно, ответ на вопрос о наличии или отсутствии в ко-
лебании i](/) гармонического сигнала $(/) часто можно получить из
анализа корреляционной функции ^(т). Если при достаточно
больших т она является периодической функцией, то в т](0 присут-
ствует сигнал s(Z), и наоборот.
Рис. 3.11. Автокорреляционная функция суммы гар-
монического сигнала и шума.
Спектральная плотность случайного сигнала s(f) по формуле
(3.10.1) равна
со	оо
8 (со) = Ao f cos и0 те-/ш’ dr = ± A2 j [е/о»' + e~/jj' dr =
—со	—ОО
“ У До [б ----Шс) + 8 (со 4- (Оо)],
где последнее равенство написано согласно формуле (П.9). Вспом-
нив определение одностороннего спектра (3.10.9) и учтя (П.11),
окончательно получим
8(f) ='A208(f~f0).	(3.13.6)
Такой результат вполне логичен. Спектральная плотность сиг-
нала (3.13.1) представляется в виде дискретной линии, расположен-
ной на оси частот в точке f = fo, высота этой линии равна квадрату
дефективного значения.
Предположим теперь, что имеется случайный сигнал
п
s(t) = 2	4-ф/г),	(3.13.7)
k=\
и котором случайны лишь фазы <р*, причем <р* и <рт при k =/= т не-
1.ПШСИМЫИ равномерно распределены на интервале 2л.
95
Повторив приведенные выше вычисления, найдем, что функция
корреляции и спектральная плотность сигнала (3.13.7) равны со-
ответственно
ks (т)
Л
Al cos о)А г, S (f) = у У Al 6 (f - /Д (3.13.8)
k= 1
Найдем функцию корреляции сигнала, модулированного по
амплитуде случайным напряжением:
s(0 =4,UOcos(oV + q),	(3.13.9
где £(/) — стационарный случайный процесс с нулевым средним
значением и функцией корреляции £ч(т);
Ф — случайная начальная фаза с плотностью вероятности
(3.13.2), не зависящая от %(t).
Так как среднее значение сигнала равно нулю, то для функции
корреляции по формуле (3.12.9) можем написать
ks (т) = Ло (£ (0	+ т))е (cos (©о t + ф) COS (ш01 + ©О Т + ф))9 =
— 4 Л о &UT) coSG)e г.	(3.13.10)
Здесь индексом указана величина, по которой должно выполняться
статистическое усреднение.
Функции корреляции и спектральные плотности других, более
сложных сигналов, модулированных случайными процессами, рас-
смотрены в работах [15—20].
Отметим, что если в (3.13.9) начальную фазу ф считать точно
известной, то сигнал s(^) будет периодически нестационарным. В от-
личие от стационарного процесса, статистические характеристики
которого не меняются при любом сдвиге начала отсчета времени,
характеристики периодически нестационарного процесса не изме-
няются лишь при сдвиге на величину /о, кратную периоду То =
=. 2л /(Оо, т. е. при to = тТо, где m — целое число. Поэтому в об-
щем случае плотности вероятности, моментные и корреляционные
функции периодически нестационарного процесса зависят не только
от разности времен, но и от абсолютного времени, причем последняя
зависимость является периодической.
В тех случаях, когда начальная фаза сигнала несущественна
(некогерентные системы), при вычислении статистических харак-
теристик периодически нестационарных процессов допустимо при-
менять временное усреднение по периоду [21, 22].
96
§ 14. ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Можно привести много конкретных выражений для корреляцион-
ных функций и спектральных плотностей. Если, например, ста-
ционарный шум, имеющий постоянную спектральную плотность
N»/2 (белый шум, см. § 16), воздействует на линейную систему с пе-
редаточной функцией /С(/а»), то спектральная плотность шума на
выходе системы, как будет показано в § 1 гл. 6, есть |/((/со) |2.
Из преобразования Фурье (3.10.2) можно найти корреляционную
функцию. Таким образом, для каждой конкретной системы будет
получена своя корреляционная функция выходного шума.
Однако в дальнейшем наиболее часто будут встречаться не-
сколько типовых функций корреляции. Выражения для нормиро-
ванных функций корреляции и соответствующие им спектраль-
ные плотности приведены в табл. 3.14.1. Указанные функции
корреляции получены путем пропускания белого шума через
формирующие линейные фильтры.
В таблвце указаны также значения второй производной от ко-
эффициента корреляции в нулевой точке и отношения энергетичес-
кой ширииы полосы Д/э к ширине полосы А/ на уровне 0,5 от
максимума спектральной плотности.
§ 1S. НОРМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Случайный процесс с(/) называется нормальным (гауссовым),
если при любом п и любых ti, /г....tn из области изменения аргу-
мента t плотности вероятности для совокупности случайных вели-
чин = l(Q, р. = 1, 2, ..., п, являются нормальными (гауссо-
выми), т. е. определяются формулами
(3.15.1)
Здесь Mj. — (£ (^,)) — математическое ожидание случайной вели-
чины £(/и);
о* = ((£и — /п^)2) — дисперсия случайной величины £ (/р);
D — определитель n-го порядка, составленный
из коэффициентов корреляции =
= /?(^, С) = ((^ — tn.,) (gv — mv)} / о у. ст д
97
Корреляционные функции и
№№
1.
6.
Процесс или фор-
мирующий фильтр
Белый шум
Низкочастотный
/?С-фильтр
Два низкочас-
тотных /?С-фильт-
ра
Три низкочас-
тотных RC-
фильтра
Гауссов низко-
частотный фильтр
Идеальный низ-
кочастотный
фильтр
Аналитическое выражение
e-“lM
(1 4-а I т I) е а1т|
sin А (пт
А гот
S (аг (из
Г рафик
98
спектральные плотности
S ( и>) =
Т а б л и ц а 3.14.1
оо
J k	d~.
— оо
Аналитическое выражение
Г рафик
99
©I
8.
9.
10.
12.
13.
оо
оо
Продолжение
k (т)
dt
— оо
е “ № d~
Процесс или фор-
мирующий фильтр
Идеальный вы-
сокочастотный
фильтр
Высокочастот-
ный 7?£-фильтр
Синусоида со
случайной фазой
Колебательный
контур
Колебательный
контур
Гауссов радио-
фильтр
Идеальный
радиофильтр
Аналитическое выражение
График

G2
Аналитическое выражение
Г рафик
ДГэ
дГ
0 при | в) | < Дю
при I <« I > Д<«
1 4- (М2 ’
а
UJQ
-UJQ
<0 ----- CD
2
sin
2~ Лд cos w0 т
О 14“
2 2
О *0
_ — ат2 „ _
е cos <о0 т
к	Sin Дшт
Д<о & (т) Дсог
2
(о о
Ь (т) — — е
а
sin ш0 |т]
ю0
1,571
1,065
при I w i <"o i •«
При | Ci) ± to0 I
О U)q tO
(jJq uJ


COS Wq t

1,571

101
100


(3.15.2)
— алгебраическое дополнение элемента определителя D.
Характеристическая функция, соответствующая плотности веро-
ятности (3.15.1), имеет вид
® Л (^1) •••) ^п> Д ' Дл) ----------	Щ|Х И|Х
I Н = 1
(3.15.3) .
где
К (Д, Q = <11 (Q - II (Q - m,]> =
= Оу о\ У? (Д. £,) — функция корреляции.
(3.15.4)
Видно, что в выражения для плотностей вероятностей (харак-
теристических функций) нормального случайного процесса входят
только математические ожидания и корреляционные функции.
Следовательно, если из физических соображений известно, что слу-
чайный процесс является нормальным, то он исчерпывающим обра-
зом определяется указанием закона изменения во времени матема-
тического ожидания и корреляционной функции. Поэтому корре-
ляционная теория дает полное описание нормальных процессов.
Для нормальных процессов все высшие кумулянты и корреля-
ционные функции, начиная соответственно с х3 и 7<з, равны нулю.
Поэтому нормальные процессы могут отличаться друг от друга зна-
чением математического ожидания и видом корреляционной функ-
ции (спектральной плотности).
Если значения случайного процесса £(Z) в точках ilt t2, ..., tn
некоррелированы, то =0 при p.=£=v и /?И|Х = 1. Поэтому
D = 1, a = 1 при |i = v и D,^ — 0 при р =£= v. В данном слу-
чае формула (3.15.1) принимает вид
®п(£1......U = tWi(gi) ... tWi(g„) =
п
- ехр
л
ii= 1
а2
Р-
(3.15.5)
распределенные
Следовательно, если нормально
величины £(Q некоррелированы, то они независимы.
случайные
102
Полагая в формулах (3.1В. 1) й (3.15.3) п = 1 и п =2, получим
частные соотношения:
(Si) =
Ml «!
(3.15.6)
(3.15.7)
01 («i) = exp
(£1~	___op	(Ь —Иг)
(?2— ms)2"
(3.15.8)
02(“ь “г) = ехр|/(/П1«1 + т2°2)— j [°i Wi+S/^ffiOjUit/a+oz i4]|,
(3.15.9)
где
R R„ = R (ilt ts) =	(/2, G).
Формулы (3.15.3) и (3.15.7) позволяют прийти к важному за-
ключению. По определению, характеристическая функция случай-
ных величин |л равна
®n (^i>	, ип, t (ехр(/н1£14~ ••• 4~ jnn ^д))*
Поэтому для характеристической функции суммы
5 — Si 4- ••• 4~
(3.15.10)
можем написать
0(«, G, ->Q = <ехрМ> =<ехр/ы(gx4-... 4-У) =
— 0д (w, ..., ZZ, /1, ..., ^л).
Если случайные величины •••, %>п являются нормальными и
имеют характеристическую функцию (3.15.3), то можем написать
0 (u, ti, ..., (д)
ехр
(3.15.11)
где
п
м — 2 ^р.>
р.= 1
(3.15.12)
103
Эта формула по виду совпадает с формулой (3.15.7), только теперь т
и о2 зависят от п моментов времени. Так как формула (3.15.7) опи-
сывает нормальный случайный процесс, то и случайный процесс £
будет также нормальным.
Таким образом, сумма конечного числа нормально распределен-
ных случайных величин (зависимых или независимых) является
также нормальной случайной величиной.
Применив формулу (3.2.6) к нормальному процессу и восполь-
зовавшись (3.15.6) и (3.15.8), находим условную плотность вероят-
ности
^ехр
®2	] _
(3.15.13)
Предположим, что выполняются соотношения
fflp. = (&(^)> = tn, t4)=k (|/ц — М), р, v = l,2..............п, (3.15.14)
т. е. математическое ожидание не зависит от выбора момента вре-
мени и является постоянным, а корреляционная функция зависит
лишь от абсолютного значения расстояния между рассматривае-
мыми моментами времени. Тогда, по определению (см. § 5), нормаль-
ный процесс будет стационарным в широком смысле. Однако он бу-
дет одновременно стационарным в узком смысле, так как плотности
вероятности (3.15.1) не меняются при любом сдвиге группы точек
ti, .... tn вдоль оси времени на произвольную постоянную величину.
При этом n-мерная плотность вероятности нормального стационар-
ного процесса зависит лишь от (п — 1) параметров Т|О =	— fv|,
так как один из рассматриваемых моментов h.....tn можно взять
за начало отсчета времени.
Для нормального стационарного процесса формулы (3.15.1) и
(3.15.3) можно записать так:
(3.15.15)
(3.15.16)
где о2 = <[£(/)— т]2)—дисперсия процесса l(t),
Приведем явные выражения для одномерных и двумерных плот-
ностей вероятностей и характеристических функций нормального
104
стационарного процесса, которые легко получаются из
(3.15.6) — (3.15.9):

(u) = exp / jmu — ± а2 и2
^2(^1, £2)
___________ _____
2па2 У1 — /?а (т)
, (3.15.19)
формул
(3.15.17)
(3.15.18)
62 (“1, «г) = exp \jm (Ui + и2) — ± а2 \и\ + 21? (т) иг ы5 + «2]).
I	“	1
(3.15.20)
Если среднее значение стационарного процесса равно нулю
(т = 0), то из (3.15.18) имеем
©1 (и) = ехр
Воспользовавшись формулой (3.4.4), находим одномерные моменты
стационарного нормального процесса
f 1 - 3-5 ... (п— 1)о"
<т>=(	0
при л четном,
при п нечетном.
(3.15.21)
Для нормального стационарного процесса £(£) с нулевым средним
значением (tn = 0) все многомерные моменты нечетного порядка
равны нулю, а четного порядка выражаются через произведение
значений корреляционной функции &(т):
/^2п—1 (^1» •••, ^2п~ 1) — (ё(^1) ••• ^(^2л —|)) — 0,
и
m2n(tb ..., t2n) = 2	Й(&(ЭД) =
Все пары I y=J
ВссПарН	i *i. k^l, ....
(3.15.22)
В частности,
(^i> ^2, 1з> ^4) ~~	(^1) В (^2) & (^з) £ (^а))1 —
(3.15.23)
105
Двумерную нормальную плотность вероятности (3.15.19) при
т —0 можно Представить в виде следующего ряда [23]:
(3.15.24)
Здесь Ф(г) Интеграл вероятности (2.8.8), а Ф(п)(х) — производ-
ная п -ГО” поряХка от интеграла вероятности (см. приложение V).
Формулой (3.1^ 24) часто пользуются при рассмотрении нелиней-
ных безынерци энных преобразований нормальных стационарных
процессов.
Разложение ^зд 5 24) позволяет сравнительно просто находить
различные двумерные моменты нормального процесса. Действи-
тельно, для дв умерных моментов можем написать
(т) =	(t) & (t + т))
СО оо
= J J В^2^2(&1,Ы^1^а =
—оо —оо
где
(3.15.25)
оо
J ^'Ф(*+1>(£Ж	(3.15.26)
—ОО
Совокупное^ коэффициентов АГ,- ь. образует матрицу, приве-
денную в табл' зд5 ].
Таблица 3.15.1
Значения коэффициентов N, k
i
6-5-3-1
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
О
о
Можно yK3j3aTb следующее правило заполнения матрицы
1.	Элемент! ы выше главной диагонали (/<^£) равны нулю.
2.	Ниже Главной диагонали и на самой диагонали
отличны от 1ГуЛЯ только элементы с индексами i и k одинаковой
четности.
106
3.	Элемент k строится так.
К заданному числу i добавляем в качестве сомножителей числа
(I — 1), (I — 2), (i — 3) и т. д. так, чтобы всего было k сомножи-
телей. Затем добавляем в качестве сомножителей все нечетные
числа от (i — k + 1) до 1, исключая само (i — k + 1). Например,
W6i2 = 6'5-3-1.
2 сомнож.
4.	Знак элемента У/, * зависит от четности k\ дтя нечетных k
это минус, для четных k — плюс.
Применяя это правило, нетрудно получить следующие фор-
мулы:
т24 (т) - об [3 + 12R2 (т)],	(т) - о8 [9 + 72/?2 (ф+ 247?4 (т)].
Можно показать [18], что трехмерная нормальная плотность ве-
роятности может быть представлена рядом, аналогичным (3.15.24).
Использовав такое представление трехмерной плотности вероят-
ности, можно указать правило вычисления трехмерных моментов.
Нормальные случайные процессы наиболее часто встречаются
на практике и поэтому занимают особое положение среди других
случайных процессов.
Большинство встречающихся на практике электрических слу-
чайных процессов, таких, например, как дробовой шум, тепловые
флуктуации, собственный шум типового радиоприемзика от детек-
тора, атмосферные и космические шумы, представляют собой резуль-
тирующий эффект (сумму) большого числа сравнительно слабых
элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты вре-
мени.
Оказывается, что плотность вероятности суммы неограниченно
приближается к нормальной с увеличением числа слагаемых, неза-
висимо от того, какие плотности вероятности имеют отдельные сла-
гаемые. При этом важно лишь то, чтобы влияние отдельных слагае-
мых на сумму было равномерно малым (приблизительно одинако-
вым).
Математические условия применимости нормального закона рас-
пределения даются центральной предельной теоремой, доказатель-
ство которой при весьма общих условиях принадлежит А. М. Ляпу-
нову.
Укажем, что при линейных преобразованиях нормальных слу-
чайных сигналов свойство нормальности сохраняется. Если на
вход линейной системы воздействует нормальный случайный про-
цесс, то на выходе системы получается также нормальный процесс.
11оэтому можно сказать, что нормальные процессы обладают свой-
ством «устойчивости» по отношению к линейным преобразованиям.
При нелинейных преобразованиях свойство нормальности те-
ряется. Если нормальный процесс %(t) подвергается нелинейному
преобразованию т] — /(/, где f — нелинейная функция относи-
107
тельно то процесс т|(0 будет ненормальным. В частности, в
результате перемножения двух нормальных процессов получается
ненормальный процесс [см. формулу (5.2.11)].
Однако если ненормальный случайный процесс с временем кор-
реляции тк воздействует на инерционную линейную систему (с по-
стоянной времени тс), то процесс на выходе такой системы прибли-
жается к нормальному. Это приближение тем лучше, чем сильнее
выполняется неравенство тс тк.
Тенденция к нормализации случайного процесса является ха-,
рактерным свойством линейных систем. Количественные харак-
теристики степени приближения процесса к нормальному рассма-
триваются в § 17.
§ 16. БЕЛЫЙ ШУМ
Рассмотрим стационарный случайный процесс n(t), функция кор-
реляции которого равна дельта-функции, умноженной на некоторую
постоянную величину No/2 (рис. 3.12, а):
k (т) =	6 (т).
(3.16,1)
Как известно (см. приложение I), дельта-функция равна
нулю всюду, за исключением точки т = 0, где 6(0) = оо, причем
%6(г}
2
О
а)
Т
No
S(f)
5(ш)
а>
б)
интеграл от дельта-функ-
ции по любому интервалу,
содержащему особую точку
т = 0, равен единице.
Отсюда следует, что
рассматриваемый случай-
ный процесс характери-
зуется тем, что значения
п(/) в любые два, сколь
угодно близкие моменты
4^-1
о
Рис. 3.12. Корреляционная функция (а) и
спектральная плотность (б) белого шума.
времени некоррелированы.
Поэтому такой процесс n(t)
можно назвать абсолютно
случайным процессом.
По формулам (З.Ю. I) и (3.10.9) с учетом (П.4) находим спек-
тральную плотность абсолютно случайного процесса
ОО
S (о) = J &(т) e-iWTdx =	= const, S (/) = NQ. (3.16.2)
—ОО
Таким образом, спектральная плотность абсолютно случайного про-
цесса постоянна при всех частотах (рис. 3.12, б).
108
Случайней процесс n(t), обладающий равномерным спектром
в очень широком диапазоне частот, обычно называют «белым шумом»
по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномер-
ный сплошной спектр.
Для белого шума формула (3.10.3) дает физически непонятный
результат: дисперсия (средняя мощность) такого шума о2 = оо.
Этот результат объясняется тем, что белый шум следует рассма-
тривать как идеализацию, так как реальные процессы всегда имеют
энергетический спектр, убывающий с частотой, и, следовательно,
обладают конечным временем корреляции тк =/= 0 и ограниченной
средней мощностью. Белый шум является полезной математической
идеализацией, применимой в тех случаях, когда время корреляции
шума много меньше всех существенных постоянных времени си-
стемы, на которую воздействует шум, или, иначе, когда в пределах
амплитудно-частотной характеристики системы спектральную плот-
ность воздействующего реального шума можно приближенно счи-
тать постоянной.
Можно указать следующее приближенное условие и правило за-
мены реального шума (процессй) на белый шум n(t). Пусть рассма-
тривается воздействие на некоторую систему с постоянной времени
тс реальногс шума с функцией корреляции А(т) = о2/?(т), харак-
теризуемой достаточно широким спектром S(co) и, следовательно,
малым, но конечным временем корреляции тк «С тс. В данном слу-
чае реальный шум можно рассматривать как белый шум. За зна-
чение спектральной плотности No/2 «эквивалентного» белого шума
можно взять значение 5(ы = 0) — S(0), которое по формуле
(3.10.1) равко
ОО	оо
^«=S((d = O) = J k(r)dr = 2 J k{r)dT = 2о2тй. (3.16.3)
—oo	0
Укажем, что если белый шум n(f) представляет случайное напря-
жение, то величина No имеет размерность [AM = [в2/гц] =
- [в2 сек].
Приведем два конкретных примера флуктуационных шумов, ко-
юрыетчасто рассматривают как белый шум [24—28].
1. (Дробовой шум ламп. Спектральную плотность флуктуаций
анодного тока лампы в ряде случаев можно представить формулой
5a(f) = 2МаГ2/’2(2л/т0),	(3.16.4)
где е — 1,6.10~19к — заряд электрона;
/а — средний анодный ток;
Г2 — коэффициент депрессии из-за пространствен-
ного заряда;
F2 — коэффициент частотной депрессии;
то — время пролета электронов в лампе.
109
1
Исходя из часто применяемой методики измерения флуктуаций
(путем сравнения с дробовым шумом «насыщенного» диода), целе-
сообразно спектральную плотность записать иначе:
Sa (f) = 2els F2 (2л/т0),
(3.16.5)
где Is — эквивалентный ток насыщенного диода.
Можно показать, что коэффициент частотной депрессии дробовых
флуктуаций при наличии в лампе пространственного заряда опре-
деляется приближенной формулой
Г2 (9) = 369
2) cqs 9 — 29 sin 9
(3.16.6)
Где 0 = сото = 2л/то — угол	пролета электронов в лампе
(рис. 3.13).
Из формул (3.16.5) и (3.16.6) путем разложения cos9 и sin6
в ряды можно найти значение дисперсии флуктуаций анодного тока
лампы:
ОО	ОО
ffl =	J	[	F2(aTo)dti)^2eIsTo'.	(3.16.7)
О	о
Если лампа работает при частотах для которых угол пролета
электронов в лампе мал, т. е. 0 = юто<^ 1, то F2(0)	1 и при та-
Рис. 3.13. Зависимость коэффициен-
та частотной депрессии от угла про-
лета электронов.
Su(f) = UTR
ких углах пролета спектраль-
ная плотность шума равномерна:
Sa (/) - 2els, (Мо = 2els).
(3.16.8)
Отсюда следует, что флук-
туации анодного тока лампы
можно рассматривать как белый
шум лишь при частотах, для
которых угол пролета электро-
нов в лампе много меньше еди-
ницы.
2. Тепловой шум. Известно,
что спектральная плотность на-
пряжения теплового шума оми-
ческого сопротивления R опре-
деляется формулой Найквиста:
(Wo - IkTR),	(3.16.9)
где k = 1,38-10“23 дж/град— постоянная Больцмана;
Т — температура сопротивления в гра-
дусах Кельвина (при Т = 290°,
постоянная kT = 4-10~21 вт/гц).
110
Из формулы видно, что спектральная плотность теплового шума
постоянна и, казалось бы, тепловой шум является идеальным при-
мером белого шума. Однако следует иметь в виду, что формула
(3.16.9) справедлива лишь при не очень высоких частотах. Она по-
лучается из точной квантовой формулы
(3.16.10)
где h = 6,62-10~34 дж.сек. — постоянная Планка, при hf/kT <1.
При нормальной комнатной температуре даже на миллиметро-
вых волнах неравенство hf/kT <£ 1 практически выполняется.
Поэтому в радиотехнике оправдано применение приближенной
формулы (3.16.9). Однако при вычислении дисперсии теплового
шума необходимо пользоваться точной формулой (3.16.10)
ОО
х dx

(3.16.11)
Г'
о
Укажем, что функция корреляции случайного процесса
s(t) = /г (/) cos («01 + tp),	(3.16.12)
получающегося в результате перемножения белого шума n(f) и
гармонического колебания со случайной и равномерно распреде-
ленной начальной фазой ф, на основании формулы (3.13.10) равна
ks (т) = 1 No А2о 6 (т).	(3.16.13)
Спектральная плотность процесса s(f) согласно (3.10.10) будет рав-
номерной
S(f) = ~N0A20.	(3.16.14)
§ 17. ПРОЦЕССЫ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ОТ НОРМАЛЬНЫХ.
РЯДЫ ЭДЖВОРТА И ЛАГЕРРА
Во многих: практических задачах приходится иметь дело с плот-
ц<1(тями вероятности W7!^), по виду не очень сильно отличающи-
мся от нормальной (2.8.3). Характерные особенности таких функ-
|Ч1й IFi(^) состоят в следующем (рис. 3.14):
111
1) они являются одновершинными (т. е. имеют единственный
максимум);
2) по обе стороны от вершины они имеют ветви, достаточно
быстро приближающиеся к нулю при возрастании абсолютного зна-
чения аргумента.
Одномерные плотности вероятности такого типа удобно аппрок-
симировать при помощи полиномов Чебышева — Эрмита или поли-
номов Лагерра.
I. Ряд Эджворта [23, 29—31]. Указанные плотности вероят-
ности можно представить в
*10,) *
О	4
Рис. 3.14, Плотность вероятно-
виде следующего ряда:
‘ оо
»='. © - © 2 й  £ н, (~ ).
п ~ О
(3.17.1)
где ce^d) — нормальная плотность
вероятности
сти
.17.2)
Hn(z)— одномерные полиномы Чебышева—Эрмита
2г Ап___La’
^(г)=--(-1)пе2	~^е 2 , n-0, 1, 2, ...
(3.17.3)
Так как полиномы Чебышева — Эрмита ортогональны с весом
expf —у	, то
__Lz2	г ( п!рл2л
—ОО
при т = п9
при тфп.
Поэтому коэффициенты bnt называемые квазимоментами, опреде-
ляются формулой
оо
bn = an J W	= ^п(Нп	(3-17.4)
—00
Разложение функции Fid) в РЯД по ортогональным полино-
мам Чебышева — Эрмита базируется на следующей теореме: пусть
Fid) — произвольная функция с интегрируемым квадратом
ОО
J iFid)i2^<^-
—оо
112
Тогда
ОО
lim f
У **DO J
—CO
Практически функцию A¥zi(B) нужно знать с некоторой конеч-
ной точность ю. Поэтому вместо W'i(^) можно взять конечную сумму
членов ряда, причем число слагаемых N будет зависеть от требуемой
точности и ст выбора величин от и о2. В большинстве практически
интересных случаев наилучщее приближение при заданном № бу-
дет тогда, когда т и ст2 выбраны равными среднему значению т и
дисперсии о1 случайного процесса и разложение производится
по полинома.м Н,
Будем считать, что tn и о2 выбраны указанным образом. Тогда
нетрудно убедиться, что
Ьо = 1, 61 = 0, &2=0.
Действительно, по формуле (3.17.3) найдем
H0(z) = l, H1(z') = z, Я2(2) =г2—1, |
H3(z) = z3 — 3z, Нл(г) — г4 — 6z2+3. J
(3.17.5)
(3.17.6)
Воспользовавшись теперь формулой (3.17.4) для п = 0, 1, 2, убеж-
даемся в выполнении равенств (3.17.5).
Если в формуле (3.17.1) ограничиться конечным числом членов,
то получим ряд Эджворта:
(I) « Ш1 (В)
Здесь первый член соответствует нормальной плотности вероятности.
Поэтому для нормальной плотности вероятности все квазимоменты
при п 3 равны нулю (6л=0). Первые два коэффициента ряда
6з/о3 и Wo1, характеризующие отклонение плотности вероятности
от нормальной, в литературе получили название коэффициентов
асимметрии и эксцесса соответственно (см. стр. 72):
-г,	— Iхз — *з v — I * о /ч 17 й\
71 аз аз 3/2 ’ 7г а4 а4 -3	2 •	(0.1 1-0)
х2	х2
Здесь х2, х,, х4 — кумулянты [см. формулу (3.4.8)], а р,з и /и —
одномерные центральные моменты третьего и четвертого порядков,
определенные формулой (2.5.13);
<Х	оо
Рз= J	ц4 = J	(3.17.9)
—СО
• > Зак. 245
113
Как указывает само название, коэффициент асимметрии является
количественной характеристикой асимметрии плотности вероят-
ности относительно ее среднего значения. В любом симметричном
распределении и, в частности, нормальном, все центральные мо-
менты нечетного порядка равны нулю. На рис. 3.15 приведены две
кривые плотности вероятности. Первая из них имеет более пологий
спад справа от среднего значения и в выражении рз кубы положи-
тельных отклонений превысят кубы отрицательных, так что коэф-
фициент yi будет положителен. В таких случаях говорят, что плот-
ность вероятности обладает положительной асимметрией. Если
Рис. 3.15. Две асимметричные плот-
ности вероятности.
Рис. 3.16. Плотности вероятности
с различными значениями экс-
цесса.
коэффициент 71 отрицателен, то говорят об отрицательной асим-
метрии. В этом случае длинная часть кривой расположена слева
от среднего значения.
Коэффициент эксцесса характеризует сглаженность кривой около
среднего значения. Для нормальной плотности вероятности коэф-
фициент эксцесса у2 равен нулю. Положительное значение у2 ука-
зывает на то, что кривая плотности вероятности в окрестности мак-
симума имеет более высокую и более острую вершину, чем нормаль-
ная плотность вероятности. Обратно, отрицательное значение 72
указывает на более низкий и более плоский характер вершины по
сравнению с нормальной кривой. В первом случае говорят о поло-
жительном, а во втором — об отрицательном эксцессе.
На рис. 3.16 представлены три кривые: нормальная плотность
вероятности (72 = 0), плотность вероятности с положительным
эксцессом и плотность вероятности с отрицательным эксцессом.
На практике при аппроксимации плотностей вероятностей, не
очень сильно отличающихся от нормальной, часто ограничиваются
учетом только коэффициентов асимметрии и эксцесса. В этом случае
формулу (3.17.7) можно записать
S) * ш, © Г1 + II И, 7- Н. . (3.17.10)
М“-‘
114
Для применения такой аппроксимации нужно тем или иным спо-
собом вычислить среднее значение т, дисперсию о®, третий и чет-
вертый центральные моменты случайной функции об-
следует отметить, что при такой аппроксимации может незна-
чительно нарушаться свойство положительной определенности для
плотности вероятности: аппроксимирующая кривая при больших
значениях |£| может принимать отрицательные значения, недо-
пустимые для плотности вероятности. Это является следствием того,
что формула (3.17.10) имеет приближенный характер.
Полиномы Чебышева — Эрмита просто выражаются через про-
изводные от интеграла вероятности (2.8.8):
ф(п + |)(г) = (—])(") ф'(г)Яя(г).	(3.17.11)
Если прв помощи этой формулы в (3.17.10) перейти от полино-
мов Чебышева — Эрмита к производным от интеграла вероятности,
то получим привычную форму одномерного ряда Эджворта
Характеристическая функция для плотности вероятности
(3.17.1) равна
СО
п ~ 0
Разлагая экспоненту в ряд Тейлора, производя умножение и
сравнивая результат с рядом (3.4,3), составленным из моментов,
можно убедигься, что моменты линейно выражаются через квазимо-
менты (и наоборот), а также найти соответствующие коэффициенты
130]. Это обстоятельство и дает основание называть коэффициенты
представляющие линейную комбинацию моментов, квазимомен-
1.ЧМИ.
Можно показать, что многомерные плотности вероятности, не
‘•чень сильно отличающиеся от нормальных, аналогичным образом
можно представить в виде разложений в ряд по многомерным поли-
номам Чебышева—Эрмита. Коэффициентами при этих полиномах
о\дут многомерные квазимоментные функции. Квазимоментные
Фгпкции, так же, как моментные и корреляционные, могут быть
।к пользованье для описания случайного процесса [32].
Ценность приближенного представления плотностей вероятно-
юн, не очень сильно отличающихся от нормальной, при помощи
> назимоментвых функций состоит в том, что можно указать метод
'реобразования их линейными и нелинейными системами. Тем са-
н.|м в принципе решается задача о «пересчете» плотностей вероят-
ии гей при анализе воздействия случайного процесса на линейные
" нелинейные системы [30].
115
2. Ряд Лагерра [33—36]. Если плотность вероятности W7i(^)
равна нулю при отрицательных значениях аргумента (например,
в случае суммирования ограниченного числа положительных слу-
чайных величин), то соответствующий ряд Эджворта сходится мед-
ленно. В подобных случаях более подходящей является аппрокси-
мация плотности вероятности при помощи ряда Лагерра:
ОО
№i(&)= 2 cne~^L{na}®,
12 = О
где Ln} (г) — обобщенный полином Лагерра
Л<11)м = ег^-^(е-гг,г + а), а> —1.
п v ' п! dzn
Первые четыре полинома равны:
L^\ (г) = 1,
L(ia> (г) = 1 + а — г,
2Л(2а) (г) = (а 4-1) (а + 2) — 2г (а + 2) 4-za,
бЦа) (г) = (а 4-1) (а 4- 2) (а 4- 3) — Зг (а 4- 2) (а + 3) 4
4- Зг2 (а + 3) — г3.
(3.17.14)
(3.17.15)
(3.17.16)
*1
Полиномы Лагерра ортогональны на промежутке (0, оо) с ве-
сом е~2г“:
[°е-2^Ца)(г)^)(г)^=	(« + «+!) 6ШП, (3.17.17) '
о
где Г (г) — гамма-функция.
В учетом ортогональности находим коэффициенты разложе-
ния сл:
оо
=	(ЗЛ7.18)
О
Вместо £ рассмотрим случайную переменную т] = £/£ с плот-
ностью вероятности W (т]), причем
^i(g) = 4	.	(3.17.19)
4 z р ( р J
По аналогии с (3.17.14) можем написать	;
№(т]) = S V’ W^n’Ol)-	(3.17.20)
п— О
116
где
ОО
Ъп = Г(Г+а+1) j L" ’ W W W =
0
oo
(3.17.21)
u	'
Если подставить (3.17.16) в (3.17.21), учесть условие норми-
ровки плотности вероятности и определение начальных моментов
(2.5.11), то найдем
=Т(Йрзу [(« + 0(«+ 2)~у(« + 2) + у] •
Так какв формулах (3.17.20) и (3.17.21) а и (J суть произвольные
постоянные, то их можно выбрать так, чтобы bi — 62 = 0. Для
этого приравняем правые части выражений (3.17.22) нулю и решим
полученную систему двух уравнений:
При этом первые четыре коэффициента будут равны:
Высшие коэффициенты Ьп имеют более сложные выражения. По-
этому ряд Лагерра обычно применяют в том случае, когда уже пер-
вый член. &0 дает достаточно хорошее приближение. Если отбросить
все члены, кроме первого, то получим
W 01) = Г(а + l)1!0^1-
Переходя здесь от q к |и учитывая (3.17.19), получим следую-
щую приближенную формулу:
© = ргр1 +1) (IУ е~ * 	<3.17.25)
где аир определяются через среднее значение и дисперсию по
формуле (3,17.23).
Сравнивая формулу (3.17.25) с (2.9.4), приходим к выводу, что
первый члеи ряда Лагерра совпадает с гамма-распределением.
117
§ 18. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССАХ
В радиофизике и автоматике большую роль играют случайные
процессы, получившие название процессов Маркова или процессов
без последействия. Этот класс случайных процессов впервые система-
тически изучался известным русским математиком А. А. Марковым.
Хотя наблюдаемые физические процессы не являются в точности
марковскими, однако в ряде случаев их приближенно можно рас-
сматривать как марковские процессы. Таким путем удается полу-
чить ряд конкретных результатов, применяя эффективные матема-
тические методы, хорошо разработанные для марковских процессов.
Прежде чем дать определение марковских процессов, приведем
краткое описание броуновского движения, представляющего один
из конкретных вариантов классической задачи о случайных «блуж-
даниях» (см. § 6 гл. 2). Теория броуновского движения была раз-
работана А. Эйнштейном и М. Смолуховским [37].
Из курса физики известно, что частицы (молекулы) газа или
жидкости в отсутствие внешних влияний находятся в постоянном,
хаотическом движении (броуновском движении), интенсивность
которого зависит только от температуры и плотности. Частица
в случайные моменты времени сталкивается с молекулами окру-
жающей среды и меняет при этом свою скорость и направление.
Будем следить, как изменяется с течением времени одна из коор-
динат избранной частицы, допустим горизонтальная координата.
При этом можно не учитывать силу тяжести; на частицу действуют
только систематическая сила трения об окружающую среду и слу-
чайная сила толчков. Считая компоненту силы трения пропорцио-
нальной х-й компоненте скорости и пренебрегая силой инерции,
получим следующее уравнение движения частицы:
yx = n(f),	(3.18.1)

где 7 — коэффициент трения;
n(f) — сила случайных толчков вдоль оси х.
Чтобы поведение частицы было статистически определенным,
необходимо указать характеристики случайной силы n(t). По-
скольку толчки, испытываемые данной частицей в результате столк-
новения с молекулами окружающей среды, в разных направлениях
равновероятны, то среднее значение <п(0), очевидно, равно нулю.
Случайная сила n(t) представляет результирующий эффект, об-
условленный большим числом отдельных толчков. Время корре-
ляции n(t), грубо говоря, равно среднему времени свободного про-
бега молекул; при большой концентрации молекул оно очень мало.
Поэтому согласно центральной предельной теореме случайную силу
n(t) можно приближенно рассматривать как нормальный белый
шум.
При сделанных предположениях смещения частицы для двух
неперекрывающихся интервалов времени, значительно превышаю-
118
щйх время свободного пробега, независимы. Если взять три Момента
времени	(рис. 3.17), причем промежутки (Z— f);
(f — /о) много больше среднего времени свободного пробега, то
поведение частицы на интервале (f, t) не будет зависеть от того,
что происходило с частицей до момента t'. Поэтому такой случай-
ный процесс можно назвать процессом без последействия.
Допустим, что нам точно известна координата х в момент t'.
Вследствие случайного характера воздействующей силы п(/), воз-
можные значения координаты х в
момент времени t различны и обра-
зуют некоторый «ансамбль» (рис. 3.17).
Мы можем говорить об условной
вероятности: р(х, t\x', f) того, что
если в момент времени tr координата
равна х', то в момент времени t
частица будет иметь координа-
ту, заключенную в промежутке
(%, х + йл). Условная вероятность
p(x,t\x'9 t’} характеризует вероят-
Рис. 3.17- Траектории броунов-
ской частицы.
ность перевода частицы из состоя-
ния xf в состояние х за время между
t' и t и называется вероятностью
перехода. Если частица в момент времени t' может иметь различ-
ные значения координаты х' с вероятностью W(x', i'), то двумер-
ная плотность вероятности UMx', х, t',t) равна
W2(x', х, t', 0 = Г(х', t’)p(x, t\x', t').
(3.18.2)
Приведем теперь формальное определение марковских процес-
сов [38]. Возьмем в последовательные моменты времени t0 -< ti <С
<С ... <Ztn-i <С tn (рис. 3.18) значения случайного процесса хо =
•= x(to), xt = x(ti), ..., xn_i — х(Г„—i), xn = x(tn). Процесс x(t)
является марковским, если условные вероятности
зависят лишь от последнего значения xn-i в момент Гп-ь т. е. если
справедлив» равенство
Следовательно, для марковских процессов формулу (3.18.3)
с учетом (3.18.4) можно записать так:
п + 1 (Хо,
Хп, Го,
119
В свою очередь,
^2 (*0> *1, *о, G) = Р (Xi, G | х0, t0) W (х0) t0).
Путем подстановки последующих
формулу (3.18.5) можем записать
равенств в предыдущие,
Гп + 1 (#0,
• • • > %п >
Р — 1 j ^п~
^0? О (-^0»
(3.18.6)
JC(t)
- 1--------1-------и--------------------------—I----
t0 tf t2	t
Рис. 3.18. Траектории броуновских частиц.
Таким образом, многомерные плотности вероятности для марков-
ских процессов (процессов без последействия) выражаются через
вероятность перехода р(х, t\x0, /0) иодномерную плотность вероят-
ности IF(xo, to). Иначе говоря, характерное свойство марковских
процессов состоит в том, что начальная одномерная плотность ве-
роятности lF(xo, to) и вероятность перехода р(х, t\xo, to) полностью
определяют марковский случайный процесс.
Вероятность перехода удовлетворяет нескольким условиям и,
в частности, условию нормировки
р(х, t\x0, М dx
(3.18.7)
и уравнению Смолуховского
I р (х, 11 х', t')p(x\ Г | х0, t^dx' = р (x,t | х0, Zo). (3.18.8)
В справедливости (3.18.8) легко убедиться. Согласно (3.18.6)
при tQ<Zt'<^t можем написать
р (х, 11 х', Г ) р (х', С
х0, to) W (х
о
120
Проинтегрируем обе части этого равенства по х':
jU^3 (х0, х', х, t0, t', f)dx'=W (х0, tQ)jp(x, t
x', t)p(x', f
t0) dx'.
-^Oj
По условию согласованности (3.2.5) интеграл слева равен двумер-
ной плотности вероятности, которая для марковских процессов
выражается через вероятность перехода. Поэтому
откуда и следует (3.18.8).
В тех случаях, когда вероятность перехода зависит только от
разности т = t — t0, т. е.
р(х,
(3.18.9)
марковских случайный процесс называется стационарным (одно-
родным повремени). Если при т -*• оо вероятность перехода стре-
мится к некоторому пределу limpT(x,xo) = р(х), не зависящему
Т-+ОО
Рис.
между
Марковские
нормальные
процессы
соотношения
марковскими
процессы
3.19. Иллюстрация
нормальными и
процессами.
от начального состояния хо,
то говорят, что существует
предельная или стационар-
ная вероятность.
Отметим, что если при ли-
нейных преобразованиях
свойство нормальности про-
цесса сохраняется, то свой-
ство независимости прираще-
ний (марковости) теряется.
Наоборот, если при нелинейных безынерционных преобразованиях
сохраняется свойство независимости приращений (марковости), то
свойство нормальности утрачивается.
Нормальные процессы и марковские процессы в общем случае
частично «перекрываются» (рис. 3.19). Так, например, если не пре-
небрегать силой инерции броуновской частицы, то вместо уравне-
ния (3.18.1) получим следующее уравнение Ланжевена, описываю-
щее поведение частицы:
= «(/),
где т — масса частицы;
v(t) = x(t)— ее скорость.
Не конкретизируя, запишем это уравнение в общем виде
dx
dt
+ ах = п (/),
(3.18.10)
•Г>В. Зак. 245
til
Где n(f) — нормальный белый шум с нуЛёвым сродним значёнйёМ
и дельта-функцией корреляции (3.16.1).
Из уравнения (3.18.10) видно, что случайный процесс x(f) полу-
чается из нормального белого шума в результате линейного пре-
образования и, следовательно, x(t) есть нормальный процесс.
Функция корреляции этого процесса в стационарном состоянии
имеет вид [см. формулу (6.4.7)]
kx(r) — о2е~“1т|.
(3.18.11)
Нормальный случайный процесс с функцией корреляции вида
(3.18.11) является одновременно и марковским.
В этом можно убедиться так [38]. Для нормального стационар-
ного процесса x(f) по формуле (3.15.15) можно записать трехмерную
и двумерную плотности вероятности w3 (хг, х2, xs), w2 (х1; х2) и
вычислить условную вероятность р(х31 х2, Xi), где предполагается
t3	Если функция корреляции имеет вид (3.18.11), то ока-
жется справедливым равенство
Р (х31 х2, xj р (х31 х2) = pta _ /2 (х3, х2)	(3.18.12)
и, следовательно, процесс х(1) является марковским.
Для марковских процессов хорошо разработаны методы решения
некоторых практически интересных задач. Типовые задачи и методы
их решения рассматриваются в следующих параграфах.
§ 19. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Для марковских процессов диффузионного типа сравнительно
просто находится одномерная стационарная плотность вероят-
ности. Получим сначала уравнение Фоккера—Планка, которому
удовлетворяет плотность вероятности, и затем укажем возможные
обобщения его. При этом здесь кратко воспроизводится лишь один
из возможных вариантов вывода уравнения Фоккера — Планка
[391; другой вариант можно найти в оригинальных работах
[40—421.
Рассмотрим значения марковского случайного процесса x(f)
в два близких момента времени: t и t + т, т 0. Полагая в соот-
ношении (3.18.2) х' = х(0 = х, х — x(t + т) = хт, можем на-
писать
W2 (х, х^, t, t + т) — W (х, t) р (хт, t т | х, t).
Интегрируя это равенство по х, получим
1
оо
W (хх, t + т) — | р (х-, t + т |х, t) IF (х, f) dx.
—00
(3.19.1)
122
ВвеДем ёмесТо вероятности перехода р характеристическую
функцию 0 (и, х) случайного приращения хг — х за время от t
до t + т при условии, что x(t)~x фиксировано. Очевидно, что
ОО
0 (и, х) = <е'"(Гт “ *>) = J е'"Сх~ *> р (хх, t 4- т | г, t) dxz.
—оо
Согласно преобразованию Фурье можем написать
со
р (rx, t-\-x I х, f) = Т J е~'“	(и, х) du. (3.19.2)
—оо
Но формуле (3.4.3) характеристическая функция равна
00
(3.19.3)
п — О
где тп(х)= ((хх—г)") — моменты приращения хх— х.
Из соотяошений (3.19.2) и (3.19.3) имеем
оо
Здесь последнее равенство написано на основании формулы (П.9).
Подставив это выражение в (3.19.1) и воспользовавшись фор-
мулой (П.12), можем написать
11 л т I
ОО
п — О
дп
дх”
t
[тп (хх) W (хх, г)]
W (xt) i
ОО
т) — IF (xz, t) —
r)n
— [mn (xT) IF (x«, OL
ox.
SB*
123
Поделив левую й правую части этого равенства на t и пере-
ходя затем к пределу при т -► 0 (при этом xt->x + 0), получим
со
2 Чг1	(3-19.4)
п ==. 1
где
Кп (х) = lim = lim <(\~ х^..	(3.19.5)
т > о "	т -> 0	т
*
Напомним, что при статистическом усреднении приращений ве-
личина х рассматривается как фиксированная, а х-. считается
случайной, т. е. усреднение должно выполняться с соответствую-
щей вероятностью перехода:
ОО
ri
((хт— х)п) = J (х-— х)п p(Xz, t-\-х\х, i)dxz.
— ОО
Если коэффициенты Кп(х) при п>3 равны нулю, т. е.
К3 (х) = Л4 (х) = К5 (х) = - =0,	(3.19.6)
то марковский процесс называется непрерывным. Условия (3.19.6)
выполняются, если воздействующий на систему случайный процесс
можно рассматривать как нормальный стационарный белый
шум с нулевым средним значением т — < £(/) > =0 и дельта
функцией корреляции (3.16.1), где коэффициент No вычисляется по
формуле (3.16.3). Для непрерывных марковских процессов уравне-
ние (3.19.4) принимает более простой вид:
= - £ [Кг W W (х, 0] + |	[Л2 W W (х, 0]. (3.19.7)
Это дифференциальное уравнение в частных производных (пара-
болического типа) называется уравнением Фоккера — Планка или
диффузионным уравнением. Последнее название оправдывается тем,
что аналогичным уравнением описываются процессы диффузии и
теплопроводности.
Для отыскания решения уравнения Фоккера — Планка (3.19.7)
нужно указать начальные и граничные условия. Конечно, плот-
ность вероятности при всех t должна удовлетворять условию поло-
жительной определенности и условию нормировки:
1Г(х, 0>0, ]1Г(х, t)dx = 1.
(3.19.8)
Если возможные значения марковского процесса x(f) в началь-
ный момент времени t0 являются случайными и имеют плотность
124
вероятности \У0(х), то в качестве начального условия указывается
эта плотность вероятности
W(x,t0) = W0(x).	(3.19.9)
Когда же значение x(i0) точно известно и равно х0, то
W (х, t0) = 8 (х — х0).
Как следует из (3.18.2), при таком дельтообразном начальном рас-
пределении плотность вероятности W(x-, t + т) совпадает с вероят-
ностью перехода р(хт, tт|хо, /о).
Граничные условия могут быть весьма разнообразными и опре-
деляются существом физической задачи. Перед тем как указать их,
заметим, что коэффициент Ki(x) характеризует среднюю скорость
систематического изменения координаты x(t), а коэффициент
К2(х) — случайный разброс относительно средней скорости. При
этом само уравнение Фоккера — Планка допускает следующую
интерпретацию. Пусть имеется большое число броуновских частиц,
выходящих в начальный момент /0 из х0. Концентрация их в точке х
в момент t пропорциональна W (х, f). Поток частиц G складывается
из систематического потока KiW и случайного (диффузионного)
потока — у	т. е.
tf(x, t} = Kx(x)W(x, 0-у £ [К2 W 01- (3.19.10)
£ С/ Лг
Уравнение (3.19.7) представляет собой уравнение непрерывности
^(х, 0+^G(x,/)=0.	(3.19.11)
С/ v	С/Л-	~
Если случайный процесс х(0 может принимать всевозможные
значения ог —оо до со, то уравнение (3.19.11) справедливо на
всей прямой. В качестве граничных условий при этом следует брать
условия на ±со. Интегрируя (3.19.11) по х от — оо до оо и учи-
тывая условие нормировки (3.19.8), получаем обязательно выпол-
няющееся равенство
G(— оо, t) = G(oo, t),	(3.19.12)
так как
ОО
~ ( W(x,t)dx = 0.
— ОО
Однако помимо равенства (3.19.12) часто выполняются более силь-
ные условия
G(— оо, t) = G(oo, /) = 0,	(3.19.13)
оо, t) = W(oo, /) = 0,	(3.19.14)
которые можно назвать нулевыми граничными условиями.
125
В тех случаях, когда функция х(/) может принимать ограничен-
ные значения а < х < Ь, уравнение (3.19.7) следует рассмат-
ривать лишь в этой области. При этом нулевые граничные условия
имеют вид
G(a, t) = G(b, t) = 0.
(3.19.15)
Начальные и граничные условия однозначно определяют плот-
ность вероятности t) как решение уравнения Фоккера —
Планка. В том случае, когда коэффициенты Ki(x) и К2(х) не зави-
сят от времени, плотность вероятности W(x, t) с течением времени
обычно стремится к стационарному распределению W\.T(x), которое
не зависит от начального распределения W(x, t0) и времени. По-
этому в стационарном состоянии ~ М7ст(х) =0 и, следовательно,
G(x) — G — const. При этом уравнение Фоккера — Планка
(3.19.7) переходит в линейное дифференциальное уравнение для
^ст(х):
[Кг (х) Гст(х)] - 2Кх(х) Гст(х) = - 2G,	(3.19.16)
для которого хорошо известно общее решение [43].
При нулевых граничных условиях имеем G = 0 и из (3.19.16)
получаем
[К2(х)№ст(х)]— 27G(x)№ct(x) = 0.	(3.19.17)/
Общее решение этого уравнения дается выражением
(3.19.18)
где постоянная интегрирования С определяется из условия норми-
ровки (3.19.8). Этой формулой часто пользуются при решении
конкретных задач.
Таким образом, определив из уравнения, описывающего пове-
дение системы, коэффициенты Ki(x) и К2(х) по формуле (3.19.5),
в некоторых случаях можно сразу написать выражение для одщ>
мерной стационарной плотности вероятности. Это показывает эф-
фективность использования уравнения Фоккера — Планка^
К сожалению, полное исследование переходных процессов, свя-
занное с решением нестационарного уравнения (3.19.7), является
довольно сложной задачей. Решение нестационарного уравнения не
удается получить в общем виде, кроме некоторых частных случаев,
например, когда
Ki(х) = с -|- dx, Кг (х) — const.	(3.19.19)
126
Однако в этом случае, как видно из (3.19.18), процесс является
нормальным и может быть исследован другими методами.
Уравнение Фоккера — Планка можно обобщить на многомер-
ные марковские случайные процессы. Пусть координатами много-
мерного марковского процесса являются случайные функции x^t),
.... хто(/), задаваемые дифференциальными уравнениями
dx
т, (3:19.20)
где — нормальный белый шум с нулевым средним значением.
Многомерное уравнение Фоккера— Планка записывается так:
dW (X!.. хт.Д
dt
tn
т
(3.19.21)
Коэффициенты Kt и Kij определяются формулами
/X-— X,}	((X,. — ХД(х,-^— X /Л
=	----. (3.19.22)
т^О Х	О	'
Даже стационарное решение двумерного уравнения (3.19.21)
в отличие от одномерного в общем случае не выражается в квадра-
турах и для его отыскания необходимо проводить самостоятельное
исследование в зависимости от конкретного вида функций Д.
Рассмотрим простой пример. Пусть поведение системы (частицы)
описывается дифференциальным уравнением (3.18.10). Решение
этого линейного дифференциального уравнения при начальном
условии
г(0) = х, t = 0 имеет вид
ат J еал п
0
х (т) — х- = хе_“т -ф е—
(ЗЛ9.23)
или
т
х — х (е~ат — 1) + е-ат J еах п (х) dx.
о
Отсюда найдем
— х) = х (е~” — 1) -ф е~“т J еах (п (х)) dx = х (е’"’ — 1),
о
127
т
((хх — х)2) = х2 (е~“т — 1)2-|-е~27- еаА+“^ {п (х) п (у)) dxdy =
о о
Используя для малых г приближенное равенство ехр(—ут) —
— 1 —ут, по формуле (3.19.5) получим
Ki (х) = —ах, Ki (х) = 4 No-	(3.19.24)
Применительно к данному случаю уравнение Фоккера—Планка
принимает вид
= a--(x!F) + |w0^-.	(3.19.25)
dt дх'	’ 1 4	“ ox2	v '
Решение этого уравнения легко находится на основании того,
что случайный процесс х(^) является нормальным. Одномерная
нормальная плотность вероятности 1^(х, t) определяется матема-
тическим ожиданием и дисперсией, которые находятся из решения
(3.19.23) и равны соответственно:
tn (t) — (х (^)) = х (0) e~at,
= {[X(t)-m№ =J^(1 -е~2П
Поэтому
W (х, t) =
a (/) у 2тг
(3.19.26)
Рассмотрим частные случаи. При t -> 0 среднее
m(f) -» х(0), дисперсия о2(0-» 0 и, следовательно,
значение
W(х, 0) =6 [х — х(0)].
(3.19.27)
При t оо имеем m(t) = 0, о2 = 2Vo/4a. Плотность вероятности
стремится к стационарному нормальному распределению, не зави-
сящему от х(0) и времени t,
Полученным результатам можно дать наглядное физическое
пояснение. Сделаем это применительно к уравнению Ланжевена.
Мы предполагаем, что в начальный момент времени t = 0 частица
имеет определенную начальную скорость. Так как в начальный
момент случайные толчки со стороны молекул окружающей среды
128
еще не сказываются, то при t = 0 скорость частицы вполне опреде-
ленна и равна х(0). Естественно, что плотность вероятности имеет
вид дельта-функции, как это схематически изображено на рис. 3.20.
Вследствие ничем не компенсируемой силы трения начальная
скорость с течением времени уменьшается, приближаясь к нулю.
Поскольку случайные толчки со стороны молекул в противополож-
ных направлениях равновероятны, то случайная сила n(f) не изме-
няет средней скорости. Однако дисперсия скорости из-за много-
кратных соударений возрастает с течением времени. Это приводит
Рис. 3.20. Изменение плотности вероятности во
времени.
к тому, что плотность вероятности для скорости «расплывается»
все шире и шире (рис. 3.20), приближаясь с течением времени
к стационарному распределению (3.19.28).
Отметим, что если положить а = 0, то уравнение Фоккера —
Планка обращается в уравнение диффузии
9W = 1 А7 92 w
dt ~ 4 дх2 •
(3.19.29)
Оно имеет решение
W (х’ ~ ехр
г.А' о *
(3.19.30)
которое все время расплывается, так что стационарного решения не
существует.
Конечно, рассмотренный пример является непоказательным и не
вскрывает принципиальную ценность уравнения Фоккера —
Планка (см. §20).
§ 20. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
К РЕАЛЬНЫМ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССАМ
В § 19 было показано, что уравнение Фоккера — Планка при-
менимо в тех случаях, когда в правую часть дифференциального
\ равнения системы входит случайная функция, представляющая
129
нормальный белый шум. Однако в § 16 отмечалось, что белый шум
следует рассматривать как идеализацию реальных флуктуацион-
ных процессов, причем такая идеализация применима лишь при
определенных условиях. Так, например, в случае броуновского
движения случайную силу, обусловленную соударениями рассма-
триваемой частицы с молекулами окружающей среды, можно рас-
сматривать как дельта-коррелированную лишь для временных ин-
тервалов, превышающих среднее время свободного пробега молекул.
Поэтому представляется естественным применение уравнения
Фоккера — Планка к дифференциальным уравнениям, содержащим
не дельта-коррелированные случайные функции, если интересовать-
ся поведением системы через временные интервалы, превышающие
время корреляции случайной функции. Для таких больших вре-
менных интервалов можно пренебречь зависимостью между слу-
чайными приращениями на разных интервалах.
Рассмотрим для примера простейшее уравнение
(3.20.1)
где £(/) — стационарный случайный процесс с нулевым средним
значением и функцией корреляции /^(т), имеющей конечное вре-
мя корреляции тк.
Решение этого уравнения с начальным условием х = х(0) при .
t ?= 0 имеет вид
(3.20.2)
Чтобы процесс х(/) был марковским, необходимо, чтобы за по-
следовательные интервалы времени — ть /2 —	+ тг, ...»
tn = tn-i + тл, (ть ..., т„>0) случайные приращения х(^) — х(0),
х(/2) — х(О> • ••, x(tn) — были независимыми. Если время кор-
реляции тк конечно, то эти приращения, вообще говоря, будут
зависимыми.
Вычислим сначала парные корреляции между двумя соседними
приращениями. Из решения (3.20.2) имеем
=
о
Дх2
Функция корреляции между этими приращениями равна
K(Axh 4л-2) = j J (£(Si)£(s2)> ds1ds2 = j J kt(sz~ sjdsidst.
о Ч	От,
Заменой переменных — Tj — у, s2 —-тх — z получим
О т3
/((Axj, Ax2) — J — y)dydz.	(3.20.3)
—Cl 0
«
Будем интересоваться временными интервалами
Ti '> Тк, Т2 > тк.	(3.20.4)
Тогда в выражении (3.20.3) вместо и т2 можно написать
бесконечные пределы:
О оо
К(Дх1,Дх2)^ j J Л5 (г — у) dydz.	(3.20.5)
— 00 О
Обычно функция корреляции fe^(r) стремится к нулю при т-> оо
быстрее, чем т~2. При этом условии путем интегрирования по частям
получим
О оо	оо оо	оо
J J h{z — y)dy dz= \ dz §kt(h)dh = J xk^(x)dx. (3.20.6)
— oo 0	0	z	0
Определим время корреляции случайного процесса £(/) фор-
мулой
оо
тк = д^- j xkt (т) dx,
о
(3.20.7)
где величина NQ вычисляется согласно (3.16.3) и равна
No — 2 J fa=(x)dx=4 §ki(x)dx. (3.20.8)
— оо	О
Из выражения (3.20.5) с учетом (3.20.6) и (3.20.7) получаем, что
।гри выполнении неравенств (3.20.4) корреляция между случайными
приращениями приближается к постоянной величине
К (Д-Г1, Лх2) ~ 4- No тк.
131
Дисперсии случайных приращений значительно превосходят
эту величину:
of = (Axf) =	&e(s2 — s^dsids.} = 2 J (тх—т)^(т)<2т^
ob	о
ОО
~ 2J (ту — т) kf (т) dr = No (тх — rK),
0
о 0
Коэффициент корреляции между случайными приращениями
при условии (3.20.4) весьма мал:
R (Л*1,
К (А*!, Дхг)
(3.20.9)
Таким образом, если рассматривать интервалы времени, ко-
торые значительно превосходят время корреляции случайной
функции, то парными корреляциями можно пренебречь. Можно
показать [39], что этот результат распространяется и на корреля-
ции высших порядков. Поэтому для таких интервалов времени
случайные приращения оказываются практически независимыми
и процесс x(f) можно считать приближенно марковским. Для него
с некоторыми уточнениями применимо уравнение Фоккера —
Планка. Эти уточнения в основном касаются выражений для ко-
эффициентов Ki(x, t) и К2(х, t), входящих в уравнение (3.19.7).
Мы не будем здесь рассматривать эти уточнения [4, 39], а приведем
окончательные результаты.
Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка
^ = f(x,g(0).	(3.20.10)
Предположим, что характерная постоянная времени системы тс
значительно превышает время корреляции тк случайной функции
F(x, £):
ОО
J г К (Л Дт) Л
Те » ТК « --------------
f К (Г, FJdz
о
(3.20.11)
где через /С обозначена корреляционная функция от соответствую-
щих аргументов. Такое неравенство выполняется в ряде практиче-
132
скйх задач, встречающихся в радиотехнике й автоматике (например,
когда широкополосный шум воздействует на инерционное устрой-
ство).
Тогда при тк тс приближенно, а при тк = 0 точно справед-
ливо следующее уравнение Фоккера — Планка:
~	W + 4 К'(х)] Vр-1 ^3[К2(х)Щ (3.20.12)
Здесь
о
Kl(x)={F{xA)'), Кг(х)^2 J K(F, FJdx,
— ОО
К' (X) - 4
(3.20.13)
К (Л FT) = (IF (х, |) ~ (Г (%, I))] [F(x, |т) -<Е(х, |т)]>,
К (ifx'	)] k) ~	•
В выражениях (3.20.13) аргумент х при статистическом усреднении
рассматривается не как функция времени, а как фиксированный
параметр.
Заметим, что в данном случае появился дополнительный коэффи-
циент К'(р), обусловленный наличием корреляции между x(Z) и £(/).
Как правило, этот коэффициент необходимо учитывать при
Ki (х) = (/ (х, В)) = 0; в противном случае его учет часто мало
влияет на результат. Если функция Е(х, £(/)) удовлетворяет усло-
вию временной симметрии
то
дК2 (х)
дх
(3.20.14)
(3.20.15)
и уравнение (3.20.12) можно записать в следующем виде:
" = -ъ WX(х) tri +1£ {к,рй " + IKMVjf. (3.20.16)
133
Если /Ci и К2 не зависят от йреМени, То стационарная плот-
ность вероятности при нулевых граничных условиях определяется
формулой
(3.20.17)
где С—нормировочный множитель.
Можно показать, что условие (3.20.14) выполняется для урав-
нения
х = f (х) + g (%) в (о;
(3.20.18)
где f(x) и g(x) — детерминированные функции, а
В(/) — стационарное случайное воздействие с нулевым
средним значением.
В соответствии с (3.16.3) введем коэффициент интенсивности
(£(0B(z + T)>dr.

(3.20.19)
В данном конкретном случае Ki (х) — f (х), К2 (•*) = g2 (х') М, и
g(x)
(3.20.20)
Во многих задачах исследуемый флуктуационный процесс x(t)
удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка
х = F (х, х, £(/)),
(3.20.21)
где £(/) — стационарный случайный процесс с достаточно малым
временем корреляции.
Двумерное уравнение для плотности вероятности W2(x, х ,t)
в данном случае имеет вид
(3.20.22)
В общем случае стационарное решение двумерного уравнения Фок-
кера — Планка (3.20.22) в отличие от одномерного уравнения не
выражается в квадратурах и для его отыскания требуется само-
стоятельное исследование.
134
Необходимо также специальное рассмотрение того случая, когда
в правые части дифференциальных уравнений (3.20.10) и (3.20.21)
входит не сама случайная функция £(Z), а ее производная £(/) [441.
Рассмотрим два простых примера (см. также § 3 гл. 8).
1. Пусть задано дифференциальное уравнение [45]
б/х	*	* & / j \
=	(О»
(3.20.23)
где коэффициенты а и N постоянны, а стационарное случайное воз-
действие 1(f) имеет среднее значение т и функцию корреляции
/г:(т) с коэффициентом интенсивности
ОО
No = 2 J /г£ (т) di = 2N.	(3.20.24)
о
f
Будем считать, что выполняется условие (3.20.11), т. е.
1 п,
тк < тс Тогда можно пользоваться уравнением (3.20.12).
Однако предварительно необходимо свести случайное воздействие
к белому шуму. Обозначим
I (/) — т = п (/),
где n(f) можно рассматривать как белый шум с нулевым средним
значением к дельта-функцией корреляции
(rc(/)> = 0, {n(t)n(t + т)> = ^-°д(т) = zVd(t). (3.20.25)
Теперь уравнение (3.20.23) можно записать так:
dX	1	I I их
._ = _ах 1	+/и_|_п{/).
(3.20.26)
По формулам (3.20.13) находим коэффициенты
/<! (х) = .— ах
+ m, K2=N, К'(х)
0.
Подставив эти коэффициенты в (3.20.17), получим стационарную
плотность вероятности
=	х>0.
I
Множитель С находим из условия нормировки
(3.20.27)
F 2uV'
135
В частном случае, когда /и=0, из формулы (3.20.27) получаем
плотность вероятности Релея (2.9.17)
№ст(X) ехр^— х>0, а2 = ~.	(3.20.28)
Таким образом, методика применения уравнения Фоккера —
Планка к реальным системам включает следующие этапы;
1)	проверка выполнения неравенства (3.20.11);
2)	если это условие выполнено, то нужно случайную функцию
g(tf) привести к белому шуму, для чего необходимо выделить в
явном виде среднее значение и затем по формуле (3.16.3) вычислить
коэффициент No;
3)	определение коэффициентов Ki, Кг и К' по формулам
3.20.13).
-------------О---------------
__ - - — _______________  — |- -----------»
Q *U- й	%
Рис, 3.21. Стационарная плотность вероятно-
сти для системы с двумя устойчивыми состоя-
ниями.
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение [411
- = рх(а2 — х2) + n(t), р>0,
Ci i
(3.20.29)
где n(t) — белый шум с нулевым средним значением и дельта-
функцией корреляции (3.16.1).
Уравнением такого вида определяется амплитуда колебаний
автогенератора при учете собственных флуктуаций [см. (8.2.16)1.
По формулам (3.20.13) вычисляем коэффициенты
/<! (х) = рх (а2 — х2), K>(x)—~NG, К'(х) = 0.
После подстановки их в (3.20.17) получаем
М7ст(х) = Сехр
(2а2 х2 — х4)
о
(3.20.30)
136
где
00
(3.20.31)
K„(z)— цилиндрическая функция мнимого аргумента.
Плотность вероятности (3.20.30) имеет два максимума (при
х = + а и г = —а) и один минимум при х — 0 (рис. 3.21).
Заметим, что для уравнения (3.20.29) существуют три состояния
равновесия: х = 0, х = Из них состояние х = 0 — неустой-
чивое, а х =	— устойчивые. Поэтому флуктуационные воз-
действия могут перевести систему из неустойчивого состояниях = О
в устойчивые состояния х = (см. §4 гл. 8), и наоборот. При этом
представляет интерес определить среднее время, за которое осу-
ществляются такие переходы. Методика решения подобных задач,
важных при исследовании автозахвата и срыва слежения в устрой-
ствах автоматики, приведена в следующем параграфе.
§ 21. ЗАДАЧИ О
ОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦ. СРЫВ СЛЕЖЕНИЯ
Часто приходится анализировать работу нелинейных систем,
имеющих два или несколько устойчивых стационарных режимов.
В отсутствие случайных воздействий система, находясь в одном
стационарном режиме, не может перейти в другой без каких-либо
внешних воздействий. Наличие даже малых случайных возмущений
приводит к тому, что система начинает совершать малые флуктуа-
ционные колебания вблизи одного из стационарных состояний и
время от времени переходит из одного состояния в другое. Естествен-
но, что при рассмотрении подобных систем возникает вопрос о вы-
числении вероятности таких переходов.
В качестве конкретных примеров можно указать задачу о воз-
буждении и срыве автоколебаний в генераторе под влиянием шумов,
задачу о срыве автоматического слежения из-за случайных воздей-
ствий в автодальномере, фазовой и частотной автоподстройках и др.
Ответ на сформулированную задачу можно получить для систем,
процессы в которых являются марковскими, путем отыскания не-
стационарного решения соответствующего уравнения Фоккера —
Планка. Однако в большинстве случаев точное решение получить
не удается. Поэтому приходится ограничиваться знанием хотя бы
среднего времени пребывания системы в том или другом режиме.
Предположим, что в начальный момент t0 марковский процесс
x(t) имеет оиределенное значение х(/0) — х0, находящееся внутри
интервала (а, Ь), т. е. начальная плотность вероятности является
дельта-функцией:
W(x,t0) = W0(x)=6(x — x0).	(3.21.1)
137
Разные реализации случайного Процесса х(/) достигают в первый
раз граничные значения либо а, либо b за разное время. Найдем
среднее время Т, по истечении которого в первый раз достигается
либо граница а, либо граница Ь.
Данную задачу можно понимать так (рис. 3.22). Пусть рассма-
тривается движение достаточно большого числа N броуновских
частиц вдоль оси х, причем в начальный момент времени t0 все
частицы расположены в точке х0, находящейся внутри интервала
(а, Ь). Пусть t-я частица впервые
достигла какой-либо границы за
время Tt. Тогда, очевидно,
N
Рис. 3.22. Время первого до-
стижения границ.
N
Для этого следует считать
поглощающие экраны,
Ясно, что частица может возвра-
титься в интервал (а, Ь) и снова
пересечь границы. Однако это вре-
мя не характеризует первое время
достижения границы. Следовательно,
частицу, пересекшую границу, сле-
дует исключить из рассмотрения,
что на границах а, b расположены
к которым частицы прилипают.
Мы не будем здесь воспроизводить математические выводы [38,
41, 42, 46, 47], а укажем окончательные результаты, относящиеся
к дифференциальному уравнению первого порядка (3.20.10).
Пусть W(x, х0, t, t()) — решение уравнения Фоккера —Планка
(3.20.12), удовлетворяющее начальному условию
W (X, Хо, t, t0) = б (х — х0)
(3.21.2)
и граничным условиям
W (а, х0, t, t0) = W (b, x0, t, t0) = 0.	(3.21.3)
Ограничимся рассмотрением стационарного состояния, когда
плотность вероятности зависит лишь от разности т = t —10> т. е.
W(x,x0,r) = W(x,x0,t,t0).	(3.21.4)
Вероятность того, что х не достигнет границ а и b за время т,
находясь первоначально в положении х = х0, равна:
ь
Q (т, х0) = J W (х, х0, т) dx.
а
Вероятность Q (т, х0) удовлетворяет условиям
Q(0, х0)=1, Q(oo,x0) = 0.
(3.21.5)
(3.21.6)
138
Первое условие говорит о том, что в начальный момент времени еще
ни одна реализация не успела коснуться границы. При т ->оо все
реализации пересекут границы, что выражено вторым условием.
Если QCr, х0) назвать вероятностью слежения, то вероятность
срыва слежения, очевидно, определится равенством
ь
Р(т, х„) -- 1 — Q (т, х0) = 1 — j W(х, х0, т)dx. (3.21.7)
а
Можно показать J41], что вероятность Р(х, х0) удовлетворяет
уравнению
(3.21.8)
Дифференцируя обе части уравнения по т, умножив резуль-
тат на е;,,т и интегрируя затем по т от 0 до ос, получим следую-
щее уравнение для характеристической функции
- ju& = Ki (-О -g 4-1 (х0)	,	(3.21.9)
где
00
© (и, х0) = f dP е/"’ dx.
о
Уравнение (3.21.9) позволяет находить одномерные моменты
времени первого достижения границ. Для этого воспользуемся
представлением характеристической функции в виде ряда по мо-
ментам (3.4.3):
00
0 (и, х0) = 1 + У М, (х0).
У=: 1
Подставив это выражение и его производные в (3.21.9) и при-
равняв члены при одинаковых степенях ju, получим необходимые
уравнения для последовательного определения моментов. Нетрудно
убедиться, чго среднее время (математическое ожидание) Л41(х0) = Т
достижения границы точкой, находящейся в начальный момент
в положения х0, определяется уравнением
1	d2 Т	riT
+	1 =о.	(3.21.Ю)
ах
о
Дисперсия D = ТИ2 — М2 времени достижения границы находится
из уравнения
1	/ \ d1 D rr- ✓ ч dD .	/ \ / dT	_
Т^2(х„)+ К1(х0)-/Л~ 4-К2(-^) (7^-) =0. (3.21.11)
*139
Среднее время первого достижения границы b (Ь х0) вычис-
ляется по формуле
(3.21.12;
а среднее время достижения границы а(а<^х0) равно
(3.21.13)
где
(3.21.14)
Решения (3.21.12) и (3.21.13) удовлетворяют нулевым гранич-
ным условиям
Л(х0 = &) = 0, Та(х0 = о) = 0.
(3.21.15)
Обязательное выполнение этих условий следует из того, что
производная марковского процесса имеет бесконечную дисперсию
(т. е. мгновенная скорость процесса бесконечно велика). Однако
броуновская частица смещается за конечное время на конечное
расстояние. Поэтому скорость частицы все время меняет знак, и
движение происходит взад и вперед. Если частица в момент вре-
мени te находится вблизи границы, то она обязательно пересе-
чет ее через бесконечно малое время. Из физических соображений
очевидно, что величины Та и Ть должны быть положительными.
Зная решение уравнения (3.21.10), можно найти среднее время
достижения границ не только при дельтообразном (3.21.1), но и при
произвольном начальном распределении №о(х0):
ь
(T)=^T(Xo)Wo(xQ)dx0.	(3.21.16)
а
Отметим, что даже в простых случаях среднее время Т и диспер-
сия D выражаются через довольно сложные интегралы. К настоя-
щему времени рассмотрено сравнительно мало конкретных радио-
технических задач [45, 48—53].
Применим полученные результаты к линейному дифференциаль-
ному уравнению (3.18.10). Найдем среднее время ТЛ(х0) достижения
границы b > х0. Для этого в исходное уравнение (3.21.10) нужно
140
подставить коэффициенты Ki и К2, которые были определены ра-
нее (3.19.24). Таким образом, можем написать
или
,d2T	dT , 1
О2---5- — Хо -------=
dxy	dx0 а
(3.21.17)
где —стационарное значение дисперсии (3.19.28).
Выполнив все вычисления по формуле (3.21.12), получим
е2 dx,
(3.21.18)
где Ф(х)— интеграл вероятности.
Нетрудно убедиться, что это решение удовлетворяет основному
уравнению (3.21.17), граничному условию Tt(b) =0, Ть(х0) > 0
и Ть(х0) растет с увеличением Ь.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Я г л о м А. М. Введение в теорию стационарных случайных функ-
ций. УМН, 1952, № 5 (51).
2.	Кузнецов П. И., Ст р а т о н о в и ч Р. Л., Тихонов В.И.
Прохождение случайных функций через нелинейные системы. «Автоматика
и телемеханика», 1953, № 4.
3.	Пугачев В. С. Теория случайных функций. Физматгиз, 1960.
4.	С тр 2 тон о в и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1961.
5.	Davenport W. В., Johnson R. A., Middleton D.
Statistical егюгз in measurement of random time functions. Journ. Appl.
Phys., 1952, № 4.
6.	Тихонов В. И. К вопросу об измерении электрических флук-
туаций при помоги термоэлектрических приборов. ЖТФ, 1955, т. 25, вып. 5.
7.	Чайковский В. И. Методы экспериментального определения
корреляционных функций. «Известия вузов», Радиотехника, 1960, № 5.
8.	«Определение параметров случайных процессов». Пер. с англ. Сборник
статей под редакцией В. И. Чайковского. Гостехиздат УССР, 1962.
9.	Л а н г е Ф. Корреляционная электроника. Пер. с нем. Судпромгиз,
1963.
10.	Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер.
с англ. Сборник статей под редакцией Н. А. Железнова. Изд-во иностранной
литературы, 1953.
11.	Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случай-
ных сигналов и шумов. Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, 1960.
12.	Беннет У. Р. Основные понятия и методы теории шумов в радио-
технике. Пер. с англ. Изд-во «Советское радиол 1957.
141
13.	Лэн и нг Д. X., Бэтти н Р. Г. Случайные процессы в зада-
чах автоматического управления. Изд-во иностранной литературы, 1958.
14.	Lee Y. W. Statistical theory of communication. John Wiley, 1960.
15.	M и д д л тон Д. Введение в статистическую теорию радиосвязи,
т. 2. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1962.
16.	S t е w а г t J. L. The power spectrum of a carrier frequency modu-
lated by gaussian noise, Proc. IRE, 1954, № 10.
17.	Med hurst R. G. The power spectrum of a carrier frequency
modulated by gaussian noise. Proc. IRE, 1955, № 6.
18.	T и x о н о в В. И. Воздействие электрических флуктуаций на не-
линейные радиотехнические устройства. Докторская диссертация, ВВИА
им. проф. Н. Е. Жуковского, 1956.
19.	М а л а х о в А. Н. О форме спектральной линии генератора прн
флуктуациях его частоты. ЖЭТФ, 1956, вып. 5.
20.	Тихонов В. И., Амиантов И. Н. Воздействие медлен-
ных флуктуаций на автогенератор. «Радиотехника и электроника», 1956, № 4.
21.	Т и х о н о в В. И. Когда нестационарный случайный процесс
можно заменять стационарным. ЖТФ, 1956, № 9.
22.	Гудзенко Л. И. О периодически нестационарных процессах.
«Радиотехника и электроника», 1959, № 6.
23.	Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иност-
ранной литературы, 1948.
24.	Колосов А. А. Резонансные системы и резонансные усилители.
Связьиздат, 1949.
25.	Тихонов В. И. Флуктуационные шумы в элементах приемно-
усилительных устройств. Изд. ВВИА им. проф. И- Е. Жуковского, 1951.
26.	В а н -д е р-3 ил А. Флуктуации в радиотехнике и физике. Пер.
с англ. Госэнергоиздат, 1958.
27.	К и т т е л ь Г. Элементарная статистическая физика. Пер. с англ.
Изд-во иностранной литературы, 1960.
28.	М а к-Д о н а л ь д Д. Введение в физику шумов и флуктуаций.
Пер. с англ. Изд-во «Мир», 1964.
29.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов
В. И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов. ДАН
СССР, т. 94, № 4.
30.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Квазимоментные функции в теории случайных процессов. «Тео-
рия вероятностей и ее применения», 1960, № 1.
31.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Некоторые задачи с условной вероятностью и квазимоментные
функции. «Теория вероятностей и ее применения». 1961, № 4.
32.	Kuznetsov Р. I., Stratonovich R. L., Tikho-
nov V. I. Non--- Linear transformations of stochastic processes. Perga-
mon Press, 1965.
33.	Лезин Ю. С. О распределении случайных напряжений на выходе
некогерентного накопительного устройства с экспоненциальной весовой
функцией. «Известия вузов», Радиотехника, 1960, № 6.
34.	Marcum J. I. A statistical theory of target detection by pulsed
radar. Trans. IRE, 1960, IT-6, № 2.
35.	Бородин В. С. Приближенный расчет функции распределения
нормального процесса на выходе типового радиотехнического звена. «Ра-
диотехника», 1961, № 2.
36.	Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. Пер.
с англ. Изд-во «Советское радио», 1965.
37.	Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское дви-
жение (сборник статей). ОНТИ, 1936.
38.	Mi ng Ch е n W a ng, Uh 1 е n b е с k G. Е. On the theory
of the Brownian motion II. Reviews of Modern Physics, 1945, № 2—3,
142
39.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов
В. И. Корреляционные функции в теории броуновского движения. Обобще-
ние уравнения Фоккера — Планка. ЖЭТФ, 1954, вып. 2.
40.	Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории ве-
роятностей. $МН, 1938, вып. 5.
41.	Понтрягин А., Андронов А., Витт А. О статистиче-
ском рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ, 1933, вып, 3.
42.	Леонтович М. А. Статистическая физика. Гостехиздат, 1944.
43.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Гос-
техиздат, 1950.
44.	Т и х о и о в В. И. Специальные случаи применения уравнения Фок-
кера— Планка — Колмогорова. «Радиотехника н электроника», 1962, № 8.
45.	Тихонов В. И. Марковский характер огибающей квазигар-
монических флуктуаций. «Радиотехника и электроника», 1961, № 7.
46.	S i е g е г t A. J. F. On the first passage time probability problem.
Physical Review, 1951, № 4.
47.	Л а нд а П. С., Стратонович P. Л. К теории флуктуа-
ционных переходов различных систем из одного стационарного состояния
в другое. «Весгник Московского университета», сер. физ. и астр., 1962, № 1.
48.	S t u m р е г s F. L. Н. On the first — passage — time problem.
Philips Res. Reports, 1950, № 4.
49.	Васильев A. M. Применение теории броуновского движения
к исследованию помехоустойчивости импульсных радиотехнических следя-
щих устройств. «НДВШ, радиотехника и электроника», 1959, № 2.
50.	Стратонович Р. Л., Ланда П. С. Воздействие шума на
генератор с жестким возбуждением. «Известия вузов», Радиофизика,
1959, № 1
51.	Ланда П. С. Об устойчивости систем с сервоуправлением при
наличии случайных воздействий. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 1.
52.	Р у ин а Д. П., Ван-Валькенбург М. П. Статистиче-
ский анализ систем автоматического сопровождения. Труды 1-го Между-
народного конгресса ИФАК. Статистические методы исследования, 1961.
53.	Первачев С. В. Срыв слежения во временном автоселекторе.
< Радиотехника и электроника», 1965, № 8.
Глава 4
ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
*
§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Импульсный случайный процесс представляет собой последова-
тельность одиночных импульсов в общем случае разной формы, сле-
дующих друг за другом через некоторые промежутки времени.
Если форма импульсов задана, то случайными могут быть отдельные
Asin(u>Qt	(t)
A
t0	t,
Рис. 4.1. Импульсы без накопления (а) и
плотности вероятности для моментов их
появления (б).
параметры импульсов: ам-
плитуда, длительность,
время появления и др.
Приведем классифика-
цию случайных импуль-
сов, иллюстрируя ее кон-
кретными примерами [1].
1.	Импульсы без накоп-
ления (дисперсии моментов
появления). Пусть имеется
триггерное устройство, ко-
торое срабатывает, когда
напряжение на его входе
превышает пороговый уро-
вень Н, и при этом оно
вырабатывает импульс ма-
лой постоянной длитель-
ности т < 2rt/w0. Предпо-
ложим, что входное напряжение состоит из суммы «идеальной
синусоиды» A sin ((W + <р), где А Н, и нормального стацио-
нарного шума £(/) с нулевым средним значением и малой диспер-
сией crf<C. Н2 (рис. 4.1).
Если бы входной шум £(?) отсутствовал, то импульсы начинались
бы в моменты времени tit определяемые пересечением синусоидой
уровня Н (пунктирная кривая на рис. 4.1). Первый по порядку
появившийся после начала отсчета времени импульс имеет абсциссу
144
t0. Этот импульс будем условно называть нулевым. Для определен-
ности положим t0 = 0.
Влияние шума £(/) выразится в том, что времена срабатывания
будут «дрожать» около своих средних положений lit причем
случайные величины	—^), i = 0, 1, 2, .... распределены одинако-
во. Следовательно, случайные величины tt имеют распределения
с разными средними значениями tt — iT0 = 2ш7соо, но с одинако-
вой дисперсией
ст2 = а2 = const, i=0, 1,2,...	(4.1.1)
Согласно (9.2.5) можем написать 0=05/5, где5=и04соз (со0/0+ф).
Характерной особенностью полученной случайной последова-
тельности импульсов является то, что дисперсия о2 моментов появ-
ления it различных импульсов не растет с ростом номера i, а остает-
ся постоянной. Поэтому такую последовательность для краткости
Рис. 4.2. Импульсы с накоплением (а) и плотности
вероятности для моментов их появления (5).
можно назвать случайной последовательностью импульсов без на-
копления (дисперсии моментов появления). Энергетический спектр
случайной последовательности импульсов без накопления обычно
является дискретно-сплошным.
2.	Импульсы с накоплением (дисперсии моментов появления).
Предположим теперь, что на вход триггерного устройства воздей-
ствует только флуктуационное напряжение 1(f) с дисперсией
о; » Н2 и триггер срабатывает от выбросов этого напряжения
выше уровня Н (рис. 4.2).
При некоторых условиях (например, Н > 2os) можно пренебречь
.ависимостью двух значений флуктуационного напряжения, раз-
деленных интервалом времени Т, где
—	(4.1.2)
Зак. 24 5
145
При этом все величины Т„ i = 1,2, 3, ..., будут иметь одинаковую
плотность вероятности WiT^ = W(T), которую можно вычислить
теоретически или же получить путем обработки экспериментальных
результатов.
Из выражения (4.1.2) следует, что
t; = Тг + + ... + ТI.	(4.1.3)
Вследствие предполагаемой независимости случайных величин T-t
получим I, = iT, а
of = to2, 1 = 1,2,...,	(4.1.4)
где а2 — дисперсия случайной величины Т t.
В данном случае среднее значение и дисперсия момента появ-
ления импульса зависят от его номера.
Характерной особенностью данной последовательности импуль-
сов является увеличение дисперсии для момента появления им-
пульса tt с ростом номера. В отличие от предыдущего случая такую
последовательность условно можно назвать случайной последова-
тельностью импульсов с накоплением. Энергетический спектр та-
кой последовательности является сплошным.
Укажем, что точную случайную последовательность импульсов
без накопления, строго говоря, получить практически невозможно,
так как все источники колебаний (автогенератор, мультивибратор,
блокинг-генератор и др.) при учете естественной нестабильности
дают колебания с накоплением.
3.	Перекрывающиеся и неперекрывающиеся импульсы. Другим
важным признаком, характеризующим случайную последователь-
ность импульсов, является перекрывание (наложение). Под пере-
крыванием понимается возможность появления соседних импульсов
в столь близкие моменты времени, что они частично перекрываются.
Перекрывание импульсов обычно зависит от конкретного устрой-
ства, генерирующего последовательность импульсов. Если непе-
рекрывающиеся импульсы воздействуют на инерционную систему,
то на выходе системы получаются перекрывающиеся импульсы.
В общем случае практическое отсутствие перекрытия импульсов
определяется тем, что вероятность выполнения неравенства Т < т
равна нулю или достаточно мала. Применительно к указанным выше
случаям импульсов без накопления и с накоплением отсутствие
перекрытия импульсов обеспечивается выполнением неравенств
а <С TQ—т и — т соответственно. Следует отметить, что
при выполнении последнего неравенства импульсы не перекры-
ваются, хотя плотности вероятности W(tt) и U7(f/_|-i) при больших i
могут сильно перекрываться.
В дальнейшем мы рассмотрим случайные последовательности
импульсов преимущественно прямоугольной формы. Случайные
импульсы прямоугольной формы в ряде случаев являются хорошей
146
аппроксимацией реальных сигналов, используемых в радиосвязи,
радиолокации, телеметрии и других областях. Кроме этого, поток
прямоугольных импульсов может служить математической мо-
делью для описания ряда других процессов. Например, продолжи-
тельность работы какого-либо устройства можно задать длитель-
ностью импульса, а время нахождения его в ремонте—длитель-
ностью паузы. Аналогичные примеры можно привести из теории
массового обслуживания и т. п. [2, 3, 4].
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСОВ ПО АНСАМБЛЮ
И ПО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим случайную последовательность прямоугольных им-
пульсов, содержащую достаточно большое число импульсов
(рис. 4.3). Совместим начало отсчета времени с моментом появления
первого импульса, считая его нулевым. Обозначим момент появления
i-ro импульса через tt, его амплитуду Аг и длительность т;. В слу-
чайной последовательности отдельные величины Ab т,, tt или все
являются случайными, т. е. принимают заранее неизвестные зна-
чения. Поэтому рис. 4.3 следует понимать как конкретную реализа-
4 (t)
(l-1) импульс
Рис. 4.3. Случайная последовательность прямоуголь-
ных импульсов.
цию (сфотографированную осциллограмму, полученную в конкрет-
ном опыте). Если даже условия опыта не изменяются, то одна реа-
лизация будет отличаться от другой. Поэтому функция при
одном и том же значении аргумента t будет принимать разные зна-
чения, представляя собой случайную величину со счетным множе-
ством значений.
Описание случайной последовательности прямоугольных им-
пульсов сводится к указанию вероятностных характеристик трех
случайны! величин: А(-, т(-, или А,-, тг, А;, где А/ — интервал
времени между соседними импульсами.
Пусть имеется случайная последовательность независимых им-
пульсов. Для такой последовательности параметры А;, т/, А* как
одного, так и разных импульсов независимы. Поэтому последова-
6*
147
тельность независимых прямоугольных импульсов определяется
указанием плотностей вероятностей амплитуд импульсов их
длительностей и интервалов между соседними импульсами
И72(А). Обычно эти плотности вероятности находятся в результате
решения самостоятельной задачи, а именно, конкретного физическо-
го анализа работы устройства, создающего импульсы.
Рис. 4.4. Определение плотности вероятности
стационарного эргодического процесса.
Зная эти плотности вероятности, можно вычислить средние зна-
чения амплитуд импульсов, их длительностей и интервалов между
импульсами:
ОО	00
/пА = (Л)= j AW(A)dA, mT = (т) =
—оо	О
оо
тд = (Д) = J ДГа(А)б/Д.	(4.2.1)
о
При рассмотрении эргодического свойства (см. § 8 гл. 3) указы-
валось, что некоторые статистические характеристики стационар-
ного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством,
можно найти по одной реализации достаточно большой длительности.
В частности, одномерную плотность вероятности стационарного
в узком смысле эргодического процесса можно определить следую-
щим образом. Пусть имеется реализация £(£) такого процесса боль-
шой длительности Т (рис. 4.4). Выделим на уровне горизонталь-
ную полоску малой ширины А| и подсчитаем общее время АТ,
в течение которого значения случайного процесса заключены в ин-
тервале (£i,	+ Д£):
АТ = A/j -ф Д/а -j- •••
Мп-
(4.2.2)
Тогда одномерная плотность вероятности w (£) при выбранном
значении пропорциональна относительному времени пребывания
случайной функции £,(/) в интервале (£х, .+ А£):
(4.2.3)
148
Применительно к плотностям вероятности IV'i(t) и И/2|Л) ре-
зультат (4 2.3) изменяется. Покажем это, например, для плотности
вероятност W\(t).
Рассмотрим ансамбль, содержащий достаточно большое число
У реализаций, наблюдаемых на выходе одновременно работающих
идентичньк систем. В какой-либо фиксированный момент времени t
будем имегь М импульсов ансамбля (А4<'А')- Из этих М импульсов
часть имгульсов т(т) будет иметь длительность, заключенную
в интервале (т, т + Ат), где Ат — достаточно малая величина.
Т огда
Wr (г) Ат = lim
7V->oo
(4.2.4)
м
Рассмотрим теперь одну реализацию достаточно большей дли-
тельности Т, содержащую большое число импульсов L. Очевидно,
что средше число импульсов, появляющихся в единицу времени,
равно
v = L/T.	(4.2.5)
Обозначим число импульсов в реализации, длительность кото-
рых заключена в промежутке (т, г + Ат), через /(г). Тогда сум-
марная для времени А7\ занятая такими импульсами, равна:
АГ = t/(i). Если определить плотность вероятности по времени
аналогично (4.2.3) как относительную долю времени реализации,
занятую импульсами длительностью от т до т + Ат, то с учетом
(4.2.5) межем написать
vt lim
7 > 00
(4.2.6)
Учитывая, что для однородных во времени процессов спра-
ведливо равенство
Г1(т)Ат = lim =lim ,
получим
U7i (т) = vr
(4.2.7)
Форму; а (4.2.7) показывает различие между плотностями ве-
роятности, полученными на основании рассмотрения одной реали-
зации и ансамбля реализаций. Это различие следует иметь в виду
при экспериментальном определении плотности вероятности И7х(т)
по осциллограммам. Хотя пользуются как плотностью вероятно-
сти IFi(t), так и плотностью вероятности IFi(t), в дальнейшем мы
будем в основном оперировать с плотностью вероятности IF1(t),
определяемой путем усреднения по ансамблю.
149
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Рассмотрим стационарную случайную последовательность пря-
моугольных импульсов (рис. 4.5, а) с взаимно независимыми ампли-
тудами Дг, длительностями ту- и интервалами ДА, где индексы i,
j, k принимают всевозможные значения. Будем считать заданными
плотности вероятности WCA), ^(т) и ТГ2(Д) для указанных пара-
метров импульсов.
t-/	^0


Рис. 4.5. Случайная последовательность прямоугольных
импульсов (а)т соответствующие ей прямоугольные им-
пульсы единичной высоты (б) и их производная (в).
Одной из важнейших статистических характеристик импуль-
сного случайного процесса является спектральная плотность (или
функция корреляции). Оказывается, что в данном случае легче
вычислить спектральную плотность, чем функцию корреляции.
Поэтому здесь мы лишь кратко укажем метод непосредственного
вычисления функции корреляции [1], а в § 4 более подробно раз-
берем метод вычисления спектральной плотности [5, 6].
Запишем рассматриваемый случайный стационарный импуль-
сный процесс в следующем виде:
1 при
О при других t.
(4.3.1)
150
При такой записи 6 явном виде выделена амплитуда импульсов.
Очевидно, что стационарный случайный процесс
=	(4.3.2)
I
составленный из последовательности функций —/,), копирует
исходный импульсный процесс £(/) с той лишь разницей, что теперь
все импульсы имеют амплитуду, равную единице (рис. 4.5, б).
Учитыва! взаимную независимость отдельных параметров им-
пульсов, длн среднего значения можем написать
ОО	00
=	2 (Л) <Л(t -= тл 2 <Л(/-^)>=тл<т1(О).
i=—ОО	( = —00
(4.3.3)
При вычислении среднего значения случайной последователь-
ности прямоугольных импульсов единичной высоты воспользуем-
ся следующей теоремой. Среднее значение равно вероятности собы-
тия, состояцего в том, что при случайном бросании точки на ось
времени она упадет на одно из оснований импульсов, а не на про-
межуток между импульсами.
Действительно, случайная функция т|(() в любой момент вре-
мени может принимать только два значения: 0 и 1. Обозначим ве-
роятности эгих значений соответственно через р0 = Р(т|(() = 0) и
Pi = P(r\(t) = 1). Очевидно, что
= <П(0 > = ° • Ро +1 • Pi=Pi 
По рг есть вероятность того, что рассматриваемый момент времени
окажется на основании какого-либо импульса. В свою очередь,
она равна отношению средней длительности импульса к среднему
интервалу между моментами появления двух соседних импуль-
сов, т. е.
ОТ
r tnz + т д
1
V—------------.
/тгх4-
(4.3.4)
11оэтому выражение (4.3.3) можно записать в окончательном виде:
vntA пг-.	(4.3.5)
Укажемтеперь метод вычисления функции корреляции. По опре-
делению функция корреляции равна:
k (Х)=/дп(Х) - т\, тп(Х)=(|(/)!(/+%)).	(4.3.6)
151
Воспользовавшись выражением (4.3.1), представим двумерный
момент второго порядка ти(Х) в виде суммы
ОО
/Мц(Х)= 2 (Я/) li) +	+
i —— ОО
I OO	I
+J 2 <A) M/) (A- (I	- A+x))=
UJ--00	I
У	I
00	00
=И2) 2 (A(/-A)A(^-A+X))+/nl 2 W-AW-A+X))-
i =—00	Л/~—оо
(h4)
(4.3.7)
Входящие в (4.3.7) средние значения слагаемых найдем на осно-
вании теоремы: среднее значение < ft(t — t) fj(t—tj + X) > равно
вероятности события, состоящего в том, что при бросании Х-отрезка
(т. е. отрезка длительности X) на ось времени этот отрезок упадет
обоими концами на основания i-ro и /-го импульсов, но ни один
из концов не упадет на промежуток между импульсами.
Действительно, пусть i<j. Тогда’при бросании отрезка^дли-
тельностью X возможны четыре различных исхода. 1) С вероятно-
стью рн левый конец упал на основание i-ro импульса, а правый на
основание /-го импульса, при этом />(/ — iz) //i — tj + X) — 1.
2) С вероятностью р01 левый конец упал на промежуток между
импульсами, а правый на основание /-го импульса. В данном случае
А(/ — Qfj(t — tj + X) == 0 • fj(t — tj + X) = 0. Применяя ана-
логичные обозначения для других двух случаев, находим среднее
значение
h) fj(t — i/+X)) = l •Pu+0-pol+O-plo+0-po0=pu. (4.3.8)
Для определенности совместим момент i0 появления «нулевого»'
импульса с моментом появления импульса, в пределах основание
которого окажется левый конец Х-отрезка. Такое совмещение пра-
вомерно, так как случайная последовательность предполагается
стационарной, причем в данном случае
тп (Х)=тп( — X).	(4.3.9)
Обозначим через С; событие, что левый конец Х-отрезка на-
ходится на основании нулевого импульса, а правый — на основа-
нии i-ro импульса. Например, событие Со состоит в том, что Х-от-
резок весь лежит внутри основания нулевого импульса; — левый
конец лежит на основании нулевого импульса, а правый — на
основании первого импульса и т. д. Обозначим вероятности этих
152
несовместимых событий через Рг(Х), (=0, 1, 2,... Тогда формулу
(4.3.7) можно записать в таком виде
ОО
ти(Х)=(Л2)Р0(Х)+т^ £Л(Х).	(4-З.Ю)
£ = 1
Таким сбразом, задача определения функции корреляции (4.3.6)
сведена к исчислению вероятностей РДХ), i — 0, 1, 2, 3, ... Поль-
зуясь формулой (4.3.8), эти вероятности можно выразить через
Г/т) и ^В(Д) [1].
Повторив рассуждения, приведшие к формуле (4.2.7), можно
убедиться, что вероятность того, что произвольно взятый момент
времени t попадает на основание импульса с длительностью т
Рис. 4.6. К вычислению вероятностей Р0(Х) и Р,(Х).
в интервале (t, т + с/т) равна Wi(x)dx. Вероятность же того, что
он расположен в элементарном интервале (р, р + с/р), отстоящем на
расстоянии р(>0 от начала рассматриваемого импульса, равна
dpiт, так сак в пределах импульса равновероятны все значения р
(рис. 4.6, е). Поэтому вероятность того, что момент времени t на-
ходится на расстоянии р от начала какого-либо импульса с длитель-
ностью т, заключенной в интервале (т, т+ с/т), равна
^-W1(x)dx=vW1(x)dxd?
(4.3.11)
Если момент времени t расположен указанным образом, то
вероятность попадания момента времени t + X (правого конца Х-от-
резка) на гот же самый импульс будет равна единице при р+ Х<т,
т. е. если р изменяется в пределах 0<:р<(т — к. Проинтегрировав
(4.3.11) по этим значениям р и учитывая условие (4.3.9), имеем
X |) v (т) dx при | X
О	пои X
(4.3.12)
6В Зак. 24S
153
Если теперь проинтегрировать (4.3.12) по всем Возможным зна-
чениям длительности т, то получим вероятность Ро(%) нахождения
^-отрезка на нулевом импульсе:
P0(^)=vJ(t — |М) W^xjdx.	(4.3.13)
Гм
Вычислим вероятности; PZ(X), i — 1, 2, 3, ...» рассматривая
случайную последовательность прямоугольных импульсов единич-
ной высоты т|(/). Для сокращения записи обозначим совместную
плотность вероятности
^3(т0Л/, ti) = IFi(t0) ИВД Wi th).	(4.3.14)
где т0 — длительность нулевого импульса;
ti — момент появления /-го импульса.
Вероятность того, что левый конец Х-отрезка находится на осно-
вании нулевого импульса с длительностью (т0, т0 + dr0) и рас-
положен на расстоянии р от его начала, дается выражением (4,3.11)
и равна vWz1(To)£/rodp, где
0<р<т0.	(4.3.15)
Если левый конец Х-отрезка находится в пределах основания
нулевого импульса, то вероятность нахождения его правого конца
в пределах основания i-го импульса (рис. 4.6, б) совпадает с вероят-
ностью выполнения неравенства
ti — X < p<ti — Х+т/.	(4.3.16)
Следовательно, для вычисления вероятности /Д(Х) нужно про-
интегрировать выражение
v W 1 (г0) 1 С^’) * (^*) A)	dti dp — v IEз (r0, Xi, ti) dx^ dxi dti dp
(4.3.17)
по всем значениям p, т0, Т/, при которых левый конец Х-отрезка
расположен на основании нулевого импульса, а правый — на
основании /-го импульса.
Так как выражение (4.3.17) не зависит от р, то целесообразно
проинтегрировать его сначала по р. Из (4.3.15) и (4.3.16) получаем,
во-первых, условие совместности этих неравенств
ti — т0<Х<^+^	(4.3.18)
и, во-вторых, четыре области интегрирования: П15£>2, 23, £24, в каж-
дой из которых можно выполнить интегрирование по р:
Qx — если
Q2 — если
Q3 — если
Q4 — если
<4 ti	X4“Tf,
*0 ti	Х“Е^1)
То > ti	X-f-Tj,
т0 <4 ti	X^pt/,
TO 0<p<To;
то 0 p <4 ti 4-X-ET/j
to ti	X <4 p <Д /—XXi;
то /j 1 X <Д p
154
Проингегрировав (4.3.17) по этим областям, получим интере-
сующую нас плотность вероятности Pi(k). Например, интегриро-
вание пор в области 2Х дает т0. Поэтому интеграл по области
запишется в следующем явном виде*.
оо	X	Ч
J1(Ki=v Г	С	J т0 (т0)dт0. (4.3.19)
ООО
В результате интегрирования по р в области Q2 получим
(/£-—X-J-v) и, следовательно, интеграл по этой области равен:
оо	X	оо
72(X) = vf W1(Tl)d'tl	J	(ti—X+r,-) ЯЧТо^То.
0	0	t +
(4.3.20)
Аналогичиым образом можно выразить в явном виде интегралы
J3(Zu) и J[К) по двум остальным областям Q3 и
Проиллюстрируем методику вычисления вероятностей Ро(^) и
РД^) на следующем тривиальном примере. Пусть прямоугольные
Рис. 4.7. Случайная последовательность пе-
риодически следующих прямоугольных им-
пульсов одинаковой длительности (а) и со-
ответствующая функция корреляции (б).
импульсы одинаковой длительности тг-= т0 = const, но разной
амплитуда At имеют постоянный период следования То (рис. 4.7, а).
В данном случае плотности вероятности для длительности импульсов
и моментов появления являются дельта-функциями: IFx(t) =
= S(t — r0), Wi(ti) = б(/ — iT0), i=l, 2, 3, ... Очевидно, что
для таков последовательности v = 1 /То, tn- = т0.
6В*
155
При вычислений отдельных интегралов будем пользоваться
формулой (П.4). Имеем
Zu|) 6(т — r0)dr =
при
при
I < t0,
I I > t0.
(4.3.21)
Согласно (4.3.19) можем написать
оо
6(tf
о
х	О—М-т«
r0)dtij6(^- — iT0)dti [ т6(т— r0)dr.
о	о
Интеграл по переменной т отличен от нуля лишь при ^+т0 —
— Х^>т0, т. е. при ^=iT0>X. Но при этом условии интеграл
по переменной tt равен нулю. Поэтому J1(X)=O.
Интеграл (4.3.20) в данном случае равен
J2(l)=v j 6(rt — x^dxi J 6(ti~iT^dii J (it — А, ф-т) 6(r — x0)dx=
0	0	tl
oo	x
=v I 6 (xt — t0) dxt ((tt -Ho — X) b(ti — ITO) dtt =
b	о
vG^o+^o —M ПРИ
О ПРИ X < iTq.
(4.3.22)
Повторив аналогичные рассуждения, получим 73(А) = О,
iT0 + X) при А.<гТ0,
О при А, > iT0.
(4.3.23)
Следовательно,
f v(t0+iT0 —1),
I v(% —l^o+M,
X > гТ0,
X<iT0,
(4.3.24)
где пределы изменения А, определяются неравенством (4.3.18).
Если подставить выражения (4.3.21) и (4.3.24) в (4.3.10),
а затем в (4.3.6), то получим окончательную формулу для функции
корреляции. Примерный вид функции корреляции изображен на
рис. 4.7, б. Она состоит из равноотстоящих равнобедренных тре-
угольников с основанием 2т0 и высотой тлхх0, за исключением
«нулевого» треугольника, высота которого превышает высоту ос-
тальных на УоДт0, где Ол — дисперсия высот импульсов.
Отсюда следует, что энергетический спектр рассматриваемой
последовательности будет дискретно-сплошным, т. е. состоящим нз
дискретных линий и непрерывной составляющей.
Р/(М=
156
§ 4. спектральная плотность случайных
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
За исключением некоторых частных случаев (например, пуас-
соновских импульсов) непосредственное вычисление корреляцион-
ной функции сложнее, чем спектральной плотности. Найдем спект-
ральную плотность стационарной случайной последовательности
прямоугольных импульсов (рис. 4.5, а) с взаимно независимыми
амплитуд!ми At, длительностями т7 и интервалами Aft, считая из-
вестными плотности вероятности W(A), W\(t) и Ц72(Д). Примени-
тельно к прямоугольным импульсам вместо ступенчатой случайной
функции п(0> определяемой выражением (4.3.2), удобно ввести ее
производьую п(0. Рассмотрим реализацию производной т](0 на
конечном интервале времени (О, Т), где Т = L!v. Она представляет
собой последовательность чередующихся биполярных дельта-функ-
ций (рис 4.5, в):
n(0= S LS(Z — #/) —	—/z — rz)J.	(4.4.1)
t=0
По форкуле (3.10.12) с учетом (П.4) находим спектральную
функцию
L Т	L	.	'
т‘ ’ i=0^	'=0
(4.4.2)
Все дальнейшие вычисления выполняем по формуле (3.10.14).
Очевгдно, что
I f- (со) |2=(CO)F‘ (<0)= 2 S - е~м/‘- + ^] X

(4.4.3)
где звездочка обозначает комплексное сопряжение.
Двойную сумму (4.4.3) целесообразно разбить на три суммы,
соответсгвующие k==i-\-n^>i и k=i—n<^i- Обозначим их
соответственно через 2о> 2 и 27:
Г —До//	—/^z Hz)
С -------с
(2
—/шт
р!’п11—П __ I--п+г1~п)
QiMli__е/°<б+т<)

157
Выразив в последних двух суммах разности времен через т, и Дй,
нетрудно убедиться, что они являются комплексно-сопряженными и,
следовательно,
2+S*-2Re£,
где через 7?е обозначена реальная часть.
Статистически усредняя равенство (4.4.3), можем написать
<l^(“)l2)-=(2o) + 2Re(2).
(4.4.4)
Средние значения сумм в правой части выражаются через характе-
ристическую функцию ©!(«>) длительностей импульсов и характе-
ристическую функцию 02(w) интервалов между импульсами:
ОО
®1(<о)= (е^г) = (е''от) = ( е'ЛТ(т)dx,
V
о
00
02(w)= (е/шДл) = (е/шД) = 'У eA*W2(A)<iA.
о
(4.4.5)
При вычислениях следует иметь в виду, что характеристиче-
ская функция суммы независимых случайных величин равна про-
изведению характеристических функций слагаемых, а также оче-
видное соотношение 0(— й) = 0*(ш), следующее из (4.4.5).
С учетом равенства
в результате статистического усреднения получим
£	“t	г
®1(о>) — ®i (fi>)|=(£-}-l) [2 — ©/и)
@l(©)
= 2(L-|-l)Re[l -0! (<о)],
ев(со) 11 —	i]
1 — 0i(w) 02(w)

1	01(w) 02(^)
L 1---®l(w)®2(wj
©f (cd)©£((0)]}.
В большинстве
условие
практически интересных случаев выполняется
158
При выполнении этого условия спектральная плотность согласно
формуле (3-.10.14) будет равна
S. (<о)= lim (®)|2)= m —- Нть-г «b)+2Re (2)1 =
7 -> оо л	т; * Дх ь -+ оо
Выполнив простые преобразования, получим
. , ч___2___ (1-61(41 U —62(41
Т; '	' т, \ -т	1—01(4 <=>8(4
(4-4.7)
Воспользовавшись формулой (6.2.12), определяющей спектраль-
ную плотность стационарного случайного процесса через спектраль-
ную плотность его производной, можем написать окончательное
выражение:
(°)	а>2	+ мд)
[1-01(41 (1 - е>2(4]
1 — 61(402(4
(4.4.8)
Спектральная плотность исходной последовательности прямо-
угольных импульсов £((), имеющих разные амплитуды (рис. 4.5, а),
будет равна
^(ш) ffl2(mt-rmA) Х
X [<Л=> Re [1 — е,(М)|+ Re
(4.4.9)
Если же независимые прямоугольные импульсы имеют одинако-
вую амплитуду Л/—-Ло= const, то (Л2)—тл=Ло и формула (4.4.9)
принимает вид
$4®)=
[1-01(41 [1 -W]
1 — ©1(4 ®г(4
(4.4.10)
Отметим, что формулы (4.4.8) и (4.4.10) симметричны относитель-
но характеристических функций @i(®) и ©2(со).
Из формулы (4.4.10) можно получить ряд частных результатов.
Так, если длительность импульсов фиксирована (тг = т0 = const),
то
@1((о)=е^“''’.
(4.4.11)
159
О с___
-во
При этом, введя обозначение 0о(о)=01((о) ©2(со), имеем
2Л?
5= (т) =	; Re
4 ’	+ /пд) 4
2ло	„ Г 1 -
—
7Г 0	, СО
2 sin
+ т д)
Выделив действительную часть, получим окончательную формулу
4Ад sin2
S, (<о)=
(4.4.12)
2
Из симметрии формулы (4.4.10) относительно @х и 02 следует,
что если в выражении (4.4.12) заменить т0 на До = const, то оно
будет определять спектральную плотность последовательности не-
зависимых прямоугольных импульсов с фиксированными интер-
валами.
Когда длительности импульсов и интервалы между ними имеют
одинаковый закон распределения, т.
02(w)=01(tt)),
формула (4.4.10) принимает вид [5]:
2 Л2 1
5, («>)= —-2 - --L
(4.4.13)

2
Иногда указывается плотность вероятности не для интервалов
между импульсами Д(-, а для промежутков времени между момента-
ми появления двух соседних импульсов
Ti=ti~1 = 1, 2, ...	(4.4.15)
Обозначим характеристическую функцию для случайных величин
(4.4.16)
©(со) =(е/“г)= е'“г W(T)dT.
о
Если величины т, и Tk при разных значениях индексов i и k
можно считать независимыми, то, повторив выкладки, аналогич-
ные тем, которые применялись при выводе формул (4.4.8) и (4.4.10),
получим следующую формулу:
о ч 2Л0
(ю) = — Re-
= 2Aq j_[e[g|01|д_
^тТ	11 — О |2
*
160
Из (4.4.1') при т, = т0 = const приходим к формуле вида
(4.4.12), в которой нужно теперь заменить 0О на 0. В том частном
случае, когда постоянен период следования импульсов, т. е. Ti =
= То = const, 0(<о) — е/'"7’», из формулы (4.4.17) получим
5,(0))-:^(1_|01((й)|2),
(4.4,18)
Отметим, что мы анализировали случайные последовательности
прямоугольннх видеоимпульсов. Если рассматривать не видеоим-
пульсы, а радиоимпульсы, то задача несколько усложнится, так
как появятся дополнительные случайные параметры (частота,
начальная фаза и др.), по которым нужно выполнять статистиче-
ское усреднение [7].
§ 5. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПУАССОНОВСКИХ
ИМПУЛЬСОВ
Вычислим корреляционные функции двух, частных видов им-
пульсных случайных процессов, а именно, случайного телеграф-
ного сигнала [4] и пуассоновских возмущений [8].
1. Случайный телеграфный сигнал. Пусть имеется последова-
тельность прямоугольных импульсов с одинаковой амплитудой

Ао
п
и	t
Рис. 4.8. Случайный телеграфный сигнал.
1 о, характеризуемая тем, что в любой момент времени t равно-
вероятны два значения £(/): До и нуль, причем вероятность того,
-но в достаточно большом интервале времени т происходит п скач-
|.ов, задается законом Пуассона
D / х (VTI
Рт(и)=
47 п\
(4.5.1)
 io v — среднее число скачков в единицу времени.
Такой импульсный случайный процесс часто называют случай-
ным телеграфным сигналом; он изображен на рис. 4.8.
15 данном стучае функцию корреляции можно получить непосред-
иц цио при помощи формулы (4.3.8). Так как случайная функция
1Ф1
£(/) в любой момент времени принимает лишь два значения £(/) =
= Л о и £(/) = 0 с равными вероятностями pi = Ро — ОД то ее
среднее значение равно:
- ^(О)=Л-Р1+О-Ро=	Л«‘	(4-5>2)
Используя те же обозначения, что и в § 3, для момента /Пц(т)
можем написать
mn(r) =	+т)>=(0 • 0) р00+(0 • Ло) А>1 +(4 ’ 0) Pi о+(4 ‘ 4) Рп ==
л2
= Ло Рц.
(4.5.3)
Вероятность ри совместного выполнения равенств £(^)=Л0 и
£(/4-т)_Ло совпадает с вероятностью того, что за интервал вре-
мени т происходит четное число скачков, т. е. Ри™Р1Рт(л) —
= ~^-Рт(л) при п четном. Следовательно,
о° п
/пп(т)= ’ Лое-71х1 У	п —четное. (4.5.4)
п= 0
Этот ряд можно записать иначе:
(п—четное)
Поэтому
/Пц(т)=^Л20(1 + е-2^1)
и на основании формулы (4.3.6) получаем окончательное выра-
жение для корреляционной функции
Л(т)=/и11(т)—Лое~2','т1.	(4.5.5)
ТС
Отсюда видно, что спектр случайного телеграфного сигнала
сплошной.
Иногда импульсный случайный процесс вида, показанного на
рис. 4.8, получают при помощи одностороннего или двустороннего
идеального ограничения нормального стационарного шума. Такие
ограниченные (клиппированные) процессы в общем случае не яв-
ляются пуассоновскими; их функция корреляции определяется
формулой (5.6.4в).
2.	Наложение пуассоновских возмущений. Пусть случайный
процесс можно представить в виде суммы	;
i
(4.5.6)
162
>десь nt — пиело элементарных импульсов ^возмущений), возни-
кающих за достаточно малый интервал времени А/о tt — случай-
ный момент появления i-го возмущения, имеющего детерминиро-
ванную форигу af(t— Zz), где /(/— . ^) = 0 при Длительность
каждого возмущения может быть как конечной, так и бесконечной.
( лучайные величины ni и считаются независимыми. Предполо-
жим далее, что моменты появления ti отдельных возмущений также
независимы, г. е. вероятность Рт(п) того, что за некоторое время т
। изникает п возмущений, определяется по-прежнему законом Пуас-
1 опа (4.5.1), в котором v — среднее число возмущений в единицу
времени. Подразумевается, что т значительно превышает длитель-
ность элементарного возмущения.
Найдем среднее значение и функцию корреляции случайного
процесса £(Zj, представляющего собой результат наложения от-
ельных возмущений.
Прежде чем перейти к вычислениям, приведем один пример,
поясняющий смысл отдельных величин. Если рассматривать дробо-
вой шум в электронных лампах, то под следует понимать число
'нейтронов, вылетающих из катода за малый интервал времени
V, <т0, где i0— время пролета электрона в лампе; под af(t — Q —
импульс тока (напряжения) в анодной нагрузке, вызываемый про-
н’том одного электрона, вылетевшего из катода в момент времени
т (* некоторой фиксированной начальной скоростью.
Чтобы учесть нестационарный (переходный) характер процесса
iZ), предположим, что возмущения начинают возникать только
иисле момета t — 0. Статистически усредняя левую и правую
•1.1СТИ равенства (4.5.6), имеем
<£ t i)) = (а 2 n<f (/ - /0)	2 (nz) f (t - t£).	(4.5.7)
‘	i	i
Если v — среднее число возмущений, возникающих в единицу
"рсмени, то среднее число возмущений <п(> за очень малый ин-
" рвал времени А^(- равно: <«,-> = vAf,. Поэтому
t
^>(t))=va^f(t—ti)Mi = va\f(t~ti)dti.
1	о
 1<’сь верхний предел интегрирования взят равным t потому,
•'*> j(t— Ц) = 0 при t <Ztt. Заменяя переменную интегрирования
tt=x, пожучим
t
<£(0>=va j/(x)dx.	(4.5.8)
о
Пз равенств (4.5.6) и (4.5.7) имеем
В(0 — (0>=° 2 К- — <п<>] f(t — tt).
i
163
Поэтому для функции корреляции можем написать выражение
Ki (t, T)=a2 2 2 ([”«• — <"<•>] 1«/ — <«/>]/ f К — М/С — С+Ч-
i !
Так как случайные величины щ— <П/> и rij—<П/> при i=f= ] не-
зависимы, то
Ki (t, х)=а2 2 <[«, - <n(->]2> f(t - tt) Kt - ti 4-т).
i
По предположению, случайная величина п,- распределена по
закону Пуассона (4.5.1). Согласно (2.7.4) дисперсия пуассонов-
ского распределения равна математическому ожиданию, т. е.
<[п,- —<M/>]2) = <ni> = vA^. Следовательно,
t
Ki. (t, r)=a2v £f(t — ti)f(t-ti~i-x)Ati=a2v [ /(x) /(x4-T)dx.
i	b
(4.5.9)
Чтобы перейти к стационарному состоянию, нужно в фор-
мулах (4.5.8) и (4.5.9) положить t->co. При этом получим
ОО
пц. = <£ (^)>=va§f(x)dx,	(4.5.10)
о
ОО
Ла(т) = уй2 j* f(x) f(x+r) dx.	(4.5,1 Г)
b
Эти две формулы в литературе называют формулами Кэмпбелла [91.
До сих пор предполагалось, что все элементарные возмущения
одинаковы по форме и интенсивности и отличаются лишь момен-
тами появления. Чтобы учесть неодинаковую интенсивность воз-
мущений, нужно в предыдущих выражениях считать амплитудный
множитель а случайной величиной Величины aL определяют на-
чальные значения возмущений. Например, в указанном выше при-
мере дробового шума множителями at можно учесть неодинаковую
интенсивность элементарных импульсов из-за различия начальных
скоростей отдельных электронов, вылетающих из катода.
Если значения ц статистически независимы от nL и то в фор-
мулах (4.5.8) — (4.5.11) нужно выполнить дополнительное усред-
нение по возможным значениям аг При этом формулы (4.5.8) и
(4.5.9) примут соответственно вид
t
<^)Hv(a> f/(x)^,	(4.5.12)
о
t
Ki (t, r)=v (na) j /(x) /(x-|~t) dx.	(4.5.13)
Q
U4
Можно показать [8], что кумулянты процесса |(/) в стацио-
нарном состоянии равны:
zn = v <.ап) f!l (x)dx.	(4.5.14)
о
Формулы Кэмпбелла вместе с (4.5.14) позволяют находить ста-
тистические характеристики стационарного процесса £(/) на выходе
побои линейной системы, когда на нее воздействуют случайные
пуассоновск!е возмущения. Для этого нужно лишь знать отклик
системы f(t)na элементарный импульс, возникающий в момент вре-
мени t = 0. Воздействие пуассоновских импульсов и, в частности,
случайного телеграфного сигнала на интегрирующую цепочку RC
подробно рассмотрено в работах [10—12]. Гораздо сложнее реша-
ются задачи, связанные с нелинейными преобразованиями случай-
ных импульсных процессов.
§ 6. ДЕТЕК1ИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ИМПУЛЬСОВ
Расчет тсчности интегральных счетчиков радиоактивных излу-
чений, накопительных схем и некоторых измерительных радиотех-
нических устройств сводится к следующей задаче 113—151. На ли-
нейный детектор (рис. 4.9) воздействует напряжение £(/), пред-
ставляющее собой случайную последовательность неперекрываю-
щнхся прямоугольных импульсов одинаковой высоты Ло со
случайными и независимыми длительностями и паузами Д;
срис. 4.10). Полагая известными плотности вероятности №i(т) и
IV/2(A), найдем плотность вероят-
ности №\н) для напряжения u(t)
на выходе детектора, причем вольт-
амперную характеристику диода
иудеи считать линейно-разрыв-
ной, т. е.
( SU при (7^>0,
/=/({/)= н '
10 при и <Д.
(4.6.1)
Рис. 4.9. Линейный инерционный
детектор,
Дифференциальное уравнение, связывающее входное напряже-
ние £(?) с напряжением u(Z) на цепочке RC, имеет вид
и+~и =	— и).
(4.6.2)
165
Поскольку вес импульсы Имеют одинаковую Высоту До, то это
уравнение распадается на два, справедливые соответственно в те-
чение действия импульса и паузы между импульсами. Если обозна-
чить значения напряжения u(t) в начале и в конце i-ro импульса
через и\ и то можем записать решение уравнения (4.6.2) так:
[ u^t) = a0+(Ui — а0)ехр[—a(t — ti)],
н(£)= 1
I u^t) = Ut exp [—р (t — ti — г,)], ti + ri < t < ti+\,
(4.6.3)
где
Величина aQ равна максимально возможному значению напряжения
на цепочке RC, которое может быть достигнуто в течение действия
импульса.
Рис. 4.10. Случайные импульсы прямоугольной формы.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятый наугад
момент времени t совпал с наличием импульса, или u(t) =
а через В— противоположное событие, т. е. u(f) ~ При не-
зависимости величин т и А по формуле полной вероятности можем
написать
W(u)~P(A)w (и [ Л)4-Р(В)ш(и| B)=P(A)w(u1)-\-P(B)	(4.6.5)
где Р(А) и Р(В) — вероятности несовместимых событий Л и В;
w(u\A)^w(u1) и w[(u | В) — w (u2) — условные плотности вероят-
ности для напряжения u(t) ~ Ui(t) и u(t)=u2(t).
Для вероятностей Р(Л) и Р(В) имеем очевидные выражения
Р (А) =-----, Р (В) - —.	(4.6.6)
Таким образом, задача определения W(u) сводится к вычислению
условных вероятностей w(ui) и Для этого воспользуемся
решением (4.6.3).
166
Первое выражение (4.6.3) можно рассматривать как уравнение
между независимыми случайными величинами U; и 6 = t — tt,
с одной стороны, и «1(/) — с другой. Действительно, пусть Ц7Н(17')
есть плотность вероятности для нижних ординат точек излома кри-
вой u(t) в нгчале импульса (рис. 4.10), а Ра(&) — плотность вероят-
ности для мучайной величины 6 = t — при условии осуществ-
ления в момент времени t события А. Тогда на основании формулы
(5.1.21) с учетом уравнения (4.6.3) получим
ОО
w (ui) = j [До + («1 — «о) е’ЧРд (х)
о
d(E, S)
д (их, х)
dx =
J [а0 + («1 — о») e°*] Ра (х) еах dx.
О
(4.6.7)
Это представление для	получено путем перехода от переменной
и', к новой переменной и1г определяемой уравнением (4.6.3), и от
переменной 6 к х. Можно, конечно, поступить наоборот.
Путем аналогичных рассуждений получим следующее выражение
для ш(«2):
оу(и2) = С иУк(и2е^)Рв(у)е₽уйу.	(4.6.8)
о
Здесь Wk(17") — плотность вероятности для верхних ординат то-
чек излома кривой u(t) в конце импульса и Рв(б) — плотность
вероятности для случайной величины S = t — (^ + т().
Выражения (4.6.7) и (4.6.8) дают представление функций плот-
ности вероятности и аг>(и2) через неизвестные пока функ-
ции Ра (6), Pb(S), Wh(U') и Wk(U"). Найдем эти функции.
Обозначим через Wt (т j Л) Ат вероятность того, что при осу-
ществлении события А случайно выбранный момент времени t
приходится именно на импульсы с длительностью от т до т-фД,.
Очевидно, «то
ОО
Ра(&)= [ PA(b]r)Wt(x\A)dx,
о
(4.6.9)
। де Рл(61 т) — условная вероятность величины 6 при условии осу-
ществления события А и фиксированной длительности импульса.
11о при заданной длительности импульса т случайная величи-
i;i 8 может принимать лишь два значения: единицу при 0<6 < т
। нуль при 8 т, т. е.
Рд(д|т)^Р ПРИ
(0 при
(4.6.10)
167
Плотность вероятности | Л) легко Находится путем рас-
суждений, применявшихся в начале § 2. Если рассматривать реали-
зацию достаточно большой длительности Т, содержащую L импуль-
сов, то общее время, занятое всеми импульсами, равно mxL. Часть
этого времени, равная т/(т), занята импульсами с длительностью
от т до т Ц- Ат. Поэтому
т
ГГДт] Л) = Игл
L-rOO
^(т).
(4.6.11)
Подставив выражения (4.6.10) и (4.6.11) в (4.6.9), находим ин-
тересующую нас плотность вероятности'
ОО
S т
(4.6.12)
Такие же рассуждения приводят к следующему выражению
для Ps(6):
ОО
Рл(6)= С^-Г2(А)^А.	(4.6.13)
о
Перейдем теперь к вычислению функций WH(U') и WK(U").
Определение этих функций представляет наибольшую трудность
при решении рассматриваемой задачи.
Если в первое выражение (4.6.3) подставить вместо i —
длительность импульса т,, то получим связь между ординатой Ui
нижнего излома кривой u(t) и ординатой Ui верхнего излома той же
кривой. Точно также, положив AI_|_1 = t — ti — tt, из второго
выражения (4.6.3) получим связь между Ui и Применяя
далее тот же способ, который использовался для получения плот-
ностей вероятностей w(u^ и w(u2)t получаем следующие уравнения:
СО
Ц7К (U") = J Ц7Н [а0-(U"-а0) е«]	(%) е„ dx,
О
оо
rH(t7') = J WK(U')W2(y)^dy.
о
(4.6.14)
Эта пара интегральных уравнений определяет функции Ц7Н(СИ и
UW")-
Отметим, что даже для простейших плотностей вероятностей
U^i(t) и Ц7а(Д) решение интегральных уравнений (4.6.14) оказы-
вается довольно трудной математической задачей. Поэтому часто
ограничиваются определением одномерных моментов выходного
напряжения [14].
168
ЛИТЕРАТУРА
1.	Амиантов И. Н., Тихонов В. И. Функция Корреляции
случайной последовательности прямоугольных импульсов. «Радиотехника»,
1950, № 4.
2.	Седгкин Н. М. Элементы теории случайных импульсных пото-
ков. Изд-во Советское радио», 1965.
3.	JI е Bri н Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в ра-
диотехнике. Изд-во «Советское радио», 1960.
4.	L е е Y. W. Statistical theory of communication. John Wiley, 1960.
5.	Ц я нь Сю э-С эн ь. Техническая кибернетика. Пер. с англ. Изд-во
иностранной литературы, 1956.
6.	Стрмтонов и ч Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехш ке. Изд-во «Советское радио», 1961.
7.	В е пп е t W. R., Rice S. О. Spectral density and autocor-
relation fundion associated with binary frequency—shift keying. BSTJ,
1963, v. 42, № 5.
8.	Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер.
с англ. Сборник статей под редакцией Н. А. Железнова. Изд. иностранной
литературы, 1953.
9.	М а к Д о н а л ь д Д. Введение в физику шумов и флуктуаций.
Изд-во «Мир», 1964.
10.	Wont am W. М., Fuller А. Т. Probability densities of the smoothed
«random telegraph signal». Journal of, Electronics and Control, 1958, № 6.
11.	Won! am W. M. Transition probability densities of the smoothed ran-
dom telegraph signal. Journal of Electronics and Control, 1959, № 4.
12.	McFidden J. A. The probability density of the output of an RC
filter when the input is a binary random process. Trans. IRE, 1959, IT-5,
№ 4.
13.	Тико нов В. И. Воздействие прямоугольных импульсов co
случайными длительностями и промежутками на линейный детектор. «Радио-
техника», Н55, Ns 12.
14.	В а i и л ь е в Д. В. Инерционное детектирование случайной по-
следовательности прямоугольных импульсов. «Известия вузов», Радиофизи-
ка, 1960, N 6.
15.	Медведев Г. А. Воздействие импульсных потоков Пальма на
радиотехнические системы с емкостными накопителями. «Известия вузов»,
Радиофизика» 1961, № 2.
Глава 5
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА
НЕЛИНЕЙНЫЕ БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Среди нелинейных преобразований случайных процессов про-
стейшим является такое преобразование, при котором значение
выходной функции т](/) в любой момент времени определяется толь-
ко значением входной функции £(/) в тот же момент времени:
тко = ^а(0).	(5.1.1)
где g(£) — некоторая нелинейная функция (рис. 5.1).
Такое нелинейное преобразование можно назвать безынерцион-
ным или функциональным.
К безынерционному нелинейному преобразованию сводятся пре-
образования, когда входная функция £(/) подвергается дополни-
тельной трансформации линейной системой Ьъ а выходная г](/) —
линейной системой L2, причем эти системы не оказывают реакции
на нелинейный элемент. Такое преобразование можно записать:
П(0 = Lig{La(t)},	(5.1.2)
где и L2 — линейные операторы, описывающие поведение линей-
ных систем.
Правила преобразования характеристик случайных процессов
линейными системами будут установлены в гл. 6. Поэтому для
изучения всех указанных преобразований достаточно рассмотреть
преобразование вида (5.1.1).
Относительно вида нелинейной функции g(£) можно сказать сле-
дующее. Обычно ее получают экспериментально как характеристику
нелинейного устройства или элемента (лампы, полупроводника и
др.). При аналитическом рассмотрении эту характеристику следует
аппроксимировать тем или иным способом. При подборе такой ап-
проксимации важно то, чтобы достигалась хорошая аппроксимация
170
характеристики §(!) на том участке оси где имеет место достаточ-
но большая вероятность появления случайного процесса £(£).
На тех же участках характеристики, на которые процесс попадает
редко, может быть допущена большая погрешность аппроксимации.
Часто применяются следующие три вида аппроксимации: поли-
номом, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и
грансцендентяыми функциями (в частности, экспонентой). Каждый
из этих видов имеет свои преимущества и недостатки. При этом
нужко иметьв виду, что требование точности аппроксимации и тре-
бование простоты аналитического выражения в известном смысле
противоречивы и, как правило, плохо согласуются между собой.
t(t)
7}(t)

* система
зевание
Линейная 7](t)
Рис. 5.1. Нелинейные безынерционные преобразования.
При анализе преобразования случайных процессов линейными
или нелинейными системами задача ставится так: предполагая из-
вестными параметры системы и статистические характеристики
входного прсдесса £(/)> требуется найти статистические характери-
стики процесса т](/), получающегося на выходе.
Рассмотрим простейший случай. Пусть известна плотность ве-
роятности ц_(В) случайной величины £ и нужно найти плотность
вероятности 1#\(ц) случайной величины rj =g(£). Предположим
пока, что существует однозначная обратная функция £ = Л(т]).
Так как случайные величины связаны однозначной детерминиро-
ванной зависимостью, то из того факта, что В заключено в достаточ-
но налом интервале + d%], достоверно следует, что величи-
на т] будет находиться в интервале [т]0, т]0 + dr)], где т)0 = g(£o)
(рис. 5.2). Отсюда следует, что вероятности этих двух событий
равны (свойство инвариантности дифференциала вероятности):
№1(пМт] =с<У1(ВМВ. т. е.
00 =	(В) ^ = wdh (rj)) h' (п).
(5.1.3)
Поскольку плотности вероятности не могут быть отрицатель^
ныии, то в формулу (5.1.3) нужно подставлять модуль производной:
^1(П) =
(5.1.4)
171
Несколько более сложным является случай, когда обратная
функция £ = й(г]) неоднозначна (рис. 5.3), т. е. одному значению г]
соответствует несколько ветвей функции Пусть имеются две
ветви и й2(т]).
В данном случае имеются две несовместимые возможности
?1	£1 4~	^2 4~ ^2>
(5.1.5)
обеспечивающие выполнение неравенства
По < И < По + ^Н-
(5.1.6)
О	£
Рис. 5.2. Взаимнооднознач-
ное нелинейное преобразо-
вание.
Рис. 5.3. Случай двузначного
преобразования.
Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.1.6) должна рав-
няться сумме вероятностей выполнения каждого из неравенств
(5.1.5):
(П) dr] = Wi Qx) dgi + w Qa) d^.
Выразив £ через т), окончательно получим
IFi (т)) = Wi (hi (д)) | й; (л) | 4-	(й2 (т))) | й' (n) |.	(5.1.7)
Если имеется большое число ветвей обратной функции, то в пра-
вой части формулы (5.1.7) будет сумма по всем ветвям. Формула
(5.1.7) дает правило преобразования одномерных плотностей ве-
роятностей при функциональных преобразованиях случайных ве-
личин.
Приведенные выше рассуждения можно обобщить на случай
функционального преобразования нескольких случайных величин
11, &2, •••, In-
В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных
безынерционных преобразованиях случайных процессов дается
следующей теоремой. Пусть известна n-мерная плотность вероят-
ности wn(h, |2, ..., £„) случайных величин £2, ..., |л и нужно
172
найти плотность вероятности IF„(t]i, т]2... Лл)	Для случайных
величин:
Л1 8l (В1> Вг, Вл)
Лг ~ S2 (Вь Вг, • • • > Вл)
Лл ёп (В1> В2, ••> Вл) <
|де функции gt — кусочно-непрерывные.
Если существуют однозначные обратные функции:
Bi = МЛ1, Лг, .... Лл)
Вг"— h2 (r]i, Лг.Лл)
(5.1.8)
(5.1.9)
В„= Т)г......Лл)
п> интересующая нас плотность вероятности определяется фор-
м улой
4 *
" л(Л1. Лг.. Лл)=“'л(/г1(Л1..Лл), ••., МЛь •••, Лл))Рл|, (5.1.10)
i де Dn — якобиан преобразования от случайных величин £2)...,£п
к случайным величинам гц, т)2, ..., т)л:
dh±

aai....и
drln
n d(rtl......... т(П)
(5.1.11)
dhn
dhn
" d’In
I’, rex случаях, когда обратные функции ht неоднозначны, следует
и правой части формулы (5.1.10) взять сумму по каждой из подоб-
। истей.
Рассмотрим несколько частных случаев. Пусть
Л1 = Si (Bi) = Bi, Лг = Л = ё (Вь Вг)
причем обрагные функции
Bl = hi (Т]1) = Л1, Вг = h (Т]1, л)
(5.1.12)
(5.1.13)
однозначны.
И данном случае якобиан преобразования равен
1 0
d(Ei, 5г)
д(Чь Ча)
III' пому
дг\
dh dh
^г(Ль Л) = ^г(Л1
(5.1.14)
D,=
173
Из этой формулы получаем одномерную плотность вероятности
для одной случайной величины тр
ОО
z*
№1 (Т])= | wa hl, h hl, T]))
J
dh
dr]
й?Т11.
(5.1.15)
Последняя формула позволяет найти плотность вероятности
суммы, разности, произведения и частного двух случайных ве-
личин:
ОО
№ih)= [	(51, 1] ~ Bl) ^Bi,
“ОО
оо
№ih)= J ^2 (£i> n + Bi)rfBi,
—оо
оо
^ih)=f ^(Bi,
—оо
"П = 11 + lb
Т) = ?2 — В1,
Л — 11
оо
^lh)=j ^2 (Bl, Т]В1)
—оо
(5.1.16)
(5.1.17)
(5.1.18)
(5.1.19)
Для независимых случайных величин и £а с плотностями
вероятности р (gj и q (£2) в предыдущих формулах нужно по-
ложить
^11^11, Л “ Вг/Bi*
^2 (Bi, U = р (h) q (В2).
При этом формула (5.1.15) принимает вид
оо
— 30
dh
Отсюда получим
оо
—оо
оо
^ih)= j р (Bi) <7 h + Bi№,
—00
00
* оо
^ih)- J p(Bi)<7hBi)|BihBi,
—оо
Л — S2 11,
П = £1 Вг,
n = B2/Bi-
(5.1.20)
(5.1.21)
(5.1.22)
(5.1.23)
(5.1.24)
(5.1.25)
174
Отыскание плотности вероятности суммы независимых случай-
ных величин по известным плотностям вероятности слагаемых
называется композицией законов распределения. Как показывает
формула (5.1.22), композиция двух законов распределения пред-
ставляет со бой интеграл свертки.
Заметим^ что при применении формул (5.1.4), (5.1.10) и (5.1.14)
к практически интересным нелинейным безынерционным преобра-
зованиям могут возникнуть затруднения. Так, если функции gt
являются полиномами выше третьей степени, то в общем случае
трудно найги функции hit т. е. аналитически разрешить систему
нелинейны! уравнений (5.1.8) относительно Аналогичные труд-
ности возникают при трансцендентных функциях gP При кусочно-
линейной аппроксимации функции g^ оказываются разрывными и
производные dhjd^ во многих типовых случаях оказываются рав-
ными бесконечности в некоторых точках. Более подробно эти случаи
рассматриваются в § 4, 6 и 8.
§ 2. ПРИМЕРЫ
Рассмотрим несколько конкретных примеров применения фор-
муя (5.1.4) и (5.1.16) — (5.1.19).
1. Пусть требуется найти плотность вероятности W\(t0 на вы*
ходе нелинейного элемента (безынерционный двусторонний квадра-
тичный детектор)
а£2(0, а>0,
когда на него действует нормальный стационарный шум £(£),
имеющий плотность вероятности
(5.2.2)
При а>0 случайная величина ц
ПОЙ И поэтому 1Р1(ц)“0 При Ц<СО.
не может быть отрицатель-
Для т] > 0 имеем
£ = ± Цт]/а>
dz

В данном случае функция	двузначна и нужно поль-
зоваться формулой (5.1.7):
,г/ , . |(—/n/а)] при т) > 0,
|Vj(r])=12Уат)	(5.2.3)
0	при
175
Если т—0, то получим
1	/ т) \	п
—г —ехр--------при т] > О,
^(1))= о /2^	*4 2аа /	(5.2.4)
О	при т]<(0,
Для нелинейного преобразования (безынерционный односторон*
ний квадратичный детектор)
Т|(0 =
при
при
(5.2.5)
вместо формулы (5.2.4) получим (см. пример 2)
1
2а УЗпау
ИМг))=
ехр
т)/2ао2) при т] > О,
(5.2.6)
при т]<0.
Графики нелинейных преобразований (5.2.1), (5.2.5) и плотно-
сти вероятности (5.2.4) и (5.2.6) приведены на рис. 5.4.
2. Найдем одномерные плотности вероятности на выходе типо-
вых элементов с кусочно-линейными характеристиками (рис. 5.4),
когда на них воздействует нормальный стационарный шум с плот-
ностью вероятности (5.2.2) [1 ]. Принцип вычисления рассмотрим,
на примере ограничителя (рис. 5.5), имеющего характеристику
I— b при £< —0,
Л (0) = < sg (/) при —
. а при
(5.2.7)
На интервале (—Ь, а) преобразование т] = §(£) в данном случае
является линейным: т] = s£. Поэтому внутри этого интервала
(11)==^ (ti/s)4- ,
О-
т. е. плотность вероятности для т](/) по виду совпадает с плотностью
вероятности для |(1).
Вероятность того, что т]<( —b и т]/>а равна нулю, а вероятность
а
того, что т] заключено в интервале (— Ь, а) равна )'1Г1(т])с(т1.
Все значения £, для которых преобразуются ограничителем
в одно значение г]= а (рис. 5.5). Аналогично, все значения £ < —0
преобразуются в значение г] = — Ь. Следовательно, вероятность
оо
sr = Jm1(g)d^ преобразуется для т] в дельта-функцию, расположен-
а
176
Рис. 5.4. Нормальная плотность вероятности входных флуктуа-
ций нелинейное характеристики элементов = и плот-
ности вероятности	флуктуаций на выходе соответствующих
элементов.
Ji к. 245
177
ную в точке f]=a. Множитель при дельта-функции б(т]—а)
пропорционален sx. Вероятность s2 = j преобразуется для Т]
—оо
вероятности ограничителем.
в дельта-функцию, расположен-
ную в точке т] = — Ь, причем
множитель при дельта-функции
6(т] + Ь) пропорционален з2.
Из условия нормировки
ОО
(л) di] = 1
оо
имеем
Отсюда определяем
циент X. Очевидно,
s = 1 коэффициент X
Таким образом,
коэффи-
плотиость
вероятности для
шума
выходе ограничителя можно
записать:
Рис. 5.5. Преобразование плотности
Xs3 S (r] + &)+Xsi б(т]—а) при—b < 1] а,
W\(7])
п(0
о
при т] < — Ь, 71 )> а.
(5.2.8)
На рис. 5.4 приведены нормальная плотность вероятности
a’1(i) (слева), нелинейные характеристики (в середине) и плотности
вероятности IF1(ri) иа выходе соответствующих нелинейных эле-
ментов (справа). Площади при дельтаобразиых выбросах в плотно-
стях вероятности указаны для случая, когда наклоны линейных
участков равны s — 1.
•	3. Найдем плотность вероятности суммы (разности) двух нор-
мально распределенных случайных величин |2, имеющих сред-
ние значения тх и т2, дисперсии о) и о2 и коэффициент взаимной
корреляции
(5.2.9)
178
Среднее значение суммы (разности) равно сумме (разности)
 редких значений. Поэтому mTj = mi ± m2, а для дисперсии полу-
him выражение
Д «П — ^)a)-([(gi— mi)
(I2 — т2)]2) ^ит 4- ni ± 2(Jiо2 R.
Гак как суима (разность) нормально распределенных случайных
величин является также нормальной случайной величиной, то
плотность вероятности для т] определяется формулой (5.2.2) с за-
меной т на mTj и о на сц.
4.	Пуст! требуется вычислить плотность вероятности произве-
|сния двух коррелированных нормальных случайных величин и
, с совместной плотностью вероятности
1	(	1	/е?	2/ге, $2 s2
2^1 а2 К1 - Я8 I 2(1- /?2)\s? О1о2 о2
'	I	&
(5.2.10)
Такая задача возникает, например, при анализе работы коррело-
метра [2].
Полагая т) — Вх и воспользовавшись формулой (5.1.18), по-
мучим
глп)
31а2 (I-/?2)
(5.2.11)

। ле Ко(2) — функция Гаикеля нулевого порядка от мнимого аргу-
мента.
5.	Вычислим плотность вероятности частного г] = £a/£i двух
м>ррелиров1иных и нормально распределенных случайных вели-
чин и В2. В данном случае по формуле (5.1.19) получим
179
Если величины и некоррелированы (7? =0), то формула
(5.2.12) переходит в распределение Коши:
(5.2.13)
6.	Предположим, что имеются две нормально распределенные
независимые случайные величины X и У, имеющие одинаковые
дисперсии = (Уу = а2, но разные средние значения tnx и ту.
Вычислим плотность вероятности случайной величины
(5.2.14)
Совместная плотность вероятности случайных величин X и Y
равна:
ш2.(Х, У) = w, (X) ic-i (У)
1 Г	+ -туу-
2^ еХР	2^	'
(5.2.15)
Перейдем от переменных X и У к новым переменным Z и ф:
X = Zcoscp, y = Zsin(p.	(5.2.16)
При этом возможные значения ср предполагаются заключенными
в интервале ( — л, л).
Переходя в формуле (5.2.15) к новым переменным в соответствии
с (5.1.10) и учитывая, что якобиан преобразования переменных
равен:
д(Х, У)
COS ф
sin ф
Z sin ф
Z cos ф
получим совместную плотность вероятности для случайных ве-
личин Z и ф:
ехр
(I, ф) = 2^
2Z (тх cos <? + MySin <f>) + (m?x + tnfy
2^	:	...
(5.2.17)
Введя обозначения
tnx cos ср + triy sin ф = tn cos (ф — ip),	(5.2.18)
где
m = У тх
tg Ч’
(5.2.19)
Г Шу,
формулу (5.2.17) можно записать иначе:
2Zm cos (tp — <Ь) + tn21"
2a2
(5.2.20)
180
Найдемодномерные плотности ве-
роятности для Z и ф. Интегрируя
(5.2.20) по всем возможным значе-
ниям ф, получаем
W. (Z) =
________ 24-/ИI 2	Zmcos(cp— <)
. е *а2 — | е а* rfy =
а2	2тт J
—тс
=	/0(?У	(5.2.21)
U	I о /
где
тс
/0(?) = ± fe2cos<^)d<p (5.2.22)
-—тс
- функция Бесселя нулевого по-
рядка ог мнимого аргумента
(рис. 5.6).
Для вмчисления плотности ве-
роятности «фазы» ф нужно проин-
тегрировать (5.2.17) по всем поло-
жительным значениям Z>0:
Рис. 5.6. Функция Бесселя ну-
левого порядка от мнимого
аргумента и ее аппроксимации.
I ели сделать замену переменной
s — [Z — (тх cos ф + ту sin ф)]/сг
н учесть определение интеграла
к следуюцей формуле:
вероятности (2.8.8), то придем
(ф) =
т2
2а2
ту cos ср -Р /«., sin ср
ыЛ»	*	JT
а )/2"
'тх cos т + ту sin ср
(5.2.23).
W2
2
а
181
Рассмотрим два частных случая:
а)	Пусть ту = 0 (т = тх). Тогда из формул (5.2.21) и (5.2.23)
получим
U	I Q	/
2	9
тх	т
YJ7 (<p)= — е~ "2°* 4- mv cosjf ф / mx cos
2л	а /2г	\	’	/
(5.2.24)
(5.2.25)
б)	Предположим, что znx=my=m=0. В данном случае
2а
Z>0,	(5.2.26)
Q
(ф) =
(5.2.27)
Плотность вероятности (5.2.26) называют законом Релея, а плот-
ность вероятности (5.2.21) — законом Райса [3], а иногда обоб-
щенным законом Релея. Графики этих плотностей вероятностей
приведены на рис. 7.4 и 7.9. Графики плотностей вероятностей
(5.2.25) изображены на рис. 7.11.
Рис. 5.7. Композиция двух равномерных распределений.
7. Найдем плотность вероятности суммы двух независимых слу-
чайных величин и £2, каждая из которых распределена равно-
мерно (рис. 5.7) [4]:
[О ^<аЛ1>Ь,	0	l2<c,U>d.
Будем считать (d — c}^(b — а).
Для нахождения композиции двух равномерных распределений
нужно по формуле (5.1.22) вычислить интеграл свертки:
ОО
—00
182
ir.'b подьптегральная функция отлична От нуля лишь при одно-
временном выполнении четырех неравенств:	с<г]—
PaccwTjeB условия совместного выполнения этих неравенств,
получим с.едующий результат:
(5.2.29)
Плотность вероятности Wzi(tt]) имеет вид равнобедренной тра-
пеции (рис. 5.7). При (d — с) (Z? — а) трапеция переходит в рав-
нобедренный треугольник.
Можно юказать [51, что при композиции большого числа неза-
висимых, [авномерно распределенных случайных величин в пре-
челе получгется нормальная плотность вероятности.
§ 3. ПЛОТИ ОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
И НОРМАЛЬНОГО ШУМА
Вычислгм плотности вероятности некоторых видов случайных
сигналов, гасто встречающихся в радиотехнике.
1. Плотность вероятности гармонического колебания со случай-
ной начал! ной фазой. Рассмотрим ансамбль синусоидальных ко-
лебаний, имеющих одинаковую амплитуду Ао и частоту юо, но
случайные начальные фазы <р (см. рис. 3.10):
s (0 = Ло sin (<в01 -j- qp).
(5.3.1)
I (редполагая известной плотность вероятности Wj(<p) для <р, нужно
найти плотность вероятности Wi(s) для s. Иначе говоря, нужно
найти плогность вероятности для значений s в некоторый фикси-
рованный момент времени t, если известна плотность вероятности
I ня начал! ных фаз <р. Ясно, что начальные фазы могут принимать
значения голько в интервале ( — л, л).
Пусть ф = (s)ot + ф. Тогда
s = Ло sin ф.
(5.3.2)
’.аметим, гго каждому выбранному значению s из интервала ( — Ло,
1 о) соответствуют два значения <р в интервале ( — л, л), за исклю-
чением значений s = ± Л о. Аналогично, произвольно выбранному
183
значению s соответствуют два значения 4 из интервала (сао£ — л,
(W + л), которые обозначим через и 42. Тогда можем написать
равенство
О
Оэ
О»
так как
<П-
ds
= M-s!rl/2
Формула (5.3.3) показывает, что в общем случае плотность ве-
роятности Wzi(s) зависит от времени и рассматриваемый ансамбль
является нестационарным. Наибольший практический интерес
представляет случай, когда ансамбль является стационарным.
Это имеет место лишь тогда, когда плотность вероятности ащ(ф —
со0/) является прямоугольной:
[1/2л, соо/
(ip — ®о 0 =
о
В данном случае (5.3.3) переходит
в следующее выражение:
при
.77 >
П v л0 —S
О
S
т
при
Так как ф = ®о t + ф, то (5.3.4) эквивалентно условию
шг(ф) “	т	(5.3.6)	]
[О ф — л, ф л.	'	|
Таким образом, если случайная начальная фаза распределена
равномерно на интервале ( — л, л), то ансамбль синусоидальных *
колебаний является стационарным с одномерной плотностью ве-
роятности (5.3.5). Эта плотность вероятности изображена на
рис. 5.8.
Формуле. (5.3.5) можно дать другое физическое толкование,
если рассматривать вероятность стационарного процесса как от- 
носительное время пребывания процесса в соответствующем интер-
вале.
Действительно, пусть имеется гармоническое колебание с фикси-
рованной фазой фо:
Каждому фиксированному значению s из интервала (— Ао, Л о)
соответствуют два значения аргумента t на периоде Т = 2л/а>о
(рис. 5.9).
184
Если пснимать под вероятностью U7i(s)As относительное аремя
пребываци! гармонического колебания в интервале (s, s — As),
к> можем лаписать
(s) As>,	5.3.8)
где согласно (5.3.7)
ks = со0 Ао cos (со01 + tp0) \t — Ио Ai V Ао — s2
пли М — Zs/a>0 V’ Ло — s2. Подставив в (5.3.8) значения Ти АЬ
придем к формуле (5.3.5).
Согласи* такой интерпретации, можно дать следующее поя—юние
поведению глотности вероятности Vi7i(s) (см. рис. 5.8). В окресшости
Гис. 5.8- Потность вероятности
। др>\лоническ:го колебания с рав-
номерно рапределенной началь-
ной фазой.
точек + /я — фоJ/co.o Z= 0;
1, где	± произгэдная
(скорость) мала s(^) ж 0, время
пребывания синусоиды велико,
и поэтому ПЛОТНОСТЬ ВерОЯЕЮСТИ
стремится к бесконечности. 1 аобо-
рсп, в окрстности точек tj — (/я — фо)/соо, / = 0; 1, произсэдная
(скорость) велика ± сооЛ^, время пребывания мало, i плот-
ность вероятности имеет наименьшее значение.
Можно доказать [3, 6], что двумерная характеристическаясфунк-
11 и я и двумерная плотность вероятности сигнала (5.3.1) при условии
<о. 3.6) определяются формулами
^2) = h	+ uz + 2ui u2 cos ®o l5.3.9)
00
10(S, <0 = (лЛ0)-2 V e m	(Aj cos mcOfl Tj (.3.10)
m~ 0
|д<> /0 (0 —функция Бесселя нулевого порядка, Г ~т = ^
и 1*и m 4= Q
i I» Зак. 2 45
185
=	^'-(г) = (1 - г2) 2Tm(4 (5.3.11)
JL  ф
Tm(z) — полиномы Чебышева первого рода.
Формулы (5.3.9) и (5.3.10) будут использованы в § 8 и 11 при
анализе нелинейных преобразований сигнала и шума.
2. Плотность вероятности сигнала со случайными амплитудой и
фазой. Найдем одномерную плотность вероятности для случайного
сигнала
s (i) = A (t) sin [м0 t -[- <р (/)],	(5.3.12)
где случайные функции Л (/)>() и <₽(/) предполагаются независимыми
в один и тот же момент времени, и случайная фаза считается
распределенной равномерно на интервале (— л, л).
Введем новую переменную £з(0 = sinloW + <р(^)], плотность
вероятности которой определяется формулой (5.3.5) при Л о = 1.
Ввиду независимости A(t) и ф(/) можем написать
^2(ЛЛ2)=Р(Л)	‘	|g2|<l,
4 1- to
где Р(Л) — плотность вероятности A(t).
Полагая в формуле (5.1.24)	= А, имеем
ОО
(s) = — f —Р(Л)- dA =
V ’	71 J А v 1 — Ео
I S I
г А2 — s2
Нижний предел интегрирования определяется условием |£2| =
Если в формуле (5.3.13) перейти к новой переменной интегри-
рования х, положив А = | s | ch х, то получим
U^i(s)
(5.3.14)
В том частном случае, когда амплитуда фиксирована, т. е.
Р(Л) = 6(Л—Ло), формула (5.3.13) переходит в (5.3.5). Если
амплитуда распределена равномерно в интервале (0, Л), т. е. Р(А) =
= НА при Л<41о и Р(Л) = 0 при Л>Ло, то из (5.3.14) получим
186
Во мною практических случаях амплитуду сигнала (3.12)
считают распределенной по закону Релея:
Р(Л) = Ае-^72о
А > 0.
(3.16)
В данном случае формула (5.3.14) дает нормальную пложость
вероятностг сигнала
W\(s) =	e~s‘/2°!.
а К 2п
(3.17)
Следовательно, если в сигнале (5.3.12) амплитуда и фазг-неза-
висныы води и тот же момент времени, причем амплитуда {Опре-
делена по )акону Релея, а фаза — равномерно на и нт? вале
( — л, л), го сигнал имеет нормальную плотность вероятности
с нулевым редким значением и дисперсией о2.
Укажем 171, что для случайного сигнала (5.3.12) при сдельных
ранее предположениях можно найти плотность вероятности г пли-
гуды Л(!), если заранее известна плотность вероятности Z3i(s)
самого сигила. Ответ дается следующей формулой:
Р(А)
А
ОО
©1 (и) J0(Au)du,
о
(3.18)
где Л (а)—функция Бесселя нулевого порядка;
h)i(^) = ) U1(s)e/uscis—характеристическая функция сигнал s(t).
3. Плопость вероятности суммы гармонического сигнал, со
случайней i-ачальной фазой и нормального шума. Вычислим мод-
ность вероятности суммы двух независимых случайных процессов:
। ар w он и чес ого колебания s(f) = Ao cos (<во/+ <р) с равне ерно
распределенной начальной фазой (5.3.6) и нормального стащэнар-
ного шума ^(0 с нулевым средним значением:
£(/)=U0+s(0-
(3.19)
Очеввдю, в данном случае
11<> формул; (5.1.22) можем написать
(Г) =	 г- еХр
J Va20-s2
-А,
187
Введем новую переменную согласно равенству
(1 /	2
ds = — Ло sin ф dip = — у Ло
Получим
ТБ
(? — Я0соз'И2
(Zip.
-6	-4 ~Z 0	2 ц t,
3
Рис. 5Л0. Плотность вероятности суммы нормального шума
и гармонического сигнала со случайной начальной фазой.

Если ввести нормированную случайную переменную t, = V<3'
и обозначить через а = Ао/в величину, характеризующую отноше-
ние сигнал/шум по напряжению, то получим окончательную фор-
мулу	'	I
(5.3.20)
Графики этой плотности вероятности для нескольких значений
параметра а приведены на рис. 5.10.
188
'i 4. MO ME ТНЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ
ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Пусть з рактеристика нелинейного элемента т] = £(£) является
। пнлитичесой функцией в окрестности £ = 0. Тогда ее можнс раз-
|'>>еить в | яд Маклорена:
< )< тавляя дстаточно большое число первых членов, в зависимости
• и требуемй точности аппроксимации, можно положить
П С a	? (0+^2 ?2(0 + - Н- ап ¥(t)- (5.4.2)
Эбознач м моментные функции через М, а ?)(/) через М.
< нагистичеки усредняя правую и левую части равенства (L4.2),
получим
Mi(fi=<r](Z))=a04-a1M(/)H-a2Ma(/) + ... фаЛлЮ. (5.4.3)
де Л О = <^(ф.
Переливы теперь равенство (5.4.2) для двух моментов вре-
мени и j :
I к‘ремножи левые и правые части этих равенств и выполним опе-
рацию уерднения. Тогда получим выражение для двумерного
момента
АТц (G> ^2) “Яо 4-&o#i [All (^1)"ТAlj. (^)I “к
4-’ i А1ц(/1, /2) + ... + ct$ ап [Л4Л п (/2)] -р • • 	(5.4.4)
Поступая «алогично, получим выражения для высших моментов
ч( / j 18].
Если храктеристика нелинейного элемента т] =g(£) раскла-
няется вряд Тейлора в окрестности некоторой точки с, г. е.
ч grS)=aTai(B—с)+... + а„(£— с)", ak	, (5.4.5)
dcr
ю для моЕнтов т] (/) получим соотношения
Л1_(/) = а0+а1(^(/) — с) + ... 4- а„ ((£(/)—с)л),
44ц (Ь^2)~^о4_йо[Л11 (ОТ-44!(Z2)—2c]-|-fl|	/2)-—
04(0 - ^(/О+сПТ ... +4 Wi)-c]nlB(O-c]'!). (5.4.6)
189
Для получения явного выражения моментов процесса т] (/)
через моменты £(/) в данном случае нужно воспользоваться форму-
лой бинома'Ньютона
k
раскрыть члены вида
[g(G) — с]*№)-ВДз)-k< z- т> -<п
и затем выполнить статистическое усреднение. При этом, если про-
цесс £(/) задан своими моментами, то сразу получим нужный ре-
зультат. Если же процесс £(/) задан плотностями вероятности илй
характеристическими функциями, то по ним нужно предварительно
вычислить моменты (см. § 4 гл. 3).
Из формул (5.4.3), (5.4.4) и (5.4.6) видно, что моментные функ-
ции случайного процесса ^(^ выражаются через моментные функ-
ции процесса £(Z) линейно, но формулы для моментных функций
выходного процесса включают более высокие моментные функции
входного процесса. В этом состоит одна из характерных особен-
ностей нелинейного преобразования по сравнению с линейным.
В заключение рассмотрим один конкретный пример. Пусть на
нелинейный элемент с параболической характеристикой
y=g(x')=-aiX-\-a2xi	(5.4.7)
воздействует сумма сигнала s(t) и флуктуационного шума £(/).
Сигнал и шум предполагаются независимыми. Сигнал представ-
ляет гармоническое колебание s(t) — Л о cos (coof + ср) с постоян-
ной амплитудой и частотой и случайной фазой ср, распределенной
равномерно на интервале ( — л, л). Шум является нормальным
стационарным с нулевым средним значением и функцией кор-
реляции
k (т)=<£(01 (^+'г)>=о2-К (т)>
где /?(т) — коэффициент корреляции.
Найдем функцию корреляции для сигнала т](г!) на выходе не-
линейного элемента:
п (t) = ai [5 (0+£ Ю1+а2 [S (0+£ (О]2-	(5.4.8)
Путем статистического усреднения обеих частей
венства получим
= (0> = (4 Ло-И2) ,
так как
этого ра-
(5.4.9)
<s(/)£(/)>=0, <s2(0)=^
Ло-
190
Перемнекив равенства (5.4.8), относящиеся к моментам вре-
мени t и т, статистически усреднив результат перемножения и
проделав несложные вычисления, найдем второй момент
га2 (г) = (П (О Л (t+0) = 4 Я? Ло cos ®о т+а2 о2 R (т) +
4- а2 А* (1 4- 4 cos 2(й0 т) + 2al А2 о2 R (т) cos ®0 т +
1	\ Z	/
4-о, 2 Ло о	о [14-2Т?2 (т)].
(5.4.10)
Ha оснжании (5.4.9) и (5.4.10) находим функцию корреляции
(т)=т2 (т) — т2 = 4 a2 A2 cos со0 т + у а2 Л4 cos 2а)0 т—
+□1 о2 R (т)+2аг А2 о2 R (т) cos со0 т4-2а2 о4 R2 (т). (5.4.11)
Зная функцию корреляции, по формуле (3.10.10) можно кычис-
S?(f)
лить спекральную плотность. Если задаться коэффициентом кор-
реляции п^ма вида /?(т) — е~“Н, где
ч соо, т) в результате вычислений
получим
. 2 л2 2
'4“2/4°C «« -j-	(/—/о)2 ‘
(5.4.12)
Рис. 5.11. Дискретно-сглошной
Харак'ер спектра изображен на	спектр.
рис. 5.11. Спектр STj(f) является
'пскретносплошным. Он состоит из двух дискретных спектраль-
III1Х лини! при частотах fo и 2fo, обусловленных только сигналом
I первые дна слагаемых в формуле (5.4.12)], низкочастотного сплош-
ного спекура, обусловленного шумом (третье и четвертое слагае-
мые), и сплошного спектра, расположенного в окрестности частоты
сигнала fn который обусловлен взаимодействием сигнала и шума
в результате нелинейного преобразования. Если бы преобразование
пило линейным (аг—0), то из формулы (5.4.12) следовал бы очевид-
ный результат: энергетический спектр суммы сигнала и некорре-
,'1гроваинсго с ним шума равен сумме энергетических спектров.
191
§ 5. О ДВУХ МЕТОДАХ АНАЛИЗА КУСОЧНО-РАЗРЫВНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИИ
При рассмотрении воздействия достаточно больших сигналов и
помех на нелинейные элементы часто применяют кусочно-разрыв-
ную аппроксимацию характеристик последних, поскольку такая
аппроксимация позволяет лучше передать существенные свойства
большого участка нелинейной характеристики.
Вычисление моментных функций случайных сигналов, под-
вергшихся кусочно-разрывным преобразованиям, можно выполнить
двумя тесно связанными методами: прямым методом и методом ха-
рактеристических функций (методом Райса).
В прямом методе используются сами нелинейные характеристики
и статистическое усреднение (интегрирование) осуществляется не-
посредственно с плотностями вероятности. В методе характеристи-
ческих функций нелинейная характеристика представляется при
помощи преобразования Фурье или Лапласа, и статистическое4ус-
реднение осуществляется при помощи интегрирования с характери-
стической функцией.
Естественным результатом прямого метода является выражение
ответа через табулированные производные от интеграла вероятно-
сти (см. приложение V); в методе характеристических функций ответ
чаще выражается через гипергеометрические функции (см. прило-
жение VI). Однако это не имеет существенного значения, так как
производные от интеграла вероятности
2	«-—0,1,2,
v ' dz11 \ у" 2п	J	’	’
и вырожденная гипергеометрическая функция
(«; у; + у 4 + fgrpy • 4 + -	(5.5.2)
связаны друг с другом известными соотношениями [9]
ф(2т+1)	_ (—l)ro(2ffl)! р / 2п + 1
k ml 2т У 2х 1 1 \	2
(—1)'”(2т)!
ml 2т /2к
(5.5.3)
Таким образом, оба метода тесно связаны друг с другом и равно-
правны. Для решения конкретной задачи выбирается тот метод,
который позволяет проще получить результат.
192
§ 5. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ НОРМАЛЬНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ
Вычислим среднее значение znr, и функцию корреляции feT,(T)
1.пя флуктуаций т|(/), получающихся на выходе элементов с ку-
сочно-линжными характеристиками (рис. 5.12), когда на вход их
воздействуют нормальные стационарные флуктуации £(/) с нулевым
средним здачением т\ = 0 и функцией корреляции
(5.6.1)
k (г)=о27?(г).
Риз. 5.12. Типовые характеристики нелинейных элементов.
Рассмотрим более подробно ограничитель (рис. 5.12, а), для
которого i|(/) связано с ^(/) соотношением (5.2.7). По определению
оо	— 3
тТ~-= j g(В)соГ(^)de, = — b J аМ£)^ +
— СО
ПэдставиЕ сюда выражение нормальной плотности вероятности и
выполнив элементарные преобразования, получим
Зависимость среднего значения от одного из пределов ограничения
ши фиксированном другом пределе показана на рис. 5.13.
Проделав аналогичные вычисления, найдем средние значения
величины ц на выходе других элементов, представленных на
p ic. 5.12

=(а-6)+[аФ^)
(5.6.26)
(5.6.2b)
193
(5.6.2д)
Таким же путем можно получить формулы для дисперсии на
выходе соответствующих элементов.
Рис. 5.13. Зависимость средне-
го значения на выходе ограни-
чителя от уровней ограничения.
Рис. 5.14. Зависимость дисперсии
на выходе ограничителя от уров-
ней ограничения.
График зависимости дисперсии на
веден на рис. 5.14.
Перейдем к вычислению функции
выходе ограничителя при-
корреляции
СО со
Мт) = (т1(01'1С+т;)) —= J J	— «V
— ОО —00
Применительно к ограничителю рис. 5.12>а область интег-
рирования распадается на девять подобластей, в каждой из
которых произведение g(|) g(£T) записывается в явном виде. Произ-
ведя такое разбиение и вычислив каждый из девяти интегралов,
получим нужный результат.
Такой непосредственный способ вычисления функции корреляции
является весьма громоздким. Ясно, что еще большие трудно-
сти встретятся при вычислении функции корреляции для нелиней-
ного элемента с зоной нечувствительности (рис. 5.12, а)сЭтих тру-
доемких вычислений можно избежать, используя аппарат дедьтц-
194
функции, Еоторый значительно упрощает и в известном смысле
автоматизирует вычисления. Такой метод был предложен в работе
[10L
Воспользовавшись представлением двумерной нормальной плот-
ности вероятности в виде ряда (3.15.24), для
ти(х) иа выходе нелинейного элемента
с характеристикой ti = g(£) можем на-
писать
двумерного момента
Поэтому для функции корреляции полу-
чим

Рис. 5.15. Характеристика
ограничителя и ее
производные.
Применяя интегрирование по частям v раз и используя свой-
ства фуш ции (г):Ф(А1+1)(оо) 0; Ф(л+1) (0)-0при п нечетном,
получим
Применительно к различным характеристикам нелинейных
элементов будем интегрировать по частям такое число v раз, чтобы
o-NQ) превратилась в 6-функцию или сумму 6-функций. Так, на-
пример, для элемента с характеристикой, показанной на
рис. 5.12, о., следует положить v = 2 (рис. 5.15). При этом получим
следующий результат:
МТ)
. (5.6.4а)
\ а) п! 4	'
195
Эту формулу можно записать в другом виде:
а
(5.6.5)
При т = 0 имеем AJ(O) = 1 и ЛТ|(0) = о2. В табл. 5.6.1 приве-
дены результаты вычислений первых семи коэффициентов ап для
симметричного ограничителя (а — р = -у). Из этих и других ре-
зультатов следует, что определяющую роль в формуле (5.6.5)
играет первый член с коэффициентом ах. Сумма всех остальных
коэффициентов даже при сильном ограничении (например, симмет-
ричное ограничение с у/о«:0,1) составляет примерно 35% от суммы
всех коэффициентов. Поэтому иногда ограничиваются учетом только
первого члена, что по существу соответствует линейному преобра-
зованию флуктуаций £(/).
Таблица 5.6.1
Симметричное ограничение (а=р=у)
а3
а3
ал
^5
а7
0,646	0,735	0,789	0,901
0	0	0	0
0,114	0,114	0,112	0,072
0	0,048	0	0
0,050	0	0,042	0,015
0	0,027	0	0
0,030	0	0,021	0,003
Из формулы (5.6.4а) получаются как частные случаи известные
результаты. Так, для линейного детектора без насыщения нужно
положить р = 0, а = оо. При этом будем иметь
п!
00
(Ч = (so)2
п=1
O(n“')(0)]2

Используя далее соотношение
00
и=2
19$
которое получается из (3.15.24) при £i~£2 -=0 путем двукратного
интегрирования по 7?, получим формулу
fei(T)=^r(v	агс sin Я(т)+
• * \
1). (5.6.6)

Для идеального ограничителя без зоны линейности (<х — р — у,
s-> оо), характеристику которого можно записать
1, £>о,
Я =•£(£) = sgn £ —	о, £ = 0,
-1, £<0,
4»рмула (5.6.4а) приводится к виду
Используг далее соотношение
1 2
п\
dx
arc sin R
2п J
О
/г=1
ори 75 = 1 получим простую формулу
2
kri (т) = — arc sin R (т).
(5.6.8)
Если проделать те же вычисления, что и при выводе фор-
мулы (5.6.4а), для других элементов, характеристики которых
приведены на рис. 5.12, то получим соответственно следующие
формулы:
Л=1
00
(т) = (Е + 6)2 2 [ф(п)(0)]2	п^- = (д J--— arc sin R (т), (5.6.4в)
п—1
(5.6.46)
197
Полагая в формулах (5.6.4) т = 0 и соответственно 7?(0) — 1,
получим соотношения для дисперсий случайных процессов т] и g.
t !
Рис. 5.16. Нормальные флуктуации £(/) и ограничен-
ные снизу флуктуации т)(г).
Формулой (5.6.4д) можно воспользоваться для оценки корре-
лированное™ выбросов нормальных флуктуаций. Пусть нормаль-
ные флуктуации £(/) с коэффициентом корреляции
7? (т): е~ах! — е—х*, х=т j/cc	(5.6.9)
воздействуют на нелинейный элемент
...	[|(Л— в
*1(0= 0
при £(7)>в,
при £(f)<8.
В данном случае функция i] (/) составлена из выбросов флуктуа-
ций £(/), превышающих уровень в (рис. 5.16).
198
Положи» в формуле (5.6.4д) коэффициент s = l, получаем вы-
ражение для коэффициента корреляции функции т] (Л:
где о\—ДЕСперсия случайной функции т] (t), равная
Результаты вычислений по формуле (5.6.10) с учетом членов ряда
до п=7 при пяти значениях уровня е/сг представлены на рис. 5.17
вместе с функцией /?(т).
Рис. 5.17. Графики коэффициентов корреля-
ции 7?(т) и А’ Т(т) при различных значениях е/о.
Из графиков видно, что с увеличением уровня ограничения е
коэффициент корреляции /?л(т) «сужается» (уменьшается время кор-
реляции) и соответственно энергетический спектр расширяется.
Оказывается, что такое заключение является весьма общим, т. е.
в результате нелинейных безынерционных преобразований случай-
ных процессов их спектр, как правило, расширяется. В этом состоит
одно из характерных свойств безынерционных нелинейных преоб-
разований.
199
Хотя выше мы ограничились анализом воздействия флуктуаций
лишь на элементы с кусочно-линейными характеристиками, однако
тот же метод применим и для элементов с кусочно-разрывными
характеристиками более общего вида. Например, для преобразо-
вания
П (О = £(0 = (°
(s (g — е)2
(5.6.11)
получим
(5.6.13)
(п-2)
Следует также указать, что полученные выше формулы приме-
нимы к кусочно-разрывным преобразованиям суммы двух и большего
числа нормальных стационарных взаимно коррелированных флук-
туаций. Если £i(^) и £2(0 — нормальные стационарные и стацио-
нарно связанные флуктуации с нулевыми средними значениями и
функциями корреляции
(L (0 Bi (i + Т» = о? (т), <в2 (0 (f-Ь-т)) = 02 Rz (т),.

т)) Oj а2 (т),
то в предыдущих формулах нужно положить
О2 = о? + о1+2о! cr2 R12 (0),
/?(т)=о 2 [о?(т)4 о2	[/?12(т)-|-7?12(—т)]}.
Эффективность использования б-функции проявляется не только
при вычислении корреляционных функций выходных флуктуаций,
но также и при определении высших моментов [11], а также при
рассмотрении кусочно-линейных преобразований негауссовых флук-
туаций [12].
Изложенная методика с успехом может быть применена к вы-
числению функции корреляции различных случайных сообщений,
квантованных по уровню [13,14].
§ 7. КВАНТОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СООБЩЕНИИ
В общем случае под квантованием можно понимать преобразо-
вание непрерывной функции времени в ступенчатую кривую. В со-
временных системах связи часто применяют преобразование исход-
ного сообщения в ряд фиксированных значений, при помощи ко-
торых осуществляют модуляцию радиосигнала и его передачу для
200
последующего восстановления сообщения на приемной стороне.
При этом сообщение подвергают квантованию.
Обычно применяют два способа квантования: 1) по уровням и
2) по времени и по уровням.
Процесс квантования сообщения £(/) по уровням поясняет
рис. 5.18. Разобьем интервал возможных значений функции
на элементарные подынтервалы точками gi, £2, ..., £w-i. Величины
£,. лринято называть порогами квантования, а разность между ними
Рис. 5.18. Квантование по уровням.
= I/ —	— шагом квантования. Если истинное значение
'ообщения g(/) в какой-либо момент времени t находится внутри
некоторого подынтервала А/, то вместо него берется соответствую-
щий уровень г|(. При этом вместо непрерывной функции £(/) будет
получена ступенчатая кривая т](/). Такое преобразование можно
 н-уцествить, если исходную функцию £(/) подвергнуть нелинейному
преобразованию g(^) ступенчатого вида (рис. 5.18).
Квантование по времени и по уровням можно получить путем
рас смотрения временных отсчетов функции £(/) через определенные
интервалы времени © (стробирование), пропускания этих отсчетов
|ерез нелинейный элемент с характеристикой g(|) ступенчатого
и та и последующего расширения отдельных отсчетов до величины
ип ервала квантования по времени €>. Сказанное поясняет рис. 5.19.
Предположим, что квантованию по уровням подвергается нор-
ильный стационарный шум £(/) с нулевым средним значением и
201
функцией корреляции o2J?(r). Обозначим разность между соседними
уровнями квантования через Az = t]Z+i — т)0 i = 1, 2, 3,
N — 1. Будем для простоты считать общее число уровней кванто-
вания четным числом, а функцию g(Q — нечетной, т. е. g(Q =
= —g(—£). Тогда, очевидно, среднее значение процесса т](7) равно
нулю, а функция корреляции определяется формулой (5.6.3):
п— 1	— оо
Рис. 5.19. Квантование по времени и уровням.
Выполнив интегрирование по частям и учитывая, что
Лт- 1
найдем


Подставив это выражение в (5.7.1), получим формулу для функции
корреляции
(5.7.2)
202
Иногда представляет интерес задача выбора оптимальных поро-
гов или уровней квантования, при которых средняя квадратичная
погрешность между |(£) и т](^) минимальна:
eU = <lB (0 - п (Ш
(5.7.3)
Результаты решения этой задачи приведены в работе [14].
Для частного случая, когда разность между соседними уровнями
квантования постоянна (Az = До = const), они частично воспроиз-
ведены в та$л. 5.7.1. При этом принято сг=^ 1.
Таблица &.7.1
Оптимальные уровни квантования
Число уровней N	2	4	8	16	32
Разность между соседними уров- нями До	1,596	0,9957	0,5860	0,3352	0,1881
Среднеквадратичная	погрет- 2 1ЮСТЬ emin	0,3634	0,1188	0,03744	0,01154	0,00349
Оказываегся, что при числе уровней квантования AZ<8 неравно-
мерный шаг квантования по уровням незначительно уменьшает вели-
чину средней квадратичной погрешности (например, для N = 8
при неравномерном шаге &min = 0,03454 вместо 0,03744).
Функцию корреляции ступенчатого процесса т|(£), получающе-
гося в резухьтате квантования нормального стационарного шума
по времени и по уровням (рис. 5.19), можно вычислить следую-
щим образом. Сначала функция корреляции отсчетов r)z на выходе
нелинейного устройства с характеристикой g(Q выражается через
функцию корреляции отсчетов Zj- Затем каждое отсчетное значение
Пг умножается на прямоугольный импульс единичной высоты дли-
тельностью О. После этого задача сводится к вычислению функции
корреляции случайного импульсного процесса (см. § 3 гл. 4).
§ 8. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ
СИГНАЛА И ШУМА
Метод, изложенный в § 6, можно распространить на нелинейные
преобразования суммы гармонического сигнала и шума [11].
()днако ввиду громоздкости математических преобразований ука-
жем лишь применительно к частному примеру путь получения конеч-
ных формул и приведем количественные результаты, относящиеся
к умножению частоты.
Пусть на нелинейный элемент с характеристикой (см. рис. 5.12, д)
= Ра~е) при^е’ (5.8.1)
(	0 при §-<е
203
воздействует случайное напряжение £(/) = s(f) -f- n(j), где s(/) =
= Л о sin (соо/ ф) — гармонический сигнал с равномерно распре-
деленной случайной фазой ф; n(t) — нормальный стационарный
шум с нулевым средним значением и функцией корреляции (5.6.1).
Нужно найти функцию корреляции &,.(т) для выходного напряже-
ния Т](/).
Нелинейную характеристику (5.8.1) можно записать иначе:
ii(0
g (I (0)
I sn (t)
I о
при	—s(t),
При	—s(0-
(5.8.2)
Считая пока s(Z) постоянной величиной, к преобразованию
(5.8.2) можно применить все рассуждения, приведшие к формулам
(5.6.2 д) и (5.6.4 д). Если затем воспользоваться формулой (5.3.10)
и выполнить усреднение по случайной фазе ф, то получим следую-
щую формулу для функции корреляции [11, 15]:

П, V—0
(/2=у7&0)
- Rn (т) cos v (оо т,
(5.8.3)
где
оо
1 Ар \2  ____1_____1) /
I 2а J иНи + Л!	\
jj,™ о
(5.8.4)
Рассмотрим структуру выходного сигнала. Если входной шум
«низкочастотный», т. е. коэффициент корреляции 7?(т) не содержит
осциллирующих множителей высокой частоты, то в энергетическом
спектре выходного сигнала отдельные коэффициенты (с точ-
ностью до постоянных множителей) имеют следующий смысл:
Соо— постоянная составляющая выходного сигнала;
п^=0-—«низкочастотные» шумовые составляющие, представ-
ляющие искаженный нелинейным устройством вход-
ной шум;
Coi—первая гармоника высокочастотного колебания;
С^, п^О — шумовой спектр около частоты соо;
Ci; — v-я гармоника колебания;
С^, п=£0-—шумовой спектр около частоты vcoo и т. д.
Отметим, что в любой конкретной задаче выходной спектр огра-
ничен и поэтому необходимо вычислять лишь определенные коэф-
фициенты С^. Ряд (5.8.4) сходится достаточно быстро при До <2о;
при больших значениях А о ряд сходится медленно.
204
Применил формулу (5.8.3) к одному из возможных вариантов
умножителя частоты (рис. 5.20). Предполагается, что входной кон-
тур имеет резонансную частоту со0> а выходной настроен на какую-
либо гармонику vo)o. Анодно-сеточная характеристика лампы умно-
жителя аппроксимируется кусочно-линейной кривой (5.8.1).
Шум n(f] на входе умножителя получается в результате прохож-
дения дробовых и тепловых флуктуаций предыдущих каскадов
через высоюдобротный входной
контур. Функция корреляции
такого шума имеет вид
k (т)—	(т) = О2 р(т) COS(O0 т,
(5.8.5)
гдер(т) — медленная по сравне-
нию с cosco»т функция.
Рис. 5.21. Зависимость мощности
третьей гармоники от (Ц и pi.
Рис. 5.20. Схема умножителя
частоты.
Хотя при исследовании умножителя частоты возникает несколь-
ко практически важных задач (преобразование флуктуаций фазы
сигнала при наличии дополнительного шума и др.), ограничимся
рассмотренкем совместного воздействия гармонического колебания
п входных флуктуаций. Вычислим значение третьей гармоники
сигнала и отношение сигнал/шум на выходе умножителя.
Если подставить значение коэффициента корреляции (5.8.5)
с. формулу (5.8.3) и выделить коэффициенты которые опреде-
ляют спектр в окрестности третьей гармоники сигнала (v — 3),
io можно прийти к следующему результату:
00
/1=0
Коэффициент О2оз, характеризующий мощность третьей гармо-
ники колебания, в зависимости от Pi = е/До для нескольких зна-
чений си = а/До представлен на рис. 5.21 Кривая D2o3 приах = О,
"П ределяемая формулой
205
2
03
1	• о ,
у йН12ф0
~ sin 4^0 —
ф(р arc sin
дает мощность третьей гармоники в отсутствие шума*
Из графиков видно, что если в отсутствие шума максимум мощ-
ности третьей гармоники получается при 0 (что соответствует
углу отсечки 60°), то при наличии шума этот максимум с увеличе-
нием интенсивности шума сглаживается и смещается в сторону
больших значений (31 (т. е* меньших углов отсечки).
Значения первых четырех коэффициентов Dnz приведены
в табл. 5.8*1. Отношение си гнал/шум определяется по данным этой
таблицы формулой
шум
сигнал
(5.8.7)
Таблица 5.8.1
Значения коэффициентов D^3
0,3
0,5
0,8
0,003	0,012	0,011	0,000	0,003	0,007	0,000	0,001	0,003	0,000	0,000	0,001
0,004	0,021	0,021	0,000	0,005	0,014	0,000	0,001	0,006	0,000	0,000	0,002
0,004	0,017	0,022	0,000	0,005	0,017	0,000	0,001	0,003	0,000	0,000	0,001 ь
§ 9. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Сущность этого метода, предложенного С. Райсом [3] и подробно
описанного во многих книгах [16—20], состоит в том, что характе-
ристика нелинейного элемента т](£) = g(B(O) представляется в виде
контурного интеграла
П = g(£)=~
1
2~
F (ju) du,
(5.9.1)
где L — соответствующим образом выбранный контур интегриро-
вания в комплексной плоскости и.
В тех случаях, когда функция g(|) обращается в нуль на беско-
нечности (В = ± °о), можно ограничиться действительными зна-
206
чениями и if в качестве преобразования (5.9.1) использовать преоб-
разование Фурье, при этом из обратного преобразования имеем
ОО
F(ju)~ J g(g)e-/“6dg.
— 00
(5.9.2)
Если функция g(£) обращается в нуль при (или при
меньшем некоторого фиксированного числа), то следует применять
теорию преобразований Лапласа и рассматривать соотношение
(5.9.1) как интеграл обращения:
с+/°°
g&) = ^7 I eP’F(p)dp=-
С- ! оо
р (JU) du,
(5.9.3)
F(p) = ] e~P'g(l)dl, (p = ju).
О
Когда при оо функция g(£) возрастает не быстрее некоторой
степени аргумента то в качестве контура интегрирования здесь
можно взя1ь действительную ось (С = 0) с обходом начала коорди-
нат снизу.
В тех случаях, когда функция g(^) возрастает в обе стороны
(как при ё так и при |	—оо), целесообразно пользоваться
двусторонним преобразованием Лапласа.
На основании соотношения (5.9.1) для первых двух моментов
можем написать
"Г = 01)=	Г(/«) (eM)du,
ffli, (г)	( Т] (t) Т] (t i-г)) = J j F (juj) F (JuJ) x
L L
x (exp j («! + u2 £2)) dur dtu.
(5.9,4)
Аналогично записываются выражения для - других моментов.
Видно, «то моментные функции выходного процесса выражаются
через известные характеристические функции входного процесса и
преобразованные характеристики нелинейных элементов. Таким
образом, .задача сводится к формальному вычислению интегралов
вида (5,9.4). Эти вычисления во многих случаях удается сравни-
тельно просто выполнить, если входной процесс |(/) является нор-
мальным шумом. При наличии суммы сигнала и шума вычисления,
гак и в прямом методе, становятся более сложными.
207
§ 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НОРМАЛЬНЫХ
ФЛУКТУАЦИЙ
Если £(/) нормальный процесс, то в формулы (5.9.4) нужно
подставить выражения одномерной (3.15.7) и двумерной (3.15.9)
характеристических функций. Например, для нормального ста-
ционарного процесса j(/) с нулевым средним значением (т = 0)
с учетом формулы (3.15.20) можем написать
mn (т) -
1 Г С тч / . \	. ч f
2
(/«t du2.
и 1	27^ (т)	2
(5.10.1)
Когда последний интеграл вычислить не удается, целесообразно
воспользоваться разложением
q— О2Д^! «2
п\
п=0
1огда получим
mn (r)
5
п\
----Q2 LI2
2 du. (5.10.2)
12
п
£,(t;
Так как mTi=d0, то отсюда полу-
чаем формулу для функции кор-
реляции
g2(t(V)
n = 1
d2
Рис. 5.22. К вычислению взаимно-
го момента на выходе двух нели-
нейных элементов.
случаях вычисле-
В некоторых
ния интегралов (5.9.4) для нормаль-
ных процессов упрощаются, если воспользоваться формулой (5.10.7),
доказательство которой приводится ниже.
Пусть требуется
ментов (рис. 5.22), на
чайный процесс £(/).
найти взаимный момент
процессов на выходе двух нелинейных эле-
вход которых воздействует нормальный слу-
mn(/i, /2) =
208
1
По аналогии с формулой (5.9.4) можем написать
тц</, t + т)=тп(т)= 4^2 j J Л (/«1И2 (M) X
L L
X (exp j (Ui £ + ua £T)> du.! du2 =
= 4^2- J J Pl (Jui) Рг (/«2) @2 (“1, “2) dut du2, (5.10.4)
L L
где ©j (u1( ira) — характеристическая функция (3.15.9).
Заметим, что для характеристической функции нормального
процесса справедливо равенство
-д;Л2 =(—1/ (ffiO2 UiU2)* ®г(“ь “г)-	(5.10.5)
Из (5.10.4) и (5.10.5) следует, что
д' тп (?)
дЦ*
J (/«1? Pi (/«1) diii J (ju2)k F2 (ju2) ©3 (ub щ) du2.
Подставив сюда исходное определение характеристической функ-
ции
©2 («1, и2) = (exp j (и! J + и2 gx))
и изменив порядок интегрирования и статистического усредне-
ния, можем написать
Pi№i)e/Uli j(/«2m/«2)e,“^u3^ .
L*	L
Из формулы (5.9.1) следует, что
J(/«)^(/«)e/“4«=gW(^)=
L
Поэтому
v/\
00
= (0102)" У gi4l)g2}(^)w2(l, b)dld^, (5.10.6)
— 00
|деау2(£, £с) — нормальная плотность вероятности (ЗЛ5.8).
Формула (5.10.6) устанавливает связь, между производными от
взаимного момента по коэффициенту корреляции входного процесса
и средним значением соответствующих производных от нелинейных
s Зак. 24 5	2Q9
характеристик. Эта формула может быть обобщена и на моменты
более высокого порядка. Однако нас пока интересуют, наоборот,
частные результаты, следующие из (5.10.6).
Если нормальный процесс стационарен и рассматривается
одно нелинейное преобразование, то в (5.10.6) нужно положить
= £г(В) = При этом получим
ОО
= f[	(5.10.7)
dR (т) JJ
— ОО
где £т) — двумерная нормальная плотность вероятности
(3.15.19).
Полагая в (5.10.6) &(£) = £(g), g2(gx) = Sr и k = 1, получаем
формулу, устанавливающую статистическую зависимость между
входным и выходным процессами:
f y(0^i(i)^=const.	(5.10.8)
—оо
Следовательно,
mn (т) = const • R (т) + Co.
Но из физических соображений ясно, что при /?(т)=0, тп(т)™
—С0 = т$тГ1. Поэтому
fei(T) = <(g — /Пс)01 — ^)) = const - 7?(т),	(5.10.9)
т. е. взаимная корреляционная функция между входным нормаль-
ным процессом и процессом на выходе безынерционного нелинейного
элемента по форме совпадает с автокорреляционной функцией вход-
ного процесса.
При вычислении по формуле (5.10.7) функции корреляции про-
цесса на выходе нелинейных элементов с кусочно-разрывными харак-
теристиками, как и в прямом методе [101, нужно брать такое значе-
ние k, при котором g(ft)(g) представляет сумму дельта-функций
[21 ]. Тогда интеграл в правой части всегда вычисляется и, следова-
тельно, находится производная dk mnldRk. Что касается последую-
щего интегрирования по коэффициенту корреляции У? с целью оп-
ределения тн(т), то оно легко выполняется лишь в частных слу-
чаях, например, когда воздействующий нормальный стационарный
процесс g(/) имеет нулевое среднее значение и характеристика
имеет разрыв в нуле, т. е. = ± 5(g) [22].
Формулу (5.10.6) можно обобщить на нелинейные безынерцион-
ные преобразования более общего типа [23]
210
412(^1, 0) = Я12 (£1 (0)> ?г(0))>	(5.10.10)
где Zi(t) и £2 (0 — нормальные случайные процессы с нулевыми
средними значениями. В данном случае она принимает вид:
ОО оо
фй-1 = Ci J J ы 1“'!<ь'5i)dla’ (5Д0Л1)
С/х	J I	I
— 00 —00 1	1 2	'
где tnu = <T]ls(/b Z2)).
В том часгном случае, когда
’lia (fit 0) — ’ll (0) ’h (0) — Si (?i (G)) £2 (?2
формула (5.L0.11) переходит в (5.10.6).
Рассмотрим два примера.
1. Частотная модуляция гармонического колебания нормальным
шумом. Различные виды модуляции гармонического колебания
случайными сообщениями подробно рассмотрены в работах [11, 18].
Приведем здесь один частный пример [11], результаты решения
которого будут использованы в дальнейшем.
Пусть имеется стохастический сигнал
1(f) = А (0 cos [coZ + <p (0 — в],	(5.10.12)
к котором Л(/) и <р(£)— действительные стационарные случайные
Функции, 0 — случайная начальная фаза, равномерно распределен-
ная на интервале ( — л, л).
Функция корреляции такого сигнала равна
Лф (т) = (Л (t)A (/-фт) cos [и^+ <p(Q — 6] cos [со(^ 4- т)+ф(/-фт) — 6]) =
= ~(А (/) A (t + т) {cos [ют -ф ф (/ 4- т) — <р (/)] 4-
4- cos [со (2t 4- т)-ф <р (^ 4- т) 4~ ф (0—26]}).
В этом выражении необходимо выполнять усреднение по ансамб-
по реализаций Л(0 и ф(0, а также по случайной фазе 0. Если зна-
чения 0 не зависят от A(f) и ф(/), то в результате усреднения по 9
последнее слагаемое в фигурных скобках обратится в нуль и, сле-
ювательно,
kc (т) = | И (0 (^ + т)cos [®т 4- <р (^ 4- т) — ф (0J)-
>гу формулу можно записать иначе:
| Ее(Л(0Л(Н-т)ехр/[®/4-ф(Н-т) — ф (/)]). (5.10.13)
I ‘
211
Применим формулу (5.10.13) к частному виду сигнала, модули-
рованного по частоте нормальным стационарным шумом £(f) с НУ-
левым средним значением, дисперсией о2 и коэффициентом корреля-
ции R(x):
t
£(/) =4oCOS[<o0/+q>(OL ф(0=%	(5.10.14)
о
Имеем
Мт) = т 4oRe(exp[./X'n(x)])cos<o0T, (5.10.15)
где
о
J g (х) dxl = J £ (х) dx — J g (х) dx.
о	> t	о
Если £ (t) — нормальный шум, то т] (т) будет также нормаль-
ным процессом, причем дисперсия его равна:
о2 (х) = о2 J J Я (х — у) dxdy.
о о
Одномерная характеристическая функция для т] определяется*
формулой (3.15.18):
(5.10.16)'
@i(u) = (ехр(/ит])) = ехр ( —-н о2 и2).	(5.10.17).
Из сравнения формул (5.10.15) и (5.10.17) следует, что
k4 (х) =	Ло Р (х) cos х, Р (х)=ехр [ — i х2 о2 (х)1. (5.10.18)
Хе	Лв
Можно показать, что
0ц = 2<j а (а | т | + е-’^1 — 1) при R(х) = Ri(x) — ехр (—а ]т|),
а2 = о2 а-2 {е- “2 т’ +ат/л [2Ф (/2ат)—1] — 1}	J
при R (т) = R2(х) = ехр (— а2 т8)/
Соответственно для р (х) получим формулы
~ ЛЛ - оллг, Г_ R /г I o-S _ 1)],
-s’1\_L С
У
(5.10.19)1
Ра (s) = ехр
где
$ = а!х|, Р = х2о2а-2.
(5.10.20)
212
Графики функций pi(s) и pa(s) для двух значений (J = 1 и 10 при-
едены на рис. 5.23. Пунктиром показаны те же функции, вычислен-
ные приближенным методом (см. § 6 гл. 8).
fit (S)	рг (S)
0	)	2	3 0	1	2	3
$	s
a)	S)
Гис. 5.23. Нормированные корреляционные функ-
ции для ЧМ стохастических сигналов.
2. Воздействие нормального шума на сглаженный ограничитель.
11усть нормальный стационарный шум £(/) с нулевым средним зна-
чением и функцией корреляции fe(r) = оа7?(т) воздействует на не-
линейный элемент (сглаженный
ограничитель) с характеристи-
кой [24]
П(£) = а+ -~= (е
7 у 2п J
dx,
(5.10.21)
। де а и у — постоянные вели-
чины.
Нужно найти функцию кор-
реляции шуиа т)(0» получакмце-
। ося на выгоде такого ограни-
чителя.
Характеристика рассматри-
ваемого ограничителя изобра-
жена на рис. 5.24. Из (5.10.21)
< ледует, что Лтт](^) = 0; 'Л(О) = ЙИ Нтт](£) = 2а. Поэтому величи-
£ —оо	£ -+ оо
ц.| а характеризует уровень ограничения. Величина у характе-
рно. 5.24. Характеристика сглаженно-
го ограничителя.
213
ризует наклон характеристики ограничителя (точнее, значение
производной при £ = 0). Чем больше у, тем меньше наклон.
При 0 сглаженный ограничитель переходит в идеальный.
Написав формулу (5.10.7) при ft - I и подставив производную
после преобразований получим
Двукратный интеграл в правой части (5.10.22) есть интеграл
от двумерной нормальной плотности вероятности по всей области
изменения переменных, и поэтому он равен единице. Следовательно,
Отсюда находим

(5.10.23)
где С — произвольная постоянная интегрирования. Она опреде-
ляется из условия lim/?(т)=0, 11т/ип(т)=С=//г^ ~ а2. Поэтому
Т-> ОО	Т->- оо
функция корреляции шума на выходе сглаженного ограничителя
равна
(т) =
2а2
arc sin
(5.10.24)
Если воспользоваться разложением arc sin z в ряд Тейлора,
то по формулам (3.10.1) или (3.10.10) можно вычислить спектр
шума т](/) [25].
214
§ 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА И ШУМА
Рассуждения, приведенные в §9, легко обобщаются, когда нели-
нейному преобразованию подвергается сумма нормального шума
£(£) и гармонического колебания s(t) = Aocos(coo^ + 0), имеющего
случайную канальную фазу 0, не зависящую от £(/).
Характеристическая функция суммы тр(/) = s(7) + |(Z) равна
произведению характеристических функций слагаемых:
тс
(5.11.1)
где 7о(До«)— функция Бесселя нулевого порядка.
Аналогично для двумерной характеристической функции с уче-
том (3.15.20) и (5.3.9) получим
2Rului-3rii2)\	У«1 + U2+2ui«2cosсоот),
(5.11.2)
Если псдставить эти выражения для характеристических функ-
ций в (5.9 4), то получим формулы для первых двух моментов.
При вычислении ши(т) часто используется известная теорема сло-
жения бесселевых функций:
Jо С^о -ф ^2
2wj w2cos (о0т) —
ОО
= 2 (— О’ С (Л «1) Л (Л «г) cos v®0 т,
У" ii.m Q
(5.11.3)
где £0=1; С,—2(v=t0).
Воспользовавшись также разложением экспоненты
ехр (—в ряд, получим
тп (т) = (g (т| (о) § (л (^ 4- *))) =
= 2 'пГ^пу о2л7?п (т) cos vo)0r,	(5.11.4)
П,
где
Л + V P	- — С2Д2
Cav—J F (/w) Jy (Xow)e 2 du,	(5.11.5)
L
215
Корреляционная функция k^fr) получается из формулы
(5.11.4), если исключить член, соответствующий п=0, v=0:
00 <
^(т) = 2 g2n	(т) cos v©0 т.	(5.11.6)
(п=м#=0)
Таким образом, задача нахождения корреляционной функции све-
дена к формальному вычислению интегралов (5.11.5).
Рассмотрим в качестве примера воздействие сигнала и шума на
сглаженный ограничитель (5.10.21). В данном случае
г/. . 2а —	_
f(/w) = 77e	•	(5.11.7)
Подставив (5.11.7) в (5.11.5), имеем
СО
/7 I	” ( V ® *1“ С ® 1LL
Сл =?+v-1 v J и"-1е 2	[Д(Лоц)+(-1)'’-' Д(— Aou)]du.
— ОО
Для функций Бесселя справедливы соотношения:
при v четном,
при v нечетном.
Поэтому все. коэффициенты Cnv, для которых сумма и -Ь v есть1
четное число, равны нулю. При n-f-V нечетном можем написать
сл, = jn+'~1 J ц”-1 е 2 (12+о,) J, (Ло и) du.
о
* -
В результате вычисления этого интеграла получим
aZ-n/2 Г/2
нечетном
0
при n-f-v
четном,
где iFi(a; ₽; —z) — вырожденная гипергеометрическая
функция,
2
О
Полагая в (5.11.8) и (5.11;9) у — 0, подучим соответствующие
формулы для идеального ограничителя.
716
Основная компонента корреляционной J функции сигнала на
выходе огргничителя &os(t) соответствует в^формуле (5.11.6) члену
при п = 0, v = 1 и равна:
i^i f4: 2; —^')coS£°oT*	(5.11.10)
" *	\ м	/
Будем ггносить все остальные члены к корреляционной функ-
ции шума ва выходе ограничителя kot,(r):
2
2
11 cos V(Oo т.
По л ага s в формулах (5.11.10) и (5.11.11) т = 0, можно найти
отношение сигнал/шум &os(0)/&o£ (0) на выходе ограничителя.
В ряде радиотехнических устройств применяется схема, когда за
Рис. 5.25. Воздействие сигнала и шума на ограничи-
тель и узкополосный колебательный контур.
ограничителем стоит узкополосный фильтр (рис. 5.25). При этом
обычно интересуются отношением сигнал/шум на выходе этого
фильтра.
Предположим, что узкополосным фильтром является колеба-
тельный юнтур, настроенный на частоту сигнала соо и имеющий
энергетическую полосу пропускания Af3K < А/Эе, где Д/Э; — энер-
гетическая ширина спектра шума £(/). Пусть центральная частота
спектра ш/ма £(/) также совпадает с частотой сигнала ©о. Опреде-
лим порог ограничения Н как максимальное значение амплитуды
гармоничегкого колебания s(Z), при которой выходное напряжение
ограничил л я достигает 98% от его максимума (см. рис. 5.24).
Нетрудно гбедиться, что
// = 2,33 у.	(5.11.12)
Обозначим через (SIN)B отношение квадрата эффективного зна-
чения сигнала к дисперсии шума на выходе рассматриваемой схемы
(рис. 5.25> и через (SIN) — аналогичное отношение для случая,
когда ограничитель отсутствует. Тогда для небольших значений
8В зак. 245	217
параметра к оказывается справедливой приближенная формула
где — ширина энергетического спектра шума В (t) на уров-
не 0,5;
2
Д/к= —	—полоса пропускания контура на уровне 0,5 по мощ-
ности.
Значения коэффициентов ki и k* в зависимости от относительного
порога ограничения приведены на рис. 5.26 для трех случаев:
когда спектральная плотность шума £(/) определяется резонансной
—оо ~10 ~5	0
Рис. 5.26. Зависимость коэффициентов К\ и к2 от относи-
тельного порога ограничения (/ — спектр шума опреде-
ляется резонансной кривой колебательного контура; 2—
гауссов; 3 — равномерный).
5 10 оо -оо ~10 -5	0	5	10 оо
кривой колебательного контура (/), когда имеет вид гауссовой
кривой (2) и когда она равномерна (3).
При анализе «узкополосных нелинейностей» рассматриваемого
вида (рис. 5.25) в ряде случаев могут оказаться полезными резуль-
таты работ [27, 28].
ЛИТЕРАТУРА
1.	А х е 1 b у G. S. Random noise with bias signals in nonlinear de-
vices. Trans. IRE, 1959, AC-4, № 2.
2.	L a m p a r d D. G. The probability distribution of the filtered
output of multiplier whose inputs are correlated, stationary, gaussian time
series. Trans. IRE, 1956, IT-2, № 1.
3.	Райс С. Теория флуктуационных шумов. Сб. статей: «Теория пере-
дачи электрических сигналов при наличии помех» (пер. с англ.). Изд-во ино-
странной литературы, 1953.
4.	Боев Г. П. Теория вероятностей. Гостехиздат, 1950.
5.	Крамер Г. Математические методы статистики. Изд-во иностран-
ной литературы, 1948.
218
б.	В a r re t t J* F., Lampard D. G. An expansion for sone se-
rond— order probability distributions and its application to noise problems.
I rans. IRE, 1955, IT-1, № 1.
7.	P ытс в С. M. Связь распределения квазимонрхроматического
«тащионарноп процесса с распределением его огибающей. ЖЭТФ, 1955,
№ 5 (11).
8.	К у 31 ецо в П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Прохождение случайных функций через нелинейные снсгемы.
Автоматика! телемеханика», 1953, №4.
9.	Таблицы функции ошибок и ее первых двадцати производных. Пер.
г англ. БаркЛ. С. и Болыпева Л. Н. Вычислительный центр АН СССР,
1965.
10.	Ам« антов И. Н., Тихонов В. И. Воздействие флуктуа-
ций на типовое нелинейные элементы (прямой метод). «Известия АН СССР»,
< >ТН, 1956, fe 4.
11.	Тизонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на
нелинейные рдиотехнические устройства. Докторская диссертация. В-ВИА
им. проф. Н.Т. Жуковского, 1956.
12.	Ami антов И. Н. Безынерционные преобразования огибающей
квазнгармонмеских флуктуаций. «Радиотехника н электроника», 1959, №3.
13.	Bennet W. R. Spectra of quantized signals. BSTJ, 1948, № 3.
14.	Maj J. Quantizing for minimum distortion. Trans. IRE, 1960,
IT-6, № 1.
15.	T и ю нов В. И., Амиантов И. H. Воздействие сигнала
и шума на шпинейные элементы (прямой метод). «Радиотехника и электро-
п ика», 1957, Mb 5.
16.	Лэо нг Дж. X., Б этт и н Р. Г. Случайные процессы в за-
дачах автомашческого управления. Пер. с англ. Изд-во иностранной лите-
ратуры, 1958
17.	Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных
сигналов и ц^мов. Пер. с англ. Изд-во иностранной литературы, I960.
18.	М и j д л то н Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 1, 2.
11ер с англ.14зд-во «Советское радио», 1961.
19.	Пе|возванский А. А. Случайные процессы в нелинейных
,1втсиатическ1 х системах. ГИФМЛ, 1962.
20.	Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. Изд-во
Советское рщио», 1965.
21.	РгСе R. A useful theorem for nonlinear devices having gaussian
niput. Trans.IRE, 1958, IT-4, № 2.
22.	P a po u I i s A. Comment on «an extension of Prices theorem».
1 rans. IEEE, 1965, IT-11, № 1.
23.	Mclahon E. L. An extension of Price’s theorem. Trans. IEEE,
1964, IT-10, Mb 2.
24.	В a i m R. F. The correlation function of smoothly limited
i’.Iussfan noisu Trans. IRE, 1957, IT-3, № 3.
25.	M и : я ш e в Б. Н. Определение временного положения импульсов
при наличиипомех. Изд-во «Советское радио», 1962.
26.	G а 1с j s J. Signal-to-noise ratios in smooth limiters. Trans. IRE,
1959, IT-5, Jb 2.
27.	Blachma n N. M. Band-pass nonlinearities. Trans. IEEE, 1964,
I I 10, № 2.
28.	N u И a I I A. H. On the envelopes of zonal fifter output of memory-
Irss distortiois of narrow-band processes. Trans. IEEE, 1965, IT-11, №2.

219