Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 3 - Добронравов В.В., Веселовский И.Н., Воронков И.М., Архангельский Ю.А., Бурчак Г.П., Вульф И.Р., Сорокин Е.С.

Author: Добронравов В.В. Веселовский И.Н. Воронков И.М. Архангельский Ю.А. Бурчак Г.П. Вульф И.Р. Сорокин Е.С.

Tags: динамика кинетика теоретическая механика

Year: 1972

Similar

Как решать задачи по теоретической механике

Курс теоретической механики

Сборник задач по теоретической механике

Text

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
Рекомендовано
Учебно-методическим управлением
по высшему образованию
СБОРНИК
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СТАТЕЙ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ВЫПУСК 3
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА—1972

Редакционная коллегия:
Ю. А. Архангельский, Г. П. Бурчак (зам. главного редактора), И. М. Воронков,
И. Н. Веселовский, И. Р. Вульф (секретарь), М. М. Гернет, В. В. Добронравов,
П. А. Кузьмин, В. С. Люкшин, В. М. Осецкий, Е. С. Сорокин (гл. редактор),
А. А. Яблонский, Ю. В. Якубовский
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
В. В. Добронравов. Современное состояние механики систем с неголономными
связями 3
И. М. Воронков. О первых интегралах дифференциальных уравнений движения
системы, рассматриваемых как неголономные связи, наложенные на эту си-
систему 16
Е. С. Сорокин. Значение теории колебаний для инженерного дела 20
М. М. Гернет, М. В. Фаворин. Обобщенные аналитические формулы для вычис-
вычисления геометрических и инерционных характеристик*' тел 36
И. Н. Веселовский. Возникновение статики 45
Г. Ф. Морошкин. Рациональная система кинематики твердого тела 50
Ю. П. Сурков. Применение неголономных координат к решению задачи Ньютона 56
М. П. Гуляев. О переместимости канонических переменных в уравнении Гамиль-
Гамильтона — Якоби 60
Ю. А. Гартунг. Новые формы уравнений аналитической динамики 66
Ю. В. Радыш, С. М. Шахновский. Физический смысл слагаемых, входящих в ди-
динамические уравнения Л. Эйлера 70
М. А. Чуев. О решении задачи движения твердого тела с одной неподвижной
точкой методом разделения переменных 75
В. А. Шишков. Определение реакций в опорах неуравновешенного ротора .... 78
B. Ф. Kpuuieu. О толковании основных законов классической механики и вопро-
вопросы методологии 83
Ю. Г. Минкин. Об одной иллюстрации к теме «Вынужденные колебания механи-
механической системы при отсутствии сопротивления» 92
C. А. Волъфсон. О комплексной форме решения задач кинематики плоского дви-
движения , 97
Б. А. Друянов, Я. М. Шапиро. О преподавании статики во втузах | 100
М. А. Александрова. Об учебниках и учебных пособиях по теоретической ме-
механике, изданных в России в 1722—1823 годах 103
Н. П. Митягин. Применение приборов при изучении динамики колебательного
движения 109
Информационное сообщение о работе VI пленума Научно-методического совета
по теоретической механике . . . : ; 115
Аннотации статей сборника «Теоретическая механика», выпуск 3' 118

УДК 531.37@4)
В. В. ДОБРОНРАВОВ
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕХАНИКИ СИСТЕМ
С НЕГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ
Согласно Уиттекеру, автору известного трактата по аналитической
динамике, зарождение нового раздела данной науки — механики систем
с заданными кинематическими связями, выражающимися неинтегрируе-
мьгми дифференциальными уравнениями вида
= 1, 2,... />*
^относится -к тому времени, когда Феррерс сто лет тому назад олублико-
*вал уравнения движения для таких систем, содержавшие неопределенные
множители Лагранжа
-\Т1 <М ■■
>A9i (/==1, 2... /г).
dt dqt oqi
P=i
Однако внимательное изучение основополагающего труда Лагранжа
«Аналитическая механика», Том I, ч. I (отдел четвертый, стр. 60—61),
где были выведены уравнения с множителями, названными именем их
автора, показывает, что Лагранж уже имел представление о неинтегри-
руемых связях в механике, что вытекает из следующего его высказыва-
высказывания: «Вообще с помощью уравнений dL = 0, dM = 0, dN = 0, —.. <...> мы
будем выражать условные уравнения независимо от того, будут ли эти
уравнения сами по себе полными дифференциалами или же нет, при ус-
условии, что дифференциалы будут линейными». Ясно, что Лагранж подра-
подразумевает под вышенаписанными дифференциалами линейные (в совре-
современной терминологии) дифференциальные формы, как интегрируемые,
так и неинтегрируемые.
Таким образом, факт неголономности в механике впервые был 6Т-
мечен Лагранжем, а Герц, спустя сто с небольшим лет в своей книге
«Принципы механики» A894 г.) развил данный факт в стройную теорию,
установив ионятия голоном'ности и неголо'номности, под 3-наками «которых
развивалась и развивается не только аналитическая механика, но и во
многих областях современная математика.
После оформления Герцем понятий голономных и неголономных свя-
связей и выявления их значения, аналитическая механика Лагранжа, Га-
Гамильтона, Якоби, Пуассона и других по-прежнему продолжала разви-
развиваться весьма интенсивно и в настоящее время представляет собой ос-
основной аппарат для теоретической физики, включая самые новейшие ее
разделы, а также для небесной механики, не говоря уже о всех приклад-
прикладных дисциплинах, вынужденных использовать методы аналитической ди-и
намики.
При изучении каждого вопроса механики приходится в первую оче-
очередь выяснять, присутствуют ли в исследуемой задаче неголономные свя-
* Индексы соответствуют тензорным обозначениям.

зи и какие уравнения движения требуется применять при ее решении.
Выяснилась необходимость разработки механики систем с неголономны-
ми связями.
Выяснилась также необходимость составления уравнений движения,
наиболее удобных для изучения механических систем с неголономными
(линейными в то время) связями. Уравнения Лагранжа с множителями
казались сложными.
Первым опубликовал в 1897 г. уравнения движения для систем с не-
неголономными связями С. А. Чаплыгин. Уравнения Чаплыгина не содер-
содержали неопределенных множителей Лагранжа: они были выведены для
частного случая неголономных систем, «вполне циклических» по совре-
современной терминологии, т. е. таких, для которых кинетическая энергия
системы, силовая функция заданных сил и уравнения неголономных свя-
связей обладают одним и тем же числом одних и тех же циклических коор-
координат. Подобные системы практически встречаются часто, и поэтому
уравнения Чаплыгина приобрели широкую известность, несмотря на не-
некоторые затруднения вычислительного порядка, связанные с тем, что
кинетическая энергия системы входит в уравнения Чаплыгина в двух
видах. Приводим уравнения Чаплыгина:
Здесь (Г)—кинетическая энергия системы, выраженная только через
независимые обобщенные скорости q^, Т — первоначальная, непреобразо-
ванная кинетическая энергия; U — силовая функция. Уравнения же не-
неголономных связей имеют вид:
А=Р+1, /? f 2,.../? + / = /*).
Циклическими координатами являются все зависимые координаты qh, не
входящие в уравнения движения; в них входят только их обобщенные
скорости qh. Уравнения Чаплыгина были обобщены в 1903 г. киевским
профессором П. В. Воронцом; выведенные им уравнения не требуют вы-
выполнения условий Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина были опубликова-
опубликованы в трудах Московского общества испытателей природы.
Почти одновременно с С. А. Чаплыгиным уравнения движения меха-
механических систем с неголономными связями опубликовал Вито Вольтерра.
При выводе этих уравнений Вольтерра применил оригинальный ме-
метод, оказавшийся яркой вехой в развитии математики и механики: он
первый ввел понятие, вошедшее в науку под термином «неголономные
координаты» (или как их иногда называли, да и сейчас еще некоторые
авторы называют — «квази-координаты»). Понятие «неголономной коор-
координаты» вытекает, по существу, из того же замечания Лагранжа о связи,
выражаемой дифференциалом переменного, являющегося линейной фор-
формой дифференциалов координат системы, но не представляющего собой
полного дифференциала некоторой функции координат системы в смысле
дифференциального исчисления. Вольтерра же называл линейные диф-
N
ференциальные формы |^ = 2а,-г"со*, написанные в производных от декар-
тавых координат ;по времени «кинематическими характеристиками систе-
системы», а 'произведения со на dt считал дифференциалами йя1 каких-то пере-
переменных я\ -конечная явная зависимость которых от координат системы
qi отсутствовала. Эти я1 — неголономные переменные.
Применение уравнений Вольтерры к изучению систем с геометриче-
геометрической конфигурацией, заданной обобщенными координатами, требовало

дополнительных пересчетов. Но все же уравнения Вольтерры, написан-
написанные в неголономных переменных, в тензорной форме, содержащие трех-
индексные коэффициенты Риччи, во многих случаях представляли собой
более эффективный аппарат для исследования движений механических
систем. В качестве примера на их конкретное приложение Вольтерра
рассмотрел своеобразный случай движения материальной точки с него-
лономной связью; траекторией точки оказалась некоторая, любопытным
образом модифицированная, винтовая линия. В 1901 г. А. Пуанкаре
опубликовал в докладах Парижской Академии наук заметку, содержа-
содержащую новую форму уравнений динамики. Уравнения Пуанкаре выведены
были только для голономных систем, но в совершенно неожиданной фор-
форме, в особых переменных, получивших в дальнейшем название групповых
переменных. Линейные дифференциальные формы были представлены в
виде операторов групп Ли бесконечно малых преобразований; билиней-
билинейные коварианты, употреблявшиеся Вольтеррой при выводе уравнений
движения, соотношения «перестановочности» операций варьирования и
дифференцирования по времени в неголономных переменных, содержав-
содержавшие трехиндексные коэффициенты, у Пуанкаре входили в условия
транзитивности групп преобразований. Применение выведенных уравне-
уравнений было проиллюстрировано их автором на примере решения задачи о
движении твердого тела с неподвижной точкой и полостями, заполненны-
заполненными жидкостью. Наш соотечественник Николай Гурьевич Четаев, высоко
ценивший заслуги Пуанкаре, развил далее метод групповых переменных
Пуанкаре и доказал посредством того же аппарата теоремы Пуассона и
Гамильтона — Якоби для голономных систем. Статья Н. Г. Четаева по
данному вопросу была опубликована тоже в докладах Парижской Ака-
Академии наук в 1927 г. В дальнейшем, в сороковых годах, Четаев рассмот-
рассмотрел возможность применения группового метода для изучения систем с
неголономными связями. Ряд работ в данном направлении был выполнен
в пятидесятых и шестидесятых годах учениками Четаева — Шуро-
вой К. В.,(и Богоявленским А. А.
Уравнения Вольтерры были доработаны далее известным физиком
Л. Больцманом, впервые установившим термин «неголономные парамет-
параметры»: уравнения Больцмана были опубликованы в 1902 г. Окончательный
же вид уравнений движения механических систем в неголономных обоб-
обобщенных координатах был установлен Георгом Гамелем в его статье
«О виртуальных перемещениях в механике» (Math. Annalen, Bd. LIX,
1905). Уравнения Гамеля находятся также и в его курсе теоретической
механики (Theoretische Mechanik A949). Они имеют вид:
(v=l, 2...П)
П ft
Т*^Т*{д1, ^); — = V-^lpJ, причем gl = \ Pji\
nv —обобщенная сила, выраженная через Qi.
Работы Вольтерры, Больцмана и Гамеля оказали большое
влияние на дальнейшее развитие аналитической механики, в частно-
частности, они послужили основой для возникновения и можно сказать расцве-
расцвета тензорных методов в многомерной дифференциальной геометрии и их
приложений в аналитической механике. Это связано с именами Скоутена,
в первую очередь, и далее Синджа, В. В. Вагнера, Вранчеану и многих
других ученых и научных коллективов в различных странах; в частно-
частности, можно отметить большую роль советской тензорной дифференциаль-

но-геометрической школы. Значение трудов семинара по тензорным ме-
методам в геометрии и ее приложениям в физике и механике исключительно
велико.
Уравнения Больцмана — Гамеля в неголономных координатах, ни
составленные для систем только с голономными связями, не являются
продуктом только, хотя и изящного, но формального и, может быть, бес-
бесполезного преобразования; такие уравнения могут быть более удобны
для решения конкретных задач, сравнительно с уравнениями Лагранжа в
голономных координатах. Ярким примером этому могут служить дина-
динамические уравнения Эйлера в задаче о движении твердого тела вокруг
неподвижной точки. Проекции угловой скорости сох, щ, coz можно считать
dn\ dn* dn?
производными , , • от -некоторых неголономных коорди-
координат; другие же слагаемые в левых частях представляют собой члены с
коэффициентами Риччи — Гамеля. Следует теперь отметить, что и вся
гамильтонова динамика может быть выражена в неголономных перемен-
переменных: за обобщенные импульсы pi——; следует принимать производ-
производил:/
ные от функции Лагранжа по неголономным скоростям. В итоге обоб-
обобщаются классические теоремы Гамильтона — Якоби и Пуассона об
интегрировании уравнений движения, записанных в неголономных пере-
переменных, а также и теория интегральных инвариантов.
Обращаясь к применению уравнений в неголономных координатах
к неголономным системам, следует отметить один существенный факт:
уравнения Больцмана — Гамеля сохраняют свой внешний вид. и при их
применении к составлению уравнений движения систем с неголономными
связями. Действительно: пусть будут заданы I неголономных связей
=0 (P=l. 2,.../).
Таким образом, число независимых скоростей q\i будет равно р = п — 1.
При переходе к неголономным координатам Гамель предложил преобра-
преобразование: qlх = этд; [i=l, 2, ..., р и nh = IiAihqi+'Ahf h = p+l, p + 2, ..., п; ус-
условия связей принимают тогда вид: nh = 0.
Уравнения движения полностью сохраняют свою форму, но только
их число уменьшается; правда, при этом несколько теряется симметрич-
симметричность их внутренней структуры, поскольку число слагаемых с коэффи-
коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается также на число уравнений
связей.
По поводу применения уравнений Вольтерры и Больцмана — Гамеля
к системам с неголономными связями необходимо указать также на не-
некоторые обстоятельства, вызвавшие обсуждение ряда вопросов в научной
литературе. Во-первых следует отметить проблему так называемой пере-
перестановочности операций дифференцирования по времени и варьирова-
варьирования. Дело в том, что при выводе уравнений движения в неголономных
переменных удобно исходить из общего уравнения, предложенного
Е. Бельтрами и содержащего билинейные коварианты от декартовых ко-
координат, обобщенных координат и неголономных координат, т. е. выра-
выражения вида: dbr—6dr, d8n—8dn и т. д. Вольтерра, переходивший при
выводе уравнений движения от декартовых координат непосредственно
к неголономным координатам, применял «перестановочность» варьирова-
варьирования и дифференцирования для декартовых координат при наличии него-
неголономных связей. Данное обстоятельство вызвало в нашей литературе
отдельные возражения. Но, Гамель, в вышеупомянутой его работе,
убедительно показал равноправность того и другого подхода, проделав
вывод уравнений движения в неголономных координатах и придя к од-

ним и тем же уравнениям, независимо от использования или неиспользо-
неиспользования «перестановочных» соотношений. В итоге дискуссии уравнения
Вольтерры были признаны. Приведенный же нами вывод уравнений
Вольтерры соответствует методике Больцмана — Гамеля. Это 'было ис-
исследовано в статье Г. Н. Князева «К вопросу о применимости динамиче-
динамических уравнений Вольтерры для неголожшных систем», опубликованной
в сборнике «Механика» A04), Оборонгиз, 1961.
Однако возникал еще один вопрос, впервые, как будто, отмеченный
нами: на каком этапе при выводе уравнений движения систем с неголо-
номными связями следует применять уравнения связей, т. е. выражать из
них зависимые обобщенные скорости через независимые и делать соот-
соответствующую замену при вычислениях.
При выводе уравнений с множителями Лагранжа применяется, как
известно, аксиома о связях, т. е. вводятся в рассмотрение, наряду с из-
известными активными силами, еще неизвестные силы (управляющие воз-
воздействия), обеспечивающие вместе с данными силами реализацию иско-
искомого движения, согласно заданным связям. Иначе говоря, выводятся
уравнения движения как бы голономной системы; в них неизвестные силы
входят через множители Лагранжа и только тогда, после вывода урав-
уравнений движения, к ним присоединяются уравнения неголономных связей.
Что касается уравнений Вольтерры и Гамеля, то следует отметить,
что Вольтерра в начале вывода уравнений движения выражает декарто-
декартовы скорости через независимые «кинематические характеристики», по
его терминологии, или через «независимые неголономные скорости», по
современной терминологии. Таким образом, в уравнениях Вольтерры на-
находится с самого начала вывода на всех этапах преобразованная кине-
кинетическая энергия, с учетом уравнений неголономных связей.
В методе Гамеля иная картина: процесс вывода проходит без при-
привлечения уравнений связей, в уравнениях движения фигурирует перво-
первоначальная кинетическая энергия, выраженная через все неголономные
скорости. При составлении уравнений движения по записи Гамеля диф-
дифференцируется первоначальная кинетическая энергия, после чего все за-
зависимые скорости заменяются их выражениями через независимые.
Г. Н. Космодемьянская, которой принадлежат некоторые главы в нашей
монографии «Основы механики неголономных систем», показала, что
в случае полной склерономности системы, когда кинетическая энергия
представляет собой чисто квадратическую форму второго измерения,
уравнения движения составляются в обоих случаях идентичные. Случай
реономных систем требует особого исследования на основе современных
методов — теории дифференцируемых многообразий. Нами предложен в
данном случае метод «нормальных неголономных координат», т. е. ис-
использование таких независимых неголономных скоростей, лри данных
неголономных связях, через которые кинетическая энергия выражалась
бы в квадратической форме от скоростей, без удвоенных их произведе-
произведений, -причем в левые части уравнений должны все п{ входить тоже только
раздельно. Тогда результат дифференцирования будет один и тот же ев
обоих случаях, независимо от того, когда полагаются нулю зависимые
неголономные скорости nh.
В связи с этим следует рассматривать и проблему распространения
общих теорем гамильтоновои динамики на случай систем с неголоном-
ными связями.
Уже отмечалось, что уравнения Больцмана — Гамеля сохраняют
свою структуру как для голономных систем, так и неголономных; все тео-
теоремы гамильтоновои механики голономных систем выражаются и в него-
неголономных координатах. Можно было бы ожидать, что будет достигнуто
подобное обобщение и для систем с неголономными связями. В первую
очередь должен быть рассмотрен вопрос о возможности обобщения ос-

новного положения гамильтоновой механики — теоремы Гамильтона —
Якоби об интегрировании уравнений аналитической динамики: метод ин-
интегрирования, основанный на данной теореме, сыграл большую роль и
продолжает сохранять свое значение в области интегрирования уравне-
уравнений и лагранжевой и гамильтоновой динамики голономных систем.
Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби
в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в при-
применении к системам с неголономными связями встречается затруднение,
состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголоном-
неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля умень-
уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильто-
Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруд-
затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с цикличе-
циклическими координатами; для независимости же результатов от порядка пре-
преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчиты-
валась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях
теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что
даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных коорди-
координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению
задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу за-
затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производ-
производных Гамильтона — Якоби.
Достаточно привести такой пример: в задаче о движении твердого
тела вокруг неподвижной точки в случае Эйлера находятся все интегралы
динамических уравнений Эйлера и определяются все искомые неизвест-
неизвестные как функции времени. Но уравнение Гамильтона — Якоби в этом
случае не интегрируется в квадратурах в углах Эйлера. Да и вообще в
задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки метод Якоби
проходит только для случая Лагранжа; это показано М. А. Чуевым, ра-
работа которого публикуется в данном же сборнике.
Тем более подобные ситуации возможны при распространении ме-
метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы
проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения
метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере част-
частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере дви-
движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости.
Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в
нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден
и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения —
неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого бы-
было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифферен-
дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элемен-
элементарных соображений общей механики прямолинейности движения цент-
центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальней-
дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли
опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоя-
настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссер-
диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.).
Кроме рассмотренных основных видов уравнений движения механи-
механических систем с неголономными связями, выражаемых через кинетиче-
кинетическую энергию системы, заслуживают внимания и еще некоторые типы
уравнений. В первую очередь следует отметить уравнения Маджи
р
Здесь г) ' — коэффициенты в соотношениях g* = 2,r\lJa +<r\i(i= 1, 2, ..., п),
cc+l
8

выражающих, с использованием уравнений неголономных связей, все
обобщенные скорости системы через некоторые независимые кинемати-
кинематические характеристики /а, например, независимые неголономные скорости
па. Уравнения Маджи широко распространены в итальянской научной
литературе по механике *.
Оригинален вывод уравнений движения, предложенный профессором
астрономии университета в Чикаго В. Д. Мак-Милланом в его книге
«Динамика твердого тела» A936 г.) стр. 335, переведенной на русский
язык. Приводим уравнения Мак-Миллана:
— \ W i = Qi(i=-i, A..-9 ft)
(штрих обозначает производную по времени). Слагаемые W{ отражают
влияние неголономных связей при выводе уравнений. Техника примене-
применения данных уравнений показана на примере движения шара по плоско-
плоскости. В несколько упрощенной форме уравнения Мак-Миллана выведены
нами и опубликованы в сборнике «Механика» A04), Оборонгиз, 1961,
стр. 24. Уравнения Мак-Миллана могут быть использованы при изучении
небесных механических систем.
Не получила отклика ни в мировой, ни в отечественной литературе
работа известного французского математика Адамара, содержащая тоже
оригинальный вывод уравнений некоторого вида для неголономных сис-
систем. Конкретными примерами механических систем с неголономными
связями были и остаются актуальными и в настоящее время частные
случаи задачи о движении твердого тела по поверхности другого тела.
Неголономность при этом обусловлена отсутствием скольжения; реа-
реализация подобных связей осуществляется силами трения.
В общем виде данная задача была рассмотрена П. В. Воронцом,
составившим методами классической дифференциальной геометрии об-
общие уравнения движения тела с заданной поверхностью по поверхности
другого тела. Данная задача не потеряла своего технического значения
и в настоящее время как для машиностроения и приборостроения, так
и для транспорта, в частности, для транспорта, приспособленного для
уже начавшегося освоения поверхностей других планет.
Отдельно выделились такие вопросы, как изучение плоского неголо-
номного движения (задача Чаплыгина) и частный ее случай — задача
Каратеодори о движении саней. Интересна и важна практически задача
о движении упругих объектов при неголономных связях, решенная
М. В. Келдышем в его известной работе. «Шимми переднего колеса трех-
трехколесного шасси» (Труды ЦАГИ, 1945, № 564). Исследованием упругих
систем с неголономными связями занимается коллектив украинских уче-
ученых во главе с Н. А. Кильчевским, а также итальянские ученые: Синьори-
ни и другие (см. А. И. Лурье «Теория упругости», 1970). Методы неголо-
номной механики в гидромеханике играют роль в научном направлении,
развиваемом Л. И. Седовым и его учениками (см. Л. И. Седов и М. Э. Эг-
лит, ДАН АН СССР, 1962, № 142). Явления неголономности в теоретиче-
теоретической и прикладной гироскопии исследованы в фундаментальном труде
А. Ю. Ишлинского «Механика гироскопических систем», АН СССР, 1963.
Неголономные системы с применением уравнений аналитической ди-
динамики в электротехнике исследованы в многочисленных и оригинальных
работах Габриэля Крона; можно указать и (на работу © данной области
* См.: Т. Л еви -Чивит а и У. Амальди. Курс теоретической механики,
т. 2, часть 1-я, стр. 326, русский перевод 1951 г. Так же отсылаем к [6].

Г. К. Космодемьянской [6]. Теория неголономных многообразий широко
используется и в общей теории относительности.
Параллельно с описанными направлениями выявилось и другое на-
направление в разработке методов изучения систем с неголономными свя-
связями: путем использования дифференциальной квадратичной формы вто-
второго порядка — энергии ускорений. В 1898 г. известный французский
ученый П. Аппель, автор не менее известного пятитомного трактата по
классической механике, опубликовал уравнения движения, применимые
как к голономным системам, так и к неголономным. Приведем их со-
содержание.
Положим, что на систему, геометрическая конфигурация которой оп-
определяется обобщенными координатами ql(i=\\ 2, ..., м), наложены еще
п
неголономные связи вида 2Лрг-^+Лр = 0 (р=1, 2, ..., /). Рассмотрим
чег! mja}
функцию Аппеля о~ у —, где uj — ускорение точки Bj системы.
После дифференцирования по времени уравнений связей, можно выра-
выразить I каких-то qh (вторых производных от обобщенных координат) че-
через остальные п = 1 = р вторых производных д*\ выражающих независи-
независимые обобщенные ускорения.
В результате уравнения Аппеля будут иметь ввд: —— ==Q^= 1, 2,
dq1*'
..., р), где S — энергия ускорений, выраженная через одни независимые
вторые производные; a Q^ — обобщенная сила на перемещении, удовлет-
удовлетворяющем условиям неголономных связей. Уравнения Аппеля получили
большое распространение в научной и учебной литературе, по-видимому
благодаря, главным образом, краткости их записи.
В 1924 г. известный болгарский ученый И. Ценов преобразовал урав-
* d дТс\ дТс\ , dS\ гл
нения Аппеля к другому виду, а именно ———^~\ =:Уи.
dt dq* dq* dq*
([i=l, 2, ..., p). Здесь Го — первоначальная кинетическая энергия систе-
системы, т. е. содержащая все обобщенные скорости, как независимые <р, так
и зависимые qh\ «Si, та часть энергии ускорений, которая явно зависит
только от зависимых обобщенных ускорений q'h, но затем преобразуется
путем замены qh через q^ посредством уравнений связей после их диф-
дифференцирования по времени. Несмотря на некоторую усложненность за-
записи, уравнения Ценова требуют, однако, ощутимо меньшего времени
при составлении уравнений движения.
За последние тридцать лет выявлены факты, с одной стороны, изме-
изменившие внешний облик лагранжевой динамики и в то же время открыв-
открывшие большие возможности дальнейших приложений аналитических ме-
методов к изучению движений и процессов.
В 1935 г. немецкий ученый Якоб Нильсен вывел уравнения движения
механических систем совершенно нового вида, но эквивалентных урав-
уравнениям Лагранжа:
2Qt МД....Я).
dql dql
Необычность уравнений Нильсена состоит, как видно, в том, что они
составляются не только через кинетическую энергию системы, но и через
ее полную производную по времени, т. е. через дифференциальную квад-
квадратичную форму второго порядка по отношнию к обобщенным коорди-
координатам. Уравнения Нильсена, опубликованные им в его книге Lehrbuch
der Mechanik A935 г.), оставались некоторое время не замеченными.
10

И только в начале пятидесятых годов И. Ценов обобщил уравнения
Нильсена и установил сначала уравнения вида
а затем и в такой форме:
1 / дТ дТ \
3 V dql <V )
Наконец, румынские ученые Манжерон и Делеану в конце 50-х годов
установили наиболее общий дифференциальный вариационный принцип
аналитической механики, согласно которому общее уравнение динамики
принимает вид:
N ^ _ (л)
2
при условии, что производные по времени всех низших до (п) порядков
не варьируются. Очевидно, что данный принцип содержит в себе в виде
частных случаев принципы Даламбера — Лагранжа, Журдэна и Гаусса.
Из принципа Манжерона — Делеану вытекают уравнения динамики наи-
наиболее общего вида
JL (* + l)JL =Qt (/ = 1,2,...,
(*) dqk1
Очевидно, что уравнения Нильсена и Ценова являются частными случая-
случаями последних уравнений, соответствующими значениями k=l, 2, 3 и т. д.
В разработке всей данной теории активное участие принимал болгарский
ученый Б. Долапчиев, опубликовавший ряд статей во многих журналах,
включая доклады АН СССР и доклады Парижской Академии наук.
Рассматривая уравнения М—Д, в первую очередь следует отметить
принципиальный математический факт, состоящий в том, что кинетиче-
кинетическая энергия системы обладает замечательным дифференциальным ин-
инвариантом, выражающимся левой частью уравнений (М—Д).
Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных
форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через
них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж,
Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом
уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая
форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития ме-
механики неголоиомных систем самого общего вида. Если на базе обычных
уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравне-
уравнений движения неголономных механических систем только с неголономны-
ми связями первого ло-рядка и при этом линейными относительно обобщен-
обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно
применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными
связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой
структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей от-
относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения
для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в
середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения
с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво-
* б — — вариация п производной по времени от радиуса-вектора точки.
11

го порядка были выведены недавно Ю. А. Гартунгом [6] (которому при-
принадлежит X глава работы «Основы механики неголономных систем»).
Возникает вопрос о правомочности и необходимости изучения движе-
движения со связями общего вида. Ответ должен быть единственным: при
современном уровне науки и техники, неизменно и быстро при этом по-
повышающемся, неголономные связи общего вида являются реальными и
требующими определенных методов для их исследования. Рассмотрим
сначала простейший класс связей повышенной сложности — нелинейных
первого порядка. Аппель первый указал на движение, неголономная
связь при котором выражалась квадратичным дифференциальным урав-
уравнением относительно скоростей. В тридцатых годах Билимович (Югосла-
(Югославия) указал самый простой, очевидный, но бесспорный пример необхо-
необходимости принимать во внимание нелинейную связь, состоящую в том, что
поступательное движение твердого тела, например, того же автомобиля
или летательного аппарата должно происходить по тем или иным причи-
причинам с 'Постоянной по модулю скоростью, что приводит тоже к нелинейной
неголономной связи x2 + y2 + z2 = const. Ее изучение даже необходимо;
если на обычных автомобилях управляющее воздействие реализуется
системой, в которой необходимым звеном является водитель, то иначе
обстоит вопрос с такими самодвижущимися системами, как 1-й советский
луноход, вынужденный передвигаться по лунной поверхности, усеянной
кратерами, холмами, каменистыми глыбами и их обломками. В такой об-
обстановке управляющая система, реализующая программу движения с
соблюдением требования данной неголономной связи общего вида, долж-
должна быть автоматической, сложной, но вполне гармонирующей с общей
конструкцией лунохода.
Аналогичных случаев может быть много и при движении летатель-
летательных аппаратов, в особенности космических, когда движение должно под-
подчиняться требованиям, выражаемым неголономными уравнениями: спуск
на поверхность планеты, подавление излишних периферических враще-
вращений; создание, наоборот, вращений, необходимых для выполнения того
или иного маневра, или выполнения тех или иных научных исследований
и т. д. Уравнения связей могут быть и нелинейными и высших порядков.
Совсем недавно был установлен замечательный факт в кинематике дви-
движений твердого тела вокруг неподвижной точки (в сферическом движе-
движении). Оказалось, что характер сферического движения тела тесно связан
с поведением вектора угловой скорости тела. В частности, могут быть
такие сферические движения, при которых вектор мгновенной угловой
скорости остается в одной и той же плоскости тела, проходящей через не-
неподвижную точку.
В. В. Вагнер, известный современный математик, много занимавший-
занимавшийся механикой и геометрией неголономных систем, нашел такой способ
реализации связи, т. е. такое управление движением, что уравнение свя-
связи оказывается линейным, дифференциальным. Данная реализация сход-
сходна с реализацией неголономной связи в задаче Чаплыгина — Каратеодо-
ри, но только не на плоскости, а на поверхности сферы. Но недавно был
выявлен и такой весьма интересный факт (Д. Гриоли и Ю. А. Гартунг),
получивший название «обобщенной прецессии вектора угловой скорости».
Так можно назвать движение тела, характеризуемое тем, что вектор уг-
угловой скорости тела должен располагаться в одной и той же подвижной
плоскости, определяемой некоторой прямой в теле, проходящей через
неподвижную точку тела, и некоторой прямой, неподвижной в простран-
пространстве, но проходящей через неподвижную же точку тела. При таком об-
общем условии может иметь место множество разнообразных движений в
зависимости от детализации налагаемой связи, т. е. в зависимости от за-
заранее устанавливаемого вида относительного годографа вектора угловой
скорости при его изменении в данной плоскости. Установлено, во-пер-
во-первых, что общее условие обобщенной прецессии выражается уравнением
12

где cox, озу, (dz— компоненты вектора угловой скорости по обычным осям
подвижных координат, \i — постоянный параметр.
Ю. А. Гартунг исследовал различные случаи движения тела с обоб-
обобщенной прецессией вектора угловой скорости, в частности, эллиптиче-
эллиптическую и круговую, соответственно годографам вектора угловой скорости.
Составлялись уравнения движения, интегрировались и находились уп-
управляющие воздействия. При изучении более простых видов обобщенной
прецессии появлялись случаи, когда находились некоторые новые част-
частные случаи движений гироскопов Эйлера 'и Лагранжа даже при отсутст-
отсутствии дополнительных воздействий.
Можно ставить задачу о нахождении сферических движений твердо-
твердого тела с обобщенной прецессией других характеристических векторов:
углового ускорения, кинетического момента, количества движения и т. д.
(Связи данного вида можно назвать «аксоадальными»). В классической
задаче о движении твердого тела открывается 'новая область исследова-
исследования управляемых движений с неголономными связями общего вида.
Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида
лриобретают значение новые методы в поисках решений классических
задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно
сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах
П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей форму-
формулировке: «каждый первый интеграл уравнений движения некоторой ме-
механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на
систему с соответствующими реакциями, равными нулю». Действительно,
примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движе-
движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно
удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем
к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же
теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механи-
механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа —
Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические диф-
дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти
'интеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, (при-
(приняв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем состав-
составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть
любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять
уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголо-
номности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений дви-
движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то
могут быть две возможности: находятся уравнения движения системы,
т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и
вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если
при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого ин-
интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в
ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегра-
интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движе-
движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом
добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три
случая — общего решения, да и общность относится только к начальным
условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение
центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегра-
интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, слу-
случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны при выяснении
вопроса, является ли заданная связь 'первым интегралом уравнений дви-
движения данной системы как свободной.

Но в настоящее время выяснено, что случай Гриоли является част-
частным случаем сферических движений с так называемыми аксоидальными
связями. Суть аксоидальной связи состоит в том, что налагается условие
на вид относительного аксоида вектора, характеризующего сферическое
движение твердого тела или с кинематической стороны (например, век-
вектор угловой скорости, вектор углового ускорения) или с динамической —
вектор кинетического момента, вектор количества движения и др.)-
Ю. А. Гартунг разработал теорию движений тела с обобщенными
прецессиями угловой скорости: а) с точечным относительным годографом
угловой скорости (случай Лагранжа — Эйлера); б) с (прямолинейным
годографом угловой скорости в подвижной плоскости, -носителе век-
вектора угловой скорости (случай Гриоли); в) с круговым годографом;
г) с эллиптическим годографом. Применялись уравнения Ненова для
систем с неголономыыми связями второго порядка, причем в одних слу-
случаях находились управляющие моменты в виде реакций связей, а в дру-
других эти дополнительные управляющие воздействия отсутствовали, т. е.
находились новые частные случаи, вернее, может быть «подслучаи» в
классической задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной
точки.
Ряд новых результатов © механике твердого тела с неподвижной
точкой получены другими методами Е. А. Харламовой и П. В. Харламо-
Харламовым в их докторских диссертациях.
Связи, налагаемые на материальные системы, могут появляться и в
движениях естественного вида, реализуясь при взаимодействии мате-
материальных тел: например, при движении одних тел по поверхностям дру-
других тел; классическая неголономность возникает вследствие отсутствия,
при определенных условиях скольжения. Но могут возникать управляе-
управляемые движения с программами в виде уравнений неголономных связей.
Реализация связей может потребовать воздействий, отличных от изучае-
изучаемых в классической механике, например, гидравлических, электромагнит-
электромагнитных и других. Но аналитические выражения искомых воздействий достав-
доставляются все же лагранжевой механикой в виде определенных функций
времени. Задача нахождения реальных воздействий, функционирующих
должным образом, является технической задачей, вполне разрешимой
при современном состоянии науки и техники.
Но согласно теории относительности, заслуживающей более точного,
по мнению академика В. А. Фока, термина «хроногеометрии», между гео-
геометрическими и кинематическими величинами, характеризующими дви-
движение, появляются дополнительные соотношения (соотношения Лорен-
Лоренца), возникающие не вследствие силовых воздействий, а вследствие толь-
только взаимного расположения и взаимного движения объектов, участвую-
участвующих в данных движениях и их наблюдениях.
Подобные соотношения существуют и в классической механике.
В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы
с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату q{ и ее
производную по времени д\ Известно, какое значение для аналитической
механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат
и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными
инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается об-
область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, мо-
может быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать
автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, со-
сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основ-
основные характеристические векторы движения: г — радиус-вектор точки;
v=r — скорость точки, а = г — ускорение точки. Данные векторы опреде-
определяются девятью их компонентами по осям декартовых координат, векто-
векторы характеризуются также их модулями, а их взаимоотношения, напри-
14

мер, взаимные проекции — их скалярными произведениями rv, ra, av.
Всего имеется 15 фазовых величин. И между ними можно установить со-
соотношения три их взаимном изменении. Следуя терминологии Кронеке-
ра, будем подразумевать под поли'номом любую алгебраическую форму
данных переменных х, у, z, х> у, z, х, у, z. Положим, что имеется k поли-
полиномов фп от п переменных х> у, г, х, у, zt x, у, z. Рациональной зависи-
зависимостью между данными полиномами будет называться их взаимоотноше-
взаимоотношение, выражающееся тождеством
/(Tit %.-••%) = О,
где / есть некоторый полином от q^ с некоторыми коэффициентами Aih9
зависящими от х, у, г, х, уу г, х, у, z.
Рациональная зависимость полиномов может быть установлена ме-
методом неопределенных множителей. Приведенные выше динамические
величины, выражающиеся скалярными произведениями векторов г, v, и,
удовлетворяют рациональной зависимости в том смысле, что такие ко-
коэффициенты Aik можно определить.
Приведем три такие зависимости:
А пг2 -f- A l2rv -f А 1гга = 0;
Аг1аг-{- А
где Aik — функции от ху у, z, x, у, zy x, у, z (см. [6]). Положим, что тре-
требуется найти движение, при котором г ортогонален кг; иа; тогда такая
наложенная связь повлечет за собой автоматически на основании первого
соотношения еще условие Лцг2 = 0, т. е. Лц = 0, которое можно будет
назвать автономной, т. е. независимой от сил, связью. Возникающие та-
таким образом связи можно назвать автономными.
В цитированной выше литературе, в частности, в монографии «Осно-
«Основы механики неголономных систем», приведены также соотношения меж-
между динамическими характеристиками твердого тела при его движении
вокруг неподвижной точки. Данные соотношения являются по существу
автономными частными интегралами при движении твердого тела вокруг
неподвижной точки.
Можно отметить ряд новых направлений в современной математике,
обладающих потенциальными возможностями применения к исследова-
исследованию проблем механики. Данные направления в известной мере примы-
примыкают к тензорным дифференциально-геометрическим методам и теории
римановых пространств, но в то же время связаны и с развивающимися
за последние десятилетия новыми областями. Из них можно назвать: тео-
теорию дифференцируемых многообразий, теорию расслоенных пространств,
теорию внешних форм Картана и связанные с ней симплектические ме-
методы (например в гамильтоновой механике).
Некоторые достигнутые результаты уже заслуживают включения
даже б учебную литературу по механике, как, 'например, -понятия коорди-
координатных карт и координатных атласов механических систем, некоторые
сведения из теории реономных механических систем * и др. Приводим
основную литературу:
Литература
1. F. G а 1 i s s о t. Les formes exterieurs en mecanique. Annales Inst. Fourier;
1952—1954, p. 145—297.
* В. Ю. Иванченко. Об инвариантных уравнениях механики систем с рео-
номными связями. Канд. дисс.
15

2. Г о х м а н А. В. Дифференциально-геометрические основания классической |
механики. Докторская диссертация. Казань — Саратов, 1971. Приведена-обширная биб- I
лиография. ■
3. Abraham R. Foundations of mechanics. 1967. (N. Y., Amsterdam).
4. Арнольд В. И. Лекции по классической механике. Изд. МГУ, 1968.
5. Э. К а р т а н. Интегральные инварианты. М., 1940.
6. В. В. Добронравов. Основы механики неголономных систем. М, 1970.
(В последнем издании читатель найдет библиографические ссылки по общему тексту
данной статьи.)
Ю. А. Г а р т у н г. Об уравнениях движения механических систем с неголоном-
ными связями общего вида. Канд. дисс.
УДК 531.36@4)
Я. М. ВОРОНКОВ
О ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ, РАССМАТРИВАЕМЫХ
КАК НЕГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗИ, НАЛОЖЕННЫЕ НА ЭТУ СИСТЕМУ
Пусть имеем голономную механическую систему с k степенями сво-
свободы, положение которой определяется независимыми обобщенными ко-
координатами <7ь <72, ..., Qk- Предположим, что найдены первые интегралы
дифференциальных уравнений движения этой системы
ъ(Яи qh 0 = Cv, (v = l, 2,..., p<*). A)
Можно ли рассматривать, как это делают некоторые авторы, уравнения
A) как неголономные связи, наложенные на данную систему, и, исходя
из этого составлять для нее новые дифференциальные уравнения движе-
движения как для неголономной системы? В статье «Об интегралах динами-
динамических уравнений как условиях неголономных связей» проф. В. В. Добро-
Добронравов ставит вопрос о закономерности такой операции и о получаемых
при этом результатах*.
Цель настоящей статьи — дать в общем виде ответ на этот вопрос.
Пусть дифференциальные уравнения движения данной голономной
системы составлены на основании принципа Гаусса, т. е. в виде
~ = 0, (/ = 1, 2,..., *), B)
где Г — функция Гаусса («принуждение» или «энергия потерянных уско-
ускорений»), выраженная через qu qi и qu или
ai0 = 0, (/=1, 2,..., k\ C)
где коэффициенты an, ..., aik и ai0 — функции переменных qu qi, t.
Дифференцируя по £ уравнения A), получим
Из этих уравнений р обобщенных ускорений можно выразить как линей-
линейные функции остальных k—р ускорений:
Будем рассматривать теперь данную механическую систему как неголо-
номную со связями A).
Если опять применим принцип Гаусса, то для составления дифферен-
дифференциальных уравнений движения такой системы нужно приравнять нулю
* Вопросы аналитической и прикладной механики. Сб. статей под ред. проф.
В. В. Добронравова. Оборонгиз, 1963.
16

частные производные от функции Г по независимым обобщенным уско-
ускорениям qu 92, ..., Яи-р- Следовательно, будем иметь k—р уравнений:
— + V*/i——=0,..., "т \- V*/.*-?-:—=0. F)
^ ^ fy ^ д
Эти уравнения являются очевидным следствием уравнений B). Кро-
Кроме того, значения обобщенных ускорений qu получаемые да уравнений
C) или, что то же, из уравнений B), тождественно удовлетворяют урав-
уравнениям D), так как уравнения A) являются интегралами уравнении B).
Отсюда следует, что новая система уравнений D) и, F) эквивалентна
прежним уравнениям B).
К такому же результату придем и в том случае, когда дифферен-
дифференциальные уравнения движения данной голономной системы составим в
форме Аппеля
-^- = Qi, (i-l, 2,..., k\ G)
dqt
где S=—2jmw —функция Аппеля (энергия ускорений), выраженная
через qu qu Ци и Qi — обобщенная сила, соответствующая координате q^
Предположим, что для этих дифференциальных уравнений мы нашли
р первых интегралов, выражаемых уравнениями A). Отсюда получаем
уравнения D), из которых, как было указано выше, можно р обобщенных
ускорений qj выразить как линейные функции остальных k—р независи-
независимых обобщенных ускорений gy, (|i=l, 2, ..., k—р; j = k—р+1, ..., k). Если
данную механическую систему рассматривать как неголономную со свя-
связями A) и под возможными перемещениями такой системы понимать пе-
перемещения, определяемые вариациями bqu удовлетворяющими уравне-
уравнениям Четаева
~ *" t.=0, (v = l, 2,..., р), (8)
dqi
то для этой системы можно составлять дифференциальные уравнения
движения в форме Аппеля. При этом частные производные от функции S
нужно брать по независимым обобщенным ускорениям q^ а для нахож-
нахождения обобщенных сил нужно составлять сумму элементарных работ за-
заданных (активных) сил на возможных перемещениях, определяемых по
Четаеву.
Если функцию S, выраженную при помощи уравнений D) через не-
независимые обобщенные ускорения q^ обозначим через S *, то
4?--^г-. (Р=1. 2,... k-p). (9)
Из уравнений D) имеем
— ^•=0, (v=l, 2,..., р). A0)
s
Отсюда р вариаций bq$ находим как линейные функции остальных k—р
независимых вариаций 6^:
IXAv (И)
2-365 17

С другой стороны
Из равенств A1) и A2) следует, что
-^ = <W- A3)
А потому
^^ VU.J^, (|*=1. 2 А-р). A4)
Учитывая,, что коэффициенты в левых частях уравнений (8) и A0) оди-
одинаковы, из уравнений (8) находим:
Следовательно, сумма виртуальных работ заданных сил, действующих
на данную механическую систему, выразится так:
2 ) B
U) U)
Отсюда получаем новые обобщенные силы, соответствующие координа-*
там ди q2y..
0I
На основании равенств A4) и A7) новые уравнения Аппеля
dS* 0*
принимают вид
(|* = 1, 2,..., k-p). A8)
.. .
*** ж
Эти уравнения являются очевидным следствием уравнений G).
Таким образом, приходим к выводу: операция пересоставления диф-
дифференциальных уравнений движения с учетом их первых интегралов, рас-
рассматриваемых как неголономные связи, ничего по существу нового не
дает; получаемые в результате этой операции новые дифференциальные
уравнения движения эквивалентны дифференциальным уравнениям дви-
движения, составленным для данной голономной системы.
В качестве примера рассмотрим задачу о движении твердого тела с
одной неподвижной точкой О под действием некоторой заданной системы
сил F{.
На основании принципа Даламбера напишем дифференциальные
уравнения движения такого тела в виде:
Л^ + М1И) = О, У^ + Л4И) = О, Мг + Ми) = 0, A9)
где МХз Му, Mz — главные моменты заданных сил относительно коорди-
координатных осей Ох, Оу и Ог, совпадающих с главными осями инерции тела
в точке О, а Мх(и\ Му№\ MJ& — главные моменты сил инерции F№ мате-*
18

риальных частиц тела относительно тех же осей. Понятно, что вычисляя
главные моменты Мх&\ Му№\ Mz^\ получим уравнения A9) в обычной
форме Эйлера.
Допустим, что для уравнений A9) существует интеграл энергии
\ + 1гЛ + IA) + П - const, B0)
А
где 1Х, Iy, h — моменты инерции тела относительно выбранных коорди-
координатных осей, сох, соу, G)z — проекции вектора угловой скорости тела со на
эти оси, и П — потенциальная энергия. Рассматривая уравнение B0) как
неголономную связь, наложенную на данное тело, составим новые диф-
дифференциальные уравнения движения этого тела, исходя из принципа
Гаусса. Напишем общее уравнение динамики в форме Гаусса
-К- = 0, B1)
(О
где Ыпг — вариации ускорений w\ материальных частиц тела. Если обоз-
обозначим вектор углового ускорения тела через е и радиус-вектор мате-
материальной частицы тела, 'проведенный из начала О, через ги то
*0/ = О< ^-+^ X («о X П).
Отсюда, учитывая, что при составлении гауссовой вариации ускорения
w\ угловая скорость со и радиус-вектор г\ ие варьируются, находим
А потому
Следовательно, уравнение B1) принимает вид
(М0+Щи)уЫ=0, B2)
где Мо и М0(и) — главные моменты заданных сил и сил инерции относи-
относительно точки О.
Дифференцируя по t уравнение B0), получим
tx^x + ty^y + 7A£* + ~=°> B3)
dt
где ьх=®х> Ьу=®у и s^=oJ —проекции вектора е на координатные
оси, или
где Zo есть кинетический момент тела относительно точки О. Отсюда на-
находим условие, которому должны удовлетворять гауссовы вариации уг-
углового ускорения тела при наличии неголономной связи B0):
Z"o.&7=0, B4)
т. е. векторы бе должны лежать в плоскости, перпендикулярной к векто-
вектору Го. С другой стороны, как видно из B2), эти векторы лежат в плос-
кости^перпендикулярной к вектору М0+М0(и). Следовательно, векторы
Мо-тМ0(и) и Lo Должны быть коллинеарны. Отсюда получаем новые
дифференциальные уравнения движения данного тела:
му + z +
= —. B5)
2* 19

К этим двум уравнениям нужно присоединить еще дифференциальное
уравнение B3). Значения ех, е^ и ez, определяемые из A9), удовлетворя-
удовлетворяют, очевидно, уравнениям B5); кроме того, они тождественно удовлет-
удовлетворяют и уравнению B3), так как уравнение B0) является интегралом
уравнений A9). Отсюда в соответствии со сказанным выше приходим к
заключению, что система уравнений B5) и B3) эквивалентна уравне-
уравнениям A9).
УДК 534@4)
Е. С. СОРОКИН
ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНОГО ДЕЛА
Статья посвящена обсуждению значения теории колебаний механи-
механических систем для различных отраслей инженерного дела, главным обра-
образом, строительства, машиностроения и железнодорожного транспорта. Ее
основная цель — обратить внимание на резко возросшую роль этого раз-
раздела теоретической механики при проектировании различных инженер-
инженерных конструкций и сооружений и на необходимость дальнейшей разра-
разработки вопросов теории колебаний, которые настойчиво выдвигает прак-
практика эксплуатации машин и сооружений в промышленности и транспорте.
Другая цель статьи — подчеркнуть желательность более основательного
ознакомления студентов с теорией колебаний, имея в виду, что будущим
инженерам и научным работникам неизбежно придется сталкиваться с
необходимостью решения различных вопросов колебаний конструкций.
Как известно, колебания в технике имеют двоякое значение: вредные
колебания конструкций, которые необходимо подавлять, и колебания,
используемые как полезный процесс (вибротранспортирование, виброза-
виброзабивка свай, вибрирование бетонной смеси и т. п.); однако и в последнем
случае полезные вибрации порождают вредные, передаваясь поддержи-
поддерживающим конструкциям.
В статье рассматриваются только вредные колебания, которым под-
подвержены инженерные конструкции — сооружения и машины в промыш-
промышленности и на транспорте, и с которыми ведется систематическая борьба.
Методы расчетной оценки ожидаемых колебаний конструкций, способы
уменьшения колебаний до уровня допускаемых или их изоляции, в ко-
конечном счете, являются целью и определяют основные проблемы при-
прикладной теории механических колебаний.
Для лучшего уяснения важной роли теории колебаний в инженерном
деле ниже предпринята попытка осветить некоторые современные проб-
проблемы динамики инженерных конструкций в их развитии, кратко рассмот-
рассмотрев историю прогресса прикладной теории и экспериментальных обследо-
обследований колебаний различного рода объектов в натуре.
I. Беглый обзор развития прикладной теории колебаний конструк-
конструкций за последние 40 лет. Сорок лет — это период, свидетелем которого
является старшее поколение и, вместе с тем, это период бурного развития
техники. Необычайно расширился парк машин, станков и установок, по-
порождающих динамические нагрузки, увеличились их мощности и скорости,
а строительство фабрик, заводов и различного рода инженерных сооруже-
сооружений приняло грандиозные масштабы. Соответственно .высокому уровню
развития техники резко возросло значение прикладной теории колебаний
конструкций. Уже в 30-х годах появилась необходимость разработки на-
надежных методов динамического расчета различных конструкций, -подвер-
* Сокращенное изложение доклада автора на Всесоюзном совещании кафедр тео-
теоретической механики транспортных вузов в Ленинграде 29 января 1969 г.
20

гающихся .переменным силовым воздействиям: фундаментов под машины,
промышленных зданий и сооружений, подкрановых балок, железнодо-
железнодорожных мостов, экипажей, крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов
кораблей, линий электропередач, лопаток турбин, валов двигателей внут-
внутреннего сгорания и т. д. Проектирование машин было, пожалуй, одной
из немногих областей техники, где уравнения динамики уже давно играли
первостепенную роль и утвердились традиции динамического расчета эле-
элементов машин, 'поскольку динамические нагрузки здесь -были основными
силовыми воздействиями. Тем не менее вопросы вибраций элементов ма-
машин в этот .период были еще слабо разработаны. Что касается расчета
строительных конструкций на динамические нагрузки, то он еще не вошел
в практику их проектирования, находясь в стадии -становления.
Хотя линейная теория колебаний упругих систем к тому времени
была в достаточной мере разработана, примером чему служат «Теория
звука» Релея, известные труды А. Н. Крылова и С. П. Тимошенко, тем не
менее между этой классической теорией и динамикой реальных кон-
конструкций существовал большой разрыв.
Во-первых, расчетные схемы реальных конструкций, в особенности
строительных (неразрезные балки и плиты, рамы, фермы, пространствен-
пространственные 'каркасы), были значительно сложнее схем, рассматриваемых в клас-
классических трудах по теории колебаний и необходима *была разработка спе-
специальных методов динамического расчета сложных систем. Во-вторых,
идеализированные предпосылки классической теории — вязкое сопротив-
сопротивление, идеальная упругость материала, идеализация расчетных схем кон-
конструкций и действующих на них динамических нагрузок—-не соответство-
соответствовали действительным условиям работы конструкций. В-третьих, не было
необходимых для динамического расчета конструкций опытных данных
об эксплуатационных динамических нагрузках, о динамических характе-
характеристиках материалов и конструкций, о надежных расчетных схемах кон-
конструкций и т. д. Вследствие этого динамический расчет, например, строи-
строительных конструкций, находился в начальной стадии развития и еще не
вошел в практику проектных организаций того времени (имеются ввиду
30-е годы). Единственным практическим руководством по динамическому
расчету в то время был раздел в Справочнике .проектировщика пром-
сооружений «Методы динамического расчета сооружений», составленный
А. И. Лурье A934 г.) и отражавший состояние динамики сооружений в
те годы. Но к помощи этого раздела обращались только отдельные, хо-
хорошо подготовленные инженеры при проектировании важнейших объек-
объектов. Подавляющее большинство проектных организаций того времени
предпочитало уклоняться от динамического расчета и продолжало при-
применять традиционный способ динамического коэффициента нагрузки.
Способ этот, как известно, состоял в том, что каждому агрегату (напри-
(например, машине) с динамическим воздействием приписывался свой динами-
динамический коэффициент, больший единицы, ца который умножался вес агре-
агрегата. Динамический расчет конструкции подменялся таким образом ее
статическим расчетом. Сейчас излишне говорить о том, насколько не-
несостоятелен этот способ, игнорирующий динамические характеристики
как нагрузки, так и самой конструкции.
Однако в то время для создания надежных методов динамического
расчета инженерных конструкций явно недоставало многих опытных дан-
данных, о которых упоминалось выше. И вот, как реакция на такое состоя-
состояние вопроса в конце 20-х годов в нашей стране началась эра динамиче-
динамических испытаний, которые продолжаются в том или ином виде и поныне.
В области динамики сооружений застрельщиками испытаний конструк-
конструкций явились железнодорожники. При Народном Комиссариате путей со-
сообщения был организован Отдел инженерных исследований, который
развернул грандиозные испытания мостов при движении паровозов и
тепловозов различных серий, пехоты, кавалерии и артиллерии. Определя-
21

лись динамические характеристики нагрузки, периоды и формы свобод-
свободных колебаний мостов, коэффициенты затухания колебаний, расчетные
схемы и т. д.
В этот же период встал вопрос о динамических характеристиках на-
нагрузок и конструкций в промышленных сооружениях. В начале 30-х годов
в Государственном институте сооружений (ныне ЦНИИСК) были орга-
организованы динамические -испытания зданий -и сооружений в натуре и на
моделях, 'изучение.динамических нагрузок, а также лабораторные опыты
по определению динамических характеристик строительных материалов
и конструкций — пределов выносливости, коэффициентов внутреннего
трения и динамических жесткостей. Одновременно научные институты в
Москве и Ленинграде проводят исследования колебаний фундаментов
лод машины и других конструкций. Машиностроители ведут экспери-
эксперименты по -изучению динамических характеристик машиностроительных
сталей, чугуна, цветных металлов -и соединений различного типа.
В послевоенный период проведены исследования конструкционного
внутреннего трения. За последние два десятилетия были предприняты
динамические испытания уникальных сооружений. Гидропроектом иссле-
исследовались колебания плотин крупнейших гидростанций при сбросах воды.
ЦНИИСКом проводились динамические испытания высотных зданий в
Москве, в частности МГУ, инженерной сквозной конструкции для добычи
нефти со дна Каспийского моря, высоких мачт, дымовых труб и башен
и т. д. При этом изучались и самые динамические нагрузки, не только
детерминированные, как, например, периодические и импульсивные воз-
воздействия от машин, станков и различных установок, но и нагрузки типа
случайных процессов, стационарных и нестационарных, такие, как вет-
ветровая, морское волнение, пульсация давления в трубах и камерах и т. п.
Рамки статьи не позволяют полно охарактеризовать все ценное на-
наследство творческого труда советских экспериментаторов.
Бурные темпы технического прогресса во всех областях народного
хозяйства нашей страны дали мощный толчок развитию также и теоре-
теоретических исследований, направленных на дальнейшее углубление теории
колебаний конструкций различных типов и разработку надежных прак-
практических методов их динамического расчета. В значительной мере эти
исследования опирались на результаты охарактеризованных выше экс-
экспериментов.
Молодое поколение исследователей в области прикладной теории
колебаний конструкций возможно не имеет достаточного представления
о том, какой большой путь проделала эта наука за 40 лет и какая
большая дистанция лежит между ее современным уровнем и уровнем
30-х годов. Чтобы дать некоторое представление об этой дистанции, ниже
приводится пример вопросов теории колебаний, которые исследовались
в 30-х годах.
Экспериментами в эти годы было обнаружено, что спектры частот
свободных колебаний неразрезных балок на жестких опорах и рам с
несмещающимися узлами имеют зоны сильного сгущения частот, в отли-
отличие от разреженных спектров частот однопролетных балок и плит. Этот
результат в то время считался новым и послужил толчком к развитию
теории колебаний стержневых систем. В частности с помощью теоремы о
трех динамических моментах был получен аналогичный теоретический
спектр частот неразрезных равнопролетных балок.
На рис. 1, а изображена модель исследуемой пятипролетной рамы,
ниже (рис. 1, б)—опытный и расчетный (рис. 1, в) спектры частот, а
на рис. 2 — экспериментальные резонансные формы колебаний той же
рамы, близкие к теоретическим формам собственных колебаний пятипро-
пятипролетной балки, показанным на рис. 3. Эти, теперь общеизвестные резуль-
результаты, тогда рассматривались как шаг вперед в теории колебаний стерж-
стержневых систем. Вскоре были опубликованы «Динамика сооружений»
22

Ь. Прагера и труды А. А. Белоуса и Н. И. Безухова, содержащие эффек
тивные методы расчета стержневых систем на колебания ФФ
В упомянутых выше опытах были получены также амплитудные ое-
зонансные пики соответствующие последовательным частотам собствен-
собственных колебаний (рис. 1, г). Отношение между высотами резонансныГпи-
*ов для данной рамы определяется ее диссипативными характеристика-
характеристиками. Попытка получить высоты этих пиков расчетным путем исходя из
гипотезы вязкого сопротивления, потерпела неудачу Расчетная высока
шестого пика оказалась в четыре р'аза меньше Уэкспе™тал"ной
1,0 1,15 № 1,53 167
ф
4
а,мм
0,75-
0,50-
I
0,25-
I
20
ю
401 | 50
60
!3 Й
Я7 80 90 100 | 7/0 ВЦ
10 20
И
kO\
\OU\ |
СМ ?^^
50 60 70 80 90 100 ] 110 щ
а, мм
0,15-
0,10-
0,05-
1о\\
210 Щ9 J3J
ЦЗ
50100
110 '
гц
Рис. 1. Модель пятипролетной рамы*
а) модель рамы; б) опь,т„ый спектр „^е, теоретический спектр частот; г) спектр
И только спустя полтора десятилетия, когда была
резо-
шло в двух ^Z!^ Z.
дное, разрабатывающее практические методы динамического п7счеРтя
различных конструкций. Прикладная динамика конструкцийСлужит как
бы мостом между математической теорией колебаний^ практикой1та-
23

м
Рис. 2. Опытные формы резонансных колебаний рамы

мического расчета конструкций в проектных организациях. О достиже-
достижениях прикладной динамики механических систем можно судить по совре-
современному состоянию расчета и проектирования конструкций, подвергаю-
подвергающихся при эксплуатации динамическим воздействиям. Можно с удовлет-
удовлетворением отметить, что научно обоснованные и апробированные опытами
методы динамического расчета прочно вошли теперь в практику проек-
i ^—"^шм
Рис. 3. Теоретические формы свободных колебаний неразрезной пятипролетной
балки на жестких опорах:
тирования самых разнообразных конструкций. В большой мере этому
способствовало создание инструкций по динамическому расчету и проек-
проектированию конструкций, которые следует рассматривать как один из
важных практических итогов теоретической и экспериментальной творче-
творческой работы многих научных коллективов нашей страны.
Положительные результаты применения этих инструкций сказались
быстро. Уровень вибраций на новых промышленных предприятиях, по-
построенных за последние 10 лет, резко снизился, став не только безопас-
безопасным для конструкций, но и безвредным для работающих людей и не вы-
вызывающим снижения качества выпускаемой продукции.
25

II. Примеры колебаний некоторых обследованных конструкций. Об-
Обследования вибрирующих объектов научными институтами и вузами по
заказам действующих промышленных предприятий, проектных органи-
организаций и конструкторских бюро, предпринятые с целью выяснения уровня
вибраций и разработки мероприятий для его снижения, являются одним
из прямых каналов установления связи науки с практикой, теоретичес-
теоретических исследований с экспериментами. Эта тесная связь помогла отечест-
отечественной прикладной теории колебаний наметить узловые вопросы, тре-
требующие первоочередного решения, и освободиться от академизма.
Ниже приводится несколько примеров обследования некоторых виб-
вибрирующих объектов, главным образом, строительных конструкций, с
краткой характеристикой результатов испытаний.
1. Горизонтальные колебания здания ткацкой фабрики. После ввода
в эксплуатацию новой ткацкой фабрики, современного четырехэтажного
здания с высокой башней, обнаружились сильные горизонтальные коле-
колебания вдоль здания — в направлении движения батанов ткацких стан-
станков. Испытаниями было установлено, что наличие башни существенно
снизило основную частоту
свободных горизонталь-
горизонтальных колебаний здания в
продольном направлении,
которая совпала с числом
ходов станков 150 в мину-
v h^^4-^~4,~~^~--~^—•s ту. Расчетами проверено,
что если бы все 800 стан-
Рис. 4. Колебания покрытия: расположенных в
а) до замены мотора; б) после замены мотора г «
здании, действовали в од-
одной фазе со строго одной
частотой, зданию грозила бы -катастрофа. Длительные измерения коле-
колебаний показали, однако, что коэффициент синфазности станков состав-
составляет ~0,10. С поворотом станков в 'плане >на 90° «колебания здания су-
существенно уменьшились. Батаны двигались теперь поперек здания — в
направлении наибольшей жесткости рам каркаса и здание вышло из
резонанса.
2. Вертикальные колебания покрытия цеха. После установки на за-
заводе нового молота с повышенным числом ударов в минуту появились
опасные колебания покрытия цеха, выполненного в виде стальной кон-
конструкции шедового типа, несущими элементами которой служили сталь-
стальные фермы, опирающиеся на стены здания. Размах колебаний покрытия
достигал 3 мм при частоте 6 гц, а подвешенных к фермам труб — до
5 мм. Молот был остановлен и действовал только в период измерений.
Конструкторское бюро завода, исходя из предположения, что причиной
вибраций являются периодические удары молота, запроектировало доро-
дорогостоящее усиление покрытия. Обследование показало, однако, что «ви-
«виновником» колебаний покрытия оказался плохо уравновешенный тяже-
тяжелый шкив на подвешенном к покрытию трансмиссионном валу, приводя-
приводящем в движение новый молот. Число оборотов этого вала точно совпало
с основной частотой свободных колебаний покрытия и имел место острый
резонанс. Замена приводного мотора на другой, с несколько меньшим
числом оборотов в минуту, полностью решила вопрос. На рис. 4 показа-
показаны две виброграммы с одинаковым масштабом увеличения. Представи-
Представитель института, руководивший обследованием, произвел на заводе впе-
впечатление волшебника, между тем очевидно, что вопрос был самый эле-
элементарный и мог бы быть решен инженерами завода, если бы они владе-
владели основами теории колебаний.
3. Колебания каркасов котлоагрегатов ТЭЦ. При работе котлоагре-
гатов появились большие поперечные колебания стенок камеры топки
котла. Высота камеры 13 ж, размеры в плане 7,5X9 м. Каркас котла
26

Л'иЦ^И^
\
\
\
j
I
J
/
1
.-'"' I
/
1
1
\
\
\
»
"'""llpp*1^
WmJr
1A§U^ N1 til N3 № N5 N6 N7
Рис. 5. Колебания стенок камеры топки:
а) поперечные колебания стенки камеры топки; б) форма колебаний стенок камеры в поперечном разрезе; в) форма колеба-
колебаний стенки камеры; г) амплитудно-частотный график пульсаций давления в камере топки; д) осциллограмма пульсаций дав-

представляет собой коробку, стенки которой состоят из перекрестных
двутавровых балок, листовой обшивки и обмуровки. На рис. 5, а показа-
показана осциллограмма перемещений точки стенки камеры с ярко выражен-
выраженной модуляцией амплитуды, а на рис. 5, б и в форма деформаций попе-
поперечного сечения камеры и форма упругой поверхности стенки при коле-
колебаниях. Наибольший размах колебаний достигал у одного из котлов
5,5 мм при частоте 5,8 гц, совпадающей с частотой свободных колебаний
камеры, соответствующей показанной форме. Причина колебаний стала
ясна, когда через смотровое окно было замечено, что мигание огня в
топке имеет периодический характер, примерно с тем же периодом, что
и колебания стенок. С помощью прибора для записи пульсаций давле-
Рис. 6. Трубы, усиленные кольцевыми ребрами:
а) виброграмма горизонтальных колебаний трубы; б) упругая форма трубы при гори-
горизонтальных колебаниях в плане; в) вид трубы сбоку; г) поперечное сечение трубы;
д) форма деформации поперечного сечения трубы при колебаниях
ния было установлено, что сгорание в камере топки пылевидного топли-
топлива, подаваемого через турбулентные горелки, происходит неравномерно,
в виде периодических вспышек с блуждающей частотой (осциллограмма
рис. 5, (Э), средняя величина которой равнялась 5,25 гцу а амплитуда
пульсации давления не превышала 4,5 кГ/м2. Однако, вследствие резо-
резонансного увеличения, это давление было эквивалентно по амплитуде
перемещения статическому: 50 кГ/м2 или 2,5 тоннам на всю стенку. Та-
Таким образом, пульсация давления представляла собой типичный случай-
случайный процесс -с узко'полосным частотным -спектром, середина которого
находилась на частоте собственных колебаний камеры топки, как это
видно из графика спектральной плотности (рис. 5, г). Были усилены
стенки котла, что вывело частоту собственных колебаний из центра по-
полосы частот возмущения.
4. Автоколебания напорных трубопроводов. На гидроэлектростан-
гидроэлектростанции были обнаружены интенсивные поперечные горизонтальные колеба-
колебания наклонных трубопроводов, подводящих воду из верхнего бьефа к
турбинам. Трубы, усиленные кольцевыми ребрами, диаметром 4,5 ж,
толщиной стенок 10—15 мм, длиной 65 ж, опирались по наклонной плос-
28

кости скалы на промежуточные качающиеся опоры (рис. 6, б, г). Изме-
Измерениями было установлено, что при определенных скоростях потока,
имеющего турбулентный характер, возникают особенно большие гори-
горизонтальные автоколебания трубы как однопролетного стержня на упру-
упругих опорах, имеющие размах около 6 мм и частоту 4,3 гц. Виброграмма
и форма горизонтальных колебаний трубы показаны на рис. 6, а и б. За-
Записи собственных колебаний трубы, возбуждаемых ее оттяжкой, под-
подтвердили, что поток вызывает именно автоколебания, происходящие
точно с собственной частотой. Горизонтальные колебания трубы сопро-
сопровождались вертикальными перемещениями верхней и нижней точек се-
сечения трубы в противоположных фазах с частотой ровно вдвое большей.
Причина этого явления стала ясной после измерения формы деформации
поперечного сечения трубы (рис. 6, д). При колебаниях это сечение в
среднем положении не деформировалось, а в крайних положениях при-
принимало форму эллипса с длинной осью, слегка наклоненной к вертикали.
Таким образом, за один полный период горизонтального колебания тру-
трубы верхняя и нижняя точки сечения трубы совершали в разных фазах
два полных вертикальных колебания. Для уменьшения автоколебаний
было рекомендовано придать средним опорам достаточную горизонталь-
горизонтальную жесткость, связав их прочно со скалой.
5. Колебания фундаментов и окружающих их зданий. Типичным яв-
является случай, когда колебания фундаментов под машину, создавая в
грунте поверхностные волны напряжений, становятся причиной возник-
возникновения колебаний сооружений, расположенных в окрестности фунда-
фундамента. Приведем .пример. В компрессорной цеха завода расположено в
один ряд 5 одинаковых фундаментов под мощные двухцилиндровые
компрессоры горизонтального действия с низкими рабочими числами
оборотов в диапазоне от 90 до 125 в минуту (рис. 7, а). Фундамент имел
размеры в плане 16,2X8,8 м (площадь подошвы 143 м2), высоту 7,7 м
и вес вместе с компрессором 2250 т. Наибольшую амплитуду имели го-
горизонтальные колебания фундаментов вдоль осей цилиндров компрессо-
компрессоров. При 125 об/мин размах этих колебаний составил 1 мм, превышая в
2,5 раза норму. Интересно отметить, что при расстояниях 2,5 м между
фундаментами связь между ними через грунт оказалась очень сильной.
Это видно из практически одинаковых эпюр горизонтальных перемеще-
перемещений фундаментов № 4 и 5 при действии только одного компрессора № 5
(рис. 7, а). Вследствие передачи волн колебаний через грунт, наблюда-
наблюдались существенные колебания с частотой компрессоров стен машинного
зала и рядом расположенных зданий производственного и лабораторного
корпусов. Размах колебаний этих1 зданий на отметке 16 м достигал
1,5 мм. Эти колебания были признаны безопасными для зданий, без-
безвредными для здоровья людей, но мешающими работе сотрудников ла-
лабораторий, так как вызывали сильные колебания жидкостей в многочис-
многочисленных сосудах и колбах. Опуская рекомендации по уменьшению этих
колебаний, отметим лишь, что в этом случае не было резонанса между
колебаниями основания и здания, о чем свидетельствует амплитудно-
частотный график (рис. 7, б), полученный путем последовательного по-
повышения числа оборотов компрессора в минуту. Если бы имел место ре-
резонанс, то колебания верхнего этажа здания имели бы размах порядка
10 мм и были бы безусловно опасными.
Подчеркнем общее соображение, что борьба с резонансными колеба-
колебаниями конструкции не представляет затруднений и наоборот, трудно бо-
бороться с нерезонансными колебаниями.
6. Колебания сквозной конструкции в море. Изучались колебания
сквозного инженерного сооружения под действием ветрового морского
волнения. На рис. 8, а и б показана обследованная конструкция — пло-
площадка с вышкой высотой около 100 м, считая от дна моря и 61 ж над
уровнем моря. На рис. 8, в показан образец волнограммы (горизонталь-
29

ного давления волны на стойки), а на рис. 8, г — образец осциллограм-
осциллограммы, представляющей колебания основания башни на отметке 10 ж над
уровнем моря *. При разработке метода динамического расчета этого со-
сооружения морское волнение рассматривалось как случайный входной
процесс. На основе спектральной теории изучались характеристики слу-
случайных колебаний системы.
7. Колебания высокой мачты. На этом примере показано, что для
гибких конструкций наиболее опасными могут быть колебания, соот-
Эпюра перемещений ■
а, мм
0,1-
60 80 100 120 ПО
Рис. 7. Колебания фундаментов под компрессоры и смежных
зданий:
а) план компрессорной и прилегающих к ней зданий: 1—5 фундамен-
фундаменты компрессоров; 6 — здание цеха (высота 20 м)\ 7 — здание лабора-
лабораторного корпуса (высота 20 м)\ б) зависимость амплитуды горизонталь-
горизонтальных колебаний верха зданий от числа оборотов компрессора
ветствующие высокой гармонике. Мачта высотой 310 м (р'ис 9) колеб-
колеблется в ветровом потоке одновременно по нескольким формам свобод-
свободных колебаний. Здесь показаны образцы осциллограмм, записанных на
разных отметках, а также одна из наиболее ярко выраженных форм ко-
колебаний, имеющая 5 узлов, частоту собственных колебаний 0,8 гц и
наибольшую амплитуду колебаний около 0,5 м*. Узлы формы, вообще
говоря, не совпадают с узлами вант, представляющих податливые опо-
опоры, и сами перемещаются, образуя форму с более низкой частотой, около
Рис. 8 и 9 заимствованны из работ М. Ф. Барштейна.
30

0,4 гц. Интересно отметить, что нелинейность упругих опор оказывает
слабое влияние на частоты, расчетные значения которых по линейной
теории хорошо согласовывались с опытными значениями. Объяснить это
можно малостью смещений вантовых узлов.
Рассмотрев примеры, отметим, что в подавляющем большинстве не-
неблагополучных случаев колебаний различных объектов имеют место ре-
+61М
1
1
II
II
II
II
II
1
1
II
*)
35м
:
Si
I
т т
I I
-■4—
> ii i
i ii i
I ii !
8м
и
Рис. 8. Площадка с вышкой в море:
а) вид площадки сбоку; б) план площадки; в) волнограмма; г) осциллограмма горизонтальных
перемещений основания башни
зонансный или автоколебательный режимы, когда объект колеблется с
собственными частотами. Как известно, амплитуды резонансных колеба-
колебаний любого объекта при возмущениях как периодического характера,
так и типа случайного процесса и при автоколебаниях определяются в
основном двумя параметрами: мощностью возмущения или источника
энергии и величиной диссипации энергии колебаний. Из этого ясно, ка-
какое большое теоретическое и практическое значение представляет изуче-
31

ние величины и закона диссипации энергии колебаний конструкций раз-
различных типов.
III. Некоторые вопросы теории колебаний конструкций, требующие
дальнейшего изучения. Статья не претендует на полный охват вопросов,
возникающих в практике проектирования и эксплуатации конструкций,
подвергающихся динамическим воздействиям в различных областях тех-
техники. В ней обращено внимание лишь на некоторые вопросы (прикладной
теории колебаний конструкций.
п=0,8гц
310 м
288м
П=0,8гц
=О,8гц
Рис. 9. Мачта высотой 310 м и осциллограммы, записанные на разных высотах
Следует подчеркнуть, что обсуждаемые ниже вопросы не являются
принципиально новыми. Цель же этого обсуждения — привлечь внима-
внимание к тем аспектам этих вопросов, которые имеют важное значение для
практики и требуют дальнейшего теоретического и экспериментального
исследования.
1. Изучение динамических нагрузок. Не зная параметров динамичес-
динамических нагрузок, действующих на конструкции, нельзя производить дина-
динамического расчета конструкций при их проектировании. А указать эти
параметры можно только в результате проведения теоретических и экс-
экспериментальных исследований. Динамика нагрузок — это большой и
32

важный вопрос, которому до сих пор уделяется незаслуженно мало
внимания. Динамические нагрузки можно подразделить на два класса:
детерминированные нагрузки и нагрузки типа случайных процессов.
К детерминированным нагрузкам относятся, например, динамические
воздействия машин на поддерживающие их конструкции, которые могут
быть определены расчетным путем. Обычно такими воздействиями явля-
являются силы инерции движущихся массивных частей машин.
Не следует однако думать, что изучение детерминированных нагру-
нагрузок— это всегда элементарная задача. Здесь встречается ряд вопросов,
требующих серьезных теоретических и экспериментальных исследова-
исследований. Например, в многоэтажном здании часто располагается множество
(иногда до 1000) однотипных машин, развивающих при работе перемен-
переменные горизонтальные силы, допустим даже гармонические. Если бы все
машины действовали в одной фазе и имели точно одинаковые числа
оборотов в минуту, то зданию грозила бы катастрофа, о чем уже гово-
говорилось выше. Но так как числа оборотов машин имеют небольшую
флюктуацию от среднего значения, а фазы всех машин никогда не сов-
совпадают, то они по результирующему динамическому .воздействию на
здание эквивалентны небольшой группе синфазно действующих машин
с одинаковой частотой. Определение коэффициента синфазности таких
машин представляет теоретически интересную и практически важную
статистическую задачу.
Большой практический интерес представляет изучение динамичес-
динамических нагрузок стохастического характера или типа случайных процессов:
это ветровая нагрузка, сейсмическая нагрузка,'полигармоническая на-
нагрузка от совокупности разнотипных машин и т. д. Важное значение
имеет исследование неровностей железнодорожного пути, воздействия
которых на колеса подвижного состава вызывают колебания экипажей,
представляющие собой случайный -процесс. Сейчас в теоретическом
плане решено много задач о воздействии нагрузок типа случайных про-
процессов на те или иные конструкции. Но надо сказать, что при проекти-
проектировании конструкций эти решения далеко не всегда используются в
проектных организациях только потому, что спектральные характеристи-
характеристики динамической нагрузки, которые в этих задачах авторами исследо-
исследования считаются заданными, в действительности проектировщику неиз-
неизвестны. Их должны определять не проектировщики, которые к этому не
подготовлены и не располагают соответствующими возможностями и
. временем, а научные работники, специалисты в области теории коле-
колебаний.
Важнейшей проблемой до сих пор остается все еще мало изученный
вопрос о спектральных характеристиках расчетного сейсмического воз-
воздействия.
2. Динамические характеристики материалов, конструкций и осно-
оснований. Расчет конструкций на колебания требует знания также динами-
динамических характеристик как материалов, из которых выполнена конструк-
конструкция, так и самой конструкции. К ним относятся динамические модули
упругости, динамические пределы прочности, текучести и выносливости,
а также диссипативные характеристики. Остановимся на последних не
только .потому, что они наименее изучены, но и потому, что их изучение
требует продолжения не только экспериментальных, но и серьезных тео-
теоретических исследований. Диссипация энергии колебаний является важ-
важнейшим благоприятным фактором, существенно ослабляющим реакцию
конструкции на динамические нагрузки периодического, импульсивного
и случайного характера. Современный динамический расчет конструкций
немыслим без учета их диссипативных характеристик и этим определя-
определяется важность рассматриваемого вопроса. Диссипация энергии колеба-
колебаний конструкции зависит от внутренних и внешних факторов. К внутрен-
внутренним факторам относятся внутреннее трение в материале конструкции и
3—365 33

в соединениях отдельных частей конструкции (так называемый конст-
конструкционный гистерезис). Для тех монолитных конструкций, которые
выполнены из материалов с большим внутренним трением, как напри-
например, из железобетона, каменной кладки и некоторых типов пластмасс,
внутреннее поглощение энергии колебаний определяется в основном
внутренним трением в материале. Для конструкций же, выполненных иа
материалов с малым внутренним трением, например, стальных, большое
влияние на внутреннюю диссипацию энергии оказывает конструкцион-
конструкционное демпфирование в соединениях. Экспериментальное и теоретическое
изучение внутреннего трения в материалах, в особенности новых — раз-
различных типах пластмасс, и в соединениях различных типов до сих пор
представляет важный вопрос, которому необходимо и далее уделять
должное внимание.
К внешним факторам, увеличивающим диссипацию энергии колеба-
колебаний конструкций, относится трение скольжения в опорах конструкций и
утечка энергии через опоры и основание. Изучению первого фактора
уделяется сейчас внимание в сборных строительных конструкциях. Что
касается второго фактора — излучения энергии колебаний в основа-
основание, то ему уделялось до сих пор незаслуженно мало внимания, в осо-
особенности в экспериментальном плане. Между тем, дл'я некоторых кон-
конструкций он может иметь весьма существенное значение, как, -например,,
для железнодорожного пути, фундаментов машин и других конструк-
конструкций, лежащих или стоящих на грунте. Надо сказать, что диссипативные
характеристики оснований, грунтов изучены еще очень слабо. Вопрос
этот, конечно, весьма сложен вследствие разнообразия свойств грунтов
и слоистой структуры основания по глубине. Но вопрос поставлен ради-
радикально самой жизнью и должен решаться как в экспериментальном, так
и в теоретическом планах, хотя на первых порах приоритет должен быть
здесь отдан эксперименту. Заметим, что модель основания, как идеально
упругого инерционного полупространства, по-видимому, далека от со-
совершенства. Определяемые ею величина и характер изучения энергии
колебаний в бесконечную упругую среду вряд ли удовлетворительно
соответствует действительной картине явлений, происходящих в грунте,
хотя бы «потому что эта (модель не учитывает со'бственной болышой погло-
поглощающей способности грунтов, не говоря уже об отражениях и 'преломле-
'преломлениях волн напряжений- на границах многочисленных слоев. Короче, излу-
излучение энергии колебаний ■ конструкции в основание — это теоретически
интересная, благодарная, практически очень важная, но трудная проб-
проблема.
3. Методы динамического расчета конструкций. Это — широкая про-
проблема, тесно связанная с рассмотренными выше вопросами динамиче-
динамических нагрузок и диссипативных характеристик конструкций и оснований.
В настоящее время иногда высказывается мнение, что прикладная тео-
теория линейных колебаний себя полностью исчерпала.. С этим мнен'ием
вряд ли можно согласиться. С установлением принципиальной возмож-
возможности решения задачи кончается роль математика-теоретика, но начи-
начинается деятельность прикладни!ка-.механика. Между теоретической воз- '
можностью и практическим решением некоторых задач -линейной теории
колебаний несмотря на высоко развитую вычислительную технику и в
настоящее время существует большая дистанция. Ряд вопросов еще нуж-
нуждается в дополнительном исследовании. •
Слабо изучены вопросы колебаний пространственных конструкций.
Между тем, сравнение результатов расчета пространственных каркасов
на горизонтальные 'колебания ino плоской расчетной схеме с данными на-
натурных опытов указывает на существенное влияние фактора пространст-
венности. В теории колебаний тонкостенных конструкций нередко бывает
важен учет деформаций сдвига, которому до сих лор не уделялось долж-
должного внимания.
34

Большое 'практическое значение приобретает в настоящее время
учет, помимо внутреннего трения, также излучения энергии колебаний в
сплошную среду при динамическом расчете конструкций, лежащих и
стоящих на упругом основании. Вторые отличаются от первых тем, что
контакт с основанием имеет локальный характер, например, у -рам, опи-
опирающиеся стойками на грунт через малогабаритные фундаменты.
Практический и теоретический интерес приобретают сейчас задачи
о распространении колебаний в основаниях от источника возбуждения к
удаленным от него конструкциям. Выше проводился подобный пример
из обследования колебаний фундаментов, являющихся причиной колеба-
колебаний омежных зданий. Эти задачи приобрели актуальность и в железно-
железнодорожном транспорте и требуют своего решения хотя бы в линейной по-
постановке. Например, необходимо выяснить, на какое расстояние следует
удалять жилые дома от железной дороги или от новых линий метро
неглубокого залегания, чтобы жители не ощущали сотрясений.
Требуют к себе внимания также вопросы теории удара. Наиболее
точная теория удара не применяется в проектных организациях при рас-
расчетах конструкций на удар ввиду ее чрезвычайной сложности и неопре-
неопределенности некоторых параметров. Однако, здесь возможны значитель-
значительные упрощения, не вносящие существенных погрешностей в результаты
расчета, обосновать которые можно только дальнейшими исследования-
исследованиями явлений удара.
Современная техника выдвигает также много задач, относящихся к
нелинейным колебаниям. Укажем только на некоторые нелинейные зада-
задачи железнодорожного транспорта. Колебания -современных экипажей —
платформ, вагонов, тепловозов должны рассматриваться, строго говоря,
как нелинейные вследствие наличия зазоров, сухого трения и нелинейных
упругих и диссипативных связей, например, в рессорном подвешивании.
Задача о сильных продольных возмущениях в грузовом поезде при не-
неустановившемся движении (трогании с места, торможении и движении
по /переломам профиля лути) также является нелинейной вследствие
нелинейности характеристик междувагонных связей в современных
поездах. Имеющиеся исследования этих задач не исчерпывают этот
вопрос.
Задачи активной и пассивной виброизоляции машин и конструкций
все чаще приобретают нелинейную трактовку в связи с применением
эффективных нелинейных виброизоляторов и демпферов, поэтому теории
.нелинейной виброизоляции должно уделяться достаточное внимание.
Как видно, современная техника все чаще ставит перед проектными
организациями и конструкторскими бюро вопросы, решение которых от-
относится к компетенции теории колебаний механических систем. Разу-
Разумеется, втуз не может обеспечить подготовки, достаточной для решения
динамических задач, встречающихся в практике 'проектирования, однако
он обязан научить правильному пониманию положений дина-мики и в
частности теории, колебаний. Вследствие ограниченности объема часов,
запланированных на динамику, 'студентам излагаются обычно только
основные понятия элементарной теории колебаний системы с одной„сте-
пенью свободы. Современная же техника требует, чтобы студентов зна-
знакомили с более широким кругом вопросов теории колебаний. Целесооб-
Целесообразно излагать действие (произвольной периодической силы и импульсив-
импульсивных нагрузок, колебания систем с несколькими степенями свободы,
основы теории виброизоляции, теории случайных колебаний и другие
вопросы.
35.

УДК 531.233 @4)
М. М. ГЕРНЕТ, М. В. ФАВОРИН
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ИНЕРЦИОННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЛ
Современные машины, механизмы и прочие механические системы
состоят из значительного числа различных деталей, имеющих сложную
геометрическую форму. Поэтому не только сборочные единицы (узлы,
отсеки и т. п.), но и каждую отдельную деталь приходится рассматри-
рассматривать как многоэлементную, т. е. состоящую из определенного количества
простых тел. Вычисление объемов, поверхностей, веса,- массы, положения
центра масс и моментов инерции разрабатываемых изделий представ-
представляет сейчас сложную и трудоемкую задачу и <не всегда удовлетворяет
требуемой точности. Следовательно, назрела практическая необходи-
необходимость перевести эти расчеты на ЭВМ. А для этого нужны общие ана-
аналитические формулы.
И:з (многообразия тел, встречающихся в машиностроении, можно вы-
выделить тела, (Представляющие наибольший практический интерес. Но нет
необходимости и даже .нецелесообразно рассматривать каждое тело в
отдельности. Для получения единообразных аналитических формул, при-
пригодных для практического использования на ЭВМ, необходимо класси-
классифицировать эти тела по каким-то общим признакам, найти общие харак-
характерные закономерности, присущие группам различных тел. Эти зако-
закономерности позволят получить расчетные формулы характеристик
геометрии масс для большого количества тел в зависимости от некото-
некоторых параметров, легко определяемых конструктором по заданным гео-
геометрическим формам.
Наиболее рациональной нам представляется систематизация тел в
зависимости от способа образования их формы. По-видимому, подавляю-
подавляющее большинство геометрических тел может быть получено в общем
случае перемещением какой-либо плоской фигуры (будем называть ее
образующей) по какой-то пространственной кривой (назовем ее направ-
направляющей). Таким образом, тела самой разнообразной конфигурации,
являющиеся элементами при вычислении характеристик геометрии масс .
сложных по форме деталей, можно рассматривать как след, оставляе-
оставляемый образующей ,при заданном ее движении. Такой обобщенный подход
позволяет классифицировать все тела по общим характерным признакам
направляющей и образующей. Это, в свою очередь, дает принципиаль-
принципиальную возможность получить обобщенные аналитические формулы для вы-
вычисления характеристик геометрии масс на ЭВМ.
Общая классификация тел, основанная на признаках образования
их формы, приведена в табл. 1.
Все тела по характерным геометрическим 'признакам направляющей
разделены на типы, подтипы и классы. Тип тела характеризуется призна-
признаком— является ли направляющая пространственной кривой или плос-
плоской, а подтип тела — является ли эта кривая замкнутой или открытой.
Конкретная форма направляющей определяет принадлежность тела к
тому или иному классу.
Классификационные категории тел: семейства, виды, подвиды, груп-
группы и подгруппы определяются исключительно характерными признака-
признаками образующей. Конкретная форма образующей характеризует семейст-
семейства тел. В свою очередь, образующие тел одного и того же семейства при
своем движении относительно направляющей могут оставаться постоян-
постоянными или быть переменными (по форме или размерам). Этот признак
учитывает вид тела. В зависимости от того сохраняет ли образующая по
36

Таблица 1
Общая классификация тел по прииципу образования их формы
Многообразие тел
НАПРАВЛЯЮЩАЯ
Пространственная
I
Замкнутая
I
Постоянная
I
Постоянной
ориентации
Тонкостенная
Замкнутая
Форма
ОБРАЗУЮЩАЯ
Форма
Толстостенная
Открытая
I
Плоская
Открытая
Переменная
Переменной
ориентации
Сплошная
Основной элемент
элемент
Классифика-
ционнные
категории
Тип
Подтип
Класс
Семейство
Вид
Подвид
Группа
Подгруппа
37

отношению к направляющей постоянную ориентацию или (поворачивает-
(поворачивается лри движении, все тела разделены на два подвида. Образующие тел
также могут быть тонкостенными (линия), толстостенными и сплошны-
сплошными плоскими фигурами, которые образуют соответственно три различ-
различные труппы тел. И, наконец, из групп тел, образуемых 'перемещением
тонкостенных и толстостенных образующих, могут быть выделены две
подгруппы тел, отличающиеся друг от друга тем, что в одном случае
образующая представляет собой открытый профиль, а в другом — замк-
замкнутый.
Предлагаемая классификация преследует единственную цель —
обосновать вывод обобщенных аналитических формул для подсчета гео-
геометрических параметров и инерционных характеристик различных тел.
Эта 'Классификация не .претендует «а однозначность своих определений
и одно и то же тело можно классифицировать различно.
Так, например, двухосный эллипсоид можно образовать, разрезав
эллипс 'по его большой (или малой) оси и повернув на 2л одну из поло-
половин (образующую) вокруг этой оси. Но можно образовать то же тело и
иначе, например, перемещая .прямолинейно и поступательно, перпенди-
перпендикулярно своей плоскости круг, радиус г которого изменяется в зависимо-
зависимости от перемещения х по закону:
rz=#z i —
В первом случае образующая этого эллипсоида характеризуется сле-
следующим образом: полуэллипс, постоянная, постоянной ориентации,
сплошная, а эллипсоид относится к телам вращения.
•Во втором случае имеем иные геометрические признаки образующей
того же тела: круг, переменная, постоянной ориентации, сплошная, а
эллипсоид в этом случае относится к телам переноса. Но допуская пере-
переменную о)бразующую, мы несколько расширяем введенное Гаспаром
Монжем понятие «поверхности переноса» (surface de translation), т. е.
поверхность, которая может 'быть образована параллельным передвиже-
передвижением неизменной кривой.
Здесь налицо явная неоднозначность классификации: классифици-
классифицируемый объект может быть отнесен к той или иной категории в зависи-
зависимости от подхода к классификации. Такая неоднозначность присуща
многим классификациям, а в нашем случае она не только невредна, но
даже полезна, так как для вычисления одних и тех же величин позволяет
вывести различные формулы, приводящие, разумеется, к одинаковым ре-
результатам.
Так, Монж называл цилиндрической всякую поверхность, образуе-
образуемую любым движением в пространстве прямой (образующей), остающей-
остающейся параллельной самой себе. При заданной траектории точек этой пря-
прямой можно подсчитать все величины, связанные с геометрией такого ци-
цилиндра (поверхность, объем) и с геометрией его масс (моменты инерции,
центробежные моменты инерции и т. д.). Но ту же цилиндрическую по-
поверхность можно получить как поверхность переноса, заставив ее обра-
образующую (основание цилиндра) двигаться прямолинейно и поступатель-
поступательно, перпендикулярно своей плоскости по направляющей поверхности
переноса (или, что то же, по образующей цилиндра) и подсчитать те же
величины по другим интегралам.
При таком определении цилиндра сохранена идея Монжа рассмат-
рассматривать поверхность по ее происхождению, по способу ее образования,
не заботясь о степени ее уравнения, об ее «алгебраическом ранге». Об-
Образующая и направляющая в цилиндрическом теле, рассматриваемом
как тело переноса, как бы поменялись своими местами и это позволило
нам предложить обобщенные аналитические формулы для вычисления
38

различных констант, относящихся к стереометрии и к геометрии масс
этих тел.
В частности для тел переноса (к 'каковым мы относим всевозмож-
всевозможные цилиндры, балки любого сечения и многие другие тела) можно
написать, что поверхность S такого тела выражается произведением пе-
периметра Т\ образующей на длину / направляющей S = Txl, что объем те-
тела переноса равен произведению 'площади образующей на длину направ-
направляющей V=T2l, что координаты центра масс однородного тела 'переноса
в выбранной системе отсчета могут быть выражены формулами:
* 1
хъ~Тг — {Н — Л); у§ — ТА\ zQ= — l,
а моменты инерции относительно координатных .плоскостей и центробеж-
центробежный момент инерции относительно оси Oz формулам-и:
где параметры Ти Г2, ... Т7, входящие в эти обобщенные формулы для
тел переноса, выражаются определенными интегралами (см. табл. 2),
вычислить которые при известном уравнении образующей и 'пределах
интеграции не составит труда. Изменяя же пределы интеграции, можно
получать геометрические и инерционные характеристики тех или иных
частей тела переноса, или тех частей, на которые инженер имеет воз-
возможность мысленно разбить детали проектируемой им машины или кон-
конструкции.
Классификация тел по признакам их построения раскрывает широ-
широкую возможность обобщения формул -и вычисления характеристик боль-
большого количества тел и частей этих тел, а также предоставить расчетчику
и конструктору необходимые им данные из области геометрии масс. При-
Приведем пример. Представим нарезную часть болта как тело, 'полученное
в результате движения, образующей вдоль направляющей с одновремен-
одновременным поворачиванием вокруг направляющей. Направляющей в этом слу-
случае является ось болта, а образующей — сечение болта перпендикуляр-
перпендикулярной плоскостью. При цилиндрической нарезке образующая ограничена
архимедовой спиралью. В данном случае образующая 'постоянна, но пе-
переменной ориентации. Уравнение образующей и закон ее поворота зави-
зависят от шага винта, зная который можно легко вычислить все нужные
геометрические и инерционные характеристики нарезной части болта.
Для получения характеристики всего болта, как и почти каждой
встречающейся в конструкции детали, расчетчику придется суммировать
характеристики отдельных частей. Эти части деталей принято называть
простыми телами. Они почти всегда являются частями известных в гео-
геометрии тел, поэтому нужны обобщенные аналитические формулы, позво-
позволяющие определять инерционные характеристики не только геометриче-
геометрических тел, но и их отдельных частей, если эти 'части являются также час-
частями деталей машин и конструкций.
Многие самые разнообразные по форме простые тела, часто встре-
встречающиеся в практических расчетах, можно рассматривать, как тела пе-
переноса или как тела вращения, т. е. как полученные в результате посту-
поступательного или вращательного движения образующей фигуры. Образую-
Образующие 'фигуры могут быть представлены любы-ми кривьими или ограничены
прямыми линиями. В' этой статье рассмотрены только тела, образую-
образующие которых являются тонкостенными или сплошными фигурами, сохра-
сохраняют постоянную форму и при движении сохраняют постоянную ориен-
ориентацию по отношению к направляющей.
39

Но (простые тела, на которые мысленно разбивают сложные по фор-
форме детали для вычисления характеристик геометрии масс проектируе-
проектируемых изделий, не обязательно представляют собой тела -вращения и тела
переноса, а чаще всего являются некоторыми элементами этих тел. Сле-
Следовательно, нужно выделить какие-то характерные элементы тел враще-
вращения и переноса, из которых лри частных значениях геометрических пара-
параметров можно было бы получить значительное количество самых разно-
разнообразных простых тел. Рассмотрим элементы (рис. 1) тела вращения и
тела 'переноса с произвольными по форме образующими. Элемент объема
тела вращения представляет собой сплошной или кольцевой сектор с
углом полураствора ср. Пределом его нижней образующей может быть
прямая, совпадающая с осью вращения. Элемент объема тела переноса
вырезан образующей и .перпендикулярными ей плоскостями но всей высо-
%\
Рис. 1
те L В предельном случае он может быть ограничен верхней и 'нижней
образующими. Параметр Н координирует положение рассматриваемого
элемента, а величина h определяет его толщину. Аналогичные элементы
могут'быть выделены из .поверхности вращения и поверхности переноса.
Изменяя параметры h и Н (причем всегда h^H), будем получать
элементы различной толщины, которые также могут быть расположены
в любом месте образующей в пределах тела. Придавая углу ф раэные
значения в возможном диапазоне его изменения @<ф=^я), .получим
секторы или части поверхности вращения, вырезанные под различными
углами, а в пределе—при ф = л— тело вращения или его поверхность,
т. е. кольцо заданного сечения и толщины. Из рассматриваемых элемен-
элементов, изменяя геометрические параметры h, Н, I и ф, можно получать в
виде частных случаев большое количество более простых тел — элемен-
элементов, поэтому будем их считать основными элементами тела вращения и
тела переноса. Задавая конкретную форму образующих, получим основ-
основные элементы тел вращения и тел переноса различных семейств: круго-
круговых, эллиптических, параболических, с прямолинейными образующими
и т. п.
Можно написать обобщенные формулы для определения геометриче-
геометрических параметров тела вращения аналогично тому, как это было сделано
для тела переноса. Так, например, поверхность и объем тела вращения
пропорциональны углу поворота
Не затрудняя читателя выводом, укажем, что характеристики гео-
геометрии масс тела вращения выражаются следующими обобщенными
формулами.
40

Координаты центра масс
Моменты инерцки относительно координатных плоскостей
sin 2у ^
/ — ^—s*n fo к
Х00уо ^ 6
и центробежный момент инерции относительно центральной оси, гсершен-
дикулярной к плоскости симметрии
Таблица 2
Параметрические коэффициенты основных элементов тела переноса
Коэффи-
Коэффициенты
Элемент поверхности
Элемент объёма
т5
Н
J
Н
н
Hh
H
H VB
f dx f
dxf
H
I
H-H y
H Ув
dy
-k 1 dx\
H-h yn
H Ув
k J x2dx5
H-h уя
dy
\
72 »
H У
dx
H
-— I xdx \ ydy
Примечание. В этих формулах ув соответствует верхней и уп — нижней обра-
образующим для элемента объема.
Так как в рассматриваемом случае основные элементы имеют по
крайней мере одну плоскость симметрии, то этих данных 'вполне доста-
достаточно для нахождения направлений главных центральных осей инерции
и вычисления главных центральных моментов инерции. Параметриче-
Параметрические коэффициенты. Кг и Ти входящие в обобщенные формулы, зависят
41

Таблица 3
Параметрические коэффициенты основных элементов тела вращения *
Коэффи-
Коэффициенты
к.
к.
Элемент поверхности
Н
2 f yV\+(ifdx
н-н
—
н
К\ J
О р.
К\ J
н
— f yVl+(yJx2dX
1 //-л
~ j y^V^Tiy^dx
1 //-/г
Я
о Г*
Элемент объёма
—
rr у
2 1 dx \ Pdo
Н У*
2 Г Г
\ xdx \ pcfp
н-h уп
и *в
л г* г*
—~~~- 1 dx \ Р dp
и Яув
2 //-л ^н
* См. примечание к таблице 2.
только от формы образующих и «размеров выделенных элементов. Инте-
Интегральные выражения коэффициентов Гг- и К% для основных элементов те-
тела переноса приведены в табл. 2, а для основных элементов тела вра-
вращения — в табл. 3.
В качестве примера ниже приведены аналитические выражения па-
параметрических коэффициентов для основных элементов объема (рис. 2)
и поверхности (рис. 3) оживального тела вращения. В формулах верхний
знак относится к элементу а, а нижний к элементу б.
Основной элемент объема
о ■
±
42

(а-3/)— 2t2{3a-t)\Qt-
[(a-N)(\2d2i-5r2)^2a2(a-3H)-2H2Ca-H)]Qit-\-3cr2Dd2+r2)}\;
+ 2a2{a-\- H)+2H2{a-3H)]Qn+3cr2 Da2+r2)}\;
± I5d {[{4d2 + 5r2){a—t)-2a2{a—3t)-2t2{3a-i)]Qt-
)(a- H)-2a2{a-3H)-2H2 {3a-H)\QK-\-cr2{4d2 + 3r2)}\;
Рис. 2
43

r2-2a2)-2//2B0tf2 + 8r
Основной элемент поверхности
K1*=2r(cd±h);
Ka=£-[2d(ca+Qt-QB) ±
44

±
a-t\ QH = V {r-b?+H{2a-H),
. a — t . а—И
с = arc sin arcsin .
r r
Очевидно, что из формул параметрических коэффициентов, приве-
приведенных для элементов а, можно 'получить частные формулы для основ-
основных элементов объема и поверхности оживала (/?=0), кругового тела
вращения (b = r) и шара (# = 0 и b = r). Для элементов б предельным
значением является величина R = b. Таким образом, из рассмотренных
основных элементов оживального тела (вращения простым перебором па-
параметров h, Я, fc, r, R и ф автоматически получаем значительное коли-
количество самых разнообразных тел.
Выводы:
1. Приведенные в статье 'Исследования дают практическую (возмож-
(возможность .перевести трудоемкие вычисления характеристик геометрии масс
сложных тел на ЭВМ.
2. Для получения единообразных аналитических формул, пригодных
для машинного счета, разработана классификация геометрических тел,
в основу которой положен принцип образования их формы.
3. Получены обобщенные аналитические формулы для вычисления
объемов, поверхностей, координат центра масс и моментов инерции ос-
основных элементов тела вращения и тела переноса с произвольными обра-
образующими.
4. Основные элементы рассмотренных тел включают в себя в вцде
частных случаев большое количество самых разнообразных простых тел,
расчетные формулы для которых могут быть легко получены из обоб-
обобщенных формул подстановкой частных значений геометрических пара-
параметров.
УДК 531. 2 @4)
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
ВОЗНИКНОВЕНИЕ СТАТИКИ
(Иордан Неморарий и Стевин)
Развитие -всех частей механики (кроме кинематики) тесно связано
с .понятием силы. Греки разделяли все движения иа естественные, про-
происходящие сами собой, как .например, 'падение тяжелых тел, и насильст-
насильственные, требовавшие для своего произведения приложения некоторой
«силы». Эту «силу» Аристотель считал пропорциональной весу тела, ве-
величине продвижения и обратно пропорциональной времени движения.
Такую «силу» Аристотель называл dynamis; нетрудно видеть, что она
соответствует мощности. Что касается естественного движения, то оно
характеризовалось некоторым роят] (от pejteiv — украинское «рыпать-
45

ся»). Во -время свободного падения тяжелого тела ропц не проявлялась,
но если падение задерживалось в некоторой точке, линия 'противодей-
'противодействия которой не проходила через центр тяжести, то ропц остальных
частей тела стремились продолжать движение и тело 'приходило во вра-
щение, если только эти ропц те «уравновешивались». Это «равновесие»
греки называли в буквальном переводе «ра1вно,моментность». Таким об-
образом первоначальная задача греческой статики состояла, во-первых, в
определении, если не -величины, то, во всяком случае, условий равнове-
равновесия ролт], и, во-вторых, нахождения центра тяжести. Эти две задачи и
были выполнены Архимедом, давшим точную математическую формули-
формулировку закона рычага и определившего центр тяжести как точку, при за-
закреплении которой тело остается ib равновесии во всех положениях.
Аристотелево определение силы вполне соответствовало состоянию
техники рабовладельческого строя, в которой основными двигателями
были животные и рабы. Его недостаток заключался в том, что осуще-
осуществление движения требовало непрерывного наличия силы, приложенной
к движущемуся телу. Когда около 400 г н. э. возникла греческая кам-
неметная артиллерия, то Аристотелева dynamis стала уже непригодной;
стали думать, что упругий тяж катапульты сообщает камню некоторую
«силу», которая поддерживает движение; когда эта «сила» иссякнет,
движение прекращается. С нашей точки зрения, потенциальная энергия
упругого тяжа превращается в живую силу камня. Любопытно отметить,
что появление артиллерии сопровождалось усилением попыток геометри-
геометрического решения задачи об удвоении куба; для удвоения дальности по-
полета каммя надо произвести двойную работу, а потенциальная энергия
тяжа при одинаковом натяжении пропорциональна его объему. По су-
существу это соответствовало тому, что в аристотелевой формуле
P-S
Dynamis=
нужно отбросить время Т в знаменателе, чтобы получить формулу, со-
соответствующую нашей теореме о кинетической энергии.
Так как практической задачей эллинистической эпохи 'было опреде-
определение условий равновесия сил в машинах, то в статике это привело к
появлению первичной формулы принципа возможных перемещений, ко-
который в «Механике» Герона Александрийского (I—II в. н. э.) формули-
формулируется так: «чем менее движущая сила по отношению к движимой тяже-
тяжести, тем больше потребуется и времени; таким образом, сила к силе и
время ко времени находятся в том же самом обратном отношении».
При помощи этого правила удалось полностью разобраться в усло-
условиях работы машин, основанных на принципе рычага, но законы работы
машин на принципе наклонной плоскости (клин, винт), остались 'для гре-
греческих механиков закрытой книгой. Решение этого вопроса было связано
с задачами построения больших зданий и определения усилий в мате-
материале, идущем на строительство.
Во втором веке нашей эры в Римской империи распространилась си-
сирийская архитектура, несомненно обладавшая большим запасом эмпири-
эмпирических правил, -но после крушения Римской империи, по крайней мере в
западной ее части, античная культура была разрушена так основательно,
что пришлось начинать на голом месте.
В эпоху крестовых походов (XII—XIII века н. э.) жители Западной
Европы познакомились с более высокой культурой мусульманского Вос-
Востока; завязавшиеся торговые сношения способствовали развитию горо-
городов, во Франции происходит освобождение городов от власти феодалов.
Каждому освободившемуся городу надо было построить два здания:
во-первых, ратушу, — сравнительно небольшой дом для правительства,
46

и во-вторых, большой собор. В средние века соборы имели несколько
иное значение, чем в настоящее время; верхняя, прилежащая к алтарю
часть (хоры), принадлежала духовенству, остальная часть была отдана
народу, который устраивал здесь собрания, смотрел духовные театраль-
театральные зрелища (миракли) и даже -иногда в -плохую погоду 'Производил
базар. К такому зданию кроме достаточной высоты и больших размеров,
требовалась и легкость и хорошая освещенность; так возникла готиче-
готическая архитектура, строителям которой приходилось решать ;в камне те
же самые задачи, которые современные архитекторы решают в стали и
бетоне. Необходимость устранения, или по крайней мере уменьшения,
бокового распора оводов, привела к 'построению 'высоких стрельчатых
сводов, которые т&ки'м образом совсем не должны были выражать «вы-
«высокие устремления души средневекового человека к небу», а имели дру-
другое—более скромное -практическое назначение. Построить такое здание
без теоретических расчетов было -невозможно; соответствующую теорию
и дал в XIII веке Иордан Неморарий. Его книги «Elementa de ponderi-
bus» и «De ratione ponderis» позволяют выяснить начала того развития,
которое в конце XVI века привело к трудам Симона Стевина.
Основная идея Иордана заключалась в различии pondus (вес) и
gravitas (тяжесть). Вес тела аналогично современной массе оставался
постоянным, что же касается gravitas, представлявшей действие данного
•веса на окружающие тела, то она могла изменяться в зависимости от
положения (gravitas secundum situs). Так например, один и тот же вес,
положенный на длинное плечо рычага, производит гораздо большее дей-
действие, чем находясь на коротком. Кроме этого, под влиянием представ-
представлений античности связывали действие веса с перемещением его точки
приложения: поднять вес по отлогой наклонной плоскости гораздо легче,
чем :по более крутой. Ошибочные решения, дайные в более ранних рабо-
работах «Иордана (Elementa) и устраненные в позднейших, позволяют до
некоторой степени проследить ход мыслей Иордана при разработке его
теории.
В одном из предложений «Elementa» Иордан рассматривает такую
задачу. Два одинаковых груза, помещенные на концах одинаковых плеч
рычага (который считаем не имеющим ни толщины, ни веса), находятся
в равновесии в горизонтальном положении рычага. Будет ли это рав-
равновесие устойчивым? Иными словами, при выводе рычага из горизон-
горизонтального 'положения, вернется ли он в него самостоятельно, или нет?
Иордан рассуждает так. Выведем рычаг ив положения равновесия;
одно его плечо поднимется, а другое опустится (рис. 1). Рассмотрим
верхний конец рычага; он является границей двух дуг окружности, опи-
описываемой концами рычага, из которых направленная вверх более отлога,
чем другая, направленная вниз. Но дуга, описываемая верхним концом
рычага, одинакова с той, которую описывает нижний конец рычага. Так
как оба груза, находящиеся на концах рычага, стремятся вниз, то из
обеих дуг, направленных вниз, дуга, принадлежащая верхнему концу,
будет более крутой, чем дуга у нижнего конца; следовательно, «тяжесть
по положению» верхнего груза будет более, чем «тяжесть по положению»
нижнего; иными словами, верхний конец рычага должен опуститьсй, а
нижний подняться; таким образом, рычаг вернется в горизонтальное по-
положение и равновесие не будет устойчивым.
Еще более интересно его другое предложение. Имеем ломаный ры-
рычаг АОВ (рис. 2), где плечо АО горизонтально, а ОВ опускается под
таким углом к горизонту, чтобы расстояние точки В от вертикали, прохо-
проходящей через центр О, было равно ОА. В точках А и В прикреплены рав-
равные грузы; Иордан утверждает, что равновесия не будет, так как груз А
будет опускаться по вертикали, а В по перпендикулярной к ОВ наклон-
наклонной.. В дальнейшем он осознал свою ошибку: истинным плечом является
длина перпендикуляра, опущенногр из точки В на вертикаль, проходя-
47

щую через О, иными словами, перемещение точки приложения веса
должно всегда быть по вертикали. В окончательном теисте De ratione
ponderis этих предложений уже нет; вместо них Иордан дал правильный
вывод условий равновесия ломаного рычага, а также и условия равно-
равновесия на наклонной плоскости.
Последние получаются следующим образом. Возьмем вертикальный
треугольник ОАВ (рис. 3), основание АВ которого горизонтально. Если
бы боковые стороны были одинаковы, то груз Р, положенный на одну
сторону, мог бы быть уравновешен таким же грузом, положенным на
Рис. 1
другую сторону и соединенным с первым веревкой, проходящей через
блок -на вершине О. Если веревка нерастяжима, то перемещения обоих
грузов одинаковы и, следовательно, они уравновешивают друг друга.
Если длины сторон треугольника неодинаковы, то при равенстве обоих
грузов равновесия не получится, хотя
их перемещения по сторонам остаются
равными. Для равновесия необходимо,
чтобы перемещения по вертикали бы-
были обратно 'пропорциональны величи-
величинам грузов, совершенно так же как это
имеет место для равновесия двух гру-
грузов, помещенных на концах плеч не-
неравноплечего рычага. Если груз Р ле-
лежит на стороне ОА, а другой Q на стороне ОВ, то условия равновесия
определяются из следующих рассуждений. Пусть 6s представляет вели-
величину перемещения каждого из грузов Р и Q по сторонам наклонных
плоскостей, a h — длину перпендикуляра, опущенного из вершины О на
основание АВ. Тогда величины 6si и 6s2 вертикальных перемещений гру-
грузов Р и Q:
h
При равновесии должно быть:
Рис. 3
—
ОВ
откуда
ОА
ОВ
Иордан замечает, что равновесие не нарушится, если груз Р рас-
распределить равномерно по стороне ОА, а груз Q таким же образом по ОВ.
Получим однородную цепочку, облегающую стороны АО и ОВ, которая
будет тоже оставаться в равновесии. Но ведь это и есть основной момент
в известном доказательстве Стевина; Стевин только соединил нижние
концы А и В полученной цепочки такой же.цепочкой и сказал, что об-
образованная так бесконечная цепочка находится в равновесии, поскольку
48

иначе мы получили бы бесконечное движение. Это станет еще более яс-
ясным, если рассмотрим структуру основного ^произведения Стевина. Оно
распадается на две книги. В первой из них после общего введения идут
две части, рассматривающие различные типы «весов»; ,в "первой части
первой книги речь идет о «.прямых» (вертикальных) весах, иными слова-
словами о равновесии грузов на рычаге, а во ©торой о «косых» (наклонных)
весах, т. е. о равновесии грузов на наклонной плоскости. Что касается
второй книги, то оиа посвящена нахождению центра тяжести.
Любопытно отметить две особенности этой книги. Во-лервых, в ней
вместо «равномоментности» сказано о «равновесии» — отмечаем появле-
появление современного термина, который, не задумываясь, распространяем и
на античную статику. Во-вторых, Стевин говорит только об уравновеши-
уравновешивании двух сил; в основном произведении мы не находим так называемо-
называемого правила силового треугольника Стевина. Правда, из этого не следует,
что в практике Стевин не пользовался упомянутым правилом. Во втором
издании добавлены две короткие заметки: одна из них (спарто-статика)
говорит о равновесии груза, поддерживаемого двумя привязанными к
грузу веревками, а другая (трохлеостатика) рассматривает равновесие
груза, .подвешенного к блоку, который скользит по веревке, закреплен-
закрепленной одним концом; подымающая сила, приложенная к свободному концу
веревки, имеет направление этой веревки. Нужно, однако, сказать, 'что
вторая задача решена Стевином неверно. Решение 'первой задачи (без
доказательств) —= (рис. 4). Решение второй Т = вместо
КL
правильного Т = Р (рис. 5). Таким образом, статика Стевина пред-
представляет непосредственное развитие идей Иордана. De ratione ponde-
ris была напечатана в 1533 году и, конечно, должна была стать извест-
известной Стев'ину. Более того, Иордан считался в свое время основателем но-
новой науки о весах Scientia ponderum, а Стевин назвал свою книгу
Beghinselen des Waegekonst. («Основные начала искусства весов»).
В предисловии к своей книге Стевин указывает, что наука о весах имеет
право на самостоятельное существование наряду с наукой об измерении
(геометрия) и наукой о счете (арифметика).
Автор предвидит следующее возражение против своей теории. Каж-
Каждое 'научное понятие получает право на существование тогда, когда оно
получает название и определение. Для Аристотелевой силы — мощности
имеем название (dynamis) и соответствующую формулу, позволяющую
найти ее численное определение. Где же соответствующее название для
нововведенной силы — работы? Его нет ни у Герона, ни даже у Немора-
рия. На это можно ответить следующее.
4—365 49

Ни одно «научное понятие не рождается мгновенно; должно пройти
некоторое .время, тогда оно постепенно вырабатывается, оставаясь, так
сказать, ib подсознании человечества, как у мольеровского господина
Журдена, который всю жизнь говорил прозой и не знал этого, «пока ему
не сказал его учитель философии. В нашем случае роль учителя филосо-
философии сыграл действительно философ: это был Рене Декарт. В написанном
им для Константина Гюйгенса трактате о механике он говорит: «Изобре-
«Изобретение всех этих машин основано только на единственном принципе, за-
заключающемся в том, что одна и та же сила, которая может поднять ка-
какой-нибудь груз, например, сто фунтов, на высоту в два фута, может
также поднять груз в 200 футов на высоту в один фут, или 400 -фунтов и а
полфута и точно так же в других случаях, если эта сила приложна к
этому телу».
Еще яснее это сказано Гюйгенсом ib 1693 г.: «В любых движениях
тел ничего не теряется и не пропадает из сил, разве только в определен-
определенном действии, для .произведения которого требуется такое же количество
силы, какое и убыло. Силой же я называю потенцию, необходимую для
поднятия груза. Двойной силой будет та, которая может (поднять один
и тот же груз на вдвое большую величину».
Если учесть, что Гюйгенс доказывал постоянство суммы выражений
вида mv2 при ударе (правда, не называя ее «живой силой»), то можно
думать, что у него объединяются динамическое и статическое понятия
о силе, зародившейся в Греции около 400 г. до н. э.
УДК 63Ui@4)
Г. Ф. МОРОШКИН
РАЦИОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КИНЕМАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Эта работа 'посвящена главным образом 'вопросам методики геомет-
геометрии сферического движения. Однако, :в известной мере она затрагивает
также -и другие главы кинематики твердого тела. Это дает -возможность
раскрыть методологическое единство названного раздела теоретической
механики. Между тем, рассмотрение методических вопросов ни в коем
случае не может быть изолировано от изучения вопросов, связанных с
методологией данной дисциплины. В самом деле, задача лектора или
автора учебного руководства отнюдь не ограничивается изложением
основных результатов науки. Важнейшее значение имеет раскрытие
основных методов исследования, применяемых в данной науке. Лектор
должен помочь своим слушателям овладеть этими методами в такой ме-
мере, чтобы, став инженерами, они могли уверенно и свободно применять
их в своей исследовательской практике. С этой точки зрения вовсе не
безразлично, каким именно способом построить доказательство той или
иной теоремы, ввести определение понятия, осуществить вывод тех или
иных уравнений. Определения, выводы, доказательства не могут носить
характер случайно созданных конструкций. Напротив, они должны от-
отражать основные методы исследования, применяемые в данной науке,
отражать методологическое единство этой науки. Что касается, в част-
частности, раздела кинематики, то, помимо его самодовлеющего теоретиче-
теоретического значения, он призван подготовить изучение геометрии механиз-
механизмов. В 'прикладной механике в настоящее время применяются почти
исключительно аналитические методы исследования. Естественно по-
поэтому, что в теоретической кинематике существенное содержание этих
методов должно быть надлежащим образом раскрыто.
Известно, что любая глава кинематики твердого тела включает
3 параграфа: 1) об уравнениях движения; 2) о распределении скоростей;
3) о распределении ускорений. Наиболее простым представляется во-
50

прос о построении изложения последнего параграфа: имея векторную
формулу распределения скоростей, нам остается дифференцировать эту
, формулу, что приводит к векторной формуле распределения ускорений. •
Попутно вводится понятие об угловом ускорении, призванном характе-
характеризовать быстроту изменения с изменением времени вектора угловой
скорости. Введение понятия об угловом ускорении -никаких затруднений
не 'Представляет.
При изложении первого параграфа по большей части- ограничива-
ограничиваются составлением уравнений движения тела в целом. Что касается
уравнений движения произвольно выбранной точки тела, то об этих
уравнениях либо не говорят вовсе, либо говорят так, как если бы они не
, имели никакого отношения к вопросу об изложении параграфа о рас-
распределении скоростей.
Наибольшие затруднения представляет обычно изложение вопроса
о распределении скоростей в сферическом движении. Источником этих
затруднений является игнорирование принципа методологического един-
единства трактуемой дисциплины. В соответствии с хорошо известным пра-
правилом кинематики точки, в том случае, когда движение точки определе-
определено уравнениями в декартовых координатах х, у, z, для того, чтобы найти
скорость, следует искать проекции скорости на оси х, у, z, а для этого
достаточно дифференцировать по времени уравнения движения точки.
Вместо предложенного кинематикой точки прямого, абсолютно надеж-
надежного пути избирают пути обходные, уводящие иногда далеко в сторону
от изучаемого вопроса и, в некоторых случаях, даже от объективной
действительности. В главе, посвященной вопросу о скоростях точек тела,
находят нужным заниматься вопросом о конечных -перемещениях тела.
Говорят о так называемом векторе элементарного -поворота, применяя
при этом разностные и дифференциальные обозначения как названного
вектора, так и вводимого вместе с ним вектора угловой скорости.
Утверждают даже, что модуль угловой скорости равен <р (как известно,
символом ф принято обозначать производную <р по /), оставляя при этом
открытым вопрос о смысле обозначения <р (без точки).
Утверждают далее, что сферическое движение является вращением
вокруг мгновенной оси скоростей в 'противоречии с тем фактом, что уско-
ускорения в этих двух движениях различны. В противоречии с известным
положением об относительности самого понятия о движении утвержда-
утверждают, что сферическое движение представляет собою наложение движения
мгновенной оси скоростей и вращения вокруг этой оси, игнорируя при
этом тот факт, что прямая не может служить системой отсчета.
Отвлекая внимание слушателей или читателей от существенного со-
содержания параграфа, 'посвященного скоростям точек тела, и дезориен-
дезориентируя их методологически, дезориентируют их вместе с тем и в вопросе
о кинематическом смысле понятия об угловой скорости. У слушателей
создается впечатление, что угловая скорость характеризует быстроту
изменения с изменением времени «угла поворота» тела, тогда как в дей-
действительности она характеризует быстроту изменения с изменением вре-
времени ориентации тела.
Представляется весьма существенным то обстоятельство, что поня,-
тие об угловой скорости, вводимое указанным^ образом, не содержит
алгоритма, приводящего к вычислению вектора со.
Приведенные нами критические замечания показывают, что та кон-
концепция геометрии сферического движения, на которую они направлены,
методологически и, следовательно, методически неприемлема.
Рационально построенная система геометрии движения исходит из
уравнений движения. Естественно поэтому, что, имея в виду исследовать
движение каждой точки М тела 5, мы должны прежде всего обратиться
к формулам преобразования координат. При этом в качестве основной
4* 51

точки О' тела S, совершающего сферическое движение, естественно при-
принять неподвижную точку О. В этой последней совпадают начала не-
штрихованной системы, представляющей систему отсчета, и штрихован2
ной системы, представляющей тело S. (Постоянные) штрихованные ко-
координаты интересующей нас точки М тела S предполагаются известны-
известными. Из формул преобразования
A)
видно, что положение точки М в нештрихованной системе будет опреде-
определено, если будут известны значения 'направляющих косинусов а^ осей
системы Ox'y'z' в системе Oxyz. Но щи связаны шестью независимыми
соотношениями. Остается выразить щи в функции эйлеровых углов <ф,
0, <р. Введя систему Sb повернутую относительно нештрихованной си-
системы So вокруг оси z (или Z\) на угол 4я, и систему S2, повернутую от-
относительно S\ вокруг оси Х\ (или х2) 'на угол 0, составляем матрицы
направляющих косинусов осей S\ в системе So, осей S2 в системе S\ и
осей системы S (или S3) в системе S2:
Ы-s) О
aoi = Ш сф О
0 0 1
B),а18±
1 0 0 II |*р-яр 01
0 сд-sd |C)t aa3 = Lp сер 01
0 sb сВ\\ 0 0 1
Тотчас выясняется, что (произведение строки -номера / матрицы а01
на столбец номера k матрицы а12 есть не что иное как скалярное произ-
произведение единичного вектора оси номера / системы So на единичный век-
вектор оси номера k системы S2, т. е. косинус угла между этими двумя
осями. Это значит, что, умножив а01 на а12, получим матрицу а02 направ-
направляющих косинусов осей S2 в системе So. Таким же образом, умножив
а02 на а23, найдем матрицу а (или а03). Это приводите формулам Эйлера
«/* = «# (ф, 6, Т); У, k = l, 2, 3. E)
Вместе с тем, слушатель (или читатель) убеждается в том, что сфе-
сферическое движение может быть истолковано как 'наложение трех вра-
вращений: системы Si относительно системы So, системы S2 относительно
Si и системы S (или S3) относительно S2.
Необходимо отметить, что метод, 'примененный к выводу формул
Эйлера, играет основную роль в геометрии механизмов.
Из предыдущего следует, что движение тела S определяется урав-
уравнениями
Ф=Ф(О. 6 = 6@, 9 = 9@- F)
Заменяя в E) 4я, 6, ф выражениями F), будем иметь
*Jk - *jk (Ф @, 6 @. ? @> = «У* @. G)
Что касается уравнений движения точки М, то эти последние полу-
получаются автоматически из формул преобразования A) в результате за-
замены Ujk выражениями G):
У=*'«21 @ + У'«22 @ + *'«23 @ = У @. (8)
г = ^а31 @ + ^32@+ ^«зз @ = ^: @-
52

В уравнениях (8) заключены все без исключения характеристики
движения точки М. В частности, эти уравнения представляют парамет-
параметрическую форму уравнений траектории точки М.
Чтобы найти далее скорость точки М, остается дифференцировать
уравнения (8). Дифференцируя первое из названных уравнений, будем
иметь
vx = X = x'an(t) + y'al2(t) + z'a13(t). (9)
Здесь производные направляющих косинусов 'найдены в функции
времени дифференцированием уравнений G):
aJk=ajk (t); у, 4=1, 2, 3. A0)
Таким образом, уравнением (9) проекция скорости точки М на
ось х определена также в функции /:
vx=vx(t). (И)
Заменяя в (9) х\ у', zr их выражениями в функции х, у, z из урав-
уравнений преобразования A) и учитывая,что
найдем
= * 2 азу^17— У 2 aVa2r
j J
Введя обозначения
получим
vx = qz — ry. A6)
Аналогично этому будем иметь
Vy = rx—pz, A7)
Vz==py_qx. A8)
Следует отметить, что, ввиду G) и A0), формулы A5) определяют
р, q, r также в функции времени:
Вектор vм — скорость точки М — находим, суммируя его состав-
составляющие по осям х, у, z, что приводит к формуле
1 J k
р д г . B0)
х у z
Понятие об угловой скорости со тела S вводим, полагая
со = ip -|- jq J^ kr, B1)
или
их = р, ^ = q, «>z = r. B2)
При этом линия действия вектора со, согласно определению, проходит
через точку О.
53

Существецно, что__в случае, когда движение тела 5 определено урав-
нения,ми F), -вектор со равенством -B1) или равенствами B2) опреде-
определен в функции времени.
С учетом B1) формула B0) переходит в
B3)
Сравнивая B3) с формулой Эйлера распределения скоростей точек
вращающегося тела, видим, что скорости всех точек тела, совершающе-
совершающего сферическое движение, в данный момент времени таковы, как если
бы имело место вращение тела вокруг мгновенной оси скоростей с угло-
угловой скоростью со. -Это обстоятельство, с учетом размерности со, дает по-
повод 'называть вектор со угловой скоростью.
Здесь следует подчеркнуть, что движение тела S отнюдь не являет-
является вращением. В самом деле, ни для какой точки мгновенной оси скоро-
скоростей, за исключением неподвижной точки, скорость не остается нулем в
интервале.
Заменяя, далее, в формулах A5) -а# выражениями E) и щи — вы-
выражениями
^ у, £ = 1, 2, 3, B4)
полученными дифференцированием E) по t9 находим
B5)
С другой стороны, проектируя -вектор
на оси х, у, z, получим
B7)
Сравнение B5) и B7) приводит к
ш="й =фА + в/1 + ЧР*'. B8)
Это значит, что угловая скорость сферического движения, опреде-
определенная формально равенством B1), рав'на векторной сум,ме угловых
скоростей вращений .прецессии, нутации и собственного. Этим_оиравда-
но наименование вектора со. Вместе с тем из B8) видно, что со характе-
характеризует быстроту изменения с изменением времени эйлеровых углов -ф, 0,
Ф, иначе говоря, — быстроту изменения с изменением времени ориента-
ориентации тела S.
Совершенно аналогично строится изложение геометрии общего дви-
движения твердого тела. Из уравнений преобразования координат
X^X0>+x'au-\-y'al2 + z'a13,
B9)
видно, что положение тела S относительно системы отсчета Oxyz опреде-
54

ляется координатами Xos ус, ^о'начала О' системы O'x'y'z', представ-
представляющей тело S, и направляющими косинусами щи осей системы O'x'y'z'
в системе Oxyz. Но щп формулами Эйлера (б) выражены в функции
эйлеровых углов г|), 0, ф. Таким образом, приходим к уравнениям движе-
движения тела S:
C0)
Уравнения движения произвольно выбранной точки М тела S с
координатами х', у\ zr в штрихованной системе получаются автоматиче-
автоматически из уравнений преобразования B9), с учетом формул Эйлера E), в
результате замены хс, */os ^с'ф, 6, ф их выражениями в функции време-
времени C0). Таким образом находим
+ yra12(t)-{-z'als(t) = x{t),
C1)
Дифференцируя первое из уравнений (C1) и заменяя х\ у', zf их
выражениями в функции х—Xv,y—yv,z—гos найденными из уравнений
B9), с учетом A2), A3) и A5) будем иметь
Vx^xo'+qiz — zv)—> г {у— уо'). C2)
Аналогично получим
Vt/ = yo' + r(x — xo') — p{z — zO')9 C3)
Xo'). C4)
Сохраняя определение понятия о векторе угловой скорости со тела
S, заключенное ,в' B1) или iB2), для вектора скорости точки М находим
«* = **>•+*ХО7ЛГ. C5)
Считается, что линия действия со проходит через основную точку О\
Сопоставляя вектор со произведению аат( ат— матрица, транспони-
транспонированная по отношению к .матрицею), нетрудно убедиться в том, что
определение B1) не зависит от выбора системы, представляющей 5.
В самом деле, пусть р — матрица направляющих косинусов pjfe осей
системы O"x"y"zh\ неизменно связанной с S, в системе O'x'y'z' (Pjk=
=const; /, k=l, 2, 3), у — матрица направляющих косинусов yjk осей
системы O"x"y"z" в системе Oxyz. Имеем Y = «p C6), -у = ар C7), ут=1
=§тат C8).
Тогда
ш'*— ^T=a$faT=aaT «--> w, C9)
т. е.
и' = и. D0)
Таким образом, формулированное утверждение доказано.
Тем же методом строим теорию вращательного движения и теорию
плоскопараллельного движения. Само собою разумеется, что можно
было бы ограничиться построением теории общего движения. Остальные
^главы кинематики твердого тела следуют из общей теории.
Рассмотренный метод, лишенный недостатков, о которых говори-
говорилось выше, представляется наиболее естественным и наиболее строй-
стройным. Будучи тесно связан с методами, применяемыми в геометрии меха-
механизмов, он имеет большое значение также и в динамике. В самом деле,
геометрическое исследование является необходимой предпосылкой ис-
исследования динамического.
55

УДК 531.261 @4)
Ю. Я. СУРКОВ
ПРИМЕНЕНИЕ НЕГОЛОНОМНЫХ КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ НЬЮТОНА
Пусть состояние динамической системы описывается обобщенными
координатами qu #2, -, Уп. Введем новые координаты ль ^2,..., Яп, свя-
связанные с <7г линейными зависимостями 4
или, что то же,
где ац — функции обобщенных координат.
Бели ни одно из соотношений A) не интегрируется, то nj называет-
ются неголономными координатами, а jtj неголономными скоростями.
В частных случаях «некоторые из соотношений A) могут быть проинте-
проинтегрированы, и соответствующие неголономные координаты являются <на
самом деле голономмыми.
Разрешив систему уравнений A) относительно qu найдем
Исключив с помощью этих уравнений из выражения для кинетиче-
кинетической энергии обобщенные скорости, преобразованную кинетическую
энергию, являющуюся функцией обобщенных координат и неголоном-
ных скоростей, обозначим Т.
Имеем
Обозначим также
где Qi — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q%.
Введем, наконец, трехиндексные коэффициенты Риччи-Гамеля
не зависящие от структуры и движения системы, а определяющиеся
только уравнениями A), связывающими неголономные и голономные
координаты. Отметим, что
Уравнения движения в неголономных координатах получены в на-
начале XX века Л. Больцманом и Г. Гамелем и имеют следующий
вид [1]:
(_ \ П П _
дТ \ , VI VI • дТ дТ
Яу J
56

Естественно, конечно, применять неголономные координаты к изу-
изучению движения неголо'номных систем, но и для голономных систем их
употребление в некоторых случаях существенно упрощает уравнения
движения, что покажем для задачи Ньютона о движении материальной
точки, на которую действует со стороны притягивающего центра сила,
обратно пропорциональная квадрату расстояния до этого центра.
Применяя при этом декартовы координаты с началом в притягиваю-
притягивающем центре, получим уравнения движения в форме Лагранжа
(
(л:2 + У2) '*
(М — масса притягивающего центра, jx— гравитационная .постоянная),
симметричные относительно координат и позволяющие получить инте-
интеграл площадей и интеграл энергии. Однако нахождение зависимости ко-
координат от времени затруднительно,
Применение полярных координат <7i=№> Цъ—т упрощает положение.
Уравнения движения принимают вид:
Г2
Здесь также могут быть получены интеграл площадей
и интеграл энергии
но найти r(t) и ф(^) в элементарных функциях можно лишь в случае
равенства нулю полной энергии системы [2]:
если
4-2 arctg
-Vb
4-
в случае го=О;
57

и, наконец,
где
ИД2
2
-^-V3\+2arctg ( *Ц-
Va ) \Va
при произвольно направленной начальной скорости точки.
Введем теперь нормальные неголономные координаты, предложен-
предложенные В. В. Добронравовым [3], исходя из условия обращения кинетиче-
кинетической энергии системы
в квадратичную форму неголономных скоростей с постоянными коэффи-
коэффициентами
^=ГЪ 1 D)
(конечно, второе из этих соотношений интегрируется и Я2=^ является
голономной координатой).
Следовательно,
ап = г, а21 = а1'2=гО, «22=1,
Р11=—, р12 = р21 = 0, Рг2= 1-
Имеем далее
дТ п дТ • d ( дТ
дяу дяу J dt
Уравнения C) принимают тогда вид:
izj+m J J Ту* W=п^ С5)
в этом упрощении — основная цель введения нормальных неголономных
координат.
Вычисляя по формулам B) коэффициенты Риччи-Гамеля, найдем
Тп2= — Т2и=~ *
Tl22= — Т2Й1 =
Кроме того, из
58

следует
11,= О, П2.= _
Уравнения E) дают
•• I 1 • •
1 .
Интегрируя первое из этих уравнений, имеем интеграл площадей
из второго уравнения следует интеграл энергии
1 г 2 , -2Л рМ .
y(w2 + wi)-J^—= h.
Конечно, применение нормальных неголономных координат не дает
для решения исследуемой задачи преимуществ по сравнению с поляр-
полярными координатами. Учитывая, однако, что полярная ось может быть
проведена из притягивающего центра в любом направлении, естествен-
естественно считать коэффициенты хщ в A) не зависящими от ф.
Легко видеть, что для наибольшего упрощения уравнений следует
взять
Тогда
ап = —г2, а21 = а12 = 0, а22=1,
_ 2
Tll2 Т2П— г
Tl22— ~~ T221 — '
Кинетическая энергия принимает вид
4 -2 ,
имеем также:
П1==0, П2 =
Запишем уравнения движения в неголономных координатах
\_ '_2 ixM } G)
гз
Первое из уравнений G) дает
4 2 vM
2 Г3 Г2
то есть постоянство секторной скорости; интегрируя второе уравнение,
получим интеграл энергии
я2 2С2
———— I ———— ' -—•— - к {^ о.
2 ^ ^ я2
59

Это уравнение может быть проинтегрировано в элементарных функ-
функциях при любом значении полной энергии. В случае равенства полной
энергии нулю, для чего необходимо
-02
ИЛИ
2 '
Г0
найдем
где
а=—1-=——
Таким образом, (применение удачно выбранных неголономных коор-
координат шозволяет существенно упростить уравнения движения голономнои
динамической системы и свести их решение к вычислению квадратур.
Литература
1. Е. Т. У иттекер. Аналитическая динамика, ОНТИ, 1937.
2. Ю. П. Сурков. Интегральные инварианты некоторых задач механики кос-
космического полета. Труды 5-х Чтений, посвященных разработке научного наследия и
развитию идей К. Э. Циолковского. Секция 2. «Механика космического полета». М.,
1971.
3. В. В. Добронравов. Аналитическая механика в неголономных координа-
координатах. Ученые записки МГУ. Вып. 122. Механика, т. 2, 1948.
УДК 531.3@4)
М. /7. ГУЛЯЕВ
О ПЕРЕМЕСТИМОСТИ КАНОНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ
Рассмотрим движение системы материальных точек с голономными,
нестационарными связями в консервативном поле сил. Уравнение дви-
движения такой системы можно записать в форме Гамильтона
dqf дН dp* дН
-J--—. -?-=—т—' (/=1,2,3...л), A)
dt opj dt oqj
где H(t, qj, pj) —функция Гамильтона, qj, pj — обобщенные координаты
и обобщенные импульсы системы.
Задача интегрирования системы уравнений A), как известно, мо-
может быть сведена к отысканию полного интеграла некоторого уравнения
в частных производных, впервые найденного Гамильтоном. В основе
этого метода лежит знаменитая теорема, установленная К. Якоби [1]
и М. В. Остроградским [2]. Цель настоящей работы — рассмотрение
одного видоизменения данного метода, вытекающего из свойства взаим-
взаимности или, лучше сказать, свойства переместимости канонических пере-
переменных pj, qj в уравнении Гамильтона — Якоби. Это видоизменение ме-
метода, иной раз, ведет к более простой задаче интегрирования системы
уравнений A) и поэтому заслуживает особого рассмотрения.
60

1. Напомним сначала о том, что во всех подробных курсах по тео-
теоретической механике [4], [6] уравнение Гамильтона — Якоби всегда за-
записывается в виде
дУ дУ дУ
dqi dq2 '' ' dqn
где Н — функция Гамильтона, в которой все обобщенные импульсы pj
заменены частными производными от некоторой неизвестной функ-
функции V, зависящей от переменных t, qj и некоторого числа произвольных
постоянных.
Но как впервые заметил академик В. Г. Имшинецкий [3], для пол-
полного решения системы A) необходимое уравнение в частных производ-
производных может быть составлено и в виде
dV* rj,. dV* dV* dV* \ n ,o.
-H{t, PlP2...Pn,—-,-—,... _-)=0, C)
H{t, PlP2...Pn,,
где обобщенные координаты qj заменены частными производными
dpj
от новой неизвестной функции V *, зависящей от переменных /, pj и не-
некоторого числа 'произвольных постоянных,
П. Аппель [4], не ссылаясь на Имшинецкого, отметил, что уравнение
C) может быть получено из уравнения jB), если применить к нему пре-
преобразование Лежандра
7=1
являющееся ничем иным, как контактным .преобразованием переменных
4h Pi-
Рассмотрим более подробно особенности уравнения C). Оно по
своему виду будет сильно отличаться от уравнения B) и, что самое ин-
интересное, может стать линейным уравнением. В самом деле, функция
Н относительно переменных qj может оказаться линейной функцией
этих переменных и тогда уравнение C) тоже будет линейным. Далее,
если в функцию Н не будут входить некоторые из «переменных qj (цикли-
(циклические координаты), то в уравнение C) никак не войдут соответствую-
ду*
щие им частные производные . Напротив, уравнение B), как мы
знаем, всегда нелинейно и всегда будет содержать все частные произ-
производные (некоторые из них могут оказаться постоянными) в количе-
количестве, равном числу обобщенных импульсов pj рассматриваемой динами-
динамической системы. Впрочем в некоторых случаях составление уравнения
C) не ведет ни к каким упрощениям его сравнительно с уравне-
уравнением B).
Допустим теперь, что нам каким-то образом стал известен полный
интеграл уравнения C)
V* = K*(^, РгР2,.--, Рп, ava2,...9 an) + const. D)
Тогда относительно этого интеграла может быть доказана следующая
теорема, являющаяся по существу другой формой известной теоремы
Якоби.
Теорема: Если известен полный интеграл уравнения C), то 2м
первых интегралов системы уравнений A) получаются путем дифферен-
дифференцирования интеграла D)
61

E)
где Ь\, Ъъ ..., bn—суть .новые -произвольные постоянные.
Для доказательства теоремы рассмотрим полные производные по
времени от частных производных E). Раскрывая их и заменяя при этом
qjpj соответствующими выражениями, взятыми из системы A), по-
получим:
dqi
F)
д2у* VI dW* dH _ dH
dqL dpj
Но здесь суммы по индексу i могут быть записаны так:
dH d2V* _ d rr ( dV*
m ji / w * 1 "™ 7~ r L "™7 x Pi
\bPi
дН dW* _ _д_ н I ду^_\ _ дН_
д(д—\ dPfiP~dpi \' Р" dpi' др)
)
(д—\ dPfiPdpi
\ dpi )
Внося эти представления сумм в равенства 'F), приходим к тождествам
dt Г Fl dpi
dPj [ dt [' Fl dPi
которые и доказывают нам возможность переместимости канонических
переменных qj, pj в уравнении Гамшгьтона — Якоби.
Указанное видоизменение метода Гамильтона — Якоби, кроме со-
содержащихся в нем возможностей упрощения уравнения Гамильтона —
Якоби в форме C), обладает еще и тем преимуществом, что позволяет
непосредственно, сразу шлучить обобщенные координаты qu 92, •••, Цп
рассматриваемой системы.
2. Допустим теперь, что функция Н не содержит <в явном виде вре-
времени t. Тогда, согласно теории уравнений, в частных производных в ка-
качестве искомой функции У* может быть взята функция
V* = ht + W*, G)
где h — постоянная энергии системы п точек, a IF*—'новая неизвестная
функция. Уравнение C) в этом случае запишется в более 'простом виде:
dW* dW* dW* \ , ,Q.
v p2,...pn,—,—,...,^-^h, (8)
а полный интеграл его будет иметь вид
Если кроме того в функции Н часть координат #ь q2,..., qu будут цикли-
циклическими, то уравнение (8) еще более упростится и перейдет в уравнение
62

\ Ofk+l °Pk+2 OPn J
так как в этом случае в качестве функции V* может быть взята функция
V=ht + alp1 + a2p2 + ... +akPk + Wl A0)
с новой неизвестной функцией W\*. Полный интеграл уравнения (9) бу-
будет иметь вид
W\=W\{pv р2...рп> ak+u аь+2,..., а„-и /*) + const.
Кроме указанных упрощений, уравнения (8) и (9) могут быть, как мы
видели выше, еще и линейными уравнениями.
Применим теперь к функции G) теорему Якоби
dv* dv* dv* dW* // = 1,2.../г,
др, ^' да, » dh
где FЬ 62,..-, ^п-ь ^о — новая серия произвольных постоянных.
Соотношения A1) также являются интегралами системы дифферен-
дифференциальных уравнений A), причем первая группа интегралов не будет
содержать явно время / и поэтому она будет являться геометрической
группой интегралов, определяющей траекторию движения, изображаю-
изображающей точки в /г-мерном пространстве. Последний интеграл, содержащий
время / в явном виде, называется кинематическим, дающим закон дви-
движения изображающей точки по траектории. Вторая группа (п—1) инте-
интегралов служит для определения импульсов р$.
Для иллюстрации изложенного рассмотрим только один пример
(см. [5], [61).
Свободная материальная точка с массой т движется в однородном
поле силы тяжести. Требуется определить траекторию и закон движения
точки по траектории.
Выбрав декартову систему координат так, чтобы ось z была на-
направлена вертикально вверх, кинетическую энергию точки Т и силовую
функцию U, можно выразить формулами
)9 U=-mgz.
Путем дифференцирования Г по х, у, г, находим импульсы
px=mx, py = my, pz = mz.
После этого нетрудно найти выражение функции Гамильтона через им-
импульсы
^2 22) A2)
В эту функцию, как видим, время t и координаты х, у явно не входят и
поэтому х, у являются циклическими координатами.
В построении уравнения движения точки в частных производных
можно идти двумя путями. Либо ввести в Н неизвестную функцию
видом частных производных
дУ _ дУ _ дУ _
дх *' ду dz
и получить нелинейное уравнение в форме B)
63

Либо ввести -в Н функцию V* под видом частных производных
dV* dV* dV* dW\
у ___ «у «и—~—. ___ ______ i О"
' <tyz dpz
и получить линейное уравнение в форме C)
l % £ ^ A4)
Желая показать преимущество последнего уравнения, будем интегри-
интегрировать его. Нетрудно найти для него полный интеграл в виде
+ const
и, следовательно, V* в виде
Теперь легко получить решение задачи.
Применяя теорему Якоби к функции V*, будем иметь
dV* px dV*
dV* py dV*
——=а2 —-рz = y, --— = Ру
дру rrfig да2
dV* h Р2х + Р2у + Pi „ dV* , Рг
dpz mg 2m2g dh mg
Первые три интеграла являются геометрическими, определяющими тра-
траекторию движения материальной точки; последний интеграл кинемати-
кинематический, дающий закон движения точки по траектории.
Переписывая его в виде
и подставляя в первые три интеграла, получаем уравнения движения
точки в параметрической форме, в которой они обычно записываются:
■у .
mg 2 Irrfig
Или короче
x = cxt-\-c2, y = ^
если обозначить через Си c2i..., Сб величины
mm
_ , h gl
cs-gt0, c6^— _
h gtl , b\+b\
Решение этой задачи видоизмененным методом Гамильтона — Якоби
более просто, чем путем интеграции уравнения A3).
64

3. Представляет интерес установить связь введенной здесь функции
с функцией действия (по Гамильтону)
t
A5)
где L(/, gj, qj) —функция Лагранжа.
Продифференцируем для этого функцию действия S по времени.
Получим
^ A6)
Обратимся теперь к уравнению C) и к полному интегралу D). По-
После дифференцирования V* по времени будем иметь
dV* dV*
dV*
Но из уравнения C), имея ввиду — q-, получается
Поэтому A7) можно переписать так
dV* _
dt
В это уравнение надо -ввести функцию L (/, q^ pj).
Это легко сделать, так как известно выражение функции Гамильтона
через L, После указанной подстановки получаем
п п
аУ*-=-^+У1Р1ялУ1д1Р,- A9)
dt
Или, имея ввиду A6),
dV* _ dS
dt ~~ dt
Интегрируя это уравнение, окончательно находим
^fy-f- const.
Эта формула и устанавливает интересующую нас связь. Представляет
интерес указать на признаки систем, для которых уравнение C) будет
линейным.
Литература
1. К. Я к о б и. Лекции по динамике. ОНТИ, 1936, стр. 147.
2. М. В. Остроградский. Sur les integrates des equations generates de la
dynamique. Bulletin de Academie Imperiale des Sciences de St. Peterburg, t. VII, 1849.
3. В. Г. И м ш и н е ц к и й. Интегрирование дифференциальных уравнений с ча-
частными производными 1-го и 2-го порядка. Изд. Московского математич. общества,
1916.
4. А. Аппель. Курс рациональной механики, т. II, 1911.
5. А. Вебстер. Механика материальных точек... ГТТИ, 1933.
6. Н. Н. Бухгольц. Основной курс теоретической механики, т. II. 1939.
5—365 65

УД К 531.3 @4)
Ю. А. ГАРТУНГ
НОВЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Рассмотрим различные мыслимые (возможные) движения матери-
материальной системы — системы с 'массами точек rrij (/=1, 2, 3 ... п) 'под дей-
действием тех же сил и теми же связями, что и в истинном движении, но с
различными кинематическими состояниями системы в тот или иной мо-
моменты времени. Кинематическое состояние системы выразим совокупно-
совокупностью векторов:
гр />..., г.. A)
Проварьируем каждое движение, сравнивая его с бесконечно близ-
близким движением, отличающимся от данного значением только какого-
(п)
либо одного вектора из совокупности A). Например, изменим только г$у
значения которого в двух сравниваемых движениях отличаются «а вели-
00 (я)
чину 8rj (вариация г,); вариации же всех остальных векторов равны
нулю. Тогда имеет место выражение принципа Манжерона [1, 2], соглас-
согласно которому истинное движение отличается от всех возможных тем, что
только в нем выполняется соотношение
N ^ __ ___ (п)
) Ъгу=09 B)
где Fj — равнодействующая активных сил, приложенных к материальной
точке системы; Rj — равнодействующая соответствующих сил реакций*,
1
Ъг. s 8ту s . .. s br. s 0,
(л)
Для вывода динамических дифференциальных уравнений из B) сле-
следует наложить на связи ограничения, выражающие их идеальность по
Манжерону:
N __ (л)
У=0. D)
В случае механической системы с голономными связями выполним
следующие операции над 'кинетической энергией T = T(t, ..., qu .-, Ци •••)•
q ^J
1=1
+2 Z г-
6 «
F)
(Э2Г ' - ,
66

+ ^ о,-Ом 1-4-
~шА qiq, J ^ дЯ1
(£ /^tl ^ (Л)
■ 7=~Г i,v=i "^l^^ /fV=i ^Vi^Vv
где JRu R2> •, Rn-i — суть выражения, не содержащие произвольных от
(п)
<?v и Ц\. Соотношение (8) дифференцируем по qc
(П) /
дТ ( д*Т
В то же время,
d^ (ty/ d^/d/ ^nl d^^v ^ dqtdqs
Нетрудно заметить, что из равенств (9) и A0) следует справедливость
соотношения:
°Ъ I Sqi Hi J
Таким образом, приходим к обобщенным уравнениям Лагранжа:
[(п)
(п) dqi I
&Qi J
где Qi — обобщенные силы по Манжерону:
(я)
Предположим, что на систему наложены (неголономные связи самого
общего вида (п-го 'порядка «и .нелинейной структуры), выражающиеся
дифференциальными соотношениями:
ФрС Чь ^-,...,% = 0, (Р=1 /). A4)
С целью вывода дифференциальных уравнений движения со связями
A4) обобщенное уравнение Лагранжа A2) преобразуем с помощью
функций:
L / — 1
* (л)
jQrfi A6)
67

к виду:
5l=0
(л)
A7)
полагая при этом, что обобщенная сила Qi может явно зависеть только
от координат qiy скоростей qh ..., ускорений q% и времени t, но не зависит
(п)
от ускорений qi. Уравнения A7) показывают, что вариация Rn по Ман-
(п)
жерону (варьируются только ускорения qt) равна нулю:
8/?л = 0. A8)
Следовательно, в истинном движении функция Rn принимает экстре-
экстремальное значение при варьировании ускорений q\. Составим «вариацию
(л)
6Rn, разделяя согласно A4), все ускорения на независимые q[X и зависи-
(п)
мые qh (|ы= 1, ..., р\ h = p-{-1, ..., k).
Раскроем левую часть A8):
~^~ qh
dqh
A9)
(я)
Проварьируем теперь по ускорениям qi все уравнения связей A4),—
дЗ> (л)
B0)
(л) (л)
Из этой совокупности уравнений выразим 6^ через 8q{i.:
(п) Р
B1)
где bhV. — некоторые коэффициенты, зависящие от qi, qi, q{. Подставим
6<7/i"h3 A4) в A9):
~' ~~ " н,^-\ь% = 0. B2)
(я)
Отсюда, вследствие независимости всех 5^ получаем уравнение дви-
движения системы со связями A4) [3]:
B3)
h p+l
к которым присоединяем уравнения связей A4).
Заметим, что из принципа Манжерона легко получить и дифферен-
дифференциальные уравнения с неопределенными множителями Лагранжа для
неголономных нелинейных связей общего вида [2]:
№
(п)
d
B4)
р=1

В то же время, на основании операций Лагранжа— Манжерона
Г (л)
JL HL
П (п)
L qt
EL
- ■ "О у ~ J dg
A^L^^L, B5)
dt dqi dqi
где L = L (qu qut) = T -f и, Т = T(qh qu t)u = u(qu t).
Тогда, уравнения движения .механической системы справедливые
как для голономных, так и для неголономных со связями общего вида,
запишутся следующим образом:
p=i oqt )
После чего нетрудно заметить, что уравнения B6) в канонических
переменных запишутся в ;виде:
дН :_ дН , V^ х ^
где Я= —L + 2 Рг?г — функции Гамильтона.
£ = 1
dL
Pi =—: импульс системы.
d'qt
Таким образом, вывод уравнений движения систем с неголоном1ными
связями общего вида логически возможен и естественен только исходя
из принципа Манжерона. Только в этом случае общее уравнение дина-
динамики в форме
N „ _ (л)
Вг. = 0 B8)
будет линейным относительно вариаций высоких производных, которые
одни только варьируются при неварьируемых производных всех низших
порядков, включая радиусььвекторы. Иными словами, непосредственное
применение .принципа Даламбера — Лагранжа логически возможно толь-
только для систем с линейными неголономными связями первого порядка,
так как общее уравнение динамики в форме принципа Далам'бера — Ла-
Лагранжа содержит только вариации радиусов-векторов (бг,-). Уравнения
связи должны 'содержать -соответственно линейно проекции вариаций
радиуса-вектора, т. е. величины 8xj, btjj, 6Zj. Это возможно только при
линейных неголономных связях первого порядка.
Применяя принцип Манжерона того или иного порядка, можно опе-
оперировать с вариациями функций только определенного вида. Однако
уравнения движения, получаемые из принципа Манжерона некоторого
порядка, можно вывести из 'принципов высших порядков. Для этого сле-
следует продифференцировать уравнение связей.
Литература
1. D. Mangeron und S. D e 1 е a n u. Sur une classe d'equations de la mecanique
analytique an sens de I. Tzenoff. C. R. Acad. bulg. S. 15 A962).
2. Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. Гл. X, «Выс-
«Высшая школа», 1970.
3. Ц е н о в И. Уравнения на движениято на материални системи с линейни и не-
линейни нехолономни връзки относно обобщените скорости и ускорения. Годишник
на Математическия факултет, 1960.
4. Dalaptschiew Be. Uber die verallgemeinerte Form der Lagrangeschen Glei-
chungen, welche auch die Behandlung von nichtholonomen mechanischen Systemen gestattet.
ZAMP, vol. 17. S. 443—449. A966).
69

УД К 531.3 @4)
Ю. В. РАДЫШ, С. М. ШАХНОВСКИИ
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СЛАГАЕМЫХ, ВХОДЯЩИХ
В ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Л. ЭЙЛЕРА
Рассмотрим движение однородного тела вращения с одной непо-
неподвижной точкой О *, которая лежит «на оси симметрии ОС, как сложное.
Пусть переносная часть описывается движением системы О£г]£, а отно-
относительная— движением Ogir)i£i в системе Ogrjg (рис. 1). Подвижная си-
система координат О£г]£, не связанная жестко с телом, выбрана так, что
ось О£ направлена по оси симметрии тела, ось Og по линии узлов. Ось
Оц будет лежать при этом в плоскости 0£>г (система Ox, у, z — система
Рис. 1
неподвижных осей). Система O^rji^i является подвижной и связанной
неизменным образом с телом. Взаимное расположение системы Ogir)i£i
по отношению к системе Ogr]£ определено рис. 1.
На основании сказанного угловые скорости переносного сое, относи-
относительного сог >и абсолютного соа движения будут:
ш I / -| \
г »» а е ~Т~ /*> V-*-/
где ф, г|), 6 — обобщенные скорости; ф, г|;, 0 — углы Эйлера. Для получе-
получения динамических уравнений Эйлера применим теорему об изменении
кинетического момента, которую запишем, учитывая связь между абсо-
абсолютной и локальной производной в виде:
deL
dt
B)
Здесь L — кинетический момент тела относительно неподвижной точки О;
главный момент внешних сил, действующих на тело относительно
* При указанном предположении эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения
f^=^rl ¥=1^ ). Это предположение существенно упрощает анализ, так как в противном
случае не сохраняется тензор инерции в выбранной подвижной системе координат, не
связанной с телом.
70

неподвижной точки; 'производная кинетического момента в по-
подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью сое.
Так как оси координат О£, Оц, О£ — главные оси инерции, кинети-
кинетический момент L можно представить в виде
1 C)
где / тензор инерции тела, который при указанных предположениях
о форме тела имеет вид:
-. ||А о о
IIо о h\
Н — кинетический момент, обусловленный относительным движением
E)
Проектируя равенство B) по оси подвижной системы координат и
учитывая при этом D) и E), получим уравнения Эйлера, отнесенные к
системе координат O^rfe:
^1+ш^Л(/с_/)+ш
at
dt ш dt
F)
На основании принципа Даламбера для тела с неподвижной точкой
М(вн) + Мин) = 0 и, следовательно, главный момент сил инерции Мин> =
= —М<вн). Таким образом, левые части уравнений F) можно рассмат-
рассматривать >как взятые с обратным знаком -проекции главного момента сил
инерции на оси системы координат O^rfe.
Чтобы выяснить смысл каждого слагаемого левых частей уравнений
F), определим компоненты главного момента сил инерции.
Абсолютное ускорение точки тела, определяемой радиусом-векто-
радиусом-вектором г, представим в виде:
*>а = *е X Г + Ш, X (Я ХЪ + Wr + Z»e ХЯ- G)
Момент сил инерции тела с массой М относительно неподвижной точки
О будет
= -(?Xwa)dm (8)
J3» учитывая G),
dMim)= -г X (^ X г)rfm-7 X К X К Х"^)] dw -7 X
X Я*/т ~ 2г X К XЯ) ^т- (9)
71

Здесь первое слагаемое правой части представляет элементарный
момент «вращательной» силы инерции в переносном движении, второе
слагаемое — элементарный момент «осестремительной» силы инерции в
переносном, третье слагаемое — элементарный момент сил инерции от-
относительного движения, четвертое слагаемое — элементарный момент сил
инерции Кориолиса.
Главный момент сил инерции тела относительно неподвижной точки
будет:
Мин=- J \rX&Xr)]dm- J {rXKXKXr)]}rfm-
(да) (да)
- j (rX*>r)dm—2 j [ГХКХЯ)]^. A0)
(да) (да)
Проектируя A0) на оси системы координат Ogrj£, получим:
()
() (
(да) (да)
J J
(m) (m)
() ()
(да) (да)
j
(m)
(да)
— j K^vTrflm—Mel j E^md/w]+ ••• (H)
() ()
j j
(w) (да)
(да) (да)
г г
— ) yWryfe — wrz7i)dm — 2[u>ez J
(m) (m)
Г Г
— Wei IVridm — aw ]
J J
(да) (да)
В формулах A1) опущены слагаемые, которые содержат множите-
множителями центробежные моменты инерции, равные нулю, в силу того, что
выбранные оси координат являются главными осями инерции.
Первая и вторая группы слагаемых A1) определяют составляющие
главного момента сил иеерции переносного движения, третья—относи-
третья—относительного движения, а четвертая — главного момента сил инерции Корио-
Кориолиса.
Учитывая, что
x(krX); ^,
dt
проекции относительной скорости и относительного ускорения 'будут:
vn=— (i)r7j; wn = — гГГ1 — <o%;
vrri = u£; wrri = s£~~i4ri; A2)
72

Подставим A2) в A1) и учитывая, что осевые моменты инерции
определяются формулами
; /c = Jft2 + i2)rfmf A3)
получим после некоторых преобразований с учетом /е = Л,и равенства
нулю центробежных моментов инерции
МГ > = -
н) = - Г/ч -^3 + <ort<o« (/с - /0 - «*//] , A4)
Сравнивая A4) и F) и учитывая A1), видим, что с точностью до
знака первые слагаемые уравнений Эйлера представляют собой состав-
составляющие главного момента «вращательных» сил инерции 'переносного
движения. Вторые слагаемые первого и второго уравнений — составляю-
составляющие главного момента «осестремительных» сил инерции переносного дви-
движения. Второе слагаемое третьего уравнения — главный момент сил
инерции относительного движения и наконец третьи слагаемые .первого
и второго уравнения — составляющие главного момента сил инерции
Кориолиса.
На основании выражений для составляющих главного момента сил
инерции A4) (покажем, что гироскопический момент в элементарной
теории гироскопов М(ги&=1 scorXcoe есть момент сил инерции Кориолиса.
Действительно, из A4) следует, что
Преобразовав полученное выражение главного момента сил инерции
Кориолиса, получим
МТ= I^Jk X jve-ц + kx i«»ei) = h^rk X (уЧт, + *Че + *^c) = h<*>r X «>*, A5)
что совпадает с формулой для гироскопического момента *. Также не-
нетрудно убедиться, что поправка к гироскопическому моменту, получен-
полученному л о приближенной теории, в случае точного вычисления кинетиче-
кинетического момента при регулярной -прецессии гироскопа **:
%) A6)
есть момент переносных сил инерции.
-> ~т -»■
Действительно, так как в этом случае со^^ = 0 и сое=я|) = const,
то из A4) следует:
= —7(/С - A
= (/с - Л,) (А ХУК sin 6<oe cos 6 =
G% sin 0 + Fco^s 0)] =
* Непосредственное вычисление момента сил инерции Кориолиса, приводящее
к указанному результату, можно найти в [1] стр. 408.
** См., например, [2], стр. 556.
73

что совпадает с A6) *.
Отметим, наконец, что главный момент сил инерции в случае регу-
регулярной прецессии гироскопа представляет собой обобщенную гироскопи-
гироскопическую силу. Обобщенные силы называются .гироскопическими, если их
мощность paiBHa нулю [3],
V-1
В случае регулярной прецессии: 0 = const; ф = const; я|5 = const. Составляю-
Составляющие главного момента сил инерции будут:
или в векторном виде: M^ = L Xе0*, A8)
где
A9)
og=ij>==&j>cos8-|-/<j>sin 6; // = 7^
sin б.
Мощность главного момента сил инерции на действительных пере-
перемещениях системы:
где
*«=?+?; Я=Ф. B°)
так как вектор L, определяемый выражением A9), вектор сое и вектор
соа, определяемые выражением B0) компланарны, то
Следовательно, главный момент сил инерции в случае регулярной
прецессии есть момент гироскопический, а обобщенные силы, создающие
гироскопический момент, являются гироскопическими. Компонентами ги-
гироскопического момента .в этом случае являются главный момент сил
инерции Кориолиса и сил инерции переносного движения.
Нам представляется, что изложенные выше результаты могут быть
(полностью или частично) включены в программу полного курса теоре-
теоретической механики, особенно на приборостроительных факультетах,
имеющих специальности «Приборы точной механики» и «Гироскопиче-
«Гироскопические приборы и устройства». Это углубит познания студентов по дина-
динамике твердого тела и даст возможность более четко оценивать степень
приближения при составлении различных приближенных уравнений дви-
движения гиросколических систем в специальных курсах по теории гироско-
гироскопов и гироскопическим приборам.
* Непосредственные вычисления, дающие указанный результат, даны в [4],
стр. 552.
74

Литература
1. М. О. Кильчевський. Курс теоретично? мехашки. Кшв, 1957.
2. В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин, А. Л. Дворников. Курс
теоретической механики. «Высшая школа», 1966.
3. А. И. Лурье. Аналитическая механика. Физматгиз, 1961.
4. Л. Г. Л о й ц я н с к и й, А. И. Лурье. Курс теоретической механики.
ГИТТЛ, 1955.
УДК 531.1 @4)
М. А. ЧУЕВ
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ
Задача о движении твердого тела около неподвижной точки издавна
привлекает внимание механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые
рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс тела сов-
совпадает с неподвижной точкой, т. е. когда
xc=yc=zc = 0. A)
Лагранжем был исследован другой случай движения твердого тела,
когда
lx = h±Iz Хс = Ус = Ъ- B)
В 1888 г. С. В. Ковалевская решила эту задачу для случая
Ix=Iy=2Iz zc=0. C)
После работы С. В. Ковалевской появился ряд исследований, в ко-
которых либо изучались частные решения задачи о движении твердого те-
тела, либо развивались новые идеи, начало которым было положено
С. В. Ковалевской. Других общих случаев решения этой задачи, кроме
трех указанных, в настоящее время неизвестно.
Заметим, что три известных общих случая получены интегрирова-
интегрированием систем трех дифференциальных уравнений (известных динамиче-
динамических уравнений Эйлера) второго порядка относительно углов Эйлера
Ф, i|?, 8 или системы шести дифференциальных уравнений — трех динами-
динамических уравнений Эйлера и трех уравнений Пуассона.
В. Д. Мак-Миллан [1] .применил к задаче метод разделения перемен-
переменных и решил этим методом задачу в случае Латранжа. Возникает воп-
вопрос: нет ли других общих -случаев, решаемых методом разделения пере-
переменных? Ответу на этот вопрос и посвящена данная работа.
Приняв углы Эйлера <р, ip, 6 за обобщенные координаты, вычислим
кинетическую энергию твердого тела
T=\{iA+iA+iA)=Tfa i в, т, е), D)
где Jx, Jy, Jz — главные моменты инерции тела относительно неподвиж-
неподвижной точки О, принятой за начало координат системы Oxyz, неизменно свя-
связанной с телом; сох, со^, coz — проекции вектора мгновенной угловой скоро-
скорости тела на оси Ox, Oy, Oz соответственно, выражающиеся через <р, я|), 0
и их производные по времени известными кинематическими уравнениями
Эйлера.
Найдем импульсы
Pa=*L; p4==.-iL;pe=^L. E)
д<? д^ дЬ
75

Разрешив систему E) относительно (р, я|з, 0, перейдем в D) от ф, со, 0 к
импульсам
Т=--Т{Р9, Рф, Ре, <р, 0). F)
Функция Гамильтона .примет вид
2 cos 6 G2 cos2 у + Л sin2 у р р G2 —1\) sin 2у ^ ^ ,
" ф 9 sine * ^ е~г
sin2 д
где
2IX
и— — P(xcsin б sin ^p+г/с sin 0 coscp-|-zccos 6) =
=asin 0 sin cp + ftsin 0 coscp-f-/ cos0; (9)
и — силовая функция; Р — вес тела; h—произвольная постоянная.
Постоянные a, b и f введены для краткости записи.
Мы не приводим здесь громоздких преобразований, которые невоз-
невозможно избежать при отыскании функции Гамильтона. Эти преобразова-
преобразования можно найти, например, ib работе [2].
Учитывая, что i|? — координата циклическая, получим P^ = a = const,
где-a — произвольная постоянная.
Полагая
Р^ = Рг; РВ = Р2, A0)
in2cp); S-=(/2~/1)ctg0sin2cp;
p; D=-
sin2 6
—/2) sin 2cp ^ /2
Д4 ^
sin 6 ' sin2 6
запишем функцию Гамильтона в форме
h. A1)
Леви-Чивита [3] установил, что если задача решается разделением
переменных, то функция Гамильтона должна удовлетворять
— условиям
дН I д2Н дН д2Н дн
дИ I д2Н дН д2Н дН ! ,, ,, , ,. , , -, о ч М9ч
^i \ ^^-^« dxj dxidxj dpj
где ^ь ..., xn — обобщенные координаты; п — число координат.
Для функции Гамильтона A1) /1 = 2; —^ -=1,
т. е. необходимо проверить только одно условие. В соответствии с A0)
необходимо положить ф = #г, 0 = х2.
Полагая в A2) i= 1; / = 2 и подставив в A2) значение Я из A1), мы
получим многочлен четвертой степени относительно импульсов Pi и Р2.
76

Так как условие должно выполняться при всех значениях координат
и импульсов, необходимо положить равными нулю коэффициенты при
импульсах и свободный член. В результате такой операции получим си-
систему пятнадцати уравнений. Если обозначить частные производные по
координатам
дА , д2А , дВ D
- = Аг; ——— = Л12; -—^В, и т. д.,
дхг дхгдх2
то в этом случае система содержит 150 членов. Не имея возможности в
этой статье выписать все уравнения системы, выпишем лишь некоторые.
Пятое уравнение (коэффициент .при /?24) 'имеет -вид
2СВ2С1 + ВСгС2 - 2ВСС12 =0.
Так как С = С(<р) =С(х\), то C2=Ci2 = 0 и, следовательно,
СВ2Сх = 0. A3)
СфО при любых значениях /ь /2 и ф;
Следовательно, условие A3) может быть выполнено только в двух
случаях:
1) sin2<p = 0, т. е. <p=const — частное решение;
2) /1 = /2, т. е. 1Х = 1У — общее решение.
Будем рассматривать только общее решение, т. е. будем считать
/i=/2. Тогда система 15-ти уравнений сведется к системе двух урав-
уравнений
A1) А2К1 — АК12==0 (коэффициент при ЯгЯ2);
A4) D2KX — DAT12==0 (коэффициент при Р2).
Учитывая значения Л, D и К, последнюю систему можно привести
к виду
sin 0 (a cos cp — b sin <p) cos 0 [2/x-f/x cos2 0-f/3 sin2 0] =0.
Учитывая, что cos 0 = 0 @=const) оба уравнения не удовлетворяют
и множители, заключенные в квадратные скобки, не обращаются в нуль,
получим одно уравнение
sin 0 [a cos ср — Ь sin cp) = 0.
Из A3) вытекает, что sin 0=^0. Следовательно
a cos cp — Ь sin cp = 0.
Полагая а=£0, т. е. хс Ф 0, имеем
ctgcp=— = const, т. e. cpz= const.
a
Так как частных решений мы не рассматриваем, то необходимо
^ = 0и, как это следует из A4),
6 = 0, т. е. Ус=0.
Итак, пытаясь найти общее решение, мы установили, что оно воз-
возможно, если
77

т. е. задача движения твердого тела с одной неподвижной точкой реша-
решается методом разделения переменных только в случае Лагранжа.
Автор приносит благодарность проф., доктору физико-математичес-
физико-математических наук В. В. Добронравову за полезные советы в процессе работы над
данным исследованием.
Литература
1. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. ИЛ., 1951.
2.Е. И. Харламова. О канонических уравнениях движения тела, имеющего
неподвижную точку. Сб. «Механика твердого тела». Вып. 1, «Наукова думка», Киев,
1969, стр. 102—107.
3. Т. Levi-Civita. Mathematische Annalen. Leipzig, 1904, Bd. 59, S. 383—397.
УДК 531.3@4)
В. А. ШИШКОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В ОПОРАХ
НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА
При определении противовесов к несимметричным вращающимся те-
телам или при определении влияния не вполне правильной установки урав-
уравновешенного по своей форме тела на дополнительные динамические дав-
давления в подшипниках пред-
представляет интерес следующая
задача. Пусть АВ — ось вра-
вращения твердого тела (рис. 1).
Известен центр его тяжести Сг
положение главных осей инер-
инерции Су и Cz— они в плоскос-
плоскости чертежа, как и ось АВ. Тело
имеет любую форму, в частно-
частности, это может быть любое те-
тело, симметричное относительно
плоскости чертежа (пластинка
Рис- * любой формы, параллелепипед,
любой эллипсоид, любое тело
вращения с осью Су, дуга окружности и т. п.).
Ставится вопрос: каковы динамические реакции в подшипниках А
и В при равномерном вращении тела вокруг оси АВ с угловой ско-
скоростью со. Известны лишь главные моменты инерции Jy и Jz.
Приведем скользящий вектор угловой скорости со, совпадающий пер-
первоначально с осью вращения АВ, в центр масс С. Вращение тела вокруг
оси АВ заменится поступательным движением вместе с центром масс со
скоростью vc = (i)Xe и ©ращением с той же угловой скоростью со вокруг
оси CD, проходящей через центр масс. Радиус-вектор ё перпендикуля-
перпендикулярен к оси вращения. В изображенной на рис. 1 системе центра масс
проекции кинетического момента Lc на главные оси тела:
^IX 0=0; Ly=r-Ibiuy=Ib<uCOS(L\ iz=/2wz=/2o)sina. A)
Поскольку Lx = 0, вектор Lc также лежит в плоскости осей Oyz и
чертежа. Система центра масс Cxyz совершает поступательное движе-
движение. Точка С при этом описывает окружность с радиусом КС LAB, а оси
координат в любом положении остаются параллельными изображенным
на рисунке. В системе центра масс применима
теорема: с=.Мс^= скорости конца вектора Lc. B)

Определим эту скорость, а этим Мсе — главный момент внешних
сил, приложенных к ротору. В рассматриваемый момент времени посту-
поступательно движущаяся система центра масс Схуг совпадает с главными
центральными осями ротора, как это вытекает из условий задачи, сле-
следовательно, применимы формулы A). Расстояние г конца вектора Ес
от оси относительного вращения CD в системе центра масс находится
проектированием составляющих этого вектора на направление DE:
r = Ly sin a — Z^cos а = /^о) cos a sin а —/^cosin а cos а;
r = (Iy — /Jo) sin a cos а.
Произведение гсо равно скорости конца вектора Lc в системе центра
масс и согласно B) главному моменту внешних сил относительно С. Ак-
Активные силы уравновешиваются со статическими частями реакций опор
(кроме уравнения моментов относительно оси вращения, куда реакции
не входят). Поэтому найденный момент внешних сил, перпендикулярный
к оси вращения, определяет дополнительные — динамические реакции.
Они составляют пару, в которой каждая из сил, если h — расстояние
между подшипниками, равна
л т /г г \ ^ sin 2a /О\
или N={Iy- Iz) —-— . C)
Пусть М — масса тела. Если центр масс смещен с оси вращающе-
вращающегося тела «а величину КС = ё, то в центре масс будет приложен еще
главный вектор количества движения, перпендикулярный к оси вра-
вращения:
Скорость его конца определяет главный вектор внешних сил, при
этом, аналогично изложенному — вектор силы динамической нагрузки,
дополнительный к найденной паре сил. Определим его.
.£=£'; D)
#e=Qu = Meu2. E)
Легко установить, что скорость конца вектора Q, а следовательно и
вектор Re направлены от С к оси вращения — по линии С/С, иными сло-
словами — по нормальному ускорению. Вектор Re раскладывается на две
параллельные составляющие давлений со стороны подшипников обрат-
обратно пропорционально расстояниям от точки К до подшипников, посколь-
поскольку при указанном применении системы центра масс векторы Q и Q=Re
можно считать приложенными в центре масс. Легко убедиться, что при
вращении тела скорости концов векторов Q=Re и Ес=Мсе таковы, что
Re и пара сил лежат в данный момент в плоскости рисунка 1.
Из C) и E) следует, что для устранения динамических реакций
должно быть а=0; е = 0, т. е. чтобы осью вращения была Су — одна из
главных центральных осей.
Если для 'некоторого тела моменты инерции относительно двух
центральных взаимно перпендикулярных осей равны Jy = Jz, а е = 0, то
при любом а согласно C) и E) динамические нагрузки отсутствуют.
Например, квадратную пластинку можно вращать вокруг любой оси,
проходящей через центр масс С и лежащей в плоскости квадрата; или
прямой параллелепипед с квадратным сечением можно вращать вокруг
любой оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к оси Сх
(рис. 2) при отсутствии динамических реакций в подшипниках А и В.
79

Для таких тел, имеющих одинаковые моменты инерции для двух взаим-
взаимно перпендикулярных центральных осей из изложенного легко видеть,
что центральный эллипсоид инерции их — эллипсоид вращения с
осью Сх.
На основе общих формул C) и E) рассмотрим еще примеры.
Пример 1. Прямой однородный круглый цилиндр массы т
(рис. 3), радиуса г и длины 21 вращается с постоянной угловой ско-
скоростью со вокруг оси АВ, проходящей через его центр масс С. Ось вра-
вращения цилиндра образует с его осью симметрии угол а. Определить до-
дополнительные динамические давления на опоры А и В, если AB = 2h\.
Рис. 2
Решение. По справочнику:
Рис. 3
Подставляя эти значения в формулу C), находим пару сил, прило-
приложенных в опорах Л и В, каждая из которых
2sin2oc. F)
4Ai * 4
Решение совпадает с приведенным в книге М. И. Батя [и др.] «Тео-
«Теоретическая механика в примерах и задачах», т. II, стр. 383. Однако ре-
решение существующим способом занимает в книге 3 страницы, так как
дополнительно к изложенному на стр. 383 'надо еще вычислить центро-
центробежные моменты инерции (стр. 248—250).
Пример 2. Условия задачи те же, но центр масс смещен с оси вра-
вращения АВ в направлении оси Oz на величину p=iOC (рис. 4).
Решение. Помимо уже найденной пары сил определим главный
вектор сил реакций по формуле E):
/^ — /7?£(о2= tup cos а -со2.
Он приложен к центру масс С и направлен от С к оси вращения,
т. е. лежит в плоскости чертежа, поэтому раскладывается на две парал-
параллельные силы обратно пропорционально (рис. 4) 'плечам (h\ — psina) и
(fti-Ьр sin a); иными словами, искомые дополнительные составляющие
rap cos a-
— р sin a)
—
a-aJ-
Если раскрыть скобки, заменить sin a cos a =
(hi + p sin a)
2 sin a
и прибавить эти
слагаемые к F), то также получаются решения, совпадающие с приве-
приведенными в вышеупомянутой книге (стр. 385), где снова пришлось вво-
вводить поправки в центробежные моменты инерции и решать систему
уравнений. Указанные решения:
at
NА в =
. (г2 I 9 /2 \ sin 2a . 1
+ h Р ЬР cos a
~ V 4 ~ 3 У 2/п ~ J
80

Пример 3. Определить динамические давления однородной треу-
треугольной пластины ABE (рис. 5) на подпятник В и подшипник А при вра-
вращении ее с равномерной угловой скоростью со.
Решение. Пользуясь формулой из справочника и теоремой Штей-
нера, легко определить центральные моменты инерции:
1 itz—
По формуле C):
N
А,В= jZ
12 * 36
mh to2 sin 90°
18
2h
36
Учитывая, что e^h cos 45° • — cos 45° = —, найдем по формуле E):
о о
=пг со2.
3
vvr*
Рис. 4
Эта сила распределится на подшипники в отношении 2 : 1.
Динамические реакции -подшипников в точках А и В будут перпен-
перпендикулярны к оси вращения и равны:
NB = -
36
Re 4- mh{*2 —
^ 36
Решение существующими способами через вычисление центробеж-
центробежных моментов инерции занимает около двух страниц книги.
Изложенные примеры показывают, что расчет динамических реак-
реакций ротора с применением предложенного метода резко упрощается. Не
требуется определения центробежных моментов инерции; последователь-
последовательно применяются формулы C) и E), которые охватывают почти все
встречающиеся в учебниках и жизни случаи.
Выше считалось, что оси Cyz лежат в плоскости рисунка 1. Но из
теоремы, выражаемой формулой B), следует, что формула C) прило-
жима и в случае, когда ось Cyz «в плоскости, параллельной плоскости
чертежа и ось Сх по-прежнему перпендикулярна к оси вращения АВ.
При этом в формулы D) — E) легко вносится поправка в величину и
направление вектора Ле, принимая e = -Y (СКJ+хк2.
Наконец, в самом общем случае расположения главных централь-
центральных осей относительно оси вращения можно поступить так. Сначала по-
положим, что центр масс лежит на оси .вращения (рис. 6). Заданы углы
а, р, у центральных осей с осью вращения, следовательно известны сох,
<оу, со2. Раскрывая векторное произведение, написанное на основе
B) Мсе = соXiLc, находим:
.6—865
81

По моменту Мсе и плечу h=AB находим величину каждой из сил
пары:
Определим теперь плоскость пары. Возьмем неподвижную систему
с осями Cy\Z\ в плоскости рис. 6, а ось Сх\ 'перпендикулярна к ней. Пред-
Представим, как обычно, косинусы углов между осями таблицей:
X
У
Z
h
тг
У\
h
/По
По
h
тг
Из них /2, т2, м2 — известны как косинусы углов а, р, у. Повернем
тело так, чтобы ось Cz совпала с плоскостью рисунка. Проекция оси Сх
Рис. 6
станет продолжением Су. Тогда fti = cos90o=i0; M3 = cos(90°—y) =siny-
Как известно, каждый элемент определителя, составленного из этой
таблицы, равен своему адъюнкту, т. е. минору с соответствующим зна-
знаком. На основе составленных таких уравнений (двух для 1Х\ т^ и двух
для /3; т\) и учитывая указанные соотношения, получаем:
/ т°- . ™ Z2 . / _
h
Sin 7
sm
/722
41
В частности, если -положение оси Су на рис. 6 определяется поворо-
поворотом от предварительного совпадения с плоскостью чертежа на угол ф
вокруг оси Cz, то:
I я —
h
sin 7
-cos со cos
3 = sin 7.
В неподвижной системе МтУх =0. __ _
_ Плоскость, в которой лежит лара (TV, —N), перпендикулярна к
Мсе- Она проходит через ось АВ и с плоскостью рис. 6 составляет угол
\|), для которого
82

Myтг
Если центр масс >не лежит на оси вращения и не расположен в пло-
плоскости чертежа, то -согласно изложенному добавляется еще динамиче-
динамическая реакция Ле, величину и направление которой легко определить по
отношению к системе Ox\y\Z\. Сложением соответствующих составляю-
составляющих без труда определяются давления в каждой из опор.
.УДК 531/534@4)
В. Ф. КРИШЕН
О ТОЛКОВАНИИ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ И ВОПРОСЫ МЕТОДОЛОГИИ
(В порядке дискуссии)
Теоретическая механика относится к разряду так называемых де-
дедуктивных наук, в основе которой лежит определенная система аксиом
(основных законов) или собрание важнейших опытных фактов, являю-
являющихся синтезом огромного исторического опыта и 'Практики человече-
человечества в области изучения механических явлений природы. Принятая си-
система аксиом определяет область существования самой науки, ее лицо,
тенденции формирования и развития всех без исключения ее физических
идей и методов.
Известно, что всякая, даже сколь-нибудь незначительная, ревизия
в области системы аксиом ведет к радикальным последствиям для всего
здания науки. Неточность или неопределенность в формулировании
основных законов классической механики всегда чревата возможностя-
возможностями неверных обобщений и выводов по содержанию и смыслу ее теорем и
методов и, естественно, связана с большими издержками в процессе
обучения.
Требования научной строгости и точности в 'выражении основных
законов механики в наибольшей степени касается именно процесса
преемственности науки, ее преподавания, которое предполагает не
только задачи обучения, но и задачи воспитания научного мировоззре-
мировоззрения, развития у слушателей научной методологии познания и объясне-
объяснения явлений природы.
Отсюда понятна та щепетильность и принципиальность, с которой
подходят обычно к формулировкам основных законов механики. Тем не
менее, нельзя не обратить внимания на то, что в настоящее время в ли-
литературе по механике, и в том числе в учебной, нередко встречаются
далеко не адэкватные, а подчас просто взаимоисключающие толкования
основных законов классической механики. Рассмотрим их последова-
последовательно, начиная с закона инерции.
1-й основной закон. Воспользуемся только классическими и совре-
современными изданиями по теоретической механике. Все формулировки за-
закона инерции можно разделить на два типа:
1-й тип 2-й тип
«Изолированная материальная точка «Всякое тело сохраняет свое состоя-
сохраняет без изменения величину и на- ние покоя или прямолинейного и равно-
правление своей скорости» ([10], стр. 11). мерного движения, если только прило-
приложенная к нему сила не побуждает его
изменить* свое состояние» [2], стр. 39.
Аналогично в сочинениях [1], стр. 417, Аналогично в сочинениях [11], стр. 133,
[3], стр. 3, [4], стр. 87, [5], стр. 150, [6], [12], стр. 12, [14], стр. 46, [16], стр. 158,
стр. 254, [9], стр. 154, [13], стр. 379, [17], [15], стр. 8, [24], стр. 223, [21], стр. 224
стр. 9, [20], стр. 20 и др. и др.
6* 83

Различие двух типов формулировок в том, что в первом случае речь
идет о материальной точке, не взаимодействующей с окружающей сре-
средой, во втором же типе формулировок имеется в виду материальная
точка, взаимодействующая с другими материальными объектами.
На почве этого различия в толкованиях закона инерции возникли
два противоположных суждения о роли и значении закона инерции в
классической механике. Одно из них сводится к признанию закона инер-
инерции в качестве первой основной аксиомы классической механики. Со-
Согласно же другому суждению закон инерции является всего лишь три-
тривиальным следствием второго основного закона И. Ньютона.
«Что же касается первого закона Ньютона, то он вообще не пред-
представляет собой самостоятельный закон, так как не содержит никаких
новых утверждений. Первый закон Ньютона целиком содержится во вто-
втором законе, частным случаем которого он является». ([18], стр. 113).
«Из основного закона динамики ma = F при F=0 следует, чго
а = 0, то есть, принцип инерции является частным случаем основного
закона динамики. Его выделение в отдельную аксиому традиционно и
объясняется чисто историческими причинами» ([22], стр. 8).
Аналогичные высказывания можно встретить и в других источниках
(A1], [20], [29], [27] и др.). Большинство авторов-механиков, излагая за-
закон инерции, молчаливо признает его первой основной аксиомой -клас-
-классической механики, не касаясь обоснований такого к нему отношения.
В 1965—1966 гг., однако, имела место дискуссия о первом и втором
законах механики, к сожалению, не получившая широкого отклика [30].
В 1-го типа толкованиях закона инерции говорится об изолирован-
изолированной материальной точке. «Конечно в природе такого не бывает».
(Р. Фейнман), но это абстракция — обычная форма выражения физиче-
физической идеи во всякой научной теории. И дело не в этом, а в том, что зако-
законом инерции Галилей постулирует объективность механического движе-
движения как формы существования любого материального объекта. Согласно
закону инерции механическое движение является обязательным усло-
условием, безусловным признаком объективного существования любого ма-
материального объекта, что само по себе движение спонтанно поддержи-
поддерживается, -сохраняется всяким реальным телом. «Степень скорости, обна-
обнаруживаемая телом, ненарушимо лежит в самой природе его...» [1].
Для сохранения движения, следовательно, нет необходимости во
взаимодействиях между телами. Законом инерции отвергается господ-
господствовавший до Галилея «очевидный» принцип, — что для всякого дви-
движения всегда требуется сила. В отличие от чисто философского закона
о «движении как форме бытия материи» закон инерции Галилея касает-
касается только механической формы движения материи и отвечает на вопрос,
какого конкретного вида механическое движение присуще самой приро-
природе вещей.
Каждое тело, если оно суть объективная реальность, всегда содер-
содержит в себе определенное количество движения, а, следовательно, и опре-
определенное количество механической энергии. Само количество движения
существенно зависит от системы отсчета, выбор которой ограничен толь-
только принципом относительности Галилея, непосредственно вытекающим
также из закона инерции.
Всегда можно взять такую систему отсчета, в которой запас коли-
количества движения тела, двигающегося по инерции, может быть по вели-
величине и направлению наперед заданным, в том числе и равным нулю, что
соответствует покою. «Движение отличается от покоя не в большей ме-
мере, чем одно движение от другого» [3]. Так как всякая изолированная
точка совершает равномерное и прямолинейное движение относительно
других таких же не взаимодействующих объектов, то, связав с любой
из них систему отсчета, движение всех других относительно такой систе-
системы отсчета будет равномерным и прямолинейным, то есть относительно1
84

любой такой системы отсчета закон инерции будет выполняться и мож-
можно говорить, что закон инерции постулирует объективное существование
в природе инерциальных систем отсчета. Ни одна из инерциальных си-
систем не является исключительной так же как и любая изолированная
точка. Наука не знает пока объяснения факту существования таких
привилегированных систем отсчета, но опыт подтверждает их объектив-
объективную реальность. Введение Ньютоном абсолютного пространства было
актом, совершенно не согласующимся с идеями Галилея о -необходимо-
-необходимости и достаточности определения движения как движения относительно
системы отсчета, движущейся равномерно и 'прямолинейно (без ©раще-
©ращения), и об инвариантности всех механических явлений относительно
таких систем отсчета.
В формулировке 2-го типа речь идет не об изолированном теле, а о
теле, взаимодействующем с другими телами и, следовательно, основная
идея Галилея, о которой говорилось выше, растворена соображениями
об изменчивости количества движения точки. Иначе говоря, основная
идея Галилея, закона инерции, дополнена элементами, относящимися к
сфере действия второго закона Ньютона. Именно об этом говорит фра-
фраза: «...если только приложенная к нему сила не побуждает его изменить
свое состояние». О возможных последствиях взаимодействия тела с
окружающей средой говорится неопределенно: когда взаимодействие
приводит к изменению количества движения, а когда нет? На эти во-
вопросы отвечает, и вполне определенно, только второй закон механики.
Но это, конечно, создает впечатление, будто закон инерции содержится
во втором законе Ньютона.
Формулировки 2-го типа могут показаться предпочтительней фор-
формулировок первого типа потому, что в них предусматривается возмож-
возможность движения тела по инерции и в том случае, кстати реальном слу-
случае, когда оно взаимодействует с окружающей средой. Но это не так,
потому что, во-первых, об этом говорится неопределенно, а, во-вторых,
если сказать об этом более определенно, дополнив формулировку зако-
закона инерции утверждением: «материальная точка будет пребывать в со-
состоянии равномерного и прямолинейного движения и в том случае, когда
приложенная к ней система сил взаимно уравновешена», то это уже не
будет аксиомой, а действительно будет простым следствием второго
закона и закона независимости действия сил или закона параллелограм-
параллелограмма сил. _
Формальная логика «если F = 0, to y=const в данном случае, впро-
впрочем как и во многих других, недостаточна, чтобы заключить, будто за-
закон инерции является следствием второго закона Ньютона. Во-первых,
потому, что получив v = const, нужно еще предварительно постулиро-
постулироваться, а что это физически означает и действительно ли это отвечает
реальному положению вещей — является законом природы. Во-вторых,
пользуясь формально-математической логикой, можно получить и про-
противоположный результат. Например, рассматривая движение тела пере-
переменной массы (автоцистерна с вытекающей снизу жидкостью), согласно
второму закону Ньютона
dt i
при F = 0, отсутствии сил сопротивления и линейно убывающей массе
т=№ъ—м-/» получим
, A)
где Vo — начальная скорость, то есть v неограниченно растет, что, ко-
конечно, не соответствует действительности и противоречит закону
инерции.
85

Наконец формальная логика «позволяет» вывести второй закон
Ньютона из закона инерции. В самом деле, если скорость «ненарушимо
лежит в самой природе вещей», то ее изменение, то есть ускорение,
должно быть только результатом действия силы. Самая простая зави-
зависимость между силой и ускорением — прямая пропорциональность. Да-
Далее остается только это утверждение проверить опытом. Это могут быть
опыты с падающим телом и телом, движущимся по наклонной плоско-
плоскости, которые проводил Галилей и судя по результатам этих опытов был
на пороге открытия второго закона механики. Это могут быть опыты с
пружиной. Для чего на конце протарированной линейной пружины,
создающей силу F = C\X, необходимо закрепить тело определенной мас-
массы и пружину навить на достаточно гладкий стержень. Растягивая пру-
пружину и измеряя ускорение тела, получим, естественно, что ускорение
тоже пропорционально растяжению w^c^x. При этом отношение силы
упругости пружины к ускорению всегда будет величиной постоянной, и
меняющейся только при замене одного тела другим.
— = — ~ т = const.
W C-2
Таким образом, исходя из закона инерции, приходим ко второму
закону. И это очень хорошо. Было бы хуже, если бы законы механики
противоречили друг другу. Итак, любой закон природы имеет опреде-
определенную сферу своего действия. Сфера действия закона инерции опреде-
определяется постулированием равномерного и прямолинейного движения (по-
(постоянства импульса) как внутреннего свойства материи и утверждение
объективного существования особой системы отсчета — инерциальной,
относительно которой закон инерции всегда можно наблюдать независи-
независимо от выбора системы отсчета. Сферой же действия второго закона яв-
является причинность изменчивости скорости (импульса).
Из сказанного следует, что закон инерции Галилея является пер-
первым фундаментальным философско-физическим постулатом классиче-
классической механики и не является простым следствием второго закона
Ньютона.
2-й основной закон. Этот закон постулирует поведение материаль-
материальной точки при ее взаимодействии с другими объектами материального
мира, причем взаимодействие выражается одной силой. Известны две
формы выражения второго закона —форма Ньютона и форма Эйлера
^ Г, B)
mf-F, ,3,
которые, в случае постоянства массы, адекватны. Однако ньютоновская
формулировка второго закона нередко толкуется как более общая, учи-
учитывающая переменность массы точки (в том числе и массы покоя) (A8],
стр. 100, [16], стр. 159, {24], стр. 223, [33], стр. 156 и др.). Если это так, то
выражение A) можно записать в развернутом виде
dv ft dm — /АХ
m =F v. D)
dt dt v '
В случае реактивного движения это выражение существенно отли-
отличается от уравнения И. В. Мещерского
dv 75 dm ,— —\ /г-ч
m = t (v — u). E)
dt d*
86

Эти уравнения совпадают только в том, -весьма частном, случае,
когда п = 0, то есть когда абсолютная скорость «отделившейся» или
«присоединившейся» массы оказывается равной нулю. Иначе говоря,
когда «отделившаяся» масса полностью отдает свое количество движе-
движения «основной» массе.
Впервые на это обратил внимание В. Г. Невзглядов ([14], стр. 295).
Однако, и до сих пор во многих изданиях по физике и .механике ньюто-
ньютоновская формулировка второго закона механики приводится с поясне-
пояснением, будто масса в выражении B) может быть переменной. Что в вы-
выражении B) масса может быть только постоянной, можно показать
следующим образом. Пусть на материальную точку действуют несколь-
несколько сил. Второй закон Ньютона с учетом закона параллелограмма сил
можно записать так
Если система сил взаимно уравновешена и 2.f\- = 0, то должно иметь
место mv= const.
Но если силы «не побуждают изменение скорости точки», то сопас-
но закону инерции скорость точки должна быть постоянной v = const.
Постоянство же импульса и скорости означает и постоянство массы.
Выражение D) неверно потому, что нельзя рассматривать изменение
массы изолированно от пространственно-временных свойств движения,
т. е. независимо от изменения ее скорости. Отрывать массу от скорости
равносильно отрыву материи от движения. Ошибочность результата A)
объясняется именно тем, что там масса была принята переменной. При
поступательном движении тела переменной массы, когда реактивные си-
силы отсутствуют или взаимноуравновешены, второй закон Ньютона со-
согласно E) будет иметь вид
При F =
/ j\ dv
m(t) =
v J dt
m(t)~ = 0,
di)
но так как m(t)^0, то = 0, откуда следует, что тело будет двигать-
dt
ся с постоянной скоростью v = const и это согласуется с законом инер-
инерции. Масса и импульс при этом будут переменны.
Итак, ньютоновскую формулировку второго закона классической
механики нельзя считать более общей, чем формулировку Л. Эйлера.
В общем случае формулировка этого закона в форме Ньютона справед-
справедлива только для случая постоянной массы, а это означает, что она тож-
тождественна формулировке Эйлера.
Заслуживает внимания получившее большее распространение толко-
толкование второго закона Ньютона как способа определения силы: «...век-
«...вектор mw есть, по определению, сила, действующая на точку. Если обо-
обозначить ее через F, то F = mw. Мы видим, что сила есть понятие произ-
производное, определяемое при помощи других величин. Вектор силы есть
вектор полярный, так же как и ускорение». ([4], стр. 89). Аналогичные
толкования встречаются и в других источниках ([6], стр. 255, [13],
стр. 380 и др.). По этому поводу довольно обстоятельно высказался
В. Г. Невзглядов: «Второй закон Ньютона не является новым, «динами-
«динамическим» определением силы, в него входит та же сила, которой мы дали
статическое определение. Здесь обнаруживаются лишь новые, динамиче-
динамические свойства этой силы... Поэтому произведение массы тела на его ус-
ускорение не есть определение силы, но оно равно силе по закону природы»
87

([14], стр. 47). Толкование второго закона Ньютона как способа опреде-
определения силы противоречит закону диалектики о причинно-следственных
связях. Сила есть «причина», а ускорение есть «следствие». Не сила за-
зависит от ускорения, а ускорение определяется силой. Таков объективный
закон природы. Поэтому утверждения, что «сила пропорциональна мас-
массе и ускорению» и что второй закон Ньютона дает определение силы в
философском, а следовательно и в научном отношении, несостоятельны.
3-й основной закон. По поводу толкований третьего закона механи-
механики представляет интерес только одно обстоятельство. Хотя и редко, но
все же встречается существенно отличное от ньютоновского толкование
третьего закона классической механики: «Отношение численных значе-
значений ускорении, которые две произвольные материальные точки А и В
сообщают друг другу, постоянно» ([4], стр. 87).
Такого толкования третьего закона придерживаются и некоторые
современные авторы, причем встречаются предложения считать этот ос-
основной закон просто следствием второго закона Ньютона «после того,
как второй закон Ньютона сформулирован, третий закон уже не пред-
представляет собой целиком самостоятельного утверждения» ([18], стр. 112).
Искажение смысла третьего закона механики в аппелевской форму-
формулировке, как видно, состоит в том, что она выражает всего лишь част-
частную закономерность, вытекающую, кстати, не только из третьего, но и
из второго закона механики. Формулировка Ньютона: «Действие всегда
есть равное и противоположное противодействие» ([2], стр. 41) выражает
закон более общего характера и относится не только к точкам, которые,
взаимодействуя друг с другом приобретают ускорения, но и ко всем дру-
другим, встречающимся в природе, механическим взаимодействиям.
Независимость второго и третьего законов механики очевидна. Если
бы зависимость между силой и ускорением в природе выражалась ка-
каким-либо иным образом, то это могло бы отразиться только на соотно-
соотношениях между массами и ускорениями взаимодействующих тел, но ни-
никак не отразилось бы на взаимодействиях других типов, где ускорения
отсутствуют.
Основное содержание третьего закона Ньютона выражается в том,
что: во-первых, какова бы ни была зависимость между ускорением и си-
силой, его вызывающей, всегда, при любых взаимодействиях, должно вы-
выполняться равенство действия и противодействия, во-вторых, и это глав-
главное, только третий закон постулирует чрезвычайно важное свойство
взаимодействий — мгновенность реакции тела на любое взаимодейст-
взаимодействие— пост\ лат, не подтверждаемый для больших (космических) рас-
расстояний и практически точный на близких расстояниях.
В этом смысле только третий закон так же как и первые два опи-
описывает определенные свойства пространства. Если первый закон посту-
постулирует существование инерционных систем отсчета, а второй закон наи-
наиболее ярко выражает свойства однородности и изотропности пространст-
пространства, то третий закон постулирует свойство пространства мгновенно
реагировать на всякое действие независимо от расстояния данной точки
пространства от источника действия.
4-й основной закон. 1. В своих «Началах» И. Ньютон систему ос-
основных законов механики ограничил тремя рассмотренными выше зако-
законами. Так как из второго закона непосредственно не вытекает закон по-
поведения материальной точки при ее взаимодействии с несколькими ма-
материальными объектами, И. Ньютон сформулировал так называемое
1-е следствие: «При силах совокупных тело описывает диагональ парал-
параллелограмма в то же самое время, как его стороны — при раздельных»
([2], стр. 42). Не считая возможным вывести это утверждение как-либо
из первых трех основных законов, П. Аппель приводит его как четвертый
основной закон ([4], стр. 89).

Точка зрения Аппеля в дальнейшем утвердилась как «закон незави-
независимости действия сил».
Н. Е. Жуковский основным законом механики считал закон «неза-
«независимости действия сил— (закон совместного действия сил)».
«Если сила действует на точку, движущуюся по инерции или от дей-
действия других сил, то точка получает движение, которое слагается кине-
кинематически из прежнего движения и того движения, которое бы одна
эта сила сообщила точке, не имеющей начальной скорости. Пр'и этом
траекторию первого движения нужно двигать поступательно со ско-
скоростью второго движения» ([5], стр. 150).
Н. Е. Жуковский считал даже второй закон Ньютона следствием за-
закона «совместного действия сил» и закона инерции и приводил доказа-
доказательство второго закона, которое одно время считалось возможным.
В настоящее время мнения разделились. У одних авторов ([14, 18, 21, 11]
и др.) законы механики точки исчерпываются тремя законами Ньютона.
У других (большинства механиков) четвертый закон, как закон незави-
независимости действия сил, относится к числу основных законов (аксиом) ме-
механики. ([6, 10, 12, 13, 16] и др.)- Более того, четвертому закону механи-
механики иногда придается даже более широкий смысл, чем это следует из тол-
толкований П. Аппеля и Н. Е. Жуковского.
«Действие каждой из приложенных сил не зависит от того, находит-
находится ли эта точка в покое или в движении, и не зависит от числа действую-
действующих сил. Иначе говоря, если на материальную точку действует несколь-
несколько сил, то движение этой точки складывается из тех движений, которые
точка могла бы иметь под действием каждой силы в отдельности. Силы
не индуцируют друг друга, действие любой силы данной системы не за-
зависит от действия других» ([16], стр. 164).
Итак, нужна ли вообще еще какая-то дополнительная 4-я аксиома
механики, чтобы система аксиом в целом была завершенной и позволя-
позволяла бы построить все здание механики? Если нужна, то в чем должно
быть содержание четвертого закона, и в какой мере отвечает этому за-
закон независимости действия сил? Какова при этом роль закона паралле-
параллелограмма сил? Имеется ли связь между этими законами?
Если материальная точка взаимодействует одновременно с двумя
объектами, то из первых трех законов нельзя получить ответ, по крайней
мере, на два вопроса: 1. Если воздействуя на материальную точку, каж-
каждый из объектов в отдельности прикладывает к точке силы Fx и .F2. то
останутся ли эти силы по величине и по направлению такими же, в слу-
случае совместного их действия, т. е., не повлияет ли действие первого объ-
объекта на величину и направление силы, создаваемой вторым объектом, и
наоборот? Не может ли иметь место индуцирование сил? 2. Сохраняется
ли действие второго закона механики по отношению каждого из взаимо-
взаимодействий и каково должно быть поведение материальной точки при од-
одновременном действии двух или нескольких сил?
На эти вопросы может ответить только эксперимент, опыт. Опыт же
говорит о том, что, испытывая действие двух сил, материальная точка
приобретает ускорение, во-первых, направленное по диагонали паралле-
параллелограмма, построенного на этих силах, и пропорционально некоторой
третьей условной силе, не имеющей материального источника, но равной
векторной сумме двух реальных сил. Во-вторых, это ускорение является
векторной суммой тех ускорений, которые могли бы возникнуть у точки
при изолированном действии указанных сил. И это утверждение никак
нельзя вывести из первых трех основных законов. Опыт также говорит,
что явление индуцирования сил при механических воздействиях имеет
место. Есть такие силы, которые существенно зависят от действия дру-
других сил, и характер их действия зависит от того, действуют они одни или
в сочетании с другими силами. Такими силами являются силы контакт-
контактного взаимодействия, силы сопротивления среды и в известном смысле

консервативные силы. Эти силы действуют на тело по-разному — в зави-
зависимости от действия других сил. В частности, сила вязкого сопротивле-
сопротивления среды будучи функцией скорости тела действует по-разному, когда
она одна или когда действует в сочетании с какой-либо другой силой.
Таким образом, закон независимого действия сил как закон, постули-
постулирующий поведение материальной точки при ее взаимодействии с несколь-
несколькими материальными объектами, действительно является независимым
основным законом классической механики. Но независимость действия
сил следует понимать как возможность применения второго закона
Ньютона по отношению к каждой из совместно действующих на точку
сил и возможность сложения ускорений, вызываемых в данный момент
каждой из этих сил в отдельности, при условии, что силы принимаются
с учетом их взаимного влияния, то есть при их совместном действии.
Понимание этого закона в более широком смысле, как допустимость
кинематического сложения движений, вызываемых каждой из сил при
их изолированном действии, что всегда движение «складывается из
тех движений, которые точка могла бы иметь под действием каждой из
сил в отдельности», что «силы не индукцируют друг друга» и т. п., при-
приводит к ситуации, когда имеет место, на философском языке, — несоот-
несоответствие формы и содержания. Содержание четвертого основного зако-
закона точно выражает формулировка П. Аппеля или формулировка в духе
«1-го следствия» И. Ньютона: «Совместное действие на материальную
точку двух материальных объектов эквивалентно действию одного ус-
условного объекта, который прикладывает к точке силу Л, называемую
равнодействующей и равной векторной сумме сил Fx и F2, с которыми
действуют на точку первые два объекта».
Закон независимости действия сил, как закон сложения ускорений,
может быть заменен соответствующими постулатами о метрике про-
пространства. При этом из самой метрики пространства будет вытекать за-
закон сложения ускорений, а при наличии второго закона будет следовать
и закон сложения сил. Этот путь, однако, вряд ли можно признать це-
целесообразным по методическим соображениям.
2. Четвертый закон механики является фундаментальным законом
механики, откуда непосредственно вытекает закон параллелограмма
сил, понятия о состоянии равновесия точки, о взаимоуравновешенных
силах, о механически эквивалентных системах сил, об условии равнове-
равновесия точки и т. п. Если по справедливому замечанию Л. Пуансо: «аксио-
«аксиома параллелограмма сил служит основанием всего учения о равнове-
равновесии», то четвертый закон механики является не только основанием ста-
статики, но и приводит к определению самого понятия равновесия и условий
равновесия точки.
Именно этот закон наиболее непосредственно приводит к идее о
единстве аксиом статики и динамики. Все четыре основных закона ме-
механики являются одновременно как аксиомами статики, так и аксиома-
аксиомами динамики точки. Разделение аксиом статики и динамики, так же как
и противопоставление статики и динамики, несостоятельно ни в фило-
философском, ни в естественнонаучном отношении. Весьма распространенная
в настоящее время традиция представления аксиом статики твердого те-
тела в отрыве от основных четырех законов механики противоречит всей
внутренней философско-физической логике механики. Поэтому число
аксиом статики у разных авторов различно и нередко определяется боль-
больше вкусом и привычками авторов, чем научной необходимостью.
Так, например, у многих авторов закон инерции не относится к числу
аксиом статики ([13, 21, 24] и др.). Закон же параллелограмма сил счи-
считается аксиомой только статики [12, 5, 14, 18], а второй закон Ньютона
относится только к динамике. Такое противопоставление статики и ди-
динамики обусловлено историческими и гносеологическими причинами.
Статика как наука сформировалась задолго до выхода в свет «Начал»
90

Ньютона, свое завершение получила одновременно с динамикой в тру-
трудах Вариньона A725 г.) и Пуансо^ A834 г.) и далее развивалась отно-
относительно самостоятельно как статика сооружений и статика сплошной
среды. Как известно, И. Ньютон был твердо убежден в независимости
и самостоятельности статики и той механики, которую он изложил в
«Началах». Спустя несколько десятилетий Л. Эйлер продолжал отстаи-
отстаивать мысль о независимости статики и динамики. Я° Герман сделал даже
попытку ввести для динамики новый термин — «фрономия». Эти взгляды
вскоре уступили место убеждению в общности статики и динамики, как
только -появились .первые работы оо аналитической механике и в -первую
очередь — принцип Даламбера, принцип возможных перемещений и
экстремально-вариационные принципы механики. Статика стала не-
неотъемлемой частью динамики. Под общим флагом принципа Даламбе-
Даламбера эти два раздела классической механики объединились в общем уче-
учении — кинетике.
И тем не менее, до сих пор еще сохранилась старая традиция рас-
рассматривать аксиомы статики как особую, самостоятельную систему ак-
аксиом в отрыве от основных законов. Статика органически связана с ди-
динамикой и не может иметь своей особой системы аксиом.
Из сказанного о четвертом законе следует:
1. Система основных законов классической механики не исчерпыва-
исчерпывается тремя законами Ньютона.
2. К числу основных законов механики нужно отнести четвертый за-
закон, сформулированный либо в духе Аппеля, либо в духе «следствия
1-го» Ньютона.
3. Статика и динамика — органически связанные разделы механики
и покоятся на единой системе аксиом.
Приведенный обзор литературы по проблеме аксиоматики классиче-
классической механики показывает, что толкования основных законов механики
в современной литературе, и прежде всего в учебной, далеко не адекват-
адекватны, а нередко просто взаимоисключают друг друга. Поэтому эти вопро-
вопросы заслуживают серьезного внимания и обсуждения, результаты кото-
которых могут повысить научный и идейный уровень преподавания теорети-
теоретической механики и могут оказаться полезными при дальнейшей
переработке существующих и в издании новых учебников по теоретиче-
теоретической механике и физике.
Литература
1. Г. Галилей. Беседы и математические доказательства. М. — Л., 1934.
2. И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Русск. пере-
перевод А. Н. Крылова. Соч., т. 7, АН СССР, М. — Л., 1936.
3. Л. Э й л е р. Основы динамики точки. ТИТЛ, М. — Л., 1938.
4. П. А п п е л ь. Теоретическая механика. Физматгиз, 1960.
5. Н. Е. Ж У к о в с к и й. Теоретическая механика. ГИТТЛ, М. — Л., 1950.
6. В. В. Добронравов. Н. Н. Никитин, А. Л. Дворников. Курс
теоретической механики. «Высшая школа», 1966.
7. Ж- Л. Л а г р а н ж. Аналитическая механика. Гостехиздат, 1950.
8. К. Якоб и. Лекции по динамике. ОНТИ, 1936.
9. Р. Ф е й н м а н. Лекции по физике. «Мир», 1967.
10. Е. Л. Николаи. Теоретическая механика. НИФИЛ, 1958.
11. Г. К- Суслов. Теоретическая механика, 1946.
12. Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. Курс теоретической механики.
М. — Л., 1938.
13. И. М. Воронков. Курс теоретической механики. «Наука», М., 1965.
14. В. Г. Невзглядов. Теоретическая механика. Физматгиз, 1959.
15. А. А. Яблонский. Курс теоретической механики. «Высшая школа», 1962.
16. А. А. Ко с м о д е м ь я н с к и й. Курс теоретической механики. «Просвеще-
«Просвещение», 1965.
17. Д. У. Л ич. Классическая механика. ИЛ, 1961.
18. С. Э. Хайкин. Физические основы механики. ГИФМЛ. М., )962.
19. А. И. Лурье. Аналитическая механика. ГИФМЛ, М.,, 1961.
20. Г. И. Савин, Н. А. К и л ь ч е в с к и й, Т. В. П у т я т а. Курс теоретиче-
теоретической механики, ГИТЛ УССР, Киев, 1957.
7* 91

21. С. М. Тар г. Краткий курс теоретической механики. ГИФМЛ, 1961.
22. М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. Теоретическая
механика в примерах и задачах. «Наука», 1967.
23. С. П. Стрелков. Механика. ГИТТЛ., М., 1956.
24. Е. Н. Березкин. Лекции по теоретической механике. МГУ, 1967.
25. В. С. Ч у в и к о в с к и й. Принципы динамики в строительной механике ко-
корабля. «Судостроение», Л., 1964.
26. Ф. Энгельс. Диалектика природы. 1955.
27. Э. Мах. Механика. 1909г.
28. А. А. Эйхенвальд. Теоретическая физика. Ч. 3. Гостехиздат, 1932.
29. Г. А. Зисман, С. М. Тодес. Курс физики. Физматгиз, 1958.
30. Н. Ф. Овчинников. Принципы сохранения. «Наука», 1966.
31. С. Тимошенко и А. Юнг. Инженерная механика. Машгиз, М., I960.
32. А. А. Ш и м к о в и ч. Механика. М., 1969.
33. Н. Н. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. «Наука»,
ФМЛ, 1970.
34. Л. Д. Ландау, А. И. А х и е з е р, Е. М. Л и ф ш и ц. Курс общей физи-
физики. «Наука», ФМЛ, 1969.
35. Н. Ф. Б уте нин, Я. Л. Л у н ц, Д. Р. М е р к и н. Курс теоретической
механики, т. 1, «Наука», ФМЛ, 1970.
УДК 534
ю. г. минкин
ОБ ОДНОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ К ТЕМЕ
«ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ПРИ ОТСУТСТВИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ»
Вынужденные колебания механической системы могут быть вызва-
вызваны действием силового или кинематического возмущения, либо их сово-
совокупностью. В курсах теоретической механики и теории колебаний для
|/vwwvw(W
b=L0+Ssinpt
[2
с12
VWWWWWW^
Q
С2 V,
/WWWWW|
Рис. 1
иллюстрации силового возмущения рассматриваются системы, находя-
находящиеся под действием сил или моментов, меняющихся во времени по за-
заданному закону. Для иллюстрации простейших случаев кинематического
возмущения рассматриваются системы, в которых задается абсолютное
смещение какого-либо элемента под действием некоторой неизвестной
силы (момента). Практическая ценность и методическая целесообраз-
целесообразность исследования вынужденных колебаний в подобных системах не-
несомненна. Однако в инженерном деле нередко приходится встречаться с
возмущением в виде заданного относительного смещения каких-либо
двух элементов системы, происходящего под действием некоторых неиз-
неизвестных по величине, равных и противоположно направленных сил (мо-
(моментов). Возникающие при этом вынужденные колебания обладают ря-
рядом своеобразных черт, которые не усматриваются в традиционных
задачах. Обсуждение их представляет интерес при изложении соответст-
соответствующих разделов курса.
Простейшая система с подобным возмущением (рис. 1) состоит из
двух поступательно движущихся тел с массами т\ и т2, трех пружин с
коэффициентами жесткости С\> £2 и с{2. Расстояние L между центрами
масс тел 1 и 2 изменяется по закону:
92

L = LQ-\-S sin pt, A)
где Lo — расстояние между центрами масс в положении покоя.
Заданное относительное смещение происходит под действием двух
неизвестных по величине, равных и противоположно направленных
сил Q, показанных на рис. 1. На этом рисунке через Х\ и х2 обозначены
абсолютные отклонения тел / и 2 от положения равновесия.
Эти тела могут рассматриваться как машина-двигатель и машина-
исполнитель, а изменение расстояния L между ними может быть вызва-
вызвано особенностями привода. Пружины 1 и 2 соответствуют упругому за-
закреплению обоих агрегатов на фундаментах, а пружина с коэффициен-
коэффициентом жесткости С\2 соответствует упругой межфундаментной связи.
Система, изображенная на рис. 1, допускает постановку следующих
задач;
1. Найти уравнения вынужденных колебаний тел 1 и 2 в неподвиж-
неподвижной системе отсчета (вторая задача динамики).
2. Определить силы Q, действующие на тела 1 и 2 и вызывающие
их относительное смещение в соответствии с формулой A) (первая за-
задача динамики).
Нетрудно убедиться (используя, например, теорему о движении
центра масс системы или уравнения Лагранжа второго рода), что диф-
дифференциальное уравнение, описывающее абсолютные колебания тела /,
можно записать в виде:
x1(ml + m2)+xl(c1-}-c2)==--S{c2--- m2p2)sinpt B)
или:
x1-\-k2x = h sin pt,
Где k =
1 -\~ тм>2 т>\ -\~ tm>2
Следовательно, вынужденные колебания тела / происходят по закону
x1 = A1sinpt,
где Аг =
Для тела 2 можно записать:
sin pt=A2 sin pt,
где А2=Аг + 8= a-"if2 s D)
1 с + с(т + т)р2
Из дифференциального уравнения B) и формул C) и D) следует,
что резонанс в рассматриваемой системе имеет место при p=k~
— — и — Ф —— , то есть при совпадении частоты изменения
Ш\ -\- Ш2 С2 Ш2
расстояния L с частотой свободных колебаний системы, изображенной
на рис. 2, а, которая получается из исходной объединением тел с задан-
заданным относительным смещением.
При резонансе {p = k) колебания тел 1 и 2 происходят с одинаковы-
ми амплитудами
На рис. 3, а, б показан характер изменения амплитуд колебаний
тел / и 2 в зависимости от частоты возмущения р, при c2m{>C\tn2.
Особенность этих резонансных кривых заключена в том, что при
93

амплитуды вынужденных колебаний тел 1 и 2 не зависят от параметров
системы.
ПрИ p — ^i ^2(ш1)=0,
При р—ы2 |Л2(оз2I = -
Ф .
/77/-f ГП2
'р
сг
E)
У///////,
д)
т2
V/ЛУ//.
^х2
П1П тг т о
V///////Y///////' V/////ty///////,
е)
i// , |WZ\Y ' '/uy
Рис. 2
Частоты o)i и оJ есть частоты свободных колебаний изолированных
систем, изображенных на рис. 2, б и 2, в.
Если с2^1^>с1т2, то ^1<[&<^аJ.
Если с2т1<^с1т2, то
94

Для очень «медленных» колебаний (р-^0) имеем:
Л1@,= ^—5; Л2@) = —5—S. F)
В случае возмущения с достаточно большой частотой амплитуды
колебаний практически не зависят от коэффициентов жесткости сх и с2
и ассимптотически стремятся к величинам:
И,(.)!=—^—S; \A2(oo)\ = ~^—S. G)
т! + т2 тг + т2
При этом амплитуда колебаний центра масс системы стремится к нулю.
То есть при больших частотах р можно считать, что вынужденные коле-
колебания происходят в условиях системы, изображенной на рис. 2, г.
Если частота возмущения р совпадает с какой-нибудь из частот k\t2
собственных колебаний системы, изображенной на рис. 2, д, то, исполь-
используя уравнение частот для этой системы
можно записать
с2 — m2k\i2 Cl2
С\ + С2—
с2 — m2k\i2 Cl2
c2 — ijft\ -
— = Г2" = — — =H'lf2-
При ^=^-^1^=^ a
где [ii и [i2 коэффициенты распределения форм главных колебаний сис-
системы 2, д. Следовательно, при p = k\t2 в системе устанавливаются глав-
главные колебания с ограниченными амплитудами Hi(feit2) I и И2(*1>2)]«
Выражения B) — (8) получены для системы с произвольными значе-
значениями параметров сь с2 и mb m2.
Рассмотрим частный случай, при котором g)i = cd2 = &, что имеет мес-
Сл ТПл
ТО ПрИ —-= - = 7].
с2 тп2
Тогда
—^-=—% (9)
Из (9) следует, что при C\m2 = c2rri\ амплитуды вынужденных коле-
колебаний не зависят от частоты возмущения (изменения расстояния L) и
нет таких р, при которых в системе наступил бы резонанс. В этом слу-
случае амплитуда вынужденных колебаний центра масс тел 1 и 2 равна ну-
нулю, а движения тел 1 и 2 носят характер, «симметричный с весом т]».
Если т]=1, то система становится симметричной в геометрическом смыс-
смысле, а вынужденные колебания в ней строго симметричными.
При o)i = oJ свободные колебания в системе 2, д разделяются на две
группы несвязных колебаний: строго кососимметричные колебания
95

(in = l) и колебания «симметричные с весом ц» ([Л2= — ц)- Частоты -сво-
-свободных колебаний этой системы будут равны:
тг
=y —
Соответствующие системы с одной степенью свободы показаны на
рис. 2, б, в, е.
В симметричной системе (т] = 1):
Ш2 V тп>\ \ m2
Рассмотренный случай равенства частот coi и сог позволяет расши-
расширить понятие «симметрия» динамической системы.
Перейдем далее к определению сил Q, действующих на тела 1 и 2
и вызывающих их относительное смещение по заданному закону A):
Q = гп2х2 -f c2x2 + c12S sin pt.
Откуда, используя D), Q = AQsmpt,
где
j\n-= S.
Откуда
I^qI=
гп\
На рис. 3, в показан характер изменения амплитуды возмущающей
силы в зависимости от частоты возмущения р.
При /7 = 0 ^Q@) = Ki2H -~—)*5 = с5, где с — эквивалентный
V сг + с2 }
коэффициент жесткости последовательно-параллельного включения пру-
пружин С\, С2 И С\2.
Если частота возмущения совпадает с одной из частот wi или со2, то
AQ (Ш1,2) =C\2S, to есть возмущающие силы «расходуются» только на де-
деформацию пружины с коэффициентом жесткости С\2. В случае совпаде-
совпадения частоты р с одной из частот собственных колебаний системы 2, д
(kU2) возмущающая сила оказывается равной нулю, при этом система
совершает свободные колебания с ограниченными амплитудами и для
возбуждения колебаний требуются минимальные энергетические за-
затраты.
Если p = k, то в системе наблюдается резонанс. Для обеспечения
этого режима требуются бесконечно большие силы Q, что естественно не
может обеспечить ни один реальный энергетический источник.
С ростом частоты возмущения в интервале (k2, oo) амплитуды
сил Q неограниченно возрастают. В этом интервале чем выше частота
возмущения, тем «тяжелей» осуществить относительное движение по
закону A).
Для систем с «обобщенной динамической симметрией» (k = 0I = 0J)
амплитуды возмущающих сил Q линейно зависят от квадрата частоты
возмущения:
96

В этом случае отсутствует резонанс и существует лишь одна частота
уу
\
Cl
при которой AQ(n) =
возмущения P
\ i
Наличие резонансов с бесконечно большими амплитудами сил и пе-
перемещений и «антирезонансов» с нулевыми амплитудами объясняется
тем, что не учитываются диссипативные силы, всегда имеющиеся в си-
системе.
В заключение отметим, что рассмотренная система с заданным от-
относительным смещением позволяет при изложении материала в студен-
студенческой аудитории подвергнуть дополнительному обсуждению такие по-
понятия как вид возмущения (силовое, кинематическое), число степеней
свободы, частоты собственных колебаний системы, резонанс, антирезо-
антирезонанс, формы колебаний, симметрия системы и ряд других. Кроме того, на
этом примере хорошо демонстрируется неполнота изучаемой по програм-
программе теории колебаний систем с неограниченным возбуждением.
УДК 531.1 @4)
С. А. ВОЛЬФСОН
О КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ
ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
При аналитическом решении некоторых задач кинематики плоского
движения может быть использован метод комплексных чисел.
Плоскость движения будем рассматривать как комплексную. Тогда,
как известно, радиус-вектор любой точки (рис. 1) может быть выражен
У\
Рис. 2
комплексным числом z = x-\-iy. При решении задач кинематики удобно
пользоваться выражением комплексного числа в виде г=ге**, а при не-
необходимости выделить действительную и мнимую части, переходить к
форме 2=r(cosqp + ismcp).
Скорость и ускорение точки будем находить как первую и вторую
производные от z по времени t.
В качестве 'Примера решим этим методом задачу № 18.12 из сборни-
сборника задач И. В. Мещерского.
Для заданного положения кривошипно-шатунного механизма
(рис. 2) нужно определить угловую скорость со и угловое ускорение е
шатуна АВ, а также скорость и ускорение ползуна В.
Дано: ОЛ = г=20 см, АВ=1= 100 см,
о0=10 сек (const), а=45°, C = 45°
97

Для точки В находим
zB=reia-{- le'l^-$\
Скорость точки В
£? -1Ые'1^-^. A)
dt
Так как скорость направлена по вертикали, то ее проекция на ось
Ох, т. е. действительная часть выражения A) равна нулю,
Re {ira>Qeia — Urn1 <Я-Р >) = О,
или
— гсо0 sin а + /со sinp = О,
откуда
г sin а
sin
B)
Проекция скорости vB на ось Оу выражается мнимой частью*
dzB
dt
или
vBy = rco0 cos а -(-/со cos p. C)
Ускорение точки В
Из условия
находим
— гаJ cos a -f A»2 cos р 4- /£ sin р=О,
откуда
Проекция ускорения на ось Оу
или
= — го)§ sin а — /со2 sin Р+/е cos р. E)
Для заданного положения механизма находим по B), D), C) и
E) численные значения искомых величин
@10=2 сек~\
10
100
е= 100- — — 4= 16 сек.
100
Положительные значения со и 8 ооказывают, что их 'направления со-
соответствуют направлению возрастания угла р.
<оВи = ¥-± B0-10+ 100- 2) = 283 сж/mt,
w^ = ^=-( — 20.100+ 100-16-100-4)= -566
98

Следовательно, уб = 283 см/сек (направлена вверх), wB = 5§§ см/сек2
(направлено вниз).
Метод комплексных чисел удобно применять также при решении не-
некоторых задач, когда исследуется сложное движение точки в плоскос-
плоскости. Поясним это на примере следующей задачи.
По хорде вращающегося диска движется точка М (рис. 3). Уравне-
Уравнение ее относительного движения r\ = 'r\!(t). Уравнение вращения диска
Ф = ф(/). Расстояние от хорды до центра диска равно Ь. Определим аб-
абсолютные скорость и ускорение точ-
точки М.
Напомним, что умножение комп-
комплексного числа на / соответствует по-
повороту вектора на 90° в сторону воз-
возрастания угла ф. Тогда радиус-вектор
точки М
Обозначим -^ = ш, iL3L =
dt d&
Абсолютная скорость точки
dz _
dt
или
dz __
dt
Абсолютное ускорение
Рис. 3
F)
или
— (— #0J __ ^ __ 2^о)) eh 4- (be—
G)
Как скорость, так и ускорение точки получены в виде суммы двух
взаимно перпендикулярных составляющих. Коэффициенты при е1 * и
при iei<p. представляют собой, соответственно, проекции векторов на оси
01 и Оц.
Следовательно:
$= —6(О2 7]S
w=V
Решение задачи получено без применения теоремы сложения ско-
скоростей и теоремы Кориолиса.
Следует отметить, что для вычисления абсолютных скорости и уско-
ускорения точки не было .надобности проектировать составляющие и а оси
координат, так как решение .получено сразу в проекциях.
99

УДК 531.2@4)
Б. А. ДРУЯНОВ, Я. М. ШАПИРО
О ПРЕПОДАВАНИИ СТАТИКИ ВО ВТУЗАХ
Быстрый прогресс науки и техники ставит перед высшей школой
задачу повышения теоретического уровня будущих инженеров. В на-
настоящее время многие вопросы аналитической механики, теории ко-
колебаний, теории устойчивости равновесия и движения не находят доста-
достаточного отражения в программах. Поскольку увеличения лекционного
времени ожидать не приходится, то необходимо совершенствовать мето-
методику преподавания и пересмотреть удельный вес тех частей курса, зна-
значение которых снизилось.
В этой связи статика привлекает внимание в первую очередь. Эври-
Эвристическое значение многих частей курса статики, таких как теория пар
или приведение системы сил к центру, невелико. Эти вопросы не находят
приложений, но занимают много лекционного времени.
Что 'касается так называемых аксиом статики, то очевидно, что та-
такое название неверно. Действительно, равновесие тел есть частный слу-
случай движения, поэтому все законы статики вытекают из законов дина-
динамики и, следовательно, не имеют права называться аксиомами. Однако
этот факт не находит почти никакого отражения в курсе механики,
вследствие чего у студентов складывается представление, что аксиомы
статики имеют самостоятельное значение. Таким образом, затемняются
логические связи статики и динамики и создается впечатление, что ста-
статика является обособленной, независимой частью механики.
Единственными аксиомами, которые лежат в основе кинетики, явля-
являются три закона Ньютона и закон параллелограмма сил (или закон не-
независимости действия сил).
Изложенное дает основание для пересмотра существующей методи-
методики преподавания статики с тем, чтобы привести ее в соответствие с уров-
уровнем подготовки студентов, улучшить логические основы курса механики
и уменьшить затраты лекционного времени.
Ниже излагается один из возможных вариантов построения курса
статики. В основу его положено условие эквивалентности двух произ-
произвольных систем сил, легко выводимое из общих теорем динамики систе-
системы или принципа возможных перемещений. Лектору достаточно упомя-
упомянуть об этом, отложив доказательство до соответствующего раздела
динамики. При соответствующем изложении это условие представляется
студентам совершенно естественным.
Таким образом, отличительными чертами предлагаемого метода яв-
являются, во-первых, отказ от аксиом статики, во-вторых, введение прин-
принципа эквивалентности в качестве основы построения курса.
То, что в основу кладется столь общее положение, определяет де-
дедуктивный характер изложения, который во многом напоминает теорию
скользящих векторов. (См., например, [1, 2].) Очевидно, однако, что раз-
разница между геометрической статикой и теорией скользящих векторов
состоит не в том, какой метод применяется для построения, индуктивный
или дедуктивный, а в конкретной или абстрактной трактовке излагае-
излагаемых понятий. При изложении статики наряду с вопросами эквивалент-
эквивалентности системы сил рассматриваются чисто физические вопросы, такие
как, например, понятие силы, связи и их реакции, третий закон Ньютона
и др. Теория же скользящих векторов излагается абстрактно.
Вопрос о том, какому методу отдать предпочтение, дедуктивному
или индуктивному, должен быть решен в зависимости от конкретных ус-
условий. В настоящее время, когда уровень математической подготовки
студентов вырос, когда студенты знакомятся с физическими основами
статики в курсе физики, представляется обоснованным переход на де-
100

дуктивный метод, поскольку он, с одной стороны, требует меньше лек-
лекционного времени, а с другой позволяет улучшить логические основы
курса.
Ниже дается последовательность изложения курса статики по пред-
предлагаемому методу, с краткими примечаниями.
I. Основные понятия статики. Введение в статику. Предмет статики.
Основные понятия статики: абсолютно твердое тело, материальная точ-
точка, система отсчета, сила. Система сил: нулевая система сил, уравнове-
уравновешенная система сил, эквивалентные системы сил, равнодействующая си-
сила, внешние и внутренние силы. Связи и реакции связей.
Примечания. Некоторые особенности связаны с необходимо-
необходимостью введения понятия нулевой системы сил, т. е. системы, не содержа-
содержащей ни одной силы.
Тело называется находящимся в равновесии или уравновешенным,
если оно находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Существуют и другие случаи равновесия тела.
Уравновешенная система сил — это система сил, приложение кото-
которой к уравновешенному телу не выводит его из состояния равновесия.
II. Математические характеристики силы и системы сил. Проекции
силы на ось и на плоскость. Вектор-момент силы относительно точки.
Момент силы относительно оси и его связь с вектором-моментом силы
относительно точки. Главный вектор системы сил. Графический и анали-
аналитический способы его вычисления. Главный момент системы сил относи-
относительно точки. Аналитический способ его вычисления.
Изменение главного момента при изменении центра моментов. Ин-
Инварианты системы сил. (Главный вектор и скалярное произведение глав-
главного вектора и главного момента). Инвариантность главного момента в
случае, когда главный вектор равен нулю. Теорема: Если главные век-
векторы двух систем сил равны и главные моменты относительно какой-ни-
какой-нибудь точки равны, то моменты относительно произвольной точки также
равны.
Примечания. Сила может быть охарактеризована ее вектором и
вектором-моментом относительно точки. Отсюда легко сделать переход
к главному вектору и главному моменту системы сил, как к величинам,
характеризующим систему сил. При таком изложении студент подготав-
подготавливается к мысли, что действие системы сил на абсолютно твердое тело
■полностью характеризуется ее главным вектором и моментом, что уста-
устанавливается в дальнейшем законом эквивалентности сил.
III. Законы (аксиомы) механики. Закон инерции. Основной закон
динамики. Закон действия и противодействия. Закон параллелограмма
сил. Принцип эквивалентности. Принцип инерции.
Примечания. Первые четыре закона (аксиомы) сохраняют свою
стандартную формулировку. Они все формулируются для материальной
точки.
Принцип эквивалентности: две системы сил эквивалентны тогда и
только тогда, когда их главные векторы и главные моменты относитель-
относительно одной и той же точки равны.
Последняя теорема пункта II устанавливает инвариантность прин-
принципа эквивалентности по отношению к выбору центра моментов.
Принцип инерции: если тело, находящееся в равновесии, не подвер-
подвергается действию сил, то оно сохраняет свое состояние.
Принципы эквивалентности и инерции не являются законами (ак-
(аксиомами) механики. Они вытекают из общих теорем динамики и долж-
должны быть доказаны.
IV. Свойства системы сил в зависимости от значений инвариантов-
Уравновешенная система сил и ее свойства. Уравнения произвольной
системы сил. Случай, когда главный вектор равен нулю, а главный мо-
момент не равен нулю. Пара сил и ее свойства. Случай, когда второй инва-
101

риант равен 'нулю, а главный вектор не равен нулю. Теорема Вариньона.
Общий случай. Динама.
Примечания. Принцип инерции устанавливает основное свой-
свойство нулевой системы сил: она является уравновешенной. Из принципа
эквивалентности вытекает, что все системы с нулевыми главным векто-
вектором и главным моментом являются уравновешенными, что позволяет
сразу написать уравнения произвольной системы сил.
Примером простейшей уравновешенной системы сил является систе-
система двух равных по модулю, противоположно направленных по одной
прямой сил. Простейшей системой сил, для которой -R=0, МФО являет-
является пара сил. Главный момент пары сил не зависит от центра и называет-
называется моментом пары.
Отсюда и из принципа эквивалентности сразу следуют условия
эквивалентности двух пар сил, а также все свойства пары сил. Принцип
эквивалентности устанавливает, что если R = 0, МфОу то система сил
эквивалентна паре сил.
Случай, когда второй инвариант равен нулю, разбивается на два
подслучая. Если ЯфО, М = 0, то, как следует из принципа эквивалент-
эквивалентности, система сил эквивалентна одной силе — равнодействующей,
приложенной к точке О. В случае ИфО, МФО, система сил эквивалент-
эквивалентна паре сил к силе, лежащей в плоскости действия пары. Эта система
сил эквивалентна одной силе, точка приложения которой может быть
легко найдена.
Таким образом, в случае, когда второй инвариант равен нулю, си-
система эквивалентна одной силе.
Наконец, в общем случае, когда оба инварианта не равны нулю, си-
система сил эквивалентна динаме или двум скрещивающимся силам, -при-
-приложенным в произвольных точках.
V. Некоторые частные системы сил. Система сходящихся сил. Плос-
Плоская система сил. Система параллельных сил. Центр параллельных сил.
Эквивалентные преобразования.
Примечания. При рассмотрении каждой системы сил ставятся
две задачи: найти простейшую эквивалентную систему сил и установить
уравнения равновесия. Обе задачи решаются при помощи закона экви-
эквивалентности. Прежде всего выводятся формулы для проекции главного
вектора и главного момента и вычисляются значения инвариантов. Это
определяет простейшую эквивалентную систему сил.
Частным случаем системы сходящихся сил является система двух
сил, приложенных к одной точке. Здесь же может быть доказана теоре-
теорема о сходимости трех непараллельных уравновешенных сил.
Под элементарными преобразованиями системы, как известно, по-
понимаются следующие: присоединение или отбрасывание простейшей
уравновешенной системы сил и замена двух сил, приложенных к одной
точке, их равнодействующей. Вся теория статики может быть построена,
если принять, что элементарные преобразования сохраняют эквивалент-
эквивалентность и положить это утверждение в основу.
Как видно, из закона эквивалентности следуют многие положения,
которые при принятом способе изложения требуют трудоемких доказа-
доказательств. Например, теория пар сил, теорема Вариньона. Исчезает необ-
необходимость изложения теории приведения системы сил к центру.
Следует заметить, что условие эквивалентности двух систем сил уже
использовалось в этом плане в «Курсе теоретической механики»
Г. М. Финкельштейна [3]. Однако Финкельштейн не отказался от обще-
общепринятой системы аксиом, закон эквивалентности выведен на их основе.
Вследствие этого не удается использовать в полной мере преимущества,
получаемые введением закона эквивалентности. Метод Финкельштейна
является, по существу, вариантом обычно применяемого способа из-
изложения.
102

Литература
1. Т. Леви-Чивита и У. Амальди. Курс теоретической механики. Т. 1,
ч. I, 1952.
2. П. Аппель. Теоретическая механика. Т. 1, 1960.
3. Г. М. Финкельштейн. Курс теоретической механики. Учпедгиз, 1959.
УДК 531.01@4)
М. А. АЛЕКСАНДРОВА
ОБ УЧЕБНИКАХ И УЧЕБНЫХ ПОСОБИЯХ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ,
ИЗДАННЫХ В РОССИИ В 1722—1823 ГОДАХ
В статье кратко излагаются результаты проведенного методическо-
методического анализа учебников и учебных пособий по теоретической механике,
вышедших в России в период с 1722 по 1823 г. Рассмотрено 14 книг,
6 из которых написаны русскими авторами [1, 4, 6, 10, 12, 14], 8 — яв-
являются переводами [2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13]. Нижнюю границу выбранного
для изучения периода — 1722 год— определила дата выхода из печати
первого русского учебника по теоретической механике. Верхняя грани-
граница— 1823 г. — начало активной научной деятельности М. В. Остроград-
Остроградского, открывшего .в русской механике новый период — период станов-
становления и развития русской школы механиков-аналитиков.
В приведенном перечне литературы нет работ Леонарда Эйлера
«Механика или 'наука о движении, изложенная аналитически» A736 г.)
и «Теория движения твердых тел» A765 г.); они должны служить пред-
предметом особого исследования.
Первое русское руководство по теоретической механике Скорняко-
ва — Писарева [1] вышло в 1722 г. На 36 страницах руководства изла-
излагаются в весьма лаконичной форме семь «проблем», содержащих описа-
описания простых машин и иллюстрирующие их работу числовые примеры.
Главная ценность книги как практического руководства заключается в
«препорциях вычитания» — соотношениях между силами и расстояния-
расстояниями, которыми следует руководствоваться при конструировании простых
машин. Указанные соотношения устанавливаются на элементарных чи-
числовых примерах, не сопровождаются никакими доказательствами, ни
даже простыми логическими рассуждениями.
Нельзя говорить о методических достоинствах или недостатках кни-
книги, поскольку в то время никакой теории обучения не существовало. Это
руководство (представляет чисто исторический интерес как первая книга
по механике, написанная русским автором.
Книга Г. В. Крафта [2] написана в форме 116 вопросов с ответа-
ответами на них. Более двух третей ее объема составляют определения, описа-
описания устройства, принципов действия и расчетов шести простых машин.
Заслуживают одобрения стремление автора к строгим определениям и
рекомендации в начале изучения машины абстрагироваться от мате-
материала, сил трения. Хотя книга Крафта не учебник механики, но она,
несомненно, оказала положительное влияние на формирование механи-
механического мышления у преподающих и изучающих механику — ив этом
ее значение.
Отдельные вопросы механики затронуты в книге X. Вольфа [3] в
переводе и с предисловием М. В. Ломоносова, где приводится описание
некоторых механических и гидравлических опытов и выводы из них.
Указанные три руководства не могли удовлетворить запросов выс-
высших учебных заведений, возникавших в те годы.
В 1764 году преподаватель Артиллерийского и Инженерного Шля-
хетного Кадетского корпуса Яков Павлович Козельский издал «Механи-
103

ческие предложения» — учебник по механике для обучающихся в кадет-
кадетском корпусе. Из книг по механике, изданных -в России, Козельскому
известно только «Краткое руководство...» [2]. Он указывает, что не пре-
претендует на оригинальность своей книги; основное содержание ее—со-
ее—собранные из других авторов (их около 20) «нужнейшие правила».
Утверждая механику как физическую науку, автор считает основой
изучения ее опыт, из коего должны выводиться все предложения. Осу-
Осуждая авторов, склоняющихся либо к «теоретизированию», либо к сугу-
сугубому практицизму, Козельский намеревается следовать третьему мето-
методу, где сочетались бы теория и практика.
Содержание всех разделов книги, кроме теории простых машин, за-
занимающих четверть ее объема, излагается русским автором впервые,
что позволяет высоко оценить труд Козельского.
В учебнике четко разделены вопросы равновесия и движения; при-
причем рассмотрению последнего уделено больше половины объема книги.
Отдельным 'вопросам механики посвящена IV глава 1 тома сочине-
сочинения X. Вольфа [5]. Изложение здесь ведется на самом элементарном
уровне, без формул, иллюстрируется небольшим количеством числовых
примеров. Сравнительно с учебником Козельского книга Вольфа ничего
нового по механике сообщить читателю не могла. Она интересна с дру-
другой, чисто методической стороны.
«Никто твердо и 'Право рассуждать не может о вещах, не учася
прилежно математике», — заявляет автор и считает необходимым со-
соблюдать при ее изучении определенный порядок, именно тот, который
«способствует к изощрению человеческого разума», а не памяти.
В разделе книги «О методе математическом краткое рассуждение»
автор излагает свое понимание «метода математического» как «поряд-
«порядка, который математики употребляют <во всех своих догматах». Далее
идет толкование понятий «определение», «аксиома», «теорема», «пред-
«предложение», «присовокупление», «примечание», на такие пункты разбива-
разбивает автор весь излагаемый материал, и такому же порядку изложения
следуют другие авторы, например Козельский, который был знаком с
трудами Вольфа до их перевода.
Такова же структура следующего по времени опубликования курса
механики русского академика — ученика Эйлера — Семена Кириллови-
Кирилловича Котельникова. Начинается книга с формулировок 18 определений
и 5 аксиом. Но они еще не являются тем фундаментом, на котором
строилось бы все изложение: все определения и аксиомы связаны с во-
вопросами движения, а ему уделено в книге всего 5 страниц.
Почти весь объем книги занимает изложение статики, но это совсем
не те проблемы, которые рассматривались его предшественниками.
Здесь разбираются вопросы статики, либо совсем не трактовавшиеся в
предыдущих курсах, либо излагавшиеся там в значительно меньшем
объеме; появились совсем новые главы, содержащие начала сопротив-
сопротивления материалов.
Котельников владеет дифференциальным и интегральным исчисле-
исчислением; все примеры решаются им строго, в конце каждого анализируют-
анализируются частные случаи, соответствующие различным значениям входящих в
ответ параметров. Несомненна широкая эрудиция автора, знакомство
с классиками механики.
На манере изложения, как уже указывалось, сказалось влияние
Вольфа, предложенный им метод Котельников использовал наилучшим
образом. После «определений» формулируются и доказываются «поло-
«положения»— это основные в каждом разделе теоремы, они сопровождают-
сопровождаются «примечаниями» и «присовокуплениями», затем ставятся и решаются
«вопросы» — это задачи, решение которых опирается на только что
доказанные теоремы и получается в квадратурах, после этого в «приме-
«примерах» задача еще более конкретизируется, решение доводится до алге-
104

браической формулы или числа и почти во всех примерах анализирует-
анализируется. Такое построение курса — большое методическое достоинство его.
В Предисловии Котельников подчеркивает свое стремление сделать
изложение достаточно кратким, считая эту краткость стимулом к само-
самостоятельному размышлению читателя. Он 'намеревается изложить основ-
основные истины, знание которых позволит читателю вывести частные заклю-
заключения и правила, читать книги других авторов, решать новые задачи
«своим собственным умом и умствованием». Эту большую методическую
программу Котельников, бесспорно, выполнил в своем труде.
В другой книге Крафта [7], являющейся «руководством к фисике»,
более 200 страниц посвящено механике. Большую часть их занимает
изложение вопросов, связанных с движением; остальное—описание ма-
машин, теория центра тяжести и описание свойств тел, больше физических,
чем механических.
Эта книга — книга по физике, поэтому естественен уклон автора в
сторону физичности, в книге описывается свыше 50 опытов. Курс
лишен математических формул, изложение носит качественный харак-
характер, задач и примеров нет.
'Книга Крафта не могла служить учебником, но явилась интересным
пособием, убедительно толкующим физическую сущность некоторых
важных вопросов механики.
Следующим по времени опубликования было «Руководство к меха-
механике» [8], переработанное и переведенное с немецкого языка М. Е. Го-
Головиным — одним из талантливых учеников Эйлера, крупным деятелем
просвещения того времени. Появление книги было вызвано введением
новой .методы обучения, при котором предполагалось одновременное
обучение большого числа учащихся в общественных училищах.
Автор подробно излагает методику работы с его книгой, рекомен-
рекомендует -иметь модели описываемых -в книге машин и водить учеников в те
места, где работают изучаемые машины. Значительную часть объема
книги занимает разбор устройства и работы машин. Вопросы движе-
движения — равномерного и равнопеременного — рассматриваются весьма
кратко. Изложение материала в Руководстве ©едется (посредством опре-
определений, описаний, в некоторых случаях даются формулы, численные
•примеры. Выводов, доказательств <нет.
Вопросы движения и действия сил, изложенные в первой главе, не
развиваются и не прилагаются в основной, практической, части книги..
Руководство предназначено для учеников общеобразовательных четы-
четырехклассных школ; оно вполне соответствует своему назначению элемен-
элементарного практического пособия.
Книга «Лекции о разных предметах...» [9] состоит из пяти лекций
Фергюсона и шестой, написанной ее переводчиком Л. Сабакиньш. Она
не представляет собой систематического курса механики. Применяемый
•математический аппарат элементарен, формулы отсутствуют совсем,
примеры носят в основном качественный характер. Следуя утверждению
опыта в качестве основного средства познания, Фергюсон описывает
большое количество экспериментов. Особенно интересны описание и ри-
рисунки «станка или вертящейся машины, выдуманной для показывания
такового рода опытов», а также 12 производимых на этой машине
опытов.
Желая создать учебник для русских механиков-производственников
переводчик добавил к книге шестую лекцию о паровых «огненных» ма-
машинах— вопрос, имевший \в то время первостепенную важность.
В 1803 г. выходят «Начальные основания механики»—III часть
«Вышней теории морского искусства» Платона Гамалеи [10].
Отмечая в «Предуведомлении», что до сего времени подобных со-
сочинений на русском языке не было, автор утверждает необходимость
для морского офицера изучения механики. Там же автор подробно и
8—365 105

убедительно развивает мысль о том, что «теория и практика должны
быть неразлучны», глубоко диалектически понимая их связь.
Важно отметить высказывание, формулирующее основную методи-
методическую установку автора, характеризующее его как заботливого педаго-
педагога; при написании книги он «... откинул все то, что слишком затрудни-
затруднительно, не весьма любопытно, и не нужно к полному уразумению сле-
следующей главнейшей четвертой части», озаглавленной «Сокращенная
теория морского искусства».
Введение, статика и динамика занимают 340 страниц, более поло-
половины из них посвящены динамике. Изложение основных понятий и за-
законов механики выделено в самостоятельный раздел.
Сколь большое значение Гамалея придавал аксиомам, видно из его
«Речи о пауках вообще, о пользе их и о способе упражняться в оных»,
произнесенной им 3 декабря 1806 г. на выпуске офицеров Морского
Кадетского Корпуса: «Все рассуждения сих наук (математики и меха-
механики.— М. А.) основаны на весьма немногих, простых очевидных исти-
истинах, называемых аксиомами, при изречении коих всякий тотчас их пони-
понимает и в них удостоверяется».
Основных законов у Гамалеи три: «закон грубости тел», «закон
равновесия» и «закон сложного движения». Изложение законов Гама-
Гамалея заключает словами: «На сих трех законах... основано все учение
механики, которая есть наука о равновесии и движении тел».
Сравнивая книгу с учебниками, вышедшими ранее, легко убедиться,
что она выше их и по научному уровню, и по объему материала, и по
методике и качеству изложения.
Основными источниками, из которых Гамалея черпал содержание
своего курса, были, очевидно, курсы механики Боссю и Франкёра. Не-
Несомненно, что он привлекал также классиков механики. Например, гл.
VIII «О движении центров тяжести» является переложением главы II
части II трактата Даламбера «Динамика».
Статика излагается, в основном, геометрическим методом. В дина-
динамике широко применяется дифференциальное и интегральное исчисле-
исчисление. Автор умело пользуется формулой и хорошо анализирует ее. Изло-
Изложение теоретического материала иллюстрируется примерами, носящими
подчеркнуто «морской» характер, или имеющими отношение к наукам,
изучаемым будущими морскими офицерами. Судя по высказываниям
Гамалеи о написании других книг («Опыт морской практики») можно
представить, вдо автор, с одной стороны, пытается предусмотреть все,
что понадобится будущему морскому специалисту по данному вопросу,
с другой устанавливает минимум сведений, необходимых учащемуся для
усвоения им последующих специальных разделов. Такой принцип «не-
«необходимого и достаточного» объема материала кажется нам весьма ра-
разумным при написании всякого учебника.
По нашему мнению, достоинства книги Гамалеи столь велики, что
«Начальные основания механики» могут быть названы первым серьез-
серьезным курсом теоретической механики русского автора.
В 1806 г. выходят «Основания механики» К- Боссю в переводе
В. Висковатова [11], состоящие из «Оснований статики» и «Оснований
динамики»; переводчик выделяет в качестве третьей части различные
прибавления, сделанные им к двум первым разделам; последняя зани-
занимает около 100 страниц (из 540 страниц общего объема книги). Кроме
этого, основной текст Боссю сопровождается подстрочными примеча-
примечаниями, написанными переводчиком, по объему часто перекрывающими
текст автора.
В «Предуведомлении» переводчик пишет, что все три части книги
сопроводил «различными примечаниями и прибавлениями: первые пред-
предметом имеют или пояснение автором предлагаемых теорий, или некото-
некоторое распространение оных; другие же заключают в себе различные
106

теории, коих автор или совсем >не предлагал, или хотя и предлагал, но
отличным образом».
Книга Боосю охватывает большое количество материала, но ее ма-
математический аппарат весьма элементарен. Поэтому (правильнее было бы
назвать переводника соавтором; его изложение — значительно строже,
проведено на неизменно более высоком математическом уровне, ссылки
на Ньютона, Безу, Даламбера свидетельствуют о его широкой эрудиции.
Следующим по времени выхода был учебник С. Е. Гурьева [12].
В книге 350 страниц, из которых почти треть занимает Введение, на
остальных излагается статика. «Введение, содержащее начала, на коих
наука сия основана...» заключается словами: «вся наука (механика твер-
твердых и жидких тел. — М. А.) основана на началах, здесь нами изъяснен-
изъясненных, и есть не что иное, как состав попеременных следствий, из них из-
извлеченных». К сожалению курс обрывается -на статике, и мы не имеем
возможности проследить, каким образом -в курсе реализована эта мысль
автора. Смерть помешала Гурьеву записать запланированный им пол-
полный курс из четырех книг. Книга содержит много новых для учебников
того времени вопросов, в строгом, интересном изложении. Приведено
большое количество примеров. Изложение «ведется на высоком матема-
математическом уровне.
«Основания механики» Франкёра [13] является наиболее полным
курсом механики сравнительно с описанными выше. 442 страницы текста
делятся поровну между статикой и динамикой. В разделе «Статика»
изложение автора весьма близко по объему и методике к изложению
тех же разделов в современных учебниках. Большое количество добав-
добавлений сделано переводчиком. Весьма содержателен и интересно изложен
раздел «Динамика».
Курс Франкёра, столь полный по объему и насыщенный математи-
математикой, привлек внимание преподавателей Университета. Для технических
учебных заведений в нем недоставало описания практических прило-
приложений.
■В известном смысле дополнением к курсу Франкёра явились
«Записки о приложении начал механики» Д. С. Чижова [14].
Отметим в заключение некоторые особенности рассмотренных кур-
курсов русских авторов, проведя некоторое сравнение их с переведенными
курсами и пособиями.
Содержание русских учебников расширилось от элементарнейшего
изложения простых машин [1] до полного курса механики [10] и строго
и весьма полно изложенной статики [12].
Существенно подчеркнуть, что у русских авторов того времени за-
заметна тенденция к созданию значительных, полных курсов механики.
Большинство же переведенных книг представляет собой скорее учебные
пособия, полными курсами являются только [11] и [13], ценность кото-
которых значительно увеличена усилиями наших переводчиков.
Рассматриваемое столетие характерно стремлением авторов к по-
построению систем аксиом механики и вообще интересом к вопросам мето-
методологии этой науки, исследованию ее основ. В русских книгах уже Ко-
Котельников делает попытку сформулировать основные определения и ак-
аксиомы. Гамалея [10] и особенно Гурьев [12] придавали, как было сказано,
чрезвычайно большое значение аксиоматике.
Особенно ценно стремление русских авторов внедрить в свои учеб-
учебники высшую математику. Начиная с книги Котельникова, изложение ве-
ведется на самом высоком математическом уровне. В переводных книгах,
исключая курс Франкёра, изложение ведется на уровне арифметики и
элементарной алгебры.
Курсы русских авторов имеют тенденцию к специализации — они
предназначены для учащихся определенных учебных заведений; этого
нельзя сказать о переводных пособиях.
8* 107

Авторы русских курсов механики были крупнейшими педагогами
своего времени. В процессе преподавания у них, естественно, выработа-
выработались определенные приемы изложения различных вопросов механики,
которые они перенесли в свои учебники. О некоторых таких «стихийных»
методических находках мы упоминали выше. Но для русских авторов ха-
характерно другое: они ставят вопрос о методике преподавания механики,
формулируют так или иначе определенные методические задачи и реша-
решают их.
Выше говорилось о методе, которым пользовался в своем курсе Ко-
Козельский. Правда, говоря о методе, он скорее, в нашем понимании, гово-
говорит о методологии механики, но в его Предисловии есть указания и на
то, каким образом он намеревается излагать механику — это следование
предложенному Вольфом «математическому методу», толкование кото-
которого Козельский пытается дополнить, расширить и применить в своей
книге. Но он не смог придать ему той логической силы и убедительно-
убедительности, как это сделал Котельников.
Строгую методическую направленность дал своему «Руководству»
Головин; она определялась, с одной стороны, целями новой методы, пре-
преследующей общественное воспитание, с другой — чисто .практическими
требованиями.
Большое значение тому как излагается материал придавал Гамалея,
и приложил много усилий, чтобы сделать это наилучшим образом.
Крупнейший педагог С. Е. Гурьев в «Основаниях механики» не фор-
формулировал свою методическую программу. Но из других произведений
мы знакомимся с его методическими установками; узнаем о том, что са-
самым важным при изложении математических наук Гурьев считает «при-
«приведение их к общим правилам», таким, что всякая математическая нау-
наука, «не выходя из пределов общего правила, вся в частные его случаи
обращалась». Эта основная методическая установка определила особую
роль аксиом и Введения в его Курс
Очень хорошо свое «методическое кредо» Гурьев излагает в Пред-
Предуведомлении к «Основам дифференциального исчисления»: 1) изложение
должно быть так «строго и просто», чтобы его понимали даже мало под-
подготовленные читатели, 2) сведения, даваемые в книге, должны быть
«сообразны... с нынешним наук состоянием», и 3) они должны быть рас-
расположены «в самом естественном порядке» и «могли служить к успешно-
успешному по ним преподаванию в лучших училищных заведениях».
«Таковы правила, самому себе мною предписанные», — пишет Гурьев
и неуклонно следует им при написании всех своих учебников, в том чис-
числе «Оснований механики».
Отметим, что в переведенных.- пособиях и курсах мы не нашли по-
подобного рода методических задач.
Литература
1. Г. Г. Скорняков — Писарев. Наука статическая или механика, 1722.
2. Г. В. К р а ф т. Краткое руководство к познанию простых и сложных машин,
сочиненное для употребления российского юношества. Переведено с немецкого языка.
Спб., 1738.
3-. X. Вольф. Вольфианская экспериментальная физика, с немецкого подлин-
подлинника на латинском языке сокращенная, с которого на российский язык перевел Ми-
хайло Ломоносов, Академии Наук член и Химии профессор. Спб., 1746.
4. Я. П. Козельский. Механические предложения для употребления обу-
обучающегося при Артиллерийском и Инженерном Шляхетном Кадетском корпусе юно-
юношества... Спб., 1787 A-е издание— 1764 г.).
5. X. Вольф. Сокращение первых оснований математики, сочиненное в пользу
учащегося юношества... (Перевел с латинского С. К. Котельников.) Т. 1—2. Спб.,
1770—1771.
6. С. К. Котельников. Книга, содержащая в себе учение о равновесии и
движении тел... Спб., 1774.
1Q8

7. Г. В. К р а ф т. Начертание открытого прохождения опытные физики, пре-
преподаваемые при Санктлетербургской Академии Наук в пользу ее любителей. Переведено
с французския рукописи академика Крафта. Ч. I. Спб., 1779, 1 т. Часть первая, содер-
содержащая в себе всеобщие естественных тел свойства и механику твердых тел.
8. Руководство к механике, издано для народных училищ... Спб., 1785.
9. Д. Ф е р г ю с о н. Лекции о разных предметах, касающихся до механики, гид-
гидравлики и гидростатики... с Английского на Российский язык переведенные Тверским
Губернским механиком Львом Сабакиным с присовокуплением к оным собственной его
лекции о огненных машинах. Спб., 1787.
10. П. Я- Гамалея. Вышняя теория морского искусства. Ч. 1—4. Спб., 1801—
1804, ч. 3, содержащая начальные основания механики, 1803.
11. К. Б о сею. Основания механики. С французского языка переложил и по-
пополнил Василий Висковатов. Спб., 1806.
12. С. Е. Г у р ь е в. Основания механики. Ч. 1, содержащая теорию оной... Спб.,
1815.
13. Л. Б. Фр анкер. Основания механики. Ч. 1. Перевод с французского.
Харьков, 1816.
14. Д. С. Ч и ж о в. Записки о приложении начал механики к исчислению дей-
действия некоторых из машин, наиболее употребительных, служащие дополнением к кур-
курсу механики... Спб., 1823.
УДК 531@1)
я. я. митягин
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБОРОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИНАМИКИ
КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
В настоящее время возможности оснащения кафедр теоретической
механики учебно-лабораторным оборудованием и наглядными пособия-
пособиями существенно возросли. Соответственно повышается потребность в ме-
методических пособиях и рекомендациях по применению этого оборудова-
оборудования в учебном процессе. Общие методические указания принципиального
характера содержатся в отдельных статьях И. В. Мещерского, А. Н. Кры-
Крылова [1], [2], [3]. Существенную помощь в практической работе преподава-
преподавателя по методике применения кинематических моделей может оказать
пособие Ф. М. Куровского и А. М. Пивоварова [4]. Таких пособий по ме-
методике применения динамических приборов, к сожалению, нет.
В данной статье ставится цель на примере двух моделей показать
возможности и методику применения приборов по теории колебаний. Ма-
Материалом послужили коллекции моделей и приборов кабинетов теорети-
теоретической механики МВТУ им. Н. Э. Баумана и МИНХиГП им. акад.
И. М. Губкина.
«Типовыми перечнями учебно-лаборйторного оборудования и нагляд-
наглядных пособий для кафедр теоретической механики технических вузов» пре-
предусматривается одиннадцать приборов, опытные образцы которых вы-
выполнены по разработкам и чертежам СКВ MB и ССО СССР [5]. Часть
из них выпускается серийно. Анализ работы образцов показывает, что
этот комплект позволяет демонстрировать основные особенности и
опытно определять характеристики колебательного движения, изучаемого
как в объеме основного курса, так и в теории малых колебаний систем
с одной и двумя степенями свободы. Закономерности некоторых явлений
могут быть проверены экспериментально.
Предполагается, что овладение теорией колебаний основывается на
прочном усвоении следующих элементов: 1) понятия (жесткость связи,
возмущающая сила и т. д.); 2) характеристики (частота, амплитуда,
фаза и пр.); 3) явления (резонанс, биения, динамическое гашение и
т. д.); 4) закономерности явлений.
На лекциях, как правило, лишь демонстрируются явления и их за-
закономерности с целью доказательства истинности результатов, получае-
109

мых аналитически. На практических занятиях, кроме того, приооры ис-
используются для углубления усвоения понятий и характеристик движения.
Привлечение прибора для постановки и решения задач преследует та-
такие цели: ускорить понимание физической стороны постановки задачи;
облегчить переход от физической постановки задачи к математической
(составление дифференциальных уравнений движения); подтвердить
справедливость полученного результата при ретроспективном анализе
задачи.
Задачи, описанные в статье, составлены автором с учетом возможно-
возможностей применения приборов и в предположении, что теория колебаний рас-
рассматривается после изучения общих теорем динамики и аналитической
механики (такой порядок изложения 'курса принят в упомянутых вузах).
Рассмотрим методику при-
,;;V" ~-..~- ,.^~,.~-, менения приборов в различных
формах учебной работы.
Прибор для демонстрации
вынужденных колебаний груза
на конце упругой балки (рис.
1). Груз 1 жестко закреплен <на
конце упругой бал.ки 2, кото-
которая вторым концом закреп-
закрепляется зажимным винтом 3 во
фланце 4. Фланец при включе-
включении электродвигателя соверша-
совершает горизонтальные гармониче-
гармонические колебания, частота кото-
которых регулируется реостатом 5
и измеряется по тахометру 6.
Амплитуда колебаний фланца
определяется по шкале 7. При-
Прибор укомплектован двумя бал-
балками. Технические данные: 1\ =
= 0,2 м9 /2 = 0,15 м — длины ба-
балок; га = 0,1 кг— масса грузов;
&i = 2,4 гц, &2 = 4 гц— собствен-
собственные частоты колебаний балок с грузами на концах; р= @,5-^4,5) гц —
частота колебаний фланца; а = @^-15) • 10~3 м — амплитуда колебаний
фланца.
1. На лекциях, посвященных вынужденным колебаниям материаль-
материальной точки без учета сопротивления среды, в небольших аудиториях (вви-
(ввиду незначительных размеров балок) прибор позволяет продемонстриро-
продемонстрировать: явление и условие резонанса; синфазность колебаний груза и флан-
фланца при p<k и провофазность при p>k.
2. На практических занятиях при изучении свободных колебаний
сначала имеет смысл рассмотреть колебания груза на конце вертикаль-
вертикально закрепленной балки и показать: способы возбуждения свободных
колебаний; смещение груза в произвольный момент времени (текущую
координату точки); определение коэффициента жесткости балки по вели-
величине упругой силы, измеряемой пружинным динамометром, и величине
статического смещения груза. Полезно отметить, что вычисленный таким
способом- коэффициент жесткости учитывает не только жесткость балки
на изгиб, но и вид закрепления и нагрузки. Это можно показать, нагру-
нагружая балку упругой силой динамометра, действующей, например, в сере-
середине балки, а свободный ее конец удерживая при этом рукой.
Задача 1. Исследовать свободные колебания груза на конце верти-
вертикально расположенной упругой балки, пренебрегая массой балки. Из-
Известны: масса груза, жесткость балки, начальные условия.
Рис. 1
ПО

Решение выполняется сначала в общем виде, затем подсчитываются
амплитуда, частота, период и начальная фаза колебаний груза при задан-
заданных условиях. Качественный анализ решения сопровождается демон-
демонстрациями: изохронности свободных колебаний; влияния жесткости бал-
балки на частоту свободных колебаний (путем сравнения частот колебаний
груза на двух балках различной жесткости); зависимостей амплитуды и
начальной фазы колебаний от начальных условий.
После этого целесообразно рассмотреть колебания груза на конце
консоли (закрепить балку в горизонтальном положении основанием в
штативе) и показать: положение •ненагруженной консоли; статическое
равновесие груза на конце консоли; смещение груза в произвольный мо-
момент времени; метод и количественное определение жесткости консоли по
величине статической деформации и весу груза.
Задача 2. Исследовать колебания груза на конце консольной балки.
Данные первой задачи.
гупр
в)
V
Рис. 2
Сопоставляя решения этих задач, приходим к выводу о том, что дей-
действие постоянной силы лишь смещает центр колебаний, не влияя на ха-
характеристики движения (этот вывод будет полезен при решении задач
о колебаниях с учетом, например, сухого трения). Вывод подкрепляется
наблюдениями. Для самостоятельного решения предлагаются задачи ти-
типа № 32.4, 32.5, 32.6 [6].
3. На практических занятиях при изучении вынужденных колебаний
точки без учета сопротивления среды демонстрируется возбуждение вы-
вынужденных колебаний действием гармонической силы не на само тело
(как это обычно рассматривается при первоначальной постановке задачи
о вынужденных колебаниях на лекции), а на упругую связь.
Задача 3. Упругая балка с грузом на конце закреплена во фланце,
совершающем горизонтальные колебания согласно уравнению х\ =
= a sin pt. Исследовать вынужденные колебания груза в неподвижной
системе координат. Известны: масса груза, жесткость балки, амплитуда
и частота колебаний фланца.
Составление дифференциального уравнения движения иллюстрирует-
иллюстрируется рис. 2, а. Решение получают в виде:
X2i6c=z~rZ ~ sin PU
где k — собственная частота колебаний груза. Анализ решения сопро-
сопровождается наблюдениями: явления и условия резонанса; фазовых соот-
соотношений колебаний груза и фланца при p<k и p>k\ «абсолютного»
покоя груза при p^>k.B аудитории, рассчитанной на одну учебную груп-
группу, эти опыты демонстрируются достаточно наглядно. Для демонстрации
покоя груза в неподвижной системе координат следует взять балку боль-
большей длины при максимальной частоте колебаний фланца. На рис. 2, б
111

изображены крайние положения балки и груза в случае «абсолютного»
покоя.
Задача 4. В условиях предыдущей задачи исследовать вынужденные
колебания груза относительно фланца.
Составление уравнения движения иллюстрируют рисунки 2, в. Реше-
Решение получают в виде:
ар* . ,
На рис. 2, г изображены крайние положения груза и балки, наблю-
наблюдаемые с помощью прибора при p<^k. Колебания груза в неподвижной
системе координат можно толковать как результат наложения относи-
относительных колебаний на колебания фланца, поэтому имеет смысл показать
получение уравнения абсолютных колебаний по формуле преобразования
координат:
*абс=*1 +*отн = я sin Pt+ k2a^2p2 sin ^ = _^_ sin pt.
На рис. 2,<3ие изображены крайние положения груза на конце бал-
балки при p<k и p>ky также наблюдаемые с помощью прибора.
Особое внимание следует уделить демонстрации резонансного мето-
метода определения частот колебаний. Груз на конце балки подбором часто*
ты возмущающих колебаний (с помощью реостата) вводится в условие
резонанса, наблюдаемого визуально, и по показаниям тахометра опреде-
определяется собственная частота колебаний груза; результат сравнивается с
собственной частотой, вычисленной без учета массы балки по опытно
определенной жесткости при решении первой и второй задач. Опытно оп-
определенную жесткость можно сравнивать с величиной жесткости, вычис-
вычисленной по экспериментальной частоте колебаний.
Показать применение резонансного метода для определения частот
возмущающих колебаний лучше с помощью известного прибора — резо-
резонатора Фрама (рис. 3).
4. Во внеаудиторной работе (в студенческом кружке или при инди-
индивидуальной работе с отличниками) имеет смысл поставить такие задачи:
Задача 5. Исследовать влияние формы поперечного сечения балки
на частоту свободных колебаний груза.
Задача 6. Исследовать влияние массы балки на собственную часто-
частоту колебаний груза.
Проведение этих исследований требует привлечения знаний из курса
сопротивления материалов, что способствует систематичности обучения
и, кроме того, показывает студентам пример инженерной задачи.
Прибор позволяет полученные результаты опытно проверить. Так,
например, в последней задаче основная частота свободных колебаний
балки с грузом, найденная по приближенному методу Рэлея [7], подсчи-
тывается по формуле:
-
/'■
где k=\/ ——частота свободных колебаний груза без учета массы
балки, гп\ — масса груза, m2 — масса балки, с — коэффициент жесткости
балки, g — ускорение свободного падения.
Балки и груз для постановки демонстрации подбираются такими,,
чтобы показать, что резонанс наступает не при p = ky а при p = kl.
Задача 7. Исследовать свободные колебания груза на конце тонкого
стержня постоянного круглого сечения, закрепленного вертикально ниж-
нижним концом.
112

Задача интересна тем, что в этой системе с двумя степенями свободы
корни частотного уравнения равны, и формы главных колебаний совпа-
совпадают. Эта задача может быть предложена и для аудиторного решения
при рассмотрении малых колебаний систем с двумя степенями свободы
(при объеме курса не менее 180 часов).
При изучении малых колебаний систем около положения устойчиво-
устойчивого равновесия первым и весьма важным вопросом является вопрос о кри-
критериях устойчивости равновесия систем. В связи с этим рассмотрим при-
применение маятников с пружинами (рис. 4).
Груз 1 фиксируется на стержне 2 зажимным винтом 3. Стержень по-
посредством цилиндрического подшипника 4 подвешен к съемной стойке 5,
которая может быть закреплена любым из своих концов в основании в.
Передвижной кронштейн 7, несущий 'пружины S, может перемещаться
Рис. 3
Рис. 4
вдоль стойки и фиксируется на ней винтом 9. Положение вторых кон-
концов пружин закрепляется на стержне винтом 10. Для установления рав-
равномерного натяжения пружин в концах кронштейна имеются резьбовые
втулки 11. В вертикальное положение маятник устанавливается по сфе-
сферическому уровню 12 с помощью винтовых опор 13. Технические данные:
т=\ кг — масса груза маятника, с=66 н/м — жесткость пружин, рас-
расстояние между рисками на стойке — 5 см.
1. На лекциях с помощью прибора можно демонстрировать состоя-
состояние устойчивого и неустойчивого равновесия при введении математиче-
математического определения устойчивости статического равновесия и критериев
определения устойчивости.
2. На практических занятиях при изучении малых колебаний систем
с одной степенью свободы целесообразно поставить задачу: вертикаль-
вертикальный стержень подвешен в основании шарнирно и на расстоянии а от оси
подвеса зажат между горизонтальными пружинами жесткости с. На вы-
высоте I от оси подвеса на стержне закреплен груз массы т. Исследовать
устойчивость вертикального положения такого маятника.
Потенциальная энергия маятника при отклонении его на малый угол
Ф от вертикального положения имеет выражение (без учета веса
стержня):
П = mgl (cos у — l)-f c<z2sin2cp.
Из анализа этого выражения следует, что при 2са2—mgl>0 равно-
равновесие устойчиво на основании теоремы Лагранжа — Дирихле; при
113

2ca2—mg/<0 равновесие неустойчиво согласно первой теореме Ляпуно-
Ляпунова, поскольку отсутствие минимума потенциальной энергии определилось
членами второго порядка малости (sin2 ф). Для решения вопроса об ус-
устойчивости равновесия при 2ca2—mgl = 0 выражение потенциальной
энергии разлагают в ряд Маклорена, ограничиваясь членами четвертого
порядка малости:
8
Так как П/<р=о='Птах, то на основании второй теоремы Ляпунова
равновесие маятника при 2са2—mgl=0 также неустойчиво.
Решение сопровождается демонстрационным экспериментом. Фикси-
Фиксируют длину маятника и вычисляют # = 1/ —~ (при подсчете величины
тис могут быть взяты из паспортных данных или предварительно оп-
определены опытно). Наблюдают: при а^>Л/ —^-— устойчивое равнове-
У 2с
сие, определенное по теореме Лагранжа — Дирихле; приа<С1/ —
неустойчивость равновесия, установлена на основании теорем Ляпунова.
Критерии могут быть проверены при другом значении длины маятника.
Задача 8. В условиях предыдущей задачи исследовать устойчивость
маятника с учетом массы стержня.
Эти задачи и связанные с ними наблюдения ставятся при объеме
программы не менее 180 часов. При меньшем объеме программы весьма
целесообразно данные задачи рассмотреть во внеаудиторной работе.
Далее прибор используется при постановке задач типа № 53.3, 53.4
У. наблюдений влияния длины маятника и расстояния точки закрепления
пружин от оси привеса на частоту колебаний. Возможность изменения
размеров аи/ позволяет демонстрировать изменение частоты в широких
пределах и опытно проверять полученные результаты решения.
3. Прибор может быть использован также при проведении практи-
практических занятий, посвященных свободным колебаниям материальной точ-
точки. Здесь ставятся задачи исследования свободных колебаний маятника
как при положении груза ниже оси привеса, так и выше. В последней за-
задаче дифференциальное уравнение движения, составленное, например,
с помощью теоремы об изменении момента количества движения точки
относительно оси имеет вид (при малых углах отклонения):
Bca
ml2
О возникновении колебаний (следовательно, об устойчивости равно-
равновесия) судят по знаку коэффициента при координате. Этот результат
позже сравнивается с результатами полного исследования устойчивости
равновесия. Такое сопоставление различных методов исследования одних
и тех же задач при обучении весьма полезно.
В заключение несколько слов о конструкциях приборов. Как показа-
показано выше, рассмотренные приборы позволяют демонстрировать и ставить
довольно большой круг задач. Это можно сказать и о других приборах
для демонстрации колебаний. Вместе с тем возможности использования
приборов могут быть расширены (без больших дополнительных затрат
при изготовлении) во-первых, путем комплектования добавочными де-
деталями, во-вторых, если конструкции приборов будут допускать комп-
комплексное их использование. Например, к прибору для демонстрации вы-
вынужденных колебаний груза на конце упругой балки явно недостает
набора балок различных форм поперечных сечений, набора съемных
114

грузов различных масс. Возможность крепления во фланце этого прибо-
прибора стойки маятников с пружинами позволила бы рассмотреть ряд инте-
интересных задач, связанных с использованием виброзаписывающих при-
приборов.
Литература
1. Мещерский И. В. Преподавание механики и механические коллекции
в некоторых высших учебных заведениях Италии, Франции, Швейцарии и Германии.
Спб., 1894.
2. Мещерский И. В. Кабинет теоретической механики С.-Петербургского по-
политехнического института Петра Великого, Спб., 1911.
3. Крылов А. Н. Мысли и материалы о преподавании механики в высших
технических учебных заведениях СССР, АН СССР, М. — Л., 1943.
4. Куровский Ф. М., Пивоваров А. М. Модели в курсе теоретической
механики. МЭИ, 1960.
5. Типовые перечни учебно-лабораторного оборудования и наглядных пособий
для кафедр теоретической механики технических вузов, MB и ССО СССР, 1966.
6. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. «Наука»,
1970.
7. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Физматгиз, 1959.
ИНФОРМАЦИОННОЕ СООБЩЕНИЕ О РАБОТЕ VI ПЛЕНУМА
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕТА
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В г. Душанбе 3—5 июня 1971 г. проходил очередной VI пленум Науч-
Научно-методического совета по теоретической механике при MB и ССО СССР
совместно с зональным семинаром по методике преподавания теоретиче-
теоретической механики в овысших учебных заведениях Казахской, Киргизской,
Таджикской, Туркменской и Узбекской ССР.
В работе пленума и зонального семинара приняли участие более ста
преподавателей высших учебных заведений Средней Азии и Казахстана,
а также члены научно-методического совета.
На открытии VI пленума выступил министр народного образования
Таджикской ССР проф. Р. Ю. Юсуфбеков. Пленум заслушал следующие
доклады: «Итоги работы Научно-методического совета за 1965—1970 гг.
и задачи Совета и кафедр теоретической механики в свете решений
XXIV съезда КПСС» (проф. С. М. Тарг); «Об учебной, научной и мето-
методической работе кафедры теоретической механики Таджикского политех-
политехнического института» (доц. Ли Тхя Дюн); «О преподавании теоретиче-
теоретической механики на механико-математическом факультете Таджикского го-
государственного университета» (доц. М. X. Хасанова); «Работа факульте-
факультетов повышения квалификации и вопросы подготовки кадров преподавате-
преподавателей теоретической механики» (проф. В. Н. Щелкечев и доц. А. К. Коло-
совская); «О наглядности в преподавании курса теоретической механи-
механики» (проф. М. М. Гернет); «О программе и преподавании курса теорети-
теоретической механики для физиков» (доц. И. И. Ольховский); «Теоретическая
механика в педвузах и вопросы методики ее преподавания (проф.
О. В. Голубева); «Организация учебного процесса по теоретической ме-
механике в Ташкентском политехническом институте»; «О самостоятельной
работе студентов по теоретической механике в Ташкентском политехни-
политехническом институте» (доц. С. С. Несретдинов); а также сообщения по науч-
научно-методическим вопросам проф. И. Д. Молюкова (Алма-Ата), доцента
В. В. Слободянюк (Фрунзе), доцента С. С. Насретдинова (Ташкент).
Были заслушаны также доклады на научные темы: «Современные
задачи небесной механики и механики космического полета» (проф.
В. В. Белецкий); «Нелинейные эффекты в механических колебательных
системах» (член-корр. АН Латв. ССР проф. Я. Г. Пановко); «О природе
тяготения (гипотеза обратных квадратов Гука и теория тяготения Нью-
115

тона)» (доц. И. А. Тюлина); «Устойчивость искусственных спутников в
осесимметричном поле тяготения» (ст. преп. М. К. Темирбаева); «О воз-
возможных методах изучения относительного движения точки в динамике»
(проф. С. М. Тарг).
В прениях выступили профессора П. А. Кузьмин (Казань),
Л. К. Кудряшов (Одесса), П. М. Алабужев (Новосибирск), Т. Т. Хачату-
Хачатурян (Ереван), И. С. Куклис (Самарканд), Н. Ф. Ершов (Горький),
В. К. Прокопов (Ленинград), А. X. Ким (Минск), А. И. Оселедько (Во-
(Воронеж), доценты М. А. Мейлер (Джамбул), Б. Н. Резников (Алма-Ата),
О. Э. Кепе (Рига), Е. Б. Вассерман (Рига), Ш. У. Кан (Караганда).
В ходе обсуждений докладов и сообщений было высказано много ин-
интересных и полезных замечаний и предложений по учебным планам, про-
программам, методике чтения лекций и ведения семинарских занятий, а так-
1ке по работе со студентами вечерних и заочных отделений, по органи-
организации и методике преподавания теоретической механики на родных
языках.
Пленум принял решение, подводящее итоги работы совещания, и
избрал новый состав президиума Совета.
Решение VI пленума Научно-методического совета по теоретической
механике.
В работе пленума и семинара приняли участие преподаватели теоре-
теоретической механики вузов Средней Азии и Казахстана.
Выступления были посвящены обсуждению итогов работы Научно-
методического совета за прошедшие 6 лет его деятельности, анализу со-
состояния преподавания теоретической механики в вузах страны; высказы-
высказывались предложения по улучшению всех видов этой работы и ставились
задачи Совета и кафедр теоретической механики, вытекающие из реше-
решений XXIV съезда КПСС.
Пленум одобряет деятельность президиума Совета и его секций за
истекший период.
Пленум поручает новому составу президиума Совета, руковод-
руководствуясь решениями XXIV съезда КПСС, разработать перспективный
план деятельности Совета и его секций на ближайшее пятилетие, в ко-
котором предусмотреть мероприятия, направленные на дальнейшее улуч-
улучшение качества обучения студентов по курсу теоретической механики,
повышение научного и идейного уровня читаемых курсов, совершенство-
совершенствование методики преподавания и широкий обмен опытом этой работы,
развитие научно-исследовательских работ по проблемам методики пре-
преподавания, дальнейшее повышение качества учебников, учебных и на-
наглядных пособий, повышение квалификации преподавательского состава,
улучшение воспитательной работы со студентами.
При разработке этого плана и в ходе всей текущей работы прези-
президиума учесть все конкретные предложения и замечания, содержавшиеся
в заслушанных на пленуме докладах и выступлениях.
Участники пленума и семинара, отмечая большие успехи высшего
образования в Казахской, Киргизской, Таджикской, Туркменской и Уз-
Узбекской ССР, достигнутые за годы советской власти, призывают всех
преподавателей теоретической механики вузов этих республик усилить
работу по повышению качества обучения и воспитания студентов с уче-
учетом национальных особенностей соответствующих республик. Пленум по-
поручает призидиуму и секциям Совета установить постоянную связь с
кафедрами вузов, принявших участие в зональном семинаре (непосред-
(непосредственно или через межвузовские семинары) и оказывать им всю необ-
необходимую помощь в работе.
Одновременно семинар и пленум поручают всем участникам сделать
на заседаниях своих кафедр или в общегородских семинарах сообщения
о результатах проделанной работы, а также о предложениях и рекомен-
рекомендациях по улучшению системы обучения и воспитания студентов, а пре-
116

зидиуму Совета и оргкомитету принять меры к публикации материалов
семинара и пленума.
Участники заседаний отмечают большую пользу проведенного семи-
семинара, предоставившего широкие возможности для обсуждения состоя-
состояния работы, обмена опытом и личного общения, и рекомендуют и впредь
с определенной периодичностью B—3 года) проводить подобные зональ-
зональные семинары. В частности, следующий региональный семинар вузов
Средней Азии намечено провести в 1974 г. в г. Фрунзе.
Участники пленума и семинара выражают уверенность оз том, что
преподаватели всех кафедр теоретической механики вузов страны сде-
сделают все необходимое для высококачественного выполнения разработан-
разработанных кафедрами планов их деятельности.

АННОТАЦИИ СТАТЕЙ СБОРНИКА
«ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА», ВЫПУСК 3
В. В. ДОБРОНРАВОВ. Современное состояние механики систем с
неголономными связями.
Дается краткий обзор развития механики неголономных систем, со-
современное состояние и характеристика некоторых проблем и задач, ко-
которые современная техника ставит перед механикой неголономных
систем.
И. М. ВОРОНКОВ. О первых интегралах дифференциальных урав-
уравнений движения системы, рассматриваемых как неголономные связи, на-
наложенные на эту систему.
Обсуждается (вопрос о рассмотрении 'первых интегралов уравнений
движения голономной системы как неголономных связей. Автор приходит
к выводу, что составление дифференциальных уравнений движения с ис-
использованием этих неголономных связей приводит к дифференциальным
уравнениям, эквивалентным исходным уравнениям данной голономной
системы.
Е. С. СОРОКИН. Значение теории колебаний для инженерного дела.
Обсуждаются значение и роль теории колебаний механических сис-
систем для различных отраслей инженерного дела. Дается беглый обзор
развития прикладной теории колебаний, ее современного состояния и
вопросов, требующих дальнейшего изучения.
М. М. ГЕРНЕТ, М. В. ФАВОРИН. Обобщенные аналитические фор-
формулы для вычисления геометрических и инерционных характеристик тел.
Дан вывод обобщенных аналитических формул для вычисления гео-
геометрических и инерционных характеристик -сложных тел и их частей,
необходимых для динамического расчета машин и их элементов. Полу-
Полученные обобщенные формулы позволяют использовать ЭВМ для вычис-
вычисления этих характеристик.
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ. Возникновение статики.
Показано, что автором силового треугольника следует считать не
Стевина, как это принято, а Иордана Неморария (XIII век). Разобраны
две работы Иордана Неморария и показана эволюция его воззрений на
равновесие тела на наклонной плоскости и, в частности, равновесия двух
соединенных нитью грузов, лежащих на наклонных плоскостях.
Г. Ф. МОРОШКИН. Рациональная система кинематики твердого
тела.
Приведены общие положения, устанавливающие взаимосвязь вопро-
вопросов методики и методологии научной дисциплины. Дана критика мето-
методов, применяемых в кинематике твердого тела, построена рациональная
система гометрии сферического и общего движений, предложено дока-
доказательство независимости определения со от выбора подвижной системы.
Ю. П. СУРКОВ. Применение неголономных координат к решению
задачи Ньютона.
На примере задачи о движении точки под действием силы, обратно
пропорциональной квадрату расстояния по притягивающего центра, по-
118

казаны преимущества применения неголономных координат по (сравне-
(сравнению с голономными координатами.
М. П. ГУЛЯЕВ. О переместимости канонических переменных в урав-
нени Гамильтона — Якоби.
Излагается одно видоизменение известного метода Якоби для ре-
решения канонических уравнений движения динамических систем, осно-
основанное на свойстве переместимости канонических переменных в уравне-
уравнении Гамильтона—Якоби. Устанавливается связь производящей функции
V Jpj) с функцией действия по Гамильтону.
Ю. А. ГАРТУНГ. Новые формы уравнений аналитической динамики.
Изложены в систематизированном и удобном для приложений виде
новые формы уравнений аналитической динамики, применимые как для
голономных систем, так и неголономных со связями высших порядков
и нелинейной структуры. Указаны методы составления уравнений дви-
движения различных видов механических систем с общими связями.
Ю. В. РАДЫШ, С. М. ШАХНОВСКИЙ. Физический смысл слагае-
слагаемых, входящих в динамические уравнения Эйлера.
Для задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвиж-
неподвижной точки в случае Лагранжа динамические уравнения Эйлера выводят-
выводятся в подвижной системе координат и дается физический смысл каждого
слагаемого в терминах сил инерции. В этих же терминах дан анализ
гироскопического момента.
М. А. ЧУЕВ. О решении задачи движения твердого тела с одной не-
неподвижной точкой методом разделения переменных.
Принимая за обобщенные координаты углы Эйлера и используя
условия, которым должна удовлетворять функция Гамильтона, чтобы
переменные разделялись, доказывается, что методом разделения пере-
переменных задача решается только в случае Лагранжа.
В. А. ШИШКОВ. Определение реакций в опорах неуравновешенного
ротора.
Излагается упрощенный способ определения динамических реакций
в опорах вращающегося твердого тела — без расчета центробежных
моментов инерции. В общем виде решается задача: зная главные цент-
центральные моменты инерции тела, при произвольном положении центра
масс и произвольном направлении главных осей относительно оси вра-
вращения определить динамические реакции на опоры.
B. Ф. КРИШЕН. О толковании основных законов классической ме-
механики и вопросы методологии.
Критический обзор проблем аксиоматики классической механики в
современной и прежде всего в учебной литературе. Делается вывод о
необходимости преодоления традиций выделять аксиомы статики в осо-
особую систему аксиом, отличную от аксиом динамики.
Ю. Г. МИНКИН. Об одной иллюстрации к теме «Вынужденные ко-
колебания механической системы при отсутствии сопротивления».
Рассматривается система с возмущением в виде заданного относи-
относительного смещения элементов. Рассмотрение этой системы позволяет
'подвергнуть дополнительному обсуждению такие понятия, как вид воз-
возмущения, частоты собственных колебаний, резонанс, антирезюна-нс
формы колебаний, симметрия системы и ряд других понятий.
C. А. ВОЛЬФСОН. О комплексной форме решения задач кинемати-
кинематики плоского движения.
Рассматривается применение метода комплексных чисел к решению
задач кинематики плоского движения. Приводятся примеры использова-
использования этого метода для кинематического анализа плоского механизма, а
также для определения абсолютной скорости и абсолютного ускорения
точки при ее сложном движении в плоскости.
Б. А. ДРУЯНОВ, Я. М. ШАПИРО. О преподавании статики во
втузах.
119

Предлагается отказаться от «аксиом» статики, положив в основу
принцип эквивалентности двух систем сил. Принцип эквивалентности не
является аксиомой и доказывается в динамике.
Показано, что введение закона эквивалентности в качестве основы
построения курса статики придает изложению дедуктивный характер и
позволяет значительно сократить время, необходимое для чтения таких
вопросов, как теория пар, приведение системы сил к центру, уравнения
равновесия и некоторых других.
М. А. АЛЕКСАНДРОВА. Об учебниках и учебных пособиях по
теоретической механике, изданных в России в 1722—1823 годах.
Статья знакомит читателя с учебниками и учебными пособиями по
теоретической механике, вышедшими в России в период с 1722 по 1823 г.,
как написанными русскими авторами, так и переведенными с иностран-
иностранных языков. Отмечены наиболее интересные вопросы содержания и ме-
методики изложения в этих книгах.
Н. П. МИТЯГИН. Применение приборов при изучении динамики ко-
колебательного движения.
На примере двух моделей (опытные образцы которых выполнены
по разработкам и чертежам СКВ MB и ССО СССР) рассматриваются
возможности и методика применения приборов при изучении теории ко-
колебаний в курсе теоретической механики технических вузов.
Сборник научно-методических статей по теоретической механике
Редактор О. Г. Подобедова. Технический редактор С. Я. Передерий. Корректор Я. В. Гераськина
Т—15868. Сдано в набор 15/11—72 г. Подл, к печати 22/XI—72 г.
Формат 70X108Vi6. Объем 7,5 печ. л. 10,5 усл. п. л* 9,33 уч.-изд. л.
Изд. № УМО—5459, Тираж 2500 экз. Цена 25 коп.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Хохловский пер., 7. Зак. 365.

25 коп.